Differential Geometry
of
Curves and Surfaces
Manlredo Р. do Carmo
lnstituto de Matematica Pura е Aplicada (IMPA}
Rio de Janeiro, Вrazi/
Prentice-Hall, /пс., Upper Saddle River, New Jersey 07458

Манфредо П. до Кармо
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ КРИВЫХ
И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Перевод с английского
Н. Г. Перловой
Под научной редакцией
Я. В. Базайкина
~
w=r
11осква • IЬкевск
2013

УДК 514.752.2
ББК 22.151.6
К243
Интернет-магазин
http://shop.rcd.ru
Манфредо П. до Кармо
•физика
•математика
•биология
•нефтегазовые
технологии
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей. - М.-Ижевск: Ин­
ститут компьютерных исследований, 2013. - 608 с.
В книге излагается дифференциальная геометрия кривых и поверхностей
начиная с базовых понятий вплоть до тонких теорем о глобальном строении.
Особенностью книги является ознакомление читателя с основными концеп­
циями современной римановой геометрии на примере дифференциальной гео­
метрии поверхностей. Изложение построено на многочисленных конкретных
примерах, иллюстрирующих геометрические идеи.
Будет полезна как для студентов и аспирантов физико-математических спе­
циальностей, так и для научных работников, желающих познакомиться с основ­
ными идеями дифференциальной геометрии.
ISBN 978-5 -4344-0150 -0
Перевод оригинального англоязычного издания Differeпtial Geometry af Curves апd Surfaces,
lst ed. Ьу Maпfreda da Carmo; ISBN Ol32125897, опубликованного издательством Preпtice Hall
(Pearsoп Educatiaп, !пс.)© 1976 Ьу Prentice-Hall, lnc. Upper Saddle R.jver, New Jersey 07458.
Все права защищены. Ни одна часть этой книги не может быть воспроизведена Ш!И быть пере­
дана в какой бы то ни было форме Ш!И какими бы то ни было средствами, электронными нли
механическими, вкшочая фотокопирование, запись на магнитный носитель ми при помощи
любой другой обрабатывающей системы хранения информации, если на то нет разрешения из­
дательства Pearsoп Educatiaп, !пс.
Русскоязычное издание опубликовано АНО «Ижевский институт компьютерных исследова­
ний» ©2013
http://shop.rcd.ru
http://ics.org.ru

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ....................................................................................................... 7
Некоторые замечания об использовании этой книги ................................ 9
ГЛАВА 1. КРИВЫЕ ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ....... ...... 11
1.1. Введение ...... ....... ...... ....... ....... ....... ...... ....... ....... ...... ....... ....... ....... ...... . 11
1.2 . Параметризованные кривые ...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ...... ....... . 12
1.3 . Регулярные кривые, длина дуги ....... ........ ........ ........ ........ ........ ........ 16
1.4 . Векторное произведение в R 3
...... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ... 23
1.5. Локальная теория кривых, параметризованных длиной дуги .. . . . .. 29
1.6 . Локальный канонический вид ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ 42
1. 7. Глобальные свойства плоских кривых ....... ....... ........ ....... ........ ....... 45
ГЛАВА 2. РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ...... .......... .......... .......... ........ 69
2.1 . Введение ..... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... 69
2.2. Регулярные поверхности. Прообразы реrулярных значений .. . . . . .. 70
2.3. Замена параметров. Дифференцируемые функции
на поверхностях ................................................................................. 90
2.4 . Касательная плоскость. Дифференциал отображения . . .. . . . . . . . . . . . .. 105
2.5 . Первая основная форма. Площадь ....... ......... ........ ........ ........ ......... 117
2.6 . Ориентация поверхностей ...... ....... ........ ....... ....... ....... ....... ....... ....... 129
2.7 . Характеризация компактных ориентированных поверхностей .. . . . . .. 137
2.8 . Геометрическое определение площади ......... ........... ........... .......... 143
Приложение: краткий обзор понятий непрерывности
и дифференцируемости .......................................................................... 147
ГЛАВА 3. ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ .................... 165
3.1 . Введение ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... " .................. 165
3.2 . Определение гауссова отображения и его основные свойства . .. 166
3.3. Гауссово отображение в локальных координатах ........................ 187
3.4 . Векторные поля ....... ....... ....... ....... ........ ....... ....... ........ ....... ....... ....... . 213

6
ОГЛАВЛЕНИЕ
3.5 . Линейчатые поверхности и минимальные поверхности . . . . . . . . . .. . . 228
Приложение: самосопряжённые линейные отображения
и квадратичные формы ........................................................................... 259
ГЛАВА 4. ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ . . . . . . . . .. . . . 263
4.1 . Введение ..... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... ...... ..... ...... ...... ...... ..... ...... ...... 263
4.2 . Изометрии. Конформные отображения ...... ....... ....... ....... ....... ....... 264
4.3 . Теорема Гаусса и условия совместности ....... ........ ........ ........ ........ 280
4.4. Параллельный перенос. Геодезические ...... ....... ....... ....... ....... ....... 286
4.5 . Теорема Гаусса-Бонне и её приложения ...... ...... ....... ....... ...... ....... 317
4.6 . Экспоненциальное отображение. Геодезические полярные
координаты ....................................................................................... 338
4.7. Дополнительные свойства геодезических.
Выпуклые окрестности .................................................................... 356
Приложение: доказательства основных теорем локальной
теории кривых и поверхностей .............................................................. 371
ГЛАВА 5. ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ .... 377
5.1. Введение ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... .- .... 377
5.2. Неизгибаемость сферы ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... 379
5.3. Полные поверхности. Теорема Хопфа-Ринова ......... .......... .......... 388
5.4. Первая и вторая вариации длины дуги. Теорема Бонне .............. 405
5.5. Поля Якоби и сопряжённые точки ....... ......... ........ ........ ........ ......... 425
5.6. Накрывающие пространства. Теорема Адамара ........ .......... ......... 442
5.7. Глобальные теоремы о кривых. Теорема Фари-Милнора . .. . . . . . . .. 465
5.8. Поверхности нулевой гауссовой кривизны ........ ......... ......... ......... 486
5.9. Теоремы Якоби ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... ...... ....... ...... ...... ...... . 495
5.1 О. Абстрактные поверхности. Дальнейшие обобщения ................. 506
5.11. Теорема Гильберта ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... . 531
Прwюжение: топология точечных множеств евклидовых
пространств .............................................................................................. 545
Библиография и комментарии ................................................................... 563
Указания и ответы ........................................................................................ 567
Предметный указатель ................................................................................. 595

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является введением в дифференциальную геометрию кри­
вых и поверхностей как в локальном, так и в глобальном аспекте. Изложе­
ние отличается от традиционных более широким использованием элемен­
тарной линейной алгебры и несколько большим акцентом на основные
геометрические факты, нежели на технику или случайные детали.
Мы пытались выстроить каждую главу книги вокруг некоторого прос­
того и основного понятия. Так, глава 2 развивается вокруг понятия реrу­
лярной поверхности в R 3
; когда это понятие развито в совершенстве, оно,
возможно, является лучшей моделью дифференцируемых многообразий.
Глава 3 строится на основе понятия гауссова нормального отображения
и содержит большой материал по локальной геометрии поверхностей
вR3
.
Глава 4 объединяет внутреннюю геометрию поверхностей вокруг
понятия ковариантной производной; вновь нашей целью была подготовка
читателя к основному понятию связности в римановой геометрии. Нако­
нец, в главе 5 мы используем первую и вторую вариации длины дуги для
получения некоторых глобальных свойств поверхностей. Ближе к концу
главы 5 (раздел 5.10) мы показываем, как задачи теории поверхностей
и опыт изучения глав 2 и 4 естественно ведут к рассмотрению дифферен­
цируемых многообразий и римановой метрики.
Чтобы поддерживать правильное соотношение понятий и фактов, мы
привели большое число примеров с подробными выкладками. Кроме того,
обеспечен умеренный запас упражнений. Некоторый фактический матери­
ал классической дифференциальной геометрии нашёл своё место в этих
упражнениях. Для упражнений, отмеченных звёздочкой, даны указания
и ответы.
Для чтения этой книги необходимо знание линейной алгебры и ана­
лиза. Из линейной алгебры требуются только самые основные понятия,
и стандартный начальный курс по этому предмету должен быть достато­
чен. Из курса анализа предполагается некоторое знакомство с дифферен­
циальным исчислением функций нескольких переменных (включая фор­
мулировку теоремы о неявных функциях). Для удобства читателя мы ста­
рались ограничить наши ссылки книгой R. С. Buck, Advanced Calculus,
New York: McGraw-Hill, 1965 (цитированной как Buck, Advaпced Calculus).

8
ПРЕДИСЛОВИЕ
Некоторое знание курса дифференциальных уравнений будет полезным, но
не является обязательным.
Эта книга является свободным переводом, с дополнительным мате­
риалом, книги и серии статей, первоначально опубликованных на порту­
гальском языке. Если бы не энтузиазм и огромная помощь Блейна Лоусо­
на, эта книга не вышла бы английском языке. Большая часть перевода вы­
полнена Лени Кавальканти. Я также обязан моим коллегам и студентам
IMPA за их замечания и поддержку. В частности, Элон Лима прочёл часть
португальского варианта и сделал ценные замечания.
Роберт Гарднер, Юрген Керн, Блейн Лоусон и Ноулен Валлах критиче­
ски прочли английскую рукопись и помогли мне избежать некоторых
ошибок как в английском, так и в математике. Рой Огава готовил компью­
терные программы для некоторых превосходных рисунков, которые встре­
чаются в этой книге (рис. 1.3, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 3.45 и 4.4). Джерри Каздан
щедро потратил своё время и внёс буквально сотни предложений по улуч­
шению рукописи. Книга в окончательном виде значительно выиграла от
его советов. Всем этим людям - и Артуру Вестеру, издателю Mathematics
at Prentice-Hall, и Вилсону Гоусу из IМРА - я выражаю мою искреннюю
благодарность.
Рио-де-Жанейро
Манфредо П. до Кармо

НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭТОЙ КНИГИ
Мы старались подготовить эту книгу так, чтобы её можно было ис­
пользовать для курса дифференциальной геометрии более чем одного ти­
па. Каждая глава начинается введением, в котором описывается материал
главы и объясняется, как этот материал будет использован далее в книге.
Для удобства читателя мы использовали подстрочные замечания для ука­
зания разделов (или их частей), которые можно пропустить при первом
чтении.
Хотя в книге достаточно материала для годового курса (или спецкур­
са), мы старались сделать книгу соответствующей первоначальному курсу
дифференциальной геометрии для студентов с некоторой начальной под­
готовкой по линейной алгебре и дополнительным главам анализа.
Для краткого четвертного курса (10 недель) мы предлагаем использо­
вать следующий материал. Глава 1, разделы 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 и одна тема
раздела 1.7 - 2 недели. Глава 2, разделы 2.2 и 2.3 (опустить доказательст­
ва), разделы 2.4, 2.5
-
3 недели. Глава 3, разделы 3.2 и 3.3
-
2 недели.
Глава 4, разделы 4.2 (опустить конформные отображения и упражнения 4,
13-18, 20), 4.3 (до theorema egregium Гаусса), 4.4 (до предложения 4; опус­
тить упражнения 12, 13, Jб, 18-21), 4.5 (до локальной теоремы Гаусса­
Бонне, включая приложения (Ь) и (f), -
3 недели.
1О - недельная программа вверху является весьма компактным пла­
ном. Более мягкий вариант состоит в том, чтобы дать больше времени на
первые три главы и представить обзорные лекции на последней неделе
курса о геодезических, о theorema egregium Гаусса и теореме Гаусса-Бонне
(геодезические можно тогда определить как кривые, соприкасающиеся
плоскости которых содержат нормали к поверхности).
В семестровом курсе первый вариант может быть более неторопли­
вым, и преподаватель может, возможно, включить дополнительный мате­
риал (например, разделы 5.2 и 5.10 (частично) или разделы 4.6, 5.3 и 5.4) .
. Пожалуйста,
заметьте также, что звёздочка, отмечающая упражнение,
не означает, что упражнение лёгкое или трудное. Она означает только, что
решение или указание приведены в конце книги. Во-вторых, мы использо­
вали для параметризации обозначение х жирным шрифтом, и это может

10
НЕКОТОРЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ ОБ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ЭТОЙ КНИГИ
вызвать неудобство при написании на доске. Для этого мы предназначили
букву Х как подходящую замену.
Когда буквенные символы, которые по нормам должны быть курсив­
ными, появляются в курсивном контексте, они набраны прямым шрифтом.
Это сделано, чтобы выделить эти символы из окружающего текста. 1
1
Данное замечание относится к оригинальному тексту па английском языке. - Прим. ред.

ГЛАВА 1
КРИВЫЕ
1.1. Введение
Дифференциальная геометрия имеет несколько аспектов. Один, кото­
рый можно назвать классической дифференциальной геометрией, возник
с зарождением дифференциального исчисления. Говоря упрощённо, диф­
ференциальная геометрия есть теория локальных свойств кривых и поверх­
ностей. Под локальными свойствами мы понимаем те свойства кривых
и поверхностей, которые зависят только от поведения кривой или поверх­
ности в окрестности точки. Подходящими для исследования таких свойств
оказались методы дифференциального исчисления. Вследствие этого кри­
вые и поверхности, рассматриваемые в дифференциальной геометрии, бу­
дут задаваться функциями, которые можно несколько раз дифферен­
цировать.
Другой аспект - это так называемая дифференциальная геометрия
в целом. Здесь изучается влияние локальных свойств на поведение кривой
или поверхности в целом. Позже в книге мы вернёмся к этому аспекту
дифференциальной геометрии.
Возможно, наиболее интересным и содержательным разделом класси­
ческой дифференциальной геометрии является теория поверхностей. Од­
нако при изучении поверхностей естественным образом появляются неко­
торые локальные свойства кривых. Мы используем поэтому первую главу
для краткого рассмотрения кривых.
Глава будет построена таким образом, что читатель, интересующийся
главным образом поверхностями, может прочесть только разделы от 1.2 до
1.5 . Разделы от 1.2 до 1.4 содержат, по существу, вводный материал (пара­
метризованные кривые, длина дуги, векторное произведение), который,
возможно, известен из других курсов и включён сюда для полноты. Раз­
дел J .5 является сердцевиной главы и содержит материал о кривых, необ­
ходимый для изучения поверхностей. Для желающих продвинуться немно­
го дальше в изучении кривых мы включили разделы 1.6 и 1.7 .

12
ГЛАВА 1
1.2 . Параметризованные кривые
Мы обозначаем символом R 3 множество упорядоченных троек
(x,y,z) вещественных чисел. Наша цель состоит в том, чтобы описать не-
которые подмножества R 3 (они будут называться кривыми), которые
в некотором смысле одномерны и к которым применимы методы диффе­
ренциального исчисления. Естественным является способ описания таких
подмножеств дифференцируемыми функциями. Мы говорим, что вещест­
венная функция вещественной переменной является дифференцируемой
(или гладкой), если она имеет во всех точках производные всех порядков
(которые автоматически непрерывны). Первое определение кривой, не
вполне удовлетворительное, но достаточное для целей этой главы, сле­
дующее.
Определение. Параметризованной дифференцируемой кривой назы­
вается дифференцируемое отображение а: 1 ~ R 3 интервала 1 = (а, Ь) ве­
щественной прямой R в R 3
•
Слово дифференцируемое в этом определении означает, что а есть
соответствие, которое отображает каждую точку t Е 1 в точку a(t) =
= (x(t),y(t),z(t))E R 3 таким образом, что функции x(t), y(t), z(t) диф­
ференцируемы. Переменная t называется параиетром кривой. Слово ин­
тервал употребляется в обычном смысле, так что мы не исключаем случаи
а=-оо, Ь=оо.
Если обозначить символом x'(t) первую производную х в точке t
и использовать аналогичные обозначения для функций у и z, то вектор
(x'(t),y'(t),z'(t)) = a'(t) Е R 3 называется касательным вектором (или век­
тором скорости) кривой а в точке t. Образ a(t) с R 3 называется сле­
дом а. Как показано ниже, в примере 5, необходимо строго различать па­
раметризованную кривую, которая является отображением, и её след, ко-
торый является подмножеством R 3
.
Предостережение относительно терминологии. Многие употребляют
термин «бесконечно дифференцируемая» для функций, которые имеют
производные всех порядков, и оставляют термин «дифференцируемая» для
обозначения того, что требуется существование только первой произ­
водной. Мы не будем придерживаться такого употребления.
Пример 1. Параметризованная дифференцируемая кривая, заданная
равенством
a(t)=(acost,asint,bt), tER,

КРИВЫЕ
13
имеет в качестве следа в R 3 виmовую линию с шагом 2л:Ь на цилиндре
х2+у
2
=а
2
. Параметр t здесь является величиной угла, который ось х
образует с прямой, соединяющей начало координат О с проекцией точки
a(t) на ху-плоскость (см. рис. 1.1).
z
у
х
Рисунок l.l
Рисунок l.2
Пример 2. Отображение а: R-7R
2
, где a(t)=(t3
,t
2
), tER, является
параметризованной дифференцируемой кривой, след которой показан на
рисунок 1.2 . Заметьте, что а'(О) =(О, О), то есть вектор скорости при t =О
равен нулю.
Пример 3. Отображение а: R-7R
2
, где a(t)=(t3
-4t, t
2
-4), tER,
является параметризованной дифференцируемой кривой (см. рис. 1.3). За­
метьте, что а(2) = а(-2) =(О, О), то есть отображение а не является взаимно
однозначным.
у
•х
Рисунок 1.3
Рисунок 1.4

14
ГЛАВАI
Пример 4. Отображение а: R ~ R 2
, где a(t)=(t, 1t1), tЕR,неявля­
ется параметризованной дифференцируемой кривой, так как функция 1t1
не дифференцируема в точке t = О (рис. 1.4).
Пример 5. Две различные параметризованные кривые
a(t) = (cost, sin t),
[J(t) = ( cos 2t, sin 2t),
где tЕ(О-с:,2я+с:), t:>O, имеют один и тот же след, а именно окружность
х2 +у
2
=1. Заметьте, что вектор скорости второй кривой является удвоен­
нь1м вектором скорости первой кривой (рис. 1.5).
у
о
Рисунок 1.5
Сейчас мы кратко напомним некоторые свойства внутреннего (или
скалярного) произведения векторов в R 3
.
Положим и= (и1,и2,и3)ЕR3
и определим его норму (или длину) равенством
Геометрически 1и1 является расстоянием от точки (и 1 ,и2 ,и3 ) до начала
координат 0=(0,0,0). Пусть теперь и=(и1 ,и2 ,и3 ) и v=(v1,v2 ,v3 ) принад­
лежат R 3
, и пусть (), О $ () $ :тr, - угол, образованный отрезками Ои и Ov.
Скалярное произведение и · v определяется равенством (рис. 1.6)
и.v =1и11v1cos8.

КРИВЫЕ
15
z
vcos fJ
х
Рисунок 1.6
Имеют место следующие свойства.
1. Предположим, что и и v - ненулевые векторы. Тогда и· v =О то-
гда и только тогда, когда и ортогонален v.
2. и ·v =v·u.
3. A.(u·v)=Au·v=u·Av.
4. u-(v+w)=u·v+u·w .
Полезное выражение скалярного произведения можно получить сле­
дующим образом. Пусть е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0) и е3 = (0,0,1). Легко про-
верить,что е;·е1=1, если i=}, ие; ·е1=О, если i#:. }, где i,j =1,2,3. Та­
ким образом, выписывая
и используя свойства 3 и 4, получаем
Из предыдущего выражения следует, что если u(t) и v(t), tE !, -
дифференцируемые кривые, то u(t) · v(t) есть дифференцируемая функ­
ция и
!!_(u(t) · v(t)) = u'(t) · v(t) + u(t) · v'(t).
dt

16
ГЛАВА 1
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите такую параметризованную кривую a(t), следом которой явля­
ется окружность х2 + у 2
= 1, что a(t) пробегает окружность по часовой
стрелке и а(О) = (0,1).
2. Пусть a(t) - параметризованная кривая, которая не проходит через нача­
ло координат. Покажите, что если a(t0 ) - точка следа а, ближайшая
к началу координат, и a'(t0 ) :F- О, то радиус-вектор a(t0 ) ортогонален a'(t0 ).
3. Параметризованная кривая a(t) обладает тем свойством, что её вторая
производная а"(t) тождественно равна нулю. Что можно сказать об а?
4.Пусть а:1~R3
-
параметризованная кривая и v Е R 3
-
фиксиро­
ванный вектор. Предположите, что a'(t) ортогонален v при любом tE 1
и что а(О) также ортогонален v. Докажите, что a(t) ортогонален v при
любом tE 1.
5. Пусть а: 1 ~R 3 - параметризованная кривая с a'(t) :F- О при любом
tE 1. Покажите, что 1a(t)1 есть ненулевая постоянная тогда и только тогда,
когда a(t) ортогонален a'(t) при любом tE 1.
1.3. Реrулярные кривые, длина дуrи
Пусть а : 1 ~ R 3 - параметризованная дифференцируемая кривая.
При любом tE 1, где d(O)-:F-0, существует вполне определённая прямая,
которая содержит точку a(t) и вектор a'(t). Эта прямая называется каса­
тельной к а в точке t. Для изучения дифференциальной геометрии кри­
вой важно, чтобы такая касательная существовала в каждой точке. Поэто­
му мы называем каждую точку t, где d(t) =О, особой точкой а и огра­
ничиваемся рассмотрением кривых без особых точек. Заметьте, что точка
t = О в примере 2 раздела 1.2 является особой.
Определение. Параметризованная дифференцируемая кривая а : J~
~R 3 называется регулярной, если а' (t):F-0 при любом tE 1.

КРИВЫЕ
17
С этого момента мы будем рассматривать только регулярные парамет­
ризованные кривые (и для удобства будем обычно опускать слово диффе­
ренцируемая).
Для данного t Е 1 длина дуги регулярной параметризованной кривой
а: 1 ~ R 3 от точки t0 равна, по определению,
t
s(t)= f1a'(t)1 dt,
fo
где
1a'(t)1 = ~(x'(t)) 2 + (y'(t))2
+ (z'(t))
2
-
длина вектора a'(t). Так как a'(t) *О, длина дуги s есть дифференци­
руемая функция t и ds/ dt =1 a'(t) j.
В упражнении 8 мы дадим геометрическое обоснование предыдущего
определения длины дуги.
Может случиться, что параметр t уже является длиной, измеряемой от
некоторой точки. В этом случае ds/dt = 1 = !d (t) j, то есть вектор скорости
имеет постоянную длину, равную 1. Обратно, если 1a'(t)1=1, то
t
s=fdt=t-t0,
fo
то есть t является длиной дуги а, измеряемой от некоторой точки.
Чтобы упростить изложение, мы ограничимся кривыми, парамет­
ризованными длиной дуги; позже мы увидим (см. раздел 1.5), что это огра­
ничение несущественно. В общем случае нет необходимости указывать
начало отсчёта длины дуги s, поскольку большинство понятий опре­
деляется только в терминах производных a(s).
Удобно принять ещё одно соглашение. Для данной кривой а, парамет­
ризованной длиной дуги sE (а, Ь), мы можем рассмотреть кривую /J, опре­
делённую на (-Ь,-а) равенством /J(-s) = a(s), которая имеет тот же самый
след, что и первая кривая, но описывается в противоположном направлении.
Мы говорим тогда, что эти две кривые отличаются ориентацией.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что касательные регулярной параметризованной кривой
a(t) = (Зt, 2t
2
, 2t3
) образуют постоянный угол с прямой
у=О, z=x.

18
ГЛАВА!
2. Круг радиуса 1 в ху-плоскости катится без скольжения вдоль оси х. Фи­
гура, описываемая точкой касания круга, называется циклоидой (рис. 1.7).
у
Рисунок 1.7. Циклоида
а*. Получите параметризованную кривую а: R~R 2
, сл ед ом которой яв­
ляется циклоида, и найдите её особые точки.
Ь. Вычислите длину дуги циклоиды, соответствующей полному обороту
круга.
3. Пусть ОА = 2а - диаметр окружности S 1
, а ОУ и AV - касательные
в точках О и А соответственно. Из точки О выходит луч r, который пере­
секает окружность в точке С и прямую AV в точке В. На ОВ отложим от­
резок Ор = СВ. Если вращать луч вокруг О, точка р опишет кривую, на­
зываемую циссоидой Диоклеса. Принимая ОА в качестве оси х и ОУ в ка­
честве оси у, докажите, что
а) след кривой
(
2at
2
2at
3
J
a(t)= --
2
,--
2
, tER,
l+t l+t
есть циссоида Диоклеса ( t = tgO; см. рис. 1.8);
Ь) начало координат (О, О) является особой точкой циссоиды;
с) когда t ~ оо, a(t) приближается к прямой х = 2а и a'(t) ~ (2а, О). Та­
ким образом, при t ~ оо кривая и её касательная приближаются к прямой
х = 2а; мы говорим, что прямая х = 2а есть асимптота циссоиды.

КРИВЫЕ
4. Пусть а: (О,п) -t R
2
задано равенством
a(t)=(cost, cost+lntg~}
19
где t - угол, который образуется осью у и вектором a(t). След а назы­
вается трактрисой (рис. 1.9). Покажите, что
а) а - дифференцируемая параметризованная кривая, регулярная всюду,
1t
кроме точки t = -
;
2
Ь) длина отрезка касательной трактрисы между точкой касания и осью у
постоянна и равна 1.
у
у
v
Рисунок 1.8. Циссоида Диоклеса
Рисунок 1.9. Трактриса
5.Пусть а:(-1,+оо)-tR
2
задано равенством
a(t)=( 3at , 3at
2
)•
1+!
3
1+t
3

20
ГЛАВА 1
Докажите, что
а) при t =О кривая а касается оси х;
Ь) когда t ~ оо, a(t) ~(О, О) и a'(t) ~(О, О);
с) возьмите кривую с противоположной ориентацией. Тогда при t -t -1
кривая и её касательная приближаются к прямой х +у+ а= О.
Фиrура, полученная таким пополнением следа а, что он становится
симметричным относительно прямой у= х, называется листом Декарта
(см. рис. 1.10).
6. Пусть a(t) = (aebt cost, аеь1 sint), t Е R, а и Ь - постоянные, а> О,
Ь < О - параметризованная кривая.
Рисунок 1.10. Лист Декарта
а. Покажите, что при t ~ +оо a(t) приближается к началу координат О
по спирали (поэтому след а называется логарифмической спиралью;
см.рис.1.11).
Ь. Покажите, что a'(t) ~(О, О) при t ~ +оо и
1
,1!.IJ: f1d(t)1 dt
;'о
конечен, то есть а имеет конечную длину дуги в промежутке [t0 , оо).

КРИВЫЕ
21
у
Рисунок 1.11. Логарифмическая спираль
7. Отображение а: 1~R 3 называется кривой класса ck, если каждая ко­
ординатная функция в выражении a(t) = (x(t), y(t), z(t)) имеет непрерыв­
ные производные до порядка k. Если а только непрерывно, мы говорим,
что а принадлежит классу с0 . Кривая а называется простой, если ото­
бражение а взаимно однозначно. Так, кривая в примере 3 раздела 1.2 не
является простой.
Пусть а:1~R3
-
простая кривая класса с 0 . Мы говорим, что а
имеет слабую касательную в точке t = t 0 Е /, если прямая, определяемая
точками a(t0 + h) и a(t0 ), имеет предельное положение при h ~О. Мы го­
ворим, что а имеет сW1ьную касательную в точке t = t0 , если прямая, оп­
ределяемая точками a(t0 + h) и a(t0 + k ), имеет предельное положение при
h, k ~О. Покажите, что
а)a(t)=(t
3
,t
2
), t Е R, имеет слабую касательную, но не имеет сильной ка­
сательной в точке t = О;
Ь*) если а : l ~ R 3 принадлежит классу С
1
ирегулярнавточкеt =t0, то
она имеет сильную касательную в точке t = t0 ;
с) кривая, заданная как
{
(t2' t2 ),
a.(t) =
(t2' -t2),
t?: О,
tsо,

22
ГЛАВА 1
принадлежит классу С1 , но не принадлежит классу С
2
. Сделайте эскиз
кривой и её касательных векторов.
8*. Пусть а:! ~R
3
-
дифференцируемая кривая и [а,Ь] с! - замкну­
тый промежуток. Для любого разбиения
а=t0<t1<...<tп=Ь
отрезка [а,Ь] рассмотрим сумму I:1 ia(t;)-a(tн)l=l(a,P), где Р обо­
значает данное разбиение. Норма 1 Р 1 разбиения Р определяется равен­
ством
\Р\=max(t;- tн), i=1,...,п.
Геометрически /(а, Р) есть длина ломаной, вписанной в а([а, Ь]),
с вершинами в точках a(t;) (см. рис. 1.12). Цель упражнения
-
показать,
что длина дуги а([ а, Ь]) есть в некотором смысле предел длины вписан­
ной ломаной.
a(t,)
Рисунок 1.12
Докажите, что для заданного е > О существует такое д > О , что если
\Рl<д,то
IJa'(t) 1 dt - l(a, P)I<s.
9.а.Пустьа:!~R3
-
кривая класса с0 (ер. упр. 7). Используйте при­
ближение ломаными, описанное в упражнении 8, чтобы дать приемлемое
определение длины дуги а.
Ь. (Неспря.мляемая кривая.) Следующий пример показывает, что при
любом приемлемом определении длина дуги кривой класса с0 , задан­
ной на отрезке, может быть неограниченной. Пусть а: [О, 1] ~ R 2 задано

КРИВЫЕ
23
равенством a(t) = (t, tsin(:rr/t)), если t =1 = О, и а(О) =(О, О). Покажите
геометрически, что длина дуги отрезка кривой, соответствующего
l/(n+l)'Sot'Sol/n, не меньше 2/(n+l/2). Используйте это, чтобы показать,
что длина кривой на отрезке 1/N "5о t "5о 1 больше 2z::= 1l/( п + 1) и, следова­
тельно, стремится к бесконечности при N ~ оо.
10. (Прямая как кратчайшая.) Пусть а: 1~R 3 - параметризованная
кривая. Пусть [а, Ь] с1 и а(а) =р, а(Ь) =q.
а. Покажите, что для любого постоянного вектора v, 1v 1= 1,
Ь. Положите
и покажите, что
ь
ь
(q-р) ·v = Ja'(t) ·vdt "5оfl a'(t)1dt.
а
v= q-p
lq-pl
ь
а
la(b)-a(a)l'So fla'(t)ldt;
а
то есть кривая наименьшей длины дуги от а(а) до а(Ь) есть прямая, со­
единяющая эти точки.
1.4. Векторное произведение в R 3
В этом разделе мы представим некоторые свойства векторного произ­
ведения. Они окажутся полезными в нашем дальнейшем исследовании
кривых и поверхностей.
Удобно начать с обзора понятия ориентации векторного пространства.
Два упорядоченных базиса е = {ei} и f = {/;}, i = 1, ... , п, п-мерного векторно-
го пространства V имеют одинаковую ориентацию, если матрица замены ба­
зиса имеет положительный детерминант. Мы обозначаем это отношение как
е ~ f. Из элементарных свойств определителей следует, что е - f есть от­
ношение эквивалентности, то есть оно удовлетворяет следующим условиям:
1)е~е;
2)еслие-f,тоf-е;
3)еслие-f,f -g,тое~g.

24
ГЛАВА 1
Множество всех упорядоченных базисов разбивается, таким образом,
на классы эквивалентности (элементы данного класса связаны отноше­
нием -). Так как детерминант замены базиса либо положителен, либо от­
рицателен, существуют только два таких класса.
Каждый из классов эквивалентности, определённый введённым выше
отношением, называется ориентацией V. Следовательно, V имеет две ори­
ентации, и если мы фиксируем одну из них произвольно, другая называет­
ся противоположной ориентацией.
В случае V =R
3
существует естественный упорядоченный базис
е1 = (1, О, О), е2 =(О, 1, О), е3 =(О, О, 1), и мы будем называть ориентацию,
б
-
-
Rз
соответствующую этому азису, положительнои ориентациеи
,адру-
гую - отрицательной ориентацией (конечно, это равным образом при­
менимо к любому R п ). Мы говорим также, что данный ориентированный
базис R 3 положителен (или отрицателен), если он принадлежит по­
ложительной (или отрицательной) ориентации R 3
.
Таким образом, ориен­
тированный базис е1 , е3 , е2 есть отрицательный базис, так как матрица пе­
рехода от этого базиса к базису е1 , е2 , е3 имеет детерминант, равный -1.
Переходим теперь к векторному произведению. Пусть и, v Е R 3
.
Век­
торным произведением и и v (в указанном порядке) называется единст­
венныйвекторилvЕR3
, определяемый равенством
(илv)·w=det(и,v,w) для всех wER
3
.
Здесь det(и, v, w) означает, что если мы разложим и, v и w по есте­
ственному базису { е; } :
и=Lи;е;,v=Lv;e;, w =Lw;e;,i =1,2,3,
то
det(и,v,w)= v1 v2 v3 ,
WlWzW3
где 1 aij 1 обозначает детерминант матрицы (aij ). Из определения непо­
средственно следует, что
иz
илv=
Vz
(1)
Vz

КРИВЫЕ
25
Замечание. Очень часто ил v обозначают символом их v и говорят
об «умножении крестом».
Следующие свойства можно легко проверить (фактически они в точ­
ности выражают обычные свойства определителей):
1) ил v = -v ли (антикоммутативность);
2) ил v линейно зависит от и и v, то есть для любых вещественных
чисел а,Ь
(аи+bw)лv=аилv+bwлv;
3) ил v =О тогда и только тогда, когда и и v линейно зависимы;
4) (илv)·и=О, (илv)·v=О.
Из свойства 4 следует, что векторное произведение ил v *О пер­
пендикулярно плоскости, порождаемой и и v. Чтобы дать геометри­
ческую интерпретацию его длины и направления, поступим следующим
образом.
Во-первых, заметим, что (ил v)-(и л v) = J ил v 1
2
>О. Это означает, что
детерминант векторов и, v, ил v положителен, то есть {и, v, ил v} - по­
ложительный базис.
Далее, доказываем тождество
И·Х V·X
(илv)-(хлу)=
и·у v·y
где и, v, х, у - произвольные векторы. Это легко можно сделать, если за­
метить, что обе части равенства линейны относительно и, v, х, у. Таким
образом, достаточно проверить, что
e;·ek e1 ·ek
(ei лej)·(ek ле1 )=
е; ·е1 е1 ·е1
для любых i,j,k,l = 1, 2, 3. Это - прямое вычисление.
Отсюда следует, что
И·V V·V
где В -угол между и и v, А - площадь параллелограмма, порождаемо­
гоииv.
Короче говоря, векторное произведение и и v есть вектор и л v, пер­
пендикулярный плоскости, порождаемой и и v, с длиной, равной пло­
щади параллелограмма, порождаемого и и v, и направленный так, что
{и, v, ил v} - положительный базис (рис. 1.13).

26
ГЛАВА 1
uf\v
vsinP
Рисунок 1.13
Векторное произведение не ассоциативно. Действительно, имеет ме­
сто тождество
(ил v)л w= (и· w)v-(v· w)u,
(2)
которое можно доказать следующим образом. Прежде всего, заметим, что
обе части линейны относительно u,v, w; следовательно, тождество будет
верно, если оно выполняется для всех базисных векторов. Эта последняя
проверка, однако, элементарна; например,
(е1 ле2 )ле1 =е2 =(е1 ·е1 )е2 -(е2 ·е1 )е1 •
Наконец, пусть u(t) == (и1 (t), и2 (t), и3 (t)) и v(t) == (v1(t), v2 (t), v3 (t))
дифференцируемые отображения интервала (а, Ь) в R 3
,
tЕ(а,Ь).Изра­
венства (1) непосредственно следует, что u(t) л v(t) также дифферен­
цируемо и
d
du
dv
-(u(t)лv(t))= -
л v(t) + u(t) л-.
dt
dt
dt
Векторное произведение естественно возникает во многих геометри­
ческих конструкциях. Фактически, большая часть геометрии плоскостей
и прямых в R 3 может быть чётко изложена в терминах векторного произ­
ведения и определителей. Мы рассмотрим часть этого материала в следую­
щих упражнениях.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Проверьте, являются ли следующие базисы положительными.
а.Базис{(1,3),(4,2)}вR2
.
Ь.Базис{(1,3,5),(2,3,7),(4,8,3)}вR3
•

КРИВЫЕ
27
2*. Плоскость Р в R 3 задана уравнением ax+by+cz+d=O. Покажите,
что вектор v = (а, Ь, с) перпендикулярен плоскости и 1d 1/.Jа2 + Ь2 + с2
есть расстояние от плоскости до начала координат (О, О, О).
3*. Найдите угол, под которым пересекаются две плоскости: 5x+3y+2z-
- 4=0 и 3x+4y-7z=O.
4*. Докажите, что необходимыми и достаточными условиями параллель­
ности двух данных плоскостей а;х + h;Y + c;z + d; =О, i = 1, 2, являются ра­
венства
а1Ь1с1
-=--
а2Ь2с2
где принято следующее соглашение: если знаменатель равен нулю, то со­
ответствующий числитель также равен нулю (мы говорим, что две плоско­
сти параллельны, если они либо совпадают, либо не пересекаются).
5*. Покажите, что уравнение плоскости, проходящей через три точки
р1 =(x1,y1,z1), р2 =(x2 ,y2 ,z2 ), р3 =(x3 ,y3 ,z3 ), не лежащие на одной
прямой, имеет вид
(р- Р1)л(р- Р2)·(р- Рз)=О,
где р = (х, у, z) - произвольная точка плоскости, ар- р1 , например, обо­
значаетвектор(х- х1,у- у1,z- z1).
6*. Покажите, что если заданы две непараллельные плоскости
G;X+Ь;у+C;Z+d; =0, i=1,2,
то линия их пересечения может быть параметризована так:
х-х0 =и1t, у-у0 =и2t, z-z
0
=и3t,
где точка (x0 ,y0 ,z0 ) принадлежит пересечению, а и =(и 1 , и2 , и3 ) - век­
торноепроизведение,и=v1лv2, V; = (а;,Ь;,с;), i=1,2.
7*. Докажите, что
есть необходимое и достаточное условие параллельности плоскости
ax+by+cz+d=O

28
ГЛАВА 1
8*. Докажите, что расстояние р между непараллельными прямыми
х-х0 =щt, y-y0 =u2 t, z-z0 =u3t,
х-х1 =v1t, у-у1 =v2t, z-z1 =v3t
находится по формуле
1(илv)·r1
р=
'
1ил vj
гдеи=(и1,и2,u3), v = (v1,v2,v3), r = (х0-х1,у0- УРz0-z1).
9. Найдите угол, под которым пересекаются плоскость Зх + 4у+ 7 z + 8 = О
ипрямаях-2=3t, у -3=5t, z - 5=9t.
10. Естественную ориентацию R 2 можно связать со знаком площади па­
раллелограмма, порождаемого двумя линейно независимыми векторами
и,vЕR2
.
Чтобы сделать это, выберем в R 2 естественный упорядоченный
базис {е;}, i=l,2, ивыпишем и=и1 е1 +u2 e2 , v=v1e1 +v2 e2 • Рассмотрим
матричное соотношение
(
U·U U·V]=(ul Иz][И1 V1]
v.и v.v
V1VzUzV2
и получим из него, что
Vl Vz
Так как последний определитель имеет тот же знак, что и базис {и, v}, мы
можем сказать, что А положителен или отрицателен в соответствии с тем,
положительна или отрицательна ориентация {и, v}. Он называется ориен-
тированной площадью в R 2
.
11. а. Докажите, что объём V параллелепипеда, порождаемого тремя
линейно независимыми векторами и, v, wE R
3
,
находится по формуле
V = 1(ил v) · w 1, и введите ориентированный объём в R 3
.
Ь. Докажите, что
V2
= v.и v·v и·l
V·W.
w·
И·И И·V
w·и w·v

КРИВЫЕ
29
Докажите, что для данных векторов v # О и w существует такой вектор и,
что ил v = w тогда и только тогда, когда v ортогонален w. Является ли
вектор и однозначно определённым? Если нет, каково общее решение?
13. Пусть и(t) = (и1 (t), и2 (t), и3 (t)) и v(t) = (v1(t), v2 (t), v3 (t)) - дифферен­
цируемые отображения интервала (а, Ь) в R 3
.
Покажите, что если произ­
водные u'(t) и v'(t) удовлетворяют условиям
u'(t) =С1И(t) +CzV(t), v'(t) =С3И(t)- clv(t),
где с1 , с2 и с3 - постоянные, то u(t) /\ v(t) - постоянный вектор.
14. Найдите все единичные векторы,
(2, 2, 1) и параллельны плоскости,
которые перпендикулярны вектору
определяемой точками (О, О, О),
(1, - 2,1),(-1,1,1).
1.5. Локальная теория кривых,
параметризованных длиной дуги
Этот раздел содержит главные результаты теории кривых, которые
будут использованы в последующих частях книги.
Пусть а:1=(а,Ь)~R3
-
кривая, параметризованная длиной ду­
ги s. Так как касательный вектор a'(s) имеет длину 1, норма 1a"(s)1 вто­
рой производной является мерой скорости изменения угла, который сосед­
ние касательные образуют с касательной в точке s. 1a"(s)1 даёт, следова-
тельно, меру скорости отклонения кривой в окрестности точки s от
касательной в точке s (см. рис. 1.14). Это подсказывает следующее опре­
деление.
Определение. Пусть а : 1~ R 3
-
кривая, параметризованная длиной
дуги s Е /.Число 1а" (s)I = k{s) называется кривизной а в точке s.
Если а - прямая линия, a(s) = us + v, где и и v - постоянные век­
торы (lиl=l); тогда k=O. Обратно, если k=la...(s)l=O, то интегрировани­
ем получаем a(s) = us + v, и кривая является прямой линией.
Заметьте, что при изменении ориентации касательный вектор меняет
направление на противоположное, то есть если /3(-s) = a(s), то
d/3
da
- -( -s) =--(s).
d(-s)
ds

30
ГЛАВА 1
a'(s)
a"(s)
Рисунок 1.14
Следовательно, a"(s) и кривизна остаются неизменными при замене ори­
ентации.
В точках, где k(s) -:t:. О, единичный вектор п(s), сонаправленный с век-
тором a"(s), вполне определяется равенством a"(s) = k(s)п(s). Кроме того,
a'(s) ортогонален a'(s), так как в результате дифференцирования тождест­
ва a'(s)·a'(s)=l получаем a'(s)·a'(s)=O. Таким образом, п(s) ортогона­
лен a'(s) и назьmается нормальным вектором в точке s. Плоскость, опре­
деляемая единичными касательным и нормальным векторами a'(s) и п(s),
назьmается соприкасающейся rиюскостью в точке s (См. рис. 1.15.)
В точках, где k(s) =О, нормальный вектор (и, следовательно, сопри-
касающаяся плоскость) не определён (ер. упражнение 10). Чтобы работать
с локально аналитическими кривыми, нам нужна, естественно, соприка­
сающаяся плоскость. Поэтому удобно говорить, что s Е I есть особая точ­
ка порядка 1, если a'(s) =О (в этом контексте точки, где a'(s) =О, называ-
ются особыми точками порядка О).
В дальнейшем мы будем ограничиваться кривыми, параметризован­
ными длиной дуги, без особых точек порядка 1. Будем обозначать
t(s) = a'(s) единичный касательный вектор к а в точке s. Следовательно,
t'(s) = k(s)п(s).

КРИВЫЕ
31
Рисунок 1.15
Единичный вектор b(s) = t(s) л n(s) перпендикулярен соприкасаю­
щейся плоскости и будет называться бинормальным вектором в точке s.
Так как b(s) - единичный вектор, длина 1b'(s)1 является мерой скорости
изменения соседних соприкасающихся плоскостей относительно соприка­
сающейся плоскости в точке s; то есть b'(s) является мерой скорости от­
клонения кривой от соприкасающейся плоскости в точке s в окрестности
точки s (см. рис. 1.15).
Чтобы вычислить b'(s), заметим, что, с одной стороны, b'(s) ортого-
нален b(s) и, с другой стороны,
b'(s) =t'(s) л n(s) + t(s) л n'(s) =t(s) л n'(s),
то есть b'(s) ортогонален t(s). Отсюда следует, что b'(s) коллинеарен n(s),
и мы можем записать равенство
b'(s) = т(s)n(s)
для некоторой функции -r(s). (Предостережение. Многие авторы пишут
--r(s) вместо -r(s).)
Определение. Пусть а : 1~ R 3
-
такая кривая, параметризованная
длиной дуги s, что а' (s);t: О, SE 1. Число
- r(s), определяемое равенством
Ь' (s) = т(s)n(s), называется кручением а в точке s.
Если а - плоская кривая (то есть а(!) содержится в плоскости), то
плоскость кривой совпадает с соприкасающейся плоскостью; следователь­
но, 'Z" =О. Обратно, если
' Z" =О (а k :;t: О), получаем, что b(s) =Ь0 =const,
и потому
(a(s) ·Ь0)'= a'(s) ·Ь0 =О.

32
ГЛАВА 1
Отсюда следует, что a(s) · Ь0 = const; следовательно, a(s) содержится
в плоскости, перпендикулярной Ь0 . Условие, что всюду k *О, здесь суще­
ственно. В упражнении 10 мы дадим пример, где т можно определить так,
что оно будет тождественным нулём, но кривая не является плоской.
В отличие от кривизны, кручение может быть положительно или от­
рицательно. Знак кручения имеет геометрическую интерпретацию, которая
будет дана позже (раздел 1.6).
Заметьте, что при изменении ориентации вектор бинормали меняет
знак, так как Ь = t л п. Отсюда следует, что b'(s) и, следовательно, круче­
ние остаются неизменными при замене ориентации.
Подведём итог. Каждому значению параметра s мы сопоставили три
ортогональных единичных вектора t(s), п(s), b(s). Репер, образованный
таким образом, называется репером Френе в точке s. Производные
t'(s) = k п, b'(s) = тп векторов t(s) и b(s), разложенные по базису {t, п, Ь},
порождают геометрические объекты (кривизна k и кручение т), которые
дают нам информацию о поведении а в окрестности точки s.
Поиск других локальных геометрических объектов должен привести
нас к вычислению п'(s). Однако, поскольку п = Ь л t,
п'(s) =b'(s) л t(s) + b(s) л t'(s) = -т b-kt,
и мы получаем снова кривизну и кручение.
Щrя дальнейшего использования назовём равенства
t'=kп,
п' =-kt-тb,
Ь'=тп
формулами Френе (для удобства мы опустили s). В этом изложении при­
нята следующая терминология. t, Ь-плоскость называется спрямляющей
rиоскостью, а п, Ь-плоскость называется нормШ1ьной rиоскостью. Пря­
мые, которые содержат п(s) и b(s) и проходят через точку a(s), называ­
ются главной нормШ1ью и бинормШ1ью соответственно. Величина R = 1/k,
обратная кривизне, называется радиусом кривизны. Конечно, окружность
радиуса r имеет радиус кривизны, равный r, что можно легко проверить.
С физической точки зрения мы можем представлять кривую в R 3 по­
лученной из прямой линии изгибанием (кривизна) и скручиванием (круче­
ние). Размышления об этой конструкции приводят нас к следующему ут­
верждению, которое, говоря упрощённо, показывает, что k и т полностью
описывают локальное поведение кривой.

КРИВЫЕ
33
Основная теорема локальной теории кривых. Для заданных диф­
ференцируемых функций k(s) >О и т(s), sE !, существует такая регулярная
параметризованная кривая а: 1~R 3 , что s является длиной дуги, k(s) -
кривизной и т(s) - кручением а. Кроме того, любая другая кривая ii,
удовлетворяющая тем же условиям, отличается от а дви:ж:ением, то
есть существуют ортогональное линейное преобразование р простран-
ства R 3 с положительным детерминантом и такой вектор с, что
а=роа+с.
Вышеприведенное утверждение верно. Полное доказательство ис­
пользует теорему существования и единственности решений обыкновен­
ных дифференциальных уравнений и будет дано в приложении к главе 4.
Однако доказательство единственности, с точностью до движения, кривых,
имеющих одни и те же s, k(s) и т(s), просто и может быть приведено
здесь.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕДИНСТВЕННОСТИ в основной ТЕОРЕМЕ. Заметим,
прежде всего, что длина дуги, кривизна и кручение инвариантны относи-
тельно движений; это означает, например, что если М: R 3 ~ R 3 - дви­
жение и а= a(t) - параметризованная кривая, то
Это не вызывает сомнения, поскольку эти понятия определены с помощью
скалярного или векторного произведения некоторых производных (произ­
водные инвариантны относительно переносов, а скалярное и векторное
произведения выражаются через длины и углы между векторами и, таким
образом, также инвариантны относительно движений). Тщательную про­
верку можно предоставить в качестве упражнения (см. упражнение 6).
Предположим теперь, что две кривые а= a(s) и а= a(s) удовлетво-
ряют условиям k(s)==k(s) и т(s)=f(s), sEI. Пусть t 0,n0,b0
иfo,n0,Ь0- реперыФреневточке s=s0ЕI кривых а и'ii соответ­
ственно. Очевидно, существует движение, которое переводит 'ii(s0 )
в a(s0 ) и fo,n0 };0 в t0 ,п0 ,Ь0 . Таким образом, после применения этого
движения к а получаем, что 'ii(so) = a(so), и реперы t(s), п(s), b(s)
и t(s), n(s), b(s) кривых а и 'ii соответственно удовлетворяют уравнени­
ям Френе:
dt =kn
ds
'
di k-
-=
п
ds
'

34
ГЛАВА 1
dn
diik-_
-=-kt-тb -=- t- тп
ds
'
ds
'
db
-=тп
ds
'
db-
-=тп
ds
при условиях t(so) = 7(so), n(so) = n(so), b(so) = b(so).
Заметим теперь, используя уравнения Френе, что
1d
-2
-2
-2
-- {lt-t 1 +ln-n 1 +lb-b 1}=
2ds
=(t-7, t' -t')+(n-n, п' -n') +(Ь-Ь, Ь' -Ь') =
=k(t-7, n-n)-k(n-n, t-7)-т(п-n, ь-ь)+т(Ь-Ь, п-n)=О
для любого s Е /. Следовательно, рассматриваемое выражение постоянно,
и, поскольку оно равно нулю при s = s 0 , оно тождественно равно нулю.
Отсюда следует, что t(s)=7(s),n(s)=ii(s),b(s)=b(s) при любом sE /.
Так как
da
-
аа
--t-t
--
ds- - -ds'
получаем (d/ds)(a-a)=O. Таким образом, a(s)=a(s)+a, где а - по­
стоянный вектор. Так как a(s0 ) = a(s0 ), то а= О; следовательно,
a(s) = '(j_(s) ДЛЯ всех SE /,ЧТО И требовалось доказать.
Замечание 1. В частном случае плоской кривой а : 1 ~ R 2 кривиз­
не k можно приписать знак. Для этого выберем естественный базис
(см. раздел 1.4) R 2 и определим нормальный вектор n(s), sE /, требуя,
чтобы базис {t(s), n(s)} имел такую же ориентацию, как базис {е1 , е2 }. То­
гда кривизна k определяется равенством
dt =kn
ds
и может быть как положительной, так и отрицательной. Ясно, что 1 k 1 сов­
падает с предыдущим определением кривизны и что k меняет знак, когда
мы изменяем ориентацию а или ориентацию R 2 (рис. 1.16).
Следует также заметить, что в случае плоской кривой (т = О) доказа­
тельство основной теоремы, упомянутое выше, на самом деле очень про­
стое (см. упражнение 9).

КРИВЫЕ
35
Замечание 2. Если дана регулярная параметризованная кривая
а: 1~R 3 (необязательно параметризованная длиной дуги), можно полу­
читькривую fЗ:J~R3
, параметризованную длиной дуги, которая имеет
тот же самый след, что и а. В самом деле, пусть
1
s=s(t)= fid(t)ldt, t,t0 EI.
;,
п
·ь_е,
п
Рисунок 1.16
Так как ds/dt = 1d(t)1 "#О, функция s = s(t) имеет дифференцируемую об­
ратную t = t(s), s Е s(/) = J, где t, с некоторой вольностью обозначений,
также обозначает обратную функцию s-
1
от s. Положим теперь /З =
=аоt:J~R3
.
Очевидно, fJ(J) =а(/) и 1/J'(s)1=1 d(t) · ( dt/ds) 1=1. Это
показывает, что fЗ имеет тот же след, что и а, и параметризована длиной
дуги. Обычно говорят, что fЗ - натуральная параметрuзация а(/).
Этот факт позволяет распространить все локальные понятия, введён­
ные прежде, на регулярные кривые с произвольным параметром. Так, мы
говорим, что кривизна k(t) кривой а: 1 ~ R 3 в точке t Е 1 есть кривизна
натуральной параметризации fЗ : J ~ R 3 кривой а в соответствующей
точке s = s(t). Это определение, очевидно, не зависит от выбора fЗ и по­
казывает: то, что в конце раздела 1.3 мы ограничились рассмотрением
только кривых, параметризованных длиной дуги, несущественно.
Часто в приложениях бьmает удобно иметь явные выражения гео­
метрических объектов в терминах произвольной параметризации; мы при­
ведём некоторые из них в упражнении 12.

36
ГЛАВА 1
УПРАЖНЕНИЯ
Если не оговорено иное, а: 1 ~ R 3 есть кривая, параметризованная
длиной дуги s, с кривизной k(s) *О при любом s Е 1.
1. Для данной параметризованной кривой (винтовая линия)
a(s) =(acos~. asin~, ь~). SE R,
с
с
с
где с2
=а
2
+Ь
2
'
а) покажите, что параметр s является длиной дуги;
Ь) найдите кривизну и кручение а;
с) найдите соприкасающуюся шюскость а;
d) покажите, что прямые, содержащие п(s) и проходящие через a(s), пе­
л
ресекают ось z под постоянным углом, равным l;
е) покажите, что касательные к а образуют постоянный угол с осью z.
2*. Покажите, что кручение т кривой а находится по формуле
т(s)= a'(s)лa'(s)-a...(s).
1k(s)1 2
3. Предположите, что a(J) cR
2
(т. е. а - плоская кривая) и припишите
знак k, как в тексте. Перенесите векторы t(s) параллельно самим себе так,
чтобы начала t(s) совпали с началом координат R 2 ; концы t(s) опишут
тогда параметризованную кривую s ~ t(s), называемую индикатрисой ка-
сательных а. Пусть fJ(s) -угол от е1 до t(s) в ориентации R 2
.
Докажите
(а) и (Ь) (заметьте, что предполагается k *О).
а. Индикатриса касательных является регулярной параметризованной
кривой.
Ь. dt/ds=(dfJ/ds)п, то есть k=dfJ/ds.

КРИВЫЕ
37
4*. Предположите, что все нормали параметризованной кривой проходят
через фиксированную точку. Докажите, что след кривой лежит на окруж­
ности.
5. Регулярная параметризованная кривая а обладает тем свойством, что
все её касательные проходят через фиксированную точку.
а. Докажите, что след а есть прямая или её отрезок.
Ь. Сохраняется ли по-прежнему заключение части (а), если а не является
регулярной?
6. Сдвигом на вектор v в R 3 называется отображение А: R 3 ~ R 3
, задан­
ноеравенством А(р)=р+v, рЕR3
.
Линейное отображение р: R 3 ~ R 3
называется ортогональным преобразованием, если р и · р v = и · v для лю­
бых векторов и,vЕR3
.
Дви:ж:ением в R 3 называется композиция сдвига
и ортогонального преобразования с положительным детерминантом (это
последнее условие включено для того, чтобы движение сохраняло ориен­
тацию).
а. Покажите, что длина вектора и угол (} между двумя векторами,
О:::::(}::::: л, инвариантны относительно ортогональных преобразований с по­
ложительным детерминантом.
Ь. Покажите, что векторное произведение двух векторов инвариантно от­
носительно ортогональных преобразований с положительным детерминан­
том. Останется ли утверждение верным, если опустить условие, налагае­
мое на детерминант?
с. Покажите, что длина дуги, кривизна и кручение параметризованной кри­
вой (когда они определены) инвариантны относительно движений.
7*. Пусть а:!~R2
-
регулярная параметризованная кривая (параметр
произвольный); определите п = n(t) и k = k(t), как в замечании 1. Предпо­
ложим, что k(t) *О, tE !. При этих условиях кривая
1
fJ(t)=a(t)+-n(t), tE !,
k(t)
называется эволютой а (рис. 1.17).

38
ГЛАВА 1
а. Покажите, что касательная в точке t эволюты а является нормалью к а
в точке t.
Ь. Рассмотрите нормали а в двух соседних точках t1, t2 , t 1 :Р t2 • Ус­
тремите t 1 к t2 и покажите, что точки пересечения нормалей сходятся
к точке следа эволюты а.
8. След параметризованной кривой (параметр- произвольный)
a(t)=(t, cht), tЕR,
называется цепной линией.
Рисунок 1.17
а. Покажите, что снабжённая знаком кривизна (см. замечание l) цепной
линии равна
l
k(t)=-2.
cht
Ь. Покажите, что эволюта (см. упражнение 7) цепной линии есть кривая
fJ(t) =(t- shtcht,2cht).
9. Покажите, что для заданной дифференцируемой функции k(s), SE !, па­
раметризованная плоская кривая, имеющая кривизну k(s) = k, задаётся ра­
венством
а (s) = ~ cosO(s)ds+ а, j sinO(s)ds+b),
где
B(s) = fk(s)ds + tp,

КРИВЫЕ
39
и что кривая определена с точностью до сдвига на вектор (а, Ь) и поворота
на угол rp.
1О. Рассмотрите отображение
!
(t, О,е-111\ t >О,
a(t) = (t, e-
1/t2, О), t <О,
(О, О, О),
t =О.
а. Докажите, что а - дифференцируемая кривая.
Ь. Докажите, что а регулярна при всех t, кривизна k(t) "#О при t "#О,
t -т. ±.J2!3 и k(O) =О.
с. Покажите, что предельное положение соприкасающейся плоскости при
t ---+ О, t > О, есть плоскость у = О, но предельное положение соприкасаю-
щейся плоскости при t---+ О, t <О, есть плоскость z =О (это означает, что
нормальный вектор не является непрерывным в точке t =О, и показывает,
почему мы исключили точки, где k =О).
d. Покажите, что т можно определить так, что т =О, даже когда а не яв­
ляется плоской кривой.
11. Плоская кривая часто задаётся в полярных координатах уравнением
р=р(В), а~В~Ь.
а. Покажите, что длина дуги равна
s:~р2 + (р')2 dB,
где штрих означает производную по В.
Ь. Покажите, что кривизна находится по формуле
2( ')2
"
2
k(B)= р -рр +р
{(р')2 + р2} 3/2
12. Пусть а: 1---+ R
3
-
регулярная параметризованная кривая (необяза­
тельно длиной дуги), и пусть fJ: J ---+ R 3
-
параметризация a(J) длиной
дуги s = s(t), измеряемой от точки t0 Е 1 (см. замечание 2). Пусть

40
ГЛАВА 1
t = t(s) - обратная функция s; положим da/dt =а', d 2а/ dt
2
=а" ит.д.
Докажите, что
Ь) кривизна а в точке t Е I равна
k(t)=1а'ла"1.
ldl3
'
с) кручение а в точке t Е I равно
т(t)= (d ла")·а"'.
la' лa"lz
'
d)еслиа:I~R2
-
IUiocкaя кривая, a(t) = (x(t), y(t)), то снабжённая зна­
ком кривизна (см. замечание 1) кривой а в точке t равна
k() ху"-хУ
1
= ((х')2 +(у')2)з/2 ·
13*. Предположим, что т(s);еО и k(s);eO для всех sE !. Покажите, что
необходимое и достаточное условие того, что а(!) лежит на сфере, имеет
вид
R2
+(R')
2
T2
=const,
гдеR=l/k,Т=1/т,иR' -
производная R по s.
14.Пустьа:(а,Ь)~R2
-
регулярная параметризованная кривая. Пред­
положим, что существует такая точка t0 , а< t0 < Ь, что расстояние 1a(t)1
от начала координат до точки следа а максимально в точке t0 . Дока­
жите, что кривизна k кривой а в точке t0 удовлетворяет условию
1k(to)1~1/1a(to)1-
15*. Покажите, что знание вектор-функции Ь = b(s) (вектор бинормали)
кривой а с ненулевым всюду кручением определяет кривизну k(s) и абсо­
лютную величину кручения т(s) кривой а.
16*. Покажите, что знание вектор-функции п = n(s) (нормальный вектор)
кривой а с ненулевым всюду кручением определяет кривизну k(s) икру­
чение т(s) кривой а.

КРИВЫЕ
41
17. Кривая а. называется обобщённой винтовой линией, если касатель­
ные а. образуют постоянный угол с фиксированным направлением. Пред­
положите, что т(s) *О, s Е 1, и докажите, что
а*) а. является обобщённой винтовой линией тогда и только тогда, когда
k/r=const;
Ь*) а. есть обобщённая винтовая линия тогда и только тогда, когда пря­
мые, содержащие n(s) и проходящие через точку a.(s), параллельны фик­
сированной плоскости;
с*) а. есть обобщённая винтовая линия тогда и только тогда, когда пря­
мые, содержащие b(s) и проходящие через точку a.(s), образуют постоян­
ный угол с фиксированным направлением;
d) кривая
а.(s) = (!!_fsin B(s)ds, !!_ fcos B(s)ds, E..s),
с
с
с
где а2
=Ь
2
+с
2
, есть обобщённая винтовая линия, и k/r = Ь/ а.
18*. Пусть а.: 1~R 3 - параметризованная кривая (необязательно длиной
дуги) с k(t) *О, r(t) *О, t Е 1. Кривая а. называется кривой Бертрана, если
существует такая кривая а : 1 ~ R 3
' ЧТО нормали а. и а в точке tЕ1сов­
падают. В этом случае а называется парой Бертрана кривой а., и мы мо­
жем записать, что
ii(t) = a.(t) + r n(t).
Докажите, что
а) r является константой;
Ь) а. является кривой Бертрана тогда и только тогда, когда существует ли­
нейная зависимость
Ak(t)+Br(t)=l, tE !,
где А, В - ненулевые константы, а k и r - кривизна и кручение а. соот­
ветственно;

42
ГЛАВА 1
с) если а имеет более одной пары Бертрана, она имеет бесконечное мно­
жество пар Бертрана. Этот случай имеет место тогда и только тогда, ко­
гда а является цилиндрической винтовой линией.
1.6. Локальный канонический вид•
Один из наиболее эффективных методов решения задач геометрии со­
стоит в отыскании системы координат, которая соответствует задаче. При
исследовании локальных свойств кривой в окрестности точки s мы имеем
естественную систему координат, а именно репер Френе в точке s. Поэто­
му удобно отнести кривую к этому реперу.
Пусть а : 1 ~ R 3 - кривая, параметризованная длиной дуги, без осо­
бых точек порядка 1. Запишем уравнения кривой в окрестности точки s 0 ,
выбирая триэдр t(s0 ), n(s0 ), b(s0 ) в качестве базиса в R 3
.
Мы можем пред­
полагать, не ограничивая общности, что s0 =О, и будем рассматривать
разложение (конечное) по формуле Тейлора:
,
s2"
sз ,,,
a(s)=а(О)+sa(О)+-а (О)+-а (О)+R,
2
6
где lim R/s
3
=О.Таккака'(О)=t, а"(О) =kпи
s-?0
d"'(O)=(kn)' = k'п+kп'=k'n-k
2
t-kтb,
получаем, что
a(s)-a(O)= s--- t+ -+- - n--kтb+R
(
k
2
s
3
)
(s2k s
3
k')
s
3
3!
2
3!
З!
'
где все функции вычислены в точке s =О.
Выберем теперь систему координат Oxyz так, что начало координат
совпадает с а(О) и t == (1, О, О), п ==(О, 1, О), Ь ==(О, О, 1). При этих условиях
a(s) == (x(s),y(s),z(s)) задаётся уравнениями
k2 sз
x(s)=s---+R
6
Х'
k
k's
3
y(s) =-s
2
+--+ RY,
2
6
kт3
z(s)=--s +R
6
Z'
' Этот раздел может бытъ пропущен прн первом чтении.
(1)

КРИВЫЕ
43
где R = (Rx, Ry, R,). Представление (1) называется локальным каноничес­
ким видом а в окрестности точки s =О. На рисунке 1.18 приведён упро­
щённый эскиз проекций следа а, при малых значениях s , на t п, t Ь
и пЬ - плоскости.
Ниже мы опишем некоторые геометрические приложения локального
канонического вида. Дальнейшие приложения можно найти в упражнениях.
Проекция на tп-плоскость
ь
ь
Проекция на tЬ-плоскость
Проекция на пЬ-плоскость
Рисунок 1.18
Первым приложением является следующая интерпретация знака кру­
чения. Из третьего уравнения (1) следует, что если т <О и s достаточно ма­
ло, то z(s) возрастает вместе с s. Условимся называть «положительной сто­
роной» соприкасающейся плоскости ту сторону, куда направлен вектор Ь.
Тогда, поскольку z(O) =О, когда мы описываем кривую в направлении воз­
растания длины дуги, кривая будет пересекать соприкасающуюся плоскость
в точке s =О, направляясь в положительную сторону (см. рис. 1.19). Если,
напротив, т > О, кривая (описываемая в направлении возрастания длины ду­
ги) будет пересекать соприкасающуюся плоскость, направляясь в сторону,
противоположную положительной стороне.

44
ГЛАВА 1
--
Оrрицzгелъное кручение
Положительное кручение
Рисунок 1.19
Винтовая линия в упражнении 1 раздела 1.5 имеет отрицательное круче­
ние. Примером кривой с положительным кручением является винтовая линия
a(s) =(а cos~, а sin~, -ь~),
с
с
с
получеIПiая из первой отражением относительно х z-плоскости (см. рис. 1.19).
Замечание. Принято также определять кручение равенством Ь' == -т п.
При таком определении кручение винтовой линии в упражнении 1 стано­
вится положительным.
Другим следствием канонического вида является существование такой
окрестности J с! точки s =О, что a(J) полностью находится с одной сто­
роны спрямляющей плоскости, куда направлен вектора п (см. рис. 1.18).
Действительно, поскольку k >О, при достаточно малых s, мы получаем
у~ О, у= О тогда и только тогда, когда s =О. Это доказывает наше утвер­
ждение.
В качестве последнего приложения канонического вида упомянем сле­
дующее свойство соприкасающейся плоскости. Соприкасающаяся плос­
кость в точке s является предельным положением плоскости, определяемой
касательной в точке s и точкой a(s + h), когда h ~О. Чтобы доказать это,
предположим, что s =О. Таким образом, каждая плоскость, содержащая
касательную в точке s =О, имеет вид z =су или у= О. Плоскость у= О
есть спрямляющая плоскость, которая, как мы видели выше, не содержит
ни одной точки вблизи а(О) (кроме самой а(О)) и потому может быть ис­
ключена из рассмотрения. Условием того, что плоскость z = су проходит
через точку s + h, является равенство (s ==О)
k3
z(h) -бтh + ...
с= -- = --~----
y(h)k2k
2
3
~h +-h +...
2
6

КРИВЫЕ
45
Устремляя h ~О, мы видим, что с~ О. Поэтому предельным положением
плоскости z(s) = c(h)y(s) является плоскость z =О, то есть соприкасаю­
щаяся плоскость, что и требовалось.
УПРАЖНЕНИЯ
1.Пусть а:I~R3
-
кривая, параметризованная длиной дуги с кри­
визной k(s) #О, s Е I. Пусть Р
-
плоскость, удовлетворяющая следую­
щим условиям.
1) Р содержит касательную в точке s;
2) для любой заданной окрестности J с 1 точки s существуют точки
a(J) по обе стороны Р.
Докажите, что Р есть соприкасающаяся плоскость а в точке s.
2. Пусть а : 1 ~ R 3 - кривая, параметризованная длиной дуги, с кри-
визной k(s) #О, s Е J. Покажите, что
а*) соприкасающаяся плоскость в точке s является предельным положе­
нием плоскости, проходящей через точки a(s), a(s + h1), a(s + ~), при
h,,~ ~О;
Ь) предельным положением окружности, проходящей через a(s), a(s + h1),
a(s + h2 ), при h1, ~~О является окружность в соприкасающейся плоско­
сти в точке s, центр которой лежит на прямой, содержащей n(s), а радиус
равен радиусу кривизны Ijk(s); эта окружность называется соприкасаю­
щейся окруж:ностью в точке s.
3. Покажите, что кривизна k(t) if:. О регулярной параметризованной кривой
а:1~R3 равна кривизне вточке t плоскойкривой 7fоа,где 7f -
орто­
гональная проекция ана соприкасающуюся плоскость в точке t.
1.7. Глобальные свойства плоских кривых*
В этом разделе мы хотим изложить некоторые результаты, которые
принадлежат глобальной дифференциальной геометрии кривых. Даже
' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

46
ГЛАВА!
в простом случае rшоских кривых предмет уже предлагает примеры нетри­
виальных теорем и интересных задач. Чтобы изложить материал здесь, мы
должны сообщить некоторые факты без доказательства; мы постараемся
быть аккуратными, точно формулировать эти резуЛьтаты. Хотя мы намере­
ны позднее вернуться, в более систематической манере изложения, к гло­
бальной дифференциальной геометрии (глава 5), мы уверены, что это ран­
нее представление предмета является и стимулирующим, и обучающим.
Этот раздел содержит три темы в порядке возрастания трудности: (А)
изопериметрическое неравенство, (В) теорема о четырёх вершинах и (С)
формула Коши-Крофтона. Темы совершенно независимы, и некоторые из
них или все можно опустить при первом чтении.
Дифференцируемой функцией на отрезке [а, Ь] называется ограниче­
ние дифференцируемой функции, определённой на интервале, содержащем
[а,Ь].
Замкнутой плоской кривой называется такая регулярная параметризо­
ванная кривая а: [а, Ь] ~R 2
,
что а и все её производные совпадают
вточкахаиЬ,тоесть
а(а) = а(Ь), а'(а) = а'(Ь), а"(а) = а"(Ь), ...
Кривая а называется простой, если она не имеет самопересечений, то есть
если t1, t2 Е [а,Ь), t1 * t2, то a(t1) *a(t2) (рис. 1.20).
Обычно мы рассматриваем кривую а: [О, /] ~ R 2
,
параметризован­
ную длиной дуги s; следовательно, / есть длина а. Иногда мы гово­
рим о простой замкнутой кривой, подразумевая след такой кривой. Кри­
визна а будет рассматриваться со знаком, как в замечании 1 раздела 1.5
(см. рис. 1.20).
Простая замкнутая кривая
Замкнутая (не простая) кривая
Рисунок 1.20

КРИВЫЕ
Внуrренность С
\
(а) Простая замкнутая кривая С на торе Т.
С не ограничивает никакой области на Т
(Ь) С положительно ориентирована
Рисунок 1.21
47
Мы предполагаем, что простая замкнутая кривая С в 1V1оскости огра­
ничивает область этой 1V1оскости, которая называется внутренностью С.
Это часть так называемой теоремы о жордановой кривой (доказательство
будет дано в разделе 5.6, теорема 1), которая не выполняется, например,
для плоских кривых на торе (поверхность бублика; рис. 1.20, а). Всегда,
когда мы говорим о площади, ограниченной простой замкнутой кривой С,
мы подразумеваем площадь внутренности С. Мы предполагаем далее, что
параметр простой замкнутой кривой можно выбрать так, что если идти
вдоль кривой в направлении возрастания параметра, то внутренность кри­
вой останется слева (рис. 1.21, Ь). Такая кривая будет называться поло:жи­
тельно ориентированной.
А. Изопериметрическое неравенство
Это, возможно, старейшая глобальная теорема дифференциальной гео­
метрии, и связана она со следующей (изопериметрической) задачей. Какая
из всех простых замкнутых кривых в плоскости с заданной длиной Z огра­
ничивает наибольшую lVIОЩадь? В этой формулировке задача была извест­
на грекам, которые знали также решение, а именно окружность. Дrrитель­
ное время потребовалось, однако, чтобы появилось удовлетворительное
доказательство. Главной причиной кажется то, что первоначальные дока­
зательства предполагали существование решения. Только в 1870 году
К. Вейерштрасс указал на то, что многие подобные задачи не имеют реше­
ния, и дал полное доказательство существования решения изопериметри­
ческой задачи. Доказательство Вейерштрасса было довольно трудным
в том смысле, что оно было следствием теории, разработанной им для
применения к задачам максимизации (или минимизации) некоторых инте­
гралов (эта теория называется вариационным исчислением, и изопе-

48
ГЛАВА 1
риметрическая задача является типичным примером задач, с которыми оно
имеет дело). Позднее были найдены более непосредственные доказательст­
ва. Простое доказательство, которое мы приведём, принадлежит Е. Шмидту
(J 939). О других прямых доказательствах и дополнительной библиографии
по этой теме можно узнать из работы [10) в списке литературы.
Мы будем использовать следующую формулу площади А, ограни­
ченной положительно ориентированной простой замкнутой кривой
a(t) = (x(t),y(t)), где t Е [а, Ь] - произвольный параметр:
ь
ь
ь
А= -J y(t)x'(t) dt = Jx(t)y'(t) dt = ~J(х у'- ух') dt.
(l)
а
а
а
Обратите внимание, что вторая формула получается из первой, если заме­
тить, что
ь
ь
ь
ь
ь
Jху' dt = J(ху)'dt- Jх'ydt =[ху(Ь)-ху(а)]- Jх' ydt =-J х' ydt,
так как кривая замкнутая. Третья формула непосредственно следует из
первых двух.
Чтобы вывести первую формулу в (1), рассмотрим сначала показанный
на рисунке 1.22 случай, когда кривая образована двумя прямолинейными
отрезками, параллельными оси у, и двумя дугами, которые можно задать
в виде
у
t=a,t=b
t=t ,
t=t,
Рисунок 1.22

КРИВЫЕ
49
Очевидно, площадь, ограниченная кривой, равна
Xj
Xj
А= ffi(x)dx- ff 2 (x)dx.
Хо
Так как кривая положительно ориентирована, получаем, в обозначениях
рис. 1.22,
11
13
ь
А =-f y(t)x'(t)dt- fy(t)x'(t)dt =-f y(t)x'(t)dt,
а
lz
а
так как x'(t) =О вдоль отрезков, параллельных оси у. Это доказывает ра­
венство (1) в данном случае.
Чтобы доказать равенство в общем случае, необходимо показать, что
область, ограниченную кривой, можно разбить на конечное число областей
рассмотренного выше типа. Очевидно, это возможно (рис. 1.23), если су­
ществует такая прямая Е в плоскости, что расстояние p(t) от a(t) до
этой прямой является функцией с конечным числом критических точек
(критическая точка - это точка, где p'(t) =О). Последнее утверждение
верно, но мы не будем вникать в его доказательство. Заметим, однако, что
(1) можно получить также с помощью теоремы Стокса (Грина) для плос­
кости (см. упражнение 15).
у
Е
о
Рисунок 1.23
Теорема 1 (Изопериметрическое неравенство). Пусть С - простая
замкнутая плоская кривая длины l и А - площадь области, ограни­
ченной С. Тогда
!2
-
4лА~о
(2)
и равенство выполняется тогда и только тогда, когда С есть окруж­
ность.

50
ГЛАВА 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем две параллельные прямые Е и Е', кото­
рые не пересекают замкнутую кривую С, и будем перемещать обе до пер­
вого пересечения с С. Таким образом, мы получаем две параллельные ка­
сательные L и L' к С, так что кривая полностью содержится в полосе, ог-
раниченной L и L'. Рассмотрим окружность S 1
, которая касается L и L'
и не пересекает С. Обозначим буквой О центр окружности и выберем
систему с началом в точке О и осью х, перпендикулярной L и L'
(рис. 1.24). Параметризуем С длиной дуги, a(s) = (x(s),y(s)), так, чтобы
она бьша положительно ориентирована и точками касания L и L' были
точки s =О и s = sP соответственно.
Е
Е
Рисунок 1.24
Мы можем считать, что уравнение S 1 есть
ii(s) = (x(s),.Y(s)) = (x(s),y(s)), s Е (0,/);
при этом диаметр 2 r - расстояние между L и L'. Используя равенство
(1) и обозначая символом 1 площадь, ограниченную s 1, получаем
1
l
A=fxy'ds, A=яr
2
=-f.Yx'ds.
о
о
Таким образом,
1
1
А+ яr2 = J(ху'- yx')ds ~J~(ху'- ух')2 ds ~
о
о
1
1
~ J~(х2 + у2)((х')2 + (у')2) ds == J~i2 + у2 ds == lr.
(3)
о
о

КРИВЫЕ
51
Заметим теперь, что среднее геометрическое двух положительных чи­
сел не превосходит их среднего арифметического и равенство выполняется
тогда и только тогда, когда они равны. Отсюда следует, что
(4)
Предположим теперь, что в (2) выполняется равенство. Тогда равенст­
во должно выполняться в (3) и (4). Из равенства в (4) следует, что А= Jrr 2
.
Таким образом, Z= 21rr и r не зависит от выбора направления L. Кроме
того, равенство в (3) означает, что
или
(хх'+уу')
2
=О,
то есть
~ =_1'_ =+-.=~==х=2=+=у=2=_ ±r.
у' х' ~(у')2 + (х')2
Таким образом, х = ±rу'. Так как r не зависит от выбора направле­
ния L, мы можем переставить х и у в последнем соотношении и получить
у= ±rх'. Следовательно,
и С есть окружность, что и требовалось доказать.
Замечание 1. Легко проверить, что предыдущее доказательство мож­
но применить к С1 -кривым, то есть, кривым a(t)=(x(t),y(t)), /Е [а,Ь], для
которых требуется только, чтобы функции x(t), y(t) имели непрерывные
производные первого порядка (которые, конечно, совпадают в точках а
и Ь, если кривая замкнутая).
Замечание 2. Изопериметрическое неравенство остаётся верным для
широкого класса кривых. Найдены прямые доказательства, которые рабо­
тают, пока мы можем определить длину дуги и площадь для рассматри­
ваемых кривых. ,для приложений удобно заметить, что теорема сохраняет­
ся для кусочно гладких С1 -кривых, то есть для непрерывных кривых, кото-

52
ГЛАВА 1
рые составлены из конечного числа дуг класса С1
• Эти кривые
могут
иметь конечное число .угловых точек, где касательная. не я.вля.ется. непре­
рывной (рис. 1.25).
Кусочно гладкая С' -кривая
Рисунок 1.25
В. Теорема о четырех вершинах
Нам потребуются дополнительные сведения о плоских замкнутых
кривых.
Пусть а: [О,/] ~R 2
-
плоская замкнутая. кривая, заданная. равенст­
вом a(s) =(x(s),y(s)). Так как s - длина дуги, касательный вектор t(s) =
= (x'(s),y'(s)) имеет длину, равную 1. Удобно ввести касательную индика-
трису t: [O,/)~R
2
, то есть отображение t(s)=(x'(s),y'(s)); это диффе­
ренцируемая. кривая, след которой находится на окружности радиуса 1
(рис. 1.26). Заметим, что вектор скорости касательной индикатрисы равен
dt
"()
"
-=(х s ,у (s))=
ds
=a(s)=kn,
где п - нормальный вектор, ориентированный как в замечании 2 разде­
ла 1.5, а k есть кривизна а.
Пусть B(s), О< B(s) < 2л, - угол, который t(s) образует с осью х;
это означает, что x'(s) =cosB(s), y'(s) =sinB(s). Так как
B(s) = arctg у'(s)
x'(s)'
функция В= B(s) локально корректно определена (то есть она корректно
определена в малом интервале, содержащем любое s) как дифференци­
руемая функция и
dt =!!__(cosB, sinB) =В'(-sinB, cos В)= В'п.
ds ds

КРИВЫЕ
53
Это означает, что B'(s) = k(s), и позволяет глобально определить диффе­
ренцируемую функцию В: [О, !] ~ R, полагая
Так как
s
B(s) = Jk(s)ds.
q
,
()' =k =ху" -х"у' =( arctg ~:),
глобально определённая функция совпадает, с точностью до константы,
с предыдущей локально определённой функцией В. Интуитивно B(s) есть
мера полного поворота касательного вектора, то есть полного угла, описы­
ваемого точкой t(s) касательной индикатрисы, когда мы проходим кривую
от точки О до точки s. Так как а замкнутая, этот угол кратен 2л, то есть
1
fk(s) ds = fJ(l)- В(О) = 2я!.
о
Число I называется индексом вращения кривой а.
Рисунок 1.26
На рисунке 1.27 показаны некоторые примеры кривых с их индексами
вращения. Заметим, что индекс вращения меняет знак, когда мы меняем
ориентацию кривой. Кроме того, определение введено так, что индекс вра­
щения положительно ориентированной замкнутой кривой положителен.
Важный глобальный результат, относящийся к индексу вращения, даёт
следующая теорема, которая будет доказана в этой книге позже (раздел 5.6,
теорема2).
Теорема о вращении касательных. Индекс вращения простой замк­
нутой кривой равен ± 1, где знак зависит от ориентации кривой.

54
ГЛАВА 1
Регулярная плоская (необязательно замкнутая) кривая а: [а, Ь] ~ R 2
называется выпуклой, если при всех !Е [а, Ь] след а([а, Ь]) кривой а лежит
в одной замкнутой полуплоскости, границей которой является касательная
в точке t (рис. 1.28).
Вершиной плоской регулярной кривой а: [а, Ь] ~ R 2 называется точ­
ка tE [а, Ь], где k'(t) =О. Например, эллипс с неравными осями имеет точ­
но четыре вершины, а именно точки пересечения эллипса с осями (см. уп­
ражнение 3). Интересным глобальным фактом является то, что это наи­
меньшее число вершин для всех замкнутых выпуклых кривых.
Теорема 2 (теорема о четырёх вершинах). Простая замкнутая вы­
пуклая кривая имеет по крайней мере четыре вершины.
Для доказательства нам потребуется лемма.
Лемма. Пусть а: [О,/] ~ R 3
-
плоская замкнутая кривая, парамет­
ризованная длиной дуги, и пусть А, В и С - произвольные вещественные
числа. Тогда
1
dk
J(Ах+ By+C)-ds =0,
0
ds
(5)
где функции х =x(s), у= y(s) заданы равенством a(s) = (x(s), y(s)) и k -
кривизна а.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ. Напомним, что существует такая дифферен­
цируемая функция О: [O,/]~R, что x'(s)=cosB, y'(s)=sinB. Таким обра­
зом, k(s) = B'(s) и
х" = -kу', у"'= kx'.
Следовательно, так как функции совпадают в точках О и/,
1
fk' ds=O,
о
1
1
1
Jхk'ds = -J kх'ds = -Jу"'ds =О,
о
о
о
1
1
1
Jyk'ds =-J ky'ds =J x"ds =0.
о
о
о

s=O
КРИВЫЕ
Кривая
Касгrельпая
:индикатриса
КасательНЗJ1
:индикатриса
Рисунок 1.27
Выпуклые кривые
Невыпуклые кривые
Рисунок 1.28
55
s=O

56
ГЛАВА 1
ДоклзАтЕльство ТЕОРЕМЫ. Параметризуем кривую длиной дуги,
а: [О,/]~ R 2
.
Так как k = k(s) - непрерывная функция на отрезке [О,/],
она достигает на [О,/] своих наибольшего и наименьшего значений (это
фундаментальный факт теории вещественных функций; доказательство
можно найти, например, в приложении к главе 5, предложение 1О). Следо­
вательно, а имеет по крайней мере две вершины a(s1) =р и a(s2 ) =q.
Пусть L - прямая, проходящая через р и q, и пусть /З и r - две ду­
ги С, определяемые точками р и q.
Мы утверждаем, что каждая из этих дуг лежит по одну сторону L.
В противном случае С пересекает L в точке r, отличной от р и q
(рис. 1.29, а). В силу выпуклости и того, что р, q, r - различные точки С,
касательная в промежуточной точке, скажем р, должна совпадать с L.
Вновь в силу выпуклости отсюда следует, что L касается С в трёх
точках р, q и r. Но тогда касательная в точке вблизир (промежуточная
точка) будет разделять точки q и r, если не весь отрезок rq прямой L ле­
жит на С (рис. 1.29, Ь). Это означает, что k =О в точках р и q. Так как
они являются точками максимума и минимума k, то k =О на С, что про­
тиворечит условию.
Пусть Ах+ Ву+ С= О -уравнение L. Если больше вершин нет, k'(s)
сохраняет знак на каждой из дуг /З и r. Мы можем тогда выбрать знак
всех коэффициентов А, В, С так, что интеrрал в равенстве (5) будет поло­
жительным. Это противоречие показывает, что существует третья вершина
и k'(s) меняет знак на /З или r; скажем, на /J. Так как р и q - точки
максимума и минимума, k'(s) меняет знак на /З дважды. Таким образом,
существует четвёртая вершина, что и требовалось доказать.
(Ь)
(а)
Рисунок 1.29

КРИВЫЕ
57
Теорема о четырёх вершинах бьша темой многочисленных исследо­
ваний. Теорема выполняется также для простых замкнутых (необязательно
выпуклых) кривых, но доказательство труднее. Дополнительную литера­
туру по этой теме можно найти в [10].
Позже (см. раздел 5.6, предложение 1) мы докажем, что rиюская зам­
кнутая кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда она про­
стая и мо:J1Сет быть ориентирована так, что её кривизна поло:J1Сительна
или равна нулю. Отсюда и из данного выше доказательства мы видим, что
утверждение теоремы о четырёх вершинах можно сформулировать сле­
дующим образом. Кривизна замкнутой выпуклой кривой неотрицательна
и либо постоянна, либо имеет по крайней мере два максимума и два мини­
мума. Тогда естественно спросить о том, характеризуют ли такие функции
плоские кривые. Более точно, мы можем поставить следующий вопрос.
Пусть k: [а, Ь] ~ R - такая дифференцируемая неотрицательная функ­
ция, что k вместе со всеми её производными принимает одно и то J/Ce
значение в точках а и Ь. Предположим, что k либо постоянна, либо име­
ет по крайней мере два максимума и два минимума. Существует ли такая
простая замкнутая кривая а : [а, Ь] ~ R 2
, что кривизна а в точке t рав­
на k(t)?
В случае когда k(s) строго положительна, Н. Gluck ответил на этот
вопрос утвердительно (см. Н. Gluck, "The Converse to the Four Vertex Theo-
rem", L' Епsеigпетепt Matheтatiqиe Т. XVII, fasc. 3-4 (1971), 295-309).
Его методы, однако, неприменимы в случае k ~О.
С. Формула Коmи-Крофтона
Наша последняя тема в этом разделе посвящена отысканию теоремы,
которая, говоря упрощённо, описывает следующую ситуацию. Пусть С -
регулярная кривая в плоскости. Рассмотрим все прямые в этой плоскости,
которые пересекают С, и припишем каждой такой прямой кратность, ко­
торая является числом точек пересечения с С (рис. 1.30).
Мы, прежде всего, хотим найти способ описания данного подмноже­
ства прямых в плоскости. То, что это возможно, не должно быть слишком
неожиданным. В конце концов, мы введем меру (площадь) множества то­
чек плоскости. Коль скоро мы понимаем, что прямая может быть опреде­
лена двумя параметрами (например, р и (} на рис. 1.31), то мы можем
представлять прямые линии в плоскости точками некоторой плоскости.
Таким образом, всё, что мы хотим, - это найти «разумный» способ изме­
рения «площадей» в такой плоскости.

58
ГЛАВА 1
n=3
с
Рисунок 1.30 . п -кратность соответствую- Рисунок 1.31. L задаётся посредст-
щей прямой
вомриВ
Выбрав эту меру, мы хотим использовать её и найти меру множества
прямых (с учётом кратности), которые пересекают С. Результат очень ин­
тересен и может быть сформулирован следующим образом.
Теорема 3 (формула Коши-Крофтона). Пусть С - регулярная пло­
ская кривая длины !. Мера мно:нсества прямых (с учётом кратности), ко­
торые пересекают С, равна 21.
Прежде чем начать доказательство, мы должны определить, что пони­
мать под разумной мерой множества прямых в плоскости. Прежде всего,
выберем подходящую для такого множества систему координат. Прямая
линия L в плоскости определяется расстоянием р ~ О от прямой L до на­
чала координат О и углом В, О~ В~ 2я, который луч с началом в О, пер­
пендикулярный L, образует с осью х (рис. 1.31 ). Уравнение L в терминах
этих параметров, как легко видеть, есть
xcosB+ ysinB= р.
Таким образом, мы можем заменить множество всех прямых линий
в плоскости множеством
J!, = {(р,В)Е R 2; р~О, О~В<2я}.
Мы покажем, что, с точностью до выбора единицы, существует только од­
на приемлемая мера этого множества.
Чтобы решить, что мы будем считать приемлемым, рассмотрим более
внимательно обычное измерение площадей в R 2
.
Нам требуется определение.
Дви:нсением R 2 называется отображение F : R
2
~R2
, заданное как
(х,.У) ~ (х,у), где (рис. 1.32)
х=а+хcostp- уsintp,
у=Ь+хsintp+уcostp.
(6)

КРИВЫЕ
о
Рисунок 1.32
р ~ (х,у)
ь
59
Далее, для определения площади множества S с R 2 рассмотрим
двойной интеграл
ffsdxdy,
то есть интегрируем юлемент площади» dx dy по S. Когда этот интеграл
существует в некотором смысле, мы говорим, что S измеримо, и опреде­
ляем площадь S как значение интеграла вверху. Сейчас и в дальнейшем
мы будем предполагать, что все интегралы, присутствующие в нашем из­
ложении, существуют.
Заметим, что мы могли бы выбрать какой-то иной элемент площади,
скажем х у2 dx dy. Обоснованием выбора dx dy является то, что, с точно­
стью до множителя, это единственный элемент площади, который инвари­
антен относительно движений. Более точно, имеет место следующее пред­
ложение.
Предложение 1. Пусть f(x, у)
-
непрерывная функция, опреде­
лённаявR2
.
Для любого мно:жества S cR
2
определим площадь А мно­
:жества S равенством
А (S)= ffs f(x,y)dxdy
(конечно, мы рассматриваем только те мно:жества, для которых инте­
грШI существует). Предполо:жим, что А инвариантна относительно
дви:жений, то есть если S - любое мно:жество и S =F-
1
(S),гдеF-
дви:жение (6), то
A(S)= Jf8 f(x,Y)dXdy = ffs f(x,y)dxdy =A(S).
Тогда f(x,y)=const.

60
ГЛАВА!
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Напомним формулу замены переменной в кратных
интегралах (Buck, Advanced Calculus, р. 301, или упражнение 15 этого раз­
дела):
(7)
Здесь х =х(х, У), у =у(х, У) - функции с непрерывными частными про­
изводными, которые задают преобразование переменных Т: R 2
-:> R
2
,
S=Г1(S), и
д(х,у) = ~
;
дх
д(х,У)
ду
~
есть якобиан преобразования Т. В нашем частном случае преобразование
является движением (6) и якобиан равен
д(х,у) costp -sin~
д(х,у) = sinq:i соs<рг
1
·
Используя этот факт и равенство (7), получаем
HS' f(x(x, у), у(х, у)) dX «У= ffs f(x, у) dX t{Y.
Так как это верно для любого S,
f(x(x,Ji),y(x,Y)) = f(x,Y).
Используем теперь тот факт, что для любой пары точек (х,у), (x,Ji)
в R 2 существует такое движение F, что F(x,y) = (х,у). Таким образом,
f(x,y) = (f о F)(x,y) = f(x,y)
и f(x,y) =const, что и требовалось доказать.
Замечание 3. Приведённое выше доказательство опирается на два
факта: во-первых, что якобиан движения равен 1 и, во-вторых, что группа
движений шюскости транзитивна, то есть для двух данных точек шюс­
кости существует движение, переводящее одну точку в другую.
После этой подготовки мы можем окончательно определить меру во
множестве J!., . За ме ти м, что движение (6) индуцирует преобразование .е.

КРИВЫЕ
61
Действительно, движение (6) отображает прямую х cos fJ +у sin fJ = р
в прямую
.Xcos(fJ-q:i) + ysin(B-q:i) =р- acosB-bsinB.
Это означает, что преобразование, индуцированное (6) на .е, есть
р= p-acosB-bsinB,
Легко проверить, что якобиан этого преобразования равен 1 и что мно­
жество таких преобразований также транзитивно на множестве прямых
плоскости. Определим теперь меру множества S с .е как
ffsdpdB.
Тем же способом, что в предложении 1, можно тогда доказать, что это,
с точностью до множителя, единственная мера на .е, которая инвариантна
относительно движений. Эта мера, таким образом, обоснованна настолько,
насколько возможно.
Мы можем теперь набросать доказательство теоремы 3.
Схема доказательства теоремы 3. Предположим сначала, что кривая С
является отрезком прямой длины l. Так как наша мера инвариантна отно­
сительно движений, мы можем считать, что началом координат О является
середина отрезка С и что ось х имеет направление С. Тогда мера мно­
жества прямых, которые пересекают С, равна (см. рис. 1.33)
JJ dp dB = s:"(J~cos&l(Z/
2
)dp)de = s:"~ 1coseidB==21.
у
х
х
Рисунок 1.33

62
ГЛАВА!
Далее, пусть С - ломаная, составленная из конечного числа отрез­
ков С; длины l; (f); =!). Пусть п = п(р, 8) - число точек пересечения
прямой (р,8) с С. Тогда, суммируя результаты для каждого отрезка С;,
получаем равенство
Jf пdpdB=2Lt; =2t,
(8)
i
то есть формулу Коши-Крофтона для ломаной.
В заключение предельным переходом можно распространить преды­
дущую формулу на любую регулярную кривую, и это докажет теорему 3.
Следует заметить, что общие идеи, связанные с этой темой, принад­
лежат ветви геометрии, известной под именем интегральной геометрии.
Обзор темы можно найти в работе L. А. Santalo "Integral Geometry", Studies
in Global Geometry and Analisis, edited Ьу S. S . Chem, The Mathematical As-
sociation of America, 1967, 147-193.
Формула Коши-Крофтона может быть использована во многих слу­
чаях. Например, если кривая не является спрямляемой (см. упражнение 9,
раздел 1.3), но левая часть равенства (8) имеет смысл, его можно приме­
нить для получения эффективного способа аппроксимации длин кривых.*
Рассмотрим семейство таких параллельных прямых, что две соседние
прямые находятся на расстоянии r. Повернём это семейство на углы к/4,
2к/4, 3к/4, чтобы получить четыре семейства прямых. Пусть п - число
точек пересечения кривой С со всеми этими прямыми. Тогда
1Jr
-n r-
24
является аппроксимацией интеграла
~JfпdрdВ=длинаС
и потому даёт оценку длины С. Чтобы иметь представление, насколько хо­
роша может быть эта оценка, разберём пример.
Пример. Рисунок 1.34 есть изображение электронной микрографии
циклической ДНК-молекулы, и мы хотим оценить её длину. Четыре семей­
ства прямых с расстоянием 7 миллиметров и углами к/4 нанесены на ри­
сунок (более практично бьmо бы иметь это семейство нарисованным раз
'Я хочу поблагодарить Роберта Гарднера за сообщение этого прююжения и следующего примера.

КРИВЫЕ
63
и навсегда на миллиметровой бумаге). Число точек пересечения оказыва­
ется равным 153. Таким образом,
11l1
3,14
-п-""-·153·-""60.
242
4
Рисунок 1.34. Воспроизведено из работы Н. Ris, В. С. Chandler, Cold Spring Har-
bor Symp. Quant. Вiol. 28, 2 (1963), с разрешения
Так как базисный отрезок на рисунке представляет 1 микрометр
(=1о-6 метра) и составляет в нашем масштабе 25 миллиметров, r = 7/25,
таким образом, длина этой ДНК-молекулы, по нашим расчётам, прибли­
жённо равна
60·(;
5
) = 16,8 микрометра.
Истинное значение равно 16,3 микрометра.
УПРАЖНЕНИЯ
1*. Существует ли простая, замкнутая кривая в плоскости с длиной 6 фу­
тов, ограничивающая площадь в 3 квадратных фута?
2*. Пусть АВ
-
отрезок прямой и l больше длины АВ. Покажите, что
кривая С, соединяющая А и В, с длиной l и такая, что вместе с АВ она
ограничивает наибольшую возможную площадь, есть дуга окружности,
проходящей через А и В (рис. 1.35).

64
ГЛАВА 1
L
А
р
Рисунок 1.35
Рисунок 1.36
3. Вычислите кривизну эллипса
x=acost, y=bsint, tE[0,2ir], а-:1-Ь,
и покажите, что он имеет точно четыре вершины, а именно точки (а, О),
(-а, О), (О, Ь), (О, -Ь).
4*. Пусть С
-
плоская кривая и Т - касательная в точке рЕ С. Прове­
дите прямую L, параллельную нормали в точке р на расстоянии d от р
(рис. 1.36). Пусть h - длина отрезка, отсекаемого на L кривой С
и касательной Т (таким образом, h есть «высота>> С относительно Т). До­
кажите, что
где k(p) - кривизна С в точке р.
5*. Докажите, что если замкнутая, плоская кривая С содержится в круге
радиуса r, то существует такая точка рЕ С, что кривизна k кривой С
в точке р удовлетворяет условию 1k1~ 1/r.
6. Пусть a(s), s Е [О,/], - замкнутая, плоская кривая, положительно ори­
ентированная. Кривая
/J(s) = a(s)-r n(s),
где r - положительная постоянная, а п
-
нормальный вектор, называет­
ся параллельной а. Покажите, что
а) длина fJ равна длине а, сложенной с 2лr;
Ь) A(/З)=A(a)+rl+лr 2 ;
с) kp(s) = ka(s)/(1 +r).

КРИВЫЕ
65
/3
Рисунок 1.3 7
В (аНс) символ А( ) обозначает шющадь, ограниченную соответ­
ствующей кривой, ka, k fJ - соответственно кривизны а и fJ.
7.Пусть а:R~R2
-
плоская кривая, определённая на всей вещественной
прямой R. Предположите, что а не проходит через начало координат
О= (О, О) и одновременно
lim 1a(t) 1= оо и lim 1a(t)1= оо.
t---?oo
1---?-оо
а. Докажите, что существует такая точка t0 Е R, что 1a(t0 )1::; 1a(t) 1для лю­
бого tE R.
Ь. Покажите на примере, что утверждение части (а) неверно, если не пред­
полагается, что одновременно lim 1a(t)1= оо и lim 1a(t)1= оо.
t---?+oo
t---Э--оо
8. а*. Пусть a(s), sE [О,/), - плоская, простая, замкнутая кривая. Предпо­
ложите, что кривизна k(s) удовлетворяет неравенствам О< k::; с, где с -
постоянная (таким образом, а искривлена меньше, чем окружность радну-
2л
са 1/с). Докажите, что длина а не меньше -.
с
Ь. В части (а) замените предположение о том, что кривая простая, требо­
ванием «а имеет индекс вращения N». Докажите, что длина а не меньше
2nN
с
9*. Множество К с R 2 называется выпуклым, если для любых двух точек
p,qE К отрезок pq содержится в К (рис. 1.38). Докажите, что простая,
замкнутая, выпуклая кривая ограничивает выпуклое множество.

66
ГЛАВА 1
10. Пусть С
-
плоская, выпуклая кривая. Докажите геометрически, что С
не имеет самопересечений.
11 *. Для данной невыпуклой, простой, замкнутой, плоской кривой С мы
можем рассматривать её выпуклую оболочку Н (рис. 1.39), то есть гра­
ницу наименьшего выпуклого множества, содержащего внутренность С.
Кривая Н образована дугами С и отрезками касательных к С, которые на­
водят мосты через «невыпуклые провалы» (рис. 1.39). Можно доказать,
что Н является замкнутой, выпуклой кривой класса С 1 • Используйте это
для доказательства того, что в изопериметрической задаче можно ограни­
читься выпуклыми кривыми.
Рисунок 1.38
Рисунок 1.39
12*. Рассмотрите единичную окружность S 1 в плоскости. Покажите, что
1
отношение М1 /М2 =- , где М2 - мера множества прямых в плоскости,
3
которые пересекают S 1
, и М1 - мера множества всех таких прямых, кото-
рые определяют хорды S 1 с длиной, большей .J3. Интуитивно, это отно­
шение есть вероятность того, что прямая, которая пересекает S 1
,
задаёт
хорду S', более длинную, чем сторона равностороннего треугольника,
вписанного в S 1 (рис. 1.40).
13. Пусть С
-
ориентированная, плоская, замкнутая кривая с кривизной
k >О. Предположите, что С имеет по крайней мере одну точку р самопе­
ресечения. Докажите, что
а) существует такая точка р' Е С, что касательная Т' в точке р' парал­
лельна некоторой касательной в точке р;

КРИВЫЕ
67
Ь) угол поворота касательной на положительной дуге рр'р кривой С
больше я (рис. 1.41);
с) индекс вращения С не меньше 2.
у
Рисунок 1.40
Т'
Рисунок 1.41
14. а. Покажите, что если прямая L пересекает замкнутую, плоскую кри­
вую С, то L либо является касательной к С, либо пересекает С точно
в двух точках.
Ь. Используйте часть (а), чтобы показать, что мера множества прямых, ко­
торые пересекают С (без учёта кратности), равна длине С.
15. Теорема Грина для плоскости является фундаментальным фактом диф­
ференциального исчисления и может быть сформулирована следующим
образом. Пусть простая, замкнутая кривая задана параметризацией а =
=(x(t),y(t)), tE [а, Ь]. Предположим, что а положительно ориентирована,
С - её след и R - внутренность С. Пусть р:::: р(х,у), q = q(x,y) - ве­
щественные функции с непрерывными частными производными Рх, Ру'
qx, qy- Тогда
f (qx-Py)dxdy=r (pdx+qdyJdt,
R
Jcdtdt
(9)
где во втором интеграле функции р и q предполагаются ограниченными
на а и интегрирование ведётся в границах от t =а до t = Ь. В частях (а)
и (Ь) ниже мы предлагаем вывести из формулы Грина формулу площа­
ди R и формулу замены переменных в двойном интеграле (ер. равенства
(1) и (7) в тексте).

68
ГЛАВА l
а. Положите q = х и р =-у в равенстве (9) и заключите, что
A(R)=fi dxdy= _!_f(x(t)dy- y(t)dx)dt.
R
2
dt
dt
а
Ь. Пусть f(x,y) -вещественная функция с непрерывными частными про­
изводнымииТ:R2 ~R2
-
преобразование координат, заданное функ­
циями х = х(и, v), у= у(и, v), которые также имеют непрерывные частные
производные. Положите в равенстве (9) р =О и q выберите так, что
qx = f. Примените последовательно формулу Грина, отображение Т
и снова формулу Грина, чтобы получить
fJ f(x,y)dxdy= Jqdy= Ji 1 (qoT)(yuu'(t)+yvv'(t))dt=
R
С
Г (С)
= Нг'(R) {: И ((q 0 T)yv)- ;V ((q о Т)уи)} du dv.
Покажите, что
д
д
ди (q(x(u,v), y(u,v))yv)-дv (q(x(u,v), y(u,v))yu)=
д(х,у)
= f(x(u, v), у(и, v))(XuYv - XvYu) = f-д--.
(и, v)
Подставьте это выражение в предыдущее равенство и получите формулу
замены переменных для двойных интегралов:
ff f(x,y)dxdy= J, f(x(u,v),y(u,v))\д(x,y)\dиdv.
R
г (R)
д(и, v)

ГЛАВА 2
РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
2.1 . Введение
В этой главе мы начнём изучение поверхностей. В то время как в пер­
вой главе мы применяли, главным образом, элементарный анализ функций
одной переменной, теперь нам понадобится некоторое знание анализа
функций нескольких переменных. Точнее, нам нужны некоторые сведения
о ш~прерывности и дифференцируемости функций и отображений в R 2
иR3
.
То, что нам нужно, можно найти в любом стандартном руководстве
по высшему анализу, например в Buck Advanced Calculus; мы включили
краткий обзор части этого материала в приложение к главе 2.
В разделе 2.2 мы введём основное понятие регулярной поверхности
вR3
.
В отличие от трактовки кривых в главе 1, регулярные поверхности
определяются как множества, а не как отображения. Цель раздела 2.2 -
описать некоторые критерии, которые помогают решить, является ли дан-
ное подмножество R 3 регулярной поверхностью.
В разделе 2.3 мы покажем, что можно определить понятие дифферен­
цируемости функции на регулярной поверхности, а в разделе 2.4 мы пока­
жем, что обычное понятие дифференциала в R 2 можно распространить на
такие функции. Таким образом, регулярные поверхности в R 3 предостав­
ляют естественный материал для применения двумерного анализа.
Конечно, кривые также можно трактовать с той же точки зрения, то
есть как подмножества R 3
, кот ор ые явля ются естественным ма те р иа ло м
для применения одномерного анализа. Мы кратко упомянем их в раз­
деле 2.3 .
Разделы 2.2 и 2 .3 являются ключевыми для остальных частей книги.
Начинающий может счесть доказательства в этих разделах довольно труд­
ными. Если так, при первом чтении доказательства можно опустить.
В разделе 2.5 мы введём первую основную форму, естественный ин­
струмент для решения метрических задач (вычисление длин кривых, пло­
щадей областей и т. д.) на регулярной поверхности. Это даст очень важ­
ные результаты, когда мы дойдём до главы 4.

70
ГЛАВА2
Разделы с 2.6 по 2.8 оптимальны для первого чтения. В разделе 2.6 мы
разработаем понятие ориентации регулярной поверхности. Оно потребу­
ется в главах 3 и 4. В помощь тем, кто пропускает этот раздел, мы дадим
обзор понятия ориентации в начале главы 3.
2.2. Регулярные поверхности.
Прообразы регулярных значений*
В этом разделе мы введём понятие регулярной поверхности в R 3
.
Го­
воря упрощённо, регулярная поверхность в R 3 получается деформирова­
нием кусков плоскости и склеиванием их таким образом, что полученная
фигура не имеет точек заострения, рёбер или самопересечений, и потому
имеет смысл говорить о касательной плоскости в точках этой фигуры.
Идея состоит в определении множества, которое в некотором смысле дву­
мерно и достаточно гладко, так что на него можно распространить понятия
анализа. К концу раздела 2.4 должно быть совершенно ясно, что следую­
щее определение корректно.
Определение 1. Подмножество Sc R
3
называется регулярной по­
верхностью, если для каждой точки рЕ S существуют открытое мно­
жество V в R 3 и такое отображение х : И ~ V n S открытого множества
UcR
2
на VnS c.R
3
, что (рис. 2.1)
1) х дифференцируемо, это означает, что в записи
х (и, v) = (х (и, v),y(u, v), z(u, v)), (и, v)E И,
функции х (и, v), у (и, v), z (и, v) имеют непрерывные частные производные
всех порядков в И;
2) х есть гомеоморфизм; так как х непрерывно по условию 1, это озна­
чает, что отображение х имеет обратное отображение х-1 : VnS~ И, кото­
рое непрерывно, то есть х- 1 является ограничением непрерывного отобра­
женияF: WсR3~R2
, определённого на открытом множестве W, содер­
жащем VnS;
3) (условие регулярности) для любой точки q Е И дифференциал dx q:
2
3
б
**
R ~ R является взаимно однозначным ото ражением.
Вскоре мы разъясним условие 3.
* Доказательства этого раздела можно опустить при первом чтении.
** В курсивном контексте буквенные символы набраны прямым шрифтом, чтобы они могли выделяться
из окружающего текста.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
71
х
Рисунок 2.1
Отображение х называется пара.метризацией или системой (локаль­
ных) координат в (окрестности) р. Окрестность V nS точки р на S на­
зывается координатной окрестностью.
Чтобы придать условию 3 более знакомый вид, найдём матрицу ли­
нейного отображения dxq в канонических базисах е1 = (1, О), е2 =(О, 1)
вR2 скоординатами (и,v) иfi=(1,О,О), /2=(О,1,О),/3=(О,О,1) вR3
с координатами (х, у, z).
Пусть q = (и0 , v0 ). Вектор е1 является касательным к кривой и~ (и, v0 ),
образ которой при отображении х есть кривая
и~ (х(и,v0 ), у(и, v0 ), z(и, v0 )).
Этот образ (называемый координатной линией v = v0 ) лежит на S и имеет
в точке x(q) касательный вектор (рис. 2.2)
где производные вычислены в точке (и0 , v0 ), а вектор задан своими коор­
динатами в базисе {fi, / 2 , / 3 }. По определению дифференциала (прможе­
ние к главе 2, определение 1),
dx (ei)= (дх, ду' дz)= дх.
q
дидиди ди
Аналогично, используя координатную линию и = и0 (образ кривой
v ~ (и0 , v)) при отображении х), получаем
dx(е)=(дхдудz)=дх.
ч 2 дv'дv'дv дv

72
ГЛАВА2
v и=ио
Рисунок 2.2
Таким образом, матрица линейного отображения dxq в соответствующих
базисах имеет вид
дх дх
-
ди дv
dx ==
ду ду
q
ди дv
дz дz
-
ди дv
Условие 3 в определении 1 теперь может быть сформулировано как
требование линейной независимости двух столбцов этой матрицы, или, что
равносильно, условием, что векторное произведение дх/ди л дх/дv * О;
или, ещё иначе, что один из миноров порядка 2 матрицы dxq, то есть один
из якобианов
дх
д(х,у) - ди
д(и,v) - ду
ди
отличен от нуля в q.
дх
дv
ду'
дv
д(у,z)
д(u,v)'
д(х,z)
д(u,v)
Замечание 1. Определение 1 нуждается в двух пояснениях. Во-первых,
в отличие от нашей трактовки кривых в главе 1, мы определили поверх­
ность как подмножество S в R 3
, а не как отображение. Это достигается
покрытием S следами параметризаций, которые удовлетворяют услови­
ям1,2иЗ.
Условие 1 вполне естественно, если мы намерены строить некоторую
дифференциальную геометрию на S. Взаимная однозначность в условии 2

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
73
имеет целью исключение самопересечений регулярных поверхностей. Яс­
но, что зто необходимо, если мы собираемся говорить, скажем, об опреде­
лённой касательной плоскости в точке рЕ S (см. рис. 2.3, а). Непрерыв­
ность обратного отображения в условии 2 имеет более тонкую цель, кото­
рая может быть вполне понята только в следующем разделе. Позже мы
покажем, что зто условие существенно для доказательства того, что неко­
торые объекты, определённые в терминах параметризации, не зависят от
этой параметризации, а зависят только от самого множества S. Наконец,
как мы покажем в разделе 2.4, условие 3 будет гарантировать существова­
ние «касательной плоскости» во всех точках S (см. рис. 2.3, Ь).
Пример 1. Покажем, что единичная сфера
S2
={(x,y,z)E R 3
;х
2
+у
2
+z
2
=1}
является регулярной поверхностью.
(Ъ)
Рисунок 2.3 . Некоторые ситуации, которые исключаются в определении регу­
лярной поверхности
Проверим сначала, что отображение х 1: И с R 2 ~ R 2
,
заданное ра­
венством
х1(х,у)= (х,у,+~1-(х2 +у2)), (х,у)Е И,
гдеR2= {(x,y,z)ER 3; z =0} и И={(х,у)ЕR2; х2 +у2 <1}, является пара­
метризацией S 2
•
Заметим, что х 1 (И) есть (открытая) часть S2
,
располо­
женная выше :ху-плоскости.
Так как х2 +у2 < 1, функция +~1-(х2 +у2) имеет непрерывные ча­
стные производные всех порядков. Таким образом, х 1 дифференцируемо,
и условие 1 выполняется.
Условие 3 легко проверяется, так как
д(х,у)=I.
д(х,у)

74
ГЛАВА2
Чтобы проверить условие 2, заметим, что х 1 взаимно однозначно
ичтоxj
1
является ограничением на множество х 1 (И) (непрерывного) ото­
бражения проекции я(х,у,z)=(х,у). Таким образом, xj
1
непрерывно
на x 1(U).
Покроем теперь всю сферу аналогичными параметризациями следую­
щимобразом.Определимх2: И сR2~R3
, полагая
х2(х,у)= (х,у,-~I-(x2 +у2)),
проверим, что х 2 - параметризация, и заметим, что х 1 (И) u х 2 (И) покры­
вает82
, за исключением экватора
{(x,y,z)ER3; x
2
+y
2
=I, z=O}.
Затем, используя xz- и zу-плоскости, определим параметризации
x3(x,z) = (х, +~1-(х2 +z
2
), z),
x4(x,z)=(х, -~1-(х2+z
2
), z),
X 5(y,z) = (+~1-(у2 + z
2
), у, z),
X5(y,z)=(-~l-(y2 +z
2
),y,z),
которые, вместе с х 1 и х 2 , полностью покрывают 8 2 (рис. 2.4) и показы­
вают, что 8 2 есть регулярная поверхность.
Рисунок 2.4
Для большинства приложений удобно отнести параметризации к гео­
графическим координатам на 8 2
• Пусть V={(B,tp);О<В<я,О<tp<2я},
и пусть отображение х: V ~ R 3 задаётся равенством
x(B,97)=(sinBcos97, sinBsin97, cosB).

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
75
z
у
Рисунок 2.5
Очевидно, x(V) с 3 2
• Докажем, что х есть параметризация 3 2
•
{} обычно
называется коширотой (дополнение широты), а rp - долготой (рис. 2.5).
Очевидно, что функции sin {} cos rp, sin {} sin rp, cos rp имеют непрерыв­
ные частные производные всех порядков; следовательно, х дифференци­
руемо. Кроме того, для одновременного обращения в нуль всех якобианов
д(х,у) =cos8sin8
д(8,rр)
'
д(у,z) =sin 2 (Jcosrp
д(В,rр)
'
д(х,z) = -sin2 Bsinф
д(8, rp)
необходимо, чтобы
cos
2
8sin
2
8+sin
4
8cos
2
rp+ sin
4
Bsin
2
rp=sin
2
8 =О.
Этого не происходит в области V, и потому условия 1 и 3 определения
выполняются.
Далее, заметим, что для данной точки (x,y,z)E 3 2 -С, где С - по­
луокружность:
С= {(x,y,z)E S 2; у= О, х:?: О},
угол 8 определяется однозначно равенством е = arccos z, так как О< 8 <те.
Зная 8, мы находим sinrp и cosrp из равенств x=sinBcosrp, y=sinBsinrp,
и это определяет rp однозначно (О< rp < 2п"). Отсюда следует, что отобра­
жение х имеет обратное х-1 . Чтобы завершить проверку условия 2, мы
должны доказать, что х- 1 непрерывно. Однако, поскольку мы вскоре до­
кажем (предложение 4), что эта проверка необязательна, если мы уже зна­
ем, что множество S - регулярная поверхность, то делать проверку здесь
мы не будем.

76
ГЛАВА2
Заметим, что x(V) не содержит только полуокружности на 8 2 (вклю­
чая два полюса) и что 8 2 можно покрыть координатными окрестностями
двух параметризаций этого типа.
В упражнении 16 мы укажем, как покрыть S 2 другими координатны­
ми окрестностями.
Пример 1 показывает, что выяснение, является ли данное подмно­
жество R 3 регулярной поверхностью, непосредственно по определению
может быть весьма утомительным. Прежде чем перейти к другим приме­
рам, приведём два предложения, которые упростят эту задачу. Предложе­
ние 1 показывает связь, которая существует между определением регуляр­
ной поверхности и графиком функции z = f(x,y). Предложение 2 исполь­
зует теорему об обратной функции и связывает определение регулярной
поверхности с подмножества'vlu вида f(x,y,z) = const.
Предложение 1. Если f: И~ R - дифференцируемая функция на
множестве И в R 2
,
то график f, то есть подмножество R3 вида
(х, y,ftx, у)) при (х, у)Е И, является регулярной поверхностью.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно показать, что отображение х: И~ R 3
,
заданное равенством
х(и, v) =(и, v, f(и, v)),
является параметризацией графика, координатная окрестность которой со­
держит каждую точку графика. Условие 1, очевидно, выполняется,
и проверка условия 2 не представляет никаких затруднений, поскольку
д(х,у)/д(и,v)=1. Наконец, каждая точка (x,y,z) графика является обра­
зом при отображении х единственной точки (и, v) = (х,у)Е И. Следова-
-1
тельно, х взаимно однозначно, и поскольку х есть ограничение на гра-
фик/ (непрерывного) отображения проекции R 3 на ху-плоскость, то х- 1
непрерывно.
о
Прежде чем сформулировать предложение 2, нам потребуется опреде­
ление.
Определение 2. Для данного дифференцируемого отображения F:
Ис R п ~ R т , определённого на открытом множестве И в R п, точка рЕ И

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
77
называется критической точкой F, если дифференциал dFP : R" ~
~ R т не является сюръективным отображением (отображением на). Образ
F(p)E R т критической точки называется критическим значением F. Точ­
ка R т , которая не является критическим значением, называется ретуляр­
ным значением F.
Терминология, очевидно, мотивирована частным случаем, когда
f: И cR~R - вещественнозначная функция вещественной перемен­
ной. Точка х0 с И является критической, если f'(x 0 ) =О, то есть если
дифференциал dfx0 переводит все векторы в нулевой вектор (рис. 2.6). За-
метим, что любая точка а!/. f(U), очевидно, является регулярным значе­
нием/.
Если f : И с R 3 ~ R - дифференцируемая функция, то результат
применения dfР к вектору (1, О, О) получается вычислением касательного
вектора в точке f(p) к кривой
у
Криrическое "х )
значеnие л: 0
df,,(v)
о
Отсюда следует, что
и, аналогично,
df"(v)
х,
Критическая
точка
Рисунок2.6
dfp(O,1,О)==fy, df/O,О,1)==/2•
у= j{x)
х

78
ГЛАВА2
Мы заключаем, что матрица dfp в базисе (1, О, О), (О, 1, О), (О, О, 1) име­
ет вид
Заметим, что в этом случае утверждение, что dfР не является сюръек­
тивнь1м, равносильно высказыванию, что fx = fy = fz =О в точке р. Следо­
вательно, а Е f (И) есть регулярное значение отображения f: И с R 3 ~ R
тогда и только тогда, когда fx, fy и fz не обращаются в нуль одновре­
менно в прообразе
f- 1(a) = {(x,y,z)E И; f(x,y,z) =а}.
Предложение 2. Если f: И с R 3 ~ R - дифференцируемая функция
и а Е /(И) - регулярное значение/, то f-
1
(a) -регулярная поверхность
вR3.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть p=(x0 ,y0 ,z0 ) -точка f-
1
(a). Так как а
-
регулярное значение f, можно допустить, переименовав, если необходи-
мо, ось, что fx :/:.О в точке р. Определим отображение F: И с R 3 ~ R 3
,
полагая
F(x,y,z) = (x,y,f(x,y,z)),
и обозначим (и, v, t) координаты точки в R 3
, гд е F принимает свои значе­
ния. Дифференциал F в точке р задаётся матрицей
о
:],
fz
где
det(dFP) = fz :/:.О.
Мы можем поэтому применить теорему об обратной функции
(ер. приложение к главе 2), которая гарантирует существование таких ок­
рестностей Vточки р и W точки F(p), что F: V ~ W обратимо
и обратное отображение F-
1
: W ~ V дифференцируемо (рис. 2.7). Отсю­
да следует, что координатные функции отображения F-
1
, то ест ь функции
х=и, y=v, z=g(и,v,t), (и,v,t)EW,

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
79
f'(a)ПV
f~a
z
~' ~w
а
F
1
1
1
1
1
1F(p)1
:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:
:
:
1у
1
1
1
1
"
1
1
о
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
v 1111
!/'
i/v
х
и
Рисунок2.7
дифференцируемы. В частности, z = g(u, v,a) = h(x,y) - дифференцируе­
мая функция, определённая в проекции V на ху-плоскость. Так как
F(Г 1 (a)nV)=Wn{(u,v,t); t=a},
мы заключаем, что график h является пересечением f-
1
(a) п V. Согласно
предложению 1, 1-
1
(а) n V есть координатная окрестность р. Следова­
тельно, каждая точка р Е 1-
1
(а) может быть покрыта координатной окре-
стностью, и потому 1-
1
(а) - регулярная поверхность.
D
Замечание 2. Доказательство состоит, по существу, в использовании
теоремы об обратной функции для «разрешения относительно z » уравне­
ния f(x,y,z) =а, что может быть сделано в окрестности точки р, если
l 2 (p) #О. Этот факт является частным случаем общей теоремы о неявной
функции, которая следует из теоремы об обратной функции и фактически
ей эквивалентна.
Пример 2. Эллипсоид
х2у2z2
- +-+-=1
а2ь2с2
является регулярной поверхностью. Действительно, это есть множество
Г1(0), где
х2у222
f(x,y,z)=-
2
+
2+2
-1
аЬс

80
ГЛАВА2
есть дифференцируемая функция и О - регулярное значение f. Это сле­
дует из того факта, что частные производные fx = 2х/ а
2
' fy =2у/Ь2
'
fz = 2z/с2 одновременно обращаются в нуль только в точке (О, О, О), кото­
рая не принадлежит /-
1
(0). Этот пример включает сферу как частный
случай (a=b=c=l).
Регулярные поверхности приведённых до сих пор примеров были
связными подмножествами R 3
.
Поверхность S с R 3 называется связной,
если любые две её точки можно соединить непрерывной кривой на S.
В определении регулярной поверхности мы не налагали никаких ограни­
чений на связность поверхностей, и следующий пример показывает, что
регулярные поверхности, заданные предложением 2, могут не быть связ­
ными.
Пример 3. Двуполостный гиперболоид -х
2
-
у2 +z
2
= 1 является регу­
лярной поверхностью, так как он задаётся как S = f-
1
(0), где О - регу­
лярное значение функции f(x,y,z) =-х 2 - у 2 + z
2
- 1 (рис. 2.8). Заметьте,
что поверхность S не является связной; а именно, две заданные точки раз­
личных полостей ( z > О и z < О) невозможно соединить непрерывной кри­
вой a(t) = (x(t),y(t),z(t)), лежащей на поверхности; в противном случае z
меняет знак, и z(t0 ) ==О при некотором t0 , а это означает, что a(t0 ) е: S.
Неожиданно рассуждения примера 3 можно использовать для дока­
зательства свойства связных поверхностей, которое мы будем неодно-
кратно использовать. Если f: S с R 3
- t R - не обращающаяся в нуль не­
прерывная функция, определённая на связной поверхности S, то f не меня­
ет знака на S.
Чтобы доказать это, используем теорему о промежуточном значении
(приложение к главе 2, предложение 4). Предположим противное, то есть
f(p) >О и f(q) <О в некоторых точках р, qE S. Так как S - связная по­
верхность, существует непрерывная кривая а: [а, b]-t S, где а(а) = р,
а(Ь) = q. Применяя теорему о промежуточном значении к непрерывной
функции f о а [а, Ь] -t R, получаем, что существует такая точка с Е (а, Ь),
что f а а(с) =О, то есть f обращается в нуль в точке а(с), что противо­
речит условию.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
81
z
у
Рисунок 2.8. Несвязная поверхность -у
2
-
х2+z
2
=r
2
Пример 4. Тор Т есть «поверхносты>, порождаемая вращением ок­
ружности радиуса r вокруг прямой, лежащей в плоскости окружности на
расстоянии а> r от центра окружности (рис. 2.9).
Пусть S 1
-
окружность в yz -плоскости с центром в точке (О, а, О).
Тогда S 1 задаётся уравнением (у-а)
2
+z
2
=r
2
и точки фигуры Т, полу­
ченной вращением окружности вокруг оси z, удовлетворяют уравнению
z
2
=r
2
-(~х2 + у 2 - а) 2 . Следовательно, Т есть прообраз значения r
2
при
отображении, определяемом функцией f(x, у, z) = z
2
+(~х2+у2- а)2
.
Эта
функция дифференцируема при (х,у) =/. (0,0), и, поскольку
дf_2х(~х2 +у2-а)
дх- ~х2+У2
дf _2у(~х2+у2-а)
ду- ~х2 +у2
дf -2
дz- z,
r
2
-
регулярное значение/. Отсюда следует, что тор Т - регулярная по­
верхность.
Предложение 1 утверждает, что график дифференцируемой функции
является регулярной поверхностью. Следующее предложение даёт локаль-

82
ГЛАВА2
ное обращение этого предложения, то есть любая регулярная поверхность
локально является графиком дифференцируемой функции.
z
Рисунок2.9
Предложение 3. Пусть Sc R
3
-
регулярная поверхность и рЕ S. То­
гда существует такая окрестность V точки р на S, что V является гра­
фиком дифференцируемой функции, которая имеет вид один из трёх сле­
дующих:z =j(x,у),у =g(x,z),х =h(y,z).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х: И с R 2 ~ S - параметризация S в точке р;
запишем x(и,v)=(x(и,v),y(и,v),z(и,v)), (и,v)Е И. В силу условия 3 опре­
деления 1, один из якобианов
д(х,у)
д(и, v)'
д(у,z)
д(u,v)'
не обращается в нуль в точке х- I (р) = q.
д(z,х)
д(u,v)
Предположим сначала, что(д(х,у)/д(и, v))(q) ;t: О, и рассмотрим отобра­
жение яах: И~ R 2
, где я - проекция я(х,у,z) = (х,у). Тогда 7т: а х(и, v) =
=(x(u,v),y(u,v)), и, поскольку (д(x,y)/д(u,v))(q);t:O, мы можем приме­
нить теорему об обратной функции, чтобы гарантировать существование
таких окрестностей V1 точки q, V2 точки я ох (q) , что я ох отображает V]
диффеоморфно на V2 (рис. 2.10). Отсюда следует, что я, ограниченное на
x(v;) = V, взаимно однозначно и существует дифференцируемое обратное
отображение (яах)-1 : V2 ~ V]. Заметьте, что, поскольку х есть гомео­
морфизм, V есть окрестность точки р на S. Далее, если мы составим

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
83
композицию отображения (яох)- 1 : (x,y)--;(u(x,y),v(x,y)) с функцией
(и, v)--; z(и, v), мы получим, что V является графиком дифференциру­
емой функции z = z(u(x,y), v(x,y)) = f(x,y), и это доказывает предложе­
ние в первом случае.
В остальных случаях можно действовать тем же способом, получая
x=h(y,z) и y=g(x,z).
О
z
v
х
и
о
х
Рисунок 2.1 О
Следующее предложение утверждает: если мы уже знаем, что S -
регулярная поверхность, и имеем х как предполагаемую параметризацию,
то мы не должны проверять, что х-1 непрерывно, при выполнении других
условий. Это замечание было использовано в примере 1.
Предложение 4. Пусть рЕ S - точка регулярной поверхности S,
ипустьх:ИсR2
--;R
3
-
такое отображение с ре х (И), что условия 1
и 3 определения 1 выполняются. Предположим, что х взаимно однозначно.
Тогда х- 1 непрерывно.
Доклзл твльство. Первая часть доказательства аналогична доказа­
тельству предложения 3. Запишем х(и, v) = (х(и, v), у(и, v),z(u, v)), (и, v) Е И,
и пусть q Е И. В силу условий 1 и 3 можно считать, переобозначая в случае
необходимости координатную ось в R 3
, что
(д(х,у)/д(u, v))(q) "#О. Пусть
я:R 3
--;R
2
-
проекция я(х,у,z) = (х,у). По теореме об обратной функ­
ции, получаем такие окрестности V1 точки q в И и V2 точки я ох (q) в R 2
,
что я ох отображает V1 диффеоморфно на V2 .
Предположим теперь, что х взаимно однозначно. Тогда, при ограни­
чении на х (V1),

84
ГЛАВА2
(см. рис. 2.10). Таким образом, х-
1
непрерывно как композиция непре­
рывных отображений. Так как q - произвольная точка, х-
1
непрерывно
на х(И).
О
Пример 5. Однополостный конус С, заданный уравнением
z =+~х2+у2, (х,у)ЕR2
,
не является регулярной поверхностью. Заметьте, что мы не можем за­
ключить это из одного только факта, что «естественная» параметризация
(х,у)~(х,у,+~х2 +у2)
не дифференцируема; могут быть другие параметризации, удовлетворяю­
щие условиям определения 1.
Чтобы показать, что это не так, используем предложение 3. Если бы
конус С бьш регулярной поверхностью, он был бы в окрестности точки
(0,0,О)Е С графиком дифференцируемой функции, имеющей вид один из
трёх: у= h(x,z), х = g(y,z), z = f(x,y). Первые два вида можно отбро­
сить в силу того простого факта, что проекции С на xz и уz-плоскости
не являются взаимно однозначными. Последняя функция должна сов-
падать в окрестности точки (О,О,О) с функцией z = ~х2 + у2 . Так как
z = +~х 2 + у2 не дифференцируема в точке (О, О), это невозможно.
Пример 6. Параметризацию тора Т примера 4 можно задать равенст­
вом (рис. 2.9)
х(и, v) = ((rcosu + a)cos v, (r cosu + a)sin v, rsin и),
гдеО<и<2я, О<v<2я.
Условие 1 определения 2 легко проверяется, а проверка условия 3 сво­
дится к прямому вычислению, которое предоставлено в качестве упраж­
нения. Поскольку мы знаем, что Т - регулярная поверхность, условие 2,
в силу предложения 4, равносильно тому факту, что х взаимно однозначно.
Чтобы доказать, что х взаимно однозначно, заметим, во-первых, что
sin и= z/r; далее, если ~х2 +у2 :о::;а, то п:/2:о::;и:о::;Зп:/2, иесли~х2 +у2 ~а,
то либо О< и :о::; я/2, либо Зя/2 :о::; и< 2я. Таким образом, задание (x,y,z)
определяет и, О< и < 2я, однозначно. Зная и, х и у, мы находим cos v
и sin v. Это определяет v однозначно, О < v < 2я. Таким образом, х вза­
имно однозначно.
Легко видеть, что тор можно покрыть тремя такими координатными
окрестностями.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
85
УПРАЖНЕНИЯ*
1. Покажите, что цилиндр {(x,y,z)E R 3
;х
2
+у2=1} - регулярная по­
верхность, и найдите параметризации, координатные окрестности которых
его покрывают.
2. Является ли множество {(x,y,z)E R 3
;z=О,х2+у
2
:s;1} регулярной по­
верхностью? Является ли множество {(x,y,z)E R 3
;z=О,х
2
+у2 <1} ре­
гулярной поверхностью?
3. Покажите, что двуполостный конус с вершиной в начале координат, то
есть множество {(x,y,z)E R 3
; х2+у2-z
2
=О}, не является регулярной
поверхностью.
4.Пусть f(x,y,z)=z
2
.
Докажите, что О не является регулярным значе­
нием f и, несмотря на это, f-
1
(О) - регулярная поверхность.
5*.Пусть P={(x,y,z)ER 3
; х=у} (плоскость) их: UcR
2
~R 3 задано
равенством
x(u,v)=(u+v, и+v, uv),
где И= {(и, v)E R 2 ; и> v}. Очевидно, x(U) с Р. Является лих параметри­
зацией Р?
6. Дайте другое доказательство предложения 1, применяя предложение 2
к функции h(x,y,z)=f(x,y)-z.
7. Пусть f(x,y,z) = (х+ у+ z-1)2
.
а. Определите местоположение критических точек и критических значе­
ний/.
Ь. При каких значениях с множество f(x,y,z) =с является регулярной
поверхностью?
с. Ответьте на вопросы частей (а) и (Ь) для функции f(x,y,z) =xyz
2
•
' Те . кто про пу ст ил док аз ат ель ст ва этого ра зд ел а, могут так же пропу стить упражнения 17-19.

