Лекции по геометрии. Семестр IV. Дифференциальная геометрия - Постников М.М.

Author: Постников М.М.
Tags: дифференциальная геометрия алгебраические и аналитические методы в геометрии геометрия топология математика естественные науки издательство наука
ISBN: 5-02-013741-1
Year: 1988
Similar
Лекции по геометрии. Семестр V. Риманова геометрия
Дифференциальная геометрия и топология кривых
Курс дифференциальной геометрии. Учебное пособие
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей
Text
                    ЛЕКЦИИ
ПО ГЕОМЕТРИИ
Семестр IV
м. м. постников
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия для студентов вузов,
обучающихся по специальности ^Математика»
щ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 9 S 3

ББК 22.151
П63
УДК 514.7@75.8)
Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр IV. Диффе-
Дифференциальная геометрия: Учеб. пособие для вузов.—М.: Наука. Гл.
ред. физ.-мат. лит., 1988.—496 с—ISBN 5-02-013741-1.
Является непосредственным продолжением пособий того же автора
«Лекции по геометрии. Семестр L Аналитическая геометрия», «Се-
«Семестр II. Линейная алгебра» и «Семестр III. Гладкие многообразия».
Семестр IV посвяшен в основном теории связностей в векторных рас-
расслоениях. Рассматриваются также топологические вопроси — фун-
фундаментальная группа, накрытия и элементы теории /С-групп.
Заканчивается книга экскурсом в теорию гомотопических групп.
Для студентов математических специальностей вузов.
Рецензенты:
кафедра математического анализа Новосибирского государственного
университета (заведующий кафедрой академик АН СССР К). Г. Ре-
шетняк);
доктор физико-математических наук профессор В. И. Ведерников
Учебное издание
ПОСТНИКОВ Михаил Михайлович
Лекции по геометрии
Семестр IV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Заведующий редакцией Н. А. Угарова
Редакторы Ю. П. Соловьев, Т. А. Понькова
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры Т. С. ВайсОерг, Л. С. Сомова
ИБ № 32382
Сдано в набор 19.02.88. Подписано к печати 19.08.88. Формат 84x108/32.
Бумага книжно-журнальная. Гарнитура литературная. Печать высокая.
Усл. печ. л. 26,04. Усл. кр.-отт. 26,04. Уч.-изд. л. 26.32. Тираж 14 000 экз.
Заказ N) 2446. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красно'о Знамени
Ml 10 «Первая Образцовая типография» имени А. А.Жданова Сон>зполиграф-
прома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полигра-
полиграфии и книжной торговли. 113054 Москва Валовая, 28
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука>. 121099 Москва
Г-99, Шубинский пер., 10. Заказ 2135.
п 1702040000-173
п
053@2)-88 ^ Издательстьо «наука».
Главная редакция
t/,mi г .„„,„711 1 физико-математической
ISBN 5-02-013741-1 литературы, 1У88

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
ЛЕКИИЯ 1 13
Расслоения и их морфизмы.— Фактортопология и факторпрост-
р.'шство.— Действия групп.— Топологические и гладкие группы
и их действия.— Главные расслоения.— Расслоения со структур-
структурной группой.—Сечения расслоений.— Локально тривиальные рас-
расслоения.
ЛЕКЦИЯ 2 33
Накрытия.— Примеры накрытий.— Замечания о накрытиях.— Тео-
рома о накрывающем пути.— Уточнении >тин теоремы.— Расслое-
Расслоения в смысле Гуревича.
ЛЕКЦИЯ 3 46
Гомотопические классы путей,—Фундаментальная группа тополо-
топологического пространства.— Односвязность стягиваемых прост-
пространств,— Односвязность сферы.— Фундаментальная группа окруж-
окружности.
ЛЕКЦИЯ 4 60
Независимость фундаментальной группы от выбора начальной
точки.— Гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный
непрерывным отображением,— Точная гомотопическая последова-
последовательность накрытия.— Свойства гомотопической последовательно-
последовательности накрытия.— Односвязные накрытия.— Существование и един-
единственность поднятий.— Удобные пространства.
ЛЕКЦИЯ 5 . 79
Полулокально односвязные пространства.— Существование одно-
связных накрытий.— Условие изоморфности двух накрытий.—
Универсальные накрытия.— Вспомогательная лемма.— Теорема
классификации накрытий.— Группа автоморфизмов накрытия.—
Регулярные накрытии,— Введение тлл.кости.
ЛЕКЦИЯ 6 101
Векторные расслоения.—Сечения векторных расслоений,—Мор-
расслоений,—Морфизмы векторных расслоений.— Комплексные и кватернионные
структуры на вещественном расслоении.— Примеры векторных
расслоений.— Расслоения ассоциированные с главными CL (л; Ю-
расслоениями.— Склеивающие коциклы векторных расслоений.—
Зекторкые расслоениями классы когомологий матричных коцик-
коциклов.
ЛЕКЦИЯ 7 121
Векторные t-расслоения,— Линейные f-пространства.— Кватер-
Кватернионы.— Группа и" (п).~ Векторные расслоения типа 9.—
Их связь с главными ^-расслоениями.— Условие редуцируемо-
стн,— Ориентируемые векторные расслоения.— Метри»уемые век-
векторные расслоения.
1*

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 8 136
Квазикомплексные многообразия.—Многообразие кососичметри-
ческих ортогональных матриц.— Условие квазикомплекснфици-
руемости.— Квазикомплексифнцируемые сферы.— Алгебра ок-
октав.— Квазикомллексифицируемссть сферы S*.— Квазикомплеи-
сифицируемые многообразия размерности 6.— Параллелизуемость
квазигрупп.— Вещественные плгебры с делением.
ЛЕКЦИЯ 9 153
Геометрии Клейна.— Расслоения типа (», f).~ Сравнение (9, &)¦
расслоений с расслоениями | [&]•— Редукция (•, у\-\чк:сл>е-
ний.— Редукция главных расслоений.— Двулистное накрытие не-
ориентируемого многообразия.
ЛЕКЦИЯ Ю 168
Прообраз векторного расслоения.— Гладкие векторные расслое-
расслоения.— Поля горизонтальных подпространств.— Связности и их
формы.— Прообраз связности.— Связности на комплексном рас-
расслоении и на его овеществлении.— Диагонализация свянмости.
ЛЕКЦИЯ 11 185
Горизонтальные кривые.— Ковариантные производные сечений.—
Ковариаитное дифференцирование вдоль кривой.— Связности k.ik
ковариантные дифференцирования.— Линейные отображения мч-
дулей сечений.— Связности на метризованных расслоениях.
ЛЕКЦИЯ 12 202
1-тензорные поля.— Полилинейные функционалы и g-тензорные
поля.— Коварнантное дифференцирование fc-тензорных полей.—
Случай |-ковекторных полем.— Общий случай.— Кронекорово
произведение матриц и тензорное произведение линейных опера-
операторов.— Функторы.— Тензорное произведение векторных расслое-
расслоений.— Обобщение.— Тензорное произведение сечений.
ЛЕКЦИЯ 13 221
Ковириантный дифференциал.—Сравнение различных определе-
определений связности.—Группы Ли.—Примеры групп Ли.— АлгеСрп Ли
группы Ли.— Касательное пространство в единице.— Формул» дли
коммутатора.
ЛЕКЦИЯ Н 236
Однопаряметрические подгруппы,—Экспоненциальное отображе-
отображение и нормальные координ.пы.— Выражение умножения в группе
Ли через умножение п ее ллгебре Ли.—Дифференциал присоеди-
присоединенного представления.—Операции в алгебре Ли группы .'III
и однопараметрическис подгруппы.—Подгруппы Ли группы Ли.—
Распределения и их интегральные подмногообразия.— Теорема
Фробениуса.— Подмногообразия многообразий, удовлетворяющие
второй аксиоме счетностн,— Единственность структуры подалгеб-
подалгебры Ли.
ЛЕКЦИЯ 1В 257
Замкнутые подгруппы группы Ли.— Теорема Картана.— Алгс-Соаи-
ческие группы.— Карты, согласованные с подгруппой Ли.— Сла-
Слабейшая гладкость на подгруппе Ли.—Теорема Фрейденталя.—
Теорема Адо и третья теорема Ли— Локально изоморфные паппы
Ли. —Групповые накрытия.— Существование универсального груп-
группового накрытия.
ЛЕКЦИЯ 1С 276
Связности на расслоении реперов.—Сравнение со связпостпми ил
векторных расслоениях.— Явное построение связности hi вектор-
векторном расслоении,—Гладкие главные расслоения.— Фувдаменталь-

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
ные вертикальные поля.— Горизонтальные формы.— Векториознач-
ные дифференциальные формы.
ЛЕКЦИЯ 17 293
Фундаментальные формы в поля горизонтальных подпространств.—
Связности на гладком главном расслоении.— Проекторы, индуци-
индуцированные свяэностями.— Горизонтальные векторные поля.— Связ-
Связности на ассоциированных расслоениях,— Связности на ассоции-
рованных векторных расслоениях.
ЛЕКЦИЯ 18 305
Параллельный перекос вдоль кривой.— Группа голономии и ее
компонента единицы,— Лемма о разложении гомотопных нулю
петель в произведение малых лассо,— Доказательство связности
суженной группы голономии.— Изоморфизм групп голономии
в различных точках.— Счетность фундаментальной группы,— Тео-
Теорема редукции,—Доказательство существования связности и уни-
универсально тривиализирующих покрытий.—Аффинное простран-
пространство связностей.
ЛЕКЦИЯ 19 323
Вычисление параллельного переноса вдоль петли.— Оператор
кривизны в данной точке,— Перенесение вектора по бесконечно
малому параллелограмму,— Тензор кривизны.— Формула преобра-
преобразования компонент тензора кривизны.— Выражение оператора
кривизны через ковариантные производные,—Структурное урав-
уравнение Картана,— Тождество Бианки.
ЛЕКЦИЯ 20 343
Тензор кривизны и группа голономии.— Выражение алгебры
голономии через тензор кривизны.— Случай плоской связности.—
Коварнгштно постоянные тривиализации.— Связности, обладаю-
обладающие абсолютным параллелизмом.—Переход к главным расслое-
расслоениям.— Параллельный перенос и группа голономии для главных
расслоений,—Теорема редукции для главных расслоении,—
Форма кривизны связности на главном расслоении.— Теорема
Амброза —Сингера.— Применение теоремы Амброза — Сингера к
векторным расслоениям.
ЛЕКЦИЯ 21 360
Лемма о касательном пространстве прямого произведения и ее
следствия,—Об одном дифференциальном уравнении.—Сущест ю-
вание горизонтальных накрытий для главных расслоений —
Альтернативное определение формы кривизны.— Тождество
Бианки для формы кривизны главного расслоения.— Структурное
уравнение Картана.— Экиивариаитные горизонтальные формы.—
Мнимые кватернионы,—Формы F^^.
ЛЕКЦИЯ 22 375
Уравнения Максвелла электромагнитного поля.— Операторная
интерпретация,— Калибровочные поля,— Инстантоны,— Формула
дня топологического заряда.— Функционал Янга —Миллса.—
Инвариантные многочлены на пространстве матриц.— Характери-
Характеристические классы векторных расслоений.
ЛЕКЦИЯ 23 395
Характеристические классы Чженя и Понтрягина.— Характери-
Характеристические числа Чженя и Понтрягина.— Свойства классов Чженя
и Понтрягина.— Полные классы Чженя и Понтрягина.— Харак-
Характеры Чженя и Понтрягина.— Характеристический класс Эйлера.—
К-фуиктор.— Расслоения и пространства конечного типа.
ЛЕКЦИЯ 24 413
Я-Функтор.— Сравнение К- и К-функторов.— Операции Я*.— Опе-
Операции Адамса.— Группы KgS™.— Инвариант Хопфа. — Конструк-
Конструкция Хопфа,— Ряд элементарных импликаций.— Теорема о равно-
равносильности.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ЛЕКЦИЯ 25
Глапиые рясслорния над сферами.— Характеристическое отобра-
отображение для рпсслоеиня т§« -м-—Характеристическое отображение-
для расслоения Tgn + |.—Непараллолизуимость с(|>ор 8*' + '.—
Гомотопические группы пумктмрпнанимх пространств.— Альтерна-
Альтернативное определенно гомотопических групп.— Гомотопические
группы и классы <г°юПонжгииЯ сфер.— Гомотопические группы
эбелевых пространств.
ЛЕКЦИЯ 2G
Гомотопическая последовательность расслоения.—Группы ЛцЗ171
при п </п.—Стабилизация групп я« SO (m).— Классификация
отображении многооПразий в сферы.— Теоремы Урысока и Тит-
од.—Связность груши» Diffo'R«.— Доказательство теоремы Хопфл
о продолжении.
ЛЕКЦИЯ ¦-'7
Группа Яп8".— Теорема о характеристическом классе.— Ее oflofi-
щение.— Гомотопические группы накрывающего пространства —
1'асслоение Хопфа и группа л:,8г.— Группы Пяч-iS"-— Опера-
Операция о в гомотопических группах сфер.— Вычисление гомотопи-
гомотопиj
ческого класса отображения />,
памн.
о 7"jj+1.— Спязь с
433
45J
468
ДОПОЛНЕР(ИЕ при корректуре 482
Построение (IV. Sp (п))-инстактонов.—Описание (W. 5р(л))-инстан-
тонон,— Пространство модулем (/V, 5р(л))-инстантонои.— JV-mt-
'Тритоны.— Случай N— 1,— Случай Л/ = 2,—Случай W = 3.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
493
СХЕМА ЗАВИСИЛЮСТИ ЛЕКЦИЙ

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга является непосредственным продол-
продолжением предыдущей книги этой серии J) и подобно ей пред-
предназначена служить учебником по расширенному — по срав-
сравнению с читаемым ныне—курсу геометрии для студентов-
математиков университетов. Хотя общий замысел серии,
подробно изложенный в предисловии к Семестру III,
остался прежним, тем не менее характер книги несколько
изменился. Основная причина состоит в полной неразра-
неразработанности основных принципов преподавания геометрии
в университетах. Если, скажем, по анализу имеется веко-
вековая традиция как устного преподавания, так и письмен-
письменных учебников, то в отношении геометрии царит полная
неясность и в том, что следует включать в программу,
и в том, как это нужно преподавать и излагать. Необ-
Необходимо иметь несколько разных учебников, написанных
с различных позиций, и только после длительной обкатки
их в реальном преподавании можно будет обоснованно
принимать решения о составе курса и о стиле его пре-
преподавания. Пока же учебник приходится писать так, чтобы
он мог обслуживать много по-разному ориентированных
обязательных курсов. Это, конечно, резко увеличивает
объем книги, но зато оставляет лектору значительную сво-
свободу маневра и позволяет вдумчивому студенту сущест-
существенно выйти за пределы аудиторного изложения.
Отдел математики, называемый дифференциальной гео-
геометрией, зародился как теория кривых и поверхностей
евклидового пространства, изучаемых средствами анализа.
После Римана центр тяжести исследований постепенно
переключился на геометрию многообразий с произвольной
J) См. Постников М. М. Лекции по геометрии. Семестр III.
Гладкие многообразия.— М.: Наука, 1987. В дальнейшем цитируется
как «Семестр III».

8 ПРЕДИСЛОВИЕ
римановой метрикой. Изучение параллельного перенесения
в римановой геометрии привело—после длительного про-
процесса освоения новых концепций—к общему понятию связ-
связности в произвольных главных (или векторных) расслое-
расслоениях. Это понятие не только служит базисом, на котором
в настоящее время возвышается здание дифференциальной
геометрии, но играет существеннейшую роль в других геомет-
геометрически ориентированных отделах математики и даже
физики.
Связь дифференциальной геометрии с физикой всегда
была очень тесна. (Все знают, что Риман впервые изложил
свои идеи во вступительной лекции 1854 г., но мало кому
известно, что разработал он их в работе 1867 г., посвя-
посвященной одному вопросу теории теплопроводности.) В тео-
теории относительности Эйнштейна эта связь достигла такой
интенсивности, что стали даже говорить, быть может, не-
несколько поспешно, о геометризации физики. Сейчас откры-
открылась новая дверь, соединяющая физику с геометрией,—
потенциалы калибровочных полей теории элементарных
частиц оказались не чем иным, как связностями в тех или
иных главных расслоениях!
Все это определяет желательность (а, быть и может,
и необходимость) введения общей теории связностей в обя-
обязательный курс геометрии для математиков (о физиках
речи нет—они давно уже вынуждены изучать все эти
вопросы под маской калибровочных полей). Как ни странно,
но основной минимально необходимый материал здесь не
очень велик и может быть изложен за четыре—пять лек-
лекций. Правда, при этом за бортом остается много деталей
и разветвлений, без которых обходиться на самом деле
трудно. Они также изложены в этой книге—для чего по-
понадобилось вдвое больше места,— но как факультативный
материал, в основном для самостоятельного изучения.
Более же конкретные вопросы (пространства аффинной
связности, симметричные пространства, римановы прост-
пространства, пространственные формы Кэли—Клейна, теорема
Гаусса—Бонне, вариационная теория геодезических и т. п.),
которые, конечно, также должны входить в курс, будут
изложены в следующем томе.
Много места в книге уделено вопросам, лишь косвенно
связанным с дифференциальной геометрией, так что назва-
название книги имеет более или менее условный характер.
(Достаточно сказать, что изложение собственно дифферен-
дифференциально-геометрического материала начинается лишьсдеся-

ПРЕДИСЛОВИЕ
той лекции!) Три (правда, неполные) лекции посвящены
группам Ли.
Из топологического материала в книгу включена лишь
теория накрытий и фундаментальной группы, необходи-
необходимость которых в обязательном курсе, по-видимому, уже
общепризнанна. В связи с характеристическими классами,
трактуемыми дифференциально-геометрически, введены К-
группы, которые затем применяются к задаче о четности
инварианта Хопфа. (Напомним, что—очень беглое! — поня-
понятие о группах гомологии было дано в последней лекции
Семестра III.) В заключительных трех лекциях 25—27
в связи с задачей о параллелизуемости сфер вводятся гомо-
гомотопические группы и излагаются их простейшие свойства.
Наиболее важные вопросы в книге разобраны очень
детально (даже, возможно, с излишней подробностью; см.,
например, в лекции 18 изложение связностей в расслоении
реперов). Вместе с тем, для сохранения разумного объема
книги, другие вопросы—быть может, не менее важные —
изложены в виде задач (правда, с подробными указаниями).
Как и в Семестре III, мелкий шрифт используется для
изложения внегеометрического (в основном относящегося
к анализу) материала, а также для некоторых задач (в основ-
основном более трудных). Остальные задачи фактически являются
тривиальными упражнениями, предназначенными исклю-
исключительно для самоконтроля читателя.
В отличие от Семестра III лекции в книге теперь
несколько увеличены по сравнению с устными. Имеется
в виду, что лектор должен произвести определенный отбор
и часть материала изложить либо без доказательств, либо
в виде задач для студентов, либо отсылая их к учебнику.
Вместе с тем к концу второго года обучения темп лекций
и объем применяемого на них материала, конечно, не может
оставаться на уровне первого семестра.
Известно, что привычка к определенным обозначениям
автоматизирует мышление и делает усвоение нового мате-
материала более легким. Напротив, введение новых, незнако-
незнакомых обозначений может создать трудности в понимании
даже известного материала. Поэтому автор учебника обязан
следовать сложившимся обозначениям и весьма осторожно
вводить новые. К несчастью, в дифференциальной гео-
геометрии наблюдается в этом отношении ужасающий разно-
разнобой и в разных ее отделах (и в разных учебниках) обо-
обозначения, как правило, никак друг с другом не коррели-
рованы. В этой книге произведена попытка более или

10 ПРЕДИСЛОВИЕ
менее унифицировать обозначения, не отходя при этом
слишком далеко от традиции. Полностью это сделать, есте-
естественно, не удалось, и читатель не должен быть шокиро-
шокирован, обнаружив, например, что проекция расслоения, обо-
обозначаемая обычно буквой я, в отдельных лекциях обозна-
обозначается буквой р, которая в других лекциях употребляется
для обозначения точек (а также как индекс).
Конкретное содержание книги ясно из подробного оглав-
оглавления. Поэтому мы ограничимся лишь краткими коммен-
комментариями.
Лекция 1 имеет вводный характер и, строго говоря, .
без нее и дальнейшем можно обойтись (в лекциях, не
имеющих, дела с главными расслоениями). Однако, полно-
полностью опустив ее, читатель лишится общей перспективы
и сильно сузит свой кругозор. Можно рекомендовать не
изучать эту лекцию сразу, но возвращаться к ней каждый
раз, когда в этом появится необходимость.
Лекции 2—5 посвящены накрытиям и фундаментальной
группе. Изложение в них построено концентрически и при
необходимости можно опустить лекцию 5 или даже оста-
оставить лишь лекции 2 и 3; каждый вариант содержит более
или менее законченный запас сведений. (Подобный прин-
принцип изложения принят и в некоторых следующих лекциях.)
В лекции б начинается основная тема—векторные рас-
расслоения. С этой лекции можно начинать, но опустить ее
никак нельзя.
В лекции 7 обсуждается задача о редукции структур-
структурной группы векторного расслоения. В качестве примеров
рассмотрены задачи о метризуемости векторных расслое-
расслоений и о квазикомплексифицируемости гладких многообра-
многообразий. В лекции 8 обсуждается вопрос, при каких п сфера
размерности п квазикомплексифицируема или параллели-
зуема.
Задача о редукции структурной группы (для векторных
расслоений уже рассмотренная в лекции 7) в общем виде
рассматривается в лекции 9. В связи с этим вводится
понятие геометрии Клейна.
Как уже было сказано, собственно дифференциальная
геометрия начинается в лекции 10. Здесь дается геометри-
геометрическое определение связности на векторном расслоении
как особого вида поля горизонтальных подпространств.
Эту лекцию можно читать сразу после лекции 6.
В лекции 11 вводятся ковариантные производные и уста-
устанавливается их биективное соответствие со связностями.

ПРЕДИСЛОВИЕ Л
В лекции 12 описывается процедура перенесения связ-
связности (= ковариантного дифференцирования) с данного
векторного расслоения на любые его тензорные степени.
Изложение построено так, что это перенесение предшест-
предшествует конструкции тензорных степеней и служит для его
мотивировки. Конечно, рассматриваются не только тензор-
тензорные степени, но и произвольные непрерывные функторы.
Имея понятие тензорного произведения расслоений, мы
можем теперь ввести понятие ковариантаого дифференциала.
Это делается в начале лекции 13. Затем мы переходим
к группам Ли, теории которых посвящена оставшаяся часть
лекции 13 и лекции 14, 15. (Заметим, что на практике
конец лекции 14 приходится, разрывая изложение, при-
присоединять к лекции 15.)
В лекциях 16, 17 вводятся связности на главных рас-
расслоениях и сопоставляются со связностями на векторных
расслоениях. Эти лекции за счет примеров и подробных
разъяснений без труда могут быть сокращены до одной-
полутора лекций.
Лекция 18 состоит из двух частей. В первой части вво-
вводится группа голономии и доказывается (с использованием
общих теорем лекции 15), что это группа является груп-
группой Ли. Затем доказывается теорема о редуцируемости
расслоения к его группе голономии. В аудиторном изло-
изложении, когда не требуется все обозначать и все договари-
договаривать, доказательства обеих теорем оказываются и быстрыми,
и нетрудными. Во второй части—лишь косвенно связан-
связанной с первой—доказывается, что над паракомпактпым
хаусдорфовым многообразием каждое векторное расслоение
обладает хотя бы. одной связностью и потому трмвиали-
зируется над любой шаровой координатной окрестностью.
В лекции 19 вычисляется параллельный перенос вдоль
петли и на этой основе вводится тензор кривизны. Обсуж-
Обсуждаются также и другие его определения. Эту лекцию можно
читать—опустив два последних раздела—непосредственно
после лекции 11.
Основная тема лекции 20—выражение через тензор
кривизны элементов группы голономии. После эвристи-
эвристического обсуждения этой задачи доказывается дающая ответ
теорема Амброза—Сингера. Для этого параллельный пере-
перенос, форму кривизны и группу голономии приходится опре-
определять для произвольных главных расслоений.
В лекции 21 теорема о существовании накрывающих
горизонтальных кривых—необходимая для доказательства

12 ПРЕДИСЛОВИЕ
в общем случае теоремы Амброза—Сингера—доказывается
для произвольных главных расслоений. Затем обсуждается
альтернативное определение формы кривизны связности на
главном расатоении, тождество Биянки и структурное урав-
уравнение Картана. Лекция завершается изложением кватер-
нионной конструкции инстантонов.
На этом изложение дифференциальной геометрии по
существу заканчивается и в лекции 22 после краткого
экскурса в теорию калибровочных полей Янга—Миллса
мы снова возвращаемся к топологии. В этой и следующей
лекции излагается принадлежащая Вейлю дифференциаль-
дифференциально-геометрическая теория характеристических классов и
основные идеи теории /(-групп. В лекции 24 доказыва-
доказывается—с лакунами—теорема Адамса о четности инвариан-
инварианта Хопфа при пф2, 4 и 8 и подробно обсуждаются ее
различные алгебраические эквиваленты.
В лекции 25 обсуждаются расслоения над сферами и
в этой связи вводятся гомотопические группы.
В лекции 26 вычисляются группы л„8т при п^т и
доказывается теорема Хопфа об отображении многообра-
многообразий в сферы той же размерности.
В заключительной лекции 27 излагается — с больши-
большими лакунами — методика вычисления /Ср-групп сфер и их
применение к проблеме инварианта Хопфа.
Центральное место в книге занимают лекции 6, 10, 11
и 19. В современном—сокращенном до предела—курсе
геометрии на мехмате (см. предисловие к Семестру III)
приходится ограничиваться только ими (и частью материала
лекций 5 и 12) и сразу переходить к римановой геометрии.
Выше на схеме эти лекции выделены черным.
Как уже было сказано, римановой геометрии (и смеж-
смежным вопросам) будет посвящен следующий том.

Лекция 1
Расслоения и их морфизмы.— Фактортопология и фактор-
пространство.— Действия групп.— Топологические и глад-
гладкие группы и их действия.— Главные расслоения.— Рас-
Расслоения со структурной группой.— Сечения расслоений.—
Локально тривиальные расслоения.
Слово «расслоение» вызывает представление о некото-
некотором множестве <В, разбитом (расслоенном) на непустые
непересекающиеся подмножества—слои. Пусть S3—мно-
S3—множество всех слоев, а я: <? —<¦ S3—отображение, сопостав-
сопоставляющее каждой точке р?.<8 содержащий ее слой. Отобра-
Отображение я однозначно определено расслоением и, в свою
очередь, однозначно его определяет. При этом любое
надъективное отображение вида я: ? —<¦ S3 доставляет нам
некоторое расслоение множества ? (состоящее из прообра-
прообразов n~l(b) точек Ь?33). Конечно, в топологической си-
ситуации (когда ? является топологическим пространством)
отображение я естественно считать непрерывным. Все это
объясняет и мотивирует следующее определение:
Определение 1. Расслоением называется произвольная
тройка вида
5 = (& я, Я),
где «? и S3—топологические пространства, а я: §—+33—
непрерывное отображение (как правило, надъективное).
Пространство ё называется тотальным пространством
расслоения ?. (Употребляются также термины пространство
расслоения и расслоенное пространство.) Пространство Я?
называется базой расслоения |. Расслоение с базой S3
называется также расслоением над S3. Отображение я: <?—*S
называется проекцией расслоения ?. Для любой точки
b?S8 ее прообраз Srb-—n~1(b) называется слоем расслое-
расслоения 5 над точкой Ь.
Замечание 1. Так как задание отображения я: ?—>-38
уже предусматривает задание пространств ? и S3, то
средний компонент тройки ($, я, SB) однозначно определяет
остальные два. Поэтому формально расслоение (<?, я, 3&)
совпадает с отображением я. Различие состоит только в
точке зрения (отображение есть правило, сопоставляющее
каждой точке р?? точку я(р)?53. а расслоение сопо-
сопоставляет каждой точке Ь?ЭЗ подпространство $ГЬ).

J4 РАССЛОЕНИЯ И ИХ МОРФИЗМЫ
Тем не менее иногда удобно не различать 1 и я и
называть расслоением отображение я: ? -¦* 58.
Когда нужно отметить зависимость <?\ 53 и л от Е, мы
будем писать <?&, 59е и л5 (а иногда по требованию типо-
типографии <§ (I), т (?) и л A)).
Расслоение ? = (<?, л, 38) называется расслоением с ти-
типичным слоем, если для любых двух точек Ьх, Ьг?!В
слои Згь% и <$F6i гомеоморфны, т. е. если существует такое
топологическое пространство ?, что для любой точки
Ь ? ?8 слой еГь гомеоморфен пространству of. Простран-
Пространство еГ однозначно определено с точностью до гомеоморфизма
и называется типичным слоем расслоения.
Ясно, что проекция каждого расслоения, обладающего
типичным слоем, является надъективным отображением.
Пусть ! = (<?, л, S3) и !'==(<?", л', 53') —два расслое-
расслоения. Непрерывное отображение q>:(?—+&' называется
послойным., если оно переводит каждый слой 3~ь = л~1ф),
Ь?33, расслоения ? в некоторый слой ?ь. расслоения 1'.
Такое отображение определяет по формуле yp(b)=-b'
отображение т|з: 9В-~¦»¦ ZB', удовлетворяющее соотношению
п'оср—. ^ол, т. е. замыкающее коммутативную диаграмму
но, вообще говоря, не непрерывное. Если отображение т|з
непрерывно, то послойное отображение ср называется
морфизмом расслоения ? в расслоение |' и в этом случае
пишут <р: 1 —> §'.
Поскольку отображение а|з однозначно характеризуется
как отображение, замыкающее диаграмму A), можно также
сказать, что отображение <р: <^ —>¦ «5" тогда и только тогда
является морфизмом ср: S-+E/, когда существует непре-
непрерывное отображение г|>: 33—>¦$}', замыкающее диаграмму A).
Иногда морфизмом ?.—»•?/ называют пару (<р, гр).
Морфизм ф: I — V называется изоморфизмом, если оба
отображения ф и г|з являются гомеоморфизмами, т. е. если
определено непрерывное отображение ф: ?'¦—*<? и это
отображение является морфизмом 5' —•¦ ?. Расслоения I и
V называются изоморфными, если существует хотя бы
один изоморфизм ?—>-?'.
В случае, когда Si' = 5& и of) = id, послойное отобра-
отображение ф (автоматически являющееся морфизмом) называется

ФАКТОРТОПОЛОГИЯ И ФАКТОРПРОСТРАНСТВО 15
яорфизмом над 39. Для него имеет место коммутативная
диаграмма
Й —2 *- ё'
\
Морфизм над Я, являющийся гомеоморфизмом (и, следо-
следовательно, изоморфизмом), называется изоморфизмом над S3.
Расслоения ? и §' с одной и той же базой Я называются
изоморфными, если они изоморфны над Я.
Задача 1. Докажите, что если отображение л открыто
(переводит открытые множества в открытые), то любое
послойное отображение «?—>¦<?' является морфизмом ? —*¦ ?'.
Таким образом, для расслоений, проекции которых яв-
являются открытыми отображениями, морфизмы—это в
точности послойные отображения (а изоморфизмы—послой-
изоморфизмы—послойные гомеоморфизмы).
Непрерывное отображение л: ? —*¦ Я называется фактор-
факторным, если множество UcSB тогда и только тогда открыто
в S3, когда открыто в $ множество я~Ч/. Факторное
надъективное отображение называется эпиоморфным. Эпио-
морфные отображения называются также эпиоморфизмами.
Задача 2. Покажите, что любое открытое или замкнутое не-
непрерывное отображение является факторным.
Задача 3. Покажите, что эпиоморфизм л: <? —* Я
тогда и только тогда является открытым отображением,
когда для каждого открытого множества Vcz$ множество
n~l(nV) также открыто.
Для любого отношения эквивалентности ~ на тополо-
топологическом пространстве ? множество 5j= &l~ всех классов
эквивалентности естественным образом топологизируется
требованием, чтобы каноническая проекция
B) л: «? -+Я, р>-*-[р],
была эпиоморфизмом. Эго означает, что множество
тогда и только тогда открыто в 33, когда его полный
прообраз я~Ч/= {/??<?; [р]?Щ открыт в <§.
Эта топология на Я называется фактортопологией, а
множество 93, снабженное фактортопологией, называется
факторпространством. [Можно сказать, что фактортопо-
логия является наиболее слабой топологией на 5д, т. е.

16 ДЕЙСТВИЯ ГРУПП
имеющей наименьший запас открытых множеств, по отно-
отношению к которой проекция B) непрерывна.]
Являясь эпиоморфизмом, проекция B), тем не менее,
может не быть открытым отображением.
Важный класс отношений эквивалентности, для кото-
которых проекция B) открыта, возникает в связи с действиями
групп.
Говорят, что группа $ действует слева на множестве 8
(или является группой преобразований этого множества),
если задано такое отображение
C) 3x8 — S, (а, р)*+ар, а?$, />€8,
что для любых элементов а, Ь ? $ и р? 8 имеют место
равенства
ер=р,
где е—единица группы %.
Аналогично определяется действие справа:
D) &Х$-*8, (р, а)>-+ра.
Для любого элемента а?# отображение
La: 8 —•¦ 8, р>-+ар,
биективно и отображение а н-*•/,„ представляет собой гомо-
гомоморфизм группы # в группу Sym 8 всех биективных отоб-
отображений 8 —*¦ 8 множества 8 в себя.
Мы будем называть этот гомоморфизм представлением
группы Ъ в <?, ассоциированным с действием C). Ясно,
что соответствие
действие ф* ассоциированное представление
между всевозможными действиями C) и всевозможными го-
гомоморфизмами % —* Sym 8 биективно.
Действие C) называется эффективным, если ассоци-
ассоциированное представление является мономорфизмом, т. е.
если для любого элемента афе группы э существует
такой элемент р?&, что арФр. Действие C) называется
свободным, если для каждого элемента р ? 8 равенство
ар—р имеет место только при а = е. Ясно, что любое
свободное действие эффективно.
Действие C) определяет на 8 отношение эквивалент-
эквивалентности ~, в котором р ~ q тогда и только тогда, когда
существует такой элемент а€$, чтоq = ар. Соответствую-
Соответствующие классы эквивалентности называются орбитами дей-

ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ И ГЛАДКИЕ ГРУППЫ 17
ствия C). Любые две орбиты либо совпадают,^либо не
пересекаются. Орбита, содержащая элемент р ? 8, состоит
из всех элементов вида ар, а?$, и обозначается симво-
символом %р. Множество всех орбит мы будем обозначать'^сим-
волом 8/S. Оно связано с множеством 8 естественным
надъективным отображением факторизации
E) л: 8 — 8/», р*-*$р.
Для любого элемента р ? 8 отображение
jp: $-> $р, а>-*-ар,
надъективно. Оно тогда и только тогда биективно для
всех р?&, когда действие C) свободно.
Для любой группы % умножение в Ъ и операция пе-
перехода к обратному элементу определяют отображения
F) SxS-*S, (а, Ь)*+аЬ,
G) S-*$, a^-a'K
Группа Ъ называется топологической группой, если на
ней задана топология, относительно которой оба отобра-
отображения F) и G) непрерывны. Аналогично группа $ назы-
называется группой Ли (или гладкой группой), если на ней
задана гладкость, относительно которой оба отображения F)
и G) гладки.
Задача 4. Покажите, что если для группы <§, являющейся
гладким многообразием, отображение F) гладко, то отображение G)
также гладко (т. е. <§ является группой Ли). [Заметим, что для то-
топологических групп аналогичное утверждение неверно.J
Действие топологической группы S на топологическом
пространстве 8 называется непрерывным, если непрерывно
отображение C); имеется в виду, что множество % х 8
наделено топологией прямого произведения. Аналогично
действие группы Ли Ъ на гладком многообразии 8 назы-
называется гладким, если отображение C) гладко по отноше-
отношению к гладкости на 3x8, являющейся произведением
гладкостей многообразий $ и 8.
Топологическое пространство (гладкое многообразие) 8,
наделенное непрерывным (гладким) действием топологиче-
топологической (гладкой) группы $, называется ^-пространством
(соответственно ^-многообразием), ^-пространство ($-шгап -
образие) называется эффективным или свободным, если
эффективно или соответственно свободно действие C).

18 10ПОЛОГИЧЕСКИЕ И ГЛАДКИЕ ГРУППЫ
Пространство орбит 8/» непрерывного (или гладкого)
действия наделяется фактортопологией, так что естествен-
естественная проекция E) оказывается эпиоморфизмом. Вопрос,
будет ли для гладкого действия это пространство гладким
многообразием, в общем случае решается отрицательно.
В дальнейшем мы рассмотрим условия, обеспечивающие
положительный ответ на этот вопрос, а пока ограничимся
лишь непрерывными действиями. Конечно, все результаты
топологического характера, которые мы получим для не-
непрерывных действий, будут автоматически справедливы и
для действий гладких.
Если действие C) непрерывно, то для любого элемента
а ? Ъ биективное отображение La: 8 —* 8 непрерывно и
обладает непрерывным обратным отображением Ьа-ь т. е.
является гомеоморфизмом. Поэтому для каждого открытого
множества VcS множество aV~La(V) также открыто.
Следовательно, открыто и множество
U aV= и %р.
1 V
Но последнее множество является, очевидно, не чем иным,
как полным прообразом я~1(п\г) при отображении я мно-
множества nV. Поскольку отображение л по построению эпи-
эпиоморфно, отсюда следует, что множество лУ открыто в 8/#.
Этим доказано, что для любого непрерывного действия C)
отображение E) не только эпиоморфно, но даже открыто.
Конечно, все это немедленно переносится на случай
правых действий D). Единственное существенное отличие
состоит в том, что для действия справа ассоциированное
представление будет антигомоморфизмом. Множество орбит
правого действия обозначается прежним символом 8/», а
отображение р>—*-ра—символом Ra. (Для пространства
орбит левого действия иногда используется символ ?\8-
Мы этим символом пользоваться, как правило, не будем,
потому что он плохо сочетается с другими обозначениями —
скажем, со знаком равенства.)
Таким образом, каждое правое ^-пространство 8 яв-
является тотальным пространством расслоения 1 = (8, я, ^)
проекция
(8) я: 8
которого является открытым надъективным отображением.
Пусть 8 и 8'—произвольные ^-пространства (для
определенности правые). Отображение ср: в —* 8' назы-

ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 19
вается эквивариантным, если оно перестановочно с дей-
действием группы %, т. е. если
Ф {ра) = Ф (Р) а
для любой точки />€8 и любого элемента а ? 55.
Ясно, что по отношению к расслоениям |==(8, л, g/3)
и ?' = (&', я', 87^) каждое эквивариантное отображение <р
послойно. А так как отображение (8) открыто, то <р яв-
является морфизмом расслоения ? в расслоение 5'.
В частности, любой эквивариантный гомеоморфизм
ф: 8 —* 8' является изоморфизмом §—>•§'.
Изоморфизмы 1 —»• \', являющиеся эквивариантными
гомеоморфизмами 8 —- 8', мы будем называть также
^¦изоморфизмами.
Для любого правого непрерывного действия D) рас-
рассмотрим подпространство 8* произведения 8x8, состоящее
из пар (р, 0N 8x8, обе компоненты р и q которых
принадлежат одной орбите действия D), т. е. для которых
существует такой элемент а ? $, что q = pa. Если действие D)
свободно, то элемент а определен единственным образом.
Обозначив его символом т(/>, q), мы получим, тем самым,
некоторое отображение
(9) т: 8* — ».
Это отображение называется отображением сдвига.
Определение 2. Если отображение (9) непрерывно,
то расслоение | = (8, я, g/S) называется главным ^-рас-
^-расслоением. Группа » называется его структурной группой,
¦а пространство 8 (на котором свободно действует справа
группа $)—главным ^-пространством.
Легко видеть, что для каждого главного ^-расслоения
| = (8, Щ 8/^) и любой точки р ?8 непрерывное биектив-
биективное отображение
является гомеоморфизмом. Действительно, по определению
jp(x(p, q)) = q для любой точки q^p^, и значит непре-
непрерывное отображение
q),
обратно к отображению jp. ?
Доказанное утверждение означает, что каждое главное
^-расслоение является расслоением с типичным слоем, ко-

20 ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
торым служит пространство группы Ъ (допуская опре-
определенную неточность, обычно говорят, что типичным слоем
главного расслоения является сама группа *&).
Примеры главных расслоений.
Пример 1. Для любого топологического простран-
пространства ZB и любой топологической группы Ъ произведение
8--й?Х# является правым ^-пространством относительно
действия
Ф, a)g = (b,ag), b?®, a.gZ'S.
Это действие свободно и подпространство 8* состоит для
него из таких пар (фи а,), (Ь2, а2)), что bt = Ьг. При этом
отображение сдвига (9) задается формулой
т((Ь, aj), ф, а2)) = аг1аа,
и следовательно, непрерывно. Поскольку в этом случае
факторпространство 8/S естественным образом отожде-
отождествляется с пространством 5Э, мы получаем, что для любых
3i и Ъ определено главное расслоение
A0) (ЯхЗ, я, .53), где я (ft, я) = 6, b?®, eg»,
со^структурной группой Ъ и базой SB.
Расслоения вида A0), а также любые главные рас-
расслоения, им 3-изоморфные, называются тривиальными
главными расслоениями.
Пример 2. Топологическая группа $ называется под-
подгруппой топологической группы Г, если $ является под-
подгруппой абстрактной группы Г и одновременно подпро-
подпространством топологического пространства Г. Очевидно, что
по отношению к ограничению на Г х # умножения Г х Г —* Г
группа Г является свободным правым ^-пространством.
Множество Г* для этого ^-пространства состоит из всех
пар (лг, г/)€ГхГ, для которых х~1у?$, а отображение
сдвига (9) задается формулой
Следовательно, отображение сдвига непрерывно и потому
проекция
является главным Ъ-расслоением. База $) = Г/3 этого рас-
расслоения состоит из левых смежных классов хЪ группы Г
по подгруппе Ъ.

ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 21
Задача 5. Топологическое пространство SC называется регуляр-
регулярным, если каждая его точка р замкнута (т. е. если замкнуты все
одноточечные множества {p}cj?") и для любой окрестности U произ-
произвольном точки р^ЭИ существует такая окрестность V точки р, что
Tall. (Ср. более слабое определение 4 лекции III.14.)
Докажите, что:
а) любое регулярное пространство хаусдорфово;
б) грюпранство Г/g левых смежных классов группы Г по под-
подгруппе '§ тогда и только тогда регулярно (и, значит, хаусдорфочо),
когда подгруппа % замкнута.
Замечание 2. В утверждении б задачи 5 никаких
предположений о топологии группы Г не делается (в ча-
частности, группа Г хаусдорфовой не предполагается). Поэтому
из этого утверждения, в частности, вытекает, что для
любой топологической группы Г равносильны следующие
утверждения:
1) единица е группы Г замкнута;
2) группа Г является хаусдорфовым топологическим
пространством;
3) группа Г является регулярным топологическим про-
пространством.
Задача 6. Докажите, что для любой группы Ли Г и любой ее
замкнутой подгруппы Ли g (т. е. подгруппы, одновременно являющейся
замкнутым подмногообразием) факторпространство Т/% представляет
собой гладкое многообразие (размерности dim Г — dimg).
Пример 3. Для циклической группы второго по-
порядка С, с образующей t формула
*(*)== — х, XGS»,
определяет свободное действие группы С2 на сфере Sn =
= {x^k.n+1; |jr|=;l}. Подпространство (§")* состоит из
точек вида (х, гх), где в = ± 1, а отображение сдвига
действует по формуле х(х, &x) — ta, где а—0 при
е-- 1 и а— I при е= — 1. Поскольку это отображение,
очевидно, непрерывно, мы получаем, что сфера S" явля-
является главным С «-пространством. Базой соответствую-
соответствующего главного Са-расслоения является я-мерное проективное
пространство RP":
RP" = S"/C,.
Заметим, что в этом примере тотальное пространство
и база главного расслоения являются гладкими много-
многообразиями, а структурная группа—группой Ли.

22 РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ
Если группа Ч> непрерывно действует справа на про-
пространстве 8 и слева на пространстве ?, то формула
определяет на 8x<F правое—и, как легко видеть, не-
непрерывное—действие группы $.
Соответствующее факторпространство орбит (8х#~)/#
обозначается символом 8 X ? и называется произведением
над Ъ пространств 8 и!",
Орбиту (р, х) $ точки (р, х) ? 8 X ? мы для сокраще-
сокращения формул будем, как правило, обозначать символом [р, х]
(или [р, х]9). Заметим, что по определению
\ра, х) = [р, ах]
для любого элемента а?$.
Рассмотрим диаграмму
X QJ —*¦ ОАО'
! '¦
8 >S/S=SB.
горизонтальными стрелками которой являются отображе-
отображения факторизации, а левой вертикальной стрелкой—проек-
стрелкой—проекция прямого произведения gxf на первый множитель.
Что же касается правой вертикальной стрелки, то она
однозначно определяется требованием, чтобы получилась
коммутативная диаграмма. (Действительно, если \р, х] =
= [q, у] в 8xlF, т. е. q—pa, х = ау, то pS =--¦-#?, т. е.
я (/»)-- л (<7) в 8/5?. Поэтому формула п[р, х\ — р$ кор-
корректно определяет отображение
я: 8ХаГ—<-^,
замыкающее диаграмму.) Из эпиоморфности отображения
8XuF—*8ХйГ непосредственно вытекает, что отображе-
отображение л непрерывно. Более того, из того, что отображения
8 х еГ —* 8 и8-+5 открыты, следует, что отображение я
открыто. Поэтому, будучи надъективным отображением,
отображение п эпиоморфно (т. е. топология в 35 является
фактортопологией и по отношению к отображению л).

РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ 23
Таким образом, тройка
A1) S=(tf, л, 59), (?-8хГ,
представляет собой расслоение, проекция л которого яв-
является открытым надъективным отображением. Пусть <>ГЬ =
= л~1(Ь)—слой расслоения A1) над точкой Ь^уЗ. Пусть,
далее, /»0—такая точка пространства 8, что ра'3 — Ь. Тогда
формула
A2) /(¦*) = ГА. *lt.
определяет непрерывное отображение /: W —>- <SFfto. (Заметим,
что это отображение зависит от выбора точки р0.)
Если [р, x]6<F6, т. е. рЗ — Ь, то р-роа для некото-
некоторого а б $ и поэтому (/>, я] = [р0, ах] — j (ax). Следовательно,
отображение j надъективно.
Далее, легко видеть, что если действие группы Ъ на
пространстве 8 свободно, то отображение j биективно.
Действительно, если j(x)--=j(y), т. е. [/»„, х] = [/>„, у\, то
роа — ро и х—ау для некоторого а(=&. Но в силу свобод-
ности действия из равенства /»оа = А вытекает, что о = е.
А тогда из равенства х — ау следует, что х — у. п
Обратное отображение У: еТь —¦ <F переводит каждую
точку [р, x]?!Fb в точку ax^,!F, где а—такой элемент
группы $, что роа= р. С другой стороны, в случае, когда
группа $ действует свободно, равенство роа — р означает,
что а = х(р0, р), где т—отображение сдвига (9). Следо-
Следовательно,
!~Ч\Р* х]) = х(ро* Р)х.
Поэтому если отображение т непрерывно, т. е. дейст-
действие группы Ъ на пространстве <§ главное, то отображение
У непрерывно и, значит, отображение j представляет
собой гомеорфизм. Таким образом, в этом случае расслое-
расслоение A1) обладает типичным слоем, которым служит про-
пространство iF.
Определение 3. Расслоение A1), построенное по
главному расслоению 1 = (8, л, 33) и левому 3-простран-
ству W (а также любое изоморфное ему расслоение над 9S),
называется расслоением со структурной группой 'S и
слоем <F, ассоциированным с главным расслоением %.
Обозначается это расслоение символом %[?].
Подчеркнем, что расслоения со структурной группой
определяются не независимо, а только через главные рас-
расслоения.

24 РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ
Расслоения со структурной группой #мы будем назы-
называть также %-расслоениями. (В литературе этот термин
употребляется и в другом смысле—для расслоений вида
(8), которые мы никак специально не называем.)
Замечание 3. Обратим внимание, что на слоях Wb
расслоения |[f] группа S, вообще говоря, никак не
действует.
Задача 7. Покажите, что если группа % абелева, то на слоях
$ъ расслоения \ [ff~] можно естественным образом определить дейст-
действие группы JJ, по отношению к которому все гомеоморфизмы A2)
эквивариантны.
Пусть §' = (g', я', 53') и ! = (€, я, В)—главные рас-
расслоения с одной и той же структурной группой #. Для
любого левого ^-пространства W и любого эквивариантного
отображения cp:g'_*g формула
), х], />€8',*€#",
корректно определяет некоторое послойное отображение
Если отображение <р гомеоморфно, то отображение ср [аГ]
также гомеоморфно. Послойные гомеоморфизмы вида ср [F]
мы будем называть "^-изоморфизмами расслоений со струк-
структурной группой $. Таким образом, два расслоения %' [сГ']
и 2, [W] со структурной группой $ тогда и только тогда
^-изоморфны, когда W = ? и ^-изоморфны главные рас-
расслоения ?' и 1. Конечно, расслоения %' [<Г] и ? [И] могут
быть изоморфны, но не ^-изоморфны.
Примеры расслоений со структурной
группой.
Пример 4. Пусть группа $ тривиально действует
на JF, т. е. ах = х для любого элемента а?? и любой точки
х? ?. Тогда (р, х) ~ (q, у) в g xf тогда и только тогда,
когда х — упр~цъ&. Поэтому отображение
gXf—'^ЙХГ, {р, х)г+(рЪ, х),
индуцирует отображение ф: 8xf-*Sxl", замыкающее
v
коммутативную диаграмму

РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ 25
Поскольку два остальных отображения этой диаграммы
непрерывны и открыты, отображение ф непрерывно и от-
открыто. Кроме того, оно очевидным образом биективно.
Следовательно, отображение <р является гомеоморфизмом.
С другой стороны, если
pr: 59x<F—»SB, (b, x)*-+b,
— проекция произведения SBXcF на первый множитель SB,
то для любой точки [р, х] из 8 X ? будет иметь место
равенство
()[ *]=/# = Я ([>, X]),
означающее, что ф является послойным гомеоморфизмом
над SB расслоения §[<F]=(8XcF, л, SB) на расслоение
E3 X F, pr, SB). ¦
Расслоение (SBXqF, pr, SB) (а также любое изоморфное
ему расслоение над SB) называется тривиальным.
Таким образом, мы установили, что если группа % три-
тривиально действует на пространстве ?, то для любого
главного расслоения $ расслоение | [?] тривиально (и, зна-
значит, не зависит от 1 и даже от &).
Пример 5. Пусть главное расслоение | тривиально,
т. е. (см. пример 1) имеет вид | = E3Х#, я, $). Тогда
формула
q>[p, *]»=(&, ах), где p = (b, a), b?5B, а^,
корректно определяет (проверьте!) послойное непрерывное
отображение
8=53x3,
»
являющееся гомеоморфизмом (с обратным отображением
ф, x)i-*[(b, е), х], где е—единица группы S). Таким обра-
образом, для тривиального главного ^-расслоения | и любого
левого "^-пространства W расслоение \]?\ тривиально.
Расслоения %[?], ассоциированные с тривиальным
главным расслоением %, мы будем называть тривиальными
%'расслоениями. (Таким образом, в этой терминологии
расслоение S[sF] из примера 4, являясь тривиальным
расслоением и одновременно ^-расслоением, тривиальным
^-расслоением, вообще говоря, не будет.)

26 РАССЛОЕНИЯ СО СТРУКТУРНОЙ ГРУППОЙ
Пример 6. Каждый элемент а произвольной группы
# определяет отображение La: "&¦—*'&, действующее по
формуле
Lab = ab,
и называемое левым сдвигом на а. Соответствие a+-*La
задает левое действие группы % на множестве ее точек,
являющееся в случае топологической группы $ непрерыв-
непрерывным действием. (Это действие свободно, но этот факт нам
сейчас не нужен.) Поэтому для любого главного ^-рас-
^-расслоения 1 = (Е, я, 33) определено расслоение 1[?]. По
определению тотальным пространством этого расслоения
является факторпространство 8х$ произведения gx#
по действию
(Р, a)g=--(pg, g-la),
т. е. по отношению эквивалентности, в котором (р, а) ~
~(q, b), p, q?<§, a, b^"S, тогда и только тогда, когда
существует такой элемент g(z%, что q=pg и a — gb.
Поэтому формула (р, й)н-s-/?c корректно определяет —
очевидно, непрерывное—отображение 8х#~-*-8, обрат-
9
ное к непрерывному отображению
ср: S-^
Поскольку отображение ф послойно (диаграмма
коммутативна), этим доказано, что расслоение %[Щ изо-
изоморфно расслоению |.
Пример 7. Пусть ^(S1, л, RP1)—главное С2-рас-
слоение из примера 3 (при л=1) и пусть /—отрезок
[—1, 1], на котором группа Са действует по формуле
i(х) = — х (где t—образующая группы С2, а х?[— 1, 1]).
Тогда тотальным пространством
Slx/
с,
соответствующего расслоения § [/] будет лист Мёбиуса
(докажите!).

СЕЧЕНИЯ РАССЛОЕНИЙ 27
Определение 4. Пусть % = {?, я, ^—произвольное
расслоение. Непрерывное отображение s: S3—<¦<? называ-
называется сечением расслоения |, если
т.е. если s(b)^S~b для любой точки b?33. (Таким обра-
образом, наглядно говоря, сечение s: 33—+<?> выбирает в каждом
слое ifb точку s(b).)
Примеры сечений.
Пример 8. Каждое сечение s тривиального расслое-
расслоения (Sxf, pr, 33) действует по формуле
A3) s(b)**(b, f(b)), b?S3,
где f: 33—*SF—некоторое непрерывное отображение. Об-
Обратно, любое непрерывное отображение /: 33 —>¦ 3~ опре-
определяет по формуле A3) некоторое сечение s: 33—+ЗЗх>Т
расслоения E3x«F, pr, 3d). Мы видим, следовательно, что
сечения тривиального расслоения E3 xf", pr, 33) находятся
в естественном биективном соответствии с непрерывными
отображениями 33 —>• JF.
Таким образом, сечения можно рассматривать как
обобщения непрерывных отображений.
Пример 9 (обобщение примера 8). Пусть
расслоение § = (<?, я, 33) с типичным слоем ? ассоцииро-
ассоциировано с главным ^-расслоением § = (8, я, S3). (В частности,
<§ = &х?; проекции расслоений | и § = 1[<F] мы для
упрощения формул обозначаем одной и той же буквой.)
Пусть, далее, s: 33—*&—произвольное сечение расслое-
расслоения |. Для каждой точки р? 8 точка (son)(p) единствен-
единственным образом представляется в виде [р, f(p)]9t где f (р) 6 W.
Это задает некоторое отображение f: 8 —* <F. Оказывается,
что отображение f непрерывно.
[На первый взгляд кажется, что это утверждение оче-
очевидно, поскольку отображение / однозначно характери-
характеризуется тем, что для него имеет место коммутативная диа-
диаграмма
л! 1„
33—-
вертикальные стрелки которой являются эпиоморфньши
(и даже открытыми) отображениями. Очнако на самом

28 СЕЧЕНИЯ РАССЛОЕНИЙ
аеле эта диаграмма помогает нам мало, поскольку прооб-
прообраз произвольной точки (/?„, a:0)€8x<F при движении по
левой, нижней и правой стрелкам диаграммы состоит
(когда он не пуст, т.е. когда xu = f{p0)) из всех точек
орбиты ро$, тогда как прообраз точки (р0, х0) при верх-
верхней стрелке idxf исчерпывается лишь точкой р0. Поэтому
доказательство непрерывности отображения f должно быть
более тонким.]
Пусть р0 ? 8 и *„ = /(//„). Пусть, далее, U—произволь-
U—произвольная окрестность точки х0 в пространстве §'. Нам надо
найти такую окрестность V точки />0 в пространстве 8,
что fVczl). С этой целью мы заметим, что поскольку
действие группы Ъ на пространстве ? непрерывно, в груп-
группе # существует такая окрестность единицы О, а в про-
пространстве W—такая окрестность U' точки х0, что OU'cU
(т.е. ax^V для любого элемента а?0 и любой точки
x?U'). Аналогично, поскольку отображение сдвига (9) и
сечение s непрерывны, в пространстве 8 существует та-
такая окрестность V точки р0, что x((V"xV")fi S*)c0, a
в пространстве 59—такая окрестность W точки Ь„ — п(рп),
что s(W)c:n(V'xU') (так как отображение я открыто,
то множество n(V'xU') открыто в <? = 8ХеУ). Мы поло-
положим V^n-WnV.
Если p?V, то л(/»)<= IF и (son)(p)?n(V'xU'), т.е.
{son){p) = [q, x], где q^V и x?U'. С другой стороны,
по определению (son) (р) ~[р, /(/?)]. Поэтому в группе ?
существует такой элемент a = x(q, р), что p = qa и f{p)—
=ах. Но, так как q€.V и p?V, то a=*x(q, p)?0, и
значит—поскольку x?U',—что f(p)^OU'czU. Следова-
Следовательно, fVcU. ?
По определению для любой точки р ? 8 и любого
элемента а?$ имеет место равенство (son){pa) =
= [pa, f(pa)] = [p, af(pa)]. С другой стороны, (so.-i)(/?c)=
— (son) (/>) = [/?, f(p)]. Этим доказано, что
(И)
Обратно, если /—произвольное непрерывное отображе-
отображение 8—<¦<$", удовлетворяющее соотношению A4), и если
n{p) = K(q), т.е. q^-pa, то
[<7. /(9)] = [Ра, а~Ч(р)] = \р, f (p)].
Это показывает, что формула

СЕЧЕНИЯ РАССЛОЕНИЙ 29
корректно определяет некоторое сечение s расслоения
1 1[П
Таким образом, мы видим, что сечения расслоения 5 на-
находятся в естественном биективном соответствии с не-
прерывными отображениями /: 8 —*$F, удовлетворяющи-
удовлетворяющими соотношению A4). D
Замечание 4. Левое ^-пространство <F является
правым ^-пространством относительно действия at-*Ra,
определенного формулой
Rax~a~lx, х??.
По отношению к этому действию условие A4) означает,
что отображение f эквивариантно.
Если группа Ъ тривиально действует на пространстве
йГ (и, значит, расслоение ? = ?[|Г] тривиально), условие
A4) приобретает вид
A5)
и потому формула
A6) /(&) = /(/>)> если Ь-*п{р) (т.е. Ь=р$),
корректно определяет отображение /: 3i—>f, замыкаю-
замыкающее диаграмму
,г
Поскольку проекция л является эпиоморфизмом, отобра-
отображение / непрерывно тогда и только тогда, когда непре-
непрерывно отображение /.
Следовательно, формула A6) устанавливает биективное
соответствие между непрерывными отображениями 8 —* f,
удовлетворяющими соотношению A5), и произвольными
непрерывными отображениями 53 —>¦ W.
С другой стороны, имеющий место в рассматриваемом
случае послойный изоморфизм 8X&F—+9iY,? устанавли-
устанавливается соответствием [р, х] —> (л (р), х) (см. выше при-
пример 4). Следовательно, этот изоморфизм переводит сече-
сечение s расслоения %=-%[?], отвечающее отображению /,

30 СЕЧЕНИЯ РАССЛОЕНИЙ
в сечение b\—>(b, /(/;)) тривиального расслоения C8х8~,
pr, f8), отвечающее отображению /.
Таким образом, мы видим, что пример 9 действительно
является обобщением примера 8.
Пример 10. Пусть для действия группы Ъ на про-
пространстве <Г существует неподвижная точка (т. е. такая
точка .v0, что аха---х0 для любого элемента a ?#). Тогда
формула f(p)—xn, р ? 8, определяет отображение /: 8 —«•#",
удовлетворяющее соотношению (И). Соответствующее сече-
сечение задается формулой
s(&)¦=¦[/». х9], Ь = п{р)
(эта формула корректно определяет s, так как {ра, хп)~
= [/>, А"„] для любого a??). Таким образом каждая непод-
неподвижная точка ^-пространства W задает сечение расслое-
расслоения 1 = % [ЯГ].
Обратное утверждение, вообще говоря, не верно.
Пример 11. Для тривиального главного расслоения
? = C8x3, it, S3) формула
s(b)=*{b, е),
где е—единица группы ?, определяет сечение s этого
расслоения. В то же время | является, как мы знаем
(см. пример 5), расслоением вида %[if], слоем W которого
служит группа #, рассматриваемая как ^-пространство
относительно действия левыми сдвигами, и потому вообще
не имеющего неподвижных точек.
Интересно, что в классе главных расслоений это явля-
является единственным исключением. Действительно, для про-
произвольного главного ^-расслоения | = (8, я, 33), обладаю-
обладающего сечением s: 9B—>-8, формула
определяет—очевидно, непрерывное—отображение
ср: 53x3-^ 8.
Поскольку s F) (ag) = (s (b) a)g, g? $, это отображение экви-
вариантно. С другой стороны, формула
(я(/>), r((son)p, />)), р?&.
определяет непрерывное отображение гр: 8—>$Х#, для
КОТОРОГО (<po\p){p)={son)(p)x((Son)p, p)=p И A|5оф)F, fl) =
—(n(s(b)a),r{(son) (s(b)a),s(b)a))=(b, а), т. е. такое, чтофог|)=
= id и •(роф =- id. Следовательно, отображение ф является

ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 31
эквивариантным гомеоморфизмом (изоморфизмом главных
^-расслоений). Таким образом, главное %-расслоение тогда
и только тогда обладает сечением, когда оно тривиально.
В силу результатов примеров 9 и 10 (и равенства
\~ ||#]) отсюда немедленно следует, что главное ^-расслое-
^-расслоение 1 — (8, л, Si) тогда и только тогда тривиально,
когда существует непрерывное отображение /: 8 —> $,
удовлетворяющее соотношению A4).
Пусть снова ?= (?, я, SB)—произвольное расслоение.
Для любого подмножества UcfB положим с§>у = -т~1G и
nu = n\gu. Тройка {Sv, ay, U) называется частью рас-
расслоения s над U и обозначается через ?|у.
Для главного расслоения ? = (8, ", S) подпрост-
подпространство &u=--n~1U также является ^-пространством (если
р? 8j/. то ра? 8с/ для любого а?#) и, как легко видеть,
главным. Это означает, что для главного расслоения i,
каждое расслоение вида ^\v также главное. При этом ясно,
что для любого левого ^-пространства <F имеет место ра-
равенство (естественный 3-изоморфизм)
Таким образом, часть над U произвольного ^-расслоения
также является %-расслоением.
Определение 5. Расслоение \ с типичным слоем if
называется локально тривиальным, если существует откры-
открытое покрытие {?/„} базы $?, над каждым элементом Ua
которого расслоение ? (точнее—расслоение ?|иа) тривиаль-
тривиально. Это означает, что для I \Ua имеет место коммутативная
диаграмма вида
и
верхняя строчка гра которой является гомеоморфизмом.
Гомеоморфизм (ра называется тривиализацией расслое-
расслоения | над Ua, а окрестность 0а—тривиализирующей
окрестностью.
В случае, когда расслоение \ является ^-расслоением
от тривиализаций <ра, дополнительно требуется, чтобы
они были ^-изоморфизмами.

32 ЛОКАЛЬНО ТРИВИАЛЬНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Легко видеть (докажите!), что ^-расслоения, ассоцииро-
ассоциированные с локально тривиальным главным ^-расслоением,
локально тривиальны даже и в этом более строгом смысле.
В дальнейшем все рассматриваемые расслоения мы
практически всегда будем предполагать локально триви-
тривиальными.
В дифференциальной геометрии особую роль играют
локально тривиальные расслоения с типичным слоем R"
и структурной группой GL (n; R) (естественно действующей
на R"). Оказывается, что такие расслоения—они называ-
называются векторными—допускают прямое определение, не
апеллирующее к соответствующему главному расслоению.
Мы рассмотрим эти расслоения в лекции 6.

Лекция 2
Накрытия.—Примеры накрытий.—Замечания о накры-
накрытиях.— Теорема о накрывающем пути.—Уточнение этой
теоремы.— Расслоения в смысле Гуревича.
Пусть
A) я: tf —Я
— непрерывное отображение. Говорят, что открытое мно-
множество ?/с53 ровно накрыто отображением я, если полный
прообраз Sfj = я-1?/ этого множества—когда он не пуст —
является дизъюнктным объединением открытых множеств
Vvc«?:
n~4J= LI Vv,
V
обладающих тем свойством, что для любого v отображе-
отображение
B) я|yv: Vv—*/
является гомеоморфизмом.
Пусть пространство 53 связно (см. лекцию III.11).
Определение 1. Отображение A) называется накры-
накрытием или накрывающим отображением, если:
а) пространство с? связно;
б) существует открытое покрытие Ц={?/а} простран-
пространства 53, состоящее из множеств, ровно накрытых отобра-
отображением A)..
Накрытием называют также тройку ? = (<?, я, 59),
состоящую из пространств <?, 53 и накрывающего отобра-
отображения я: 4> —>-53.
Замечание 1. Условие б заведомо выполнено, если
? является локально тривиальным расслоением с дискрет-
дискретным слоем f. Обратно, пусть \—накрытие, Ьл—произ-
Ьл—произвольная точка пространства !В и пусть W — Wb,—слой
накрытия \ над точкой Ьо. Рассмотрим множество Сс53,
состоящее из всех точек Ъ ? Щ, для которых слой SFb—n~l(b)
равномощен множеству W. Если Ua—такой элемент покры-
покрытия U, что С[\11аФ0, то, очевидно, Uac:C. Поэтому
множество С одновременно открыто и замкнуто (если Ь € С
и b$Ua, то СпиаФ0 и, значит, Ua<zC). Поскольку
оно непусто (ибо Ь0?С), а пространство 53 связно, это
возможно только при С = 53. Следовательно, все слои
2 М. М. Постников, сем. IV

34 НАКРЫТИЯ
отображения A) равномощны еГ и, значит, 3~ является
типичным слоем этого отображения. Это означает, что
для любого а множество <8ua = n~1Ua послойно гомео-
морфно произведению UaXcF, т.е., другими словами, что
\ является локально тривиальным расслоением со слоем W.
Таким образом, накрытия—это в точности локально
тривиальные расслоения над связным пространством, слои
которых дискретны, а тотальные пространства связны.
В частности, любое накрытие A) является надъектив-
ным отображением.
Тотальное пространство <§ накрытия % называется так-
также накрывающим пространством.
В случае, когда все слои накрытия конечны (и, следо-
следовательно, состоят из одного и того же числа точек), на-
накрытие называется конечнолистным, а число точек слоев
называется его числом листов. (Заметим, что понятие
листа накрытия не определяется.)
Примеры накрытий
Пример 1. Формула
я(J) = (cos2nt, sin2nt), t?Rt
задает накрытие R—>S1 окружности Sx={(^, у); x*+y*=l}
прямой R.
В комплексной координате z=x+iy это накрытие
задается формулой
Наглядно накрытие я состоит в том, что прямая наматы-
наматывается на окружность. Его слоями являются дискретные
подпространства вида {to + 2nN, Af = O, ±1, •••} (смеж-
(смежные классы группы R по подгруппе 2nZ) и любая откры-
открытая дуга окружности S1 (даже с совпадающими концами)
ровно накрывается посредством отображения R—>S1.
Композиция с я позволяет рассматривать каждую функ-
функцию S1—»¦ R на S1 как периодическую функцию на R.
(Этот переход от S1 к R равносилен введению на S1 угло-
угловой координаты; см. лекцию III.20, стр. 325.)
Пример 2. Формула
задает накрытие
л:

ПРИМЕРЫ НАКРЫТИЙ 35
где Ta = S1xS1—двумерный тор. Слоями этого накрытия
являются смежные классы группы R- по подгруппе 2яZ.
Ограничение отображения я на квадрат P={(tlt ЬМ 0<^<
< 1, 0 s^ t2 ^ 1} позволяет представить тор Т2 в виде
квадрата Р с отождествленными противоположными сто-
сторонами.
Конечно, этот пример немедленно обобщается на лю-
любое п.
Кроме того, он подсказывает, что для любых двух на-
накрытий пх: Si—>5Hi и я,: <f>t—*!Вг отображение
(ftu Р»)»-*(я1 {pi), я,(jo,)),
также является накрытием.
Задача 1. Докажите последнее утверждение. (Не забудьте до-
доказать, что для связных пространств Si и <?"» пространство $iX$%
также связно.)
Примеры 1 и 2 можно обобщить и в другом напра-
направлении.
Пример 3. Подгруппа Г топологической группы Ъ
называется дискретной, если существует такая окрест-
окрестность U единицы е группы ?, что UanUb— 0 для любых
двух различных элементов а, Ь^Т. (Такая подгруппа
является дискретным подпространством группы $. Вопрос:
верно ли обратное?) Легко видеть (докажите!), что для
любой дискретной подгруппы Г связной топологической
группы $ естественная проекция
я: S —S/Г, g^-gT,
является накрытием.
Это накрытие тогда и только тогда конечнолистно,
когда группа Г конечна, и в этом случае число его листов
равно порядку группы Г.
Пример 4. Для любого п !> 1 группа S1 содержит
конечную (и потому дискретную) группу Г, состоящую из
точек вргда einiki", k~ I, ..., п. При этом отображение
является, как легко видеть, гомеоморфизмом. Поэтому его
композиция с естественной проекцией S1 —* SVF даст нам
конечнолистное накрытие
C) я: S1 -> S\
число листов которого равно п.
2*

36 ПРИМЕРЫ НАКРЫТИЙ
Наглядно это накрытие состоит в том, что окруж-
окружность S1 навивается п раз на саму себя.
Задача 2 (обобщение примера 4). Докажите, что
а) для любых линейно независимых целочисленных векторов
(mil тг) и (ni, ла) все точки тора Т" вида
где к, 1 = 0, ±1, ±2, ..., составляют конечную подгруппу порядка |Д |;
б) соответствующее факторпространство Т2/Г гомеоморфно тору ~р.
Тем самым мы получаем | А |-лнстное накрытие
D) л: Т1—-Т»
тора тором. При (mi, m») = (l, 0) и («i, na) = @, n) оно имеет вид
E) n'xid: Т'-*Т.
где л': S1—"S1 — накрытие C), а при (mi, тг) — (т, 0) и {пи пг) =
==@, 1) —вид
F) idxn': T*—*Т2.
где теперь л': S1—>81~накРытие C), построенное для числа т.
Пусть % = {&, л, $) и ^' = ((^', я', $)—два накрытия
одного и того же пространства Ш.
В соответствии с общими определениями лекции 1
гомеоморфизм /: ё —*•«?' называется изоморфизмом накры-
накрытия \ на накрытие Е', если он переводит слои в слои, т. е.
если диаграмма
ё f > »'
коммутативна.
Задача 3. Докажите, что любое накрытие вида D) изоморфно
композиции накрытий вида E) и F).
Пример 5 (обобщение примера 3). Пусть ди-
дискретная группа Г непрерывно действует слева (см. лек-
лекцию 1) на топологическом пространстве ?. Это действие
называется дискретным, если каждая точка р?<8 обла-
обладает такой окрестностью V, что
yV{\V—0 для любого элемента уфе группы Г,
где yV—подмножество пространства <8, состоящее из всех
точек вида ур, p?V. Ясно, что любое дискретное дейст-
действие свободно.

ПРИМЕРЫ НАКРЫТИЙ 37
Задача 4. Докажите, что любое дискретное действие является
главным (см. лекцию 1).
Пусть U—образ окрестности V при естественной про-
проекции
я: tf — tf/Г, р-+Тр, р?<§.
Так как
G) n^U = U уТ
и все множества yV открыты, то множество n~1U также
открыто. Следовательно, по определению фактортопологии
множество U открыто. Кроме того, так как ограничение
отображения я на каждом множестве yV является гомео-
гомеоморфизмом этого множества на открытое множество U
(докажите!) и имеет место разложение G), то множество U
ровно накрыто отображением п. Поскольку множества
вида U составляют базу открытых множеств факторпро-
странства «?/Г, этим доказано, что для любого дискретного
действия Гх^—<•<?? проекция &—*?/Т является накры-
накрытием.
Конечно, накрытием будет и проекция ?—*<&/Т для
любого дискретного правого действия <#хГ — $.
Пример 6. Иной класс накрытий доставляет нам
теория функций комплексной переменной.
Напомним, что любую (вообще говоря, многозначную)
аналитическую функцию w = w(z), определенную в об-
области G расширенной плоскости комплексной переменной,
можно рассматривать как однозначную функцию на ее
римановой поверхности &, являющейся одномер-
одномерным комплексно-аналитическим (и, значит, двумерным
вещественно-аналитическим) многообразием, проектирую-
проектирующимся на область G. При этом проекция л: SC —>¦ G ровно
накрывает любое открытое множество UcG, не содержа-
содержащее так называемых точек ветвления функции м\ По-
Поэтому, удалив из G точки ветвления (а из SC их прообразы),
мы получим накрытие.
В частном случае, когда функция w — w(z) является
функцией, обратной к голоморфной однозначной функции
z z(w), это накрытие осуществляется функцией z = z(w)
(после удаления из области определения этой функции всех
точек, в которых равна нулю ее производная).
Например, функция z = w" осуществляет п-листное
накрытие С\{0} —> С\{0}, а функция z = ew—бесконечно-
листное накрытие С—*• С\{0}.

38 ЗАМЕЧАНИЯ О НАКРЫТИЯХ
В случае, когда пространства <? и 33 являются глад-
гладкими (или комплексно-аналитическими) многообразиями,
накрытие л: $ —> 33 называется гладким, (соответственно
комплексно-аналитическим), если каждая точка b?33 об-
обладает такой ровно накрытой окрестностью U, что все
отображения B) являются диффеоморфизмами (комплексно-
аналитическими гомеоморфизмами).
Конечно, любое гладкое накрытие я: ? —<• 33 является
гладким отображением. Однако существуют накрытия,
представляющие собой гладкие отображения <? —* 33, но,
тем не менее, гладкими накрытиями не являющиеся. При-
Примером может служить любое гладкое гомеоморфное ото-
отображение, не являющееся диффеоморфизмом.
Накрытия из примеров 1, 2 и 4 (а также накрытия из
задачи 2) очевидно гладки.
Задача 5. Докажите, что если для накрытия п; <В —+ 33
пространство 33 является гладким (или комплексно-ана-
комплексно-аналитическим) многообразием, то на $ существует един-
единственная гладкость {комплексно-аналитическая струк-
структура), по отношению к которой я: «? —* 33 является
гладким (соответственно комплексно-аналитическим) на-
накрытием. [Указание. Картами этой гладкости являются
пары вида (V, kori), где k—координатное отображение про-
произвольной ровно накрытой координатной окрестности UcS3,
а V—такое множество, что отображение я \v является
гомеоморфизмом V —-U.]
Условие связности накрывающего пространства исклю
чает из накрытий все тривиальные расслоения S3 х ? —> 35,
для которых множество (дискретное пространство) ? со-
содержит более одной точки.
С другой стороны, тождественное отображение id: !B—*33
является, очевидно, накрытием.
Накрытием будет и произвольный гомеоморфизм
я: #¦—.«.
Такие накрытия называются тривиальными (или одно-
однолистными).
Диаграмма

ЗАМЕЧАНИЯ О НАКРЫТИЯХ 39
показывает, что накрытие тогда и только тогда три-
тривиально, когда оно изоморфно накрытию id: 33—-33.
Пространство 33 мы будем называть ненакрываемым,
если любое его накрытие тривиально.
Нашей основной целью будет описание—с точностью
до изоморфизма—всех накрытий данного пространства 33
и, в частности, выяснение того, когда пространство 33
ненакрываемо. При этом мы будем требовать, чтобы про-
пространство 33 было хаусдорфовым, линейно связным, ло-
локально линейно связным (см. лекцию III. 15) и, кроме
того, обладало неким свойством полулокальной одно-
односвязности, которое мы введем ниже в своем месте. Без
этих требований теория накрытий сильно усложняется и
вместе с тем они выполнены практически во всех геометри-
геометрически интересных ситуациях (в частности, в случае, когда 33
является связным хаусдорфовым многообразием).
Ясно, что если множество Ucz33 ровно накрыто ото-
отображением A), то любое его подмножество U'cU также
ровно накрыто. Поэтому все ровно накрытые открытые
множества Uc:33 составляют базу открытых множеств про-
пространства 33, а если пространство $1 локально линейно
связно, то базу будут составлять и все линейно связные,
ровно накрытые открытые множества.
Аналогично все открытые множества Vcg, ровно на-
накрывающие открытые множества ?/сЛ9, составляют базу
открытых множеств пространства <В. Если же простран-
пространство <? или — что, очевидно, равносильно—пространство 33,
локально линейно связно, то базу будут составлять и все
линейно связные, ровно накрывающие открытые множества.
Мы видим, в частности, что любое накрытие п: <? —> $
является локальным гомеоморфизмом (каждая точка р€<§
обладает окрестностью V, гомеоморфно отображающейся
на некоторую окрестность U точки п (р) = Ь) и, значит,
представляет собой открытое отображение.
Ясно, что любое локальное свойство пространства 33
наследуется каждым его накрывающим пространством $
(мы выше это уже заметили в отношении свойства локаль-
локальной линейной связности). То же самое верно и по отно-
отношению к (не локальному!) свойству хаусдорфовости: если
пространство 33 хаусдорфово, то пространство «? также
хаусдорфово. Действительно, пусть р и q—различные точки
пространства «?. Если n(p) = n(q), то для любой ровно
накрытой окрестности U точки п(р) точки р и q принад-
принадлежат двум различным открытым множествам Vx и У2, ровно

40 ТЕОРЕМА О НАКРЫВАЮЩЕМ ПУТИ
накрывающим окрестность U. Поэтому в этом случае усло-
условие хаусдорфовости для точек р и q заведомо выполнено.
Если же п(р)Фп(д), то в силу хаусдорфовости простран-
пространства 33 точки п(р) и я (q) обладают в 33 непересекающи-
непересекающимися окрестностями ?/i и Uif прообразы К^я^ и
Vt = n~1Ut которых и будут непересекающимися окрест-
окрестностями точек р и q в <§. Z
Для решения задачи об описании всех накрытий мы
должны начать довольно издалека.
Напомним (см. лекцию III. 11, определение 2), что путем
в топологическом пространстве & называется непрерывное
отображение
u: I — SC
отрезка /=[0,1] в пространство Ж. Точка ро = и(О) на-
называется началом пути и, а точка /?1 = мA)—его концом.
Говорят также, что путь и соединяет точку р0 с точкой рх.
Пусть я: <В —+ 33—пока произвольное непрерывное ото-
отображение (расслоение).
Говорят, что путь v: /—<¦<§ пространства <? накрывает
(посредством отображения я) путь и: /—*$} пространства 33,
если « = яоу.
Следующее свойство накрытий лежит в основе всей их
теории.
Теорема 1 (о существовании и единствен-
единственности накрывающего пути), Лусть я: <В —> 33 —
произвольное накрытие, р0—произвольная точка прост-
пространства <в и и: I—*?®—произвольный путь простран-
пространства 33, начинающийся в точке й0 —я (/?„). Тогда сущест-
существует путь V. I-*S пространства ?, начинающийся в
точке р0 и накрывающий путь и:
и = яои, и @) = /?„.
Если пространство Я хаусдорфово, то путь v единственен.
Доказательство. Единственность. Пусть су-
существуют два пути v и v', накрывающие путь и и начи-
начинающиеся в точке р0.
Рассмотрим подмножество С отрезка /, состоящее из
таких чисел /, что v{t)=*v' (t). Это подмножество содержит
нуль и потому непусто.
По условию для любой точки t0GC в <? существует
окрестность V точки v (t0) = v'(t0), гомеоморфно проекти-
проектирующаяся на некоторую окрестность U точки я(и(^)) =

ТЕОРЕМА О НАКРЫВАЮЩЕМ ПУТИ 41
= и(/0). Поскольку отображения v и v' непрерывны, су-
существует такое б > 0, что v (t) ? V и v' (t) ? V при \t—10 j < б.
Но если v (t), v' (t) € V, то в силу биективности отобра-
отображения я на V необходимо имеет место равенство v{t)=v' (t)
и, значит, t?C. Таким образом, для любой точки to?f
существует такое б > 0, что все точки t?/, для которых
\t — ^о| < б, принадлежат С. По определению это означает,
что С открыто в /.
С другой стороны, множество С является не чем иным,
как прообразом диагонали Д = {(р, р); р?ё>\ при непре-
непрерывном отображении /—~-ё>х&, переводящем точку t?I
в точку (v(t), v'(t))?<gx<?. Поэтому, так как простран-
пространство 53—а значит и пространство ?—по условию хаус-
дорфово (и, следовательно, диагональ Д замкнута), то мно-
множество С замкнуто.
Являясь непустым, открытым и замкнутым подмноже-
подмножеством отрезка /, множество С совпадает—в силу связности
отрезка /—со всем этим отрезком. Следовательно, v (t)=v'(t)
для любого t?l, т. е. v — v'.
Существование. Из компактности отрезка / не-
немедленно вытекает, что на этом отрезке существуют такие
числа
а в пространстве 9i—такие ровно накрытые окрестности
U, Un,
что для любого t=l, ... точки u(t), ti-i^t^Ltit при-
принадлежат окрестности Uj. Предположим, что для некоторого
i, 1<л<п, путь v уже построен на отрезке [0, tj_i],
т.е. построено такое отображение v: [0, /,-_i]—*«?, что
у@)-"-/Р0 и now—и на [0, ^_i]. (При t=l это предполо-
предположение автоматически выполнено.) Так как m(^,_i)€^,i to
в пространстве ? существует окрестность V; точки u(^_i),
ровно накрывающая окрестность V,-.
Пусть s,-—гомеоморфизм (/,-— *V;, обратный к гомео-
гомеоморфизму я: V, —>¦ U). Мы доопределим путь v на отрезке
[/,¦_!, t{], полагая
о@ = М"@) для любого *€[*/-!,*,•].
Тем самым, накрывающий путь v будет, очевидно, построен
и на отрезке [0, *,-], а значит—после п шагов—на всем
отрезке /. ?
Теорему 1 можно существенно уточнить, но для этого
ее нужно предварительно переформулировать.

42 УТОЧНЕНИЕ ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ
Для произвольного топологического пространства SC
(как правило, линейно связного) символом У{%) мы будем
обозначать множество всех путей в 5С. Символом же <К, ?/>,
где К—замкнутое, (=компактное) подмножество отрезка А,
a U—открытое подмножество пространства Л\ мы будем
обозначать подмножество множества 3*(Зу), состоящее из
всех путей и: [—*¦??, обладающих тем свойством, что
«(/)€*/ при t?K.
Всевозможные конечные пересечения множеств вида </С, U>
мы можем принять за базу некоторой топологии на 5s {$?).
Определение 2. Эта топология называется компакт-
компактно-открытой топологией множества 9* (№).
В дальнейшем мы всегда будем считать множество
) снабженным компактно-открытой топологией.
Определение 3. Коцилинд^м Сосу1я непрерывного
отображения я: ? —>• 3$ называется подпространство пря-
прямого произведения <?х5*(,53), состоящее из таких пар
(А,, и), Роб^, "= / —#, что
я(д) = и@).
[На языке теории категорий подпространство Сосу1я
является не чем иным, как коамальгамой диаграммы
()
© —* Si,
вертикальная стрелка которой представляет собой отобра-
отображение 5s E3) -+ Si, переводящее произвольный путь и в
точку ы@).]
Принадлежность пары (р0, и) 6 в? X 5*($) к подпрост-
подпространству Сосу1я является необходимым условием того,
чтобы для пути и существовал накрывающий путь v: !—>¦<$,
начинающийся в точке р0. Достаточным же условием яв-
является принадлежность пары (р0, и) к образу—очевидно,
непрерывного отображения
я,: 3s (<?) —> Cocyl я,
определенного формулой
я (о) = @@), пор), »€$•(?).
Поэтому задача построения накрывающего пути разре-
разрешима для любой пары (р0, и) тогда и только тогда, когда
отображение п\ надъективно. При этом задание для каж-

РАССЛОЕНИЯ В СМЫСЛЕ ГУРЕВИЧА 43
дой пары (р0, u) ? Cocyl я накрывающего пути v означает
построение для отображения я, некоторого сечения, т. е.—
см. лекцию 1—такого отображения
s: Cocyl я — 5> (<?),
что я,os = id.
Мы видим, следовательно, что теорема 1—для хаус-
дорфова пространства 3d—равносильна утверждению, что
для любого накрытия я: & — * 3$ отображение я, допу-
допускает единственное сечение, т. е. что отображение п\ би-
биективно. Однако эта теорема ничего не говорит о том,
будет ли это сечение непрерывным отображением (и, зна-
значит, отображение щ гомеоморфизмом). Теперь мы можем
заполнить этот пробел.
Предложение 1. Для любого накрытия я: <? —<¦ 3)
хаусдорфова пространства 33 отображение
я,: 3" (<8) —> Cocyl я, vt-*{v@), nov),
является гомеоморфизмом.
Доказательство. Достаточно доказать, что для лю-
любого компактного множества /Сс/ и любого открытого мно-
множества Vag множество Я| </С, V> открыто в Cocyl я. Но
по определению
я, <К, V> = (У х <tf, U» П Cocyl я,
где U — nV. Поскольку же отображение я открыто, мно-
множество U открыто в 53, и значит множество Vx<K, U>
открыто в ? х З3 ($3). Поэтому множество Я| <К, У У открыто
в Cocyl я. D
Определение 4. Непрерывные сечения
s: Cocyl я — 5s («?)
отображения я,: 3* (<?) —»¦ Cocyl я называются свяэностями
(или более распространенно—связностями в смысле Гуре-
вича). Отображение я: ?~* ЗВ (или тройка 5 ¦—(«?, я, 3d)),
для которого существует хотя бы одна связность s, назы-
называется расслоением в смысле Гуревича.
В этой терминологии теорема 1 и предложение 1 ут-
утверждают, что любое накрытие связного хаусдорфова про-
пространства является расслоением в смысле Гуревича, обла-
обладающим единственной связностью.
Замечание 2. Расслоением в смысле Гуревича (но
уже с многими возможными связностями) будет и каждое

44 РАССЛОЕНИЯ В СМЫСЛЕ ГУРЕВИЧА
тривиальное расслоение л: Sx<F --+$$. (Связность s для
такого расслоения можно задать, например, формулой
[s(A, u))(t)=*{u(t), х0),
если ро = (Ь9, х0), fy>€53, xo?!F,
где 0г^/< 1.) Поэтому естественно ожидать, что расслое-
расслоением в смысле Гуревича будет и любое локально триви-
тривиальное расслоение и, более того, любое отображение
п: $ —«-ИЗ, для которого существует такое открытое покры-
покрытие {(/„} пространства '$), что каждое отображение
является расслоением в смысле Гуревича. Как показал
немецкий математик Дольд, последнее утверждение—в прак-
практически не ограничивающем общности предположении, что
покрытие {?/„} нумерируемо (см. лекцию III. 24, замеча-
замечание 4),—действительно верно. Доказательство Дольда,
хотя и простое по идее, технически довольно сложно, и
мы не можем его здесь изложить. (Читатель—чтобы понять,
какие подводные камни здесь появляются и зачем нужна
нумериругмость—может попытаться доказать теорему
Дольда для случая двухэлементного покрытия.)
Приведем пример не локально тривиального расслое-
расслоения в смысле Гуревича (широко использующегося в раз-
разнообразных вопросах топологии).
Пример 7. Пусть %—произвольное топологическое
пространство и пусть р: 3s {&) —*¦ SC—отображение, сопо-
сопоставляющее каждому пути и на J его концевую точку:
р(ы)=.иA), и: 1-^%.
Оказывается, что отображение р является расслоением в
смысле Гуревича. Действительно, коцилиндр Cocyl p этого
отображения состоит из пар вида (v, и), где v и и—такие
пути пространства &, что w(l) = u@). При этом для любой
такой пары формула
¦) , если 0 <т <-?=?,
(8) и>@(т)Н '" 2-'
1 -¦" '2-е—2), если ^
определяет (проверьте!) путь до: tt->w(t) в пространстве
9*{&), удовлетворяющий соотношениям w @) (т) = v(т) и
w(t){\) — u(t) для любых т, t?f, т.е. такой, что до@)=о

РАССЛОЕНИЯ В СМЫСЛЕ ГУРЕВИЧА 45
и |)одо = ы. Поэтому, положив s (w, ы) = ш, мы получим
непрерывное (проверьте!) сечение отображения р(. ?
Путь w, определенный формулой (8), обладает тем свой-
свойством, что w (t) @) = v @) для любого t?l. Поэтому если
мы, выбрав точку ро(-&, введем в рассмотрение подпро-
подпространство S* (/?„, •?") пространства 3* (.?¦), состоящее из путей
и: I —<¦ SC, начинающихся в точке р„, то отображение
р: 5»(р., ЯГ)-+ЛГ, и*-*и(\),
также будет расслоением в смысле Гуревича.
Эти примеры показывают, что расслоение в смысле
Гуревича может иметь негомеоморфные слои и даже не
быть надъективным отображением (если его база не линейно
связна).

Лекция 3
Гомотопические классы путей.—Фундаментальная группа
топологического пространства.—Односвязность стягива-
стягиваемых пространств.— Односвязность сферы.— Фундамен-
Фундаментальная группа окружности.
Для любой точки р ? Я! топологического пространства
% формула
eP(t)=*p, <€Л
задает некоторый путь ер: 1—+SP, называемый постоян-
постоянным путем в точке р (ср. лекцию III. 11). Этот путь
соединяет точку р с самой собой.
Аналогично для любого пути и: I—* SC формула
и-1 @ = иA-/). '€Л
определяет обратный путь и'1: I—+&, соединяющий
конец цA) пути и с его началом и@).
Если конец ыA) пути и совпадает с началом и@)
пути v, то формула
«B0, если 0<*<1/2,
B*-1), если 1/2<«1,
определяет новый путь ио, называемый произведением пу'
шей и и v. Этот путь соединяет начало и@) пути и с
концом оA) пути v.
Все это фактически было в лекции III. 11. Следующее
же определение является новым.
Определение 1. Два пути и и о, соединяющие одни
и те же точки р„ и рх (т. е. такие, что и @) = v @) = р0
и и A) *= и A ) = />!), называются гомотопными (обозначе-
(обозначение u~v), если существует такое непрерывное отобра-
отображение
A) /: /•_#, (t,T)~f(t,T), {t, т)€/«,
что
f(t, 0) = м@, f(t, 1) = о(/)
и
/@,х)«р., /A, t) = Pl
для любых /, т?/. Отображение f называется гомото-
пией, связывающей путь и с путем v.

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ КЛАССЫ ПУТЕЙ 47
Предложение /. Отношение гомотопности является
отношением эквивалентности на множестве 5* (/?„, X, pt)
всех путей пространства &, соединяющих точку р0 с
точкой pt.
Классы гомотопных отображений называются гомото-
гомотопическими классами путей. Гомотопический класс, содер-
содержащий путь и, обозначается символом fit].
Мы дадим два доказательства предложения 1. Пер-
Первое—более поучительное—доказательство использует то-
топологию пространства 5*(р0, ЗСХ р^), тогда как второе не
пирается ни на что, кроме определения 1.
Первое доказательство. По формуле
w (т) @ = /(*, х), f, тб/,
каждая гомотопия A) определяет непрерывное (докажите!)
отображение w: Т(-*ш(т) отрезка / в пространство
Р(р0, •%", /?х), удовлетворяющее соотношениям w@) — u и
«уA) = и, т. е. некоторый путь этого пространства, соеди-
соединяющий его точку и с точкой и. Обратно, любой путь
w. I' -* 3* (/?0, SC, р,) пространства 5s (p0, Я", рг), соеди-
соединяющий путь и с путем v, определяет по формуле
t, т<=/,
гомотопию A), связывающую путь и с путем и. Таким
образом, гомотопии являются не чем иным, как путями
пространства $*{р0, ЗС, р^, и значит отношение гомо-
гомотопности является частным случаем отношения «быть
связанными путем». Следовательно (см. лекцию III. 11),
отношение гомотопности является отношением эквивалент-
эквивалентности. ? •
Мы видим, кроме того, что гомотопические классы пу-
путей пространства X, соединяющих точку р0 с точкой ри
являются не чем иным, как компонентами линейной связ-
связности пространства 3*{р0, &, pi).
Второе доказательство. (Это доказательство
представляет собой просто переизложение на случай го-
мотопий данного в лекции III. 11 доказательства того,
что отношение «быть соединенными путем» является отно-
отношением эквивалентности.) Для любого пути и: I —> 9С
формула
f(t, т) = и@, <, т€/,
определяет гомотопию, связывающую путь и с самим со-
собой. Следовательно, отношение гомотопности рефлексивно.

4$ ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА
Аналогично для любой гомотопии /, связывающей путь и
с путем v, формула
g(t, т)-/(/, 1-т), t, т€/,
определяет гомотопию g, связывающую путь v с путем и.
Следовательно, отношение гомотопности симметрично.
Наконец, если гомотопия / связывает путь и с путем
v, а гомотопия g—путь v с путем w, то гомотопия fg,
определенная (очевидно, корректно) формулой
( f(t, 2-е), если 0<1<1/2,
B) (fg)d, x) =
будет связывать путь и с путем w. Следовательно, отно-
отношение гомотопности транзитивно. ?
Особое значение имеют пути, у которых начало сов-
совпадает с концом, т. е. которые, начинаясь в некоторой
точке р0, кончаются в ней же. Каждый такой путь назы-
называется петлей в точке р0. Множество гомотопических
классов всех петель в точке р0 обозначается символом
Я! (Л", Ре)-
Перемножать гомотопии—когда это имеет смысл —
можно не только по второму аргументу, как в формуле B),
но и по первому, т. е. по формуле
. , ,_., т), если U«^^1/2,
к) \iziK4 ) | gBt— 1, т), если 1/2<*<1.
Если гомотопия / связывает путь иа с путем ии а гомо
топия g—путь v0 с путем vu то произведение C) этих
гомотопии по первому аргументу • определено тогда и
только тогда, когда общий конец путей а0 и ut совпа-
совпадает с общим началом путей v9 и vu ив этом случае
гомотопия C) будет связывать путь и„у„ с путем м^. Это
доказывает—в случае, когда u(\) = v@), — что формула
D) Ы ¦ М = \uv]
корректно определяет произведение [«]•[»] гомотопиче-
гомотопических классов [и] и [v].
В частности, это произведение определено для любых
элементов множества щ(^, р0).
Предложение 2. Относительно умножения D) мно-
множество nx(&, p0) является группой. Единицей этой группы
служит класс [epj постоянного пути еРо, а классом [и]'1.

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА 49
обратным к классу [и] петли и, является класс [и~х] об-
обратной петли и~г.
Доказательство этого предложения мы извлечем
из некоторых общих соображений, разъясняющих опера-
операцию перемножения гомотопических классов путей.
Назовем обобщенным путем пространства SC непре-
непрерывное отображение и: [а, Ь]—+& произвольного отрезка
[a, b]cR в пространство ЗС'. Точку и{а) мы будем назы-
называть началом, а точку иф)—концом обобщенного пути и.
Замечание 1. Понятие обобщенного пути фактиче-
фактически идентично понятию кривой. В зависимости от кон-
контекста—определяемого в основном традицией—мы будем
свободно пользоваться обоими терминами.
Если и: [a, J]-*Jho: [с, d] —* SC—такие обобщен-
обобщенные пути, что u(b) = v(c), то формула
и (/), если а < * <Ь,
, если b^tt^b + d—с,
определяет обобщенный путь w: [a, b-\-d—с] —* SC, кото-
который мы будем обозначать символом u*v и называть пу-
путем, составленным из путей и и v.
Например, для любой точки с?[а, Ь] каждый обоб-
обобщенный путь и: [а, Ь\~-Ж составлен из пути ы|[в, е] и
ПУТИ U\[e,b].
Ясно, что операция составления путей ассоциативна,
т. е. если для трех путей и, v, w путь (u*v)*w опреде-
определен, то определен путь u*(v*w) и имеет место равенство
Поэтому путь Ui* ... *ив, составленный из п путей
и,, ..., и„, не зависит от последовательности, в которой
эти пути составляются и в его обозначении скобки не
требуются.
Необобщенные пути и: /-»i" вк /-+5 можно со-
составить, если иA) = и@). Получающийся—уже обобщен-
обобщенный— путь а#0 определен на отрезке [0, 2] формулой
f u(t), если 0<*<1,
E) (и*,)(/) = Ы
С другой стороны, выбрав произвольную непрерывную
функцию <р: [0, 1] — \а, Ь), отображающую точки 0 и 1
в точки а и 6 соответственно, мы можем каждому обоб-

50
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА
щенному пути и: [a, ft] —>¦ &, определенному на отрезке
[a, ft], сопоставить необобщенный путь
ы о ф: I—* Я",
соединяющий те же точки. Мы будем говорить, что путь
и о ф получен из пути и перепараметризацией ф к еди-
единичному отрезку I.
Например, путь, определенный формулой (8) лекции 2,
является не чем иным, как результатом перепараметриза-
перепараметризации к единичному отрезку пути v*uu составленному из
пути v, и ограничения ut = u|[o,<] пути и на отрезке [0, t],
посредством функции ф: [0, 1] —¦ [0, 1 + t] с графиком
f+t
2-t
Это делает всю конструкцию, связанную с этим путем,
совершенно прозрачной.
Замечательно, что гомотопический класс [и о ф] пути
и о ф не зависит от выбора функции ф. Действительно,
если 1|з—другая непрерывная функция [0, 1] -*¦ [a, ft], пе-
переводящая точки 0 и 1 в точки а и ft, то формула
f(t, т) = и(A-т)ф@ + тф@), *, т€/.
определяет гомотопию /, связывающую путь и о ф с пу-
путем и о tp. ?
В частности, это верно и для пути E). Но перепара-
перепараметризация ф: t<~*2t этого пути переводит его, очевидно,
в произведение uv путей и и v. Поэтому произведение
[ы]-[и] гомотопических классов [и] и [v] будет гомотопи-
гомотопическим классом произвольной перепараметризации пути
Если теперь и, v и w—такие пути, что определены
произведения {uv)w и u(vw), т. е. такие, что иA) = и@)

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА 51
и иA) = о;@), то оба пути (uv)w и «(ww) будут, очевидно,
перепараметризациями одного и того же пути u*v*w.
Поэтому их гомотопические классы будут совпадать, т. е.
будет иметь место равенство
По определению это означает, что умножение гомотопи-
ческах классов путей ассоциативно.
В частности, ассоциативно и умножение в множестве
/ СУ* м \
Пусть [с, d]c:[a, b], т. е. а^с<d^.b. Мы скажем,
что обобщенный путь и: [а, Ь] --* 3? постоянен на [с, d],
если u(() = u(c) для любого t?[c, d]. Такой путь опреде-
определяет на отрезке [а, Ь—d + c] путь и', для которого
если а ^ t ^ с,
-с), если c<!tfs?l6—d + c.
Это означает, что и'е=и!*и2, где их и ut—ограничения
пути и на отрезках [а, с] и [d, b] соответственно. При
этом и = ы'оф0, где ф„—функция [а, Ь] — [a, b—d + c],
заданная формулой
(t, если а <; / ^ с,
с, если с < t < d,
t—d+c, если d*^.t^b.
Поэтому любая перепараметризация ф пути и' задает пе-
перепараметризацию ф' = ф„ о ф пути и, обладающую тем
свойством, что ыоф = ы'оф\ Следовательно, гомотопи-
гомотопические классы перепараметризаций путей и и и' совпадают.
Если теперь и—путь 1—+SC, е0—постоянный путь в
точке /70 = ц@) и вх—постоянный путь в точке pj = «(l),
то для ы#е, путь (и*е1)' совпадает с и, для ев*и путь
(е0 * и)' получается из и сдвигом параметра. Поэтому
Ы ["] = ["] и [и] •[>!] = ["]•
В частности, это доказывает, что гомотопический класс
\еРа] постоянной петли еРо является единицей умножения
в лг {SC, р0).
Обобщенный путь и: [а, Ь\ -* $? мы будем называть
симметричным, если
u(t) = u(a + b—t) для любого t?[a, b]
(и, значит, в частности и(Ь) = и(а)). Для такого пути и

bSi ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ПРОСТРАНСТВА
формула
{и(с—{с—а)х), если с—(с—а
(ф) <*<
{
и(с-\-ф—с)х), если <;<*<?+F—с)х,
u(t) при всех других t,
а-\-Ь г л
где ся-s середина отрезка [а, о], корректно опреде-
определяет непрерывное отображение
/: [a, b]xf-+#,
удовлетворяющее для всех t?[a, b] и т?/ соотношениям
f(t, 0) = u@,
f(t, l) = /(c, x) = f(b, x) = p0, где A> = "(a)>
и потому для любой перепараметризации ф пути и опре-
определяющее гомотопию f о (ф х id), связывающую путь и о ср
с постоянным путем е^ в точке ро = ы(а). Следовательно,
В частном случае, когда путь и определен на [0, 1], т. е.
является симметричной петлей, в перепараметризации ф
мы не нуждаемся, и потому [и] = [еР(]. Поскольку для
любой петли и в точке р0 петли мы" и и~хи, очевидно,
симметричны, этим доказано, что
для любого элемента [и] ^л1(^', р0), т. е. что ["]~1 = ["].
Тем самым предложение 2 полностью доказано, п
Определение 1. Группа nr(X, р„) называется фунда-
фундаментальной группой пространства & в точке р„.
Замечание 2. На языке алгебры установленные при
.доказательстве предложения 2 алгебраические свойства
умножения гомотопических классов путей означают, что
.по отношению к умножению множество всех этих клас-
классов является группоидом. Этот группоид называется фун-
фундаментальным группоидом пространства SC.
Покажем теперь на примерах, как можно вычислять
фундаментальные группы конкретных пространств.
Заметим, прежде всего, что так как любая петля про-
пространства % в точке р0 является, очевидно, петлей ком-
компоненты линейной связности •#¦„ пространства &, содер-

ОДНОСВЯЗНОСТЬ СТЯГИВАЕМЫХ ПРОСТРАНСТВ 53
жащей точку р0, то
Поэтому фундаментальные группы достаточно рассматри-
рассматривать лишь для линейно связных пространств.
Пример 1. Пусть & является единичным шаром В"
пространства R", а точка р0—его центром 0. Ясно, что
для любой петли и: /-+ В" в точке 0 формула
fit, т) = A-т)«@, t, т€Л
определяет гомотопию f, связывающую путь и с постоян-
постоянным путем е0. Поэтому [и] — [е0], и значит группа я^В", 0)
тривиальна (состоит только из единицы).
По тем же соображениям тривиальна и группа л1(йп, 0),
где Вп—открытый шар (внутренность шара Вп).
Определение 2. Линейно связное пространство X,
для которого группа п1(^, р0) состоит только из едини-
единицы, называется односвязным (как мы покажем в следу-
следующей лекции, это свойство не зависит от выбора точки р0).
Таким образом, нами доказано, что шар В" (а также
шар В") односвязен (при любом п^О).
Этот результат допускает немедленное обобщение.
Говорят, что (необходимо линейно связное) простран-
пространство X стягиваемо к точке р0, если существует такое не-
непрерывное отображение
F:
что F (p, 0) = p, F(p, \) = pu для любой точки р?& и
F (р0, т) = р„ для любого tg/. Тогда для каждой петли
и: I —»¦ ЗС в точке р0 формула
/(*, т) = /¦(«(/), т), *. т€/,
будет определять гомотопию, связывающую путь и с по-
постоянным путем еРо. Следовательно, любое стягиваемое
пространство односвязно.
Для шара В" отображение F задается формулой
F(x, т) = тд-, лгевя.
Более сложные примеры требуют некоторой подготовки.
Пусть ЗС—гладкое многообразие.
Обобщенный путь и: [а, Ь]—>- Ж называется гладким,
если он представляет собой гладкое отображение, и ку-

54 ОДНОСВЯЗНОСТЬ СФЕРЫ
сочно гладким, если он составлен из конечного числа
гладких путей.
Лемма 1. Любой путь и: [а, Ь\—*Х на гладком
многообразии % гомотопен кусочно гладкому пути.
Доказательство. В виду компактности отрезка
[а, Ь] (а, значит, и множества и ([а, Ь])) в многообразии
& существует конечное число координатных окрестностей
(которые для определенности можно считать ди<|)феоморф-
ными открытому единичному шару В" пространства R"),
покрывающих множество и([а, о]).
По определению это означает, что путь и составлен
из конечного числа путей, каждый из которых является
отображением в некоторую координатную окрестность.
Поэтому нам достаточно доказать лемму 1 лишь для пу-
путей, обладающих последним свойством, т. е. фактически
для путей в шаре В".
Пусть и: [а, Ь] —*ВП— произвольный путь в шаре В".
Мы положим
v(t) = (l — t)u(a)+tu(b), tqi,
и
/ (t, т) = A —г) и @ + xv (t), <, т € /.
Первая формула определяет гладкий путь v: [a, b]—*ВЯ,
а вторая—гомотопию /, связывающую путь и с путем v. ?
Задача 1. Докажите, что любой путь и: [а, Ь]—*¦ 2С [гомото-
[гомотопен гладкому пути.
Вернемся теперь к вычислению фундаментальных групп.
Пример2. Вычислим группу пх(#¦,?„) в случае, когда
пространство SC является сферой S* размерности п ^2
(выбор точки р0 значения не имеет). Согласно лемме 1
мы без ограничения общности можем рассматривать лишь
кусочно гладкие петли и: /—> S". Но по следствию из
теоремы Сарда (см. следствие из теоремы 1 лекции III. 15)
каждая такая петля при п^2 заведомо не является
надъективным отображением, т. е. существует такая точка
9о€§п. что петля и является на самом деле петлей в
§"\{<7о} (представляет собой композицию петли в SB\{^0}
и вложения S"\{7o} —> S"). Поскольку подпространство
8"\{<7о} стягиваемо (оно гомеоморфно шару В"), отсюда
следует, что петля и гомотопна постоянной петле еРв

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 55
(в S"\{7o} и тем более в S"). Поэтому
т. е. при п ^ 2 сфера S" односвязна.
При л = 1 теорема Сарда обеспечивает лишь существо-
существование точки qo€.§1, являющейся регулярным значением
всех гладких путей ы,-: [alt &,] —»¦ S1, из которых состав-
составлена кусочно гладкая петля и. Для исследования этой
ситуации нам удобно будет предварительно обсудить не-
некоторые специальные пути на окружности S1.
Любые две различные точки р, q окружности S1 раз-
разбивают окружность на две дуги С(+) (р, q) и С(~' (р, q)
(первая дуга характеризуется тем, что мы можем перейти
по ней от р к q, двигаясь против часовой стрелки, а вто-
вторая—тем, что переход от р к q осуществляется по ней
против часовой стрелки). При p = q мы положим
Заметим, что Cl+) (q, р) — С("> (р, q) и С"» (q, р) = С{+) (р, q)
для любых точек р, q окружности S1.
На дуге С<+)(р, q) мы введем угловой параметр 0(+),
отсчитываемый против часовой стрелки от точки р до
точки q (точке р отвечает значение параметра 0, а точке
р—значение 9о+>>О, где 0{|+)— радианная мера дуги
С(+) (р, q)). Аналогично на дуге С("' (р, q) мы введем угло-
угловой параметр б1"', отсчитываемый по часовой стрелке от
точки р с 9^")==0 до точки q с 9*~J = ©о->» где ©о"* — ради-
ан1шя мера-дуги С1~Цр, q). (Таким образом, если p^q,
то 0^-> = 2я—вЬ+>, а если p = q, то 0{,-> = е&+> = 2зх.)
Тогда тождественные отображения [0, 0&+)] —> [О, G{,+)],
[О, 9&~'] —»¦ [0, 6o~'J будут задавать на окружности обобщен-
обобщенные пути, соединяющие точку р с точкой q. Мы будем
обозначать эти пути символами vl+)(p, q) и у<~](р, q) со-
соответственно.
Заметим, что при p — q эти пути являются взаимо-
взаимообратными петлями:
(Вообще, и<->(<7, p) = i>(+)(p, q) и y<+)(q,p) ==w<->(p, q)'1
для любых точек р, q^S1.)
Обобщенный путь v: [a, b] —>¦ S1, соединяющий точку р
с точкой q (случай р = q не исключается), мы будем назы-

56 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ
вать специальным, если равенство v(t) = p имеет место
только при t=^a, а равенство v(t) — q—только при t = b.
По соображениям связности ясно, что для такого пути
либо иD-> (t) ? Cl+) (p, q) при любом 16 (а, *>), либо yl~> (*) ?
^^"'(р, ^) при любом t?(a, b). В обоих случаях путь v
задается некоторой непрерывной функцией
о: [a, ft] — [0, в.], где % = %+>, %->,
причем y"(a) = 0, a йF) = ео или у F) = 0 (последний случай
возможен только при p=^q, т. е. при 0„ = 2л).
При v(b)—-Q0 это означает, что функция у осуществляет
перепараметризацию пути v{+)(p, q) (при ee = 6j+)) или
пути у(-> (р, q) (при 0О = %~>) к пути и. Таким образом,
в пространстве 5* (/?, §\ q) путей на окружности S\ сое-
соединяющих точку р с точкой q, каждый специальный
путы», для которого v(b) = Q0, определяет тот же гомото-
гомотопический класс, что соответственно путь v(+) (p, q) или
путь у(-> (/?, q).
В случае же, когда v(b)~0, формула
очевидно, определяет гомотбпию, связывающую путь у
с постоянным путем в точке р. Таким образом, при
v(b) = 0 специальный путь v гомотопен постоянному пути.
Вернемся теперь к кусочно гладкой петле и: /—> S1
окружности S1 в точке р0, составленной из гладких обоб-
обобщенных путей ы,-: [a!t ft,-] —> S1. Если q0—регулярное зна-
значение всех отображении «,, то для каждого i прообраз
"Г1 (^о) будет нульмерным подмногообразием отрезка [а{, &,],
т. е. конечной системой точек. Эти точки разбивают отре-
отрезок [alt b{] на отрезки, обладающие тем свойством, что на
каждом из них путь ut специален. Это доказывает, что
любая кусочно гладкая петля и может быть составлена
из специальных путей, и значит по доказанному гомотоп-
гомотопна либо постоянной петле, либо петле, составленной из
путей вида ul+)(P. Q) и у<~> (Р> Я)-
Если три точки р, q, r окружности S1 обладают тем
свойством, что при движении от р против часовой стрелки
сначала встречается точка q, то, как непосредственно видно
из чертежа, путь у1"*^, г) составлен из путей у1^, р)
и у(-'(Р, г):
у<->(</, г) = у(-»(<7, /?)*у<->(р, г).

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 57
Если же первой встречается точка г, то аналогично
у<+>(/>. q) = *+){p, г)*у<+>(г, q).
Поэтому в первом случае
vt + )(p, q)*v{~)(q, r) = Dt+)(р, q)*vl~)(p, q)*v{~){p, r),
а во-втором
{q, г) = У<+)(р, r)*t/+)(r, q)*v"(q, r).
Но, так как каждый путь вида и(+)(/>, q)*vi~){q, r), оче-
очевидно, симметричен, то он гомотопен постоянному пути.
Поэтому каждая петля, составленная из путей вида
и(+) (р, q), у1"' (р, q) и начинающаяся с пути вида ul+)(p0, q)
(вида v{~) (p0, q)), гомотопна петле, составленной только из
путей вида vU)(p, q) (вида о(~> (р, q)).
С другой стороны, ясно, что каждая петля в точке р0,
составленная из путей вида у(+)(р. q), является комбина-
комбинацией петель вида и< + )(/?„, р0) (несколько раз равномерно
обегает окружность S1 против часовой стрелки), а каждая
петля, составленная из путей вида ^""'(р, q), — комбина-
комбинацией петель t^ {p0, po) = t/+) (p0, ро)~х (несколько раз
равномерно обегает окружность S1 по часовой стрелке).
Этим доказано, что гомотопический класс [и] петли и
равен I", где i — гомотопический класс перепараметризо-
перепараметризованной к единичному отрезку петли vl+) (р0, р0) (один раз
равномерно обегающей окружность S1 против часовой
стрелки), а п—некоторое целое число (положительное,
когда петля и гомотопна петле, составленной из петель
у<+) (Ро, Po)i отрицательное, когда петля и гомотопна петле,
составленной из петель ^"'(р,,, р0), и равное нулю, когда
петля и гомотопна постоянной петле). Это означает, что
группа я1(81, р0) является циклической группой с обра-
образующей I.
Однако здесь не видно, чему равен порядок этой группы.
Поэтому мы изложим другой метод вычисления группы
^(S1, р0), лишенный этого недостатка.
Воспользуемся накрытием
из примера 1 лекции 2. Пусть р„—точка 1 окружности S1,
Для любой петли и на окружности S1 в точке р9 рас-
рассмотрим накрывающий путь m» = s@, u) с началом в точке

Б8 ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ
U? R, где s—связность для накрытия л. Конец а» A) этого
пути проектируется в конец р0 петли и и, значит, является
целым числом. С другой стороны, легко видеть (докажите!),
что это число непрерывно зависит от пути н, т. е. при
любой гомотопии пути и число w A) меняется непрерывно.
Поэтому, являясь целым числом, оно остается прежним.
Это означает, что формула [ы] i—> ш A) корректно опреде-
определяет некоторое отображение
F) degrn^SS р0) —Z.
Оказывается, что отображение F) является гомомор-
гомоморфизмом. Действительно, пусть [и], [v] ? щ (S1, р0) и пусть
deg[и] — п и deg[u]=m, т.е. пусть в R путь s@, «)
соединяет точку 0 с точкой л, а путь s@, v)—точку О
с точкой т. Тогда путь w в R, определенный формулой
w(t)~s@,
будет начинаться в точке л и будет накрывать путь v
(т. е. будет путем s(n, v)). Поэтому путь s@, u)w, начи-
начинающийся в точке 0, будет накрывать путь uv, т. е. его
конец (s@, u)w)(l) будет равен deg ([и] • [v]). Но этот
конец является, по определению, концом доA) пути w,
т. е. точкой т + п = deg [и] + deg [v]. Следовательно,
deg ([«] • [о]) = deg [и] + deg [v]. D
Далее, легко видеть, что гомоморфизм F) является
эпиморфизмом. Действительно, для любого пути w: /—<¦ R,
соединяющего точку 0 с точкой п ? Z, путь « = яощ будет
петлей на окружности S1 и путь s@, м), накрывающий
эту петлю, будет в силу единственности накрывающего
пути совпадать с путем w. Поэтому s@, ы)A) = доA) = л,
т. е. deg [и] — га. D
Наконец, гомоморфизм F) является мономорфизмом.
Действительно, равенство deg [и] = 0 означает, что накры-
накрывающий путь s@, и) является петлей в точке 0. Но пря-
прямая R, будучи гомеоморфна интервалу в1, стягиваема и
потому односвязна. Следовательно, в R существует гомо-
топия /, связывающая петлю s@, и) с постоянной пет-
петлей <?0 в точке 0. Но тогда композиция по/ будет, оче-
очевидно, гомотопией, связывающей петлю u = nos@, и)
с постоянной петлей еРа в точке р0. Поэтому [и] = е в группе
MS\ Ро). ?

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА ОКРУЖНОСТИ 59
Таким образом, мы видим, что отображение F) пред-
представляет собой изоморфизм. Следовательно, группа
Я1 (S1. Ро) является бесконечной циклической группой.
Так как, очевидно, deg i = 1, то гомотопический класс
является образующей группы л1(81, р0).
Видно, насколько метод накрытий превосходит преды-
предыдущий элементарно геометрический метод!
В следующей лекции мы обобщим этот метод на произ-
произвольные накрытия и на этой основе получим общий спо-
способ вычисления фундаментальных групп пространств.

Лекция 4
Независимость фундаментальной группы от выбора началь-
начальной точки.— Гомоморфизм фундаментальных групп, инду-
индуцированный непрерывным отображением.— Точная гомо-
гомотопическая последовательность накрытия.— Свойства
гомотопической последовательности накрытия.— Односвяз-
ные накрытия.— Существование и единственность подня-
поднятий.— Удобные пространства.
Для любых двух точек р0, рх топологического прост-
пространства & каждый путь а, соединяющий точку р0 с точ-
точкой plt позволяет сопоставить произвольной петле и про-
пространства % в точке рг петлю v в точке р0, получаю-
получающуюся перепараметризацией обобщенной петли а*и*а'1.
Из установленных при доказательстве предложения 2
лекции 3 свойств умножения гомотопических классов путей
немедленно вытекает, что формула
Ф« [«] = [V]
корректно определяет изоморфизм
Фв: ях EС, р,) — пх C?, р0),
зависящий только от гомотопического класса [а\ пути а.
Заметим, что если пути а и Ъ, соединяющие точку р0
с точкой plt не гомотопны, то изоморфизмы <ра и ср6, вообще
говоря, различны.
Например, ясно, что если pt = p0 (и, значит, путь а
представляет собой петлю в точке р0), то изоморфизм срв
является не чем иным, как внутренним автоморфизмом
группы пг(&, р0), индуцированным элементом а=[а].
Поэтому если а не является элементом центра группы
лх{Х, р0), то <pa«j?id.
Как бы то ни было, но мы видим, что для линейно
связного пространства X группа nt{X, p0) с точностью
до изоморфизма не зависит от точки р0.
В частности, если лг EС', р0) = 1 для одной точки р0 € 2?,
то Лх {SC, Pi) = 1 и для любой другой точки р! ? 3?.
Произвольное непрерывное отображение
h: X-+&
определяет по формуле
иь-*Ло и, и: I -* 3?,

ГОМОМОРФИЗМ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ ГРУПП 61
непрерывное (докажите!) отображение
ho:
пространств путей, переводящее каждое подпространство
вида $*{р0, %, pi) в подпространство 5*(<7„, &, qx), где
<7o = ft(po), <7i = A(pj). Поэтому оно индуцирует некоторое
отображение А» множества компонент линейной связности
пространства !Р (/?„, Ж, рг) в множество компонент линей-
линейной связности пространства 5s (?0, 2/, <7i). На другом языке
это означает, что формула
A) K[u] = [h°u\, и: /—#.
корректно определяет отображение А, множества гомото-
гомотопических классов путей пространства SC* соединяющих
точку р0 с точкой plt в множество гомотопических клас-
классов путей пространства 6Л соединяющих точку q0 с точ-
точкой qv [Корректность формулы A) можно также устано-
установить, не доказывая непрерывность отображения Ло, а просто
заметив, что для любой гомотопии /: 1*—>-3?, связываю-
связывающей пути и и v из !Р (ро. -Ж"» Pi), отображение к о /: Р —> <у
будет гомотопией, связывающей пути ho и и Л о у из
* )]
При pj = р0 мы получаем, в частности, отображение
B) Л,: ях (JT, ро) -*• nt (й/, ^о). <7 = h (p0).
Из определения произведения путей непосредственно
вытекает, что если w = ыи, то Л о а; — (А о и) (h о и). Поэтому
т. е. по отношению к умножению гомотопических классов
путей отображение А, является гомоморфизмом группоидов.
В частности, для любого непрерывного отображения
Л: & —»¦ Й/ отображение B) является гомоморфизмом групп.
Об этом гомоморфизме говорят, что он индуцирован
непрерывным отображением А. Когда нужно отметить зави-
зависимость этого гомоморфизма от точки р0, мы будем обо-
обозначать его символом (А») Ро.
Так как для любых отображений
и любого пути u: I—* X имеет место равенство (goh)ou=
= g о (А о и), то
C) {g°h),=-gtoht.

