/
Author: Ибаньес Р.
Tags: математика география геометрия картография серия мир математики точные науки
ISBN: 978-5-9774-0721-2
Year: 2014
Text
Мир
МАТЕМАТИКИ
26
Мечта
об идеальной карте
IXAGOSTINI
Мир математики
Мир математики
Рауль Ибаньес
Мечта об идеальной карте
Картография и математика
Москва - 2014
EXAGOSTINI
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
М63
М63 Мир математики: в 40 т. Т. 26: Рауль Ибаньес. Мечта об идеальной карте. Картография
и математика. / Пер. с исп. — М.: Де Агостини, 2014. — 176 с.
Современный человек пользуется картами практически ежедневно: карты украшают
стены школ, они помогают нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь
из одного пункта в другой, изучать историю, географию, экономику и ряд других наук.
Карты — важный рабочий инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков,
машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том, как создаются карты? Для
чего существует такое количество разнообразных карт и насколько все они точны? Прочи-
тав эту книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов о геометрии карт.
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0721-2 (т. 26)
УДК 51(0.062)
ББК 22.1
© Raul Ibanez, 2010 (текст)
© RBA Coleccionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
Иллюстрации предоставлены: Getty Images.
Все права защищены.
Полное или частичное воспроизведение без разрешения издателя запрещено.
Содержание
Предисловие....................................................... 7
Глава 1. Форма Земли.............................................. И
Круглая или плоская?............................................. 13
Прямые доказательства сферической формы Земли ................... 16
Средневековая мысль.............................................. 19
От эллипсоидной модели к геоидной................................ 22
Глава 2. Размеры Земли .......................................... 25
Оценки Евдокса и Архимеда........................................ 25
Измерения Эратосфена............................................. 26
Измерения Посидония и ошибка Колумба............................. 31
Метод триангуляции............................................... 32
Глава 3. Меридианы, параллели и большие круги ..................... 35
Широта и параллели ................................................ 35
Долгота и меридианы................................................ 40
Задача об определении долготы...................................... 42
Большие круги, геодезические линии сферы........................... 46
Кривизна больших кругов ........................................... 49
Глава 4. В поисках правильной карты Земли ......................... 51
Что такое правильная карта ........................................ 52
Двойная задача: выбор масштаба и картографической проекции......... 54
Проекция, сохраняющая расстояния,
сохраняет и кратчайшие пути..................................... 58
Сохранение расстояний в проекции означает сохранение длин кривых... 60
Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и углы................. 62
Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и площади.............. 64
В поисках изометрической проекции.................................... 65
Глава 5. Проекция Архимеда, или равновеликая
цилиндрическая проекция Ламберта.................................. 71
Определение и картографические свойства.............................. 72
5
СОДЕРЖАНИЕ
Цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции ................... 76
Использование равновеликих проекций .............................. 82
Глава 6. Центральная, или гномоническая проекция ................. 87
Определение и картографические свойства .......................... 89
Азимутальные проекции............................................. 95
Использование карт, выполненных в гномонической проекции......... 100
Глава 7. Стереографическая проекция................................ 105
Определение и картографические свойства............................ 107
Использование карт, выполненных в стереографической проекции....... 112
Конические проекции ............................................... 123
Равноугольная коническая проекция Ламберта......................... 127
Глава 8. Что Эйлер сказал картографу............................... 129
Равноугольные равновеликие проекции................................ 130
Существует ли правильная карта Земли? ............................. 131
Кривизна Гаусса и возвращение к картографической задаче............ 135
Глобус земного шара................................................ 140
Равнопромежуточные проекции...................................... 144
Цилиндрическая равнопромежуточная проекция...................... 144
Азимутальная равнопромежуточная проекция........................ 145
Коническая равнопромежуточная проекция........................ 148
Глава 9. Проекция Меркатора........................................ 149
Определение и картографические свойства.......................... 149
Поперечная проекция Меркатора.................................... 160
Косая проекция Меркатора........................................... 162
Петерс против Меркатора.......................................... 164
Эпилог........................................................... 171
Библиография..................................................... 173
Алфавитный указатель .............................................. 174
6
В память о моем отце,
по которому я безмерно скучаю.
Моей матери, сильной и уверенной в себе женщине.
Вам обоим я обязан жизнью и многим другим.
Моей жене Анне и дочерям Айтор и Ванессе.
Вы — моя жизнь
Предисловие
Главная цель этой книги — рассказать о геометрии карт. Однако сначала следует
ответить на вопрос: что же такое карта? В любом словаре написано, что карта — это
«чертеж части земной поверхности с преимущественным учетом, согласно правилам
картографии, тех или иных специальных признаков (народонаселения, почвы и пр.);
чертеж звездного неба».
Впрочем, думаю, читатель согласится со мной, если я скажу, что для ответа на этот
вопрос совершенно не обязательно обращаться к словарю. Карты знакомы всем
нам. Все мы видим их чуть ли не каждый день. Часто карты украшают стены школ,
и, повзрослев, мы с теплотой вспоминаем их. Если вы возьмете в руки банкноты
евро, то увидите, что на них изображена карта Европы, которая символизирует
единство государств, образующих Европейский Союз. Читая газеты или слушая
новости, мы встречаем бесчисленное множество карт. Это могут быть карты мира
с информацией о расах, религиях, языках и численности населения, карты, на кото-
рых изображены уровни загрязнения или число происшествий, экономические кар-
ты разных стран или регионов, карты вооруженных конфликтов. Мы очень часто
обращаемся к карте погоды, а в любом документальном фильме о природе, истории
или географии, в специализированных или научно-популярных изданиях поясняю-
щие карты помогают нам понять, о чем идет речь, и расставить все по своим местам.
Карты можно увидеть в фантастических книгах (вспомните карту вымышлен-
ной местности во «Властелине колец» и «Острове сокровищ»), в приключенческих
и военных фильмах (например, в фильме «Касабланка» или «Военные игры»), а ге-
рои мультфильма «Похождения императора» в буквальном смысле идут по особой,
развлекательной карте. Можно привести немало примеров, которые встречаются
в искусстве: начиная от выразительных карт голландского художника эпохи барокко
Яна Вермеера и заканчивая «Картой на основе мира Димаксиона» современного
7
ПРЕДИСЛОВИЕ
американского художника Джаспера Джонса и картами мира, выполненными ита-
льянским художником Алигьеро Боэтти.
Мы запасаемся картами, планируя отпуск: они помогают нам определить мар-
шруты, организовать поездку и, наконец, просто не потеряться. Отправляясь в ав-
топутешествие, мы не можем обойтись без карты автомобильных дорог, а в незнако-
мом городе нам обязательно понадобится карта улиц. Если вы пройдетесь по своему
родному городу, то увидите карты в рекламе некоторых компаний, в витринах тури-
стических агентств, в магазинах детской одежды или в книжных магазинах в начале
учебного года.
Карты — очень важный инструмент для представителей множества профессий.
Человечество использует морские и авиационные карты, политические карты, кар-
ты городов, автомобильных и железных дорог, топографические, морфологические,
научные карты разных видов (ботанические, геологические, климатические, гео-
графические, океанографические, сейсмические), экономические и статистические,
кадастровые карты, на которых изображены земельные участки и записаны их соб-
ственники, и многие, многие другие виды карт. Как видите, с картами прекрасно
знаком каждый, мы работаем с ними каждый день и используем для решения самых
разных задач.
Лучше всего нам знакома карта мира, изображенная ниже (эта карта выполнена
в проекции Меркатора, о которой мы расскажем в главе 9), — мы привыкли к ней
с самого детства, и наш разум воспринимает ее почти бессознательно, как данность.
Как мы все «знаем», это хорошая, правильная карта, или, как я услышал в одном
разговоре, «настоящая карта». Однако посмотрим на нее снова и попытаемся отве-
8
ПРЕДИСЛОВИЕ
тить на несколько простых вопросов: каков кратчайший путь из Мадрида (или, на-
пример, Баку) в Вашингтон? Так как кратчайший путь между двумя точками на пло-
скости — это прямая, то он, по всей видимости, будет пролегать вдоль 40-й парал-
лели северной широты. Но в главе 3 вы увидите, что кратчайший путь между двумя
любыми точками сферы лежит на большом круге, проходящем через эти точки,
и в нашем примере ее отображением на плоскости будет не 40-я параллель северной
широты. Это одна из причин, по которой самолеты, летящие из Мадрида в Вашинг-
тон, следуют не вдоль 40-й параллели, а сначала смещаются ближе к северу, а затем
движутся на юг (путь из Баку до Вашингтона будет проходить почти через Север-
ный полюс). Таким образом, наша карта мира не сохраняет кратчайшие расстояния.
Кроме того, в легенде любой карты обычно указывается ее масштаб. Каково рас-
стояние между двумя точками Земли? Казалось бы, чтобы ответить на этот вопрос,
нужно взять линейку, измерить расстояние между этими точками на карте и пере-
считать полученную величину с учетом масштаба. Но, как мы уже отмечали, в этом
случае нужно измерить длину не прямой, соединяющей две точки, а воображаемой
кривой (части большой окружности). Причем даже если мы измерим длину кривой,
результат по-прежнему будет неверным, так как наша карта не сохраняет неизмен-
ными длины кривых и расстояния, а ее масштаб в разных частях отличается. Про-
должим наши рассуждения и поставим еще один вопрос: сохраняются ли в проекции
Меркатора площади? Как нам хорошо известно, изображение Гренландии на этой
карте даже чуть больше, чем изображение Африки. Но в действительности площадь
Гренландии равна примерно 2175600 км2, площадь Африки — 29800000 км2.
Следовательно, контуры стран на карте также очень сильно искажены. Наконец,
зададимся вопросом: сохраняются ли на картах румбы, направления и углы? Углы
между меридианами и параллелями равны 90°, как и на нашей карте. Но если мы
посмотрим на карту на следующей странице, то увидим, что это не так — углы
не сохраняются. Эта карта выполнена в одной из классических проекций, которая
называется ортографической, и показывает Землю так, как будто мы смотрим на нее
из бесконечно удаленной точки.
Следовательно, карты не обладают ни одним из ожидаемых свойств: они
не сохраняют расстояния, кратчайшие пути, площади и углы. Может быть, нам
не хватает каких-то знаний? Так, существует целое множество картографических
проекций: кроме упомянутых проекции Меркатора и ортографической проекции,
используются равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, равновеликая
коническая проекция Альберса, проекция Моллвейде, ортографическая проекция
Галла — Петерса, проекция Eckert IV, центральная, стереографическая, равно-
9
ПРЕДИСЛОВИЕ
угольная коническая проекция Ламберта, биполярная косая равноугольная кониче-
ская проекция, цилиндрическая равнопромежуточная, азимутальная равнопромежу-
точная, тройная проекция Винкеля, проекция Ван дер Гринтена, UTM, проекция
Бонне, проекции Eckert I—IV, гомолосинусоидальная проекция Гуда, Хаммера,
Вернера, Бризмейстера, равновеликая цилиндрическая проекция Бермана, про-
екция Робинсона и многие другие. Картограф Джон Снайдер в своей книге «Как
Земля стала плоской» (Flattening the Earth) описывает свыше 300 картографиче-
ских проекций. Возникает вопрос: почему существует столько карт? Насколько они
точны? Какая — точнее всех? Как нарисовать точную карту Земли? И наконец,
какую карту можно считать точной?
В этой книге мы постараемся ответить на эти вопросы, а также подробно рас-
сказать о картах, которые мы видим каждый день. При изучении карт не обойтись
без дифференциальной геометрии, которая входит в курсы картографии для таких
специальностей, как география, судовождение, океанология и другие. Однако мы
стремимся избежать специальных терминов и рассказать о картах с интуитивно по-
нятной, «геометрической» точки зрения, поэтому будем использовать только ме-
тоды классической геометрии (в частности, геометрии Евклида и тригонометрии).
Приближенные равенства, которые мы будем приводить во многих рассуждениях,
исчезают при переходе к пределу, однако в этом случае мы применим лишь самые
основы дифференциального и интегрального исчисления, относящиеся к дифферен-
циальной геометрии.
10
Глава 1
Форма Земли
«Во-первых, — сказал Сократ, — если Земля кругла и находится
посреди неба, она не нуждается ни в воздухе, ни в иной какой-либо
подобной силе, которая удерживала бы ее от падения...
Далее, я уверился, что Земля очень велика и что мы, обитающие от
Фасиса до Геракловых Столпов, занимаем лишь малую ее частицу; мы
теснимся вокруг нашего моря, словно муравьи или лягушки вокруг
болота.
Земля, если взглянуть на нее сверху, похожа на мяч, сшитый
из двенадцати кусков кожи и пестро расписанный разными цветами...»1
Платон, «Федон, или О бессмертии души» (IV в. до н.э.)
Перед тем как приступить к составлению или изучению карт планеты, на которой мы
живем и которая поэтому представляет для нас наибольший интерес, следует изу-
чить ее форму и размеры. Так мы научимся определять положение точек на ее по-
верхности и отметим некоторые геометрические особенности Земли, которые инте-
ресовали ученых начиная с глубокой древности. Уже Клавдий Птолемей в «Геогра-
фии» писал: «...Первое, что следует изучить [для того, чтобы создать карту
мира] — это форма, размер и положение Земли относительно ее окрестностей
[неба] так, чтобы мы смогли говорить об известной ее части, сколь велика бы она
ни была [...]. Эти деяния принадлежат к числу благороднейших и прекраснейших
умственных занятий — узнаванию посредством математики... [природы] Земли
по ее изображению...»
Именно в этом состоит цель геодезии. Слово «геодезия» происходит от грече-
ского «гео» («земля») и «даио» («делю»), оно означает «деление Земли». Геоде-
зия — это наука, изучающая форму и размеры планеты, ее поле тяготения и траек-
торию движения. В геодезии нельзя обойтись без геометрии — само сходство этих
слов говорит о важной связи между ними: «геометрия» происходит от греческого
«гео» («земля») и «метриа» («измерять»), то есть означает «измерение Земли».
’ Перевод С. П. Маркиша. — Примеч. ред.
И
ФОРМА ЗЕМЛИ
КЛАВДИЙ ПТОЛЕМЕЙ (ОК. 90-170 ГОДЫ)
О жизни этого астронома, математика и географа известно немногое. Мы знаем, что он бып
римским гражданином греческого или египетского происхождения, жил и работал в Алексан-
дрии. Он был автором двух трактатов, оказавших огромное влияние на европейскую и мусуль-
манскую науку: «Альмагеста» (от арабского «Великое построение») и «Географии». В «Альмаге-
сте», в котором прослеживается влияние Гиппарха, Птолемей собрал и расширил знания греков
об астрономии, а также описал соответствующие математические методы. В этом трактате он
подробно изложил математическую теорию, описывающую движение Солнца, Луны и планет.
Его модель мира была геоцентрической и описывала движение сферических небесных тел
с помощью эпициклов сочетавших в себе несколько видов кругового движения. Кроме того,
в «Альмагесте» приводился каталог звезд. Более популярным языком Птолемей изложил свои
идеи в труде «Планетные гипотезы». Его «География» представляет собой сборник знаний о гео-
графии мира того времени. В трактате описаны способы создания карт мира («ойкумены»)
и римских провинций с помощью координатной сетки. Карты Птолемея (дошедшие до нас бла-
годаря репродукциям XV века) обладали важным достоинством: они были созданы с примене-
нием геометрических проекций. Тем не менее эти карты были очень неточными, ведь в те годы
знания о землях за пределами Римской империи и даже о некоторых римских провинциях были
ошибочными. Кроме того, размеры Земли, вычисленные Птолемеем, были намного меньше
реальных. В своих книгах «Аналемма» и «Планисфера» Птолемей объясняет соответственно
ортографическую и стереографическую проекции Также ему принадлежат трактаты «Гармони-
ка» - о музыке, «Оптика» и «Четверокнижие», посвященные астрологии.
Восстановленный вариант одной из карт мира, приведенных в «Гэографии» Птолемея.
Эта карта также дана в «Космографии» Йоханнеса Армсшейна и Николаса Германуса (1482).
12
ФОРМА ЗЕМЛИ
Три первые главы этой книги посвящены изучению Земли, ее форм и размеров,
географических координат и больших кругов.
Круглая или плоская?
Сегодня вопрос о том, какую форму имеет Земля, может показаться даже несколько
оскорбительным: как все мы знаем, наша планета круглая, подобно мячу, и сплюсну-
та у полюсов (то есть, говоря математическим языком, ее форма ближе к эллипсои-
ду). Также в школе нас учили: люди были убеждены в том, что земля плоская, пока
Христофор Колумб не доказал современникам, что она имеет форму шара.
Спутниковые снимки Земли доказывают,
что наша планета круглая, а не плоская.
В нашем сознании настолько укоренилась мысль о том, что Земля круглая, что
мы и не думаем спорить с этим. Но каковы прямые доказательства того, что Земля
на самом деле круглая? Одним из них могут служить многочисленные спутниковые
снимки, на которых видно, что наша планета имеет форму шара. Но даже если от-
бросить маловероятную теорию заговора, согласно которой эти изображения —
13
ФОРМА ЗЕМЛИ
подделка, все же проверить подлинность спутниковых снимков мы не можем. Как
писал древнегреческий философ Аристотель (384 год до н. э. — 322 год до н. э.)
в своем трактате «О небе», нам нужны «явления, доступные ощущениям».
Многие народы, населявшие Землю еще примерно 2500 лет назад — египтяне,
вавилоняне, китайцы и даже греки, — считали, что Земля совершенно плоская.
Первые описания формы Земли в Древней Греции принадлежат Гомеру (IX век
до н. э.), собравшему воедино знания о географии и космологии своего времени. Гре-
ки считали, что Земля — это плоский диск, висящий в воздухе, на котором распо-
лагается известная в то время суша, окруженная великим океаном, и его воды пере-
ливаются через края Земли. Это представление о мире разделяли последователи
ионийской школы философии, в частности Анаксимандр (ок. 610 года до н. э. — ок.
546 года до н. э.), ученик Фалеса Милетского, который был автором первой из-
вестной нам карты мира.
Реконструкция карты Гекатея, созданной на основе карты Анаксимандра.
Это древнейшее из дошедших до нас изображений ойкумены — мира, известного древним.
14
ФОРМА ЗЕМЛИ
ЗЕМЛЯ В КОСМОЛОГИЧЕСКИХ МИФАХ
Все древние народы (вавилоняне, египтяне, китайцы, греки, американские индейцы и другие)
в своих мифах о происхождении мира представляли Землю более или менее плоской. По их
верованиям, Земля покоилась в океане, висела в воздухе или находилась на спине огромного
мифологического существа.
Для вавилонян Земля была плоским диском, который плавал на поверхности океана и был
покрыт небесным сводом - металлической полусферой, на которой располагались звезды. Над
небесным сводом находились высшие воды, которые иногда просачивались сквозь него, и тогда
на Земле шел дождь. В африканских мифах Земля покоилась на змее, плавающей в океане.
Индусы считали, что Землю поддерживают четыре слона, стоящие на огромной черепахе, ко-
торая также плавает в океане. Египтяне и китайцы считали, что земля имеет прямоугольную
форму и плавает в воде, а небесный свод покоится на двух горных цепях или четырех горах,
находящихся в углах мира.
В мифах индейцев майя и других американских культурах мир изображался в виде плоского
прямоугольного листа, над которым находилось небо, образованное тринадцатью наложенны-
ми друг на друга горизонтальными плоскостями. На вершине этой пирамидальной структуры
восседало главное божество. Под землей находился подземный мир, состоявший из девяти
горизонтальных слоев, расположенных в форме перевернутой пирамиды. Вертикально рас-
положенные плоские миры, параллельные друг другу, описываются и в буддийской космологии.
Древнегреческому математику и философу Пифагору (ок. 570 года до н. э. —
ок. 500 года до н. э.), пусть и не безоговорочно, приписывают авторство гипоте-
зы о шарообразной форме Земли. Неизвестно, на чем была основана его гипотеза:
на физических наблюдениях или философских рассуждениях (философы считали
шар самой совершенной из фигур, следовательно, наша планета, населенная людьми
и сотворенная богами, должна была иметь форму шара). Платон в своем диалоге
«Федон, или О бессмертии души» также упоминает, что земля имеет форму шара.
Но раньше всех эту гипотезу излагает Аристотель в трактате «О небе», приводя
при этом некоторые физические и логические аргументы в ее пользу. Он же первым
заговорил о радиусе Земли: «Все математики, которые пытаются вычислить размер
окружности Земли, говорят, что он равен 400000 стадиев».
Впрочем, размеры земного шара мы обсудим в следующей главе.
15
ФОРМА ЗЕМЛИ
Прямые доказательства сферической формы Земли
Так как приведенные Аристотелем аргументы в пользу того, что Земля имеет форму
шара, верны и сегодня, мы можем с их помощью ответить на вопрос, заданный в на-
чале главы: каковы же прямые доказательства того, что Земля круглая? Посмотрев
на небо, мы, подобно древним грекам, обнаружим первое доказательство этому:
небесные тела — Солнце, Луна и планеты — имеют круглую форму. Тень, которую
отбрасывает Земля на Луну во время лунного затмения, также круглая.
Лунные затмения предоставляют еще одно доказательство, пусть и не столь оче-
видное: они наблюдаются во всех частях Земли в один и тот же день, но в разное
время. Чем дальше на восток находится наблюдатель, тем позже он увидит зат-
мение. Так, максимальная фаза полного лунного затмения, произошедшего ночью
с 20 на 21 февраля 2008 года, наблюдалась в 3 часа 26 минут по мировому вре-
мени (то есть по времени Гринвичского меридиана). Следовательно, полное лунное
затмение в Испании, Франции, Алжире и Ливии наблюдалось 21 февраля в 4:26,
в Англии, Мавритании и Сенегале — в 3:26, в Гренландии, на Атлантическом по-
бережье Бразилии и в Аргентине — в 0:26, на Атлантическом побережье США,
в Колумбии и Эквадоре — в 22:46 днем раньше, а в Мексике и центральной части
США — в 21:26. Если бы Земля была плоской, лунные затмения наблюдались бы
во всех ее частях в одно и то же время, ведь в этом случае время во всех ее частях
было бы одинаковым. Это связано с тем, что время на Земле определяется в за-
висимости от положения солнца на небе. Полдень, то есть период, когда Солнце
находится выше всего над горизонтом, в разных частях Земли наступает в разное
время, так как Земля круглая, но если бы наша планета была плоской, полдень везде
наступал бы одновременно.
На небе можно увидеть еще одно, очень убедительное доказательство: когда пу-
тешественник движется на север, звезды и созвездия смещаются на юг и постепенно
скрываются за горизонтом. При этом на севере постепенно появляются другие звез-
ды, которые путешественник никогда не смог бы увидеть в начальной точке своего
вояжа. Так, если мы находимся в Южном полушарии, Полярная звезда будет нам
не видна. Но когда мы начнем двигаться на север и пересечем экватор, она появит-
ся над горизонтом и постепенно будет подниматься все выше и выше. Когда мы
достигнем Северного полюса, Полярная звезда окажется точно у нас над головой.
16
ФОРМА ЗЕМЛИ
В плоском мире этого бы не произошло — во всех его уголках на небе были бы вид-
ны одни и те же созвездия.
Путешественник, который находится в Южном полушарии, не сможет увидеть
Полярную звезду (а). Если он начнет двигаться на север, то в момент пересечения
экватора (Ь) Полярная звезда взойдет над горизонтом. Если путешественник продолжит
двигаться на север, то увидит, как Полярная звезда поднимается все выше и выше.
Так, над Северным тропиком, широта которого равна 23,5°,
Полярная звезда расположена под углом 23,5° к горизонту (с).
На Северном полюсе путешественник увидит Полярную звезду точно над головой (0)
17
ФОРМА ЗЕМЛИ
Если мы опустим взгляд и сфокусируем его на горизонте, то также увидим до-
казательства того, что Земля круглая (лучше всего при этом находиться на побере-
жье или на корабле в открытом море). Мы увидим, что линия горизонта искривля-
ется к краям — в плоском мире она не была бы так искривлена.
Но вот вам и самое убедительное и неоспоримое доказательство того, что Земля
круглая. Допустим, что мы стоим на пляже и смотрим, как парусник движется от нас
в сторону горизонта. Если бы Земля была плоской, парус становился бы все меньше
и меньше, пока не стал бы совершенно неразличимым. Но в действительности так
не происходит: когда корабль уплывает вдаль, сначала из виду пропадает его корпус,
затем — палуба, паруса и, наконец, вершина самой высокой мачты с маленьким
флагом, развевающимся на ветру. Причина этому — кривизна земного шара. Мы
НА КАКОМ РАССТОЯНИИ НАХОДИТСЯ ГОРИЗОНТ?
Когда мы перестаем видеть флаг на вершине мачты корабля, уходящего в море? Ответить на этот
и другие подобные вопросы поможет знаменитая теорема Пифагора: «В прямоугольном треу-
гольнике с катетами а и b и гипотенузой с выполняется равенство с2 - а2 + Ь2».
Сначала узнаем, на каком расстоянии от нас на-
ходится горизонт. Для этого предположим, что глаза
наблюдателя, который смотрит на линию, разделя- с
ющую небо и море, находятся на высоте h - 1,70 м. b
Так как свет распространяется прямолинейно, то ли-
д
ния зрения, обращенная к горизонту, будет касатель-
ной к Земле. Учитывая, что, согласно простой теореме геометрии, «касательная к окружности
перпендикулярна ее радиусу, проведенному в точку касания» (см. рис. на следующей странице),
имеем прямоугольный треугольник, катетами которого будут линия зрения, направленная к го-
ризонту (обозначим длину этого катета через d), и радиус Земли R (будем рассматривать радиус
на экваторе, равный 6378137 м). Гипотенузой треугольника будет отрезок, соединяющий глаза
наблюдателя с центром Земли. Длина гипотенузы равна R + h. По теореме Пифагора получим,
что расстояние до горизонта равно почти 5 км:
d=yj(R+h]2-R2 = 4656,79 м.
18
ФОРМА ЗЕМЛИ
наблюдаем подобную картину, когда смотрим, как путник скрывается за холмом:
сначала из вида пропадают его ноги, затем — туловище и, наконец, голова.
Более того, именно благодаря этому эффекту горизонт выглядит как тонкая
линия между морем и небом — если бы Земля была плоской, зона между морем
и небом была бы нечеткой, и различить линию горизонта было бы нельзя.
Средневековая мысль
Несмотря на все вышесказанное, на Западе распространено мнение, согласно кото-
рому весь средневековый мир верил, что Земля плоская, и только Христофор Ко-
лумб (1451—1506) убедил современников в обратном. Этот миф, по всей видимо-
Прямоугольный треугольник, катетами которого являются линия зрения, направленная
к горизонту (длина этого катета равна d), и радиус Земли R, а гипотенузой — отрезок,
соединяющий глаза наблюдателя с центром Земли. Длина этого отрезка равна R + h.
Если мы проведем аналогичные рассуждения, рассмотрев наблюдательную площадку на вершине
мачты корабля (примем ее высоту равной h = 15 м), получим, что для моряка на мачте горизонт
находится в 13832,73 м. Сложив полученные результаты, имеем: в момент, когда мачта корабля
скрывается из вида, корабль находится от нас на расстоянии 18489.52 м, то есть более 18 км.
19
ФОРМА ЗЕМЛИ
сти, происходит из книги «История жизни и путешествий Христофора Колумба»
американского писателя Вашингтона Ирвинга (1783—1859).
Вере в то, что Земля плоская, предположительно способствовало дословное
толкование Библии. Например, в Книге пророка Даниила (глава 4, стих 8) гово-
рится: «Большое было это дерево и крепкое, и высота его достигала до неба, и оно
видимо было до краев всей земли», в Книге Даниила, глава 2, стих 35: «Камень,
разбивший истукана, сделался великою горою и наполнил всю землю». Если бы
Земля не была плоской, это было бы невозможно. В Первой Книге Царств (гла-
ва 2, стих 8) и Книге Иова (глава 9, стих 6) говорится о столбах, на которых стоит
Земля. Кроме того, дословное толкование Библии определило и форму средневе-
ковых карт: они были прямоугольными, согласно словам Исаии (глава И, стих 12)
или Откровению Иоанна Богослова (глава 20, стих 7): «... на четырех углах Зем-
ли», или круглыми и даже овальными, согласно изречению «над кругом Земли»
(Книга пророка Исаии, глава 40, стих 22). В центре карт, согласно Книге проро-
ка Иезекииля (глава 5, стих 5), как правило, изображался Иерусалим. Эти пред-
ставления вкупе с общей космологической системой, пришедшей на смену идеям
Птолемея и его предшественников, обрели популярность с выходом знаменитой
«Христианской топографии», написанной греческим монахом Козьмой Индико-
плевстом (VI век). Плоская форма «круга земного» (Orbis Terrarum) стала частью
официальной догмы, которую отстаивали многие христианские богословы и власти
Карта мира Козьмы Индикоплевста. Север изображен вверху, а Земля имеет форму
четырехугольника, окруженного Океаном. В левой части изображено Средиземное море, в которое
впадает река Нил, берущая начало в Океане. Справа вверху находится Каспийское море, внизу —
Персидский и Арабский залив (Красное море). В Персидский залив впадают реки Тигр и Евфрат.
20
ФОРМА ЗЕМЛИ
В Средневековье были распространены так называемые «карты Т и О», названные по первым
буквам Orbis Terrarum — «круг земной». На этих картах был изображен известный мир,
окруженный океаном в форме буквы О. Буква Т обозначала Средиземное море, делившее
Землю на три части: Азию — вверху, Европу — слева и Африку — справа.
Некоторые карты были очень простыми, другие — более сложными, как, например, карта
Херефорда (вверху), выполненная Ричардом из Халдингзма, или карта Эбсторфа авторства
Гэрвасия Тильберийского. Обе эти карты были созданы в XIII веке.
предержащие. Простолюдины были убеждены в том, что эта догма истинна, так
как иные знания были им недоступны. Козьма Индикоплевст, следуя буквальному
толкованию Библии, описывал мир как огромную Скинию, где находится плоская
прямоугольная Земля, окруженная океаном.
Однако образованные люди никогда не отказывались от веры в то, что Земля
круглая. Так, указания на это можно найти в книге одного из отцов католической
церкви Аврелия Августина (354—430): он был убежден, что Земля круглая, однако
сомневался, что противоположная сторона Земли обитаема. Эта же концепция из-
лагается в энциклопедическом труде Исидора Севильского (ок. 560—636) —
«Этимологиях», где были собраны все знания того времени («Этимологии» были
одной из самых используемых энциклопедий в школах и университетах), и в его же
книге «О природе вещей». Аналогичные описания встречаются в «Божественной
комедии» итальянского поэта Данте Алигьери (1265—1321) и в «Трактате о сфере»
английского астронома Иоанна Сакробоско (1195—1256) — важнейшем учебнике
21
ФОРМА ЗЕМЛИ
в истории, по которому астрономия преподавалась на протяжении пяти столетий.
В своем трактате Сакробоско изложил идеи из «Альмагеста» Птолемея, дополнив
их новыми знаниями и устранив некоторые термины, чтобы сделать труды Птоле-
мея по географии и космологии более понятными для современников.
От эллипсоидной модели к геоидной
До XVII века считалось, что Земля — идеальная сфера. Английский физик и мате-
матик Исаак Ньютон (1643—1727) вывел из своего закона всемирного тяготения
такое следствие: Земля должна быть слегка сплюснута у полюсов и немного шире
у экватора. Центробежная сила, возникающая при вращении Земли, имеет наи-
большую величину у экватора и убывает по мере приближения к полюсам, где равна
нулю. Поскольку эта сила компенсирует действие силы тяжести, на экваторе сила
тяжести будет меньше. Как следствие, более точной моделью нашей планеты явля-
ется эллипсоид вращения.
Однако теорию Ньютона, согласно которой Земля была слегка сплюснута у по-
люсов, разделяли не все ученые того времени. Так, результаты измерений, которые
провели итальянский математик и астроном Джованни Доменико Кассини (1625—
1712), глава Парижской обсерватории, и его сын, Жак Кассини (1677—1756),
в разных точках одного и того же меридиана, заставили их думать, что Земля вы-
тянута у полюсов и сплюснута у экватора. Эти расхождения вызвали жаркие споры,
которые вылились в противостояние английской и французской науки и разделили
Парижскую академию наук на два непримиримых лагеря. Чтобы положить конец
разногласиям, примерно в 1735 году академия приняла решение отправить две экс-
педиции в разные точки земного шара для измерения дуги, соответствующей одному
градусу широты у полюса и у экватора. Мопертюи (1698—1759) и Клеро (1713—
1765) отправились в Лапландию, Годен (1704—1760), ла Кондамин (1701—1774)
и Бугер (1698—1758), при содействии испанцев Хорхе Хуана (1713—1773) и Ан-
тонио де Ульоа (1716—1795),— в Перу. Результаты измерений в конечном итоге
подтвердили правоту Ньютона. Вольтер, сторонник Ньютона, сказал о Мопертюи:
«Он расплющил Землю и Кассини».
Более поздние измерения позволили определить эллипсоид, максимально точно
описывающий форму земной поверхности. Последними результатами, полученными
с помощью спутниковых технологий, стали эллипсоид GRS (от англ. Geodetic
Reference System — «геодезическая справочная система») 1980 года, используе-
мый Международным геодезическим и геофизическим союзом, и WGS (от англ.
22
ФОРМА ЗЕМЛИ
ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ
Запуск космических ракет всегда производится на широтах близких к экватору. Корабли NASA
стартуют с мыса Канаверал в штате Флорида, ракеты Европейского космического агентства
(FSA) - из космодрома близ города Куру во Французской Гвиане. Россия и Япония не имеют
территорий на этой широте, поэтому производят запуски севернее или применяют промежуточ-
ные решения, например арендуя площадки у других стран или используя плавучие космодромы
в Тихом океане. Вызвано это тем, что сила тяготения вблизи экватора меньше, так как радиус
Земли в этих широтах больше, а сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния
до центра Земли. Кроме того, по мере приближения к экватору возрастает и центробежная сила
вращения Земли, так что при запуске с космодрома, расположенного вблизи экватора, ракетам
для выхода на орбиту требуется меньше топлива.
Воздействие силы тяготения проявляется и в спорте. Так как сила тяжести у экватора
ниже, метатели и прыгуны в высоту показывают более высокие результаты вблизи экватора,
а не на севере Европы. А вот в соревнованиях по горным лыжам, где главную роль играет
скорость, бла1 одаря большей силе тяготения на севере Европы рекорды ставятся чаще, чем
в странах, находящихся ближе к экватору.
World Geodetic System — «всемирная геодезическая система») 1984 года, ставший
мировым стандартом. В системе GPS (от англ. Global Positioning System — «систе-
ма глобального позиционирования») эта модель используется для вычисления ши-
роты, долготы и высоты.