86
ГЛАВА2
8. Пусть х(и, v)удовлетворяет условиям определения 1 . Проверьте, что
отображение dxq : R
2
---;R
3
взаимно однозначно тогда и только тогда, когда
9. Пусть V - открытое множество в ху-плоскости. Покажите, что мно­
жество
{(x,y,z)ER2 ; z=O,(x,y)EV}
является регулярной поверхностью.
10. Пусть С - фигура «8» в ху-плоскости, и пусть S - цилиндрическая
поверхность с направляющей С (рис. 2.11 ), то есть
S={(x,y,z)ER 3
; (х,у)ЕС}.
Является ли S регулярной поверхностью?
s
Рисунок 2. 11
11. Покажите, что множество S={(x,y,z)ER 3
; z=x
2
-y
2
} является регу­
лярной поверхностью, и проверьте, что (а) и (Ь)- параметризации S:
а) x(u,v)=(u+v,u-v,4uv), (u,v)ER 2
;
Ь*) x(u,v)=(uchv,ushv,u
2
), (u,v)ER 2
,
u#O.
Какие части S покрывают эти параметризации?

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
87
12.Покажите,чтох: ИсR2~R3
, заданное равенством
x(u,v)=(asinucosv, bsinusinv, ccosu), a,b,c=F-0,
где О< и< ll, О< v < 2Jl, является параметризацией эллипсоида
Опишите геометрически кривые и = const на эллипсоиде.
13*. Найдите параметризацию двуполостного гиперболоида {(x,y,z)E R 3;
-
х2-у2+z2=1}.
14. Луч [О,+ оо) перпендикулярен прямой Е и вращается вокруг Е из дан­
ного начального положения, в то время как его начало О перемещается
вдоль Е. Перемещение таково, что, когда луч [О,оо) поворачивается на
угол В, его начало находится на расстоянии d = sin
2
(B/2) от исходного
положения на Е. Проверьте, что, удаляя прямую Е из фигуры, описанной
вращающейся прямой, мы получаем регулярную поверхность. Если бы пе­
ремещение было таково, что d = sin(B/2), что ещё следовало исключить,
чтобы получить регулярную поверхность?
15*. Пусть две точки p(t) и q(t) движутся с одной и той же скоростью,
причём р выходит из (0,0,0) и движется вдоль оси z, а q выходит из
(а, 0,0) и движется параллельно оси у. Покажите, что прямая, соединяю­
щая p(t) с q(t), описывает множество в R 3
,
заданное уравнением
у(х - а)+ z х =О. Является ли оно регулярной поверхностью?
16. Одним из способов определения системы координат на сфере S 2
,
заданной уравнением х2 + у 2 + (z -1)2
= 1, является так называемая сте-
реографическая проекция ll: S
2
-{N}~R2
,
которая переводит точку
р = (x,y,z) сферы S 2 без северного полюса в точку пересечения
.ху-плоскости с прямой, соединяющей N с р (рис. 2.12). Пусть
(u,v)=ll(x,y,z), где (x,y,z)ES 2 -{N} и(u,v) принадлежит ху-плос-
кости.

88
ГЛАВА2
а. Покажите, что n-
1
:R
2
~ S 2 задаётся равенствами
ir-1 =
4и
х=-----
и2 +v2 +4'
4v
у=-=---,-­
и2 +v2 +4'
Ь. Покажите, что, используя стереографическую проекцию, можно по­
крыть сферу двумя координатными окрестностями.
z
N
х
Рис. 2.12 . Стереографическая проекция
17. Дайте определение регулярной кривой по аналогии с определением ре­
гулярной поверхности. Докажите, что
а) прообраз регулярного значения дифференцируемой функции
/: UcR
2
~R
является регулярной плоской кривой; приведите пример такой кривой, ко­
торая не является односвязной;
Ь) прообраз регулярного значения дифференцируемого отображения
F: UcR
3
~R2
является регулярной кривой в R 3
; Покажите связь между этим предложе­
нием и классическим способом задания кривой в R 3 как пересечения двух
поверхностей;

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
89
с*) множество С ={(х, у) Е R 2
;х
2
=у3} не является регулярной кривой.
18*. Предположите, что уравнения f(x,y,z)=u=coпst, g(x,y,z)=v=
=coпst, h(x,y,z) = w = coпst описывают три семейства регулярных поверх­
ностей, и допустите, что в точке (x0 ,y0 ,z0 ) якобиан
д(f,g,h) =FO.
д(х,у,z)
Докажите, что в окрестности точки (x0 ,y0 ,z0 ) три семейства будут заданы
отображением F(u, v, w) = (x,y,z) открытого множества пространства R 3
вR3
, где локальная параметризация поверхности семейства f(x,y,z) =и,
например, получается, если положить и = const в этом отображении. Опре­
делите F для случая, когда три семейства поверхностей таковы:
f(x,y,z) = х
2
+у
2
+z
2
=и= const
(сферы с центром (О, О, О));
g(x,y,z) = 2:. = v = const
(плоскости, проходящие через ось z );
х
х2+у2
h(x,y,z) =--
2
-= w= const (конусы с вершиной в точке (О, О, О).
z
у
Горизовта.ль.н:ый аl8Сmтаб отличен
от вертикальвоrо масштаба
Рисунок 2.13
х
19*. Пусть а: (-3, О)-* R 2 задано следующим образом (рис. 2.13):
(О, -(t+2)), еслиtЕ (-3,-1),
регулярной параметризованной кривой, соединяющей
a(t)= р=(О,-1) с q=(~,O), еслиtЕ(-1,- ~}

90
ГЛАВА2
Можно задать кривую, соединяющую р с q, так, чтобы все произ­
водные а были непрерывны в соответствующих точках и а не имела са­
мопересечений. Пусть С - след а.
а. Является ли а регулярной кривой?
Ь. Пусть нормаль к плоскости R 2 пробегает С так, что описывает <щи­
линдр» S. Является ли S регулярной поверхностью?
2.3 . Замена параметров.
Дифференцируемые функции на поверхностях*
Дифференциальная геометрия интересуется теми свойствами поверх­
ностей, которые зависят от их поведения в окрестности точки. Определе­
ние регулярной поверхности, данное в разделе 2.2, соответствует этой це­
ли. Согласно этому определению, каждая точка р регулярной поверхности
принадлежит координатной окрестности. Точки такой окрестности описы­
ваются их координатами, и мы можем, следовательно, определять локаль­
ные свойства, которые нас интересуют, в терминах этих координат.
Например, важно, что мы можем определить, что означает дифферен­
цируемость функции f: S ~ R в точке р регулярной поверхности S. Ес-
тественный способ это сделать - выбрать координатную окрестность р
с координатами и, v и сказать, что f дифференцируема в р, если её вы­
ражение в координатах и и v имеет непрерывные частные производные
всех порядков.
Одна и та же точка S может, однако, принадлежать различным коор­
динатным окрестностям (на сфере примера 1 раздела 2.2 любая точка
внутри первого октанта принадлежит трём координатным окрестностям).
Кроме того, другие системы координат могут быть выбраны в окрестности
точки р (упомянутые точки сферы можно также параметризовать геогра­
фическими координатами или с помощью стереографической проекции
(ер. упражнение 16, раздел 2.2). Чтобы предыдущее определение имело
смысл, необходимо, чтобы оно не зависело от выбора системы координат.
Другими словами, следует показать, что, когда точка р принадлежит двум
координатным окрестностям с параметрами (и, v) и (r;, 1J), можно перейти
от одной из этих пар координат к другой посредством дифференцируемого
преобразования. Следующее предложение показывает, что это верно.
* Доказательства этого раздела могут быть пропущены при первом чтении.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
91
Предложение 1 (замена параметров). Пусть р - точка регулярной
поверхности S и х: ИсR2~S, у: VсR2 ~S - две такие параметриза­
ции S, что рЕ х(И) ny(V)= W Тогда «замена координат» h = х-
1
оу:
у-1 (W)~x-
1
(W) (рис. 2.14) есть диффеоморфизм, то есть h дифферен­
цируемо и имеет дифференцируемое обратное отображение h-
1
•
z
w
у
х
и
Рисунок 2.14
Другими словами, если х и у записаны в виде
x(и,v)=(x(и,v),y(и,v),z(и,v)), (и,v)Е И,
y(q,1]) = (x(q,1]),y(q,1]),z(q,1])), (q,l])E V,
то замена координат h, заданная равенствами
и= и(q,1]), v = v(q,1]), (q,1]) Е у- 1 (W),
обладает тем свойством, что функции и и v имеют непрерывные частные
производные всех порядков, и отображение h можно обратить, получая
q=q(и,v), l]=l](и,v), (и,v)Ex- 1 (W),
где функции q и 1J имеют частные производные всех порядков. Так как
д(и, v) . д(q,1]) =
1
д(q,1]) д(и, v)
'
то оба якобиана h и h-I всюду отличны от нуля.

92
ГЛАВА2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 1. Отображение h = х -l о у есть гомео­
морфизм как композиция гомеоморфизмов (ер. приложение к главе 2,
предложение 3). Аналогичным рассуждением невозможно прийти к выво-
ду, что h дифференцируемо, так как х- 1 определено на открытом подмно­
жестве S, а мы пока не знаем, что понимать под дифференцируемой функ­
цией на S.
Мы поступим следующим образом. Пусть rE y-
1
(W), и положим
q = h(r). Так как х(и, v) = (х(и, v), у(и, v), z(и, v)) - параметризация, можно
считать, переименовав ось в случае необходимости, что
д(х,у) (q) *О.
д(и,v)
Расширим х в отображение F: И xR ~ R 3
, полагая
F(u,v,t)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)+t), (и,v)ЕИ, tER.
Геометрически F отображает вертикальный цилиндр С над И на «верти­
кальный цилиндр» над x(U), переводя каждую часть С высоты t в по-
верхность х (и, v) + te3 , где е3 - единичный вектор оси z (рис. 2.14).
Очевидно, что F дифференцируемо и что ограничение F 1 Их {О} =х.
Вычисляя детерминант дифференциала dFq , получаем
дх дх
о
-
ди дv
ду ду
о = д(х,у) (q) *-О.
ди дv
д(и,v)
дz дz
-
-
ди дv
Можно поэтому применить теорему об обратной функции, которая гаран­
тирует существование такой окрестности М точки x(q) в R 3 , что p-l су­
ществует и дифференцируемо на М.
В силу непрерывности у существует такая окрестность N точки r в V ,
что y(N) с М (приложение к главе 2, предложение 2). Заметьте, что огра-
ниченное на N отображение h JN = F-
1
о yJ N есть композиция дифферен­
цируемых отображений. Таким образом, мы можем применить цепное пра­
вило для отображений (приложение к главе 2, предложение 8) и заклю­
чить, что h дифференцируемо в точке r. Так как r - произвольная точка,
h дифференцируемо на y-
1
(W).

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
93
Точно такие же рассуждения можно применить для доказательства
того, что отображение h-
1
дифференцируемо, и потому h есть диффео­
морфизм.
О
Теперь мы дадим точное определение, что понимается под дифферен­
цируемой функцией на регулярной поверхности.
Определение 1. Пусть f : V с S ~ R - функция, определённая на
открытом подмножестве Vрегулярной поверхности S. Говорят тогда, что/
дифференцируема в точке рЕ V, если для некоторой параметризации
x:UcR 2 ~S с pEx(U)cV композиция/ох: UcR 2 ~R дифференци­
руема в точке х -I (р). f называется дифференцируемой на V, если она диф­
ференцируема во всех точках V.
Из последнего предложения немедленно следует, что данное опреде­
ление не зависит от выбора параметризации х. Действительно, если
у: VcR 2 ~S - другая параметризация с pEx(V) и h=x-
1
ay, то
f ау= f аха h также дифференцируема, откуда следует утверждаемая не­
зависимость.
Замечание 1. Мы часто будем допускать вольность обозначений, упо­
требляя один и тот же символ f(u, v) для f и f ах, и говорить, что f(u, v)
есть выраж:ение f в системе координат х. Это равносильно отождествле­
нию х(И) с И и представлению об (и, v) равным образом как о точке И
и точке х(И) с координатами (и, v). С этого момента подобные вольности
речи будут допускаться без дальнейших комментариев.
Пример 1. Пусть S - регулярная поверхность и V с R 3
-
такое от­
крытоемножество, что SсV. Пусть f :VсR3~R - дифференцируе­
мая функция. Тогда ограничение f на S есть дифференцируемая функция
на S . Действительно, для любой точки р Е S и любой параметризации
х: И~R2~S в р функция f ах:И~R дифференцируема. В частно­
сти, дифференцируемы перечисленные ниже функции:
1. Функция высот относительно единичного вектора v Е R 3
, h:S~R,за­
данная равенством h(p) = р ·v, рЕ S, где точка обозначает обычное ска-

94
ГЛАВА2
лярное умножение в R 3
.
h(p) есть расстояние от точки р Е S до плоско­
сти с нормальным вектором v, проходящей через начало координат в R 3
(рис. 2.15).
2. Квадрат расстояния до фиксированной точки р0 Е R 3
, f(р)=1р-р012
,
р Е S. Необходимость рассматривать квадрат проистекает из того факта,
что расстояние 1 р - р0 1 не дифференцируемо в точке р = р0 .
Замечание 2. Доказательство предложения 1 существенно использует
тот факт, что обращение параметризации непрерывно. Поскольку предло­
жение 1 нам нужно, чтобы определить дифференцируемые функции на по­
верхностях (насущное понятие), мы не можем избавиться от этого усло­
вия в определении регулярной поверхности (ер. замечание 1раздела2.2).
Рисунок 2.15
Определение дифференцируемости можно легко распространить на
отображения поверхностей. Говорят, что непрерывное отображение
rp: V1 с S1 ~ S2 открытого множества V1 регулярной поверхности S1 на
регулярную поверхность S2 дифференцируемо в точке р Е V1 , если для
данных параметризаций
х1: И1 cR2~S1, х2: И2 cR2~S2,
дифференцируемо в точке q = х ] 1(р) (рис. 2.16).
Другими словами, qJ дифференцируемо, если в его выражении в ло­
кальных координатах rp(и1 ,и2 )=((/)i(и1 ,v1 ),tpz(и1 ,v1 )) функции (/)\ и rp2
имеют непрерывные частные производные всех порядков.
Доказательство, что это определение не зависит от выбора параметри­
заций, оставлено в качестве упражнения.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
95
v,
и,
Рисунок 2.16
Мы должны упомянуть, что естественным понятием эквивалентности,
связанным с дифференцируемостью, является понятие диффеоморфизма.
Две регулярные поверхности диффеоморфны, если существует дифферен­
цируемое отображение rp: S1 ~ S2 с дифференцируемым обратным ото-
бражением rp-
1
: S2 ~ S1• Такое отображение rp называется диффеомор­
физмом S1 на S2 . Понятие диффеоморфизма играет ту же роль в теории
регулярных поверхностей, которую играет понятие изоморфизма в теории
векторных пространств или понятие конгруэнтности в евклидовой геомет­
рии. Другими словами, с точки зрения дифференцируемости две диффео­
морфные поверхности неразличимы.
Пример 2. Если х: И с R 2 ~ S - параметризация, то отображение
х -! : х (И) ~ R 2 дифференцируемо. Действительно, для любой точки
рЕх(И) илюбой параметризации у: VсR2~S в р отображение
х- 1 оу: y-1(w) ~x- 1 (W), где
W =х(И) ny(V),
дифференцируемо. Это показывает, что И и х(И) диффеоморфны (то есть
каждая регулярная поверхность локально диффеоморфна шюскости), и обос­
новывает отождествление, выполненное в замечании 1.
Пример 3. Пусть S1 и S 2 - регулярные поверхности. Предположим,
чтоS1сVсR3
, где V - открытое множество в R 3
, и чтоrp:V~R3
-

96
ГЛАВА2
такое дифференцируемое отображение, что tp(S1) с S 2 . Тогда ограничение
rp 1 S1 : S1 ~ S 2 есть дифференцируемое отображение. В самом деле, для
данной точки рЕS1 ипараметризаций х1: И1~S1, х2: И2~S2, где
рЕх1(И1) и tp(х1(И1))сх2(И2), отображение
x21
otpox1:U1~U2
дифференцируемо. Далее следуют частные случаи этого общего примера.
1. Пусть S симметрична относительно ху-плоскости, то есть если
(x,y,z)E S, то (x,y,-z)E S. Тогда отображение а: S ~ S, которое пере­
водит рЕ S в симметричную точку, дифференцируемо, так как оно явля-
ется ограничением на S отображения а: R 3 ~R 3 , a(x,y,z)=(x,y,-z).
Это утверждение, конечно, обобщается на поверхности, симметричные от­
носительно любой плоскости R 3
.
2.Пусть Rz8: R
3
~R3
-
поворот на угол В вокруг оси z, и пусть
SсR3
-
регулярная поверхность, инвариантная относительно этого по­
ворота, то есть, если р с S, то R2 , 8(p)E S. Тогда ограничение
R2,
8 : S ~ S - дифференцируемое отображение.
3. Пусть отображение tp: R 3 ~R 3 задано равенством q>(x,y,z)=
==(ха, уЬ, zc), где а, Ь, с - вещественные числа, не равные нулю. Отобра­
жение tp, очевидно, дифференцируемо, и ограничение tp 1 S
2
есть диффе­
ренцируемое отображение сферы
S2 ={(x,y,z)ER3; x 2
+y
2+z
2 =1}
на эллипсоид
(ер. пример 6 приложения к главе 2).
Замечание 3. Предложение 1 означает (ер. пример 2), что параметри­
зация х: И cR 2 ~ S есть диффеоморфизм И на х(И). Фактически мы
можем теперь охарактеризовать регулярные поверхности как такие под­
множества S cR
3
, которые локально диффеоморфны R 2
, то есть для ка­
ждой точки р Е S существуют окрестность V точки р на S, открытое
множество И с R 2 и отображение х: И ~ V, которое является диффео-

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
97
морфизмом. Эту эффектную характеризацию можно взять в качестве ис­
ходной при рассмотрении поверхностей (см. упражнение 13).
На этом этапе мы можем вернуться к теории кривых и трактовать их
с точки зрения этой главы, то есть как подмножества R 3
.
Мы упомянем
только некоторые основные моменты и оставим детали читателю.
Символ 1 будет обозначать интервал прямой R. Регулярной кривой
в R 3 называется подмножество С с R 3 со следующим свойством: для каж­
дой точки р Е С существуют окрестность V точки р в R 3 и такой диффе­
ренцируемый гомеоморфизм а : 1 с R ~ V п С, что дифференциал da яв­
ляется взаимно однозначным отображением для каждого t Е 1 (рис. 2.17).
Можно доказать (упражнение 15), что замена параметров задаётся (как
для поверхностей) диффеоморфизмом. С помощью этого основного ре­
зультата можно определить, когда данное свойство, полученное средства­
ми параметризации, не зависит от этой параметризации. Такое свойство
будет тогда локальным свойством множества С.
Например, доказывается, что длина дуги, определённая в главе 1, не
зависит от выбора параметризации (упражнение 15) и является, следова­
тельно, свойством С. Так как всегда возможно локально параметризовать
кривую С длиной дуги, то свойства (кривизна, кручение и т. д.), опреде­
лённые посредством этой параметризации, являются локальными свой­
ствами С. Это показывает, что локальная теория кривых, изложенная
в главе 1, остаётся в силе для регулярных кривых.
Иногда поверхность задаётся перемещением некоторой регулярной
кривой. Это имеет место в следующем примере.
Рисунок 2.17. Реrулярная кривая
Пример 4 (поверхности вращения). Пусть S cR
3
--
множество, полу­
ченное вращением регулярной плоской кривой С вокруг оси в плоскости,

98
ГЛАВА2
которая не пересекает кривую; выберем плоскость кривой в качестве
xz -плоскости и ось вращения - в качестве оси z. Пусть
x=f(v), z=g(v), a<v<b, f(v)>O,
-
параметризация С; обозначим и угол поворота вокруг оси z. Таким
образом, мы получаем отображение
х(и, v) = (f(v)cosи, f(v)sinи, g(v))
открытого множества И= {(и, v)E R 2; О< и< 2я, а< v < Ь} в S (рис. 2.18).
Мы вскоре увидим, что х удовлетворяет требованиям к параметри­
зации в определении регулярной поверхности. Так как S можно пол­
ностью покрыть подобными параметризациями, то S есть регулярная по­
верхность, которая называется поверхностью вращения. Кривая С назы­
вается производящей кривой S, а ось z - осью вращения S. Окружности,
описываемые точками С, называются параллелями S, а различные поло­
жения С на S - меридианами S.
Чтобы показать, что х есть параметризация S, мы должны проверить
условия 2 и 3 определения 1, раздел 2.2 . Условия 1 и 3 проверяются непо­
средственно, и мы оставляем их читателю. Чтобы доказать, что х есть го­
меоморфизм, покажем сначала, что х взаимно однозначно. В самом деле,
так как (f(v), g(v)) - параметризация С, зная z и х
2
+у
2
= (f(v))
2
,мы
можем однозначно определить v. Таким образом, х взаимно однозначно.
z
х
Рисунок 2.18. Поверхность вращения
Заметим что снова, потому что (/(v), g(v)) - параметризация С,
v есть непрерывная функция z и ~х2 + у 2 и, следовательно, непрерывная
функция (x,y,z).

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
99
Чтобы доказать, что х- 1 непрерывно, остаётся показать, что и - не­
прерывная функция (x,y,z). Чтобы это увидеть, заметим сначала, что при
и =f . Л, поскольку f(v) =f . О, мы получаем
следовательно,
sin ~ 2sin ~cos~
tg~== __2_ ==
2 2== sinи
2 cos~ 2cos2~ 1+cosи
==
2
2
_L
f(v)
I+-x-
f(v)
у
-
у
u-2arctg
~·
х+'\[х2
+у2
Таким образом, если и"# те, и - непрерывная функция (x,y,z). Рассуждая
так же, если и принадлежит малому интервалу, содержащему я, получаем
и=2arcctg ~-
-х+ х2 +у2
Таким образом, и есть непрерывная функция (x,y,z). Это показывает, что
-1
х непрерывно, и завершает проверку.
Замечание 4. Существует незначительная проблема в связи с нашим
определением поверхности вращения. Если С с R 2
-
замкнутая регуляр­
ная плоская кривая, которая симметрична относительно оси r в R 3 , то,
вращая С вокруг r, мы получаем поверхность, регулярность которой
можно доказать и которая также может быть названа поверхностью вра­
щения (когда С - окружность и r содержит диаметр С, поверхность яв­
ляется сферой). Чтобы подогнать эту поверхность под наше определение,
мы должны исключить две её точки, а именно точки, где r пересекает С.
По техническим соображениям мы хотим сохранить предыдущую терми­
нологию, будем называть последние поверхности обобщёнными поверхно­
стями вращения.
Теперь следует дать заключительный комментарий относительно на­
шего определения поверхности. Мы предпочли определить (регулярную)
поверхность как подмножество в R 3
.
Если мы хотим рассматривать, кроме

100
ГЛАВА2
локальных, глобальные свойства поверхностей, это правильная установка.
Читатель может удивиться, однако, тому, почему мы не определили по­
верхность просто как параметризованную поверхность, как в случае кри­
вых. Это можно сделать, и этот способ действительно был представлен
в некотором массиве классической литературы по дифференциальной гео­
метрии. Не было никакого серьёзного ущерба, пока рассматривались толь­
ко локальные свойства. Однако при таком подходе основные глобальные
понятия, подобные ориентации (будет рассмотрена в разделах 2.6 и 3.1),
вынужденно опускаются или трактуются неадекватно.
Во всяком случае иногда понятие параметризованной поверхности
оказывается полезным и должно быть сюда включено.
Определение 2. Параметризованной поверхностью х: Ис R 2 ~ R 3 на­
зывается дифференцируемое отображение х открытого множества Ис R 2
вR3
.
Множество х( И) с R 3 называется следом х. Поверхность х называет­
ся регулярной, если дифференциал dxq : R
2
~ R 3 является взаимно одно­
значным отображением при всех qE И (то есть векторы дх/ди, дх/дv ли­
нейно независимы при всех qE И). Точка рЕ И, где dxq не является вза­
имно однозначным, называется особой точкой х.
Заметьте, что след параметризованной поверхности, даже регулярной,
может иметь самопересечения.
Пример5. Пусть а:1~R3
-
регулярная параметризованная кри­
вая. Положим
x(t,v)=a(t)+va'(t), (t,v)E /xR.
х есть параметризованная поверхность, называемая поверхностью каса­
тельных а (рис. 2.19).
Предположим теперь, что кривизна k(t), t Е 1, кривой а не равна
нулю при любом t Е 1, и ограничим область определения х до И =
={(t,v)E/xR; v:FO}. Тогда
и
дх '()
"
-=а t +va (t),
дt
дх = a'(t)
дv
дх дх "()
')
-
л-
=vatла(t*О,
дt дv
(t,v)EU,

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
так как при любом t кривизна (см. упражнение 12 раздела 1.5)
k(t)= 1 a"(t)лa'(t)1
1a'(t) /3
101
не равна нулю. Отсюда следует, что ограничение х: И~ R 3 есть регуляр­
ная параметризованная поверхность, след которой состоит из двух связных
кусков, общей границей которых является множество а(!).
Следующее предложение показывает, что на регулярные параметри­
зованные поверхности можно распространить локальные понятия и факты
дифференциальной геометрии.
Рисунок 2 .19. Поверхность касательных
Предложение 2. Пусть х: И cR 2 ~R 3 - регулярная параметризо­
ванная поверхность и qE И. Тогда существует такая окрестность V
точкиqвR2
, чт о x(V) с R 3 есть регулярная поверхность.
ДоКАЗАТЕЛЬСТВО. Это предложение опять является следствием теоре­
мы об обратной функции. Выпишем
х(и, v) = (х(и, v),y(u, v),z(u, v)).
В силу регулярности можно считать, что (д(х,у)/д(и, v))(q) ,с О. Опреде­
лимотображение F : ИхR~R3
, полагая
F(u,v,t)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)+t), (u,v)EU, tER.

102
ГЛАВА2
Тогда
det(dF ) = d(x,y) +'=О.
q
d(u,v)
По теореме об обратной функции, существуют такие окрестности W1
точки q и W2 точки F(q), что F: W1 ~ W2 есть диффеоморфизм. Положим
V = W1 n И и заметим, что ограничение F 1V=х1 V. Таким образом, x(V)
диффеоморфно V и, следовательно, является регулярной поверхностью.
D
УПРАЖНЕНИЯ*
1*.Пусть S 2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1}
иА:S2~S2
-
отображение (антиподш~ьное)
Докажите, что А - диффеоморфизм.
единичная сфера
A(x,y,z) = (-x,-y,-z).
2.Пусть SсR3
-
регулярная поверхность и ;r : S ~ R 2
-
отображение,
которое переводит каждую точку р Е S в её ортогональную проекцию на
R 2= {(x,y,z)E R 3; z =О}. Является ли ;r дифференцируемым?
3. Покажите, что параболоид z = х
2
+ у 2 диффеоморфен плоскости.
4. Постройте диффеоморфизм между эллипсоидом
исферой х2+у
2
+z2
=1.
х2у2z2
-+ -+-=1
а2ь2с2
5*. Пусть SсR3
-
регулярная поверхность и d : S ~ R задано равен­
ством d(p)=lp-p0 I, где pES, p 0 ER 3, p0 ~S, то есть d -рассто­
яние от р до фиксированной точки р0 , не лежащей на S. Докажите, что
функция d дифференцируема.
6. Докажите, что определение дифференцируемого отображения поверх­
ностей не зависит от выбора параметризаций.
' Те, кто опустил доказательства этого раздела, должны опустить также упражнения 13-16.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
103
7. Докажите, что отношение« S1 диффеоморфна S2 » есть отношение экви­
валентности на множестве регулярных поверхностей.
8*.Пусть S 2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1} и H={(x,y,z)ER 3
; х2+
+у
2
-
z
2
= 1}. Обозначим N =(О, О, 1) и S =(О, О, -1) северный и южный
полюсы S 2 соответственно и определим F: S
2
-{N}u{S}~Н следую­
щим образом. Пусть для каждой точки рЕ S 2
- {N}u{S} перпендикуляр
из р на ось z пересекает Oz в точке q. Рассмотрим луч Z с началом
в точке q, содержащий р. Тогда F(p) = Zn Н (рис. 2.20). Докажите, что
F - диффеоморфизм.
9. а. Определите понятие дифференцируемой функции на регулярной кри­
вой. Что нужно доказать, чтобы определение имело смысл? Не доказывай­
те этого сейчас. Если вы опустили доказательства в этом разделе, вас по­
просят сделать это в упражнении 15.
у
Рисунок 2.20
Ь. Покажите, что отображение Е: R~ S1 = {(х,у)Е R 2 ; х 2 +у
2
=1}, где
E(t)=(cost,sint), tER,
дифференцируемо (геометрически Е «обёртывает» S 1 посредством R).
10. Пусть С
-
плоская регулярная кривая, которая лежит по одну сторону
прямой r этой плоскости и пересекает r в точках p,q (рис. 2.21). Каким
условиям должна удовлетворять С, чтобы гарантировать, что вращение С
вокруг r порождает обобщённую (регулярную) поверхность вращения?

104
ГЛАВА2
r
р
q
Рисунок 2.21
11. Докажите, что повороты поверхности вращения S вокруг её оси явля­
ются диффеоморфизмами S .
12. Параметризованные поверхности часто бывают полезны для описания
множеств I:, которые являются регулярными поверхностями, за исклю­
чением конечного числа точек и конечного числа линий. Например, пусть
С - след регулярной параметризованной кривой а : (а, Ь) ~ R 3
, которая
не проходит через начало координат О= (О, О, О). Пусть I: - множество,
образованное перемещением прямой !, проходящей через текущую точку
р Е С и фиксированную точку О (конус с вершиной О; см. рис. 2.22).
о
Рисунок 2.22
а. Найдите параметризованную поверхность х, следом которой является I:.
Ь. Найдите точки, где х не является регулярной.
с. Что нужно исключить из I:, чтобы оставшееся множество было регу­
лярной поверхностью?
13*. Покажите, что определение дифференцируемости функции f: V с
с S ~ R, данное в тексте (определение 1), равносильно следующему: f

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
105
дифференцируема в точке рЕ V, если она является ограничением на V
дифференцируемой функции, определённой на открытом множестве R 3
,
содержащем р. (Если бы мы исходили из этого определения дифферен­
цируемости, мы могли бы определить поверхность как множество, которое
локально диффеоморфно R 2
; см. замечание 3).
14. Пусть А с S - подмножество регулярной поверхности S. Докажите,
что А само является регулярной поверхностью тогда и только тогда, когда А
открытовS,тоесть А=ИпS,гдеИ - открытоемножествовR3
.
15.Пусть С - регулярнаякриваяиа:/сR~С, fЗ:JcR~С - две
параметризации С в окрестности точки р Е а(/) п fJ(J) = W . Пусть
h =а-
1
аfЗ: д-1(W)~ a-
1
(W)
есть замена параметра. Докажите, что
а) h есть диффеоморфизм;
Ь) абсолютная величина длины дуги С в W не зависит от выбора парамет­
ризации, посредством которой она определена, то есть
1J;0 1a'(t)1dt1=1J;0 1/З'(т)dт1, t =h(т), tE /, 7:Е J.
16*.Пусть R 2={(x,y,z)ER3; z=-1} отождествляется с комплексной
плоскостью С соглашением (х,у,-1)=х +iy =( Е С. Пусть Р: С~С
комплексный многочлен
Р(()=а0(п+a1(n-I +...+ап, а0*О, а1ЕС, i=1,...,п.
Обозначим !lN
стереографическую проекцию S 2 = ((x,y,z)E R 3;
х2+у2 +z
2
= 1} изсеверногополюса N=(О,О,1) наR2
.
Докажите, что
отображение F : S
2
~S2
, зад анн ое равенствами
F(p)=trЛ? oPotrN(p), если РЕ S 2
-{N},
F(N)=N,
дифференцируемо.
2.4. Касательная плоскость.
Дифференциал отображения
В этом разделе мы покажем, что условие 3 в определении регулярной
поверхности S гарантирует, что для каждой точки р Е S множество каса-

106
ГЛАВА2
тельных векторов к параметризованным кривым на S, проходящим че­
рез р, образует плоскость.
Под касательным вектором к S в точке р Е S мы подразумеваем ка­
сательный вектор а'(О) дифференцируемой параметризованной кривой
а:(-е,е)~S,где а(О) =р.
Предложение 1. Пусть х: UcR
2
~S - параметрuзация регулярной
поверхности S и qE И Векторное подпространство размерности 2
dxq(R2) cR
3
совпадает с мно;ж;еством касательных векторов к S в точке x(q).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть w - касательный вектор в точке x(q), то
есть w=a'(O), где а: (-e,e)~x(U)cS дифференцируема и a(O)=x(q).
Согласно примеру 2 раздела 2.3, кривая fJ =х- 1 оа: (-е,е) ~И дифферен­
цируема. По определению дифференциала (приложение к главе 2, опреде­
ление 1), dxq(fJ'(O)) = w . Следовательно, wE dxq(R 2 ) (рис. 2.23).
С другой стороны, пусть w = dхq(v), где vЕR2
.
Очевидно, что v
есть вектор скорости кривой у : (-е, е) ~ И , заданной уравнением
y(t)=tv+q, lE(-t:,t:).
По определению дифференциала, w = а'(О), где а =хо у. Это показывает,
что w есть касательный вектор.
о
В силу предыдущего предложения плоскость d х q ( R 2 ), которая про­
ходит через точку x(q) = р, не зависит от параметризации х. Эта плоскость
будет называться касательной плоскостью к S в точке р и обозначаться
TP(S). Выбор параметризации х определяет базис {(дх/ди)(q), (дх/дv)(q)}
плоскости ТР (S), который называется присоединённым к х. Иногда удоб­
но записывать дх/ди = хи и дх/дv = xv .
Координаты вектора wE Т /S) в базисе, присоединённом к параме­
тризации х, определяются следующим образом. w есть вектор скорости
кривой а =хо fJ, где fJ: (-е, е) ~И задаётся равенством fJ(t) = (и(t), v(t))
при условии /J(O) = q =х- 1 (р). Таким образом,
d
d
а(О) =-(хо /J)(O) =-х(и(t), v(t))(O) =
dt
dt
=xu(q)и'(O) + xv(q)v'(O) = w .

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
107
Таким образом, в базисе {xu(q), xv(q)} вектор w имеет координаты
(u'(O),v'(O)), где (и(t), v(t)) есть выражение в параметризации х кривой,
вектор скорости которой в точке t = О равен w.
Имея понятие касательной плоскости, мы можем говорить о диф­
ференциале (дифференцируемого) отображения поверхностей. Пусть S1
и S2 - две регулярные поверхности, и пусть rp: V с S1 -7 S2 - диффе­
ренцируемое отображение открытого множества V поверхности S1 в S2 .
Если рЕ V, мы знаем, что каждый касательный вектор wE Tp(S1) равен
вектору скорости а'(О) дифференцируемой параметризованной кривой
а: (-Е:, Е:) -7 V, где а(О) =р. Кривая р =rp о а такова, что Д(О) =rp(p), и,
следовательно, р'(О) есть вектор Trp(p)(S 2 ) (рис. 2.24).
о
"'
--
/
v
(З'(О)
и
Рисунок 2.23
Предложение 2. В предыдущих рассуждениях, при заданном векто­
ре w, вектор fJ'(O) не зависит от выбора а. Отображение drpP: T/S1)-7
-7 Тrp(p)(S2 ), определённое равенством drpp(w)= fJ'(O), линейно.

108
ГЛАВА2
d<p,(w)
'Р
-
Рисунок 2.24
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство аналогично тому, которое дано для
евклидовых пространств (см. предложение 7, приложение к главе 2). Пусть
х(и, v), х (И, v) - параметризации в окрестностях р и rp(p) соответствен­
но. Предположим, что rp в этих координатах выражается равенством
и а - равенством
a(t)=(u(t), v(t)), tE (-ё,ё).
Тогда /J(t) = (rp1(u(t), v(t)), rp2 (u(t), v(t))), и /3'(0) имеет следующее выраже­
ние в базисе {хи, xv- }:
fЗ'(О) = (дtр1 u'(O) + дtр1 v'(O), дtр2 и'(О) + дtр2 v'(o)).
ди
дv
дu
дv
Предыдущее выражение показывает, что fJ'(O) зависит только от ото­
бражения rp и координат (и'(О), v'(O)) вектора w в базисе {х и• xv}. Следо­
вательно, fЗ'(О) не зависит от а. Кроме того, это выражение показывает,
что
fJ'(O)=drp (w)=[: ~](u'(O)],
Р
дtр2 дtр2 v'(O)
ди дv
то есть drpp - линейное отображение Tp(S1) в Trp(p)(S2 ), матрица которо­
го в базисах {xu,xv} плоскости Tp(S1) и {х и' х v-} плоскости Trp(p)(S2 )
именно та, которая приведена выше.
О

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
!09
Линейное отображение dqJP' определённое предложением 2, называ­
ется дифференциалом (jJ в точке р Е S1 . Аналогично, мы определяем диф­
ференциал (дифференцируемой) функции f: И с S ~ R в точке р Е И как
линейное отображение dfp : ТР (S) ~ R. Детали мы оставляем читателю.
Пример1. Пусть vЕR3
-
единичный вектор и h: S ~ R, h(p) =v · р,
рЕS, -
функция высот, определённая в примере 1 раздела 2.3 . Чтобы
вычислить dhp(w),
wE Tp(S), выберем дифференцируемую кривую
а: (-в,в) ~ S, где а(О) = р, а'(О) = w. Так как h(a(t)) = a(t) · v, получаем
dhp(w) =:ih(a(t))lt=o= а'(О) ·v = w ·v.
Пример2.ПустьS2сR2
-
единичная сфера
S2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y2+z
2
=1}
иRz,e:R
3
~R3
-
поворот на угол В вокруг оси z. Тогда Rz, 8
, ограни­
ченное на S 2
, есть дифференцируемое отображение S2 (ер. пример 3 раз­
дела 2.3). Вычислим (dRz,8)p(w), рЕ S 2
,
WE Tp(S 2 ). Пусть а: (-в,в)~
~S2
-
дифференцируемая кривая, где а(О) =р, а'(О) = w. Тогда, по­
скольку Rz, 8 линейно,
(dRz е)р(w) = !!._(Rz е а a(t))= R" 0(а'(О))= R2 0(w).
'
dt'
-,
'
Заметим, что R2 ,
8 оставляет неподвижным северный полюс N =
=(О, О, 1) и что (dRz,e)н: Тн(S) ~ Тн(S) есть именно поворот на угол В
в плоскости TN(S).
Итогом сделанного к настоящему моменту является распространение
понятий дифференциального исчисления в R 2 на регулярные поверхно­
сти. Поскольку дифференциальное исчисление является, по существу, ло­
кальной теорией, мы определили объект (регулярная поверхность), кото­
рый локально, с точностью до диффеоморфизма, является плоскостью,
и это распространение стало тогда естественным. Можно ожидать поэто­
му, что основная теорема об обратной функции распространяется на диф­
ференцируемые отображения поверхностей.
Будем говорить, что отображение ер: И с S1 ~ S2 локально диффео­
морфно в точке р Е И, если существует такая окрестность V с И точки р,
что ограничение (jJ на V есть диффеоморфизм на открытое множество

110
ГЛАВА2
rp(V) с S2 . В этой терминологии вариант теоремы об обратной функции
ДJIЯ поверхностей формулируется следующим образом.
Предложение 3. Если S 1 и S 2 - регулярные поверхности и rp: Ис S 1~
~s 2 - такое дифференцируемое отобра:ж:ение открытого мно:жества
UcS1 , что дифференциал drpP отобра:жения rp в точке рЕ И есть изо­
морфизм, то rp есть локальный диффеоморфизм.
Доказательство состоит в непосредственном применении теоремы об
обратной функции в R 2 и будет оставлено в каqестве упражнения.
Конеqно, все другие понятия дифференциального исqисления, подоб­
но понятиям критических тоqек, регулярных значений и т. д., естественно
распространяются на функции и отображения, определённые на регуляр­
ных поверхностях.
Понятие касательной плоскости позволяет также говорить об угле
меду двум поверхностями в точке их пересечения.
Для данной точки р на регулярной поверхности S существуют два
единичных вектора R 3
, которые перпендикулярны касательной rшоскости
ТР (S); каждый из них называется нормальным вектором в точке р. Пря-
мая, которая проходит через точку р и содержит единичный нормальный
вектор в р, называется нормалью в р. Угол между двумя пересекаю­
щимися поверхностями в точке пересечения р есть угол между их каса­
тельными плоскостями (или нормалями) в р (рис. 2.25).
Фиксируя параметризацию х: И с R 2 ~ S в точке р Е S, мы можем
.... -::.-::-;
- ::::.-
/
1
1
1
1
1
г----- ----- ,
/
1
1
/
1
1/
J------- ------\ /
_.. ,
х
-
~-=--=-~":о- .::- .::-:::.:::_\
1
р
/
1
1
/
\
/
l ______________ _,
-- --- --- -- ---
----
Рисунок 2.25

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
111
сделать определённый выбор единичного нормального вектора в каждой
точке q Е х (И) по правилу
N(q)= хилxv (q).
\XuЛХv\
Таким образом, мы получаем дифференцируемое отображение N : х(И) ~
~R 3 . Мы увидим позднее (разделы 2.6 иЗ.1), что не всегда можно рас­
пространить это отображение дифференцируемым образом на всю поверх­
ность S.
Прежде чем завершить этот раздел, сделаем некоторые замечания по
вопросу дифференцируемости.
Данное определение регулярной поверхности требует, чтобы парамет­
ризации были класса С"", то есть чтобы они обладали непрерывными ча­
стными производными всех порядков. В задачах дифференциальной гео­
метрии нам требуются, вообще говоря, существование и непрерывность
частных производных только до некоторого порядка, который меняется
в зависимости от характера задачи (очень редко требуется более четырёх
производных).
Например, существование и непрерывность касательной плоскости за­
висят только от существования и непрерывности первых частных произ­
водных. Может случиться поэтому, что график функции z = f(x,y) допус­
кает касательную плоскость в каждой точке, но функция не является дос­
таточное число раз дифференцируемой, чтобы удовлетворять определению
регулярной поверхности. Это имеет место в следующем примере.
Пример 3. Рассмотрим график функции z = '{} (х 2 + у2 ) 2 , порождаемый
вращением кривой z = х
4
/
3
вокруг оси z. Так как кривая симметрична отно­
сительно оси z и функция имеет непрерывную производную, которая об­
ращается в нуль в начале координат, очевидно, что график функции
z=V(x
2
+y
2
) 2 имеет ху- плоскость в качестве касательной плоскости
в начале координат. Однако частная производная zxx не существует в на­
чале координат и рассматриваемый график не является регулярной поверх­
ностью, как она была определена выше (см. предложение 3 раздела 2.2).
Мы не намерены вникать в такого сорта проблемы. Предположение
о классе С"" в определении было принято именно для того, чтобы избе­
жать исследования минимальных условий дифференцируемости, требуе­
мых в каждом частном случае. Эти тонкости представляют интерес, но они

112
ГЛАВА2
моrут в конечном итоге скрыть геометрическую природу задач, с которы­
ми мы здесь имеем дело.
УПРАЖНЕНИЯ
1*.Покажите, что уравнение касательной плоскости в точке (x0 ,y0 ,z0 ) ре­
rулярной поверхности, заданной уравнением f(x,y,z)=O, где О является
реrулярным значением/, имеет вид
fx (xa,Ya,Zo)(X -хо)+ /v(Xo,Yo,Zo)(y- Уо) + J;.(xo,Yo,Zo)(z - Zo) =О.
2. Найдите касательные плоскости поверхности х
2
+у
2
-
z
2
= 1вточках
(х,у,О) и покажите, что они параллельны оси z.
3. Покажите, что уравнение касательной ruюскости поверхности, кото­
рая является графиком дифференцируемой функции z = f(x,y), в точке
р0 =(х0 ,у0 ) имеет вид
z == Лхо,Уо) + fx(xo,Yo)(x-xo) + f/xo,Yo)(y- Уо).
Вспомните определение дифференциала df функции f : R 2 ~ R и покажите,
что касательная плоскость является графиком дифференциала dfР •
4*. Покажите, что все касательные плоскости поверхности, заданной урав­
нением z == х f(y / х), х :;t: О, где f - дифференцируемая функция, прохо­
дят через начало координат {О, О, О).
5. Покажите, что если координатная окрестность реrулярной поверхности
может быть параметризована в виде
х(и,v) == а1(и)+a2(v),
где а1 и а2 - реrулярные параметризованные кривые, то все касательные
плоскости вдоль фиксированной координатной линии этой окрестности
параллельны некоторой прямой.
6.Пустьа:I~R3
-
реrулярная параметризованная кривая со всюду не
равной нулю кривизной. Рассмотрите поверхность касательных а (при­
мер 5 раздела 2.3)
x(u,v)==a(t)+va'(t), !Е l, v:;t:O.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
113
Покажите, что все касательные плоскости вдоль кривой x(t, const) совпа­
дают.
7.Пустьf:S~Rзаданаравенством f(p)= 1р-р01
2
,
гдерЕSир0-
фиксированная точка R 3 (см. пример 1 раздела 2.3). Покажите, что
dfp(w) = 2w· (р- р0 ), WE Tp(S).
8. Докажите, что если L : R
3
~R3
-
линейное отображение и S с R 3
-
регулярная поверхность, инвариантная относительно L, то есть L(S) с S,
то ограничение L / S есть дифференцируемое отображение и
dLp(w)=L(w), pES, wETp(S).
9. Покажите, что параметризованная поверхность
х(и, v) = (vcosu, vsinи, аи), а=!= О,
регулярна. Найдите её нормальный вектор N(и, v) и покажите, что вдоль
координатной прямой и = и0 касательная плоскость х вращается вокруг
этой прямой так, что тангенс угла, образуемого ею с осью z, пропор-
ционален расстоянию v = ~х2 + у2 точки х(и0,v0 ) от оси z.
10. (Трубчатые поверхности.) Пусть а: 1 ~ R 3
-
регулярная параметри­
зованная кривая со всюду не равной нулю кривизной и длиной дуги в ка­
честве параметра. Пусть
x(s, v) = a(s) + r (n(s)cosv + b(s)sin v), r = const =!=О, s Е 1,
-
параметризованная поверхность (трубка радиуса r вокруг а), где п -
нормальный, а Ь - бинормальный вектор а. Покажите, что, когда х регу­
лярна, её единичный нормальный вектор равен
N(s, v) = - (n(s)cosv + b(s)sin v).
11. Покажите, что все нормали параметризованной поверхности, заданной
уравнением
х(и, v) = (f(и)cosv, f(и)sin v, g(и)), f(u) =!=О, g' =!=О,
пересекают ось z.
12*. Покажите, что каждое из уравнений (а,Ь,с =/=О)
х2+у2+z2 =ах,

114
ГЛАВА2
х2+у2 +z2=Ьу,
х2
+у
2
+z
2=cz
определяет регулярную поверхность и они пересекаются ортогонально.
13. Критическая точка дифференцируемой функции f : S ~ R, опреде­
лённой на регулярной поверхности S, есть такая точка р Е S , что dfp =О.
а*. Пусть функция f: S ryR задана равенством /(р) =1 р- р0 1, рЕ S,
р0 ~ S (ер. упражнение 5, раздел 2.3). Покажите, что рЕ S является кри­
тической точкой тогда и только тогда, когда прямая, соединяющая р с р0 ,
является нормалью к S в точке р.
Ь.Пусть функция h:S ~R задана равенством h(p)=р ·v, где vЕR3
-
единичный вектор (ер. пример 1, раздел 2.3). Покажите, что рЕ S явля­
ется критической точкой h тогда и только тогда, когда v - нормальный
вектор S в точке р.
14*. Пусть Q - объединение трёх координатных rшоскостей х =О, у= О,
z=O. Пусть p=(x,y,z)ER 3
-Q.
а. Покажите, что уравнение относительно /
х2у2z2
--+ --+ --=/(1)=1, а>Ь>с>О,
а-1 b-t с-1
имеет три различных вещественных корня 11, 12
, 13.
Ь. Покажите, что для каждой точки р Е R 3
- Q множества, заданные урав­
нениями /(!1)-1 =О, f(t2 )-1 =О, f(t3 )-1 =О, являются попарно ор­
тогональными регулярными поверхностями, проходящими через точку р.
15. Покажите, что если все нормали связной поверхности проходят через
фиксированную точку, то поверхность лежит на сфере.
16. Пусть w - касательный вектор регулярной поверхности S в точке
рЕ S и x(u, v) их (И, v) - две параметризации в точке р. Предположите,
что выражения w в базисах, ассоциированных с х(и, v) и х (И, v), таковы:

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
115
и
w= /31 хи+/32 Xv-.
Покажите, что координаты w связаны соотношениями
дu дu
/31=а1ди+azдv,
дv
дv
/32=aiди+а2дv,
где И= U(u, v) и v = v(u, v) - выражения замены координат.
17*. Две регулярные поверхности S1 и S2 пересекаются транверсшtьно,
если из условия рЕ S1 пS2 следует, что TP(S1)-/= TP(S2 ). Докажите, что
если S1 пересекает S2 трансверсально, то S1 п S2 является регулярной
кривой.
18. Докажите, что если регулярная поверхность S пересекает плоскость Р
в единственной точке р, то эта ruюскость совпадает с касательной плоско-
стьюsвр.
19.Пусть SсR3
-
регулярная поверхность и Р с R 3
-
плоскость. Дока­
жите, что если все точки S находятся по одну сторону плоскости Р, то Р
касается S в каждой точке пересечения Р п S.
20*. Покажите, что ортогональные проекции центра (О, О, О) эллипсоида
х2у2z2
-+-+-=1
а2ь2с2
на его касательные плоскости образуют регулярную поверхность, задан­
ную следующим образом:
{(x,y,z)ER3
;(х
2
+у
2
+z
2
)2
=а
2
х2 +Ъ2у2 +c
2
z
2
}-{(0,0,0)}.
21*. Пусть f: S ~R - дифференцируемая функция на связной регуляр­
ной поверхности. Предположите, что dfP =О для любой точки р Е S. До­
кажите, что f постоянна на S.
22*. Докажите, что если все нормали связной регулярной поверхности пе­
ресекают фиксированную прямую, то S есть поверхность вращения.
23. Докажите, что отображение F: S
2
~S2
, опр еде лён ное в упражнении 16
раздела 2.3, имеет только конечное число критических точек (см. упражне­
ние 13).

116
ГЛАВА2
24. (Цепное правило.) Покажите, что если (j): S1 -4 S2 и lf/ : S2 -4 S1 -
дифференцируемые отображения и рЕ S, то
d(lf/ о rp) р = dlf/rp(p) о drpp.
25. Докажите, что если две регулярные кривые С1 и С2 на регулярной по­
верхности S касаются в точке р Е S и отображение rp: S -4 S есть диффе­
оморфизм, то ф(С1 ) и qJ(C2 ) - регулярные кривые, которые касаются
в точке rp(p).
26. Покажите, что если р
-
точка регулярной поверхности S, то можно,
при подходящем выборе координат (x,y,z), задать окрестность точки р
на S уравнением вида z = f(x,y), где f(O, О)= О, fx(O, О)= О, fy(O, О)= О.
(Это равносильно выбору касательной плоскости S в точке р в качестве
х у-плоскости.)
27. (Теория касания.) Говорят, что две регулярные поверхности S и S, ко­
торые имеют общую точку р , имеют соприкосновение порядка ~ 1 в точ­
ке р, если существуют определённые в одной и той же области парамет­
ризации х (и, v), х(и,v) вточке р поверхностей S1 иS2 соответственно,
такие, что х и= х и, х v = х v в точке р. Если, кроме того, некоторые из вто­
рых частных производных различны в точке р, говорят, что порядок со­
прикосновения в точности равен 1. Докажите, что
а) касательная плоскость Tp(S) регулярной поверхности S в точке р име­
ет в точке р соприкосновение с поверхностью порядка ~ 1;
Ь) если плоскость имеет соприкосновение порядка ~ 1 с поверхностью S
в точке р , то эта плоскость совпадает с касательной плоскостью S
в точке р;
с) две регулярные поверхности имеют соприкосновение порядка ~ 1 тогда
и только тогда, когда они имеют общую касательную плоскость в точке р,
то есть касаются в р;
d) если две регулярные поверхности S и S в R 3 имеют соприкосновение
порядка~1вточкериF:R
3
-4R
3
-
диффеоморфизм, то образы F(S)

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
117
и F(S) являются регулярными поверхностями, которые имеют соприкос­
новение порядка :2': 1 в точке F(p) (то есть свойство соприкосновения по­
рядка :2': 1 инвариантно относительно диффеоморфизмов);
е) если две поверхности имеют соприкосновение порядка :2': 1 в точке р,
то lime___,
0 (d/r) ==О, где d - длина отрезка, определяемого точками пере­
сечения с поверхностями некоторой прямой, параллельной их общей нор­
мали, на расстоянии r от этой нормали.
28. а. Определите регулярное значение дифференцируемой функции
f: S ~ R на поверхности S.
Ь. Покажите, что прообраз регулярного значения дифференцируемой
функции на регулярной поверхности S является регулярной кривой на S.
2.5 . Первая основная форма. Площадь
До сих пор мы рассматривали поверхности с точки зрения дифферен­
цируемости. В этом разделе мы начнём изучение дополнительных геомет­
рических структур, которые несёт поверхность. Наиболее важной из них
является, видимо, первая основная форма, которую мы сейчас опишем.
Естественное скалярное произведение R 3
:::J S индуцирует в каждой
касательной плоскости Tp(S) регулярной поверхности S скалярное произ-
ведение,обозначаемое ( , ) :если w1, w2 Е ТР(S)сR3
, то(w1,w2)Р равно
скалярному произведению w1 и w2 как векторов в R 3
.
Этому скалярному
произведению, которое является симметрической билинейной формой (то
есть (w1, w2 ) == (w2 , w1) и (w1, w2 ) линейно по w1 и w2 ), соответствует квад­
ратичная форма 1Р : ТР ( S) ~ R, заданная равенством
(1)
Определение 1. Квадратичная форма 1Р на Тp(S), определённая ра­
венством (1), называется первой основной формой регулярной поверхно­
стиScR
3
в точке рЕ S.
Следовательно, первая основная форма является просто выражением
того, как поверхность S наследует естественное скалярное произведение

118
ГЛАВА2
вR3
.
Геометрически, как мы скоро увидим, первая основная форма позво­
ляет осуществлять измерения на поверхности (длин кривых, углов между
касательными векторами, площадей областей) без обращения к вмещаю-
щему пространству R 3
, где лежит поверхность.
Выразим теперь первую основную форму в базисе {х и, х v}, присое­
динённом к параметризации х (и, v) в р. Так как касательный вектор
wE Tp(S) является касательным вектором параметризованной кривой o:(t) =
=x(u(t),v(t)), tE (-е,е), где p=o:(O)=x(u0 ,v0 ), получаем
1Р (о:'(О)) = (о:'(О), о:'(О)) Р =
=(xиu'+xvv', xuu'+xvv') р=
= (х и•хи)р(u')
2
+2(хи'хv)рu'v'+(хv'хv)р(v')
2
=
= E(u')
2
+ 2Fu'v' + G(v')
2
,
где участвующие значения функций вычислены при t = О, и
Е(u0 ,v0 )=(хи,хи)р'
F(u0 ,v0 )=(xи,xv)p'
G(u0,v0) = (х v•x v)Р
-
коэффициенты первой основной формы в базисе {х и, х v} плоскости
Tp(S). Когда р пробегает координатную окрестность, соответствующую
x(u, v), мы получаем функции E(u, v), F(u, v), G(u, v), которые дифферен­
цируемы в этой окрестности.
С этого момента мы будем опускать индекс р в обозначении скаляр-
ного произведения ( , ) Р или квадратичной формы 1Р, когда из контек­
ста ясно, о какой точке Идёт речь. Будет удобно также обозначать естест­
венное скалярное произведение в R 3 тем же символом ( , ) , предпочи­
тая это предыдущему обозначению точкой.
Пример 1. Параметризация плоскости Р с R 3
,
проходящей через
точку р0 = (x0 ,y0 ,z0 ) и содержащей ортогональные единичные векторы
w1 = (а1 ,а2 ,а3 ), w2 = (ЬрЬ2 ,Ь3 ), задаётся следующим равенством:
x(u,v)=р0+uw1+vw2, (и,v)ER2.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
119
Чтобы вычислить первую основную форму в произвольной точке Р, заме­
тим, что х и= w1, х v = w2 ; так как w1 и w2 - единичные ортогональные
векторы, функции Е, F,G постоянны и выражаются равенствами
Е=1,F=О,G=1.
В этом тривиальном случае первая основная форма выражает, по су­
ществу, теорему Пифагора в плоскости Р, то есть квадрат длины векто-
ра w с координатами а, Ь в базисе {хи,хv} равен а2 +Ь
2
.
Пример 2. Прямой цилиндр с направляющей х
2
+у
2
= 1 допускает
параметризацию х: И~ R 3
, где (рис. 2.26)
x(u, v) = (cosu, sinu, v),
U={(u,v)ER3
; 0<u<2Jr, -oo<v<oo}.
Чтобы вычислить первую основную форму, заметим, что
хи= ( -sinu, cosu, О), Xv= (О, О, 1),
и потому
E=sin
2
u+cos
2
u=l, F=O, G=l.
р
v
х
Рисунок 2.26
Отметим, что, хотя цилиндр и плоскость - различные поверхности,
мы получаем один и тот же результат в обоих случаях. Позже мы вернёмся
к этому предмету (раздел 4.2).

120
ГЛАВА2
Пример 3. Рассмотрим винтовую линию, заданную параметризацией
(соsи, sinи, аи) (см. пример 1, раздел 1.2). Через каждую точку винтовой
линии проведём прямую, параллельную ху-шюскости и пересекающую
ось z. Поверхность, образованная этими прямыми, называется геликоидом
и допускает следующую параметризацию:
х(и, v) = (vcosи, vsin и, аи), О< и< 2:тr, -оо < v <ею.
х налагает открытую полосу шириной 2:тr в и,v-плоскости на часть гели­
коида, которая соответствует повороту на угол 2:тr при движении вдоль
винтовой линии (рис. 2.27).
z
Рисунок 2.27. Геликоид
Проверка того, что геликоид является регулярной поверхностью, проста
и оставлена читателю.
Вычисление коэффициентов первой основной формы в вышеприве­
дённой параметризации даёт
E(и,v)=v2 +a
2
, F(и,v)=O, G(и,v)=l.
Как мы упомянули раньше, важность первой основной формы исходит
из того факта, что, зная !, мы можем трактовать метрические задачи на ре­
гулярной поверхности без дополнительного обращения к вмещающему
пространству R 3 . Так, длина дуги s параметризованной кривой а : / ~ S
находится по формуле
t
t
s(t) =f1a'(t)1 dt =f ,J!(a'(t)) dt.
,,
~

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
121
В частности, если a(t) =x(и(t),v(t)) расположена в координатной окрест­
ности, соответствующей параметризации х(и, v), мы можем вычислить
длину а, скажем, между точками О и t по формуле
t
s(t)= J~Е(и')2 +2Fи'v' +G(v')
2
dt.
;(1
(2)
Далее, угол () между двумя параметризованными регулярными кри­
выми а:I ~S, fJ: ! ~S,пересекающимисявточке t=t0, находится по
формуле
В •шстности, угол (jJ между координатными линиями параметризации
х(и, v) даётся формулой
отсюда следует, что координатные линии параметризации ортогоншtьны
тогда и только тогда, когда F(и, v) =О для любой точки (и, v). Такая па­
раметризация называется ортогоншtьной.
Замечание. Исходя из равенства (2), многие математики говорят об
«элементе» длины дуги ds на поверхности S и пишут
ds
2
=Edu
2
+2Fdиdv+Gdv 2 ,
подразумевая тем самым, что если a(t) =х (и(t), v(t)) - кривая на S
иs= s(t)- еёдлинадуги,то
(ds)
2
= в(dи)
2
+2Fdиdv +o(dv)
2
dt
dt
dt dt
dt
Пример 4. Вычислим первую основную форму сферы в точке коорди­
натной окрестности, заданной параметризацией (ер. пример 1, раздел 2.2)
x(u, v) = (sin ()coS(jJ, sin()sin ф, cos()).
Во-первых, заметим, что
х е(В, ер)= (cos8cosep, cos Bsin ер, - sin 8),
x\1'(8,ep)=(-sin8sinep, sin8cosep, О).

122
Следовательно,
ГЛАВА2
E(B,(fJ) =\хе, хе)= 1,
F(B,(fJ) =(хе, х\1') =О,
G(B,rp) = (xqi, xqi) = sin
2
В.
Таким образом, если w - касательный вектор сферы в точке x(B,rp), за­
данный в базисе, присоединённом к параметризации x(B,rp), равенством
w= ахе +bxrp,
то квадрат длины w находится по формуле
1w\
2
= /(w)=Еа
2
+2Fab+Gb2=а
2
+Ь
2
sin
2
В.
В качестве приложения найдём кривые в этой координатной окрестно­
сти на сфере, образующие постоянный угол /3 с меридианами rp = const
Эти кривые называются локсодромами (линиями румба) на сфере.
Можно считать, что искомая кривая a(t) является образом при отобра­
жении х кривой (B(t), rp(t)) в Вtр-плоскости. В точке x(B,tp), где кривая пе­
ресекает меридиан tp = const,
/З (хе, a'(t))
cos = -'--'-------'-
1хе11a'(t)1
в'
так как в базисе {x 8 ,xrp} вектор a'(t) имеет координаты (В', rp'), а век­
тор хе имеет координаты (1, О). Отсюда следует, что
(В')2 tg2 /3-(rp')2 sin2 В= О
или
В'
rp'
--=+-
sin В - tg/3'
откуда, интегрируя, получаем уравнение локсодром
Intg(i J= ±(rp + c)ctg/3,
где постоянная интегрирования с определяется заданием одной точки
х (()0 , rp0 ), через которую проходит кривая.
Другая метрическая задача, которая может быть обработана с по­
мощью первой квадратичной формы, - это вычисление (или определение)
площади ограниченной области регулярной поверхности S. (Регулярной)
областью на S называется открытое и связное подмножество S, граница

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
123
которого является образом окружности при дифференцируемом гомео­
морфизме, который регулярен (то есть его дифференциал отличен от нуля)
всюду, кроме конечного числа точек. Замкнутой областью на S на­
зывается объединение области с её границей (рис. 2.28). Замкнутая область
на S с R 3 называется ограниченной, если она содержится в некотором ша­
ре пространства R 3
.
Рисунок 2.28
Мы будем рассматривать замкнутые ограниченные области R, кото­
рые содержатся в координатной окрестности х (И) параметризации
х:ИcR
2
~ S. Другими словами, R есть образ при отображении х замк­
нутой ограниченной области Q с И.
Функция 1хи А xvl, определённая на И, есть величина площади парал­
лелограмма, порождаемого векторами хи и xv. Покажем, во-первых, что
интеграл
fQI Xu/\Xvl du dv
не зависит от выбора параметризации х.
В самом деле, пусть х :[J с R 2 ~ S - другая параметризация
сRсх(U);положимQ=Г
1
(R). Пусть д(u, v)/д(u,v)
-
якобиан заме­
ны параметров h =х- 1 о х. Тогда
fJQI х и/\ х vldii dV =fJQIXu/\Xvll~i;: ~ldii dV =
= fJQIXu/\Xvldudv,
где последнее равенство следует из теоремы о замене переменных в крат­
ных интегралах (ер. Buck Advanced Calculus, р. 304). Утверждение о неза­
висимости, следовательно, доказано, и мы можем дать следующее опреде­
ление.

124
ГЛАВА2
Определение 2. Пусть RcS - замкнутая ограниченная область на
регулярной поверхности, содер:ж:ащаяся в координатной окрестности па-
раметризации х: Ис R 2 ~ S. Поло:ж:ительное число
называется площадью R.
Существуют некоторые геометрические обоснования такого определе­
ния, и одно из них будет приведено в разделе 2.8 .
Полезно заметить, что
2(
)2
2
2
fxuлxvf + Х и,х v =fxuf fxvf '
и это показывает, что подынтегральную функцию в A(R) можно записать
в виде
fxuлxvl =.JEG-F
2
.
Следует также заметить, что в большинстве примеров требование,
чтобы замкнутая область R содержалась в некоторой координатной окре­
стности, не очень важно, так как существуют координатные окрестности,
которые покрывают всю поверхность, кроме некоторых кривых, которые
не влияют на площадь.
Пример 5. Вычислим площадь тора примера 6, раздел 2.2 . .Цr~я этого
рассмотрим координатную окрестность, соответствующую параметризации
х(и, v) =((а+ r cosи)cos, (а+ rcosи)sin v, rsinи),
О<и<2к, О<v<2к,
которая покрывает весь тор, кроме одного меридиана и одной параллели.
Коэффициенты первой основной формы таковы:
E=r
2
,
F=O, G=(rcosи+a)
2
;
следовательно,
.JEG-F
2
= r(rcosи +а).
Рассмотрим теперь замкнутую область RE, полученную в качестве
образа при отображении х замкнутой области Q (рис. 2.29), заданной ра­
венством ( t: > О и мало)
Q={(и,v)ER 2 ; O+esиs2n-e, O+esvs2n-e}.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
Используя определение 2, получаем
A(RlJ=JL r(rcosи+а)du dv =
QE
l2Л:-Е 2
i2Л:-Е
=
(r cosu + ra)du
dv=
O+t:
O+t:
=r
2
(27r - 2е)(sin(2ir - е)- sin е) + ra(2ir - 2е) 2
.
v
z
2'11"
е
Q,
~
2е
х
е
и
о
е
27Г
Рисунок 2.29
Устремляя t: ~ О в предыдущем выражении, получаем
А(Т) = lim A(Rt:) = 4я
2
rа.
Е--70
2е
125
Это совпадает с величиной, найденной элементарными вычислениями, ска­
жем, с использованием теоремы Паппа для площади поверхностей вра­
щения (ер. упражнение 11 ).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Вычислите первую основную форму следующих параметризованных
поверхностей там, где они регулярны:
а. x(u,v)=(asinucosv, bsinusinv, ccosu); эллипсоид;
b.x(u,v)=(aucosv, businv, u
2
); эллиптический параболоид;
с. х(и, v) = (auchv, Ьи shv, и
2
); гиперболический параболоид;
d. х(и, v) = (ashucosv, bshusin v, cchu); двуполостный гиперболоид.
2. Пусть х(8, rp) = (sin8cosrp, sin Bsinrp, cos8) - параметризация единич­
ной сферы S 2
.
Пусть Р - плоскость х = zctga, О< а< я, и /3 - острый
угол, который кривая Р п S 2 образует с полумеридианом rp = Фо. Вычис­
лите cos/3.

126
ГЛАВА2
3. Найдите первую основную форму сферы в параметризации, определя­
емой стереографической проекцией (ер. упражнение 16, раздел 2.2).
4. Покажите, что для данной параметризованной поверхности
х(и, v) = (ucosv, usin v, lncosv +и), _!! _ < v < 1r,
2
2
две кривые х(щ, v), х(и2 , v) отсекают отрезки одной и той же длины на
всех кривых х(и, const).
5. Покажите, что площадь А замкнутой ограниченной области R на по­
верхности z = f(x,y) равна
6. Покажите, что
А= ffQ~l + fx
2
+ f} dxdy.
х(и, v) = (usinacosv, usinasin v, ucosa),
О<и<ех>, О<v<2я, а=const,
есть параметризация конуса с углом 2а при вершине. Докажите, что в со­
ответствующей координатной окрестности кривая
x(cevsinactgp, v), с= const, fЗ= const,
пересекает образующие конуса (v = const) под постоянным углом fЗ.
7. Координатные линии параметризации х(и, v) образуют чебышевскую
сеть, если длины противоположных сторон любого образованного ими че­
тырёхугольника равны. Покажите, что необходимыми и достаточными ус­
ловиями для этого являются равенства
дЕ=дG=О.
дv ди
8*. Докажите, что, когда координатные линии образуют чебышевскую сеть
(см. упражнение 7), можно заново параметризовать координатную окрест­
ность таким образом, что новые коэффициенты квадратичной формы бу­
дут таковы:
E=l, F=cosB, G=l,
где В - угол между координатными линиями.
9*. Покажите, что поверхность вращения всегда можно параметризовать
так, что
E=E(v), F=O, G=l.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
127
10. Пусть Р = {(x,y,z)E R 3
; z =О} - ху-плоскостьих:И~Р
-
пара­
метризация Р, заданная равенством
х(р, В)= (pcosB, psinB),
где
И={(р,В)ЕR2
; р>О,О<8<2я}.
Вычислите коэффициеmы первой основной формы Р в этой параметри­
зации.
11. Пусть S
-
поверхность вращения и С - её производящая кривая
(ер. пример 4, раздел 2.3). Пусть s - длина дуги С и р = p(s) - расстоя-
ние до оси вращения от точки С, соответствующей s.
а. (Теорема Паппа.) Покажите, что площадь S равна
2пJ~ p(s)ds,
гдеl- длинаС.
Ь. Примените часть (а) для вычисления площади тора вращения.
12. Покажите, что площадь регулярной трубчатой поверхности радиуса r
вокруг кривой а (ер. упражнение 10, раздел 2.4) равна произведению 2лr
на длину а.
13. (Обобщённые геликоиды.) Естественная параметризация как поверхно­
стей вращения, так и геликоидов получается следующим образом. Пусть
регулярная плоская кривая С, которая не пересекает ось Е в плоскости,
совершает винтовое движение вокруг Е, то есть каждая точка С описыва­
ет винтовую линию (или окружность) с осью Е. Множество S, порождае­
мое перемещением С, называется обобщённым геликоидом с осью Е
и образующей С. Если винтовое движение есть чистое вращение во­
круг Е, то S - поверхность вращения; если С
-
прямая, перпендику­
лярная Е, то S - стандартный геликоид (или его часть) (ер. пример 3).
Выберите координатные оси так, чтобы ось Е была осью z, а С ле­
жала в уz-плоскости. Докажите, что
а)если (f(s),g(s)) - параметризация С длиной дуги s, a<s<b,
f(s)>O, тох: И ~s, где
И={(s,и)ЕR 2 ; a<s<b, 0<и<2Jr}

128
ГЛАВА2
и
x(s, и)= (f(s)cosи, f(s)sinи, g(s) +си), с= const,
есть параметризация S; заключите отсюда, что S - регулярная поверх­
ность;
Ь) координатные линии предыдущей параметризации ортогональны (то
есть F =О) тогда и только тогда, когда х (И) есть либо поверхность вра­
щения, либо стандартный геликоид (или его часть).
14. (Градиент на поверхностях.) Градиент дифференцируемой функции
f : S ~ R есть дифференцируемое отображение grad f : S ~ R 3
, которое
сопоставляет каждой точке р Е S такой вектор grad f (р) Е ТР (S) с R 3
, что
(gradf(p), v) Р = dfp(v) для любого VE TP(S).
Докажите, что
а) если Е, F, G - коэффициенты первой основной формы в параметри­
зации х: И с R 2 ~ S, то grad/ на x(U) имеет следующее выражение:
grad/= fиG-fvFХ +fvE-fuFХ ;
EG-F2 и EG-F2 v
в частности, если S =R
2
с координатами х, у,
grad/ = fA + fye2,
где {е1 , е2 } - канонический базис R 2 (таким образом, определение согла­
суется с обычным определением градиента в плоскости).
Ь) если точка рЕ S фиксирована, а v описывает единичную окружность
1v1= 1 в Tp(S), то dfp(v) достигает максимума тогда и только тогда, когда
v = grad f /1gradf1 (таким образом, grad f(p) задаёт направление макси­
мW1ьного изменения f в точке р );
с) если grad/ "#О во всех точках линии уровня С= {qE S; f(q) = const}, то
С - регулярная кривая на S и grad/ ортогонален С во всех точках С.
15. (Ортогональные семейства кривых.)
а. Пусть E,F,G - коэффициенты первой основной формы регулярной по­
верхности S впараметризации х: UcR 2 ~S. Пусть tp{и,v)=const

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
129
и lf/(и, v) = const - два семейства регулярных кривых на х (И) с S (ер. уп­
ражнение 28, раздел 2.4). Докажите, что эти два семейства ортогональны
(то есть когда две кривые различных семейств пересекаются, их касатель­
ные ортогональны) тогда и только тогда, когда
Ь. Примените часть (а), чтобы доказать, что в координатной окрестности
х (И) геликоида примера 3 два семейства регулярных кривых
vcosu = const, v 7' О,
(v
2
+a
2
)sin
2
и=const, v 7'О, и*Jl,
ортогональны.
2.6 . Ориентация поверхностей*
В этом разделе мы обсудим, в каком смысле и когда можно ориенти­
ровать поверхность. Интуитивно, поскольку в каждой точке р регулярной
поверхности суще,ствует касательная плоскость Tp(S), выбор ориентации
TP(S) индуцирует ориентацию в окрестности р, то есть понятие положи­
тельного направления движения вдоль достаточно малых замкнутых кри­
вых вокруг каждой точки окрестности (рис. 2.30). Если можно сделать этот
выбор для каждой точки р Е S так, что в пересечении двух окрестностей
ориентации совпадают, говорят, что S ориентируема. Если это невозмож­
но, S называется неориентируемой.
Сейчас мы уточним эти представления. Фиксируя параметризацию
х(и, v) окрестности точки р регулярной поверхности S, мы определяем
ориентацию касательной плоскости Tp(S), а именно ориентацию ассоци­
ированного упорядоченного базиса {xu,xv}. Если р принадлежит коор­
динатной окрестности другой параметризации х (И, v), новый базис выра­
жается через старый по формулам
-
ди дv
х и=Хи дu +xv дu'
-
ди дv
Хv=Хидv +xvдv'
' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении,

130
ГЛАВА2
T,(S)
Рисунок 2.30
где и = и(И, v) и v = v(u, v) - выражения замены координат. Базисы
{xu,xv} и {х "' х v} определяют, следовательно, одну и ту же ориентацию
Tp(S) тогда и только тогда, когда якобиан
замены координат положителен.
д(и,v)
д(u,v)
Определение 1. Регулярная поверхность S называется ориентиру­
емой, если её можно покрыть координатными окрестностями таким обра­
зом, что если точка рЕ S принадлежит двум окрестностям этого семейства,
то якобиан замены координат положителен в р. Выбор такого семейства
называется ориентацией S, и S в этом случае называется ориентируемой.
Если такой выбор невозможен, поверхность называется неориентируемой.
Пример 1. Поверхность, которая является графиком дифференцируе­
мой функции (ер. раздел 2.2, предложение 1), является ориентируемой.
В действительности все поверхности, которые могут быть покрыты одной
координатной окрестностью, тривиально ориентируемы.
Пример 2. Сфера является ориентируемой поверхностью. Вместо
прямых вычислений прибегнем к общим рассуждениям. Сферу можно по­
крыть двумя координатными окрестностями (используя стереографиче­
скую проекцию; см. упражнение 16 раздела 2.2) с параметрами (и, v)
и (И, v) таким образом, что пересечение W этих окрестностей (сфера без
двух точек) является связным множеством. Фиксируем точку р в W. Если
якобиан замены координат в р отрицателен, переставим и и v в первой
системе, и якобиан станет положительным. Так как якобиан отличен от
нуля в W и положителен в точке рЕ W, из связности W следует, что яко-

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
131
биан всюду положителен. Следовательно, существует семейство коорди­
натных окрестностей, удовлетворяющих определению 1, и потому сфера
ориентируема.
Из только что проведённых рассуждений ясно, что если регулярную
поверхность можно покрыть двумя координатными окрестностями, пе­
ресечение которых связно, то поверхность ориентируема.
Прежде чем привести пример неориентируемой поверхности, дадим
геометрическое истолкование понятия ориентируемости регулярной по-
верхности в R 3
.
Как мы видели в разделе 2.4, для данной системы координат х(и, v) в р
мы определённым образом выбираем единичный нормальный вектор N
в р по правилу
N=хилxv(р).
1Хи ЛХv 1
(1)
Выбирая другую систему локальных координат х (И, v) в р, мы видим, что
_
_
(
) д(и, v)
ХиЛХ;;= XuЛXv
--= -:: -,
д(и,v)
(2)
где д(и, v)/д(u, v) - якобиан замены координат. Следовательно, N сохра-
нит знак или изменит его в зависимости от того, положителен или отри­
цателен соответственно якобиан д(и, v)/д(u, v).
Под дифференцируемым полем единичных нормш1ьных векторов на
открытом множестве И с S будем понимать дифференцируемое отобра-
жениеN:И~R3
, кото рое сопоставляет ка жд ой точке q Е И единичный
нормальныйкS вточке q вектор N(q)ЕR3
.
Предложение 1. Регулярная поверхность Sc R
3
ориентируема то­
гда и только тогда, когда на S существует дифференцируемое поле еди­
ничных нормальных векторов N: S~ R 3
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если S ориентируема, её можно покрыть семейст­
вом координатных окрестностей так, что в пересечении любых двух из них
замена координат имеет положительный якобиан. В точках р = х (и, v) ка­
ждой окрестности определим N(p) = N(и, v) с помощью равенства (1).
N(p) определён корректно, так как если р принадлежит двум координат­
ным окрестностям с параметрами (и,v) и (u,v), то нормальные векторы
N(и,v) и N(u,v) совпадают в силу равенства (1). Кроме того, в силу ра-
венства (1) координаты N(и, v) в R 3 являются дифференцируемыми

132
ГЛАВА2
функциями (и, v) и, таким образом, отображение N : S --; R 3 диффе­
ренцируемо, что и требовалось.
С другой стороны, пусть N: S --; R 3
-
дифференцируемое поле еди­
ничных нормальных векторов; рассмотрим семейство связных коорди­
натных окрестностей, покрывающих S. Для точек р =х(и, v) каждой ко-
ординатной окрестности х (И), И с R 2
,
можно в силу непрерывности N,
переставляя и и v в случае необходимости, считать, что
N(p)= Xu/\Xv.
1хи/\xv1
В самом деле, скалярное произведение
(
ХJ\X )
N(p)иv
= f(p)=±1
Jхи /\ xvJ
является непрерывной функцией на x(U). Так как х(И) связно, знак f по­
стоянен. Если f = - 1, переставим и и v в параметризации, и утверждение
доказано.
Поступая таким образом с каждой координатной окрестностью, полу­
чаем, что в пересечении любых двух из них, скажем х(и, v) и х (И, v),
якобиан
д(и,v)
д(u,v)'
несомненно, положителен; в противном случае мы имели бы
хилх" = -N( )'
1
-
-
1
р
Хил х"
что является противоречием. Следовательно, данное семейство коорди­
натных окрестностей, после некоторых перестановок и и v, удовлетворяет
условиям определения 1, и потому S ориентируема.
D
Замечание. Как показывает доказательство, для ориентируемости S
необходимо потребовать только существование непрерывного единичного
векторного поля на S, чтобы S бьша ориентируемой. Такое векторное по­
ле автоматически будет дифференцируемо.
Пример 3. Сейчас мы разберём пример неориентируемой поверх­
ности, так называемый лист (лента) Мёбиуса. Эта поверхность по-
лучается (см. рис. 2.31) с помощью окружности S 1
,
заданной уравнением

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
133
х2+у
2
= 4, и открытого отрезка АВ, заданного условиями х = О, у= 2,
1z 1< 1. Перемещаем середину с отрезка АВ вдоль S1 и вращаем АВ во­
круг с в сz-плоскости таким образом, что, когда с перемещается на
угол и, АВ поворачивается на угол u/2. Когда с завершает один обход
окружности, АВ возвращается в исходное положение с переставленными
концами.
z
А~~~~~~~~~~~~~В
В
А
1Г
А
у
х
Рисунок 2.3 1
С точки зрения дифференцируемости это означает, что мы отождествили
противоположные стороны прямоугольника, скручивая прямоугольник
так, что каждая точка стороны АВ отождествляется с симметричной ей
точкой (рис. 2.31 ).
Геометрически очевидно, что лист Мёбиуса М является регулярной
неориентируемой поверхностью. В самом деле, если бы поверхность М
была ориентируемой, существовало бы дифференцируемое поле N : М ~
~ R 3 единичных нормальных векторов. Рассматривая эти векторы вдоль
окружности х2
+у
2
= 4, мы видим, что после совершения одного оборота,
вектор N возвращается в исходное положение как - N , что является про­
тиворечием.
Дадим теперь аналитическое доказательство указанных выше фактов.
Система координат х: И ~ М для листа Мёбиуса задаётся следую­
щим образом:
x(u,v)=((2-vsin~}inи,(2-vsin~}osu, vcos~}
где О < и < 2л и -1 < v < 1. Соответствующая координатная окрестность
не содержит точек интервала и =О. Затем, помещая начало отсчёта и

134
ГЛАВА2
на ось х, мы получаем другую параметризацию x(u, v), заданную урав­
нениями
х ={2-vsin(1+~)}cosu,
у=-{2-vsin(1+~)}sinu,
z=vco{1+%}
координатная окрестность которой не содержит интервала и= л/2. Две эти
координатные окрестности покрывают лист Мёбиуса и могут быть ис­
пользованы для доказательства того, что он является регулярной поверх­
ностью.
Заметим, что пересечение двух координатных окрестностей не явля­
ется связным, но состоит из двух связных компонент:
W1 ={x(u,v): ~<и<2п}
W2 ={x(u,v): О<и<~}·
Замена координат задаётся равенствами
и
Отсюда следует, что
и
{-
/[
и =_и-2,
v=v
{
-
Зtr
и~2+и,
v =-v
д(u,v) =1>0 на W1
tЭ(u,v)
д(u,v) =-1<0 на W
2
.
д(и,v)

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
135
Чтобы показать, что лист Мёбиуса неориентируем, предположим, что
можно определить дифференцируемое поле единичных нормальных векто-
ровN:М~R
3
.
Переставляя, если необходимо, и и v, мы можем счи­
тать, что
в каждой точке координатной окрестности параметризации х(и, v). Анало­
гично, мы можем считать, что
во всех точках координатной окрестности х (И, v). Однако якобиан замены
координат должен быть равен -1 либо на Wi, либо на W2 (в зависимости
от того, какого типа замену, и~ v или И~ v, нужно сделать). Если р -
точка этой компоненты пересечения, то N (р) = - N (р), что является про­
тиворечием.
Мы уже видели, что поверхность, которая является графиком диф­
ференцируемой функции, ориентируема. Мы покажем сейчас, что поверх­
ность, которая является прообразом регулярного значения дифферен­
цируемой функции, также ориентируема. Эта одна из причин того, что
сравнительно трудно построить примеры неориентируемых регулярных
поверхностей в R 3
.
Предложение 2. Если регулярная поверхность задана как множество
S={(x,y,z)ER3
; f(x,y,z)=a}, где функция f:UcR
3
~R дифферен­
цируема и а есть регулярное значениеf, то S ориентируема.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для данной точки р = (x0 ,y0 ,z0 )E S рассмотрим па­
раметризованную кривую (x(t),y(t),z(t)), tE !, на S, проходящую через
точкурприt=t0.ТаккаккриваялежитнаS,
f(x(t),y(t),z(t)) =а
при любом t Е /. Дифференцируя обе части этого равенства по t, получаем
приt=t0

136
ГЛАВА2
Это показывает, что касательный вектор кривой при t = t0 перпендикуля­
рен вектору (fx,fy,/z) в точке р. Так как кривая и точка произвольны, за­
ключаем, что
N(x у z)=[
fx
fy
fz
)
'
'
~f;+f;+fz
2
' ~f;+f;+fz
2
' ~fx
2
+f;+fz
2
есть дифференцируемое поле единичных нормальных векторов на S.
С учётом предложения 1 это означает, что S ориентируема, что и тре­
бовалось.
Заключительное замечание. Ориентация, по определению, не явля­
ется локальным свойством реrулярной поверхности. Локально каждая ре­
rулярная поверхность диффеоморфна открытому множеству плоскости и,
следовательно, ориентируема. Ориентация является глобальным свой­
ством в том смысле, что охватывает всю поверхность. Позже в этой книге
мы будем иметь возможность сказать больше о глобальных свойствах
(глава 5).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть S - реrулярная поверхность, покрытая координатными окрестно­
стями Vj и V2 . Предположите, что V1 п V2 имеет две связные компоненты,
Wi и W2 и якобиан замены координат положителен на Wi и отрицателен
на W2 • Докажите, что S неориентируема.
2. Пусть S2 - ориентируемая реrулярная поверхность и rp: S1 ~ S2 -
дифференцируемое отображение, которое является локальным диффео­
морфизмом в каждой точке р Е S 1• Докажите, что S1 ориентируема.
3. Можно ли придать смысл понятию площади для листа Мёбиуса? Если
да, введите интеграл для её вычисления.
4. Пусть S- ориентируемая поверхность и {Иа}, {V,в}
-
два семейства
координатных окрестностей, которые покрывают S (то есть u Иа = S =
= uUfJ) и удовлетворяют условиям определения 1 (то есть в каждом се­
мействе замена координат имеет положительный якобиан). Мы говорим,
что {Иа} и {V,в} определяют одну и ту же ориентацию S, если объе-
динение двух семейств снова удовлетворяет условиям определения 1.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
137
Докажите, что регулярная связная ориентированная поверхность мо­
жет иметь только две различные ориентации.
5. Пусть rp: S1 ~ S2 - диффеоморфизм.
а. Покажите, что S1 ориентируема тогда и только тогда, когда S2 ориенти­
руема (таким образом, ориентируемость сохраняется при диффеомор­
физмах).
Ь. Пусть S1 и S2 ориентируемы и ориентированы. Докажите, что диф­
феоморфизм rp индуцирует ориентацию на S2 . Используйте антиподаль­
ное отображение сферы (упражнение 1, раздел 2.3), чтобы показать, что
эта ориентация отлична от первоначальной (таким образом, сама ориен­
тация может не сохраняться при диффеоморфизмах; заметьте, однако,
что, если S 1 и S 2 связны, диффеоморфизм либо сохраняет, либо «обраща­
ет,, ориентацию).
6. Определите понятие ориентации регулярной кривой С с R 3 и пока­
жите, что если С связна, то существует не более двух различных ориента­
ций в смысле упражнения 4 (фактически существуют точно две, но это
труднее доказать).
7. Покажите, что если регулярная поверхность S содержит открытое мно­
жество, диффеоморфное листу Мёбиуса, то S неориентируема.
2.7 . Характеризация компактных
~·
ориентированных поверхностен
Предложение, обратное к 2 раздела 2.6, а именно ориентированная
поверхность в R 3 является прообразом регулярного значения некоторой
дифференцируемой функции, верно, и его доказательство нетривиально.
Даже в частном случае компактных поверхностей (определяемых в этом
разделе) доказательство поучительно и представляет интересный пример
глобальной теоремы дифференциальной геометрии. Этот раздел будет
полностью посвящён доказательству обратного утверждения.
ПустьSсR3
-
ориентируемая поверхность. Ключевой момент дока­
зательства состоит в том, чтобы показать, что на нормали, проходящей че­
рез точку р Е S, можно выбрать интервал I Р, содержащий р, длины, ска-
' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

138
ГЛАВА2
жем, 2t:Р (ЕР зависит от р) таким образом, что если р * q ll. S, то
IP nlq =ф. Таким образом, объединение uIP, рЕ S, составляет откры­
тое множество V в R 3
, которое содержит S и обладает тем свойством, что
через каждую точку V проходит единственная нормаль к S; тогда V на­
зывается трубчатой окрестностью S (рис. 2.32).
I,
Рисунок 2.32. Трубчатая окрестность
Временно допустим существование трубчатой окрестности ориенти­
рованной поверхности S. Мы можем тогда определить функцию g: V ~ R
следующим образом. Фиксируем ориентацию S. Заметим, что никакие два
интервала JР и I q, р '* q, трубчатой поверхности V не пересекаются. Та-
ким образом, через каждую точку РЕ V проходит единственная нормаль
к S, которая пересекает S в точке р; по определению, g(p) есть расстоя­
ние от р до Р со знаком, заданным направлением единичного нормально­
го вектора в р. Если мы сможем доказать, что g - дифференцируемая
функция и О является регулярным значением g, то получим, что
S = g -! (О), что и требовалось доказать.
Начнём теперь доказательство существования трубчатой окрестности
ориентированной поверхности. Докажем сначала локальный вариант этого
утверждения, то есть что для каждой точки р регулярной поверхности
существует окрестность р, которая имеет трубчатую окрестность.
Предложение 1. Пусть S - регулярная поверхность и х: И ~ S -
параметризация окрестности точки р = х(и0 , v0 )E S. Тогда существуют
окрестность Wcx(U) точки р в S и такое число Е >О, что отрезки нор­
малей, проходящих через точки qE W, с серединой в q и длиной 2t: не пере­
секаются (то есть W имеет трубчатую окрестность).

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
139
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим отображение F : Их R ~ R 3
, зада нное
равенством
F(u,v;t)=x(u,v)+tN(u,v), (u,v)E И, tER,
где N(u, v) = (Nx,Ny,Nz) - единичный нормальный вектор к
х(и, v) = (х(и, v), у(и, v), z(u, v)).
Геометрически F отображает точку (u,v;t) <щилиндра» UxR вточку
нормали к S на расстоянии t от х(и, v). F, очевидно, дифференцируемо,
и его якобиан в точке t = О имеет вид
дхдудz
дидиди
дхдудz
=fxu лxvf:;tO.
дvдvдv
NxNyNz
По теореме об обратной функции, существует параллелепипед
в Их R, скажем,
и0-д<и<и0+д, v0- д<v<v0+д, -е<t<е,
ограничение на который отображения F взаимно однозначно. Но это оз­
начает, что в образе W прямоугольника
u0- д<и<и0+д,
v0- д<v<v0+д
при отображении посредством х отрезки нормалей с серединами q Е W
и длиной < 2е не пересекаются.
О
Предложение 2. Предполо:ж:им существование трубчатой окрест­
ности Vс R 3 ориентированной поверхности Sс R 3 и выберем ориента­
цию S. Тогда функция g:V ~R3
,
определённая как ориентированное рас­
стояние от точки V до основания единственной нормали, проходящей через
эту точку, дифференцируема и нуль является её регулярным значением.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим снова отображение F: UxR~R 3 , оп­
ределённое в предложении 1, где мы теперь предполагаем параметриза­
цию х, согласованной с данной ориентацией. Обозначая через x,y,z коор­
динаты F(u, v,t) =х(и, v) +t N(u, v), можно записать
F(u, v,t) = (х(и, v,t), у(и, v,t),z(u, v,t)).

140
ГЛАВА2
Так как якобиан д(х, у, z )/д(и, v, t) отличен от нуля при t =О, мы можем
обратить F в некотором параллелепипеде Q,
и0 -д<и<и0 +д, v0 -д<v<v0 +д, -E<t<E,
и получить дифференцируемое отображение
F-1(x,y,z) = (u(x,y,z), v(x,y,z), t(x,y,z)),
где (x,y,z)E F(Q)=V. Но функция g: V ~R в утверждении предложе­
ния 2 есть в точности t = t(x,y,z). Таким образом, g дифференцируема.
Кроме того, О является регулярным значением g; в противном случае
дt=дt =дt =0
дхдудz
в некоторой точке, где t =О; следовательно, дифференциал dF-
1
является
вырожденным при t = О, что является противоречием.
о
Чтобы перейти от локального рассмотрения к глобальному, то есть
доказать существование трубчатой окрестности ориентированной поверх­
ности в целом, требуются некоторые топологические соображения. Мы ог­
раничимся компактными поверхностями, которые сейчас определим.
Пусть А - подмножество R 3
.
Мы говорим, что р Е R 3 есть предель-
НШl точка А, если каждая окрестность р в R 3 содержит точку А, отлич­
ную от р. Говорят, что А замкнуто, если оно содержит все свои предель­
ные точки. А называется ограниченным, если оно содержится в некотором
шаре в R 3 . Если А замкнуто и ограничено, оно называется компактным
множеством.
Сфера и шар являются компактными множествами. Параболоид вра-
щенияz=х
2
+у2,(х,у)ЕR2
,
есть замкнутая поверхность, но, будучи не­
ограниченной, она не является компактной. Круг х2 + у 2 < 1 в плоскости
и лист Мёбиуса являются ограниченными, но незамкнутыми, и потому они
некомпактны.
Нам потребуются некоторые свойства компактных подмножеств R 3
,
которые мы сейчас сформулируем. Расстояние между двумя точками
р, qER 3 будет обозначаться d(p, q).
Свойство 1 (Больцано-Вейерштрасс). Пусть AcR
3
~компактное
множество. Тогда каждое бесконечное подмножество А имеет по край­
ней мере одну предельную точку в А.

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
141
Свойство 2 (Гейне-Борель). Пусть А с R 3
-
компактное множество
и {Ua} - семейство таких открытых подмножеств А, что uаИа:::А.
Тогда можно выбрать конечное число таких подмножеств Иk,,
U"'-, ... ,Ukп из Иа, что uUk;=A, i=I" .. ,п.
Свойство 3 (Лебег). Пусть А с R 3
-
компактное множество и {Иа} -
такое семейство открытых подмножеств А, что Ua Иа=А. Тогда су­
ществует такое число д >О (число Лебега семейства {Иа}), что, когда
две точки р, qE А находятся на расстоянии d(p,q) < д, тогда р и q при­
надлежат некоторому Иа.
Свойства 1 и 2 обычно доказываются в дополнительных главах анализа.
.Цля полноты мы докажем сейчас свойство 3. Позже в этой книге (приложе-
ние к главе 5) мы будем рассматривать компактные множества в R п более
систематическим образом и приведём доказательства свойств 1 и 2.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВА 3. Предположим, что не существует числа
д >О, удовлетворяющего условиям утверждения, то есть для данного чис­
ла 1/п существуют такие точки Рп и qn, что d(pn, qn) < 1/п, но Рп и qп не
принадлежат одному открытому множеству семейства {Иа}. Полагая
п = 1,2"." мы получаем два бесконечных множества точек {Рп} и {qп},
которые, по свойству 1, имеют предельные точки р и q соответственно.
Так как d(рп, qп) < 1/п, мы можем выбрать эти предельные точки таким
образом, что р=q. Но рЕИа при некотором а, так как рЕА =
= u а Иа, и, поскольку Иа - открытое множество, существует такой от­
крытый шар ВЕ(р) с центром в р, что ВЕ(р)сИа. Так как р - пре­
дельная точка {рп} и {qп}, при достаточно большом п существуют точки
Рп и qп в ВЕ(р) с Иа' то есть Рп и qn принадлежат одному Иа' что явля-
ется противоречием.
о
Используя свойства 2 и 3, мы сейчас докажем существование труб­
чатой окрестности ориентированной компактной поверхности.
Предложение 3. Пусть Sc R
3
-
регулярная, компактная, ориен­
тируемая поверхность. Тогда существует такое число Е' >О, что, когда
р, qE S, отрезки нормалей длины 2Е с серединами в р и q не пересека­
ются (то есть S имеет трубчатую окрестность).

142
ГЛАВА2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. в силу предложения 1 для каждой точки р Е s су­
ществуют окрестность WP и такое число еР > О, что предложение выпол­
няется для точек WР при е = еР. Когда р пробегает S, мы получаем такое
семейство {Wp}, что upes WP =S . В силу компактности (свойство 2) мож­
но выбрать конечное число таких окрестностей WP, скажем Wj, ... ,Wk (со­
ответствующих e1, • •• ,t:k), что u W; =S, i =l, ... ,k. Покажем, что искомое t:
задаётся неравенством
е<min(e1, ... ,ek, %J
где д - число Лебега семейства {W;} (свойство 3).
В самом деле, пусть две точки р, qE S. Если обе точки принадлежат
некоторому W;, i = 1, ... , k, отрезки нормалей с серединами в р и q
длины 2е не пересекаются, поскольку е < Е;. Если р и q не принадлежат
одному W;, то d(p,q)??. д; если бы отрезки нормалей с серединами в р
и q длины 2е пересекались в точке Q Е R 3
, мы имели бы
2t:??. d(p, Q) + d(Q, q)??. d(p, q)??. д'
что противоречит определению е.
о
Объединяя предложения 1, 2 и 3, получаем следующую теорему, ко­
торая является главной целью этого раздела.
Теорема. Пусть ScR
3
-
регулярная, компактная, ориентируемая
поверхность. Тогда существует дифференцируемая функция g: V ~ R,
определённая на открытом множ:естве VcR
3
,
где V::J S (в точности
трубчатая поверхность S), для которой нуль является регулярным зна­
чением, и такая, чтоS=g- 1 (0).
Замечание 1. Можно доказать существование трубчатой окрестности
ориентированной поверхности, даже если поверхность некомпактна; по­
этому теорема верна без требования компактности. Доказательство, одна­
ко, более сложное. В этом общем случае е(р) > О не постоянно, как
в случае компактности, но может зависеть от р.
Замечание 2. Можно доказать, что регулярная компактная поверх­
ность в R 3 ориентируема; предположение об ориентируемости в теореме
(в случае компактности) не является поэтому необходимым. Доказательст-

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
143
во этого факта можно найти в работе Н. Samelson, "OrientaЬility of Hyper-
surfaces in R п", Proc. A.M .S . 22 (1969), 301-302.
2.8 . Геометрическое определение площади*
В этом разделе мы представим геометрическое обоснование опреде­
ления площади, данного в разделе 2.5 . Точнее, мы дадим геометрическое
определение площади и докажем, что в случае замкнутой ограниченной
области регулярной поверхности такое определение приводит к формуле
площади, данной в разделе 2.5 .
Чтобы определить площадь замкнутой области R с S , начнём с раз­
биения [J области R на конечное число областей R; , то есть представим
R = U;R;, где пересечение двух таких областей R; либо пусто, либо образо­
вано граничными точками двух областей (рис. 2.33). Диаметр R; есть точ-
ная верхняя грань расстояний (в R 3 ) между любыми двумя точками R;;
наибольший из диаметров R; данного разбиения [J называется нормой μ
разбиения [J . Если мы теперь произведём разбиение каждого R;, мы полу­
чим второе разбиение R, которое называется измельчением [J .
Для данного разбиения
R=UR;
l
области R выберем произвольные точки Р; Е R; и спроецируем R; на ка­
сательную плоскость в точке Р; в направлении нормали в р;; эта проекция
обозначается символом R;, а её площадь - A(R;). Сумма L;A(R;) являет­
ся аппроксимацией того, что мы понимаем интуитивно под площадью R.
R;
Рисунок 2.33
• Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

144
ГЛАВА2
Если при выборе всё более мелких разбиений .'J\, ... , !Рп, ... , таких, что
норма μп разбиения !Рп стремится к нулю, существует предел L;A(R;)
и этот предел не зависит от выбора разбиений, то мы говорим, что R имеет
площадь A(R), определяемую равенством
A(R)= lim LA(R;).
μп---'>0 i
Поучительное обсуждение этого определения можно найти в книге
R. Courant, Differeпtial апd Iпtegral Calcиlиs, Vol. П, Wiley-Interscience, New
York, 1936, р. 311.
Мы покажем, что замкнутая область регулярной поверхности имеет
площадь. Мы будем рассматривать только замкнутые ограниченные облас­
ти, содержащиеся в координатной окрестности, и получим выражение пло­
щади через коэффициенты первой основной формы в соответствующей
системе координат.
Предложение. Пусть х: И -4 S - система координат на регулярной
поверхности S и R = x(Q) - замкнутая ограниченная область S, содержа­
щаяся в х( И). Тогда R имеет площадь, которая вычисляется по формуле
A(R)= JfQ\xuлxvl dи dv.
ДоклзлТЕЛЬСТВО. Рассмотрим разбиение R = u; R; области R. Так как
R ограниченна и замкнута (следовательно, компактна), можно считать раз­
биение настолько мелким, что любые две нормали к R; нигде не орто-
гональны. В самом деле, так как нормали изменяются на S непрерывно,
для каждой точки р Е R существует окрестность р на S, где любые две
нормали нигде не ортогональны; эти окрестности составляют семейство
открытых множеств, покрывающих R, и, рассматривая разбиение R, нор­
ма которого меньше числа Лебега этого покрытия (раздел 2.7, свойство 3
компактных множеств), мы выполним требуемое условие.
Зафиксируем область R; разбиения и выберем точку Р; Е R; =x(Q;).
Мы хотим вычислить площадь ортогональной проекции R; области R; на
касательную плоскость в точке Р;. Чтобы сделать это, рассмотрим новую
систему координат P;XYZ в R 3
,
получаемую из Oxyz сдвигом на Ор;
с последующим поворотом, который совмещает ось z с нормалью
в точке Р; так, что обе системы имеют одну и ту же ориентацию
(рис. 2.34). В новой системе параметризацию можно записать в виде
х (и, v) = (х(и, v),.У(и, v),z(и, v)),

РЕГУЛЯРНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ
145
где явное выражение х (и, v) нас не интересует; достаточно знать, что век­
тор х (и, v) получается из вектора х(и, v) сдвигом с последующим орто­
гональным линейным преобразованием.
Заметим, что д(х,у)/д(и, v) ;t О в Q;; в противном случае компо­
нента z некоторого нормального вектора в Ri равна нулю, и в R; сущест­
вуют две ортогональные нормали, что противоречит нашим предположе­
ниям.
Выражение A(R1) имеет вид
A(R;) = Л- dX dy.
R;
о
у
х
Рисунок 2.34
Так как д(х,У)/д(и, v) ;t О, можно рассмотреть замену координат х = х(и, v),
у= у(и, v) и привести предыдущее выражение к виду
A(R;)=fГ д(х,У) dudv.
JQ, д(и, v)
Заметим теперь, что в точке Р; векторы х и и х v принадлежат х у­
плоскости; поэтому
дz =дz =О
дu дv вР;;
следовательно,
1д(х,у)1=1 дх л дх 1вточке Р;·
д(и,v) ди дv

146
ГЛАВА2
Отсюда следует, что
1
д(х,.У) 1-1 дх л дх 1= е;(и, v), (и, v)E Q;,
д(и, v) ди дv
где Е;(и, v) - непрерывная функция на Q; с Е;(х- 1 (р;)) =О. Так как длина
вектора сохраняется при сдвигах и ортогональных линейных преобразо­
ваниях, получаем, что
lдх л дхl=lдх л дх!=lд(х,у)l-г;(х,у).
ди дv ди дv д(и,v)
Пусть теперь М; и т; - максимум и минимум непрерывной в ком­
пактной области Q; функции Е; (и, v); таким образом,
. <lд(x,.Y)l-lдx
дхj<м.·
т,-
л-
"
д(и,v) ди дv
следовательно,
т; JSQ; dudv $ A(R;)- JSQ;I ~: л ~ 1 dudv $ M;JfQ; dudv.
Выполняя то же самое для всех R; , получаем
_Lт;A(Q;)$LA(R;)-fJ, lxuлxvl dudv::;;_LM;A(Q;).
i
i
Q
i
Далее, будем измельчать всё более и более данное разбиение так, что
норма μ ~О. Тогда М; ~ т;. Следовательно, существует предел L; A(R; ),
равный
который, очевидно, не зависит от выбора разбиения и точки Р; в каждом
разбиении.
D

ПРИЛОЖЕНИЕ
КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ
НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
Символ R п будет обозначать множество всех упорядоченных наборов
(х1 ,.",хп) п вещественных чисел. Хотя мы используем только случаи
R1
=R,R
2
иR3
, более общее понятие R п унифицирует определения и не
вносит никаких дополнительных трудностей; читатель может при жела­
нии представлять себе R 2 или R 3
.
В этих частных случаях мы будем ис­
пользовать следующие более традиционные обозначения: х или t для точ­
ки R, (х,у) или (u,v) дляточкиR 2 и (x,y,z) дляточкиR 3 .
А. Непрерывность в R n
Мы начинаем с понятия t:- близости точки к данной точке р0 Е R п.
Шар (или открытый шар) вRп с центром в точке р0 =(х?, ...,х~)
радиуса t: > О есть множество
Ве(Ро)={(х1, ... ,хп)Е R п; (х1 -х?) 2
+ ... +(хп -х~) 2 <t:2}.
Таким образом, шар Ве(р0 ) в R есть интервал с серединой р0 длины 2t:;
в R 2 шар Ве(р0 ) есть внутренность круга с центром р0 радиуса t:;
в R 3 шар Ве(р0 ) есть внутренность шара с центром р0 радиуса t:
(см. рис. А2.1).
Множество И с R п называется открытым множеством, если для
каждой точки рЕ И существует шар Ве(Р) с И; интуитивно это означает,
что точки в И со всех сторон окружены точками И или что точки, доста­
точно близкие к точкам И, всё ещё принадлежат И.
Например, множество
{(x,y)ER 2
; а<х<Ь, c<y<d},
как легко видеть, является открытым множеством в R 2
.
Однако, если
одно из строгих неравенств, скажем х < Ь, заменить неравенством х ~ Ь,

148
ПРИЛОЖЕНИЕ
множество не будет более открытым; никакой шар с центром в точке
(b,(d + с)/2), которая принадлежит множеству, не может содержаться во
множестве (рис. А2.2).
R
0
е
Ро
R'
@о
R'
Рисунок А2. 1
а
ь
а
ь
Рисунок А2.2
Удобно говорить, что открытое множество в R п, содержащее точку
р Е R п, является окрестностью р.
С этого момента И с R п будет обозначать открытое множество в R п.
Напомним, что вещественная функция f : И с R ~ R вещественной
переменной непрерывна в точке х0 Е И, если для заданного ё >О суще­
ствуеттакое д>О,чтоесли1х-х01<д, то
1 f(x)- Лхо) /< Е:.

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
149
Аналогично, вещественная функция f : И с R 2
. . .. . . ., R двух вещественных
переменных непрерывна в точке (х0 ,у0 )Е И, если для заданного t: >О су-
ществуеттакоед>О,чтоесли(х-х0)2 +(у-у0)2 <д2,то
1f(x,y)- Лхо,Уо) 1< Е:.
Понятие шара объединяет эти определения как частные случаи следую­
щего общего понятия.
Отображение F: И с R п ......., R т называется непрерывным в точке р Е И,
если для заданного t: > О существует такое д > О, что
F(B0 (p)) с B 8 (F(p)).
Другими словами, F непрерывно в точке р, если точки, сколь угодно
близкие к F(p), являются образами точек, достаточно близких кр. Легко
видеть, что в частных случаях п =1, 2 и т =1 это согласуется с пре­
дыдущими определениями. Мы говорим, что F непрерывно на И,
если F непрерывно в каждой точке р Е И (рис. А2.3).
~
~
F
__ ,/"
Рисунок А2.З
Для данного отображения F : И с R п......., R т мы можем определить т
функций от п переменных следующим образом. Пусть р = (х1 , ... ,хп)Е И
и f(p) = (у 1 ,••• ,ут). Тогда можно записать
У1 = J;(xp···,xn), ... ,ym = fm(xp···,xn).
Функции f; : И ......., R, i = 1, ... , т, называются координатными функциями F.

150
ПРИЛОЖЕНИЕ
Пример 1 (симметрия). Пусть F : R
3
~R3
-
отображение, которое
сопоставляет каждой точке р Е R 3 точку, симметричную р относительно
начала координат 0ER3 . Тогда F(p)=-p или
F(x,y,z) = (-x,-y,-z),
и координатные функции F суть
fj(x,y,z) =-х, f 2 (x,y,z) =-у, f(x,y,z) = - z.
Пример 2 (инверсия). Пусть отображение F: R
2
-{О, О}~ R 2 опре­
делено следующим образом. Обозначим символом 1 р 1 расстояние от точ-
ки р Е R 2 до начала координат (О, О) = О. По определению, точка
F(p), р #-О, принадлежит лучу Ор и такова, что 1 F(p) 11р1= 1. Таким об-
разом, F(p) = p/I р 1
2
или
F(x,y)=( 2х 2' 2у 2)' (х,у)#-(0,0),
х+ух+у
а координатные функции F суть
х
у
fi(x,y)= 2
2' f2(x,y)= 2
2·
х+у
х+у
Пример 3 (проекция). Пусть п: R 3 ~ R 2
-
проекция Ji(x,y,z) = (х,у).
Тогда fi(x,y,z)=x, f 2(x,y,z)=y.
Следующее предложение показывает, что непрерывность отображе­
ния F равносильна непрерывности его координатных функций.
Предложение 1. F : И с R" ~ R т непрерывно тогда и только тогда,
когда каждая координатная функция J;: И с R" ~ R, i = 1, ... , т, непре­
рывна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно в точке р Е И. Тогда
для заданного .е>О существует такое 8>0, что F(B0 (p))cBe(F(p)). Та­
ким образом, если q Е В0 (р), то
F(q)E Be(F(p)),
то есть

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
151
откуда следует, что для каждого i = 1, ... , т
выполняется неравенство
1fi (q) - fi (р) 1< Е. Поэтому для заданного Е > О существует такое о > О,
что если qE S 0 (p), то lfi(q)- f;(p)l<E. Следовательно, каждая функ­
ция fi непрерывна в точке р.
Обратно, пусть/;, i =1, ... ,т,непрерывны в р. Тогда для заданного Е >О
существует такое О; > О, что если q Е S0 (р), то 1fi(q) - fi(р) 1< е/Гт. Вы-
,
берем о< minд;, и пусть qE S0 (p). Тогда
(Ji(q)- Ji(p)) 2
+ ... +(fm(q)- fm(P)) 2 <Е
2
,
откуда следует непрерывность F в точке р.
D
Пример4.ПустьF:ИсR~Rт.Тогда
F(p) = (x1(t), ... ,xm(t)), tE И.
Это отображение обычно называется вектор-функцией, и координатные
функции F являются компонентами вектора F(t)E R т. Когда F непре­
рывно, или, что равносильно, функции x;(t), i = 1, ... ,т, непрерывны, мы
говорим, что F есть непрерывная кривая в R т.
В большинстве приложений удобно выражать непрерывность на языке
окрестностей вместо шаров.
Предложение 2. Отобра:ж:ение F : И ~ R п ~ R т непрерывно в точ­
ке рЕ И тогда и только тогда, когда для данной окрестности V точки
F(p) в R т существует такая окрестность W точки р в R п, что
F(W)c V.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно в р. Так как V-
открытое множество, содержащее F(p), оно содержит шар Be(F(p)) при
некотором Е >О. В силу непрерывности существует такой шар 80 (р) = W,
что
F(W) = F(B15(p)) с BE(F(p)) с v,
и это доказывает необходимость.
Обратно, предположим, что условие предложения выполнено. Пусть
задано Е >О; положим V = BE(F(p)). Так как W открыто, существует шар
ВЕ(р) с W. Таким образом,
F(B15(p)) с F(W) с v = BE(F(p)),
откуда следует непрерывность F в р.
D

152
ПРИЛОЖЕНИЕ
Композиция непрерывных отображений даёт непрерывное отображе­
ние. Точнее, имеет место следующее предложение.
Предложение3. Пусть F:И~R"~Rт и G:VсRт~Rk- не­
прерывные отображения, где И и V - такие открытые множества, что
F(U)c V. Тогда G а F: И с R" ~ R k - непрерывное отображение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть р Е И и V - окрестность точки G о F(p)
в R k_ В силу непрерывности G существует окрестность Q точки F(p)
в R т с G(Q) с V. В силу непрерывности F, существует окрестность W
точкир вRпс F(W)сQ. Такимобразом,
GаF(W)сG(Q)сV,
откуда следует непрерывность G о F.
о
Часто бывает необходимо иметь дело с отображениями, определён­
ными на произвольных (не обязательно открытых) множествах R п. Чтобы
распространить предыдущие понятия на этот случай, поступим следую­
щим образом.
Пусть F: АсRп~Rт - отображение,где А
-
произвольное мно-
жество в R п. Мы говорим, что F непрерывно в точке А, если существуют
открытое множество И с R п, И ::::> А, и такое непрерывное отображение
F: И~ R т, что ограничение F 1 А= F. Другими словами, F непрерьш­
но на А, если оно является ограничением непрерывного отображения, оп­
ределённого на открытом множестве, содержащем А.
Ясно, что если F : А с R п ~ R т непрерывно, то для данной окрестно-
сти V точки F(p) в R т, р Е А, существует такая окрестность W точки р
в R п, что F(W п А) с V. По этой причине удобно называть множество
W п А окрестностью точки р в А (рис. А2.4).
А
w
Рисунок А2.4

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
153
Пример 5. Пусть
{
2
2
2
}
3х
у
z
Е= (x,y,z)ER; 2 + 2
+2=1
аЬс
-
эллипсоид и 7r:: R
3
~R 2 - проекция из примера 3. Тогда ограниче­
ние я на Е является непрерывным отображением Е в R 2
.
Мы говорим, что непрерывное отображение F : А с R п ~ R п есть го­
меоморфизм на F(A), если F взаимно однозначно и обратное ото-
бражение F-
1
: F(A) cR п ~R п непрерывно. В этом случае А и F(A) на­
зываются гомеоморфными множествами.
Пример 6. Пусть F : R
3
~ R 3 задано равенством
F(x, у, z) =(ха, уЬ, zc).
F, очевидно, непрерывно, и ограничение F на сферу
S2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1}
есть непрерывное отображение F: S 2 ~ R 3
.
Заметим, что F\S 2 ) = Е, где
Е - эллипсоид примера 5. Ясно также, что F взаимно однозначно и
F-1(x,y,z) = (~, ~'~\
аЬс)
Таким образом, j-l = F -1
1 Е непрерывно. Следовательно, F есть гомео­
морфизм сферы S2 на эллипсоид Е.
В завершение мы хотим описать два свойства вещественных непре­
рывных функций на замкнутом промежутке [а, Ь],
[a,b]={xER; а$х$Ь},
(свойства 4 и 5 ниже) и важное свойство самого замкнутого промежутка
[а, Ь]. Они будут неоднократно использоваться в этой книге.
Предложение 4 (теорема о промежуточном значении). Пусть
I [а, Ь] ~ R - непрерывная функция, определённая на замкнутом проме­
жутке [а, Ь]. Предположим, что fta) иftb) имеют разные знаки, то есть
j{a)/(.b)<O. Тогда существует такая точка СЕ (а, Ь), чтоj{с) =О.

154
ПРИЛОЖЕНИЕ
Предложение 5. Пусть f: [а, Ь] - непрерывная функция, определён­
ная в замкнутом проме:ж:утке [а, Ь]. Тогда f достигает своего максимума
и своего минимума на [а, Ь], то есть существуют такие точки х 1,
х2 Е [а, Ь], что f(x1) -5,. f(x) -5,. f(x2) для всех ХЕ [а, Ь].
Предложение 6 (Гейне-Борель). Пусть [а, Ь] - замкнутый проме­
:ж:уток и 1а, а Е А, - множество таких открытых промежутков в [а, Ь],
что uala=[a,b]. Тогда можно выбрать из !а конечное число таких
проме:ж:утков lk1
, lk, ,...,lk", что u/k,==/, i=1, .."п.
Эти предложения являются стандартными теоремами дополнительных
глав анализа, и мы не будем их доказывать здесь. Однако доказательства
приводятся в приложении к главе 5 (свойства 6, 13 и 11 соответственно).
В. Дифференцируем ость в R 0
Пусть f: И cR~R. Производная J'(x0 ) функции f в точке х0 Е И
есть предел (если он существует)
! '( )-1· f(xo +h)- /(хо)
hИ
х0-nn
,х0+Е.
h--tO
h
Когда f имеет производные во всех точках окрестности V точки х0 , мы
можем рассматривать производную от f': V ~ R в точке х0 , которая на­
зывается второй производной f"(x0 ) функции f в точке х0 , и так далее.
f дифференцируема в точке х0 , если она имеет непрерывные производ­
ные всех порядков в х0 . f дифференцируема в И, если она дифференци­
руема во всех точках И.
Замечание. Мы используем термин «дифференцируемая» для обозна­
чения того, что иногда называют бесконечной дифференцируемостью (или
дифференцируем остью класса с=). Наше употребление термина не следу­
ет смешивать с его употреблением в элементарном анализе, где функция
называется дифференцируемой, если существует её первая производная.
Пусть F: И cR2 ~R. Частная производная/по х в точке (х0 ,у0 )Е И,
обозначаемая (дf/дх)(х0 ,у0 ), есть производная (если она существует)
в точке х0 функции одной переменной х ~ f(x,y0 ). Аналогично, частная
производная по у в точке (х0 ,у0 ), (дf /ду)(х0 ,у0 ), определяется как про-

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
155
изводная в точке у0 функции у--7 f(x0,y). Когда f имеет частные произ­
водные во всех точках окрестности V точки (х0 ,у0 ), мы можем рассмат­
ривать вторые частные производные в точке (х0 ,у0 ):
j_(д!)= д2 f
дхдх дх2'
j_(дf)- д2f
дх ду -дхду'
и так далее. f дифференцируема в точке (х0 ,у0 ), если она имеет частные
производные всех порядков в (х0 ,у0 ). f дифференцируема в И, если она
дифференцируема во всех точках И. Иногда мы обозначаем частные про­
изводные так:
дf
дf
д2f
д2f
д2f
дх =fx, ду =fy, дх2 =fxx, дхду =fxy> ду2 =fyy·
Важным фактом является то, что, когда f дифференцируема, частные
производные f не зависят от порядка, в котором они находятся, то есть
д2f - д2f
дхду - дудх'
Определения частных производных и дифференцируемости легко рас­
пространяются на функции f : И с R п -7 R. Например,
(дf/дх3 )(х?, х~, х3 , х~, ".,х~)
есть производная функции одной переменной
f(оо
о
о)
Х3--7 X1,Xz,X3,X4,".,xn.
СледуюJЦИЙ важный факт состоит в том, что частные производные под­
чиняются так называемому цепному правW1у. Например, если х = х(и, v),
у= у(и, v), z = z(и, v) - вещественные дифференцируемые функции на
И с R 2 и f(x,y,z) - вещественная дифференцируемая функция в R 3
,то
композиция f(х(и, v),у(и, v),z(и, v)) есть дифференцируемая функция на И,
и частная производная f по и, например, находится по формуле
дf дfдх дfду дfдz
-=--+--+--.
ди дхди дуди дzди

156
ПРИЛОЖЕНИЕ
Теперь мы заинтересованы в распространении понятия дифференци­
руемости на отображения F : И с R п ~ R т. Мы говорим, что F диффе­
ренцируемо в точке рЕ И, если его координатные функции дифференци­
руемы в р, то есть в выражении
F(x1, ·· .,хп) =(Ji(х1"·.,хп), · · ., fm(х1' ··., Хп))
функции fi, i = l, ... ,т, имеют непрерывные частные производные всех по­
рядков в р. F дифференцируемо на И, если оно дифференцируемо во
всех точках И.
В случае т =J это повторяет предыдущее определение. В случае п =J
мы получаем определение (параметризованной) дифференцируемой кривой
вRт.Вглаве IмыужепоказалитакойобъектвR3
.
Дrrя наших целей нужно
распространить определение касательного вектора, данное в главе I, на рас­
сматриваемый случай. Касательный вектор к отображению а : И с R ~ R т
вточкеt0ЕИестьвекторвRт
a'(t0) == (х;(t0 ), .. . ,x~(t0)).
Пример7. Пусть F : И сR 2~R 3 задано равенством
F(и,v)=(cosиcosv,cosиsinv,cos 2 v), (и,v)Е И.
Координатные функции F, а именно
Ji(и,v)=cosиcosv, /2 (и,v)=cosusinv, / 3(u,v)=cos
2v,
имеют непрерывные частные производные всех порядков в И. Таким обра­
зом, F дифференцируемо на И.
Пример 8. Пусть а : И ~ R ~ R 4 задано равенством
a(t) == (t4, t
3
,t
2
, t), tEИ.
Тогда а - дифференцируемая кривая в R 4 и касательный вектор к а
в точке t есть a'(t) = (4t3
,Зt
2
, 2t, 1).
Пример 9. Дrrя заданных вектора WERт и точки р0ЕИсRт мы
всегда можем найти дифференцируемую кривую а.: (-е,е) ~И, где
а(О)= р и a'(O)=w. Достаточно положить a(t)= р0 +tw, tE (-t',t'). Если
Ро =(х?, ...,х~) и w=(w1,.",wm), то координатные функции а суть
x;(t) = х? + tw;, i = 1, ... , т. Таким образом, а дифференцируема, а(О) = р0 и
а'(О) = (х~(О), ... ,х~(О)) = (w1" ." wm) = w.

__ __
К~РАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
157
Теперь мы введём понятие дифференциала дифференцируемого ото­
бражения. Оно будет играть в этой книге важную роль.
Определение 1. Пусть F : И с R" ~ R т - дифференцируемое отобра­
жение. Каждой точке рЕ И сопоставим линейное отображение dFР:
R "~ R т, которое называется дифференциалом F в р и определяется сле­
дующим образом. Пусть wER" и а: (-t:,t:)~U - такая дифферен­
цируемая кривая, что а(О)=р, d(O)=w. По цепному правилу, кривая
/3 =Faa: (-t:,t:) ~ R т также дифференцируема. Тогда (рис. А2.5)
dF /w) = fJ'(O).
z
dF,(w)
-g
о
F
F(p)
и
х
Рисунок А2.5
Предложение 7. Предыдущее определение dFP не зависит от выбора
кривой, которая проходит через р с касательным вектором w, и dFP
в действительности является линейным отобр(l:JIСением.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Чтобы упростить обозначения, мы рассматриваем
случай F: И cR 2 ~R 3 . Пусть (и,v)- координаты в R 2 и (x,y,z) - ко-
ординаты в R 3
.
Пусть е1 = (1, О), е2 = (О, 1) - канонический базис в R 2
иfi=(1, О,О), /2=(О,1,О), fз=(О,О,1) - каноническийбазисвR3
.
Тогда мы можем записать:
a(t)=(и(t),v(t)), tE (-t:,t:),
а'(О)=w=и'(О)е1 +v'(O)e2 ,
F(и, v) = (х(и, v),у(и, v),z(и, v)),
fJ(t) = F о a(t) == (х(и(t), v(t)), у(и(t), v(t)), z(и(t), v(t))).

158
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таким образом, используя цепное правило и вычисляя производные
в точке t = О получаем
/З'(О)=(дх dи + дх dvJf.. +(ду dи + ду dvJf +(дz dи + дz dvJf =
диdt дvdt
1
диdt дvdt
2
диdt дvdt
3
дх
ди
ду
ди
дz
ди
дх
дv ldи!
~ :v = dFP(w).
дz dt
дv
Это показывает, что dFP задаётся в канонических базисах R 2 и R 3
матрицей, которая зависит только от частных производных в точке р ко­
ординатных функций x,y,z отображения F. Таким образом, dFP есть ли­
нейное отображение, и, очевидно, dFp(w) не зависит от выбора а.
Читателя не затруднит распространение этих рассуждений на общий
случай.
О
Матрица dFP:Rп~Rт вканоническихбазисах Rп и Rт,тоесть
матрица (дf;/дх1), i = 1, ... , т, j = 1, ... , п, называется якобиевой матрицей F
в точке р. Когда п = т, это квадратная матрица, и её детерминант на­
зывается якобианом; он обычно обозначается так:
et
.
.
d(
дf;) = д(J;, ...Jn)
дхl д(х1"."хп)
Замечание. В литературе нет соглашения относительно обозначения
дифференциала. Также широко используются для дифференциала название
«производная F в точке р» и обозначение F'(p).
Пример 10. Пусть F: R
2
~ R 2 задано равенством
F(x,y) = (х
2
-
у2,2.ху), (х,у)Е R2.
Легко проверить, что F дифференцируемо, и его дифференциал dFP
в точке р = (х,у) задаётся матрицей
[2х -2у)·
dF=
Р2у2х
Например, dF(I, 1)(2, 3) = ( -2, 10).

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
159
Одно ИЗ достоинств понятия дифференциала состоит в том, ЧТО ОНО
позволяет выразить многие факты анализа на геометрическом языке.
Рассмотрим, например, следующую ситуацию. Пусть F: И с R 2 ~ R 3
,
G:VсR3~R2
-
дифференцируемые отображения, где И и V - та­
кие открытые множества, что F(U) с V. Условимся о следующих обозна­
чениях координат:
и выпишем
Тогда
F
G
UcR 2 ~VcR
3
~R2
(и, v)
(x,y ,z) (<?,ТJ)
F(и, v) = (х(и, v),у(и, v),z(и, v)),
G(x,y,z) = (q(x,y,z), 1](x,y,z)).
G о F(и, v) = (q(х(и, v), у(и, v), z(и, v)), 1](х(и, v), у(и, v), z(и, v))),
и, по цепному правилу, мы можем сказать, что G о F дифференцируемо,
и вычислить частные производные его координатных функций. Например,
дq=дqдх+дqду+дqдz.
ди дхди дуди дzди
Далее, простой способ записи предыдущего состоит в использовании
следующего общего результата.
Предложение 8 (цепное правило для отображений). Пусть F:
И с R" ~ R"' и G: V с R"' ~ R k - дифференцируемые отображ:ения, где
И и V - такие открытые множества, что F(U)c V. Тогда GoF:
И ~ R k - дифференцируемое отображение и
d(GoF)г=dGF(p)odFP, рЕИ.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что Go F дифференцируемо, является
следствием цепного правила для функций. Пусть теперь задан вектор
w1 ERn, ирассмотрим кривую а: (-в 2 ,в2 )~И, где а(О)=р, a'(O)=w1
•
Положим dFP(w1)=w2 изаметим, что dGF(p)(w2 )=(djdt)(GoFoa)l1=o·
Тогда
о

160
ПРИЛОЖЕНИЕ
Заметьте, что в частном случае, который мы рассматривали раньше, равен­
ство d(G а F)Р = dGF(p) а dFP равносильно следующему соотношению
якобиевых матриц:
[д~
ди
д17
ди
которое содержит выражения всех частных производных д~/ди, д~/дv,
д17/ди, д17/дv. Таким образом, простая запись цепного правила для ото­
бражений включает в себя большую информацию о частных производных
их координатных функций.
Важное свойство дифференцируемой функции f: (а, Ь) с R ~ R, опре­
делённой в интервале (а, Ь), состоит в том, что если f'(х) = О на (а, Ь),
то f постоянна на (а, Ь). Оно обобщается на дифференцируемые функций
нескольких переменных следующим образом.
Мы говорим, что открытое множество И с R п связно, если для двух
данных точек р, q Е И существует такое непрерывное отображение
а: [а, Ь] ~И, что а(а) = р и а(Ь) = q. Это означает, что две точки И мож­
но соединить непрерывной кривой в И или что И сделано из одного един­
ственного «куска».
Предложение 9. Пусть f: И~ R" ~ R - дифференцируемая функ­
ция, определённая на связном открытом подмножестве И в R". Предпо­
ложим, что dfP :Rп ~R равно нулю в каждой точке рЕ U Тогдаf по­
стоянна на И
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ И и В0 (р) с И - открытый шар с цент­
ром р, содержащийся в И. Каждую точку qE В8 (р) можно соединить с р
«радиальным» отрезком fJ: [О, l] ~И, где JJ(t) = tq + (1-t)p, t Е [О, 1]
(рис. А2.6). Так как И открыто, мы можем продолжить fJ на (О - д, 1+ д).
Далее, f а /3: (О - д, 1+ д) ~ R есть функция, определённая в интервале, и
d(f о /J)t =(df о d/J)1 =о,

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
161
так как df =О. Таким образом,
~(fоfJ) =0
для всех t Е (О - о, 1 +О), и потому (/о {J) = const Это означает, что
f(/J(O)) = f(p) =f(/J(l)) = f(q), то есть f постоянна в шаре В3 (р).
Таким образом, доказан локальный вариант предложения, то есть ка­
ждая точка И имеет такую окрестность, в которой f постоянна. Заметьте,
что до сих пор мы не использовали связность И. Нам потребуется это сей­
час, чтобы доказать, что эти постоянные одни и те же.
-а
а
Рисунок А2.6
Пусть r - произвольная точка И. Так как И связно, существует не­
прерывная кривая а: [а, Ь]-7 И, где а(а) = р, а(Ь) = r. Функция f о а:
[а, Ь]-7 R непрерывна на [а, Ь]. По первой части доказательства, для каж­
дого t Е [а, Ь] существует такой интервал 11 , открытый в [а, Ь], что f о а
постоянна на 11 • Так как U; 1; = [а, Ь], мы можем применить теорему Гей­
не-Бореля (предложение 6). Таким образом, мы можем выбрать конечное
число ! 1" .. ,lk интервалов 11 так, что U; I; =[а,Ь], i=l, .. "k. Можно счи­
тать, изменив в случае необходимости нумерацию интервалов, что два по­
следовательных интервала имеют непустое пересечение. Таким образом,
f о а постоянна в объединении двух последовательных интервалов. Отсю-
да следует, что f постоянна на [а, Ь], то есть
f(a(a)) = f(p) = f(a(b)) = f(r).
Так как r - произвольная точка, f постоянна на И.
Одной из наиболее важных теорем дифференциального исчисления
является так называемая теорема об обратной функции, которая в наших
обозначениях формулируется следующим образом (напомним, что линей­
ное отображение А является изоморфизмом, если матрица А обратима).