62 ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАКРЫТИЯ
Кроме того, если h — id, то, конечно, А. — id. [На языке
теории категории эти свойства означают, что сопоставление
пространство с отмеченной точкой
фундаментальная группа
является функтором.]
Далее, непосредственное сравнение определений пока-
показывает, что для любого пути а пространства %", соеди-
соединяющего точку р0 с точкой ри имеет место коммута-
коммутативная диаграмма
Фа
М-#\ р1)-*Я1(^*, /?„)
ih.)Pl\ Jo».),,
М^, Qi)— ^*i(», q0), qo=*h{pt), <7i=»ft(px).
[Ha языке теории категорий это означает, что соответ-
соответствие ан-хр,, обладает свойством естественности.]
Рассмотрим теперь взаимоотношения фундаментальных
групп с накрытиями.
Для любого топологического пространстве SC, в кото-
котором отмечена точка р0, мы будем символом 0,C?, рЛ) или
просто Q& обозначать пространство 5>(р0, SC, р0) всех
петель в точке />„ с компактно-открытой топологией. Как
мы знаем из лекции 3, элементы группы ях C?, ра) (гомо-
(гомотопические классы петель) являются не чем иным, как
компонентами линейной связности этого пространства.
Однако иногда бывает удобно различать эти компоненты,
рассматриваемые как элементы группы nt(S, p0) от них
же, но рассматриваемых как подпространства QX. На
этом основании компоненту a^n^SP, p0) линейной связ-
связности пространства Q& мы будем обозначать также сим-
символом Qa&. В частности, Q,^"—это компонента прост-
пространства &.?", состоящая из петель, гомотопных постоянной
петле еРо. (Символом е мы здесь и в дальнейшем обозна-
обозначаем единицу группы лг(.2\ р0).)
Пусть теперь я: <В —> S—произвольное расслоение
в смысле Гуревича и s: Cocyl я —> 5* (<g)—произвольная
связность для я. Пусть, далее, ро€@, fy, — я(р„)?$} и
,fo = ffta—слой расслоения я над точкой Ьо. (Заметим,
что pa?oFo.) Так как для любой точки ы?й(.®, Ьо) путь
s(p0, и) является путем в <?, начинающимся в точке р0 и
проектирующимся в путь и, то конец s (po,u) A) этого пути

ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАКРЫТИЯ 63
принадлежит слою еГ„. Таким образом, формула
определяет—очевидно, непрерывное—отображение
вх: п® — Г..
В случае, когда расслоение п: ? —+ S3 представляет
собой накрытие и, значит, пространство <F0 дискретно,
отображение sx—являясь непрерывным отображением —
обладает тем свойством, что для каждой петли и € Й.®
точка Siiu) зависит только от содержащей петлю и ком-
компоненты па&, т. е. только от гомотопического класса
а-•¦¦•¦ [и] этой петли. Это означает, что формула
.58, Ьо),
где и—произвольная петля класса а, корректно опреде-
определяет некоторое отображение
D) а: Я!(Я, 6,) — ?.
Заметим, что в случае, когда пространство !В хаусдор-
фово, изложенная конструкция определяет отображение D)
единственным образом.
Если хаусдорфово пространство 5? локально линейно
связно, то пространство ? также локально линейно связно и
значит—см. лекцию III.11—линейно связно (вместес прост-
пространством $). Поэтому для любой точки р?оГ0в ? суще-
существует путь v, соединяющий точку р0 с точкой р. Проек-
Проекция u — Jiov этого пути является петлей в точке р0, а
путь s(p0, и), накрывающий эту петлю, совпадает—в силу
единственности накрывающего пути—с путем v. Поэтому
sl(u) = p, т.е. о(а) = р, где а = [и]. Этим доказано, что
если пространство 3$ хаусдорфово и локально линейно
связно, то для любого накрытия л: ? --+SB отображение а
надъективно. Попутно мы также доказали, что для каж-
каждого пути v б 9* (р0, &) имеет место равенство
E) v=^s(j}0, и), где u = nov.
[Для справедливости этого утверждения достаточно, чтобы
пространство 53 было хаусдорфовым.]
Слой сГ„ является множеством с отмеченным элемен-
элементом р0. Поэтому для отображения а имеет смысл говорить
о его ядре Kercr==a~1(p0). По определению это ядро
состоит из гомотопических классов a =-- [м] петель и ? 0,33,
для которых путь s(Pq, и) является петлей. Так как

64 ТОЧНАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НАКРЫТИЯ
в силу равенства E) это в точности петли и, являющиеся
проекциями яоу петель v^Qg, то Кега —1тя„ где
F) я,: щ^, Ро)-*л1(^, Ьо)
— гомоморфизм фундаментальных групп, индуцированный
накрытием я.
С другой стороны, легко видеть, что гомоморфизм F)
является мономорфизмом (и, следовательно, представляет
собой изоморфизм группы Ях^, р0) на ядро Kera = Imя»
отображения а). Действительно, для петли о?й<? равен-
равенство я» [о] = 0 означает, что в пространстве й© сущест-
существует путь тн-*ыт, связывающий постоянную петлю eFa
с петлей и — я о и. Поэтому для любого т € / путь vx —
= s (/?„, Ux) пространства ? будет соединять точку р0
с точкой Si(ux) и отображение ть-*-vx отрезка / в прост-
пространство S*(pa, S) будет (докажите!) непрерывным, т. е.
будет представлять собой путь в пространстве 9"(р0, <8),
соединяющий путь s(p0, ePa)^=ePo с путем s(p0, u)~v. Но
тогда точка s1(uT) = yT(l) также будет непрерывно зави-
зависеть от т. Значит—поскольку эта точка принадлежит
дискретному пространству nF0,— она будет одна и та же
для всех т. Это означает, что s1(mt) = s1(«0)=/?0, т. е. что
все пути от являются петлями в точке р„. Поэтому v?Qe<B,
т. е. [v] = e. ?
[Заметим, что последнее рассуждение справедливо без
каких-либо общетопологических ограничений на простран-
пространство S.]
Последовательность
G) л а дЛг-.
групп и их гомоморфизмов (или, более общо, множеств
с отмеченными точками и их отображений, переводящих
отмеченные точки в отмеченные) называется точной
в члене В, если Ima = Kerp. Последовательность G) назы-
называется точной, если она точна в каждом члене.
Пользуясь этим языком, мы можем теперь подытожить
все доказанные утверждения в следующем предложении:
Предложение 1. Для любого накрытия я: <? —<• S
связного и локально линейно связного хаусдорфова прост-
пространства 5$ имеет место точная последовательность
(8) {е} -> ях (<?, pt) ^1 щ (.©, Ьо) Л <F0 -* pt,
где pt—множество, состоящее из одной точки.

СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАКРЫТИЯ 65
Точность последовательности (8) в члене я^^, р0)
означает, что гомоморфизм я» является мономорфизмом,
точность в члене nt (S, Ьо) означает выполнение равенства
Кег сг= Im л„ а точность в члене §~0—надъективность ото-
отображения а.
Определение 1. Последовательность (8) называется
точной гомотопической последовательностью накрытия
я: <? — 33.
Предложение 1 можно дополнить. Именно, легко видеть,
что в последовательности (8) прообраз ог^) при ото-
отображении а произвольной точки р?$Гв является левым
смежным классом группы яхE3, Ьо) по подгруппе Im я,
(т.е. для элементов а, Р^я^ЗЗ, Ьо) равенство а (а) = а ф)
имеет место тогда и только тогда, когда оф-1^ 1тл„).
Действительно, из единственности накрывающего пути не-
немедленно вытекает, что
/9ч s(p0, u)-1 = s(p1, и-1),
s(p0, uv) = s{p0, u)s(pu v)
для любых путей и ? Р (р0, 53) и v ? 5» (&lt 33), где /?, =
= sx(u)= s(po,u)(l). Поэтому если для петель и, u^Q53
имеет место равенство ст[ы]=а[и] (т. е. равенство s1(«)=
= S!(y)), то
и, следовательно,
Значит, [a]-'[y]~1 = [«w~1]€ 1
Обратно, если [u]*[w]~1
w ^ й<? и, следовательно,
1шя,.
€ 1шя„ то ыу~1 = яоо;, где
w ^ й<? и, следовательно,
s(po,u)s(po, y)-1 =
Поэтому
sx (и) = s (/?„,«) A) = (ш-s(/70,ы)) A) = s(po,u) A) = sx (и);
откуда сг [и] — a [v]. ?
Для любого гомоморфизма групп ф: А —->¦ В множество
В/lmA смежных классов группы В по подгруппе 1тЛ
называется коядром этого гомоморфизма и обозначается
символом Coker ср. В этой терминологии доказанное утверж-
утверждение означает, что для любого накрытия л: <?—*¦ 33 связ-
связного локально линейно связного и хаусдорфова простран-
3 М. М. Постников, сем. IV

66 СВОЙСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ НАКРЫТИЯ
ства 53 отображение а индуцирует биективное отобра-
отображение
A0) Сокегл. -*?л.
На все это можно посмотреть несколько иначе, если
ввести отображение
а: ?0X14E9, Ьо) -* <Г„,
определенное формулой
а (р0, а) = сгЯо (а), />0 6 <Г0, а € ях E9, &0),
где сгРо—отображение а, отвечающее точке р0.
Из "формул (9) непосредственно вытекает, что отобра-
отображение а является правым действием группы л ^53, Ьо) на
множестве eF0 и, значит, задает некоторое представление
группы nxE9, bQ) в группе Sym oF0 всех перестановок мно-
множества ?0. Это представление называется представлением,
монодромии (или просто монодромией) накрытия л: <? —«-53,.
а его образ в Sym <F0—группой монодромии этого накрытия.
Для любого (правого) действия «Fo х П —* еГ0 некоторой
группы П на множестве eF0 и любой точки р0 € ?0 множе-
множество Г всех элементов а ? П, для которых роа = р0, яв-
является, очевидно, подгруппой группы П. Эта подгруппа
называется стационарной подгруппой (или стабилизато-
стабилизатором) точки р0. Отображение сен->/70<х группы П на орбиту
pBU точки р0 индуцирует—как легко видеть, биективное —
отображение
П/Г —л,П
множества П/Г левых смежных классов группы П по под
группе Г на орбиту /70П. В случае, когда действие тран-
зитивно, т. е. все множество aF0 является орбитой каждого
своего элемента, это дает биективное отображение
A1) П/Г — ,Го.
Для действия а отображение <х*-*роа является, конечно,
не чем иным, как отображением а=.ар<1. Поэтому утвержде-
утверждение о надъективности отображения а означает, что дейст-
действие а транзитивно, а утверждение, что Кега=1тл„
означает, что 1т(л,)Ро является стационарной подгруппой
точки р0. Утверждение же о биективности отображения A0)

ОДНОСВЯЗНЫЕ НАКРЫТИЯ 67
является поэтому всего лишь специализацией общего
утверждения о биективности отображения A1) (и потому
в отдельном доказательстве не нуждается).
Определение 2. Накрытие я: ? —>¦ S3 называется одно-
связным, если пространство ? односвязно.
Пространство S3 называется односвязно накрываемым,
если для него существует хотя бы одно односвязное
накрытие.
Следующее предложение является одним из основных
орудий для вычисления фундаментальных групп конкрет-
конкретных пространств. (Фактически мы им и пользовались
в лекции 2 при вычислении группы n^S1, /?„).)
Предложение 2. Если связное и локально линейно
связное хаусдорфово пространство S3 односвязно накры-
накрываемо, то для любой точки bo?S3 группа пхC3, Ьо) нахо-
находится в биективном соответствии со слоем qF0 над точ-
точкой Ьо произвольного односвязного расслоения
Это соответствие зависит от выбора точки
определяется формулой
[u]-+s(po,u){\),
Доказательство. Достаточно заметить, что если
Я1(<?| Po)~U то Сокег я. = ях (S3, Ьо). О
Предложение 2 ничего не говорит об алгебраической
структуре группы л^ (S, Ьо). В этом отношении его допол-
дополняет следующее предложение:
Предложение 3. Пусть для связного и локально линей-
линейно связного хаусдорфова пространства Si существует такое
связное пространство (В и такая дискретная группа Г,
дискретно действующая справа на пространстве «?, что:
а) пространство <В односвязно;
б) пространство орбит &/Т гомеоморфно прост-
пространству Si. Тогда группа пг(ЭЗ, Ьо) изоморфна группе Г.
Доказательство. Отождествив $ с &/Т, рассмот-
рассмотрим естественную проекцию
я: ?—>-SS, p>->pY.
Как мы знаем (см. пример 5 лекции 2), тройка ? = (<?, я, S3)
является — в силу условия а односвязным—накрытием,
слоями которого служат орбиты рТ действия группы Г

68 ОДНОСВЯЗНЫЕ НАКРЫТИЯ
на пространстве 4>. Поэтому согласно предложению 2
формула
<*[«] = »(Л. ")
где р0—произвольная точка орбиты 60€^. определяет
биективное отображение
а:
группы ях(Й?, &„) на орбиту р„Г —й„- Но, так как дискрет-
дискретное действие свободно, то любая точка р орбиты р0Г
единственным образом представляется в виде роу, где у ? Г.
Поэтому, положив t(p) = y~1 (в введенных в лекции 1
обозначениях у = х(р,р0), где т—отображение сдвига),
мы получим биективное отображение
A2) d = To<x: 14E3, Ь„) — Г.
() 4(, „)
Мы докажем предложение 3, показав, что отображе-
отображение A2) является гомоморфизмом групп (а значит—в силу
биективности—и изоморфизмом), т. е. что
для любых путей и, v?
Пусть d[u] = Y-1 и d[y] = 6-1. По определению
Пусть /?oY = Pi и а» = s (р0, v). Определим на пространстве
путь wy формулой
Путь wy начинается в точке w @) у = /70y = Pi и накрывает
ту же петлю и, что и путь w~s(pt, v). Следовательно,
wy =^s{pu v) и потому
s (Ро, и) • Щ = s (а,, и) ¦ s (/?!, v) =
(см. вторую из формул (9)). Значит,
]
= s(p0,
и потому
d([и] • [у]) = (бу)-1 = y"^ = d [и] • d [о]. D
(Ср. вычисление группы n1(S1, р0) в лекции 3.)

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ 69
Пусть я: <§—* S3— произвольное отображение.
Определение 3- Говорят, что непрерывное отображе-
отображение /: % —т ИЗ поднимаемо (относительно л), если сущест-
существует такое непрерывное отображение g: 3? —> <?, что
— f, т. е. если диаграмма
коммутативна. Отображение g называется поднятием (или
лифтом) отображения /. Говорят также, что g накры-
накрывает /.
При SC — I, т. е. когда /—путь в 93, поднятие g
является не чем иным, как накрывающим путем. При
%сЗЗ поднятия вложения 3? —--93—это сечения отобра-
отображения я над SC.
С другой стороны, в интерпретации отображения я
как расслоения (см. лекцию 1) его поднятия—это в точ-
точности морфизмы над S3 расслоения / в расслоение я.
Мы будем исследовать задачу о поднятии отображе-
отображения / для случая, когда отображение я: ё —> S3 является
накрытием.
Задача 1. Докажите, что если пространство SP
связно, пространство 93 хаусдорфово, а отображение п:
S —- 93 является накрытием, то для любого отображе-
отображения /: SC' —>¦ S3 и любых точек x^SC и р0?<?, связанных
соотношением
/(*о) = я(Л).
может существовать не бочее одного отображения g:
Ж —+?, накрывающего отображение f и такого, что
g(x<t) — Po- (Теорема о единственности накры-
накрывающего отображения.)
[Эта теорема является обобщением теоремы о единст-
единственности накрывающего пути (см. теорему 1 лекции 2) и
доказывается почти дословно так же. Впрочем, если пред-
предполагать пространство SV линейно связным, то можно
не повторять доказательства, а, выбрав для любой точки
х $ SC путь их, соединяющий точку х0 с точкой х, и заме-
заметив, что путь goux накрывает путь foux, просто сослаться
на теорему о единственности накрывающего пути.]
Вопрос о существовании поднятия значительно сложнее
и деликатнее.

70 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИИ
Напомним (см. пример 7 лекции 2), что для любого
топологического пространства SC и любой его точки х0
формула
определяет расслоение в смысле Гуревича
р: 53 (*„, SC) -> Z.
Эта конструкция перестановочна с непрерывными отобра-
отображениями (естественна в смысле теории категорий), т. е. для
любого непрерывного отображения f:&—>-58 имеет место
коммутативная диаграмма
54*0, SC)^SC
A3) ,.J J,
где yo=f{xo).
Так как р(еХо) = лг0, где, как всегда, eXt—постоянный
путь в точке х0, то расслоение р индуцирует отображение
A4) ро: 3> (еХв, 5» (х0, Г}) — 5> (дц,, Л1),
переводящее каждый путь w: I—>-^(х0, SC) пространства
5*(^oi X) в путь родо: ^|-».ш@A), <€Л пространства X.
Отображение A4) не надо путать с отображением
р: $»(*„, 5» (*
которое путь до: I-^9i(x0, SC) переводит в путь доA):
Ti—*-wA)t, tg/, пространства ^* и, вообще говоря,
отлично от отображения A4).
Интересно, однако, что оба отображения ро и р дош/-
скают одно и то же сечение, т. е. существует такое
отображение
A5) #: *> (а-о, JT) -* 5» (в,., 5s (^0, Я),
что для любого пути ы б 5s (x0, SC) имеют место равенства
A6) роы# = ы и р(и*) = м, где и#=#{и).
Отображение A5) задается формулой
где и€^(л:, ^).
Лемма 1. Пусть я: ?—>-33—произвольное расслоение
в смысле Гуревича. Тогда для любого непрерывного отобра-

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ 71
жения f: SC —<- 93 и любой точки xo€& существует
отображение h: Р (х0, ЗС) —>- <?, замыкающее коммутатив-
коммутативную диаграмму
Р{х0, &)—-+?
A7) pi In
т. е. такое, что
Доказательство. Выбрав точку ро?&, удовлетво-
удовлетворяющую соотношению f{x{t) — n(p0), мы для любого пути
и € & (^о. X) положим
где s: Cocyljt —»-5i(^1) — произвольное сечение отображе-
отображения я,: 5*(<?) —»-Cocylя, t/1—*-(f @), nov) (см. лекцию 2).
Тогда
Из коммутативности диаграммы [A7) вытекает, что
диаграмма
(
-1 ,. I"
5s (Я1) -$»(&„ 5В)
также коммутативна. Поэтому в силу первого из ра-
равенств A6) будет коммутативна и диаграмма
(р
I f. ¦
т. е. для любой петли и ? 5* (х0, ^") будет иметь место
равенство
A8) fou = nohou#, u# =#(«).
В частности, равенство A8) имеет место для каждого
накрытия я: & —> $}.

72 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ
Имея это в виду, рассмотрим два пути и, v €Р(х0, ?С),
кончающиеся в одной и той же точке, т. е. такие, что
Тогда определен путь uv~l, являющийся петлей прост-
пространства SC в точке х„. Предположим, что в накрывающем
пространстве ? существует такая петля w в точке рв,
что петля
пространства $ гомотопна петле лоау. Тогда
A9) fou~(now)(fov),
и, значит (см. формулу A8))
ло/юы* ~ (now)
т. е.
no(hou#) ~ я
Поскольку для любого накрытия л: S —- ffi отображение
я,: [u]i—[]
является, как мы знаем, мономорфизмом, отсюда следует
(рассмотрите петлю (Аоы#)(ш-(Лоу#))~1), что
hou* ~w-(hov*).
Но гомотопность путей, в частности, предполагает, что
концы этих путей (так же, как, конечно, и начала) сов-
совпадают. Поэтому
р(Лоы*) = p(w(hov#))=- p(ftoy#);
откуда следует—в силу коммутативности диаграммы A3)
для отображения h, — что
А (Р («*)) = А (р (»•)),
т. е. (см. вторую формулу A6)) что А(«) = А(и).
Тем самым нами доказана следующая лемма:
Лемма 2. Если в диаграмме A7) отображение л:
?—i~!B является накрытием и если для путей и, v?
^^(х0, •#"), удовлетворяющих соотношению
существует такая петля w € Q?, что имеет место

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ 73
гомотопия A9), то
А(и)= А(о). ?
Заметим, что существование петли w заведомо обеспе-
обеспечено, если для гомоморфизмов
/,: я^ЯГ, дс^ — яД®, Ьо) и л,: я^, Ai)—"M^. &„)
фундаментальных групп, индуцированными непрерывными
отображениями / и л, имеет место включение
B0) Im/.clmn,.
Пусть теперь пространство 3" линейно связно. Выбрав
для каждой точки x?& путь их, соединяющий точку х0
с точкой х, мы определим отображение g: 3C —+&, положив
?(*) = М"*)-
[Таким образом, чтобы построить отображение g, надо,
выбрав для каждой точки х?.% путь их, рассмотреть
путь mf°ux, построить для этого пути начинающийся
в точке р0 накрывающий путь s(p0,foux) и взять его
конец s(potfoux)(l).]
Согласно только что сделанному замечанию и лемме 2,
если имеет место включение B0), то это построение
корректно (точка g(x) не зависит от выбора пути их).
По построению g{xo) = po, A = gop, и значит
Яо?Ор = ЛоА — /о р.
В силу надъективности отображения р отсюда следует, что
= f, т. е. диаграмма
коммутативна.
Однако это еще не означает, что отображение g является
поднятием отображения /, поскольку, вообще говоря, это
отображение может и не быть непрерывным. Чтобы найти
условия, обеспечивающие непрерывность отображения g —
и значит тот факт, что оно является поднятием отображе-
отображения /,— мы напомним (см. лекцию 1), что непрерывное
отображение р: 5s —> & называется эпиоморфным, если
множество UcSC открыто тогда и только тогда, когда
открыто множество p~4Jc!P.

74 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ
Лемма 3. Пусть в коммутативной диаграмме
B1) Я} yf
отображение h непрерывно, а отображение р эпиоморфно.
Тогда отображение g непрерывно.
Доказательство. Так как диаграмма B1) комму-
коммутативна, то
для любого множества Uc<B. С другой стороны, если
множество U открыто, то в силу непрерывности отобра-
отображения h множество А~Ч/ также открыто. Таким образом,
для любого открытого множества Uc$ множество g'W
обладает тем свойством, что множество p~1(g~1U) открыто.
Поэтому в силу эпиоморфности отображения р множество
g'W открыто. Следовательно, отображение g непре-
непрерывно. П
Определение 4. Топологическое пространство 3? мы
будем называть удобным, если оно линейно связно и для
любой точки х0 ? •#*—очевидно, надъективное—отобра-
надъективное—отображение
эпиоморфно.
В силу леммы 3 для такого пространства 3? построен-
построенное выше отображение g непрерывно.
Тем самым нами доказана следующая теорема:
Теорема 1. Пусть п: <?—+33—произвольное накры-
накрытие, Зу—удобное топологическое пространство и
— непрерывное отображение. Если существуют такие
точки хо?3? и /?0€©i что f{xo) = n(po) и имеет место
включение B0), то отображение f поднимаемо. При этом
существует поднятие
g: 3T-+S
отображения f, для которого g(xo) = po. Если прост-
пространство хаусдорфово, то поднятие g единственно. П
Заметим, что условие B0) необходимо для существования
поднятия g. Действительно, если f=nog, то /« = я. og

СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ 75
и потому
n,. D
Задача 2. Покажите, что если условие B0) выпол-
выполнено при одном выборе точек х0 и р0, то для любой точки
*о € % существует такая точка р'а ? <?, удовлетворяющая
соотношению / (х'о) — я (р'о), что условие B0) выполнено для
точек х'о и р'о, т. е. имеет место включение
(Заметим, что принять здесь за р'о любую точку прост-
пространства $, удовлетворяющую соотношению f(x'o) — я (р'о),
вообще говоря, нельзя.)
Следствие. Для любого накрытия я: & —*33 и любого
односвязного удобного пространства X каждое непрерыв-
непрерывное отображение f: SC —* S3 поднимаемо. Для любых то-
точек x^SC, A>?<?i удовлетворяющих соотношению f(x0) =
= я (/?„), существует поднятие g: & —»? отображения /,
для которого g(*0) = /V Если пространство 93 хаусдор-
фово, то это поднятие единственно.
Доказательство. Достаточно заметить, что при
ях (^", д:0) = 1 условие B0) автоматически выполнено. D
Это следствие (а иногда и сама теорема 1) называется
принципом (или теоремой) о монодромии.
На нем основывается бессчетное число разнообразных тео-
теорем существования в геометрии и анализе. Как мы увидим
в следующей лекции, оно играет существенную роль и
в собственно теории накрытий.
Для пространств SC, не являющихся удобными, теорема
о монодромии, вообще говоря, не верна.
Пример 1. Пусть S3 — подмножество плоскости R*,
состоящее из окружности х1 -f у2 = 1, полуокружности
(#—2J + «/а=1, г/<0, и отрезков, соединяющих точку
A, 0) со всеми точками вида C, l/п), п= 1, 2, ... Пусть,
далее, $ — результат объединения множества S3 с мно-
множеством, ему центрально симметричным, а %—множество,
получающееся из множества ? заменой полуокружности
(л:—2)а + г/2 = 1, г/<0, и полуокружности, ей симметрич-
симметричной, на полуокружность (л;—1J-(-1/* = 4, у^О, и симмет-
симметричную полуокружность. Пусть, наконец, я: g —<¦ S3 и /:
% -^33—отображения, при которых окружность х2 + у* — 1
дважды наматывается на себя (при неподвижной точке
р„ = A,0)), отрезки отображаются на соответствующие
отрезки изометрично, а полуокружности из $ и SC гомео-

76 СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ПОДНЯТИЙ
морфно отображаются на полуокружность из 33. Легко
видеть (докажите!), что оба эти отображения являются
накрытиями. Отображение же g: %—* $ (единственное!),
удовлетворяющее соотношению nog = f и оставляющее на
месте точку A, 0), тождественно на окружности хг — у2-=\
и всех отрезках, но нижнюю правую полуокружность из SC
оно отображает в верхнюю левую полуокружность из &
(а верхнюю левую—в нижнюю правую). В частности, точку
C, 0) из SC оно отображает в точку (—3, 0) на <?. Поскольку
концы правых отрезков сходятся в & и в <8 к одной
и той же точке C, 0), это означает, что в точке C, 0)
отображение g терпит разрыв. Следовательно, для отобра-
отображения f непрерывного поднятия g, переводящего точку
A, 0) в себя, не существует. Вместе с тем условие B0)
здесь, как легко видеть, выполнено (докажите!).
Этот пример принадлежит Зиману.
Задача 3. Покажите, что для всех трех пространств SC, <R и
;ЗЭ из примера 1 вложение окружности индуцирует изоморфизм фун-
фундаментальных групп. Таким образом, фундаментальная группа каж-
каждого из этих пространств является бесконечной циклической группой
с образующей i, являющейся гомотопическим классом петли, одно-
однократно обегающей окружность. Покажите, что оба гомоморфизма
фундаментальных грулп лг {%, р0)—«-я^'Я, р0) и Пг (<§, р„)—>
—*-Jii(%j, Po). индуцированные накрытиями /ил, действуют по фор-
формуле I" к-> 1*я.
Обратим внимание, что в примере Зимана прост-
пространство X локально линейно несвязно. (У точек C, 0) и
(—3, 0) все достаточно малые окрестности линейно не-
несвязны.) Это не является случайностью.
Предложение 4. Любое связное и локально линейно
связное пространство SC удобно.

УДОБНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77
Доказательство. Как мы знаем (лекция III. 11),
пространство % линейно связно. Поэтому надо лишь дока
зать, что для любой точки ха ? X отображение р:
& (лг„, SC) —- SC эпиоморфно. Мы докажем даже большее,
¦г именно (см. задачу 1 лекции 1), что отображение р
открыто.
Пусть и0—путь в S, начинающийся в точке х0. Для
произвольной окрестности W пути иа в пространстве
3>(х0, SC) нам надо доказать, что точка р("о) = иоA)
является внутренней точкой образа pW окрестности W
при отображении р. При этом ясно, что это достаточно
сделать лишь для окрестностей вида
W = Р (х„ JT) n <tf i, f/i> П • • • П <Кп, ?/„>,
где Ki, • •., Кп—компактные (= замкнутые) подмножества
отрезка /, а (/„ ..., Un—открытые множества прост-
пространства SC. (Напомним, что символом </С, U> мы обозна-
обозначаем множество всех путей и: !—>¦&, для которых
u(K)<=U.)
Без ограничения общности мы можем считать, что мно-
множества Кх, ..., Кп занумерованы так, что для некото-
некоторого т, 0 ^ т < п, имеют место соотношения
(Равенство т = 0 означает, что 1 ^/С,- для всех i, а ра-
равенство т=п—что 1 € К/ Для всех t.) Тогда ыоA) ? ?/г п ...
... П t/m' и значит, существует линейно связная окрест-
окрестность V точки р(и0) = и0 A), содержащаяся в Их П ... Г) Um.
(При m = 0 за окрестность V принимается произвольная
линейно связная окрестность точки р(и0).) Выберем число ?в,
О < t0 < 1, так, чтобы отрезок [t0, 1] не пересекался с мно-
множествами Кт+1, ..., К„ и чтобы для любого t, <0< *< 1,
имело место включение ut{f)?V. Ясно, что это всегда
можно сделать.
Выбрав теперь для любой точки x?v путь vx в v,
соединяющий точку ыоA) с точкой х, рассмотрим путь
их?!р(х0, X), определенный формулой
[ и@, если 0 <*<*„
Легко видеть, что ux$W, т. е. ux(t)^Uit когда
х = 1, ..., л. (Если i=l, ...,m и f^/C,-, то

78 УДОБНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
= «(<)€*// при ()<*<*„ и M0 =
при ?„<!*<; 1. Значит, в обоих случаях ux(t)€Ut. Если же
i = m-\-\, ..., п и f ?К;,то непременно 0^ t <: t0и потому
ux(t)~u(t)^Ui.) Поскольку, очевидно, р(их) = х, этим
доказано, что VcpW, и значит, точка р(и0) является
внутренней точкой множества pW. D
Таким образом, принцип монодромии применим к лю-
любым связным и локально линейно связным пространствам SC.
Следствие. Для каждого связного, локально линейно
связного и односвязного подпространства SC<z3i и любых
точек bo€&, PoC^i удовлетворяющих соотношению
я (Ро) = х0, произвольное накрытие я: ? —> 53 обладает
сечением s: X~>¦<§, для которого s(bo) = po. Если прост-
пространство 3i хаусдорфово, то сечение s единственно.

Лекция 5
Полулокально односвязные пространства.— Существова-
Существование односвязных накрытий.— Условие изоморфности двух
накрытий.— Универсальные накрытия.— Вспомогательная
лемма.— Теорема классификации накрытий.—Группа
автоморфизмов накрытия.— Регулярные накрытия.— Вве-
Введение гладкости.
Вычисление фундаментальной группы данного прост-
пространства 33 с помощью предложений 2 и 3 лекции 4 пред-
предполагает умение строить односвязные накрытия этого
пространства. На практике такого рода накрытия обычно
строятся на основе конкретных свойств пространства 33,
но для теоретической оценки силы этого метода нужно
иметь достаточно общий способ их конструирования, хотя
бы на практике и не применимый.
В первую очередь мы укажем простое условие на
пространство 33, необходимое для того, чтобы оно было
односвязно накрываемым.
Определение 1. Топологическое пространство 33 на-
называется локально односвязным, если каждая его точка Ьо
обладает фундаментальной системой окрестностей, состоя-
состоящей из односвязных окрестностей (т. е. таких линейно
связных окрестностей U, что nt{U, b0) — 1). Пространство 33
называется поле/локально односвязным (или микроодносвяз-
ным), если оно может быть покрыто открытыми множест-
множествами U, обладающими тем свойством, что для любой
точки b?U каждая петля «?Й(?/, Ь) гомотопна в 33
постоянной петле еь (т. е. такими, что для любой точки
b ? U образ группы лх (U, Ь) в группе ях C3, Ь) при гомо-
гомоморфизме, индуцированном вложением U —<¦ 33, тривиален;
для сокращения речи мы будем называть такие мно-
множества U односвяэными в 33).
Ясно, что любое подмножество односвязного в 33 мно-
множества U односвязно в 33. Поэтому в полулокально
односвязном пространстве 33 каждая точка обладает фунда-
фундаментальной системой окрестностей, состоящей из одно-
односвязных в 33 окрестностей, а если пространство 33 еще
и локально линейно связано, то эти окрестности можно
считать линейно связными.
Конечно, каждое локально односвязное пространство
полулокально односвязно. Кроме того, так как шар В",
как мы знаем, односвязен (см. пример 7 лекции 2), то

80 ПОЛУЛОКАЛЬНО ОДНОСВЯЗНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
любое многообразие локально (и, значит, полулокально)
односвязно.
Предложение 1. Любое связное, локально линейно
связное и односвязно накрываемое пространство 93 полу-
полулокально односвязно.
Доказательство. Пусть я: <? —>¦ 53—односвязное
накрытие пространства 53 и пусть U—произвольное ровно
накрываемое открытое подмножество пространства 53.
Предложение 1 будет, очевидно, доказано, если мы пока-
покажем, что для любой точки Ьо € U каждая петля и ? й (U, о)
гомотопна в & постоянной петле еЬл.
С этой целью, произвольно выбрав точку /?0€"(^o)»
рассмотрим окрестность V точки р0, ровно накрывающую
окрестность U. Так как отображение n\v: V —* U является,
по определению, гомеоморфизмом, то в V определена петля
v = (n\v)~1ou,
а так как пространство <? по условию односвязно, то эта
петля гомотопна в <В постоянной петле еРл. Поэтому петля
и = я о v также гомотопна (в .53) постоянной петле. ?
Пример 1. Пространство &, являющееся прямым
произведением счетного семейства окружностей S1, оче-
очевидным образом, не полулокально односвязно. Поэтому
для него не существует односвязного накрытия.
Оказывается, что для хаусдорфовых пространств 53 это
необходимое условие также и достаточно.
Теорема 1. Любое связное, локально линейно связное
и полулокально односвязное хаусдорфово пространство Ы
односвязно накрываемо.
Чтобы догадаться, как можно доказать эту теорему,
мы предположим сначала, что односвязное накрытие
я: ^ —>¦ 33 существует. Тогда, выбрав точку ЬО€-53 и при-
применив лемму 1 лекции 4 к накрытию я: ? —+ 93 и тож-
тождественному отображению / = id: S3 —>¦ S3, получим отобра-
отображение g: 3*(b0, 93)—>-ё, являющееся поднятием отображе-
отображения р: ^F0, 53)-+93, т.е. такое, что диаграмма
коммутативна.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ 8l
Задача 1. Докажите, что отображение g надъективно и обла-
обладает тем свойством, что для путей и, v?5* (b0,33) тогда и только
тогда имеет место равенство g (и) = g (v), когда иA) = иA) и петля
uv~l пространства 33 гомотопна постоянной петле. [Указание.
По определению g{u) = s(p0, м)A).]
Утверждение задачи 1 означает, что пространство &
является—с точностью до топологии—факторпростран-
ством пространства 9" (b0, 33) по отношению эквивалент-
эквивалентности =, в котором u = v тогда и только тогда, когда
иA) = 1>A) и uv'1 ~ еЬл. Это подсказывает, что прост-
пространство <В можно пытаться определить как фактормно-
фактормножество пространства 9" (Ьо, 33) по отношению =s, наделенное
подходящей топологией. Так мы и поступим.
Доказательство теоремы 1. Пусть <?—мно-
<?—множество классов <ы> путей и €$*$<,, 33) по отношению
эквивалентности = и пусть п: <В —»¦ 33—отображение,
определенное—очевидно, корректно—формулой
я<и>=цA).
Для каждого открытого множества U с 33 и каждого
пути и: I—+53, соединяющего точку Ьо с некоторой точкой
из U, мы обозначим через <u, U> множество всех точек
из <8 вида <ыи>, где v—произвольный путь в U с началом
в точке и(\).
Таким образом, <ы'>?<ы, ?/> тогда и только тогда,
когда u'(l)?U и и'~ uv, где v—некоторый путь в V,
соединяющий точку ыA) с точкой ы'A). Но тогда, если
w—произвольный путь в U с началом в точке и'A), то
u'w ~ (uv) w ~ и {vw)
л, значит, <и'ш>€<«1^>. Это показывает, что <.u',U>c
с <и, [/> и, следовательно, по симметрии
(Напомним, что здесь и'—произвольный путь из 5s (b0, 33),
для которого <u'>€<Wi ?/>.)
Поскольку для любого открытого множества U', содер-
содержащего точку и(\), имеет место очевидное включение
<ы, ?/'> с <ы, U>, отсюда следует, что для любых двух
пересекающихся множеств <ы1( V\> и <и2, V\> вида <ы, 1/>
и любой точки <ыо> g <«!, Игу П <» ^а> имеет место вклю-
включение
<ы0, [/х П t/a> с <и„ (/^ П <и„ U2>.

82 СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ
Поэтому все множества вида <ы, ?/> можно принять за
базу некоторой топологии на ?. Снабдив ? этой тополо-
топологией, мы тем самым превратим ? в топологическое про-
пространство.
Если множество U линейно связно, то, конечно,
/> = U.
Поскольку по условию пространство S3 локально линейно
связно, это доказывает, что отображение я непрерывно
и открыто (заметим, что если я <ы> ? U, то <«> ? <и, ?/>).
Более того, если <«j>, <иа> ? <ы, ?/> и я <«t> = я <иа>,
то определена петля м^1, причем если иг ~ «i>i ии,~ «у2,
где Ох, у2—пути в U, то
где DjUj — петля в U. Поэтому если U односвязно в S
и, значит, v&i1 ~ еиа) в Si, то и^1 ~ еЬо, т. е. <и{> = <ы2>.
Это означает, что я биективно—и, значит, гомеоморфно,
отображает <м, ?/> на U.
Полный прообраз n~lU окрестности U при отображе-
отображении л состоит, очевидно, из всех множеств вида <ы, ?/>.
При этом, если два таких множества <ult t/> и <и2, f/>
пересекаются и <«„> € <«i» U> П <«2» ^>f то п0 доказан-
доказанному выше
Таким образом, для любого линейно связного и одно-
связного в 3} открытого множества U множество л~ги
является дизъюнктным объединением открытых множеств
вида <ы, 0>, каждое из которых гомеоморфно отображается
на U. По определению это означает, что множество V
ровно накрывается отображением я.
Поскольку такого рода множества U покрывают ло-
локально линейно связное и полулокально односвязное про-
пространство SB, это доказывает, что отображение л является
накрытием.
Чтобы завершить доказательство теоремы 1, нам осталось
доказать, что пространство S3 односвязно. Для этого нам
понадобится явное выражение для связности s в накрытии
я: <В —> S3 (в силу хаусдорфовости пространства S3—един-
S3—единственной).
Напомним (см. лекцию 3), что любой путь ы? 9*(Ь0, 38)
определяет по формуле

СУЩЕСТВОВАНИЕ ОДНОСВЯЗНЫХ НАКРЫТИЙ 83
некоторый путь и* в 5* F0, .53). Поэтому для любого t? I
в пространстве <8 определена точка <ы# (t)>.
Пусть to?f и пусть U—такое открытое множество
в 38, что u(to)?U, т.е. такое, что u#(t0)(\)?U. Тогда
в & определено открытое множество <ы# (*„), ?/>. Так как
путь и является непрерывным отображением, то сущест-
существует такое б > 0, что u(t)?U при \t—/0|<6. В част-
частности, это означает, что при /0 ^ t < t0 + б ограничение
и |t/0, tj пути и на отрезке (Yo, t] является путем (обобщен-
(обобщенным) в 0. Поскольку путь и# (t) составлен, очевидно, из
перепараметризированных путей и* (t0) и и |[<0, <]t отсюда
следует, что
<и#
Задача 2. Докажите, что это включение остается в силе и при
Это доказывает, что отображение t »—»•<«#(/)> непре»
рывно, т. е. является путем в <?.
Этот путь начинается в точке ро=^ <е,,0> и проекти-
проектируется в путь
т. е. в путь и. Следовательно—в силу единственности
накрывающего пути—он является накрывающим путем
s(po» и), в который связность s: Cocyl я —> 9* (<?) накрытия
п: ? —+ 3i переводит пару (р0, п). Таким образом, мы
доказали, что связность s накрытия л: ? —с ^ опреде-
определяется формулой
A) 8(р„и)@ = <и*@>, ^€/.
Пусть теперь ew^Q^, yt?0) — произвольная петля про-
пространства ? в точке р0. Рассмотрим петлю u — now про-
пространства Si. Так как ы#A) = ы, то согласно формуле A)
накрывающий путь s(p0, и) соединяет точку р0 с точкой <ы>.
С другой стороны, в силу единственности накрывающего
пути должно иметь место равенство s (/?„, и) = w. Следо-
Следовательно, <ы> = о>A) = р0 и, значит, петля ы гомотопна
в 58 постоянному пути еЬо.
Этим доказано, что я» [w] — е в группе щ (,©, Ьо) и по-
потому— поскольку гомоморфизм я, является (см. лекцию 3)
мономорфизмом,— что [w] — e в группе я^^1, р0). Следо-
Следовательно, я1(?, ро)=1. ?

84 УСЛОВИЕ ИЗОМОРФНОСТИ ДВУХ НАКРЫТИП
Теперь мы уже можем более или менее вплотную при-
приступить к задаче описания всех накрытий данного связного
пространства 9i.
Пусть пока пространство 33 лишь локально линейно
связно и хаусдорфово и пусть ? = (<?, я, 33)— произвольное
накрытие пространства 33. Как мы знаем (см. лекцию 4),
для любой точки Ро€<? отображение я индуцирует моно-
мономорфизм
(я.)л: MtflPo) —МЯ. bo)
группы ^{0, р0) в группу п1(^,Ь0), где Ь„ = л(р0).
Определение 2. Образ 1т(я«)л мономорфизма ()^
мы будем называть группой накрытия ? в точке р0 и будем
обозначать его символом GRj,^).
Подчеркнем, что группа накрытия по определению явля-
является подгруппой группы я^З.Ь,,). Как абстрактная группа
эта группа изоморфна группе я^^, р0).
Накрытие ? тогда и только тогда односвязно, когда
роШ^ФЬ гДе е> как всегда, единица группы п^{33, Ь„).
Далее, мы знаем (см. лекцию 4), что для любого пути и
пространства <?, соединяющего точку р0 с некоторой точ-
точкой рп проектирующейся в ту же точку Ьо ? $ (т. е. ле-
лежащую в слое <Ffti = n~lF0) накрытия ? над точкой Ь„),
имеет место коммутативная диаграмма
Ф
"i (<?. pi) -Z "i (<^. Ро)
горизонтальные стрелки которой представляют собой изо-
изоморфизмы. Следовательно, нижний изоморфизм ф„ этой
диаграммы—являющийся, заметим, внутренним автомор-
автоморфизмом группы я^^, Ьо)—переводит подгруппу GR^J;) =
= 1т(я,)я, в подгруппу GRp,(E) = Im(n,)w
[Заметим, что, так как пространство $, будучи одно-
одновременно с пространством ИЗ локально линейно связным,
линейно связно, то хотя бы один путь v существует для
любой точки р, слоя <Fbr..}
В теории групп две подгруппы Г„ и Гх группы G на-
называются сопряженными, если существует внутренний
автоморфизм группы G, отображающий подгруппу Го на
подгруппу 1\.

УСЛОВИЕ ИЗОМОРФНОСТИ ДВУХ НАКРЫТИЙ 85
В этой терминологии доказанное утверждение означает,
что группы накрытия 5 в различных точках слоя ?Ьй
сопряжены.
При этом легко видеть, что если подгруппа Г группы
яхE3, Ьп) сопряжена с подгруппой GRP<>A), то существует
такая точка Pi€<F[,0, что
B) GR,,(g) = r
Действительно, если это сопряжение осуществляется
внутренним автоморфизмом, индуцированным элементом
[«] € nt (S, Ьо), то равенство B) будет, очевидно, иметь
место для конца p1~v(\) пути v = s(pa, и), начинающегося
в точке р0 и накрывающего путь и. О
Таким образом, мы видим, что все группы GR0o(?),
Ро € ^ь» составляют класс сопряженных подгрупп группы
яЛЯ, к).
Мы будем обозначать этот класс символом GR (?).
Класс GR (?) вполне может состоять из одной группы.
Так будет тогда и только тогда, когда подгруппа GR^d)
инвариантна (является нормальным делителем). В этом
случае мы будем отождествлять GR (?) с GR,,^). В част-
частности, равенство GR (?) =¦ {е} будет означать, что
GR^(I) = {е}, т. е. что накрытие 5 односвязно.
Пусть До и At—два класса сопряженных подгрупп
некоторой группы G. Говорят, что класс До подчинен
классу А! и пишут Ао ^ А1? если для некоторой (а значит,
и для любой) подгруппы Го класса Ао существует такая
подгруппа 1\ класса А,, что Го с Гх.
Теперь мы можем сформулировать и доказать необхо-
необходимое и достаточное условие существования для двух
данных накрытий | и ?' пространства 3? хотя бы одного
морфизма ?—>¦ ?' над й.
Предложение 2. Для накрытий ? = (<?, я, S) и ^'=
= (<§', я', 58) связного и локально линейно связного про-
пространства 3i тогда и только тогда существует хотя бы
один морфизм
&'
когда GR(|)<GR(|')-
Доказательство. Если морфизм <р существует, то
для любой точки р0 ? aF6o имеет место коммутативная

86 УСЛОВИЕ ИЗОМОРФНОСТИ ДВУХ НАКРЫТИЙ
диаграмма гомоморфизмов групп
-
где Ро = ф(ро). т. е. выполнено равенство (п[)р- оф, = (п,)р<).
Поэтому
т.е. GR,,F)cGRpi(E).
Обратно, пусть существуют такие точки р0 ?
Р'<>е&"ьо, что
C) '
Так как каждый морфизм <р: !—••?' является не чем иным,
как поднятием отображения п по отношению к отображе-
отображению л', а необходимое и достаточное условие существова-
существования поднятия из теоремы 1 лекции 3 состоит в этом
случае как раз во включении C), то согласно этой теореме
существует—единственный, если пространство 33 хаусдор-
фово—морфизм «р: ?—*?', для которого ф(ро) = Ро- (Про-
(Пространство <?> удобно в силу предложения 3 лекции 4 и
предположенной локальной линейной связности прост-
пространства 28.) ?
Определение 3. Мы будем говорить, что накрытие V
подчинено накрытию |, и будем писать ?>?', если
существует хотя бы один морфизм ? —> ?'.
В этой терминологии предложение 2 утверждает, что
&>?' тогда и только тогда, когда GR (?)< GR (?').
(Обратите внимание на то, что знаки неравенств здесь
обращаются.)
Заметим, что фактически нами доказано следующее
более точное предложение:
Предложение 2'. Пусть ?=(<?, п, 33) и I'=
— (<?', п', S3)—накрытия связного и локально линейно
связного пространства 93 и пусть ро€<^ и /?о€<?"—та-

УСЛОВИЕ ИЗОМОРФНОСТИ ДВУХ НАКРЫТИЙ 87
кие точки, что я (р0) = я' (р'о). Морфизм
для которого <f(Po) = p'o, существует тогда и только
тогда, когда
Если пространство 53 хаусдорфово, то морфизм <р
единственен. О
Следствие 1. Два накрытия Е и Е' над связным и
локально линейно связным хаусдорфовым пространством 59
тогда и только изоморфны, когда
D) GR(E) = GR(E').
Доказательство. Равенство D) означает, что для
любой точки ро?<§, проектирующейся в точку Ьо?53,
существует такая точка р'о ? ?', также проектирующаяся
в точку Ъй, что
E)
Но если равенство E) выполнено, то в силу предложе-
предложения 2' существуют такие морфизмы
ф: 6-* 5' и ф: Е' —Е.
что ф (р0) = р'о и i|) (р'о) = р0. Морфизм г|зоф: %—*l, подобно
тождественному морфизму id: Е—*.?, оставляет точку рй
на месте. Поэтому в силу единственности <фоф == id. Ана-
Аналогично доказывается, что фо-ф = id. Следовательно, мор-
морфизмы ф игр являются взаимно обратными изоморфизмами,
и накрытия 1 и Е' изоморфны.
Обратно, пусть накрытия 1 и Е' изоморфны и пусть
<р: ?—>¦ Е'—произвольный изоморфизм. Тогда согласно
предложению 2' для любой точки p0€aFft0 будет иметь
место включение
GRPo(E)cGRpi(E'), где р;-Ф(/>,).
С другой стороны, так как имеется обратный изоморфизм
Ф: Е'—»-Е и так как ф~1(Ро)=;Ро, то согласно тому
же предложению 2' имеет место и обратное включение
Поэтому для изоморфных накрытий Е и Е' равенство E)
выполнено. ?

88 УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ
Фактически нами также доказано более точное утверж-
утверждение:
Следствие /'• Изоморфизм ф: Е —> ?, для которого
Ф (Ро) — P»f существует тогда и только тогда, когда
в группе Л! (.53, Ьо) имеет место равенство E). ?
Накрытия из примера Зимана (см. пример 1 и задачу 1
лекции 3) показывают, что для локально линейно несвяз-
несвязных пространств это следствие неверно.
Следствие 2. Накрытие ? = (<?, п, 93) тогда и только
тогда тривиально {изоморфно накрытию ($3, id, 93)),
когда
Класс Л сопряженных подгрупп группы лх(93, Ьо) мы
будем называть реализуемым, если существует такое на-
накрытие 1 — (&, л, %)), что A = GR(?). Согласно следствию 1
классы изоморфных накрытий связного локально линейно
связного и хаусдорфова пространства 93 находятся в би-
биективном соответствии с реализуемыми классами сопря-
сопряженных подгрупп группы лДЙ, Ьо).
Тем самым, для полного описания всех накрытий
пространства надо лишь охарактеризовать реализуемые
классы.
Определение 4. Накрытие ?0 связного и локально
линейно связного пространства 93 называется универсаль-
универсальным, если \й~^\ для любого накрытия I пространства 93.
Пространство 93 называется универсально накрываемым,
если для него существует хотя бы одно универсальное
накрытие.
Согласно предложению 2 накрытие \0 тогда и только
тогда универсально, когда
F) GR(?0)<GR(?)
для любого накрытия \ пространства $i. Поэтому для
любых двух универсальных накрытий ?0 и ?i имеет место
равенство
и значит эти накрытия изоморфны. Таким образом,
с точностью до изоморфизма универсальное накрытие
пространства 93 единственно.
Кроме того, мы видим, что класс GR (?0) не зависит
от выбора универсального накрытия ?0 и однозначно

УНИВЕРСАЛЬНЫЕ НАКРЫТИЯ 89
определяется пространством SB. Мы будем обозначать его
символом GRC3)
Задача 3. Докажите, что класс GRE9) состоит из одной
подгруппы (автоматически инвариантной).
По определению условие
G)
необходимо для реализуемости класса Д сопряженных
подгрупп группы n^SB, bc).
Условие F) универсальности накрытия ?0 заведомо
выполнено, когда GR(?0) = {e}, т. е. когда накрытие ?0
односвязно. Следовательно, любое односвяэное накрытие
универсально, и значит односвязно накрываемые (т. е. —
в предположении хаусдорфовости — полулокально односвяз-
ные) пространства универсально накрываемы. Односвязно
накрываемые пространства 33 характеризуются при этом
равенством GR(S3) = {e} (и, значит, для них необходимое
условие G) реализуемости класса сопряженных подгрупп
всегда выполнено).
Замечание 1. Существуют связные и локально ли-
нейно связные—но заведомо не полулокально односвяз-
ные — хаусдорфовы пространства, для которых либо не
существует универсального накрытия, либо такое накрытие
существует, но не является односвязным.
Пример 2 и задача 4. Докажите, что для произведения
счетного числа окружностей не существует универсального накрытия.
Пример 3 и задача 5. Пусть .S—подпространство плоско-
плоскости, являющееся объединением счетного семейства окружностей вида
(8) ^„JLy+^J-, где „=1,2....
Докажите, что для 53 не существует универсального накрытия.
Пример 4 и задача 6. Пусть *& — конус над пространством
из задачи 5, т. е. подмножество пространства R', состоящее из всех
прямолинейных отрезков, соединяющих точку @, 0, 1) со всеми точ-
точками окружностей (8), и пусть #'—образ конуса % при центральной
симметрии лсi—*- — х пространства R8. Подпространство Щ=%\]%'
пространства R3, очевидно, связно и локально линейно связно. До-
Докажите, что
а. Пространство /53 не односвязно. [Указание. Рассмотрите
петлю, поочередно обегающую уменьшающиеся окружности в подпро-
подпространствах 'в и Й".|
б. Любое накрытие п: ? —>- "Я пространства 51 тривиально
(пространство fft ненакрываемо в смысле лекции 3). [Указание.
Подпространства # и $' пространства .^9 стягиваемы, откуда следует,
что накрытие л обладает над каждым из них сечением (поднятием

90 ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛЕММА
тождественного отображения), переводящим точку 0 в произвольную
точку соответствующего слоя.]
В силу свойства б тривиальное накрытие id: 33—t-33 универ-
универсально, а в силу свойства а это накрытие неодносвязно. Таким обра-
образом, пространство 33 доставляет нам пример связного, линейно связ-
связного и хаусдорфова пространства, обладающего универсальным, но
не односвязным накрытием.
Задача 7. Для каждого открытого покрытия U пространства ЬЗ
обозначим через [U] подгруппу группы Я1EЙ, Ь), порожденную го-
гомотопическими классами путей вида uvu*1, где и—произвольный
путь пространства 33, начинающийся в точке b0, a v—произвольная
петля в точке иA), для которой существует такой элемент U накры-
накрытия 11, что v(t)?U для всех t?l. Эта подгруппа, очевидно, инва-
инвариантна.
Докажите, что
а. Связное, локально линейно связное и хаусдорфово пространство 33
тогда и только тогда универсально накрываемо, когда существует
такое открытое покрытие Ио пространства 1j3, что для любого пс-
крытия U имеет ftecmo включение
W.]c[U].
б. В этом случае GR C3) = [Uo].
[Указание. Докажите, что для любого покрытия U сущест-
существует такое накрытие \ пространства 33, что GR(|) = [U]. Это—обоб-
щение теоремы 1.]
Мы решим задачу о характеризации реализуемых клас-
классов сопряженных подгрупп лишь для простейшего—но
практически единственно важного! — класса односвязно
накрываемых (=полулокально односвязных) пространств 33.
Для этого нам понадобится следующая простая лемма:
Лемма 1. Пусть в коммутативной диаграмме
О)
пространство ffi связно"и локально линейно связно, а ото-
отображения п: ? —»¦ .й и ф: ?—+<?' являются накрытиями.
Тогда отображение п': ?' —>¦ 33 также будет накрытием.
Доказательство. Если открытое множество Uс33
линейно связно, то утверждение, что оно ровно накрыто
отображением я: <? —>¦ 33, в точности означает, что все
компоненты линейной связности множества я^ открыты
и каждая из них гомеоморфно проектируется на U. При
этом, если пространство 33, а значит и пространство <?,
локально линейно связно, то требование об открытости
компонент линейной связности множества п~хи автома-

ВСПОМОГАТЕЛЬНАЯ ЛЕММА 91
тически выполнено, так как в локально линейно связном
пространстве каждая компонента линейной связности про-
произвольного открытого множества является открытым мно-
множеством (см. лекцию II 1.11).
Назовем открытое множество Uc!B отмеченным, если
оно линейно связно и каждая компонента линейной связ-
связности V множества (я')-1?/ ровно накрыта отображением
<р: <В —«¦ <В'¦ (Заметим, что пространство <?", будучи локально
гомеоморфным пространству <§, а значит и пространству Ъ,
локально линейно связно. Следовательно, компонента V
открыта в <6".)
Ясно, что отмеченные множества покрывают простран-
пространство .S (они даже составляют базу этого пространства).
Поэтому для доказательства леммы 1 достаточно показать,
что каждое отмеченное множество U ровно накрыто ото-
отображением я', т. е. — в силу только что сделанных заме-
замечаний—что на каждой компоненте линейной связности V
множества (n')~1U отображение я' является гомеоморфиз-
гомеоморфизмом на U.
Но это теперь почти очевидно. Действительно, пусть W —
произвольная компонента линейной связности множе-
множества ср^ Так как по условию отображение ф ровно на-
накрывает открытое множество V, то отображение ф | w'- W —>¦ V
является гомеоморфизмом. С другой стороны, так как,
очевидно, ф~1Кс:я~16г, то компонента W содержится
в одной из компонент линейной связности W множества
n'W. Множество q>W' содержится в множестве (n')~lU,
линейно связно и содержит множество q>W — V. Поэтому
yW' — V. Поскольку отображения я|ц?' = я'|уоф|^< и ф|^
являются гомеоморфизмами, это возможно только при
W — W. Значит, в коммутативной диаграмме
w
отображения n\w и ф[и/ являются гомеоморфизмами. По-
Поэтому отображение я' \v также будет гомеоморфизмом. ~!
Задача 8. Докажите, что если в коммутативной диаграмме (9)
отображения я: $—*58 и я': <§"—>.'В являются накрытиями,
а связное пространство 59 локально линейно связно и хаусдорфово,
то отображение ф: $ —> $' также будет накрытием. (Морфизм на-
крытий является накрытием.) (Предупреждение. Не забудьте
доказать надъективность отображения <р.)

92 ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ НАКРЫТИЙ
Замечание 2. Утверждение, что если отображе-
отображения я' и ф являются накрытиями, то отображение я
также будет накрытием, вообще говоря, неверно, т. е.
композиция двух накрытий может и не быть накрытием.
Задача 9. Покажите, что композиция л'оф: $ —> 53 накры-
накрытий ф: $—<¦ ?' и я': $'—<• 35 будет накрытием, если либо накры-
накрытие я': <?"—* 5? конечнолистно, либо пространство .Я—предпола-
.Я—предполагаемое, как всегда, связным и локально линейно связным — локально
односвязно. [Указание. Докажите, что любсе однссвязнсе открытое
множество Ucz33 ровно накрыто в каждом накрытии я: $—<¦ Зд-\
Изоморфизмы а: !¦— \ накрытия ? = (<?, п, 33) на себя
называются, естественно, его автоморфизмами (другие
названия—преобразования накрытия и скольжения). Они
составляют группу, обозначаемую символом Aut?.
По определению группа Aut? действует слева на про-
пространстве ?. Легко видеть, что это действие дискретно,
т. е. (см. пример 5 лекции 2) для любой точки р€<8
существует такая ее окрестность V, что aV n V -- 0 для
любого нетождественного автоморфизма agAutl. (Дейст-
(Действительно, за V можно, очевидно, принять любую окрест-
окрестность точки р, ровно накрывающую открытое множество
U —- я (V).) Поэтому дискретно действие и любой под-
подгруппы Г группы Aut?. При этом пространство орбит
$? включается в коммутативную диаграмму вида
*г
отображение ср которой является, как [мьГзнаем, накры-
накрытием. Поэтому в силу леммы 1 накрытием будет и инду-
индуцированное отображение
яг: <?г —"-53, Тр*->п(р).
Если теперь пространство <§ односвязно (т. е. одно
связно накрытие I), то согласно предложению 3 лекции 3
фундаментальная группа пространства <?г будет изоморфна
(или, точнее,— из-за того, что группа Г действует те-
теперь слева — антиизоморфна) группе Г. Таким образом,
если накрытие | односвязно, то для любой подгруппы Г
группы Aut 5 группа накрытия Ъг = (&г, лг, 53) анти-
антиизоморфна группе Г.
С другой стороны, для односвязного накрытия % группа
Aut 5 транзитивно действует на каждом слое ?ь, b

ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ НАКРЫТИЙ 93
этого накрытия, потому что для односвязного простран-
пространства <§ условие E) существования изоморфизма ? —«- \',
переводящего точку р0 в точку р'о, выполнено при ?' = |
для любых точек /?„ и р'й одного слоя. Следовательно, при
Г = Aut \ отображение яг биективно и потому, являясь
накрытием, представляет собой изоморфизм. Таким обра-
образом, действие группы Aut? на пространстве <В удовлет-
удовлетворяет всем условиям предложения 2 лекции 4 и, значит,
согласно этому предложению для односвязного накрытия i
группа Aut? изоморфна фундаментальной группе ^E3, Ьо)
пространства 3i в некоторой—произвольно выбранной\—
точке ЬО€-53.
Не обращаясь к предложению 3 лекции 3, изоморфизм
A0) /: Aut5 — ях (Я, К)
можно построить, если выбрать некоторую точку р0 ? §'ьа,
от которой зависит этот изоморфизм, и для любого авто-
автоморфизма а: ? —> ? положить
A1) /(«) = [яоо], <xeAut?,
где v—произвольный путь в пространстве^1, соединяющий
точку рй с точкой а(р0).
Задача 10. Убедитесь непосредственно, что
а) формула HI) корректно определяет некоторое
отображение A0) (не забудьте, что пространство ? по
условию односвязно);
б) это отображение является гомоморфизмом;
в) гомоморфизм A0) является изоморфизмом (здесь
понадобится предложение 2 и его следствие 1).
Группа GRrPo (?г) накрытия ?г = (<?г»Я)
состоит, по определению, из гомотопических классов [и]
петель и ? QS, обладающих тем свойством, что накрывающий
их в (?г путь с началом в точке Тр0 является петлей, т. е.
тем свойством, что накрывающий их в ? путь v с нача-
началом в точке р0 кончается в точке орбиты Гр0. Поскольку
такие пути v—это в точности пути в <?, соединяющие
точку р0 с точками вида а (р0), где а?Г, мы видим, что
В силу следствия 1 предложения 2 этим доказана
следующая теорема классификации накрытий,
которая и была нашей основной целью.
Теорема 2. Для любого связного, локально линейно
связного, полу локально односвязного (= односвязно накры-

94 ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ НАКРЫТИЯ
ваемого) хаусдорфова пространства ЭЬ имеет место биек-
биективное соответствие
A2) [6]«*GR(|)
между классами изоморфных (над 53) накрытий ? прост*
ранства S3 и классами сопряженных подгрупп фундамен-
фундаментальной группы зтДй), Ьо). О
Следствие I. Связное, локально линейно связное,
полулокально односвязное и хаусдорфово пространство
тогда и только тогда ненакрываемо (каждое его накры-
накрытие тривиально), когда оно односвязно. П
Следствие 2. Любое односвязно накрываемое хаус-
хаусдорфово пространство 33 гомеоморфно пространству
орбит 4>/Т, где <?>—односвязное накрывающее $ прост-
пространство, а Г—группа автоморфизмов накрытия ?—*¦$}.
Замечание 3. Теореме 2 можно придать большее
формальное совершенство, введя в рассмотрение пункти-
пунктированные накрытия, т. е. пары (?, р0), состоящие из на-
накрытия ?=(©. я, $}) и произвольной точки р0 € <?. Пунк-
Пунктированные накрытия (|, ра) и (?', р'о) считаются изоморф-
изоморфными, если существует изоморфизм q>: ? —<¦ ?', для кото-
которого фОгО — Ро (Для этого, конечно, необходимо, чтобы
точки р0 и р'о лежали над одной и той же точкой Ьо ? й).
Тогда классы изоморфных пунктированных накрытий будут
в биективном соответствии
A3) [&,, A,)]«*GRPo(?)
с подгруппами группы я^^, Ьо).
В этой форме теорема 2 аналогична основной теореме
теории Галуа полей. На этом основании соответствие A3)
(а также соответствие A2)) иногда называют соответст-
соответствием Галуа. [Аналогия с теорией Галуа здесь отнюдь
не формальна и в рамках современной абстрактной алге-
алгебраической геометрии теория накрытий и теория Галуа
выступают как специализации одной единой теории.]
Аналог изоморфизма A0) существует и для произволь-
произвольных накрытий | = (<?\ л, 53).
Задача 11. Как мы знаем (см. лекцию 4), группа
nt(S, b0) транзитивно действует справа на каждом слое
#"&„> &о€.й. произвольного накрытия ? = (<?, я, $). До-
Докажите, что это действие перестановочно с левым дейст-
действием группы Aut?, т. е. для любого автоморфизма а: 6 -+ ?',

ГРУППА АВТОМОРФИЗМОВ НАКРЫТИЯ 95
любого элемента у ? fti (93, b0) и любой точки р ? Fb, имеет
место равенство
[Указание. Если у = [и], где u?Q32, то py = s(p, u)(\),
где s—связность для ?.]
На языке теории представлений утверждение задачи 11
означает, что соответствие
A4) aH-*alfo0
определяет гомоморфизм группы Aut? в группу AutlF^
Jti(^, b^-автоморфизмов правого я, (S, &„)-пространства
<Fb0 (эквивариантных биективных отображений аГь0 —> «FO.
Задача 12. Докажите, что гомоморфизм A4) является
изоморфизмом группы Aut? на группу kwiS"*,„. [Указа-
[Указание. Мономорфность обеспечивается утверждением о един-
единственности из предложения 2, а для доказательства эпи-
морфности надо выбрать точку ро6^"б„. построить с по-
помощью предложения 2 для любого автоморфизма |3: «Гй,—*<?"&„
автоморфизм а: ? —>¦ 1, удовлетворяющий соотношению
а(А>) = Р(А>). и воспользоваться транзитивностью действия
группы п^®, Ьо).]
В теории представлений доказывается, что если группа G
транзитивно действует на множестве iF, то группа
Aut ? всех G-автоморфизмов этого множества изоморфна
факторгруппе NT/T, где Г—стабилизатор (стационарная
подгруппа) произвольной точки р0 € ?', состоящая из всех
элементов y$G, для которых РоУ^Р, a NT—нормализа-
NT—нормализатор подгруппы Г (наибольшая подгруппа, в которой Г
является нормальным делителем).
Действительно, в силу транзитивности действия группы G для
любого автоморфизма agAut^ существует такой элемент g?G, что
a(Po) = Pog- Так как из pogi = Ptgt следует, что pogigI1 = Po> т. е.
g]g^gr, то левый смежный класс Г# элемента g no подгруппе Г
не зависит от выбора этого элемента. Кроме того, если y^.t, то]
= a (Po) V = « (PoY) = « (Ро) = Pog,
и ооратно, если pogy = pog, то а (роу) = а (р0) у = (р^) y = ptg = a (p0),
и значит PoV = pn. т. е. 7€Г. Таким образом, 7€Г тогда и только
тогда, когда pogY = Pog. т. е. когда gygo1^. Это означает, что
r = g"Jrg, т. е. что g?NF. Следовательно, формула
A5) a t-> Tg
корректно определяет некоторое отображение Aut JF—> NF/Г. Если
a, ^gAut^" и a(po) = pog. Р(ро) = РоЛ. то (aof) (р0) = а (р0Л) =

96 РЕГУЛЯРНЫЕ НАКРЫТИЯ
= а (Ро) ^ — (Уо?) h — p0 igh)- Это означает, что отображение A5) яв-
является гомоморфизмом. Если Tg=T, т. е. g?T, то а(ро) = ро, и
значит a (pogi) = «(Ро) Bi — Pogi Для любого элемента gi ? О. Поскольку
группа G действует транзитивно, это означает, что a = id. Таким
образом, отображение A5) является мономорфизмом. Наконец, если
Pog^PtA' где g, h?G, т. е. если g/t~1pr, то (yg)(yh)~1^T, и зна-
значит poyg — poyh для любого элемента v € ^Г. Поэтому формула
где g—такой элемент группы G, что pog = p. корректно определяет
некоторое—очевидно, биективное и эквивариантное, т. е. являющееся
автоморфизмом G-пространства <f—отображение a: JF -+§г. Так как
по построению a(po) = PoY> T0 мономорфизм A5) является, следова-
следовательно, изоморфизмом.
Для подгруппы r=-GR,,e(?) группы zii(S, b0) фактор-
факторгруппа NT/T называется группой Вейля накрытия | в точ-
точке Роё^б,, и обозначается символом Weyl^,(Ъ). Таким
образом, мы видим, что для любого накрытия i — D>,n, $3)
связного, локально линейно связного и хаусдорфова прост-
пространства Si группа Aut \ изоморфна группе Вейля Weyl/?o (?)
накрытия \ в произвольной точке ро€^ьо-
В этом изоморфизме автоморфизму а: %—*¦% отвечает
смежный класс по подгруппе GR^^g) элемента V € ^i (ft, Ьо),
Ь0 — л(р0), являющегося гомотопическим классом петли
nov, где v—произвольный путь в ?, соединяющий точку р0
с точкой а(р0).
Для односвязного (= универсального) накрытия 5 это
снова дает уже известный нам изоморфизм (9).
В теории Галуа особую роль играют так называемые
нормальные поля, которым отвечают инвариантные под-
подгруппы. В теории накрытий им соответствуют накрытия 5,
для которых GR (?) является инвариантной подгруппой.
Такие накрытия называются регулярными. Группа авто-
автоморфизмов Aut ? регулярного накрытия изоморфна, оче-
очевидно, факторгруппе n^S, b^/GR^).
Задача 13. Группа автоморфизмов Aut? произволь-
произвольного накрытия ? = (^\ я, S), очевидно, действует слева
на каждом слое <ГЬл, Ь„?!В. Покажите—в обычных пред-
предположениях на пространство 3$—что накрытие \ тогда
и только тогда регулярно, когда это действие транзи-
транзитивно (для любых точек р0, рх € й^ь„ существует такой
автоморфизм а: §—>?', что а(ро) = р1). Выведите отсюда,
что каждое регулярное накрытие является главным рас-
расслоением (см. лекцию 1) с группой Aut?-

РЕГУЛЯРНЫЕ НАКРЫТИЯ
97
Задача 14. Докажите, что накрытие ?— (<?, л, 53)
тогда и только тогда регулярно, когда для любых точек
Ро. Pi 6 <^ьа и любой петли v пространства <? в точке р0
путь, накрывающий петлю nov и начинающийся в точке ри
также является петлей.
Пример 5. Пусть 53—крендель (ориентируемая по-
поверхность с двумя ручками; см. рис. А), а <?— поверх-
поверхность (см. рис. Б), получающаяся из трех кренделей
с рассеченными ручками при склеивании слева первого
и второго экземпляров кренделя, а справа—второго и
третьего; условно это склеивание может быть изображено
схемой
Ясно, что 8 линейно связно, и значит тройка ? = («?, я, SB),
где я: ? —> $ — естественная проекция, является накры-
накрытием. При этом путь, накрывающий петлю в S3, одно-
однократно обегающую параллель левой ручки, будет петлей
только тогда, когда он начинается на третьем листе. Сле-
Следовательно, это накрытие не регулярно.
Задача 15. Докажите, что группа ^автоморфизмов построенного
накрытия тривиальна, т. е. что единственным автоморфизмом этого
накрытия является тождественное отображение.
4 М. м. Постников сем. IV

98 ВВЕДЕНИЕ ГЛАДКОСТИ
Пример 6 и задача 16. Вычислите группу авто-
автоморфизмов накрытия кренделя, аналогичным образом полу-
получающегося склеиванием по схеме
и, в частности, покажите, что она транзитивно действует
на слоях (и, значит, это накрытие регулярно).
Пример 7. Как мы знаем (см. пример 5 лекции 2),
для каждого дискретного действия группы Г на прост-
пространстве <? тройка ? = (<?, я, ЭЗ), где 53 — &/Г—простран-
&/Г—пространство орбит, а п;.?—>-!В—естественная проекция р*—>Тр,
является накрытием. Для каждого элемента "\>€ Г отобра-
отображение Ly: р\-^ур является, очевидно, автоморфизмом
накрытия \. Поскольку группа Г транзитивно действует на
каждой орбите, это доказывает, что накрытие t регулярно.
Задача 17. Докажите, что соответствие у *-*¦ \\ явля-
является изоморфизмом группы Г на группу Aut?. [Указа-
[Указание. Пусть /?0€<$- Для любого автоморфизма (p?Aut!
имеет место равенство вида ф (р0) = урй, где у ? Г. Так
как ф (р0) = Ly (р0), то ф (р) = Ly (р) для любой точки р ? «?.1
Докажите также, что эквивариантные отображения ё —+®
(являющиеся, конечно, автоморфизмами накрытия I) соот-
соответствуют в этом изоморфизме элементам центра группы Г.
В своем месте нам понадобится следующее предложе-
предложение (ср. утверждение задачи 5 лекции 2):
Предложение 3. Если для накрытия я: ? —<- 3$ про-
пространство <§ является гладким хаусдорфовым многообра-
многообразием и если
а) накрытие регулярно;
б) его группа автоморфизмов состоит из диффеомор-
диффеоморфизмов, то на S существует единственная гладкость А,
по отношению к которой накрытие п: $—>¦$) гладко.
Доказательство. Как всегда, сначала докажем
утверждение о единственности.
Пусть гладкость А существует. Рассмотрим произволь-
произвольную ровно накрытую связную карту (U, h) в 38. Тогда,
если V—компонента прообраза п~Ю, то
A6) U = nV и А«Аоог,
где k-=-hon, a cr: U—+V—диффеоморфизм, обратный
к диффеоморфизму я: V—> V (сечение накрытия я над (У),

ВВЕДЕНИЕ ГЛАДКОСТИ 99
;-)то означает, что атлас на S3, состоящий из карт вида
(U, h), однозначно восстанавливается по атласу на ?, со-
состоящему из карт вида (V, k). Поэтому гладкость А един-
стненна.
Чтобы доказать ее существование, мы примем формулы
A6) за определение карт (U, h), т. е., точнее, на любом
связном ровно накрытом множестве Uc5/3, обладающим
тем свойством, что среди компонент V его прообраза zi~lU
существуют координатные окрестности многообразия $,
мы определим карту (U, К) формулой h = /гост, где k —
координатное отображение на V. Предложение 3 будет,
очевидно, доказано, если мы покажем, что любые две
карты вида (U, h) согласованы. При этом ясно, что согла-
согласованность достаточно доказать лишь для карт (U, h)
с одним и тем же U.
Другими словами, нам надо доказать, что если карты
(I', /г) и (Vlt ki) в & обладают тем свойством, что
1) имеет место равенство nV = nV1\
2) множество U — nV - nVt связно, ровно накрыто
отображением я и множества V и Vx являются компо-
компонентами его прообраза п~у11 (и, следовательно, отображе-
отображение п на V и Ух обладает обратными отображениями а:
то для отображений h: U —> R" и h^. U —>- R", определен-
определенных формулами
h — koa, A1 = ^1oCTJ,
композиция
является диффеоморфизмом. Ясно, что для этого доста-
достаточно доказать, что диффеоморфизмом является отображе-
отображение
С этой целью мы заметим, что в силу регулярности
накрытия я: <? —<-й существует его автоморфизм q>: <§—>¦
- ?, переводящий компоненту V в компоненту Vx. При
этом отображение фост будет сечением накрытия п: $ —*Si
над U, переводящим V в Vu и потому в силу свой-
свойства единственности сечений (см. следствие предложения 3
лекции 4) будет совпадать с отображением аг. Следова-
Следовательно,
CTiOJt =¦ ф \у.

100 ВВЕДЕНИЕ ГЛАДКОСТИ
Для завершения доказательства остается вспомнить, что
автоморфизм (р является, по условию, диффеоморфизмом. Г.1
Задача 18. Докажите, что группа автоморфизмов
произвольного гладкого накрытия состоит из диффеомор-
диффеоморфизмов.
Предложение 3 применимо, в частности (см. пример 7),
к накрытию вида <?~-*$/Г, где Г—произвольная группа
диффеоморфизмов многообразия 4>, дискретно действующая
на Г.
Следствие. Для любой группы Г диффеоморфизмов
гладкого связного хаусдорфова многообразия $, дискретно
действующей на ?, пространство орбит &/Y облада-
обладает естественной структурой гладкого многообразия,
по отношению к которой отображение факторизации
я: S
является гладким накрытием. Г

Лекция 6
Векторные расслоения. — Сечения векторных расслое-
н ий. — Морфизмы векторных расслоений. — Комплексные
и кватернионные структуры на вещественном векторном
расслоении. — Примеры векторных расслоений. — Расслое-
Расслоения ассоциированные с главными GL (п; Корасслоени-
Корасслоениями.—Склеивающие коциклы векторных расслоений.—
Векторные расслоения и классы когомологий матричных
коциклов.
Пусть К—либо поле IR вещественных чисел, либо
поле С комплексных чисел.
[Читатель может—и должен! — проверить, что все со-
содержание этой и следующей лекций ио существу дословно
сохраняется — несмотря на некоммутативность кватерни-
оиного умножения—и в случае, когда К является телом
кватернионов Н (о кватернионах см. лекцию 11.24, а
также ниже лекцию 9); следует лишь все множители
у векторов писать справа, т. е. рассматривать над Н
правые линеалы. (Для коммутативных полей IR и С раз-
различение левых и правых линеалов принципиального зна-
значения не имеет, но для некоммутативного тела N это уже
не так.) На этом основании мы в дальнейшем позволим
себе иногда рассматривать и случай К = Н. Кроме того,
когда это удобно, мы будем писать у векторов числовые
множители справа и при Kr=R или С]
Определение 1. Тройка \ — (<В, л, S3), состоящая из
топологических пространств ^,Яи непрерывного отобра-
отображения
A) л: «?-* SB,
называется векторным расслоением ранга п над К (при
К R—вещественным, при К —С—комплексным, а при
К Н—кватернионным или симплектическим), если
а) для любой точки Ь ? S3 множество
является линейным (векторным) пространством над К;
б) (условие локальной тривиальности) су-
существуют такое открытое покрытие {Ua} пространства S3
и такие гомеоморфизмы сра: UaxRn —»?и , где ?и _
(X. (X
--- п~1и„, что

102 ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
бх) для любой точки ф, х)^иаУ.^-п имеет место вклю-
включение ФаF, Jf)€eFf, (иными словами, коммутативна диа-
диаграмма
*
B)
в которой левая наклонная стрелка является естествен-
естественной проекцией [Ь,х)^*-Ь прямого произведения i/aXR"
на его первый множитель Ua, а правая—ограничением
на <?у отображения A));
б2) для каждой точки Ь?33 отображение
Фа. ft: R" —<ГЬ,
определенное формулой
1, X), JffelK",
является изоморфизмом линейных пространств.
В соответствии с общей терминологией лекции 1 про-
пространство 33 (обозначаемое также символами 93$ или 3i (Щ
называется базой векторного расслоения ?, пространство $
(обозначаемое также символами $$ или & (I)) — его тоталь-
тотальным пространством, а отображение л—(обозначаемое
также символами л& или я(?))—проекцией. Очень часто
I и я не различаются.
Линейное пространство йГь (обозначаемое также сим-
символами еГ| или <F|,(?)) называется слоем расслоения 5
(проекции я) над точкой b?33.
Ранг п векторного расслоения \ называется также
размерностью этого расслоения и обозначается символом
dim? (или сПтк?).
Гомеоморфизм <ра из диаграммы B) называется три-
виализацией расслоения ? над открытым множеством 0 а,
а открытое множество Ua — тривиализирующей окрест-
окрестностью. Иногда тривиализацией называется также пара
[Ua, Фа).
Покрытие {Ua}, состоящее из тривиализирующих
окрестностей, называется тривиализирующим покрытием.
Семейство {(Ua, фа)} тривиализаций {Ua, фа) называется
тривиализирующим атласом.

СЕЧЕНИЯ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ ЮЗ
Непрерывное отображение s: 53—*«?, удовлетворяющее
соотношению nos=id, называется сечением расслоения 1-.
Отображение s: 33 ~* <§ тогда и только тогда является
сечением, когда s(b)?!Fb для любой точки Ъ$.ЗВ, т. е.
когда оно выбирает в каждом слое оГь вектор s(b). На этом
основании сечения расслоения ? называются также ^-век-
^-векторными полями на 53.
Задача 1. Докажите, что
а) для любых сечении s, su s2 и любого элемента
X 6 К формулы
(s + s)(b)s1(b) + st(b),
Xs{b) fcl^'
определяют сечения sx 4- s2, A,s расслоения ? и относи-
относительно операций (s^ s2) i—>• s, -I s2, (X, s) *~* Xs множество Г|
arx сечений векторного расслоения § является линейным
пространством над полем К, нулем которого служит
пулевое сечение 0, сопоставляющее каждой точке Ь?ЭЗ
нуль линеала ffb;
б) для любой непрерывной К-значной функции / на 53
и любого сечения s ? Л; формула
определяет сечение /s^T?, и относительно операции
(/, s) I-* fs линеал Т\ является модулем над алгеброй Fk53
всех непрерывных К-значных функций на 53.
Для каждого подпространства Ucz 33 тройка (gv, пц, U),
где <§u---n'~'4J и Яу=л[,;, является, очевидно, векторным
расслоением. Оно называется частью расслоения ? над U
и обозначается символом ? | у.
Если ?/ является тривиализирующей окрестностью, то
каждая тривиализация ф: U х К" —> «Р^ определяет в Г (I | у)
сечения
C) su ..., sn,
действующие по формулам
Si{b)=><f(b, вг) sn(b)=-.(f(b, en),
где ех, ..., е„—стандартный базис пространства К". Так
как для любой точки b?U векторы Si(b), ..., sn(b) со-
составляют базис линейного пространства ?ь, то каждое

104 МОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
сечение s: U —* 4>и задает на U функции s\ ..., s":
U —*¦ К, удовлетворяющие для любой точки Ь ? ^ соотно-
соотношению
которое эти функции однозначно определяет.
Задача 2. Покажите, что функции s1, ..., s" непре-
непрерывны (принадлежат алгебре F* (?/)).
Поэтому в Fk (^У)-модуле Г E1 и) имеет место равенство
s — s% 4- ... 4- s"sB, s\ ..., s"€Fk(?/).
По определению это означает, что Fk (и)-модуль Г (?1 у)
является свободным модулем ранга п с базисом C).
Обратно, пусть U—такое открытое подмножество прост-
пространства Зв, что модуль Г (| | и) является свободным моду-
модулем ранга я, и пусть C)—его произвольный базис. Опре-
Определим отображение (р: U X R" —> <Вц формулой
Автоматическая проверка (проведите ее!) показывает, что
отображение ф является тривиализацией расслоения ?
над U.
Этим доказано следующее предложение:
Предложение 1. Открытое множество U<z.3& тогда
и только тогда является тривиализирующей расслоение I
окрестностью, когда РкA1)-м.одуль Г(||и) является сво-
свободным, модулем ранга п. При этом базисы C) этого
модуля находятся в естественном биективном соответ-
соответствии с тривиализациями ф расслоения | над V. О.
На основании этого предложения базисы C) модуля
Г(||v) мы также будем называть тривиализациями рас-
расслоения ? над U.
Соглашение. В дальнейшем тривиализации C) мы
будем также называть базисами модуля Г? над О. Эта
сокращенная терминология часто бывает удобна.
Пусть I = ((?, л, ZB) и ?' = (<$", л', 59')—два вектор-
векторных расслоения. Непрерывное отображение ф: ?>—+&'
называется послойным, если из того, что точки ръ pt?e
принадлежат одному слою (т. е. я (/?t) = n (р2)), следует,
что точки p'i-- 4>{pi), р'г '¦ ¦" ф (А>) также принадлежат одному
слою (т. е. п'(р[) = п' (pi)).

МОРФИЗМЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ 105
Задача 3. Докажите, что для каждого послойного
отображения ф: (§—»?' формула
корректно определяет непрерывное отображение
Ф: S3--* 28',
замыкающее коммутативную диаграмму
и для любой точки
ФЬ: ?ь^?ъ; &' = ф»,
индуцированное отображением' ф, непрерывно.
Определение 2. Послойное отображение ср, для кото-
которого все отображения ф,,, Ь^ЭЗ, линейны, называется
морфизмом векторного расслоения 5 в векторное расслое-
расслоение 1'. В записи: ф: %—*%'. При 28 = 58' морфизм ф, для
которого ф = Id, называется морфизмом над S3. Морфизм
над S3, являющийся гомеоморфизмом, называется изомор-
изоморфизмом. (Для такого морфизма ф обратный гомеоморфизм
ф: ?' —- <? также является морфизмом над 28—и, зна-
значит, изоморфизмом.) Расслоения \ и \' над S3, для кото-
которых существует хотя бы один изоморфизм i —+ V, называ-
называются изоморфными.
Изоморфизмы вида ? —»-1 называются автоморфизмами.
Задача 4. Докажите, что морфизм расслоений ф: 5-»• 5' над $
тогда и только тогда является изоморфизмом, когда для любой точки
Ь?58 линейное отображение ф;,: ^ь-*?ь является изоморфизмом
линейных пространств.
Множество всех морфизмов I —¦ V над S мы будем
обозначать символом Мог(|, I'). Оно является линейным
пространством над полем !< (даже при К"Н) и модулем
над алгеброй F53 относительно очевидным образом опре-
определяемых операций.
Каждый морфизм ф: ь —* ?' векторных расслоений над Si
определяет по формуле
epos, s?Tc,,

106 КОМПЛЕКСНЫЕ И КВАТЕРНИОННЫЕ СТРУКТУРЫ
линейное отображение
фо: Г5 — Г6'
линейных пространств сечений.
Так как для любой функции /?РкЙ?
(Фо/S) F) - Фь (/ (b) S (&)) - / ф) ф, (S F)) = f (фо8) F),
то отображение фо является РцЗЗ-линейным отображением.
Аналогично проверяется, что соответствие ф—хро опре-
определяет Fic^-линейное отображение FK^-модуля Мог(|, ?')
в Fk^-модуль HomF ^}(Г1, Г|') всех FK^-линейных отоб-
1ч
ражений Г5 -—*¦ Г?'.
Задача 5. Докажите, что любое Fji-53-линейное отображение
Г? -*¦ Г?' имеет вид фо для некоторого однозначно определенного мор-
физма ф: ?->-!'. [Указание. См. ниже предложение 3 лекции П.]
Это означает, что модули Мог(?, I') и Horn,. $(Tl, Tf)
естественно изоморфны и потому могут быть отождест-
отождествлены:
Мог(g, Г)«Нот,, я(Г?, П').
К
Подчеркнем, что это верно и при К = Н.
Если в вещественном векторном расслоении ? комплек-
сифицировать все слои еГь, то, очевидно, получится комп-
комплексное векторное расслоение того же. ранга, которое обо-
обозначается символом |с и называется комплексификацией
расслоения ?.
Аналогично, если в комплексном векторном расслое-
расслоении 5 овеществить все слои §Fb, т. е. в силу вложения
Re С считать их вещественными линеалами (см. лекцию
11.25), то получится вещественное расслоение вдвое боль-
большего ранга. Это расслоение называется овеществлением
расслоения 5 и обозначается символом |r. Операция умно-
умножения на i определяет на 5л автоморфизм /: 5r—*-5r,
удовлетворяющий соотношению
D) /» = —id.
Обратно, задание на вещественном расслоении т] ранга 2п
автоморфизма /: г| —> т|, удовлетворяющего соотношению D),
определяет на каждом слое этого расслоения структуру
комплексного линеала, по отношению к которой т) ока-

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ 107
зывается (проверьте!) комплексным векторным расслое-
расслоением I (для которого 5r = ii). Таким образом, комплексные
векторные расслоения—это в точности вещественные рас-
расслоения, для которых задан автоморфизм I, удовлетво-
удовлетворяющий соотношению D). (Ср. лекцию 11.25.)
На этом основании автоморфизмы /, удовлетворяющие
соотношению D), называются комплексными структурами.
Аналогично кватернионные расслоения—это вещест-
вещественные расслоения, на которых заданы два автоморфизма
/ и J, удовлетворяющие соотношениям
/• = — id, /а = —id, // = — Л.
(Третий автоморфизм К—отвечающий кватернионной еди-
единице k—вводить не нужно, так как он выражается через
автоморфизмы / и /.)
Примеры векторных расслоений
Пример 1. Для любого топологического простран-
пространства 33 и любого линейного пространства "У3 над полем К
тройка (.53 Х"^, я, 93), где я: S3 X У* —* 93 — проекция
прямого произведения на первый множитель, является
векторным расслоением. Тривиализирующее покрытие {?/«}
состоит для этого расслоения из одного элемента V— 93,
а тривиализация ф: .59хК"—>-!Bxf® определяется выбо-
выбором в У9 базиса eit ..., еп и задается формулой
Ф(Ь, х)- (Ь, а (х)), Ь?93,.х? R",
где а: f°—<- К"—координатный изоморфизм, отвечающий
базису elt ..., е„.
Это векторное расслоение обозначается символом 9^.
Оно—и каждое векторное расслоение, ему изоморфное,—
называется тривиальным векторным расслоением ранга п.
Согласно предложению 1 векторное расслоение | тогда
и только тогда тривиально, когда ?к(93)-модуль ТA)
свободен и его ранг равен рангу п расслоения ?.
Тривиализации ф векторного расслоения \ над откры-
открытым множеством /7с53 являются не чем иным, как изо-
изоморфизмами расслоения % на расслоение Ъ\и, а утверж-
утверждение, что U является тривиализирующей окрестностью,
означает, что расслоение 51 у тривиально.
Пример 2. Пусть SV—гладкое n-мерное многообра-
многообразие, Т^"—многообразие касательных векторов на ^ (см. опре-

108 ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
деление 3 лекции III.15) и я: 1SC—+&—естественная
проекция, сопоставляющая каждому вектору А ? Т.Ж" точку
р ? SC его приложения (т. е. такую, что А ? Чр%). По опре-
определению слоем п~1(р), р?&", проекции л является каса-
касательное пространство Тр& и каждая карта (U, h) много-
многообразия 3? определяет карту (TU, ТА) многообразия Т#\
для которой
и отображение ТА: IV —> (R8B задается формулой
(ТА) (А) -- (х\ .... х», а\ ..., а"), А € W,
где х1, ..., хп — координаты точки р = п(А) в карте
{U, К), л а1, ..., ап — координаты вектора А в базисе
пространства Тр$". Сейчас нам удобно заменить отобра-
отображение ТА отображением (A~1xid)oTA: Tf/ —»¦ i/x R", дей-
действующим по формуле
Ау->(р, а), р = п(Л), а = {а\ ...,ап).
Пусть
Фл:
— обратное отображение:
j
Отображение фл является гомеоморфизмом, замыкающим
коммутативную диаграмму
ти
т. е. является тривиализацией расслоения (TJ^, n, X)
над окрестностью U.
Мы видим, таким образом, что тройка х% — (Т$\ я, SC)
является векторным расслоением ранга п.
Расслоение т~ обозначается также символом
(или (^)

ПРИМЕРЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ 109
Это расслоение называется касательным расслоением
над многообразием 3". (Напрашивающийся термин «каса-
«касательное расслоение многообразия &», к сожалению, мало
приемлем, так как по-русски «расслоение многообразия Жъ
означает, что расслаивается само S?.)
Подчеркнем, что слоями я-1(р) касательного расслое-
расслоения %eg являются касательные пространства 1р% много-
многообразия SC.
Расслоение х<% является для нас руководящим приме-
примером, с которым мы будем соотносить все общие конструк-
конструкции теории векторных расслоений.
Многообразие ЗС% для которого расслоение х& три-
тривиально, называется параллелизуемым (ср. лекцию III. 16).
Для комплексно-аналитического многообразия X рас-
:лоение х<% является, конечно, расслоением над С, причем
где 3?r — многообразие X, рассматриваемое в силу отож-
отождествления C = R9" как вещественно-аналитическое мно-
многообразие (овеществление многообразия SC\ см. лек-
лекцию III.11).
Пример 3. (В этом примере предполагается, что чи-
читатель знаком с лекцией 1.) Матричное умножение
(Л, лг)|—».Лдг
квадратных матриц А порядка п на столбцы х высоты п
определяет—при условии, что векторы пространства К"
мы записываем в виде столбцов—действие полной линей-
линейной группы GL (п; К) на линейном пространстве К", явля-
являющееся линейным действием (в другой терминологии —
представлением). Это означает, что для любой матрицы
A?GL(n; К) отображение LA: x>-*Ax является линей-
линейным оператором (чтобы это действие было линейно при
К = Н и нужно считать К" правым линеалом). Поэтому
для любого главного GL(n; Корасслоения ? = (8, я, !В)
определено GL(n; Корасслоение 1 = 1 [Кп] с типичным
слоем К" и (см. формулу A2) лекции 1) для любой точки
&€$ (являющейся, по определению, орбитой правого
действия группы ? = GL(n; К) на тотальном пространстве
8 расслоения 1) и любой точки р этой орбиты формула

110 АССОЦИИРОВАН НЫГ- РАССЛОЕНИЯ
определяет гомеоморфизм / = //,: К" — * #"ь пространства
К" на слой oFh расслоения 1 над точкой Ь. Если q—дру-
q—другая точка орбиты Ь и если p = qA, где A?GL(n', К), то
т. е. /-» о jp = LA, A?GL(n; К). Поэтому в силу линей
ности действия группы GL(n; К) на К" структура линей-
линейного пространства в оГь, перенесенная из К" посредством
отображения /р, т. е. задаваемая формулами
[р, х] + [р, У~\ = \Р, х+у], х,
%[р, х] = \р, Хх], ^€К,
не зависит от выбора точки р. Таким образом, в каждом
слое оГь расслоения 1 имеется естественная структура
п-мерного линейного пространства над К.
Пусть теперь главное расслоение | локально три-
тривиально, т. е. пусть некоторое открытое покрытие {?/„)
пространства .13 обладает тем свойством, что для любого а
существует эквивариантный гомеоморфизм
Фа: UaxGV(n; К) - 8иа = л^
главных GL (л; К)-пространств. Тогда, как показывает
автоматическая проверка (проведите ее!), формула
Фа(*, x) = [<f{b, Е), х]„
(где, как всегда, Е—единичная матрица) определяет три-
виализацию
над Ua расслоения I.
Этим доказано, что для любого локально тривиального
главного GL(«; К)-расслоения | ассоциированное расслое-
расслоение ? = §[!<"] является векторным расслоением.
Верно и обратное утверждение.
Предложение 2. Для любого векторного расслоения
%=¦{€, п, ?В) существует такое локальное тривиальное
главное GL(n; Корасслоение 5, что
Доказательство. Пусть 8 — подпространство пря-
прямого произведения
п ра«

АССОЦИИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ Щ
состоящее из точек р = (ри ¦¦-, рп), все компоненты
Pi, ¦¦•,/>„€<§' которых принадлежат одному слою рас-
расслоения I (т. е. удовлетворяют соотношениям я (рг) = ...
... — п (/>„)) и составляют в этом слое базис. Положив
п(р)~п(р1), мы получим—очевидно, непрерывное и
надъоктивное—отображение
л: 8-* 53.
(Соответствующая тройка ? = (8, я, .<&) называется рас-
расслоен ием реперов векторного расслоения ?.)
С другой стороны, матричное умножение
E) ¦ (р, А)^рА, р= (Pl Рп), А ¦-:- \\а!Л,
где рА—строка (qu ..., qn), состоящая из векторов
qi=-pja[ (заметим, что здесь мы пишем числовые множи-
множители справа от векторов; при К = Н это существенно),
определяет, очевидно, свободное правое действие группы
GL(n; К) на пространстве 8, орбитами которого являются
как раз слои расслоения \. Поэтому, если действие E)
а) непрерывно;
б) является главным (т. е. соответствующее отображе-
отображение сдвига непрерывно),
то тройка | = (8, я, Si) будет главным расслоением. При
этом для ассоциированного векторного расслоения \ [Кп]
формула
F) [р, x]*-*px = pixl,
р-=г-(ри .... р„)€8, * = (**. ¦•¦- х»)?Кп,
будет, очевидно корректно, определять некоторый морфизм
Ъ, [Кп] —+ I." Поэтому для завершения доказательства ос-
остается лишь доказать — кроме утверждений а и б,— что
в) морфизм F) является изоморфизмом;
г) главное расслоение 1 локально тривиально.
Имея все это в виду, мы в первую очередь заметим,
что для любой тривиализирующеи расслоение ? окрестно-
окрестности U каждый базис C) модуля Т{Ъ\ц) (тривиализация ф
расслоения I над U) определяет по формуле
s(b)^(Sl(b) sn(b)), b?U,
некоторое сечение расслоения 1 над U. (Обратим внима-
внимание, что тем самым тривиализации над U расслоения 5
отождествляются с сечениями над U расслоения |.) Мы
определим отображение
q>: t/xGL(n; К)

!!2 АССОЦИИРОВАННЫЕ РАССЛОЕНИЯ
ПОЛОЖИВ
) = s{b)A, b?U, A€GL(n; К).
Это отображение, очевидно, непрерывно и обладает не-
непрерывным обратным отображением
Ь, Л), р = {ри -.., Рп)€&и>
где Ь = л{р), а А—матрица, столбцы которой состоят из
координат в базисе s^ft), ..., sn(b) линеала <Fb векторов
/°i» ¦¦•! Рп€$~ь- (Контрольный вопрос: почему последнее
отображение непрерывно?) Кроме того, по отношению
к естественному правому действию
G) (Ь, А)В = (Ь, АВ), b?U, A, B?GL(n; К),
группы GL(n; К) на произведении UxGL(n; К) (см. при-
пример 1 лекции 1) отображение ср эквивариантно (т. е.
Ф0, А)В = у{Ь, АВ)
для любой точки b?U и любых матриц A, B?GL(n; К));
заметим, что подпространство 8f/ инвариантно относи-
относительно действия группы GL (л; К) на пространстве 8 и
потому само является GL(n; [<)-пространством. Таким
образом, ф является эквивариантным гомеоморфизмом.
Поскольку действие G) непрерывно, отсюда следует,
что действие E) также непрерывно (на каждом подпро-
подпространстве 8у, а потому—поскольку окрестности U по-
покрывают SB—и всюду). По аналогичным соображениям,
непрерывно и отображение сдвига для действия E). Сле-
Следовательно, | является главным расслоением. При этом
отображение ф будет, очевидно, его тривиализацией над U.
Следовательно, главное расслоение \ локально тривиально.
Этим утверждения а, б и г доказаны. Что же каса-
касается утверждения в, то для его доказательства достаточно
заметить, что для любой тривиализации (U, ф) расслое-
расслоения I отображение
переводит каждую точку р€.ёи в точку (Ь, х), где
Ь = л(р), ах—столбец координат вектора p$.ffb в базисе
Si(b) = 4>(b, вг) sn(ft) = ф{b, en). Потому ф инду-
индуцирует отображение
обратное к ограничению отображения F) над U.

СКЛЕИВАЮЩИЕ КОЦИКЛЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ Ш
Следовательно, отображение F) является изоморфиз-
изоморфизмом над U, а потому и всюду. П
Замечание 1. Таким образом, введение в рассмот-
рение векторных расслоений доставляет нам для случая,
когда ? = Кп и # = GL(/r, К), прямое определение ло-
локально тривиальных ^-расслоений § = §[cFj, не апелли-
апеллирующее к главным расслоениям ?. Аналогичное описание
расслоений |[<F] возможно всегда, когда пространство W
наделено некоторой структурой, а группа Ъ является груп-
группой всех автоморфизмов пространства еГ, сохраняющих
эту структуру (при условии, что в # можно ввести до-
достаточно хорошую топологию, обеспечивающую непрерыв-
непрерывность всех необходимых отображений). Мы вернемся
к этому вопросу—с чуть-чуть иных позиций—в лекции 7.
По определению для любого векторного расслоения
Z — (?, л, 59) существует открытое покрытие U простран-
пространства .59, состоящее из тривиализирующих окрестностей.
Пусть Ua и t/p—два пересекающихся элемента этого по-
покрытия. Тогда для любой точки b€Ua(\U$ определено
отображение
Ф|3а Ф) = Фр.'ь ° Фа, Ь- К" — К",
где фа> ь и фр> 4—отображения IR" —* §~ь, индуцированные три-
виализациями фа: UaхК" —> <8Ua и фр: Uf>xKn—-?V(k (см.
пункт б определения 1). Это отображение линейно и обра-
обратимо, т. е. является элементом группы GL (п; К). Поэтому
формула
Ф„а:
задает некоторое отображение
(8) Фр„: (/an^p-^GL(n; К),
называемое отображением (или функцией) перехода (под-
(подразумевается—от фа к фв).
Лемма I. Отображение
Ф: t/-*GL(n; К)
топологического пространства U в группу GL (п; К) тогда
а только тогда непрерывно, когда непрерывно отображе-
отображение
<р: UxKn—-К",
задаваемое формулой

114 СКЛЕИВАЮЩИЕ КОЦИКЛЫ ВЕКТОРНЫХ РЛССЛОПНИП
Доказательство. Ясно, что если отображение ср
непрерывно, то отображение ф также непрерывно (дока-
(докажите!). Обратно, пусть отображение ф непрерывно. Тогда
непрерывны все отображения U—>-Кп вида
„ i-= 1, .... п,
где, как всегда, ег, -..,е„—стандартный базис простран-
пространства К". Значит, непрерывны и все отображения U—>К
вида
I, /= 1, ..., п,
где у{(Ь) — компоненты вектора у(Ь)е{. Для завершения
доказательства остается заметить, что числа щ{Ь) как раз
и составляют матрицу ф (b) ? GL (п; К). D
При U = иа{]и& и Ф=^Фза отображение ф является
не чем иным, как композицией рг о (ф^1 о фа) гомеомор-
гомеоморфизма фрх о фа: U х К" —> U х К" и проекции pr: U х К" —*
—>¦ К". Поэтому это отображение непрерывно. Следова-
Следовательно, согласно лемме 1 непрерывно и отображение фРа.
Таким образом, мы видим, что все отображения пере-
перехода фра являются непрерывными отображениями.
Для любого множества U и любой группы G множе-
множество всех отображений U —> G является группой относи-
относительно операций
фн-^Ф, (ф, г|з)ь->фа|),
определенных (формулами
(Не путать ф с обратным отображением, а ф-ф—с ком-
композицией отображений!) При этом если U является топо-
топологическим пространством, G—топологической группой, а
отображения ф и i|) непрерывны, то отображения ф и
ф\|) также непрерывны (докажите!).
В частности, для отображения фРа: Ua П Up —+ GL (n; К)
определено отображение фр<?: U<x П U$ —* GL (n; К), а для
отображений фРа и ф7Р — в случае, когда иаГиГ11Ф
ф 0 —определено отображение
:^-*СН~(«; К),
где U =-- Ua П i/p П i/v, которое ради сокращения
формул будем обозначать просто через ФтРфра. При
этом из определения отображений фРа непосредственно

СКЛЕИВАЮЩИЕ КОЦИКЛЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИИ Ц5
вытекает, что
Й на UanUfi,
на f/enl/pnl/v
для любых индексов а, р, у (для которых соответственно
?/иПУр?=0 и иаг\ицпиуф0).
Определение 3. Пусть 93—топологическое простран-
пространство, Ъ—топологическая группа и 1Х = Ша} — открытое
покрытие пространства 33. Семейство Ф = {фро} непрерыв-
непрерывных отображений
определенных для любых индексов а, р, для которых
иа^и&Ф0, называется коциклом над группой 5? покры-
покрытия U (на самом деле—нерва покрытия U; см. лекцию
III.21), если оно удовлетворяет соотношениям (9). Ко-
Коциклы над группой GL(n; К) называются также матрич-
матричными коциклами.
Таким образом, мы видим, что каждое векторное рас-
расслоение | = (<$, п, 33) определяет для любого тривиали-
зирующего покрытия Ц пространства 33 некоторый мат-
матричный коцикл Ф={фра}.
Мы будем называть этот коцикл склеивающим коциклом
расслоения Ъ, и будем обозначать его символом q>g.
Предложение 2. Пусть 33—топологическое прост-
пространство, VL—его открытое покрытие и Ф={фра}—про-
Ф={фра}—произвольный матричный коцикл над группой GL(n; К) по-
покрытия U. Тогда существует—с точностью до изомор-
изоморфизма единственное—векторное расслоение % ранга п
с базой 33, тривиализирующим покрытием U и склеиваю-
склеивающим коциклом ф.
Доказательство. Единственность. Утверж-
Утверждение о том, что векторные расслоения ! = ($, я, 33) и
I'= (<?', я', 33) с тривиализирующим покрытием U имеют
один и тот же склеивающий коцикл <р, означает, что для
этих расслоений существуют такие тривиализации
что для любых а и р с ?/вЛ?/р=?0 имеет место равен-
равенство
фр * о Фа = фр-1 о q>;: (Ua П 1/э) X К" — (Ua П i/p) X К»,
а значит, и равенство
фр о фрх = ф; о ф-1: ?ил п и ~

116 СКЛЕИВАЮЩИЕ КОЦИКЛЫ ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЙ
Поэтому формула
f (Р) = (Фа о Фа¦) (р). если р € SUa (т. е. я (р) 6 t/a).
корректно определяет некоторое отображение /: & —> «§",
являющееся — как показыиает очевидная проверка—изо-
проверка—изоморфизмом ?—¦?'.
Существование. Рассмотрим дизъюнктное объеди-
объединение
пространств ?7exKn. Обозначив для любых точек b?Ua
н ^СК1 точку (Ь, дгN^аХК" пространства Е символом
(Ь, х)а, мы введем в Е отношение ~, считая, что
(Ь, х)а~(с, у)$ для b?Ua, c?U&, x, у$Кп тогда и
только тогда, когда с = Ь и ^ = фр«(Ь)х. Из соотношений
(9) немедленно вытекает, что это отношение является
отношением эквивалентности. Пусть ?—соответствующее
факторпространство пространства Е (снабженное фактор-
топологией). Тогда формула
я [6, х]а*=Ь, Ь?®, х$К\
где a—такой индекс, что Ь^иа, а [Ь, х]а—класс экви-
эквивалентности точки (b, х)а, будет корректно определять
некоторое непрерывное (почему?) надъективное отобра-
отображение
я: <8-+®.
Для любого а формула
очевидно, определяет непрерывное послойное отображение
где ёиа = я~хиа—подпространство пространства <В,
состоящее из всех точек вида [b, x\a, b?Ua, x?Kn.
Более того, легко видеть, что формула
[Ь, х]а*г+{Ь, х), b€Ua, х?К",
корректно определяет непрерывное (почему?) отображение
<?уо—> t/axK", обратное к отображению <ра. Следова-
Следовательно, фа является послойным гомеоморфизмом. Это

КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ МАТРИЧНЫХ КОЦИКЛОВ) 117
означает, что тройка ?=(«?, п, $) удовлетворяет условию
б, определения 1.
Чтобы удовлетворить условию а (и условию ба), заме-
заметим, что для любой точки b?fB слой Wb отображения л
состоит из всех точек вида [Ь, х]а, где а—произвольный
индекс, для которого b?Ua. При этом если кроме того
x?Uq, то [Ь, х\а = [Ь, у]ц, где у = Ц>цаф)х. Поскольку
отображение Фра(Ь): R" —> R.n линейно, отсюда следует, что
4юрмулы
[Ь, х]а + [Ь, у]а = [Ь, х + у]а, х, у е К»,
ЦЬ, х\а = [Ь, Хх]а,
корректно определяют в ?ъ структуру линейного про-
пространства. Это дает условие а и одновременно условие б2.
Таким образом, \ является векторным расслоением, а
отображения <ра—его тривиализациями. Кроме того
(Фа * ° Фа) (Ь, х) - Фр1 [Ь, х]а = Фр1 [Ь, фЭа (Ь) х]э= ф, Фз„ ф) х)
для любой точки ф, х) € (?/а Г) и^) х К", и значит склеи-
склеивающим коциклом q>j этого расслоения является данный
коцикл <р = {фра}- П
Описанная [конструкция объясняет, в частности, по-
почему коцикл qp| называется склеивающим. По аналогич-
аналогичным соображениям составляющие этот коцикл отображе-
отображения <pfa называются также склеивающими функциями или
функциями склейки.
Предложение 2 еще не полностью сводит векторные
расслоения.к матричным коциклам, поскольку коцикл щ
зависит от выбора тривиализаций ф„ и при другом их
выборе вполне может оказаться другим.
Однако эта неоднозначность легко контролируется.
Пусть {фа: UaxKn^SUa} и {ф^: ?/ахК"-^Уа}—две
системы тривиализаций векторного расслоения ? над одним
и тем же тривиализирующим покрытием Ц = {Ua}. Тогда
для любого а формула
Та Ф) - Фа,1* о <р;, „: К» — К», Ь € Ua,
определяет некоторое отображение
уа: Ua-+GL(n; К),
связанное с гомеоморфизмом

118 классы когомологий матричных коциклов
соотношением
(Фа1 о ф„) ф, X) = (Ь, уа ф) X), b?Ua, X 6 К",
и потому в силу леммы 1 непрерывное.
По построению для любой точки & € ?/а П ?/р
Фра Ф) = ФрГй ° Фа, Ь =
= ФрГ& ° Фр. 6 ° ФрЛ> ° Фа. Ь ° Фа.^ ° Фа. (. =
= Yp (ft)~X ° Фра (^) ° Ya Ф),
т. е.
(Ю) Фра = Vfl ЧраТа
в группе всех непрерывных отображений ?/аП?/р—<•
—> GL (л; К) (где, конечно, под уа и ур подразумеваются
ограничения этих отображений на t/« П С/р).
Мы будем говорить, что два коцикла <р =. {фра} и <р'=
= {фра} покрытия U над группой  когомологичны, если
существуют такие непрерывные отображения
(Ч) Та- иа —* 9>
что для любых индексов а, р с иа[\и^Ф0 выполнены
соотношения A0). В этой терминологии доказанное
утверждение означает, что склеивающие коциклы одного и
того же векторного расслоения \, отвечающие различным
тривиализациям фа («о одному и тому же тривиализи-
рующему покрытию 11) когомологичны.
Отношение когомологичности коциклов является, оче-
очевидно, отношением эквивалентности. Соответствующие
классы называются классами когомологий покрытия tt над
группой S. Класс когомологий цикла <р мы будем обозна-
обозначать символом [ф], а множество всех классов когомоло-
когомологий покрытия Ц над группой %—символом #X(U; #).
[Обратим внимание, что, вообще говоря, множество
Я1 (It; S) не несет никакой естественной групповой струк-
структуры.]
В свете всего вышесказанного следующая теорема те-
теперь очевидна:
Теорема 1. Формула
устанавливает биективное соответствие между множе-
множеством классов изоморфных векторных расслоений % ранга
п над пространством 33, имеющих данное тривиализи-
рующее накрытие УХ, и множеством Hl{VL', GL(n; К))- ?

КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ МАТРИЧНЫХ КОЦИКЛОВ 119
В качестве полезного дополнения к этой теореме заме-
заметим, что каждый коцикл <р' = {фросЬ когомологичный склеи-
склеивающему коциклу <р5 векторного расслоения 5, также
является склеивающим коциклом этого расслоения (отве-
(отвечающим каким-то новым тривиализациям qv UaxKn—+
¦$иа). Действительно, если коцикл <р= щ отвечает
тривиализациям фа: UaxKa—к&и и если имеют место
равенства вида A0), где уа—отображения A1), то, положив
Фа(*. *)=--Фа(*. Та (*)*). b€Ua, *€КЯ.
мы получим тривиализации ф^: t/axK"-+<^ua, которым
отвечает коцикл ф'. П
Стоит также заметить, что в каждом множестве Я1 (Ц; Ъ)
имеется отмеченный элемент [е], являющийся классом кого-
мологий коцикла е, состоящего из постоянных отображе-
отображений t/a П f/p —¦ #, каждое из которых переводит все мно-
множество UaC\Ufi в единицу е группы $. При этом легко
видеть (докажите!), что при $ — GL (я; К) классу [е] отве-
отвечает тривиальное векторное расслоение 6^.
Замечание 2. Теорема 1 вместе с конструкцией
склеивающих коциклов щ практически дословно перено-
переносится на случай любых ^-расслоений вида ? = ![<F], где
%—произвольное локально тривиальное главное S-расслое-
ние, а группа $ и левое ^-пространство ? фиксированы.
(Следует иметь в виду, что по определению каждая три-
виализация расслоения \ над U индуцируется некоторой
тривиализацией главного расслоения §.) Подчеркнем, что,
таким образом, соответствующие множества Я*(Ц; $),
описывающие все расслоения вида |[<F], тривиализирую-
щиеся над элементами покрытия Ц, не зависят от ?. Это
устанавливает биективное соответствие между ^-расслое-
^-расслоениями \ и ?'i тривиализирующимися над каждым элемен-
элементом покрытия U и отвечающим различным ^-пространст-
^-пространствам W и W'. Эти расслоения соответствуют друг другу,
если они определяют один и тот же элемент множества
ft1 (Ц; "&). Впрочем, это соответствие фактически нам уже
известно, поскольку расслоения \ и \' тогда и только
тогда соответствуют друг другу в этом смысле, когда они
ассоциированы с одним и тем же главным ^-расслоением |.
[Иначе то же самое можно выразить утверждением, что
множество Ях(и; #) находится в естественном биективном
соответствии с классами изоморфных главных ^-расслоений

120 КЛАССЫ КОГОМОЛОГИЙ МАТРИЧНЫХ КОЦИКЛОВ
над S3, тривиализирующихся над каждым элементом
покрытия Ц.]
Замечание 3. Если покрытие И' вписано в покры-
покрытие U, то операция ограничения отображений определяет
инъективное (почему?) отображение Я1 (П; $)--»¦ Я1 (If; #),
которое можно считать вложением. Это понятным образом
позволяет ввести в рассмотрение объединение множеств
Я1 (U; Ъ) по всем открытым покрытиям Ц пространства S3,
которое обозначается символом II1 (S3; Ъ) и находится
в естественном биективном соответствии с множеством
классов изоморфных локально тривиальных ^-расслоений
(при % — GL (л; К)—векторных расслоений ранга п) над про-
пространством 33.
Замечание 4. В дальнейшем мы ограничимся рас-
рассмотрением лишь гладких векторных расслоений ?-- (<?,
л, .#), для которых (см. лекцию 9) пространства <§ и 33
являются гладкими многообразиями, а отображение л —
субмерсией. В лекции 16 мы покажем, что в случае, когда
многообразие S3 паракомпактно (см. определение 1 лек-
лекции III. 22), на нем существуют покрытия VI, универсально
тривиализирующие гладкие векторные расслоения, т. е.
такие, что любое гладкое векторное расслоение тривиали-
зируется над U. Поэтому описанный в замечании 3 пре-
предельный переход п этом случае фактически не нужен.

Лекция 7
Векторные ^-расслоения.— Линейные ^-пространства.—
Кватернионы.— Группа U (л).— Векторные расслоения
типа $.— Их связь с главными ^-расслоениями.— Усло-
Условие редуцируемое™.— Ориентируемые векторные расслое-
расслоения.— Метризуемые векторные расслоении.
Пусть 5==((^, л, 93)—векторное расслоение ранга п
над полем К и пусть $—подгруппа группы GL(«; К).
Определение 1. Говорят, что векторное расслоение |
редуцируется к группе 3, если для него существует такой
тривиализирующий атлас {{Ua, <pa)}, что для любых аир
и любой точки b€Ua[)Ufi матрица фра {Ь) принадлежит
группе % (отвечающий этому атласу склеивающий коцикл
{Фра} является коциклом над группой #). Атласы, обла-
обладающие этим свойством, мы будем называть "^-атласами.
Два !?-атласа называются эквивалентными, если их объ-
объединение также является ^-атласом. Векторное расслоение,
для которого задан класс эквивалентных ^-атласов, назы-
иается векторным $-расслоением.
Таким образом, векторное расслоение тогда и только
тогда редуцируется к группе $, когда в него можно ввести
структуру векторного ^-расслоения.
Вообще говоря, эта структура не единственна.
Пример 1. Легко видеть, что векторное расслоение ?
тогда и только тогда редуцируется к единичной под-
группе {?}, когда оно тривиально. Действительно, если
A'ра(^):=? Для всех а, |3 и всех b?Uaf]U&, то формула
х), если b^Ua,
корректно определяет отображение ф: 93 X К" —>33, являю-
являющееся изоморфизмом над эЬ. 11
Пример 2. Для любых векторных расслоений \ = (<#?,
л", 3d) и 1) —(#п, пп, 33) над 33 рангов пит соответ-
соответственно рассмотрим в прямом произведении ffix$n их
тотальных пространств подпространство <?, состоящее из
таких пар (р, q)?$lx?n, что я&(р) = пп(<?). [На языке
теории категорий пространство <? является не чем иным,
как коамальгамой диаграммы «?5—>-33 <— &"*.} Пусть
С = (*. л, S3),

122 ВЕКТОРНЫЕ «-РАССЛОЕНИЯ
где я—отображение &—+33, определенное формулой
п(р, q)-^n^(p) (или, что равносильно, формулой я (р, q) =
= я11 (q)). Для любой точки b ? Ъ слой я (Ь) расслоения S3
состоит из пар (р, q), где р?&~1, q€&"8, т. е. является
прямой суммой IT|0F? линейных пространств <!Г| и еТ?
(и значит сам является линейным пространством). При
этом для любых тривиализирующих атласов {(Ua, ф|)}
и {{Ua, фй)} расслоений % и ч\ (с одними и теми же три-
виализирующими окрестностями Ua) отображения
определенные формулами
(*,У)) = ШЬ, X), Ф2F, У)),
будут, как легко видеть, удовлетворять условиям бх и ба
определения 1 лекции 6. Значит, расслоение ? является
векторным расслоением ранга п + т(а отображения фа —
его тривиализациями над Ua). Это расслоение называется
суммой Уитни расслоений | и г] и обозначается символом
10 т). Его тотальное пространство <В обозначается симво-
символом tf1» 0^8.
По определению расслоение ?©ti является векторным
GL(n, m; ^-расслоением, где GL(n, m; K)«GL(n; K)X
xGL(m; К)—группа всех матриц порядка п+т, имею-
имеющих вид
IIА о II /4 € GL (я; К),
Задача 1. Покажите, что векторное расслоение ранга
п + т тогда и только тогда редуцируется к группе
GL(ft, /и; К), когда оно является суммой Уитни векторных
расслоений рангов пит соответственно.
Чтобы лучше освоить понятие векторного ^-расслоения,
нам понадобятся некоторые сведения из линейной алгебры.
Пусть по-прежнему Ъ—произвольная подгруппа группы
GL(n; К).
Определение 2. Линейное л-мерное пространство У3
над полем К называется линейным ^-пространством, если
в нем задан такой класс базисов СоотТ3, что
а) если базис /- (/,, .. ., /„) связан с базисом е —

ЛИНЕЙНЫЕ ^ПРОСТРАНСТВА 123
= (elt ..., en) из Coor "P матрицей перехода А ? #, то
б) для любых базисов из Ооох'Р связывающая их мат-
матрица перехода принадлежит подгруппе "&.
Пример 3. Приняв за Соог К" все базисы в К", свя-
связанные со стандартным базисом elt ..., еп матрицей пере-
перехода из группы $, мы внесем в К" структуру линейно-
линейного ^-пространства. Эта структура называется стандарт-
стандартной.
Линейное отображение ф: °Р —> еР1 линейных ^-про-
^-пространств называется ^-изоморфизмом, если каждый базис
из Соог "Р оно переводит в базис из Соог "Р' (и потому,
в частности, является линейным изоморфизмом).
Пример 4. Линейный изоморфизм "Р —<¦ К" тогда
и только тогда является $-изоморфизмом (по отношению
к стандартной структуре ^-пространства К"), когда он
является координатным изоморфизмом, отвечающим базису
из Соог "Р.
Пусть К = R.
Пример 5. Если GL+(n; IR) — подгруппа группы
GL(n; R), состоящая из матриц с положительным опреде-
определителем, то линейные GL+ (n; ^-пространства—это в точ-
точности ориентированные линейные пространства, a GL+ (n; R)-
изоморфизмы—это линейные изоморфизмы, сохраняющие
ориентацию.
Пример 6. Линейные О(я)-пространства—это евкли-
евклидовы линейные пространства (пространства с положительно
определенным скалярным умножением), а О (^-изомор-
(^-изоморфизмы—это .их изометрии.
Пр имер 7. Линейные SO(л)-пространства—это ориен-
ориентированные евклидовы линейные пространства, a SO (/^-изо-
(/^-изоморфизмы—это их изометрни, сохраняющие ориентацию.
Пример 8. Аналогично линейные О (р, ^-простран-
^-пространства—это (см. лекцию 11.126) псевдоевклидовы простран-
пространства типа (р, q), а О (р, q)-изоморфизмы—это их изомет-
изометрии.
Пример 9. Линейные Sp(m; R)-пространства—это
(см. лекцию 11.10) симплектические пространства размер-
размерности п = 2т, a Sp(/n; К)-изоморфизмы—это их симплек-
симплектические изоморфизмы.
Пример 10. Напомним (см. лекцию 11.25), что комп-
комплексной структурой на вещественном линейном простран-
пространстве "Р размерности п — 2т | называется произвольный
линейный оператор /: °Р —> "Р, для которого Р = — Е.