Картографы в зависимости от решаемой задачи используют сферическую мо-
дель Земли либо одну из эллипсоидных моделей. Сфера используется в качестве
модели при составлении карт в мелком масштабе, то есть карт стран, континентов
или крупных регионов. В этом случае различия между упомянутыми моделями бу-
дут незаметны, однако при использовании эллипсоида сложность картографических
уравнений намного выше. А вот в картах крупного масштаба, на которых изобра-
жаются более мелкие территории, например в топографических или навигационных,
различия между моделями будут существенными, при этом использование сфериче-
ской модели влечет значительные ошибки в расстояниях, площадях и углах, поэтому
при составлении таких карт картографы используют эллипсоид.
Утверждая, что земная поверхность имеет форму эллипсоида, мы хотим сказать,
что форму эллипсоида имеет воображаемая поверхность, обозначающая средний
уровень моря во всех точках земного шара, включая районы, находящиеся над по-
23
ФОРМА ЗЕМЛИ
верхностью воды (как если бы существовал воображаемый канал, соединяющий их
с морем). Тем не менее геодезические измерения показывают, что описанная нами
поверхность — не эллипсоид, так как уровень моря в разных областях отличается
ввиду локальных отклонений силы тяготения, вызванных неоднородностью земной
коры и другими факторами. Чтобы учесть эти отклонения, была создана новая мо-
дель — геоид (этот термин происходит от греческого «гео» — «Земля» и «оид» —
«форма»). Геоид — это трехмерная фигура, приближенно описывающая средний
уровень моря. Ее можно представить как поверхность спокойного моря, в каждой
точке которой сила тяготения (или направление отвеса) перпендикулярна поверх-
ности. Если использовать совсем уж научные термины, то геоид — это эквипотен-
циальная поверхность земного поля тяготения, которая используется в альтиметрии
для определения высот различных участков земной поверхности.
В этой книге мы будем считать, что Земля имеет форму сферы, то есть будем
использовать сферическую модель.
Математическая модель,
описывающая земную поверхность.
24
Глава 2
Размеры Земли
— Как ты глуп! Видеть тебя — если речь об этом — необходимости
у меня, конечно, нет. В тебе, понимаешь ли, нет ничего такого,
что особенно радовало бы глаз. Но мне необходимо, чтобы ты жил
на свете и чтобы ты не менялся. Ты как платиновый метр, который
хранится где-то, не то в Париже, не то поблизости. Не думаю, чтобы
кому-нибудь когда-нибудь хотелось его видеть.
— Вот и ошибаешься.
— Не важно, мне во всяком случае не хочется. Но я рада, что он
существует, что он равен в точности десятимиллионной доле четвертой
части земного меридиана. И я думаю об этом каждый раз, когда при мне
что-нибудь измеряют в квартире или когда я покупаю материю1.
Жан-Поль Сартр, «Тошнота» (1946)
Одновременно с проблемой определения формы нашей планеты возник вопрос о ее
размерах. Когда стало понятно, что Земля имеет форму сферы, потребовалось опре-
делить ее радиус, так как длина окружности (когда речь идет о сфере, имеется в виду
длина любого из ее больших кругов) равна 2лг.
Оценки Евдокса и Архимеда
И вновь ответ на вопрос дали древние греки. Как мы рассказали в предыдущей гла-
ве, Аристотель в своем трактате «О небе» отмечал, что математики вычислили дли-
ну окружности земли — 400000 стадиев. По-видимому, здесь он цитирует грече-
ского математика и астронома Евдокса Книдского (ок. 400 года до н. э. — ок.
347 года до н.э.), который считается создателем математической астрономии.
Следующая оценка размеров нашей планеты содержится в книге «Исчисление
песчинок», написанной величайшим греческим математиком Архимедом (ок.
287 года до н. э. — ок. 212 года до н. э). В этой книге он оценивает число песчинок
1 Перевод Ю. Яхиной. — Примеч. ред.
25
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
во Вселенной, предварительно вычислив ее размеры. На одном из промежуточных
этапов Архимед отмечает, что «периметр Земли равен 3000000 стадиев и не боль-
ше», хотя признает, что некоторые оценивают размеры Земли в 300 000 стадиев.
Эта цифра казалась Архимеду заниженной — он, как и Платон, считал, что наша
планета имеет огромные размеры.
Измерения Эратосфена
Самое известное измерение размеров Земли в древности принадлежит Эратосфену
Киренскому (276 год до н.э.— 194 год до н. э.). Чтобы узнать размеры Земли,
Эратосфен измерил угол и длину дуги меридиана Александрии. Он определил, что
длина всего меридиана равна 252 тысячи стадиев — как вы увидите далее, это очень
точный результат. Метод Эратосфена известен нам благодаря греческому астроно-
му Клеомеду (ок. 10 — ок. 70), а также таким классическим авторам, как Герои,
Страбон, Плиний и Витрувий.
Эратосфен учел, что Земля имеет форму сферы, а лучи Солнца, достигающие ее
поверхности, можно считать параллельными, так как Солнце находится от нас
на огромном расстоянии. Ученый провел измерения в Александрии и Сиене (совре-
менный Асуан), которые находятся на одном меридиане, определив тем самым дли-
ну дуги этого меридиана.
Эратосфен определил, что расстояние между Александрией и Сиеной равно
5 тысяч стадиев. Для этого он обратился к погонщикам караванов, которые рас-
сказали ему, что верблюд проходит в день примерно 100 стадиев, а путь от Алек-
ЭРАТОСФЕН КИРЕНСКИЙ (276 ГОД ДО Н.Э. - 194 ГОД ДО Н. Э.)
Эратосфен был разносторонним ученым: он занимался географией, математикой, астрономией,
философией, хронологией, грамматикой, был литературным критиком и даже писал стихи, за что
товарищи наградили его титулом пентатл - «пятиборец», имея в виду пентатлон - состязания
в пяти дисциплинах. Было у него и другое прозвище - Бета, то есть «второй». Его можно пони-
мать как намек на то, что Эратосфен, который занимался многими науками, ни в одной из них
не достиг совершенства, хотя, отметим, все равно был одним из великих мудрецов Античности.
В 30 лет он был назначен главой Александрийской библиотеки и занимал этот пост на про-
тяжении 45 лет, до самой смерти.
26
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
сандрии до Сиены занимает 50 дней. Весьма вероятно, что Эратосфен опирался
не только на слова погонщиков верблюдов, а, как хороший ученый, сопоставил их
с данными, приведенными в книгах Александрийской библиотеки.
Кроме того, Эратосфен учел, что через Сиену проходит Северный тропик,
то есть в полдень в день летнего солнцестояния (примерно 21 июня) солнечные лучи
падают на город вертикально. Любой житель и гость Сиены мог подтвердить, что
в этот день лучи солнца освещали глубокие колодцы до самого дна.
Схематичное изображение Александрии, Сиены и солнечных лучей,
освещающих эти города в день летнего солнцестояния.
Эратосфен при измерении размеров Земли использовал похожую схему.
Чтобы измерить угол, определяемый дугой меридиана, Эратосфен также исполь-
зовал гномон — простой инструмент, представляющий собой вертикальный столб,
перпендикулярный горизонтальному основанию. Рассказывают, что в качестве гно-
мона ученый использовал большой обелиск.
27
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
ПОЛЕЗНЫЕ СВОЙСТВА ГНОМОНА
Зафиксировав гномон в одном положении, мы можем наблюдать движение его тени по мере того,
как солнце движется по небу. Так, можно определить, когда наступает полдень — в этот момент
Солнце находится в наивысшей точке над горизонтом, а тень гномона будет самой короткой. Гно-
мон можно использовать и в качестве простого компаса, так как в полдень его тень указывает
направление «север — юг».
В полдень, когда длина тени гномона наименьшая, он указывает направление «север — юг».
В течение дня тень гномона описывает гиперболу, симметричную относительно направления
«север — юг», за исключением 20 марта и 22 сентября, — в эти дни тень гномона движется
по прямой, указывающей направление «запад — восток».
С помощью гномона Эратосфен измерил угол наклона Солнца относительно
вертикали в полдень в день летнего равноденствия. По его подсчетам, этот угол со-
ставил 1/50 окружности, то есть 360°/50 = 7,2°. А поскольку в полдень этого же
дня лучи Солнца падают на Сиену вертикально, угол дуги меридиана между Алек-
сандрией и Сиеной равен ОС, то есть 7,2°.
28
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
Если мы будем наблюдать за гномоном, расположенным на одном и том же месте, в течение года,
то сможем также определить дни летнего и зимнего солнцестояния. Если в каждый день года мы
будем отмечать конец тени в полдень, то увидим, что зимой, когда Солнце находится ниже всего над
горизонтом, тени будут длиннее, чем в остальные времена года. День зимнего солнцестояния - это
день, когда тень гномона будет самой длинной. День года, когда тень гномона будет самой корот-
кой,- это день летнего солнцестояния.
Гномон также можно использовать для определения угловой высоты Солнца. Чтобы измерить угол,
определяющий высоту Солнца (см. рисунок ниже), нужно всего лишь измерить длину гномона и его
тени. Говоря современным языком, соотношение между длиной гномона и его тени будет равно
тангенсу искомого угла. Аналогично можно определить угол между гномоном и лучами Солнца,
указывающий, насколько Солнце отстоит от вертикали. Этот угол будет дополнительным к первому,
то есть сумма этих углов будет равна 90°.
/ Солнечные лучи
/
z 7 / Солнечные лучи
Гномон и его тень позволяют определить угловую высоту Солнца.
Путем несложных рассуждений можно прийти к выводу: если дуга меридиана
имеет длину в 5000 стадиев и ей соответствует угол в 7,2°, то длина полной окруж-
ности, то есть 360°, будет равна
------5000 = 50 • 5000 = 250 000 стадиев.
7,2°
29
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
В полдень, в день летнего солнцестояния, лучи Солнца освещают Сиену вертикально,
достигая дна самых глубоких колодцев. В этот же день и час лучи Солнца освещают
Александрию под углом 7,2° относительно вертикали.
По-видимому, Эратосфен провел несколько измерений и в итоге получил окон-
чательный результат в 252 тысячи стадиев. Его метод, который можно использо-
вать и в наши дни, очень прост и эффективен. К сожалению, мы не можем точно
перевести стадии в привычные нам метры: во времена Эратосфена не существовало
единой системы мер, поэтому в точности неизвестно, какой была длина стадия, ис-
пользованного ученым. Если мы рассмотрим египетский стадий, равный 157,5 м,
то результат Эратосфена составит 39690 км. Эта цифра очень близка
к 40 030,2 км — именно столько составляет длина окружности Земли в сфериче-
ской модели (полученной на основе эллипсоида WGS 84).
Хотя почти все оценки, которые привел Эратосфен, были слегка неточными,
ошибки наблюдений и измерений компенсировали друг друга, и полученный резуль-
тат был очень близок к реальному. Александрия и Сиена не располагаются в точно-
сти на одном меридиане, определить точное расстояние между ними в то время было
невозможно, а гномон позволял лишь приближенно измерить угол между лучами
Солнца и вертикалью.
30
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
Измерения Посидония и ошибка Колумба
Еще один важный результат, связанный с измерением земной окружности в древ-
нем мире, принадлежит греческому философу-стоику Посидонию (ок. 130 года
до н. э. — 50 год до н. э.), одному из великих географов своего времени. Его резуль-
таты также дошли до нас благодаря трудам различных классических авторов. Как
и Эратосфен, Посидоний измерил дугу меридиана, на этот раз — между Родосом
и Александрией. В своей обсерватории на Родосе философ обнаружил, что звезда
Канопус, вторая по яркости на звездном небе, находится в точности над горизонтом,
а при наблюдении из Александрии угловая высота этой звезды равна 1/48 земной
окружности (см. следующую иллюстрацию). Согласно Клеомеду, Посидоний по-
считал, что длина дуги меридиана между Родосом и Александрией равна 5 тысячам
стадиев, таким образом, длина окружности Земли составляет 48 • 5000 =
= 240 000 стадиев. Однако греческий географ и историк Страбон (63 год до н. э. —
24 год н. э.) приводит более позднюю оценку Посидония: 180 тысяч стадиев, то есть
28350 км (если использовать египетские стадии). Этот результат ученый получил,
уточнив расстояние между Родосом и Александрией: оно составило 3750 стадиев.
Таким образом, Земля стала меньше.
Схема измерений размеров Земли, проведенных Посидонием. Если при наблюдении из Родоса
звезда Канопус находится точно над горизонтом, то для наблюдателя в Александрии она
располагается на небосводе под углом 0 к горизонту, равным углу между Родосом и Александрией.
31
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
Метод Посидония для оценки размеров Земли также был остроумным, простым
и геометрически безупречным, однако философ не учел преломление света в зем-
ной атмосфере, из-за которого при наблюдении небесных тел вблизи горизонта мы
видим их выше, чем они располагаются на самом деле. Если бы лучи света не пре-
ломлялись, Канопус находился бы ближе к горизонту и, как следствие, реальная
величина угла была бы меньше вычисленной Посидонием.
Клавдий Птолемей, как и Страбон, и другие, считал результат Посидония кор-
ректным и привел его в своей «Географии». Таким образом, представление о ма-
лых размерах Земли было популярным среди географов и картографов до XV века.
Именно поэтому итальянский математик и картограф Паоло Тосканелли (1397—
1482), составивший мореходную карту Атлантического океана, считал, что можно
проплыть из Европы в Азию, а Христофор Колумб верил, что существует неизвест-
ный путь доставки специй в Европу через Атлантический океан.
Реконструкция карты Тосканелли, на которой изображены более или менее
реалистичные очертания Американского континента.
Метод триангуляции
Позднее для измерения меридианов Земли, а следовательно, для вычисления ее
размеров использовалась триангуляция. Этот метод заключается в разделении мест-
ности на треугольники, максимально точном измерении углов триангуляции и длины
32
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
одной из сторон исходного треугольника, называемого базовым, и последующем
вычислении длин остальных сторон с помощью тригонометрии. Измерить длины
сторон треугольников напрямую из-за неровностей рельефа довольно сложно, осо-
бенно если речь идет о больших расстояниях. Однако измерить с большой точно-
стью углы вполне возможно.
Вверху — общая триангуляция Франции,
проведенная в период с 1818 по 1845 год.
В истории об измерении размеров Земли с помощью метода триангуляции нам
встретятся труды французского астронома Жана Пикара (1620—1682) (вычислен-
ную им длину земного меридиана использовал Ньютон для подтверждения своего
закона всемирного тяготения) и Жана-Доминика Кассини — первого директора
Парижской обсерватории, который сделал ее ведущим мировым центром астроно-
мии и картографии и попытался составить точную карту Франции. Вы также узнае-
те об экспедициях в Лапландию и Перу, организованных Парижской академией
наук с целью определить, какова форма нашей планеты у полюсов — приплюснутая
или вытянутая; об измерении меридиана между Дюнкерком и Барселоной, которое
провели французские ученые Жан-Батист-Жозеф Деламбр (1749—1822) и Пьер
Мешен (1744—1804), что привело к определению метра как единицы длины.
33
РАЗМЕРЫ ЗЕМЛИ
Карта побережий Франции (1682), составленная по результатам научных измерений
(с помощью триангуляции), проведенных Пикаром, де Ла Гчром и Кассини. На этой карте
вы можете видеть береговую линию Франции до измерений (более широкую) и после
(более точную). Увидев эту разницу, Людовик XIV сказал Кассини: «Ваше путешествие
стоило мне части моего королевства!»
МЕТР
Единицей длины в Международной системе единиц является метр, который сегодня определя-
ется как расстояние, которое проходит свет в вакууме за 1/299792458 секунды (примерно
3,34 наносекунды, то есть 3,34 миллиардных (10*9) частей секунды).
В разное время метр определялся по-разному, однако началом его использования в качестве
универсальной единицы длины мы обязаны Великой французской революции. В 1790 году для
унификации единиц мер была создана Комиссия по мерам и весам. Было поставлено два усло-
вия: единицы измерения должны быть универсальными, то есть применяться повсеместно, и они
не должны быть выбраны произвольно. В соответствии с этими условиями новая единица длины,
метр, была определена как одна десятимиллионная часть расстояния от Северного полюса
до экватора, измеренного вдоль меридиана. В самый разгар революционных потрясений было
организовано две экспедиции для измерения длины парижского меридиана между Дюнкерком
и Барселоной. Экспедицию, которая направилась в Дюнкерк, возглавил Деламбр, барселон-
скую экспедицию - Мешен. В ходе измерений с помощью триангуляции, которые длились 7 лет,
ученые пережили всевозможные тяготы и многочисленные приключения. Этим событиям по-
священ очень интересный роман Дэниса Гейджа «Измерение мира» («The Measure of the World»).
34
Глава 3
Меридианы, параллели
и большие круги
По высоте Солнца и положению Полярной звезды можно было
определить широту; с помощью карты и компаса, определив
скорость на глаз и измерив время {обратите внимание:
с помощью песочных часов, точность которых зависела от юнги,
переворачивавшего их, а он неизменно хотел лечь спать пораньше,
поэтому часы всегда спешили), можно было определить
примерную скорость корабля — настолько неточную,
что она больше напоминала выдумку.
Хулио Гильен Тато, «Искусство мореплавания» (1935)
В нашем рассказе о картографии не обойтись без географических координат — ши-
роты и долготы, которые позволяют однозначно определить положение любой точки
земной поверхности. Познакомьтесь с координатной сеткой, образованной двумя
почтенными семействами сферических кривых — параллелями и меридианами, ко-
торые являются кривыми постоянной широты и долготы. Мы настолько привыкли
к тому, что кратчайшим путем между двумя точками является прямая, что сложно
представить, что на поверхности сферы это не так. Однако это действительно не так,
хотя бы потому, что на поверхности сферы нельзя провести прямую. Следующий
вопрос кажется очевидным: какие кривые играют на сфере ту же роль, что и прямые
на плоскости? Точнее, каков кратчайший путь между двумя точками сферической
поверхности? Ответом на этот вопрос будет еще одно интересное семейство сфери-
ческих кривых — большие круги.
Широта и параллели
Чтобы определить географические координаты, нужно учесть вращение Земли во-
круг воображаемой оси, проходящей через ее центр. Северный и Южный полюс —
35
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
это точки пересечения оси с земной поверхностью, а также единственные точки,
которые при вращении Земли остаются неподвижными. Если мы рассмотрим сфе-
рическую модель нашей планеты, то параллели будут окружностями, полученными
сечением сферы плоскостями, перпендикулярными ее оси вращения (см. следующий
рисунок). Существует особая параллель, экватор, которая находится на полпути
между Северным и Южным полюсом. Экватор определяется сечением земного
шара плоскостью, перпендикулярной его оси вращения и проходящей через центр
нашей планеты. Экватор — это самая длинная параллель.
Схема, на которой изображены пять главных параллелей и широта точки Р.
Широта произвольной точки земной поверхности определяется как угол наклона
относительно плоскости экватора, то есть угол между отрезком, соединяющим центр
земли с рассматриваемой точкой, и плоскостью экватора (на предыдущей схеме этот
угол обозначен буквой ф). Например, город Бильбао расположен на 43°15'52" се-
верной широты, то есть в 43 градусах 15 минутах и 52 секундах к северу от эквато-
ра. Широта принимает значения от 90° ю. ш. (в Южном полушарии) до 90° с. ш.
(в Северном полушарии). Следовательно, параллели — это кривые, образованные
точками с одинаковой широтой.
Данное нами определение широты верно для сферической модели Земли, кото-
рую мы рассматриваем в этой книге. Для эллипсоидной модели требуется более об-
щее определение геодезической широты, которая понимается как угол между пло-
скостью экватора и перпендикуляром к прямой, касательной к меридиану эллипсои-
да, проходящему через данную точку (см. следующий рисунок).
36
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
Понятие геодезической широты обобщает понятие широты
для эллипсоидной модели земной поверхности.
ПРОИСХОЖДЕНИЕ ГЕОГРАФИЧЕСКИХ КООРДИНАТ
Карту известной части мира, на которой можно увидеть неправильную сетку меридианов
и параллелей, составил еще Эратосфен, однако систему меридианов и параллелей, разделен-
ных равными интервалами, первым предложил греческий астроном Гиппарх Никейский (ок.
180 года до н.э.- ок. 120 года до н.э.). В своих картах он разделил обитаемый мир одиннад-
цатью параллелями и предложил определять широту, одновременно наблюдая лунные затмения.
Кроме того, Гиппарх первым в Древней Греции, вслед за вавилонянами, стал делить окружность
на 360°, каждый градус - на 60 минут, каждую минуту - на 60 секунд.
Карта Эратосфена с неравномерной сеткой меридианов и параллелей.
37
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
ОСОБЫЕ ПАРАЛЛЕЛИ
Земля, и в частности ее центр, вращаются вокруг Солнца по эллиптической орбите, форма которой
очень близка к окружности. Орбита Земли лежит в плоскости, называемой плоскостью эклиптики,
относительно которой земная ось наклонена на 23°30’. В один из дней года (примерно 21 июня),
когда земная ось указывает на Солнце, Северное полушарие находится ближе всего к Солнцу, и этот
день, который называется днем летнего солнцестояния, становится самым длинным в году. В Южном
полушарии этот же день будет самым коротким. В полдень дня летнего солнцестояния Солнце на-
ходится точно над параллелью, расположенной на 23°30' северной широты, которая называется
Северным тропиком. В день зимнего солнцестояния (22 декабря) земная ось, напротив, указывает
в противоположную от Солнца сторону, и в Северном полушарии этот день - самый короткий в году.
Схема движения Земли, на которой отмечены
дни равноденствия и солнцестояния.
Математическое определение широты корректно и понятно, но как определите
широту в открытом море или на суше, вдали от цивилизации? Сейчас для этого ис-
пользуется технология GPS, однако раньше людям приходилось прибегать к более
естественным решениям. Чтобы определить широту, нужно учесть, что угол ф равен
38
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
Южный тропик - параллель, расположенная на 23°30’ южной широты. Солнце находится
точно над этой параллелью ровно в полдень в день зимнего солнцестояния. В дни весеннего
и осеннего равноденствия земная ось указывает соответственно либо вправо, либо влево
от Солнца, и в полдень солнечные лучи падают на экватор. Так как в день летнего солнцестоя-
ния солнечные лучи падают перпендикулярно Северному тропику (23°30’ северной широты),
то в тех частях нашей планеты, которые отстоят от Северного тропика больше чем на 90°,
то есть находятся южнее 66°30’ южной широты, в этот день все 24 часа будет темно. И северу
от 66°30' северной широты в этот день все 24 часа светит Солнце. В день зимнего солнце-
стояния все происходит с точностью до наоборот.
Вдень зимнего солнцестояния
к северу от параллели 66°30' северной широты (Северного
полярного круга) ночь длится 24 часа.
разности между углом, под которым Солнце находится в полдень, в точке, широту
которой мы хотим определить, и углом, под которым расположено Солнце относи-
тельно экватора в полдень того же дня. Эти углы можно определить, например,
с помощью гномона.
39
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
Широта ср точки Р на поверхности Земли равна разности между углом ар,
под которым солнечные лучи освещают точку Р з полдень,
и углом а£ между солнечными лучами и экватором в полдень того же дня.
Если мы из города, широта которого известна, отправимся в другой город, то мы
сможем определить широту последнего, сравнив углы, под которыми солнечные
лучи освещают Землю в полдень одного и того же дня. Ночью для определения
широты можно использовать Полярную звезду (она указывает направление на Се-
верный полюс с погрешностью ровно в 1° и почти не меняет своего положения
на небе) или любую другую яркую звезду. В течение многих веков широту опреде-
ляли с помощью таблиц-альманахов, в которых указывалось положение Солнца
и других небесных тел в различные дни и часы, а также с помощью инструментов,
позволявших измерять угловую высоту небесных тел: астролябии, квадранта или по-
перечного жезла (позднее на смену ему пришел секстант). Все эти способы можно
использовать и сейчас.
Долгота и меридианы
Если широта указывает положение в направлении «север — юг», то долгота —
в направлении «запад — восток». Сначала рассмотрим окружности, получаемые
сечением земной сферы плоскостями, содержащими ось вращения земли (см. следу-
40
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
ющий рисунок). Меридианами будут полуокружности, заключенные между полю-
сами. Над всеми точками одного меридиана астрономический, или солнечный пол-
день наступает в одно и то же время. Слово «меридиан» происходит от латинского
meridianus, что означает «полуденный».
На схеме слева изображены меридианы — большие круги земной сферы, проходящие через полюса.
На схеме справа показано, как определяется долгота произвольной точки Р.
Первое важное отличие меридианов от параллелей заключается в том, что не су-
ществует какого-то особого меридиана, который можно было бы считать нулевым.
Эратосфен считал нулевым меридиан Александрии, Птолемей — меридиан остро-
вов Фортуны (Канарских островов и острова Мадейра), который был западной
границей известного в то время мира. По патриотическим и религиозным причи-
нам в качестве нулевого меридиана в разное время выбирались меридианы Мек-
ки, Иерусалима, Парижа, Рима, Мадрида, Копенгагена, Кабо-Верде и другие, что
вызывало большую путаницу. Наконец в XVIII веке, после того как в 1767 году
был опубликован самый полный на тот момент морской астрономический альманах,
Гринвичская королевская обсерватория в Англии стала всеобщей точкой отсчета.
В результате в 1884 году на международной конференции в Вашингтоне (США)
в качестве нулевого меридиана был выбран именно меридиан Гринвича.
Долгота точки земной поверхности — это угол поворота относительно Гринвич-
ского меридиана, то есть угол между меридианом рассматриваемой точки, точнее
плоскостью этого меридиана и плоскостью, в которой лежит нулевой меридиан (этот
угол на рисунке выше обозначен буквой 0). Долгота Бильбао равна 2°55'43" запад-
ной долготы, то есть Бильбао отстоит от Гринвичского меридиана на 2 55 минут
41
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
и 43 секунды на запад. Долгота принимает значения от —180° до 180°, то есть
от 180° восточной долготы до 180° западной долготы.
За 24 часа Земля совершает полный оборот вокруг своей оси, то есть поворот
на 360°. Таким образом, каждый час Земля поворачивается на 15°. Рассмотрим
пример. Житель Бильбао пообщался со своим другом из Рима и оказалось, что сол-
нечный полдень в Риме (Рим находится на востоке от Бильбао) наступает примерно
на час позже. Следовательно, разница в долготе между этими городами будет равна
примерно 15° (точная долгота Рима равна 12°30’ восточной долготы). Иными сло-
вами, чтобы определить долготу точки, нужно знать разницу во времени между этой
точкой и Гринвичским меридианом. Как мы уже говорили, эту разницу проще всего
определить в полдень.
Задача об определении долготы
Аналогично задаче об определении широты можно поставить задачу об определе-
нии долготы произвольной точки Земли. И вновь для того, чтобы найти решение,
необходимо взглянуть на небо, хотя определить долготу будет намного сложнее:
в течение дня, то есть по мере того как Земля вращается вокруг своей оси, одни
небесные тела на востоке скрываются, другие, на западе, появляются. Следователь-
но, определить положение «запад — восток» по звездам сложнее. Поиски решения
задачи о долготе продолжались четыре столетия. Великие морские державы, напри-
ПЕРВОЕ ПУТЕШЕСТВИЕ КОЛУМБА
3 августа 1492 года Христофор Колумб отправился в путешествие по Атлантическому океану
в поисках Азии. Сначала флотилия Колумба из 90 моряков на трех судах - «Пинта», «Нинья»
и «Санта-Мария» (размеры последней составляли около 22 м в длину и 7,5 м в ширину) - на-
правилась в сторону Канарских островов. От Канарских островов 6 сентября корабли отплыли
на запад, следуя примерно вдоль прямой линии (для простоты курс был проложен вдоль одной
параллели) между 26-й и 30-й параллелями. По оценкам Колумба, через 25-30 дней экспеди-
ция должна была достичь Японии. 12 октября (21 октября по современному календарю) Колумб
высадился на острове Сан-Сальвадор (туземцы называли его Гуанахани) и начал обследовать
окрестности, посчитав, что достиг островов у берегов Японии.
42
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
мер Испания, Нидерланды, Англия и Франция, предлагали внушительные премии
(не будем забывать, насколько важным было мореходство для этих стран в XV веке),
а великие ученые, такие как Галилео Галилей, Жан-Доминик Кассини, Христиан
Гюйгенс, Исаак Ньютон и Эдмунд Галлей, активно участвовали в поисках решения.
Крупнейшей премией, возможно, была премия, учрежденная в 1714 году британ-
ским парламентом и составлявшая 20 тысяч фунтов.
Как предполагал еще Гиппарх, для определения долготы можно было использо-
вать некое астрономическое явление, которое позволило бы оценить разницу во вре-
мени между двумя точками. Предположим, что в Бильбао солнечное затмение на-
блюдалось в полдень, но моряк, находящийся на корабле в Атлантическом океане,
для которого затмение произошло в то же самое время, наблюдал его спустя четыре
часа после того, как для него наступил полдень. Следовательно, разница в долготе
между Бильбао и кораблем составляет 60°, то есть долгота корабля примерно равна
63° западной долготы. Однако солнечные и лунные затмения происходят крайне
редко (в среднем примерно четыре раза в год), следовательно, их нельзя постоянно
использовать для определения долготы.
Можно было решить задачу о долготе, зная относительное положение разных
небесных тел. Так, астроном Иоганнес Вернер (1468—1522) предложил составить
карту положений звезд, чтобы предсказать, когда Луна будет находиться рядом
с теми или иными небесными телами в разные годы. Этот метод очень помог бы
мореплавателям, однако он был небезупречен: положения звезд были известны
неточно, не существовало инструментов для измерения расстояний между звездами
и Луной, а траектория движения спутника Земли была изучена не до конца, поэтому
точно предсказать положение Луны на небе также было очень сложно.
Галилео Галилей (1564—1642) в качестве астрономических часов предложил ис-
пользовать затмения лун Юпитера, которые наблюдались тысячу раз в год, и пред-
сказать их было очень легко. Однако эта идея также была принята не слишком теп-
ло. Кроме того, точные наблюдения Юпитера в те годы были проблематичны.
Ученые предлагали все новые и новые методы. Одни из них были безрассудны-
ми, другие — более серьезными, например предлагалось использовать компас
и учитывать изменения земного магнетизма в разных точках нашей планеты.
Позднее ученые вновь обратились к методу определения долготы по положению
Луны и расстояниям от нее до звезд. Это стало возможным благодаря усовершен-
ствованию навигационных измерительных инструментов, в частности квадрантов
и секстантов, развитию астрономии и публикации подробного альманаха по данным
43
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
наблюдений в новой Гринвичской королевской обсерватории. Кроме того, с помо-
щью теории тяготения Ньютона была получена более точная информация о движе-
нии Луны.
Секстант— важный инструмент морской навигации. Он позволяет измерять углы между двумя
звездами или двумя точками побережья, а также высоту звезд на небосводе.
Наиболее удачное решение задачи об определении долготы предложил англий-
ский часовщик Джон Гаррисон (1693—1776), который сконструировал морской
хронометр высокой точности, позволявший, находясь в любой точке мира, вычис-
лять время в порту отплытия и, соответственно, долготу. Мореплаватель в открытом
море должен был всего лишь определить по солнцу, когда наступит полдень, посмо-
треть, какое время показывает хронометр (а он показывал время в порту отплытия),
рассчитать разницу во времени между портом и кораблем, умножить число часов
на 15° и получить разницу в долготе относительно порта отплытия. Такое механи-
ческое решение задачи о долготе не обрадовало ни ученых того времени, ни членов
Комитета по долготе, учрежденного английским парламентом. Чиновники всячески
оттягивали выплату часовщику Джону Гаррисону причитающейся ему премии, на-
деясь, что свое решение предложат астрономы. Однако в конечном итоге всем при-
шлось признать, что морские хронометры Гаррисона позволяли определить долготу
с требуемой точностью.
44
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
В результате всего изложенного можно сказать, что любая точка земной сферы
однозначно задается параллелью и меридианом, проходящими через нее, или, что
аналогично, широтой и долготой, которые называются географическими координа-
тами.
Хронометр Джона Гаррисона
Н5. С помощью хронометра Н4,
сконструированного этим английским
часовщиком, удалось решить задачу об
определении долготы. Н4 выглядел как
карманные часы большого размера и
имел примерно 13 см в диаметре. Его
эффективность была доказана во время
путешествия корабля «Дептфорд»
на Ямайку. По прибытии в Порт-Ройал
два месяца спустя хронометр Н4 отстал
всего на 5 секунд. Обратный путь выдался
невероятно трудным, и общее расхождение
за все время путешествия возросло
до 1 минуты 54 секунд. Несмотря на это
ошибка при вычислении долготы по-
прежнему была меньше, чем требовал
Декрет по долготе. Джон Гэррисон все-таки
получил причитавшиеся ему 20 тысяч
фунтов премии, хотя и спустя много лет.
ГИБЕЛЬ «ТИТАНИКА»
Каждый из нас видел хотя бы один художественный или документальный фильм, посвященный
гибели «Титаника». Возможно, именно поэтому мы хорошо знаем историю этого роскошного
корабля, который был создан с использованием новейших технологий своего времени. «Ти-
таник» был гордостью владельцев, ему было суждено стать флагманом трансатлантических
путешествий начала XX века. Тем не менее ночью 14 апреля 1912 года корабль столкнулся
с айсбергом и затонул. Спасти уцелевших пассажиров удалось благодаря тому, что были извест-
ны географические координаты места крушения. С «Титаника» по радио был отправлен сигнал
SOS: «Столкнулись с айсбергом. Тонем. «Титаник». 41°16’ северной широты, 50°14’ западной
долготы. Срочно пришлите помощь». Корабль «Карпатия», находившийся ближе всего к месту
катастрофы, получил сообщение и быстро направился в точку с указанными географическими
координатами. «Карпатия» прибыла вовремя, удалось спасти более 700 человек (большинство
из них составляли женщины и дети), находившихся в шлюпках.
45
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
Большие круги, геодезические линии сферы
Расстояние между двумя точками произвольной поверхности можно определить как
длину кратчайшей из кривых, соединяющих эти две точки (именно так поступают
геометры). По сути этим расстоянием будет длина кратчайшего пути между двумя
рассматриваемыми точками, при условии что такой путь вообще существует. В гео-
метрии кривые, указывающие кратчайший путь на поверхности, называются геоде-
зическими линиями. Впрочем, это понятие несколько шире и включает кривые,
определяющие «локальный» кратчайший путь. Что это означает? Это означает, что
мы можем выбрать две точки поверхности, соединенные геодезической линией, так,
что она не укажет наименьшее расстояние между ними. Однако если мы выберем
две произвольные промежуточные точки геодезической линии, близкие друг к дру-
гу, то кратчайшим путем между ними всегда будет соединяющая их часть геодезиче-
ской линии, как показано на рисунке.
Гэодезические линии указывают кратчайшее расстояние между соседними точками,
однако в общем случае это не так.