162
ПРИЛОЖЕНИЕ
Теорема об обратной функции. Пусть F: И с R п ~ R п - диффе­
ренцируемое отображение, и пусть дифференциал dFP : R п ~ R п в точке
рЕ И является изоморфизмом. Тогда существуют такие окрестности V
точкирв ИиW точки F(p)вR", что отображениеF:V~W имеет
дифференцируемое обратное F-
1
: W~V.
Дифференцируемое отображение F :V сRп~W сRп, где V и W-
открытые множества, называется диффеоморфизмом V и W, если F имеет
дифференцируемое обратное. Теорема об обратной функции утверждает,
что если в точке р Е И дифференциал dFP является изоморфизмом, то F
есть диффеоморфизм в окрестности р. Другими словами, утверждение
о дифференциале F в точке означает аналогичное утверждение о поведе­
нии F в окрестности точки.
Эта теорема будет неоднократно использоваться в этой книге. Дока­
зательство можно найти, например, в книге Buck, Advanced Calcиlиs,
р. 285.
Пример 11. Пусть F : R
2
~ R 2 задано равенством
F(x,y)=(excosy,exsiny), (x,y)ER 2
.
Координатные функции F, а именно и(х,у) = ех cos у, v(x,y) = ех siny,
имеют непрерывные частные производные всех порядков. Таким образом,
F дифференцируемо.
Поучительно посмотреть с геометрической точки зрения, как F пре­
образует кривые в х у -плоскости. Например, вертикальная прямая х = х0
отображается в окружность и= ех0 cosy, v = ех0 siny радиуса ех0 , а гори­
зонтальная прямая у = у0 отображается на луч и = ех cos у0 , v = ех sin у0
с угловым коэффициентом tg у0 . Отсюда следует, что (рис. А2.7)
dF(xo.Yo)(l, О)=~ (ех cosyo, ех sin Уо) lx=xo =
=(ех0 cosy0 , ех0 sinyo),
dF(xo.Yo)(O, 1) = ~ (ех0 cosy, ех0 siny) \у=уо =

КРАТКИЙ ОБЗОР ПОНЯТИЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ
163
у
х=х0
(0,1)
1-----1- - --t --(y =у,)
(х"у,) (1,0)
и
о
х
Рисунок А 2. 7
Это легко можно проверить вычислением якобиевой матрицы F, то есть,
-r~: ~j-[ex cosy -ех sin у)
dF(x,y) - дv дv
-
.
'
-
-
ех smy ех cosy
дх ду
и применением dF(x,y) к векторам (1, О) и (О, 1) в точке (х0 ,у0 ).
Заметим, что якобиан det(dF(x,y)) = ех 7:- О, и, следовательно, в каждой
точке р = ( х, у) Е R 2 отображение dFP невырождено (это ясно также из
предыдущих геометрических соображений). Следовательно, мы можем
применить теорему об обратной функции, чтобы заключить, что F являет­
ся локальным диффеоморфизмом.
Заметим, что F(x,y) = F(x,y + 2л). Таким образом, отображение F не
является взаимно однозначным и глобально не имеет обратного. Для каж­
дой точки р Е R 2 теорема об обратной функции даёт такие окрестности V
точки р и W точки F(p), что ограничение F: V ~ W есть диффео­
морфизм. В нашем случае в качестве V можно выбрать полосу
{-= < х < оо, О< у< 2п-} и в качестве W - множество R 2 -{(О,О)}. Одна­
ко, как показывает пример, даже если условия теоремы выполняются всю­
ду и область определения F очень проста, обратное отображение для F
глобально может не существовать.

ГЛАВА 3
ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
3.1 . Введение
Как мы видели в главе 1, рассмотрение скорости изменения каса­
тельной к кривой С привело нас к важному геометрическому объекту,
а именно кривизне С. В этой главе мы распространим это понятие на
регулярные поверхности, то есть попытаемся измерить, как быстро по­
верхность S отклоняется от касательной плоскости ТР (S) в окрестности
точки р Е S. Это равносильно измерению скорости изменения в р
единичного нормального векторного поля N в окрестности р. Как мы
вскоре увидим, эта скорость изменения задаётся линейным преобра­
зованием Tp(S), которое оказывается самосопряжённым (см. приложение
к главе 3). Неожиданно большое число локальных свойств S в р можно
получить изучением этого линейного преобразования.
В разделе 3.2 мы введём подходящие определения (гауссово ото­
бражение, главные кривизны и главные направления, гауссова и средняя
кривизны и т. д.) без использования локальных координат. При таком
подходе выясняется геометрическое содержание определений. Однако
для вычислительных, так же как для геометрических целей, важно вы­
разить все понятия в локальных координатах. Это составляет содержание
раздела 3.3 .
Разделы 3.2 и 3.3 содержат большую часть материала главы 3, которая
будет использована в остальных частях книги. Будут подробно рассмот­
рены некоторые исключения. Для полноты мы доказали основные свойства
самосопряжённых линейных преобразований в приложении к главе 3. Кроме
того, для тех, кто пропустил раздел 2.6, мы включили краткий обзор понятия
ориентации поверхностей в начале раздела 3.2.
Раздел 3.4 содержит доказательство того факта, что в каждой точке
регулярной поверхности существует ортогональная параметризация, то
есть такая параметризация, координатные линии которой пересекаются
ортогонально. Технические приёмы, использованные здесь, интересны
сами по себе и позволяют получить дальнейшие результаты. Однако
в кратком курсе, может быть, удобно принять эти результаты без вывода
и опустить раздел.

166
ГЛАВАЗ
В разделе 3.5 мы займёмся двумя интересными случаями поверх­
ностей, линейчатыми и минимальными поверхностями. Они исследуются
независимо, так что один из них (или оба) может быть опущен при первом
чтении.
3.2. Определение гауссова отображения
н его основные свойства
Мы начнём с краткого обзора понятия ориентации поверхностей.
Как мы видели в разделе 2.4, для данной параметризации х: И с
сR2
- - 7 S регулярной поверхности S в точке р Е S можно выбрать
единичный нормальный вектор в каждой точке х(И) по правилу
хлх
N(q)= и
v (q), qE x(U).
1Хи ЛXv 1
Таким образом, мы имеем дифференцируемое отображение N : х(И) --7 R
3
,
которое сопоставляет каждой точке qe х(И) единичный нормальный
вектор N(q).
Вообще, если VсS - открытое множество S и N :V --7R
3
-
дифференцируемое отображение, которое сопоставляет каждой точке
qE V единичный нормальный вектор в q, мы говорим, что N есть диффе­
ренцируемое поле единичных нормальных векторов на V.
Неожиданным фактом является то, что не все поверхности допускают
дифференцируемое поле единичных нормальных векторов, определённое
на всей поверхности. Например, на листе Мёбиуса (рис. 3.1) такое поле
определить нельзя. Это можно увидеть интуитивно, совершая один обход
вдоль серединной окружности фигуры. После одного обхода нормальный
вектор N вернётся в исходное положение как вектор - N, что проти­
воречит непрерывности N. Интуитивно, на листе Мёбиуса нельзя сделать
постоянный выбор определённой «стороньI»; двигаясь по поверхности,
мы можем непрерывно перейти на «другую сторону», оставаясь на по­
верхности.
Мы будем говорить, что регулярная поверхность ориентируема, если
она допускает дифференцируемое поле единичных нормальных векторов,
определённое на всей поверхности; выбор такого поля N называется ори­
ентацией S.
Например, лист Мёбиуса, упомянутый выше, не является ориен­
тируемой поверхностью. Конечно, каждая поверхность, покрытая одной

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
167
координатной окрестностью (например, поверхность, представляющая собой
график дифференцируемой функции), тривиально ориентируема. Таким
образом; каждая поверхность локально ориентируема, а ориентация яв­
ляется, по определению, глобальным свойством в том смысле, что она
охватывает всю поверхность.
Рисунок 3.1. Лист Мёбиуса
Ориентация N на S индуцирует ориентацию в каждом касательном
пространстве Tp(S), рЕ S, поверхности следующим образом. Назовём
базис {v, w} Е Tp(S) поло:жительным, если положительно произведение
(v л w, N). Легко видеть, что множество всех положительных базисов
TP(S) есть ориентация Tp(S) (ер. раздел 1.4).
Дальнейшие детали понятия ориентации даны в разделе 2.6. Однако
для целей глав 3 и 4 приведённое определение будет достаточным.
Во всей этой главе S будет обозначать регулярную ориентируемую
поверхность, на которой ориентация (то есть дифференцируемое поле еди­
ничных нормальных векторов) выбрана; она будет называться просто по­
верхностью S с ориентацией N.
Определение 1. Пусть SE R 3
-
поверхность с ориентацией N.
Отображение N: S ~ R 3 принимает свои значения на единичной сфере
Отображение N : S ~ S2
,
определённое таким образом, называется гаус­
совым отображением S (рис. 3.2).

168
ГЛАВАЗ
Рисунок 3.2. Гауссово отображение
Непосредственно проверяется, что гауссово отображение дифференци­
руемо. Дифференциал dNР отображения N в точке р Е S есть линейное
отображение TP(S) в TN(p)(S 2
). Так как Tp(S) и TN(p)(S 2
) - парал­
лельные плоскости, dNР можно рассматривать как линейное преобразование
TP(S) (ер. раздел 1.4).
Линейное отображение dNР: TP(S) ~ Tp(S) действует следующим
образом. Для каждой параметризованной кривой a(t) на S, где а(О) = р,
рассмотрим параметризованную кривую N а a(t) = N(t) на сфере S 2 ; это
равносильно ограничению нормального векторного поля N на кривую
a(t). Касательный вектор N'(O) = dNр(а'(О)) есть вектор в Tp(S) (рис. 3.3).
Он выражает скорость изменения нормального вектора N, ограниченного
на кривую a(t), в точке t =О. Таким образом, dNР даёт величину
отклонения N от N (р) в окрестности р. В случае кривых эта мера за­
даётся числом, а именно кривизной. В случае поверхностей эта мера ха­
рактеризуется линейным отображением.
Рисунок 3.3

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
169
--------~
Пример 1. Для плоскости Р, заданной уравнением ах+ Ьу + cz + d =О,
единичный нормальный вектор N = (а, Ь, с)/~ а 2 + Ь2 + с 2 постоянен, и по­
тому DN =О (рис. 3.4).
N
Рисунок 3.4
Пример 2. Рассмотрим единичную сферу
S2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1}.
Если a(t) = (x(t), y(t), z(t)) - параметризованная кривая в S 2
,то
2хх' + 2уу' + 2zz' =О,
что означает ортогональность вектора (x,y,z) к сфере в точке (x,y,z).
Таким образом, N=(x,y,z) и N=(-x,-y,-z) - поля единичных нор­
мальных векторов на S 2
.
Фиксируем ориентацию на S 2
,
выбирая
N=(-х, -у,
-
z) в качестве нормального поля. Заметим, что N направлен
к центру сферы.
Ограниченный на кривую a(t) нормальный вектор
N (t) = (-x(t), - y(t), - z(t))
является вектор-функцией t, и потому
dN(x'(t),y'(t),z'(t)) = N'(t) = (-x'(t), - y'(t), - z'(t)),
то есть dNP(v)=-v для всех рЕ S 2 и всех vE TP(S 2 ). Заметим, что при
выборе N в качестве нормального поля (то есть при противоположной
ориентации) мы получили бы dNP(v) = v (рис. 3.5).

170
ГЛАВАЗ
Рисунок 3.5 . Единичная сфера: dN/v) = v
Пример3. Рассмотрим цилиндр {(x,y,z)ER3; х 2
+у
2
=1}. Рассуждая
подобно предыдущему, мы видим, что N = (х,у,О) и N = (-х, - у, О)
-
единичные нормальные векторы в точке (x,y,z). Фиксируем ориентацию,
выбирая N = (-х, - у, О) в качестве нормального векторного поля.
Рассматривая кривую (x(t),y(t),z(t)), лежащую на цилиндре, то есть .
с условием (x(t))2
+(y(t))2
=1, мы можем видеть, что вдоль этой кривой
N(t) = ( -x(t), - y(t), О), и потому
dN(x'(t),y'(t), z'(t)) = N'(t) = (-x'(t), - y'(t), О).
Мы приходим к выводу: если v - касательный вектор к цилиндру,
параллельный оси z, то
dN(v) =О= Ov;
если w - касательный вектор к цилиндру, параллельный .:1}'-плоскости, то
dN(w) = - w (рис. 3.6). Отсюда следует, что векторы v и w являются
собственными векторами dN с собственными числами О и -1 соответ­
ственно (см. приложение к главе 3).
z
у
х
Рисунок 3.6

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
171
Пример 4. Исследуем точку р = (О, О, О) гиперболического парабо­
лоидаz=у
2
-
х2 • Для этого рассмотрим параметризацию
22
х(и, v) =(и, v, v
-
и)
и вычислим нормальный вектор N(u, v). Последовательно получаем
хи= (1, О, -2и),
Xv= (О, 1, 2v),
-v
N=[ и
~и2 +v2 +±'
Заметим, что в точке р =(О, О, О) векторы х и и х v совпадают с единич­
ными векторами осей х и у соответственно. Следовательно, касательный
вектор вточке р ккривой a(t)=x(u(t),v(t)), где а(О)=р, имеет вR
3
координаты (и'(О), v'(O), О) (рис. 3.7). Ограничивая N(u, v) на эту кривую
и вычисляя N'(O), получаем
N'(O) = (2u'(0),-2v'(O), О),
и потому в точке р
dNР(и'(О), v'(O), О)= (2и'(О),- 2v'(O), О).
Отсюда следует, что векторы (1, О, О) и (О, 1, О) являются собственными
векторами dNР с собственными числами 2 и -2 соответственно.
z
Рисунок 3.7
Пример 5. Метод предыдущего примера, применённый к точке
р =(О, О, О) параболоида z = х
2
+ ky2
,
k >О, показывает, что единичные
векторы оси х и оси у являются собственными векторами dN Р с собст­
венными числами 2 и 2k соответственно (в предположении, что N
направлен вовне области, ограниченной параболоидом).

172
ГЛАВАЗ
Важный факт относительно dN Р содержится в следующем пред­
ложении.
Предложение 1. Дифференцишt dNР : T/S) ~ ТР (S) гауссова отобра­
:ж:енШ1 является самосопря:ж:ённым линейным преобразованием (ер. прwюже­
нuе к главе 3).
ДоКАЗАтвльство. Так как dNР линейно, достаточно проверить, что
(dNp(w1), w2 )=(w1,dNP(w2 )) для базиса {w1, w2 } пространства TP(S).
Пусть х (и, v) - параметризация S в р и {х и, х v} - присоединённый
базис TP(S). Если a(t) =x(u(t), v(t)) - параметризованная кривая на S,
гдеа(О)=р,то
dNр(а'(О))::: dNР ( хи и'(О) + xv v'(O)) =
d
= dt N(u(t), v(t)) li=o=
= Nuu'(O) + Nvv'(O));
в частности, dNР (xu) = N и и dNР (xv) = N v. Следовательно, чтобы дока­
зать, что dNР является самосопряжённым преобразованием, достаточно
показать, что
(Nи, xv)=(xu, Nv)·
Чтобы увидеть это, продифференцируем равенства (N, хи) =О
и (N, xv) =О соответственно по v и по и и получим
Таким образом,
(Nv, хи) +(N, Xuv) =О,
(Nu, xv) +(N, Хvи) =О.
о
Тот факт, что dNР: Tp(S) ~ Tp(S) есть самосопряжённое линейное
отображение, позволяет сопоставить dNР квадратичную форму Q на
Tp(S), полагая Q(v)=(dNP(v),v), vET/S) (ер. приложение кглаве 3).
Чтобы получить геометрическое истолкование этой квадратичной формы,
нам требуется несколько определений. По причинам, которые будут ясны
вскоре, мы будем использовать квадратичную форму - Q.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
173
Определение 2. Квадратичная форма ПР' определённая на Т p(S)
равенством II(v)=-(dN/v),v), называется второй основной формой S
в точкер.
Определение 3. Пусть С - регулярная кривая на S, проходящая через
точку рЕ S, k - кривизна С в р и cosB=(n,N), где п - нормальный
векторкС иN - нормальныйвекторкS вр. Число kn=kcosB
называется тогда нормальной кривизной С с S в точке р.
Другими словами, kn есть длина проекции вектора kn на нормаль
к поверхности в точке р со знаком, определяемым ориентацией N на S
в р (рис. 3.8).
N
с
Рисунок 3.8
Замечание. Нормальная кривизна С не зависит от ориентации С, но
меняет знак при изменении ориентации поверхности.
Чтобы дать интерпретацию второй основной формы ПР, рассмотрим
регулярную кривую С с S с параметризацией a(s), где s - длина дуги С
и а(О) = р. Если обозначить N(s) ограничение нормального вектора N на
кривую a(s), то (N(s), a'(s)) =О. Следовательно,
Поэтому
(N(s),a"(s)) = - (N'(s),a'(s)).
lIр(а'(О)) = -(dNр(а'(О)), а'(О)) =
= = -(N'(O),a'(O)) == (N(O),a"(O)) ==
= = (N,kn)(p) =kп(р).

174
ГЛАВАЗ
Другими словами, значение второй основной формы JJ Р на единичном
векторе v Е T/S) равно нормальной кривизне регулярной кривой, про­
ходящей через р и касающейся v. В частности, мы получаем следующий
результат.
Предложение 2 (Менье). Все кривые, лежащие на поверхности S
и имеющие в данной точке рЕ S одну и ту же касательную, имеют в этой
точке одну и ту же нормШ1ьную кривизну.
Предыдущее предложение позволяет говорить о нормш~ьной кривизне
в данном направлении в точке р. Удобно использовать следующую тер­
минологию. Для данного единичного вектора vE Tp(S) пересечение S
с плоскостью, содержащей v и N(p), называется нормш~ьным сечением S
в точке р в направлении v (рис. 3.9). В окрестности р нормальное сече­
ние S в р есть регулярная кривая на S, нормальный вектор которой п
в точке р равен ± N(p) или нулю; её кривизна, следовательно, равна абсо­
лютной величине нормальной кривизны в направлении v в точке р. В этой
терминологии предыдущее предложение утверждает, что абсолютная
кривизна нормальной кривизны кривой a(s) равна кривизне нормального
сечения S в точке р в направлении а'(О).
Пример 6. Рассмотрим поверхность вращения, полученную вращением
кривойz=у
4
вокруг оси z (рис. 3.10). Мы покажем, что в точке р =
=(О, О, О) дифференциал dNР =О. Чтобы увидеть это, заметим, что кривизна
кривойz=у
4
в точке р равна нулю. Кроме того, поскольку .ху-плоскость
является касательной плоскостью поверхности в р, нормальный вектор N (р)
в р в направлеmrn v
Рисунок 3.9 . Теорема Менье: С и Сп имеют одну и ту же нормальную кривизну
в р в направлении v

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
175
параллелен оси z. Поэтому любое нормальное сечение в р получается
в результате поворота кривой z = у
4
; следовательно, оно имеет нулевую
кривизну. Отсюда следует, что все нормальные кривизны равны нулю в р
и, таким образом, dNР =О.
х
Рисунок 3.10
Пример 7. В плоскости примера l все нормальные сечения являются
прямыми; следовательно, все нормальные кривизны равны нулю. Таким
образом, вторая основная форма тождественно равна нулю во всех точках.
Это согласуется с тем фактом, что dN =О.
ф2
-
На с ере S примера 2, с N в качестве ориентации, нормальные
сечения, проходящие через точку р Е S 2
,
являются окружностями ра­
диуса 1 (рис. 3.11). Таким образом, все нормальные кривизны равны 1
и вторая основная форма llp(v)=l для любой точки рЕ S 2 и любого
вектора v Е ТР (S).
На цилиндре примера 3 нормальные сечения в точке р изменяются от
окружности, перпендикулярной оси цилиндра, до прямой, параллельной
оси цилиндра, проходя через семейство эллипсов (рис. 3.12). Таким
образом, нормальные кривизны изменяются от 1 до О. Нетрудно видеть
геометрически, что 1 есть максимум, а О - минимум нормальной
кривизны в р. Однако применение теоремы о квадратичных формах из
приложения к главе 3 даёт простое доказательство этого. В самом деле, как
мы видели в примере 3, векторы w и v (соответствующие направлениям
нормальных кривизн 1 и О соответственно) являются собственными
векторами dNР с соответствующими собственными числами -1 и О. Таким
образом, вторая основная форма принимает экстремальные значения на
этих векторах, как мы утверждали. Отметим, что этот метод позволяет
проверить, что этими экстремальными значениями являются 1 и О.
Мы предоставляем читателю исследовать нормальные сечения в точке
р =(О, О, О) гиперболического параболоида примера 4.

176
ГЛАВАЗ
Рисунок 3.11 . Нормальные сечения сферы
Рисунок 3.12 . Нормальные сечения цилиндра
Вернёмся к линейному отображению dN р· Теорема из приложения
к главе 3 показывает, что для каждой точки р Е S существует такой орто­
нормированный базис {е1 ,е2 } в TP(S), что dNP(e1)=-k1e1, dNp(e2 )=
= -k2e2 • Кроме того, k 1 и k2 ( k 1 ::=:: k2 ) являются максимумом и минимумом
второй основной формы IIР, ограниченной на единичную окружность
ТР (S); это означает, что они являются экстремальными значениями
нормШlьной кривизны в р.
Определение 4. Максимальная нормальная кривизна k 1 и минималь­
ная нормальная кривизна k 2 называются главными кривизнами в точке р;
соответствующие направления, то есть направления собственных век­
торов е 1 и е 2 , называются главными направлениями в р.

ГЕОМЕТРИЯГАУССОВАОТОБРАЖЕНИЯ
177
Например, в плоскости все направления во всех точках являются
главными. То же имеет место на сфере. В обоих случаях это следует из
того факта, что вторая основная форма в каждой точке постоянна
(ер. пример 7); таким образом, все направления являются экстремальными
для нормальной кривизны.
На цилиндре примера 3 векторы v и w задают главные направления
в точке р, соответствующие главным кривизнам О и 1 соответственно. На
гиперболическом параболоиде примера 4 оси х и у имеют главные
направления с соответствующими главными кривизнами -2 и 2.
Определение 5. Если регулярная связная кривая С на S такова, что для
любой точки рЕ С касательная С имеет главное направление в р, то С
называется линией кривизны S.
Предложение 3 (Олинд Родриг). Необходимое и достаточное условие
того, что связная реzулярная кривая С на S является линией кривизны S,
состоит в том, что
N'(t) = Л(t)a'(t)
для любой параметризации a(t) кривой С, где N(t) = N о a(t) и Л(t) -
дифференцируемая функция t. В этом случае -Л(t) есть (главная)
кривизна в направлении a'(t).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно заметить, что если a'(t) имеет главное
направление, то a'(t) есть собственный вектор dN и
dN(a'(t)) == N'(t) = A(t)a'(t).
Обратное очевидно.
о
Знание главных кривизн в р позволяет легко вычислять нормальные
кривизны в данном направлении в TP(S). В самом деле, пусть vE Tp(S)
с 1v1=1. Поскольку el и е2 образуют ортонормированный базис тр (S), ТО
v = е1 cosB+ е2 sinB,
где В - угол от е1 до v в ориентации Tp(S). Нормальная кривизна kn
в направлении v находится так:
kn = 11p(v) = -(dNp(v), v) ==
= - (dNP(e1 cosO+ е2 sinO), е1 cosO+ е2 sinO) ==

178
ГЛАВАЗ
=(е1k1cosB+е2k2sinB, е1cosB+е2sinB)=
= k1cos
2
()+k2sin
2
В.
Последнее выражение известно в классической литературе под названием
формула Эйлера; на самом деле это просто выражение второй основной
формы в базисе {е1 , е2 }.
Напомним, что для данного линейного преобразования А : V ~ V
векторного пространства размерности 2 и данного базиса {v1, v2 }
пространства V
detA=alla22 -а12 а21 , trA=a11 +а22 ,
где (aij) -матрица А в базисе {v1, v2 }. Известно, что эти числа не зависят
от выбора базиса {v1, v2 } и, следовательно, связаны с линейным преобра­
зованием А.
В нашем случае детерминант dN равен произведению (-k1)(-k2 ) = k1k2
главных кривизн, а след dN есть сумма с противоположным знаком
-
(k1 + k 2 ) главных кривизн. Если мы изменяем ориентацию поверхности,
то детерминант не изменяется (здесь важен тот факт, что размерность
чётная); след, однако, меняет знак.
Определение 6. Пусть рЕ S и dNP: TP(S) ~ T/S) - дифференциал
гауссова отображения. Детерминант dNР называется гауссовой кривиз­
ной К поверхности S в точке р. Половина следа dNР с противоположным
знаком называется средней кривизной Н поверхности S в р.
В терминах главных кривизн можно записать
К=k1k1' Н =k1 +kz .
2
Определение 7. Точка поверхности S называется
1) эллиптической, если det(dNP) >О;
2) гиперболической, если det(dNP) <О;
3) параболической, если det(dNP)=O при dNP ,сО;
4) точкой уплощения, если dNP =О.
Ясно, что эта классификация не зависит от выбора ориентации.
В эллиптической точке гауссова кривизна положительна. Обе главные
кривизны имеют один и тот же знак, и потому нормальные векторы всех
кривых, проходящих через эту точку, направлены в одну сторону от

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
179
касательной плоскости. Точки сферы являются эллиптическими. Точка
(О, О, О) параболоида z = х
2
+ k у2, k >О (ер. пример 5), также эллиmи­
ческая.
В гиперболической точке гауссова кривизна отрицательна. Главные
кривизны имеют разные знаки, и потому существуют кривые, проходящие
через р, нормальные векторы которых в точке р направлены в любую
сторону от касательной плоскости. Точка (О, О, О) гиперболического пара­
болоида z = у
2
-
х2 (ер. пример 4) является гиперболической.
В параболической точке гауссова кривизна равна нулю, но одна из
главных кривизн отлична от нуля. Точки цилиндра (ер. пример 3) являются
параболическими.
Наконец, в точке уплощения все главные кривизны равны нулю.
Точки плоскости удовлетворяют этому условию тривиально. Нетривиаль­
ный пример точки уплощения дан в примере 6.
Определение 8. Если в точке рЕ S k 1=k 2 , то р называется омбили­
ческой точкой S; точки уплощения (k 1=k2 = О) считаются омбилическими.
Все точки сферы и плоскости являются омбилическими. Применяя
метод примера 6, можно проверить, что точка (О, О, О) параболоида
z=х
2
+у
2
является омбилической точкой (не точкой уплощения).
Докажем теперь интересный факт, что единственными поверхностями,
полностью состоящими из омбилических точек, являются, в сущности,
сферы и плоскости.
Предложение 4. Если все точки связной поверхности S являются
омбwщческими, то поверхность является частью сферы Wtи плоскости.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ S и х(и, v) - такая параметризация S
в р , что координатная окрестность V связна.
Так как каждая точка q Е V является омбилической, то для любого
вектора w=a1 xu+a2 xv в Tq(S)
dN(w) = A.(q)w,
где А.= A.(q) -вещественная дифференцируемая функция на V.
Покажем, во-первых, что Л(t) постоянна на V. Для этого запишем
предыдущее равенство в виде
Nua1 +Nva2 =A(xual +xva2 );

180
ГЛАВАЗ
следовательно, поскольку w произволен,
Nu =Ахи,
Nv=AXv.
Дифференцируя первое равенство по v, второе - по и и учитывая
предыдущие равенства, получаем
Auxv-Avxu=O.
Так как хи и xv линейно независимы, заключаем, что
для всех q Е V. Так как окрестность V связна, Л постоянна на V, как мы
утверждали.
Если Л=О, то Nи=Nv=О, ипотому N=N0=const на V. Таким
образом, (х (и, v), N 0 )и = (х (и, v), N 0 )v =О; следовательно,
(х(и, v), N0 ) = const
и все точки х(и, v) окрестности V принадлежат плоскости.
Если А* О, то точка x(u,v)-(1/A)N(u,v) =у(и, v) фиксирована, так как
Поскольку
1
1
(x(u,v)-~N(u,v))u =(x(u,v)-~N(u,v))v =0.
21
lx(u, v)-yl = А2 ,
все точки V лежат на сфере с центром у и радиусом 1/1 А 1·
Это доказывает предложение локально, то есть для окрестности точки
р Е S. Дrrn завершения доказательства заметим, что, поскольку S связна,
для любой другой данной точки r Е S существует непрерывная кривая
а: [О, 1] -7 S, где а(О) = р, a(l) = r. Для каждой точки a(t) Е S этой кривой
существует окрестность Vi на S, лежащая на сфере или в плоскости и такая,
что a-
1
(V1) есть открытый промежуток в [О, 1]. Объединение ua-
1
(V1),
tE [О, 1], покрьmает [О, 1], и, поскольку [О, 1] есть замкнутый промежуток,
он покрывается конечным множеством элементов семейства {a-
1
(Vi)} (ер.
теорему Гейне-Бореля, предложение 6 приложения к главе 2). Таким
образом, а([О, 1]) покрывается конечным числом окрестностей Vi.
Если все точки одной из этих окрестностей лежат в плоскости, все
другие точки будут лежать в той же плоскости. Так как точка r произ­
вольна, все точки S принадлежат этой плоскости.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
181
Если точки одной из этих окрестностей лежат на сфере, то же рассуж­
дение показывает, что все точки S принадлежат сфере, и это завершает
доказательство.
D
Определение 9. Пусть р
-
точка поверхности S. Асимптотическим
направлением S в р называется направление в T/S), в котором нормаль­
ная кривизна равна нулю. Асимптотической линией S в точке р на­
зывается такая регулярная связная кривая С с S, что для каждой точки
р Е С касательная С в точке р имеет асимптотическое направление.
Из определения сразу следует, что в эллиптической точке нет асим­
птотических направлений.
Полезное геометрическое истолкование асимптотических направлений
получается с помощью индикатрисы Дюпена, которую мы сейчас опишем.
Пусть р - точка на S. Индикатрисой Дюпена в р называется такое
множество векторов w пространства Tp(S), что /1 p(w) =±1.
Чтобы записать уравнения индикатрисы Дюпена в более удобном
виде, введём в Tp(S) декартовы координаты в ортонормированном базисе,
{е1 , е2 }, где е1 и е2 - собственные векторы dNP. Для заданного вектора
wE Tp(S) пусть р и О - «полярные координаты», определяемые равен­
ствами w=pv, где lvl=l, и v=e1 cosO+e2 sin0, если pof-0 . По формуле
Эйлера,
±1=/1 p(w) =р
2
/1p(v) =k1p
2
cos
2
О+k2p
2
sin
2
О= k1q
2
+kЛ
2
,
где w=qe1 +17е2 . Таким образом, координаты (q,17) точки индикатрисы
Дюпена удовлетворяют уравнениям
k1q
2
+ k2172
= ±1;
(1)
следовательно, индикатриса Дюпена есть объединение двух конических
сечений в Tp(S). Отметим, что нормальная кривизна в направлении, опре-
деляемом вектором w, равна kn (v) = /1 рСv) = ±(1/ р 2 ).
В эллиптической точке индикатриса Дюпена является эллипсом
( k1 и k2 имеют один и тот же знак); эллипс вырождается в окружность,
если точка омбилическая, не являющаяся точкой уплощения ( k 1 = k 2 *О).
В гиперболической точке k1 и k2 имеют разные знаки. Индикатриса
Дюпена состоит поэтому из двух гипербол с общей парой асимптот
(рис. 3.13). В направлениях этих асимптот нормальная кривизна равна
нулю; следовательно, это асимптотические направления. Это обосновывает

182
ГЛАВАЗ
терминологию и показывает, что в гиперболической точке имеется точно
два асимптотических направления.
е,
Эллиптическая точка
Гиперболическая точка
Рисунок 3.13. Индикатриса Дюпена
В параболической точке одна из главных кривизн равна нулю,
и индикатриса Дюпена вырождается в пару параллельных прямых. Общее
направление этих прямых есть единственное асимптотическое направле­
ние в данной точке.
В примере 5 раздела 3.4 мы покажем интересное свойство инди­
катрисы Дюпена.
С понятием асимптотического направления тесно связано понятие
сопряжённых направлений, которое мы сейчас определим.
Определение 10. Пусть р - точка на поверхности S. Два ненулевых
вектора wl' w2 Е T/S) называются сопряжёнными, если ( dN/w1), w2 ) =
=(wl'dNP(w2 ))=0. Два направления rl'r2 в р называютсясопряжёнными,
если два ненулевых вектора w1, w2 , параллельные соответственно r 1 и r 2 ,
сопряжены.
Непосредственно проверяется, что определение сопряжённых направ­
ленийнезависитотвыбораw1и w2 на r1 и r2•
Из определения следует, что главные направления сопряжены,
а асимптотическое направление сопряжено самому себе. Кроме того, в ом­
билической точке, не являющейся точкой уплощения, каждая ортого­
нальная пара направлений является парой сопряжённых направлений,
а в точке уплощения каждое направление сопряжено любому другому
направлению.
Предположим, что точка р Е S не является омбилической, и пусть
{е1 , е2 } - ортонормированный базис Tp(S), определяемый равенствами
dNР(е1)= -k1е1, dNР(е2)= -k2е2• Пусть В и ({J - углы, которые пара на-

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
183
правлений r1 и r2 образует с е1 . Мы утверждаем, что r1 и r2 сопряжены
тогда и только тогда, когда
k1 cosBcos tp = -k2 sin Bsin tp.
В самом деле, r1 и r2 сопряжены тогда и только тогда, когда векторы
w1=е1cosВ+е2sinВ, w2 =е1costp+е2sintp
сопряжены. Таким образом,
О= (dN p(w 1), w2 ) = -k1 cosBcosrp- k2 sinBsintp.
Отсюда следует условие (2).
(2)
Когда и k1 и k2 не равны нулю (то есть точка р эллиптическая или
гиперболическая), условие (2) приводит к геометрическому построению
сопряжённых направлений с помощью индикатрисы Дюпена в точке р. Мы
опишем построение в эллиптической точке, случай гиперболической точки
Рисунок 3.14 . Построение сопряжённых направлений
аналогичен. Обозначим r прямую, проходящую через начало координат
в ТР (S), и рассмотрим точки пересечения q 1, q2 прямой r с индикатрисой
Дюпена (рис. 3.14). Касательные индикатрисы Дюпена в q1 и q 2 парал­
лельны, а их общее направление r' сопряжено с r. Мы оставим дока­
зательства этих утверждений в качестве упражнений (упражнение 12).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что в гиперболической точке главные направления делят
пополам углы между асимптотическими направлениями.
2. Покажите, что если поверхность касается плоскости вдоль кривой, то
точки это кривой являются либо параболическими, либо точками упло­
щения поверхности.

184
ГЛАВАЗ
3. Пусть С с S - регулярная кривая на поверхности S с гауссовой
кривизной К> О. Покажите, что кривизна k кривой С в точке р удовлет­
воряет условию
k;:::min(Jk1J, 1k2J),
где k1 и k2 - главные кривизны S в точке р.
4. Предположите, что поверхность S обладает тем свойством, что всюду
J k1 \ ~ 1, J k2 1~1. Верно ли, что кривизна k кривой S также удовлетворяет
неравенству 1 k 1~ 1?
5. Покажите, что средняя кривизна Н в точке р Е S выражается равен­
ством
Н =_!_ rл kп(O)dO,
кJo
где kn(O) - нормальная кривизна в точке р в направлении, состав­
ляющем угол (} с фиксированным направлением.
6. Покажите, что сумма нормальных кривизн в любых двух ортогональных
направлениях в точке р Е S постоянна.
7. Покажите, что если средняя кривизна равна нулю в точке, не являющейся
точкой уплощения, то в этой точке существуют два ортогональных асим­
птотических направления.
8. Опишите замкнутую область на единичной сфере, покрываемую обра­
зом при гауссовом отображении следующих поверхностей:
а) параболоид вращения z = х
2
+ у2;
Ь) гиперболоид вращения х2
+у2-z
2
=1;
с) катеноид х2
+у2=ch
2
z.
9. Докажите, что
а) образ N о а при гауссовом отображении N: S ~ S 2 параметризованной
регулярной кривой а: I ~ S, не содержащий точек уплощения или пара­
болических точек, является регулярной параметризованной кривой на сфе­
ре S 2 (называемой сферическим образом а).
Ь) если С =а(!) - линия кривизны и k - её кривизна в точке р , то
k=JkJN J,

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
185
где kn - нормальная кривизна в точке р в направлении касательной С,
а kN - кривизна сферического образа N(C) с S 2 в точке N(p).
1О. Предположите, что соприкасающаяся плоскость линии кривизны
С с S, которая нигде не касается асимптотического направления, образует
постоянный угол с касательной плоскостью S вдоль С. Докажите, что
С - плоская кривая.
11. Пусть р - эллиптическая точка S, r и r' -
сопряжённые направ­
ления в р. Пусть r изменяется в ТР (S); покажите, что минимум угла
между r и r' достигается для единственной пары направлений в Tp(S),
которые симметричны относительно главных направлений.
12. Пусть р
-
гиперболическая точка поверхности S и r - направление
в ТР (S). Опишите и обоснуйте геометрическое построение для отыскания
сопряжённого r направления r' с помощью индикатрисы Дюпена (ер. по­
строение в конце раздела 3.2).
13*. (Теорема Бельтрами-Эннепера.) Докажите, что абсолютная величина
кручения r в каждой точке асимптотической линии, кривизна которой
нигде не равна нулю, выражается равенством
где К - гауссова кривизна поверхности в данной точке.
14*. Если поверхность S1 пересекает поверхность S2 по регулярной кри­
вой С, то кривизна k кривой С в точке рЕ С задаётся уравнением
k2 sin
2
(}=А,~+~ - 2.А.1~ cosB,
где Л1 и ~ - нормальные кривизны в точке р в направлении касатель­
ной С поверхностей S1 и S2 соответственно, а (} - угол, образованный
нормальными векторами S1 и S2 в точке р.
15. (Теорема Иоахимсталя.) Предположите, что S1 и S2 пересекаются по
кривой С и составляют угол В(р), р Е С. Пусть С - линия кривизны S1.
Докажите, что угол (}(р) постоянен тогда и только тогда, когда С есть
линия кривизны S2 •
16*. Докажите, что меридианы тора являются линиями кривизны.

186
ГЛАВАЗ
17. Покажите, что если Н =О на S и S не имеет точек уrшощения, то
гауссово отображение N : S ~ S 2 обладает следующим свойством:
(dN p(w1), dNp(w2 )) =-K(p)(w1, w2 )
для любых рЕ S и w1, w2 Е Tp(S). Покажите, что предыдущее условие
означает, что угол между двумя пересекающимися кривыми на S 2
,
с точностью до знака, равен углу между двумя их сферическими образами
(ер. упражнение 9).
18*. Пусть 11.1
, . .. ,/lm - нормальные кривизны в точке рЕ S в направ­
лениях, составляющих углы О, 2п:/т, ...,(т-1)2п:/т с главным направле­
нием. Докажите, что
11.1 + ... +llm =mH,
где Н - средняя кривизна в точке р.
19*. Пусть С с S - регулярная кривая на S. Пусть рЕ С и a(s) - такая
параметризация С в р длиной дуги, что а(О) = р. Выберем в ТР (S)
ортонормированный положительный базис {t, h}, где t = а'(О). Геодези­
ческое кручение 7 g кривой С с S определяется равенством
7g =(: (O),h).
Докажите, что
а) 7g =(k1 -k2 )cosq:isinq:i, где q:~-уголот е1 до t;
Ь) если 7 - кручение С, п- единичный вектор (главной) нормали С
иcosfJ=(N,п),то
d(J
-=7-7.
ds
g'
с) линии кривизны S характеризуются тождественным равенством нулю
геодезического кручения.
20*. (ТеоремаДюпена.) Говорят, что три семейства поверхностей образуют
триортогональную систему в открытом множестве И с R 3
,
если через
каждую точку р Е И проходит единственная поверхность каждого

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
187
семейства и три поверхности, проходящие через точку р, попарно орто­
гональны. Используйте часть (с) упражнения 19, чтобы доказать теорему
Дюпена: поверхности триортогонШlьной системы пересекаются друг
с другом по линиям кривизны.
3.3 . Гауссово отображение в локальных координатах
В предыдущем разделе мы ввели некоторые понятия, относящиеся
к локальному поведению гауссова отображения. Чтобы подчеркнуть
геометрическую сторону, определения были даны без использования
системы координат. Некоторые простые примеры были затем обработаны
непосредственно с помощью определений; этот метод, однако, неэф­
фективен в общем случае. В этом разделе мы получим выражения второй
основной формы и дифференциала гауссова отображения в системе
координат. Это даст нам систематический метод вычислений в конкретных
примерах. Кроме того, общие выражения, полученные таким образом,
важны для более детального исследования введённых выше понятий.
Все параметризации х: И с R 2 ~ S, рассматриваемые в этом разделе,
предполагаются совместимыми с ориентацией N поверхности S, то есть
в параметризации х (И):
N= Хи ЛХv
.
1Хи ЛХv 1
Пусть х(и,v)- параметризация в точке рЕ S поверхности S, и пусть
a(t) =x(u(t), v(t)) - параметризованная кривая на S, где а(О) = р. Для
упрощения обозначений примем соглашение, что под всеми функциями,
встречающимися ниже, подразумеваются их значения в точке р.
Касательный вектор к a(t) в р есть а'= х и и'+ х vv', и
dN(a') = N'(u(t), v(t)) = Nии' + Nvv'.
Поскольку Nu и Nv принадлежат Tp(S), можно записать
(1)
и потому

188
ГЛАВАЗ
следовательно,
Это показывает, что в базисе {xu,xv} дифференциал dN задаётся
матрицей (aii ), i = 1,2. Отметим, что эта матрица не обязательно симме­
трическая, если только базис {хи, xv} не является ортонормированным.
С другой стороны, выражение второй основной формы в базисе
{хи,хv} имеет вид
Ilр(а') = -(dN(a'),a') = -(Nи и'+ Nvv', х и и'+ xv v') =
= e(u')
2
+2fu'v' + g(v')
2
,
где, поскольку (N,x и) =(N,x v) =О,
е=-(Nи,х и) =(N,x ии),
f =-(Nv,X и)= (N,x uv) = (N,x vи) =-(Nи,Х v),
g =-(Nv,X v) = (N, Х vv)·
Найдём теперь выражения (aii) через коэффициенты e,f,g. Из равен­
ства (1) получаем
-
f =(Nu,xv)= a11F+a21G,
-
f =(Nv,Xи)= а12Е+a22F,
(2)
-е=(Nu,x и)= а11Е+a21F,
-
g=(Nv,xv)=a12F+a22G,
где E,F,G - коэффициенты первой основной формы в базисе {xu,xv}
(ер. раздел 2.5). Соотношения (2) можно записать в матричной форме:
-(е f)=(а11 а21)(Е F);
fgа12а22FG
(3)
следовательно,

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
189
где символ ( )-
1
обозначает обратную матрицу для ( ). Легко проверить,
что
F]-l 1 (G
G -EG-F2-F
-;}
откуда получаются следующие выражения для коэффициентов (aij) мат­
рицы dN в базисе {xu,xv}:
fF-eG
а=
11 EG-F2'
gF-fG
а=
12
EG-F2 ,
eF-fE
а=
21 EG-F2,
f F-gE
EG-F2 •
Для полноты изложения следует указать, что соотношения (1), с учётом
предыдущих выражений, называются формулами Вайнгартена.
Из равенства (3) непосредственно получаем
2
K=det(a )= eg-f
.
(4)
u
EG-F 2
Чтобы вычислить среднюю кривизну, напомним, что - k1, - k2 являются
собственными значениями dN. Следовательно, k1 и k2 удовлетворяют
уравнению
dN(v) =-k v =-k Jv при некотором VE Tp(S), v #О,
где 1 - тождественное отображение. Отсюда следует, что линейное ото­
бражение dN + k 1 необратимо, а потому его детерминант равен нулю.
Таким образом,
или

190
ГЛАВАЗ
Так как k1 и k 2 являются корнями предыдущего квадратного урав­
нения, получаем, что
1
1
1 eG-2fF+gE
H=-(k1 +k2 )=--(a11 +а22)=-
2
;
2
2
2 EG-F
(5)
следовательно,
k2-2Hk+К=О,
и потому
k=H±.Jн 2 -К.
(6)
Из этого соотношения следует, что если выбрать k1(q)"C.k2 (q), qE S,
то функции k1 и k2 непрерывны на S. Кроме того, k1 и k2 дифферен­
цируемы на S, кроме, быть может, омбилических точек (Н
2
=К) на S.
В вычислениях этой главы удобно будет обозначать для краткости
(и/\v, w) =(и,v, w) длялюбых и,v, wE R 3.
Напомним, что это просто детерминант матрицы 3 х 3 , столбцы (или стро­
ки) которой являются координатами векторов и, v, w в каноническом
базисе R 3
.
Пример 1. Вычислим гауссову кривизну в точках тора, покрытого
параметризацией (ер. пример 6 раздела 2.2)
х(и, v) =((а+ rcos и)соs v, (а+ r cosu)sin v, r sin и),
О<и<2я, О<v<2я.
Для вычисления коэффициентов e,f,g нужно знать N (и, следова­
тельно, хи и xv), хии' xuv и xvv:
хи= (-rsin ucosv, -rsinusin v, rcosu),
xv= (-(а+ rcosu)sin v, (а+ rcosu)cosv, О),
хии= (-rcosucosv, -rcosusin v, -rsin и),
хиv==(rsinusinv, - r sinиcosv, О),
xw= (-(а+ rcosu)cosv, -(а+ rcosu)sin v, О).
Отсюда получаем
Е=(хи,хи)=r 2 , F=(xи,xv)=O,
G = (xv, xv) =(а+ rcosu)
2
•

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
191
Вводя полученные выражения в равенство е = ( N, х ии) и учитывая, что
\хи лxv[=-JEG-F 2 , находим
= (xu,xv,xuu) = r
2
(a+rcosu) =r
- JEG-F2
r(a+rcosu)
·
Аналогично получаем
f=(xu,Xv,xuv) О,
r(a+rcosu)
g = (xu, Xv,xvv) = cosu(a + rcosu).
r(a + rcosu)
Наконец, поскольку К= (eg- f
2
)/(EG-F
2
), получаем, что
К = __с_о_s_и
__
r(a+rcosu)
Из этого выражения следует, что К= О вдоль параллелей и= tc/2
и и= З:тr/2; точки этих параллелей являются, следовательно, параболичес­
кими. В области тора, заданной неравенствами :тr/2 <и < Зtс/2, кривизна К
отрицательна (отметим, что r >О и а> r); точки этой области, следова­
тельно, гиперболические. В области, заданной неравенствами О< и< :тr/2
или Зtс/2 <и< 2tc, кривизна положительна и точки являются эллипти­
ческими (рис. 3.15).
Ось вращения
Производящая
окружность
hК<~ UK>O
К=О
Рисунок 3 .15

192
ГЛАВАЗ
В качестве приложения выражения второй основной формы в ко­
ординатах мы докажем предложение, которое даёт информацию о распо­
ложении поверхности в окрестности эллиптической или гиперболической
точки относительно касательной плоскости в этой точке. Например, если
мы посмотрим на эллиптическую точку тора примера 1, то обнаружим, что
поверхность лежит по одну сторону касательной плоскости в этой точке
(см. рис. 3.15). С другой стороны, если р
-
гиперболическая точка тора Т
и V с Т - любая окрестность р, мы можем найти точки V по обе
стороны ТР (S), однако окрестность V может быть мала.
Этот пример отражает общий локальный факт, который описывается
в следующем предложении.
Предложение 1. Пусть рЕ S - эллиптическая точка поверхности S.
Тогда существует такая окрестность V точки р в S, что все точки V
ле:жат по одну сторону касателыюй плоскости T/S). Пусть р Е S -
гиперболическая точка. Тогда в ка:ждой окрестности точки р существу­
ют точки S по обе стороны TP(S).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть x(u,v) - параметризация в р с х(О,О) = р.
Расстояние d от точки q =х(и, v) до касательной плоскости TP(S) нахо­
дится по формуле (рис. 3.16)
d =(x(u,v)-x(O,O),N(p)).
Рисунок 3.16

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
193
Так как вектор-функция х(и, v) дифференцируема, имеет место фор­
мула Тейлора
1
2
2
-
x(u,v)=x(O,O)+xuu+xvv+2(xuuu +2xuvuv+xvvv )+R,
где производные вычислены в точке (О, О), а остаточный член R удов­
летворяет условию
lim _!!_=О.
(u,v)-;(0,0) u2 + v2
Отсюда следует, что
d = (х (и, v)-x(O,O), N(p)) =
= _l{ (х ии• N(p))u
2
+ 2 (х uv• N(p))uv + (х vv• N(p))v2
}+R=
2
12
2
1
=="2(еи +2fuv+gv ) +R =
2пр(w) + R,
где w==xuu+xvv, R=(R,N(p)) и lirn(R/iwi
2
)=0.
w-;O
В эллиптической точке р вторая форма JIP(w) имеет постоянный знак.
Следовательно, для всех (и, v), достаточно близких кр, d имеет тот же знак,
что и JIp(w), то есть все такие точки (и, v) лежат по одну сторону ТР (S).
В каждой окрестности гиперболической точки р существуют такие
точки (u,v) и (u,v), что IIP(w/lwl) и //P(w/lwl) имеют разные знаки
(здесь w ==хи И +xv v); такие точки лежат, следовательно, по разные сторо­
ны TP(S).
Никакого утверждения, подобного предложению 1, нельзя сделать для
окрестности параболической точки или точки уплощения. В рассмотрен­
ных выше примерах параболической точки и точки уплощения (ер. при­
меры 3 и 6 раздела 3.1) поверхность лежит по одну сторону касательной
плоскости и может иметь с этой плоскостью общую прямую. В следующих
примерах мы покажем, что положение может оказаться совершенно иным.
Пример 2. «Обезьянье седло» (см. рис. 3.17) задаётся уравнениями
3
2
х=и, y=v, z==u -Зv и.
Непосредственное вычисление показывает, что в точке (О, О) коэффи­
циенты второй основной формы е = f = g =О; точка (О, О) является
поэтому точкой уплощения. В любой окрестности этой точки, однако,
существуют точки, лежащие по разные стороны касательной плоскости
в этой точке.

194
ГЛАВАЗ
z
z=l
у
х
Рисунок 3.17
Рисунок 3.18
Пример 3. Рассмотрим поверхность, полученную вращением кривой
z = у3, -1 < z < 1, вокруг прямой z = 1 (см. рис. 3.18). Простое вычисле­
ние показывает, что точки, порождаемые вращением начала координат О,
являются параболическими. Мы опустим эти вычисления, так как вскоре
докажем (пример 4), что параллели и меридианы поверхности вращения
являются линиями кривизны; отсюда, с учётом того факта, что в рас­
сматриваемых точках меридианы (кривые вида у= х3 ) имеют нулевую
кривизну, а параллель является нормальным сечением, будет следовать
предыдущее утверждение.
Отметим, что в любой окрестности такой параболической точки суще­
ствуют точки, лежащие по обе стороны касательной плоскости.
Выражение второй основной формы в локальных координатах полезно
для изучения асимптотических и главных направлений. Рассмотрим снача­
ла асимптотические направления.
Пусть х(и,v) - параметризация в точке pES сх(О,О)=р, и пусть
е(и,v)=е, f(и,v)=f, g(и,v)=g
-
коэффициенты второй основной
формы в этой параметризации.
Напомним, что (см. определение 9 раздела 3.2) связная регулярная
кривая С в координатной окрестности параметризации х является
асимптотической линией тогда и только тогда, когда для параметризации
a(t)=x(и(t),v(t)), tE !, кривой С имеет место равенство JJ(a'(t))=O для
всех t Е I, то есть тогда и только тогда, когда
е(и')2 +2/и'v' + g(v')
2
=0, !Е !.
(7)
По этой причине уравнение (7) называется дифференциШiьным уравнение.м
асимптотических линий. В следующем разделе мы придадим более
точный смысл этому выражению. В данный момент мы хотим извлечь из
уравнения (7) лишь следующий полезный вывод: необходимое и дос-

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
195
таточное условие того, что координатные линии параметризации
в окрестности гиперболической точки (eg - f
2
<О) являются асимпто­
тическими линиями, состоит в том, что е = g =О.
Действительно, если обе кривые и= const, v = v(t) и и = и(t), v = const
удовлетворяют уравнению (7), получаем, что е = g =О. Обратно, если по­
следнее условие выполняется и f "# О, уравнение (7) принимает вид
fи'v' =О, и ему, очевидно, удовлетворяют координатные линии.
Рассмотрим теперь главные направления, сохраняя уже принятые обо­
значения.
Связная регулярная кривая С в координатной окрестности х является
линией кривизны тогда и только тогда, когда для тобой параметризации
a(t) =х(и(t), v(t)) кривой С, tE !, имеет место равенство (ер. предложение 3
раздела 3.2)
dN(d(t)) = A.(t)a'(t).
Отсюда следует, что функции и'(t), v'(t) удовлетворяют системе урав­
нений
jF-eG, gF-fG,
1'
----и+
v =л.и,
EG-F
2
EG-F
2
eF-fE,fF-gE '
1'
--~-и+
v =л.v.
EG-F
2
EG-F
2
Исключая А. из предыдущей системы, получаем дифференциальное урав­
нение линий кривизны
(JE - еF)(и')
2
+ (gE - eG)и'v' + (gF - fG)(v')
2
=О,
которое можно записать в более симметричной форме:
(v')
2
- u'v' (и')
2
Е
F
G =0.
е
fg
(8)
С использованием того факта, что главные направления ортогональны
между собой, из равенства (8) легко получается, что равенства F =f =О
являются необходимыми и достаточными условиями того, что коорди­
натные линии параметризации в окрестности неомбWlической точки яв­
ляются линиями кривизны.

196
ГЛАВАЗ
Пример 4 (поверхности вращения). Рассмотрим поверхность враще­
ния с параметризацией (ер. пример 4 раздела 2.3; мы заменили f и g на q;
и 1f1 соответственно)
х(и, v) = (q;(v)cosu, q;(v)sin и, 1f(v)),
О<и<2;r, а<v<Ь, q;(v),сО.
Коэффициенты первой основной формы имеют следующие выра­
жения:
Удобно считать, что меридиан параметризован длиной дуги, то есть
что
(q;')2 +(ry')2 =G =1.
Непосредственное вычисление коэффициентов второй основной фор­
мы даёт
- q;sinu q;' cosu
-q;cosu
e=(xu,xv,xu,J=
1
JEG-F 2 JEG-F 2
q;cosu q;'sinи - q;sinи =
о
ry'
о
= -q;lf',
f=O,
g = 'l''q;" - '1'"q;'.
Так как F = f = О, заключаем, что параллели ( v = const ) и меридианы
(и = const) поверхности вращения являются линиями кривизны такой по­
верхности (этот факт использовался в примере 3).
Из того, что
eg- 12
к=--"--'-----
EG-F2
ljl'( ljl'q;" - ljl"q;')
(jJ
и q; всегда положительно, следует, что параболические точки задаются
либо равенством '1'' =О (касательная к производящей кривой перпенди­
кулярна оси вращения), либо равенством q;'lf" -'l''q;" =О (кривизна произ­
водящей кривой равна нулю). Точка, в которой выполняются оба условия,
является точкой уплощения, так как эти условия означают, что
e=f=g=O.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
197
Удоб но записать выражение гауссовой кривизны ещё в другой форме.
Дифференцируя равенство (rp') 2 +(1;/)2 ==1, получаем rp'q/' == -1j/1;/'. Таким
образом,
к == v/сv/rp" - lf/"rp') == сlf/')2 rp" +с rp')2 rp" == - rp"
(9)
rp
rp
rp
Равенство (9) является удобным выражением гауссовой кривизны поверх­
ности вращения. Оно может быть использовано, например, для отыскания
поверхностей вращения постоянной гауссовой кривизны (ер. упраж­
нение 7).
Чтобы вычислить главные кривизны, сделаем сначала следующее
общее замечание: если параметризация поверхности вращения такова,
что F == f ==О, то главные кривизны равны е/Е и g/G. В самом деле,
в этом случае гауссова и средняя кривизны имеют выражения (ер. ра­
венства (4) и (5))
К==!!К_ Н==1eG+gE.
EG'
2EG
Так как К - произведение и 2Н - сумма главных кривизн, отсюда сразу
следует наше утверждение.
Таким образом, главные кривизны поверхности вращения задаются
равенствами
(10)
следовательно, средняя кривизна такой поверхности равна
н == }___ - 1/f' + rp(lfl'rp" _ l/f"rp').
2
rp
(11)
Пример 5. Очень часто поверхность задаётся как график дифферен­
цируемой функции (ер. предложение 1 раздела 2.2) z == h(x,y), где (х,у)
принадлежит открытому множеству И с R 2
.
Удобно поэтому иметь
н распоряжении формулы для соответствующих понятий в этом случае.
Чтобы получить такие формулы, параметризуем поверхность, полагая
x(и,v)==(и,v,h(и,v)), (и,v)Е И,
где и== х, v ==у. Простое вычисление показывает, что
xu=(1,0,hu), Xv=(O,l,h,,), Xuu=(O,O,huu),
Xuv= (О, О, huv), Xvv= (О, О, hvv).

198
Таким образом,
ГЛАВАЗ
(-hx,-hy,l)
N(x,y)= (l+h;+h~)v2
есть поле единичных нормалей, а коэффициенты второй формы в этой
ориентации находятся по формулам
h
е=
хх
(l+h; +h;)l/2'
h
f=
;iy
(1 + h; + h;)1/2'
hyy
g= (l+h; +h;)1! 2 •
С помощью выражений вверху, легко получить любую нужную фор­
мулу. Например, из равенств (4) и (5) получаем гауссову и среднюю кри­
визны:
К= hxxhyy - h~
(1 +h; +h;)2
'
(1+h;)hyy- 2hxhyh;iy +(1+h;)hxx
н ------'-'-------"~~~---=-----
-
(1+h;+h;)з/2
Есть ещё другое, возможно, более важное основание для изучения
поверхностей, заданных уравнением z = h(x,y). Оно исходит из того
факта, что локально любая поверхность является графиком дифферен­
цируемой функции (ер. предложение 3 раздела 2.2). Для данной точки р
поверхности S можно выбрать координатные оси в R 3 так, чтобы начало
координат О совпало с точкой р, а ось z была направлена вдоль поло­
жительной нормали S в точке р (таким образом, касательная плоскость
совпадает с ТР (S)). Отсюда следует, что окрестность точки р на S может
быть представлена ввиде z=h(x,y),(x,y)EUcR 2 ,гдe И- открытое
множество и h - дифференцируемая функция (ер. предложение 3 раз­
дела 2.2), удовлетворяющая условиям h(O, О)= р, hx (О, О)= О, hy (О, О)= О
(рис. 3.19).
Вторая основная форма S в р, применённая к вектору (х, у) Е R 2
,
принимает в этом случае вид
hxx(O,O)x
2
+ 2hxy(O,O)xy + hyy(O,O)y 2.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
199
z
z
Рисунок 3.19. Каждая точка поверхности S имеет окрестность, которая может
быть задана уравнением z = j(x, у)
В элементарном дифференциальном исчислении функций двух перемен­
ных предыдущая квадратичная форма называется гессианом h в точке
(О, О). Таким образом, гессиан h в точке (О, О) является второй основной
формой S в точке р.
Применим предыдущие соображения для геометрического истолкова­
ния индикатрисы Дюпена. В прежних обозначениях: пусть Е > О - такое
малое число, что
C={(x,y)ETP(S); h(x,y)=t:}
есть регулярная кривая (быть может, мы должны изменить ориентацию по­
верхности, чтобы добиться положительности с:). Мы хотим показать, что,
если р не является точкой уплощения, кривая С «приближённо» подобна
индикатрисе Дюпена поверхности S в точке р (рис. 3.20).
Чтобы это увидеть, будем предполагать далее, что оси х и у имеют
главные направления, причём ось х имеет главное направление с макси­
мальной главной кривизной. Таким образом, f = hxy (О, О)= О и
k 1(р) = ! __ = hxx(O,O), k 2 (p) =К= h»'(O,O).
Е
G
Представляя h(x,y) по формуле Тейлора в окрестности точки (О, О)
и учитывая, что hx (О, О)= О= hy (О, О), получаем
1
2
2
h(x,y) =l(hxx(O, О)х + 2hx/O, О)ху + hyv(O, О)у ) + R =
1
2
2
=-(k1x +kzy )+R,
2

200
ГЛАВАЗ
где
1
.
R
lffi
(х,у)-+(0,0) х2 + у2
о.
Таким образом, кривая С задаётся уравнением
k1x
2
+k2y
2
+2R = 2t:.
--,ьр
"
/
Плос1<0сть, параллельная T,(S)
Рисунок 3.20
Далее, если р не является точкой уruющения, можно рассматривать
кривую k 1x
2
+k2y
2
= 2t: как приближение первого порядка кривой С.
Применяя преобразование подобия
х = x.fli, у= y../2i,
получим, что кривая k 1x
2
+k2y
2
= 2t: преобразуется в кривую
k-2 k-2 1
1Х+2У='
которая является индикатрисой Дюпена в точке р. Это означает, что
если р не является точкой уwющения, пересечение S - плоскостью,
параллельной плоскости TP(S) и близкой к TP(S), есть, с точностью
первого порядка, кривая, подобная индикатрисе Дюпена в р.
Если р - точка уплощения, это истолкование не имеет силы
(ер. упражнение 11 ).

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
201
В завершение этого раздела мы дадим геометрическое истолкование
гауссовой кривизны в терминах гауссова отображения N: S ~ S 2 . Факти­
чески сам Эйлер ввёл эту кривизну таким образом.
Чтобы сделать это, нам, во-первых, необходимо определение.
Пусть S и S - две ориентированные поверхности. Пусть qJ: S ~ S -
дифференцируемое отображение, и пусть в некоторой точке р Е S
отображение dqJP невырождено. Мы называем qJ сохраняющим ориента­
цию в р, если для данного положительного базиса {w1, w2 } в TP(S) базис
{dФp(w1 ), dqJP(w2 )} - положительный базис в Trp(p)(S). Если базис
{dФp(w1 ), dtpp(w2 )} не является положительным, мы называем qJ изменя­
ющим ориентацию в р.
Заметим теперь, что и S, и единичная сфера S 2 вложены в R 3
.
Таким
образом, ориентация N на S индуцирует ориентацию N на S 2
.
Пусть
рЕ S такова, что dNP невырождено. Так как в базисе {w1, w2 } в Tp(S)
dNp(w1)лdNp(w2) =det(dNp)(w1лw2) =Kw1лw2,
гауссово отображение N будет сохраняющим ориентацию в точке рЕ S,
если К(р)>О, и изменяющим ориентацию в рЕ S, если К(р)<О. Инту­
итивно это означает следующее (рис. 3.21): ориентация TP(S) индуцирует
ориентацию малых замкнутых кривых вокруг р; образ каждой из этих
кривых при отображении N будет иметь ту же или противоположную
исходной ориентацию в зависимости от того, является точка р эл­
липтической или гиперболической соответственно.
Чтобы принять во внимание этот факт, условимся считать, что
площадь замкнутой области, содержащейся в связной окрестности V, где
К * О, и площадь её образа при отображении N имеют один и тот же знак,
еслиК>ОвV, иразныезнаки,еслиК<ОвV(таккакVсвязна, Кне
меняет знака в V).
Теперь мы можем сформулировать обещанное геометрическое истол­
кование кривизны К при К *О.
Предложение 2. Пусть р
-
такая точка поверхности S, что
кривизна К(р)*О, и V - связная окрестность р, где К не меняет
шака. Тогда
.
А'
K(p)=Iim-,
А-;0 А

202
ГЛАВАЗ
где А - тющадь замкнутой области В с V, содержащей р, А' -
площадь образа В при гауссовом отображении N : S ~ S 2
,
а предел
находится по последовательности областей Вп, стягивающихся кр
в том смысле, что любая сфера вокруг р содержит все Вп при дос­
таточно большом п.
-
N
Рисунок 3.21 . Гауссово отображение сохраняет ориентацию в эллиптической
точке и изменяет её в гиперболической точке
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Площадь А области В находится по формуле
(ер. раздел 2.5)
где х(и, v) - параметризация в р, координатная окрестность которой
содержит V ( V можно считать достаточно малой), а R - область и, v-
rшоскости, соответствующая В. Площадь А' области N(B) равна
Используя равенство (1), определение К и принятое выше согла­
шение, можно записать

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
203
Переходя к пределу и обозначая площадь области R тем же символом R,
получаем
l
.
А'1
.
A'/R
llll-=
IШ--=
А-+0 А А-+0 А/R
lim(llR)ff К 1хи лхv 1du dv
1
1
=R-+0 f
R
=КХиЛXv=К
lim(IIR)ff lxuлxvldudv lxuлxvl
R-+0 f
R
(обратите внимание, что мы использовали теорему о среднем для двойных
интегралов), и это доказывает предложение.
D
Замечание. Сопоставляя предложение с выражением кривизны
k=limа
s->0 S
плоской кривой С в точке р (здесь s - длина дуги малого отрезка С,
содержащего р, а а - длина дуги его образа на индикатрисе
касательных; ер. упражнение 3 раздела 1.5), мы видим, что гауссова
кривизна К является аналогом для поверхностей кривизны k плоской
кривой.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что в начале координат (О, О, О) на параболоиде z = аху
К=-а2 и Н=О.
2*. Найдите асимптотические линии и линии кривизны геликоида х =
= vcosu, у= vsin и, z =си и покажите, что его средняя кривизна равна нулю.
3*. Найдите асимптотические линии катеноида
х(и, v) = (chvcosu, chvsinu, v).
4. Найдите асимптотические линии и линии кривизны поверхности z = ху.
5. Рассмотрите параметризованную поверхность (поверхность Эннепера)
[
u
3
2v3222J
х(иv)=и--+uv v--+vu и-v
'
3
'
3
'

204
ГЛАВА3
и покажите, что
а) коэффициенты первой основной формы таковы:
E=G=(l+u
2
+v
2) 2, F=O;
Ь) коэффициенты второй основной формы таковы:
е==2, g ==-2, f =О;
с) главные кривизны имеют выражения
2
2
k1=
kz=
(l+u2+v2)2'
(l+u2+v2)2'
d) линиями кривизны являются координатные линии;
е) асимптотическими линиями являются кривые
и+v =const, и - v =const
6. (Поверхность с К =-1, псевдосфера.)
а*. Найдите уравнение такой плоской кривой С, длина отрезка касатель­
ной которой между точкой касания и некоторой прямой r в плоскости,
которая не пересекает прямую, постоянна и равна 1 (эта кривая называется
трактрисой; см. рис. 1.9).
Ь. Вращайте трактрису С вокруг прямой r; определите, является ли
«поверхность» вращения, полученная таким образом (псевдосфера;
см. рис. 3.22), регулярной, и найдите параметризацию в окрестности
регулярной точки.
Рисунок 3.22 . Псевдосфера
Рисунок 3.23

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
205
с. Покажите, что гауссова кривизна в тобой реrулярной точке псевдо­
сферы равна -1.
7. (Поверхности вращения постоянной кривизны.) Поверхность вращения
постоянной кривизны задана параметризацией (qi(v)cosu, qi(v)sinи, lfl(v)).
Найдите функции rp и lJI , выберите параметр v таким образом, чтобы
выполнялось равенство (rp')
2
+ (1J1')
2
=1 (геометрически это означает,
что v есть длина дуги производящей кривой (qi(v), l{l(v)). Покажите, что
а) rp удовлетворяет уравнению rp" + Krp =О, а 1f1 задаётся формулой
lJI = f~1- (rp')
2
dv; таким образом, О< и < 2я, а область значений v тако­
ва, что последний интеграл имеет смысл;
Ь) все поверхности вращения постоянной кривизны К = 1, которые пере­
секают ортогонально плоскость хру, задаются функциями
где С - постоянная (С= rp(O)); найдите область значений v и нарисуйте
эскиз профиля поверхности в xz -плоскости для случаев С= 1, С > 1, С< 1;
заметьте, что С= 1 задаёт сферу (рис. 3.23);
с) все поверхности вращения постоянной кривизны К = - 1 моrут быть
заданы функциями одного из следующих типов:
1) qi(v) =С chv,
2) <p(v) = Cshv,
3) rp(v) = ех,
<p(v) = J: .J1-e
2
x dv;

206
ГЛАВАЗ
найдите область значений v и нарисуйте эскиз профиля поверхности в xz -
плоскости;
d) поверхность типа 3 в части (с) есть псевдосфера упражнения 6;
е) единственными поверхностями вращения с К = О являются прямой кру­
говой цилиндр, прямой круговой конус и плоскость.
8. (Соприкосновение порядка ~2 поверхностей.) Две поверхности S и S
с общей точкой р имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р, если суще­
ствуют такие параметризации х(и,v) их (u,v) в р поверхностей S и S
соответственно, что
в р. Докажите следующее:
а*) пусть S и S имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р; х: И --t S
и х : И --t S - произвольные параметризации S и S соответственно в р ;
f:VсR3
-- t R - дифференцируемая функция в окрестности V точки р
вR3
; частные производные порядка ~2 функции f ох : И --t R равны
нулю в х-1 (р) тогда и только тогда, когда частные производные порядка
~2 функцииf ох:И --tR равны нулювточкех-1(р);
Ь*) пусть S и S имеют соприкосновение порядка ~ 2 в р; пусть
z =f(x,y), z =](х,у) - уравнения S и S соответственно в окрестности
р, где ху-плоскость является общей касательной плоскостью в точке
р =(О, О); тогда все частные производные порядка ~ 2 функции
f(x,y)- f(x,y) в точке (О, О) равны нулю;
с) пусть р - точка поверхности S с R 3
; пусть Oxyz - такая декартова
система координат в R 3
, что
О= р и .ху-плоскость является касательной
плоскостью поверхности S в р; покажите, что параболоид
(*)

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
207
полученный пренебрежением членами не ниже третьего порядка в тейло­
ровском разложении в окрестности р =(О, О), имеет соприкосновение по­
рядка 2 2 с поверхностью S в р (поверхность (*) называется соприкаса­
ющимся параболоидом S в р );
d*) если параболоид (случаи вырождения в плоскость и параболический
цилиндр исключаются) имеет соприкосновение порядка 2 2 с поверхно­
стью S в точке р , то он является соприкасающимся параболоидом S в р;
е) если две поверхности имеют соприкосновение порядка 2 2 в р, то со­
прикасающиеся параболоиды S и S совпадают; заключите отсюда, что
гауссовы и средние кривизны поверхностей S и S равны;
t) понятие соприкосновения порядка 2 2 инвариантно относительно диф­
феоморфизмов R 3 , то есть если S и S имеют соприкосновение порядка
22ври~:R3
----* R
3
-
диффеоморфизм, то rp(S) и rp(S) имеют сопри­
косновение порядка 2 2 в rp(p );
g) если S и S имеют соприкосновение порядка 2 2 в р, то
lim ~ =0,
r---70 r
где d - длина отрезка, отсекаемого поверхностями на прямой, перпен­
дикулярной к Тp(S) = TP(S), которая находится на расстоянии r от р.
9. (Соприкосновение кривых.) Определите понятие соприкосновения по­
рядка 2 п ( п 21 - целое число) регулярных кривых в R 3 в общей точке р
и докажите, что
а) понятие соприкосновения порядка 2 п инвариантно относительно диф­
феоморфизмов;
Ь) две кривые имеют соприкосновение порядка 2 1 в р тогда и только
тогда, когда они имеют в р общую касательную.
10. (Соприкосновение кривых и поверхностей.) Кривая С и поверхность S
с общей точкой р имеют соприкосновение порядка 2 п (п 21 - целое

208
ГЛАВАЗ
число) в р, если существует такая кривая С с S, проходящая через р,
что С и С имеют соприкосновение порядка ~ п в р. Докажите, что
а) если f(x,y,z) =О - уравнение окрестности р на S и a(t) =
= (x(t),y(t),z(t)) - параметризация С в р, где а(О) = р, то С и S имеют
соприкосновение порядка ~ п тогда и только тогда, когда
dj
dnj
f(x(O),y(O),z(O)) =О, -
= 0, ...,-=О,
dt
dtn
где производные вычислены в точке t = О;
Ь) если плоскость имеет соприкосновение порядка ~ 2 с кривой С
в точке р, то она является соприкасающейся плоскостью С в р;
с) если сфера имеет соприкосновение порядка ~ 3 с кривой С в р
и a(t) - параметризация длиной дуги этой кривой, где а(О) = р, то центр
сферы имеет выражение
1
k'
а(О)+-п+-2-Ь.
k k1:
такая сфера называется соприкасающейся сферой С в р.
11. Рассмотрите «обезьянье седло» S примера 2. Постройте индикатрису
Дюпена в точке р = (0,0,0), используя определение раздела 3.2, и сравните
её с кривой, получаемой как пересечение S плоскостью, параллельной
Т p(S) и близкой к р. Почему они не являются «приближённо подобными»
(ер. пример 5 раздела 3.3)? Просмотрите рассуждения в примере 5 и ука­
жите, где они прерываются.
12. Рассмотрите параметризованную поверхность
х(и, v) = (sin vcos и, sin usin v, cos и+ lntg~ + tp(v)),
2
где tp - дифференцируемая функция. Докажите, что
а) кривые v = const лежат в плоскости, которая проходит через ось z
и пересекает поверхность под постоянным углом В, определяемым ра­
венством
cosB= qf ·
~1 + (tp')2 ,
заключите отсюда, что кривые v = const являются линиями кривизны по­
верхности;

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
209
Ь) длина отрезка касательной к кривой v = const , определяемого её точкой
касания и осью z, постоянна и равна 1; заключите отсюда, что кривые
v = const являются трактрисами (ер. упражнение 6).
13. Пусть F: R
3
~R3
-
отображение (подобие), определяемое равен­
ством F(p)=cp, pER 3
, с -положительная константа. Пусть ScR
3
-
регулярная поверхность, и пусть F(S) = S. Покажите, что S - регулярная
поверхность, и найдите формулы, связывающие гауссову и среднюю
кривизны К и Н поверхности S с гауссовой и средней кривизнами
К и П поверхности S.
14. Рассмотрите поверхность, полученную вращением кривой у= х
3
,
-1 < х < 1, вокруг прямой х = 1. Покажите, что точки, полученные враще­
нием точки кривой (О, О), являются точками уплощения поверхности.
15*. Приведите пример поверхности, которая имеет изолированную пара­
болическую точку р (то есть нет других параболических точек, содержа-
щихся в некоторой окрестности р ).
16*. Покажите, что поверхность, которая является компактной (то есть
ограниченной и замкнутой в R 3 ), имеет эллиптическую точку.
17. Дайте определение гауссовой кривизны для неориентируемой поверх­
ности. Можно ли определить среднюю кривизну для неориентируемой по­
верхности?
18. Покажите, что лист Мёбиуса (рис. 3.1) можно параметризовать, полагая
х(и,v) = ( ( 2-vsin ~)sin и, ( 2-vsin ~)cosu, vcos~),
и его гауссова кривизна равна
2.
Hv
2
+(2-vsin(u/2))2
}
К=
19*. Найдите асимптотические линии однополостного гиперболоида х
2
+
+у2 -z2 =1.
20*. Найдите омбилические точки эллипсоида
х2у2z2
2+2+2= 1
.
аЬс

210
ГЛАВАЗ
21 *. Пусть S - поверхность с ориентацией N. Пусть V с S - открытое
множество в S и f : V с S ~ R - любая дифференцируемая функция,
нигде не обращающаяся в нуль на V. Пусть v1 и v2 - такие два диффе­
ренцируемых (касательных) векторных поля на V, что в каждой точке V
векторыv1иv2 иv1лv2=N.
а. Докажите, что гауссова кривизна К области V имеет выражение
_
( d(fN)(v1 )л d(fN)(v2 ),fNJ
К-
з
.
f
Преимуществом этой формулы является то, что часто подходЯщим
выбором f можно упростить вычисление К, что проиллюстрировано
в части (Ь).
Ь. Примените предыдущий результат, чтобы показать, что если f -
ограничение функции
на эллипсоид
х2у2z2
- +-+-
а4ь4с4
х2у2z2
- 2 +----т+2==l,
аЬс
то гауссова кривизна эллипсоида равна
11
K==l22"-4 ·
аЬсf
22. (Гессuан.) Пусть h: S ~ R - дифференцируемая функция на поверх­
ности S и р -критическая точка h (то есть dhP ==О). Пусть wE Tp(S) и
a:(-e,e)~S
-
параметризованная кривая с а(О) = р, а'(О) = w. Положим
а. Обозначьте х: И~ S параметризацию S в р и покажите, что (здесь
существенно, что р есть критическая точка h)
НPh(u' Хи +v' xv) = huu (р )(и')2 + 2huv(P )u'v' + hvv(P)(v')
2
.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
211
Заключите отсюда, что НPh: Т p(S) ~ R есть корректно определённая
(то есть не зависящая от выбора а) квадратичная форма на TP(S). НPh
называется гессианом h в р.
Ь. Пусть h: S ~R - функция высот S относительно TP(S), то есть
h(q) =(q- р, N(p)), qE S. Проверьте, что р
-
критическая точка h и,
следовательно, гессиан НPh корректно определён. Покажите, что если
wET/S), jwj=1, то HPh(w) равно нормальной кривизне вточке р
в направлении w. Заключите, что гессиан в точке р функции высот S
относительно т;, (S) есть вторая основная форма S в р.
23. (Функции Морса на поверхностях.) Критическая точка рЕ S диф­
ференцируемой функции h: S ~ R называется невыро:ж:денной, если
самосопряжённое линейное преобразование Aph, ассоциированное с ква­
дратичной формой Н Ph (ер. приложение к главе 3), невырождено (здесь
НPh есть гессиан h в р; ер. упражнение 22). В противном случае р
называется выро:ж:денной критической точкой. Дифференцируемая функ­
ция на S называется функцией Морса, если все её критические точки
являются невырожденными. Пусть h, : S с R 3 ~ R - функция расстояний
отSдоr,тоесть
а. Покажите, что рЕ S - критическая точка h, тогда и только тогда,
когда прямая pr является нормалью к S в точке р.
ь. Пусть р - критическая точка hr : s ~ R. Пусть WE тр (S), 1w1= 1
и а: (-е,е) ~ S - кривая, параметризованная длиной дуги, где а(О) = р,
а'(О) = w . Докажите, что
где kn - нормальная кривизна в р в направлении w. Выведите отсюда,
что ортонормированный базис {е1 , е2 }, где е1 и е2 имеют главные
направления Tp(S), диагонализирует самосопряжённое линейное преоб­
разование Aphr. Заключите далее, что р есть вырожденная критическая

212
ГЛАВАЗ
точка тогда и только тогда, когда h,(p)=1/k1 или h,(p)=1/k2 , где k 1
и k2 - главные кривизны в р.
с. Покажите, что множество
В={rЕR3
; h,. является функцией Морса}
есть открытое и всюду плотное множество в R 3
; здесь плотность в R 3
означает, что в каждой окрестности данной точки R 3 существует точка В
(это показывает, что на любой регулярной поверхности существует
«много» функций Морса).
24. (Локальная выпуклость и кривизна.) Поверхность S cR
3
называется
локально выпуклой в точке р Е S , если существует такая окрестность
V с S точки р , что V содержится в одном из замкнутых полупрост-
ранств, определяемых T/S) в R 3
.
Если, кроме того, V имеет только одну
общую точку с TP(S), то S называется строго выпуклой в р.
а. Докажите, что S строго локально выпукла в р, если главные кри­
визны S в р не равны нулю и имеют одинаковые знаки (то есть гауссова
кривизна К(р) >О).
Ь. Докажите, что если S локально выпукла в р, то главные кривизны в р
не имеют разных знаков (следовательно, К(р)?: О).
с. Чтобы показать, что условие К ?: О не означает локальной выпуклости,
рассмотрите поверхность f(x,y) = х3(1 + у 2 ), определённую в открытом
множестве И={(х,у)ЕR3
; у2 < ~} Покажите, что гауссова кривизна
этой поверхности неотрицательна на И и тем не менее поверхность не
является локально выпуклой в точке (О, О) (глубокая теорема, принадле­
жащая Р. Сакстедеру, означает, что такой пример нельзя распространить
навсёR2
, если мы хотим сохранить кривизну неотрицательной; ер. заме­
чание 3 раздела 5.6).
d*. Пример части (с) является очень специальным также в следующем
локальном смысле. Пусть - точка поверхности S; допустим, что
существует такая окрестность V с S точки р, что главные кривизны на V
не имеют разных знаков (этого нет в примере части (с)). Докажите, что S
локально выпукла в р.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
213
3.4. Векторные поля*
В этом разделе мы будем использовать основные теоремы курса
обыкновенных дифференциальных уравнений (существования решения,
единственности решения и зависимости решения от начальных условий)
для доказательства существования некоторых систем координат на по­
верхностях.
Если читатель желает принять готовыми результаты следствий 2, 3 и 4
в конце этого раздела (которые можно понять без чтения раздела), этот ма­
териал можно пропустить при первом чтении.
Мы начнём с геометрического истолкования материала по дифферен­
циальным уравнениям, который мы намерены использовать.
Векторным полем в открытом множестве И с R 2 называется отобра­
жение, которое сопоставляет каждой точке qE И вектор w(q)E R 2 . Гово­
рят, что векторное поле w дифференцируемо, если в записи q = (х,у)
и w(q) = (а(х,у), Ь(х,у)) функции а и Ь являются дифференцируемыми
функциями на И.
Геометрически определение означает, что каждой точке (х,у)Е И со­
поставляется вектор с координатами а(х,у) и Ь(х,у), которые дифферен­
цируемо зависят от (х,у) (рис. 3.24).
у
х
о
Рисунок 3.24
' Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

214
ГЛАВАЗ
В дальнейшем мы будем рассматривать только дифференцируемые
векторные поля.
На рисунке 3.25 показаны некоторые примеры векторных полей.
w = (у,-х)
w = (х,у)
Рисунок 3.25
Естественно спросить: существует ли для данного векторного поля w
траектория этого поля, то есть существует ли такая дифференцируемая
параметризованная кривая a(t) =(x(t),y(t)), t Е J, что a'(t) =w(a(t))?
Например, траектория, проходящая через точку (х0 ,у0 ) векторного
поля w(x,y) = (х,у), есть прямая a(t) = (х0е' ,у0е'), tE R, а траектория по­
ля w(x,y)=(y,-x), проходящая через точку (х0 ,у0 ), есть окружность
j](t) = (rsint, rcost), tE R, r
2
= хб +Уб.
На языке теории обыкновенных дифференциальных уравнений гово­
рят, что w определяет систему дифференциальных уравнений
dx
-=а(х,у),
dt
: =Ь(х,у)
и что траектория поля w является решением уравнений (1).
(1)
Основная теорема (локального) существования решения и единствен­
ности решения уравнений (1) равносильна следующему утверждению
о траекториях (ниже буквы 1 и J будут обозначать открытые промежутки
прямой R, содержащие начало ОЕ R).

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
215
Теорема 1. Пусть w - векторное поле в открытом множестве
ИсR2
•
Для данной точки р Е И существует траектория а: l ~ И
поля w (то есть d(t) = w(a(t)), tE /), где а(О) = р. Эта траектория
единственна в следующем смысле: любая другая траектория /3: J ~И,
где/3(0)=р,совпадаетсана JtlJ.
Важным дополнением к теореме 1 является тот факт, что траектория,
проходящая через р, «дифференцируемым образом зависит от р ». Это
понятие можно уточнить следующим образом.
Теорема 2. Пусть w - векторное поле в открытом множестве
ИсR2
.
Для каждой точки р Е И существуют окрестность V с И точ­
ки р,интервшt J итакоеотображение а: Vх1~И, что
1) для фиксированной точки qE V кривая a(q,t), tE !, является тра­
екторией w, проходящей через q, то есть,
да
a(q,O) =q, дt(q,t) = w(a(q,t));
2) а дифференцируемо.
Геометрически теорема 2 означает, что все траектории, которые про­
ходят при t =О через некоторую окрестность V точки р, можно «собрать»
в одно дифференцируемое отображение. Именно этот смысл имеет выска­
зывание, что траектории дифференцируемо зависят от р (рис. 3.26).
Рисунок 3.26

216
ГЛАВАЗ
Отображение а называется (локШtьным) потоком w в р.
Теоремы 1 и 2 будут приняты без доказательства в этой книге; за дока­
зательством можно обратиться, например, к книге W. Hurewicz, Lectиres оп
Ordinary Dijferential Eqиations, М.1.Т. Press, Cambridge, Mass., 1958, Chap. 2.
Для наших целей требуется приведённое ниже следствие этих теорем.
Лемма. Пусть w - векторное поле в открытом множестве И с R 2
,
и пусть р Е И таково, что w(p) i:- О. Тогда существуют окрестность
W с И точки р и такая дифференцируемая функция f: W ~ R, что f
постоянна вдоль каждой траектории w и dfч i:- О для всех qE W.
~
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выберем такую декартову систему координат в R ~, что
р=(О,О), а вектор w(p) имеет направление оси х. Пусть а: VхI~U­
локальный поток в р, V с И, tE 1, и пусть а - ограничение а на прямо­
угольник
(Vxl)n{(x,y,t)ER 3
; х=О}
(см. рис. 3.27). По определению локального потока, dа'Ротображает еди­
ничный вектор оси t в w и единичный вектор оси у в себя. Поэтому ааР
невырождено. Отсюда следует, что существует окрестность W с И
точки р, где а:-1 определено и дифференцируемо. Проекция а:-
1
(х,у) на
ось у есть дифференцируемая функция t? = f(x,y), которая принимает
одно и то же значение t? во всех точках траектории, проходящей через
(О,.;). Так как аар невырождено, можно выбрать W настолько малой, что
dfч i:- О для всех qE W. Следовательно, f -искомая функция.
О
Рисунок 3.27

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
217
Функция f в предыдущей лемме называется (локальным) первым ин­
тегршzом w в окрестности р. Например, если w(x,y) =(у, -х) опреде­
леновR2
,
то первый интеграл f: R 2 -{(О, О)} ~ R есть функция
f(x,y)=x2 + у2.
Тесно связанным с понятием векторного поля является понятие поля
направлений.
Полем направлений r в открытом множестве И с R 2 называется соот­
ветствие, которое сопоставляет каждой точке р Е И прямую r(p) в R 2
,
проходящую через р. Говорят, что r дифференцируемо в р Е И, если су­
ществует такое ненулевое дифференцируемое векторное поле w, опреде­
лённое в окрестности V с И точки р, что для каждой точки q Е V,
w(q) *-О есть базис r(q); r дифференцируемо в И, если оно дифферен­
цируемо в каждой точке рЕ И.
Каждому ненулевому дифференцируемому векторному полю w
в И с R 2 соответствует дифференцируемое поле направлений r , где
r(p) - прямая, определяемая вектором w(p), р Е И.
По определению, по каждому дифференцируемому полю направлений
локально можно восстановить ненулевое дифференцируемое векторное
поле. Это, однако, неверно глобально, как показывает поле направлений
в R 2 -{(О, О)}, заданное касательными к кривым на рисунке 3.28; любая
попытка ориентировать эти кривые, чтобы получить дифференцируемое
ненулевое векторное поле, приводит к противоречию.
Рисунок 3.28. Неориентируемое поле направлений в R2
-{ (0, О)}

218
ГЛАВАЗ
Регулярная связная кривая С с И называется интегральной кривой
поля направлений r , определённого в И с R 2
,
если r(q) есть касательная
кСвточкеqдлялюбойточкиqEС.
Из предыдущего ясно, что для данного дифференцируемого поля на­
правлений r в открытом множестве И с R 2 через каждую точку q Е И
проходит интегральная кривая С поля r; С локально совпадает со следом
проходящей через q траектории векторного поля, определяемого в И по­
лем r. Далее мы будем рассматривать только дифференцируемые поля на­
правлений и, в общем случае, опускать слово «дифференцируемое».
Естественный способ описания поля направлений состоит в следую­
щем. Мы говорим, что два ненулевых вектора w1 и w2 в точке q Е R 2 эк­
вивалентны, если w1 = Лw2 при некотором А Е R, А=/= О. Два таких вектора
задают одну и ту же прямую, проходящую через q, и, обратно, если два
ненулевых вектора лежат на одной прямой, проходящей через q, они экви­
валентны. Таким образом, поле направлений r на открытом множестве
И с R 2 можно задать, приписывая каждой точке q Е И пару веществен­
ных чисел (r1, r2 ) (координаты ненулевого вектора, принадлежащего r),
где пары (r1 , r2 ) и (No1 , Аг2 ), А=/= О, считаются эквивалентными.
На языке дифференциальных уравнений поле направлений r обычно
задаётся уравнением
a(x,y)dx +Ь(х,у)4У =0,
dt
dt
(2)
которое означает просто, что точке q = (х,у) мы сопоставляем прямую, про­
ходящую через q и содержащую вектор (Ь, - а) или его произведение на
любое ненулевое число (рис. 3.29). След траектории векторного поля (Ь, - а)
есть интегральная кривая поля r. Так как в предыдущих рассуждениях пара­
метризация роли не играет, часто вместо (2) используют уравнение
adx+b4Jl=O
с тем же значением, что и прежде.
Введённые выше понятия относятся к области локальных свойств R 2
,
которые зависят только от «дифференциальной структуры» R 2
.
Их мож­
но, следовательно, перенести без дальнейших затруднений на регулярную
поверхность, что следует ниже.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
219
у
Рисунок 3.29. Дифференциальное уравнение а dx + bdy =О
Определение 1. Векторным полем w на открытом множестве И с S
регулярной поверхности S называется соответствие, которое сопоставляет
каждой точке рЕ И вектор w(p)E T/S). Векторное поле w называется
дифференцируемым в точке рЕ И, если для некоторой параметризации
х(и, v) в р функции а(и, v) и Ь(и, v), определяемые равенством
w(p) = а(и, v)x. +Ь(и, v)xv,
дифференцируемы в р; очевидно, это определение не зависит от выбора х.
Аналогично мы можем определить траектории, поле направлений
и интегральные кривые. Теоремы 1 и 2 и предыдущая лемма легко распро­
страняются на рассматриваемый случай; с точностью до замены R 2 на S
утверждения точно такие же.
Пример 1. Векторное поле на обычном торе Т получается параметри­
зацией меридианов Т длиной дуги и определением w(p) как вектора ско­
рости меридиана, проходящего через р (рис. 3.30). Заметим, что 1w(p)1= 1
для всех р Е Т. Оставим в качестве упражнения (упражнение 2) проверку
того, что w дифференцируемо.
Пример 2. Аналогичная процедура, теперь на сфере S 2 и с исполь­
зованием полумеридианов S 2
, порождает векторное поле w, определённое
на сфере без двух полюсов N и S. Чтобы получить векторное поле, опреде-

220
ГЛАВАЗ
лённое на всей сфере, параметризуем все полумеридианы одним и тем же па­
раметром t, -1<t<1, и положим v(p) = (1-t
2
)w(p) длярЕ82
-{N} u {S}
и v(N) = v(S) =О (рис. 3.31 ).
Рисунок 3.30
Рисунок 3.31
Пример 3. Пусть S ={(х,у,z)ЕR 3
; z=х
2
-
у2 } - гиперболический
параболоид. Пересечение с S плоскостей z = const "'1:- О определяет такое
семейство кривых {Са}, что через каждую точку S-{(0,0,0)} проходит
одна кривая Са. Касательные к таким кривым задают дифференцируемое
поле направлений r на S - {(О, О, О)}. Мы хотим найти поле направле­
ний r' на S-{(0,0,0)}, которое ортогонально к r в каждой точке, и инте­
гральные кривые r'. Поле r' называется ортогональным к r полем, а его
интегральные кривые называются ортогональным семейством поля r
(ер. упражнение 15 раздела 2.5).

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
221
Начнём с параметризации S вида
х(и, v) =(и, v, и
2
-v
2
), и=х, v=у.
Семейство {Са} задаётся уравнением и 2
-v
2
= const 7:- О (или, вернее, обра­
зом этого множества при параметризации х). Если u'xu+v'xv - касатель­
ный вектор регулярной параметризации некоторой кривой Са, дифферен­
цируя равенство и 2
-v
2
= const , получаем
2ии' - 2w' =О.
Таким образом, (и', v') = ( -v, -и). Это означает, что r задаётся в параме­
тризации х парой (v, и) или её произведением на любое число, не равное
нулю.
Пусть теперь (а(и, v), Ь(и, v)) - выражение ортогонального поля r'
в параметризации х. Поскольку
Е=1+4и 2 , F=-4uv, G=l+4v
2
и r' ортогонально r в каждой точке, получаем
Eav+F(bv+аи)+GЬи=О
или
(1+4и 2 )av-4uv(bv +аи)+ (1+4v
2
)Ьи ==О.
Отсюда следует, что
vа+иЬ=О.
(3)
Это определяет в каждой точке пару (а, Ь), с точностью до ненулевого
множества, и, следовательно, поле r'.
Чтобы найти интегральные кривые r', введём касательный вектор
и' х и +v' х v некоторой регулярной параметризации интегральной кривой r'.
Тогда (и', v') удовлетворяет уравнению (3), то есть
vи' +uv' =О
или
uv=const
Отсюда следует, что ортогональное семейство {Са} задаётся пересечени­
ем S гиперболическими цилиндрами ху = const *О.
Главным результатом этого раздела является следующая теорема.
Теорема. Пусть w1 и w2 ~ два векторных поля в открытом множе­
стве И с S, линейно независимые в некоторой точке рЕ И. Тогда можно
параметризовать окрестность V с И точки р таким образом, что для

222
ГЛАВАЗ
каж:дой точки qE V координатные линии этой параметрuзации, прохо­
дящие через q, касаются прямых, определяемых векторами w1(q) и w2 (q).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть W - окрестность р, где определены первые
интегралы fi и / 2 полей w1 и w2 соответственно. Определим отображение
rp: W~R2
, полагая
rp(q) == (fj (q), f2(q)), qE ff'.
Так как fi постоянна на траекториях w 1 и (dfi) * О, то в точке р
drpp(w1) = ((dfi) p(w1), (d/2 ) p(w1)) =(О, а),
где а= (4(2 ) p(w1) *О, так как w1 и w 2 линейно независимы. Аналогично,
где b=(q/jJp(w2 )7'0.
Отсюда следует, что dq>P невырождено и, следовательно, q> есть ло-
~
2
кальный диффеоморфизм. Поэтому существует окрестность И с R точки
rp(p), которая диффеоморфно отображается посредством х= rp-
1
на окрест­
ность V точки р, то есть х есть параметризация S в р, координатные ли­
нии которой
J;(q)=const, J;(q)=const
касаются в точке q прямых, определяемых векторами w1(q), w2 (q) соот-
ветственно.
о
Следует заметить, что из теоремы не следует, что координатные ли­
нии можно параметризовать так, что их векторы скорости будут равны
w1(q) и w2 (q). Утверждение теоремы относится к координатным линиям
как к реrулярным (точечное множество) кривым; более точно, имеет место
следующая теорема.
Следствие 1. Для двух заданных полей направлений r и r' на откры­
том множ:естве И с S, таких, что r(p) * r'(р) в точке р Е И, существу­
ет такая параметрuзация х в окрестности р, что координатные линии х
являются интегральными кривыми r и r'.
Первым приложением предыдущей теоремы является доказательство
существования ортогональной параметризации в любой точке реrулярной
поверхности.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
223
Следствие 2. Для любой точки р Е S существует такая парамет­
ризация х(и,v) в окрестности V точки р, что координатные линии
и = const, v = const пересекаются ортогонально в ка:ж:дой точке q Е V
(такая параметризация х называется ортогональной).
ДОКАЗАТЕЛЬС1ВО. Рассмотрим произвольную параметризацию х: [] ~ S
в р иопределимдвавекторных поля w1= х и, w2 = -('i/Е)хи+хv на
х (й), где Е, F, G - коэффициенты первой основной формы в х. Так как
w 1( q), w2 ( q) - ортогональные векторы в каждой точке q Е х (U), приме­
нение теоремы даёт искомую параметризацшо.
О
Вторым применением теоремы (точнее, следствия 1) является доказа­
тельство существования систем координат, определяемых асимптотичес­
кими и главными направлениями.
Как мы видели в разделе 3.3, асимmотические линии являются реше­
ниями уравнения
е(и')2 + 2fи'v' + g(v')
2
=О.
В окрестности гиперболической точки р имеет место неравенство
eg-f
2
<О, и левую часть предыдущего уравнения можно разложить на
два различных линейных множителя, получая
(Аи'+ Вv')(Аи' + Dv') =О,
(4)
где коэффициенты определяются равенствами
А2 =е, A(B+D)=2f, BD=g.
Предыдущая система уравнений имеет вещественные решения, так как
eg- f
2
<О. Таким образом, (4) распадается на два уравнения:
Аи'+ Bv' =0,
Аи' +Dv' =0.
(4а)
(4Ь)
Каждое из этих уравнений определяет дифференцируемое поле направле­
ний (например, уравнение (4а) определяет направление r, которое содер­
жит ненулевой вектор (В, -А)), и в каждой точке рассматриваемой окре­
стности направления, задаваемые уравнениями (4а) и (4Ь), различны. При­
меняя следствие 1, мы видим, что можно параметризовать окрестность р
таким образом, что координатные линии будут интегральными кривыми
уравнений (4а) и (4Ь). Другими словами,

224
ГЛАВАЗ
Следствие 3. Пусть рЕ S - гиперболическая точка S. Тогда мо:ж:но
параметризовать окрестность р таким образом, что координатные ли­
нии этой пара.метризации являются асимптотическими линиями S.
Пример 4. Почти тривиальный, но иллюстрирующий механизм пре­
дыдущего метода пример даёт гиперболический параболоид z = х 2 - у 2 .
Как обычно, параметризуем поверхность в целом, полагая
х(и, v) =(и, v, и
2
-v
2
).
Простое вычисление показывает, что
2
е=-------
(1+4и2 +4v2)1/2'
f=O,
2
g=
Таким образом, уравнение асимптотических линий можно записать в виде
2
,2
')2
( 42 21/2((и)-(v )=о'
1+и +4v)
разложить на два линейных уравнения и получить два поля направлений:
r1: и'+v'= О,
r2:и'-v'=О.
Интегральными кривыми этих полей направлений являются два семейства
кривых:
'i: и+v=const,
r2: и-v=const
Далее, функции fi(и,v)=и+v,f2 (и,v)=и-v являются, очевидно,
первыми интегралами векторных полей, соответствующих r1 и r2 . Таким
образом, полагая
ii =и+v, v = и-v,
получаем новую параметризацию всей поверхности z = х
2
-
у2 , коорди­
натные линии которой являются асимптотическими линиями поверхности.
В этом частном случае замена параметров выполняется на поверхности
в целом. Вообще, может нарушаться глобальная взаимная однозначность,
даже если вся поверхность состоит только из гиперболических точек.
Аналогично, в окрестности неомбилической точки S можно разло­
жить дифференциальное уравнение линий кривизны на различные линей­
ные множители. Аналогично рассуждая, получаем

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
225
Следствие 4. Пусть рЕ S - неомбuлическая точка S. Тогда можно
параметризовать окрестность точки р таким образом, что координат­
ные линии этой параметризации являются линиями кривизны S.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что дифференцируемость векторного поля не зависит от вы­
бора системы координат.
2. Докажите, что векторное поле, полученное на торе параметризацией его
меридианов длиной дуги и выбором их касательных векторов (пример 1),
дифференцируемо.
3. Докажите, что векторное поле w, определённое на регулярной поверх­
ностиSсR3
, дифференцируемо тогда и только тогда, когда оно диффе­
ренцируемо как отображение w: S ~ R 3
.
4. Пусть S
-
поверхность и х: И~ S - параметризация S. Тогда урав­
нение
а(и, v)и' + Ь(и, v)v' =О,
где а и Ь - дифференцируемые функции, определяет поле направлений r
на х (И), а именно соответствие, которое сопоставляет каждой точке
х(и,v) прямую, содержащую вектор Ьхи-ахv. Покажите, что необхо­
димь1м и достаточным условием существования ортогонального поля r' на
x(U) (см. пример 3) является то, что обе функции
Eb-Fa, Fb-Ga
нигде не обращаются в нуль одновременно (здесь Е, F, G - коэффициен­
ты первой основной формы в параметризации х), и r' тогда задаётся урав­
нением
(ЕЬ- Fа)и' + (Fb-Ga)v' =О.
5. Пусть S
-
поверхность и х: И ~ S - параметризация S. Покажите,
ЧТО если ас - Ь2 < О, то уравнение
а(и, v)(и')2 + 2Ь(и, v)и'v' + с(и, v)(v')
2
=О
можно разложить на два различных уравнения, каждое из которых опре­
деляет поле направлений на х(И) с S. Докажите, что эти два поля направ­
лений ортогональны тогда и только тогда, когда
Ec-2Fb+Ga=O.

226
ГЛАВАЗ
6. Прямая r пересекает ось z и перемещается таким образом, что образует
постоянный угол а * О с осью z и каждая её точка описывает винтовую
линию с шагом с* О вокруг оси z. Фигура, описываемая r, является сле­
дом параметризованной поверхности (см. рис. 3.32)
х{и, v) = (vsinacosu, vsinasinu, vcosa +си).
Нетрудно видеть, что х - регулярная параметризованная поверхность
(ер. упражнение 13 раздела 2.5). Ограничьте параметры (и, v) на открытое
множество И так, чтобы х (И) = S было регулярной поверхностью
(ер. свойство 2 раздела 2.3).
а. Найдите ортогональное семейство (ер. пример 3) к семейству координат­
ных линий и = const
Ь. Используйте линии и = const и их ортогональное семейство, чтобы по­
лучить ортогональную параметризацию S. Покажите, что в новых пара­
метрах (u, v) коэффициенты первой основной формы таковы:
G=l, F=O, E={c
2
+(v-c'iicosa)
2
}sin
2
a.
z
"'
r
о
у
х
Рисунок 3.32
7. Определим производную w(/) дифференцируемой функции f: И с S -*
-* R в направлении векторного поля w на И, полагая
d
w(f)(q)= dt(fаа)11~0· qEИ,

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
227
где а: ! ~ S -такая кривая, что а(О) = q, а'(О) = w(q). Докажите, что
а) w дифференцируемо на И тогда и только тогда, когда w(f) дифферен­
цируема для всех дифференцируемых на И функций f;
Ь) пусть Л. и μ - вещественные числа и g: И с S ~ R - дифференци­
руемая функция на И; тогда
w(Л.f + μf) = Aw(f) + μw(f),
w(fg) = w(f)g + .fiv(g).
8. Покажите, что если w - дифференцируемое векторное поле на поверх­
ности S и w(p) #О в некоторой точке рЕ S, то можно параметризовать
окрестность р посредством х (и, v) таким образом, что х и= w.
9. а. Пусть А : V ~ W - невырожденное линейное отображение вектор­
ных пространств V и W размерности 2, снабжённых скалярными произве­
дениями \ , ) и ( , ), соответственно. А называется подобием, если су-
ществует такое вещественное число А# О, что (Av1, Av2 ) = Л.(v1 , v2 ) для
любых векторов v 1, v2 Е V. Предположите, что А не является подобием,
и докажите, что существует единственная пара ортонормированных векто­
ров е1 и е2 в V, такая, что Ае1 , Ае2 ортогональны в W.
Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать теорему Тисса. Пусть rp: И1 с
с S1 ~ S2 - диффеоморфизм окрестности И1 точки р поверхности S1 в по­
верхность S2 . Предположим, что линейное отображение drp нигде
не является подобием. Тогда можно параметризовать окрестность р на S1
ортогональной параметризацией х 1: И ~ S1 таким образом, что rp ох 1=
= х 2 : И~ S2 есть также ортогональная параметризация окрестности
rp(p)E S2.
10. Пусть Т
-
тор примера 6 из раздела 2.2; определим отображение
rp: R
2
~ Т, полагая
rp(u,v) =((rcosu+a)cosv, (rсоsи+a)sinv, r sinи),
где и и v - декартовы координаты в R 2
•
Предположим, что и= at,
v=bt- прямаявR2
,
проходящая через точку (О, О)Е R 2
, и рассмотрим
кривую a(t) = (at, Ы) на Т. Докажите, что
а) rp есть локальный диффеоморфизм;

228
ГЛАВАЗ
Ь) кривая a(t) является регулярной кривой; a(t) замкнута тогда и только
тогда, когда Ь/ а есть рациональное число;
с*) если Ь/ а иррационально, кривая a(t) всюду IШотна в Т, то есть
в каждой окрестности точки р Е Т существует точка a(t).
11 *. Используйте локальную единственность траекторий векторного поля
w на И с S, чтобы доказать следующее утверждение. Для данной точки
р Е И существует единственная траектория а: I ~И поля w с а(О) = р,
которая максимальна в следующем смысле: любая другая траектория
fJ: J~И с /J(O)=р является ограничением а на J (то есть JсJ
иа1J =fJ).
12*. Докажите, что если w - дифференцируемое векторное поле на ком­
пактной поверхности S и a(t) - максимальная траектория w, где
w(O)=рЕS, то a(t) определенадлявсех tЕR.
13. Постройте такое дифференцируемое векторное поле на открытом круге
IШОскости (который не компактен), что максимальная траектория a(t) не
определена для всех tE R (это показывает, что условие компактности
в упражнении 12 существенно).
3.5 . Линейчатые поверхности
•
и минимальные поверхности
В дифференциальной геометрии можно найти весьма много частных
случаев (поверхности вращения, параллельные поверхности, линейчатые
поверхности, минимальные поверхности и т. д.), которые сами по себе ин­
тересны (подобно минимальным поверхностям) или дают прекрасный
пример силы и ограниченности дифференциальных методов в геометрии.
В соответствии с духом этой книги мы до сих пор рассматривали эти част­
ные случаи в примерах и задачах.
Полезно, однако, представить некоторые из этих тем в деталях. Мы
намерены сделать это сейчас. Мы используем этот раздел, чтобы изложить
теорию линейчатых поверхностей и дать введение в теорию минимальных
поверхностей. В этом разделе будет удобно использовать понятие параме­
тризованной поверхности, введённое в разделе 2.3.
Если читатель желает, весь раздел или одна из его тем могут быть
пропущены. За исключением ссылки на раздел А в примере 6 раздела В,
'Этот раздел может быть пропущен при первом чтении.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
229
две темы независимы, и их результаты не будут существенно исполь­
зованы в этой книге.
А. Линейчатые поверхности
(Дифференцируемым) однопара.метрическuм семейством прямых
{a(t), w(t)} называется соответствие, которое сопоставляет каждому !Е l
точку a(t)ЕR3 и вектор w(t)ЕR3
, w(t) *О, так, что a(t) и w(t) диффе­
ренцируемо зависят от t. Для каждого t Е 1 прямая Lt> которая проходит
через a(t) и параллельна w(t), называется прямой семейства в точке t.
Для данного однопараметрического семейства прямых {a(t), w(t)} па­
раметризованная поверхность
х(t,v)= a(t)+vw(t), tЕ!, vER,
называется линейчатой поверхностью, порождаемой семейством {a(t), w(t)}.
Прямые Lt называются образующими, а кривая a(t) называется направляю­
щей поверхности х. Иногда мы используем выражение линейчатая поверх­
ность, подразумевая след х . Следует заметить, что мы допускаем также
наличие на х особых точек, то есть, точек (t, v), где XrAXv= О.
Пример 1. Простейшими примерами линейчатых поверхностей явля­
ются поверхности касательных к регулярной кривой (ер. пример 4, раз­
дел 2.3), цилиндры и конусы. Цилиндр есть линейчатая поверхность, поро­
ждаемая однопараметрическим семейством прямых {a(t), w(t)}, t Е /, где
а(!) лежит в плоскости Р, а w(t) параллелен фиксированному направле­
нию в R 3 (рис. 3.33(а)). Конус есть линейчатая поверхность, образованная
семейством {a(t), w(t)}, tE !, где а(!) с Р, а все образующие L1 проходят
через точку р!!. Р (рис. 3.33(Ь)).
w
а(!)
а(!)
(а)
(Ь)
Рисунок 3.33

230
ГЛАВАЗ
Пример 2. Пусть S 1
-
единичная окружность х2
+у
2
=1в-')'-
плоскости, и пусть a(s) - параметризация S 1 длиной дуги. Для любого s
положим w(s)=a'(s)+e3 , где е3 -единичный вектор оси z (рис. 3.34).
Тогда
x(s,v) = a(s)+v(a'(s)+е3)
есть линейчатая поверхносц" Её можно задать в более простом виде, если
записать
x(s,v) = (coss -vsins, sins + vcoss, v)
и заметить, что х2 + у
2
-
z
2
= 1+v
2
-
v
2
= 1. Это показывает, что следом х
является гиперболоид вращения.
z
х
х2 +у
2
-z2 =1
Рисунок 3.34. х
2
+у
2
-
z
2
=1 как линейчатая поверхность
Интересно отметить, что если мы выберем w(s)=-a'(s)+e3 , то полу­
чим снова ту же поверхность. Это показывает, что гиперболоид вращения
имеет два семейства образующих.
Мы определили линейчатые поверхности таким способом, который
допускает появление особенностей. Это необходимо, если мы хотим вклю­
чить поверхности касательных и конусы. Скоро мы увидим, по крайней
мере для линейчатых поверхностей, удовлетворяющих некоторому разум­
ному условию, что особенности такой поверхности (если они есть) будут
сконцентрированы на некоторой кривой этой поверхности.
Начнём теперь изучение линейчатых поверхностей общего вида. Мы
можем предположить, не теряя общности, что [w(t) [= 1, t Е /. Чтобы мож­
но было развить теорию, нам требуется нетривиальное допущение, что

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
231
w'(t) :/:-О для любого tE !. Если нули w'(t) изолированы, мы можем раз­
бить нашу поверхность на два таких куска, что теорию можно применить
к каждому из них. Однако если нули w'(t) имеют предельную точку, си­
туация может усложниться и не будет здесь рассматриваться.
Предположение, что w' :/:-О, t Е /, обычно выражают высказыванием,
что линейчатая поверхность х нецwщндрическая.
Если не оговорено другое, мы будем предполагать, что
x(t, v) = a(t) + vw(t)
(1)
есть нецилиндрическая линейчатая поверхность, где 1w(t) 1= 1, t Е /. Заметь­
те, что допущение 1w(t)1= 1 означает, что (w(t), w'(t)) =О для всех tE !.
Мы хотим сначала найти такую параметризованную кривую fJ(t), что
(fJ'(t), w'(t)) =О, tE !, и /J(t) лежит на следе х, то есть
fJ(t) == a(t) + и(t)w(t),
(2)
для некоторой вещественнозначной функции и = и(t). Предполагая суще­
ствование такой кривой jJ , получаем
jJ' =а'+ и'w + иw';
следовательно, поскольку (w, w') =О,
О = (/З', w') = (а', w') +и(w', w').
Отсюда следует, что и= и(t) задаётся равенством
_
(а', w')
и--(w',w') ·
(3)
Таким образом, если определить /J(t) равенствами (2) и (3), мы получаем
искомую кривую.
Покажем теперь, что кривая fJ не зависит от выбора направляющей а
регулярной поверхности. Тогда fJ будет названа стрикционной линией, а её
точки - горловыми (центральными) точками линейчатой поверхности.
Чтобы доказать наше утверждение, предположим, что а ~ другая на­
правляющая линейчатой поверхности, то есть для всех (t, v)
x(t, v) = a(t) + vw(t) == a(t) + sw(t)
(4)
для некоторой функции s == s(t). Тогда из равенств (2) и (3) получаем
(_,
,
')
-
а-аw
jJ-fJ==(a-a)+ (, ',) w,
w,w

232
ГЛАВАЗ
где "fJ - стрикционная линия, соответствующая а. С другой стороны, из
равенства(4)следует, что
а -а= (s -v)w(t).
Таким образом,
f3- р = { (s -v) +((v(:~::)w')}w=О,
поскольку (w, w') =О. Это доказывает наше утверждение.
Возьмём теперь стрикционную линию в качестве направляющей ли­
нейчатой поверхности и зададим её следующим образом:
x(u,v)=/3(t)+uw(t).
(5)
При таком выборе
x 1=/3'+uw', хи=w
и
х1лхи=/3
1
лw+uw'лw.
Так как (w', w) =О и (w', р') =О, заключаем, что [3' л w = A-w' для неко­
торой функции Л = Л(t). Таким образом,
jx1лxul2=1Лw'+uw'л wi2
=
=i lw'l
2
+и 2 lw'l
2
=(i +u
2
)lw'l
2
.
Отсюда следует, что особые точки линейчатой поверхности могут нахо­
дится только на стрикционной линии и = О, и они появятся в том и только
в том случае, если Л(t) =О. Заметим также, что
2=(/3',w,w')
1w'l
2
'
где, как обычно, (/3', w, w') есть сокращённая запись (/3' л w, w').
Вычислим гауссову кривизну поверхности (5) в её регулярных точках.
Так как
Xtt=P"+uw", X1u=w',
хии=О,
получаем коэффициенты второй основной формы
g=O, f= (х,,х",х",) (jJ,w,w').
1х,лхи1 1х,лхи1
2
'
следовательно (так как g =О, значение е для вычисления К не требуется),
К= _e~g_-~!_2_
EG-F
2
i\w'\
4
(6)

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
233
Это показывает, что в регулярных точках гауссова кривизна К линейчатой
поверхности К ~О и К равна нулю только вдоль тех образующих, кото­
рые пересекают стрикционную линию в особой точке.
Равенство (6) позволяет дать геометрическое истолкование (регуляр­
ных) горловых точек линейчатой поверхности. Действительно, точки обра­
зующей, кроме, быть может, горловой точки, являются регулярными точ­
ками поверхности. Если А :f::. О, функция 1К(и)1 непрерывна на образую-
щей и, в силу равенства (6), горловая точка характеризуется тем, что
1К(и)1 имеет там максимум.
Другое геометрическое истолкование стрикционной линии смотрите
в упражнении 4.
Отметим также, что кривизна К принимает одно и то же значение
в точках образующей, симметричных относительно горловой точки (это
объясняет название «центральная»).
Функция A(t) называется параметром распределения х. Так как
стрикционная линия не зависит от выбора направляющей, то это верно
и для А. Если х регулярна, получаем следующую интерпретацию А. Нор­
мальный вектор поверхности в точке (t, и) есть
1,
,
N(t,и)= х1 лхи = лw +иw лw_
1Х1лХи1 .J;?+u2 1w'1
С другой стороны (А * О),
,
w
N(t,0)=-, .
lw1
Следовательно, если (}-угол, образованный N(t, и) и N(t, О), то
и
tg(} =-
л.·
(7)
Таким образом, если (} - угол, который нормШ1ьный вектор в точке ли­
нейчатой поверхности образует с нормшtьным вектором в горловой точ­
ке этой образующей, то tg(J пропорционШ1ен расстоянию между этими
двумя точками, и коэффициент пропорционшtьности обратен параметру
распределения.
Пример 3. Пусть S - гиперболический параболоид z = k ху, k *О.
Чтобы показать, что S - линейчатая поверхность, заметим, что прямые
у= z/tk, х =t, при любом t *О принадлежат S. Если взять пересечение
этого семейства прямых с плоскостью z =О, получаем прямую х = t,

234
ГЛАВАЗ
у= О, z =О. Выбирая эту прямую в качестве направляющей"и векторы
w(t), параллельные прямым у= z/tk, х =t, получаем
a(t) = (t,0,0), w(t) = (О,*' t}
Это даёт линейчатую поверхность (рис. 3.35)
x(t,v)=a(t)+vw(t)=(t,f,vt} tER, vER,
след которой, очевидно, совпадает с S.
z
х
Рисунок 3.35. z =.IJ' как линейчатая поверхность
у
Поскольку a'(t) = (1, О, О), мы получаем, что стрикционной линией яв­
ляется сама прямая а. Параметр распределения равен
1+k
2
t
2
IL=---
k2
Отметим также, что тангенс угла 8, который w(t) образует с w(O), ра­
вен tg8=tk.
Последнее замечание приводит к интересному общему свойству ли­
нейчатой поверхности. Если рассмотреть семейство нормальных векторов
вдоль образующей регулярной линейной поверхности, это семейство по­
рождает другую линейчатую поверхность. В силу равенства (7) и преды­
дущего замечания, последняя поверхность является именно гиперболиче­
ским параболоидом ( х = -k yz , где 1/k есть значение параметра распреде­
ления на выбранной образующей х =О, z = О).