124 КВАТЕРНИОНЫ
Согласно результатам лекции 11.25 вещественные простран-
пространства с комплексной структурой—это в точности линейные
^-пространства, где % — подгруппа группы GL(n; R) (и даже
группы GL+ (л; (R)), состоящая из всех матриц вида
1 А В\
1-й А'!,.
[Эта подгруппа изоморфна группе GL (п; С), а пространства
с комплексной структурой—это в точности овеществления
комплексных линейных пространств; см. лекцию 11.25.]
Заметим, что любое пространство с комплексной струк-
структурой автоматически ориентировано.
Пусть К = С.
Пример 11. Линейные U (л)-пространства—это уни-
унитарные пространства (см. лекцию 11.20), a U (^-изомор-
(^-изоморфизмы—это их изометрии.
Задача 2. (Ср. задачу 4 лекции III.11.) Покажите, что опера-
операция овеществления ^•-^¦<^)R (см. лекцию 11.25) устанавливает би-
биективное соответствие между унитарными m-мерными пространствами
и евклидовыми 2/л-мерными пространствами, являющимися одновре-
одновременно симплектическими пространствами. [Указание. Вещественная
часть эрмитова скалярного произведения является евклидовым ска-
скалярным произведением, а мнимая — симплектическим. См. лекцию 11.25.)
Пример 12. Линейные Sp (т)-пространства, где
Sp(m)—унитарная симплектическая группа (см. лек-
лекцию III.11),— это унитарные и одновременно симплектиче-
ские (комплексные) пространства размерности 2т.
Последний пример может быть элегантно интерпрети-
интерпретирован также с точки зрения кватернионных линейных про-
пространств, но для этого мы должны глубже познакомиться
с кватернионами.
По определению (см. лекцию 11.24) каждый кватернион ?
имеет вид
xi + aj + aak,
где i, /, k—кватернионные единицы с таблицей умножения
I
i
k
i
— 1
li
I
1
k
I
— i
k
i
— 1.

KBATF.PHrfOHbl 125
(Очень удобно изображать эту таблицу схемой
i
Произведение любых двух единиц, следующих друг за
другом в направлении, указанном стрелкой, равно третьей
единице. При умножении единиц в другом порядке про-
произведение приобретает множитель —1.)
Складываются кватернионы покомпонентно (и, следова-
следовательно, составляют линейное пространство с базисом 1,
I. /. Щ-
Кватернионы вида а0 + a±i отождествляются с комплекс-
комплексными числами. Это позволяет каждый кватернион A) за-
записать в виде
B) Ъ = а + Ь], где а, Ь?С,
и тем самым отождествить линейное пространство Н всех
кватернионов с линейным пространством С2 пар (а, Ь) комп-
комплексных чисел. Кватернионы, записанные в виде B), умно-
умножаются по обычным правилам алгебры с дополнительными
соотношениями
/« = —1 и a] = ja, а?С.
Это означает, что умножение кватернионов задается фор-
формулой
C) (а + Ы) (х + yj) = (ax-by) -f- (ay + bx) j.
Задача З. Проверьте прямым вычислением, что задаваемое
формулой C) умножение ассоциативно и билинейно, т. е. что линеал Н
является ассоциативной алгеброй.
Число а0 называется вещественной (или скалярной)
частью кватерниона A) и обозначается символом Re?.
Та ким образом, если t — a + bj, a,b?C, то Re ? = Re a.
Если 5 == Re |, то кватернион называется вещественным.
Такой кватернион отождествляется с вещественным числом
RS
0
Если Re 1=0, то кватернион ? называется мнимым.
Все мнимые кватернионы образуют трехмерный линеал Н'
с базисом i, j, k.
Згдача 4. Покажите, что кватернион тогда и только тогда
перестановочен с любым кватернионом |?М (принадлежит центру
алгебры Н), когда он вещественен.

126 КВАТЕРНИОНЫ
Мы введем в линейное пространство Н евклидову мет-
метрику, считая базис 1, i, j, k ортонормированным. Длина
в этой метрике кватерниона ? обозначается символом 111
и называется его нормой. По определению
D) [5!a = aj + a! + ai-h^ = |a|a+|6|2.
В частности, |?|^--0 тогда и только тогда, когда 1=^0.
Кватернион Оо—ati—aj—a3k называется сопряженным
с кватернионом A) и обозначается символом |. Ясно, что
5 = ? тогда и только тогда, когда кватернион | веществе-
вещественен, а | =— 5 тогда и только тогда, когда кватернион \
мним.
Для кватерниона B) кватернион \ выражается фор-
формулой
\=~а-Ь\.
В силу формул C) и D) отсюда немедленно следует, что
Поэтому при %фО для кватерниона |~1 = |5Г2? имеют
место равенства
(Например, IS — ^?!^! ^|~2i?= 1.) По определению
это означает, что алгебра Н является телом.
Непосредственное вычисление показывает, что для лю-
любых кватернионов |, tj^H имеют место равенства
(отображение ?г-»5 является антиавтоморфизмом
алгебры Н). Поэтому, в частности, | %г\ |2 = Ъ\ %г\ = Ь\ til =
-ghrF^^hl^lSI'hr. и значит
E) |6Ч1 = |5||Л|.
Для произвольного кватерниона %~a + bj мы положим
Задача 5. Покажите, что соответствие ?•—>A$ пред-
представляет собой гомоморфизм алгебры Н в алгебру Mat2 С
комплексных квадратных матриц второго порядка, являю-
являющийся изоморфизмом на подалгебру всех матриц вида F).

ГРУППА ?/W(/i) 127
Поэтому все свойства кватернионов можно интерпрети-
интерпретировать _как_свойства матриц. Например, квадрат нормы
\?.\*~-аа + ЬЬ кватернионов ? является не чем иным, как
определителем deMg матрицы ЛЕ (что, кстати сказать, еще
раз доказывает формулу E)), a Re ^-g- Тг А%. При жела-
желании можно отождестплять кватернион ? с матрицей А%.
Заметим, что это отождествление отличается от отождествления,
описанного в лекции 11.24; одно получается из другого преобразова-
преобразованием базиса /(—>¦ —ft, /(—••/, kt—>¦—I.
Скалярным умножением на кватернионном правом ли-
линейном пространстве f° называется такое отображение
9дхГ3~^Н, (а, Ь)*-*аЬ, что
(а, + а2) Ь =-- axb ± a2b, a {bi -I- b2)=aby + abt
для любых векторов а, а» а2, b, bu Ьъ$.еР\
для любых векторов a, b б f* и любого кватерниона X ? Н;
для любых векторов a, b — 7/э.
Кватернионное пространство У* с заданным скалярным
произведением (a, b)\-+ab называется кватернионным
евклидовым пространством. (Употребляется также термин
симплектическое пространство, у нас занятый для про-
пространств с невырожденным кососимметрическим произведе-
произведением.) Базис еи ..., еп кватернионного евклидова про-
пространства называется ортонормированным, если e,ej — б,7
для любых t, / = 1, ..., п. Линейное отображение °Р —>¦ Ч^х
кватернионных евклидовых пространств, сохраняющее ска-
скалярные произведения, называется изоморфизмом (или изо-
метрией).
Примером /г-мерного кватернионного евклидова прост-
пространства является пространство Н" со скалярным умноже-
умножением
ab alb1-^ ...-•'• anb",
где а (а1 ап)€Нп и ft = (b\ ..., bn)&Hn. [Мы за-
писыпаем элементы пространства Н" в виде строк, хоти
на симом деле их надо считать столбцами.]

128 ГРУППА УН (л)
[Обратим внимание, что при К = С аналогичное определе-
определение—см. лекцию 11.20—отличается на комплексное сопря-
сопряжение (что, конечно, никакого значения не имеет).]
Задача 6. Покажите, что базис elt •••,(?„ кватер-
нионного евклидова пространства "У9 тогда и только тогда
ортонормирован, когда соответствующий ему координатный
изоморфизм "V3-*-Wn (переводящий вектор a — efl! про-
пространства °Р в вектор (о1, ..., а") пространства Н") яв-
является изометрией.
Все изометрии И" —¦ Н" пространства Н" на себя состав-
составляют группу, обозначаемую символом UH (я). Отождествив
каждую изометрию Н"—+ Н" с матрицей, столбцы которой
являются образами векторов стандартного базиса, мы можем
считать элементами группы U'H (n) кватерниониые матрицы.
Задача 7. Покажите, что кватернионная матрица А
тогда и только тогда принадлежит группе UH (n), когда
Т"М = Е,
где Лт — матрица, получающаяся из матрицы А транспо-
транспонированием и заменой всех элементов на кватернионно
сопряженные. (Ср. предложение 1 лекции 11.22.)
Задача 8. Покажите, что группа UH(n) является
матричной группой Ли (см. лекцию III. 11), алгеброй Ли
которой служит пространство ltH(n) кватерниоиных мат-
матриц В, удовлетворяющих соотношению
В + Ът=.О.
Задача 9. Покажите, что A^U^(n) тогда и только
тогда, когда А является матрицей перехода, связывающей
два ортонормированных базиса пространства Н™.
Это немедленно дает
Пример 13. Кватернионные UH (п)-пространства "У9—
это в точности кватернионные евклидовы пространства
(с классом всех ортонормированных базисов в качестве
)
В силу отождествления Н с С2 и, значит, Н" с С"
скалярное произведение на Н" определяет по формуле
, b)
два функционала S и Q на С2". (Ср. лекцию 11.25.)
Задача 10. Покажите, что S является на С2" эрми-
эрмитовым скалярным умножением, а ?1—симплектическим.
Пользуясь этим, покажите, что л-мерные кватернионные

ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ТИПА » 129
евклидовы пространства—это в точности комплексные
2л-мерные пространства, одновременно унитарные и сим-
плектические. (Ср. выше задачу 2.)
Отсюда, в частности, следует, что группа UH (п) изо-
изоморфна симпмктической группе Sp(n).
Задача 11. Постройте изоморфизм U (я) —*¦ Sp (n) в явном
виде (ср. задачу 4 лекции III. 11).
На основании этого изоморфизма группы UH (n) и Sp (п)
обычно отождествляются. [В частности, группа ии (м) также
называется симплектической группой и обозначается сим-
символом Sp(n).]
Вернемся теперь к векторным расслоениям.
Пусть по-прежнему "&—произвольная подгруппа группы
GL(n; К).
Определение 3. Векторное расслоение % = (<?, я, 33)
ранга п над полем К называется расслоением типа %, если
а) каждый слой fb = n~1(fe), b?ffi, расслоения I яв-
является линейным ^-пространством;
б) существует такой тривиализирующий атлас {{Ua, <pa)}
расслоения ?
что для* любого а и любого bg(/a отображение
G) Фа, Ь- К" -* Г„ X •-> Фа (Й, JC), X 6 К",
является ^-изоморфизмом.
В частности, мы имеем
1) ориентированные векторные расслоения (для которых
слои <F6 ориентированы, а изоморфизмы G) сохраняют
ориентации),
2) евклидовы векторные расслоения (для которых в слоях
Wb задана евклидова метрика, а изоморфизмы G) являются
изометриями),
3) псевдоевклидовы векторные расслоения,
4) симплектические векторные расслоения,
5) унитарные векторные расслоения,
5 М. М. Постников, сем. IV

130 ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ ТИПА »
6) кватернионные евклидовы векторные расслоения
и т. д. и т. п.
Здесь K — R для расслоений классов 1), 2) и 3);K = R
или С для расслоений класса 4); К = С для расслоений
класса 5) и К = Н для расслоений класса 6). При этом
расслоения класса 5) можно отождествлять с веществен-
вещественными (K = R) расслоениями, одновременно евклидовыми и
симплектическими, а расслоения класса 6)—с комплекс-
комплексными (К = С) расслоениями, одновременно унитарными и
симплектическими.
Связь векторных расслоений типа $ с расслоениями,
редуцирующимися к группе S, описывается следующим
предложением:
Предложение 1. Векторное расслоение тогда и только
тогда редуцируется к группе $, когда в него можно ввести
структуру расслоения типа #.
Доказательство. Пусть векторное расслоение
? = (<?, я, S) является расслоением типа $ и пусть
{(^а. Фа)}—тривиализирующий атлас, предусмотренный
условием б определения 3.
Тогда каждое отображение фраF): К" —«-К", являясь
композицией ^-изоморфизмов, будет S-изоморфизмом, т. е.
его матрица будет принадлежать группе %. Это доказы-
доказывает, что любое векторное расслоение типа & редуцируется
к группе S (и, значит, является ^-расслоением).
Обратно, пусть векторное расслоение ? = (<?, я, 33)
редуцируется к группе S и пусть {{Ua, ц>а)}—произволь-
ц>а)}—произвольный S-атлас этого расслоения. Каждая тривиализация <ра
задает в линейном пространстве ?ь, b ? ()„, базис
(8) Ф«(ft, *i), .... Фа(&, е„),
где еи ..., еп—стандартный базис пространства К" (см.
лекцию 6) и для каждой точки b^Uar\U& базисы (8), от-
отвечающие тривиализациям фа и cpp, связаны матрицей
перехода Фра(Ь)€^- Поэтому структура ^-пространства,
задаваемая в линеале Wb базисом (8) (т. е. такая, что
Соог?ь состоит из всех базисов, связанных с базисом (8)
матрицами перехода из ?), не зависит от выбора окрест-
окрестности Ua, содержащей точку Ь. Так как по отношению
к этой структуре отображение ф„,6 будет, конечно, S-изо-
морфизмом, то мы получаем, тем самым, в § структуру
векторного расслоения типа $. ?
Таким образом, на любом векторном расслоении 5
структуры векторного ^-расслоения и расслоения типа Ъ

СВЯЗЬ С ГЛАВНЫМИ »-РАССЛОЕНИЯМИ 131
взаимно однозначно друг другу соответствуют. В даль-
дальнейшем мы их различать не будем и термин «векторное
^-расслоение» будем считать синонимом термина «расслое-
«расслоение типа ?».
Векторные 3-расслоения легко характеризуются в тер-
терминах главных ^-расслоений.
Действительно, ясно (ср. пример 3 лекции 5), что для
любого локально тривиального главного ^-расслоения %
ассоциированное расслоение § [Кп] является векторньш ^-рас-
^-расслоением (здесь К" рассматривается как левое S-прост-
ранство). Оказывается, что обратное тоже верно, т. е. каж-
каждое векторное "^-расслоение ? имеет вид 1[К"], где
Ъ,—некоторое локально тривиальное главное %-расслоение.
Доказательство по существу повторяет доказательство
предложения 1 лекции 5.
Задача 12. Докажите последнее утверждение.
Это позволяет указать легко проверяемое необходимое
и достаточное условие редуцируемости данного векторного
расслоения к группе % (или, более общо, данного вектор-
векторного S-расслоения к подгруппе Ж группы #).
Предполагая подгруппу Ж замкнутой, мы введем
и рассмотрение пространство %1Ж левых смежных клас-
классов аЖ группы % по подгруппе Ж (ср. пример 2 лек-
лекции 1). Группа  действует (вообще говоря, не эффек-
эффективно!) на этом пространстве по формуле
g(aSV) = (ga)W, g, a?$,
и значит, для любого главного S-расслоения | определено
ассоциированное расслоение %\%1Ж].
Пусть расслоение | (а значит, и расслоение §[$/Ж])
локально тривиально.
Предложение 2. Если векторное Ъ-расслоение Ь=\ [Кл]
редуцируется к подгруппе Ж, то расслоение \[$/Ж] об-
обладает сечением.
Доказательство. Пусть UUa, сра)}—тривиализи-
рующий 5?-атлас расслоения |, а {фра}—соответствующий
оклеивающий коцикл. Не теряя общности, мы можем счи-
считать, что над окрестностями Ua расслоение 1 = (8, я, й?)
(а потому и расслоение %[&1Ж}) также тривиально. Пусть
г|>а: ?

132 УСЛОВИЕ РЕДУЦИРУЕМОСТИ
— соответствующие тривиализации, a {tppa}—отвечающий
этим тривиализациям склеивающий коцикл над группой Ъ.
По условию этот коцикл когомологичен коциклу {фра}
(рассматриваемому как коцикл над ?), т. е. существуют
такие отображения Aa: Ua —*¦ ?, что
для любой точки b?UanUp.
Далее, так как расслоение %[$/Ж] ассоциировано
с расслоением |, то по построению оно обладает тривиа-
лизирующим атласом {(?/a, coa)}, которому отвечает тот же
склеивающий коцикл {i|>pa}. Имея это в виду и обозна-
обозначая—для сокращения формул—смежный класс аЖ, а ? Ъ,
символом [а], мы произвольной точке b?3$ отнесем точку
s(b) тотального пространства ? расслоения %[$Ж]
положив
По определению склеивающего коцикла для любых точек
b ? Ua П f/p и [а] 6 $/Ж имеет место равенство
С другой стороны, так как по условию [<ppa (b)] — [ё], то
Поэтому
и значит, отображение s: 5B —>¦? определено корректно.
Поскольку s, очевидно, является сечением расслоения
&t\ предложение 2 тем самым полностью доказано. D
Обратное утверждение, вообще говоря, верно только
при некоторых дополнительных предположениях.
Задача 13. Докажите, что если каноническое расслоение % —»¦ %!$%
локально тривиально, то и обратно, из существования для расслоения
\\%1Ж\ сечения следует, что расслоение ?=|[К"] редуцируется
к группе ffl.
Задача 14. Покажите, что если <§ является группой Ли, a ffl —
ее замкнутой подгруппой Ли, то расслоение % —>¦ %\$С локально три-
тривиально. [Указание. Замкнутая подгруппа Ли является вложен-
вложенным подмногообразием; см. ниже лекцию 13.]
При $ — GL (n; R) и Ж — GL+ (n\ R) факторпространство
$/Ж состоит из двух точек. Поэтому для любого главного
GL(n; ^-расслоения | расслоение |[GL(n; R)/GL+ (n; R)]
либо тривиально, либо—в предположении, что база S

ОРИЕНТИРУЕМЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 133
расслоения ? связна—является двулистным накрытием. В
первом случае векторное расслоение ?=1[R"] редуцируется
к группе GL+ (n; R) (такое расслоение называется ориен-
ориентируемым), а во втором случае—нет.
Задача 15. Покажите, что касательное расслоение
fff над гладким многообразием 2? тогда и только тогда
ориентируемо, когда ориентируемо многообразие &
(и смысле определения 1 лекции III.25).
Векторное К-расслоение ? называется метризуемым,
если в него можно ввести структуру евклидова (при ?<=R),
унитарного (при К — С) или кватернионного евклидова
(при К = Н) расслоения, т. е. если оно редуцируется к груп-
группам О (л), U (я) и UH (n) = Sp (я) соответственно. Каждая
такая структура называется метрикой на ?.
Оказывается, что в отличие от свойства ориентируе-
ориентируемости свойство метризуемости—при весьма слабых и вы-
выполняющихся во всех геометрически интересных случаях
предположениях—имеет место для любых векторных рас-
расслоений. Этот факт удобно доказывать прямо, не поль-
пользуясь предложением 2 (или, точнее,— утверждением за-
задачи 13).
Напомним(см. определение 1 лекции III. 22 и замечание4
лекции III.24), что открытое покрытие {Ua} простран-
пространства $} называется нумерируемым, если существует под-
подчиненное ему разбиение единицы, т. е. такое семейство
непрерывных неотрицательных функций т]а: 3} —* R, что
Г для любой точки b?33 найдется окрестность U,
в которой только конечное число функций т|а отлично от
пуля (свойство локальной конечности);
2° имеет место равенство
(сумма слева определена ввиду свойства Г);
3° Ла^О вне ^а Для любого а (условие подчи-
п е н н ости).
Мы будем называть топологическое пространство 5$
паракомпактным, если каждое его открытое покрытие
пумерируемо; (Это определение несколько сильнее обще-
общепринятого, но совпадает с ним для хаусдорфовых прост-
пространств; см. замечания 1 и 4 лекции III. 24.)
Векторное расслоение ? называется нумерируемым, если
для него существует нумерируемое тривиализнрующее

134 МЕТРИЗУЕМЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
покрытие. Таким образом, над паракомпактным прост-
пространством SB любое векторное расслоение нумерируемо.
Предложение 3. Каждое нумерируемое векторное
расслоение метризуемо.
Доказательству этого предложения мы предпошлем не-
несколько простых замечании о метриках.
Скалярное умножение (метрика) на линейном прост-
пространстве V3 однозначно восстанавливается по соответствую-
соответствующему положительно определенному квадратичному функ-
функционалу Q: x*-*-x%, x&f°. (При K = R и К = С это из-
известно из семестра II; см. лекции 11.11 и 11.19. При
К = Н доказательство проводится точно так же, как при
К = С. Заметим, что для сокращения формулировок мы
позволяем себе называть функционал Q «квадратичным»
при любом К, хотя, строго говоря, это оправдано только
при K = R.)
Обратим внимание, что при любом К функционал Q
принимает значения в поле R.
Задача 16. Покажите, что для любого конечного
семейства положительно определенных квадратичных функ-
функционалов Qa и любых неотрицательных чисел т)а, среди
которых хотя бы одно отлично от нуля, функционал
также является положительно определенным квадратич-
квадратичным функционалом.
Для каждого метризованного векторного расслоения
I — (<?, я, $) формула
(где р1—скалярный квадрат вектора р в линеале ?ь,
Ь—л(р)), определяет—очевидно, непрерывную—функцию
Q: «? —> R, обладающую тем свойством, что ее ограничение
на каждом слое oFb, b$,93, является положительно опре-
определенным квадратичным функционалом на линеале HFb.
Ключом к доказательству предложения 3 является
следующая лемма:
Лемма 1. Каждая непрерывная функция Q: ? —»- R,
ограничение которой на любом слое ?ь, Ь?Ш, является
положительно определенным квадратичным функционалом,
возникает из некоторой метрики на §.
Доказательство. По условию функция Q на каж-
каждом слое ?ь, b?3$, задает структуру евклидова (при
K = R), унитарного (при К—С) и кватернионного евкли-

МЕТРИЗУЕМЫЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 135
дова (при К —Н) линейного пространства. Поэтому нужно
лишь доказать, что для расслоения 5 существует тривиа-
лизирующий атлас {(Ua, фа)}, для которого все отображе-
отображения G) являются изометриями.
Пусть {{Ua, ф'п)} — произвольный тривиализирующий
атлас расслоения ?. Как мы знаем (см. лекцию 6), каж-
каждая тривиализация фа определяет базис ?иа-иожуля
Y(l\ua), состоящий из сечений
s't: b*-*<p'a(b, et), /=!,..., п.
Применив к значениям s[(b), ..., s'n(b) этих сечений
в каждой точке b?Ua процесс ортогонализации Грама —
Шмидта (см. лекцию 1.13; этот процесс применим—дока-
применим—докажите!—не только при K = R, но при К = С или Н), мы
получим—как легко видеть, также непрерывные—сечения
su ..., sn расслоения | над Ua, составляющие такой ба-
базис Ft/a-модуля Г (? |ув), что для каждой точки b?Ua векторы
st (b) sB (b) образуют ортонормированный базис лине-
линеала ?ь.
Для завершения доказательства остается заметить, что
последнее свойство в точности означает, что для отвечаю-
отвечающей базису slt ..., sn тривиализации ц>а: ?/хК"—*<Виа
все отображения G) представляют собой изометрии.
Теперь мы уже можем доказать предложение 3.
Доказательство предложения 3. По условию
для расслоения % — (&, я, Я) существуют тривиализирую-
тривиализируюй {A^а, Фа)} и б {^}
{0]
р ) уу рру
щий атлас {A^а, Фа)} и разбиение единицы {т^}, подчи-
подчиненное ПОКрЫТИЮ {0а].
Мы определим на & функцию Q: в? —<¦ R, положив
а
где Qa—функция <§иа —*¦ К, заданная формулой
Q*(p) = x\ если
Здесь Ь = п(р), а х3—скалярный квадрат вектора
в стандартной метрике на К".
Легко видеть, что функция Q непрерывна и на каж-
каждом слое !F6t b?!B, ее ограничение [является—в силу
утверждения задачи 10—положительно определенным
квадратичным функционалом. Следовательно, согласно
лемме 1 эта функция задает на 5 некоторую метрику. ?
Следствие. Любое векторное расслоение над пара-
компактным пространством 9$ метризуемо. ?

Лекция 8
Квазикомплексные многообразия.— Многообразие косо-
симметрических ортогональных матриц.— Условие квази-
комплексифицируемости. — Квазикомплексифицируемые
сферы.— Алгебра октав.— Квазикомплексифицируемость
сферы §'•— Квазикомплексифицируемые многообразия
размерности 6.— Параллелизуемость квазигрупп.— Веще-
Вещественные алгебры с делением.
Расслоения типа S для подгруппы ? группы GL (n; R),
п = 2т, из примера 10 лекции 7—это в точности вещест-
вещественные расслоения, являющиеся овеществлениями комп-
комплексных расслоении.
Определение 1. Гладкое n-мерное (п=^2т) много-
многообразие X называется квазикомплексифицируемым, если
его касательное расслоение %$• редуцируется к группе Ъ
из примера 10 лекции 7, т. е. если над ЗС существует
такое комплексное расслоение т ранга т, что
Каждое такое расслоение т называется квазикомплексной
структурой на SC, а многообразие SC с заданным на нем
квазикомплексной структурой т называется квазикомплекс-
квазикомплексным многообразием.
Конечно, каждое квазикомплексифицируемое многообра-
многообразие ориентируемо (см. задачу 15 лекции 7).
Очевидным примером квазикомплексного многообразия
является (см. лекцию III.11) овеществление BR произ-
произвольного комплексно-аналитического многообразия % (если
% — %*-, то %ф =i;S)- Поэтому квазикомплексифицируе-
квазикомплексифицируемость многообразия SE представляет собой необходимое
(но, вообще говоря, недостаточное!) условие его комплект-
фицируемости, т. е. существования такого комплексно-
аналитического многообразия %, что %®-~SC.
Как мы знаем (см. лекцию 6), квазикомплексные струк-
структуры на многообразии 3! находятся в естественном биек-
биективном соответствии с автоморфизмами
A) /:
удовлетворяющими соотношению /2 = — id.
На этом основании автоморфизмы A), удовлетворяю-
удовлетворяющие соотношению /2=—id, или—что равносильно—глад-

КВАЗИКОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 137
кие поля py-^Ip, p^SC, операторов Ip: 1pSC —* ТрЖ,
удовлетворяющих соотношению Рр — —id, также называются
квазикомплексными структурами на 3?.
Согласно следствию из предложения 3 лекции 7, если
квази комплексное многообразие SC паракомпактно, то рас-
расслоение т обладает эрмитовой метрикой. Вещественная
часть этой метрики будет евклидовой метрикой на т^*, а
мнимая часть—симплектической (ср. лекцию 11.25). По-
Поэтому гладкое паракомпактное многообразие тогда и
только тогда квазикомплексифицируемо, когда расслоение
х% редуцируется к подгруппе Sp(/n) = SOB/n)nSp(/n; R)
группы SO (я), п = 2т (являющейся образом группы U(/n)
при вложении GL (т; С) —* GL (п; Щ). Следовательно (см.
в лекции 8 предложение 2 и утверждения задач 10 и 11),
вопрос о квазикомплексифицируемости паракомпактного
многообразия SC сводится к вопросу о существовании
сечения у расслоения со слоем SO Bm)/Sp (/и), ассоцииро-
ассоциированного с векторным расслоением Тер. Изучим поэтому
подробнее факторпространство SO B/n)/Sp (m).
Задача 1. Покажите, что пространство SO Bm)/Sp (m)
обладает структурой гладкого многообразия, по отноше-
отношению к которой каноническое отображение я: SO B/n) —<¦
-¦-¦¦ SO B/n)/Sp (pi) является субмерсией (и, значит, смеж-
смежные классы группы SO B/п) по подгруппе Sp (m)—вложен-
(m)—вложенными подмногообразиями). [Указание. В окрестности
единицы группы SO Bm) существует подмногообразие,
трансверсальное к Sp(m), на котором отображение л яв-
является гомеоморфизмом на открытое подмножество прост-
пространства SOBm)/Sp (/n). Ср. задачу 20 лекции 13.]
Пусть Wm—подмножество группы SO B/п), состоящее
из кососимметрических матриц. Поскольку—см. лек-
лекцию 11.10—определитель любой кососимметрической мат-
матрицы неотрицателен, матрица А порядка 2т тогда и только
тогда принадлежит Wт, когда эта матрица ортогональна
и кососимметрична.
Задача 2. Покажите, что Wm является связным глад-
гладким многообразием размерности тг—т.
Задача 3. Рассмотрите следующие три условия на
матрицу А:
а. Матрица А кососимметрична.
б. Матрица А ортогональна.

138 КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ
в. Матрица Л удовлетворяет соотношению
B) Л» = — Е.
Докажите, что любые два из этих условий влекут за со-
собой третье.
Таким образом, в частности, любая матрица А ? Wm
обладает свойством B).
Для каждой матрицы А ? SO Bm) матрица AJA~r, где
,11 0 ?11
1-Е Of
ортогональна и кососимметрична. Поэтому формула
определяет некоторое—очевидно, гладкое—отображение
C) <р
По определению (см. лекцию II 1.11) матрица A gSOBm)
тогда и только тогда принадлежит подгруппе Sp (m), когда
ATJA=.J, т. е., поскольку
когда ф(Л)=^ J. Так как
D)
для любых матриц Л, В € SO Bm), отсюда непосредственно
вытекает, что ф(Л) = ф(В) тогда и только тогда, когда
A^B^Sp^m). Следовательно, формула
Л е SO Bm), [Л] = Л Sp (m) € SO Bm)/Sp (m),
корректно определяет некоторое—также гладкое!—отобра-
гладкое!—отображение
Jp: SOBm)/Sp(m) — W
m.
Это отображение инъективно, а так как многообразие
SO Bm)/Sp (m) компактно, то и монеоморфно (является
гомеоморфизмом на свой образ).
Задача 4. Покажите, что касательное пространство
TBSO(n) группы SO (л) в точке Е (касательное простран-
пространство T?Sp(m) группы Sp(m)) естественным образом отож-
отождествляется с линеалом §о(я) (линеалом 8$(т)), состоящим
из всех кососимметрических матриц порядка п (из всех
кососимметрических матриц порядка 2т, перестановочных

КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МАТРИЦЫ 139
с матрицей J), т. е. с алгеброй Ли этой группы в смысле
лекции III. 11. [Указание. Каждая матрица из некото-
некоторой окрестности точки Е в группе SO (я) имеет вид etA,
где А € &о (л), причем etA ? Sp (m), n = 2m, тогда и только
тогда, когда Л?<?р(т).]
Аналогичным образом касательное пространство TjWm
многообразия Wт в точке J отождествляется с подпро-
подпространством пространства 80 (п), состоящим из кососиммет-
рических матриц А, для которых AJ + JA=0.
Поэтому дифференциал (dq>)B отображения ф в точке Е
мы можем считать отображением
(Жр)н: во(п) —Т,1Ршсво(п).
Поскольку для любой матрицы А ? §о (л) имеет место ра-
равенство
etAj (еМ)Т_ у
t
где многоточия обозначают члены порядка "^ 1 по t (на-
(напомним, что Лт = — А), отображение (d(p)B действует по
формуле
(dq>)EA = AJ—JA.
Следовательно, его ядром является подпространство Sp (т),
откуда непосредственно вытекает, что отображение ср пред-
представляет собой погружение (в точке [Е], а потому—как непо-
непосредственно вытекает из формулы D)—и в любой точке
из S0Bm)/Sp(m)). Значит, его образ <p(SOBm)/Sp(m))
представляет собой компактное (и, следовательно, замкну-
замкнутое) подмногообразие многообразия Wm. При этом размер-
размерность этого подмногообразия равна размерности т%—т.
многообразия Wm (см. задачу 14).
Лемма I. Пусть 2/—замкнутое подмногообразие
многообразия X. Если dim б/ = dim SC и многообразие ЭС
связно, то ty — SC.
Доказательство. Так как dim & = dim SC, то вло-
вложение i: & —>¦ X является этальным отображением (локаль-
(локальным диффеоморфизмом). Поэтому для]любой точки р€&
существует в СУ такая окрестность V, что ее образ i (V) ==¦ V
является в X окрестностью точки i'(p) = p. Это означает,
что 2/ открыто в SC. Так как 9? связно, а 3/ замкнуто,
то это возможно только при 4f~SC. ?

140 УСЛОВИЕ КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМОСТИ
В силу этой леммы подмногообразие ф (SO Bm)/Sp (m))
совпадает с многообразием Wm, т. е. отображение ц> яв-
является диффеоморфизмом.
В дальнейшем мы будем отождествлять многообразия
Wm и SO Bm)/Sp (m) посредством диффеоморфизма ф.
Заметим, что в силу этого отождествления левые сдвиги
[B]i—»[y4B] пространства SOBm)/Sp(m) на элементы
A?SOBm) переходят в сопряжения Ct-^-ACA'1,
Вернемся теперь к я-мерному (п = 2т) многообразию SC.
Предполагая, что многообразие SC паракомпактно, введем
на его касательном расслоении х<% произвольную евкли-
евклидову метрику. Как мы знаем, это равносильно редукции
расслоения т#- к группе О (п). Если многообразие 3?
ориентируемо, то расслоение х% можно редуцировать даже
к группе SO(n). Пусть хер—ассоциированное главное
SO (я)-расслоение.
Так как при п — 2т группа SO (я) действует слева на
многообразии Wm, то определено расслоение xcg [Wm"\ с
типичным слоем Wm.
С другой стороны, так как все касательные простран-
пространства ТрЛ? ориентированы и евклидовы, то над многообра-
многообразием & определено расслоение а^, слоем которого над
каждой точкой р € % является пространство всех ортого-
ортогональных и кососимметрических операторов Тр % —> ЛрИС,
т. е. — ср. задачу 16—всех унимодулярных и ортогональ-
ортогональных операторов Ip: 1pSC ¦-+ Т'pSC, для которых Рр -- — id
(ортогональных комплексных структур на TpSF).
Задача 5. Покажите, что расслоения х<% [Wm] и а %
изоморфны.
Поскольку сечения расслоения ог^> — это в точности
поля Р1-*^ ортогональных комплексных структур
1р: ЧрХ—+1рЖ, этим доказано следующее предложение:
Предложение 1. Ориентируемое 2т-мерное параком-
пактное многообразие & (для которого на расслоении х<%
задана евклидова метрика) тогда и только тогда квази-
комплексифицируемо, когда на нем существует поле р*—*-1р
ортогональных комплексных структур (ортогональных и
кососимметрических операторов 1Р: 1р2С —*¦ ТрЗ?) или,
иначе говоря, комплексная структура
E) /:

КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМЫЕ СФЕРЫ 141
являющаяся одновременно изометрией (в каждом слое рас-
расслоения Tg). ?
Замечание 1. На первый взгляд кажется, что это
предложение может быть доказано значительно проще,
поскольку если т—квазикомплексная структура на SC%
то соответствующий автоморфизм B) будет, очевидно, изо-
изометрией относительно евклидовой метрики, отвечающей
произвольной эрмитовой метрике на т (см. выше). Однако
суть дела здесь в том, что существует автоморфизм B),
являющийся изометрией относительно произвольной
наперед заданной евклидовой метрики на т^, не полу-
получающейся, вообще говоря, ни из какой эрмитовой метрики
на т.
При п=2 группа Sp(l) совпадает, как легко видеть,
с группой SO B). Поэтому двумерное паракомпактное
многообразие {поверхность) тогда и только тогда квази-
комплексифицируемо, когда оно ориентируемо.
В своем месте мы покажем, что на самом деле любая
ориентируемая поверхность даже комплексифицируема.
При п > 2 ориентируемость квазикомплексифицируемо-
сти уже не обеспечивает. Например, для сфер S", я^2,
имеет место следующая теорема:
Теорема 1. Среди всех сфер S", п>2, квазикомплекси-
фицируемы лишь сферы §а и S*.
Доказательство этой теоремы мы должны начать до-
довольно издалека.
Координаты точек пространства R"+1 нам будет теперь
удобно нумеровать нижними индексами от 0 до л, а его
координатные орты обозначать символами е0, • • •, <?„. Кроме
того, пространство R" мы будем отождествлять с подпро-
подпространством пространства IR"+1, состоящим из векторов
дг = (лг0, ..., х„) с х„ — 0. В соответствии с этим столбцы и
строки матриц из SO(/z+l) мы будем нумеровать числами
от 0 до л и каждую матрицу А из SO (л) будем отожде-
отождествлять с матрицей
Н1Л ?!
!
из SO(n+ 1).
Введем теперь в рассмотрение отображение
F) р: SO(n + 2)->Sn+1,
сопоставляющее каждой матрице А ? SO (n 4- 2) ее послед-
последний столбец, т. е. точку Аеп+г сферы S"+1. [Это отобра-

142 КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМЫЕ СФЕРЫ
жение является не чем иным, как проекцией я главного
S-расслоения (Г, я, Г/3) из примера 2 лекции 1 при
Г = SO (n + 2) и S = SO(n+l); по традиции я заменяется
здесь на р.]
Предложение 2. Если сфера 8", п = 2т, квазикомп-
лексифицируема, то расслоение р: SO (п + 2) —>¦ Sn+1 обла-
обладает сечением
G) s:
Доказательство. Каждый вектор х?§п+1 един-
единственным образом представляется в виде
(8) х~ау-\-Ьеп+и
где а* + ?>2=;1, а>0 и у €S"cR"+1. С другой стороны,
если сфера S" квазикомплексифицируема, то согласно
предложению 1 на ней существует поле у*-*-1 у% у€§",
ортогональных кососимметрических операторов 1У: Ту S" —*
—«-TyS" (относительно метрики в TyS", индуцированной
вложением T))SncR'»+l).
Рассмотрим в пространстве Rn+i ортогональное допол*
нение (TyS")-1- подпространства T>PSncRn+1cRB+a. Ясно,
что это дополнение порождается векторами у и еп+1. Мы
распространим 1У до оператора Ау: Rn+t—+ RB+S, считая,
что на TyS" оператор Ау совпадает с оператором Iy, a
на (Tj,S")-L действует по "формуле
Ау {—ау + реп+1) = fry—aen+1, a, pбR.
Ясно, что каждый оператор Ау кососимметричен и орто-
ортогонален.
Отождествив оператор Ау с его матрицей, мы для лю-
любого вектора (8) положим
s(jtr) = Ci4j, +ЬЕ,
где Е — единичная матрица порядка п = 2. Так как
s (х)т s (х) = (аА] + ЬЕ) (аАу + ЬЕ) =
= а*Ау~Ау + ab(A] + Ay) + bsE =
^(а* + Ь*)Е = Е,
то матрица s(x) ортогональна, и значит отображение
s: jr»->s(A:) представляет собой отображение s: Sn+1—<•
—<-SO(n-(-2). Кроме того, так как
(р о s) (х) = s (х) еп+1 = аАуеп+1 + ben+1 = ay -Vben+1 = х,
то отображение s является сечением отображения р. ?

КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМЫЕ СФЕРЫ 143
Предложение 2 известно как теорема Кирхгофа.
Преимущество перехода от расслоения x&n(Wm) к рас-
расслоению (SO (л+ 2), р, Sn+1) состоит в том, что, поскольку
последнее расслоение главное, существование сечения G)
равносильно тривиальности этого расслоения (см. лекцию 1).
Задача 6. Докажите, что с расслоением (SO(я+ 2),
р, Sn+1) ассоциировано касательное расслоение %$n+i сферы
Sn+1 (т. е. в введенных в лекции 7 обозначениях это
расслоение является главным расслоением tSn+i). [Указа-
[Указание. Для любой точки x€Sn+1 и любого ортонормиро-
ванного базиса а0, ..., а„ пространства T*Sn+I семейство
(о,,, ..., ап, х) является ортонормированным базисом про-
пространства R"+* и любой ортонормированный базис послед-
последнего пространства может быть так получен.]
Отсюда следует, что условие существования сечения G)
равносильно тривиальности расслоения Tsn+«, т. е. парал-
параллелизуемости сферы Sn+1. Таким образом, если сфера S"
квазикомплексифицируема, то сфера Sn+1 параллелизуема.
Поэтому для доказательства теоремы 1 достаточно до-
доказать, что
А. Сферы S2 и 8е квазикомплексифщируемы.
Б. Если пф\, 3, 7, то сфера S" непараллелизуема.
[Окружность S1 параллелизуема очевидным образом,
а параллелизуемость сфер S8 и §' вытекает в силу теоремы
Кирхгофа из квазикомплексифицируемости сфер S* и S*.
Параллелизуемость сфер S3 и S7 легко, впрочем, доказы-
доказывается и непосредственно (см. ниже). Заметим, что, таким
образом, сфера S", п^2, квазикомплексифицируема тогда
и только тогда, когда параллелизуема сфера S"+1. Пря-
Прямого доказательства этого утверждения, по-видимому, не
существует.]
Доказательство утверждения Б требует топологических
конструкций, по существу выходящих за рамки нашего
изложения. Мы обсудим их в лекциях 24—27, а пока
займемся утверждением А.
В отношении сферы S2 никакой проблемы нет: мы знаем,
что эта сфера диффеоморфна комплексной проективной
прямой (сфере Римана) и потому является не только квази-
квазикомплексным, но даже и комплексным многообразием. Для
построения же квазикомплексной структуры на сфере S* нам
понадобятся некоторые сведения из алгебры, имеющие и
самостоятельный интерес.

144 АЛГЕБРА ОКТАВ
Пусть Са—пространство № пар (?, г\) кватернионов
(являющееся естественным образом линеалом над R), в
которое введено умножение по формуле
(9) & *))(*. </) = (&—<АЬ Щ + уЪ), I, Л. х, у^К
[Это в точности тот же прием, по которому комплексные
числа строятся из вещественных, а кватернионы—из комп-
комплексных чисел.]
Задача 7. Проверьте, что относительно умножения (9)
линеал Са является (неассоциативной!) алгеброй над полем R.
с единицей A, 0).
Элементы алгебры Са называются октавами или числами
Кэли. Октавы вида (?, 0) отождествляются с кватернио-
кватернионами 5, что вкладывает Н в Са в качестве подалгебры.
Любая октава (?, т)) равна 1-\-г\е, гдее = @, 1) и октавные
единицы
A0) /, /, k, e, f = ie, g = je, h^ke
вместе с единицей 1 образуют базис алгебры Са.
Попарные произведения октавных единиц схемати-
схематически изображаются диаграммой
ff
Произведение любых двух единиц A0) равняется с точ-
точностью до знака единице, расположенной на той же пря-
прямой (или окружности), а знак определяется направлением
стрелок. Например, eh = k и // — — h.
Квадрат каждой единицы A0) равен —1.
Вещественная часть Re? кватерниона 5 называется
вещественной частью октавы и = | + гр и обозначается
символом Re и (употребляется также символ Sp и).
Октава ?— tje называется сопряженной октаве и = I + гр
и обозначается символом и. _Из формулы D) непосред-
непосредственно следует, что число tttt выражается формулой
(И) »й =

КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМОСТЬ СФЕРЫ S» 145
и, следовательно, вещественно, неотрицательно и равно
нулю тогда и только тогда, когда и = 0. Арифметический
квадратный корень из числа ии обозначается символом
| и | и называется нормой (или модулем) октавы и. Заме-
Заметим, что Utt — uu.
Из формулы A1) следует, что при афО октава и~х =
= и/\и\2 удовлетворяет соотношению и~1и—ии~1=1.
Таким образом, в алгебре Са любой отличный от нуля
элемент и обратим.
Далее, легко видеть, что для любых октав и и v
имеет место равенство
A2) \uv\=--\tt\-\v\
(в алгебре Са норма мультипликативна). Действительно,
если и = Ъ,-\-ч\е и v = x + ye, то
| UV |« - 11х-Ъ\ |2_г | Т)*+ У\ |2_=
= (Ъх—УЧ) (х1—щ) + {г\х + у\) (хг\
Поэтому, если y = h-\-y', где Я^К и у' = — у', то
\uv\2—|e|«|t»|« =
=- Фс) ш-пт) (f I) + (n*) ш -:- (yl) (щ) -
= *-(—lxi\—1\хЪ + i\xl + 1x1)) —
& 1) у' И- у' A)х% + Ixri) = О,
ибо кватернион |xt)-l-t].x:I вещественен и, значит, переста-
перестановочен с кватернионом у'. ?
Из формулы A2) непосредственно следует, что алгебра Са
не имеет делителей нуля (т. е. uv Ф 0 при и Ф 0 и v Ф 0).
При отождествлении Са с R8, определяемым базисом A0),
норма в Са переходит в обычную евклидову норму в R*,
октавы с нормой 1 отождествляются с точками сферы S7,
а мнимые октавы (ортогональные 1) с нормой 1 отожде-
отождествляются с точками ее экватора S*. Так как умножение
справа на октаву v € S7 является ортогональным преобра-
преобразованием Са—<-Са (оно линейно над R и в силу A2)
сохраняет длины), то для любой октавы и ? S* октава uv
ортогональна октаве 1 <о = V. Это означает, что для любой

146 КВАЗИКОМПЛЕКСИФИЦИРУЕМОСТЬ СФЕРЫ $•
точки ir?S' (а потому и для любой точки v?Ca) умно-
умножение 1„: Са —*-Са слева на а (также являющееся орто-
ортогональным преобразованием) удовлетворяет соотношению
(Luv, г>) = 0 и, значит, представляет собой кососиммет-
рическое ортогональное преобразование Са —* Са. Вектор 1
это преобразование переводит в вектор и, а вектор а —
в вектор иа = —1. Поэтому оно индуцирует (также косо-
симметрическое и ортогональное) преобразование /и каса-
касательного пространства T«S' (являющегося ортогональным
дополнением в Са к векторам 1 и и). Таким образом, мы
построили на Se поле и\-*-1и кососимметрических ортого-
ортогональных операторов, т. е. квазикомплексную структуру.
Это доказывает утверждение А.
Аналогичная конструкция возможна, конечно (с заменой
октав кватернионами), и для сферы S2.
Задача 8. Докажите, что получающаяся на S2 квазикомп-
квазикомплексная структура совпадает с квазикомплексной структурой, возни-
возникающей из отождествления S' = CP1.
Вопрос о том, является ли сфера S' комплексно-ана-
комплексно-аналитическим многообразием, до сих пор открыт.
Сфера S*, конечно же, вложена в R8. Поэтому утвер-
утверждение о ее квазикомплексифицируемости вытекает также
из следующего общего предложения:
Предложение 3. Любое ориентируемое шестимерное
многообразие, вложимое в пространство R8, квазикомп-
лексифицируемо.
Для доказательства этого предложения нам понадобится
более внимательно изучить подпространства алгебры Са,
Для любого двумерного подпространства ^сСа мы
введем в рассмотрение множество Z(9>) всех октав и?Са,
для которых ^вс^. Ясно, что Z{9") является линейным
подпространством алгебры Са.
Так как для каждой октавы и ? Са с | и | — 1 умноже-
умножение Ru справа на и является ортогональным преобразо-
преобразованием Са —»¦ Са евклидова пространства Са, то для любой
октавы и € Са, ифО, умножение Ru на и будет гомотетией
этого пространства. Следовательно, при u^Z^) ограни-
ограничение умножения Ru на 5* будет гомотетией двумерного
евклидова пространства 5*. Но, выбрав в 5* базис и тем
самым отождествив 5* с Ra = C, мы можем каждую гомо-
гомотетию 5* —* 9" реализовать как линейное преобразование
вида 7'^aetvz. Это задает некоторое—очевидно, линейное

МНОГООБРАЗИЯ РАЗМЕРНОСТИ 6 147
над R—отображение
A3) Z(f)-*C, Ur-we'v
линеала ZE*) в поле С. Так как алгебра Са не имеет
й б A3) (
() р
делителей нуля, то отображение A3) инъективно (является
мономорфизмом).
Задача 9. Покажите, что для любых октав и, v ? С
О,
1) имеет место равенство
u(u-1v) = v;
2) существуют такие вещественные числа а и Ь, что
[Указание. а = ^Й,
L аи ии
Отсюда следует, что для любых октав tt,
имеет место включение
A4) и-1© €2E»).
[Действительно, если октавы и и v линейно зависимы,
то включение A4) очевидно, а если эти октавы линейно
независимы (и, значит, порождают 5»), то включение A4)
имеет место тогда и только тогда, когда и{и~^)^^ и
•о {tt~iv) e 5е]
Поэтому dim Z E*) = 2, и значит отображение A3) яв-
является изоморфизмом. При этом линеал Z (9*) порождается
элементами 1 и w— tt~xv, где и, v—произвольный базис
пространства Р.
Задача 10. Докажите, что для любой октавы w6Со
имеет место равенство
A5) w1—2Rew-w-f |«>|а = 0.
[Указание. Аналог равенства A5) справедлив для
комплексных чисел и для кватернионов.]
Из равенства A5) непосредственно следует, что ли-
линеал Z{f) (с базисом I, w) является подалгеброй ал-
алгебры Са. [Заметим, что из-за неассоциативности умноже-
умножения в Са, из включений 5*ис5* и S*vc:3* еще нельзя
непосредственно заключить, что 5*(й©)с5».]
Лемма /. Для любых октав и, w?Ca имеет место
равенство
(uw) w==u\

148 МНОГООБРАЗИЯ РАЗМЕРНОСТИ 6
Доказательство. Пусть. и = % + г\е и w — x+ye.
Тогда
uw = {Ъх + уг\) + (щ 4- у%) е,
(uw) w =- {Ь—'уг]) х—'у (щ + «/?) +
+ [fox+j?) х +jf Fx—
ww = (х*—уу) + G/
й (ш) =1 (х2—уу) —
+ Ых2—УУ)
а так как кватернионы уу и х+х вещественны и потому
перестановочны с любым кватернионом, то
5 (•**—W) — (ух + ух) т) = ?л:г—%jy—(х + х) уг\ =
J1 х) =
т) (х2—уу) + (ух + ух) I =-- цх2—г\уу-{-у(х-<- хI =
= цх'—ууц + у\ (х + х) =
= (i^ + yl) х 4- У (Ъх—у\\).
Следовательно, (uw)w — u(ww). п
Задача 11. Выведите из леммы 1, что отображение
A3) является изоморфизмом алгебр.
Заметим, что этот изоморфизм зависит от выбора в под-
подпространстве 5* базиса и, v. Впрочем, эта зависимость до-
довольно слабая, поскольку поле С имеет над R только два
изоморфизма—тождественный и изоморфизм комплексного
сопряжения zy->z, и значит, любые два изоморфизма
Z(!P) —>• С либо совпадают, либо отличаются на комплексное
сопряжение. При этом если два базиса пространства 51
непрерывно деформируемы друг в друга (определяют
одну и ту же ориентацию этого пространства), то, конеч-
конечно, должен иметь место первый случай. Следовательно,
для любого ориентированного двумерного подпространства
РсСа алгебра Z(9b) естественно (без какого-либо произ-
произвола) изоморфна полю С.
Непосредственное вычисление показывает, что скаляр-
скалярное произведение в Са, отвечающее норме \и\, задается
формулой
(х, e)

ПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ КВАЗИГРУПП 149
(Заметим, что по отношению к этому произведению базис
A0) ортонормирован.) Поэтому произвольное шестимерное
подпространство QcCa можно задать линейными уравне-
уравнениями вида
Re (ха) = 0,
где и пробегает двумерное подпространство Q1.
Задача 12. Докажите, что
для любых октав да, х, и^Са.
Отсюда вытекает, что если л: g Q и да ? Z (Q-L), то wx 6 Q
и, следовательно, что подпространство Q является линеа-
линеалом над полем Z Es). Поскольку ортогональное дополне-
дополнение Q-1- ориентированного подпространства Q естественным
образом ориентировано (мы считаем, что в Ся введена ори-
ориентация, по отношению к которой базис A0) положите-
положителен) и, значит, поле Z(Q-L) может быть отождествлено с
полем С, этим доказано, что каждое ориентированное
шестимерное подпространство Q с Са обладает естествен-
естественной комплексной структурой.
Теперь мы уже можем доказать предложение 3.
Доказательство предложения 3. Не теряя
общности, мы можем считать J2* ориентированным подмно-
подмногообразием алгебры Са и, значит, каждое касательное
пространство Тр$", p?S?,— ориентированным подпростран-
подпространством этой алгебры. Но тогда, согласно только что дока-
доказанному утверждению, каждое пространство будет обла-
обладать естественной комплексной структурой. Поскольку эти
структуры, очевидно, гладко зависят от р, это доказывает
предложение 3. П
Множество $ с умножением
A6)
называется квазигруппой (точнее, правой квазигруппой),
если для любых двух элементов а, Ь€$ уравнение ах—Ь
однозначно разрешимо, т. е. если для любого элемента
$ левый сдвиг
является биективным отображением % —>¦'&. Если % явля-
является топологическим пространством (гладким многообра-

150 ПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ КВАЗИГРУПП
зием), умножение A6) непрерывно (гладко) и все отобра-
отображения La: Ъ —* 9, а (Е S, представляют собой гомеоморфиз-
гомеоморфизмы (диффеоморфизмы), то квазигруппа % называется топо-
топологической квазигруппой (соответственно гладкой квази-
квазигруппой или квазигруппой Ли).
Выбрав и зафиксировав в S элемент е, мы для каждого
элемента а?5 обозначим через а' такой элемент из S,
что Ьа'в — а. Если квазигруппа % гладкая, то для отобра-
отображения La- будет определен его дифференциал {dLa>)t в
точке е, являющийся невырожденным линейным отображе-
отображением
Поэтому для любого—раз и навсегда выбранного—базиса
пространства Те5? его образ при отображении (dLa>)e будет
базисом пространства Та8. Тем самым, для любой точки
а € $ в пространстве Та§ будет определен некоторый базис,
гладко зависящий от точки а, т. е. будет построена неко-
некоторая тривиализация расслоения т!5. Это доказывает, что
каждая гладкая квазигруппа является параллелизуемым мно-
многообразием.
Гладкими квазигруппами являются, в частности, сферы
Sx, S* и S7 (соответственно по отношению к умножению
комплексных чисел, кватернионов и октав; при этом ква-
квазигруппы S1 и S3 являются, конечно, группами). Поэтому
сферы S\ S* и S' параллелизуемы (факт, впрочем, нам
уже известный; см. выше).
Посмотрим, нельзя ли конструкцию умножения на
сферах Sl,Sa и S7 обобщить на сферы других размерностей.
Алгебра Л над полем К называется алгеброй с деле-
делением, если для любых элементов а, Ь?Л*, где ^* = «€\{0}.
уравнение ах — Ь однозначно разрешимо, т. е. если отно-
относительно имеющегося в Л* умножения множество А* яв-
является квазигруппой.
Задача 13. Докажите, что если алгебра Л конечно-
конечномерна, то в Л* уравнение ах = Ь однозначно разрешимо
тогда и только тогда, когда однозначно разрешимо урав-
уравнение ха = Ь. [Указание. Оба условия [на алгебру Л
равносильны тому, что Л является алгеброй без делите-
делителей нуля, т. е. тому, что аЬфО при афО и ЬфО.]
Две алгебры Лг и Л2 называются изотопными, если
существуют такие биективные линейные отображения А,

ВЕЩЕСТВЕННЫЕ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ 151
В, С: Л1-^Л2, что
для любых элементов х, у^Л^.
Ясно, что любая алгебра, изотопная алгебре, с деле-
делением, также является алгеброй с делением.
Задача 14. Покажите, что любая алгебра с делением Л изотоп-
на алгебре с делением, имеющей единицу. [У к*а з а н и е. Произвольно
выбрав отличный от нуля элемент е?Л, примите за А и В отобра-
отображения хь-+ех и xt->хе.]
Пусть Л—конечномерная алгебра с делением над по-
полем R и пусть я+1—ее размерность. Произвольным об-
образом введя в алгебру Л евклидову метрику, обозначим
через S" множество всех ее элементов нормы 1, а через
Ф—отображение A* —*S", определенное формулой
где \а\—норма элемента а. Если a, b?Sn, то ab?A*,
потому определен элемент q>(ab)?S". Мы введем в S"
умножение #, положив для любых элементов a, b?Sn
По условию для любых элементов a, fc^S" в Л* суще-
существует такой элементу, что ау = Ь. Пусть х=*<р(у). Тогда
и, значит, у(ах) = Ь, т.е. а*х — Ь. Следовательно, по
отношению к умножению * сфера S" является квазигруп-
квазигруппой и потому параллелизуема.
Таким образом, конструкция умножения на сферах S1,
S\ S7 действительно допускает обобщение. Однако она
дает не новые параллелизуемые сферы, а в силу утвержде-
утверждения Б—у нас пока не доказанного!—показывает, что алгеб-
алгебры с делением над полем R могут существовать лишь в
размерностях 1,2,4 и 8. [Примеры алгебр IR, С,Н и Са
показывают, что в этих размерностях алгебры с делением
действительно существуют. Конечно, в этих размерностях
существуют и другие алгебры с делением—например, ал-
алгебры, изотопные алгебрам R, С, Н и Са.]

152 ВЕЩЕСТВЕННЫЕ АЛГЕБРЫ С ДЕЛЕНИЕМ
Было бы интересно доказать отсутствие над полем R
алгебр с делением размерностей пф\, 2, 4, 8 чисто
алгебраически (с использованием лишь простейших топо-
топологических свойств поля R.) Несмотря на длительные уси-
усилия многих математиков, это пока удалось сделать лишь
при тех или иных дополнительных ограничениях на ал-
алгебру Л (например, в предположении, что эта алгебра
является так называемой алгеброй с ассоциатив-
ассоциативными степенями).
Мы вернемся к обсуждению этих вопросов в лекции 24.

Лекция 9
Геометрии Клейна.—Расслоения типа ($,$Г).—Сравнение
(#• аГ)-расслоений с расслоениями % W\-— Редукция
Ь&< ^-расслоений.— Редукция главных расслоений.—
Двулистное накрытие неориентируемого многообразия.
В этой лекции мы рассмотрим понятие редуцирован-
редуцированности для произвольных локально тривиальных расслое-
расслоений со структурной группой. Для этого нам будет удобно
заново определить эти расслоения без апелляции к глав-
главным расслоениям. Поэтому в материале лекции 1 мы пока
нуждаться не будем.
В первую очередь нам нужно перенести на общий слу-
случай понятие линейного ^-пространства.
Пусть группа $ действует слева на множестве ?'.
Определение 1. Множество Ж называется простран-
пространством типа ($, <F), если задано такое множество Соог .2*
биективных отображений
р: %-+?,
что
а) если р ? Соог X, то La о р ? Соог X для любого эле-
элемента a^'S;
б) если р, q€.Coar&, то существует такой элемент
a?S, что q^Laop.
Если группа $ действует на множестве W эффективно,
т. е.— см. лекцию 1—если La — \A только при а = е, то
элемент а единственен.
Пространства типа (#, ?) называются также (S, JT)-
пространствами. Если множество SC является A5, ^-про-
^-пространством, то говорят, что в нем определена (#, ^-струк-
^-структура или что оно несет E?, ?)-геометрию.
Пример 1. Так как для любого линейного простран-
пространства "У3 линейные изоморфизмы "Р—>К" находятся в ес-
естественном биективном соответствии с базисами в "У3, то
для каждой подгруппы ScGL(n; К) линейные S-простран-
ства—это в точности пространства типа (#, К").
В частности, пространства типа (GL(n;K), К")—это
n-мерные линейные пространства над полем К.
Пример 2. Аналогично, если Aff(n; К) — группа всех
аффинных (неоднородных линейных) преобразований про-
пространства К", то (Aff(n;K), К")-пространства—это в точ-
точности л-мерные аффинные пространства над полем К".

154 ГЕОМЕТРИИ КЛЕЙНА
Пример 3. Пространства типа (Proj (я; К), КЯ"), где
Proj(n; К)—группа всех проективных преобразований
КРп—+КРп,— это /г-мерные проективные пространства над
полем К".
Эти три примера мы уже подробно рассматривали в
лекции 1.30. В каждом из них отображения из Соог-Я"—
это в точности координатные изоморфизмы. На этом осно-
основании и в общем случае произвольного (S, ?)-пространства
Зу отображения из Соог .Я* называются |г координатными
изоморфизмами.
Пример 4. Само пространство ? будет пространством
типа ($, W), если мы примем^ за Соог W множество всех
отображений ?—+? вида La, a?$.
Пусть SC и &—два пространства типа ($, ?). Биек-
Биективное отображение
f: %-^<У
называется (#, ?)-изоморфизмом (или просто изоморфиз-
изоморфизмом), если его можно включить в коммутативную диаграмму
вида
0) р\ L U
где p^Coor^", q € Соог 2/ и а?$. Если ^-пространство ?
эффективно, то при данных р и q элемент а определяется
единственным образом.
Задача 1. Покажите, что в диаграмме A) коорди-
координатные изоморфизмы р и q можно задать произвольно:
если для данного отображения / элемент а?# существует
гри одном выборе этих изоморфизмов, то он существует
и при любом другом их выборе (но, конечно, будет другим).
Изоморфизмы ($, ^-пространства & на себя называ-
называются его автоморфизмами. Они составляют группу Aut SC.
В случае, когда группа $ эффективно действует на ?,
эта группа изоморфна группе 55.
Замечание 1. Идея характеризовать геометрию груп-
группой ее автоморфизмов принадлежит Клейну. (Она была
высказана им в так называемой «Эрлангенской программе».)
На этом основании E?, еГ)-геометрии называются также
геометриями Клейна.
Если ? является топологическим пространством (глад-
(гладким многообразием), а %—топологической (гладкой) груп-
группой, непрерывно (гладко) действующей на ?, то мы можем

РАССЛОЕНИЯ ТИПА (», Г) 155
ввести в каждое (#, ?)-пространство SC топологию (глад-
(гладкость), перенеся ее в % посредством произвольного коор-
координатного изоморфизма р: %—>¦?. (Очевидно, что это
определение корректно, т. е. не зависит от выбора р.)
Именно этим способом мы и вводили гладкость в ве-
вещественные линейные и аффинные пространства; см. лек-
лекцию III.11.
Вернемся теперь к расслоениям.
Пусть ?—топологическая группа, непрерывно дейст-
действующая на топологическом пространстве ?.
Определение 2. (Ср. с определением 3 лекции 7.)
Расслоение ? —{<В, я, !В) называется расслоением типа
(», ?), если
а) слой ?ь—п~1(Ь) над любой точкой b?93 является
пространством типа ($, ?);
б) существуют такое открытое покрытие {Ua} простран-
пространства S3 и такие послойные гомеоморфизмы
что для каждой точки b?Ua отображение
B) Фа.;.: F — ^ь*
является (S,-^-изоморфизмом (т. е.—что равносильно —
если обратное отображение ц>п}ь: ^ь~*^ является коор-
координатным изоморфизмом из CooreF(,).
Расслоения типа (?, <F) называются также (#, ?)-рас-
слоениями.
Гомеоморфизм фа называется тривиализацией ($, ?)•
расслоения ? над 0а. Иногда тривиализацией называется
пара (Ua, Ф«).
Множества Ua называются тривиализирующими окре-
окрестностями, а семейство {{Ua, q>aj} тривиализаций (?/«, Фа)
— тривиализирующим атласом (S, #")-расслоения %.
Векторные ^-расслоения являются частным случаем
C, ^-расслоений, получающимся при ? =К" и $cGL(n; К).
Другие частные случаи—у нас еще не встречавшиеся—
это аффинные и проективные расслоения. Для аффинных

156 РАССЛОЕНИЯ ТИПА (», S)
расслоений ? = КП и 3-=Aff(n;K), а для проективных —
J = KP" и S = Proj(n;K).
Задача 2. Докажите, что для любого (g, ^-расслоения проект
ция я: $ —»¦ 3& является открытым, отображением.
Пусть ? = (<?, я, 53) и ?'=•(<?', я', 53)—два ($, ^-рас-
^-расслоения над пространством 53.
Определение 3. Послойный гомеоморфизм
/: ?-+ <?'
над 59 называется C, ?)-изоморфизмом, если для любой
точки й?53 индуцированное им отображение
U- ^ь — 3"ь
слоев является (^, ^")-изоморфизмом (%, ^-пространств.
Замечание 2. Мы вынуждены ограничиться здесь
(в отличие от специального случая векторных расслоений;
см. определение 2 лекции 6) лишь изоморфизмами потому,
что общее понятие морфизма (#, (F)-npocTpaHCTB у нас не
определено.
Задача 3. Дайте—по возможности наиболее общее—определе-
общее—определение морфизмов аффинных и проективных расслоений.
Если тривиализации (t/a, фа) и (t/p, фр) из тривиали-
зирующего атласа (?, 1")-расслоения | — (&, я, 5Э) обладают
тем свойством, что Uaf\U$?= 0, то для любой точки
bzUaftUfj определен (S, ^-автоморфизм
ФраФ) = фр.б ° Фа, Ь' ?—+?
пространства ?. Если действие группы % на пространстве
? эффективно, то этот автоморфизм единственным образом
представляется в виде La, где а^Ъ. Мы будем отождеств-
отождествлять а с <рра(&) и тем самым считать <рра(&) элементом
группы Ъ. В силу этого соглашения формула
будет задавать некоторое отображение
Для любого топологического пространства U и любого
непрерывного отображения ф: U—># отображение
ф: Ux?-*?,
определенное формулой

РАССЛОЕНИЯ ТИПА (», У) 157
очевидным образом непрерывно (оно является композицией
непрерывного отображения
<pxid:
и действия 3x<F—*?).
Определение 4. Действие группы S на пространстве
<F (а также само ^-пространство ?) называется топологи-
топологически эффективным, если отображение вида ф: U —+Ъ
непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывно ото-
отображение ср: Ux? —>¦?.
Задача 4. Докажите, что любое топологически эф-
эффективное действие непрерывно и эффективно.
П р и м е р 5. Согласно лемме 1 лекции 6 действие группы
GL(n;K) на пространстве К" топологически эффективно.
Задача 5. Покажите, что действия группы Aff(«; К)
на К" и группы Proj (n; К) на КР" топологически эффек-
эффективны.
При U = Ua()Ufl и Ф = ф0а отображение ф является не
чем иным, как композицией рг о (фр1 о фа) гомеоморфизма
Фр1 о фа: U х ? —> U х ? и проекции U х ? —* ? и потому
непрерывно. Следовательно, если Ч> действует на ? топо-
топологически эффективно, то отображение фра непрерывно.
Задача 6. Покажите, что
а. Отображения фра составляют коцикл q> тривиали-
зирующего покрытия 1Д = {И} над группой Ъ (см. опреде-
определение 3 лекции 6).
б. Класс когомологий [<р] € Н1 (Ц; %) этого коцикла не
зависит от выбора тривиализаций фа.
в. Формула Е^[<р] устанавливает биективное соот-
соответствие между множеством классов изоморфных C, ?)•
расслоений над 3i с данным тривиализирующим покрытием
U и множеством #1(Ц;$). (Ср. теорему 1 лекции 6.)
Заметим, что построение (?, ?)-расслоения 1 по ко-
коциклу <р = {фза) может быть осуществлено даже для не-
неэффективных ^-пространств ?. Однако в этом случае
некогомологичные коциклы могут давать изоморфные рас-
расслоения (и, конечно, не любое ф, ?)-расслоение будет
задаваться коциклом).
Сравнение задачи 6 с замечанием 2 лекции 6—а так-
также пример 3 лекции 6—подсказывает, что (#, ? ^расслое-
^расслоения по существу совпадают с расслоениями вида |[<F],
где |—произвольное локально тривиальное главное $-рас-

158 СРАВНЕНИЕ (», Я-РАССЛОЕНИЙ
слоение (и, значит, дают прямое описание локально три-
тривиальных расслоений вида |[<F], не апеллирующее к
главным расслоениям).
Разберем этот вопрос подробнее (ср. пример 3 лекции 6).
Конечно, знакомство с лекцией 1 теперь предполагается.
Пусть 1 = (8, я, 33)—произвольное главное $-рас-
слоение и пусть ? = 1[<F], где ? — пока произвольное
левое ^-пространство. Как мы знаем (см. формулу A2)
лекции 1), для любой точки р?& формула
/я(*)=[/>, х]~, *?<Г,
определяет гомеоморфизм }р: of—»-<Fb пространства #" на
слой §~ь расслоения ? над точкой Ь = л(р) (являющейся
орбитой р$ точки р). Если q—другая точка орбиты b и
если р -^ qa, где а ? %, то для любой точки х F
(/;1 ° \р ) (х) = 1д ' [р, х] = /-l [q, ax] = ах,
т. е. /r1o/p = Le. Это показывает, что множество всех
отображений вида /-1 удовлетворяет условиям а и б оп-
определения 1. Приняв это множество за Coor<Fb, мы тем
самым введем в ?ь некоторую (?, ^")-структуру.
Пусть главное расслоение \ локально тривиально, т.е.
пусть некоторое открытое покрытие {Ua} пространства 53
обладает тем свойством, что для любого а существует
эквивариантный гомеоморфизм
главных ^-пространств. Рассмотрим отображение
Фа: Uax?-+?ua=--n'Wa,
определенное формулой
Фа(Ь, х) = [<ра(Ь, е),х]я, b€ Ua,
где, как всегда, е—единица группы Ъ. Легко видеть, что
это отображение является послойным гомеоморфизмом
(обратный гомеоморфизм задается формулой
[р, х]9*->ф, ах),
где b = я (р) и а — т (<ра (Ь, е), р)—такой элемент группы Ъ,
что <Qa(b,e)a = p). При этом для любой точки b$Ua ото-
отображение фа> л'. х»-»>фа(Ь, х) из IF в ?ь будет не чем
иным, как отображением /р при р—Ч>а(Ь, ё), и значит
будет изоморфизмом ($, аГ)-пространств.

СРАВНЕНИЕ (f, У)-РАССЛОЕНИЙ 159
Тем самым доказано, что для любого локально триви-
тривиального главного ^-расслоения %\'расслоение % — %[F] яв-
является (S, ?)-расслоением. *
Обратное утверждение верно только в предположении,
что группа  действует на пространстве ? топологически
эффективно.
Пусть ? = (<?, я, 33)—произвольное (?, ^-расслоение.
Рассмотрим множество
8= U СоггГь
и отображение
я: 8 -+S,
определенное формулой
л (р) = Ъ, если р ? Согг ?ь.
Пусть {Ua}—тривиализирующее покрытие расслоения 5.
По условию для тривиализации фа: UaxKn —>- <8иа рас-
расслоения ? над Ua и любой точки b?Ua отображение
4>a.V ?b—>eF принадлежит множеству CoorJFb. Поэтому,
положив
F) L1^ b?Ua, a6»,
мы получим некоторое—очевидно, послойное и биектив-
биективное—отображение
Ф«: f/ax»-* 8?/a= U Coorf6.
Ьеиа
Введем в множество 8 иа топологию, считая это отображе-
отображение гомеоморфизмом (т.е. объявляя множество 0<=8уа
открытым в том и только в том случае, когда множество
ф„хО ОТКрЫТО В UaX$).
Лемма /. Пусть множество SC является объединением
множеств &а, в каждое из которых введена топология Та.
Если для любых аир пересечение Я?а П #3 открыто в &а
(а значит по симметрии—и в &$) и если топологии,
индуцированные на ЗСа[\ЗСь топологиями Та и Тр, совпа-
совпадают, то на SC существует единственная топология Т,
по отношению к которой все множества SCa открыты и
на каждом из них топология Т индуцирует топологию Та-
Доказательство. Единственность. Если то-
топология Т существует, то множество О с 3? тогда и
только тогда открыто в SC, когда для любого а Пересе-

160 СРАВНЕНИЕ (». Л-РАССЛОЕНИЙ
чение ОГ\&а открыто в &а. Следовательно, топология Т
единственна.
Существование. Назовем множество О с X откры-
открытым, если для любого а пересечение О(] &а открыто в SCa.
Ясно, что все такие множества составляют топологию Т
в Ж. При этом—в силу условия, наложенного на Та,—
если О с 2Са> то О тогда и только тогда открыто в X,
когда 0 открыто в SCa. Следовательно, ЗГа открыто [в SC
и топология Т индуцирует на 3?а топологию Тв. ?
[Заметим, что топология в гладкое многообразие %
вводится—см. лекцию III.7—фактически на основе этой
леммы (с координатными окрестностями Ua в роли под-
подпространств ?а)-]
Чтобы применить лемму 1 к множеству i" = 8 и топо-
топологическим пространствам Я'а— 8с/а> мы должны доказать,
что для любых аир пересечение 8иаЛ8у„ открыто
в 8уа и топологии пространств 8уа и 8ур индуцируют
на нем одну и ту же топологию. Поскольку
а Фа1(8с/ап?/р) = (^аП^/з)х!§, первое утверждение сле-
следует из того, что пересечение Ua Г) Up открыто в Ua. Что
же касается второго утверждения, то оно равносильно
утверждению, что отображение
непрерывно (и значит—по симметрии — является гомео-
гомеоморфизмом).
Но так как для любых элементов b^,UanU^, a?#
фа (Ь, а) = L о <р?ь = La1 о фра (Ь) - *
о
1 „,
то это отображение действует по формуле
(Фэ'офа) (*, a) =• (b, Фра(Ь) а), Ь € Ua П ?/„, а 6 »,
и, следовательно, непрерывно (напомним, что й-простран-
ство W мы предполагаем топологически эффективным).
Поэтому для множества 8 и подпространств 8i/a все
условия леммы 1 выполнены, и значит в 8 существует
единственная топология, по отношению к которой все
пространства 8иа являются открытыми подпространствами.
Поскольку каждое из отображений фа представляет
собой по отношению к этой топологии послойный гомео-

РВДУКЦИЯ (*. У)-РАССЛОЕИИЯ 161
морфизм, отображение я непрерывно и открыто (на каж-
каждом &иа, а потому и на всем 8).
Мы определим на 8 действие справа группы Ъ фор-
формулой
(напомним, что р?Соог$Гь для некоторого b?53, и потому
композиция L^op определена и принадлежит Coor<?Tb).
Так как по отношению к этому действию (и стандартному
действию группы Ъ на ?/ах#) отображения фа, очевидно,
эквивариантны, то это действие непрерывно, свободно и
отображение сдвига для него непрерывно (на каждом &иа>
а значит и на всем 8). Таким образом, расслоение
§ = (8,я,#)
является главным $-расслоением.
Задача 7. Покажите, что формула
[р, х],*-*р-1(х), ре&, х??,
корректно определяет изоморфизм % [3~] --* \ ассоциирован-
ассоциированного расслоения ![$"] = (8 Х$~, зт, SB) на расслоение I.
Таким образом, если ^-пространство If топологически
эффективно, то с точностью до изоморфизма (S, ?)-рас-
слоения—это локально тривиальные расслоения со струк-
структурной группой # и слоем <F.
Рассмотрим теперь редуцирование (S, 5")-расслоений
к подгруппе з% группы Ъ.
Снабженная индуцированной топологией подгруппа Ж
является топологической группой, непрерывно действующей
на '.''/-пространстве ? (так-что каждое S-пространство cf*
автоматически является и .'/^-пространством). При этом
ясно, что если группа '.5 действует на <?Т эффективно (или
топологически эффективно), то подгруппа Ж также дейст-
действует эффективно (или соответственно топологически эффек-
эффективно).
Любое (т5?, |")-пространство '& мы можем единственным
образом превратить в (#, (У)-пространство с тем же
множеством точек, объявив координатными изоморфизмами
все отображения вида Laoq, где <7?Coor2/, a ?$. (Под-
(Подчеркнем, что <?Т здесь с самого начала предполагается
^-пространством.) При этом каждый {Ж, <5Г)-изоморфизм
{Ж, «Г)-пространств будет, очевидно, и (SJ, ^-изоморфиз-
^-изоморфизмом соответствующих (?, ^-пространств. Поэтому если в
6 м. М. Постников, сем. IV

162 РЕДУКЦИЯ (f, Г)-РАССЛОЕНИЙ
некотором (Ж, ?)-расслоении мы указанным образом пре-
превратим все слои в ($, ?)-пространства, то в результате
получится (?, еГ)-расслоение (с теми же самыми тривиали-
зациями ((/„, фа)).
В этом смысле каждое (Ж, ?)-расслоение является
также и C, ?)-расслоением.
Обратно, каждое ($, еП-пространство & мы можем
превратить в (Ж, <Г)-пространство SC^ с тем же мно-
множеством точек, выбрав произвольный координатный изо-
изоморфизм /70бСооГ"#* и ограничившись лишь координат-
координатными изоморфизмами вида La°p0, где а?Ж. Однако,
в отличие от предыдущего случая, эта процедура не
однозначна и зависит от выбора изоморфизма р0, а ($, Ж)-
изоморфизмы отнюдь не будут автоматически (Ж, йГ)-изо-
морфизмами.
Задача 8. Покажите, что выбор изоморфизмов р0,
рг^СоотЯ" тогда и только тогда приводит к одному и
тому же (Ж, ?)-пространству &?%, когда элемент а?!?,
удовлетворяющий соотношению pt ~=La°pv, принадлежит
подгруппе Ж.
[Таким образом, различные (Ж, <Г)-структуры на X,
получающиеся из одной и той же (#, JH-структуры, нахо-
находятся в биективном соответствии с точками пространства
$/Ж левых смежных классов группы Ч по подгруппе Ж.]
Если мы теперь хотим превратить данное (S, cF)-pac-
слоение i = (<^, л, 33) в {Ж, еГ)-расслоение, то нам нужно
ввести (Ж, ^)-структуры во все слои ?ь, b ^ Si, одновре-
одновременно и притом так, чтобы хотя бы для одного тривиали-
зующего атласа {(Ua, фа)} расслоения I все отображения
B) оказались (Ж, (Г)-изоморфизмами. Как показывает
пример векторных расслоений, это удается сделать не
всегда.
Определение 6, Мы будем говорить, что ($, гГ)-рас-
слоение редуцируется к подгруппе Ж (или к (Ж, оТ)-рас-
слоению г\), если существует (Ж, |Г)-расслоение ч\, которое
после введения в его слои (?, «Г)-структуры превращается
в расслоение Е. Расслоение т) мы будем называть Ж-редук-
цией расслоения I, а расслоение § соответственно ^-расши-
^-расширением расслоения т).
Подчеркнем, что ^-расширение всегда существует (когда
в ? задана структура ^-пространства) и определено един-
единственным образом, тогда как 5^-редукция существует не

РЕДУКЦИЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЙ 163
всегда, а когда существует, то, вообще говоря, не един-
единственна.
Подчеркнем также, что тотальные пространства, базы
и проекции расслоений ? и ц совпадают, т. е. эти расслое-
расслоения отличаются лишь (S, <Г)-структурами.
Легко видеть (ср. предложение 1 лекции 7), что если
'3-пространство W топологически эффективно, то {"§, <$Г)-
расслоение ? тогда и только тогда редуцируется к под-
подгруппе Ж, когда для него существует такой тривиали-
жрующий атлас {(?/„, фа)}, что соответствующий
склеивающий коцикл {фра} принимает значения в под-
подгруппе Ж. Действительно, если ^-редукция х\ существует,
то любой тривиализирующий атлас расслоения г\ будет
обладать этим свойством. Обратно, если такой атлас
{{Ua> Фа)} существует, то(-/5?, с7")-расслоение г\, построенное
но коциклу {фра}, рассматриваемому как коцикл над
группой Ж', будет "/^-редукцией расслоения |. ?
Здесь удобно перейти к соответствующим главным
расслоениям § и i\.
Определение 6, Говорят, что локально тривиальное
главное, ^-расслоение | редуцируется к подгруппе Ж, если
для него существует такой тривиализующий атлас {(?/а, Фа)},
что соответствующий склеивающий коцикл {%а} принимает
.шачения в подгруппе Ж. В этом случае коцикл {фРа}
определяет локально тривиальное главное ."/??-расслоение ц,
которое называется Ж-редукцией расслоения §•
Поскольку склеивающие коциклы расслоений % и ц
одинаковы, мы видим, что если "^-пространство ? топо-
топологически эффективно, то ('%, ?)-расслоение т|-т|[йП
тогда и только тогда является Ж-редукцией {$, ff)-pac-
слоения \=*\\?\, когда главное ^-расслоение tj является
Ж-редукцией главного '3-расслоения 1.
Поэтому достаточно рассматривать лишь редукции
главных расслоений.
Замечание 3. Обратим внимание, что в отличие
от случая C, |Г)-расслоений тотальные пространства
расслоений | и т\ различны (при Жф). Действительно,
так как ! = ![#] (см. пример б лекции 1), то тотальное
пространство <?= расслоения \ то же, что и тотальное
пространство расслоения т\ [Щ (где Ъ рассматривается как
левое ."^-пространство), и потому заведомо отлично от
тотального пространства <?ч расслоения Ti = [^f]
6*

164 РЕДУКЦИЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИИ
По определению пространство <?? = ?Ъ191 = ?п1*1 яв-
является факторпространством пространства ?= LI (?/ах#),
a
а пространство &ъ = $ъ[3%]—факторпространством его
подпространства Н— U (UaxSV). Следовательно, поскольку
a
эти факторизации на подпространстве Н очевидным обра-
образом совпадают, вложение Н с Е индуцирует послойное
отображение
C) К ?*-+&.
которое
а) является гомеоморфизмом на свой образ;
б) эквивариантно по отношению к действию группы Ж%
т. е. обладает тем свойством, что
для любой точки д^?^ и любого элемента h$.$C.
Об отображении C) мы будем говорить, что оно
редуцирует расслоение \ к расслоению г\. [Заметим, что,
вообще говоря, это отображение зависит от выбора склеи-
склеивающего КОЦИКЛа {фра}-]
Легко видеть, что существование редуцирующего отобра-
отображения C) не только необходимо, но и достаточно для
редуцируемости расслоения | к расслоению i\, т. е. главное
Ж-расслоение т\ тогда и только тогда является Ж-редук-
цией главного ^-расслоения 1, когда существует хотя бы
одно редуцирующее отображение C). Действительно, легко
видеть (докажите!), что для любого редуцирующего отобра-
отображения C) формула
корректно определяет ^-изоморфизм ч\ [Щ —>¦ |. Поэтому
склеивающие коциклы расслоений | и tj[S] можно выбрать
одинаковыми. Это все и доказывает, поскольку каждый
склеивающий коцикл расслоения г\ Щ заведомо принимает
значения в группе ffC. D
Теперь мы можем определить .^-редукции и для лю-
любых— не обязательно локально тривиальных—главных
S-расслоений.
Определение 7. Говорят, что главное й'-расслоение т|
является SK-редукцией главного ^-расслоения %, если
существует хотя бы одно редуцирующее отображение C).

РЕДУКЦИЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЙ 165
Согласно доказанному, для локально тривиальных
главных расслоений это определение равносильно определе-
определению 6. [Однако следует иметь в виду, что локально три-
тривиальное главное ^-расслоение может обладать не локально
тривиальными $Г-редукциями, не имея локально триви-
тривиальных.]
Задача 9. Покажите, что для любого (не обязательно локально
тривиального) главного •%-расслоения т) существует, главное ^-рас-
^-расслоение %, для которого расслоение т) является Ж-редукцией и кото-
которое локально тривиально, если локально тривиально расслоение ц.
| У к а з а н и е. За тотальное пространство $^ расслоения % примите
тотальное пространство $4 X % расслоения г\ [$] (где % естественным
Ж
образом рассматривается как левое ^-пространство), действие группы <§
ни <§ определите—как легко видеть, корректной — формулой
to. e\$ga=to.
а редуцирующее отображение C) — формулой
X («) = [*.
где, как всегда, е—единица группы <§.]
Задача 10. Докажите, что главное ^-расслоение \ тогда и
только тогда редуцируется к единичной подгруппе {е}, когда оно
тривиально. [Указание. При ^f = {e} отображение C) является
течением расслоения %.]
Так как Ж действует на 8 = ё*, то определено фак-
торпространство &/Ж. При этом, поскольку каждая
.vf-орбита рЖ содержится в единственной S-орбите р$,
соответствие рЖ —> р% задает отображение п: &/Ж —* 53,
и значит возникает расслоение
С другой стороны, так гкак группа 5§ естественным
образом непрерывно действует слева на факторпростран-
стве %1Ж (по формуле
где a, gZ'S), то определено расслоение
), я, Я).
Задача 11. Покажите, что расслоения \1Ж « \У§1Ж\ кано-
канонически изоморфны. [Указание. Изоморфизм &/Ж- &($/Ж)
определяется формулой

166 РЕДУКЦИЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЙ
& обратный изоморфизм g х {'§1Ж) —* §1Ж—формулой
IP.
где p?g, е€$-]
При Ж = {е} это утверждение примера 6 лекции I.
Задача 12 (обобщение задачи 9). Покажите, что глав-
ное ^-расслоение \ тогда и только тогда редуцируется к подгруппе Ж,
когда расслоение \1Ж — \ ["§1 '7?\ обладает сечением.
[Указание. Для любого редуцирующего отображения C)
формула
/ 0») - т (/>. х (Ф) Ж, р € 8 = 6Л.
где q—такая точка из <§^, что я (<7) = я (p) (а т, как всегда, отобра-
отображение сдвига) корректно определяет отображение f: g —•¦ %j:7(.,
удовлетворяющее соотношению A4) лекции 1. Обратно, для любого
такого отображения f подпространство «S пространства g, состоящее
из точек /> € 6 > Для которых t (р) = Зъ, является главным ."^-про-
."^-пространством, а вложение <$"'—> $%—редуцирующим отображением.)
^Ср. замечание в скобках к задаче 8.)
Задача 13. Пусть главное ^-расслоение §, а также главное
,^-расслоение (<§, я, g/.-^f) (см. пример 2 лекции 1) локально три-
тривиальны. Покажите, что если в этих условиях расслоение $!:7?
обладает сечением, то для расслоения % существует ffl-редукция ц,
являющаяся локально тривиальным главным ^-расслоением.
Задача 14. Докажите, что если х\ —редукция расслоения \, то
для любого левого ^-пространства ДГ расслоения ц [JFJ и % [#~] изо-
изоморфны как расслоения без структурной группы (существует послой-
послойный гомеоморфизм
Ж »
никак, вообще говоря, не связанный с действиями групп g и ffl).
[Указание. Отображение ф определяется формулой
где х—редуцирующее отображение C). Это отображение очевидным
образом непрерывно, биективно и послойно. Поэтому в доказательстве
нуждается лишь непрерывность обратного отображения. Для этого
достаточно для любой окрестности W произвольной точки [go> *o] a*
в $^ X W найти такую окрестность V точки po~%(qa) в $* и такую
Ж
окрестность V точки х0 в $", что [р, x]9?q>(W) для любых точек
Pd-U и *€1/- Пусть Wi — такая окрестность точки q0 в ^ и W2 —
такая окрестность точки х0 в Pf, что [q>, x]a^^W для любых точек
fl'C^i и л"€^»' Примите за V окрестность точки х0, для которой
в группе <5 существует такая симметричная (О-1^:*?) окрестность
единицы 0, чтоОКа с И^, а за {/—окрестность точки />„, обладающую
тем свойством, что я» (С/) с п11 (Wx) и т((?/хУ)П8*) С О, где т —
отображение сдвига для |.)

ДВУЛИСТНОЕ НАКРЫТИЕ 167
Особое значение имеет случай, когда % представляет
собой расслоение реперов %%, ассоциированное с касатель-
касательным расслоением т^- над паракомпактным хаусдорфовым
гладким многообразием 37, a $ — GL(n; R), Ж = GL+ (n; R)
(или, что равносильно, Ъ — О(п), ^ — SO (я)). В этом
случае факторпространство %1Ж является группой второго
порядка С8) а главное ,9^-расслбение {$, л, %Ц%) триви-
тривиально (а потому и локально тривиально). Следовательно,
согласно утверждениям задач 12 и 13 расслоение х&
(а значит и расслоение х$Л тогда и только тогда реду-
редуцируется к группе SO (n) {многообразие 3? ориентируемо),
когда расслоение T<g/SO(ri) = x<% [С2] обладает сечением.
Задача 15. Дайте прямое доказательство последнего утверж-
утверждения. (Эта задача предназначена для пропустивших задачи 12 и ]3.)
Как легко видеть, расслоение хар [Сг] является глав-
главным С2-расслоением. Поэтому это расслоение тогда и
только тогда обладает сечением, когда оно тривиально.
Пусть многообразие 3? связно.
Задача 16. Покажите, что Cz-расслоение над связным многооб-
многообразием SC тогда и только тогда нетривиально, когда его тотальное
пространство связно (и, значит, это расслоение является накрытием).
Таким образом, для любого связного неориентируемого
многообразия 3? мы сконструировали некоторое вполне
определенное двулистное накрытие т^> [С2] -- {&, п, S).
Задача 17. Покажите, что тотальное пространство ЗС накры-
накрытия х~, [d] является ориентируемым многообразием.
Подводя итоги, мы видим, что справедливо следующее
предложение:
Предложение 1. Для любого неориентируемого связ-
связного многообразия SC существует ориентируемое многооб-
многообразие $?, двулистно накрывающее многообразие %.
Задача 18. Докажите, что с точностью до изоморфизма накры-
накрытие (Jfc, я, ЗГ) единственно.
Конечно, многообразие 3? (безразлично, ориентируемое
или неориентируемое) может иметь много различных дву-
двулистных накрывающих многообразий. Если многообра-
многообразие 3> ориентируемо, то все они ориентируемы (почему?),
а если многообразие S неориентируемо, то среди них
ориентируемо только одно.
Задача 19. Докажите последнее утверждение.

Лекция 10
Прообраз векторного расслоения.— Гладкие векторные
расслоения.— Поля горизонтальных подпространств.—
Связности и их формы.— Прообраз связности.— Связно-
Связности на комплексном расслоении и на его овеществлении.—
Диагонализация связности.
Вернемся к векторным расслоениям (над полем К =- R
или С).
Напомним (см. определение 2 лекции 6), что морфиз-
мом ф: х\ —> \ векторного расслоения г\ в векторное рас-
расслоение | называется послойное непрерывное отображение
<§^ —<¦ <?5, линейное на каждом слое. Каждый морфизм
<р: т) —*¦ ? индуцирует непрерывное отображение tp: 5311 —» ffi,
замыкающее коммутативную диаграмму
и для любой точки &€53П—линейное отображение
*b* b ф ф)
слоя ТJ расслоения г\ на слой <F|(ft) расслоения S.
Особое значение имеют морфизмы ф: г\—> |, для кото-
Кых все отображения фь, &? 'uf1, являются изоморфизмами,
ч сожалению, хорошего общепринятого названия такие
морфизмы не имеют. За отсутствием лучшего термина мы
будем называть их регулярными морфизмами.
Согласно утверждению задачи 4 лекции 6 изоморфизмы
векторных расслоений над !В—это в точности регулярные
морфизмы, являющиеся одновременно морфизмами над 53.
Отображения ф: 53Г|-*535, индуцированные регуляр-
регулярными морфизмами, не подчинены, вообще говоря, никаким
условиям.
Предложение 1. Для любого векторного расслоения
? = (<?, я, щ и любого непрерывного отображения f: /53' —¦ 53
существует векторное расслоение %' — (?', л', 53') над 53' ире-
гулярный морфизм ф: \' —> ?, индуцирующий отображение f:
A) «'! 7j*

ПРООБРАЗ ВЕКТОРНОГО РАССЛОЕНИЯ 169
С точностью до изоморфизма расслоение |' определено
единственным образом.
Доказательство. Пусть«й"—подпространство про-
произведения «?XS', состоящее из таких точек (р, Ь'), р?&,
&'€#', что n(p)=--f(b% и пусть я'(р, Ь') = &', <р(р,Ь')=р.
Ясно, что отображения л' и <р непрерывны, а диаграмма A)
коммутативна (и, значит, ф является морфизмом расслое-
расслоения %' = (<§', я', #?') в расслоение 1 = (^, п, 5в), индуци-
индуцирующим данное отображение /).
Далее, для любой точки Ь' ?%' слой (л') (&') = <?>
расслоения ?' над Ъ' состоит из всех точек вида (р, b')t
где р—произвольная точка слоя §"b — n~1(b), b = f(b),
расслоения ? над точкой Ь, и отображение q>fr,: 3~'b. —+ <Ffr
представляет собой биективное отображение (р, Ь')~-*р.
Перенеся с помощью <рь. структуру линейного пространства
из (F6 в eF&,, мы превратим слои iFj,, в линейные про-
пространства, отображения <рь, — в изоморфизмы, и, следова-
следовательно, морфизм ф—в регулярный морфизм.
Задача 1. Докажите, что
а. Для любого тривиализирующего атласа {(Ua, фо)}
расслоения I пары (U'a, ф„), где U'a== !~гиа и <р'а{Ь', х)=
= (Фо (/ (^')> •*¦)> х)> Ь' € t/». х € К", составляют тршиали-
зирующий атлас расслоения i'.
б. Склеивающий коцикл
атласа {(U^, q>'a)} связан со склеивающим коциклом
атласа {(Uat ц>а)} соотношением
B) фра = Фра of
(которое должно иметь место для любых а и Р; или, точ-
точнее, соотношением фра = фра°/ра1 гДе /ро—ограничение на
^аП?/р отображения /, рассматриваемое как отображение
в UanU,).
В силу утверждения а задачи 1 расслоение 1' локально
тривиально и потому является векторным расслоением.
Наконец, если г|>: г\—>-%—произвольный морфизм век-
векторных расслоений, индуцирующий отображение /, тхмрор-
мула

170 ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
будет, очевидно, определять морфизм %: г\ —>• |' над В',
удовлетворяющий соотношению i|) = ф о % и потому регу-
регулярный (т. е. являющийся изоморфизмом), когда регулярен
морфизм \[\ Следовательно, с точностью до изоморфизма
•расслоение |' единственно. ?
Определение 1. Построенное расслоение ?' называется
прообразом расслоения % при отображении / и обозначается
символом f*%. Морфизм ср: ?' —* \ обозначается символом р.
[Согласно доказанному для любого морфизма ty' Л —•¦ а
векторных расслоений, индуцирующего отображение f, суще-
существует единственный морфизм %: т\ —+ /*? над SB', удовле-
удовлетворяющий соотношению
i|; == ft о у.
На языке теории категорий это означает, что коммутатив-
коммутативный квадрат A) является универсальным квадратом или —
в другой терминологии—что расслоение /•? представляет
собой коамальгаму диаграммы $' —* 53-<—(??. (В литера-
литературе на русском языке можно встретить для /•? название
«расслоенное произведение». Эта калька английского тер-
термина—уже не употребляющаяся и в английском языке —
не очень удачна даже в рамках теории расслоений и уж
совсем не годится для произвольных категорий.)]
Задача 2. Докажите, что для любых отображений g: ЗУ —> ЗЭ'
и f: Si'—+3d расслоение (/og)*| естественно изоморфно расслоению
g*(f%) (и потому может быть с ним отождествлено).
Пусть SB — гладкое m-мерное многообразие.
Определение 2. Векторное расслоение % = (?, л, S3)
ранга п над многообразием SB называется гладким, если
существует такой тривиализирующий атлас {(Ua, ц>а)}, что
отвечающий ему матричный коцикл состоит из гладких
отображений
UanUn-> GL(я; К), К = R, С или Н.
Замечание 1. Можно доказать, что над хаусдорфо-
вым и паракомпактным гладким многообразием каждое
векторное расслоение изоморфно гладкому расслоению.
Так как каждое открытое покрытие многообразия ^,
вписанное в покрытие {Ua}, является—по отношению к
соответствующим ограничениям тривиализаций сра—три-
виализирующим покрытием, для которого функции пере-
перехода либо постоянны (тождественно равны единице груп-
группы GL (л; К)), либо являются ограничениями функций

ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 171
перехода ф^, то без ограничения общности можно пред-
предполагать, что покрытие {Ua} из определения 2 состоит
из координатных окрестностей многообразия S3. Более
того, если нужно, то эти координатные окрестности можно
считать связными (линейно) или даже диффеоморфными
шару 6".
Согласно формуле B) для любого гладкого векторного
расслоения ! = (<$, л, 53) и любого гладкого отображения
/: S3' —* $} индуцированное расслоение /*? также гладко.
В случае, когда пространство^ является гладким много-
многообразием, тривиализацию <ра: 0а х К" —* <?Ua векторного
расслоения ? = ((?, я, $}) над открытым множеством Uacz$f
мы будем называть гладкой, если она является диффеомор-
диффеоморфизмом гладкого многообразия UaxRn на гладкое много-
многообразие ?ца = п~111а, (где, конечно, К" рассматривается
при К = С или Н как вещественное многообразие размер-
размерности 2п или 4л соответственно).
Предложение 2. Для любого гладкого К-векторного
расслоения ? = (<?\ л, S3) ранга п над гладким т-мерным
многообразием Si пространство ? обладает—очевидно,
единственной—структурой гладкого (m-L dn)-мерного мно-
многообразия, d=---dimRK, no отношению к которой все три-
виализации
предусмотренного определением 2 тривиализирующего-
атласа являются гладкими тривиализациями.
Обратно, если для векторного расслоения 1=(<$\ я, 53)
пространство ? является гладким многообразием U и су-
существует тривиализирующий атлас {(Ua, <pa)}, для кото~
рого все тривиализации <ра гладки, то расслоение I гладко.
Таким образом, два возможных подхода к определению
гладкого векторного расслоения приводят к одному и тому
же результату.
Ключом к доказательству предложения 2 служит сле-
следующая лемма (ср. лемму 1 лекции 6):
Лемма 1. Отображение
q>: U — GL (п; К)
гладкого многообразия U в группу GL (я; К) тогда и только
тогда гладко, когда гладко отображение
Ф: Ux К" — К",

172 ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
задаваемое формулой
Ф(Ь, х) =
Доказательство. В силу локального характера
свойства гладкости эту лемму достаточно доказать лишь
для случая, когда U является координатной окрестностью
и, значит, лишь для случая, когда U представляет собой
открытое множество пространства R. Но в этом случае
гладкость отображения ср означает, что элементы ф'(ft) ма г-
рицы ф(&), ft G U, являются гладкими функциями координат
Ь1, ..., Ьт вектора Ь, а гладкость отображения Ф—что
гладкими функциями координат ft1, ..., ft", x1, ..., х"
векторов b?U и jcglK" являются координаты ф'(Ь)х' век-
вектора ф {Ь) х. Остается заметить, что эти два условия оче-
очевидным образом равносильны. О
При и = иапи& и ф —фра отображение Ф связано
с отображением
C) Фр1 о Фа: (Ua П ?/„) X К" — (Ua П Щ) ХК"
формулой
(Ф1» Фа) Ф, х) - (Ь, Ф F, х)), b 6 С/« П f/p, х € К",
и потому гладко или не гладко одновременно с отображе-
отображением Фр1офа. Следовательно, векторное расслоение 5=
= (<^, л, Я) тогда и только тогда гладко, когда для него
существует такой тршиализирующий атлас {{Ua, фа)},
что все отображения C) гладки {и, значит, являются диф-
диффеоморфизмами).
Доказательство предложения 2. Второе
утверждение предложения 2 немедленно вытекает из только
что сделанного замечания. Поэтому нам надо доказать лишь
первое утверждение. При этом, как уже было замечено
выше, мы без ограничения общности можем предполагать,
что каждая тривиализирующая окрестность U^ является
также и координатной окрестностью.
Пусть ha: Ua—*Rm—соответствующее координатное
отображение и пусть
— отображение, действующее по формуле

ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 173
где x = ha(b) и (b, a) = (po,(p), a d=dimRIK (т. е. d=l,
если К —R, и d = 2, если К = С). Ясно, что ga является
i омеоморфным отображением открытого множества Su на
открытое множество ha (Ua)xRdn пространства Rm+dn, т. е.,
другими словами, пара (?иа, ga) является картой в <?,
согласованной с топологией пространства <?.
Так как <§иа П <Виь == ?иа л "р> то «?св п ^ур ^ 0 тогда
и только тогда, когда иа[\и^Ф0, и в этом случае
(?е ° ?«') (х, а) = ((ftp о ft-1) д:, Фра F) а)
для любой точки (х, а) б ha (Ua n ?/р) X R" = ^а (<^?/а П &иц),
где ft = ft(Jf).
В координатах эта формула записывается в виде равенств
а1'«ф^(х)Га', /, Г = 1, .... п.
1 ' xk' = xk' (дг),
где
а' и **—координаты векторов а и х (заметим, что
координаты а' вещественны при К =- R и комплексны при
К = С; координаты же хк всегда вещественны);
а1' и х*' —координаты векторов (р$а(Ь)а и (h& о ft-1) x;
ФраС^)^—функции, выражающие через локальные коор-
координаты элементы ф&а(*)Г матрицы фРа F) € GL (л; К);
xk'(х)—функции, выражающие в координатах диф-
диффеоморфизм ftp о А.
Это показывает, что отображения gp о g^1 гладки (и, зна-
значит, являются диффеоморфизмами), т. е. карты (<Sua, go)
и («SVp, gp) согласованы.
Поскольку [открытые множества <Виа покрывают про-
пространство <?, этим доказано, что карты (<Bva, ga) состав-
составляют атлас, определяющий в ? гладкость, согласованную
с топологией. Каждая точка p?<§ua имеет в карте (&ua,ga)
локальные координаты
E) а1, .... а», х1 х\
где а1, ..., ап—компоненты вектора а=фра {р), ах1, ..., хт—
координаты точки Ъ = п(р) в карте (Ua, ha). Те же числа E)
являются координатами на С/ахК" и отображение фа пере-
переводит каждую точку из UaxKn в точку из Sua с теми
же координатами (действует по равенству координат). Сле-
Следовательно, отображение фа является диффеоморфизмом

174 ГЛАДКИЕ ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ
Тем самым, предложение 2 полностью доказано. ?
Примером гладкого векторного расслоения (при К = R)
является касательное расслоение Tjg = (T53, л, 53); см.
пример 2 лекции 5.
В дальнейшем, рассматривая гладкое векторное рас-
расслоение %—(&, я, 53), мы всегда будем предполагать, что
пространство ? снабжено описанной структурой гладкого
многообразия. Кроме того, не всегда указывая это явно,
мы будем рассматривать лишь гладкие тривиализации
а
Аналогично все морфизмы т) —> \ между гладкими век-
векторными расслоениями мы будем предполагать гладкими,
т. е. являющимися гладкими отображениями 4>v ~~+ <?*.
Задача 3. Докажите, что
а. Для любого гладкого морфизма ф: г\ —>-1 гладких векторных
расслоений индуцированное отображение ср: 33^ ,. ^S является глад-
гладким отображением.
б. Для любого гладкого отображения f: 53' —>- 33 и любого глад-
кого векторного расслоения %=($, я, 33) морфизм
/':/•?-*?
является гладким морфизмом.
Замечание 2. Можно доказать, что над параком-
пактным хаусдорфовым многообразием изоморфные гладкие
векторные расслоения гладко изоморфны (ср. замечание 1).
Заметим, что символы х1, ..., хт обозначают у нас не
только часть локальных координат E) в карте (?Juaiga),
но и локальные координаты в карте (Ua, fta) многообра-
многообразия 33. В силу этого соглашения—при достаточной вни-
внимательности к недоразумению не приводящего—проекция л
записывается в локальных координатах тавтологическими
равенствами
F) xk=*xk, ft=l, ...,т.
Это доказывает, что
а. Проекция л: & —> 53 гладкого векторного расслоения \
представляет собой гладкое отображение, являющееся в каж-
каждой точке р?<В субмерсией.
б. Все слои aFb — n~L(b), Ь^ЗЗ, гладкого векторного
расслоения являются гладкими dn-мерными подмногообра-
зиями многообразия <?.
в. Для любой точки р?д~ь касательное подпростран-
подпространство Тр$Гь слоя § ь совпадает с ядром Ker (dn)p линейного

ПОЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 175
надъективного отображения
(At),: T^ — Т6#, &=я(/>).
Более общим образом, мы можем рассматривать про-
произвольное расслоение 1 = (?, я, 53) (в смысле определения 1
.лекции 1), для которого пространства # и S являются
многообразиями (размерностей m -f dn и m соответственно),
а отображение л: & —>- 53—субмерсией. Мы будем назы-
называть такое расслоение гладким.
Ясно, что утверждения бив справедливы для любого
гладкого расслоения 1.
На языке точных последовательностей (см. лекцию 4)
утверждение в означает, что для любой точки р?3~ь имеет
место точная последовательность
G) o-
где ib—вложение Wb —»•«?.
Заметим, что для векторного расслоения \ член TPJFь
этой последовательности—обычно называемый вертикаль-
вертикальным подпространством линеала Тр&—естественно отож-
отождествляется с линеалом ?ь.
Говорят, что на (т + я)-мерном многообразии $ задано
поле т-мерных подпространств Н, если каждой точке р б <?
сопоставлено некоторое яг-мерное подпространство Нр про-
пространства Тр(?).
Задача 4. Пусть V—открытое подмножество много-
многообразия $. Покажите, что для поля т-мерных подпрост-
подпространств Н следующие условия равносильны:
а. На V существуют такие гладкие линейные диффе-
дифференциальные формы б1, ..., 0", что для любой точки
p?V подпространство Нр является аннулятором ковекто-
ров % %:
(8)
б. На V существуют такие гладкие 'векторные поля
ХA), ..., Х(т), что для любой точки р ?V подпространст-
подпространство Нр порождено векторами XJ,1', ..., X™':
(9) И,= [Х
Поле подпространств
A0) Я:

176 ПОЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ
называется гладким, если существует открытое покрытие
{Va} многообразия <?, над каждым элементом которого
поле Я удовлетворяет условиям а и/или б.
В случае, когда ^ является тотальным пространством
гладкого (не обязательно векторного) расслоения с (и, зна-
значит, в каждой точке р?<8 определено вертикальное под-
подпространство Ту?",,, b = n(p)) и для любой точки р?&
имеет место равенство
(П) М = ТЯ?\@Я,
(подпространство Нр дополнительно к подпространству
Tjpf b), поле A0) называется полем горизонтальных под-
подпространств.
Так как Kerdn,, —Т^оГ;,, то на каждом таком подпро-
подпространстве Нр линейное отображение йлр является изомор-
изоморфизмом.
Подчеркнем, что в выборе горизонтальных подпрост-
подпространств Нр имеется значительный произвол, т. е. на <?
существует много (даже гладких) полей A0), удовлетворяю-
удовлетворяющих условию A1), в то время как вертикальные под-
подпространства Тр^ь определяются единственным образом.
Когда задано поле Н горизонтальных подпространств,
то каждое векторное поле X на <8 единственным образом
представляется в виде
A2) Х = Х" + Х",
где Xv и Хн—такие поля на <?, что для любой точки
p(z<§ вектор Xvp вертикален, а вектор Xй горизонтален.
Задача 5. Докажите, что
а. Поле Н горизонтальных подпространств тогда и
только тогда гладко, когда для любого гладкого вектор-
векторного поля X на ? поля Xv и Xм также гладки.
б. Если поле Н гладко, то поле X тогда и только
тогда гладко, когда гладки поля Xv и Xй.
Как правило, мы будем задавать поля горизонтальных
подпространств формулами вида (8), принимая за V откры-
открытые множества вида ?с, где Ucz33. Допуская определен-
определенную терминологическую вольность, мы будем называть
такое поле аннулятором форм б1, ..., 8" над U и будем
писать
Я = Апп(91 0") над V.
По определению это означает, что для каждой точки
^ подпространство Нр состоит из таких векторов

ПОЛЯ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ ПОДПРОСТРАНСТВ 177
А €ТрЛ, что
A3) 0?(Л) = О для любого i = 1, ..., п
Чтобы такое поле было полем горизонтальных подпрост-
подпространств, необходимо и достаточно, чтобы для любой точки*
р€.?и ограничения ковекторов 0^, ..., 0J| на вертикальном,
подпространстве T^cFj,, b = n(p), были линейно независимы,,
т. е. чтобы для вертикального вектора А ? TpoFb равенства^.
A1) выполнялись только при А — О.
Кроме того, формы в1, ..., 9" и 01, ..., 0" тогда и только-
тогда задают одно и то же поле Н над И, т. е. в любой
точке р?&и удовлетворяют соотношению
Ann@J, .... е») = Апп(ё*, ...,02),
когда ковекторы 0J, ..., 0JJ линейно эквивалентны ковек-
торам 0J, ..., Ор, т. е. когда существуют такие функции1
где I, /=1, ...,п, что
на
Предположим теперь, что рассматриваемое гладкое рас-
расслоение I = («?, я, 33) является векторным и что для него-
выбран и зафиксирован тривиализирующий атлас {{Ua, Фа)},
состоящий из гладких тривиализаций и такой, что все
тривиализирующие окрестности Ua являются одновременно-
координатными окрестностями в многообразии 5?.
Согласно сказанному выше тривиализаций ф„: ?/а х R" -*¦
—»?иа и координатные отображения Ла: Ua—*Rm опре-
определяют на <Виа локальные координаты E), а значит и соот-
соответствующие координатные векторные и ковекторные поля;
д _д_ _д_ _д_
да1 ' •••' да"' дх1 ' ' " "' dx™'
da1, ..., da", dx1, .... dxm.
При этом, как непосредственно следует из формулы D),.
в каждой точке p^Su^ выполняются равенства

178 связности и их формы
где Ь^п(р). Следовательно, векторы f^jrO . •¦-, (^п)
образуют базис вертикального подпространства Kerdn/) =
— TppFb и, значит, ковекторы da),, ..., dojj (или, точнее,
их ограничения на 1рЗ~ь)— базис сопряженного простран-
пространства TpW ь.
Поэтому, если
(И) 0'=^Jda/-bff]Ux* на
где t, / = 1, ..., п и k~ 1, ..., m, то ограничения ковек-
торов Qp на Тр&~ь тогда и только тогда линейно незави-
независимы для любой точки р€&ил, когда матрица |7/!! невы-
рождена на €иа-
Предложение 3. Для любого поля Н горизонталь-
горизонтальных подпространств на координатной окрестности Sua
существуют такие формы
(а)
A5) W^-dal-rekdxky t=l, ...,n, ft== 1, ...,m,
где е'г—некоторые функции на $иа, чпго
/(а) (а)\
Я^АпгЦО1, ..., 9»; надиа.
Этими условиями формы A5) характеризуются единст-
единственным образом.
Доказательство. Существование. Пусть поле
Я является на <§иа аннулятором (рорм A4). Тогда, как
мы видели, матрица |//[|, состоящая из функций f), невы-
невырождена в каждой точке p6^i/a- Пусть Ц/Ц—обратная
матрица. Формы /}9/ задают то же поле Н и имеют вид A5).
Единственность. Достаточно заметить, что формы
(а)
ty = djQJ тогда и только тогда имеют тот же вид A5), когда
4 = 8). ?
Очевидно, что поле Я горизонтальных подпространств
тогда и только тогда гладко, когда для каждой окрест-
окрестности Ua формы A5), т. е. функции 4» гладки в <8Ua-
Среди всех гладких полей Н горизонтальных подпро-
подпространств особое значение имеют поля, для которых коэф-
коэффициенты 4 форм A5) линейно зависят от а1, ..., а", т. е.
имеют вид
(а)
4 П'

связности и их формы 17&
(о)
где Tlkj—некоторые гладкие функции от х1, ..., хт (т. е.,
иными словами, гладкие функции на координатной окрест-
окрестности U а).
Определение 3. Гладкое поле
горизонтальных подпространств называется связностью на
гладком векторном расслоении 5, если для каждой тривиа-
лизирующей координатной окрестности Ua задающие это
ноле формы A5) имеют вид
(а) (а)
W^dai+nfl/dx*, f, /=1 л; k=l,...,m,
(а)
где T'kl—некоторые гладкие функции на Ua.
(п)
Функции Гй/ называются коэффициентами связности Н
в окрестности Ua. [Порядок нижних индексов к и / в обо-
обозначении коэффициентов связности в литературе еще окон-
окончательно не установился. Многие авторы пишут их в об-
обратном порядке.]
Целесообразно ввести в рассмотрение линейные диффе-
дифференциальные формы
(а) (а)
ш}-П/Ле» на Ua.
Эти формы однозначно определяют связность 'Н на 1/^
(и однозначно ею определяются). Они называются формами
связности Н на Ua. Их удобно располагать в матрицу
а (о)
(а)
Если формы со/ естественным образом рассматривать
как формы на $uai то будет иметь место равенство
(а) (а)
A6) в'" = do'+ ш}а^ на <§Ua.
Некоторые авторы называют формы A6) формами связ-
связности Н на &1
(а) (а)
[Таким образом, формы со!- и 9' друг друга взаимно-
(а)
определяют. Преимущество форм со) состоит в том, что они.
определены на открытых множествах многообразия S3.]

J80 СВЯЗНОСТИ И ИХ ФОРМЫ
В дальнейшем для сокращения формул мы будем, как
правило, опускать верхний значок (а) и, например, вместо
<й) будем писать просто со/. Когда же придется одновре-
одновременно рассматривать две окрестности Ua и ?/р, то значок
ф) мы будем заменять штрихами у координат и вместо,
(В)
скажем, <о/ будем писать со}:. Это согласуется с принятым
выше (см., например, формулы D)) обозначением локальных
координат в &ц символами а1' и хк>.
Через срГ(*)= ФГС*1. ••-. *") или просто cpj' мы будем
обозначать элементы матрицы ЩаФ), Ь^иаГ\О^, рассмат-
рассматриваемые как функции локальных координат х1, ..., хп
карты (?/а, ла), а через Ф^. (х) = ф?, (л;1 х") или просто
<р'.—элементы обратной матрицы фра(&)~1=~ФазF).
b€Uar\Ufi, рассматриваемые как функции локальных ко-
координат х1', ..., хп карты (Up, Лр).
Предложение 4. Пусть для каждого а на окрест-
окрестности Ua задано п2т гладких функций П/. Эти функции
тогда и только тогда являются коэффициентами неко-
некоторой связности Н, когда для любых а и [J на пересече-
пересечении Ua П ?/в имеют место равенства
Доказательство. На пересечении <Buat\&u ло"
кальные координаты a1, xk и a1', xk> связаны соотношениями
вида
а1=*у\.(х)аГ, i, i'=l л,
хк = хк{х'), k=l, ..., т
{ср. формулы D); мы теперь предпочли выразить коорди-
координаты на <BUa через координаты на 4>и ). Поэтому
da* = _Ёф ar dxk' л. ф|, da'', I, V = 1 л,
Следовательно, любая форма на ?Va, имеющая вид
выражается на <?УаП<?с/р через дифференциалы da1' и

связности и их формы 181
но формуле
О [сюда следует, что
A8) ф!'в' =. da'' + Ф{' (ф{< |?г П/ г Ц&-) a'' d**\
Функции Г/е/ однозначно определяют на ^^ формы О1'
и, значит, некоторую связность На. Аналогично, функции
V/,'¦!¦ определяют на U$ связность Яр. При этом, связности
На тогда и только тогда склеиваются в единую связность Я,
определенную на всем <?>, когда для любых аир* имеет
место равенство
A9) #а = #з на С/.пг/р.
Поскольку же формы A8) определяют на Uar\U$ ту же
связность На, что и формы 9', равенство A9) имеет место
тогда и только тогда, когда формы A8) совпадают на
Uа Л ?/р с формами
определяющими связность Яр. Это, очевидно, доказывает
предложение 4. ?
Поскольку —х— dxk' —• dxk и —^dxk'= йу'/,, формулу
ОХ ОХ
A7) можно переписать в следующем более простом виде:
A7') . со),' = фГф/'СО/ -+- фГ ^ф/'.
В матричных обозначениях эти соотношения имеют вид
A7") со'^ф
т. е. — если мы вернемся к исходным систематическим обо-
обозначениям— вид
(Э) (а)
A7") @ = ф^СОфра + фра ^ФРа-
Б виде A7") или A7'") их и нужно запоминать.
Пусть ф: ?' —* $—гладкий морфизм К-векторного рас-
расслоения 5'= (<?', я', S') в К-векторное расслоение 5 =
=(<?, я, SB). Тогда для любой точки 6'?33' имеет место

182 прообраз связности
коммутативная диаграмма гладких отображений
ф;
где / = ф—отображение SB' -* S3, индуцированное морфиз-
мом ф. Следовательно, для любой точки р' € $Г'Ь, имеет
место коммутативная диаграмма
О — Tp^Wiytf' —TVJB' —О
О — 1Р?Ь ~+Тр€-^1ь® -О, р
линейных пространств и их линейных отображений, обла-
обладающая тем свойством, что обе ее строки являются точ-
точными последовательностями (левые отображения моно-
морфны, правые эпиморфны и образ левого отображения
совпадает с ядром правого).
Предположим, что в расслоении \ задана связность Я.
Задача 6. Докажите, что
а. Для любой точки р'?<8' в пространстве. ТР'$' су-
существует одно и только одно подпространство Н'р., об-
обладающее тем свойством, что
и изоморфно отображающееся посредством отображения
(<2ф)„< на подпространство Нпс1р4>.
б. Подпространства Н'р, составляют на &' связность Н'.
в. Для любой тривиализирующей окрестности ?/с53
формами связности И' над окрестностью f'WcSi' слу-
служат формы f*(u), где ©}—формы связности Н над окрест-
окрестностью U.
Связность Н на расслоении \' называется прообразом
связности Н при морфизме ф: \' —* % и обозначается сим-
символом ф*Я. В случае, когда ?' — /*? и ф —/', связность ф*Я
обозначается символом f*H и называется прообразом связ-
связности Я при отображении f: 2д' —> SB.
Задача 7. Докажите, что для любых гладких отображений
g: й"—>-1Й и /: <©'—>• и связность (fog)*Н на расслоении (/og)*? =
= g* (/*?) (см. задачу 2) совпадает со связностью g* (}*H).
Понятие прообраза связности полезно, например, для
характеризации связностей на овеществлении комплексного
векторного расслоения 1, возникающих из связностей на \.

СВЯЗНОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ РАССЛОЕНИИ 183
Пусть |—комплексное векторное расслоение | и ^ —
его овеществление. (Заметим, что по определению расслое-
расслоение ? гладко тогда и только тогда, когда гладко рас-
расслоение ?r.)
Ясно, что любая связность Я на ? является связностью
на ?r, и задача состоит в том, чтобы охарактеризовать
связности на |r, являющиеся в этом смысле связностями
на ?.
С этой целью мы рассмотрим на 1r оператор комплекс-
комплексной структуры
(см. лекцию 6). Так как этот оператор является автомор-
автоморфизмом расслоения ?к над 3Z, то для любой связности Я
на *r определена связность 1*Н (также являющаяся связ-
связностью на ?r). С другой стороны, так как оператор /
является, очевидно, гладким отображением, то для любой
точки pk.<S определен его дифференциал
являющийся на вертикальном подпространстве
оператором /ь: (tfb)R —- (<Fb)R комплексной структуры
на (Wb)R.
Задача 8. Докажите, что для связности Н на 5н сле-
следующие условия равносильны:
а. Связность Н является связностью на %.
б. Имеет место равенство
в. Для любой точки
Задача 9. Пусть ш —матрица форм связности Н на расслое-
расслоении | (над некоторой тривиализирующей окрестностью U с &i), a
(oR—матрица форм той же связности, но рассматриваемой как связ-
связность на {-?. Выразите формы coR и со друг через друга. [Указа-
[Указание. Матрица со имеет размер пхп и состоит из линейных диффе-
дифференциальных форм с комплексными коэффициентами, а матрица cuR
имеет размер 2ях2я и состоит из форм с вещественными коэффици-
коэффициентами.!

184 ДИАГОНАЛИ ЗАЦИЯ СВЯЗНОСТИ
В лекции 21 нам понадобится следующий частный слу-
случай конструкции прообраза.
Пусть для любого s б R в расслоении ? задана связ-
связность Hs. На каждой тривиализирующей координатной
окрестности UcSd коэффициенты Г'к1 связности Hs явля-
являются функциями от s и от локальных координат х = (х1,...
...,хт), т.е. функциями точки (s, x)? RxRffl = Rm+1.
В случае, когда для любой окрестности U функции По-
Появляются гладкими функциями от (s, х), семейство {Hs, s ? К}
связностей Hs называется гладким.
Задача 10. Пусть ix/={<?x/, nxid, ^x/}. Пока-
Покажите, что
а. Расслоение |х/ является векторным расслоением
ранга п, изоморфным расслоению (рг)*?, где рг—проекция
<-53, (b,
б. Любое гладкое семейство {Hs} связностей на % ес-
естественным образом задает связность на ?х/ (которую
мы будем обозначать тем же символом {Нs}).
в. Для любого s0 б / имеют место равенства
-i и
где iSli: S3—*33x1—вложение bt-*(b, s0).
Для каждой связности Я на ? связность рг* Я является
связностью {Hs}, где Hs-=--H при всех s?R.
Заметим, что связности вида {Я,} отнюдь не исчерпы-
исчерпывают всех связностей на ?/
Задача П. Покажите, что связность Ann (в1, ..., 0") на ?х
тогда и только тогда имеет вид {Hs), когда формы в1 6" не
зависят от ds.
Пусть теперь {Hi} — гладкое семейство связностей на
расслоении ?х/и пусть А—отображение Sx/->Sx/X/,
определенное формулой
д(б, t)^(b, t, t), ьезз, /с/.
Тогда, интерпретируя {Hi} как связность на Ех/Х/, мы
можем построить связность A* {Hi} на |х/. Эту связность
мы будем обозначать символом {Hrs},-t и будем называть
ее диагонализацией связности {Hi}.
Задача 12. Докажите, что для любого t?/
A8) «{#&=< = *'Я'.
[Указание. Ср. утверждение в задачи 10.]

Лекция 11
Горизонтальные кривые.— Ковариантные производные се-
сечений.— Ковариантное дифференцирование вдоль кри-
кривой.— Связности как ковариантные дифференцирования.—
Линейные отображения модулей сечений.— Связности на
метризованных расслоениях.
Пусть ? — (<?, л, .53)—гладкое векторное расслоение со
связностью Н.
Определение 1. Гладкая кривая v: I —¦ $ на много-
многообразии <§, где /—некоторый отрезок оси R (для опреде-
определенности можно, например, считать, что 1 — 1), называется
горизонтальной, если для любого t € / ее касательный
нектор v(t) принадлежит подпространству Я„(о. (Диффе-
(Дифференцирование по t мы здесь и в дальнейшем обозначаем
точкой.)
В локальных координатах
A) а\ .... а\ х\ .... хт
карты (<§Ua, ga) (см. лекцию 10) каждая кривая и имеет —
при условии, что v(t)?&ua при всех t?l — параметриче-
параметрические уравнения вида
B) a' = a'(t), x"
где a'(t) и xk(t)—некоторые гладкие функции на /. Ее
касательный вектор v(t) имеет координаты
о1 @, ...,а"@. xl{*)> ¦••- х'"@<
а условие горизонтальности v (t) g HV(t) (означающее, что
ныполнены равенства Q{,(t)(v(t)) = 0, l^i<«, где 01, ...
..., 9" — формы связности Н на <§Uo) приобретает вид
C) а'1 (/) -¦- Tii (* @) х* @ ау @ = 0, i - 1, . . ., п,
где x(t)=*(xl(t), ..., xm(t)).
Таким образом, кривая v с параметрическими уравне-
уравнениями B) тогда и только тогда горизонтальна, когда
тождественно по t выполнены соотношения C).
В соответствии с общим определением 3 лекции 4 кри-
кривая u~nov на многообразии 53 называется проекцией кривой
v, а кривая у на многообразии ?—поднятием (пли лифтом)

186 ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ
кривой и. Говорят также, что кривая v накрывает кри-
кривую и. Иногда полезно представлять себе кривую v как
векторное поле на кривой и, сопоставляющее каждой
точке и@ этой кривой вектор v(t) линеала oFvw, т. е.г
короче, как ^-векторное поле на и. Горизонтальная кри-
кривая v, рассматриваемая как поле на и, называется полем
параллельных векторов на и (относительно связности Н).
В локальных координатах х1, ..., хт на Ua кривая и
имеет параметрические уравнения
D) х* = л*@, 1 <*<;«,
так что аналитически переход к кривой и состоит в от-
отбрасывании первых п уравнений B), и наоборот, переход
к накрывающей кривой v состоит в добавлении к т урав-
уравнениям D) дополнительных п уравнений
E) я' = а'@. 1<г<л,
где a'(t), l^t^n,— вообще говоря, произвольные глад-
гладкие К-значные функции на /. В интерпретации кривой v
как ^-векторного поля на и функции a' (t) называются его
компонентами (в данной системе локальных координат).
С этой точки зрения соотношения C) представляют
собой при данной кривой и с уравнениями D) систему
линейных дифференциальных уравнений (вообще говоря,
с переменными коэффициентами Ту (х (t)) x* (t)) для допол-
дополнительных функций E). Поэтому, задав для некоторой
точки to?l точку р0 пространства (В, проектирующуюся
в точку Ь0=ц(<0), т.е. принадлежащую слою ?Ьл рас-
расслоения |, мы—в предположении, что u{t)?Ua для всех
t$I — получим в силу теоремы о существовании и един-
единственности решений линейных дифференциальных уравне-
уравнений единственную горизонтальную кривую v: /—*«?, про-
проектирующуюся в кривую и и такую, что v(t0) = po
(и v(l)€&Ua для всех i^I).
Если же условие и(t) g Ua для всех t?l не выполнено,
то мы можем разбить отрезок / на конечное число отрез-
отрезков, на каждом из которых это условие уже имеет место
(конечно, при своем а), и следовательно, накрывающая
горизонтальная кривая существует. Вместе эти кривые
составляют (очевидно, гладкую) кривую v, накрывающую
всю кривую и (и такую, что v(to) = po). В предположении,
что многообразие в? хаусдорфово, эта кривая будет, как
легко видеть, единственна. (Ср. теорему о единственности
интегральных кривых векторного поля в лекции III. 17.)

КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЕЧЕНИЙ 187
Поскольку многообразие <? хаусдорфово тогда и только
тогда, когда хаусдорфово многообразие й, этим доказано
следующее предложение:
Предложение 1. Если многообразие 5$ хаусдорфово,
то для любой гладкой кривой и: I —* 53 любой точки
to?l и любой точки Роб^ь,,. bu = u(tn), существует един-
единственная горизонтальная кривая v: I —* ^?, накрывающая
кривую и и такая, что v(to) — pa. ?
При 1 = 1 и /0 = 0 это дает нам некоторое отобра-
отображение
Сосу1гдя —S»
подпространства Сосу1глл пространства Cocyl л, состоящего
из пар (р0, и), л(ро) — и(О), для которых путь и гладок,
в пространство 5\.л(<?) всех гладких путей на <§, явля-
являющееся сечением отображения
Сосу1гл л, о«(и@),яоо),
т. е. представляющее собой «гладкий» аналог связности в
смысле Гуревича (см. лекцию I). Это объясняет термин
«связность» применительно к Н.
К изучению геометрических свойств горизонтальных
накрывающих кривых мы вернемся в лекции 18, а пока
применим эти кривые к задаче об инвариантном опреде-
определении связности, не использующем тривиализирующих
координатных окрестностей.
Сечение
s: 53 — «?
гладкого векторного расслоения % = (&, л, 33) (или, в дру-
другой терминологии, ^-векторное поле на ЭВ) называется
гладким, если оно представляет собой гладкое отображе-
отображение многообразия Si в многообразие <??. В отличие от
лекции 6 мы будем теперь обозначать символом П мно-
множество лишь гладких сечений. Оно является линейным
пространством над полем К и модулем над алгеброй Fk.53
гладких К-значных функций на ИЗ.
Задача 1. Докажите, что тривиализация (р: Ux*n—*$и Рас-
слоения ^ над открытым множеством U с :Я тогда и только тогда
является гладкой тривиализацией, когда отвечающий ей базис Si, ...
.... sn модуля всех непрерывных сечений над U состоит из гладких
сечений.
Замечание 1. Так как я о s = id, то как само ото-
отображение s, так и его дифференциал (ds)b в каждой точке

188 КОВАРИАНТМЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЕЧЕНИЙ
являются инъективными отображениями. Это озна-
означает, что для любого гладкого сечения s: S3—*<ё множе-
множество s(S3) является подмногообразием многообразия «?.
Подмногообразия вида sEti) характеризуются, как легко
видеть, тем, что проекция л диффеоморфно отображает их
на многообразие S3 (такие подмногообразия называются
обычно секущими поверхностями расслоения 1). При не-
неформальных рассмотрениях сечения и секущие поверхно-
поверхности можно отождествлять.
В случае касательного расслоения т^}=(Т,@, л, $)
сечения представляют собой не что иное, как векторные
поля на S3. Согласно лекции III. 16 модуль Гт^ вектор-
векторных полей на S3 обозначается символом аЭЗ.
Напомним (см. лекцию III. 17), что кривая и: 1—+S3
называется интегральной кривой векторного поля X ? аЗЗ,
если
u(t) = Xu{t) для любого t?l.
Согласно теореме 1 лекции III.17 для любой точки Ь^ЭЗ
и любого векторного поля X существует интегральная
кривая и: I —- S3 поля X, определенная на некотором
интервале / оси R, содержащем точку 0, и такая, что
и @) = Ъ. При зтом если многообразие X хаусдорфово, то
любые две такие кривые совпадают на общей части их
областей определения.
Пусть теперь s: 63—>4>—произвольное гладкое сече-
сечение расслоения 1 и пусть v: I—*$—горизонтальная кри-
кривая, накрывающая интегральную кривую и поля X и
удовлетворяющая соотношению
v@)=--s(b).
Тогда для любого t?l в слое ?иA) расслоения будут
определены два вектора s(u(()) и v(t), а значит и ч t^O
и вектор
F) s(u(t))-v(t) _
Хотя при различных t векторы F) принадлежат, вообще
говоря, различным линеалам аГц(П, но все же имеет смысл
говорить об их пределе
G) lint '<»<'»—<'>.
Этот предел принадлежит слою Wam = Wb и обозначается
символом (\xs) Ф)-

КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЕЧЕНИЯ 18&
Поскольку точка b была произвольной точкой много-
многообразия !В, эта конструкция дает нам отображение
из ИВ в <?, являющееся, по построению, сечением рассло-
расслоения \.
Определение 2. Сечение Vxs называется ковариант-
ной производной сечения s no векторному полю X (в дан-
данной связности Н).
Первый вопрос, возникающий в связи с сечением Xxs,—
это вопрос о его гладкости. Мы покажем, что ответ на
уют вопрос утвердителен (точнее, что класс гладкости се-
сечения Vxs на единицу ниже класса гладкости сечения s),
нычислив в явном виде сечение v*s в координатах.
Пусть U—произвольная координатная и одновременно
тривиализирующая окрестность точки b в многообразии 33.
Тривиализация <р: ?/хКп—-&и расслоения ? над U за-
залает (см. лекцию 6) базис
(8) «I, .... sn
FKtZ-модуля Г(?|у) (для которого s,-F) =•¦ <р F, е,), i=l, ...
..., п), а координатный диффеоморфизм h: U —* Кт — базис
(9) -gjr. ••¦• -ajs-t /n = dim^r
FRiZ-модуля aU. Пусть s', t = l, ..., n, — координаты се-
сечения s (или, точнее, его ограничения s\n) в базисе (8),
a Xk, k=\, ..., m, — координаты поля X (т. е. его огра-
ограничения X \и) в базисе (9):
s = s%, X = X»JL.
Пусть, далее, xH = xk{t), k~\, ..., т, — параметриче-
параметрические уравнения интегральной кривой и: I—+S3, а
—параметрические уравнения ее горизонтального подня-
поднятия v: I —*¦?¦ (Без ограничения общности мы можем,
конечно, предполагать, что u(t)?U для любого /.) Заме-
Заметим, что числа a'(t) выражаются формулой
где, как всегда, x(t) = (x1(t), ...,xm(i)), и удовлетворяют
соотношению v(t) — a' (t)s,(u(t)), т. е. являются координа-

190 КОВАРИАНТНЫЕ ЙРОИЗВОДНЫЕ СЕЧЕНИЙ
тами вектора v(t)?WttA) в базисе s,(ы(t)), ..., sn(u(/))
линеала оТа((). По определению
для любого k = 1, ..., т и
т. е.
для' любого i = 1, ..., п. При этом вектор F) линеала Wп A)
будет иметь в базисе s1(«(/)), ¦••, sn(u(t)) координаты
Si(x(t)) — g!(t)_ sl(x(t))-af, a' (t)—ao
где а'о — а1 @) =-¦ s' (х@))—координаты точки sip) линеала
<?Т6. Поэтому предел G) будет иметь координаты
,.m sHx{t))-sf(xm Um а!«)-аЬ =
Поскольку х@)—это строчка координат точки Ь, тем са-
самым доказано, что сечение Vxs над U имеет в базисе (8)
координаты
т. е.
A1) v*s=:(-|?- + IV/)x*s, нал U.
В частности, мы видим, что для гладкого сечения s сече-
сечение Xxs также гладко.
Конечно, оператор V*: ТA\и)—>-ТA}и) определен и
для любого векторного поля л над U; например, при
* = J*. * = 1. •••. я-
При X = t-j оператор V* обозначается символом V* и се-
сечение VftS называется частной ковариантной производной по
xk сечения s^ Г (Ц^). Для любого поля X

КОВАРИАНТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ СЕЧЕНИЙ 191
Согласно формуле A0) координаты (V^s)'" сечения V&S
в базисе slt ..., sn выражаются через координаты s' се-
сечения s по формуле
A2) (V^-S-
В частности,
A3)
и значит
A3')
Замечание 2. Формулы A0) и/или A1) можно по-
положить в основу определения сечения \xs. Однако при
этом необходимо проверить согласованность конструиру-
конструируемых сечений на пересечениях, т. е. совпадение сечений
A1), построенных над двумя окрестностями U и (/' на их
пересечении UftU'. Это делается следующим образом.
Объекты, построенные для окрестности U', мы будем
отмечать штрихами при индексах (например, s^, ..., snr —
это базис (8) для модуля ТA\и-), а х1', ..., хт>—это ло-
локальные координаты в U'). Тогда сечение yxs над окре-
окрестностью W будет задаваться формулой
X*'sr над U'
и задача состоит в том, чтобы доказать, что над U Л V
это сечение совпадает с сечением A1).
Но, по определению, над U Л V имеют место равенства
Sf = ф'-s,- и sl" = фГs', i, V = 1, ..., п,
где ф'< и фГ—компоненты взаимно обратных матричных
функций перехода Ur\U'—>-GL(n; К) (от U к U' и от
U' к U), а также равенства
, А'= 1, ..., т;

192 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ
Поэтому над U(]U'
ибо ф{ cpr = 6} f и значит, в частности, J*' = О ). П
Интересный вариант ковариантного дифференцирования
возникает для ^-векторных полей на кривых.
Пусть и: !—>¦ Я — кривая в многообразии 33 с локаль-
локальными уравнениями xk — x*{t), 1<Г&</я, и у: /—>¦? —
произвольное i-векторное поле на и с компонентами а'(/),
1 ^ i ^ п. Мы определим новое ^-векторное поле на и,
которое называется ковариантной производной поля v
вдоль и и обозначается символом —?-. По определению
это поле имеет компоненты
<14>
Задача 2. Предположим, что |-векторное поле v является ог-
ограничением на и некоторого сечения, т. е. существует такое сечение
s: iid—<¦«? расслоения |, что v(t) = s («(/)) Для любого t?I. Пред-
положим также, что и поле /1—*¦ и (t) касательных векторов на кри-
кривой и является ограничением некоторого поля на многообразии Si,
т. е. существует такое векторное поле Х?а?В, что Xu^ = u{t) для
любого /?/ (кривая и представляет собой интегральную кривую по-
поля X). Покажите, что тогда поле ~^ на и является ограничением се-
сечения VyS-

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВДОЛЬ КРИВОЙ 193
[Заметим, что сечение s и поле X заведомо существуют локально,
т. е. в окрестности произвольной точки вида и (t0) (для которой
'a (to) Ф 0).]
Пусть /—внутренность отрезка /. Так как /'является
гладким многообразием (а и: 7—>-55—гладким отображени-
отображением), то над / определено гладкое расслоение ы*? со связностью
и*Н.
Задача 3. Покажите, что
а. Каждое ^-векторное поле v: I —>¦ $ на кривой и естественным
образом отождествляется с'некоторым сечение'м'расслоения u*g над I •
б. Ковариантная производная этого сечения по векторному полю
-п-на ) относительно индуцированной связности и*Н является гне
чем иным, как ограничением на I ковариантной производной
v вдоль кривой и.
Сравнение формулы A4) с формулой C) немедленно
обнаруживает, что равенство -^-—0 является необходи-
необходимым и достаточным условием того, чтобы v было полем
параллельных ^-векторов (в другой интерпретации—гори-
интерпретации—горизонтальной кривой).
Таким образом, можно сказать, что векторы, парал-
параллельные вдоль кривой,—это в точности векторы, Koeapw
антно постоянные.
Операция ковариантного дифференцирования V* пред-
представляет собой отображение
VX: Г| —Г1
модуля Г? в себя.
Предложение 2. Операция \х обладает следующими
тремя свойствами:
а. Операция Vx линейна над полем К, т. е.
для любых сечений s, /^Г? и любого числа ^
б. Для любой функции f ?F«$ и любого сечения
имеет место равенство
A5) Vx(fs) = Xf.
(где при К —С под X справа имеется в виду комплекси-
фикация оператора X над FS F)
7 М. М Постников, сем. IV

194 СВЯЗНОСТИ КАК КОВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
в. Операция Vx линейно над F$) зависит от X, т. е.
для любых полей X, Y^affi и любых функций f, g?F33.
Доказательство. Свойства айв непосредственно
вытекают из формулы A0) и/или A1). (Правые части этих
формул К-линейно зависят от s и F^-линейно от X.)
Свойство б проверяется простой выкладкой:
напомним, что X/ —g4X* на Uj. ?
Формула A5) аналогична известной формуле Лейб-
Лейбница дифференцирования произведения (и переходит в
нее, если X/ обозначить через Vxf).
Снова предположим, что гладкое (класса С") многооб-
многообразие 3i хаусдорфово.
Теорема 1. Пусть каждому полю X ? aS поставлен
в соответствие оператор
A6) VX: П — rg.
обладающий свойствами а, б и в из предложения 2. Тогда
на расслоении I существует единственная связность Н,
по отношению к которой операторы A6) являются кова-
риантными производными.
Таким образом, для хаусдорфова многообразия $?
связности на гладком векторном расслоении !=(#, л, 3})
находятся в естественном биективном соответствии с F.©-
линейными отображениями V: Xt—>VX, сопоставляющими
каждому векторному полю X ? аЗВ линейный оператор
V*: Г5 — П,
удовлетворяющий формуле Лейбница A5). На этом осно-
основании связности часто, определяются как такого рода
отображения V (которые также называются ковариант-
ными дифференцированиями). Недостатком этого определе-
определения является отсутствие геометрической наглядности, а

СВЯЗНОСТИ КАК КОВАРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 195
преимуществом—инвариантность (в нем не используются
гривиализирующие координатные окрестности).
В дальнейшем мы, как правило, будем отождествлять
связность Я и соответствующее дифференцирование V-
В частности, вместо «связность, которой отвечает ковари-
аптное дифференцирование V» мы будем говорить «связ-
«связность V».
Теорема 1 аналогична теореме 1 лекции III. 16 и до-
доказывается сходным образом.
Лемма 1. Для любого открытого множества (/cj8,
любой точки bo?U и любого сечения s ? Г (| \и) сущест-
существуют такое сечение s' ? Г? и такая окрестность W точки
/>„, что We:U и
s=--s' на W.
Кроме того, s' = О вне U.
(Ср. лемму 1 лекции III. 16.)
Доказательство. Согласно предложению 2 лек-
лекции III. 13 в $5 найдутся такие открытые множества V и
W, что
и для пары (V, W) существует функция Урысона ф. Для
любой точки b?!B положим
Г ч(Ь)в{Ь), если ftgt/
S (Й)==\ 0, если
Ясно, что s'. является гладким сечением (принадлежит Г?),
совпадает с s на W и обращается в нуль вне U. ?
Будем говорить, что сечения s', s"?r? совпадают вбли-
вблизи точки Ьа?5д, если они принимают одинаковые значе-
значения в некоторой окрестности этой точки.
Лемма 2. Если сечения s', s"€r§ совпадают вблизи
точки Ьо€<®. то для любого векторного поля Х^аЗЗ се-
сечения yxs' и V^s" также совпадают вблизи точки Ьо.
(Ср. следствие 2 леммы 1 лекции III.16.)
Доказательство. Пусть s' — s" на окрестности U
точки Ьо. Согласно следствию 1 леммы 1 лекции III.16
существуют такая окрестность WcU точки Ьо и такая
гладкая на й? функция ср, что
1, если b?W,
О, если Ьфи.

196 СВЯЗНОСТИ КАК КОВЛРИАНТНЫЁ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Рассмотрим сечение cp-(s'—s"). Ясно, что это сечение
равно нулю на всем 36, т. е. является нулем линеала Г?.
Поэтому—в силу линейности оператора V*—нулем будет
и сечение
A7)
Поскольку s' = s" и ф = 1 на W, отсюда следует, что
'—s")^0 на W,
т. е. Vxs' — 4xs' на W- D
Это свойство операторов V* называется их локально-
локальностью по s.
Аналогично доказывается локальность операторов V*
по X, т. е. тот факт, что для любых векторных полей X',
X" ?аЗЗ, совпадающих вблизи точки Ь0?33, операторы
Vx' и Vx» совпадают вблизи этой точки (обладают тем
свойством, что Vx'S^Vx'S вблизи bt для каждого сече-
сечения s6F|). [Для доказательства достаточно рассмотреть
поле ц>-{Х'—Х').]
Лемма 3. Для любого открытого множества Uc33
операторы A6), обладающие свойствами л, б и в из пред-
ложения 2, индуцируют единственные операторы
A8)
также обладающие свойствами а, б и в (по отношению
к алгебре FU) и такие, что для каждого поля X 6 аЗЗ
имеет место коммутативная диаграмма
Г5 — Г?
I I
¦ (V \n)x *
вертикальные стрелки которой являются отображениями
ограничения, т. е. такие, что
A9)
для любого сечения s ? Г?).
(Ср. предложение 1 лекции III.16.)
Доказательство. Как всегда, докажем сначала
единственность. Пусть операторы A8) существуют и пусть
s € Г (i |у), X?aU. Согласно лемме 1 и замечанию 1 лек-
лекции 111.16 для любой точки bo?U существует сечение

СВЯЗНОСТИ КАК КО&АРИАНТНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 19?
а' ? П; и векторное поле X' ? aS, совпадающие вблизи этой
точки с сечением s и полем X соответственно. При этом
согласно свойству A9)
B0) [(V Ы*(«)] F.) - [V;r
Это доказывает единственность операторов (V |{/)х. так как
в силу локальности операторов Vx по s и по X правая
часть этой формулы не зависит от выбора сечения s' и
поля X'.
Для доказательства существования операторов (V \и)х
мы примем формулу B0) за определение сечения (V |у)х (s)-
Другими словами, если Х = Х' и s = s' на W, то мы
положим
(V|y)x(s) = Vx'(s')Ha W.
Без труда проверяется (сделайте это!), что эта формула
корректно определяет операторы A8), обладающие всеми
нужными свойствами. П
Для упрощения формул мы, как правило, вместо V \ц
будем в дальнейшем писать просто V.
Теперь мы уже можем доказать теорему 1.
Доказательство теоремы 1. Пусть связность Я
существует.
Рассмотрим произвольную тривиализирующую окрест-
окрестность Uc33 и на ней сечения su ..., sn, составляющие
базис F|(Cf-модуля Г(?|у), а также векторные поля
аз а
дх1 дх» '
составляющие базис FfZ-модуля aU. Согласно формуле A3)
при любых i, / = 1, ..., п и k—\, ..., т для коэффи-
коэффициентов Tjtj связности Н имеет место равенство
B1) П/
Это доказывает единственность связности Я (на U, а по-
потому—в силу произвольности U—и на всем 59).
Для доказательства существования этой связности мы
определим коэффициенты Г^ на U посредством формулы B1).
Пусть U'—другая тривиализирующая координатная окрест-
окрестность и пусть
riV-(V**/-)j на U'
( используем обозначения, подробно объясненные в лек-
лекции 10). Тогда на пересечении U[\V будет иметь место

198 ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ СЕЧЕНИЙ
равенство
дх" dwL дх" ,
( д дх" д i \
[напомним, что — = и Sc = ф*» s,- ), а значит,
\ дхк> дх"' дх" )
и равенство
,, , дх" ftpj, дх" , .
Поскольку последнее равенство полностью равносильно
тождеству A7) лекции 10, этим доказано, что функции Г^
являются коэффициентами некоторой связности Я. При
этом, как непосредственно следует из формулы B1) и
свойств а, б и в операторов V* на окрестности U, для
операторов V* имеют место те же формулы A1), что и для
ковариантных производных относительно связности Я.
Поэтому эти операторы совпадают с ковариантными про-
производными относительно связности Я. ?
В доказательстве леммы 3 мы фактически пользовались
лишь свойством локальности операторов Vx- Поэтому эта
лемма справедлива для произвольного, обладающего свой-
свойством локальности линейного отображения D: Г?—«-Г!-
и даже отображения D: Г?—>Гт), где 5 и т) — векторные
расслоения с одной и той же базой 3S. Таким образом,
для любого открытого множества Ucz33 каждое такое
отображение D индуцирует (очевидно, тоже линейное)
отображение
B2) D\u:
замыкающее коммутативную диаграмму
П --* г,
* D \и *
вертикальные стрелки которой являются отображениями
ограничения.
С другой стороны, легко видеть, что каждое Р^ЗЗ-линей-
ное отображение D: Г§—<-Гг) обладает свойством локаль-

ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МОДУЛЕЙ СЕЧЕНИЙ 199
пости. (Доказательство леммы 2 полностью сохранится
и в этом случае; лишь в формуле A7) будет отсутствовать
член с Хер.) Поэтому для любого открытого множества
UcSB каждое такое отображение индуцирует отображение
B2).
Задача 4. Докажите, что для РкЗЗ-линейного отобра-
отображения D отображение B2) FicSiJ-линейно.
Примером FK^-линейного отображения Г? —»• Тг\ явля-
является отображение
B3) фо: Г|-+Гп, st-»q>os,
индуцированное произвольным гладким морфизмом рас-
расслоений ф: 5—+ ч\ (ср. лекцию 6). Отображение D — фо
обладает не только свойством локальности, но и следу-
следующим более сильным свойством:
1. Если s'(bo) = s"(bo), где Ьа?®, з', s"бП, то
' D
()(o) (s)(o)
Оказывается, что свойством 1 обладает каждое FkS3-
линейное отображение D: Г?—>-Гт). Действительно, пусть
sIf ..., sn—тривиализация расслоения I над окрестностью
U точки Ьо и пусть s"—^^^; над U (где fl(bo) — O
для любого i=l, ..., п). Тогда
(где справа D обозначает D\y). Следовательно, (Ds')(bo) =
HDsKM ?
Теперь уже без труда доказывается следующее пред-
предложение (ср. задачу 5 лекции 6):
Предложение 3. Для любого F^-линейного отобра-
отображения D: Т% —> Гг| существует такой единственный
морфизм ф: ^ —*- т|, что D~cpo.
Доказательство. Если D = фо, то (Ds)(b) — <p(s(b))
для любого сечения s?Yl и любой точки b?!B. Это озна-
означает, что для каждой точки
B4)
где 6 = я(р), as—такое, сечение, что s(b) — yp. Поскольку
в силу свойства 1 правая часть этого соотношения не за-
зависит от выбора сечения s, это доказывает единственность
морфизма ф.
Для доказательства существования морфизма ф мы
определим его формулой B4). Ясно, что это определение
корректно задает послойное отображение ф: «?Е—<¦$"*,
линейное на каждом слое и такое, что D — yo. Поэтому

200 СВЯЗНОСТИ НА МЕТРИЗОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ
нам нужно только доказать, что это отображение гладко.
Но это очевидно, поскольку над любой окрестностью Uc:S,
тривиализирующей для обоих расслоений § и х\ одновре-
одновременно, отображение ф в координатах задается той же са-
самой, состоящей из гладких на U функций, прямоугольной
матрицей, что и отображение D \и в соответствующих бази-
базисах свободных FK^-модулей Т(\\ц) и Т(г\\и). ?
Предложение 3 означает, что Fi^-модуль Мог (|, ц)
всех гладких морфизмов 5—«-т) естественным образом
отождествляется с FicS-модулем Homp <$ (Г|, Гп) всех
РкЗЭ-линейных отображений Г?—>-Гт):
B5) Мог (I, т)) = НотРк^ (П, Тх\).
(Ср. замечания, сделанные после задачи 5 в лекции 6.)
Напомним—см. лекцию 7 —, что метрики на К-вектор-
ном расслоении ?=(<??, я, 53) естественным образом отож-
отождествляются с непрерывными функциями Q:<B —»-R, огра-
ограничение которых на любом слое ?ъ, ?>€59, является метри-
метрикой на ?ь (положительно определенным квадратичным
функционалом). Метрика на гладком расслоении \ назы-
называется гладкой, если функция Q гладка.
Задача 5. Докажите, что на каждом гладком куме-
рируемом К-векшорном расслоении ? существует гладкая
метрика (ср. предложение 2 лекции 7).
Пусть К-векторное расслоение I метризовано. Тогда
формула
(s, s')ф)ш.(sф), s'ф)), s, s'еП,Ь?59,
определяет на Р53-модуле Г? функционал s, s'i—*(s, s'),
принимающий значения в алгебре F*53 и обладающий тем
свойством, что для любого сечения s € Г? функция (s, s) €
€ Fk^ принимает вещественные неотрицательные значения
и равна нулю в тех и только тех точках Ъ б 39, в которых
{ф)е=0. При K = R этот функционал билинеен (над алгеб-
алгеброй F58) и симметричен, а при К = С—полуторалинеен
и эрмитов. Допуская вольность, мы будем этот функцио-
функционал называть скалярным умножением на Г|.
Задача 6. Докажите, что над каждой тривиализи-
тривиализирующей окрестностью (/cS модуль Гк^!^) обладает
ортонормированным базисом s1( ..., sn (таким, что (st, sj)=
=б,у для любых », /=1( .... п). [Указание. Выбрав

СВЯЗНОСТИ НА МЕТРИЗОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ 201
произвольный базис, примените к нему процесс ортогона-
лизации Грама—Шмидта.]
Определение 3. Связность V на метризованном рас-
расслоении \ называется согласованной с метрикой (или мет-
метрической), если для любого векторного поля Х^аЗЗ
и любых сечений s, s' ? Г| имеет место равенство
B6) X(s, s') = (vxs, s') + (s, Vxs').
Предложение 4. Связность V на расслоении § тогда
и только тогда согласована с метрикой, когда для любой
тривиализирующей окрестности U матрица о» = || «>J ||
форм связности, отвечающих ортонормированному базису
s,, ..., sn F^U-модуля ГE|у), кососимметрична при K=R
и косоэрмитова при К=С, т.е. если для любых i, /=
= 1, ..., п
при K==R,
со/ + й{=0 при К=С.
Доказательство. Ясно, что соотношение B6) тогда
и только тогда выполнено для любых сечений s, s'^F?,
когда над произвольной тривиализирующей окрестностью U
оно выполнено для элементов произвольного базиса sv ...
..., sn над U, т. е. если
B7) X (8„ Sj) = (vxs!t Sj) + (slt Vxsj), i, /= 1 n.
С другой стороны, если базис st sn ортонормировая,
то соотношение B7) имеет вид
при K=R,
при К=»С,
где (VXS/Y—координаты сечения S/. Для завершения дока-
доказательства остается вспомнить, что согласно формуле A3')
Задача 7. Докажите, что «а любом нумерируемом
метризованном векторном расслоении ? существует связ-
связность, согласованная с метрикой. [Указание. Из пред-
предложения 4 следует, что на тривиальном расслоении такая
связность существует. Общий случай сводится к этому с
помощью разбиения единицы. Ср. доказательство предло-
предложения 3 лекции 7.]

Лекция 12
|-тензорные поля.— Полилинейные функционалы и \-
тензорные поля.— Ковариантное дифференцирование |-
тензорных полей.—Случай §-ковекторных полей.— Общий
случай.— Кронекерово произведение матриц и тензорное
произведение линейных операторов.— Функторы.—Тензор-
Функторы.—Тензорное произведение векторных расслоений.— Обобщение.—
Тензорное произведение сечений.
Пусть, как и выше, ? = (<!?, я, SB) — гладкое К-вектор-
ное (K=IR или С) расслоение ранга п над m-мерным хаус-
дорфовым многообразием S3 и пусть для любой точки Ь ? S3
в линейном пространстве Wb=W\ задан тензор Sb, причем
во всех точках Ь^& тензоры Sb имеют один и тот же
тип (г, s). Пусть, далее, slt ..., sn—гладкая тривиализа-
ция расслоения ? над окрестностью Uc93. Поскольку для
любой точки b?U векторы s^fe), ..., sn(b) образуют базис
линеала ?ь, то для тензора Sb будет иметь место формула
A) Sb=S[[-{'r(b)&(b)®.. .®s<r(b)®sh(b)® ... ®sls(b),
где s1^), ..., s"(b)—двойственный базис сопряженного
пространства ?*b, a S1^'^ — некоторые функции, опреде-
определенные на U.
Определение 1. Если для любой гладкой тривиали-
зации (U, sL, ..., sn) функции S|''"^ гладки, то соот-
соответствие
S:
называется ^-тензорным полем (или просто %-тензором)
на 58, а функции 5('"'^ называются его компонентами
(в данной тривиализации).
В частности, при (г, s) = @, 1) мы получаем уже извест-
известные нам ^-векторные поля (сечения расслоения I).
При (г, s) = (l, 0) поле S называется Ъ-ковекторным
полем. Примером ?-ковекторного поля (определенного на
окрестности U) является поле s': bt—>s'(b), l^i^n.
При | = т^, где %<р — касательное расслоение гладкого
многообразия 3", 1-теизорные поля являются не чем иным,
как тензорными полями на & в смысле лекции III. 16.
Замечание 1. По традиции вместо того, чтобы гово-
говорить о тензоре S, часто говорят о тензоре S^"^; конечно,

^-ТЕНЗОРНЫЕ ПОЛЯ 203
это словоупотребление (которым мы также будем пользо-
пользоваться) предполагает, что тривиализация (U, su ..., sn)
раз и навсегда выбрана и фиксирована.
Задача 1. Покажите, что на пересечении UC\U' двух
тривиализирующих окрестностей U и U' компоненты
S'."'.'[s и S'1,"'* одного и того же тензора 5 связаны
соотношениями
B) 6., ., - ф,.. . . ф., фу1. . . (pj^h _ Лг ,
где |ф/'| и |ф''|—взаимно обратные матрицы перехода
(см. лекцию 10).
Для касательного расслоения формула B) нам уже
известна из лекции III. 16.
Очевидно, все ^-тензорные поля данного типа (г, s) об-
образуют модуль над алгеброй Fr.® гладких К-значных функ-
функций на 3d. Мы будем обозначать этот модуль символом Г?|.
Для любых 1-тензорных полей S и Т (типов (г, s)
" (ri> si) соответственно) формула
корректно определяет ^-тензорное поле S(g)T типа (г+гх,
S+-S,), для которого
1- • ¦ is 1.1 +1. • •l's
Это поле называется тензорным произведением полей S и Т.
Аналогично определяется тензорное произведение
S®T®.. .(g)R любого числа i-тензорных полей.
Используя тензорные произведения
(являющиеся ^-тензорными полями над U), мы можем пере-
переписать формулу A) в следующем виде:
Это означает, что тензоры C) составляют базис ^^JJ-моду-
ля Г?(?|у) (или, как мы будем говорить, базис Р^З-модуля
Г? над U).
Например, при (г, s) = (l, 0) базис модуля Г?? (обоз-
(обозначаемого также символом Г|*) над U составляют |-ковек-
торные поля s1, ..., sn.

204 ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ
Особое значение имеют ^-тензорные поля типа (г, 0).
Пусть S—такое поле и пусть *,, ..., tr^Tl. Тогда
для любой тривиализации (С/, s^ ..., sn) расслоения ? на
открытом множестве U будет определена функция
D)
где t'x, ..., t'r—компоненты ?-векторных полей tu ..., tr
на U, a Siit..ir—компоненты 5-тензорного поля S.
Задача 2. Покажите, что функции D), построенные
на двух тривиализирующих окрестностях U и U', совпа-
совпадают на их пересечении Uf]U'.
Это означает, что формула D) корректно определяет
функцию S(^, ..., tr) на всем многообразии $3.
Функция S(tlt ..., tr) называется сверткой тензора S
с полями tu ..., tr
По аналогии со случаем линейных пространств отобра-
отображение
(б) S:
г раз
называется ^^-полилинейным функционалом, если оно
FK^J-линейно по каждому аргументу.
Ясно, что определенное формулой D) отображение E)
является РкЗВ-полилинейным функционалом.
Задача 3. Покажите, что соответствие
тензор S =ф функционал E)
представляет собой изоморфизм ^SB-модуля ГД = Г% на
ФцШВ-модуль всех F ^-полилинейных функционалов E).
[Указание. См. замечание 2 лекции III.IS.J
В дальнейшем мы будем посредством этого изоморфизма
отождествлять ^-тензорные поля типа (г, 0) на 53 с Fr.53-
полилинейными функционалами E).
В частности, в силу этого отождествления ?-ковектор-
ные поля с^Г^ — ТЪ* являются не чем иным, как РкЗЗ-
линейными функционалами вида
с: П—*FK33.
Значение c(s) такого поля на сечении s?T% (явля-
(являющееся, подчеркнем, функцией на й?) обозначается также
символом <s, су.
Мы будем говорить, что на Г*5 задано ковариантное
дифференцирование V, если каждому векторному полю

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ^-ТЕНЗОРНЫХ ПОЛЕЙ 205
X 6 л$ сопоставлен линейный (над К) оператор
F) Vx: Г? — Г&
FK^-линейно зависящий от X и удовлетворяющий тож-
тождеству Лейбница:
Операторы V* называются ковариантными дифференцирО'
паниями по X.
Задача 4. Покажите, что для операторов F) имеют место
аналоги лемм 2 и 3 лекции 11.
Это значит, в частности, что операторы V определены
над любой тривиализирующей координатной окрестностью
U и действуют на тензорах S ? Г* (? \и) по формуле
где X*, 1 <. k ^ т,— компоненты поля X над U, а
G) VfcS — Ve'S, I < k < m,
— частные ковариантные производные 1-тензорного поля 5.
Следовательно, операторы F) однозначно восстанавли-
восстанавливаются по частным производным G) и, значит, по их ylov?-
понентам (VftS)J*''" lf.
При (г, s) = A, 0) операторы F) имеют вид
(8) . Vx: П* — Г5*
и для любой тривиализирующей координатной окрест-
окрестности U переводят ?-ковекторное поле c = CiSl на U в ?-
ковекторное поле
где (V)fi)t—компоненты 5-ковекторного поля Vjfi-
Пусть теперь на % задана некоторая связность Я.
Предложение 1. На F^-модуле VI* существует
единственное ковариантное дифференцирование V, облада-
обладающее тем свойством, что для любого векторного поля
X ^ п5В и любого сечения s ? Г? для каждого \-ковектор-
ного поля с ? Г?ф' имеет место равенство
(9) X <s, c>

206 СЛУЧАЙ |.КОВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
где в первом члене справа символ V'обозначает ковариант-
ное дифференцирование относительно связности Н.
При X = j-i компоненты \-ковекторного поля 4kc —
= V а с в каждой тривиализирующей координатной
dick
окрестности U выражаются формулой
A0) (VftC)(. = g-iy,c,, 1<»<л, l<A:<m,
где Гк{—коэффициенты связности Н.
Доказательство. Ясно, что равенство (9) тогда и
только тогда имеет место для любых s, с и X, когда на
произвольной тривиализирующей координатной окрест-
окрестности U оно имеет место при X = -~-k и s = s(, т.е.—по-
т.е.—поскольку <s,-, c> = C; и Vj!s, = rft/s/—когда
Это доказывает формулу A0) и вместе с тем единственность
дифференцирования V на Г?\ Чтобы доказать существова-
существование, мы определим операторы (8) формулами A0), т.е.
для любого векторного поля X — X* ^ на U и любого %-
ковекторного поля c = CiSl на U положим
A1) VxC==(g_rA/)xV на U.
Задача 5. Докажите, что
а. Для любого векторного поля X ? о® и любого \-
ковекторного поля с ? Г?* формулы A1) корректно опре-
определяют \-ковекторное поле V^c. [Указание. Если V—
другая тривиализирующая координатная окрестность, то
на пересечении U П 0' имеют место равенства
где |ф{, I и ||cpf'||—взаимно обратные матрицы перехода.]
б. Получающиеся отображения Чх'- Г?* ~*• Г?* состав-
составляют дифференцирование. [Указание. Линейность по X

ОБЩИЙ СЛУЧАИ 207
над Fr53 и линейность по с над К очевидны. Тождество
Лейбница вытекает из того, что оно справедливо для опера-
операторов -т?5 обычного частного дифференцирования.]
в. Имеет место формула (9). [Указание. По пост-
построению справедлива формула A0).]
Тем самым предложение 1 полностью доказано. П
Предложение 2. На Ъф-модулях Y%, r,
существуют такие дифференцирования V, что
1° Для любых двух \-тензоров S и Т и любого вектор-
векторного поля X 6 а53 имеет место равенство
A2) 1X(S®T)=*VXS®T + S®VXT.
2° При (г, s)---@, 1) дифференцирование V совпадает
с дифференцированием V на Г| = Го? относительно связ-
связности Н, а при (г, s) = (l, 0)—с дифференцированием V
на Г?* = Г}? из предложения 1.
Эти дифференцирования единственны и на любой три-
виализирующей координатной окрестности U компоненты
(VftS)'j'.'.'. i* частной производной VkS произвольного %-тен-
зора S выражаются через его компоненты S{lr;;; {* по
формуле
A3) ff ^|^
ГР c/i/t • • • Is pP c/i/» • • • h pP c/i • • ¦ h
(Каждому индексу отвечает справа одно слагаемое со зна-
знаком плюс, если индекс верхний, и со знаком минус, если
индекс нижний.)
Доказательство. Из соотношения A2) очевидной
индукцией вытекает аналогичное соотношение для любого
числа сомножителей. Например, для трех ^-тензорных
полей 5, R и Т мы имеем
т. е.

208 ОБЩИЙ СЛУЧАЙ
В частности, для любых s, t ёП; и
Для компонент частных производных ^-тензорного поля
@@c, отсюда следует формула
dsh ,, . , dtf'
dx"
т. е. (|юрмула
Этим доказано, что если дифференцирования V существуют,
то при (г, s) = B, 1) для полей вида S — s(g)t(g)c (такие
поля обычно называются разложимыми) имеет место фор-
формула A3).
Но над каждой тривиализирующей окрестностью^/ с Si
каждое ^-тензорное поле является (^.©-линейной комбина
цией разложимых полей (ибо любой тензор над линейным
пространством является К-линейной комбинацией разложи-
разложимых тензоров; см. предложение 1 лекции II.6), и, с другой
стороны, ясно, что если формула A3) справедлива для
полей S и Т, то она справедлива и для любой их Fk$-
линейной комбинации (единственное сомнение может воз-
возникнуть в отношении поля вида fS, когда слева возникает
дополнительное слагаемое jtS{[ ;;; {% но точно такое же
слагаемое отщепляется и от первого члена справа). Это
доказывает, что формула A3) справедлива для любого
|-тензорного поля S типа B, 1), и значит, для этих полей
операция V—если она существует—единственна.
Аналогичным образом формула A3) и единственность
дифференцирования V доказываются и для любых г и s.
Для доказательства существования мы определим 5-тен-
зорное V*S как поле, имеющее на каждой тривиализирую-
тривиализирующей координатной окрестности U компоненты (V*S)[|'.'.'. {s,Xk>

КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ 209
где X*—компоненты поля X на U, a (V*S)/,1."" ^—функ-
^—функции A3).
Задача 6. Докажите, что тем самым
а. Поле VjjS корректно определено на всем многооб-
многообразии.
б. Отображения ух: Г?5 —> Г*5 составляют дифферен-
дифференцирование.
в. Для любых ^-тензорных полей S и Т имеет место
формула A2).
Это доказывает предложение 4. ?
Поле \XS называется ковариантной производной отно-
относительно связности Н ^-тензорного поля S по векторному
полю Х(=а53.
Замечание 2. Компоненты (V*S)'j;;; {sr поля V*S
обозначаются также символами S{[;;; /* (к, причем вместо
разделительной черты | употребляются и другие знаки
(запятая, точка с запятой и т. п.).
Конструкции ковариантных производных 4XS можно
придать большее формальное совершенство и концептуаль-
концептуальную простоту (даже для случая (г, s) = @, 1)), если восполь-
воспользоваться некоторыми, имеющими и самостоятельный инте-
интерес, конструкциями над векторными расслоениями.
Начнем с необходимых сведений из линейной алгебры.
Пусть n^tl, m^\. Раз и навсегда зафиксировав неко-
некоторый способ нумерации элементов (я X/п)-матриц числами
от 1 до пт, мы можем линейное пространство всех (п У. т)-
матриц над полем К отождествить с пространством Кпт.
В соответствии с этим мы будем обозначать векторы стан-
стандартного базиса пространства Кпт символами etk, I ^.l^n,
l^.k^m, а элементы квадратных матриц порядка пт —
являющиеся матрицами линейных операторов Кпт -+К"—
символами с*//,, где 1 < i, / ^ п, 1 ^ k, I < т.
Эти соглашения позволяют любым двум квадратным
матрицам Л=||аЦ| и ? = ||^*1 порядков соответственно п
и т поставить в соответствие матрицу С = |]с^|| порядка пт,
для которой
#
Определение 2. Матрица С— ||а<&?|| называется кро-
некеровым произведением матриц А и В. Обозначается
эта матрица символом Л®В.
Чтобы истолковать это умножение на языке линейных
операторов, мы напомним (см. замечание 4 в лекции П.5),

210 КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ
что для любых линейных пространств "У3 и W определено
линейное пространство 4/7>®7//J, называемое их тензорным
произведением. Векторами этого пространства являются
билинейные функционалы, первый аргумент которых про-
пробегает пространство fD*, сопряженное к пространству "У3, а
второй—пространство ff*, сопряженное к пространствуй.
Произвольные векторы а ? f7* и b^W определяют по фор-
формуле
(а ® Ь) (I, Л) - I (а) Л (b), I € У, Л € W,
вектор а ® b ? °Р ® W, называемый тензорным произве-
произведением векторов а и Ь. Этот вектор линейно зависит от
векторов а и b в том смысле, что для любых векторов аи
аг, а^.У1', blt Ьг, b?W' и любого элемента А,^К имеют
место равенства
(at -V a2) (g) b = at ® b -f «2
Для произвольного базиса elt ..., е„ пространства f° и
проИчЭвольного базиса flt ..., fm пространства W векторы
образуют, очевидно, базис пространства f^®W. Поэтому,
в частности, каждый вектор пространства "У3®W может
быть представлен—вообще говоря, не единственным спо-
способом— в виде линейной комбинации векторов вида а®Ь
(т. е. векторы вида a®b образуют в "У3®Ж полное
семейство векторов).
В случае, когда ^ = [<" и W*=Km, базис et®fk
естественным образом отождествляется с базисом elk прост-
пространства К" и, значит, тензорное произведение Kn®KM —
с пространством К":
Произвольные линейные отображения ср: "У3 —>• ^ и
1|з: ^ -ч- W'x естественным образом определяют линейное
отображение
A5) ффф: еУ3®Ж-^°У31®Ж»
которое называется их тензорным произведением и обла-
обладает тем свойством, что i
A6)

КРОНЕКЕРОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МАТРИЦ 211
для любых векторов а^.4^, b?W. [Отображение Ф®г|э
можно определить как—очевидно, единственное!—линей-
единственное!—линейное отображение f°®W ~- i^x^Wi, для которого спра-
справедлива формула A6), но на этом пути возникает проблема
доказательства его существования. Более коцептуальный
путь построения этого отображения основывается непо-
непосредственно на определении векторов пространства f3®W
как билинейных функционалов.]
Задача 7. Постройте отображение A5) каждым из
указанных двух способов. [Не забудьте проверить, что
получающееся отображение линейно.]
В частном случае, когда <5^1 = f°, Wi^W и, значит,
линейные отображения ф и т|з являются линейными опера-
операторами A: f^-^-f3, В: Ж—+Ж, тензорное произведение
ФBI|з будет линейным оператором:
При этом если оператор А имеет в базисе еи ¦ ¦¦,<?„ прост-
пространства f° матрицу Л —||а|| (т. е. Aei = a{e/), а опера-
оператор В имеет в базисе /г fm пространства Ж матрицу
5 ^11 (т.е. */* = &?/,), то
3)то означает, что матрицей оператора А®В является
кронекерово произведение Л (Я) В матриц А и В.
На этом'основании кронекерово произведение Л®В
называется также тензорным произведением матриц А и В.
Подчеркнем, что в отличие от тензорного произведения
операторов кронекерово произведение матриц заключает
в себе определенный произвол — выбор нумерации пар (?, /г).
Вернемся теперь к общему случаю произвольных линей-
линейных отображений ф и г|).
Из формулы A6) непосредственно вытекает, что
а. Если ф=-ЛA и \|) = id (a "tP^f* и Wi=-W), то
б. Для любых линейных отображений

212 ФУНКТОРЫ
имеет место формула
Здесь уместно ввести общее определение:
Определение 3. Пусть любым двум линейным прост»
ранствам 9° и W (как всегда у нас—конечномерным)
поставлено в соответствие линейное пространство Ф(^,^*),
а любым двум линейным отображениям <р: "P—>ehi и
ty: W'—»-^i—линейное отображение
Ф(Ф, Мр): Ф(Г>, Т)-+ Ф(?Л, 7Гг).
Если
а) 0(id, id) = id;
б) для любых линейных отображений A7) имеет место
формула
то говорят, что Ф представляет собой двуместный функ-
функтор (из категории конечномерных линейных пространств
в себя).
Пример 1. Установленные выше свойства операции
® означают, что, положив
мы получим двуместный функтор. Этот функтор называется
функтором тензорного умножения.
Пример 2. Положив
Ф(Г>, W)^V><&W, Ф(Ф, Ч>) = Ф®Ч>
(по определению (фф'ф)(а, 6) = (фа, i|jft) для любых век-
векторов a?f°f Ь^Ф7), мы, очевидно, также получим дву-
двуместный функтор. Этот функтор называется функтором
прямого суммирования.
Аналогично определяются k-местные функторы для
любого k^\. Например, одноместный функторФставит
в соответствие каждому линейному пространству 1/* линей-
линейное пространство Ф0О и каждому линейному отображе-
чикГф: Т* —*¦ W—линейное отображение
Ф(Ф): Ф(^>)-^Ф(^),
причем
а) O(id) = id;
б) Ф(ф,)оФ(ф) = Ф(ф1оф) для любых линейных отобра-
отображений ф: ^» — Т и фх: Ж-^Wv

ФУНКТОРЫ 213
Пример 3 и задача 8. Пусть АРУ3—пространство
всех кососимметрических тензоров степени р ^ 0 на прост-
пространстве "Р. (См. лекцию II.8.) Определите для любого
линейного отображения <р: У® ~+"$* линейное отображение
так, чтобы получился одноместный функтор. Этот функтор
называется функтором р-й внешней степени.
Введенные функторы называются также ковариашп-
ными функторами, поскольку существуют функторы
контравариантные. Например, одноместный контравари-
антный функтор Ф сопоставляет каждому линейному
пространству "У3 линейное пространство Ф(^) и каждому
линейному отображению q>: "P-+W—линейное отобра-
отображение
Ф(Ф): ()()
(обратите внимание на обратное направление стрелки!),
причем
а) O(id) = id;
б) Ф(ф)оФ(ф1) = Ф(фхоф) для любых линейных отобра-
отображений <р: Г> — Т и фх: Ж -+ Тх.
Пример 4. Одноместным контравариантным функто-
функтором является функтор сопряжения
"Р'У3* *
ставящий в соответствие линейному пространству "У3 сопря-
сопряженное пространство "№*, а линейному отображению ф:
<уъ _+ <^—сопряженное отображение ф*: W* —> f°* (дейст-
(действующее по формуле ф* (л) (а) = | (фа), а?^, %GW*;
ср. определение 2 лекции 11.15).
Самым общим образом можно определить многоместные
смешанные функторы, ковариантные по одним аргументам
и контравариантные по другим.
Задача 9. Сформулируйте подробно соответствующее опреде-
определение.
Пример 5. Функтор Нот, сопоставляющий прост-
пространствам У3 и W линейное пространство Hom^, W)
всех линейных отображений °Р —* W и любым двум линей-
линейным отображениям q>: f°—+ Т3^ t|>: Ж' —+WX—линейное
отображение
Нош (ф, # Нот (^1Т Ж) — Нот (Г>, Тг\

214 функторы
определенное формулой
Нот((р, 1|з)(а)==1|;оаоф, а:
является двуместным функтором, контравариантным по
первому аргументу и ковариантным по второму.
Можно рассматривать также функторы, перерабатываю-
перерабатывающие линеалы над одним полем в линеалы над другим.
Например, функтор комплексификации f^*-*cp^ перево-
переводит произвольный линеал f3 над полем R в его комплек-
сификацию Т3^, являющуюся линеалом над полем С, а
функтор овеществления W ~* Ж я переводит произволь-
произвольный линеал W1 над полем С в его овеществление W
Задача 10. Докажите, что
где 3f — пространство, комплексно-сопряженное пространству %"
(см. лекцию 11.19).
Заметим, что любой функтор перерабатывает изомор-
изоморфизмы в изоморфизмы, т. е.— для определенности мы огра-
ограничиваемся двуместными функторами—если отображения
Ф и г|) являются изоморфизмами, то отображение Ф(ф,г|))
также будет изоморфизмом.
Как правило, мы будем рассматривать функторы, для
которых при ^ — К" и 55^= К'*—мы снова формулируем
условие только для двуместных функторов — пространство
Ф(К", К"') отождествлено с пространством Y,N, где N—
некоторое число, зависящее от л и т. Например, для
функтора прямого суммирования N —-п + т, для функтора
тензорного умножения N~nm, а для одноместного функ-
функтора сопряжения N — п.
В силу этого условия для любых изоморфизмов А:
К" —К" и В: Кт-+Х.т, т. е. матриц A?GL(n; К) и
B^QL(m;K), изоморфизм Ф(А, В) является матрицей из
GL(N; К), так что соответствие (A, B)t—>Ф(А, В) пред-
представляет собой некоторое отображение
A8) GL(n; K)xGL(/n; К) — GL(N; К).
Мы будем называть функтор Ф непрерывным, если отобра-
отображение A8) непрерывно, и при К = R—гладким, если отобра-
отображение A8) гладко.
Все функторы из примеров 1—5 очевидным образом
непрерывны, а при К —R—и гладки.

ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАССЛОЕНИЙ 215
Пусть теперь ?-- (<?5, я5, S3) и r\: (tfif я11, ^—век-
^—векторные расслоения над полем К рангов пит соответ-
соответственно с одной и той же базой 33 (которую пока можно
считать произвольным топологическим пространством) и
пусть {Ua}—открытое покрытие пространства S3, состоящее
из окрестностей, тривиализирующих каждое из этих рас-
расслоений (очевидно, что такое покрытие всегда существует).
Пусть, далее,
тривиализации расслоений ? и г\ над Ua, a
«I'iL: i/ant/p->GL(n; К) и ф^: Ua[) ?/„ — GL(m; К)
— соответствующие отображения перехода.
Определим отображения
ф|а ® Фра: Ua П U& -* GL (wn; К),
положив для любой точки Ь g t/a П t/p
Эти отображения, очевидно, непрерывны (и гладки, если —
в предположении, что 53 является многообразием—гладки
отображения ф|а и Фра), а автоматическая проверка (исполь-
(использующая только функторные свойства операции (х)) пока-
показывает, что они составляют коцикл покрытия {иа} над
группой GL (пт; К). Поэтому (см. предложение 2 лекции 6)
существует такое векторное расслоение ? ранга тп над
полем К с тривиализирующим покрытием {Ua}, что
для любых а и р. Это расслоение гладко, если гладки
расслоения I и г\.
В построении векторного расслоения ? участвует три-
пиализирующее покрытие {?/«}. Поэтому надо рассмотреть
вопрос, в какой мере расслоение ? зависит от выбора
этого покрытия.
По построению (см. лекцию 6) расслоение ? возникает
имеете с некоторыми тривиализациями
связанными с отображениями фра == фра ® ф?« формулами

21G ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ РАССЛОЕНИЙ
где, скажем, фЕ.й — изоморфизм К"" —+ ?Гь, b?Ua, опре-
определенный формулой
ф1бИ=Ф&(*. X),
Аналогично
где, скажем,
ф1»(*)
Поэтому для отображения
(ф!*® ФЙ.лМф
при b€Ua(]Ue будет иметь место равенство
(напомним, что по определению фра (Ь) = фра (&)® фра F)).
Это показывает, что формула
ф2.
в которой p?Ua, b — n(p), корректно определяет—оче-
определяет—очевидно, биективное—отображение
где
— дизъюнктное объединение линейных пространств
#"!®«F?, б^^- (Заметим, что каждый слой <F]i отобра-
отображение f изоморфно отображает на пространство 3~\ ®f J.)
Посредством отображения / мы можем перенести из
^ в^ топологию (а когда расслоения ? и г\ гладки—и
гладкость). Ясно, что тогда тройка (<§, я, $3), где я: ? —+
—+SB—естественная проекция, будет векторным расслое-
расслоением (с тривиализациями вида /оф?), а отображение / —
изоморфизмом векторных расслоений.

ОБОБЩЕНИЕ 217
В пространстве ?t множество открыто тогда и только
тогда, когда открыто (в $Ь„) его пересечение с каждым
из множеств ?b(X,=^(ni)~1Ua, и значит (докажите!) тогда
и только тогда, когда для любого открытого множества
Uczffl, над которым тривиальны оба расслоения Б и т|,
открыто в <ВЬ — (п^)~ги его пересечение с ?*Ъ. Поэтому
в пространстве & множество открыто тогда и только тогда,
когда для любого такого U открыто в ^и=^п~111 его
пересечение с <Вц.
Поскольку топология пространства &и является (дока-
(докажите!) прямым произведением топологий пространства U
и К", этим доказано, что топология в пространстве ? не
зависит от выбора покрытия {Ua}. Следовательно—так как
все остальное в расслоении (<?, я, 93) заведомо обладает
этим свойством,—расслоение (?, я, й?) определено кор-
корректно (не зависит от выбора покрытия {Ua}).
Определение 4. Векторное расслоение (<§, я, S)
обозначается символом 5® Л и называется тензорным
произведением расслоений § и т|. Оно гладко, если гладки
расслоения ? и г\.
Слоем расслоения I (?) т) над произвольной точкой b g 3$
является тензорное произведение слоев расслоений \ и т|:
Построенное выше расслоение ? изоморфно расслоению
1®т], и значит его отображения перехода фр« являются
также и отображениями перехода расслоения %,(j?)r\.
Конструкция расслоения ?®т) немедленно обобщается
на любые непрерывные функторы.
Задача 11. Для произвольного ^-местного непрерыв-
непрерывного функтора Ф на категории линейных пространств
(поодним аргументам коварнантного, а по другим—контра-
вариантного) и любых векторных расслоений 5i. •••» ?*
над ИВ постройте векторное расслоение Ф(!х, ..., ?*),
слоем которого над произвольной точкой Ъ^ЗЬ является
линейное пространство О>{?\\ ¦•-,Srlk). Специально рас-
рассмотрите расслоения &\ Л*?, ?©ti1 и ^Hom(?, tj), для
которых соответственно

218 ОБОБЩЕНИЕ
J<6. Л) = НОШ (Г?
Докажите, что расслоение 10 т] является не чем иным,
как суммой Уитни расслоений 1 и т), построенной в при-
примере 2 лекции 7.
Пример 6. Для произвольного гладкого многообра-
многообразия & определено гладкое векторное расслоение
т#=-,тМГ = (Т*.2\ я, X),
слоями которого являются кокасательные пространства
VP9H многообразия %. Это расслоение называется кокаса-
тельным расслоением, над SC. Каждая карта (U, h) =
= (U, xx, ..., хп) многообразия SC определяет тривиали-
зацию ф: Ux R" —<¦• T*U расслоения xl, над U, для которой
где р 6 U и а =- (а( а„) 6 R".
Сечениями этого расслоения являются линейные диф-
дифференциальные формы на Ж'.
Пример 7. Более общим образом, мы для каждого
г ^ 0 можем рассмотреть над X расслоение h.ri*SC'.
Задача 12. Покажите, что сечения расслоения Arx*X—
это в точности дифференциальные формы на X степени г.
Задача 13. Покажите, что расслоения Аг%*& и (А.Г%Х)*
естественно изоморфны. [Указание. Для любого лине-
линеала ^линеал АГ1-Уй' естественно изоморфен линеалу (Л'т^)*.]
Пример 8. Пусть г^О и s^O—целые неотрица-
неотрицательные числа. Расслоение
г раз s раз
обозначается символом %\Э? и называется тензорным рас-
расслоением типа (г, s) над X. Его сечениями являются
тензорные поля типа (г, s) на X (см. лекцию III. 16).
Более общим образом, для любого векторного рассло-
расслоения \ полагают
г раз s раз
Таким образом, х\Х^ TsrxX.

ОБОБЩЕНИЕ 219
Замечание 3. Сечения расслоения Т%—это в точ-
точности введенные выше ^-тензорные поля типа (г, s) на
многообразии 59. Поэтому введенные там же модули Т%—
это модули сечений TTsri расслоения Tsr%:
а дифференцирования V на этих модулях—это ковариант-
пые дифференцирования в смысле лекции 12 (что, в ча-
частности, делает очевидной — и ненужной!—задачу 4).
С этой точки зрения предложения 1 и 2 представляют
собой утверждения о существовании (и единственности)
сиязностей на расслоениях |* и Т%, находящихся с дан-
данной связностью V на ? в соотношениях (9) и A2).
Задача 14. Каждое сечение s расслоения Нот (?, Т)) произволь-
произвольной точке &?53 ставит в соответствие линейное отображение s (b): gf\ —>
—»-oF/)> и потому формула
s#(p) = s(b)p,
где Ь = л(р), определяет отображение s#: <?6—>$Т1, замыкающее
коммутативную диаграмму
Покажите, что отображение s# непрерывно (и гладко, если сечение s
гладко), т. е. что оно является морфизмом |—hi. Покажите также,
что соответствие
определяет изоморфизм F^^-модуля Г (Нот (g, ti)) всех сечений рас-
расслоения Нот (?, Т1) на F^SB-модуль Мог (|, т)) всех морфизмов | —»- т).
Таким образом,
A9) Мог(?,т1) = Г(Нот(?,т]))
и морфизмы ?—<¦ г\ являются не чем иным, как сечениями
расслоения Нот E, tj).
Для любых двух сечений sk SB —>¦ ?*- и sn: 3B-+<Bn
расслоений \ и х\ формула
(* ® ") F) 6
определяет сечение

220 ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ СЕЧЕНИЙ
расслоения |®т], называемое тензорным произведением
сечений ss и s4.
Если расслоения 1 и т) тривиальны над открытым
множеством U, то для любых базисов
s\, .... s\ и s?, .... s*
Рк53-модулей Г| и Ftj над U сечения
образуют, очевидно, базис FK^-модуля Г (^(Я)т)) над U.
Поэтому любое сечение расслоения ?<2)т] над и единствен-
единственным образом представляется в виде
sk(g)sp, k~l, ..., т,
еде s*—некоторые сечения расслоения | над U.
Задача 15. Покажите, что последнее утверждение остается спра-
справедливым и в случае, хогда расслоение | нетривиально над U.

Лекция 13
Ковариантный дифференциал.— Сравнение различных оп-
определений связности.—Группы Ли.— Примеры групп Ли.—
Алгебра Ли группы Ли.—Касательное пространство в
единице.— Формула для коммутатора.
Пусть \=^(<$>, я, S3)—произвольное гладкое К-вектор-
ное расслоение ранга п над m-мерным гладким многообра-
многообразием и пусть т~ = (Т*й*, я, ^)приК=-К—кокасательное
расслоение над S3, а при К = С—его комплексификация.
Рассмотрим гладкое К-векторное расслоение i*ep>®\ и
Рк53-модуль Г(т^<2)|) его гладких сечений.
Определение 1. Линейное (над полем К) отображение
называется ковариантным дифференцированием, если оно
удовлетворяет тождеству Лейбница, т. е. если для любой
функции /GFrSS и любого сечения s?Yb, имеет место ра-
равенство
A)
(Напомним, что df является сечением расслоения т^, и
потому d/(g)s—сечение расслоения xL(g)?.)
JO '
Сечение Vs расслоения т«э<2)? называется ковариантным
дифференциалом сечения s.
Из формулы A) уже известным нам способом следует —
в случае, когда многообразие SB хаусдорфово,—что отобра-
отображение V обладает свойством локальности, т. е. если се-
сечения Sx и sa равны вблизи точки &0€-®> то сечения VSi
и Vs» также равны вблизи Ьо. [Действительно, если st = s,
на окрестности U точки Ьо и если ф—гладкая функция
на ^, равная единице на некоторой окрестности Well
точки Ьо и равная нулю вне U, то сечение q>-(s,—sx)
тождественно равно нулю и, значит,
d(p-(si—s1)H-<P-V(s4—sx) — 0 на S3.
Поэтому V(S2—st) = 0 на W.] В свою очередь, из свойства
локальности следует (ср. лекцию 11), что для любого
открытого множества ОаЗд дифференцирование V опре-
определяет дифференцирование V \ц для расслоения | \и,

222 КОВАРИАНТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ
замыкающее коммутативную диаграмму
1 !
Г F \ц) -^ Г ((xjg ® |) |„) = Г (тЬ
вертикальные стрелки которой являются отображениями
ограничения. При этом для любого открытого покрытия {Ua}
многообразия S3 дифференцирование V однозначно восста-
восстанавливается по дифференцированиям V \Ua.
С другой стороны, если U—тривиализирующая коорди-
координатная окрестность в SB и {s,-; l^t<n}—базис Fk^-mo-
дуля Г (I |у), то {dxk (g) s,-; I < i < n, I < k < m} — базис
FKtZ-модуля Г((т* ®S)|y) и для каждого / = 1, ..., п
имеет место равенство вида
B) Vsy
т. е. равенство
B') Vsy = coj (g) Sj, ш)
(для сокращения формул мы вместо V |у пишем V). При
этом формы со/ (или, что равносильно, функции Г^) одно-
однозначно определяют (по формуле
C) Vs = ids' + <»/s/) ® s,-,
где s=s'st) дифференцирование V (или, точнее, V |у).
Задача 1. Докажите, что для произвольных форм ш/ на U
отображение V. определенное формулой C), является ковариантным
дифференцированием на U.
Если U'—другая тривиализирующая координатная окре-
окрестность (с тривиализацией st,, ..., sn,) и
B") VS/, =; ©/' (g) st, nail',
Si' = 9i'S,-, 8(. = ф/'5, на Ur\U',
то
VS/, = dq>C/> (g) s,- + ф'-VS/ —
g) S,- + ф/'Сй{ (g)S; =
'@/) (g) S<',

КОВАРИАНТНЫЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 223
и значит
D) <»/' == фГф^-в»у Ч- фГ Лр''-
Обратно, если на окрестностях U и U' заданы ковариан-
тные дифференцирования, действующие соответственно по
формулам B') и B"), и если имеют место соотношения D),
то на пересечении U C\U' эти дифференцирования совпа-
совпадают (т. е., точнее, совпадают их ограничения наС/П?/')-
Это означает, что справедливо следующее предложение:
Предложение 1. Пусть {Ua}—открытое покрытие
хаусдорфова многообразия 33, состоящее из тривиализирую-
щих координатных окрестностей. Тогда каждое ковари-
антное дифференцирование V определяет для любого а
формы й/=- о»/ на окрестности Ua, причем для любых а
и р эти формы на окрестностях U — Ua и U' — ?/р свя-
связаны на U[)U' соотношениями D).
i (a)i
Обратно, задание для любого а форм со/ — со/, связан-
связанных соотношениями D), однозначно определяет ковариант-
ное дифференцирование V, действующее на каждой окре-
окрестности 0а по формуле C). ?
Но формулы D)—это в точности формулы A7') из
лекции 10! Поэтому, сравнив предложение 1 с предложе-
предложением 3 лекции 10, мы немедленно получим, что ковариант-
ные дифференцирования V находятся в естественном
биективном соответствии со связностями на расслоении I
(и потому могут быть с ними отождествлены).
Таким образом, фактически мы имеем три определения
связности на гладком векторном расслоении ?—как поля
горизонтальных подпространств, как семейства операто-
операторов V* и как дифференцирования V.
Взаимоотношения этих определений описываются фор-
формулами
Я-Апп(91, ..., 0»),
где 9'' = da' + (rfa! =; da1 + Цр/ dxk;
E)
где s = s's, и Х =

224 СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СВЯЗНОСТИ
И
Vs = (dsl + co's
имеющими место в произвольной тривиализирующей коор-
координатной окрестности U.
В одних [вопросах удобнее одно определение, в дру-
других—другое, а в третьих—третье. Поэтому надо уметь
легко и быстро переходить от каждого из этих определений
к любому другому.
Задача 2. Покажите, что для любых линейных пространств f
я W каждый элемент тензорного произведения f^*®^", где f**~
пространство сопряженное к "У3, естественным образом интерпрети-
интерпретируется как линейное отображение "У3 —»¦ "ft9. [Например, для элемента
вида в® с, В (if9*, eg <%* это делается по формуле
где xg'f3.] В частности, значение (vs)j сечения
точке 6g$} является в силу этой интерпретации линейным отображе-
отображением Т{,53 —> сТ|. и значит для любого векторного поля X g o^ фор-
формула
определяет некоторое — очевидно, гладкое—сечение (vs) {X) расслое-
расслоения i. Покажите, что
F) (Vs)(X) = Vx«.
Формула F) устанавливает прямое—не использующее
горизонтальных подпространств и тривиализирующих
координатных окрестностей—соответствие между дифферен-
дифференцированиями V и операторами V*.
Задача 3. Пусть |—комплексное векторное расслоение и
/: lR—>Ir — оператор комплексной структуры на его овеществле-
овеществлении |R (см. лекцию 6). Пусть, далее, Я—связность на расслоении ?r.
a Vx'- Г5к —*г5ц. V: Г|к—«¦ Г (t^®Ir) —соответствующие ко-
вариантные дифференцирования. Покажите, что следующие условия
равносильны:
а. Связность Н является связностью на % (см. лекцию 10).
б. Для любого векторного поля X имеет место коммутативная

группы ли 225
диаграмма
'* Vy Г'
в. Диаграмма
Г?
-I
коммутативна.
[Указание. Условие б равносильно линейности над С опера-
оператора Vx> а условие в—линейности над С оператора V-]
Более глубокая теория связностей на векторных рас-
расслоениях опирается на простейшие факты теории групп Ли
и их подгрупп. Мы поэтому отставим временно в сторону
дифференциальную геометрию и займемся группами Ли.
Напомним (см. лекцию 1), что группой Ли (или гладкой
группой) называется группа #, являющаяся одновременно
гладким многообразием, в которой отображение умножения
G) т:'$х'3^$, m{a,b) = ab,
гладко. (В этом случае отображение обращения
* —S, at-* а'1
также гладко; см. задачу 1 лекции I.)
Задача 4-. Покажите, что отображение G) тогда и только тогда
гладко, когда оно гладко в точке (е, е), где «—единица группы #.
Гладкость отображения G) в точке (е, е) означает сле-
следующее. Во-первых, в 5? существуют такая карта (U, h) =
=(?/, х1, .... хп), содержащая точку е, и такая окре-
окрестность VcU точки е, что
ab?U для любых элементов a, b ? V.
Во-вторых, отображение G) записывается в этой карте
гладкими функциями, т. е. существует такая гладкая
вектор-функция
(8) с = т(а, Ь),
где
а = (а1 а"), Ь = ф\ .... 6») с=-(с1 с"),
8 м. М. Постников, сем. IV

226 ГРУППЫ ЛИ
осуществляющая отображение открытого множества h(V)x
X h (V) с R" X R" =¦- RSlt в открытое множество h (U) с R", что
если а и Ь—строчки координат элементов а, Ь?V, то
с—строчка координат элемента c — ab.
Для определенности мы всегда будем предполагать, что
карта (U, к) центрирована в е, т. е. что
Так как т(а, е)=а и т(е, b) = b для любых элемен-
элементов а, Ь^Ъ, то вектор-функция (8) удовлетворяет соотно-
соотношениям от (а, 0) = о и от (О, Ь) = Ь и, следовательно, имеет
вид
т(а, b)
где многоточие обозначает члены векторного ряда Тейлора
степени ^2, ни один из которых не зависит только от
а или Ь, (Для простоты класс гладкости мы предполагаем
здесь равным С°°. При меньшей гладкости следует вместо
ряда Тейлора рассматривать соответствующий многочлен
Тейлора.)
Сумму членов степени 2 ряда Тейлора функции т (а, Ь)
мы будем обозначать символом а*Ь. Согласно сказанному
эта сумма билинейно зависит от а и Ь, т. е. операция *
является умножением на линейном пространстве R".
Мы будем называть операцию * главной билинейной
частью умножения G) в группе Ли '&.
Таким образом, по определению
(9) т(а, b)-=a-^b
где многоточие обозначает члены степени
Если а—строка координат элемента а (для эле-
элемента а, достаточно близкого к <?), то т(а, а~1) —0 и,
значит, а + а~* + а «а -'-¦ ... -= 0. Следовательно,
A0) а~1 = — а + а*а+ ...,
где снова многоточие обозначает члены степени ^ 3.
Примеры групп Ли.
Пример 1. Полная линейная группа GL (л; R), будучи
открытым подмножеством линейного пространства Matn(R)
всех квадратных матриц порядка п, является гладким
многообразием. Центрированными в единице Е этой группы
координатами матрицы А ? GL (га; R) являются элементы

примеры групп ли 227
матрицы А — Е. Поскольку
АВ—Е = (Л—Е) + (В—Е) -|- (Л — Е) {В—Е),
мы видим, что для группы GL(n; R) функция (8) выра-
выражается формулой
да (a, b) = aJrb-La*b,
где а, ft и а*Ь—развернутые в строки матрицы А—Е,
В — ? и (Л — Е) (В—Е). Следовательно, эта функция гладка,
II значит группа GL(n; R) является группой Ли.
Группой Ли будет и ее компонента единицы GL+ (n; R),
состоящая из матриц с положительным определителем.
Пример 2. (Ср. замечание 1 лекции III.15.) Согласно
определению 1 лекции III. 11 подгруппа % группы GL(n; R)
является матричной группой Ли, если существует такое
линейное подпространство gcMatrt(R), что
1° ев?$ для любой матрицы В?§;
2° если ед?3 и |В|<1п2, то З^Я (здесь \В\ =
[Ь)\В Щ\)
[)\ Щ\)
Такая группа является гладким многообразием (предло-
(предложение 1 лекции III. 11) с картами вида (С(/„, hc), где
С 6#, Uo—окрестность единичной матрицы Е в группе $,
состоящая из матриц ев б $, для которых | В |< In 2, a hc —
отображение CU0 —- Matn (IR) =. R"\ определенное формулой
^ In A, A?U0.
Так как для любых матриц Alt At^U0 матрица \n(AlAi)
является гладкой функцией матриц В1 = 1пЛ1 и Ва==1пЛ2
(докажите!), то по отношению к этой гладкости умноже-
умножение G) гладко.
Следовательно, любая матричная группа Ли является
группой Ли.
В частности (см. лекцию III. 11), группами Ли будут
группы O(n), SO (л), Sp(m; R), О(р, а), а также группы
U (я), SU(n) и Sp(/n). Группы же О(п; С) и Sp(m; С)
будут комплексными группами Ли (комплексно-аналити-
(комплексно-аналитическими многообразиями, являющимися одновременно
группами, для которых отображение G) комплексно-ана-
литично).
Группа Ли Ж называется подгруппой Ли (или гладкой
подгруппой) группы Ли $, если Ж является подгруппой
группы "& (т. е. ЖсЪ и ab'1^^ для любых элементов
а, Ь^Ж) и одновременно подмногообразием (вообще го-
говоря, погруженным) многообразия $. Иначе говоря, группа
8*

228 ПРИМЕРЫ ГРУПП ЛИ
Ли Ж представляет собой подгруппу Ли, если Жс:$ и
вложение i: Ж —* % является гомоморфизмом и одновре-
одновременно погружением (в каждой точке а?Ж).
Задача б. Пусть подгруппа Ж группы Ли <§ снабжена глад-
гладкостью, относительно которой она является группой Ли, и пусть
вложение i: Ж—»-$ гладко в единице е группы % и является в е
погружением. Покажите, что тогда Ж будет гладкой подгруппой
группы i§. (Указание. Для любого элемента а?Ж имеет место
коммутативная диаграмма
Ж^Ж
A1) Л 11
ъ -г з.
горизонтальные стрелки La которой представляют собой диффеомор-
диффеоморфизмы XI—*ах, где х?Ж Для верхней стрелки и х?$ для нижней.]
Пример 3 (продолжение примера 2). Для матричной
группы Ли % вложение Ъ —> GL (л; R) в окрестности еди-
единичной матрицы Е задается в координатах отображением
В —* ев, где матрица В координат матрицы А ^ Ч/ равна
In Л. Так как
etE)—E tEJ+Oa*) ,
li ' t =Elh
r) im,lim
' /o
где E'j—матричная (i, /)-единица (матрица, все элементы
которой равны нулю, за исключением элемента на пересе-
пересечении i-й строки и /-го столбца, который равен единице),
то это вложение в точке Е является погружением. Поэтому
группа Ъ является гладкой подгруппой группы Ли GL (л; R).
Пример 4 (обобщение примера 1). Пусть Л —
произвольная конечномерная ассоциативная алгебра над
полем R с единицей е, т. е. конечномерное линейное про-
пространство, одновременно являющееся ассоциативным коль-
кольцом с единицей е, умножение в котором однородно (удо-
(удовлетворяет соотношению
для любых элементов а, Ь € Л и любого числа X ? R). Если
а', Ь{ и с', 1 <л<я,— координаты элементов a, b и c = ab
в некотором базисе еи ..., еп линеала Л, то
A2) c'
где у'*—некоторые числа (называемые структурными кон-
константами алгебры Л в базисе еи ..., еа).

примеры групп ли 229
Каждый элемент а алгебры Л определяет линейный
оператор
La: Л —*¦ Л,
(имеющий в базисе еи ..., еп матрицу ||7/*а/1) и формула
a\-*La задает гомоморфизм алгебры Л в алгебру ЕпсЫ
всех линейных операторов на пространстве Л, являющийся,
очевидно, мономорфизмом (если La-—0, то a = Lae = 0).
В частности, элемент а?Л тогда и только тогда обра-
обратим (существует такой элемент а~х^Л, что а~1а=аа~1=е),
когда обратим (невырожден) оператор La. Поэтому мно-
множество Л° всех обратимых элементов алгебры Л,—являю-
Л,—являющееся, очевидно, группой по умножению,—открыто в Л
и, значит, является гладким многообразием. А так как
центрированными в е координатами элемента а ? Л являются
координаты в базисе еи ...
A3) аЬ—е = (а—е) + (Ь—е) + (а—ё){Ь—е),
то группа Л° является группой Ли.
При </? = Matn (IR) мы возвращаемся к группе GL(ra; R).
Для группы Л° координатами а1, ..., а" элемента а?Л"
являются линейные координаты элемента а—е. Поэтому
строчку а координат с1, ..., а" мы можем отождествлять
с элементом а—е. В силу этого отождествления главная
билинейная часть умножения в Л° будет выражаться фор-
формулой
= аЬ—а—Ь.
Эта операция играет важную роль в теории алгебр и на-
называется умножением Джекобсона.
Заметим, что для алгебры Л° в формуле (9) члены
первой степени отсутствуют. (Но в формуле A0) они при-
присутствуют!)
Так как для каждого элемента а произвольной группы
Ли Ъ отображение A1) является диффеоморфизмом, то для
любого векторного поля X на $ определено векторное
поле
L'aX: b^{dLa)?Xab, b?<S
(см. формулу (9) лекции III. 17).
Определение 2. Векторное поле Х?а$ называется
левоинвариантным, если
L*aX=^X для любого элемента а?#,

230 АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ЛИ
т. е. если
A4) Xab = (dLa)b Хь для любых элементов о,
Ясно, что множество g всех левоинвариантных вектор-
векторных полей на $ является линейным подпространством
алгебры Ли а$ всех векторных полей на Ъ. Более того,
так как для любых векторных полей X и У на ^
L'a[X, У]=[ЦХ, L'aY]
(см. замечание 1 лекции III. 17), то это подпространство
является даже подалгеброй алгебры а$ и, следовательно,
алгеброй Ли.
Определение 3- Алгебра Ли а, называется алгеброй
Ли группы Ли $.
Для обозначения этой алгебры мы будем использовать
также символ 1($) (или 1$).
Пример 5. Так как для любой ассоциативной ал-
алгебры Л группа Ли Л° является открытым подмногообра-
подмногообразием линейного пространства Л, то касательное простран-
пространство 1аЛ этой группы в произвольной точке а ? Л" естест-
естественным образом отождествляется с Л, причем, если х1, ...
.... хп—координаты в Л относительно базиса еи ..., е„,
то в этом отождествлении базису
пространства 1аЛ отвечает как раз базис еи ..., е„. Сле-
Следовательно, каждое векторное поле X на Л° можно интер-
интерпретировать как отображение
A5) X: Л°-*Л.
Так как отображение Lo: Л°~>-Л",
в координатах х1, ..., х" записывается формулами
У' =
и так как
то отображение (dLa)b: ТЬЛ° —>¦ ТаЬЛ°, рассматриваемое
в силу отождествлений ТЬЛ° — Лч Тв(,</?° = Л как отобра-
отображение Л—*Л, будет совпадать с отображением La (глав-
(главная линейная часть линейной функции совпадает с ней
самой). Поэтому условие A4) левоинвариантности поля A5)

АЛГЕБРА ЛИ ГРУППЫ ЛИ 231
имеет вид
XoLa = LaoX,
т. е. вид
A6) Х(о6)
Положив с —Х(е), получим
A7) Х(а
Поскольку любое отображение вида A7) удовлетворяет,
очевидно, соотношению A6), этим доказано, что левоин-
вариантные векторные поля на группе Ли Л° находятся
в естественном биективном соответствии с элементами
алгебры Л. Элементу с$Л соответствует при этом поле X,
для которого
A8) Х'
в любой точке а?Л°, где (ас)'—координаты элемента ас.
Формула A8) означает, что компоненты X' векторного
поля X в карте (Л°, х1, ..., хп) [выражаются формулами
откуда следует, что
dXt
дх/ ''
Поэтому если Y—другое левоинвариантное векторное поле
на $ и если оно отвечает элементу d € Л, то (см. формулу B2)
лекции III. 16) для компонент [X, Y]' поля [X, Y] будет
иметь место формула
[X, У]' = Х^1-у^
1 J дх/ дх!
== (xcdI—(xdcI -= (х [с, d}I,
где [c,d] = cd—dc. Следовательно, полю [X, Y] будет
отвечать элемент [с, d].
Относительно операции с, dt—*[c, d] линейное прост-
пространство Л является (проверьте!) алгеброй Ли. Эта алгебра
называется коммутаторной алгеброй Ли ассоциативной
алгебры Л и обозначается символом [?]

232 КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ЕДИНИЦЕ
В этой терминологии доказанное утверждение озна-
означает, что алгебра Ли 1{Л°) группы Ли Л" естественным
образом отождествляется с алгеброй Ли [Л\:
В частности I(GL(n; R)) = [Matn(R)].
На этом основании алгебра Ли [Matrt(R)] обычно обо-
обозначается символом дЦя; R) или просто gt(n); ср. лек-
лекцию 111.11.
[Обратим внимание, что в лекции III.11 алгебры Ли
вводились—только для матричных групп!—совсем другим
способом. Мы видим, что для группы GL(/t; R) оба спо-
способа приводят к одному результату. Ниже мы покажем,
что будет и для произвольных матричных групп Ли.]
Пусть S—произвольная группа Ли, g—ее алгебра Ли
и 1еЪ—касательное пространство kS в точке е?$. Рас-
Рассмотрим отображение
A9) Я — Т.», Х^Х„
сопоставляющее каждому векторному полю X ? й ег0 зна"
чение Хе в е. Очевидно, что это отображение линейно.
Предложение 2. Отображение A9) является изомор-
изоморфизмом линейных пространств.
Доказательство. Пусть А—произвольный вектор
из Т,$. Для каждой точки а?$ положим
Предложение 2 будет доказано, если мы докажем, что
а. Отображение аь->Ха гладко, и, значит, (поскольку
ХО€Т„$) является векторным полем на "&.
б. Это поле левоинвариантно (принадлежит й).
в. Отображение
B0) Т.»->й. А~Х,
обратно отображению A9).
Для доказательства утверждения в достаточно заметить,
что, во-первых, по построению Хе — А и, во-вторых, что
для любого левоинвариантного векторного поля X
Утверждение б также проверяется без труда: так как
oLb = Lab и, значит, {dLa)bo(dLb)t-=\dlab)t, то
(dLa\ Xb = {dLa)b {{dLb)t A) = {dLab). A = Xab.

КАСАТЕЛЬНОЕ ПРОСТРАНСТВО В ЕДИНИЦЕ 233
Для проверки утверждения а найдем компоненты век-
вектора Ха в локальных координатах.
Пусть U и V—рассмотренные выше координатные ок-
окрестности, в которых умножение в $ записывается век-
вектор-функцией (8). Тогда при a?V отображение La на V
будет задаваться функцией b*~*m(a, b), и значит отобра-
отображение (dLa)e будет действовать по формуле
д
Ы
где т'=т'(а, Ь)—компоненты вектор-функции т(а, Ь).
Следовательно, компоненты X1 поля X на окрестности V
будут задаваться формулами
где AJ—компоненты вектора А в базисе (—-\ , i = 1, ...
..., л, и, значит, будут гладкими функциями от а. Это
доказывает, что на окрестности V поле X гладко.
С другой стороны, для любого элемента g?$ множе-
множество gV = LgV открыто и пара (gV, hoLg1) является картой.
При этом, в силу левоинвариантности, еслиХ'—компоненты
поля X в карте (V, К), то X'oLg—компоненты поля X
в карте (gV, /loL.1). Поэтому поле X гладко и на любом
множестве вида gv. Для завершения доказательства остается
заметить, что множества вида gV, g?$, покрывают всю
группу Ъ. ?
Для групп Ли вида Л" предложение 2 непосредственно
вытекает также из результатов примера 5.
Следствие. Алгебра Ли g — I (?) конечномерна и ее
размерность равна размерности п группы Ъ.
Мы перенесем лиеву операцию в линеал 1е%, положив
для любых векторов Л, В?1еЪ
B2) [Л, ?] = [Х, Г]„
где X и У—такие левоинвариантные векторные поля на $,
что Х, = Л и Yt^B.
В силу этого соглашения пространство 1$ будет ал-
алгеброй Ли, естественно изоморфной алгебре Ли д. Как
правило, мы будем отождествлять ее с д.
Замечательно, что для произведения B2) векторов Л,
5 ?Tt!§ существует простая явная формула, выражающая

234 .ФОРМУЛА ДЛЯ КОММУТАТОРА
его через умножение G) в группе Ли Ъ или—точнее —
через его главную билинейную часть а*Ь.
По определению действующая в пространстве R" опе-
операция * строится с помощью некоторой центрированной
в е карты (U, h) — (U, х1, ..., ха). От этой же карты зави-
зависит и базис
B3)
"
пространства Те$, т. е. координатный изоморфизм TeS —* R
(являющийся в силу отождествления T0R" = K" не чем
иным, как дифференциалом (dh)t в точке е координатного
отображения h: U —>¦ R"). Мы перенесем посредством изо-
изоморфизма {dh)e операцию * из пространства R" в прост-
пространство Те$, т. е. для любых векторов Л, B^Tfl примем
за Л* В вектор, имеющий в базисе B3) координаты, со-
составляющие строку а*Ь, где а и b—строки координат
векторов А и В соответственно.
Подчеркнем, что операция # и в пространстве Tt$
зависит от выбора карты (U, И).
Оказывается, что операция B2) очень просто выра-
выражается через операцию * в 1$.
Предложение 3. Для любых векторов А, В$Т$
имеет место равенство
B4) [А, В]^А*В—В*А.
Доказательство. По определению [А, В] = [Х, Y]t,
где X и Y—такие левоинвариантные векторные поля, что
Хе — А и Хе — В. При этом согласно формуле B1) компо-
компоненты X1 и Ye полей X и Y ъ произвольной карте (U, Xх, ...
.,., хп) задаются формулами
где [ -—) —значения в точке @, 0) частных производных
\ дЫ /о
компонент т' (а, Ь) вектор-функции т(а, Ь) по компо-
компонентам У вектора Ь. Следовательно (см. формулу B2) лек-
лекции II 1.16), для компонент [X, Y]lt— [Л, В]1 вектора [Л, J3]
будет иметь место формула

ФОРМУЛА ДЛЯ КОММУТАТОРА 235
Но, согласно формуле (9)
т1 (о, Ь) = а' 4- Ь14- у^аФ + ...,
где yj^aW— компоненты вектора а*Ь. Следовательно,
и потому
\dbi;0 ~" да*дЬ1
Значит,
I dm' \ _fi, dW
/о
что и доказывает формулу B4). ?
Замечание 1. Операция * единственным образом
представляется в виде суммы двух операций
первая из которых коммутативна, а вторая антикоммута-
тивна. Предложение 3 означает, что антикоммутативная
часть * операции выражается через операцию Ли:
и поэтому не зависит от выбора карты (U, К). [Напротив
как мы покажем ниже, карту (U, h) можно выбрать так,
чтобы коммутативная часть А * В произведения А * В была
тождественно равна нулю.]
Задача 6. Исследуйте, как меняется операция * при замене
карты (U, А), и, в частности, проверьте, что антикоммутативная часть
этой операции при замене карты (О, К) остается прежней.

Лекция 14
Однопараметрические подгруппы. — Экспоненциальное
отображение и нормальные координаты.— Выражение
умножения в группе Ли через умножение в ее алгебре
Ли.— Дифференциал присоединенного представления.—
Операции в алгебре Ли группы Ли и однопараметрические
подгруппы.— Подгруппы Ли групп Ли.— Распределения
и их интегральные подмногообразия.— Теорема Фробе-
ниуса.—Подмногообразия многообразий, удовлетворяю-
удовлетворяющих второй аксиоме счетности.— Единственность струк-
структуры подалгебры Ли.
Определение 1. Гладкая кривая
р: R — S,
определенная на всей оси R, называется однопараметри-
ческой подгруппой группы Ли ?, если она является гомо-
гомоморфизмом групп, т. е. если для любых s, t? R имеет место
равенство
Конечно, р(О) = е.
Подчеркнем, что однопараметрическая подгруппа яв-
является не множеством, а отображением.
Задача 1. Покажите, что любой гомоморфизм (J: R—>•# яв-
является гладким отображением (и, значит, однопараметрической под-
подгруппой). [Указание. Записав гомоморфизм Р в локальных коорди-
координатах, докажите сначала, что он является гладким отображением
в точке 0.]
Пример 1. Однопараметрической подгруппой является
постоянное отображение
const,: t*-+e, t?R.
Пример 2. Пусть %—матричная группа Ли и с\ —
линейное подпространство пространства Matn(R), преду-
предусмотренное определением 1 лекции III. 11 (см. пример 2
лекции 13). Тогда для любой матрицы ??д отображение
A) р:
будет, очевидно, однопараметрической подгруппой груп-
группы %.
Задача 2. Покажите, что любая однопараметрическая подгруппа
матричной группы Ли <& имеет вид A).

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 237
Задача 3. Покажите, что
а. Для любого элемента Ь конечномерной ассоциативной алгебры
Л ряд
сходится.
б. Отображение
B) р: tv-*e<b,
инляется однопараметрической подгруппой группы Ли Л°.
в. Каждая однопараметрическая подгруппа группы Л" имеет
вид B).
Оказывается, что аналогичное описание однопараметри-
ческих подгрупп возможно и для любых групп Ли %.
Из-за недостатка места мы изложим соответствующую
конструкцию в серии задач.
Задача 4. Пусть /: ЗС —+ ^-—произвольное гладкое
отображение гладких многообразий. Покажите, что для
любой кривой у: I —- SC в каждой точке t?l имеет место
равенство
C) (/
[Указание. Если в локальных координатах отображе»
ние f задается вектор-функцией У=у(х), а кривая у —
вектор-функцией x — x(t), то
(/ о V)- @ - dy/[x{t)) (—) W dxt
для всех ?]
Задача 5. Покажите, что каждая однопараметри-
однопараметрическая подгруппа ($ группы Ли Ъ является {очевидно, макси-
максимальной) интегральной кривой некоторого левоинвариант-
ного векторного поля XfS, т.е.
р {t) == Xpм для любого t?R.
[Указание. Поле X характеризуется условием Хе=Р@).
Из формулы B), примененной к отображению La: % —«¦ %
к кривой р, следует, что
Ха = (dLa\ Хе = (dLa)e р @) = (La о р)« @)
для любой точки а?$. С другой стороны, если a =
то LeoP: Sh^.p(S + f) и, значит, (La ^

238 ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ
Задача 6. Покажите, что каждая группа Ли 3 яв-
является хаусдорфовым многообразием. [Указание. Диа-
Диагональ Д произведения ?х? является прообразом еди-
единицы е группы $ при непрерывном отображении (а, Ь)*~>
*-*ab~1.]
Поэтому (см. теорему 1 лекции III. 17) для каждого
векторного поля X на S и любого элемента а^Ъ сущест-
существует единственная максимальная интегральная кривая
Ра: Л.—*S поля ^. проходящая при / = 0 через точку а.
Пусть / = /е и р==рг.
Задача 7. Покажите, что если поле X левоинвари-
антно, то р„ = La о р. [Указание. Так как
то La о р является—очевидно, максимальной—интеграль-
максимальной—интегральной кривой поля X, проходящей при t = О через точку а.]
Задача 8. Докажите, что если s, t, s + t?l, то
[Указание. Обе кривые 11-> p (s + t) и / >—*¦ Р (s) P (^)
являются интегральными кривыми левоинвариантного
поля X, проходящими при / = 0 через точку P(s).]
Задача 9. Для любого числа t?R существует такое
целое число п > 0, что — ?/. Покажите, что формула
E) V(/)-
корректно определяет гладкую кривую у: R—»¦ ?, являю-
являющуюся однопараметрической подгруппой. [Указание.
t t t
Если — €/ и —g/, то —?/, и потому согласно фор-
п т run J
муле D)
\nj'p\mn
Это дает корректность. Кроме того, если — ?/, то суще-
твует такое е > 0, что —?1
"о
*—U !< е- Это Дает гладкость.]
п0
ствует такое е > 0, что —?1 для любого t такого, что
"о

* ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИИ 239
Задача 10. Покажите, что кривая E) является—оче-
является—очевидно, максимальной—интегральной кривой левоинвари-
антного поля X. [Указание. Так как кривая E) яв-
является однопараметрической подгруппой, то для любой
точки a=^y(t) кривая Laoy; s>—>ау(s) совпадаете кривой
s •—* у {s -И), и потому
=- {dl<a). У @) - (dLJ. Хе = Ха = Х
т
для каждого t ? R.]
Поскольку y@) —e это доказывает, что у — $ (и, в част-
частности,— что / = R).
В итоге мы получаем следующее предложение:
Предложение /. Однопараметрические подгруппы
группы Ли $—это в точности проходящие при t=,6 через
точку е максимальные интегральные кривые левоинвариант-
ных векторных полей на %. О
Следствие. Для любого вектора А € Тв$ существует
единственная однопараметрическая подгруппа Р, для
которой
D
Таким образом, однопараметрические подгруппы группы
Ли # находятся в естественном биективном соответствии
с элементами алгебры Ли g = l($).
Однопараметрическую подгруппу, отвечающую эле-
элементу Х?д, мы будем обозначать символом Р* или рл,
где A~Xt. .Таким образом, по определению
для любого вектора А
Определение 2. Отображение
ехр: Тг» —»,
определенное формулой
Л € Т.»,
называется экспоненциальным отображением.
Очевидно, что для кривой ti—>$A(Xt), где A,?R, каса-
касательным вектором в точке 0 является вектор Х$А@)—ХА,
и эта кривая также является однопараметрической под-

240 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
группой. Следовательно,
F)
При t~\ из формулы F) следует, что
т. е.—после замены X на /,—что
G) Рл@ = ехрМ.
В свете примера 2 это означает, что отображение ехр
является обобщением на любые группы Ли Ъ матричного
отображения А*-+еА. Это объясняет как его название,
так и обозначение.
Так как согласно формуле G) $А (—1) = ехр(—А)
и Рл(-1)Ы1НРл@)-е, то ехр(-Л)-Ы1)-\ т.е.
(8) ехр(~Л) = (ехрЛ)->, А?Че%.
В дальнейшем для упрощения формул вместо (ехр Л)
мы будем писать ехр Л.
Как мы знаем из лекции III. 17, каждое векторное
поле X определяет некоторый максимальный поток {<р,},
для которого ф*(а)~ РЛ0> где рв—максимальная инте-
интегральная кривая поля л, проходящая при * = 0 через
точку а. Так как для левоинвариантного поля X кривые ра
определены на всей оси R, то для каждого левоинвариант-
левоинвариантного поля X на группе Ли 3 поток {<pt} состоит из диф-
диффеоморфизмов $—уЪ (является, как говорят, полным
потоком). Так как Pa(O==flrPx(O» то эти диффеоморфизмы
действуют по формуле
где А = Xtf т. е. являются диффеоморфизмами #ехр м.
Так как $А@) — е и Р^(О) = Л, то в произвольной
карте ((/, х1, ..., хп), центрированной в точке е, кривая р^
задается вектор-функцией x(t) вида
где а—строка координат вектора А в базисе
пространства Т,», а с,(а), .... с,„(а), ...—некоторые
вектор-функции от а (гладкие в силу теоремы о гладкой
зависимости решений дифференциальных уравнений от

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ 241
начальных данных). При этом, если |Я[ достаточно мало
(чтобы в 0 существовала точка с координатами x'(kt),
l^t^C/z), то согласно формуле F) тождественно по t
должно иметь место равенство
{la)t + ct{Xa)P+ ...+cm(ka)tm+ ...=,
= a (to) + ct (а) (ЯО4 +...+ст (а) (to) + ...
Отсюда следует, что
са (%а) - Нсш (а) ст (Ял) = Хтса (а),
т. е. что для любого т^2 функция ст{а) является одно-
однородной функцией от а степени т.
Задача 11. Покажите, что функции ст(а) являются много-
многочленами от а (т. е. многочленами от а1 а" являются все их
компоненты).
Поскольку
\т dpm (о) _д\Х'яст(а)] _,
da' да'
все частные производные первого порядка каждой из функ-
функций ст являются однородными функциями степени т —1^1,
и значит их значения в точке 0 равны нулю:
(9) /-Ejl\ =о для любого и>2и любого ?= 1, ..., п.
\ да1 /о
С другой стороны, если вектор а достаточно мал
(чтобы в U существовала точка с координатами *'A)), то
точка ехр А будет принадлежать окрестности U и согласно
формуле (8) ее координаты х' будут выражаться формулой
где a', d{a) clm(a), ...—координаты векторов
а, сг(а), ..., ст(а). По определению это означает, что
в некоторой окрестности точки 0 ? Те$ отображение ехр
записывается в координатах функциями A0).
Поскольку в силу формул (9) значения частных произ-
производных функций A0) в точке 0 выражаются формулой
\ да' /о
т. е. составляют единичную матрицу ?, отсюда следует,
что дифференциал d!exp0 отображения ехр в точке 0?Т,#,
рассматриваемый в силу отождествления То (T,S) = Т,#

242 ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ
как отображение
dexp0: T,S —T.S,
является тождественным отображением.
Поэтому отображение
exp: T,S —S
в точке 0 этально, т. е. диффеоморфно отображает окрест-
окрестность точки 0 в алгебре Ли Те% =¦--. д на окрестность точки е
в группе Ли $.
Эти окрестности называются нормальными окрестно-
окрестностями (точек 0 и е соответственно). [Впрочем, от нормаль-
нормальных окрестностей Uw в Тв# обычно еще требуется выполне-
выполнения условия звездности (если A?Ui0), то XA?UW для
любого I, 0<А,<1).]
Для любой нормальной окрестности U точки е в группе 3
композиция h отображения exp: U — -1$ и произволь-
произвольного координатного изоморфизма Те$ —*- R" является диф-
феоморфным отображением окрестности U на открытое
множество h (U) с R". По определению это означает, что
((/, А) является картой в точке е группы Ли "$>.
Карты такого вида называются нормальными картами,
а соответствующие локальные координаты—нормальными
координатами. (Употребляется также термин—канониче-
термин—канонические координаты первого рода.)
Нормальные координаты характеризуются, очевидно,
тем, что однопараметрические подгруппы задаются в них
линейными функциями.
Задача 12. Докажите, что связная топологическая
группа порождается любой окрестностью единицы U.
[Указание. Множество, состоящее из всевозможных
произведений элементов из U, одновременно замкнуто и
открыто.]
В частности, если группа Ли S связна, то она порож-
порождается любой нормальной окрестностью единицы U. По-
Поскольку U с exp g, отсюда следует, что каждая связная
группа Ли $ порождается множеством exp g. (Заметим,
что, вообще говоря, ехрд #?)
Задача 13. Опишите множество exp g для алгебр Ли д =
= д1(я; К) и 8о(п) и удостоверьтесь, что группы GL+ (я; R) и
SO (л) действительно порождаются этими множествами (при этом
e() SO())
Произвольная нормальная окрестность Uo точки бе
содержит (докажите!) такую окрестность Vo, что для лю-

ВЫРАЖЕНИЕ УМНОЖЕНИЯ В ГРУППЕ ЛИ 243
бых векторов A, B^Vb точка ехрЛ-ехрВ принадлежит
окрестности U = exp Uo точки е ? & и, значит, имеет вид
ехрС, где C?U0. Мы положим
A1) С = т(А, В).
Таким образом, по определению
ехр Лехр?^ехрт(Л, В)
для любых векторов A, ?a
Образ а вектора А при произвольном координатном
изоморфизме Т^ —* R" является не чем иным, как векто-
вектором нормальных координат точки а = ехрЛ в соответ-
соответствующей нормальной карте (U, К). Поэтому вектор-функ-
вектор-функция т(а, ft), выражающая в карте (U, К) умножение
в группе S? (см. формулу (8) лекции 13), выражает в ко-
координатах операцию A1). Следовательно,
т (А, 5) =•= А -!- В -f А * В + ...,
где *—операция * из формулы (9) лекции 13, перенесен-
перенесенная в 1JS посредством изоморфизма (dh)e: Те$ —*¦ R" (т. е.
операция из предложения 3 лекции 13, построенная с по-
помощью нормальной карты (U, h)).
Как мы знаем (см. формулу A0) лекции 13), для лю-
любой карты (Uy А), центрированной в точке е, вектор а
координат точки а выражается формулой
С другой стороны, согласно формуле (8), если карта (U, К)
нормальна, то а~1——а. Это доказывает, что а*а=-0,
т. е. что построенная с помощью нормальных координат опе-
операция # антикоммутативна (в пространстве R", а, зна-
значит, и в пространстве Те$) и потому (см. замечание 1
лекции 13) выражается через умножение в алгебре Ли:
А*В = \{А, В].
Этим доказана следующая теорема:
Теорема I. Для любых векторов А, В$Те$ из неко-
шорой окрестности нулевого вектора имеет место фор-
формула
A2) ехрЛ-ехр^ехр^ЛЧ-Я + уС.Д, В]+ .. Л,
где многоточие обозначает члены степени ^ 3. ?

244 ДИФФЕРЕНЦИАЛ ПРИСОЕДИНЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Согласно этой теореме умножение в группе Ли $ вблизи
точки е однозначно восстанавливается—по крайней мере,
с точностью до членов порядка ^3—по умножению в ее
алгебре Ли $.
Замечание 1. На самом деле это восстановление
полное, т. е. члены всех степеней в формуле A2) выра-
выражаются через операцию [ , ], но доказательство требует
вычислений, далеко выходящих за рамки этого курса.
Теорема 1 имеет много важных следствий. За недостат-
недостатком места мы изложим их в виде серии задач.
Для каждого элемента а ггруппы 5?—очевидно, глад-
гладкое—отображение
A3) inta: »-+$, х*->аха-\ х?$,
является автоморфизмом группы S, называемым внутрен-
внутренним автоморфизмом, порожденным элементом41 а. Диф-
Дифференциал d (inte)e автоморфизма inta в точке е представляет
собой обратимый линейный оператор Тв$ —> T,S и обозна-
обозначается символом Ada. Отображение
A4) Ad: ai-^Ada
является—очевидно, гомоморфным—отображением группы S
в группу Autfl всех обратимых линейных операторов ли-
линеала % = Те$. Оно называется присоединенным представ'
лением группы Ли 3.
Задача 14. Покажите, что отображение Ad гладко.
Дифференциал отображения Ad в точке е обозначается
символом ad. Он является линейным отображением
Я -— End Я
линеала д в линеал I(AutcO = Endc[ всех линейных ото-
отображений Я —>¦ Я-
Задача 15. Покажите, что для любых элементов
А, В^Я имеет место равенство
A5) (adAM = [А, В].
[Указание. Так как отображение si—+Ad($A(s))B яв-
является кривой в линейном пространстве, то
[(Ad о рд). @)] В = Km A<f(M»»-Ad« в,
S-* О S
а в силу общей формулы C) ad A = (Ad о р^)* @),
Ap ^p-

ОПЕРАЦИИ И ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ПОДГРУППЫ 245
С другой стороны, согласно формуле A2)
A6) (tatPi|W opfl)@ = (exps^)(exp^)(exps^)-1-
, 5]+...)
и, значит, Ad(fiA(s))B-B->rs[A, B]+...]
Задача 16. Выведите отсюда, что
A7)
для любого элемента A g g. [Указание. Обе кривые
) и
являются однопараметрическими подгруппами группы Ли
АиЦлин, имеющими при / — 0 один и тот же касатель-
касательный вектор (d Ад)е А = ad A.]
Задача 17. Пусть иА и ив—кривые в группе "&, про-
проходящие при / = 0 через точку е и имеющие при ^ = 0
касательные векторы А и В соответственно. Покажите,
что кривая
t>-+uA(t)uB{t)
имеет при t — 0 касательный вектор А 4- В, а кривая
/ и-» иА (т) ив (т) ил (т) ыя (т)-1,
где x = signt-Vr\t\, — касательный вектор [А, В] (и, зна-
значит, является в точке ? = 0 гладкой — класса С1 — кри-
кривой). [Указание. По условию
A+ ...) и ил @ = exp (tB -'-...)•
Следовательно, согласно формуле A2)
В частности, отсюда следует, что для любых элементов
/l?g и ??й элементы А -\- В и [А, В\ являются каса-
касательными векторами в точке / = 0 к кривым
где p^ и Рд—однопараметрические подгруппы, отвечаю-

246 ПОДГРУППЫ ЛИ ГРУППЫ ЛИ
щие элементам А и В. Это (вместе с формулой E)) опи-
описывает операции в алгебре Ли g в терминах однопара-
метрических подгрупп.
Напомним (см. лекцию 13), что группа Ли Ж назы-
называется подгруппой Ли (или гладкой подгруппой) группы
Ли %, если Ж содержится в % и является в S подгруп-
подгруппой и одновременно подмногообразием, т. е. иными сло-
словами, если вложение i: SK—>S гомоморфно, гладко и яв-
является погружением.
При обсуждении этого понятия удобно иметь специаль-
специальное название для подмножеств группы Ли #, являющихся
ее подгруппами как абстрактной группы, безотносительно
к топологии и гладкости. За отсутствием лучшего термина
мы будем называть такие подмножества абстрактными
подгруппами.
Таким образом, по определению подмножество Ж
группы Ли Ъ тогда и только тогда представляет собой
подгруппу Ли, когда оно является
а) абстрактной подгруппой;
б) подмногообразием, т. е. лежащим в Ъ многообразием,
для которого вложение \\ Ж —+% представляет собой
61) гладкое отображение,
62) погружение (обладает тем свойством, что для любой
точки р?Ж линейное отображение (di)p: ТрЖ —»¦ Тр$ мо-
номорфно);
в) группой Ли (умножение ЖхЖ —> Ж является
гладким отображением).
Оказывается, что эти условия не независимы и неко-
некоторые из них могут быть выведены из других (или су-
существенно ослаблены). Например, мы знаем (см. задачу 5
лекции 13), что выполнения условий 6t и ба можно тре-
требовать лишь в единице е группы # (абстрактная под-
подгруппа Ж, являющаяся группой Ли, будет подгруппой
Ли, если вложение i: Ж —* 3 гладко в точке е и является
в этой точке погружением).
Задача 18. Докажите, что абстрактная подгруппа, являющаяся
связным подмногообразием, будет подгруппой Ли (в предположении
связности условие в вытекает из условий а и б). [Указание.
Ср. предложение 2 лекции 15.]
Задача 19. Докажите, что условие ба вытекает из условий а,
6i и в. [Указание. Ясно, что для любой однопараметрической
подгруппы Р: R—*Ж группы Ли Ж отображение iof: R—>#
представляет собой — при выполнении условия 6i<—однопараметриче-
екую подгруппу группы Ли if. Отсюда следует, что имеет место

ПОДГРУППЫ ЛИ ГРУППЫ ЛИ 247
коммутативная диаграмма
(А),
ехр | | ехр
ж—+ъ
Поэтому если отображение (dt)e не мономорфно, то существует
вектор А 7- 0, принадлежащий нормальной окрестности нуля линеала
TV/5?, Для которого ехрА — е, что невозможно.]
Как всегда, мы будем считать мономорфизм^!,),: Т/#—*
¦ Те$ вложением, т. е. будем считать, что Т'еЖ'сТ't"S.
Задача 20. Докажите, что алгебра Ли \) — 1еЖ яв-
является подалгеброй алгебры Ли g — Те?.
Если Же—компонента единицы группы ЛнЖ (и, зна-
значит, связная группа Ли), то, конечно, ТвЖв — Тв,9?. Та-
Таким образом, если подалгебра алгебры Ли g = Te? яв-
является алгеброй Ли некоторой подгруппы Ли, то она
будет алгеброй Ли и некоторой связной подгруппы.
Оказывается, что связные подгруппы Ли группы Ли У
и подалгебры алгебры Ли б = Т,& взаимно однозначно
друг другу соответствуют.
Теорема 2. Соответствие
подгруппа Ли^ее алгебра Ли
между множеством связных подгрупп Ли группы ЛиЪи мно-
множеством всех подалгебр алгебры Ли д = Т,# биективно.
Иными словами, для любой подалгебры I) алгебры g
существует—и только одна!—связная подгруппа Ли Ж,
для которой 1,Ж = I).
Доказательство теоремы 2, хотя идейно и простое,
технически довольно сложно. Поэтому мы изложим лишь
его основные этапы, относя подробности в задачи и мелкий
шрифт.
Пусть SC—произвольное гладкое многообразие. Глад-
Гладкое векторное расслоение ? = (<?, я, SC) называется под-
расслоением гладкого векторного расслоения \' = (^", я', «?"),
если <^с^" и n~n'\g. Подрасслоение однозначно опреде-
определено многообразием ?> и, как правило, с ним отождест-
отождествляется.
Особое значение имеют подрасслоения касательного
расслоения %<% = (Т^Г, я, 2F), Они называются распреде-
распределениями на SP. Слой произвольного распределения ? над
точкой p(z& представляет собой подпространство ~

248 РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
касательного пространства 1рЖ. Мы будем обозначать его
символом Sp.
В соответствии с общей терминологией теории вектор-
векторных расслоений (см. лекцию 6) размерность пространств &р
(одна и та же для всех р) называется рангом распреде-
распределения ?.
Каждое распределение <8 определяет на 9? поле ру~*<Вр
подпространств $pl&
Задача 21. Покажите, что это устанавливает биективное со-
соответствие между распределениями ранга п и гладкими полями
n-мерных подпространств.
Таким образом, распределения и гладкие поля подпро-
подпространств—это фактически одно и то же. [Например,
каждую связность мы можем рассматривать как распре-
распределение (на тотальном пространстве <? расслоения §).]
Подмногообразие 2/ многообразия % (вообще говоря,
лишь погруженное) называется интегральным, многообра-
многообразием распределения <?, если Iflcgp для любой точки
р€&. Связное интегральное многообразие называется
максимальным, если оно не содержится ни в каком боль-
большом связном интегральном многообразии. Распределение S
ранга п называется вполне интегрируемым, если через
каждую точку многообразия S/ проходит единственное
максимальное интегральное многообразие ?У этого распре-
распределения, имеющее размерность л (т. е. такое, что Тр& = <gp).
Пусть I) — произвольная подалгебра алгебры Ли g
группы Ли $. Так как Ijerg, то элементами алгебры § мы
можем считать левоинвариантные векторные поля на груп-
группе S. Поэтому, для любой точки р ? % в касательном про-
пространстве 1рЪ будет определено подпространство J)p, со-
состоящее из всех векторов вида Хр, где X?f). (При
интерпретации f) как подпространства касательного про-
пространства T#S подпространство 1)р будет не чем иным, как
образом (dLp)J) подпространства hcTJS при отображении
(dLp)e: V - V.)
Задача 22. Докажите, что объединение <? (I)) всех подпространств
1)р является распределением на <§ (со слоями f)p).
Если 1) является алгеброй Ли связной подгруппы Ли Ж,
то подгруппа Ж и все ее смежные классы аЖ будут, оче-
очевидно, максимальными интегральными многообразиями
распределения <?(!)) и, значит, в этом случае распреде-
пение &Q)) вполне интегрируемо.