Например, часть меридиана, соединяющего Лондон и город Гао в Мали и проходящего через
Северный полюс, Атлантический океан и Южный полюс, — это геодезическая линия, но она
не соответствует кратчайшему пути из Лондона в Гэо. Однако эта геодезическая линия соответствует
кратчайшему пути между близлежащими точками, например между Гао и городом Аккра в Гэне
или между Лондоном и Северным полюсом.
Как всем хорошо известно, геодезическими линиями плоскости являются пря-
мые. Тем не менее минимальное расстояние между точками на сфере указывают
46
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
большие круги — кривые, получаемые сечением сферы плоскостями, проходящими
через ее центр. Примерами больших кругов сферы являются меридианы. Един-
ственная параллель, которая является большим кругом, — это экватор.
На иллюстрации показаны большие круги Земли.
Проведем эксперимент. Допустим, что мы хотим провести прямую, проходящую
через две точки плоской поверхности. Для этого мы можем соединить эти точки
простой веревкой и сильно натянуть ее. Веревка примет форму прямой, соединяю-
щей две точки. Теперь рассмотрим земной шар. Чтобы определить кратчайший путь
между двумя точками земного шара, например между Барселоной и Аделаидой, со-
единим указанные точки веревкой и натянем ее. Мы получим кривую наименьшей
длины, соединяющую два указанных города (то есть геодезическую линию), ко-
торая будет частью большого круга, проходящего через эти города, как показано
на иллюстрации
Аделаида
Натянутая веревка соответствует кратчайшему пути между двумя точками.
47
МЕРИДИАНЫ. ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
На интуитивном уровне можно сформу-
лировать следующее доказательство. Допу-
стим, даны две точки на сфере, и мы хотим
найти кривую, которая определяет кратчай-
ший путь между ними. Кажется логичным
предположить, что мы можем ограничиться
рассмотрением окружностей сферы, кото-
рые проходят через эти точки и образуются
сечением сферы плоскостями, проходящими
через две данные точки. Кроме того, в силу
свойств симметрии, четко видно, что дуга
окружности, полученной сечением сферы
плоскостью, проходящей через центр сфе-
ры, соответствует кратчайшему пути между
Дуга большого круга, заключенная между
двумя точками, имеет наименьшую
длину среди всех дуг окружностей,
соединяющих данные точки.
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ КУПОЛА
Одно из самых впечатляющих сооружений сферической формы, созданных в XX веке, - это геодези-
ческие купола Ричарда Бакминстера Фуллера (1895-1983). Мы могли бы многое сказать об этом
гениальном изобретателе, архитекторе, инженере, математике, поэте и космологе, провидце, ко-
торый опередил свое время и смог поставить науку и технику на службу обществу. Величайшим его
творением, несомненно, являются геодезические купола.
Американский павильон
на Всемирной выставке
1967 года в Монреале,
построенный по проекту
Ричарда Бакминстера
Фуллера. Позднее
в павильоне разместился
музей воды и окружающей
среды (фотография: Филипп
Хайнсторфер).
48
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
точками, что показано на предыдущем рисунке. В итоге большие круги являются
геодезическими линиями сферы, или кривыми, указывающими наименьшее рассто-
яние.
Кривизна больших кругов
Прямые также можно определить как кривые, обладающие нулевой кривизной.
Можно ли дать похожее определение большим кругам сферы? Кажется очевидным,
что окружность, будучи плоской кривой, имеет одинаковую кривизну во всех точ-
ках, и эта кривизна ненулевая. Кроме того, чем больше радиус окружности, тем бо-
лее вытянутой она будет, и тем меньше будет ее кривизна (см. иллюстрацию на сле-
дующей странице). Геометрически кривизна окружности радиуса г равна 1/г. Сле-
довательно, чем больше радиус окружности, тем меньше ее кривизна. Изменение
кривизны окружности в зависимости от ее радиуса можно почувствовать, если про-
Геодезический купол - это сферическая структура, об-
разованная сеткой больших кругов (геодезических линий).
Треугольники, из которых состоит сетка, придают структуре
жесткость. Для построения классического геодезического
купола рассматривается икосаэдр, вписанный в сферу, как
показано на иллюстрации. Затем каждая грань икосаэдра
делится на треугольники, которые проецируются на сферу,
образуя сетку геодезических линий.
Преимущества геодезического купола следующие.
1. Он покрывает обширное пространство и не требует поддерживающих конструкций в середине.
2. Для геодезического купола характерно оптимальное соотношение объема к площади поверх-
ности, иными словами, он покрывает пространство максимального объема при наименьшей
площади поверхности.
3. Пространство внутри купола нетрудно обогревать, так как потери тепла зависят от соотноше-
ния между объемом и площадью поверхности, которое является оптимальным.
4. Геодезические купола благодаря своей структуре и распределению нагрузки обладают вы-
сокой жесткостью.
5. Геодезические купола имеют малый вес и просты в сборке.
49
МЕРИДИАНЫ, ПАРАЛЛЕЛИ И БОЛЬШИЕ КРУГИ
ехать на велосипеде по кругу: в зависимости от радиуса круга нужно будет повора-
чивать руль на больший или меньший угол. Когда мы не поворачиваем руль, велоси-
пед движется по «прямой», то есть по большому кругу, имеющему наименьшую
кривизну. Следовательно, большие круги имеют наименьшую кривизну, а их радиус
будет наибольшим.
Чем больше радиус окружности г, тем меньше ее кривизна к.
В действительности геометры определили новую величину, которую можно на-
звать кривизной кривой на заданной поверхности. Это так называемая геодезиче-
ская кривизна, которая указывает степень кривизны кривой на поверхности, кото-
рой она принадлежит. В качестве окружающего пространства рассматривается
именно эта поверхность, а не трехмерное пространство.
Геодезическая кривизна геодезических линий, в частности больших кругов сфе-
ры, равна нулю, что является обобщением кривизны прямой на плоскости.
50
Глава 4
В поисках
правильной карты Земли
Примерно две тысячи лет назад для изображения круглой
Земли на плоскости пришлось решить различные
математические, философские и географические задачи,
которые привлекли внимание многих изобретателей.
Разумеется, первые карты появились намного раньше.
Современная картография развивалась медленными темпами,
так как исследование разных уголков Земли началось,
по историческим меркам, сравнительно недавно.
Джон Снайдер «Как Земля стала плоской» (1993)
Картография — это наука, изучающая графическое изображение Земли и ее частей,
а также других небесных тел. В картографии главным образом рассматриваются
карты, а также рельефные модели и глобусы. В эру компьютеров и интернета карты
и глобусы могут быть очень сложными, интерактивными, созданными с помощью
новых способов изображения земной поверхности.
Карты выполняют две основные функции: они используются для хранения
и представления полезной географической информации, а также помогают понять
пространственные соотношения и осознать всю сложность мира, в котором мы жи-
вем.
Картография делится на три основные части. Первая — это сбор, анализ и об-
работка географической информации, которая затем используется при составле-
нии карт. Источниками географической информации обычно служат: наблюдения
в поле (традиционный источник информации на протяжении всей истории картогра-
фии, применяющийся до сих пор), данные аэрофотосъемки и космической съемки
со спутников (фотографии, данные, полученные с помощью радаров и датчиков),
уже существующие карты и базы данных, а также статистические данные.
Вторая часть картографии — математическая картография. Она занимается изу-
чением проекций, то есть геометрических и математических преобразований, позво-
51
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
ляющих изобразить искривленную земную поверхность на плоскости. Именно про-
екции определяют, какую форму будут иметь страны и континенты на картах. Тер-
мин «математическая картография» имеет очень широкое значение. Если говорить
коротко, то математическая картография занимается формированием и изучением
математических основ составления карт, а также охватывает теоретические и прак-
тические вопросы в смежных научных дисциплинах: уже упомянутой картографии,
геодезии, географии, навигации и других науках. Один из важнейших инструментов
математической картографии — дифференциальная геометрия.
Основной задачей картографии является изучение проекций. В этой главе мы
подробнее расскажем о проекциях, лежащих в основе карт. Мы приведем их клас-
сификацию по форме построения, геометрическим свойствам, изучим характерные
особенности, в частности искажения, возникающие при использовании разных про-
екций, а также рассмотрим основные результаты математической картографии и их
применение при составлении реальных карт.
Третья и последняя часть картографии — это дизайн и составление карт. Тради-
ционно карты имеют бумажную основу. В прошлом они рисовались вручную, позд-
нее, с изобретением книгопечатания, стали изготавливаться печатным способом,
и качество карт неуклонно возрастало. Сегодня благодаря новым технологиям стало
возможным публиковать цифровые карты и карты других форматов. Любой, кто
работает с такой картой, может не просто пассивно получать информацию, но и вза-
имодействовать с ней и даже принимать участие в ее создании.
Еще две важные части картографии — это история картографии, а также изуче-
ние способов применения карт. Изучение истории карт помогает лучше разобраться
в них, осознать их роль в истории человечества и понять, как выглядел мир в разные
времена для разных народов. Не следует забывать, что зная прошлое, мы сможем
понять будущее и сделать его лучше. Наконец, изучение способов применения карт
позволяет сделать их намного эффективнее, создавать новые методы, новые про-
екции, которые помогут решить текущие задачи.
Что такое «правильная» карта
В ходе истории картографы и математики работали над созданием совершенной кар-
ты, стремясь найти такую проекцию земной поверхности на плоскость, которая по-
зволила бы составить наиболее точную карту нашей планеты. В этой главе мы вновь
рассмотрим вопросы, перечисленные в предисловии. Их можно свести к одному,
52
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
КАРТЫ ДЛЯ РАЗГАДКИ ЗАГАДОК
Иногда представление статистических данных на карте помогает совершить открытие. Карта
позволяет увидеть закономерности, не столь заметные при ином способе представления дан-
ных. Простой пример этого - карта эпидемии холеры, составленная Джоном Сноу в 1854 году.
В середине XIX века причины возникновения холеры и других инфекционных заболеваний были
неизвестны. Возбудителями подобных заболеваний считались «миазмы» - вредоносные суб-
станции, передающиеся по воздуху. За несколько лет Лондон пережил множество вспышек
холеры, унесших тысячи жизней. Английский математик Джон Сноу (1813-1858) считал: «людей
убивает вода». В конце лета 1854 года в районе Сохо разразилась эпидемия холеры. За первые
несколько дней скончалось более 100 человек, за 10 дней - свыше 500, к концу эпидемии -
616. Сноу, который был свидетелем эпидемии 1831 года, жил в Сохо. Он заподозрил, что источ-
ником инфекции могла быть колонка с питьевой водой. Жители района брали воду из уличных
колонок, вода в которые поступала из загрязненной Темзы. Сноу составил карту, на которой
отметил местоположение колонок с водой и дома, где жили жертвы холеры. Он заподозрил, что
причиной эпидемии была колонка на улице Броуд, вокруг которой, как было видно на карте,
проживали заболевшие, которые действительно брали воду именно в этой колонке. В итоге
Сноу удалось добиться закрытия колонки, и лишь спустя несколько лет было обнаружено, что
причиной заболевания являются бактерии.
Карта очага эпидемии
холеры, составленная
Джоном Сноу, на которой
отмечены случаи
заболевания холерой
в Лондоне в 1854 году.
Точки указывают место
жительства заболевших,
крестами отмечены колонки
с питьевой водой. Точки
сконцентрированы вблизи
колонки на улице Броуд.
53
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
главному вопросу: как составить правильную карту Земли? Однако вначале следует
выяснить, какую карту можно считать «правильной».
Мы можем использовать карты в разных целях: для поиска кратчайшего пути
до точки назначения, определения расстояний, измерения длин рек, газопроводов
или линий связи; для определения зоны поражения боевой ракеты, области утечки
газа или радиационного заражения. С помощью карт можно определить направле-
ние ветра, задать курс при путешествии в открытом море, на земле или в воздухе,
вычислить площадь определенной территории, проанализировать географическую
информацию, представленную на карте (уровень жизни, плотность населения, эко-
номические данные или данные об уровне производства товаров и т. д.). Для реше-
ния последней задачи важно, чтобы карта сохраняла площадь и, если возможно,
форму, то есть общий вид рассматриваемых территорий. Карты позволяют изучать
особенности рельефа местности, например бассейны рек, горные хребты, долины
и побережья; при этом очень важно, чтобы на карте сохранялись их реальные очер-
тания. По сути, при работе с картой нас интересуют вопросы измерения расстояний,
длин кривых, поиск кратчайших путей (геодезических линий), определение направ-
лений, углов, площадей и форм. Следовательно, при построении математических
проекций земной поверхности на плоскости мы хотим, чтобы проекции сохраняли
указанные параметры.
Остановимся на мгновение и подумаем о проблеме составления карты земной
поверхности на бытовом уровне, не обращаясь к методам дифференциальной гео-
метрии, необходимым, чтобы ответить на вопрос со всей точностью. Несложно
увидеть две основные трудности, возникающие при составлении карт. Одна из них
заключается в том, что, в зависимости от задачи, карты должны иметь разные раз-
меры и на них должны быть изображены участки земли разной площади. Вторая
трудность — различие между геометрической формой самой Земли и карты, на ко-
торой она изображается: Земля имеет форму сферы, а карта плоская.
Двойная задача:
выбор масштаба и картографической проекции
Из всего сказанного следует, что математические проекции, используемые при со-
ставлении карт, становятся понятны, если рассмотреть построение карт как двух-
этапный процесс. Сначала земная сфера проецируется на сферический глобус,
уменьшенный (в масштабе) до выбранного нами размера. Эта часть проекции за-
54
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ КАРТЫ
Если мы нарисуем карту нашего дома, квартала или района, на ней не будет сохранен ни один
из привычных параметров. Точно такими же были первые карты, созданные человеком, напри-
мер вавилонская карта VI века до н.э., изображенная на глиняной табличке. Это так называ-
емые топологические карты, на которых основное значение имеют отношения вида «близко -
далеко», «вместе - раздельно», а также порядок и непрерывность. На топологических картах
обычно изображают взаимосвязи между элементами местности. Хрестоматийным примером
таких карт служат схемы метро, так как для тех, кто ими пользуется, важнее не расстояние между
станциями, а их число и схемы пересадок.
К топологическим картам относятся так называемые фэнтези-карты вымышленных миров,
например карта Средиземья из «Властелина колец» Дж. Р. Р. Толкиена (1954) или «живописные
карты», которые можно увидеть, например, в парках аттракционов. К этому же виду относятся
карты нейронных сетей и другие карты, используемые в информатике, а также карты, связанные
с графами.
55
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
ключается в простом уменьшении изображения земной поверхности. Затем умень-
шенное изображение проецируется на плоскость, в результате чего появляется нуж-
ная нам карта.
Описанная выше сферическая модель Земли — это идеальная модель земной
поверхности, которая отличается от нее только размером, но не формой. Масштаб
указывает разницу в размерах между Землей и сферой. Определить его можно, раз-
делив радиус сферы на радиус Земли. Рассмотрим глобус радиусом 25 см. Ради-
ус Земли будем считать равным 6371 км (если использовать размеры эллипсоида
WGS84). В этом случае масштаб равен
25 см
1
25 см
6371 км 637 100 000 см 25 484 000
Этот масштаб, который обычно записывается как 1:25 484000, означает, что
каждый сантиметр глобуса соответствует 25 484 000 см, то есть 254,84 км земной
поверхности.
На многих древних картах масштаб указывался с помощью изображения компаса,
как можно видеть на этой карте Магелланова пролива (1606), выполненной Йодокусом
Хондиусом. На карте изображены и другие типичные элементы карт того времени,
в частности роза ветров и фантастические животные.
56
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Как влияет это уменьшение в размерах на метрические параметры карт, о которых
мы говорили выше? Расстояния и длины кривых уменьшаются линейно в соответ-
ствии с масштабом, то есть каждый сантиметр глобуса соответствует 254,84 км зем-
ной поверхности. Следовательно, если мы хотим измерить расстояние от Барселоны
до Аделаиды, нужно всего лишь измерить это расстояние на сферической модели
Земли и умножить результат в сантиметрах на 254,84. Площади участков земной
поверхности и масштаб карты связаны квадратичной зависимостью: каждый ква-
дратный сантиметр на глобусе будет соответствовать 254,842 = 64943,4256 км2.
Большие круги, указывающие кратчайшие пути, станут большими кругами на сфе-
рической модели, поэтому геодезические линии также останутся неизменными. Со-
хранятся также углы и направления. Как видим, преобразование, которое заключа-
ется в уменьшении размеров Земли, не изменяет метрические параметры, масштаб
во всех точках сферической модели остается постоянным.
Математически это можно выразить следующим образом. Будем считать, что
Земля и ее сферическая модель имеют общий центр, который мы примем за на-
чало нашего трехмерного пространства R3. Следовательно, наше математическое
преобразование будет отображением Земли (ЗД которая является сферой радиуса
6371 км, на сферическую модель (S2) радиусом 25 см ф: —> S2, определяемым
как ф (х) = е • х. На языке геометрии это отображение называется гомотетией (при
е > 1 исходные фигуры увеличиваются, при е < 1, как в нашем случае, — умень-
шаются). Это простое преобразование, которое однозначно определяется свойством
пропорционального уменьшения размеров фигур.
Теперь, когда вопрос об изменении размеров решен, осталось решить проблему
изменения формы. Как вы увидите, она намного сложнее, и именно здесь в дей-
ствительности скрывается святой Грааль картографии — идеальная карта. Чтобы
решить эту проблему, нужно изучить математические проекции сферы на плоскость
и рассмотреть, как они изменяют различные метрические свойства. Это центральная
тема математической картографии и настоящей главы. Как мы упоминали в преди-
словии, существует множество математических преобразований сферы в плоскость
и, как следствие, множество разных проекций, на основе которых можно составить
столь же большое число самых разных карт. Далее для простоты мы будем понимать
картографические проекции как отображения сферы единичного радиуса на пло-
скость ф: 52 —> R2. Кроме того, с математической точки зрения проекции должны
обладать некоторыми естественными свойствами: в частности, они должны быть
непрерывными и дифференцируемыми. Это означает, что сфера должна проециро-
ваться на плоскость разумным образом, то есть без складок, разрезов и наложений.
57
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Как мы уже отмечали, важно знать, как изменяются основные метрические
свойства при использовании тех или иных проекций. Поэтому начнем наши поиски
точной карты земной сферы с того, что докажем следующее утверждение: в про-
екции, сохраняющей расстояния между точками (такие отображения называются
изометрическими), также сохраняются кратчайшие пути (геодезические линии),
углы и площади. Кроме того, сохранение расстояний эквивалентно сохранению длин
кривых. Предыдущие утверждения — не более чем частньп случай анализа диф-
ференцируемых отображений между регулярными поверхностями применительно
к их метрическим свойствам (доказательство этого утверждения методами диффе-
ренциальной геометрии можно найти в любом классическом учебнике по этой дис-
циплине).
Площади
Геодезические
.химии
Сохранение расстояний
Сохранение
длин кривых
(изометрия)
Углы
Проекция, сохраняющая расстояния,
сохраняет и кратчайшие пути
Далее мы докажем, что любая проекция сферы на плоскость, сохраняющая рассто-
яния (это означает, что расстояние между двумя произвольными точками сферы
будет равно расстоянию между отображениями этих точек на плоскости), также со-
храняет кратчайшие пути, иными словами, отображением больших кругов сферы
будут прямые на плоскости.
58
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Докажем это утверждение методом от противного, который заключается в том,
что мы считаем утверждение, которое хотим доказать, ложным, и путем логиче-
ских рассуждений приходим к противоречию, затрагивающему исходную гипотезу.
Следовательно, утверждение, которое мы хотим доказать, будет истинным. В на-
шем случае предположим, что проекцией больших кругов не всегда будет прямая.
Если бы рассматриваемая проекция в самом деле не сохраняла кратчайшие пути,
то существовали бы две точки сферы И и В и точка С, лежащая на кратчайшем пути
между ними (то есть на большом круге, проходящем через И и В), такая, что ее
отображение на плоскость С’ не лежало бы на кратчайшем пути (прямой), соединя-
ющем отображения точек Л и В — А и В' соответственно.
Имеем: так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то расстояние
между отображениями А и В' равно расстоянию между исходными точками А и В:
d(A,B) = d(A,B').
Так как точка С лежит на кратчайшем пути между Л и В, расстояние между этими
точками будет равно сумме расстояний между Л и С и между С и В:
d(A, B) = d(A,C) + d(C, В).
Тем не менее точка С не лежит на прямой, соединяющей А и В', следовательно:
d(A,B’)<d(A, C') + t/(C',B').
Но так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то последняя сумма
будет равна d (Л, С) + d (С, В). Имеем противоречие: мы доказали, что
d(A, B)<d(A, В).
Это очевидно ложное утверждение означает, что проекция не сохраняет кратчай-
шие пути.
59
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Сохранение расстояний в проекции
означает сохранение длин кривых
Используем утверждение из предыдущего раздела (проекции, сохраняющие рас-
стояния, сохраняют и кратчайшие пути), чтобы доказать, что в этом случае кривые
на сфере преобразуются в кривые на плоскости, имеющие ту же длину. Почему это
утверждение верно? Во-первых, любую кривую на сфере можно приближенно пред-
ставить в виде конечного (но достаточно большого) числа дуг больших кругов. Кон-
цы этих дуг р0, pv р2, рп_г рплежат на кривой, как показано на иллюстрации.
Следовательно, длину кривой можно приближенно представить как сумму длин этих
дуг, или, иными словами, как сумму расстояний между их концами. Так как речь идет
о дугах больших кругов, это будут кратчайшие расстояния, соединяющие концы дуг:
/ (а ) = J (р0, pj + d (pvр2) + ... + d (рпЛ, рп ).
Во-вторых, кривую на плоскости, которая является отображением исходной кри-
вой на сфере, можно приближенно представить с помощью множества отрезков, ко-
торые будут отображениями дуг больших кругов (об этом мы рассказали в прошлом
разделе), а длину плоской кривой — как сумму длин расстояний между концами
этих отрезков р0', ра', р2, ..., рп':
l(a') = d(pQ', p^)+d(p^, р2) + ...+d( рпА\ рп').
В-третьих, так как рассматриваемая проекция сохраняет расстояния, то рас-
стояние между концами отрезков, составляющих исходную кривую на поверхности
сферы, будет равно расстоянию между отображениями этих точек, которые будут
концами отрезков, составляющих проекцию этой кривой:
d(p.,p.+J = d(p.',p.^), i = 0,..., п-1.
Учитывая три приведенных утверждения, можно сказать, что проекция преоб-
разует кривую на сфере в плоскую кривую той же длины.
60
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
СКОЛЬКО КРАСОК НУЖНО, ЧТОБЫ РАСКРАСИТЬ КАРТУ?
Когда мы были детьми, то наверняка рисовали карты, которые требовалось закрасить так,
чтобы области одного цвета не имели общих границ. Возможно, кто то даже смог увидеть, что
для раскраски такой карты достаточно четырех красок. Именно эта мысль в середине XIX века
пришла в голову брату одного из студентов Огастеса де Моргана - Фрэнсису Гутри (позднее
он стал математиком и ботаником), когда он рассматривал карту графств Англии. Де Морган
рассказал об этой гипотезе своим коллегам-математикам.
В 1879 году адвокат сэр Альфред Брей Кемпе, ученик математика Артура Кэли, предложил
доказательство гипотезы о четырех красках. К сожалению, е( о доказательство оказалось оши-
бочным, хотя содержало интересные и глубокие идеи.
Лишь в 1976 году Кеннет Аппель и Вольфганг Хакен опубликовали окончательное доказа-
тельство теоремы о четырех красках. В нем исходная теорема была выражена на языке теории
графов. Аппель и Хакен пошли от противного и предположили, что исходная гипотеза ложна
и что существуют карты (графы), которые нельзя раскрасить четырьмя красками, затем они по-
казали, что в таких картах существуют определенные «неизбежные конфигурации» и, наконец,
что все подобные конфигурации на самом деле можно раскрасить четырьмя красками. Объем
вычислений, которые потребовалось провести на последнем этапе доказательства, был столь
велик, что пришлось прибегнуть к помощи компьютера, и это вызвало широкую полемику в ма-
тематическом сообществе. Можно ли считать доказательство корректным, если оно включает
вычисления, выполненные на компьютере, при этом предполагается, что любое доказательство
должно быть убедительным, формализуемым и, что самое главное, проверяемым?
Карта мира, раскрашенная четырьмя красками: красной, синей, зеленой и желтой
(на иллюстрации они представлены различными оттенками серого). Этих четырех красок доста
точно, чтобы никакие две области, имеющие общую границу, не были окрашены в один цвет.
61
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Читатель, знакомый с дифференциальной геометрией или анализом бесконечно
малых, возможно, заметил, что в более строгом варианте представленного выше до-
казательства не обойтись без методов математического анализа.
Утверждение, обратное тому, что мы доказали, также будет верным: проекции
сферы на плоскость, сохраняющие длины кривых, сохраняют и расстояния между
точками. Причина в том, что расстояние между двумя точками — это длина крат-
чайшей кривой, их соединяющей.
Проекция, сохраняющая расстояния,
сохраняет и углы
Читатель, возможно, понимает, что означает сохранение величин углов между двумя
произвольными направлениями. Но чтобы лучше понять, как отображения сферы
на плоскость изменяют углы, нужно подробнее рассмотреть используемые понятия,
хотя при этом придется применить некоторые термины.
Рассмотрим произвольную точку сферы р, два направления, проходящие через
эту точку, то есть два касательных вектора и v2, а также угол 0 между ними. Что-
бы рассчитать, как изменятся касательные векторы и, следовательно, величина угла,
будем действовать следующим образом. Рассмотрим две кривые на поверхности
сферы, 0^: (—£, £) —> 52 и 0С2: (—£, £) —> 52, которые проходят через точку р. Их
касательными векторами в этой точке будут и v2 (если говорить математическим
языком, то 0^' (0) = L’1, 0С2' (0) = v2, геометрический смысл этих равенств представ-
лен на следующей иллюстрации). Далее рассмотрим плоские кривые, которые будут
отображениями этих кривых: [3 = ф ° 0^: (—Е, £) —» IR2 и Р2=фоа2: (-£, £) —> IR2,
а также касательные векторы этих кривых в точке пересечения ф (р) G R2, то есть
= р; (0) = (фо00' (0) И w2 = Р2' (0) = (фоа2)' (0).
62
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Эти векторы будут отображениями векторов и v2, полученными проекцией ф.
Если угол между и ш2 вновь будет равен 0, то проекция ф будет сохранять углы
между векторами ь^и v2 (а также между кривыми а1 и а2 соответственно). Интерес-
ный момент: векторы и о>2, которые являются отображениями векторов и v2,
полученными проекцией ф, не зависят от исходных кривых а1 и а2, следовательно,
они также не зависят от угла между этими кривыми. Это позволяет, например, вы-
брать в качестве кривых и а2 дуги больших кругов, проходящие через точку р,
и касательные векторы и v2, которые определяются единственным образом.
Следовательно, интуитивно понятно, что изометрические преобразования сохра-
няют величины углов. Если для двух больших кругов сферы, которые пересекаются
в точке, мы рассмотрим окружность достаточно малого радиуса г с центром в этой
точке (иными словами, эта окружность будет образована точками сферы, удален-
ными от центра окружности на некоторое расстояние г), то угол 0 между двумя
большими кругами (равный углу между их касательными векторами) будет прибли-
зительно равен отношению длины дуги окружности, определяемой двумя большими
кругами, и ее радиусом, умноженным на 2л.
63
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Далее, если мы рассмотрим отображение, полученное проекцией, сохраняющей
расстояния, то увидим, что проекциями больших кругов будут прямые (так как изо-
метрические проекции сохраняют геодезические линии), а окружность радиуса г
на сфере перейдет в окружность радиуса г, центр которой будет располагаться в точ-
ке пересечения полученных прямых на плоскости. Следовательно, так как проекция
сохраняет расстояния, а формула, приведенная на предыдущей иллюстрации, вы-
полняется на плоскости, угол между большими кругами также будет сохраняться.
Отображения, сохраняющие величины углов, называются равноугольными, кон-
формными или изогональными. Последний термин напрямую указывает на то, что
проекция сохраняет величины углов неизменными, а термин «конформный» означа-
ет «имеющий одинаковую форму» или «имеющий правильную форму». Таким обра-
зом, проекции, сохраняющие углы, сохраняют и формы, однако лишь для достаточ-
но малых областей, что можно увидеть на картах в проекции Меркатора, о которых
упоминалось в предисловии. На них по мере приближения к полюсам искажения
становятся очень заметными.
Проекция, сохраняющая расстояния, сохраняет и площади
Это утверждение основано на том, что любую ограниченную область на поверхности
сферы можно покрыть конечным числом областей, границами которых будут мериди-
аны и параллели. Эти области можно считать прямоугольными, а их число будет до-
статочно большим, следовательно, их размеры невелики. Площадь исходной области
можно будет приближенно выразить как сумму площадей этих «прямоугольников»
(их площадь будет равна произведению основания на высоту). Отображением этой
области будет прямоугольник на пло-
скости, покрытый множеством прямо-
угольников. Так как рассматриваемая
проекция сохраняет расстояния, пло-
щадь этого прямоугольника будет рав-
на площади исходной области.
Площадь произвольной территории,
например Китая, можно представить
как сумму площадей «прямоугольных»
областей, ограниченных меридианами
и параллелями. Чем меньше будут эти
области, тем точнее мы сможем вычислить
площадь искомой территории.
64
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Проекции, сохраняющие площади, называются равновеликими, или гомологра-
фическими. Следовательно, мы доказали, что отображения сферы на плоскость,
сохраняющие расстояния (или длины кривых), оставляют неизменными площади,
геодезические линии и величины углов — все интересующие нас метрические пара-
метры.
Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод: чтобы построить точную карту
мира, нужно найти математическую проекцию сферы на плоскость, которая была бы
изометрической. Приступим же к поискам.
В поисках изометрической проекции
Теперь, говоря о точной карте земного шара или его части, мы будем знать, что это
означает и что требуется для построения такой карты. Остановимся и подумаем,
какой должна быть корректная проекция земной сферы на плоскость, то есть изо-
метрическая проекция, сохраняющая все интересующие нас метрические свойства.
Логично предположить, что искомую карту следует составить на основе фотогра-
фий, сделанных с самолета или спутника.
Спутниковый снимок Европы.
65
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Может показаться удивительным, но карты, созданные на основе спутниковых
снимков, неточны: они не сохраняют ни одно из метрических свойств, указанных
выше. Для нашей задачи не имеет значения величина ошибки, возникающая при по-
строении этих карт. Более того, нас интересует адекватное изображение Земли
из космоса, которое (если говорить о карте мира) напомнит, что Земля имеет кру-
глую форму (работая с некоторыми картами Земли, мы забываем об этом). На спут-
никовых снимках земная поверхность представлена в центральной (перспективной),
или сценографической проекции. Эта проекция не является изометрической, так как
меридианы в ней не изображаются прямыми линиями, следовательно, эта проекция
не сохраняет геодезические линии. Она также не сохраняет углы, так как проекции
меридианов и параллелей не пересекаются под прямыми углами. Аналогично можно
показать, что проекция не сохраняет и площади и, как следствие, не сохраняет дли-
ны кривых и расстояния.
Наша попытка построить точную карту с использованием сценографической
проекции провалилась. Продолжим поиски изометрических проекций сферы на пло-
скость. Мы можем строить различные картографические проекции, сначала геоме-
трически, затем — алгоритмически, пока не получим изометрическую проекцию,
которая позволит создать заветную совершенную карту Земли. Это всем известный
метод проб и ошибок, который имеет свои недостатки. В частности, число вариан-
тов, которые потребуется рассмотреть, будет очень большим или даже бесконечно
большим.
Вместо того чтобы создавать картографические проекции напрямую, изучать их
свойства и отвергать их, если они окажутся неизометрическими (найти такую про-
екцию будет равносильно поискам иголки в стоге сена), попробуем несколько сузить
поле поиска. Для этого сначала рассмотрим, достаточно ли построить отображение
сферы на плоскость, которое априори сохраняет только один из параметров, рас-
смотренных выше, то есть только углы, только площади или только геодезические
линии.
С формальной точки зрения это равносильно тому, чтобы ответить на вопрос:
являются ли отношения следования, обозначенные стрелками на диаграмме на стра-
нице 58, отношениями эквивалентности? Иными словами, возможно ли, чтобы все
преобразования, сохраняющие величины углов (конформные проекции), также со-
храняли расстояния, то есть являлись бы изометрическими? Будет ли аналогичное
утверждение справедливо для площадей и геодезических линий?
С практической точки зрения это упростит задачу, так как мы сможем ограни-
читься рассмотрением исключительно конформных проекций (то есть равновеликих
66
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
ПЕРСПЕКТИВНАЯ ПРОЕКЦИЯ
Эта проекция была известна древним грекам и египтянам более 2 тысяч лет назад, однако
не вызывала особого внимания до XVIII века, за исключением частных случаев этой проекции:
ортографической, стереографической и гномонической. Если центр проекции лежит на вер-
тикальной линии, проходящей через центр Земли, такая проекция называется вертикальной,
в противном случае - наклонной. В этой проекции центральный меридиан и центральная па-
раллель представлены в виде прямых, а все остальные меридианы и параллели изображаются
в виде прямых, дуг окружностей, эллипсов и даже парабол и гипербол в зависимости от вида
проекции (полярная, экваториальная или наклонная). В этой проекции не сохраняются метри-
ческие свойства. Искажения вблизи центра малы, у краев карты - велики. Проекция практи-
чески не использовалась, за исключением случаев, когда требовалось изобразить вид Земли
из космоса. С началом космической гонки в середине XX века перспективная проекция вызвала
определенный интерес, так как изображения Земли и других планет стали составляться с ис-
пользованием именно этой проекции. Карты с прогнозом погоды, которые мы видим в газетах
и на телевидении, обычно изображаются в наклонной перспективе. Эта же перспектива исполь-
зуется в компьютерных изображениях и на фотографиях в интернете, в частности в программе
«Google Планета Земля» (Google Earth).
Слева — схема перспективной проекции (вертикальной или наклонной).
Справа — карта, выполненная с использованием
вертикальной перспективной проекции
проекций и проекций, сохраняющих геодезические линии). Иными словами, нас бу-
дет интересовать только сохранение одного из упомянутых геометрических атрибу-
тов.
67
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
В следующих главах мы продемонстрируем некоторые конкретные примеры кон-
формных и равновеликих проекций, а также проекций, сохраняющих геодезические
линии, и увидим, как они изменяют различные метрические свойства. Так мы смо-
жем определить, существует ли проекция, позволяющая составить точную карту
Земли, а также рассмотрим три примера известных старинных карт мира, сохраня-
ющих углы, площади и кратчайшие пути. В частности, вы познакомитесь с проекцией
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
В основе первой классификации картографических проекций лежит метод их построения.
По этому признаку проекции можно разделить на геометрические и алгоритмические («ис-
кусственные», аналитические или математические). Геометрические проекции - это проекции,
которые с геометрической точки зрения можно интерпретировать как лучи света, которые исхо-
дят из точки, бесконечно удаленного источника или прямой и освещают Землю (ее можно пред-
ставить как прозрачный пластиковый шар, на поверхности которо о изображены континенты)
согласно законам перспективы. Результатом этих проекций является изображение на плоской
или промежуточной поверхности, например на поверхности цилиндра или конуса, которые затем
разворачиваются на плоскости.