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
235
Среди линейчатых поверхностей особую роль играют развёртываю­
щиеся поверхности. Начнём опять с произвольной линейчатой поверхно­
сти (необязательно нецилиндрической)
х(и, v) = a(t) + vw(t),
(8)
порождаемой семейством {a(t), w(t)}, где 1w(t)1= 1. Поверхность (8) назы­
вается развёртывающейся, если
(w, w', а')= О.
(9)
Чтобы найти геометрическое истолкование условия (9), вычислим га­
уссову кривизну развёртывающейся поверхности в регулярной точке. Вы­
числение, совершенно аналогичное проделанному для получения равенст­
ва (6), даёт
=
0 f=(w,w',а')
g'
2.
lx1лхv1
В силу условия (9), f =О; следовательно,
К= eg-/2 =О.
EG-F
2
Это означает, что в регулярных точках гауссова кривизна развёртыва­
ющейся поверхности тождественно равна нулю.
Другую геометрическую интерпретацию развёртывающейся поверх­
ности смотрите в упражнении 6.
Мы можем теперь выделить два типа развёртывающихся поверхно­
стей, не исчерпывающие всех случаев.
1. w(t)лw'(t)=O. Это означает, что w'=O. Таким образом, w(t) есть по­
стоянный вектор и развёртывающаяся поверхность является цилиндри­
ческой поверхностью над кривой, полученной пересечением цилиндра
плоскостью, перпендикулярной w(t).
2. w(t) л w'(t) =/:.О при всех tE 1. В этом случае w'(t) =/:.О для любого tE 1.
Таким образом, поверхность нецилиндрическая и можно применить то, что
сделано выше. Так, можно определить стрикционную линию (2) и прове­
рить, что параметр распределения
Л=(/J',w,w') -О.
lw'l
2
(10)

236
ГЛАВАЗ
Поэтому стрикционная линия будет геометрическим местом особых точек
развёртывающейся поверхности. Если [J'(t) #О для любого !Е 1, из равен-
ства (1 О) и того факта, что (fJ', w') =О, следует, что w параллелен [J'. Та­
ким образом, линейчатая поверхность является поверхностью касатель­
ных кривой fJ. Если [J'(t)=O для любого tE 1, то стрикционная линия яв­
ляется точкой, а линейчатая поверхность есть конус с вершиной в этой
точке.
Конечно, предыдущие случаи не исчерпывают всех возможностей.
Обычно, если существует предельная точка нулей рассматриваемых функ­
ций, анализ может стать довольно сложным. Во всяком случае, вне этих
предельных точек развёртывающаяся поверхность является объединением
кусков цилиндров, конусов и поверхностей касательных.
Как мы видели, в регулярных точках гауссова кривизна развёртыва­
ющейся поверхности тождественно равна нулю. В разделе 5.8 мы докажем
некоторое глобальное обращение этого результата, которое означает, что
регулярная поверхность S cR
3
, замкнутая как подмножество R 3 и имею­
щая нулевую гауссову кривизну, является цилиндром.
Пример 4. (Огибающая семейства касательных плоскостей вдоль
кривой на поверхности.) Пусть S - регулярная поверхность и а= a(s) -
кривая на S, параметризованная длиной дуги. Предположим, что а нигде
не касается асимптотического направления. Рассмотрим линейчатую по­
верхность
N(s)лN'(s)
x(s,v)=a(s)+v
,
,
.
\N (s)j
(11)
где символом N(s) обозначается единичный нормальный вектор S, огра­
ниченный на кривую a(s) (так как направление a'(s) не является асимпто­
тическим, N'(s) =1 = О для любого s). Мы покажем, что х есть развёртыва­
ющаяся поверхность, которая регулярна в окрестности v = О и касается S
вдоль v::::: О. Перед этим, однако, дадим геометрическую интерпретацию
поверхности х.
Рассмотрим семейство {Ta(sJ (S)} касательных плоскостей поверхно-
сти S вдоль кривой a(s). Если Лs мало, две JШоскости Ta(sJ(S)
и Ta(s+дs) (S) семейства будут пересекаться по прямой, параллельной вектору
N(s)л N(s+Лs)
Лs

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
237
Если мы устремим Лs к нулю, эта прямая будет стремиться к предельному
положению, параллельному вектору
1. N(s)лN(s+Лs) 1. N() N(s+Лs)-N(s) N() N'()
Iill
=Im
S/\
=
S/\
S.
Лs-70
Лs
Лs-70
Лs
Интуитивно это означает, что образующие х являются предельными поло­
жениями пересечения соседних шюскостей семейства {Ta(s)(S)}. х называ-
ется огибающей семейства касательных wюскостей S вдоль a(s) (рис. 3.36).
т".• ",(S)
Рисунок 3.36
Например, если а - параметризация параллели сферы 8 2
,
то оги­
бающая касательных плоскостей 8 2 вдоль а есть либо цилиндр, если па­
раллель является экватором, либо конус, если параллель не является эква­
тором (рис. 3.37).
Рисунок 3.37. Огибающие семейств касательных плоскостей вдоль параллелей
сферы

238
ГЛАВАЗ
Чтобы показать, что х есть развёртывающаяся поверхность, проверим,
что условие (9) выполняется для х. В самом деле, непосредственным вычи­
слением получаем
NАN'/\ N/\N' а'
_
N/\N'/\(NАN')' а'
_
1N' 1
( \N'\)'
-( 1N'1
1N' 1
'
)-
\,)
=-
1
-
2 ((NАN', N")N, а')=О.
JN'J
Это доказывает наше утверждение.
Докажем теперь, что х регулярна в окрестности v = О и касается S
вдоль а. Действительно, при v =О
х /\Х =а'/\ (N /\ N') = (N' а')_!!_= -(N а").!!_=
1
v
1N' 1
'
1N' 1
'
1N' 1
=-(kпN)
JN'J,
где kn =kn(s) - нормальная кривизна а. Так как kп(s) нигде не обраща­
ется в нуль, это показывает, что х регулярна в окрестности v =О и что еди­
ничный нормальный вектор х в точке x(s, О) совпадает с N(s). Таким об-
разом, х касается S вдоль v = О, и это завершает доказательство наших ут­
верждений.
Суммируем наши выводы следующим образом. Пусть a(s)- кривая,
параметризованная длиной дуги на поверхности S, и а нигде не касается
асимптотического направления. Тогда огибающая (9) семейства каса­
тельных плоскостей к S вдоль a(s) есть развёртывающаяся поверхность,
регулярная в окрестности a(s) и касающаяся S вдоль a(s).
В. Минимальные поверхности
Регулярная параметризованная поверхность называется минимальной,
если её средняя кривизна всюду равна нулю. Регулярная поверхность
S с R 3 называется минимальной, если любая её параметризация мини­
мальна.
Чтобы объяснить, почему мы используем термин «минимальная»
для таких поверхностей, нужно ввести понятие вариации. Пусть
х:И~R2~R3
-
регулярная параметризованная поверхность. Выберем
ограниченную область D с И (ер. раздел 2.5) и дифференцируемую функ­
цию h : l5 ~ R, где l5 - объединение области D и её границы дD. Нор-

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
239
мальная вариация x(D), определяемая функцией h, есть отображение
(рис. 3.38) ер: Dх(-е, е) ~R 3 , заданное равенством
rp(u,v,t) =x(u,v)+th(u,v)N(u,v), (u,v)E D, tE (-&,&).
Для любого фиксированного t Е (-е, е) отображение х 1
:D~R3
, где
х1(и, v) = rp(u, v,t),
является параметризованной поверхностью, где
дхt
-=Хи +thNu +thuN,
ди
дхt
д;=хv +thNv +tfivN.
hN
thN
о
- thN
(х + thN)(D)
(x-thN)ф)
Рисунок 3.38. Нормальная вариациях(D)
Таким образом, если мы обозначаем Е1 , F 1
,G
1
коэффициенты первой ос­
новной формы х 1 , то получаем
Е1
= Е +th((xu,Nu)+(xu,Nu))+t
2
h
2
(Nu,Nu)+t
2
huhu,
F
1
= F +th((xu, Nv) +(xv,Nu))+t
2
h
2
(Nu,Nv) +t
2
hufiv,
G' = G + th((xv,Nv) + (xv,Nv)) +t
2
h
2
(Nv,Nv) + t
2
h.h,.
Используя тот факт, что
(хи,Nи)=-е, (xu,Nv)+(xv,Nи)=-2/, (xv,Nv)=-g

240
ГЛАВАЗ
и что средняя кривизна Н равна (раздел 3.3, равенство (5))
Н= 1 Eg-2jF+Ge
2 EG-F
2
'
получаем
E1G
1
-(F1)
2
= EG-F
2
- 2th(Eg-2Ff +Ge)+ R=
= (EG-F
2
)(1-4thH)+ R,
где lim(R/t) =О.
t---70
Отсюда следует, что, если ё достаточно мало, х 1 есть реrулярная пара­
метризованная поверхность. Кроме того, площадь A(t) области х 1 (D) равна
A(t)= J15 ~E1G1 -(F
1
)
2
dudv=
=f
15
-J1-4thH+R-JEG- F
2
du dv,
где R =R/(EG-F
2
). Отсюда следует, что, если ё мало, А есть диффе­
ренцируемая функция и её производная в точке t = О равна
А'(О) =-f
15
2hH-J EG-F
2
du dv.
(12)
Теперь мы готовы обосновать использование термина «минимальная»
в связи с поверхностями нулевой средней кривизны.
Предложение 1. Пусть х: И~ R 3
-
регулярная параметризованная
поверхность и Dc И - ограниченная область в И. Тогда х минимальна
тогда и только тогда, когда А'(О) =О для любой такой области D и всех
нормальных вариаций x(D).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если х минимальна, Н =О и условие, очевидно, вы­
полняется. Обратно, допустим, что условие выполняется и H(q) *О
внекоторой точке qЕ D. Выберем такое h:l5 ~R, что h(q)= Н(q) и h
тождественно равно нулю вне малой окрестности q. Тогда А'(О) <О для
вариации, определяемой этим h, что противоречит условию.
о
Таким образом, любая замкнутая ограниченная область x(D) мини­
мальной поверхности х является критической точкой функции, выража­
ющей площадь любой нормальной вариации x(D). Следует заметить, что
эта критическая точка может не быть точкой минимума, и это делает тер­
мин «минимальная» отчасти неудобным. Это, однако, освящённая време­
нем терминология, введённая Лагранжем (который первым определил ми­
нимальную поверхность) в 1760 году.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
241
Минимальные поверхности обычно ассоциируются с мыльной плён­
кой, которую можно получить, погружая проволочную рамку в мыльный
раствор и осторожно её вынимая. Если эксперимент выполнен удачно, по­
лученная мыльная плёнка будет иметь границей эту рамку. Можно пока­
зать физическим исследованием, что плёнка примет положение, при кото­
ром в её регулярных точках средняя кривизна равна нулю. Таким способом
мы можем «производить» превосходные минимальные поверхности, такие
как на рисунке 3.39.
Рисунок 3.39
Замечание 1. Следует указать, что не все мьmьные плёнки являются
минимальными поверхностями, согласно нашему определению. Мы пред­
по-ложили, что минимальные поверхности регулярны (можно было допус­
тить несколько изолированных особых точек, но идти дальше этого -
значит, сделать исследование намного менее элементарным). Однако
мьmьные плёнки можно образовать, например, используя куб в качестве
каркаса (рис. 3.40), который имеет особенности на рёбрах.
Рисунок 3.40

242
ГЛАВАЗ
Замечание 2. Связь между минимальными поверхностями и мыль­
ными плёнками послужила мотивировкой для знаменитой задачи Плато
(Плато - бельгийский физик, который выполнил тщательные экспе­
рименты с мыльной плёнкой приблизительно в 1850 году). Задача может
быть упрощённо сформулирована следующим образом: доказать, что для
ка:ждой замкнутой кривой Сс R 3 существует поверхность S мини­
мальной wющади с С в качестве границы. Уточнение задачи (какие кривые
и поверхности допускаются и что означает, что С - граница S) само яв­
ляется нетривиальной частью задачи. Вариант задачи Плато был решён
одновременно Дугласом и Радо в 1930 году. Дальнейшие варианты (обоб­
щение задачи на большее число измерений) привели к созданию матема­
тических объектов, которые охватывают по крайней мере многочисленные
предметы, подобные мьmьным плёнкам. Мы отсьmаем читателя к главе 2
книги [20] (список литературы находится в конце книги) за дополнитель­
нъ1ми деталями и современной библиографией по проблеме Плато.
Будет удобно ввести для произвольной параметризованной поверхно­
сти вектор средней кривизны, определяемый равенством Н = HN . Геомет­
рический смысл направления Н можно извлечь из равенства (12). В самом
деле, если выбрать h = Н, то для этой конкретной вариации
А'(О)= -2fv(н, н).JEG - F
2
dи dv <О.
Это означает, что, если мы деформируем x(D) в направлении вектора Н,
площадь в начальный момент уменьшается.
Вектор средней кривизны имеет ещё одну интерпретацию, которую
мы сейчас разъясним, поскольку она имеет важное значение для теории
минимальных поверхностей.
Регулярная параметризованная поверхность х=х(и, v) называется изо-
термической, если (хи,хи)=(хv,хv) и (x 11 ,xv)=O.
Предложение 2. Пусть х = x(u, v) регулярная параметризованная по­
верхность; предполо:J1Сuм, что х изотермическая. Тогда
х1111 + xvv = 2л,2н,
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как параметризация х изотермическая,
(хи,хи)=
=(xv,xv) И (x 11 ,xv)=O.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
243
В результате дифференцирования получаем
(xuu' Хи) = (хvи' xv) = -(хи ,xw ).
Таким образом,
Аналогично получаем
(хии +xw,xv)=O.
Отсюда следует, что вектор х ии + х w кшmинеарен N. Так как параметри­
зация х изотермическая,
Таким образом,
следовательно,
Н =_l _g+e
2л?·
2iH=g+e=(N,xuu +xw);
Xuu +xw =2А
2
Н.
Лапласиан Л/ дифференцируемой функции f : И с R 2 ~ R опреде­
ляется равенством Лf=(д 2J/ди 2 )+(д 2J/дv 2 ), (и,v)ЕИ. Говорят, что
функция f является гармонической на И, если !if =О. Из предложения 2
получаем
Следствие. Пусть х(и,v) = (х(и,v), у(и,v), z(и,v))- параметризованная
поверхность и параметризация х изотермическая. х минимальна тогда
и только тогда, когда координатные функции х, у, z являются гармони­
ческими.
Пример 5. Катеноид задан параметризацией
х(и, v) = (achvcosи, achvsin и, av),
0<и<2Л", -oo<v<oo.
Это поверхность, порождаемая вращением цепной линии у= ach(z/a) во­
круг оси z (рис. 3.41 ). Легко проверить, что Е = G =а
2
ch
2
v, F=О
и хии+хw= О. Таким образом, катеноид есть минимальная поверхность.
Его можно характеризовать как единственную поверхность вращения, ко­
торая является минимальной.
Последнее утверждение можно доказать следующим образом. Мы хо­
гим найти такую кривую у= f(x), которая при вращении вокруг оси х
описывает минимальную поверхность. Так как параллели и меридианы по­
верхности вращения являются линиями кривизны поверхности (раздел 3.3,

244
ГЛАВА3
пример 4), кривизна кривой у= f(x) должна отличаться знаком от нор­
мальной кривизны окружности, образованной вращением точки f(x) (обе
являются главными кривизнами). Так как кривизна у= f(x) равна
у"'
(1 + (у')2 )3/2 '
z
у= ach (z/a)
х
Рисунок 3.41
а нормальная кривизна окружности есть проекция её обычной кривизны
(= 1/у) на нормаль N поверхности (см. рис. 3.42), получаем
у"'-1
(1+(у')2)3/2 - -уcostp.
Но -costp = cos(J (см. рис. 3.42), и, поскольку tg(J =у', получаем уравнение
У6
-
1
1
(1+(у')2)3/2 - у(1+(у')2)1/2 '
которому удовлетворяет кривая у= f(x).
у
у =j{x)
Рисунок 3.42

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
245
Очевидно, существует точках, где f'(x)-:/:. О. Будем работать с окрест­
ностью этой точки, где f'-:/:. О. Умножая обе части предыдущего уравне­
ния на 2у', получаем
2у"у' 2у'
1+ (у')2 у
Полагая 1 + (у') 2 = z (следовательно, 2у"у' = z'), получаем уравнение
z' 2у'
z
у
которое даёт в результате интегрирования (k - постоянная)
lnz=lny
2
+lnk
2
=ln(yk)2
или
l+(y')
2
=z=(yk)2
•
Последнее уравнение можно записать в виде
kdy = kdx
~(yk)2 -1
'
что, в результате интегрирования, даёт (с - постоянная)
arcch(yk) = kx + с
или
1
у =-ch(kx +с).
k
Таким образом, в окрестности точки, где f'-:/:. О, кривая у= f(x) явля­
ется цепной линией. Но тогда у' может быть нулём только при х =О, и,
если поверхность связная, она, по непрерывности, будет катеноидом, что
и утверждалось.
Пример 6 (геликоид) (ер. пример 3 раздела 2.5).
х(и, v) = (ashvcosи, ashvsin и, аи).
Легко проверить, что Е = G = a
2
ch
2
v, F =О и xuu+xvv= О. Таким обра­
зом, геликоид есть минимальная поверхность. Он обладает тем дополни­
тельным свойством, что является единственной минимальной поверхно­
стью, отличной от плоскости, которая является также линейчатой поверх­
ностью.
Мы можем дать доказательство последнего утверждения, если предпо­
ложим, что нули гауссовой кривизны минимальной поверхности изолирова-

246
ГЛАВАЗ
ны (доказательство смотрите, например, в обзоре Оссермана, цитированном
в конце этого раздела, стр. 280). Допустив это, проделаем следующее.
Предположим, что поверхность не является плоскостью. Тогда в неко­
торой окрестности W на поверхности гауссова кривизна К строго отри­
цательна. Так как средняя кривизна равна нулю, W покрывается двумя се­
мействами асимптотических линий, которые пересекаются ортогонально.
Так как образующие являются асимптотическими линиями и поверхность
не является частью плоскости, мы можем выбрать такую точку q Е W , что
асимптотическая линия, отличная от образующей, проходящая через q,
имеет ненулевое кручение в q. Поскольку соприкасающаяся плоскость
асимптотической линии является касательной плоскостью поверхности,
существует такая окрестность V с W , что образующие на V являются
главными нормалями семейства неплоских асимптотических линий
(рис. 3.43). Интересное упражнение на кривые
-
доказать, что это может
иметь место тогда и только тогда, когда неплоские асимптотические линии
являются цилиндрическими винтовыми линиями (ер. упражнение 18, раз­
дел 1.5). Таким образом, V есть часть геликоида. Так как кручение цилин­
дрической винтовой линии постоянно, легко видеть, что вся поверхность
является частью геликоида, как мы утверждали.
Рисунок 3.43

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
247
Геликоид и катеноид были открыты в 1776 году Менье, который дока­
зал также, что определение Лагранжа минимальных поверхностей как кри­
тических точек вариационной задачи эквивалентно утверждению о равен­
стве средней кривизны нулю. В течение долгого времени они были един­
ственными известными примерами минимальных поверхностей. Только
в 1835 году Шерк нашёл другие примеры, один из которых описан в при­
мере 8. В упражнении 14 мы опишем интересную связь между гели­
коидом и катеноидом.
Пример 7 (минимальная поверхность Эннепера). Поверхность Эннепера
есть параметризованная поверхность
(
и3
2
v
3
22
2)
2
x(u,v)= u-
3 +uv ,v-
3+vu ,и -v
,
(u,v)ER,
которая, легко видеть, является минимальной (рис. 3.44). Заметьте, что за­
меной (и, v) на (-v, и) мы заменяем на поверхности (x,y,z) на (-y,x,-z).
Таким образом, если совершить положительный поворот на угол :тr/2 во­
круг оси z с последующей симметрией относительно .rу-плоскости, по­
верхность не изменится.
z
Рисунок 3.44 . Поверхность Эннепера (репродуцировано, с изменениями, из ра­
боты К. Leichtweiss, "im Grossen". Math. 2(1969), рис. 4, с разрешения)

248
ГЛАВА3
Интересной особенностью поверхности Эннепера является наличие
самопересечений. Это можно показать, полагая и= pcos8, v = psin8 и за­
писывая
х(р,8) = (pcos8- ~
3
cos38, psin8 + ~
3
sin38, р2 cos28)
Таким образом, если х (р1 , 81) = х (р2 , 82 ), непосредственное вычисление
показывает, что
рб
2р4
х2 +у2 = pf +-1 -cos48--l =
9
3
= (р1 + PI J-~(pf cos281)
2
=
=(р2 +~iJ-~(Pi oos202 )
2
.
Отсюда, поскольку pf cos
2
281= р'#_ cos
2
282, получаем
3
3
р +ll=p +Р2
]3
2
3'
а это означает, что р1 = р2 • Отсюда следует, что cos281 = cos282 .
Если, например, р1 = р2 и 81 = 2к - 82 , получаем из равенства
У(Р1 А) = y(pz, 82 ),
что у=-у. Следовательно, у=О, то есть точки (р1 ,82 ) и (р2 ,82 ) при­
надлежат кривой sin 8 + (р 2 /3) sin 38 =О. Очевидно, для любой точки (р, 8),
принадлежащей этой кривой, точка (р, 2к - 8) также ей принадлежит, и
х(р,())=х(р,2п- -()), z(p,()) =z(p,2п- - 8).
Таким образом, пересечение поверхности с плоскостью у = О есть кривая,
вдоль которой поверхность самопересекается.
Аналогично можно показать, что пересечение поверхности с плоско­
стью х =О также является кривой самопересечения (это соответствует
случаю р1 = р2 , 81 = л - 82 ). Легко видеть, что это единственные самопе­
ресечения поверхности Эннепера.
Я хочу поблагодарить Alcides Lins Neto за обработку этого примера,
чтобы сделать первый набросок рисунка 3.44 .
Прежде чем перейти к следующему примеру, установим полезное со­
отношение между минимальными поверхностями и аналитическими функ­
циями комплексной переменной. Пусть С обозначает комплексную плос-

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
249
кость, которая, как обычно, отождествляется с R 2 посредством соответст­
вия (=и+iv, (ЕС, (и,v)ER 2 . Напомним, ЧТО функция/: исс~с
является аншrитической, когда в записи
/(()= J;(и,v)+i/2(и,v)
вещественные функции J; и / 2 имеют непрерывные частные производ­
ные первого порядка, которые удовлетворяют так называемым уравнениям
Коши-Римана
дJ; д/2
-=-,
ди дv
дJ; =- д/2
дv ди
Пусть теперь х: И cR 2 ~R 3 - регулярная параметризованная поверх­
ность и комплексные функции rp1, rp2 , Фз определены равенствами
(r)- дх .дх
qJI <,
-
ди-lдv'
где х, у и z - координатные функции х.
(r)_дz .дz
qJ3" ---1-
ди дv'
Лемма. Пара.метризация х является изотермической тогда и только
тогда, когда (/Ji
2
+ rpi_ + rpff =О. Если это последнее условие выполняется,
хминимшrьна тогда и только тогда, когда (/Ji, rp2 и rp3 являются аншrити­
ческими функциями.
ДоКАЗА ТЕЛЬСТВО. Простым вычислением получаем, что
ФJ2
+Фi+rp;=Е -G+2iF,
откуда следует первая часть леммы. Кроме того, хии+хw=О тогда и толь­
ко тогда, когда
д (дх) д (дх)
диди=- дv
дv'
:и(~)=-:v(~}
д (дz) д (дz)
ди ди ==-дv дv'
что даёт половину уравнений Коши-Римана для Ф~, rp2 , rp3 • Поскольку дру­
гая половина удовлетворяется автоматически, заключаем, что х ии + х w = О
тогда и только тогда, когда ФJ, rp2 и Фз - аналитические функции.

250
ГЛАВАЗ
Пример 8 (минимшrьная поверхность Шерка). Она задаётся парамет­
ризацией
х(и,v) =[arg( +~'arg~+
1
, lnl(~ +
1
1),
(-1
~-1 (-1
(*±1, ( *±i,
где ( =и+ iv, а arg ( есть угол, который вещественная ось образует с {
Легко вычисляется, что
следовательно,
(+i
2и
arg--_ = arctg 2 2
,
(-1
u+v-1
(+1
-2v
arg-- = arctg 2 2
,
(-1
и+v-1
1n\(2 +l\=.! _ln (и2 -v2 +1)2 +4u2v2.
(2 -1 2 (и2 -v2 -1)2 +4u2v2'
дх .дх
2
2i
4(
(/)1 = --1-= ---
ди дv 1+(2
'
(/)2 =-1 -(2'
tp3 = 1-(4.
Так как (/Ji2
+ rpi_ + rp~ =О и fPJ, rp2 и rp3 - аналитические, х есть изотерми­
ческая параметризация минимальной поверхности.
Легко увидеть из выражений х,у и z, что
z=lncosy_
cosx
Это представление показывает, что поверхность Шерка определена на
шахматной доске (рис. 3.45) (кроме вершин квадратов, где поверхность яв­
ляется фактически вертикальной прямой).
Минимальные поверхности являются, возможно, наиболее изучен­
ными поверхностями в дифференциальной геометрии, а мы лишь косну­
лись этой темы. Легко читаемое введение можно найти в работе
R. Osserman, А Survey of Minimal Surfaces, Van Nostrand Reinhold, New
York, 1969. Теория развилась в богатую ветвь дифференциальной геомет­
рии, в которой всё ещё исследуются интересные и нетривиальные пробле­
мы. Как правило, результаты теории обладают тем прельщающим качест­
вом, что их легко увидеть, но трудно доказать. Чтобы передать читателю
некоторый вкус предмета, мы завершим это краткое изложение формули­
ровкой без доказательства одного поразительного результата.

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
251
(а)
(с)
Рисунок 3.45. Поверхность Шерка
Теорема (Оссерман). Пусть S с R 3
-
регулярная, замкнутая (как
подмножество R 3
) минимш1ьная поверхность в R 3
,
не являющаяся плос­
костью. Тогда её образ при гауссовом отображении N: S ~ S 2 есть всю­
ду плотное множество на сфере S 2 (то есть сколь угодно близко к точ­
ке S 2 существует точка N(S) с S 2
).
Доказательство этой теоремы можно найти в обзоре Оссермана, на ко­
торый мы ссьшались выше. Фактически эта теорема несколько сильнее
в том, что касается полных поверхностей, понятие которых будет введено
в разделе 5.3.

252
ГЛАВАЗ
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажите, что геликоид (ер. пример 3 раздела 2.5) есть линейчатая по­
верхность, его стрикционная линия - ось z, а параметр распределения по­
стоянен.
2. Покажите, что на гиперболоиде вращения х
2
+у
2
-
z
2
= 1 параллель
наименьшего радиуса является стрикционной линией, образующие пересе­
кают её под постоянным углом, а параметр распределения постоянен.
3.Пусть а:/~SсR3
-
кривая на регулярной поверхности S; рас­
смотрим поверхность, образованную семейством {a(t),N(t)}, где N(t) -
нормаль к поверхности в точке a(t). Докажите, что а(!) с S есть линия
кривизны S тогда и только тогда, когда эта линейчатая поверхность явля­
ется развёртывающейся.
4. Предположим, что нецилиндрическая линейчатая поверхность
x(t,v)=a(t)+vw(t), lwl=l,
регулярна. Пусть w(t1), w(t2 ) - направления двух образующих х и x(t1, v1),
x(t2 , v2 ) - основания общего перпендикуляра этих двух образующих. При
t 2 ~ t1 эти точки стремятся к точке х (t1, v). Чтобы найти (t1, v), докажите
следующее.
а. Единичный вектор общего перпендикуляра стремится к единичному ка­
сательному вектору поверхности в точке (t1, v). Заключите отсюда, что
в точке (tl 'v)
(w'лw,N)=O.
Ь. v =-((а', w')!(w', w')).
Таким образом, (t1, v) есть горловая точка образующей, проходящей
через t1, и зто даёт другую интерпретацию стрикционной линии (предпо­
лагаемой невырожденной).
5. Прямой коноид есть линейчатая поверхность, образующие которой L1
ортогонально пересекают фиксированную ось r, которая не пересекает на­
правляющую а: / ~R 3•

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
253
а. Найдите параметризацию прямого коноида и условие, при выполнении
которого он является нецилиндрической поверхностью.
Ь. Для данного нецилиндрического прямого коноида найдите стрикцион­
ную линию и параметр распределения.
6. Пусть
х(t, v)= a(t)+vw(t)
-
развёртывающаяся поверхность. Докажите, что в регулярной точке
Заключите отсюда, что касательная плоскость развёртывающейся поверх­
ности постоянна вдоль (регулярных точек) фиксированной образующей.
7. Пусть S - регулярная поверхность и С с S - регулярная кривая на S,
нигде не касающаяся асимптотического направления. Рассмотрите оги­
бающую семейства касательных плоскостей S вдоль С. Докажите, что на­
правление образующей, которая проходит через точку рЕ С, сопряжено
направлению касательной С в точке р.
8. Докажите, что если с с S 2
-
параллель единичной сферы S 2
'
то оги­
бающая касательных плоскостей S 2 вдоль С есть либо цилиндр, если
С - экватор, либо конус, если С не является экватором.
9. (Фокальные поверхности.) Пусть S - регулярная поверхность без пара­
болических или омбилических точек. Пусть х: И......; S - такая парамет-
ризация S, что координатные линии являются линиями кривизны (если И
мала, ограничения нет, ер. следствие 4 раздела 3.4). Параметризованные
поверхности
у(и,v) = х(и, v) + р1N(и,v),
z (и, v) =х(и,v) +р2N(и,v),
где Р! = 1/k1 , р2 = 1/k 2 , называются фокальными поверхностями х (И) (или
поверхностями центров х(И); эта терминология происходит от того фак­
та, что у(и, v), например, есть центр соприкасающейся окружности

254
ГЛАВАЗ
(ер. раздел 1.6, упражнение 2) нормального сечения x(u,v), соответствую­
щего главной кривизне k1). Докажите, что
а) если (k1)u и (k2 )v нигде не равны нулю, то у и z - регулярные пара­
метризованные поверхности;
Ь) в регулярных точках направления на фокальных поверхностях, ~оответ­
ствующие главным направлениям на х(И), сопряжены; это означает, на­
пример, что У и и Yv являются сопряжёнными векторами на у(И) для лю­
бых (u,v)E И;
с) фокальная поверхность, скажем у, может быть построена следующим
образом: рассмотрите линию кривизны х(и, const) на х(И) и постройте
развёртывающуюся поверхность, порождаемую нормалями х (И) вдоль
кривой х(и, const) (ер. упражнение 3); стрикционная линия такой развёр­
тывающейся поверхности лежит на у(И), и, подобно тому как x(u,const)
описывает х (И), эта линия описывает у (И) (рис. 3.46).
Рисунок 3.46. Построение фокальной поверхности

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
255
10. Пример 4 можно обобщить следующим образом: однопараметричес­
кое дифференцируемое семейство плоскостей {a(t),N(t)} есть соответ-
ствие, которое сопоставляет каждому t Е 1, t Е 1, точку a(t) Е R 3 таким
образом, что и а, и N суть дифференцируемые отображения. Говорят, что
семейство {a(t), N(t)}, tE !, есть семейство касательных плоскостей, ес-
ли a'(t);t:O, N'(t);t:O и (a'(t),N(t))=O для всех tE 1.
а. Дайте доказательство того, что дифференцируемое однопараметрическое
семейство касательных плоскостей {a(t), N(t)}, tE 1, определяет диффе-
ренцируемое однопараметрическое семейство прямых {a(t),(N лN')/IN'i},
которое порождает развёртывающуюся поверхность
N лN'
x(t, v) = a(t) +v--, -.
IN1
Поверхность(*) называется огибающей семейства {a(t), N(t)}.
(*)
Ь. Докажите, что если a'(t) л (N(t) л N'(t)) ;t: О для любого t Е /, то огиба­
ющая(*) регулярна в окрестности v =О и единичный нормальный вектор х
в точке (t, О) равен N(t).
с.Пусть а=a(s) - криваяв R3
,
параметризованная длиной дуги. Пред­
положим, что кривизна k(s) и кручение т(s) кривой а нигде не равны ну­
лю. Докажите, что семейство соприкасающихся плоскостей {a(s), b(s)} яв­
ляется однопараметрическим дифференцируемым семейством касательных
плоскостей и огибающая этого семейства есть поверхность касательных
к a(s) (ер. пример 5 раздела 2.3).
11. Пусть х=х(и, v) - регулярная параметризованная поверхность. Парал­
лельная к х поверхность есть параметризованная поверхность
у(и, v) =х(и, v) + aN(u, v),
где а - постоянная.
а. Докажите, что YuЛYv=(1-2Ha+Ka2 )(xuлxv), где К и Н- соответ­
ственно гауссова и средняя кривизны х.
Ь. Докажите, что в регулярных точках гауссова кривизна у равна
к
1-2На+Ка 2 '

256
ГЛАВАЭ
а средняя кривизна у равна
Н-Ка
1-2На+Ка 2 .
с. Пусть поверхность х имеет постоянную среднюю кривизну, равную
с * О; рассмотрите параллельную к х поверхность на расстоянии 1/2с. До­
кажите, что эта параллельная поверхность имеет постоянную гауссову кри­
визну, равную 4с2 .
12. Докажите, что не существует компактных (то есть ограниченных
и замкнутых в R 3 ) минимальных поверхностей.
13. а. Пусть S
-
регулярная поверхность без омбилических точек. Дока­
жите, что S является минимальной тогда и только тогда, когда гауссово
отображение N: S ~ S 2 удовлетворяет условию
(dN p(w1), dNp(w2 ))N(p) = A(p)(w1, w2 ) Р
длялюбойточки рЕs илюбых W1, W2 Е тр(S),где Цр) ::j; о - число, за­
висящее только от р.
Ь. Пусть х: И~S2
-
параметризация единичной сферы S 2 посредством
(8, qi)E U, где 8 - коширота (ер. пример 1 раздела 2.2), а q5 - длина
дуги параллели, определяемой В. Рассмотрите окрестность V точки р та­
кой части минимальной поверхности S, что N : S ~ S 2
,
ограниченное
на V, есть диффеоморфизм (поскольку К(р) = det(dNР) *О, такая окрест­
ность V существует, по теореме об обратной функции). Докажите, что па­
раметризация y=N
1
ох: И ~s является изотермической (это даёт спо­
соб введения изотермических параметрuзаций на минuмШtьных поверхно­
стях без точек уплощения).
14. Когда две дифференцируемые функции /, g: И cR
2
~R удовлетво­
ряют уравнениям Коши-Римана
дf _дg
ди-дv'
они, как легко проверить, являются гармоническими; в таком случае гово­
рят, что f и g гармонически сопряжены. Пусть х и у - такие изотер­
мические параметризации минимальных поверхностей, что их координат­
ные функции попарно гармонически сопряжены; тогда х и у называются
сопряжёнными минuмШtьными поверхностями. Докажите, что

ГЕОМЕТРИЯ ГАУССОВА ОТОБРАЖЕНИЯ
257
а) геликоид и катеноид являются гармонически сопряжёнными минималь­
ными поверхностями;
Ь) для двух сопряжённых минимальных поверхностей х и у поверхность
z =(cost)x+(sint)y
(*)
также минимальная при любом t Е R;
с) все поверхности однопараметрического семейства(*) имеют одну и ту
же первую основную форму: Е=(хи,хи)=(уv,Уv), F=O, G=(xv,xv)=
= (Yu,Уи)·
Таким образом, любые две сопряжённые минимальные поверхности
можно включить в однопараметрическое семейство минимальных поверх­
ностей и первая основная форма этого семейства не зависит от t.

ПРИЛОЖЕНИЕ
САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
В этом приложении V будет обозначать векторное пространство раз­
мерности 2, снабжённое скалярным произведением ( , ). Всё дальнейшее
легко можно распространить на конечномерное векторное пространство,
но ради простоты мы будем вести изложение только для случая п = 2 .
Мы говорим, что линейное отображение А : V ~ V является само-
сопряжённым, если (Av, w) = (v, Aw) для любых v, wE V.
Заметим, что если {е1 , е2 } - ортонормированный базис V и (aii),
i,j =1,2, -
матрица А, соответствующая этому базису, то
(Aei,e1 )=aij =(e;,Ae1 )=(Ae1 ,ei)=aJi;
то есть матрица (aii) симметрическая.
Каждому самосопряжённому линейному преобразованию мы сопос­
тавляем отображение В : V х V ~ R, определяемое равенством
B(v, w) = (Av, w).
В, очевидно, билинейно, то есть линейно и по v, и по w. Кроме того, са­
мосопряжённость А означает, что B(v, w) = B(w, v), то есть В - билиней­
ная симметрическая форма на V.
Обратно, если В - билинейная симметрическая форма на V, мы мо-
жем определить линейное отображение А: V ~ V, полагая (Av, w) =
= B(v, w), и симметрия В влечёт за собой самосопряжённость А.
С другой стороны, каждой симметрической билинейной форме В на
V соответствует квадратичная форма Q на V , определяемая равенством
Q(v)=B(v,v), VEV,
и знание Q вполне определяет В, так как
1
В(и, v) =-[Q(u + v)-Q(u)-Q(v)].
2

260
ПРИЛОЖЕНИЕ
Таким образом, между квадратичными формами на V и самосопря­
жёнными линейными преобразованиями V устанавливается взаимно одно­
значное соответствие.
Цель этого приложения - доказать, что (см. теорему ниже) для дан­
ного самосопряжённого линейного преобразования А : V -t V существует
такой ортонормированный базис V, что в этом базисе матрица А является
диагональной. Кроме того, элементы диагональной матрицы суть макси­
мум и минимум соответствующей квадратичной формы, ограниченной на
единичную окружность V.
Лемма. Если функция Q(x,y) = ах
2
+2Ьху +су
2
, ограниченная на еди­
ничную окружность х2 + у 2
= 1, имеет максимум в точке (1, О), то Ь =О.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Параметризуем окружностьх2 +у
2
=1, полагая
x=cost, y=sint, tE (0-е, 2п-+е). Таким образом, Q, ограниченная на эту
окружность, становится функцией t :
Q(t) = acos
2
t + 2bsintcost + csin
2
t.
Поскольку Q имеет максимум в точке (1, О),
( dQ) =2Ь=О.
dt t=O
Следовательно, Ь = О, что и требовалось.
о
Предложение. Для данной квадратичной формы Q на V существует
такой ортонормированный базис {ер е2 } пространства V, что если век­
торVEVзаданввидеv=хе1+уе2,то
Q(v) = Aix2 + ~у2'
где Ai и ~ суть максимум и минимум соответственно формы Q на еди­
ничной окружности 1v != 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть 21 -максимум Q на единичной окружности
1v 1= 1, и пусть е1 - единичный вектор с Q( е1 ) =21• Такой вектор е1 суще­
ствует, в силу непрерывности Q, на компактном множестве 1v1= 1. Пусть
е2 - единичный вектор, ортогональный е1 и такой, что 2z = Q( е2 ). Пока­
жем, что базис {е1 , е2 } удовлетворяет условиям предложения.

САМОСОПРЯЖЁННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 261
Пусть В - симметрическая билинейная форма, соответствующая Q,
ипусть v = хе1+уе2• Тогда
Q(v) =B(v, v) =В(хе1 +уе2,хе1 +уе2)=
= А.1х2
+ 2Ьху +А.2у2,
где Ь = В(е1 , е2 ). В силу леммы Ь =О, и остаётся только доказать, что А-2
есть минимум Q на окружности 1v 1= 1. Это непосредственно следует из
того, что для любого v =хе1 +уе2 , где х2
+у
2
=1,
D
Говорят, что вектор v *О является собственным вектором линейного
преобразования А: V ~ V, если Av = A.v для некоторого вещественного
числа А.; А называется тогда собственным числом А.
Теорема. Пусть А: V ~ V - самосопряж:ённое линейное отображ:е­
нuе. Тогда существует такой ортонормированный базис {ер е2 } прост­
ранства V, что А(е1 ) = /4еР А(е2 ) = ~е2 (то есть е, и е2 - собственные
векторы, а /4, ~ - собственные числа А). В базисе {еР е2 } матрица А,
очевидно, диагональная и диагональные элементы /4, ~' /4 ~~,суть мак­
симум и минимум соответственно квадратичной формы Q(v) = (Av, v) на
единичной окружности V.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим квадратичную форму Q(v) = (Av, v).
В силу предыдущего предложения существует такой ортонормированный
базис {е1,е2} пространства V, что Q(е1)=А-1, Q(е2)=А-2 ~А-1, где А-1,А-2 -
максимум и минимум соответственно формы Q на единичной окружности.
Остаётся,следовательно,доказать, что
А(е1)=А.1е1, А(е2)=А.2е2.
Так как В(е1 ,е2 )=(Ае1 ,е2 )=0 (по лемме) и е2 *О, то либо вектор Ае1
коллинеарен е1 , либо Ае1 =0. Если Ае1 коллинеарен е1 , то Ае1 =ае1 , и,
поскольку (Ае1 ,е1 )=А-1 =(ае1 ,е1 )=а, мы заключаем, что Ае1 =А-1 е1 ; если
Ае1 =0, то )01 =(Ае1 ,е1 )=0 и Ае1 =0=А.1 е1 • Таким образом, в любом слу­
чае Ае1 =А1е1•

262
ПРИЛОЖЕНИЕ
Используя теперь тот факт, что
В(е1,е2)=(Ае2,е1)=О
и
можно доказать таким же образом, что Ае2 = Л.2 е2 •
о
Замечание. Распространение предыдущих результатов на п -мерное
векторное пространство, п > 2, требует только следующего предостереже­
ния. В предыдущем предложении мы выбираем максимум Q, )01 = Q(е1 ),
на единичной сфере, а затем показываем, что Q порождает квадратичную
форму Q1 на подпространстве V1, ортогональном е1 . В качестве Л.2 = Q(е2 )
мы выбираем максимум Q1 на единичной сфере Vi и так далее.

ГЛАВА 4
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
4.1. Введение
В главе 2 мы ввели первую основную форму поверхности S и показа­
ли, как её можно применять для вычисления простых метрических понятий
на S (длина, угол, площадь и т. д.). Важно, что такие вычисления можно
выполнить, «не покидая» поверхности, зная одну только первую основную
форму. Поэтому говорят, что эти понятия принадлежат внутренней гео­
метрии поверхности S.
Геометрия первой основной формы, однако, не исчерпывается упомя­
нутыми выше простыми понятиями. Как мы увидим в этой главе, многие
важные локальные свойства поверхности могут быть выражены только
в терминах первой основной формы. Теория таких свойств называется
внутренней геометрией поверхности. Эта глава посвящена внутренней
геометрии.
В разделе 4.2 мы определим понятие изометрии, которое существенно
уточняет интуитивное представление о двух поверхностях с «одной и той
же» первой квадратичной формой.
В разделе 4.3 мы выведем знаменитую формулу Гаусса, которая пред­
ставляет гауссову кривизну К в виде функции коэффициентов первой ос­
новной формы и её производные. Это означает, что К является внутрен­
ним понятием - поразительный факт, если принять во внимание, что К
определена с использованием второй основной формы.
В разделе 4.4 мы начнём систематическое изучение внутренней гео­
метрии. Оказывается, материал может быть унифицирован с помощью по­
нятия ковариантной производной векторного поля на поверхности. Это
обобщение обычной производной векторного поля на плоскости играет
основную роль на протяжении всей главы.
Раздел 4.5 посвящён теореме Гаусса-Бонне и в локальном, и в гло­
бальном вариантах. Это, возможно, наиболее важная теорема данной кни­
ги. Даже в кратком курсе следует постараться дойти до раздела 4.5 .
В разделе 4.6 мы определим экспоненциальное отображение и исполь­
зуем его для введения специальных систем координат, а именно нормаль­
ных и полярных геодезических координат.

264
ГЛАВА4
В разделе 4. 7 мы обратимся к некоторым тонким моментам теории
геодезических, которые обойдены в предыдущих разделах. Например, мы
докажем существование для каждой точки р поверхности S такой окре­
стности р на S, которая является нормальной во всех своих точках (опре­
деление нормальной окрестности дано в разделе 4.6). Этот результат
и связанный с ним используются в главе 5; возможно, однако, что удобно
принять их готовыми и пропустить раздел 4.7 при первом чтении. Мы до­
кажем также существование выпуклых окрестностей, но это нигде в книге
использовано не будет.
4.2 . Изометрии. Конформные отображения
Примеры 1 и 2 раздела 2.5 обнаруживают интересные особенности.
Хотя цилиндр и плоскость - различные поверхности, их первые основные
формы «равны» (по крайней мере в координатных окрестностях, которые
мы рассматривали). Это означает, что, пока речь о внутренних метриче­
ских задачах (длина, угол, площадь), плоскость и цилиндр локально ведут
себя одинаково. (Интуитивно это ясно, поскольку, разрезав цилиндр вдоль
образующей, можно развернуть его на часть плоскости.) В этой главе мы
увидим, что многие важные понятия, связанные с регулярной поверхно­
стью, зависят только от первой основной формы и должны быть отнесены
к категории внутренних понятий. Удобно поэтому точно сформулировать,
что понимается под двумя регулярными поверхностями, имеющими рав­
ные первые основные формы.
Символы S и S будут всегда обозначать регулярные поверхности.
Определение 1. Диффеоморфизм rp: S ~ S называется изометрией,
еслидлявсехрЕSивсехпарwPw 2ЕT/S)
Говорят тогда, что поверхности S и S изометричны.
Другими словами, диффеоморфизм rp является изометрией, если
дифференциал drp сохраняет скалярное произведение. Отсюда следует, по­
скольку drp есть изометрия, что

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
265
для любого wE Tp(S). Обратно, если диффеоморфизм ер сохраняет первую
основную форму, то есть
I p(w) = Irp(p/depp(w)) для всех WE Tp(S),
то
2(w1,W2)=Jр(W1 +w2)- Jр(W1)- Jр(W2)=
= l 'f'(p)(depp(w1 + w2 ))- I q>(p)(depp(w1))- I 'f'(p)(depp(w2 )) =
=2(drpP(w 1), drpP(w2 ))
и, следовательно, ер - изометрия.
Определение 2. Отображение rp: V --t S окрестности V точки р Е S
называется локальной изометрией в р, если существует такая окрест­
ность V точки rp(p) Е S, что rp: V --t V есть изометрия. Если существует
локальная изометрия на S в каждой точке рЕ S, говорят, что поверх­
ность S локально изометрична S. Поверхности S и S называются ло­
кально изометричными, если S локально изометрична S и S локально
изометрична S.
Очевидно, что если ер : S --t S - диффеоморфизм и локальная изо­
метрия для каждой точки р Е S, то ер есть изометрия (в целом). Может
случиться, однако, что две поверхности локально изометричны, не будучи
изометричными в целом, как показывает следующий пример.
Пример 1. Пусть ер - отображение координатной окрестности х(И)
цилиндра, заданного в примере 2 раздела 2.5, на плоскость x(R 2 ) приме­
ра 1 раздела 2.5, определяемое равенством ер= хо х:- 1 (мы заменили х на х
в параметризации цилиндра). Тогда ер - локальная изометрия. В самом
деле, каждый вектор w, касательный к цилиндру в точке р Е х(И), является
касательным к кривой х (u(t), v(t)), где (и(t), v(t)) - кривая в И с R 3
.
Таким образом, w можно записать в виде
С другой стороны, dep(w) есть касательный вектор кривой
ер(х (и(t), v(t)) = x(u(t), v(t)).

266
ГЛАВА4
Таким образом, drp(w) =хии' + xvv'. Так как Е =Е, F = F, G =G, получаем
()-(')22-
,,
0-( ')2
!Рw=Еи +Fиv+ v =
= Е(и')
2
+ 2Fи'v' + G(v')
2
= Irp(p) (drpP (w)),
что и требовалось. Отсюда следует, что цилиндр х2 + у 2 = 1 локально изо­
метричен плоскости.
Изометрия не может быть распространена на весь цилиндр, так как
цилиндр даже не гомеоморфен плоскости. Строгое доказательство послед­
него утверждения увело бы нас далеко в сторону, но следующее интуитив­
ное рассуждение может дать идею доказательства. Каждую простую замк­
нутую кривую в плоскости можно стянуть непрерывно в точку, оставаясь
в плоскости (рис. 4.1). Такое свойство, несомненно, должно сохраняться
при гомеоморфизме. Но параллель цилиндра (рис. 4.1) таким свойством не
обладает, и это противоречит существованию гомеоморфизма между плос­
костью и цилиндром.
Прежде чем привести следующие примеры, обобщим проведённые
выше рассуждения, чтобы получить критерий локальной изометрии в тер­
минах локальных координат.
р
s
С'
р
Рисунок 4.1 . С с Р можно стянуть в р, оставаясь в Р; это не выполняется для
c'cs
Предложение 1. Предположим, что существуют такие параметри­
зации х:И ~s и х:И ~s, что Е=Е, F=F, G=G на И. Тогда ото­
бражение ф: ха х·1
: х(И) ~ S является локальной изометрией.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ х(И) и wE Tp(S). Тогда w есть касатель­
ный вектор кривой x(a(t)) при t =О, где a(t) = (и(t), v(t)) - кривая в И;
таким образом, w можно записать так (t =О) :

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
По определению, вектор drpp(w) есть касательный вектор кривой
хо х- 1 о x(a(t)), то есть кривой x(a(t)) при t =О (рис. 4.2). Таким образом,
Поскольку
I/w) = Е(и')
2
+ 2Fu'v' + G(v')
2
,
-,2
-,,-,2
Irp(p)(drpp(w))=E(u) +2Fuv+G(v),
заключаем, что IР(w) = Irp(p)(drpР(w)) для любой точки рЕх(И) и любого
вектора wE Tp(S); следовательно, ер есть локальная изометрия.
О
Пример 2. Пусть S - поверхность вращения и
х(и, v) = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v)),
a"5,v5,.b, 0<u<2ir, f(v)>O,
параметризация S (ер. пример 4 раздела 2.3). Коэффициенты первой ос­
новной формы S в параметризации х имеют выражения
Е = (f(v))
2
,
F =О, G = (f'(v))
2
+ g'(v))
2
.
Рисунок 4.2

268
ГЛАВА4
В частности, поверхность вращения цепной линии
x=achv, z=av,
- oo<v<oo,
имеет следующую параметризацию:
х(и, v) = (achvcosи, ashvsin и, av),
о<и<27',
-
00<v<оо,
соответствующие которой коэффициенты первой основной формы таковы:
E=a
2
ch
2
v, F=O, G=a
2
(1+sh
2
v)=a
2
ch
2
v.
Эта поверхность вращения называется катеноидом (см. рис. 4.3). Мы по­
кажем, что катеноид локально изометричен геликоиду примера 3 разде­
ла2.5.
Параметризация геликоида имеет вид
х
x(u, v) = (vcosu, vsinu, au),
0<И<27f, -oo<v<oo.
z
Рисунок 4.3 . Катеноид
Совершим следующую замену параметров:
u=и, v=ashv, 0<и<27f,
-o o<v<oo,
у
которая допустима, так как отображение, очевидно, взаимно однозначно
и якобиан
д(u, v) = achv
д(и,v)

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
269
нигде не равен нулю. Таким образом, новая параметризация геликоида
имеет вид
х(и, v) = (ashvcosu, ashvsin и, аи),
соответствующие которой коэффициенты первой основной формы таковы:
E=a
2
ch
2
v, F=O, G=a
2
ch
2
v.
Используя предложение 1, заключаем, что катеноид и геликоид ло­
кально изометричны.
Рисунок 4.4 даёт геометрическое представление, как эта изометрия
осуществляется; она отображает «один оборот» геликоида (координатную
окрестность, соответствующую О< и< 2ir) на катеноид без одного мери­
диана.
Замечание 1. Изометрия между геликоидом и катеноидом уже появ­
лялась в главе 3 в связи с минимальными поверхностями (ер. упражне­
ние 14 раздела 3.5).
Пример 3. Докажем, что однополостный конус (без вершины)
z = +k~x2 +у2, (х,у)-::/:-(О, О),
локально изометричен плоскости. Идея состоит в том, чтобы показать, что
конус без одной образующей может быть «развёрнут» на кусок плоскости.
ПустьИсR2
-
открытое множество, заданное в полярных коорди­
натах (р, В) неравенствами
о<р<оо, о<е<2irsina,
где 2а (О< 2а < ir) -угол при вершине конуса (то есть ctga= k); и пусть
F:И~R3
-
отображение (рис. 4.5), определяемое равенством
F(p,B) = (р sina соs(---Д-), psina sin(---Д-), pcosa).
sша
sша
Ясно, что F(U) содержится в конусе, потому что
k~x2 +у2 =ctga~р2 sin
2
а= pcosa =z.
Кроме того, когда О описывает интервал (О, 2irsina), то B/sina описывает
интервал (О, 2ir). Таким образом, все точки конуса, кроме одной образую­
щей, покрываются F(U).
Легко проверить, что F и dF взаимно однозначны на И; следова­
тельно, F - диффеоморфизм И на конус без образующей.

270
ГЛАВА4
(а)
(Ь)
(с)
(d)
Рисунок 4.4 . Изометрическая деформация геликоида в катеноид: (а) фаза 1, (Ь)
фаза 2, (с) фаза 3, (d) фаза 4
Покажем теперь, что F - изометрия. В самом деле, И можно пред­
ставлять как регулярную поверхность, заданную параметризацией
х(р,В)=(pcose,psinе,О), О<р<=, О<е<2л:.
Коэффициенты первой основной формы И в этой параметризации суть
-
-
-
2
Е=1, F =О, G=р
.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
271
(g)
Рисунок 4.4 . (продолжение): (е) фаза 5, (t) фаза 6, (g) фаза 7
С другой стороны, коэффициенты первой основной формы конуса в пара­
метризации F о х таковы:
E=l, F=O, G=p
2
.
Из предложения 1 следует, что F есть локальная изометрия, что и требо­
валось.
Замечание 2. Тот факт, что мы можем вычислять длины кривых на
поверхности S, используя только её первую основную форму, позволяет
ввести понятие «внутреннего» расстояния для точек на S. Говоря упро­
щённо, мы определяем (внутреннее) расстояние d(p, q) между двумя точ-

272
ГЛАВА4
ками S как минимум длин кривых на S, соединяющих р и q. (Мы рас­
смотрим это более детально в разделе 5.3 .) Это расстояние, очевидно,
больше или равно расстоянию 11 р - q 11 между р и q как точками R 3
(рис. 4.6). Мы покажем в упражнении 3, что расстояние инвариантно
относительно изометрий, то есть если <р : S ~ S - изометрия, то
d(p, q) = d(rp(p), <p(q)), р, qE S.
х
z
(}
sin а
27Г sin а
и
Рисунок4.5
Рисунок4.6
Понятие изометрии является естественным понятием эквивалентности
регулярных поверхностей по метрическим свойствам. Так же как диффео­
морфные поверхности эквивалентны с точки зрения дифференцируемости,
изометричные поверхности эквивалентны с точки зрения метрики.
В теории поверхностей можно определить другие виды эквивалентно­
сти. С нашей точки зрения, диффеоморфизмы и изометрии являются наи­
более важными. Однако, когда мы имеем дело с задачами, связанными
с аналитическими функциями комrшексной переменной, важно ввести
конформную эквивалентность, которую мы сейчас кратко обсудим.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
273
Определение 3. Диффеоморфизм rp: S ~ S называется конформным
отображением, если для любой точки рЕ S и любых векторов v" v2 Е
ET/S)
(drp/v,), dqJ/vJ)=Л
2
(p)(v" v2)P,
где Л2
-
всюду ненулевая дифференцируемая функция на S; поверхно­
сти S и S тогда называются конформно эквивалентными. Отображение
qJ: V ~ S окрестности V точки р в S называется локально конформным
в р, если существует такая окрестность V точки qJ(p), что qJ: V ~ V-
конформное отображение. Если для каждой точки рЕ S существует ло­
кально конформное в р отображение, говорят, что поверхность S локаль­
но конформно эквивалентна S.
Геометрическое значение предыдущего определения состоит в том,
что при конформных отображениях сохраняются углы (но необязательно
длины).Всамомделе,пустьа:1~S иfJ: 1~S- двекривыенаS,пе­
ресекающиеся, скажем, в точке t =О. Угол между ними В в точке t =О на­
ходится по формуле
(,fJ')
cosе=а ' о<е<7т:.
la'llP'I'
Конформное отображение ер : S ~ S отображает эти кривые в кривые
ероа:! ~S и ероfJ:! ~S, которые пересекаются при t= О, образуя
угол е' заданный равенством
е- _ (dep( а'), dep(fJ'))
cos -
,
,
1dep(a)11dep(fJ)1
;? (а', fJ')
-~-~=cose,
iJa'llP'I
как мы утверждали. Нетрудно проверить, что это свойство характеризует
локально конформные отображения (упражнение 14).
Следующее предложение аналогично предложению 1 для конформ­
ных отображений, и его доказательство также оставлено в качестве упраж­
нения.
Предложение 2. Пусть х: И~ S и х: И~ S- такие параметриза­
ции, что Е=А2Е, F=}.,
2
]",
G=A
2
G на И, где Л?-всюдуненулеваядиф­
ференцируемая функция на И. Тогда отображ:ение qJ =хо х- 1
:х(И)~S
является локшtыю конформным.

274
ГЛАВА4
Локальная конформная эквивалентность, как легко видеть, действи­
тельно является отношением эквивалентности, то есть если S1 локально
конформно эквивалентна S2 , а S2 локально конформно эквивалентна S3 ,
то S1 локально конформно эквивалентна S3 •
Наиболее важное свойство конформных отображений даёт следующая
теорема, доказывать которую мы не будем.
Теорема. Любые две регулярные поверхности локштьно конформно эк­
вивштентны.
Доказательство основано на возможности параметризовать окрест­
ность любой точки регулярной поверхности таким образом, что коэффици­
енты первой основной формы будут иметь вид
E=i(и,v)>O, F=O, G=i(и,v).
Такая система координат называется изотермической. Если предположить
существование изотермической системы координат на регулярной поверх­
ности S, становится очевидно, что S локально конформно эквивалентна
плоскости и, посредством композиции, локально конформно эквивалентна
любой другой поверхности.
Доказательство существования изотермической координатной систе­
мы на любой регулярной поверхности тонкое и здесь приведено не будет.
Интересующийся читатель может обратиться к книге L. Bers, Rieтann Sиr­
faces, New Уork University, Institute of Mathematical Sciences, New Уork,
1957-1958,рр. 15-35.
Замечание 3. Изотермические параметризации уже появлялись в гла­
ве 3 в связи с минимальными поверхностями (ер. предложение 2 и упраж­
нение 13 раздела 3.5).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Пусть F : ИсR2~R3 заданоравенством
F(и, v) = (иsinacosv, иsinasin v, исоsа),
(и,v)ЕИ={(и,v)ЕR 2 ; и>О}, a=const
а. Докажите, что F - локальный диффеоморфизм И на конус С с вер­
шиной в начале координат и углом 2а при вершине.
Ь. Является ли F локальной изометрией?

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
275
2. Докажите следующее «обращение» предложения 1. Пусть ер: S ~ S -
изометрия их: И~ S- параметризация в точке рЕ S; тогда х =ерах -
параметризация в точке ер(р) и Е =Е, F = F, G =G.
3*. Покажите, что диффеоморфизм ер: S ~ S является изометрией тогда
и только тогда, когда длина дуги любой параметризованной кривой на S
равна длине дуги образа этой кривой при отображении ер.
4. Используйте стереографическую проекцию (ер. упражнение 16 разде­
ла 2.2), чтобы показать, что сфера локально конформно эквивалентна
плоскости.
5.Пусть а1:!~R3
, а2:!~R3
-
регулярные параметризованные кри­
вые, где параметр является длиной дуги. Предположим, что кривизны k1
кривой а1 и k2 кривой а2 удовлетворяют условию k1(s)=k2 (s),t0, sEl.
Пусть
х1(s,v) = а1(s)+va~(s),
х2(s,v) = а2(s)+va;(s)
-
(регулярные) поверхности касательных к этим кривым (ер. пример 5
раздела 2.3), и пусть V - такая окрестность точки {t0 , s0 ), что х1 (V)сR 3 ,
х2(V)сR3
-
регулярные поверхности (ер. предложение 2 раздела 2.3).
Докажите, что х1 а х;.1 : х2(V) ~ х1(V) есть изометрия.
6*. Пусть а:!~R3
-
регулярная параметризованная кривая с k(t)-:#- О,
tE l. Пусть х(и,v)
-
её поверхность касательных. Докажите, что для каж­
дой точки (t0 ,v0 )E /x(R-{O}) существует такая окрестность V точки
(t0,s0), что x(V) изометрична открытому множеству плоскости (таким
образом, поверхности касательных локШlьно изометричны плоскости).
7. Пусть V и W (конечномерные) - векторные пространства со скаляр­
ными произведениями, обозначаемыми ( , ), и пусть F : V ~ W - ли­
нейное отображение. Докажите, что следующие условия эквивалентны:
Ь) 1F(v)1=1v1 для любого VE V;

276
ГЛАВА4
с) если {v 1" • • , vп} - ортонормированный базис в V, то {F(v1), .• . ,F(vп)}
-
ортонормированный базис в W;
d) существует такой ортонормированный базис {v1" .. , vп}
вV, что
{F(v1)"•• ,F(vп)} -ортонормированный базис в W.
Если любое из этих условий выполняется, F называется линейной изомет­
рией V на W. (Когда W = V, линейная изометрия часто называется орто­
гональным преобразованием.)
8*. ПустьG:R
3
-7R
3
-
такое отображение, что
IG(p)-G(q)l=lp-ql для любых p,qER
3
(то есть G - отображение, сохраняющее расстояния). Докажите, что су­
ществуют точка р0 Е R 3 и такая линейная изометрия (ер. упражне­
ние 7) F векторного пространства R 3
, что
G(p)=F(p)+ р0 для всех pER 3
.
9. Пусть S1, S2 и S3 - регулярные поверхности. Докажите, что
а) если ер: S1 -7 S2 - изометрия, то ер- 1 : S2 -7 S1 также изометрия;
Ь)если ер:S1-7S2, l/f:S2 -7S3 - изометрии, то l/fоер:S1-7S3естьизо­
метрия.
Это означает, что изометрии регулярной поверхности S образуют естест­
венным образом группу, называемую группой изометрий S.
1О. Пусть S - поверхность вращения. Докажите, что повороты вокруг её
оси являются изометриями S.
11*. а. Пусть SсR3
-
регулярная поверхность и F : R
3
-7R
3
-
сохра­
няющее расстояния преобразование R 3 (см. упражнение 8), такое, что
F(S) с S. Докажите, что ограничение F на S есть изометрия S.
Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать, что группа изометрий (см. уп­
ражнение 1О) единичной сферы х 2 + у
2
+z
2
= 1 содержится в группе орто­
гональных линейных преобразований R 3 (фактически совпадает с ней;
см. упражнение 23 раздела 4.4).

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
277
с. Приведите пример, показывающий, что существуют изометрии
f{I : S 1 ~ S2 , которые не могут быть продолжены в сохраняющие расстоя-
ния отображения F : R
3
~R3
.
12*. Пусть C={(x,y,z)ER3
; х 2 +у 2 =1} - цилиндр. Постройте такую
изометрию f{I : С ~ С, что множество неподвижных точек f/I, то есть мно­
жество {рЕ С; f{l(p) = р}, состоит точно из двух точек.
13. Пусть V и W - (конечномерные) векторные пространства со скаляр­
ными произведениями ( , ). Пусть G: V ~ W - линейное отображение.
Докажите, что следующие условия равносильны.
а. Существует такая вещественная постоянная Л #О, что
(G(v1), G(v2)) = л2(v1,v2) для любых v1, v2 Е V.
Ь. Существует такая вещественная постоянная А. > О , что
IG(v)l=Лlvl длявсехvЕV.
с. Существует такой ортонормированный базис {v1" . . , vn} пространства V,
что {G(v1), • •• ,G(vn)} есть ортонормированный базис W, а также векторы
G(v;), i = 1, ... ,п, имеют одну и ту же (ненулевую) длину.
Если любое из этих условий выполняется, G называется линейньиw кон­
формным отображ:ением (или подобием).
14. Мы говорим, что дифференцируемое отображение f{I: S 1 ~ S 2 сохраня­
ет углы, если для любой точки р Е S 1 и любых пар векторов v1, v2 Е ТР (S1)
cos(v1, v2 ) = cos(df/lp(v1), df/lp(v2 )).
Докажите, что f{I является локально конформным отображением тогда
и только тогда, когда оно сохраняет углы.
15. Пусть f{I: R
2
~R 2 задаётсяравенством f{l(x,y)=(u(x,y),v(x,y)), где и
и v - дифференцируемые функции, которые удовлетворяют уравнениям
Коши-Римана
Покажите, что f/I - локально конформное отображение R 2
-
QвR2
,
где
Q={(x,y)ER 2
; и~ +и; =0}.

278
ГЛАВА4
16. Пусть х: И cR
2
-7R
3
,
где
И={(8,<р)ЕR 2 ; 0<8<7r, 0<<p<27r},
х(8,1р) = (sin 8cos1p, sin 8sin1p, cos 8),
-
параметризация единичной сферы S 2
.
Положите
е
Intg-=u, <p=v
2
и покажите, что новая параметризация координатной окрестности х(И) = V
может быть записана в виде
y(u,v)=(sechu cosv,sechu sinv,thи).
Докажите, что в параметризации у коэффициенты первой основной формы
таковы:
Е=G =sech
2
u, F=О.
Таким образом, у-1: V сS2
-7R
2
-
конформное отображение, которое
переводит меридианы и параллели S 2 в прямые линии плоскости. Оно на­
зывается проекцией Меркатора.
17*. Рассмотрите треугольник на единичной сфере, стороны которого об­
разованы отрезками локсодром (то есть кривых, которые составляют по­
стоянный угол с меридианами; ер. пример 4 раздела 2.5) и не содержат по­
люсов. Докажите, что сумма внутренних углов такого треугольника рав­
на 7r.
18. Диффеоморфизм <р: S -7 S называется сохраняющи.м площади, если
площадь замкнутой области R с S равна площади 1p(R). Докажите, что ес­
ли <р сохраняет площади и конформно, то <р является изометрией.
19.Пусть S 2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y2+z
2
=1}
единичная сфера
и С= {(x,y,z)E R 3
;х
2
+у2 =1} -описанный цилиндр. Пусть
1р:S2-{(О,о,l)u(O,О, -1)}=м -7с
-
отображение, определяемое следующим образом. Для каждой точки
рЕ М прямая, проходящая через р и перпендикулярная Oz, пересекает
Oz в точке q. Пусть l - луч с началом в q, содержащий q (рис. 4.7).
По определению, <р(р) =Сп!.
Докажите, что <р есть диффеоморфизм, сохраняющий площади.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
20. Пусть х: И с R 2 4 S - параметризация поверхности вращения S:
х(и, v) = (f(v)cosu, f(v)sinu, g(v)), f(v) >О,
И={(u,v)ER 2 ; 0<и<27r, a<v<b}.
а. Покажите, что отображение rp : И 4 R
2
, определяемое равенством
( )=( J~(f'(v))2+(g'(v))2dv]
rp и,v
и,
'
f(v)
есть локальный диффеоморфизм.
z
<р(р)
Рисунок 4.7
279
Ь. Используйте часть (а), чтобы доказать, что поверхность вращения S ло­
кально конформно эквивалентна плоскости так, что каждое локально кон­
формное отображение В : V с S 4 R 2 переводит параллели и меридианы
окрестности V в ортогональную систему прямых в B(V) cR
2
•
(Заметьте,
что это обобщает проекцию Меркатора упражнения 16.)
с. Покажите, что отображение 1f1 : И 4 R
2
,
определяемое равенством
ljf(u, v) = (и, Jf(v)~(f'(v))2 + (g'(v))
2
dv ),
есть локальный диффеоморфизм.
d. Используйте часть (с), чтобы доказать, что для каждой точки р поверх­
ности вращения S существует окрестность V с S и отображение
В : V ~ R 2 окрестности V в плоскость, которое сохраняет площади.

280
ГЛАВА4
4.3 . Теорема Гаусса и условия совместности
Свойства в главе 3 бьши получены исследованием изменения каса­
тельной плоскости в окрестности точки. По аналогии с кривыми, мы соби­
раемся приписать каждой точке поверхности репер (аналогия репера Фре­
не) и исследовать производные этих векторов.
S будет обозначать, как обычно, регулярную, ориентируемую и ори-
ентированную поверхность. Пусть х: И с R 2
-t S - параметризация, со­
гласованная с ориентацией S. Можно приписать каждой точке x(U) есте­
ственный репер, определяемый векторами хи,хv и N. Изучение этого ре­
пера будет предметом данного раздела.
Разлагая производные векторов хи, xv и N по базису {хи, xv, N}, по­
лучаем
Хии=Г1\хи +Гf1xv +LrN,
1
2
Xuv= Г1zХи + Г12Хv + LzN,
1
2
~
Xvu= Г21Хu + Г21Хv + LzN,
Xvv= Гizхи + Гi2xv + LзN,
Nu = a11Xu + Gz1Xv,
Nv = а12Хи + GzzXv,
(1)
где aii, i,j = 1, 2, бьши получены в главе 3, а другие коэффициенты долж­
ны быть определены. Коэффициенты Гj, i,j,k=1,2, называются симво­
лами Кристоффеля S в параметризации х. Так как xuv=xvu• заключаем,
что Г112 = rJ 1 и Г122 = Гi1 , то есть символы Кристоффеля симметричны по
нижним индексам.
Умножая скалярно первые четыре равенства в (1) на N, немедленно
получаем,что Li=е, Lz=l2 = f, Lз =g, где е,f,g - коэффициенты
второй основной формы S.
Чтобы найти символы Кристоффеля, умножаем скалярно первые че­
тыре равенства на х и и х v, получая систему

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
281
(2)
Заметьте, что предыдущие уравнения сгруппированы в три пары урав­
нений и для каждой пары определитель системы равен EG - F
2
::Р О. Таким
образом, можно решить каждую систему и выразить символы Кристоф­
феля через коэффициенты первой основной формы E,F,G и их производ-
ные. Мы не будем получать явные выражения rj, так как с системой (2)
легче работать в каждом конкретном случае. (См. ниже пример 1.) Однако
очень важно следствие того факта, что мы можем решить систему (2): все
геометрические понятия и свойства, выра:ж:енные через символы Кри­
стоффеля, инвариантны относительно изометрий.
Пример 1. Вычислим символы Кристоффеля для поверхности, задан­
ной параметризацией (ер. пример 4 раздела 2.3)
Так как
получаем
х(и, v) = (/(v)cosи, f(v)sinи, g(v)), f(v) ::Р О.
Е = (f(v))
2
,
F =О, G = (/'(v))
2
+ (g'(v))
2
,
Eu =0, Ev =2jJ',
Fu =Fv =О, Gu =0,
Gv = 2(/'/"+ g'g"),
где штрих обозначает производную по v. Первые два уравнения системы
(2) дают тогда
г1=Ог2=
ff'
11'11
(/')2+(g')2·
Далее, вторая пара уравнений системы (2) даёт
1 ff'
Г12= / 2 , Г1~=0.

282
ГЛАВА4
Наконец, из последних двух уравнений системы (2) получаем
г~=О г2=f'f"+g'g"
22 ' 22 (/')2 + (g')2
Как мы только что видели, выражения производных хи, xv и N
в базисе {xu, xv, N} включают в себя только коэффициенты первой и вто­
рой основных форм S. Способ получения связи между этими коэффициен­
тами состоит в рассмотрении уравнений
(xuu)v -(xuv)u =О,
(xvv)u -(xvu)v =0,
(З)
Nuv -Nvu =О.
Вводя выражения (1 ), мы можем записать предыдущие уравнения
в виде
А1хи +B1xv +C1N=O,
А2хи +B2xv +C2N =О,
A3xu +B3xv +C3N =О,
(За)
где А;,В;,С;, i=l,2,З, - функции E,F,G,e,f,g и их производных.
Так как векторы хи, xv, N линейно независимы, (За) означает, что суще-
ствуют девять соотношений:
А;=О, В;=О, С;=О, i=1,2,З.
Дrrя примера найдём соотношения А1 =О, В1 =О, С1 =О. С использо­
ванием выражения (1) первое из уравнений (З) можно записать в виде
Г/1хиv + r?1xvv + eNV + (Г1\)vхи + cг?1)vxv + evN =
=Г1
1
2Хuи + Г1~Xvu + f Nu +(Г/2)uхи +(Гi22)uxv + fuN.
Снова используя (1) и приравнивая коэффициенты при xv, получаем
Г1\Г1~ + Г1
2
1Гf2 + еа22 + (Г1
2
1)v =
=Гi2Г121 +Г1~Г1~ + fa21 +(Г1~)и.
Вводя уже найденные выражения aiJ (ер. раздел З.З), заключаем, что
(Г?2)u -(Г?1)v +Г112Г?1 +Г1
2
2Г1~ -Г?1Гi2 -Г1\Г1~ =
=-Е eg-f2 =-ЕК.
EG-F
2
(4)
(5)
В этот момент удобно прервать наши выкладки, чтобы привлечь вни­
мание к тому факту, что предыдущее уравнение доказывает следующую
теорему, принадлежащую К. Ф. Гауссу.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
283
Theoreмa egregium (Гаусс). Гауссова кривизна К поверхности инва­
риантна относительно локальных изометрий.
Всамомделе,еслих:ИсR2~S - параметризация вточке рЕS
и ер: V с S ~ S, где V сх(И) - окрестность р, есть локальная изометрия
в р, то у=хоер - параметризация S в ер(р). Так как ер - изометрия, ко­
эффициенты первой основной формы в параметризациях х и у совпадают
в соответствующих точках q и ep(q), qE V; таким образом, соответствую­
щие символы Кристоффеля также совпадают. В силу уравнения (5) значе­
ние К в точке можно найти как функцию символов Кристоффеля в данной
параметризации в этой точке. Отсюда следует, что K(q) = K(ep(q)) для лю­
бой точки qE V.
Предыдущее уравнение, которое даёт выражение К через коэффици­
енты первой основной формы и их производные, известно как уравнение
Гаусса. Оно было впервые выведено Гауссом в знаменитой работе [1].
Теорема Гаусса считается по обширности её следствий одним из наи­
более важных результатов дифференциальной геометрии. В данный мо­
мент мы укажем только одно следствие.
Как мы доказали в разделе 4.2, катеноид локально изометричен гели­
коиду. Из теоремы Гаусса следует, что их гауссовы кривизны равны
в соответствующих точках - факт, геометрически нетривиальный.
Действительно, это замечательный факт, что такое понятие, как гаус­
сова кривизна, определение которой существенно использовало располо­
жение поверхности в пространстве, зависит не от этого расположения,
а только от метрической структуры (первая основная форма) поверхности.
Мы увидим в следующем разделе, что многие другие понятия диффе­
ренциальной геометрии устроены так же, как гауссова кривизна, то есть
зависят только от первой основной формы поверхности. Таким образом,
имеет смысл говорить о геометрии первой основной формы, которую мы
называем внутренней геометрией, так как она может быть развита без вся­
кого обращения к пространству, которое содержит поверхность (стоит
только задать первую основную форму).
*Имея в виду получение следующего геометрического результата, воз­
вратимся к нашим выкладкам. Приравнивая коэффициенты при хи в (4),
мы видим, что уравнение А1 =О можно записать в виде
(5а)
* Оставшаяся часть этого раздела не будет использоваться до главы 5. Если она пропускается, упражне­
ния 7 и 8 должны быть также пропущены.

284
ГЛАВА4
Приравнивая также коэффициенты при N в (4), получаем уравнение
С1=0ввиде
(б)
Отметим, что уравнение (5а) (при F *О) является просто другой фор­
мой записи уравнения Гаусса.
Применяя те же операции ко второму уравнению (3), получаем, что
оба уравнения А2 =О и В2 =О дают снова уравнение Гаусса (5). Далее,
С2 =О даёт уравнение
(ба)
Наконец, те же операции можно применить к последнему уравнению (3),
получая, что С3 =О есть тождество, а А3 =О и В3 =О суть снова уравне­
ния (б) и (ба). Уравнения (б) и (ба) называются уравнениями Майнарди­
Кодацци.
Уравнения Гаусса и Майнарди-Кодацци известны в теории поверхно­
стей под названием условий совместности.
Естественный вопрос: существуют ли дополнительные условия совме­
стности коэффициентов первой и второй основных форм, кроме уже полу­
ченных? Теорема, сформулированная ниже, показывает, что ответ отрица­
тельный. Другими словами, последующим дифференцированием или ка­
кой-либо другой операцией мы не получили бы никаких дополнительных
соотношений между коэффициентами Е, F, G, e,f,g и их производными.
На самом деле теорема является более содержательной и утверждает, что
знание первой и второй основных форм локально определяет поверхность.
Более точно,
Теорема (Бонне). Пусть Е, F, G, е, f, g - дифференцируемые функ­
ции в открытом множестве V с R 2
,
где Е >О и G >О. Предположим,
что данные функции формально удовлетворяют уравнениям Гаусса
и Майнарди-Кодацци и что EG - F
2
>О. Тогда для каждой точки
qE V существуют окрестность И с V точки q и такой диффеоморфизм
х:И~х(И)сR3
,
что регулярная поверхность x(U) с R 3 и:меет Е, F, G
и е, f, g в качестве коэффициентов первой и второй основных форм со­
ответственно. Кроме того, если И связна и
х:И ~x(U)cR 3
-
другой диффеоморфизм, удовлетворяющий тем же условиям, то суще­
ствуют сдвиг Т и собственное линейное ортогональное преобразование р
пространства R 3
, такие, что х =Тара х.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
285
Доказательство этой теоремы можно найти в приложении к главе 4.
Для дальнейшего использования полезно заметить, как упрощаются
уравнения Майнарди-Кодацци, когда координатная окрестность не содер­
жит омбилических точек, а координатные линии являются линиями кри­
визны (F =О= f). Уравнения (6) и (ба) можно записать в виде
1
2
ev = еГ12 - gГ11'
Учитывая, что F =О, получаем, что
Г2-
_
_!_ Ev
11- 2G'
Г1-_
_!_Gи
22 -2Е'
г2
1
gu =g 12 -еГ22.
гt__!_Ev
12-2Е'
Г2_
_!_G"
12-2G,
заключаем, что уравнения Майнарди-Кодацци принимают вид
е=Ev(~+К)
(7)
v
2ЕG'
g" =~и(~+~J
(7а)
УПРАЖНЕНИЯ
1. Покажиrе, что если х - ортогональная параметризация, то есть F =О, то
K=-2k{(ka1 +(~)J·
2. Покажите, что если х
-
изотермическая параметризация, то есть
E=G= =Ци,v), F=O, то
1
К =--Л(InЛ.)
2Л.
'
где Лrр обозначает лапласиан (д 2rр/ди
2
)+(д 2rр!аv
2
) функции rp. Заключи~
те,что,когдаЕ=G =(и2+v
2
+ с)-
2
иF=О,К=const=4с.
3. Проверьте, что поверхности
х(и, v) = (ucosv, usin v, lnu),
х(и, v) = (ucosv, и sin v, v)
имеют равные гауссовы кривизны в точках х(и, v) и х(и, v), но отображе­
ние хо х- 1 не является изометрией. Это показывает, что «обращение» тео­
ремы Гаусса неверно.

286
ГЛАВА4
4. Покажите, что никакая окрестность точки сферы не может быть изомет­
рически отображена в плоскость.
5. Если координатные линии образуют чебышевскую сеть (ер. упражнения 7
и8раздела2.5),тоЕ =G =1иF= cosО. Покажите, что вэтомслучае
к=- euv .
sinfJ
6. Используйте теорему Бонне, чтобы показать, что не существует такой
поверхностих(и,v),что E=G=l, F=O и е=1, g=-1, f=O.
7.Существует ли поверхность x=x(u,v), для которой E=l, F=O, G=
=cos
2
u и e=cos
2
u,f=O, g=l?
8. Найдите символы Кристоффеля для открытого множества плоскости
а) в декартовых координатах;
Ь) в полярных координатах.
Используйте формулу Гаусса для вычисления К в обоих случаях.
9. Объясните, почему следующие поверхности не являются попарно ло­
кально изометричными:
а) сфера;
Ь) цилиндр;
с)седлоz=х
2
-
у2.
4.4 . Параллельный перенос. Геодезические
Приступим теперь к систематическому изложению внутренней гео­
метрии. Чтобы показать интуитивный смысл этих понятий, мы часто будем
давать определения и интерпретации, включающие в себя вид поверхности
в пространстве. Однако в каждом случае мы будем доказывать, что вве­
дённые понятия зависят только от первой основной формы.
Начнём с определения ковариантной производной векторного поля,
которая является для поверхностей аналогом обычной производной векто­
ров в плоскости. Напомним, что (касательное) векторное поле на откры-

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
287
том множестве И с S регулярной поверхности S есть соответствие w, ко­
торое сопоставляет каждой точке рЕ И вектор w(p)E Tp(S). Векторное
поле w называется дифференцируемым в точке р, если для некоторой па­
раметризации х(и,v) в р компоненты а и Ь в разложении w=ахи +bxv
по базису {хи, xv} являются дифференцируемыми в р функциями. Поле w
дифференцируемо на И, если оно дифференцируемо в каждой точке р Е И.
Определение 1. Пусть w- дифференцируемое векторное поле на от­
крытом множестве И с S и рЕ И. Пусть уЕ T/S). Рассмотрим па-
раметризованную кривую
a:(-&,&)~U,
гдеа(О)=ри d(O)=у, ипустьw(t), tЕ(-&,&), -
оrраничение вектор­
ного поля w на кривую а. Вектор, полученный ортогональным проециро­
ванием (dw / dt)(O) на плоскость T/S), называется ковариантной произ-
водной в точке р векторного поля w по направлению вектора у. Эта ко­
вариантная производная обозначается (Dw/ dt)(O) или (Dyw)(p) (рис. 4.8).
/
/
/
//
//
/
w
---- ......
-- ..................
Т,(S)
s
Рисунок 4.8. Ковариантная производная
Предыдущее определение использует нормальный вектор S и в осо­
бенности кривую а, касающуюся у в точке р. Чтобы показать, что кова­
риантное дифференцирование есть понятие внутренней геометрии и его
результат не зависит от выбора кривой а, получим выражение ковари­
антной производной в терминах параметризации х(и, v) поверхности S
в точкер.

288
ГЛАВА4
Пусть x(u(t), v(t)) = a(t) - выражение кривой а и
w(t) = a(u(t), v(t))xu + b(u(t), v(t))xv =
= a(t)xu + b(t)xv
-
выражение w(t) в параметризации х(и, v). Тогда
где штрих обозначает производную по t.
Так как Dw/ dt есть касательная составляющая dw/ dt, используем
выражения (1) раздела 4.1 для хии' xuv и xvv и, отбрасывая нормальную
компоненту, получим
Dw('г1'г1'г1ь'г1ь')
--=
а+11аи+12av+12и+22vХи+
dt
(l)
+ (Ь' +Гf1аи' +Г122аv' +Г122Ьи'+Гi2bv')xv.
Выражение (1) показывает, что Dw/ dt зависит только от вектора
(и', v') и не зависит от кривой а. Кроме того, поверхность участвует в (1)
посредством символов Кристоффеля, то есть через посредство первой ос­
новной формы. Наши утверждения, таким образом, доказаны.
Если, в частности, S - плоскость, мы знаем, что можно найти такую
параметризацшо, что Е = G = 1 и F =О. Беглый просмотр уравнений, ко-
торые дают символы Кристоффеля, показывает, что в этом случае rt ста­
новятся нулями. Тогда из равенства (1) следует, что ковариантная про­
изводная совпадает с обычной производной векторов в плоскости (это
можно увидеть также геометрически из определения 1). Ковариантная
производная является, следовательно, обобщением обычной производной
векторов в плоскости.
Другим следствием равенства (1) является то, что определение ковари­
антной производной можно распространить на векторное поле, которое
определено только в точках параметризованной кривой. Чтобы уяснить
этот подход, требуются некоторые определения.
Определение 2. Параметризованной кривой а: [О,/]~ S называется
ограничение на [О,/] дифференцируемого отображения (0-ё, l + ё), t" >О,
вS.Еслиа(О) =ри a(l)=q, мыговорим,чтоасоединяетр сq. ана­
зывается регулярной, если d(t) *О при t Е [О,/].
В дальнейшем будет удобно использовать обозначение [О,/]= I всякий
раз, когда нет необходимости указывать конец /.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
289
Определение 3. Пусть а; 1 -с> S - параметризованная кривая на S.
Векторным полем w вдоль а называется соответствие, которое сопо­
ставляет каждому t Е ! вектор
w(t)E Ta(t)(S).
Векторное поле w называется дифференцируемым в точке t0 Е l, если для
некоторой параметризации х(и, v) в a(t0 ) компоненты a(t), b(t) поля
w(t) =ахи + bxv суть дифференцируемые в точке t0 функции t. Поле w на­
зывается дифференцируемым на отрезке [, если I дифференцируемо
в каждой точке t Е /.
Пример (дифференцируемого) векторного поля вдоль а даёт поле
a'(t) касательных векторов а (рис. 4.9).
Рисунок 4.9. Поле касательных векторов вдоль кривой а
Определение 4. Пусть w- дифференцируемое векторное поле вдоль
а: I ~s. Выражение (1) (Dw/ dt)(t), tE ! , корректно определённое, на­
зывается ковариантной производной w в точке t.
С внешней точки зрения на поверхность, чтобы получить ковариант­
ную производную поля w вдоль а : ! -с> S в точке t Е 1, мы находим
обычную производную (dw/ dt)(t) от w по t и проецируем этот вектор ор­
тогонально на касательную плоскость Ta(t) (S). Отсюда следует, что, когда
две поверхности касаются вдоль параметризованной кривой а, ковариант­
ная производная поля w вдоль а одна и та же для обеих поверхностей.
Если a(t) - кривая на S, можно представлять её как траекторию точ­
ки, которая движется по поверхности. а' тогда есть скорость, а a"(t) -
ускорение а. Ковариантная производная Da'(t)/ dt поля a'(t) является ка­
сательной составляющей ускорения a"(t). Интуитивно, Da'(t) - это уско­
рение точки a(t) «с точки зрения обитателя поверхности S ».

290
ГЛАВА4
Определение 5. Векторное поле w вдоль параметризованной кривой
а: I ~ S называется параллельным, если Dw / dt = О для любого t Е /.
В частном случае плоскости понятие параллельного поля вдоль пара­
метризованной кривой сводится к понятию постоянного векторного поля
вдоль кривой, то есть длина вектора и угол, образуемый им с фиксирован­
ным направлением, остаются постоянными (рис. 4.10). Эти свойства час­
тично сохраняются на любой поверхности, как показывает следующее
предложение.
р
Рисунок 4.10
Предложение 1. Пусть wu v - параллельные векторные поля вдоль
а: I ~ S. Тогда (w(t), v(t)) постоянно. В частности, 1w(t)1 и 1v(t)1 по­
стоянны и угол ме;жду v(t) и w(t) постоянен.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Тот факт, что векторное поле w параллельно
вдоль а, означает, что dw/ dt ортогонален касательной плоскости поверх­
ности в точке a(t), то есть
(v(t),w'(t))=O, tE !.
С другой стороны, v'(t) также ортогонален касательной плоскости в точке
a(t). Таким образом,
'
(v(t), w(t)) = (v'(t), w(t)) + (v(t), w'(t)) =О,
то есть (v(t), w(t)) = const
о
Конечно, на произвольной поверхности параллельные поля могут вы­
глядеть необычно для наших трёхмерных представлений. Например, ка­
сательное векторное поле меридиана (параметризованного длиной дуги) на
единичной сфере S 2 является параллельным полем на S 2 (рис. 4.11 ). В са-

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
291
мом деле, поскольку меридиан является большой окружностью на 8 2
,
обычная производная такого поля ортогональна 8 2
• Таким образом, его
ковариантная производная равна нулю.
Следующее предложение показывает, что существуют параллельные
векторные поля вдоль параметризованной кривой a(t) и они полностью
определяются своими значениями в точке t0 .
Рисунок 4.11. Параллельное поле на сфере
Предложение 2. Пусть а: 1 ~ 8 - пара.метризоваююя кривая на 8
и w0 Е Ta(l,)(8), t0 Е /. Тогда существует единственное парштельное век­
торное поле w(t) вдоль a(t), для которого w(t0 ) = w0 •
Элементарное доказательство предложения 2 будет дано в этом разделе
позже. Те, кто знаком с материалом раздела 3.6, заметят, однако, что доказа­
тельство немедленно следует из теоремы существования и единственности
решений дифференциальных уравнений.
Предложение 2 позволяет говорить о параллельном переносе вектора
вдоль параметризованной кривой.
Определение 6. Пусть а: 1 ~ 8 - параметризованная кривая
и w0 Е Ta(to) (S), t0 Е I. Пусть w - параллельное векторное поле вдоль а,
где w(t0 ) = w0 • Говорят, что вектор w(t1), t 1 Е /, является результатом па­
раллельного переноса w0 вдоль а в точку t1•

292
ГЛАВА4
Следует заметить, что если а : 1 ~ S, t Е 1, реrулярна, то параллельный
перенос не зависит от параметризации а(!). Действительно, если f3: J......; S,
аЕJ, -
другая параметризация а(/), из равенства (1) следует, что
Dw Dwdt
--=----, tE /, IJ'E J.
da dtda
Поскольку dt / da *О, w(t) параллельно тогда и только тогда, когда парал-
лельно w(a).
Предложение 1 содержит интересное свойство параллельного пере­
носа. Фиксируем две точки р, q Е S и параметризуем кривую а : l ~ S ,
где а.(О) = р, а.(1) = q. Обозначим Ра. : Tp(S) ~ Tq(S) отображение, кото­
рое сопоставляет каждому vE Tp(S) результат его параллельного переноса
вдоль а в точку q. Предложение 1 утверждает, что это отображение есть
изометрия.
Другое интересное свойство параллельного переноса состоит в том,
что если две поверхности S и S касаются вдоль параметризованной кри­
вой а и w0 - вектор из Ta(lo)(S) = Ta(lo)(S), то w(t) есть результат парал-
лельного переноса w0 относительно поверхности S тогда и только тогда,
когда w(t) есть результат параллельного переноса w0 относительно S.
Действительно, ковариантная производная Dw / dt поля w одна и та же
в обоих случаях. Утверждение следует из единственности результата па­
раллельного переноса.
Предыдущее свойство позволяет нам дать простой и поучительный
пример параллельного переноса.
Пример 1. Пусть С - параллель с коширотой 1Р (см. рис. 4.12) ори­
ентированной единичной сферы и w0 - единичный вектор, касательный
к С в некоторой точке р Е С. Определим параллельный перенос w0
вдоль С, параметризованной длиной дуги s так, что s =О в точке р.
Рассмотрим конус, который касается сферы вдоль С. Угол 1/1 в верши­
не конуса задаётся равенством 1/1 = (п:/2) - IP · В силу предыдущего свойства
задача сводится к определению параллельного переноса w0 вдоль С отно­
сительно касательного конуса.
Конус без одной образующей, однако, изометричен открытому множе-
ству И с R 2 (ер. пример 3 радела 4.2), заданному в полярных координатах
неравенствами
О<р<+оо, 0<B<2irsin1f!.
Поскольку в плоскости понятие параллельного переноса совпадает
с обычным понятием, мы получаем при смещении на s от р, соответству­
ющем центральному углу 8 (см. рис. 4.13), ЧТО ориентированный угол, об-

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
293
разованный касательным вектором t(s) с параллельно перенесённым век­
тором w(s), равен 2п - 6.
_) Ориентация
s=O
t(_s)
w(s)
Рисунок 4.12
Рисунок 4.13
Иногда бывает удобно ввести понятие <<Ломаная кривая», которое
можно сформулировать следующим образом.
Определение 7. Отображение а: [О,/]~ S называется параметри­
зованной кусочно регулярной кривой, если а непрерывно и существует
такое разбиение
Q=(О<fl<...<(k<fk+I =f
отрезка [О,/], что ограничение al[t;,t;+i], i=O, ... ,k, является параметри­
зованной регулярной кривой. Каждое множество а 1[t;, t;+i] называется ре­
гулярной дугой а.
Понятие параллельного переноса можно легко распространить на па­
раметризованные кусочно регулярные кривые. Если, скажем, первоначаль­
ный вектор w0 лежит на отрезке [t;, 1;+1 ], мы совершаем параллельный пе­
ренос вдоль регулярной дуги а 1[t;,1;+1 ], как обычно; если t;+\-/:. /, выбира­
ем w(t;+J) в качестве первоначального вектора для пераллельного переноса
вдоль следующей дуги а 1 [t;+1,t;+2 ] и так далее.
Пример 2. • Предыдущий пример является частным случаем интерес­
ного геометрического построения параллельного переноса. Пусть С - ре­
гулярная кривая на поверхности S; предположим, что С нигде не касается
*Этот при:м:ер использует материал о линейчатых поверхностях раздела 3.5 .

294
ГЛАВА4
асимптотического направления. Рассмотрим огибающую семейства каса­
тельных плоскостей S вдоль С (ер. пример 4 раздела 3.5). В ок­
рестности С эта огибающая является реrулярной поверхностью L, которая
касается S вдоль С. (В примере 1 L можно представить как полосу
вдоль С на конусе, которая касается сферы вдоль С.) Таким образом, па­
раллельный перенос вдоль С любого вектора WE Tp(S), рЕ S, даёт одно
и то же, рассматриваем мы его относительно S или относительно L. Кро­
ме того, L является развёртывающейся поверхностью; следовательно,
её гауссова кривизна тождественно равна нулю.
Далее, позже в этой книге мы докажем (раздел 4.6, теорема Миндин­
га), что поверхность нулевой гауссовой кривизны локально изометрична
плоскости. Таким образом, мы можем отобразить окрестность V с L точ­
ки р в плоскость Р посредством изометрии ({J : V ~ Р. Чтобы параллельно
перенести w вдоль V п С, совершим обычный параллельный перенос
dqJP(w) в плоскости вдоль ({J(p) и вернём результат параллельного перено­
са обратно на L посредством dqJ (рис. 4.14).
d<p,(w)
s
<p(V)
<р(р)
Рисунок 4.14 . Параллельный перенос вдоль С

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
295
Это даёт геометрическую конструкцию параллельного переноса вдоль
малой дуги С. Оставляем в качестве упражнения доказательство того, что
эту конструкцию можно распространить шаг за шагом на данную дуrу С.
(Используйте теорему Гейне-Бореля и действуйте, как в случае ломаных
кривых.)
Параметризованные кривые у : / ~ R 2 в плоскости, вдоль которых
поле их касательных векторов y'(t) параллельно, являются в точности
прямыми линиями этой плоскости. Параметризованные кривые, которые
удовлетворяют аналогичному условию на поверхности, называются геоде­
зическими.
Определение 8. Говорят, что непостоянная параметризованная кривая
у: I ~ S является геодезической в точке tE !, если поле её касательных
векторов y(t) параллельно вдоль r, то есть
Dy(t) =О·
dt
'
у называется параметризованной геодезической, если она является геоде­
зической для любого tE !.
Из предложения 1 немедленно получаем, что 1y(t)1= coпst =с ct:- О. По­
этому мы можем выбрать длину дуги s = ct в качестве параметра и заклю­
чить, что параметр t параметризованной геодезической у пропор-
ционален длине дуги у.
Заметим, что параметризованная геодезическая может иметь самопе­
ресечения (это проиллюстрирует пример 6; см. рис. 4.20.) Однако её ка­
сательный вектор нигде не обращается в нулевой и, следовательно, пара­
метризация реrулярна.
Понятие геодезической, очевидно, локальное. Предыдущие рассмотре­
ния позволяют нам распространить понятие геодезической на подмно­
жества S, которые являются реrулярными кривыми.
Определение 8а. Регулярная связная кривая С на S называется гео­
дезической, если для любой точки рЕ S параметризация a(s) координат­
ной окрестности р длиной дуги s является параметризованной геодези­
ческой, то есть a'(s) есть параллельное векторное поле вдоль a(s).
Заметим, что каждая прямая, лежащая на поверхности, удовлетворяет
определению 8а.
С внешней точки зрения на поверхность S определение 8а равно­
сильно утверждению, что вектор a"'(s) = kn ортогонален касательной плос-

296
ГЛАВА4
кости, то есть параллелен нормали к поверхности. Другими словами, регу­
лярная кривая С с S (k '1 - О) является геодезической тогда и только то­
гда, когда её главная нормаль в каждой точке р Е С параллельна нормали
кsвр.
Предыдущее свойство можно использовать для геометрического оты­
скания некоторых геодезических, как показывают нижеследующие примеры.
Пример 3. Большие окружности на сфере S 2 являются геодезически­
ми. Действительно, большие окружности С получаются пересечением
сферы плоскостью, проходящей через центр сферы О . Главная нормаль
в точке р Е С имеет направление прямой, которая соединяет р с О,
так как С - окружность с центром О. Так как S 2
-
сфера, нормаль име­
ет то же направление, что доказывает наше утверждение.
Позже в этом разделе мы докажем общий факт, что для каждой точки
рЕ S и каждого направления в Tp(S) существует в точности одна геоде-
зическая С с S, проходящая через р и касающаяся этого направления.
В случае сферы через каждую точку в каждом направлении проходит точ­
но одна большая окружность, которая, как мы доказали выше, является
геодезической. Следовательно, в силу единственности большие окружно­
сти - единственные геодезические на сфере.
Пример 4. Дпя прямого кругового цилиндра с направляющей х
2
+у
2
:::: 1
ясно, что окружности, полученные пересечением цилиндра плоскостями,
перпендикулярными оси цилиндра, являются геодезическими. Это верно
потому, что главная нормаль в каждой из их точек параллельна нормали
поверхности в этой точке.
С другой стороны, по замечанию после определения 8а, прямые линии
на цилиндре также являются геодезическими.
Чтобы выяснить существование других геодезических на цилиндре,
рассмотрим параметризацию (ер. пример 2 раздела 2.5)
х(и, v) = (cosu, siп и, v)
цилиндра в точке рЕ С, где х(О, О)= р. В этой параметризации окрестность
р в С задаётся как x(u(s),v(s)),гдe s - длина дуги С. Как мы видели
раньше (ер. пример 1 раздела 4.2), х есть локальная изометрия, которая ото­
бражает окрестность И точки (О, О) uv -плоскости на цилиндр. Поскольку
свойство быть геодезической локально и инвариантно относительно изо­
метрий, кривая (u(s), v(s)) должна быть геодезической в И, проходящей

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
297
через (О, О). Но геодезические плоскости - это прямые. Следовательно,
исключая уже полученные случаи, находим
u(s)=as, v(s)=bs, а
2
+Ъ2
=1.
Отсюда следует, что, когда регулярная кривая С (которая не является
окружностью или прямой) является геодезической цилиндра, она локально
имеет вид (рис. 4.15)
(cos as, sin as, bs)
и, следовательно, есть винтовая линия. Таким образом, найдены все геоде­
зические цилиндра.
Заметим, что две данные точки на цилиндре, которые не лежат на ок­
ружности, параллельной .ху-плоскости, можно соединить бесконечным
числом винтовых линий. Этот факт означает, что вообще две точки цилин­
дра можно соединить бесконечным числом геодезических, в отличие от
ситуации в плоскости. Заметим, что такое может произойти только с гео­
дезическими, которые совершают «полный оборот», так как цилиндр без
одной образующей изометричен плоскости (рис. 4.16).
-I
Лоюшьная
изометрия
Рисунок 4.15. Геодезические на цилиндре
Геодезическая
Рисунок 4.16. Две геодезические на цилиндре, соединяющие р и q
Проводя аналогию с плоскостью, заметим, что прямые, то есть геоде­
зические плоскости, характеризуются также как регулярные кривые нуле­
вой кривизны. Далее, кривизна ориентированной плоской кривой равна
длине производной единичного векторного поля, касательного к кривой,
снабжённой знаком, который указывает, как направление вогнутости кри-

298
ГЛАВА4
вой связано с ориентацией плоскости (ер. 1.5, замечание 1). Чтобы учесть
этот знак, удобно ввести следующее определение.
Определение 9. Пусть w - дифференцируемое поле единичных век­
торов вдоль параметризованной кривой а: 1 ~ S на ориентированной по­
верхности S. Так как w(t), tE 1, -
единичное векторное поле, вектор
(dw / dt)(t) ортогонален w(t) и потому
Dw = :i(N л w(t)).
dt
Вещественное число }., = :i(t), обозначаемое [Dw / dt], называется алгеб­
раическим значением ковариантной производной w в точке t.
Отметим, что знак [Dw / dt] зависит от ориентации S и [Dw / dt] =
=(dw! dt, N л w).
Мы должны сделать также общее замечание, что с этого момента ори­
ентация S будет играть существенную роль в понятиях, которые вводятся.
Внимательный читатель заметит, что определения параллельного переноса
и геодезической не зависят от ориентации S. В отличие от этого, знак гео­
дезической кривизны, которая будет определена ниже, меняется при изме­
нении ориентации S.
Теперь мы введём для кривой на поверхности понятие, которое явля­
ется аналогом понятия кривизны плоских кривых.
Определение 1О. Пусть С - ориентированная регулярная кривая,
лежащая на ориентированной поверхности S, и пусть a(s) - параметри­
зация С в окрестности рЕ S длиной дуги s. Алгебраическая величина ко­
вариантной производной [Dd(s)lds]=kg от a(s) в точке р называется
геодезической кривизной С в р.
Геодезические, которые являются регулярными кривыми, характери­
зуются, таким образом, как кривые нулевой геодезической кривизны.
С внешней точки зрения на поверхность абсолютная величина геоде­
зической кривизны kg кривой С в точке р является абсолютной величи-
ной касательной компоненты вектора a"'(s) = kn, где k - кривизна С в р
и п - нормальный вектор С в р. Вспоминая, что абсолютная величина
нормальной компоненты вектора kn есть абсолютная величина нормаль­
ной кривизны kn кривой С с S в точке р, получаем немедленно
(рис. 4.17), что

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
299
s
Рисунок 4.17
Например, абсолютную величину геодезической кривизны kg парал­
лели С с коширотой rp на единичной сфере S 2 можно найти из соотноше­
ния (см. рис. 4.18)
sin
2
rp=k
2
+k
2
= sin
4
rp +k
2
п
g
g•
то есть,
k; =sin
2
rp(l- sin
2
rp) = ~sin 2 2rp.
Знак kg зависит от ориентации S 2 и С.
Рисунок 4.18. Геодезическая кривизна параллели на единичной сфере
Дальнейшее следствие этой внешней интерпретации состоит в том,
что, когда две поверхности касаются вдоль регулярной кривой С, абсо­
лютная величина геодезической кривизны С одна и та же относительно
любой из двух поверхностей.

300
ГЛАВА4
Замечание. Геодезическая кривизна С с S меняет знак, когда изме­
няется ориентация С или S.
Получим теперь выражение алгебраической величины ковариантной
производной (предложение 3 внизу). Для этого нам потребуется некоторая
подготовка.
Пусть v и w - два дифференцируемых векторных поля вдоль пара­
метризованной кривой а: 1 ~ S, где Jv(t) J=J w(t) J= 1, tE I. Мы хотим оп­
ределить дифференцируемую функцию rp: I ~R так, что rp(t), tE I, есть
величина угла от v(t) до w(t) в ориентации S. Для этого рассмотрим диф­
ференцируемое векторное поле v вдоль а, определяемое условием, что
{v(t), v(t)} - ортонормированный положительный базис для любого tE I.
Таким образом, w(t) можно записать в виде
w(t) = a(t)v(t) + b(t)v(t),
где а и Ь - дифференцируемые функциина I и а2 +Ь
2
=1.
Лемма 1 внизу показывает, что, фиксируя величину угла rp0 от v(t0 )
до w(t0 ), можно «продолжить» её дифференцируемым образом на I, и это
даёт искомую функцию.
Лемма1.Пусть а иЬ
-
дифференцируемые функции на l, где
а2 +Ь
2
=1, и tp0 таково, что a(t0 )=costp0 , b(t0 )=sintp0 • Тогда дифферен­
цируемая функция
it
'
'
tp=tp0 + (аЬ -ba)dt
to
такова, что costp(t)=a(t), sintp(t)=b(t), !Е I, и tp(t0 )=tp0 •
ДОКАЗАтвльство. Достаточно доказать, ч:го функция
(a-cosrp)2
+(b-sinrp)2
=2-2(acosrp+bsinrp)
тождественно равна нулю или что
А= acosrp+ bsinrp = 1.
Используя тот факт, что аа' = -ЬЬ', и определение rp, легко получаем, что
А'= -а(sin ер)rp' + Ь(cos rp)rp' + а'cosrp + Ь'sin rp =
=-b'(sinrp)(a2
+b
2
)-a'(cosrp)(a2 +Ь
2
)+
+а'cosrp+Ь'sinrp=О.
Следовательно, A(t) = const, и, поскольку A(t0 ) = \, лемма доказана.
О
Мы можем теперь установить связь ковариантной производной двух
единичных векторных полей вдоль кривой с изменением угла, который
они образуют.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
301
Лемма 2. Пусть v и w- два дифференцируемых векторных поля
вдоль кривой а: 1---" S, где 1w(t)1=1v(t)1= 1, tE 1. Тогда
[1:]-[~]=~,
где rp - одна из дифференцируемых величин угла от v до w, заданных
в лемме l.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Введём векторы v = N л v и w = N л w. Тогда
w = (cosqi)v + (sinqi)v,
(2)
w=N лw=(cosqi)N лv+(sinqi)N лv=
= (cosqi)v -(sin qi)v.
(3)
Дифференцируя (2) по t, получаем
w' = -(sin qi)qi'v + (cosqi)v' + (cosqi)qi'v + (sin qi)v'.
Умножая скалярно последнее равенство на w, используя (3) и заме­
чая, что (v, v) =О, (v, v') =О, заключаем, что
(w', w) = (sin
2
qi)lfJ' + (cos
2
1fJ)(v', v) + (cos
2
qi)lfJ' -(sin
2
qi)(v', v) =
= lfJ
1
+ (COS
2
lfJ)(v', v)-(sin
2
qi)(v', VJ.
С другой стороны, поскольку (v, v) =О, то есть
(v', v) = -(v, v'),
заключаем, что
(w', w) =qi' +(cos
2
qi+sin
2
V7)(v', v) =ifJ
1
+(v', v).
Отсюда следует, что
[Dw] =(w', w) =ifJ' +(v', v) = dqi +[Dv],
ш
шш
поскольку
что завершает доказательство леммы.
о
Непосредственным следствием предыдущей леммы является следую­
щее замечание. Пусть С - регулярная ориентированная кривая на S,

302
ГЛАВА4
a(s) - параметризация в рЕ S кривой С длиной дуги s и v(t) - парал­
лельное поле вдоль a(s). Тогда, выбирая w(s) = a'(s), получаем
k (s) = [Da'(s)] = drp.
g
ds
ds
Другими словами, геодезическая кривизна есть скорость изменения уг­
ла, который касательная кривой образует с направлением параллельного
векторного поля вдоль кривой. В случае ruюскости направление параллель­
ного поля постоянно и геодезическая кривизна превращается в обычную
кривизну.
Теперь мы можем получить обещанное выражение алгебраической ве­
личины ковариантной производной. Когда мы говорим о параметризации
ориентированной поверхности, эта параметризация предполагается согла­
сованной с данной ориентацией.
Предложение 3. Пусть х(и, v) - ортогональная параметризация (то
есть F =О) окрестности на ориентированной поверхности S и w(t) -
дифференцируемое поле единичных векторов вдоль кривой х(и(t), v(t)). Тогда
[Dw] __l _{G dv -Е dи}+ d(/J
dt -2JEG иdt
vdtdt'
где (/J(t) - угол от хи до w(t) в данной ориентации.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть е1 =хи / ..fE, е2 =xv /Го - единичные век­
торы, касательные к координатным линиям. Заметим, что е1 л е2 = N, где
N - заданная ориентация S. Используя лемму 2, можно записать
[Dw]=[De1] +drp,
dt
dt
dt
где е1 (t) = е1 (и(t), v(t)) - поле е1 , ограниченное на кривую х(и(t), v(t)).
Далее,
[De1]=/de1 'N лei)=/de1 'е2) =((е1)и'ez)dи+((е1)v' е2)dv.
dt \dt
\dt
dt
dt
С другой стороны, так как F = О,
и потому

Аналогично,
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
((e1)v, е1) = ~ ~·
2vEG
Вводя эти выражения в [Dw/ dt], окончательно получаем
[Dw]=-1 -{o dv -Е du}+ drp
dt 2.JEG и dt
vdtdt'
что завершает доказательство.
303
о
В качестве приложения предложения 3 докажем существование и единст­
венность параллельного переноса (предложение 2).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2. Предположим сначала, ЧТО пара­
метризованная кривая а : 1 ~ S содержится в координатной окрестности
ортогональной параметризации х(и, v). Тогда, в обозначениях предложе­
ния 3, условие параллелизма векторного поля w принимает вид
drp
1{dv
dи}
dt= - 2.JEG0иdt-Evdt =B(t).
Если обозначить rp0 величину ориентированного угла от хи до w0 , поле w
в целом определяется равенством
rp=rp0+f,
1
B(t) dt,
to
что доказывает существование и единственность w в этом случае.
Если а(!) не содержится в координатной окрестности, используем
компактность /, чтобы разбить а(!) на конечное число частей, каждая из
которых содержится в координатной окрестности. Используя доказанную
в первой части единственность в непустых пересечениях этих кусков, лег­
ко распространить результат на рассматриваемый случай.
О
Дальнейшим приложением предложения 3 является вывод следующе­
го выражения геодезической кривизны, известного как формула Лиувштя.
Предложение 4 (Лиувилль). Пусть a(s) - параметризация длиной
дуги окрестности точки р Е S регулярной ориентированной кривой С на
ориентированной поверхности S. Пусть х(и, v) - ортогонщ~ьная пара­
метризация S в р и qi(s) - угол, который х. образует с a'(s) в данной
ориентации. Тогда

304
ГЛАВА4
где (kg)1 и (kz)2 -
геодезические кривизны соответственно координат­
ных линий v =const и и =const.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Полагая w =a'(s) в предложении 3, получаем
k =-l-{G dv -Е du}+ dcp
g 2.JEG иds
vds ds·
Вдоль координатной линии v = const., и = и(s) мы имеем dv/ ds =О, dи/ ds =
= i/ГЕ; поэтому
Аналогично,
(k) =~
g 2 2a,JE·
Вводя эти выражения в предыдущую формулу для kg, получаем
г;:; dи
г,:::; dv dcp
kg =(kg)1vl:', ds +(kg)2vG ds + ds.
Так как
ГЕ~;= ( a'(s), ~) = coscp и ffi:= sincp,
окончательно получаем
что и требовалось.
kg = (kg)1 coscp +(kg)2 sincp + dcp,
ds
D
Выведем теперь уравнения геодезической в координатной окрестно­
сти. Для этого выберем параметризованную кривую у : ! ~ S на S и па­
раметризацию х(и, v) поверхности S в окрестности V точки y(t0 ), t0 Е /.
Пусть J с! - такой интервал, содержащий t0 , что y(J) с V. Пусть
x(u(t), v(t)), t Е J, -
выражение у: J ~ S в параметризации х. Тогда ка­
сательное векторное поле y'(t), t Е J, имеет вид
w=и'(t)xu +v'(t)xv.
Следовательно, тот факт, что поле w является параллельным, равносилен
системе дифференциальных уравнений
"г1(')
2
2г1''г1(')
2
о
И+11И +12ИV+22V
='
v" + Г121(и')2
+ 2Г1~и'v' + Гf2 (v')
2
=О,
(4)

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
305
получаемой из равенства ( 1), если положить а = и', Ь = v' и приравнять
нулю коэффициенты при хи и xv.
Другим словами, у : I --7 S есть геодезическая тогда и только тогда,
когда система (4) удовлетворяется для каждого интервала J с I, такого,
что y(J) содержится в координатной окрестности. Уравнения (4) называ­
ются дифференциальными уравнениями геодезических поверхности S.
Важным следствием того факта, что геодезические характеризуются
системой (4), является следующее предложение.
Предложение 5. Для данной точки р Е S и данного вектора WE
Е TP(S), w=F-0, существуют число .е>О и единственная параметризован­
ная геодезическая у: (-ё, .е), такая, что у(О) = р, у(О) = w.
В разделе 4.5 мы покажем, как предложение 5 можно вывести из тео­
рем о векторных полях.
Замечание. Причина выбора w =F- О в предложении 5 исходит из того
факта, что мы исключили постоянные кривые в определении параметризо­
ванных геодезических (ер. определение 8).
Мы используем остаток этого раздела, чтобы дать некоторые геомет­
рические приложения дифференциальных уравнений (4). Если читатель
желает, этот материал можно пропустить. В таком случае упражнения 18,
20 и 21 также должны быть пропущены.
Пример 5. Мы будем использовать систему (4) для локального изуче­
ния геодезических поверхности вращения (ер. пример 4 раздела 2.3) с па­
раметризацией
x=f(v)cosи, y=f(v)sinи, z=g(v).
Как в примере 1раздела4.3, символы Кристоффеля имеют вид
Г111=о, г2 -
ff'
г~-ff'
11- (f')2+(g')2' 12 - /2'
Г1~ =О, Гi2 =О, Г;f2 = f'f" + g'g"
(f')2 + (g')2 .
С учётом этих выражений, система (4) принимает вид
" 2/f'''
и +--иv =0
f2
'
v"_
f f' (и')2 + f'f" + f'g" (v')2 =О
(/')2 + (g')2
(/')2 + (g')2
.
Мы намерены получить некоторые следствия этих уравнений.
(4а)

306
ГЛАВА4
Во-первых, как ожидалось, меридианы и= const, v = v(s), параметри­
зованные длиной дуги s, являются геодезическими. В самом деле, первое
уравнение (4а) тривиально удовлетворяется функцией и= const. Второе
уравнение принимает вид
v"' + f'f"' + g'g" (v')2 =О.
(f')2 + (g')2
Поскольку первая основная форма вдоль меридиана и = const, v = v(s) даёт
((f')2 + (g')2)(v')2 = l,
заключаем, что
,2
1
(v) = (f')2 + (g')2 ·
Следовательно, в результате дифференцирования получаем
2v'v' = l(f'f' + g'g') v' = - l(f'f' + g'g"') (v')3
((f')2 +(g')2)2
(f')2 +(g')2
или, так как v' "# О,
v'=- f'f"'+g'g"' (v')2
(f')2 + (g')2
,
то есть вдоль меридиана второе из уравнений (4а) также удовлетворяется,
и это доказывает, что меридианы действительно являются геодезическими.
Теперь мы хотим определить, какие параллели v = const, и = u(s), па­
раметризованные длиной дуги, являются геодезическими. Первое из урав­
нений (4а) даёт и'= const, а второе принимает вид
ff' (и')2 =0
(f')2 + (g')2
.
Чтобы параллель v =const, и= u(s) была геодезической, необходимо, что­
бы и'"# О. Так как (/')
2
+ (g')
2
"#О и f "#О, из предыдущего уравнения за­
ключаем, что f' =О.
Другими словами, необходимое условие того, что параллель поверх­
ности вращения является геодезической, состоит в том, что эта параллель
порождается вращением точки производящей кривой, где касательная па­
раллельна оси вращения (рис. 4.19). Это условие, очевидно, достаточно,
так как оно означает, что нормаль параллели совпадает с нормалью по­
верхности (рис. 4.19).

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
307
Получим для дальнейшего использования интересное геометрическое
следствие первого из уравнений (4а), известное как уравнение Клеро. За­
метим, что первое из уравнений (4а) можно записать в виде
(f2
u')'=f
2
u" + 2ff'u'v' =О;
следовательно,
f 2u' = const =с.
С другой стороны, угол (), О~()~ л:/2, между геодезической и параллелью,
которая её пересекает, находится по формуле
Геодезическая
'--...
Рисунок 4.19
где {хи, xv} - базис, соответствующий данной параметризации. Так как
f = r есть радиус параллели в точке пересечения, получаем уравнение Клеро:
rcos8=const=1с1.
В следующем примере мы покажем, насколько полезно это уравнение.
Смотрите также упражнения 18, 20 и 21.
В заключение мы покажем, что систему (4а) можно проинтегрировать
в квадратурах. Пусть и = u(s), v = v(s) - геодезическая, параметризован­
ная длиной дуги, которую будем предполагать отличной от меридиана

308
ГЛАВА4
или параллели поверхности. Первое из уравнений (4а) тогда записывается
ввидеf2
u' = const =с* О.
Заметим, прежде всего, что первая основная форма вдоль (u(s), v(s))
(5)
вместе с первым из уравнений (4а) равносильна второму из уравнений (4а).
В самом деле, подставляя f 2и' =с в равенство (5), получаем
откуда в результате дифференцирования следует уравнение
которое равносильно второму уравнению (4а), так как (u(s), v(s)) не явля­
ется параллелью. (Конечно, геодезическая может касаться параллели, ко­
торая не является геодезической, и тогда v'(s) =О. Однако уравнение Кле­
ра показывает, что это случается только в изолированных точках.)
С другой стороны, поскольку с* О (так как геодезическая не является
меридианом), то u'(s)i'O. Отсюда следует, что можно обратить функцию
u=u(s), получая s=s(u), и потому v=v(s(u)). Умножая равенство (5)
на (ds 1du)
2
, получаем
или, учитывая, что (ds/ du)
2
=f
4
/ с2,
!2=с2+с2(f)2+(g')2(dv)2
f2
du'
то есть
dv1
!22
-=-!
-с
du с (!')
2
+ (g')
2
'

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
309
следовательно,
и= cf _!__ (/')
2
+ (g')
2
dv + const
f 12_с2
,
(6)
что является уравнением отрезка геодезической поверхности вращения, не
являющейся параллелью или меридианом.
Пример 6. Мы собираемся показать, что любая геодезическая парабо­
лоида вращения z = х
2
+ у 2 , не являющаяся меридианом, имеет бесконеч­
ное число точек самопересечения.
Пусть р0 - точка параболоида и Р0 - параллель радиуса r0 , прохо­
дящая через р0 . Пусть у - параметризованная геодезическая, проходя­
щая через р0 и образующая угол 80 с Р0 . Так как в силу уравнения Клеро,
rcose = const =с,
заключаем, что () возрастает вместе с r.
Поэтому, если мы следуем в направлении удлинения параллелей,
() возрастает. Может случиться на некоторых поверхностях вращения,
что у асимптотически приближается к меридиану. Мы скоро покажем, что
этого нет в случае параболоида вращения. То есть геодезическая у пересе­
кает все меридианы и потому совершает бесконечное число витков вокруг
параболоида.
С другой стороны, если мы следуем в направлении укорочения парал­
лелей, угол 8 убывает и стремится к нулевому значению, которое соответ­
ствует параллели радиуса j с j (заметим, что, если 80 7:- О, 1с1< r). Мы дока­
жем позже в этой книге, что ни одна геодезическая поверхности вращения
не может асимптотически приближаться к параллели, которая сама не яв­
ляется геодезической (раздел 4.7). Так как ни одна параллель параболоида
не является геодезической, геодезическая у действительно касается парал-
лели радиуса 1с 1в точке р1 • Так как 1 есть максимальное значение cos 8,
значение r возрастает, начиная от точки р1 • Мы, следовательно, находим­
ся в той же ситуации, что и прежде. Геодезическая будет совершать вокруг
параболоида бесконечное число витков в направлении возрастания r и бу­
дет, очевидно, пересекать другую ветвь бесконечное число раз (рис. 4.20).
Заметим, что, если 80 =О, начальным положением является точка р1 •

310
ГЛАВА4
Остаётся показать, что, когда r возрастает, геодезическая у пересека­
ет все меридианы параболоида. Отметим сначала, что геодезическая не
может касаться меридиана. В противном случае она должна совпасть
с меридианом в силу единственности (предложение 5). Так как угол (} воз­
растает вместе с r, если у не пересекает все меридианы, она должна асим-
птотически приближаться к меридиану, скажем, М.
Рисунок 4.20
Допустим, что это случилось, и выберем систему локальных коорди­
нат на параболоиде z = х
2
+у
2
, заданном уравнениями
x=vcosи, y=vsinи, z==v
2
,
O<v<+=,
0<и<2л:,
так, что соответствующая координатная окрестность содержит М как кри­
вую и = и0 . По предположению, и -t и0 при v -t =. С другой стороны,
уравнение геодезической у в этой системе координат (ер. уравнение (6)
в примере 5 и выберите такую ориентацшо на у, что с> О) имеет вид
так как
f1 1+4v
2
fdv
и=с--2
--
2
dv+const >с -+const,
vv-с
v
1 +4v
2
1
-2--2> .
v-с

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
311
Из предыдущего неравенства следует, что при v ~ оо и неограничен­
но возрастает, что противоречит асимптотическому приближению у к М.
Следовательно, у пересекает все меридианы, и это завершает доказатель­
ство утверждения, сделанного в начале данного примера.
УПРАЖНЕНИЯ
1. а. Покажите, что если кривая С с S одновременно является линией кри­
визны и геодезической, то она плоская.
Ь. Покажите, что если (нецилиндрическая) геодезическая является плоской
кривой, то она есть линия кривизны.
с. Приведите пример линии кривизны, которая является плоской, но не
геодезической.
2. Докажите, что кривая С с S одновременно является асимптотической
линией и геодезической тогда и только тогда, когда С есть прямая (отре­
зок прямой).
3. Покажите без использования предложения 5, что прямые являются
единственными геодезическими плоскости.
4. Пусть v и w - векторные поля вдоль кривой а: I ~ S. Докажите, что
!!_(v(t), w(t)) = (Dv, w(t)) + (v(t), Dw)·
dt
dt
dt
5. Рассмотрите тор вращения, порождаемый вращением кривой
(х-а)2
+z
2
=r
2
,
у=О,
вокруг оси z (а> r >О). Параллели, порождённые точками (а+ r, О),
(а - r, О), (а, r ), называются соответственно макси.мальной параллелью,
минимальной параллелью и верхней параллелью. Выясните, какая из этих
параллелей является
а) геодезической;

312
ГЛАВА4
Ь) асимптотической линией;
с) линией кривизны.
6. * Вычислите геодезическую кривизну верхней параллели тора в упраж­
нении 5.
7. Получите линию пересечения цилиндра х
2
+у2 =1 плоскостью, прохо­
дящей через ось х и образующей угол е с ху-плоскостью.
а. Покажите, что линия пересечения С есть эллипс.
Ь. Вычислите абсолютную величину геодезической кривизны С на цилин­
дре в вершинах эллипса.
8*. Покажите, что если все геодезические связной поверхности являются
плоскими кривыми, то поверхность лежит в плоскости или на сфере.
9*. Рассмотрите два меридиана С1 и С2 на сфере, образующие угол rp
в точке р1 • Совершите параллельный перенос касательного вектора w0
к С1 вдоль С1 и С2 из начальной точки р1 в точку р2 , где два меридиана
снова пересекаются, получая соответственно векторы w1 и w2 . Вычислите
угол ОТ W1 ДО Wz.
10*. Покажите, что геодезическая кривизна ориентированной кривой
С с S в точке р Е С равна кривизне плоской кривой, полученной проеци­
рованием С на касательную плоскость Tp(S) параллельно нормали к по­
верхности в р.
11. Сформулируйте точно и докажите утверждение: алгебраическая вели­
чина ковариантной производной инвариантна относительно изометрий,
сохраняющих ориентацию.
12*. Мы говорим, что множество регулярных кривых на поверхности S
есть дифференцируемое семейство кривых на S, если касательные к кри­
вым множества образуют дифференцируемое поле направлений (см. раз­
дел 3.4). Предположите, что поверхность S допускает два дифференци-

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
313
руемых ортогональных семейства геодезических. Докажите, что гауссова
кривизна S равна нулю.
13*. Пусть V- связная окрестность точки р поверхности S и параллель­
ный перенос между любыми двумя точками V не зависит от кривой, со­
единяющей эти две точки. Докажите, что гауссова кривизна V равна нулю.
14. Пусть S - ориентированная регулярная поверхность и а: 1 ~ S -
кривая, параметризованная длиной дуги. В точке р = a(s) рассмотрим три
единичных вектора (репер Дарбу): T(s) = a'(s), N(S) - нормальный век­
тор S в точке р, V(s) = N(s) л T(s). Покажите, что
dT
-=O+aV+bN,
ds
dV
-= -aT+O+cN
ds
'
dN
- =-bT-cV+O
ds
'
где а= a(s), Ь = b(s), с= c(s), s Е /. Предыдущие формулы являются ана­
логами формул Френе для репера Т, V, N. Чтобы установить геометриче­
ский смысл коэффициентов, докажите, что
а) с = -(dN/ ds, V}; заключите отсюда, что а(!) с S является линией кри­
визны тогда и только тогда, когда с= О (с называется геодезическим кру­
чением а; ер. упражнение 19 раздела 3.2);
Ь) Ь равно нормальной кривизне а(!) с S в точке р;
с) а равно геодезической кривизне а(/) с S в точке р.
15. Пусть р0 - полюс единичной сферы S 2 и q, r - две такие точки на
соответствующем экваторе, что меридианы p 0 q и p 0r образуют угол В
в р0 . Рассмотрите единичный вектор v, касательный к меридиану p 0q
в р0 , и совершите параллельный перенос v вдоль замкнутой кривой, обра­
зованной меридианом p 0 q, параллелью qr и меридианом rp0 (рис. 4.21).

314
ГЛАВА4
Рисунок 4.21
а. Найдите угол между конечным положением v и v.
Ь. Проделайте то же самое, когда точки р, q лежат вместо экватора на па­
раллели с коширотой ер (ер. пример 1).
16*. Пусть р
-
точка ориентированной поверхности S, и пусть сущест­
вует окрестность р на S, все точки которой параболические. Докажите,
что (единственная) асимптотическая линия, проходящая через р, является
открытым отрезком прямой. Приведите пример, показывающий, что усло­
вие существования окрестности из параболических точек существенно.
17. Пусть а: 1 ~s - кривая, параметризованная длиной дуги s, с нену­
левой кривизной. Рассмотрите параметризованную поверхность (раз­
дел 2.3)
x(s,v)=a(s)+vb(s), SE !, -e<v<e, е>О,
где Ь -вектор бинормали а. Докажите, что если е мало, то x(Jx(-e, е)) =
= S есть регулярная поверхность, на которой a(I) является геодезической
(таким образом, каждая кривая является геодезической на поверхности,
порождаемой её бинормалями).
18*. Рассмотрите геодезическую, которая выходит из точки р верхней по­
лости (z >О) гиперболоида вращения х
2
+у2
-
z
2
= 1 и образует угол В
с параллелью, проходящей через р, такой, что cos е = 1/ r, где r - рас-

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
315
стояние от р до оси z. Покажите, что геодезическая в направлении укоро­
чения параллелей асимптотически приближается к параллели х2 + у 2 = 1,
z =О (рис. 4.22).
z
х
Рисунок 4.22
19*. Покажите, что, когда дифференциальные уравнения (4) геодезических
отнесены к длине дуги, второе уравнение (4), за исключением координат­
ных линий, является следствием первого уравнения (4).
20*. Пусть Т
-
тор вращения, который будем предполагать заданным па­
раметризацией (ер. пример 6 раздела 2.2)
х(и,v) =((r cosu+а)cosv, (r cosи+ a)sinv), rsinи).
Докажите, что
а) если геодезическая касается параллели и= 7r/2, то она полностью со­
держится в замкнутой области Т, заданной неравенствами
Jr
Jr
-2~и~2'
Ь) геодезическая, которая пересекает параллель и= О под углом (}
(О<(}< л:/2), пересекает также параллель и= л:, если
a-r
cos{}<--.
a+r

316
ГЛАВА4
21. Поверхностями ЛиувШ1Ля называются поверхности, на которых можно
ввести систему локальных координат х(и, v) таким образом, что коэффи­
циенты первой основной формы имеют вид
E=G=U+V, F=O,
где И= И(и) - функция только от и, а V = V(v) - функция только от v.
Заметьте, что поверхности Лиувилля являются обобщением поверхностей
вращения, и докажите, что (ер. пример 5)
а) геодезические поверхности Лиувилля могут быть найдены в квадра­
турах в виде
fdu
Jdv
г;-;--- = ± г;-;-:- + CJ '
'\/И-с
'\/V+c
где с и с1 - постоянные, которые зависят от начальных условий;
Ь) если (), О$()$ л:/2, - угол, который геодезическая образует с кривой
v=const, то
И sin
2
{}- Vcos
2
{} = const.
(Заметьте, что это - аналог уравнения Клеро для поверхностей Лиувилля).
22.Пусть S 2
={(x,y,z)ER 3 ;x
2
+y
2
+z
2
=1} и pES2
.
Пусть для каждой
кусочно регулярной параметризованной кривой а.: [О,/]~ S 2
, где а.(О) =
=а.(/)= р, Р": TP(S 2
) ~ TP(S2
) - отображение, которое сопоставляет ка­
ждому вектору vE T/S2
) результат его переноса вдоль а обратно в р.
По предложению 1, Р" есть изометрия. Докажите, что для каждого поворо­
та R ruюскости T/S) существует такая кривая а, что R = Ра.
23. Покажите, что изометрии единичной сферы
S2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1}
являются оrраничениями на S 2 линейных ортогональных преобразова­
нийR3
.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
317
4.5 . Теорема Гаусса-Бонне и её приложения
В этом разделе мы представим теорему Гаусса-Бонне и её следствия.
Геометрическое содержание теоремы довольно просто, но трудность дока­
зательства заключена в некоторых топологических фактах. Эти факты бу­
дут приведены без доказательства.
Теорема Гаусса-Бонне, возможно, является наиболее глубокой теоре­
мой дифференциальной геометрии поверхностей. Первый вариант этой
теоремы был приведён Гауссом в знаменитой работе [1] и имеет дело
с геодезическими треугольниками на поверхности (то есть треугольника­
ми, стороны которых являются дугами геодезических). Говоря упрощённо,
она утверждает, что избыток над n суммы внутренних углов rp1, rp 2 , rp 3 гео-
дезического треугольника Т равен интегралу от гауссовой кривизны К
по Т, то есть (рис. 4.23)
3
L({J; -n = ffт К d(J.
i=l
Рисунок 4.23. Геодезический треугольник
Например, если К ==О, получаем, что L (/); = n, что является распро­
странением теоремы Фалеса школьной геометрии на поверхности нулевой
кривизны. Далее, если К == 1, получаем, что избыток L (/); - n равен пло­
щади Т, которая больше нуля. Таким образом, на единичной сфере сумма
внутренних углов любого геодезического треугольника больше n: и избы­
ток над n в точности равен площади Т. Аналогично, на псевдосфере (уп­
ражнение 6 раздела 3.3) сумма внутренних углов любого геодезического
треугольника меньше n: (рис. 4.24).
Распространение теоремы на замкнутую область, ограниченную не­
геодезической простой кривой (см. равенство (1) внизу), принадлежит
О. Бонне. Для более широкого её распространения, скажем на компактные
поверхности, будут привлечены некоторые топологические соображения.

318
ГЛАВА4
Фактически одной из наиболее важных черт теоремы Гаусса-Бонне явля­
ется то, что она даёт замечательное соотношение между топологией ком­
пактной поверхности и интегралом от её кривизны (см. следствие 2 внизу).
Рисунок 4.24
Начнём теперь детальное изложение локального варианта теоремы
Гаусса-Бонне.
Пусть а: [О,/] ~ S - непрерывное отображение замкнутого проме­
жутка на регулярную поверхность S. Мы говорим, что а
-
простая,
замкнутая, кусочно регулярная кривая, если
1) а(О) =а(/);
2) из t1 * t2 , t1, t2 Е [О,!), следует, что a(t1) *- a(t2);
3) существует такое разбиение
О=t0 <t1<...<tk <tk+J =Z
отрезка [О,/], что а дифференцируема и регулярна на каждом отрезке
[t;,t;+1], i=O, ... ,k.
В интуитивном представлении это означает, что а есть замкнутая
кривая (условие 1) без самопересечений (условие 2), для которой условие
существования корректно определённой касательной не выполняется толь­
ко в конечном числе точек (условие 3).
Точки a(t;), i = O, ... ,k, называются вершинами а, а следы a([t;,t;+1]) -
регулярными дугами а. Обычно след а([О, !]) называют кусочно регуляр­
ной кривой.
В силу условия регулярности, для каждой вершины a(t;) существуют
предел слева, то есть, при t < t;,
lima'(t) = d(t; -0) *-О,
t-4ti

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
319
и предел справа, то есть, при t > ti,
lima'(t) = a'(t; +О)-::/. О.
t---?l;
Предположим теперь, что S ориентирована, и пусть 1О; 1, О< 1О; 1::::; л:, -
наименьшее значение величинь1 угла от a'(t; -0) до a'(t; +О). Если 1О;1 "# л:,
мы приписываем О; знак определителя (a'(t; - О), a'(t; +О), N). Это означа­
ет, что, если вершина a(t;) не является «точкой возврата» (рис. 4.25),
знак Oi задаётся ориентацией S. Ориентированный угол Oi,
-
п<Oi<л:,
называется внешним углом при вершине a(t;).
В случае когда вершина a(t;) является точкой возврата, то есть
1О;1= л:, мы выбираем знак О; следующим образом. В силу условия
регулярности существует такое число Е/ > О , что определитель
(a'(t; -е), a'(t; + е), N) не меняет знака при всех О< е < е'. Припишем ()i
знак этого определителя (рис. 4.26).
Рисунок 4.25
(),=--'IГ
Рисунок 4.26. Знак внешнего угла в случае точки возврата

320
ГЛАВА4
Пусть х: И с R 2 ~ S - параметризация, совместимая с ориентацией S.
Предположим далее, что И гомеоморфно открытому кругу в плоскости.
Пусть а: [О,/)~ х(И) с S - простая, замкнутая, кусочно регулярная
кривая с вершинами a(ti) и внешними углами Oi, i = O, ... ,k.
Пусть (/J;: [t;, ti+l] ~ R - дифференцируемые функции, которые вы­
ражают при любом tE [t;, t;+i] величину положительного угла от хи до
a'(t) (ер. лемму 1раздела4.4).
Первый топологический факт, который мы приведём без доказатель­
ства, следующий.
Теорема (о повороте касательных). В предыдущих обозначениях
k
k
I<(/Jj c1i+1)- {/Jj <ti)) + I oj = ±2ir,
i=O
i=O
где знак «плюс» wrи «минус» зависит от ориентации а.
Теорема утверждает, что сумма полного изменения угла касательного
вектора а с заданным направлением и «скачков» в вершинах равна 2ir.
Изящное доказательство этой теоремы дано в работе Н. Hopf, Coтpo­
sitio Math. 2 (1935), 50--62. Для случая, когда а не имеет вершин, доказа­
тельство Хопфа можно найти в разделе 5.7 (теорема 2) этой книги.
Прежде чем сформулировать локальный вариант теоремы Гаусса­
Бонне, нам потребуется ещё некоторая терминология.
Пусть S - ориентированная поверхность. Замкнутая область R с S
(объединение связного открытого множества и его границы) называется
простой областью, если R гомеоморфна кругу, а граница дR области R
является следом простой, замкнутой, кусочно гладкой параметризованной
кривой а: l ~ S. Мы говорим тогда, что а поло:жителыю ориентирована,
если для любой точки a(t), принадлежащей регулярной дуге, положитель­
ный ортогональный базис {a'(t), h(t)} удовлетворяет условию, что h(t)
«направлен к R»; более точно, для любой кривой /J: 1 ~R, где
fJ(O) = a(t) и fJ'(O) =/. a'(t) мы имеем, что (/З'(О), h(t)) >О. Интуитивно это
означает, что если некто движется по кривой а в положительном направ­
лении и его голова указывает направление N, то область R остаётся слева
(рис. 4.27). Можно показать, что одна из двух возможных ориентаций а
делает её положительно ориентированной.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
321
N
Рисунок 4.27 . Положительно ориентированная граничная кривая
Пусть теперь х : И с R 2 ~ S - параметризация S, совместимая с её
ориентацией, и пусть R с х(И) - ограниченная замкнутая область S. Ес­
ли f - дифференцируемая функция на S, то легко видеть, что интеграл
fi-i(R/(и,v)~EG-F2 dиdv
не зависит от параметризации х, выбранной из класса ориентаций х. (До­
казательство такое же, как при определении площади; ер. раздел 2.5.) Этот
интеграл имеет поэтому геометрический смысл и называется интегралом
от f по области R. Удоб но обозначать его символом
С этими определениями сформулируем теперь теорему.
Теорема Гаусса-Бонне (Локальная теорема Гауса-Бонне). Пусть
х: И~ S - ортогональная паршwетризацwz (то есть F ==О) ориентиро-
ванной поверхности S, где И с R 2 гомеоморфна открытому кругу и х
совместима с ориентацией S. Пусть R с х(И) - простая, зшwкнутая об­
ласть S и а: 1 ~ S такова, что дR = a(J). Предполо:жим, что а поло­
:жительно ориентирована, паршwетризована длиной дуги s, и пусть
a(s0 ), •. • ,a(sk) и В0 " .. ,Bk суть соответственно вершины и внешние уг­
лы а. Тогда
(!)
где kg(s) - геодезическая кривизна регулярных дуг а и К - гауссова кри­
визна S.

