ГМ. ПОПОВ. И.И. ШАФРАНОВСКИИ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

Г. М. ПОПОВ, И. И. ШАФРАНОВСКИЙ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
ИЗДАНИЕ 5-е,
ИСПРАВЛЕННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено
Министерством высшего и среднего
специального образования СССР
в качестве учебника для студентов геологических
специальностей высших учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ВЫСШАЯ ШКОЛА»
Мое к в а — 1972

531.9
П58
Попов Г, М., Шафрановский И. И.
П58 Кристаллография. Изд. 5-е. Учебник для студентов геологических
специальностей высших учебных заведений. М., «Высшая школа»,
1972.
352 стр. с илл.
Учебник содержит краткое изложение основ науки о кристаллах:
общие понятия о свойствах и строении твердого кристаллического
вещества, основы геометрии, физики и химии кристаллов. Описан ряд
кристаллографических методов.
При подготовке учебника к переизданию в него были внесены
исправления и существенные дополнения с учетом последних
достижений науки.
2—9—3
69—72^ 531.9
Георгий Михайлович Попов. Иларион Иларионович Шафрановский
Кристаллография
Редактор И. Я- Шагирова. Художественный редактор Т. А, Колеи -
кова. Художник Ф. И. Гальцев. Технический редактор Н. Н.
Баранова. Корректор Р. И. Самофатова.
Т-03043 Сдано в набор 10/IX—71 г. Подп. к печати 6/Ш—72 г.
Формат 60X90V16 Объем 22 печ. л. Уч.-изд. л. 21,12
Изд. № Е—177 Тираж 15 000 экз. Цена 85 коп.
План выпуска литературы изд-ва «Высшая школа»
(вузы и техникумы) на 1972 г. Позиция № 69.
Москва, К-51, Неглинная ул., д. 29/14, Издательство
«Высшая школа»
Московская типография № 8 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Хохловский пер., 7. Зак. 3681

Кристаллография, изучающая
процессы образования, формы,
структуру и физико-химические
свойства кристаллов, теснейшим
образом связана с промышленностью.
Развитие металлургии,
приборостроения, радиотехники, оптической
промышленности, производство
новых высококачественных химических
продуктов, создание высокопрочных
и жаростойких материалов,
каменного литья, сахарного производства
и многих других отраслей требуют
от своих работников углубленных
знаний в области
кристаллографии.
Современная техника немыслима
без самого широкого использования
кристаллов. Достаточно напомнить
хотя бы их роль в ракетостроении,
р адиоэлектронике и
электротехнике.
Всеобщую известность
заслужили такие недавние достижения
науки, как получение искусственного
алмаза, применение рубина как
источника пучков «игольчатых» лучей,
лабораторное выращивание
крупных кристаллов кварца и др.
Помимо металлов, сплавов,
каменных строительных масс,
состоящих в основном из кристаллических
зерен, к кристаллам относятся также
и полупроводники, играющие столь
ответственную роль в новейшей
технике.
«Полупроводниковая техника,
квантовая электроника и ряд других
областей науки и техники требуют
нового уровня работ по
выращиванию кристаллов» (М. В. Келдыш,
1962).
Кристаллическое вещество играет
первостепенную роль в строении
земного шара. Известно, что
кристаллическое строение свойственно
подавляющему большинству минералов и
горных пород, слагающих земную
К0Ру. Познание законов природы,
ПРЕДИСЛОВИЕ
К ПЯТОМУ
ИЗДАНИЮ

относящихся к возникновению и разрушению этих естественных
образований, имеет важнейшее практическое значение.
К кристаллам принадлежит огромное количество твердых
химических продуктов, как неорганических, так и органических.
Решение проблем Большой химии, развитие современной физики
твердого тела немыслимо без глубокого знания основ кристаллографии.
Наука о кристаллах проникла и в такие области современных
знаний, которые прежде не имели никакого соприкосновения с ней.
В настоящее время с помощью кристаллографических методов и
кристаллографического подхода расшифровывается строение
белков, витаминов, сложнейших медицинских препаратов и т. д.
Кристаллография проникает в науку о живой материи, в учение о
белках и вирусах.
Широкий круг молодых специалистов должен обладать
достаточными знаниями основ кристаллографии. Студентам геологам,
металлургам, химикам и физикам, инженерам-горнякам и
технологам необходимо твердо усвоить науку о кристаллах. Этого
настоятельно требует их будущая деятельность.
Кристаллография является основой для прохождения
предметов минералого-петрографического цикла — минералогии,
петрографии, геохимии, учения о месторождениях полезных ископаемых.
Без знания основ кристаллографии невозможна плодотворная
работа в области физики и химии.
В ряде высших учебных заведений организованы кафедры
Кристаллографии, готовящие молодежь для широкой сети
промышленных предприятий и научных учреждений, тесно связанных с
изучением и применением кристаллических объектов.
В настоящее время преподавание кристаллографии в вузах
разделено на две части. Первая — общая часть преподносится
студентам младших курсов, вторая — специальная (учение о кристалло-
генезисе, структурная кристаллография, кристаллохимия,
кристаллофизика и пр.) — студентам старших курсов.
Настоящий учебник представляет курс элементарной
кристаллографии, рассчитанный на студентов преимущественно
геологической и химической специальностей и содержащий лишь краткие
основы науки о кристаллах. В нем даются общие понятия о
свойствах и строении твердого кристаллического вещества; описаны
кристаллографические методики, имеющие большое практическое
значение и распространение (кристаллооптика, рентгенометрия
и др).
Книга, выходящая сейчас пятым изданием, была в свое время
переведена на грузинский и украинский языки.
Новое издание учебника содержит ряд исправлений и
дополнений. Некоторые из них подсказаны нашими сотоварищами по
работе, которым, равно как и лицам, взявшим на себя труд перевода
книги на другие языки, выражаем глубокую признательность.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Кристаллами обычно
называются твердые тела, образующиеся в
природных или лабораторных
условиях в виде многогранников*.
Поверхность таких
многогранников ограничена более или менее
совершенными плоскостями —
гранями, пересекающимися по прямым
линиям — ребрам. Точки
пересечения ребер образуют вершины.
Геометрически правильная
форма кристаллов обусловливается
прежде всего их строго
закономерным внутренним строением.
Примерами кристаллов могут
служить кубики поваренной соли
(NaCl), заостренные на концах
шестигранные призмы горного
хрусталя (Si02), восьмигранники
(октаэдры) алмаза (С),
двенадцатигранники граната и др. (рис. 1).
Величина подобных образований
иногда достигает человеческого
роста; таковы гигантские кристаллы
кварца, хранящиеся в Московском
минералогическом музее Академии
наук СССР, в музее Землеведения
Московского государственного
университета, в Горном музее
Ленинградского горного института и др.
Длина одного кристалла может
достигать нескольких метров (лед —
Н20, гипс — Ca[S04] • 2Н20). В 1958 г.
в СССР был найден гигантский
кристалл кварца весом около 70 г,
длиной 7,5 м и шириной 1,6 м. Одна-
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ
ПОНЯТИЯ
О КРИСТАЛЛАХ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ВВЕДЕНИЕ
* Слово «кристаллос» у древних греков
обозначало лед. Так же назывался и водя-
яо-прозрачный кварц, считавшийся
окаменевшим льдом. Впоследствии этот термин
был распространен на все тела с
природной многогранной формой. В настоящее
время, как увидим далее, понятие о
кристаллическом состоянии значительно
расширилось. К кристаллам относятся все
твердые образования со строго
закономерным внутренним строением.

Рис. 1. Кристаллы поваренной соли (а)у
кварца (б), алмаза (в) и граната (г)
ко обычно приходится иметь дело с мелкими, чаще всего
микроскопическими кристалликами.
Искусственное получение кристаллов может быть легко
осуществлено самим читателем. С этой целью достаточно растворить
определенную навеску какой-нибудь соли в определенном количестве
воды (например, при комнатной температуре на 100 см3 воды
берется 15—17 г калиево-алюминиевых квасцов KAl[S04b' 12H20). Если
дать такому раствору возможность испаряться, то с течением
времени из него выпадут и начнут расти кристаллики данной соли.
§ 2. РАСПРОСТРАНЕННОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
С первого взгляда может показаться, что кристаллические тела
встречаются чрезвычайно редко. Действительно, вышеупомянутые
огромные кристаллы, хранящиеся в музеях, представляют собой
исключительные экземпляры. Нечасто получаются крупные
многогранники и в лабораторных условиях. Выращивание их требует
немало труда и времени. Однако, внимательно приглядевшись к
окружающим нас предметам, легко убедиться в широком
распространении кристаллических образований. Снег, поваренная соль,
сахарный песок, многие лекарства состоят из мелких кристалликов.
Можно выявить еще больше таких тел, если обратиться к помощи
микроскопа. Так, например, металлы и сплавы, каменные строительные
материалы, цемент и кирпич — все это состоит из кристаллических
зерен. То же самое можно сказать и о подавляющем большинстве
горных пород, слагающих земную кору. Читатель, конечно, знаком
6

с одной из распространеннейших глубинных горных пород —
гранитом, состоящим из полевого шпата, кварца и слюды. Зерна этих
минералов возникли при медленном застывании огненно-жидкого
расплава — магмы. Оптическим исследованием выясняется, что
каждое зерно является кристаллом. Рассматривая отдельные
зерна мы в большинстве случаев наблюдаем не характерные
прямолинейные очертания, а криволинейные и неправильные контуры.
Последнее объясняется одновременным ростом в магме множества
кристаллов, благодаря чему отдельные кристаллы, тесня друг
друга, не смогли приобрести многогранную форму.
Оптическим же путем доказывается, что такие осадочные
породы, как песок, глина и пр., состоят главным образом из мельчайших
кристаллических обломков. Кристаллическими являются также и
другие осадочные породы органического и химического
происхождения — известняки, доломиты, каменная соль, гипс и т. п.
С 1912 г. стало возможным исследовать посредством
рентгеновых лучей совокупности мельчайших кристаллических частиц, не
улавливаемых микроскопически. С помощью этого метода круг
известных нам кристаллических веществ еще более расширился.
Например, доказано, что сажа, воск, роговица глаза представляют
собой агрегаты мельчайших кристалликов.
Наконец, новейшие методы электронографии, электрономикрос-
копии и прочие методы открыли многообещающие пути
распознавания и исследования кристаллических веществ.
Приведенных фактов достаточно, чтобы заключить об огромной
распространенности кристаллов, а также об их исключительно
важном практическом значении.
§ 3. СТРОЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
Отдельные зерна гранита, металлических сплавов или многих
химических осадков, будучи кристаллическими, в силу условий
образования не обладают геометрически правильной внешней
формой. Следовательно, приведенное выше определение кристаллов не
является исчерпывающим.
Возникает вопрос относительно характерных особенностей,
присущих всем кристаллам без исключения. Ответ на него был
получен путем исследования веществ рентгеновыми лучами. Рентгено-
анализ дает возможность установить взаимное пространственное
расположение атомов, ионов, молекул, слагающих кристаллические
тела. В результате такого анализа было доказано, что решительно
все кристаллы построены из материальных частиц, геометрически
правильно расположенных в пространстве. Упорядоченное
распределение атомов, ионов, молекул отличает кристаллическое состояние
от некристаллического, где степень упорядоченности совершенно
ничтожна. Примеры закономерной ориентировки атомов (ионов) в
поваренной соли и кальците (Са[С03]) изображены на рис. 2.
Во всех кристаллических структурах можно выделить
множество одинаковых атомов, расположенных наподобие узлов простран-
7

Рис. 2. Структуры поваренной соли NaCl
(а) и кальцита Са[СОз] (б)
Рис. 3. Пространственная решетка
ственной решетки (рис. 3). Чтобы представить себе такую решетку,
мысленно заполним пространство без остатка множеством равных
параллелепипедов, параллельно ориентированных и смежных по
целым граням. Простейший пример подобных параллелепипедаль-
ных систем представляет собой совокупность кубиков или
кирпичиков, вплотную приложенных друг к другу. Если в таких
воображаемых параллелепипедах выделить соответственные точки, например
их центры или любые другие точки, то мы получим так называемую
пространственную решетку. Выделенные соответственные точки
решетки назовем ее узлами. В реальных структурах кристаллов
места узлов пространственных решеток могут заниматься отдельными
атмомами, ионами или группами атомов и ионов — комплексными
ионами и молекулами (строго говоря, с узлами пространственных
решеток совмещаются центры тяжестей этих частиц или
центральные точки их колебательных движений внутри кристалла).
Решетчатое строение характерно для всех кристаллов без
исключения.
Таким образом, кристаллами называются все твердые тела, в
которых частицы (атомы, ионы, молекулы) расположены
закономерно в виде узлов пространственных решеток.
8

В условиях быстрого
образования твердых тел, в связи с резким
уменьшением подвижности частиц, а
последние не успевают
закономерно расположиться относительно Рис. 4. Ряд пространственной ре-
друг друга. ш^ки
Твердые тела, в которых
частицы располагаются в общем беспорядочно, называются аморфными.
Примерами аморфных образований служат стекла, пластмассы,
смолы, клей и пр. Аморфное вещество не является устойчивым и
обнаруживает с течением времени тенденцию к кристаллизации.
Так, например, стекло «закристаллизовывается», образуя
агрегаты мелких кристаллов.
Кристаллическое состояние твердого тела, по сравнению с
аморфным, более устойчиво, так как закономерному расположению
частиц в структуре отвечает минимальная внутренняя энергия (при
образовании кристаллов теплота выделяется, при их разрушении —
растворении или расплавлении — теплота поглощается). В этом
отношении аморфные тела подобны переохлажденным жидкостям.
Представителями истинно твердых тел являются лишь
кристаллы.
§ 4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА
Познакомимся подробнее с построением и некоторыми
свойствами пространственной решетки.
Примем какой-нибудь узел пространственной решетки,
например, узел Л0 за исходный узел решетки (рис. 4). Пусть ближайший
к нему такой же узел Ах находится на расстоянии a(a-AoAi).
Продолжив прямую А0Аи найдем серию узлов Л2, Л3, A4i...yAnt
расположенных вдоль этой прямой. Промежутки между всеми соседними
узлами данной прямой одинаковы и также равны а.
Совокупность узлов, лежащих вдоль прямой и повторяющихся
через равные промежутки, называется рядом пространственной ре-
шетки; а является промежутком ряда.
Продолжаем наше построение.
Относительно исходного узла Л0 берем ближайший из узлов,
лежащих в плоскости чертежа, но вне прямой Л0, Аи ..., Ап. Пусть
это будет узел Ви отстоящий от узла Ло на расстоянии Ь (рис. 5).
Продолжив прямую А0Ви найдем на ней серию узлов В2> ВЪу 54, ..,
ВПу образующих новый ряд Л0, Ви ..., Вп с (промежутком Ь.
Проведя через узлы Ви В2, В3,.тш,Вп прямые, параллельные
первому ряду Л о, Л1, ..„ Л п,-получим серию рядов, во всем ему
аналогичных (промежутки построенных рядов по-прежнему равны а).
Соответственно через узлы Аи А2, Л3,...,ЛП проводим параллельно ряду
Ао,В\, ...,5П аналогичные ему ряды (во всех этих рядах расстояния
между соседними узлами равны 6).
В результате получаем так называемую плоскую
сетку—совокупность узлов, расположенных в одной плоскости и находящихся
9

Рис. 5. Плоская сетка
в вершинах системы равных параллелограммов, параллельно
ориентированных и смежных по целым сторонам.
Такие параллелограммы нацело, без промежутков покрывают
плоскость чертежа (один из них на рисунке 5 заштрихован).
Из изложенного выше видно, что плоская сетка вполне
определяется двумя рядами. Так, ряды А0,Аи ..., Ап и А0уВи ..., Вп
определяют сетку АпА0Вп.
Дальнейшее построение решетки ведется уже вне плоскости
чертежа. Берем относительно исходного узла Л0 ближайший узел Си
не лежащий в плоскости построенной сетки АпА0Вп (см. рис. 3).
Пусть А0С1 = с.
Продолжив прямую Л0СЬ найдем на ней серию узлов С2, С3, С4,...,
Сп, образующих третий ряд Л0, Си ..., Сп с промежутком с.
Проведем через каждый узел последнего ряда плоские сетки,
параллельные первой сетке АпА0Вп. Все они, будучи совершенно
одинаковыми и по отношению к первой сетке и между собой,
образуют одну совокупность (серию) плоских сеток. Выше указывалось,
что два ряда определяют плоскую сетку. Исходя из этого, можно
построить плоские сетки на основе рядов первого (Л0, Аи ...,ЛП) и
третьего (Л0, С,,...,СП), а также второго (Л0, В,,...,ВП) и третьего
(Л0, Сь ..., Сп). Параллельно таким -плоским сеткам через узлы
второго и первого рядов, в свою очередь, проходят две серии
соответственных сеток.
Три построенные системы плоских сеток, взаимно пересекаясь,
образуют совокупность вышеупомянутых параллелепипедов (на
рисунке 3 один из них выделен буквами). Полученные
параллелепипеды, будучи равными, параллельно ориентированными и
смежными по целым граням, без остатка выполняют пространство. Их
вершины соответствуют узлам пространственной решетки.
Подобное построение приводит нас к бесконечным фигурам, поскольку
каждый из рядов может быть продолжен неопределенно далеко.
Как отмечалось выше, в реальных кристаллических структурах
на местах узлов пространственной решетки могут находиться либо
10

нейтральные атомы, либо заряженные атомы (ионы), либо группы
атомов или ионов. Если такая группа в целом нейтральна, ее
называют молекулой, если же она заряжена — радикалом. При этом
вершины, рёбра и грани кристаллов соответствуют узлам, рядам и
плоским сеткам пространственной решетки. Заметим, что реальные
ребра кристаллов отвечают рядам, густо усаженным
материальными частицами, а реальные грани — сеткам, густо покрытым
частицами или, как говорят, имеющим большую ретикулярную
плотность (под ретикулярной плотностью сетки подразумевается кол*ь
чество узлов, приходящихся на единицу ее площади) *
§ 5. ВАЖНЕЙШИЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
Факт геометрически закономерного расположения материальных
частиц в кристаллических структурах, окончательно установленный
с помощью рентгеновых лучей, кладется в основу всей современной
кристаллографии. Однако теория о решетчатом строении
кристаллов была создана задолго до рентгеноанализа. Величайшие
кристаллографы прошлого О. Бравэ, Л. Зонке, Е. С. Федоров, А, Шен-
флис и др. дали с исчерпывающей полнотой математическую
разработку этой теории. Применение рентгеновых лучей подтвердило
опытным путем правильность их умозрительных построений.
Теория структуры кристаллов до 1912 г. базировалась
исключительно на некоторых особенностях кристаллического состояния,
улавливаемых опытным путем. К числу таких важнейших свойств
кристаллов относятся их однородность и анизотропность.
Согласно опытным данным, однородным называется такое тело,
которое во всем своем объеме обнаруживает одинаковые свойства.
Из нижеследующего будет видно, что однородность кристалла
устанавливается лишь при изучении его свойств по параллельным
направлениям.
Ясно, что кристаллическое тело, обладающее во всех своих
участках одинаковым строением, должно отличаться
однородностью. При этом не принимаются во внимание посторонние
загрязнения, включения и несовершенства реальных кристаллов, связанные
с внешними воздействиями **.
Анизотропным*** называется такое однородное тело, которое
* В пространственной решетке, помимо трех серий плоских сеток,
изображенных на рис. 3, существует еще бесчисленное множество непараллельных им
систем плоских сеток (два узла определяют ряд, три —плоскую сетку).
Например, плоскость, проходящая через нижний передний горизонтальный ряд (см.
рис. М и через задний верхний горизонтальный ряд, представляет собой плоскую
сетку, не входящую в три вышеуказанные ее серии. Ретикулярная плотность ее,
как легко убедиться, будет меньше соответственных плотностей сеток, входящих
в состав трех упомянутых серий.
ТаК Же' КЗК И В Физике> r^e изучению реальных жидкостей и газов
предшествует знакомство с их идеальными моделями, в курсе кристаллографии спер-
по, ,ГиаЮТСЯ безДефсктные идеальные кристаллы, а затем уже рассматриваются
реальные кристаллические тела со всеми их несовершенствами и усложнениями.
Анизотропность — неравносвойствешюсть.
П

6
I
I
I
I
6
Рис. 6.
Кристалл дистена. В
направлении аа
твердость
больше, чем в
направлении бб
при одинаковых свойствах по параллельным
направлениям обладает в общем случае
неодинаковыми свойствами по непараллельным
направлениям.
Кристаллическая структура неизбежно
связана с анизотропностью свойств. В связи с ре-
шетчатостью структуры одинаковые атомы
(ионы, молекулы) должны располагаться строго
одинаково, образуя между собой одинаковые
промежутки. Поэтому и свойства кристаллов
должны быть по таким направлениям
одинаковыми. По непараллельным направлениям
частицы в общем случае отстоят друг от друга на
разных расстояниях, вследствие чего и свойства по
таким направлениям должны быть
различными *.
Характерный пример резко выраженной
анизотропности представляет слюда.
Кристаллические пластины этого минерала легко расщепляются лишь по
плоскостям, параллельным его пластинчатости. В поперечных
направлениях расщепить слюдяные пластины значительно труднее.
Другим ярким примером анизотропности является минерал
дистен (Al20[Si04])? отличающийся резко различной твердостью по
неодинаковым направлениям. Вдоль удлинения кристаллы дистена
легко царапаются лезвием ножа, в направлении, перпендикулярном
удлинению, нож не оставляет никаких следов (рис. 6).
В качестве третьего примера упомянем минерал кордиерит
(Mg2Al3[AlSi50i8]). Кристалл кордиерита
по трем различным направлениям
представляется различно окрашенным. Если из
такого кристалла вырезать куб с гранями,
перпендикулярными этим направлениям, то
в направлении <ш(рис. 7) наблюдается
серовато-синяя, в направлении бб желтая и в
направлении ев — индигово-синяя окраска.
В заключение обратимся к кристаллу
поваренной соли, имеющему форму куба.
Из такого кристалла можно вырезать
стерженьки по различным направлениям.
Три из них (перпендикулярно граням
куба, параллельно гранным диагоналям и
параллельно телесной диагонали) показаны
на рисунке 8. Оказывается, что для
разрыва этих стерженьков необходимы разные
усилия: разрывающее усилие для первого
64
—И
Рис. 7. Куб,
вырезанный из
кордиерита. В
направлении аа— серовато-
синяя окраска, в
направлении бб —
желтая и в
направлении ев —
индигово-синяя
* В связи с симметричным строением кристаллов, как будет показано ниже,
расположение частиц и свойства- могут быть одинаковыми и по некоторым
непараллельным направлениям.
12

Рис. 8. Прочность кристалла поваренной соли в различных
направлениях различна
стерженька выражается 570 г/мм2, для второго— 1150 г/мм2 и для
третьего —2150 г/мм2.
Приведенные примеры исключительны по своей характерности.
Однако путем точных исследований удалось прийти к выводу, что
все кристаллы в том или ином отношении обладают
анизотропностью.
В связи с изложенным становится очевидным, почему при
изучении однородности кристалла следует рассматривать его свойства
лишь по параллельным направлениям.
Два указанных свойства присущи не только кристаллическим
телам. Твердые аморфные образования также могут быть
однородными и даже анизотропными (анизотропность, например, может
наблюдаться при растягивании или сдавливании стекол). Но ни при
каких условиях аморфные тела не могут сами по себе принимать
многогранную форму.
Выточенный из кристалла шарик в подходящей среде с
течением времени покрывается гранями. В противоположность этому,
стеклянный шарик такой особенностью не обладает.
Свойством самоограняться, т. е. принимать многогранную фор-
му в результате свободного роста в подходящей среде, обладают
лишь кристаллы. .
Напомним еще раз, что эта особенность связана с
кристаллической структурой (сетки — грани, ряды — ребра).
§ 6. ПРЕДМЕТ КРИСТАЛЛОГРАФИИ.
СВЯЗЬ ЕЕ С ДРУГИМИ НАУКАМИ
Кристаллография является наукой о кристаллах и
кристаллическом состоянии материи. Характерное решетчатое строение и
симметрия кристаллических образований определяют специфику этой
науки. Так, изучая большинство физико-химических особенностей
данного кристаллического тела, необходимо связывать их со
строго закономерным расположением его частиц.
Окончательный результат кристаллографического исследования
Должен завершаться полной увязкой всех особенностей изучаемого
1J

объекта с его внутренним геометрически правильным строением.
Огромная роль при решении этих вопросов принадлежит
структурному анализу кристаллов.
Особенности геометрически правильных форм кристаллических
многогранников и структур подчиняются математическим
закономерностям.
Главы, посвященные геометрии внешней формы кристаллов и их
внутреннего строения, нередко объединяются иод названием
геометрической кристаллографии.
Физика, как известно, изучает свойства газов, жидкостей и
твердых тел. Характерными представителями последних являются
кристаллы. Поэтому физика твердого тела тесно переплетается с
физической кристаллографией.
Образование и рост кристаллов находят свое объяснение в фи-
зической химии. Наконец структурный анализ выясняет
пространственное расположение и взаимную ориентировку атомов (ионов).
Тем самым дается богатейший материал для стереохимии (науки о
пространственном расположении атомов и ионов в молекулах).
Связь между строением кристаллов и их химическим составом
является предметом сравнительно молодой, но быстро
развивающейся дисциплины — кристаллохимии.
Математика, физика, химия — вот те основы, на которых
базируется современная кристаллография.
Исторически, однако, учение о кристаллах развивалось
параллельно с минералогией, поскольку единственными объектами
кристаллографических исследований прежде служили лишь природные
образования. Этим объясняется то, что кристаллография, будучи
вполне самостоятельной дисциплиной, долгое время преподносилась
как часть минералогии. Сейчас минералогам приходится прибегать
к ее помощи в подавляющем большинстве своих исследований.
Помимо минералогии, на учении о кристаллах базируются две
важнейшие геологические дисциплины: наука о горных породах —
петрография и наука о поведении атомов в земной коре —
геохимия. Первая широко пользуется кристаллооптическими методами
исследования, вторая исходит из основных законов кристаллохимии.
Целый ряд технических наук в той или иной мере широко
использует данные кристаллографии (металлография, радиотехника,
горное искусство и др).
Неуклонный рост советской металлургии, приборостроения,
оптической промышленности и других отраслей народного
хозяйства выдвигает множество кристаллографических задач
первостепенной важности. К числу их прежде всего относится задача получения
высококачественного кристаллического материала, необходимого
для развития новой техники. Искусственные алмазы, кварц, рубин,
многочисленные полупроводники и др. уже широко используются
нашей промышленностью. Вместе с тем. бурное развитие науки и
техники требует новых кристаллических материалов, обладающих
теми или иными нужными свойствами. С этой целью необходимо
тщательное изучение процессов образования, роста и разрушения
14

кристаллов, а также исследование кристаллических структур,
геометрия которых обусловливает большинство их физических и
химических особенностей.
Сказанное в достаточной мере характеризует значение
современной кристаллографии и необходимость ее изучения.
ГЛАВАВТОРАЯ
ВОЗНИКНОВЕНИЕ,
РОСТ И РАЗРУШЕНИЕ
КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ
Расположение частиц в некоторых простейших кристаллических
структурах дает приближенное понятие о силах, приводящих к
образованию кристаллов.
Рассмотрим структуру поваренной соли (NaCl). Как видно на
рисунке 9, частицы (ионы) здесь занимают места в вершинах
кубических ячеек, заполняющих пространство. При этом в плоскости
граней куба ионы натрия и хлора чередуются через один, подобно
белым и черным клеткам шахматной доски. Как могло возникнуть
столь строго закономерное распределение частиц?
Кристаллы поваренной соли выпадают из водного раствора
NaCl. Пример такого образования представляет самосадочная соль,
кристаллизующаяся из маточного рассола в соляных озерах (озера
Эльтон и Баскунчак и др.). Аналогичная же кристаллизация
осуществляется и в лабораторных условиях. В водном растворе NaCl, как
известно, присутствуют заряженные частицы (ионы) натрия и
хлора. Ионы натрия (катионы) несут положительные заряды, ионы
хлора (анионы) —отрицательные. В процессе теплового движения
частицы сталкиваются между собой. При этом разноименно заря-
-О -О
+ • + *
ш
ОС1
Рис. 9. Расположение ионов в структуре
NaCl
15

женные ионы притягиваются друг к другу, тогда как в случае
одноименных зарядов происходит взаимное отталкивание частиц.
По причине достаточно малых скоростей движения и достаточно
большого количества ионов разноименно заряженные частицы,
сталкиваясь, группируются между собой. Каждый положительный ион
окружается отрицательными, последние, в свою очередь,
окружаются положительными и т. д. В конечном счете получаем
расположение частиц, характерное для поваренной соли.
§ 2. ПУТИ ОБРАЗОВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ
В приведенном примере с NaCl кристаллы выпадают из
раствора. Читателю знакомы многочисленные случаи кристаллизации из
жидкого состояния (лед образуется из воды, куски металла — из
расплава и т. д.). Как указывалось выше (стр. 7), большинство
так называемых глубинных горных пород (гранит и др.) образуются
при застывании огненножидкой магмы.
Известны также случаи образования кристаллов из
газообразного (парообразного) вещества (возгонка). Из паров возникают
снежинки, морозные узоры на стеклах, налеты аммонийных солей
на стенках химической посуды и т. д. Таким же путем возникают
природные кристаллы серы и ряда других веществ, связанных с
газообразными выделениями вулканического происхождения.
Наконец, возможны и такие случаи, когда кристаллические
образования происходят из твердых веществ. Примером служат
закристаллизованные стекла. Из тонкокристаллического куска
металла можно получить более крупнокристаллические или даже
монокристальные образования путем продолжительного нагревания и
некоторых деформаций (перекристаллизация). В природе подобные
явления могут наблюдаться на границе (контакте) двух пород.
Таков контакт известняка и породы, застывающей из огненножидкого
расплава. Под влиянием давления и высокой температуры известняк
может переходить в крупнозернистую породу — мрамор.
В настоящее время геологи придают исключительное значение
сложному природному процессу, связанному с кристаллизацией,—
метасоматозу.
Под термином «метасоматоз» подразумевается замещение одних
кристаллов горной породы другими. При этом растворение старых
и образование новых кристаллов происходит почти одновременно,
так что порода сохраняет свое твердое состояние.
С процессами метасоматоза связаны значительные скопления
некоторых полезных ископаемых.
В лабораторных условиях кристаллические тела проще всего
получаются из растворов *.
* Подробное изложение вопроса об образовании кристаллов читатель найдет
в книгах акад. А. В. Шубникова «Как растут кристаллы», изд-во АН СССР,
1935 и «Образование кристаллов», изд-во АН СССР, 1947; акад. В. Д.
Кузнецова «Кристаллы и кристаллизация», гос. изд-во тех.-теорет. литер.. М., 1953;
16

§ 3. ВЫРАЩИВАНИЕ КРИСТАЛЛОВ ИЗ РАСТВОРОВ
Как известно, в определенном объеме растворителя при опреде-
тенных температуре и давлении какое-либо твердое вещество
может растворяться лишь до известного предела.
Раствор, в котором при данных условиях происходит
растворение новых добавочных порций этого твердого вещества, называется
ненасыщенным.
Раствор, в котором при данных условиях прибавление новых
порций того же твердого вещества не сопровождается их
дальнейшим растворением и который вместе с тем не содержит избытка
растворенного вещества, называется насыщенным.
В связи с тем, что с изменением температуры растворимость
вещества изменяется (при повышении температуры — обычно растет),
можно, изменив температуру (снизив ее), получить из насыщенного
раствора неустойчивый, так называемый пересыщенный раствор.
Его можно также получить путем испарения растворителя. Такой
раствор по сравнению с насыщенным содержит избыток
растворенного вещества. С течением времени этот избыток обычно
выделяется в виде кристаллического осадка. Если ввести в пересыщенный
раствор мелкие кристаллики или даже пылинки растворенного
вещества, то сразу же начинается кристаллизация. Твердые частицы,
способные вызвать кристаллизацию, называются «затравками».
Итак, для получения кристаллов необходим пересыщенный
раствор. Однако если вещество выпадает слишком быстро, то
крупных, хорошо ограненных кристаллов не получается. Последние
чаще всего развиваются лишь при достаточно медленно
протекающей кристаллизации. Поэтому рекомендуется по возможности
осторожно переводить насыщенный раствор в пересыщенное состояние.
Такой переход проще всего осуществляется изменением
температуры или увеличением концентрации путем удаления части
растворителя.
С увеличением количества частиц растворенного вещества в
растворе или с уменьшением скорости их движения (например, при
понижении температуры) частицы начинают закономерно
группироваться, образуя вначале мельчайшие кристаллики (зародыши),
вырастающие затем в более крупные кристаллы.
Опишем вкратце метод получения кристаллов из водных
растворов в условиях простейшего лабораторного оборудования.
Предварительно приготовляем измельченную в порошок
навеску той или иной соли, взятой в качестве материала для
кристаллизации. Сведения о необходимом количестве вещества приведены в
дн Л£пИ «Р0^ кристаллов», ИЛ, 1954; в сборниках «Рост кристаллов», изд-во
ТА№;7Т- 1\}???'\ТаП> 1959; т' Ш> 1961; т- Iv> Ш4> т- V> I965; T- VI, 1965;
VnnV млг in*/ А' 2 ' В Работах Б* Хонигмана «Рост и форма кристал-
лив», ил, 19Ы, О. Г. Козловой «Рост кристаллов», изд-во МГУ, 1967;
*n„i^ р0Ба' Е- Б- Трейвуса, А. П. Касаткина «Выращивание
кристаллов из растворов», «Недра», 1967.
17

Таблица 1
Растворимость солей (граммы) в 100 см3 воды
Температура,
-с
0
10
20
30
40
Калиево-
алюминиевые
квасцы
КА1 [S04]2Xl2H2O
3,9
9,5
15,1
22,0
30,9
Натровая
селитра
Na [N03]
73,0
80,6
88,о
96,6
104,9
Сегнетова соль
KNa [C4H4Oe]x
Х4Н20
42
54
90
150
234
Сернокислый
магний (семи-
волный)
Mg [S04]-7H20
76,9
93,8
115,9
146,3
179,3
Me лныи
купорос
Си lS04]-oH8O
31,6
37,0
42,3
48,8
56,9
таблице 1, содержащей максимальные растворимости некоторых
солей в 100 смг воды при разных температурах.
Приготовленную навеску ссыпаем в химический стеклянный или
фарфоровый стакан и наливаем с помощью градуированной
мензурки требуемое количество воды. Покрыв круглым (часовым) стеклом
стакан, нагреваем его содержимое, чтобы ускорить растворение
соли в воде. Полученный таким образом раствор рекомендуется
отфильтровать. Отфильтрованная жидкость помещается в
специальный стакан с широким дном и низкими стенками, так называемый
кристаллизатор (рис. 10). В кристаллизаторе раствор остывает и
достаточно интенсивно испаряется. Последнему способствует
характерная форма кристаллизатора, создающая большую поверхность
испарения.
В результате охлаждения и испарения получаем сперва
насыщенный, а затем пересыщенный раствор. При этом в
кристаллизаторе начинают выпадать кристаллики, вырастающие с течением
времени.
На следующий день после приготовления раствора полезно
выбрать несколько наилучших из выпавших кристалликов, слить
осторожно раствор в чистый кристаллизатор и поместить туда
отобранные кристаллы. От времени до времени следует приготовлять
свежий раствор и переносить в него выращиваемые кристаллы.
Как увидим, для получения более
или менее равномерно ограненных
кристаллических многогранников
требуется или ежедневно перекладывать
растущие кристаллы с грани на грань,
или же подвешивать их на волоске или
нити.
Приведем список оборудования,
необходимого для получения кристаллов
в простейших условиях:
1. Реактивы.
2. Ступка (фарфоровая).
3. Весы с разновесами
(аптекарские).
Рис. 10. Кристаллизатор с
растущими в нем
кристаллами
18