Геометрические проекции можно разделить на классы в зависимости от формы поверхно-
сти: это может быть плоскость, поверхность цилиндра или конуса. Такие проекции называются
азимутальными, цилиндрическими и коническими соответственно. В качестве примеров гео-
Карта, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса (1805).
Это геометрическая проекция, получаемая при проецировании сферической модели
Земли на поверхность конуса, которая затем разворачивается на плоскости.
68
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
Архимеда, сохраняющей площади, центральной, или гномонической проекцией,
сохраняющей геодезические линии, и стереографической проекцией, сохраняющей
углы. Однако ни одна из этих трех проекций не является изометрической. Как
следствие, мы не сможем ограничиться рассмотрением исключительно конформ-
ных проекций (равновеликих проекций или проекций, сохраняющих геодезиче-
ские линии).
метрических проекций можно привести гномоническую, стереографическую, равновеликую
цилиндрическую проекцию Ламберта или равновеликую коническую проекцию Альберса.
Тем не менее многие картографические проекции не имеют прямой геометрической трактов-
ки и описываются с помощью математических формул, - они называются алгоритмическими.
Среди них выделяются те, что основаны на принципах геометрии или являются производными
от них, как, например, проекция Меркатора или Хаммера - Айтоффа. Существуют и чисто алго-
ритмические проекции, в числе которых выделяются знаменитые проекции Моллвейде, синусо-
идальная проекция Сансона - Флемстида, проекция Робинсона и тройная проекция Винкеля.
Деление на подклассы в зависимости от используемой вспомогательной поверхности (это
может быть плоскость, цилиндр или конус) проводится, главным образом, среди алгоритми-
ческих проекций.
Карта, выполненная в проекции Моллвейде (1805). Это алгоритмическая проекция —
она описывается чисто математическими выражениями. Она является равновеликой,
в ней используется эллипс с соотношением длин осей 2:1. Параллели в этой проекции
изображаются параллельными линиями.
69
В ПОИСКАХ ПРАВИЛЬНОЙ КАРТЫ ЗЕМЛИ
ОРТОФОТОГРАФИЯ
При составлении небольших культурных или туристических карт городов очень часто использу-
ется ортофотография. При взгляде на ортофотографии большинство людей думают, что эти фото
сделаны с самолета или спутника, то есть представляют собой карту в вертикальной перспек-
тивной проекции. Но это не совсем так. Ортофотография - это фотографическое изображение
города, полученное из нескольких фотографий, сделанных с воздуха и скорректированных так,
чтобы итоговое изображение соответствовало ортогональной проекции. Эта проекция строится
с использованием параллельных лучей, идущих в одном направлении, и ее можно считать част-
ным случаем вертикальной перспективной проекции, фокус которой расположен на бесконеч-
ности. Именно благодаря использованию ортогональной проекции при совмещении нескольких
фотографий не возникает искажений.
Ортофотография города Саламанка (источник: SIGPAC).
70
Глава 5
Проекция Архимеда, или
равновеликая цилиндрическая
проекция Ламберта
Главным школьным учебником была Энциклопедия Альвареса
для первого, второго и третьего классов вместе с книгами
для чтения. Там же были три прогрессивные азбуки и альбом
для рисования. Вместе с ними были две книги по Священной
Истории для первого и второго классов, а также некоторые
атласы Испании и Европы. Стены были украшены картами мира.
Поодаль стоял шкаф, из которого в любой момент можно было
извлечь глобус, карты, книги по геометрии, иллюстрации
по естественным наукам, человеческий скелет и так далее.
Эухенио Фернандес Риоль «История лошади и ее юного хозяина» (2005)
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта, также называемая проекцией
Архимеда (возможно, она была уже известна этому греческому математику),—
одна из семи проекций, предложенных математиком Иоганном Генрихом Ламбер-
том в книге «Примечания и комментарии о составлении земных и небесных карт»
(1772). Возможно, эта книга стала первым математическим трудом, в котором были
подробно исследованы картографические проекции с применением нового мето-
да — математического анализа. В ней были представлены следующие проекции
(перечислим их под современными названиями в том же порядке, что и в книге Лам-
берта).
1. Равноугольная коническая проекция Ламберта.
2. Проекция Лагранжа.
3. Поперечная проекция Меркатора.
4. Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта.
5. Равновеликая цилиндрическая поперечная проекция.
6. Равновеликая азимутальная проекция Ламберта.
7. Равновеликая коническая проекция Ламберта.
71
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
Проекции номер 1, 3 и 6 используются в последнем столетии наиболее часто.
Хотя равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта не представляет особого
интереса в картографии, на ее основе созданы другие, более популярные проекции.
Важность проекции Ламберта обусловлена скорее ее простотой и множеством гео-
метрических свойств, поэтому именно она чаще всего используется в книгах по кар-
тографии в качестве примера равновеликой проекции.
Определение и картографические свойства
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта при проецировании сферы на ка-
сающийся ее цилиндр определяется так: проекция любой точки сферы А — это точ-
ка цилиндра А' такая, что она является точкой пересечения поверхности цилиндра
с прямой, проходящей через точку А и перпендикулярной оси цилиндра, как показа-
но на рисунке. Эта проекция, очевидно, является геометрической, а Землю мы пред-
ставляем как полупрозрачный пластиковый шар. Проекция земной поверхности
ИОГАНН ГЕНРИХ ЛАМБЕРТ (1728-1777)
Иоганн Генрих Ламберт родился в немецком городе Мюльхаузен в провинции Эльзас (в насто-
ящее время - Мюлуз, Франция), куда члены его семьи переехали по религиозным причинам:
они были кальвинистами. В 12 лет Ламберту пришлось оставить школу и помогать отцу-порт-
ному, но в свободное время Ламберт продолжал учиться самостоятельно. Позднее он рабо-
тал клерком в сталелитейной мастерской, а в 1746 году занял должность частного секретаря
швейцарского философа Исаака Изелина (1728-1782) в Базеле. Двумя годами позже он стал
преподавателем в доме графа Питера фон Салиса в Куре. В этой должности у него оставалось
достаточно свободного времени, чтобы заниматься математикой, астрономией и философией,
а также пользоваться книгами из превосходной графской библиотеки.
Ламберт был исключительным математиком: он доказал иррациональность числа л и пред-
положил, что числа е и л трансцендентны, то есть их нельзя представить как корни многочлена
с целыми коэффициентами. Он одним из первых изучил проблему, связанную с пятым постула-
том Евклида. Ламберт предположил, что пятый постулат ложен, и получил результаты, относящие-
ся к неевклидовой геометрии. Он занимался гиперболическими функциями, проводил важные
исследования в сферической геометрии, картографии и науке о перспективе, а также совершил
важные открытия в теории вероятностей. Интересы Ламберта не oi раничивались исключительно
математикой: он также был автором важных работ по физике, астрономии и философии.
72
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
на поверхность цилиндра образуется, если мы поместим источник света вдоль всей
оси цилиндра, окружив ее линзой, которая пропускает только лучи света в горизон-
тальной плоскости, то есть перпендикулярно оси цилиндра.
В равновеликой цилиндрической проекции Ламберта точки земной сферы горизонтально
проецируются на поверхность цилиндра, касающегося сферы. Затем цилиндр разрезается
по меридиану и разворачивается на плоскости.
Если мы примем радиус земной сферы равным единице и будем считать, что ци-
линдр касается ее в точках, лежащих на экваторе, то ось цилиндра будет проходить
через Северный и Южный полюса. После построения проекции сферы на поверх-
ность цилиндра он разрезается по меридиану и разворачивается на плоскости. Эта
развертка цилиндра на плоскости является изометрической и сохраняет все интере-
сующие нас метрические свойства. Первую карту мира в этой проекции составил
Иоганн Генрих Ламберт в 1772 году.
73
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
Далее перечислены некоторые свойства карты, выполненной в равновеликой ци-
линдрической проекции Ламберта.
1. Она имеет прямоугольную форму, как и все карты, выполненные в цилиндри-
ческих проекциях.
2. Меридианы и параллели отображаются как прямые, они имеют равную длину
(но не равны между собой) и перпендикулярны друг другу.
3. Меридианы распределены равномерно вследствие того, что масштаб во всех
точках каждой параллели постоянен, однако масштабы на разных параллелях
отличаются. Параллели распределены неравномерно и сближаются друг с дру-
гом по мере приближения к полюсам.
4. Так как проекция является равновеликой, она сохраняет площади (с учетом
коэффициента масштаба поверхности). Этот коэффициент возникает при
уменьшении размеров земной сферы (то есть при гомотетии) и постоянен
во всех точках карты. Однако величины углов и геодезические линии не со-
храняются.
5. Искажение форм, углов и расстояний вблизи экватора очень мало и растет
по мере приближения к полюсам.
Вернемся к основному вопросу этой главы — как изменяются площади, углы
и геодезические линии в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта? Чтобы
доказать, что эта проекция сохраняет площади, достаточно показать, что она со-
храняет площади «прямоугольных» (достаточно малых, то есть бесконечно малых)
участков, сторонами которых являются меридианы и параллели.
Как показано на следующем рисунке, для данной точки сферы на широте ф ото-
бражением меридиана (достаточно малого) длины / будет отрезок прямой на по-
верхности цилиндра длиной Г = I cos ф, а отображением параллели (достаточно
малой) длины k будет дуга окружности на поверхности цилиндра, длина которой
будет равна k' = k/cos ф. Следовательно, бесконечно малый «прямоугольник» с ос-
нованием k и высотой / на поверхности сферы, площадь которого равна I • k, преоб-
разуется в «прямоугольник» с основанием k' = k/cos ф и высотой /' = I cos ф. Пло-
щадь полученного прямоугольника также будет равна I • k. Как следствие, проекция
Архимеда сохраняет площади неизменными.
Напомним, что в этой книге мы приводим только интуитивно понятные дока-
зательства в духе классической геометрии. Более строгое доказательство требует
использования дифференциальной геометрии и методов математического анализа.
74
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
k Площадь = /'-/?' = /-^
Проекция Архимеда является равновеликой.
Тем не менее величины углов на карте, выполненной в проекции Ламберта, не со-
храняются. Чтобы убедиться в этом, посмотрите на предыдущий рисунок. В силу ис-
кажений меридианов (они сжимаются) и параллелей (они расширяются) угол между
основанием и диагональю прямоугольника на сфере будет больше, чем этот же угол
в проекции прямоугольника на плоскость. Однако прямые углы между меридианами
и параллелями сохраняются. Из вышеизложенного можно сделать вывод о необхо-
димых и достаточных условиях сохранения величин углов.
1. Должны сохраняться углы между меридианами и параллелями (эти углы пря-
мые, то есть равны 90°).
2. Искажение в направлении меридианов р должно быть равно искажению в на-
правлении параллелей X.
По теореме Пифагора, если оба этих свойства выполняются, то искажения в лю-
бом направлении всегда будут одинаковыми. В частности, мы показали, что для
равновеликой цилиндрической проекции Ламберта искажение в направлении мери-
дианов равно р = cos ф, искажение в направлении параллелей — X = 1/cos ф, а круг,
75
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
центром которого является точка на сфере, в этой проекции преобразуется в эллипс
на плоскости, вытянутый в направлении «запад — восток». На следующей иллю-
страции изображены эллипсы, построенные в различных участках Земли, которые
позволяют увидеть искажения на различных широтах.
Индикатриса Тиссо, или эллипс искажения — один из способов графического
изображения искажений на карте. В разных участках земной поверхности строятся
небольшие окружности, после чего по их проекциям на карте можно увидеть
проективные искажения в различных участках карты.
Так, если мы примем радиус окружности равным 1, она преобразуется в эллипс, длины полуосей
которого будут равны X и р. Если Х-р, то эллипсы примут форму окружностей, а отображение будет
конформным. При X = 1/р отображение будет равновеликим. На иллюстрации представлена индика-
триса Тиссо для равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.
Наконец, очевидно, что эта проекция не сохраняет геодезические линии, за ис-
ключением меридианов и экватора. Вывод таков: равновеликие проекции могут
не быть изометрическими, и одного лишь сохранения площадей для создания точной
карты Земли недостаточно.
Цилиндрические и псевдоцилиндрические проекции
Равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта — это геометрическая цилин-
дрическая проекция, определяемая как геометрическая проекция земной сферы
на касающийся ее цилиндр (как правило, точки касания лежат на экваторе) с по-
следующим развертыванием цилиндра на плоскости (для этого цилиндр разрезается
вдоль одного из меридианов, то есть вертикально). В картах, созданных с использо-
ванием этой проекции, искажения возникают на первом этапе построения, так как
развертывание цилиндра на плоскость является изометрическим преобразованием
и не искажает размеры. Если изменить диаметр основания цилиндра, то есть умень-
76
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
шить его так, чтобы он рассекал сферу, или же сменить его положение либо проек-
цию лучей, то мы получим различные геометрические цилиндрические проекции.
Другими проекциями этого же типа являются центральная цилиндрическая про-
екция и стереографическая проекция Брауна. В центральной цилиндрической про-
екции «лучи света» распространяются из центра сферы на ее поверхность и на по-
верхность цилиндра. Искажения у полюсов, вносимые этой проекцией, очень ве-
лики и даже больше, чем искажения в проекции Меркатора. В стереографической
проекции Брауна, разработанной в 1867 году, центром проекции для произвольной
точки меридиана служит противолежащая точка экватора на этом же меридиане.
Эта проекция, как и в свое время стереографическая проекция Галла, была создана
в попытках устранить излишние искажения у полюсов, возникающие при использо-
вании проекции Меркатора.
Равновеликая Ортографическая Равновеликая
проекция проекция Галла проекция Бермана
Ламберта
Стереографиче- Стереографиче- Центральная
ская проекция ская проекция цилиндрическая
Галла Брауна проекция
Сечения для некоторых геометрических цилиндрических проекций, показывающие
разницу размеров и внешнего вида карт, созданных с использованием этих проекций.
Мы считаем, что цилиндр касается сферы на экваторе, но также можем рассмо-
треть случаи, когда цилиндр рассекает сферу вдоль двух параллелей, симметричных
77
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
относительно экватора. Так, если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 30°
с. ш. и ю. ш., то равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта станет эквива-
лентна проекции Бермана (1910) или проекции Галла — Петерса (1855 и 1967),
если цилиндр рассекает сферу вдоль параллелей 45° с. ш. и ю. ш. Если в стереогра-
фической проекции Брауна цилиндр рассекает сферу вдоль 45-х параллелей, имеем
стереографическую проекцию Галла (1885).
Карта, выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Бермана,
при которой цилиндр рассекает сферу вдоль 30-х параллелей.
Понятие цилиндрической проекции охватывает не только геометрические,
но и алгоритмические проекции, которые обладают некоторыми общими свойствами
с описанным выше геометрическими проекциями.
1. Линии координатной сетки, то есть меридианы и параллели, являются прямы-
ми и перпендикулярны друг другу.
2. Масштаб вдоль каждой параллели постоянен (для разных параллелей он от-
личается), следовательно, меридианы равноудалены друг от друга. Длины
всех меридианов и всех параллелей одинаковы.
Карты мира, созданные с помощью этих проекций, прямоугольные, а их метри-
ческие свойства симметричны относительно экватора. В качестве примеров можно
привести цилиндрическую равнопромежуточную проекцию, цилиндрическую про-
екцию Миллера и проекцию Меркатора. В простой цилиндрической равнопромежу-
точной проекции, которую ввел Эратосфен, масштаб карты неизменен вдоль каждо-
го меридиана, следовательно, параллели равноудалены друг от друга. Частным слу-
78
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
чаем является plate carree — проекция, в которой меридианы и параллели образуют
квадратную сетку (расстояния между ними одинаковы). Математическая формули-
ровка этой проекции проще, так как всего лишь представляет на плоскости широту ф
и долготу 0. Цилиндрическая проекция Миллера была создана в 1942 году в по-
пытках сохранить внешний вид проекции Меркатора и уменьшить искажения у по-
люсов, однако она не является ни равновеликой, ни конформной, то есть не сохраня-
ет ни площади, ни углы. О проекции Меркатора мы подробно расскажем в главе 9.
На рисунке вы можете видеть, как распределяются параллели в Северном полу-
шарии при использовании разных цилиндрических проекций с одинаковым масшта-
бом у экватора, и оценить вносимые искажения.
Сравнение расположения параллелей в некоторых цилиндрических проекциях.
Кроме того, можно рассмотреть разновидности картографических проекций
(прямые, поперечные и косые), которые отличаются расположением плоскости, ци-
линдра или конуса проекции относительно земной сферы. В этих проекциях сетка
меридианов и параллелей выглядит по-разному. Прямые цилиндрические проекции
(геометрические и алгоритмические) — это проекции, в которых цилиндр касается
сферы на экваторе или рассекает ее вдоль двух параллелей — этот случай мы рас-
смотрели выше. В поперечных цилиндрических проекциях цилиндр касается мери-
диана или рассекает сферу вдоль окружностей, параллельных меридиану. В косой
проекции точки касания расположены на большом круге, который не является
79
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
ни меридианом, ни экватором, либо линии пересечения цилиндра и сферы являются
окружностями, параллельными большому кругу сферы. Поперечные и косые цилин-
дрические проекции удобно использовать, когда необходимо заострить внимание
на какой-либо области, расположенной вдоль меридиана, так как искажение вблизи
линий касания цилиндра и сферы меньше.
Прямая проекция Поперечная проекция Косая проекция
На схемах вверху представлены различные цилиндрические проекции.
На рисунке снизу изображена равновеликая цилиндрическая поперечная проекция Ламберта
с касательным меридианом 90° западной долготы, пересекающим Северную Америку с севера на юг.
Прямые цилиндрические проекции сильно искажают формы и очень часто ис-
кажают площади участков вблизи полюсов. Прямоугольные карты мира, составлен-
ные с помощью этих проекций, рисуют нам неверную картину мира.
В псевдоцилиндрических проекциях предпринята попытка решить эти проблемы
путем сближения параллелей по мере приближения к полюсам. Прямые псевдоци-
линдрические проекции, в которых линия касания сферы и цилиндра проходит
по экватору, обладают следующими свойствами.
80
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
1. Параллели изображаются горизонтальными прямыми, необязательно равноу-
даленными друг от друга.
2. Меридианы изображаются произвольными кривыми, отстоящими друг от дру-
га на одинаковое расстояние вдоль каждой параллели.
Следовательно, как и в цилиндрических проекциях, масштаб псевдоцилиндри-
ческих проекций вдоль параллелей постоянен. Но так как меридианы и паралле-
ли пересекаются не под прямым углом, ни одна из таких проекций не может быть
конформной. В атласах часто используются две равновеликие проекции: проекция
Моллвейде (в 1805 году в этой проекции была выполнена эллиптическая карта
мира, на которой меридианы имеют форму эллипсов) и синусоидальная проекция
Сансона — Флемстида (возможно, первым ее использовал Меркатор), в которой
меридианы изображаются синусоидальными кривыми. В псевдоцилиндрических
проекциях также были составлены карта Колиньона (1865; в вариантах этой карты,
имеющих форму треугольника и ромба, меридианы изображены наклонными пря-
мыми. Эти карты сохраняют площади, но очень сильно искажают формы), шесть
карт Эккерта (1906; карты с четными номерами являются равновеликими, в кар-
тах с нечетными номерами параллели равноудалены друг от друга, в первой паре
карт меридианы изображены прямыми, во второй паре — окружностями, в третьей
паре — эллипсами) и карта в проекции Робинсона (1974; эта проекция использу-
ется при составлении карт мира Национальным географическим обществом вместо
проекции Меркатора).
Карта мира, выполненная в синусоидальной проекции, или проекции Сансона — Флемстида.
Эта проекция также известна как равновеликая проекция Меркатора,
так как Меркатор использовал ее в некоторых своих картах.
81
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
Использование равновеликих проекций
Мы уже говорили, что равновеликая цилиндрическая проекция Ламберта вызывает
умеренный интерес при составлении карт мира, так как она вносит огромные иска-
жения в зонах, близких к полюсам. Эта проекция описывается исключительно
в книгах по картографии и дифференциальной геометрии как простой пример про-
екции, сохраняющей площади. Больший интерес представляют некоторые варианты
прямой разновидности этой проекции, например проекция Галла — Петерса (о ней
мы подробно расскажем в главе 9) или проекция Бермана.
Из-за умеренных искажений в зонах вблизи касательной эллипса и сферы пря-
мая разновидность проекции Ламберта подходит для карт тропических областей
нашей планеты или карт мира, в которых основное внимание уделяется этим обла-
стям. Это могут быть, например, карты, на которых изображаются данные о миро-
вом производстве каучука, древесины, риса, тростника и других продуктов, произ-
водимых преимущественно в тропиках. Поперечная разновидность этой проекции
используется при составлении карт регионов, протяженных с севера на юг, а для
областей, простирающихся вдоль большого круга земной сферы, больше подойдет
косая разновидность проекции. Последняя неоднократно использовалась при со-
ставлении карт Евразии и Африки, при прокладке маршрутов самолетов в странах
Содружества наций.
Карта, показывающая области густых лесов Африканского континента,
выполненная в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта.
Свойство сохранения площадей, очевидно, имеет первостепенную важность при
составлении карт, на которые наносится информация, связанная с площадями раз-
личных регионов. Так, эту проекцию необходимо использовать, если мы хотим под-
82
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
считать процент территории амазонских джунглей, пострадавших от вырубки леса,
если мы дробим сельскохозяйственные угодья на земельные участки или если хотим
составить карту плотности населения на квадратный километр. На картах такого
типа площади областей изображаются в масштабе, и если нам известен масштаб по-
верхности, то мы легко можем вычислить площадь произвольного участка, умножив
его площадь на карте на коэффициент масштаба. Напомним, что масштаб поверх-
ности не следует путать с обычным масштабом, который показывает отношение ли-
нейных размеров. Так, в равновеликой цилиндрической проекции Ламберта в раз-
ных частях карты этот масштаб отличается: длина всех параллелей на этой карте
одинакова, в то время как в реальности параллели имеют разную длину.
Тем не менее, за исключением особых случаев, площади с помощью карт не вы-
числяются. Карты, выполненные в этой проекции, интересны тем, что позволяют
сравнивать площади разных территорий, сопоставлять площади регионов, стран
и континентов.
Так как карты — это инструмент, позволяющий представлять информацию бы-
стрее, нагляднее и понятнее, чем таблицы с цифрами, важно, чтобы при составлении
карт распространения — будь то распространение различных видов растений, жи-
вотных, школ, аэропортов, уровень производства того или иного продукта, уровень
загрязнения, уровень распространения религии или любой другой показатель, кото-
рый используется в научных или научно-популярных публикациях, средствах мас-
совой информации или учебниках, — применялись эквивалентные проекции. Чтобы
статистическая информация, с которой мы работаем, оказалась для нас более по-
лезной, важно, чтобы рассматриваемые территории были отображены на карте в со-
ответствии с их реальными площадями — в противном случае информация может
быть интерпретирована неверно. Также желательно, чтобы искажения форм в таких
картах были как можно меньше. Однако, как вы уже видели на примере равновели-
кой цилиндрической проекции Ламберта, искажение форм очень заметно, особенно
вблизи полюсов (это справедливо и для многих других равновеликих проекций).
В образовательных целях важно, чтобы на картах не искажались площади и фор-
мы (как вы увидите далее, это невозможно), так как школьные карты формируют
у детей образ нашей планеты, континентов и стран, и при неправильно выбранной
проекции этот образ может оказаться искаженным, что было отмечено еще
в 1907 году в статье Королевского географического общества. Следовательно,
в школах необходимо использовать либо равновеликие карты, искажение форм в ко-
торых минимально, либо другие карты, в которых искажения площадей и форм
невелики, как, например, в проекции Робинсона и тройной проекции Винкеля.
83
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
КАРТОГРАММЫ
Картограммы - это карты, на которых размеры стран или регионов изменены в соответствии
с численностью их населения или другим аналогичным показателем (уровнем рождаемости
или смертности, заболеваемости, уровнем производства, загрязнения, тем или иным эконо-
мическим показателем, долей населения за чертой бедности и другими данными). Существуют
различные приемы и методы составления картограмм, однако, как правило, различные реги-
оны должны адекватно «склеиваться» (хотя существуют и картограммы, где страны и регионы
изображаются не соединенными друг с другом), а искажение форм должно быть минимальным.
На этой картограмме представлено распределение населения Земли
по странам. Площадь поверхности стран зависит от численности
их населения (Источник: SASI Group, Университет Шеффилда).
Картограммы позволяют быстро и наглядно сравнить анализируемые показатели для разных
территорий. Результаты подобного сравнения, безусловно, привлекают внимание читателя,
однако не лишены недостатков: на картограммах теряется реалистичность, их сложнее «читать»,
создается впечатление, что они неполны (возможно, ввиду заметных искажений), поэтому кар-
тограммы удобно дополнять картами, выполненными в равновеликой проекции.
84
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА, ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
Другие равновеликие проекции — это равновеликая коническая проекция Аль-
берса (1805), проекция Моллвейде (1805), ортографическая проекция Галла —
Петерса (1855 и 1967), проекция Eckert IV (1906), равновеликая азимутальная
проекция Ламберта (1772), синусоидальная проекция, или проекция Сансона —
Флемстида (1650 и 1729), и многие другие.
В1906 году немецкий картограф Макс Эккерт описал шесть псевдоцилиндрических проекций.
Четные номера имеют равновеликие проекции, например проекция Eckert IV,
представленная на иллюстрации.
К сожалению, в учебниках, научно-популярной литературе и СМИ не уделяется
особого внимания выбору проекции карт (похоже, сейчас ситуация постепенно ме-
няется). С другой стороны, для манипуляции общественным мнением авторы карт
могут сознательно применять проекции, не сохраняющие площади. Например, такие
карты могут использоваться в пропаганде, чтобы сделать страну или регион «важ-
нее» и тем самым продемонстрировать ее политическое, экономическое или военное
влияние, оказать психологическое воздействие на жителей других территорий. Мно-
гие страны при изготовлении пропагандистских карт в разное время пользовались
проекцией Меркатора. Например, Британская империя на английских картах была
окрашена в красный цвет, символизирующий силу и могущество. Гринвичский мери-
диан и, следовательно, Англия на этих картах располагались в центре, а английские
колонии — в тех частях карты, где в силу проективных искажений их площадь уве-
личивалась. В некоторых случаях Австралия и Новая Зеландия изображались
с обеих сторон карты одновременно.
85
ПРОЕКЦИЯ АРХИМЕДА. ИЛИ РАВНОВЕЛИКАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ЛАМБЕРТА
Карта Британской империи 1907 года.
В Российской империи и позднее в Советском Союзе карты мира также часто
составлялись в проекции Меркатора, так как на них Россия выглядела преувели-
ченно большой. Некоторые политические партии, предупреждавшие об опасности
красной угрозы, то есть установления коммунизма во всем мире, также использова-
ли карты в этой проекции, на которых СССР и Китай были выделены агрессивным
ярко-красным цветом. В Европе и США аналогично использовались карты, вы-
годно представлявшие их на мировой арене.
Та или иная страна может изображаться на картах в уменьшенном виде, чтобы
показать давление, которое оказывают на нее другие страны. Так, в книге «Как об-
манывать с помощью карт» (How to Lie with Maps) Марк Монмонье приводит при-
мер карты, опубликованной в 1973 году Еврейским национальным фондом Канады.
На ней для демонстрации «арабской лжи» об израильской агрессии Израиль был
изображен белым цветом на фоне арабского региона, закрашенного черным, кото-
рый простирался от Марокко на севере Африки до Саудовской Аравии. Карта гово-
рила о протяженности этих территорий, но не об их технологической, экономической
и военной мощи или поддержке со стороны международного сообщества. Нацисты,
которые умело использовали политическую пропаганду, применили этот же прием
на карте под заголовком «Германия — нация-агрессор?», где территория Германии
сравнивалась с территорией Британской империи.
Это лишь немногие примеры пропагандистского использования карт, которые
хранит история картографии.
86
Глава 6
Центральная,
или гномоническая проекция
Понять Эйнштейна нелегко, / он не для нашего ума, / и сколь бы
малой ни была/ выдержка — хоть и сменить ее можно всегда/
и где бы ни простерлись тени,/скорость света будет неизменной. /
Есть и другие слова и понятия,/что могут любого из себя
вывести./«Геодезическая» линия — кратчайши путь/
из какой-либо точки в другую, поблизости. / На этой шахматной
доске/Узнайте вы свои координаты, / чтоб доказать
математически / теории о ближнем и дальнем.
Кеки Дарувалла «Инструкция к пространству-времени» («Space-time
instruction») из сборника The Mapmaker (2002)
Центральная, или гномоническая, проекция считается самой древней. Ее авторство
обычно приписывается Фалесу Милетскому, который, как считается, использовал
косую гномоническую проекцию для создания карт звездного неба. Эта азимуталь-
ная проекция земного шара на касающуюся его плоскость в древности называлась
horologium («часы») и «гороскоп», так как гномон был частью солнечных часов.
В солнечных часах гномон располагается под наклоном и указывает на Северный
полюс. Тень гномона указывает время в течение дня, когда Солнце движется по небу.
Углы между делениями, обозначавшими часы, на циферблате солнечных часов, раз-
меченном для определенной широты, равны углам между меридианами в гномониче-
ской проекции, центр которой располагается на этой же широте. При этом 15° дол-
готы равносильны разнице во времени ровно в один час.
Происхождение термина «центральная проекция» неизвестно. Термин «гноми-
ческая проекция» первым использовал английский математик Уильям Эмерсон
в 1749 году. Позднее, в 1836 году, британский математик Огастес де Морган ввел
современный термин «гномоническая проекция». Богатство геометрических свойств
этой проекции основано на том, что кривые, указывающие кратчайшие пути (то есть
геодезические линии), также называемые ортодромами, изображаются прямыми.
Слабое место этой проекции заключается в том, что по мере удаления от точки каса-
87
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ФАЛЕС МИЛЕТСКИЙ (ОК. 624 ГОДА ДО Н. Э. - ОК. 547 ГОДА ДО Н. Э.)
О жизни и творчестве этого греческого философа и математика мало что известно. Сведения
о нем дошли до нас благодаря работам более поздних философов и историков, в частности
Аристотеля, Геродота и Диогена Лаэртского. Фалес, учитель Пифагора, считался первым фило-
софом Античности и первым из семи мудрецов Греции. Ему приписывается ряд геометрических
открытий, два из которых объединены общим названием «теорема Фалеса».
1. Угол, вписанный в полуокружность, прямой.
2. Если на одной из двух прямых отложить последовательно несколько пропорциональных
отрезков и через их концы провести параллельные прямые, пересекающие вторую пря-
мую, то они отсекут на второй прямой пропорциональные между собой отрезки.
Хотя мы не можем точно утверждать, каков на самом деле был вклад Фалеса в науку, до-
стоверно известно одно: он был первым математиком, которому присваивались конкретные
математические открытия. Фалес считается создателем дедуктивной геометрии; различные
источники приписывают ему авторство решений множества практических задач. Так, Фалес
измерил размеры египетских пирамид подлине их тени с помощью вертикально расположенной
палки, предсказал солнечные затмения и вычислил расстояние от корабля до берега с помощью
подобия треугольников. Благодаря Аристотелю нам известно, как Фалесу удалось разбогатеть.
Ученый, применив знания астрономии, предсказал высокий урожай оливок и взял под контроль
маслобойни в Милете и на Хиосе. Несколько месяцев спустя, когда урожай был собран, Фалес
смог диктовать покупателям свои цены. В результате он разбогател и посрамил всех, кто по-
прекал его бедностью и называл его философию бесполезной.
88
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ния (центра карты) искажения сильно возрастают, что делает проекцию неудобной
для составления карт мира. Однако ее можно использовать в других целях.
Определение и картографические свойства
Рассмотрим сферу и касательную ей плоскость. Отображением точки А на поверх-
ности сферы, полученным с помощью центральной проекции, будет точка А' на пло-
скости, определяемая как пересечение прямой, проходящей через точку А и центр
сферы, с этой плоскостью.
Схема центральной, или гномонической, проекции и карта,
выполненная в этой проекции (центр проекции расположен на экваторе).
89
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Это очевидно геометрическая проекция. Если мы вновь представим Землю как
шар из полупрозрачного пластика, на поверхности которого нарисованы континен-
ты, то сможем увидеть его гномоническую проекцию, если поставим шар на белый
стол и разместим в центре шара точечный источник света.
Если точкой касания шара и плоскости является один из полюсов, то меридианы
отображаются в виде радиальных равномерно распределенных прямых, исходящих
из центра карты, где будет изображен полюс. Экватор в этом случае бесконечно
удален, и его нельзя представить на карте. На такой бесконечной карте нельзя изо-
бразить и полушарие целиком. Другие параллели будут иметь вид концентрических
окружностей, центр которых совпадает с полюсом.
Карта, выполненная в полярной гномонической проекции.
Центром проекции является Северный полюс.
Если точка касания шара и плоскости располагается на экваторе, то меридианы
будут отображаться в виде параллельных прямых, распределенных неравномерно.
Экватор в этой проекции будет выглядеть как прямая, перпендикулярная меридиа-
нам, а остальные параллели примут форму гипербол.
Если точкой касания шара и плоскости выбрать любую произвольную точку сферы,
то меридианы будут изображаться в виде радиальных неравномерно распределенных
прямых, указывающих на полюс. Экватор будет изображен в виде прямой, перпен-
дикулярной только меридиану, проходящему через точку касания. Другие параллели,
близкие к полюсу, примут форму эллипсов, параллель, проходящая через точку ка-
сания, будет изображена в виде параболы, остальные параллели — в виде гипербол.
90
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Карта, выполненная в косой гномонической проекции с центром в Японии.
Вот некоторые свойства карты в гномонической проекции.
1. Как правило, круглая форма (возможно, обрезанная тем или иным способом),
карта охватывает лишь часть одного из полушарий.
2. Большие круги, проходящие через точку касания, отображаются как радиаль-
ные равномерно распределенные прямые (если мы рассмотрим несколько
больших кругов, отстоящих друг от друга на равные углы), а точки, удаленные
от точки касания на одинаковое расстояние, примут форму окружностей с цен-
тром в этой точке.
3. Форма и распределение меридианов и параллелей будут выглядеть так, как мы
описали выше. Искажение в направлении меридианов будет равно =
= 1/sin2 ф, в направлении параллелей — А = 1/sin ф.
4. Гномоническая проекция сохраняет геодезические линии, но не сохраняет рас-
стояния, площади и величины углов.
5. Искажение площадей, форм и углов, наименьшее в точке касания (в центре
карты), будет увеличиваться по мере удаления от этой точки.