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 249
Ниже мы докажем, что
А. Распределение & 0)) вполне интегрируемо для любой
подалгебры f)<=%.
Имея это в виду, рассмотрим максимальное интеграль-
интегральное подмногообразие Ж распределения ^?(!)), содержащее
точку е.
Так как для любого элемента а?Ж подмногообразие
аЖ = ЬаЖ является максимальным интегральным подмно-
подмногообразием распределения <?(!)), содержащим элемент а,
то в силу единственности максимальных интегральных
подмногообразий вполне интегрируемых распределений
должно иметь место равенство аЖ — Ж. Это означает, тоЖ
является абстрактной подгруппой группы Ли Ъ.
Подмногообразие 2/ многообразия X называется кон-
консервативным, если для любого гладкого многообразия %
каждое отображение <р: Ш —+ 3/ гладко тогда и только
тогда, когда оно гладко как отображение в % (т. е. гладко
отображение юф: Ш—+3?, где i: g/—+ SC—вложение).
Ясно, что каждое вложенное подмногообразие консер-
консервативно, но существуют и консервативные погруженные
подмногообразия. Именно, ниже мы докажем, что
Б. В любой группе Ли Ъ каждое максимальное инте-
интегральное подмногообразие произвольного вполне интегри-
интегрируемого распределения консервативно.
В частности, консервативным подмногообразием является
подгруппа Ж. Следовательно, умножение
ЖхЖ-+Ж
является гладким отображением (потому что гладким ото-
отображением является его композиция с вложением Ж —> $),
т. е. подгруппа Ж является подгруппой Ли.
Так как по построению алгеброй Ли группы Ж яв-
является подалгебра I), то это, очевидно, доказывает теоре-
теорему 2. П
Таким образом, нам остается лишь доказать утверж-
утверждения А и Б.
Мы начнем с утверждения А.
Пусть <В—произвольное распределение на гладком
многообразии 3? и пусть а [<?]—совокупность всех вектор-
векторных полей X ? а^*, обладающих тем свойством, что Хр ? <§р
для любой точки р?3?. Ясно, что а[<?] является подмо-
подмодулем алгебры Ли <хЖ всех векторных полей на %'. Рас-
Распределение $ называется инволютивным, если а[<§] яв-

250 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
ляется подалгеброй алгебры Ли а^", т. е. если [X, У] ?
€а[<?] для любых полей X, Y?a[&].
Задача 23. Покажите, что для любой подалгебры
I)cfl распределение ^?(f)) инволютивно.
Задача 24. Покажите, что для любого распределения #
ранга п модуль а [<8] является локально свободным, моду-
модулем ранга п, т. е. многообразие,^1 обладает открытым
покрытием {?/}, над любым элементом U которого F^V-
модуль а[<?|[/], где $\и—ограничение распределения <?
над U, является свободным модулем ранга п над алгеб-
алгеброй Fk?/. [Указание. Примите за V окрестности, три-
виализирующие расслоение «?.]
Базисы Рк[/-модуля а \€ \ц\ называются базисами над V
модуля й[<8].
Задача 25. Докажите, что следующие свойства рас-
распределения ? равносильны:
а. Распределение $ вполне интегрируемо.
б. Многообразие 3? обладает атласом, состоящим из
таких карт ((/, х1, ..., хт), m=dim&, что каждое
подмногообразие в U, задаваемое уравнениями
A8) хп+1 — const, . .., хт ¦¦-= const,
является интегральным многообразием распределения ?.
в. Многообразие Ж обладает атласом, состоящим из
таких карт @, х1, ..., хт), что векторные поля
д _д_
Ш' ""'' дх"
составляют базис над U модуля а [<?].
[Указание. Утверждения бив являются очевид-
очевидными переформулировками один другого. Импликация
а=>б легко вытекает из установленных в лекции III. 13
общих свойств подмногообразий. Для доказательства им-
импликации б=>а введите на SC топологию, база открытых
множеств которой состоит из интегральных многообразий
распределения <?, и рассмотрите компоненты многообра-
многообразия % в этой топологии.]
Задача 26. Покажите, что распределение & тогда
и только тогда инволютивно, когда существует открытое
покрытие {U} многообразия SC, над каждым элементом U
которого модуль а [&] обладает таким базисом Хи ..., Х„,
что
A9) [X,., Х,] = П,Хкнаи,
где f\j—некоторые гладкие функции на U.

TEOPF.MA ФРОБЕНИУСА 251
Утверждения задач 23 и 24 показывают, что, как свой-
свойство быть вполне интегрируемым, так и свойство быть
инволютивным, являются локальными свойствами (верными
всюду, если они верны в окрестности каждой точки).
Задача 27. Докажите, что любое вполне интегрируе-
интегрируемое распределение инволютивно. [Указание. Если поля X
и Y касаются подмногообразия, то и поле [X, Y] обла-
обладает этим свойством.]
Оказывается, что обратное утверждение также верно.
Теорема 3- Каждое инволютивное распределение
вполне интегрируемо.
Эта теорема известна как теорема Фробениуса.
Нужное нам утверждение А является ее непосредственным
следствием (см. задачу 23). Поэтому нам остается только
доказать теорему 3.
Так как свойства полной интегрируемости и инволютивности
являются локальными свойствами, то для доказательства теоремы 3
достаточно доказать следующее утверждение чисто аналитического
характера:
(if) Пусть в области U пространства R™, содержащей точку О,
задано п векторных полей Хъ ,.., Хп, линейно независимых над
алгеброй ?U и удовлетворяющих условию A9). Тогда в некоторой окрест-
окрестности VcU точки 0 существуют такие координаты х1, ..., хт, что
на V поля Xt, ..., Хп линейно выражаются (над FV) через поля
д д
Ох^ ' ¦'¦' дх" '
Доказательство. Предположим, что в U существуют такие
координаты я1 хт, что
а. Поля Хг Хп_х выражаются лишь через поля
д д
дх1 ' ¦"¦' дхт-х "
б. При хт — 0 компоненты Xi, ..., X,,_i этих полей с n<^k<m
тождественно равны нулю.
в. Для поля Хп имеет место равенство
х - a
Оказывается, что тогда поля Хь .... Х„ линейно выражаются
(над FU) через поля -^ -^-j-, -^ .
Действительно, так как согласно в Хп=б'т, то
У' 6Х1 yldxl" дХ>1 К/<«-1.

262 ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА
а так как согласно айв
[хп, xj\=fxnlx1+...+rnfxn_1,
то компоненты х), К/«?п—1, I<i<n, полей Xt,
удовлетворяют (как функции от хт) системе однородных дифферен-
дифференциальных уравнений
Но согласно б при хт — 0 эти функции с n*g,kon равны нулю.
Поэтому они равны нулю тождественно. Значит, поля Xi, .... Хп_1
д д
линейно выражаются через поля -r-j- , ..., A, а потому поля
*i Хп-ь ^„-через поля -^-, .... -^—^ , — .
Таким образом, для доказательства утверждения (+) достаточно
доказать существование координат ху хт, обладающих свойст-
свойствами а, б и в (и затем хт обозначить через *")• Мы сделаем это ин-
индукцией по п.
При п=1 условия а, б бессодержательны (так же как и условие
инволютивности A9)). Поэтому в этом случае надо лишь доказать,
что для произвольного поля X, отличного от нуля в точке 0, суще-
существует такая центрированная в точке 0 карта (V, х1, ..., х'п), что
v_ д
дх1» "
Пусть х1 хт — произвольные координаты на R™ (или хотя
бы на U). Без ограничения общности можно предполагать, что т-я
компонента Хт поля X отлична от нуля в точке 0. Выбрав число
е > 0, рассмотрим такую окрестность W точки 0 пространства R
(отождествленного с подпространством хт=0 пространства Rm), что
Wcz№."l~1(]U и для любой точки w?W, и> = (аЛ wm~l), инте-
интегральная кривая Yai поля X, проходящая при t = Q через
точку (w, 0)gRm, определена при 11 \ < е. (Окрестность W
существует в силу стандартных теорем теории обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений.) Отображение Wx(—е, е)—>¦ Rm, перево-
переводящее точку (to, t) в точку у (t), гладко и его якобиева матрица
в точке @, 0) имеет вид
Е .
. Х«-1 @)
10 ... 0 Хт(О)

ТЕОРЕМА ФРОБЕНИУСА 253
Г 1оэтому в силу условия Хт @) # 0 отображение (и», t) >—»• ут (/)
этально в точке @, 0), и, значит, в R" существует окрестность V
точки 0, в которой числа а»1, ..., w*1, t являются локальными ко-
координатами. При этом в V будет иметь место равенство Х=-г—.
Для завершения доказательства остается теперь лишь соответствую-
соответствующим образом переобозначить координаты w1, ..., w-1, t.
[Фактически мы воспроизвели стандартное доказательство тео-
теоремы о выпрямляемости траекторий векторного поля в окрест-
окрестности любой точки, в которой оно отлично от нуля.]
Предположив теперь, что для л— 1 полей утверждение (*) уже
доказано, докажем, что для л полей Xi, ..., Хп существуют коорди-
координаты х1, ..., хт, удовлетворяющие условиям а, б и в.
Применив к полю Хп уже доказанный случай теоремы, мы немед-
немедленно можем добиться выполнения условия в. Заменив затем поля
A'i, ..., Хп_% полями
*l— Ai ¦^^-=Л1 — AiAn, ...,Л„_1—лп-1-0^- = лп-1 — •ЛП_1Л„,
мы добьемся выполнения и условия а. Следовательно, без ограниче-
ограничения общности мы с самого начала можем считать условия айв вы-
выполненными, и задача состоит только в том, чтобы добиться выпол-
выполнения условия б.
Пусть Yi, ..., Kn_i—ограничения полей Х1г .... Х„_х на
UflR1*'1 (т. е. их значения при хт = 0). Так как эти поля, очевидно,
удовлетворяют (на i/DR"8) условию A9), то по предположению ин-
индукции существует такая карта (И7, у1, .... у'1) с WczUftR1"-1,
что поля Ylt ..., У„_1 линейно выражаются на W через поля
"JT > •••> л n-i и> значит> их компоненты У* У*-1 в коор-
координатах ух ут~1 (т. е. в базисе -тр- gu«>-i) при
—1 тождественно равны нулю. Для полей Xlt ..., Хп_]
это означает, что компоненты Хи ..., Xn-i, n<k<,m—1, в коор-
координатах у1 у'1, хт (определенных на множестве V вида
К/Х(— в, е), где в > 0—достаточно малое число) равны нулю при
хт=0, т. е. что для координат у1, ..., ут~1, Хп условие б выпол-
выполнено. Поскольку условия айв для координат у1, ..., у'1, хт
остаются, очевидно, выполненными, теорема Фробениуса тем самым
полностью доказана. Q
Замечание 2. Поскольку в условии инволютивно-
сти речь идет о подалгебрах алгебр Ли а&, многообразие &
в теореме Фробениуса мы предполагали многообразием
класса О. Однако теорема Фробениуса справедлива и для

254 ^ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИЙ
многообразий класса С, г ^2; нужно только под инво-
лютивностью понимать выполнение условия A9) с функ-
функциями flj класса С".
Обратимся теперь к утверждению Б.
Задача 28. Докажите, что максимальное интеграль-
интегральное многообразие 6/ вполне интегрируемого распределения,
удовлетворяющее второй аксиомесчетности, консервативно.
[Указание. Каждая точка р ? ?У обладает в SV такой
координатной окрестностью, что компоненты пересечения
t/ПЗ/ (в топологии многообразия S/) задаются уравнениями
вида A8), причем число этих компонент не более чем
счетно. Поэтому они являются компонентами пересечений
U[)& и в топологии многообразия •#".]
Задача 29. Докажите, что любая связная группа Ли
удовлетворяет второй аксиоме счетности. [Указание.
Выбрав в некоторой окрестности единицы U счетное всюду
плотное множество С, рассмотрите всевозможные окрест-
окрестности вида gV, где VczU, a g—произвольное произведе-
произведение элементов из С]
Из утверждений задач 28 и 29 немедленно вытекает,
что для доказательства утверждения Б достаточно дока-
доказать следующее предложение, имеющее, конечно, и само-
самостоятельный интерес:
Предложение 2. Пусть У—подмногообразие мно-
многообразия ЗС. Если
а) подмногообразие & связно;
б) многообразие Ж удовлетворяет второй аксиоме
счетности, то подмногообразие 2/ также удовлетворяет
этой аксиоме.
Конечно, центр тяжести этого предложения—это слу-
случай погруженного подмногообразия 8/, поскольку для
вложенных подмногообразий оно тривиально (каж-
(каждое подпространство пространства, удовлетворяющего вто-
второй аксиоме счетности, очевидным образом также удовлет-
удовлетворяет этой аксиоме). Мы также разобьем доказательство
предложения 2 в серию задач.
Задача 30. Докажите, что если связное топологичес-
топологическое пространство SC обладает таким открытым покры-
покрытием Ц — {?/«}, что
Г каждое множество Ua удовлетворяет в индуциро-
индуцированной топологии второй аксиоме счетности;
2° для любого а семейство всех элементов покрытия И,
пересекающихся с Ua, счетно (или конечно),

ПОДМНОГООБРАЗИЯ МНОГООБРАЗИЙ 255
то пространство % удовлетворяет второй аксиоме счет-
ности. [Указание. Произвольно выберите в II элемент иа„
и рассмотрите всевозможные конечные последовательности
Uа,, ?/«,» •••. Uan элементов покрытия U, обладающих
тем свойством, что Ua. Л Uai_t Ф 0 для любого i — 1, .... п.
Покажите, что объединение всех элементов всех таких
последовательностей удовлетворяет второй аксиоме счетности
и совпадает с &.]
Задача 31. Докажите, что если связное топологичес-
топологическое пространство & обладает счетным открытым покры-
покрытием {V',•}, каждый элемент U,- которого является объ-
объединением непересекающихся открытых множеств Ui, a-,
удовлетворяющих второй аксиоме счетности, то само
пространство ЗИ также удовлетворяет этой аксиоме.
[Указание. Покрытие {Ut.aA, состоящее из всех мно-
множеств Uс, alt удовлетворяет условиям задачи 30.]
Замечание 3. Отсюда немедленно следует, что любое
пространство «?, накрывающее пространство $}, удовлет-
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, также удовлетво-
удовлетворяет этой аксиоме. (Прообразы элементов счетного покры-
покрытия пространства 33, состоящего из равно накрытых мно-
множеств, составляют покрытие пространства в?, обладающее
указанными в задаче 31 свойствами.)
Отображение /: 2? ~* $/ называется локально гомеоморф-
ным, если пространство X обладает таким открытым по-
покрытием {Ua}, ЧТО ДЛЯ ЛЮбоГО «
а) множество f(Ua) открыто в &',
б) отображение f на Ua является гомеоморфизмом
«f («)
Задача 32. Докажите, что если для связного топо-
топологического пространства Ж существует локально гоме-
оморфное отображение
то пространство % удовлетворяет второй аксиоме счет-
счетности. [Указание. Пусть {к,}—счетная база простран-
пространства R", состоящая из связных открытых множеств, и
пусть 0{—подмножество пространства S? (возможно,
пустое), являющееся объединением множеств, каждое из
которых гомеоморфно отображается посредством f на V,.
Подмножества U,- составляют покрытие пространства 3?,
удовлетворяющее условиям задачи 31.]

256 ЕДИНСТВЕННОСТЬ СТРУКТУРЫ ПОДАЛГЕБРЫ ЛИ
Задача 33. Пользуясь утверждением задачи 32, до-
докажите предложение 1 сначала при SV — R", а затем в общем
случае. [Указание. В последнем выводе воспользуйтесь
утверждением задачи 30.]
Тем самым утверждения А и Б, и вместе с ними тео-
теорема 3, полностью доказаны. ?
Из того, что каждая подгруппа Ли является интеграль-
интегральным многообразием вполне интегрируемого распределения,
немедленно вытекает также следующее утверждение, кото-
которое мы для удобства ссылок выделим в качестве отдель-
отдельного предложения:
Предложение 3. Каждая имеющая не более чем счет-
счетное множество компонент подгруппа Ли является кон-
консервативным подмногообразием. П
Пример взятой в дискретной топологии подгруппы R
группы Ra показывает, что условие счетности множества
компонент здесь необходимо.
Отметим два непосредственных следствия этого предло-
предложения.
Следствие. 1 (теорема единственности). Если
в абстрактную подгруппу Ж группы Ли % можно ввести
структуру подмногообразия, имеющего не более счетного
множества компонент, относительно которой Ж яв-
является подгруппой Ли, то это можно сделать только
одним способом.
Доказательство. Пусть Жх и fflt—две подгруппы
Ли, совпадающие как подмножества с Ж и имеющие
счетное (или конечное) множество компонент. Нам нужно
доказать, что Жх — Жг, т. е. что гладкости на Жх. и Жг
одинаковы. Для этого достаточно доказать, что оба тож-
тождественных отображения Жг-+Ж2 и Ж„—+Жх гладки.
Но это немедленно обеспечивается предложением 3. Г]
Следствие 2. Отображение Р: R —*¦ Ж тогда и только
тогда является однопараметрической подгруппой подгруп-
подгруппы Ли Ж, когда отображение юр: IR—>¦"?> представляет
собой однопараметрическую подгруппу группы Ли. ?
Задача 34. Дайте прямое доказательство последнего утпержде-
ния. [Указание. Воспользуйтесь нормальными координатами.)

Лекция 15
Замкнутые подгруппы групп Ли.— Теорема Картана.—
Алгебраические группы.— Карты, согласованные с под-
подгруппой Ли.— Слабейшая гладкость на подгруппе группы
Ли.— Теорема Фрейденталя.— Теорема Адо и третья тео-
теорема Ли.— Локально изоморфные группы Ли.— Групповые
накрытия.— Существование универсального группового
накрытия-
Подгруппы Ли группы Ли, являющиеся вложенными
подмногообразиями, имеют, конечно, наиболее важное зна-
значение. Мы будем называть такие подгруппы замкнутыми.
Основанием этой терминологии служит следующее предло-
предложение:
Предложение 1. Каждая замкнутая подгруппа Ли Ж
группы Ли % является замкнутым подмножеством в '&.
Доказательство. Так как Ж вложено в #, то
точка е$Ж обладает в % такой окрестностью V, что пере-
пересечение U П Ж замкнуто в U. Без ограничения общности
можно считать, что U'^ — U. Пусть а?(%. Тогда а{/~хП
П Ж ф 0 и, значит, существует такая точка Ь ? Ж, что
b^aU'1. Так как левый сдвиг qy-+bq является диффео-
диффеоморфизмом многообразия $, то множество b (U П Ж) — Ы] П
П Ж замкнуто в bU, т. е. bU Г) Ы1 [\Ж—ЬЦГ\Ж. С другой сто-
стороны, a?bU и потому а б bU fl ЖсЫ/ Г) Ж. Следовательно,
а?Ь1/пЖ и, значит, а?Ж. ?
Оказывается, что обратное утверждение также верно:
если подгруппа Ли Ж является в Ъ замкнутым множест-
множеством, то она замкнута (представляет собой вложенное под-
подмногообразие). Мы докажем даже большее:
Теорема 1. Если подмнооюество Ж группы Ли Ъ яв-
является одновременно
1) абстрактной подгруппой группы %,
2) замкнутым подмножеством топологического прост-
пространства %,
то Ж будет вложенным подмногообразием и, значит,
замкнутой подгруппой Ли группы- Ли &.
Доказательству этой теоремы мы предпошлем несколько
общих замечаний и лемм.
Пусть i? — группа Ли и Ж—ее абстрактная подгруппа.
9 М. М. Постников, сем. IV

258 ТЕОРЕМА КАРТАНЛ
Мы скажем, что подгруппа Ж удовлетворяет условию
(F), если в алгебре Ли д группы & существует такое под-
подмножество Г), что
а) подмножество!) является линейным подпространством;
б) если А ? f), то ехр Л ? Ж\
в) существует такая нормальная окрестность (/„ нуля
линеала $, что для вектора А ? ?/„ включение Л?{) имеет
место тогда и только тогда, когда ехр А ? .^.
Для каждой замкнутой (вложенной) подгруппы Ли Ж
группы Ли 3 точка е обладает в Ъ нормальной окрест-
окрестностью U, пересечение V ¦¦ -1/С\ Ж которой с Ж является
нормальной окрестностью точки е в Ж. Поэтому, приняв
за I) алгебру Ли группы Ж и положив U9 — exp~l U, мы
немедленно получим, что подгруппа Ж удовлетворяет
условию (/•").
Для случая S="-GL(n; R) подгруппы, удовлетворяющие
условию (/•"),— это в точности матричные группы Ли
в смысле определения 1 лекции III. 11. Как мы знаем (см.
предложение 1 лекции 111.11 и замечание 1 лекции III.1),
каждая такая подгруппа является гладкой подгруппой
и одновременно вложенным подмногообразием, т. е. пред-
представляет собой замкнутую подгруппу Ли (с алгеброй Ли fj;
см. замечание 2 лекции III. 16). Но просмотрев заново
доказательство предложения 1 лекции 111.15, мы немед-
немедленно убедимся, что специфика группы GL (я; 0?) в нем
фактически не используется и что оно практически дословно
проходит для произвольной группы Ли $. Поэтому каждая
подгруппа Ж группы Ли $, удовлетворяющая условию (F),
является замкнутой подгруппой Ли.
Задач<1 1. Докажите аккуратно последнее утверждение. Дока-
Докажите также, что !) будет алгеброй Ли группы Ли ;)?.
Таким образом, замкнутые подгруппы Ли —это в точ-
точности подгруппы, удовлетворяющие условию (F). Поэтому
для доказательства теоремы 1 нам нужно только доказать,
что подгруппа Ж из этой теоремы удовлетворяет условию (F).
Для этого мы должны найти подмножество I), окрестность Uo
(или, что равносильно, окрестность U =-ехр Uo) и проверить
для них свойства а, б и в.
Если теорема 1 верна, то множеством () должна быть
алгебра Ли подгруппы Ж, т. е. множество всех векторов
Л^Й. для которых ехр tA ?,9? при любом t?R. Имея это
в виду, мы определим I) как подмножество алгебры Ли д,
состоящее из всех таких векторов А.

ТЕОРЕМА КАРТАНА " 259
Конечно, при таком определении выполпение условия а
требует доказательства. Это доказательство основывается
па следующей лемме:
Лемма 1. Пусть {С,„}—сходящаяся последователь'
ноешь векторов линеала % и пусть С — lira C/n—се предел.
Если существуют такие отличные от нуля числа tm, что
lim */л=-;0 и ехр trnCm?,f? для любого m^l, то С?1).
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что tn > 0. Имея это в виду, мы для каждого
I ? R обозначим через пт целое число, удовлетворяющее
соотношениям
1т' П'П "** ~п
(целую часть числа t/tm). Так как t—im<nmtin^t
н lim tm- 0, то lim nmtm — t и, значит,
lim
а так как
exp (nJmCm) ¦:¦-¦ (exp <eC>,
то exp (n,JmC) С .^. Поскольку группа Ж по условию замк-
нута, отсюда следует, что ехр,?С€-"#\ Значит, Cg(). С
Проверка условия а. Ясно, что если Л?(),.то
ХА ^ I) для любого A,?R (ибо ехр / (ХА)---ехр (Щ А). По-
Поэтому нам надо лишь доказать, что Л+В?1) для любых
векторов A, 5?l). Но согласно формуле A2) лекции 14
для любых-векторов А, В?$ и любого числа t?\R имеет
место равенство
ехр /Л ехр Ш =¦-- ехр i1 (А 4 В : X,),
где Xt --¦-¦¦ о (t). Пусть tm = 1/m, С--- А ^-В и
С^-Л-j-iS + X^ 1</п<оо.
Тогда *в — 0, Cffl — Си
(напомним, что по условию ехрМ, ехрШ^.-/^ для «любого
t € R). 11оэтому применима лемма 1, согласно которой С € $?%
т. е. /4 + В € *• С

260 ТЕОРЕМА КАРТАНА
Задача 2. Докажите аналогичным образом, что Г) является под-
подалгеброй алгебры Ли д. (Для доказательства теоремы 1 этот факт не
нужен.)
Так как условие б выполнено по определению, то для
завершения доказательства теоремы 1 нам осталось про-
проверить лишь условие в. Для этого нам понадобится еще
одна общая конструкция.
Пусть алгебра Ли (( разложена в прямую сумму
своих подпространств I) и I. Тогда любой элемент €д
единственным образом представляется в виде С =А -1- В,
где А € I) и В € I, и потому формула
Ф (С) = ехр А ехр В
корректно определяет—очевидно гладкое—отображение
B) . <р:в-~*.
Лемма 2. Отображение B) этально в точке 0?с[.
Доказательство. Согласно формуле A2) лекции 14
ехр Л ехр ? = ехр (Л+ 5 + ...) = ехр(С + ...),
где многоточие означает члены степени ^2 по А и В.
Поэтому дифференциал отображения B) в точке 0 совпа-
совпадает с дифференциалом отображения ехр и, следовательно,
является изоморфизмом (даже тождественным отображе-
отображением). G
Нас, естественно, будет интересовать разложение A)
в случае, когда I) является построенным выше по под-
подгруппе Ж подпространством алгебры Ли g (a f—произволь-
f—произвольным дополнительным подпространством). Оказывается, что
в этом случае справедлива следующая лемма:
Лемма 3. В q существует такая окрестность Uo
точки 0, что
для любого отличного от нуля вектора B?Uonl.
Доказательство. Если утверждение леммы 3 не
верно, то в I существуют такие элементы В„, что Вт —<• 0
и ехр Вт € Ж. Выбрав в I некоторую норму J || (скажем,
евклидову), найдем такие целые числа пт -i* <х>, что

ТЕОРЕМА КАРТАНА ' 261
для любого т=1, 2, ... (ясно, что это всегда можно
сделать). Пусть Ст = птВт и tm = —. Так как множество
пт
всех векторов С, для которых l<||Cj]<2, компактно, то
без ограничения общности можно считать—перейдя, если
нужно, к подпоследовательности,— что последовательность
{Ст} сходится. Поскольку tm -* 0 и ехр tmCm = ехр Вт € Ж,
эта последовательность удовлетворяет всем условиям
леммы 1, и, значит, ее предел С — \\тСт принадлежит Ij.
Но это невозможно, так как одновременно С <Е f (ибо f замк-
замкнуто) и С фО (ибо 1 < || С К 2). Полученное противоречие
доказывает лемму. ?
Теперь мы уже можем непосредственно перейти к дока-
доказательству теоремы 1.
Доказательство теоремы 1. Согласно сказан-
сказанному выше нам осталось проверить лишь условие в. Мы
покажем, что этому условию удовлетворяет нормальная
окрестность ?/„, на которой отображение B) диффеоморфно
и которая одновременно является окрестностью U9 из
леммы 3.
Пусть А € Uo и ехр А <5 Ж. Нам надо доказать, что
ylg|. С этой целью мы заметим, что поскольку на Ч/„
отображение A) является диффеоморфизмом, точку ехр А ? U
можно представить в виде ехр Л г ехр 5,, где Ax^t) (и по-
потому ехр Аг €Щ, а В1?1. Но если expA — expA1-expBi
и ехр А € Ж, то ехр Вг 6 Ж, что согласно лемме 3 возможно
только при Bj = 0. Поэтому ехрЛ=ехрЛц и, значит, по-
поскольку окрестность Uo нормальна, A ==At. Следовательно,
A?h D .
Таким образом, замкнутые подгруппы Ли группы Ли %—
это в точности ее подгруппы, являющиеся замкнутыми
множествами. Это полностью оправдывает нашу термино-
терминологию.
Теорема 1 принадлежит Картану. Она является одним
из самых мощных орудий установления лиевости конкрет-
конкретных групп.
Пример 1. Подгруппа группы GL(n; R) (или группы
GL(n; С)) называется алгебраической группой, если она
является множеством всех невырожденных матриц, обра-
обращающих в нуль некоторую систему многочленов от их эле-
элементов. Так как такое множество заведомо замкнуто
(в GL(«; К)), то согласно теореме Картана любая алгеб'
раическая группа является матричной группой Ли.

262 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
Пример 2. Пусть А—произвольная конечномерная
алгебра над полем R или С (вообще говоря, не ассоциа-
ассоциативная и не лиева) и пусть ег, ..., еп—ее базис. Ясно,
что обратимое линейное отображение ср: Л ~-Л тогда
и только тогда является автоморфизмом алгебры Л, когда
9 (e;ej) --¦¦-- ф (<?,¦) ср [в]) для любых i, / - 1, ..., п. Следова-
Следовательно, если ф (е,-) — *?eft и е,еу == е*^ и, значит,
Ф («,•) Ф («/) =-- xfep ¦ х]е4
то ф тогда и только тогда является автоморфизмом, когда
Jt J, rl YP уЧ
для любых /, /, l—\, .,., п. Это означает, что матрицы
|*{-j|, отвечающие автоморфизмам алгебры Л, составляют
алгебраическую, а потому и лиеву группу. Это вносит
в, группу Aut</? всех автоморфизмов алгебры Л структуру
группы Ли, не зависящую, очевидно, от выбора базиса.
Таким образом, группа Aut Л автоморфизмов произ-
произвольной конечномерной алгебры Л является группой Ли.
Задача 3. Докажите, что алгебра Ли группы Ли Aut Л есте-
естественно изоморфна алгебре ОегЛ всех дифференцирований алгебры Л
(таких линейных отображений D: Л—* Л, что D (ab)~ Da-b ! a-Db
для любых элементов a, fr ?«//).
Зернемся теперь к произвольным (не обязательно замк-
замкнутым) подгруппам Ли Ж группы Ли #. Пусть т ¦¦ - <Х\тЖ
и п~ dirn$.
Карту (U, п)----¦¦(II, х1, ..., х") в группе Ли Ъ мы на-
назовем согласованной с подгруппой .?{, если она согласована
в смысле лекции III.13 со всеми подмногообразиями вида
LJK. -¦¦¦ аЖ, а^%,-х. е. если для любого а6$ существует—
в случае, когда пересечение U (]а "/^непусто—такое откры-
открытое в а'Ж множество VacUГ\а~7?, что, во-первых, функции
являются локалышми координатами на Va в ашУС, а, во-
вторых, множество Va (но не а'У€\) задается в U уравне-
уравнениями вида
C) хт+1 = с' лг" = сл-и, ;
где с1, ..., сп~т—некоторые постоянные числа (зависящие
• только от а). . ¦

КАРТЫ, СОГЛАСОВАННЫЕ С ПОДГРУППОЙ ЛИ ' 2G3
Из утверждения б задачи 25 лекции 14 немедленно
следует, что для любой точки а?% существует в $ согла-
согласованная с Л' карта (U, К), центрированная в а.
Другое доказательство. Ясно, что такую карту доста-
очмо построить только при а~е (если карта (U, h) согласована с Ж
и центрирована в е, то карта (aU, ho La1) согласована с Ж и цент-
центрирована в о). Имея это в виду, рассмотрим отображение B), постро-
построенное для разложения A), где I)—алгебра Ли подгруппы Ли Ж, а I —
произвольное дополнительное подпространство. Так как согласно лемме 2
это отображение этально в 0, то точка е?$ обладает окрестностью U,
на которой определено отображение ф: U —> Д. Пусть h: U —* R" —
композиция отображения <р~х и координатного изоморфизма с\ —* R",
согласованного с разложением A), т. е. отвечающего такому базису
линеала д, что первые т векторов его принадлежат подалгебре f),
а остальные п—т векторов — подпространству f. Тогда пара (U, h)
б\дет центрированной в е картой, согласованной с ffl. [J
Если подгруппа Ж замкнута (является вложенным под-
подмногообразием), то карту (U, h) можно выбрать так, чтобы
уравнения вида C) задавали в U все пересечение UOaffl.
Задача 4. Пользуясь этим, докажите, что для любой замкнутой
подгруппы Ж группы $ факторпространстБО %\Ж (множество смеж-
смежных классов affl) обладает естественной гладкостью, по отношению
к которой каноническая проекция
является гладким отображением, а тройка С§, л, "§!$(.) гладким ло-
локально тривиальным расслоением.
.Задача 5. Докажите, что
а. Для любой замкнутой подгруппы $? компонента- единицы ffie
также замкнута.
б. Если группа Ли % связна, то естественное отображение
индуцированное вложением смежных классов, является накрытием.
Задача 6 (обобщение и уточнение задач 4 и 5).
Пусть Ж и &>' с: Ж — замкнутые подгруппы группы Ли $ и пусть
«Я1 „—наибольшая инвариантная подгруппа, содержащаяся в Л". Дока-
Докажите, что индуцированное вложением смежных классов отображение
я: »/»'-* %!Ж
гладко и является проекцией гладкого и локально тривиального" рас-
расслоения со слоем Ж/Ж и со структурной группой Ж/^'о< Действу-
Действующей в Ж№ посредством левых сдвигов.
Превратить в подгруппу Ли можно, собственно говоря,
любую абстрактную подгруппу $f—достаточно ввести в нее
структуру нульмерного многообразия (с дискретной топо

264 СЛАБЕЙШАЯ ГЛАДКОСТЬ НА ПОДГРУППЕ ГРУППЫ ЛИ
логией). Однако на практике интересна, конечно, более
содержательная—и желательно, единственная—гладкость,
топология которой по возможности наиболее близка к инду-
индуцированной. (Напомним—см. лекцию III.13,—что топология
подмногообразия единственным образом определяет его
гладкость.)
Мы будем говорить, что гладкость (топология) подмно-
подмногообразия Ж является слабейшей., если для любой другой
гладкости на Ж, т. е. для любого подмногообразия Жг
с тем же множеством точек, тождественное отображение
Жъ—тЖ гладко. Слабейшая гладкость, конечно, единст-
единственна, но существует не всегда. Если Ж допускает глад-
гладкость, по отношению к которой оно является консервативным
(в частности, вложенным) подмногообразием, то эта глад-
гладкость будет слабейшей.
В индуцированной топологии каждая абстрактная под-
подгруппа Ж группы Ли % является, конечно, топологической
группой. Пусть Же—компонента линейной связности
группы Ж, содержащая единицу е. По определению элемент
а 6 Ж тогда и только тогда принадлежит Же, когда в Ъ
существует путь и: I —*Ъ, соединяющий е с а и целиком
лежащий в Ж (т. е. такой, что и(г)?Ж для любого l)
Задача 7. Покажите, что Же является инвариантной подгруппой
(нормальным делителем) в Ж-
Теорема 2. Пусть Ж—абстрактная подгруппа группы
Ли Ъ. Если факторгруппа Ж1Же счетна (или конечна),
то подгруппа Ж обладает слабейшей гладкостью и по
отношению к этой гладкости является подгруппой Ли.
Компоненты линейной связности относительно этой глад-
гладкости совпадают с компонентами линейной связности
в индуцированной топологии (т. е. со смежными классами
аЖе по Же). В частности, подгруппа Же является ком-
компонентой единицы группы Ли Ж и, значит, представляет
собой связную подгруппу Ли группы Ли %.
Эта теорема в литературе обычно называется теоре-
мойЯмабе.
Общий случай теоремы Ямабе легко сводится к част-
частному случаю линейно связной подгруппы Ж. Действительно,
пусть в этом случае теорема уже доказана. Это означает,
что для любой подгруппы Ж мы можем ввести в компо-
компоненту Же структуру связного подмногообразия, по
отношению к которой Ж€ будет подгруппой Ли и, значит,
максимальным инвариантным многообразием соответствую-

ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ 265
щего распределения <§(§). Тогда каждый смежный класс
aWe, а$Ж, также будет максимальным интегральным
подмногообразием распределения <?(!)). Поскольку Ж яв-
является дизъюнктным объединением смежных классов аЖ„
это вместе с условием, что каждый из этих классов яв-
является компонентой, однозначно определяет в Ж некоторую
топологию и гладкость. (Заметим, что условие счетности
факторгруппы Ж1Же для построения этой гладкости не
требуется.)
По отношению к построенной гладкости Ж является,,
очевидно, подгруппой Ли (проверьте!) с компонентами вида
а Жеч а?Ж. Так как, по условию, множество Ж/Же всех
этих компонент не более чем счетно, то согласно предло-
предложению 3 лекции 14 гладкость на Ж консервативна и>
чначит, является слабейшей гладкостью. D
Таким образом теорему Ямабе достаточно доказать лишь
для линейно связной подгруппы Ж. Мы сделаем это в сле-
следующем ослабленном варианте, известном как теорема
Фрейденталя и, как правило, вполне достаточном для
всех геометрических рассмотрений.
Предложение 2, Если каждый элемент а йбстракт-
ной подгруппы Ж групп Ли Ъ можно соединить с е глад-
гладкой (или хотя бы кусочно гладкой) кривой и:1 —»- #, целиком
лежащей в Ж, то Ж обладает слабейшей гладкостью и по
отношению к этой гладкости является связной подгруп-
подгруппой Ли.
Для доказательства предложения 2 естественно ввести
в рассмотрение подмножество Ij алгебры Ли g = Т, #, состоя-
состоящее из векторов А ? Те %, для которых существует такая
гладкая кривая и: / —<¦ 55, проходящая при t — О чере*
точку е и целиком лежащая в Ж, что и@) — А. (Если Ж
является подгруппой Ли, то, конечно, \) — 1{Ж).)
Лемма 4. Подмножество I) является подалгеброй ал-
алгебры Ли 55.
Доказательство. Если проходящая при t== 0 череа
точку е кривая и целиком лежит в Ж, то для каждого-
Я? R кривая t\~*u(M) также лежит в Ж (и при ^ = 0 про-
проходит через точку е). При этом ее касательный вектор при
/ = 0 равен КА, где Л — касательный вектор и @) кривой и.
Таким образом, если A?l), то XA?l) при любом X^R.
Если проходящие при * = 0 через точку е кривые и и w
целиком принадлежат Ж, то кривые t *—*¦ и (t) v(t) и

266 ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТЛЛЯ
tt~>u(x)v(x)u(x)~lv(x)~1, где т= sign f-l/"|Tf, также про-
проходят при / ¦--- О через точку с и принадлежат :7f. С дру-
другой стороны, согласно утверждению задачи 17 лекции
14 касательными векторами при t-~ 0 к этим кривым
служат векторы Л -I- В и [Л, SJ, где Л = ы@) .и В у@).
Следовательно, если Л, В ? (), то Л 4- В'? I) и [Л, В] ? I). П
Пусть W—связная подгруппа Ли с алгеброй Ли J).
Предложение 2 будет, очевидно, доказано, если мы пока-
покажем, что Ж = -Ж. Для этого нам понадобится еще две леммы.
Пусть Аи ..., А„ — произвольный базис алгебры Ли д
группы Ли % и пусть ии ..., ип—такие гладкие кривые
в #, что и, @) — е и Uj{0) — A; для любого i—\, ..., п.
(Таким образом, u,-(i) = exp (tH,- -i ...), где многоточие
обозначает члены степени ^2 по <.)
Тогда ({юр мула
Ф (Л) - и, (аг) и, (а2)... ия (а»), Л 6 8,
где а1, ..., а"—'координаты вектора А в базисе Л,, .. ., Л„
(т. е. такие числа, что Л =aVlL4- ... -|-аМ„), определяет—
очевидно гладкое—отображение
D) Ф: {/„-*»
некоторой окрестности t/0 нуля линеала д в группу S.
(Если кривые ы,-, i-- 1, ..., п, определены для всех t, то
ЛеМма 5. Отображение D) этально в точке 0 ? д.
Доказательство (ср. доказательство леммы 2).
Так как и,-(*)--ехр(М;-}- ...), то согласно формуле A2)
лекции 14
где многоточие обозначает члены степени ^ 2 по а1, . .., ап.
Поэтому дифференциал отображения D) в точке 0 совпа-
совпадает с дифференциалом отображения ехр и, значит, является
изоморфизмом. CJ
Из леммы 5 следует, что числа а1, ..., ап являются
локальными координатами на группе %, центрированными
в точке с.
Обычно рассматривается случай, когда кривые «,• яв-
являются однопараметрическими подгруппами f3,-: ^i—»-exp tAt.
В этом случае координаты а1, ..., а" называются кано-
каноническими координатами второго рода.

ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ 267
Вторая нужная нам лемма относится к произвольной
подалгебре I) алгебры Ли д группы Ли $ (трактуемой как
множество левоинвариантных векторных полей). Для каж-
каждой точки а?$ мы, как и при доказательстве теоремы 1,
обозначим через 1)в подпространство касательного простран-
пространства Та$, состоящее из всех векторов вида Ха, где К —
левоинвариантное векторное поле на группе %, принад-
принадлежащее I). [Если Ut?—подгруппа Ли с алгеброй Ли f), то-
Iie- Ta5i* при а?Ж (и, в частности, 1)=-Тг5^), но Ьа опре-
определено и при a(?9f?.] При этом в силу левоинвариаптпости
полей X для любого элемента а ? д имеет место равенство.
Лемма 6. Пусть и: I —*¦ Ъ—такая гладкая кривая
в группе Ли $, проходящая при t =- 0 через точку е, что-
E) и@€*)а(/) для любого /?/.
Тогда u(t)?4№ для всех t ^ / (/п. е. кривая и целиком лежит
в подгруппе Ли ft").
Доказательство; Пусть С—множество всех точек,
t?l, для которых u(t)?X. По условию 0?С.
Пусть /0?/ и ao — u{tb). Рассмотрим центрированную
в точке аа карту (U, х1, .. ., х11), согласованную с под-
подгруппой Ли УС. Поскольку отображение и непрерывно»
существует такое б > 0, что и (/) € t/ при \t —101 < 6. Пусть
х' (/), 1 < i ^gZ. n,—функции, задающие в карте (U, х\ ...,хп}
ограничение кривой и на интервале \t—ta\<.b. Так как
для любой точки a^V окрестность Va точки а в подмного-
подмногообразии аЗС задается уравнениями вида
хт+1 ¦¦=¦¦¦¦ const, ..., х" ¦--¦¦ const,
¦io пространство 1)а — 1а (аУ?) пространства Тп$ натянуто на
первые m векторов
/ о \ (JL)
координатного базиса пространства 1JS. В частности, это
означает, что при 11—?01 < б вектор и (/) выражается только
через векторы
! д \ I 0 \
V дх1 ju(t)' ' ' '' \ Ох
Поэтому хт+1 (/)—0, ..., хп (t)~-0 при | /—^01 < б и, значит,
а-"'+1@-0 xn{t)--0 при \t—tQ\<ti (напомним, что
по условию xm+1 (t0) ----- 0, .... хп {Q = 0).

268 ТЕОРЕМА ФРЕЙДЕНТАЛЯ
Если теперь t0 € С, т. е. а0 ? Ж, то уравнения хт+1=0,...
..., я" = О будут задавать в 0 некоторую окрестность
УсИ[\Ж точки а0 в Ж. Следовательно, при \t—to\<8
будет иметь место включение u{t)$Vc:,9?. Поэтому t?C.
Это означает, что точка t0 является внутренней точкой мно-
множества С, т. е.— в силу произвольности точки t0,— что
множество С открыто.
Пусть to?C. Тогда to — limtk, где tk?C. В частности,
существует такое k0, что |^о—/0|<б. Тогда
В силу согласованности карты (?/, х1, .... хп) с подгруп-
подгруппой Ж это означает, что уравнения Jtm+1 = O, ..., хп = 0
определяют некоторую окрестность точки и(tk) в и(tkjЖ.
Но поскольку иуко)?Ж, смежный класс иAк)Ж совпа-
совпадает с Ж. Следовательно, все точки из U, для которых
jfm+i — O, ., ,f xn = 0, принадлежат Ж. В частности, ао?Ж
и, значит, to?C. Этим доказано, что CczC, т. е. что мно-
множество С замкнуто.
Являясь непустым замкнутым и одновременно открытым
подмножество интервала /, множество С совпадает со всем /.
Следовательно, u(t)?9C для любого t?l. Q
Теперь мы уже можем доказать предложение 2.
Доказательство предложения 2. Нам надо
доказать, что Ж — ЭС. Мы докажем сначала включение
ЖсХ, а затем включение УСсЖ.
Включение ЖсЖ. Пусть а$Ж. По условию в %
существует гладкая кривая и: I —* ?, соединяющая е с а
и целиком лежащая в Ж. Пусть для определенности / =
= [0, 1]. Для любого /?/ кривая
проходит при s = 0 через точку е и целиком лежит в Ж.
Следовательно, по определению, v @) ? f), или, точнее, —
поскольку мы сейчас трактуем | как множество левоинва-
риантных векторных полей,— Ь @) б Ъе — TeVC.
С другой стороны, легко видеть (см. формулу C) лек-
лекции 14), что
Следовательно, и(t)€(dLU(t))eTeW =.§„#), т. е. кривая и
удовлетворяет условию E) леммы 6. Следовательно, со-

ТЕОРВМА АДО И ТРЕТЬЯ ТЕОРЕМА ЛИ 269
гласно этой лемме ы@€3? Для Bce* t?l. В частности,
w(l)€3?i т. е. д^ЭТ Значит, ЖсЖ.
Включение ЧКаЖ. Выбрав в t| базис Аи ...,Ап
(мы теперь трактуем I) как подпространство в T,S), рас-
рассмотрим в $ соответствующие кривые ult ..., ит (т. е.
такие кривые, целиком лежащие в Ж, что «,• @) =* е и и', @)==
= Л/, 1=Л, ..., /л). Поскольку ЖсЭС, мы можем рас-
рассматривать эти кривые как кривые в группе Ли X. (Конт-
(Контрольный вопрос: Почему кривые ut um, рас-
рассматриваемые как кривые в X, будут гладки?) Пусть ср —
отображение D), построенное с помощью кривых «,, ..., ит
(т. е. по формуле
Ф (Л) =»их (а1)-. •««(*").
где А=а'А1—вектор из \ достаточно близкий к 0). Со-
Согласно лемме 5 на некоторой окрестности Ua точки 0 € Ь
это отображение является диффеоморфизмом на окрестность
U --=ср?/0 точки е в f. При этом, так как группа Ли ЗГ,
но построению, связна, то она порождается окрестностью U
(см. задачу 12 лекции 14). С другой стороны, так как все
кривые ии ..., ит лежат в Ж, то и = ц>иосЖ. Значит,
ТсЖ. ?
В заключение этой лекции мы вкратце обсудим два
вопроса, естественно возникающих в связи с соответствием
F) группа Ли =ф ее алгебра Ли.
Любая ли (конечномерная) алгебра Ли я над полем R изо-
изоморфна алгебре Ли некоторой группы Ли #? Как связаны
между собой группы Ли, алгебры Ли которых изоморфны?
Если алгебра g является матричной алгеброй Ли (под-
(подалгеброй алгебры д1(я; R)), то существование группы Ли Ъ
обеспечивается теоремой 1 лекции 14 (и эта группа будет
подгруппой матричной группы GL(/i; Щ). С другой сто-
стороны, в теории алгебр Ли доказывается теорема Ад о,
согласно которой любая конечномерная алгебра Ли изо-
изоморфна некоторой матричной алгебре Ли (имеет, как гово-
говорят, точное матричное представление). Поэтому ответ на
первый вопрос утвердителен—для произвольной конечно-
конечномерной алгебры Ли с; существует группа Ли Ъ, алгебра
Ли V& которой изоморфна алгебре %. (Этот факт впервые
был доказан Картаном, но по традиции обычно называется
третьей теоремой Л и.) Однако теорема Адо доказы-

270 ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫ!; ГРУППЫ ЛИ
вается весьма сложно, и все остальные подходы к дока-
доказательству существования группы $—их пока известно
еще только два—если и проще, то незначительно. Вместе
с тем хотя теорема Ли безусловно играет в теории групп
Ли основополагающую роль, но в приложениях ее зна-
значение ограничено тем, что па практике алгебры Ли воз-
возникают обычно вместе с соответствующими группами Ли,
беспокоиться о существовании которых поэтому не при-
приходится. Например, в этом семестре теорема Ли нам ни
разу не понадобится. Поэтому заниматься ею мы здесь не
будем.
Ответ на второй вопрос существенно проще. Однако он
нам тоже пока не понадобится и поэтому мы изложим его,
опуская почти все доказательства.
Поскольку алгебры Ли группы Ли $ и ее компоненты
единицы $е совпадают, мы без ограничения общности можем
считать все рассматриваемые группы Ли связными.
Определение I. Две группы Ли # и ;К называются
локально изоморфными, если существуют такие окрестности
единицы Ua.1t и УаЖ и такой диффеоморфизм ср: U -V,
что для любых элементов a, b?U, удовлетворяющих соот-
соотношению ab^U, элемент ф(«)фF) принадлежит Vn имеет
место равенство
Ясно, что алгебры Ли локально изоморфных групп Ли
изоморфны (изоморфизм осуществляется отображен ием (Лр)е).
Оказывается, что и обратно, группы Ли локально изо-
изоморфны, если изоморфны их алгебры Ли.
[Это является Точным выражением сделанного в заме-
замечании 1 лекции 14 утверждения о полной восстанавливае-
восстанавливаемости умножения в окрестности единицы группы Ли по
операции [ , ] в ее алгебре Ли. По указанной там при-
причине мы его здесь не доказываем.]
Таким образом, алгебры Ли. двух групп Ли тогда и
только тогда одинаковы. (----- изоморфны), когда эти группы
локально изоморфны.
Конечно, это еще не ответ на наш вопрос, а лишь его
редукция к вопросу о том, когда группы Ли локально изо-
изоморфны.
Может случиться, что предусмотренный определением 1
диффеоморфизм ф является ограничением на V некоторого

ЛОКАЛЬНО ИЗОМОРФНЫЕ ГРУППЫ ЛИ 271
гомоморфизма % — ¦ Ж (который мы будем обозначать той
же буквой ф).
Задача 8. Докажите, что в этом случае гомомор-
гомоморфизм ф является накрытием в смысле определения 1 лек-
лекции 2. (Напомним, что группы $ и Ж предполагаются
связными.)
Гомбморфизмы <!¦: '5~+Ж, являющиеся одновременно
накрытиями, называются групповыми накрытиями. Ясно,
что если окрестность U единицы группы # равно накры-
накрывает окрестность V единицы группы Ж, то ограничение
накрытия ф на U будет дш|х|кюморфнзмом U -*• V, обладаю-
обладающим указанными в определении 1 свойствами. Таким обра-
образом, для любого группового накрытия <р: # —»Ж группы
Ъ и Ж локально изоморфны.
Задача 9. Докажите, что гомоморфизм <р: $—* Ж топологи-
топологических групп тогда и только тогда является накрытием, когда его
ядро К дискретно.
Задача 10. Докажите, что каждая дискретная инвариантная
подгруппа К топологической группы g принадлежит центру этой группы
(и, следовательно, абелева). [Указание. Пусть а?<§ и пусть U
и V — такие окрестности единицы группы %, что(/Г|К={е}и VaV~lcU.
Тогда V порождает # (задача 12 лекции 14), и вместе с тем, если
а?К, то VaV~1(Z Uf]K — {e}, и, значит, любой элемент из V пере-
перестановочен с о.]
Таким образом, для любого группового накрытия <р:
3 —* Ж группа Ж изоморфна факторгруппе группы % по
абелевой инвариантной подгруппе центра.
Оказывается, что
А. Для любой связной группы Ли $ суирствует груп-
групповое накрытие ф: % —* # с односвязной группой 3,
Б. Если связные группы Ли $ и Ж локально изоморфны
и группа ? односвязна, то существует групповое накры-
накрытие ? ~> Ж, являющееся распространением диффеоморфиз-
диффеоморфизма ф из определения 1.
Задача 11. Докажите, что с точностью до изомор-
изоморфизма группа § из утверждения А единственна.
Эта группа называется универсально накрывающей груп-
группой группы Ли %. Она локально изоморфна группе Ъ.
Поэтому связные группы Ли Ъ и Ж, имеющие изоморфные
универсально накрывающие группы, локально изоморфны.
Обратно, если группы % и Ж локально изоморфны, то
группа Ж локально изоморфна универсально накрывающей
группе 3 и, значит, согласно утверждению Б существует

272
СУЩЕСТВОВАНИЕ ГРУППОВОГО НАКРЫТИЯ
групповое накрытие Ъ—*Ж, т. е. Ъ универсально накры-
накрывает и группу SK.
Таким образом, связные группы Ли тогда и только
тогда локально изоморфны, когда изоморфны их универ-
универсально накрывающие группы.
Резюмируя, мы видим, что справедлива следующая
теорема:
Теорема 3. Соответствие F) между (рассматривае-
(рассматриваемыми с точностью до изоморфизма) связными и односвяз-
ными группами Ли и конечномерными вещественными ал-
алгебрами Ли биективно.
Две связные группы Ли тогда и только тогда имеют
изоморфные алгебры Ли, когда их универсально накрываю-
накрывающие группы изоморфны.
Из утверждений, на которые опирается эта теорема, мы
докажем здесь лишь утверждение А, как самое простое.
(Доказательство утверждения Б, хотя по идее и просто, но
аккуратное его проведение требует слишком много хлопот.)
Утверждение, что отображение <р: $ —»- # является гомо-
гомоморфизмом,, равносильно утверждению о коммутативности
диаграммы
¦*¦ ь
G)
<Рх<?
ч
горизонтальные стрелки которой представляют собой
умножения в группах Ъ и # соответственно. С дру-
другой стороны, коммутативность диаграммы G), по определе-
определению, означает, что умножение т является поднятием на S
отображения
(8) то(фХф): §xS-*S
(изображенного на диаграмме G) пунктирной стрелкой).
Таким образом, для любого группового накрытия <р: Ъ —<¦ Ъ
умноокение т является поднятием отображения (8). Это
поднятие удовлетворяет соотношению т (е, е) -= е, где е —
единица группы ?, которое его однозначно характеризует.

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГРУППОВОГО НАКРЫТИЯ 273
Аналогично показывается, что отображение v: a*-*a~x
группы § на себя является удовлетворяющим соотношению-
\{ё)~-е поднятием отображения
(9) v о <р: § -* 3,
где v: а •—¦•а, а^.
Обратно, пусть для некоторого (не группового) гладкого*
накрытия ф: ? —> $ группы Ли $ существуют поднятия т.
и v отображений (8) и (9), удовлетворяющие соотношениям;
т(ё, е) — е и \(е) = е, где е—некоторая точка из ф~х(е)..
Задача 12. Докажите, что отображения т и v" гладки.
Рассмотрим отображения
определенные соответственно формулами
f(flu at, aj^mimfa, a2), ~а„),
g(au о,, а3) = т(аи т(аг, а,)).
Оба отображения f и g являются, очевидно, поднятиям»
одного и того же отображения
3x§x3^S, (аи о,, a,)»-»'fl1eifl,,
где а, = ф(а<), 1=1, 2, 3, с одним и тем же начальным?
условием (е, е, е)>—*е. Поэтому в силу свойства единст-
пснности поднятий (см. теорему 1 лекции 4) эти отображе-
отображения совпадают. Таким образом, умножение т ассоциативно.
Аналогично доказывается, что по отношению к умно-
умножению т отображение v является отображением обращения.
Следовательно, относительно этого умножения многообра-
многообразие § является группой Ли (с единицей е), а накрытие-
<р: §—->•#—групповым накрытием.
С другой стороны, мы знаем (см. ту же теорему 1 лек-
лекции 4), что для существования поднятий /пи v необходима.
и достаточно, чтобы имели место включения
A0) (т о (Ф х ф)). (ях (» х 8)) с «р. (лх1),
A1) ^оф).(Я»
где Я!(8х$) = Я1(Зх8, (в, в)) и

274 СУЩЕСТВОВАНИЕ ГРУППОВОГО НАКРЫТИЯ
Пользуясь этим, мы'теперь можем доказать следующее
основное предложение:
Предложение 3. Пусть <р: $ » Ъ—произвольное глад-
гладкое накрытие связной группы Ли f/ с единицей е и пусть
с€'ф~1(е)- Тогда в § существует единственное умножение
с единицей е, по отношению к которому 5 является груп-
группой Ли, а отображение <р—групповым накрытием.
Доказательство. Согласно сказанному, для дока-
доказательства предложения 3 достаточно доказать включения
A0) и A1).
Задача 13. Проверьте, что для любых двух петель
и, v: /¦¦¦-'§ в точке е. формула
A2) F(t, Т)=: =
( "(i^(l —Н-2то)о(/A—2т)),еслиО<*, т< 1/2,
если 0<т^1/2<*<:1,
г|)" ' /о / 9тП t\\S\ ргчш 1 /9 «¦'' f г <" 1
корректно определяет гомотоиию в , связывающую петлю
A3) t*->u(t)v(l), t?l,
с петлей uv: I"-*¦$, определенной формулой
\ uBt), если 0^*<1/2,
т^--\ vBt-\), если 1/2<*<1.
Задача 14. Формула A2) получена на основе простой элемен-
элементарно геометрической конструкции. Найдите эту конструкцию.
При v~--xou (т. е. при v(t)--.u~l(t)) петля A3) яв-
является постоянной петлей. Поэтому в этом случае [м]-[о] = 1
в группе я^. Поскольку же [и] =- v«[m], это доказывает,
что гомоморфизм
является отображением обращения аь-э-а.'1 в группе п^.
В частности, отсюда следует, что гомоморфизм v» пере-
переводит любую подгруппу группы л^ в себя. Примени-

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГРУППОВОГО НАКРЫТИЯ 275
телыю к подгруппе фЛ"^) это—в силу равенства (vocp)#=
;= v, о ф,—немедленно дает включение A1).
Любая петля w: I-+$x'$ в группе #х? задается фор-
формулой
w(t)~(u(t),v{t)), /ел
где и: I — %, v. I --¦.- $—некоторые петли в группе Ъ.
Задача 15. Покажите, что формула
дМ-=([, М)
корректно определяет изоморфизм
А:
(Впрочем, нам нужно лишь утверждение о корректности
определения гомоморфизма Д.)
Из утверждения задачи 13 следует, что имеет место
коммутативная диаграмма
„ II
п$ X п$ •- п$,
где ц—умножение в группе nfl. Поэтому
{т о (фхф)). =^т,о(фхф),- ц о А о (фхф).. '
С другой стороны, если [w: /.-->¦ ?х^—петля, в %уЛ »
w(t) — u (t) v (t), {где и, у:"У —* f—петли" ^в _ S, то
((Ф X ср) о w) (/) = ((ф о «) (О, (Ф о у) @), / € Л-
и, значит,
(А о (ф х ф).) N = (ф, [и], ф, [v]).
Так как Ф« является гомоморфизмом, отсюда следует, что-
(т о (ф х ф)). М --- Ф. ([«]) • ф, ([v]) = Ф ([и] • [о]) € ф, (л,3).
Этим доказано и включение A0). G
Применив предложение 3 к универсальному накрытию»
ф: S--+S (существующему в силу общей теоремы 1 лек-
лекции 5), мы и получим утверждение А.
Замечание 1. Коммутативность диаграммы A4)>
означает, что умножение в группе п$ индуцировано умно-
умножением в группе "&.

Лекция 16
Связности на расслоении реперов.— Сравнение со связно-
стями на векторных расслоениях.— Явное построение
связности на векторном расслоении.—Гладкие главные
расслоения.— Фундаментальные вертикальные поля. —
Горизонтальные формы.— Векторнозначные дифференци-
дифференциальные формы
Напомним (см. пример 3 лекции 6), что каждое вектор-
векторное расслоение % = (<§, п, S3) ассоциировано с главным
расслоением реперов % — (8, я, S3), тотальное пространство 8
которого состоит из реперов (базисов) вида
О) P = (pi Рп),
где ри ..., рп—линейно независимые (и, следовательно,
«оставляющие базис) векторы некоторого слоя ?ь рас-
расслоения I. При этом л(р) = ?>.
Если расслоение ?=;(<?, л, S3) гладко, то в 8 опреде-
определены карты вида (8 и, А), где 0—тривиализирующая коор-
координатная окрестность в $J, a А—отображение множества
8 и = л~ги в |Rni+/B = Matn (R) x Rm, определенное формулой
Здесь A: U—*Rm—координатное отображение окрест-
окрестности U, а С—матрица, столбцы которой состоят из коор-
координат векторов ри ..., рп в тривиализирующем базисе
s (Ь) — ^ (Ь), ..., sn (b)) слоя Wь. (Пространство квадратных
матриц порядка п отождествляется здесь с простран-
пространством R"\)
В карте (8t/i А) локальными координатами точки р&
с{, k 1 / ^ \^k^
р (t/ р р
являются числа с{, xk, 1 <л, / ^.п, \^.k^.m, где хк —
локальные координаты точки Ь = я(р) в карте (U, К)
многообразия S), а с{—элементы матрицы С, т. е. такие
числа, что
Pi = ^Sj{b)
для любого t —1, ..., п. (Заметим, что матрица С невы-
невырождена.)
Таким образом, координаты точки р составляют пару
(С, х), где С—матрица \сЦ, а х—строка (х1, ..., хт).
Ясно, что все карты вида (8и, А) согласованы и, сле-
следовательно, определяют на 8 структуру (п2 + т)-мерного

СВЯЗНОСТИ НА РАССЛОЕНИИ РЕПЕРОВ 277
гладкого многообразия. При этом точку р ? 8 с координа-
координатами (С, х) отображение л переводит в точку b?$
с координатами х, и, значит, является субмерсией. Это
означает, что для гладкого векторного расслоения 5 =
— (<?, я, S) расслоение реперов % ==(8, л, $}) также
гладко.
В частности, мы видим, что для любой точки Ь^ЗЗ
слой еТ| = я~1(Ь) расслоения \ представляет собой вложен-
вложенное подмногообразие, и все сказанное в лекции 10 о вер-
вертикальных и горизонтальных подпространствах автомати-
автоматически применимо к расслоению §.
Задача 1. Покажите, что для любого поля
C) н. р*-*нр, ре8,
горизонтальных подпространств на расслоении % в каждой
карте (8 у, А) существуют такие однозначно определенные
формы
D) ^^dcj + i^dx", l<t, /<n,
где \fljk—некоторые функции на координатной окрест-
окрестности 8 у {гладкие, если гладко поле Н), что для любой
точки р€&и подпространство Н» является аннулятором
ковекторов {Щ)р. [Указание. Ср, предложение 3 лек-
лекции 10.]
Локальные координаты (С, х) карты (8у, Л) опреде-
определяют в каждом касательном пространстве Тр8,/*(¦¦ 8у,
базис
с} )р
дх*
Поэтому любой вектор из Тр8 единственным образом
представляется в виде
) +u*(in;)' где *J.«*€R.
Мы будем отождествлять этот вектор с парой (А, и),
где А—матрица |aj|, а и—строка (и1, .... ит). Вектор
(А, и) вертикален тогда и только тогда, когда и = 0.
Ясно, что значения форм D) на векторе (А, и) состав-
составляют матрицу
А + u*Fk,

278 СВЯЗНОСТИ НА РАССЛОЕНИИ РЕПЕРОВ
где F,. =¦¦ Fk(С, х)—матрицы Iffab k—\, ...,m. Поэтому
(Л, и)?Нр тогда и только тогда, когда
E) . А + u"Fk«0.
В частности, отсюда следует, что
F) (Л, u)v - (А + u*Fk, 0), (А, и)" - (- u*Fkt и)
для любого вектора (Л, й) из ТР8.
Каждый слой еГ!0, Ь9?33, расслоения | является орби-
орбитой правого действия
(р, В)*-
группы GL(/r, R) на пространстве 8, определенного фор-
формулой
/^ = <7, <7=(<Ь, •¦•. ?п).
где
qt=Pjb{, t=l, ..., n,
при p~(pi, ..., р„) и 5==||й{|. В координатах это дейст-
действие записывается формулой
G) (С, х)|-*(СЯ, х)
и, следовательно, является гладким действием. В частности,
для любого элемента B?GL(n; R) отображение
/?я: 8-8, р>-*рВ, /768,
многообразия 8 в себя является диффеоморфизмом.
Так как диффеоморфизм RB переводит каждый слой <Г1„
в себя, то его дифференциал
(dRs)p: Тр& -ч. Т„Л8
в каждой точке р € <?*^0 переводит вертикальное подпрост-
подпространство ТроГ}, в вертнкальрюе подпространство Трв^Х-
Поэтому для "любого поля И горизонтальных подпрост-
подпространств, любой точки />б 8 и любого элемента B?GL(n; R)
отображение (dRR)p переводит горизонтальное подпрост-
подпространство Ир в подпространство (dRB)p/tpt дополнительное
к подпространству ТрлгТ|0. Если
(8) №я)рНр^НрВ,
то поле Н горизонтальных подпространств называется
эквивапианпгным.

СРАВНЕНИЕ СО СВЯЗНОСТЯМИ 279
Определение 1. Связностью на главном расслоении
?- (S, я, 3d) называется произвольное гладкое и эквива-
рнантное поле Н горизонтальных подпространств.
Заметим, что в отличие от связности на векторном
расслоении % связность на главном расслоении | опреде-
определяется без обращения к тризпализирующим координатным
окрестностям.
Предложение 1. Связности N на главном расслое-
расслоении | находятся в естественном биективном соответ-
соответствии со связностями Н на ассоциированном векторном
расслоении I - %[к"\.
Доказательство, Согласно формуле G), если
точка р координатной окрестности &и имеет координаты
(С, х), то точка q=-RBp имеет координаты (СВ, х).
Задача 2. Выведите отсюда, что линейное отобра-
отображение (dRj^p действует по формуле
-(<Н?я)р(Л, и)---(ЛВ, и), (А, »)€Т„8.
В силу формулы E) отсюда следует, что если поле Н
является на &и аннулятором форм D), то подпространство
(dRR)pHp состоит из векторов вида (АВ, и), где а — произ-
произвольный вектор из R., а
А - — F,{C, x)и".
С другой стороны, так как точка q~Rnp имеет коор-
координаты (СВ, х), то согласно той же формуле E) подпрост-
подпространство Hq состоит из векторов вида (—Fk(CB, x)uk, и).
Следовательно, поле Н горизонтальных подпространств
тогда и только тогда эквивариаптно (является связностью),
когда для любых элементов В, С группы GL (п.; R) и
любых векторов х, tt?Rm имеет место равенство
— Fk (С, х) Buk ~* — Fu (СВ, х) и".
В силу произвольности вектора и последнее равенство
имеет место тогда и только тогда, когда
(9) Fl!(C,x)B:.F,,(CB,x)
для любого k — 1, ..., т.
Полагая здесь С - • Е и обозначая матрицу В через С, мы
немедленно получим, что
(Ю) Fk(C,x):=?uC, ft:=l, .... m,

280 СРАВНЕНИЕ СО СВЯЗНОСТЯМИ
где Tk = Tk(x)—матрица Fh(E, x), т. е. что
/}*=iV?. ¦ Ш.1НГ*.
Поскольку матрицы вида A0) удовлетворяют—при любых
матрицах Tk—соотношениям (9), мы получаем, следова-
следовательно, что поле Н тогда и только тогда является связ-
связностью на 1, когда на каждой координатной окрест-
окрестности 8 ц оно представляет собой аннулятор форм вида
A1) Q^dc^Ti^jdx",
где Г|5— некоторые гладкие функции на окрестности U.
Задача 3. Покажите, что функции Г{* удовлетворяют
соотношениям A7) лекции 10 и, значит, являются коэф-
коэффициентами некоторой связности Н на векторном рас-
расслоении 1.
Таким образом, по данной связности Н на \ мы пост-
построили связность Н на ?. Обратно, если Н—произвольная
связность на I, то по ее коэффициентам Г?/ мы можем на
каждой координатной окрестности &и построить формы A1)
и, значит, некоторую связность Нц.
- Задача 4. Покажите, что связности Ни согласованы
на пересечениях 8{/П8у. и, значит, определяют связ-
связность Н на всем 8.
Это, очевидно, доказывает предложение 1. ?
По ходу дела мы также доказали, что на каждой коор-
координатной окрестности &и связности на § задаются фор-
формами вида A1). Можно, конечно, вместо этих форм исполь-
использовать линейно эквивалентные формам A1) формы
A2) Щш.Ц (Щ + 'с\ Vlkcj dx\ i, j - 1 я,
где 'с\ —элементы матрицы С, обратной к матрице С =
= !]cj|j. (Поскольку формы A1) нам больше не нужны, мы,
чтобы не вводить новых обозначений, обозначаем формы A2)
теми же символами Qj, что и формы A1).) Матрицу 8=||6j||,
состоящую из форм A2), можно условно записать в виде
A2') . 0 = С-МС + С-1о)С,
где dC—матрица |cfcj||, а со—матрица j|ci)j|| = ||rjydx*||. Над
любой другой координатной тривиализирующей окрест-
окрестностью 0' связность будет задаваться формами в'/,, состав-
составляющими матрицу

ЯВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СВЯЗНОСТИ 281
При этом, если Ф = Фра—соответствующее отображение
перехода, то на Ur\U' будет иметь место равенство
со =; ф ™" ^соф -f- ф dw
(см. формулу A7") лекции 10), а также равенство
(докажите!). Поэтому на Uf]U'
С
-1dC + C-1®C
-- 9
(как известно, dy~l =—(p~1d(p<p~1). Значит, формы A2)
согласованы на пересечениях и, следовательно, составляют
глобальные формы 9|, определенные на всем многообра-
многообразии 8. Таким образом, мы видим, что любая связность
на | является аннулятором форм 9J, l^t, j^n, опре-
определенных на всем многообразии 8 (и в каждой карте (8 у* Л)
имеющих вид A2)). Это выгодно отличает связности на 4
от связностей на |, для которых аналогичные формы 9',
1 < i ^ п, определены лишь локально.
Изложенное выше доказательство предложения 1 обла-
обладает тем недостатком, что в нем не дается прямой геомет-
геометрической конструкции связности Я по связности Н. Это
можно исправить (и тем самым фактически получить еще
одно доказательство предложения 1).
Так как компоненты р1г ..., рп произвольной точки
Р ~ {Ри ¦ • • 1 Рп) пространства 8 принадлежат, по опре-
определению, одному слою Wb расслоения I, то для любого
вектора у = («/', ..., у") 6 К" определена точка Р/у'б^ь-
Следовательно, формула
/> = (/>1» ••-, Рп)' У = (У1 У").
определяет—очевидно, гладкое,— отображение
Пусть
— дифференциал этого отображения в точке р б 8.

282 ЯВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СВЯЗНОСТИ
Предложение 2. Для произвольной связности И на \
формула
A3) Hp-(d[,)pHp, pr-fAP),
корректно определяет некоторую связность Н на %.
Доказательство. В первую очередь надо прове-
проверить корректность формулы A3), т. е. что ее правая часть
зависит только от точки р. Для этого нам надо доказать,
что если
(И) . Ы/»)-М<7), У, ze^n, P, tf€S,
то
Равенство A4) возможно, конечно, лишь тогда, когда/;
и q принадлежат одному слою расслоения § и, значит,
в группе GL(/z; И) существует такой элемент В Щ\, что
q-~--pB, т. е. </;= Р/Ц. Но тогда
/"* (<7) =-¦ ЧР1 = Р/Ф1, z --¦¦ (г\ ..., г"),
и потому равенство A3) означает—напомним, что векторы
ри ..., р„ линеала t~b, по условию, линейно незави-
независимы—, что t/ --- b{z', т. е. что у ~Bz (где у и z рассмат-
рассматриваются как столбцы). Следовательно, мы можем записать
равенство A4) в следующем виде:
hz (Р) = (/.о R л) (р).
Здесь важно отметить, что для любых В и z это равенство
имеет место тождественно по р. Поэтому для [дан-
[данного р
A5) (df.)p~(df,.,)p~№9°(dRB)p, q-pB,y^Bz,
и, значит, как и утверждалось,
(dfy)pffP - (dM, {{dRB)pHp) - {df,)qHqt
так как в силу эквивариантности {dR^)pHp- Нрв~ Нч.
Задача 5. Р1апомним, что вектор
пространства Tpg мы условились обозначать через (А, и), [где
— II-J II и и=г:(Ц1( _ >>> ипу Аналогично вектор
да<;Р; \с

ЯВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СВЯЗНОСТИ 283
пространства Тр$ мы будем обозначать через (с, а), где с — (с1 с")
л и--(и1, .... и"). Покажите, что в этих обозначениях дифференциал
отображения fy действует по формуле
(dfy)p(A, в) = Dу, И),
где у к Ау рассматриваются как столбцы. Выведите отсюда фор-
формулу A4).
Таким образом, для каждой связности Н на \ фор-
формула A3) корректно определяет на | поле подпространств Нр.
Задача 6. Покажите, что это поле гладко.
Ясно, что яо/^, = я, т. е. диаграмма
Л
-
коммутативна (отображение fy является морфизмом рас-
расслоений). Поэтому для любых точек р ? 8 и у <Е R" комму-
коммутативна и диаграмма дифференциалов
Задача 7. Выведите отсюда, что'поле // является полем гори-
горизонтальных подпространств.
Таким образом, для завершения доказательства предло-
предложения 2 нам надо лишь доказать, что поле Н задается
формами, линейно зависящими от координат по слою. Для
этого мы вычислим его в координатах (что, в частности,
немедленно даст нам решение задач 6 и 7).
Пусть, как всегда, U—тривиялизирующая координат-
координатная окрестность в многообразии .#.
Не ограничивая общности, мы можем считать, что для
точек р?4>и подпространство Нр задается формулой

284 ЯВНОЕ ПОСТРОЕНИЕ СВЯЗНОСТИ
где Po = s(b), b = n(p) (и, значит, &—столбец координат
точки р в базисе Si(b), ...., sn(b) слоя ?ь). Так как (dn)Pll
на ffp, является изоморфизмом на Т,Д?, то подпрост-
подпространство Нр„ обладает базисом вида
A6) (Alt <?,), .... (Ат, ет)
и, следовательно, подпространство Нр—базисом
(АгС, вг), .... (Атс, ет),
где
— некоторые квадратные матрицы порядка п, гладко зави-
зависящие от точки b?U.
Рассмотрим на <?и—очевидно, гладкие—дифференци-
гладкие—дифференциальные формы
6' = da1—aijo/ dxk, 1 < /;< п.
Так как в любой точке р€$и ковекторы [{da')p\ и
aija/idxR)p принимают на векторах
пространства Нр одно и то же значение а{^, то все
ковекторы Q'p, p€&u> равны нулю на Ир, и, значит,
Нр с Ann (бр, ..., 6J). Поскольку же эти ковекторы, оче-
очевидно, линейно независимы, a dim.Hp — m, то здесь имеет
место не включение, а равенство. Таким образом,
tf = Ann(91, .... в») на ?ц
и, значит, поле Н: ру-+Нр действительно является связ-
связностью (с коэффициентами Г?7 = — 4/)-'П
Поскольку векторы A6) составляют базис подпрост-
подпространства ///>„, то (см. задачу 2) для любого элемента
B?GL(n; R) векторы
(АгВ, ед, .... (AJB, ет)
будут составлять базис подпространства Нр, р—р0А.
Задача 8. Выведите отсюда, что подпространство Нр
является аннулятором в точке р форм
Это, очевидно, доказывает, что построенное в предложе-
предложении 2 соответствие Н=$>Н совпадает с соответствием из

ГЛАДКИЕ ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 28&
предложения 1 (и тем самым дает новое доказательства
предложения 1).
Согласно предложению 1 связности на ? можно отож-
отождествлять со связностями на |.
Это не только дает новое (и инвариантное!) определение
связностей на векторных расслоениях, но и открывает
возможность немедленных широких обобщений.
Пусть группа Ли Ъ гладко действует справа на гладком,
многообразии 8:
A7) 8х»-*-8.
Предположим, что
а) пространство $) = &/$ является гладким многооб-
многообразием;
б) отображение
A8) jr:g->^, р>-*рЪ,
гладко;
в) для некоторого открытого покрытия {(/„} простран-
пространства fB существуют эквивариантные (и, значит, послой-
послойные) диффеоморфизмы
(удовлетворяющие соотношению фа(Ь, a)g = <pa(b, ag) для1
любых точек b?Ua и a, g€."$).
Задача 9. Докажите, что гладкое действие A7) тогда и только-
тогда является главным действием в смысле определения 2 лекции 1,
когда оно обладает свойствами а, б и в. (Основную трудность здесь-
представляет, .конечно, доказательство свойства локальной тривиаль-
тривиальности в.)
Не имея в виду явно пользоваться этим утверждением,,
мы не мудрствуя лукаво будем в дальнейшем называть-
гладкое действие A7), обладающее свойствами а, б и в,
главным. В соответствии с этим тройку (8, я, S3), где
л—отображение A8), мы будем называть гладким глав-
главным %• расслоением. [Таким образом, согласно этому опре-
определению каждое гладкое главное расслоение локально три-
тривиально.]
Задача 10. Покажите, что для любого гладкого
главного расслоения % отображение сдвига
х: 8*-*3
(см. лекцию 1, стр. 19) является гладким отображением

•286 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ
Задача 11. Покажите, что рассмотренное выше расслоение
реперов является гладким главным GL (л; корасслоением.
Так как в силу условия в отображение я: 8—>-.3
является субмерсисй, то каждое гладкое главное расслое-
расслоение | —(8, я, 53) является гладким расслоением в смысле
лекции 10 и потому для него мы можем говорить о вер-
вертикальных векторах и гладких полях горизонтальных
подпространств.
Займемся сначала вертикальными векторами.
Векторное поле X на 8, состоящее из вертикальных
векторов, т. е. такое, что для любой точки р?8 вектор
Хр вертикален, мы будем называть вертикальным полем.
Для каждой точки р?8 отображение
Lp: Ъ—*8, а*-+ра, а?%,
является, очевидно, диффеоморфизмом группы & на слой
p& — !ft, Ь — л(р) расслоения %, переводящим единицу е
группы 3 в точку р. Поэтому для любого вектора Л?$
формула
<19) A*p--{dLp),A, р?8,
•определяет на 8 некоторое вертикальное векторное поле
А*: р*-+А*.
Задача 12. Покажите, что поле Л# гладко.
Поле Л* называется фундаментальным вертикальным
полем, отвечающим вектору Л^Й-
Так как отображение Lp является диффеоморфизмом,
то при АфО все векторы A lf отличны от нуля:
Ар фО в каждой точке
В частности, мы видим, что—очевидно, линейное—отобра-
линейное—отображение
B0) • ¦ #: Л--+А*
представляет собой мономорфизм линеала д — Т,2? в линеал
л& всех векторных полей на многообразии 8.
Задача 13. Покажите, что для любого вертикаль-
вертикального вектора В?ТР<1& существует единственный элемент
А ? д, обладающий тем свойством, что
А*^В.
р*

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ ПОЛЯ 287
Задача 14. Пусть ? = (g, я, 93) — расслоение реперов век-
векторного расслоения |. Так как касательные векторы в точке е к группе
•$ GL (n; R) естественным образом отождествляются с квадратными
матрицами порядка п, то каждая матрица j4?Mat,,R определяет на
пространстве g вертикальное векторное поле А*. Покажите, что
и каждой карте (gy, А) это поле задается формулой
А* -*. (АС, 0),
где (С, х) — координаты точки р.
Легко видеть, что Оля каждой точки ро?& кривая
Р: t i~»p0 exp M =¦* /?ехр tA Po,
- - оо < t < -|- сю, является интегрильнои кривой поля А #,
проходящей при t - 0 через точку р9. Действительно, пусть
/,,С К. Так как
Р (/) - />0 ехр ^„Л exp (t — tu) A ¦¦¦¦.
=-LP(W (ехр (/
и так как касательным вектором к кривой /1—*¦ схр (^ — @)А
в точке <„ является вектор А, то
Поскольку |/1#, XJ -?л#Х (см. формулу A8) лекции
II 1.17), отсюда следует, что
B1) ¦ 171*, X] = -Нт ***
10
1ч-0 1
для каждого векторного поля X gag. [Напомним — см.
лекцию 111.17,—что символом Ф*Х, где X—векторное
поле на гладком многообразии &, а ф—произвольный
диффеоморфизм ?С ¦<¦ Ж, обозначается векгорное поле на .?*,
определенное (формулой (fp*X)p — (d(f>)~lX4,(P), p?&.]
Пусть, в частности, Х--- В*, где В?(ц. Тогда
Хр схр /Л =: : (dLp exp м)е -S
и потому
^ %) ~: (dR ) l K^Lp ехр м)в В =
С другой стороны, так как для любой точки

88 ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ
то
^ёхр tA°^-pexp tA = Lp О intexp <л,
и потому
== (dLp), о Ad (exp tA)
(напомним—см. лекцию 14,— что по определению Ada==
= d(mta)e) для любого элемента д?# и Ada = eidA при
д = ехрЛ; см. формулу A7) лекции 14).
Следовательно,
(ЯёхР ,ЛВ*)Р - В; = [(dLp)e о (е' ач -4 -id)] 5
а, значит (см. формулу B1) и формулу A5) лекции 14),
< ad Л—id
[А*, В*]р = {dLp).[im ±—t В =
,[A, B]=-.[A, В]*.
Этим доказано, что
B2) [Л*. В*] = [А, В]*
для любых векторов А, В?% т. е. что линейное отобра-
ясение B0) является гомоморфизмом алгебр Ли (мономорфно
вкладывающим алгебру Ли g в алгебру Ли а8).
Дифференциальную форму со степени г > 0 на много-
многообразии 8 мы будем называть горизонтальной, если для
любой точки р g 8 полилинейный функционал <ар на 1Р 8
обладает тем свойством, что
й)р(Лх, .... Л,Н0,
когда хотя бы один из векторов Аи ..., Аг вертикален.
Из утверждения задачи 13 непосредственно следует,
что дифференциальная форма со степени г > 0 на 8 тогда
и только горизонтальна, когда для любого элемента
Л?д форма Л#_нй степени г—1 (см. лекцию III. 18)
тождественно равна нулю:
B3) Л#_1со = 0.
В частности, линейная дифференциальная форма Э на
8 тогда и только тогда горизонтальна, когда для лю-
любого элемента Л €8 функция в(А#) на 8 тождественно
равна нулю:
B4) 0(Л*) = 0.

ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 289
Заметим, что для любой формы а на 3d форма л*а на
8 горизонтальна.
Задача 15 (продолжение задачи 14). Для расслоения реперов
1 = (8> я> SB) покажите, что линейная форма 8 на g тогда и только
тогда горизонтальна, когда в каждой карте (8 у. Л) она имеет вид
B5) Q = gkdx*,
где gi,, *=1, ..., т, — функции на gj/.
Это, в частности, показывает, что, вообще говоря, го-
горизонтальные формы на 8 не исчерпываются формами
вида л*а. (Форма B5) тогда и только тогда имеет вид
я*а, когда функции gk постоянны на слоях.)
Прежде чем переходить к полям горизонтальных под-
подпространств, нам надо предварительно несколько усовер-
усовершенствовать наш формализм.
Пусть SC—гладкое многообразие и "У3—линейное про-
пространство.
Определение 2. Предположим, что каждой точке
ptz.SC и любым векторам Alt ..., Аг?Тр& сопоставлен
вектор
B6) ap(Alt .... Л,)
линейного пространства "Р. Функция
ю: (jo, Аи .... Ат) *-+(up(Ai, .... Аг)
называется "Р-значной дифференциальной формой степени
г на многообразии &, если для любого линейного функ-
функционала I: "P-+R функция
B7) /о©: (р, Аи .... Ar)*-*l((o,(Alt ,.., А,))
является обыкновенной (R-значной) гладкой диффгрен-
циальной формой степени г на & (т. е. для каждой точки
р?& представляет собой гладко зависящий от р поли-
полилинейный функционал степени г на 1р!К).
Если в У° выбран базис еи ..., е„, то каждая такая
форма о определяет п обыкновенных форм
со1 — е1 о о, ..., о)" =5 еп о ©,
где е1, ..., е"—векторы сопряженного базиса простран-
пространства линейных функционалов "Р* (удовлетворяющие соот-
соотношению е1 (ej) — 6}). При этом разложение вектора B6)
10 М. М. Постников, сен. IV

290 ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
по векторам базиса еи ..., еп будет иметь вид
B8) о/,(Л1 Аг)^(л1р{А, Ar)eh
1 = 1, .... п.
В соответствии с общими обозначениями теории функ-
функций последнюю формулу надо было бы записывать в виде
B9) ю-ш'е,.
Однако обычно здесь используется специальный знак (g)
и вместо B9) пишут
C0) (о — а'^е;.
Основания к этому выясняются в следующей серии задач.
Задача 16. Покажите, что 9^-значные дифференциальные
формы степени г на & — это в точности сечения расслоения
Нот (ЛгТлм 0ем>), где 6,-,,,—тривиальное расслоение (З^У.'У3,
я, ЯГ).
Задача 17. Покажите, что для любых векторных расслоений
? и т] расслоение Нот (|, ц) естественно изоморфно расслоению
ё*®1)- [Указание. Учтите, что для любых линеалов <#" и ^
линеал Нот ($**, f?) естественно изоморфен линеалу #*** ® "У3-
Воспользуйтесь также утверждением задачи 14 лекции 12.]
В частности, Нот(Лгт*»., 6<^э\=Л/1т^>.B)т). (Напомним, что
(D)
Задача 18. Покажите, что каждое сечение расслоения
*сг ® Q<*/a единственным образом представляется в виде (й1®е,-,
где (У, 1<1<п,— сечения расслоения Лгтл. (дифференциальные
формы степени г на 2Е), а е/, 1<?<л,— сечения расслоения
Оеуэ, определенные формулой
где справа е-,, 1 < i<,п,— векторы данного базиса пространства SC-
[Указание. См. задачу 12 лекции 12.]
Таким образом, переход от формулы B9) к формуле C0) можно
интерпретировать как переход от сечений расслоения Нот(Лгтд., ^а/з)
к сечениям изоморфного расслоения Агх*а> ® Ъял•
Результат задачи 17 подсказывает возможность даль-
дальнейших обобщений. Именно, для любого векторного рас-
расслоения ч\ над ЗС мы можем ввести в рассмотрение сече-
сечения расслоения
Нот (Л'т^, х\) = Лгт# (g)t]
(дифференциальные формы со значениями в ц). [При г = 1
эти сечения у нас уже фактически встречались в лекции

ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 291
13—как значения оператора ковариантного дифференци-
дифференцирования V-]
Еще более общим образом мы можем для любых г ^ О,
s^O рассмотреть (см. пример 8 лекции 12) сечения
расслоения %\&®г\ (тензорные поля типа (г, s) со значе-
значениями в г\).
Задача 19. Покажите, что для любых векторных расслоений
? и ц над 2С имеют место естественные изоморфизмы
Нот (g, T,) = Hom(Tf, ?*), (|®г))« = л*® \*
Отсюда, в частности, следует, что D*2C)* — isxS? и
C1) т^®т) = Нот(т*#, t1) = Hom(ri*)
Поэтому тензорными полями типа (г, s) на SC со значениями в ц
можно считать сечения каждого из расслоений C1).
При желании формулу C0) можно, конечно, рассмат-
рассматривать как всего лишь графический вариант формулы B9)
и, следовательно,—подобно формуле B9)—как условную,
сокращенную запись соотношений B8). Имея в виду
именно эту интерпретацию, формы со1, ..., со" называют
обычно координатами ^-значной формы ю в базисе
еи ..., еп. При изменении базиса они подвергаются
тому же преобразованию, что и координаты векторов
из <?*.
Для любых векторных полей Хи ..., Хг на SC каж-
каждая ^-значная дифференциальная форма <о степени г
определяет по формуле
а(Хи ..., Хг)(р) = ю,((Х,)р (Xr)p), pZSC,
некоторую ^-значную функцию (л(Хи ..., Хг) на SC
(гладкую, если гладки поля Xlt ..., Хг и форма w).
Задача 20. Пусть Реуэ&—линейное пространство
всех ^-значных гладких функций на S?. Покажите, что
а. Отображение
C2) a^x...xn^-*F^,^,
1, .... Xr),
кососимметрично и ^^-полилинейно.
б. Если многообразие X хаусдорфово, то соответствие
форма ю => отображение C2)
задает изоморфное отображение Р&-модуля f^-значных
дифференциальных форм степени г на Р&-модуль всех
ю*

292 ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
кососинметрических FS'-полилинейных отображений
(Ср. лекцию II 1.18.)
Задача 21. Сформулируйте и докажите аналогичное утверж-
утверждение для дифференциальных форм и тензорных полей со значениями
в произвольном векторном расслоении т) над SC¦ [Указание.
Вместо РцуэЗ? появится Гц.]
Как правило, мы будем отождествлять форму © с соот-
соответствующим отображением C2).
Определение 3. Внешним дифференциалом d© формы
C0) называется форма
C3) du>
Задача 22. Покажите, что это определение кор-
корректно, т. е. что форма C3) не зависит от выбора базиса
?i> • • •» <V
Задача 23. Покажите, что для векторнозначных
форм остается в силе предложение 2 лекции III. 19 (по
отношению к естественному действию векторных полей
X?a& на алгебре ?«р&).
В частности, если deg©=l, то
C4) аЪ(Х, У) = Х©(У)—Y(o(X)—<a[X, Y],
а если dego> = 2, то
C5) d© (X, Y, Z) = X© (К, Z) + У© (Z, X) + Z© {X, У) +
+ ©(Х, [У, Z]) + ©(y, [Z,X]) + <o(Z,[X,Y])
для любых полей X, У,

Лекция 17
Фундаментальные формы и поля горизонтальных подпро-
подпространств.— Связности на гладком главном расслоении.—
Проекторы, индуцированные связностями.— Горизонталь-
Горизонтальные векторные поля.— Связности на ассоциированных рас-
расслоениях.— Связности на ассоциированных векторных
расслоениях.
Введенные в конце предыдущей лекции общие по-
понятия мы применим к случаю, когда многообразие 3!
является тотальным многообразием 8 гладкого главного
^-расслоения 1 = F, я, ,53), а линейное пространство °Р—
касательным пространством g = Trg группы Ъ в точке е
(ее алгеброй Ли).
Определение 1. Линейная g-значная дифференциаль-
дифференциальная форма 8 на 8 называется фундаментальной формой,
если для любого вектора А ? Те!5 в каждой точке р ? 8
имеет место равенство
A) В(А*)(р) = А.
Пример 1. Так как gl (л; R) — Matn R, то gl (га; По-
Познанные формы—это просто матрицы (o = i|co'J, элементами
которых являются обычные дифференциальные формы ю}.
В частности, линейные дЦга; К)-значные формы—это мат-
матрицы 9 = | 8} ||, состоящие из линейных дифференциальных
форм Q'j. В карте (8у, h) тотального многообразия 8 рас-
расслоения реперов | векторного расслоения ? каждая форма
0) имеет вид
8} = $&{ + «}****,
где ffr и g'jk—некоторые функции на 8у. Значение формы
0j- на касательном векторе (Л, и) (мы продолжаем исполь-
использовать обозначения, введенные в лекции 14) равно
где F'/ и Gk—матрицы \\ffr\ и |lg)k|| соответственно. В част-
частности, значение этой формы на векторе вида (АС, 0) равно
Tr(F'/AC). Поэтому—см. задачу 14 лекции 14—форма в
тогда и только тогда фундаментальна, когда
для любой матрицы Л = |а}|. Но легко видеть (докажите!),
что матрицы F] тогда и только тогда обладают этим свой-

294 ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ И ПОЛЯ ПРОСТРАНСТВ
ством, когда /Г/С = ?/, где Е)—матричные единицы (все
элементы матрицы Е\ равны нулю, за исключением (t, /)-
го, который равен 1), т. е. когда F\= Е'/С'1 (и значит,
f}r = 'crty> где 'c't—элементы матрицы С). Этим доказано,
что""й1(я; Щ-значная форма %~\Щна расслоении реперов
тогда и только тогда фундаментальна, когда в каждой
карте (8 ц, я) составляющие ее формы 9} имеют вид
т. е. когда
(9 9 = C-ldC+Gkdx
где dC—матрица \<Щ\, a Gk — \glikl,
Каждая g-значная линейная дифференциальная форма
в задает по формуле
некоторое поле подпространств Я. Мы будем обозначать
это поле символом Ann 8 и будем называть его аннуля-
тором формы 9.
Легко видеть, что аннулятор Н каждой фундамен-
фундаментальной формы 9 является полем горизонтальных под-
подпространств. Действительно, пусть 91, ..., 8"—коорди-
8"—координаты формы 8 в некотором базисе elt ..., е„ простран-
пространства Т,#. Из формулы A) непосредственно следует, что
для любых чисел сх, ..., сп значение формы с,-6' на век-
векторном поле А* равно с(А), где с—ковектор на линейном
пространстве Те$, имеющий в базисе еи ..., е„ коэффи-
коэффициенты си ..., с„. Поэтому, если в некоторой точке р? 8
имеет место равенство cfic -0, то с(Л) = 0 для любого
вектора А?Те$ и, значит, с = 0, т. е. ^ = 0, ..., с„==0.
Это показывает, что во всех точках р? 8 формы 91, ..., 9"
линейно независимы. Поскольку, очевидно, Ann 9 =
= Ann(91, ..., 9"), этим доказано, что для любой точки
dim Яр = т.
С другой стороны, если В—произвольный вертикальный
вектор в некоторой точке />€8, то согласно той же фор-
формуле A)
где А—такой вектор из Те$, что А* —В. Поэтому, если

СВЯЗНОСТИ НА ГЛАДКОМ ГЛАВНОМ РАССЛОЕНИИ 295
B?ffp, то Л = 0 и, значит, fi = 0. Таким образом,
и, значит, 1Р 8 = Tp$Fb@Hp (поскольку dim//p=m=»
.-dimTpS — dimTpfb). Следовательно, поле Н является
нолем горизонтальных подпространств.
Обратно, любое поле Н горизонтальных подпрост-
подпространств является аннулятором единственной фундамен-
фундаментальной %-значной формы 8. Действительно, если Н = Ann 6
и (|юрма в фундаментальна, то в каждой точке р € 8 для
любого вектора В?ТР& будет иметь место равенство
C) ВР(В) = А,
где А—такой вектор из Te.S, что A# = BV. Это доказы-
доказывает единственность формы в. Для доказательства сущест-
существования мы определим форму 9 на 8 формулой C). Так
как {А#у~А* для любого А?Те1*, то эта форма фун-
фундаментальна. Кроме того, Эр (В) —О тогда и только тогда,
когда Bv — Q, т. е. когда В?НР. Следовательно,
Я-Аппв. D
Так как действие группы Ъ на многообразии 8 гладко,
то для любого элемента а б S отображение
Ra: 8-*8, р-^ра, р?&,
является диффеоморфизмом.
По аналогии со случаем расслоения реперов мы будем
говорить, что заданное на 8 поле Н горизонтальных под-
подпространств эквивариантно, если
D) '
для любой точки /7^8 и любого элемента а?# (ср. фор-
формулу (8) лекции 14). Гладкое эквивариантное поле гори-
горизонтальных подпространств мы по-прежнему будем назы-
называть связностью. (Ср. определение 1 лекции 14.)
Задача 1. Покажите, что поле Н горизонтальных подпространств
тогда и только тогда эквивариантно (является связностью), когда для
любого вектора B(-TpS и любого элемента а?% имеет место одно из
равенств
l(dRa)pB]V = (dRa)pBV, [(dRa)pB]"= (dRa)PB"
(а значит, и оба).
Напомним (см. лекцию 14), что каждый элемент а груп-
группы Лн "& определяет линейное отображение
Ada: я —g, Й = Т,$

296 связности на гладком главном расслоении
являющееся не чем иным, как дифференциалом в точке е
внутреннего автоморфизма
inte: 3—+%,
Пример 2. Для любой матрицы X?GL(n;R) авто-
автоморфизм int*: Ли->ХАХ~* линеен по А. Поэтому его
дифференциал совпадает с ним самим. Значит,
для каждой матрицы С из gl(n; R) = MatnR.
Дифференциальная g-значная линейная форма в на 8
называется эквивариантной, если
для любого элемента a^S, т. е. если в каждой точке
р 6 8 для любого вектора В ? Тр 8 имеет место равенство
Пример 3. В точке р с координатами (С, х) форма
B) принимает на векторе 5 = (А, и) значение С~ХА -f Gkuk,
где Gk s= Gk (С, х). Поэтому для любой матрицы X ? GL (n;R)
матрица (Ad Х-1) (9Р E)) равна X (С~М + Qk ((А, х) и")) X
(см. выше пример 2). С другой стороны, (dRx)pB = (AX, a)
(см. задачу 4 лекции 10) и, значит,
вРх №х)рВ) = (СХ)-* АХ + Gk(CX, х) и"
(напомним, что точка рХ имеет координаты (СХ, х)). Сле-
Следовательно, форма B) эквивариантна тогда и только тог-
тогда, когда
Х-'С-'АХ + Х~Юк (С, х) Xu*=X-lC~1AX + Gk (CX, х) и",
т. е. тогда и только тогда, когда
, х),
для всех матриц X, С ? GL (л; R) (и любого х). Но легко
видеть (докажите!), что матрицы Gk тогда и только тогда
удовлетворяют этому условию, когда
Gk(C, ж) = С-ТлС, 1<?<т,
где Тк — Тк(х)—матрицы, зависящие только от х (т. е.
состоящие из функций на координатной окрестности Uc!B).
Этим доказано, что эквивариантные фундаментальные формы
на расслоении реперов на каждой координатной окрест-

СВЯЗНОСТИ НА ГЛАДКОМ ГЛАВНОМ РАССЛОЕНИИ 297
ности 8у имеют вид
где © = rA?k*—некоторая матрица линейных форм на V.
Заметим, что это—в точности формы A2) лекции 16,
задающие связности на расслоении реперов. Это не явля-
является случайным совпадением, поскольку, как нетрудно
показать, аннулятор H—ArmQ фундаментальной формы
в тогда и только тогда эквивариантен (является связ-
связностью), когда форма 0 эквивариантна. Действительно,
если аннулятор Н эквивариантен, то для любого вектора
В € Тр ё и любого элемента а ? % будет иметь место равен-
равенство
(см. выше задачу 1). С другой стороны, по определению
где Л—такой вектор из Те$, что Ар*а = [(dRa)p B]v. Сле-
Следовательно,
где А—-такой вектор из T,S, что Ар* = BV.
Задача 2. Докажите, что если
Ара — (dRa)p Ар,
то А=(Ай а'1) А. [У к а з а н и е. По определению, (djp ),A
= Ар, где jp: x*-+px, х^Ъ. Поэтому (d\pa),& =Ар*а
-=(dRa)pAp* = (dRa)p(djp)eA, т.е. {dua).A
С другой стороны, jpa о inta-i == Ra о fp.]
Поскольку QP(B) = A, отсюда следует, что
в,* ((<Н?Л*Н (Ada) (В, (В)),
т. е. что форма в эквивариантна.
Обратно, если форма в эквивариантна и Qp(B) = 0, то
вро ((««.), В) = (Ad a"*) (Qp (В)) - О,
и, значит, (dRa)pB € Нра. Это доказывает, 4To(dRa)pHp dHpa.
Заменив здесь р на pa, a a—на а, мы 'получим и об-
обратное включение. Следовательно, поле Н эквивариантно. ?
Резюмируя, мы видим, что нами доказано следующее
предложение:

298 ПРОЕКТОРЫ, ИНДУЦИРОВАННЫЕ СВЯЗНОСТЯМИ
Предложение 1. Связности Н на главном Ъ-расслое-
нии | находятся в естественном биективном соответ-
соответствии с §-значными эквивариантными фундаментальны-
фундаментальными формами 6 на многообразии 8. При этом форме в
отвечает связность //=Апп6, а связности Н—форма
C). :П
Определение 2. Форма 9 называется формой связ-
связности Н.
Иногда связностью называют не поле Н, а форму 6.
Таким образом, на гладких главных расслоениях связ-
связности можно определять и как поля горизонтальных под-
подпространств, и как g-значные линейные дифференциальные
формы.
Возможны и другие подходы к определению связности.
Например, каждая связность Н на гладком главном рас-
расслоении 1 = (8, я, ЭВ) определяет в линейном пространстве
а8 всех гладких векторных полей на 8 линейный опе-
оператор
Н: aS-*ctg, Xt-t-X»,
сопоставляющий векторному полю X ? aS его горизонталь-
горизонтальную составляющую Xм. Этот оператор
а) является проектором (т. е.
б) перестановочен со всеми операторами вида RI (т. е.
я; о я-я о я;);
в) аннулирует все вертикальные векторные поля: если
поле X вертикально, то //Х = 0.
Задача 3. Покажите, что любой оператор Н, обладающий свой-
свойствами а, б, в, порождается единственной связностью.
Таким образом, связности на % можно отождествлять
с такого рода операторами.
Аналогичное построение возможно, конечно, и для
связности на векторном расслоении 5, нужно лишь заме-
заменить условие б требованием, чтобы оператор Н линейно
зависел (в понятном смысле) от координат по слою.
Векторное поле У?а8, для которого YH = Y, т. е.
такое, что Yp€ffp для любой точки р?&, называется
горизонтальным. Все горизонтальные поля образуют под-
подпространство 1тЯ линеала а8.

ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ 299
Так как на подпространстве Нр отображение
является изоморфизмом, то на многообразии 8 для любого
векторного поля X ? (!•© существует такое горизонтальное
векторное поле X, что
(dn)P'Xp ==Хя(р) для любой точки /?6 8.
Поле X называется горизонтальным поднятием поля X.
Задача 4. Докажите, что для гладкого поля X поле
X такоюе гладко. [Указание. Постройте гладкое поле
К€ а8, для которого (dn)p(Yp) = Хл(р) влюбой точке р? 8t
и затем примените оператор Я.]
Таким образом, соответствие Х<—*Х является (очевид-
(очевидно, мономорфным и линейным) отображением OS —*<х&,
вкладывающим айЗ в \тН.
Задача 5. Докажите, что горизонтальное поле Y ? а8
тогда и только тогда является горизонтальным подня-
поднятием X некоторого поля X ? а53, когда для любого эле-
элемента а€"$ имеет место равенство
r:y=y.
Задача 6. Докажите, что для любого горизонтального
вектора А € Тр 8 существует . такое поле X ? aS, что
ХР = А.
Задача 7, Докажите, что
для любых полей X, Y ? аЗЗ.
Предложение 2. Для любого элемента А ? % и лю-
любого горизонтального поля К?а8 поле [А#, Y] горизон-
горизонтально. Если К = Х, то [Л*,К] = 0.
Доказательство. Согласно формуле B1) лекции 16
[A*, F] = lim-
Но ясно, что если поле Y горизонтально, то для любого
элемента а € # поле R^Y также горизонтально. Поэтому поле
/?ехрм^—У горизонтально. Следовательно, горизонталь-
горизонтально и поле [Д#, У].

300 СВЯЗНОСТИ НА АССОЦИИРОВАННЫХ РАССЛОЕНИЯХ
Если же У = Х,тоК=#еХрМУ, изначит,[Л#,У]==0. D
Описанный в предложении 2 лекции 16 переход от
связностей на расслоении реперов к связностям на соответ-
соответствующем векторном расслоении может быть осуществлен
и в общем случае.
Пусть § = (8, я, 93) — произвольное гладкое главное
расслоение, #—его структурная группа Ли и ?—гладкое
многообразие, на котором гладко действует группа Ъ. Тогда
определено (см. лекцию 1) ассоциированное расслоение
1[<F] со слоем ?. По построению, точками тотального
пространства <? этого расслоения являются орбиты [р, х]9
естественного действия группы Ъ на прямом произведении
&?
Задача 8. Докажите, что расслоение % [?] гладко и
локально тривиально как гладкое расслоение (обладает
тривиализирующим атласом, состоящим из тривиализа-
ций, являющихся диффеоморфизмами). Докажите также,
что естественное отображение факторизации 8 X ? —> &
гладко.
Поэтому для расслоения %,[?] можно говорить о вер-
вертикальных векторах и полях горизонтальных подпрост-
подпространств.
Произвольной точке у ? ? мы отнесем—очевидно, глад-
гладкое —отобр ажение
E) /у:8— ё,
определенное формулой
Задач а~9. Докажите, что равенство
имеет место тогда и только тогда, когда существует
такой элемент а?$, что q=pa и у=аг.
Выведите отсюда, что для любой связности Н на ? фор-
формула
F) Hp = (dfy)pffp, p =
корректно определяет на <§ некоторое поле Н: рр
горизонтальных подпространств. [Ср. доказательство пред-
предложения 2 лекции 16.]
Поля вида F) называются связностями на % [?]. Для
случая S=GL(n; R) и <F=R" это определение согласуется

СВЯЗНОСТИ НА ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ 301
(см. предложение 2 лекции 16) с исходным определением
3 лекции 10 связностей на векторных расслоениях.
Конечно, поля вида F) хочется охарактеризовать в
терминах самого расслоения | [<F] без обращения к глав-
главному расслоению $, подобно тому как это мы сделали
для связностей на векторных расслоениях в лекции 10.
Это можно сделать, если воспользоваться (?, «^-структу-
«^-структурой на S[<F] (см. лекцию 9). Осуществление этой возмож-
возможности мы оставим инициативе читателя.
Важный частный случай возникает, когда типичный
слой ? является линейным пространством "У*, а группа S
линейно действует на "У3, т. е. когда мы имеем дело о
линейным представлением
a:
группы ? в группе Aut4^ линейных автоморфизмов про-
пространства f*.
Задача 10 (ср. задачу 3 лекции 1). Докажите, что
s этом случае ассоциированное расслоение IjV3] является
векторным расслоением. Это расслоение обозначается сим-
символом 1[ос] (а его тотальное пространство 8X9^—симво-
8X9^—символом 8X9^.
а
В случае, когда S = GL(rt; R), а расслоение § является
расслоением реперов векторного расслоения ?, расслоение
|[al обозначается символом 5 Га].
Конечно, если <x = id, то ?[а] = ?.
Задача 11. Пусть представление
G) a: GL(n;R)—>GL(n;R)
определено формулой
Покажите, что для любого векторного расслоения I ассо*
циированное расслоение I [а] изоморфно расслоению I* (где
?*—см. задачу 11 лекции 12—векторное расслоение со слоя-
слоями (<FI)*, &?$). [Указание. Изоморфизм I[а] —> I*
ставит в соответствие точке [р,у] пространства 8XR",
а
где /?=•=(/?!, •••,Р„)€8 и y^{yi У„)?№ (обратите
внимание на положение индексов!), точку q = ytpl прост-
пространства &* = &**, где р1,..., р"—базис линеала {Sr\)*=3r\ ,
сопряженный базису pi, ..., рп линеала eF|.]

302 СВЯЗНОСТИ НА ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
Задача 12. (Обобщение задачи 11.) Пусть Т^У3—линейное про-
пространство тензоров типа (г, s) над линеалом "У? (полилинейных функ-
функционалов от г векторов и s ковекторов; см. лекцию II.6). Выбрав в
ф3 базис, рассмотрим представление
a: GL (n; R) —* Aut {Tsf*),
ставящее в соответствие матрице A?GL(n;R) линейный оператор
а (Л): 7^5*5^—*-TTsfb, определенный формулой
...,Ахг,
где А—оператор "У3—t-'y3 с матрицей А. Покажите, что для любого
векторного расслоения \ ассоциированное расслоение ?[а] изоморфно
расслоению Тг& (см. пример 8 лекции 13).
Предположим теперь, что на векторном расслоении ?
задана связность Я. На главном расслоении реперов |
этой связности отвечает связность //, а последней—неко-
последней—некоторая связность Я [а] на расслоении |[а] = ?[сс].
Вычислим связность Я [а] для случая, когда а пред-
представляет собой представление G), и, значит, 1[а] являет-
является расслоением !*.
Каждому базису s — (su ...,sn) модуля Г(?|и) над
тривиализирующей расслоение ? координатной окрестностью
U отвечает сопряженный базис с = (сх,..., с") модуля Г(?*|?/),
обладающий тем свойством, что в любой точке b?U ко-
векторы cx(fc), ..., cn(b) составляют базис линеала ?1,
сопряженный базисуsF)=(Si(b), ...,sn(b)) линеала?ь=?*ь.
(Контрольный вопрос: почему сечения с1,..., с*
расслоения \*\ц гладки?) Базис s (вместе с координатным
отображением U —+ Rm) определяет на множестве «?t/ = U ?ь,
b?U, координаты а1', х", где х"—координаты в U точки
b = л (р), р ? <?V, а а1—координаты вектора р ? ?ь в базисе
8 ф). В свою очередь базис с определяет на множестве
?*v=, [)?ь, b?U, координаты ah x", где **—координаты
в U точки b = n(q), q<c?'u> a ai—координаты ковектора
q??l в базисе сф). Мы вычислим коэффициенты связ-
связности Я* = Я[а] в координатах а„ хк по коэффициентам
Tij связности Н в координатах а'", хк.
По определению Я = Ann F1, ..., 6") над U, где
Ql-dal + Tija'dxk.
Аналогично Я* = Апп(в1, ..., 9„) над U, где
и задача состоит в том, чтобы выразить функции С?< через
функции Г^.

СВЯЗНОСТИ НА ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ 303
Согласно введенным в лекции 16 обозначениям каждая
точка р — {ри ..., рп) пространства 8 записывается в виде
пары (А, х), где А—матрица |а{||, состоящая из коорди-
координат векторов pt€?b, b = n(p), в базисе s(b) (так что
Pi — a[sj (b) для любого i — 1, ..., п), а х—строка (х1, ...,хп)
координат точки Ь. В частности, точка po=^s(b) будет
иметь вид (Е, х), где Е—единичная матрица.
Аналогично символом (С, я), где С = |с}||, l<t, /<n,
и и = (ц1, ..., ип) мы обозначаем вектор
пространства ТР8. При этом согласно произведенным в
лекции 16 вычислениям (см., в частности, формулы E) и
A0) лекции 16) вектор (С, »)?ТР8 тогда и только тогда
будет принадлежать пространству Нр, р = (А,х), когда
В частности, векторы (—Flt et), ..., (—Fm, em) составляю!
базис пространства Нр.
При р — ро мы получаем отсюда, что векторы
(9) (- Г,, еО (- Тя, ет), где Г,=|| Щ,
составляют базис пространства Нр,.
Отображение E) является в рассматриваемом случае—
в силу указанного в задаче 7 отождествления—отображе-
отождествления—отображением
и задается формулой
где р1, 1 < I < л,— базис пространства ?J, сопряженный
базису р пространства ?ь. В частности, отсюда следует,
что точка /о(/»<>)> a = (fli» •••»fln)» имеет координаты а:,
хк (где, как всегда, х"—координаты точки Ь = л(р0)).
Для каждой точки р€&ц дифференциал (dfy)p ото-
отображения /v в точке р представляет собой линейное ото-
отображение ТЯ8—+Тд<§*, где q = fy(p)~y!Pl. Условимся
обозначать вектор

304 СВЯЗНОСТИ НА ВЕКТОРНЫХ РАССЛОЕНИЯХ
пространства Т„<?* символом (с, и), где c — (cit..., с„),
« = (ы\ ...,ип).
Задача 13. Докажите (ср. задачу 5 лекции 14), что
при /> = (Л, х)
для любого вектора (С, и)?Тр8. [Указание. Как из-
известно, dA~l = — А'НАА'1.]
При Ро—р, когда А = Е, отсюда следует, что векторы
базиса (9) пространства Нр, отображение (dfa)Pt переводит
в векторы
A0) (аТ^е,) (aTm,em).
Этим доказано, что для точки q ? S'u о координатами а{,
хк векторы A0), где а — (а^ ..., ап) и Г\ = || Tfo ||, 1 < k < m,
составляют базис пространства #J.
Поскольку формы (8) принимают на векторах A0) зна-
значения ajTit + С'ыа] и поскольку эти значения должны быть
равны у нулю, мы получаем отсюда, что C{t = — Г^, т. е.
что
e, = da,—ГЦ, /=1 п.
Это доказывает, что связность Н* совпадает со связ-
связностью на %*, отвечающей ковариантному дифференциро-
дифференцированию у из предложения 1 лекции 12.
Задача 14. Покажите, что аналогично, связности, отвечающие
ковариантным дифференцированиям из предложения 2 лекции 12, яв-
являются не чем иным, как связностями л [а] для представления а из
задачи 12. (См. замечание 3 лекции 12.)
Таким образом, оба подхода к связностям на Т\ \ приводят к
одному и тому же результату.

Лекция 18
Параллельный перенос вдоль кривой.— Группа голономии
и ее компонента единицы.— Лемма о разложении гомо-
гомотопных нулю петель в произведение малых лассо.— До-
Доказательство связности суженной группы голономии.—
Изоморфизм групп голономии в различных точках.—
Счетность фундаментальной группы.— Теорема редук-
редукции.— Доказательство существования связности и уни-
универсально тривиализирующих покрытий.— Аффинное про-
пространство связностей.
Рассмотрим более систематически введенные в лекции 11
горизонтальные кривые.
Пусть % — (?, я, S)—гладкое векторное расслоение
ранга п над гладким хаусдорфовым m-мерным. многообра-
многообразием SB и пусть Н—произвольная связность в %. Пусть,
далее, и: 1—+33—гладкая кривая в SB, начинающаяся в
точке &0€S, а р0—такая точка многообразия ^\ что
п(ро) — Ьо. Тогда, как было показано в лекции 10, в &
существует единственная горизонтальная кривая v: I —*- ЗВ,
накрывающая кривую и и начинающаяся в точке р0. Конец
рх кривой v принадлежит слою ?Fbl над концом Ьх кри-
кривой и, ч соответствие po*-*Pi задаёт отображение
A) П.» Ft%^!Fbl,
зависящее только от кривой и.
Определение 1. Отображение A) называется парал-
параллельным переносом слоя (ГЬо на слой §~bi вдоль кривой и.
В соответствии с этим о векторе ^ = 11^, линеала SFbl
иногда говорят, что он параллелен вектору р0 вдоль кри-
кривой и.
Заметим, что согласно этому определению вектор
y@€^a(t> параллелен вектору ро для любого t?l. Это
объясняет, почему кривую v называют также полем па-
параллельных векторов на кривой и (см. лекцию 10).
Замечание 1. В контексте произвольных векторных
расслоений термин «параллельный перенос», безусловно,
мало оправдан. Гораздо лучше было бы называть отобра-
отображение Па, скажем, горизонтальным переносом. Быть мо-
может, с течением времени терминология здесь усовершен-
усовершенствуется, но пока приходится пользоваться тем, что есть.
Пусть отрезок / = [а, Ь] разбит на два отрезка: 1Х =
— [а, с] и /»=[с, Ь]. Тогда для любой (не обязательно

306 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ КРИВОЙ
гладкой) кривой и: / —*S определены кривые их — и|/, и
U2=ul/f Мы будем говорить, что кривая и составлена
из кривых ut и и2, и будем писать и — и^. (Это специаль-
специальный случай отношения составленности для обобщенных
путей; см. лекцию 3.)
Аналогичный смысл имеет равенство и = и1.. .ит при
т>2.
Ясно, что если гладкая кривая и составлена из кри-
кривых ых и иа (автоматически гладких), то
B) П„ = ПВ1оПВ1, ¦«
(и аналогично для любого числа сомножителей).
Если и = ul...um и кривые ии ..., ит гладки, то
кривая и называется кусочно гладкой (ср. определение
кусочно гладкого пути в лекции 2). Для такой кривой и
мы положим по определению
C) Пв = ПВ|Яо ...оПи,, u = ul...um.
Задача 1. Докажите, что определение C) корректно,
т. е. отображение Пв не зависит от разложения и = ы1...
... ит кривой и на гладкие кривые ии ..., ит. [У к а-
аание. Формула C) справедлива для гладкой кривой и.]
Задача 2. Покажите, что формула B) справедлива
и для кусочно гладких кривых «х и и, (а формула C) —
для кусочно гладких кривых ии ..., и„).
[Хотя нам фактически нужны лишь гладкие кривые,
но введение в рассмотрение более широкого класса ку-
кусочно гладких кривых существенно упрощает многие рас-
рассуждения, позволяя избежать утомительной и надоедли-
надоедливой процедуры сглаживания углов.]
О кривой и: /—<-ЗВ мы будем говорить, что она со-
содержится в карте (U, К) — (U, х\ ..., хт), если и {t) € U
для любого t €/• Такая кривая задается уравнениями вида
а ее накрытие v: I —<¦ & в предположении, что U явля-
является не только координатной, но тривиализирующей окре-
окрестностью,—кроме того, еще и уравнениями
D) al = a'{t), 1<*<л, t^I.
При этом, если кривая и (а, значит, и кривая v) гладка,
то кривая v тогда и только тогда горизонтальна, когда
E) a'(t) + Tfk(x(t))a4t)x*(t) = 0, 1
(см. формулы C) лекции 10).

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС ВДОЛЬ КРИВОЙ 307
Поскольку уравнения E) линейны по a'(t), концевая
точка (вектор) р1^.?'ь% пути и (имеющая в слое «ГЬ| коор-
координаты а1 A), l^t^n) линейно зависит от его началь-
начальной точки (вектора) р0^^Ьо. Это означает, что парал-
параллельный перенос Пя является линейным отображением
Если ф: / —* /—монотонная гладкая функция со всю-
всюду отличной от нуля положительной производной (сохра-
(сохраняющий ориентацию диффеоморфизм), то для любой го-
горизонтальной кривой v: I —>¦ S с уравнениями E) пере-
иараметризованная кривая и о ср: /'—»-<? будет иметь
уравнения а1 = а' (<р (s)), xk = хк (ф(s)), s^/', где
о' (Ф (s))' + 1% (* (ф (s))) а/ (Ф (s)) х* (ф (s))' -
= Ф (s) & @ + Г^ (х @) а/ @ ** @]<шф w = 0,
и, значит, будет горизонтальной кривой, накрывающей
перепараметризованную кривую и о ф: 1-^-33. Отсюда сле-
следует, что отображение Па не меняется при перепарамет-
перепараметризации кривой и: I —- 3$.
Поэтому без ограничения общности мы всегда можем
предполагать, например, что / = /, где / = [0, 1] (т. е.
что кривая и является путем).
Если же диффеоморфизм ф меняет ориентацию (пере-
(переводит начало отрезка /' в конец отрезка /, а конец от-
отрезка V в начало отрезка /), то кривая уоф по-прежне-
по-прежнему будет горизонтальной кривой, накрывающей кривую
и о ф, но последняя кривая будет соединять точку bt с
точкой Ьо (а кривая v о ф—точку рг с точкой р0). Поэтому
отображение Пп является изоморфизмом (с обратным изо-
изоморфизмом П„.(р).
Так как отрезок / компактен, то любая кусочно глад-
гладкая кривая и имеет вид ых... ит, где каждая из кривых
ии ..., ип гладка и содержится в некоторой карте. По-
Поэтому в силу равенства C) отображение Па является изо-
изоморфизмом eF6o—<- Wbl и для любой кусочно гладкой кри-
кривой и.
Кроме того, мы видим, что для каждой кусочно глад-
гладкой кривой и имеет место формула
где, как всегда, и'1—кривая, пробегаемая в обратном
направлении.