322
ГЛАВА4
Замечание. Требование, чтобы область R содержалась в образе И
при ортогональной параметризации, нужна только для упрощения доказа­
тельства. Как мы увидим позже (следствие 1 глобальной теоремы Гаусса­
Бонне), предыдущий результат по-прежнему сохраняется для любой простой
области реrулярной поверхности. Это вполне правдоподобно, поскольку ра­
венство ( 1) не содержит никаким образом конкретной параметризации. *
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть и= u(s), v = v(s) - уравнения а в парамет­
ризации х. Используя предложение 3 раздела 4.4, получаем
k(s)=-1-{Gи dv -Ev du}+ drp;,
g
2.JEG
ds
ds ds
гдеrр; = 'P;(s) - дифференцируемая мера положительного угла от хи до
a'(s) на [s;, s;+ 1 ]. Интегрируя предыдущее равенство по каждому проме­
жутку [s;, si+1] и складывая результаты, получаем
Используем теперь теорему Гаусса-Грина для uv -плоскости, которая
утверждает следующее: если Р(и, v) и Q(u, v) - дифференцируемые
функции в простой замкнутой области А с R 2 , граница которой задана
уравнениями и = u(s), v = v( s), то
±Г+l(Раи +Qdv)ds= ff (дQ _ дР)аиdv.
i=O s;
ds
ds
Адидv
Отсюда следует, что
~J;нi kg(s)ds = Hx-1(S) {( 2Jia} +( 2Jic)Jdиdv+
+ ±г+l drp; ds.
i=O S;
ds
' Если принять без доказательства это утверждение, данные mm<e пр1тоження 2 и 6 можно привести
сейчас.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
323
Из урвнения Гаусса при F =0 (ер. упражнение 1 раздела 4.3) мы знаем,
что
ffx- 1(R) {( 2ka )v +( 2Sfu)Jdиdv=-ffx-1 кГЕ{; dudv =
=-fJR Kda.
С другой стороны, по теореме о повороте касательных,
k
d
k
k
IJ:i+l _!l!i_ds = l:CIPi(si+l)-ip;(s;)) = ±2п- - rei.
i=O'ds
i=O
i=O
Так как кривая а положительно ориентирована, знак должен быть
«ПЛЮС», как можно легко видеть в частном случае окружности в плос­
кости.
Объединяя эти результаты, получаем
k
k
rJ;i+l kg(s)ds + Ня к da + rei = 2п-.
о
i=O
'
i=O
Прежде чем перейти к глобальному варианту теоремы Гаусса-Бонне,
мы хотим показать, как техника, использованная в доказательстве этой
теоремы, может также быть использована для истолкования гауссовой
кривизны в терминах параллелизма.
Чтобы сделать это, введём в рассмотрение ортогональную параметри­
зацию х:И4 S вточке рЕS ипростуюобласть Rсх(И) безвершин,
содержащую р как внутренmою точку. Пусть а: [О,/]~ х(И) - такая
кривая, параметризованная длиной дуги s , что след а является гра­
ницей R. Пусть w0 - единичный вектор, касательный к S в точке а(О),
и w(s), sE (О,/], - результат параллельного переноса w0 вдоль а
(рис. 4.28). Используя предложение 3 раздела 4.4 и теорему Гаусса-Грина
для uv -плоскости, получаем
О=J~[~:]ds =
= r'~cdv-Еdu}ds+r'dip=
Jo 2ГEGL и ds
vds
Jo ds
= -JJRКda +ip(l) - ip(O),
где ip = ip(s) - дифференцируемая мера угла от хи до w(s). Отсюда следу­
ет, что rp(l)-qJ(_O) = Лrр равно
Лrр= ffя Kda.
(2)

324
ГЛАВА4
Далее, Лrр не зависит от выбора w0 и, как следует из предыдущего
выражения, не зависит также от выбора а(О). Переходя к пределу (в смыс­
ле предложения 2 раздела 3.3)
w(I)
lim Лrр = К(р),
R-->p A(R)
Рисунок 4.28
w(s)
где A(R) обозначает площадь области R, мы получаем искомую интер­
претацию К.
Чтобы глобализовать теорему Гаусса-Бонне, нам нужны дополни­
тельные предварительные топологические факты.
Пусть S - регулярная поверхность. Замкнутая область R с S назы­
вается регулярной, если R компактна и её граница дR является объедине­
нием конечного числа (простых) замкнутых, кусочно регулярных кривых,
которые не пересекаются (область на рис. 4.29, а регулярна, но на
рис. 4.29, Ь нерегулярна). Для удобства мы будем считать компактную по­
верхность регулярной, замкнутой областью, граница которой пуста.
(Ь)
Рисунок 4.29

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
325
Простая замкнутая область, которая имеет только три вершины
с внешними углами а.; * О, i = 1, 2, 3, называется треугольником.
Триангуляцией регулярной, замкнутой области R с S называется та­
кое конечное семейство :J треугольников 1j, i =l, ... , п, что
1) U7~iI;=R;
2) если 1jГ\Tj *ф, то 1jГ\Tj есть либо общая сторона Т; иTj, либо
общая вершина 1j и Tj.
Для данной триангуляции :J регулярной, замкнутой области R с S
поверхности S будем обозначать буквой F число треугольников (граней),
буквой Е - число сторон (рёбер) и буквой V - число вершин триангу­
ляции. Число
F-E+V=z
называется характеристикой Эйлера-Пуанкаре триангуляции.
Следующие предложения приводятся без доказательства. Изложение
этих результатов можно найти, например, в книге L. Ahlfors and L. Sario,
Riетапп Sиrfaces, Princeton University Press, N.J ., 1960, Chap. l .
Предложение 1. Каждая регулярная ЗGJ';tкнутая область регулярной
поверхности допускает триангуляцию.
Предложение 2. Пусть S - ориентированная поверхность и {х"'},
<ХЕ А, - семейство параметризаций, совместимых с ориентацией S.
Пусть R с S - регулярная, ЗаJ';tкнутая область S. Тогда существует та­
кая триангуляция :J области R, что каждый треугольник ТЕ :J содер­
жится в некоторой координатной окрестности семейства {хо.}. Кро.ме
того, если граница ка:нсдого треугольника из :J положительно ориенти­
рована, смежные треугольники определяют противоположные ориента­
ции на общей стороне (рис. 4.30).
Рисунок 4.30

326
ГЛАВА4
Предложение 3. Если R с S - регулярная замкнутая область поверх­
ности S, характеристика Эйлера-Пуанкаре не зависит от триангуляции R.
Удобно поэтому обозначать её X(R).
Последнее предложение показывает, что характеристика Эйлера­
Пуанкаре является топологическим инвариантом реrулярной, замкнутой
области R. В качестве приложения теоремы Гаусса-Бонне мы укажем
важный факт, что этот инвариант позволяет дать топологическую класси-
фикацию компактных поверхностей в R 3
.
Следует заметить, прямое вычисление показывает, что характеристика
Эйлера-Пуанкаре сферы равна 2, тора (сфера с одной «ручкой»;
см. рис. 4.31) - нулю, двойного тора (сфера с двумя ручками)
-
минус
двум и, вообще, характеристика п - тора (сфера с п ручками) равна
-2(п-1).
Сфера. z=2.
Сфера с одной ручкой. Z = О.
Сфера с двумя ручками. z = - 2,
Тор.
2-тор.
Рисунок 4.31
Следующее предложение показывает, что этот список исчерпывает все
компактные поверхности в R 3
.
Предложение 4. Пусть S с R 3
-
компактная, связная поверхность;
тогда характеристика Эйлера-Пуанкаре X(S) принимает одно из значе-
ний: 2,О,-2, ... ,-2п, . . .. Кроме того, если S'cR
3
-
другая компактная
поверхность и z(S) =z(S'), то S гомеоморфна S'.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
327
Другими словами, каждая компактная, связная поверхность S с R 3
гомеоморфна сфере с некоторым числом g ручек. Число
2-x(S)
g=
2
называется родом поверхности S.
Наконец, пусть R с S -- регулярная, замкнутая область на ориенти­
рованной поверхности S и 'J - такая триангуляция R, что каждый тре­
угольник~ Е 'J, j = 1, ... ,k,содержится в координатной окрестности хiИ)
семейства параметризаций {ха}, аЕ А, совместимой с ориентацией S.
Следующее предложение показывает, что имеет смысл говорить об инте­
грале от f по области R.
Предложение 5. В прежних обозначениях qмма
k
L,Jf_ 1
f(uj,v)~Ep1 -F/dujdvj
j~I xj (7;)
не зависит от триангуляции 'J или от семейства {х) параметризаций S.
Эта сумма имеет, следовательно, геометрический смысл и называется
интегратюм от f по регулярной замкнутой области R. Он обычно обо­
значается символом
Теперь мы в состоянии сформулировать и доказать теорему.
Глобальная теорема Гаусса-Бонне. Пусть R с S - замкнутая, регу­
лярная область ориентированной поверхности и С1 " •• Сп - замкнутые,
простые, кусочно регулярные кривые, которые образуют границу дR об­
ласти R. Предположим, что каждая кривая С; положительно ориентиро­
вана и В1" •. ,()Р -множество всех внешних углов кривых CI' .. . ,Сп. Тогда
где s обозначает длину дуги С;, а интеграл по С; означает g;мму инте­
гралов по каждой регулярной дуге С;.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим такую триангуляцию 'J области R, что
каждый треугольник т1 содержится в координатной окрестности семейст­
ва ортогональных параметризаций, совместимых с ориентацией S. Такая

328
ГЛАВА4
триангуляция существует по предJюжению 2. Кроме того, если граница
каждого треугольника :J положительно ориентирована, мы получаем про­
тивоположные ориентации на сторонах, которые являются общими для
смежных треугольников (рис. 4.32).
Применяя к каждому треугольнику локальную теорему Гаусса-Бонне
и суммируя результаты, получаем, с использованием предложения 5 и того
факта, что каждая «внутренняя» сторона проходится дважды в противо­
положных направлениях,
F,3
Lfc kg(s)ds + JJRк da + L ()Jk = 2;cF,
i1
j,k=l
где F обозначает число треугольников :J , а (}л, (}j 2 , (}j 3 суть внешние углы
треугольника ~-
Введём теперь внутренние углы треугольника TJ, полагая rp Jk == ;с -
-
() Jk . Таким образом,
~)jk = _Lл-_L91jk =3лF-_L91ik"
j,k
j,k
j,k
j,k
Рисунок 4.32
Используем следующие обозначения:
Ее - число внешних углов :J,
Е; - число внутренних углов :J,
Ve - ЧИСЛО ВНеШнИХ вершин :J,
V; - число внутренних вершин :J .

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
329
Так как кривые С; замкнутые, Ее = Ve. Кроме того, легко доказать индук­
цией, что
3F=2E; +Ее,
и, следовательно,
'f.e1k =2rrE; +rrEe -'f.1P1k·
j,k
j,k
Заметим теперь, что внешние вершины моrут быть либо вершинами неко­
торой кривой С;, либо вершинами, введёнными трианrуляцией. Положим
Ve = Vec + Ve 1 , где Vec - число вершин кривых С;, а Vez - Число внешних
вершин трианrуляции, которые не являются вершинами некоторой кри­
вой С;. Так как сумма углов вокруг каждой внутренней вершины рав-
на 2rr, получаем
'f.01k =2rrE; +rrEe -2rrV; -rrVet - 'f.(rr-0;).
j,k
i
Прибавляя и вычитая л:Ее в предыдущем выражении и принимая во вни­
мание, что Ее= Ve, заключаем, что
'f.e1k =2л:Е; +2rrEe -2л:V; -л:Ve-л:Vez -л:Vес + 'f.B; =
j,k
= 2л:Е - 2л:V +LО;.
i
Собирая всё вместе, окончательно получаем
п
р
'f.fc kg(s)ds+ ffяк du+ 'f.O; =2rr(F-E + V)=
i=l
1
i=l
= 2nx(R).
о
Так как характеристика Эйлера-Пуанкаре простой, замкнутой облас­
ти, очевидно, равна 1, мы получаем (ер. замечание 1)
Следствие 1. Если R - простая замкнутая область S, то
k
.
k
L.Г' kg(s)ds+ Н к da+ z/1; =2я.
i=O s1
R
i=O
Учитывая тот факт, что компактную поверхность можно рассматри­
вать как область с пустой границей, получаем
Следствие 2. Пусть S
-
ориентируемая, компактная поверхность;
тогда

330
ГЛАВА4
Следствие 2 - наиболее поразительное. Мы должны только предста­
вить себе все возможные формы поверхности, гомеоморфной сфере, чтобы
с удивлением обнаружить, что в каждом случае кривизна распределяется
так, что «полная» кривизна, то есть JJ К da, одна и та же во всех случаях.
Далее мы представим некоторые приложения теоремы Гаусса-Бонне.
Для этих приложений (и для упражнений в конце раздела) удобно принять
без доказательства основной факт топологии плоскости (теорему о жорда­
новой кривой), которую мы будем использовать в следующей формули­
ровке: каждая кусочно регулярная кривая в rиюскости (следовательно, без
самопересечений) является границей простой, замкнутой области.
1. Компактная поверхность положительной кривизны гомеоморфна сфе­
ре. Характеристика Эйлера-Пуанкаре такой поверхности положительна,
и сфера есть единственная компактная поверхность в R 3
, которая удовле­
творяет этому условию.
2. Пусть S - ориентируемая поверхность отрицательной или нулевой
кривизны. Тогда две геодезические }\ и у2 , которые выходят из точки
рЕ S, не могут снова пересечься в точке qE S так, чтобы следы }\ и у2
составили границу простой, замкнутой области R поверхности S.
Предположим противное. По теореме Гаусса-Бонне ( R - простая об­
ласть),
ffRKd0"+8i +82 =21l,
где 01 и 02 - внешние углы области R. Так как геодезические }\ и у2
не могут касаться друг друга, то ei <те, i = 1, 2. С другой стороны, К :S О,
что приводит к противоречию.
Когда ()1 = ()2 = О, следы геодезических }\ и У2 составляют простую,
замкнутую геодезическую S (то есть замкнутую, регулярную кривую, ко­
торая является геодезической). Отсюда следует, что на поверхности нуле­
вой или отрицательной кривизны не существует простой, замкнутой геоде­
зической, которая является границей простой области S.
3. Пусть S - поверхность, гомеоморфная цилиндру, с гауссовой кривиз­
ной К <О. Тогда S имеет, самое большее, одну простую, замкнутую гео­
дезическую.
Предположим, что S одну простую, замкнутую геодезическую Г. По
приложению 2 и поскольку существует гомеоморфизм qJ поверхности S
на плоскость Р без одной точки qE Р, qJ(Г) есть граница простой, замк­
нутой области Р, содержащей q.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
331
Допустим теперь, что S содержит ещё одну простую, замкнутую гео­
дезическую Г'. Мы утверждаем, что Г' не пересекает Г. В противном
случае дуги iр(Г) и iр(Г') между двумя «соседними» точками пересече­
ния r1 и r2 должны быть границей простой области, что противоречит
приложению 2 (см. рис. 4.33). В силу предыдущих рассуждений l{J(Г')
вновь является границей простой области R плоскости Р, содержащей q,
внутренность которой гомеоморфна цилиндру. Таким образом, X(R) ==О.
С другой стороны, по теореме Гаусса-Бонне,
Д,-i(R) К da == 211:y.,(R) == 0,
что противоречит условию К <О.
Рисунок 4.33
4. Если существуют две простые, замкнутые геодезические Г1 и Г2 на
компаюпной поверхности S положительной кривизны, то Г1 и Г2 пересе­
каются.
По приложению 1, S гомеоморфна сфере. Если Г1 и Г2 не пересека-
ются, то множество, образованное Г1 и Г2 , является границей области,
характеристика Эйлера-Пуанкаре которой X(R) ==О. По теореме Гаусса­
Бонне,
что противоречит условию К >О.
5. Докажем следующий результат, принадлежащий Якоби: пусть
а:J4R
3
-
замкнутая, регулярная, параметризованная кривая с нену­
левой кривизной. Предположим, что кривая, описываемая нормальным

332
ГЛАВА4
вектором п(s) на единичной сфере S 2 (индикатриса нормШ1еЙ), является
простой. Тогда п(!) разбивает S2 на две области с равными rиющадями.
Мы можем считать, что а параметризована длиной дуги. Пусть s
2
-
обозначает длину дуги кривой п == п(s) на S . Геодезическая кривизна kg
кривой п(s) равна
fg==(п,плп),
где точка обозначает дифференцирование по s. Так как
.
dпds
ds
п = -- = (-kt-7:b)-,
ds dS
dS
n=(-kt-7:b)d2s +(-k't-t'b)(ds)2 -(k2 +<2)п(ds)2,
dS2
dS
dS
и
получаем
kg =(плn,n)= ds ((kb-<t),n)=(ds)
3
(-kt'+k'<)=
dS
dS
=
<'k - k'< ds = _!!.._ arctg(!_) ds .
k2+7:
2
dS ds
kdS
Таким образом, применяя теорему Гаусса-Бонне к одной из облас­
тей R, ограниченных п(!), и используя тот факт, что К =1, получаем, что
что равно площади R. Так как площадь S 2 равна 4ir, получен искомый ре
зультат.
6. Пусть Т
-
геодезический треугольник (то есть стороны Т - геоде­
зические) ориентированной поверхности S. Пусть 81, 82 , 83 - внешние
углы Т иср1=ir-81, ср2=ir-82, ср3=ir-03 -
его внутренние углы.
По теореме Гаусса-Бонне,
3
ffтк dCJ + L В;= 2ir.
i=l

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
333
Таким образом,
3
3
JSтКdu =2л: - ~)л:
-
q.i;) =-л: +L <Р;·
i=l
i=I
Отсюда следует, что сумма внутренних углов L~=l <Р; геодезического
треугольника
1) равна л:, если К= О;
2) больше л:, если К> О;
3) меньше л:, если К< О.
Кроме того, разность z::~1 1J'; -я (дефект Т) строго равна fJт К dcr.
Если К-:/= О на Т, это есть площадь образа N(T) области Т при гауссовом
отображении N: S ~ S 2 (ер. равенство (12) раздела 3.3). В этом виде сам
Гаусс сформулировал свою теорему: дефект геодезического треугольни­
ка Т равен площади его сферического образа N(T).
Предыдущий факт относится к историческим опровержениям возмож­
ности доказать пятый постулат Евклида (аксиома параллельности), из кото­
рого следует, что сумма внутренних углов любого треугольника равна л:.
Рассматривая геодезические как прямые, можно показать, что поверхности
постоянной отрицательной гауссовой кривизны представляют (локальную)
модель геометрии, где все аксиомы Евклида выполняются, кроме пятого по­
стулата и аксиомы, которая гарантирует возможность неограниченного
продолжения прямых. На самом деле Гильберт показал, что в R 3 не суще­
ствует поверхности постоянной отрицательной кривизны, геодезические ко­
торой можно бесконечно продолжать (псевдосфера примера 6 раздела 3.3,
имеет ребро из особых точек). Следовательно, поверхности в R 3 постоян­
ной отрицательной кривизны не являются моделью для проверки независи­
мости одного только пятого постулата. Однако, используя понятие абст­
рактной поверхности, можно избежать этого неудобства и построить модель
геометрии, где все аксиомы Евклида, кроме пятого постулата, выполняются.
Этот постулат, следовательно, независим от остальных.
В разделах 5.1 О и 5.11 мы докажем только что упомянутый результат
Гильберта и опишем абстрактную модель неевклидовой геометрии.
7. Векторные поля на поверхностях.* Пусть v - дифференцируемое век­
торное поле на ориентированной поверхности S. Мы говорим, что рЕ S
• Дл я этого пр ю ю ж е н и я тре буе тся мате риал раз де ла 3.4. Если раздел был пропущен, упражliения 6-9
этого раздела также следует пропустить.

334
ГЛАВА4
есть особая точка v, если v(p) =О. Особая точка называется изолирован­
ной, если существует такая окрестность V точки р на S, что v не имеет
особых точек в V, кроме р.
Каждой изолированной особой точке р векторного поля v сопоста­
вим число, индекс v, определяемое следующим образом. Пусть
х: И--? S - ортогональная параметризация в р = х(О, О), совместимая
с ориентацией S, и пусть а: [О,!]--? S - простая, замкнутая, кусочно ре­
гулярная параметризованная кривая, такая, что а([О, /])с x(U) есть грани­
ца простой замкнутой области R, содержащей р как единственную осо­
бую точку. Пусть v == v(t), t Е [О,/], - ограничение v на а, и пусть
rp = rp(t) - некоторая дифференцируемая мера угла от хи до v(t), опреде­
лённая в лемме 1 раздела 4.4 (которую легко можно распространить на ку­
сочно гладкие регулярные кривые). Так как а замкнута, существует чис­
ло l, определяемое равенством
27r/ = rp(/)-rp(O) = r
1
drp dt.
Jo dt
1 называется индексом v в точке р.
Мы должны показать, что это определение не зависит от выбора, пре­
жде всего, параметризации х. Пусть w0 Е Та.(О) (S) и w(t) - результат па-
раллельного переноса w0 вдоль а. Пусть lfl(t) - дифференцируемая мера
угла от хи до w(t). Тогда, как мы видели в интерпретации К в терминах
параллельного переноса (ер. равенство (2)),
lf/(l) -1[1(0) = ffя К da.
Вычитая одно предыдущее равенство из другого, получаем
ffR к dст- 2я! = (ljl- rp)(l)-(ljl- rp)(O) = Л(ljl- rp).
Так как lfl - rp не зависит от xu, индекс 1 не зависит от параметризации х.
Доказательство того, что индекс не зависит от выбора а, технически
более трудное (хотя интуитивно довольно прозрачное), и мы его только
наметим.
Выберем две такие кривые а0 и а1 , как в определении индекса,
и покажем, что индекс v один и тот же для обеих кривых. Предположим
сначала, что следы а0 и а1 не пересекаются. Тогда существует гомеомор-
физм замкнутой области, ограниченной следами а0 и а1 , на замкнутую об­
ласть плоскости, ограниченную концентрическими окружностями С0 и С1
(кольцо). Поскольку мы можем получить семейство концентрических ок­
ружностей С1 , которое непрерывно зависит от t и переводит С0 в С1 ,

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
335
мы получаем семейство кривых а1 , которое непрерывно зависит от t
и деформирует а0 в а1 (рис. 4.34). Обозначим 11 индекс v, вычисленный
для кривой а1 • Далее, поскольку индекс есть интеграл, 11 непрерывно за­
висит от t, tE [О, 1]. Будучи целым числом, 11 при этой деформации оста­
ётся постоянным, и 10 = 11, как утверждалось. Если следы а0 и а1 пересе­
каются, мы выбираем настолько малую кривую, что её след не пересекает­
ся ни с а0 , ни с а1 , и затем применяем предыдущий результат.
Рисунок 4.34
Следует заметить, что определение индекса можно по-прежнему при­
менять, когда р не является особой точкой v. Оказывается, однако, что то­
гда индекс равен нулю. Это вытекает из того факта, что, поскольку 1
не зависит от х11 , мы можем выбрать в качестве хи сам вектор v; таким
образом, cp(t) =О.
На рисунке 4.35 мы показываем некоторые примеры индексов вектор­
ных полей в ху-плоскости, для которых (О, О) - особая точка. Кривые, ко­
торые представлены на рисунках, являются траекториями векторных полей.
v = (-х,-у)
I=I
v = (-у,х)
I=l
Рисунок 4.35
v = (-х,у)
I= -1
J=- 3
Пусть теперь S с R 3 - ориентированная компактная поверхность
и v - дифференцируемое векторное поле с только изолированными осо­
быми точками. Заметим, что их конечное число. В противном случае,

336
ГЛАВА4
в силу компактности (ер. раздел 2.7, свойство 1), они имеют предельную
точку, которая является неизолированной особой точкой. Пусть {ха} -
семейство ортогональных параметризаций, совместимых с ориентацией S.
Пусть :J - такая трианrуляция S, что
1) каждый треугольник ТЕ J содержится в некоторой координатной
окрестности семейства {ха};
2) каждый треугольник ТЕ :J содержит, самое большее, одну особую
точку;
3) граница каждого ТЕ :J не содержит особых точек и положительно
ориентирована.
Если мы применим равенство (1) к каждому треугольнику ТЕ 'J, сум­
мируем результаты и учтём, что сторона каждого треугольника ТЕ 'J
встречается дважды с противоположными ориентациями, то получим ра-
венство
k
Jf8 K da-2n~~/; =0,
1=\
где 1; - индекс особой точки р;, i = 1, ... , k. Объединяя это равенство
с Теоремой Гаусса-Бонне (ер. следствие 2), приходим окончательно к ра­
венству
Ll; = 2~ff8 к da =x(S).
Таким образом, мы доказали следующее.
Теорема Пуанкаре. Сумма индексов дифференцируемого векторного
поля v с изолированными особыми точками на компактной поверхно­
сти S равна характеристике Эйлера-Пуанкаре поверхности S.
Это замечательный результат. Он означает, что L 1; не зависит от v,
а зависит только от топологии S. Например, на любой поверхности, го­
меоморфной сфере, сумма индексов любого векторного поля с изо­
лированными особенностями должна быть равна 2. В частности, ни одна
из таких поверхностей не может иметь дифференцируемого векторного
поля без особых точек.
УПРАЖНЕНИЯ
1.Пусть SЕR3
-
реrулярная, компактная, ориентируемая поверхность,
которая не гомеоморфна сфере. Докажите, что существуют точки на S, где
гауссова кривизна положительна, отрицательна и равна нулю.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
337
2. Пусть Т
-
тор вращения. Опишите образ Т при гауссовом отображе­
нии и покажите, без использования теоремы Гаусса-Бонне, что
Вычислите характеристику Эйлера-Пуанкаре Т и проверьте предыдущий
результат с помощью теоремы Бонне.
3.Пусть SсR3
-
регулярная поверхность, гомеоморфная сфере. Пусть
Гс S- простая, замкнутая геодезическая на S, и пусть А и В - области
на S, которые имеют Г общей границей. Пусть N: S ~ S 2
-
гауссово
отображение S. Докажите, что N(A) и N(B) имеют одну и туже площадь.
4. Вычислите характеристику Эйлера-Пуанкаре поверхности:
а) эллипсоид;
Ь*) поверхность S = {(x,y,z)E R 3; х 2 +у~+ z 6
=1}.
5. Пусть С
-
параллель кошироты ffJ на ориентированной единичной
сфере S 2
, и пусть w0 - касательный вектор С в точке рЕ С (ер. при­
мер 1 раздела 4.4). Совершите параллельный перенос w0 вдоль С
и покажите, что его положение после полного оборота образует угол
Лер= 2п-(1- cos ер) с начальным положением w0 . Проверьте, что
lim Л(j) = 1= кривизне S2
,
R.-.p А
где А - площадьобласти R на S2
, огра ниче нной С.
6. Покажите, что (О, О) есть изолированная особая точка, и вычислите ин­
декс в точке (О, О) следующих векторных полей в плоскости:
а*) v=(x,y);
Ь) v=(-x,y);
с) v=(x,-y);

338
ГЛАВА4
7. Может ли индекс в особой точке быть равным нулю? Если да, приведите
пример.
8. Докажите, что ориентируемая компактная поверхность S с R 3 имеет
дифференцируемое векторное поле без особых точек тогда и только тогда,
когда S гомеоморфна тору.
9. Пусть С - реrулярная, замкнутая кривая на сфере S 2
• Пусть v - такое
дифференцируемое векторное поле на S 2
, что траектории v нигде не каса­
ются С. Докажите, что каждая их двух областей, определяемых С, содер­
жит по крайней мере одну особую точку v.
4.6 . Экспоненциальное отображение.
Геодезические полярные координаты
В этом разделе мы введём некоторые специальные системы коорди­
нат, имея в виду их геометрические приложения. Естественный способ
введения таких координат состоит в использовании экспоненциального
отображения, которое мы сейчас опишем.
Как мы узнали в разделе 4.4 (предложение 5), для данной точки р ре-
rулярной поверхности и ненулевого вектора v Е ТР (S) существует единст­
венная параметризованная геодезическая у: (-с:, с:) --4 S, где у(О) = р
и у'(О) = v . Чтобы указать на зависимость геодезической от вектора v,
удобно обозначать её y(t, v) =у.
Лемма 1. Если геодезическая y(t,v) определена для tE (-&,&),то гео-
дезическая y(t, Л.v), А, Е R, А-:/. О, определена для t Е (-&/А,&/ А),
и y(t, Л.v) = y(At, v).
ДоклзлТЕЛЬСТВО. Пусть а : (-с:/Л., с:/Л.) --4 S - параметризованная кри­
вая, определённая равенством a(t) = у(Л.t). Тогда а(О) = у(О), а'(О) = Л.у'(О),
и, в силу линейности D (ер. уравнения (1) раздела 4.2),
Da'(t)a'(t) = i Dr'u/(t) =О.
Отсюда следует, что а является геодезической с начальными условиями
у(О), Л.у'(О), и, в силу единственности,
a(t) = y(t,A.v) = у(Л.t, v).
о

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
339
Инrуитивно лемма 1 означает, что, поскольку скорость геодезической
постоянна, мы можем двигаться по её следу предписанное время, устанав­
ливая соответствующим образом нашу скорость.
Введём теперь следующее обозначение. Если v = ТР (S), v -::f. О, таково,
что y(I v 1, v/I v 1) =y(l, v) определена, полагаем
expp(v)=y(l,v) и ехрр(О)= р.
Геометрически построение соответствует откладыванию (если зто
возможно) длины, равной 1v1, на геодезической, которая проходит через р
в направлении v; точка S, полученная таким образом, обозначается
expp(v) (рис. 4.36).
Например, ехр p(v) определена на единичной сфере S 2 для любого
vE TP(S 2 ). Точки окружностей радиуса п:, 3п:, .. .,(2п+1)п: отображаются
в точку q, диаметрально противоположную р. Точки окружностей радиуса
2п:, 4п:, ... ,2пп: отображаются обратно в р.
v
,/-~
~
,
1'
;/
//р
:'\
,'
/
l\
1
'
'
:
/
expp(v) :
1
'
/
1
'
/
\
:
/
Т,(S)
Рисунок 4.36
Рисунок 4.37
С другой стороны, на регулярной поверхности С, образованной одно­
полостным конусом без вершины, ехр Р ( v) не определена для вектора
v Е ТР (С) в направлении меридиана, который соединяет р с вершиной,
когда 1v1?: d, где d - расстояние от р до вершины (рис. 3.37).
Если в примере со сферой мы удаляем ИЗ S 2 точку, диаметрально
противоположную р, то expp(v) определена только на внутренности кру-
га в Tp(S2 ) радиуса п: с центром в начале координат.

340
ГЛАВА4
Важным моментом является то, что отображение ехр Р всегда опреде­
лено и дифференцируемо в некоторой окрестности р.
Предложение 1. Для данной точки рЕ S существует такое Е >О,
что отображение ехр Р определено и дифференцируемо на внутренности
круга Ве радиуса Ев Tp(S) с центром в нулевом векторе.
ДОКАЗАТЕЛЬС1ВО. Очевидно, что для каждого направления в Tp(S)
можно, по лемме 1, выбрать v настолько малым, что интервал определения
y(t, v) содержит 1, и потому точка y(l, v) = ехр p(v) определена. Чтобы по-
казать, что это уменьшение можно осуществить равномерно по всем на­
правлениям, нам нужна теорема о зависимости геодезической от её на­
чальных условий (см. раздел 4.7) в следующей формулировке: для данной
точки р Е S существуют числа Е1 > О, Е2 > О и такое дифференцируемое
отображение
что для VE Ве,, V ,С 0, !Е (-Е2 , Е2 ), кривая y(t, v)является геодезической S,
гдеr(O,v)=р, у(О,v)=v, ипри v=О r(t,О)=р.
Из этого утверждения и леммы 1 следует наше утверждение. В самом
деле, поскольку точка y(t,v) определена для 1t1< t: 2 , 1v1< t: 1, получаем, по­
лагая А= t: 2 /2 в лемме 1, что y(t, (t:2 /2)v) определена для 1t1< 2, 1v1< t: 1•
Выбирая круг В0 с Tp(S) с центром в нулевом векторе радиуса t: < t: 1t: 2 /2,
получаем, что точка y(l, w) = ехр Р w, wE 8 0 , определена. Дифференцируе­
мость ехр Р в круге В0 следует из дифференцируемости у.
D
Важным дополнением к этому результату является следующее
Предложение 2. Отображение ехрР: Вес T/S) ~ S есть диффео­
морфизм окрестности И с В, нулевого вектора T/S).
ДоклзлТЕЛЬС1ВО. Покажем, что дифференциал d(ехр Р) невырожден
в ОЕ Tp(S). Чтобы сделать это, отождествим пространство касательных
векторов к Tp(S) в О с самим Tp(S). Рассмотрим кривую a(t) = tv,

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
341
vETP(S). Очевидно, что а(О)=О иа'(О)=v. Кривая (exppoa)(t)=expp(tv)
имеет касательный вектор
Отсюда следует равенство
которое показывает, что d ехр Р невы:рожден в О. Применяя теорему об об­
ратной функции (ер. предложение 3 раздела 2.4), завершаем доказательст­
во предложения.
О
Удобно называть V с S нормШtьной окрестностью р Е S точки
р Е S, если V является образом V = ехр Р (И) окрестности И нулевого
вектора ТР (S), ограничение на которую ехр Р есть диффеоморфизм.
Так как экспоненциальное отображение в р Е S есть диффеоморфизм
на И, его можно использовать для введения координат в V. Среди систем
координат, введённых таким способом, наиболее распространёнными яв­
ляются
1) нормШtьные координаты, которые соответствуют системе прямо­
угольных координат в касательной плоскости TP(S);
2) геодезические полярные координаты, которые соответствуют по­
лярным координатам в касательной плоскости Tp(S) (рис. 4.38).
Изучим сначала нормальные координаты, которые получаются выбо­
ром в плоскости TP(S), рЕ S, двух ортогональных единичных векторов е1
и е2 • Так как отображение ехр Р : И ~ V с S есть диффеоморфизм, оно
удовлетворяет требованиям к параметризации в р. Если q Е V, то
q =expp(w), где w= ие1 + ve2 Е И, и мы говорим, что q имеет координаты
(и, v). Ясно, что полученные таким способом нормальные координаты за­
висят от выбора е1 , е2 .
В системе нормальных координат с началом в р геодезические, кото­
рые проходят через р, являются образами при отображении ехр Р прямых
и= at, v = bt, проходящих через начало координат в Tp(S). Заметим так­
же, что в точке р коэффициенты: первой основной формы в такой системе
таковы: Е(р) = G(p) = 1, F(p) =О.

342
ГЛАВА4
exp,(p,IJ)
s
1. - - - ;- - Геодезическая
Радиальная
геодезическая
Рисунок 4.38 . Полярные координаты
окружность
Перейдём теперь к геодезическим полярным координатам. Выберем
в плоскости Tp(S), рЕ S, систему полярных координат (р, В), где р -
полярный радиус и(), О<()< 2тс, - полярный угол, полюсом которой яв­
ляется начало координат в Tp(S). Заметим, что полярные координаты
в плоскости не определены на луче /, который соответствует углу ()=О.
Обозначим ехр Р (!) == L. Так как ехр Р : И -1 ~ V - L по-прежнему является
диффеоморфизмом, мы можем параметризовать точки V - L координатами
(р, О), которые называются геодезическими полярными координатами.
Будем использовать следующую терминологию. Образы при отобра­
жении ехр Р : И ~ V окружностей в И с центром в О будут называться
геодезическими окружностями V, а образы при отображении ехр Р пря­
мых, проходящих через О, будут называться радиальными геодезически­
ми V. В V - L это кривые р =const и (} =const соответственно.
Найдём теперь коэффициенты первой основной формы в системе гео­
дезических полярных координат.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
343
Предложение 3. Пусть х :И -1 -tV - L
-
система геодезических по­
лярных координат (р, 8). Тогда коэффициенты Е =Е(р, 8), F =F(p, 8),
G = G(p, 8) первой основной формы удовлетворяют условиям
Е=1, F=O, limG=O, lim(vG)p=J.
р--;0
р--;О
ДоклзлТЕЛЬСТВО. По определению экспоненциального отображения,
р есть длина дуги кривой В== const. Отсюда немедленно следует, что
E=l.
Учитывая в дифференциальном уравнении геодезических (равенство
(4) раздела 4.4) тот факт, что В= const есть геодезическая, заключаем, что
Гf1 =О. Используя первое из уравнений (2) раздела 4.3, которые опреде­
ляют символы Кристоффеля, получаем
1
1
1
0=-ЕР=Г11 Е=Г11 •
2
Вводя это выражение во второе уравнение (2) раздела 4.3, заключаем, что
FP =О, и, следовательно, F(p, В) не зависит от р.
Для каждой точки q Е V обозначим а((J) геодезическую окружность,
которая проходит через q, где (JE[0,2n] (если p=q, то a((J) -постоян­
ная кривая а((J) = р). Обозначим y(s), где s - длина дуги у, радиальную
геодезическую, проходящую через q. В этих обозначениях можно записать
F( В)=/da dy\_
р, \d(J' ds /
Коэффициент F(p, В) не определён в р. Однако, если мы фиксируем
радиальную геодезическую В= const, правая часть предыдущего равенства
определена в каждой точке этой геодезической. Так как a((J) = р, то есть
da/d(J = О, получаем
lim F(p, В)= Jim(da, dy\ =О.
p--tO
p--tO d(J ds /
Вместе с тем фактом, что F не зависит от р, это означает, что F =О.
Чтобы доказать последнее утверждение предложения, выберем систе­
му нормальных координат (И, v) в р таким образом, что замена координат
имеет вид
u=pcose, v=psinB, p"F-0, 0<В<2п.
Вспоминая, что

344
ГЛАВА4
где д(ii, v)/д(р, В) есть якобиан замены координат, а Е, F, G суть коэф­
фициенты первой основной формы в нормальных координатах (ii, v), по­
лучаем
(1)
Так как в точке р Е = G = 1, F =О (нормальные координаты определены
в р), заключаем, что
lim.JG =0,
p-tO
что завершает доказательство предложения.
о
Замечание 1. Геометрический смысл того факта, что F =О, состоит
в том, что в нормальной окрестности семейство геодезических окружно­
стей ортогонально семейству радиальных геодезических. Этот факт извес­
тен как лемма Гаусса.
Представим теперь некоторые приложения геодезических полярных
координат.
Сначала рассмотрим поверхности постоянной гауссовой кривизны.
Так как в полярной системе Е =1 и F = О, выражение гауссовой кривиз­
ны К можно записать в виде
Это равенство можно рассматривать как дифференциальное уравне­
ние, которому должна удовлетворять функция .,/G(p, О), если мы хотим,
чтобы поверхность имела (в рассматриваемой координатной окрестности)
кривизну К (р, В). Если кривизна постоянна, предыдущее уравнение или,
равносильное ему,
(2)
есть линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоян­
ными коэффициентами. Докажем следующую теорему.
Теорема (Миндинг). Любые две регулярные поверхности одной и той
же постоянной гауссовой кривизны локально изометричны. Более точно:
пусть SP S2 - две регулярные поверхности одной и той же постоянной
гауссовой кривизны к. Выберем точки Р1 Е sp Р2 Е Sz и ортонор­
мированные базисы {ер ez}E TPI (S1), {fi, J;}E тр, (S2)· Тогда существуют

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
345
такие окрестности v; точки р1 , V2 точки р2 и изометрия lf/: v; ~ Vz ,
что dlj/(e1)=f.., dlj/(e2 )=J;.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Рассмотрим сначала уравнение (2) и исследуем от­
дельнослучаи(1) К=О,(2) К>О и(3) К<О.
1.Если К=О, то (J0)PP=O. Таким образом, (J0)P=g(B), где
g(B) -функция В. Так как
lim(.JG)Р = 1,
р-;0
заключаем, что (.JG)P =1. Следовательно, Го =р+ /(8), где /(8) -
функция 8. Так как
f(()) = lim .JG =О,
р-;О
окончательно получаем, что в этом случае
Е=1, F =О, G(p,()) =р2.
2. Если К >О, общее решение уравнения (2) имеет вид
.JG = А(()) cos(Гкр) + В(8) sin(Гкр),
где А(()) и В(8) - функции е. Что эта функция является решением урав­
нения (2), легко проверяется дифференцированием.
Так как lim .JG =О, получаем, что А(())= О. Таким образом,
р-;О
и, поскольку lim (.JG) Р = 1, заключаем, что
р-70
Следовательно, в этом случае
Е=1,
1
В(8)= rк·
3. Наконец, если К< О, общее решение уравнения (2) имеет вид
.JG = A(())ch(.J - Кр)+ В(())sh(.J-Kp).

346
ГЛАВА4
Используя начальные условия, убеждаемся, что в этом случае
E=l, F=O, G=-
1
-sh
2
(,J-Kp).
-к
Теперь мы готовы доказать теорему Миндинга. Пусть V1 и V2 - нор­
мальные окрестности точек р1 и р2 соответственно. Пусть rp - линейная
изометрия TP1(S1) на Tp/S2 ), определяемая равенствами rp(e1)=fi,
rp(e2 ) = f 2 • Введём систему полярных координат (р, rp) в ТР1 (S1) с осью l
и положим L1 = ехр Pi (!), L 2 = ехр Pl ( rp(l)). Пусть l/f: Jlj ~ V2 определяется
равенством
Мы утверждаем, что l/f есть искомая изометрия.
В самом деле, ограничение lji отображения l/f на Vj - L1 отображает
полярную координатную окрестность с координатами (р, В) и полюсом р1
в полярную координатную окрестность с координатами (р, В) и полюсом
р2 . В силу предыдущего исследования уравнения (2), коэффициенты пер­
вой основной формы в соответствующих точках равны. По предложению 1
раздела 4.2, lji есть изометрия. В силу непрерывности, l/f по-прежнему со-
храняет скалярные произведения в точках L1 и, таким образом, является
изометрией. Непосредственно проверяется, что dl/f( е1 ) = fj, dl/f( е2 ) =f 2 ,
и это завершает доказательство.
О
Замечание 2. В случае когда К не постоянна, но сохраняет знак,
уравнение ГоК = - (.JG)РР допускает тонкое интуитивное истолкование.
Рассмотрим длину дуги L(p) кривой р = const между двумя близкими
геодезическими В =В0 и В =В1 :
L(p)=Г
111
~G(p, В) dB.
Joo
Предположим, что К< О. Так как
lim(.JG)p =1 и (.JG)pp =-K.JG >0,
р~О
функция L(p) ведёт себя как на рисунок 4.39, а. Это означает, что L(p)
возрастает вместе с р, то есть при возрастании р геодезические В = В0

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
347
и е = 81 расходятся всё больше и больше (конечно, мы должнь1 оставаться
в рассматриваемой координатной окрестности).
L
L
п
о
о
р
р
(а)К<О
(Ь)К>О
Рисунок 4.39. Расхождение близких геодезических в нормальной окрестности
С другой стороны, если К > О, функция L(p) ведёт себя как на рису­
нок 4.39, Ь. Геодезические е = 80 и е = 80 моrут (случай I) или не моrут
(случай П) сближаться после некоторого значения р, и это зависит от га­
уссовой кривизны. Например, в случае сферы две геодезические, которые
выходят из полюса, сближаются после экватора (рис. 4.40).
Рисунок 4.40

348
ГЛАВА4
В главе 5 (разделы 5.4 и 5.5) мы вернёмся к этой теме и уточним это
замечание.
Другим приложением геодезических полярных координат является
геометрическая интерпретация гауссовой кривизны К.
Чтобы получить её, заметим, прежде всего, что выражение К в гео­
дезических полярных координатах (р, ()) с полюсом р Е' S имеет вид
(./G)pp
к==
..fG '
и потому
Таким образом, вспоминая, что
получаем
lim..fG =0,
р--;О
-
К(р) = lim дз ..fG.
p--tO др3
С другой стороны, вычисляя ..fG и его последовательные производ­
ные по р в точке р с помощью их предельных значений (ер. равенство
(1 )), мы можем записать
где
2
. / G(p, fJ) =..fG(O, fJ)+ p(./G)p(O, fJ)+ ~! (./G)pp(O, fJ+
р3 г;::;
+ 3!(vG)РРР (0, fJ) + R(p, fJ),
limR(p,fJ)=О
p--tO р3
равномерно по В. Подставляя в предыдущее выражение уже известные ве­
личины, получаем
3
./G(p,fJ) = p-f! _ _K(p)+ R.
3!
С помощью этого выражения ..fG вычисляем длину дуги L геодези­
ческой окружности радиуса р = r :
.
i2ir-e г;::;
7С3
L=lпn
vG(r,fJ)dfJ=2n:r--r K(p)+R1,
e--tO О+е
3

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
349
где
Отсюда следует, что
к()_
1
.
32w-L
р-lffi
З,
r-;0п r
что даёт внутреннюю интерпретацию К(р) в терминах радиуса r геодези­
ческой окружности S,(p) с центром р и длин дуг L и 2nr кривых S,(p)
и exp-1(S,(p)) соответственно.
Интерпретация К (р) , включающая площадь области, ограниченной
S,(p), легко получается предыдущим приёмом (см. упражнение 3).
В качестве последнего приложения геодезических полярных коорди­
нат исследуем некоторые экстремальные свойства геодезических. Основ­
ным свойством геодезической является тот факт, что локально она мини­
мизирует длину дуги. Более точно, имеет место следующее утверждение.
Предложение 4. Пусть р - точка на поверхности S. Тогда сущест­
вует такая окрестность W с S точки р, что если r: 1 ~ W - парамет­
ризованная геодезическая, где у(О) = р, r(t1) = q, t1 Е 1, и а: [О, t 1] ~ S
параметризованная регулярная кривая, соединяющая р с q, то
lr~!,"
где la обозначает длину кривой а. Кроме того, если lr = /", то след а
совпадает со следом r между р и q.
Доклзлтвльство. Пусть V - нормальная окрестность р , и пусть
W - замкнутая область, ограниченная геодезической окружностью ра­
диуса r, содержащейся в V. Пусть (р, В) - геодезические полярные коор-
динаты в W -L с полюсом ври qE L.
Предположим сначала, что а((О, t 1)) с W - L, и пусть a(t) = (p(t), B(t)).
Заметим, прежде всего, что
~~(р-,)-2+_G_(_B')-2 ?.~(р')2,
и равенство выполняется тогда и только тогда, когда ()'=О, то есть
B=const. Длина la(E:) дуги а от Е: до t 1 -Е: удовлетворяет неравенству
la(E:) = s:ге ~(р')2 + G(B')2 ?. s;i-c ~(р')2 dt?.
?. s;,-eр'dt = Zr - 2t:,

350
ГЛАВА4
И равенство выполняется тогда и только тогда, когда (} = const и р' >О.
Устремляя е ~О в предыдущем неравенстве, получаем, что Za ~ Zr,
и равенство выполняется тогда и только тогда, когда а есть радиальная
геодезическая (} = const с параметризацией р = p(t), где p'(t) >О. Отсюда
следует, что если la = Zy, то следы а и у между точками р и q совпадают.
Предположим, что а((О, t 1)) пересекает L и это происходит первый
раз в точке, скажем, a(t2 ). Тогда из предыдущих рассуждений следует, что
[а ~[у между lo И lz, И равеНСТВО [а =[у означает, ЧТО следы а И у СОВПа­
дают. Так как а([О, t 1]) и L компактны, существует такое l ~ t 2 , что либо
a(l) - последняя точка, где а((О, t 1)) пересекает L, либо a([l, t 1]) с L
(рис. 4.41). В любом случае заключения предложения следуют из преды­
дущего.
а
v
w
Рисунок4.41
Рисунок 4.42
Предположим, наконец, что а([О, t 1]) не содержится полностью в W.
Пусть t0 Е [О, t 1] - первое значение, при котором a(t0 ) = х принадлежит
границе W. Пусть у
-
радиальная геодезическая рх и а - ограничение
кривой а на промежуток [О, t0 ]. Тогда очевидно, что Za ~ la (см. рис. 4.42).
По предыдущему, Za: ~ li. Так как q - внутренняя точка W, то
zy > Zy. Отсюда заключаем, ЧТО za > ly, что завершает доказательство.
о
Замечание 3. В целях упрощения мы доказали предложение для регу­
лярных кривых. Однако оно выполняется для кусочно регулярных кривых
(ер. определение 7 раздела 4.4); доказательство совершенно аналогично
и будет оставлено в качестве упражнения.
Замечание 4. Доказательство показывает также, что верно обращение
последнего утверждения предложения 4. Однако это обращение не распро­
страняется на кусочно регулярные кривые.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
351
Предыдущее предложение в целом неверно, как показывает пример со
сферой. Две точки сферы, не являющиеся диаметрально противоположными,
можно соединить двумя меридианами разной длины, и только более корот­
кий из них удовлетворяет условию предложения. Другими словами, геодези­
ческая, если её достаточно продолжить, может не быть кратчайшим путём
между любыми своими точками. Следующее предложение, однако, показы­
вает, что, когда регулярная кривая является кратчайшим путём между любы­
ми своими точками, эта кривая необходимо является геодезической.
Предложение 5. Пусть а: 1 ~ S - регулярная параметризованная
кривая с параметром, пропорциональным длине дуги. Предположим, что
длина дуги а между любыми двумя точками t, ТЕ 1 меньше или равпа
длине дуги любой параметризованной кривой, соединяющей a(t) с а(т).
Тогда а является геодезической.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть t 0 Е ! - произвольная точка 1 и W - окре­
стность a(t0 ) = р, заданная в предложении 4. Пусть q = a(t1) Е W. В случае
равенства, из предложения 4 следует, что а - геодезическая на (t0 , t 1).
В противном случае а имела бы между t0 и t 1 длину, большую длины ра­
диальной геодезической, соединяющей a(t0 ) с a(t1), что противоречит
предположению. Так как а регулярна, получаем, в силу непрерывности,
что а попрежнему является геодезической в t 0 .
О
УПРАЖНЕНИЯ
1. Докажите, что на поверхности постоянной кривизны геодезические ок­
ружности имеют постоянную геодезическую кривизну.
2. Покажите, что уравнения геодезических в геодезических полярных ко­
ординатах (Е = 1, F =О) имеют вид
н_
_! _G (8')2 =0
р2р
'
е"+ GP р'В' + _!_ Go (8')2 =О.
G
2G
3. Докажите, что если р
-
точка регулярной поверхности S, то
К(р) = lim~ n:r2 -А,
r-->0 71:
r4

352
ГЛАВА4
где К(р) - гауссова кривизна S в точке р, r - радиус геодезической ок­
ружности S7 (p) с центром в р, А - ruющадь области, ограниченной
Sr(p).
4. Покажите, что в системе нормальных координат с центром в точке р
все символы Кристоффеля равны нулю в р.
5. Для какой пары поверхностей, приведённых ниже, существует локаль­
ная изометрия?
а. Тор вращения и конус.
Ь. Конус и сфера.
с. Конус и цилиндр.
6. Пусть S - поверхность, р
-
точка поверхности S и S 1(p) - на­
столько малая геодезическая окружность с центром р, что она содержится
в нормальной окрестности. Пусть r и s - две точки S 1 (р)и С - дуга
S 1(p) междуr и s. Рассмотрите кривую ехр;
1
(С) с TP(S). Докажите, что
S 1(p) можно выбрать настолько малой, что
а) если К> О, то l(exp;1(C)) >/(С), где Z( ) обозначает длину дуги соот­
ветствующей кривой;
Ь) если К< О, то /(ехр;1 (С)) </(С).
7. Пусть (р, В)
-
система геодезических полярных координат (Е = 1,
F =О) на поверхности, и пусть y(p(s), B(s)) - геодезическая, которая об­
разует угол rp(s) с кривыми В= const. Для определённости кривые
В= const ориентированы в направлении возрастания р и rp отсчитывается
от В= const до у в направлении, заданном параметризацией (р, В). Пока­
жите, что

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
353
8*. (Теорема Гаусса о сумме внутренних углов «малого» геодезического
треугольника.) Пусть Л - геодезический треугольник (то есть его сторо­
ны являются отрезками геодезических) поверхности S. Будем считать Л
настолько малым, что он содержится в нормальной окрестности некоторой
его вершины. Докажите непосредственно (то есть без использования тео­
ремы Гаусса-Бонне), что
гдеК- гауссовакривизнаS иО<a.i<7С, i=1,2,3, -
внутренние углы
треугольника Л.
9. (Локальное изоперu.метрическое неравенство для геодезических кривых.)
Пусть рЕ S и S,(p) - геодезическая окружность с центром р радиуса r.
Пусть L - длина дуги S,(p) и А - площадь области, ограниченной
S, (р). Докажите, что
47СА- L2
=тс
2
r4К(р) + R,
где К(р) - гауссова кривизна S в р и
lim ~ =0.
r-40 r
Таким образом, если К(р) >О (или < О) и r мало, то 4тсА-L
2
>О
(или <О). (Сравните с изопериметрическим неравенством в разделе 1.7 .)
10. Пусть S - связная поверхность и rp, l/f: S ~ S - две изометрии S.
Предположите, что существует такая точка р Е S, что rp(p) = l/f(P)
иdrpp(v)=d!f!p(v) для любого vETp(S). Докажите, что rp(q)=l/f(q) для
любой точки qE S.
11. (Подвuж:ность малых геодезических треугольников.) Пусть S - по­
верхность постоянной гауссовой кривизны. Выберите точки р1 , р; Е S,
ипустьV,V' -
нормальные окрестности р1 , р; соответственно. Выберите
геодезические треугольники р1 р2 р3 в V (слово геодезические означает,
Г\
Г\
Г\
что стороны р1 р2 , р2 р3 , р3 р1 являются дугами геодезических) и р;р;р;
в V' таким образом, что
l(P1P2) = l(p;p;),
l(Р2Рз) = l(p;p;),
l(p3p1) = l(p;p;)

354
ГЛАВА4
(здесь Z обозначает длину геодезической дуги). Покажите, что существует
изометрия В: V ~ V', которая отображает первый треугольник на второй.
(Это локальный вариант для поверхностей постоянной кривизны, теоремы
школьной геометрии о том, что любые два треугольника в плоскости
с соответственно равными сторонами конгруэнтны.)
12. Диффеоморфизм ер: S1 ~ S2 называется геодезическим отображени­
ем, если для любой геодезической С с S1 поверхности S1 регулярная кри­
вая ер(С) с S2 является геодезической поверхности S2 . Если И- окрест­
ность точки р Е S1, то ер: И ~ S2 называется локально геодезическим ото­
бражением в р, если существует такая окрестность V точки ер(р) на S2 ,
что ер : И ~ V - геодезическое отображение.
а. Покажите, что если ер: S1 ~ S2 -
одновременно геодезическое
и конформное отображение, то ер есть подобие, то есть
где 2 - постоянная.
Ь. Пусть S2
={(x,y,z)ER 3
;x
2
+y
2
+z
2
=1} - единичная сфера, S-=
={(x,y,z)ES2 ; z<O} - её нижняя полусфера и Р
-
плоскость z=-1.
Докажите, qто отображение (центральная проекция) ер: s- ~ Р, которое
переводит точку рЕ s- в точку пересечения Р с прямой, соединяющей р
с центром S 2
, есть геодезическое отображение.
с*. Покажите, qто поверхность постоянной кривизны допускает локальное
геодезическое отображение на плоскость для каждой точки р Е S.
13. (Теорема Бельтрwии.) В упражнении 12, часть (с), было показано, что
поверхность S постоянной кривизны К допускает локальное геодезичес­
кое отображение в плоскость для любой точки рЕ S. Чтобы доказать об-
ратное утверждение (теорема Бельтрами): если реzулярная связная поверх­
ность S допускает для каждой точки рЕ S локальное геодезическое
отображение в плоскость, то S имеет постоянную кривизну, - должны
быть доказаны следующие утверждения.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
355
а. Если v = v(u) - геодезическая в координатной окрестности поверхности
с параметрами (и, v ), которая не совпадает с линией и = const, то
2 ()2
()2
dv1dv
1
2dv
1
2dv
2
-
2 =Г22 - +(2Г12 -Г22)
-
+(Г11 -2Г12)--Г11·
du
du
du
du
Ь*. Если S допускает локальное геодезическое отображение rp: V ~ R 3
окрестности V точки р Е S в плоскость R 2
, то возможно параметризовать
окрестность V посредством (и, v) таким образом, что
Гi2=Г~21 =О, гJ2 =2r/2' Г1\ =2Г1~.
с*. Если существует геодезическое отображение окрестности V точки
р Е S в плоскость, то кривизна К в V удовлетворяет уравнениям
КЕ =Г1~Г1~ -(Г1~)и,
КF=Г112Г1~ -(Г1~)v,
KG = Г{2Гi2 -(Г{2)v,
КF=ГЛГ112 -(Г112)и.
d*. Если существует геодезическое отображение окрестности V точки
р Е S в плоскость, то кривизна К в V постоянна.
е. Используя предыдущее и стандартную аргументацию связности для до­
казательства теоремы Бельтрами.
14. (Группа голономий.) Пусть S - регулярная поверхность и рЕ S. Для
каждой кусочно регулярной параметризованной кривой а: [О,/] ~ S, где
а(О) =a(l) =р, пусть Ра : ТР (S) ~ ТР (S) - отображение, которое сопос­
тавляет каждому VE TP(S) результат его параллельного переноса вдоль а
обратно в р. В силу предложения 1 раздела 4.4 Ра есть линейная изомет­
рия TP(S). Если fJ: [/, l] ~ S - другая кусочно регулярная параметризо­
ванная кривая, где /J(/) = fJ(l) = р, определим кривую fJ о а: [О, l + l] ~ S,
проходя последовательно сначала а, затем /J, то есть fЗ о a(s) = a(s), если
sЕ [О,/], иfJоа=/J(s), если sЕ[Z,l].
а. Рассмотрите множество
Нp(S) = {Ра: TP(S) ~ Tp(S); для всех а, соединяющих р с р},

356
ГЛАВА4
где а кусочно регулярна. Определите в этом множестве операцию
Рр о Ра = Рр0а, то есть Рр 0 Ра есть обычная композиция, где выполняется
сначала Ра, а затем Рр. Докажите, что Нp(S) с этой операцией является
группой (фактически подгруппой группы линейных изометрий T/S)).
Нp(S) называется группой голономий S в р.
Ь. Покажите, что группа голономий в любой точке поверхности с К =О
сводится к тождественному преобразованию.
с. Докажите, что если S связна, то группы голономий Н p(S) и Hq(S)
в двух произвольных точках р, qE S изоморфны. Таким образом, мы мо­
жем говорить об (абстрактной) группе голономий поверхности.
d. Докажите, что группа голономий сферы изоморфна группе 2х2- мат­
риц вращений (см. упражнение 22 раздела 4.4).
4. 7 . Дополнительные свойства геодезических.
Выпуклые окрестности*
В этом разделе мы покажем, как некоторые факты о геодезических
(в частности, предложение 5 раздела 4.4) следуют из общей теоремы суще­
ствования, единственности и зависимости от начальных условий вектор­
ных полей.
Геодезические в параметризации х(и, v) задаются системой уравнений
и"+ Г1\ (и') 2 + 2Гi2и'v' + Гi2 (v')
2
=О,
v" + гМиУ + 2Г1~и'v' + rff2(v')2 =О,
(1)
где rff - функции локальных координат и и v. Полагая и'=;; и v' = 17,
мы можем записать предыдущую систему в общем виде:
( = FJ (и, v,l;,17),
11' = Fz(u, v,l;,17),
и'= F3 (u, v,l;,17),
v' = F4 (u, v,l;,17),
где F3 (u,v,l;,17)=I;, F4 (u,v,l;,17)=17.
(2)
' Этот раздел можно пропустить при первом чтении. Предложения 1 и 2 (утверждеиия которых можно
понять без чтения раздела), однако, используются в главе 5.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
357
Удобно использовать следующее обозначение: (u,v,l;,'f) будет обо­
значать точку R 4
,-
которое будем представлять как декартово произве­
дение R 4
=R
2
хR2
; (и, v) будет обозначать точку первого сомножителя
и (l;,'f) - точку второго сомножителя.
Система (2) эквивалентна векторному полю в открытом множест­
веR4
,
которое определено совершенно аналогично заданию векторных
полей в R 2 (ер. раздел 3.4). Теорема существования и единственности тра­
екторий (теорема 1 раздела 3.4) по-прежнему верна в этом случае (на са-
мом деле теорема справедлива для R п; ер. S. Lang, Analysis I, Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1968, рр. 383-386) и формулируется следующим
образом.
Для заданной системы (2) в открытом множестве U с R 4 и данной
точки
(Ио, Vо,!;о,Т/о)Е И
существует единственная траектория а: (-Е, с)--+ И уравнений (2), где
а(О) = (u0, v0 ,/;0 ,Т/0 ).
Чтобы применить этот результат к регулярной поверхности S, мы
должны заметить, что для данной параметризации x(u,v) в рЕ S коорди­
натной окрестности Vмножество пар (q,v), qE V, vE TP(S), можно ото-
ждествить с открытым множеством V х R 2 =И с R 4
•
Для этого мы ото­
ждествляем каждое ~(S), qE V, с R 2 с помощью базиса {х., xJ. Когда
мы говорим о дифференцируемости и непрерывности множества пар
(q,p), мы подразумеваем дифференцируемость и непрерывность, индуци­
рованные этим отождествлением.
Если принять предыдущую теорему, доказательство предложения 5
раздела 4.4 тривиально. В самом деле, уравнения геодезических в па­
раметризации x(u,v) в рЕ S приводятся к системе вида (2) в И с R 4. Ос­
новная теорема означает тогда, что для данной точки q = (и0 , v0 )E V
и ненулевого касательного вектора v = (q0 ,170 )E ~(S) существует единст­
венная параметризованная геодезическая
r=1raa: (-с, с)-+ v
в V (где Jr(q,v)=q есть проекция VxR
2
-+V).
Теорема о зависимости от начальных условий для векторного поля, оп­
ределяемого уравнениями (2), также важна. По существу, она та же, что для
векторных полей в R 2 : для данной точки р = (и0 , v0,!;0,170)E И существу-

358
ГЛАВА4
ют окрестность v = V'i xv2 точки р (где V'i - окрестность (ио, vo)
и V2 - окрестность (q0 , 'f/0 ) ), интервал I и такое дифференцируемое ото­
бра:жение а: I х J/'i х V2 ~ И, что для фиксированной точки (и, v, q, 17) =
=(q, v)E V кривая a(t,q,v), tE I, является траекторией уравнений (2),
проходящей через (q,v).
Чтобы применить это утверждение к реrулярной поверхности S, вве­
дём параметризацию в рЕ S с координатной окрестностью V и отож­
дествим, как выше, множество пар (q, v), qE V, VE TP(S), с VxR
2
• Выби­
рая в качестве начального условия пару (р, О), получаем интервал
(-t:2 , t:2 ), окрестность J/'i с V точки р на S, окрестность V2 начала коор­
динат в R 2 и такое дифференцируемое отображение
у: (-e2 ,e2 )xV1 xV2 ~v,
чтоесли (q, v)EVjхV2, v :;t: О, то кривая
t~y(t,q,v), tE (-е2 ,е2 ),
является геодезической S, удовлетворяюшей условиям y(O,q, v) = q,
y'(O,q, v) = v, и, если v =О, эта кривая сводится к точке q. Здесь у= 7t о а.,
где 7r(q, v) = q - проекция И= VxR
2
~ V и а - заданное выше отобра­
жение.
Возвращаясь на поверхность, множество Vj х V2 представляем в виде
где Vq(O) обозначает окрестность нулевого вектора в Tq (S). Таким обра­
зом, если мы ограничим у на (-е2 , e2 )x{p}xV2 , мы можем выбрать
{p}xV2 = В81 с Tp(S) и получим следующую теорему.
Теорема 1. Для данной точки рЕ S существуют числа Е1 >О, t:2 >О
и такое дифференцируемое отобра:жение
у: (-t:2 , е2 )хВ01 ~ S, В01 с TP(S),
что для vEB81
,
v:;t:O, tE(-t:2
,t:2 ), кривая t~r(t,v) является геодезиче­
скойS,где y(O,v)=p, y(O,v)=v иприv=О r(t,O)=p.
Этот результат был использован в доказательстве предложения 1 раз­
дела 4.6 .

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
359
Предыдущая теорема соответствует случаю, когда точка р фиксиро­
вана. Чтобы рассмотреть общий случай, обозначим Br(q) область, ограни­
ченную (малой) геодезической окружностью радиуса r с центром q,
и lir(q) - объединение B,(q) и его границы.
Пусть е >О таково, что B6 (q) с f7i. Пусть Вд(q)(О) с ~(О)
-
откры­
тый круг во множестве ~(О), полученном присоединением к Vq(O) его
предельных точек; положим е1 =inf д(q), qE В6 (р). Очевидно, е1 >О. Та­
ким образом, множество
содержится в Vi х V2 , и мы получаем следующую теорему.
Теорема la. Для даююй точки рЕ S существуют положительные
числа ё, ёр ё2 и дифференцируемое отображение
где
такое, что r(t,q,O)=q и при v;;itO кривая
является геодезической S, удовлетворяющей условиям r(O,q, v) = q,
y(O,q, v) =v.
Применим теорему 1а, чтобы получить следующее уточнение сущест­
вования нормальных геодезических.
Предложение 1. Для данной точки р Е S существуют окрестность
W точкир наS итакоечисло о>О,чтодлякаждойточки qЕW ото­
бражение ехрч есть диффеоморфизм на В0 (О) с Tq(S) и ехр/Во(О)) :::>
:::> W, то есть W является нормальной окрестностью всех своих точек.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть V - координатная окрестность р. Пусть
е,е1,е2 и у: (-е2,е2)хU ~V такие,каквтеореме 1а.Выбирая е1<е2, мы
можем быть уверены, что для (q, v)E U отображение expq(v) ='У(\ v [,q,v)

360
ГЛАВА4
корректно определено. Таким образом, мы можем определить дифферен­
цируемое отображение rp: 'U ~ V х V, полагая
rp(q, v) = (q, expq(v)).
Покажем сначала, что drp невырождено в точке (р, О). Для этого вы­
ясним, как rp преобразует кривые в 'U, заданные как отображения
t~(р,tw), t~(a(t),О),
где wE Tp(S) и a(t) - кривая на S с а(О) = р. Заметим, что касательные
векторы этих кривых в точке t =О суть (О, w) и (а'(О), О) соответственно.
Таким образом,
d
drp(p, 0/0, w) = dt (р, ехр p(wt)) li=o= (О, w),
dqi(p,o)(a'(O), О)=; (a(t), expauJ(O)) li~o= (а'(О), а'(О))
и drp(p, О) переводит линейно независимые векторы в линейно независимые
векторы. Следовательно, drp(p, О) невырождено.
Отсюда следует, что мы можем применить теорему об обратной функ­
ции и заключить, что существует такая окрестность V точки (р, О) в 'U,
что rp отображает V диффеоморфно на окрестность точки (р,р) в VxV.
Пусть И с В,(р) и д >О таковы, что
V= {(q,v)E'U; qEU, VE В0(0)сTq(S)}.
Наконец, пусть W с И - такая окрестность точки р , что W х W с rp(V).
Мы утверждаем, что д и W, полученные таким образом, удовлетво­
ряют утверждению теоремы. В самом деле, поскольку rp - диффеомор­
физм на V, отображение expq есть диффеоморфизм в В"(О), qE W. Кроме
того,еслиqЕW, то
rp( {q} х В0 (О)):::> {q} х W
и, rю определению rp, expq(B"(O)) :::> W.
о
Замечание 1. Из предыдущего предложения следует, что для двух
данных точек q1, q2 Е W существует единственная геодезическая у, длина
которой меньше д , соединяющая q 1 и q2 . Кроме того, доказательство по­
казывает также, что у «дифференцируемо зависит» от q1 и q2 в следую­
щем смысле: для данной точки (q1, q2 ) Е W х W определён единственный
вектор vETq
1
(S) (точнее, v, заданный равенством rp-
1
(q1,q2 )=(q1,v)),
дифференцируемо зависит от (q1, q2 ) и таков, что у'(О) = v.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
361
Одним из приложений предыдущего результата является доказатель­
ство того, что кривая, которая минимизирует длину дуги, не может быть
«ломаной». Более точно, имеет место
Предложение 2. Пусть а: 1 ~ S - такая параметризованная, ку­
сочно регулярная кривая, что на каж;дой регулярной дуге пара.метр про­
порционален длине дуги. Предположим, что длина дуги между любыми
двумя её точка.ми меньше или равна длине дуги любой параметризованной
кривой, соединяющей эти точки. Тогда а является геодезической;
в частности, а всюду регулярна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть о:= to $ f1 $ .. , ~ tk $ tk+l := 1 - такое разбие­
ние [О,l]=l,что a\[t;,t;+1],i=0,""k, регулярна. По предложению 5 раз­
дела 4.6, а является геодезической в точках (t;, f;н). Чтобы доказать, что
а - геодезическая в t;, рассмотрим окрестность W точки a(t;), заданную
в предложении 1. Пусть q1 = a(t; - Е:), q2 = a(t; + Е:), Е: >О, - две точки W,
и пусть у - радиальная геодезическая B1/q1 ), соединяющая q 1 с q2
(рис. 4.43). По предложению 4 раздела 4.6, распространённому на кусочно
гладкие кривые, /(у)$ /(а) между q1 и q2 • Вместе с условием предложе-
ния зто означает, что !(у)= !(а). Таким образом, снова по предложению 4
раздела 4.6, следы у и а совпадают. Следовательно, а - геодезическая
в t1, что завершает доказательство.
о
w
a(t,)
Рисунок 4.43
Рисунок 4.44
В примере 6 раздела 4.4 мы использовали следующий факт: геодезиче­
ская y(t) поверхности вращения не может асимптотически прибли-
жаться к параллели ~, которая сама не является геодезической. В каче­
стве следующего приложения предложения 1 мы дадим схему доказатель­
ства этого факта (детали можно восполнить в упражнении).

362
ГЛАВА4
Предположим противное предыдущему утверждению, и пусть р -
точка параллели Р0 . Пусть W и д - окрестность и число J, заданные
в предложении 1, и пусть q Е Р0 n W, q * р. Поскольку y(t) асимптотиче­
ски приближается к Р0 , точка р является предельной для точек y(t;), где
{t;} ~ оо, и касательные у в точках t; стремятся к касательной Р0
в точке р. По замечанию 1, геодезическая y(t) с длиной меньше д , соеди­
няющая р с q, должна быть касательной Р0 в р. В силу уравнения Клеро
(ер. пример 5 раздела 4.4), малая дуга y(t) вблизи р будет находиться
в области W, где лежит y(t). Отсюда следует, что в достаточной близости
кр существует пара точек в W, соединённых двумя геодезическими дли­
ны меньше д (см. рис. 4.44). Это противоречие доказывает наше утвер­
ждение.
Естественный вопрос в связи с предложением 1 состоит в том, содер­
жится ли в W геодезическая длины меньше д , которая соединяет две точ­
ки q1, q2 области W. Если это имеет место для каждой пары точек в W,
мы говорим, что W является выпуЮ10Й.
Мы говорим, что параметризованная геодезическая, соединяющая две
точки, является кратчайшей, если её длина меньше или равна длине любой
другой параметризованной кусочно регулярной кривой, соединяющей эти
две точки.
Когда W выпукла, по предложению 4 (см. также замечание 3) разде­
ла 4.6, геодезическая у, соединяющая q1 Е W с q2 Е W, является кратчай­
шей. Таким образом, в этом случае мы можем сказать, что любые две точ­
ки W соединены единственной кратчайшей геодезической в W. В общем
случае, однако, W не является выпуклой.
Докажем теперь, что W можно выбрать так, что она станет выпуклой.
Решающей точкой доказательства является следующее предложение, кото­
рое само по себе интересно. Как обычно, мы обозначаем В, (р) внутрен­
ность области, ограниченной геодезической окружностью S, (р) радиу­
са r с центром р.
Предложение 3. Дш~ ка:ж:дой точки рЕ S существует положитель­
ное число & со следующим свойством: если геодезическая y(t) касается
геодезической окружности S,(p), r <в, в точке у(О), то при малых зна­
чениях t #:-О y(t) лежит вне круга ВЕ(р) (рис. 4.45).

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
363
Доклзлтвльство. Пусть W- окрестность точки р, заданная в пред­
ложении 1. Для каждой пары (q,v}, qE W, VE Tp(S), lvl=l, рассмотрим
геодезическую y(t, q, v) и положим для фиксированной пары (q, v)
(рис. 4.46)
S,(p)
ехр;1 y(t,q, v) = u(t),
F(t,q, v) =1u(t)1 2
= F(t).
р
В,(р)
Рисунок 4.45
Таким образом, для фиксированной пары (q, v) F(t) равно квадрату рас­
стояния от точки y(t,q, v) до р. Очевидно, функция F(t,q, v) дифференци-
руема. Заметим, что F(t,p,v)=lvtl2
.
u'(t)
w
о
T,(S)
Рисунок 4.46

364
ГЛАВА4
Обозначим теперь U 1 множество
U1
= {(q, v); qE W, VE Tq(S), 1v1= 1}
и определим функцию Q: U
1
~ R, полагая
д2F
Q(q, v) = дt2 l1=0·
Так как F дифференцируема, то Q непрерывна. Кроме того, поскольку
и в точке (p,q)
получаем
дF = 2(и(t), u'(t)),
дt
д2F (
"
)('')
-
2
= 2 u(t),и(t) +2и(t),и(t)
дt
u'(t) = v, u"(t) =О,
Q(p, v) = 21v1
2
=2 >О для любого vE Tp(S), 1v1= 1.
Отсюда, по непрерывности, следует, что существует такая окрестность
V с W, что Q(q, v) >О для любых qE V и VE Tq(S), где 1v\=1. Пусть
с:> О таково, что Ве(р) с V. Мы утверждаем, что с: удовлетворяет утвер­
ждению предложения.
В самом деле, пусть r <с: и y(t,q, v) - геодезическая, касающаяся
S, (р) в точке у(О) = q. Вводя геодезические полярные координаты
с полюсом р, мы видим, что(и(О), и'(О)) =О (см. рис. 4.47). Таким обра-
зом,(дF /дt)(О) = 0. Так как F(O,q,v)=r
2
и (д2F!дt
2
)>0, то F(t)>r
2
при
малых t "#- О ; следовательно, y(t) лежит вне В, (р).
D
и'(О)
T,(S)
--
ехр,
Рисунок 4.47

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
365
Мы можем теперь доказать
Предложение 4 (Существование выпуклых окрестностей). Для ка­
ждой точки р Е S существует такое число с> О, что геодезический круг
Вс(Р) является выпуклым, то есть любые две точки ВсСр) можно соеди­
нить единственной кратчайшей геодезической в ВсСр).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть задано е, как в предложении 3. Выберем д
и W в предложении 1 таким образом, что д < е / 2. Выберем такое с< д,
что Вс(Р) с W. Докажем, что Вс(Р) является выпуклым.
Рисунок 4.48
Пусть q1, q2 Е Вс (р) и у : 1 ~ S - геодезическая длины меньше
д < е 12, соединяющая q1 с q2 • Очевидно, y(J) содержится в В" (р), а мы
хотим доказать, что y(J) содержится в Вс(р). Предположим противное.
Тогда существует точка тЕ В,(р), где достигается максимум расстояния
v от y(J) до р (рис. 4.48). В окрестности т точки y(J) будут лежать
в В, (р). Но это противоречит предложению 3.
УПРАЖНЕНИЯ
1*. Пусть у и w - дифференцируемые векторные поля на открытом мно­
жестве ИсS. Пусть рЕS иа:I~И - такаякривая, что а(О) =р,
а'(О) =у. Обозначим Pa,t: Ta(O)(S) ~ Ta(t)(S) параллельный перенос вдоль
а из а(О) в a(t), tE !. Докажите, что
(Dyw)(p) = ~(P;:(w(a(t))) 1,~0,
dt,

366
ГЛАВА4
где правая часть есть вектор скорости кривой Pa~i(w(a(t))) в Tp(S) при
t ==О. (Таким образом, понятие ковариантной производной можно произве­
сти из понятия параллельного переноса.)
2. а. Покажите, что ковариантная производная обладает следующими
свойствами. Пусть v, w и у - дифференцируемые векторные поля на
И с S, f: И~ R - дифференцируемая функция на S, y(f) - произ­
водная f по направлению у (ер. упражнение 7 раздела 3.4) и Л,μ - ве­
щественные числа. Тогда
1) Dy(Лv + μw) == ,Шу(v)+ μDy(w); D.<y+μv(w) == ЛD/w)+ μDJw);
2) Dy(/V)==y(f)v+ fDy(v); D!Y==fD/v);
3) y((v,w))==(DYv, w)+(v,DYw);
4) Dxvxu ==Dxuxv, где x(u,v) -параметризация S.
Ь*. Покажите, что свойство 3 равносильно тому факту, что параллельный
перенос вдоль данной кусочно регулярной параметризованной кривой
а: l ~ S, соединяющей две точки р, qE S, есть изометрия между Tp(S)
и Tq(S). Покажите, что свойство 4 равносильно симметрии по нижним ин­
дексам символов Кристоффеля.
с*. Пусть V(U) - пространство (дифференцируемых) векторных полей на
И с S и D: VxV ~ V (где мы обозначаем D(y, v) = Dy(v)) отображение,
обладающее свойствами 1-4 . Проверьте, что Dy(v) совпадает скова­
риантной производной, введённой ранее в тексте. (Вообще, отображе­
ние D, обладающее свойствами 1 и 2, называется связностью на И. Цель
упражнения - доказать, что на поверхности с заданным скалярным произ­
ведением существует единственная связность, обладающая дополнитель­
ными свойствами 3 и 4.)
3*. Пусть а: 1 =[О,/]~ S - простая, параметризованная, регулярная кри­
вая. Рассмотрите единичное векторное поле v(t) вдоль а, где (a'(t), v(t)),
и отображение х: R х I ~ S, определяемое равенством
x(s,t)==expa(t)(sv(t)), sE R, tE !.
а. Покажите, что х дифференцируемо в окрестности I в R х l и dx не­
вырождено в точке (О, t), tE l.

ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
367
·~------~
Ь. Покажите, что существует такое е > О, что х взаимно однозначно
в прямоугольнике tE !, 1s1< е.
с. Покажите, что в открытом множестве t Е (О, l), 1s1< е, х есть парамет­
ризация S, координатная окрестность которой содержит а((О, !)). Коорди­
наты, введённые таким образом, называются геодезическими координата­
ми (или координатами Ферми) с базой а. Покажите, что в такой системе
координат F ==О, Е == 1. Кроме того, если а
-
геодезическая, параметри­
зованная длиной дуги, то G(O, t) == 1 и Gs (О, t) ==О.
d. Установите следующий аналог леммы Гаусса (замечание 1 после пред­
ложения 3 раздела 4.6). Пусть а: I ~ S - регулярная параметризованная
кривая, и пусть yi(s), tE !, -
семейство геодезических, параметризован­
ных длиной дуги, определяемое равенством у1 (О)== a(t), {у; (О), a(t)} - по­
ложительный ортогональный базис. Тогда для фиксированного, достаточ­
но малого s кривая t ~ y1(s), t Е /, пересекает все у1 ортогонально (такие
кривые называются геодезическиии параллелями).
4. Энергия Е кривой а: [а, Ь] ~ S определяется равенством
Е(а.) == f:I a.'(t) 1
2
dt.
а*. Покажите, что (l(a.))
2
<:::, (Ь- а)Е(а.)
и равенство выполняется тогда
и только тогда, когда параметр t пропорционален длине дуги.
Ь. Выведите из части (а), что если у: [а,Ь] ~ S - кратчайшая геодезиче­
ская с у(а) == р, у(Ь) == q, то для любой кривой а: [а,Ь] ~ S, соединяющей
р с q, Е(у) ~ Е(а.), и равенство выполняется тогда и только тогда, когда
а - кратчайшая геодезическая.
5. Пусть у: [О,/] ~ S - простая геодезическая, параметризованная дли­
ной дуги, и и, v - координаты Ферми в окрестности у([О, /]), которая за­
даётся уравнением и== О (ер. упражнение 3). Пусть и== y(v,t) - семейство
кривых, зависящее от параметра t,
-
е < t < е, такое, что у дифференци­
руема и
у(О, t) == у(О) == р, y(l, t) == y(l) == q, y(v, О)== y(v) =О.

368
ГЛАВА4
Такое семейство называется вариацией у, оставляющей неподвижными
концы р и q. Пусть E(t) - энергия кривой y(v,t) (ер. упражнение 4),
то есть
z(д )2
E(t) = fo -Jv (v,t) dv.
а*. Покажите, что
Е'(О) =О,
~Е'(О)= f~{(;у -К172}dv,
где 1'/(V) = ду / дt /t=O, К =К(V) - гауссова кривизна ВДОЛЬ у И штрих обо­
значает производную по t (предыдущие формулы называются соответ­
ственно первой и второй вариациями энергии у; более полное исследо-
вание этих формул, включая случай, когда у не является простой, будет
дано в разделе 5.4).
Ь. Выведите из части (а), что если К:$ О, то любая простая геодезическая
у: [О, l] ~ S является кратчайшей относительно кривых, достаточно близ­
ких к у, соединяющих у(О) с у(/).
6. Пусть S - конус z =k~x2+у2, k>О,(х,у)-:;:.(О,О),ипусть VсR2
-
открытое множество R 2
,
заданное в полярных координатах неравенства­
миО<р<оо, О<е<2л:пsin/], где ctgfJ=k ип- такоенаибольшеечис­
ло, что 2л:п sin fJ < 2л: (ер. пример 3 раздела 4.2). Пусть ер: V ~ S - ото­
бражение
ер(р,8) = (р sin fJ cos(---/!-J, р sin fJ sin(-!- -J, р cos /J).
Slll /J
Slll fJ
а. Докажите, что ер - локальная изометрия.
Ь*. Пусть q Е S. Предположите, что fJ < л: 16, и пусть k - такое наиболь­
шее число, что 2л:k sin fJ < л:. Докажите, что существуют по крайней мере k
геодезических, которые, выходя из q, возвращаются в q. Покажите, что
эти геодезические являются ломаными в q и, следовательно, ни одна из
них не является замкнутой геодезической (рис. 4.49).

z
х
ВНУТРЕННЯЯ ГЕОМЕТРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ
у
<р
-
Рисунок 4.49
(р,е+27ГsinfJ) =r,
369
с*. В условиях части (Ь) докажите, что существуют точно k таких геодези­
ческих.
7. Пусть а: 1~R
3
-
параметризованная регулярная кривая. Пусть для
любого t Е 1 P(t) с R 3 есть плоскость, проходящая через a(t), которая со­
держит a'(t). Когда единичный нормальный вектор N(t) плоскости P(t)
является дифференцируемой функцией t и N'(t) :;t О, tE 1, мы говорим,
что отображение t ~ {a(t), N(t)} есть дифференцируемое семейство каса­
тельных плоскостей. Д11я такого заданного семейства определим парамет­
ризованную поверхность (ер. определение 2 раздела 2.3), полагая
N(t) л N'(t)
x(t,v)=a(t)+v
,
.
1N(t)1
Параметризованная поверхность х называется огибающей семейства
{a(t), N(t)} (ер. пример 4 раздела 3.5).
а. Пусть S - ориентированная поверхность и у : 1 ~ S - геодезическая,
параметризованная длиной дуги, с k(s):;tO и т(s):;tO, sE /.Пусть N(s)-
единичный нормальный вектор S вдоль у. Докажите, что огибающая се­
мейства касательных плоскостей {y(s), N(s)} регулярна в окрестности у,
имеет гауссову кривизну К =о О и касается S вдоль у. (Таким образом, мы
получW1и поверхность, локально изометричную плоскости, которая со­
держит у как геодезическую.)

370
ГЛАВА4
Ь.Пустьа:I-tR
3
-
кривая, параметризованная длиной дуги, с k(s) *О
и т(s) *О, s Е 1, и пусть {a(s), n(s)} - семейство спрямляющих плоско­
стей. Докажите, что огибающая этого семейства регулярна в окрестности а,
имеет гауссову кривизну К =О и содержит а как геодезическую. (Таким
образом, ка:ждая кривая является геодезической на огибающей своих
спрямляющих плоскостей; так как эта огибающая локально изометрична
плоскости, это объясняет название «спрямляющая tИоскосты>.)

ПРИЛОЖЕНИЕ
Доказательства основных теорем
локальной теории кривых и поверхностей
В этом приложении мы покажем, как основные теоремы существо­
вания кривых и поверхностей (разделы 1.5 и 4.2) можно получить из тео­
рем теории дифференциальных уравнений.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ
(ер. утверждение в разделе 1.5). Исходный пункт состоит в том, чтобы за­
метить, что уравнения Френе
dt
-=kn,
ds
dn
-=-kt-тb
ds
'
db
-=тп
ds
(1)
можно рассматривать как систему дифференциальных уравнений в I х R 9
:
d/;1
-
= fi(s,(1, · · "(9)
ds
d/;9
-= f9(s,l;1,···,l;9)
ds
,
SE J,
(la)
где ((1,(2 ,(3)=t, ((4 ,l;5 ,(6 )=n, ((7 ,(8 ,(9 )=Ь и f;, i=l, ... ,9, -
линей­
ные функции (с коэффициентами, зависящими от s) координат(;.
В общем случае система вида (la) может не быть связана с «устой­
чивым» векторным полем (как в разделе 3.4). Во всяком случае теорема су­
ществования и единственности выполняется в следующей формулировке.

372
ГЛАВА4
Для заданных начальных условий s0 Е /, (q1) 0 , • • • ,(q9 ) 0 существуют
интервал J с!, содержащий s0 , и единственное дифференцируемое ото­
бражение а: J ~R9
, удо вле тво ряю щее условиям
a(so) = ((q1)0" · "(q9)0) и a'(s) = (J; ,. · . , _h),
где каждая функция J;,i=l, ... ,9, вычислена втачке (s,a(s))EJXR9
•
Кроме того, если система линейная, J = 1 (ер. S. Lang, Analysis !, Addison-
Wesley, Readiпg, Mass., 1968, рр. 383-386).
Отсюда следует, что для данного ортонормированного, положительно
определённого репера{t0 , п0 , Ь0 } в R 3 и значения s 0 Е 1 существует семей­
ство реперов {t(s), п(s), b(s)}, sE !, где t(s0) =t0 , п(s0)=п0, b(s0) =Ь0.
Покажем сначала, что семейство {t(s ), n(s), b(s)}, полученное таким
образом, остаётся ортонормированным при любом s Е /. В самом деле, ис­
пользуя систему (1) для выражения производных по s от шести величин
(t, п), (t, Ь), (п, Ь), (t, t), (п, п), (ь, Ь)
через сами эти величины, мы получаем систему дифференциальных урав­
нений:
d
-(t, п) = k(n, n)-k(t, t)-r(t, Ь),
ds
d
-(t,Ь) =k(n, Ь)+r(t,п),
ds
d
-(п, Ь) = -k(t, Ь)- r(b, Ь) + r(n, п),
ds
Легко проверить, что
d
-(t, t) =2k(t, п),
ds
d
-(п, п) = - 2k(n, t)- 2r(n, ь),
ds
d
-(Ь, Ь) = 2r(b, п).
ds
(t,n)=O, (t,b)=O, (п,Ь)=О, t
2
=1, п
2
=1, Ь2 =1
есть решение предыдущей системы с начальными условиями О, О, О, 1, 1, 1.
В силу единственности семейство {t(s), n(s), b(s)} ортонормировано при
любом s Е 1, как мы утверждали.
Зная семейство {t(s), п(s), b(s)}, можно получить кривую, полагая
a(s)=ft(s)ds, sEI,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ
373
где интеграл от вектора мы понимаем как вектор-функцию, полученную
интегрированием каждой компоненты. Ясно, что a'(s) =t(s) и a'(s) =kn.
Следовательно, k(s) есть кривизна а в точке s. Кроме того, поскольку
a'"'(s) = k'n+ kn' = k'n-k
2
t-kтb,
кручение а выражается равенством (ер. упражнение 3 раздела 1.5)
(а' ла",а"') (tлkn,(-k 2t+k'n-kтb))
т;
k2
k2
а, следовательно, есть искомая кривая.
Покажем ещё, что а - единственная кривая, с точностью до сдви-
гов и поворотов R 3
.
Пусть а:J~R3
-
другая кривая с k(s) = k(s)
и'f(s)=т(s), sЕ /, ипусть{f0,n0,Ь0}- реперФренекривойавточке s0.
Ясно, что сдвигом А и поворотом р можно совместить репер {f0 , n0 , Ь0 }
с репером {t0 , п0 , Ь0 } (оба репера положительны). Применяя утверждение
о единственности предыдущей теоремы о дифференциальных уравнениях,
получаем требуемый результат.
О
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНОЙ ТЕОРЕМЫ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ПОВЕРХНО­
СТЕЙ (ер. утверждение в разделе 4.3). Идея доказательства та же, что
в предыдущем случае, то есть мы ищем семейство реперов {xu, xv, N}, за­
висящее от и и v и удовлетворяющее системе
Xuu =Г/1 хи +Гi21 xv +eN,
Xuv = Гi12xu + Гi22xv + fN =Xvu•
xvv =Гi2xu +Г]2х,, +gN,
Nu =a11Xu +az1Xv,
Nv == й12Хи + GzzXv,
(2)
где коэффициенты ГJ, aii• i,j == 1, 2, получаются из E,F,G,e,f,g так, как
это бьшо бы на поверхности.
Предыдущие уравнения определяют систему дифференциальных
уравнений в частных производных в VxR
9
:
(~\)и== .fl(u,v,.; -1".".;9),
(2а)

374
ГЛАВА4
i=l, ... ,15,- линейные функции координат i;j, j=l, ... ,15, скоэффи­
циентами, зависящими от и и v.
В отличие от случая обыкновенных дифференциальных уравнений, сис­
тема вида (2а), вообще говоря, не интегрируема. В рассматриваемом случае
условиями, которые гарантируют существование и единственность локально­
го решения при заданных начальных условиях, являются равенства
(uv = ~VИ' Yfuv = Yfvu• ?:uv = ?:vu·
Доказательство этого утверждения можно найти в книге J. Stoker, Differen-
tial Geometry, Wiley-Interscience, New York, 1969, Appendix В.
Как мы видели в разделе 4.3, условия интегрируемости равносильны
уравнениям Гаусса и Майнарди-Кодацци, которые, по условию, удовлет­
воряются. Следовательно, система (2а) интегрируема.
Пусть {(,Yf,(} - решение (2а), определённое в окрестности точки
(и0,v0) с начальными условиями ~(и0,v0) =(0, 17(и0,v0) = Yfo, ((и0,v0) =(0.
Очевидно, можно выбрать начальные условия таким образом, что
;;J = Е(и0,v0),
rtJ = G(uo, vo),
(,;о, У/о)= F(uo, vo),
(;f =1,
(i;o, (о)= (Yfo, (о)= О.
Из данного решения образуем новую систему
Xu=(,
xv=Yf,
(3)
(4)
которая, очевидно, интегрируема, так как (v = Yfu· Пусть х: V ~ R 3
-
ре­
шение системы (4), определённое в окрестности V точки (и0 , v0 ), где
3
-
x(u0 , v0 ) = рЕ R . Покажем, что после уменьшения V и перестановки v
и и, если это необходимо, x(V) - искомая поверхность.
Покажем сначала, что семейство {(, Yf, (}, которое является решением
системы (2а), обладает следующим свойством. В каждой точке (u,v), где
решение определено,
(,;, rt) == F,
(5)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ОСНОВНЫХ ТЕОРЕМ ЛОКАЛЬНОЙ ТЕОРИИ КРИВЫХ
375
1;2=1,
(;;, i;) = (17, i;) =о.
Действительно, используя (2) для выражения частных производных от
1;2' 112' 1;2' (;;, 17), (;;, i;), (17, i;)
через сами эти 6 функций, получаем систему дифференциальных уравнений
(/;
2
)u = В1(/;
2
,17 2
,. · .,(17,?;)),
(/;
2
)v = B2U:
2
,11
2, ... ,(17,i;)),
(6)
Поскольку система (6) получена из (2а), ясно (и может быть проверено не­
посредственно), что (6) интегрируема и
;;2 =Е,
112=G,
(17, /;) == F,
1;2 == 1,
(;;, i;) = (11, i;) =о
есть решение (6), удовлетворяющее начальным условиям (3). В силу един­
ственности, получаем требуемое.
Отсюда следует, что
lxu лхv l
2
==x~x~ -(хи,хv) 2
==EG-F
2
>0.
Следовательно, если х : V -'t R
3
записывается в виде
x(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v)E V,
одна из компонент хил xv, скажем д(х,у)/ д(и, v), отлична от нуля в точке
(и0 , v0 ). Следовательно, мы можем обратить систему двух первых компо­
нент х в окрестности И с V точки (и0 , v0 ) и получить отображение
F(x,y)=(u,v). Ограничение хна И, то есть отображение х: И-'tR 3 вза­
имно однозначно, и обратное к нему х- 1 = F о л: (где л: - проекция R 3 на
.ху-плоскость) непрерывно. Поэтому х: И -'t R
3
-
дифференцируемый

376
ГЛАВА4
гомеоморфизм, удовлетворяющий условию хи л xv *О; следовательно,
х(И) с R 3 - регулярная поверхность.
Из (5) непосредственно следует, что E,F,G - коэффициенты первой
основной формы х(И) и ( - единичный вектор нормали к поверхности.
Меняя местами в случае необходимости и и v, получаем
(= Хи ЛХv
=N.
1Хи ЛХv 1
Отсюда с помощью (2) получаем коэффициенты второй основной
формы х(и, v):
то есть эти коэффициенты суть e,f,g, и это завершает первую часть дока­
зательства.
Остаётся показать, что если И связно, х единственна с точностью до
сдвигов и поворотов R 3
• Чтобы сделать это, допустим, что х: И ~ R 3
-
другая регулярная поверхность, удовлетворяющая условиям Е = Е,
F=F, G =G, е =е,J=f иg=g. Посколькупервыеивторыеосновные
формы совпадают, можно совместить репер
{хu(Ио, Vo), Хv(Ио, Vo), N(uo, Vo)}
с репером
{xu(u0,v0),xv(u0,v0),N(u0,v0)}
посредством сдвига А и поворота р.
Системе (1а) удовлетворяют два решения:
(=Хи, 1'/ =Xv, ( =N;
(=xu, IJ=Xv, (=N.
(7)
Так как оба решения совпадают в точке (ио, vo), в силу единственности
получаем, что
хи =хи, xv =xv, N=N
в окрестности точки (u 0 ,v0 ). С другой стороны, подмножество И, где это
выполняется, по непрерывности, замкнуто. Так как И связно, равенства (7)
выполняются для любой точки (и, v)E И.
Из первых двух уравнений (7) и того факта, что И связна, заключаем,
что
х(и, v) = х(и, v) +С,
где С - постоянный вектор. Поскольку x(u0,v 0) = х(и 0 , v0), то С= О, что
завершает доказательство теоремы.
о

ГЛАВА 5
Глобальная дифференциальная rеометрия
5.1 . Введение
Цель этой главы - дать введение в глобальную дифференциальную
геометрию. Мы уже встречались с глобальными теоремами (характериза­
ция компактных ориентируемых поверхностей в разделе 2.7 и теорема Га­
усса-Бонне в разделе 4.5 - некоторые примеры). Однако они были более
или менее неожиданными, так как нашей главной задачей бьшо изложение
основ локальной теории регулярных поверхностей в R 3
.
Теперь, в стороне
от предыдущего, мы можем начать более систематическое изучение гло­
бальных свойств.
Глобальная дифференциальная геометрия имеет дело с отношениями
между локальными и глобальными (в общем, топологическими) свойства­
ми кривых и поверхностей. Мы старались минимизировать обращения
к топологии, ограничиваясь подмножествами евклидовых пространств.
Использовались только основные элементарные свойства связных и ком­
пактных подмножеств евклидовых пространств. Для полноты этот матери­
ал представлен с доказательствами в приложении к главе 5.
Читатель может использовать эту главу выборочно, и, имея это в виду,
мы представим сейчас краткое описание, раздел за разделом, этой главы.
В конце этого введения будет приведена таблица зависимости различных
разделов.
В разделе 5.2 мы докажем, что сфера неизгибаема, то есть если связ-
ная, компактная, регулярная поверхность S с R 3 изометрична сфере, то S
есть сфера. Кроме мотивации для раздела 5.3, этот раздел нигде в книге не
используется.
В разделе 5.3 мы введём понятие полной поверхности как естествен­
ный объект для глобальных теорем. Мы докажем основную Теорему Хоп­
фа-Ринова, которая утверждает существование кратчайшей геодезической,
соединяющей любые две точки полной поверхности.
В разделе 5.4 мы подготовим формулы для первой и второй вариаций
длины дуги. В качестве приложения мы докажем теорему Бонне: полная
поверхность положительной и отделённой от нуля гауссовой кривизны
компактна.

378
ГЛАВА5
В разделе 5.5 мы введём важное понятие поля Якоби вдоль геодезиче­
ской у, которое измеряет скорость, с которой геодезические вблизи у уда­
ляются от у. Мы докажем, что если гауссова кривизна полной поверхно­
сти S неположительна, то отображение ехр Р : ТР (S) -7 S есть локальный
диффеоморфизм.
Это ставит задачу отыскания условий того, что локальный диффео­
морфизм является глобальным диффеоморфизмом, которая мотивирует
введение понятия накрывающих пространств в разделе 5.6. Часть А разде­
ла 5.6 совершенно независима от предыдущих разделов. В части В мы до­
кажем две теоремы, принадлежащие Адамару. (1) Если S полна и одно­
связна и гауссова кривизна S неположительна, то S диффеоморфна плос­
кости. (2) Если S компактна и имеет положительную гауссову кривизну,
то гауссово отображение N; S -7 S
2
есть диффеоморфизм; в частности, S
диффеоморфна сфере.
В разделе 5.7 мы приведём некоторые глобальные теоремы о кривых.
Этот раздел зависит только от части А раздела 5.6.
В разделе 5.8 мы докажем, что полная поверхность в R 3 нулевой га­
уссовой кривизны есть либо плоскость, либо цилиндр.
В разделе 5.9 мы докажем так называемую теорему Якоби: дуга геоде­
зической является кратчайшей относительно соседних кривых с теми же
концами тогда и только тогда, когда такая дуга не содержит сопряжённых
точек.
Для разделов
5-2 5-3 5-4 5-5 5-6, А5-6, В5-7, 5 -8 5-9 5-10 5-11
5-3
5-4
1
5-5
5-6,А
""
! 5-6,В
"'
5-7
~
5-8
5-9
5-10
5-11
В разделе 5.10 мы введём понятие абстрактной поверхности и распро­
страним на такие поверхности внутреннюю геометрию главы 4. Кроме уп­
ражнений, этот раздел совершенно независим от предыдущих разделов.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
379
В конце этого раздела мы укажем возможные дальнейшие обобщения, та­
кие как дифференцируемые многообразия и римановы многообразия.
В разделе 5.11 мы докажем теорему Гильберта, которая означает, что
в R 3 не существует полной регулярной поверхности постоянной отрица­
тельной гауссовой кривизны.
В сопроводительной диаграмме мы представляем таблицу зависимо­
сти разделов этой главы. Например, для раздела 5.11 нужны разделы 5.3,
5.4, 5.5, 5.6 и 5.10; для раздела 5.7 нужна часть А раздела 5.б;для разде­
ла 5.8 нужны разделы 5.3, 5.4, 5.5 и часть А раздела 5.6.
5.2 . Неизrибаемость сферы
Быть может, полезно начать с типичного, несмотря на простоту, при­
мера глобальной теоремы. Мы выбираем неизгибаемость сферы.
Мы докажем, что сфера неизгибаема в следующем смысле. Пусть
rp: 1: ~ S - изометрия сферы 1: с R 3 на регулярную поверхность
S=rp(1:)сR3
.
Тогда S есть сфера. Интуитивно это означает, что невоз­
можно деформировать сферу, сделанную из гибкого, но нерастяжимого
материала.
На самом деле мы докажем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть S - компактная, связная, регулярная поверхность
постоянной гауссовой кривизны К. Тогда S есть сфера.
Неизгибаемость сферы непосредственно вытекает из теоремы 1. В са­
мом деле, пусть rp: 1: ~ S - изометрия сферы I: на S. Тогда rp(S) имеет
постоянную кривизну, так как кривизна инвариантна относительно изо­
метрий. Кроме того, rp(I:) = S компактна и связна как непрерывный образ
компактного и связного множества I: (приложение к главе 5, предложе­
ния 6 и 12). Из теоремы 1 следует, что S есть сфера.
Первое доказательство теоремы 1 принадлежит Г. Либману (1899).
Доказательство, которое мы приведём здесь, является модификацией
С. С. Черна доказательства Д. Гильберта (S. S . Chem, "Some New
Characteri-zatioпs of Euclidean Sphere," Duke Math. J . 12 (1945), 270-290;
D. Hilbert, Gruпdlageп der Geoтetrie, Зrd ed., Leipzig, 1909, Appendix 5).
Замечание 1. Следует заметить, что существуют поверхности, гомо­
морфные сфере, которые не являются неизгибаемыми. Пример дан на ри­
сунке 5.1 . Мы замещаем плоскую область Р поверхности S на рисунке 5.1

380
ГЛАВА5
«выгибом» вниз так, что полученная поверхность S' по-прежнему реrу­
лярна. Поверхность S", полученная «симметричным выгибом», изомет­
рична s', но не существует линейного ортогонального преобразования,
которое переводит S' в s". Таким образом, s' не является неизгибаемой.
S'
Рисунок 5.l
Напомним следующее соглашение. Мы выбираем главные кривиз­
ны k1 и k2 так, что k1(q)'?.k2 (q) для любой точки qE S. Таким способом
мы получаем k1 и k 2 как непрерывные функции на S, которые дифферен­
цируемы всюду, быть может, омбилических точек (k1 = k2 ) S.
Доказательство теоремы 1 основано на следующей локальной лемме,
для доказательства которой мы будем использовать уравнения Майнарди­
Кодацци (раздел 4.3).
Лемма 1. Пусть S - регулярная поверхность и рЕ S - точка S,
удовлетворяющая следующим условиям:
1) К(р) >О, то есть, гауссова кривизна в р положительна;
2) р является одновременно точкой локального максимума функции k 1
и точкой локального минимума функции k1 (k1 ~ k1 ).
Тогда р - омбWlическая точка S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что р не является омбилической точкой,
и получим противоречие.
Если р - не омбилическая точка S, можно параметризовать окрест­
ность р координатами (и, v) так, что координатные линии будут линиями
кривизны (раздел 3.4). В таком случае F == f =О, а главные кривизны рав-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
381
ны е 1Е, g / G. Так как точка р не омбилическая, можно считать, переобо­
значая в случае необходимости и и v, что в окрестности р
(1)
В полученной таким образом системе координат уравнения Майнарди­
Кодацци записываются в виде (уравнения (7) и (7а) раздела 4.3)
ev == Ev (k1 +k2),
(2)
2
gu == Gu (k1 +k2).
2
(3)
Дифференцируя первое равенство (1) по v и используя уравнение (2), по­
лучаем
(4)
Аналогично, дифференцируя второе равенство (1) по и и используя урав­
нение (3), получаем
(5)
С другой стороны, когда F =О, уравнение Гаусса принимает вид (уп­
ражнение 1 раздела 4.3)
к- __
1 {(_s_) +(~) }·
-
2ГЕG ГЕGv ГЕGи '
следовательно,
(6)
где М == М(и, v) и N == N(u, v) суть функции от (и, v), выражения которых
несущественны для доказательства. То же замечание относится к М, N,
Ми N, вводимым ниже.
Из уравнений (4) и (5) мы получаем выражения Ev и Gи, которые, по­
сле дифференцирования и введения в равенство (6), дают
2Е
20
-
-
-2KEG ==---(k1)vv +--(k2)uu + M(k1)v + N(k2)u;
k1 -k2
k1 -k2
следовательно,
-(k1 - k1)KEG = - 2E(k1)vv + 2G(k2)uu + M(k1 )v + N(k2)u·
(7)

382
ГЛАВА5
Так как К>О и k1> k2 в точке р, левая часть равенства(7) строго от­
рицательна в р. Так как k1 достигает локального максимума в р, а k2 -
минимума в р, то
(k1)v=O, (k2)u=O, (k1 )vv~O, (k2)uu:::O:O
в р. Однако это означает, что правая часть равенства (7) положительна или
равна нулю, что является противоречием. Это завершает доказательство
леммы 1.
D
Следует заметить, что никакого противоречия в доказательстве не по­
является, если предположить, что k1 имеет локальный минимум, а k2 -
локальный максимум в р. В самом деле, такая ситуация может возникнуть
на поверхности положительной кривизны без того, что р является омби­
лической точкой, как показывает следующий пример.
Пример 1. Пусть S
-
поверхность вращения, заданная уравнениями
(ер. пример 4 раздела 3.3)
x=qi(v)cosu, y=qi(v)sinu, z=ljl(v), 0<и<2п-,
где
qi(v)=Ccosv,
C>I,
lf!(v)= f 'V'1-C
2
sin
2
vdv, lf/(0)=0.
Мы выбираем 1v1< arcsin (1/С), так что lf/(v) определена.
Используя уже известные выражения (пример 4 раздела 3.3), получаем
Е =С2
cos
2
v,
F=O,
G=l,
е = -С cos v( .J~1---C-2-s-in_2_v),
f=O,
Ccosv
g=
~l-C2 sin2 v'
следовательно,
е .J1-C
2
sin
2
v
g
k-
-
k-
-
1---
'
2 ---
Е
Ccosv
G
Ccosv
Поэтому S имеет кривизну К = k1k 2 = 1 > О, положительную и постоянную
(ер. упражнение 7 раздела 3.3).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
383
Легко видеть, что k1 > k2 всюду на S, поскольку С> 1. Следовательно,
S не имеет омбилических точек. Далее, поскольку k1 = (1/С) при v =О, и
~1-C2sin2v 1
------>--при vi:-0,
Ccosv
С
мы заключаем, что k1 достигает минимума (и потому k2 достигает макси­
мума, так как К = 1) в точках параллели v =О.
Между прочим, этот пример показывает, что предположение компакт­
ности в теореме 1 существенно, поскольку поверхность S (см. рис. 5.2)
имеет постоянную кривизну, но не является сферой.
Рисунок 5.2
В доказательстве теоремы 1 будет использован следующий факт, ко­
торый мы докажем как лемму.
Лемма 2. Регулярная компактная поверхность S с R 3 имеет по
крайней мере одну эллиптическую точку.
ДОКАЗАТЕЛЪСТВО. Так как S компактна, то S ограниченна. Следова­
тельно, существуют такие сферы в R 3 с центром в фиксированной точке
ОЕR3
, что S содержится внутри области, ограниченной любой из них.
Рассмотрим множество всех таких сфер. Пусть r - точная нижняя грань
их радиусов, и пусть :Е с R 3
-
сфера радиуса r с центром в О. Ясно,
что :Е и S имеют по крайней мере одну общую точку, скажем р. Касатель­
ная плоскость к :Е в р имеет только одну общую точку р с S в окрестно­
сти р. Поэтому :Е и S касаются в р. Рассматривая нормальные сечения в р,
легко заключить, что любая нормальная кривизна S в р больше или равна
соответствующей кривизне :Е в р. Следовательно, Ks(P) "?:. Кх.(Р) >О
и р - эллиптическая точка, что и требовалось.
о

384
ГЛАВА5
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 1. Так как S компактна, по лемме 2, суще­
ствует эллиптическая точка. Так как К постоянна, К> О на S.
В силу компактности непрерывная функция k1 на S достигает макси-
мума в точке рЕ S (предложение 13 приложения к главе 5). Так как
К =k1k2 -
положительная константа, k2 является убывающей функ­
цией k1 и, следовательно, достигает минимума в р. Из леммы 1 следует,
что р - омбилическая точка, то есть k1(р) = k2 (р).
Пусть теперь q - любая заданная точка S. Так как мы предположи­
ли, что k1(q) 'С. k2 (q), то
k1(р) 'С. k1(q) 'С. k2(q) 'С. k2(р) =k1(р).
Следовательно, k1( q) = k2 ( q) для любой точки q Е S.
Отсюда следует, что все точки S являются омбилическими и, по
предложению 5 раздела 3.2, S лежит на сфере или на плоскости. Так как
К > О, S лежит на сфере :Е. В силу компактности, S замкнута в I. и, по­
скольку S - регулярная поверхность, S открыта в I.. Так как I: связна,
а S открыта и замкнута в :Е, то S = :Е (предложение 5 приложения
к главе 5).
Следовательно, поверхность S является сферой.
о
Заметим, что в доказательстве теоремы 1 предположение, что К = k1k2
постоянна, используется, только чтобы гарантировать убывание функ­
ции k2 как функции k1 . Тот же вывод получается, если предположить, что
1
средняя кривизна Н =z-(k1 +k2 ) постоянна. Это позволяет сформулиро-
вать следующую теорему.
Теорема 1а. Пусть S - регулярная, компактная и связная поверх­
ность гауссовой кривизны К >О и постоянной средней кривизны Н .
Тогда S есть сфера.
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы 1.
В самом деле, рассуждения применимы всякий раз, когда k2 = /(k1), где
f - убывающая функция k1• Более точно, имеет место
Теорема 1Ь. Пусть S - регулярная, компактная и связная поверхность
полоJJСUтельной гауссовой кривизны. Если существует зависимость
k2 = f(k1) на S, где !-убывающая функция IG_, k 1 'С. k2 , то S есть сфера.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
385
Замечание 2. Компактные, связные поверхности в R 3 , гауссова кри­
визна которых К> О, называются овалоидами. Поэтому теорема 1а мо­
жет быть сформулирована следующим образом: овалоид постоянной
средней кривизны является сферой.
С другой стороны, простым следствием теоремы Гаусса-Бонне явля­
ется то, что овалоид гомеоморфен сфере (ер. раздел 4.5 приложения 1).
Г. Хопф доказал, что теорема la по-прежнему верна в следующей (более
сильной) формулировке: регулярная поверхность постоянной средней кри­
визны, гомеоморфная сфере, является сферой. Теорема, принадлежащая
А. Александрову, обобщает этот результат заменой условия гомеоморфно­
сти сфере требованием компактности: регулярная, компактная и связная
поверхность постоянной средней кривизны является сферой.
Изложение упомянутых выше результатов можно найти в книге Хоп­
фа [11]. (Список литературы-в конце книги.)
Замечание 3. Неизгибаемость сферы может быть получена как след­
ствие общей теоремы о неизгибаемости овалоидов. Эта теорема, принад­
лежащая Кон-Фоссену, утверждает следующее: два изометричных овалои­
да можно совместить ортогональным линейным преобразованием R 3 .
Доказательство этого результата можно найти в работе Черна [10].
Теорема 1 является типичным результатом глобальной дифференци­
альной геометрии, то есть информация о локальных объектах (в данном
случае это кривизна) вместе со слабыми глобальными предположениями
(в данном случае компактность и связность) влекут за собой сильные огра­
ничения на поверхность в целом (в данном случае необходимость быть
сферой). Заметим, что только влияние связности предотвращает появление
двух или более сфер в следствии теоремы 1. С другой стороны, условие
компактности существенно в нескольких отношениях; одна из его функ­
ций - гарантировать, что мы получаем всю сферу, а не поверхность, ле­
жащую на сфере.
УПРАЖНЕНИЯ
1.ПустьSсR3
-
компактная регулярная поверхность и фиксирована точка
р0 Е R 3 , р0 ~ S. Пусть d: S ~ R - дифференцируемая функция, опреде-
ляемая равенством d(q) = _! _ 1 q- р0 1
2
,
q Е S. Так как S компактна, сущест-
2
вует такая точка q0 Е S, что d(q0 ) 2 d(q) для всех qE S. Докажите, что
q0 - эллиптическая точка S (это даёт другое доказательство леммы 1).

386
ГЛАВАS
2.ПустьSсR3
-
регулярная поверхность гауссовой кривизны К > О без
омбилических точек. Докажите, что не существует точки на S, где Н име­
ет максимум, а К - минимум.
3. (Замечание Каздана-Уорнера.) Пусть S с R 3 - обобщённая компакт­
ная поверхность вращения (ер. замечание 4 раздела 2.3), полученная вра­
щением кривой
a(s) =(О, cp(s), lf!(s)),
параметризованной длиной дуги s Е [О,!], вокруг оси z. Здесь ер( О)= ер(/)=
=О и cp(s) >О для любого s Е [О,!]. Далее, регулярность S в полюсах озна­
чает, что cp'(O)=l, q/(l)=-1 (ер. упражнение 10 раздела 2.3). Мы знаем
также, что гауссова кривизна S выражается равенством К= -cp"(s)/ cp(s)
(ер. пример 4 раздела 3.3).
а*. Докажите, что
r
1
K'm 2 ds=O K'=d~.
Jo .,,
'
ds
Ь. Заключите из части (а), что не существует (обобщённой) поверхности
Rз
•
•
вращения в
с монотонно возрастающеи кривизнои.
Следующее упражнение излагает доказательство теоремы Хопфа: ре­
гулярная поверхность постоянной средней кривизны, гомеоморфная сфере,
является сферой (ер. замечание 2). Главная идея Хопфа используется сно­
ва и снова в современных работах. Упражнение требует знания некоторых
элементарных фактов о функциях комплексных переменных.
4.Пусть ИсR3
-
открытое связное подмножество R 2
,
и пусть
х: И~ S - изотермическая параметризация (то есть Е = G, F =О;
ер. раздел 4.2) регулярной поверхности S. Отождествим R 2 с комплекс­
ной плоскостью С, полагая и+ iv = (, (и, v) Е R 2
,
( Е С. ( называется
комплексным параметром, соответствующим х. Пусть rp: х(И) ~С -
комплекснозначная функция, определяемая равенством
rp(()=rp(u,v)= e-g -if=rp1 +irp2
,
2
где e,f,g суть коэффициенты второй основной формы S.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
387
а. Покажите, что уравнения Майнарди-Кодацци (ер. раздел 4.3) можно за­
писать в изотермической параметризации х в виде
(e-g)
(e-g)
-2- и+fv=ЕНи, -2- v -fu=-EHv,
и заключите, что средняя кривизна Н х(И) с S постоянна тогда и только
тогда, когда rp является аналитической функцией ( (то есть (rp1)" =(rp2 )v,
(rpl)v =-(rpz)J.
Ь. Определите «комплексную производную»
д~ -~(:и -i;J
и докажите, что rp(() =-2(х?' Nt; ), где под х.;-, например, понимается век­
тор с комплексными координатами
(дх ёrу; дz)
Х(=д('д('д( .
с. Пусть f : И с С ~ V с С - взаимно однозначная функция, заданная
равенством f(u+iv)=x+iy=17. Покажите, что (х,у)
-
изотермические
параметры на S (то есть 17 - комплексный параметр на S) тогда и только
тогда, когда f - аналитическая функция и /'(()"#О, ( Е И. Пусть
у=хо/-1
-
соответствующая параметризация и lf/(rt)=2(y11
,N"). Пока­
жите, что на х(И) n y(V)
rp(O = w<11{ :~J
(*)
d. Пусть S2
-
единичная сфера в R 3
.
Используйте стереографическую
проекцию (ер. упражнение 16 раздела 2.2) из полюсов N =(О, О, 1)
и S =(О, О, -1), чтобы покрыть S 2 координатными окрестностями двух
(изотермических) комплексных параметров ( и 17, где ((S) =О
и 17(N) =О, таким образом, что в пересечении W этих координатных окре-
стностей (сфера без двух полюсов) 17 = (-
1
.
Предположим, что на каждой
координатной окрестности существуют такие аналитические функции
tp((), lf/(17), что равенство (*) выполняется на W. Используйте теорему
Лиувилля, чтобы доказать, что tp(() =О (следовательно, 1/-'(У/) =О).
е.ПустьSсR3
-
регулярная поверхность постоянной средней кривизны,
гомеоморфная сфере. Предположим, что существует конформный диффе-

388
ГЛАВА5
оморфизм ер: S ~ S 2 поверхности S на единичную сферу S 2 (это есть
следствие теоремы об униформизации для римановых поверхностей и бу­
дет здесь принято без доказательства). Пусть ( и 'if ~ комплексные
параметры, соответствующие при отображении ер параметрам ( и '1 сфе-
рыS2
,
определённым в части (d). В силу части (а) функция
rp(°()=((e-g)/2)-if является аналитической. Аналогичная функция
l/f('if) также аналитическая, и в силу части (с) они связаны соотношением
(*). Используйте часть (d), чтобы показать, что tp(°() =О (следовательно,
l/f('if) = О). Заключите, что S состоит из омбилических точек и, следова­
тельно, является сферой. Это доказывает теорему Хопфа.
5.3 . Полные поверхности. Теорема Хопфа-Ринова
Все поверхности, которые будут рассматриваться в дальнейшем, бу­
дут регулярными и связными, если не указано иное.
Исследование в конце раздела 5.1 показало: чтобы получить глобаль­
ные теоремы, требуются, кроме связности, некоторые глобальные предпо­
ложения, гарантирующие, что поверхность не может быть «продолжена»
далее как регулярная поверхность. Ясно, что компактность служит этой
цели. Однако бьшо бы полезно иметь предположение более слабое, чем
компактность, которое могло бы по-прежнему иметь такой эффект. Это
позволило бы нам ожидать глобальных теорем в более общем случае, чем
случай компактности.
Более точная формулировка понятия, что поверхность не может быть
продолжена, даётся в следующем определении.
Определение 1. Регулярная (связная) поверхность S называется про­
должаемой, если существует такая регулярная (связная) поверхность S,
что S с S как собственное подмножество. Если такой поверхности S не
существует, S называется непродолжаемой.
К несчастью, класс непродолжаемых поверхностей слишком широк,
чтобы давать интересные результаты. Более адекватное условие даёт
Определение 2. Регулярная поверхность S называется полной, если
для каждой точки рЕ S любая параметризованная геодезическая
у: [О, с)~ S поверхности S, выходящая из р = r(O), может быть продол­
жена в параметризованную геодезическую у: R ~ S, определённую на
всей оси R.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
389
Другими словами, S является полной, когда для каждой точки рЕ S
отображение ехр Р : T/S)---') S (раздел 4.6) определено для любого
VE T/S).
Позже (предтюжение 1) мы докажем, что каждая полная поверхность
непродолжаема и что существуют непродолжаемые поверхности, которые
не являются полными (пример 1). Следовательно, условие полноты силь­
нее, чем условие непродолжаемости. Кроме того, мы докажем (предложе­
ние 5), что каждая замкнутая поверхность в R 3 полна, то есть условие
полноты слабее, чем условие компактности.
Цель этого раздела - доказать, что для двух данных точек р, qE S
полной поверхности S существует геодезическая, соединяющая р с q,
которая является кратчайшей, то есть её длина меньше или равна длине
любой другой кривой, соединяющей р с q). Этот основной результат был
впервые получен Хопфом и Риновым (Н. Hopf, W. Rinov, "Uber den Begriff
der vollsiindigen differentialgeometrischen Fliichen ", Сотт. Math. Helv. 3
1931 ), 209-225). Эта теорема является главной причиной того, что полные
поверхности являются более подходящими для дифференциальной гео­
метрии, чем непродолжаемые поверхности.
Рассмотрим это на некоторых примерах. Плоскость, очевидно, являет­
ся полной поверхностью. Конус без вершины есть неполная поверхность,
так как при достаточном продолжении образующей (которая является гео­
дезической) мы достигаем вершины, которая не принадлежит поверхности.
Сфера является полной поверхностью, так как её параметризованные гео­
дезические (следы которых являются большими окружностями сферы) мо­
гут быть определены для любого вещественного значения параметра. Ци­
линдр также есть полная поверхность, так как его геодезические суть ок­
ружности, прямые и винтовые линии, которые определены для всех
вещественных значений.
С другой стороны, поверхность S - {р}, полученная удалением точ-
ки р из полной поверхности, не является полной. В самом деле, геодези­
ческая у поверхности S должна проходить через точку р. Дтrя выбранной
на у вблизи р точки q (рис. 5.3) существует параметризованная геодези­
ческая поверхности S - {р}, которая выходит из q и не может быть про­
должена до р (это соображение будет детально изложено в предложе­
нии 1). Таким образом, сфера без одной точки и цилиндр без одной точки
не являются полными поверхностями.

390
ГЛАВА5
Предложение 1. Полная поверхность S непродолжаема.
ДОКАЗА твльство. Допустим, что S продолжаема, и получим противо­
речие. Продолжаемость S означает, что существует регулярная (связная)
поверхность S с S с S. Так как S - регулярная поверхность, S открыта
в S. ГраницаS (определение 4 приложения к главе 5) Bd S в S непуста;
в противном случае S = S u (S - S) была бы объединением двух непересе­
кающихся открытых множеств S и S - S, то противоречит связности S
(определение 10 приложения к главе 5). Следовательно, существует точка
рЕBdS и, поскольку S открытав S, р~S.
- ------ --
Рисунок 5.3
Пусть V с S - такая окрестность р в S, что каждую точку q Е V
можно соединить с р единственной геодезической S (предложение 2 раз­
дела 4.6). Так как р Е Bd S, некоторая точка q0 Е V принадлежит S. Пусть
у:[О,l]ES - геодезическая S с у(О)=р и y(l)==q0. Ясно, что
а.: [О, е) ----t S, заданная равенством a.(t) = y(l - t), является геодезической S
с а(О) == q0 , продолжение которой на прямую R должно пройти через р
при t = 1 (рис. 5.4). Так как plic S, эта геодезическая не может быть про­
должена, что противоречит предположению о полноте и завершает доказа­
тельство.
О
Пример 1. Когда мы удаляем вершину р0 однополостного конуса, за­
данного уравнением

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
391
мы получаем регулярную поверхность S. S не является полной, так как
образующие нельзя продолжить для любого значения длины дуги без дос­
тижения вершины.
----- -
--
- ---
,,./,..------
/
/
Рисунок 5.4
Рисунок 5.5
Обращение предложения 1 неверно, как показывает следующий пример.
Покажем, что S непродолжаема, допуская, что S с S, где S "# S -
регулярная поверхность, и получая противоречие. Идея заключается в том,
чтобы показать, что граница S в S сводится к вершине р0 и что сущест-
вует такая окрестность ТУ точки р0 на S, что W - {р0 } с S. Но это проти­
воречит тому факту, что конус (включая вершину р0 ) не является регу­
лярной поверхностью в точке р0 (пример 5 раздела 2.2).
Заметим сначала, что единственной геодезической S, выходящей из
точки рЕ S, которая не может быть продолжена для любого значения па­
раметра, является меридиан (производящая линия), который проходит че­
рез р (см. рис. 5.5). Этот факт можно легко увидеть, используя, например,
уравнение Клеро (пример 5 раздела 4.4), что будет оставлено в качестве
упражнения (упражнение 2).
Пусть теперь рЕ Bd S, где Bd S обозначает границу S в S (как мы
видели в предложении 1, Bd S *ер). Поскольку S - открытое множество
в S, р ~ S. Пусть V - такая окрестность р в S, что каждая точка V мо­
жет быть соединена с р единственной геодезической S в V. Так как
рЕ BdS, существует точка qE V nS. Пусть у
-
геодезическая S, со­
единяющая р с q. Так как S - открытое множество в S, у совпадает

392
ГЛАВА5
с геодезической у поверхности S в окрестности точки q. Пусть р 0 -
первая точка у, которая не принадлежит S. По первому замечанию, у яв­
ляется меридианом, а р0 -вершиной S. Кроме того, р0 = р; в противном
случае существовала бы окрестность р, которая не содержит р0 . Повторяя
рассуждение для этой окрестности, мы получаем вершину, отличную
от р0 , что является противоречием. Отсюда следует, что Bd S сводится
к вершине р0 .
Пусть теперь W - такая окрестность точки р0 в S, что любые две
точки W можно соединить геодезической S (предложение 1 раздела 4.7).
Докажем, что W -{р0 } с S. В самом деле, точки у принадлежат S. С дру-
гой стороны, точку r Е W , которая не принадлежит у или её продолже­
нию, можно соединить с точкой t на у, t ":/- р0 , t Е W, геодезической а,
отличной от у (см. рис. 5.6). По первому замечанию, каждая точка а, в ча­
стности r, принадлежит S. Наконец, точки продолжения у, кроме р0 ,
также принадлежат S; в противном случае они должны принадлежать гра­
нице S, которая, как мы доказали, состоит только из точки р0 .
Таким образом, наши утверждения полностью доказаны. Следова­
тельно, S непродолжаема и искомый пример получен.
Рисунок 5.6

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
393
Для дальнейшего удобно ввести понятие расстояния между точка­
ми S, которое зависит только от внутренней геометрии S и не зависит от
способа погружения S в R 3 (ер. замечание 1 раздела 4.2). Заметим, что,
поскольку S с R 3
, можно определить расстояние между двумя точками S
как расстояние между этими двумя точками в R 3
.
Однако это расстояние
зависит от второй основной формы и, таким образом, не соответствует це­
лям этой главы.
Нам требуется некоторая подготовка.
Непрерывное отображение а: [а,Ь] ~ S замкнутого промежутка
[а,Ь] с R оси R на поверхность S называется параметризоваююй кусоч­
но дифференцируемой кривой, соединяющей а(а) с а(Ь), если существует
такое разбиение [а,Ь] точками а=t0 <t1 <t2 < ···<tk < tk+I =Ь, что а
дифференцируема на [t;,l;+i], i=O, ... ,k. Длина /(а) кривой а определяет­
ся как
k
zca) = 2: J;i+l 1a'(t)1 dt.
i=I
'
Предложение 2. Для двух точек р, q Е S регулярной (связной) поверх­
ности S существует параметризованная кусочно дифференцируемая кри­
вая, соединяющая р и q.
ДОКАЗА ТЕльство. Поскольку S связна, существует непрерывная кри­
вая а: [а,Ь] ~ S, где а(а) =р, а(Ь) =q. Пусть tE [а,Ь] и /1 - открытый
промежуток в [а,Ь], содержащий t, такой, что а(11 ) содержится в коорди­
натной окрестности a(t). Объединение u /to tE [а,Ь], покрывает [а,Ь], и,
в силу компактности, конечное число / 1" " ,/п также покрывает [а, Ь]. Сле­
довательно, можно разбить 1 точками а= t0 < t1 < ··· < tk < tk+l =Ь так, что
[t;, t;+i] содержится в некотором 11 , j = l, ... ,n. Таким образом, a(t;, t;+i)
содержится в координатной окрестности.
Так как р = a(t0 ) и a(t1) лежат в одной координатной окрестности
х(И) с S, их можно соединить дифференцируемой кривой, а именно обра­
зом при отображении х дифференцируемой кривой в И с R 2 , соединяю­
щей x-\a(t0 )) с x-
1
(a(t1)). Продолжая процесс, мы соединяем a(t;)
с a(ti+I), i = O, ... ,k, дифференцируемой кривой. Это даёт кусочно диффе­
ренцируемую кривую, соединяющую р = a(t0 ) и q = a(tk+ 1), и завершает
доказательство.
о

394
ГЛАВА5
Пусть теперь р, qE S - две точки регулярной поверхности S. Обо­
значим символом ap,q параметризованную кусочно дифференцируемую
кривую, соединяющую р с q, и символом l(ap,q) - её длину. Предложе­
ние 2 показывает, что множество всех таких ap,q непусто. Таким образом,
мы можем сформулировать следующее определение.
Определение 3. Расстоянием (внутренним) d(p, q) от точки рЕ S до
точки qE S называется число
d(p,q) = inf l(ap,q),
где inf берётся по всем кусочно регулярным дифференцируемым кривым,
соединяющим р с q.
Предложение 3. Расстояние d, определённое выш.е, обладает следу-
ющими свойствами:
1) d(p,q)=d(q,p);
2) d(p,q)+d(q, r)сd(p, r);
3) d(p,q)сО;
4) d(p, q) =О тогда и только тогда, когда р = q,
где р, q, r - произвольные точки S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Свойство 1 доказывается непосредственно, так как
каждая параметризованная кривая
а: [a,b]~S,
где а(а) = р, а(Ь) = q даёт параметризованную кривую а: [а,Ь] ~ S, оп­
ределяемую равенством a(t)=a(a-t+b). Ясно, ЧТО a(a)=q, а(Ь)=р
и l(ap,q) =l(ap,q).
Свойство 2 следует из того факта, что когда А и В суть множества
вещественных чисел и А ~ В, то inf А ;:?; inf В.
Свойство 3 следует из того факта, что точная нижняя грань множества
положительных чисел положительна или равна нулю.
Докажем теперь свойство 4. Пусть р = q . Тогда, выбирая постоянную
кривую а: [а,Ь] ~ S, заданную равенством a(t) = р, tE [а,Ь], мы получа­
ем !(а)= О; следовательно, d(p, q) =О.
Чтобы доказать, что d(p, q) =О означает, что р = q, поступим сле­
дующим образом. Допустим, что d(p, q) = infl(ap, q) =О и р 7' q. Пусть
V - такая окрестность р в S с q ~ V, что каждую точку V можно соеди-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
395
нить с р единственной геодезической в V. Пусть Br(P) с V- область,
ограниченная геодезической окружностью радиуса r с центром р, содер­
жащаяся в V. По определению точной нижней грани, для заданного е >О,
О< е < r, существует параметризованная кусочно дифференцируемая кри­
вая а: [a,b]~S, соединяющая р с q, с l(a)<e. Так как а([а,Ь]) связно
и q rt Вп существует такая точка t0 Ее [а, Ь], что a(t0 ) принадлежит границе
Br(p). Отсюда следует, что /(а)~ r >в, что является противоречием. Сле­
довательно, р == q, и это завершает доказательство предложения.
О
Следствие.\ d(p,r)-d(r,q) \'5. d(p,q).
Достаточно заметить, что
следовательно,
d(p, r) '5. d(p, q) + d(q, r),
d(r, q) '5. d(r, р) + d(p, q);
-d(p, q) '5. d(p, r)-d(r, q) '5. d(p, q).
Предложение 4. Если р0 Е S - точка S, то функция f: S ~ R, оп­
ределяемая равенством f(p) = d(p0 , р), рЕ S, непрерывна на S.
ДоклзлТЕльство. Мы должны показать, что для любой точки р Е S
изаданного е>О существует такое д>О, что если qЕВ13(р)n S, где
В6(р)сR3 есть открытый шар в R3 с центром р радиуса д, то
1 f(p)- f(q) \=:о\ d(po, p)-d(p0 , q)\<e.
Пусть в' < е таково, что экспоненциальное отображение
ехрР: TP(S) ~ S есть диффеоморфизм в круге В8,(0) с Tp(S), где О -
нулевой вектор TP(S), и положим ехр р(В8,(О)) = V. Очевидно, V - от­
крытое множество на S; следовательно, существует такой открытый шар
В15 (р) в R 3 ,что B 6 (p)nScV. Таким образом, если qE Bь(p)nS, то
1 d(p0 , p)-d(Po, q) \'5. d(p, q) <в'< е,
что завершает доказательство.
о
Замечание 1. Читатели с элементарным знанием топологии заметят,
что предложение 3 показывает, что функция d: S х S ~ R задаёт на S
структуру метрического пространства. С другой стороны, S с R 3 как под-

396
ГЛАВАS
множество метрического пространства имеет индуцированную метрику J.
Важный факт состоит в том, что эти две метрики определяют одну и ту же
топологию, то есть одно и то же семейство открытых множеств на S. Это
следует из того факта, что ехр Р : И с Tp(S) ~ S есть локальный диффео-
морфизм, и его доказательство аналогично доказательству предложения 4.
Закончив подготовку, сформулируем теперь следующее утверждение.
Предложение 5. Замкнутая поверхность S с R 3 является полной.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть у: [О, t:) ~ S - параметризованная геодези­
ческая S, у(О) = р Е S, которую можно считать, не ограничивая общности,
параметризованной длиной дуги. Нам нужно показать, что у можно про­
должить до геодезической у: R ~ S, определённой на всей оси R. Заме­
тим сначала, что если y(s0 ), s0 Е R, определена, то, по теореме существо­
вания и единственности геодезических (предложение 5 раздела 4.4), можно
продолжить у на окрестность s 0 в R. Следовательно, множество всех
s Е R, где у определена, открыто в R. Если мы сможем доказать, что это
множество замкнуто в R (которое связно), можно будет определить у на
всей оси R и доказательство будет завершено.
Допустим, что у определена для s < s0 , и покажем, что у определена
для s = s 0. Рассмотрим последовательность {sn} ~ s 0 , где sn < s 0 ,
п=1,2"...
Докажем сначала, что последовательность {у(sп)} сходится на S.
Действительно, для заданного t: > О существует такое п0 , что если
п, т > п0 , то 1sn -sm \< t:. Обозначим d расстояние в R 3 и заметим, что
если р, qE S, то d(p, q)::;; d(p, q). Таким образом,
где второе неравенство следует из определения d и того факта, что
[sп - s т [ равен длине дуги кривой у между точками sп и sт. Это означа-
ет, что {y(sn)} есть последовательность Коши в R 3
; следовательно, она
сходится к точке q Е R 3 (предложение 4 приложения к главе 5). Так как
q - предельная точка {у(sп)} и S замкнута, то qE S, что доказывает на­
ше утверждение.
Пусть теперь W и д - окрестность точки q и число, заданное в пред-
ложении 1 раздела 4.7 . Пусть Y(sn), у(sт)Е W - такие точки, что

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
397
1sn -sm 1< д, и пусть у - единственная геодезическая с /(у)< д, соединяю­
щая jl(sn) с jl(sm)· Очевидно, j1 совпадает с у. Так как expf{s") есть диффе­
оморфизм в Вд(О) и expf(sп)(Bc5(0)) =:i W, у продолжает у за точку q. Таким
образом, у определена в точке s = s 0 , что завершает доказательство.
О
Следствие. Компактная поверхность является полной.
Замечание 2. Обращение предложения 5 неверно. Например, прямой
цилиндр над плоской кривой, которая асимптотически приближается
к окружности, как легко видеть, является полной, но не замкнутой поверх­
ностью (рис. 5.7).
Мы говорим, что геодезическая у, соединяющая две точки р, qE S,
является кратчайшей, если /(у) меньше или равна длине любой кусочно
регулярной кривой, соединяющей р с q (ер. раздел 4.7). Это равносильно
утверждению, что /(у)= d(p, q), так как для заданной кусочно регулярной
кривой а, соединяющей р с q, мы можем найти кусочно регулярную кри­
вую, соединяющую р с q, которая короче (или, по крайней мере, не длин­
нее) а . Доказательство последнего утверждения оставлено в качестве уп­
ражнения.
Заметим, что кратчайшей геодезической может не быть, как показыва­
ет следующий пример.
Рисунок 5.7 . Полная незамкнутая по­
верхность
Рисунок 5.8

398
ГЛАВА5
Пусть 8 2 -{р} - поверхность, образованная сферой без точки
рЕ82
.
Выбирая на меридиане, проходящем через р, две точки р1 и р2 ,
симметричные относительно р и достаточно близкие к р, мы видим, что
не существует кратчайшей геодезической, соединяющей р1 с р2 на по­
верхности 8 2 -{р} (см. рис. 5.8).
С другой стороны, может существовать бесконечное число кратчай­
ших геодезических, соединяющих две точки поверхности, что происходит,
например, с двумя диаметрально противоположными точками сферы; все
меридианы, которые соединяют эти диаметриально противоположные точ­
ки, являются кратчайшими геодезическими.
Главный результат этого раздела состоит в том, что на полной поверх­
ности всегда существует кратчайшая геодезическая, соединяющая две
данные точки.
Теорема (Хопф-Рииов). Пусть 8 - полная поверхность. Для данных
точек р, q Е S существует кратчайшая геодезическая, соединяющая р с q.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть r = d(p, q) - расстояние между точками р
и q. Пусть В"(О)Е Тр(8)
-
круг радиуса д с центром в нуле О касательно­
го пространства ТР (S), содержащийся в окрестности нуля И с ТР (8), где
ехрр является диффеоморфизмом. Положим В0 (р) = ехр р(В0 (О)). Заме­
тим, что граница Bd В0 (р) = I: компактна, так как она является непрерыв­
ным образом компактного множества Bd Вь (О) с ТР (8).
Если ХЕ I:, непрерывная функция d(x, q) достигает минимума в точ­
ке х0 компактного множества I:. Точку х0 можно представить в виде
Пусть у - геодезическая, параметризованная длиной дуги, заданная ра­
венством (см. рис. 5.9)
y(s)=expp(sv).
-- --
---
--- -._
q-
......
................
Рисунок 5.9

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕIЩИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
399
Так как S полна, у определена для любого s Е R . В частности, у опреде­
лена в промежутке [О, r ]. Если мы покажем, что y(r) = q, то у должна быть
геодезической, соединяющей р с q, которая является кратчайшей, так как
/(у)= r = d(p, q), и это завершит доказательство.
Чтобы это доказать, покажем, что если s Е [д, r ], то
d(y(s), q) = r -s.
(1)
Равенство (1) означает при s = r, что y(r) = q, что и требовалось.
Чтобы доказать равенство (1 ), покажем сначала, что оно выполняется
при s = д. Далее, множество А = { s Е [ д, r]; где равенство (1) выполняется} ,
очевидно, замкнуто в [О, r]. Затем мы покажем, что если s0 Е А и s0 < r,
то равенство (1) выполняется для s0 + д', где д' > О и д' достаточно мало.
Отсюда следует, что А== [д, r], и равенство (1) будет доказано.
Покажем теперь, что равенство (1) выполняется при s = д. В самом
деле, поскольку каждая кривая, соединяющая р и q, пересекает 1:, то,
обозначая х произвольную точку 1:, получаем
d(p, q) =inf l(ap, q) = inf {inf l(ap, х) +inf l(ax, q)) =
а
XEI: а
а
=inf(d(p,х)+d(x, q))=inf(д+d(x, q))=
XEI:
XEI:
Следовательно,
d(у(д), q) = r -д,
что является равенством (1) при s = д.
Покажем теперь, что если равенство (1) выполняется при s0 Е [д, r],
то при достаточно малых д' >О оно выполняется для s 0 + д'.
Пусть Вд'(О) - круг в касательной плоскости Ty(so)(S) с центром в О
этой касательной плоскости, содержащийся в окрестности И', где expy(so)
является диффеоморфизмом. Пусть Вд'(у(s0 )) =expy(so) Во'(О) и I.' =
= Bd(B6,(y(s0 )). Если х' Е I.', непрерывная функция d(x', q) достигает ми­
нимума в точке х~ Е I.' (см. рис. 5.10). Тогда, как и выше,
d(y(s0 ), q) = inf {d(y(s0 ), х') + d(x', q)} =
x'EL'
=д'+d(x~,q).