Доказать геометрическими методами, что гномоническая проекция сохраняет
геодезические линии, очень просто. Геодезические линии сферы, большие круги, по-
лучаются сечением сферы плоскостью, проходящей через центр сферы. Следова-
тельно, изображением большого круга в центральной проекции будет прямая, вдоль
91
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
которой пересекаются плоскость, определяющая большой круг, и касательная пло-
скость, как показано на рисунке. Это доказывает, что гномоническая проекция пре-
образует геодезические линии сферы (ее большие круги) в геодезические линии
плоскости (прямые).
Гчомоническая проекция сохраняет геодезические линии
и преобразует большие круги сферы в прямые на плоскости.
Кроме того, можно доказать, что это по сути единственная картографическая
проекция, обладающая подобным свойством. Если говорить о сохранении площадей
или углов, то этим свойством обладает множество проекций.
Чтобы определить, сохраняет ли гномоническая проекция площади и (или) углы,
вычислим искажения, возникающие при ее использовании на меридианах и паралле-
лях. Для этого построим индикатрису Тиссо для произвольной точки сферы, то есть
рассмотрим окружность достаточно малого размера (в действительности она будет
бесконечно малой, поэтому можно считать, что окружность располагается на пло-
скости, касающейся сферы в этой точке) и рассчитаем размеры эллипса, в который
преобразуется эта окружность в гномонической проекции.
Представим Землю как сферу единичного радиуса. Рассмотрим плоскость про-
екции Т, которая касается сферы (допустим, точка касания расположена в Север-
ном полушарии). На эту плоскость мы спроецируем часть полусферы, при этом
центр проекции будет совпадать с центром сферы. Пусть А — точка сферы с широ-
той ф, D — диск достаточно малого радиуса г, который касается сферы в точке А.
Построим проекцию этого диска на плоскость проекции Т в два этапа. На пер-
вом этапе диск D преобразуется в диск D', который лежит в плоскости, параллель-
ной D. Центром этого диска является точка Л' — отображение точки Л, полученное
92
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
с помощью гномонической проекции. В силу подобия треугольников (по теореме
Фалеса), как вы можете видеть на следующем рисунке, радиус г диска D' удовлет-
воряет соотношению
г’ _ |ОЛ’|
Г 1
По правилам элементарной тригонометрии
sin 0 = г
|ОИ’|
Имеем:
Первый этап построения гномонической проекции.
Искомым отображением будет проекция диска D' на касательную плоскость Т —
уже не диск, а эллипс. В направлении «запад — восток» диск D' пересекает пло-
скость 7, следовательно, проекция не изменит его размеров, и длина соответствую-
щей полуоси эллипса будет равна уже вычисленному радиусу:
sin ф
Итак, искажение вдоль параллели будет равно:
sin ф
93
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Посмотрим, как изменится диск в направлении «север — юг», и рассчитаем ис-
кажение вдоль меридиана. Так как радиус г очень мал по сравнению с расстоянием
между Л' и центром проекции О, угол А' ВС (см. след, рисунок) будет очень близок
к прямому углу. Так как г достаточно мал, этот угол можно считать прямым. Как
следствие, проекцией отрезка длиной г, лежащего в направлении «север — юг»,
будет отрезок на плоскости Т длиной г":
• 2 ’
sin ф sin ф
согласно правилам элементарной тригонометрии. Искажение вдоль меридиана будет
равно:
1
sin 2ф
Второй этап построения гномонической проекции.
Как следствие, отображением D" окружности D радиуса г в центральной про-
екции будет эллипс, а длины его полуосей равны:
г г
г =----- и г =-------—.
sin ф sin 2ф
Можно сделать вывод: центральная проекция не сохраняет площади, поскольку,
как мы уже отмечали, искажение вдоль меридианов
1
sin20
94
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
должно быть обратным искажению вдоль параллелей
sin ф
Это соотношение не выполняется:
1 # Л =
1
sin
Гномоническая проекция также не сохраняет углы, поскольку искажение вдоль
меридианов и параллелей отличается.
Азимутальные проекции
В зависимости от того, какая вспомогательная поверхность используется в проек-
ции: плоскость, цилиндр или конус — геометрические проекции делятся на азиму-
тальные, цилиндрические (о них мы рассказали в прошлой главе) и конические. Ис-
пользование цилиндра и конуса обусловлено тем, что эти поверхности являются раз-
вертывающимися, то есть их можно развернуть на плоской поверхности без измене-
ния метрических свойств.
Проекции делятся на азимутальные, цилиндрические и конические в зависимости оттого, какая
поверхность используется в качестве вспомогательной: плоскость, цилиндр или конус.
95
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Помимо этих основных поверхностей, могут использовать и другие, необяза-
тельно развертывающиеся: так, в проекции «броненосец» (Эрвин Райш, 1943) сфе-
ра проецируется на поверхность тора (напомним, что тор — поверхность в форме
бублика), после чего строится ее ортогональная проекция на плоскость.
Хотя алгоритмические проекции описываются математическими формулами
и не имеют геометрической интерпретации, они, как правило, также делятся на ази-
мутальные, цилиндрические и конические в зависимости от своих свойств.
Но вернемся к азимутальным проекциям. Живительно, что они не называют-
ся просто «планарными» или «плоскими». Откуда взялось слово «азимутальный»?
Для данной точки А земной поверхности и других двух точек, В и С, азимут, взятый
из точки В на точку С, — это угол, образованный кривыми наименьшей длины, сое-
диняющими точки Ли В и А и С. Этими кривыми наименьшей длины, как известно,
будут дуги больших кругов сферы. Иными словами, азимут — это угол, на который
наблюдатель, находящийся в точке А и смотрящий в точку В, должен повернуться,
чтобы увидеть точку С, как показано на рисунке.
Источник: Карлос А. Фурути.
96
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Понятие азимута возникло в астрономии и навигации и обозначает угол, или дли-
ну дуги математического горизонта, измеренный от точки севера (или точки юга)
до вертикальной проекции небесного тела на горизонт наблюдателя.
Следовательно, по своей сути азимутальные проекции — это проекции, сохра-
няющие азимут, взятый из фиксированной точки отсчета, которой является центр
карты. Как следствие, эти проекции сохраняют направления до других произволь-
ных точек, но необязательно сохраняют расстояния. Проекции, которые мы хотели
назвать «планарными», называются азимутальными потому, что получаются путем
прямой проекции на касательную плоскость земного шара (также можно рассмо-
треть вариант с секущей плоскостью).
Все азимутальные проекции, центры которых совпадают с Северным или Юж-
ным полюсом, обладают следующими свойствами.
1. Меридианы изображаются равномерно распределенными прямыми (если рас-
сматривается сетка меридианов, отстоящих друг от друга на равные углы),
проходящими через центр карты.
2. Параллели изображаются концентрическими окружностями с центром в точке
касания. Следовательно, различные азимутальные проекции определяются
тем, как распределяются окружности параллелей.
Стереографическая
Сравнение расположения параллелей в полярных разновидностях
различных азимутальных проекций.
97
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
В этой проекции радиальные прямые, исходящие из центра карты, являются ото-
бражениями дуг больших кругов, проходящих через точку касания земного шара
и плоскости. Однако в общем случае расстояния от этой точки не сохраняются
(за исключением азимутальной равнопромежуточной проекции). Остальные гео-
дезические линии, не проходящие через точку касания, как правило, также не со-
храняются, за исключением рассматриваемого частного случая.
КАРТЫ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРАВЛЕНИЙ НА МЕККУ
Мусульмане должны молиться пять раз в день, обратившись в сторону Каабы - священного куба,
расположенного в Мекке и символизирующего дом Бога. Мечети также должны располагаться
соответствующим образом. Но как мусульманин или строитель мечети любой точке мира может
узнать, в каком направлении находится Мекка? Можно построить карту в стереографической
проекции, в центре которой будет изображена Мекка. Так как эта проекция является азимуталь-
ной и конформной, на карте можно будет провести прямую между мечетью и Меккой, затем вы-
числить угол между этой прямой и меридианом. До начала молитвы мусульманин должен будет
встать лицом к северу, а затем повернуться на этот угол. Один из недостатков карты заключается
в том, что меридианы изображены кривыми линиями, а это усложняет вычисление угла.
Возможен и другой вариант: можно рассмотреть ретроазимутальные проекции, то есть проек-
ции, сохраняющие направление из любой точки Земли в фиксированную точку (но не наоборот,
как в случае с азимутальными проекциями). В ретроазимутальной проекции, предложенной
британским картографом Джеймсом Крейгом в 1910 году, меридианы изображаются парал
лельными равномерно распределенными прямыми. Карта в этой проекции, в центре которой
будет изображена Мекка, прекрасно подойдет для определения киблы - направления на Мекку.
98
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Искажения, вызываемые этим классом проекций (искажения геодезических ли-
ний, площадей, углов и форм), вблизи точки касания (или вблизи круга, образован-
ного сечением сферы плоскостью) малы и увеличиваются по мере удаления от нее.
При этом изображение близко к виду Земли из космоса. Классические геометри-
ческие проекции этого класса — ортографическая, гномоническая и стереографиче-
ская проекции. Другими, более сложными, являются азимутальная равнопромежу-
точная и равновеликая азимутальная проекция Ламберта. Такие карты используют-
ся в океанографии, на кораблях дальнего плавания, в туризме и в военном деле, так
как в их центре изображается конкретное место, а геодезические линии, проходящие
через него, сохраняются. Искажения на этих картах слишком велики, чтобы их мож-
но было использовать в качестве обычных географических карт.
Учитывая вышесказанное, чтобы изобразить сетку меридианов и параллелей
на карте, выполненной в полярной азимутальной проекции, нужно определить центр
проекции (Северный или Южный полюс), провести ряд равномерно распределен-
ных прямых, проходящих через центр карты, которые будут соответствовать мери-
дианам, а затем изобразить ряд концентрических окружностей, которые будут обо-
значать параллели. Следовательно, необходимо определить, на каком расстоянии
друг от друга должны располагаться эти окружности. Мы можем вычислить это
расстояние, например, для гномонической проекции.
Выберем в качестве точки отсчета Южный полюс. Для данной точки А широ-
той ф и ее отображения Л' определены два подобных прямоугольных треугольника,
как показано на рисунке выше. Длины катетов малого треугольника таковы (напо-
минаем, что здесь ф принимает отрицательные значения):
и
R sin —1-0 .
2
99
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Длины катетов большого треугольника равны R и г(ф) — расстояние от точки А'
до центра. По теореме Фалеса имеем:
г. тг ,
Rcos —- + ф
R sin —1-0
откуда
r(0) = Rtg — + ф =-Rctg(0).
к2 7
Следовательно, теперь мы можем изобразить сетку меридианов и параллелей
центральной проекции.
Использование карт, выполненных
в гномонической проекции
Как мы уже отмечали, центральная проекция не подходит для составления карт
мира, но часто используется при составлении карт полярных регионов. Чтобы изо-
бразить на такой карте весь мир, потребовалась бы двойная круговая карта, на каж-
дой половине которой было бы представлено по одному полушарию. Однако изо-
бразить на каждой половине карты полушарие целиком невозможно. Более того,
по мере удаления от центра карты и увеличения охватываемой территории искаже-
ния расстояний, площадей и форм растут — это заметно на любой карте, выполнен-
ной в гномонической проекции. Однако для углового расстояния менее 30°, считая
от точки касания, карта в этой проекции будет достаточно точной.
Несмотря на вышесказанное, гномоническая проекция неоднократно использо-
валась при составлении карт больших участков земной поверхности. Например,
в 1844 году Обществом распространения полезных знаний Великобритании
(SDUK) был опубликован атлас карт в двух томах. Планировалось, что этот недо-
рогой атлас будет использоваться в образовательных целях. В издании гномониче-
ская проекция применялась при составлении карт звездного неба и в шести картах,
охватывающих весь земной шар (Африка и Средиземноморье, Америка, Азия
и часть Австралии, Океания и полюса). Эти шесть карт соответствовали шести гра-
100
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ням куба, в который был вписан земной шар. Далее были построены проекции зем-
ного шара на грани этого куба с центром проекций в центр сферы. Другой пример
атласа мира из шести карт, составленных аналогичным образом, был издан в Вейма-
ре в 1803 году картографом Христианом Готтлибом Рейхардом (1758—1837). Сам
математик Огастес де Морган в 1836 году опубликовал книгу с длинным и не тре-
бующим дополнительных пояснений названием «Объяснение гномонической про-
екции сферы и тех аспектов астрономии, что наиболее необходимы при использова-
нии астрономических карт, и описание построения и использования больших и ма-
лых карт звездного неба, равно как и шести карт Земли».
Можно составить карту мира, спроецировав сферическую модель Земли
на описанный вокруг нее куб с помощью гномонической проекции,
а затем развернув этот куб на плоскости.
Как бы то ни было, важнейшее свойство гномонической проекции, которое дела-
ет ее незаменимой в навигации, заключается в сохранении геодезических линий,
то есть ортодромы сферы на плоскости карты изображаются прямыми линиями.
Если, например, капитану корабля или пилоту самолета потребуется определить
101
ЦЕНТРАЛЬНАЯ, ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
кратчайший путь между двумя точками нашей планеты, ему достаточно будет взять
карту, выполненную в гномонической проекции, и провести прямую, соединяющую
выбранные точки. Морские карты в гномоничесю )й проекции можно увидеть в лю-
бом магазине и на любом интернет-сайте, посвященном навигационным картам.
Гидрографическая служба США использовала гномоническую проекцию при соз-
дании подобных карт всех океанов. Ее примеру при составлении карт следуют
гидрографические службы многих других стран, а в учебниках по навигации объяс-
няются методы прокладки курса «вдоль больших кругов» и алгоритмы расчета рас-
стояний по навигационным картам в гномонической проекции.
Карты для морской и воздушной навигации должны обладать двумя основными
свойствами: во-первых, ортодромы должны быть представлены в виде прямых ли-
ний, во-вторых, на карте должны сохраняться углы и румбы. Именно поэтому за-
дача о создании идеальной карты, сохраняющей все метрические свойства, так важ-
на для навигации. Как вы увидите в следующей главе, в отсутствие точной карты
Земли моряки одновременно используют карту в гномонической проекции и карту
в проекции Меркатора — она является конформной, а кривые, пересекающие все
меридианы под постоянным углом (локсодромы), изображаются на ней прямыми
линиями. Благодаря тому что большие круги сферы изображаются в виде прямых,
центральная проекция применяется в минералогии и сейсмологии, так как сейсмиче-
ские волны распространяются вдоль больших кругов, подобно радиоволнам. Карты,
выполненные в центральной проекции, также используют радисты кораблей, а по-
добные карты звездного неба применяются при наблюдении метеоритов, которые
также движутся вдоль больших кругов.
Хотя гномоническая проекция — одна из самых древних, в эпоху Возрождения
она использовалась редко и вновь стала популярной в начале XVII века, особен-
но при составлении карт звездного неба. Немецкий математик и астроном Иоганн
Кеплер (1571—1630) при составлении карты звездного неба в 1606 году приме-
нил экваториальную разновидность этой проекции; австрийский астроном Кристоф
Гринбергер (1561—1636) использовал различные варианты этой проекции в своем
атласе созвездий 1616 года, а итальянский математик и астроном Орацио Грасси
(1583—1654) — в картах звездного неба в 1618 году. С этого времени гномони-
ческая проекция стала одной из самых популярных при составлении карт звездного
неба: звезды, которые располагались на большом круге небесной сферы, а визуаль-
но находились на одной прямой, в этой проекции изображались на одной линии.
Определять местоположение звезд и изучать звездное небо по таким картам было
проще.
102
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Центральная проекция чаще остальных использовалась при изготовлении много-
гранных карт и их разновидностей. Для этого земной шар (сферическая модель
Земли) вписывается в многогранник, а затем проецируется на поверхности его гра-
ней. В случае с простой гномонической проекцией центр проекции совпадает с цен-
тром сферы. Таким образом получается изображение Земли на плоских гранях мно-
гогранника. Далее можно либо рассмотреть карту в форме многогранника, либо раз-
вернуть ее на плоскости. В многогранных картах чаще всего используются Платоно-
вы тела (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр), гранями которых являются
равные между собой правильные многоугольники, однако могут применяться и та-
кие фигуры, как усеченный октаэдр, кубооктаэдр и другие. Искажения на таких
картах возрастают по мере приближения к вершинам и ребрам и уменьшаются вбли-
зи центров граней — точек касания сферы и многогранника. В качестве примеров
многогранных карт, выполненных в гномонической проекции, можно привести шесть
граней карты Рейхарда или карты Общества распространения полезных знаний
Великобритании, карту Кэхилла в форме бабочки (1909), которая представляет со-
бой развернутый на плоскости октаэдр, или карту Димаксион, созданную американ-
ским дизайнером и архитектором Ричардом Бакминстером Фуллером. Проекция
Фуллера представляет собой разновидность проекции на икосаэдр, и о ней мы по-
говорим в главе 9.
Восьмигранная карта Кэхилла в форме бабочки, выполненная путем гномонической
проекции сферической модели Земли на грани октаэдра. Если сложить октаэдр заново,
получится восьмигранная модель Земли.
103
ЦЕНТРАЛЬНАЯ. ИЛИ ГНОМОНИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Помимо карт земной поверхности, существуют и другие карты, игравшие важную роль на протя-
жении всей истории человечества. Речь идет о картах звездного неба, начиная от составленных
в Дреьнем Китае, Индии, Месопотамии и Египте и до европейских. В XVII и XVIII веке в Европе
издавалось множество атласов звездного неба. Созвездия при этом изображались в виде ге-
роев греческой мифологии, реальных и фантастических животных и различных предметов. В ту
эпоху небг имело большое значение в европейской культуре, причем не только в навигации,
но и в астрологии, которой зарабатывали себе на жизнь многие астрономы.
Первым полным атласом небесного свода, изданным еще до изобретения телескопа и задав-
шим направление развития карт звездного неба и астрономии в целом, стала «Уранометрия»
(1603) баварского адвоката и издателя Иоганна Байера (1572-1625), созданная на основе
каталога звезд датского астронома Тихо Браге (1546-1601).
Первый телескоп сконструировал итальянский математик и астроном Галилео Галилей
(1564-1642) в 1609 году. Двумя шедеврами этой эпохи небесной картографии стали «Гармония
макрокосмоса» (Harmonia Macrocosmica, 1660) немецкого математика и картографа Андреаса
Целлариуса (ок. 1596 -1665) - самый знаменитый атлас XVII века и, по мнению некоторых
специалистов, красивейший сборник карт звездного неба всех времен, и «Небесный атлас»
(Atlas Coelestis, 1729) английского астронома Джона Флемстида (1646-1719) - первого ко-
ролевского астронома и директора Гринвичской обсерватории.
Иллюстрация из «Гармонии
макрокосмоса» Андреаса
Целлариуса 1708 года.
104
Глава 7
Стереографическая проекция
Стереографическая проекция — это графический метод,
позволяющий представлять трехмерную геометрическую
информацию в двух измерениях и решать задачи стереометрии.
В геологии эта проекция используется, главным образом,
для решения задач, связанных с ориентированием прямых
и плоскостей, в том числе в кристаллографии и в структурной
геологии. В подобных задачах большее значение имеют
углы между линиями и плоскостями, а не их расположение
в пространстве.
Р. Парк «Основы структурной геологии» (2004)
Стереографическая проекция — возможно, наиболее часто применяемая и самая из-
вестная азимутальная картографическая проекция. Ее авторство обычно приписы-
вается Гиппарху Никейскому, хотя, возможно, она была известна еще древним егип-
тянам. Проекция впервые упоминается в трактате Птолемея «Планисферий». Ори-
гинал этого документа на древнегреческом языке утерян, до нас он дошел в арабском
переводе, автором которого был математик Маслама. Впервые труд Птолемея был
напечатан в виде приложения к его «Географии» в 1507 году. В работе была описана
астролябия — инструмент для определения положения звезд на небесной сфере
с использованием стереографической проекции. Птолемей называл эту проекцию
планисферной, и это название сохранилось до XVI века (термин «планисфера» ста-
ли применять по отношению к картам звездного неба, так как для их изготовления
использовалась именно эта проекция). В Средневековье стереографическая проек-
ция также называлась проекцией астролябии. Название «стереографическая» ввел
бельгийский математик Франсуа д’Агильон (1567—1617), который в своем труде
«Шесть книг по оптике, полезные для философов и математиков» (Opticorum libri
sex philosophis juxta ас mathematicis utiles) изучил свойства ортографической и стере-
ографической проекций. Название «стереографическая» происходит от греческого
«стерео» — «твердое тело» и «графиа» — «рисунок, изображение».
105
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
МАСЛАМА (ОК. 950-1007)
Абу аль-Касим Маслама ибн Ахмад аль-Фаради аль-Хасиб аль-Куртуби аль-Майрити родился
в Мадриде в середине X века (аль-Майрити в его имени означает «родом из Мадрида»). В юном
возрасте он переехал в Кордову, где познакомился с учеными, которые способствовали распро-
странению достижений греческой науки в Андалусии. Со временем Маслама основал в Кордове
собственную научную школу. Она стала настолько известной (Масламу называли андалусским
Евклидом и королем андалусских математиков), что в нее стремились ученые со всей Андалусии
и других регионов. Одно из достижений Масламы - перевод «Планисферия» Птолемея на араб-
ский, который, как и оригинал, был утерян, однако успел лечь в основу последующих переводов
книги на латынь и иврит, при этом сохранились комментарии самого Масламы к Птолемею.
Кроме этого, Маслама занимался разработкой методов конструирования астролябии, которым
он посвятил небольшую книгу; корректировкой таблиц Аль-Хорезми и Ал-Баттани для меридиана
Кордовы (Маслама сделал их более удобными и точными); он написал учебник по арифметике
в торговле и трактат по астрономии, а также определил долготу звезды Кальб Аль-Асад (сегодня
она называется Регул).
Хотя полярная версия этой проекции была известна уже в Античности и исполь-
зовалась при составлении карт звездного неба, в конце XVI и в XVII—XVIII веках
проекция применялась для изображения Земли в виде двух отдельных полушарий.
Карта мира Vera totius expeditions nauticae («Изображение всех морских экспедиций») (1595)
Йодокуса Хондиуса (1563-1612) выполнена в стереографической проекции. На карте отмечены
маршруты первых кругосветных путешествий, совершенных англичанами — сэром Фрэнсисом
Дрейком в 1577-1580 годах и Томасом Кавендишем в 1586-1588 годах.
106
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Определение и картографические свойства
Стереографическая проекция строится следующим образом: рассмотрим сферу
и плоскость, которая касается сферы в точке S (например, в Южном полюсе), и по-
строим проекцию из диаметрально противоположной точки N (в нашем случае —
Северного полюса). Отображением точки А на поверхности сферы, полученным
с помощью стереографической проекции, будет точка Л' на плоскости, определяемая
как пересечение прямой, проходящей через точки А и N, с этой плоскостью, как по-
казано на рисунке. Иными словами, если мы представим Землю как пластиковый
шар, лежащий на столе так, что точкой касания шара и стола будет Южный полюс,
то эта проекция будет тенью точки, освещаемой источником света, находящимся
на Северном полюсе.
Слева — определение стереографической проекции. Справа — карта, выполненная в полярной
стереографической проекции (центр проекции совпадает с Южным полюсом).
Стереографическая проекция имеет следующие свойства.
1. Так как она является азимутальной, карта в этой проекции имеет форму круга
и охватывает всего одно полушарие. При изображении в этой проекции боль-
ших участков земной поверхности искажения слишком велики.
2. Искажение на меридианах и параллелях равно
Следовательно, эта проекция конформна, то есть сохраняет величины углов.
Однако она не сохраняет ни геодезические линии, ни площади, ни расстояния.
107
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
3. Так как эта проекция является азимутальной, она сохраняет геодезические ли-
нии, проходящие через точку касания сферы и плоскости. Иными словами,
если центр проекции совпадает с одним из полюсов, меридианы изображаются
прямыми, проходящими через центр карты.
4. Все меридианы и параллели (точнее все окружности сферы, в том числе боль-
шие круги) изображаются окружностями на плоскости, за исключением
окружностей, проходящих через точку касания — они изображаются прямы-
ми (это особенность отображений, называемых инверсиями, а стереографиче-
ская проекция является результатом инверсии).
5. Локсодромы (кривые на поверхности сферы, пересекающие меридианы под
постоянным углом) изображаются в виде логарифмических спиралей.
6. Искажение площадей, форм и размеров вблизи точки касания невелико и воз-
растает по мере удаления от нее. При выходе за границы полушария, где рас-
положена точка касания (то есть при пересечении экватора в полярных верси-
ях проекции), искажения становятся слишком велики.
Локсодрома на земном шаре и на карте,
выполненной в стереографической проекции,
центр которой совпадает с Северным полюсом.
Далее мы аналогично центральной проекции рассчитаем искажения, возникаю-
щие при использовании стереографической проекции. Рассмотрим диск D достаточ-
но малого (бесконечно малого) радиуса г, касающийся сферы в точке А широтой ф.
Примем радиус сферы равным 1, так как речь идет о сферической модели Земли.
Посмотрим, как построенный нами диск изменится в стереографической проекции,
и определим, какие искажения она вносит.
108
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА
Все мы знаем, что сумма углов произвольного треугольника равна 180° (или п радиан) -
половине полного оборота вокруг оси. Этот классический результат евклидовой геометрии
упоминается уже в «Началах» (предложение 32 книги I), созданных греческим математиком
Евклидом Александрийским (ок. 325 года до н. э. - ок. 265 года до н.э). Доказательство этого
утверждения отличается простотой и изяществом. В данном треугольнике АВС через вершину С
проводится линия, параллельная АВ, как показано на рисунке. Так как эта прямая параллельна
АВ, обе они образуют равные углы с прямой АС (угол а). По этой же причине они образуют
равные умы с прямой ВС (угол Р). Так
как прямые АС и ВС пересекаются, угол у
и противолежащий ему равны как верти-
кальные. Сумма трех углов при вершине С
равна сумме углов треугольника а, р и у,
то есть развернутому углу - 180°.
Перед построением стереографической проекции диска на следующем рисунке
обозначим через \|/ угол ONA, равный углу OAN, и, поскольку сумма углов треу-
гольника равна 71, имеем:
ф п
ш=—+—.
2 4
109
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
С другой стороны, расстояние между /V и А равно |ЛЛ| = 2 cos \|/ по тригоно-
метрической теореме косинусов (для данного треугольника со сторонами а, b и с
и углом ОС, противолежащим стороне а, выполняется равенство а2 = Ь2 + с1 — 2Ьс
cos Ct). По определению косинуса имеем, что расстояние между /V и А' — стерео-
графической проекцией точки А — равно:
|ЛИ'|
2
cosl/f
Чтобы лучше понять, как изменяется диск в стереографической проекции, про-
ведем построение в два этапа. На первом этапе диск преобразуется в диск D', лежа-
щий в плоскости, параллельной D. Центром диска будет точка А' — стереографи-
ческая проекция точки Л (см. следующий рисунок). В силу подобия треугольников
(по теореме Фалеса) имеем:
Первый этап построения стереографической проекции.
Второй этап заключается в построении проекции диска D' радиуса г на плоскость
проекции Т. В направлении «запад — восток» диск D' и плоскость Т пересекаются,
следовательно, проекция отрезка будет иметь ту же длину, что и сам отрезок. Это
означает, что искажение вдоль параллелей равно
110
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
2 ф Л
2 4
так как мы вычислили искажение бесконечно малого отрезка длины г, расположен-
ного вдоль параллели.
Рассмотрим, что произойдет с отрезками, расположенными в направлении «се-
вер — юг», и рассчитаем при этом искажение вдоль меридианов (см. следующий
рисунок). Сначала заметим, что угол SA'N равен ту^ — у. Если мы будем считать,
что |7Vz4'| очень велико по сравнению с г (изначально мы приняли размеры диска
D бесконечно малыми), то можно предположить, что проекционные лучи парал-
лельны. Следовательно, проекцией отрезка А'В' будет отрезок АС, а отрезок В'С
параллелен NA'. Угол Л' СВ', равно как и угол ЛВС, равен — Следователь-
но, треугольник ВА'С равнобедренный. Как следствие, |Л С| = \А'В'| = г'. Таким
образом, искажение вдоль меридианов и параллелей будет одинаковым. Более того,
оно будет одинаковым во всех направлениях, а значит, стереографической проекци-
ей D будет диск радиуса:
cos
.2 <РЛ
I Г -
2 4
Это указывает, что стереографическая проекция является изогональной, то есть со-
храняет величины углов.
Второй этап построения стереографической проекции.
В 1695 году английский математик и астроном Эдмунд Галлей (1656—1742)
опубликовал первое доказательство конформности стереографической проекции.
111
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Как мы уже указывали, конформные проекции сохраняют формы лишь на неболь-
ших участках, но не на всей карте. Форма границы страны или русла реки на карте
определяется изменением направления, в котором мы проводим изображаемую ли-
нию. Если говорить математическим языком, их очертания определяет изменение
касательного вектора рассматриваемой кривой. По этой причине сохранение вели-
чин углов обеспечивает локальное сохранение форм. Наглядным примером станет
Гренландия, реальные очертания которой очень отличаются от изображения в про-
екции Меркатора. Однако если мы рассмотрим небольшие участки на побережье
Гренландии, различия будут незначительными.
Задача изображения сетки меридианов и параллелей на карте, выполненной
в полярной стереографической проекции, сводится к расчету расстояния от центра,
на котором должны располагаться окружности, соответствующие параллелям, по-
скольку в азимутальных проекциях меридианы изображаются равномерно распре-
деленными прямыми, проходящими через центр карты. Так, радиус окружности —
проекции параллели, расположенной на широте ф, — равен
г(ф) = 2Л tg
I4 2j
где R — радиус сферической модели Земли. Чтобы рассчитать это расстояние,
нужно воспользоваться определением тангенса угла SNA (см. рисунок на стр. 109).
Использование карт, выполненных
в стереографической проекции
С древних времен до наших дней стереографическая проекция используется при со-
ставлении карт звездного неба. Полярная стереографическая проекция использова-
лась исключительно в этих целях со времен Древней Греции до, возможно, 1507 года,
когда она впервые была применена при составлении карты Земли. Как отмечает
Джон Снайдер в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth), эту карту
изготовил Вальтер Людд из Сан-Дье. Первые печатные карты звездного неба, соз-
данные с помощью полярной стереографической проекции, принадлежат знамени-
тому немецкому художнику Альбрехту Дюреру (1471—1528): в 1515 году он создал
карту Северного полушария небесной сферы Imagines coeli septentrionales cum
duodecim imaginibus zodiaci («Изображение северного звездного неба с двенадца-
тью зодиакальными созвездиями») и карту Южного полушария небесной сфе-
112
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ры Imagines coeli meridionales («Изображение южного звездного неба»). Центры
проекций этих карт располагались в Северном и Южном полюсах эклиптики соот-
ветственно. За ними последовали многие другие, например карты полушарий небес-
ной сферы, выполненные Галлеем примерно в 1678 году, или опубликованная
в «Бюллетене Французской академии наук» в 1756 году «Карта мира, содержащая
небесные созвездия» (Planisphere contenant les constellations celestes) французского
астронома Никола Луи де Лакайля (1713—1762), на которой изображены звезды,
видимые в Южном полушарии. Карта Лакайля была включена в знаменитый атлас
звездного неба Флемстида 1776 года.
Многие другие карты звездного неба в полярной стереографической проекции
были созданы в золотой век небесной картографии великими астрономами, карто-
графами и математиками: Иоганном Доппельмайером, Пьером Шарлем Ле Мон-
нье, Жаном Домиником Кассини и многими другими.
Карта звездного неба Альбрехта Дюрера «Изображение северного звездного
неба», на которой изображено Северное полушарие небесной сферы.
ИЗ
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Полярная стереографическая проекция начала использоваться для составления
карт Земли в начале XVI века. Немецкий гуманист Грегор Рейш (ок. 1470—1525)
использовал ее в своей энциклопедии «Жемчужина философии» (1512) при состав-
лении простой карты с центром в Северном полюсе. Немецкий картограф Петер
Апиан (1495—1552) включил в свою «Космографию» (1524) небольшую карту
Северного полушария до 25-го градуса южной широты. Французский картограф
Гийом Делиль (1675—1726) в своем «Новом атласе, содержащем все части мира»
(1730) привел карты Северного и Южного полушария, выполненные в полярной
стереографической проекции. Аналогичные карты создал его племянник, картограф
Филипп Буше (1700—1773). Так, ему принадлежит знаменитая «Карта южных зе-
мель между тропиком Козерога и Антарктическим полюсом, изображающая новые
земли к югу от мыса Доброй Надежды, открытые в 1739 году». Существует два
КАРТЫ ЗВЕЗДНОГО НЕБА, ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Звезды на небе располагаются равномерно, и когда мы смотрим на них ночью, то кажется,
что они закреплены на огромной сфере, заключающей в себе наш мир. Причина в том, что
звезды находятся очень далеко от нас. Идеальная сфера неопределенного радиуса, центр ко-
торой совпадает с центром Земли и на которой, как нам кажется, находятся звезды, называется
небесной сферой.
Существует две системы небесных координат, аналогичных земным, с небесным экватором,
Северным и Южным полюсами мира, небесными меридианами и параллелями и углами, опре-
деляющими положение каждой звезды на небосводе подобно широте и долготе. Первая система
небесных координат, которая чаще применялась в Античности, - это эклиптическая система.
В ней за основу взята плоскость эклиптики - плоскость вращения Земли вокруг Солнца, которая
играет роль небесного экватора. В основе второй, более современной системы координат, нахо-
дится земной экватор. Зенит - это наивысшая точка небесной сферы над головой наблюдателя,
надир - точка, диаметрально противоположная зениту.
Небесную сферу, для которой известны положения звезд и созвездий в этих координатах,
можно спроецировать на плоскую поверхность и получить карту звездного неба подобно тому,
как строятся карты Земли. При создании карт звездного неба применяются те же проекции, что
и при составлении карт Земли. Однако в картах звездного неба чаще всего используются гномо-
ническая, стереографическая и равнопромежуточная проекции. С их помощью можно создать
карты, центром которых будет зенит, так как в этих проекциях искажения вокруг центра оди-
наковы. Кроме того, с помощью этих азимутальных проекций проще определить направление,
114
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
варианта этой карты: в одном из них отсутствует Антарктида, в другом на ее месте
изображены две большие части суши. Последний вариант был составлен задолго
до подробных исследований Австралийского континента, поэтому ее порой исполь-
зовали, чтобы доказать существование Атлантиды.
Вслед за этими картами были созданы многие другие похожие карты двух по-
лушарий, а также разработаны карты, на которых полушария изображались со-
вместно, например «Карта магнитных меридианов и параллелей» (Karte Der
Magnetischen Meridiane und Parallel-Kreise) и другие, включенные в «Физиче-
ский атлас» (Physikalischer Atlas, 1848) немецкого картографа Генриха Бергхауза
(1797—1884). Эти карты использовались в качестве иллюстраций к труду «Космос,
или Физическое мироописание» немецкого натуралиста и путешественника Алек-
сандра фон Гумбольдта (1769—1859).