308 ГРУППА ГОЛОНОМИИ И ЕЕ КОМПОНЕНТА ЕДИНИЦЫ
Особо интересен случай, когда кусочно гладкая кри-
кривая и является петлей в точке Ьо, т. е. когда bl = b0.
В этом случае отображение Па является автоморфизмом
линейного пространства Зг<> = $гъ<1 (невырожденным линей-
линейным оператором) и все автоморфизмы вида Па составляют
некоторую подгруппу Ф — Ф(Ь0) группы Aut<F0 (т. е.—
в предположении, что в f0 выбран некоторый базис —
подгруппу группы GL(«; R)).
Заметим, что Иира — р0 тогда и только тогда, когда
горизонтальная кривая v, начинающаяся в точке рв и яа-
крывающая петлю и, также является петлей.
Определение 2. Подгруппа Ф группы Ли Aut oF0 (или
GL(n; R)) называется группой голономии связности Я в
точке Ьо.
Конечно, эта группа зависит только от содержащей
точку Ьа компоненты связности многообразия 33. Поэтому
без ограничения общности мы можем в дальнейшем счи-
считать многообразие 33 связным.
Напомним (см. определение 1 лекции 3), что две петли
и0: /—+ 33 и их: 1-+33 в точке Ьа называются гомотоп-
гомотопными, если существует связывающая их гомотопия, т. е.
такое непрерывное отображение F: 1*—>-!В, что
F(t, 0) = и0@, F{t, 1) = М0
и
F@, t) = FA, т) = 60
для всех /, т€/.
Для любого х € / формула
т),
определяет некоторую петлю ит: /—»$}. О петлях их,
т^/, говорят, что они составляют гомотопию F, и их
семейство {их} часто отождествляется с F.
Как мы знаем из лекции 3, отношение гомотопности
петель является отношением эквивалентности.
Гомотопия jF называется гладкой, если она представ-
представляет собой гладкое отображение /а —<¦ 33, и кусочно глад-
гладкой, если квадрат /* можно разбить на прямоугольники
вида 7'х/", где I'czl, I'd, на каждом из которых отоб-
отображение F гладко. Петли, связанные гладкой (или кусоч-
кусочно гладкой) гомотопией, называются гладко гомотопными
(соответственно кусочно гладко гомотопными).
Задача 3. Докажите, что если гладкие (кусочно гладкие) петли
и0 и «1 гомотопны, то они и гладко (кусочно гладко) гомотопны.

ГРУППА ГОЛОНОМИИ И ЕЕ КОМПОНЕНТА ЕДИНИЦЫ 309
(Указание. Воспользуйтесь теоремой Вейерштрасса об аппрокси-
аппроксимации непрерывных функций многочленами. Ср. предложение 2
лекции III.26.]
Петля и называется гомотопной нулю, если сущест-
существует гомотопия F, связывающая эту петлю с постоянной
петлей ebo: t>—*-b0. Согласно утверждению задачи 3 для
кусочно гладкой петли и гомотопию F также можно счи-
считать кусочно гладкой.
Ясно (см. лекцию 3), что петля, обратная петле, гомо-
гомотопной нулю, а также петля, составленная из гомотопных
нулю петель, гомотопна нулю. Отсюда следует, что отоб-
отображения Па, отвечающие гомотопным нулю петлям и,
составляют подгруппу Фе группы Ф. Эта подгруппа на-
называется суженной (или ограниченной) группой голономии
связности Я в точке Ьо.
Предложение 1. Группа Ф обладает естественной
структурой группы Ли, по отношению к которой она
является подгруппой Ли группы Ли AutoF0, а группа Фв —
ее компонентой единицы. Если многообразие S3 удовлетво-
удовлетворяет второй аксиоме счетности, то эта гладкость на Ф
является слабейшей гладкостью (и как таковая единст-
единственна).
Доказательство. Ниже мы докажем следующую
лемму:
Лемма I. Каждый элемент а=-Пц группы Фе можно
соединить с единицей гладким путем группы Ли AutaF0,
целиком лежащим в Фе.
Замечание 2. Петли их, составляющие гомотопию F,
которая связывает петлю и с постоянной петлей, опреде-
определяют в Ф, путь
F) П/.: ти^П^, х?1,
соединяющий элемент а с тождественным отображением
(единицей группы Фе). Поэтому для доказательства лем-
леммы 1 достаточно доказать, что для гладкой гомотопии F
отображение UF является гладким путем в Aut Wn. Однако
этот естественный подход к доказательству встречается с
определенными трудностями, и ниже мы построим—фак-
построим—фактически тот же путь П/~другим способом, тривиально
обеспечивающим его гладкость.
Лемма 1 означает, что подгруппа Ф, удовлетворяет
условиям предложения 2 лекции 15. Следовательно, со-
согласно этому предложению группа Ф, обладает слабейшей
топологией, по отношению к которой она является связ-

310 ЛЕММА О РАЗЛОЖЕНИИ ГОМОТОПНЫХ НУЛЮ ПЕТЕЛЬ
ной подгруппой Ли группы Ли AutoFo- Поэтому групп»
Ф будет подгруппой Ли с компонентой единицы Фе па
отношению к гладкости, в которой все смежные классы
аФе являются компонентами связности (см. доказатель-
доказательство теоремы 2 лекции 15). Это доказывает первое утверж-
утверждение предложения 1.
Для доказательства второго утверждения нам в силу
теоремы 2 лекции 15 достаточно доказать, что для мно-
многообразия 9В, удовлетворяющего второй аксиоме счетно-
сти, факторгруппа Ф/Фе счетна (или конечна). С этой
целью мы рассмотрим фундаментальную группу яхE3, Ьа}
многообразия 33 в точке Ьо. Согласно утверждению за-
задачи 3 каждый элемент а^л1(^, Ьо) содержит кусочно
гладкую петлю и (имеет вид а = [и]). Соответствующий
элемент П„ группы Ф определен с точностью до элемента
из Фе, так что формула а —[ПА где [IIJ—смежный
класс элемента Па по подгруппе Фе, корректно опреде-
определяет некоторое отображение
G) я^ЗЗ, &„) — Ф/Ф,.
Лемма 2. Для любого связного многообразия 59, удов-
удовлетворяющего второй аксиоме счетности (и любой точки
fy>€53) группа пг(ЭВ, Ьо) не более чем счетна.
Поскольку отображение G), очевидно, эпиморфно, это
доказывает предложение 1. п
Для доказательства леммы 1 нам понадобятся некото-
некоторые дополнительные сведения о петлях вообще и о пет-
петлях, гомотопных нулю, в частности.
Координатную окрестность U в многообразии 59 мы
будем называть шаровой, если она диффеоморфна откры-
открытому шару пространства R™. Ясно, что шаровые коорди-
координатные окрестности составляют базу открытых множеств
многообразия 59.
Петлю в точке Ьо мы будем называть лассо с петлей v,
если она имеет вид wvw'1, где w—некоторый путь, начи-
начинающийся в точке ba, a v—петля в его концевой точке б*.
Петлю и мы будем называть малой, если она целиком
содержится в некоторой шаровой координатной окрестно-
окрестности. Лассо wvw'1 с малой петлей v мы будем называть
малым лассо.
В силу односвязности шаров (см. лекцию 3) каждая
малая петля гомотопна нулю. Поэтому гомотопно нулю и
каждое малое лассо.

ЛЕММА О РАЗЛОЖЕНИИ ГОМОТОПНЫХ НУЛЮ ПЕТЕЛЬ 311
Петлю вида ulw~1«2 мы будем называть элементарным
преобразованием петли игил. Две петли мы будем назы-
называть комбинаторно эквивалентными, если одну из них
можно получить из другой конечной последовательностью
элементарных преобразований и преобразований, им об-
обратных. (Иначе говоря, две петли комбинаторно эквива-
эквивалентны, если одна получается из другой вставками и уда-
удалениями фрагментов вида от.)
Так как П„-1 = Пр1, то комбинаторно эквивалент-
эквивалентные петли и определяют один и тот элемент Пв груп-
группы Ф.
Рассмотрим на плоскости R* квадрат QN с вершинами
в точках @, 0), @, 2^), BЛ', 0) и B", 2^. Прямые, парал-
параллельные осям координат, делят этот квадрат на 2'ш квад-
квадратов единичной площади. Обход границы каждого из
этих квадратов против часовой стрелки вместе с некото-
некоторой ломаной, соединяющей в QN точку @, 0) с какой-то
вершиной этого квадрата, задает в QN лассо. Мы будем
называть такие лассо элементарными.
Пусть qN—петля в точке @, 0), получающаяся при
обходе границы квадрата QN против часовой стрелки.
Лемма 3. Петля qN комбинаторно эквивалентна
произведению элементарных лассо.
7
4
/
8 a
S 6
г з
Петля
Разложение петли q,

312 ЛЕММА О РАЗЛОЖЕНИИ ГОМОТОПНЫХ НУЛЮ ПЕТЕЛЬ
Доказательство. При N=1 петля qt является
ломаной 12 3698741, где, например, 1—точка @, 0),
а 2— точка A, 0) (см. рис.), и комбинаторно эквива-
эквивалентна произведению элементарных лассо
,„. 12541, 145236541,
() 145698541, 1458741.
[Строго говоря, петля 1 254 1 не является лассо, посколь-
поскольку отсутствует путь w. Чтобы превратить эту петлю в
лассо, достаточно ввести путь 12 1.]
Пусть лемма уже доказана для петли ^-i- Гомотетия
с параметром 2N~l отображает квадрат Q± на квадрат QN
и переводит единичные квадраты, составляющие квадрат
Qlt в четыре квадрата со стороной 2ЛГ, составляющие
квадрат QN. Поэтому согласно уже доказанному петля qN
комбинаторно эквивалентна произведению четырех лассо,
гомотетичных лассо (8). С другой стороны, по предполо-
предположению индукции, петли последних лассо комбинаторно
эквивалентны произведениям элементарных лассо (начина-
(начинающихся в соответствующих точках квадрата QN). Но ясно,
что если петля и лассо шиш комбинаторно эквивалентна
произведению петель ult ..., ип, то само лассо wuw'1
будет комбинаторно эквивалентно произведению петель
(9) iw/jier1, ..., wunw~\
причем если петли ии ..., и„ были элементарными лассо
(в концевой точке пути ш), то петли (9) также будут эле-
элементарными лассо (в начальной точке пути ш). Это, оче-
очевидно, доказывает лемму 3. ?
Следствие 1. В многообразии 3d каждая гомотопная
нулю петля и комбинаторно эквивалентна произведению
малых лассо.
Доказательство. Гомотопию F, связывающую
петлю и с постоянной петлей, мы без ограничения общно-
общности можем считать отображением вида QN —- 9i, где N —
любое наперед заданное число. Если N достаточно велико,
то каждый единичный квадрат, на которые разделен квад-
квадрат QN, гомотопия F будет отображать в некоторую ша-
шаровую координатную окрестность многообразия ^, и,
значит, каждое элементарное лассо—в некоторое малое
лассо многообразия Si. С другой стороны, граничную пет-
петлю qN гомотопия F переводит, по условию, в петлю, яв-
являющуюся произведением петли и и постоянной петли, и,

[ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВЯЗНОСТИ 313
следовательно, комбинаторно эквивалентную петле и. Зна-
Значит, согласно лемме 3 петля и комбинаторно эквивалентна
произведению малых лассо. ?
Из следствия 1 вытекает, что любой элемент группы
Ф, является произведением элементов Пи, отвечающим ма-
малым лассо и. Поэтому лемму 1 достаточно доказать лишь
для таких элементов.
Эту редукцию можно усилить.
Пусть Ьо и bt—две точки многообразия $д, соединен-
соединенные путем w. Тогда каждая петля ut в Ьг определяет пет-
петлю (лассо) wUiW'1 в Ьо, а каждая петля и0 в Ьо — петлю
W^oW в Ьи причем с точностью до комбинаторной экви-
эквивалентности эти соответствия взаимно обратны. Поэтому
они индуцируют изоморфизм группы голономии Ф(&0 в
точке &i на группу голономии Ф (Ьо) в точке Ьо. Более то-
того, если в пространствах «F&п и <Fb, выбраны базисы и со-
соответственно этому группы ФF0) и ФFХ) интерпретированы
как подгруппы группы GL(n; Щ, то в предположении, что
базис в Srbt получается из базиса в <F6o параллельным пере-
переносом вдоль пути до, этот изоморфизм будет, как легко видеть,
тождественным отображением. Поэтому если некоторый эле-
элемент группы Ф(&0 (отвечающий, скажем, петле и) соеди-
соединяется с единицей гладким (в AuteFV) путем, целиком
лежащим в Ф^), то соответствующий элемент группы
ФF0) (отвечающий лассо с петлей и) будет соединяться с
единицей гладким (в Aut<Fbo) путем, лежащим в Ф (&<,)•
Следовательно, лемму 1 достаточно доказать лишь для
элементов а.= Па, отвечающих малым петлям и (целиком
лежащим в некоторой шаровой координатной окрестности
U точки Ьо).
К таким элементам мы уже можем применить конст-
конструкцию из замечания 1.
Доказательство леммы 1. Как только что было
доказано, мы без ограничения общности можем считать,
что петля и целиком содержится в некоторой шаровой коор-
координатной и одновременно тривиализирующей окрестности 0.
Пусть xk — xk{t), 0<*<1, k—\, ..., т, — парамет-
параметрические уравнения петли и в центрированных в Ьо ло-
локальных координатах. Тогда формулы
A0) я* = Tx"l(t), 0 < t, х <»1, 1 <|/г < т,
будут задавать гомотопию F: /* —»- S, связывающую пос-
постоянную петлю в точке Ьо с петлей и. Соответствующие

314 ИЗОМОРФИЗМ ГРУПП ГОЛОНОМИЙ
петли их будут, следовательно, иметь параметрические
уравнения A0) (с постоянным т) и, значит, будут накры-
накрываться кривыми (не петлями!) vx\ /—<¦ & с параметриче-
параметрическими уравнениями A0) и a'=aT(t), где ax(t)—решения
уравнений
'< @ 4- тП/ (хх @) 4 (t) х* (t) = 0, i = 1 п.
Но согласно известной из курса дифференциальных урав-
уравнений теореме о гладкой зависимости решений диффе-
дифференциальных уравнений от параметра, решения a{(t) этих
уравнений (при данных начальных условиях а{@) = ai)
гладко зависят от параметра т. В частности, от парамет-
параметра т гладко зависят их концевые значения ах(\).
С другой стороны, если ai>—координаты точки /?0€<F0,
то, по определению, числа ат(\) будут координатами точки
П^ (/?о). Следовательно, эта точка гладко зависит от т,
т. е. отображение (Fox/—<-^0, заданное формулой
(р0, т)«-»П„т(р0), будет гладко. Но тогда, как легко ви-
видеть (ср. лемму 1 лекции 6), гладким будет и отображе-
отображение t<—*-П„т из / в Autf0, т. е. отображение F) будет
гладким путем. ?
Обратим внимание, что в процессе доказательства лем-
леммы 1 мы также доказали, что группы голономии Ф(Ь0) и
ФFj) в различных точках b0, bt^SB изоморфны друг другу
(в предположении, что многообразие S3 связно). Изомор-
Изоморфизм Ф(&1)~*Ф(&о) зависит от выбора пути ш, соединя-
соединяющего точку Ь„ с точкой fcj, и задается соответствием
Uf—*-w~luw. Если в слоях оТЬо, рТЬ( выбраны базисы и,
следовательно, группы Ф(Ь0)>° Ф(^) интерпретированы
как подгруппы группы GL(n; R) и если базис в $Tbi по-
получается из базиса в <Fbn параллельным переносом вдоль
пути w, то этот изоморфизм будет тождественным отобра-
отображением. Поэтому он во всяком случае будет гладким
отображением Ф(Ь0) —«-Ф^) (напомним, что гладкость на
каждой группе Ф(Ь) является слабейшей) и, значит, будет
диффеоморфизмом. Этим доказано, что группы голономии
Ф(Ь0) и CD(&i) в различных точках Ьо, /^.Э изоморфны
как группы Ли.
Обратимся теперь к лемме 2.
Пусть SJ — произвольное гладкое многообразие, удов-
удовлетворяющее второй аксиоме счетности, и пусть Ь

СЧЕТНОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ 315
Задача 4. Покажите, что многообразие 93 тогда и
только тогда удовлетворяет второй аксиоме счетности,
когда оно обладает счетным открытым покрытием {?/,},
состоящим из шаровых координатных окрестностей ?/,-.
Напомним, что подмножество С топологического про-
пространства 33 называется всюду плотным (в .S3), если
Задача 5. Покажите, что в каждом многообразии 33,
удовлетворяющем второй аксиоме счетности, существует
счетное всюду плотное подмножество С. [Указан и е.
Положите С= (J С,, где С,-—подмножество в U,- (см. зада-
задачу 4), состоящее из точек с рациональными координатами.]
Ясно, что без ограничения общности можно считать,
что множество С содержит точку Ьо.
Зафиксировав раз и навсегда счетный атлас {((/,-, ft,)}
и подмножество С, назовем путь и в многообразии 33 эле-
элементарным, если
а) его начальная и концевая точки принадлежат С;
б) путь и целиком расположен в некоторой окрестно-
окрестности [/,•;
в) путь h; о и пространства R.m является прямолиней-
прямолинейным отрезком (в его естественной параметризации).
Путь, составленный из элементарных путей, мы будем
называть—за отсутствием лучшего термина—специальным
путем.
Ясно, множество всех специальных путей счетно. По-
Поэтому для доказательства леммы 2 достаточно доказать,
что каждая петля в точке Ьо многообразия 93 гомотопна
специальной .петле.
Это утверждение мы и будем доказывать.
Для доказательства нам понадобится обобщить понятие
гомотопии путей.
Гомотопией с подвижными концами мы будем назы-
называть произвольное непрерывное отображение F: P—+ 33
квадрата /* в многообразие или, более общо, топологи-
топологическое пространство 93. Для каждой такой гомотопии фор-
формулы
(t)
определяют четыре пути
"о. «1. v0, ux: 1-*33.
Мы будем говорить, что гомотопия F связывает путь и0
с путем иг при начальном пути v0 и конечном пути vu

316 СЧЕТНОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ
Заметим, что
пп «@) = М0) v(l) = U(O)
Гомотопии в смысле определения 1 лекции 3—это
в точности гомотопии F, для которых пути v0 и их по-
постоянны.
Лемма 4. Линейно связное топологическое простран-
пространство 53 тогда и только тогда односвязно, когда для
любых путей и0, ult v0, vv в 53, удовлетворяющих соотно-
соотношениям A1), существует гомотопия F, связывающая путь
и0 с путем иг при начальном пути v0 и конечном пути vt.
Доказательство. По определению, односвязность
пространства 53 означает, что для любой петли и суще-
существует гомотопия F, для которой ио~и, а пути щ, v0 и
i>i постоянны. Следовательно, условие леммы 4 достаточно
для односвязности пространства 53.
Покажем, что оно и необходимо.
Пусть в односвязном пространстве 53 заданы пути ы„,
Ии v0, vu удовлетворяющие условиям A1). Тогда формула
( мо@, если т = 0,
ux(t), если т—1,
v0 (т), если / = О,
[ vl(x), если t = 1,
корректно определяет некоторое непрерывное отображение
/: дР —<¦ 53 границы дР квадрата Р в пространство 53,
и проблема состоит в том, чтобы распространить это ото-
отображение на весь квадрат Р, т. е. построить такое отобра-
отображение F: P—+S3, что F\dn — f.
Задача 6. Постройте непрерывное отображение q>:
Р—>Р квадрата Р на себя,
а) гомеоморфно отображающее на себя внутренность
квадрата Р;
б) отображающее верхнюю сторону /х 1 квадрата Р
на его границу дР;
в) переводящее остальные три стороны квадрата Р
в точку @, 0).
Пусть g—отображение дР—*53, являющееся компози-
композицией отображения <р (или, точнее, его ограничения ф|,?/«)
и отображения /.
На всех сторонах квадрата Р, кроме верхней, это
отображение определяет постоянные пути, а на верхней

СЧЕТНОСТЬ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ГРУППЫ 317
стороне /х 1—петлю, являющуюся (вообще говоря, лишь
с точностью до перепараметризации) произведением u^u^v^1
путей ы0, vu иг1 и Vol.
Так как пространство $ односвязно, то последняя петля
гомотопна нулю и потому существует гомотопия G: Р —<¦ 33 У
удовлетворяющая соотношению G),?/«= g" (являющаяся
распространением отображения g). Поскольку стороны квад-
квадрата Р, которые отображение <р переводит в точку, ото-
отображение G также переводит в точку, существует (оче-
(очевидно, единственное и непрерывное) отображение F: Л —> 33,
удовлетворяющее соотношению G = Fo<p. Но тогда g =
= (F\dn)oq>, откуда в силу равенства ? = /оср следует, что
Этим лемма 4 полностью доказана. ?
Следствие I. Линейно связное топологическое про-
пространство 33 тогда и только тогда односвязно, когда
для лкбых двух точек b0, bt€33 все пути, соединяющие
точку Ьо с точкой blt гомотопны друг другу.
Задача 7. Выведите следствие 1 из установленных в лекции 3-
алгебраических свойств умножения гомотопических классов.
В лекции 3 (см. формулы A0) и A1) лекции 3) были
введены операции перемножения гомотопий по первому
или второму аргументу. Ясно, что операции имеют смысл —
при соответствующих условиях—и для гомотопий с под-
подвижными концами. В частности, произведение FG двух
гомотопий по второму аргументу определено тогда и только
тогда, когда конечный путь гомотопий F совпадает с на-
начальным путем гомотопий G, и в этом случае FG будет
гомотопией, начальным путем которой является начальный
путь гомотопий F, а конечным путем—конечный путь
гомотопий G.
Теперь мы уже можем непосредственно перейти к до-
доказательству леммы 2.
Доказательство леммы 2. Пусть и—произволь-
и—произвольная петля многообразия 93 в точке Ьо. Нам нужно дока-
доказать, что эта петля гомотопна некоторой специальной
петле.
Так как отрезок / компактен, то в заданном счетном
атласе многообразия S существует конечная система карг
(Uj, h;), I < i ^ N, обладающая тем свойством, что петля
и имеет вид ии ..., ы#, где для каждого t = l, ...,N
путь и1 целиком лежит в шаровой координатной окрест-

318 ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ
ности U(. Пусть bt_x—начало пути и,- и, следовательно,
bt—его конец. (Таким образом, Ьм = Ь0.)
Так как Ъ{ ? U-t П ?//+1 для каждого 1 = 1, ..., N— 1,
а множество С всюду плотно, то для любого i = 1, ...
..., N—1 существует точка с^С, принадлежащая той же
компоненте линейной связности множества Uif]Ui+u что
и точка Ьг (При i = 0 и i =? ЛГ мы дополнительно требуем,
чтобы с„ = сл/ = &0-)
Пусть у,-—произвольный путь, соединяющий в ?/,-Г) ?/,-+1
точку &/ с точкой С/. (При ^ = 0 и t = N за путь и,- мы
принимаем постоянный путь в точке Ьо.)
Так как c,_lt c(^Uh i= I, ..., N, то в Ut определен
элементарный путь wh соединяющий точку сН1 с точкой с,-.
Для каждого /=1, ,..,JV пути ui% w{_u v^lt v( це-
целиком лежат в односвязном множестве {/,• и удовлетво-
удовлетворяют, очевидно, условиям леммы 4. Поэтому согласно этой
лемме существует гомотопия F; (в ?/,-, а потому и в $),
связывающая путь ы,- с путем о»,- при начальном пути у,_,
и конечном пути у,-. Тогда гомотопия Fx... Fn опреде-
определена, связывает петлю и = их... иы со специальной пет-
петлей w — wx...Wn и—ввиду выбора путей и0 и vn —
является гомотопией с неподвижными концами.
Таким образом, петля и гомотопна специальной пет-
петле w. ?
Роль групп голономии в теории векторных расслоений
во многом определяется следующей теоремой.
Теорема 1. (Теорема редукции.) Векторное рас-
расслоение I = (<§, п, 33), на котором существует связность
с группой голономии Ф, редуцируется к группе Ф (рас-
(рассматриваемой как подгруппа в GL(n; R)).
Доказательство. Пусть U—произвольная шаровая
координатная окрестность в многообразии 3$ и пусть Ьи—ее
центр, ари—некоторый базис линеалами. Для любой точ-
точки b? U мы обозначим через w% элементарный путь, соеди-
соединяющий в U точку Ьи с точкой Ь, через П^—соответ-
П^—соответствующий параллельный перенос ?ьи —*¦ еГь, а через s(fe)=
=(s,(fc), .... sn(b))—базис П?У линеала ?ь, b?U (так
что s(bu)^pu).
Задача 8. Докажите, что базис s(b) гладко зависит
от Ь, т. е. что сечения s,-: bi-»s,-(b), i = \, ..., п, при-
принадлежат Г(?|и) (и, значит, составляют базис этого FU-
модуля).

ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ 319
Отсюда следует, что формула
Фх (Ь, а) = а% F), b?U,a = (а1 а») ? R",
определяет гладкую тривиализацию
A2) Ф: 1/xR» — ёи
расслоения ? над (/. [Подчеркнем, что эта тривиализация
зависит от выбора базиса />и.]
Чтобы единообразно выбрать базисы ри для всех окрест-
окрестностей U, вспомним, что в многообразии Si у нас фиксиро-
фиксирована точка Ьо (по отношению к которой определяется группа
голономии Ф). Имея это в виду, выберем в линеале <F0 = &ь,
произвольный базис р0 (и тем самым зададим группу Ф
как подгруппу группы GL (n, IR)), а для каждой шаро-
шаровой координатной окрестности U—некоторый путь vu в!В,
соединяющий точку Ьо с центром Ьи окрестности U. Затем
примем за базис ри результат Uvp0 параллельного пере-
переноса базиса р0 вдоль пути v — vu.
Тем самым над каждой шаровой координатной окрест-
окрестностью U многообразия 9В у нас будет построена тривиа-
тривиализация A2), т. е. будет построен некоторый тривиали-
зирующий атлас расслоения ?. [Заметим, что этот атлас
зависит только от базиса ра линеала <F0 и путей vu, соеди-
соединяющих точку Ь„ с центрами Ьи окрестностей U.]
Пусть теперь ?/, и 1}г—две пересекающиеся шаровые
координатные окрестности, q>t и ф2—соответствующие три-
виализации A2), а ф21—связывающее эти тривиализации
отображение перехода Ut П Ut —* GL (n; R). Отождествив
с помощью базиса р0 группу GL(n; R) с группой AutdT0,
мы можем считать, что
т. е. что Фл(й): 8~0—*-3~о Для каждой точки &€^iflt/s-
Аналогичным образом мы можем считать, что отобра-
отображения <риь и ф2,ь (для точек Ь из 1)х и U2 соответственно)
действуют из §~0 в ?ь\
at о > от ь * с? 0.
Но, расшифровывая определения, мы тогда немедленно
получим, что

320 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ СВЯЗНОСТИ
и, значит, что
Фаг (Р) = фа^оф,1& = П^с/.оП^у, = Uw,
ь ь
где w—петля vuw (хаЦ')'1 (ри*)~1 в точке Ьо.
Таким образом, отображение перехода ф,* принимает
значения в подгруппе Ф группы AutdFv
По определению это означает, что матричный коцикл <р,
отвечающий построенному тривиализирующему атласу,
является коциклом над Ф. Следовательно (см. определе-
определение 1 лекции 7), векторное расслоение ? редуцируется
к группе Ф. ?]
Заметим, что по ходу дела мы доказали, что вектор-
векторное расслоение I тривиализируется над каждой шаровой
координатной окрестностью многообразия 9В.
Конечно, это заключение опирается на существование
в расслоении ? связности Я. Рассмотрим поэтому вопрос
об условиях, обеспечивающих существование в ? хотя бы
одной связности. Для этого мы воспользуемся установлен-
установленным в лекции 12 биективным соответствием между связ-
ностями и ковариантными дифференцированиями
V: П-*Г
Пусть Е—линейное пространство (даже F^-модуль)
всевозможных линейных над R отображений Г?— ¦Т(т^2)?),
а Н—его подпространство (F^-подмодуль), состоящее из
отображений, линейных над FS?. Множество D всех кова-
риантных дифференцирований A3) содержится в Е, но не
является в Е подпространством (хотя бы потому, что сумма
Vi + V2 двух дифференцирований из D заведомо не при-
принадлежит D). Однако, как показывает непосредственная
проверка, для любых двух дифференцирований Vi и V2 м
любой функции f?F!B отображение
также будет дифференцированием.
Более того, если {т)а} произвольное разбиение единицы
¦(см. лекцию III.22), то для любого семейства {Va} ДИФ"
ференцирований отображение
{15) V =

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ СВЯЗНОСТИ 321
(имеющее смысл в силу свойства локальной конечности
семейства {т|а}) такжг будет дифференцированием. Если
разбиение единицы {%} подчинено покрытию {Ua}, то
отображение A5) будет, очевидно, определено (и будет
дифференцированием) даже в случае, когда каждое \а
определено лишь над Ua (для расслоения ?]с/а).
С другой стороны, ясно, что если расслоение %\иа три-
тривиально, то хотя бы одно дифференцирование Va над Ua
заведомо существует. Поэтому в этом случае над всем S
существует дифференцирование A5) и, значит, существует
соответствующая связность. Этим доказано следующее
предложение:
Предложение 2. На каждом гладком нумерируемом
(см. лекцию 7) векторном расслоении \ существует хотя
бы одна связность.
Конечно, это предложение мы могли (и, собственно
говоря, должны были) сформулировать и доказать еще
в лекции 13. Мы отложили его потому, что только теперь
из него получаются содержательные следствия.
Следствие 1. Каждое гладкое векторное расслоение
!€(<?» л, 3$) над паракомпактным многообразием 53 обла-
обладает хотя бы одной связностью.
Следствие 2. Каждое гладкое векторное расслоение
? = (<?, я, 3$) над паракомпактным многообразием Ш три-
виализируется над любой шаровой координатной окрест-
окрестностью U.
Это означает, что каждое покрытие VL = {Ua} многооб-
многообразия S, состоящее из шаровых координатных окрестно-
окрестностей, является универсально тривиализирующим [покры-
[покрытием (см. замечание 4 лекции 6).
Множество дифференцирований (=связностей) вида A4)
допускает интересную интерпретацию с точки зрения общей
теории аффинных пространств.
Напомним (см. определение 3 лекции 1.4), что (не-
(непустое!) множество Л называется аффинным пространством
над линеалом Т3, если задано такое отображение
A6) ЛхЛ-^f*, (А,В)*-+АВ,
что
а) для любого вектора а ? "У3 и любой точки А ? Л
существует единственная точка В, для которой АВ—а;
11 М. М. Постников, сем. IV

322 АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО СВЯЗНОСТЕЙ
б) для любых трех точек А, В, С?А имеет место
равенство
Нам сейчас важно подчеркнуть, что в этом определе-
определении нигде не используется наличие в основном поле К
деления. Следовательно, оно имеет смысл и тогда, когда
f* является не линеалом, а лишь модулем над некоторым
кольцом К.
Для множества D роль кольца К играет кольцо функ-
функций ?33, роль модуля "Р—подмодуль Н, а отображение
A6) определяется формулой
[Включение V2—ViGH вытекает из того, что при вычита-
вычитании друг из друга формул Лейбница для V2(/s) и Vi(fs)
члены Xfs сокращаются. Аксиома б сводится к тривиаль-
тривиальному тождеству
V,—Vi = (V,—Va) + (V2— Vi),
а аксиома а—к автоматически проверяемому утвержде-
утверждению, что для любого дифференцирования V и любого FS-
линейного отображения 6^Н отображение V + b является
дифференцированием.]
Таким образом, мы видим, что множество D всех кова-
риантных дифференцирований (или что равносильно —
всех связностей) на гладком векторном расслоении | =
= (<В, л, 33) является (когда оно непусто) аффинным
пространством над РЗЗ-модулем Н.
С этой точки зрения множество дифференцирований A4)
является не чем иным, как прямой аффинного простран-
пространства D.

Лекция 19
Вычисление параллельного переноса вдоль петли.— Опе-
Оператор кривизны в данной точке.—Перенесение вектора
по бесконечно малому параллелограмму.—Тензор кри-
кривизны.— Формула преобразования компонент тензора кри-
кривизны.— Выражение оператора кривизны через ковариант-
ные производные.— Структурное уравнение Картана.—
Тождество Бианки.
Пусть ? = (<?, л, ЭЭ)—гладкое векторное расслоение
ранга п над m-мерным многообразием В с отмеченной
точкой Ьо и пусть Я—связность на ?. Тогда—см. лек-
лекцию 18—каждая гладкая петля и: I—+53 в точке Ьо
определяет отображение
Пи: cF0 —*¦ qF0, ? о = aFfr,,
являющееся тождественным отображением id, когда петля
и постоянна.
Раз и навсегда мы зафиксируем тривиализирующую
координатную окрестность U точки Ьо в многообразии S,
координаты х1, ..., хт в окрестности U, центрированные
в точке Ьо, и тривиализацию s — (slt ..., sn) расслоения 5
над U (базис FS-модуля Г? над U). Тогда каждая петля и,
целиком расположенная в U, будет иметь векторное пара-
параметрическое уравнение вида
A) x = x(t), 0<f<l,
где x(t) = (x1(t), ..., xm(t))—такая гладкая вектор-функ-
вектор-функция, что дг(О) = О и дгA) = О, а соответствующее отобра-
отображение Пи будет переводить точку р0 6 <F0» имеющую в ба-
базисе s {Ьо) линеала <F0 координаты а0 = (aj. • ¦ •. До), в точку
/71 = Пыр0, имеющую в том же базисе координаты пх=
— (а1(\), . ..,а"A)). Здесь а'A), 1 <f<«,—значения
при / = 1 функций al(t), l<i^n, являющихся реше-
решениями дифференциальных уравнений
B) а'(О + Г/;/(лг@)>@й/@ = 0, 1 = 1, ...,я,
с начальными условиями al@) = ai, l^t^n. (Отсюда,
в частности, непосредственно следует, что отображение Пц
линейно и биективно, т. е. является невырожденным ли-
линейным оператором на JF0; ср. лекцию 18.)
11*

324 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Вместо дифференциальных уравнений B) удобно рас-
рассматривать равносильные интегральные уравнения
C) a'(t)^at-^
о
Преимущество этих уравнений состоит в том, что к их
решению применим метод последовательных приближений.
Без ограничения общности можно считать, что замы-
замыкание U окрестности U компактно. Тогда гладкие функции
Г^ будут ограничены на U, т. е. будет существовать такая
константа С > 0, что
D) \nj\<CmU
для всех I, j и k.
О петле A) мы будем говорить, что она имеет размер
<!s, если
E) \'x"(t)\<s
для всех t, О ^ t < 1, и всех k = 1, ..., т.
Заметим, что для любой такой петли
F) |**@Ю
для всех t, 0 sgC t ^ 1, и всех k — 1, ..., т.
Действительно, так как л:*@) = 0, то
* t
|**(9I- \'xk(t)dt <$|i*(/)|df<s*<s. n
io ; о
Лемма 1. Существуют такие константы Сх и С2,
что для любой гладкой (и даже кусочно гладкой) петли и
размера <s для решений a'(t) уравнений C) имеет место
оценка
G) \a!(t)\^W
для всех t, 0 < / < 1, и всех i = 1, ..., п.
Доказательство. Пусть
а (О1 = J
Тогда
?
i

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
325
и, значит,
a(t)\a(t)\^mCs 2 \а!
i. /= 1
где С—константа из оценки D). С другой стороны, так
как для любых положительных чисел а и b имеет место
неравенство
(ибо (а—&J>0), то
1С (О И а'(О К
< у (? («' (ОJ )
После сокращения на a(t) мы получаем, что
где Сх =
т. е.
Но тогда
din a (О
dt
1по@-1па@)|=
io
4!
d\na(t)
dt
и потому
Поскольку |a'(<)j^a(O, это доказывает G). П
Зафиксировав число s0 > 0, будем считать, что 0 ^ s <| s0.
Следствие. Существует такая константа С, что
для любой петли и размера =О% имеет место оценка
(8) |а'@|<С
для всех t, 0 ^ t ^ 1, и всех i = 1, ..., п.
Доказательство. Согласно формуле G)
о. ?

326 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Теперь мы можем непосредственно приступить к реше-
решению системы C) для петли и размера ^s методом после-
последовательных приближений.
Первое приближение. Из неравенств D), E) и
F) следует, что при некоторой константе С имеет место
оценка
\a4t)—ai\
где О(st)—такая функция, что при O^^^l и 0 < s < s0
отношение —~-^- ограничено.
St
Второе приближение. Из формулы конечных
приращений Лагранжа и неравенств E) следует, что
где Г?/@)—значения функций Г?/ в точке Ьа (при лг = О).
Поэтому
t
a' (t) = а'0-\ [П, @) + О (st)] [at -ь О (st)} 'x* (t) dt =
о
= ai-Y)k @) а!0 \ 'х* (t) dt + О(sH),
о
т. е.
a1(t)—ai—Г
Третье приближение. Из формулы Тейлора с ос-
остаточным членом и неравенств E) и F) следует, что
Tit (х @) = Tii @) + -^j- @) х' (t) + О (s4)
•(напомним, что множество U мы предполагаем компакт-
компактным). Поэтому
а' @ = ai-^ П, @) + -gig- @) xl (t) + О (s*t)\ x
X [а{~ T'qp @) aW (t) + О (s*t)] i» @ dt =
t
- ai—Th @) aixk (t) + ri/ @) Г'р @) a? J x« @ ifc @ dt—
о
—?f (O)aif^@i*@*+O(s»0,

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА 327
т. е.
*Р @) Г?, @)—^- @) 1 а{ j х? (t) x* @ dt + O {sH).
Дальнейшие приближения нам не понадобятся.
Так как **A) = 0, то при t=\ мы в понятных обо-
обозначениях получаем отсюда равенство
f rUf/—^]
(9) а' A) = oj + f rUf/—^-] <tf J *' @ > (t) dt.
Чтобы вычислить интеграл справа, наложим на петлю и
дополнительные условия.
Условие 1. Функции A) имеют вид
(Ю) х*@ = **(а@, Р@), 0<<<1,
где х*(а, Р)—функции двух переменных, определенные
в некоторой окрестности К точки @, 0) на (а, р)-плоскости R*
и такие, что ранг матрицы частных производных
в точке @, 0) равен двум, а
A2) а = а@,
— уравнения некоторой кусочно гладкой петли у в F.
Наглядно это условие означает, что петля и располо-
расположена на некоторой регулярной элементарной поверхности
A3) ** = х*(а, Р), (а,
Поскольку
A4) i*
(для упрощения формул мы опускаем аргументы; символы
х„ и дгр обозначают частные производные), интеграл из
формулы (9) записывается теперь в виде контурного ин-
интеграла по кривой "у:
A5) ) xlx* dt = ) xl (x*a -r x$) dt =
о о

328 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА
Условие 2. Для функций A2) (или, точнее,— их
производных) имеют место оценки
где
A6)
ft (?.
(a, PNV, k=l т.
Это условие обеспечивает справедливость оценки E)
(см. формулы A4)).
Условие 3. Петля и (или—что равносильно—петля у)
является простой замкнутой кривой (не имеет самопере-
самопересечений).
Из этого условия следует, что кривая у ограничивает
на (а, Р)-плоскости некоторую область G. Поэтому к кон-
контурному интегралу A5) применима формула Грина, со-
согласно которой этот интеграл равен
С другой стороны, из условия 2 следует (см. выше вывод
оценки F) из оценок E)), что кривая у, а потому и об-
область G целиком расположены в квадрате
Поэтому для площади этой области имеет место оценка
da dp =.«« + О (s3),
а для интеграла по G от произвольной непрерывной на G
функции f—оценка
A8) SS
с
где с—некоторое число (зависящее от формы области G).
Условие 4. Число с отлично от нуля.
Геометрически это условие означает, что область G ни
в одном направлении сильно не сплющена.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО ПЕРЕНОСА 329
Применение к интегралу A7) оценки A8) дает ^нам
теперь равенство
1
\'xlxkdt = — s24l + О (s3),
о
где
A9) 4'=D4-4*PV-
Подставив это выражение в формулу (9), мы, следова-
следовательно, получим, что
Переставив немые индексы суммирования k и /, эту фор-
формулу можно переписать в следующем виде:
а' A) - ai + s* \^pl -Г|рГ?у] хЫ + О (s8).
Так как хЦ1 — — х%1, то, сложив две последние формулы и
разделив на 2, мы получим следующую окончательную
формулу:
B0) a<(\) = ai-±
где (R},ki)o—значение в точке Ьо функции
BL) *ш = %~1^ + ^Ри-тЪП,
Обсудим полученную формулу подробнее.
Участвующие в формуле B0) числа A9) представляют
собой не что иное, как компоненты бивектора (сха/\х$)а,
являющегося с точностью до множителя сФО внешним
произведением координатных векторов ха и дг0 поверх-
поверхности A2) в точке @, 0) и потому, в силу условия на ранг
матрицы A1), отличного от нуля. Чтобы не привязывать
слишком тесно этот бивектор к по существу случайной
поверхности A2), мы будем обозначать его символом А/\В,
где А и В—произвольные векторы пространства Т6о$,
обладающие тем свойством, что А/\В = [сха/\х^й, а его
компоненты х\1—символом {А/\В)М\ так что

330 ОПЕРАТОР КРИВИЗНЫ В ДАННОЙ ТОЧКЕ
где Ак и Вк—координаты векторов А и В в рассматри-
рассматриваемой системе локальных координат.
Положим
R(A, ВЙ=4(ДЫ,(ЛЛВ)*'.
(Заметим, что эта формула имеет смысл для любых векто-
векторов A, B?Tb/j3.)
Легко видеть, что
B2) R(A,B)l, = (RUt)oA"B'.
Действительно, так как R),« = —R), ik и (А /\В)к1 =. АкВ1 —
— А1 В", то
(для упрощения формул мы вместо (Rljt ki\ пишем здесь
просто /?',*/; подобную вольность мы будем позволять
себе и впредь).
Формулу B0) мы можем теперь переписать в следую-
следующем виде:
B3) а'A) = а$—s*R(A, B)Ja?-f O(s3).
По определению числа а& = а'@) являются координа-
координатами некоторого вектора /зо€$"о> а числа а'A) — коорди-
тами параллельно перенесенного вектора П|Вр0. Что же
касается чисел B2), то они составляют матрицу некото-
некоторого линейного оператора R(A, В), переводящего вектор р0
в вектор R(A, В)рд с координатами R(A, B))a{. Таким
образом, в векторной форме равенство B3) имеет вид
B3') [ПЛ = Po-s*R (A,B)p0 + O (s3),
а в операторной—вид
B3") nu = id—s*R{A, B) + O(sl).
Оператор R(A, В) называется оператором кривизны
связности Н, отвечающим бивектору А/\В.
Пусть для каждого s, 0 < s < s0, задана петля us раз-
размера ^s, удовлетворяющая условиям 1—4, гладко зави-
зависящая от s (в том смысле, что функции, задающие эту
петлю в координатах, являются также гладкими функциями
от s) и такая, что бивектор А АВ ф- 0, отвечающий петле us

ОПЕРАТОР КРИВИЗНЫ В ДАННОЙ ТОЧКЕ 331'
один и тот же для всех s. Тогда из формулы B3) следует,
что для линейного оператора R(A, В) будет иметь место
равенство
B4) Я(Л,ЯН-1ап^?^-.
s-<-0 s
Поскольку правая часть этой формулы не зависит от
выбора координат а1, ..., ап и х1, ..., хт (если петли us
удовлетворяют условиям 1—4 по отношению к одной си-
системе координат, то они будут, очевидно, удовлетворять
этим условиям и по отношению к любой другой), этим
доказано—в предположении, что для бивектора А/\В
существуют петли us,— что оператор кривизны
B5) R(A, В): ?й -* <F0
определен корректно (зависит только от связности Н и
бивектора А/\В).
Но для любого ли бивектора А Л 5 Ф О можно построить
петли us, О < s < s0?
Оказывается, что это возможно только при некоторых
условиях на бивектор А/\В. Рассмотрим этом вопрос
подробнее.
Пусть А и В—произвольные линейно независимые век-
векторы пространства ТЬо$}. Определим функции х*(а, р) фор-
формулой
B6) х"{а, Р) = аЛ* + рВ*. * = 1, ...,/Пр
Геометрически это означает, что за элементарную поверх-
поверхность A3) мы принимаем поверхность, являющуюся в ко-
координатах х1, ..., хт плоскостью с направляющим бивек-
бивектором А/\В. Координатными векторами ха и хр этой
поверхности являются векторы Л и 5. На (а, |3)-плоскости
этим векторам соответствуют единичные орты координатных
осей / = A,0) и У=@, 1).
Пусть Gs—квадрат (а, Р)-плоскости, построенный на
векторах si, sj (и имеющий, следовательно, площадь s2),
a ys—его граница, пробегаемая в положительном направ-
направлении (против часовой стрелки). Петля us на поверхности
A3), отвечающая петле ys, удовлетворяет, очевидно, усло-
условиям 1, 3 и 4 (с с=\). Что же касается условия 2, то
функции A2) для петли ys имеют вид

332 ПЕРЕНЕСЕНИЕ ВЕКТОРА
где
УVI
и, значит, удовлетворяют неравенствам
|a@K4s, |р (OK 4s.
Поэтому условие 2 будет выполнено при AM ^ I, где
B7) М |
ut,
1,
3—4/
0,
если
если
, если
если
0
1/4
1/2
3/4
<
<
/< 1/4,
t<\/2,
/<3/4,
/<1,
Мы видим, таким образом, что если для векторов А
и В имеет место неравенство М < 1/4, где М—число
B7), то построенные петли us удовлетворяют условиям
1—4 и потому для них будет иметь место формула B4).
Следовательно, для таких векторов оператор R(A, В)
определен корректно.
Однако, поскольку для любого К ? R
R(KA, B) = R\(A, Щ = кЩА, В),
мы все же получаем, что оператор R(A, В) определен кор-
корректно для любых векторов A, B?TbJB.
Если А/\В = 0, то, по определению, R(A, 5) = 0.
Наглядно каждую петлю us можно представлять себе
как результат обхода параллелограмма, построенного на
векторах sA, sB. Поэтому на традиционном языке анализа
результат произведенного исследования означает, что при
параллельном перенесении вектора po€<fba т бесконечно
малому параллелограмму, задаваемому бивектором
sa (A AB), вектор р0 приобретает приращение с точностью
до бесконечно малых высшего порядка, равное —s2R(A, В) ри.
Пусть X и Y—произвольные векторные поля на мно-
многообразии 3$. Тогда в каждой точке b?$3 определен ли-
линейный оператор
R(Xb, Yb): <F6-f-6,
и, значит, для каждого сечения s?FJ; расслоения ? век-
вектор R(Xb, Yb)s{b{?Fb.

ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ 333
Поэтому формула
[R (X, Y) s] ф) = R (Xb, Yb) s (b), b € Я,
определяет на & некоторое сечение R(X, Y)s расслое-
расслоения I. В каждой карте координаты этого сечения выра-
выражаются формулой
B8) [R(X, У)*]' = ДиХ*У'*/,
откуда, в частности, следует, что сечение R(X, Y)s гладко
(принадлежит П). Таким образом, мы видим, что для
любых векторных полей X, Y ? а53 определено отображение
B9) R(X, Y): П-^П
TrHB-модуля Г? в себя. При этом легко видеть (например,
из формулы B8)), что отображение B9) PS-линейно.
Следовательно, соответствие (X, Y)h-*R(X, Y) задает
некоторое отображение
C0) R: а® X а53 — EndF(e ГБ
прямого произведения аЗЗхаЗЗ в модуль Endp^r^ всех
FS-линейных отображений Г| —»• Г^, очевидным образом
линейное (и даже Рй-линейное) по каждому из аргументов.
Заметим, что
C1) R(Y,X) = -R(X,Y)
для любых полей X, Y?a!B.
Отображение B9) называется оператором кривизны,
отвечающим векторным полям X и Y. Что же касается
отображения C0), то в силу отождествлений
Е1Г* НAг ГБ)МE ?)
= Г(Нот(|,
(см. формулу A9) лекции 11) оно представляет собой
F^-линейное отображение
C2) R: аЗЗха®-
и, следовательно, является (см. задачу 21 лекции 16
и соотношение C1)) дифференциальной формой степени 2
(кососимметрическим тензорным полем типа B,0)) на мно-
многообразии SB со значениями в векторном расслоении End?.
Эта дифференциальная форма (тензорное поле) называется
тензором кривизны связности Н.

334 ФОРМУЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПОНЕНТ ТЕНЗОРА
Обратим внимание, что сечениями расслоения End ? =
= 1*®1 являются ^-тензорные поля над 93 типа A,1).
Замечание 1. В литературе можно встретить другое
определение тензора кривизны, отличающейся от нашего
знаком. Обозначения также варьируются—вместо Rjrkl
пишут Rlm, RJt kl', R'fki и т. д. и т. п.
Задача 1. Для любой формы R на 93 со значениями в End \
и любого гладкого отображения /: 93' —»¦ 93 определите форму f*R
на 93' со значениями в End /•? и покажите, что в случае, когда
R является тензором кривизны связности Н, форма f*R будет тензо-
тензором кривизны связности f*H.
Формула B1) определяет гладкие функции /?'iW на
произвольной координатной тривиализирующей окрест-
окрестности U. Эти функции называются компонентами тен-
тензора R над U.
Пусть Rlj'.k'i' — компоненты тензора R над другой
координатной тривиализирующей окрестностью U'. Оказы-
Оказывается, что на пересечении U П V имеет место соотно-
соотношение
/ОО\ ПС' I 3* д1
C3) Ri,k,l. = <p
Rk,l. <piyrRjtkl
(мы используем стандартные обозначения, введенные в лек-
лекции 10; см., в частности, формулу A7) лекции 10). Дока-
Доказательство этого соотношения можно провести автомати-
автоматической выкладкой, использующей формулу A7) лекции 10.
Однако эта выкладка довольно канительна, и мы поступим
по-другому. (Тем не менее читателю будет очень полезно —
чтобы хотя бы набить руку в тензорных вычислениях —
провести все же ее самому.)
Именно, мы воспользуемся тем, что для произвольной
точки bo?Ur\U' и любых векторов А, В?ТЬо93 у нас
корректно определен линейный оператор B5), причем
в базисе линеала аГ0 = $"&„, отвечающего заданной на U
тривиализации, этот оператор имеет матрицу ||#(Л, B)j\\ =
= \R\ klAkBl\, а в базисе, отвечающем тривиализации,
заданной на f/',—матрицу \\R(A, B)pl = lRil'.,k,rA*lBl'\\.
Следовательно, согласно общему правилу о связи матриц
одного и того же оператора в различных базисах (см.
лекцию 11.15), для этих матриц имеет место формула
т. е. формула

ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА КРИВИЗНЫ 335
(где, конечно, под Я}','*.,,, фГ, ф/' и Rlltkl имеются в виду
значения этих функций в точке Ьо). Поскольку
дхя дх'
это—в силу произвольности чисел Ак' и В1'—доказывает
((юрмулу C3) (в точке Ьо, а потому и на всем пересече-
пересечении U(]U').
Это рассуждение фактически использует только тот
факт, что формулы B8) корректно определяют по функ-
функциям Rj, M тензор C0). Поэтому формула C3) справедлива
для компонент любого тензора типа B, 0) со значениями
в End?.
Задача 2. Покажите, что если над каждой координатной три-
виализирующей окрестностью U заданы функции RJ,ki, причем для
любых двух окрестностей U и U' на пересечении U[)U' имеет место
формула C3), то формулы B8) корректно определяют некоторый тен-
тензор C0) типа B, 0) со значениями в End ?.
Следовательно, такого рода тензоры мы можем отож-
отождествлять с наборами функций R),ki, преобразующихся
по формуле C3).
Этот факт позволяет нам ввести тензор R, просто
задавая его компоненты формулой B1) (без каких-либо
объяснений ее происхождения). Конечно, тогда проверка
соотношений C3) на основе формулы A7) лекции 10 де-
делается обязательной. Впрочем, эту проверку можно обойти
(или, точнее, сдвинуть в другое более удобное место),
если выразить оператор R(X, Y) через операторы кова-
риантных производных
отвечающие векторным полям X и Y.
В координатах производные V* и YK выражаются (см.
формулу A0) лекции 11) формулами

336 ВЫРАЖЕНИЕ ОПЕРАТОРА КРИВИЗНЫ
Поэтому
Аналогичное выражение для (VyVxs)' получается переста-
перестановкой символов X и К или—после переименования
индексов суммирования—перестановкой индексов k и /.
Поэтому при вычитании (VyVxsY из (V^VyS)' первые члены
этих выражений—ввиду свойства симметричности вторых
смешанных частных производных—сократятся. Кроме того,
так как четвертый и шестой члены каждого выражения
получаются друг из друга—после переименования индек-
индексов суммирования—перестановкой k и /, то эти члены
также сократятся (четвертый—с шестым, а шестой—с чет-
четвертым). Разность же третьих и седьмых членов будет
равна
(см. формулу B1)). Наконец, оставшиеся члены дадут нам
сумму
в силу формулы B4) лекции III. 16 равную
Этим доказано, что V^Vy—VyVx=#(^> ^)-Ь VIJf,yj (на
каждой координатной тривиализующей окрестности', а по-
потому и всюду), т. е.
C4) R (X, Y) =
Формулу C4) можно принять за определение опера-
операторов R (X, Y). Это определение, не оставляя желать
ничего лучшего в отношении простоты и краткости, имеет,

СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРТАНА 337"
однако, формальный характер и не вскрывает геометри-
геометрического смысла этих операторов.
Конечно, принимая формулу C4) за определение, мы
должны, во-первых, проверить, что эта формула задает
Р.Э-линейное отображение R (X, Y): Г| —* Г?, а во-вто-
во-вторых—что соответствующее отображение C0) также FS-ли-
нейно.
Задача 3. Сделайте это.
Наиболее просто и экономно тензор кривизны строится,
исходя из ковариантного дифференцирования
V: П
отвечающего связности Я (см. лекцию 13).
Пусть 0—линейная дифференциальная форма на ?&
(элемент модуля Г(т^) = Г (Л1^)), а г|>—сечение рас-
расслоения т<д@? (линейная дифференциальная форма на S"
со значениями в I). В каждой точке &€,© элемент
слоя Ть&®!?\ = &1ТьЗ$(?0г\ расслоения xl
имеет вид?2/®J/» i€, p,€
Задача 4. Докажите, что формула
корректно определяет элемент (9Лг|>)ь слоя Л*ТЬ
расслоения ЛЧ_д0^ и, значит, формула
— некоторое сечение ЭДФ расслоения ^
Если расслоение \ тривиально над окрестностью U с 53
п su ..., sn—соответствующая тривиализация (базис
FtZ-модуля Г(||у)), то форма ур над U единственным обра-
образом представляется в виде 2а/®5/> где а/—линейные
дифференциальные формы на и, а форма бД'Ф будет за-
задаваться формулой
0Л1|> = 2(еЛа/)®** пади.
Это, в частности, показывает, что сечение ЭД'Ф гладко
(принадлежит Г (Л2т^®^)).
Задача 5. Докажите, что существует единственное
R-линейное отображение

538 СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРТАНА
удовлетворяющее тождеству
Докажите, что это отображение удовлетворяет также
тождеству Лейбница
V (Лр) = d/Л* + /Vtp, f € F», \|5 6 Г (т^ ® ?).
[Указание. Над произвольной тривиализующеи окрест-
окрестностью U с 53 отображение f задается формулой
( 2 a,-®S/ )= 2 (dai^Si—
где а/бГ(т^д|у), a su ..., sn—базис FtZ-модуля Г(?|с/)-]
Таким образом, мы имеем два отображения
Г?-^-Г(т^®?) -^Г(Лгт^®|)
я можем рассмотреть их композицию
Легко видеть, что последнее отображение FfB-линейно:
r)s. П
Поэтому (см. предложение 3 лекции 11) существует такой
морфизм
C5) R: Е-
векторых расслоений (т. е.— см. задачу 14 лекции 12—сече-
12—сечение расслоения Нот (?, A2t^(g)i)), что
Задача 6. Докажите, что для любых трех векторных расслое-
расслоений |, т|, ? имеет место естественный изоморфизм
Нот(|, Т|<S> S) = Т1 ® Horn (g, ?)•
В частности,
Нот E, Л2т^ ® |) = Лат^ ® End i,
откуда следует, что морфизм C5) мы можем интерпрети-
интерпретировать как дифференциальную форму степени 2 на S со
значениями в расслоении End?. Мы будем называть эту

СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРТАНА 33J>
форму формой кривизны связности Н. Сравним ее с тен-
тензором кривизны C2).
Пусть U—произвольная координатная тривиализующая
окрестность и su .... sn—базис Ff-модуля Г^^). Тогда
для любого / = 1, ..., п должны иметь место равенства вида
где
О}= 2 R
k<l
— некоторые дифференциальные формы степени 2 на Ur
составляющие матрицу
C7) а = !№
Коэффициенты R'jiki пока никак не связаны с тензором!
f кривизны.)
Матрица Q называется матрицей форм кривизны (или
просто матрицей кривизны) связности Н над окрест-
окрестностью U. (Употребляется также термин матричнозначная
форма кривизны.)
Пусть со = !<о} ||—матрица форм связности Н на окрест-
окрестности V.
По определению
Щ ® st = V (Vs;) = V (о>/ (g) st) —
= dcoj (g) s,—со*
= (da'j—со/
и, следовательно,
C8) й}
В матричной форме это равенство имеет вид
C8') Q
а в координатной—вид
Из последней формулы следует, что

340 СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРТАНА
(при k < I, а потому—в силу кососимметричности коэф-
коэффициентов R),ki по k и /—и для любых k и /), т. е., как
и подсказывают обозначения, коэффициенты Щ1к1 являются
не чем иным, как компонентами тензора кривизны.
Кроме того, мы видим, что значения Щ{А, В) форм Щ
на векторах А, В?ТЬ$}—это в точности числа R(A, B)j
из формулы B2). В соответствии с этим матрицу || R (A, B)J||
мы будем в дальнейшем обозначать также символом
Q(A, В) (или—если нужно указать точку b—символом
пь{А,В)).
Формула C8') называете я структурным урав-
уравнением Картана.
Замечание 2. В некоторых учебниках диффгрен-
циальной геометрии структурное уравнение пишется в виде
Причина изменения знака состоит в том, что в этих учеб-
учебниках используются транспонированные матрицы
Q и со (т. е. считается, что верхний индекс нумерует не
строки, а столбцы). Конечно, никакого принципиального
значения это не имеет.
Таким образом, для тензора кривизны мы имеем четыре
различных определения. Первое обладает преимуществом
геометричности, но приводит к длинным выкладкам. Вто-
Второе (даваемое формулой B1)) слишком формально, а третье
{даваемое формулой C4)) слишком сильно привязано к век-
векторным полям, которые приходится все время волочить
за собой. Наиболее элегантно четвертое определение (да-
(даваемое формулой C6) или, если хотите, формулой C8)),
которое хотя и требует некоторой предварительной работы,
но оказывается на практике наиболее удобным, позволяя
использовать гибкий и эффективный аппарат дифферен-
дифференциальных форм. В дальнейшем мы, как правило, будем
пользоваться им.
Преимущества, доставляемые дифференциальными фор-
формами, ярко демонстрируются на примере доказательства
следующего пр едложен и я.
Предложение 1 (тождество Бианки). На каж-
каждой окрестности U имеет место равенство
<39) <7й

ТОЖДЕСТВО БИАНКИ 341
Доказательство. Согласно формуле C8') d<a=*
= Q—юДсо и
dQ = dda + d (соДсо) = cfa>A<»—©Л^со.
Поэтому
dQ = (Q—юЛ«)До)—соД (S3—юДю) = ЙД©—соДЙ. П
В развернутом виде соотношение C9) имеет вид
где
и потому
k' Щ = S Щ. и dx*Adx',
к ^ •
= 2
kl <
<s
= 2
Здесь удобно ввести подходящие сокращенные обозначения.
Пусть Akrs—массив величин, зависящих от трех индек-
индексов (пространственная матрица). Мы положим
D0) .
Говорят, что Alkls) получается из Akls цитированием.
Ясно, что АШз) не меняется при циклической переста-
перестановке индексов:
Аналогичные обозначения употребляются, когда Ak[s
зависят еще от других индексов. (При этом, в случае
необходимости, индексы, по которым циклирование не
происходит, выделяются прямыми черточками. Например,
запись A(kt\p\q) означает результат циклирования по k, I
и q при неизменном р.)
Обозначая дифференцирование по хк символом дк и
учитывая кососимметричность функций i?',fe/ no k и /, мы
теперь видим, что коэффициентами форм йЩ, <в^ДО/ и

342 ТОЖДЕСТБО БИАНКИ
и>1рА&1 являются соответственно функции
d(kR\n is), Rp,(kiT\i\S) — TnkR\p\,is),
k < I < s.
Это означает, что тождество C9) равносильно тождеству
D1) У(?Г
Для любых фиксированных / и s функции R'^ ls явля-
являются компонентами некоторого ^-тензорного поля JRls
типа A,1). определенного на U. Согласно общей формуле
A3) лекции 11 компоненты частных ковариантных произ-
производных T?kRls этого поля выражаются формулой
(V*/U = дкЩ. 1S-T%R'P. „ + TpkRl h.
Сравнив эту формулу с формулой D1), мы немедленно
получим, что формула D1) равносильна соотношению
D2) (УД.ЬО,
т. е. соотношению \{kRiS) = О-
Это есть тождество Бианки, записанное в тензорном
виде.

Лекция 20
Тензор кривизны и группа голономии.— Выражение ал-
алгебры голономии через тензор кривизны.— Случай плоской
связности.— Ковариантно постоянные тривиализации.—
Связности, обладающие абсолютным параллелизмом.— Пе-
Переход к главным расслоениям.— Параллельный перенос и
группа голономии для главных расслоений.— Теорема ре-
редукции для главных расслоений.— Форма кривизны связ-
связности на главном расслоении.— Теорема Амброза —Син-
гера.— Применение теоремы Амброза — Сингера к вектор-
векторным расслоениям.
В этой лекции мы изучим взаимоотношение тензора
кривизны R с суженной группой голономии Фе связности Я
в точке Ь0?58.
Выкладки предыдущей лекции, на основе которых мы
ввели тензор кривизны, показывают, что знание тензора R
в точке Ьо (т. е. знание всех операторов R{A, В),
А, В ? Т<,053) позволяет вычислить с точностью до бесконечно
малых высшего порядка параллельный перенос вдоль лю-
любых бесконечно малых петель, начинающихся и кончаю-
кончающихся в точке Ьо. Следовательно, знание этого тензора на
всем многообразии 53 позволяет вычислить—с той же
точностью—параллельный перенос вдоль любого лассо
с бесконечно малой петлей. Но мы знаем (см. следствие 1
леммы 3 лекции 18), что каждая гомотопная нулю петля и
комбинаторно эквивалентна произведению сколь угодно
малых лассо и, следовательно, что параллельный перенос Пи
является произведением параллельных переносов по этим
лассо. Заменив параллельные переносы по лассо их глав-
главными частями, мы получим для Пк аналог интегральной
суммы (в которой роль сложения играет умножение ли-
линейных операторов), причем пределом этой суммы будет
отображение Па. Это показывает, что тензор R полностью
определяет группу Фе. (Заметим, что знания тензора R
только в точке Ьо для определения группы Фе недостаточно.)
Конечно, чтобы привести эти соображения в аккуратный
вид и получить явные формулы для вычисления элементов
группы Фг надо, вообще говоря, предварительно по-
построить соответствующую теорию операторного интегриро-
интегрирования. Это построение, хотя в принципе и очевидное,
необходимо должно быть весьма громоздким (хотя бы из-за
некоммутативности умножения операторов). Поэтому стоит

344 ВЫРАЖЕНИЕ АЛГЕБРЫ ГОЛОНОМИИ
поискать обходный путь. Первое, что здесь приходит в
голову,—это заменить интеграционный подход равносиль-
равносильным дифференциальным и выразить через тензор R не
группу Ли Фе, а ее алгебру Ли f, являющуюся подалгеб-
подалгеброй алгебры Ли [End<F60]. (Эта алгебра называется, кстати
сказать, алгеброй голономии связности Н в точке Ьа.)
С этой целью мы, возвращаясь к формуле B4) лекции 19,
введем в рассмотрение кривую /•—*• v (t) в группе Фе, опре-
определенную на отрезке [0, to]t to = sl, формулой
Ш„ , если 0 < t < /0, где s = VI,
A) у (О И '
vjd, если t = 0.
Из формулы B4) лекции 19 непосредственно следует,
что эта кривая гладка в точке t — О и ее касательным
вектором в этой точке является—с точностью до знака —
оператор R(A, В).
Таким образом, все операторы вида R(A, В), А,В? Ть,33,
принадлежат алгебре голономии f.
Однако этими операторами (и их линейными комбина-
комбинациями) алгебра Ли f, вообще говоря, отнюдь не исчерпы-
исчерпывается. Действительно, как мы знаем, произвольный путь w,
соединяющий точку Ьо с некоторой точкой Ь? S3, определяет
изоморфизм группы Феф) на группу Фе — Фе (Ьо) и, значит,
алгебры f F) на алгебру f = f (b0). Обозначим последний
изоморфизм символом w#. Тогда в алгебре f для любых
векторов А, В ? 1b3i будет определен элемент w*R {A, В).
Таким образом, алгебра f содержит также все операторы
вида w#R(A, В), А, 5^ТЬ.®, а значит, и все их линейные
комбинации.
Предложение 1. Алгебра f состоит из всех линейных
комбинаций элементов вида w#R(A, В), А,В? Т653, Ъ€ S3.
Таким образом, зная тензор R, мы можем вычислить
алгебру Ли f, а по ней восстановить и группу Ли Ое.
Можно предложить следующий путь доказательства
предложения 1.
Каждый элемент алгебры f является касательным век-
вектором в точке t = 0 к некоторой гладкой кривой в группе Фе,
проходящей при ? = 0 через точку е. Естественно предпо-
предполагать, что на некотором отрезке вида [0, *„] эту кривую
можно представить в виде A), где us—семейство гомо-
гомотопных нулю петель, гладко зависящих от параметра
s = V t (и такое, что ПИо = id). Согласно следствию 1

СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТИ 345
леммы 3 лекции 18 каждый элемент UUs можно разложить
в произведение вида П_A).. .П_<т), где «"<", ..., п(™ —
us us
малые лассо. Наглядно очевидно, что это можно сделать
так, чтобы т было одним и тем_же для всех достаточно
малых s и чтобы каждое лассо u\h имело вид w^^w^1,
где пути wk не зависят от s, a u(sky представляют собой малые
петли, гладко зависящие от s (и удовлетворяющие усло-
условиям 1—4 из лекции 19). Тогда касательный вектор в
точке s = 0 к кривой A) будет (см. задачу 17 лекции 14)
суммой касательных векторов к кривым A), отвечающим
петлям и?\ т. е. будет суммой элементов вида w*R (Лл, В„),
где Ak, Bk?lWk(\)!B. Таким образом, каждый элемент
алгебры f действительно является линейной комбинацией
элементов вида w#R(A, В).
Конечно, хотя это эвристическое рассуждение и делает
предложение 1 достаточно убедительным, но чтобы превра-
превратить его в формальное доказательство, требуется очень
много технической работы. Поэтому ниже мы докажем
предложение 1 совсем другим способом.
Ситуация значительно упрощается при R = О (т. е. когда
R'i.kt — O на каждой окрестности U). В этом случае каж-
каждый член указанной выше интегральной суммы (или, лучше
сказать, интегрального произведения) будет с точностью
до величин высшего порядка малости тождественным опе-
оператором id, и потому ее предел (независимо от порядка
слагаемых—сомножителей) будет равен id. Таким образом,
если R — 0, то Фе — {е}. Поскольку обратное утверждение
(если Фе={е), то /? = 0) очевидно, мы видим, что спра-
справедливо следующее предложение (являющееся, конечно,
всего лишь частным случаем предложения 1):
Предложение 2. Равенство R =-¦ 0 имеет место тогда
и только тогда, когда Фе=={е}:
Связность, для которой /? = 0, называется плоской.
Хотя при R = 0 изложенные выше «интегральные»
соображения можно без труда превратить в четкое дока-
доказательство (сделайте это!), мы все же дадим сейчас пред-
предложению 2 независимое «дифференциальное» доказательство,
которое послужит нам образцом для более сложного дока-
доказательства предложения 1.

346 СЛУЧАЙ ПЛОСКОЙ СВЯЗНОСТИ
Напомним, что векторное поле X на тотальном про-
пространстве & расслоения % называется горизонтальным по
отношению к связности Я, если Хр ? Нр для любой точки
р€&, т. е. если ХН = Х (см. лекцию 10). Все горизон-
горизонтальные поля составляют подпространство пространства а?
всех векторных полей на ?. Мы будем обозначать это
подпространство символом а [Н] (ср. обозначения, введен-
введенные в лекции 14; напомним—см. задачу 21 лекции 14—¦
что гладкие поля подпространств и распределения—это
одно и то же).
Локально (над координатными тривиализующими окре-
окрестностями U) горизонтальные поля характеризуются ра-
равенствами
где (см. лекцию 10) 9'', l<i<n,—такие дифференциаль-
дифференциальные формы на U, что
0' = da1' -г а>У, 1=1, ..., п
(где, конечно, формы связности со' рассматриваются как
формы на <?ц= n~1U, т. е., иными словами, представляют
собой на самом деле формы л*(о}).
Но при R = 0 (т. е. при Q = 0) формы ©J удовлетво-
удовлетворяют соотношению
da) = —о^Лсэ/, i, j =-- 1, .... п,
и потому
аЪ1' = dda' -f- (сЦ) a.i—(u\/\da! =
= — (о/Л 9Л
т. е.
(при i?=-
Следовательно, если X, У?п[#] (и, значит, 9'(Х)- 0,
в/G) = 0), то (см.—с учетом замечания 2 лекции 11.96 —
формулу A) лекции П.8)
/ (У)—со/ (X) е/(У) - о.
С другой стороны (см. формулу F) лекции III. 19),
dQ'(X, У) = Хв'"(У)—Г9'(Х)—0'[Х, У] = —Э'[Х, У].
Поэтому б'' [X, У] = 0, т. е. [X, У] 6 а [Н].

КОВАРИАНТНО ПОСТОЯННЫЕ ТРИВИАЛИЗАЦИИ 347
Это доказывает, что при R — 0 подпространство о [Н]
является подалгеброй алгебры Ли а<§, т. е., иными словами,
что каждая плоская связность Н представляет собой
инволютивное распределение.
Следовательно, согласно теореме Фробениуса (см. лек-
лекцию 14) связность Н вполне интегрируема, т. е. через
любую точку ро€<? проходит одно и только одно ее
максимальное интегральное многообразие SC. По опреде-
определению многообразие Ж характеризуется тем, что в любой
его точке р имеет место равенство 1pSC = Hp. Поэтому
ограничение п\% проекции я на!1 этально и, значит,
является локальным диффеоморфизмом (даже накрытием).
В частности, это означает, что точка Ь0 — п(р0) обладает
в 9S окрестностью U, над которой существует такое сече-
сечение s:U-—<i) расслоения ?, что s (fro)=/?o и s (/У) =; SC n n~lU.
(Можно сказать, что s осуществляет горизонтальный подъем
в ? всей окрестности U.)
Теперь мы уже можем непосредственно приступить к
доказательству предложения 2.
Доказательство предложения 2. Для произ-
произвольной петли и в точке Ьо, целиком расположенной в
окрестности U, композиция sow, где s—только что по-
построенное сечение U —<-<В, будет петлей в точке р0, лежа-
лежащей на многообразии 2С и поэтому горизонтальной. По-
Поскольку (s о ы)A) = р0, это доказывает, что для любой
такой петли и имеет место равенство nu=id.
Поэтому равенство П„ = id имеет место и для любого
малого лассо, а значит, в силу следствия 1 из леммы 3
лекции 18, и-для любой петли и, гомотопной нулю. Сле-
Следовательно, Фг={е}. ?
Сечение s обладает также тем свойством, что Vs = О
(достаточно заметить, что V*s = 0 для любого векторного
поля X на Si). С другой стороны, если ри ..., рп—базис
линеала <F0 = l"i0 и slf ..., sn—соответствующие (т. е.
такие, что s1(b0) = p1, ..., sn(b0) — pn) сечения, то над
некоторой окрестностью точки 60 (которую мы снова обо-
обозначим через U) сечения sx, ..., sn будут, очевидно,
образовывать базис FfZ-модуля Г(||у). Обратно, если U —
такая окрестность точки р0, что FfZ-модуль Г A\ц) обладает
базисом s,, . .., sm, для которого vs! = 0, .. ., Vsn = O, то,
конечно, R — 0 на U. Этим доказано следующее предло-
предложение:

348 СВЯЗНОСТИ С АБСОЛЮТНЫМ ПАРАЛЛЕЛИЗМОМ
Предложение 3. Связность Н на векторном расслое-
расслоении \ — (&, л, 53) тогда и только тогда является плоской
связностью, когда многообразие S3 может быть покрыто
открытыми множествами U, обладающими тем свойством,
что в ?U-модуле Г(s|^) существует базис su ..., sn, для
которого
Такой базис slt ..., sn называется ковариантно по-
постоянной тривиализацией расслоения \ над U.
Связности, для которых тривиальна полная группа
голономии Ф, называются связностями с абсолютным па-
параллелизмом.
Задача 1. Докажите, что связность тогда и только
тогда является связностью с абсолютным параллелизмом,
когда для любых точек Ьо, Ьх ? 33 отображение Па: ?ь„ —* ? Ьу
одно и то же для всех путей и, соединяющих точку Ьо с
точкой bt.
Заметим, что согласно теореме редукции из лекции 18
связность с абсолютным параллелизмом может существо-
существовать только на тривиальном расслоении |.
Существование эпиморфного отображения F) лекции 18
доказывает, что в случае, когда многообразие SB односвязно,
группа Ф совпадает с группой Фе. Поэтому в силу пред-
предложения 2 связность в векторном расслоении над одно-
связным многообразием тогда и только тогда обла-
обладает абсолютным параллелизмом, когда эта связность
плоская (а расслоение тривиально).
В частности, если в расслоении над односвязным мно-
многообразием существует плоская связность, то это расслое-
расслоение тривиально.
Этот дифференциально-геометрический критерий три-
тривиальности гладкого векторного расслоения на удивление
часто полезен.
В общем случае предложения 1 доказательство ослож-
осложняется необходимостью следить за изоморфизмами ш*.
Однако оказывается, что эти изоморфизмы можно форма-
формально элиминировать, если, выбрав в каждом слое ?ь,
&€53, некоторый базис р=(ри ¦¦¦, /?„), перейти от ли-
линейных операторов ?ь —<¦ ?ь к их матрицам в этом базисе.
Пусть fp — матричная алгебра Ли, состоящая из матриц
элементов алгебры голономии fb, и пусть RP(A, By

ПЕРЕХОД К ГЛАВНЫМ РАССЛОЕНИЯМ 349
А, В?ТЪ93,—матрица оператора кривизны R(A, В) в
базисе р.
Из лекции 18 мы знаем, что если базис р линеала <Ffr
получается из базиса р0 линеала cF0 = <F60 параллельным
переносом вдоль соединяющего точку Ьо с точкой b пути wr
то индуцированный этим путем изоморфизм Ф(Ь)—*Ф(Ь0)
переводит каждый элемент группы ФF) в элемент группы
ФF0) с той же матрицей. В частности, это означает, что
матрицей в базисе р0 элемента w#R(A, В), А, B?TbS3y
алгебры Ли fo=^fPo служит матрица RP(A, В).
Следовательно, на матричном языке предложение Г
утверждает, что для любого базиса р0 линеала <F0 мат-
р ичная алгебра Ли f0 =-- fPo состоит из линейных комбина-
комбинаций матриц вида RP(A, В), где р—всевозможные базисы
слоев расслоения I, которые можно получить из базиса р0
параллельными переносами, а А и В—произвольные векторы
пространства 7ЬЭЗ, Ь = л(р).
Поскольку базисы р являются не чем иным, как точ-
точками главного расслоения реперов | = (8, л, S3), ассоци-
ассоциированного с векторным расслоением \ (и, как мы знаем, —
см. лекцию 16—гладкого, если гладко расслоение \), эта
переформулировка наводит на мысль о справедливости
аналогичного утверждения для любых главных ^-рас-
^-расслоений |. Чтобы убедиться в этом, мы должны сначала
перенести на главные расслоения понятие параллельного
переноса и группы (алгебры) голономии.
Пусть ? — группа Ли, S3— гладкое хаусдорфово много-
многообразие, | = (8, л, 9В)—гладкое главное S-расслоениенад S3
и Н—связность на расслоении \.
Кривая v: I —<¦ 8 называется горизонтальной, если1
и(/)€//„(<) для любого t?l. Говорят, что кривая v: I —>¦ 8
накрывает кривую и: I —* S3 (является поднятием кри-
кривой и), если и= л ov. (Ср. в лекции 10 аналогичные опре-
определения для векторных расслоений.)
Предложение 4. Для любой гладкой кривой и: I —> 93У
любой точки to?l и любой точки ро€^"ь„. Ь0 = л(р0)г
существует единственная горизонтальная кривая v: I —+ 8,.
накрывающая кривую и и такая, что v(to) = po.
Мы докажем это предложение в следующей лекции.
Пока же мы лишь заметим, что в случае, когда | являете»
расслоением реперов векторного расслоения 1, это предло-
предложение непосредственно вытекает из соответствующего
предложения для векторных расслоений (предложение 1

350 ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ГРУППА ГОЛОНОМИИ
.лекции 11). [Действительно, чтобы построить и, достаточно
параллельно перенести вдоль и каждый вектор базиса рй.\
Как правило, мы будем применять предложение 4 в
•случае, когда кривая и является путем (определена на
отрезке /=[0, 1]), a t0 — 0.
Так же, как и для векторных расслоений, точка рх = v A)
обозначается символом Па/>0 и отображение
П„: оГьа—>- <FbL, Pol~
где frj = «(l) называется параллельным переносом вдоль
пути и. При композиции путей эти переносы перемножаются;
•если и — ихиг, то
A) Пц = ПН1оПЦ1.
{Ср. формулу B) лекции 18.)
Задача 2. Определите отображение Пи для кусочно гладких
путей и и покажите, что формула A) остается в силе и в этом случае.
-(Ср. лекцию 18.)
Так как связность Н является эквивариантным полем
подпространств, то для любого горизонтального пути
v: I —<¦ 8 и любого элемента а?? путь
Raov: tr->v(t)a, t?l,
также горизонтален. Этот путь накрывает тот же путь
и: I —<¦ S3, но начинается в точке роа, а кончается в
точке рха. Следовательно,
т. е.
{отображение П„ перестановочно с действиями группы Ъ
на слоях ?ь* и Wbi соответственно).
Отображения Yl'u, отвечающие петлям и в точке Ьо,
•составляют группу преобразований слоя f = f"i,,. Эта
группа называется группой голономии главного расслоения!
со связностью Н в точке Ь0?!В и обозначается символом
Ц
0)
Выбрав в слое еГ0 точку р0, мы произвольному эле-
элементу П„ группы Ф& (Ьо) поставим в соответствие элемент аи
группы %, удовлетворяющий соотношению
Так как группа % свободно и транзитивно действует на JF0,
то элемент аи существует и единственен.

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ГРУППА ГОЛОНОМИИ 351
Из формулы B) следует, что для любых двух петель
ии ы2 в точке Ьо имеет место равенство
показывающее, что отображение ПЦ1—>а„ является гомо-
гомоморфизмом. Более того, так как ап — е тогда и только
тогда, когда Ila = id, то отображение П„1—*аа является
мономорфизмом. Его образ обозначается символом ФЧ/>„)
(или просто Ф(/?о)) и называется группой голономии в
точке р0.
Задача 3. Докажите, что группа Ф (р0) состоит из таких эле-
элементов а группы !§, что точка рйа соединима с точкой р0 горизон-
горизонтальным путем.
По построению группы Ф(Ь0) и Ф(/>0) изоморфны, но-
первая является группой преобразований слоя <F0 (пере-
(перестановочных с действием группы $), а вторая—подгруппой
самой структурной группы %.
В случае, когда \ представляет собой расслоение ре-
реперов векторного расслоения \, элементами группы Ф»(й0)
являются преобразования многообразия Штифеля V(n, <F0)=
= e!F0 базисов линеала §~„=$~ЬаУ индуцированные элемен-
элементами группы голономии Ф*(Ь0) расслоения I. В этом смысле
группы Ф(Ь0) Для расслоений | и | одни и те же.
Что же касается группы Ф»(/>„), то она, очевидно,
является не чем иным, как матричной группой, состоящей
из матриц группы Ф^(^о) в базисе р0.
Задача 4. Докажите, что для любого главного расслоения |
группа Ф?(/?о) 'обладает естественной гладкостью, по отношению к
которой она является подгруппой группы Ли #, причем в случае,
когда многообразие Sd удовлетворяет второй аксиоме счетности, эта1
гладкость слабейшая. [Указание. См. предложение 1 лекции 18.}
Покажите также, что перенесенная в группу ФЪ(ЬО), эта гладкость
не зависит от выбора точки /?о€оГо (что дает тем самым естественную
структуру группы Ли на Ф|F0)).
Алгебру Ли ТеФ5(р0) группы Ли Ф1(р0) мы будем
обозначать символом f|0 (или просто fPu). По построению
алгебра fp0 является подалгеброй алгебры Ли я = ТеЗ.
В случае, когда | является расслоением реперов, ал-
алгебра fj,0 — это в точности введенная выше матричная
алгебра Ли f0.
На главные расслоения переносится и теорема о редук-
редукции (теорема 1 лекции 18).

52 ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ ДЛЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЙ
Предложение 5. Главное расслоение 1, на котором
существует связность с группой голономии Ф, редуци-
редуцируется к группе Ф.
Доказательство. Для главного GL(n; К)-расслое-
«ия реперов %, ассоциированного с векторным расслоением 1,
предложение 5 немедленно вытекает из теоремы 1 лекции 18,
поскольку редуцируемость векторного расслоения s к
подгруппе <bcGL(n; R) равносильна, очевидно, редуци-
руемости к Ф главного расслоения §. В общем случае
.доказательство по существу повторяет доказательство
теоремы 1 лекции 18.
Пусть Ф = ф? (/?„).
Мы построим тривиализующий атлас {(?/, ср)} расслое-
расслоения 1, принимая за U произвольную шаровую коорди-
координатную окрестность в многообразии !В и следующим образом
•определив тривиализацию <р: Ux$ —+ &и (или, точнее,
¦соответствующеесечениеsu: U—+&, связанное стривиали-
зацией ф соотношением срF, a)=-su{p)a, а€$, b?U).
Произвольно выбрав путь vu, соединяющий точку Ь9 —
=я(/>0) с центром Ъи окрестности U, и обозначив для
любой точки b?U через v[/ композицию vvw% пути vu и
радиального пути wtf, соединяющего в U точку Ьи с точ-
точкой Ь, мы примем за su(b) конец П„ и (р0) горизонтального
ь
пути, начинающегося в точке р0 и накрывающего путь vtf.
Ясно, что su(b)??Fb, т. е. что отображение su: U—* gy
является сечением расслоения % над U.
Задача 5. Покажите, что сечение su: U —> 8у гладко
-(принадлежит Г(||у)).
Построив таким образом атлас {(U, ср)}, найдем отве-
отвечающий этому атласу склеивающий коцикл.
Пусть Ua и t/p—две пересекающиеся шаровые коорди-
координатные окрестности, а фа и фр—соответствующие триви-
ллизации. Тогда связывающее эти тривиализации отобра-
отображение перехода
•будет задаваться формулой
Ф3а (Ь) - т (sy« (Ь), su* (b)), b 6 f/x П Uv
где т—отображение сдвига для расслоения % (см. задачу 10
лекции 16). Но по определению

ТЕОРЕМА РЕДУКЦИИ ДЛЯ ГЛАВНЫХ РАССЛОЕНИЯ 353
где о* —¦ v%a и v% =; vft, и потому
T(su«(b),suHb)) = aw,
где aw—элемент группы Ф, отвечающий петле
w =
Таким образом, <рра(&)€Ф и, значит, склеивающий
коцикл {фро} является коциклом над группой Ф. Следо-
Следовательно, расслоение § редуцируется к группе Ф. ?
Согласно общим результатам лекции 9, если г\—редук-
г\—редукция расслоения |, то пространство 8я вкладывается в про-
пространство 85 ¦
Задача 6. Пусть гладкое главное g-расслоение § редуцируется
к подгруппе, являющейся подгруппой Ли группы "§• Покажите, что
редуцированное расслоение т) также гладко и его тотальное простран-
пространство g11 является подмногообразием многообразия 8^-
В частности, для любой точки р ? 8Л пространствоТр 8*1
является подпространством пространства
Тр8^ = ТроГ!фЯр, Ь = я(р).
Задача 7. Покажите, что НрсТр&ъ и что
Отсюда следует, что соответствие pt—> Нр, р б 8 \ опре-
определяет на г] некоторую связность /fi. Об этой связности
говорят, что она индуцирована связностью Н.
Задача 8. Покажите, что если //=Апп8 (см. лекцию 17), то
ffT1 = Ann6t\ где в11 — ограничение формы 0 на подмногообразие g4.
Таким образом, для любой точки р ? 8Л вектор Л € TpS11
тогда и только тогда горизонтален относительно связно-
связности Я4, когда он горизонтален (как вектор из ТР85) от-
относительно связности Н.
Перенесем теперь на главные расслоения конструкцию
тензора кривизны R, или, точнее, матричной формы кри-
кривизны Q. Для этого мы должны записать структурное
уравнение C8') лекции 19 в виде, удобном для обобщения.
Пусть ! = (8, я, S3)—расслоение реперов, ассоцииро-
ассоциированное с векторным расслоением I, и пусть Н — Ann 6 —
связность на 1, отвечающая связности Я на \. Здесь 0 —
линейная gl(/i; К)-значная дифференциальная форма на 8,
12 м. М. Постников, сем. IV

354 ФОРМА КРИВИЗНЫ СВЯЗНОСТИ
т. е. матрица 8, состоящая из обычных дифференциальных
форм Щ на 8, которая на каждой координатной окрестно-
окрестности 8 и имеет вид
где со—матрица ||(oj| форм связности Я на окрестности (У,
поднятая в 8У (см. формулу A2') лекции 16). Поэтому
и
da> = dC Л ОС + С dec-1—C6 Л dC-^dCA
«а л <о=се д ее-1—dc л ее-1—сое-1 л лес-1 j
+ dCC-1 A dCC-K
Поскольку dC~1 = — C~ldCC~1, отсюда следует, что
dco -i- со Л (о = С (d6 + в Л б) С~\
т. е. что
C) dO + e Л 9 = С-1ЙС на 8У.
Символ Q обозначает здесь матричную форму из ({юр-
мулы C8') лекции 19, рассматриваемую как форма на 8 у
(т.е., строго говоря,—форму я*?2, где я—проекция &ц—+и).
Полученная формула означает, что gl(n; К)-значная
форма
D) Q-dO-fBAe
(определенная, подчеркнем, на всем 8) имеет на каждой
окрестности 8У вид С'^С и потому является полноцен-
полноценной заменой форм Q. Преимущество формы D) состоит
в том, что, в отличие от форм Q, она определена на всем
многообразии 8.
Формулу D) еще нельзя непосредственно перенести на
случай произвольного главного расслоения, поскольку в ней
участвует операция Л» определенная только для матрич-
матричных форм. Поэтому она нуждается в дополнительном пре-
преобразовании.
Для каждой алгебры Ли % модуль F8^" всех гладких.
g-значных функций на гладком многообразии $" является,
очевидно, алгеброй Ли относительно операции (/, g) t-*~
•"*¦[/> ?]> определенной формулой
Имея это в виду, мы для любых линейных д-значных
дифференциальных форм ос и р на многообразии 3! (интер-

ФОРМА КРИНИЗНЫ СВЯЗНОСТИ 355
претированных как линейные отображения n^~*FB^;
см. лекцию 16) определим д-значную форму [а, Р] степени 2
на ST, положив для любых полей X, Y&
[а, р](Х, УН[а(Х), Р(У)]-[а
Замечание 1. Аналогичным образом форма [а, Р] оп-
определяется для д-значных форм аир произвольных степе-
степеней. [Надо взять обычное определение формы а Л Р и всюду
заменить умножение чисел на операцию в алгебре д.]
При g = -fll(rt; R) формы а, р и [а, р| мы можем отож-
отождествить с матрицами lja}|, Щ} и || [a, P]j||, составленными
из обычных дифференциальных форм (степени I и 2 соот-
соответственно), и тогда для любых полей X, Y?a& будет
иметь место равенство
[а, р]}(Х, У) =
)- pi (У) а) (Х))-(аКУ) P^(X)-pl(X) а^ (У))»
, У).
Это означает, что
[а, И|-а?лРУ
т. е. в матричных обозначениях
[а, р]=«
В частности, при а = р = в мы получаем, что
[О, в] = 20Лв.
Следовательно, формулу C) можно теперь переписать
в следующем виде:
E) fl = d9-|-i[e, в].
В этом виде она имеет смысл для любой связности Н—Апп 6
на произвольном главном S-расслоении %.
Определение 1. Форма E) называется формой кри-
кривизны связности Н.
Подчеркнем, что для любой точки р €8 и любых
векторов А, В?ТР& значение &Р{А, В) этой формы яв-
является элементом алгебры Ли g группы Ли $.
12*

35G ТЕОРПМА АМБРОЗА — СИНГЕРА
Теперь мы можем сформулировать и доказать аналог
предложения 1 для произвольных главных расслоений.
Теорема 1. Для любой связности Н на главном $-
расслоении | = (8, я, id) и любой точки ро€& алгебра
голономии fp0 состоит из линейных комбинаций всевоз-
всевозможных элементов вида Qр(Л, В), где р—произвольная
точка, которую можно соединить с точкой р0 горизон-
горизонтальным путем, а А, В^Нр—произвольные горизонталь-
горизонтальные векторы в точке р.
Доказательство. Согласно предложению 2 расслое-
расслоение i редуцируется к расслоению т| с группой Ф. При
этом в силу утверждения задачи 6 форма кривизны Йп
расслоения ц будет ограничением на &ч формы кривизны Q
и, значит, значения форм 2 и Q4 на горизонтальных век-
векторах будут одни и те же. Поэтому, если теорема 1 верна
для расслоения tj, to она будет верна и для расслоения |.
Следовательно, эту теорему достаточно доказать лишь
в предположении, что группа голономии Ф совпадает со
всей структурной группой Ъ (и, значит, алгебра fp0 —
с алгеброй g). Поскольку при Ф = ? любую точку /?€8
можно соединить с точкой /»0 горизонтальным путем, мы
видим, следовательно, что нам достаточно доказать, что
при Ф = % линеал % порождается элементами вида iip(A, В),
где р?& а А, В?НР.
С другой стороны, так как 9р(А) — 0 для любого век-
вектора А^НР, то QP(A, B) = dQp{A, В) для любых векто-
векторов Л, В?Нр. Таким образом, нам нужно доказать, что
при Ф = % линеал я порождается элементами вида ddp (Л, В),
р?&, А, В^Нр, т. е. вида аЪ(Х, ?)(р), где X и У —
произвольные векторные поля на ."В, а Я и "? — их гори-
горизонтальные подъемы (см. лекцию 17).
Но согласно общей формуле C4) лекции 16
где 0 (X) — 0 и 6 (У) = 0 (так как поля X и f горизон-
горизонтальны), и, значит, d8 (Я, У) (/>) = — в([#, ?)) (р). Сле-
Следовательно, мы должны доказать, что при Ф = & линеал^
порождается элементами вида 9 ([Я, Y\) (p),p?&,X,Y ?a58,
т. е. что g = I), где I)—подпространство линеала д, порож-
порожденное всеми такими элементами.
Так как форма 6 эквивариантна, то для любого эле-

ТЕОРЕМА АМБРОЗА — СННГКРА 357
мента а^%
(Adй)(в [X, У] (p))=(Adа) (8„ ([X, ?]„)) =
= %а (№а)р [X, Y]p) = 8,«((Я.-. [X, ?])„) -
(см. задачу 5 лекции 17), откуда следует, что
для любого элемента B?t).
При а=-ехрМ это означает (см. задачу 16 лекции 14),
что ei ad А В ? I) и, поэтому
J ad Л . .
= lim-—7=^
l
т. е. (см. задачу 15 лекции 14) что [А, В]?Ц.
Так как это верно для любых элементов А € д, В ? I)
(и, значит, для любых элементов Л, 5(El)), то, следова-
следовательно, i) является подалгеброй алгебры Ли $.
Для каждой точки р € 8 обозначим через Й)я подпро-
подпространство пространства T^S, состоящее из всех векторов
вида (л ¦+¦ А#)р, где Х^аЗЗ и А?§ (а А*—фундаменталь-
А*—фундаментальное поле, отвечающее элементу А; см. лекцию 17).
Пусть (U, х1, ..., хп)—произвольная карта многообра-
многообразия ZB и Xlt ..., Хт—горизонтальные подъемы в 8у
базисных координатных полей ^-г, ..., -^-^ на (У. Пусть,
далее, r==dim^ и Аи ..., Аг—произвольный базис ал-
алгебры I), a А?, ..., Af—соответствующие фундаменталь-
фундаментальные поля. Тогда для любой точки р€&и значения в р
полей
F) Хи .... Х,я, Af At
будут составлять базис подпространства &>р, откуда не-
непосредственно следует (см. задачу 4 лекции 10), что поле
подпространствр\г+ёЬр гладко, т.е. (см. задачу 21 лек-
лекции 14) отвечает некоторому распределению S на 8
(со слоями &>р).
Кроме того, мы видим, что соответствующий распреде-
распределению &> подмодуль a [S>] алгебры Ли а& (состоящий из
таких векторных полей W на 8, что Wp^SDp для любой
точки р€в) локально порождается полями (б), т. е. для
любого поля W ? а [@>] его ограничение W \ц на U яв-
является линейной комбинацией полей F) (с коэффициентами

358 ТЕОРЕМА ЛМВРОЗА - СИНГЕРЛ
из алгебры F(/). Поэтому этот подмодуль тогда и только
тогда является подалгеброй (распределение й> инволютипно),
когда коммутатор любых двух полей F) линейно выра-
выражается через поля F).
С другой стороны, мы знаем (см. формулу B2) лекции 16
и предложение 2 лекции 17), что
[Af, Л/#]=[Л,, А,]*
и [Af, Xk]"~0 для любых г, / и k. Поэтому поля [Л*, Л*]
и [А*, Хк) линейно выражаются через поля F). Что же
касается полей [Хк, Xt], к, 1—\, ..., т, то по опре-
определению формы 0 (см. формулу C) лекции 17), если
Ан-*([Хк,Х,]), то А& = [Хк, Xt]v и, значит, [Xk,Xt\^
—Atu так как согласно утверждению задачи 7 лекции 17
[Хк> X|]«t**« Xt]v, потому что [-g^jE-, -g^r""] = 0-
[]
Но так как для произвольных горизонтальных полей X
и У
(«»)(*, Y)^XQ(Y)-YQ(X)-Q([X, У]) = 9([Х, У])
и, значит, в([Х, У])~— Й(Х, У), то элемент Akl алгеб-
алгебры Ли g принадлежит подалгебре f) и, значит, поле
[Xk, Xj\=-Aft также выражается через поля F).
Таким образом, мы видим, что распределение @> инво-
лютивно и, значит, согласно теореме Фробениуса
(см. лекцию 14) вполне интегрируемо. Пусть Ж—макси-
Ж—максимальное интегральное подмногообразие распределения @>,
проходящее через точку/>„?8. Так как все горизонталь-
горизонтальные поля принадлежат подалгебре a[jS)], то каждый го-
горизонтальный путь, начинающийся в р0, лежит в X, а так
как любую точку р 6 8 можно соединить с точкой р0
горизонтальным путем (ибо, по условию, Ф = #), то, сле-
следовательно, •?"—8.
Поэтому, в частности,
т 4- г — dim S>p, — dim ^ =
и, значит, г = п. Следовательно, t) = g. D
Теорема 1 известна как теорема Амброза —
Сингера, хотя Амброз и Сингер (в другой транскрип-
транскрипции—Зингер) доказали ее лишь в некотором ослабленном

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ АМБРОЗА — СИНГЕРА 359
варианте (а полное доказательство впервые было получено
Одзеки).
Предложение 1, с которого мы начали настоящую лек-
лекцию, является тривиальным следствием этой теоремы, при-
примененной к расслоению реперов | векторного расслоения ?
и к связности Н на ^, индуципованной данной связностью //
на ?. Действительно, согласно формуле C) форма кривизны Q
связности И имеет в каждой карте gy вид C~lQC, где
Q—перенесенная в 8У форма кривизны связности Н на U.
По определению это означает, что для любой точки />? gy
с координатами (С, х), С ? GL (n; R), х ? R"S и любых
векторов А, В^Трд, имеет место равенство
Q,(A, B) = C-*Qb(A', В')С,
где Ь=--п(р), а А' я В' — образы векторов А и В при
отображении
С другой стороны, в лекции 19 мы уже отмечали, что
для любых векторов A', Б'?Т6.® матрица %{А', В')
является не чем иным, как матрицей \\R(A', B')jf линей-
линейного оператора R (А', В'): ?ь — ?~ь в базисеs (b) линеала <Fb.
Поэтому матрица QP{A, В) будет матрицей того же опе-
оператора R(A', В'), но в базисе, связанном с базисом s F)
матрицей перехода С. Поскольку, по определению (см.
лекцию 16), последним базисом является в точности базис/»,
этим доказано, что
ЙР(Л, B) = RP(A', В'),
где RP(A', В')—матрица оператора R(A', В') в базисе/;.
Поэтому теорема 1 для связности Н в точности равно-
равносильна переформулированному выше на матричный язык
предложению 1. П
Заметим, что, несмотря на то, что предложение 4, не-
необходимое для теоремы 1, мы докажем только в следую-
следующей лекции, доказательство предложения I тем не менее
является уже сейчас абсолютно полным, поскольку спра-
справедливость предложения 4 для расслоения реперов, как
мы выше уже отмечали, очевидна.

Лекция 21
Лемма о касательном пространстве прямого произведения
и ее следствия. — Об одном дифференциальном уравне-
уравнении.—Существование горизонтальных накрытий для глав-
главных расслоений. — Альтернативное определение формы
кривизны. —Тождество Бианки для формы кривизны
главного расслоения.—Структурное уравнение Картана.—
Эквивариантные горизонтальные формы. —Мнимые кватер-
кватернионы.—Формы г^ь.
Доказательству предложения 4 лекции 20 мы должны
предпослать ряд замечаний общего характера, которые,
собственно говоря, можно и нужно было бы сделать
еще в предыдущем семестре.
Пусть ?С и У—гладкие многообразия и &Х&— их
прямое произведение. Тогда для любой точки (/?„, <?<>)€
& формулы
определяют гладкие отображения
A) *„: Х->Хх&, /р„: 2/ — X X 2/,
связанные с проекциями
соотношениями
^id, яао/Ро =id.
Эти отображения инъективны, монеоморфны и являются
погружениями. Их образы
представляют собой вложенные подмногообразия много-
многообразия &-Х&, ди'срфеоморфйые соответственно многообра-
многообразиям SC и 2/. Дифференциалы
/nv WJp. • тр. % — Т(р„,., {Я X 2/),
отображений A) являются мономорфизмами, и мы будем
считать, что линеалы 1PiSC и 1q%3C вложены в линеал
Т(Ро, 9t)(&X&) посредством этих мономорфизмов.

ЛЕММА О КАСАТЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 361
Лемма I. Линеал Т(Ро, ?о) (J" х &) является прямой
суммой линеалов ТРо& и Т?03/:
Доказательство. По определению (см. лек-
лекцию III.15), если (U, /i) = (f/, xl х") и (V, k) =
= (V, у1, ..., у1")—карты многообразий % и 2/, центриро-
центрированные в точках р0 и<7о соответственно, то пара (UxV, hxk)
будет картой многообразия &х&, центрированной в точке
(р0, q0). Локальными координатами последней карты будут
функции х1оп1, ..., xnonlt y1ona, ..., у'"олг, которые
для упрощения формул обозначаются просто через
х1, ...,хп, у1, ..., ут. Отображение t?0 в этих координатах
задается формулами
{) у*=0, /=1, .... т,
а отображение /Ро — формулами
() У' = У', /=1, ...,т.
Карте (U, h) отвечает в пространстве Тр,^" базис, со-
состоящий из векторов (—т ) , l^i^n, карте (V, k)
отвечает в пространстве Tq°y базис, состоящий из векто-
векторов ( — ] , 1</<т, а карте {UxV, hxk) отвечает
в пространстве Т(Ро, „о) (& х &) базис, состоящий из векто-
векторов (-М , I <t<n, и (-L) ,1</<т. При
\ Ox1 J() \ OyJ /()
\ J(pt.qo) \ y /(р„7.)
этом, как немедленно следует из формул C) и D) (см.
в лекции II 1.12 определение дифференциала гладкого
отображения), дифференциалы B) отображений A) дейст-
действуют по формулам
\ ох1 /р, \ дх1 /(ро.
<7,)
у} Jq, \ dyJ /(Poi?o)
Это, очевидно, доказывает лемму 1. ?
Для любых векторов Л€ТРо.2\ В?1Я$ мы будем
вектор
(Я,.),.Л + (<У,Л.Я
обозначать символом (А, В).

362 ЛЕММА О КАСАТЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Пусть /: &Х&—+%—гладкое отображение многообра-
многообразия ЗСхЧ} в некоторое многообразие % и пусть
— его дифференциал в точке (р0, q0). Пусть, далее, отобра-
отображения
определены формулами
Re*P^fiP, <?о). ^Pl,q = f{po, Я)-
(Если отображение / рассматривать как умножение, то
Rt,,,—это умножение справа на q0, a LPt— умножение
слева на р0.)
Следствие 1. Для любого вектора С ? Т(Ро, ?11) {ЗСхЙ/)
имеет место равенство
E) (df)iPo. „o)C = (dRJPa А + {dLp, )q,B,
где A^lPll^ и В = Т,ой/—такие векторы, что С —(А, В).
Доказательство. В развернутом виде равенство
С = (А,В) означает, что
Поэтому
df(P<>. q,)C^
Для завершения доказательства осталось заметить, что
Я». = М«. и LPt = fo]Pl. О
Пусть &—еще одно гладкое многообразие.
Задача 1. Докажите, что
а) для любых гладких отображений и: & —*¦ Ж и
v: of—*g/ отображение
uxv:
определенное формулой
гладко;
б) каждое гладкое отображение if —>-^х?У единствен-
единственным образом, представляется в виде их у;
в) в каждой точке t? & для любого вектора D
имеет место равенство
F)

ЛЕММА О КАСАТЕЛЬНОМ ПРОСТРАНСТВЕ 363
Пусть w: &—*%—отображение
/о(ыху): Р-Ш^
Следствие 2. Для любого вектора D^ifaf имеет
место равенство
(!) (dw)tD = d(Rvmou)tD + d(Lulft o v)tD. ?
В частном случае, когда if является отрезком / оси R.
и, значит, и, v и w—кривыми I—>¦ 3', 1— +& и !—>¦%,
a D представляет собой вектор i-jf) , формула G) при-
приобретает вид
(8) in @ - (dRv (f ,)„ ф «@ -г idL» (о). («t» (О-
(Действительно, по определению до @ = (dw)t l.-rr) и ана-
аналогично для кривых и и v.)
Нам понадобится также следующая лемма:
Лемма 2. Пусть A: t*->A{t), t?l,~ гладкий путь
в алгебре Ли g — Тг&. Тогда в группе Ли Ъ существует
единственный гладкий путь a: tt~*a(t), t?l, начинаю-
начинающийся в точке е, для которого
(9) a{t)~{dRa(t)).A{t)
при любом t 6 /.
Доказательство. По определению путь А является
ограничением некоторой гладкой кривой I —+%, опреде-
определенной на открытом интервале/z>/. Без ограничения общно-
общности можно считать, что / = R. Имея это в виду, рассмотрим
гладкое многообразие 3? = ¦¦¦¦%хR. Так как
для любой точки (a, s) б &, то формула
корректно определяет на & некоторое векторное поле X.
Ясно* что интегральная кривая этого поля, проходящая
при t~0 через точку (е, 0), имеет вид t*~,*-(a(t), t), где
t*—>a(t)—кривая в », удовлетворяющая соотношению (9)

364 0Б ОДНОМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ УРАВНЕНИИ
и такая, что а@) = е. Поэтому для доказательства леммы 2
нужно только показать, что кривая t\-*{a(t), t) опреде-
определена для всех t? I.
Пусть {ф*}—максимальный поток на многообразии J*,
индуцированный векторным полем X (см. лекцию 111.13).
Тогда на / существует такая непрерывная положительная
функция 6(s), что для любой точки вида (е, s), s? R, точка
Ф, (е, s) заведомо определена для всех t с | /1 < б (s) (причем
Ф„(е, s) — (e, s)). В силу компактности отрезка /отсюда
следует, что существует такое число б0 > 0, что при 11 | < б„
точка ф( (е, s) определена для любого s ? /.
Пусть То—верхняя грань таких чисел Т, что при
0<г<Г точка фДе, 0)=--(a(t), t) определена. Лемма 2
будет доказана, если мы покажем, что То^\.
Пусть То < 1. Согласно определению верхней грани для
любого е > 0 существует такое число t0 ? /, что /„ < То <
<^0 + 8 и точка ffto(e, 0) определена. Рассмотрим точку
Ф{@, ^0). Так как /0€Л то точка Ф*(е, ^0) определена при
111 < б0 и имеет вид (Ь (/), f -J-1,), где й @ =-• (dRb (f)), Л (t-rt0)
и й@) = е. Поэтому кривая ty-*(b{t—/0)а(/„), t) опреде-
определена при t0 — 6o<^<^o-L^o> является интегральной кри-
кривой поля X и начинается в точке (a(t0), to) = yt<i(e, 0).
Следовательно, эта кривая является ограничением на
(^о—6о> /0 + 60) интегральной кривой t<—><pt(e, 0) (здесь
мы пользуемся максимальностью кривой t*—*-q>t(e, 0)). Зна-
Значит, точка ф, (е, 0) определена при 0 < t < *0~ бо> чт0 при
е < б0 противоречит выбору То. Поэтому неравенство То < 1
невозможно. D
Теперь у нас уже все готово для доказательства пред-
предложения 4 лекции 20.
Доказательство предложения 4 лекции 20.
Пусть w: I—* S — произвольное поднятие пути и в про-
пространство 8, начинающееся в точке р0. (Так как расслое-
расслоение | локально тривиально, а отрезок I компактен, то хотя
бы одно поднятие w существует.) Тогда любое другое под-
поднятие v пути и, начинающееся в точке р0, будет иметь
вид t *-*¦ w (t) a (t), где a: t*—*a (t)—некоторый путь в группе
Ли $, начинающийся в единице е. Нам нужно показать,
что путь а можно выбрать так, чтобы путь v был гори-
горизонтален .
Согласно формуле (8) (в которой и, v, w и Я", 3/, 3>
заменены соответственно на w, a, v и в, ^, 8, а за / при-
принято действие 8х#—* 8) для касательного вектора v(t)

СУЩЕСТВОВАНИЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ НАКРЫТИЙ 365
пути v имеет место равенство
v @ = {dRa (t)). (ft о; (*) + (dLe (ft)e @ a (*).
Последнее слагаемое справа допускает следующее преобра-
преобразование:
О,-1 a @) =
* a @) =
(см. формулу A9) лекции 16), где во второй строчке Lal1)
рассматривается как левый сдвиг в группе Ъ и, значит,
вектор (dLed)); a @—как вектор из 1$ — ^. Поэтому для
любой g-значной фундаментальной формы 0 на 8
в. ш ((dl. (П). ел a @) - (d?. (tO,-1 a.@-
С другой стороны, если форма в эквивариантна, то
(» w @) - (Ad a (О) в. (й (w @) =
Следовательно, равенство в„ U) (v (t)) = 0 имеет место тогда
и только тогда, когда
При У/=Апп8 этим доказано, что /гг/ть v: t<-*w(t)a(t)
тогда и только тогда горизонтален, когда
A0)
любого
Для завершения доказательства остается заметить, что соот-
соотношение A0) имеет вид (9) (при A(t) = — 8даШ(да(/))) и
воспользоваться леммой 2. D
Форму кривизны й связности Я на главном расслое-
расслоении 1 мы в лекции 20 ввели так, чтобы возможно проще
вывести из теоремы Амброза—Сигнера предложение 1 лек-
лекции 20. Сейчас мы дадим этой форме другое определение,
во многих отношениях более удобное.
Связность Н мы при этом будем интерпретировать как
проектор Н: а& —> а& (см. лекцию 17).

366 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФОРМЫ КРИВИЗНЫ
Предложение 1. Имеет место формула
(И) о-сгво(яхя).
Доказательство. Формула A1) означает, что
ii{X, Y)=*dQ(XH, Y")
для любых векторных полей X, Y на S, т. е., другими
словами, что
A2) Ор(А, В) =
для любой точки р?& и любых векторов А,
В этом виде мы и будем ее доказывать.
Поскольку обе стороны формулы A2) линейны по А
и В, нам достаточно доказать эту формулу лишь в пред-
предположении, что каждый из векторов А а В либо горизон-
горизонтален, либо вертикален.
Случай 1. Векторы А и В горизонтальны (т. е.
ер(Л)=.О и 8р(В)-0). Тогда [0, ЩР(А, В) = 0 и, значит,
QP(A, B)=*(dQ)p(A, В). Поскольку АИ=^А и ?" = ?, это
доказывает A2).
Случай 2. Векторы А и В вертикальны (т. е. Ан~0
и Вя —0). В этом случае правая часть формулы A2) равна
нулю, а левая равна значению в точке/; g-значной функции
A3) Q(X, УН<Я>(Х, К) + 1[в, 9](Х, У),
где X и У—такие векторные поля на g, что Хр — А и
Хр = В. При этом, как мы знаем (см. задачу 13 лекции 16),
поля X и Y можно выбрать среди фундаментальных век-
векторных полей, т. е. можно считать, что Х = С# и Y = D#,
где С м D—некоторые (однозначно определенные) элементы
алгебры Ли д. Так как 0(C*) = C = const и 0 (?>#) = ?> =
= const, то (см. формулы B2) и C4) лекции 16) при Х = С*
и Y = D*
)—в[х, У]«—о|х, y
в[С*. D*] = — в [С, D]*== —[С, DJ.
С другой стороны,
19. 9}(Х, У)-[0(Х), в(У)]-[в(У), 0(Х)] =
Поэтому функция A3) тождественно равна нулю. Значит,
равно нулю и ее значение в точке р.

ТОЖДЕСТВО БИАНКИ ДЛЯ ФОРМЫ КРИВИЗНЫ 367
Случай 3. Один из векторов А, В вертикален, а дру-
другой горизонтален. Пусть для определенности вектор А верти-
вертикален, а вектор В горизонтален. Тогда Л" = 0 и правая
часть формулы A2) равна нулю. Кроме того, так как
<)(В) — 0, то левая часть равна (dQ)p(A, В) и, значит, равна
значению в точке р функции
A4) аЪ(Х, Y) = Xe(Y)-YB(X)-e([X, Y]),
где X—такое поле вида С*, С?д, что С$~А, a Y —
горизонтальное поле, для которого Ко = В. Но согласно
предложению 2 лекции 17 поле [X, Y]=^[C#, Y) в этом
случае горизонтально, и потому 6([Х, У])—-0. Так как,
кроме того, в(У)=;0 и 0(X) = C==;const, то, следовательно,
функция A4) тождественно равна нулю. Поэтому равно
нулю и ее значение в точке р.
Тем самым предложение 1 полностью доказано. ?
Следствие..Форма й горизонтальна. ?
Для произвольной (вообще говоря, Т^-значной) диф-
дифференциальной формы ю степени г на многообразии S форма
V
г+1 раз
т. е. форма
(Da) (X9t Xlt ..., Хг) = (dm) (*„", X» X»),
Хо» Xi% ¦ • •, Хг € й8,
называется внешним ковариантным дифференциалом фор-
формы ©.
Заметим, что для любой формы © форма D© горизон-
горизонтальна.
Предложение 1 означает теперь, что форма кривизны Q
является внешним ковариантным дифференциалом формы
связности:
Предложение 2 (тождество Бианки). Внешний
ковариантный дифференциал формы кривизны равен нулю:
A6) ?>Я = 0.
Доказательство. Так как dod—О, то Dod—Q
и, значит,
==i-D[e, в] = 4ч*[6, Q]a(ffxffXff).

368 СТРУКТУРНОЕ УРАВНЕНИЕ КАРТАНА
С другой стороны, согласно общей формуле C5) лекции 16
для любой д-значной формы со степени 2 и любых вектор-
векторных полей X, Y, Z имеет место равенство
d(o{X, Y, Z) = Xv>(Y, Z) + Y<o(Z, X) + Zn(X, Y) —
-co([X, Y], Z)-(o([K, Z], X)-u>([Z, X], Y).
Поэтому, если форма to на 8 вертикальна (равна нулю,
когда хотя бы один из ее аргументов является горизон-
горизонтальным полем), то
Следовательно, нам нужно лишь доказать, что форма
[О, в] вертикальна. Но это немедленно вытекает из опре-
определения: так как
[в, в](Х, У) = [в(Х), 9(Г)]-[в(К), в(Х)],
то [0, в] (X, У) = 0, если, скажем, поле X горизонтально
(и, значит, В(Х) = 0). D
Заметим, что, вообще говоря, D
Задача 2. Покажите, что в случае, когда % является расслое-
расслоением реперов векторного расслоения ?, тождество A6) равносильно
тождеству Бианки из предложения 1 лекции 19 (см. формулу C9)
лекции 19).
Дифференциальная g-значная форма to степени г на много-
многообразии 8 называется эквивариантной, если
для любого элемента а ? Ъ, т. е. если в каждой точке р б 8
для любых векторов Аи .... Аг?Тр1Ь имеет место равен-
равенство
-1)<op(Al Аг).
Задача 3. Докажите, что форма кривизны О эквивариантна.
[Указание. Пользуясь тем, что Ra о Н—Н° ИСа на векторных полях
и Ra°d= do Rl на дифференциальных формах, докажите, что если
форма ш эквивариантна, то формы и о (//X .. .хН) и dot (а значит,
и форма Dot) эквивариантны.)
Задача 4. Докажите, что
A7) /)© = Л»Ч-[<й, в]
для любой эквивариантной горизонтальной формы <о на §. [Указа-
[Указание. Рассмотрите сначала случай г = 2.]
Формула A7) называется структурным уравне-
уравнением Картана. При © = 8 она переходит в формулу E)

ЭКВИВАРИАНТНЫЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ФОРМЫ 369
лекции 20, которая поэтому также называется структур-
структурным уравнением.
Так как Ad является представлением структурной груп-
группы $ в линейном пространстве д, то определено (см. лек-
лекцию 17) ассоциированное векторное расслоение I[Ad],
и, значит (см. лекцию 16), можно говорить о lfAdj-знач-
ных дифференциальных формах на 93 степени г>0.
По определению каждая такая форма at любой точке
b?S8 и любым векторам Аи ..., АГ?ЧЬ33 ставит в соот-
соответствие элемент <оь(Аи ..., Аг) слоя JF,,(|[Ad]) расслое-
расслоения ?[Ad]. С другой стороны (см. лекцию 1), точки этого
слоя являются орбитами [р, А], р??, А б%, действия
группы Ъ на пространстве 8 X g, определенного формулой
(р, А)а^(ра, (Ada-1)А), а?$,
и для любой точки P6JF формула }Р(А) — [р, А], Л?д,
определяет изоморфизм линейного пространства % на слой
<?Tb(|[Ad]). Поэтому формула
<ор (Аи .... Аг) - jp 1 (<ль ((dn)p Ах (dn)p Аг)),
Alt ..., Аг б Лр о,
корректно определяет на 8 некоторую g-значную диффе-
дифференциальную форму с*.
Задача 5. Покажите, что
а) форма <о гладка, горизонтальна и эквивариантна;
б) формула «¦> t—*- ш устанавливает изоморфизм между F^-моду-
лем Г (Нот (Л^т^ ® 1 [Ad])) всех 5 [Adl-значных дифференциальных
форм степени г на у} и "Р.'й-модулем горизонтальных эквивариантных
форм степени г на пространстве g.
Это означает, что горизонтальные эквивариантные формы
на 8 естественным образом отождествляются с | [Ad]-
эначными формами на Z8.
В частности, мы видим, что связности на главном рас-
расслоении 1=^ (8, я, SB) (или, точнее, их формы связности) —
это в точности | [Adj -значные линейные формы на 33.
Еще одно определение связности!
Форма же кривизны ft каждой такой связности — это
% [Adj-значная форма степени 2 на S3.
Задача 6. Покажите, что в случае, когда \ является расслое-
расслоением реперов векторного расслоения ?, расслоение \ [Ad] естественно
изоморфно расслоению End \. [Указание. Каждая точка простран-

370 МНИМЫЕ КВАТЕРНИОНЫ
ства ? (J [Ad]) = 8 X fl имеет вид [р, А], где р — (pi /?„) — репер
Ad
влнекотором слое ffb расслоения |, а Л —элемент алгебры g( (n; R),
причем [р, А\ — [р', А'] тогда и только тогда, когда существует такая
матрица CgGL (л; Щ, что р'=рС и А'=С~1АС. Поэтому линей-
линейный оператор $ъ —у <Fb> имеющий в базисе р матрицу А, зависит
только от точки [р, А\.\
Задача 7. Докажите, что указанный в задаче 6 изоморфизм
переводит форму кривизны связности Н на расслоении $ в форму
кривизны соответствующей связности Н на расслоении ?.
Таким образом, для связностей на расслоении реперов
мы, как и следовало ожидать, не получаем ничего нового.
Мы заключим эту лекцию, построив некоторые специаль-
специальные SU B)-связности на пространстве R4. Роль и значение
этих связностей будут выяснены в следующей лекции.
Напомним (см. задачу 5 лекции 7), что кватернионы
1 = о + Ь/ естественным образом отождествляются с матри-
матрицами вида
A8) Аг=,\\ -г -Р.
Поскольку унимодулярные унитарные матрицы второго
порядка (элементы групп SUB))—это в точности матрицы
вида A8) с аа + ЬЬ=*\, мы, в частности, видим, что это
отождествление индуцирует отождествление группы SUB)
с группой S8 кватернионов с нормой 1 (единичной сферой
евклидова пространства Н):
Алгебра Ли IS8 группы S8 (касательное пространство
к сфере S8 в точке 1) естественным образом отождест-
отождествляется при этом с ортогональным дополнением в Н эле-
элемента 1, т. е. с линеалом И' мнимых кватернионов. Соот-
Соответствующие матрицы А% имеют вид
l-r . li, а вещественно,
II — о — «* h
т. е. являются косоэрмитовыми бесследными матрицами.
Поскольку последние матрицы составляют алгебру Ли SU B)
группы Ли SUB) (см. лекцию II 1.11), мы видим, таким
образом, что при |?1Н1' соответствие %,*-+ /Ц является изо-
изоморфизмом линеала Н' на алгебру Ли §иB).
Это позволяет все $и B)-значные дифференциальные формы
(например, формы связности на главных 5иB)-расслоениях)
считать формами, принимающими значения в Н'.