400
ГЛАВА5
---
----
..........
.....
.....
..... ,
q .....
'
Рисунок 5.1 О
Так как равенство (1) выполняется в точке s0 , то d(y(s0 ), q) == r - s 0
.
По­
этому
d(x~,q)== r - s0 -д'.
(2)
Кроме того, поскольку
d(p, х~) ~ d(p, q)- d(q, х~),
из равенства (2) получаем
d(p, х~);;:: r-(r-s0 ) +д' == s 0 +д'.
Заметим теперь, что кривая, которая от р до y(s 0 ) совпадает с у, а от
y(s 0 ) до х~ - с геодезическим радиусом B0 ,(y(s0 )), имеет длину, в точно­
сти равную s0 + Ь'. Так как d(p, х~) ~ s0 + д', эта кривая, которая соединя­
ет р с х~, имеет наименьшую длину. Отсюда следует (предложение 2 раз­
дела 4.6), что она является геодезической и потому регулярна во всех сво­
их точках. Следовательно, она должна совпасть с у; поэтому х~ == y(s + Ь').
Таким образом, равенство (2) можно записать в виде
d(y(s0+д'),q)==r - (s0 +д'),
что является равенством (1) при s = s 0 + д'.
Это доказывает наше утверждение и завершает доказательство.
О
Следствие 1. Пусть S полна. Тогда для каждой точки р Е S отобра­
жение ехрР: T/S) ~ S является сюръекцией на S.
Это верно потому, что если qES и d(p,q)=r, то q=expPrv, где
v = у(О) - касательный вектор кратчайшей геодезической у, параметри­
зованной длиной дуги и соединяющей р с q.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕIЩИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
401
Следствие 2. Пусть S - полная и ограниченная в метрике d (то
есть существует такое r >О, что d(p, q) < r для любой пары р, qE S).
Тогда S компактна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если зафиксировать рЕ S, тот факт, что S ог­
раниченна, означает существование такого замкнутого шара В с Tp(S)
радиуса r с центром в О касательной плоскости ТР (S), что
ехр Р (В)= ехрР (Тр (S)). В силу того, что ехрР сюръективно,
S = ехр p(Tp(S)) = ехр р(В). Так как В компактен и отображение ехрр не­
прерывно, заключаем, что S компактна.
О
В дальнейшем используемые метрические понятия будут относиться,
если не оговорено иное, к расстоянию d в определении 3. Например, диа­
метр p(S) поверхности S есть, по определению,
p(s) == sup d(p, q).
p,qES
По этому определению, диаметр единичной сферы S 2 равен p(S2 ) = п:.
УПРАЖНЕНИЯ
1.Пусть SсR3
-
полная поверхность, и пусть F с S - такое непустое,
замкнутое подмножество S , что дополнение S - F связно. Покажите, что
S - F есть неполная регулярная поверхность.
2. Пусть S - однополостный конус примера 1. Покажите, что для данной
точки рЕ S единственная геодезическая S, которая проходит через р
и не может быть продолжена для любого значения параметра, является ме­
ридианом S, проходящим через р.
3. Пусть S - однополостный конус примера 1. Используйте изометрию
примера 3 в разделе 4.2, чтобы показать, что любые две точки р, qE S
(см. рис. 5.11) можно соединить кратчайшей геодезической на S.
4. Мы говорим, что последовательность {Рп} точек на регулярной поверх­
ности S с R 3 сходится к точке р0 Е S по (внутренней) метрике d, если
для заданного е >О существует такой номер п0 , что при п ;::>: п0 выполня­
ется неравенство d(pn, р0 ) < е. Докажите, что последовательность {Рп}

402
ГЛАВА5
точек на S сходится по метрике d к р0 Е S тогда и только тогда, когда
{рп} сходится к р0 как последовательность точек в R 3 (то есть по евкли­
довой метрике).
----
Изометрия
Рисунок 5 .11
5*. Пусть SсR3
-
регулярная поверхность. Последовательность {рп}
точек на S называется последовательностью Коши в смысле (внутренней)
метрики, если для заданного с > О существует такой номер п0 , что при
п, т ~ п0 выполняется неравенство d(pn, Рт)< с. Докажите, что S полна
тогда и только тогда, когда каждая последовательность Коши на S сходит­
сякточкенаS.
6*. Геодезическая у; [О, оо) ~ S на поверхности S называется лучом, вы­
ходящим из у(О), если она реализует (внутреннее) расстояние между у(О)
и y(s) для любого sE [О,=). Пусть р - точка на полной некомпактной
поверхности S. Докажите, что S содержит луч, выходящий из р.
7. Расходящейся кривой на S называется такое дифференцируемое ото­
бражение а: [О, оо) ~ S, что для любого компактного подмножества
КсS существует t0 Е (О, оо), где a(t)~ К для t >t0 (то есть а «покидает»
любое компактное подмножество S). Длина расходящейся кривой опреде­
ляется как
lim Ji1
1a'(t)1 dt.
1--' >= о
Докажите, что S с R 3 полна тогда и только тогда, когда длина каждой
расходящейся кривой неоrраниченна.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
403
8*. Пусть S и S - регулярные поверхности и rp : S ~ S - диффеомор­
физм. Предположите, что S полна и существует такая постоянная с > О,
что
! p(v);:: clrp(p)(drpp(v))
длялюбойточки рЕS илюбого vЕ ТР(S), где 1 и l - первыеосновные
формы S и S соответственно. Докажите, что S полна.
9*. Пусть S1 с R 3 - (связная) полная поверхность и S2 с R 3 - такая
связная поверхность, что любые две точки S2 можно соединить единст­
венной геоезической. Пусть rp: S1 ~ S2 - локальная изометрия. Докажи­
те, что rp - глобальная изометрия.
1О*.Пусть SсR3
-
полная поверхность. Фиксируем единичный вектор
vЕR, и пусть h:S~R - функциявысот h(p)=(р,v), рЕS. Напом-
ним, что градиент h есть (касательное) векторное поле grad h на S, опре­
деляемое равенством
(grad h(p), w) Р = dhP(w) для любого wE TP(S)
(ер. упражнение 14 раздела 2.5). Пусть a(t) - траектория grad h, то есть
a(t) - такая кривая на S, что a'(t) = grad h(a:(t)). Докажите, что
а) 1grad h(p) 1:5: 1 для всех рЕ S.
Ь) траектория a(t) градиента grad h определена для любого t Е R.
Следующее упражнение предполагает знание материала раздела 3.5,
часть В, и элементарное знание теории функций комплексного переменного.
11. (Лемма Оссермана.) Пусть D1 = {( Е С; 1( 1:5: 1} - единичный круг
в комплексной плоскости С . Как обычно, отождествим С "" R
2
,
полагая
,. = и + iv. Пусть х : D1 ~ R 3 - изотермическая параметризация минималь-
ной поверхности х(D1) с R 3
.
Это означает (ер. часть В раздела 3.5), что
и (условие минимальности) что

404
ГЛАВА5
Предположим, что единичные нормальные векторы x(D1) не образуют ок­
рестности на единичной сфере. Более точно, предположим, что для неко­
торого вектора w Е R 3
, 1w 1= 1, существует такое е > О, что
(хи, w)2 2 (xv, w/2 2
(*)
~-~~е и
>е.
1хи 12
1xv1
2
Цель упражнения - доказать, что x(D) не является полной поверхно­
стью. (Это решающий этап в доказательстве теоремы Оссермана, цитиро­
ванной в конце раздела 3.5.) Действуйте следующим образом.
а. Определите rp: D 1 -4 С, полагая
rp(u, v) =rp(() =(хи, w) + i(xv, w).
Покажите, что условие минимальности означает, что rp - аналитическая
функция.
Ь. Определите В : D1 -4 С, полагая
В(()=f~rp(() d( = 17.
В силу части (а) (} - аналитическая функция. Покажите, что (}(О)= О
и условие (*) означает, что В'(() * О. Таким образом, в окрестности О функ­
ция В имеет аналитиескую обратную е-1 • Используйте теорему Лиувилля,
чтобы показать, что е-1 не может быть аналитически продолжена на всё С .
с. В силу части (Ь) существуют круг
DR = {11 Е С; 1111::;; R}
и такая точка 170 с 111о 1= R, что е-
1
является аналитической в Dя и немо­
жет быть аналитически продолжена на окрестность точки 170 (рис. 5.12).
Пусть L - отрезок в Dя, который соединяет 170 с О, то есть
L={tц0ЕС;Оsts1}.Положитеа=е-
1
(L) и покажите, что длина дуги l
кривой х(а) равна
l= fa 2(хи,хv/{(~У +(:У} dts
s-Ч ~(xu,w)2 +(xv,w)
2
1dt;l=·Ч /rp(()l/dt;/=
еа
еа
R
=-<+оо.
е

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕIЩИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
405
(плоскость
1/ПЛОСКОСТЬ
в
D,
Рисунок 5.12
Используйте упражнение 7 для вывода, что x(D) не является полной.
5.4 . Первая и вторая вариации длины дуrи.
Теорема Бонне
Цель этого раздела - доказать, что полная поверхность S гауссовой
кривизны К~ д >О компактна (теорема Бонне).
Решающий момент доказательства - показать, что если К 2:: д > О, то
геодезическая у, соединяющая две произвольные точки р, q Е S и имею-
щая длину l(y) > л:/-!J, не длиннее кратчайшей, то есть существует пара­
метризованная кривая, соединяющая р и q, длина которой меньше l(y).
Когда это доказано, отсюда следует, что каждая кратчайшая геодези­
ческая имеет длину I :::::; л:/-!J; таким образом, S ограничена в метрике d.
Так как S полна, то S компактна (следствие 2 раздела 5.3). Заметим, что
в дополнение мы получаем оценку диаметра S, а именно p(S):::::; л:/ ./;5.
Чтобь,1 доказать предыдущее утверждение, нужно сравнить длину дуги
параметризованной кривой с длиной дуги «соседних кривых». Для этого
мы введём некоторые понятия, которые полезны и для других задач диф­
ференциальной геометрии. Фактически это более общие понятия вариаци­
онного исчисления, приспособленные для целей дифференциальной гео­
метрии. Никакого знания вариационного исчисления не предполагается.
В этом разделе S будет обозначать регулярную (необязательно пол­
ную) поверхность.
Мы начнём с уточнения понятия соседних кривых данной кривой.

406
ГЛАВА5
Определение 1. Пусть а: [О,!]~ S - регулярная параметризованная
кривая, где параметр s Е [О, l] является длиной дуги. Вариацией а называ­
ется такое дифференцируемое отображение h: [О, l] х (-Е, Е) с R 2 ~ S , что
h(s,O)=a(s), sE[O,/].
Для каждого tE (-t:, t:) кривая h,: [О,!]~ S, заданная равенством
h1 (s) = h(s, t), называется кривой вариации h. Вариация h называется соб­
ственной, если
h(O, t) = а(О), h(l, t) = a(l), tE (-t:, t:).
Интуитивно, вариация а есть семейство hr кривых, дифференцируемо
зависящее от параметра tE (-с:, с:) и такое, что h0 совпадает с а (рис. 5.13).
Условие, что вариация собственная, означает, что все кривые h1 имеют
одну и ту же начальную точку и один и тот же конец a(l).
Рисунок 5.13
Удобно ввести следующие обозначения. Параметризованные кривые,
заданные как отображения
s ~(s,t0),
t~(s0,t),
проходят через точку р0 = (s0, t0)E R
2
и имеют (1, О) и (О, 1) в качестве
касательных векторов в точке (s0 , t 0 ). Пусть h: (О, /]х(-с:, с:) с R 2 ~ S -
дифференцируемое отображение и р0 Е [О, l] х (-е, е). Тогда dhPo (О, 1) есть
касательный вектор кривой s ~ h(s, t0 ) в точке h(p0 ) и dhPo (О, 1) - каса­
тельный вектор кривой t ~ h(s0 , t) в точке h(p0 ). Будем обозначать
дh
dhPo (1, О)= дs (р0 ),

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
407
дh
dhp (О, l) =-(р0 ).
о
дt
Напомним (ер. определение 3 раздела 4.4), что векторное поле w вдоль кри­
вой а : 1 4 S есть соответствие, которое сопоставляет каждому t Е 1 вектор
w(t), касательный к поверхности S в точке a(t). Таким образом, дh/дs
и дh/дt являются дифференцируемыми векторными полями вдоль а.
Отсюда следует, что вариация h кривой а определяет дифференци­
руемое векторное поле V(s) вдоль а, где
дh
V(s) =-(s, О), s Е [О,!].
дt
V называется векторным полем вариации h; заметим, что если h является
собственной, то
V(O) = V(l) =О.
Эта терминология объясняется следующим предложением.
Предложение 1. Если V(s) - дифференцируемое векторное поле
вдоль параметризованной кривой а: [О,!] 4 S, то существует такая ва­
риация h: [О, /]х(-.е, Е) 4 S кривой а, что V(s) есть векторное поле ва­
риации h. Кроме того, если V(O) = iт(l) =О, то можно выбрать собствен­
ную вариацию.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Покажем сначала, что существует такое о> О, что
если 1v /<о, VE Ta.(s)(S), то отображение expa.(s) v корректно определено
для любого s Е [О,/]. В самом деле, для каждой точки р Е а([О, !]) с S рас­
смотрим окрестность WP (нормальную окрестность любой своей точки)
, и число
оР >О, заданное в предложении l раздела 4.7 . Объединение
u Р WP покрывает а([О, !]), и в силу компактности конечное число из них,
скажем W1" •• ,Wn, также покрывает a([O,l]). Положим д=min(o1 " .• ,д n) ,
где о; -,---- число, соответствующее окрестности W;, i = 1, .. ., п. Легко видеть,
что о удовлетворяет предыдущему условию.
Пусть теперь м =maxse[O,l] 1 V(s) /, G < о/М, и определим
h(s,t)=expa.(s)tV(s), sE [О,/], tE (-s,s).
h , очевидно, корректно определено. Кроме того, поскольку
expa.(s) tV(s) = y(l, a(s), tV(s)),

408
ГЛАВА5
где у - (дифференцируемое) отображение из теоремы 1 раздела 4.7
(то есть для t# О и V(s) #О, y(I, a(s), tV(s)) есть геодезическая у, удовле­
творяющая начальным условиям у(О) = a(s), у'(О) = V(s)), то h дифферен­
цируемо. Непосредственно проверяется, что h(s, О)= a(s). Наконец, век­
торное поле вариации h задаётся как
дh
d
дt(s, О)= d~s,o)(O, 1) = dt (expa(s) tV(s)) lt=o=
d
d
= dt y(l, a(s), tV(s)) lt=o= dt y(t, a(s), V(s)) li=o= V(s),
и из определения h ясно, что если V(O) = V(l) =О, то h - собственная ва-
риация.
о
Мы хотим сравнить длину дуги а ( = ho) с длиной дуги /;. Так, мы
определяем функцию L : (-е, е) ~ R, полагая
L(t)= J~ l~>s,t)I ds, tE (-е,е).
(1)
Исследование L в окрестности t = О даст нам информацию о «поведении
длины дуги» соседних с а кривых.
Нам нужны некоторые подготовительные леммы.
Лемма 1. Функция L, определённая равенством (1), дифференцируе­
ма в окрестности точки t = О; в такой окрестности производная L мо­
:жет быть получена дифференцированием под знаком интеграла
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как а: [О,!]~ S параметризована длиной дуги,
Отсюда следует, в силу компактности [О, l], что существует такое о >О,
о~е, что
1~~ (s, t+~ 0, SE [0, /], 1t1< о.
Так как абсолютная величина ненулевой дифференцируемой функции
дифференцируема, подынтегральная функция в равенстве ( l) дифференци­
руема при 1t1< о. По классической теореме анализа (см. R. С. Buck, Ad-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
409
vaпced Calcиlиs, 1965, р. 120), заключаем, что L дифференцируема при
Jtl<д и
L'(t)= Г
1
_i\дh(s,t)\ ds.
Joдtдs
D
Леммы 2, 3 и 4 внизу представляют некоторый самостоятельный интерес.
Лемма 2. Пусть w(t) - дифференцируемое векторное поле вдоль па­
раметризованной кривой а: [а, Ь] ~ S и f : [а, Ь] ~ R - дифференцируе­
мая функция. Тогда
D
Dw df
- (f(t)w(t)) = f(t)-+-w(t).
dt
dt dt
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно использовать тот факт, что ковариант­
ная производная есть касательная компонента обычной производной, что­
бы заключить, что (здесь ( )т обозначает касательную компоненту ( ))
D (fiv)=(df w+ !dw) = df w+ !(dw)
dt
dt
dtт dt
dtт
= dfw+JDw.
dt
dt
D
Лемма 3. Пусть v(t) и w(t) - дифферет-щируемые векторные поля
вдоль параметризованной кривой а: [а,Ь] ~ S. Тогда
!!__(v(t), w(t)) =/ Dv' w(t))+fv(t), Dw)·
dt
\dt
\
dt
ДоКАЗА ТЕЛЬСТВО. Используя замечание из предыдущего доказательст­
ва, получаем
~ (v,w)=\: ,w)+\v, ~)=\(:)т,w)+\v{ ~))=
=\r;,w)+\v,r;).
О
Прежде чем перейти к следующей лемме, удобно ввести следующую
терминологию. Пусть h: [O,l]x(-e,e)~S - дифференцируемое отобра­
жение. Дифференцируемое векторное поле вдоль h есть такое дифферен­
цируемое отображение
V: [0,l]x(-E,E)~R3,

410
ГЛАВАS
что V(s, t)E Th(s,t)(S) для любой пары (s, t)E [О, /]х(-е,е). Это понятие
обобщает определение дифференцируемого векторного поля вдоль пара­
метризованной кривой (определение 3 раздела 4.4).
Например, векторные поля (дh/дs)(s, t) и (дh/дt)(s, t), введённые вы­
ше, являются векторными полями вдоль h.
Если мы ограничиваем V(s, t) на кривые s = const, t = const, то полу-
чаем векторные поля вдоль кривых. В этом контексте символ (DV/дt)(s, t)
означает ковариантную производную в точке (s, t) ограничения V(s, t) на
кривую s = const.
Лемма 4. Пусть h: [О, !]х (-ё, ё) с R 2 ~ S - дифференцируемое
отображение. Тогда
Dдh
Dдh
- -(s,t) = - -(s,t).
дs дt
дt дs
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х: И~ S - параметризация S в точке
h(s, t) с параметрами и, v, и пусть
и=h1(s, t), v = h2(s, t)
-
выражение h в этой параметризации. При этих условиях, когда(s,t)Е
Еh-
1
(x(U)) = W, кривая h(s, t0 )может быть задана уравнениями
u=h1(s,t0 ), v=h2 (s,t0 ).
Так как (дh/дs)(s0 ,t0 ) касается кривой h(s,t0 ) в точке s=s0 , то
дh
дh1
д~
-(s0,t0 )=-д(s0 ,t0 )xu +-д(s0 ,t0 )xv.
дs
s
s
Из произвольности (s0 , t 0 )E W заключаем, что
дh дh1 д~
-=-х +-х
дsдsидsv•
где для упрощения обозначений опущено указание точки (s, t).
Аналогично,
дh дh1 д~
-=-х +-х.
дtдtидtv
Вычислим теперь ковариантные производные (D/дs)(дh/дt)
и (D/дt)(дh/дs), используя выражение ковариантной производной в терми­
нах символов Кристоффеля Гj (равенство (1) раздела 4.4), и получим тре-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
411
буемое равенство. Например, коэффициент при хи в обеих производных
имеет вид
д2hl +г~ дh1дh1 +г~дh1дh2 +г~дh2дh1 +г~д~дh2
дsдt 11 дt дs
12
дtдs 12дtдs
22
дtдs·
Равенство коэффициентов при xv можно показать тем же способом, что
завершает докательство.
о
Предложение 2. Пусть h: [О, Z]x(-t:, с) - собственная вариация кри­
вой а: [O,l]-7S, и пусть V(s) =(дh/дt)(s, О), sE [О,/], - векторное поле
вариации h. Тогда
L'(O) =-f: (A(s), V(s)) ds,
где A(s) = (D/дs)(дh/дs)(s, О).
(2)
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если t принадлежит интервалу (-д, д), заданному
в лемме 2, то
L'(t) = lz{!!_/дh' дhJ1/2}ds.
оdt\дs дs
Применяя леммы 3 и 4, получаем
jDдh дh)
jDдh дh)
L'( )-f,0 \дtдs'дs d - r1 \дsдt'дs d
t-z
1~;1 s- Jo 1~;1
s.
Так как 1(дh/дs)(s, О) 1= 1, то
L'(O) = rt j }2 дh, дh)ds,
Jo\дsдt дs
где подынтегральная функция вычислена в точке (s, О), что опущено
в обозначениях.
Согласно лемме 3,
Следовательно,
дjдhдh) jDдh дh) jдh Dдh)
дs\дs'дt =\дsдs'дt +\дs'дsдt .
L'(O) = Jil j_/дh' дh)ds -Jiz /!2 дh' дh)ds =
одs\дs дt о\дsдs дt

412
ГЛАВА5
=-rz / D дh дh)ds
lo\дsдs'дt'
поскольку (дh/дt)(О, О)= (дh/дt)(l, О)= О, в силу того, что вариация являет­
ся собственной. Вспоминая определения A(s) и V(s), мы можем записать
последнее выражение в виде
L'(O)=-f~ (A(s), V(s))ds.
о
Замечание 1. Вектор A(s) называется векторшw ускорения кривой а,
а его длина есть абсолютная величина геодезической кривизны а . Заме­
тим, что L'(O) зависит только от поля вариации V(s) и не зависит от самой
вариации h. Выражеие (2) обычно называют формулой первой вариации
длины дуги кривой а .
Замечание 2. Условие, что h является собственной, использовалось
только в конце доказательства, чтобы исключить выражение
/дh дh)(z О)-/дh дh)(о О)
\дs'дt
'
\дs'дt
'
.
Поэтому, если h не является собственной, мы получаем формулу, анало­
гичную равенству (2) и содержащую эти дополнительные граничные зна­
чения.
Интересным следствием предложения 2 является характеризация гео­
дезических как решений «вариационной задачи». Более точно:
Предложение 3. Регулярная параметризованная кривая а: [О,!]~ S,
где параметр s Е [О,!] - длина дуги а, является геодезической тогда
и только тогда, когда L'(O) =О для любой собственной вариации
h: [O,/]x(-E,E)~S кривой а.
Доклзлтвльство. Необходимость очевидна, поскольку вектор ускоре­
ния A(s) = (D/дs)(да/дs) геодезической а тождественно равен нулю. Сле­
довательно, L'(O) =О для любой собственной вариации.
Предположим теперь, что L'(O) =О для любой собственной вариации а,
и рассмотрим векторное поле V(s) = f(s)A(s), где f: [О,!]~ R - вещест­
венная дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям f(s) ~О,

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
413
/(О)= f(/) =О, и A(s) - вектор ускорения а. Конструируя вариацию, со­
ответствующую V(s), получаем
L'(O) =-f~ (f(s)A(s), A(s))ds =
=-J~ f(s)I A(s)l
2
ds =0.
Следовательно, поскольку f(s) 1A(s)1 2
::0: О, получаем
f(s) 1A(s)1
2
=О.
Докажем, что предыдущее равенство означает, что A(s) =О. Действи­
тельно, если 1A(s0 )1* О, s 0 Е (О, l), то существует такой интервал
l=(s0 -e,s0 +e), что IA(s)l:;toO для sEI. Выбирая f так, что f(s0 )>0,
получаем противоречие с равенством f(s0 ) 1A(s0 )1= О. Следовательно,
1A(s)1= О, когда s Е (О,/). В силу непрерывности, А(О) = A(l) =О, что и ут­
верждалось.
Поскольку вектор ускорения а тождественно равен нулю, а - геоде-
зическая.
О
С этого момента мы будем рассматривать только собственные вариа­
ции геодезической у: [О,/]~ S, параметризованной длиной дуги, то есть
мы предполагаем L'(O) =О. Для упрощения выкладок мы ограничимся ор­
тогоншtьными вариациями, то есть будем считать, что вариационное поле
V(s) удовлетворяет условию (V(s), y'(s)) =О, s Е [О, l]. Чтобы исследовать
поведение функции L в окрестности О, вычислим L"(O).
Для этого вычисления нам нужны некоторые леммы, которые связы­
вают гауссову кривизну с ковариантной произодной.
Лемма 5. Пусть х : И ~ S - параметрuзация в точке р Е S регуляр­
ной поверхности S с параметрами и, v, и пусть К
-
гауссова
кривизна S. Тогда
DD
DD
--Х ---Х =К(х /\Х )АХ.
дvди" дидvv
иv
и
Доклзлтвлъство. Замечая, что ковариантная производная есть компо­
нента обыЧной производной в касательной плоскости, получаем (раз­
дел 4.3)

414
ГЛАВА5
Применяя к предыдущему выражению формулу ковариантной производ­
ной (равенство (1) раздела 4.4), получаем
D(D)11112
-
-хи ={(Г11)v +Г12Г11 +Г22Г11}хu +
дv ди
Посредством аналогичных вычислений убеждаемся, что
Следовательно,
D(D)11112
-
-хи ={(Г12)и +Г12Г11 +Г12Г12}хи +
ди дv
+{(Г~1\-(Г~2)и + Г~2г:1 + г;2г~1 -
-Г121Гi2 -Г1~Г1~}хv.
Используем теперь выражения кривизны через символы Кристоффеля (ра­
венства (5) и (5а) раздела 4.3) и заключаем, что
DD
DD
--х ---х =-FKx +ЕКх =
дvдии дидvи
и
v
о
Лемма 6. Пусть h: [О, !]х(-Е', Е') ~ S - дифференцируемое отобра­
:жение, и пусть V(s,t), (s,t)E [O,l]x(-E',E'), -
дифференцируемое вектор­
ное поле вдоль h. Тогда
DDV-DDV=K(s,t)(дhлдh)лV,
дtдs дsдt
дs дt
где K(s, t) - кривизна S в точке h(s, t).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х(и, v) - система координат на S в окрест­
ности h(s, t) и
V(s, t) = a(s, t)xu + b(s, t)xv
-
выражение V(s, t) = V в этой системе координат. По лемме 2,

Следовательно,
ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
DD
-V=-(axu +bxv)=
дs дs
D
D
да дЬ
=а-хи +b-xv +-хи +-xv.
дs
дsдsдs
DD
DD
DD
даD
-- V=a--x +Ь--х +--х +
дt дs
дtдsи дtдsvдsдtи
дЬD даD дЬD д2а д
2
Ь
+--х +--х +--х +--х +--х .
дsдtvдtдsидtдsvдtдsидtдsv
415
Аналогичными вычислениями получаем формулу для (D/ds)(D/дt)V,
которая является результатом перестановки s и t в последнем выражении.
Отсюда следует, что
DDV_DDV=a(DDx _DDx )+
(З)
дtдs дsдt
дtдs и дsдt и
+ь(DDх_DDх)·
дtдs v дsдt v
Чтобы вычислить (D/дt)(D/дs)xu, возьмём выражение h
и=h1(s,t), v = h2(s,t)
в параметризации х(и, v) и запишем
хи(и,v) =хи(h1(s, t), ~(s, t)) =хи.
Так как ковариантная производная (D/дs)xu является проекцией на каса­
тельную плоскость обычной производной (d/ds)xu, то
D
{d}{дh1
дh2 }
дsХи=dsхи т=Xuuдs+xuvдs т
дh1
д~
=-a;-{xuu}т +-a;{xuv}т =
дh1 D
дh2 D
=--х +--х
дsдии дsдvи'
где Т обозначает проекцию вектора на касательную плоскость.
В тех же обозначениях получаем
DD
{d(дh1D дh2D )} д
2
h1D
дtдsх"= dt дsдихи+дsдvх" т =дtдsдих"+

416
ГЛАВА5
д2hzD дh1(дh1DD дh2DD )
+дtдsдvхи+дs дtдидиХи+дtдvдихи +
дh;_(д~DD дh;_DD )
+дs дtдидvх.+дtдvдvх•.
Аналогичным сособом получаем выражение (D/дs)(D/дt)xu, которое яв­
ляется результатом перестановки s и t в предыдущем выражении. Отсюда
следует, что
где
DD
DD
дh2дh1(DD
DD)
дtдsХи- дsдtХи =дsдt дuдvХи - дvдuХи +
дh1д"2_(D D
DD)
+дsдt дvдuXu - дu дv Хи
=
=д(.!2!2.х_!!__Dх)
дvдuидидvи,
д=(дh1д"2_ - д"2_дh1)·
дsдt дsдt
Заменяя хи на xv в последнем выражении, получаем
DD
DD
(DDDD)
дtдsXv- дsдtXv=Д дvдuXv- дидvXv.
Вводя предыдущее выражение в равенство (3) и используя лемму 5, за­
ключаем, что
=К (Лхи л Xv) л (ахи+ bxv).
С другой стороны, как мы видели в доказательстве леммы 4,
следовательно,
Поэтому
дh дh1 д"2_ дh дh1 дh2
-=-х +-х, -=-х +-х ;
дsдsидsvдtдtидt
v
дh дh
-д л-=Лхи лхv.
s
дt
DDV- DDV=к(дhлдh)лV.
дtдs дsдt
дs дt
о

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
417
Теперь мы в состоянии вычислить L"(O).
Предложение 4. Пусть h:[O,l]x(-E,E)~S
-
собственная ортого­
нальная вариация геодезической у: [О,!]~ S, параметризованной длиной
дуги s Е [О,!]. Пусть V(s) = (дh/дt)(s, О) - векторное поле вариации h.
Тогда
где K(s) = K(s, О) - гауссова кривизна S в точке y(s) =h(s, О).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как мы видели в доказательстве предложения 2,
jDдh дh)
L'(t) = Г1 \д;д/' i); ds
Jo / дh дh)1/2
\дs' дs
(4)
для t, принадлежащего интервалу (-д, д), заданному в лемме 1. Диффе­
ренцируя предыдущее выражение, получаем
(
djDдh дh))fдh дh)
1
/2
L"(t)=iz dt\дsдt'дs \дs'дs ds-
o
/дh дh)
\дs' дs
(/Dдh дh))
2
-
rt \дsдt'дs
Jo 1::13/2 ds.
Заметим теперь, что при t =О 1(дh/дs)(s, О) 1= 1. Кроме того,
djдh дh) jDдh дh) jдh Dдh)
ds\дs'дt =\дsдs'дt +\дs'дsдt ·
Так как у - геодезическая, (D/дs)(дh/дs) =О при t =О, и, поскольку ва­
риация ортогональная,
/дh дh)
\дs'дt =О при t=O.

418
Отсюда следует, что
ГЛАВАS
L"(O) = iz !1_/ _!! _ дh, дh) ds,
о dt\дs дt дs
где подынтегральная функция вычислена в точке (s, О).
(5)
Преобразуем подынтегральную функцию в равенстве (5) в более
удобное выражение. Заметим сначала, что
djDдh дh) jDDдh дh) jDдh Dдh)
dt\дs дt' дs =\дtдsдt'дs +\дsдt'дtдs =
jDDдh дh) jDDдh дh)
=\дtдs дt' дs -\дsдtдt' дs +
jDDдh дh) 1Dдh\
2
+\дsдtдt'дs + дsдt ·
С другой стороны, при t = О
djDдh дh) jDDдh дh)
ds\дtдt'дs
= \дsдtдt'дs '
поскольку (D/дs)(дh/дs)(s, О)= О, в силу того, что у - геодезическая.
Кроме того, используя лемму 6 и ортогональность вариации, получаем
(при t=O)
jDDдh дh)_fDDдh дh)=K(s/(дh л дh)л дh дh)=
\дtдsдt,дs \дsдtдt,дs
\ дs дt дt,дs
=-K(s/I V(s)l 2 дh, дh)=
\
дs дs
Вводя предыдущие значения в равенство (5), получаем
L...(O) = f~ [-K(s) 1V(s)1
2
+\~V(s)Пds+
+ / п дh, дh)cz, о)-/ п дh, дh)со, о).
\дt дt дs
\дt дt дs

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
419
Наконец, поскольку вариация собственная, (дh/дt)(О, t) = (дh/дt)(l, t) =О,
tE (-д, д). Таким образом,
L"(O)= f~ [l~V(s)l
2
-KIV(s)i2 Jш.
о
Замечание 3. Равенство (4) называется формулой второй вариации
длины дуги у. Заметим, что она зависит только от вариационного поля h
и не зависит от самой вариации h. Иногда удобно указывать эту зависи­
мость в обозначении Ll (О).
Замечание 4. Часто бывает удобно использовать формулу (4) второй
вариации, записанной в следующем виде:
zjD
2
V
)
L"(O) = -f
0
\ @2 +KV,V ds.
(4а)
Равенство (4а) выводится из равенства (4) с учётом того, что
V(O)=V(l)=Оичто
!!____/V, DV) = j DV' DV) +(v, D
2
V)·
ds\Ш\dsds
ds
2
Таким образом,
z(D2V )
=-f
0
@2 +KV,V ds.
Вторая вариация L"(O) длины дуги является инструментом, который
нужен для решающего этапа доказательства теоремы Бонне, упомянутого
в начале этого раздела. Теперь мы можем доказать теорему.
Теорема (Бонне). Пусть гауссова кривизна К полной поверхности S
удовлетворяет условию
К ~д>О.

420
ГЛАВА5
Тогда S компактна и диаметр р поверхности S удовлетворяет неравен­
ству
<1(
Р- JJ.
ДОКАЗАтвльство. Так как S полна, для двух данных точек р, q Е S , по
теореме Хопфа-Ринова, существует кратчайшая геодезическая у на S , со­
единяющая р с q. Докажем, что длина l = d(p, q) геодезической удовле­
творяет неравенству
Допустим, что l > л:/-JJ, и рассмотрим вариацию геодезической
у: [О,!], определённую следующим образом. Пусть w0 - такой единич­
ный вектор Ty(O)(S), что (w0 , у'(О)) =О, и пусть w(s), s Е [О,!], - результат
параллельного переноса w0 вдоль у. Ясно, что 1w(s) 1= 1 и что
(w(s), y'(s)) =О, sE [О,!]. Рассмотрим векторное поле V(s), заданное ра­
венством
V(s)=w(s)sin~s, sE[O,/].
l
Поскольку V(O) = V(l) =О и (V(s), y'(s)) =О, векторное поле V(s) опреде­
ляет собственную ортогональную вариацию у. По предложению 4,
Так как w(s) - параллельное векторное поле,
D V(s)=(!.:.cos!.:.s)w(s).
дs
ll
Таким образом, поскольку l > л:/-JJ и потому К ~ д > л: 2 j! 2, получаем
"
l(л:2 2л:
.
2л:1
Lv(O)=f
0
fcos
1s-Ksm zs)ds<
<f- cos -s-sш -s ds=
1 л:2( 2л:
.
2л:)
Jo z2
l
l
л:2 rz 2'lf
= /2Jo coslsds=О.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
421
Следовательно, существует вариация у, для которой L"(O) <О. Одна­
ко, поскольку у - кратчайшая геодезическая, её длина меньше или равна
длине любой кривой, соединяющей р с q. Таким образом, для каждой ва­
риации у мы должны иметь L'(O) =О и L"(O) ;:>:О. Мы получили, следова-
тельно, противоречие, которое показывает, что l = d(p, q) $ л:/ .Jб, как мы
утверждали.
Так как d(p, q) $ л:/.Jб для любых двух данных точек S, то S ограни-
ченна и её диаметр р $ л:/.Jб. Кроме того, поскольку S - полная и огра­
ниченная, то S компактна.
Замечание 5. Выбор вариации V(s) = w(s)sin (л:/Z)s в предыдущем до­
казательстве можно понять лучше, если рассмотреть вторую вариацию
в виде (4а) замечания 4. Поскольку К> 12 /л: 2 , можно записать
Теперь легко догадаться, что выбранное выше V(s) обращает подынте­
гральную функцию в нуль; следовательно, L; (О)< О.
Замечание 6. Условие К ;:>: д > О нельзя заменить более слабым требо­
ванием К > О. В самом деле, параболоид
{(x,y,z)E R 3; z=x
2
+у2}
имеет гауссову кривизну К> О, является полным, но не компактным. За­
метим, что кривизна параболоида стремится к нулю, когда расстояние от
точки (х,у)Е R 2 до начала координат (О, О) неограниченно возрастает
(ер. замечание 8 внизу).
Замечание 7. Оценка диаметра р $я/ Jб, данная в теореме Бонне,
является наилучшей, как показывает пример единичной сферы: К = 1
и р=я.
Замечание 8. Первое доказательство предыдущей теоремы было по­
лучено О. Бонне, "Sur quelquer proprietes des lignes geodesiques'', C.R .Ac. Sc.
Paris XL (1850), 1331, и "Note sur les lignes geodesiques", ibld. XLI (1851),
32. Формулировка теоремы в терминах полных поверхностей обоснована

422
ГЛАВА5
в статье Хопфа-Ринова, цитированной в предыдущем разделе. Фактически
необязательно, чтобы К была отделена от нуля, нужно только, чтобы она
приближалась к нулю не слишком быстро. См. работы Е. CalaЬi, "Оп Ricci
Curvature and Geodesics", Duke Math. J. 34 (1967), 667-676, ШIИ
R. Schneider, "Konvexe FНichen mit langsam abnehmender Кriimmung",
Archiv der Math. 23 (1972), 650-654 (ер. также упражнение 2 внизу).
УПРАЖНЕНИЯ
1. Верна ли теорема, обратная теореме Бонне, то есть если S компактна
и имеет диаметр р $те/.J"J, то будет ли К ;::: д?
2*. (Замечание Каздана-Уорнера, ер. упражнение 10 раздела 5.10.) Пусть
S ={z = f(x,y); (х,у)Е R 2 } - полная, некомпактная, регулярная поверх­
ность. Покажите, что
lim( inf К(х,у))$0.
r--?oo х2 +у2 ~r
3. а. Выведите формулу первой вариации длины дуги без предположения,
что вариация является собственной.
Ь. Пусть S - полная поверхность. Пусть y(s), s Е R , -
геодезическая
на S, и пусть d(s) - расстояние d(y(s), р) от y(s) до точки рЕ S, не
принадлежащей следу у. Покажите, что существует такая точка s0 Е R , что
d(s0 ) $ d(s) для любого s Е R , и что геодезическая Г, соединяющая р
с y(s0 ), перпендикулярна у (рис. 5 .14).
р
Рисунок 5.14

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
423
с. Предположите далее, что S гомеоморфна плоскости и имеет гауссову
кривизну К~ О. Докажите, что s 0 (и, следовательно, Г) единственна.
4. (Вариационное исчисление.) Геодезические являются частными случами
решений вариационных задач. В этом упражнении мы обсудим некоторые
моменты простой, но очень показательной вариационной задачи. В сле­
дующем упражнении мы дадим некоторые приложения представленных
здесь идей.
Пусть у=у(х), хЕ[х 1 ,х2 ], - дифференцируемая кривая в ху­
плоскости, и пусть вариация у задана дифференцируемым отображением
y=y(x,t), tE(-c:,c:). Здесь у(х,О)=у(х) для любого хЕ[х1 ,х2 ]
и y(x1,t)=y(x1), y(x2 ,t)=y(x2 ) для любого tE (-с:,с:) (то есть концы ва­
риации фиксированы). Рассмотрим интеграл
fXz
'
/(t)= F(x,y(x,t),y(x,t))dx, tE (-с:,с:),
Х1
где F(x, у, у') - дифференцируемая функция трёх переменных и у'= ду/дх.
Задача отыскания критических точек I(t) называется вариационной зада­
чей с подынтегральной функцией F.
а. Предположите, что кривая у= у(х) является критической точкой /(t)
(то есть d!/ dt =О при t =О). Используйте интегрирование по частям, что­
бы заключить, что О= dl/dt)
i(t)=fx
2
(F ду+F,ду') dx =
Х1 удf удf
[ду ]xz Jx2 ду(
d)
=
-
F,
+
-
F--F,dx.
дfу
Х1дfуdxу
Xj
Затем, используя граничные условия, получите
O=i(O)= C{11(Fy- ;Fy') }dx,
(*)
где 17 = (ду/дt)(х, О). (Функция 17 соответствует вариационному векторно­
му полю вариации у(х, t).)
Ь. Докажите, что если i(O) =О для всех вариаций с фиксированными кон­
цами (то есть для всех 17 в(*) с 17(х1 ) = 17(х2 ) =О), то
F _.!!._F,=0
уdxу
•
(**)

424
ГЛАВА5
Уравнение(**) называется уравнением Эйлера-Лагранжа для вариацион­
ной задачи с подынтеrральной функцией F.
с. Покажите, что если F не содержит явно переменной х, то есть
F = F(y, у'), то, дифференцируя y'Fy' - F и используя(**), получим
y'Fi - F = const.
5. (Вариационное исчисление; приложения.)
а. (Поверхности вращения наименьшей площади.) Пусть S - поверхность
вращения, полученная вращением кривой у= f (х), х Е [ х1 , х2 ], вокруг
оси х. Предположите, что S имеет наименьшую площадь среди всех по­
верхностей вращения, порождаемых кривыми, соединяющими (х1 , /(х1 ))
с (х2 , /(х2 )). Таким образом, у= f(x) минимизирует интеграл (ер. упраж­
нение 11раздела2.5)
J(t) = fxz у~1 + (у')2 dx
Х1
для всех вариаций у(х, t) функции у с фиксированными концами у(х1 ),
у(х2 ). В силу части (Ь) упражнения 4 F(y, у')= у~1 + (у') 2 удовлетворяет
уравнению Эйлера-Лаrранжа (**).Используйте часть (с), чтобы показать,
что
Следовательно,
y'F,-F=
у
у
~1 + (у')2
, с= const;
с
1
y=-ch(cx+c1), с1 =const.
с
Заключите, что если существует регулярная поверхность вращения
наименьшей площади, содержащая две данные парштельные окружности,
то эта поверхность является катеноидом, который содержит две дан­
ные кривые как параллели.
Ь. (Геодезические поверхностей вращения.) Пусть
х(и, v) = (f(v)cosи, f(v)sinи, g(v))
-
параметризация поверхности вращения S. Пусть и== u(v) - уравнение
геодезической S, которая не является ни параллелью, ни меридианом. То­
гда и== и(v) - критическая точка интеrрала д;IИНЫ дуги (F ==О)
f~Е(и')2 + G dv,
,
dи
и==-.
dv

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
425
Так как Е=f
2
,
G =(J')
2
+ (g')
2
,
мы видим, что уравнение Эйлера­
Лагранжа для этой вариационной задачи имеет вид
Fu _ !!__Fu' =О, F = ~J2(и')2 +(/')2 +(g')2.
dv
Заметьте, что F не зависит от и. Таким образом, (d/ dv)Fu' =О и
Получите отсюда следующее уравнение геодезической и= u(v)
(ер. пример 5 раздела 4.4):
-
f 1 J(J')2 + (g')2
и-с
2
2
dv + const.
f f-с
5.5 . Поля Якоби и сопряжённые точки
В этом разделе мы будем исследовать некоторые детали вариационной
техники, которая была использована для доказательства теоремы Бонне.
Мы заинтересованы в получении информации о поведении геодезиче­
ских, соседних данной геодезической у. Естественным способом является
рассмотрение вариаций у, которые удовлетворяют тому дополнительному
условию, что кривые вариации сами являются геодезическими. Поле такой
вариации позволяет понять, насколько плотно распределены геодезические
в окрестности у.
Для упрощения изложения мы будем предполагать, что поверхности
являются полными, хотя это предположение при дополнительной работе
можно опустить. Символ у: [О, l] ~ S будет обозначать геодезическую,
параметризованную длиной дуги, на полной поверхности S.
Определение 1. Пусть у: [О, l] ~ S - параметризованная геодезиче­
ская, и пусть h:[O,l)x(-e,E)~S - такая вариация у, что для каждого
tE (-е, е) кривая h,(s) = h(s, t), sE (О, l], является параметризованной гео­
дезической (необязательно длиной дуги). Поле вариации (дh/дt)(s, О)= J(s)
называется полем Якоби вдоль у.

426
ГЛАВА5
Тривиальным примером поля Якоби является поле y'(s), s Е [О,!], каса­
тельных векторов геодезической у. В самом деле, полагая h(s, t) = y(s + t), по­
лучаем
J(s)=дh(s O)=dy.
дt,
ds
Мы особенно заинтересованы в изучении поведения геодезических,
соседних у: [О,!] --7 S, которые выходят из у(О). Так, мы будем рассмат­
ривать вариации h: [О, l] х (-е, е) --7 S, которые удовлетворяют условию
h(O, t) = у(О), t Е (-е, е). Следовательно, соответствующее поле Якоби
удовлетворяет условию J(O) =О (см. рис. 5.15).
Рисунок 5 .15
Прежде чем привести нетривиальный пример поля Якоби, докажем,
что такое поле можно охарактеризовать аналитическим условием.
Предложение 1. Пусть J(s) - поле Якоби вдоль у: [О,!]--? S,
s Е [О,!]. Тогда J удовлетворяет так называемому уравнению Якоби
DD
,/
,
--J(s)+K(s)(r (s)лJ(s))л y(s)=O,
ds ds
где K(s) - гауссова кривизна S в точке y(s).
Доклзлтвльство. По определению J(s), существует такая вариация
h: [О, /]х(-е, е)--7 S
(1)
кривой у, что (дh/дt)(s,O)=J(s) и h1 (s)-геодезическая, IE(-e,e). От­
сюда следует, что (D/дs)(дh/дs)(s, t) =О. Поэтому
DDдh
дt дs дs (s,t) =0, (s,t)E [О, /]х(-е, е).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
С другой стороны, используя лемму 6 раздела 5.4, получаем
DDдh=DDдh+K(st)(дhлдh)лдh=О
дtдsдs дsдtдs
'
дsдtдs.
Так как (D/дt)(дh/дs) = (D/дs)(дh/дt), то при t =О
DD
,
,
дsдsJ(s)+K(s)(y(s)лJ(s))лу(s)=О.
427
о
Чтобы получить некоторые следствия предложения 1, удобно привес­
ти уравнение Якоби (1) к более привычному виду. Для этого выберем в ка­
сательной плоскости Ту( О) (S) единичные ортогональные векторы е1 (О)
и е2 (О), и пусть е1 (s) и е2 (s) - результат параллельного переноса соот-
ветственно е1 (О) и е2 (О) вдоль y(s).
Предположим, что
J(s) = а1 (s)e1(s) + а2 (s)e2 (s)
для некоторых функций а1 = a1(s), а2 = a 2 (s). Тогда, используя лемму 2
последнего раздела и опуская s для упрощения обозначений, получаем
DJ,
,
-
= а1е1 + а2е2,
дs
DD
"
"
--J = а1е1 +а2е2.
дs дs
С другой стороны, если записать
то получим
(у'лJ)лу'=Л.1е1+Л.2е2,
Л-1 е1 +J,2e2 =(у' л(а1 е1 +а2 е2 ))лу'=
= а1(у'ле1)лу'+а2(у'ле2)лу'.
Следовательно, обозначая ((у' л е;) л у', еj) = aij, i, j = 1, 2, получаем
А1 =а1а11 +а2а21• Az =а1а12 +а2а22·
Отсюда следует, что уравнение (1) можно записать в виде
а;+ К(а11а1 +а21а2) =О,
(la)
а;+К(а12а1 +а22а2)=О,
где все элементы являются функциями s. Отметим, что (la) есть система
линейных дифференциальных уравнений второго порядка. Решения
(а1 (s), а2 (s)) = J(s) такой системы определены для любого s Е [О,!] и со-

428
ГЛАВА5
ставляют векторное пространство. Кроме того, решение J(s) (la) (или (1))
вполне определяется начальными условиями J(O), (DJ/дs)(O), и про­
странство решений имеет размерность 2 х 2 = 4 .
Можно показать, что каждое векторное поле J(s) вдоль геодезической
у: [О, l] ~ S, которое удовлетворяет уравнению (1), есть действительно
поле Якоби. Так как нас интересуют среди полей Якоби J(s) только те, ко­
торые удовлетворяют условию J(O) =О, мы будем доказывать предложе­
ние только для этого частного случая.
Будем использовать следующее обозначение. Пусть Tp(S), рЕ S, -
касательная плоскость S в точке р; обозначим (ТР (S))v касательное про­
странство в точке v к ТР (S), рассматриваемой как поверхность в R 3
.
Так
как ехрР: TP(S) ~ S, то
d(expp)v: (Tp(S))v ~Texpp(v)(S).
Мы часто будем допускать вольность обозначений: если v, WE Tp(S), то w
будет обозначать также вектор (TP(S))v, полученный из w сдвигом на век­
тор v (см. рис. 5.16). Это равносильно отождествлению пространств Tp(S)
и (Tp(S))v посредством сдвига на вектор v.
(d exp,),(w)
s
Рисунок 5.16

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
429
Лемма1.ПустьрЕSиv, wETP(S),где\v\=l.Пустьу:[О,l]~S-
геодезическая на S, заданная уравнением
y(s)=expP(sv), sE[O,l].
Тогда векторное поле J(s) вдоль у, заданное равенством
J(s)=s(d expp)sv(w), SE [O,l],
есть поле Якоби. Кроме того, J(O) =О, (DJ/ ds)(O) = w.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть t ~ v(t), t Е (-е, е), - такая параметризован­
ная кривая в TP(S), что v(O) =v и (dv/ dt)(O) = w. (Заметим, что мы допус­
каем упомянутую выше вольность обозначений.) Определим (см. рис. 5.17)
h(s, t) = ехр P(sv(t)), tE (-е, е), s Е [О, l].
ехр,
р
T,(S)
Рисунок 5. 17

430
ГЛАВА5
Отображение h, очевидно, дифференцируемо, и кривые s ~ h1 (s) =
= h(s,t) являются геодезическими s ~ ехр p(sv(t)). Следовательно, поле
вариации h является полем Якоби вдоль у.
Чтобы вычислить вариационное поле (дh/дt)(s, О), заметим, что кри­
вая s=s0 , t=t в Tp(S) задаётся отображением t~s 0 v(t) и касательный
вектор этой кривой в точке t = О равен
Отсюда следует, что
dv
So-(0) = SoW.
dt
дh
дt(s, О)= (d expp)sv(sw) = s(d expp)sv(w).
Векторное поле J (s) = s (d ехр Р) sv (w) есть, следовательно, поле Якоби.
Непосредственно проверяется, что J(O) =О. Для проверки последнего ут­
верждения леммы вычисляем ковариантную производную предыдущего
выражения (ер. лемму 2 раздела 5.4), получая
D
D
дs s(d ехр p)sv(w) = (d expp)sv(w) + s дs (d ехр p)sv(w).
Следовательно, при s = О
DJ
-(О)= (d expp)0 (w) = w.
дs
о
Предложение 2. Если J(s) - дифференцируемое векторное поле
вдоль у: [O,/)~S, sE [О,/], удовлетворяющее уравнению Якоби (1), где
J(O)=O, то J(s) есть поле Якоби вдоль у.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть w=(DJ/ds)(O) и v=y'(O). По лемме 1, суще­
ствует поле Якоби s(d ехр p)sv(w) = ](s), s Е [О,/], удовлетворяющее усло­
виям
-
(D])
J(O) =О, ds (О)= w.
Тогда J и] - два векторных поля, удовлетворяющие системе (1) с одни­
ми и теми же начальными условиями. В силу единственности, J(s) = ](s),
s Е [О,/]; следовательно, J есть поле Якоби.
о

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
431
Теперь мы в состоянии привести нетривиальный пример поля Якоби.
Пример. Пусть S 2 = {(x,y,z)E R 3; х 2 +у2+z 2 =1} - единичная
сфера и х(О, rp) - параметризация в рЕ S коширотой 0 и долготой rp
(пример 1 раздела 2.2). Рассмотрим на параллели е = л:/2 отрезок между
точками rp0 = л:/2 и rp1 = Зл:/2. Этот отрезок является геодезической у, ко­
торую мы считаем параметризованной посредством rp - rp0 = s. Пусть
w(s) - результат параллельного переноса вдоль у вектора w(O)E Ty(o)(S),
где 1w(O)1= 1 и (w(O), у'(О)) ==О. Докажем, что векторное поле
(см. рис. 5.18)
J(t)=(sins)w(s), sЕ[О,л:],
является полем Якоби вдоль у.
Рисунок 5.18. Поле Якоби на сфере
В самом деле, поскольку J(O) =О, достаточно проверить, что J удов­
летворяет уравнению (1). Используя тот факт, что К= 1 и w - параллель­
ное векторное поле, получаем последовательно
DJ
-
= (coss)w(s),
ds
D DJ =(-sins)w(s).
ds ds
D DJ + К(у' л J) л у'= (-sins)w(s) + (sins)w(s) =О,
ds ds
и это показывает, что J есть поле Якоби. Отметим, что J(л:) =О.

432
ГЛАВА5
Определение 2. Пусть у: [О,/]~ S - геодезическая S, где у(О) = р.
Мы говорим, что точка q = y(s0 ), s0 Е [О,/], сопряжена точке р относи­
тельно геодезической у, если существует поле Якоби J(s), которое
не равно тождественно нулю вдоль у и J(O) = J(s0 ) =О.
Как мы видели в предыдущем примере, для данной точки р Е S 2 еди­
ничной сферы S 2 её диаметрально противоположная точка сопряжена р
вдоль любой геодезической, которая выходит из р. Однако пример сферы
нетипичен. Вообще, для данной точки р поверхности S «первая» со­
пряжённая р точка q зависит от выбора направления геодезической, про­
ходящей через р, и описывает параметризованную кривую. След такой
кривой называется сопряжённым множеством р и обозначается С(р).
Рисунок 5.19 показывает ситуацию на эллипсоиде, которая является
типичной. Геодезические, выходящие из точки р, касаются кривой С(р)
так, что когда геодезическая у вблизи у приближается к у, тогда точка
пересечения у и у приближается к точке q, сопряжённой р относитель­
но у. Эта ситуация в классической терминологии описывается высказыва­
нием, что сопряжённая точка есть точка пересечения двух «бесконечно
близких» геодезических.
Рисунок 5.19. Сопряжённое множество эллипсоида

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
433
Замечание l. Тот факт, что на сфере S 2 сопряжённое множество каждой
ТОЧКИ р Е S 2 СВОДИТСЯ К единственной точке (диаметрально ПрОТИВОПОЛОЖ­
НОЙ р ), является искmочительным (ер. L. Green, "AufwiedersehenШiche ", Апп.
Math 78 (1963), 289-300).
Замечание 2. Сопряжённое множество эллипсоида общего вида бьшо
найдено в работе А. Braunrniihl, "Geodiitische Linien auf dreiachsigen
FШchen zweiten Grades", Math. Апп. 20 (1882), 557-586. Сравните также
работу Н. Mangoldt, "Geodatische Linien auf positiv gekriimmten FШchen ",
Crelles Joиrn. 91(1881),23-52.
Полезным свойством полей Якоби J вдоль у: [О,!] ~ S является тот
факт, что, когда J(O) = J(l) =О,
(J(s), y'(s)) =О
для любого s Е [О,!]. Фактически это есть следствие следующих свойств
поле Якоби.
Предложение 3. Пусть J 1(s) и J 2 (s) - поля Якоби вдоль у: [О,/]~ S,
SE [0,/]. Тогда
( ~1 , J 2 (s))-(J1(s), D~2 ) =const.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Достаточно продифференцировать равенство в ут­
верждении и применить предложение 1 (s опускается для удобства обо­
значений):
. !! .. .{fDJ1 J )-f J DJ2)}=
ds\ds'
2
\
1
'
ds
=/DDJ1,J
2
)_/Ji, D DJ2 )+fDJ1' DJ2 )_fDJ1 ' DJ2 ) =
\ds ds
\dsds\dsds\dsds
= -К{(<у' лJ1)лу',J2)-((y'лJ2)лу',J1)}=О.
О
Предложение 4. Пусть J(s) -поле Якоби вдоль у: [О, l] ~ S, где
(J(s,), y(s)) = (J(s2 ), y(s2 )) =О, sl' s2 Е [О,!], s1 * s2 •
Тогда
(J(s),y(s))=O, sE[O,l].

434
ГЛАВАS
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Положим J 1(s)=J(s) и J 2 (s)=y'(s) (что является
полем Якоби) в предыдущем предложении и получим
( ~:, y'(s)) = const =А.
Поэтому
~ (J(s), y'(s)) = ( ~:, y'(s)J =А;
следовательно,
(J(s), y'(s)) = As +В,
где В - постоянная. Так как линейное выражение равно нулю при
s1, s2 Е [О, l], s1 # s2 , оно равно нулю тождественно.
О
Следствие. Пусть J(s) - поле Якоби вдоль у: [О, l] ~ S, где J(O) =
=J(l)=O. Тогда (J(s), y(s))=O, sE [О,/].
Покажем теперь, что сопряжённые точки можно охарактеризовать по­
ведением экспоненциального отображения. Напомним, что когда
rp: S1 ~ S2 - дифференцируемое отображение регулярной поверхности
S1 на регулярную поверхность S2 , точка рЕ S1 называется критической
точкой rp, если линейное отображение
drpP: Tp(S1) ~ T<p(p)(S2 )
вырождено, то есть если существует такой вектор v Е ТР (S1), v #О, что
drpp(v) =О.
Предложение 5. Пусть р, qE S - две точки S и у: [О,!]~ S - гео­
дезическая, соединяющая р = у(О) с q = exp/ly(O)). Тогда q сопря­
жена р относительно у тогда и только тогда, когда v=ly(O) есть
критическая точка ехрР: TP(S) ~S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Как мы видели в лемме 1, для любого wE TP(S)
(которое мы отождествляем с ((Тр (S))v) существует поле Якоби J(s)
вдоль у, удовлетворяющее условиям
J(O) =0,
DJ (О)= w
ds

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
435
и
J(l) = l{(d ехр p)v(w)}.
Если vE Tp(S) - критическая точка ехр Р' то существует wE (Tp(S))v,
w 7: О, с (d ехр p)v(w) =О. Это означает, что предыдущее векторное поле
J(s) не равно тождественно нулю и что J(O) = J(l) =О, то есть у(/) сопря­
жена у(О) относительно у.
Обратно, если q = y(l) сопряжена р = у(О) относительно у, то суще­
ствует поле Якоби ](s), не равное тождественно нулю, с ](О)=](/)= О.
Пусть (DJ/ds)(O)=wi:O. Конструируя поле Якоби J(s), как выше, полу­
чаем, в силу единственности, что ](s) = J(s). Поскольку
заключаем, что (d ехр p)v(w) =О, где w *О. Следовательно, v - критичес­
кая точка ехр Р .
О
Тот факт, что уравнение (1) полей Якоби содержит гауссову
кривизну S, указывает, что «разброс» геодезических, которые выходят из
точки р Е S, тесно связан с распределением кривизны на S (ер. за­
мечание 2 раздела 4.6). Это элементарный факт, что две соседние геодези­
ческие, выходящие из точки р Е S , вначале расходятся. В случае сферы
или эллипсоида (К > д > О) они сближаются и становятся касательными
к сопряжённому множеству С(р). В случае плоскости они никогда
не сближаются вновь. Следующая теорема показывает, что «бесконечно
малый» вариант ситуации в плоскости имеет место на поверхностях отри­
цательной или нулевой кривизны. (См. замечание 3 после доказательства
теоремы).
Теорема. Предположим, что гауссова кривизна К поверхности S
удовлетворяет условию К:,; О. Тогда для любой точки р Е S сопряжённое
множество р пусто. Говоря кратко, поверхность кривизны К:,; О не име­
ет сопряжённых точек.
ДоклзлтЕльство. Пусть р Е S и у: [О,/] -7 S - геодезическая S, где
у(О) =р. Допустим, что существует ненулевое поле Якоби J(s), где
J(O) = J(l) =О. Докажем, что это приводит к противоречию.

436
ГЛАВА5
В самом деле, поскольку J(s) - поле Якоби и J(O) = J(Z) =О, по
следствию предложения 4, (J(s), y'(s)) =О, s Е [О,/]. Поэтому
так как К ~О.
D DJ +KJ=O
ds ds
'
/DDJJ)= -K(JJ)~О
\dsds'
'
'
Отсюда следует, что
!!____/ DJ' J)=j D DJ' J)+j DJ' DJ)~О.
ds\ds
\ds ds
\ds ds
Следовательно, функция (DJ/ds, J) не убывает в промежутке [О,!].
Так как эта функция равна нулю при s =О и s = !, заключаем, что
\~:,J(s))=o, SE[O,l].
Наконец, замечая, что
!!_(J J)=2/DJ J)=О
ds'
\ds'
'
получаем 1Jl2
=const. Так как J(O) =О, заключаем, что 1J(s)1=0, sE [О,!],
то есть J тождественно равно нулю на [О,!]. Это является противоречием.
D
Замечание 3. Теорема не утверждает, что две геодезические, выходя­
щие из данной точки, никогда не пересекаются вновь. В действительности
это неверно, как показывают замкнутые геодезические цилиндра, кривизна
которого равна нулю. Утверждение неверно, даже если мы рассматриваем
геодезические, которые выходят из одной точки, в «близких направлени­
ях». Достаточно рассмотреть меридиан цилиндра и заметить, что винтовые
линии, которые имеют направления, близкие направлению цилиндра, пе­
ресекают этот меридиан. Предложение утверждает, что точка пересечения
двух «соседних» геодезических уходит в «бесконечносты>, когда эти гео­
дезические сближаются (это именно то, что происходит на цилиндре).
В классической терминологии можно сказать, что две «бесконечно близ­
кие» геодезические никогда не пересекаются. В этом смысле теорема даёт
бесконечно малый вариант ситуации в плоскости.
Непосредственным следствием предложения 5, предыдущей теоремы
и теоремы об обратной функции является следующее предложение.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
437
Следствие. Предположим, что гауссова кривизна К поверхности S
отрицательна или равна нулю. Тогда для любой точки р Е S отображение
ехрР: TP(S) ~ S
является локальным диффеоморфизмом.
Позже мы будем использовать следующую лемму, которая обобщает
тот факт, что в нормальной окрестности р геодезические окружности ор­
тогональны радиальным геодезическим (предложение 3 и замечание 1 раз­
дела 4.6).
Лемма 2 (Гаусс). Пусть рЕ S - точка (полной) поверхности S,
и пусть иЕ TP(S) и WE (ТР(S))и. Тогда
(и, w)=((dехрр)и(и), (d expP).(w)),
где использовано отождествление TP(S) ""(ТР(S))и.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть l =1и1, v = и/1и1 и у: [О,!]~ S - геодезиче­
ская S, заданная уравнением
y(s)=exppCsv), sE[O,l].
Тогда у'(О) = v. Кроме того, если мы рассмотрим кривую s ~ sv в ТР (S),
которая проходит через и при s = / с касательным вектором v
(см. рис. 5.20), то получим
s=l
(d ехр,). (v)
Рисунок 5.20

438
ГЛАВА5
Рассмотрим теперь поле Якоби J вдоль у, определяемое условиями
J(O)=O, (DJ/ds)(O)=w (ер. лемму 1). Тогда, поскольку y(s) - геоде-
зическая,
d
\
DJ)
- (;l(s), J(s)) = y'(s), -
ds
ds
и, так как J есть поле Якоби,
d\, DJ)(
D
2
J)
-
y(s),- =
y'(s),-
2 =0.
ds
ds
ds
Отсюда следует, что
.! ! . _(r(s), J(s)) =/ y'(s), DJJ =const =С;
ds
\
ds
(2)
следовательно (поскольку J(O) =О),
(y'(s), J(s)) = Cs.
(3)
Чтобы вычислить постоянную С, положим s равным l в ра­
венстве (3). По лемме 1,
J(l) = l(d ехр p)u(w).
Поэтому
Из равенства (2) заключаем, что
\r'(l), ~(l)J =с= \r'(O), ~:(о))= (v, w).
Используя значение С, получаем из предыдущего равенства
о
УПРАЖНЕНИЯ
1. а. Пусть у: [О,!] ~ S - геодезическая, параметризованная длиной дуги,
на поверхности S, и пусть J(s) - поле Якоби вдоль у, где J(O) =О,
(J'(O), у'(О)) =О. Докажите, что (J(s), y'(s)) =О для любого s Е [О,/].

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
439
Ь. Предположите далее, что 1J'(O)1= 1. Совершите параллельный перенос
е1 (О)= у'(О) и е2 (О)= J'(O) вдоль у и получите ортонормированный базис
{e1(s),e2 (s)} для любого Ty(s)(S), sE[O,l]. В силу части (а) J(s)=
= u(s)e2 (s) для некоторой функции и= u(s). Покажите, что уравнение
Якоби для J можно записать в виде
u"(s) + K(s)u(s) =О,
с начальными условиями u(O) =О, u'(O) = 1.
2. Покажите, что точка р =(О, О, О) параболоида z = х 2 + у
2
не имеет со­
nряжённой точки относительно геодезической y(s), где у(О) = р.
3. (Теоремы сравнения.) Пусть S и S - полные поверхности. Задайте
рЕ S, рЕ S и выберите линейную изометрию i: Tp(S)~Tf!(S). Пусть
у;[О,оо)~S - геодезическая на S с у(О)=р, Jу'(О)!=1, и пусть J(s) -
поле Якоби вдоль у, где J(O) =О, (J'(O), у'(О)) =О, ! у'(О) 1= 1. Используя ли-
нейную изометрию i, постройте геодезическую у: [О, оо) ~ S с у(О) = j5,
у'(О) = i(y'(O)) и поле Якоби ] вдоль у, где ] (О)= О, ]'(О)= i(J'(O))
(рис. 5.21 ). Ниже мы сформулируем две теоремы (которые, по существу,
являются геометрическими интерпретациями классических теорем сравне­
ния Штурма), позволяющие сравнить поля Якоби J и ] , исходя из «гипо­
тезы сравнения» кривизн S и S.
i
-
Т,(S)
Рисунок 5.21

440
ГЛАВА5
а. Используйте упражнение 1, чтобы показать, что J(s) = v(s)e2 (s),
J(s)=и(s)e2 (s), где и=и(s) и v=v(s) - дифференцируемые функции,
а e2 (s) (соответственно e2 (s)) есть результат параллельного переноса
вдоль у (соответственно у) вектора J'(O) (соответственно J'(O). Заключи­
те, что уравнения Якоби для J и J' имеют вид
v...(s)+K(s)v(s)=O, v(O)=O, v'(O)=l,
и...(s) + K(s)и(s) =О, и(О) =О, и'(О) = 1
соответственно, где К и К обозначают гауссовы кривизны S и S.
Ь*. Предположите, что K(s)::; K(s), SE [О, оо). Покажите, что
О= f:{и(v... + KV)-v(u ... + Ku)}ds =
(*)
'
's
rs
~ds
=[uv-vu]0+Jo(К-K)uv .
Заключите, что если а - первый нуль и в интервале (О,=) (то есть
и(а)=Оиu(s)>Она(О,а))иЬ- первыйнуль vв(О,=),тоЬ~а.Таким
образом, если K(s)::; K(s) для любого s, то первая сопряжённая р точка
относительно у не находится перед первой сопряжённой р точкой от­
носительно у. Это так называемая первая теорема сравнения.
с*. Предположите, что K(s)::; K(s), sE [О, а). Используйте(*) и тот факт,
что и и v положительны в (О, а), чтобы получить, что [иv' -vи'] 0 ~О. Ис­
пользуйте это неравенство, чтобы показать, что v(s) ~ и(s) для любого
SE (О, а). Таким образом, если K(s)::;k(s) для любого s перед первой со­
пряжённой точкой у, то J J(s) J ~ 1J(s)1 для любого такого s. Это так на­
зываемая вторая теорема сравнения (конечно, она включает первую как
частный случай; мы выделили первый случай потому, что он легче и мы
будем чаще его использовать).
d. Докажите, что в части (с) равенство v(s) = и(s) выполняется для всех
sE [О, а) тогда и только тогда, когда K(s) = K(s), sE [О, а).
4. Пусть S
-
полная поверхность с гауссовой кривизной К::; К0 , где
К0 - положительная постоянная. Сравните S со сферой S 2 (K0 ) кривиз-
~
2
ны К0 (то есть положите в упражнении 3 S = S (К0 ) и используйте пер-
вую теорему сравнения в упражнении 3, часть (Ь)), чтобы заключить, что

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
441
любая геодезическая у : [О, оо) -t S на S не имеет точки, сопряжённой
у(О), в интервале (О, rr:/ ,JК;;).
5. Пусть S - полная поверхность с К ~ К1 >О, где К - гауссова
кривизна S и К1 -
постоянная. Докажите, что каждая геодезическая
у: [О, oo)-t S имеет точку, сопряжённую у(О), в промежутке (О, rr:/,fif;J.
6*. (Осцwтяционная теорема Штурма.) Следующее незначительное об­
общение первой теоремы сравнения (упражнение 3, часть (Ь)) часто ис­
пользуется. Пусть S - полная поверхность и у: [О, оо)
-tS - геоде­
зическая на S. Пусть J(s) - поле Якоби вдоль у, где J(O) = J(s0 ) =О,
s 0 E(0,oo) и J(s)*O при sE(0,s0 ). Таким образом, J(s) есть ортого­
нальное векторное поле (следствие предложения 4). Отсюда следует, что
J(s) = v(s)е2 (s ), где v(s) - решение уравнения
v"(s)+ K(s)v(s) =0, SE [О, оо),
и е2 (s)- результат параллельного переноса единичного вектора в Ty(o)(S),
ортогонального у'(О). Предположите, что гауссова кривизна K(s) удовлет­
воряет условию K(s) ~ L(s), где L - дифференцируемая функция на
[О, оо). Докажите, что любое решение уравнения
и"(s)+L(s)и(s)=O, sE[O,oo),
имеет нуль в промежутке (О, s0 ] (то есть существует такое s1 Е (О, s0 ], что
и(s1 ) =О).
7. (Критерий Кнесера сопряжённых точек.) Пусть S - полная поверх­
ность и у: [О, oo)-t S - геодезическая на S с у(О) = р. Пусть K(s) - га-
уссова кривизна S вдоль у. Предположим, что
f,
=
1
K(s)ds~-- для любого t~O
t
4(t+1)
(*)
в том смысле, что интеграл сходится и ограничен, как показано.
а. Определите
f,
=
1
w(t)= K(s)ds+--, t~O,
t
4(t +1)
и покажите, что w'(t) + (w(t))2 ~ -K(t).

442
ГЛАВА5
Ь. Положите при t ~О w'(t) + (w(t)) 2
== -L(t) (так что, L(t) ~ K(t)) и опре­
делите
v(t) = exp(f~ w(s) ds ), t ~О.
Покажите, что v"'(t) + L(t)v(t) =О, v(O) = 1, v'(O) =О.
с. Заметьте, что v(t) >О, и используйте осцилляционную теорему Штурма
(упражнение 6), чтобы показать, что не существует поля Якоби J(s) вдоль
y(s), где J(O) =О и J(s0 ) =О, s0 Е (О,=). Таким образом, если (*) выпол­
няется, то не существует точки, сопряжённой р вдоль r.
8*. Пусть у: [О,/]~ S - геодезическая на полной поверхности S и y(l)
не сопряжена у(О). Пусть w0 Е Ty(O)(S) и w 1 Е Ty(l)(S). Докажите, что суще­
ствует такое поле Якоби J(s) вдоль у, что J(O) = w0 , J(l) = w1.
9. Пусть J(s) - такое поле Якоби вдоль геодезической у: [О,/]~ S, что
(J(O), у'(О)) =О и J'(O) ==О. Докажите, что (J(s), y'(s)) =О для любого
SE [0, !].
5.6 . Накрывающие пространства. Теоремы Адамара
Мы видели в последнем разделе, что, когда кривизна К полной по­
верхности S удовлетворяет условию К ~ О, отображение ехр Р : ТР (S) ~ S ,
р Е S, является локальным диффеоморфизмом. Естественно спросить, ко­
гда локальный диффеоморфизм является глобальным диффеоморфизмом.
Этот вопрос удобно поставить в более общей формулировке, для которой
нам требуется понятие накрывающего пространства.
А. Накрывающие пространства
Определение 1. Пусть В и В - подмножества R 3
• Мы говорим, что
я: В~ В есть накрывающее отображение (накрытие), если
1) я непрерывно и я(В)= В;
2) каждая точка рЕ В имеет такую окрестность И в В (называемую от­
меченной окрестностью р), что
я-1 (И) = uVa,
а

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
443
где Va - такие попарно непересекающиеся открытые множества, что ог­
раничение 1( на va есть гомеоморфизм va на и.
Тогда В называется накрывающим пространством В.
Пример1.Пусть РсR3
-
плоскость в R 3
.
Фиксируя точку q0 Е Р
и два ортогональных единичных вектора е1 , е2 ЕР с началом в точке q0 ,
каждую точку qE Р можно описать координатами (и, v) = q, заданными
равенством
q- и0=ие1+ve2•
Пусть теперь S ={(x,y,z)E R 3
;х
2
+у2
=1} - прямой круговой цилиндр,
осью которого является ось z, и пусть л:: Р ~ S - отображение, опреде­
ляемое равенством
л:(и, v) = (cosu, sinu, v)
(геометрический смысл этого отображения состоит в обёртывании цилин­
дра плоскостью Р бесконечное число раз; см. рис. 5.22).
r
Рисунок 5.22
Докажем, что л: - накрывающее отображение. Заметим сначала, что
когда (и0 ,v0 )Е Р, отображение, ограниченное на полосу
R={(u,v)EР; -л:5,и5,и0+л:}
полностью покрывает S. Фактически л:, ограниченное на внутренность R,
есть параметризация S, координатная окрестность которой покрывает S без
одной образующей. Отсюда следует, что л: непрерывно (на самом деле
дифференцируемо) и что л:(Р) = S; таким образом, условие 1 проверено.
Чтобыпроверитьусловие2,выберемрЕS иИ=S - r, где r - обра­
зующая, противоположная образующей, проходящей через р. Докажем,
что И - отмеченная окрестность р.

444
ГЛАВА5
Пусть (u0 ,v0)EP такова, что x(u0 ,v0 )=p; выберем в качестве Vn по­
лосу, заданную следующим образом:
vn ={(и, v)E Р; Ио+ (2n-l)x <и< Ио+ (2п + l)x},
п=О,±1,±2, ....
Непосредственно проверяется, что если п * т, то Vп п Vm = rp, и что
un Vn =х-
1
(И). Кроме того, по первоначальному замечанию, х, ограни­
ченное на любое Vn, есть гомеоморфизм на И. Отсюда следует, что И -
отмеченная окрестность р. Этим проверено условие 2 и показано, что
плоскость Р есть накрывающее пространство цилиндра S.
Пример 2. Пусть Н
-
винтовая линия
Н ={(x,y,z)E R 3
, х=cost,у=sint,z=bt, tER}
и
S1
={(x,y,0)ER 3
;х
2
+у2 =1}
-
единичная окружность. Пусть х: Н --7 S
1
задано равенством
x(x,y,z) = (х,у, О).
Докажем, что х - накрывающее отображение (см. рис. 5 .23).
р
Рисунок 5.23
Ясно, что х непрерывно и х(Н) = S
1
• Этим проверено условие 1. Что­
бы проверить условие 2, выберем рЕ S 1. Докажем, ЧТО И= S 1 -{q}, где
qЕS1
-
точка, симметричная р, является отмеченной окрестностью р.
В самом деле, пусть t0 Е R таково, что
x(cost0, sint0,bt0) =р.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
445
Возьмём в качестве Vn дугу винтовой линии, соответствующую интервалу
(t0 +(2n-1)n, t0 +(2n+1)n)cR, n=0,±1,±2, ....
Тогда легко показать, что л-1 (И) = unVn, v. попарно не пересекаются
и ограничение 7r: на Vn есть гомеоморфизм на И. Это проверяет условие 2
и завершает рассмотрение примера.
Пусть теперь п : В ~ В - накрывающее отображение. Поскольку
7r:(B) =В, каждая точка р Е В такова, что р Е 7r:-J (р) для некоторой точки
р Е В. Следовательно, существует такая окрестность Va точки р, что 7r:,
ограниченное на Va, есть гомеоморфизм. Отсюда следует, что 7r: - ло­
кальный диффеоморфизм. Следующий пример показывает, однако, что
существуют локальные гомеоморфизмы, которые не являются накрываю­
щими отображениями.
Прежде чем привести пример, следует заметить, что если И - отме­
ченная окрестность р, то каждая такая окрестность [f точки р, что
[!с И, снова является отмеченной окрестностью р. Так как n-
1
(U) с
с ua Va и Va попарно не пересекаются, получаем
-1
-
7r: (U)=uWai
а
где множества Wa = 7r:-
1
(U) n Va также удовлетворяют условию дизъюнк­
тности 2 определения 1. Таким способом, имея дело с отмеченными окре­
стностями, мы можем ограничиться «малыми» окрестностями.
Пример З. Рассмотрим в примере 2 отрезок Й винтовой линии Н,
соответствующий интервалу (7r:, 4п) с R. Ясно, что ограничение 1f ото-
бражения 7r: на этот открытый отрезок винтовой линии по-прежнему явля-
~
1
ется локальным гомеоморфизмом и if(H) =S . Однако никакая окрест-
ность точки
п(соsЗп,sinЗп, ЬЗп) =(-1, о, О)= рЕ S1
не может быть отмеченной окрестностью. В самом деле, при достаточно
малой И, if-
1
(И) = V1 u V2 , где V1 - отрезок винтовой линии, соответ­
ствующий tE (п, п+е), и V2
отрезок, соответствующий
tE (Зn-Е:, Зп+е). Тогда if, ограниченное на f'J, не является гомеомор­
физмом на И, по-скольку n'(f'\) даже не содержит р. Отсюда следует, что
1f: Й ~ S является локальным гомеоморфизмом на S 1
, но не является на­
крывающим отображением.

446
ГЛАВА5
Мы можем теперь перефразировать вопрос, поставленный в начале
главы, в следующей, более общей, форме: при каких условиях локальный
диффеоморфизм является глобальным диффеоморфизмом?
Понятие накрывающего пространства позволяет разбить этот вопрос
на два следующих.
1. При каких условиях локальный диффеоморфизм является накры­
вающим отображением?
2. При каких условия накрывающее отображение является глобальным
гомеоморфизмом?
Простой ответ на вопрос 1 даёт следующее предложение.
Предложение 1. Пусть я: В~ В - локальный гомеоморфизм, В
компактно и В связно. Тогда я есть накрывающее отображение.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку те - локальный гомеоморфизм,
п:(В) с В открыто в В. Кроме того, в силу непрерывности п:, п:(В) ком­
пактно и, следовательно, замкнуто в В. Так как п:(В) с В открыто и замк­
нуто в связном множестве В, то п:(В) =В. Таким образом, условие 1 опре­
деления 1 проверено.
Чтобы проверить условие 2, выберем ЬЕ В. Тогда л:-
1
(В)с Весть ко­
нечное множество. В противном случае существовала бы предельная точка
q ЕВ, что противоречит тому факту, что п:: В~ В есть локальный диф-
феоморфизм. Следовательно, можно записать л:-l ( Ь) = {h;". "bk}.
Пусть W; - такая окрестность Ь;, i = 1, ... , k, что ограничение л: на W;
есть гомеоморфизм ( п: является локальным диффеоморфизмом). Так как
п:-1 (Ь) есть конечное множество, можно выбрать W; настолько малыми,
что они будут попарно непересекающимися. Ясно, что существует окрест­
ность И точки Ь такая, что И с n(n:(W;)) (см. рис. 5.24). Полагая
V; = п: -1(u) п W, получаем, что
и что V; попарно не пересекаются . Кроме того, ограничение л: на V;, оче­
видно, есть гомеоморфизм на И. Отсюда следует, что И - отмеченная ок­
рестность р. Этим проверяется условие 2 и завершается доказательство. О

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
447
Когда В не компактно, есть несколько полезных критериев того, что
локальный гомеоморфизм является накрывающим отображением. Кон­
кретный случай будет рассмотрен позже. Для этого частного случая,
так же как для исследования вопроса 2, нам нужно вернуться к накрываю­
щим пространствам.
Наиболее важным свойством накрывающего отображения является
возможность <<Поднятия» в В непрерывных кривых В. Чтобы быть более
точными, введём следующую терминологию.
·~
··~
ъ,~
w,
w,
(? W,
l~1Г--
в
Рисунок 5.24
Пусть ВсR3
.
Напомним, что непрерывное отображение
а: [О,/]~ В, [О,/] с R, называется дугой в В (см. определение 8 прило-
жение к главе 5). Пусть теперь В и В
-
подмножества R 3
.
Пусть
х: В ~ В - непрерывное отображение и а: [О,/] ~ В
-
дуга в В. Если
существует дуга в В
а: [О,!]~ В,
где 7( о а= а, то говорят, ЧТО а есть поднятие а с началом в а(О) Е 'jj. Си­
туация описывается прилагаемой диаграммой.

448
ГЛАВА5
/j.
[О, l]
В
В терминологии, введённой выше, основное свойство накрывающих
пространств выражается следующим предложением о существовании
и единственности.
Предложение 2. Пусть :тс: В ~В
-
накрывающее отображение,
а: [O,l]~B- дуга в В и р0ЕВ - такая точка В, что
:тс(р0 ) = а(О) = Ро· Тогда существует единственное поднятие а: [О,!]~ В
дугиасначшюмвД,тоестьса(О)=Ро·
ДоклзлТЕЛЬСТВО. Сначала докажем единственность. Пусть
а, р: (О,/]~ в - два поднятия а с началом в Ро· Пусть А с [О,!]
-
множество таких точек tE [О,/], что ii(t) = f(t). А непусто и, очевидно,
замкнуто в [О,!].
Докажем, что А открыто в [О,!]. Положим ii(t) = p(t) = р. Рассмо­
трим окрестность V точки р, в которой п: является гомеоморфизмом. Так
как а и Д - непрерывные отображения, существует такой интервал
11с[О,!], содержащий t, что а(11)сV. Так как п:оа=п:оjjитеестьго­
меоморфизм в V, то а= jj на Jt> и таким образом, А открыто. Отсюда
следует, что А= [О,!] и два поднятия совпадают при любом tE [О,!].
Докажем теперь существование. Поскольку а непрерывно, для любой
точки a(t)E В существует интервал 11 с [О,!], содержащий t, такой, что
а(11 ) содержится в отмеченной окрестности a(t). Семейство 10 t Е [О, l],
является открытым покрытием [О, l], которое, в силу компактности [О, l],
содержит конечное подпокрытие, скажем 10 , . . . ,In.
Будем считать, что ОЕ 10 . (Если это не так, мы изменили бы нумера­
цию интервалов.) Так как a(J0 ) содержится в отмеченной окрестности
точки р, то существует такая окрестность V0 точки р0 , что ограни-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
449
чение л:0 отображения л: на V0 есть гомеоморфизм на И0 . Определим для
tE 10 (см. рис. 5.25)
(i(t) = л:01 а a(t),
где л:01 -обратное к гомеоморфизму л:0 отображение И0 • Ясно, что
а(О)= р0 ,
л:аii(t)= a(t), tЕ10.
Предположим теперь, что 11 n12 # ф (в противном случае мы бы из­
менили порядок интервалов). Пусть t1 Е11 n ! 0 • Так как а(J1 )содержится
в отмеченной окрестности И1 точки a(t1), мы можем определить
поднятие а в 11 с началом в a(t1). В силу единственности эта дуга совпа­
дает с а в 11 n10 и, следовательно, является продолжением а на 10 u11.
Продол-жая процесс, мы строим такую дугу а: [О, l] ~ в' ЧТО (i(O) = Ро
ил:оa(t)=a(t), tЕ[0,/).
0
Рисунок 5.25
Интересным следствием свойства накрывающего отображения л: : В ~ В
поднимать дуги является тот факт, что, когда В линейно связно, сущест-
вует взаимно однозначное соответствие между множествами л:- 1 (р)
и л:- 1 (q), где р и q - две произвольные точки В. Действительно, если В
линейно связно, то существует дуга а : [О,!] ~ В с а(О) = р и а(!)= q.

450
ГЛАВА5
,цля любой точки р Е 71:-l (р) существует поднятие ар :[О, l] ---7 в с ар (О)= р.
Определим теперь rp : п:- I (р) ---7 п:- I ( q), полагая rp(p) = аР (!), то есть примем
за rp(p) конец поднятия а с началом р. В силу единственности поднятия,
rp - взаимно однозначное соответствие, как утверждалось.
Отсюда следует, что «число» точек п:-1 (р), рЕ В, не зависит от р,
когда В линейно связано. Если это число конечно, оно называется числом
листов накрытия. Если п:-1 (р) не является конечным множеством, мы го­
ворим, что накрытие бесконечно. 1 и 2 суть примеры бесконечных на­
крытий. Заметим, что, когда В компактно, накрытие всегда конечно.
Пример 4. Пусть
S1 ={(х,у)Е R 2; x=cost,y=sint,tE R}
-
единичная окружность; определим отображение п:: S 1
--7S
1
, полагая
n:(cost, sint) =(coskt, sin kt),
где k - положительное число и t Е R. По теореме об обратной функции,
п: есть локальный диффеоморфизм и, следовательно, локальный гомеомор­
физм. Так как S 1 компактна, можно применить предложение 1. Таким об­
разом, 71:: S
1
--7S
1
есть накрывающее отображение.
Геометрически п: навёртывает первую окружность S1 k раз на вто­
рую окружность S 1
.
Заметьте, что прообраз точки р Е S 1 содержит
точно k точек. Таким образом, п: есть k-листное накрытие S 1
.
Для исследования вопроса 2 нам нужно также уточнить некоторые ин­
туитивные понятия, которые возникают в следующих рассуждениях. Что­
бы накрывающее отображение л: : В --7 В бьшо гомеоморфизмом, до­
статочно, чтобы оно было взаимно однозначным. Поэтому мы должны
найти условие, которое гарантирует, что когда две точки р1 , р2 множе-
ства В проецируются отображением л: в одну и ту же точку
множества В, то р1 = р2 • Мы будем предполагать В линейно связным
и проецировать дугу а в В, которая соединяет р1 с р2 , на замкнутую ду­
гу а в В, которая соединяет р с р (см. рис. 5.26). Если В не имеет «дыр»
(в смысле, который будет уточнён), можно «деформировать а непрерывно

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
451
в точку р>>. Это означает, что существует семейство дуг af' непрерывно
зависящее от t, t Е [О, I], где а0 =а, и а1 - постоянная дуга р.
Поскольку а есть поднятие а, естественно ожидать, что дуги а1 также
можно поднять в семейство af' непрерывно зависящее от t, tE [О, 1],
с Zio =а. Отсюда следует, ЧТО а1 является поднятием постоянной дуги р
и, следовательно, сводится к единственной точке. С другой стороны, а1
соединяет р1 с р2 , и потому мы заключаем, что р 1 = р2 •
ji,
р
ji,
Рисунок 5.26
Чтобы сделать строгими предыдущие эвристические соображения, мы
должны определить «непрерывное семейство дуг, связывающее две дан­
ные дуги», и показать, что такое семейство может быть «поднято».
Определение2. Пусть ВсR3 и а0:[О,l]--* В, а1:[О,l]--* В - две
дуги в В, соединяющие точки
р = Q\:1(0) = а1(О) и q = Q\:i(l) = a1(l).
Мы говорим, что а0 и а1 гомотопны, если существует такое непре­
рывное отображение Н: [О, /]х[О, 1]--* В, что
1. H(s;O)=a0 (s), H(s,l)=a1(s), sE[O,l].
2. Н(О,t)=р, H(l,t)=q, tE[О,1].
Отображение Н называется гомотопией между а0 и а1 •
Для любого tE [О, 1] дуга а1 : [О,/]--* В, заданная равенством a1(s) =
= H(s,t), называется дугой гомотопии Н. Следовательно, гомотопия есть
семейство дуг а1 , tE [О, 1], которое осуществляет непрерывную деформа­
цию а0 в а1 (рис. 5.27) таким образом, что концы р и q дуг а1 остаются
фиксированными в процессе этой деформации (условие 2).

452
ГЛАВА5
q
н
о
р
Рисунок 5.27
Понятие поднятия гомотопий совершенно аналогично понятию подня­
тия дуг. Пусть п:: В ~В - непрерывное отображение, и пусть
а0 , а1 : [О,/]~ В - две дуги в В, соединяющие точки р и q. Пусть
Н: [О, /)х[О, 1) ~В - гомотопия между а0 и а1 • Если существует такое
непрерывное отображение
Й: [О, Z)x[O, 1) ~В,
что п: о ii = Н, говорят, что ii есть поднятие гомотопии Н с началом
вЙ(О,О)=рЕВ.
Покажем теперь, что накрывающее отображение обладает свойством
поднятия гомотопий. Фактически мы докажем более общее предложение.
Заметим, что накрывающее отображение п: : В ~ В является локальным
гомеоморфизмом и, кроме того, каждая дуга В может быть поднята
в дугу li. Для доказательства предложений 3, 4 и 5 мы будем использовать
эти два свойства накрывающих отображений, а также, для будущего при­
менения, будем формулировать эти предложения с большей общностью.
Так, мы будем говорить, что непрерывное отображение п: : li ~ В облада­
ет свойством поднятия дуг, когда каждая дуга В может быть поднята. За­
метьте, это означает, что п: отображает В на В.
Предложение 3. Пусть 1'l: В~ В - локшrьный гомеоморфизм, обла­
дающий свойством поднятия дуг. Пусть а0 , а, : [О,/]~ В - две дуги В,
соединяющие точки р и q,
Н: [О, /]х[О, 1] ~В

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕfЩИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
453
-
гомотопия между а0 и а1' и пусть рЕ В - такая точка В, что
л(р) = р. Тогда существует единственное поднятие Й гомотопии Н
с началом в р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство единственности совершенно анало­
гично доказательству в случае поднятия дуг. Пусть Й1 и ii2 - два поднятия
Нс Й1 (О, О)= ii2 (О, О)= р. Тогда множество А таких точек (s, t) Е [О, l] х
х[О,1] =Q, что Й1(s, t) = ii2(s, t), непусто и замкнуто в Q. Так как ii1
и ii2 непрерывны и п: - локальный диффеоморфизм, А открыто в Q.
В силу связности Q А = Q; следовательно, ii1 = ii2 .
Чтобы доказать существование, выберем дугу a 1 (s) = H(s, t) гомото­
пии Н. Определим ii, полагая
ii(s,t)=a,(s), SE[O,l], tE[0,1],
где а1 есть поднятие а1 с началом в р. Ясно, что
7СО ii(s, t) =a1(s) =H(s, t), SE [О, l], tE [О, 1],
Н(О,О)=а0(0)= р.
Докажем теперь, что ii непрерывно. Пусть (s0 , t 0 )E (О, !]х[О, 1]. Так
как п: - локальный диффеоморфизм, существует такая окрестность V точки
H(s0 , t0 ), что ограничение п:0 отображения п: на V есть гомеоморфизм на
окрестность И точки H(s0 , t0 ). Пусть Q0 с н-
1
(U) с [О, l]x[O, 1] - от­
крытый квадрат, заданный неравенствами
s0-8<s<s0+8,t0-8<t<t0+8.
Достаточно показать, что ограничение ii на Q0 можно записать в виде
ii = п:01 о Н, чтобы сделать вывод о непрерывности ii в точке (s0 , t0 ).
Таккак точка (s 0 ,t0 ) произвольна, ii непрерывно на [О,!]х[О,1], что
и требовалось.
Для этого заметим, что
n:0
1
(H(s0 ,t)), tE(t0 -8,t0 +8),
есть поднятие дуги H(s0 , t), проходящей через Й(s0 , t0 ). В силу единст­
венности п:01 (H(s0 , t)) = H(s0 , t). Так как Q0 - квадрат, для каждой точки
(s 1,t1)EQ0 существует дуга H(s,t1) в U,sE(s0 -8,s0 +8), которая пере­
секает дугу H(s0 , t). Поскольку n:0
1
(H(s0 , t1)) = ii(s0 , t1), дуга n:0
1
(H(s, t1))
является поднятием H(s, t 1), проходящим через H(s0 , t 1). В силу единст-

454
ГЛАВА5
-1
~
-1
~
венности :1r0 (H(s,t1))=H(s,t1); следовательно, :1r 0 (H(s1,t1))=H(s1,t1).
-1
~
Из произвольности (s1, t 1)E Q0 заключаем, что :1r0 (H(s, t)) = H(s, t),
(s, t)E Q0 , что завершает доказательство.
D
Следствием предложения 3 является тот факт, что если :1r: В ~ В -
накрывающее отображение, то гомотопные дуги В поднимаются в гомо­
топные дуги В. Это можно сформулировать более общим и точным обра­
зом, как следует ниже.
Предложение 4. Пусть я: В~ В - локальный гомеоморфизм, обла­
дающий свойством поднятия дуг. Пусть а0 , а, : [О, l] ~В - две дуги в В,
соединяющие две точки р и q; выберем такую точку р Е В, что
я(р) == р. Если а0 и а, гомотопны, то поднятия а0 и а, соответственно
дуг а0 и а, с началом р гомотопны.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Н - гомотопия между а0 и а1 , и пусть
Й - её поднятие с началом в р. Докажем, что Й
-
гомотопия между а0
и al (см. рис. 5.28).
В самом деле, в силу единственности поднятия дуг
Й(s,O)=a0 (s), Й(s,1)=iX1 (s), sE[O,/],
что проверяет условие 1 определения 2. Кроме того, Й(О, t) - поднятие
«постоянной» дуги Н(О, t) == р с началом в р. В силу единственности
Й(О,t)==р, tЕ[О,1].
Рисунок 5.28

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
455
Аналогично, Й(l,t) есть поднятие H(l,t)=q с началом в a0 (l)=q;
следовательно,
ii(Z,t)=?J=a1(l), tE[O,IJ.
Таким образом, условие 2 определения 2 проверено, и это показывает,
что Й есть гомотопия между а0 и а1 .
о
Возвращаясь к эвристическим соображениям, которые привели нас
к рассмотрению понятия гомотопии, мы видим, что остаётся ещё объяс­
нить, что понимается под пространством без «дыр». Конечно, мы примем
в качестве определения такого пространства уточнение того свойства, ко­
торое использовалось в эвристических рассуждениях.
Определение 3. Линейно связное множество В с R 3 называется од­
носвязным, если для двух данных точек р, qE В и двух дуг а0 : [О,/]~ В,
а1 : [О,/]~ В, соединяющих р с q, существует гомотопия в В между а0
и а1 • В частности, любая замкнутая дуга а: [О,/]~ В в В (замкнутость
означает, что а(О) =а(!)= р) гомотопна «постоянной» дуге a(s) = р,
s Е [О, l] (в упражнении 5 указывается, что это последнее свойство факти­
чески, равносильно первому).
Интуитивно, линейно связное множество В является односвязным, ес­
ли любая замкнутая дуга в В может быть непрерывно деформирована
в точку. Можно доказать, что плоскость и сфера односвязы, но цилиндр
и тор не являются односвязными (ер. упражнение 5).
Мы можем теперь сформулировать и доказать ответ на вопрос 2 этого
раздела. Это будет следствием следующего предложения.
Предложение 5. Пусть JL: В~ В - локщzьный гомеоморфизм, обла­
дающий свойством поднятия дуг. Пусть В линейно связно, а В односвяз­
но. Тогда JL есть гомеоморфизм.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство, по существу, такое же, как в эври­
стических рассуждениях.
Нам нужно доказать, что л: взаимно однозначно. Для этого выберем
две точки р1 и р2 в В с тс(р1)=л:(р2)=р. Так как В линейно связно, су-
ществует дуга ао в jj' соединяющая Р1 с Р2. Тогда 71: о ао =ао - замкну­
тая дуга В. Так как В односвязно, а0 гомотопна постоянной дуге а1 (s),
s Е [О,!]. По предложению 4, ао гомотопна поднятию а1 дуги al с началом

456
ГЛАВА5
в р. Так как ii1 - постоянная дуга, соединяющая точки р1 и р2 , заключа-
ем,что jj1= jj2.
о
Следствие. Пусть 1l: В -; В - накрывающее отображение, В ли­
нейно связно и В односвязно. Тогда 1l есть гомеоморфизм.
Тот факт, что мы доказали предложения 3, 4 и 5 с большей общно­
стью, чем необходимо, позволит нам дать другой ответ (он изложен ниже)
навопрос 1.
Пусть 7r: В -; В - локальный диффеоморфизм, обладающий свойст-
вом поднятия дуг; предположим, что В и В локально «хорошо устроены»
(будет уточнено). Тогда 7r действительно является накрывающим отобра­
жением.
Требуемые локальные свойства описаны ниже. Напомним, что В с R 3
локально линейно связно, если любая окрестность каждой точки содержит
линейно связную окрестность (определение 12 приложения к главе 5).
Определение 4. В называется локально односвязным, если любая ок­
рестность каждой точки содержит односвязную окрестность.
Другими словами, В локально односвязно, если каждая точка имеет
сколь угодно малые связные окрестности. Ясно, что если В локально од­
носвязно, то В локально линейно связно.
Отметим, что регулярная поверхность S локально односвязна, так как
р Е S имеет сколь угодно малые окрестности, гомеоморфные внутрен-
ности круга в плоскости.
В следующем предложении нам потребуются следующие свойства ло­
кально линейно связного множества В с R 3 (ер. приложение к главе 5,
часть D). Объединение всех линейно связных подмножеств В, которые со­
держат точку р Е В, очевидно, является линейно связным множеством А,
называемым линейно связной компонентой В, содержащей р. Так как В
локально линейно связно, А открыто в В. Таким образом, В можно пред­
ставить как объединение В= u аАа его связных компонент Аа, которые
открыты и попарно не пересекаются.
Заметим также, что регулярная поверхность локально линейно связна.
Таким образом, в нижеследующем предложении условия относительно В
и В выполняются, если и В, и В являются регулярными поверхностями.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
457
Предложение 6. Пусть те: В ~В - локальный гомеоморфизм, обла­
дающий свойством поднятия дуг. Предположим, что В локально одно­
связно и В локально линейно связно. Тогда те - накрывающее ото­
бражение.
Доклзл rnльство. Пусть р Е В и V - односвязная окрестность р
в В. Множество п-- 1 (V) является объединением его линейно связных ком­
понент, то есть
где va - открытые, линейно связные и попарно не пересекающиеся мно­
жества. Рассмотрим ограничение я: Va ~ V. Если мы покажем, что п-
-
гомеоморфизм Va на V, п- будет удовлетворять условиям определения на­
крывающего отображения.
Докажем сначала, что те(Vа) = V . В самом деле, те(Vа) с V. Допустим,
что существует точка рЕ V, p(fc те(Vа). Тогда, поскольку V линейно связ­
но, существует дуга а: [а, Ь] ~ V, соединяющая q Е те(Vа) с р. Поднятие
ii: [а,Ь]~В кривой а с началом в CzE Va, где тe(q)=q, есть дуга в va,
так как Va - линейно связная компонента В. Поэтому
л(ii(b))= рЕ я(Vа),
что является противоречием и показывает, что л(Vа) = V.
Далее заметим, ЧТО Jr: Va ~ V ЯВЛЯеТСЯ ЛОКалЬНЫМ ГОМеоморфизМОМ,
так как Va открыто. Кроме того, по предыдущему, отображение я: Va ~ V
ещё обладает свойством поднятия дуг. Следовательно, выполняются все
условия предложения 5, и потому те есть гомеоморфизм.
О
В. Теоремы Адамара
Вернёмся теперь к вопросу, поставленному в начале этого раздела,
а именно, при каких условиях локальный диффеоморфизм ехр Р : ТР ( S) ~ S,
где р - точка полной поверхности S кривизны К$; О, является глобаль­
ным диффеоморфизмом ТР (S) на S. Следующие предложения, которые
благоприятствуют разбиению данного вопроса на вопросы 1 и 2, дают ре­
шение проблемы.
Нам потребуется следующая лемма.

458
ГЛАВА5
Лемма 1. Пусть S - полная поверхность кривизны К~ О. Тогда
ехр Р: T/S) ~ S, р Е S, является увеличивающим длину отображением
в следующем смысле: если и, wE T/S), то
(Cd expP).(w), (d expP).(w)) ~ (w, w),
где, как обычно, w обозначает вектор в (ТР(S))и, который получается
из w сдвигом на и.
ДОКАЗАТЕльство. В случае и = О равенство очевидно. Таким образом,
выберем v = и/1и1, и=/:. О, и пусть у: [О,!]~ S, l =1 и I, - геодезическая
y(s)=exppsv, sE [О,/].
В силу леммы Гаусса, можно считать, что (w, v) =О. Пусть J(s) =
= s(d ехр p)sv(w) - поле Якоби вдоль у, заданное в лемме 1 раздела 5.5.
Мы знаем, что J(O) =О, (DJ/ ds)(O) == w и (J(s), y'(s)) =О, s Е [О,!].
Заметим теперь, что, поскольку К~ О (ер. уравнение (1) раздела 5.5),
~(J, ~)=(~:, ~:)+(J, ~::)=1~12 -KIJ12~0.
Это означает, что
следовательно,
!!_/ DJ' DJ) = 2(DJ, D
2
J\ =-2К/DJ, J) ~О.
ds\ ds ds
ds ds
2
/
\ds
(1)
Отсюда следует, что
\~:,~:)~(~:(О), ~:(o))=(w,w)=C;
(2)
поэтому
d2 (J,J)=2/DJ, DJ)+2(J,D2J\~2/DJ,DJ)~2С.
(3)
ds
2
\dsds
ds
2
/
\dsds
Интегрируя обе части предыдущего неравенства, получаем
!!_(J, J) ~ 2Cs + (!!_(J, J)J =2Cs + 2/ DJ (О), J(O)) =2Cs.
ds
ds
s~o
\ds

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
459
Повторное интегрирование даёт
(J, J)?. Cs
2
+(J(O), J(O)) = Cs
2
.
Полагая s = Z в предыдущем неравенстве и замечая, что С= (w, w), полу­
чаем
(J(Z), J(l))?. Z
2
(w, w).
Поскольку J(l) = l(d ехр p)zv(w), окончательно делаем вывод, что
((d ехр p)1,,(w), (d exp)zv(w)) ~ (w, w).
о
Для дальнейшего применения удобно сформулировать следующее
следствие предыдущего доказательства.
Следствие (доказательства). Пусть К=О. Тогда ехрР :T/S)--'tS,
р Е S, есть локальная изометрия.
Достаточно заметить, что, если К = О, можно заменить « ~ О» на «=О»
в равенствах (1), (2) и (3) предыдущего доказательства.
Предложение 7. Пусть S - полная поверхность гауссовой кривизны
К~ О. Тогда ехрР: TP(S)--'t S, рЕ S, является накрывающим отображе-
нием.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку мы знаем, что ехр Р является локальным
диффеоморфизмом, достаточно (по предложению 6) показать, что ехр Р
обладает свойством поднятия дуг.
Пусть а.: [О,/]--'t S - дуга на S и vЕ ТР(S) таков, что ехрРv = а.(О).
Такой вектор v существует, поскольку S полна. Так как ехр Р является ло­
кальным диффеоморфизмом, существует такая окрестность И вектора v
в ТР (S), что ехрР, ограниченное на И, есть диффеоморфизм. Используя
ехр~1 для expp(U), можно определить а в окрестности О.
, Пусть теперь А - множество таких t Е [О, l], что а определена на
[O,t]. А непусто, и если определена a(to), ТО а определена вок­
рестности t 0 , то есть А открыто в [О,/]. Как только мы докажем, что А
замкнуто в [О, /], мы получим, в силу связности [О, l], что А =[О, l],
и а. может быть поднята полностью.
Решающий момент доказательства состоит, следовательно, в доказа­
тельстве замкнутости А в [О,/]. Для этого выберем точку накопления

460
ГЛАВА5
t0 Е [О,/) множества А и такую последовательность {tп}, что {tп} ~ t 0 ,
tп Е А, п = 1, 2, .... Докажем сначала, что а(tп) имеет точку накопления.
Допустим, что (i(tn) не имеет точки накопления в TP(S). Тогда для за-
данного круга D в Tp(S) с центром а(О) существует такой номер п0 , что
Щtщ)!I" D. Отсюда следует, что расстояние в Tp(S) от а(О) до Щtп) ста­
новится сколь угодно большим. Так как, по лемме 1, ехр Р : ТР ( S) ~ S уве­
личивает длины векторов, ясно, что внутреннее расстояние на S от а(О)
до а(tп) становится сколь угодно большим. Но это противоречит тому
факту, что внутреннее расстояние от а(О) до a(t0 ) = lim1"~10 a(tn) конечно,
и это доказывает наше утверждение.
Точку накопления а(tп) будем обозначать q.
Пусть теперь V - такая окрестность q в Tp(S), что ограничение
ехрР на V есть диффеоморфизм. Поскольку q - точка накопления
{ii(tп)}, существует такой номер п1 , что а(tп1 )Е V. Кроме того,
поскольку а непрерывна, существует такой интервал /с [О, l], t0 Е /, что
а(!) с ехрР (V) =И. Используя ограничение ехр~1 на И, можно опреде­
лить поднятие а на / с началом в а(tп1 ). Так как ехр Р
-
локальный диф­
феоморфизм, это поднятие совпадает с а на [О, t0 ) n / и, следовательно,
является продолжением а на интервал, содержащий t0 . Таким образом,
множество А замкнуто, и это завершает доказательство предложения 7. О
Замечание 1. Следует заметить, что условие К:<=::: О, налагаемое на
кривизну, было использовано только для гарантии, что ехрР: TP(S) ~ S
есть локальный диффеоморфизм, увеличивающий длину. Поэтому мы
фактически доказали, ЧТО если ер: 81 ~ 8 2 - ЛОКGЛЬНЫЙ диффеоморфизм
полной поверхности S1 на поверхность S2 , увеличивающий длину, то ер -
накрывающее отображение.
Следующее предложение, известное как теорема Адамара, описывает
топологическую структуру полной поверхности кривизны К$ О.
Теорема 1 (Адамар). Пусть S - односвязная полная поверхность га­
уссовой кривизны К$ О. Тогда ехрР: T/S) ~ S, рЕ S, есть диффеомор-
физм, то есть S дифеоморфна плоскости.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
461
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предrюжению 7, ехрР: ТР(8) ~ S
накры-
вающее отображение. По следствию предложения 5, ехр Р есть гомеомор­
физм. Так как ехр Р - локальный диффеоморфизм, его обратное отобра­
жение дифференцируемо, и ехр Р - диффеоморфизм.
О
Теперь мы представим другое геометрическое приложение накрыва­
ющих пространств, известное также как теорема Адамара. Напомним, что
связная, компактная, регулярная поверхность гауссовой кривизны К > О
называется овалоидом (ер. замечание 1 раздела 5.2).
Теорема 2 (Адамар). Пусть S - овшrоид. Тогда гауссово отображе­
ние N: S ~ 5 2 есть диффеоморфизм. В частности, 8 диффеоморфен
сфере.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку в каждой точке рЕ S гауссова кривизна
К = det(dNР) поверхности S положительна, N является локальным диф­
феоморфизмом. По предложению 1, N есть накрывающее отображение.
Так как сфера S 2 односвязна, из следствия предложения 5 заключаем, что
N: S ~ 5 2 есть гомеоморфизм 8 на единичную сферу 5 2
.
ТаккакN-
локальный диффеоморфизм, его обратное отображение дифференцируемо.
Поэтому N есть диффеоморфизм.
О
Замечание 2. Фактически мы доказали нечто большее. Поскольку га­
уссово отображение N является диффеоморфизмом, каждый единичный
вектор v в R 3 появляется точно один раз в качестве нормального
вектора 8. Выбирая плоскость, нормальную к v, вне поверхности и пере­
мещая её параллельно самой себе до встречи с поверхностью, приходим
к выводу, что S лежит по одну сторону каждой из её касательных плоско­
стей. Это выражается высказыванием, что овалоид S является локшrьно
выпуклым. Можно вывести отсюда, что S в действительности является
границей выпуклого множества (то есть такого множества К с R 3
,
что
отрезок прямой, соединяющий любые две точки р, qE К, полностью при­
надлежит К).
Замечание 3. Тот факт, что компактные поверхности с К >О гомео­
морфны сферам, был распространён на компактные поверхности с К :? О
С. С. Черном и Р. Л. Лзшофом ("On the Total Curvature of Immersed Mani-
folds'', Michigan Math. J . 5 (1958), 5-12). Обобщение для полных по­
верхностей бьmо впервые получено Д. Д. Стокером (" Uъer die Gestalt der

462
ГЛАВА5
positiv gekriimnten offenen Flache", Coтpositio Math. 3 (1936), 58-89), ко­
торый доказал среди всего прочего следующее: полная поверхность
с К> О гомеоморфна сфере WIU плоскости. Этот результат ещё сохраняет­
ся в случае К ~ О, если предположить, что в некоторой точке К > О (дока­
зательство и обзор этой проблемы см. в работе М. do Carmo, Е. Lima, "Iso-
metric Immersions with Non-negative Sectional Curvature", Boletiт da Soc.
Bras, Mat. 2 (1971), 9-22).
УПРАЖНЕНИЯ
]. Покажите, ЧТО отображение rc: R ~ S 1 ={(х,у)ЕR 2 ; х 2 +у 2 =1}, за­
данное равенством 1C(t) = (cost, sint), fE R, является накрывающим ото­
бражением.
2. Покажите, что отображение rc : R
2
-
{О, О}, заданное равенством
п{х,у)=(х2 - у
2
, 2.ху), (х,у)Е R 2
,
является двулистным накрывающим отображением.
3. Пусть S - геликоид, образованный нормалями винтовой линии
(cost, sint, bt). Обозначим символом L ось z, и пусть rc: S - L ~ R 2
-
-{0,0} - проекция rc(x,y,z)=(x,y). Покажите, что rc - накрывающее
отображение.
4. Те, кто знаком с функциями комплексной переменной, заметят, что ото­
бражение rc в упражнении 2 есть не что иное, как отображение п-(z) = z
2
из
С-{О}наС -{О};здесьС
-
комплексная плоскость и z Е С. Обобщите
это, доказав, что отображение п-: С - {О} ~С - {О}, заданное равенством
л(z) = z", является п -листным накрывающим отображением.
5. Пусть В с R 3 - линейно связное множество. Покажите, что следую­
щие два свойства эквивалентны (ер. определение 3).
1. Для любой пары точек р, qE В и любой пары дуг а0 : [О,/]~ В
а1 : [О, !] ~В, существует гомотопия в В, связывающая а0 с а1 .
2. Для любой точки р Е В и любой дуги а: [О,/] ~В с а(О) =а(!)= р
(то есть а - замкнутая дуга с началом и концом р) существует гомото­
пия, связывающая а с постоянной дугой a(s) = р, sE [О,/].

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
463
6. Фиксируйте точку р0 Е R 2 и определите семейство отображений
CfJr: R
2
~R2
, t Е (О, 1], полагая CfJr(P) = tp0 +(1-t)p, рЕ R 2
.
Заметьте, что
ср0 (р) = р, ср1 (р) = р0 • Таким образом, CfJr есть непрерывное семейство ото­
бражений, которое начинается тождественным отображением и заканчива­
ется постоянным оображением р0 . Примените эти соображения, чтобы до-
казать односвязность R 2
.
7. а. Используйте стереографическую проекцию и упражнение 6, чтобы
показать, что любая замкнутая дуга на сфере 8 2
, которая не содержит по
крайней мере одной точки 8 2
, гомотопна постоянной дуге.
Ь. Покажите, что любая замкнутая дуга на 8 2 гомотоnна замкнутой
дуге 82
, которая пропускает по крайней мере одну точку.
с. Заключите из частей (а) и (Ь), что 82 односвязна. Почему необходима
часть (Ь)?
8. (Лемма Клингенберга.) Пусть 8 с R 3
-
полная поверхность гауссовой
кривизны К:::; К0 , где К0 - неотрицательная постоянная. Пусть р, qE 8,
и пусть у0 и у1 - две различные геодезические, соединяющие р с q,
с l(y 0 ):::; l(y1); здесь l( ) обозначает длину соответствующей кривой. Пред­
положим, что у0 гомотопна у1 , то есть существует непрерывное семейство
кривых а.Р t Е (О, 1], соединяющих р с q, где а.0 =у0 , а1 =у1 . Цель упраж­
нения - доказать, что существует такое t 0 Е [О, 1], что
2п
l(yo)+l(a.1 )> гv·
о -vKo
(Таким образом, гомотопия должна пройти через «длинную» кривую
(см. рис. 5.29.)) Предположите, что l(y0 ) < п:/.,/К; (в противном случае не­
чего доказывать), и действуйте следующим образом.
а. Испрльзуйте первую теорему сравнения (ер. упражнение 3 раздела 5.5),
чтобы доказать, что ехрР : ТР ( 8) ~ 8 не имеет критических точек в от-
крытом круге В радиуса п://Ко с центром р.
Ь. Покажите, что при малом t можно поднять кривую а1 в касательную
плоскость ТР ( S), то есть существует кривая а1 , соединяющая ехр;1(р) = О
с ехр~1(q)= Zj итакая,что ехрРоа1 =а.1•

464
ГЛАВАS
'Уо
Рисунок 5.29. Лемма Клингенберга
с. Покажите, что поднятие в части (Ь) не может быть определено для всех
tE [О, 1). Заключите, что для любого е >О существует такое t(e), что at(c)
может быть поднята в at(s) и at(s) содержит точки на расстоянии < е от
границы В. Таким образом,
l(y0 )+l(a1(s))?. ;; - -2t:.
- vKo
d. Выберите в части (с) последовательность {еп}--? О значений е и рас­
смотрите сходящуюся подпоследовательность {t(еп)}. Выведите отсюда
существование такой кривой а10 , t0 Е [О, 1), что
l(y0 )+l(a1 ) ?. ;;_.
о -vKo
9. а. Используйте лемму Клингенберга, чтобы доказать, что если S -
полная односвязная поверхность с К ~О, то отбражение ехр Р : ТР (S) --? S
взаимно однозначно.
Ь. Используйте часть (а), чтобы дать простое доказательство теоремы
Адамара (теорема 1).
10*. (Лемма Синга.) Напомним, что дифференцируемая замкнутая кривая на
поверхности S есть такое дифференцируемое отображение а: [О,!]--? S,
что а и все его производные совпадают в О и l. Две дифференцируемые
замкнутые кривые а0 , а1 : [О,/]--? S называются свободно гомотопными,
если существует такое непрерывное отображение Н: [О, /)х[О, 1)-? S,

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
465
чтоН(s,О)=а0 (s), H(s,1)=a1(s), sE[O,l]. Отображение Н называется
свободной гомотопией (концы не фиксированы) между а0 и а1 • Предпо­
ложите, что S ориентируема и имеет положительную гауссову кривизну.
Докажите, что любая простая замкнутая геодезическая на S свободно го­
мотопна замкнутой кривой меньшей длины.
11. Пусть S - полная поверхность. Точка рЕ S называется полюсом, ес­
ли каждая геодезическая у: [О, =) ~ S с у(О) = р не содержит точки, со­
пряжённой р относительно у. Используйте технику леммы Клингенберга
(упражнение 8), чтобы доказать, что если S односвязна и имеет полюс р,
то ехр Р: TP(S) ~ S есть диффеоморфизм.
5.7 . Глобальные теоремы о кривых.
Теорема Фари-Милнора
В этом разделе будут приведены некоторые глобальные теоремы
о замкнутых кривых. Основным инструментом, здесь используемым, явля­
ется теория степени непрерывных отображений окружности. Чтобы ввести
понятие степени, мы будем использовать некоторые свойства накрываю­
щих отображений, изложенные в разделе 5.6.
Пусть S 1
={(x,y)ER2
;х
2
+у 2 =1} и n:R~S 1 - накрывающее
отображение вещественной прямой на S 1
, заданное равенством
n(x)=(cosx,sinx), хЕ R.
Пусть (/): S
1
~S1
-
непрерывное отображение. Степень (/) определя­
ется следующим образом. Мы можем представлять первую S 1 при ото­
бражении (/): S
1
~ S 1 как замкнутый промежуток с отождествлёнными
концами О и l . Следовательно, (/) можно представлять как непрерывное
отображение(/): [O,l]~S 1 с (jJ(O)=(jJ(l)=pE S 1
.
Таким образом, (/)есть
замкнутая в р дуга на S 1
, которая, по предложению 2 раздела 5.6, может
быть поднята в единственную дугу q;: [О,/]~ R, выходящую из точки
xER с п(х)=р. Так как ir(qi(O))=ir(qi(l)), разность qi(l)-qi(O) есть целое
число, умноженное нa2ir. Целое число degrp, заданное равенством
(ii(Z)-qi(O) = (degrp)2ir,
называется степенью rp.

466
ГЛАВА5
Интуитивно deg rp представляет собой число раз, которое отображение
rp: [О,/]~ S 1 «0бёртывает» S 1 отрезком [О,/] (рис. 5.30). Заметим, что
функция (ji: [О,!]~ R является непрерывной мерой положительного угла,
который фиксированный вектор rp(O) - О образует с rp(t)- О, t Е [О,/],
О= (О, О); например, отображение ir: S
1
~ S 1, описанное в примере 4 раз­
дела 5.6, часть А, имеет степень k.
R
47Г
о
х= </5(0)
!~
о
Рисунок 5.30
Мы должны показать, что определение степени не зависит от вы­
бора р их.
Во-первых, degrp не зависит от выбора х. В самом деле, пусть
х1 >х - такая точка R, что ir(x1)= р, и пусть (ji1(t)=iiJ(t)+(x1 -х),
t Е [О,/]. Так как х1 - х есть целое число, умноженное на 2ir, q51 есть под­
нятие rp с началом в х1 • В силу единственности в предложении 2 разде­
ла 5.6 (jJ1 есть единствеююе поднятие rp с началом в х1 . Так как
(/i1 (l)-iP1 (О)== (ji(l)-(ji(O) = (degrp)2ir,
степень rp - одна и та же, вычислена она для х или х1 .
Во-вторых, degrp не зависит от выбора рЕ S 1
.
Действительно, каждая
Sl
v
точка р1 Е , кроме диаметрально противоположнои точки р, принадле-
жит отмеченной окрестности И1 точки р. Выберем х1 в связной компо­
ненте ir-1(U1 ), содержащей х, так, что ir(x1) = р1 , и пусть iP1 ~поднятие
с началом в х1 . Очевидно, 1 ip1 (0)-ip(O)1< 2ir. Из последовательности ша­
гов, посредством которой строится поднятие (ер. доказательство предло­
жения 2 раздела 5.6), следует, что 1 ip1(0)-ip(O)1< 2ir. Так как обе разности

_________
ГЛ_О_Б_АЛ__ ЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
467
'iji(l)-'iji(O), 'iji1(Z)-'iji1(О) должны быть целыми числами, умноженными
на 2л:, их значения на самом деле равны. В силу непрерывности вывод ве­
рен также для диаметрально противоположной точки р, и это доказывает
наше утверждение.
Наиболее важным свойством степени является её инвариантность отно-
сительно гомотопии. Более точно, пусть rp1, rp2 : S
1
~S1
-
непрерывные
отображения. Фиксируем точку р Е S 1
, получая таким образом две замкну­
тыевр дугиrp1,rp2 :[О,l]~S1
,
rp1(0) = rp2(0) = р. Если rp1 и rp2 гомотопны,
то deg rp1 = deg rp2 . Это непосредственно следует из того факта, что (предло­
жение 4 раздела 5.6) поднятия rp1 и rp2 с началом в фиксированной точке
х Е R гомотопны и, следовательно, имеют одни и те же концы.
Следует заметить, что, если tp: [О, l] ~ S 1 дифференцируемо, оно оп­
ределяет дифференцируемые функции а= a(t), Ь = b(t), заданные равенст­
вом rp(t) = ( a(t), b(t)), которые удовлетворяют условию а
2
+Ь2
= 1.Втаком
случае, поднятие (jf с началом в 'ifio = х в точности совпадает с дифферен­
цируемой функцией (ер. лемму 1 раздела 4.4)
'iji(t) = 'ifio + f~(аЬ'- Ьа') dt.
Это следует из единственности поднятия и того факта, что cosqi(t) = a(t),
sin 'iji(t) = b(t), qi(O) = q50 . Таким образом, в случае дифференцируемости
степень rp можно представить в виде интеграла
1ildW
degrp = -
-"' dt.
271: о dt
В таком виде понятие степени появилось в этой книге повторно. На­
пример,когдаv: ИсR2~R2
,
И::JS
1
, есть векторное поле и (О, О) - его
единственная особая точка, индекс v в точке (О, О) (ер. приложение 5 раз­
дела 4.5) можно истолковать как степень отображения rp: S
1
~S 1 , задан-
ного равенством tp(p) = v(p)/I v(p) 1, РЕ S 1
.
Прежде чем перейти к дальнейшим примерам, напомним, что замкну­
тая (дифференцируемая) кривая есть такое дифференцируемое отображе-
ниеа:[О,/]~R3 (илиR2
, если кривая плоская), что компоненты а вме­
сте со всеми их производными совпадают в О и /. Кривая а регулярна, ес­
ли a'(t) =F О для любого t Е [О,!], и а простая, если для любых t1 =F t2 ,
t1, t2 Е [О,!), a(t1) =F a(t2 ). Иногда удобно предполагать, что а просто не­
прерывна; в этом случае мы будем высказываться чётко, что а есть непре­
рывная замкнутая кривая.