вдоль которого следует смотреть, чтобы увидеть определенную звезду. Подходящая проекция
выбирается в зависимости оттого, чего мы хотим: чтобы звезды, находящиеся на одном боль-
шом круге, были изображены на одной прямой; чтобы карта сохраняла углы; чтобы искажения
были не слишком велики.
Карта участка небесной сферы вблизи Южного полюса мира,
составленная Никола Луи де Лакайлем, приведенная в четвертом издании
атласа звездного неба Флемстида.
115
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
«Карта магнитных меридианов и параллелей», на которой изображены два полушария
в стереографической проекции, составленная немецким географом Генрихом Бергхаузом.
Полярная стереографическая проекция достаточно часто используется при со-
ставлении карт приполярных территорий, так как если не рассматривать участки,
далекие от центра проекции, общие искажения очень малы. Эту проекцию часто
используют при составлении карт Антарктиды и территорий, лежащих за Север-
ным полярным кругом, Геологическая служба США и многие другие международ-
ные агентства, например Центр изучения снега и льда (The National Snow and Ice
Data Center) и Национальное управление океанических и атмосферных исследова-
ний США (National Oceanic and Atmospheric Administration). Применяется она
и в случае, когда необходимо использовать конформную проекцию, например при
составлении метеорологических карт, карт ветров Антарктиды и других.
Эта проекция лежит в основе системы координат UPS (универсальной полярной
системы координат), которая вместе с системой UTM (от англ. Universal Transverse
Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора) представляет собой
систему координат, или проекций, для изображения всей земной поверхности. Си-
стема определяет ряд зон среднего размера, которые можно изобразить в выбран-
116
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
ной проекции с очень малыми искажениями. Благодаря этому систему UPS исполь-
зует большинство картографических служб мира при составлении карт определен-
ных размеров. Мы вернемся к этой системе координат в главе 9, посвященной про-
екции Меркатора.
Полярная стереографическая проекция также применяется при составлении карт
областей среднего размера, близких к полюсам: в картах России, Европы или неко-
торых европейских стран, в частности Швеции, а также в картах Австралии и Се-
верной Америки.
Погодная карта Европы, выполненная
в полярной стереографической проекции.
Еще одна разновидность стереографической проекции — экваториальная, в ко-
торой точка касания сферы и плоскости проекции, то есть центр карты, находит-
ся на экваторе. Эту проекцию использовал арабский математик Аз-Заркали при
конструировании астролябии, а для создания карт Земли она начала применяться
с XVI века. Старейшая карта в этой проекции, дошедшая до наших дней, — это
простая карта двух полушарий, составленная французским картографом Жаном
Ротцем.
117
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
АЗ-ЗАРКАЛИ (ОК. 1029-1100)
Абу Исхак Ибрахим ибн Яхья ан-Наккаш аз-Заркали родился в Толедо. Прозвище Арзахель (ла-
тинизированный вариант имени «аз-Заркали») означает «голубоглазый». По некоторым источ-
никам, он был подмастерьем в мастерской своего отца и не получил образования (некоторые
историки отмечают, что он был неграмотным). Арзахель начал изготавливать измерительные
инструменты, в частности астролябии, для астрономов тайфы Толедо и постепенно самосто-
ятельно изучил астрономию. После завоевания Толедо Альфонсо VI в 1085 году аз-Заркали
переехал в Кордову, где и умер в 1100 году. Он известен благодаря созданию измерительных
инструментов, составлению астрономических таблиц и различным теоретическим исследова-
ниям. Самый известный из созданных им инструментов - заркала, универсальная астролябия,
которую можно было использовать на любой широте. Заркала применялась в Европе вплоть
до XVI века. Он также сконструировал водяные часы, установленные на берегу реки Тахо, ко-
торые позволяли определять время днем и ночью. Аз-Заркали был автором нескольких трак-
татов по конструированию и применению инструментов, в частности уже упомянутой заркалы,
экваториума, армиллярной сферы и других. Исследователь откорректировал астрономические
таблицы Аль-Хорезми и Ал-Бапани для меридиана Толедо, создав так называемые Толедские
таблицы; он также провел собственные наблюдения и включил в свой «Альманах» исправлен-
ные астрономические данные, которые впервые были получены древними греками. Эти дан-
ные позволяли определять положение планет, Солнца, Луны и других небесных тел напрямую,
не прибегая к объемным вычислениям, а также предсказывать солнечные и лунные затмения.
Аз-Заркали написал несколько трактатов, в которых изложил результаты своих наблюдений
Солнца, Луны и Меркурия, проведенных им в течение жизни.
Экваториальная стереографическая проекция в течение нескольких столетий
была стандартной для изготовления карт мира благодаря Румольду Меркатору,
сыну и наследнику Герарда Меркатора, который использовал ее в карте «Краткое
описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587), включенной в издание
Атласа Меркатора 1595 года.
В зависимости от того, на какой части экватора располагается центр одного
из полушарий (центром второго полушария будет диаметрально противоположная
точка небесной сферы), карта мира будет выглядеть по-разному. На картах Румоль-
да Меркатора, в «Новом и точнейшем представлении о мире» (Nova et accuratissima
terrarum orbis tabula, 1664) голландского картографа Яна Блау (1596—1673), сына
картографа Виллема Блау, или в «Новом точнейшем представлении мира» (Orbis
terrarum nova et accuratissima tabula, 1666) Петера Гооса (на этих картах Калифор-
118
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Карта двух полушарий «Краткое описание мира» (Orbis terrae compendiosa descriptio, 1587)
Румольда Меркатора, выполненная в экваториальной стереографической проекции. На карте
можно увидеть, как картографы того времени представляли себе Америку и Антарктиду.
ния изображена как остров, и эта картографическая ошибка повторяется на многих
картах XVII и XVIII веков), центр расположен на меридиане Каспийского моря,
поэтому на одном из полушарий изображены Европа, Африка, Азия и часть Океа-
нии, на другом — Тихий океан и Америка.
Другие картографы, подобно Ио доку су Хондиусу (он в своем «Изображении
всех морских экспедиций» (Vera totius expeditionis nauticae, стр. 106) отметил марш-
руты кругосветных путешествий Фрэнсиса Дрейка и Томаса Кавендиша), строили
эту проекцию с поворотом на 90° и располагали центры полушарий в Атлантическом
и Тихом океане соответственно. Некоторые изображали Европу и Африку в центре
одного из полушарий — такую карту составил немецкий картограф Филипп Экке-
брехт (1594—1667) в 1630 году для трактата по астрономии, написанного немецким
математиком и астрономом Иоганном Кеплером (1571—1630).
Начиная с этого времени экваториальная стереографическая проекция стала ис-
пользоваться для составления карт различных участков земного шара. Так, немец-
кий картограф Иоганн Баптист Гоманн (1664—1724) использовал эту проекцию
не только в типичной для того времени карте мира, разделенной на два полушария,
но и в картах Европы, Азии, Африки и Америки. По его стопам пошли и другие
119
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
картографы, например Иодокус Хондиус, применивший эту проекцию для «Вновь
начерченной карты Америки» (America noviter delineata, 1640).
Косую стереографическую проекцию первым использовал при составлении карт
звездного неба в IV веке н. э. греческий математик и астроном Теон Александрий-
ский, возможно, последний управитель Александрийской библиотеки и отец извест-
ной женщины-математика Гипатии. Сегодня стереографическая проекция указыва-
ется в числе рекомендуемых для составления карт звездного неба наряду с другими
азимутальными проекциями, гномонической и равнопромежуточной.
Использовать косую стереографическую проекцию для составления карт Земли
предложил австрийский картограф Иоганнес Стабиус (1450—1522). Эта проекция
стала популярной благодаря немецкому математику Иоганнесу Вернеру (1468—
1522), который включил ее в перевод «Географии» Птолемея на латынь. Следует
учесть, что одной из основных задач, связанных с использованием новых проекций,
было не их геометрическое определение, а создание методов их построения, что в те
годы происходило вручную. Так, в книге Джона Снайдера «Как Земля стала пло-
ской» (Flattening the Earth) приведены некоторые методы построения стереографи-
ческой и других картографических проекций.
В XVI и XVII веках эта проекция использовалась очень редко. Одним из ис-
ключений стал атлас мореплавателя и космографа Жака де Воля (ок. 1555—1597),
который в 1583 году построил карту двух полушарий в этой проекции. Центр перво-
120
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
го полушария располагался в Париже, центр второго, с изображением Антарктиды,
был диаметрально противоположен ему. Эта проекция также использовалась в кар-
тах Европы и Азии английского историка Джона Спида (1552—1629). Хотя косая
стереографическая проекция не снискала большой популярности, она применяется
до сих пор: в публикации «Картографические проекции Европы» (Map Projections
for Europe, 2003) Института экологии и окружающей среды ЕС (Institute for
Environment and Sustainability) отмечается, что эта проекция используется, напри-
мер, при составлении карт Нидерландов, Польши и Румынии. Применяла ее и Гео-
логическая служба США при составлении карт Луны, Марса и Меркурия.
Кроме того, на основе этой проекции Анри Руссель в 1922 году создал новую
проекцию, которая использовалась в СССР и Геологической службой США.
Благодаря богатству геометрических свойств стереографическая проекция нашла
применение во многих областях науки, в частности в таких разделах математики, как
комплексный анализ, неевклидова геометрия, дифференциальная геометрия, анали-
тическая геометрия и топология. Эта проекция используется в физике, структурной
геологии и инженерном деле, а также применяется в кристаллографии для изучения
свойств симметрии кристаллов, так как благодаря конформности она сохраняет углы
между гранями и ребрами кристаллов. В фотографии эта проекция используется при
конструировании широкоугольных объективов типа «рыбий глаз» с максимально
широким углом обзора.
Фотографии, выполненные в стереографической проекции широкоугольным объективом типа
•рыбий глаз», стали популярными в фотоискусстве (источник: Александр Дюре-Лутц).
121
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Конформные проекции особенно удобны, когда важны углы или направления
(румбы), например в морской и воздушной навигации. Помимо уже упомянутых
ортодром, в навигации важную роль играют локсодромы (кривые, пересекающие
меридианы под постоянным углом), так как при прокладке курса вдоль локсодро-
мы нужно всего лишь держаться одного и того же румба, указываемого, например,
стрелкой компаса. По этой причине сохраняется актуальность проекции Меркато-
ра, в которой локсодромы изображаются прямыми, следовательно, их можно легко
начертить на карте. Так как эти проекции сохраняют величины углов, они также
применяются в геодезии, метеорологии (для изображения, например, направлений
ветров или перпендикулярных им изобар) и океанографии. Они также находят при-
менение при анализе распространения волн, например сейсмических или радиоволн,
которое, как известно, происходит радиально: не будем забывать, что в конформ-
ных проекциях окружности изображаются как окружности или прямые. Наконец,
как показала американский биоматематик Моника Хёрдал из Университета штата
Флорида, конформные проекции важно использовать при составлении карт мозга.
Квинкунциальная проекция Пирса — это конформная проекция,
определяемая с помощью методов комплексного анализа на основе
стереографической проекции. В квинкунциальной проекции Пирса
сфера принимает форму квадрата.
122
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Наконец, так как конформные проекции сохраняют формы на локальном уровне,
они удобны для составления карт небольших участков земли.
Чаще всего используются следующие конформные проекции: уже рассмотренная
нами стереографическая проекция, проекция Меркатора, равноугольная коническая
проекция Ламберта и биполярная косая равноугольная коническая проекция. Суще-
ствуют и другие конформные проекции, например проекция Лагранжа, представ-
ленная Ламбертом в 1772 году, проекции Августа и Айзенлора, представленные
около 1870 года, квинкунциальная проекция Пирса, в которой Земля изображена
в виде квадрата (1879), и квадратная проекция Гойю (1887).
Конические проекции
Важнейшая конформная проекция после стереографической, о которой мы только
что рассказали, и проекции Меркатора, о которой мы поговорим в главе 9, — это
равноугольная коническая проекция Ламберта, которая, как следует из названия,
относится к третьей группе картографических проекций после азимутальных и ци-
линдрических. В геометрических (а следовательно, и алгоритмических) конических
проекциях сферическая модель Земли проецируется на касающийся ее или пересе-
кающий ее конус, который затем разворачивается на плоскости. Чтобы развернуть
конус на плоскости, его нужно разрезать вдоль меридиана. Конус, подобно цилин-
дру, используется потому, что его можно развернуть на плоскости так, что его ме-
трические свойства останутся неизменными. Кроме того, окружности сечения кону-
са сферой являются стандартными линиями, то есть линиями, изображаемыми
на карте в реальном масштабе. Иными словами, масштаб карты вдоль этих линий
является линейным.
Изображение, спроецированное на поверхность конуса и развернутое на плоскости.
123
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Все прямые конические проекции, то есть проекции, в которых вершина конуса
лежит на оси «север — юг», а линия касания конуса и сферы проходит вдоль парал-
лели, обладают следующими свойствами.
1. Меридианы изображаются прямыми линиями, исходящими из одной точки,
и разделены интервалами, имеющими одинаковые угловые размеры. Угловое
расстояние между меридианами уменьшается в фиксированном масштабе.
2. Параллели отображаются в виде дуг концентрических окружностей, пересека-
ющих меридианы под прямым углом. Искажения вдоль каждой параллели по-
стоянны.
Эти свойства означают, что карта в конической проекции имеет форму кольце-
вого сектора, а положение меридианов и параллелей задается угловым расстоянием
между меридианами и расстоянием между параллелями. Эти параметры, а также
стандартная параллель (параллели) и определяют внешний вид карты.
В конических проекциях сетка меридианов и параллелей имеет характерную форму.
Примером конической проекции является равновеликая коническая проекция Альберса (1805).
Искажения, вносимые коническими проекциями, вблизи стандартной параллели
(или параллелей) невелики и возрастают по мере приближения к полюсам. В силу
этого конические проекции обычно используются для карт стран, регионов и терри-
торий с умеренным климатом, в то время как азимутальные и цилиндрические про-
екции, как правило, применяются при построении карт полярных и экваториальных
территорий соответственно. Так, конические проекции подходят для изображения
124
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
участков земли, заключенных между двумя не слишком удаленными друг от друга
меридианами: например для карт Испании, Франции, Монголии или Аляски.
В этой же проекции можно составлять карты более широких областей, простираю-
щихся в направлении с востока на запад, например карты России, Европы или
США.
Кроме стандартных, или полярных, конических проекций, также существуют
экваториальные и косые конические проекции. Если не соблюдать условия постро-
ения конических проекций, мы получим так называемые псевдоконические (на них
меридианы изображаются кривыми) и поликонические (где параллели не являются
концентрическими окружностями) проекции.
Карта полуострова Флорида, выполненная в равновеликой конической проекции Альберса.
Птолемей создал две конические проекции (хотя в их описании он ни разу не упо-
минает конус), на которых параллели изображались дугами концентрических
окружностей. В первой проекции меридианы изображались прямыми линиями
(см. иллюстрацию на стр. 126), во второй — дугами окружности (стр. 12). Труды
Птолемея оказали большое влияние на картографию Возрождения: в частности,
с начала XVI века конические и псевдоконические проекции постепенно начали из-
125
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
учать и использовать видные картографы: Герард и Румольд Меркаторы, Виллем
Блау, Иодокус Хондиус, Гийом Делиль, Джон Спид и другие. Некоторые из этих
проекций имели очень любопытную форму, например, Иоганнес Вернер или фран-
цузский картограф Ригобер Бонне (1727—1795) создали проекции в форме сердца,
а французский математик и картограф Оронций Финеус (1494—1555) — проекции
в форме двойного сердца.
Вверху — карта мира, составленная Птолемеем в конической проекции.
Внизу — карта, созданная на основе проекции в форме двойного сердца,
разработанной Оронцием Финеусом (1538).
126
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Равноугольная коническая проекция Ламберта
Цилиндр и плоскость можно рассматривать как предельные случаи конуса: чтобы
получить цилиндр, необходимо удалить вершину конуса на бесконечно большое рас-
стояние, а плоскость образуется, если вершина конуса принадлежит его основанию.
Ламберт использовал все доступные ему математические инструменты (математи-
ческий анализ, геометрию, алгебру и тригонометрию) для создания семейства кон-
формных конических проекций с двумя стандартными параллелями. Предельными
случаями этих проекций являются стереографическая проекция (азимутальная)
и проекция Меркатора (цилиндрическая).
Затем эта проекция была забыта, и о ней вновь вспомнили во Франции во вре-
мя Первой мировой войны. Позднее равноугольная коническая проекция Ламберта
стала одной из самых популярных для составления карт большого масштаба, уступая
лишь проекции Меркатора. Ее используют Геологическая служба США и многие
международные агентства, а Европейская комиссия рекомендует применять эту
проекцию для составления конформных карт Европы в масштабах, меньших или
равных 1:500000. Часто она используется и при составлении навигационных карт.
Политическая карта Европы, выполненная в равноугольной
конической проекции Ламберта.
127
СТЕРЕОГРАФИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ
Перечислим некоторые другие конические проекции. Во-первых, это косая би-
полярная проекция, предложенная в 1941 году Осборном Миллером и Уильямом
Бризмейстером из Национального географического общества для создания карты
всего Американского континента. В этой проекции, которая широко используется
до сих пор, были применены две разновидности косой равноугольной конической
проекции Ламберта. Во-вторых, это равновеликая коническая проекция Альберса,
созданная немецким картографом Хейнрихом Альберсом в 1805 году, а также ко-
ническая равнопромежуточная проекция, напоминающая ту, что используется в кар-
те Птолемея, и поликоническая проекция, авторство которой обычно приписывают
швейцарскому топографу Фердинанду Хасслеру (1770—1843). В поликонической
проекции используются различные конусы, а карта в этой проекции внешне схожа
с нефроидой — кривой, по форме напоминающей почку.
Карта Америки, выполненная в биполярной косой проекции.
128
Глава 8
Что Эйлер сказал картографу
— Вот еще одна вещь, которую мы переняли у вашего народа, —
сказал Майн Герр, — создание карт. Но мы пошли в этом деле
гораздо дальше вас. Каков, по-вашему, должен быть наибольший
масштаб, чтобы карта стала по-настоящему полезной?
— Примерно шесть дюймов на милю.
— Только шесть дюймов! — воскликнул Майн Герр. — Мы довольно
быстро дошли до шести ярдов на милю. Затем мы попробовали
сделать карту в сто ярдов на милю. А затем нам пришла в голову
самая грандиозная идея! Мы создали такую карту нашей страны,
масштаб которой равняется миля на милю!
— И часто вы ею пользуетесь? — спросил я.
— Ее еще ни разу не расстилали, — сказал Майн Герр. — Крестьяне
были недовольны. Они сказали, что если такую карту расстелить
на всю страну, она скроет солнечный свет! Так что пока мы
используем саму страну как ее карту, и, смело могу вас заверить,
действует она преотлично.
Льюис Кэрролл «Сильвия и Бруно», часть вторая (1893)
Мы вкратце рассмотрели равновеликую цилиндрическую проекцию Ламберта, цен-
тральную и стереографическую проекцию — три важные картографические проек-
ции, которые помогли нам лучше понять некоторые аспекты картографии. Однако
вернемся к главному вопросу этой книги: существуют ли правильные карты земной
поверхности? Как построить правильную карту?
Чтобы не потерять нить рассуждений, напомним, что идеальная карта должна
сохранять неизменными (за исключением масштаба) такие метрические свойства,
129
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
как площади, углы, геодезические линии, формы и в целом длины кривых и рассто-
яния. Иными словами, искомая картографическая проекция должна быть изометри-
ческой. Чтобы упростить поиски точной карты Земли, мы задались вопросом: до-
статочно ли свойства сохранения площадей для того, чтобы равновеликая проекция
была изометрической? Положительный ответ значительно упростил бы задачу: мы
смогли бы ограничиться рассмотрением только тех проекций, которые сохраняют
площади.
Однако после изучения трех проекций стало понятно: чтобы проекция была изо-
метрической и подходила для составления идеальной карты, сохранения только од-
ного из метрических свойств (площадей, углов или формы геодезических линий)
недостаточно.
Равноугольные равновеликие проекции
Итак, наша первая попытка построить идеальную карту завершилась неудачей. "Тог-
да рассмотрим следующий вопрос: достаточно ли сохранения двух из трех метриче-
ских свойств, чтобы проекция была изометрической?
Начнем с того, что рассмотрим проекцию сферы на плоскость, сохраняющую
углы и площади, и попытаемся определить, будет ли эта проекция изометрической.
Для этого используем результаты, изложенные в предыдущих главах. В них мы рас-
смотрели искажения, вносимые проекциями, которые оставляют площади и величи-
ны углов неизменными. Как вы знаете из главы 5, если проекция является конформ-
ной (равноугольной), искажения в направлении меридианов р равны искажению
в направлении параллелей X:
p = Z.
С другой стороны, в этой же главе мы показали, что для равновеликих проекций
величина искажения вдоль меридианов обратна величине искажения вдоль паралле-
лей, что обеспечивает сохранение площадей:
130
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
С учетом обоих равенств имеем:
р = Х = 1.
Иными словами, если проекция будет одновременно равновеликой и конформной,
в ней не будет наблюдаться никаких искажений: ни вдоль меридианов, ни вдоль па-
раллелей, ни в каком-либо другом направлении. Следовательно, эта проекция будет
изометрической. Читатель может спросить: как быть с масштабом? Напомним, что
мы рассматриваем сферическую модель Земли, следовательно, линейное изменение
размеров никак не влияет на решение задачи.
Эврика! Точную карту Земли можно построить с помощью проекции, которая
сохраняла бы одновременно величины углов и площади. Создание такой проекции
нетривиально, ведь она должна сохранять все метрические свойства: геодезические
линии, формы, длины кривых и расстояния.
Существует ли правильная карта Земли?
Прежде чем начать поиски равновеликой конформной проекции, на основе которой
можно составить идеальную карту Земли, продолжим двигаться намеченным путем
и рассмотрим проекции, сохраняющие два других метрических свойства, например
величины углов и геодезические линии.
Аналогично треугольнику на плоскости, который определяется как область,
ограниченная тремя попарно пересекающимися прямыми, точки пересечения кото-
рых не лежат на одной прямой, сферический треугольник определяется как часть
сферы, ограниченной тремя дугами попарно пересекающихся больших кругов, при
этом точки пересечения не лежат на одном большом круге. Так как рассматриваемые
нами проекции сохраняют геодезические линии, то проекцией сферического треу-
гольника будет треугольник на плоскости. Поскольку эти проекции конформны, они
сохраняют величины углов треугольников и их сумму. Из классической геометрии
известно, что сумма углов треугольника равна И (180°). Чему будет равна сумма
углов сферического треугольника? Будет ли она также равна И (180°), как и следо-
вало ожидать?
Рассмотрим конкретный пример. Представим сферический треугольник, обра-
зованный дугой меридиана, заключенной между Северным полюсом и экватором,
и другой, похожей, дугой, отстоящей на угол п/2 (90°) от первой, как показано
на рисунке.
131
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Сферический треугольник, три угла которого равны 90°,
следовательно, их сумма равна 270°.
Сумма углов этого сферического треугольника будет равна Зп/2 (270°),
а не И (180°), как мы ожидали. Следовательно, не существует проекций сферы
на плоскость, которые сохраняли бы величины углов и геодезические линии одно-
временно. Из этого утверждения следует: не существует изометрических проекций
сферы на плоскость, то есть
ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ.
Более того, это утверждение касается не только всей сферы, но и любого ее
участка. Локальную изометрию сферы на плоскости построить невозможно, следо-
вательно, точную карту даже малой части земной поверхности построить также
нельзя.
Чтобы доказать это, рассмотрим сумму углов произвольного сферического треу-
гольника. Ее значение находится на интервале между И и Зп (не включая границы).
Так как каждый сферический угол меньше И, очевидно, что сумма трех углов будет
меньше Зп. Мы можем неограниченно приближаться к этому значению: достаточно
рассмотреть треугольник, две вершины которого лежат на экваторе, а третья нахо-
дится вблизи экватора так, что сферический треугольник покрывает почти все полу-
шарие. Можно рассмотреть еще один предельный случай, когда две вершины треу-
гольника лежат на экваторе, а третья совпадает с Северным полюсом так, что дуги
132
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
ФОРМУЛА СУММЫ УГЛОВ СФЕРИЧЕСКОГО ТРЕУГОЛЬНИКА
Пусть дана сфера радиуса R. Ее часть, заключен-
ная между двумя большими кругами (сферический
двуугольник), которые пересекаются под углом а
радиан, имеет площадь, равную площади поверх-
ности сферы, взятой а/2л раз, то есть
^•(4 я/?2).
2л
Обозначим вершины сферического треуголь-
ника через А, В, С, углы - через а, Р и у. Если
мы рассмотрим большие круги, на которых лежат
стороны АВ и АС, по приведенной выше формуле
получим:
t+a = 2aR2.
Аналогично имеем:
t+b~2pR2, t+c-°2yR2.
Сложив эти три равенства, имеем:
3t+a+b + c~2R2(a+p+ у).
Получается, что t + а + b + с равно площади поверхности полусферы (заметим, что для каждой
вершины, например А, существуют два равных двуугольника с углами а; каждый из них состоит
из двух областей площадью t и а). Как следствие,
2t+2nR2~2R2(a+p+y).
Упростив равенство, получим
t=R2(a+p+y-n).
меридианов будут образовывать сколь угодно малый угол. Сумма углов такого тре-
угольника будет близка к И. Можно доказать, что для любого сферического треу-
гольника выполняется равенство:
Площадь сферического треугольника = R2 {сумма углов треугольника — и),
где R — радиус сферы. Так как сумма углов сферического треугольника произволь-
ной формы и размера всегда больше И, не существует проекций участков сферы
133
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
на плоскость, в которых сохранялись бы углы и геодезические линии. Следователь-
но, локальные изометрии также не существуют. Ожидания, которые мы возлагали
на построение равновеликой конформной проекции, оказались напрасными.
Хотя в разные годы картографы неизменно терпели неудачу в попытках постро-
ить идеальную карту Земли, они не могли доказать, что эта задача не имеет ре-
шения. Доказательство принадлежит швейцарскому математику Леонарду Эйлеру,
который изложил приведенные выше рассуждения в работе «О представлении сфе-
рической поверхности на плоскости« (De repraesentatione superficiei sphaericae super
piano), представленной в Петербургской академии наук в 1775 году и опубликован-
ной в 1778 году в «Журнале Императорской Санкт-Петербургской академии наук».
ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР (1707-1783)
Эйлер считается самым плодовитым математиком всех времен. Он опубликовал свыше 500 книг
и статей, а с учетом трудов, напечатанных посмертно (до 1911 года), их число достигает 866.
В 1911 году было начато издание полного собрания его сочинений, которое, как планирова-
лось, должно было составить 90 томов.
Эйлер родился в Базеле. Его отец, пастор-кальвинист, хотел, чтобы сын изучал богословие,
но Эйлер остановил свой выбор на математике. В 19 лет он опубликовал первый научный труд,
посвященный оптимальному расположению мачт и парусов на корабле, при этом он ни разу
не видел парусника своими глазами. С1727 по 1740 год Эйлер жил в Санкт-Петербурге и рабо-
тал в Петербургской академии наук. По прибытии Эйлер обнаружил, что император совершенно
не интересовался науками, и, чтобы заработать на жизнь, в течение трех лет занимался делами
русского флота. Он женился на Катарине Гзель, которая родила ему 13 детей. Эйлер говорил,
что совершил многие открытия, держа кого-нибудь из детей на руках. В эти же годы ученый
ослеп на правый глаз.
В 1741-1766 годах он работал в Берлинской академии наук. Из-за экономического кризиса
в первые годы жизни в Берлине Эйлер зарабатывал тем, что учил математике членов знатных
семейств. Отношения с королем Фридрихом II не складывались - монарх дал ученому про-
звище Математик-циклоп и поручал ему не связанные с наукой задачи: в частности, Эйлеру
пришлось возглавить работы по выравниванию Финов-канала, руководить соляной шахтой
и решать различные финансовые вопросы. Когда Эйлер вернулся в Санкт-Петербург, Екате-
рина II отнеслась к нему совершенно иначе, и между ними сложились теплые личные отноше-
ния. В конце жизни Эйлер полностью ослеп, однако почти половина его работ была написана
именно в этот период.
134
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Повторим, ИДЕАЛЬНОЙ КАРТЫ НЕ СУЩЕСТВУЕТ. Любая карта
Земли или какой-нибудь ее части будет в некотором смысле неточной. Вывод Эй-
лера подтверждают следующие эксперименты. Возьмем пластиковый шар и разре-
жем его пополам, после чего попытаемся развернуть одну из половин на плоскости.
Станет очевидно, что при этом поверхность шара либо растянется, либо сморщится,
в итоге расстояния между различными точками поверхности изменятся. Даже если
перед этим мы сделаем несколько радиальных разрезов, это не решит проблему.
Аналогичная трудность поджидает нас и в обратном случае: если мы, например,
захотим завернуть апельсин в лист бумаги, на ней образуется множество складок.
Поэтому при использовании карт, выполненных в различных проекциях и охва-
тывающих различные участки Земли (в том числе весь земной шар), важно выде-
лить те, которые максимально точно удовлетворяют конкретным требованиям. Если
вам понадобится карта, важно не то, насколько она известна, как она называется
и рекомендует ли ее какое-нибудь международное агентство. Делайте свой выбор
в зависимости от того, сохраняет ли карта необходимые вам метрические свойства.
Кривизна Гаусса и возвращение
к картографической задаче
Задачу о составлении точной карты Земли картографы стремились решить во все
времена. Следуя путем Эйлера, мы доказали, что эта задача не имеет решения.
Но если на минуту забыть об этом, можно задаться вопросом: почему построить
такую карту невозможно, почему нельзя преобразовать сферу в плоскость с сохра-
нением метрических свойств? Разумеется, если читатель вспомнит наш эксперимент
с пластиковым шаром, то придет к выводу: сфера — искривленная поверхность,
а плоскость — нет. Однако этот вывод верен лишь отчасти. Цилиндр и конус —
также искривленные поверхности, но тем не менее их можно развернуть на плоско-
сти, сохранив при этом метрические свойства. В чем же разница между сферой, ци-
линдром и конусом? Быть может, их кривизна чем-то отличается или проблема кри-
визны вообще не так уж и важна? Действительно, не все поверхности искривлены
одинаково. Понятие кривизны, применимое к точке поверхности, показывает, на-
сколько далека данная поверхность от плоскости в рассматриваемой точке. Однако
кривизну необходимо как-то измерить, выразить количественно.
135
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Два важных элемента локального анализа поверхности — это плоскость,
касающаяся поверхности в точке р, и нормальный вектор поверхности N(p),
выходящий из точки р, перпендикулярный касательной плоскости.
Для этого рассмотрим плоскость, касающуюся поверхности S в точке р. Это пло-
скость, ближайшая к поверхности в указанной точке. Вектор, перпендикулярный
касательной плоскости, исходящий из точки р, называется нормальным вектором
(см. рисунок). Чтобы определить кривизну поверхности в данной точке, нужно из-
учить, как изменяется положение касательной плоскости (или нормального векто-
ра) в окрестности этой точки. В математике этот процесс называется дифферен-
цированием. Результатом операции будет математический объект под названием
дифференциальная форма (мы не будем приводить здесь точного определения, так
как интересующийся читатель найдет его в любой книге по дифференциальной гео-
метрии), который содержит всю информацию о кривизне поверхности. На основе
дифференциальной формы определяются две различные кривизны: так называемая
кривизна Гаусса К и средняя кривизна Н.
136
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Примеры поверхностей, на которых оттенками
серого обозначены различные значения кривизны
Гаусса и средней кривизны. Плоскость
(К = Н = О), цилиндр с радиусом основания
г(К = О;Н = 1/2г), сфера радиуса г(К = 1/г2,
Н = -1/г), псевдосфера (К - -1; наибольшая
средняя кривизна ближе к краю псевдосферы,
на рисунке оттенками серого представлены
значения средней кривизны), тор (на внешней
части поверхности кривизна положительная,
на внутренней — отрицательная; средняя кривизна
для разных участков отличается, оттенками
серого на рисунке представлены значения
кривизны Гаусса); катеноид (Н = 0; оттенками
серого представлены значения кривизны
Гаусса), седловая поверхность (оттенками серого
представлены значения кривизны Гаусса).
137
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Есть и другой, возможно, более геометрический способ определить эти поня-
тия: для данной точки р поверхности 5, для которой мы хотим рассчитать кривизну,
рассмотрим нормальный вектор /V (р) и семейство плоскостей П (р)> проходящих
через р и содержащих N (р). Для каждой плоскости семейства П (р) рассмотрим
ее линию пересечения с поверхностью 5. Этой линией будет кривая, проходящая че-
рез р. Измерим кривизну этой кривой в данной точке. Полученное значение и будет
мерой кривизны кривой в точке. Таким образом мы получим ряд значений кривизны
поверхности в точке р и сможем рассчитать кривизну поверхности. На множестве
этих значений кривизны найдем максимальное значение /?1 и минимальное значе-
ние k2 — так называемые главные кривизны, то есть максимальные и минимальные
значения «направленной» кривизны поверхности в точке р. На их основе можно
рассчитать кривизну Гаусса и среднюю кривизну:
Цилиндр и два основных его направления, кривизна которых равна кг = 1/г и к2 = О.
Следовательно, К = 0, Н = 1/2.
138
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Великий математик Карл Фридрих Гаусс в работе «Общие исследования кривых
поверхностей» (1827) показал, что, вопреки определению, величина, впоследствии
получившая название кривизны Гаусса, зависит исключительно от метрических
свойств поверхности, то есть выступает неотъемлемым элементом геометрии этой
поверхности. Это утверждение называется Theorema Egregium — основная теоре-
ма теории поверхностей. Как следствие, кривизна Гаусса описывает внутреннюю
кривизну поверхности. Эту кривизну может ощутить наблюдатель, находящийся
на плоскости и не выходящий за ее пределы. Следовательно, если две поверхности
изометричны, то есть если существует изометрическое преобразование, позволяю-
щее преобразовать одну из этих поверхностей в другую, то кривизна Гаусса должна
быть одинаковой в точках, соответствующих по изометрии. Это утверждение спра-
ведливо и для части поверхности, то есть оно выполняется, если изометрическое
преобразование можно определить только для какой-то части поверхности.
Таким образом, решение картографической задачи можно рассматривать как
частный случай Teorema Egregium. Так как сфера имеет постоянную положительную
кривизну Гаусса (для сферы единичного радиуса кривизна Гаусса равна 1; сфера ис-
кривлена во всех точках и вдоль всех направлений одинаково), а плоскость имеет
нулевую кривизну, не существует изометрического преобразования (в том числе ло-
кального), позволяющего преобразовать сферу в плоскость.