формы рхь 371
[Контрольный вопрос. Изоморфизм Н'«$иB)
позволяет перенести операцию Ли в линеал НГ. Что это
за операция?
В частности, SUB)-cbji3hocth, заданные на пространст-
пространстве R4, являются не чем иным, как U'-значными линейными
дифференциальными формами вида
A9) A{x) = Aa
где х = (х{1, хх, **, х3) и а пробегает индексы от 0 до 3.
Пространство R* удобно при этом отождествлять с линеалом
г», т. е. считать в A9) аргумент х кватернионом. (Обрати-
(Обратите внимание на смену обозначений для формы связности.)
Рассмотрим, например, форму вида A9), заданную фор-
формулой
B0) А (х):= imT|^f f
Здесь мы пользуемся условными, но понятными обозна-
обозначениями. В развернутом виде форма B0) записывается фор-
формулой
л /УЧ— *i*+*«/.+*з* Нг , — xoi—
r+T*"F~" a~
xi + xdXXdx . L
t
1-M
Ее можно записать также в виде
A(x)~lm{f(x)dx}, гдеДж
Форма кривизны связности B0), которую [мы обозначим
символом jF, задается формулой
Im {df {x)/\dx -ь / (x)dxAf(x) dx} =
—x(dxx+xdx) .- xdxAxdx
A+1* |»)« '

372 формы Fhtb
т. е.—поскольку под знаком Im стоит, очевидно, мнимый
кватернион—формулой
/2П F — dx Л dx
Более общим образом можно рассмотреть форму
B2) Аь.*{х)=1т
где ft^H и Я—произвольное положительное число. Эта
форма получается из формы B0) преобразованием
являющимся композицией гомотетии х<-*"кх и трансляции
JC >-* X -г Ь.
Задача 8. Покажите, что форма кривизны связно-
связности B2) выражается формулой
Оказывается, что среди всех форм вида A9) формы B2)
выделяются двумя важными свойствами. Первое из этих
свойств относится к поведению формы B2) при | д: [ i—*> оо.
Мы будем говорить, что функция (форма и т. п.) опре-
определена вблизи оо, если существует такое /?0 > 0, что эта
функция (форма) определена при \x\>R0.
Напомним, что две числовые функции fug, опреде-
определенные вблизи оо, называются асимптотически равными
при |jc|i—>оо (в записи f~g при |jc|<—*¦ оо), если
-М-н-*1 при |jf|-*oo.
Для функций fug, принимающих значения в Н' (или
в любом другом линеале <5'/3), формула f~g при |лг|-*оо
по определению означает, что при | х \ —<¦ оо асимптоти-
асимптотически равны все их координаты (т. е. — в более инвари-
инвариантных терминах—что /о/ ~ log для любого линейного
функционала I: f* ~». R). Аналогично, для двух диффе-
дифференциальных форм A==Aadx* и В = Badx?, определенных
вблизи оо, формула А ~ В при |дг|г—>оо по определению
означает, что Аа ~ Ва для всех а -- 0, 1,2, 3.
Пусть гладкое отображение g: Н —>¦ Ss определено при
(x\>R0. Тогда для любого R > Ro композиция гомотетии
x*-+Rx и ограничения функции g на сфере \x\-R будет

формы Fkib 373
гладким отображением S3 —<¦ З3, и потому будет опреде-
определена степень этого отображения. (См. лекцию III.26.)
Эту степень, взятую с обратным знаком, мы
обозначим через k (ср. ниже стр. 383).
Задача 9. Покажите, что число k не зависит от вы-
выбора числа R.
Теперь мы уже можем сформулировать первое свой-
свойство формы B2).
Свойство 1. Существует такое гладкое отображение
g: Н —*¦ S9, определенное вблизи оо, что
B4) Abb(x)~g-l(x)dg(x) при \х\ — оо
для любых А, и Ь. Число k для этого отображения
равно 1.
Доказательство. Ясно, что А^ ь ~ А при | jc|—»-оо,
где А — А\, о—форма B0). Поэтому соотношение B4) доста-
достаточно доказать лишь для формы А.
Но ясно, что
х _ I x 12
тттгг^* н-1*1а ~х~х при |дг|^°°
и
А\ г\ — Н лГИ — d*X + *dx
а\х\ — а у хх = —^ущ—•
х \ _ dx\x\ — d\x\x _ \x]*dx—xdxx — xdx — dxx
1*1/ I* Iя ~ 2|x|3 =X 2JJ?
Следовательно,
А (дг) ~ Im x~l dx = Im
i •• i
При |х|-+оо,
где gix) — —^. Для завершения доказательства остается
заметить, что отображение g переводит сферу S3 в себя
и является на S3 симметрией jci—»• jr. Ш
Перейдем теперь ко второму свойству.
Так как пространство R*— Н обладает стандартной
евклидовой структурой и ориентацией, то (см. теорему 1
лекции 11.96) для кососимметрических тензоров на нем
определен оператор Ходжа *. Поскольку же касательное
пространство пространства R.* в любой его точке естест-
естественным образом отождествляется с R*. этот оператор опре-

374 ФОРМЫ FK ь
делен для кососимметрических тензоров в каждой точке
пространства К4, т. е. для дифференциальных форм на R4.
При этом на базисных дифференциальных формах степени 2
этот оператор действует, как легко видеть, по формулам
*(d*o Л dx1) - dx*Adxs, *{dxl A dx*) <= dx°Adx3,
B5) *(dx° Л dx2) = —dx1 A dx3, *{dxx A dx") = — dx° А d*2,
*(dx° Л dx*) = dx1 A dx*, *(dx2 A dx*) ---= dx" A dx1.
По линейности оператор * распространяется па формы
со значениями в произвольном линеале (и, в частности,
на Н'-значные формы).
Заметим (см. формулу A7) лекции 11.96), что *2~1.
Дифференциальная форма F степени 2 на простран-
пространстве R* называется автодуальной, если
(и антиавтодуальной, если *F — — F).
Свойство 2. Каждая форма B3) автодуальна.
Доказательство. Из формул B5) следует, что
базис пространства автодуальных форм состоит из форм
dxa Л dx1 + dx* Л dx3,
dx° A dxi—dx1 Л dx\
dx° Л dx3 + dx1 Л dx*.
Поскольку
dx Ad~x=-
= (dx6 4 dxH + dxaj + Же8*) Л (dx^—dxH—dx^j—dx'k) -=.
== —2 {(dx° Л Л;1 + dx2 A dx3) i +
Л d**—dx1 A dx') j + (dx° Л dx3 -f cbc1 Д dx*) k),
это доказывает свойство 2. ?
Как уже было сказано, роль и значение этих свойств
будут объяснены в следующей лекции.

Лекция 22
Уравнения Максвелла электромагнитного поля. — Опера-
Операторная интерпретация. — Калибровочные поля. — Инстан-
тоны. — Формула для топологического заряда. — Функцио-
Функционал Янга—Миллса. — Инвариантные многочлены на про-
пространстве матриц. — Характеристические классы векторных
расслоений.
Кажущиеся произвольными построения конца преды-
предыдущей лекции находят себе оправдание в современной
теории физических полей.
Из физики известно, что электромагнитное поле описы-
описывается двумя векторами электрической и магнитной напря-
напряженности Е и Н, удовлетворяющими в вакууме уравне-
уравнениям Максвелла
<*) Т^Г rot/f»
<2) • т4г= rot7/»
В четырехмерном формализме специальной теории относи-
относительности эти векторы объединяются в один кососим-
метрический тензор F, имеющий в координатах х° — id,
хг —х, х* — у, x3 — z компоненты
! О Fn Fot Foi\\
F10 0 F12 F19l
FM F-n 0 Fta"
„Fm Fn Fa2 0 }
т. е. в другой системе понятий—в дифференциальную
форму
0
-iEx
— *?и
— iEz
iEx
0
—Hz
"и
iEy
нж
0
-H.
iEz
~Hy
нх
0
v
¦f Нг dx Д dy—Hy dxAdz + Hx dy Л dz.
Внешний дифференциал этой формы выражается формулой
Л

376 УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
и, значит, первая пара A) уравнений Максвелла равно-
равносильна тождественному обращению в нуль этого диффе-
дифференциала:
C) dF=r-0,
т. е. замкнутости формы F.
При формальных преобразованиях удобно считать все
переменные Xй, 0^а^4 (в том числе и переменную я0!),
вещественными, т. е. рассматривать форму F на прост-
пространстве R* (это равносильно введению в рассмотрение
мнимого времени it; физики называют переход от t к it
виковским поворотом). Тогда к форме F можно будет при-
применить оператор Ходжа #, получив тем самым форму
*F±Foldx% Л d&—Fndxl Л dx^F^dx1
+ FL2 dx* Л dx3—Flt dx* Л dx* + Ft3 dx° Л dx1 =
= — ic(Hxdx + Hudy+ Hzdz) Adt +
-f i(Exdy A dz—EudxA dz + Ezdx A dy)
(см. формулы B5) лекции 21). Так как

УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 377
^1
дх '(?(/' дг
+ тг+-^-РЛ*.Л<й +
, . / 1 дЕх дН, дНи\ ,, . , А . ,
+ tc( _1___L_|— v)dtf\dyf\dz +
\ с dt ду ~ дг J
/ 1 дг ли ли v
..}. fc( _JL * -i—JL )Л Л dx Л dz +
\ с dt дх ' дг J
то, следовательно, вторая пара B) уравнений Максвелла
равносильна уравнению
D) d*F = 0.
[В присутствии зарядов уравнение C) сохраняется, а
уравнение D) приобретает вид d*F = *4яКр, где ср =
— pdt + jxdx + }udy + jzdz (здесь р—плотность заряда, а
ix> in* \x—компоненты вектора плотности тока).]
Согласно лемме Пуанкаре (см. лекцию II 1.20) из C)
следует, что на пространстве R4 существует потенциал,
т. е. такая линейная форма
E) A = Aa(x)d^, а = 0, 1, 2, 3,
что
F) F = dA.
Для коэффициентов это означает выполнение равенств
Потенциал А должен удовлетворять уравнению вто-
второго порядка
(8) d*dA = 0,
получающегося подстановкой F=.dA в уравнение D). Он
определен с точностью до преобразований вида
(9) A^A + df,
где /—произвольная'функция. Преобразования (9) назы-
называются калибровочными преобразованиями.
В трехмерном формализме 4-вектор А распадается на скалярный
потенциал^ и векторный потенциал А. Пользуясь преобразовани-
преобразованиями^!?), можно всегда обратить потенциал ф и дивергенцию div A

378 ОПЕРАТОРНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ
потенциала А в нуль (это—так называемая лоренцева калибровка по-
потенциала). В лоренцевой калибровке уравнение (8) превращается
в волновое уравнение д'Аламбера
1 дМ
а равенство F) приобретает вид
Отсюда следует, что поля Е и Н удовлетворяют тому же уравнению
д'Аламбера. Физически это означает, что электромагнитное поле в пус-
пустоте имеет вид электромагнитных волн.
Каждая гладкая функция / определяет на линейном
пространстве F всех гладких функций на R* линейный
оператор
A0) 7>: фн+ftj, i|>€F,
умножения на /. Этот оператор тогда и только тогда
обратим, когда функция / нигде не обращается в нуль.
Наряду с операторами A0) мы будем рассматривать
на F также операторы частного дифференцирования
да=-^г, а = 0, 1, 2, 3,
по координатам и их суммы da-\-Tf с оператором A0).
Впрочем, удобно вместо Т, писать / и, следовательно,
вместо да + Т/ писать да + /.
Имея это в виду, мы каждому потенциалу E) поставим
в соответствие операторный 4-вектор V с компонентами
A1) Чсс=да + Аа, о = 0, 1, 2, 3.
Для любых двух операторов Va. Vp вида A1) их комму-
коммутатор [Va, Vp] выражается формулой
Это показывает, во-первых, что этот коммутатор является
оператором умножения на функцию, а во-вторых—см. фор-
формулу G)—что эта функция представляет собой не что
иное, как коэффициент Fa& формы F. Таким образом,
A2) Fa^[Va, VP]
для любых а, р = 0, 1, 2, 3 (что является, конечно, лишь
другой записью соотношения F)).

ОПЕРАТОРНАЯ ИПТНРПР1-ТАЦИЯ 379
Чтобы получить в операторной интерпретации калиб-
калибровочные преобразования (9), мы для произвольной всюду
отличной от нуля функции g рассмотрим составной опера-
оператор Va0^, т. е. оператор
* ^ V* («ГЧ»)«(да + Аа)
Видно, что
где \'а— Va +g^dgg—операторы A1), отвечающие потен-
потенциалу А' с компонентами
т. е. потенциалу, получающемуся из потенциала А пре-
преобразованием (9) с /=111,?. Таким образом, калибровоч-
калибровочные преобразования—это в точности преобразования
А •—>¦ А', отвечающие преобразованиям вида Va1—»¦ Г|г1о Vao Tg,
т. е. — в другой записи—вида
A3) Va*-+B-l°Va°g
(трансформациям посредством операторов g — Tg).
Резюмируя, мы получаем, что потенциал электромаг-
электромагнитного поля мы можем интерпретировать как опера-
операторный А-вектор с компонентами A1), само поле F—как
дифференциальную форму на IR4 с операторными коэффи-
коэффициентами A2), а калибровочные преобразования—как
трансформации вида A3). (При этом функции -ф, на которых
действуют операторы, физически интерпретируются как
компоненты электронно-позитронного поля Дирака.)
Эта формулировка допускает немедленное обобщение,
состоящее в том, что в операторах A1) функции Аа счи-
считаются принимающими значения в некоторой матричной
алгебре Ли ясдЦя; К), т. е. потенциал E) считается
линейной узнанной дифференциальной формой на R*.
Тогда из-за некоммутативности матричного умножения
коммутаторы A2) будут выражаться формулой
Рс» = 9аАр — дцАа + [Аа, Ар].
Иными словами, форма
'Z dx\ a, P = 0, 1,2,3,

380 КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
будет {(-значной дифференциальной формой второй степени,
выражающейся через форму А по формуле
A4) F — dA + А АЛ.
Физическое поле, описывающееся формой вида A4),
называется калибровочным полем с потенциалом А. Таким
образом, в этой терминологии электромагнитное поле
является не чем иным, как калибровочным полем с 0[1 A; По-
Позначным потенциалом. (Впрочем, чтобы не выходить за
рамки алгебр Ли компактных групп—что часто бывает
удобно—целесообразно все умножить на мнимую единицу
( —V—1 и считать, что потенциал электромагнитного поля
принимает значения в алгебре Ли /R = it A) унитарной
группы U(l).
Что же касается калибровочных преобразований, то для
матричных потенциалов они определяются как преоб-
преобразования А*-*А', отвечающие трансформациям вида A3),
где g—произвольная функция на R4, принимающая зна-
значения в матричной группе Ли $ с алгеброй Ли g.
Являясь матрицами порядка п, коэффициенты форм А
и F действуют на n-компонентных векторных полях \\>
на R4. Так как для любого такого поля i|) и любой $-знач-
ной матричной функции g имеют место тождества
(daog) ф = да fci|>) = {dag) ty + g (deW,
o = 0, 1, 2, 3,
где dag при 4g" = !|g"/H—матрица fdagjl> т0 (мы« как и выше»
опускаем знак о)
Это означает, что для матричных потенциалов калибро-
калибровочные преобразования имеют вид
A5) A^g-*Ag + g-ldg.
При каждом таком преобразовании форма F переходит
в форму
-4g) + (g-'Ag + g~4g) A (g'lAg-I
Ad d1
gAg + gggAg
r g~lA A Ag+g~xA,A dg-h g~4g A
A)

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ 381
(напомним, что dg~* =— g~1dgg~1). Преобразование
F -—¦- g~xFg также называется калибровочным.
Сравнив теперь формулу A4) с формулой C8') лек-
лекции 19 (структурным уравнением Картана), мы немедленно
обнаружим, что калибровочное поле является не чем иным,
как формой {тензором) кривизны некоторой связности,\а
его потенциал—формой этой связностиХ Калибровоч-
Калибровочные же преобразования A4) представляют собой не что
иное, как преобразование форм связности в различных
тривиализациях (см. формулу A7") лекции 10).
Появление в этом контексте связностей можно пояснить следую-
следующим образом.
В принципе каждое калибровочное поле F связано с некоторым
полем материи if>. Например, для электромагнитного поля таким
полем будет биспинорное поле Дирака, частицами которого являются
электроны и позитроны» В общем случае в конструкцию поля мате-
материи входит задание некоторой матричной группы Ли '§, называемой
группой внутренних симметрии. (Для электронно-позитронного поля
Дирака группой $ является группа U A) фазовых преобразований
i|) *_». e'ei|>.) Имеется в виду, что частицы поля обладают некоей внут-
внутренней структурой, на которую действует группа g. Для яуклонного
(протонно-нейтронного) поля внутренняя структура частиц описы-
описывается изотопическим спином, а группой g является группа SU B)
(группа изотопической симметрии). Для кваркового поля внутренняя
структура задается тройкой цветов, а группой # является группа
SU C) (группа цветовой симметрии) и т. д. При движении частицы
из точки х пространства Минковского в точку у по двум разным
мировым линиям, частица приходное точку у, вообще говоря, с раз-
разными внутренними состояниями. Физически это изменение означает,
что на частицу подействовало соответствующее калибровочное поле,
а геометрически — что вектор внутреннего состояния частицы под-
подвергся преобразованию из группы голономин $.
Аналогом уравнения Максвелла C) (напомним, тож-
тождественно выполняющегося в силу равенства F)) является
уравнение Бианки
dF^F AA—AAF (или DF^O),
тождественно выполняющееся в силу равенства A4), а ана-
аналогом уравнения Максвелла D)—уравнение
A6) D»F = 0,
называемое уравнением Янга—Миллса, (Таким образом,

382 КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ
калибровочные поля- -это не любые связности на R*, а лишь
удовлетворяющие уравнению A6).)
При $~SUB) калибровочные поля называются полями
%нга — Миллса.
Так как равенство A4) означает (см. формулу A5) лек-
лекции 21), что F-DA, то для потенциала А уравнение A6)
приобретает вид
A7) D*DA--=0,
полностью аналогичный уравнению (8).
По физическим соображениям каждое калибровочное
поле должно, кроме того, обращаться в бесконечности
в нуль, т. е. быть таким, что для любых а, р*
A8) Fat{x)-+0 при |х| — оо.
Удобный технический способ учесть условие A8) со-
состоит в переходе к компактифицированному пространству
R*U{oo}, получающемуся из пространства 'R* добавлением
одной точки оо. (Поле F продолжается в точку ею нулем.)
Здесь хорошо воспользоваться стереографической проек-
проекцией и перейти от пространства R4 (j {оо} к сфере S*. Тогда
в стереографических координатах с полюсом et потенциал А
будет линейной дифференциальной формой на проколотой
сфере \ Ul4')=^Si\{e4}, а условие A8) будет выполнено
тогда и только тогда, когда на проколотой сфере (/<-* =
= 5*\{—е4} будет существовать потенциал В, равный
нулю в точке е4 и калибровочно эквивалентный вне точек
±е4 потенциалу А. На R4 потенциал В определен вне
точки 0 и вне этой точки связан с потенциалом А соот-
соотношением
A9) A^g-LBg + g-Ug,
где g—некоторое гладкое отображение IR4\{0} —.> "&.
Трактуемое как отображение S4\{—е4, е4}—>¦$ отобра-
отображение g является не чем иным, как коциклом над груп-
группой % двухэлементного покрытия {Ul~\ f/l+)} сферы S4
и, значит, определяет над S4 некоторое главное ^-рас-
^-расслоение \. При этом потенциалы А и В будут формами
некоторой связности V на этом расслоении, а поле F—фор-
F—формой кривизны этой связности (над U+ =¦ §*\{?i}'< B точке ел
форма кривизны связности V по условию равна нулю).
Так как в точке е4 потенциал В равен нулю, то на R4
условие A9) равносильно асимптотическому равенству
A9') А ~ g~ldg при |д-|-ч.оо.

ИНСТАНТОНЫ 383
Задание такого равенства однозначно определяет расслое-
расслоение | и потенциал В, а значит, и связность V.
Таким образом, мы имеем два равносильных языка.
На одном языке потенциалы калибровочных полей с груп-
группой %—это д-значные линейные дифференциальные формы E)
на R4, удовлетворяющие соотношению A9') с некоторой
S-значной функцией g, определенной на IR4 вблизи оо.
На другом языке—это связности на главных ^-расслоениях
с базой S*. Функции g являются при этом не чем иным,
как склеивающими коциклами этих расслоений.
Два поля (потенциала) называются калибровочно экви-
эквивалентными, если они переходят друг в друга при неко-
некотором автоморфизме расслоения % над S*.
Подчеркнем, что это сведение калибровочных полей
к связностям нельзя считать полным, поскольку поле
должно, помимо всего прочего, удовлетворять уравнению
Янга—Миллса A6), не имеющего пока геометрической
интерпретации.
Все же некоторую пользу для физики извлечь можно.
Например, мы видим, что каждое калибровочное поле
обладает неким инвариантом, являющимся гомотопическим
классом отображений §» —*¦$. Для группы SUB)^=S8
этот инвариант характеризуется целым числом k (степенью).
Взятый с обратным знаком, он называется физиками топо-
топологическим зарядом.
С другой стороны, существует способ вообще полностью
элиминировать таинственные уравнения A6). Он состоит
в том, что мы ограничиваемся лишь автодуальными или
антиавтодуальными полями, т. е.— см. лекцию 21 — по-
полями F, для которых
B0) *F=±F.
Для этих полей уравнение A6) сводится к уравнению
Бианки DF — 0 и, значит, заведомо выполнено. Таким
образом, потенциалы (анти)автодуальных полей на R4—
это в точности связности в главных расслоениях над S*
с {анти)автодуальными формами кривизны {обращающи-
{обращающимися в нуль в точке et).
Здесь уже редукция к геометрии вполне адекватна.
Заметим, что понятие (анти)автодуальных полей имеет
смысл только над евклидовым пространством R4.
[Хотя над пространством Минковского и можно определить
оператор Ходжа *, но для этого оператора будет иметь

384 И НСТ АНТОНЫ
место равенство ** = — 1, и потому уравнения B0) будут
удовлетворяться только при /г = 0.]
При S = SUB) автодуальные поля, имеющие положи-
положительный заряд, и антиавтодуальные поля, имеющие отри-
отрицательный заряд, называются мультшшетантонами.
Мультиинстантон с зарядом k называется k-инстантоном.
Таким образом, /г-инстантоны—это поля Янга—Миллса F
с зарядом k, для которых
*F = (sign k) F.
[Ниже мы увидим, что равенство «F = — (sign k) F возможно
только при F = 0.] Мультиинстантоны с k-\ называются
просто инстантонами, a ck = —1—антиинстантонами.
Теперь мы понимаем, что, собственно говоря, было
сделано в конце лекции 21. Это было явное построение
целой серии инстантонов Fx, ь- Впервые оно было осу-
осуществлено в 1975 г. в пионерской работе Белавина, Поля-
Полякова, Шварца и Тюпкина. Позже в 1978 г. Атья, Дрин-
фельд, Хитчин и Манин доказали, что любой инстантон
калибровочно эквивалентен одному и только одному
инстантону F\, ь. Мы лишены возможности изложить
здесь их доказательство.
Аналоги инстантонов F\, ь можно построить для лю-
любого k (и для них также будет верна теорема Атья, Дрин-
фельда, Хитчина и Манина), но при | k | > 1 это описание
не дает явных формул (при k > 1 роль X и Ь играют ква-
тернионный вектор J\,-«(^i, . .., К) и кватернионная сим-
симметрическая fexfc-матрица В, но не любые, а связанные
определенными зависимостями, нуждающимися в дополни-
дополнительном исследовании).
Эти зависимости следующие:
а) матрица '/??-{-Я,тА, 'вещественна и диагональна,
б) для любого кватерниона х?Н уравнения
1Я§=х|. Ч = 0,
где | = (?и .... gs)T—столбец; кватернионов, имеют единственное
решение |=0.
Изменение знака у k сводится к перестановке их и dx.
В связи с понятием топологического заряда поля
Янга—Миллса естественным образом возникает вопрос
о его явном вычислении непосредственно по полю F, минуя
потенциал А. Оказывается, что на этот вопрос существует
красивый ответ.

ФОРМУЛА ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО ЗАРЯДА 385
Для любых двух форм
F = 2 F^dx? A <bfi, G = 2 Gafidx? /\dx?
<р <8
степени 2 на R4 форма F /\*G имеет максимальную сте-
степень 4 и выражается, как легко видеть, формулой
B1) FA*G^CZFafiG
где dx = dx1 A dx2/\ dx* A dx*. Если формы F и G удов-
удовлетворяют условию A8) и, значит, могут рассматриваться
как формы на §\ то форма F /\ *G также будет формой
на 5\ и потому—в силу компактности сферы S4 — будет
существовать интеграл
$ F Л
S<
$
S<
В случае, когда коэффициенты форм F и G являются
числовыми (вещественными) функциями, этот интеграл
обозначается символом </г, G> и называется скалярным
произведением форм F и G. Из формулы B1) непосред-
непосредственно следует, что это умножение задает на пространстве
форм Q2 (S4) структуру евклидова пространства (или в дру-
другой, более предпочтительной из-за бесконечномерности
пространства Q2(S4) терминологии—структуру пред-
предгильбертова пространства).
В случае форм с коэффициентами из алгебры матриц
§цB) нужно предварительно перейти к следу. Кроме того,
чтобы получилось положительно определенное скалярное
умножение, нужно все умножить на —1. Таким образом,
для SU B)-значных форм мы полагаем
B2) <F, G> = — $
s*
В интерпретации Sit B)-значных форм как форм с коэффи-
коэффициентами из Н' след переходит в операцию 2Re и, значит,
B2') <F, G> = -2$
s«
Задача 1. Покажите, что для любого поля Янга —Миллса F
его топологический заряд k выражается формулой
B3) A = _i_<F, *F>,
13 М. М. Постников, сен. IV

ЗД6 * ФОРМУЛА ЯНГА - МИЛЛСА
т. е, формулой
B3') * =
Неожиданным образом формула B3) позволяет также
охарактеризовать мультиинстантоны как точки минимума
некоторого функционала. Действительно, ясно, что по отно-
отношению к скалярному умножению B2) оператор Ходжа *
самосопряжен (симметричен). Поэтому его собственные под-
подпространства, принадлежащие собственным значениям ±1
(т.е. пространства автодуальных и антиавтодуальных форм),
ортогональны и приводят этот оператор. Это означает, что
любая форма F единственным образом представляется в
виде
~де формы Fi+) и F1 ортогональны, причем форма
автодуальна, а форма Fi-) антиавтодуальна. Поэтому для
квадрата нормы \\Ff=<F, F> этой формы имеет место
формула
а для топологического заряда k—формула
* = ¦§¦?
Поэтому
B4)
причем равенство может иметь место только при *F —
= (sign/г)/7, т. е. для мультиинстантонов. (Кроме того, мы
видим, что равенство »F — — (s\gnk)F возможно только
при F — 0; см. выше.)
С другой стороны, непосредственное вычисление, исполь-
использующее явные формулы Белавина, Полякова, Шварца и
Тюпкина, указанные в лекции 21, показывает, что для
мультиинстантонов неравенство B4) переходит в равенство.
Задача 2. Проверьте это утверждение при k = 1.
Функционалом Янга—Миллса называется функционал
на пространстве всех ЗиB)-значных потенциалов А, опре-
определенный формулой
B5) A^ffJ,

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 387
где FA—форма кривизны связности А. Мы видим, таким
образом, что мультиинстантоны (или, точнее, их потен-
потенциалы)— это в точности точки минимума функционала
Янга—Миллса.
Замечание 1. В нелинейном функциональном ана-
пизе (вариационном исчислении) имеется понятие стацио-
стационарной точки функционала (аналогичное понятию стацио-
стационарной точки функции конечного числа переменных). Ока-
Оказывается, что поля Янга—Миллса—это в точности
стационарные точки функционала Янга—Миллса.
Впрочем, существуют ли такие поля, не являющиеся
мультиинстантонами, до сих пор неизвестно. (Для группы
SUC) — случай глюонного поля—они построены.)
Ключевая формула B3') является примером весьма
общих интегральных формул, относящихся к произвольным
главным или—что в принципе равносильно—к произволь-
произвольным векторным расслоениям \ и выражающих топологи-
топологические инварианты этих расслоений (а точнее—классы
когомологий некоторых замечательных дифференциальных
форм на их базах) через формы кривизны связностей на |.
Чтобы построить такие формы, мы должны начать
сравнительно издалека.
Пусть MatnK—линейное пространство всех квадратных
матриц порядка п над полем К, где K = R или С, и пусть
B6) F: MatrtK-*K
— функция At—>F(A), Л?Ма1:пК, являющаяся многочле-
многочленом от элементов aj матрицы Л = (|а/||.
Определение 1. Функция B6) называется инвариант'
ным многочленом, если
для любых матриц A, B?MatnK.
Задача 3. Покажите, что функция B6) тогда и
только тогда является инвариантным многочленом, когда
для любой невырожденной матрицы С ? GL (га; К) (« любой
матрицы А ? Matn (К)).
Примерами инвариантных многочленов являются след
ТгЛ, определитель det/t и все элементарные симметри-
симметрические функции ак (А), 1</г<п, от характеристических
корней А,,, ... ,%п матрицы А (т. е.— с точностью до знака
13*

388 ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
(—1)* — коэффициенты характеристического многочлена
fA(k) — det\A—КЕ\ матрицы А).
Заметим, что о?! —Тг и <xn—det.
Задача 4. Докажите, что любой инвариантный мно-
многочлен F может быть представлен в виде многочлена от
многочленов аи ..., сг„. [Указание. Докажите, что зна-
значение многочлена F на произвольной диагональной матрице
D^diag^, ..., Я„) является симметрическим многочленом
от "Ки ..., Я„ и, значит,— согласно так называемой основ-
основной теореме теории симметрических функ-
функций—многочленом от at(D), ..., an(D). Затем восполь-
воспользуйтесь тем, что матрицы вида С~ЮС, C?GL(n; С), всюду
плотны в Matn(K).]
Задача 5. Докажите, что если многочлен F инвари-
инвариантен, то
для любой матрицы А. [Указание. Матрицы А и Лт
имеют одни и те же характеристические корни.]
В дальнейшем мы, как правило, будем рассматривать
лишь однородные инвариантные многочлены.
Задача 6. Докажите, что однородные составляющие
произвольного инвариантного многочлена также являются
инвариантными многочленами.
Таким образом, каждый инвариантный многочлен явля-
является суммой однородных инвариантных многочленов.
Пусть Fc=---—r—частные производные многочлена F по
da'i
его аргументам а). Для любой матрицы А ? Mat,, (К) зна-
значения F{{A) этих производных в свою очередь составляют
матрицу If/^)!. Мы обозначим эту матрицу символом
F'(A).
Заметим, что классическая формула dF — —7dx' для
дифференциала в случае функции B6) имеет вид
dF=F{daj.
В матричных обозначениях эту формулу можно пере-
переписать так:
B7)
Содержательный смысл формулы B7) состоит в том, что
для любой гладкой матричной функции i*-*-A @ = lil

ИНВАРИАНТНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 389
имеет место равенство
B8) ^ЩМ = 1
dA (t) !| da1- (t)
матрица производных
()
где —-г. матрица производных ,•—j-—.
Лемма 1. Если многочлен F инвариантен, то для
произвольной матрицы А ? Matn (К) матрицы F' (А) и А
перестановочны:
B9)
Доказательство. Пусть Е'к—матричная единица
||6ft6'| (все элементы этой матрицы равны нулю, за исклю-
исключением элемента в &-й строке и 1-м столбце, который равен
единице). В силу инвариантности многочлена F для любого
/ ? R имеет место равенство
C0) F((Е + tE'k) A)----F {A (E ~ tElk%
Так как матрица
d(E + tElk)A Fl.
выражается формулой
(все ее строки равны нулю, за возможным исключением
^-й, которая совпадает с 1-м столбцом матрицы А), а мат-
матрица
— формулой
(все ее столбцы равны нулю, за возможным исключением
/-го, который совпадает с k-й строкой матрицы А), то, про-
продифференцировав с помощью формулы B8) равенство C0)
и положив / = 0, мы получим соотношение
в точности равносильное тождеству B9). D
Пусть теперь ? = (<?, л, 3?) — гладкое векторное рас-
расслоение ранга п над гладким многообразием X. Произвольно

390 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
задав на 5 некоторую связность Н, рассмотрим ее тензор
кривизны R и матричные формы Q, задающие тензор R
на тривиализирующих окрестностях UcS (см. лекцию 19).
Каждая функция B6) очевидным образом распростра-
распространяется на матрицы А, элементы которых являются не чис-
числами, а элементами произвольной коммутативной алгебры
над полем К. В частности, поскольку умножение дифферен-
дифференциальных форм четной степени коммутативно, то для про-
произвольного однородного многочлена B6) определена на
каждой тривиализирующей окрестности 0 дифференциаль-
дифференциальная форма F(Q) (чтобы вычислить эту форму, надо в F
вместо переменных а] подставить формы Q/ и все умноже-
умножения понимать как внешние умножения Л). Матрица й
зависит от выбора тривиализации расслоения \ над U и для
другой тривиализации заменяется матрицей C'^QC, где
С—матрица перехода над алгеброй Ft/, связывающая эти
тривиализации (базисы Ffy-модуля ГA|у)). Поэтому, если
многочлен F инвариантен, то форма F(Q) не зависит от
выбора тривиализации над U и, значит, формы F(Q), по-
построенные для всевозможных окрестностей U, согласованы
на пересечениях. Следовательно, они определяют некоторую
дифференциальную форму (над полем К) на всем многооб-
многообразии %.
Мы будем обозначать эту форму символом F(R).
Заметим, что степень формы F(R) равна 2г, где г —
степень многочлена F (напомним—однородного и инвари-
инвариантного).
Предложение 1. Для любого однородного инвариант-
инвариантного многочлена F форма F(R) замкнута:
Доказательство. Достаточно показать, что dF (Q) =
= 0 на любой окрестности U. Так как на формах четной
степени оператор d является дифференцированием (удовлет-
(удовлетворяет обычному правилу дифференцирования произведе-
произведения), то для вычисления формы dF(Q) пригодна формула
B7), принимающая при A=Q вид
С другой стороны, согласно тождеству Бианки (формула C9)
лекции 19)
F' (Q) Л du = F' (Q) Л со Л & — F' (Q) Л О Л »,

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 39!
а согласно лемме 1 (примененной к матрице А = Q)
F'(Q)AQ = QA/?'(Q).
Поэтому
F' (Q) Л dU = Н Л Q—Q Л S,
где S = F' (Q) Л й), и, значит,
AQ — ЙЛ 2) = 0. D
Напомним (см. лекцию III.20), что для любого много-
многообразия SC и каждого k ^ 0 определена группа когомоло-
когомологии де Рама НкХ (на самом деле R-линейное пространство),
элементами которой являются классы когомологии [со]
замкнутых форм (о степени k на SC, Если рассматривать
формы с комплексными коэффициентами, то аналогичным
образом возникнут комплексные группы когомологии Hq3?-
Задача 7. Покажите, что линеал Н^ЗС является комплексифи-
кацией линеала HkSC'• [Указание. Если (О = (о1 + ((оа, где Wi и щ
формы с вещественными коэффициентами, то da> — da>i-{-i йщ, где icoi
и dco2—также формы с вещественными коэффициентами.]
Для единообразия линеал НкЗ? обозначается также сим-
символом Н%_?С.
Так как согласно предложению 1 форма F(R) замкнута»
то в группе Н&З? определен ее класс когомологии [.F(#)].
Оказывается, что этот класс не зависит от выбора связ-
связности Н.
Предложение 2. Пусть Но и Н1—две связности на
К-векторном расслоении t и пусть Ro и #!—их тензоры
кривизны. ТЬгда для любого однородного инвариантного-
многочлена F в группе H^SC имеет место равенство
Доказательство. Пусть рг* Яо и рг* Нх—прообразы
связностей Но и Нг при проекции рг: ??у.1 —<-•?". Так как
(см. лекцию 18) связности на любом векторном расслоении
составляют аффинное пространство, то для каждого s?R.
на расслоении |х/ определена связность
Ясно, что связности Н[ составляют гладкое семейство связ-
связностей на 1x1 и потому определяют связность {#'} на
Eх/)х/. Пусть Н1 = {#sb-t—ее диагонализация (см.

392 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
лекцию 10), a Rf— форма кривизны связности Н'. Тогда
для любого t ? / будет иметь место формула
(см. формулу A8) лекции 10), где it: SC —>• SCY.I—вложение
b*—*-{b, t), b^.%. Но так как proi, = id для любого t?l,
то в рассматриваемом случае t7//f == A—s)H0 — sH1 и, зна-
значит, iifi' — A — t) #0 + tHx. Следовательно,
и, в частности, ilHf=H0, i{Hf=H1. Поэтому R0 = il
Ri —i[R' (см. задачу 1 лекции 19) и, значит,
Но мы знаем (см. предложение 3 лекции II 1.20), что
для любого k соответствие со н-». (рг)* ш индуцирует изомор-
изоморфизм групп когомологий H%SP — Я* (SC x I) (а значит,
и изоморфизм Hq& — Hq (#"х /)).
Поскольку рг о /(= id для любого t?l, обратный изо-
изоморфизм будет задаваться соответствием coi—>tjco, откуда
следует, что для произвольной замкнутой формы ю на
&У.! класс когомологий i] [to] = [tjco] на % не зависит от
t g /. В частности, при ? = 0,1 мы получим, что [tjco] =
[ili]. При со — F {R') это дает искомое равенство
(\ = [F(R1)]. ?
Таким образом, для любого однородного инвариантного
многочлена F формула
cF(l)=[F(R)]
корректно определяет в группе H^SC некоторый элемент
СA)
)
Определение 2. Элемент cF(§) называется характери-
характеристическим классом векторного расслоения ?, отвечающим
инвариантному многочлену F.
Чтобы классы cF(l) были определены, необходимо и до-
достаточно, чтобы на расслоении § = (<?, я, X) существовала
хотя бы одна связность. Следовательно (см. предложение 2
лекции 18), классы cF (I) определены для любого нумерируе-
мого векторного расслоения §. В частности, они определены,
если многообразие X паракомпактно.
Во избежание надоедливых оговорок будем в дальней-
дальнейшем считать, что многообразие SC паракомпактно.

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ 393
Пусть К = С. Поскольку линеал H^SC является комп-
лексификацией линеала И'&Х = HirS, имеет смысл вопрос,
при каких F характеристический класс cF(l) является
вещественным (принадлежит Н2гЗ?) или чисто мнимым (имеет
вид i[a], где [со] ? Н2г&)?
Пусть F—однородный инвариантный многочлен сте-
степени г с вещественными коэффициентами.
Предложение 3. Для любого комплексного векторного
расслоения ? характеристический класс cffe) вещественен
при г четном и чисто мним при г нечетном.
Доказательство. Поскольку многообразие SC пара-
компактно и, следовательно, расслоение \ нумерируемо,
на \ существует метрика и связность Я, согласованная
с этой метрикой (задача 7 лекции 11). Над каждой тривиа-
лизирующей окрестностью U матрица Q форм кривизны
этой связности в ортонормированном базисе модуля Г E1у)
косоэрмитова (предложение 4 лекции 11), т. е. удовлетво-
удовлетворяет соотношению
C1) QT = _Q.
Но мы знаем (задача 4), что F (йт) = F (Q), а так как коэф-
коэффициенты многочлена F вещественны, то
(
Поскольку
F(_Q) = (_l)'F(a),
этим доказано, что
F (Й) = F (QT) = F (—й) = (— \)ГТЩ.
При г четном это означает, что форма F (R) вещественна
(и, значит, ее класс когомологий [F(R)] в Hq& принад-
принадлежит HlrSP), а при г нечетном—что она имеет вид тг
где со—вещественная форма (и, значит, ее класс когомо-
когомологий имеет вид t [со], где [со] ? Н*ГЯ?). ?
Пусть К == R.
Предложение 4. Для любого однородного инвариант-
инвариантного многочлена F нечетной степени г и любого вещест-
вещественного векторного расслоения \ характеристический класс
cF(l) равен нулю:

394 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ КЛАССЫ
Доказательство этого предложения во всем по-
подобно доказательству предложения 3. Единственное отличие
состоит в том, что свойство косоэрмитовости C1) заменяется
свойством кососимметричности:
Поэтому F (Q) — (—1)г F (Q), откуда при г нечетном следует,
что f(Q)=^0 и, значит, что F(R) — 0. Следовательно,
0. П
Мы продолжим изучение классов cF(Q в следующей
лекции.

Лекция 23
Характеристические классы Чженя иПонтрягина.— Харак-
Характеристические числа Чженя и Понтрягина.— Свойства
классов Чженя и Понтрягина.— Полные классы Чженя
и Понтрягина.— Характеры Чженя и Понтрягина.— Харак-
Характеристический класс Эйлера.— ^-функтор.— Расслоения
и пространства конечного типа.
Напомним (см. предложение 1 лекции III. 19), что для
любых дифференциальных форм сох и щ имеет место формула
d (g>i Л ws) = Жох л со2 -f (— 1)г шх Л d«\,
где г—степень формы о»,. Следовательно,
а) если формы щ и щ замкнуты, то форма % Л «V
также замкнута;
б) если хотя бы одна из замкнутых форм <лх и со, точна,,
то форма ©j Л й>2 также точна.
Поэтому для любых классов когомологий сх = [щ] ис8 =
= [A)8] формула
корректно определяет их произведение Ci Л са. Это умно-
умножение классов когомологий ассоциативно и косокоммута-
тивно (с, Лс8 = (—1)г'г> с2 Л си где r1 = degclt гг = degct).
В частности, умножение классов когомологий четной сте-
степени коммутативно.
Как правило, вместо ct Л са мы будем писать просто с^,.
Замечание 1. В литературе употребляется также
обозначение с^сг.
Теперь из утверждения задачи 3 лекции 22 немедленно'
вытекает, что каждый характеристический класс cF (?) яв-
является многочленом от характеристических классов
A) С"E). •••.
отвечающих элементарным инвариантным многочленам-
аг а„. Этим объясняется особое положение классов A),
Определение 1. При К = С характеристические классы.
называются классами Чженя комплексного векторного рас-
расслоения %.

396 КЛАССЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА
Замечание 2. По-английски фамилия Чжень пишется
Chern. Транслитерация этого написания на русский язык
привела к «классам Черна», которые до сих пор можно
встретить в литературе.
Согласно предложению 3 лекции 22 все классы Чженя
вещественны.
Степень класса сг(?) равна 2г. Значит, если 2г > т,
где ffz=--dim.#\ то сгA) = 0. Поэтому классы сг(%) инте-
интересны только при 2г^.т.
Определение классов сг(?) удобно распространить на
г = 0, считая по определению, что
для любого расслоения ?. (Здесь 1—элемент группы №&,
отвечающей функции, тождественно равной единице; см.
предложение 1 лекции III.20.)
Определение 2. При К = R характеристические классы
называются классами Понтрягина вещественного векторного
расслоения ?. (Согласно предложению 4 лекции 22 классы
(?) равны нулю.)
По определению дополнительно полагается
для любого расслоения ?.
Степень класса ргA) равна 4г. Поэтому эти классы
могут быть отличны от нуля только при 4г < т.
Замечание 3. В алгебраической топологии характеристические
классы Чженя и Понтрягина определяются иначе, как элементы так
называемых групп когомологий над Ъ, которые, вообще говоря, имеют
элементы конечного порядка. Группы когомологий над 2 естественным
образом отображаются в группы когомологий де Рама Н*5С, причем
все элементы конечного порядка переходят, естественно, в нуль и этот
гомоморфизм отображает характеристические классы над % в классы,
определенные здесь (которые называются в этом контексте характери-
характеристическими классами над Щ.
Если размерность т многообразия SC четна, т=^21,
и многообразие X компактно и ориентируемо, то для лю-
любого комплексного расслоения \ над X и любого разбиения
/ = ix -I- ... + i* числа / в сумму неотрицательных слагаемых
определено (с точностью до знака, зависящего от выбора

ЧИСЛА ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА 397
ориентации многообразия .#*) число
<?< (9 = S с,, (S) Л... Л % F). < = & '*).
называемое 1-м числом Чженя комплексного расслоения ?.
Аналогично, если т = 4/, то для любого вещественного
расслоения \ над .Я" определено 1-е чысло Понтрягина
Замечательный факт—непосредственно вытекающий из
сказанного в замечании 3, но не имеющий, по-видимому,
прямого аналитического доказательства—состоит в том, что
все числа с/(?) и pi(%) являются целыми числами.
Пример 1. При dim% — \ для любого комплексного
расслоения \ над SC определены два числа Чженя с(и1)(|)
и сB) (I), выражающиеся (при соответствующем выборе ориен-
ориентации многообразия SC) формулами
\ TrQ ATrQ c14>(|) = ^ J detQ.
% a?
Если \ является SU (л)-расслоением и, значит, форма Q
принимает значения в алгебре Ли ёи(п) бесследных косо-
эрмитовых матриц, то Tr Q = 0, и потому c(lil) (^) = 0. Пусть
п = 2. Поскольку, как показывает элементарное вычисление,
для любой бесследной косоэрмитовой матрицы А второго
порядка имеет место равенство det А — —-у Тг Л2, то в этом
случае
С точностью до обозначений правая часть этой формулы
совпадает (при ^" = 3*) с правой частью формулы B3')
лекции 22. Следовательно, топологический заряд k произ-
произвольного поля Янга—Миллса F равен числу Чженя еB)(?)
соответствующего векторного расслоения (ассоциирован-
(ассоциированного с главным SU B)-расслоением, на котором F является
формой кривизны).
Таким образом, действительно, понятие топологического
заряда подпадает под общую теорию характеристических
классов.

398 СВОЙСТВА КЛАССОВ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА
Кроме того, мы видим, что в рассматриваемом случае
число с,2)(|) на самом деле является целым числом.
Задача 1. Докажите, что для любого
с
? —
расслоения |.
Теорема 1. Характеристические классы Чженя и Понт-
рягина обладают следующими свойствами:
а. Для любого гладкого отображения f: SC' —*¦ SF и всех
0
б. Для тривиального расслоения 9 = 0^- все классы по-
положительной степени равны нулю:
сг @) = 0, рг @) = 0, г > 0.
в. Для любых двух векторных расслоений %, и х\ над
одним и тем же многообразием SC и всех г^О
— 2 ci (?) cj (i) ~
= сг (I) + сг_х (|) сх A1) + ... -h cv(I)сг.х (л) -*¦ cr (л),
= 2 /
Доказательство. Свойство а очевидным образом
вытекает из соответствующих свойств связностей и форм
кривизны. Для доказательства свойства б достаточно заме-
заметить, что на тривиальном расслоении 0 существует связ-
связность, для которой все формы ю', а потому и все формы
йу, тождественно равны нулю. Докажем свойство в.
Пусть ffi и Я4—произвольные связности на расслое-
расслоениях I и г\ соответственно. В каждой карте вида ?%, где
1, — % или tj, связность #? является аннулятором форм
Л) (С) (О (С)
B) 0' = da? -Y V\kaJ dx", i = 1, ..., лс = dim ?,
где a1, xh—координаты на ?у, отвечающие данной три-
виализации расслоения ? над U и данной системе локаль-
локальных координат на U (см. лекцию 10). С другой стороны,

СВОЙСТВА КЛАССОВ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА 399
тривиализации расслоений 5 и г\ над U естественным обра-
образом определяют тривиализацию расслоения 50т| =• {<§, л, SC)
над U, которой в ?ц отвечают координаты
а1, а!, хк,
где l^t^/zg, l^/^/i,, и \^.ks^.m.
Поэтому формы B) мы можем также рассматривать, как
формы над ?и, и ясно, что их аннулятором будет неко-
некоторая связность расслоения 10 т] над U. Над различными
окрестностями U эти связности согласованы на пересече-
пересечениях (докажите!) и потому определяют единую связность Н
на всем расслоении |0tj. Матрица форм этой связности
над окрестностью U является, по построению, блочной
матрицей вида
iio «Y
где ws и со11—матрицы форм связностей ffi и /Г1, т. е.—
в другой терминологии — прямой суммой (о?0 со11 матриц
<о5 и ©ч. Но тогда—как непосредственно вытекает из струк-
структурного уравнения Картана—матрица Q форм кривизны
связности Н также будет прямой суммой ?2^0йл матриц
форм кривизны связностей № и Нп.
Задача 2. Покажите, что для любых двух матриц А
и В порядков пх и п2 имеет место равенство
C) а,(Лфб)= 2 Ot(A)aj(B), а0(А) = а0(В) = 1,
где, конечно, ог слева и а(, оу справа обозначают элемен-
элементарные инвариантные многочлены от матриц порядков
nt + пг и пи пг соответственно. [Указание. Пусть а, (X)
и сгДц)—элементарные симметрические функции перемен-
переменных Ки ..., Kni и Цх, ..., ц,П1 соответственно, а аг (К, \i) —
элементарные симметрические функции переменных ки ...
• • •. К-и Hi» • • •> I-W Так как имеют место тождества
V^ „ /l\^i' 11/1 i 1 А
^^ Uj ^Л^ I — J^J^ ^ 1 -р f^il)
1=0 »=1
и аналогичные тождества для в; (К) и аг(к, ц), то
, О» (Л) f* 11 yj 0/1 U) lJ j ==:: ^Jj O^. l*v
^=0 / \/=0 / r=0

400 ПОЛНЫЕ КЛАССЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА
и, значит,
о; (Я, !*)— S <"! (*)*/(!*)•
Это доказывает формулу C) для диагональных матриц,
а потому и для матриц вида C~lDC, где D—диагональ-
D—диагональная матрица. Общий случай вытекает теперь по непре-
непрерывности (ср. задачу 4 лекции 22).]
Для завершения доказательства теоремы 1 осталось
применить формулу C) к матрицам А = № и 5 = QT1 (и
при !К —R учесть, что классы са*г+1(%) равны нулю). —
На языке теории категорий свойство а характеристи-
характеристических классов означает, что эти классы обладают свой-
свойством функториальности. Оно имеет место, конечно,
не только для классов Чженя или Понтрягина, но и для
любых классов cF(?,). Из него следует, что для изоморф-
изоморфных расслоений I, 1' и любого инвариантного многочлена F
имеет место равенство cF(t) — cF(%'). Поэтому cF можно
рассматривать как отображение множества Уес^З? всех
классов изоморфных векторных расслоений ранга п над X
в группу когомологий Ну{3?.
Отображение <f также называется—не слишком удачно—
характеристическим классом.
Свойство в классов Чженя и Понтрягина подсказывает
ввести в рассмотрение прямые суммы
линеалов H^,SC. Элементами линеала Н\?% являются фор-
формальные суммы вида
а = ао + аг+ ... -\-а2г+ ...
(обрывающиеся при 1г > л), где агг—произвольный эле-
элемент линеала Н%?С (называемый однородной составляю-
составляющей элемента а). Очевидным образом распространив на
такие суммы операцию умножения, мы превратим H"?SC
в коммутативную алгебру с единицей над полем К.
Теперь характеристический класс с^(^) ? Н2& мы можем
ввести для любого не обязательно однородного инвариант-
инвариантного многочлена F, положив по определению
где Fr, г^О,— однородные составляющие многочлена F.

ПОЛНЫЕ КЛАССЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА 401
Определение 3. Элементы
п
>) — 21 сг(?) =" 1 + ciШ + ¦•• +сп(^) при к=с,
Г=0
и
2
и
алгебры Нг*5С называются соответственно полным клас-
классом Чженя комплексного расслоения I и полным классом
Понтрягина вещественного расслоения ?.
Заметим, что класс р(!) принадлежит на самом деле
подалгебре
алгебры
Свойство б из теоремы I означает теперь, что для три-
тривиального расслоения Э
D) с(в)=1 и /7F)= 1,
а свойство в—что для любых расслоений % и т)
E) '
Отображения с: 11—»• с (!) и /?: | •—*- р (!) из Vectc-Ти Vect\2С
(векторное расслоение и его класс изоморфизма мы обо-
обозначаем для простоты одним и тем же символом) в Н**9?
и #**.?* соответственно также называются полными клас-
классами Чженя и Понтрягина.
Обратим внимание, что отображения с и р определены
для любого я^О и, следовательно, могут рассматриваться
как отображения
с: Vectcjr -^ Н»Х, р: VectR.T -* H**S,
где
VedR^1 - U
П=0
— дизъюнктное объединение множеств Jc
Замечание 4. В случае, когда многообразие SV не-
несвязно, целесообразно за VectK^* принимать дизъюнктное
объединение множеств VectftSC' по всем л^Ои всем ком-
компонентам SC' многообразия Ж (т. е. допускать к рассмот-
рассмотрению векторные расслоения, имеющие на различных

402 ПОЛНЫЕ КЛАССЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА
компонентах многообразия SC различные ранги). Это при-
приводит к большей формальной красоте, но утяжеляет из-
изложение тривиальными оговорками. Поэтому мы сохраним
прежнее определение. Читатель может—и должен!—само-
должен!—самостоятельно выяснить, что меняется, когда ранг расслое-
расслоений на различных компонентах может быть различным.
Если в расслоении, являющемся прямой суммой рас-
расслоений, слагаемые заменить изоморфными расслоениями,
то все расслоение также заменится изоморфным расслое-
расслоением. Это означает, что операция © фактически опреде-
определена на множестве VectK •#" и ясно, что относительно
этой операции множество VectK Э? является абелевой полу-
полугруппой.
Формулы E) означают теперь, что характеристические
классы сир являются аддитивно-мультипликативными
(переводящими сумму в произведения) гомоморфизмами
полугрупп Vectc % и VectR S? в мультипликативные полу-
полугруппы алгебр Нг*?С и Н**%" (состоящие из всех их отлич-
отличных от нуля элементов).
[На самом деле, конечно, характеристические классы с
и р являются гомоморфизмами в мультипликативные группы
1 -+- (Нг*3?)+ и 1 -f (Н**$?)+, состоящие из элементов алгебр
Нг*9? и Н**&, однородная составляющая степени 0 кото-
которых равна 1.]
Замечание 5. Для характеристических классов над Z
(см. замечание 2) первая формула E) остается в силе,
тогда как вторая верной быть перестает (добавляются эле-
элементы конечного порядка).
Инвариантным формальным рядом мы будем называть
формальную сумму вида
<6) F = F0 + F1+ ... +Fr+ ....
где Fr—однородные инвариантные многочлены степени г
на Mat,, К (однородные составляющие ряда F). Так как
FQ = o при 2г > т, то для каждого такого ряда сумма
конечна и представляет собой некоторый элемент алгебры
Н^Я. Этот элемент (а также отображение cF: ?i-^cF(S),
?<Ё VectKЗГ) называется характеристическим классом, отве-
отвечающим инвариантному ряду F.

ХАРАКТЕРЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА 40$
Чтобы построить ряд F) при К = С, можно взять фор-
формальный ряд вида
F=--Fo + F1+ ... +Fr+ ...,
где Fr—произвольные симметрические многочлены степени г
от п переменных, и для любой матрицы Л ? Mat,, С по-
положить
G) F(A) = F(K, ...,K),
где Ки ..., Хп—характеристические корни матрицы Л„
Если многочлены Fr выбраны так, что для вещественных
матриц А числа G) вещественны, то эта конструкция дает
инвариантный ряд F) и при К — R.
Пусть, например,
т. е.
(8) F(XU ..„X^
где s, = ^ + ••• +К-
В теории симметрических многочленов доказывается формула
В а р и н г а, согласно которой
+<+;^-1>lal4- -.о*-.
где суммирование распространено на все неотрицательные целые числа
«1. »г. •¦•. tn. удовлетворяющие условию ii+2i2+ ... -fnfn = r.
Определение 4. Отвечающий ряду (8) характеристи-
характеристический класс на Vectc-^" обозначается символом ch и на-
называется характером Чокеня (или Черна; см. выше заме-
замечание 2). Его однородные составляющие chr представляют
собой отображения
chr: Vectcjr — H*rSC.
Из формулы Варинга следует, что для любого комплекс^
ного расслоения \ класс сп,? выражается через классы
Чженя по формуле

404 ХАРАКТЕРЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА
Например,
\-
Cl №-
И Т. Д.
Обратим внимание, что, подобно классам Чженя, харак-
характер Чженя определен для всех «^0 и потому может рас-
рассматриваться как отображение
ch: Vectc Я? — Н^Х,
& его однородные составляющие chr—как отображения
chr: Vectcjr — H^SC.
Аналогично, исходя из инвариантного ряда eXi/tlt + ...
... + eXniin определяется характер Понтрягина
ph: VectR #-*//«•#
с однородными составляющими
phr: VectR Я ~* Н»Х.
На расслоениях \ ранга п однородные составляющие
phr характера Понтрягина выражаются через классы Понт-
Понтрягина по формуле
где / = у и суммирование распространено на все не-
неотрицательные целые числа kt, k2, ..., kt, удовлетворяю-
удовлетворяющие условию kx + 2k2 4- ... Jrlkl = r.
Предложение 1. Отображения сир удовлетворяют
соотношениям
т. е. являются гомоморфизмами полугрупп Vectc & и
VectR ЗС в аддитивные группы алгебр Н**& и Н**% соот-
соответственно (а следовательно, отображения chr и ph,.—
гомоморфизмами в линейные пространства Нгг?€ и HirS").

ХАРАКТЕРЫ ЧЖЕНЯ И ПОНТРЯГИНА 405
Доказательство. Пусть F(k)—ряд (8) от перемен-
переменных Хи ..., %nv F(fx)—ряд (8) от переменных щ, ..., \ип1
и F (к, ц,)—ряд (8) от переменных 1и ..., Ц, (хх, ..., у,Пг).
Достаточно доказать, что
F(k, yL)=
Но это очевидно, так как
F (X) = n^
и
Поскольку аддитивная структура алгебр Нг*SC и Н**&
контролируется существенно проще ее мультипликативной
структуры, характеры Чженя и Понтрягина значительно
удобнее соответствующих полных классов. [К сожалению,
из-за знаменателей в формулах (9) и A0) эти характеры
нельзя определить над Z; см. выше замечание 2.]
Другое преимущество характеристических классов ch
и ph состоит в том, что они являются также гомоморфиз-
гомоморфизмами и по отношению к тензорному умножению, т. е. для
любых векторных расслоений % и г\ имеет место равенство
при К = С,
при К = R.
(Ничего подобного для характеристических классов сир
места не имеет.)
К сожалению, доказательство этих формул далеко
выходит за рамки наших возможностей. (См., впрочем,
замечание 3 лекции 24.)
Задача 3. Докажите формулы A1) при dim?—1 и
Кроме классов вида cF для вещественных расслоений
можно определить еще один замечательный характеристи-
характеристический класс.
Напомним (см. лекцию 11.10), что для любой кососим-
метрической матрицы А четного порядка определен ее
пфаффиан Pi А, являющийся многочленом от элементов
матрицы А, удовлетворяющим соотношениям
(Pf Л)» = det Л и
где С—произвольная матрица.

406 ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КЛАСС ЭЙЛЕРА
Имея это в виду, предположим, что вещественное век-
векторное расслоение |
а) ориентировано (см. лекцию 7),
б) метризовано,
в) имеет четный ранг п = 2/.
Пусть UdS—тривиализирующая расслоение \ окрест-
окрестность, s1, ..., sn — положительно ориентированный орто-
нормированный базис модуля F(Ъ]и) hQ — ||Q)||—матрица
форм кривизны в базисе st, ..., sn некоторой согласован-
согласованной с метрикой связности на расслоении ?. Тогда на U
определена дифференциальная форма PfQ. При изменении
базиса su ..., sn форма Q заменяется формой C~lQC, где
С—матрица перехода. Так как матрица С ортогональна
(СТ^С-1) и собственна (detC=l), то Pf(С~1О) = Р1 Q.
Это показывает, что формы Pf Q согласованы на пересече-
пересечениях и, значит, составляют некоторую дифференциальную
форму Pf i? степени п на всем многообразии SC.
Задача 4. Докажите, что ctPf/? = 0. [Указание.
Докажите, что для любой кососимметрической матрицы А
матрицы Pf'i4=|—р и А перестановочны; см. лемму 1:
/I dai II
лекции 22.]
Задача 5. Докажите, что класс когомологий [Pf/?]j
формы PIR не зависит от выбора метрики и метриче-
метрической связности на |. [Указание. Для любых двух мет-
метрик Qo и Qx на | функция A — t)Q0+tQlt где 0<^<1„
также является метрикой.]
Определение 5. Класс когомологий
называется классом Эйлера ориентированного веществен-
вещественного векторного расслоения \ ранга п = 21.
Его степень равна п, и
При п нечетном условно считается, что е(|) = 0.
Подчеркнем, что, в отличие от характеристических
классов Понтрягина, класс Эйлера определен только для
ориентированного расслоения ?•
Задача 6. Пусть —?—противоположно ориентиро-
ориентированное расслоение |. Покажите, что

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ КЛАСС ЭЙЛЕРА 407
Для любого комплексного расслоения ? ранга п его
овеществление ?r (cm. лекцию 6) является вещественным
ориентированным (задача 6 лекции 7) векторным расслое-
расслоением четного ранга 2л, и потому для него определен класс
Эйлера е(Ъц).
Задача 7. Покажите, что
e(bO = US).
Класс Эйлера обладает, конечно, свойством функто-
риальности (свойство а из теоремы 1) и равен нулю для
тривиального расслоения 8 (свойство б из теоремы 1).
Имеет место и аналог свойства в.
Задача 8. Докажите, что для любых ориентирован-
ориентированных векторных расслоений % и г\ имеет место равенство
A2) в
где, конечно, предполагается, что ориентация расслоения
?©Л индуцирована ориентациями расслоений 5 и т|. [Ука-
[Указание. Докажите, что Pf (А © В) = Pf A • Pf В для любых
кососимметрических матриц А и В.]
Подчеркнем, что формула A2) справедлива для расслое-
расслоений I и ц произвольных (не обязательно четных) рангов.
Поэтому, в частности, если расслоение | имеет прямое
слагаемое нечетного ранга, то е (?) = 0.
Так, например, дело обстоит, если расслоение I обла-
обладает сечением, ни в одной точке не равным нулю (поскольку
такое сечение порождает—докажите!—прямое слагаемое
ранга 1). Следовательно, если е(?)=^0, то каждое сечение
расслоения % хотя бы в одной точке обращается в нуль.
На этом. утверждении основывается доказательство не-
неожиданно большого числа элегантных и трудных геометри-
геометрических теорем.
Пример 2. В своем месте мы прямым вычислением
покажем, что для касательного расслоения т над двумер-
двумерной сферой S* класс Эйлера е (т) отличен от нуля. Следо-
Следовательно, на сфере S8 не существует всюду отличного от
нуля гладкого поля касательных векторов. Наглядно это
утверждение означает, что идеализированного (всюду по-
покрытого иголками) ежа невозможно гладко причесать или,
иначе, что на покрытой волосами голове обязательно
должна быть макушка. На этом основании оно известно
как теорема о еже и теорема о макушке.
Из формул D) и E) немедленно следует, что для каж-
каждого векторного расслоения 5€VectK-^ и любого Л^О

Aib Я-ФУНКТОР
имеют место равенства
Бв*)=с(|) при К = С,
в*) = РE) при K = R,
где 6А—тривиальное расслоение ранга Л.
[Заметим, что аналог формул A3) для класса Эйлера
?(!) места не имеет. Для характеров Чженя и Понтря-
гина он имеет место только по отношению к однородным
составляющим положительной степени:
ch, (Б 4- 6") = chr (?), phr (I + в*) = ph, (?)
при г > 0.]
Формулы A3) наводят на мысль ввести следующее
определение:
Определение 6. Векторные расслоения 3; и т) с одной
и той же базой X называются стационарно эквивалент-
эквивалентными, если существуют такие числа h и k, что расслоения
?фЭЛ и 11 ©0* изоморфны, т. е., иными словами, в полу-
полугруппе VectK^1 имеет место равенство
(при этом, конечно, dim? + h= сНтт) + &).
Очевидно, что это отношение является эквивалентностью
в общеалгебраическом смысле.
Основным полем К здесь можно считать не только
поля R и С, но и тело кватернионов Н.
Замечание 6. Для несвязных многообразий SC опре-
определение 6 не очень удобно. (Ср. замечание 4.) Но все же
мы его менять не будем.
Класс стационарной эквивалентности расслоения ? мы
будем обозначать символом [?], а множество всех классов
стационарной эквивалентности К-векторных расслоений над
SC—символом K%,SC. [В литературе вместо Kr% часто
пишут Ко% или КО(&), вместо Кс& пишут Кц^ или
К0(^), а вместо Rh% пишут KSpSC или KSp(&). Пре-
Предупреждение! Вместо K^SC часто пишут R
Ясно, что формула
корректно определяет в множестве К^З? операцию сложе-
сложения, по отношению к которой оно является абелевым монои-

Д-ФУНКТОР 409
дом (полугруппой с нулем). Нулем этого моноида служит
класс [0], состоящий из тривиальных расслоений 0Л, Л^О.
[Обратим внимание, что в полугруппе Vect]<.#* нуля нет!]
Замечание 7. Конструкция моноида Къ.% имеет
смысл для любого топологического пространства Ж'. Так
как (см. замечания 1 и 2 лекции 10) каждое векторное
расслоение над гладким многообразием изоморфно глад-
гладкому расслоению, а изоморфные гладкие расслоения гладко
изоморфны, то для случая, когда SC является гладким
многообразием, это обобщение приводит к тому же моно-
моноиду КК37.
Очевидно, что для любого непрерывного отображения
/: Ж' —* X формула
корректно определяет гомоморфизм
причем (id)* = id и (/о g)* = g* 0 /* (т. е. .% является кон-
травариантным функтором, принимающим значе-
значения в категории множеств).
Как ни странно, моноид Кк& не имеет никакого вы-
выразительного названия (несмотря на то, что он оказался
чрезвычайно полезным не только в геометрии, но и, ска-
скажем, в теории дифференциальных и псевдодифференциаль-
псевдодифференциальных уравнений, а в алгебре его конструкция стимулировала
создание большой самостоятельной теории со своими мно-
многочисленными приложениями). Его принято называть
К-функтором (или, в случае, когда он является группой,
К-группой) пространства SC (а инспирированную его кон-
конструкцией теорию в алгебре—алгебраической К-теорией).
Хотя эти названия возникли по случайному поводу и
ничего по существу не отражают, они укоренились и
являются общепринятыми.
Согласно формулам A3) на стационарно эквивалент-
эквивалентных расслоениях характеристические классы с и р (а также
классы chr и phr при г > 0) принимают одно и то же
значение, т. е. формулы
с[6] = с(Е) при К = С.
р[Ц = рA) при K = R
корректно определяют аддитивно-мультипликативные гомо-

410 РАССЛОЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВА КОНЕЧНОГО ТИПА
морфизмы
с: К
р: R
а формулы
chr [Ц =-- chr l при К = С,
Ph, [1] = phr I при К = R
— аддитивные гомоморфизмы
chr: Kc (ST)
phr: RR(&)
Подчеркнем, что последние гомоморфизмы определены
только при г > 0.
Поскольку группы поддаются изучению значительно
легче моноидов, интересно выяснить, когда моноид К (&)
является группсй. Оказывается, что этот вопрос имеет
чисто топологический характер и по существу никак не
связан с гладкой структурой на многообразии X. Поэтому
мы обсудим его, предполагая SC, вообще говоря, произ-
произвольным хаусдорфовым нормальным (см. определение 3
лекции III.9) топологическим пространством. В процессе
этого обсуждения гладкие многообразия мы будем также
называть гладкими пространствами.
Задача 9. Докажите, что любое гладкое хаусдорфосо много-
многообразие является нормальным пространством.
Напомним (ср. определение 1 лекции III.22), что се-
семейство функций т],: SC —* I, \^.i^N (которое мы здесь
предполагаем конечным), называется разбиением единицы^
подчиненным открытому покрытию {?/,-, ld"<jV} про-
пространства Ж', если % -+¦ ... ¦+¦ \]N = 1 и т|, == 0 вне множе-
множества Ui для любого i=l, ...,N. Если пространство X
гладко, то все функции т),- предполагаются гладкими.
Задача 10. Докажите, что для любого конечного
открытого покрытия [U',-, 1 < i < N} нормального про-
пространства SC существует подчиненное ему разбиение еди-
единицы. [Указание. Постройте сжатие {V,} покрытия {U,}
(см. предложение 6 лекции III.9) и для каждого 1 = 1, ..., N
функцию Урысона <р; пары (U',-, V',) (в общем случае су-
существование такой функции обеспечивается теоремой Уры-
Урысона; см. замечание 1 лекции 11.24, а для гладкого 3? —

РАССЛОЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВА КОНЕЧНОГО ТИПА 41!
предложением 2 лекции III. 14). Затем положите т].- = Ф,-/Ф,
где ч> = ф!+... -f ФдгЛ
Определение 7. Говорят, что расслоение \ — (<?, л, Э?)
имеет конечный тип, если пространство % может быть
покрыто конечной системой открытых множеств, над каж-
каждым из которых расслоение тривиализиругтся Простран-
Пространство SC имеет конечный тип, если любое расслоение I над
¦SV имеет конечный тип.
Ясно, например, что любое компактное простран-
пространство SC имеет конечный тип.
Однако существуют и некомпактные пространства (и
многообразия) конечного типа.
Задача 11. Покажите, что пространство R" имеет конечный
тип. [Указание. Докажите, что над iR" любое векторное расслое-
расслоение тривиализируется.]
Предложение 2. Для любого векторного расслоения ?
конечного типа над нормальным пространством X суще-
существует такое векторное расслоение ц (гладкое, если гладки
Ж и I), что в моноиде Кк{-^) имеет место равенство
(И) [&] + Ы = 0.
В частности, если нормальное пространство SC имеет
конечный тип, то моноид К (Я?) является группой.
Доказательство. По условию для расслоения
? = (<?, я, SC) существует конечный тривиализирующий
атлас {(?/,-, ф,), l<i<Af}. Пусть {т],} — разбиение еди-
единицы, подчиненное покрытию {?/,} (см. задачу 10). Для
каждого 1 = 1, .. ., N построим отображение g,-: $ --» К",
n — A\m%, положив для любой точки р?<§
(r\i(b)x, если pZSu; и ф,-(/>) = (?, дг),
0, если
где Ь = л(р). Ясно, что отображение g,- непрерывно (и
гладко, если J и 5 гладки).
Пусть g—отображение <? — RnN, определенное фор-
формулой
g(P) = (gl(P)> ¦ ¦ •. ?jV (/>))> Р€<^
[мы отождествляем здесь R"v с Rnx ... XR" (Л^ раз)],
и пусть

412 РАССЛОЕНИЯ И ПРОСТРАНСТВА КОНЕЧНОГО ТИПА
— соответствующий морфизм расслоения | в тривиальное
расслоение QnN—(^xRnN, pr, SC) (действующий по фор-
формуле Ф(р) = (л(р), g(p)), ;>€«?)•
Для любой точки Ь^Я" индуцированное морфизмом ср
отображение слоев
ФЬ: ?ь — R»"
является не чем иным, как ограничением на ?ь отобра-
отображения g. Поэтому, если ц>ь(р) = 0, р$?ь, то g,(p) = 0
для всех i=l, ..., N. С другой стороны, так как %+ • • ¦
...+ t)iV = 1, то существует такой индекс i0, что ц{<) (Ь) Ф 0.
Тогда р ? ?/.-„, и если <р(, (р) = (Ь, х), то ^ (Ь) д: = 0. Сле-
Следовательно, дг = О и, значит, р является нулем линеала ?ъ.
Этим доказано, что для любой точки Ь?Ж линейное ото-
отображение фь является мономорфизмом.
Пусть $' — подпространство произведения SxRnN,
состоящее из таких точек ф, х), что вектор х € КпЛГ орто-
ортогонален образу 1тф6 мономорфизма ф^, и пусть л' —
ограничение на &' проекции pr: SCх КвЛ^—<¦ &.
Задача 12. Покажите, что тройка т) = (ё?', п', SC)
является векторным расслоением, гладким, если гладки
5С и\. (Конечно, единственно, что требует доказательства,—
это свойство локальной тривиальности.)
По построению для любой точки b?.SC прямая сумма
Wb(§)?'b слоев расслоений \ и г\ изоморфна пространству
Im фь © ?'ь = R"N. Следовательно,
что равносильно A4). П
Следствие. Для каждого компактного хаусдорфова
многообразия X моноид К (#') является группой. ?

Лекция 24
/(¦функтор.—Сравнение К-я /(-функторов.— Операции
JA— Операции Адамса.— Группы /CCS" ¦— Инвариант
Хопфа.— Конструкция Хопфа.— Ряд элементарных импли-
импликаций.— Теорема о равносильности.
Имеется другой — в некоторых отношениях более удов-
удовлетворительный— подход к построению группы R(&), осно-
основывающийся на общеалгебраической конструкции группы
разностей.
Для любой абелевой полугруппы М группа разностей GM состоит
из формальных разностей вида а—Ь, где а, Ь?М. При этом две
разности а — Ь и а\ — Ьх тогда и только тогда считаются равными,
когда в М существует такой элемент с, что aJrbx-\-c=ai-\-b->rc.
Сложение в группе разностей определяется очевидным образом:
Задача 1. Проверьте, что тем самым действительно получается
группа.
[Контрольный вопрос. Зачем нужен элемент с?]
В литературе группа разностей часто называется группой Гро-
тендиха, по имени французского математика, который широко
использовал ее конструкцию и привлек к ней всеобщее внимание
(хотя, конечно, в общей алгебре конструкция группы разностей была
известна задолго до Гротендика; достаточно заметить, что именно
таким способом из натуральных чисел строятся целые).
Формула
%:'ai—>(а + с)—с, с?М—любое,
корректно определяет некоторое отображение
%: М —>¦ GM.
По определению %{а) — %ф) тогда и только тогда, когда
в М существует такой элемент с, что а + с = Ь + с.
Задача 2. Покажите, что для любого гомоморфизма f: M—>-G
голугруппы М в группу G существует единственный гомоморфизм
Of: GM —> G, замыкающий коммутативную диаграмму

414 К-ФУНКТОР
Группа разностей полугруппы Vectic-^* обозначается
символом Кк& (с теми же вариантами Ко&, Ки& и т. д.,
как и для моноида R&&).
Ясно, что /Ск естественным образом является контра-
вариантным функтором: для любого непрерывного отобра-
отображения f: SC' —+ Ж формула
.корректно определяет гомоморфизм
обладающий стандартными функториальными свойствами.
Задача 3. Покажите, что при К —¦ R или С
а) операция тензорного умножения переносится в груп-
группу /Ск.2";
б) относительно этой операции К^% является кольцом.
Кольцо Кк& обладает, очевидно, единицей: 1 = х(91)-
Так как гомоморфизмы с, ch, p и ph принимают зна-
значения в группах, то согласно утверждению задачи 1 они
•однозначно распространяются до гомоморфизмов
с, ch: KqX — Н**% при К = С,
р, ph: Kr&-+ Н**& при K = R.
"Здесь особо интересны гомоморфизмы ch и ph, поскольку
в силу формул A1) лекции 23 (у нас не доказанных!) эти
гомоморфизмы являются гомоморфизмами колец.
Замечание 1. Поскольку группы Нг*Х и Я4*^"
являются линеалами над R, гомоморфизмы ch и ph инду-
индуцируют гомоморфизмы алгебр
chR:
Можно показать (это трудная теорема!), что эти гомо-
гомоморфизмы являются изоморфизмами.
Эта теорема и является основным raison d'etre гомо-
гомоморфизмов ch и ph.
Легко видеть, что для лю'ых стационарно эквивалент-
эквивалентных векторных расслоений \ и х\ в группе Кк& имеет ме-
место равенство
i—е«=т)—е«,
где n = dim|, * m =

СРАВНЕНИЕ К- и /(-ФУНКТОРОВ 41&
Действительно, по условию существуют такие числа к
и k, что Е4-0л = т) + 0* в VectK.T. Поэтому в К*(&)
?_0« = (I + 6*)—6П+Л = (тц- 6*) — 0«+* = г]—0'я
(напомним, что n + h—-m-\-k и 0П+А = 6П00Л). П
Следовательно, формула [?]i—*¦?—0", где
корректно определяет некоторое отображение
A) ^
Очевидно, что отображение A) является гомоморфизмом.
Без труда проверяется, что гомоморфизм A) имеет
тривиальное ядро. Действительно, если в /(*(•#") имеет
место равенство ?—0я — 0, то в Veri*.^ для любого рас-
расслоения г\ будет иметь место равенство |0ti = 0"©t]..
В частности, при т^ —01 мы-получаем, что ?©01--0п~1,.
т. е. что [g|=*[6]. П
Поэтому, если моноид Кк{&) является группой (на-
(например, пространство X хаусдорфово, нормально и имеет
конечный тип), то гомоморфизм A) представляет собой
мономорфизм.
По построению образ гомоморфизма A) состоит из всех
элементов вида |—0", я = сПт|, и потому содержится
в ядре гомоморфизма
B) dim: /C
определенного (очевидно, корректно) формулой
dim (?—т]) = dim 1—dim т].
Оказывается, что в случае, когда моноид Кк& является
группой, гомоморфизм A) представляет собой изоморфизм
на ядро гомоморфизма B). Действительно, пусть
dim A—т|)^ 0, т. е. dim l = dim т). Так как Кк& — группа,
то для расслоений i и т) существуют такие расслоения |г
и т]' и такие числа h и k, что ?0?'==0Л и Т|@Т1' = 0АГ
Рассмотрим расслоение ? = ?фт]'. Его ранг равен dim?-(-
+ (k—dimT]) = &, и в группе К&
Элементы группы К*2С называются виртуальными рас-
расслоениями, а значение гомоморфизма B) на виртуальном
расслоении—его рангом (или размерностью). Таким обра-
образом, над нормальными хаусдорфовыми пространствами
конечного типа классы стационарно эквивалентных век-

416 ОПЕРАЦИИ X.*
торных расслоений естественным образом отождеств-
отождествляются с виртуальными расслоениями ранга {размерности)
нуль. Это означает, что для таких пространств группу
можно определить как ядро гомоморфизма B).
Виртуальные расслоения вида %(%) называются поло-
положительными. Как правило, они обозначаются просто через ?.
(Но расслоение хF") обозначается через п.)
Таким образом, в этих обозначениях отображение
задается формулой
Как правило, мы будем отождествлять [?] и ?—dim?.
Замечание 2. При K = R или С гомоморфизм B)
является, очевидно, гомоморфизмом колец (ибо dim (s® т]) =
= dim^dimrj). Поэтому его ядро является идеалом кольца
Кк& и, в частности, само является кольцом. Поэтому
¦в случае, когда моноид К&Ж является группой, формула
[s] [*|] = [I® i\]—m [S]—я [л],
n — diml, /7i = dim Tj,
определяет в группе по сложению K%.SC умножение, по
¦отношению к которому эта группа является кольцом.
Алгебраически кольцо Кк& получается из кольца
формальным присоединением единицы.
Кольцо /Ск-Я" обладает замечательной дополнительной
алгебраической структурой.
Напомним (см. задачу 11 лекции 12), что для любого
К-векторного (K = R или С) расслоения \ над % и любого
целого числа /г^О определено К-векторное расслоение Л*|.
(При k — О условно считается, что Л°| = 81.)
Предложение 1. Существуют такие отображения
что
а) для любых элементов х, у^КкЗ? имеет место ра-
равенство
i + i-k
б) если х = %{?.), то

ОПЕРАЦИИ Л* 417
Эти свойства однозначно характеризуют отображе-
отображения АЛ
Доказательство. Пусть 1 +(Кк&) [[f]]+— муль-
мультипликативная группа всех формальных рядов над кольцом
К& со свободным членом 1.
Рассмотрим отображение
Л,:
определенное формулой
2
Задача 4. Докажите, что Л, является гомоморфизмом.
[Указание. Для любых линеалов, У3 и jh линеал
Л*(9^ф>5^) естественно изоморфен прямой сумме линеа-
линеалов Л'9^® Л'ЯР* по всем i > 0, / > 0, для которых i+j=k.]
Поэтому (см. задачу 2) существует единственный гомо-
гомоморфизм
замыкающий коммутативную диаграмму
Пусть
k=0
Тогда А,*: х *-*¦ X* (х) будут отображениями
удовлетворяющими условию б.
Утверждение, что Xt является гомоморфизмом, означает,
что
для любых элементов х, у G ^к-^- Раскрыв скобки, мы
немедленно убедимся, что это тождество в точности равно-
равносильно условию а.
14 м. М. Постников, сен. IV

418 ОПЕРАЦИИ АДАМСА
Тем самым утверждение 1 полностью доказано. D
Ясно, что отображения Я,* функториальны, т. е. для
любого непрерывного отображения f: & —+ & имеет место
коммутативная диаграмма
я*
t'i
Конечно, К1(х) = х для любого x?Kk& (т. е. A^id).
Явную формулу для №х, х = %—г\, выражающую вир-
виртуальное расслоение №х через расслоения ? и т|, мы укажем
ниже (см. задачу 7).
Так как ряд Л*(*) обратим, то определен ряд
Свободный член ряда opf(jc) равен нулю, т. е. этот ряд
имеет вид t|)t(x)=;ty1(x)t+ ... + t|?ft(*)/*+... Отоб-
Отображения
называются операциями Адамса.
3 а^ц а ч а 5. Докажите, что для любого я ^> А имеет место фор-
формула
Tt)*W = s*(^W *"(*)).
где Sft(oi, .•., 0п) — многочлены Ньютона, выражающие симметриче-
симметрический многочлен х[-\-...-\-хп через элементарные симметрические мно-
многочлены Oi оп- В частности (см. в лекции 23 формулы Варинга),
¦ф» (х) = К* (ж)»—2А» (ж) ==х«—2Я,* (л;),
rj)» (х) = х» + ЗЯ,8 (х)—Зх№ (х) и т. д.
[Указание. Пусть / (*) = A +х*1)...A +«„/)• Тогда
у d . .... /xi , i txn
Преимущество операций \pk по сравнению с операциями
X* состоит в том, что для каждого k^l операция 1|з*
является гомоморфизмом колец, т. е. для любых элемен-

ОПЕРАЦИИ АДАМСА 419
тов х, у?Кк& имеют место формулы
C) Ф* (* +У)-
D)
Формула C), равносильная тождеству
() ()> доказывается без труда:
t
Иначе дело обстоит с формулой D). Эта формула выражает
очень глубокий геометрический факт, и ее доказательство
основывается на следующем утверждении:
Принцип расщепления. Для любого ^-векторного
расслоения 5 = ($", я, ЗГ) существует такое простран-
пространство & и такое непрерывное отображение f: & —* &, что
а) отображение /•: Кк&—*К*& является мономор-
мономорфизмом;
б) расслоение /*? над 3/ является суммой линейных
(т. е. ранга 1) расслоений.
Для справедливости этого принципа база SC расслоения |
должна удовлетворять определенным условиям. Например,
достаточно, чтобы X было хаусдорфовым и паракомпактным
(в частности, компактным) пространством. При этом про-
пространство &' также можно найти в классе хаусдорфовых
и паракомпактных (соответственно компактных) про-
пространств. Мы оставим принцип расщепления без доказа-
доказательства.
Задача 6. Постройте расслоение Р? = (^", я', SC), слоем ко-
которого над точкой b^SC является проективное пространство р @F\)
над линейным пространством ff\ (точками пространства Р {ff\) явля-
являются одномерные подпространства пространства^!), и рассмотрите над
$' прообраз (л')* ? векторного расслоения %. Покажите, что расслое-
расслоение (п1)* | является прямой суммой линейного расслоения и расслое-
расслоения ранга п — 1. [Указание. Точками тотального пространства
этого линейного расслоения являются пары (L, р), где ??©" и ?L]
Эта конструкция обеспечивает индуктивный шаг в до-
доказательстве принципа расщепления.
14*

420 ОПЕРАЦИИ АДАМСА
Из принципа расщепления и формулы C) следует, что
формулу D) достаточно доказать лишь в случае, когда х
и у являются линейными расслоениями. С другой стороны,
легко видеть, что если х линейно, то
E) Ч>* (*) = **.
[Действительно, если хлинейно, то А/(*) = 0 при {>2 и,
значит, %t {x) — 1 4- tx. Поэтому
что равносильно E).f Следовательно, если хи</ линейны, то
= г|>* (х) -ф* (У)
(заметим, что для линейных х и у расслоение ху также
линейно). Это доказывает D). ?
Аналогичным образом доказывается, что
(Когда х линейно, для доказательства достаточно приме-
применить формулу E). Общий случай вытекает отсюда по прин-
принципу расщепления.) Это означает, что
F) \|)* О if' =; ty*1
для любых k, / ^ 1.
Замечание 3. Если пространство X гладко, то
пространство & и отображение / в принципе расщепления
также можно выбрать гладкими. Тогда будет определен
гомоморфизм /•: H*SC —* Н*& и этот гомоморфизм будет
мономорфизмом.
Это немедленно дает нам (см. задачу 3 лекции 23)
формулы A1) лекции 23 (мультипликативность отображе-
отображений ch и ph).
Задача 17. Для линейных пространств — а значит, и для век-
векторных расслоений — наряду с функтором Л*, А^О, можно рассмат-
рассматривать также функтор 5*, сопоставляющий пространству <f^> линейное
пространство S»^ всех симметрических тензоров степени k
на 'У3- Докажите для этого функтора аналог предложения 1, т. е.
постройте такие отображения
s*: Кь&—>-Къ&, А3*0,
что s*(*)=x (S*|), когда
для любых х,

ГРУППЫ KqS* 421
Докажите также, что для любых векторных расслоений Ц'н 1J
в кольце KyJK имеет место формула
**(?-т])= У М)'*'(?)«'(*])•
[Указание. Воспользуйтесь принципом расщепления.]
Особый интерес группы Kt.SC .представляют при X = S".
Мы опишем эти группы при К = С [случай К = R технически
чуть более сложен из-за несвязности группы О (л)]. Для
этого мы воспользуемся комплексным проективным про-
пространством СР".
По определению точками пространства СЯ" являются
одномерные подпространства линейного пространства Св+Х.
Пусть ^—.подпространство прямого, произведения Сп+1х
хС/"\ состоящее из таких пар (г, L), z?Cn+1, L?CPn,
что г € L, и пусть п: ? —*¦ СЯ"—ограничение проекции
Сп+1хСР"-*СРя на ?.
Задача 10. Покажите, что тройка т]„+1 = (?, я, СР")
является линейным векторным расслоением.
Слоем этого расслоения над точкой L=^CPn является,
очевидно, само пространство L. На этом основании рас-
расслоение Tjn+1 называется тавтологическим расслоением.
При п=1 пространство СР1 является не чем иным,
как сферой Римана С+, и потому естественным образом
отождествляется со сферой S*. В силу этого отождеств-
отождествления расслоение тJ будет линейным комплексным рас-
расслоением над S* и потому будет определять элемент
Р. = Ы группы /CCS».
Можно показать (это трудная задача!), что группа
S является бесконечной циклической группой с обра-
образующей Ра. (См. ниже лекцию 27.)
Рассматриваемый как элемент кольца KqS* элемент pt
выражается формулой
Считая, что n = 2m, отождествим каждую точку
t = (tlt ..., tn)С/" с точкой (tlt ..., tm) произведения
Px..-хР (m раз), где ^ = (/2,_i, ttl), i-l, ..., m.
Ясно, что точка t куба /" тогда и только тогда принад-
принадлежит его границе /", когда хотя бы для одного i точка tt
принадлежит границе квадрата /*. Поэтому существует
непрерывное отображение
т раз

422 ГРУППЫ
замыкающее коммутативную диаграмму
S»'B
где %п—отображение /" —+• §", гомеоморфно отображаю-
отображающее внутренность куба /" на проколотую сферу S"\{e0},
а его границу /" в точку s0.
Пусть pr,: S8x ... XS4—>S*—проекция на /-й мно-
множитель, i—\, ..., т, и пусть
р;=рг;р,..... рг;ра 6 #с (s* х... х s«).
(Конечно, здесь имеется в виду умножение, описанное выше
в замечании 2.) Оказывается—к сожалению, мы лишены
возможности здесь это доказать—что
а. Гомоморфизм
является мономорфизмом.
б. Элемент $'п принадлежит его образу (а значит,
существует однозначно определенный элемент Ря ? Kq (S*m),
для которого /(РпНР;,)
в. Элемент р„ имеет бесконечный порядок и порож-
порождает группу KS
Таким образом, мы видим, что для любого т ^ 1
группа Kc§im является бесконечной циклической группой.
[Можно показать, что /CcS"*+1 = O.]
Задача 9. Докажите, что Р1 = 0, [Указание.
Используя матричную формулу
гя\ 1 111 1Н1 Ч-И
(8) 1в-« оIII!о &I1-1 о!г!1о
докажите, что ^фг), = 11,BI1,фб1.]
Отсюда следует, что Р'=0 для любого п^
Так как расслоение tj2 линейно, то для каждого k ^
в кольце /С© S" = 1 -f/?cS2 имеет место формула

ИНВАРИАНТ ХОПФА 423
Но так как tj, »= 1 Ч- р, и Р* = 0, то ti*=l-)-?p, и, значит,
Следовательно, в силу функториальности
Ф*РА=рг;(Ф%)--..-рг5(*%)
¦=*"(рг*А-.--рг;М = *¦
и потому
(9) Ч>*РВ = *ЯР„.
(мы здесь снова пользуемся функториальностью операции
ij>*, а также утверждением а).
Эти результаты о группах [Кс§п находят замечатель-
замечательное применение к комплексу проблем, которые мы рас-
рассматривали в лекции 8.
Пусть
f: s»»-»-H-Sn
— произвольное непрерывное отображение сферы S2"
в сферу S". Пользуясь этим отображением, мы введем
в дизъюнктное объединение В2" U §" шара В2" и сферы S"
отношение эквивалентности, считая точки хну тогда и
только тогда эквивалентными, когда либо х—у, либо
х€§2П~\ у €§" и f(x)—y. Соответствующее факторпро-
странство мы обозначим символом C(f). Оно содержит
подпространство, гомеоморфное сфере S", дополнение
к которому гомеоморфно открытому шару В*". [О про-
пространстве C(f) говорят, что оно получено приклеиванием
шара В2" к сфере S" посредством отображения /.]
Для любого пространства % и любого его подпрост-
подпространства Л символом 3?1Л обозначается фактор простран-
пространство пространства & по отношению эквивалентности, в ко-
котором две точки пространства SC тогда и только тогда
эквивалентны, когда либо они совпадают, либо обе при-
принадлежат Л.
Задача 10. Покажите, что SCIA является результатом при-
приклеивания пространства & к точке pt посредством отображения
Л—»-pt.
В частности, для пространства C(f) определено прост-
пространство C(f)/Sn.
Задача 11. Покажите, что пространство С (f) естественно
гомеоморфно сфере S*".

424 ИНВАРИАНТ ХОПФА
Таким образом, мы имеем два отображения
где i—вложение, а /—отображение факторизации. Ока-
Оказывается, что последовательность групп и гомоморфизмов
—О
является точной последовательностью.
Мы также оставим это утверждение без доказательства.
Из него следует, что при п — 2т группа KcC{f) явля-
является свободной абелевой группой с [двумя образующими
а и Ь, где
(образующая а определяется единственным образом, а обра-
образующая Ь—с точностью до слагаемого вида ka).
При этом, так как /• (б1) =; Р« = 0, то существует такое
число #(/), что
Это число называется инвариантом Хопфа отображения /.
[Название объясняется тем, что число #(/) зависит только
от гомотопического класса отображения /. Этот факт нам не
понадобится.]
Так как отображение /• мономорфно, то а*=^0. Так
как t*(a) = O и, значит, i*(ab)=;0, то ab^ea, где в—не-
в—некоторое число. (На самом деле е = 0, но этот факт нам
также не нужен.) Поэтому
{Ь + ka)* = b* + 2km = (Я (/) + 2kt) a.
Мы видим, что при замене образующей b число H(f)
может меняться на четное число (так что инвариантом
является только его вычет по модулю 2). [На самом деле,
поскольку е==0, инвариантно само число #(/).]
Теорема 1. Отображение f с нечетным инвариантом
Хопфа H(f) может существовать только при я = 2,4,8.
Снова те же таинственные значения1
Доказательство. Пусть отображение / с нечет-
нечетным #(/) существует. Рассмотрим соответствующее про-
пространство C(f) и образующие a, b группы I\QC(f). Так
как ф*(р\,) = И>„ и t*(IU = *"&„> то
, n~2m,

ИНВАРИАНТ ХОПФА 425
где q (k)—некоторое целое число. В частности,
B) 2mb. Но, как мы знаем (см. задачу 5),
$¦ ф) = Р—2%* ф) = Я (/) а—2Ь» ф)
и, значит, ty* F) = a mod 2. Поэтому число дB) нечетно.
С другой стороны,
«BВ9 (k) + kmq B)) а + 2mkmb м 6я1? B) а mod 2м
и
ф*1|>» ф)=i|>* (<7 B) а + 2»ft) =
== Л"? B) а + г1"!])* F) = knq B) а mod 2».
Поскольку -ф* о -ф*=ф* о tj)* (см. формулу |F)), этим дока-
доказано, что
mod 2»
и, значит (так как число qB) нечетно, а я = 2т), что
km(km— 1)гО mod2»
для любого Л > 1.
В частности, для любого нечетного k должно иметь
место сравнение
A0) km— ЫО mod2я.
При k — 5 и m > 1 отсюда следует, что 5я за 1 [mod 4,
что возможно только при т = 2/ четном. Но тогда при
*=1+2'
Л» = A + 2')" в A + 2l+1)* sm I + /2f+1 mod 2»
и, следовательно, сравнение A0) возможно только при
/2/+1 = 0 mod 2я, т. е. при 2/*зз0 mod 2'. Поскольку по-
последнее сравнение имеет место только при / = 1 и 2, этим
доказано, что т — 1, 2 или 4, т. е. что п = 2, 4 или 8. П
Чтобы связать теорему 1 с проблемами из лекции 8,
мы по произвольному непрерывному умножению
ц: Sn-1xSn-\-<-$n-1
на сфере S" (вообще говоря, единицы не имеющего) по-
построим некоторое отображение
A1) сй: Sln-l-*S», n = 2m.
Для этого, считая сферу S*1* единичной сферой унитар-
унитарного пространства С", мы будем представлять себе послед-

426 КОНСТРУКЦИЯ ХОПФА
нее пространство разложенным в прямую сумму Ст©О
двух пространств С™. В соответствии с этим точки сферы
S*" мы будем записывать в виде пар («, v), где и,
v € С1" и
Пользуясь этим, мы разложим сферу S в объедине-
объединение Я1->иЯ(+> двух множеств Я<-> и Я<+), где Я(+) —
подмножество сферы S8", состоящее из точек (и, v),
для которых |и|>|г»|, а Я(~>—подмножество, состоящее
из точек (», v), для которых | и | ^ | v |.
Задача 12. Покажите, что формулы
задают гомеоморфизмы
где, как всегда, S"-1 = {«gC»; |г|=11, Вп = {г€С«; |г|<1}.
На пересечении Я<°» = Я<~>П^{+) ( характеризующемся уравне-
уравнениями |в| = |р| = -д-) гомеоморфизмы ф(+> и ф<~> совпадают и пред-
ставляют собой гомеоморфизм
ф@): w<e)-*Sn-:txSn-1, (и, v)->(V5a, V2v).
Например, [при т=1 подмножество Я'°> гомеоморфно тору
S1xS1," а подмножества) Я'-' и Я<+> являются полноториями
с краем Я<°>.
Каждая точка у сферы S" (в пространстве R"+1 с ба-
базисом е0, .... е„) представляется в виде
у — cosB• х + sin8 en,
где x^S"-1, а—у<9<|-. При —?<Э<0 мы обо-
р
значим эту точку символом [х, f](-\ где t=l-\—8, а
при 0 < 9 <; -|— символом [х, t]{+\ где / =; 1 —10 (в обоих
случаях t меняется от 0 до 1, причем при t= 1 получается
точка дг, а при < = 0—соответственно точки —еп и е„).

КОНСТРУКЦИЯ ХОПФА 427
Введя эти обозначения, мы определим отображение сд
формулой
Легко видеть, что эти формулы корректно (даже при
Я = 0 или v — 0) определяют непрерывное отображение
A3). ?
Об отображении Ср, говорят, что оно получено из умно-
умножения ц, конструкцией Хопфа.
Выбрав и зафиксировав в сфере S" точку s0, рас-
рассмотрим отображения
A2) ДГ(-*ц(в0, X), Xi-+\l(X, So)
сферы S" в себя. Пусть dt и dt—степени этих отобра-
отображений. [Контрольный вопрос. Зависят ли степени
dt и da от выбора точки 50?]
Являясь отображением Sin~l —<¦ S" при п четном,
отображение с^ обладает инвариантом Хопфа Н(с^. Ока-
Оказывается, что
A3) яу=^,
Мы эту формулу также примем без доказательства.
В случае, когда умножение \i обладает единицей sOt
отображения A3) представляют собой тождественные отоб-
отображения, и потому ^1=1, 4,= 1. Следовательно, в этом
случае Я(Сц)= 1, что согласно теореме 1 возможно только
при л = 2, 4, 8.
Множества, в которых определено умножение с еди-
единицей, называются унитоидами, а топологические про-
пространства, являющиеся унитоидами с непрерывным умно-
умножением,— топологическими унитоидами. Таким образом,
мы видим, что сфера S" может быть топологическим
унитоидом только при л= 1, 3, 7. (С другой стороны, из
лекции 8 мы знаем, что при этих значениях л сфера S"
является даже гладкой квазигруппой.)
В лекции 8 мы рассматривали следующие условия на
натуральное число п:

428 РЯД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИМПЛИКАЦИЙ
Qua. Сфера S"~x квазикомплексифицируема.
Prl. Сфера S" параллелизуема.
Qgr. Сфера S" является гладкой квазигруппой.
Div. Пространство Rn+1 является алгеброй с делением.
DiVv Пространство Rn+1 является алгеброй с делени-
делением, имеющей единицу,
и установили между этими условиями ряд импликаций.
Например, согласно утверждению задачи 9 лекции 8
Div => Dlvv
Теперь мы добавим еще следующие условия:
Unt. Сфера S" является топологическим унитоидом.
Odd. Существует отображение S1n+1—^SB+l с нечет-
нечетным инвариантом Хопфа.
(Собственно говоря, в последнем условии следует пред-
предполагать, что число п нечетно. Во избежание тривиальных
оговорок условимся считать, что это условие при п четном
также имеет смысл, но никогда не выполнено.)
Как выше было показано—правда, на основе недока-
недоказанной формулы A3)—Unt => Odd.
В лекции 8 было доказано, что Qgr ^ Prl. Обратная
импликация в ослабленном виде Prl =? Unt также легко
доказывается. Действительно, утверждение, что сфера S*
параллелизуема, означает, что в каждой точке jirgS*
определен ортонормированный базис fx(х), ...,/„{х) ка-
касательного пространства, непрерывно зависящий от х.
Пусть А(х)—матрица порядка л+1, строками которой
являются векторы х, /х (х), .-.,/„ (х). Эта матрица орто-
ортогональна и обладает тем свойством, что еА(х) — х, где
е4«=A, 0, ..., 0). Поэтому формула
определяет на S" умножение с единицей е0. D
Билинейная операция х, у*-*-хху на {евклидовом
пространстве Л называется векторным умножением, если
для любых векторов х, у?А
а) вектор хху ортогонален векторам х и у:
(х, х ху) = 0, (х ху, у) = 0;
б) имеет место равенство
(см. формулу (8) лекции 1.15; в отличие от семестра I мы
теперь обозначаем скалярное произведение векторов х и
у символом (х, у)).

РЯД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИМПЛИКАЦИЙ 429
Произвольная (не обязательно билинейная) операция
х, у*->хху на евклидовом пространстве Л, обладающая
свойствами а и б, называется непрерывным векторным
умножением.
Евклидово пространство Л, одновременно являющееся
алгеброй над R, называется нормированной алгеброй, если
для любых элементов х, у?Л.
Эти определения позволяют ввести еще четыре условия:
Vect. На R" существует векторное умножение.
. Cont. На R" существует непрерывное векторное умно-
умножение.
Norm. На Rn+1 существует умножение, по отноше-
отношению к которому R" является нормированной алгеброй.
Norm^. На Rn+1 существует умножение, по отноше-
отношению к которому R" является нормированной алгеброй с
единицей.
Пример обычного векторного умножения показывает,
что условие Vect выполнено при п — 3. Оно выполнено
также при л = 1. (На одномерном евклидовом пространстве
свойствами а и б обладает нулевое умножение.)
Пример полей R, С тела Н и алгебры Са показывает,
что условие Norm! выполнено при л + 1 = 1, 2, 4, 8.
Ясно, что любая нормированная алгебра является ал-
алгеброй с делением (для любого элемента а?Л операторы
х*->ах и х*-*ха имеют нулевое ядро и потому—в силу
конечномерности пространства Л—невырождены). Поэтому
Norm =>/)!».
Задача 13. Покажите, что Norm&Normv [Ука-
[Указание. Ср. задачу 9 лекции 8.]
Пусть е—единица нормированной алгебры Л с едини-
единицей и Л1-—ее ортогональное дополнение. Для любых век-
векторов х, у^Л1- мы.обозначим через хху^Л1- ортого-
ортогональную проекцию вектора ху на Л*-.
Задача 14. Покажите, что операция х, у*-*~хху
-является векторным умножением на Л1-. [Указание.
Докажите, что
ху у = (у, у) х, где у — ke —у\ eamy=ke +y' и е±У.]
ffo, Следовательно, Normt =Ф Vect.
Обратно, пусть Лг—евклидово пространство с вектор-
,ным умножением. Рассмотрим евклидово пространство

430 РЯД ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ИМПЛИКАЦИЙ
Л — Re® Л' со скалярным произведением (ае + х,Ье+у)^
*=ab-\-(x,y) (ортогональную прямую сумму одномерного
пространства Re и пространства Л').
Задача 15. Покажите, что относительно умножения
(ае + х) (be +у) = (ab—(x, у)) е + (ау + Ьх + хху)
пространство Л является нормированной алгеброй с еди~
ницей е.
Следовательно, Vect => Norm^
Эта же конструкция доказывает, что Cont => Unt.
Далее, легко видеть, что Vector Qua. Действительно,
каждое векторное умножение в пространстве Rrt для лю-
любого вектора х ? S" определяет в касательном простран-
пространстве /х S" = (Rjr)-t- оператор
Так как | х \ = 1 и {х, у) - 0, то 11ху |» =, | х |8 \у |«—{х, у)*=
— \у |а и, значит, оператор 1Х ортогонален, а так как
{1хУ,У) = (хху,у)=;0, то этот оператор и кососимметри-
чен. Поэтому 1Х= — id (см. задачу 3 лекции 8), т. е. опера-
операторы 1Х являются операторами комплексной структуры. ?
Этим построением мы фактически уже пользовались в
лекции 8.
Обратная импликация здесь опять элементарно дока-
доказывается лишь в ослабленном виде Qua => Cont.
Пусть X*-+Ix, х6S".— квазикомплексная структура
на сфере S" пространства R". Легко видеть, что для
любого единичного вектора у C^S" векторы у и 1ху
линейно независимы (составляют базис порожденного ими
подпространства [у, 1ху]). [Действительно, еслиау+^лг^ =
=0, то alxy—by = 0 и, значит, (а2 + Ьг)у = 0.] Поэтому
определен вектор
" [1хУ-AхУ,У)уЦ
(единичный вектор, составляющий вместе с вектором у орто-
нормированный базис плоскости [у, 1ху], одноименный с
базисом у, 1ху)- Тем самым произведение хху опреде-
определено для любых ортогональных векторов х, у^В"'1.
Распространим его на любые векторы х, у ? R", положив
_ Г 0, если векторы х, у линейно зависимы,
\ V | х\*~ \у\*—(х,у)* (и xv) в противном случае,

ТЕОРЕМА О РАВНОСИЛЬНОСТИ
431
* _ \х\*у-(х,у)х
» V lie I2u I
где
— векторы, получающиеся из векторов х, у процессом
ортогонализации Грама—Шмидта. Ясно, что построенное
так умножение обладает свойствами а и б. D
Соберем вместе все наши импликации. Тонкие стрелки
здесь изображают импликации, либо тривиальные, либо
Prl -*-
•Qua
Div4
JDiv
Norm «<
*- Vect
элементарно доказываемые. Импликация / составляет со
держание теоремы Кирхгофа (см. предложение 1 лекции 8),
а импликация 4 вытекает из существования алгебр R, С,
Н, Са. Две утолщенные стрелки изображают импликации,
доказанные нами лишь частично и/или с купюрами. Наи-
Наиболее глубокий и трудно доказуемый факт выражает
импликация 3.
Техническая импликация 2 имеет существенно более
простой характер, и ее доказательство, хотя нами пол-
полностью и опущенное, основывается исключительно на эле-
элементарных общих свойствах /С-групп, которые у нас просто
не было времени изложить.

4321 ТЕОРЕМА О РАВНОСИЛЬНОСТИ
Водя пальцем по диаграмме импликаций, мы немедлен-
немедленно убеждаемся, что, двигаясь по стрелкам, можно от лю-
любого условия перейти к любому другому. Это означает,
что все десять условий на число п равносильны.
Удивительный результат!
Импликация Prt^n+l=^l, 2, 4, 8 составляет содер-
содержание утверждения Б из лекции 8.
Конечно, хотелось бы иметь более прямое доказатель-
доказательство равносильности, скажем, условий Dtv, Norm и
Cont. Единственно, что до сих пор в этом направлении
сделано,— это доказанная еще в конце XIX века Гурви-
цем теорема, утверждающая, что любая нормированная
алгебра с единицей изоморфна одной из алгебр R, С, Н а
Со (т. е. импликация 4 обратима).

Лекция 25
Главные расслоения над сферами.— Характеристическое
отображение для расслоения т8„+|.— Характеристичес-
Характеристическое отображение для расслоения г^п + 1.~ Непараллели-
Непараллелизуемость сфер S*'+1.—Гомотопические группы пункти-
пунктированных пространств.— Альтернативное определение го-
гомотопических групп.— Гомотопические группы и классы
отображений сфер.— Гомотопические группы абелевых
пространств.
Изложенное—с лакунами—в предыдущей лекции до-
доказательство несуществования при пф\, 2, 4, 8 отобра-
отображений с нечетным инвариантом Хопфа представляется не-
несколько искусственным и не выясняющим сути дела. В этой
и следующих двух лекциях мы на примере доказательства
иепараллелизуемости сфер Sn+1 при п==4/ разовьем дру-
другой, более прямой подход, лишенный этого недостатка.
Затем мы свяжем его с /^-группами.
Пусть ! = ($, р, §"+1)—произвольное главное расслое-
расслоение над сферой Sn+1 (нам будет сейчас удобно обозначать
проекцию символом р, а не я, как раньше) и пусть С/(_,
и U(+)—открытые множества сферы Sn+1, состоящие из
точек x?Sn + 1, для которых соответственно хп+1 < 1/2 и
д;п+1> —1/2.
Задача 1. Покажите, что над каждым множеством
?/,_, и {/(_) расслоение %, обладает сечением. [Указание.
Множества U{+) и i/(_, гомеоморфны открытому (п + 1)-
мерному шару б".]
Пусть s,_,—сечение расслоения | над ?/(_), a sl+) —
сечение расслоения § над ?/<+>. Тогда для любой точки
.*€?/(->Г|?/(+) (и, в частности, для любой точки х эква-
экваториальной сферы S": хп+1 = 0) определен элемент
где т—отображение сдвига для расслоения |(см. лекцию 1).
(Для расслоения (SO (л+ 2), р, Sn+1) из лекции 8 элемент
Тх определяется формулой Tx=-s~^)(x)s^_){x).) В З
случае
15 м. М. Постников, сем. IV

434 ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ НАД СФЕРАМИ
Ясно, что отображение
A) Т: Sn-+$t х>-*Тх,
непрерывно. Оно называется характеристическим отобра-
отображением (для главного расслоения |).
Конечно, отображение Т зависит от выбора сечений
«(_) И S( + ). f
Пусть s(_, и s(+)—другие сечения расслоения с, над (/<_,
и ?/(+) и пусть Г': S"—<¦&—соответствующее характерис-
характеристическое отображение. Тогда если
А,.,: С/,., — », А(+): t/(+)—3
— отображения, заданные формулами
А(_, (х) = т (s('_, (х), s(_, (х)),- А(+, (х) = т (s|+) (x), s,+) (дг)),
то на ?" будет иметь место равенство
T'(x)='-hTl)(x)T(x)h(+)(x), jreS".
Для любой точки х€§" и любого числа t?l, I— [0, 1],
мы введем в рассмотрение точки ц(_)(л", 2), ц(+)(лг, /) сферы
Sn+1, определенные соответственно формулами
(При t, меняющемся от 0 до 1, эти точки пробегают от-
отрезки меридиана сферы Sn + 1, соединяющего точку эква-
экватора х с полюсами —еп+1 и еп+1 соответственно.) Тогда
формула
F(х, t) = Аи(ц(_,(х, 0)Т(х) А<+)(ц«+)(х, 0), х 6S", ^€/,
будет определять некоторую гомотопию
(см. определение 3 лекции II 1.26), связывающую отобра-
отображение 7" с отображением
сг1ТЬ:
где а = А(_,(— еп+1), Ь = А(+»(вя+1).
Предположим, что группа % линейно связна (что заве-
заведомо выполнено для группы SO(n + 2)) и, значит, что в
% существуют пути и и v, соединяющие точки а и b о

ГЛАВНЫЕ РАССЛОЕНИЯ НАД СФЕРАМИ 435
единицей е группы #. Тогда формула (х, t)*-*u{t)~1T{x)v{t)
будет задавать гомотопию, связывающую отображение
а~хТЪ с отображением Т. Таким образом, в этом случае
отображения Т и 7" гомотопны.
Этим доказано, что в случае, когда группа $ линейно
связна, гомотопический класс [Т] характеристического
отображения (I) не зависит от случайностей построения
(выбора сечении s,_) и s(+)). Он называется характеристи-
характеристическим классом расслоения §. (С характеристическими клас-
классами из лекций 22—23 гомотопический класс [Г] никак
непосредственно не связан.)
Если расслоение | тривиально (и, следовательно, обла-
обладает сечением s над всей сферой Sn+1), то, приняв за s(_>
и s(+) ограничения сечения s, соответственно, на ?/,_, и
U{+), мы получим в качестве характеристического отобра-
отображения Т постоянное отображение conste, переводящее сфе-
сферу S" в единицу е группы Ъ. Называя гомотопический
класс постоянного отображения conste тривиальным клас-
классом, мы видим, следовательно, что характеристический
класс тривиального главного расслоения тривиален.
Множество всех гомотопических классов непрерывных
отображений S"—+Ъ сферы S" в линейно связную группу
'& обозначается символом лп$.
По определению [У] ? л„?.
Задача 2. Множество #8" всех непрерывных отображений §"—>-2/
естественным образом наделяется структурой группы. Покажите, что
а) все отобраокения, гомотопные постоянному отображению
conste: §"—+3, Xf-+e, x ? S",
составляют инвариантную подгруппу группы #s";
б) смежные классы по этой подгруппе совпадают с гомотопичес-
гомотопическими классами отображений §"»_>.$•
Тем самым множество я„# естественным образом опре-
определяется как группа. Записанная аддитивно эта группа,
называется п-ой гомотопической группой линейно связ
ной группы #. Ее нулем служит тривиальный класс [const J'
Ясно, что характеристический класс [Т]бл„!§ зависит
только от класса изоморфизма главного расслоения 1, т. е.
для изоморфных расслоений он один и тот же.
Задача 3. Покажите, что и, обратно, главные расслоения с груп-
группой % над сферой S"+i, обладающие одним и тем же характеристи-
характеристическим классом, изоморфны.
В этом смысле группа nn$ классифицирует главные
^-расслоения над Sn + 1
15*

436 ОТОБРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАССЛОЕНИЯ
Заметим, что здесь я ^ 1.
Задача 4. Обозначив через ло!5 факторгруппу группы $ по ее
компоненте единицы, покажите, что над окружностью S1 главные
^-расслоения классифицируются группой по$.
В частности, если группа Ъ линейно связна, то любое
главное ^/-расслоение над S1 тривиально.
Мы видим, что утверждение Б лекции 8 о непаралле-
непараллелизуемости сфер S" равносильно тому, что при п Ф 1.3,7
характеристический класс SO (п -f 1)-расслоения т8п+1 =
= (SO(n-b 2), я, Sn+1) нетривиален. В этой форме мы и
будем его доказывать. (Заметим, что для этой переформу-
переформулировки утверждения Б мы в задаче 3 не нуждаемся.)
Оказывается, чтодля расслоения т$п + 1 характеристическое
отображение Т: Sn—*-SO(n+ 1) можно задать явной фор-
формулой.
Для любых точек a, ftgSn+1, Ьф—а, мы обозначим
через R (Ь, а) элемент группы SO (я + 2), оставляющий на
месте все векторы, ортогональные векторам а и ft, a в
плоскости этих векторов являющийся вращением на угол
< л, переводящим вектор а в вектор Ь. (При а «= Ь пре-
преобразование R (b, а) считается тождественным.) В част-
частности, преобразование % = /? (е„, еп+1)г является поворотом
в плоскости последних двух координат на угол л.
Задача 5. Покажите, что вращение R (Ь, а) задается формулой
Заметим, что R{a,b) = R{b,a)~1.
Для любой точки #€?/<_, (любой точки x?Ul+)) оп-
определено вращение % oR(%x, е„+1) (вращение R (х, е„+1)),
переводящее вектор е„+1 в вектор х. Зто означает, что
формулы
определяют сечения
s,_,: (/,_, — SO (n + 2), s(+): U{+)~
расслоения T$n+i над (/<_, и (/(+) соответственно. (Заме-
(Заметим, что это дает решение задачи 1 для расслоения т$л+<.)
Следовательно, формула

ОТОБРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАССЛОЕНИЯ Tgn+i 437
задает отображение
Тя+1: §" — SO(n-H),
характеристическое для расслоения tgn+i.
Задача 6. Докажите, что
где Sx— симметрия пространства IR" + 1 в гиперплоскости, проходящей
через точку 0 ортогонально вектору х. [Указание. Достаточно до-
доказать, что при х d: ±en вращения Тп+1х и R(x, en+i)a одинаково
действуют на двумерной сфере, высекаемой на сфере 3" трехмерным
пространством, порожденным векторами х, en-i, en.]
Таким образом, вращение Тп+1х оставляет на месте
все векторы пространства R.n+\ ортогональные векторам
х и еп, а плоскость, порожденную векторами х и е„, по-
поворачивает на удвоенный угол между этими векторами.
(При х=±е„ преобразование Тп+1х тождественно.)
Задача 7. Покажите, что
для любой точки х~(х9, .... хп) сферы S" (где, как всегда, ? —
единичная матрица порядка п; индексы у координат мы пишем теперь
внизу). [Указание. Сечение s(+) выражается формулой
XjXj
хо Л
. 1
где х=(х0, ¦•¦. xn+1)?Ul+).]
В частности, равенство Тп+1х = Тп+1у имеет место
тогда, и только тогда, когда у = ±х. Поэтому образ Tn+1Sn
сферы S" при отображении Тп+1 представляет собой под-
подмногообразие группы SO(n-b 1), диффеоморфное проектив-
проективному пространству RPn (а отображение Тп+1: $п—+Тп+1§п
является двулистным накрытием).
Задача 8. Покажите, что составное отображение
B) S»^iiSO(rt + l)-^Sn
сферы S" на себя, где рх—проекция главного расслоения
х%п, является отображением степени 0 при п четном и
степени 2 при п нечетном. [Указание. Для вычисления

438 ОТОБРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАССЛОЕНИЯ
степени воспользуйтесь предложением 1 лекции III.26,
имея в виду, что на каждой из полусфер хп > О и хп < О
отображение B) является гомеоморфизмом на проколотую
сферу S"\{—е„}. При этом на полусфере хп > О отобра-
отображение B) сохраняет ориентации (имеет степень -М)- ^те"
пень же этого отображения на полусфере хп < 0 равна
степени (—1)л+1 антиподального отображения х*-+—х.]
Если отображение Тп+1 гомотопно постоянному (харак-
(характеристический класс [Тп+1] тривиален), то отображение
B) также гомотопно постоянному и потому его степень
равна нулю. Следовательно, при нечетном п отображение
Тп+1 не гомотопно постоянному и, значит, расслоение Ts«+i
нетривиально. Иными словами, при нечетном п сфера Sn + 1
не параллелизуема.
В случае когда п четно (только и нужном для задачи
о комплексифицируемости сфер), требуются более тонкие
аргументы.
При четном п — 1т сферу §"+1 = S2m + 1 можно считать
единичной сферой унитарного пространства Cm+1 (с бази-
базисом е0, ..., ет). Это позволяет ввести в рассмотрение уни-
унитарный аналог т^п+1 главного SO(«-- 1)-расслоения tgn + i.
По определению
^n+1 = (U(m+l), p", 5"-1),
где ри—отображение U(m+ I)—*Sn+1, определенное фор-
формулой
[Контрольный вопрос: как^ связано с касательным
расслоением tSn+i комплексное векторное расслоение г$п+и
ассоциированное с главным расслоением т^я+1?]
Характеристическое для расслоения т^„.м отображение
Tn+i является отображением S"—>U(m), n — 2tn, и
также может быть задано явной формулой.
Задача 9. Покажите, что
r?.is=lal7- 2г'г/ I, I, /=о m-i,
для любо/'i точки z = (z0, ...,гт) экваториальной сферы SndS" + 1
(характеризуемой условием Rezm = 0).