468
ГЛАВА5
Пример 1 (число витков кривой). Пусть а: [О, /]---7 R 2
-
плоская, не­
прерывная, замкнутая кривая. Выберем точку р0 Е R 2
, р0 !i" а([О, /]),
и пусть (fJ: [О,/] ---7 S
1
задано равенством
() a(t)- Ро
[О!]
(/Jt=
,
/Е,
.
[a(t)- Ро \
Очевидно, qJ(O) = qJ(l), и (fJ можно представлять как отображение S 1 в S 1
;
оно называется позиционным отображением а относительно р0 .
Степень (/J называется числом витков (или индексом) кривой а относи­
тельно р0 (рис. 5.31).
Заметим, что при перемещении р0 вдоль дуги р , которая не пересе­
кает а([О, l]), число витков остаётся неизменным. Действительно, позици­
онное отображение а относительно любых двух точек fЗ можно, очевид­
но, связать гомотопией. Отсюда следует, что число витков а относитель­
но q постоянно, когда q пробегает связную компоненту R 2
-
а([О, /]).
а(/)- Ро
1 a(t)- р,
Рисунок 5.31
Пример 2 (индекс вращения кривой). Пусть а: [О, l] ---7 R 2
-
регуляр­
ная, плоская, замкнутая кривая, и пусть qJ: [О, /)---7 S
1
задано равенством
a'(t)
({J(t) = 1a'(t)1' t Е [О,/].
Очевидно, qJ дифференцируемо и qJ(O) = qJ(/). qJ называется касательным
отображением а, а степень qJ - индексом вращения а. Интуитивно, ин­
декс вращения замкнутой кривой равен числу полных оборотов касатель­
ного векторного поля вдоль кривой (рис. 1.27 раздела 1.7).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
469
Можно обобщить понятие индекса вращения на кусочно регулярные
кривые, используя углы в вершинах (см. раздел 4.5), и доказать, что индекс
вращения простой, замкнутой, кусочно регулярной кривой равен ± 1 (тео­
рема о повороте касательных). Этот факт используется в доказательстве
теоремы Гаусса-Бонне. Позже в этом разделе мы докажем вариант теоре­
мы о повороте касательных для случая дифференцируемых кривых.
Нашей первой глобальной теоремой будет вариант так называемой
теоремы о жордановой кривой для случая дифференцируемости. В доказа­
тельстве предполагается некоторое знакомство с материалом раздела 2.7.
Теорема l (теорема о дифференцируемой жордановой кривой).
Пустьа:[О,!]-tR
2
-
rиrоская, регулярная, замкнутая, простая кривая.
Тогда R 2
-
а([О, !]) имеет точно две связные компоненты и а([О, !])-
их общая граница.
докАЗАТЕльство. Пусть Nc(a) - трубчатая окрестность а([О, !]). Она
строится тем же способом, который использовался для построения трубчатой
окрестности компактной поверхности (ер. раздел 2.7). Напомним, что N0 (a)
есть объединение открытых нормальных отрезков Jc(t) длины 2е с середи­
ной в a(t). Очевидно, Nc(a)-a([O, /]) имеет две связные компоненты Т~
и Т2 . Обозначим w(p) число витков а относительно р Е R 2
-
а([О, !]). Ре­
шающий момент доказательства - показать, что если р 1 и р2 принадлежат
различным связным компонентам Nc(a)-a([O,l]) и одному lc(t0 ),
t0 Е [О,/], то w(p1) - w(p2 ) = ±1, где знак зависит от ориентации а.
Выберем точки А= a(t1), D = a(t2), t1 < t0 < t2, настолько близко к t0,
что дугу AD кривой а можно деформировать гомотопно в ломаную
ABCD на рисунке 5.32. Здесь ВС- отрезок касательной в точке a(t),
а ВА и CD параллельны нормали в точке a(t0 ).
Обозначим fJ : [О, l] -t R
2
кривую, полученную из а заменой дуги
AD ломаной ABCD, и пусть /J(O) = fJ([) =А, fJ(t 3 ) = D. Очевидно, w(p1)
и w(p2) остаются неизменными.
Пусть ср1,ср2:[О,l]-tS
1
-
позиционные отображения fJ относитель­
но р1 , р2 соответственно (ер. пример 1), и пусть 'ip1, 'ip2 : [O,l] -t R - их
поднятия с началом в произвольной точке, скажем, ОЕ R. )J;Jiя удобства
будем считать, что ориентация fJ задана как на рисунке 5.32.

470
ГЛАВА5
Во-первых, заметим, что если tE [t3 , [] , то расстояния от a(t) до обеих
точек р 1 и р2 остаются ограниченными снизу числом, не зависящим от t,
а именно наименьшим из двух чисел dist(p1, Bd Nc(a)) и dist(p2 , Bd N 8 (a)).
Отсюда следует, что угол, образуемый a(t)- р1 с a(t)- р2 , равномерно
стремится к нулю на [t3 , l], когда р1 неограниченно приближается к р2 •
р,
р,
Рисунок 5.32
Трубчатая
окрестность
) Ориенгация плоскости
Далее, можно, очевидно, выбрать точки р1 и р2 настолько близкими
друг другу, что ip1 (t3 )-ip1 (0)=п--e1 и ip2 (t3 )-ip2 (0)=-(п-+e2 ) с е1 и t:2 ,
меньшими п-/3. Кроме того,
2п-(w(р1 )- w(p2 )) = ('ip1(l)-'iji1(O))-('iji2 (l)-'iji2 (О))=
={('ifi1 -'ifi2)(l)-('ifi1 -'ifi2)(t3)}+
+ {('ifi1 - 'ifi2 )(tз )- ('ifi1 -'ifi2 )(О)}·

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
471
По предыдущему замечанию, первое слагаемое может сделано сколь угод­
но малым, скажем равным с:3 < n:/3, если р1 достаточно близка к р2 • Та­
ким образом,
2n:(w(p1 )- w(p2 )) = с:3 + n:-c:1 -( -n: -c:2 ) = 27r+ в,
где с:< n:, если р1 достаточно близка к р2 • Отсюда следует, чтоw(р1 )­
-
w(p2 ) = 1, как мы утверждали.
Теперь легко завершить доказательство. Поскольку w(p) постоянно
в каждой связной компоненте R 2
-
а([О, /]) = W, из предыдущего следует,
что в W существуют по крайней мере две компоненты. Покажем, что та­
ких компонент точно две.
В самом деле, пусть С - связная компонента W. Очевидно, Bd С -:f. ф
и Bd С с а([О, /]). С другой стороны, если р Е а([О, /]), существует окрест­
ность р, которая содержит только точки а([О, /]), точки 7] и точки Т2 (Т1
и Т2 - связные компоненты Ne(a)-a([O, /])). Таким образом, либо Т1 ,
либо Т2 пересекается с С. Так как С - связная компонента, С ::::J 7] или
С ::::J Т2 . Поэтому существуют по крайней мере две (следовательно, точно
две) связные компоненты W. Обозначим их С1 и С2 . Рассуждения показы­
ваюттакже,что BdС1 =а([О,/])= BdС2•
О
Две связные компоненты, заданные в теореме 1, можно легко разли­
чить. Начнём с наблюдения, что если р0 лежит вне замкнутого круга, со-
держащего а([О, /]) (поскольку множество [О, /] компактно, такой круг
существует), то число витков а относительно р0 равно нулю. Это исходит
из того факта, что прямые, соединяющие р0 с a(t), t Е [О,/], находятся все
внутри области, содержащей D и ограниченной двумя касательными к ок­
ружности Bd D, проведёнными из р0 . Таким образом, связная компонента
с числом витков, равным нулю, неограничена и содержит все точки вне
некоторого круга. Очевидно, оставшаяся связная компонента имеет число
витков ± 1 и ограничена. Обычно их называют соответственно внешно­
стью и внутренностью а.
Замечание 1. Полезным дополнением к предыдущей теореме, которое
было использовано в приложениях теоремы Гаусса-Бонне (раздел 4.5), яв­
ляетсЯ тот факт, что внутренность а гомеоморфна открытому кругу. Дока­
зательство этого можно найти в книге J. J . Stoker, Differential Geometry, Wi-
ley-Interscience, New York, 1969, рр. 43--45.
Теперь мы докажем вариант теоремы о повороте касательных для слу­
чая дифференцируемости.

472
ГЛАВА5
Теорема 2. Пусть fJ: [О,/]~ R 3
-
плоская, регулярная, простая,
замкнутая кривая. Тогда индекс вращения fJ равен ± 1 (в зависимости от
ориентации fJ ).
ДоклзлтЕЛьство. Рассмотрим прямую, которая не пересекает кривую,
и будем перемещать её параллельно самой себе, пока она не станет каса­
тельной к кривой. Обозначим Z это положение прямой и р - точку каса­
ния кривой с /. Очевидно, кривая полностью лежит по одну сторону Z
(рис. 5.33). Выберем новую параметризацию кривой а: [О,/]-~ R 2 так, что
а(О) = р. Пусть теперь
T={(t1,t2 )E [0,/]х[О,/]; O~t1 ~t2 ~/}
-
треугольник, и определим «секущее отображение» lfl: Т ~ S 1
, полагая
a(t2 )-a(t1 )
lfl{t1,t2)=
для t1 -.:F-tz, (t1,t2 )E Т-{(0,/)},
1a(t2 )-a(t1)1
(t t) = a'(t)
(Оl =- а'(О)
lfl '
la'(t)i' lfl
' ) la'(O)I.
Так как а регулярна, lfl, легко видеть, непрерывно. Пусть А =(О, О),
В= (О,/), С=(/,/) - вершины треугольника Т. Заметим, что lfl, ограничен­
ное на сторону АС, есть касательное отображение а, степень которого равна
индексу вращения а. Очевидно (рис. 5.33), касательное отображение гомо­
топно ограничению lfl на остальные стороны АВ и ВС. Таким образом, нам
осталось доказать, что степень последнего отображения равна ± 1.
А= (О, О)
Рисунок 5.33

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
473
Предположим, что ориентации плоскости и кривой таковы, что ориен­
тированный угол от а'(О) до -а'(О) равен 7С. Тогда ограничение '11 на АВ
покрывает половину S 1 в положительном направлении, а ограничение '11
на ВС покрывает оставшуюся половину также в положительном направ­
лении (рис. 5.33). Таким образом, степень l/f, ограниченного на АВ и ВС,
равна + 1. Изменяя ориентацию на противоположную, получим для этой
степени - 1, и это завершает доказательство.
О
Теорему о повороте касательных можно использовать для описания
важного класса кривых, а именно выпуклых кривых.
Плоская, регулярная, замкнутая кривая а: [О,/]~ R 2 называется вы­
пуклой, если для любого t Е [О,/] кривая лежит в одной из замкнутых по­
луплоскостей, определяемых касательной в точке t (рис. 5.34; ер. также
раздел 1. 7). Если а
-
простая кривая, выпуклость можно выразить в тер­
минах кривизны. Напомним, что для плоских кривых под кривизной все­
гда подразумевается кривизна, снабжённая знаком (замечание 1 разде­
ла 1.5).
(а)
Плоская кривая
(Ь)
Рисунок 5.34
(с)
НеIШоские кривые
Предложение 1. Плоская, регулярная, замкнутая кривая является вы­
пуклой тогда и только тогда, когда её кривизна k не меняет знака.
докАзАтвльство. Пусть ер: [О,!]~ S 1
-
касательное отображение а
и q;: [О,/]~ R - поднятие ер с началом в ОЕ R. Заметим сначала, что ус­
ловие, что k не меняет знака, равносильно условию монотонности q;
(не убывает, если k ;::: О, или не возрастает, если k :<;;О).

474
ГЛАВА5
Предположим теперь, что а - простая и k не меняет знака. Мы мо­
жем ориентировать плоскость кривой так, что k ~О. Допустим, что а
не является выпуклой. Тогда существует такое t0 Е [О, /], что можно найти
точки а([О, /]) по обе стороны касательной Т в точке a(t0 ). Пусть
п = n(t0 ) - нормальный вектор в t0 и
hn(t) = (a(t)-a(t0), п), tE [О,/].
Так как множество [О,!] компактно и по обе стороны Т содержатся точки
кривой, «функция высот» hn имеет максимум при t1 * t0 и минимум при
t2 * t0 . Касательные векторы в точках t0 , t1, t2 все коллинеарны, так что
два из них, скажем a'(t0 ), a'(t1), сонаправлены. Отсюда следует, что
97(t0 )=97(t1) и, по теореме 2 (а - простая), ifi(t0 )=ifi(t1). Предположим,
что t1 > t0 • По предыдущему замечанию, q; - неубывающая функция и,
следовательно, постоянна на [t 0 , t 1]. Это означает, что a([t0 , t1]) с Т.
Но это противоречит выбору Т и показывает, что а выпукла.
Обратно, предположим, что а выпукла. Мы оставим в качестве уп­
ражнения доказательство того, что если а не является простой, то в точке
самопересечения (рис. 5.35, а) или вблизи неё (рис. 5.35, Ь) условие выпук­
лости нарушается. Таким образом, а проста.
(а)
(Ь)
Рисунок 5.35
Предположим теперь, что а выпукла и k меняет знак на [О, !]. Тогда
существуют точки t1, 12 Е [О,!], 11 < 12 , где qi(t 1) = ql(t 2 ) и ql не постоянна
нa[t1 ,t2 ].
Покажем, что это ведёт к противоречию, тем самым завершая доказа­
тельство. По теореме 2, существует такое t3 Е [О,/), что 97(t 3 ) = -91(t1).
В силу непрерывности две из трёх параллельных касательных в точках
a(t1), a(t2 ), a(t3 ) должны совпадать. Предположим, что это будет в точках

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
475
a(t1) =р, a(t3 ) =q, t3 > t1• Мы утверждаем, что дуга а между р и q явля­
ется прямолинейным отрезком pq.
В самом деле, пусть r 7:- q
-
последняя точка, для которой эта дуга
является прямолинейным отрезком ( r может совпадать с р ). Поскольку
кривая лежит по одну сторону прямой pq, легко видеть, что некоторая ка­
сательная Т вблизи р пересечёт отрезок pq во внутренней точке
(рис. 5.36). Тогда р и q лежат по разные стороны Т. Это является проти­
воречием и доказывает наше утверждение.
Отсюда следует, что совпадающие касательные имеют одно и то же
направление, то есть они действительно являются касательными в точках
a(t1) и a(t2 ). Таким образом, 'ij постоянна на [t1, t2 ], и это противоречие
доказывает, что k не меняет знака на [О,!].
о
т
р
r
q
Рисунок 5.36
Замечание 2. Условие, что а
-
простая кривая, существенно для
предложения, как показывает пример кривой на рисунке 5.34, с.
Замечание 3. Предложение следует сравнить с замечаниями 2 и 3 раз­
дела 5.6; там утверждается, что аналогичная ситуация имеет место для по­
верхностей. Следует заметить, что в случае поверхностей отсутствие само­
пересечений является не предположением, а следствием.
Замечание 4. Можно доказать, что плоская, регулярная, замкнутая
кривая является выпуклой тогда и только тогда, когда её внутренность есть
выпуклое множество К с R 2 (ер. упражнение 4).
Обратим теперь наше внимание на пространственные кривые. Под
словом кривая будем понимать параметризованную регулярную кривую

476
ГЛАВА5
а: [О,/] ~ R 3 с длиной дуги s в качестве параметра. Если а - плоская
кривая, кривизна k(s) есть снабжённая знаком кривизна а (ер. раздел 1.5);
в противном случае k(s) предполагается положительной для всех sE [О,/].
Удобно называть
f~lk(s)IШ
полной кривизной а.
Возможно, наиболее известной теоремой о пространственных кривых
является так называемая теорема Фенхеля.
Теорема 3 (теорема Фенхеля). Полная кривизна простой замкнутой
кривой ;;::: 2ж, и равенство выполняется тогда и только тогда, когда кри­
вая является !Vlоской и выпуююй.
Прежде чем перейти к доказательству, введём вспомогательную по­
верхность, которая полезна также для доказательства теоремы 4.
Трубка радиуса r вокруг кривой а есть параметризованная поверх­
ность
x(s,v)=a(s)+r(пcosv+bsinv), sE [О,/], vE [О,2ж],
где п = n(s) и Ь = b(s) - нормальный и бинормальный вектор а соответ­
ственно. Легко проверить, что
lxs лхv \=EG-F
2
=r
2
(1-rkcosv)
2
.
Мы предполагаем r настолько малым, что rk0 <1, где k0 <max1 k(s) /,
sE [О,/]. Тогда х регулярна и непосредственное вычисление даёт
N = -(ncosv+ bsin v),
Х 5 лхv =r(l-rkcosv)N,
Ns лNv =kcosv(ncosv+bsinv)=-kNcosv=
kcosv
=
XvЛХ5•
r(l- rkcosv)
Отсюда следует, что гауссова кривизна К= K(s, v) трубки находится по
формуле
K(s, v)=-
kcosv
r(l- rk cos v)
Заметим, что след Т параметризации х может иметь самопересече­
ния. Однако, если а - простая кривая, можно выбрать r настолько ма­
лым, что этого не случится; мы используем компактность [О,/] и действу-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
477
ем как в случае трубчатой поверхности, построенной в разделе 2.7 . Если,
дополнительно, а замкнута, Т есть регулярная поверхность, гомеоморф­
ная тору, также называемая трубкой вокруг а. Ниже предполагается
именно этот случай.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ 3. Пусть Т- трубка вокруг а, и пусть
R с Т- область Т, где кривизна Т неотрицательна. С одной стороны,
ffRКda = ffRК~EG- F
2
dsdv=
=-r
1
kds f
3
"
12
cosvdv=2r
1
k(s)ds.
lo )д/2
lo
С другой стороны, каждый луч L, выходящий из начала R 3
, по край­
ней мере однажды оказывается нормальным к R. Это следует из того, что
если мы берём плоскость Р, перпендикулярную L, такую, что Р п Т = ф,
и перемещаем Р параллельно самой себе в сторону Т (рис. 5.37), она пе­
ресечёт Т первый раз в точке К ;:::.: О.
Рисунок 5.37
Отсюда следует, что гауссово отображение N области R полностью
покрывает единичную сферу по крайней мере один раз; поэтому
JfR К da :2': 4п-. Следовательно, полная кривизна а больше или равна 2л
и мы доказали первую часть теоремы 3.

478
ГЛАВА5
Заметим, что гауссово отображение N, ограниченное на каждую ок­
ружность s = const, взаимно однозначно и её образ - большая окружность
Г5сS2
.
Будем обозначать г: с Г5 замкнутую полуокружность, соответ­
ствующую точкам, где К~ О.
Предположим, что а - плоская выпуклая кривая. Тогда все г: име­
ютодниитежеконцыр,qи,всилувыпуклости,Г51nГ52={р}u{q}для
s1 * s2 , s1, s2 Е [О,!). Из первой части теоремы следует, что JfR К da = 4п;
следовательно, полная кривизна а равна 2п.
Предположим теперь, что полная кривизна а равна 2п. По первой
части теоремы, JfR К da = 4п. Мы утверждаем, что все г: имеют одни и те
же концы р и q. В противном случае существуют две различные большие
окружности Г51 , Г52 , где s 1 сколь угодно близко к s 2 , которые пересека­
ются в двух диаметрально противоположных точках, не принадлежащих
N(R n Q), где Q- множество точек Т с неположительной кривизной.
Отсюда следует, что существуют две точки с положительной кривизной,
которые N отображает в единственную точку S 2
.
Поскольку N - ло­
кальный диффеоморфизм в таких точках и каждая точка S 2 является обра­
зом по крайней мере одной точки R, заключаем, что fJR К da > 4п, что яв-
ляется противоречием.
Замечая, что точки с нулевой гауссовой кривизной в Т являются точ­
ками пересечения бинормалей а с Т, мы видим, что бинормальный век­
тор а параллелен прямой pq. Таким образом, а лежит в нормальной
плоскости этой прямой.
Докажем, наконец, что а выпукла. Мы можем предположить, что а
так ориентирована, что её индекс вращения положителен. Так как полная
кривизна а равна 2п,
2п=f~ 1k 1ds ~f~ kds.
С другой стороны,
JJ k ds;:::.: 2п,
где J={sE [O,l]; k(s)~O}. Это выполняется для любой плоской замкну­
той кривой и следует из рассуждений, совершенно аналогичных тем, кото­
рые применялись к R с Т в начале этого доказательства. Таким образом,
f~kds = f~1k 1ds = 2п.
Следовательно, k;:::.: О и а - плоская регулярная кривая.
о

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
479
Замечание 5. Нетрудно видеть, что доказательство проходит, даже ес­
ли а не является простой. Трубка будет тогда иметь самопересечения, но
это неважно для рассуждений. Следует заметить, что на последнем шаге
доказательства (выпуклость а) мы фактически доказали, что а имеет не­
отрицательную кривизну и что её индекс вращения равен 1. Возвращаясь
к первой части доказательства предложения 1, легко видеть, что это озна­
чает выпуклость а.
Мы хотим применить предыдущий метод доказательства теоремы
Фенхеля, чтобы получить уточнение этой теоремы, которое утверждает,
что если пространственная кривая является заузленной (понятие сейчас
будет определено), то полная кривизна больше или равна 4ir.
Простая замкнутая непрерывная кривая С с R 3 называется незаузлен­
ной, если существует гомотопия Н: R 3 х/ ~ R 3
,
1=[О,1], такая, что
H(S1
x{O})=S
1
,
H(S1
x{l})=C
и при каждом t Е 1 отображение Ht, определенное соотношением
Н,(р) = H(p,t), рЕ R 3
, является гомеоморфизмом R 3 на себя. Интуитив­
но это означает, что С можно непрерывно деформировать в окруж­
ность S 1 так, что все промежуточные положения С вместе с объемлющим
ее пространством гомеоморфны окружности S 1
, вме сте
с ее объемлющим
пространством. Такая гомотопия называется объемлющей изотопией.
В противном случае, С называется заузленной (рис. 5.38).
ЗаузлеIПiая
Рисунок 5.38

480
ГЛАВА5
Теорема 4 (Фари-Милнор). Полная кривизна заузленной, простой,
замкнутой кривой больше WlИ равна 4п-.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть с = а([О, /]), т - трубка вокруг а' и пусть
RсТ-область Т, где К~О. Пусть Ь=Ь(s)-бинормальныйвектор а
и vER3 - единичный вектор, v*-b(s) для любого sE[O,/]. Пусть
h,, : [О, l] ~ R- функция высот а в направлении v, то есть
h,,(s) = (a(s)-0, v), s Е [О,/]. Очевидно, s является критической точкой hv
тогда и только тогда, когда v ортогонален касательной a(s). Кроме того,
в критической точке
d(d2a)
-
2
(h,,)= -
2
,v =k(n,v)*-0,
ds
ds
так как v * b(s) для любого s и k >О. Таким образом, критические
точки h,, являются точками максимума или минимума.
Предположим теперь, что полная кривизна а меньше 4п-. Это означа­
ет, что
Мы утверждаем, что для некоторого v0 е Ь([О, /]) h,,
0
имеет точно две кри­
тические точки (так как множество [О,/] компактно, такие точки соответ­
ствуют максимуму и минимуму Jz,,
0
). Допустим, что это не так. Тогда для
каждого ve Ь([О, /]) h,, имеет по крайней мере три критические точки. Бу­
дем считать, что две из них, s 1 и s2 , являются точками минимума; случай
максимума исследуется аналогично.
Рассмотрим плоскость Р, перпендикулярную v, такую, что Р п Т = rp,
и будем перемещать её параллельно самой себе в сторону Т. Либо
h,,(s1)=hv(s2 ), либо, скажем, h,,(s1)<h,,(s2 ). В первом случае Р пересека­
ет Т в точках q1 *-q2 и, поскольку ve Ь([О,/]), K(q1) и K(q2 ) положи­
тельны. Во втором случае, прежде чем пройти через a(s1), Р пересечёт Т
в точке q1 с K(q1 ) >О. Рассмотрим вторую плоскость Р, параллельную
и отстоящую на расстояние r от Р (r - радиус трубки). Перемещаем Р
далее, пока она не достигнет a(s2 ); тогда Р пересечёт Т в точке q2 * q1
(рис. 5.39). Так как s 2 есть точка минимума и ve Ь([О, /]), то K(q2 ) >О.
В каждом случае существуют две различные точки в Т с К > О, которые
отображаются посредством N в одну точку S 2
.
Это противоречит тому
факту, что JfR К ds < 8п-, и доказывает наше утверждение.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
481
r
Рисунок 5.39
Пусть s1 и s 2 - критические точки h,,
0
, и пусть Pi и Р2 - плоскости,
перпендикулярные v0 и проходящие соответственно через a(s1) и a(s2 ).
Каждая плоскость, параллельная v0 и расположенная между Pi и Р2 , будет
пересекать С точно в двух точках. Соединяя эти пары точек прямолиней­
ными отрезками, мы образуем поверхность, ограниченную С, которая,
легко видеть, гомеоморфна кругу. Таким образом, С незаузлена, и это
противоречие завершает доказательство.
о
УПРАЖНЕНИЯ
1. Найдите индексы вращения кривых (а), (Ь), (с) и (d) на рисунке 5.40.
2. Пусть a(t) = (x(t),y(t)), t Е [О,/], - дифференцируемая, плоская, замк­
нутая кривая. Пусть р0 = (х0,у0)ЕR 2
,
(х0 , у0 )~ а([О, /]), и определим
функции
()
x(t)-x0
а t -----------~-
-
{(x(t)-xo)2 +(y(t)-yo)2}1/2,
b(t) =
y(t)- Уо
.
{(x(t)-xo)2 +(y(t)- Уо)2}1/2

482
ГЛАВА5
(а)
(с)
(d)
Рисунок 5.40
а. Используйте лемму 1 раздела 4.4, чтобы показать, что дифференциру­
емая функция
rz,
,
((J(t) = ((Jo + Jo (аЬ -Ьа )dt,
является мерой угла, который ось
(a(t)- р0 )/1 a(t)- Ро 1 ·
а'=da Ь'=db
dt'
dt'
х образует с радиус-вектором
Ь. Примените часть (а), чтобы показать, что, когда а - дифференцируе­
мая замкнутая плоская кривая, число витков а относительно р0 выража­
ется интегралом
1ll,,
w=-
(аЬ -Ьа )dt.
27r о
3.Пусть а:[О,/]~R2 и ,В:[О,/]~R2
-
две дифференцируемые, пло­
ские, замкнутые кривые, и пусть р0 Е R 2
-
такая точка, что р0 е а([О, /])
и р0 е ,В([О, /]). Предположите, что для любого t Е [О, /] точка a(t) распо­
ложена ближе к точке /J(t), чем к точке р0 , то есть
1a(t)- ,В(t) 1<1 a(t)- Ро 1·
Примените упражнение 2, чтобы доказать, что число витков а относи­
тельно р0 равно числу витков ,В относительно р0 .

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
483
4. а. Пусть С
-
регулярная, IUiocкaя, замкнутая, выпуклая кривая. Так как
С - простая, по теореме Жордана, она определяет внутреннюю область
КсR2
• Докажите, что
К - выпуклое множество (то есть для заданных
р, qE К отрезок прямой pq содержится в К; ер. упражнение 9 разде­
ла 1.7).
Ь. Обратно, пусть С - регулярная, IUiocкaя кривая (необязательно замк­
нутая); предположите, что С является границей выпуклой области. Дока­
жите, что С выпукла.
5. Пусть С
-
регулярная, IUiocкaя, замкнутая, выпуклая кривая. В силу
упражнения 4, внутренность С является выпуклым множеством К. Пусть
Ро Е К, Ро '/:_с.
а. Покажите, что прямая, которая соединяет р0 с произвольной точкой
qЕС,некасаетсяСвточкеq.
Ь. Заключите из части (а), что индекс вращения С равен числу витков С
относительно р0 .
с. Получите из части (Ь) простое доказательство того факта, что индекс
вращения замкнутой, выпуклой кривой равен ± 1.
6. Пусть а: [О,!]~R3
-
регулярная, замкнутая кривая, параметризован­
ная длиной дуги. Предположите, что О *1k(s)1 ::S: l для всех s Е [О, 1]. Дока­
жите, что l;:::: 2л: и l = 2л: тогда и только тогда, когда а - плоская, выпук­
лая кривая.
7. (Теорема Шура о IVIOCKUX кривых.) Пусть а: [О,/]~ R 2 и а: [О, 1] ~ R 2
-
плоские, выпуклые кривые, параметризованные длиной дуги, одной и той же
длины /. Обозначим k и k кривизны соответственно а и а, и пусть d
и d - длины хорд соответственно а и а, то есть
d(s) =1a(s)-a(O)1, d(s) =1ii(s)-ii(O)1-
Предположим, что k(s) ~ k(s), sE [О,/]. Мы хотим доказать, чтоd(s)::;; d(s),
s Е [О,/], (то есть если мы растягиваем кривую, её хорды становятся длин­
нее) и что равенство выполняется для s Е [О,/] тогда и только тогда, когда
две кривые, с точностью до движения, совпадают. Заметим, что теорема

484
ГЛАВА5
может быть обобщена на случай, когда а - пространственная кривая,
и имеет много приложений (ер. с работой С. С. Черна) [10].
Следующий набросок может быть полезен.
а. Фиксируйте точку s == s1• Расположите обе кривые a(s) == (x(s), y(s)),
ii(s) == (x(s),ji(s)) в нижней полуплоскости у::;; О так, что а(О), a(s1), а(О)
и ii(s1) лежат на оси х и x(s1) > х(О), X(s 1) > Х(О) (см. рис. 5.41). Пусть
s 0 Е [О, s1] таково, что a'(s0 ) параллелен оси х. Выберите функцию e(s),
которая даёт дифференцируемую меру угла, который ось х образует
с a'(s), такую, ЧТО e(so)::;: о. Покажите, что в силу выпуклости -n::;; е::;; п.
у
о
х(О)
x(s,) Х(О)
х
Рисунок 5.41
Ь. Пусть В(s), где В(s0 ) ==О, - дифференцируемая мера угла, который
ось х образует с a'(s). (Заметьте, что a'(s0 ) может больше не быть парал­
лельным оси х.) Докажите, что B(s)::;; (J(s) и примените часть (а), чтобы
заключить, что
~
~-
-
d(s1) == Jo cose(s)ds::;; Jo cose(s)ds::;; d(s1).
В случае равенства просто вернитесь назад и примените теорему единст­
венности для плоских кривых.
8. (Теорема Стокера для rщоскuх кривых.) Пусть а: R ~ R 2
-
регуляр­
ная, плоская кривая, параметризованная длиной дуги. Предположите,
что а удовлетворяет следующим условиям:
1) кривизна а строго положительна;
2) lim 1a(s)1== =, то есть кривая уходит в бесконечность в двух направле­
s~±(Х)
ниях;
3) а не имеет самопересечений.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
485
Цель упражнения - доказать, что полная кривизна а меньше или равна 7т:.
Следующие указания могут быть полезны. Предположите, что полная
кривизна больше 7т: и а не имеет самопересечений. Чтобы получить про­
тиворечие, проделайте следующее.
а. Докажите, что существуют точки, скажем, р = а(О), q = a(s1), s 1 >О, та­
кие, что касательные ТР, Tq соответственно в точках р и q параллельны
и не существует касательной, параллельной ТР, на дуге а([О, s 1]).
Ь. Покажите, что, когда s возрастает, a(s) пересекает ТР, скажем,
в точке r (рис. 5.42).
с. Дуга а((-оо, О)) должна пересечь ТР в точке t между р и r.
d. Дополните дугу tpqr кривой а дугой /3 без самопересечений, соеди­
няющей r с t, получив таким образом замкнутую кривую С. Покажите,
что индекс вращения С больше или равен двум. Покажите, что это означа­
ет, что а имеет самопересечения, что является противоречием.
,,...-
/{3'
1
\
/
__
__.
\
1
1
Рисунок 5.42
r
т,

486
ГЛАВАS
9. Пусть а: [О,/]-+-~ S 2
-
регулярная, замкнутая кривая на сфере
s2
= {(x,y,z)E R 3
; х2+у
2
+z 2 =1}. Предположите, что а параметризо­
вана длиной дуги и что кривизна k(s) нигде не равна нулю. Докажите, что
J~ r(s)ds =О.
(Предыдущее равенство является фактически достаточным условием того,
что неruюская кривая лежит на сфере. Об этом и смежных результатах
см. в работах Н. Geppert, "Sopra una caracterU:azzione sfera", Апп. di Mat. Pu-
ra ed Арр. ХХ (1941), 59-66; и D. Serge, "Una nuova caracterizazzione della
sfera", Atti Accad Naz. Dei Lincei 3 (1947), 420-422.)
5.8 . Поверхности нулевой гауссовой кривизны
Мы уже видели (раздел 4.6), что регулярная поверхность нулевой га­
уссовой кривизны локально изометрична плоскости. В этом разделе мы
посмотрим на такие поверхности с точки зрения их положения в R 3 и до­
кажем следующую глобальную теорему.
Теорема. Пусть S с R 3
-
полная поверхность нулевой гауссовой кри­
визны. Тогда S есть цилиндр или плоскость.
По определению, цилиндр есть такая регулярная поверхность S, что
через каждую точку р Е S проходит единственная прямая R(p) с S (обра­
зующая в точке р), которая удовлетворяет условию: если q "# р, то пря­
мые R(p) и R(q) параллельны или совпадают.
Это удивительный факт истории дифференциальной геометрии, что
такая теорема была доказана только в довольно поздний момент её разви­
тия. Первое доказательство появилось как следствие теоремы П. Хартмана
и Л. Ниренберга ("On Spherical Images Whose JacoЬians Do Not Change
Signs", Атеr. J Math. 81 (1959), 901-920), имеющей дело с более общей
ситуацией, чем наша. Позднее В. С. Массей ("Surfaces of Gaussian Curva-
ture Zero in Euclidean Space", Tohokи Math. J 14 (1962), 73-79) и Д. Д. Сто­
кер ("DevelopaЫe Surfaces in the Large", Сотт. Риrе апd Appl. Math. 14
(1961), 627-635) получили элементарные и прямые доказательства этой
теоремы. Доказательство, которое мы приводим здесь, является модифи­
кацией доказательства Массея. Следует заметить, что работа Стокера со­
держит несколько более общую теорему.
Мы начнём с изучения некоторых локальных свойств поверхности ну­
левой кривизны.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
487
ПустьSсR3
-
регулярная поверхность гауссовой кривизны К =О.
Так как К = k1k2 , где k1 и k2 - главные кривизны, точки S являются па­
раболическими или точками уплощения. Обозначим Р множество точек
уплощенияиИ=S- Р
-
множество параболических точек S.
Множество Р замкнуто в S. В самом деле, точки Р удовлетворяют
1
условию, что средняя кривизна Н = - (k1 + k2 ) равна нулю. Тоqка накоп-
2
ления Р имеет, в силу непрерывности Н, нулевую среднюю кривизну;
следовательно, она принадлежит Р. Отсюда следует, что И= S - Р откры­
товS.
Далее следует поучительный пример отношений между множества­
миРиИ.
Пример 1. Рассмотрим открытый треугольник АВС и добавим к каж­
дой стороне цилиндрическую поверхность с образующими, параллельны­
ми данной стороне (рис. 5.43). Можно сделать это построение таким обра­
зом, что поверхность будет регулярной. Например, чтобы гарантировать
регулярность вдоль отрезка ВС, достаточно, чтобы сечение FG цилинд­
рической полосы BCDE плоскостью, нормальной ВС, было кривой вида
Заметим, что вершины А, В, С треугольника и рёбра ВЕ, CD и т. д. ци­
линдрических полос не принадлежат S.
D
Рисунок 5.43
Поверхность S, так построенная, имеет кривизну К= О. Множество Р
образовано треугольником АВС без вершин. Заметим, что Р замкнуто в S,

488
ГЛАВА5
ноневR3
.
Множество И образовано точками, которые являются внут­
ренними для цилиндрических полос. Через каждую точку И проходит
единственная прямая, которая нигде не пересекает Р. Граница Р образо­
вана открытыми отрезками АВ, ВС и СА.
Далее мы покажем, что свойства отношений в этом примере имеют
место в общем случае.
Прежде всего, пусть р Е И. Так как р - параболическая точка, одно
из главных направлений в р является асимптотическим, и другого асим­
птотического направления в точке р нет. Докажем, что единственная асим­
птотическая линия, которая проходит через точку р, является прямоли­
нейным отрезком.
Предложение 1. Единственная асимптотическая линия, которая
проходит через параболическую точку р Е И с S поверхности S кривизны
К= О является (открытым) отрезком прямой на S.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как р не является омбилической, можно пара­
метризовать окрестность V с И точки р посредством х(и, v) = х так, что
координатные линии будут линиям кривизны. Предположим, что
v = const - асимптотическая линия. Тогда, по теореме Олинда Родрига
(предложение 3 раздела 3.2), Nu =О вдоль v = const. Так как через каждую
точку окрестности V проходит линия v = const, равенство N и =О выпол­
няется в каждой точке V.
Отсюда следует, что в V
(х,N)u = (хи, N)+(х, Nu)=О.
Следовательно,
(х, N) = 1p(v),
(1)
где 97(v) - дифференцируемая функция только v. Дифференцируя равен­
ство (1) по v, получаем
(х, Nv) = 1p'(v).
(2)
С другой стороны, Nv ортогонален N и отличен от нуля, так как точ­
ки V - параболические. Следовательно, N и Nv линейно независимы.
Крометого, Nvu = Nuv =О в V.
Заметим теперь, что вдоль линии v = const =v0 вектор N(и) = N 0
и Nv(и)=(Nv)o =const. Таким образом, равенство (1) означает, что кривая
х(и, v0 ) лежит в плоскости, ортогональной постоянному вектору N 0 , ара-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
489
венство (2) означает, что кривая лежит в IШоскости, ортогональной посто­
янному вектору (Nv)0 . Следовательно, кривая лежит в пересечении двух
плоскостей (пересечение существует, так как N 0 и (Nv)o линейно незави-
симы; поэтому она является прямолинейным отрезком.
о
Замечание. В предыдущем предложении существенно, что К =О.
Например, верхняя параллель тора вращения является асимптотической
линией, образованной параболическими точками, и не является отрезком
прямой.
Теперь мы намерены узнать, что происходит, когда мы продолжаем
этот прямолинейный отрезок. Следующее предложение показывает, что
(ер. пример 1) продолженная прямая никогда не пересекает множество Р;
либо она «оканчивается» в граничной точке S, либо остаётся неограни­
ченно долго в И.
Удобно использовать следующую терминологию. Асимптотическая
линия, проходящая через точку рЕ S, называется максимШ1ьной, если она
не является собственным подмножеством некоторой асимптотической ли­
нии, проходящей через р.
Предложение 2 (Массей, /.с.). Пусть r- максимШ1ьная асимптоти­
ческая линия, проходящая через параболическую точку р Е И с S поверх­
ности S кривизны К =О, и пусть Р с S - мно:ж:ество точек уплоще­
ния S. Тогда rnP=rp.
Доказательство предложения 2 основано на следующей локальной
лемме, для доказательства которой мы используем уравнения Майнарди­
Кодацци {ер. 4.3).
Лемма 1. Пусть s - длина дуги асимптотической линии, проходя­
щей через параболическую точку р поверхности S нулевой кривизны,
и пусть Н = H(s) - средняя кривизна S вдоль этой кривой. Тогда в И
~(J...)=o.
ds
2
Н
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЛЕММЫ 1. Введём в окрестности v с и точки р та­
кую систему координат (и, v), что координатные линии являются линиями
кривизны и v = const - асимптотические линии V. Пусть е, f и g - ко-

490
ГЛАВА5
эффициенты второй квадратичной формы в этой параметризации. Так как
f =О и линия v = const, и = и(s) должна удовлетворять дифференциаль­
ному уравнению асимптотических линий
(
du)
2
du dv (dv)
2
е-
+2/--+g -
=0,
ds
ds ds
ds
заключаем, что е =О. При этих условиях средняя кривизна Н находится
по формуле
(3)
Вводя значения F = f = е = О в уравнения Майнарди-Кодацци (урав­
нения (7) и (7а) раздела 4.3), получаем
Q= _!_gEv
= _!_gGu
2G'gи2G.
(4)
Из первого равенства (4) следует, что Ev =О. Таким образом, Е = Е(и) есть
функция только и. Следовательно, можно совершить замену параметров:
v=v, u= f .JE(u)du.
Мы будем по-прежнему обозначать новые параметры и и v. Теперь и яв­
ляется мерой длины дуги вдоль v =const , и потому Е =1.
В новой параметризации (F =О, Е = 1) выражение гауссовой кривизны
имеет вид
Следовательно,
.JG= с1(v)u +с2(v),
(5)
где c1(v) и c2 (v) -функции только v.
С другой стороны, второе из равенств (4) можно записать в виде
(g =;t:O)
следовательно,
(6)
где c3 (v) -функция v. Вводя выражения (5) и (6) в равенство (3), получаем
Н- 1c3 (v).JG_1
c3 (v)
- 2 .JG .JG-2 c1(v)u+c2 (v)

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
491
Наконец, вспоминая, что и = s, и дифференцируя предыдущее выражение,
заключаем, что
--
-о
d2
(1)
ds2Н-
·
о
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПРЕДЛОЖЕНИЯ 2. Предположим, что максимальная
асимптотическая линия r , проходящая через р и параметризованная дли­
ной дуги s, содержит точку qE Р. Так как r связно и И открыто, сущест­
вует точка р0 на r, соответствующая s0 , такая, что р0 Е Р и точки r при
s < s 0 принадлежат И.
С другой стороны, из леммы 1 заключаем, что вдоль r и при s < s0
H(s)=-
1
-,
as+b
где а и Ь - постоянные. Так как в точках Р средняя кривизна равна ну­
лю, получаем
Н(р0)=О= lim H(s) = lim -
1
-,
s-ts0
s-ts0 as+Ь
что является противоречием и завершает доказательство.
о
Пусть теперь Bd(U) - граница И на S, то есть Bd(U) есть множест­
во таких точек р Е S, что каждая окрестность р на S содержит точки И
иточки S- И=Р. Так как И открыто в S, то Bd(U)сР. Крометого, по­
скольку определение граничной точки симметрично относительно И и Р,
получаем
Bd(U) = Bd(P).
Следующее свойство показывает, что (так же, как в примере 1) мно­
жество Bd(U) = Bd(U) образовано отрезками прямых.
Предложение 3 (Массей). Пусть рЕ Bd(U) с S - точка границы
мно;ж;ества параболических точек И поверхности S кривизны К =О. То­
гда через точку р проходит единственный открытый отрезок прямой
С(р) с S. Кроме того, С(р) с Bd(U), то есть граница И образована от­
резками прямых.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ Bd(U). Так как р
-
предельная
точка И, можно выбрать последовательность {pJ, Рп Е И, обладающую

492
ГЛАВА5
свойством limn_,
00
Рп = р. Пусть для каждой точки Рп С(рп) - единствен­
ная максимальная асимптотическая линия (открытый отрезок прямой), ко­
торая проходит через Рп (ер. предложение 1). Докажем, что при п -7 оо на­
правления С(рп) сходятся к некоторому направлению, которое не зависит
от выбора последовательности {р"}.
В самом деле, пусть ~с R 3
-
достаточно малая сфера с центром р.
Так как сфера L компактна, точки {qп} пересечения С(рп) с L имеют по
крайней мере одну точку накопления qE L, которая появляется одновре­
менно со своей диаметрально противоположной точкой. Если бы была
другая точка накопления r , кроме q и её диаметрально противоположной
точки, то через сколь угодно близкие точки Рп и Рт прошли асимптотиче­
ские линии С(рп) и С(рт), образующие угол, больший
1л
() = 2(pq, pr),
что противоречит непрерывности асимптотических линий. Отсюда следу­
ет, что прямые С(рп) имеют предельное направление. Аналогичное рас­
суждение показывает, что предельное положение не зависит от выбора по­
следовательности {Рп} с limn-7= Рп = р, как утверждалось выше.
Так как направления С(рп) сходятся и Рп -7 р, открытые отрезки
прямых С(рп) сходятся к отрезку С(р) с S, который проходит через р.
Отрезок С(р) не сводится к точке р. В противном случае, поскольку
С(рп) максимальна, рЕ S должна быть точкой накопления концов
С(рп),которые не принадлежат S (ер. предложение 2). По той же причине
отрезок С(р) не содержит своих концов.
Наконец, докажем, что С(р) с Bd(U). Действительно, если qE С(р),
существует последовательность
{qп},qnЕС(рп)СИ,гдеlimqn=q.
n-7=
Тогда q Е И u Bd(U). Допустим, что q е= Bd(U). Тогда q Е И, и, в силу не­
прерывности асимптотических направлений, С(р) есть единственная
асимптотическая линия, которая проходит через q. Это означает, по пред­
ложению 2, что рЕ И, что является противоречием. Следовательно, qE
Е Bd(U), то есть С(р) с Bd(U), и это завершает доказательство.
О
Теперь мы в состоянии доказать глобальный результат, сформулиро­
ванный в начале этого раздела.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
493
Доклзлтвльство ТЕОРЕМЫ. Предположим, что S не является штоско­
стью. Тогда (предложение 4 раздела 3.2) S содержит параболические точ­
ки. Пусть И - (открытое) множество параболических точек S и ?-
(замкнутое) множество точек уштощения S. Обозначим символом int Р
внутреююсть Р, то есть множество точек, которые имеют окрестность,
полностью содержащуюся в Р. Множество int Р является открытым в S,
и содержит только точки уплощения. Следовательно, каждая связная ком­
понента int Р лежит в плоскости (предложение 4 раздела 3.2).
Докажем сначала, что если qE S и q~ int Р, то через q проходит
единственная прямая R(q) с S, и две такие прямые либо совпадают, либо
не пересекаются.
В самом деле, когда qe И, существует единственная максимальная
асимптотическая линия r , проходящая через q. Линия r есть отрезок пря­
мой (таким образом, геодезической), и r n Р = ф (ер. предложения 1 и 2).
Параметризуя r длиной дуги, мы видим, что r не является конечным про­
межутком. В противном случае существует геодезическая, которая не мо­
жет быть продолжена для всех значений параметра, что противоречит пол­
ноте S. Следовательно, r - вся прямая R(q), и, поскольку rnP=ф, за­
ключаем, что R(q) с И. Отсюда следует, что если р - другая точка И,
р rl. R(q), то R(p) n R( q) = ф. В противном случае через точку пересечения
должны пройти две асимптотические линии, что противоречит утвержде­
нию о единственности.
С другой стороны, если qE Bd(U) = Bd(P), то (ер. предложение 3) че-
рез q проходит единственный открытый отрезок прямой, который содер­
жится в Bd(U). В силу предыдущих рассуждений этот отрезок может быть
продолжен в полную прямую R(q)cBd(U), и если рЕ Bd(U), prl. R(q),
то R(p)nR(q)=ф.
Очевидно, поскольку И открыто, что если q Е И и р Е Bd(U), то
R(p) n R(q) = ф. В таком случае через каждую точку S-intP =И uBd(P)
проходит единственная прямая, содержащаяся в S - int Р, и две такие пря­
мые либо совпадают, либо не пересекаются, как мы утверждали. Если мы
докажем, что эти прямые параллельны, то заключим, что Bd(U) ( = Bd(P))
образовано параллельными прямыми и что каждая связная компонента
int Р есть открытое множество плоскости, ограниченное двумя параллель­
ными прямыми. Таким образом, через каждую точку t Е int Р проходит
единственная прямая R(t) с int Р, параллельная общему направлению. От­
сюда следует, что через каждую точку S проходит единственная обра­
зующая и что образующие параллельны, то есть S есть цилиндр, что
и требовалось.

494
ГЛАВА5
Чтобы доказать, что прямые, проходящие через точки И u Bd(U), па­
раллельны, поступим следующим образом. Пусть q Е И u Bd(U) и р Е И.
Так как S связна, существует дуга а : [О,/] ~ S с а(О) = р, а(!)= q. Ото­
бражение ехр Р : ТР (S) ~ S является накрывающим отображением (пред­
ложение 7 раздела 5.6) и локальной изометрией (следствие леммы 2 разде­
ла 5.6). Пусть а: [О,/]~ Tp(S) - поднятие а с началом в ОЕ Tp(S). Для
каждой точки (i(t), где ехр Р (i(t) = a(t) Е И u Bd(U), пусть r1 - поднятие
R(a(t)) с началом в (i(t). Так как ехр Р есть локальная изометрия, r 1 -
прямая в TP(S).
Докажем, что, когда a(t1) * a(t2 ), t1
, t 2 Е [О,/], прямые r11 и r12 парал­
лельны. В самом деле, если v Е r11 п r12
,
то
что является противоречием.
До сих пор мы не определили R(a(t)), когда a(t)E int Р. Это будет
сейчас сделано. Когда (i(t) такова, что ехр Р (i(t) = a(t) Е int Р, проведём
через a(t) прямую r в Tp(S), параллельную общему направлению, кото­
рое мы только что получили. Ясно, что ехр Р (r) с int Р, и, поскольку
ехр Р (r) является геодезической, ехр Р (r) есть вся прямая, содержащаяся
в S. В таком случае прямая R(a(t)) определена для любого t Е [О,/].
Докажем теперь, что прямые R(a(t)), tE [О,/], параллельны. В самом
деле, учитывая, как обычно, компактность, можно покрыть промежуток
[О,/] конечным числом таких интервалов 11" • • ,ln, что а(!;) содержится
в окрестности V; точки a(t; ), t; Е 1;, ограничение на которую ехр Р есть
изометрия V;. Заметим теперь, что, когда t1, t 2 Е 1; и a(t1 ) * a(t2 ), R(a(t1 ))
параллельна R(a(t2 )). Действительно, так как r11 параллельна r12 и ехр Р
является изометрией на V;, то открытый отрезок ехр Р (r11 п V;) параллелен
expp(r12 nV;); это означает, что прямые exppr11 =R(a(t1 )) и exppr12 =
= R(a(t2 )) содержат параллельные открытые отрезки и потому параллель­
ны. Используя затем покрытие [О,/] интервалами 11, ••• ,ln, мы докажем
шаг за шагом что прямые R(a(t)) параллельны.
В частности, прямая R(q) параллельна R(p). Если s - другая точка
в UuBd(U), то по той же причине R(s) параллельна R(p) и, следова­
тельно, параллельна R(q). Таким образом, доказано, что все прямые, кото­
рые проходят через И u Bd(U), параллельны, и это завершает доказатель-
ство теоремы.
о

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
495
5.9 . Теоремы Якоби
Основное свойство геодезической у (предложение 4 раздела 4.6) со­
стоит в том, что, когда две точки р и q достаточно близки, у минимизи­
рует длину дуги между р и q. Это означает, что длина дуги у между р
и q меньше или равна длине дуги любой кривой, соединяющей р и q.
Предположим теперь, что мы следуем вдоль геодезической у, которая вы­
ходит из точки р. Тогда естественно спросить: как долго геодезическая у
минимизирует длину дуги? В случае сферы, например, геодезическая у
(меридиан), выходящая из точки р, минимизирует длину дуги до первой
сопряжённой р точки относительно у (то есть до диаметрально противо­
положной р точки). Пройдя диаметрально противоположную р точку,
геодезическая перестаёт быть кратчайшей, как мы можем увидеть интуи­
тивно из следующих рассуждений.
Геодезическую, соединяющую две точки р и q сферы, можно пред­
ставлять как нить, натянутую на сферу и соединяющую две данные точки.
n
Когда дуга pq меньше полумеридиана и точки р и q фиксированы, не-
возможно перемещать нить без увеличения её длины. С другой стороны,
n
когда дуга pq больше полумеридиана, малое смещение нити (при фикси-
рованных р и q) «расслабляет» нить (см. рис. 5.44).
Рисунок 5.44

496
ГЛАВА5
Другим словами, когда q дальше, чем диаметрально противоположная
точка, можно получить кривые, соединяющие р с q, которые близки гео­
n
дезической дуге pq и короче её дуги. Ясно, что это рассуждение далеко от
математического.
В этом разделе мы начнём изучение этого вопроса и докажем резуль­
тат, принадлежащий Якоби, который упрощённо можно описать следую­
щим образом. Геодезическая у, выходящая из точки р, минимизирует
длину дуги относительно «соседних» у кривых только до «первой» сопря­
жённой р точки относительно у (более точные утверждения будут даны
позже; см. теоремы 1 и 2).
Для простоты поверхности в этом разделе предполагаются полными,
а геодезические - параметризованными длиной дуги.
Нам нужны некоторые предварительные результаты.
Следующая лемма показывает, что образ при отображении
ехрр :тр(S) ~s отрезка прямой в тр(S) с началом в оЕ тр(S) (геодези-
ческая, выходящая из р) является кратчайшим относительно образов при
отображении ехр Р кривых в ТР (S), соединяющих концы этого отрезка.
Более точно, пусть
рЕ S, иЕ Tp(S), l=lиl:;t:O,
и пусть У: [О,/]~ TP(S) - прямая в TP(S), определяемая равенством
y(s)=sv, sE [О,/], v=~.
lиl
Пусть а: [О,/]~ TP(S) - дифференцируемая параметризованная кривая
в Tp(S), где 'ii.(O) =О, Щ/) =и и a(s) :;t: О, если s :;t: О. Кроме того, пусть
(рис. 5.45)
a(s) = ехр Р 'ii.(s) и y(s) = ехр Р y(s).
Лемма 1. В предыдущих обозначениях:
1) /(а)~ /(у), где/( ) обозначает длину дуги соответствующей кривой;
кроме того, если ii(s) не является критической точкой ехрр, sE [О,!],
и следы а и у различны, то
2) /(а)> /(у).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
497
r
п
Рисунок 5.45
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть ii(s)/I ii(s) 1= r, и пусть п - единичный век­
тор Tp(S), удовлетворяющий условию (r, п) =0. В базисе {r, п} шюскости
TP(S) можно записать (рис. 5.45)
где
По определению,
ii'(s) = ar + Ьп,
а= (ii'(s), r),
Ь = (ii'(s), п).
a'(s) =(d ехр p)щs/ii'(s)) =
= a(d ехр p)a(s) (r) + b(d ехр p)a(s) (п).
Следовательно, используя лемму Гаусса (ер. лемму 2 раздела 5.5), получаем
(a'(s), a'(s)) = а
2
+с
2
,
где
Отсюда следует, что
(a'(s), a'(s)) ~ а2 .

498
ГЛАВА5
С другой стороны,
!!_1~( ) ~( ))1/2 = \ii'(s), ii(s)) = /~'( ) ) =
\а.s,а.s
112
\а.s,r
а.
ds
\a(s), ii(s))
Следовательно,
1
1/2
1
!(а.)= fo (a'(s), a'(s)) ds ~J0 а ds =
=f,
1
!!_\ii(s), ii(s))
112
ds =1ii(l)1= l = l(y),
оds
и это доказывает часть 1.
Чтобы доказать часть 2, допустим, что /(а)= !(у). Тогда
1
1/2
1
f0 (a'(s), d(s)) ds = f
0
ads
и, поскольку
\a'(s), a'(s))
112
~а,
равенство здесь должно выполняться для любого sE [О,!]. Тогда
с =1Ь11 (d ехр p)a(s)(n) 1= О.
Так как ii(s) не является критической точкой отображения ехрр, мы за­
ключаем, что Ь =О. Отсюда следует, что все касательные кривой а прохо­
дят через начало координат О в Tp(S). Таким образом, ii есть прямая
в ТР (S), которая проходит через О. Так как ii(/) = y_(l), прямые а и у
совпадают, что противоречит предположению, что следы а и у различны.
Из этого противоречия следует, что /(а)> l(y); это доказывает часть 2 и за-
вершает доказательство леммы.
о
Теперь мы в состоянии доказать, что, если геодезическая дуга не со­
держит сопряжённых точек, она реализует локальный минимум длины ду­
ги. Более точно, имеет место
Теорема 1 (Якоби). Пусть у: [О,!] -7 S, у(О) =р, - геодезическая
без сопряжённых точек, то есть отображение ехр Р : ТР ( S) -7 S регулярно

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
499
втачках прямой y(s)=sf(O) в T/S), sE[O,l]. Пусть h:[O,Z]x
x(-t:, t:) ~ S - собственная вариация у. Тогда
1) существует такое 8 >О, 8 ~ t:, что если t Е (-8, 8), то
L(t) ~ L(O),
где L(t) - длина кривой h,: [О,/]~ S, заданной равенством h,(s) = h(t, s);
2) если, кроме того, след h, отличен от следа у, то L(t) > L(O).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство, по существу, состоит в том, чтобы
показать, что можно для любого t Е (-д, д) поднять кривую h1 в такую
кривую~ в ТР(S),что ~(0)=0, ~(/)=)1(/),изатемприменитьлемму 1.
Поскольку ехрр регулярно во всех точках прямой)! в Tp(S), для лю­
бого s Е [О,/] существует такая окрестность Us точки y(s), что ехр Р, ог­
раниченное на Us, есть диффеоморфизм. Семейство {UJ, SE [О,/], по­
крывает у([О, /]), и в силу компактности можно получить конечное подсе­
мейство, скажем, U1, • •• ,Un, которое всё ещё покрывает )1([0,/]). Отсюда
следует, что можно разбить промежуток [О, /] точками
0=s1 <s2 <···<sп <sп+I =l
так, что )l([s;,S;+iПcИ;, i=l, ... ,n. Так как h непрерывно и множество
[s;, S;+\] компактно, существует такое д; >О, что
h([s;, s;+\ ]х (-д;, д;)) с ехр p(U;) = V;.
Пусть д = min(д1 , ••• ,дn). Для tE (-д, д) кривую h1 : [О,/]~ S можно под­
нять в кривую~: [О,/]~ Tp(S) с началом в ~(О)= О следующим образом.
Пусть sЕ [s1, s2 ]. Тогда
где ехр;1 есть обратное отображение для ехрР: U1 ~ V]. Применяя ту же
технику, которую мы использовали для накрывающих пространств
(ер. предложение 2 раздела 5.6), мы можем продолжить ~ для всех
s Е(0, /] иполучить ~(/)= )!(!).
Таким образом, мы заключаем, что y(s) = ехр Р )l(s) и h1(s) = ехр Р ~(s),
tЕ(-д,д), где h1(0)=0, ~(l)=y(l). Применим теперь лемму 1 и получим
требуемое.
О

500
ГЛАВА5
Замечание 1. Геодезическая у, не содержащая сопряжённых точек,
может не быть кратчайшей относительно кривых, которые не являются со­
седними для у. Такая ситуация возникает, например, на цилиндре (кото-
рый не имеет сопряжённых точек), как может легко убедиться читатель,
исследуя замкнутые геодезические цилиндра.
Эта ситуация связана с тем фактом, что что сопряжённые точки дают
нам сведения только о дифференциале экспоненциального отображения, то
есть о скорости «разброса» геодезических, соседних с данной геодезиче­
ской. С другой стороны, глобальное поведение геодезических контролиру­
ется самим экспоненциальным отображением, которое глобально может
не быть взаимно однозначным, даже когда его дифференциал всюду невы­
рожден.
Другим примером (на этот раз односвязным), где тот же факт имеет
место, является эллипсоид, как читатель может легко убедиться, изучая
рисунок эллипсоида в разделе 5.5 (рис. 5.19).
Исследование множества точек, в которых геодезические, выходящие
из р, прекращают глобально минимизировать длину дуги (называемого
множеством раздела р, весьма важно для некоторых глобальных теорем
дифференциальной геометрии, но оно не будет рассмотрено в этой книге.
Приступим теперь к доказательству того, что геодезическая у, содер­
жащая сопряжённые точки, не реализует локШtьного минимума длины ду­
ги, то есть «сколь угодно» близко к у существует кривая, соединяющая её
концы, длина которой меньше или равна длине у.
Нам требуется некоторая подготовка, и прежде всего обобщение поня­
тия вариации геодезической на случай, когда допускаются кусочно диффе­
ренцируемые кривые.
Определение 1. Пусть у: [О,/]~ S - геодезическая S и
h:[O,Z]x(-e,e) ~s
-
непрерывное отображение, где
h(s, О)= y(s), s Е [О,/].
h называется ломаной вариацией у, если существует такое разбиение
0=S0<S1<S2<···<Sn-I<Sп=[
отрезка [О, !] , что

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
501
дифференцируемо. Ломаная вариация называется собственной, если
h(O, t) = у(О), h(l, t) =у(!) для любого tE (-Е, Е).
Кривые h1(s), s Е [О,/], вариации теперь являются кусочно дифферен­
цируемыми. Векторное поле вариации V(s) = (дh/дt)(s, О) является кусочно
дифференцируемым векторным полем вдоль у, то есть V : [О,/]~
~R3
-
непрерывное отображение, дифференцируемое на каждом
[t;, t;+i ]. Ломаная вариация h называется ортогонШiыюй, если
(V(s),y'(s))=O, sE[O,l].
Способом, совершенно аналогичным тому, который использован для до­
казательства предложения 1 раздела 5.4, можно доказать, что кусочно лиф­
ференцируемое векторное поле V вдоль у восстанавливается до ломаной ва­
риации у, векторным полем вариации которой является V. Кроме того, если
V(O) = V(l) =О,
можно выбрать собственную вариацию.
Аналогично, функция L: (-е, е) ~ R (длина дуги кривой вариации)
определяется равенством
п-1 f,l;+I iдh i
L(t)=L
1
-(s,t)ds=
i=O
'
дs
= f~ 1~; (s, t)'ds.
По лемме 1 раздела 5.4, каждое слагаемое этой суммы дифференцируемо в ок­
рестности О. Поэтому L дифференцируема в (-д, д), если д достаточно мало.
Выражение второй вариации длины дуги L"(O) для собственных и ор­
тогональных ломаных вариаций точно такое же, как полученное в ,предло­
жении 4 раздела 5.4, что можно легко проверить. Таким образом, если V -
такое кусочно дифференцируемое векторное поле вдоль геодезической
у: [О,/]~ S, что
(V(s),y'(s))=O, sE[O,/], и V(O)=V(/)=0,
ТО
"
rZ (/DV DV)
)
Lv(O)= Jo \d;' ds -K(s)(V(s),V(s)) ds.
Пусть теперь у: [О,/] ~ S - геодезическая, и пусть V обозначает
множество кусочно дифференцируемых векторных полей вдоль у, которые

502
ГЛАВА5
ортогональны у, то есть если V Е V, то (V(s), y'(s)) =О для любого
s Е [О,!]. Заметим, что V с естественными операциями сложения и умно­
жения на вещественное число образует векторное пространство. Опреде­
лим отображение 1: VхV~R , полагая
l(V, W) = fi1
((DV, DW)-K(s)(V(s), W(s)))ds,
оdsds
где V,WE V.
Непосредственно проверяется, что I - симметрическое билинейное
отображение, то есть / линейно по каждой переменной и /(V, W) =
= 1(W, V). Следовательно, 1 определяет квадратичную форму на V, за­
данную как l(V, V). Эта квадратичная форма называется индексной фор­
мой у.
Замечание 2. Индексная форма геодезической была введена М. Мор­
сом, который доказал следующий результат. Пусть y(s0 ) - сопряжённая
точка у(О) = р относительно геодезической у: [О,/]~ S, s0 Е [О,!]. Крат­
ность сопряжённой точки y(s0 ) есть размерность такого максимального
подпространства Е пространства Tp(S), что (dexpp)y(so)(и)=O для любо­
го и Е Е. Индекс квадратичной формы Q: Е ~ R на векторном простран­
стве Е есть максимальная размерность такого подпространства L про­
странства Е, что Q(и) <О, и Е L. В этой терминологии теорема Морса об
индексе формулируется следующим образом: пусть у: [О, l] ~ S- геоде­
зическая. Тогда индекс квадратичной формы / геодезической у конечен
и равен числу сопряжённых у(О) точек на у([О, /]), подсчитанных с учё­
том их кратностей. Доказательство этой теоремы можно найти в работе
J. Milnor, Morse Theory, Аппа!s of Matheтatics Stиdies, Vol. 51, Princeton
University Press, Princeton, N. J ., 1963.
Для наших целей нужна следующая лемма.
Лемма 2. Пусть v Е v - поле Якоби вдоль геодезической r: [О,/]~ s
и WE V. Тогда
l(V, W) =( ~~ (!), wm)-( ~~(О), W(O)).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
503
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.Заметив, что
.! !_/DV w)=f D
2
V w)+f DV DW)
ds\ds'
\ds
2
'
\ds'ds'
можно записать I в виде (ер. замечание 4 раздела 5.4)
I(V, W) = ( ~;, W) [- f~ (\~:~ + K(s)V(s), W(s))Jds.
Из того факта, что V - поле Якоби, ортогональное у, заключаем, что по­
дынтегральное выражение второго слагаемого равно нулю. Поэтому
J(V, W) = \ ~~ (!), W(l) )-\~~(О), W(O) )·
Теперь мы в состоянии доказать следующую теорему.
Теорема 2 (Якоби). Если у: [O,l]~S - геодезическая S и y(s0)E
Е у((О, !)) - точка, сопряжённая у(О) = р относительно у, то существу­
ет собственная ломаная вариация h: [О, l]x (-.е, .е) ~ S геодезической у
и такое вещественное число о> О, о~ .е, что если t Е (-о, О), то
L(t) < L(O).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку y(s0 ) сопряжена р относительно у, суще­
ствует поле Якоби J вдоль у, не равное тождественно нулю, где J(O) =
= J(s0 ) =О. По предложению 4 раздела 5.5, отсюда следует, что
(J(s),y'(s))==O, sE[O,l]. Кроме того, (DJ/ds)(s0 )*0; в противном случае
J(s)= О.
Пусть теперь Z - параллельное векторное поле вдоль у, где Z(s0 ) =
= - (DJ/ ds)(s0 ), и f: [О,/]~ R - дифференцируемая функция, удовлетво­
ряющая условиям f(O)=f(l)=O, f(s 0 )=1. Определим Z(s)=f(s)Z(s),
sЕ[0,!].
Для любого вещественного числа 17 > О определим векторное поле У17
вдоль у, полагая
y'l ={J(s)+17Z(s), sE[0,s0 ],
17Z(s), sE [s 0 , /].

504
ГЛАВА5
Yrr есть дифференцируемое векторное поле, ортогональное у. Так как
Yrr(O) = Yrr(l) =О, оно восстанавливается в собственную, ортогональную,
ломаную вариацию у. Вычислим L"(O) =/(У", У").
Для отрезка геодезической между О и s 0 используем билинейность /
и лемму 2, чтобы получить
180(У11,Yrr) = 180(J+17Z, J +17Z)=
=ls
0
(J,J)+217/so(J,Z)+11
2
180(Z,Z)=
(
DJ
)2
=217 -(s0),Z(s0) +17 18 (Z,Z)=
ds
0
I
DJ
1
2
= -217
-(so) +172Is (Z, Z),
ds
0
где / 80 указывает, что соответствующее интегрирование производится
от О до s 0 . Используя / для обозначения итеграла от О до l и замечая, что
иmеграл аддитивен, получаем
Заметим теперь, что если 17 = 170 достаточно мало, предыдущее выра­
жение отрицательно. Поэтому, выбирая Yrro, мы получим собственную ло-
маную вариацию с L*(O) <О. Так как L'(O) =О, это означает, что О есть
точка локального максимума L, то есть существует такое д > О , что если
tЕ (-д,д), t*О,то L(t)<L(O).
о
Замечание 3. Теорема Якоби является частным случаем теоремы
Морса, цитированной в замечании 2. Действительно, решающий момент
доказательства теоремы об индексе состоит, по существу, в распростране­
нии идей, представленных в доказательстве теоремы 2.
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Теорема Бонне.) Пусть S - компактная поверхность гауссовой кри­
визны К;:>: о> О. Согласно упражнению 5 раздела 5.5, каждая геодезиче-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
505
екая у: [О, оо) -t S имеет точку, сопряжённую у(О), в интервале (О, n:/JJ].
Используйте теоремы Якоби, чтобы показать, что отсюда следует ком­
пактность S и неравенство для диаметра p(S) :о;; n:/-JJ (это даёт новое до­
казательство теоремы Бонне раздела 5.4).
2. (Прямые на полных поверхностях.) Геодезическая у: (-оо, oo)-t S назы­
вается прямой, если её длина реализует (внутреннее) расстояние между
любыми двумя её точками.
а. Покажите, что через каждую точку полного цилиндра х2
+у
2
= 1 прохо­
дит прямая.
Ь. Предположите, что S - полная поверхность гауссовой кривизны К >О.
Пусть у : (-оо, оо) -t S - геодезическая на S и J (s) - поле Якоби
вдоль у, определяемое условиями (J(O), у'(О)) =О, 1J(O)1= 1, J'(O) =О. Вы­
берите ортонормированный базис {е1 (О)= у'(О), е2 (0)} в Ty(o)(S) и перене­
сите его параллельно вдоль у, чтобы получить базис {е1 (s), е2 (s)}в каждом
Ty(s)(S). Покажите, что J(s) = u(s)e2 (s) для некоторой функции u(s) и что
уравнение Якоби для J имеет вид
и"+ Ки =О, и(О) = 1, и'(О) =О.
(*)
с. Распространите на предыдущий случай теорему сравнения части (Ь) уп­
ражнения 3 раздела 5.5 . Используйте тот факт, что К> О, для доказатель­
ства того, что е >О можно выбрать настолько малым, что будут выпол­
няться неравенства
и(е)>О, и(-е)<О, и'(е)<О, и'(-е)>О,
где u(s) - решение уравнения(*). Сопоставьте(*) с уравнением
v'(s)=O, v(e)=u(e), v'(e)=u'(e) для sE [е,оо),
и с уравнением
w
1
(s)=O, w(-e)=u(-e), w'(-е)=и'(е) для sE (-оо,-е],
чтобы заключить, что если s0 достаточно мало, то J(s) имеет два нуля
в интервале (-s0 , s 0 ).
d. Используйте предыдущее, чтобы доказать, что полная поверхность по­
ло:ж:ительной гауссовой кривизны не содер:ж:ит прямых.

506
ГЛАВА5
5.10. Абстрактные поверхности. Дальнейшие обобщения
В разделе 5.11 мы докажем теорему, принадлежащую Гильберту, ко­
торая утверждает, что в R3 не существует полной реrулярной поверхности
постоянной отрицательной гауссовой кривизны.
Фактически теорема несколько сильнее. Чтобы понять корректную
формулировку и доказательство теоремы Гильберта, будет удобно ввести
понятие абстрактной геометрической поверхности, которое возникает из
следующих соображений.
Поверхности, с которыми мы имели дело до сих пор, являются под-
множествами S пространства R 3
, на которых имеют смысл дифференци­
руемые функции. Мы определили касательную плоскость TP(S) в каждой
точке р Е S и развили дифференциальную геометрию вблизи р , изучая
изменение ТР (S). Мы заметили, однако, что все понятия внутренней гео­
метрии (гауссова кривизна, геодезические, полнота и т. д.) зависят только
от выбора скалярного произведения в каждом Tp(S). Если мы можем оп-
ределить абстрактно (то есть без обращения к R 3 ) множество S, на кото­
ром имеют смысл дифференцируемые функции, мы имеем возможность
распространить внутреннюю геометрию на эти множества.
Определение внизу есть результат нашего опыта, накопленного в гла­
ве 2. Исторически потребовалось долгое время для его появления, возмож­
но, потому, что отчётливо не понималась фундаментальная роль замены
параметров в определении поверхности в R 3
.
Определение 1. Абстрактной поверхностью (дифференцируемым
многообразием размерности 2) называется множество S вместе с семейст­
вом таких взаимно однозначных отображений ха: Иа ~ S открытых мно-
жествИасR2 вS,что
1) uaxa(Ua)=S;
2) для любой пары а, fJ с ха(Иа) nхр(Ир) = W * rp множества x~1 (W),
x·;/(W) открыты в R 2
,и
хД1аха, х~
1
а х/3 - дифференцируемые отображе­
ния (рис. 5.46).
Пара (Иа, ха) с рЕ ха(Иа) называется параметризацией (или систе­
мой координат) S вблизи р. ха(Иа) называется координатной окрестно-
стью, и, если q= ха(иа, va)E S, мы говорим, что (иа, va) - коор­
динаты q в этой системе координат. Семейство {Иа, ха} называется
дифференциалы-юй структурой на S.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
507
Из условия 2 немедленно следует, что «Замена параметров»
есть диффеоморфизм.
W=x .(U.)n xf, .. U ,)
x.' (W)
/
x/(W)
Рисунок 5.46
Замечание 1. Иногда бывает полезно добавить дальнейшие требова­
ния и говорить, что дифференциальная структура должна быть максималь­
ной относительно условий 1 и 2. Это означает, что любое другое семейст­
во, удовлетворяюшее условиям 1 и 2, уже содержится в семействе
{Иа,ха}.
Сравнение предыдущего определения с определением регулярной по­
верхности в R 3 (определение 1 раздела 2.2) показывает, что главным явля­
ется включение закона преобразования параметров (что является теоремой
для поверхностей в R 3
, ер. предложение 1 раздела 2.3) в определение аб­
страктной поверхности. Так как это свойство позволяло нам определить
дифференцируемые функции на поверхностях в R 3 (определение 1 разде­
ла 2.3,), мы можем дать.

508
ГЛАВА5
Определение 2. Пусть S1 и S2 -
абстрактные поверхности. Отобра­
жение ер: S1 ~ 82 называется дифференцируемым в р Е Sp если для за­
данной параметризации у : V ~ R 2 ~ 8 2 в окрестности ср(р) существует
такая параметризация х : И с R 2 ~ 81 в окрестности р , что
ср(х(И)) с y(V) и отображение
(1)
дифференцируемо в точке х-1 (р). ер дифференцируемо на Sp если оно
диффренцируемо в каждой точке р Е S1 (рис. 5.4 7).
<p(x(U))
x(U)
<р(р)
р
'Р
у
х
·1
уо'Рох
Рисунок 5.47
Очевидно, в силу условия 2, что определение не зависит от выбора па­
раметризаций. Отображение (1) называется выражением rp в параметриза­
циях х, у.
Таким образом, абстрактная поверхность позволяет говорить о диф­
ференцируемых функциях, и мы сделали первый шаг к обобщению внут­
ренней геометрии.
Пример 1. Пусть S 2 ={(x,y,z)ER3; x
2
+y
2
+z
2
=1} - единичная
сфера, и пусть А: S2 ~ S2
-
антиподальное отображение, то есть
A(x,y,z) = (-x,-y,-z). Пусть Р
2
-
множество, полученное из S 2 ото-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
509
ждествлением р с А(р); обозначим 7r: S
2
- 4 Р 2 естественную проекцию
7r(p) = {р, А(р)}. Покроем S 2 такими параметризациями Ха : иа -4 S 2
,
что xa(Ua)nAo x,;x(U,J=cp. Из того факта, ЧТО S 2
-
регулярная поверх­
ность и А - диффеоморфизм, следует, что Р 2 вместе с семейством
{Ua,1foxa} есть абстрактная поверхность, обозначаемая Р 2 . Р 2 называ­
ется вещественной проективной тюскостью.
Пример2. Пусть ТсR3
-
тор вращения (пример 4 раздела 2.2)
сцентром в (О,О,О)ЕR3
,
и пусть А : Т -4 Т определяется равенством
A(x,y,z) = (-x,-y,-z) (рис. 5.48). Пусть К
-
фактор-пространство Т по
отношению эквивалентности р ~ А(р); обозначим 7r : Т ~ К отображе­
ние 7r(р) = {р, А(р)}. Покроем тор такими параметризациями ха: Ua ~ Т,
что xa(Ua)nAoxa(Ua)=ф. Как прежде, можно доказать, что К с семей­
ством {Иа, 7r о ха} есть абстрактная поверхность, которая называется бу­
тылкой Клейна.
Рисунок 5.48
Теперь нам нужно каждой точке абстрактной поверхности S сопоста­
вить касательную плоскость. Опять удобно использовать наш опыт, накоп-
ленный для поверхностей в R 3 (раздел 2.4). Там касательная плоскость
была множеством касательных векторов в точке, определённых как ско­
рость в этой точке кривой на поверхности. Таким образом, мы должны оп­
ределить, что такое касательный вектор кривой на абстрактной поверхно-
сти. Поскольку мы не имеем вмещающего пространства R 3
, мы должны
искать характеристическое свойство касательных векторов кривых, кото­
рое не зависит от R 3
.

510
ГЛАВА5
Следующие рассуждения будут мотивировать определение, которое
будет дано ниже. Пусть а: (-е, е) ~ R 2
-
диффереIЩируемая кривая в R 2
,
где а(О) = р. Запишем a(t) = (u(t), v(t)), t Е (-е, е), и а'(О) = (и'(О), v'(O)) =
= w. Пусть f - диффереIЩИруемая функция, определённая в окрестности р.
Мы можем ограничить f на а и выразить производную f по направле­
нию w следующим образом:
(дf du дf dv)
=
дudt+дvdt
t=O
t=O
dt
{ ')д 'д}
=
и(О-+v(О)- f.
ди
дv
d(fоа)
Таким образом, производная по направлению вектора w есть оператор на
множестве дифференцируемых функций, который зависит только от w. Это
характеристическое свойство касательных векторов, которое мы искали.
Определение 3. Дифференцируемое отображение а: (-t:, t:) ~ S на­
зывается кривой на S. Предположим, что а(О) = р, и пусть D - множест­
во функций на S, которые дифференцируемы в р. Касательным вектором
кривой а при t =О называется функция а'(О): D ~ R, определяемая ра­
венством
a'(O)(f)= d(fоа) 1 , f ЕD.
dt
t=O
Касательным вектором в точке рЕ S называется касательный вектор
в точке t =О некоторой кривой а: (-t:, t:) ~ S, где а(О) = р.
Выбирая параметризацию х: И ~ S вблизи р = х(О, О), мы можем
представить в х функцию f и кривую а соответственно как f(u, v)
и (u(t), v(t)). Следовательно,
a'(O)(f) =!!._(/о а) = !!._(f(u(t), v(t))
dt
dt
t=O
t=O
= и'(о)(д!) +v'(о)(д!) ={и'(о)(j_) + v'(o)(j_) }<л.
дио
дvо
дио
дvо
Это подсказывает, при заданных координатах (и, v) вблизи р, обозначение
(д/ди) 0 касательного вектора в р, который отображает функцию f
в (дf/ди) 0 ; аналогичное значение будет приписано символу (д/дv) 0 . Заме­
тим, что (д/ди) 0 , (д/дv)0 можно истолковать как касательные векторы
к «координатным линиям»
и~х(и,О), v~х(О,v)
соответственно (рис. 5.49).

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
511
v
и =и0
Рисунок 5.49
Из предыдущего следует, что множество касательных векторов в р
с обычными операциями для функций есть двумерное векторное простран­
ство ТР (S) , называемое касательным пространством S в р. Ясно также,
что выбор параметризации х : И -7 S вблизи р определяет присоединён­
ный базис {(д/ди)q,(д/дv)q} пространства Tq(S) для любой точки
qE x(U).
Имея понятие касательного пространства, мы можем распространить
на абстрактные поверхности определение дифференциала.
Определение 4. Пусть S 1 и S2 - абстрактные поверхности, и пусть
qJ: S1 -7 S2 - дифференцируемое отображение. Для каждой ТОЧКИ р Е S1
и каждого вектора wE TP(S1) рассмотрим дифференцируемую кривую
а: (-t:,t:)-7SP где а(О)=р, d(O)=w. Положим fJ=rpoa. Отображение
drpP: T/S1) -7 Tlf'(pJ(S2 ), определяемое равенством drp/w) = /J'(O) есть кор­
ректно определённое линейное отображение, называемое дифферен­
циалом rp в р.
Доказательство того, что dcpp корректно определено и линейно, точно
такое же, как доказательство предложения 2 в разделе 2.4 .
Теперь мы в состоянии сделать последний шаг в нашем обобщении
внутренней геометрии.
Определение 5. Геометрической поверхностью (римановым многооб­
разием размерности 2) называется абстрактная поверхность S вместе
с выбором скалярного произведения ( , ) Р в каждом ТР ( S), р Е S, которое

512
ГЛАВАS
дифференцируемо зависит от р в следующем смысле. Для некоторой
(и, следовательно, любой) параметризации х: И ~ S вблизи р функции
Е(и,v)=\:и' :J, F(и,v)=\:и' :J. G(и,v)=\:v' :J
являются дифференцируемыми функциями на И. Скалярное произведение
( , ) часто называют (римановой) метрикой на S.
Теперь простое дело - распространить на геометрические поверхно­
сти понятия внутренней геометрии. В самом деле, по функциям E,F,G мы
определяем символы Кристоффеля для S с помощью системы 2 разде­
ла 4.3. Так как понятия внутренней геометрии бьши определены в терми­
нах символов Кристоффеля, их можно теперь определить на S.
Так, ковариантные производные векторных полей вдоль кривых зада­
ются равенством (1) раздела 4.4 . Существование параллельного переноса
следует из предложения 2 раздела 4.4, а геодезическая есть такая кривая,
что поле её касательных векторов имеет нулевую ковариантную производ­
ную. Гауссова кривизна может быть определена либо равенством (5) раз­
дела 4.3, либо в терминах параллельного переноса, как это сделано в раз­
деле 4.5 .
Что это введёт в рассмотрение некоторые новые и интересные объек­
ты, можно увидеть из следующих соображений. Мы начнём с примера,
связанного с теоремой Гильберта.
Пример 3. Пусть S == R
2
-
плоскость с координатами (и, v); опреде­
лим скалярное произведение в каждой точке q =(и, v)E R 2, полагая
jj_, j_) =Е =1,
\дидиq
jj_ j_)
=F=O
\ди'дv q
'
R 2 с этим скалярным проиведением есть геометрическая поверхность Н,
называемая гиперболической плоскостью. Геометрия Н отлична от обычой
геометрии R 2
.
Например, кривизна Н равна (раздел 4.3, упражнение 1)
к =- 2k{(fво1+( k 1}:::: -2~" (2
::·J.=-l.
Фактически геометрия Н является точной моделью неевклидовой геомет­
рии Лобачевского, в которой выполняются все аксиомы Евклида, кроме

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
513
аксиомы параллельности (ер. раздел 4.5). Чтобы прояснить этот момент,
найдём геодезические Н.
Если мы посмотрим на дифференциальные уравнения геодезических,
когда Е = 1, F =О (упражнение 2 раздела 4.6), мы увидим немедленно, что
кривые v = const являются геодезическими. Чтобы найти другие геодези­
ческие, удоб но ввести отображение
ф:H~R~={(x,y)ER 2 ; у>О},
полагая ф(и, v) = (v, е -и). Легко видеть, что ф дифференцируемо и, по­
скольку у > О, оно имеет дифференцируемое обратное. Таким образом, ф
есть диффеоморфизм, и мы можем ввести скалярное произведение в R~,
полагая
(dф(w1 ), dф(w2 ))ф(q) =(w1, w2 )q.
Чтобы вычислить это скалярное произведение, заметим, что
дддид
дх дv' ду=-е ди '
следовательно,
(i_ i_)= 2и =-1
а,а е
2,
хх
у
(i_ i_)=o
дх'ду '
R~ с этим внутренним произведением изометрично Н и называется ино­
гда полуплоскостью Пуанкаре.
Чтобы найти геодезические Н, мы работаем с полуплоскостью Пуан­
каре и совершаем две дополнительные замены координат.
Во-первых, фиксируем точку (х0 , О) и полагаем (рис. 5.50)
х-х0 =pcose, y=psinB,
О< е < л:, О< р <+=.Это диффеоморфизм R~ в себя, и
(i_i_)= 1
(i_ 1-) =о
др,др р2sin2е' др 'де
,
Далее, рассмотрим диффеоморфизм R~, определяемый равенствами
(мы хотим заменить е параметром, который является мерой длины дуги
вдоль р = const)
Р1=р, е = re_l_dB
1
Jo sinе
'
что даёт

514
ГЛАВА5
Снова обращаясь к урвнениям геодезических ( F =О, G = 1), мы видим, что
р1 = р = const - геодезические. (Другой способ отыскания геодезических
R~ дан в упражнении 8.)
Геодезические
х,
Рисунок 5.50
Объединяя наши выводы, заключаем, что лучи и полуокружности, ко­
торые перпендикулярны оси у = О, являются геодезическими полуплоско-
сти Пуанкаре R;. Это все геодезические R;, так как через каждую точку
qE R; в каждом направлении, исходящем из q, проходит либо окруж­
ность, касающаяся это направления и перпендикулярная оси у= О, либо
вертикальная прямая (когда направление вертикально).
Геометрическая поверхность R; является полной, то есть геодезиче­
ские можно продолжить ддя любого значения параметра. Доказательство
этого факта будет оставлено в качестве упражнения (упражнение 7;
ер. также упражнение 6).
Легко видеть теперь, что если определить прямые R; как геодезиче­
ские, то все аксиомы Евклида, кроме аксиомы параллельности, выполня­
ются в этой геометрии. Аксиома параллельности в евклидовой
плоскости Р утверждает, что через точку вне прямой можно r с Р можно
провести единственную прямую r' с Р, которая не пересекает r. В R; че­
рез точку вне геодезической у можно провести бесконечное множество
геодезических, которые не пересекают у.
Возникает вопрос: можно ли найти такую регулярную поверхность
в R 3 ? Из этого вопроса естественно вытекает следующее определение.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
515
Определение 6. Дифференцируемое отображение rp: S ~ R 3 абст­
рактной поверхности S в R 3 называется погружением, если дифференци­
ал drpP :T/S)~Tqi(p)(R 3 ) инъективен. Если, кроме того, S имеет метрику
(')и
то rp называется изометрическим погружением.
Заметим, что первое скалярное произведение в предыдущем равенстве
есть обычное скалярное произведение в R 3
, в то время ка к вто рое скаляр­
ное произведение задаётся римановой метрикой на s.
Теорема Гильберта, которая будет доказана в разделе 5.11, утвержда-
ет, что не существует изометрического погружения в R 3 полной гипербо­
лической плоскости. В частности, невозможно найти модель геометрии
Лобачевского, которая была бы регулярной поверхностью в R 3
.
На самом деле нет необходимости ограничиваться пространством R 3
.
Предыдущее определение изометрического погружения полностью сохра-
няет смысл, когда мы заменяем R 3 на R 4 или на произвольное R п. Таким
образом, мы можем расширить наш первоначальный вопрос и спросить:
для каких значений n существует изометрическое погру:ж:ение полной ги-
перболической rтоскости в R n? Теорема Гильберта говорит, что п;::.: 4.
Насколько нам известно, в случае п = 4 решения ещё нет.
Таким образом, введение абстрактных поверхностей вводит новые
объекты и проясняет наше видение важных проблем.
В оставшейся части этого раздела мы разработаем в деталях некото­
рые понятия, только что введённые, и покажем, как они естественным об­
разом приводят к важным обобщениям. Эта часть не является необходи­
мой для понимания следующего раздела.
Рассмотрим дальнейшие примеры.
Пример 4. Пусть R 2
плоскость с координатами (х,у)
и Тт.п :R
2
~R2
-
отображение (сдвиг) Тт,п(х,у)=(х+т,у+п), где т
и п - целые числа. Определим отношение эквивалентности в R 2
,
пола­
гая (х, у) ~ (х1 , у1 ), если существуют такие целые числа т, п, что
тт п<х,у) = (х1,У1). Пусть т - фактор-пространство R 2 ПО этому отно­
шению эквивалентности и те : R
2
~ Т - естественная проекция
rс(х,у)={Тт,п(х,у); длявсехцелыхт,п}. Таким образом, в каждом откры-

516
ГЛАВА5
том единичном квадрате, вершины которого имеют целые координаты,
существует только один представитель Т, и Т можно представлять как
замкнутый квадрат с отождествлёнными противоположными сторонами.
(См. рис. 5.51. Заметьте, что все точки R 2
, обо зна чае мые х, предста вляют
однуитужеточкурвТ.)
х
х
х
о)
у
х
х
х
о1111111•"• 111@
о
!·/
Рисунок 5.51. Тор.
Пустьia :Иа сR2
--?R
2
-
семейство параметризаций R 2
, гдеia-
тождественное отображение, так что Иа птт,пСИа) =ф для любых т, п.
Так как Тт, п - диффеоморфизм, легко проверить, что семейство
(Иа, 7r: о ia) является дифференциальной структурой на Т. Т называется
(дифференцируемым) тором. По самому определению дифференциальной
структуры на Т, отображение n : R
2
-- ? Т дифференцируемо и является

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
517
локальным диффеоморфизмом (конструкция на рис. 5.51 показывает,
что Т диффеоморфен стандартному тору в R 3 ).
Заметим теперь, что Тт п - изометрия R 2
, и введём геометрическую
(риманову) структуру на Т следующим образом. Пусть рЕ Т и VE Тр(Т).
Пусть q1,q2 ER
2
и w1,w2 ER
2
таковы, что n:(q)=n:(q2 )=p и dn:q
1
(w1)=
=dn:q/w2 )=v. Тогда q1 ~q2 ; следовательно, существует такое Тт,п• что
Тт,п(q1 )=q2 , d(Tm,п)q1 (w1 )=w2 • Так как Тт,п -изометрия, Jw1 J=iw2 1.
Определим теперь длину v в Тр(Т), полагая 1v i=I dn:q(w1) l=J w1 1· Из того,
что мы уже видели, следует, что она корректно определена. Очевидно, она
позволяет восстановить скалярное произведение ( , )Р на ТР (Т) для каж-
дой точки р Е Т. Так как это, в сущности, есть скалярное произведение
в R 2 и п: - локальный диффеоморфизм, то ( , ) Р дифференцируемо за­
висит от р.
Заметим, что коэффициенты первой основной формы Т в любой из
параметризаций семейства {Ио., rc о io.} таковы: Е = G = 1, F =О. Таким об­
разом, локально тор ведёт себя подобно евклидову пространству. Напри­
мер, его гауссова кривизна тождественно равна нулю (ер упражнение 1
раздела 4.3). Это согласуется с названием плоский тор, которое обычно да­
ётся Т с только что описанным скалярным произведением.
Очевидно, плоский тор не может быть изометрически погружён в R 3
,
так как в силу компактности он должен иметь точку с положительной кри­
визной (ер. упражнение 16 раздела 3.3, или лемму 1 раздела 5.2). Однако
он может быть изометрически погружён в R 4
.
В самом деле, пусть F : R
2
~ R 4 задано равенством
F(x,y) =-
1
- (cos2nx, sin2nx, cos2ny, sin 2пу).
211:
Так как F(x + т, у+ п) == F(x,y) для любых т, п, мы можем определить
отображение tp:T~R 4 , полагая tp(p)=F(q), где qEn:-
1(p). Очевидно,
tpоп:=F, и, поскольку тс :R
2
~ Т - локальный диффеоморфизм, tp диф­
ференцируемо. Кроме того, ранг dtp равен рангу dF, который, как легко
вычислить, равен 2. Таким образом, tp есть погружение. Чтобы увидеть,
что погружение является изометрическим, заметим сначала, что если

518
ГЛАВАS
е1 = (1, О), е2 =(О, 1) - векторы канонического базиса R 2
,
то векторы
dкq(e1)=fi, dкq(e2)=/2, qE R
2
,
образуют базис Tn(q)(T). По определе­
нию скалярного произведения в Т, (J;, /1) = (е;, е1 ), i, j = 1, 2. Затем мы
вычисляем
и получаем, что
дF = dF(e1) = (-sin27rX, cos27rX, О, О),
дх
~ = dF(e2 ) =(О, О, -sin2ny, cos2ny)
Отсюда следует, что ер - изометрическое погружение, как мы утверждали.
Следует заметить, что образ ep(S) при погружении ер: S 4 R п может
иметь самопересечения. В предыдущем примере ер : Т 4 R
4
взаимно одно­
значно и, кроме того, ер является гомеоморфизмом на свой образ. Удобно
использовать следующую терминологию
Определение 7. Пусть S - абстрактная поверхность. Дифференци­
руемое отображение rp: S 4 R" называется вложением, если rp - погру­
жение и гомеоморфизм на образ S .
Например, регулярная поверхность в R 3 может быть охарактеризова­
на как образ абстрактной поверхности S при вложении ер : S 4 R
3
.
Это
означает, что только те абстрактные поверхности, которые могут быть
вложены в R 3
, можно обнаружить в нашем предыдущем исследовании ре­
гулярных поверхностей в R 3
.
Что это ограничение серьёзное, можно ви­
деть из нижеследующего примера.
Пример 5. Заметим сначала, что определение ориентируемости
(ер. определение 1раздела2.6) можно распространить, не меняя ни одного
слова, на абстрактные поверхности. Рассмотрим теперь вещественное про-
ективное пространство Р 2 примера 1. Мы утверждаем, что Р
2
неориенти­
руемо.
Чтобы это доказать, сделаем сначала следующее общее замечание. Ко­
гда абстрактная поверхность S содержит открытое множество М, диффе­
оморфное ленте Мёбиуса (пример 3 раздела 2.6), она неориентируема.
В противном случае существует семейство параметризаций, покрываю-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИффЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
519
щих S, обладающее тем свойством, что все замены координат имеют по­
ложительный якобиан; ограничение такого семейства на М индуцирует
ориентацию на М, что является противоречием.
Далее, Р2 получается ИЗ сферы S 2 отождествлением диаметрально
противоположных точек. Рассмотрим на S 2 узкую полосу В, образован­
ную открытыми отрезками меридианов, середины которых лежат на полу­
экваторе (рис. 5.52). При отождествлении диаметрально противоположных
точек В, очевидно, становится открытой лентой Мёбиуса в Р2 . Таким об­
разом, Р2 неориентируемо.
1
1
1
1
\
\
\
\
\
Рисунок 5.52. Проективная плоскость содержит ленту Мёбиуса
Аналогичными рассуждениями можно показать, что бутылка
Клейна К примера 2 также неориентируема. Вообще, когда регулярная
поверхность S с R 3 симметрична относительно начала координат в R 3
,
отождествление симметричных точек приводит к неориентируемой абст­
рактной поверхности.
Можно доказать, что компактная регулярная поверхность в R 3 ориен­
тируема (ер. замечание 2 раздела 2.7). Таким образом, Р
2
иКнемогут
быть вложены в R 3
, и то же имеет ме с т о дл я компактных ориенти руемых
поверхностей, образованных, как выше. Таким образом, мы теряем до­
вольно много поверхностей в R 3
.
Поверхности Р 2 и К можно, однако, вложить в R 4
.
Для бутылки
Клейна К рассмотрим отображение G : R
2
~R4
, заданное равенством
G(u, v) = ((rcosv + a)cosu, (rcosv +b)sinu,

520
ГЛАВА5
.
и..и)
rsmvcos-, rsm vsm-
.
2
2
Заметим, что G(и,v)=G(и+2л+4тл, 2пл-v), где тип -целые числа.
Таким образом, G индуцирует отображение l/f пространства, полученного
из квадрата
[О, Ъr]х[О, 27r] с R 2
,
сначала отражением одной из его сторон относительно середины этой сто­
роны, а затем отождествлением противоположных сторон (см. рис. 5.53).
Что зто есть бутылка Клейна, определённая в примере 2, можно увидеть,
отбрасывая открытую половину тора с отождествлёнными диаметрально
противоположными точками и замечая, что оба процесса приводят к одной
и той же поверхности (рис. 5.53).
-
§=f=}=~==}()
Рисунок 5.53.
Бутылка Клейна, погружё11Ш1JI в JR'
с самопересечеШUIМИ
Таким образом, 1/1 - отображение К в R 4
• Заметим далее, что
G(u+4тп-,v+2тп-)=G(u,v).
Отсюдаследует,чтоG= 1/1ап-1ап-,гдеп-:R2
-- t Т есть, по существу, естест­
венная проекция тора Т (ер. пример 4), а 7r1 : Т ~К соответствует отожде­
ствлению «диаметрально противоположных» точек тора. По определению
дифференциальных структур на Т и К, п- и п-1 являются локальными диф-
феоморфизмами. Таким образом, rp : К ~ R 4 дифференцируемо и ранг dl/f
равен рангу dG. Как легко вычислить, он равен 2; следовательно, rp есть

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
521
погружение. Так как К компактно и lfl взаимно однозначно, легко видеть,
что lfl-
1
непрерывно на rp(K). Таким образом, 1f1 - вложение, как мы ут­
верждали.
Для проективной плоскости Р2 рассмотрим отображение F : R
3
4
4R
4
, заданное равенством
F(x,y,z) = (х
2
-у2, ху, xz, yz).
ПустьS2 сR3
-
единичная сфера с центром в начале координат R 3
.
Яс­
но, что ограничение rp = F /S 2 таково, что rp(p) = rp(-p). Таким образом,
rp индуцирует отображение
q;: Р2
4R
4
, где 'iji({p, - р}) =rp(p).
Чтобы увидеть, что rp (следовательно, и 'iji) является погружением, рас­
смотрим параметризацmо х сферы S 2
,
заданную равенством х(х,у) =
= (х, у,+ ~1- х2-у2),гдех2+у2:::;1.Тогда
rpo х(х,у)= (х2 - у2,ху, xD, yD), D =~1-х2 -у2.
Легко проверить, что матрица d(rp ох) имеет ранг 2. Таким образом, 'iji -
погружение.
Чтобы увидеть, что q; взаимно однозначно, положим
х2
-
у2
=а,
ху=Ь, xz=с, yz=d.
(2)
Достаточно показать, что при условии х2 + у
2
+z
2
= 1 уравнения (2) име­
ют только два решения вида (x,y,z) и (-x,-y,-z). В самом деле, можно
записать
x
2
d=Ьс,
z
2
b= cd,
y2c=bd,
х2-у2=а,
х2+у2 +z2 =1,
где первые три уравнения получаются из последних трёх уравнений (2).
(3)
Далее, если одно из чисел Ь, с, d отлично от нуля, уравнения (3) дадут
х2, у
2
иz
2
,
а уравнения (2) определят знак двух координат, если задан
знак одной оставшейся. Если Ь =с= d =О, уравнения (2) и последнее
уравнение (3) показывают, что точно две координаты будут равны нулю,

522
ГЛАВА5
а одна оставшаяся равна ± 1. В каждом случае решение имеет требуемый
вид и 'iji взаимно однозначно.
В силу компактности, ер ограничено, и это завершает рассмотрение
примера.
Если вернуться к определению абстрактной поверхности, мы видим,
что условие 2 не играет существенной роли. Так, мы можем обобщить это
определение на случай произвольного п, и, как мы скоро увидим, это мо­
жет быть полезным.
Определение 1а. Дифференцируемым многообразием размерности п
называется множество М вместе с семейством взаимно однозначных ото­
бражений ха : Иа ~ М таких открытых множеств Иа с R п, что
1) uxa(Ua)=M;
а
2) для каждой пары а, fJ с хс,(Иа)пхр(Ир) * rp множества x~1 (W), x-p
1
(W)
являются открытыми множествами R п и хfз1 о ха, х~
1
о Хр - дифференци­
руемые отображения;
3) семейство {Иа, ха} максимально относительно условий 1и2.
Семейство {Иа, ха}, удовлетворяющее условиям 1 и 2, называется
дифференциальной структурой на М. Данную дифференциальную струк­
туру можно легко дополнить до максимальной, добавляя к ней все воз­
можные параметризации, которые вместе с некоторой параметризацией
семейства {Иа, ха} удовлетворяют условию 2. Таким образом, с некоторой
вольностью речи можно сказать, что дифференцируемое многообразие
есть множество вместе с дифференциальной структурой.
Замечание. Семейство открытых множеств можно определить на М
следующим требованием: V с М есть открытое множество, если для лю-
бого а множество x~1 (V п ха(Иа)) является открытым множеством R п.
Читатели с некоторыми знаниями топологии точечных множеств заметят,
что такое семейство определяет естественную топологию на М. В этой то-
пологии отображение ха непрерывно и множества ха (Иа) открыты в М.
В более глубоких теоремах о многообразиях необходимо наложить неко­
торые условия на естественную топологию М.
Определения дифференцируемых отображений и касательных векто­
ров переносятся слово в слово на дифференцируемые многообразия. Ко-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
523
нечно, касательные векторы являются теперь векторами п -мерного век­
торного пространства. Определения дифференциала и ориентируемости
также непосредственно распространяются на настоящий случай.
В следующем примере мы покажем, как задачи на двумерных многооб­
разиях естественно приводят к рассмотрению многомерных многообразий.
Пример 6 (касателыюе расслоение). Пусть S - абстрактная поверх­
ность и T(S) = {(р, w), рЕ S, wE Tp(S)}. Покажем, что на множестве T(S)
можно задать дифференциальную структуру (размерности 4), называемую
касательным расслоением S.
Пусть {Иа, ха} - дифференциальная структура на S. Будем обозна­
чать (иа, va) координаты на Иа, и {д/диа, д/дvа} - присоединённые ба­
зисы касательных плоскостей ха(Иа). Для каждого а определим отобра­
жение Уа: Иа xR
2
~ T(S), полагая
Геометрически это означает, что мы возьмём в качестве координат точки
(р, w)E T(S) координаты иа, va точки р плюс координаты w в базисе
{д/диа, д/дvа}.
Покажем, что {Иах R 2
, у а} - дифференциальная структура на T(S).
Так как Ua Ха(Иа)=S И (dxa)q(R
2
)=Txa(q)(S), qE Иа, ТО
uу а(Иа xR
2
) = T(S),
а
и этим проверено условие 1 определения la. Пусть теперь
Тогда
Ур1 0 Ya(qa, Wa) =Yp
1
(Xa(qa), dxa(wa)) =
= ((хfз
1
о xa)(qa), d(xfз
1
о xa)(wa)).

524
ГЛАВА5
Так как хД1 аха дифференцируемо, то d(хД
1
аха) также дифференцируе­
мо. Отсюда следует, что у-р1 о Уа дифференцируемо, и условие 2 определе­
ния 1а проверено.
Касательное расслоение S является естественным пространством,
с которым мы работаем, когда имеем дело с дифференциальными уравне­
ниями второго порядка на S. Например, уравнения геодезических на гео­
метрической поверхности S можно записать в координатной окрестности
в виде (ер. раздел 4.7)
и"= J1 (и,v,u', v'),
V
8
= f 2(u, v,u', v').
Классический приём введения новых переменных х =и', у = v', сводящий
предыдущую систему к системе уравнений первого порядка
х' = J;(u, v,x,y),
у'= fz(u, v,x,y),
и'= fз(u,v,x,y),
v' = h(u,v,x,y),
(4)
можно истолковать как введение в рассмотрение касательного рас­
слоения Т с координатами (и, v,x,y) и взгляд на геодезические как траек­
тории векторного поля, заданного локально на T(S) уравнениями (4).
Можно показать, что такое векторное поле корректно определено на всём
T(S), то есть в пересечении двух координатных окрестностей векторные
поля, заданные равенствами (4), совпадают. Это поле (или, предпочтитель­
нее, его траектории) называют геодезическим потоком на T(S). Это самый
естественный объект для работы при изучении глобальных свойств геоде­
зических на S.
Если вернуться к разделу 4.7, мы заметим, что использовали в скры­
той форме многообразие T(S). Так как мы интересовались только локаль­
ными свойствами, мы могли обойтись координатной окрестностью (кото­
рая, по существу, является открытым множеством R 4 ). Однако даже эта
локальная работа становится чище, когда в рассмотрение вводится понятие
касательного расслоения.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
525
Конечно, мы можем определить также касательное расслоение много­
образия произвольной размерности п. За исключением обозначений, дета­
ли - те же самые и будут оставлены в качестве упражнения.
Мы можем также обобщить понятие геометрической поверхности на
случай произвольной размерности.
Определение 5а. Римановым многообразием называется п-мерное
дифференцируемое многообразие М вместе с выбором для любой точки
р Е М скалярного произведения ( , ) Р в Т/М), которое дифференцируе-
мо зависит от р в следующем смысле. Для некоторой (следовательно, для
любой) параметризации Ха: иа ---tM с рЕ ха(Иа) функции
gij(ul' ... ,un)=(д~;' д~J ), i,j=l, ... ,n,
дифференцируемы на х~1 (р); здесь (ир ... ,и")
-
координаты Иа с R ".
Дифференцируемое семейство {( , ) Р , р Е М} называется римановой
структурой (или римановой метрикой) на М.
Заметьте, что в случае поверхностей мы использовали традиционные
обозначенияg11 =Е, g12 =g21 =F, g22 =G.
Обобщение понятий внутренней геометрии на римановы многообра­
зия не столь непосредственное, как в случае дифференцируемых многооб­
разий.
Во-первых, мы должны определить понятие ковариантной производ­
ной для римановых многообразий. Для этого выберем параметризацию
x:U---tM с координатами (и1 " •• ,ип) и положим Х;=д/ди;. Тогда
giJ =(х;,х 1 ).
Мы хотим определить понятие ковариантной производной Dwv век­
торного поля w. Желательно, чтобы Dw v обладало свойствами, которые
мы использовали и которые оказались эффективными в проuшом. Прежде
всего, это свойства дистрибутивности прежней ковариантной производной.
Таким образом, если и, v, w - векторные поля на М и f, g - диффе­
ренцируемые функции на М, мы хотим, чтобы
Dfu+gw = f Duv+ gDwv,
Du(.fV+gw)=fDuv+ дf v+gDuw+ дg w,
ди
ди
(5)
(6)

526
ГЛАВА5
где дf/ди, например, есть функция, значение которой в точке р Е М равно
производной (/о а)'(О) ограничения f на кривую а: (-е, е) ~ М,
а(О) = р, а'(О) =и.
Равенства (5) и (6) показывают, что ковариантная производная D
вполне определена, если мы знаем её значения на базисных векторах
п
Dx;X j =rгtxk, i, j, k =1, ... ,п,
k=l
где коэффициенты ГJ - функции, которые ещё следует определить.
Во-вторых, мы хотим, чтобы rJ были симметричны по i и j (ГJ =
k
= Г1;), то есть
Dxх1.=Dx.х. длялюбыхi,j.
'
J'
(7)
В-третьих, мы хотим, чтобы выполнялось првило дифференцирования
произведения, то есть
дд (x;,x1)=(DxkX;,x1)+(x;,Dxkx1).
(8)
uk
Из равенств (7) и (8) следует, что
дд (х;, х1) + _j __(x 1, xk )-_}_(xk, Х;) = 2(Dx;xk, х1),
uk
ди;
ди1
или, что то же,
дд gij+-ддg1k_дд gk;=2IгfkglJ.
Щ
И;
Uj
z
Так как det(gij) *О, мы можем решить последнюю систему и полу­
чить rJ как функции компонент римановой метрики g ij и их производных
(читатель должен сравнить систему вверху с системой (2) раздела 4.3). Ес­
ли мы представим gij как элементы матрицы и обозначим элементы её об-
ратной матрицы gij, то решение предыдущей системы примет вид
гJ =_!_ Lgkz(дgu + дg1z _ дgij)·
21
ди1 ди; ди1
Таким образом, для данной римановой структуры на М существует
единственная ковариантная производная на М (называемая также связно­
стью Леви-Чивита данной римановой структуры), удовлетворяющая усло­
виям (5)-{8).

_________
ГЛ_О_Б_А__сЛЬ_Н_А_я.-'-Сд,_и_Ф_Ф_Е_Р_Е_Н_Ц,_ИА_ЛЬ_Н_АЯ_Г_Е:_сО_М_Е_Т_Р_:_И::_Я:_________ :_527
Исходя из ковариантной производной, мы можем определить парал­
лельный перенос, геодезические, геодезическую кривизну, экспоненциаль­
ное отображение, полноту и т. д. Определения точно такие же, как прежде.
Понятие кривизны, однако, требует более тщательной разработки. Сле­
дующее понятие, принадлежащее Риману, является, возможно, лучшим
аналогом в римановой геометрии понятия гауссовой кривизны.
Пусть рЕ Ми а с ТР(М) - двумерное подпространство касательно-
го пространства Тр(М). Рассмотрим все те геодезические М, которые вы­
ходят из р и касаются а. Из того факта, что экспоненциальное отображе­
ние является локальным диффеоморфизмом в окрестности нуля ТР(М),
можно показать, что малые отрезки геодезических образуют абстрактную
поверхность S, содержащую р. S имеет естественную геометрическую
структуру, индуцированную римановой структурой М. Гауссова кривизна S
в р называется секционной кривизной К(р, а) многообразия М в точке р
в направлении II.
Можно формализовать секционную кривизну в терминах связности
Леви-Чивита, но это слишком технически сложно для изложения здесь.
Мы упомянем только, что большинство теорем этой главы можно сформу­
лировать как естественные задачи римановой геометрии. Истинность неко­
торых из этих результатов проверяется с незначительными модификация­
ми или без модификаций предыдущих доказательств. (Теорема Хопфа­
Ринова, теорема Бонне, первая теорема Адамара и теоремы Якоби - все
они из этого класса.) Другие, однако, требуют дополнительных предполо­
жений, чтобы оставаться верными (вторая теорема Адамара, например),
и были исключены из дальнейшего изложения.
Полное изложение вышеупомянутых идей ввело бы нас в сферу рима­
новой геометрии. Мы должны остановиться здесь и отослать читателя
к библиографии в конце книги.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Введите метрику в проективной плоскости Р
2
(ер. пример 1) так, чтобы
естественная проекция 7т:: S 2 ~ Р
2
была локальной изометрией. Какова
(гауссова) кривизна такой метрики?
2. (Бесконечная лента Мёбиуса.) Пусть
C={(x,y,z)ER3
;х
2
+у2 =1}

528
ГЛАВА5
цилиндр и А: C--t С - отображение (антиподальное) A(x,y,z) =
=(-x,-y,-z). Пусть М
-
фактор-пространство С по отношению к экви­
валентности р - А(р) и 7r: С --t М - отображение 7r(p) = {р, А(р)},
рЕ С.
а. Покажите, что на М можно задать дифференциальную структуру так,
что 7r будет локальным диффеоморфизмом ( М тогда называется беско­
нечной лентой Мёбuуса).
Ь. Докажите, что М неориентируемо.
с. Введите на М риманову метрику так, чтобы 7r было локальной изомет­
рией. Какова кривизна такой метрики?
3. а. Покажите, что проекция n:: S
2
--tР
2
сферы на проективную плоскость
обладает следующими свойствами: (1) 7r непрерывно и 7r(S 2 ) = Р
2
; (2) ка­
ждая точка р Е Р2 имеет такую окрестность И, что 7r -l (И) = Vi u V2 , где Vi
и V2 - непересекающиеся открытые множества S 2
, и ограничение 7r на
каждую V;, i = 1, 2, есть гомеоморфизм на И. Таким образом, 7r формально
удовлетворяет условиям накрывающего отображения (см. определение 1
раздела 5.6) с двумя листами. Поэтому мы говорим, что S 2
-
ориентируе­
мое двойное накрытие Р2 •
Ь. Покажите, что в этом смысле тор Т является ориентируемым двойным
накрытием бутьшки Клейна К (ер. пример 2) и цилиндр является ориенти­
руемым двойным накрытием бесконечной ленты Мёбиуса (ер. упраж­
нение 2).
4. (Ориентируемое двойное накрытие.) Это упражнение даёт общую кон­
струкцию ориентируемого двойного накрытия неориентируемой поверх­
ности. Пусть S - абстрактная, связная, неориентируемая поверхность.
Для каждой точки рЕ S рассмотрите множество В всех базисов Tp(S)
и назовите два базиса эквивалентными, если они связаны матрицей с по­
ложительным детерминантом. Очевидно, что это - отношение эквива­
лентности, и оно разбивает В на два непересекающихся множества
(ер. раздел 1.4). Пусть (9Р
-
фактор-пространство В по этому отношению
эквивалентности. (9Р имеет два элемента, и каждый элемент ОР Е (9Р есть
ориентация TP(S) (ер. раздел 1.4). Пусть S - множество
S={(p,Op); pES;OPEl9p}.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
529
Чтобы задать на S дифференциальную структуру, выберите макси­
мальную дифференциальную структуру {Иа, ха} на S и определите
Ха: Иа ~ S, полагая
Ха(Иа, va) = ( ха(Иа, va), [ д~а' a~J}
Где (иа, Va)E Ua И [д/диа, д/дvJ обозначает элемент {9Р' определяемый
базисом {д/диа, д/дvа}. Покажите, что
а) {Иа, ха} есть дифференциальная структура на S и S с этой структурой
является ориентируемой поверхностью;
Ь) отображение 7r:: S~ S, заданное равенством 7r:(p, ОР) = р, является
дифференцируемым сюръективным отображением. Кроме того, каждая
точка рЕS имеет такую окрестность И, что 7r:-!(И) = V) u V2, где V)
и V2 - непересекающиеся открытые подмножества S и 7r:, ограниченное
на каждое V;, i = 1, 2, есть диффеоморфизм на И. Поэтому S называется
ориентируемым двойным накрытием S.
5. Обобщите теорему Гаусса-Бонне (см. раздел 4.5) на ориентируемые
геометрические поверхности и примените её для доказательства следую­
щих фактов.
а. Не существует римановой метрики на абстрактной поверхности Т,
диффеоморфной тору, такой, что её гауссова кривизна положительна (или
отрицательна) во все точках Т.
Ь.ПустьТиS2
-
абстрактные поверхности, диффеоморфные соответ­
ственно тору и сфере, и пусть ер: Т ~ S 2
-
дифференцируемое отображе­
ние. Тогда ер имеет по крайней мере одну критическую точку, то есть та­
кую точку р Е Т, что depp =О.
6. Рассмотрите верхнюю полуплоскость R~ (ер. пример 3) с метрикой
1
2
E(x,y)=l, F(x,y)=O, G(x,y)=-, (x,y)ER+.
у
Покажите, что длины векторов становятся сколь угодно большими, когда
мы приближаемся к границе R~, хотя длина вертикального отрезка
х=О, о<G~у~1

530
ГЛАВА5
стремится к 2 при е -t О. Заключите, что такая метрика неполна.
7*. Докажите, что полуплоскость Пуанкаре (ер. пример 3) является полной
геометрической поверхностью. Заключите, что гиперболическая плоскость
полна.
8. Другой способ отыскания геодезических в полуплоскости Пуанкаре
(ер. пример 3) состоит в использовании уравнения Эйлера-Лагранжа для
соответствующей вариационной задачи (ер. упражнение 4 раздела 5.4). Так
как мы знаем, что вертикальные прямые являются геодезическими, мы
можем ограничиться геодезическими вида у= у(х). Таким образом, мы
должны искать критические точки интеграла (F =О)
f~Е+ G(y')2dx = f~1+(у')2 dx,
у
поскольку Е = G = 1/у 2 • Используйте упражнение 4 раздела 5.4, чтобы по­
казать, что решением этой вариационной задачи является семейство кри­
вых вида
(х+k1)
2
+у
2
= k], kl' k2 = const.
9. Пусть S и S - связные геометрические поверхности, и пусть
ir : S ~ S - дифференцируемое отображение, обладающее следующим
свойством: для каждой точки р Е S существует такая окрестность И точ-
ки р, что ir-
1
(U)=uaVa, где Va - открытые непересекающиеся подмно­
жества S и ir, ограниченное на каждое Va, есть изометрия на И (то есть ir,
по существу, есть накрывающее отображение и локальная изометрия).
а. Докажите, что S полна тогда и только тогда, когда полной является S.
Ь. Является ли метрика бесконечной ленты Мёбиуса, введённая в упраж­
нении 2, часть (с), полной метрикой?
10. (Результаты Каздана--Уорнера.)
а. Пусть метрика на R 2 задана следующим образом:
E(x,y)=l, F(x,y)=O, G(x,y)>O, (x,y)ER2
.

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Покажите, что кривизна этой метрики задаётся уравнением
д2(.jG)
--
2
- +K(x,y)-JG =0.
дх
531
(*)
Ь. Обратно, для заданной функции К(х,у) на R 2 примите у в качестве
параметра, и пусть Гс - решение (*) с начальными условиями
дГс
Гс(хо,У) = 1, --(х0 ,у) =О.
дх
Докажите, что функция G положительна в окрестности (х0 ,у) и, таким
образом, определяет метрику в этой окрестности. Это показывает, что ка­
:ждая дифференцируемая функция локально является кривизной некоторой
(абстрактной) метрики.
с*. Предположите, что К(х,у)~О для всех (х,у)Е R 2
.
Покажите, что ре­
шение в части (Ь) удовлетворяет условию
.JG(x,y) ~ .JG(x0 ,y) = 1 для любого х.
Таким образом, G(x,y) определяет метрику на всём R 2
.
Докажите также,
что эта метрика полна. Это показывает, что любая неполо:жительная диф­
ференцируемая функция на R 2 является кривизной некоторой полной
метрики на R 2
.
Если мы не требуем, чтобы бьша полной, результат верен
для любой дифференцируемой функции К на R 2
.
Сравните работу
J. Kazdan and F. Wamer, "Curvature Functions for Open 2-Manifolds'', Апп. of
Math. 99 (974), 203-219, где доказано также, что условие на К, заданное
в упражнении 2 раздела 5.4, необходимо и достаточно для того, чтобы
метрика была полной.
5.11 . Теорема Гильберта
Теорема Гильберта может быть сформулирована следующим образом.
Теорема. Полная геометрическая поверхность S постоянной отри­
цательной кривизны не мо:жет быть изометрически погру:жена в R 3
·
Замечание 1. Теорема Гильберта была впервые рассмотрена в работе
D. Hilbert, "Uber FJiichen von konstanten Gausscher Кriimmung", Traпs.
Amer. Math. Soc. 2 (1901), 87-99 . Другое доказательство было дано вскоре
в работе Е. Holmgren, "Sur les surfaces 'а courbure constante negative",
С R. Acad. Sci. Paris 134 (1902), 740-743. Доказательство, которое

532
ГЛАВА5
мы представим здесь, следует первоначальным идеям Гильберта. Локаль­
ная часть в основном та же, что и в работе Гильберта; глобальная часть,
однако, существенно отлична. Мы хотим поблагодарить Д. А. Шенкмана
за помощь в разработке этого доказательства и М. Спивака за предложение
приведённой ниже леммы.
Мы начнём с некоторых замечаний. Умножая скалярное произведение
на постоянный множитель, можно получить, что кривизна К =- 1 . Кроме
того, поскольку ехр Р : ТР (S) ~ S есть локальный диффеоморфизм (след-
ствие теоремы раздела 5.5), он индуцирует скалярное произведение
в Tp(S). Обозначим S' геометрическую поверхность Tp(S) с этим скаляр-
ным произведением. Если lfl : S ~ R 3
-
изометрическое погружение, это
верноидляrp=1f1оехрР:S'~R3
.
Таким образом, мы приuши к доказа­
тельству того, что не существует изометрического погружения rp: S' ~
~ R 3 плоскости S' с таким скалярным произведением, что К = -1 .
Лемма 1. Площадь S' бесконечна.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что S' (глобально) изометрична гипербо­
лической плоскости Н. Так как площадь последней равна (ер. пример 3
раздела 5.10)
f:f:е"dudv =ос,
это докажет лемму.
Пусть рЕ Н, р' Е S'; выберем линейную изометрию lj/: ТР(Н) ~ TP,(S')
между двумя касательными пространствами. Определим отображение rp :
Н ~ S', полагая tp = ехр р'о lf/ о ехр~1 • Так как каждую точку Н можно со­
единить с р единственной кратчайшей геодезической, rp корректно опре­
делено.
Используем теперь полярные координаты (р, 8) и (р', 8') вблизи р
и р' соответственно, требуя, чтобы rp отображало ось 8 =О в ось 8' =О.
В силу результатов раздела 4.6 rp сохраняет первую основную форму; сле­
довательно, оно является локальной изометрией. Используя замечание,
сделанное после теоремы Адамара, заключаем, что rp - накрывающее
отображение. Так как S' односвязна, rp есть гомеоморфизм и, следова­
тельно, (глобальная) изометрия.
О

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
533
До конца этого раздела мы будем предполагать, что существует изо­
метрическое погружение rp: S' ~ R 3 , где S' -
геометрическая поверх­
ность, гомеоморфная плоскости, кривизны К =-1.
Чтобы избежать трудностей, связанных с возможными самопересече­
ниями rp(S'), мы будем работать с S' и использовать погружение rp, чтобы
индуцировать на S' локальную внешнюю геометрию rp(S') с R 3. Более
ТОЧНО, ПОСКОЛЬКУ rp - погружение, ДЛЯ каждой ТОЧКИ р Е S' существует
такая окрестность V' с S' точки р, что ограничение rp /V' == ijf есть диффе­
оморфизм. В каждой точке ijf(q)E ijf(V') существуют, например, два асим­
птотических направления. Посредством ijf эти направления индуцируют
два направления в точке q Е S', которые будем называть асимптотиче­
скими направлениями на S' в точке q. Таким образом, имеет смысл гово­
рить об асимптотических линиях на S' и ту же процедуру можно приме­
нить к любому другому локальному объекту rp(S').
Напомним теперь, что координатные линии параметризации состав­
ляют чебышевскую сеть, если противоположные стороны любого четы­
рёхуrольника, образованного ими, имеют равные длины (ер. упражнение 7
раздел 2.5). Если это так, координатную окрестность можно параметризо­
вать таким образом, что Е == 1, F = cos В, G = 1, где () - угол, образован­
ный координатными линиями (упражнение 8 раздела 2.5). Кроме того, при
этих условиях К== -(Buv /sin В) (упражнение 5 раздела 4.3).
Лемма 2. Для каждой точки р Е s' существует такая параметриза­
ция х: и с R 2 ~ s'' р Е x(U), что координатные линии х являются асим­
птотическими линиями x(U) = V' и образуют чебышевскую сеть (мы бу­
дем говорить, что асимптотические линии V' образуют чебышевскую
сеть).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как к< о, окрестность v' с s' точки р можно
параметризовать посредством х(и, v) так, что координатные линии будут
асимптотическими линиями V'. Таким образом, если e,f и g- коэффи­
циенты второй основной формы S' в этой параметризации, то е == g ::=О.
Заметим, что мы используем принятое выше соглашение обращаться ко
второй основной форме S' вместо второй основной формы rp(S') с R 3
.
Далее, на rp(V') с R 3

534
ГЛАВА5
следовательно, вводя D = .J EG - F
2
, получаем
(N лNv)u -(N лNu)v =2(Nu лNv)=2KDN.
Кроме того,
1
1
N л Nи =-{(хил xv) л Nu} =-{(хи, Nu)xv -(xv, Nи)хи} =
D
D
1
= D(fxu- exv)
и, аналогично,
1
NЛNv= D(gxu- fxv).
Так как K=-1=-(f2 /D 2
) и e=g=O, получаем
N лNи =±хи, N лNv =±xv;
следовательно,
2KDN = -2DN = ±xuv ± хvи = ±2xuv.
Отсюда следует, что вектор хиv коллинеарен N; следовательно, Ev =
=2(хиv,хи)=О и Gи =2(xиv,xv)=O. Но равенства Ev =Gu =0 означают
(упражнение 7 раздела 2.5), что координатные линии образуют чебышев­
скую сеть.
D
Лемма 3. Пусть V'сS'-
такая координатная окрестность S', что
координатные линии являются асимптотическими линиями в V'.
Тогда
площадь А любого четырёхугольника, образованного координатными ли­
ниями, меньше 2п:.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть (И, v) - координаты в V'. По лемме 1, коор­
динатные линии образуют чебышевскую сеть. Таким образом, можно па­
раметризовать V', скажем, посредством (и, v) так, что Е = G = 1
и F = cos е. Пусть R - четырёхугольник, образованный координатными
линиями с вершинами (и1 , v1), (и2 , v1), (и2 , v2 ), (и1 , v2 ) и внутренними
углами а1 , а2 , а3 , а4 соответственно (рис. 5.54). Так как Е = G = 1,
F=cosВиеиv=sinВ,получаем
А= JR dA = JRsinBdиdv = JRouv dudv =
= В(и1,v1)-B(u2, v1) +В(и2,v2)-В(щ, v2) =

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
4
=а1 +а3 -(п:-а2 )-(п:-а4 ) = La; -211: < 211:,
i=l
поскольку ai < х.
Рисунок 5.54
535
о
До сих пор рассуждения были локальными. Определим теперь ото­
бражение х : R
2
- t S' и покажем, что х - параметризация S' в целом.
Отображение х определяется следующим образом (рис. 5.55). Фикси­
руем точку О Е S' и выберем ориентации асимптотических линий, прохо­
дящих через О. Выберем одну из этих линий, назовём её а1 и обозначим
другую а2 • Для каждой точки (s, t)E R 2 отложим на а1 отрезок длины s
от точки О. Пусть р' - полученная точка. Через р' проходят две асим­
птотические линии, одна из которых есть а1 . Выберем другую и зададим
на ней ориентацию, полученную непрерывным протяжением вдоль а1 ори­
ентации а2 . На этой ориентированной асимптотической линии отложим
отрезок длины t от точки р'. Полученная таким образом точка есть x(s, t).
x(s,t)
Рисунок 5.55

536
ГЛАВА5
Точка x(s, t) корректно определена для всех (s, t) Е R 2
.
В самом деле,
если x(s, О) не определена, то существует такое s 1, что а1 (s) определена для
всех s < s1, но не определена для s =s1. Пусть q =lims--?si а1(s). В снлу пол­
ноты q Е S'. Применяя лемму 2, мы видим, что а1 (s 1) определена, что явля­
ется противоречием и показывает, что x(s, О) определена для всех sE R. Та­
кие же рассуждения показывают, что x(s, t) определена для всех t Е R .
Теперь мы должны показать, что х - параметризация S'. Это будет
сделано посредством серии лемм.
Лемма 4. Для фиксированного t кривая x(s,t), -оо < s < оо, является
асимптотической линией с длиной дуги s.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для каждой точки x(s', t')E S', по лемме 2, сущест­
вует такая «прямоугольная» окрестность (то есть окрестность вида
ta < t < tь, sa < s < sь), что асимптотические линии этой окрестности об­
разуют чебышевскую сеть. Заметим, во-первых, что если для некоторого
t0 , ta < t0 < tь, кривая x(s, t0 ), sa < s < sь, является асимптотической лини­
ей, то это имеет место для любой x(s, t), ta < t < tь. В самом деле, точка
x(s, f) получается откладыванием отрезка длины t от x(s, О), что равно­
сильно откладыванию отрезка длины t -t0 от x(s, t 0 ). Так как асимптоти­
ческие линии образуют чебышевскую сеть в этой окрестности, отсюда
следует утверждение леммы.
Рисунок 5.56
Далее, пусть x(s1, t1) Е S' -
произвольная точка. В силу компактности
отрезка x(s 1, t), 0<t<t1, его можно покрыть конечным числом таких
прямоугольных окрестностей, что асимптотические линии каждой из них

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
537
образуют чебышевскую сеть (рис. 5.56). Так как x(s, О) - асимптотиче­
ская линия, мы повторно применяем предыдущее замечание и показываем,
что x(s, t 1) есть асимптотическая линия в окрестности s 1• Так как точка
(s1, t 1) бьша произвольной, утверждение леммы доказано.
О
Лемма 5. Отображение х является локальным диффеоморфизмом.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Это следует из того факта, что, с одной стороны,
x(s0 , t), x(s, t0 ) - асимтотические линии, параметризованные длиной дути,
а с другой стороны, S' можно локально параметризовать таким образом, что
координатные линии будут асимптотическими линиями S' и Е = G = 1. Та­
ким образом, х локально совпадает с такой параметризацией.
О
Лемма 6. Отображение х сюръективно.
ДоКАЗАтвльство. Пусть Q = x(R2 ). Так как х есть локальный диффе­
оморфизм, Q открыто в S'. Заметим также, что если р' = x(s0 , t 0 ), то две
асимптотические линии, которые проходят через р', полностью содержат­
сявQ.
Допустим, что Q* S'. Так как S' связно, граница Bd Q * ф. Пусть
р Е Bd Q. Так как Q открыто в S', р ~ Q. Рассмотрим теперь прямоуголь­
ную окрестность R точки р, в которой асимптотические линии образуют
чебышевскую сеть (рис. 5.57). Пусть qE QnR. Тогда одна из асимптоти­
ческих линий, проходящих через q, пересекает одну из асимптотических
линий, проходящих через р. По предыдущему замечанию, это является
противоречием.
о
Рисунок 5.57

538
ГЛАВА5
Лемма 7. На S' существуют два дифференцируемых линейно незави­
симых векторных поля, которые являются касательными к асимптотиче­
ским линиям s'.
ДоклзлТЕЛЬСТВО. Через каждую точку S' проходят две различные
асимптотические линии. Фиксируем точку рЕ S' и выберем два единич-
ных вектора v1 (р) и v2 (р), касательных к асимптотическим линиям, про­
ходящим через точку р. Пусть qE s'
произвольная точка
иа0:[О,/]~s' -
такая дуга, что а0 (0) = р, а0 (/) = q. Определим
v1(a0(s)), sE [О,/], как (единственное) непрерывное продолжение v1(p)
вдоль а0 , которое является касательным к асимптотической линии. Анало­
гично определим v2(a0(s)), sE [О,/]. Мы утверждаем, что v1(q) и v2(q)
не зависят от выбора дуги, соединяющей р с q. Тогда v1 и v2 - коррект­
но определённые непрерывные векторные поля на S', которые являются
касательными к асимптотическим линиям. Следовательно, v1 и v2 диффе­
ренцируемы, и лемма будет доказана.
Чтобы доказать наше утверждение, будем работать с v1; случай v2
аналогичен. Пусть а1 : [О,/]~ S' -
другая дуга, где а1 (О)= р, а1 (/) = q.
Так как S' (которая гомеоморфна плоскости) односвязна (ер. определе­
ние 3 раздела 5.6), существует гомотопия a 1 (s) = H(s, t), sE [О,/], tE [О, 1],
между а0 и а1 (ер. определение 2 раздела 5.6), то есть a 1 (s) есть непре­
рывное семейство дуг, соединяющих р с q. Из непрерывности асимптоти­
ческих направлений и компактности [О,/] следует, что для заданного е >О
существует такое t 0 E[0,l], что если t<t0 , то lv1(a1(/))-v1(a0 (/))l<e. Та­
ким образом, если t0 достаточно мало, то v1( а1 (/)) = v1( а0 (/)) при t < t0 .
Так как множество [О, 1) компактно, мы можем шаг за шагом распростра­
нить это соображение на все tE [О, 1]. Следовательно, v1(а1 (/)) = v1(а0 (/)).
Это доказывает наше утверждение и завершает доказательство леммы.
о
Лемма 8. Отображение х инъективно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Мы хотим показать, что равенство x(s0 , t 0 ) = x(s1, t1)
означает, что (s0 , t0 ) = (s1, t1).
Допустим сначала, что x(s0 , t0) = x(s1, t0), s1 > s0 , и покажем, что это
ведёт к противоречию. По лемме 7, асимптотическая линия не может
иметь самопересечений, если касательные прямые не совпадают в точке
пересечения. Так как х - локальный диффеоморфизм, существует такое
е>О,что

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
539
По той же причине точки кривой x(s0, t), для которой
образуют открытое и замкнутое множество этой кривой; следовательно,
x(s0, t) = x(s1, t) для всех t. Кроме того, по построению отображения х,
x(s0+а,t0) = x(s1+а,t0), О:5а:5s1- s0; следовательно, x(s0+а,t)=
= x(s1 +а, t0 ) для всех t. Таким образом, либо
1) x(s0,t0)*x(s0,t) для любого t>t0 ,либо
2)существует такое t=t1 >t0 , что x(s0,t0)=x(s0,t1); аналогичными рас­
суждениями мы докажем, что x(s,t0 +b)=x(s,t1 +b) для любого s,
О:5Ь:5t1- t0•
В случае 1 х отображает каждую полосу R 2 между двумя вертикаль­
ными ПрЯМЫМИ, С раССТОЯНИеМ S] - So, На S' И ОТОЖДеСТВЛЯеТ ТОЧКИ ЭТИХ
прямых с одним и тем же значением t. Это означает, что S' есть гомео­
морфизм на цилиндр, и это является противоречием (рис. 5.58).
R'
S'
х
... --
-- ...
Рисунок 5.58
В случае 2 х отображает каждый квадрат, образованный двумя гори­
зонтальными прямыми, с расстоянием s1 - s 0 , и двумя вертикальными
прямыми, с расстоянием t 1 - t0 , на S и отождествляет соответствующие
точки границы. Это означает, что S' есть гомеоморфизм на тор, и это яв­
ляется противоречием (рис. 5.59).
Аналогичными рассуждениями мы показываем, что равенство
x(s0, t0 ) = x(s0, t1), t1 > t0 , приводит к противоречию.
Рассмотрим теперь случай x(s0,t0)=x(s1,t1), s1 >s0, t1 >t0 • Исполь­
зуя тот факт, что х есть локальный диффеоморфизм, и связность S', мы
видим, что х отображает на S' полосу R 2 между двумя прямыми, пер-

540
ГЛАВА5
пендикулярными вектору (s1 -s0 , t1 -t0 )ER 2
, с расстоянием между ними,
равным ~(s1 -s0 )
2
+(t1 -t0 )
2
.
Мы можем теперь рассмотреть случаи 1и2,
как в предыдущих рассуждениях, и показать, что S' тогда гомеоморфна
либо цилиндру, либо тору. В каждом случае получаем противоречие.
О
zt
'
о
s
х
-
Рисунок 5.59
Доказательство теоремы Гильберта теперь легко следует из предыдущего.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ. Допустим существование изометрического
погружения 1/1: S -7 R
3
,
где S - полная поверхность с К =-1. Пусть
рЕ S и S' обозначает касательную шюскость Tp(S), снабжённую метри-
кой, индуцированной ехрР: ТР(S) -7 S. Тогда rp = 1/1 а ехрР : S' -7 R
3
-
изометрическое погружение и леммы 5, 6 и 8 показывают существование
такой параметризации х : R
2
- 7 S' плоскости S' в целом, что координат­
ные линии х являются асимптотическими линиями S' (лемма 4). Таким
образом, мы можем покрыть S' объединением таких «координатных пря­
моугольников» Qn , что Qn с Qn+I. По лемме 3, площадь каждого Qn
меньше 2л:. С другой стороны, по лемме 1, площадь S' неограниченна.
Это является противоречием и завершает доказательство.
О
Замечание 2. Теорема Гильберта бьша обобщена Н. В. Ефимовым
в работе «Возникновение особенностей на поверхностях отрицательной
кривизны», Мат. сб. 106 (1954), который доказал следующее предположе­
ние Кон-Фоссена: пусть S - полная поверхность с кривизной К, удовле­
творяющей условию К::; б <О. Тогда не cyщecm(f}'em изометрического по­
груженияS вR3
• Доказательство Ефимова очень длинное, и было бы же­
лательно более короткое доказательство.
Прекрасное изложение доказательства Ефимова можно найти в работе
Klotz Milnor, "Efunov' s Theorem About Complete Immersed Surfaces of Neg-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
541
ative Curvature", Advances in Mathematics 8 (1972), 474-543. Эта работа со­
держит также другое доказательство теоремы Гильберта, которое сохраня­
ется для поверхностей класса С2 .
(Дальнейшие подробности о поrружении гиперболической плоскости
см. в работе М. L. Gromov and V. А. Rokhlin, "Embeddings and Immersions in
Riemannian Geometry", Russian Math. Surveys (1970), 1-57, особенно, стр. 15).
УПРАЖНЕНИЯ
1. (Замечание Стокера.) Пусть S - полная геометрическая поверхность.
Предположите, что гауссова кривизна К удовлетворяет условию
к~д<0.
Покажите, что не существует такого изометрического поrружения
rp:S~R3
, что абсолютная величина средней кривизны Н
оrраниченна.
Это доказывает теорему Ефимова, цитированную в замечании 2, при до­
полнительным условии на среднюю кривизну. Следующий набросок дока­
зательства может быть полезен.
а. Предположите, что такое rp существует, и рассмотрите гауссово отобра­
жение N:rp(S)сR3~S2
,
где S2
-
единичная сфера. Так как К i' О
всюду, N индуцирует новую метрику ( , ) на S требованием, чтобы
N о rp: S ~ S 2 было локальной изометрией. Выберите координаты на S
так, чтобы образы при отображении rp координатных линий были линиями
кривизны rp(S). Покажите, что коэффициенты новой метрики в этой коор­
динатной системе таковы:
g11 =(k1)
2
E, g12 =0, g22 =(k2)
2
G,
где Е, F (=О) и G суть коэффициенты первоначальной метрики в той же
системе координат.
Ь. Покажите, что существует такая постоянная М >О, что kf ~ М,
ki ~ М. Используйте тот факт, что первоначальная метрика полна, чтобы
заключить, что новая метрика также полна.
с. Используйте часть (Ь) для доказательства того, что S компактна; следо­
вательно, она имеет точки с положительной кривизной, что противоречит
условию.
2. Цель этого упражнения - доказать, что не существует регулярной полной
поверхности вращения S в R 3 с К ~ д < О (это доказывает теорему Ефимова
для поверхностей вращения). Допустите существование такой S с R 3
.