4. Два стакана (химические или
фарфоровые).
5. Мензурка.
6. Горелка газовая (или
электрическая плитка, спиртовка, примус и т. п.).
7. Асбестовая сетка.
8. Круглое (часовое) стекло.
9. Стеклянные палочки для
размешивания раствора.
10. Воронка.
11. Фильтровальная бумага.
12. Штатив для воронки.
13. Кристаллизатор.
14. Пинцет.
15. Термометр.
Некоторые сведения о приемах
скоростного выращивания крупных
кристаллов, нашедших широкое применение
в технике, читатель найдет в § 6
настоящей главы.
Рис. 11.
Передвижение граней при
росте кристалл:
pq — скорость
нарастания грани АВ,
соответственно
тп — скорость для
грани ВС
§ 4. ЯВЛЕНИЯ, СОПРОВОЖДАЮЩИЕ КРИСТАЛЛИЗАЦИЮ
Наблюдая рост кристаллов, можно подметить ряд интересных
явлений. Некоторые из них обнаруживаются невооруженным
глазом, другие улавливаются лишь с помощью микроскопа (в
последнем случае объектом наблюдения служит капля подогретого
раствора на предметном стекле). Прежде всего констатируем факт
передвижения граней растущих кристаллов по направлению от центра
кристаллизации.
Рост кристаллов происходит за счет новых слоев вещества,
откладывающихся так, что грани как бы передвигаются параллельно
самим себе. Соответственно этому скоростью нарастания некоторой
, грани называется величина нормального
, , . к ее плоскости отрезка, на который дан-
<' ZZIZIlZI~~ ная гРань передвигается в единицу ере-
'JL
в
i
' \4
Рис. 12.
грани ВС,
скоростью
Исчезновение
обладающей
роста (тп>
>pq и tu)
мени (рис. 11).
Из отмеченного явления вытекает
следующее. Вследствие движения граней
параллельно самим себе углы между
двумя любыми гранями растущего
кристалла остаются постоянными.
Тщательно следя за ростом одного
кристалла, убеждаемся в том, что
нередко некоторые грани его увеличиваются в
размерах и становятся доминирующими,
тогда как другие постепенно
уменьшаются и в конце концов исчезают. Чем
объясняется это явление?
19

Рис. 13. Зоны (а) и пирамиды (б) роста
Представим себе три грани, следы пересечения которых с
плоскостью чертежа отвечают прямым АВУ ВС и CD (рис. 12).
Пусть скорость нарастания грани ВС превышает
соответственные скорости роста граней АВ и CD {mri>pq и tu). Пунктирные
линии показывают, как при таких условиях в растущем кристалле
грань ВС непрерывно уменьшается и исчезает, а грани АВ и CD
разрастаются, увеличиваясь в размерах. Таким образом,
зарастание граней обусловливается различными скоростями роста
различных граней (при условии, однако, что двугранный угол между
двумя смежными гранями превышает 90°).
Выше уже говорилось о том, что на кристаллах преобладают
грани, атомные сетки которых густо покрыты материальными
частицами (стр. 11) *. С другой стороны, медленный рост граней обычно
способствует их разрастанию (увеличению их поверхности).
Сопоставив обе эти закономерности, заключаем, что грани, наиболее густо
усаженные частицами, чаще всего обладают наименьшими
скоростями роста. Последнее связано с тем, что в сетке, густо
покрытой атомами, преобладают тангенциальные силы, т. е. силы,
действующие между атомами в плоскости самой сетки. По сравнению с
ними силы, нормальные к сетке, вызывающие притяжение атомов
из окружающего раствора, слабее. Наоборот, в сетках, содержащих
малые количества материальных частиц, нормальные силы
превалируют над тангенциальными.
Нередко (особенно в природных условиях) при росте кристалла
состав окружающего его раствора существенно изменяется, в связи
с чем кристалл приобретает зональное строение. Нарастающие новые
слои образуют так называемые зоны роста, отличающиеся иногда
по окраске, прозрачности, наличию включений и пр. (рис. 13, а).
Кроме того, каждая грань растущего кристалла, передвигаясь
параллельно самой себе и изменяясь в размерах, образует внутри
кристаллического тела как бы пирамиду. Основанием такой пирамиды
служит сама грань, а вершиной — начальный центр
кристаллизации. Такие пирамиды' носят название пирамид роста (рис. 13, б).
Практически кристаллы никогда не бывают идеально однород-
* Французский ученый О. Бравэ (Bravais, 1811—1863) впервые высказал
предположение о том, что на кристаллах преобладают грани, соответствующие
плоским сеткам с наибольшими ретикулярными плотностями. Для большинства
случаев это предположение в настоящее время подтверждается с помощью
структурного анализа.
20

Рис. 14. Возможные
случаи (/, 2, 3) посадки
частицы на растущий
кристалл
Ными Неодинаковые по строению
сетки различных граней могут
неодинаковым образом захватывать
посторонние примеси. В связи с этим пирами*
ды растущих граней так же, как и
зоны роста, нередко отличаются друг
от друга по своим физическим и
химическим свойствам.
Процесс зарождения новых слоев
на кристаллическом теле вызывает
сейчас большой интерес как с
теоретической, так и с практической
стороны (при выращивании промышленно-
важных кристаллов).
Теория Косселя — Странского
(1927, 1928) рассматривает
совершенный рост идеального кристалла, игнорируя несовершенства
реальных кристаллических тел. Согласно этой теории, частицы
присоединяются к кристаллу преимущественно так, чтобы при этом
выделялась наибольшая энергия. На рисунке 14 показано нарастание
слоя на кристалл. Цифрами обозначены три различных участка,
на которые может осесть частица из раствора. С наибольшей
долей вероятности эта частица будет привлекаться во входящий
трехгранный угол (позиция /), так как при этом происходит
наибольшее выделение энергии.
Входящий двугранный угол (позиция 2) занимает второе место,
а наименее вероятному
случаю присоединения частицы
отвечает позиция 3.
В соответствии с этим, на
кристалле не должно
образовываться нового слоя до тех
пор, пока растущий слой
целиком не закончит своего
формирования. Таким путем
возникнет
идеально-образованный кристалл в виде
выпуклого многогранника с плоскими
гранями.
Однако опытом
установлены многочисленные
отклонения от идеальных форм
вообще и, в первую очередь, от
идеальной плоскогр анности.
Грани реальных кристаллов
нередко отличаются
ступенчатостью, бороздчатостью,
наличием крохотных бугорков и
впадин.
Рис. 15. Спираль роста на грани
карборунда (SiC)
21

Новейшие мощные средства изучения кристаллической
поверхности — электронный микроскоп, разнообразные интерферометры
и пр. — показывают, что даже грани, кажущиеся совершенными
плоскостями, обладают на самом деле чрезвычайно сложным
микрорельефом. Такой подход позволил обнаружить ряд мельчайших
деталей строения граней, по-новому осветить механизм роста
граней кристаллов.
В 1945 г. советский кристаллограф Г. Г. Леммлейн заметил
тончайшие спирали на поверхности кристалла карборунда и показал,
как по ним происходит нарастание вещества (рис. 15).
Впоследствии аналогичные спирали были найдены на
многочисленных кристаллах различных веществ (например, на таких
минералах, как гематит, барит, апатит, сфалерит, кварц и пр.).
Согласно наблюдениям, в центре спирального роста всегда
находится некоторый дефект в виде незначительного смещения
мельчайших участков кристалла друг относительно друга (винтовая
дислокация). Оказывается, нарастание грани может происходить
не только отдельными порциями — слоями; оно осуществляется
также путем постепенного навивания одного слоя, аналогичного по
своему виду пологой винтовой лестнице, у которой отсутствуют
ступени. Направление, в котором происходит закручивание слоя,
называется осью винтовой дислокации. На поверхности кристалла
разрастание слоя вокруг винтовой дислокации приводит к
возникновению пологого конуса, поверхность которого имеет спиральное
строение.
Описанное явление легло в основу новой теории несовершенного
роста кристаллов — теории дислокаций (В. Бартон, Н. Кабрера,
Ф. Франк, 1949). — Обе теории — совершенного и несовершенного
роста кристаллов — дополняют друг друга и в общем дают понятие
о сущности этого явления *.
§ 5. РАСТВОРЕНИЕ И РЕГЕНЕРАЦИЯ КРИСТАЛЛОВ
В условиях ненасыщенного раствора кристаллы растворяются.
Процессы растворения существенно разнятся от явлений роста.
Грани растворяющихся кристаллов обычно образуют округлые
поверхности, ребра становятся криволинейными, вершины
притупляются (рис. 16, а).
Особенно интенсивное растворение происходит в вершинах и
ребрах, обусловливая общую закругленность форм.
Последнее понятно, если принять во внимание, что по сравнению
с гранями ребра, а тем более вершины кристалла резко выступают
и потому более доступны для притока ненасыщенного раствора, что
и способствует их интенсивному растворению. Помимо этого,
большую роль играет и анизотропность кристаллов.
Различная скорость растворения кристаллических тел по
неодинаковым направлениям эффектно демонстрируется на шарах, вы-
* Ш е ф т а л ь Н. Н. К вопросу о реальном кристаллообразовании.
Сб. «Рост кристаллов». Изд-во АН СССР, 1957, стр. 5—31.
22

резанных из кристаллов и
помещенных в ненасыщенный
раствор. В результате
получаем многогранники с
искривленными гранями и ребрами,
представляющие собой яркий
пример анизотропности
кристаллов в отношении их раство- и и
риМОСТИ (рис. 16, б). Рис. 16. Формы растворения кристал-
Поместив искаженный про- ла квасцов (а) и шара^ вырезанного
цессами растворения кристалл из квасцов (б)
в соответственную
'Пересыщенную среду, наблюдаем восстановление его нормальной
плоскогранной и прямореберной формы. Такое восстановление
кристаллических многогранников носит название регенерации кристаллов.
Любой механически поврежденный или изуродованный
кристалл, помещенный в подходящую среду, регенерирует. Как видим,
регенерация прекрасно иллюстрирует способность кристаллов
самоограняться.
Явление самоогранения легко обнаружить под микроскопом в
капле подогретого насыщенного раствора, помещенного на
предметное стекло. При охлаждении и испарении такой капли из нее
выпадают мелкие кристаллики. Удалив посредством полоски
фильтровальной бумаги раствор, прибавляем к оставшимся
кристалликам каплю чистого растворителя, например воды. В результате
кристаллики начнут растворяться.
Доведем растворение до таких пределов, когда вместо
многогранников, оконтуренных прямыми линиями, в капле останутся
округлые, частично растворенные кристаллы.
Вторично удалив жидкость фильтровальной бумагой, снова
наносим на кристаллики каплю пересыщенного раствора. В итоге
кристаллы начинают регенерировать, покрываясь плоскими гранями и
превращаясь из округлых образований в обычные кристаллические
многогранники.
§ 6. КОНЦЕНТРАЦИОННЫЕ ПОТОКИ И ДРУГИЕ ФАКТОРЫ,
ВЛИЯЮЩИЕ НА ОБЛИК КРИСТАЛЛОВ
Отмеченные выше факты дают понятие о процессах роста и
растворения кристаллов. Коснемся теперь некоторых явлений,
сопровождающих кристаллизацию.
При удачном освещении раствора с растущими в нем
кристаллами можно обнаружить струйки, поднимающиеся от кристаллов к
поверхности раствора (рис. 17, а). Эти струйки называются
концентрационными потоками *. Причины их возникновения заключаются
в следующем. Соприкасаясь с растущим кристаллом, пересыщенный
(1757~?Я<Ш П0Т0КИ впеРвые описал в 1793 г. петербургский академик Т. Ловиц
23

\
7
f7**~» •***>, (
Рис. 17. Концентрационные потоки в случае
растущего (а) и растворяющегося (б) кристаллов
раствор частично отдает ему избыток растворенного вещества. При
этом концентрация раствора в пограничной с кристаллом зоне
(«дворике кристаллизации») уменьшается. Уменьшение
концентрации может быть связано также с выделением тепла, в большинстве
случаев имеющем место при кристаллизации. Все это уменьшает
плотность раствора в дворике кристаллизации по сравнению с
остальным раствором.
Уменьшение плотности вызывает появление восходящих струек
(рис. 17, а). Аналогичные концентрационные потоки наблюдаются
при растворении кристаллов. Однако в этом случае струйки
направлены сверху вниз благодаря большей плотности их по
сравнению с окружающим недосыщенным раствором (рис. 17, б).
Концентрационные потоки оказывают существенное влияние на
внешнюю форму кристаллов. В самом деле, в пересыщенной среде
растущий кристалл окружен снизу более насыщенными слоями
раствора, тогда как с боков и сверху его омывают менее
насыщенные струйки концентрационных потоков. В связи с этим кристаллы,
лежащие на дне кристаллизатора, растут быстрее в стороны и
медленнее вверх (росту вниз мешает дно сосуда).
Если подвесить кристалл в растворе, то наиболее быстрый рост
граней наблюдается внизу, менее интенсивный — сбоку и самый
медленный — наверху. Таким образом концентрационные потоки
влияют на внешний облик кристаллов. Вместо идеальных
многогранников получаются уплощенные или вытянутые, развитые лишь
в определенных направлениях образования. Кроме того, сильные
концентрационные потоки могут оказать вредное влияние на
однородность кристаллов, препятствуя нормальному развитию
отлагающихся на них новых слоев.
Известен ряд приемов, ослабляющих влияние
концентрационных потоков на форму и однородность кристаллов.
А

^
V
Рис. 18. Кристаллы кварца, образовавшиеся в различных
природных условиях
В специально сконструированных кристаллизаторах
концентрационные потоки уничтожаются непрерывным перемешиванием
раствора или же движением самого кристалла. В простейших
лабораторных условиях рекомендуется время от времени перекладывать
растущий кристалл с одной грани на другую, заставляя тем самым
концентрационные потоки омывать его с различных сторон.
В настоящее время получение крупных однородных кристаллов,
использующихся в промышленности, успешно осуществляется
посредством так называемого динамического метода выращивания
кристаллов. Сущность этого метода заключается в том, что
кристалл приводится в постоянное движение относительно раствора.
Поступание вещества ко всей поверхности растущего кристалла
обеспечивает ему равномерное и всестороннее питание.
Помимо концентрационных потоков, на форму кристаллов
влияет присутствие химических примесей, степень пересыщения
раствора, температура, давление, положение кристалла и т. п.
Влияние положения растущего кристалла на его форму
выясняется хотя бы из того, что кристалл, лежащий на дне сосуда,
может расти лишь в стороны и вверх. Росту вниз, как отмечалось,
препятствует дно кристаллизатора. Вследствие этого, например,
вместо правильных кубов получаем плоские параллелепипеды.
Влияние физико-химических факторов на внешний вид
кристаллов прекрасно иллюстрируется различными обликами минералов,
возникших в различных условиях. На рисунке 18 изображены
кристаллы кварца, образовавшиеся в природе из огненножидкого
расплава (рис. 18, а), из высокотемпературных растворов (рис. 18, б)
и из тех же растворов, но при более низкой температуре (рис. 18, в
и г). Следует отметить, что, помимо температуры, здесь большое
влияние оказывают и химические особенности среды. Так,
например, в среде, богатой железом, образуются преимущественно
призматические кристаллы кварца, а в породах, бедных железом,
растут обычно обелисковидные кристаллы (А. Е. Карякин).
Нередко один и тот же кристалл изменяет свой вид с переходом
от одних условий к другим. Примером может служить так
называемый скипетровидный кварц (рис. 18, д), где кристалл одного типа
25

Ф00
а 6 6
Рис. 19. Кристаллы квасцов, выпавшие
из водного раствора без примеси буры (а)
и из раствора с примесью буры (б и в)
(рис. 18, в) обрастает с концов слоями кварца другого типа
(рис. 18, г).
Пример влияния сорастворенных веществ на форму кристаллов
представляет также примесь буры к водному раствору калиево-
алюминиевых квасцов.
Из чистого раствора квасцы выпадают обычно в виде
восьмигранников с треугольными плоскостями (октаэдры). В присутствии
буры те же квасцы кристаллизуются в форме кубо-октаэдров и
кубов (рис. 19). Важно отметить, что при этом структура квасцов в
обоих случаях остается идентичной. Следовательно, влияние
примеси касается лишь внешнего вида кристаллов.
В дальнейшем будет рассмотрено явление полиморфизма, когда
одно и то же вещество при различных физико-химических
условиях кристаллизуется в различных структурах. Само собой
разумеется, что полиморфизм необходимо резко отличать от только что
описанных внешних явлений.
§ 7. ТЕХНИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫРАЩИВАНИЯ КРИСТАЛЛОВ
Помимо рассмотренных выше способов кристаллизации из
растворов, существуют и другие методы выращивания крупных и
однородных кристаллов.
Значительные успехи достигнуты в деле получения кристаллов»
имеющих важное промышленное значение, из расплавов. Описанию
таких методов посвящена богатая специальная литература (см.
сноску на стр. 16—17).
Рассмотрим вкратце особые методы получения таких
технически важных камней, как искусственные корунд и кварц.
Корунд (А1203). Корунд и его окрашенные разновидности —
красный рубин и синий сапфир — долгое время относились к числу
редчайших минералов, высоко ценимых как драгоценные камни.
В прежние времена эти камни служили в качестве украшений и
красивых поделок. Вместе с тем, помимо своей красоты, они
привлекали внимание и чрезвычайной твердостью, что и
предопределило в основном их техническую ценность. Неудивительно поэтому,
что открытие способов получения искусственных корундов явилось
немаловажным событием. Начало промышленного производства
кристаллов корунда относится к 1904 г. (Вернейль). С тех пор вы-
26

пащивание искусственных корундов развивалось и
получило широкое распространение, и, в частности,
Советском Союзе достигло существенных
успехов. В настоящее время из кристаллов
искусственного корунда и рубина изготовляются в больших
количествах опорные часовые камни, подшипники
и подпятники для точных измерительных приборов,
фильеры — пластинки с просверленными в них
тончайшими калиброванными отверстиями для
волочения тонкой проволоки и тр.
Недавно было открыто еще одно замечательное
свойство рубина. Рубиновый стержень при особых Г^ов2а°я J^H"
условиях может испускать концентрированный
пучок нерассеивающихся лучей. В будущем такие
лучи явятся, несомненно, могучим средством межзвездной связи.
В основном процесс получения искусственных корундов
сводится к следующим операциям.
Из алюмо-аммиачных квасцов путем их прокаливания при
температуре свыше 1000° С изготовляется тонкая пудра AI2O3. Далее
эта пудра с добавкой той или иной окрашивающей примеси
(например, окиси хрома — красное окрашивание) направляется в
специальном приборе через пламя гремучего газа (температура
свыше 2000° С) на поверхность особой свечи, изготовленной из
тугоплавкого материала. На свече непрерывно поступающая пудра
образует сперва конус из спекшейся массы, на вершине которого
создаются условия для роста кристаллического зародыша,
разрастающегося затем в корундовую «булю» (рис. 20). Как
показывают исследования, були покрыты снаружи множеством мельчайших
граней, создающих общее впечатление матовой поверхности.
Несмотря на этот сложный поверхностный узор, внутри тело були
является практически монокристальным. Такие сложные
кристаллические образования, как були корунда, не обладают
характерными кристаллографическими формами и требуют особых приемов
изучения.
Кварц (Si02). Неоднократно упоминавшиеся выше кристаллы
природного кварца играют огромную роль в современной технике.
Развитие приборостроения, радиотехники, прикладной оптики,
медицины тесно связано с широким применением этого минерала.
Кварц является одним из самых распространенных минералов
в природе. Однако чаще всего он встречается в виде мелких зерен.
Хорошо образованные и достаточно крупные кварцевые кристаллы
растут в глубинных трещинах и гнездах («хрустальных погребах»).
В природе такие месторождения встречаются лишь изредка.
Многочисленные геологические партии в результате упорных
поисков находят все новые месторождения этого ценнейшего
минерала.
К сожалению, кристаллы природного кварца страдают многими
недостатками. Они, как правило, не являются монокристальными,
а представляют сложнейшие двойниковые прорастания (см. гл. VII,
27

§ 3). Загрязнения, включения посторонних минералов, внутренние
пустотки с жидкостями и газами, трещиноватость — все эти
обычные дефекты природного кварца значительно снижают его качество.
Поэтому, уже начиная с прошлого столетия, ставились опыты по
выращиванию кристаллов искусственного кварца. Полный успех в
разрешении этой важнейшей проблемы был достигнут лишь
недавно.
При постановке решающих опытов кристаллографы в основном
исходили из геологических данных, полученных исследователями
природных кварцевых месторождений. Десятки миллионов лет
тому назад по скрытым внутри горных пород трещинам,
образовавшимся в результате горообразовательных процессов, снизу вверх, к
земной поверхности, поднимались глубинные воды. Такие воды,
нагретые до 200—500° С и находившиеся под большим давлением,
частично растворяли встречные породы и минералы. При этом они
обогащались кремнеземом и щелочами. В верхних более холодных
зонах избыток кремнезема выделялся на стенках трещин и пустот в
виде кристаллов кварца, образуя в благоприятных условиях
месторождения минерала. Эти природные условия и надо было, по
возможности, реализовать в лабораторной обстановке.
Выращивание кристаллов искусственного кварца
осуществляется в особых стальных сосудах— автоклавах, способных выдержать
огромные давления (до 2000 атм) при соответствующих
температурах (200—500°С). В нижнюю часть автоклава, нагревающуюся
сильнее, чем его верхняя часть, помещается исходный материал в
виде кварцевых обломков. Водный щелочной раствор, сильно
нагретый и находящийся под высоким давлением, растворяет внизу
кварц и устремляется в верхнюю более холодную часть автоклава.
Здесь заранее развешиваются специальные
«затравки»-—пластинки из чистого, однородного бездефектного кварца. Поднявшись
вверх, раствор охлаждается, становится пересыщенным; на
затравках отлагается избыток кремнезема, вследствие чего они начинают
обрастать слоями кварца. Охлажденный раствор снова опускается
вниз, нагревается и растворяет новые порции лежащего внизу
исходного кварца, затем опять поднимается наверх, способствуя
дальнейшему росту верхних кристаллов. Такой круговорот
раствора, повторяющийся бесконечное множество раз в течение
достаточно продолжительного времени, и приводит к образованию
однородных и чистых кристаллов кварца *.
Алмаз (С). Одним из редчайших и ценнейших минералов на
земле является алмаз (по своему химическому составу—чистый
углерод).
В прежние времена алмаз считался самым дорогим и
прекрасным драгоценным камнем. Императорские скипетры и короны,
костюмы вельмож и богачей сверкали бриллиантами —
отшлифованными алмазными кристаллами.
* Штернберг А. А. Кристаллы в природе и технике. М., Учпедгиз, 1961.
28

В настоящее время роль алмаза существенно изменилась. В
связи со своей исключительной твердостью он превратился из красивой
безделушки в материал, необходимый для современной техники.
Обработка металлов и твердых камней, протяжка тончайших
проволок, глубинное бурение горных пород, создание ряда точных
приборов'немыслимы без алмаза. Потребность в нем беспрерывно
возрастает. Вместе с тем, месторождения алмаза чрезвычайно
редки. Долгое время в нашей стране не было известно ни одного
коренного месторождения этого драгоценного камня. Одной из
наиболее блестящих побед советских геологов является открытие
«алмазных трубок» в Сибири.
Недавно мы узнали и еще об одном замечательном достижении
ученых — получении высококачественного искусственного алмаза.
Основная трудность разрешения этой задачи заключалась в
получении огромных давлений и одновременно весьма высоких
температур, при которых могут образовываться кристаллы данного
вещества. Согласно наиболее распространенным воззрениям,
природные алмазы закристаллизовались глубоко в земле. На земную
поверхность их вынесли мощные взрывы, вызванные поднятием
магмы, богатой газами и парами. Такими взрывами очевидно
обусловлена и характерная форма коренных алмазных месторождений
в виде вертикальных трубок, заполненных алмазоносной породой —
кимберлитом. Только современные сверхмощные технические
средства позволили приблизиться к природным условиям образования
алмаза с помощью особой аппаратуры.

§ 1. ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА УГЛОВ
В реальных условиях одинаковые
по строению грани кристаллов
нередко развиваются весьма
различно. Как мы знаем, это зависит от
неравномерного питания раствором
растущего кристалла с различных
его сторон. Последнее связано с
положением кристалла, наличием
концентрационных потоков и целым
рядом других причин. Неравномерное
развитие одинаковых по строению
граней крайне затрудняет изучение
закономерностей, проявляющихся
во внешней форме кристаллических
многогранников. Поэтому симметрия
последних долгое время учеными не
улавливалась.
В старинных трудах, трактующих
о кристаллах, вплоть до XVII в.,
дальше описаний «удивительных
угловатых тел» дело не шло.
Недоумения, вызываемые такими
образованиями, нередко устранялись с по- ЗАКОН ПОСТОЯНСТВА УГЛОВ,
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
мощью совершенно фантастических
толкований. Лишь в 1669 г. датским
ученым Н. Стено (Nicolaus Steno,
1638—1686) на образцах горного
хрусталя (Si02) и железного блеска
(Fe203) была подмечена
закономерность, лежащая в основе всей
геометрической кристаллографии.
В 1749 г. М В. Ломоносов
(1711—1765) на основании
измерения кристаллов селитры впервые
связывает закон постоянства углов
с внутренним строением кристаллов,
во многом предвосхитив наши
современные воззрения.
Позже, в 1783 г.,
французский кристаллограф Ж. Ро-
мэ-Делиль (Rome de L/Isle, 1736—
1790), базируясь на огромном
количестве измерений, подтвердил
наблюдения Стено и впервые дал
общую формулировку закона. Закон
Стено — Ломоносова — Ромэ-Де-
лиля заключается в следующем: уг-
ГОНИОМЕТРИЯ
И ПРОЕКТИРОВАНИЕ
КРИСТАЛЛОВ
30

/&ь
w
4=3?
Рис 21 Кристаллы кварца, иллюстрирующие закон постоянства углов
(из «Кристаллографии» Ромэ-Делиля, 1783)
лы между соответственными гранями (и ребрами) во всех
кристаллах одного и того же вещества постоянны.
Как указывалось, в зависимости от условий роста число, форма
и размеры граней изменяются. Неизменными остаются лишь углы
между соответственными гранями растущего кристалла.
Сформулированный закон значительно расширяет последнее положение,
трактуя о постоянстве углов между соответственными гранями во
всех без исключения кристаллах данного вещества.
На рис. 21 изображено несколько различных по облику
кристаллов кварца. Одинаковыми буквами (а, Ь, с) обозначены
соответственные грани. Во всех кристаллах кварца находим следующие
постоянные значения углов между этими гранями: Ztffc=141°47';
/Lac=-m°№'\ Zfcc=120°00' и т. д.
Закон постоянства углов объясняется тем, что все кристаллы
одного вещества тождественны по внутреннему строению, г. е. имеют
одну и ту же структуру.
Соответственные грани различных кристаллов данного вещества,
отвечая одинаковым атомным сеткам в структуре, должны
образовывать между собой одинаковые углы. То же относится и к углам
между ребрами, совпадающими, как известно, с атомными рядами
в структуре.
В предыдущей главе бегло упоминалось о явлении
полиморфизма (стр. 26). Само собой разумеется, что на полиморфные
разновидности, имеющие одинаковый состав при различных структурах,
закон постоянства углов не распространяется. Поэтому, во
избежание недоразумений, приводим более строгую формулировку
закона Стено — Ломоносова — Ромэ-Делиля.
Во всех.кристаллах, принадлежащих одной полиморфной
модификации данного вещества, при одинаковых условиях, углы между
соответственными гранями (и ребрами) постоянны.
Оговорка относительно одинаковых условий необходима, так
как различные давления и температуры, неодинаково изменяя
межатомные расстояния в различных направлениях
(анизотропность), вызывают тем самым и колебания угловых величин.
Однако указанные изменения настолько малы, что практически ими
ооычно пренебрегают *.
ных кпм^Нп^°СТ0ЯНСтВа углов* безусловно, справедлив для хорошо
образованиях кристаллических многогранников с плоскими гранями и прямыми ребрами.
31

Рис. 22. Прикладной гониометр Ка-
ранжо
Согл асно
вышеизложенному закону, кристаллы
определенного вещества
характеризуются своими определенными
углами. Поэтому в
большинстве случаев измерением углов
можно доказать
принадлежность исследуемого кристалла
к тому или иному веществу
(см. стр. 36—37). "Отсюда
понятно, какую огромную роль
сыграло знание закона
постоянства углов в истории
изучения кристаллов. С этим
законом также связано введение в науку измерений углов между
гранями посредством прикладного гониометра *, изобретенного в
XVIII в. Каранжо (методы измерения кристаллов Ломоносовым, к
сожалению, до нас не дошли). Изображение этого (Простого
прибора дано на рисунке 22. Буквой К здесь отмечен исследуемый
кристалл, зажатый между двумя металлическими линеечками АВ и
CD. Отсчеты берутся с помощью края АВ по транспортиру,
присоединенному к CD.
Впоследствии, благодаря сравнительно малой точности
измерения (не более 1/2°), прибор Каранжо уступил свое место
отражательным гониометрам, описание которых приводится ниже**.
Измерение угловых величин дало огромный материал для
выявления геометрических закономерностей в кристаллах. Учение о
симметрии и формах кристаллических .многогранников черпало
фактические данные главным образом из гониометрических
исследований. Поэтому понятно, почему особое внимание кристаллографов
долгое время было обращено именно на эту область.
§ 2. ОДНОКРУЖНЫЙ ОТРАЖАТЕЛЬНЫЙ ГОНИОМЕТР
Незначительная точность инструмента Каранжо и
невозможность применять его для мелких кристаллов заставили в скором
времени найти другие, более совершенные методы измерения
кристаллов. Уже в конце XVIII в. ученые, помимо работы с прикладным
гониометром, пользовались следующим приемом. Исследуемый
Однако нередко наблюдаются отклонения от этого закона, связанные с
различными дефектами реальных кристаллов. Подобные несовершенства вызываются
главным образом внешними воздействиями на кристаллические образования.
В качестве примера напомним частично растворенные кристаллы с округлыми
гранями и кривыми ребрами (см. рис. 16). Сюда же относятся изогнутые и
смятые кристаллы, подвергшиеся механическим деформациям. Вместе с тем в
некоторых случаях расхождения с законом обусловливаются отклонениями
внутренних кристаллических слоев от их идеального положения, тонким
микроступенчатым рельефом граней и т. п.
* Гониа (греч.) — угол.
** Прикладной гониометр используется в настоящее время лишь для
приближенного измерения углов между гранями на очень крупных кристаллах.
32

Рис. 23. Схема однокружного
отражательного гониометра
кристалл наклеивался рядом
с предварительно измеренным
кристаллом-эталоном на
общую подставку так, чтобы
часть граней первого
оказалась параллельной некоторым
граням второго. При такой
установке отражение
источника света (свечи) улавливалось
одновременно от пары
взаимно параллельных граней обоих
кристаллов. Если .после
некоторого поворота подставки
такое же явление наблюдалось
и по отношению к другой паре
соответственных граней, то
измеряемый угол принимался
равным заранее известному
углу эталона. Само собой
разумеется, способ этот, как
крайне несовершенный,
представляет сейчас лишь чисто
исторический интерес.
Большим шагом в области гониометрического исследования
кристаллов явилось изобретение в первой половине прошлого
столетия однокружного отражательного гониометра (Г. В. Волластон,
9. Митчерлих).
Принцип устройства однокружного гониометра показан на
рисунке 23. Основные его части представлены градуированным
лимбом L, снабженным нониусом N, и зрительной трубой АВ.
Измеряемый кристалл К прикрепляется в середине лимба с
таким расчетом, чтобы одно из его ребер совпадало с осью вращения
лимба О. Кристалл освещается источником света S. Вращая лимб
L вокруг оси О, приводим кристалл в такое положение, при
котором луч SO, падая на одну из двух граней, образующих ребро,
совмещенное с О, отражается по направлению ОА и попадает в
зрительную трубу АВ (ось вращения лимба О ориентирована
нормально к плоскости падающего и отраженного лучей SOA).
Пусть отраженный луч получен от грани /. Тогда, уловив в
трубе АВ отражение источника света S от грани 1 и приведя его в
центр поля зрения, берем первый отсчет по нониусу N. При этом
нормаль к отражающей грани I — ОРх является биссектрисой
угла SOA. J
Таким же образом вторично вращая лимб, улавливаем
отраженный луч от грани 2 и берем второй отсчет. И здесь нормаль к
грани 2— ОР2 будет также представлять собой биссектрису угла SO А.
разность обоих отсчетов дает нам угол между нормалями к граням
L»nt {^UPi: °Z*)- Угол между гранями / и 2 равняется 180°
минус измеренный угол между нормалями.
2^3681
33

Рассмотренный прибор отличается высокой точностью (до
минуты), но вместе с тем имеет ряд существенных недостатков.
Например, при измерении угла между нормалями к двум граням ребро
пересечения последних должно точно совпадать с осью вращения
лимба; в связи с этим переход от одного угла к другому сопряжен с
перестановкой кристалла на приборе. Такая перестановка особенно
затруднительна в случае измерения углов между гранями, косо
ориентированными относительно плоскости лимба. В этом случае
с осью гониометра приходится последовательно совмещать не
параллельные друг другу ребра.
Таким образом, измерение всех углов даже только одного
кристалла требует долгой и кропотливой работы. Недаром старинные
естествоиспытатели сравнивали работу гониометриста в смысле
требуемой точности, ловкости и умения с искусством опытного
фехтовальщика. Несмотря на это, как уже указывалось, результаты
измерения на однокружном гониометре отличаются большой
точностью.
До сих пор данные измерений угловых величин для окристалли-
зованных минералов, полученные посредством такого гониометра
русскими академиками прошлого столетия Н. И. Кокшаровым
(1818—1892) и П. В. Еремеевым (1830—1899), считаются
классическими в мировой кристаллографической и минералогической
литературе.
§ 3. ДВУКРУЖНЫЙ ОТРАЖАТЕЛЬНЫЙ ГОНИОМЕТР Е. С. ФЕДОРОВА
Двукружный отражательный гониометр, построенный по
принципу теодолита, существенно устраняющий указанные в
предыдущем параграфе затруднения, принадлежит гениальному русскому
кристаллографу Е. С. Федорову (1853—1919) *. Позднее
аналогичные, отличающиеся в частностях, инструменты были
сконструированы В. Гольдшмидтом и 3. Чапским.
Теодолитный двукружный отражательный гониометр Е. С.
Федорова изображен на рисунке 24. Прибор состоит из двух
градуированных лимбов: вертикального (а), вращающегося вокруг
горизонтальной оси <р, и горизонтального (Ь), вращающегося совместно
с первым кругом вокруг вертикальной оси р. Оба лимба снабжены
нониусами П\ и ti2, позволяющими брать отсчеты с точностью до
1 мин. Через точку пересечения обеих осей вращения проходит
оптическая ось зрительной трубы АВ.
Кристалл К прикрепляется воском к специальному
стерженьку— кристаллоносцу, укрепленному на особой подвижной
подставке, находящейся в середине вертикального круга. При этом точка
пересечения осей ср и р должна совпадать с кристаллом.
* Заявка Е. С. Федорова об изобретении им теодолитного гониометра
относится к 1889 г. До этого в 1874 г. английский кристаллограф В. Миллер соединил
два однокружных гониометра в одну модель, являющуюся прототипом двукруж-
ных гониометров.
34

Рис. 24. Теодолитный (двукружный) отражательный
гониометр Е. С. Федорова
Посредством винтов упомянутой подставки любое направление
в кристалле возможно совместить с горизонтальной осью ф. Обычно
с осью ср совмещается какое-либо характерное для данного
кристалла направление.
Установленный кристалл вращается вокруг осей ф и р и
освещается со стороны источником света (во избежание ошибки в
отсчетах, обусловленной совмещением с осью ф не отдельных ребер,
а некоторого общего характерного направления кристалла,
источник света S относится от гониометра Федорова на значительное
расстояние; кроме того, перед источником света ставится линза,
делающая лучи параллельными).
Задача исследователя состоит в улавливании отраженных
лучей от той или иной грани кристалла.
Уловив в зрительной трубе отраженный от некоторой грани луч
и совместив видимое при этом отраженное изображение источника
света с центром поля зрения, берем отсчеты по нониусам щ и п2.
Взятые отсчеты дают так называемые сферические координаты
грани —ср и р.
Координата ф отсчитывается по вертикальному кругу,
координата р по горизонтальному. Подробнее сферические координаты
Ф и р разбираются ниже.
Кристалл считается полностью измеренным, когда для каждой
его грани будут найдены сферические координаты ф и р.
Вращением кристалла вокруг двух осей гониометра можно при
данной установке найти искомые координаты почти для всех граней
кристалла. Неизмеренными останутся лишь грани, заклеенные
воском кристаллоносца.