ОТОБРАЖЕНИЕ ДЛЯ РАССЛОЕНИЯ Xg
Аналогом составного отображения B) является отобра-
отображение
ти и
C) s»~U(/n)—S»,
где р?—проекция U(m)—>-Sn~l главного расслоения
tgn-i. В отличие от отображения B) оно является отобра-
отображением сферы 3" на сферу S"~l меньшей размер-
размерности и поэтому вопрос о том, гомотопно ли оно по-
постоянному отображению, является трудной и деликатной
задачей.
Чтобы связать отображение Т%+1 с отображением Tn+i
(исследование которого является нашей конечной целью),
мы воспользуемся отождествлением О — R", п — 2т, в соот-
соответствии с которым группа U(m) оказывается подгруппой
группы SO(n) (это в точности ортогональная симметри-
симметрическая группа Sp(m; R)nOBm); ср. задачу 4 лек-
лекции Ш.Н). Таким образом, U(m)cSO(n), U(m+l)c
cS0(n + 2) и в силу этих вложений сечения s(+), 5(_,
рассления Tgn+i будут сечениями расслоения т$п + 1, а ото-
отображения Т„+1 и Г„+1 будут связаны формулой
D) Тя+1
где I—вложение U (ш) —> SO (п) с SO (п + 1).
[Аналогичным образом при m = 21 ¦+-1 (т. е. при п —
=4/J-2) над сферой S"+1=S4'+3 определено главное рас-
расслоение (UH(/+1), p, Sn+1) с кватернионно унитарной
группой UH(/) и для его характеристического отображе-
отображения Т„р+1 имеет место формула
где i'—вложение UH (/) -* UB/)cUB/-1-1). Поскольку
группа UB/) является слоем проекции рЧ: UB/-f 1)—>
_> S4' + l = Sn~1, отсюда следует, что при нечетном т
отображение C) является постоянным отображением..]
Чтобы использовать формулу D), нам понадобятся не-
некоторые общие конструкции.
Для топологических пространств SC некоторого класса,
включающего все линейно связные топологические груп-
группы % и все линейно связные и односвязные топологиче-
топологические пространства (и, значит, в частности, сферы Sm,

440 НЕПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ СФЕР S*' + «
т^2), и любого л^ 1 мы введем в множество
п„Х=[§\ ЭГ\
всех гомотопических классов непрерывных отображений
S»—у& операцию сложения, по отношению к которой
это множество является абелевой группой (с нулем 0 —
гомотопическим классом const произвольного постоянного
отображения const: S" —>• SP) и докажем (к сожалению,
лишь частично) следующие утверждения:
а. В случае когда X является линейно связной топо-
топологической группой $, группа nnSC совпадает с введенной
выше группой я„?.
б. Для любого непрерывного отображения /: 2? —> &
¦отображение f,: nn% —<-ппУ, определенное формулой
где 'и—произвольное отображение S" —<- SC гомотопиче-
гомотопического класса а, является гомоморфизмом. При этом
(id)* = id, {g°f), = g*of* (свойство фун ктор иал ьно-
сти) и ft = g*, если отображения / и g гомотопны (свой-
(свойство гомотопической инвариантности). Если
отображение f гомотопно постоянному, то гомоморфизм f,
является нулевым (всю группу пп% переводит в нуль
группы я„Й/).
в. Для любой линейно связной группы Ли? и любой
ее линейно связной замкнутой подгруппы Ж определен
гомоморфизм
обладающий тем свойством, что последовательность
F) ... -* л„+1 (»/#) Л я„.9? Л. пп$ ^ „„»/.%- _ ...
групп и гомоморфизмов, где i: Ж—<-^—вложение, а р:
%—+Ч>1Ж—проекция, является точной последовательно-
последовательностью (в каждом члене образ входящего гомоморфизма сов-
совпадает с ядром выходящего). При этом для любого гомо-
гомоморфизма ф: Й—>¦#', переводящего подгруппу Ж в под-
подгруппу Ж'сУ, диаграмма

НЕПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ СФЕР $'* + • 441
вертикальные стрелки которой индуцированы гомоморфиз-
гомоморфизмом ср (т. е., точнее, отображениями Ж—*Ш' и 'Sf^f' —*
—+$'/$?', определенными гомоморфизмом у), является ком-
коммутативной диаграммой (при движении по стрелкам диа-
диаграммы от верхнего левого угла к правому нижнему ре-
результат не зависит от выбора пути).
г. При $^$0{п), ffl = $O(n—1) образ гомоморфизма
д: n.,+1Sn —ji,,SO(n) (напомним, что SO(n-b I )/SO (л) = §"}
совпадает с образом гомоморфизма
индуцированного характеристическим отображением Тп:
S SO()
()
д. Группа яп+г6"+1 при тг^З нетривиальна.
е. Отображение f: S" —>¦ S" четной степени индуци-
индуцирует при п^З нулевой гомоморфизм f,: л„+18"—<- лп+18я.
ж. При /г = 4/ отображение C) негомотопно постоян-
постоянному (задает отличный от нуля элемент группы nuStl~l).
Этих фактов уже достаточно для доказательства
утверждения Б лекции 8 при п = 4/.
Предложение 1. При п = 41 сфера Sn+1 не парал-
лелизуема (и, значит, сфера S" не квазикомплексифщи-
руема).
Доказательство. Рассмотрим—очевидно коммута-
коммутативную—диаграмму
rtnSO(n-l) = rtn,SO(n-l)
*n(S0(n+i)/S0(n-l)>
с точными строками и столбцами, в которой
а—гомоморфизм E) при » = SO(n + l) и ЯГ = SO (л);
/ — вложение SO (л) — SO (n -L 1);
^—индуцированное вложение Sn=SO(tt)/SO(n—1)—*¦
O "l)SO(n—1);

442 НЕПАРАЛЛЕЛИЗУЕМОСТЬ СФЕР S'' + »
i', Г—вложения SO(r— 1) -* SO(n), SO(n—1)-*
— SO(n-M);
p',p"—проекции SO(n) —S», SO(n+l)—.-
-*SO(n+l)/SO(n— 1);
d', d"—соответствующие гомоморфизмы A).
Пусть T)€n«§"'. Если Л*т)-=0, то d'r\ = d"kti\ = O, и,
значит,— в силу точности—существует такой элемент а ?
? nnSO (я), что р'.а — г\. При этом p"j,a — kjp'ja. = /г.т) = 0 и,
значит, существует такой элемент Egn,,SO(w—1), что
i$ = i,a. Но тогда для элемента а' = ос—tip будет иметь
место равенство
/,а' = /»а—/,кр = /,а—СР = О,
и потому существует такой элемент т€яп+1®п» что57==а.
[Этот метод рассуждения называется диаграммным поиском—
ло-английски diagramm chasing; его удобно производить
в уме, двигая пальцем по диаграмме.] Следовательно, со-
согласно утверждению г в группе я,,®" существует такой
элемент у', что (Г,,)» у' = а и, значит,
Но отображение р'оТп: S"—*5/>~\ как мы знаем, либо
гомотопно постоянному отображению (и потому индуцирует
нулевой гомоморфизм я,^" —> ЯдЗ"), либо имеет сте-
степень 2 (и потому, в силу утверждения е, также индуцирует
нулевой гомоморфизм). В обоих случаях (p'°Tn)ty' = 0 и,
значит, т] = 0.
Этим доказано, что гомоморфизм /г» из диаграммы G)
является мономорфизмом.
Пусть теперь а0—элемент группы ttnSO(n), являющийся
гомотопическим классом отображения Т„+1, рассматривае-
рассматриваемого в силу вложения U(m) —> SO (n), m — 2l, как отобра-
отображение S"~-*SO(n). Так как составное отображение
•является, очевидно, не чем иным, как проекцией U(m)—>
-* S" расслоения т^п-., то элемент р',а0 представляет
собой гомотопический класс отображения C) и потому,
согласно утверждению ж, отличен от нуля. Но тогда в силу
мономорфности отображения k* будет отличен от нуля эле-
элемент plj,a,0 — k*p'a0, а потому и элемент /ta0 (снова диа-
диаграммный поиск!).

ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ 443
Для завершения доказательства остается заметить, что
но определению композиция вложений U(m)—<-SO(n) и /:
SO (n) —> SO(n -f1) является не чем иным, как вложением
i: U(m) —>¦ SOin-1- 1) из формулы D) и, значит, согласно
этой формуле /«а„--ITn+i]> гДе Тп+Л—характеристиче-
Тп+Л—характеристическое отображение для расслоения т$п+1. Таким образом,
[Тп+1]Ф0 и потому сфера Sre+1 не иараллелизуема (рас-
(расслоение т$п+1 не тривиально). G
Перейдем теперь к доказательству утверждений а—ж.
Определение 1. Топологическое пространство Ж,
в котором выбрана точка хй, называется пунктированным.
Отображение /: & —* & пунктированных пространств с. от-
отмеченными точками х0 и у0 называется пунктированным,
если f(xo)~yo. В записи
/: (#, *„) -> B/, «/,).
Два пунктированных отображения f, g: (Ж, х0) —* C/, //„)
называются пунктированно гомотопными, если их можно
связать гомотопией F: 3?х1—*&, обладающей тем свой-
свойством, что F(xn, t) — y0 для любого t? I. (Такие гомотопии
называются пунктированными.)
Пусть
— единичный куб пространства R", а /"—его граница
(состоящая из точек t, для которых /' = 0 или 1 хотя бы
для одного индекса t=l, ...,n). Обобщая конструкцию
фундаментальной группы яг (JT, х0) из лекции 3, мы для
произвольного пунктированного пространства ($', х0) рас-
рассмотрим всевозможные отображения и: /n —- SC', для кото-
которых иA") = х0. (Обозначение: и: (/", /") —>- {SP, х^).) Два
таких отображения называются гомотопными rel/", если
существует связывающая их гомотопия /: /ях/—+Ж, при
которой f{t,t)=^x0 для любых t?in it t?l (т. е. такая,
что для каждого ^/отображение ft: t*-*f{t, t) является
отображением (/", /п) —> [ЗС, х0)).
Отождествив /" с In~1Xf, мы для любых отображений
и, v: (/", /") -* {SP, х„) положим
u{t,2t), если 0<^<1/2,
v(t,2t—l), если 1/2<*<1,

444 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
где t?f"~l, t?l. Ясно, что отображение u + v непрерывно
и является отображением (/", /") —* (X, х0).
Задача 10. Покажите, что
а) отношение гомотопности rel /" является отноше-
отношением эквивалентности;
б) формула
(8) [u] + [v] = [u^v]
корректно определяет на множестве я„(^*, л;0) всех гомо-
гомотопических классов rel /" отображений (/", /») — (SP, х0)
операцию сложения;
в) относительно операции (8) множество пп(&, х0)
является группой, нулем которой является класс [const*,]
постоянного отображения const*,,: t*—*-х„.
[Указание. При п=1 все это нам уже известно из
лекции 3.]
Заметим, что в лекции 3 операцию в группе яг {Ж', х0)
мы называли умножением. В соответствии с этим аддитив-
аддитивные обозначения мы, как правило, будем использовать
только при п^2.
Конечно, группа я„(.#\ дс0) совпадает с группой
я„(^*0, х0), где SCU—компонента линейной связности про-
пространства SC, содержащая точку х0.
Определение 2. Группа л„ {SC, х0) называется п-ой
(или п-мерной) гомотопической группой пунктированного
пространства X.
Замечание 1. Вместо пары (/", /") можно, конечно,
использовать любую гомеоморфную пару (В, S); нужно
только раз и навсегда выбрать и зафиксировать некоторый
гомоморфизм (В, S) —*¦ (/", /"). Наиболее часто используют-
используются пары (Bn, S»-1) и (Е(+„ S"), (Е(_„ S»-1), где Е(+)
и Е(_, — полусферы х"^0 и a;"^0 сферы S".
Пусть /: (SF, хо)—*{чУ, у0)—произвольное пунктиро-
пунктированное отображение.
Задача 11. Докажите, что
а) для любого п ^ 1 формула
корректно определяет некоторое отображение
f,: пп(Я,х0)^лп(У,у0);
б) это отображение является гомоморфизмом;

ГОМОТОПИЧЕСКИБ]ГРУППЫ 445
в) если f = id, то /,»= id и (gof), = g,°f* для любых
пунктированных отображений f: (J2\ х0) —*¦ (#, у0), g:
W, Уо) — B, г,).
Свойство в называется свойством функториаль-
ности; на языке теории категорий оно означает, что пп
представляет собой функтор из категории пунктированных
пространств в категорию групп.
При /г^2 каждое отображение и: (/", /") —> (JZ, ха)
естественным образом отождествляется с отображением и# ;
(/n-if /n-1) —+.(й^", еХо), определенным формулой
где Q^ = 5>(x0, SC, x0)—пространство петель пространства
?С в точке х0, а ех„: t>—>x0—постоянная петля (см. лек-
лекцию 2; здесь мы куб /" отождествляем с кубом /х/").
Задача 12. Покажите, что тем самым возникает
отождествление
(9) пя(ЗГ, xJ-n
Это отождествление (естественный изоморфизм) называется
изоморфизмом Гуревича.
Если пространство % является топологическим уни-
тоидом с единицей х0, т. е. если на нем существует такое
непрерывное умножение
* %, (х,
что хох = ххЛ — х для любой точки х € SC, то формула
где (uv) (t) = и (t) v (t) корректно (докажите!) определяет на
яп($", х0) операцию умножения. Единицей этого умноже-
умножения служит нуль 0 = [const*,] группы я„ (.?*, х0).
Этот вывод остается, очевидно, в силе и в случае, когда
точка х0 является лишь, как говорят, гомотопической
единицей, т. е. если хохо = хо и отображения х*->хх0,
xi-*xox, x^SC, пунктированно гомотопны тождественному
отображению id: &—>¦$?.
Задача 13. Покажите, что операции сложения и
умножения в я„(^*, х0) взаимно дистрибутивны, т. е. что
для любых элементов а, Р, у, б€л„(^, дг0) имеет место
равенство

446 ГОМОТОПИЧЕСКИЕ ГРУППЫ
В частности,
ар = (а 4- 0) @ -f Р) = аО + 0|3 = а 4- 0
и
ар =- @ + а) (Р + 0) = 0р + аО = Р + «•
Это доказывает, что для любого топологического унитоида
& {вообще говоря, шшь с гомотопической единицей хй)
группа л„ CS, х0) абелева (а умножение в я„ {$?, х0) совпа-
совпадает со сложением).
Для групп щ{&, ха) последний факт был уже доказан в
лекции 15 (см. замечание 1 лекции 15).
[Заметим, что, таким образом, операция умножения
в па{5Р, х0) ассоциативна, коммутативна и обратима, хотя
умножение в S ни одним из этих свойств, вообще говоря,
не обладает.]
Примером топологического унитоида с гомотопической
единицей является пространство петель Q5P. Поэтому все
группы nn(QSf, е*,,) абелевы. В силу (9) это доказывает,
что для любого пунктированного пространства 3? группа
пп (J?\ х0) при п ^ 2 абелева.
Абелевость групп пп(&, х0), п^2, объясняет, почему
групповую операцию в них мы называем сложением.
Задача 14. Докажите абелевость групп яи(?',х0), if?s2, по-
построив для любых отображений и, v: (/", /") —с ($', х0) гомотопию
rel/", связывающую отображения u-'-v и
Превратим сферу §", д^1, в пунктированное про-
пространство, произвольно выбрав в S" некоторую точку s0
(скажем, точку ei). Тогда для любого пунктированного
пространства & будет определено множество
[S», jr]-=-.[(S», в„), {Х,х„)]
всех пунктированных гомотопических классов [/]' пункти-
пунктированных отображений /: (§", s0) —> (&, х0).
Заметим, что открытый куб
b={t?Rn; 0</х< 1, .... 0</"< 1},
являясь открытым подмногообразием ориентированного про-
пространства R", естественным образом ориентирован. По ана-
аналогичным соображениям естественно ориентирован и шар
l6n+I, являющийся областью с регулярной границей ориен-
ориентированного пространства RB+1, а потому ориентирован и
его край 8".

АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 447
Задача 15. Постройте непрерывное отображение
(Ю) Х: (/», /») — (S», So),
гомеоморфно и с сохранением ориентации отображающее
открытый куб /п = /п\'/п на проколотую сферу §"\{s0}
(т. е. в другой терминологии — являющееся на /" гомео-
гомеоморфизмом степени 1).
Выбрав и зафиксировав отображение A0), мы можем
каждому пунктированному отображению /: C", s0) -* (#", А'„)
сопоставить отображение
foX: (/», h) - (Я, *„).
Задача 16. Покажите, что
а) формула [/]*—*¦ [f°x\ корректно определяет некото-
некоторое отображение
A1) [S-, Х\'-+ п,Л&, *.);
б) отображение A1) биективно.
Мы будем отождествлять группу л„(.?", х0) с множе-
множеством [3й, 2Р\' посредством отображения (И). Таким обра-
образом, в силу этого отождествления элементами группы
яп(&, х0) будут гомотопические классы [/]' отображений
/: E», s.) - (X, х0).
Задача 17. Покажите, что в группе п„(&, х„) равен-
равенство l/J' = 0 имеет место тогда и только тогда, когда
отображение /: S" —*¦ SC может быть распространено до
отображения F: Bn+1—>¦&, переводящего в точку х0 весь
радиус Os0 шара Bn+1.
Замечание 2. Ясно, что соответствие A1) зависит
только от гомотопического класса rel/n отображения A0)
(элемента [%] группы nn(S", s0)). С другой стороны, ниже
мы покажем (см. замечание 1 лекции 26), что гомотопи-
гомотопический класс rel/'" произвольного отображения вида A0)
зависит только от его степени deg% (на /"). Поскольку по
условию deg%— \, отсюда следует, что отождествление A1)
не зависит от выбора отображения A0).
Пока же мы должны соблюдать определенную осторож-
осторожность и все время помнить о произволе в выборе отобра-
отображения A0).
Замечание 3. Конечно, вместо пары (Sn, s0) мы
можем взять любую гомеоморфную пару (Sn, s0) (нужно
лишь фиксировать, хотя бы с точностью до пунктирован-

448 АЛЬТЕРНАТИВНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ной гомотопии, определенный гомеоморфизм (Sn, s0)—>
— E", s0). Поскольку для любых точек s0, ^ ? §" суще-
существует сохраняющий ориентацию гомеоморфизм (S", s0) —>
—<¦ (Sn, Sj) (даже движение), отсюда в силу замечания 2,
в частности, следует, что выбор точки so€Sn ни на что
реально не влияет.
Отождествление A1) переносит сложение из группы
яп(&, х0) в множество [§", SC\'. Как непосредственно —
без перехода к отображениям (/",/") —>¦ (&, ха)—опреде-
ха)—определить эту операцию?
При ответе на этот вопрос удобно считать, что So =;«?!•
Пусть, как всегда, S"—экватор хп — 0 сферы S" и
пусть S'VS"'—пространство, получающееся стягиванием
экватора S" в точку. [По определению пространство
S'VS" является факторпространством сферы §" по отно-
отношению эквивалентности ~, в котором х~у тогда и
только тогда, когда либо х=^у, либо х, у€§п~г.]
Задача 18. Покажите, что пространство S'VS" естественно
гомеоморфно подмножеству S" v S" прямого произведения S"xSrl,
состоящему из пар (х, у), х, .У ?8", в которых хотя бы одна ком-
компонента х или у совпадает с ei = So ("координатному кресту*).
[Наглядно S" v S" является объединением двух экземпляров сферы
S" со склеенными точками ej.]
Поэтому отображение факторизации ц: SB—>S'/S"
мы можем считать отображением
A2) |х: S" —>¦ S",V S".
Пространство S" V §" называется букетом.
Для любых отображений /, g: (Sn, s0) "^ {Ж, х0) мы
обозначим через / V g отображение S" V S" —* Ж, совпа-
совпадающее с отображением f на одной сфере букета S" V S"
и с отображением g—на другой. (Формально это отобра-
отображение определяется равенствами
(fVg)(x,so) = f(x), (fVg)(so,y) = g(y), х,уе$я.)
Задача !9. Покажите, что в группе ппBС, х0) имеет
место равенство
[f)* + fer=[tfV*)o!i]\
Это отвечает на поставленный выше вопрос.
Так как каждое пунктированное отображение (S",s0) -*
—* (&, х0) является непунктированным отображением S" —>¦ №

КЛАССЫ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕР 44!>
и, аналогично, каждая пунктированная гомотопия—непунк-
тированной гомотопией, то, поставив в соответствие каж-
каждому элементу [/]" группы я„(.?\ х0) непунктированный
гомотопический класс [/], мы корректно определим неко"
торое отображение
A3) па(Х,х0)-+п„Х,
где, как и выше, лп&=[Е.п, Ж]—множество обычных
(непунктированных) гомотопических классов отображений
5" -* -Г.
Задача 20. Покажите, что если пространство S?
линейно связно, то отображение A3) надъективно. [Ука-
[Указание. Для любого отображения /: S"—у SC отображение
{f,u}or: S"x/—<-#, где /-—ретракция цилиндра §"х/
на его подмножество A = (Snx0)U {*ох^> и—произволь-
и—произвольный путь в %, соединяющий точку f(s0) с точкой хог
а {/, и}—отображение А —* ?С, заданное формулой
J f(x), если * = 0,
является гомотопией S"x/—+3C, связывающей отображе-
отображение / с некоторым пунктированным отображением /3:
(Sn, s0) —* (Ж, Xq). Поэтому нужно лишь построить хотя бы
одну ретракцию г.]
Задача 21. Покажите, что для любых точек хй, х±
линейно связного пространства & группы nn(SC, x'o) и
я„(^", X]) изоморфны. [Указание. Изоморфизм зависит
от пути и, соединяющего точку хх с точкой х0, и ставит
в соответствие каждому элементу [/]лп(^", ^конечное
отображение fx гомотопии {/, и}or, построенной в указании
к задаче 20.]
Задача 22. Покажите, что изоморфизмы пп(Ж, х±) —*
—<¦ лп {SC', х0), отвечающие гомотопным путям и, одинаковы.
[Указание. Используйте тот же прием, заменив ;S"
на S"x/ и приняв за А подмножество (S"x/x{0})U
U (Snх/X {J-}) U (S"X {0} х /) U ({s0} х I X /) произведения
Snxlxf]
В частности, отсюда следует, что любой элемент
? G я, {S?, x0) определяет некоторый автоморфизм
I*: лп(&,х0)-+яя(ЯГ,х0), п>1,
группы п„(.Т, х0).

450 КЛАССЫ ОТОБРАЖЕНИЙ СФЕР
Задача 23. Покажите, что это задает действие группы
я^З?, х0) на группе nn(&, х0), п ^ 1 (гомоморфизм группы
n^iS, х0) в группу автоморфизмов группы л„(^, х0),
л>1).
Задача 24. Покажите, что при п=\ автоморфизм j* является
внутренним автоморфизмом ai—•»¦ gag-1 группы Ях (SV, х0), отвечаю-
отвечающим элементу |.
По построению, если р = |*а, где a, f)?nn(^, х„), и
если а =.[/]•, p-[g]\ где /, #: E», s0) — (^, л-0), то
отображения f, g связаны гомотетией F: S" —>¦ &, обла-
обладающей тем CBOi'icTBOM, что петля
и: t^F(Sf), t), t?l,
принадлежит классу |. В частности, это означает, что при
J3 = ?#a элементы аир склеиваются отображением A3)
(имеют один и тот же образ).
Задача 25. Покажите, что если, обратно, пунктиро-
пунктированные отображения /, g: (Sn, s0) —* (¦%', х0) связаны неко-
некоторой гомотопией F: S" —»¦ X, то
где l^.n1(S, х0) — класс петли t>-*-F(s0, t) и где а, р?
gnn(JT, х0)—классы отображений /, g.
Таким образом, два элемента а, $?лп(Ж, х0) тогда
и только тогда склеиваются отображением A3), когда
для некоторого элемента ^,^п1 C', х0) имеет место ра-
равенство A4) (т. е. когда элементы а, |3 принадлежат одной
орбите действия группы ^[3?, х0) на группе я„(^, л;0).
Определение 3. Топологическое пространство % на-
называется аоелевым (или гомотопически простым), если
а) оно линейно связно;
б) для любого п~^\ отображение A3) инъективно (и,
следовательно, биективно). [Из утверждения задачи 21
вытекает, что если отображение A3) инъективно при одном
выборе точки А'о, то оно инъективно и при любом другом;
в этом смысле условие б не зависит от х0.]
Для абелева пространства % (и любой точки x^^SC)
отображение A3) позволяет отождествить группу пп(*Т, х0)
с множеством лп3" и, следовательно, задать в nnSC опе-
операцию сложения, по отношению к которой это множество
-будет группой.

ГРУППЫ АБЕЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ 451'
Группа яп& называется п-ой гомотопической группой
абелева пространства SC.
Подчеркнем, что сложение в группе nj% определяется
только через посредство отождествления A3), т. е. на
основе выбора в ?1' некоторой точки ха (от которой окон-
окончательный результат не зависит). Поэтому, хотя нам нужны
только группы л,гТ, ход к ним через группы nn(&, x0)
неизбежен.
Заметим, что отображение
тогда и только тогда определяет нуль группы nnS"y
когда оно продолжается до некоторого отображения
Вп+1-*Ж. Ср. задачу 17.
Согласно сказанному выше после задачи 25 линейно-
связное пространство SC тогда и только тогда абелево,
когда для любого п~^\ и любой точки хо?& группа:
л1(^', х0) тривиально действует на группе пп(Х, л:0).
В частности, отсюда следует (см. задачу 24), что для
любого абелева пространства % фундаментальная группа-
я1(^', х0) абелева. Это объясняет термин «абелевы прост-
пространства».
Кроме того, так как тривиальная группа тривиально'
действует на любой группе, то каждое односвязное прост-
пространство X абелево.
Если линейно связное пространство Э? является топо-
топологической группой (или даже топологическим унитоидом)
с единицей х0, то для любого пунктированного отображе-
отображения
/: (S", s0) -* (^, х0)
и любой петли
и:(/, /)-* (Х,х0)
формула
F(x, f) = u(f)f(x), x?§n, t?l,
определяет гомотопию F: S"x7—* SC, для которой u(t) =
— F (s0, t), t?f, и которая связывает отображение f
с самим собой. Поэтому (см. задачу 25) в группе я„ (S?, .v0)
имеет место равенство а = ?#а, где а = [/]", i = [«]. Таким
образом, группа л1(^>, л:0) тривиально действует на груп-
группах nn(&, x0), n^l, и, значит, пространство SC абелево*

452 ГРУППЫ АБЕЛЕВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Таким образом, класс абелевых пространств содержит
все линейно связные односвязные пространства и все
линейно связные топологические группы (и даже все ли-
линейно связные унитоиды).
Тем самым начальный этап нашей программы доказа-
доказательства предложения 1 успешно выполнен: определен класс
пространств, содержащий все линейно связные односвяз-
односвязные пространства и все линейно связные топологические
группы, и для любого пространства SC этого класса и
любого п ^ 1 на множестве nn$" введена операция сло-
сложения, относительно которой это множество является
абелевой группой.
Осталось доказать утверждения а—ж. Мы займемся
этим в следующей лекции.

Лекция 26
Гомотопическая последовательность расслоения.—Группы
л„8«» при п < т.—Стабилизация групп nnSQ(m).—
Классификация отображений многообразий в сферы. —
Теоремы Урысона и Титце. —Связность группы Difff R".—
Доказательство теоремы Хопфа о продолжении.
Наша ближайшая цель будет состоять в доказательстве
утверждений а—ж предыдущей лекции.
Впрочем, что касается утверждений а и б, то в лек-
лекции 25 уже были доказаны их аналоги для общего слу-
случая пунктированных пространств, и ясно, что утвержде-
утверждения а и б являются их непосредственными следствиями.
Утверждение в мы докажем в более общем контексте
произвольных расслоений в смысле Гуревича, т. е.
(см. лекцию 2) непрерывных отображений р: S—+S3, обла-
обладающих связностью (непрерывным отображением s, кото-
которое каждой паре (еа, и), где е0—точка пространства ?, а
и: I—+S3—такой путь пространства S3, что р(ео) = и(О),
ставит в соответствие путь s(e0, и) пространства <§, начи-
начинающийся в точке е0 и накрывающий путь и, т. е. такой,
что pos(e0, u) = u).
Задача 1 (ср. замечание 2 лекции 2). Докажите, что проекция
Р- ? -*¦ S3 любого локального тривиального расслоения ($, р, S3),
база S3 которого представляет собой хаусдорфово компактное (или
даже паракомпактное) пространство, является расслоением в смысле
Гуревича. [Указание. Рассмотрите сначала случай, когда база S3
покрывается двумя тривиализирующими окрестностями.]
В частности, расслоением в смысле Гуревича является каждое фак-
торотображение $ -* #/$?, где % —группа Ли, a ;JC — ее замкнутая
подгруппа.
Мы будем применять это утверждение только к расслоениям вида
SO (я +/я) -*¦ SO (« + m)jSO (я) при т = 1 ит = 2, Поэтому, собственно
говоря, достаточно доказать его лишь для этих расслоений (что, впро-
впрочем, по-видимому, нисколько не легче).
Итак, пусть р: ? —»¦ S3—произвольное расслоение в смы-
смысле Гуревича со связностью s. Выбрав в $ точку е0, поло-
положим Ь0 = р(еа) и 3~ = р-1{Ь0).
Нам будет удобно, выбрав некоторый гомеоморфизм
(В"+\ 3")—*-(/я+\ /n+1) степени 1, интерпретировать эле-
элементы группы я„+1E3, Ьо) как гомотопические rel S" классы

454 ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ
отображений
(О и: (Bn+1, S»)-+(?, Ьо)
(см. замечание 1 лекции 25).
Легко видеть, что любое отображение A) может быть
накрыто, т. е. существует такое непрерывное отображение
ц#. gn+i_>^>) чт0 рои# = и. (Например, записывая точки
шара Бп+1 в виде tx, где x?Sn и t?l, мы можем опре-
определить отображение ы* формулой
где их — путь t*-*u(tx).)
Так как и (§") = ?>„, то u* (S")cf, т. е. ограничение
v—u#\s,t отображения и* на S" можно рассматривать
как отображение
v: S"-*^.
Задача 2. Покажите, что гомотопический класс [v] ?
€л„$" отображения v не зависит ни от выбора отобра-
отображения и в гомотопическом relS" классе а = [ы], ни от
выбора накрывающего отображения и*.
Поэтому, в предположении, что пространство W абелево
(и, в частности, линейно связно), формула
да = [у]
корректно определяет некоторое отображение
B) д: лп+гE3, К)-»nJF.
Задача 3. Докажите, что отображение B) является
гомоморфизмом.
Задача 4. Постройте отображение д для не абелева простран-
пространства |Г. [Указание. Оно будет в этом случае гомоморфизмом
я„ + 1 (SB, b0) 4-nn(JF, e0)-]
В дальнейшем, мы для простоты будем предполагать
абелевым (и, значит, линейно связным) не только прост-
пространство (F, но и каждое из пространств 33 и «?. В этом
случае отображение B) будет отображением
д: лп+153-> л„«?
и вместе с гомоморфизмами /?« и t,, индуцированными рас-
расслоением р: <й* —> 3$ и вложением i: W—>¦<?>, даст возмож-
возможность написать бесконечную влево последовательность
C) ...-ял+1Й-л/-ял^^-...

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РАССЛОЕНИЯ 455
групп и гомоморфизмов. Эта последовательность называ-
называется гомотопической последовательностью расслоения р:
Задача 5. Докажите, что последовательность C)
является точной последовательностью. [Указание.
Включения вида ImcKer очевидны. Для доказательства
включения Kert«dmd в группе л„оГ достаточно заме-
заметить, что если отображение /: S" —-> <F продолжается до
отображения F: B"+1—*<?, то [f\ = d[u], где u = poF:
{B"+1, S"+1)—<-E3, b0). Аналогично, если для отображения
/: S" —><§ отображение /jo/: S"--<¦ Si продолжается до
отображения G: 3rt+1—«-.S3, то, при условии, 4toG@)=60,
формула
F(x, g = s(f(jc), Gx)(t), X?S», t?l,
где Gx — путь t\—»-G((l — t)x), определяет гомотопию F:
$nX!—>¦<§, связывающую отображение / с отображением
вида S" —>-W. Если для поднятия ы#: В"—+<§ отображе-
отображения и: (B"+l, §") —<¦ E3, b0) существует отображение g:
В"—>?, совпадающее с и* на 3", то формула
U
( и* (tx), если е=+ 1,
{ g{tx), если е = — 1,
где [х, t]e—точка сферы S"+1, расположенная в полу-
полусфере ех-1+1^0 и находящаяся на меридиане экватори-
экваториальной точки jur^S" на расстоянии A — t)^ (измеренном
по меридиану), корректно определяет непрерывное отобра-
отображение f: Sn+1—+<?>, обладающее тем свойством, что эле-
элемент [p°f\ группы яп+153 является элементом, задаваемым
отображением и. Поэтому Kerp»clmi« в группе пп<§ и
K^l* в группе лп+1%).]
Задача 6. Докажите аналогичное утверждение для случая
неабелевых ^?, 3i u-ff- [Указание. См. задачу 4.]
Пусть /: &-^*4>' — морфизм расслоения р: <? —>¦ 33
в расслоение р'\ ?' —>-3$'. По определению (см. лекцию 1)
это означает, что имеет место коммутативная диаграмма
вида
ей'

456 ГРУППЫ nnSm ПРИ п< т
Ясно, что если и#: В"+1—<¦<? накрывает и: (B"+1, S")—>
—«¦ ($, Ьо), то /оц* накрывает gou и отображение / инду-
индуцирует отображение (которое мы будем обозначать той же
буквой /) слоя <F расслоения р: ? —•¦ 53 над точкой Ьй
в слой W' расслоения р'\ <§'—>¦$}' над точкой b'0 — g(b0).
Поэтому отображения v и г/, построенные для отображе-
отображений и и и' —gou, связаны формулой v' = fov. Но, по
определению, если а==[ы], то
g*a =. [и'], да = [v], д (g*a) = [и'] и /• {да) = [fov].
Этим доказано, что d(g*a) = f*(da), т. е. что диаграмма
коммутативна.
Вместе с утверждением задачи 3 (для частного случая
линейно связной группы Ли § и ее линейно связной
замкнутой подгруппы Ж) это доказывает утверждение в
лекции 25.
Для доказательства утверждения г нам понадобится
гомотопическая последовательность расслоения х$т =
= (SO(m-f-l), p, Sra). Эта последовательность имеет вид
D) ...^nn+1§m-^nnSO(m)-»nnSO(m+l)!^nn§m-+...,
и, значит, чтобы ею воспользоваться, необходима инфор-
информация о группах JinSm.
Вычислим прежде всего эти группы при п < т.
Согласно предложению 2 лекции II 1.26 в каждом гомо-
гомотопическом классе отображений S" —* 3™ содержится глад-
гладкое отображение /: S" —*¦ S". С другой стороны, если
п<т, то согласно теореме Сарда (см. лекцию III.15)
гладкое отображение f: S" —>¦ §п заведомо не надъективно
и, значит, может рассматриваться как отображение сферы S"
в проколотую сферу Sm\{jf0}, где х0—некоторая точка,
а потому и как отображение S" —¦• R'" сферы S" в евкли-
евклидово пространство Rm (гомеоморфное сфере с проколом
6'л\{дг0}). Но, ясно, что каждое отображение /: S" —- Rm
гомотопно постоянному отображению (скажем, в точку 0;
гомотопию, связывающую последнее отображение с отобра-
отображением /, можно определить формулой F (x)=-tf(x), где
х € S", 16 /)• Этим доказано, что при п < m каждое отобра-

СТАБИЛИЗАЦИЯ ГРУПП п„ SO(m) 457
жение S" —»• Sm гомотопно постоянному, т. е. что
E) я„§" = 0 при п<т.
Ср. доказательство односвязности сферы S", п ^ 2, в лек-
лекции 3.
Уже отсюда вытекают важные свойства групп nnSO(m).
Действительно, если п 4-1 < т (и тем более п < т),
то согласно E) отрезок последовательности D) между
группами лп+13т и пп§т имеет вид
О — я„ SO (m) -- я„ SO (m + 1) — 0.
Поскольку точность такого отрезка равносильна тому, что
гомоморфизм i, является изоморфизмом, этим доказано,
что при п < /п—1 гомоморфизм
it: nn SO (m) — я„ SO (m + 1)
представляет собой изоморфизм.
Таким образом, для любого п ^ 1 имеют место естест-
естественные отождествления
F) nnSO(rt + 2) = jTnSO(rt-b3)=...,
т. е. группы nnSO(n + k) при k^2 стабилизируются.
Их общее значение F) называется п-ой стационарной
(или стабильной) гомотопической группой ортогональных
групп и обозначается символом nnSO.
Группа лп$О(п-L 1), предшествующая стационарным
группам, называется метастационарной группой Га;< как
яп§п+1 = 0,. то гомоморфизм
G) /„: nnSO(rt-f l)-*nnSO
является эпиморфизмом.
Группы nnSO были вычислены Боттом лет тридцать
тому назад очень искусным приемом, основанным на тео-
теории Морса (связывающей топологические характеристики
гладкого многообразия с числом и типом критических то-
точек, заданных на SC гладких функций). Оказалось, что
эти гриппы зависят только от вычета числа п по мо-
дулю 8 (теорема пер иол ичности Ботта) и имеют
следующий вид:

458
СТАБИЛИЗАЦИЯ ГРУПП я„ SO(m)
n mod 8
JinSO
0
Z/2
1
Z/2
2 3
0 Z
i
4
0
5
0
6
0
7 I
Z
где Z—свободная циклическая группа, a Z/2—группа
второго порядка.
Хотя теперь этот результат имеет и другие доказатель-
доказательства, не опирающиеся на теорию Морса, но все они слиш-
слишком сложны, чтобы мы могли здесь их изложить. [Пре-
[Превосходное изложение теории Морса и первоначального
доказательства Ботта теоремы о периодичности содержится
в замечательной книге: Мил нор Дж. Теория Морса.—
М.: Мир, 1965.]
Аналогичным образом из точности гомотопической после-
последовательности
¦ л„
,л
расслоения т$«я + 1 = (V(m+ I), pu, S2ffl+1) вытекает, что
при п < 2т группы л„ U (т) также стабилизируются.
Эти группы обозначаются символом я„и.
Теорема периодичности Ботта для унитар-
унитарных групп утверждает, что группы nn\J зависят только
от вычета числа п по модулю 2 и потому при п четном
изоморфны группе яоиA)={1} (см. задачу 4 лекции 25),
а при п нечетном—группе л10A) = я181= Z (см. лек-
лекцию 3). Таким образом, согласно Ботту
О, если п четно,
Z, если п нечетно.
Ботт вычислил также и метастационарную группу
n2JJ(m). Оказывается, что эта группа является цикличе-
циклической группой порядка т\:
я2/ви (т) --
Задача 7. Пусть
— возрастающая последовательность вложенных друг в друга тополо-
топологических групп. Объединение $ этой последовательности очевидным
образом является группой. Введем в $ топологию, считая множество
Uc§ открытым тогда и только тогда, когда для любого n^al пере-
пересечение UW§n открыто в %п. Проверьте, что
а) это действительно задает в % топологию;

ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИИ Б СФЕРЕ 459
б) относительно этой топологии % является топологической группой
В случае ^„ = SO(n) группа g обозначается символом SO, а и слу-
случае <§n = U (п) — символом U. Элементами групп SO и U мок но счл
тать бесконечные матрицы вида
\А О
1
о
где A?SO(n) или U (п) (число п произвольно). Покажите, что для
любого п ^ I стационарные гомотопические группы л„ SO и л„ U
являются —с точностью до естественного изоморфизма —не чем иным,
как гомотопическими группами групп SO и U (что и оправдывает их
обозначение).
Теперь мы должны вычислить группы л„Зт прип=т.
В отличие от случая т <п эга задача отнюдь не три-
тривиальна и ее решение требует большой и длительной ра-
работы.
Пусть X—ориентированное компактное n-мерное хаус-
дорфово гладкое многообразие. Согласно лекции III.26
для любого гладкого (и даже любого непрерывного)
отображения f: 5? —* S" определена его степень degf,
зависящая только от гомотопического класса а = [/] (напом-
(напомним, что сферу S" мы считаем естественным образом
ориентированной; см. в лекции 25 текст, предшествующий
задаче 15). Поэтому формула
корректно определяет неЕСОторое отображение
(8) deg: [#, S«] — Z,
где [&, Sn] — множество всех гомотопических классов
непрерывных отображений SC —* S".
Предложение 1. Если многообразие Ж связно, то
отображение (8) биективно.
Доказательство. Сначала мы докажем надъектив-
ность отображения (8), а затем его инъективность.
Надъективность. Так как существуют диффео-
диффеоморфизмы ф: 3" —*¦ S" степени —1 (таким диффеоморфизмом
является, например, симметрия относительно произвольной
гиперплоскости, проходящей через начало координат) и
deg(<po/)= — degf, то для доказательства надъективное™

460 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ В СФЕРЫ
отображения (8) достаточно для любого положительного
т>0 построить отображение /: X—* S" степени т.
Пусть (Uu ht), ..., (Um, hm)—такие положительно
ориентированные карты многообразия ?С, что
1) носители Ux, ..., 11 т этих карт попарно не пере-
пересекаются;
2) каждое отображение hu ..., hm является диффео-
диффеоморфизмом на шар $".
Пусть, кроме того, %: (В", S")—<-(Sn, s0) — непре-
непрерывное отображение, являющееся диффеоморфизмом сте-
степени 1 шара В" на проколотую сферу §"\{s0} (см. за-
задачу 15 и замечание 1 лекции 25). Тогда формула
f (%ohi)(p), если р€С/„ /=-Л, .... т,
Пр>-\ s0, если p^U-Ut/,,
будет корректно определять гладкое отображение /:
SC —* S", обладающее следующими свойствами:
а. Точка хо — %(О) является регулярным значением
отображения /.
б. Прообраз f~1(x0) этой точки состоит из т точек
в. Для любого i==l, ..., т дифференциал {df)P. ото-
отображения / в точке Pi является сохраняющим ориентации
невырожденным линейным отображением ТР^ —* ТХо §" ори-
ориентированных линейных пространств (якобиан отображе-
отображения / в точке Р[ положителен).
Поэтому согласно предложению 1 лекции III.26 сте-
степень отображения / равна т.
Заметим, что связность многообразия SC мы здесь ни-
никак не использовали.
И н ъективность. В свете результатов лекции III.26
для доказательства инъективности отображения (8) доста-
достаточно доказать, что гладкие отображения f, g: JF —* S"
одной и той же степени гомотопны, т. е. существует
непрерывное отображение
F: %xl-+ S», /=[0, 1],
многообразия Й) = ^"х/ с краем dg) = (#"xO) LK-^X 1) в
сферу S", совпадающее на дЗ> с отображением (/,g):
дЗ) S определенным формулой
если * = 0,

ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ В СФЕРЫ 461!
Имея это в виду, мы заметим, что все карты вида
(Ux/, Axid) = (?/X/, x\ .... хп, 0.
где (i/, h) = (U, х1, ..., хп)—произвольная карта много-
многообразия &, очевидным образом положительно согласованы
и покрывают все многообразие &) = SC х /, т. е. составля-
составляют ориентирующий атлас этого многообразия. Поэтому они
определяют на &) некоторую ориентацию.
Эту ориентацию многообразия 3) мы обозначим через
о при п четном и через —о при п нечетном. (Таким обра-
образом, о—это ориентация, задаваемая при любом п атласом
{(Uxf, t, x1 *»)}.)
Согласно общей конструкции из лекции II 1.27 ориента-
ориентация о индуцирует ориентацию края д@) многообразия S>
— S'xlи, значит, ориентации его компонент SCх0 и
Задача 8. Покажите, что на многообразии
(естественным образом отождествленном с &) ориента-
ориентация о индуцирует данную ориентацию многообразия Ж',
а на многообразии ^"хО—противоположную.
В условной, но наглядной записи
(9)
Поскольку многообразие д (JFxI) ориентировано, опре-
определена степень deg(/,g) отображения (f,g). А так как
каждое регулярное значение х0 отображения (f,g) явля-
является, очевидно, регулярным значением отображений / vt
g, причем
(Л g)-1(Xo) = (f-1x0
то в силу предложения 1 лекции II 1.26 из (9) немедленно
вытекает, что степень отображения (/, g) равна разности
степеней отображений fug:
deg(/,g) = degg— deg/.
Следовательно, в силу условия deg/=degg эта степень
равна нулю.
Поэтому инъективность отображения (8) является не-
непосредственным следствием доказываемого ниже предло-
предложения 2. ?
Задача 9. Пусть SC—ориентированное компактное
л-мерное связное хаусдорфово многообразие с краем
dSCФ0 и пусть [(&, д5?), (Sn, s0)]—множество всех
гомотопических rel dSC классов непрерывных отображений

4С2 ОТОБРАЖЕНИЯ МНОГООБРАЗИЙ В СФЕРЫ
\SC, д$") —> (Sn, s0). Определите отображение
.(Ю) deg: [(Х,д&), (S-, s,)]-Z
и докажите, что в случае, когда край д% многообразия SC
диффеоморфен сфере S", отображение A0) биективно.
{Указание. При заклеивании края dS? шаром В" полу-
получается л-мерное многообразие без края, к которому при-
применимо предложение 1.]
Замечание 1. Из утверждения задачи 9 немедленно
¦следует, что все отображения %: (/", /n)-*(Sn, s0) сте-
степени 1 гомотопны rel/" (определяют один и тот же эле-
элемент группы я„(§л, s0)).
См. замечание 2 лекции 25.
Задача 10. Докажите, что отображение A0) всегда биективно
•(для любых связных многообразий Ж с произвольным краем dSC).
Предложение 2. Пусть @)—связное (и-t-l)-мерное
хаусдорфово паракомпактное многообразие с кр дё&
и пусть
/
— такое собственное гладкое отображение, что
degf = O.
Тогда существует непрерывное отображение F: SD —<¦ S",
являющееся продолжением отображения f, т. е. такое,
что
Это предложение известно как теорема Хопфа о
продол жен ии.
Его доказательство, хотя, как мы увидим, идейно очень
простое, требует некоторых общетопологических конструк-
дий, интересных и важных самих по себе.
Пусть Ж—нормальное хаусдорфово топологическое
пространство и пусть W и V—такие его открытые под-
подмножества, что WcV.
Лемма 1. Существует непрерывная функция f: ЗС -+¦ 1,
7= [о, 1], равная единице на W и нулю вне V.
Эта лемма называется теоремой Урысона (а так-
также—большой леммой Урысона). Мы уже упоми-
упоминали ее в замечании 4 лекции III.24. Предусмотренная
леммой 1 функция / называется функцией Урысона пары

ТЕОРЕМЫ УРЫСОНЛ И ТИТЦЕ 46*
(У, W); ср. определение 1 лекции III. 14. Заметим, что,,
вообще говоря, не требуется, чтобы множество всех точек,
в которых функция f равна единице (нулю), совпадало с
F(c X\V).
В случае когда пространство ЗС метризуемо, функцию-
Урысона / можно определить формулой
(И) пх)=—pi*' ^4V) , xevt
р(х, W) + p(x, $'\V)
где р—метрика в 3", а р(х, С)—для любого замкнутого
множества Сс-Т—расстояние
р(х, С)= inf p (лг, у)
уйС
от точки х до множества С. (Для функции A1) равенство
f(x)=^\ имеет место тогда, и только тогда, когда x?W.)
Таким образом, для метризуемого пространства SC тео-
теорема Урысона очевидна. Поскольку случай метризуемого
пространства SC охватывает, в принципе, все приложения
(согласно—очень трудной!—теореме Стоуна, любое пара-
компактное хаусдорфово пространство метризуемо), до-
доказывать теорему Урысона в общем случае мы не будем.
Лемма 2. Пусть SC—хаусдорфово нормальное прост-
пространство и С—его замкнутое подмножество. Тогда любое
непрерывное отображение /: С —>¦ R" множества С в про-
пространство Rn может быть продолжено на все &, т. е.
существует такое непрерывное отображение F: & —<¦ R",
что
Доказательство. Ясно, что лемму 2 достаточно1
доказать лишь при п— 1 (при любом п нужно применить
эту лемму к каждой компоненте отображения /) и лишь
в предположении, что I Л < 1 (ось R гомеоморфна интервалу
(-1- !))•
По индукции мы определим на С функции /„, п~^\у
полагая /„—/ и
fn+i — In + -jjs+r B?в— О.
где gn—функция Урысона пары
\\
fn <з7ПТ \J<

464 ТЕОРЕМЫ УРЫСОНА И ТИТЦЕ
или, точнее, ограничение этой функции на С. (Символом
\} < а], где f—функция, a a—число, мы обозначаем мно-
множество всех точек, в которых значение функции / мень-
меньше а.)
Задача 11. Докажите по индукции, что
I fn (*) I ^ ("з" ^" Для любой точки х ? SC.
2Л
Указание. При fn(x)^.—jprr имеет место равенство
•+i(*)"-M*) + 35^T' а ПРИ !п(х)>-^гс-равенство
Таким образом, fn —>¦ 0 равномерно на С.
Пусть
2"
2"
Так как \Fn\ ^ „п+1 , а числовой ряд с общим членом
2Л
, очевидно, сходится, то функциональный ряд
сходится всюду на SV и его сумма F является непрерыв-
непрерывной функцией. Поскольку же на С частная сумма Fo +
H-Fj + • •. + Fn последнего ряда равна, очевидно, /„—/„ ==
= f-fn,-roF = f на С. G
Лемма 2 называется обычно теоремой Титце (ко-
(который впервые доказал ее в случае, когда пространство 3?
метризуемо; общий случай принадлежит Урысону). Заме-
Заметим, что в ее доказательстве используется теорема Урысона.
Поэтому, собственно говоря, эта теорема доказана нами
только для метризуемых пространств к (в случае Титце).
Нам понадобится еще одна лемма, относящаяся к диф-
диффеоморфизмам пространства IR".
Пусть Diffo" R"—группа всех сохраняющих ориентацию
(имеющих степень 1) диффеоморфизмов Rn—>Rn, оставля-
оставляющих на месте точку 0.
Лемма 3. Для любого диффеоморфизма h g DiffJ R"
существует такая гомотопия
Я: R"x/-^Rn,

СВЯЗНОСТЬ ГРУППЫ DiftfR» 465
что
а) для каждого t?l отображение
ht\ R"-— R», х*-*-Н(х, t), x?Rn,
принадлежит группе Diffo R" (и. в частности, оставляет
на месте точку 0);
б) имеют место равенства
[При соответствующей топологизации группы Diffjf R"
отображение t\—>ht будет в этой группе путем, соединяю-
соединяющим ее единицу id с элементом h. Таким образом, лемма
1 утверждает, что группа Diff0+R" линейно связна.]
Доказательство. Поскольку подгруппа GL+(n; R)
группы DiffjfR" линейно связна (см. лекцию III. 11), для
доказательства леммы 3 достаточно доказать, что в группе
Diffjf R существует путь A2), соединяющий деффеоморфизм
h с его дифференциалом A = {dh)a в точке 0 (являющимся
в силу отождествления То R" = R" и равенства h @) = 0 сох-
сохраняющим ориентацию линейным отображением R" -+ R")
По определению
где s: R" —<- R"—такое гладкое отображение, что s @) = 0.
Поэтому при гфО
Поскольку s@) = 0, это показывает, что формула
\ t-*h(tx), если 1Ф0,
Н(Х' t] = \Ax, если t = 0,
где jf^R", t?f, определяет такое непрерывное (даже глад-
гладкое) отображение A2), что ho=-A и hi — h. Для заверше-
завершения доказательства осталось заметить, что для любого
t = 0 отображение ht: x*-+ t^hitx) принадлежит, очевид-
очевидно, группе DifttR". ?
Поскольку открытый шар 6" диффеоморфен простран-
пространству R", лемма 3 справедлива и для группы Diffjf 8я всех
сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов В"<—»б", остав-
оставляющих на месте точку 0.
16 М. М. Постников, сем. IV

466 ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХОПФА О ПРОДОЛЖЕНИИ
Теперь у нас уже все готово для доказательства пред-
предложения 2.
Доказательство предложения 2. Условие
deg/ —О означает, что прообраз f~1x0 некоторой точки
*о€8я состоит из четного числа точек, в одной половине
которых якобиан отображения / положителен, а в другой
отрицателен.
Задача 12. Докажите, что существуют
а) непересекающиеся вложенные дуги Qh соединяющие
в S> каждую точку первого типа с некоторой точкой вто-
второго типа, целиком, за исключением концов, лежащие во
внутренности &) многообразия Й>, а в концах не касаю-
касающиеся края d?D;
б) их непересекающиеся окрестности Ut («трубки вдоль
в) диффеоморфизмы
отображающие отрезок Ох/ на дугу Qit а край F"хО)и
UFnxl) произведения б"Х/—на пересечение U,- Г) дЗ>, и
такие, что для каждого i множества
У<»> = ф. (R- х 0), У}» = ф,- (R» х 1)
являются окрестностями (в д@>) концов дуги Q,-, диффео-
морфно отображающимися посредством f на некоторую
окрестность Wt точки х0.
По условию, якобианы диффеоморфизмов /]у^0> и /|v«>
имеют противоположные знаки. Так как диффеоморфизмы
Ф,-1 °и и ф/1 • также обладают этим свойством, то яко-
биан диффеоморфизма ht: В" — В", определенного формулой
положителен (мы отождествляем здесь Йях0 и б"х 1 с б").
Кроме того, по построению А,{0) = 0. Следовательно,
hi € Difff 6", и потому в Difft б? существует путь
Я,: 6е X/ —6е,
соединяющий id с ht. Пользуясь этим, мы определим на
окрестности U =» \]Ut замкнутого множества Q— UQ,- отоб-
отображение g: U~*Sn, задав его на U) формулой

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ ХОПФА О ПРОДОЛЖЕНИИ 467
Отображение g непрерывно, совпадает на Л
= U (У|о> U VT>) c отображением / и обладает тем свойст-
свойством, что g (дг0) = Q.
Пусть V—такая окрестность множества Q, что VcU
(можно, например, положить V== U ф/(&" з X/)) и пусть
. Ясно, что формула
г /-)_/ 8(Р)* если p?V,
lW"\f(p), если Р?д3>
определяет непрерывное отображение Ft: С —>• S", являю-
являющееся продолжением отображения /: д@> —* S".
Согласно теореме Дьедонне (см. замечание 4 лекции
II 1.24) многообразие $Ь нормально. Более того, будучи
связным и паракомпактным, оно удовлетворяет второй
аксиоме счетности (замечание 2 лекция III.24) и потому
(теорема 1 лекции III. 14) вложимо в RN. Следовательно,
3) даже метризуемо. [Теорему Дьедонне мы не дока-
доказывали, а теорема 1 лекции III. 14 была у нас доказана
только для компактных многообразий без края. Поэтому,
собственно говоря, здесь в нашем рассуждении имеется
лакуна. Однако, при Sb — SCy^t, где X—компактное мно-
многообразие без края, все полностью обосновано.]
Имея это в виду, мы рассмотрим ограничение
отображения Fx на замкнутом множестве C\VcD\V.
Ясно, что это отображение не задевает точку х0, т. е. яв-
является отображением в 8"\{дг0}. Так как проколотая
сфера 5"\{лг0} гомеоморфна пространству R", то в силу
теоремы Титце (согласно сказанному выше здесь приме-
применимой) отображение F' может быть продолжено до неко-
некоторого непрерывного отображения
Положив
если ре С,
f Ftip),
{P)~\F2(P), если p?®\V,
уемое продолжени
отображения /. D
Доказав предложение 2, мы тем самым завершили и
доказательство предложения 1.
\2(P), p?\,
мы, очевидно, и получим требуемое продолжение F: SD—>§
отображения /. D
Д
U*

Лекция 27
Группа л„§п.— Теорема о характеристическом классе.—
Ее обобщение.— Гомотопические группы накрывающего
пространства.— Расслоение Хопфа и группа ji8S2.— Груп-
Группы пп+jS".— Операция о в гомотопических группах сфер.—
Вычисление гомотопического класса отображения pv'o
о TU+1,— Связь с Kq -группами.
При & = §" множество \_3?', 8"] является группой я„Зп
и, следовательно, отображение (8) лекции 26—отображением
A) deg: nnS"-^Z
групп.
Задача 1. Докажите, что отображение A) пред-
представляет собой изоморфизм.
Таким образом, мы видим, что группа я„8" является
свободной циклической группой.
Пусть in—гомотопический класс [id] тождественного
отображения §"—* S". Так как degin=l, то элемент in
служит образующей группы л„8".
При интерпретации элементов группы я„8п как гомо-
гомотопических rel /" классов отображений (/", /") —* (S", s0)
элемент irt будет классом [%\ отображения х из задачи 15
лекции 25.
Таким образом, в гомотопической последовательности
... —- я„+18п+1 Л nnSO (п -Ь 1) Л nnSO -> О,
расслоения T$n+» = (SO(n + 2), p, Sn+1) группа яп+18п+х
является свободной циклической группой с образующей
in+1, а ядро эпиморфизма ?.: nn+1SO(n + 2)—>¦ nnSO по-
порождается элементом din+1.
Предложение /. Элемент din+1 является характе-
характеристическим классом расслоения x$n+i, т. е.
где Тп+1: S" —>- SO (л + 1)—характеристическое отобра-
отображение.
Доказательство. В соответствии с замечанием 1
лекции 25 для любого пунктированного топологического

ТЕОРЕМА О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ КЛАССЕ 469
пространства (&, х0) элементами группы я„+1(.#\ х0) можно
считать не только гомотопические rel s0 классы [/] непре-
непрерывных отображений /: (S"+1, s0) —*¦ {%, лг0), где s0—неко-
s0—некоторая фиксированная точка сферы 8Л+1 (в лекции 25 мы
считали, что so = ei; однако можно, например, за s0 при-
принять точку еп+1), но и гомотопические классы rel §"
непрерывных отображений g: (Е?_,\ §") —<- (&, х0), где
Ей1—полусфера д:я+х<0 сферы Sn+1, a S"—ее край
(экватор сферы Sn+1). При этом, если элемента ? я„+1 (&, х0)
задается отображением /: (Sn+1, s0) —* (&, х0), то он же
будет задаваться отображением g — f°%: (Ей1» S")—>
—> (•?", х0), где х—произвольное отображение (Ей1, S")—*
—> (Sn+1, s0), гомеоморфно и с сохранением ориентации
отображающее открытую полусферу Ё^1 = Е"±?\§п на
проколотую сферу S"+1\{s0}.
В частности, все это верно, когда #* = 8Л+1 и xo = so —
= еп+1. При этом образующей in+1 группы я„+18п+1 =
= nn+1(Sn+1, s0) будет как раз гомотопический класс [%]
отображения %. Поэтому (см. конструкцию гомоморфизма о
в лекции 26), чтобы построить отображение S" —¦ SOJn -1- 1)
класса д1п+г, надо построить отображение
X': (ЕГ,1. S«)H(SO(n + 2), SO(n + l)),
накрывающее отображение % (т. е. такое, что р°%' = х) и
ограничить его на S":
B) ЛЯ+1 = [ЗС'И.
Имея это в виду, мы примем за % отображение
C) ¦ (Ей1, S»)-^(S«+Sen+1),
оставляющее на месте вектор —е„+1 и переводящее любой
другой вектор дг^Е"*,1 в вектор х(дг)€§"+1, принадлежа-
принадлежащий плоскости векторов х, еп+1 и образующий с векто-
вектором — еп+1 вдвое больший угол (отображение % двигает
каждую точку полусферы Ей1» отличную от полюса —ея+1,
по ее меридиану, вдвое увеличивая расстояние от полюса;
ясно, что это отображение обладает всеми требуемыми
свойствами). Отображение %' мы определим формулами
fS(-)(X(*)), если х(*)€Ей\
D) %'{х) = { si+)(%(x))Tn+1(%0(xy/, если у. (*) € Ей1,
1 Jf^E?*,1,
где s(_, и s(+)—построенные в лекции 25 сечения, а %0(х)~
точка пересечения проходящего через точку дг^= — еп+1

470 ТЕОРЕМА О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОМ КЛАССЕ
меридиана с экватором S1*. [Заметим, что включение
%(¦*)€ Е?-I в точности означает, что расстояние по мери-
меридиану от полюса —еп+1 до точки х не превосходит я/4,
а включение x(JCNiE?+I—что это расстояние не меньше
я/4 (и не больше я/2).]. Так как для точек л: с х(-*'N^'1
имеет место равенство % (х)=Хо (¦*) (и так как s(_,=s{+)Tn+ 0,
то формула D) корректно определяет непрерывное отобра-
отображение %'. Поскольку p(si+>(x(x))Tn+x(%a(x))) =
- Р (S(+> (X (¦*))) = X (х) и р (s(_, (х (х))) = х (х), отображение
X'накрывает отображение %, а поскольку x(*) = e«+i при
*€§" и s(+)(en+]) = tf(e,,+1, en+1) = id (см. лекцию 25),
ограничение x'|s« отображения у/ на сфере §" совпадает
с отображением Тп+1.
Согласно формуле B) это доказывает предложение 1. D
Следствие. При нечетном п элемент [Тп+1] группы
лп$О(п--\) является элементом бесконечного порядка,
а отображение
д: nn
— мономорфизмом.
Доказательство. Достаточно заметить, что со-
согласно утверждению задачи 8 лекции 25 в группе пп8я
имеет место равенство
р'.[7\,+1]==A-Ч-1)»Iп. ?
Таким образом, при нечетном п стационарная группа
я„ SO изоморфна факторгруппе метастационарной группы
я„5О(п-!-1) по бесконечной циклической подгруппе.
Так как Тп+1 = Гп+1 о id, то предложение 1 может
быть записано в виде равенства
(Tn+i), ~дп+1,
где дп+1—гомоморфизм пп+1§п+1—>-ппЮ(п-\-1).
В этом виде оно опускаег важное обобщение.
Для любой точки х?§п и любого числа t$[—1, 1]
мы будем символом [дг, t] обозначать точку cos -j t • х 4-
+ s\n — 'en+1 сферы Sn+1 (эта точка принадлежит мери-
меридиану сферы SB+1, проходящему через точку х и ее рас-
расстояние от точки х—измеренное по меридиану—равно
у/; таким образом х и t являются аналогами геогра-
географических координат—долготы и широты).

ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ 471
Пользуясь этим обозначением, отнесем произвольному
отображению /: S1*-— 3'* отображение ?/: (Sn+X, en+1)—*
—* (S"'"*'1, e^+j), определен ное^формул ой
Задача 2. Докажите, что
а) формула E[f] = [?/] корректно определяет некото-
некоторое отображение
б) отображение Е является гомоморфизмом.
Ясно, что ?(id)~id и, значит, Ein = in+1.
Гомоморфизм Е называется надстроечным гомомор-
гомоморфизмом или просто надстройкой. Отображение g: Sn+l—*¦
•—»-Sm+1 (гомотопический класс P€Jln+iS/B+1) называется
надстроенным, если существует такое отображение f:
§" —*¦ Sm (гомотопический класс а ? пп$т), что g — Ef
(соответственно, р = ?а). Все надстроенные элементы
Р€я„+1§т+1 образуют подгруппу 3 группы nn+1S+1 —
образ Im? гомоморфизма Е.
Предложение 2. Для любого 'т^п сквозной гомо-
гомоморфизм
«„S* - ^-nS""" —- яя SO (m -Ы)
совпадает с гомоморфизмом" (Тт+1)«: я„§т —* nnSO (m -1-1),
индуцированным отображением Тт
т+1:
Доказательство. Пусть элемент agЯдЗ"' задается
отображением /: 5" —*• Sm. Рассмотрим диаграмму
СЕ?*,1. S") — (Ef-t1. ?'л) -^ (SO (т -:- 2), SO (m + 1))
(S"+i, en+1) 4 (S*+i, еи+1) Л (SO(/n + 2), SO(m + 1)),
где %п и %m—отображения (З), построенные для пит
соответственно, %'т—накрытие D) отображения хт, а ?<_>/—
ограничение отображения Ef на Е?*/. Очевидно, что эта
диаграмма коммутативна и, значит, отображение Хт°?<-)/
накрывает отображение %т о ?(_)f = Ef о %п. Так как, по
определению, отображение Ef о 7.п задает элемент ?а группы

472 ЕЕ ОБОБЩЕНИЕ
n+y (интерпретированной как группа гомотопических
классов rel S" отображений (ЕД\ §") —* (Sn+1, en+1)), то,
следовательно, ограничение g = {%m° -E<_> /) |s» отображе-
отображения ^п о ?(_,/ на S" (рассматриваемое как отображение
§" —»SO(m+ \)) задает элемент дЕа группы nnSO(m+ 1).
С другой стороны, так как
то g=Tm+1 о / и, значит, [g] - Gm+1). [/] =(Гя+1),«. Сле-
Следовательно, дЕа. = {Тт+1),а. П
Теорема 1. При п < 2т— 1 отображение
Е: nn^-^nn+vSm^
является изоморфизмом, а при п = 2т—1—эпиморфиз-
2т—1—эпиморфизмом. О
Эта теорема известна как теорема Фрейденталя
(несмотря на то, что несколько раньше ее доказал Л. С. Пон-
трягин). Доказательство теоремы 1 довольно сложно, и мы
не можем изложить его здесь.
Заметим, что при п^т теорема Фрейденталя триви-
тривиальна (при п <т потому, что все участвующие в ней
группы тривиальны, а при п = т—в силу равенства
?in=in+I). Нам фактически будет нужен только первый
нетривиальный случай п = т-\- 1.
В силу теоремы Фрейденталя из предложения 2 вы-
вытекает, что при л<2/п—1 в группе jtnSO(m+l) имеет
место равенство
При п = т+ 1 это в точности утверждение г лекции 25.
Чтобы доказать следующее утверждение д, мы в явном
виде вычислим группы яп+1§" для всех п~^\.
Пусть р: (<?, ?„)—<¦(.©, ^ — произвольное пунктирован-
пунктированное (см. лекцию 5) накрытие. Так как (см. лекцию 2)
каждое накрытие является расслоением в смысле Гуревича,
то имеет место точная последовательность
E) ... — я„ (JF, е0) — я„ (<?, е0) X пп (S3, Ьо) -
С другой стороны, так как слой SF дискретен, то для лю-
любого л^ 1 группа я„(#", е0) тривиальна. Поэтому в силу
точности последовательности E) для любого п^2 инду-

РАССЛОЕНИЕ ХОПФА И ГРУППА я,$* 473
цированный накрытием р гомоморфизм
р,: л„(<?, ео)-+лп{®, Ь9)
является изоморфизмом.
[Что же касается случая п= 1, то из точности после-
последовательности E) следует, что отображение /?«: я1(<^>, е0) —>¦
—+ яхE3, fr0) является мономорфизмом; факт нам уже из-
известный (см. предложение 1 лекции 4).]
В частности, для любого накрываемого пространства S3
группа я„ (S3, Ьо), п > 2, изоморфна группе я„ (<?, е0) = я„(?
универсально накрывающего пространства «? (напомним,
что пространство ? односвязно). Поскольку для окружно-
окружности S1 пространством «? является прямая К (см. пример 1
лекции 2), а я„К = 0 (см. выше вычисление группы я„§'л
при п < т), этим доказано, что
F) я„8х = 0 при п>2.
В частности, n,S1 = 0.
Отождествив сферу S2 с расширенной плоскостью С+
комплексных чисел (= комплексной проективной прямой
СР1) и считая сферу S3 единичной сферой комплексной
плоскости Са, рассмотрим отображение
G) Л: S3-^S2,
определенное формулой
Это отображение называется расслоением Хопфа.
Отождествив точки (z0, zt) € S3 с кватернионами |=o+j/
(т. е. считая S3 группой кватернионов ? нормы 111 = 1),
мы немедленно получим, что слоями отображения А в точ-
точности являются смежные классы S1^ группы S3 по ее
подгруппе S1, состоящей из комплексных чисел z, \г\= 1.
Следовательно, отображение G) является локально три-
тривиальным расслоением с типичным слоем S1 (или, точнее,
локально тривиальным главным S1-расслоением).
[При стереографической проекции S3—<-RU{«>} все
слои расслоения Л, кроме двух, переходят в замкнутые
кривые пространства Ra, каждая из которых пересекает
единичный круг 6* плоскости Оху в одной точке. Остав-
Оставшиеся два слоя переходят, соответственно, в ось Ог и край

474 ГРУППЫ яя+,8»
х2 + у*—\, 2=0, круга 6*. Это делает отображение Л
геометрически вполне наглядным.]
Гомотопическая последовательность расслоения Хопфа
имеет вид
откуда в силу равенства F) непосредственно вытекает, что
для любого rt^2s2 индуцированный отображением h гомо-
гомоморфизм
А,: я„83 — яв8»
является изоморфизмом.
В частности, группа л3§* изоморфна группе я,§а = 2.
Изоморфизм
Я: я38« —Z
задается формулой
# = degoA.-1
(так что h, (a) = #(a)ia для любого элемента а€пя§2)-
Число Н(а) — На называется инвариантом Хопфа
элемента а 6я„8* (или отображения/: §э —•> S2 класса а).
Чтобы его вычислить, надо выбрать в классе а отобра-
отображение вида g о Н, где g: §*—»¦ Sa (по доказанному, это
всегда возможно), и тогда
tfa=degg.
Гомотопический класс отображения h: S8 —<¦ §* обо-
обозначается символом %. Так как А = id о А, то Нця= 1 и,
следовательно, элемент tj8 порождает бесконечную цикли-
циклическую группу я8§я-
Так как при п — Ъ и /п==2 имеет место равенство
п = 2т—1, то согласно теореме Фрейденталя отображе-
отображение Е: nt§* -* я483 является эпиморфизмом, а все ото-
отображения
— изоморфизмами.
Следовательно, все группы nn+iSB, n>3, являются
циклическими группами с образующими ц„+1 = Ет\п =
= Е*-%.
Теорема 2. Группы я„+18п, п>3, являются цикли-
циклическими группами второго порядка. О

ОПЕРАЦИЯ о В ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУППАХ СФЕР 475
Эта теорема также называется теоремой Фрейденталя
(хотя ее также впервые доказал Л. С. Понтрягин). Дока-
Доказательство теоремы 2 еще труднее, чем доказательство
теоремы 1 и мы его также опустим. [Фактически, Фрейден-
таль доказал теорему, описывающую ядро эпиморфизма
?'• ntn~Sn ~* пгп§п+г Для любого /г ^2. Принято назы-
вать эту теорему «трудной частью» теоремы Фрейденталя, а
теорему 1—ее «легкой частью».]
Теорема 2 дает, в частности, утверждение д лекции 25.
Утверждение е выражает существенно более простой
факт.
Пусть f: S" —+§т и g: §т —>¦ §г—произвольные непре-
непрерывные отображения, a a^,nnSm и Рбя/ЛКг—их гомото-
гомотопические классы.
Задача 3. Докажите, что формула
р о а = [g о f]
корректно определяет элемент Р о а группы nnSr.
Заметим, что элемент Р о а является не чем иным, как
элементом g*a:
Р о а = g*a.
Поэтому для любых элементов аи аа€яя§т, §?пт§г
имеет место равенство
р* о (otj + а,) = Р о ах + Р о а,
(правый закон дистрибутивности).
Интересно, что левый закон дистрибутив-
дистрибутивности
вообще говоря, неверен. (Например, можно показать—по-
показать—попытайтесь это сделать!—что для любого k?Z имеет место
равенство
к раз
тогда как, конечно, i3 ° Лз =^ "ПзО Однако если элемент а
надстроечен, то этот закон оказывается верным.
Задача 4. Покажите, что для любых элементов
nri_iS"»~x, рх, Pi€nraSr имеет место равенство
(Pi + Ра) ° Еа = Pi о Еа 4- Р2 о Еа.

476 ВЫЧИСЛЕНИЕ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЯ Р1 о Т%+1
[Указание. Для каждого отображения f: 3"" —>¦ Sm~l
имеет место равенство цо?/ == (Ef V ?/)°Ц» где ц.—отображе-
ц.—отображение A2) лекции 25. ]
В частности, если g: §т —<¦ Sm—отображение степени k
(и, значит, [g] — kim), то g,(Ea) = kEa для любого эле-
элемента а? nn_1Sm~l. Например, если k четно, а все элементы
группы nnSm имеют вид Еа и являются элементами второго
порядка (а именно так дело обстоит при п-т-У 1,
т>3), то g. = 0.
Это доказывает утверждение е лекции 25.
Таким образом, нам осталось доказать лишь утвержде-
утверждение ж.
Из утверждения задачи 9 лекции 25 непосредственно
вытекает, что отображение р?оТ%+1: Stt—-Sn~\ n = 2m,
о котором идет речь в утверждении ж, задается формулами
(8) ш'-~ A+ги)*' ^-i-1 A+,.)» •
t = 0 m—2,
где z0, ..., гя—координаты точки «6§"i а ш0, ...,
шда_!—координаты точки да = (р1/^7'^+1)(г) из S". (На-
(Напомним, что Rezm = 0.) Поэтому ограничение g отобра-
отображения р?°Т%+х на экваторе S" сферы S" (с уравнением
Im zm = 0, т. е. zm -— 0) задается формулами
„и W/ = —2г?«_„ t = 0 m—2,
zm-\\ »
и, значит, является отображением сферы 3"~г,г-простран«
ства на экватор §"~* сферы S" гу-пространства (зада-
(задаваемый уравнением 1тшЯ)_1 = 0). Более того, так как
согласно последней из формул (8)
то верхнюю полусферу Е"+) сферы S", состоящую из то-
точек z?Sn, для которых Imzm>0, отображение р?.оТ%+1
переводит в верхнюю полусферу Efo1 сферы S", состоя-
состоящую из точек tu^S", для которых \vawm_1^^), и
аналогично нижнюю полусферу Е?->, Imz^^O, это отоб-
отображение переводит в нижнюю полусферу Е"^1, lmwm^.O.
Задача 5. Покажите, что любое отображение /:
S" —>¦ З'я, переводящее полусферу Е{+) сферы S" в полу-

ВЫЧИСЛЕНИЕ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЯ Р^ОТ^+1 477
сферу ЕТ+) сферы Sm, а полусферу Е?_)—в полусферу Е™,
(и, значит, экватор S"" сферы S"—в экватор S сфе-
сферы Sm), гомотопно отображению Eg, где g—ограничение
отображения f на S", рассматриваемое как отображение
Sn-i-^S-». [Указание. Точки f(x)n(Eg)(x),*е§я,не
являются диаметрально противоположными точками, и
потому их можно соединить единственной дугой большого
круга длины меньшей п.]
В частности, мы видим, что отображение р?°Т%+1
гомотопно отображению Eg, где g — отображение (9).
Имея это в виду, рассмотрим сначала случай т = 2,
когда отображение g: Ss —+• S* задается формулами
A0) шо = —2z0F,, wl^\—2\tl\\
где 1 zeГ + I*х|« = 1, Zo.z^C и К|* + да?=1, оHеС,
wt?R. Так как стереографическая проекция S8—>¦ Со-
Содействует по формуле
1—
(см. формулу B) лекции 1.27), то интерпретированное как
отображение S3 —>¦ С+ отображение g задается формулой
и, значит, отличается от отображения Хопфа G) на диф-
диффеоморфизм zt-»- — — сферы С+. Поскольку последний диф-
диффеоморфизм имеет, очевидно, степень 1, этим доказано,
что при п^=2 отображение g, представляет образующую т)8
группы л88* и, значит, отображение pi°Tjf+1—образую-
pi°Tjf+1—образующую Ti4 = ?ri3 группы я4§3.
Это доказывает утверждение ж при п = 2.
Чтобы доказать это утверждение при любом четном
т > 2, теперь достаточно показать, что отображение g:
Sn~l —>- S"~2, n = 2/n, m четно, гомотопно отображению
En~'gt, где g3: S8 —> S*—отображение A0). Мы сделаем
это в явном виде, выписав соответствующую гомотопию.
(Эти формулы можно получить, рассмотрев аналогичную
задачу для отображения /э1о71,„+1 в вещественной области,
когда искомая гомотопия может быть построена геометри-
геометрически, и затем формально перенеся получившиеся формулы
в комплексную область. После того как формулы выпи-
выписаны, не имеет значения, как они были найдены.)

478 ВЫЧИСЛЕНИЕ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЯ PiOTJf+1
Задача 6. Покажите, что отображение ?"~4?2 зада-
задается формулами
W; = Zi, / = 0, ..., т—3,
A1) "'-«- Vl*«
w _
(при 2ffl_2 = 2ffl_1==0 считается, что ».,_, = tt>«_i = 0).
Положив т = 2/, т = ]/" * A — t) и А =
= V \—t-\-t (Iz^.gl'+lz,,,.!!51), мы зададим гомотопию
Sn~1x/-* S"-2 формулами
xF[A—0
A2) Шя_г=Л—j2/B_12m_1, О)(В
/«0, 1 1—2,
(при \гя.1\Л + \гя=1\шф0; если же |гж.1|« + |гт_2|8 = 0 и,
значит, A=^V\—t; то следует положить
Щ/ = 'za/ + тг^—2 [Т/ 1—tztjzm_i — VT ¦?*,_,, 2m_J,
— tziy—2 [К 1 —
ясно, что при этом непрерывность сохранится).
Заметим, что формулы A2) имеют смысл только при
четном т.
При ? = 0 формулы A2) переходят в формулы (9), а
при t— 1—в формулы A1).
Поэтому нам нужно лишь доказать, что формулы A2)
действительно задают отображение S"~1x/—* Sn~J, т. е.
что
т— 1 т—1
2 |о'/|1= 1, когда Sl2,-^1 и 0<1?<1.
»" = 0 ( = 0
(Заметим, что число wm_t из формулы A2) автоматически
вещественно.) К сожалению, это можно сделать только
прямым утомительным вычислением.

ВЫЧИСЛЕНИЕ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЯ р"отЦ+1 479
Имеем
ша/ Is = (tz2/ + tzv+1—J [(I -1) г^.г—хТ^^г^]) x
1—j[{ \~t)l,}zm_l—xztJ+lzm_1]
4- x« 122У+1 |a-
и аналогично
X ( iz3j+i—xzt/—j [A — 0 гау+1г/д_1+тг8Дт_1]
= t* I z8/+1 |a- tx (zayz,y+1 77
Поэтому
m-з
m-3
и, значит,
т
+ 4|г*-аР|г
_

480 ВЫЧИСЛЕНИЕ КЛАССА ОТОБРАЖЕНИЯ P*ioT%+i
Коэффициент при }г/я_х|* в числителе равен —4A —
+4 = 4/, а при \zm_1\i равен
Свободный же член выражается формулой
Поэтому
1=0
4t\zm-1\*-(,4t\zm.i\* + A*t)\zm_1p + A*(l+t\zm-1\*) .
= _ =1.
Это полностью доказывает утверждение ж. Щ
Только теперь мы можем считать доказанным предло-
предложение 1 лекции 25 (да и то лишь по модулю теорем
1 и 2 Фрейденталя). Непараллелизуемость сфер S"+1 при
п = 4/ + 2, 1ф\ может быть доказана аналогично на ос-
основе теоремы Ботта о метастационарной группе n2mU{m)
(см. лекцию 26). Впрочем, такое доказательство будет
лишь переизложением доказательства импликации 3 из
схемы на стр. 431 (у нас опущенного). Это объясняется
тесной связью, существующей между /Сс-группами и ста-
стационарными гомотопическими группами я„и.
Поскольку векторные расслоения тогда и только тогда
изоморфны, когда изоморфны ассоциированные главные
расслоения, и поскольку произвольное комплексное век-
векторное расслоение ранга т редуцируется к группе U(/n),
из утверждения задачи 3 лекции 25 вытекает, что мно-
множество VectcS" комплексных векторных расслоений ран-
ранга т над сферой §" находится в естественном биективном
соответствии с группой nn_tU(m). В этом соответствии
расслоению \ отвечает характеристический класс ассоци-
ассоциированного главного U (т)-расслоения. Мы будем обозна-
обозначать этот класс символом Т\.
Задача 7. Пусть в диаграмме
Vectc+'

СВЯЗЬ С Kq-ГРУППАМИ 481
левая вертикальная стрелка является отображением ? t—> ? © О1, а
правая индуцирована вложением U (/л) -¦- U (/п+1). Покажите, что
эта диаграмма коммутативна.
Отсюда следует, что формула Т [?] — Т (? + 0W), где jV—
любое число, большее чем т+ 1, корректно определяет —
очевидно биективное — отображение
A3) Т:/Сс8»->я„_1и.
Задача 8. Покажите, что отображение A3) является изоморфиз-
изоморфизмом. [Указание. Достаточно доказать, что для любых отображений
A: ^>-*U(m1), В: ?С -*U (ma) отображение Л ©В: J + U (+)
определенное формулой
гомотопно отображению ЛВ: ,2Г -»-U(mi+mj), определенному форму-
формулой
где ?m—единичная матрица порядка т; ср. формулу (8) лекции 24.[
В силу теоремы Ботта о группах я„и это и доказы-
доказывает утверждение о группах Кфп из лекции 24.
Далее, так как каждая точка (г, а) тотального прост-
пространства, рассмотренного в лекции 24 тавтологического
расслоения г\п+1 над пространством СР", естественным
образом отождествляется при г#0 с точкой г, то множе-
множество всех этих точек с | г \ =¦ 1 является вложенным под-
подмногообразием, диффеоморфным сфере S*n+1.
Задача 9. Покажите, что
а) ограничение проекции расслоения т)п+1 на этом под-
подмногообразии представляет собой расслоение SJrt+1 —<- СРп,
слоями которого являются большие окружности сферы
§*»+! (ее пересечения с проходящими через центр двумер-
двумерными плоскостями);
б) при п = 1 это расслоение является, в силу отож-
отождествления CPl=Sa, не чем иным, как расслоением Хопфа G).
(Это объясняет, почему тавтологические расслоения г\п+1
часто также называются расслоениями Хопфа.)
Задача 10. Покажите, что характеристический класс
расслоения \ является образующей группы n,U(l) —я^1.
Это в точности анонсированная в лекции 24 теорема
о том, что элемент р\ порождает циклическую группу KqS1.
Аналогично утверждения а—в на стр. 422 входят
как составная часть в теорему Ботта о периодичности.

Дополнение
при корректуре
Построение (N, Sp (п))-инстантонов.— Описание
(N, Sp (п))-инстантонов.— Пространство модулей
(N, Sp (я))-инстантонов.— /V-инстантоны.— Случай
iV=I.—Случай # = 2.— Случай /V = 3.
Упомянутая в лекции 22 конструкция Л-инстантонов (впрочем,
нам сейчас удобно изменить обозначения и вместо к писать N)
является частным случаем одной общей конструкции связностей
в главных (или — что равносильно—в векторных) расслоениях над
сферой §4. В этом Дополнении мы—следуя в основном Атья— опи-
опишем эту конструкцию и частично ее исследуем.
Напомним (см. лекцию 7), что символом Sp (n) мы обозначаем
группу U (я) изометрий кватерн ионного пространства Н.
Определение 1. Автодуальное поле Янга—Миллса в главном
Sp (я)-расслоении над сферой S1 с числом ЧженяС(ц, равным N > О
(см. лекцию 23), называется (N, Sp (п))-инстантоном.
При п=1— это в точности Af-инстантоны в смысле лекции 22
(поскольку Sp A) = SU B)).
Чтобы пока не иметь дело с картами, мы будем отождествлять
сферу S* с кватернионной проективной прямой HP1, точками ко-
которой являются классы (х : у) пропорциональности справа пар ква-
кватернионов [кватернионы мы теперь обозначаем светлыми буквами;
пары (х, у) и (xi, ух) пропорциональны справа — определяют одну
и ту же точку прямой HP1, если существует такой кватернион
? 7* 0,что*]. = *?, (/! = (/?, т.е. если либо^ = ^ = 0, либо Xiy?1 — ху-1;
конечно, все пары (х, у) предполагаются отличными от пары @,0)].
При отождествлении прямой HP1 со сферой S* или —точнее —
с пространством R4 (J {oo} = H (J {оо} точке (х : у) с у Ф 0 отвечает
кватернион ху1, а точке (х: 0)—точка оо.
Пусть С и D—две кватернионные матрицы размера {n-\-N)y.N,
обладающие тем свойством, что для любых кватернионов х, у, одно-
одновременно не равных нулю, матрица
A) v{x,y) = Cx+Dy
имеет максимальный ранг N, т, е. обладает тем свойством, что ее
столбцы порождают в правом линейном пространстве Hn+jV над
телом Н подпространство размерности /V. Это подпространство
зависит, конечно, лишь от точки (х: у)^НР1, и мы будем обозначать
его символом f°(X:i/y

ПОСТРОЕНИЕ (N, Sp (л))-ИНСТАНТОНОВ 483
Пусть S~(jc:y)—ортогональное дополнение подпространства
^(х-.у) (относительно стандартной метрики пространства Н"-*';
см. лекцию 7).
Задача 1. Покажите, что подпространства $F^.U) и "У3^-^
являются слоями кватернионных секторных расслоений над S*.
[Указание. Суммой Уитни этих расслоений является тривиальное
расслоение 8*ХН'1 + ЛГ-]
Мы будем обозначать эти расслоения (и их тотальные простран-
пространства) символами ? и ^J- соответственно. Ранг (над К) расслоения
^ равен п, а расслоения $¦*-—которое играет лишь вспомогатель-
вспомогательную роль—равен N.
По построению, расслоение $ является векторным SpJ(n)-pac-
слоением и, значит,— в силу естественного вложения Sp (n)cSU Bл) —
векторным SU Bп)-расслоением. Поэтому определено (см. лекцию 23)
его число Чженя ст.
Задача 2. Покажите, что число Чженя С(»> расслоения $ ровно
N. [Указание. Расслоение ^-^ является суммой Уитни N
линейных кватернионных расслоений, число Чженя cw каждого из
которых равно —1.]
Таким образом, автодуальные поля Янга—Миллса на <§—это
(N, Sp (л))-инстантоны.
Так как каждое сечение 5 расслоения <§ одновременно пред-
представляет собой сечение тривиального расслоения §4ХН'1+ЛГ> то оно
является не чем иным, как Н"+ЛГ-значной функцией на S4, обла-
обладающей тем свойством, что для любой точки (*:«/)?§* имеет место
включение
B) . •(*:*) €«4,,„>.
Поэтому любое векторное поле X на S* переводит сечение а в Н"+ЛГ-
значную функцию Xs. Однако эта функция уже не удовлетворяет
условию B), и, чтобы поправить дело, надо для каждой точки
(*:{/N§* ортогонально спроектировать вектор {Xs)^xly.)^Un+N на
подпространство f^.^. Пусть (Vxs)(x :у)—эта проекция. Тогда
отображение v^s: (x:y)\—*"(V^s)(X!1,) будет сечением расслоения $
и соответствие st—*vxs будет (проверьте!) ковариантным диффе-
дифференцированием.
Тем самым мы построили на $ (а потому и на ассоциирован-
ассоциированном главном Sp (п)-расслоении) некоторую связность V-
Замечание 1. Обратим внимание, что изложенный способ
построения связности имеет общий характер и применим к произ-
произвольному расслоению ?, являющемуся подрасслоением тривиального

484 ПОСТРОЕНИЕ (ЛГ, Sp (я))-ИНСТАНТОНОВ
расслоения (например,—см. предложение 2 лекции 23— к произ-
произвольному расслоению конечного типа над нормальным простран-
ством). Можно показать (сделайте это!), что с точностью до кали-
калибровочного преобразования (автоморфизма расслоения) этот способ
позволяет построить любую связность на |.
Чтобы вычислить связность v (точнее, ее форму связности —
потенциал) в явном виде, не переходя все еще к картам, мы вос-
воспользуемся ортогональным проектором Р(Х1У)> осуществляющим
проектирование пространства Hn+N на подпространство W[X:y).
Пусть Q(X-.g) = E—Р(Х.у)—дополнительный проектор (на "^(х-.у)).
По определению, ковариантный дифференциал \s относительно
связности v произвольного сечения s: S*—>¦? расслоения ? за-
задается формулой \s — P ds = ds—Q ds (мы опускаем аргументы). Но
Qs = 0, и потому d(Qs) = 0, т. e. Q rfs = — (dQ)s (все операторы мы
¦отождествляем с их матрицами). Более того, так как Q2=Q, то
Qds = Q(Qds)=~ (Q dQ) s. Следовательно,
где <b = QdQ. Это означает, что оператор v ковариантного диффе-
дифференцирования сечений расслоения $ является ограничением оператора
d+Ф, определенного для любых Н" +Х-эначных функций S4 —> №+N.
Форма кривизны ?ф, отвечающая дифференцированию d-f-Ф,
имеет (см. формулу A4) лекции 22) вид ^ф = <*Ф-|-ФлФ.
Но так как Qi = Q, и потому Q-dQ+dQ-Q=dQ, то
и, значит, F<i> = dO, т. е. Fq>=dQAdQ. Для формы кривизны F
связности V отсюда немедленно получается, что F = P (dQAdQ) P.
Задача 3. Покажите, что
где v—матрица A), a pt = v~^v—кватернионная #хЛ/-матрица. (Мы
по-прежнему опускаем аргументы.)
Поскольку Pt> = 0 и t>TP = O (напомним—см. предложение 1
лекции П.20а, справедливое, очевидно, и над Н, —что ЯТ = Р), от-
отсюда следует, что РdQ =Pdu>p~aoT и dQP = vp~2-dv"^P.
Поэтому
F = PdvAp-idvrP.
Перейдем теперь от сферы S* = HU{°°} к ее части H = R*, со-
состоящей из точек х=(х:1). Тогда v = Cx-\-D, dv = Cdx и, значит,
F = PC dx лр-2 dxCJP,

ПОСТРОЕНИЕ (Л/, Sp (я))-ИНСТАНТОНОВ 485
где
C) p* = {lCT+DT)(Cx+D).
Если матрица C) вещественна (для всех *?Н), то она переста-
перестановочна с кватернионом их, и потому
D) F = PC(dxAdx)p-*CTP.
Тот факт, что дифференциалы координат входят в 8р(л.)-знач-
ную дифференциальную форму F блоком dxAdx, означает (см. конец
лекции 21), что эта форма автодуальна и, значит, является (N,
Sp (п))-инстантоном.
Участвующий в формуле D) проектор Р можно представить
(ср. утверждение задачи 3) в виде Р = ыйт, где и = и (ж) — матри-
матрица, столбцы которой составляют ортонормированный базис про-
пространства $x=(F(x: i)> т- е- такая кватернионная (п-)-^)Хп-мат-
рица, что
E) кти = ?, птр = 0,
где V—матрица A) (при у= 1). В этом базисе поле D) записывает-
записывается в виде gp-значной дифференциальной формы
F = ~uJC{dxAdx) p-8ETu.
Задача 4. Покажите, что потенциал А инстантона D) вы-
выражается формулой
F) Л=йт du.
1Указание. F = du^QAdu.]
Тем самым нами доказано следующее предложение:
Предложение I. Пусть С uD — такие прямоугольные кватернион-
ные(n-\-N)Xп-матрицы, что
а) для любого кватерниона х матрица C) вещественна;
б) для любых кватернионов х и у, одновременно не равных нулю,
матрица A) имеет максимальный ранг N. Тогда формула D) опре-
деляет (N, Sp (п))-инстантон F с потенциалом F). ?
Как показали Атья, Дринфельд, Манин и Хитчин, эта кон-
конструкция дает все —с точностью до калибровочной эквивалентно-
эквивалентности— (N, Sp (п))-инстантоны.
Ясно, что при замене и на uG, где С — произвольная матрица
из Sp (л), потенциал F) подвергается калибровочному преобразо-
преобразованию (а инстантон F, в выражение которого и явно не входит,
не меняется).
Аналогично, инстантон F (даже расслоение <$) не меняются
при умножении матриц С и D справа на произвольную вещест-

486 ОПИСАНИЕ (N, Sp (л)).ИНСТАНТОНОВ
венную невырожденную NxN-матрпяу (это умножение сводится
к замене базиса каждого из пространств f^^.y)), а также при
умножении этих матриц слева на произвольную матрицу из
Sp (n-\-N) (что сводится к замене базиса в пространстве НП+ЛГ).
Поэтому множество всех инстантонов D) получается из множе-
множества всех пар (С, D) матриц, удовлетворяющих условиям а и б,
факторизацией по группе GL (iV; К), действующей на этих парах
справа, и по группе Sp(rt+W), действующих на них слева.
Более того, вместо однородных координат (х:у) на HP1 = S*
мы можем с равным правом использовать им проективно эквива-
эквивалентные координаты {х':у'), связанные с координатами (х:у) фор-
формулами вида
где кватернионы ?i, %, |а, х\% таковы, что возможно обратное выра-
выражение ж' и у' через х и у (преобразование G) обратимо). При такой
замене координат матрицы С и D переходят, как легко видеть,
в матрицы Cli-\-Dlt и Сщ+Е>гI.
Задача 5. Покажите, что преобразование G) тогда и только
тогда обратимо, когда либо ?i Ф 0 и ?iT]8—?i?»?rlT|i Ф 0. либо |г —О
и Eili Ф 0.
Задача 6. Покажите, что
а) выбором координат (х:у) можно добиться того, чтобы нижние
N строк матрицы С составляли обратимую кватернионную NxN-
матрицу;
б) любая матрица С, обладающая последним свойством, эквива-
эквивалентна (по отношению к указанным выше действиям групп Sp (л + jV)
и GL (W; R)) матрице вида
\-0Е{
еде Е—единичная N у. N-матрица.
Поэтому без ограничения общности мы можем считать, что
матрица С имеет вид (8) и, значит, матрица A) —при у=\ — вид
(9)
где Л и В—постоянные (не зависящие от х) кватернионные мат-
матрицы размеров nXN и NXN соответственно.
Условие а из предложения 1 распадается тогда на два условия:
а') матрица B^B-i-AJA вещественна;
л") матрица В^х+хВ вещественна для любого х?Н.
Задача 7. Покажите, что условие а" выполнено тогда и только
тогда, когда матрица В (а потому и матрица В^В-^-А^А из усло-
условия а) симметрична.

ОПИСАНИЕ (N, Sp (п))-ИНСТАНТОНОВ 487
Что же касается условия б, то оно, очевидно, равносильно
следующему условию б':
б') для любого кватерниона х?Н уравнения BZ. — xij,, Л|=--0
относительно вектора ? = (|ь .... |w)T имеют единственное реше-
решение |=0.
Чтобы построить (N, Sp (п))-инстантон, отвечающий рассмат-
рассматриваемым матрицам С и D (т. е. теперь уже матрицам Л и В),
нам в первую очередь нужно найти (п-|-ЛГ)Хп-матрицу и~и(х),
удовлетворяющую условиям E). Мы будем искать ее в виде
где U — кватернионная jVXn-магрица, a W — кватернионно эрми-
эрмитова nxre-матрица (кватернионная матрица, для которой IF" =-- W).
Задача 8. Покажите, что матрица A0) тогда и только тогда
удовлетворяет
а) условию ~и^и — Е, когда матрица W невырождена и
A1) W-» = E+UTU;
б) условию JTri; = O, гдеv—матрица (9), когда— Л-f-ZJ* (В—х?)=
= 0, т. е.— в предположении, что матрица В—хЕ обратима—когда
A2) и T
Покажите также, что отвечающий этой матрице потенциал @)
выражается формулой
A3) A^VPUt dUW-l-W-i-dW.
Таким образом, любые две кватернионные матрицы К и В, удов-
удовлетворяющие условиям а', а" (матрица В симметрична) и б' до-
доставляют нам (N, Sp (п))-инстантон F, потенциал которого выра-
выражается формулой A3), где U и V—матрицы, определенные форму-
формулами A1) и A2).
Потенциал A3) имеет особенности в точках х, для которых
матрица В—хЕ необратима, но они устранимы калибровочным
преобразованием (вызваны не существом дела, а выбором кали-
калибровки).
Вообще говоря, один и тот же (N, Sp (п))-инстантон. F может
получиться из различных матриц Л и В.
Задача 9. Покажите, что матрицы А, В и Аг, Вг тогда и
только тогда задают один, и тот оке (N, Sp (п))-инстантон F, когда
существуют такие матрицы R^O(N) и T?Sp (n), что
A4) Л1==ГЛЯ, B1 = RrBR.
Поскольку в'[В-1-л7Л1=/?-1(ВтВН-ЛтЛ) R (заметим, что
отсюда — в силу теоремы о приведении к главным осям;

488 ПРОСТРАНСТВО МОДУЛЕЙ
см. теорему 2 лекции 11.21), примененной к вещественной симметри-
симметрической матрице fl^fi-f-A^A—немедленно вытекает, что без огра-
ограничения общности матрицу В^В-^-А^А в условии а' мы можем
считать диагональной.
Таким образом, окончательно мы получаем следующее пред-
предложение:
Предложение 2. (N, Sp (п))-инстантоны параметризуются
парами таких кватернионных матриц (Л, В) размеров n~xN и NxN
соответственно, что
Iе матрица В симметрична (ВТ = В);
2° матрица fl"rB+ATA вещественна и диагонально;
3° для любого кватерниона х?Н уравнения В|=х|, Л? = 0 от-
относительно вектора 5=Aь .... 6лг)т имеют единственное решение
Ь-0.
Две пары (Л, В) и (Ль В{) тогда и только тогда дают один и
пот же инстантон, когда они связаны формулами A4), где R?O(n),
T?Sp (n). D
Введя в рассмотрение факторпространство Щ}„ (ЛО простран-
пространства всех пар (Л, В), удовлетворяющих условиям 1°—3°, по отно-
отношению эквивалентности, задаваемому формулами A4), мы можем,
следовательно, сказать, что (N, Sp (п))-инстантоны F находятся
в естественном биективном соответствии с точками пространства
Ш1„ (JV).
Принято говорить, что Ш}„ (ЛО представляет собой простран-
пространство модулей (N, Sp (п))-инстантонов.
Топология пространства 2Rn(jV), безусловно, очень интересна,
но о ней известно очень мало.
Задача 10. Покажите, что пространство Ш1„ (N) содержит
открытое всюду плотное (т. е. такое, что его замыканием служит
все Ш1п!(Л0) подмножество Ша (ЛО, являющееся гладким многообра-
многообразием размерности 4(n+l) N—пBп-\-\) (при л=1 размерность
равна 8N—3).
Построение карт многообразия ffl'n(N) затруднено необходи-
необходимостью учитывать-факторизацию по соотношениям A4). Впрочем,
если мы дополнительно пронормируем пары (А, В) требованием,
чтобы диагональные элементы матрицы STB+ATA не возрастали,
то вне некоторого нигде не плотного замкнутого множества (кото-
(которое, не теряя общности, мы можем из %Rn(N) исключить), отве-
отвечающего парам (Л, В), для которых матрица BTB-j-ATA имеет
повторяющиеся диагональные элементы, мы можем в соотношениях
A4) считать матрицу R единичной, т. е. считать, что точками мно-
многообразия Win (Л7) являются классы пар (Л, В) по отношению экви-

ЛГ-ИНСТАНТОНЫ 489
валентности (Лх. Bi)~(A, В), имеющему место тогда и только тогда,
когда
A5) Л1«=ГЛ и В1 = В,
Конечно, это упрощает задачу, но все равно она остается очень
трудной —и до сих пор фактически нерешенной.
Рассмотрим более внимательно случай п=1, когда мы имеем
дело с Л'-инстантонами в смысле лекции 22.
При п=1 матрица Л представляет собой кватернионный век-
вектор lk=(ki, ..., A,jv) длины N, а условия 1°—3° являются не чем
иным, как условиями на пару (X, В), указанными на стр. 384.
Матрица U, задаваемая формулой A2), является при п = 1
кватернионным столбцом и = (их и/у)т высоты N, а матрица IP,
задаваемая формулой A2) — положительным вещественным числом.
Задача 11. Покажите, что при п=1 дифференциальная
форма —W~1dW с вещественными коэффициентами является веще-
вещественной частью кватернионной дифференциальной формы
N N
где |и|г=пти= 2 I"/!2- «ти= 2 Ми/.
Следовательно, при п—\ формула A3) для потенциала iV-ин-
стантонов может быть записана в следующем виде (как всегда,
мы опускаем аргумент
A6) ¦ A=lm?*Lt,
где u = X{B —*)т. (Конечно, это не то и, что, скажем, в фор-
формуле F).)
Что же касается соотношений A5), то при п— I они имеют вид
A7) Xi = tX, Bi, = B,
где /?Н, |<| = 1. Поэтому при Xi Ф О мы можем нормировать век-
вектор X, требуя, чтобы его первая координата Xi была веществен-
вещественным положительным числом. Это однозначно нормирует вектор X,
но исключает точки — также составляющие нигде не плотное
замкнутое множество —для которых Xi = 0.
Поэтому мы получим карту многообразия ЯПч(Л0 (или, как
говорят физики,—независимые параметры, задающие УУ-инстантоны),
наложив условие Л* > 0 и отобрав из элементов матрицы В и век-

490 СЛУЧАЙ N = 1
тора X, составляющих пару (X, В), подчиненную условиям Iе—3°,
независимые элементы, через которые выражаются все остальные.
Пусть В —;!b[j'|, i, /=1 N, где 6//= 6/,- (этим мы автома-
автоматически учли условие 1°). Тогда диагональные элементы матрицы
ЪтВ+иК имеют вид
2 Ььи +*Л = 2 IЬЧI1 +1 %J I*
и значит, вещественны. Поэтому условие 2° сводится к N (N—1)/2
соотношениям
N
A8)
выражающих равенство нулю недиагональных элементов матрицы
В ТВ + Х^Х. Следовательно, чтобы получить карту многообразия
fflli (АО нам надо решить уравнения A8), т. е., точнее, приняв
часть кватернионов п Ь;/, X: за свободные неизвестные, иыразить
через них все остальные. Кроме того, надо принять во внимание
условие 3°. Как впервые заметили Корепин и Шаташвили, решить
уравнения A8) удается при Л'^З, но уже в случае N = 4 воз-
возникают непреодолимые —если мы хотим действовать только
с кватернионами —алгебраические препятствия.
При N = \ условия A8) отсутствуют и 1-инстантоны задаются
кватернионом Ь = Ьц и числом Х=К\ > 0. Следовательно, потен-
потенциал А имеет в этом случае вид
л _. ,„ № (b-x)->-d{b-x)-i т„ X* (Ь-х^
— I Xtdx(b—xj-1 __ X*(b-x)-idx
т Ха-г-|6-х|» Л.2-г-| *—д:)* *
Задача 12. Покажите, что этот потенциал калибровочно
эквивалентен (вне точки Ь) потенциалу А^ ь, задаваемом!/ форму-
формулой B2) лекции 21. [Указание. Положите у = Хг{Ь—x)~l-\-b.]
Если матрица В — мы возвращаемся к произвольному N —
является диагональной матрицей с различными диагональными
элементами *i Ьм, а все числа Яь ..., Хи вещественны н
положительны, то условия 1°—3° автоматически выполнены и по-
получающийся ЛГ-инстантон можно рассматривать как суперпози-
суперпозицию .V инстантонов F^^b, i—l, ..., N, из лекции 21. Это реше-
решение инстантонных уравнений называется решением 'тХоофта.

СЛУЧАЙ ЛГ = 2 491
При ;V = 2 имеется только одно уравнение A8):
Это уравнение линейно по Ьц и потому легко решается—до«
статочно принять за свободные неизвестные число %i > 0 и кватер-
кватернионы Ьц, Ьм, Х«. Тогда при bi2 Ф О
A9) &u=-i»i
Условие 3° состоит при п=1 и IV —2 в требовании, чтобы для
любого ж(*Н уравнения
имели только нулевое решение ?i = 0, ?2 = 0.
Но, исключив с помощью третьего уравнения g., мы для
получим уравнения
% % ) h = О,
Поэтому условие 3° выполнено тогда и только тогда, когда для
любого кватерниона х хотя бы один из коэффициентов при 5а
в этих уравнениях отличен от нуля, что при кг Ф 0 имеет место,
как легко видеть, тогда и только тогда, когда
B0) Ьц^ЪцЪЖг1 Ф Ь22—Ь12к1%.
Этим доказано, что число Аа > 0 и кватернионы 6ц Ф 0, Ьц
и К» Ф 0, удовлетворяющие условию B0), где Ьц определяется
формулой A9), составляют в некоторой области многообразия %Ri B)
систему независимых параметров (т. е. что эта область является
координатной окрестностью, локальными координатами в которой
служат число % и коэффициенты кватернионов Ьп, Ьц и Я,г). В част-
частности, мы видим, что размерность многообразия 2Jli B) равна 1 +
+ 3-4 = 13 = 8.2—3; см. задачу 10.
Если мы хотим получить карту, покрывающую исключенные
инстантоны—отвечающие случаю, когда Ха = О и 6i2 = 0—необхо-
0—необходимо по другому выбрать свободные неизвестные.
Впрочем, для практических целей обычно достаточно описать
исключенные инстантоны как члены семейства, зависящегося от
меньшего числа переменных. (Геометрически это означает, что их
совокупность представляется в виде подмногообразия — возможно
тоже с особенностями —меньшего числа измерений, примыкающего
к построенной 13-мерной области.)

4S2 СЛУЧАЯ N = 3
Задача 13. Покажите, что 2-инстантоны с Ьц = 0 и А* = 0
параметризуются числом Ху > 0 и кватернионами Ьц, 6ss> удовлетво-
удовлетворяющими неравенству Ьц-\-Ьмф0 (и, значит, образуют 9-мерное
многообразие).
Случай N==3 трактуется аналогично.
В этом случае мы имеем три уравнения A8):
ЬцЬц + Ь12Ьгг + uuftjs+^1^г — 0.
B1) ftii&ii+ЬиЬм+*1»*8»+М« = 0,
0.
Выбрав за свободные неизвестные кватернионы Ьп, Ьц, Ьц, Ьц, К2
и число Xi > 0, мы при Ьц Ф 0 можем найти кватернион Ьц из
первого уравнения B1). Тогда остальные два уравнения относи-
относительно кватернионов Ьц и Xs приобретут вид
a, bMb3i -\-Х\Хв~Ь,
где аи b—известные кватернионы и, значит, при Х^Ф
будут однозначно разрешимы. Это дает—с учетом условия 3°,
которое, как легко видеть, сводится к некоторым неравенствам,—
семейство 3-инстантоиов, зависящих от 1-)-5-4 = 21 =8-3—3 веще-
вещественных параметров. При Ха = —ХгЬгя или Ьц — 0 получаются
еще три семейства, два зависящие от 17 вещественных параметров
(числового параметра Xi и кватернионных параметров 61а, Ьц, Ьц,
Ьц и соответственно Ьц, bM, bM, Xg) и одно—от 13 веществен-
вещественных параметров (числового параметра Хх и кватернионных пара-
параметров 6ц, Ьгг, bi3), подчиненных соответствующим неравенствам.
При W = 4 этот метод не работает, так как для b;j получаются
(проверьте!) нелинейные уравнения.
Конечно, все эти вычисления практически ничего не говорят
о топологии пространства SDfJi(A^).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоморфизм внутренний 244
Автоморфизмы 105, 154
— накрытия 92
Алгебра ассоциативная 228
— голономии связности 344
— Ли коммутативная 231
— нормированная 429
— с делением 1Б0
Алгебраическая К-теория 40а
Алгебры изотопные 150
Аннулятор форм б1,. . .,/)" 176
— формы в 294
Антиинстантон 384
Асимптотически равные функции 372
Атлас тривиализирующиП 102, 155
5§-атласы эквивалентные 121
База векторного расслоения 102
Базис ортонормированный 127
— сопряженный 302
Базисы модуля 104
Букет 448
Векторное <§-расслоение 121
— расслоение 101
— умножение 428
Вертикальное подпространство 175
Вещественная .часть кватерниона 125
— — октавы 144
Внешний дифференциал формы 292
— ковариантный дифференциал 367
Всюду плотное подмножество 315
(?• <|Г)-геометрия 153
Геометрия Клейна 154
Главная билинейная часть 226
Главное JJ-пространство 19
— ^-расслоение 19
— гладкое действие 285
Гладкое поле подпространств 176
Гладкость слабейшая 264
Гомоморфизм надстроечный 471
Гомотопии пунктированные 443
Гомотопическая группа абелева про-
пространства 451
— — линейной связности 435
— — пунктированного пространства
Гомотопические классы путей 47
Гомотоиия гладкая 308
— кусочно гладкая 308
Гомотопия с подвижными концами
315
Гомотопные rel /д отображения 443
Горизонтальная дифференциальная
форма 288
Граница пространства 443
/^-группа 409
Группа Вейля 96
— гладкая 17
— голономии 308, 350
— — ограниченная 309
— — суженная 309
— — в точке 351
— Ли 17
— — комплексная 227
— — матричная 227
— метастационарная 457
— монодромии 66
— накрытия в точке 84
— преобразований 16
— симплектическая 129
— структурная 19
— топологическая 17
— универсально накрывающая 271
— фундаментальная 51
Группоид фундаментальный 52
Группы когомологии комплексные 391
— локально изоморфные 270
Действие вполне разрывное 36
— гладкое 17
— дискретное 36
— непрерывное 17
— слева 10
— справа 16
— топологически эффективное 157
— тривиальное 24
— эффективное 16
Диагонализация связности 184
Диаграмма коммутативная 441
Дифференциал коиариантный 221
Дифференциальные формы со значе-
значениями в т) 290
Дифференцирование ковариантное194,
204, 221
Евклидовы векторные расслоения 129
Единица гомотопическая 415
Единицы кватернионные 121
— октавные 144
— разбиение 133, 410
Единичной куб пространства 443

494
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Закон дистрибутивности левый 476
— — правый 475
Заряд топологический 383
Звездность 242
"у^-значная дифференциальная форма
степени г 289
Изометрия 127
(#. рГ)-изоморфизм 154, 156
^-изоморфизм 123
Изоморфизм 14, 106, 127
— векторного расслоения 105
— Гуревича 445
— над 3D 15
— накрытия 36
^-изоморфизмы 24
Изоморфизмы координатные 154
Инвариант Хопфа 424, 474
ft-инстантон 384
Инстантон 384
Калибровочное поле с потенциалом
А 380
Канонические координаты второго
рода 266
— — первого рода 242
Карта согласованная 262
Карты нормальные 242
Квазигруппа 149
— гладкая 150
— Ли 150
— правая 149
— топологическая 150
Кватернион вещественные 126
— мнимый 125
Кватернионы сопряженные 126
Класс полный Понтрягина 401
— — Чженя 401
— реализуемый 88
— тривиальный 435
— характеристический 392, 400, 402
— расслоения 435
— Эйлера 406
Классы когомологий 118
— Повтрягина 396
— Чженя 395
Ковариантная производная поля 192
— — сечения 189
Комплексификация расслоения 106
Комплексифицируемость 136
Компоненты 5-тензора 202
— векторного поля 186
—• тензора 334
Конец обобщенного пути 49
— пути 40
Константы структурные 22S
Конструкция Хопфа 427
Координаты 9^"'-значной формы 291
— нормальные 24 2
Коцикл над группой покрытия 115
— склеивающийся 115
— — расслоения 115
Коциклы когомологические 118
— матричные 115
Коцилиндр 42
Коэффициенты связности 179
Коядро гомеоморфизма 65
Кривая горизонтальная 185, 349
— интегральная 187
Кривая кусочно гладкая 307
Кронекерово произведение матриц 209
Лассо малое 310
— элементарное 311
Линеалы правые 101
Лифт 69, 186
— кривой 185
— отображения 69
Локальность операторов 196
Матрица форм кривизны 339
^-местный функтор 212
Метрика 133
— гладкая 200
й-многообразие 17
Многообразие интегральное 248
— — максимальное 248
— квазикомплексифицируемое 138
— квазикомплексное 13ii
— параллелизуемое 109
Многочлен инвариантный 387
Множество ровно накрытое 33
Модули базиса 104
Модуль октавы 145
Монодромия 66
Морфизм 14, 105
— векторного расслоения 105
— над ,еВ 15
Морфизмы регулярные 168
Мультиинстантоны 364
Надстройка 471
Накрытие 33
— гладкое 38
групповое 271
— комплексно-аналитическое 3S
— конечнолистное 34
— однолистное 38
— односвязное 67
— пунктированное 94
— регулярное 96
— тривиальное 38
— универсальное 88
Накрытия подчиненные 86
Начало обобщенного пути 49
— пути 40
Норма кватерниона 126
— октавы 145
Овеществление расслоения 106
Окрестность нормальная 242
— тривиализирующая 31, 102, 155
— шароная 310
Октава 144
Октавы сопряженные 144
Оператор кривизны 330
Операции Адамса 418
Орбиты 167
Отображение надстроечное 471
— локально гомеоморфное 2S5
— накрывающее 33
— перехода 113
— поднимаемое 69
— послойное 14, 104
— пунктированное 443
— сдвига 19
— сопряженное 213
— факторное 15

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
495
Отображение характеристическое 434
— эквии.фиантное 19
— экспоненциальное 239
— эпиоморфное 15
Отображения пуиктированно гомотоп-
гомотопные 443
Петли гладко гомотопные 308
— комбинаторно эквивалентные 311
— кусочно гладко гомотопные 308
Петля в точке 48
— гомотопная нулю 309
— малая 310
Перенос параллельный 307, 350
Подгруппа 20
абстрактная 246
— алгебраическая 261
— гладкая 227
— дискретная 35
замкнутая 357
— Ли 227
— однопараметрическая 236
— стационарная 66
Подгруппы сопряженные 84
Подмногообразие консервативное 249
Поднятие ВИ
— горизонтальное 299
— кривой 198, 349
— отображения 69
Подрасслоение 247
Покрытие нумерируемое 133
— тривиализирующее 102
Поле g-векторное 103
— 6-ковекторное 202
— ^-тензорное 202
— вертикальное 286
— горизонтальное 298
— горизонтальных подпространств 176
— левоннвариантное 229
— параллельных векторов 186
— разложимое 208
— эквивариантное 278
— Янга — Миллса 382
Поля калибровочно эквивалентные 383
Последовательность гомотопическая
454
— — точная .65
— точная 64, 440
— — в члене 64
Поток полный 240
Представление группы, ассоциирован-
ассоциированное с действием 16
— линейное 301
— монодромии 66
— присоединенное 244
л-проекция 102
Преобразование калибровочное 376
— скольжения 92
— элементарное 311
петли 311
Приклеивание 423
Принциц расщепления 418
Проекция кривой 185
— расслоения 13
Произведение путей 46
— форм скалярное 385
Прообраз расслоения 170
— связности 182
Пространства сопряженные 213
^-пространство 17
— эффективное 17
^-линейное 122
Пространство абелево 450
— вертикальное 175
— кватернионное евклидово 127
— локально односннзное 79
— микросвязное 79
— накрывающее 34
— ненакрываомое 39
— односпязно накрываемое 67
— односнязное 53
— паракомпактное 133
— полулокально односвязное 79
— предгильбертово 385
— пунктированное 443
— расслоения 13
— расслоенное 13
— сопряженное 213
— стягиваемое 53
— типа (J§, JF) 153
— тотальное 13, 102
— удобное 74
— универсально накрываемое 88
Пути гомотопные 46
Путь 40
— обобщенный 49
— — кусочно гладкий 54
— — симметричный 51
— — специальный 56
— обратный 46
— постоянный в точке 46
— специальный 315
— элементарный 315
Разбиение единицы 133, 410
Размерность 415
— расслоения 102
Ранг 415
Распределение инволютивное 249
— вполне интегрируемое 248
Распределения на 3? 247
Расслоение 13
— аффинное 155
— — евклидово кватернионное 130
— — псевдоевклидово 129
— — унитарное 129
ориентированное 129
— в смысле Гуревича 43
— векторное 101
— — метризуемое 133
— — симплектическое 101
— — тривиальное 107
— виртуальное 415
— гладкое 170, 175
— касательное 109
— кокасательное 218
— локально тривиальное 31
— над 33 13
— нумерируемое 133
— ориентируемое 133
— положительное 416
— реперов 111
— с типичным слоем 14
— тавтологическое 421
— типа % 129
CS. ?) 155
— тривиальное 25
— Хопфа 473
(#. ^(-расслоения 155
^-расслоения 24
— тривиальные 25

496
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Расслоения главные тривиальные 20
— изоморфные 14, 105
— стационарно эквивалентные 408
— характеристический класс 435
Расширение расслоения 162
Редукция главного расслоения 164
—• расслоения 162
к группе $ 121
— — — подгруппе .9? 162
Ряд инвариантный формальный 402
Свободное ^-многообразие 17
— ^-пространство 17
Свойство гомотопической инвариант-
инвариантности 440
— функториальности 400, 440, 445
Связности 43
— диагоналиэация 184
— коэффициенты 179
— прообраз 182
— формы 179
Связность 179, 279
— в смысле Гуревича 43
— индуцированная 353
— метрическая 201
— на главном расслоении 279
— — гладком векторном расслоении
179
— -- — расслоении 6 taFl 300
— плоская 345
— с абсолютным параллелизмом 348
— согласованная с метрикой 201
Сдвиг левый 26
Секущие поверхности расслоения 187
Семейство гладкое 184
Сечение гладкое 187
— расслоение 27, 103
Слой 13
— расслоения 102
— типичный 14
Составляющая однородная 400
Составляющие однородные ряда 402
Стабилизатор 66
Структура кназикомплексная 136
— комплексная 123
— стандартная 123
Структуры комплексны!. 107
Сумма Уитни 122
Теорема Фрейденталя 265, 472
— Хопфа о продолжении 462
— Ямабе 264
Теория Морса 457
Тип конечный 411
— — расслоения 411
Тождество Бианки 367
Топология компактно-открытая 42
Точка неподвижная 30
Тривиализация 102, 155
— гладкая 171
— коиарнантно постоянная 348
— расслоения 31, 102, 155
Умножение векторное 428
— Джекобсона 229
— векторное непрерывное 429
— скалярное 127. 200
Унитоиды 427
— топологические 427
Уравнение Янга—Миллса 381
Урысона большая лемма 462
— функция 462
Факторпространство 15
Фактортопология 15
Форма автодуальная 374
— антиавтодуальная 374
— кривизны 339, 355
— связности 298
— фундаментальная 293
— эквивариантная 29G, 368
Формы связности 179
К-Функтор 409
Функтор гладкий 214
— двуместный 212
— ковариантный 213
— комплексификации 214
— контравариаитный 213, 409
— непрерывный 214
— овеществления 213
— прямого суммирования 212
— р-й внешней степени 213
— сопряжения 213
— тензорного умножения 212
Функции склейки 117
Функционал Р^УЗ-полилинейный 204
— Янга—Миллса
Функция перехода
Е-тензор 202
Тензор кривизны 333
Тензорное произведение векторов 210
— — отображений 210
— — полей 203
— — пространств 210
— — расслоений 2»7
— — сечений 220
— расслоение типа (г, „1 218
Теорема Адо 2С9
— Лмброза — Сингера 358
— Кирхгофа 143
— Ли третья 269
— периодичности Ботта 45 i
— редукции 318
— Титце 464
— Урысона 462
Характер Понтрягина 404
— Чженя 403
Частная копарнантная производная
190, 205
Частные ковариантные производные
205
Часть кватерниона скалярная 126
— расслоения 31, 103
Числа Юли 144
Число Чженя 397
— листов 34
Эпиоморфизм 15