542
ГЛАВА5
а. Докажите, что единственно возможными видами производящей кри­
вой S являются те на рисунке 5.60, а и Ь, где меридиан уходит в бесконеч­
ность в обоих направлениях. Заметьте, что на рисунке 5.60, Ь нижняя часть
меридиана асимптотически приближается к оси z.
Ь. Параметризуйте порождающую кривую (rp(s), 'l'(s)) длиной дуги sE R
так, что '!'(О)= О. Используйте уравнение rp" + Krp =О (ер. пример 4 разде­
ла 3.3, равенство (9)) и условие К:-:::; д <О для заключения, что существует
такая точка s 0 Е [О, +ос), где (rp'(s 0 ))
2
=1.
с. Покажите, что каждая из трёх возможностей продолжить меридиан
(rp(s), '!'(s)) поверхности S за точку р0 =(rp(s0 ),1f1(s0 )) (изображены на
рис. 5.60, с как 1, Пи 111) ведёт к противоречию. Таким образом, S не явля­
ется полной.
z
z
у
о
(а)
(Ъ)
Рисунок 5.60
z
о
П1
(с)
3. (Доказательство Т. К. МW!нора теоремы ГWtьберта.) Пусть S - плос­
кость с такой полной метрикой g 1 , что её кривизна К = -1. Допустите, что
существует изометрическое погружение rp: S ~ R 3
.
Чтобы получить про­
тиворечие, действуйте следующим образом.
а) рассмотрите гауссово отображение N: rp(S) с R 3 ~ S 2
,
ипустьg2 -
метрика на S, полученная из требования, что N о rp: S ~ S 2
-
локальная
изометрия. Выберите локальные координаты на S так, что образы при
отображении rp координатных линий являются асимптотическими линия-

ГЛОБАЛЬНАЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
543
ми rp(S). Покажите, что в такой системе координат g 1 можно записать
в виде
du2
+2cos8dudv +dv
2
и что g 2 можно записать в виде
dи2
- 2cosBdudv+ dv
2
;
1
Ь) докажите, что g 3 ==-(g1 + g 2 ) - метрика на S нулевой кривизны. Ис-
2
пользуйте тот факт, что g 1 - полная метрика и 3g3 2 g 1 , чтобы доказать,
что метрика g 3 полна;
с) докажите, что плоскость с метрикой g 3 глобально изометрична стан­
дартной (евклидовой) плоскости R 2
.
Таким образом, существует изомет­
рия rp:S~R2
.
Затем докажите, что rp отображает асимптотические
линии S, параметризованные длиной дуги, в прямоугольную систему пря­
мыхвR2
, параметризованную длиной дуги;
d) используйте глобальную систему координат на S, заданную в части (с),
получите противоречие, как в доказательстве теоремы Гильберта в тексте.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ
ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
В главе 5 мы довольно свободно применяли некоторые элементарные
топологические свойства R п. Обычные свойства компактных и связных
подмножеств R п, как они представлены в дополнительных главах анали­
за, - это, по существу, всё, что требуется. Для полноты мы дадим здесь
краткое изложение этого материала с доказательствами. Мы будем пред­
полагать известными материал приложения к главе 2, часть А, и основные
свойства вещественных чисел.
А. Предварительные сведения
Здесь мы дополним в некоторых пунктах материал приложения к гла­
ве 2, часть А.
Ниже символ И с R п будет обозначать открытое множество в R п.
Индекс i изменяется в области 1, 2, ... ,т, .. "
и если р = (х1 "."хп),
q=(у 1 , ••• ,уп), то lp-ql будет обозначать расстояние от р до q, то есть
1 p-ql2= ~)х; -у;)2,
j
j =1, ... ,п.
Определение 1. Говорят, что последовательность pp ... ,pi' ... E R"
сходится к р0 Е R" , если для заданного t: > О существует такой номер i0
в последовательности, что Р; Е Ве<р0 )для всех i > i0 • В этом случае р0 на­
зывается пределом последовательности {р;}, и это обозначается символом
{р;}....._, Ро·
Сходимость связана с непрерывностью следующим предложением.
Предложение 1. Отображ:ение F: И .......; R" .......; R т непрерывно в точке
р0 Е И тогда и только тогда, когда для любой сходящейся последова­
тельности {р;}.......; р0 в И последовательность {F(p;)} сходится к F(p0 ).

546
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДОIСАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно в точке р0 ,
и пусть задано Е: >О. В силу непрерывности существует такое д >О, что
F(B0 (p0 )) с B"(F(p0)). Пусть {р;}
-
последовательность в И, где
{р;} ~ р0 Е И. Тогда существует зависящий от д номер i0 такой, что
Р;ЕВ0(р0)приi>i0. Таким образом, при i>i0
F(p;)E F(Ba<Po))cBE(F(po)),
а это означает, что {F(p;)} ~ F(p0 ).
Допустим теперь, что F не является непрерывным в точке р0 . Тогда
существует такое число Е: >О, что для любого д >О можно найти точ­
ку рЕ Ва(р0 ) с F(p)<l B"(F(p0)). Фиксируя это Е: и полагая д =
= 1, 1/2,..., l/i,...,
получим последовательность{р;}, которая сходится
к р0 . Однако, поскольку F(p;)<l Be(F(p0 )), последовательность {F(p;)}
не сходится к F(p0 ).
О
Определение 2. Точка р Е R" называется предельной точкой множе­
ства А с R", если каждая окрестность р в R п содержит одну точку А, от­
личную от р.
Чтобы избежать путаницы в понятиях предела последовательности
и предельной точки, последнюю иногда называют точкой накопления.
Определение 2 равносильно высказыванию, что каждая окрест­
ность V точки р содержит бесконечное множество точек А. В самом деле,
пусть q1 * р - точка А, данная в определении, и рассмотрим такой шар
Ве(Р) с V, что q1 <l Ве(р). Тогда существует точка q2 * р, q2 Е А n Ве(р).
Повторяя этот процесс, получаем последовательность {q;} в V, где все
q; Е А различны. Так как {q;} ~ р, рассуждения показывают также, что р
есть предельная точка А тогда и только тогда, когда р является пределом
некоторой последовательности различных точек в А.
Пример 1. Последовательность 1, 1/2, 1/3, ... , l/i, ... сходится к О. По-
следовательность 3/2, 4/3, ... , i + l/i, ... сходится к 1. «Переплетённая» по-
следовательность 1, 3/2, 1/2, 4/3, 1/3, ... ,1+(1/i), l/i, ... не сходится и имеет
две предельные точки, а именно О и 1 (рис. A5. l).
о
111
432
Рисунок А5 .1
43
22
2

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
547
Следует заметить, что предел р0 сходящейся последовательности об­
ладает тем свойством, что любая окрестность р0 - все точки последова­
тельности, кроме их конечного числа, в то время как предельная точка р
множества обладает более слабым свойством, что любая окрестность р
содержит бесконечное множество точек данного множества. Таким обра­
зом, последовательность, которая не содержит постоянной подпоследова­
тельности, сходится тогда и только тогда, когда она как множество содер­
жит только одну предельную точку.
Интересный пример даёт множество рациональных чисел Q. Можно
доказать, что Q счётно, то есть его можно сделать последовательностью.
Так как существуют рациональные числа, сколь угодно близкие к любому
рациональному числу, множество предельных точек последовательности Q
есть вещественная прямая R.
Определение 3. Множество F с R" называется замкнутым, если ка­
ждая предельная точка F принадлежит F. Замыканием А с R", обозна­
чаемым А, называется объединение А и множества его предельных точек.
Интуитивно, F замкнуто, если оно содержит пределы всех своих схо­
дящихся последовательностей, или, другими словами, оно инвариантно
относительно операции перехода к пределу.
Очевидно, что замыкание множества является замкнутым множест­
вом. Удобно принять соглашение, что пустое множество ф одновременно
открыто и замкнуто.
Существует очень простая связь между открытыми и замкнутыми
множествами.
Предложение 2. Множество F с R" замкнуто тогда и только то­
гда, когда дополнение R" - F множества F открыто.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F замкнуто, и пусть рЕ R п -F .
Так как р не является предельной точкой F, существует шар В8 (р), кото­
рый не содержит точек F. Таким образом, В8 с R п - F; следовательно,
Rп- F открыто.
Обратно, предположим, что R п - F открыто и р - предельная
точка F. Мы хотим доказать, что ре F. Допустим противное. Тогда суще-
ствует шар В8 (р) с R п -F . Это означает, что В,(р) не содержит точек F
и противоречит тому факту, что р - предельная точка F.
О

548
ПРИЛОЖЕНИЕ
Понятие непрерывности можно также сформулировать в терминах
замкнутых множеств, что является следствием следующего факта.
Предложение 3. Отображение F : И с R" ~ R т непрерывно тогда
и только тогда, когда для каждого открытого множества V с R т мно­
жество F-
1
(V) открыто.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F непрерывно, и пусть
V с R т -открытое множество R т_ Если F-
1
(V) = ф, доказывать нечего,
так как мы приняли соглашение, что пустое множество открыто. Если
F-
1
(V) "#-ф, выберем рЕ F-1(v). Тогда F(p)E V и, поскольку V открыто,
существует шар B,(F(p)) с V. В силу непрерывности F существует такой
шар В8 (р), что
F(B0 (p)) с B,(F(p)) с V.
Таким образом, В,(р) с F-
1
(V); следовательно, F-
1
(V) открыто.
Предположим теперь, что F-
1
(V) открыто для любого открытого
множестваVсRт_ Пусть рЕИ изаданое>О.ТогдаА=F-
1
(B,(F(p)))
открыто. Таким образом, существует такое д >О, что В0 (р) с А. Следова­
тельно,
F(B0 (p)) с F(A) с B,(F(p));
таким образом, F непрерывно в р. О
Следствие. Отображение F : И с R" ~ R т непрерывно тогда и только
тогда, когда для любого замкнутого множества А с R т множество
F-
1
(A) замкнуто.
Пример 2. Предложение 3 и его следствие дают, возможно, лучший
способ описания открытых и замкнутых подмножеств R п. Например,
пустьf: R2 ~R заданаравенством f(x,y)=(х2 / а
2
)-(у2 /Ь 2 )-1. Заме­
тим, что f непрерывна, О Е R есть замкнутое множество в R и (О,+ оо) -
открытое множество в R . Таким образом, множество
F} = {(х,у); f(x,y) =О}= f-
1
(0)
замкнуто в R 2
, а множества
И1 = {(х,у); f(x,y) >О},
И2 = {(х,у); f(x,y) <О}

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКJШДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
549
открыты в R 2
.
С другой стороны, множество
u{(x,y)ER 2
;х
2
+у 2 =1, х>О, у>О}
не является ни открытым, ни замкнутым (рис. А5.2).
Последний пример подсказывает следующее определение.
Определение 4. Пусть А с R". Границей Bd А множества А называ­
ется такое множество точек р в R ", что каждая окрестность р содержит
точкиАиточкиR" - А.
Таким образом, если А - множество примера 2, то Bd А - окруж­
ность х2 +у2 = 1. Ясно, что А с R п открыто тогда и только тогда, когда
ни одна точка Bd А не принадлежит А, и В с R п замкнуто тогда и только
тогда, когда все точки Bd В принадлежат В.
Рисунок А5.2
Последнее замечание об этих предварительных понятиях: здесь, как
в приложении к главе 2, определения даны в предположении, что R п явля­
ется «вмещающим» пространством. Часто бывает удобно, как уже было
замечено в приложении к главе 2, распространить такие понятия на под­
множества произвольного множества А с R п. Чтобы сделать это, примем
следующее определение.

550
ПРИЛОЖЕНИЕ
Определение 5. Пусть А с R п. Мы говорим, что V с А есть открытое
множество в А, если существует такое открытое множество И в R" , что
V =И п А. Окрестностью точки р Е А в А называется открытое множест­
во в А, содержащее р.
Имея это понятие «близости» в А, простая задача - распространить
предыдущие определения на подмножества А и проверить, что уже дока­
занные предложения по-прежнему сохраняются для новых определений.
Теперь мы хотим напомнить основное свойство вещественных чисел.
Нам нужны некоторые определения.
Определение 6. Подмножество А с R вещественной прямой R на­
зывается ограниченным сверху, если существует такое М Е R, что М :2': а
для всех аЕ А. Число М называется верхней границей А. Когда А огра­
ничено сверху, точной верхней границей, обозначаемой sup А, называется
верхняя граница М, удовлетворяющая следующему условию: для данного
Е > О существует такое а Е А, что М - Е < а. Изменяя знак предыдущих
неравенств, определяем аналогично нижнюю границу А и inf А (точную
нижнюю границу А).
Аксиома полноты множества вещественных чисел. Пусть А с R -
неl~устое и ограниченное сверху (снизу) множество. Тогда существует
sup А (inf А).
Существует несколько эквивалентных способов выражения основного
свойства полноты множества вещественных чисел. Мы выбрали предыду­
щий, который, не будучи самым понятным интуитивно, является, возмож­
но, наиболее эффективным.
Удобно принять следущее соглашение. Если А с R не является огра­
ниченным сверху (снизу), мы говорим, что sup А=+= (inf А= -ос). При
этом соглашении аксиома вверху может быть сформулирована следующим
образом: каждое непустое множество вещественных чисел имеет точ­
ную верхнюю и точную нижнюю границы.
Пример 3. Точная верхняя граница множества (О, 1) равна 1, которая
не принадлежит множеству. Точная верхняя граница множества
B={xER; 0<x<l}u{2}
равна 2. Точка 2 является изолированной точкой В, то есть она принадле­
жит В, но не является предельной точкой В. Заметим, что наибольшая

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
551
предельная точка В есть 1, которая не является sup В. Однако, если огра­
ниченное множество не имеет изолированных точек, его точная верхняя
граница, конечно, является предельной точкой множества.
Одно важное следствие полноты множества вещественных чисел -
следующее «внутреннее» описание сходимости, которое фактически экви­
валентно понятию полноты (однако мы не будем этого доказывать).
Лемма 1. Назовё:м последователыюсть {х;} вещественных чисел по­
следовательностью Коши, если для заданного Е > О существует такое i0 ,
что 1Х; -xj 1< Е для всех i, j > i0 • Последовательность является сходящейся
тогда и только тогда, когда она является последовательностью Коши.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть {х;} ~ х0 . Тогда, если е >О, существует та­
коеi0, что1х-х01<е/2приi>i0. Таким образом, приi,j >i0
1Х;-хj1~1Х;-Хо1+1хj - Хо1<е;
следовательно, {х;} - последовательность Коши.
Обратно, пусть {х;} - последовательность Коши. Множество {х;},
очевидно, является ограниченным. Пусть а1 =inf{x;}, Ь1 =sup{x;}. Либо
одна из этих точек является предельной точкой {х;}, и тогда {х;} сходится
к этой точке, либо обе точки являются изолированными точками множест­
ва {х;}. В последнем случае рассмотрим множество точек в интервале
(а1 , Ь1 ), и пусть а2 и Ь2 соответственно его точная нижняя и точная верх­
ние границы. Поступая таким образом, мы получаем, что либо {х;} схо­
дится, либо существуют две ограниченные последовательности
а1 < а2 <-··и Ь1 > Ь2 >···.Пусть а= sup{a;} и Ь = inf{b;}. Так как {х;} есть
последовательность Коши, а = Ь, и это общее значение х0 является един­
ственной предельной точкой {х;}. Таким образом, {х;) ~ х0 .
О
Понятие полноты в этой форме естественно распространяется на евк­
лидовы пространства.
Определение 7. Последовательность {р;}, Р; Е R п, называется после­
довательностью Коши, если для заданного Е >О существует такой номер
i0, что расстояние 1Р; -pj1<Едлялюбыхi,j >i0•
Предложение 4. Последовательность {р;}, Р; Е R п, сходится тогда
и только тогда, когда она является последовательностью Коши.

552
ПРИЛОЖЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Сходящаяся последовательность, очевидно, являет­
ся последовательностью Коши (см. рассуждения в лемме 1). Обратно,
пусть {pi} - последовательность Коши; рассмотрим её проекцию на
ось j в R п, j = 1, ... , п. Это даёт последовательность вещественных чисел
{х1;}, которая, так как проецирование уменьшает расстояния, снова явля­
ется последовательностью Коши. По лемме 1, {хJi} ~ х10 . Отсюда следу-
о
В. Связные множества
Определение 8. Непрерывная кривая а: [а, Ь] ~ А с R" называется
дугой в А, соединяющей а(а) с а(Ь).
Определение 9. Множество А с R" назьmается линейно связным, если
для двух данных точек р, qE А существует дуга в А, соединяющая р с q.
Ранее в этой книге мы употребляли слово связная в значении линейно
связная (раздел 2.2). Так как мы рассматривали только регулярные поверх­
ности, это можно обосновать, что вскоре будет сделано. Для подмножест­
ва R п общего вида, однако, понятие линейной связности является слиш­
ком ограничительным, и удобнее использовать следующее определение.
Определение 10. Множество А с R" называется связным, если не­
возможно записать А = И1 u И2 , где И1 и И2 - непустые открытые мно­
жествавАиИ1пИ2=rp.
Интуитивно это означает, что невозможно разбить А на две непересе­
кающиеся части. Например, множества И1 и И2 в примере 2 не являются
связными. Переходя к дополнениям И1 и И2 , мы видим, что в определе­
нии 10 можно заменить слово «открытое» на слово «замкнутое».
Предложение 5. Пусть А с R" связно, и пусть В с А одновременно
открытоизамкнутов А. Тогдалuбо В=rр,либо В=А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что В=/:. ф и В=/:. А, и запишем А=
=Вu (А-В). Таккак В замкнутов А, А- В открытов А. Такимобра­
зом, А есть объединение непересекающихся, непустых, открытых мно­
жеств, а именно В и А - В. Это протворечит связности А.
О

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
553
Следующее предложение показывает, что непрерывный образ связно­
го множества является связным.
Предложение 6. Пусть F: А с R" ~ R т непрерывно и А связно. То­
гда F(A) связно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что F(A) несвязно. Тогда
F(A) = И1 u И2 , где И1 и И2 - непересекающиеся, непустые, открытые
множества в F(A). Так как F непрерывно, F-
1
(U1), F-
1
(И2 ) - также не­
пересекающиеся, непустые, открытые множества в А. Так как
А= F-
1
(И1)u F-
1
(И2 ), это противоречит связности А.
О
Для целей этой главы удобно обобщить определение промежутка сле­
дующим образом.
Определение 11. Промежутком вещественной прямой R называется
любое из множеств а<х<Ь, а-5,_х-5,_Ь, а<х-5,_Ь, а-5,_х<Ь, ХЕ R. Случаи
а =Ь, а =-оо, Ь = +х> не исключаются, так что промежуток может быть
точкой, лучом или самой прямой R .
Предложение 7. Множество А с R связно тогда и только тгда, ко­
гда А является промежутком.
ДОКАЗАТЕльство. Пусть А с R - промежуток, и допустим, что А
несвязно. Мы придём к противоречию.
Так как А несвязно, А= И1 u И2 , где И1 и И2 - непустые, непересе­
кающиесяиоткрытыев А. Пусть а1ЕИ1, Ь1ЕИ2, и допустим, что а1<Ь1.
Рабивая отрезок [а1 , Ь1 ] = ! 1 серединой ( а1 + q) 12, мы получаем два про­
межутка, один из которых, обозначаемый / 2 , имеет один из концов в И1
и другой- в И2 . Рассматривая середину 12 и посrупая как прежде, полу­
чаем промежуток / 3 с ! 2 с ! 1. Таким образом, мы получаем семейство
замкнутых промежутков 11 :::J ! 2 :::J • ·• :::J Iп :::J •• "
длины которых стремятся
к нулю. Введём новое обозначение f; =[с;, d;]. Тогда с1 -5,_ с2 -5,_ • • •
- 5,_
-5,_ сп
-5,_ ••• иd1?.d2?.···?.dп?. · ··.Пустьс=sup{c1} и d=inf{d;}.Таккак
разность d; - с; сколь угодно мала, с= d. Кроме того, любая окрестность
с содержит некоторый 1; при достаточно большом i. Таким образом, с
-
предельная точка и И1, и И2• Так как И1 и И2 замкнуты, сЕ И1 nИ2,
и это противоречит тому, что И1 и И2 не пересекаются.

554
ПРИЛОЖЕНИЕ
Обратно, предположим, что А связно. Если А имеет единственный
элемент, А, очевидно, является промежутком. Допустим, что А имеет по
крайней мере два элемента, и пусть а= inf А, Ь = sup А, а* Ь. Ясно, что
А с [а, Ь]. Покажем, что (а, Ь) с А, и это означает, что А является проме­
жутком. Допустим противное, то есть существует такое t, а< t < Ь, что
t~ А. Множества An(-oo,t)=V1, An(t,+oo)=V2 открыты в A=V1 uV2 .
Так как А связно, одно из этих множеств, скажем V2 , пусто. Так как
Ь Е (t, + оо), это означает, что и Ь ~ А и Ь не является предельной
точкой А. Это противоречит тому факту, что Ь = sup А. Тем же способом,
если JiJ = ф, мы получаем противоречие с тем фактом, что а = inf А.
О
Предложение 8. Пусть f: А с R" ~ R непрерывна и А связно. Пред­
поло:жим, что f(q)-#0 длялюбого qE А. Тогда f неменяетзнакав А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. По предложению 5, /(А) с R связно. По предло­
жению 7, /(А) является промежутком. По условию, f(A) не содержит
нуля. Таким образом, все числа в f(A) имеют один и тот же знак.
О
Предложение 9. Пусть А с R п линейно связно. Тогда А связно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что А несвязно. Тогда А =И1 uU2 , где
И1 , И2 - непустые, непересекающиеся, открытые множества в А. Пусть
рЕ И1 , qE И2 • Так как А линейно связно, существует дуга а: [а, Ь] ~А,
соединяющая р с q. Так как а непрерывна, В= а([ а, Ь}) с А связно.
Пусть V1 =ВпИ1, V2 =ВпИ2• Тогда B=V1 uV2 , где v; и V2 - непус­
тые, непересекающиеся, открытые множества в В, и это является противо-
речи ем.
о
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако есть важный
частный случай, когда обратное верно.
Определение 12. Множество А с R п называется локально линейно
связным, если для каждой точки р Е А и каждой окрестности V точки р
в А существует линейно связная окрестность И с V точки р в А.
Интуитивно это означает, что каждая точка А имеет сколь угодно ма­
лые линейно связные окрестности. Простым примером локально линейно
связного множества в R 3 является регулярная поверхность. В самом деле,

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
555
для каждой точки р Е S и каждой окрестности W точки р в R 3 сущест­
вует такая окрестность V с W точки р в R 3
, что V п S гомеоморфна от­
крытому кругу в R 2
; так как открытый круг линейно связен, каждая окре­
стность W n S точки р Е S содержит линейно связную окрестность.
Следующее предложение показывает, что наше употребление слова
связная для линейно связных поверхностей бьшо вполне обоснованным.
Предложение 10. Пусть А с R" -
локально линейно связное множе­
ство. Тогда А связно тогда и только тогда, когда оно линейно связно.
Доклзлтвльство. Половина утверждения уже доказана в предложе­
нии 9. Предположим теперь, что А связно. Пусть рЕ А, и пусть А1 -
множество точек в А, которые можно соединить с р некоторой дугой в А.
Мы утверждаем, что А1 открыто в А.
Всамомделе,пусть qЕА1,ипусть а;[а,Ь]~А - дута,соединяю­
щая р с q. Так как А локально линейно связно, существует такая
Рисунок А5.3
окрестность V точки q в А, что q можно соединить с любой точкой
rE V дугой fJ: [Ь, с]~ V (рис. А5.3). Отсюда следует, что дуга в А
{
a(t),
а.оfJ=
fJ(t),
!Е[а,Ь),
tE[b,c),
соединяет q с r, и это доказывает наше утверждение.

556
ПРИЛОЖЕНИЕ
Аналогичными рассуждениями доказываем, что дополнение А1 также
открыто в А. Таким образом, А1 одновременно открыто и замкнуто в А.
Так как А локально линейно связно, А1 непусто. Так как А связно, А1 = А.
D
Пример 4. Множество может быть линейно связным, но не быть ло­
кально линейно связным. Например, пусть А с R 2
-
множество, образо­
ванное вертикальными прямыми, проходящими через (1/п, О), п = 1, ... ,
и осями х и у. А, очевидно, линейно связно, но малая окрестность точки
(О, у), у с# О, не является линейно связной. Это вытекает из того факта,
что, хотя существует «длинная» дуга, соединяющая любые две точки
р, q Е А, может не быть никакой короткой кривой, соединяющей эти точки
(рис. А5.4).
у
q
р
-
х
о
114 1/3
1/2
Рисунок А5.4
С. Компактные множества
Определение 13. Множество А с R" называется ограниченным, если
оно содержится в некотором шаре R". Множество К с R" называется
компактным, если оно замкнуто и ограничено.
Мы уже встречались с компактными множествами в разделе 2.7 . Для
полноты мы докажем здесь свойства 1 и 2 компактных множеств, которые
бьши приняты без доказательства в разделе 2.7 .

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
557
Определение 14. Открытым покрытием множества А с R" называет­
ся семейство открытых множеств {Ua}, аЕ а, таких, что uaUa =А. Когда
в семействе только конечное множество Иа' мы говорим, что покрытие
конечно. Если подсемейство {ИfJ}, р Е 9J с а, попрежнему покрывает А,
то есть, u fJ ИР = А, мы говорим, что {ИР} есть подпокрытие {Иа}.
Предложение 11. Для любого множества К с R" следующие утвер­
ждения равносильны.
1. К компактно.
2. (Гейне-Борель.) Каждое открытое покрытие К имеет конечное под­
покрытие.
3. (Больцано-Вейершграсс.) Каждое бесконечное помножество К имеет
предельную точку в К.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем, что 1 :::::> 2 :::::> 3 :::::> 1.
1 :::::> 2. Пусть {Иа}, а Е а, - открытое покрытие компактного множе-
ства К, и допустим, что {Иа} не имеет конечного подпокрытия. Покажем,
что это ведёт к противоречию.
Так как К компактно, оно содержится в замкнутой прямоугольной
области
B={(x1,.",xn)ERn; а1 ~х1 ~Ъ1 , }=1, ... ,п}.
Разобьём В гиперплоскостями х1 = ( а1 + Ь;) / 2 (например, если К с R 2
,
В является прямоугольником, и мы делим В на 2 2
= 4 прямоугольника).
Мы получим таким способом 2n меньших замкнутых прямоугольных об­
ластей. По условию по крайней мере одна из этих областей, обозначае­
мая В1 , такова, что В1 n К не покрывается конечным числом открытых
множеств {Иа}. Разбиваем теперь В1 аналогичным способом и, повторяя
процесс, получаем последовательность замкнутых прямоугольных облас­
тей (рис. AS.5)
которая такова, что ни одно В; n К не покрывается конечным числом от­
крытых множеств {И а} и длина наибольшей стороны В; стремится к нулю.

558
ПРИЛОЖЕНИЕ
Мы утверждаем, что существует рЕ пВ;. В самом деле, проецируя
каждое В; на ось j в R п, j = 1, ... , п, мы получаем последовательность от­
резков
[а11,ЬJl]:J[а12,ЬJ2]:J ···::::> [аJi,ЬJi]:J ···.
В,
В,
в
В,
Рисунок А5.5
Так как разность (ЬJi - аJi) сколь угодно мала, мы видим, что
следовательно,
Таким обраом, р = (а1 "",ап)Е n;B;, как мы утверждали.
Далее, любая окрестность р содержит некоторый шар В; при доста­
точно большом i; следовательно, она содержит бесконечное множество
точек К. Таким образом, р есть предельная точка К и, так как К замкну­
то, рЕ К. Пусть И0 - элемент семейства {Иа}, который содержит р. Так
как И0 открыто, существует шар Ве(Р) с И0 . С другой стороны, при дос­
таточно большом i В; с Ве(Р) с И0 . Это противоречит тому факту, что
никакое В; n К не может быть покрыто конечным числом Иа, и доказыва­
ет, что 1:::? 2.

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
559
2 => 3. Предположим, что А с К есть бесконечное подмножество К
и никакая точка К не является предельной точкой А. Тогда можно для
каждой точки рЕ К, pri А, выбрать такую окрестность VP точки р, что
vp n А = ф' и для каждой точки q Е А выбрать такую окрестность wq точ­
ки q, что Wq n А=q. Таким образом, семейство {Vp,Wq}, рЕК - А,
qE А, является открытым покрытием К. Так как А бесконечно и лакуна
любого Wq из семейства оставляет непокрытой точку q, семейство
{Va, Wa} не имеет конечного подпокрытия. Это противоречит утвержде­
нию 2.
3 => 1. Мы должны показать, что К замкнуто и ограничено. К замк­
нуто, так как если р - предельная точка К, то, рассматривая концентри-
ческие шары В1;; (р) = В;, мы получаем последовательность р1 Е В1 - В2 ,
р2 Е В2 - В3" ." Р; ЕВ; - В;+1" .. , для которой р является предельной точ­
кой. По утвержению 3, рЕ К.
К ограничено. В противном случае, рассматривая концентрические
шары В;(р) радиуса 1, 2,
... ,i, ...,
мы получим последовательность
р1Е В1, р2Е В2- В1,... , Р; Е В; - В;_1"." которая не имеет предельной
точки. Это доказывает, что 3 => 1.
О
Следующее предложение показывает, что непрерывный образ ком­
пактного множества компактен.
Предложение 12. Пусть F: К с R" ~ R т непрерывно и К компакт­
но. Тогда F(K) компактно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если F(K) конечно, оно, очевидно, компактно.
Предположим, что F(K) не является конечным, и рассмотрим бесконеч­
ное подмножество {F(рп)} с F(K), Рп Е К. Очевидно, множество
{ра} с К бесконечно и имеет в силу компактности предельную точку
qE К. Таким образом, существует последовательность р1 , ••• ,р;,··· ~q,
Р; Е {ра}. В силу непрерывности F последовательность
F(p;)~F(q)EF(K) (предложение 1). Таким образом, {F(pa)} имеет
предельную точку F(q)E F(K); следовательно, F(K) компактно.
О
Следующее свойство компактных множеств,·возможно, является наи­
более важным.

560
ПРИЛОЖЕНИЕ
Предложение 13. Пусть f: К с R n ~ R - непрерывная функция,
определённая на компактном мно:ж:естве К. Тогда существуют такие
точкиРРР2ЕК,что
ЛР2)~ f(p) ~ f(p1) для любой точки рЕ К,
то есть, f достигает макси.."АЛума в р1 и мини.."АЛума в р2 •
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Докажем существование р1 ; случай минимума
можно рассмотреть аналогично.
По предложению 12, f(K) компактно и, следовательно, замкнуто
и ограничено. Таким образом, существует sup f(K) = х1 . Так как f(K)
замкнуто, х1 Е /(К). Отсюда следует, что существует р1 Е К с х1 = f(p1).
Очевидно, f(p) ~ f(p1) = х1 для любой точки р Е К.
О
Хотя мы не будем его использовать, понятие равномерной непрерыв­
ности так естественно подходит к настоящему контексту, что мы должны
сказать о нём несколько слов.
Отображение F: А с R п ~ R т называется равномерно непрерывным
на А, если для заданного е >О существует такое д >О, что F(Вь(Р)) с
с B"(F(p)) для всех рЕ А.
Формально различие между этим определением и определением (про­
сто) непрерывности состоит в том, что здесь для заданного е число д одно
и то же для всех р Е В, в то время как при простой непрерывности для за­
данного е число д может зависеть от р. Таким образом, равномерная не­
прерывность является скорее глобальным, чем локальным понятием.
Важно, что на компактных множествах два понятия совпадают. Более
точно: пусть F : К с R п ~ R т непрерывно и К компактно. Тогда F рав­
номерно непрерывно в К.
Доказательство этого факта просто, если мы вспомним понятие числа
Лебега открытого покрытия, введённое в разделе 2.7. В самом деле, при
заданном е > О существует для каждой точки р Е К такое число д(р) > О,
что F(Bд(p)(p))cB";2 (F(p)). Семейство {Ва(р)(р),рЕК} является от­
крытым покрытием К. Пусть д >О - число Лебега этого семейства
(свойство 3 раздела 2.7). Если qE Ва(р), рЕ К, то q и р принадлежат не-
которому элементу открытого покрытия. Таким образом, 1F(p)-F(q)1< е.
Так как q произвольна, F(Ba(P)) с B"(F(p)). Это показывает, что д удов­
летворяет определению равномерной непрерывности, что и требовалось.

ТОПОЛОГИЯ ТОЧЕЧНЫХ МНОЖЕСТВ ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
56J
D. Связные компоненты
Когда множество несвязно, его можно разбить на связные компоненты.
Чтобы уточнить это понятие, докажем сначала следующее предложение.
Предложение 14. Пусть Са cR"- семейство таких связных мно­
жеств, что
Тогда uCa =С есть связное множество.
а
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Предположим, что С= И1 u И2 , где И1 и И2 - не­
nустые, непересекающиеся, открытые множества в R", и что некоторая
точка рЕГ\аСа принадлежит И1• Пусть qЕИ2. Так как С = u аСа и
рЕГ\аСа, существует такое Са, что p,qECa. Тогда СапИ1 и
Са Г\ И2 - непустые, непересекающиеся, открытые множества в Са. Это
противоречит связности Са и показывает, что С связно.
о
Определение 15. Пусть А с R" и р Е А. Объединение всех связных
подмножеств А, которые содержат р, называется связной компонентой А,
содержащей р.
По предложению 14, связная компонента является связным множест­
вом. Интуитивно, связная компонента А, содержащая р Е А, есть наи-
большее связное подмножество А (то есть оно не содержится ни в каком
другом связном подмножестве А, которое содержит р).
Связная компонента множества А всегда замкнута в А. Это следствие
следующего предложения.
Предложение 15. Пусть С с А с R" -
связное множество. Тогда за­
мыкание С множества С в А связно.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Допустим, что С =И1 uU2 , где И1 , И2 - непус­
тые, непересекающиеся, открытые множества в С. Так как С :::J С, множе­
ства С пИ1 = V\, С пИ2 = V2 являются открытыми в С, непересекающи-

562
ПРИЛОЖЕНИЕ
мися, и V1 u V2 =С. Покажем, что f1i и V2 - непустые, получая, таким
образом, противоречие со связностью С.
Пусть рЕ И1 . Так как И1 открыто в С, существует такая окрест­
ностьWточкирвА,чтоWпЕсИ1•Таккакр- предельнаяточкаС,
существует qE wпс с wпс с И1· Таким образом, qE с пи)= Vi и Vi
непусто. Аналогичным способом можно показать, что V2 непусто.
О
Следствие. Связная компонента С с А с R" множества А замкнута
вА.
В самом деле, если Е #С, существует связное подмножество А,
а именно С, которое содержит С как собственное подмножество. Это
противоречит максимальности связной компоненты С.
В некоторых частных случаях связная компонента множества А явля­
ется также открытым множеством в А.
Предложение 16. Пусть С с А с R" -
связная компонента локально
линейно связного множества А. Тогда С открыто в А.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть рЕ С с А. Так как А локально линейно связ­
но, существует линейно связная окрестность V точки р в А. По предло­
жению 9, V связно. Так как С максимальна, С ::::> V; следовательно, С от-
крыто в А.
о

БИБЛИОГРАФИЯ
И КОММЕНТАРИИ
Фундаментальной работой по дифференциальной геометрии поверх­
ностей является работа Гаусса "Disquisitiones generales circa superficies cur-
vas", Сотт. Soc. Gottingen Bd. 6, 1823-1827. Существуют переводы на не-
сколько языков, например:
1. Gauss, К. F., General Investigations of Curved Surfaces, Raven Press,
New York, 1965.
Мы считаем, что читатель этой книги теперь может попытаться понять
эту работу. Потребуются терпение и желание, но испытание окупается
сторицей.
Классический курс дифференциальной геометрии поверхностей - это
четырёхтомный трактат Дарбу:
2. Darboux, G ., Theorie des Surfaces, Gauthier-Villars, Paris, J 887, J889,
1894, 1896. Существует репринтное издание Chelsea PuЬlishing Со., Inc.,
NewYork.
Это трудное чтение для начинающих. Однако, помимо богатства ин­
формации, в этой книге ещё много неразработанных идей, которые застав­
ляют обращаться к ней время от времени.
Возможно, наиболее влиятельной классической книгой на английском
языке была следующая:
3. Eisenhart, L. Р. А Treatise оп the Differential Geometry of Curves and
Surfaces, Ginn and Company, Boston, 1909, переиздание - Dover, New York,
1960.
Прекрасное изложение некоторых интуитивных представлений клас­
сической дифференциальной геометрии можно найти в главе 4 следующей
книги:

564
БИБЛИОГРАФИЯ И КОММЕНТАРИИ
4. Hilbert, Н., and S. Cohn-Vossen, Geometry апd lmagiпatioп, Chelsea
PuЬlishing Company, Inc., New York, 1962 (перевод книги, впервые издан­
ной в Германии в 1932 г.).
Ниже мы представим в хронологическом порядке несколько других
книг. Они более или менее одинаковы по уровню с настоящей книгой. Бо­
лее полный список можно найти в книге [9], которая, кроме того, содер­
жит довольно много глобальных теорем.
5. Struik, D. J ., Lectures оп Classical Differeпtial Geometry, Addison-
Wesley, Reading, Mass., 1950.
6. Pogorelov, А. V., Differential Geometry, Noordhoff, Groningen, Nether-
lands, 1958.
7. Willmore, Т. J., Ап Introduction to Differential Geometry, Oxford Uni-
versity Press, Inc., London 1959.
8. O'Neill, В., Elemeпtary Differential Geometry, Academic Press, New
York, 1966.
9. Stoker, J. J ., Differential Geometry, Wiley-Interscience, New York,
1969.
Ясное и элементарное изложение метода подвижного репера, не рас­
смотренного в этой книге, можно найти в [8]. Многие подробности теории
кривых, изложенные здесь кратко, можно найти также в [5], [6] и [9].
Должны быть включены некоторые источники, не являющиеся книга­
ми. [10] является прекрасным изложением некоторых глобальных теорем
о кривых и поверхностях, а [11] - это записи лекций, которые стали клас­
сическими по данному предмету.
10. Chern, S. S., Curves апd Suifaces in Euclideaп Spaces, Studies in
Global Geometry and Analysis, МАА Studies in Mathematics, The Mathemati-
cal Association of America, 1967.
11. Hopf, Н., Lectures оп Differeпtial Geometry in the Large, notes pub-
lished Ьу Stanford University, 1955.

БИБЛИОГРАФИЯ И КОММЕНТАРИИ
565
Более углублённое чтение следует начать, возможно, с изучения ка­
кой-либо литературы по дифференцируемым многообразиям и группам
Ли. Например:
12. Spivak, М., А Comprehensive lntroduction to Dif.ferential Geometry,
Vol. I, Brandeis University, 1970.
13. Wamer, F., Foundations of Dif.ferentiaЬle Manifolds and Lie Groups,
Scott, Foresman, Glenview, Ш., 1971.
(12] - это восхитительное чтение. Главы 1-4 в (13] дают краткое
и эффективное изложение основ предмета.
После этого есть широкий выбор материала для чтения в зависимости
от вкусов и интересов читателя. Ниже мы приводим возможный, но не
единственный выбор. В [16] и [17] можно найти расширенный список книг
и статей.
14. Berger, М., Р. Gauduchon, and Е. Mazet, Le Spectre d'une Variete
Riemannienne, Lecture Notes 194, Springer, Berlin, 1971.
15. Bishop, R. L ., and Crittenden, R. J ., Geometry of Manifolds, Academic
Press, New York, 1964.
16. Cheeger, J., and Ebin, D., Comparison Theorems in Riemannian Geo-
metry, North-Holland, Amsterdam, 1974.
17. Helgason, S., Dif.ferential Geometry and Symmetric Spaces, Academic
Press, New York, 1963.
18. Kobayashi, S., and Nomizu, К., Foundations of Dif.ferential Geometry,
Vols. I and П, Wiley-Interscience, New York, 1963 and 1969.
19. Klingenberg, W., Gromoll, D. and Meyer, W., Riemannsche Geometrie
im Grossen, Lecture Notes 55, Springer-Verlag, Berlin, 1968.
20. Lawson, В., Lectures оп Minimal Submanifolds, Monografias de Mate-
matica, IMPA, Rio de Janeiro, 1973.

566
БИБЛИОГРАФИЯ И КОММЕНТАРИИ
21. Milnor, J., Morse Theory, Princeton University Press, Princeton, N. J .,
1963.
22. Spivak, М., А Comprehensive Introduction to Dijferential Geometry,
Vol. П, Brandeis University, 1970.
Теория минимальных подмногообразий, [20], и ссьшки там; задачи,
связанные со спектром, [14]; топологическое поведение многообразий по­
ложительной кривизны, [16] и [19], -
это лишь три из наиболее интерес­
ных тем современной дифференциальной геометрии.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
Раздел 1.3
2. а. a(t)=(t-sint,1-cost); см. рис. 1.7 . Особые точки: t=2n:n, где п -
любое целое число.
7. Ь. Примените теорему о среднем к каждой из функций x,y,z, чтобы до­
казать, что вектор (a(t + h) - a(t + k)) /(h - k) стремится к вектору а'(t) при
h, k ~О. Так как a'(t) =1 = О, прямая, определяемая a(t + h), a(t + k), стре­
мится к прямой, определяемой a'(t).
8. По определению интеграла, для заданного е > О существует такое
д'>О,чтоесли 1Р1<д', то
1(f:1 а'(Ь) ldt )- L(t; -tн) 1a'(t;)1 \< ~-
С другой стороны, поскольку а' равномерно непрерывна на [а, Ь], для за­
данного е >О существует такое д" >О, что если t, s Е [а, Ь] с 1t-s1< д", то
1a'(t)-a'(s)1< е/2(Ь- а).
Положим д = min(д', о"). Тогда, если 1Р1< д, получаем, используя теорему
о среднем для вектор-функций,
1LI a(t;+1 )-a(t;)l-L(tн -t;) 1a'(t;)11 ~
~ 1LCtн -t;)sup 1a'(s;)l-I(tн -t;)I a'(t;) 11 ~
S;
~ 1:LCtн -!;)sup 1a'(s;)-a'(t;)11 ~ ~,
S;
где !н ~ s; ~ t;. Вместе с предыдущим это даёт требуемое неравенство.
Раздел 1.4
2. Пусть точки р0 = (x0 ,y0 ,z0 ) и р = (x,y,z) лежат в плоскости Р. Тогда
ах0+Ьу0+cz0 +d=О=те+Ьу+cz+d. Таким образом, а(х - х0)+Ь(у-

568
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
-y0 )+c(z-z0 )=0. Так как вектор (x-x0 ,y-y0 ,z-z0 ) параллелен Р,
вектор (а, Ь, с) ортогонален Р. Для данной точки р = (х, у, z) Е Р рассто­
яние р от плоскости Р до начала координат О находится по формуле
р=!р1cosе=(р·v)/1vj, где 8
угол между Ор и нормальным
вектором v. Так как р ·v = -d,
p·v
d
р=-=--.
\v\ \v\
3. Это угол между их нормальными векторами.
4. Две плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные
векторы коллинеарны.
6. И v1, и v2 перпендикулярны прямой пересечения. Таким образом, век­
тор v1 л v 2 параллелен этой прямой.
7. Плоскость и прямая параллельны, когда нормальный вектор плоскости
перпендикулярен направлению прямой.
8. Направление общего перпендикуляра данных прямых есть направление
вектора ил v. Расстояние между этими прямыми получается проецирова­
нием вектора r =(х0 -х1 , у0 -у1 , z0 -z1) на общий перпендикуляр. Такая
проекция, очевидно, равна скалярному произведению r на единичный век­
тор(илv)/1илv\.
Раздел 1.5
2. Используйте тот факт, что а'= t, а"= kn, а"'= kn' + k'n = - k
2
t+k'n-
-kтЬ.
4. Продифференцируйте равенство a(s) + A(s)n(s) = const, получая
(l-2k)t + А'п-2тЬ =О.
Отсюда следует, что т =О {кривая лежит в плоскости) и А= const = 1/k.
7. а. Параметризуйте а длиной дуги.
Ь. Параметризуйте а длиной дуги s. Нормали в точках s1 и s2 суть
P1(t)=a(s1 )+tn(s1), Р2 (т)=а(s2 )+тп(s2 ), tE R, ТЕ R

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
569
соответственно. Точка их пересечения будет задана такими значениями t
и т,что
Примените формулу Тейлора n(s2 )=n(s1)+(s2 -s1)n'(s1)+ R и устремите
s2 ~s 1 , чтобы заключить, что a'(s1)=-tn'(s1), где t -общее предельное
значение t и т при s2 ~ s1• Отсюда следует, что t = 1/k.
13. Чтобы доказать, что условие необходимо, продифференцируйте триж­
ды тождество la(s)l2
=const, получая a(s)=-Rn-R'Tb. Для доказатель­
ства достаточности продифференцируйте
/J(s) = a(s) + Rn- R'Tb,
получая
fJ'(s) = t + R(-kt- тb) + R'n -(TR')'b- R'n =-(Rт + (TR')')b.
С другой стороны, в результате дифференцирования R2 + (TR')2 = const по­
лучается
О= 2RR' + 2(TR')(TR')' =
2
R' (Rт + (TR')'),
т
так как k' f:. О и т f:. О. Следовательно, /J(s) есть точка р0 и
1a(s)- Ро 12
=R
2
+ (TR
1
)
2
= const.
15. Так как Ь' = тп известен, 1т1 = 1Ь'1- Тогда с точностью до знака вектор
п определен. Так как t = п /\ Ь, а кривизна положительна и задается равен­
ством t' = kn, кривизна также может быть определена.
16. Покажите сначала, что
k
,
"
n/\n ·n
1п'12
~ - a(s).
(~J +1
Таким образом, Ja(s)d\' = arctg(k/т); следовательно, k/т можно опреде­
лить; так как k положительна, это даёт также знак т. Кроме того,
1п'1 2 =1-kt-тb 1
2
=k
2 + т 2 также известен. Вместе с k/т это позволяет най­
тиk2ит
2
.

570
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
17. а. Пусть а
-
единичный вектор фиксированного направления, и пусть
8- постоянный угол. Тогда t ·а= cos В= const, что в результате диффе­
ренцирования даёт n·a=O. Таким образом, a=tcose+bsine, что в ре­
зультате дифференцирования даёт k cos е + т sin е =о или k/т =- tg е =
=const. Обратно, если k/r=const=-tgB=-(sinB/cosB), можно проде­
лать наши шаги в обратном порядке, получив, что t cos е + Ь sin е есть по­
стоянный вектор а. Таким образом, t · а= cos е = const.
Ь. Из рассуждений части (а) немедленно следует, что равенство t ·а= const
означает, что п ·а= О; последнее условие означает, что п параллелен плос­
кости, ортогональной а. Обратно, если п ·а= О, то (dt/ds) ·а= О; следо­
вательно, t · а = const.
с. Из рассуждений части (а) следует, что равенство t ·а= const влечёт за
собой равенство Ь ·а= const. Обратно, если Ь ·а= const, в результате диф­
ференцирования получаем, что п ·а= О.
18. а. Параметризуйте а длиной дуги s и продифференцируйте а= а+ r п
по s, получая
dCi
,
- =(1-rk)t + r п-rтЬ.
ds
Так как аа/ ds является касательным к а, (dёi/ ds) · п =О; следовательно,
r' =О.
Ь. Параметризуйте а длиной дуги s и обозначьте s и t длину дуги
и единичный касательный вектор а. Так как dt / ds = (dt 1dS)(dS1 ds ), по­
лучаем, что
d-
dtdt-
-(t·t)=t· -+ -· t =О;
ds
ds ds
следовательно, t · Т = const = cosB. Таким образом, используя а= а+ r п,
получаем
_
dCi ds
ds
cose=t ·t=-- ·t=-(1-rk)
dsdS dS
'
1sine1=1tлt1=1 :((t+rn') лt)l=I :rт\.
Из этих двух равенств следует, что
1-rk
В
- -=const=- .
ri-
r

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
571
Таким образом, полагая r = А,
окончательно получаем, что
Ak+Bт=l.
Обратно, пусть последнее соотношение выполняется; положим А = r
и определим а= а+ rn. Тогда, снова используя соотношение, получаем
da
-
= (1-rk)t-rтb = т(Bt-rb).
ds
Таким образом, единичный вектор t крнвой а есть (Bt-rb)J.Jв 2 +r
2 =t.
Отсюда следует, что dt / ds = ((Bk-rт)/ .JВ2 + r
2
)п. Следовательно,
n(s) = ±n(s) и нормали ii и а в точке s совпадают. Таким образом, а есть
кривая Бертрана.
с. Предположим существование двух различных пар Бертрана а= а+ rn,
ii = а + rп. В силу части (Ь) существуют такие постоянные с1 и с2 , что
1- rk = С1 (rт), 1- rk = Cz (rт). Очевидно, С1 * Cz. Дифференцируя эти ра­
венства, получаем соответственно k' = т'с1 , k' = т'с2 • Это означает, что
k' = т' =О. Используя утверждение о единственности из основной теоремы
локальной теории кривых, легко видеть, что цилиндрическая винтовая ли­
ния - единственная такая кривая.
Раздел 1.6
1. Предположим, что s =О, и рассмотрим канонический вид вблизи s =О.
По условию 1, Р должно иметь вид z =су или у= О. Плоскость у= О
является спрямляющей плоскостью, которая не удовлетворяет условию 2.
Заметим теперь, что если 1s1 достаточно мал, то y(s) >О и z(s) имеет тот
же знак в точке s. По условию 2, с= z /у одновременно положительна и
отрицательна. Таким образом, Р есть плоскость z =О.
2. а. Рассмотрим канонический вид a(s)=(x(s),y(s),z(s)) в окрестности
s =О. Пусть ах+ Ьу + cz =О - плоскость, которая проходит через а(О),
а(О + h1), а(О + h2 ). Определим функцию F(s) = ax(s) + by(s) + cz(s) и за­
метим, что F(O) = F(h1 ) = F(h2 ) =О. Используйте канонический вид, что­
бы показать, что F'(O) =а, F"(O) = bk . Используйте теорему о среднем
значении, чтобы показать, что а ~ О и Ь ~ О при h1, h2 ~ О. Таким обра­
зом, при h1, h2 ~ О плоскость ах+ Ьу + cz = О стремится к плоскости z = О,
то есть соприкасающейся плоскости.

572
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
Раздел 1.7
1. Нет. Примените изопериметрическое неравенство.
2. Пусть S1
-
такая окружность, ЧТО АВ есть хорда S 1
'иоднаиздвухдуг
аиjJ,определяемыхАиВнаS1
,
скажем а, имеет длину !. Рас-
смотрим кусочно С1
-
гладкую замкнутую кривую (см. замечание 2 после
теоремы 1), образованную jJ и С. Пусть jJ фиксирована, а С изменяется
в семействе всех кривых, соединяющих А с В, длины !. По изоперимет­
рическому неравенству для кусочно С1 - гладких кривых, кривая семей­
ства, которая ограничивает наибольшую JШощадь, есть S 1
.
Так как jJ фик­
си-рована, дуга окружности а есть решение нашей задачи.
4. Выберите такие координаты, что центр О находится в р, а оси х и у
имеют направления соответственно касательного и нормального векторов
в р. Параметризуйте С длиной дуги, a(s) = (x(s),y(s)), и предположите,
что а(О) = р. Рассмотрите (конечное) разложение Тейлора
,
"
s2
a(s)=a(O)+a(O)s+a (0)-+R,
2
где lims~o R/s
2
=О. Предположите, что k - кривизна а при s =О, и по­
лучите
x(s)=s+Rx,
ks
2
y(s)=±-+ RY'
2
где R = ( Rx, RY) и знак зависит от ориентации а. Таким образом,
1k1= lim 21y(s)1 = lim 2h.
s~O s2
d~Od 2
5. Пусть О - центр круга D. Стягивайте границу D посредством семей­
ства концентрических кругов, пока она не пересечёт кривую С в точке р.
Используйте упражнение 4, чтобы доказать, что кривизна k кривой С в р
удовлетворяет условию 1 k 1 :::О: 1/r.
8. Так как а - простая, по теореме о повороте касательных,
J~ k(s)ds =()(1)-()(О) = 2п.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
573
Так как k(s) $с, получаем
2ir = f~ k(s)ds $ cJ~ ds =с!.
9. По теореме о жордановой кривой, простая замкнутая кривая С оrрани­
чивает множество К. Если К невыпукла, существуют такие точки
р, q Е К, что отрезок pq содержит точки, которые не принадлежат К и pq
пересекает С в точке r, r -::Р р, q. Примените рассуждения середины дока­
зательства теоремы о четырёх вершинах, чтобы показать, что прямая L,
определяемая р и q, касается С в точках р, q, r и что отрезок pq со­
держится в С с К. Это является противоречием.
11. Заметьте, что площадь, оrраниченная Н, больше или равна площади,
оrраниченной С, и длина Н меньше или равна длине С. Растягивайте Н
посредством семейства кривых, параллельных Н (упражнение 6), пока её
длина не достигнет длины С. Так как площадь либо остаётся неизмен-ной,
либо увеличивается в этом процессе, мы получаем выпуклую кривую Н'
той же длины, как С, но оrраничивающую площадь, большую или рав­
ную площади, ограниченной С.
12.
(См. рис. 1.40.)
Раздел 2.2
5. Нет. х не является взаимно однозначным.
11. Ь. Чтобы увидеть, что х взаимно однозначно, заметим, что из z полу­
чается ±и. Так как chv > О, знак и тот же, что знак х. Таким образом,
shv (и, следовательно, v) определён.
13. х(и, v) = (shucosv, shusin v, chv).
15. Исключите t из уравнений х/ а = у/t = -( z - t) / t прямой, соединяю­
щей p(t) =(О, О, t) с q(t) =(а, t, О).

574
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
17. с. Распространите предложение 3 на плоские кривые и примените рас­
суждения примера 5.
18. Для первой части используйте теорему об обратной функции. Чтобы
найти F, положите и =р
2
, v =tgtp, w =tg2B. Запишите х =f (р, О)cos rp,
у= f (р, О) sin rp, где f надо найти. Тогда
х2+У2 +z2 =f 2+z2 =Р2, 1:=tg2e.
z
Отсюда следует, что f = pcose, z = psin8. Поэтому
F(
)-[
-Ги
v-Ги -Гu; 1
u,v,w - ~(l+w)(l+v 2 )' ~(l+w)(J+v 2 )' .J1+w J
19. Нет. Относительно С заметьте, что никакая окрестность в R 2 точки
вертикальной дуги не может быть представлена как график диффе­
ренцируемой функции. То же рассуждение применяется к S.
Раздел 2.3
1.ТаккакА
2
-
тождественное отображение, А= л-1 •
5. d есть ограничение на S функции d : R
3
~R:
d(x,y,z) = {(х-хо)2 +(у- Уо)2 + (z- zo)2}1/2'
(x,y,z)-:1= (xo,Yo,zo).
8. Если р = (x,y,z), F(p) лежит в пересечении Н с прямой t ~ (tx, ty, z),
t >О. Таким образом,
[~ ~]
F(p)= /
х,/
y,z.
-ух2+у2 -ух2+у2
ПустьИестьR3безоси z. ТогдаF: ИсR3~R3
, определённое выше,
дифференцируемо.
13. Если/- такое ограничение,/ дифференцируемо (пример 1). Чтобы
до-казать обратное, пусть х : И~ R 3
-
параметризация S в р. Как

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
575
в предло-жении 1, продолжите х в отображение F : Их R --t R
3
.
Пусть
W - окрест-ность р в R3
, на которой F-
1
есть диффеоморфизм. Опреде­
лите g: W --tR, полагая g(q)=f аха7СаF-
1
(q),
qE W, где
7С: Их R --t И - естественная проекция. Тогда g дифференцируемо и ог­
раничениеg1WnS=f.
16. F дифференцируемо в S 2
-
{N}, как композиция дифференцируемых
отображений. Чтобы доказать, что F дифференцируемо в N, рассмотрим
стереографическую проекцию 7Cs из южного полюса S =(О, О, -1) и поло-
жимQ=7CsаFа7rs1
: С --t С (конечно, мы отождествляем плоскость z = 1
с С). Покажите, что 7СN а 7Сs1
:С-{О}
- - t С задаётся равенством
7CN a7C,s
1
(()=4/(. Заключите, что
QCO=
Сп
Zfo +Zf1( +...+ап(
следовательно, Q дифференцируемо в точке ( =О. Таким образом, отобра­
жение F = 7C,s
1
а Q а 7С8 дифференцируемо в N .
Раздел 2.4
1. Пусть a(t) = (x(t), y(t), z(t)) - кривая на поверхности, проходящая через
р0 = (x0 ,y0 ,z0 ) при t =О. Таким образом, f(x(t),y(t),z(t)) =О; следова­
тельно,fхх'(О) + fyy'(O) + fzz'(O) =О, где все производные вычислены в р0 .
Это означает, что все касательные векторы в р0 перпендикулярны вектору
(fx, fy, f 0 ), и отсюда следует требуемое уравнение.
4. Обозначим f' производную от f(y/x) по t = у/х. Тогда zx =
=f - (у1x)f',
z У =f'. Таким образом, уравнение касательной плоскости
в (х0 ,у0 ) имеет вид z=x0 f+(f-(y0 /x0 )f')(x-x0 )+f'(y-y0 ), где
функции вычислены в точке (х0 ,у0 ). Отсюда следует, что если х =О, у= О,
тоz=0.
12. Для доказательства ортогональности рассмотрите, например, первые
две поверхности. Их нормали параллельны векторам (2х - а, 2у, 2z),
(2х, 2у - Ь, 2z). В пересечении этих поверхностей ах = Ьу; введите это

576
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
соотношение в скалярное произведение вышеприведённых векторов, что­
бы показать, что это скалярное произведение равно нулю.
13. а. Пусть a(t)- кривая на S, где а(О) == р, а'(О) == w. Тогда
d(
)1/2
(w,p-po)
4fp(w) =-( a(t)- Ро, a(t)- Ро 11=0=
·
dt
1р-Ро1
Отсюда следует, что р является критической точкой f тогда и только то­
гда, когда (w, р- р0 ) ==О для любого wE Tp(S).
14. а. f(t) непрерывна в интервале (-оо, с), и lim1__,_= f(t) ==О,
Iimнc,t<c f(t) =+оо. Таким образом, для некоторого t 1Е (-оо, с) f(t1) = l .
Аналогичными рассуждениями находим вещественные корни t2 Е (с, Ь),
t3Е(Ь,а).
Ь. Условие ортогональности поверхностей f(t1) == 1, f(t2 ) = 1 имеет вид
fx(t1)fx(t2)+ Jy(t1)fy(f2)+ fz(t1)fz(l2)=0.
Оно приводится к виду
которое следует из того факта, что t1 f:. t 2 и f (t1)- f(t2 ) ==О.
17. Так как каждая поверхность локально является графиком диф­
ференцируемой функции, S1 задаётся уравнением f(x,y,z) =О, а S2 -
уравнением g(x,y,z)=O в окрестности р; здесь О есть регулярное зна­
чение дифференцируемых функций f и g. В этой окрестности р пересе-
чение S1 п S2 задаётся прообразом {О, О) при отображении F : R
3
~
--? R
2
, F(q) == (f(q), g(q)). Так как S1 и S2 пересекаются трансверсально,
нормальные векторы (fx, fy, / 2 ) и (gx, g У, g z) линейно независимы. Та­
ким образом, (О, О) - регулярное значение F, и S1 п S2 - регулярная кри­
вая (ер. упражнение 17 раздела 2.2).
20. Уравнение касательной плоскости в (x0 ,y0 ,z0 ) есть
ХХо >Уо ZZo -1
-2+-2 +-2 -
.
аЬс

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
577
Прямая, проходящая через О и перпендикулярная касательной плоскости,
задаётся уравнениями
Из последних уравнений получаем
х2а2 у2Ь2 z2c2 а2х2 +Ь2у2 +c2z2
--=--=--=
У.Уо ZZo
ХХо+У.Уо +ZZo
Из тех же уравнений, учитывая уравнение эллипсоида, получаем
ХХо - У.Уо
-
ZZo - ХХо +У.Уо +ZZo
х&/а2 - yJ/Ь2 - zJ/с2 -
1
Из тех же уравнений, используя уравнение касательной шюскости, получаем
х2_у2
_
z2
_
х2+у2 +z2
(x0 x)jа2 - (у0у)/Ь2 - (z0z)/с2 -
1
Правые части трёх последних уравнений, следовательно, равны, откуда
получается искомое уравнение.
21. Воспроизведите доказательство предложения 9 приложения к главе 2.
22. Пусть r - фиксированная прямая, которая пересекается нормалями S,
и пусть рЕ S. Плоскость R,, которая содержит р и r, содержит все нор­
мали S в точках R, nS. Рассмотрите плоскость Р2 , проходящую через р
и перпендикулярную r. Так как нормаль, проходящая через р, пересе­
кает r, Р2 трансверсальна к ТР (S); следовательно, Р2 п S есть регулярная
плоская кривая С в окрестности р (см. упражнение 17 раздела 2.4). Кро­
ме того, R, п Р2 перпендикулярна к TP(S) п Р2 ; следовательно, fi п Р2 -
нор-маль С. Отсюда следует, что все нормали С проходят через фикси­
рованную точку q =r п Р2 ; следовательно, С лежит на окружности
(ер. упражнение 4 раздела 1.5). Таким образом, каждая точка рЕ S имеет
окрестность, лежащую на некоторой поверхности вращения с осью r. В
силу связности S содержится в одной из этих поверхностей.
Раздел 2.5
8. Так как дЕ/дv =О, Е == Е(и) - функция только и. Пусть И= J../Е du.
Аналогично, G == G(v) - функция только v, и можно положить v == J,JG dv.

Таким образом, И и v - длины дуг координатных линий, откуда
Е =G =1, F =cosB.
9. Параметризуйте производящую кривую длиной дуги.
Раздел 3.2
13. Так как соприкасающаяся плоскость ортогональна N, N' = тп, и, сле­
довательно, т2
=1N'1
2
= kfcos2В+kisin
2
В, где В - угол, образованный е1
с касательным вектором кривой. Так как направление асимптотическое,
получаем, что cos2 В и sin
2
В как функции k1 и k2 , подстановка кото-
рых в предыдущее выражение да!:т т 2
= -k1k2•
14. Полагая Л1 =ЛiN2 и Л2 =A;_NI' получаем
1Л, -Л2 I=k1 (п, N1)N2 -(п, N1 )N1 1=
= ~Л~2 +~ - 2Л~А;. cosе.
С другой стороны,
lsinBl=IN1 лN2 l=lnл(N1 лN2 }1=
=l(n,N2 )N1 -(n,N1)N2 I.
16. Пересеките тор плоскостью, содержащей его ось, и примените упраж­
нение 15.
18. Используйте тот факт, что если В= 2п:/т, то
2
2
т
и(В) == 1+ cos В+···+ cos (т -1)0 =-,
2
что можно доказать, замечая, что
и(В)=_!..( vI-l e2vi0 + 2т +1)
4 v=-(m-1)
и выражение под знаком суммы есть геометрическая прогрессия, откуда
получается
sin(2mB - В)
sinB
-1.
19. а. Выразите t и h в базисе {е1 , е2 }, заданном главными направлени­
ями, и вычислите (dN(t), h).

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
579
Ь. Продифференцируйте равенство cosfJ =(N, п), используйте равенство
dN(t) = -knt + тgh и заметьте, что (N, Ъ) == (h, N) = sinfJ, где Ь - вектор би­
нормали.
20. Пусть S1, S2 и S 3 - поверхности, которые проходят через р. Покажи­
те, что геодезические кручения С1 = S2 n S 3 относительно S2 и S 3 равны;
это геодезическое кручение будет обозначаться т~. Аналогично, т2 обо­
значает геодезическое кручение С2 = S1 n S 3 и т3 - геодезическое кру­
чение S1 n S2 . Используйте определение тg, чтобы показать, что, по­
скольку С1 , С2 , С3 попарно ортогональны, т1 + т2 =О, т2 + т3 =О, т3 + т1 =О.
Отсюда следует, что т1 = т2 = т3 =О.
Раздел 3.3
2. Асимптотические линии: и = const, v =
.
Линии кривизны:
ln(v + .Jv
2
+ с2 ) ±и= const.
3. и +v = const, и -v =const.
6. а. Принимая прямую r за ось z и нормаль к r - за ось х, получаем
,
~
z
х
Полагая х = sin В, получаем
fcos2 В
В
z(fl)= - .- dfl=lntg-+cose+c.
sme
2
Если z(л:/2) =О, то С =О.
8. а. Утверждение, очевидно, верно, если х = Xi и х = х 1 - параметриза­
ции, которые удовлетворяют определению соприкосновения. Если х и х
произвольны, заметьте, что х = х 1 а h, где h - замена координат. Отсюда
следует, что частные производные f ах= f а х1 а h являются линейными
комбинациями частных производных f а х1 . Поэтому они обращаются в О
вместе с последними.
Ь. Введите параметризации х(х,у) = (х,у, f(x,y)) и х(х,у) = (х,у, ](х,у))
и определите функцию h(x,y,z)=f(x,y)-z.
Заметьте, что hax=O

580
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
и h ох= f - J . Из части (а), применённой к функции h, следует, что f -
- J имеет частные производные порядка .:;; 2, равные нулю в точке (О, О).
d. Так как соприкосновение порядка 2 2 влечёт за собой соприкосновение
порядка 21, параболоид проходит через р и касается поверхности в р.
Если принять плоскость Tp(S) в качестве .ху-плоскости, уравнение пара­
болоида примет вид
'
2
2
f(x,y)=ax +2Ьху+су +dx+i:Y.
Пусть z = f(x,y) - уравнение поверхности в той же системе координат.
1
1
Используячасть(Ь),получаем,чтоd=с =О, а == - fхх, Ь==fxy, с == - fуу.
2
2
15. Если существует такой пример, поверхность локально можно задать
уравнением вида z = f(x,y), где /(О, О)= О, fx(O, О)== fy(O, О)== О. Дан-
ные условия требуют, чтобы f l:x +/}у ::/:О в точке (О, О) и чтобы
fxxfyy - J}y =0 тогда и только тогда, когда (х,у) =(О, О).
Полагая для пробы f(x,y)=a(x)+/J(y)+xy, где а(х) - функция
только от х и /J(y)- функция только от у, убеждаемся, что ахх = cosx,
/Jyy = cos у удовлетворяют предыдущим условиям. Отсюда следует, что
f(x,y) = cosx + cosy + .ху-2
-
такой пример.
16. Возьмите сферу, содержащую поверхность, и уменьшайте непрерывно
её радиус. Изучите нормальные сечения в точке (или точках), где сфера
пересекает поверхность первый раз.
19. Покажите, что гиперболоид содержит два однопараметрических се­
мейства прямых, которые необходимо являются асимптотическими ли­
ниями. Чтобы найти такие семейства прямых, запишите уравнение гипер­
болоида в виде
(x+z)(x-z)=(l-y)(l+ у)
и покажите, что для любого k::/:О прямая х+z=k(1+k), х - z =
= (1/k )(1- у) лежит на поверхности.
20. Заметьте, ЧТО (х/ а2 'у/Ь 2 'z/ с2 ) = f N для некоторой функции f и ом­
билическая точка удовлетворяет условию
jd(JN) л da, N\ =О
\dt
dt/

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
581
для каждой кривой a.(t)=(x(t),y(t),z(t)) на поверхности. Предположите,
что z ::F О, умножьте равенство на z/с2 и исключите z и dz/ dt (заметьте,
что условие выполняется для любого касательного вектора поверхности).
Находятся четыре омбилические точки, а именно
2
2а
2
-
Ь2
2
2Ь
2
-
с2
у=О,х=а22
,
z=с-
2
--
2
.
а-с
а-с
Предположение z =О не даёт никаких дополнительных точек.
21. а. Пусть dN(v1 )=av1 +bv2 , dN(v2 )=cv1 +dv2 . Прямое вычисление
даёт
(d(JN)(v1) /\ d(jN)(v2 ), JN) = /
3
det(dN).
Ь. Покажите, что jN == (х/а2,у/Ь2, z/с2) = W, и заметьте, что
(
(J.. /3·у)
d(jN)(v)= а~ 'ь~ 'с~ '
i = 1, 2. Выбирая V; так, •по v1 /\ v2 = N, заключите, что
(w,х)i
(d(JN)(v1) /\ df(N)(v2 ), JN) =--ттz-,
аЬсf
где х = (x,y,z), и потому (w, х; = 1.
24. d . Выберите систему координат в R 3 так, что началом координат О
является точка рЕ S, .ху-плоскость совпадает с плоскостью Tp(S), а по-
ложительное направление оси z согласовано с ориентацией S в р. Кроме
того, направьте оси х и у в Tp(S) вдоль главных направлений в р. Если
V достаточно мала, её можно представить как график дифференцируемой
функции
z=f(x,y), (х,у)Е DcR 2
,
гдеD-открытыйкругвR2и
fx(O, О)= fy(O, О)= fxy(O, О) =О, fxx(O, О)= k1, f yy(O, О)= k1.
Можно считать, без потери общности, что k1 ~О и k 2 ~О в D, и мы
хотим доказать, что f(x,y) ~О в D.
Допустим, что для некоторой точки (х, у) Е D выполняется неравен­
ство f(x,y) <О. Рассмотрим функцию !Jo(t) = f(tx, ty), О~ t ~ 1. Так как

582
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
hQ(O)=O, существует такое t1, 0$t1 $1, что ~(t 1 )<0. Положите
р1 = (t1x, t1y, f(t1x, t1.Y))E S и рассмотрите функцию высот h1 окрестности
V относительно касательной ruюскости TPi (S) в р1 • Ограниченная на кри-
вую a(t) = (tx, ty, f(tx, ty)), эта функция высот равна h1(t) =(a(t)- р1 , N 1),
где N1 - единичный нормальный вектор в р1 • Таким образом,
h;(t) =(a"(t), N 1) и при t =t1
h;(t1) =((о, О, ~(t1)), (-fx<P1), - fy(P1), 1)) =h;(t1) <О.
Но h;(t1) = (a"'(t1), N 1) есть, с точностью до положительного множителя, нор­
мальная кривизна в р в направлении a'(t1). Эго является противоречием.
Раздел 3.4
10. с. Сведите задачу к тому факту, что если А.
-
иррациональное число
и т, п пробегают множество целых чисел, то множество {Ат+ п} плотно
на вещественной прямой. Чтобы доказать последнее утверждение, доста­
точно показать, что множество {А.т + п} имеет сколь угодно малые поло­
жительные элемеmы. Предполагая противное, покажите, что наибольшая
нижняя граница положительных элементов {А.т + п} ещё принадлежит
этому множеству, и получите противоречие.
11. Рассмотрите множество {а; : 1; ~ /} траекторий w, где а; (О)= р,
и положите l = u; I; . В силу единственности максимальную траекторию
а: l ~И можно определить, полагая a(t) = a;(t), где tE 1;.
12. Для каждой точки q Е S существуют окрестность И точки q и ин­
тервал (-в, в), в> О, такой, что траектория a(t), где а(О) = q, определена
в (-в, е). В силу компактности можно покрыть S конечным числом таких
окрестностей. Пусть в0 - минимум соответствующих значений е. Если
a(t) определена для t < t0 и не определена для t0 , выберите t1 Е (О, t0)
с f t0 -t1 [<в0 /2. Рассмотрите траекторию fi(t) поля w, где fi(t1)=a(t1),
и получите противоречие.
Раздел 4.2
3. Часть «только тогда» очевидна. Чтобы доказать часть «тогда>>, выбери­
те рЕ S и vE Tp(S), v *О. Рассмотрите кривую а: (-в, в)~ S, где

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
583
а'(О) = v. Мы утверждаем, что 1drpp(a'(O))1=1а'(О)1 · В противном случае,
скажем если 1 drpp(a'(O)) / > /а'(О) /, в окрестности J нуля в интервале
(-е, е) выполняется неравенство / drpP(a'(t)) /<1a'(t)1 · Это означает, что
длина a(J) больше длины ер о a(J), что является противоречием.
6. Параметризуйте а длиной дуги s в окрестности t0 . Постройте в плос­
кости кривую с кривизной k = k(s) и примените упражнение 5.
8. Положим О= (О, О, О), G(O) = р0
и
G(p)- р0 = F(p). Тогда
F:R
3
~R3
такое отображение, что F(O) =О
и IF(p)l=IG(p)-G(O)l=lpl. Это означает, что F сохраняет скалярное
произведение в R 3
.
Таким образом, оно отображает базис
{(1,О,О)=fi,(О,1,О)=/2,(О,О,1)=fз}
ортонормированный базис, и если р = L_ .aJ;, i = 1, 2, 3, то F(p) =
= L aiF(fi ). Следовательно, F линейно.
11. а. Так как F сохраняет расстояния и длина дуги дифференцируемой
кривой есть предел длины вписанной ломаной, ограничение F 1 S со­
храняет длину кривой на S.
с. Рассмотрите изометрию открытой полосы в плоскости на цилиндр без
одной образующей.
12.Ограничение F(x,y,z)=(x,-y,-z) на С есть изометрия С (ер.упраж­
нение 11), неподвижные точки которой суть (1, О, О) и (-1, О, О).
17. Локсодромы образуют постоянный угол с меридианами сферы. При
проекции Меркатора (см. упражнение 16) меридианы переходят в парал­
лельные прямые плоскости. Так как проекция Меркатора есть конформное
отображение, локсодромы также переходят в прямые линии. Таким обра­
зом, сумма внутренних углов треугольника на сфере та же, что и сумма
внутренних углов плоского прямолинейного плоского треугольника.
Раздел 4.4
6. Используйте тот факт, что абсолютная величина геодезической кривиз­
ны равна абсолютной величине проекции на касательную плоскость
обычной кривизны.

584
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
8. Используйте упражнение 1, часть (Ь), и предложение 5 раздела 3.2.
9. Используйте тот факт, что меридианы являются геодезическими линия­
ми и параллельный перенос сохраняет кривизну.
10. Примените соотношение ki + k'/', = k
2
и теорему Менье к проецирую­
щему цилиндру.
12. Параметризуйте окрестность р Е S таким образом, чтобы два семейст­
ва геодезических были координатными линиями (следствие 1 раздела 3.4).
Покажите, что это означает, что F = О, Ev =О = Gи. Сделайте замену пара-
метров, чтобы получить, что F = О, Е = G = 1.
13. Фиксируйте два ортогональных единичных вектора v(p) и w(p)
в TP(S) и параллельно перенесите их в каждую точку V. Таким образом,
получаются два дифференцируемых, ортогональных, единичных вектор­
ных поля. Параметризуйте V так, чтобы направления этих векторных по­
лей бьши касательными к координатным линиям, которые тогда будут гео­
дезическими. Примените упражнение 12.
16. Параметризуйте окрестность рЕ S так, чтобы линии кривизны были
координатными линиями и чтобы v = const были асимптотическими лини­
ями. Отсюда следует, что ev =О, и из уравнений Майнарди-Кодацци за­
ключаем, что Ev =О. Это означает, что геодезическая кривизна линий
v = const равна нулю. Для примера посмотрите на верхнюю параллель то­
ра.
18. Используйте уравнение Клеро (ер. пример 5).
19. Подставьте в уравнения (4) символы Кристоффеля, выраженные через
E,F,G, и продифференцируйте выражение первой основной формы
1 =-E(u')2 +2Fu'v' +G(v')
2
.
20. Используйте уравнение Клеро.
Раздел 4.5
4. Ь. Заметьте, что отображение х =- х,
у= (у)2, z = On3 даёт гомеомор­
физм сферы х2
+у
2
+z 2 =1 на поверхность (х)
2
+ (.У)
4
+on
6
=-1 .

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
585
6. а. Ограничьте v на кривую a(t) = (cost, sint), tE [О, 2ir]. Угол, который
v(t) образует с осью х, равен t. Таким образом, 2irl = 2ir; следовательно,
1 =1.
d. Ограничивая v на кривую a(t) = (cost, sint), tE [О, 2ir], получаем, что
v(t) = (cos2 t-sin 2 t, -2costsint) = (cos2t, - sin2t). Таким образом, I = - 2.
Раздел 4.6
8. Пусть (р, В) - такая система геодезических полярных координат, что её
полюсом является одна из вершин Л, а одна из сторон Л соответствует
В= О. Пусть две другие стороны заданы уравнениями В= 80 и р = h(B).
Так как вершина, которая соответствует полюсу, не принадлежит ко­
ординатной окрестности, возьмите малую окружность радиуса е с цен­
тром в полюсе. Тогда
Нл к-JG dp dB =s:0 de(!~ s:(O) к-JG dp)
Замечая, что к-JG =-( -. /G)pp и что lim(- ./G)p =1, получаем, что предел
e--tO
в скобках имеет выражение
1- д(-JG) (h(B), 8).
др
Используя упражнение 7, получаем
3
Нл к-JG dpdB = s:0 dB- s:0 drp = СХ3 -(ir-a2 -а1) = Ia; -ir.
1
12. с. При К == О задача тривиальна. При К > О используйте часть (Ь). При
К < О рассмотрите координатную окрестность V на псевдосфере (ер. уп­
ражнение 6, часть (Ь), раздела 3.3), параметризованную полярными ко-
ординатами(р,8), тоесть Е =1, F =О, G= sh
2
р. Найдите геодезические
V; удобно использовать замену координат thp = l/w, р *О, е = е, так что
Е=1
(w2-l)2'
1
2w
Г11 =--2 -,
w-1
1
G=-2-,
w-1
1
w
Г12=--2-,
w-1
F=O,
Г~2 =w,

586
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
а другие символы Кристоффеля равны нулю. Отсюда следует, что неради­
альные геодезические удовлетворяют уравнению (d2
w!dB2 )+w=O, где
w =w(B). Таким образом, w = Acose + Bsine, то есть
А thpcose+ Bthpsine = 1.
Следовательно, отображение V в R 2
, зада нное равенствами
; =thpcose, 17 =thpsin е,
((, 17)Е R 2, есть геодезическое отображение.
13. Ь. Определите х = ср-
1
: cp(U)сR2 ~S. Пусть v =v(u) -геодезичес­
кая в И. Так как ер - геодезическое отображение и геодезические R 2
-
пря­
мые линии, то d 2
v/du
2
=О. Внесением этого условия в часть (а) получа­
ется требуемый результат.
с. Уравнение (а) получается из уравнения 5 раздела 4.3 с использованием
части (Ь). Из уравнения (5а) раздела 4.3, вместе с частью (Ь), получаем
КF=(Гi2)и -2(Г1~)v +Г1~Г112·
Переставляя и и v в этом уравнении и вычитая результат, получаем
(Г112 )и = (Гi22 )v, откуда следует уравнение (Ь). Наконец, уравнения (с) и (d)
получаются из уравнений (а) и (Ь) соответственно перестановкой и и v.
d. Дифференцируя уравнение (а) по v, уравнение (Ь) по и и вычитая ре­
зультат, получаем
EKv -FKu =-K(Ev -Fu)+K(-FГ1~ +EГiz).
с учётом выражений гJ предыдущее уравнение даёт
EKv -FKu =-K(Ev -Fu)+K(Ev -Fu)=O.
Аналогично, из уравнений (с) и (d) получаем FKv -GKu =О, откуда
Kv =Ku =0.
Раздел 4.7
1. Рассмотрите ортонормированный базис {е1 , е2 } в Ta(o)(S) и перенесите
параллельно е1 и е2 вдоль а, получая ортонормированный базис
{е1 (t), e2 (t)} в каждом Ta(t)(S). Положите w(a(t)) = w1(t)e1(t)+ w2 (t)e2 (t).

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
587
Тогда Dy w = w; (О)е1 + w; (О)е2 , и правая часть есть скорость кривой
w1(t)e1 +w2 (t)e2 в TP(S) при t=O .
2. Ь. Покажите, что если интервал (t1, t 2 ) с/ мал и не содержит «точек из­
лома а», то касательное векторное поле a((t1, t 2 )) можно продолжить
в векторное поле у в окрестности a((t1 , t 2 )). Таким образом, для ограни­
чения v и w на а свойство 3 принимает вид
!!_(v(t), w(t)) = / Dv, w) +/ v, Dw),
dt
\dt
\dt
откуда следует, что параллельный перенос вдоль а 1(t1, t2 ) есть изометрия.
В силу компактности её можно распространить на весь отрезок /. Об­
ратно, предположим, что параллельный перенос есть изометрия. Пусть а -
траектория у, проходящая через точку р Е S. Ограничьте v и w на а.
Выберите ортонормированный базис {е1 (t), е2 (t)}, как в упражнении l,
и положите v(t) = v1e1 + v2 e2 , w(t) = w1e1 + w2 e2 . Тогда свойство 3 стано­
вится «правилом дифференцирования произведения»:
d(" )
"dv;
"
dw;
.
12
dt L..viwi =L..d(wi+L,,vidt' r='.
l
l
l
с. Предположите, что D задано, и выберите ортогональную параметриза­
цию x(u,v). Пусть y=y1xu+y2 xv, w=w1xu+w2 xv. Из свойств 1, 2 и 3
следует, что D_vw определяется, если известны Dx хи, Dx xv, Dx xv.
и
и
v
Положите Dx" Хи = Af 1хи + A1
2
1xv,
Dx" xv = А{2хи + Af2xv,
Dxvxv = А~2 хи + Ai2 xv. Из свойства 3 следует, что At удовлетворяют тем
же уравнениям, что и Гj (ер. уравнение (2) раздела 4.3). Таким образом,
Aj = Гj, и это доказывает, что Dy v совпадает с операцией «взятия обыч­
ной производной и проецирования её на касательную плоскосты>.
3.а.Заметьте, что
dx(O,t)(l, О)= (дх)
= !!_y(s, a(t), v(t))
= v(t),
дs s=O ds
s=O
dx(o,o(O, 1) = (ддх)
= a'(t).
t s=O

588
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
с. Используйте тот факт, что х есть локальный диффеоморфизм, чтобы
покрыть компактное множество 1 семейством интервалов, в которых х
взаимно однозначно. Используйте теорему Гейне-Бореля и число Лебега
покрытия (ер. раздел 2.7), чтобы глобализовать результат.
с. Чтобы показать, что F =О, вычисляем (ер. свойство 4 упражнения 2)
.!!_F =.!!_/дх дх) =/D дх дх)+/дх Dдх)
ds
ds\дs'дt \дsдs'дt \дs'дtдs '
потому что векторное поле дх/дs параллельно вдоль t = const. Так как
0 =!!.._/дх дх)=2/ D дх дх)
dt\дs'дs
\дtдs'дs '
F независитотs. Так как F(O,t)=О, то F=О.
d. Это следствие того факта, что F =О.
4. а. Используйте неравенство Шварца
(f:fgdty::; J:1
2
dt J:g
2
dt
приf=1и g=/da/dt/.
5. а. Замечая, что E(t) = J~ {(ди/дv) 2 + G(y(v, t), v)} dv, получаем (для удоб­
ства мы пишем y(v, t) = u(v, t))
E'(t) = rz {2дид2и+дG u'}dv.
Jo дv дvдt ди
Так как при t =О ди/дv =О и дG/ди =О, мы доказали первую часть.
Кроме того,
E"(t) = rz {2(д2и)2 +2ди дзи +д2G(и')2 +дGи") dv.
Jo дvдt
дv дvд2t ди 2
ди
Следовательно, используя равенство Gии = -2К .JG и замечая, что .JG = 1
при t = О, получаем

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
589
6. Ь. Выберите е >О и координаты в R 3
:=J S так, что ер(р, е) = q. Рассмот­
рите точки (р, е) =r0, (р, е +2л:sm/J) =ru .. " (р, е +2л:ksin/J) =rk. Выби­
рая е _ЕОСтаточно малым, мы видим, что прямолинейные отрезки
r 0r 1" . " r0rk принадлежат V, если 2л:ksinfJ<л: (рис.4.49). Так как ер есть
локальная изометрия, образы этих отрезков будут геодезическими, соеди­
няющими q с q, которые, очевидно, являются ломаными в q (рис. 4.49).
с. Следует доказать, что каждая геодезическая у: [О,/] -t S, где
у(О) =у(!)= q, является образом при отображении ер прямолинейных от­
резков r 0r1, . . . , r 0rk, упомянутых в части (Ь). Для некоторой окрестности
И с V точки r0 ограничение ер 1 И = q; есть изометрия. Таким образом,
q;-
1
о у является отрезком луча L, выходящего из r0 . Так как ep(L) - гео­
дезическая, которая совпадает с у([О, /]) в интервале, она совпадает с у
там, где у определена. Так как у(/)= q, L проходит через одну из точек
r;, i=I,".k, скажем rj, и потому у есть образ r0rj.
Раздел 5.2
3. а. Используйте уравнение ер"= -Кер, чтобы получить (ер'
2
+ Кер
2
)' = К'ер
2
.
Интегрируйте обе части последнего равенства и используйте граничные
условия утверждения.
Раздел 5.3
5. Предположите, что каждая последовательность Коши в метрике d схо­
дится, и пусть y(s) - геодезическая, параметризованная длиной дуги. До­
пустите противное, то есть y(s) определена при s < s0 , но не определена
при s = s 0 . Выберите последовательность {sп}
-t s0 . Таким образом, для
заданного е > О существует такой номер п0 , что если п, т > п0 , то
1sn - sm 1< е. Следовательно,
d(y(sm), у(sп)) ~ 1 Sn -sm 1 < е,
и {у(sп)} есть последовательность Коши относительно метрики d. Пусть
{у(sп)} -t р0 Е S, и пусть W - окрестность р0 , как в предложении 1 раз­
дела 4.7 . Если т, п достаточно велики, малая геодезическая, соединяющая
y(sm) с у(sп), очевидно, совпадает с у. Таким образом, у можно продол­
жить за точку р0 , что является противоречием.

590
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
Обратно, предположим, что S полна, и пусть {Рп} - последователь­
ность Коши в метрике d точек S. Так как d больше или равно евклидо­
ву расстоянию d, {Рп} есть последовательность Коши в метрике d. Та-
ким образом, {рп} сходится к р0 Е R 3
.
Допустим противное, то есть что
р0 ~ S. Так как последовательность Коши ограничена, для заданного г > О
существует такой номер п0 , что для всех п > п0 расстояние d(pn0
, Рп)<г.
По теореме Хопфа-Ринова, существует кратчайшая геодезическая Yn' со­
единяющая Pno с Рп, длины< г. При п ~ 00 Уп стремится к кратчайшей
геодезической у длины ~ г. Параметризуйте у длиной дуги s. Тогда, по­
скольку р0 ~ S, у не определена при s = г. Это противоречит полноте S.
6. Пусть {рп}
-
последовательность таких точек S, что d(p, Рп) ~ ""·
Так
как S полна, существует кратчайшая геодезическая Уп(s) (параметризо­
ванная длиной дуги), соединяющая р с Рп, где у"(О) = р. Единичные
векторы у~(О) имеют предельную точку v на (компактной) единичной ок­
ружности в Tp(S). Пусть y(s) = ехр Р sv, s ~О. Тогда y(s) - луч, выходя­
щий из р. Чтобы увидеть зто, заметим, что limn_,00 Уп(s0) = y(s0 ) для
фиксированного значения s0 . Это следует из непрерывной зависимости
геодезических от начальных условий. Кроме того, поскольку d непре­
рывно,
lim d(p, Yn(s 0 )) = d(p, y(so)).
п->оо
Но если п достаточно велико, d(p, Yn(s 0 )) = s 0 . Таким образом,
d(p,y(s0))= s0 и у есть луч.
8. Покажите сначала, что если d и d обозначают соответственно внут­
ренние расстояния на S и S, то d(p, q) ~ cd(rp(p), rp(q)) для любых
р, qE S. Пусть теперь {р"}
-
последовательность Коши относительно d
точек S. По первоначальному замечанию, {rр(рп)} есть последо­
вательность Коши в метрике d. Так как S полна, {rp(p")} ~ rp(p 0 ). Так
как rp-
1
непрерывно, {Рп} ~ р0 . Каждая последовательность Коши в мет­
рике d сходится; следовательно, S полна (ер. упражнение 5).
9. rp взаимно однозначно. Предположите противное, то есть р1 i= р2 Е S1
таковы, что rp(p1) = ср(р2 ) = q . Так как S1 полна, существует кратчайшая
геодезическая у, соединяющая р1 с р2 . Так как rp - локальная изометрия,

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
591
rp о у - геодезическая, соединяющая q с самой собой, той же длины, что
и у. Любую точку на rp о у, отличную от q, можно соединить с q двумя
геодезическими, что является противоречием.
rp сюръективно. Так как rp - локальный диффеоморфизм, rp(S1) с S2
есть открытое множество на S2 . Мы докажем, что rp(S1) одновременно
замкнуто на S2 ; так как S2 связно, это будет означать, что rp(S1) = S2 .
Если rp(S1) не является замкнутым множеством на S2 , существует после­
довательность {rp(pn)}, Рп Е S1, такая, что {rp(pn)} ~ р0 ~ rp(S1). Таким
образом, {rр(рп)} есть последовательность Коши на rp(S1), не являющаяся
сходящейся. Так как rp - взаимно однозначная локальная изометрия, {рп}
есть последовательность Коши в S1, не являющаяся сходящейся, что про­
тиворечит полноте S1.
10. а. Так как
и
!!_(h о a(t)) = !!_(a(t), v) = (a'(t), v) = (grad h, v)
dt
dt
!!_(h о a(t)) = dh(a'(t)) = dh(grad h) = (grad h, grad h),
dt
заключаем, приравнивая правые части предыдущих равенств, что
1grad h ls 1.
Ь. Допустим, что a(t) определена при t < t0 , но не определена при t = t 0 .
Тогда существует такая последовательность {tn} ~ t 0 , что последователь­
ность {a(tn)} не сходится. Если т и п достаточно велики, используем
часть (а), чтобы показать, что
d(a(tm), a(tm )) s f,
1
m 1grad h(a(t)) 1dt sl tm -tn 1,
tn
где d - внутреннее расстояние на S. Это означает, что {a(tn)}- последо­
вательность Коши, которая не сходится по метрике d, что противоречит
полноте S.
Раздел 5.4
2. Допустите, что
lim( inf К(х,у))==2с>0.
r-too x2+y2?:.r

592
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
Тогда существует такое R >О, что если (х,у)~ D, где
D={(x,y)ER 2
;x
2
+y
2
<R
2
},
то К(х,у) ;::>:с. Таким образом, выбирая точки вне круга D, мы можем
получить сколь угодно большие круги, где К(х,у) ;::>:с> О. Это, легко ви­
деть, противоречит теореме Бонне.
Раздел 5.5
3. Ь. Допустите, что а> Ь, и положите s = Ь в равенстве (*). Используйте
начальные условия и те факты, что v'(b) <О, u(b) >О, uv ;::>:О в [О, Ь], что­
бы получить противоречие.
с. Из [uv' -vu']~ ;::>:О получается v'/v ;::>: u'/u, то есть (lnv)';::>: (lnu)'.
Далее,
предположите, что О< s 0 ~ s ~ а, и интегрируйте последнее неравенство от
s0 до s, чтобы получить
ln v(s)- ln v(s0 ) ;::>: lnu(s)- ln u(s0),
то есть v(s)/u(s) ;::>: v(s0 )/u(s0 ). Заметьте далее, что
lim v(so) = lim v'(so) = 1
so~OU(So) so~Ou'(so) .
Таким образом, v(s) ;::>: u(s) для любого sE [О, а).
6. Допустим противное, то есть u(s) -:f:. О для любого s Е (О, s 0 ]. Используя
равенство(*) упражнения 3, часть (Ь) (при К= L и s == s 0 ), получаем
rso
1
,
Jo (К- L)uvds +u(s0)v(s0)-u(O)v(О)=О.
Допустим, например, что u(s) >О и v(s) <О на (О, s0 ]. Тогда v'(O) <О
и v'(s0 ) >О. Таким образом, первое слагаемое суммы вверху ;::>:О, а два ос­
тальных слагаемых >О, что является противоречием. Все другие случаи
можно обработать аналогично.
8. Пусть V - векторное пространство полей Якоби J вдоль у, обладающих
свойством J(l) =О. V есть двумерное векторное пространство. Так как
y(l) не сопряжена у(О), линейное отображение е: V ~ Ty(O)(S), заданное
равенством B(J) = J(O), инъективно и, следовательно, в силу размерности
является изоморфизмом. Таким образом, существует J Е V, где J(O) = w0
.

УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
593
По тем же причинам существует поле Якоби ] вдоль у с ](О)= О,
](/)= w1
• Искомое поле Якоби есть J +J.
Раздел 5.6
10. Пусть у: [О,/)~ S
-
простая замкнутая геодезическая на S, и пусть
v(O)E Ty(O)(S) таков, что 1v(O) \= 1, (v(O), у'(О)) =О. Пусть v(s) - результат
параллельного переноса v(O) вдоль у. Так как S ориентируема, v(l) = v(O),
и v определяет дифференцируемое векторное поле вдоль у. Заметьте, что
v ортогонально у и Dv/ds =О, s Е [О,/). Определите вариацию (со сво­
бодными концами) h: [О,/)х(-е,в)~S, полагая
h(s, t) = expy(s) tv(s).
Проверьте, что при малых t кривые вариации h1(s) = h(s, t) замкнуты.
Распространите формулу второй вариации длины дуги на настоящий слу­
чай и покажите, что
L~(O) ==-J~K ds <О.
Таким образом, y(s) длиннее, чем все кривые h1(s) при малых t, скажем
при [t [< д :<:::; е. Заменяя параметр t на t/д, получаем искомую гомотопию.
Раздел 5.7
9. Используйте понятие геодезического кручения тg кривой на поверхно­
сти (ер. упражнение 19 раздела 3.2). Так как
de
-==т-т
ds
g'
где cos (} == (N, п) и кривая - замкнутая и гладкая, получаем
J~тds- J~тgds =2пп,
где п - целое число. Но на сфере все кривые являются линиями кривизны.
Так как линии кривизны характеризуются нулевым геодезическим круче­
нием (ер. упражнение 19 раздела 3.2), получаем
J~тds == 2пп.
Так как каждая замкнутая кривая на сфере гомотопна точке, целое число
п, как легко видеть, равно нулю.

594
УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ
Раздел 5.10
7. Мы должны показать только, что геодезические y(s), параметризован­
ные длиной дуги, которые достигают границу R~, определены ДJIЯ всех
значений параметра s. Если верно противное, такая геодезическая должна
иметь конечную ДJiину l, скажем, от фиксированной точки р0 . Но ДJIЯ ок-
ружностей R;, которые являются геодезическими,
l =llimi"
d(} 1~ \1imi"
cos (} d(} 1=оо
в~О 8o>n/2 sin (} е~О 8о>я/2 sin (}
'
и то же имеет место для вертикальных прямых R~.
с. Чтобы доказать, что метрика полна, заметьте, во-первых, что она силь­
нее евклидовой метрики R 2 . Таким образом, если последовательность яв­
ляется последовательностью Коши в данной метрике, она также является
последовательностью Коши в евклидовой метрике. Отсюда следует, что
данная метрика полна (ер. упражнение 1раздела5.3).

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара теорема об овалоидах 461
Адамара теорема о полных поверх­
ностях с К ::::; О 460, 464 (упр. 9)
Антиподальное отображение 102
(упр. 1)
Вариационное исчисление 423-425
(упр. 4, 5)
Вариация
-
вторая длины дуги 419
-кривой406
Асимптотическая линия 181,
-
ломаная 500
-
дифференциальное уравнение 194 - ортогональная 413
-
максимальная 489
-
первая длины дуги 412
Бак Р. Ц. 60, 123, 162
Бельтрами теорема о геодезических
отображениях 354 (упр. 13)
-
поверхности 239
-простой
(упр. 5)
геодезической
-
собственная 406
Бельтрами-Эннепера теорема 185 Вектор
367
(упр. 13)
-касательный (см. Касательный
Бертрана кривая 41
вектор)
Бертрана пара 41
-
скорости 12
Бинормали вектор 31
-
ускорения 412
Бинормаль 32
Вектор,
Больцано-Вейерштрасса теорема 139, -длина 14
557
-
норма 14
Бонне О. 421
Бонне теорема 419, 504
Браунмюль А. 433
Векторное поле вариации 407
Векторное поле вдоль кривой 289,
-
ковариантная производная 289
-
параллельное 290
Вайнгартена формулы 189
Векторное поле вдоль отображения
Вариации первая и вторая энергии 409
простой геодезической 368 Векторное поле на плоскости 213,
(упр. 5)
-
локальный первый интеграл 217

596
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
локальный поток 216
-
приложения 330
-
траектории 214
Векторное поле на поверхности 219,
286,
-
ковариантная производная 287
-
особая точка 333
Гаусса-Бонне теорема (локальная)
321
Гаусса лемма 344
Гаусса теорема egregium 283
Гаусса уравнение 283
-
производная по направлению по- - в ортогональных координатах 285
ля 228 (упр. 11)
Гауссова кривизна 178, 189,
Векторное произведение 24
Вершина
-
плоской кривой 54
-
кусочно регулярной кривой 318
-
триангуляции 325
Винтовая линия 13, 36 (упр. 1)
-
обобщённая 41 (упр. 17)
Вложение 518
-
бутьшки Клейна в R 4 519
-
проективной плоскости в R 4 521
-
торавR4 518
Внутреннее расстояние 271, 394
Внутренняя геометрия 263, 283, 286
Вращения ось 96, 108
Вторая основная форма 173
Выпуклая
-кривая 54
-
оболочка 66 (упр. 11)
-
окрестность 362,
-
-
её существование 365
-
геометрическая
169
интерпретация
-
для графиков дифференцируемых
функций 198
-
в терминах параллельного пере-
носа 323
Гауссово отображение 167
Гейне-Бореля теорема 140, 154
Геликоид 119,
-
асимптотические линии 203
(упр. 2)
-
как единственная минимальная
линейчатая поверхность 245
-
как минимальная поверхность
245
-
касательная
(упр. 9)
плоскость
-
линии кривизны 203 (упр. 2)
112
-
локальная изометричность кате­
ноиду 256 (упр. 14), 268
-
обобщённый 126 (упр. 13), 226
(упр. 6)
Выпуклое множество
Выпуклость и кривизна 57, 212 - параметр распределения 252
(упр. 24), 461, 473
(упр. 1)
-
стрикционная линия 252 (упр. 1)
Гаусса-Бонне теорема (глобальная) Геодезическая 295
327,
-
кратчайшая 362, 397

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
597
-
кривизна 298, 303
-
окружность 342
-
радиальная 342
Геодезические,
-
в полярных координатах 352 (7)
-
дифференциальные уравнения
305
-
как решение вариационной зада-
qи 412
-
конуса 368 (упр. 6)
-координаты 367 (упр. 3)
-
параболоида вращения 309-311
-
параллели 367 (упр. 3)
-
поверхности вращения 305-309,
424 (упр. 5)
-
полуплоскости Пуанкаре 512-
514, 530 (упр. 8)
-
полярные координаты 341,
-
-
гауссова кривизна 344
-
-
первая основная форма 343
-
существование 305
-сферы296
-
цилиндра 296 - 297
-
экстремальное свойство 349
-
гауссово отображение 171
-
как линейчатая поверхность 233
-
параметризация 86 (упр. 11)
-
первая квадратичная форма 124
(упр. 1)
Гиперболоид двуполостный 80,
-
параметризация 87 (упр. 13), 124
(упр. 1)
-
первая основная форма ]24
(упр. 1)
Гиперболоид однополостный 111
(упр. 2), рис. 3.34,
-гауссово
(упр. 8)
отображение 184
-
как линейчатая поверхность 230,
252 (упр. 2)
Главная
-
кривизна 176
-нормаль32
Главное направление 176
Гладкая функция 12
ГлюкХ. 57
Голономий группа 355
Гольмгрен Е. 531
Гомеоморфизм 153
Геодезический поток 524
Геодезическое отображение 354 Гомотопиядуг451,
(упр. 12)
Гепперт Х. 486
Гессиан 199, 211 (упр. 22)
Гильберта теорема 531
Гильберт Д. 379, 531
Гиперболическая плоскость 512
Гиперболиqеский параболоид (сед-
лообразная поверхность) 86
(упр. 11), рис. 3.7,
-
асимптотические линии 224
-
свободная 465 (упр. l О)
-
поднятие 452
Гомотопные дуги 451
Градиент на поверхностях 127
(упр. 14)
Граница множества 549
График дифференцируемой функ­
ции 76,
-
вторая основная форма 198
-
гауссова кривизна 198

598
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
касательная
(упр. 3)
ruюскость
111 Евклида пятый постулат 333, 513,
514
-
площадь 125 (упр. 5)
-
средняя кривизна 198
ГринЛ. 433
Громов М. Л. и Рохлин В. А. 541
Группа изометрий 276 (упр. 9)
Гуревич В. 216
Дарбу репер 313 (упр. 14)
Движение 37 (упр. 6), 58
Декарта лист 20 (упр. 5)
Диффеоморфизм 95,
-
изменяющий ориентацию 201
-
локальный 109
Единичный нормальный вектор 11 О
Ефимов Н. В. 540
Замкнутая плоская кривая 46
Замкнутое множество 547
Замыкание множества 547
Заузленная кривая 479
Изометрия 264
-
линейная 276 (упр. 7)
-
локальная 265
-
-
в локальных координатах 266,
275 (упр. 2)
-
-
поверхности касательных в плос-
-
сохраняющий ориентацию 201
кость 275 (упр. 6)
-
сохраняющий площади 278 Изопериметрическое неравенство 49
(упр. 18, 19)
Дифференциал отображения
157,511
108,
Дифференциальная структура 506,
522
Дифференцируемая функция 93, 103
(упр. 9), 104 (упр. 13), 154
-
для геодезических окружностей
353 (упр. 9)
Изотермические координаты 242,
274
-
для минимальных поверхностей
256 (упр. 13(Ь))
Инверсия 150
Дифференцируемое
522
многообразие Индекс векторного поля 334
Индекс вращения кривой 53
Дифференцируемое отображение 94, Индексная форма геодезической 502
156, 508
Индикатриса Дюпена 181,
Длина дуги 17
-
в полярных координатах
(упр.11)
-
как параметр 35
Дуга 552
39
-
геометрическая
200
интерпретация
Интегральная кривая 218
Инфимум (точная нижняя граница)
550
-
регулярная 318
Иоахимсталя теорема 185
Дюпена теорема о триортогональ-
ных системах 186 (упр. 20)
Каздан Д. и Уорнер Ф. 531

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Калаби Е. 422
Кармо М. и Лима Е. 462
Касательная
-к кривой 16
-
плоскость 106, 111 (упр. 1, 3)
-
-
абстрактных поверхностей 511
-
выражение 288
-
свойства 366 (упр.2)
Компактное множество 123, 556
Коноид 252 (упр. 5)
Конус 84, 85 (упр. 3), 390,
-
геодезические 368 (упр. 6)
599
-
сильная 21 (упр. 7)
-
как линейчатая поверхность 229
-
слабая 21 (упр. 7)
Касательное
-
отображение кривой 468
-
расслоение 523
Касательный вектор
-
абстрактной поверхности 51 О
-кривой 12
-
регулярной поверхности 106
Касательных
-
индикатриса 36 (упр. 3), 52
-
поверхность 100
Катеноид 268,
-
асимптотические
линии
(упр. 3)
-
локальная изометричность плос-
кости 269
Конформное отображение 273
-линейное 277 (упр. 13)
-локальное 273, 277 (упр. 14)
-
-
плоскостей 277 (упр. 15)
-
-
сфер в плоскости 278 (упр. 16)
Координатная окрестность 71
Координат система 71
Координатные линии 71
Коши-Крофтона формула 58
Коши последовательность 551
203 - относительно внутренней метри­
ки 402 (упр. 5)
-как минимальная поверхность Кривая
257
-
замкнутая 46
-
локальная изометричность гели- _класса ck 21 (упр.
7
)
коиду 256 (упр. 14), 268
Клейна бутьшка 509,
-
вложение в R 4 519, 520
-
неориентируемость 519
Клеро формула 307
Клингенберга лемма 463
1
-
кусочно гладкая класса С 51
-
кусочно регулярная 318
-
незаузленная 479
-
непрерывная 467
-
параметризованная 12
Кнезера критерий сопряжённых то- - - кусочно дифференцируемая
чек 441 (упр. 7)
393
Ковариантная производная 287,
-
алгебраическое значение 298
-
вдоль кривой 289
-
в терминах параллельного пере-
носа 365 (упр. 1)
-
-
кусочно регулярная 293
--регулярная 16
-
простая 21 (упр. 7), 46
-
расходящаяся 402 (упр. 7)
Кривизна

600
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
гауссова 178, 189 (см. также Га- Лима Е. и Кармо М. 462
уссова кривизна)
Линейно связное множество 552
-
геодезическая 298, 303
-
локально 554
-
главная 176
-
нормальная 173
-
IШОСКОЙ кривой 34
-
пространственной кривой 29
-
-
в произвольной параметриза-
ции 40 (упр. 12)
-
секционная 527
-
средняя 178, 190, 197,
-
-
её вектор 242
Кривизны
-линия 177,
-
-
дифференциальное уравнение
195
-радиус 32
Линейчатые поверхности 229,
-
гауссова кривизна 23 3
-
направляющая 229
-
нецилиндрические 231
-
образующие 229
-
параметр распределения 233
-
стрикционная линия 233
-
центральные точки 231
Линия кривизны 177
Лиувилля
-
поверхности 316
-
формула 303
Логарифмическая
(упр. 6)
спираль
20
Кристоффеля символы 280
-
в нормальных координатах 352
Локальная выпуклость 212 (упр. 24),
461
(упр. 4)
-
поверхности вращения 281
Критическая точка 76, 113 (упр. 13)
-
невырожденная 211 (упр. 23)
Критическое значение 77
Кручение,
-
строгая 212 (упр. 24)
Локальный канонический вид кри­
вой 42
Локсодромы сферы 121, 278
(упр. 17)
Луч 402 (упр. 6)
-в натуральной параметризации 39 Лэшоф Р. и Черн С. С 461
(упр. 12)
-
в произвольной параметризации Майнарди--Кодацци уравнения 284
39 (упр. 12)
Мангольдт Х. 433
-
геодезической 186 (упр. 19), 313 Массей в. 258
(упр. 14)
-знак43
Курант Р. 143
Лебега число 140
Леви - Чивита связность 526
Менье теорема 174
Меридиан98
Меркатора проекция 278 (упр. 6),
279 (упр. 20)
Мёбиуса лента 132,
-
бесконечная 528 (упр. 2)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
601
-
гауссова кривизна 209 (упр. 18) - асимптотическое 181
-
неориентируемость 134, 136 - главное 176
(упр. 7)
Направления сопряжённые 217
-
параметризация 133
Милнор Т. К. 540
Миндинга теорема 344
Минимальная поверхность
-
вращения 243
Направляющая линейчатой поверх-
-
линейчатая 245
Минимальные поверхности 238,
-гауссово
отображение
(упр. 13)
ности 229
Неизгибаемость сферы 379
Непрерывное отображение 149
Ниренберг Л. и Хартман П. 486
Норма (длина) вектора 14
Нормалей индикатриса 331
256 Нормаль 11 О
-главная 32
-
изотермические координаты 243, Нормальная
256 (13(Ь))
-
кривизна 173
-
как решения вариационной зада- - плоскость кривой 32
чи 240
Нормальное сечение 174
-
сопряжённые 256 (упр. 14)
Множество
-
выпуклое 65 (упр. 9)
-
замкнутое 54 7
-
компактное 139, 556
-
линейно связное 139
-
локально односвязное 456
-
ограниченное 139
-
односвязное
-
открытое 14 7
-
связное 552
Морса теорема об индексе 502
Мыльная плёнка 241
Накопления точка 546
Накрывающее пространство 442
Нормальные координаты 341
Нормальный вектор
-кривой30
-
поверхности 11 О
Обезьянье седло 193, 208 (упр. 11)
Область 122
-
ограниченная J22
-
простая 320
-
регулярная 324
Об обратной функции теорема 162
Образующая 229
Овалоид 385, 461
Огибающая семейства касательных
плоскостей 236, 253 (упр. 80), 255
(упр. 1О), 293, 369 (упр. 7)
Накрытие двойное ориентированное Односвязное множество 455
(упр. 3,4)
-
локально 456
Накрытия число листов 450
Направление
О жордановой кривой теорема 469
Окрестность 148, 152

602
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
выпуклая 362
-
координатная 71
-
нормальная 341
-
отмеченная 442
Омбилическая точка 179
Основная теорема локальной теории
поверхностей 284, 373
Особая точка
-
векторного поля 334
-
параметризованной кривой 16
О повороте касательных теорема - параметризованной поверхности
320, 472
100
О промежуточном значении теорема Оссермана теорема 251, 403
153
(упр. 11)
Ориентация,
-
векторного пространства 24
-
изменение ДJIЯ кривых 17
-
кривой 136 (упр. 6)
-
поверхностей 129, 166
Открытое множество 147
Отображение
-
антиподальное 102 (упр. 1)
-
гауссово 167
-
геодезическое 354 (упр. 12)
-
положительная пространства R n - дифференцируемое 94, 156, 508
24
Ориентированная
-
область в R 2 28 (упр. 10)
-
поверхность 128, 130
-
конформное 273
-
-
линейное 277 (упр. 13)
-
накрывающее 442
-
непрерывное 149
-
положительно граница простой - самосопряжённое линейное 258
области 320
-
сохраняющее расстояния 276
-
положительно простая, замкнутая
(упр. 8)
шюская кривая 47
-
экспоненциальное 339
Ориентированный объём в R
3
28 О четырёх вершинах теорема 54
(упр. 11)
Ортогональная
-
параметризация 120, 223
Параболоид вращения 102 (упр. 3),
-
гауссово отображение 171
-
проекция 102 (упр. 2), 150
-
геодезические 309
Ортогональное преобразование 37 _ сопряжённые точки 439 (упр. 2)
(упр. 6), 276 (упр. 7)
Ортогональные
Параллели
225
-
геодезические 367 (упр. 3(d))
-
поверхности вращения 98
-
поля направлений 220,
(упр. 4), 225 (упр. 5)
-
семейства кривых 128 (упр. 15), Параллельные
220, 226 (упр. 6)
-
кривые 64 (упр. 6)
Основная теорема локальной теории - поверхности 255 (упр. 1)
кривых 33, 371
Параллельный перенос 291

ПРЕДМЕПIЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
603
-
геометрическое конструирование - графика функции 125 (упр. 5)
293
-
ориентированная 28 (упр.1 О), 168
Параллельных векторов поле 290,
-
поверхности вращения 126
-
существование и единственность
291,303
Параметр
-кривой 12
-
распределения 232
Параметризация натуральная 35
(упр. 11)
Поверхности вращения 97,
-
гауссова кривизна 197
-
геодезические 305-309
-
главные кривизны 197
-
изометрии 276 (упр. 10)
Параметризация поверхности 71
-
конформные отображения 279
-
асимптотическими линиями 224 (упр. 20)
-
линиями кривизны 225
-
минимальные 243-245
-
ортогональная 120,
-
обобщённые 99
-
-
существование 223
-
параметризация 97
Параметры,
-
площадь 126 (упр. 11)
-
замена на кривых 104 (упр. 15)
-
замена на поверхностях 91
-
постоянной
(упр. 7), 382
-
символы Кристоффеля 281
кривизны
205
-
изотермические 274,
-
-
существование 274
-
сохраняющие площадь отобра-
жения 279 (упр. 20)
-
-
существование для минималь- _ средняя кривизна 197
ных поверхностей 256 (13(Ь))
Поверхность
-
абстрактная 506
Первая основная форма 11 7
Плато задача 242
Плоский тор 517
-
вращения (см. Поверхности вра­
щения)
Плоскостей касательных однопара- _ геометрическая 511
метрическое семейство 255
_касательных 100
Плоскость
-линейчатая (см. Линейчатые по-
-
вещественная проективная 509
-
гиперболическая 512
-
касательная 106
-
нормальная 32
-
соприкасающаяся 30, 44,
(упр. 1)
-
спрямляющая 32
Площадь 123,
верхности)
-
Лиувилля 316
-
минимальная 25
-
неизгибаемая 379
45 - параметризованная 100
-
-
регулярная 100
-полная 388
-
развёртывающаяся 235,
-
геометрическое определение 142
(упр. 3)
252

604
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
регулярная 70
-связная 80
-
фокальная 253 (упр. 9)
Поворот 96, 108
Погружение 515
-
изометрическое 515
Поднятие
-дуги447
-
гомотопии 452
Поднятия дуг свойство 452
Подобие 227 (упр. 9), 277 (упр. 13),
354 (упр. 12)
Псевдосфера 204 (упр. 6)
Пуанкаре полуruюскость 513,
-
геодезические 514, 530 (упр. 8)
-
полнота 530 (упр. 7)
Пуанкаре теорема об индексах век­
торного поля 336
Равномерно непрерывное отображе-
ние 560
Радиус кривизны 32
Разбиение 22 (упр. 8), 142
Развёртывающаяся поверхность 235,
252 (упр. 3),
-
касательная шюскость 253
Поле направлений 217,
-
дифференциальное уравнение 218 - классификация 235
-
интегральные кривые 218
Поле единичных нормальных векто-
ров 130
Полная поверхность 388
Полюс 465 (упр. 11)
Предел последовательности 545
Предельная точка 546
Проективная плоскость 509,
-
вложение в R 4 521
-
неориентируемость 519
-
ориентируемое двойное накрытие
528 (упр. 3)
Проекция 102 (упр. 2), 150
-
огибающая семейства
ных плоскостей 236
Раздела множество 500
касатель-
Расстояние на поверхности 394
Регулярная
-
кривая 88 (упр. 17), 97
-
параметризованная кривая 16
-
параметризованная поверхность
100
-
поверхность 70
Регулярное значение 77, 116
(упр. 28),
-
прообраз 78, 116 (упр. 28)
Репер
-
Меркатора 278 (упр. 16),
(упр. 20)
279 -Дарбу 313 (упр. 14)
-Френе 32
-
стереографическая 87 (упр. 16), Риманова
275 (упр. 4)
-
метрика 525
Произведение
-
векторное 24
-
внутреннее 14
-
"крестом" 24
-
скалярное 14
-
-
на абстрактных поверхностях
512
-
структура 525
Риманово многообразие 525,
-
ковариантная производная 526

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
605
Ринов В. и Хопф Х. 389, 422
Род поверхности 327
Родрига теорема 177
Рохлин В. А. и Громов М. Л. 541
Самельсон Х. 142
Сантало Л. 62
Связная компонента 561
Связное множество 552
Связность 466 (упр. 2), 526
Сдвиг 37 (упр. 6)
СержБ. 486
Симметрия 96, 150
Синга лемма 464 (упр. 10)
Скалярное произведение 14
След
-
параметризованной кривой 12
Сопряжённые
-
минимальные поверхности 256
(упр. 14)
-
направления 182
-точки432,
-
-
критерий Кнесера 441 (упр. 7)
Спрямляющая плоскость 32,
-
огибающая 370 (упр. 7(Ь))
Сравнения теоремы 439 (упр. 3)
Средней кривизны вектор 242
Средняя кривизна 178, 190, 197
Степень отображения 465
Стереографическая проекция 87
(упр. 16), 275 (упр. 4)
Стокера замечание по поводу теоре­
мы Ефимова 541 (упр. 1)
Стокера теорема о плоских кривых
484 (упр. 8)
-
параметризованной поверхности Стокер д. д. 461, 486
100
Собственное число 261
Собственный вектор 261
Совместности условия 284
Стрикционная линия 231
Супремум (точная верхняя граница)
550
Сфера 73,
Соприкасающаяся
-
гауссово отображение 296
-
окружность 45 (упр. 2(Ь))
-
геодезические 296
-
плоскость кривой 30, 43, 45 - изометрии 276 (упр. 11), 316
(упр. 1), 45 (упр. 2)
(упр. 23)
-
сфера кривой 208 (упр. lO(c))
Соприкасающийся параболоид 207
(упр. 8(с))
Соприкосновение
-
кривых 207 (упр. 9)
-
кривых и поверхностей 207
(упр. 10)
-
поверхностей 115 (упр. 27), 206
(упр. 8)
Сопряжённое множество 432
-
изотермические координаты 275
(упр. 4)
-
как двойное накрытие проектив-
ной плоскости 525 (упр. 3)
-
неизгибаемость 379
-
ориентируемость 130
-
параметризации 73-75,
87
(упр. 16)
-
первая основная форма 121
-поле Якоби

606
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
-
сопряжённое множество 432--433
-
стереографическая проекция 87
(упр. 16)
Сферический образ 184 (упр. 9)
Сходимость 545
-по метрике 401(упр.4)
Тиссо теорема 227 (упр. 9)
Топологические свойства поверхно-
стей 324-327
Тор 81,
-
абстрактный 516
-
гауссова кривизна 190
-
как ориентируемое двойное на-
крытие бутылки Клейна 528 (3)
-
неявное уравнение 81
-
параметризация 84
-
плоский 517
-площадь 123
Точка
-
гиперболическая 178
-
изолированная 550
-
критическая 76, 113 (упр. 13), 434
-
накопления 546
-
омбилическая 179
-
параболическая 178
-
предельная 546
-
сопряжённая 432
-
центральная 231
-
эллиптическая 178
Триангуляция 325,
-грани325
-рёбра 325
Трубчатая окрестность 137
Трубчатые поверхности 113 (упр. 1О),
476,477
Угол
-
внешний 319
-
внутренний 328
-
между двумя поверхностями 11 О
Уорнер Ф. и Каздан Д. 531
Уровня линия 128 (упр. 14)
Ускорения вектор 412
Фари-Милнора теорема 480
Фенхеля теорема 476
Ферми координаты 366 (упр. 3)
Фокальные поверхности 253 (упр. 9)
Френе
-репер 32
-формулы32
Функция
-
аналитическая 249
-высот93
-
гармоническая 243
-
дифференцируемая 93, 154
-
координатная 149
-
Морса 211 (упр. 23)
Трактриса 19 (упр. 4)
Трансверсальное пересечение
(упр. 17)
114 - непрерывная 16
Треугольник на поверхности 325
Хартман П. и Ниренберг Л. 486
-
геодезический 317, 332,
Хопфа-Ринова теорема 398
-
-
подвижность малых геоде- Хопф Х. и Ринов В. 389, 422
зических треугольников 353
(упр. 11)
Цепная линия 38 (упр. 8)

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
607
Цепное правило 115 (упр. 24), 155, Эволюта 37 (упр. 7)
159
Эйлера-Пуанкаре характеристика
Циклоида 18
трианrуляции 325
Цилиндр 85 (упр. 1),
Эйлера формула 178
-
изометрия 277 (упр. 12)
-
локальная изометричность плос-
кости 265
-
нормальные сечения 175
-
первая основная форма 118
Цилиндр как линейчатая поверх­
ность 229
Циссоида Диоклеса 18 (упр. 3)
Чебышевская сеть 125 (упр. 7,8), 286
(5), 533
Черн С. С. 379
-
и Лэшоф Р. Л. 461
Число витков кривой 468
Шар 147
Экспоненциальное отображение 339,
-
дифференцируемость 340
Эллипсоид 79, 102 (упр. 4), 115 (20),
-
гауссова кривизна 21 О (упр. 21)
-
омбилические точки 209 (упр. 20)
-параметризация 87 (упр. 12)
-
первая основная форма 125
(упр. 1)
-
сопряжённое множество 432
Энергия кривой 367 (упр. 4)
Эннепера поверхность 203 (упр. 5)
-
как минимальная 24 7
Якобиан 158
Якоби матрица 158
Якоби поле 425
-
на сфере 431
Шерка минимальная
251
поверхность Якоби теорема об индикатрисе нор­
малей 331
Штурма осцилляционная теорема Якоби теоремы о сопряжённых точ-
441 (упр. 6)
ках 498, 503
Шура теорема о плоских кривых 483 Якоби уравнение 426
(упр. 7)

Россия, Москва
Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН
уп. Бардина, д. 4, корп. 3, к. 415 (м. Ленинский пр-т)
тел.: +7 (925) 280-78-96 , +7 (499) 135-54-37
Интернет-маrазин
e-mail: гhd-m@mail.гu
Россия, Ижевск
Удмуртский государственный университет
уп. Университетская, д· 1, корп. 4, оф. 201 а/207
телJфакс: + 7 (3412) 50-02-95
e-mall: subscribe@rcd.ru
http://shop.rcd.ru
• Оrправка зака30в осущестВ11Rется
nol.froй РФ из г. Ижевска
• Цены на сайте указаны
без учета стоимости доставки
Книrи можно приобрести также:
Московский дом кимrи
Москва, ул. Новый Арбат, д. 8 (м. «Арбатская»)
Тел.: +7 (495) 789-35 -91
Дом технической книrи
Москва, Ленинский проспект, д. 40
(м. «Ленинский ПросnеКТ»)
Ten.: +7 (499) 137-60 -19
Кнм-"'е киоски ООО «Арrументв
Москва, Ленинский npocneкr, д. 65
(м. «Ленинский ПроспеКТ») Главное здание
РГУ нефп1 и газа им. И. М. Губкина
ООО •Санкт-Петербурrская кнмrоторrова11
комnания»
Санкт-Петербург, ул. Капитана Воронина, д. 8
Тел.: +7 (812) 295-06-57
ОООсКмам»
Самара, ул. Ново-Садовая, д. 381, 4-й этаж-
• ТЦ на Ново-Садовой•
Тольятти, ул. Дзержинскоrо, 21, минус 1-й этаж,
секция 80За - сТЦ Капитал•
ООО •Пермкн11rа»
Пермь, ул. Лодыгина, д. б
Ten.: +7 (342) 242-84-90 , 242-72-74
ООО •Иадательство «Инфра·Инженерия»
Вологда, ул. Машиностроительная, д. 19, оф. 238
Тел.: +7 (911) 512-48-48
ООО «ВЕЯЕС»
Омск
тел.: +7 (3812)46-31-12 ,46-31-41
Манфредо П. до Кармо
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ
Дизайнер А. А. Гурьянова
Технический редактор А. В. Бакиев
Компьютерная верстка О. А. Печина
Корректор Е. В. Огородникова
Подписано в печать 19.11 .2013 . Формат 6Ох84
1
116 .
Усл. печ. л. 35,34. Уч. изд. л. 37,54. Гарнитура Тайме.
Бумага офсетная No 1. Печать офсетная. Заказ No 13-78 .
АНО «Ижевский инстиrут :компьютерных исследований»
426034, г. Ижевск, ул. Кооперативная, 5.
http://shop.rcd.ru E-mail: mail@rcd.ru Тел.lфакс: +7 (3412) 50-02 -95

ISBN 978-5 -4344-0150-0
"
мнтернет-моrаамн
CJZc:JN.ГU
11111ш1~~Ш1~1111 J
Е 785434 401500