Работа на двукружном гониометре несравненно проще работы
на однокружном. Вот что говорит по этому поводу творец двукруж-
ного гониометра Е. С. Федоров: «Научиться производить точные
измерения с помощью универсального гониометра так же легко,
как научиться обращаться с мензулою, нивелиром или теодолитом,
а этому научаются, как известно, лица, не получившие не только
высшего, но даже и среднего образования». *
§ 4. КРИСТАЛЛОХИМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Е. С. ФЕДОРОВА
Большое значение гониометрии подтверждается хотя бы тем,
что по измеренным угловым величинам кристалла можно получить
понятие и о самом его веществе. Согласно закону постоянства
углов, кристаллы определенного вещества данной модификации
обладают строго определенными углами. Следовательно, путем
сравнения измеренных углов кристалла с уже имеющимися данными
можно в большинстве случаев доказать принадлежность исследуемого
кристалла к тому или иному веществу.
Существуют специальные сводки кристаллических углов,
значительно облегчающие указанный путь сравнения. **
Однако такое определение будет усложнено огромным
количеством угловых величин, буквально наводняющих
кристаллографическую и минералогическую литературу. Чтобы разобраться в этом
множестве цифровых данных, Федоров, помимо измерения углов,
предложил принимать во внимание развитие кристаллических
граней, связывая наличие наиболее крупных и частых граней с
наиболее плотными сетками, т. е. с внутренним строением вещества
(см. стр. 11).
Метод гониометрического определения вещества и отчасти его
внутреннего строения по внешним формам кристалла и составляет
сущность кристаллохимического анализа Е. С. Федорова.
В дальнейшем, учениками и последователями Е. С. Федорова,
известным советским кристаллографом проф. А. К. Болдыревым
(1883—1946) и английским ученым Т. Баркером (1881—1931)
задача гониометрического диагноза вещества была значительно
упрощена и в настоящее время по существу сводится к двум операциям:
а) измерению на гониометре необходимых углов и б) определению
вещества по таблицам справочника. ***
В заключение отметим ряд достоинств этого метода: 1)
кристаллы, взятые для анализа, сохраняются и после исследования;
2) для анализа можно ограничиться достаточно хорошо
образованными кристалликами, величиной хотя бы с булавочную головку;
* Федоров Е. С. Курс кристаллографии. М., 1901, стр. 279.
** Е. С. Федоров систематизировал весь накопленный в литературе
материал по измерению кристаллов и расположил его в виде стройного ряда
в монументальном труде «Царство кристаллов», в основном законченном в 1910 г.
и опубликованном в 1920 г. в Записках Российской Академии наук, т. XXXVI.
*** Болдырев А. К-, Д о л иво - Д обр о в о льски й В. В. и ДР-
«Определитель кристаллов», т. I, ч. 1, 1937 и ч. 2, 1939, ГОНТИ.
36

ч\ гкппость определения не зависит от сложности состава
образца, причем время исследования обычно не превышает двух-трех
^Вместе с тем как и всякий метод исследования,
гониометрический'диагноз вещества имеет и некоторые ограничения.
Определение вещества возможно только при наличии хорошо образованных
коисталлов; вещества с равными углами между гранями
одинаковых Форм гониометрически неотличимы (сюда относятся кристаллы
кубической сингонии, см. стр. 86); анализ может быть произведен
лишь для веществ, помещенных в таблицах «Царства кристаллов»
Е. С. Федорова и «Определителя кристаллов» А. К. Болдырева
и др.
§ 5. СТЕРЕОГРАФИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ
Цифровой материал, найденный посредством гониометрических
измерений, следует изобразить графически на специальных
проекциях.
Согласно закону'постоянства углов (стр. 30—31) характерными
константами кристаллов являются их угловые величины. Поэтому
из множества методов проектирования в кристаллографии
преимущественно применяются те, которые дают точное понятие об углах
на кристаллах. В этом отношении особенно удобны
стереографические проекции*.
Кратко ознакомимся с их сущностью. Примем некоторую точку
О за центр проекций (рис. 25). Произвольным радиусом опишем
вокруг О шар, называющийся шаром проекций. Через ту же точку
О проведем горизонтальную плоскость Q, являющуюся плоскостью
проекций.
В результате пересечения сферической поверхности с Q
имеем большой круг **, отвечающий экватору шара проекций и
представляющий круг проекций.
Вертикальный диаметр шара NS, перпендикулярный к Q,
называется осью проекций. Такая ось пересекает шар проекций в Двух
точках — N и S. Одна из этих точек (южный полюс шара
проекций— S) является точкой зрения.
Если требуется изобразить стереографическую проекцию
какого-либо направления или плоскости, переносим их параллельно
самим себе так, чтобы они прошли через центр О.
Рассмотрим получение стереографической проекции некоторого
направления О А (рис. 25). Для этого продолжим данное
направление до пересечения с поверхностью шара проекций. Пусть точка й\
представляет собой результат пересечения ОА с шаровой
поверхностью.
^* Стереос (греч.) — пространственный.
nrvJT Л°А дугами больших кругов следует понимать линии пересечения
поверхности шара с плоскостями, проходящими через его центр. Примеры таких дуг —
п!ъе^1™Л?КЬгТ0? На ГЛ°буСе- Дуги малых КРУГ0В получаются в результате
шаля nn"L Р°В0И повеРхности с плоскостями, не проходящими через центр
шара. Примеры — параллели на глобусе (исключая экватор)
37

Рис. 25. Построение стереогра- Рис. 26. Построение стереографиче-
фической проекции а направле- ской проекции а в d плоскости R
ния ОА
Соединим точку ах с точкой зрения S лучом зрения Sa\.
Точка а — точка пересечения SaY с плоскостью Q — является
стереографической проекцией направления ОА. Таким образом,
стереографические проекции направлений изображаются точками.
Найдем теперь стереографическую проекцию некоторой
плоскости R. Предварительно перенеся R параллельно самой себе в центр
проекций, продолжаем ее до пересечения с поверхностью шара
проекций (рис. 26). В результате пересечения получаем на шаре
дугу большого круга axbxdx... Все точки этой окружности соединим
лучами зрения Sa{SbiSdi с точкой зрения S. Указанные лучи
образуют так называемый проектирующий конус с вершиной S.
Результат пересечения проектирующего конуса с плоскостью
проекций Q соответствует стереографической проекции заданной
плоскости.
Известна теорема, согласно которой стереографическая
проекция круга является также кругом. *
Таким образом, упоминавшаяся выше дуга большого круга
a\bxdx... дает на стереографической проекции дугу окружности abd.
В общем случае, стереографические проекции плоскостей
изображаются круговыми дугами.
Далее перейдем к проектированию кристаллов методом
стереографических проекций.
Пусть задан некоторый кристаллический многогранник. Примем
какую-либо точку О внутри него, например центр тяжести, за центр
проекций (рис. 27). Из этой точки произвольным радиусом опишем
сферическую поверхность — шар проекций. Через центр проведем
горизонтальную плоскость проекций Q и условимся весь чертеж
изображать на ней.
Опустим из центра О па все грани кристалла перпендикуляры
и продолжим их до пересечения с поверхностью сферы. В результа-
* Доказательство см. в кн.: Н. К- Разумовский. Стереографические
проекции. Л., Изд-во Кубуч, 1932, стр. 20—21.
m

Рис. 27. Проектирование кристалла методом
стереографических проекций (а); изображение проекций граней А3 В3 С
и D на плоскости Q (б)
те пересечений на сферической поверхности возникнет ряд точек.
Например, на рисунке 27, а нормаль к грани А дает на шаровой
поверхности точку а\.
Все найденные точки следует перенести на горизонтальную
плоскость проекций Q. С этой целью южный полюс шара S
принимаем за точку зрения и соединяем с ней лучами зрения точки,
расположенные на сфере.
В результате пересечения лучей зрения с плоскостью чертежа
получим новые точки, отвечающие стереографическим проекциям
нормалей к граням *. Таким образом, грани на данной проекции
изображаются точками (точка а — стереографическая проекция
нормали к грани Л, рис. 27).
Нормали к граням, пересекающие шар проекций в верхней
полусфере, проектируются внутри круга проекций (например, нормаль
О А на рис. 27). Наоборот, нормали, пересекающие шар проекций
в нижней полусфере, проектируются вне этого круга (например,
нормаль ОВ на рис. 27). Явное неудобство последнего построения
заставляет переносить для таких нормалей точку зрения S в
северный полюс сферы N. В этом случае и проекции нижних граней
окажутся внутри круга проекций.
Чтобы отличить друг от друга проекции нормалей к верхним и
нижним граням, первые обозначаются кружками, а вторые —
крестиками.
Необходимо запомнить следующее: горизонтальные грани
проектируются в центре круга проекций (например, грань С, рис. 27);
вертикальные грани проектируются на самом круге проекций
(например, грань D)\ косые грани проектируются внутри круга
проекций (например, грани Л и В).
наа ДЛя сокращения стереографические проекции нормалей к граням обычно
пешен^к* гномостеРеогРафическими проекциями самих граней. Гномон (греч.)--

Замечание. Чем круче наклон грани (т. е. чем меньше угол
между гранью и осью проекций), тем ближе проектирующая ее
точка располагается к кругу проекций. Наоборот, чем положе грань
(т. е. чем больше указанный угол), тем ближе соответственная
точка к центру круга.
§ 6. СФЕРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ
В результате гониометрического измерения кристалла для
каждой его грани получаются две сферические координаты <р и р.
Остановимся подробнее на этих координатах.
При проектировании методом стереографических проекций все
направления в кристалле (нормали к граням, ребра и пр.)
продолжаются до пересечения со сферой (стр. 37—38). Такая операция
приводит к ряду точек, расположенных на шаре проекций. Каким
путем можно дать точное понятие о расположении этих точек?
Здесь мы встречаемся с задачей, хорошо известной в географии и
астрономии. В названных науках расположение любой точки на
глобусе фиксируется сферическими координатами — широтой и
долготой. С этой целью поверхность глобуса покрывается сетью дуг-
меридианов и параллелей, с помощью которых легко сосчитать
градусы, отвечающие широтам и долготам. Совершенно тот же прием
применяется и в кристаллографии. На поверхность шара
проекций наносится сеть вспомогательных меридианов и параллелей.
Пользуясь такой сетью, для каждой точки на сфере находим две
координаты (рис. 28). Одна из них (<р) отвечает географической
долготе. Для ее измерения один из меридианов на шаре
принимается за нулевой. Долготу определяет угол между плоскостями
нулевого меридиана и меридиана, проходящего через заданную
точку. Долгота измеряется числом градусов, заключенных между
двумя названными меридианами, посредством любой параллели
(или, в частном случае, экватора). Отсчеты долгот <р берутся по
вертикальному лимбу гониометра.
Рис. 28. Сферические координаты <р и р грани А
40

Рис. 29. Простейшая
стереографическая сетка
Вторая координата (р),
называющаяся полярным расстоянием, сорт-
^етствует угловому расстоянию
(числу градусов), заключенному между
полюсом шара и заданной точкой. Эта
координата отчитывается по дуге
большого круга (меридиану),
проходящего через полюс, и упомянутую
точку. На кристалле координата рдля
некоторой грани является углом
между характерным направлением,
совмещенным с горизонтальной осью р
гониометра, и нормалью к данной
грани.
Относительно географической
широты полярное расстояние является
дополнительным углом до 90°. Как указывалось, отсчеты полярных
расстояний р берутся по горизонтальному лимбу гониометра.
Найденные посредством гониометра сферические координаты ф
и р для каждой грани наносятся на специальные сетки. Эти сетки,
представляя стереографические проекции меридианов и
параллелей, соответствуют географическим картам полушарий.
Если точку зрения поместить в один из полюсов и
проектировать все меридианы и параллели на плоскость экватора, получим
простейшую сетку, изображенную на рисунке 29.
Поместив точку зрения на экваторе и проектируя дуги
меридианов и параллелей на плоскость меридиана, перпендикулярную к
прямой, соединяющей точку зрения с центром проекций, получим
сетку Вульфа (рис. 30).
В нескольких словах дадим понятие о построении сетки Вульфа.
Для этого обратимся к рисунку 31, повторяющему в упрощенном
виде рисунок 25.
Угол между вертикальной осью проекций NS и проектируемым
направлением ОА соответствует полярному расстоянию р.
Следовательно, угол OSa равен — (а — стереографическая проекция
направления ОА на плоскости проекций Q). Отсюда, приняв радиус
шара проекций за единицу, находим, что расстояние точки а от
центра проекций О равно:
Oa = tgp/2.
Перейдем теперь непосредственно к построению сетки Вульфа
вычерчиваем окружность радиусом 10 см и проводим два
взаимно перпендикулярных диаметра-горизонтальный и вертикальный
(рис. 62). Далее делим внешний круг на равные части (на рисунке
делешя проведены через 30°; на подлинной сетке Вульфа-че-
п™ЙЛеНИе ДВуХ диаметР°в на необходимые интервалы может быть
осуществлено путем следующего построения. Соединим прямыми
41

Рис. 30. Сетка Вульфа (радиус сетки 10 см)
нижнюю точку вертикального диаметра с точками внешнего круга
180, 210, 240, 270, 300, 330 и 0е. При этом горизонтальный диаметр
в точках 90, 60, 30, 0, 30, 60 и 90° разделится проведенными
прямыми на неравные части. Далее проводим через оба конца
вертикального диаметра — точки 90 и 270°, которыми будут изображаться
полюсы сетки Вульфа, и точки на горизонтальном диаметре — 90,
60, 30, 0, 30, 60 и 90° — круговые дуги (построение окружностей по
трем точкам). Найденные дуги и являются искомыми
стереографическими проекциями меридианов сетки Вульфа (один из них
изображен на рисунке).
Подобным образом строятся и проекции' параллелей. С этой
целью точку 0° соединяем прямыми с точками внешнего круга 90,
120, 150, 180, 210, 240 и 270°. В результате вертикальный диаметр
также разделится этими прямыми на неравные части. Круговые
42

-с
Рнс. 31. О а=г tgp/2
Рис. 32. Построение сетки Вульфа
дуги, проведенные через найденные таким путем на вертикальном
диаметре точки и соответственные точки, лежащие на круге
проекций, и являются искомыми стереографическими проекциями
параллелей (одна из них показана на рисунке). Эта стереографическая
сетка была введена в кристаллографическую практику в 1897 г.
знаменитым русским ученым Г. В. Вульфом (1863—1925).
Исключительно удачно выбранный размер сетки (радиус 10 см) и цена
делений (2°) обеспечили ей широкое распространение во всем мире.
«Успех моего метода объясняется соответствием предложенного
мною размера сетки и ее деления с точностью
кристаллографической и петрографической практики» * — писал сам автор сетки по
этому поводу. В настоящее время сетка Вульфа пользуется
наибольшим распространением при решении кристаллографических
задач.
Ниже на отдельных примерах познакомимся, с общими
приемами решения задач на сетке Вульфа.
§ 7. РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКЕ ВУЛЬФА
Положим перед собой сетку Вульфа так, как это показано па
рисунке 30. В дальнейшем будем иметь в виду, что никакие
построения на самой сетке не производятся — задачи целиком решаются
на листке кальки или восковки, наложенном на сетку.
Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку
относительно сетки в одно и то же исходное положение, отмечаем на кальке
центр сетки точкой с четырьмя черточками в виде креста, не
доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца
горизонтального диаметра сетки ставится небольшая черточка,
проведенная вне круга проекций (рис. 33).
крис'таХафиГг^издап Й. стр°6. * * Пр™СКи6 к^с ^метрической
43

Рис. 33. К задачам 1 и 2
Черточка справа будет
служить нулевым индексом для
долгот Оф, а центральная точка
рисунка—местом нуля для
полярных расстояний Ор.
Первая сферическая
координата — долгота ф — отсчитывает -
ся ,по кругу проекций от
нулевого индекса по часовой стрелке
(на сетке каждое деление
соответствует 2°, каждый десятый
градус выделен жирной линией).
Вторая сферическая
координата — полярное расстояние
[) — отсчитывается от центр а
сетки.
Необходимо условиться, что в дальнейшем изображенные на
сетке дуги меридианов и параллелей будут служить лишь
вспомогательными линиями. Истинный полюс сетки находится в ее центре
Ор, истинный экватор совпадает с кругом проекций, а из истинных
меридианов на сетке изображены только два — вертикальный и
горизонтальный диаметры сетки.
При работе с сеткой Вульфа мы должны всегда мысленно
представлять себе совмещенную с ней простейшую стереографическую
сетку (см. рис. 29). Само собой разумеется, что отсчет полярных
расстояний р должен производиться при этом от центра сетки как
от полюса.
Задача 1. Построить стереографическую проекцию
направления, заданного сферическими координатами ф и р.
Например, пусть некоторое направление А задано сферическими
координатами ф=165° и р=68°: А (165°, 68°). Требуется найти
стереографическую проекцию этого направления.
Для решения задачи делаем следующее:
1) накладываем кальку на сетку и ставим на ней центральный
крестик и черточку нулевого индекса для ф;
2) от нулевого индекса для ф по кругу проекций (по часовой
стрелке) отсчитываем первую сферическую координату — долготу
Ф (165°) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной
точкой (см. рис. 33);
3) вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен
совпадать с центром сетки) совмещаем найденную
вспомогательную точку с концом ближайшего диаметра сетки;
4) по этому диаметру от центра сетки в сторону
вспомогательной точки отсчитываем вторую сферическую координату — полярное
расстояние р (68°) — и отмечаем найденную точку небольшим
кружком;
5) возвращаем кальку в исходное положение и надписываем
точку а. Точка а является искомой стереографической проекцией
направления А.
44

Рис. 34. К задачам 3, 4, 5,
6 и 7
В кристаллографии эта задача
обычно применяется при решении
слетающих вопросов:
1 Даны сферические координаты
нормали к грани кристалла;
требуется найти стереографическую
проекцию нормали к грани, или, что то же
самое, гномостереографическую
проекцию самой грани (стр. 39).
2. Даны сферические координаты
ребра кристалла или какого-нибудь
его характерного направления
(например, оси симметрии, см. сто. 56);
требуется построить
стереографическую проекцию этого ребра (или
направления).
Предлагаем самому читателю изобразить стереографические
проекции следующих направлений: В (309°, 55°), D (51°, 37°),
Е (122°, 90°) и Я (205°, 124°) *.
Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты
направления, заданного стереографической проекцией.
1. Вращением кальки приводим заданную точку
(стереографическую проекцию направления) на ближайший диаметр сетки. По
этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем
сферическую координату р и отмечаем вспомогательной точкой на
круге проекций тот конец упомянутого диаметра, в направлении
которого лежит наша точка.
2. Приводим кальку в исходное положение и по кругу проекций
отсчитываем сферическую координату ф от нулевого индекса по
часовой стрелке до вспомогательной точки.
Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные
стереографические проекции двух направлений.
Например, провести дугу большого круга через
стереографические проекции а и b направлений А (165°, 68°) и В (309°, 55°).
1. Вращением кальки добиваемся того, чтобы обе заданные
точки а и b оказались на одной из вспомогательных меридиональных
дуг сетки Вульфа.
2. Найденную дугу тщательно обводим карандашом и
возвращаем кальку в исходное положение (рис. 34) **.
Если заданные точки изображают гномостереографические
проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гно-
„ ^ Т0Чек нижнеи полусферы полярные расстояния превышают 90°. Такие
v ?1^пТЬШаЮТСЯг?Т Ц6Нтра до КРУГ* ^секций и далее назад от круга проекций
на рис 33)СеТКИ* 11олучающиеся ПРИ этом проекции отмечаются крестиками (А
пис**ч^ЛуЧаЙ Т0Ч6К' Ра<;пол°женных на разных полусферах (например, а и h на
пптапп» СЛ^ДУЮЩИМ образом видоизменяет решение задачи: вращением кальки
c?E^n^TrKH-Ha симметРичные меридиональные дуги и обводим их
соответственно сплошной и пунктирной линиями
45

мостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении
обеих граней (для получения гномостереографической проекции
ребра последнее заменяем плоскостью, к нему перпендикулярной,
и находим стереографическую проекцию этой плоскости).
Если заданные точки изображают стереографические проекции
ребер, то найденная дуга большого круга является
стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат ушшянутые
ребра.
Предлагаем читателю провести на кальке также дуги bd и ad
через заданные выше точки.
Задача 4. Измерить- угол между двумя направлениями,
заданными их стереографическими проекциями (например, угол между
направлениями Л и б).
1. Как и при решении предыдущей задачи, вращением кальки
совмещаем данные точки а и b с одной из меридиональных дуг
сетки Вульфа (задача 3).
2. Отсчитываем по этой меридиональной дуге количество
градусов, заключенных между точками а и b (рис. 34). В результате
получаем ZAB= 113°*.
Если заданные точки представляют собой гномостереографиче-
ские проекции граней, то измеренный угол является углом между
нормалями к этим граням.
Если же заданные точки являются стереографическими
проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.
Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на
стереографической проекции (под полюсом дуги разумеют точку,
равноотстоящую от всех точек дуги на 90°).
Например, требуется найти полюс дуги аЬ (см. рис. 34).
1. Вращением кальки совмещаем заданную дугу аЪ с
соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа.
2. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки
пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к
центру сетки 90° (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную
точку.
3. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем
точку — Раъ-
Найденная точка Раъ, как легко проверить, действительно
является полюсом дуги ab.
Если заданная дуга представляет собой стереографическую
проекцию грани, то найденный полюс дуги является стереографической
проекцией направления, перпендикулярного к этой грани, или, что
то же самое, гномостереографической проекцией самой грани.
Если заданная дуга является гномостереографической
проекцией ребра, то полюс дуги представляет собой стереографическую
проекцию того же ребра.
* Аналогично читатель может найти, что /LAD=86°\ a Z_B£>=70°.
46

Предлагаем читателю найти полюса дуг ab, bduadu определить
„х сферические координаты *.
Задача 6 (обратная). Яо заданному полюсу найти дугу
большого круга, отвечающую его экватору.
1 Вращением кальки приводим заданный полюс на
горизонтальный диаметр сетки.
2 Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении
центра сетки 90° (перейдя-за него) и обводим проходящую здесь
меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой
экваториальной дугой относительно заданного полюса.
Если заданный полюс выражает гномостереографическую
проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует
стереографической проекции той же грани.
Если заданный полюс представляет стереографическую
проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической
проекции.
Рекомендуем обратить особое внимание на решение задач 5 и
6у так как именно они содержат механизм переходов от
стереографической проекции к гномостереографической и обратно.
Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов.
Например, требуется измерить угол между дугами аЬ и ad (см.
рис.34).
1. Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг — а
(вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.
2. Приняв эту вершину за полюс, приводим отвечающую ему
эваториальную дугу (задача 6).
3. Количество градусов, заключенное в этой дуге между
точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной
искомого угла.
Если заданные дуги больших кругов являются
стереографическими проекциями граней, то измеренный угол представляет собой
угол между гранями.
На рисунке 34 угол при вершине а равен 65°, при вершине Ъ —
75° и при вершине d — 116°.
Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих
с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние а
(задача на построение малого круга).
Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого
направления, стереографическая проекция которого отвечает
заданной на проекции точке, имеется множество направлений,
отклоненных от первого на один и тот же угол а и образующих в совокупно-
н™К0НуЯ с углом Раствора 2а. Пересечение этого конуса с поверх-
^ю сФеРы Дает малый круг, в центре которого находится точка
мян т "вНИЯ 3аданного напРавления со сферой. Согласно вышеупо-
ияппа^УЛ0реме ^СТр* 38)> стереографическая проекция исходного
cS является только стереографическим, а не геометриче-
ии центром (геометрический центр совпадает со стереографиче-
* Ответ: РаЬ (62°, 61°); Pbd (i94°, 59°); Pad (269°, 60°).
47

^*"—j -^-. ским лишь в том частном случае, ког«
jr ^~^\ Да это направление совмещено с осью
/ \( в\\ проекций). Это и составляет основ-
/ I v 0 / \ иУю ТРУДН0СТЬ данной задачи.
/ | ^—' \ Пусть заданная точка лежит внут-
Г —г——— т ри круга проекций (например, точка
\ /1 b (309°, 55°) на рис. 35). Требуется по-
\ I / строить вокруг нее как стереографиче-
\ у ского центра малый круг заданного
\^^ ^s радиуса (на рис. 35 <х=30°).
Для этого совмещаем заданную
Рис. 35. К задаче 8 точку с какой-либо параллелью,
изображенной на сетке Вульфа,
отсчитываем по меридиональной дуге сетки,
проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое
расстояние а и отмечаем полученные при этом две точки. Вращением
кальки приводим заданную точку на какую-либо другую параллель
сетки и снова аналогичным путем- получаем пару новых точек.
Повторяем такой прием до тех шор, пока полученные точки не начнут
совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта последняя
может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки
Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для
этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных
точек совмещается путем наложения с упомянутой параллелью,
по которой в несколько .приемов вычерчивается, в конце концов,
требуемый малый круг.
Решение задачи чрезвычайно упрощается при наличии циркуля.
Поворотом кальки 'Приводим заданную точку на горизонтальный
диаметр сетки и отсчитываем вправо и влево от нее требуемый
угол а. Взяв геометрическую середину найденного отрезка,
принимаем ее за центр и вычерчиваем требуемый круг. Если исходная
точка лежит слишком близко к кругу проекций — задача решается
по трем точкам, из которых две берутся по соответствующему
меридиану сетки.
В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем
круге проекций (р = 90°), достаточно привести ее поворотом кальки на
один из полюсов, изображенных на сетке Вульфа, отсчитать в
любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной
меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить соответствующую
параллель сетки.
Наконец, в случае совпадения заданной точки с центром
проекций отсчитываем по обоим диаметрам сетки угловые расстояния
а и по четырем найденным точкам строим искомую окружность.
Построение малых кругов широко используется при решении
задач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и
третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю
(задача 10).
В заключение приведем две кристаллографические задачи, в
решении которых широко используются указанные приемы.
48

Задача 9. Даны измеренные на гониометре сферические
координаты следующих граней кристалла (табл. 2):
Таблица 2
Сферические координаты
Грани
1
2
3
4
о
6
7
8
9
<р, град
—
11
101
191
281
56
146
236
326
р. град
0
42
42
1 42
1 42
90
90
90
90
Требуется: 1) изобразить гномостереографические и
стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6); 2) измерить углы
между гранями (задачи 4 и 7); 3) изобразить
гномостереографические и стереографические проекции ребер (задачи 3 и 5); 4) найти
сферические координаты ребер и измерить углы между ребрами
(задачи 2, 4 и 7).
Задача 10. Построить гномостереографическую проекцию
кристалла по углам между нормалями к граням (именно такие углы,
как известно, измеряются на однокружном отражательном
гониометре Они же легко находятся и посредством прикладного
гониометра).
Даны следующие углы между нормалями к граням (рис. 36):
В:С = 83°
В:Р = 42° Р:С = 72°
P:Q = 54° В':0 = 58°
В:В' = 180° С:0^= 54°
nnn?rnLnp0eK™p0BaHra энного кристалла придаем ему такую
стя»^ еННую °Риентаровку, при которой грани В, Р, Q и В'
еГиГпг! веРТикальными и изобразятся на внешнем круге про-
стим с н^лешГ10 °ДН0Й И3 Этих гРаней> например грани В,
совместим с нулевым индексом для Ф.
стоелкр°™тСТВИИ ° РИСУНК0М кристалла отсчитываем по часовой
• В' В'=ЖЫНМ(;ЖДУ ^Рмалями к граням В :Р = 42°, Р : Q = 54° и
ми этих вертика!^ КРуГе Т°ЧКИ И буДуТ пРое№
SToSannLn° УГЛаМ В : С==в3° и Р : С=72° находим точку С. Для
этого приводим сперва точку В в один из полюсов сети? Вульфа,
49

о
отсчитываем по кругу проекций в лю~
бую сторону 83° и прочерчиваем
соответствующую параллель сетки. Затем
совмещаем с полюсом сетки точку Р,
отсчитываем 72° и снова
прочерчиваем параллель сетки. На пересечении
двух полученных параллелей и
находится проекция грани С (задача 8).
Для нахождения проекции грани О
совмещаем точку В' с одним из
изображенных полюсов сетки, отсчитыва-
Рис. 36. К задаче 10 ем 58° и рисуем параллель. Далее
принимаем за стереографический
центр точку С и строим малый круг, радиусом в 54° (задача 8).
Этот круг пересекает параллель, вычерченную вокруг В' в двух
точках. В соответствии с рисунком, принимаем за проекцию грани
О ту из них, которая отвечает расположению грани на рисунке.
В заключение предлагаем читателю тут же решить
дополнительно следующие вопросы:
1. Определить сферические координаты граней В, Р, Q, В\ С, О
(задача 2).
2. Измерить угол между нормалями к граням С и О (задача 4).
3. Найти стереографические проекции ребер С В и СР и
определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2) *.
4. Построить стереографическую проекцию грани О (задача 6).
Здесь приведено лишь несколько простых задач, наиболее часто
встречающихся при работе с сеткой Вульфа. Читателя, желающего
подробно ознакомиться с этим разделом, отсылаем к имеющимся
специальным курсам **.
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ОБЩИЕ ПОНЯТИЯ
Греческое слово «симметрия» в переводе на русский язык
означает «соразмерность». Представление о симметрии широко
распространено в повседневной жизни. Симметричными называются, на-
* Ответ: 1. В (0°, 90°); Р (42°, 90°);
Q (96°, 90°); В' (180°, 90°);
С (72°, 90°); О (210°, 38°).
2. Угол СО=54°.
3. СВ (270°, 70°): СР (314°, 78°).
** В у л ъ ф Г. В. и Шубников А. В. Практический курс
геометрической кристаллографии. Госиздат, 1924. Разумовский Н. К.
Стереографические проекции. Изд-во Кубуч, 1932. Доливо-Добровольский В. В.
Курс кристаллографии. ОНТГИ, 1937, стр. 69—102. Флинт Е. Е. Практическое
руководство по геометрической кристаллографии. Госгеолтехиздат, 1948.
50

венчики цветов, крылья бабочек, снежные звездочки. Чело-
пример, в авна пользовалось понятием о симметрии, применяя
вечество ^ разнообразных областях своей деятельности. Однако
еГ° В этическая разработка учения о симметрии была осуществле-
«* ^ишь во второй половине прошлого столетия.
Симметричная фигура должна состоять из закономерно повто-
юшихсч равных частей. Рассмотрению того, что следует
понижать под «закономерной повторяемостью», и посвящены
нижеследующие параграфы.
В основе представления о симметричных фигурах лежит
понятие о равных частях.
«Две фигуры называются взаимно равными, если для каждой
точки одной фигуры имеется соответственная точка другой фигуры,
причем расстояние между любыми двумя точками одной фигуры
равно расстоянию между двумя соответственными точками
другой» *. Ясно, что приведенная формулировка является
справедливой и по отношению к равным частям одной и той же фигуры.
Понятие равенства фигур, согласно данному определению,
значительно шире соответственного понятия, принятого в
элементарной геометрии. В самом деле, в элементарной геометрии равными
называются обычно такие фигуры, которые при наложении одна на
другую совпадают всеми своими точками. В кристаллографии
равными считаются не только такие совместимо-равные фигуры, но
также и фигуры, относящиеся друг к другу как предмет и его
зеркальное отражение (пример зеркального равенства представляют
правая и левая руки).
До сих пор говорилось о геометрических фигурах. Переходя к
кристаллам, надо помнить, что они представляют собой реальные
тела и что равные их части должны быть не только геометрически
равными, но и физически одинаковыми.
Примером симметричных фигур служат структуры кристаллов,
которые можно схематически представить себе состоящими из
параллельно ориентированных равных параллелепипедов.
Следует ожидать проявления внутренней симметрии и на
внешней форме кристаллов. По выражению величайшего русского
кристаллографа Е. С. Федорова, кристаллические многогранники
«блещут своей симметрией». Хорошо образованные кубики поваренной
соли или свинцового блеска огранены шестью одинаковыми
квадратами, октаэдры алмаза — восемью правильными и равными
треугольниками, двенадцатигранники граната — двенадцатью
одинаковыми ромбами (см. рис. 1) и т. д.
Все сказанное относится к идеально развитым кристаллам. На
реальных кристаллах в связи с несовершенными условиями
образования тождественные по внутреннему строению симметричные
грани могут развиваться неравномерно. Вместе с тем, согласно
закону постоянства гранных углов, в кристаллах определенного веще-
(1790^1О8б8ГИРОВКа пРинадлежит немецкому геометру А. Ф. Мебиусу
51

ства и величина граней и форма их могут изменяться, но углы
между соответственными гранями остаются постоянными (стр. 31).
Поэтому при изучении симметрии и вообще геометрии реальных
кристаллов необходимо основываться на углах между гранями.
Знакомясь сданным разделом кристаллографии, учащиеся
пользуются геометрически правильными многогранниками,
представляющими идеализированные модели тех или иных кристаллов.
Учение о симметрии основывается на геометрии. Однако своим
развитием этот раздел науки обязан главным образом ученым,
работавшим в области кристаллографии. Наиболее блестящие
достижения связаны с именами кристаллографов, среди которых
выделяются фамилии двух русских академиков — А. В. Гадолина
(1828—1892) и Е. С. Федорова (1853—1919).
§ 2. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ
В определении симметрии упоминалось о закономерном
повторении равных частей фигур. Для уточнения понятия об указанной
закономерности пользуются воображаемыми вспомогательными
образами (точками, прямыми, плоскостями), относительно которых
правильно повторяются равные части фигур. Такие образы носят
название элементов симметрии.
Элементами симметрии называются вспомогательные
геометрические образы (точки, прямые, плоскости), с помощью которых
обнаруживается симметрия фигур.
Примерами упомянутых элементов являются: центр инверсии,
оси и плоскости симметрии и др.
§ 3. ЦЕНТР ИНВЕРСИИ
Простейший элемент симметрии представляет собой точка
внутри фигуры — центр инверсии (центр инверсии обозначается буквой
С) *. Читатель уже знаком с этим понятием из элементарной
геометрии. Вспомним точку, лежащую на пересечении диагоналей
параллелограмма (С на рис. 37). Такая точка характеризуется тем,
что любая проведенная через нее прямая на равных расстояниях
по обе стороны от нее встречает соответственные точки контура
параллелограмма (например, М и Мг). В учебниках геометрии эта
особая точка называется центром симметрии.
Подобную же точку можно представить себе и для
пространственных фигур. Мы будем называть ее центром инверсии или
центром обратного равенства **.
* В международной кристаллографической символике (К. Герман — Ш. Мо-
гэн) центр инверсии обозначается 1 (объяснение см. на стр. 80).
* По Е. С. Федорову, центром симметрии в кристаллографии называется
точка, лежащая на пересечении нескольких осей или плоскостей симметрии. Однако
следует иметь в виду, что в некоторых учебниках кристаллографии и
специальной литературе термин «центр инверсии» заменяется «центром симметрии».
52