Более того, в дифференциальной геометрии, которая носит более общий харак-
тер, чем математическая картография (в дифференциальной геометрии рассматрива-
ются произвольные поверхности), в силу Teorema Egregium кривизна Гаусса препят-
ствует построению изометрии двух поверхностей. Если использовать термины кар-
тографии, для построения карты одной поверхности на другой необходимо, чтобы
кривизна Гаусса для обеих поверхностей была одинаковой. Ключевой вопрос, свя-
занный с теоремой Гаусса, таков: является ли полученный нами результат не только
необходимым, но и достаточным? Иными словами, будут ли изометричными, как
минимум локально, две поверхности с одинаковой кривизной Гаусса? Российский
математик немецкого происхождения Фердинанд Миндинг (1806—1885), который
провел обширные исследования в области дифференциальной геометрии поверхно-
стей, доказал, что если две поверхности имеют одинаковую кривизну Гаусса и она
одинакова для всей поверхности, то для этих поверхностей существует локальная
изометрия. Так как кривизна Гаусса для цилиндра (или конуса) постоянна, а кри-
визна Гаусса для плоскости равна нулю, эти поверхности локально изометричны.
Однако если кривизна Гаусса не является постоянной, утверждение, доказанное
Миндингом, не выполняется.
139
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Рассмотренную выше формулу суммы углов сферического треугольника можно
обобщить для произвольной поверхности, что доказал Гаусс, связав изменение углов
геодезического треугольника относительно И с кривизной Гаусса:
Формулу суммы углов треугольника на плоскости или на поверхности сферы можно обобщить
для любой поверхности. Это так называемая формула Гэусса — Бонне,
в которой используется кривизна Гаусса.
Разумеется, приведенная выше формула выполняется для сферы радиуса R. Так
как кривизна Гаусса для этой сферы равна 1/R2, имеем
1 1
I Kd(J =--I 1 d(J =--для области Т.
Т R Т R2
Однако мы определили две кривизны, поэтому возникает вопрос: каков же
смысл средней кривизны? Отношения поверхности и окружающего ее трехмерного
пространства рассматриваются во внешней геометрии поверхности. Характеристи-
кой кривизны поверхности в трехмерном пространстве и будет средняя кривизна.
Глобус земного шара
Составить точную карту Земли невозможно. Наиболее точное представление о на-
шей планете дает глобус, сохраняющий все интересующие нас метрические свойства
с учетом коэффициента масштаба. Единственное искажение на глобусе — это коэф-
фициент масштаба, неизменный во всех его точках. В этой модели мы смело можем
прокладывать морские и воздушные маршруты, так как румбы и расстояния на гло-
140
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
ИСТОРИЯ ГЛОБУСОВ
Первые глобусы создали греки, которым было известно, что Земля имеет сферическую фор-
му. Первый глобус, о котором сохранились документальные упоминания, был сконструирован
грамматиком и философом-стоиком Кратетом Малльским около 150 года до н.э. В то время
Америка, Австралия и часть Африканского континента еще не были открыты, и на глобусе были
изображены четыре части суши, из которых известной (ойкуменой) была всего одна. Глобусы
Земли и звездного неба создавали и использовали греки, римляне и, позднее, арабы.
Первый глобус Земли, дошедший до наших дней, создал немецкий географ Мартин Бехайм
в 1492 году. Эпоха Возрождения стала золотым веком в изготовлении глобусов. Немецкий
картограф Мартин Вальдземюллер (ок. 1470 - ок. 1520) совершил прорыв в массовом из-
готовлении глобусов: он первым использовал отпечатанную развертку глобуса.
Факсимиле глобуса Вальдземюллера (1507).
Изучив глобусы, созданные в разное время, можно увидеть, как при их создании исполь-
зовались все более совершенные технологии и новая географическая информация. Перелом
в усовершенствовании процесса изготовления глобусов, а также в развитии научных теорий,
связанных с задачей о построении точной карты, произошел благодаря фламандскому кар-
тографу Герарду Меркатору. Он стремился создать глобус, который могли бы использовать
мореплаватели и студенты, изучающие навигацию, поэтому на глобусах Меркатора были изо-
бражены, в частности, локсодромы. Однако многие созданные им глобусы стали всего лишь
изысканными предметами интерьера в домах знати.
141
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
КАК СКОНСТРУИРОВАТЬ ГЛОБУС?
Хотя сфера - это, по сути, единственное геометрическое тело, позволяющее точно представить
земную поверхность, конструирование сферической модели Земли связано с рядом техниче-
ских проблем. Первая из них — размер: глобусы слишком малы, чтобы на них можно было
рассмотреть все детали. Так, если бы на поверхности глобуса был изображен рельеф земной
поверхности в масштабе, то гора Эверест имела бы высоту всего 0,28 мм. Вторая проблема -
выбор материала для изготовления основы глобуса. В древности глобусы были полнотелыми
и изготавливались из стекла, мрамора, дерева или металлов (золота, серебра, бронзы или
свинца), однако начиная с Меркатора картографы стали изготавливать полые глобусы, напри-
мер из бумажно-гипсовой массы, нанесенной на деревянный каркас. Современные глобусы по-
прежнему полые, однако технологии их изготовления непрерывно совершенствуются. Сегодня
их изготавливают из бумаги, пластика или металла.
Начиная с Вальдземюллера используются отпечатанные развертки глобусов в виде склеенных
сферических двуугольников, которые затем наклеиваются на поверхность сферы. При этом воз-
никает та же проблема, что и при составлении карт: на плоском листе бумаги нужно отпечатать
изображение, которое затем будет нанесено на поверхность глобуса. Обычно развертка глобуса
состоит из 12 сферических двуугольников, центры которых лежат на экваторе. Развертка выпол-
няется в видоизмененной синусоидальной проекции. Сегодня чаще используют две развертки
из 12 треугольных секторов, центры которых совпадают с одним из полюсов. Каждая развертка
полностью покрывает полушарие. Современные технологии позволяют наносить сферические
двуугольники сразу на материал основания глобуса.
Развертка глобуса Мартина Вальдземюллера (1507).
142
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
бусе сохраняются. Для определения расстояния между двумя точками земной по-
верхности, например между двумя городами, нужно построить на глобусе большой
круг (это нетрудно сделать с помощью натянутой веревки), затем измерить длину
веревки и, наконец, вычислить реальное расстояние с помощью коэффициента мас-
штаба. Аналогично на глобусе можно измерить и другие величины, при этом резуль-
тат будет точнее, чем при использовании плоской карты. Ошибки измерений на гло-
бусе будут вызваны неточностями, допущенными при измерениях, а не погрешно-
стями, внесенными при изготовлении самого глобуса (при условии, что он был по-
строен правильно). Однако, как вы увидите далее, построить глобус сложно, и при
этом все же возникают ошибки.
Современный глобус.
Глобусы широко используются в картографии, географии, мореходном деле, гео-
дезии, океанографии, климатологии, сейсмографии и других науках. Они позволяют
получить реальное представление о том, как выглядит Земля, какую форму она име-
ет, как ее континенты расположены относительно друг друга. Поэтому важно, что-
бы во всех школах и во всех домах был хотя бы один глобус, позволяющий увидеть,
как на самом деле выглядит наша планета. Кроме того, благодаря особой конструк-
ции подставки глобуса, мы можем наблюдать за вращением Земли: та часть глобуса,
которую мы видим, будет соответствовать той части планеты, где сейчас день, неви-
димая часть глобуса — той части, где сейчас ночь.
143
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Хотя в теории глобус — это идеальная модель Земли, ввиду некоторых непре-
одолимых ограничений иногда его использование невозможно (даже если сам глобус
сконструирован безупречно).
1. Глобусы хрупкие и объемные, поэтому их сложно хранить, перевозить, а ино-
гда с ними неудобно работать.
2. Производство глобусов очень дорого (особенно это касается моделей большо-
го размера), при этом они недостаточно удобны для изучения деталей.
3. На них сложно выполнять измерения и оценивать величины углов.
4. Глобус позволяет рассматривать только одно полушарие одновременно.
5. Изготовить печатную или электронную репродукцию части глобуса нельзя.
Равнопромежуточные проекции
В завершение этой главы мы расскажем еще об одной группе проекций, обладающих
общими метрическими свойствами. Как мы уже говорили, каждый картограф мечта-
ет о карте с постоянным масштабом (коэффициентом уменьшения), единственным
искажением которой будет равномерное изменение размера. Однако мы доказали,
что построить такую карту невозможно: масштаб любого изображения Земли
на плоскости не является постоянным и отличается в разных точках и направлениях,
поскольку любая картографическая проекция неизбежно вносит искажения. Тем
не менее существуют проекции, в которых некоторое семейство кривых будет иметь
постоянный масштаб, а их длина будет пропорциональна длине этих кривых, начер-
ченных на поверхности Земли (такие кривые называются стандартными). Проек-
ции, обладающие этим свойством, называются равнопромежуточными. Рассмотрим
три примера проекций этой группы: цилиндрическую, азимутальную и коническую.
Цилиндрическая равнопромежуточная проекция
С математической точки зрения эта проекция тривиальна. В простейшем случае,
когда линия касания проходит по экватору, широта и долгота точки интерпретиру-
ются как ее декартовы координаты (см. следующий рисунок). В равновеликой ци-
линдрической проекции Ламберта участки земной поверхности, расположенные
на высоких широтах, словно сжимаются, в проекции Меркатора — расширяются,
а в цилиндрической равнопромежуточной проекции все параллели равноудалены
144
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
друг от друга. Вдоль меридианов и экватора масштаб остается постоянным (в этом
случае сетка меридианов и параллелей будет квадратной: такая проекция носит на-
звание plate саггёе). Кроме того, искажения отсутствуют вдоль меридианов и любых
двух параллелей, равноудаленных от экватора (такая проекция называется равно-
прямоугольной). Авторство этой проекции обычно приписывают Эратосфену, хотя
Птолемей указывает, что ее создал Марин Тирский примерно в 100 году н. э. На-
чиная с этого времени цилиндрическая равнопромежуточная проекция благодаря
простоте построения использовалась весьма часто, особенно в навигации. Она очень
удобна для составления карт городов и любых малых участков земной поверхности.
Эта проекция используется в простых картах мира и в картах регионов, не содержа-
щих много географических данных. Однако для составления более или менее под-
робных карт эта проекция в XX веке практически не применяется. Геологическая
служба США и другие агентства обычно используют ее для индексных карт, на ко-
торых схематично указываются различные карты, включенные в сборник или атлас,
и страница, на которой они находятся.
Карта, выполненная в проекции plate саггёе. Эта проекция — частный случай
равнопрямоугольной проекции, в которой стандартной параллелью является экватор.
Азимутальная равнопромежуточная проекция
Это четвертая классическая азимутальная проекция. В отличие от трех вышеупомя-
нутых она не является геометрической. Как и в других азимутальных проекциях,
геодезические линии, то есть большие круги, проходящие через точку касания сфе-
ры и плоскости, изображаются на плоскости прямыми, проходящими через центр
карты, при этом угол между геодезическими линиями сохраняется. Эта проекция
обладает частным свойством: ее масштаб не изменяется вдоль прямых, проходящих
145
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
через центр карты (это стандартные линии равнопромежуточной проекции). Ины-
ми словами, в этой проекции сохраняются расстояния от любых точек до центра кар-
ты. Кроме того, азимутальная равнопромежуточная проекция позволяет предста-
вить на одной карте поверхность всего земного шара, однако при выходе за пределы
большого круга — границы полушария, проходящей через точку касания сферы
и плоскости, — искажения становятся очень велики. Эта карта имеет одну особую
точку, которая становится «центром мира». Все расстояния до этой точки сохраня-
ются.
Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции
с центром в Северном полюсе. Справа — флаг ООН.
В полярной разновидности этой проекции меридианы изображаются прямыми,
исходящими из центра карты — проекции точки касания. Параллели изображаются
в виде концентрических окружностей, равноудаленных друг от друга. Карта, вы-
полненная в проекции, центр которой совпадает с Северным полюсом, прекрасно
нам знакома — ее можно увидеть на флаге и эмблеме Организации Объединенных
Наций (ООН). Вместо Антарктиды на флаге ООН изображена оливковая ветвь.
Так как построение полярной азимутальной равнопромежуточной проекции очень
просто, логично предположить, что эта проекция использовалась с древности. Счи-
тается, что древние египтяне с ее помощью строили карты звездного неба, однако
древнейшая из известных нам карт, выполненных в этой проекции, была изготовле-
на Конрадом де Диффенбахом в 1426 году. При составлении карты Земли первым
эту проекцию применил Меркатор в своей знаменитой карте мира 1569 года. На ней
были изображены два круга с изображениями приполярных областей. Позднее эта
146
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
проекция использовалась для решения самых разных задач: она широко применя-
ется при составлении карт отдельных полушарий и всей земной поверхности, также
ее можно встретить во множестве атласов приполярных зон, изданных в последние
два столетия. В этой проекции строятся карты приполярных областей, помещаемые
рядом с картами мира, выполненными в других проекциях, как, например, на картах
в проекции Ван дер Гринтена, выпускаемых Национальным географическим обще-
ством, или в картах Геологической службы США.
Azimuthal Equidistant Projection Centered on Kabul, Afghanistan
Карта, выполненная в азимутальной равнопромежуточной проекции,
с центром в Кабуле — столице Афганистана.
Так как построить косую и экваториальную разновидности этой проекции слож-
но, до XIX века они не рассматривались. Косая азимутальная равнопромежуточная
проекция используется для составления карт континентов и карт мира с центрами
в крупных городах, в отличие от экваториальной разновидности этой проекции —
возможно, потому что экватор не проходит через какие-либо «важные», по мнению
составителей карт, города или страны.
147
ЧТО ЭЙЛЕР СКАЗАЛ КАРТОГРАФУ
Эта проекция представляет большой интерес в ситуациях, когда необходимо
рассмотреть расстояния или кратчайшие пути из данной точки. Например, карту
в этой проекции может использовать командующий военной базы, чтобы опреде-
лить, какие города попадают в зону поражения ракет, капитан корабля или само-
лета — чтобы определить фиксированный курс из порта или аэропорта отправления
до различных частей света или, совместно с картами в проекции Меркатора (о них
мы поговорим в главе 9), для прокладки курса между двумя точками.
Эта проекция используется не только в навигации, но и при изучении земле-
трясений. Применяют ее и радисты, работающие с направленными антеннами, для
определения направлений сигнала.
Коническая равнопромежуточная проекция
Как и в любой другой прямой конической проекции, полученная карта имеет форму
сектора кольца, в котором меридианы изображаются прямыми линиями, исходящи-
ми из одной точки, и разделены интервалами с одинаковыми угловыми размерами.
Параллели изображаются дугами концентрических окружностей, пересекающими
меридианы под прямым углом, при этом они обладают дополнительным свойством,
вносимым равнопромежуточной проекцией: параллели равноудалены друг от друга,
поэтому масштаб будет неизменным вдоль всех меридианов, которые, таким обра-
зом, будут стандартными кривыми этой проекции. Эта проекция не является ни кон-
формной, ни равновеликой и не сохраняет формы.
Как и другие конические проекции, она подходит для изображения регионов
с умеренным климатом. Если линия касания конуса и сферической модели Земли
проходит вдоль параллели, проекция будет удобной для изображения стран и терри-
торий, расположенных вблизи этой параллели. Для составления карт протяженных
регионов, например России, Европы или Северной Америки, удобнее использовать
разновидность этой проекции с двумя стандартными параллелями, проходящими
по изображаемой территории.
В первой карте Птолемея использована проекция, напоминающая коническую
равнопромежуточную. С севера карта Птолемея обрезана вдоль параллели леген-
дарного острова Туле, с юга — вдоль экватора.
148
Глава 9
Проекция Меркатора
На сокращенной карте [карте Меркатора] румбы,
или локсодромы, изображены прямыми, что относится
к числу ее преимуществ. [...] Кажется не слишком выгодным
следовать обходным путем вдоль локсодром или больших
кривых, если можно прийти в ту же точку, следуя более коротким
путем. Существуют веские причины не отказываться
от больших локсодром и от использования компаса,
так как они не имеют недостатков...
Томас Лопес «Географические принципы в приложении
к использованию карт» (1783)
Карта мира в проекции Меркатора, несомненно, знакома многим из нас (по крайней
мере, людям определенного возраста) лучше всех остальных карт. Можно сказать,
что на протяжении почти четырех веков это название было нарицательным. В эпоху
далеких путешествий и великих географических открытий, в XVI веке, мореплава-
телям и торговцам требовалась карта, которую можно было бы использовать для
навигации. Такую карту создал фламандский ученый и картограф Герард Меркатор.
Созданная им проекция остается самой удобной и популярной до сих пор, недаром
она легла в основу системы UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универ-
сальная поперечная проекция Меркатора). Эту систему используют почти все меж-
дународные агентства при составлении карт большого масштаба, то есть карт участ-
ков небольшой протяженности.
Определение и картографические свойства
Средневековые карты, не имевшие научной основы и составленные без использова-
ния математических проекций, были абсолютно бесполезны в навигации и не могли
применяться для каких-либо измерений. Их использование нередко вело к тому, что
корабли очень сильно отклонялись от курса и даже заплывали на совершенно неиз-
вестные территории.
149
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
ГЕРАРД МЕРКАТОР (1512-1594)
Герард Меркатор был выдающимся человеком. Он занимался как практическими дисципли-
нами (его можно назвать картографом, географом, каллиграфом, гравером, изготовителем
измерительных инструментов и редактором), так и теоретическими науками (Меркатор про-
являл интерес к математике, астрономии, космографии, изучению земного магнетизма, исто-
рии, философии и богословию). В числе разработанных им карт выделяются карта Палестины
1537 года, очевидно, созданная по причинам религиозного характера, его первая карта мира,
выполненная в проекции в форме двойного сердца (автором этой проекции был Оронций Фи-
неус), карта Европы 1554 года, выполненная в проекции Вернера, карта Меркатора 1569 года,
а также глобус, датируемый 1541 годом, - самый подробный глобус того времени. Последним
проектом Меркатора стала работа над картой мира, состоящей из отдельных карт разных регио
нов. Меркатор опубликовал первую часть своего атласа (он первым использовал термин «атлас»
для обозначения собрания карт «...в честь титана Атласа, царя Мавритании, большого фило-
софа, математика и астронома») в 1585 году. В сборник вошла 51 карта. Основное внимание
уделялось картам Германии, Франции и Нидерландов. В следующий том, изданный в 1589 году,
Меркатор добавил 23 карты Италии и Греции. Его сын Румольд опубликовал «Атлас Меркато-
ра» в 1595 году, добавив в него еще 28 карт различных частей Европы. В атласе Меркатора
использовались самые разные картографические проекции: конические, стереографическая,
проекция Сансона - Флемстида, проекции Вернера, Меркатора и многие другие.
Портрет Герарда Меркатора, выполненный в 1574 году
немецким художником Франсом Хогенбергом (1535-1590).
150
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Первую попытку составить карты, которые можно было бы использовать в на-
вигации, предприняли сами мореплаватели. Созданные ими карты, которые назы-
вались портуланы, были основаны на заметках, сделанных во время путешествий,
на данных астрономических наблюдений и на результатах измерений углов и румбов.
При их создании использовались циркуль, транспортир, линейка и компас. Однако
в портуланах не учитывались геометрические особенности сферы, то есть ее форма
и кривизна, и при их составлении не применялась какая-либо картографическая про-
екция.
Попытки решить проблему составления навигационных карт с научной точки
зрения предприняли Меркатор, Абрахам Ортелий и другие картографы того вре-
мени. Целью Герарда Меркатора было составить карту мира, пригодную для ис-
пользования в навигации. Для этого карта должна была сохранять румбы (иными
словами, используемая в ней проекция должна была быть конформной), а локсодро-
мы — линии румба — должны были изображаться прямыми.
Португальский астроном и математик Педру Нуниш (1502—1578) описал
и подробно изучил локсодромы (на поверхности Земли они имеют форму спиралей,
закручивающихся к полюсам) в своем «Трактате о навигации» (1537). В этой книге
Нуниш опроверг распространенное убеждение, согласно которому при сохранении
неизменного румба судно двигалось вдоль дуги большого круга, то есть вдоль кри-
вой минимальной длины. При прокладке курса между двумя точками Земли море-
плаватели пытались следовать кратчайшему пути — ортодроме. Однако для этого
требовалось постоянно изменять румб, из-за чего было нетрудно сбиться с курса.
Вдоль локсодромы двигаться было удобнее — достаточно выдерживать постоян-
ный румб, однако путь при этом получался длиннее. Уже в 1541 году Меркатор
изобразил на созданном им глобусе множество локсодром.
Для построения навигационной карты требовалось решить геометрическую за-
дачу: найти конформную проекцию, в которой локсодромы изображались бы пря-
мыми на плоскости. Меридианы и параллели на карте должны были изображаться
перпендикулярными прямыми. При подробном анализе проекции Ламберта, опи-
санном в главе 5, мы выяснили, что равновеликая цилиндрическая проекция Лам-
берта не является конформной, так как вносимые ею искажения вдоль меридианов,
равные cos ф, не равны искажениям в направлении параллелей, 1/cos ф = sec ф,
где ф — широта рассматриваемой точки. Необходимо было изменить карту так,
чтобы искажения вдоль меридианов и параллелей совпадали. В частности, карту
в проекции Ламберта нужно «растянуть» в направлении «север — юг». Карта ста-
нет не сжатой (искажение вдоль меридианов равно cos ф), а вытянутой (новое
151
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
искажение будет равно 1 /cos ф = sec ф). В этом заключается основная идея постро-
ения нужной карты. Если мы выразим это искажение математически, получим вы-
ражение, описывающее искомую проекцию — проекцию Меркатора:
x = R(0-e„)
у = R In tg
И 2J.’
где 0 — долгота (0О— долгота центрального меридиана карты), ф — широта, а для
сферической модели Земли R = 1.
Современная карта,
выполненная в проекции Меркатора.
Именно это и сделал Меркатор при создании карты «Новое и улучшенное опи-
сание мира с исправлениями для использования в навигации» (Nova et aucta orbis
terrae descriptio ad usum navigatum emendate accommodata) 1569 года: он построил
сетку перпендикулярных друг другу меридианов и параллелей, а затем раздвинул
параллели, чтобы компенсировать искажения вдоль меридианов. В результате иска-
жения вдоль меридианов и параллелей на карте Меркатора оказались одинаковыми.
152
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
ПОРТУЛАНЫ
Карты мира, созданные в позднем Средневековье, были совершенно бесполезны для нави-
гаторов. Мореплаватели полагались на собственные заметки, где описывались морские пути
между портами, проложенные по результатам измерений, астрономических наблюдений и ре-
когносцировки побережий. После изобретения в XII веке компаса эти заметки стали более точ-
ными, начали появляться штурманские книги, в которых приводилась подробная информация
о расстояниях и румбах. В какой-то момент на основе этих заметок начали создаваться карты
побережий с информацией для мореплавателей - так называемые портуланы, которые стали
первыми навигационными картами. На портуланах подробно описывались побережья и самым
тщательным образом изображались порты, элементы рельефа и все, что представляло опас-
ность для мореплавателей. Географические названия записывались перпендикулярно линии
побережья, внутренние территории, как правило, оставались пустыми. На портуланах также
изображались компасы и розы ветров, в которых сходились многочисленные линии румбов,
внешне напоминавшие паутину, а также указывался масштаб карты. Мореплаватель с помощью
линейки проводил прямую, соединявшую порт отплытия и порт назначения, после чего посред-
ством параллельного переноса построенной прямой до ближайшей розы ветров определял
румб, которым нужно было следовать. Хотя эти карты, в особенности карты средиземноморского
побережья, были достаточно точными, картографическая информация в них была, очевидно
приближенной. На портуланах не учитывалась кривизна Земли, а при их построении не при-
менялась какая-либо картографическая проекция.
Карта Европы и Средиземного моря из «Каталанского атласа» 1375 года.
На иллюстрации представлена копия, выполненная в XIX веке.
153
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Оригинальная карта Меркатора 1569 года.
В статье Джерома Сакса «Любопытная смесь карт, дат и имен» (A Curious
Mixture of Maps, Dates, and Names, 1987) отмечается, что хотя в математическом
уравнении проекции Меркатора используется логарифм, Джон Непер опубликовал
свой труд о логарифмах лишь в начале XVII века. Кроме того, чтобы вывести урав-
нения проекции Меркатора, требовалось использовать методы математического
анализа и дифференциальной геометрии, однако Ньютон и Лейбниц родились спу-
стя 50 лет после смерти Меркатора, а Гаусс создал дифференциальную геометрию
лишь в начале XIX века. Как же Меркатор составил свою карту в 1569 году? Ви-
димо, не располагая методами, которые появились в математике позднее, он обладал
обширными знаниями в области картографии и, как следствие, развитой интуицией.
Методы Меркатора были чисто практическими и основывались на огромных та-
блицах с данными. При этом он не оставил никаких технических описаний процесса
построения карты и соответствующих навигационных таблиц и тем более не создал
практического руководства по использованию его карты для навигации. Возможно,
по этой причине, а также потому, что мореплаватели считали Меркатора предста-
вителем чуждого им мира ученых, эта карта обрела широкую популярность лишь
300 лет спустя. До этого карта Меркатора использовалась считанное число раз:
так, друг Меркатора, картограф Абрахам Ортелий, включил в свой атлас «Зрелище
шара земного» (leatrum orbius terrarum, 1570) восемь карт, выполненных в проек-
ции Меркатора.
154
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Математическое описание этой проекции дал кембриджский математик Эдвард
Райт (1561—1615). В книге «Ошибки в навигации, обнаруженные и исправленные»
(1599, в 1610 году было выпущено дополненное издание) он не только привел но-
вые навигационные таблицы и инструкции по определению фиксированных румбов
на картах, составленных в проекции Меркатора, но и объяснил построение подоб-
ных карт. Он представлял сферическую модель Земли как полый шар, заключенный
внутри цилиндра, касающегося шара на экваторе. Затем в этот шар закачивают воз-
дух так, что он всё больше соприкасается с поверхностью цилиндра. Точки сопри-
косновения шара и цилиндра являются проекциями точек земной сферы.
Проекция Меркатора распространялась довольно медленно. Голландский карто-
граф Петер Планциус использовал ее в 1594 году при составлении навигационных
карт, а Иодокус Хондиус — при построении карты «Изображение всего круга зем-
ного» (Typus totus orbis terrarum, 1597) и других. И лишь в 1646—1647 годах в этой
проекции Робертом Дадли был создан первый в истории морской атлас.
Карта «Изображение всего шара земного» (Typus totus orbis terrarum, 1597), также
известная как «карта рыцаря Христова» Йодокуса Хондиуса, выполненная в проекции
Меркатора. В средней части карты вы можете видеть рыцаря Христова, который сражается
с Гоехом. Сладострастием, Дьяволом и Смертью. Кроме того, Мир подносит ему чашу с ядом
вавилонской блудницы, которая иногда использовалась как символ католической церкви.
155
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПРОЕКЦИИ МЕРКАТОРА
Чтобы оценить, на каком расстоянии от экватора должны изображаться параллели в проекции
Меркатора, будем постепенно увеличивать широту, на которой мы будэм применять соответ-
ствующий коэффициент масштаба. Если мы начнем отсчет с параллели широтой ф и будем от-
кладывать небольшие интервалы длиной t, получим последовательность точек широтой t, 2t.
ф -1, ф, через которые будут проходить параллели. Так как искажение в направлении меридиана
для широты а, как мы уже отмечали, должно равняться искажению вдоль параллели, равному
sec а, то искажение вдоль вертикали в отмеченных нами точках будет равно sec t, sec (2t),...,
sec (ф -t), sec ф. Так как длина дуги сферы, заключенной между отмеченными точками, равна t,
то высота, на которой будет проходить параллель широтой ф, будет равна:
t sect +1 sec (2t) +... +1 sec (ф -1) +1 sec ф.
Допустим, мы хотим оценить высоту, на которой будет проходить параллель широтой ф - 60°.
Предположим, что выбранные интервалы имеют величину t= 10°. Так как sec 10° = 1,0154,
sec 20° - 1,0642, sec 30° = 1,1547, sec 40° - 1,3055, sec 50° » 1,5557 и sec 60° - 2,0000,
умножив эти числа на 10 и сложив полученные
параллель широтой 60° должна будет проходить
на высоте, на которой располагалась бы парал-
лель широтой 80,955°, если бы параллели были
равноудалены друг от друга.
Именно так рассуждал Эдвард Райт, можно
предположить, что похожие рассуждения провел
и Меркатор. Рассмотрим задачу в более совре-
менном виде. Для цилиндрической проекции,
в которой экватор является осьюх, а параллель
широтой ф - горизонтальной линией, проходя-
щей на высоте у = h (ф), коэффициент масштаба
(искажения) в направлении меридианов X дол-
жен быть равен коэффициенту масштаба вдоль
параллелей р = 1/cos ф = sec ф. Получим:
•-*> Artist,.^ t
Имеем
сфера
Jo seC
tdt = ln [tg (0)1-sec(ф)]=1п tg
4 2
156
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Вернемся к проекции Меркатора и напомним, что карта, выполненная в этой
проекции, имеет следующие свойства.
1. Она имеет прямоугольную форму, так как выполнена в цилиндрической про-
екции.
2. Меридианы и параллели пересекаются под прямыми углами.
3. Карта выполнена в конформной проекции, которая не сохраняет расстояния,
площади, геодезические линии и формы протяженных участков.
4. Искажения площадей, форм и расстояний вблизи экватора очень малы (в этой
части карты используется реальный масштаб), но они значительно возрастают
по мере приближения к полюсам, поэтому проекция Меркатора удобна для
составления карт территорий, расположенных вблизи экватора.
5. Локсодромы, или линии румба, изображаются в виде прямых линий.
Сравнение локсодромы (линии румба) и ортодромы
(линии наименьшего расстояния) между Рио-де-Жанейро
и Сеулом на карте Меркатора.
С созданием этой карты мечта Меркатора исполнилась. Если мореплаватель хо-
тел попасть из точки А в точку В, он должен был всего лишь провести на карте,
выполненной в проекции Меркатора, прямую, соединяющую эти точки, и измерить
румб, соответствующий этой прямой, после чего ему оставалось всего лишь точно
соблюдать курс. Однако вы уже знаете, что локсодромы — это не ортодромы,
и хотя они указывают простейший курс (нужно всего лишь выдерживать постоян-
ный румб), путь вдоль локсодромы не является кратчайшим. Двигаться вдоль орто-
дромы сложнее, так как для этого необходимо постоянно менять румб. Мореплава-
157
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
тели и пилоты самолетов в конечном итоге нашли промежуточное решение этой про-
блемы. Чтобы попасть из пункта отправления в пункт назначения, нужно выполнить
следующее.
1. Провести геодезическую линию (прямую) на карте, выполненной в централь-
ной или азимутальной равнопромежуточной проекции с центром в пункте на-
значения.
2. Разбить геодезическую линию на фрагменты и определить тем самым после-
довательность стратегических точек.
3. Перенести эти точки на карту, выполненную в проекции Меркатора, и соеди-
нить их прямыми. Построенные прямые будут локсодромами и укажут румб,
который нужно выдерживать в каждой из стратегических точек.
Метод приближения большого круга с помощью локсодром,
который используется в навигации по карте Меркатора, а также, например,
карты, выполненной в гномонической проекции.
Нет никаких сомнений в том, что проекция Меркатора была и остается лучшей
для составления навигационных карт с момента своего появления в XVII веке. Эту
проекцию используют Национальная служба по исследованию океана США
(с 1910 года), Гидрографический институт Испании и многие другие авторитетные
организации.
Проекция Меркатора играла огромную роль в эпоху морских путешествий. Она
очень часто использовалась при составлении карт мира и была одной из самых по-
пулярных картографических проекций вплоть до начала XX века, хотя она и вносит
очень большие искажения в областях, близких к полюсам. Сегодня на основе этой
158
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
ПУТЕШЕСТВИЕ ЧАРЛЬЗА ЛИНДБЕРГА
Американский авиатор Чарльз Линдберг (1902-1974) стал известен во всем мире как первый
человек, перелетевший в одиночку Атлантический океан. В 1919 году богатый владелец нью-
йоркского отеля предложил премию в 25 тысяч долларов пилоту, который первым совершит
одиночный беспосадочный перелет из Нью-Йорка в Париж. Линдберг верил, что если у него
будет подходящий самолет, он сможет выиграть приз, и убедил нескольких бизнесменов из Сент-
Луиса спонсировать предприятие, включавшее постройку особого самолета «Дух Сент-Луиса»
под руководством само! о Линдберга.
20 мая 1927 года Линдберг отправился в полет с аэродрома на Лонг-Айленде, взяв с собой
четыре сэндвича, две фляжки с водой и 1700 литров бензина. Спустя 33,5 часа и 3610 миль
(около 5800 км) он приземлился в Париже на глазах ожидавшей его стотысячной толпы. Линдберг,
получивший прозвище Одинокий Орел, стал известен во всем мире. Свой полет он тщательно
спланировал с помощью навигационных карт. Вот его слова: «...большую часть времени, когда
строился самолет, я занимался навигацией и прокладывал курс будущего полета на картах. По-
сле того как я определил курс на картах, выполненных в гномонической проекции и проекции
Меркатора, я вновь проверил весь путь между Нью-Йорком и Парижем по навигационным табли-
цам. Я начертил большой круг, соединявший Нью-Йорк и Париж. Чтобы следовать этим курсом,
требовалось менять румб каждые 500 миль».
проекции изготавливаются настенные карты, карты в учебниках и атласах, в научно-
популярных публикациях, в газетах и журналах. Американский картограф Джон
Снайдер (1926—1997) из Геологической службы США, изучив различные атласы
мира, опубликованные в США, Великобритании, Франции и Германии в XIX веке,
определил, что чаще всего в них использовалась проекция Меркатора. Однако по-
хожее исследование, проведенное в XX веке, показало, что начиная с 1940-х годов
эта проекция практически перестала использоваться. Ей на смену пришли такие
проекции, как гомолосинусоидальная проекция Гуда, тройная проекция Винкеля,
проекция Робинсона, Eckert IV, проекция Ван дер Гринтена и другие.
Поскольку в проекции Меркатора экваториальные зоны изображаются прак-
тически без искажений, она очень удобна для составления карт этих областей. Она
использовалась в морских картах, составленных лейтенантом американского фло-
та Мэтью Фонтеем Мори (1806—1873). В этих картах содержалась информация
о погоде, ветрах, течениях и другие результаты гидрологических и метеорологиче-
ских наблюдений, а также были указаны морские пути.
159
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Наконец, укажем, что проекция Меркатора используется при построении карт
мира в некоторых современных интернет-проектах, в частности «Картах Google»
и Virtual Earth. Пользователь этих интерактивных карт может просматривать уве-
личенное изображение малых областей, которые отображаются практически без ис-
кажений. Причина в том, что проекция Меркатора является конформной, то есть
на локальном уровне, для небольших областей, вносимые ею искажения невелики.