Рис. 37. Точка пересече- Рис. 38. Центр инвер-
ния* диагоналей паралле- сии параллелепипеда
лограмма—центр инвер-
Следовательно, центром инверсии называется особая точка
внутри фигуры, характеризующаяся тем, что любая проведенная через
нее прямая по обе стороны от нее и на равных расстояниях
встречает одинаковые (соответственные) точки фигуры.
Так, если по одну сторону от С находится вершина
многогранника, то по другую сторону на том же расстоянии от С должна
находиться точно такая же, парная ей вершина. То же относится к
различным точкам на ребрах и гранях.
Центр инверсии представляет как бы зеркальную точку. В
самом деле, для получения с помощью С из Л (рис. 38)
соответственной ей точки А\ следует соединить Л с С и продолжить затем
отрезок АС по другую сторону от С на расстояние AiC=AC. Найденная
точка Ах может рассматриваться как зеркальное отражение Л,
полученное посредством С.
Из вышеизложенного вытекает следующее практически важное
правило: при наличии центра инверсии каждой грани отвечает
другая грань, равная и параллельная (обратно параллельная) первой.
Обратная параллельность иллюстрируется рисунком 39.
Треугольники ABD и AxBiDx связаны центром инверсии С.
Плоскости ABD и А\Вф\ взаимно параллельны. Вместе с тем все
стороны одного треугольника по сравнению с соответственными
сторонами другого направлены обратно.
I рани, обладающие сами по себе центром инверсии (например,
квадрат, прямоугольник), образуют при наличии общего С пары,
для которых понятия обратной и прямой параллельности сливают-
жив \шоИТЬСЯ В паРаллельности ДВУХ граней очень просто. Поло-
втппш гп°ГРаННИК На стол испытУемой гранью, обнаружим наверху
nZIml Ь' параллельную плоскости стола. Такой проверке не-
олноГгпя^ВбРГН^ТЬ КаЖдУю паРУ гРаней. Если хот* бы для
SSJS « НаИД6М такую же параллельную (обратно парал-
7мс4П R Р УЮ ГраНЬ~ центР инверсии (С) отсутствует
if"u *ij. n заключение заметим, что в конечных фигурах центр
53

Рис. 39. Обратная
параллельность
двух
треугольников, связанных
центром инверсии
Рис. 40. Два
параллелограмма,
связанные центром
инверсии,
одновременно прямо и
обратно параллельны
Рис. 41. Многогранник:
а — без центра инверсии (грань q не имеет
соответственной параллельной и равной грани): б—с
центром инверсии (все грани попарно параллельны н
равны)
Рис. 42. Кристалл медного
купороса (С есть)
инверсии, всегда совпадающий с центром тяжести, встречается
лишь в единственном числе.
На рисунке 42 изображен кристалл медного купороса
(Cu[S04]-5H20), обладающий центром инверсии. Модели в форме
куба или кирпичика (спичечной коробки) представляют собой
простейшие примеры многогранников с центром инверсии.
В пирамиде (рис. 43) С отсутствует.
§ 4. ПЛОСКОСТИ СИММЕТРИИ
Переходим к рассмотрению других элементов симметрии.
Плоскостью симметрии (Р) называется такая плоскость,
которая делит фигуру на две зеркально-равные части, расположенные
относительно друг друга как предмет и его зеркальное отражение *.
Для отражения некоторой фигуры ABD... в плоскости Р
(рис. 44) из каждой точки ее (Л, В, D...) опускаем перпендикуляры
Л/, Вт, Dn... на плоскость отражения и продолжаем их по другую
* В международной кристаллографической символике плоскость симметрии
(Р) обозначается буквой т.
54

Рис. 43.
Шестигранная
(гексагональная)
пирамида (С нет)
стооону плоскости на равные расстояния (1А{ =
=А1 тВх = Вт, nDx = Dn...). Легко убедиться,
что 'полученная фигура АхВхр,... равна
(зеркально равна) ABD... (АВ=АхВи ВО=ВгОх...).
При нахождении плоскостей симметрии мыс-
пенно рассекаем заданный многогранник
плоскостью, проходящей через его центр. Если
представить себе такую плоскость в виде
двустороннего зеркала то отраженная в нем левая часты-
всеми своими точками совместится с 'правой.
Обратно, при отражении правой части,
последняя совмещается с левой частью фигуры. В
результате подобной операции многогранник, как
говорят, совместится сам с собой.
Ясно, что фигура, обладающая плоскостью симметрии, т. е.
состоящая из равных (зеркально-равных) частей, является
симметричной.
Возьмем равнобедренный треугольник ABC (рис. 45). Вдоль
биссектрисы BD перпендикулярно плоскости рисунка проходит Р.
Отражаясь в ней, AADB займет положение ACDB и, наоборот,
ACDB после отражения окажется на месте AADB.
В прямоугольнике через его центр, параллельно сторонам и
нормально плоскости чертежа, можно провести уже две плоскости
симметрии Р и Р\ (рис. 46, а). Вдоль диагоналей прямоугольника
плоскостей симметрии провести нельзя, так как каждая из них
рассекает его на два треугольника, хотя и равных, но не обладающих
зеркальным равенством (рис. 46, б). Если отразить AAED в
плоскости AD, получим &AEXD, не совпадающий с AABD. Значит, AD
не является плоскостью симметрии.
В шестигранной пирамиде с основанием в виде правильного
шестиугольника (см. рис. 43) имеется шесть плоскостей симметрии,
проходящих вдоль ребер пирамиды и вдоль биссектрис треугольных
-ДД
Рис. 44. Отражение точек Л,
В, D ... в плоскости Р
Рис. 45. BD — след
плоскости симметрии
в равнобедренном
ЛАВС
55

/\
pr—
I
-
J p
8
D
Q б
Рис* 46. P и Pi (а) следы плоскостей
симметрии прямоугольника ABDC;
AD и" BE (б) не отвечают следам
плоскостей симметрии той же фигуры
граней (всего 6Р). Модель в
форме кирпичика или
спичечной коробки (рис. 47)
обладает тремя взаимно
перпендикулярными плоскостями симмет-
Z7TL
22
Рис. 47.
Прямоугольный
параллелепипед
обладает тремя
плоскостями
симметрии
рии, параллельными ее граням и пересекающимися в центре
тяжести фигуры (всего ЗР).
Приведем несколько практических указаний:
1. Плоскости симметрии проходят через середины граней и
ребер перпендикулярно им, или же идут вдоль ребер, образуя равные
углы с одинаковыми гранями и ребрами.
2. При подсчете количества плоскостей симметрии в
исследуемой фигуре нужно держать ее в одном положении, для того чтобы
одну и ту же плоскость не сосчитать несколько раз. Таким способом
легко найдем, например, на кубе (рис. 48) четыре вертикальные
плоскости симметрии, одну горизонтальную и четыре наклонные
(всего 9Р).
§ 5. ОСИ СИММЕТРИИ
Осью симметрии называется прямая линия, вокруг которой
несколько раз повторяются равные части фигуры.
\/\
о 6
Рис. 48. Куб обладает девятью плоскостями симметрии:
а — четырьмя вертикальными; б — одной горизонтальной; в — четырьмя наклон-
56

При этом части эти
расположены так, что путем поворота вокруг
оси на некоторый определенный
угоч фигура занимает в
пространстве то же положение, которое она
занимала и до поворота, только на
место одних ее частей становятся
другие, равные им части. При этом,
как говорят, фигура совмещается
сама с собой.
Чтобы охарактеризовать ту ИЛИ Рис. 49. Элементарный угол
,т Л^Ллшдп тТгтрН„тк Rp поворота оси симметрии содер-
иную ось, необходимо выяснить ве- жии* целое число раз в зб0о
личину наименьшего угла
поворота, приводящего фигуру в
самосовмещение. Такой угол носит название элементарного угла поворота
оси (а).
Теорема. Элементарный угол поворота любой оси симметрии
содержится целое число раз в 360°.
Пусть задана ось с элементарным углом поворота а. Плоскость
чертежа перпендикулярна ей. Точка О изображает выход оси
(рис.49).
Берем в плоскости рисунка какую-нибудь точку А\ фигуры,
содержащей заданную ось. Путем поворота вокруг оси на угол а
фигура должна совместиться сама с собой. Тогда точка А\ займет
положение соответственной ей точки А2.
Повторив эту операцию, приведем А{ на место А$ и т. д. Будем
продолжать такие повороты до тех пор, пока точка А\ не
приблизится к своему первоначальному положению, заняв место Ап.
Здесь возможны три случая:
/LAnOAi=a9
/LAnOAi > a, Z-AnOAi < а.
В первом случае условия теоремы удовлетворены. Во втором
ZЛnOЛ1>a, и потому поворот угла а следует повторить еще раз,
а затем уже рассматривать остаточный угол. Таким образом,
второй случай сводится к первому или третьему. В третьем случае
/-АпОАх<а. " J
После поворота на ZAnOA{ точка А{ должна вернуться в
исходное положение, так как при повороте вокруг любой оси на 360°
фигура совмещается сама с собой.
игп?ли эт° *еРн,°> то элементарным углом следует считать уже не
угол a, a Z-AnUAu ибо последний меньше а и вместе с тем дает
совмещение фигуры.
питан* "LtxffИЮ> элементаРным углом поворота данной
симметричной фигуры является а. Следовательно, предполагая, что
^-finUAi<a, мы пришли к абсурду.
57

Итак, угол а заключается целое число раз в 360°:
360°
<* = - ,
п
где п—целое число, называющееся порядком (наименованием)
оси.
Порядок оси симметрии отвечает числу, показывающему, сколь-
ко раз элементарный угол поворота содержится в 360°.
Одновременно порядок оси дает число совмещений фигуры самой с собой
при полном повороте вокруг данной оси.
Для геометрических фигур возможны любые оси целых
наименований, начиная от оси первого и кончая осью бесконечного
порядка.
В первом случае (п=1) элементарный угол поворота 360°.
Каждое тело, повернутое вокруг любого направления на 360°,
совмещается само с собой, следовательно, всякая фигура обладает
бесконечным количеством осей первого порядка. Такие оси не
характерны и обычно не упоминаются.
Ось бесконечного порядка (п = оо) отвечает бесконечно малому
элементарному углу поворота. Во всех фигурах вращения (цилиндр,
конус, эллипсоид вращения и др.) она присутствует в виде оси
вращения. Шар имеет бесконечное количество осей бесконечного
порядка, совпадающих с его диаметрами.
Помимо упомянутых, возможны оси второго, третьего,
четвертого, пятого, шестого и т. д. до бесконечности порядков.
Каждой такой оси соответствует свой элементарный угол
поворота. Например:
п= 1
га = 2
п = 3
п = 4
п = Ъ
п = 6
а = 360°,
а = 180°,
а = 120°,
а = 90°,
а = 72°,
а = 60° и т. д.
Примером двойной оси является перпендикуляр к плоскости
чертежа, проходящий через середину ромба.
Примерами осей третьего, четвертого, пятого, шестого и т. д.
порядков являются перпендикуляры к плоскости рисунка,
проходящие через центры правильных многоугольников — треугольников,
квадратов, пятиугольников, шестиугольников и т. п.
Таким образом, в геометрии существует бесконечный ряд осей
различных целых наименований.
Значительно проще обстоит дело с кристаллами. Оказывается,
в решетчатых системах, а следовательно, и в кристаллах,
невозможны оси пятого порядка и оси порядка выше шести.
Докажем это положение для пятерной оси.
58

Предположим, что пятерная ось
я кристаллах возможна.
Пусть она 'проходит перпендику-
пяпно чертежу. Точка О
изображает выход оси (рис. 50). В частном
случае О может совпадать с одним
из узлов решетки.
Возьмем ближайший, но не
совпадающий с пятерной осью узел Ль
лежащий в плоскости рисунка. Так
как вокруг шятерной оси все
повторяется пять раз, то вокруг нее рас- ——-
положится всего пять ближайших Рис. 50. Пятерная ось в кри-
узлов, симметричных узлу ль
сталлах невозможна
Эти пять узлов Ль Л2, Л3, Л4, Л5
находятся на одинаковых
расстояниях от О. Все они получаются из узла А\ путем вращения его
вокруг О на угол 72°.
Пять упомянутых узлов, лежащих в одной плоскости, должны
образовывать плоскую сетку.
Как указывалось (рис. 5), такая сетка представляет собой
совокупность узлов, расположенных в вершинах параллелограммов,
параллельно ориентированных, смежных по целым сторонам и
нацело покрывающих плоскость чертежа.
Строим один из этих параллелограммов.
Узлы А{ и Л2 принадлежат ряду сетки с промежутком АХА2.
Примем отрезок Л1Л2 за сторону параллелограмма.
Через узел Л3 должен проходить ряд, параллельный Л1Л2 с
промежутком, равным А\А2 (через узел решетки всегда можно
провести ряд, параллельный любому ряду данной решетки).
Из чертежа видно, что к этому же ряду принадлежит и узел Л5.
Однако отрезок АгА5 больше промежутка АХА2.
Для построения второй стороны параллелограмма,
параллельной Л H2, приходится поместить на «прямой А3А5 еще некоторый
дополнительный узел AXl образующий отрезок АхАг=АгА2.
Узел Ах лежит внутри пунктирного круга и тем самым
расположен ближе к оси О, чем взятый нами узел А\. Однако, согласно
заданию, узел Ах — ближайший относительно О, следовательно,
предположение о существовании пятерной оси в данном случае
является неверным.
Пятерная ось несовместима с расположением узлов в
решетчатых системах и поэтому невозможна в кристаллах.
Подобным же путем доказывается невозможность
существования в кристаллических телах осей седьмого, восьмого и выше
порядков.
Совершенно к иному результату придем относительно осей
второго, третьего, четвертого и шестого наименований.
Эти оси возможны в пространственных решетках, а потому
находятся в кристаллах.
59

Ay \
Аь<гь." ^^A A
Рис. 51. Тройная (а) и шестерная (б) оси в кристаллах
возможны
Докажем, например, факт существования в решетчатых
системах тройной оси симметрии.
Предположим, что такая ось возможна. Точка О изображает
выход ее в перпендикулярной к ней плоскости (рис. 51, а).
Так же, как и в предыдущем доказательстве, берем ближайший
к оси, но не совпадающий с ней узел Ль Пользуясь тройной осью,
выводим три симметричных узла Ль А% и Л3, расположенных на
равных расстояниях от точки О (поворотом вокруг оси О на 120°
получим из А\ узел Лг и затем Л3). Все три узла входят в состав
плоской сетки, совпадающей с плоскостью чертежа. Построив
параллелограмм такой сетки, находим узел Ах, который лежит уже вне
круга ЛИ2Л3 и тем самым не противоречит заданию.
Тройная ось в кристаллах возможна.
В случае шестерной оси (рис. 51, б), повторяя тот же ход
рассуждения, получим при построении параллелограммов плоской
сетки узел Лх, совмещенный с самой шестерной осью (AiA2=AzAx)%
что также не противоречит условию (как упоминалось, в частном
случае точка О может совпадать с одним из узлов решетки).
В дополнение к вышеизложенному приведем общее
доказательство положения, согласно которому в кристаллах могут находиться
лишь оси симметрии первого, второго, третьего, четвертого и
шестого порядков; оси пятого порядка и порядка выше шести в
кристаллических телах невозможны.
На рисунке 52 изображен ряд кристаллической решетки с
узлами (соответственными точками) —2, —/, 0, 1, 2,... Промежутки
между узлами равны а. Пусть с узлом О совпадает ось симметрии
порядка п, перпендикулярная плоскости чертежа. Надлежит
выяснить: каким целым числам может соответствовать п. (Точки
изображенного ряда —2, —7, 0t /, 2 идентичны друг другу и,
следовательно, со всеми этими точками должны совпадать, так же как и с
точкой О, оси порядка п, перпендикулярные плоскости чертежа и,
значит, параллельные друг другу. Для дальнейшего доказательства
нам понадобится только ось в точке О).
60

-о
Рис. 52. К доказательству о возможных в кристаллах
осях симметрии
Повернем изображенный ряд вокруг оси, совпадающей с точкой
360°
О, на угол —11 а = сперва по часовой стрелке, а затем и
против нее. В результате первого поворота из узла —1 будет
выведен симметрично равный ему узел —/', а после второго поворота из
узла 1 возникнет соответственный узел 1\ Выведенные новые узлы
—1' и V принадлежат новому ряду —1'—1\ параллельному и во
всем аналогичному исходному ряду. Отсюда следует, что расстояние
между —Г и Г должно обязательно содержать целое число (N)
промежутков а.
Из треугольника — ГО Г находим:
Отрезок—1'Г равен: Na=2acosa.
о N
Отсюда cos а = —.
2
Последнее уравнение имеет только пять решений:
1) а = 0°, 2) а= 180°, 3) а = 120°,
4) а = 90°, 5) а = 60°.
п^ПбрВЫЙ слУ?ай соответствует оси первого -порядка ("=!), вто-
вРпт^^0Р0и°ч (П==2)' тРе™й-третьего (п=3),
четвертый-четвертого (гс=4) и пятый - шестого (п=6).
тпр5,а/' в кРисталлах возможны оси симметрии первого, второго,
третьего, четвертого и шестого порядков.
вин?оавЛых)б^ей 7аГееНим^Т° " СРеДИ CJI°™ (™БеР<™ых *
вого, второго третьи ^ МеСТ° В кРисталлах только оси пеР'
разо'м, сфор^2^^™Р™го И ШеСТОГО Порадков' Так™ об'
металлографе положение является важнейшим
^ч^ческим законом — законом симметрии.
(^ZlZTZlsuiL?^0 УпотРеблять букву L. Порядок
ние; указывается маленькой цифрой, расположенной
61

Рис. 53. Оси симметрии куба:
а — 3L4; б — 4L3; в — 6L2
справа от буквы. Оси симметрии кристаллов обозначаются
следующим образом:*
L2 — ось второго порядка, двойная ось;
jL3 — » третьего порядка, тройная ось;
L4 — » четвертого порядка, четверная ось;
Le — » шестого порядка, шестерная ось.
Ось первого порядка не характерна и Поэтому здесь не
упоминается.
Так же, как и для плоскостей симметрии, коэффициент, стоящий
перед буквой, показывает число осей данного порядка в кристалле.
Пример. L33L2 —одна ось третьего и три оси второго
порядков.
Возьмем приведенную выше пирамиду (см. рис. 43). Вокруг ее
вершины грани и ребра повторяются шесть раз. Очевидно, здесь
расположен выход шестерной оси симметрии. Другой ее выход
находим в центре шестиугольного основания пирамиды. Проверяем
наличие данной оси, вращая многогранник вокруг прямой,
соединяющей оба ее выхода. При повороте на 60° фигура совмещается
сама с собой. Полный поворот на 360° даст шесть самосовмещений,
следовательно, здесь мы имеем одну шестерную ось (L6).
Приняв во внимание найденные ранее шесть плоскостей
(стр. 55), получим всего L66P.
Модель в виде кирпичика или спичечной коробки (см. рис. 47)
обладает тремя двойными осями, проходящими через ее центр
параллельно ребрам (3L2). Рекомендуется обратить внимание на
чередование широких и узких граней, благодаря чему диагонально
через середины ребер двойные оси не проходят.
Выше указывалось (стр. 54, 56), что эта же фигура содержит С и
ЗР. Всего, следовательно, .имеем: 3L23PC.
Рассмотрим куб. Перпендикулярно каждой паре взаимно
параллельных граней через центры их проходит четверная ось.
В кубе три пары граней, следовательно, получаем 3L4,
(рис. 53, а). Грани по три пересекаются в восьми вершинах. Через
* В международной кристаллографической символике оси симметрии
обозначаются цифрами, соответствующими их порядку: L2 — 2, L3 — 3, L4 — 4, L6 — 6.
62

каждую пару вершин проходит тройная ось, совпадающая с
телесной диагональю куба. Отсюда имеем для куба 4L3 (рис. 53, б).
Наконец, куб ограничен двенадцатью ребрами. Через каждую
пару ребер параллельно диагоналям граней проходит двойная ось.
В результате находим 6L2 (рис. 53, в).
Следовательно, полная совокупность осей симметрии куба
такова: 3L44L36£2. Присоединив сюда ранее найденные С я 9Р
(стр. 54, 56), получим для куба: ЗЬ44Ь36Ь29РС.
Как видим, выходы осей симметрии приурочены к тем точкам,
вокруг которых равные части фигур повторяются несколько раз
(для L3 —три раза, для L4 —четыре и т. д.). Такие точки
расположены либо в центрах граней, либо в вершинах. В серединах ребер
возможны выходы двойных осей.
§ 6. ИНВЕРСИОННЫЕ ОСИ
В заключение остановимся на сложных, так называемых
инверсионных осях симметрии Lf.
Инверсионной осью называется такая прямая линия, при
повороте вокруг которой на некоторый определенный угол с
последующим (или предварительным) отражением в центральной точке
фигуры, как в центре инверсии, фигура совмещается сама с собой.
Подобный элемент симметрии представляет как бы
совокупность простой оси симметрии и центра инверсии, действующих не
порознь, а совместно. Участвуя лишь в качестве составной части
инверсионной оси, центр инверсии может не проявляться в виде
самостоятельного элемента симметрии. На всех моделях, где
практически приходится определять инверсионные оси, отдельного
центра инверсии нет.
Разберем пример инверсионной оси в модели, изображенной на
рисунке 54, а.
w.
I
i
L
О
Рис. 54. Многогранники со
осями симметрии-
я-с шестерной инверсионной осыо, б-с чет-
верной инверсионной осью
Рис. 55.
сионная
Двойная инвер-
ось равнозначна
плоскости симметрии
63

Прямая LL отвечает тройной оси L3, одновременно являющейся
и шестерной инверсионной осью симметрии Lie. Действительно,
после поворота вокруг оси на 60° всех частей многогранника и
последующего отражения их в центральной точке фигура совмещается
сама с собой.
Так, например, поворот ребра АВ вокруг LL на 60° приводит его
в положение А\В\, отражение же через центр совмещает А\В\ с
ребром НЕ. Всего таких совмещений при повороте на 360° будет
шесть. Следовательно, LL представляет собой шестерную
инверсионную ось 1/6.
Другой-пример инверсионной оси иллюстрируется рисунком 54, б.
Многогранник (тетрагональный тетраэдр) состоит из четырех
совершенно одинаковых равнобедренных треугольников. Прямая
LL соответствует обычной двойной оси L2. При повороте вокруг
нее на 180° многогранник совмещается сам с собой, причем грань
ABD переходит на место БАЕ. Вместе с тем LL одновременно
является инверсионной осью четвертого порядка L/4. Действительно,
мысленно повернув вокруг LL грань ABD на 90°, мы переводим ее
в положение A\B{D\. Далее, отразив AiB{Di в центральной точке
фигуры, совмещаем A\B\DX с положением DEB (при этом точка Аг
совместится сД В\ — с Е и D\ — с В). Проделав ту же операцию
со всеми частями тетраэдра, увидим, что он совмещается сам с
собой.
В процессе полного поворота на 360° получим четыре таких
самосовмещения.
Следовательно, LL представляет собой четверную инверсионную
ось L/4 *.
Для кристаллов доказана возможность существования
инверсионных осей следующих наименований: Z./lf L/2, Li9 Li4, Li6.
Между порядками инверсионных осей, встречающихся в
кристаллах, и порядками рассмотренных выше простых осей
симметрии наблюдается, как отмечалось, полное соответствие.
На практике приходится иметь дело лишь с двумя последними
инверсионными осями. Все остальные отвечают уже известным нам
элементам симметрии. Так, Lix =C (поворот на 360° оставляет
фигуру на месте). Li2=P.
При повороте на 180° вокруг LL (рис. 55) точка А переходит в
А\. После инверсии в О—А\ занимает место А2. Но А2 может быть
непосредственно получена из А путем отражения А в плоскости Р,
перпендикулярной к LL (из равенства соответствующих
треугольников легко доказать, что АА2±Р и Ап=пА2). Значит, Liz, можно
заменить плоскостью симметрии Р **.
* В международной кристаллографической символике инверсионные оси
обозначаются цифрами, соответствующими их порядку, с черточкой наверху: i( = C)t
2( = m),3, 47'бГ
** При строгих доказательствах вместо отдельных точек рекомендуется брать
асимметричные фигуры. Замечание это может быть распространено на ряд
дальнейших теорем и иллюстраций.
64

я е не представляет собой самостоятельного элемента
мисоответствуя совокупности центра инверсии С и трой-
симметри , ^^ ^ ^ где ПрИСуТСТВуют совместно С и 4L3, каж-
Н0Й ^иртыоех'тройных осей одновременно является тройной ин-
ДаЯ ионной осью 4Lia. Наличие L/,, всегда совпадающей с простои
верою 0бычно не указывается.
ТРТтак, остаются только Ьц и I,.. Эти оси разобраны нами на
ттглнпрттенных выше примерах.
Р ЧеТверная инверсионная ось 1ивто же время всегда является
„ „ппстой двойной осью симметрииЦ^Ц. В многогранниках,
обладающих LU , центр инверсии (С) отсутствует. Вместе с тем,
отнюдь не любая двойная ось при отсутствии С отвечает Lu {Lu
ясегла совпадает с L2, но далеко не всякая L2 является Li4).
Среди рассмотренных элементов симметрии Lu находится с
наибольшим трудом. „ v
Шестерная инверсионная ось Lie всегда равна тройной оси и
плоскости симметрии, перпендикулярной к ней:
Lu=Lsfl*.
Центра инверсии в таких многогранниках также нет.
Резюмируя сказанное выше, приведем табличку для
инверсионных осей:
4TUeC
Ч (2)-Р
LU (3)=LaC
^/4 (4)^:^2—инверсионная ось четвертого порядка,четверная инверсионная
_ ось;
£/е (б)=^з/7 — инверсионная ось шестого порядка, шестерная инверсионная
ось **.
* Буквой^ П нередко обозначается плоскость симметрии, перпендикулярная
к единственной в фигуре оси данного порядка (такая ось совпадает с так
называемым единичным направлением, см. § 9).
** Иногда в курсах кристаллографии вместо инверсионных применяются
зеркально-поворотные оси (обозначение Л). Зеркально-поворотной осью называется
прямая линия, при повороте вокруг которой на некоторый определенный угол
с последующим (или предварительным) отражением в перпендикулярной к ней
c*<o?0,■CTИ, проходящей чеРез центР Ф^Уры, эта последняя совмещается сама
™ъ1ъъ1к^Ш?т симметРии является как бы совокупностью оси и перпендику-
Р й« J^ плоскости симметрии, действующих не порознь, а совместно:
кяп^ппп^^^Д^НЬ1Х Равенсте видно, что все возможные в кристаллах зер-
1^Р^К=^?Л™ Г"- J}0™?0™*™ УЖе известньш нам цементам симметрии:
Итак.Ь^Л^^Р^ Lir ис=Лб. lu^;L в^П«Л,
«л\^^^ УДОбНее "коваться инверсионными,
а не зеркально-поворотными осями
3—3681
65

§ 7. ПОНЯТИЕ О ВЫВОДЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ
До сих пор были разобраны следующие элементы симметрии:
С(У) —центр инверсии,
Р(т) — плоскость симметрии,
^2(2) —двойная поворотная ось симметрии,
^з(З)—тройная » » »
Li(4) —четверная » » »
^6 (6)—шестерная » » »
Ll j(4) — четверная инверсионная ось симметрии,
1*1 (6) —шестерная » » »
Возникает вопрос, нет ли в кристаллах каких-либо других
элементов симметрии, помимо перечисленных?
В учении о симметрии все элементы выводятся строго
математически . Таким путем доказывается, что, кроме центра инверсии,
плоскостей и осей симметрии, присутствующих в кристаллических
многогранниках, в кристаллографии возможны еще особые
плоскости и оси, относящиеся исключительно к бесконечным структурам.
Не имея возможности дать здесь систематический вывод,
вкратце коснемся лишь основной теоремы и некоторых важнейших ее
следствий *.
Теорема. Две равные части любой фигуры всегда можно
взаимно совместить посредством отражений; максимальное количество
необходимых для этого отражений равно четырем; в частных
случаях совмещение наступает при отражении в одной, либо в двух,
либо в трех зеркальных плоскостях ^доказательство опускается) **.
Перебирая указанные случаи, выводим все возможные
элементы симметрии:
1. Отражение в одной плоскости приводит к плоскости
симметрии Р.
2. Отражение в двух пересекающихся плоскостях равносильно
действию оси L, лежащей на пересечении обеих плоскостей и
имеющей угол поворота вдвое больший, чем угол между плоскостями
(стр. 69).
Задавая различные углы между плоскостями, получим оси
любых порядков (для кристаллов: L2, L3, L4, Le).
3. Отражение в двух параллельных плоскостях соответствует
поступанию (переносу, трансляции) фигуры параллельно самой
себе. При этом величина переноса вдвое превышает расстояние
между плоскостями. Такая операция невозможна в конечных фигурах.
Пусть задан отрезок AD с точками А, В, С, D, где AB~BC=CD
(рис. 56).
* Подробное изложение вывода читатель найдет в книге В. В. Д о л и в о -
Добровольского «Курс кристаллографии». ОНТИ, 1937, стр. 103—180.
Идея вывода принадлежит Г. В. Вульфу и А. К- Болдыреву.
** Зеркальные плоскости, о которых идет речь, входят в состав элементов
симметрии и обычно не проявляются в виде самостоятельных плоскостей
симметрии.
66

При .переносе на величину АВ точка Л А В С D
пеоейдет на место В, В на место С и т. д. . — • ■
В результате весь отрезок AD сдвинется
чяймет в пространстве новое положе- Рис. 56. Перенос как сим-
!U несовместимое с первым =еская операция
Совмещение наступит, если принять нечных фигурах
А В Q D за узлы бесконечного ряда с
промежутком, равным АВ. Тогда после
переноса на место А придет соответственный новый узел слева, в
то же время D перейдет на место такого же узла справа и т. дл
При этом весь ряд совместится сам с собой.
Итак, поступание (перенос) возможно в бесконечных фигурах,
а в том числе и в кристаллических структурах.
Элемент симметрии, соответствующий поступанию, называется
осью поступания (осью трансляции). Величина наименьшего
переноса вдоль оси поступания, приводящего фигуру к
самосовмещению, называется шагом поступания (периодом трансляции).
4. Отражение в трех плоскостях, пересекающихся в одной точке,
равносильно действию инверсионной оси Lt-.
В частных случаях три взаимно перпендикулярные плоскости
идентичны центру инверсии С, а две плоскости, перпендикулярные
к третьей, — зеркально-поворотной оси Л.
5. Отражение в трех плоскостях, не пересекающихся в одной
точке, равносильно отражению в одной плоскости с последующим
поступанием параллельно ей. Этот случай приводит к новому
элементу симметрии — плоскости скользящего отражения.
Плоскость скользящего отражения представляет собой
совокупность плоскости симметрии и параллельного ей поступания,
действующих не порознь, а совместно.
Полученный сложный элемент симметрии содержит перенос, а
потому невозможен в конечных фигурах.
Плоскости скользящего отражения присущи бесконечным
системам, в том числе и кристаллическим структурам.
Сказанное иллюстрируется рисунком 57. Систему точек Аи Л2,
А3... отразим сперва в «плоскости Q, а затем полученные отражения
А'и А'2, Л'3,... подвергнем поступанию / параллельно Q.
Система совместится сама с собой, так как А\ перейдет на место
^2, А% — на место Л3 и т. д. до бесконечности (в свою очередь
место А\ должна занять соответственная точка, не изображенная на
чертеже; последнюю замещает еще новая точка и т. д.).
6. Отражение в четырех плоскостях равносильно действию оси
с.параллельным поступанием. Здесь выводится еще новый элемент
симметрии— винтовая ось.
Винтовой осью называется совокупность оси симметрии и
параллельного ей поступания, действующих не порознь, а совместно
Точки фигуры при действии такой оси двигаются по винтовым линиям
сЭтот элемент симметрии также невозможен в конечных фигурах/
Он характерен для бесконечных систем, в том числе для решетча-
з*
67

Рис. 57. Плоскость скользя- Рис. 58. Четверная
щего отражения; t — компо- винтовая ось; t — ход
нент скольжения винтовой оси
Винтовые оси в кристаллах, аналогично простым и
инверсионным осям, могут быть только двойными, тройными, четверными и
шестерными (винтовая ось первого порядка соответствует
переносу). Рассмотрим в качестве примера винтовую ось четвертого
порядка (рис. 58).
Заданную точку А сперва вращаем вокруг оси Lt на 90°. При
этом она займет положение а. Далее подвергаем ее поступанию /
параллельно Lt. В результате А переходит на место А\. В свою
очередь, Л1 после поворота и поступания замещает А2, А2 займет
место Л3 и т. д. до бесконечности (при этом, если фигура
совмещается сама с собой, на место Л поступает снизу новая
соответственная точка, не изображенная на рисунке).
В итоге приходим к заключению, что в конечных кристаллических
фигурах (многогранниках) возможны лишь ранее изученные
элементы симметрии: центр инверсии С(/), плоскости симметрии Р(т),
оси простые — L2 (2), L3 (3), L4 (4), L6 и инверсионные — Lit (4) и
Li. (6).
В бесконечных кристаллических фигурах (структурах), помимо
перечисленных элементов симметрии, появляются еще оси
поступания (трансляции), плоскости скользящего отражения и винтовые
оси (см. гл. XI).
§ 8. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ
В кристаллических многогранниках, согласно вышесказанному,
возможны лишь следующие элементы симметрии: С, Р, L2, Lz, L4,
Le> £/4, Li*»
68

Как указывалось (стр. 62—63),
такие элементы встречаются не
только поодиночке, но и
совместно. Например, для модели в
форме кирпичика имеем 3L23PC
Существует ряд теорем, поз- As
воляющих строго математически
вывести все возможные
совокупности элементов симметрии.
Доказано, что два элемента
симметрии неминуемо влекут за
собой третий —
равнодействующий элемент, действие которого Рис 59. Линия пересечения двух пло-
„. .**„ ЛлЛлтЛ»/Л „onoWv скостей симметрии Pi и Р2 является
равно сумме действии первых осью £имметрии 0
двух.
Сложение элементов
симметрии играет огромную роль в кристаллографической теории и
практике, так как дает возможность находить полные совокупности
данных элементов. Поэтому приведем несколько сюда
относящихся важнейших теорем.
Теорема 1. Линия пересечения двух плоскостей симметрии
всегда является осью симметрии, действие которой равно сумме
действий обеих плоскостей; элементарный угол поворота оси вдвое
больше угла, образованного плоскостями.
Доказательство. Заданы две пересекающиеся плоскости
симметрии Pi и Р2, взаимно образующие угол а.
На рисунке 59 плоскость чертежа перпендикулярна Pi и Р2,
OPi и ОР2 отвечают следам обеих плоскостей.
Требуется доказать, что линия их пересечения является осью с
углом поворота, равным 2а. На рисунке выход такой оси должен
совпадать с точкой О. Ось перпендикулярна плоскости чертежа.
Докажем сперва, что точку Л2, получающуюся из точки А
путем отражения ее в плоскостях Pi и Р2, можно также вывести из той
же точки А посредством поворота вокруг направления О *.
Для этого достаточно показать, что ОА = ОА2.
Отражаем А в Рь т. е. опускаем из А перпендикуляр на Pi и
продолжаем его на равное расстояние по другую сторону Pi(Am =
— mA{). В результате получаем отраженную точку Ль
Прямоугольные треугольники АтО и АхтО равны (Ат=тАг по
построению; катет От — общий). Отсюда ОА^ОА^
Далее, отразив Л] в Р2, получаем вторую отраженную
ТОЧКУ ^2-
Аналогично предыдущему прямоугольные треугольники АхпО и
А2пО равны. Отсюда О А, = ОЛ2.
Следовательно, ОА = ОА1 = ОА2.
щих т!^?,МНИМ' чт0 для СТР°Г0Г0 доказательства как этой, так и ряда следую-
гуры. ВМесТ0 отДельных точек целесообразно брать асимметричные фи-

Итак, Л2 можно получить из А путем вращения последней
вокруг оси О на угол АОА2.
Остается доказать вторую часть теоремы, согласно которой
ZAOA2=2a
Z-AiOm + A.AiOn = a.
Вместе с тем
ZAxOm = ZAOm (из равенства треугольников А\тО и АтО)\
ZA}On=Z.A2On (из равенства треугольников А\пО и А2пО).
Отсюда ZAOm+ ZA20n=a.
В результате имеем
Z.AOA2 = Z-AOm + Z.AxOm + Z.AxOn + Z.A2On = 2a,
что и требовалось доказать.
Пример. Шестигранная пирамида с правильным
шестиугольным основанием (см. рис. 43) обладает шестью плоскостями
симметрии. Угол между двумя такими соседними плоскостями равен
30°, Согласно теореме 1, на пересечении их должна находиться ось
симметрии с углом поворота 60°. Действительно, данный
многогранник содержит шестерную ось, совпадающую с линией пересечения
плоскостей симметрии (элементарный угол поворота L6 равен 60°).
Предыдущую теорему можно сформулировать и в следующем
более общем виде:
Действие двух пересекающихся зеркальных плоскостей равно-
сильно действию одной поворотной оси, лежащей на линии
пересечения упомянутых плоскостей, причем угол поворота оси вдвое
больше угла, заключенного между плоскостями.
Тем самым, два отражения в двух (пересекающихся плоскостях
заменяются без изменения результатов одним поворотом вокруг
оси.
Существует также и следующая обратная теорема:
Действие одной поворотной оси равносильно действию двух
зеркальных плоскостей, пересекающихся вдоль упомянутой оси. При
этом первая зеркальная плоскость проводится вдоль оси
произвольно, а вторая плоскость должна образовывать (в направлении
поворота оси) с первой плоскостью угол, равный половине
элементарного угла поворотной оси.
Таким образом, один поворот вокруг оси заменяется без
изменения результатов двумя отражениями в двух плоскостях.
Теорема 2. При наличии двух пересекающихся осей симметрии
всегда следует искать третью равнодействующую ось, проходящую
через точку пересечения первых двух (теорема Эйлера).
Пусть даны две пересекающиеся оси симметрии О' и О". На
основании сказанного выше, каждую из этих осей можно заменить
парой зеркальных плоскостей I, II и III, IV:
лов. О' = отр. I + отр. II,
•пов. О" = отр. III + отр. IV,
70

или
лов. О' + пов. О" = отр. I + отр. II + отр. III + отр. IV
Условимся теперь, что плоскость I проходит через ось О", а
плоскость Ш — через ось О'.
Таким образом, плоскости I и III совпадают и, следовательно,
взаимно уничтожаются, поскольку два последовательных
отражения в них оставляют фигуру на месте.
В результате
•пов. О' +1Пов. О" = отр. II + отр. IV.
Однако, как известно, действие двух пересекающихся плоскостей
эквивалентно действию поворотной оси (и ):
шов. О' + пов. О" = пов. О'"
Эта найденная равнодействующая ось О"', очевидно, проходит
через точку пересечения заданных осей О' и О". Теорема доказана.
Предлагаем самому читателю на модели в форме спичечной
коробки заменой двух заданных двойных осей на соответствующие
плоскости вывести третью двойную ось; применением к одной и той
же произвольно выбранной точке модели сперва двух заданных
двойных осей, а затем одной третьей получающейся двойной оси
можно убедиться в том, что эта третья двойная ось действительно
является равнодействующей.
Теорема 3. а) При наличии центра инверсии С и четной оси L2n *
перпендикулярно последней проходит плоскость симметрии Р.
Доказательство. Всякая ось четного наименования L2n
одновременно является и двойной осью, так как ее элементарный угол
1ПЛО / 360° 180*
поворота содержится целое число раз в 180 ( —— = • где
\ 2п п
п — целое число).
На этом основании любая точка А (рис. 60) при повороте на
180° вокруг данной оси L2n займет положение Ai(Am=mA\).
Отразившись в С, точка А\ придет на место А2. Но точку Л2 можно
вывести из А путем ее непосредственного отражения в плоскости Р,
проведенной перпендикулярно к L2n. Для этого надо доказать, что
АА2±Р (ZAnC=ZA2nC=90°) и что Ап=пА2. ZACm = ZAxCm, так
как треугольники АпгС и АхтС равны (они прямоугольны; Ат=
= mAl; Cm —общий катет). Но ZA2CL2n = ZAxCm= ZACm.
Следовательно, ZACn= ZA2Cn как дополнительные. Кроме то-
г°' в треугольниках АпС и А2пС сторона АС^А2С (АС=АХС и
A2(S=AiC по построению). Сп является общей стороной. Итак
треугольники АпС и А2пС равны. Отсюда же следует, что ZAnC =
- ZA2nL = 90 и An=nA2i что и требовалось доказать.
ДОва^^Г^^иТ^иТ05 ' КР™°ГРаФии "^ — *> ™ 3; еле-
71

Рис. 60. При наличии С
и L2n перпендикулярно
последней проходит плоскость
симметрии Р
Пример. Модель в форме
кирпичика или спичечной коробки (см. рис.
47) обладает одновременно и центром
инверсии и двойными осями. Легко
убедиться в том, Что каждой из осей
3L2 соответствует перпендикулярная к
ней и проходящая через центр фигуры
плоскость симметрии. Двойной оси,
перпендикулярной к какой-либо паре
граней модели, отвечает плоскость
симметрии, параллельная этим же
двум граням.
Аналогично доказываются
следующие положения.
б) При наличии центра инверсии
С и проходящей через него плоскости
симметрии Р перпендикулярно послед-
ней находится четная ось
симметрии L2n.
Это положение иллюстрируется предыдущим примером. В
модели, имеющей форму кирпичика, каждой плоскости симметрии
соответствует перпендикулярная к ней четная (двойная) ось симметрии.
Плоскости и оси симметрии пересекаются в центре инверсии.
в) При наличии четной оси L2n и перпендикулярной к ней
плоскости симметрии Р всегда присутствует центр инверсии С (см. тот
же пример).
Практически особенно важное значение для нахождения
элементов симметрии имеет следствие из предыдущих положений.
Следствие. При наличии центра инверсии сумма четных осей
равна сумме плоскостей симметрии, причем каждая четная ось
перпендикулярна плоскости симметрии.
В качестве иллюстраций напомним разобранные выше модели,
обладающие центром инверсии.
В многограннике, имеющем форму кирпичика или спичечной
коробки, трем двойным осям соответствуют три перпендикулярные к
ним плоскости симметрии (3L23PC).
В модели куба находим 3L44LS6L29PC.
Сумма четных осей (3+6) здесь равна 9, в соответствии с чем
имеем и девять плоскостей симметрии.
В заключение сформулируем еще две теоремы без их
доказательства.
Теорема 4. (Следствие из теоремы 2). В присутствии оси
симметрии порядка п (Ln) и перпендикулярной к ней двойной оси L2 имеем
всего п таких осей (п L2):
LnnLz(A-Ln*)~
* В случае куба и ряда других фигур с аналогичными осями симметрии две
из четырех двойных осей, перпендикулярных к каждой четверной оси,
приобретают повышенную симметрию, становясь осями четвертого порядка (каждая
четверная ось симметрии одновременно является двойной поворотной осью).
72

L
Рис. 61.
Двенадцатигранник
(гексагональная дипира-
мида) — L66L27PC
Рис. 62.
Ромбоэдр— L&L&PC
Пример. Двенадцатигранник, изображенный на рисунке 61,
соответствует как бы двум шестигранным пирамидам (см. рис. 43),
сложенным основаниями.
Прямая LL является здесь шестерной осью симметрии L6.
Перпендикулярно ей имеем двойную ось (рис. 61, /—/). Согласно
теореме 4, всего должно быть шесть таких осей. И действительно, в
плоскости, перпендикулярной к L6, легко находим 6L2 (рис. 61, L 2,
3,4,5,6).
Теорема 5. (Следствие из теоремы 1.) В присутствии оси
симметрии порядка n(Ln) и плоскости симметрии Р, проходящей вдоль
этой оси, имеем всего п таких плоскостей (пР):
LnnP(\\Ln).
Пример. В шестигранной пирамиде (см. рис. 43) вдоль
шестерной оси проходят шесть плоскостей симметрии: L66P(\\L6).
В заключение приведем обобщающий пример.
Разберем особый шестигранник, называющийся ромбоэдром
(рис. 62). Ромбоэдр представляет собой как бы куб, вытянутый или
сплющенный вдоль одной из его тройных осей (телесных
диагоналей).
Прежде всего находим на модели центр инверсии С.
Сравнительно легко йаходится также тройная ось LSy соединяющая одну
пару его вершин. Вдоль тройной оси обнаруживается плоскость
симметрии. Согласно теореме 5, таких плоскостей будет три (ЗР).
Остальные элементы симметрии выводятся из следствия к тео*
реме 3. Перпендикулярно каждой Р (при наличии С) должна
проходить четная ось. В результате находим 3L2. Эти три двойные оси
без применения теорем обычно обнаруживаются с трудом. Таким
путем находим полную совокупность элементов симметрии
ромбоэдра: ^зЗ/^ЗРС
73

Читателю рекомендуется, пользуясь теоретическими данными,
разобрать подобным же образом элементы симметрии модели куба
(3L44L36L29PC).
Сформулированные теоремы ограничивают число возможных
совокупностей элементов симметрии, приводя лишь к строго
определенным комбинациям. Применение теоретических положений
позволяет математически точно вывести все такие совокупности (виды
симметрии).
Попытаемся дать краткое понятие о принципах такого вывода,
предварительно введя для этого вспомогательное понятие о
единичных направлениях.
§ 9. ЕДИНИЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ
Единственное, не повторяющееся в кристалле направление
называется единичным. Например, в разобранной выше пирамиде (см.
рис. 43) с элементами симметрии L$P шестерная ось является
единичным направлением. Из каждой прямой, заданной косо к оси L6,
выводится шесть или даже двенадцать таких же прямых (косое
направление, лежащее в плоскости симметрии, повторяется шесть раз.
Направление, взятое вне плоскости симметрии, повторится двенад-
' цать раз).
Повторяющиеся в кристалле направления, связанные
элементами симметрии, называются симметрично-равными.
В кубе любое направление повторяется несколько раз.
Например, тройная ось встречается четырежды (4L3), четверная ось —
трижды (3L4) и т. д. Следовательно, в кубе нет единичных
направлений, а существуют лишь симметрично-равные.
Обратный случай находим в фигуре, не обладающей
элементами симметрии или содержащей только С. Здесь направления не
могут быть симметрично-равными. Каждое из них является
единственным, неповторяющимся, т. е. единичным.
Прцдоером многогранника с несколькими единичными
направлениями может служить параллелепипед в форме
£ кирпичика или спичечной коробки. Эта фигура
имеет три взаимно перпендикулярных единичных
направления, совпадающих с 3L2. Таким образом,
могут быть кристаллы с единичными
направлениями и без них. Возникает вопрос: как должно
ориентироваться единичное направление относительно
элементов симметрии для того, чтобы оно
действительно оставалось единичным?
1. Начнем с центра инверсии. Зададимся единич-
£- ным направлением ЕЕ\ (рис. 63). Центр инверсии С
1 может расположиться в середине отрезка ЕЕи не
Рис. 63. Распо- образуя симметрично-равных ему направлений.
ложение центра Действительно, отразившись в С, точка Е перейдет
инверсии отно- на место Еи а Е\ — на место Е. При этом отрезок
сительно еди- g£ совместится сам с собой, не образуя нового
ничного направ- ' г J
ления симметрично-равного направления.
с
74

-Ш
£,
»", и\
t и"
н w
»,
д
д
Рис. 64. Расположение плоскости
симметрии относительно единичного
направления
Рис. 65. Расположение осей
симметрии относительно
единичного направления
Следовательно, в присутствии единичных направлений возможен
центр инверсии, л'ежащий в середине фигуры.
2. Перейдем к плоскостям симметрии. Плоскость может
располагаться относительно данного направления либо косо, либо
перпендикулярно, лйВо вдоль него (параллельно ему).
Отражаясь в косо расположенной плоскости Q, заданное
направление ##i дает симметрично-равное направление Н'Н\
(рис. 64, а). Отсюда ясно, что плоскость симметрии не может
проходить косо относительно единичных направлений.
Во втором случае плоскость нормальна к заданному
направлению и проходит через середину соответственного отрезка ЕЕ\
(рис. 64, б). Тогда один конец отрезка Е, отразившись в Р,
совпадет с другим его концом Еи а последний, в свою очередь, перейдет
на место Е. При этом направление ЕЕ\ целиком совпадет само с
собой, не образуя нового направления.
Итак, плоскость симметрии может располагаться
перпендикулярно единичному направлению.
Остается последний случай, когда плоскость совмещена с
заданным направлением (рис. 64, в). При этом ЕЕ\ совпадает со своим
отражением в Р.
Расположение единичного направления в плоскости симметрии
возможно.
Следовательно, наличию единичных направлений не
препятствуют плоскости симметрии, перпендикулярные или параллельные им
(совпадающие с ними).
3. Далее переходим к осям симметрии.
Здесь также допускаются три случая. Ось может располагаться
относительно данного направления либо косо, либо
перпендикулярно, либо вдоль него (параллельно ему).
Вокруг оси порядка n(Ln) все повторяется п раз. Тем самым,
косо взятое направление (рис. 65, а — ННх) вокруг Ln (рис. 65, а —
Lz) повторится п раз (три раза).
75

Если имеется плоскость симметрии, проходящая через Lnj то
косое направление, не лежащее в плоскости, повторится 2п раз (шесть
раз).
Отсюда, единичное направление не может располагаться косо
относительно Ln.
То же касается и перпендикулярной ориентировки Ln по
отношению к заданному направлению.
Однако необходимо выделить частный случай, когда Ln—L2
(рис. 65, б). Так, при повороте на 180° вокруг L2 один конец
нормального ему отрезка Е совместится с другим концом того же
отрезка Еи а последний перейдет на место первого. В результате
направление ЕЕ\ целиком совместится само с собой.
Таким образом, двойная ось может располагаться
перпендикулярно относительно единичного направления.
. Наконец, остается случай, когда ось Ln совпадает с заданным
направлением (рис. 65, в).
Само собой разумеется, что направление, совмещенное с Ln, не
образует симметрично равных направлений относительно Ln. Тем
самым единичное направление может совпадать с осью симметрии.
Следовательно, наличию единичных направлений не препятствуй
. ют двойные оси, перпендикулярные к ним, или оси симметрии
любых наименований, совмещенные с ними.
С последнего, простейшего случая и начинается вывод
возможных совокупностей элементов симметрии — так называемых видов
симметрии.
§ 10. ТРИДЦАТЬ ДВА ВИДА СИММЕТРИИ
Видом симметрии кристаллического многогранника называется
полная совокупность его элементов симметрии.
В кристаллографии насчитывается 32 вида симметрии. Вкратце
познакомимся с их выводом.
Единичные направления в кристаллах могут либо
присутствовать, либо отсутствовать. Соответственно этому и вывод видов
симметрии делится на две части.
В первой рассматриваются виды симметрии для кристаллов с
единичными направлениями, во второй — для кристаллов без них.
А. Виды симметрии кристаллов, обладающих единичными
направлениями. Относящиеся сюда кристаллические многогранники
имеют по меньшей мере одно единичное направление ЕЕ\ (рис. 66).
Примем такое направление за исходное. Будем последовательно
присоединять к нему элементы симметрии так, чтобы оно
оставалось единичным.
При этом пользуемся положениями предыдущего параграфа:
1) совмещаем с единичным направлением ось симметрии Ln
(исходный вид);
2) прибавляем центр инверсии С;
3) присоединяем к исходному виду перпендикулярную плоскость
симметрии /7;
76

ff £
7
(UK,
a
6
6
д
Рис. 66. Расположение элементов симметрии
относительно единичного направления (к выводу 32 видов
симметрии)
4) прибавляем к исходному виду плоскость симметрии Р,
идущую вдоль единичного направления;
5) присоединяем к исходному виду ось L2, перпендикулярную к
оси Ln;
6) прибавляем возможные сочетания элементов симметрии.
В процессе вывода совокупностей элементов симметрии
необходимо принимать во внимание их равнодействующие (§ 8).
1. Единичное направление совпадает с единственной осью
симметрии Ln (рис. 66, а).
Отсюда непосредственно выводим пять видов симметрии,
соответствующих пяти возможным в кристаллографии осям
(инверсионные оси рассматриваются отдельно): L\, L2, Ц, L^ L6.
В первом случае (Li) элементы симметрии отсутствуют, т. е.
заданное единичное направление совпадает с одной из бесконечных
и как угодно расположенных осей первого порядка. Обозначение
L\ — условное.
Полученные виды симметрии, каждый из которых состоит
только из одной оси симметрии, носят название примитивных
(простейших) * (см. первый столбец слева в таблицах на стр. 81 и 87).
2. К исходному единичному направлению прибавляется центр
инверсии С (рис. 66, б).
Согласно вышеуказанному, единичное направление может
совпадать с той или иной осью симметрии. Поэтому, перебирая все
возможные случаи, получаем: LXC\ L2C; ЬгС\ LAC\ L6C.
Вспоминаем теорему 3 (стр. 71), согласно которой при наличии
четной оси и центра инверсии появляется плоскость симметрии,
нормальная оси (для большей наглядности вывода отмечаем ее
буквой /7. В дальнейшем будем обозначать эту же плоскость через Р)
Отсюда
L2C дает 12СП;
LAC » L4C77;
ЦС » ЦСП:
* В следующей главе (стр. 98) будут изложены основы другой
распространенной номенклатуры видов симметрии.
77

В результате получаем следующие комбинации элементов
симметрии: LXC = C\ Ь2СП\ LSC; ЦСП\ L6C77.
Найденные виды симметрии называются «центральными» (см.
второй столбец слева в таблицах на стр. 81 и 87).
Некоторое сомнение у читателя может вызвать вид симметрии
LZC, как состоящий лишь из двух элементов симметрии, что
противоречит указанию на стр. 69. Однако здесь в скрытом виде
присутствует тройная инверсионная ось, которая совпадает с L3 и
поэтому обычно не указывается (Ць =LSC).
3. Перпендикулярно исходному единичному направлению при-
соединяется плоскость симметрии П (рис. 66, в).
Рассматривать этот случай нет надобности, так как для четных
осей, согласно теореме 3, приходим к уже выведенным
центральным видам симметрии (Ь2П дает Ь2ПС\ Ь4П — LJIC\ Ь6П—
ЦЛС).
Для нечетных осей получаем комбинации, разобранные ниже
(Lln=P;Lsn=Ll6).
4. К исходному единичному направлению прибавляется
плоскость симметрии Р, идущая вдоль него (рис. 66, г).
Единичное направление может совпадать с одной из возможных
осей симметрии. Чтобы исчерпать все мыслимые случаи,
прибавляем к таким осям проходящие вдоль них плоскости симметрии.
Вспоминаем теорему 5 (стр. 73), согласно которой, при
наличии Ln и плоскости, лежащей вдоль нее, имеем всего п таких
плоскостей.
В результате получаем новую серию сочетаний элементов
симметрии: LXP=P- L22P; LS3P; L44P; L66P.
Пять новых видов симметрии называются планальными
(плоскостными (см. третий столбец слева в таблицах на стр. 81 и
87).
5. Перпендикулярно исходному единичному направлению при-
соединяется двойная ось L2 (рис. 66, д).
К возможным осям симметрии, совпадающим с единичным
направлением, прибавляем двойные оси. Согласно теореме 4 (стр. 72)
при наличии Ln и нормальной ей L2 имеем всего nL2(A_Ln).
В результате приходим к следующему ряду: LXL2 = L2\ L22L2=
~3L2\ L$L2\ L4AL2', Le6L2.
Пять новых видов симметрии носят название аксиальных
(осевых). (См. четвертый столбец слева в таблицах на стр. 81 и 87).
6. К исходному единичному направлению присоединяем
возможные сочетания элементов симметрии.
До сих пор к осям, совпадающим с единичным направлением,
элементы симметрии прибавлялись по одному.
Рассмотрим одновременное присоединение нескольких
элементов симметрии.
Пусть к единичному направлению прибавляются совместно и
центр инверсии С и плоскость симметрии Р9 идущая вдоль него.
Единичное направление по предыдущему совмещено с осями
^ь L2j £3, £4, ^6-
78

Присоединяем центр инверсии.
Перпендикулярно четным осям, согласно теореме 3 (стр. 71),
появляются плоскости симметрии Я.
Отсюда получаем пять совокупностей элементов симметрии,
тождественных центральным видам: LXC\ L2CU\ LZC\ L4CFJ; £6С77.
Далее прибавляем плоскость симметрии Р9 идущую вдоль
единичного направления.
Согласно теореме 5 (стр. 73), число таких плоскостей равно
наименованиям осей.
Наконец, учитываем, что при наличии С нормально каждой
плоскости симметрии появляется четная ось.
В результате получаем следующую серию видов симметрии:
LXCPL2 = L2PC\
12СП2Р212 = 3L23PC;
LSC3P3L2 = 1гЗЬ2ЗРС;
L4CI74P4L2 = LA4L2bPC\
16СП6Р612 = L£L27PC.
Исходя из других возможных комбинаций элементов
симметрии, например, прибавляя к единичному направлению нормальную
ему L2 и С или Р и L2 и т. д., приходим во всех вариантах к тем же
совокупностям элементов симметрии.
Полученные пять новых видов симметрии называются плана-
ксиальными (см. пятый столбец слева в таблицах на стр. 81
и 87).
7. Единичное направление совмещено с единственной
инверсионной осью Lin ж
До сих пор не рассматривались отдельно виды симметрии с
инверсионными осями. Здесь также можно выделить примитивную
серию:
Lit = C; Li2=P; Llz=L3C; Lu=*Ll\ Lu = Lsn.
Однако, просматривая данный ряд, находим лишь два вида
симметрии, не выведенных ранее:
Ii4 = Z2; ^i6==Lzn.
Полученные виды симметрии носят название
инверсионно-примитивных (см. шестой столбец слева в таблицах на стр. 81
и 87). *
8. К исходному единичному направлению, совпадающему с
инверсионной осью Liny присоединяем плоскость симметрии Р,
идущую вдоль него.
Прибавляя к инверсионным осям 1/4 и Lie другие элементы
симметрии, неминуемо придем к одной из уже имеющихся
комбинаций, за исключением случая, когда присоединяется Р или
L2±Lln.
™ * СтРелка над знаком равенства показывает, что данный вид симметрии
следует отличать от вида симметрии с одной простой L2.
79

При этом получаются два новых вида симметрии,
называющихся иверсионно-планалъными (см. крайний справа столбец в
таблицах на стр. 81 и 87):
i^ei2)2i22 Я;
Lie(= иЩЪиЪР = L33L24P.
В заключение приведем сводную таблицу видов симметрии для
кристаллов с единичными направлениями (табл. 3).
Просматривая данную таблицу, обнаруживаем повторяющиеся
виды симметрии. Таковы отбрасываемые нами комбинации,
заключенные в квадратные скобки.
В результате для кристаллов с единичными направлениями
насчитываем всего 27 видов симметрии.
Выше неоднократно упоминались международные
кристаллографические обозначения элементов симметрии (см. стр. 62).
Познакомимся теперь с тем, как с помощью этих обозначений
характеризуются выведенные выше 27 видов симметрии (см. табл. 3).
Международные символы (формулы) видов симметрии с един-
• ственным элементом симметрии не требуют пояснений: они
попросту совпадают с обозначениями данного элемента симметрии
(Ly—U L2—2, L3—3, U—4, U—6, С—1, Р—ту Lls — 3, Lu— 4,
Формулы остальных видов симметрии основаны на понятиях о
порождающих элементах симметрии, исходя из которых и
используя известные нам теоремы взаимодействия элементов симметрии
(см. § 8), легко восстановить остальные элементы симметрии, не
вошедшие в формулу. Так, например, видам симметрии Ь2СП9
L4CI7 и L6CfJ соответствуют формулы 2//я, 4//я, 6/т. Черточка
указывает здесь на перпендикулярность оси четного наименования и
плоскости симметрии, а отсутствующий в формулах центр
инверсии легко восстановить, если вспомнить теорему 3, в на стр. 72
(§8).
Планальные виды симметрии характеризуются формулами типа
Nm и Nmm, где N — порядок оси, совпадающий с единичным
направлением. Так, например, вид симметрии L33P обозначается как
З/п. Вспомнив теорему 5 (§ 8, стр. 73), мы сразу же выведем из
плоскости т, идущей вдоль тройной оси, остальные две плоскости,
не вошедшие в формулу (всего их должно быть три). Для планаль-
ных видов с четной осью симметрии буква т повторяется дважды,
так как здесь имеются две группы отличающихся друг от друга
плоскостей симметрии (L44P—4mm).
Аксиальным видам симметрии соответствуют формулы типа
N2 и N22. Например, вид симметрии Lz3L2 получает формулу 32
(теорема 4 на стр. 72 «подсказывает нам, что здесь должны быть
три двойные оси). В случае четной главной оси цифра 2
повторяется дважды, указывая на две группы неодинаковых двойных осей
(L44L2—422).
80

Таблица 3
Виды симметрии кристаллов с единичными направлениями
[ Примитивный
1
Z.i = -
(1)
см. 4
9
(3)
14
ц
(4)
21
(6)
Центральный
2
(1)
[£2СЛ]
см. 5
10
(3)
i5 ;
А4СЯ
(4/m)
22
цеп
(6/m)
Планальиый
3
ЦР^Р
(я)
6
£22Р
(mm2)
ii
а3зя
(3m)
16
£44Я
(4mm)
23
£ббЯ
(6 mm)
Аксиальный
4
(2)
7
л22А2 = з/:2
(222)
12
! L$L2
(32)
17
i44z,2
(422)
24
L$>L2
(622)
Шанаксиальный
5
LlL2PC = L2PC
(21m)
8
L22L22PnC = 3Z,23PC
(mmm)
13
Z,33Z,23PC
(3m)
18
ЦЬЦАРПС = L44L25PC
(\\mmrri)
25
1ф1фРПС = ЬфЩРС
(6/mmm)
Инверсионно-
примитивный
19
(4)
26
| (6)
Инверсионно-планальиый
20
• LU(^U2L$P
(42m)
27
А/в(=л3/7)3/:2зр
(62m)

В планаксиальном столбце читателя может затруднить
формула вида симметрии 3L23PC— ттт. Здесь подразумеваются три
взаимно перпендикулярные неравноценные плоскости симметрии.
Согласно теореме 1 (стр. 69, § 8) линии их пересечения совпадают
с тремя двойными осями. Так как эти оси в свою очередь
перпендикулярны плоскостям симметрии, то по теореме 3, в здесь должен
присутствовать и центр инверсии.
Остановимся еще на формуле А/ттт для вида симметрии
L44L25PC. Черточка между цифрой 4 и буквой т указывает на то,
что четверная ось перпендикулярна плоскости симметрии. Отсюда
по теореме 3, в (стр. 72) заключаем о наличии центра инверсии.
Следующие две буквы соответствуют двум парам плоскостей
симметрии, идущих вдоль четверной оси. Согласно теореме 5, таких
плоскостей должно быть всего четыре. Наличие центра инверсии
требует (по теореме 3, б, стр. 72), чтобы перпендикулярно каждой
плоскости шла четная (двойная) ось симметрии. Таким образом
находим четыре двойные оси симметрии, а вместе с тем и полную
совокупность элементов данного вида симметрии.
Предлагаем самому читателю расшифровать аналогичным
образом и все остальные, не разобранные нами, формулы видов
симметрии в табл. 3.
Б. Виды симметрии кристаллов без единичных направлений.
Перейдем к тем случаям, когда в кристаллах нет единичных
направлений. Из каждого направления выводятся
симметрично-равные ему. Тем самым, и любые оси симметрии повторяются
несколько раз.
Математически доказано, что совокупности осей симметрии
отвечают здесь таким комбинациям, которые наблюдаются на
правильных многогранниках, известных из элементарной геометрии.
Такие многогранники обладают гранями в виде правильных
многоугольников. К ним принадлежат: тетраэдр, ограниченный
четырьмя правильными треугольниками, куб — шестью квадратами,
октаэдр — восемью треугольниками, додекаэдр — двенадцатью
пятиугольниками * и икосаэдр — двадцатью треугольниками. Последние
два отбрасываются, так как содержат пятерные оси, невозможные
в кристаллах. Остаются лишь тетраэдр, куб и откаэдр.
В тетраэдре имеются следующие оси: 3£г4£3.
В кубе и октаэдре присутствуют одни и те же оси симметрии —
3L44L36L2.
1. Совокупность осей тетраэдра 3£г4£з принимаем за
примитивный вид симметрии.
2) Для получения центрального вида прибавляем С. Согласно
теореме 3 (стр. 71), перпендикулярно каждой L2 появится Р.
В результате имеем: 3L24L33PC.
3) Далее переходим к планальному виду. Для этого вдоль
четырех тройных осей проводим плоскости симметрии. С помощью Ьг
* Не смешивать с пентагон-додекаэдром, грани которого не являются пра
вильными пятиугольниками.
82

любой Р выводим ЗР (теорема 5, стр. "73). Вместе с тем каждая
Р проходит одновременно через две L3.
Отсюда получаем следующую комбинацию: 3LtiiL$>F =
=3I/44L36P.
4) Аксиальный вид симметрии выводится путем прибавления к
четырем тройным осям перпендикулярных к ним двойных осей.
Вокруг Ьг двойные оси повторяются трижды, причем каждая L2
одновременно перпендикулярна двум L3 (3L2 примитивной
комбинации переходит здесь в 3L4).
.В итоге получаем совокупность осей симметрии, уже
приведенную нами для куба-и октаэдра: 3L44L36L2.
5) Присоединяя к последней комбинации С, получим, согласно
теореме 3, планаксиальный вид симметрии: 3L44L36L29PC.
Следовательно, для кристаллов без единичных направлений
возможны следующие виды симметрии (см. последнюю
горизонтальную строку в табл. на стр. 87):
Примитивный 3L24L3(23)
Центральный 3L24L33PC(m3)
Планальный 3L/4 4L36P( 4 Зт)
Аксиальный 3L44L36L2(432)
Планаксиальный 3L44L^L29PC (тЗт)
В скобках приведены соответственные формулы по международной
символике. Для их понимания нужно запомнить некоторые
условные правила. Цифра 3 на втором месте всегда соответствует
совокупности 4L3. Буква т на первом месте указывает на три
плоскости симметрии, параллельные граням куба.* Та же буква т на
третьем месте отмечает присутствие шести плоскостей симметрии,
проходящих по диагоналям граней куба и вдоль его ребер. В
качестве примера разберем формулу тЗт. Первая буква
соответствует трем взаимно перпендикулярным плоскостям симметрии. В
точке их пересечения должен находиться центр инверсии (см. стр. 67,
§ 7, пункт 4). Цифра 3 на втором месте указывает на 4L3. Буква га
на третьем месте добавляет еще шесть плоскостей симметрии.
В сумме имеем всего 9 плоскостей симметрии. По теореме 3,6
(стр. 72) в связи с наличием центра инверсии перпендикулярно
каждой плоскости должны располагаться четные оси симметрии.
Три четные оси, перпендикулярные плоскостям, соответствующим
первой букве т, а вместе с тем и граням куба, являются осями
четвертого порядка, 3L4, так как каждая из них лежит на пересечении
плоскостей, составляющих друг с другом угол в 45° (теорема 1,
§ 8, стр. 69). Остальные шесть четных осей, перпендикулярных
шести диагональным плоскостям куба, соответствуют шести
двойным осям (6L2), каждая из которых лежит на пересечении двух
взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии.
Суммируя все найденные элементы симметрии, мы придем к
выводу, что формула тЪт соответствует совокупности элементов
симметрии 3L44L36L29PC.
83

В результате вывода получено всего 32 вида симметрии — 32
совокупности элементов симметрии, возможных для кристаллических
многогранников. Общая сводка их в наиболее удобном для
практического пользования виде представлена на стр. 87.
Следует помнить, что виды симметрии выведены строго
математически, и потому никакие изменения в их числе и составе
невозможна.
Если не ограничиваться комбинациями, возможными лишь в
кристаллах, придем к бесконечному количеству совокупностей
элементов симметрии в геометрических фигурах. Бесконечное число
их обусловлено любыми наименованиями математических осей (от
1 ДО со).
Однако и в геометрии невозможны какие угодно совокупности
элементов симметрии, так как и здесь теоремы сложения
элементов симметрии (§ 8) играют ограничивающую роль.
Первый вывод всех возможных совокупностей элементов
симметрии для конечных фигур дан марбургским профессором И. Гее-
селем (1830). Труды его долгое время оставались незамеченными.
В 1867 г. русский академик А. В. Гадолин представил свой
оригинальный и простой вывод 32 видов симметрии, получивший
всемирное признание.
§ 11. СИНГОНИИ
Просматривая табл. 4 на стр. 87, видим, что каждая
горизонтальная строка характеризуется наличием тех или иных элементов
симметрии. Так, все пять видов нижней строки содержат 4L3. Семь
видов второй снизу строки отличаются присутствием одной L6 или
Lte. Третья снизу строка имеет во всех видах симметрии одну L$
или £/4. Четвертая снизу строка содержит L3. В верхних трех
горизонтальных строках отсутствуют оси порядка выше 2. В пятой
строке снизу всегда имеется несколько L2 или несколько Р. В
шестой строке 2,2 и Р встречаются в единственном числе. Наконец, в
верхней строке и оси и плоскости отсутствуют.
Как видим, каждая горизонтальная строка таблицы
соответствует определенной группе видов симметрии, называющейся синго-
нией *.
Следовательно, сингонией называется группа видов симметрии,
обладающих одним или несколькими сходными элементами
симметрии (с обязательным учетом осей симметрии порядка выше 2)
при одинаковом числе единичных направлений.
Существенно отметить, что пространственные решетки,
относящиеся к кристаллам одной и той же сингонии, должны обладать
элементарными ячейками с одинаковой конечной симметрией**.
В кристаллографии различают всего семь сингонии: триклин-
ную, моноклинную, ромбическую, или орторомбическую, тригоналъ-
* Сингония (греч.) — сходноугольность.
** Элементарные ячейки пространственных решеток различных сингонии
изображены на стр. 227—288.
84

нию, или ромбоэдрическую, тетрагональную, гексагональную и
кубическую*.
Названия сингонии объясняются следующим образом: в
кристаллах триклинной сингонии все три угла между ребрами
элементарного параллелепипеда пространственной решетки являются косыми
Гклино (греч.) — наклонять]. В кристаллах моноклинной сингонии
между указанными ребрами имеется лишь один косой угол (два
других — прямые). Ромбическая сингония характеризуется тем, что
относящиеся к ней простые формы в сечениях, перпендикулярных
к двойной оси симметрии, нередко имеют форму ромбов.
Названия «тригональная», «тетрагональная» и «гексагональная»
сингонии указывают на типичную симметрию относящихся сюда
кристаллов. Тригональная сингония часто называется
ромбоэдрической, так как для большинства видов симметрии этой сингонии
характерна простая форма, называемая ромбоэдром **.
Кристаллам кубической сингонии свойственны
пространственные решетки, элементарные параллелепипеды которых по форме
представляют кубы.
Сингонии, в свою очередь, группируются в три категории: низ-
шую, среднюю и высшую.
Кристаллы низшей категории характеризуются наличием
нескольких единичных направлений (не меньше 3) и отсутствием осей
симметрии порядка выше 2. Сюда относятся три сингонии: триклин-
ная, моноклинная и ромбическая.
Кристаллы средней категории обладают одним единичным
направлением, совпадающим с единственной осью порядка выше 2.
Сюда также принадлежат три сингонии: тригональная,
тетрагональная и гексагональная.
В кристаллах высшей категории при отсутствии единичных
направлений всегда имеется несколько осей порядка выше 2. Сюда
относится одна кубическая сингония. Приведем подробные
характеристики всех сингонии.
Низшая категория
Несколько единичных направлений. Нет осей
порядка выше двух.
Триклинная сингония. Все направления единичны, нет ни осей,
ни плоскостей симметрии. Элементы симметрии или вовсе
отсутствуют (—), или присутствует один лишь С.
Моноклинная сингония. Множество единичных направлений и
множество симметрично-равных. Из элементов симметрии имеется
либо одна Р, либо одна L% либо L2PC(L2A.P).
* Моно (греч.)—одно; ди —двух; три —трех; тегра — четырех- пента—
пяти; гекса-шести; гепта-семи; «ста-восьми; т^дев^Ьа™^-
ти; эндека — одиннадцати; додека —двенадцати.
v, «.Г Некот°Рые авторы, в том числе Е. С. Федоров, объединяют тригональную
^№X£F™ B °ДНУ ГеКСаГ°НаЛЬН^ Р-ДелеАннуЮ на'две подсГ
85