Поперечная проекция Меркатора
Если мы повернем цилиндр, на который проецируется сфера, на 90° так, что линией
касания будет меридиан, то получим поперечную проекцию Меркатора с центром
на этом меридиане. Эта проекция также будет конформной и не будет вносить боль-
ших искажений в областях, близких к касательному меридиану. Поперечная проек-
ция очень удобна для изображения участков Земли, протяженных с юга на север,
Карта Америки, выполненная в поперечной
проекции Меркатора. Это изображение привел
Ламберт в качестве примера созданной им
проекции.
например Американского континента
или Индии.
Эту картографическую проекцию
впервые описал Ламберт в 1772 году.
Позднее, в 1822 году, эллипсоидную
разновидность этой проекции изучили
Карл Фридрих Гаусс и математик и то-
пограф Луис Крюгер (1857—1923), по-
этому она также называется проекцией
Гаусса — Крюгера. Она обладает сле-
дующими свойствами.
1. Меридианы, параллели и, в общем
случае, локсодромы изображаются
кривыми линиями.
2. Проекция конформна: она сохраняет
углы и формы на локальном уровне.
3. Искажения в областях, близких
к центральному меридиану, очень
малы (вдоль центрального меридиа-
на искажения отсутствуют) и посте-
пенно растут по мере удаления
от него.
160
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Как следствие, эта проекция идеально подходит для составления карт участков,
протяженных с севера на юг, а также для небольших областей — достаточно пра-
вильно выбрать центральный меридиан, проходящий через изображаемую терри-
торию. Именно эта проекция использовалась в различных атласах при составлении
карт Северной Америки, западной части бывшего СССР, Индии, стран Востока,
Юго-Восточной Азии, восточной части Австралии и Африки. Она широко приме-
няется почти всеми европейскими странами. Так как проекция прекрасно подходит
для изображения небольших территорий, она легла в основу системы топографиче-
ских координат, в частности британской системы координат (1919) и американской
системы SPCS (1930). В своем окончательном виде, который на сегодняшний день
является универсальным, система координат была разработана в 1947 году Карто-
графической службой армии США. Эта система получила название UTM (от англ.
Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная проекция Меркатора).
В UTM поверхность земного шара между 84° с.ш. и 80° ю. ш. разделена
на 60 зон по 6° долготы. При изображении каждой из этих зон используется по-
перечная проекция Меркатора, центральный меридиан которой проходит по центру
изображаемой территории. Зоны пронумерованы от 1 до 60 . С севера на юг земная
поверхность разделена на 20 зон по 8° широты, которые обозначены буквами. Так,
Бильбао находится в зоне UTM ЗОТ, Нью-Йорк — в зоне 18Т, Сидней — в зоне
56Н, Александрия — в зоне 35R. Для приполярных областей, расположенных се-
вернее 84° с.ш. и южнее 80° ю. ш., используется система UPS (универсальная по-
лярная система координат).
Систему UTM использует большинство топографических, геодезических, кар-
тографических служб мира, военных и морских министерств для составления карт
в масштабе 1:500000 и более. В национальной топографической карте Испании,
составленной Национальным географическим институтом и являющейся основой
для всех карт страны, используется система UTM для карт в масштабе 1:200000,
1:50000, 1:25000 и более. Геологическая служба США (USGS) использует эту
систему координат с 1977 года.
161
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Карта зон UTM. Если мы хотим составить топографическую карту местности,
где мы находимся, нужно посмотреть, в какой зоне UTM она располагается,
чтобы правильно выбрать проекцию Меркатора
Косая проекция Меркатора
Можно рассмотреть и косую проекцию Меркатора, в которой линия касания цилин-
дра и сферической модели Земли проходит вдоль произвольного большого круга,
который не является экватором или меридианом. Косая проекция Меркатора, оче-
видно, также конформна: искажения в областях, близких к большому кругу касания,
малы. Благодаря этому свойству проекция подходит для изображения областей,
протяженных вдоль выбранного большого круга.
Происхождение этой проекции не вполне ясно. Первыми ее использовали Макс
Розенмунд при составлении карты Швейцарии в 1903 году и Жан Лабор при со-
ставлении карты Мадагаскара в 1928 году. Начиная с этого времени косая про-
екция Меркатора используется на картах Американского континента и его частей,
картах Евразии, Австралазии и более мелких регионов, в частности Вест-Индии
(Багамских и Антильских островов), Гавайских островов, Новой Зеландии, Ита-
лии и Аляски. Эту проекцию применяют Национальное географическое общество
и другие службы.
XX век стал периодом развития грузового и пассажирского транспорта. Все но-
вые и новые авиакомпании покрывали огромные расстояния и даже предлагали кли-
ентам трансатлантические перелеты. Эти маршруты по возможности прокладыва-
лись вдоль больших кругов — чтобы сократить время в пути и сэкономить горючее.
162
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Аэронавигационные карты — это, как правило, складные карты, ориентированные
вдоль направления, соединяющего аэропорт вылета и аэропорт прилета, на которых
узкой полосой показаны территории, расположенные вдоль маршрута, поэтому
с точки зрения картографии они не очень интересны. Косая проекция Меркатора
по своим свойствам идеально подходит для прокладки курсов самолетов вдоль боль-
ших кругов. Так, в 1947 году Национальная служба по исследованию океана США
применила эту проекцию для составления первой аэронавигационной карты марш-
рута, проходившего вдоль большого круга и соединявшего Чикаго и Гандер. В те
времена аэропорт города Гандер на острове Ньюфаундленд был обязательным ме-
стом дозаправки при трансатлантических перелетах. На этой карте был не только
изображен маршрут вдоль ортодромы — ее также можно было использовать для
прокладки нового курса и измерения расстояний по маршруту, так как искажения
расстояний и углов на этой карте были невелики.
Аэронавигационная нарта маршрута Чикаго — Гандер,
выполненная в косой проекции Меркатора.
С началом запуска спутников NASA в 1972 году эта картографическая про-
екция получила новое применение. Спутники, которые движутся по орбите, близ-
кой к большому кругу земного шара, начали делать снимки земной поверхности.
Эти снимки отличались от полученных при аэрофотосъемке и представляли собой
результат сложного анализа земной поверхности. Огромные массивы получен-
ной информации требовалось преобразовать в плоские изображения, то есть кар-
ты, с минимально возможными искажениями. Чтобы решить задачу составления
карт на основе спутниковых изображений, Джон Снайдер, Алден Колвокорессес
163
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
и Джон Джанкинс из USGS в 1976 году разработали космическую косую проек-
цию Меркатора на основе обычной косой проекции Меркатора.
Петерс против Меркатора
История, которой мы закончим эту книгу, началась примерно в 1967 году, когда
немецкий историк Арно Петерс представил на конгрессе Венгерской академии наук
свою «новую» проекцию. Расскажем немного о ней.
Шотландский священник Джеймс Галл (1808—1895) на конференции 1855 года
описал проекцию, идентичную проекции Петерса, которая известна как ортогра-
фическая проекция Галла, и опубликовал описание этой и двух других картогра-
фических проекций своего авторства в «Шотландском географическом журнале»
в 1885 году. Галл разрешил бесплатно использовать все три созданные им проекции
при условии указания авторства.
Карта, выполненная в ортографической проекции Галла, или Галла — Петерса,
и изображение секущего цилиндра, на поверхность которого проецируется поверхность сферы.
Эта проекция строится аналогично равновеликой цилиндрической проекции
Ламберта, которую мы рассмотрели в главе 5, с одним отличием: вместо цилиндра,
касающегося сферической модели Земли вдоль экватора (в прямой разновидности
этой проекции), используется цилиндр, рассекающий сферу вдоль двух параллелей.
В ортогональной проекции Галла, которая в конечном итоге стала называться проек-
цией Галла — Петерса, параллели пересечения цилиндра и сферы, которые являют-
ся стандартными линиями карты, отстоят от экватора на 45° широты. Эта проекция
является равновеликой, подобно другим похожим проекциям, которые отличаются
164
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
АРНО ПЕТЕРС (1916-2002)
Согласно записи в метрической книге, Арно Петерс родился в Берлине в 1916 году. Он изучал
историю, историю искусства и журналистику в Берлинском университете. В бурные 1930-е годы
Петерс работал режиссером, в 1945 году получил степень доктора, защитив диссертацию о по-
литической пропаганде под названием «Использование кино как средства пропаганды», а также
работал журналистом. Петерс вошел в историю как создатель «справедливой» и точной карты
мира - знаменитой карты Петерса, подробно описанной в его книге «Новая картография». Глав-
ной работой Петерса, не относящейся к картографии, стал труд «Синхронно-оптическая история
мира», в котором он изложил историю человечества, посвятив каждому столетию одинаковое
число страниц. В 1974 году он стал сооснователем Бременского института всеобщей истории.
Цилиндрические равновеликие проекции. Стандартные параллели расположены на разных
широтах в зависимости оттого, как цилиндр проекции рассекает сферическую модель Земли.
от нее расположением стандартных параллелей. Так, в проекции Бермана 1910 года
стандартные параллели отстоят от экватора на 30°, в проекции Тристана Эдвардса
1953 года — на 37° и 52°, в проекции Хобо — Дайера 2002 года — на 37°.
Арно Петерс представил свою проекцию как оригинальную. Когда ему напомни-
ли, что Галл создал аналогичную проекцию на сто лет раньше него, Петерс возразил,
что создал ее самостоятельно и совершенно независимо от кого бы то ни было. На-
учное сообщество не уделило проекции Петерса особого внимания, но не по личным
причинам, а потому, что она не была принципиально новой либо оригинальным вари-
антом одной из уже существующих проекций. В науке ценится нечто исключительно
новое — теоремы, гипотезы или доказательства. Например, ученые часто приводят
новые доказательства уже доказанных математических теорем, более простые и по-
нятные, чем исходные, либо сформулированные с использованием каких-то новых
методов.
165
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
В 1973 году, когда Петерс рассказал о своей проекции на пресс-конференции
в Бонне, история получила продолжение. Петерс передал журналистам копии сво-
ей карты мира и брошюру «Европоцентричная природа нашего изображения мира
и его завоеваний», представив свою карту как единственно правильную с точки
зрения социологии и картографии в отличие от проекции Меркатора. Основной
аргумент Петерса заключался в том, что проекция Меркатора искажает площади
различных частей земного шара, и страны так называемого третьего мира (Афри-
ка, Центральная и Южная Америка) на ней выглядят меньше, чем государства так
называемого первого мира (Северная Америка, Европа и Россия). Страны третьего
мира населяют люди с темным цветом кожи, страны первого мира — люди с белым
цветом кожи, поэтому проекция Меркатора является расистской и от нее следует
отказаться, утверждал Петерс. После этого Петерс представил «свою» карту мира
как единственно возможную альтернативу.
Пресс-конференция дала начало дебатам, в ходе которых средства массовой ин-
формации (сравнивавшие Петерса с Давидом, вышедшим на бой против Голиафа)
и некоторые гуманитарные и религиозные организации, не принимая в расчет науч-
ные критерии, отстаивали правильность карты Петерса. Несколько лет спустя такие
организации, как Всемирный совет церквей, Лютеранская церковь Америки, раз-
личные агентства Организации Объединенных Наций и некоторые международные
негосударственные организации начали использовать проекцию Петерса и способ-
ствовать ее распространению. Выдвигались следующие мнения:
«Проекция Меркатора переоценивает белого человека и искажает изобра-
жение мира в пользу сторонников колониализма» (Петерс);
«Это карта будущего справедливого мира»;
«[Петерс,] неизменно движимый стремлением к справедливости, выбрал
путь картографии, чтобы создать образ мира, в котором каждый народ зани-
мает соответствующее место как с географической, так и с политической точ-
ки зрения»;
«В карте Петерса исправлены ошибки карты Меркатора [...] она точнее
с научной точки зрения».
Петерс воспользовался доверчивостью людей и отсутствием у них даже началь-
ных знаний о картографии. В результате его карта стала считаться «единственной
справедливой картой» и, что еще хуже, «единственной точной картой» с точки зре-
ния математики и картографии.
166
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Искажение площадей в областях, близких к полюсам, в проекции Меркатора очень велико.
К примеру, Гренландия выглядит больше, чем Африка, хотя площадь Гренландии составляет
всего лишь около 2175 000 км2 по сравнению с площадью африканского континента,
равной 29 800 000 км2.
Петерс, который был докой в пропаганде, свел обсуждение к противостоянию
между «расистской» картой Меркатора и своей «справедливой» картой, умолчав
о более сложных картографических аспектах, в том числе о научном подходе к со-
ставлению карт и о существовании сотен различных проекций, которые можно ис-
пользовать в разных целях и многие из которых являются равновеликими. Кроме
того, в книге «Новая картография» (1983) Петерс поместил истинные утверждения
(например, что карта Меркатора искажает площади и центральным в ней являет-
ся Гринвичский меридиан или что проекция Петерса является равновеликой) ря-
дом с ложными (так, он указывал, что равновеликие проекции, созданные до него,
«были столь неудобны и содержали столько ошибок...» или что карта Петерса об-
ладает «достоверностью масштаба»), применив псевдонаучный язык.
В то время общество уже было готово использовать карты мира, составленные
в проекциях, отличных от проекции Меркатора: картографы прекрасно понимали,
что эта проекция превосходна, но не подходит для изображения всей планеты из-за
больших искажений в определенных областях. Петерсу удалось положить конец
многолетней популярности проекции Меркатора и вывести на первый план свою
карту, оставив в стороне широчайший спектр картографических проекций, сохраня-
ющих площади (например, гомолосинусоидальную проекцию Гуда, проекцию Молл-
вейде, синусоидальную проекцию Сансона-Флемстида и проекцию Eckert IV), дру-
167
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
ПРОЕКЦИЯ ДИМАКСИОН
Ричард Бакминстер Фуллер, создатель геодезического купола, разработал собственную
картографическую проекцию. Его идея заключалась в проецировании земной поверхности
на правильный или полуправильный многогранник с последующим развертыванием этого
многогранника на плоскости. В проекции Димаксион (от англ. DYnamics MAXimum tensiON -
«максимальное динамическое растяжение»; это название не является торговой маркой, а вы-
ражает основной принцип, которым руководствовался Фуллер), запатентованной в 1946 году,
Фуллер использовал кубооктаэдр (многогранник, имеющий восемь треугольных и шесть ква
дратных граней), а в версии этой проекции от 1954 года он применил слегка видоизмененный
икосаэдр (многогранник, имеющий 20 треугольных граней). Использованная Фуллером про-
екция не является гномонической, а определяется построением, подобным тому, что исполь-
зуется при изображении геодезически о купола. Для карты, составленной в проекции Димак-
сион, характерны малые искажения площадей и форм. Кроме того, вносимые ею искажения
достаточно равномерны. Хотя многогранник, используемый в этой проекции, можно развернуть
на плоскости разными способами, как правило, используется развертка, в которой Северный
полюс оказывается примерно в центре карты. На карте в проекции Димаксион изображен мир,
в котором нет ни севера, ни юга. Эту карту можно рассматривать с любой стороны, а континенты
выглядят не разделенными частями суши, а скорее островами посреди океана.
Карта в проекции Димаксион, выполненная на основе икосаэдра.
Пунктиром отмечены линии сгиба.
гие параметры (например, равнопрямоугольную проекцию Миллера) и иные ком-
промиссные варианты с очень малыми вносимыми искажениями (например, проек-
168
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
Тройная проекция Винкеля — это компромиссное решение: она не сохраняет
ни одно из метрических свойств, однако вносимые ею искажения невелики.
ции, использованные Национальным географическим обществом, проекция Артура
Робинсона 1961 года и тройная проекция Винкеля 1921 года).
Возмущение научного мира было вызвано, с одной стороны, тем, что общество
пренебрежительно отнеслось к их работам в области картографии, с другой сторо-
ны — тем, что Петерс при защите своей проекции умело манипулировал аргумента-
ми. Существование проекций, сохраняющих площади, доказывается в статье Лам-
берта от 1772 года, в которой он представил свою равновеликую цилиндрическую
проекцию, а также еще одну, азимутальную. Позднее было описано множество дру-
гих равновеликих проекций. Кроме того, проекция Галла — Петерса сохраняет пло-
щади, однако искажение форм на ней очень велико: территории, изображенные
Карта мира, выполненная в гомолосинусоидальной проекции Гуда, сохраняющей площади,
начала использоваться в атласах мира, а также в научных и научно-популярных публикациях,
в СМИ и в учебниках. Эта проекция остается популярной и сегодня.
169
ПРОЕКЦИЯ МЕРКАТОРА
в центре карты, значительно вытягиваются в направлении «север — юг», а участки
земной поверхности, расположенные севернее 45° с.ш. и южнее 45° ю. ш. — сжима-
ются. По иронии, искажение форм заметнее всего проявляется на территории Афри-
ки, Центральной и Южной Америки, а на территории Европы, США и Канады,
которые находятся ближе к параллели 45° с.ш., искажения меньше. Приведем
несколько любопытных цитат и карту в проекции Снайдера:
«[Карта мира в проекции Петерса] не лучше других, похожих карт, кото-
рые использовались последние 400 лет»;
«Проекция Петерса, по-видимому, перешла в ту же плоскость, что
и «единственная вера» или «лекарство от всех болезней». В попытках при-
влечь интерес общества к своей карте Петерс забыл об объективности и важ-
ных научных фактах».
Карта Снайдера, представленная на иллюстрации, не без доли юмора и иронии
показывает, что одного лишь сохранения площадей на карте недостаточно: необхо-
димо учитывать и другие параметры. Кроме этого, важно уделять внимание сохра-
нению форм стран и континентов.
Как бы то ни было, в этой книге мы доказали, что точных карт Земли не суще-
ствует: все они вносят те или иные искажения. Существует несколько сотен раз-
личных проекций: так, в книге «Как Земля стала плоской» (Flattening the Earth)
Джона Снайдера описывается порядка 300 их вариантов. При составлении атласа
мира, содержащего карты в различных масштабах (то есть карты мира и отдельных
континентов, стран и мелких регионов), для каждой карты в отдельности следует
выбрать наиболее подходящую проекцию.
170
Эпилог
Жила-была карта. Люди обращались к ней снова и снова
на протяжении многих лет. Она помогала не потеряться
в пути, проложить маршрут и указывала, где проходят
дороги. Такой должна быть любая карта: она должна быть под
рукой, когда это необходимо. Такой и была наша карта.
В последнее время люди обращались к ней очень часто, и кто-
то посчитал, что будет лучше расстелить карту на столе
и оставить ее лежать там. Любой мог подойти к ней,
взглянуть на нее, узнать все необходимое и вернуться к своим
делам, не теряя ни секунды. Это была хорошая карта.
Но настал день, когда карта перестала быть полезной. Никто
не знает, почему это произошло, но карта перестала быть такой
же точной, как раньше. Возможно, она постарела. Возможно, дело было
в том, что изображенное на ней больше не соответствовало реальности.
Альбер Васкес «Инструкция по складыванию карты» (2004)
В последние годы в картографии наблюдается значительный прогресс благодаря ис-
пользованию спутниковых снимков, GPS-навигаторов и множества средств, до-
ступных в интернете, начиная от всем известных и очень подробных «Карт Google»
и заканчивая интересным проектом SIGPAC (Система геоинформации о земельных
участках Министерства окружающей среды, сельского хозяйства и морского транс-
порта Испании). И мы еще не говорим о других, менее известных проектах, напри-
мер OpenStreetMap, Bing Maps, Yahoo Local Maps или Mappy.com. Теперь многие
полагают, что «мир карт мертв». Те, кто разделяет эту точку зрения, думают, что
с появлением современных компьютерных карт классические бумажные карты уста-
рели. Они считают, что для создания компьютерных карт не нужны картографиче-
ские проекции.
Однако это совершенно не так. Новые доступные нам средства предоставляют
широчайшие, немыслимые возможности, о которых в эпоху бумажных карт никто
и не подозревал. Компьютерные инструменты, как правило, интерактивны, ими
можно пользоваться где угодно. Однако их создание было бы невозможным без
всех открытий, совершенных картографами. Для создания любой современной циф-
171
эпилог
ровой карты по-прежнему необходимо использовать картографические проекции
и картографические методы. Например, спутниковые изображения, которые мы ви-
дим, — это не фотографии, сделанные из космоса. Эти изображения создаются сле-
дующим образом: сначала спутник сканирует земную поверхность и собирает мно-
жество данных, на основе которых формируется изображение в одной из картогра-
фических проекций (будь то космическая косая проекция Меркатора или любая
из тех, о которых мы рассказали в этой книге). В «Картах Google» используется
проекция Меркатора, поскольку она является конформной и сохраняет формы
на локальном уровне, а это очень удобно при создании интерактивных карт, в кото-
рых пользователи могут просматривать отдельные участки в увеличенном виде.
Карты, встроенные в GPS-навигаторы, в свою очередь, построены в системе про-
екций UTM (от англ. Universal Transverse Mercator — универсальная поперечная
проекция Меркатора) или с использованием любой другой картографической про-
екции.
Новые цифровые карты — это мощные средства передачи картографической
информации. Однако информация, которая в них содержится, по сути, осталась
прежней. Новые средства цифровой картографии — это всего лишь последний,
хотя, возможно, наиболее заметный этап прогресса в картографии.
172
Библиография
DlLLER, A., «The Ancient Measurements of the Earth», Isis, vol. 40, nQ 1 (feb. 1949),
pags. 6-9.
FEEMAN, T.G., Portraits of the Earth, A mathematician Looks at Maps, AMS, Provi-
dence, 2002.
FURUTI, C., Map projections (pagina web): http://www.progonos.com/furuti/Map
Proj/Cartlndex/cartlndex.html
IBANEZ, R., «Lo que Euler le dijo al cartografo» (la parte), Revista SIGMA, nQ 27,
pags. 81-106, 2005.
MONMONIER, M., Rumb lines and map wars, Chicago, The University of Chicago
Press, 2004.
OSSERMAN, R., La poesia del universe, Barcelona, Cntica, 1997.
PETERS, A., La nueva cartografia, Barcelona, Vicens Vives, 1992.
POLKING, J.C., Mapping the Sphere, Houston, Rice University (pagina web): http://
math.rice.edu / ~ polking/cartography /
RAISZ, E., Cartografia General, Barcelona, Omega, 1985.
RlCKEY, V.F., «How Columbus Encountered America», Washington, Mathematics
Magazine, 65, n° 4 (oct .1992), pags. 219-225.
ROBINSON, A.H. ET AL., Elements of Cartography, New Jersey, John Wiley and Sons,
1953 (sexta edicion, 1995).
ROMERO, F., Benavides, R., Mapas antiguos del mundo, Madrid, Edimat Libros,
1998.
RUIZ Morales, M., Ruiz Bustos, M., Forma у dimensiones de la Tierra: sintesis у
evolution historica, Barcelona, Ediciones del Serbal, 2000.
SNYDER, J.P., Map Projections, A Working Manual, Reston, USGS Professional Pa-
per 1395,1987.
—: Flattening the Earth, Two Thousand Years of Map Projections, Chicago, The
University of Chicago Press, 1993.
SOBEL, D., Longitud, Madrid, Debate, 1997.
TAYLOR, A., El mundo de Gerard Mercator, el cartografo que revoluciono la geografia,
Barcelona, Ed. Juventud, 2007.
W.AA., Maps, Introduction to Pure Mathematics M203, Open University (video).
173
Алфавитный указатель
«Рыбий глаз» (объектив) 121
GPS 23, 38,172
UPS (универсальная полярная система координат) 116,
161
USGS (Геологическая служба США) 116, 121, 127, 145,
159, 161,163
UTM (универсальная поперечная проекция Меркатора)
116,149,161-162,172
Аз-Заркали 117—118
азимут 96—97
Александрийская библиотека 26—27, 30, 120
Анаксимандр 14
Аристотель 14—16, 25, 88
Архимед 25—26, 71—75
атлас 81,100-102,104,135-155,159,169,170
Библия 20—21
Блау, Виллем 118,126
большой круг 35—50, 57—64, 91—92,102,162—163
Вальдземюллер, Мартин 141—142
Вернер, Иоганнес 43, 120, 126
Галилей, Галилео 43,104
Галл, Джеймс 164—165
Галлей, Эдмунд 43,111, ИЗ
Гаррисон, Джон 44—45
Гаусс, Карл Фридрих 135—140, 154, 160
географические координаты 13, 35, 37, 45
геодезическая линия 46—50, 54, 57, 58, 64—69,130, 145
геодезический купол 48—49
геодезия И, 22—24, 52,122,143
геоид 22—24
геометрия И, 46, 72, 74,109,127,140
дифференциальная 10, 52, 54, 58, 62, 82, 121, 136.
139,154
Гиппарх Никейский 12, 37, 43,105
главные кривизны 138
глобус 140—144, 150
гномон 27—30, 39, 87
гомотетия 57, 74
Гоос, Петер 118
Гринвичский меридиан 41—42, 85, 167
Делиль, Гийом 114
долгота 33—34, 40—45,152
Евдокс 25
закон всемирного тяготения 22, 33
изометрия 58, 63, 129—134, 139
индикатриса Тиссо 76, 92
Индикоплевст, Козьма 20—21
искажение
в направлении меридианов 75, 91, 156
в направлении параллелей 75, 91
карта
аэронавигационная 163
вымышленного мира 55
Димаксион 7, 168
звездного неба 114—115
многогранная 103
мореходная 32,102,151,157
топографическая Испании 161
топологическая 55
карта эпидемии холеры 53
картограмма 84
«Карты Google» 160, 171, 172
касательная плоскость к сфере 136
Кеплер, Иоганн 102, 119
Колумб, Христофор 13, 20, 31—32, 42
конус 68-69, 95,123-128,135
конформная проекция 66—69,112,116,122—123,151,157
космологические мифы 15
кривизна
Нусса 135—140
геодезическая 50
окружности 49—50
средняя 136—138, 140
Кэрролл, Льюис 129
Ламберт, Иоганн Генрих 71—73, 123, 127, 160, 169
Линдберг, Чарльз 159
локсодрома 102,108,122,151,157—158
Маслама 105, 106
масштаб 9,23, 54-58,81-83,123,124,127,144
математическая картография 51—52, 57,139
меридиан 26—34, 35—50, 73—81,123—125
Меркатор, Герард 81,118,141,146,150—156
метро 30, 33, 34
многогранник 103, 168
Морган, Огастес де 61, 87, 101
Национальное географическое общество 81, 146,169
нацистская пропаганда 86
нормальный вектор поверхности 136
Ньютон, Исаак 22, 33, 43, 44,154
Общество распространения полезных знаний Великобри-
тании (SDUK) 100
ойкумена 12,14, 141
Ортелий, Абрахам 151, 154
ортодрома 87,101,102,122,151,157,163
ортофотография 70
параллель 35—40, 74—81, 124,157, 164—165
Петерс, Арно 164—170
Пифагор 15,18
планисфера 105, 106
Платон 15. 26
плоскость эклиптики 38—39, 114
площадь 64 -69, 74-76,82-85,129-133
174
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
портулан 149,151, 153
Посидоний 31—32
проекция
Eckert IV10, 85,159,167
plate саггёе 79,144—145
азимутальная 87, 95—99,105,108
равновеликая Ламберта 71, 85, 99
равнопромежуточная 98, 99, 145—148,158
алгоритмическая 66, 68—69, 78, 96,123
Брауна 77—79
броненосец (или проекция Райша) 96
Ван дер Гринтена 10, 146, 159
восьмигранная (или «бабочка» Кэхилла) 103
Галла 77—78
геометрическая 68, 76, 78, 90
гномоническая, или центральная 87, 90—94, 98—103
гомолосинусоидальная проекция Гуда 159, 167,169
картографическая 10, 54—58, 68, 69, 172
коническая 123—126,128, 148
биполярная косая равноугольная коническая 10,
123
равновеликая коническая Альберса 10, 68—69,
85,124,125,128
равнопромежуточная 128, 144, 148
равноугольная коническая Ламберта 10, 71, 123,
127-128
Лагранжа 71, 123
Меркатора 8, 85, 112,149—170, 172
косая 162—163,172
поперечная 116, 149, 160—162, 172
Моллвейде 10, 69, 81, 85
ортографическая Галла (или Галла — Петерса) 10,
77, 85,164
перспективная 66—67, 70
поликоническая 125
псевдоконическая 125, 126
псевдоцилиндрическая 80—81, 85
равновеликая 65, 68—86. 97, 99,130—131
Бермана 10, 77, 78
равнопромежуточная 97,120, 144—148
равнопрямоугольная 144,145. 168
ретроазимутальная Крейга 98
Робинсона 10, 69, 81, 83,159, 169
синусоидальная, или проекция Сансона — Флемсти-
да 69, 81, 85,150,167
стереографическая 69, 77, 78, 105—128
Тристана Эдвардса 165
тройная Винкеля 10, 69, 83, 159,169
Хаммера — Айтоффа 69
Хобо — Дайера 165
цилиндрическая 71, 74—83, 156, 157, 165, 169
Миллера 78—79
равновеликая цилиндрическая Ламберта, или
проекция Архимеда 71—87,151,164
Птолемей, Клавдий 11—12, 20, 22, 32, 105, 125, 126
радиус Земли 56
Райт, Эдвард 155,156
расстояние 26—31, 33, 34,46—49, 57—66,99—102
румб 54, 62,102,122,151,153,155,157
Снайдер, Джои 112,120,159,163,170
Спид, Джон 121,126
стандартная линия (кривая) 123, 144, 145, 148, 164
сфера 22-23, 46-50, 57-79, 107-108, 130-133, 135,
137,139,140,142,146
сферическая модель Земли 56—57, 68, 103
сферический двуугольник 133,142
сферический треугольник 131—133, 139
сценографическая проекция 66
теорема
о четырех красках 61
Фалеса 88, 93,100,110
Тосканелли, Паоло 32
триангуляция 32—34
тяготение И, 22—24
угол 26—42, 62-75, 87-102,107-124,129-134
Фалес Милетский 14, 87, 88
Финеус, Оронций 126,150
Флемстид, Джон 104
формула
Гаусса — Бонне 140
суммы углов сферического треугольника 133, 140
суммы углов треугольника на плоскости 140
Фуллер, Ричард Бакминстер 48, 103, 168
Хондиус, Иодокус 56,106,119,120,126.155
цилиндр 68-69, 95,135-139,155,164
широта 22-23, 35-40,42,99,156,161,165
Эйлер, Леонард 134—135
экватор 16-18,22-23,76-80,90,155-159,162,164,165
эллипс 43, 90, 92—94,118
эллипсоид 13, 22—24, 30, 36, 56
Эратосфен 26—30, 37, 41, 78, 145
175
Научно-популярное издание
Выходит в свет отдельными томами с 2014 года
Мир математики
Том 26
Рауль Ибаиьес
Мечта об идеальной карте.
Картография и математика
РОССИЯ
Издатель, учредитель, редакция:
ООО «Де Агостини», Россия
Юридический адрес: Россия, 105066,
г. Москва, ул. Александра Лукьянова, д. 3, стр. 1
Письма читателей по данному адресу не при-
нимаются.
Генеральный директор: Николаос Скилакис
Главный редактор: Анастасия Жаркова
Выпускающий редактор: Людмила Виноградова
Финансовый директор: Наталия Василенко
Коммерческий директор: Александр Якутов
Менеджер по маркетингу: Михаил Ткачук
Менеджер по продукту: Яна Чухиль
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите на сайт www.deagostini.ru, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в России:
® 8-800-200-02-01
Телефон горячей линии
для читателей Москвы:
® 8-495-660-02-02
Адрес для писем читателей:
Россия. 600001, г. Владимир, а/я 30,
«Де Агостини», «Мир математики»
Пожалуйста, указывайте в письмах свои кон-
тактные данные для обратной связи (телефон
или e-mail).
Распространение:
ООО «Бурда Дистрибьюшен Сервисиз»
УКРАИНА
Издатель и учредитель:
ООО «Де Агостини Паблишинг» Украина
Юридический адрес: 01032, Украина,
г. Киев, ул. Саксаганского, 119
Генеральный директор: Екатерина Клименко
Для заказа пропущенных книг и по всем вопро-
сам, касающимся информации о коллекции, за-
ходите иа сайт www.deagostini.ua, по остальным
вопросам обращайтесь по телефону бесплатной
горячей линии в Украине:
® 0-800-500-8-40
Адрес для писем читателей:
Украина, 01033, г. Киев, а/я «Де Агостини»,
«Мир математики»
Украина, 01033, м. Ки’1’в, а/с «Де Arocrini»
БЕЛАРУСЬ
Импортер и дистрибьютор в РБ:
ООО «Росчерк», 220037, г. Минск,
ул. Авангардная, 48а, литер 8/к,
тел./факс: (+375 17) 331-94-41
Телефон «горячей линии» в РБ:
® + 375 17 279-87-87 (пн-пт, 9.00-21.00)
Адрес для писем читателей:
Республика Беларусь, 220040 г. Минск.
а/я 224, ООО «Росчерк», «Де Агостини»,
«Мир математики»
КАЗАХСТАН
Распространение:
ТОО «КГП «Бурда-Алатау Пресс»
Издатель оставляет за собой право увеличить реко-
мендуемую розничную цену книг. Издатель остав-
ляет за собой право изменять последовательность
заявленных тем томов издания и их содержание.
Отпечатано в соответствии с предоставленными
материалами в типографии:
Grafica Veneta S.p.A Via Malcanton 2
35010 Trebaseleghe (PD) Italy
Подписано в печать: 28.05.2014
Дата поступления в продажу на территории
России: 15.07.2014
Формат 70 х 100 / 16. Гарнитура «Academy».
Печать офсетная. Бумага офсетная. Печ. л. 5,5.
Усл. печ. л. 7,128.
Тираж: 34 600 экз.
© Raul Ibanez, 2010 (текст)
© RBA Collecionables S.A., 2011
© ООО «Де Агостини», 2014
ISBN 978-5-9774-0682-6
ISBN 978-5-9774-0721-2 (т. 26)
@
Данный знак информационной про-
дукции размещен в соответствии с требования-
ми Федерального закона от 29 декабря 2010 г.
№ 436-ФЗ «О защите детей от информации, при-
чиняющей вред их здоровью и развитию».
Издание для взрослых, не подлежит обязатель-
ному подтверждению соответствия единым требо-
ваниям, установленным Техническим регламентом
Таможенного союза «О безопасности продукции,
предназначенной для детей и подростков» ТРТС
007/2011 от 23 сентября 2011 г. № 797.
Мечта
об идеальной
карте
Картография и математика
Современный человек пользуется картами практически
ежедневно: карты украшают стены школ, они помогают
нам ориентироваться на местности, находить кратчайший путь
из одного пункта в другой, изучать историю, географию,
экономику и ряд других наук. Карты - важный рабочий
инструмент для некоторых специалистов: моряков, летчиков,
машинистов, топографов и проч. Но много ли мы знаем о том,
как создаются карты? Для чего существует такое количество
разнообразных карт и насколько все они точны? Прочитав эту
книгу, вы узнаете множество новых и любопытных фактов
о геометрии карт.
ISBN 978-597740682-6