Единичные направления лежат или в плоскости симметрии, или
в плоскости, перпендикулярной к L2y а также совпадают с L2 или с
нормалью к Р. Каждому же направлению, косому к L2 или Р,
соответствует симметрично-равное направление.
Ромбическая сингония. Три единичных направления,
совпадающих с L2 или с нормалями к Р. Элементы симметрии: L22P; 3L2;
3L23PC. В отличие от предыдущей сингонии один или несколько
элементов удвоены или утроены.
Средняя категория
Одно единичное направление, совмещенное с
единственной осью порядка выше 2 (с так
называемой главной осью).
Тригональная сингония, С единичным направлением совпадает
единственная L3. Косые относительно L3 симметрично-равные
направления повторяются по меньшей мере три раза.
Тетрагональная сингония. С единичным направлением
совпадают единственные L4 или L/4. Косые относительно La (или L1a)
симметрично-равные направления повторяются по меньшей мере
четыре раза.
Гексагональная сингония. С единичным направлением
совпадают единственные Le или £/в. Косые относительно L$ (или L/e)
симметрично-равные направления повторяются по меньшей мере
шесть раз.
Высшая категория
Единичных направлений нет. Всегда
присутствует несколько осей порядка выше 2.
Кубическая сингония. Обязательно имеем 4£3-
Принадлежность некоторого многогранника к тому или иному
виду симметрии доказывается путем нахождения всех его
элементов симметрии. Выше уже разбирались подобные примеры. Так,
в шестигранной пирамиде с основанием в виде правильного
шестиугольника обнаружено L66P (стр. 73). Сопоставив найденную
комбинацию элементов симметрии с видами симметрии в табл. 4,
находим, что данная модель принадлежит к планальному виду
гексагональной сингонии.
В модели, имеющей форму кирпичика или спичечной коробки,
находим 3L23PC (стр. 72). Пользуясь той же таблицей, относим
такую совокупность элементов симметрии к планаксиальному виду
ромбической сингонии.
В кубе имеется 3L44L^6L29PC. С шомощью таблицы
устанавливаем принадлежность куба к планаксиальному виду кубической
сингонии.
Таким образом, пользуясь табл. 4, можно одновременно
определять категорию, сингонию и вид симметрии исследуемого
многогранника. Для определения полной совокупности элементов
симметрии кристалла полезно учитывать следующие положения:
86

Таблица 4
я
я
Категор
~1из шая
Средняя
Высшая
Сингоиии
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая
32
вида симметрии кристаллов
Внд симметрии _

Примитивный
1
О)
"1
(3)
14
Ц
(4)
1 21
ц
(6)
1 28
3i24Z,3
(23)
Центральный
2 i
с \
О) 1
10
L3C
(3)
15
LAPC
(4/m)
.22
ЦРС
(6/1Я)
1 29
3L&U3PC
(mS)
Планальный
з 1
р
(т)
6 1
L&P
(тт2)
41
LfiP
(3m)
16
| ЦАР
(4mm)
I 23
ЬфР
(6mm)
1 30
3/./44Л36Р
(43m)
Аксиальный
4 1
(2)
7 1
(222) |
12
Z,33£2
(32)
17
(422)
1 24
L$L2
(622)
1 31
3Z,44Z,36/>2
(432)
Планак-
снальный
J^
5 1
l2pc
(21m)
8 1
3Z,23PC
(mmm)
13
Z,33Z.23PC
(3m)
1 I8
ЦМ2ЪРС
(\\mmm)
1 25
1ф1{1РС
(6/mmm)
32
3Z.44L36Z,29PC
(m3m)
Инверснонно-
примитнвный
J_
1 19
Z.,4(=M2)
J (4)
I 26
J (6)
Инверснонно-п л анальный
1 20
Lu(*2hj)2L&P
(42m)
1 27
Z,.e3Z.23P(-A33Z<24P)
(62m)

1) Le (и Lu) могут встречаться лишь в единственном числе;
2) L4 (и Lf4) могут присутствовать либо в единственном числе
(L4, Lf4), либо в количестве трех (3L4, 3L2-4);
3) L3 встречается или в единственном числе (£з), или в
количестве четырех (4L3);
4) L2 может быть либо в единственном числе (Ls), либо в
количестве двух (2L2), трех (3L2), четырех (4L2) и шести (6L2);
5) Р встречается или в единственном числе (Р), или в
количествах: 2Р, ЗР, 4Р, 5Р, 6Р, IP и 9Р.
Сложнее всего определять виды симметрии в кристаллах
кубической сингонии. Для упрощения этой задачи приведем табл.- 6.
Таблица 5
Характеристика сиигоиий
Категория
Низшая
Несколько
единичных направлений. Нет
осей порядка выше 2
Средняя
Одно единичное
направление,
совпадающее с единственной
осью порядка выше 2
Высшая I
Нет единичных
направлений.
Присутствует несколько осей
порядка выше 2
Сннгония
Триклинная
Моноклинная
Ромбическая
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Кубическая |
Число
единичных
направлений
Все
Множество
Три
Одно
Одно
1
Одно
Нет
Характерные элементы
симметрии
1 С(Т)
Р(т)
L2PC (21т)
L22P (mm2)
3L2(222)
3L23PC(mmm)
ЫЗ)
L4 или L,-4 (4,4)
L6 или Lie (6,6)
4L3 (3 на втором
месте в формуле)
На практике нередко приходится предварительно определять
сингонию многогранника без нахождения всех его элементов
симметрии. С этой целью необходимо хорошо усвоить приведенные
выше характеристики сингонии (табл. 5). Большую помощь
оказывают единичные направления. Так, для кристаллов кубической
сингонии характерно отсутствие единичных направлений, поэтому
88

модели идеально развитых кубических кристаллов* не обладают
каким-либо резко выделяющимся отдельным направлением, они не
могут быть ни вытянутыми, ни сплющенными. В связи с этим такие
многогранники, являясь изометрическими (равномерно развитыми),
приближаются к шарообразным формам. Они все вписываются в
шаровую поверхность.
~ Есть Р
.
Есть LA
Планак
спальный вид
симметрии
нет £4
есть С
Центральный
вид симметрии
нет С
Планальиый
вид симметрии
Таблица 6
Нет Р
Есть Lt
Аксиальный
вид симметрии
нет Li
Примитивный
вид симметрии
В кристаллах средней категории обычно резко выделяется
единственное единичное направление, совпадающее с направлением
вытянутое™ или сплющенности фигуры (модели идеальных
кристаллов). Определив наименование оси, совмещенной с таким
направлением, сразу же находим сингонию (например, если направление
вытянутое™ кристалла совпадает с L4, имеем тетрагональную
сингонию).
Разобранная выше шестигранная пирамида (стр. 55)' также
иллюстрирует сказанное. Единственное неповторяющееся в данной
модели направление представляет прямая, соединяющая вершину
пирамиды с центром шестиугольного основания. Это направление
является единичным. Вместе с тем оно совмещено с шестерной
осью. Следовательно, перед нами модель кристалла гексагональной
сингонии.
Аналогичным же образом, пользуясь единичными
направлениями, поступаем и с многогранниками низших сингонии.
В случае трех взаимно перпендикулярных единичных
направлений (см. рис. 47) имеем ромбическую сингонию.
Если число единичных направлений бесконечно велико,
приходим к моноклинной или триклиннои сингониям в зависимости от
присутствующих элементов симметрии.
В заключение приведем порядок записи, принятый при изучении
моделей.
1. Элементы симметрии.
2. Число единичных направлений и их расположение.
3. Категория сингонии.
4. Сингония.
5. Название вида симметрии.
vnt^cAT^ Ук^зывалось (СТР- 30), вследствие неравномерного питания растущих
метрик обра3ующиеся внешние формы обычно не отвечают их истинной сим-
89

Пример 1. Модель в форме кирпичика или спичечной
коробки (см. рис. 47).
l.3L23PC (mmm).
2. Три взаимно перпендикулярных единичных направления,
совпадающих с 3L2.
3. Низшая категория.
4. Ромбическая сингония.
5. Планаксиальный вид симметрии.
Пример 2. Шестигранная пирамида с основанием в виде
правильного шестиугольника (см. рис. 43).
1. L26P(6mm).
2. Одно единичное направление, совпадающее с Lq.
3. Средняя категория.
4. Гексагональная сингония.
5. Планальный вид симметрии.
Пример 3. Куб (см. рис. 48 и 53).
1.3L44L36L29PC(m3m).
2. Единичных направлений нет.
3. Высшая категория.
4. Кубическая сингония.
5. Планаксиальный вид симметрии.
Вышеприведенные описания кристаллографических моделей
полезно дополнять сделанными от руки (без сетки Вульфа)
упрощенными стереографическими проекциями, на которых, помимо
проекции элементов симметрии, наносятся также точки — проекции
граней.
Проектируя оси симметрии, продолжаем их до пересечения со
сферой, а затем полученные точки пересечения соединяем лучами
с точкой зрения. В результате пересечения лучей зрения с
плоскостью чертежа находим стереографические проекции осей
симметрии. Следовательно, оси симметрии проектируются подобно
нормалям к граням.
Вертикальные оси изображаются в центре круга проекций
(рис. 67, a — L2).
Горизонтальные оси, совпадая с плоскостью чертежа, дают два
выхода на круге проекций (рис. 67, б — L2).
Косые оси проектируются внутри круга (рис. 67, в — 4L3).
Рис. 67. Стереографические проекции
осей симметрии:
а — Lz перпендикулярна плоскости проекций;
б — Li лежит горизонтально; в—4L3
ориентированы косо относительно плоскости проекций
90

ь<=> ^А ^П ч@ £*0 ч©
(О (J) fi) 6) (6) (е)
Рис. 68. Обозначения осей симметрии на проекции
Выходы осей симметрии на проекции отмечаются значками,
отображающими их наименование (рис. 68).
При проектировании плоскостей симметрии принято давать
стереографические проекции самих плоскостей, а не перпендикуляров
к ним, как при проектировании граней. Для этого продолжаем
плоскости симметрии до пересечения их со сферой и получаем на
последней дуги больших кругов. Проектируя методом
стереографических проекций все точки найденных окружностей, построим на
проекции круговые дуги.
Вертикальная плоскость симметрии (проходящая через ось
проекций) проектируется в виде прямой линии, отвечающей одному из
диаметров круга проекций (рис. 69, а).
Горизонтальная плоскость, совпадая с плоскостью чертежа,
представляется кругом проекций (рис. 69, б).
Проекция косой плоскости соответствует круговой дуге
(рис. 69, в).
На чертеже плоскости симметрии отмечаются двойными
линиями. Если в кристалле присутствует центр инверсии, вблизи центра
проекций ставится буква С. Для большего удобства
проектирования кристаллы определенным образом ориентируются относительно
оси и плоскости проекций.
В кристаллах кубической сингонии, помимо 4£з> всегда имеются
либо 3L4, либо 3£2. Эти три оси взаимно перпендикулярны. При
проектировании таких кристаллов принято ставить их так, чтобы одна
из названных осей (L4 или L2) была вертикальна, т. е. совпадала бы
с осью проекций (ее проекция изображается в центре круга
проекций). Две другие оси должны лежать в горизонтальной плоскости.
Одна из них направляется на наблюдателя, другая — слева
направо.
Фоа
а б 6
Рис. 69. Стереографические проекции
плоскостей симметрии:
л— £ ПеРпенДикулярна плоскости проекций;
о — " лежит горизонтально; в — Р
ориентирована косо относительно плоскости проекций *
91

Рис. 70. Стереографические проекции элементов симметрии
и граней:
а — многогранника в форме прямоугольного параллелепипеда (3L2ZPC —
ттт); б — шестигранной (гексагональной) пнрамнды (£66Р — 6mm);
в —куба {ZLAUbLzVPC — m3m)
В кристаллах средних сингоний главная ось симметрии (L3, L4,
Lio L6, Lie ставится всегда вертикально и тем самым изображается
в центре проекций.
Ромбические кристаллы ориентируются по трем взаимно
перпендикулярным единичным направлениям. Одно единичное
направление, совпадающее с L2, всегда вертикально, другое (L2 или нормаль
к Р) идет на наблюдателя, третье (L2 или нормаль к Р) —слева
направо.
В моноклинных кристаллах единственная двойная ось или
нормаль к плоскости симметрии располагается горизонтально и
параллельно зрителю. Следовательно, плоскость симметрии или
плоскость, нормальная к двойной оси, вертикальна и направлена к
наблюдателю.
Иногда моноклинным кристаллам придают иную ориентировку,
при которой единственную L^ или нормаль к Р ставят вертикально.
Для триклинных кристаллов в связи с отсутствием осей и
плоскостей симметрии установка более или менее произвольна.
Замечание. При проектировании триклинных (и
моноклинных) кристаллов последние рекомендуется ориентировать так,
чтобы возможно большее количество граней заняло вертикальное
положение. Такая ориентировка удобна тем, что многие грани
проектируются на круге проекций. В таблице (приложение 1)
изображены в проекциях элементы всех 32 видов симметрии (стр. 320—
341).
В качестве примеров на рисунке 70 представлены проекции
элементов симметрии и граней моделей в виде кирпичика или
спичечной коробки, шестигранной пирамиды с правильным шестиугольным
основанием и куба.
§ 12. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИММЕТРИИ РЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ
До сих пор нами рассматривались идеализированные модели
кристаллических многогранников.
Значительно сложнее определять симметрию реальных
кристаллов. Выше отмечалось неравномерное развитие симметричных гра-
92

Рис. 71. Кристаллы
кварца
ней кристаллов вследствие
неодинакового притока к ним питающего раствора.
В связи с этим куб реального кристалла
нередко получает форму уплощенного
или вытянутого параллелепипеда. Мало
того, иногда наблюдается даже
частичное отсутствие симметричных граней.
Поэтому, исходя из внешних форм
реальных кристаллов, легко ошибочно
понизить их действительную симметрию.
На помощь здесь приходят точные
измерения углов между гранями, по
которым нетрудно восстановить истинную
симметрию многогранника. Последнее
осуществляется посредством гониометра.
Однако нередко происходят и обратные
ошибки, когда кристаллам
приписывается более высокая симметрия по сравнению с действительной.
В качестве примера приведем кристаллы кварца Si02. В
большинстве случаев кварц кристаллизуется в виде многогранников,
изображенных на рисунке 71. С первого взгляда кажется, что с
осью АВ, идущей вдоль вытянутости кристалла, совмещена
шестерная ось симметрии.
Вместе с тем, внимательным просмотром нередко
обнаруживаются мелкие грани, трижды повторяющиеся вокруг АВ, около
верхних и нижних концов вертикальных ребер (рис. 71, б). Приняв во
внимание эти грани, придем к выводу о наличии не шестерной, а
тройной оси симметрии вдоль АВ.
Разобранный пример подчеркивает всю важность учета
незначительных, на первый взгляд, граней при определении истинной
симметрии кристаллов. Существенную помощь в этом вопросе
оказывает также целый ряд второстепенных особенностей
кристаллических граней. Последние нередко оказываются далекими от
идеальных плоскостей. Иногда на них наблюдаются незначительно
отклоненные участки в виде тупых пирамидок (так называемые
вицинали) *.
На рисунке 72 приведены формы таких пирамидок, часто
наблюдающихся на треугольных гранях кварца. Явная скошенность
пирамидок в одну сторону дает указание на отсутствие плоскостей
симметрии, казалось бы, проходящих по середине (вдоль высот)
треугольных граней кварца.
Следует обращать внимание и на другие усложнения
поверхностей кристаллов, например на характерную штриховку,
покрывающую некоторые грани кристаллов, благодаря чему грани становятся
как бы ступенчатыми. Наличие штриховки в ряде случаев
позволяет выяснить реальную симметрию тех или иных кристаллических
образований.
От латинского ело a vicinus — соседний.
93

Рис. 72. Пира- Рис. 73. Штри- Рис. 74. Фигура
мидка на ром- ховка на кубе травления на
боэдре кварца пирита ромбоэдре
кварца
Для примера рассмотрим кристаллы пирита FeS2. Названный
минерал обычно кристаллизуется в виде хорошо выраженных
кубиков. Казалось бы, через центры граней таких кубиков должны
проходить четверные оси. Однако, внимательно приглядевшись к
кристаллам, обнаруживаем штриховку, проходящую параллельно
ребрам, так, как это изображено на рисунке 73. Приняв во
внимание указанную штриховку, легко придем к выводу, что через
середины граней пирита проходят не четверные, а двойные оси
симметрии.
При определении истинной симметрии кристаллов
рекомендуется также пользоваться фигурами травления. Последние
получаются, если действовать каким-нибудь растворителем на
кристаллические грани. В результате образуются небольшие ямки, зачастую
ограниченные плоскостями (ямки*в форме вогнутых
многогранников) .
Рисунок 74 изображает фигуру травления, полученную на
треугольных гранях кварца при действии на них плавиковой кислотой
(см. рис. 71). Асимметричное очертание таких фигур подтверждает
вышеуказанное заключение об отсутствии плоскостей симметрии,
проходящих вдоль высот этих граней.
Иногда для определения симметрии пользуются
кристаллизацией шаров, специально вырезанных из кристаллов. При этом в
результате регенерации на шаровой поверхности появляются
многочисленные грани. Среди них встречаются и такие, которые на
кристаллах обычно отсутствуют. Нередко эти грани вносят
значительные поправки в имеющиеся представления о принадлежности
веществ к тому или иному виду симметрии.
Таким образом, при определении симметрии реальных
кристаллов необходимо принимать во внимание целый ряд признаков.
Как увидим далее, симметрии подчинены также и физические
свойства кристаллов (электрические, оптические, механические
и др.). На этом основании, устанавливая истинную симметрию
кристаллических многогранников, необходимо учитывать и их
физические свойства.
Наконец, указания о симметрии кристаллов можно получить и
при помощи рентгеновых лучей. Изучение симметрии играет огром-
94

ю роль в деле выяснения кристаллической структуры посредством
rTDVKTVpHoro анализа (стр. 245).
Совокупность сведений, полученных всеми указанными
методами позволяет устанавливать действительную симметрию реальных
кристаллов.
ГЛАВА ПЯТАЯ
ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Определяя элементы симметрии, убеждаемся в том, что нередко
совершенно различные на вид многогранники принадлежат к
одному и тому же виду симметрии. Например, упоминавшиеся выше
многогранники в виде куба и октаэдра (рис. 75), несмотря на
резко отличную внешнюю форму, обладают одинаковыми элементами
симметрии: 3L44LZ6L29PC (тЗт).
Можно привести бесконечное количество таких примеров, так
как число совокупностей элементов симметрии 32, а различных
вариаций кристаллических многогранников неопределенно много.
Следовательно, при описании кристаллов недостаточно
ограничиваться одними элементами симметрии, а необходимо также
принимать во внимание их внешний вид.
§ 2. ПРОСТЫЕ ФОРМЫ И КОМБИНАЦИИ
Свободно развивающиеся кристаллы обычно образуют
многогранники с различным количеством граней.
По внешнему огранению кристаллы разделяются на две группы.
К первой относятся такие кристаллы, которые при своем идеальном
развитии состоят из одинаковых и симметрично расположенных
граней. Таковы куб, октаэдр и др. Ко второй группе относятся
идеальные кристаллы, обладающие различными по очертаниям и величине
гранями. Например, упоминавшаяся выше пирамида (см. рис. 43)
ограничена гранями двух сортов: шестью равными треугольниками
и одним шестиугольником в основании. Модель в форме кирпичика
или спичечной коробки имеет уже грани трех сортов в виде парных
прямоугольников большего, среднего и малого размеров.
Многогранники первой группы представляют собой простые
формы, многогранники второй группы — комбинации.
Простой формой называется совокупность граней, связанных
межоу собой элементами симметрии *.
нх^*гЛЛаС,ТН°М СЛуЧае' ПРИ 0ТСУТСТВИИ элементов симметрии, связывающих дан-
^Sm^^S****™-получаем простую форму * ви*е 0АН0Й е^инств"-
95

Рис. 75. Куб и октаэдр Рис. 76. Октаэдр
Грани одной простой формы должны быть одинаковыми по
своим физическим и химическим свойствам, а в идеально развитых
кристаллах — также по своим очертаниям и величине, так как все
они связаны элементами симметрии, т. е. выводятся из одной
заданной грани посредством этих элементов.
В качестве примера простой формы назовем октаэдр (рис. 76).
В самом деле, все грани такого многогранника выводятся из
одной заданной грани посредством его элементов симметрии
(3L44L36L29PC). На рисунке грани 2, 3, 4 можно, в частности,
вывести из грани 1 путем поворотов последней вокруг вертикальной
L4- В свою очередь, нижние грани — 5, 6, 7, 8 — получаются из
верхних хотя бы с помощью отражения в горизонтальной плоскости
симметрии.
Комбинацией называется совокупность двух или нескольких
простых форм. Все ее грани целиком не связываются элементами
симметрии и, следовательно, могут быть различными по
очертаниям, величине и по другим свойствам.
При подсчете простых форм в комбинации (на моделях
идеальных кристаллов) следует найти число сортов граней, составляющих
данный многогранник.
Различные по сорту грани всегда принадлежат различным
простым формам. Грани одного сорта в большинстве случаев относятся
к одной форме (помимо этого, они должны быть связаны
элементами симметрии). Обычно число простых форм в комбинации равно
числу сортов граней данной фигуры (во всяком случае не меньше
его).
Примером комбинации служит шестигранная пирамида (см.
рис. 43). Шесть одинаковых треугольных граней ее, будучи
связанными друг с другом элементами симметрии, представляют одну
простую форму. Все они могут быть получены вращением одной
грани вокруг L6. Резко отличная по очертанию грань основания не
выводится из предыдущих, т. е. принадлежит к другой простой
форме. В результате получаем комбинацию, состоящую из двух
простых форм.
В кристаллографии имеем всего 47 типов простых форм. Все
они выводятся строго математически, исходя из 32 видов
симметрии. Комбинаций же возможно бесконечное количество.
96

Рис. 77. Возможные положения граней относительно
L2
§ 3. ПОНЯТИЕ О ВЫВОДЕ ПРОСТЫХ ФОРМ
Для выяснения сущности вывода простых форм разберем
несколько примеров. и
В аксиальном виде симметрии моноклинной сингонии
содержится лишь одна ось L2. Относительно этой единственной оси грани
могут располагаться либо косо (а), либо перпендикулярно (б),
либо параллельно (в) (рис. 77). Никаких иных ориентировок
представить себе нельзя.
1) Грань, заданная косо по отношению к L2, после поворота
вокруг оси на 180° даст вторую такую же грань. В результате полу-
*чим простую форму, состоящую из двух плоскостей, лежащих под
углом друг к другу, и связанных двойной осью (так называемый
осевой диэдр).
2) Задав грань перпендикулярно L2, ничего нового из нее не
выведем, так как вращаясь вокруг двойной оси, она совмещается лишь
сама с собой. В этом случае получаем простую форму, состоящую
из одной грани (моноэдр).
3) Взяв грань параллельно L2, выведем из нее при повороте на
180 вторую равную ей грань, также параллельную оси. Получаем
третью простую форму, состоящую из двух взаимно параллельных
граней (пинакоид).
Следовательно, в аксиальном виде моноклинной сингонии
возможны простые формы трех типов: диэдры, моноэдры и пинакоиды.
Аналогично, по-разному ориентируя грани относительно
элементов симметрии во всех 32 видах, выводим все простые формы
кристаллов.
Простая форма, грани которой располагаются косо относительно
всех осей и плоскостей симметрии, называется общей простой
формой *. В разобранном примере это —диэдр (осевой).
Простая форма называется частной в том случае, если грани ее
или перпендикулярны или параллельны хотя бы одной оси или
плоскости симметрии, или же расположены симметрично относи-
* Некоторые простые формы кристаллов кубической сингоиии представляют
исключение. Так, например, в примитивном виде симмегрии грани обшей
формы— Пентагон — тритетраэдра могут располагаться параллельно тройным осям.
4~3681 . 97

Рис. 78. Вывод простых форм
планаксиального вида
симметрии ромбической сингонии
тельно двух или нескольких
эквивалентных осей или плоскостей
симметрии. В разобранном примере
это — моноэдр (грань
перпендикулярна L2) и шинакоид (грань
параллельна L2).
Из сказанного выше видно, что
в аксиальном виде моноклинной
сингонии все грани общего
положения образуют осевые диэдры.
Наоборот, все диэдры являются здесь
общими формами. Подобное
явление имеет место и для всех других
видов симметрии.
В каждом виде общая форма
может быть только одного типа и
одного названия. В других видах
симметрии эта же простая форма,
как правило, занимает частное положение. Наоборот, частные
формы данного вида симметрии в других видах могут присутствовать
либо тоже как частные, либо как общие.
В ранее принятой номенклатуре (номенклатура Е. С.
Федорова— П. Грота) виды симметрии нрсили название по общей форме.
Так, например, приведенный выше аксиальный вид моноклинной
сингонии назывался диэдрическим (осевым).
Большую помощь при выводе простых форм оказывают
стереографические проекции. Взяв проекцию элементов симметрии одного
из 32 видов и задав на ней какую-либо точку (проекцию нормали
к грани), можно вывести все остальные точки, связанные с первой
элементами симметрии. Все эти точки принадлежат одной простой
форме, понятие о которой получаем по числу и взаимному
расположению их на проекции (точки — проекции нормалей к граням).
Размещая по-разному точки относительно изображенных осей и
йлоскостей симметрии, выведем все простые формы данного вида
симметрии. Наконец, проделав такую операцию с проекциями 32
видов симметрии и вычеркнув повторения, получим все простые
формы, возможные в кристаллографии. Разберем несколько
призеров.
I. Начнем с планаксиального вида ромбической сингонии —
3Lc3PC(mmm), элементы симметрии которого изображены на
рисунке 78.
Точка, соответствующая нормали к некоторой грани, может
располагаться:
а) на выходах двойных осей (случаи /, 2, 3);
б) на линиях, изображающих плоскости симметрии (случаи 4.
5,6);
в) внутри круга, но вне проекций осей и плоскостей симметрии
(случай 7).
\

Рис 79 Простые формы планаксиального вида симметрии
ромбической сингонии:
а —пинакоид; б — ромбическая призма; в — ромбическая дипира-
мида
Эти же случаи можно представить так. Точки задаются: а) либо
в вершинах заштрихованного сферического треугольника 1—2—3
(случаи U 2, 3), либо на сторонах его (случаи 4У 5, 6), либо внутри
треугольника (случай 7). Восемь таких треугольников покрывают
нацело шар проекций.
а) В случаях 1, 2 и 3 заданная грань, отражаясь в
параллельной ей плоскости симметрии или в центре инверсии или же
вращаясь на 180° вокруг оси L2, дает парную параллельную грань.
(Для 1\ выводим 12у для 2Х—22, для 3\—32, последняя грань
располагается внизу).
Каждая из таких трех пар граней, взятая в отдельности,
образует одну простую форму, называемую пинакоидом (рис. 79, а).
б) В случаях 4У 5 и 6 из каждой заданной грани получается
всего четыре грани. Разберем случай 4.
Отражаясь в вертикальной плоскости симметрии или вращаясь
на 180° вокруг вертикальной же двойной оси, грань 4\ дает новую
грань 42. Далее, отражаясь в горизонтальной плоскости или центре
инверсии или же вращаясь вокруг одной из горизонтальных L2,
грани 4\ и 42 дают две нижние грани 4г и 4А. В результате
получим простую форму, состоящую из четырех попарно параллельных
граней — ромбическую призму (рис. 79, б).
К аналогичному решению придем и в случаях 5 и 6, получая и
здесь ромбические призмы.
в) В случае 7 заданная грань 7Ь отражаясь в вертикальных
плоскостях, дает грани 72, 73, 74 (грань 73 выводится также из 7\
путем поворота последней вокруг вертикальной L2).
Наконец, отражаясь в горизонтальной плоскости симметрии или
в центре инверсии или же вращаясь вокруг горизонтальных L2,
верхние четыре грани дают четыре нижние грани 75, 76, 77, 78.
Получаем простую форму, состоящую из восьми граней — ромбическую
дипирамиду (см. рис. 79, в).
Таким путем выведены всего три типатростых форм: пинакоиды,
ромбические призмы и ромбические дипирамиды.

Рис. 80. Вывод простых форм
планаксиального вида
симметрии тригональной сингонии
Замечание 1. Согласно
чертежу (см. рис. 78), грани 4, 5
и 6 могут быть заданы различны-
ми способами в пределах сторон
сферического треугольника /—
2—3. То же относится к грани 7,
произвольно расположенной
внутри того же треугольника.
Таким образом, в этих
случаях можно (получить бесконечное
количество простых ф.орм;
однако все они совпадают с
названными выше типами —
ромбическими призмами (случаи 4, 5, 6) и
ромбическими дипирамидами
(случай 7). Никаких других
типов простых форм в данном виде
симметрии получить нельзя.
Замечание 2. Точки,
расположенные на выходах двойных
осей, отвечают частным формам, поскольку плоскости
соответственных граней перпендикулярны этим осям. Таковы грани /, 2, 3.
Точки, лежащие на линиях плоскостей симметрии, также
изображают частные формы, ибо соответственные грани
перпендикулярны имеющимся плоскостям. Таковы грани 4, 5, 6 (и грани /,
2,3).
Точки, расположенные вне проекций осей и плоскостей
симметрии внутри треугольников, соответствуют граням, косо
ориентированным относительно элементов симметрии, т. е. дают общую
форму. Таковы в данном случае грани ромбической дипирами-
ды 7.
Как указывалось, в ранее принятой номенклатуре виды
симметрии назывались по общей форме. Следовательно, планаксиаль-
ный вид ромбической сингонии носил название ромбо-дипирами-
дального.
2. В качестве второго примера рассмотрим вывод всех простых
форм планаксиального вида тригональной сингонии (L^3L23PC —
3m). Здесь также можно выделить заштрихованный на
рисунке 80 сферический треугольник /—2—S (24 таких треугольника
нацело покрывают шар-проекций) *.
Точки, соответствующие проекциям нормалей к граням, могут
располагаться либо в вершинах треугольника /—2—3 (случаи /, 2,
5), либо на сторонах (случаи 4, 5, 6), либо внутри него (случай 7).
Пользуясь элементами симметрии, для каждого случая выводим
полную совокупность граней.
* Следует иметь в виду, что упомянутые 24 треугольника распадаются на две
независимые группы из 12 треугольников; треугольники каждой группы связаны
между собой элементами симметрии.
100

В случае / получаем пару параллельных граней /—/ (пинакоид,
см. рис. 81,а)- 0 „ ,
В случаях 2 и 3 выводим по шести граней, параллельных L3
(получаем две простые формы, а именно, две гексагональные
призмы, рис. 81, б).
Случай 4 приводит к двенадцати граням, также параллельным
тройной оси (дигексагональная призма, рис. 81, в).
Случай 5 дает шесть граней, косо расположенных относительно
L Три грани обращены вверх, три — вниз. Каждая нижняя грань
располагается симметрично между двумя верхними (ромбоэдр,
рис. 81, г).
Случай 6 приводит к двенадцати граням, под косым углом
пересекающим тройную ось. Шесть верхних граней лежат над шестью
нижними (гексагональная дипирамида, рис. 81, д).
Случай 7 снова приводит к двенадцати граням, косо
расположенным по отношению к L3. По предыдущему, шесть граней
обращены вверх, шесть —вниз. Однако здесь каждая пара нижних
граней располагается симметрично между двумя парами верхних
(тригональный скаленоэдр, рис. 88, е).
Таким образом, выведено всего шесть типов простых форм:
пинакоид, две гексагональные призмы, дигексагональные призмы,
ромбоэдры, гексагональные дипирамиды и тригональные скаленоэдры.
Простые формы пяти первых типов принадлежат к частным формам
(см. проекцию). Формы последнего типа являются общими.
У
^~~А~\
Рис. 81. Простые формы планаксиального вида симметрии триго-
нальной сингонии-
101

Рис. 82. Вывод простых форм планаксиального вида симметрии
кубической сингонии
Планаксиальный вид тригональной сингонии прежде назывался
тригонально-скаленоэдрическим.
3. В заключение рассмотрим планаксиальный вид кубической
сингонии (ЗЬ44Ь$6Ь29РС — тЗт). Здесь снова выделим сферический
треугольник 1—2—3, отдельно изображенный на рисунке 82, а и
заштрихованный на рисунке 82, б. 48 таких треугольников нацело
покрывают шар проекций.
Согласно сказанному выше, точки, соответствующие проекциям
нормалей к граням, могут располагаться либо в вершинах
треугольника (/, 2, 3), либо на сторонах (4, 5, 6), либо внутри
него (7).
Точка / совпадает с выходом четверной оси. Всего для 3LA
имеем шесть выходов, связанных между собой элементами симметрии.
В результате получаем одну простую форму в виде
шестигранника— гексаэдр — куб (рис. 83, а).
Точка 2 совмещена с выходом тройной оси. Соответственно
восьми выходам 4L3, связанным друг с другом элементами симметрии,
выводим восьмигранник — октаэдр (рис. 83, б).
Точка 3 совпадает с выходом двойной оси. Таких выходов для
6^2 будет всего двенадцать, и все они связаны между собой
элементами симметрии. Получаем простую форму в виде некоторого
двенадцатигранника— ромбо-додекаэдра (рис. 83, в).
102

Рис. 83. Простые формы планаксиального вида симметрии кубической
сингонии
а — гексаэдр; б — октаэдр; в — ромбо-додекаэдр; г — тетрагексаэдр; д —
тетрагон-триоктаэдр: е — тригон-триоктаэдр; ж — гексоктаэдр
В случаях 4, 5 и 6 посредством элементов симметрии выводим
три простые формы, соответствующие трем двадцатичетырехгран-
никам (для случаев: 4 —тетрагексаэдр, рис. 83, г; 5 —тетрагон-
триоктаэдр, рис. 83, д; 6 —тригон-триоктаэдр, рис. 83, е).
Наконец, точка 7, согласно числу сферических треугольников
(1—2—3), повторяется 48 раз, отвечая сорокавосьмиграннику
(гексоктаэдру, рис. 83, ж).
Из семи найденных типов простых форм (куб, октаэдр,
ромбододекаэдр, тетрагексаэдр, тетрагон-триоктаэдр, тригон-триоктаэдр
и гексоктаэдр) первые шесть представляют частные формы (см.
проекцию), последний — общую (проекции его граней внутри
треугольников). Отсюда планаксиальный вид кубической сингонии
иначе называется гексоктаэдрическим.
§ 4. ПРОСТЫЕ ФОРМЫ НИЗШИХ СИНГОНИИ
В низших сингониях — триклинной, моноклинной-и
ромбической— встречаются всего семь типов простых форм. Таблица 7 дает
характеристику их по числу и взаимному расположению граней.
Триклинная сингония
В примитивном виде симметрии триклинной сингонии ( — или
1) вследствие отсутствия элементов симметрии возможны лишь
простые формы (общие), состоящие из отдельных, ничем не связанных
между собой граней. Такие простые формы в виде одногранников
называются моноэдрами* (рис. 84, а).
* Монос (греч.) — один; эдра — грань.
103

Рис. 84. Простые формы низших сингонии:
а — моноэдр; б — пииакоид; в — диэдр; г — ромбическая призма;
д — ромбический тетраэдр; е — ромбическая пирамида; ж —
ромбическая дипирамида
При наличии центра инверсии все грани связаны по две, являясь
попарно параллельными. Моноэдров при этом быть, ш может.
Поэтому в центральном виде триклинной сингонии (С—1) встречаются
исключительно простые формы (общие), образованные парами
взаимно параллельных граней. Простая форма, состоящая из двух
взаимно параллельных граней, носит название пинакоида* (рис.
84, б). Само собой разумеется, что моноэдры и пинакоиды не
наблюдаются поодиночке, а образуют комбинации.
Следовательно, в триклинной сингонии встречаются два типа
простых форм — моноэдры и пинакоиды (только как общие
формы).
Моноклинная сингония
В моноклинных кристаллах, помимо моноэдров и пинакоидов,
находятся диэдры и ромбические призмы (две последние — только
как общие формы).
Диэдром называется простая форма, состоящая из двух
непараллельных (пересекающихся) граней** (рис. 84, в).
Ромбическая призма соответствует простой форме, образованной
четырьмя попарно параллельными гранями (грани параллельны
через одну) (рис. 84, г). Поперечное сечение такой формы — ромб.
Подобно моноэдрам и пинакоидам, диэдры и ромбические
призмы, не образуют замкнутых многогранников, а встречаются только
в комбинациях. Действительно, отдельно взятые четыре плоскости
ромбической призмы составляют фигуру, открытую с двух концов
(мысленно грани ее можно продолжить до бесконечности); в замк-
* Пинакс (греч.) —доска.
** Напомним еще раз, что на моделях идеальных кристаллов грани,
входящие в одну простую форму, должны быть одинаковыми по величине и
очертаниям.
104

ы\ многогранниках эти концы должны быть прикрыты гранями
других'простых форм.
Итак в моноклинной сингонии находятся четыре типа простых
сЬорм' моноэдры, пинакоиды, диэдры и ромбические призмы.
Ромбическая сингония
Кроме четырех разобранных типов простых форм, к
ромбическим кристаллам относятся ромбические тетраэдры, ромбические
пирамиды и дипирамиды (последние три —только как общие
формы).
Ромбическим тетраэдром называется простая форма, состоящая
из четырех непараллельных граней, по три пересекающихся в
каждой вершине (рис. 84, д). Ромбический тетраэдр является
замкнутой фигурой и, следовательно, может встречаться в виде отдельной
простой формы. Различают два рода таких тетраэдров,
относящихся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение (на рис. 85
изображены оба тетраэдра и их проекции). Подобные же
зеркально-равные многогранники встречаются и в других сингониях. Это
явление носит название энантиоморфизма *.
Энантиоморфными формами называются две равные фигуры,
относящиеся друг к другу как предмет и его зеркальное отражение.
Соответственно этому различают правые и левые формы (см.
рис. 85). Совместить энантиоморфно-равные фигуры можно лишь
посредством отражения.
В таких многогранниках из элементов симметрии присутствуют
одни простые оси. Инверсионные оси Lu плоскости симметрии Р и
центр инверсии С в энантиоморфных формах отсутствуют.
Кристаллы соответствующих
видов симметрии отличаются
особыми физическими свойствами
(вращение плоскости
поляризации, стр. 210; полярное пиро- и
пьезоэлектричество, стр. 214—
217).
Ромбическая, пирамида
представляет собой простую форму,
состоящую из четырех граней,
пересекающихся в одной точке —
вершине (см. рис. 84, е). В
основании ее лежит ромб. Являясь
открытой фигурой, ромбическая
пирамида встречается только в
комбинациях.
Ромбическая дипирамида
соответствует простой форме, об-
р азованной восемью
гранями
Рис. 85. Правый (а) и левый
(б) ромбические тетраэдры и
их проекции
Энантиос (греч.) -противоположи
ыи.
105

(см. рис. 84, ж). Она отвечает как бы двум ромбическим
«пирамидам, сложенным основаниями, и представляет замкнутую фигуру.
В ромбической сингоний находятся все семь типов простых
форм: моноэдры, пинакоиды, диэдры, ромбические призмы,
ромбические тетраэдры, ромбические пирамиды и ромбические дипира-
миды.
Разбирая комбинации, учащиеся нередко испытывают
затруднения при определении простых форм. В этом случае полезно
мысленно продолжать до взаимного пересечения все грани
исследуемой формы, не принимая во внимание грани других форм,
входящих в комбинацию.
Такой прием позволяет представить себе целиком ту или иную
простую форму.
С целью облегчить распознавание простых форм в
комбинациях приводится табл. 7 *.
Таблица 7
Простые формы низших сингоний
Число

одинаковых граней
1
2
2
4
4
4
8
Взаимное расположение граней
Грани параллельны
Грани пересекаются
Грани попарно (через одну)
параллельны
Все грани пересекаются в одной
точке
Грани непараллельны и не все
пересекаются в одной точке
Названия простых форм
Моноэдр
Пинакоид
Диэдр
Ромбическая призма
Ромбическая пирамида
Ромбический тетраэдр
Ромбическая дипирамида
§ 5. ПРОСТЫЕ ФОРМЫ СРЕДНИХ СИНГОНИЙ
Из рассмотренных простых форм низших сингоний в среднюю
категорию переходят лишь формы двух типов—моноэдры и
пинакоиды. Помимо этого, в кристаллах тригональной, тетрагональной
и гексагональной сингоний встречаются 25 новых типов простых
форм. Сюда относятся серии призм, пирамид, дипирамид и др. Эти
формы, обладая более высокой симметрией, не соответствуют
ромбическим призмам, ромбическим пирамидам, ромбическим дипира-
мидам и другим формам низших сингоний.
Начнем с серии призм (рис. 86). К средней категории
принадлежат шесть призм с сечениями в виде правильных треугольников,
квадратов и шестиугольников, а также равносторонних
шестиугольников, восьмиугольников и двенадцатиугольников с углами,
равными через один. К тригональной и гексагональной сингониям относят -
* По В. Б. Татарскому.
106

четыре призмы: тригональная, дитригональная, гексагональная
и дигексагональная.
Тригональная призма состоит из трех граней, параллельных L3
или Lt , образуя в поперечном сечении правильный треугольник
(тригон).
Дитригональная призма может рассматриваться как удвоенная
тригональная. Шесть ее граней в поперечном сечении дают
равносторонний шестиугольник с углами, повторяющимися через один
(это сечение называется дитригоном).
Гексагональная призма образована шестью гранями,
параллельными Ls, Le или Li6. Поперечное сечение ее — правильный
шестиугольник (гексагон).
Дигексагональная призма соответствует удвоенной
гексагональной. Ее двенадцать граней дают поперечное сечение в виде равно-
^ь,
/О КО
J-U
4^
Рис. 86. Призмы средних сингоний:
а — тригональная; б — тетрагональная; в —
гексагональная; г — дитригональная; д — дитетрагональная; е —
дигексагональная и их поперечные сечения
107

стороннего двенадцатиугольника с углами, равными через один
(сечение называется дигексагоном).
К тетрагональной сингонии принадлежат две призмы:
тетрагональная и дитетрагональная.
Тетрагональная призма состоит из четырех граней,
параллельных L4 или Lit и образует квадратное поперечное сечение
(тетрагон).
Дитетрагональная призма отвечает удвоенной тетрагональной.
Ее восемь граней дают поперечное сечение в виде равностороннего
восьмиугольника с углами, чередующимися через один (сечение
называется дитетрагоном).
Перечисленные призмы всегда являются четными простыми
формами, поскольку грани их параллельны главной оси симметрии.
Описываемые ниже другие формы средних сингонии в одних видах
симметрии могут быть общими, а в других — частными.
Аналогично призмам выводятся серии пирамид и дипирамид.
л о о
Рис. 87. Пирамиды средних сингонии:
а — тригональиая; б — тетрагональная; в —
гексагональная; г — дитригоиальная; д — дитетрагональная; е — ди-
гексагональиая и их поперечные сечения
108

л □ о
Рис. 88. Дипирамиды средних сингоний:
а — трнгональная; б — тетрагональная; в —
гексагональная; г — дитригональная; д — дитетрагональная; е — ди-
гексагональная и их поперечные сечения
Пирамиды (рис. 87) пересекают всеми своими гранями главную
ось симметрии (L3> £4, Ы) в одной точке — вершине.
В тригональной сингоний имеем трехгранную — тригоналъную и
шестигранные — дитригональную и гексагональную пирамиды.
Моноэдр в основании первой представляет правильный
треугольник, в основании второй — дитригон, в основании третьей —
правильный шестиугольник.
К гексагональной сингоний относятся вышеупомянутая
гексагональная и дигексагональная пирамиды. В основании последней
лежит дигексагон.
В тетрагональной сингоний возможны четырехгранная —
тетрагональная и восьмигранная — дитетрагональная пирамиды.
Основания их являются квадратом и дитетрагоном.
109

Рис. 89.

Тетрагональный
тетраэдр.
Главная ось
Рис. 90.
Ромбоэдр. Главная
ось L3
Рис. 91. Скаленоэдры:
а — тетрагональный (L / 2Ц2Р
— 42т); б — тригональиый
(£зЗ£2ЗРС — Зт)
Наконец, такой же ряд имеем и для дипирамид (рис. 88). Грани
их пересекают главную ось симметрии L3, £4, £/4> ^е. ^и в ДВУХ
точках, причем нижние грани располагаются точно под верхними.
Число дипирамидальных граней равно удвоенному числу граней
, соответственных пирамид (или призм).
В тригональной и гексагональной сингониях находятся триго-
нальная (шестигранная) и гексагональная (двенадцатигранная)
дипирамиды.
Поперечные сечения их отвечают правильному треугольнику и
правильному шестиугольнику. Кроме того, в гексагональной синго-
нии встречаются дитригональная (двенадцатигранная) и дигексаго-
нальная (двадцатичетырехгранная) дипирамиды. Поперечное
сечение первой — дитригон, второй — дигексагон. К тетрагональной
сингонии принадлежат тетрагональная (восьмигранная) и дитетра-
гональная (шестнадцатигранная) дипирамиды с квадратом и дите-
трагоном в поперечных сечениях.
Распределение всех описанных выше простых форм по видам
симметрии читатель найдет в приложении 1 (стр. 320—341).
Особняком стоят тетрагональный тетраэдр, ромбоэдр и серии
скаленоэдров и трапецоэдров (всеони, подобно дширамидам,
образуют замкнутые многогранники).
Тетрагональный тетраэдр (рис. 89) относится к простым
формам тетрагональной сингонии. Он сложен четырьмя гранями, в
виде равнобедренных треугольников, связанных четверной
инверсионной осью *. Нижняя грань его расположена симметрично между
двумя верхними и (наоборот).
Ромбоэдр (рис. 90) .принадлежит к простым формам
тригональной сингонии. Рекомендуем читателю обратить особое внимание на
эту важную форму, представляющую собой как бы куб, вытянутый
или сплющенный вдоль одной из его 4L3. Шесть граней ромбоэдра
* В ромбическом тетраэдре
треугольниками.
(стр. 105) грани являются разносторонними
ПО

являются ромбами. Нижняя грань относительно верхних двух
располагается симметрично.
К следующей серии принадлежат тетрагональный и
тригональный скаленоэдры (рис. 91) *. Грани их пересекают главную ось
(Li и Ьз) в двух точках. Пара нижних граней располагается
симметрично между двумя парами верхних. Очертания граней
отвечают разносторонним треугольникам.
Тетрагональный скаленоэдр содержит Lu , т. е. принадлежит к
тетрагональной сингонии. Восемь граней его соответствуют как бы
удвоенному тетрагональному тетраэдру.
Тригональный скаленоэдр относится к тригональной сингонии.
Двенадцать граней его отвечают как бы удвоенному ромбоэдру.
В заключение остановимся на серии трапецоэдров (рис. 92).
Грани этих форм также пересекают главную ось (L3, £4, Ы) в двух
точках. Однако нижние грани располагаются несимметрично
относительно двух верхних.
Трапецоэдрические грани представляют собой
четырехугольники с одной парой равных соседних сторон **. В трапецоэдрах
присутствуют лишь простые оси (£г-, Р и Сне встречаются). В связи с
этим различают «правые и левые трапецоэдры, отвечающие энантио-
морфным формам.
К тригональной сингонии относится тригональный трапецоэдр
(шесть граней), к тетрагональной — тетрагональный (восемь
граней) и к гексагональной — гексагональный (двенадцать граней)
трапецоэдры.
Распределение всех простых форм по сингониям и видам
симметрии см. в приложении 1.
При определении форм средних сингонии на комбинациях
можно пользоваться специальной таблицей 8, где, помимо числа граней,
принимаются во внимание их расположение относительно главной
Рис. 92. Трапецоэдры:
-тригональный (L33b — 32), б — тетрагональный {LAL2 —
£)\ в — гексагональный {L&L2 — 622); изображены правые
форм j л
* Скаленос (греч.) — косой.
** Трапеза (греч.) —стол.
111

Таблица 8
Простые формы средних сингоний
Расположение граней
относительно главной оси симметрии
(единичного направления)
Грани
перпендикулярны главной оси
Грани параллельны
главной оси
Грани пересекают
главную ось в одной точке
)чках
гкают главную сюь в двух т<
Грани перес<
А. Нижние грани
расположены точно под
верхними
Б. Нижняя грань
расположена симметрично
между двумя
верхними
В. Нижняя пара граней
расположена
симметрично между двумя
парами верхних
Г. Нижняя грань
расположена
несимметрично относительно двух
верхних
Число
одинаковых
граней
1
2
3
4
6
12 1
3
4
6
6
8 1
12
6
12
12
16
24
4
6
8
12
6
8
12
Название простых форм
Моноэдр
Пинакоид
Тригональная ]
Тетрагональная
Гексагональная 1
Днтригональная I
Дитетрагональная
Дигексагональная )
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Дитригональная
Дитетрагональная
Дигексагональная
Тригональная
Тетрагональная
Гексагональная
Дитригональная
Дитетрагональная
Дигексагональная
3
со
К
О,
а
3
£
> га
1=1
£
! га
s:
5-
Тетраэдр
тетрагональный
Ромбоэдр
Тетрагональный
Тригоналъный
Тригональный
Тетрагональный
Гексагональный
о.
n
я
i ra
CJ
1 3
ft
! en
Я
1 <u
, с
1 га
О,
Характерные
поперечные
се 1ения
Гексагон
Дитригон
Гексагон
Дитригон
Гексагон
Дитригон
112

R тоигональной сингонии такой оси соответствует L3, в тетра-
°Сняпьной — U и Lt4 в гексагональной —Le и Lu. Как
указываюсь эти оси являются единственными (единичные направления) и
ставятся вертикально.
В заключение приведем список разобранных выше простых форм
средней категории с разбивкой их по сингониям (подробнее см.
приложение 1, стр.320).
А. Тригональная сингония
Призма тригональная Дипирамида тригональная
Призма дитригональная Дипирамида гексагональная
Призма гексагональная _ Скаленоэдр тригональный
Призма дигексагональная Трапецоэдр тригональный
Пирамида тригональная Ромбоэдр
Пирамида дитригональная Моноэдр
Пирамида гексагональная Пинакоид
Б. Тетрагональная сингония
Призма тетрагональная Тетраэдр тетрагональный
Призма дитетрагональная Скаленоэдр тетрагональный
Пирамида тетрагональная Трапецоэдр тетрагональный
Пирамида дитетрагональная Моноэдр
Дипирамида тетрагональная Пинакоид
Дипирамида дитетрагональная
В. Гексагональная сингония
Призма тригональная Дипирамида тригональная
Призма дитригональная Дипирамида дитригональная
Призма гексагональная Дипирамида гексагональная
Призма дигексагональная Дипирамида дигексагональная
Пирамида гексагональная Трапецоэдр гексагональный
Пирамида Дигексагональная Моноэдр
Пинакоид
§ 6. ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КУБИЧЕСКОЙ СИНГОНИИ
В кристаллах кубической сингонии находятся 15 новых типов
простых форм. Ни одна из ранее разобранных форм сюда не
переходит. Из старых названий встречается лишь тетраэдр. Никаких пи-
накоидов, призм, пирамид, дипирамид и т. д. здесь быть не может.
Ь основу номенклатуры простых форм кубической сингонии
положены, с одной стороны, число граней, а с другой — несколько
форм, из которых путем их усложнения получаются остальные.
i\ таким исходным (простейшим) формам относятся: тетраэдр
(куоическии -, рис. 93, а) — четыре грани в виде правильных тре-
ный тето^ппеСКИЙ тетРаэДР» грани—разносторонние треугольники. Тетрагоналъ-
раэдп* гп^/ ГраНН"~ Равнобедренные треугольники. Кубический тетраэдр (тет-
др>, грани — правильные треугольники.
113 • |

Fuc. 93. Простые формы, выводящиеся из кубического тетраэдра:
а — тетраэдр; б — тригон-тритетраэдр; в — тетрагои-тритетраэдр; г — пеитагон-тиитет-
раэдр; д —- гекс а тетраэдр
Рис. 95. Простые формы, выводящиеся из октаэдра:
а — откаэдр; б — тригон-триоктаэдр; в — тетр а гои-три октаэдр;
г — пеитагон-триоктаэдр; д — гексоктаэдр (48-гранник)
114

Рис. 96. Пентагон-додекаэдр (а) и
дидодекаэдр (б)
Рис. 97.
Ромбододекаэдр
угольников; гексаэдр (куб. рис. 94, а)—шесть граней в форме
квадратов; октаэдр (рис. 95, а) —восемь граней в виде правильных
треугольников; пентагон-додекаэдр (рис. 96, а) — двенадцать
граней в форме пятиугольников.
Наконец, отнесем сюда же обособленно стоящий
ромбододекаэдр (рис. 97), ограниченный двенадцатью гранями в виде ромбов.
Начнем с производных тетраэдра (см. рис. 93). Утроив его грани,
получим двенадцатигранник —тритетраэдр. Оказывается, можно
построить несколько, а именно — три тритетраэдра с треугольными,
четырехугольными и пятиугольными гранями: тригон-тритетраэдр
(см. рис. 93, б), тетрагон-тритетраэдр (рис. 93, в)у пентагон-тритет-
раэдр (рис. 93, г).
Сюда же принадлежит ушестеренный тетраэдр — гексатетраэдр
(двадцать четыре грани в форме треугольников; рис. 93, д).
Октаэдр дает новую серию производных, аналогичную тетраэд-
рической (см. рис. 95).
Утраивая грани октаэдра, получаем три двадцатичетырехгран-
ника: тригон-триоктаэдр (грани— треугольники), тетрагон-триок-
таэдр (грани — четырехугольники), пентагон-триоктаэдр (грани —
- пятиугольники).
Ушестерив октаэдрические грани, приходим к единственному со-
рокавосьмиграннику — гексоктаэдру (простая форма с
наибольшим числом граней. В литературе ее нередко называют «48-гран-
ник»).
С гексаэдром (кубом) связана производная форма,
представляющая собой как бы учетверенный куб — тетрагексаэдр (см.
рис. 94, б). На каждой грани куба здесь появляется четырехгранная
пирамида, в связи с чем в старых руководствах этот двадцатичеты-
рехгранник нередко назывался пирамидальным кубом.
Из пентагон-додекаэдра путем удвоения его граней выводим
дидодекаэдр (см. рис. 96,б; двадцать четыре грани в виде трапеций).
Несколько простых форм кубической сингонии вполне
характеризуются числом граней. Четыре равные и взаимосвязанные грани
отвечают лишь тетраэдру, шесть — гексаэдру (кубу), восемь —
октаэдру и сорок восемь — гексоктаэдру. Остальные одиннадцать
т пов простых форм (пять двенадцатигранников и шесть двадцати-
етырехгранников) в комбинациях определяются сложнее.
115 • ■ I

Таблица 9
Простые формы кубической сингонии
Число
одинаковых граней
4
6
8
12
12
12
i
•
А
1
Л
Z\
6
4
С
>
Изображение простой формы
\ /7
\ ' 1
\ \ ' /
\ \ х /
1 • Х /
У У
I
I
i
у'
У
ф
-
i\ \ л 7
\\ у \ ^ 1 //
W X \ ч
\£^4T\v/
Ф
у >
\
Название простой формы
Тетраэдр
Гексаэдр (куб)
Октаэдр
Тригон-тритетраэдр
Тетрагон-тритетра-
эдр
Ромбо-додекаэдр
116

Продолжение табл. 9
Очертание грани
о
Изображение простой формы
Название простой формы
Пентагон-додекаэдр
Пентагон-тритетра-
здр
Тригон-триоктаэдр
Тетрагексаэдр
1'ексагетраэдр
Тетрагон-триоктаэлр
117 • I

Продолжение' табл. 9
Очертание грани
Изображение простой формы
Назнаине простой формы
24
о
Дидодекаэдр
24
Пентагон-триокта-
эдр
48
А
Гексоктаэдр
(48-гранник)
Приведем две таблицы, позволяющие определять простые
формы многогранников кубической сингонии или по числу и очертаниям
Рис. 98.
Комбинация гексаэдра
(куба) с
тетраэдром
Рис. 99.
Комбинация
гексаэдра (куба) с
тетрагон-трио-
ктаэдром
граней (табл. 9), или же «по отрезкам, отсекаемым гранями на
особых осях (табл. 10).
В комбинациях очертания граней простых форм нередко
являются искаженными за счет граней других форм. Так, например, на
118

Простые формы кубической сингонии
Таблица 10
Вичы
симметрии

Примитивный
(Пентагон -тритет-
раэдриче-
ский)
3LoJL3-23

Центральный (дидо-
декаэдриче-
ский)
3Lo4L3SPC-
— тЗ
Планальный
(гексатет-

раэдривеский)
SL. 4L&P—
— 43 т
Аксиальный
(Пентагон-
тркоктаэд-
рический)
3Z.44Z.36Z.2—
—432
Планакеи-
альный
(гексоктаэд-
рический)
ЗЦ41ф12Х
Х9РС-тЗт
Название простых форм
Общие
ш

Пентагон-три-
тетраэдр

Дидодекаэдр
Гексатет-
раэдр

Пентагон-
трио к-
таэлр
Гексок-
таэдр
Частные
Aft/
Тетра-
гон-три-
тетраэдр
Тригон-
триок-
таэдр
Тетра-
гон-три-
тетраэдр
Тригон-
триок-
таэдр
Три гон-
трио к-
таэдр
hkk
Тригон-
тритет-
раэдр

Тетрагон-
трио к-
таэдр
Тригон-
тритет-
раэдр
Тетра-
гон-три-
октаэдр
Тетра-
гон-
тркок-
таэдр
ш

Тетраэдр

Октаэдр

Тетраэдр

Октаэдр

Октаэдр
НЪо


гон-додекаэдр


гон-додекаэдр
Тетра-
гексаэдр
Тетра-
гекгаэдр
Тетра-
гексаэдр
по


додекаэдр


додекаэдр
Ромбо-
додека-
элр


додекаэдр


додекаэдр
100
Гексаэдр
Гексаэдр
Гексаэдр
Гексаэдр
Гексаэдр
рисунке 98 изображена комбинация гексаэдра с тетраэдром, причем
квадратные грани куба, будучи срезанными тетраэдрическими
плоскостями, принимают форму шестиугольников.
Четырехугольные грани тетрагон-триоктаэдра в присутствии
гексаэдра видоизменяются в треугольники, а грани куба — в
восьмиугольники (рис. 99) и т. д.
Как указывалось выше, для выявления истинных очертаний
граней той или иной простой формы в комбинации необходимо
мысленно продолжить их до взаимного пересечения, не обращая внимания
на грани остальных форм. В случае кристаллов кубической синго-
119

нии для облегчения задачи прилагается таблица 10, построенная по
следующему принципу.
Каждая горизонтальная строка таблицы отвечает одному из
пяти видов симметрии кубической сингонии. Вертикальные столбцы
обозначаются особыми символами hkl, hhly hkk и т. д. К ним мы еще
вернемся в главе шестой, а пока лишь укажем, что для получения их
в многогранниках кубической сингонии проводятся три взаимно
перпендикулярные координатные оси, совпадающие с 3L4, или, в
случае отсутствия таковых, — с ЗЬ2. Определяя какую-либо форму,
продолжаем одну произвольно выбранную грань ее до пересечения
с координатными осями. Если такая грань на всех осях отсекает
разные по длине отрезки, пишем три разные буквы hkl (такой
символ всегда отвечает общим формам). Если грань отсекает на двух
любых осях равные, а на третьей больший отрезки, пишем hhL
В случае двух равных и одного меньшего отрезков, имеем hkk.
Грань, отсекающая на всех трех осях равные отрезки, обозначается
символом 111 * (тетраэдр или октаэдр; грани J-L3). Если грань
отсекает два неравных отрезка и проходит параллельно одной из
■осей, пишем hko. Случай, когда на двух осях отсекаются равные
отрезки, а третья ось направлена параллельно грани, обозначается
через ПО (ромбо-додекаэдр; грани || или -LL2). Наконец, грань,
параллельная двум осям и пересекающая лишь третью, обладает
символом 100 (гексаэдр; грани _L L4 или Lz-4, или L2).
Определив симметрию многогранника, находим тем самым
соответственную горизонтальную строку таблицы. В каждой такой
строке помещены все семь простых форм, относящихся к данному
виду симметрии (одна форма общая и шесть частных). Выбрав
координатные оси и определив отрезки, отсекаемые на них взятой
гранью, приходим к одному из вертикальных столбцов таблицы.
Название искомой формы прочтем в клетке, лежащей на
пересечении горизонтальной строки и вертикального столбца.
Рекомендуется твердо запомнить следующие данные для важ-.
нейших форм кубической сингонии (табл. 11):
Название прост ой формы
Гексаэдр
Октаэдр *
Тетраэдр . ..... .
Ромбо-додекаэдр . . .
Пентагон-додекаэдр
Тетрагексаэдр ....
Гексоктаэдр ...
Число
граней
6
8
4
12
12
24
48
Габлица 11
Символ
100
111
111
ПО
hko
hko
hkl
111—читается так: один, одни, один; 100 — один, нуль, нуль и т. п.
120

Г noK семь типов кристаллографических форм в описаниях раз-
ых авторов нередко назывались по-разному. Чтобы читатель
личны ориентир0ваться в специальной литературе, в приложении
2° вводятся принятые термины и наиболее распространенные их
синонимы Помимо этого, в приложении 1 приведен список 32 ви-
пов симметрии с перечислением всех простых форм, к ним
принадлежащих. Кроме принятой номенклатуры видов симметрии, в
скобках указываются также названия по общей форме. Здесь же
помещены соответственные проекции и примеры комбинаций.
Примеры
Ниже даются образцы типовых записей, характеризующих
симметрию и флрмы нескольких многогранников.
Порядок записи:
1. Элементы симметрии.
2. Число единичных направлений и их расположение.
3. Сингония и ее категория.
4. Название вида симметрии.
5. Число простых форм.
6. Подразделение форм на общие и частные.
7. Названия простых форм.
8. Проекция.
9. Название вида симметрии по общей форме (вывод общей
формы на проекции).
Пример. I. Каламин—-Zn4(ОН)2[Si207]-H20 (рис. 100).
1. L22P — mm2.
2. Три единичных направления; одно параллельно L2, другие два
перпендикулярны двум плоскостям симметрии.
3. Ромбическая сингония, низшая категория.
4. Планальный вид симметрии ромбической сингонии.
5. Комбинация из семи простых форм (о, Ъ, с, dt e, f, g).
6. Одна простая форма (g) общая, другие шесть — частные.
/. Два пинакоида (а и /?), два диэдра (с и d), одна ромбическая призма (е),
один моноэдр (/) и одна ромбическая пирамида (g) — общая форма.
8. См. рис. 100, б.
9. Ромбо-пирамидальный вид симметрии.
Пример 2, Шеелит — Ca[W04] (рис. 101).
1. LAPC — 4/m.
2. Одно единичное направление, совпадающее с L4.
3. Тетрагональная сингония, средняя категория.
4. Центральный вид симметрии тетрагональной сингонии.
5. Комбинация из трех простых форм (а, Ь, с).
6. Все простые формы общие.
7. Три тетрагональные дипирамиды.
8. См. рис. 101, б.
9. Тетрагонально-дипирамидальный вид симметрии.
Пример 3. Сфалерит — ZnS; (рис. 102).
1. 3L/44£36P — 43m.
ч' £диничных направлений нет.
* Куоическаясингония, высшая категория.
4. Планальный вид симметрии кубической сингонии.
о- Одна простая форма.
Ь. Частная.
121

Рис. 100. Комбинация двух пинакоидов (а и Ь),
двух диэдров (с и rf), одной ромбической
призмы (е), одного моноэдра (/) и одной
ромбической пирамиды (g), L22P — тт2
Рис. 101. Комбинация трех тетрагональных ди-
пирамид (а, Ьу с)\ LJ>C — Aim
!22
Рис. 102. Тригон-тритетраэдр; 3L*4 4L36P — 43m

7. ТрИГ0"^Т ^02, б (пунктирные кружки и крестики отмечают грани общей
.ПМ8Ы ^гексатетраэдра).
формыГексатетраэдрическии вид симметрии.
§ 7. РАЗНОВИДНОСТИ ПРОСТЫХ ФОРМ
В основе рассмотренного геометрического учения о формах
кристаллов лежит понятие о простой форме, т. е. совокупности граней,
связанных между собой элементами симметрии. Как известно, у
идеальных кристаллов все грани одной простой формы должны
быть одинаковыми по очертаниям и размерам. До сих пор все
простые формы, имеющие одинаковое число граней, одинаковые
очертания граней и одинаковое взаимное расположение их, объединялись
нами под названием одной простой формы. Так, например, простая
форма, состоящая из двух взаимосвязанных, равных и
параллельных граней, всегда называлась пинакоидом. Ясно, однако, что пи-
накоид гексагонального кристалла должен по своей симметрии
резко отличаться от пинакоидов тетрагональных, ромбических,
моноклинных и триклинных образований.
Следовательно, под названием одной простой формы нередко
объединяются многогранники, отличающиеся по своей симметрии.
В качестве примера возьмем кубические кристаллы двух
минералов— свинцового блеска PbS и пирита FeS2 (рис. 103). На
первый взгляд кажется, что кубики этих минералов обладают равной
симметрией." Однако подобное утверждение несостоятельно: грани
кристаллов свинцового блеска и пирита несут на себе разные
системы штрихов, что непосредственно указывает на разную симметрию
этих кристаллов. Действительно, для кристаллов PbS находим —
3L44L36L29PC(m3m), а для кристаллов FeS2—3L24Lz3PC(m3).
Следовательно, кубы свинцового блеска и пирита по симметрии
неодинаковы.
А. В. Шубников отмечает существование пяти
кристаллографически различных кубов, соответствующих пяти видам симметрии
кубической сингонии, и приводит возможные типы штриховок гекса-
эдрических граней (рис. 104). Перпендикулярно изображенным
пяти граням куба располагаются различные элементы симметрии. В
случае a — L2, б и в~ L22P, г — L4, д — ЦАР. Таким образом, в
отличие от геометрии, где имеем
дело лишь с одним кубом, в
кристаллографии различается
'Пять кубов.
Полный вывод всех
возможных кристаллографически
различных простых форм по-
прежнему основывается на 32
видах симметрии, причем
отличающиеся по симметрии Q 6
многогранники принимаются ^
во внимание как самостоятель Ш3" ШтРиховка на гранях куба:
° а — свинцового блеска; б — пирита
у.
/ / / /
У/ / / / /
///////
//А
/ЛА
ЛАА
ОМ
ОМ
123
I

Рис. 104. Возможные типы штриховок на гранях пяти кристаллографически
различных кубов (по А. В. Шубникову)
ные разновидности. В результате подобного пересмотра 47 прос*
тых форм выведено 146 их кристаллографических аналогов
(Г. Б. Бокий). Учет правых и левых энантиоморфных форм
повышает последнюю цифру до 193.
Первое место по количеству разновидностей занимает пинакоид
(21 разновидность), далее следует гексагональная призма (11
разновидностей), моноэдр (10 разновидностей) и т. д.
Целый ряд морфологических особенностей для форм реальных
кристаллов (штриховка, контуры ямок растворения и бугорков
роста на гранях и пр.) помогает отличать вышеупомянутые
разновидности и, наоборот, знание последних дает ключ к познанию
морфологии кристаллических образований. Этот новый подход к простым
формам, учитывающий их кристаллографическую симметрию,
позволяет значительно углубленнее изучать природные
кристаллические многогранники.
§ 8. ФОРМЫ РЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛОВ
Переходя непосредственно к формам реальных кристаллов,
отметим некоторые термины, широко используемые в минералогии и
петрографии при описании кристаллов.
Кристалл называется идиоморфным, если он огранен
свойственными ему и достаточно хорошо развившимися гранями.
Кристалл, не имеющий четких граней, называется ксеноморф-
ним (например, кристаллические зерна неправильной формы во
многих горных породах) *. Далее остановимся на некоторых услож-
* При характеристике реального кристалла, как идиоморфного, так и ксено-
морфного, прежде всего обращают внимание на его общий облик. Вследствие
разной скорости роста кристалла по различным направлениям кристалл может быть
либо вытянутым, либо сплющенным, либо в частном случае, равномерно
развитым. Соответственно этому различают три главных типа облика кристаллов:
1) столбчатый облик (кристалл развит в одном направлении); 2) таблитчатый
облик (кристалл развит преимущественно по начравлениям, лежащим в одной
плоскости); 3) изометрический облик (кристалл ро разным направлениям развит
более или менее одинаково).
Проф. Н. К- Разумовский рекомендует выделить досковидный облик для
кристаллов, растущих с различной скоростью по трем взаимно перпендикулярным
направлениям.
При более детальной характеристике внешнего вида идиоморфных кристаллов
обращают внимание на преобладание граней тех или иных простых форм. Такие
преобладающие грани в сильной степени влияют на наружный вид кристалла,
сообщая ему специфический габитус (призматический, дипирамидальный,
ромбоэдрический, кубический и т. п.).
124

Рис. 105. Кристалл вилуита
со сложной скульптурой
граней
нениях и отклонениях от
идеализированных многогранников, с которыми
по сих пор мы имели дело.
Как указывалось
грани кристаллов далеки
плоскостей. На н
выше, реальные
от
математических плоскостей, на них при
внимательном просмотре почти всегда
обнаруживаются следы имевших
место процессов роста или растворения в
виде бугорков, ямок, вицинальных
образований, штрихов и т. п.
Эти и другие -подобные им
усложнения на поверхностях граней «принято
называть скульптурой граней.
Изучение гранных скульптур
нередко дает ценнейший материал,
объясняющий многие особенности
строения и роста кристаллов.
На рисунке 105 изображен
кристалл вилуита (разновидность
везувиана) со сложной скульптурой граней в виде причудливых
вицинальных скошГений.
Грани каждой простой формы характеризуются собственной
скульптурой, что позволяет отличать грани разных простых форм
друг от друга. Кроме этого, подобные наблюдения существенно
облегчают определение симметрии минерала.
Следует иметь в виду, что идеальные кристаллические
многогранники, на которых грани одной и той же простой формы
характеризуются одинаковым развитием, возникают лишь при условиях
всестороннего и равномерного подтока питания к кристаллу. В
природе такие условия осуществляются чрезвычайно редко. Чаще всего
грани одной простой формы, в связи с несовершенными условиями
роста кристаллов, развиваются неодинаково.
Исследование кристаллических многогранников различных
минералов показывает, что асимметричное развитие граней одной и
той же простой формы во многом зависит от положения и
ориентировки кристаллов на месте их образования (внутри жил, пустот
и т. п.). Например, грани кристалла, обращенные вверх и вниз,
развиваются неодинаково. Причина неравномерного развития верхних
и нижних граней связана с различием условий питания граней
(1.1. Леммлейн).
пячтпГ рисунке 106 изображен природный кристалл кварца с резко
различными по величине ромбоэдрическими гранями (г и р).
что гпяии пРл°г^ кварца, топаза и др. установлено,
Тт^тттТт?ат!1^?^5ащеннь1е при Росте кристаллов вниз, развиваются
У kLI PИОбретают большие размеры, чем верхние грани.
n,£f ™го' Нижние и ^Рхние грани могут различаться еще ха-
ItboSZIZUX ПовеРхностей. В качестве примера отметим
существование так называемых присыпок, состоящих преимущественно
125

из мелких кристалликов или кристаллических
обломков того же самого или других
минералов, осевших сверху на растущий кристалл
(Г. Г. Леммлейн, Д. П. Григорьев). Присыпки
эти могут служить указателем на
ориентировку кристалла в период его формирования.
Изучение подобных явлений следует
проводить с максимальной тщательностью
непосредственно в 'полевых условиях.
Много дает и углубленнре изучение
искаженных форм реальных кристаллов.
Идеально образованные формы могут возникать
лишь при условии всестороннего и
равномерного притока питания ко всем граням
кристалла. Такие образования встречаются в
природе как исключение. В подавляющем
большинстве случаев кристаллические ф.ормы
более или менее значительно отклоняются от
идеально развитых форм.
На таких искаженных кристаллах грани»
принадлежащие одной простой форме, могут
развитыми, а иногда частично и вовсе
отсутствовать. Однако подобные искажения чаще всего подчиняются
определенным закономерностям, связанным, с условиями
образования кристаллов. В основном, они обусловлены симметрией среды,
питавшей кристалл.
В качестве примера возьмем октаэдр алюмо-калиевых квасцов,
одна из граней которого лежит на дне кристаллизатора. Такой
кристалл в условиях равномерного и всестороннего питания мог бы
получить совершенную форму с внешней симметрией
3L44L36L29PC—тЗт (истинная симметрия квасцов — 3L24L33PC--
m3). Однако в условиях нашего опыта дно кристаллизатора
препятствует росту вниз, а кроме того, действие концентрационных
потоков заставляет кристалл расти быстрее в стороны, чем вверх
(стр. 24). В результате форма октаэдра искажается, и весь
кристалл приобретает уплощенный облик с внешней (видимой)
симметрией ЬЪЗР—Зт и ложными простыми формами, соответствующими
как бы двум «моноэдрам» (верхняя и нижняя грани) и двум «три-
тональным пирамидам» (косые грани). Внешняя симметрия не
является случайной — она обусловлена симметрией кристаллообра-
зующей среды.
Согласно принципу, открытому знаменитым П. Кюри (1859—
1906), симметрия окружающей среды как бы отпечатывается на
формирующемся в ней объекте. При этом элементы симметрии
среды накладываются на симметрию данного объекта. Последний в
результате сохраняет только те элементы своей симметрии,
которые совпадают с элементами симметрии среды.
Вернемся к примеру с искаженным октаэдром квасцов. Какова
симметрия окружающей его среды?
Рис. 106. Кристалл
кварца (£3 —
перпендикулярна
плоскости рисунка) с
неравномерно
развитыми гранями
двух ромбоэдров г
и р. При росте
кристалла большая
грань г была
обращена вниз (по
Г. Г. Лемлейну)
быть неодинаково
126

Нам известно, что к кристаллу поступают концентрационные
потоки устремляющиеся затем к поверхности раствора (см. рис.
Ч? а) Схематически симметрия общей совокупности таких струек:
L ооР (ось симметрии бесконечного порядка, бесчисленное
множество пересекающихся вдоль нее вертикальных плоскостей
симметрии) С осью Loo совпадает вертикальная Ц кристалла, а три
вертикальных его плоскости симметрии-с тремя из бесконечного
числа плоскостей симметрии среды. Эти-то элементы симметрии и
сохраняются во внешней симметрии кристалла.
Описанные явления'чрезвычайно часто наблюдаются в
природных условиях. Кристаллы кварца, берилла, топаза и др.,-растущие
на дне хрусталеносного погреба, занорыша или пещеры, так, что
главная ось кристалла ориентирована вертикально, имеют, как
правило, внешнюю (видимую) симметрию типа LnnP—Ls3Py L6SP,
L22P. Причины этого явления объясняются тем же, что и
рассмотренное выше искажение симметрии кристалла квасцов.
Кристаллы, растущие на вертикальных стенках полостей, с ко-
соориентированной главной осью симметрии, нередко
характеризуются внешней симметрией типа Р. Последнее связано с тем, что
совокупность поднимающихся по вертикали питающих струек
характеризуется наличием плоскостей симметрии, перпендикулярных к
стенке породы. Одна из таких плоскостей, совпадающая с
серединой прикрепленного к стенке кристалла, и отпечатывается на его
облике.
На рисунке 107 изображен кристалл кварца с внешней
(видимой) симметрией Р (хотя в истинной симметрии кварца —
LsSLz—32 — плоскость симметрии отсутствует, но внешне, без учета
мелких деталей, симметрия близка к L33L23PC—5m). Одна из этих
трех видимых плоскостей симметрии совпадает с плоскостью
симметрии ^среды и придает всему кристаллу как бы моноклинно-пла-
нальный облик. Вследствие этого на рисунке грани его
гексагональной призмы и ромбоэдров распадаются на ложные формы в виде
«диэдров» (d и d') и «моноэдров» (т и т').
Учет внешней симметрии и ложных форм на реальных
кристаллах дает понятие об особенностях питающей среды и делает
возможным суждение о направлении питающих потоков.
Следует отметить, что принцип Кюри имеет универсальное
значение. Ьму подчиняются внешние формы не только кристаллов, но
и представителей животного и растительного мира. Хорошо
известно, что видимая симметрия природных объектов в подавляющем
оольшинстве случаев отвечает либо LnnP (деревья, грибы, цветы с
чашечкой, обращенной вверх), либо Р (листья и ветви деревьев,
ле иГТ' Птицы' квотные, цветы, расположенные сбоку на стеб-
ший;пбССИ*ИЦИРУЯ ЭТИ явления> можно сформулировать следую-
оощии закон, ярко и повсеместно проявляющийся в природе.
вниз от Т0> ЧТ° Растет или Движется по вертикали, т. е. вверх или
типа L "°рИтельно земной поверхности, имеет внешнюю симметрию
п г\ все то, что растет и движется горизонтально или косо
127

по отношению к земной поверхности,
характеризуется симметрией Р.
В чем же кроется объяснение столь
широкого распространения в природе двух типов
симметрии?
Все вокруг нас находится в поле земного
тяготения и, следовательно, должно неминуемо
нести на себе отпечаток его воздействия.
Примем какую-либо точку на земной
поверхности за исходную и изобразим действие на нее
земного тяготения в виде вертикальной стрелки,
направленной острием вниз. Вокруг исходной
точки находится бесчисленное множество других
точек'земной поверхности, на которые также
действует сила земного тяготения.
Следовательно, изображенную стрелку нужно окружить бес
конечным множеством аналогичных стрелок.
Сходная картина наблюдается во время
сильного ливня, когда каждая капля окружена
множеством точно таких же падающих капель.
Ясно, что симметрия стрелки над исходной
точкой с учетом всех окружающих стрелок
отвечает LooOoP. Это так называемая «симметрия
конуса».
Значит любая точка земной «поверхности с
учетом воздействия силы земного тяготения
обладает «симметрией конуса», которая и должна
налагать свой отпечаток на симметрию любого
тела, находящегося в данной точке. В
результате все то, что растет в вертикальном направлении, не сходя с
какой-либо точки земной поверхности, обязательно совпадает с осью
симметрии бесконечного порядка, проходящей через упомянутую
точку и лежащей на стыке бесчисленного множества плоскостей
симметрии, пересекающихся в ней. Симметрия LooOoP и
накладывает свой отпечаток на внешнюю (видимую) симметрию объекта,
получающую в общем вид LnnP.
С другой стороны, все то, что растет или передвигается по
горизонтали и вкось, отклоняется от вертикальной Loo, но
обязательно совпадает с одной из бесчисленных плоскостей симметрии. Эта
плоскость симметрии и кладет свой штамп на листья, ветви,
животных и насекомых.
Наглядную иллюстрацию к сказанному мы находим на
примере симметрии цветов. Цветочные чашечки, обращенные кверху
(ромашка, подсолнечник, василек и т. д.), подчиняются симметрии
LnnP. В то же время цветы, расположенные на стебле сбоку
(душистый горошек, орхидея и т. д.), обладают подобно листьям
только одной плоскостью симметрии (Р).
Так реализуется универсальный принцип симметрии, царящий
на земной поверхности. Как было сказано, этому всеобщему зако-
Рис. 107.
Кристалл кварца с
внешней
симметрией «Р» и
ложными
формами m, m1, d,
dl
128

плчиняется не только органический мир, но и каменный природ-
НУи материал (движение питательных потоков вверх или вниз
ны" е обусловливается силой земного тяготения).
В заключение следует отметить, что влияние универсального
пинципа симметрии является чисто внешним, налагающим свою
печать лишь на наружную форму природных тел. Внутреннее
строение их и многие детали остаются вне его влияния.
ГЛАВА ШЕСТАЯ
КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИЕ СИМВОЛЫ
1
/
v v>
Рис. 108. Тетрагональные
дипирамида и призма в двух
комбинациях
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Знание элементов симметрии и простых форм не всегда дает
однозначное представление о кристалле. На рисунке 108
изображены два многогранника планаксиального вида симметрии
тетрагональной сингонии (L44L25PC—4/mmm), ^^^
являющихся комбинациями тетраго- / N.
нальной дипирамиды и тетрагональ- п—£—- п
ной призмы. Как видим, несмотря на
тождественную характеристику обеих
фигур, внешний их вид резко
отличен.
Отсюда следует, что, помимо
-приведенных данных, необходимо
выяснить взаимное расположение граней
в пространстве. С этой целью
применяются кристаллогр афические
символы, определяющие положение любой
грани данного кристалла относительно некоторых координатных
осей, и некоторой грани, принятой за исходную.
Понятие о символах вытекает из важнейшего закона
кристаллографии— закона рациональности отношений параметров.
§ 2. ЗАКОН РАЦИОНАЛЬНОСТИ ОТНОШЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ
(ЗАКОН ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, ЗАКОН ГАЮИ)
О оУ^сРпМп кристалле ТРИ непараллельных ребра с общей точкой
«L ' ' Ш (РИС- 109)- Далее, в том же кристалле возьмем две
ребрааЛЛеЛЬНЫе Грани AlBlC* и А^С2, пересекающие все три
OBUrnrAlBlCl отлСе£ает на ребрах 01, ОН и OIII отрезки ОАи
Ото Й ГРЭНЬ AzB^~OA2, OB2, ОС2.
еаются параметр™^* грШаМи Ш ТреХ выбРанных РебРах' »азы"
В нашем случае О Ал cm „ глп
A,B,C, я па по яАь * и OCl отвечают параметрам грани
1 lCb а °A*> 0В* и 0С*~параметрам грани А2В2С2.
5—3681
129

Рис. 109. Двойные отношения отрез- Рис. 110. Ребра О/, ОН и OIII— ря-
ков, отсекаемых гранями AiBiCi и ды решетки; грани A\Bid и
А2В2С2 на ребрах 01, ОН и О///, А2В2С2— плоские сетки
отвечают целым и сравнительно
малым числам
Оказывается, что, разделив параметры какой-либо грани на
соответственные параметры другой грани и взяв отношение между
ними, получим отношение целых и сравнительно малых чисел. При
этом вначале находятся отношения между параметрами обеих
граней, т. е. получаются три дроби, а затем берутся отношения этих
дробей. Таким образом, здесь имеют место двойные отношения:
ОА2 т ОВ2 щ ОС2 _
~оа1: об, :0Ct —p:q:r>
где р, <у, г — целые и обычно небольшие числа.
Такова сущность закона целых чисел. Приведем его краткую
формулировку.
Двойные отношения параметров, отсекаемых двумя любыми
гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны
отношениям целых и сравнительно малых чисел.
В законе следует различать два пункта: 1) двойные отношения
параметров пропорциональны целым числам; 2) получающиеся
числа невелики (редко превышают 10). И то, и другое требует
объяснения. С этой целью обратимся к теории решетчатого
строения кристаллов. Как известно, каждое кристаллическое ребро
отвечает ряду пространственной решетки кристалла, т. е. прямой, вдоль
которой через одинаковые промежутки расположены узлы решетки.
Следовательно, на рисунке ПО — О/, ОН и OIII изображают
ряды решетки (а — промежуток ряда О/, Ъ — ОН и с — OIII). В свою
очередь, грани соответствуют плоским сеткам. Тем самым AxBiCi и
А2В2С2 являются плоскими сетками.
130

Напомним, что такие сетки определяются по меньшей мере тре-
Ями оешетки Если эти узлы лежат на самих ребрах О/, ОН
Мп/?Гто наличие целых чисел в законе Гаюи доказывается совсем
просто В самом деле, пусть плоскость AJB^ проходит через уэлы
АиВг и Си находящиеся на ребрах О/, Off и Oftf.
' Тогда
OAi = г-а; ОВ± = s-6; Od = *-с,
где г, s, t — целые числа (на рисунке г=2, s = 3, *=il), a, 6, с
промежутки рядов О/, Off, Offf. ad
В свою очередь пусть грань А2В2С2 проходит через узлы Л2, Я2,
С2, также расположенные на ребрах О/, Off и О///.
Тогда
ОЛ2=ы.а; ОВг=ь-Ь\ OC2 = w-cy
где и, а, ш —целые числа (на рисунке w=6, и=4, ш=2).
Взяв двойные отношения параметров, имеем:
и-а v-b W'C и v w
r-a ' s-b t-c r ' s t
Ho uy t\ w и r, s, /— целые числа.
Тем самым, приведя к общему знаменателю полученные три
дроби и взяв отношения между ними (отбросив знаменатели и
сократив, если можно, на общий множитель), всегда придем к целым
числам (на рисунке —
и v w 6 4 2
—: — :— = —: —:—=9:4:6).
г s t 2 3 1
Однако узлы, через которые должны проходить наши плоские
сетки, могут располагаться и вне рядов О/, Off, Offf. Теоретически
доказано, что в этом случае плоские сетки образуют параметры,
состоящие из рационального числа промежутков. Такие числа могут
быть целыми или дробными, но никогда не бывают
иррациональными. Приведя дроби к общему знаменателю, мы и здесь придем к
целым числам. Остается выяснить, почему эти числа являются
сравнительно малыми, и только в редких случаях превышают 10.
На рисунке 111 представлена плоская сетка, проходящая через
ребра Of и Off (сетка совмещена с плоскостью чертежа). Прямая
А\Яп является следом другой плоской сетки, отсекающей на ребре
малый, а на Off большой параметры. Сетка AYBn проходит
через узлы и, следовательно, возможна в решетке.
месте с тем, такая сетка не подходит ко второй части закона
ц ых чисел, так как в связи с ее большим параметром по второй
объясЛЬН° ВозрастУт ВДФРЫ двойных отношений. Это несоответствие
няется просто, если вспомнить, что в рассматриваемом законе
5*
131

Рис. 111. Плоская сетка
речь идет не о любых
плоских сетках, а лишь о тех,
которые отвечают реальным
граням.
Как известно, на
реальных кристаллах
преобладают грани,
характеризующиеся плоскими сетками с
большими (или наибольшими)
ретикулярными
"плотностями (стр. 20). Примем во
внимание несколько
плоских сеток, образующих на
рисунке следы A\BU AiB2y
AiBz и т. д. Промежуток
между соседними узлами вдоль Л^ равен диагонали АХВХ одного
параллелограмма сетки.
Вдоль А\В2 узлы располагаются реже: соответственный
промежуток (А1В2) равен здесь диагонали удвоенного параллелограмма
(AlB2>AlBi). Еще реже лежат узлы вдоль AlB3(AiB^>AiB2>A[Bl)
и т. д.
Ясно, что сетка А\Вп обладает чрезвычайно малой плотностью и
тем самым не должна представлять реальную грань.
Приведенное объяснение справедливо для мельчайших
кристалликов, состоящих из небольшого числа параллелепипедов решетки.
В достаточно крупных кристаллах таких граней, как А\Ви А\В2
и т. п., отсекающих весьма незначительное количество
промежутков ряда, быть не может.
В действительности имеются параллельные им грани,
отсекающие десятки, сотни и более миллионов промежутков. Однако
перенос граней параллельно самим себе, осуществляемый при росте
кристаллов или путем воображаемого построения, оставляет
постоянными отношения отрезков. Само собой разумеется, что
плотности граней при этом также не изменяются. Таким образом,
предыдущее рассуждение может быть распространено и на крупные
кристаллы. Этим объясняется вторая часть закона целых чисел.
Автор разобранного закона, французский кристаллограф Ренэ
Жюст Гаюи (1743—1822), сформулировал его задолго до создания
теории пространственной решетки. Согласно воззрениям Гаюи,
молекулы в кристаллах имеют форму многогранников, расположенных
наподобие кирпичиков в кирпичной кладке (см. рис. 203). С
современной точки зрения, такое толкование не выдерживает критики.
Впоследствии гипотеза Гаюи уступила место теории
пространственной решетки, которую впервые математически обосновал
О. Бравэ (1811—1863). Тем не менее закон целых чисел сохраняет
в полной мере свое значение, целиком согласуясь с теорией
пространственной решетки. Огромная роль этого закона для
кристаллографии заключается в том, что, исходя из него, можно
теоретически вывести все возможные грани кристалла. Так, подбирая отно-
132

ельно какой-либо грани плоскости, параметры которых дают с
°ИТпараметрами двойные отношения в виде различных целых и
небольших чисел, находим теоретически возможные грани *.
§ 3. СИМВОЛЫ ГРАНЕЙ
Закон целых чисел дает возможность численно
охарактеризовать взаимное расположение-граней кристалла. Для этого примем
три непараллельных ребра кристалла за координатные оси. В
случае, если эти ребра не
пересекаются, переносим их
параллельно самим себе до
взаимного пересечения в одной
какой-либо точке. Отношения
параметров граней от такого
переноса не изменяются.
Некоторую грань А\ВХС\
-пересекающую все три
координатные оси, возьмем в
качестве единичной (масштабной)
грани (рис. 112). Отрезок ОАи
отсекаемый такой гранью по
первой оси О/, является
единицей или масштабом для
данной оси. Все отрезки по шервой
оси должны измеряться
единичным отрезком ОА\.
Отрезок ОВ1 служит
масштабом (единицей) для
второй оси OIL
Отрезок ОС\ соответствует единице для третьей оси OIIL
Если задана некоторая грань АХВХСХ, то согласно закону целых
чисел, имеем
ОАх ОВх ^ ОСх _
ОА±: OBx:~OC^~p:q:r>
где р, 9, г —целые и взаимно простые числа. Однако для числовой
характеристики грани АХВХСХ во многих отношениях удобнее брать
обратные величины
1 ОАх ОВх ОСх
Рис. 112. Символ грани АХВХСХ (hkl)
получается из двойных отношений
ОАг ОВх ОСг
ОАх
овх
осл
ОАх
~ОА~х
1
овх
~ОВх~
осх_
ОСх
ОАх ' ОВх ' ОС,
Эти отношения отвечают символу грани АХВХСХ. Приведя дроби
к общему знаменателю и взяв отношение между ними (отбросив
* Возможные грани — см. стр. 136 и 154.
133

знаменатели и сократив, если можно, на общий множитель),
получим здесь также три целых числа
ОА± ОВ, ОС, ...
r~=zh:k:lt
ОАх ОВх ОСх
где h, ky I — целые и взаимно простые числа.
Следовательно, символ грани АХВХСХ выражается тремя целыми
и взаимно простыми числами, представляющими собой отношения
трех дробей, числители которых являются параметрами единичной
грани (ОАи ОВи ОСх), а знаменатели соответствуют параметрам
заданной грани (ОАх, ОВх, ОСх).
Три числа, входящие в символ, называются его индексами.
Совокупность индексов символа грани кристалла принято заключать в
круглые скобки без всяких знаков между ними (hkl).
Найдем символ грани А2В2С2, изображенной на рисунке 110:
2 3 1
= —:—:— = 4:9:6.
6 4 2
Окончательно символ грани А2В2С2 запишем так: (4 9 6).
ОА± OBi ОСх , *
Выражение: -—— :■■ ^ :——- = h\k\l лежит в основе всего
F ОАх ОВх ОСх
учения о символах.
Для получения символов граней необходимо за координатные
оси принять три направления, проходящие через одну точку и
параллельные трем ребрам кристалла, а также выбрать единичную
грань.
Направления в кристалле, параллельные его ребрам и принятые
за координатные оси, называются кристаллографическими осями.
Выбор кристаллографических осей и единичной грани
называется установкой кристалла.
В общем случае первая кристаллографическая ось направляется
к наблюдателю, вторая лежит более или менее горизонтально и
параллельно ему, третья ориентируется вертикально. В частном
случае, когда кристаллографические оси перпендикулярны друг другу,
первая ось, находясь в горизонтальной плоскости, идет точно на
наблюдателя, вторая ось горизонтальна и параллельна ему,
третья — вертикальна.
Для первой оси отрезки, отсекаемые гранями на передней ее
части (до точки О), считаются положительными, на задней —-
отрицательными. Для второй оси отрезки справа — положительные,
слева — отрицательные. Для третьей оси — выше О — имеем
положительные, а ниже — отрицательные отрезки.
Отметим несколько частных случаев.
1. Символ (III) всегда отвечает единичной грани.
134

Л йствительно, при определении символа единичной грани,
вместо ОАх, ОВх, ОСх в выражение
OAi OBj OCj
ОАх' ОВх'Шх'
приходится-подставлять ее же параметры (ОАи ОВи ОСг).
В результате получаем
ОА±я OBj OC± =
OAt OBi' OCi
Следовательно, символ (111) всегда выражает единичную грань,
несмотря на то, что в общем случае единичные отрезки на трех
кристаллографических осях не равны друг другу.
2. В символе грани, параллельной какой-либо
кристаллографической оси, индекс, соответствующий этой оси, равен нулю.
Пусть грань АХВХСХ параллельна первой кристаллографической
оси. Тем самым ее отрезок по оси 01 равен бесконечности
(ОАх=ос).
Подставив значение ОАх в общее выражение для символов,
находим
OAt OBi Od _ OAi OBi OCj OB± OCi
oax * овх' ocx — oo " овх ' ocx ~~ овх "m[ ocx
Аналогично находим символы грани, параллельной второй кри-
ОЛ< ОСх
сталлографическои оси: -:0: и грани, параллельной
CArljc L)L»X
0Ai OBi л
третьей кристаллографической оси: -——: : О.
ОАх ОВх
Выделим здесь три частных случая.
Грань, пересекающая первую кристаллографическую ось и
параллельная двум другим, всегда имеет символ (100):
ОА±я OBj OCj _ OAj OBj Od _ OA±
oax' овх осх~ оах:~^^:~~^~ = ~оаГ:0:0=1:0:0
Соответственно грань, пересекающая вторую
кристаллографическую ось и параллельная двум другим, обладает символом (010).
Наконец, грань, параллельная первой и второй
кристаллографическим осям и пересекающая лишь третью, получает символ (001).
ь качестве примера разберем модель в форме кирпичика или
спичечной коробки. Кристаллографические оси выбираются здесь
параллельно трем четверкам взаимно параллельных ребер.
Мысленно перенеся начало координат в центр тяжести фигуры, получим
Расположение осей, изображенное на рис. 113.
135

~~+п
Рис. 113. Символы граней
прямоугольного параллелепипеда
Согласно вышесказанному, передняя грань Р\ характеризуется
символом_(100). Параллельной ей задней грани Р\ соответствует
символ (100). Правая и левая боковые грани Р2 и /У имеют
символы (010) и (010). Наконец, верхней и нижней граням Р3 и Р/
придаются символы (001) и (001).
В кристаллах низшей категории пинакоидальные грани Pi и Р/
с символами (100) и (100) называются первым пинакоидом; грани
Р2 и Р2 с символами (010) и (Ш0)—вторым пинакоидом; грани
Р3 и /у с символами (001) и (001) —третьим пинакоидом.
§ 4. ТЕОРЕМЫ К ВЫБОРУ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ОСЕЙ
Операция выбора кристаллографических осей существенно
упрощается двумя нижеследующими теоремами.
Теорема 1. Оси симметрии — L2, L3, L4, £/4, Lq, L/e — либо
совпадают с рядами решеток, либо параллельны им и, следовательно,
являются действительными или возможными ребрами кристаллов *.
Докажем это положение для случая четных осей симметрии.
На рисунке 114 прямая L2n изображает четную ось симметрии в
некоторой пространственной решетке. Возьмем ближайший
относительно L2ny HO не лежащий на ней узел решетки А.
Как известно, любая L2n, являясь четной осью, одновременно
представляет простую двойную ось L2 (стр. 71). Следовательно, пси-
воротом вокруг L2n на 180° выведем из узла А соответственный
узел Ai(Am = mAi).
Узлы А и Ах принадлежат одному ряду с промежутком, равным
ААг (в частном случае, на самой оси L2n в точке га также может
оказаться узел. Тогда промежуток ряда ААХ равен Am = mA\)>
Выберем в плоскости чертежа любой другой узел В,
принадлежащий той же решетке. С помощью L2n из В выводится В\.
* Возможным ребром кристалла называется отсутствующее, но теоретически
мыслимое для него ребро. То же относится и к возможным граням (стр. 154).
136

Ряд BBt параллелен ряду ААХ и, следовательно, обладает
промежутками, равными АА± («ли, в частном случае, ~- = AmJ .
Вместе с тем, отрезок ВВг должен содержать между узлами В
i\ В\ целое число промежутков, равных ААХ и расположенных
симметрично относительно L2n. Это целое число является либо четным,
либо нечетным.
В случае четного числа по обе стороны от L2n расположится
целое и одинаковое число отрезков, равных АА\ (рис. 114, а).
При этом узел D на середине ВВХ совпадает с осью L2n.
Строим параллелограмм сетки с узлами A, D и А\ в вершинах.
Четвертая вершина его Е окажется также на самой оси L2n.
В результате имеем два узла D и Е, лежащих на оси L2n.
Ряд решетки определяется двумя узлами (стр. 11). Тем самым
L2n представляет ряд решетки.
В случае нечетного числа промежутков, равных АА\ в отрезке
ВВЪ средний из таких промежутков делится осью L2n пополам
(рис. 114,6).
Отсюда получаем два узла D и Di [Dn = nDi = — ).
Легко видеть, что ряды AD и A\D\ параллельны оси L2n.
Аналогичные результаты получим
для частного случая, когда с точкой га
совпадает узел, и промежутки рядов
АА\ и ВВХ равны
Am =
ААХ
Таким образом, четные оси
симметрии либо совпадают с рядами
решеток, либо параллельны им. Несколько
о£ сложнее то же положение
доказывается и для нечетных осей (доказатеЛЬ-
^л
АО-
Рис. 114. Ось симметрии —
цействительное или
возможное ребро кристалла
-СМ,
Рис. 115. Нормаль к Я —
действительное или
возможное ребро кристалла
137

ство нами опускается). Читателю известно, что ребра кристаллов
соответствуют рядам решеток. Наоборот, ряды решетки являются
возможными ребрами кристаллов. Следовательно, оси симметрии
проходят параллельно действительным или возможным ребрам.
Следствие. Кристаллографические оси можно совмещать с
осями симметрии, так как последние соответствуют действительным
или теоретически возможным ребрам кристаллов.
Теорема 2. Нормали к плоскостям симметрии либо совпадают с
рядами пространственных решеток, либо параллельны им и,
следовательно, являются действительными или возможными ребрами
кристаллов.
Выберем в решетке некоторый ее узел Л, лежащий вне
плоскости симметрии Р (рис. 115).
В этой же решетке благодаря присутствию Р должен
находиться узел Аи соответствующий зеркальному отражению А.
Ряд ААХ перпендикулярен Р. Любая нормаль к плоскости Р либо
совпадает с рядом ЛЛьлибо параллельна ему (добавим, опустив
доказательство, что эти ряды густо усажены узлами).
Итак, нормали к плоскостям симметрии либо проходят
параллельно, либо совмещаются с действительными или возможными
ребрами кристаллов.
Следствие. Кристаллографические оси можно совмещать с
нормалями к плоскостям симметрии, поскольку эти нормали
параллельны действительным или возможным ребрам кристаллов.
На основании двух приведенных теорем кристаллографические
оси проводятся:
а) по осям симметрии,
б) по нормалям к плоскостям симметрии (в случае отсутствия
или недостаточного числа осей),
в) (параллельно действительным или возможным ребрам
кристаллов (обычно в случае отсутствия или недостаточного числа
осей и плоскостей симметрии).
§ 5. УСТАНОВКА КРИСТАЛЛОВ
Перейдем к ознакомлению с выбором кристаллографических
осей и единичных граней, т. е. с правилами установки кристаллов
различных сингоний.
При этом обратим внимание на углы между
кристаллографическими осями (О/, О//, О///), и на отношения отрезков, отсекаемых
на этих осях единичной гранью (ОАи ОВи OCi).
Указанные величины в дальнейшем сокращенно обозначаются
следующим образом (рис. 116):
< 01:011 = у
<0/:0/// —р
< 011:0111 = а
ОА± = G0; OB± = b0; Od = c0.
138

*-#
Рис 116. Геометрические константы
кристалла а, р, Y; «о : Ь0: Со-с : 1 : с
Рис. 117. Ориентировка
криста ллогр афических
осей и символы граней
триклинного кристалла
(С отсутствует)
Оо bo Co _ .
Утлы а, р, Y w отношение аогйо^о = ~7Г:~и~:~~Г' — ал-с
называются элементами кристалла, или геометрическими
константами кристалла.
Установка триклинных кристаллов
Вследствие отсутствия в кристаллах триклинной сингонии осей
и плоскостей симметрии, кристаллографические оси выбираются
здесь по трем непараллельным друг другу действительным или
возможным ребрам кристалла *.
В результате получаем косоугольную систему координат —
аФ$ФуФ90°.
Отрезки, отсекаемые единичной гранью на трех
кристаллографических осях, также не равны друг другу: а0фЬоФс0. Несмотря
на это, символ единичной грани— (III).
Для определения символа какой-либо грани АХВХСХ пользуемся
общим выражением:
ОА±
OBi Od
GO
ОВх ОСх
ОАх
Ясно, что для характеристики триклинного кристалла
необходимо приводить все пять констант; а, р, у\ а: 1 : с.
На рисунке 117 показаны ориентировка кристаллографических
* При этом рекомендуется выбирать ребра наиболее развитых зон (зона —
совокупность граней, пересекающихся в параллельных ребрах; наиболее
развитые зоны обладают наибольшим количеством граней). Углы между
кристаллографическими осями должны по возможности приближаться к прямым
139

осей и символы граней кристалла примитивного вида симметрии
триклинной сингонии (третья кристаллографическая ось
направлена вертикально).
Установка моноклинных кристаллов
В кристаллах моноклинной сингонии всегда присутствуют либо
одна L2, либо одна Р, либо (при наличии С) и L2 и Р одновременно
(I2-LP).
Вдоль L2 или нормали к Р проводится вторая
кристаллографическая ось ОН (L2 или нормаль к Р направляется горизонтально и
параллельно зрителю).
Первая и третья оси выбираются в плоскости, перпендикулярной
к ОН (в Р или в плоскости J-L2). Вместе с тем, они должны быть
параллельны действительным или возможным ребрам кристалла.
Обычно после установления второй кристаллографической осп
рекомендуется переходить к оси 0//Д проводя ее вдоль ребер
наиболее развитых зон * (параллельных Р или плоскости -LL2).
Ось 01II ставится вертикально.
После этого выбирается первая ось (01) параллельно
каким-либо действительным или возможным ребрам, лежащим в Р или в
плоскости ±L2.
Следовательно, углы между кристаллографическими осями
01: ОН и Oil: О///— прямые (у=а=90°), угол между 01: ОIII —
косой (р=^90°).
Кристалл ориентируется так, чтобы к зрителю был обращен
тупой угол между осями 01 и 01II (р>90°). Ось 01 при этом
направлена к зрителю и несколько вниз **.
Аналогично предыдущей сингонии единичная грань и здесь
отсекает на трех осях разные отрезки а0фЬ0Фсо.
Для определения символа (hkl) некоторой грани АХВХСХ также
прибегаем к общему выражению:
, , , aQ bo со
h:k:l = : : .
ОАх ОВх ОСх
Итак, для характеристики моноклинного кристалла имеем
следующие условия: рФа=у = 90°; аофЬ^Фсо.
Как видим, геометрическими константами моноклинного
кристалла являются р, а : 1 : с.
На рисунке 118 показаны ориентировка кристаллографических
осей и символы граней кристалла планаксиального вида симметрии
моноклинной сингонии.
Установка ромбических кристаллов
Кристаллы ромбической сингонии всегда обладают тремя
взаимно перпендикулярными единичными направлениями, совпадающи-
* См. сноску на стр. 139.
** При другой установке моноклинных кристаллов (стр. 92) угол y=^90°.
140

ми с двойными осями или с нормалями к +ш -/
плоскостям симметрии.
С этими единичными направлениями и
совмещаются кристаллографические оси.
Одна из двойных осей принимается за
третью кристаллографическую ось и
ставится вертикально. В планальном виде
ромбической сингонии L22P-mm2
—единственная двойная ось всегда принимается
за третью, т. е. вертикальную ось. Этот
случай следует резко отделять от принятой
здесь моноклинной установки, где
единственная L2 совмещается со второй
кристаллографической осью, т. е. направляется
горизонтально и параллельно наблюдателю.
Of и ОН выбираются по двум другим
единичным направлениям, причем первая ось
направляется на зрителя.
В кристаллах ромбической сингонии кристаллографические оси
образуют прямоугольную систему координат а=р = у = 90°.
Подобно кристаллам триклинной и моноклинной сингонии,
единичная грань и здесь отсекает на трех осях разные отрезки
ОофЬоФсо. Символ любой грани АХВХСХ определяется по
знакомому уже нам общему выражению
Рис. 118.
Ориентировка
кристаллографических осей и символы
граней моноклишюго
кристалла (L2PC —
2/m)
h:k:l =
Яо
h
ОАх ОВ*
Со
ОСх
Геометрические константы ромбического кристалла таковы:
а : 1 : с.
На рисунке 119 показаны ориентировка кристаллографических
осей и символы граней кристалла планаксиального вида симметрии
ромбической сингонии.
Замечание 1.Из рассмотренного примера явствует, что
одному и тому же кристаллу можно придавать различные установки.
Так, например, третью кристаллографическую ось здесь можно
принять за первую, вторую — за третью и т. д. Следовательно,
установка ромбического кристалла не является однозначной (это
относится также к установкам моноклинных и триклинных кристаллов).
Для получения строго однозначной установки кристаллов
следует вводить ряд дополнительных условий, связанных с их
внутренним строением. Принципы такой однозначной установки,
разработанные Е. С. Федоровым, нами здесь не рассматриваются.
Замечание 2. Во всех кристаллах низших сингонии
единичные грани отсекают на кристаллографических осях неравные
отрезки. Последнее вытекает из внутреннего строения триклинных,
моноклинных и ромбических кристаллов.
В качестве примера возьмем ромбическую решетку, состоящую
из параллелепипедов, имеющих форму кирпичиков (рис. 120). Трл
14!

+ш
Рис. 119. Ориентировка кри- Рис. 120. В ромбической ре-
сталлографических осей и шетке единичная грань от-
символы граней ромбическо- секает на трех кристаллогра-
го кристалла (3L23PC— фических осях неравные от-
ттт) резки
взаимно перпендикулярных ребра такого параллелепипеда примем
i за кристаллографические оси (эти прямые, являясь рядами
решетки, отвечают действительным или возможным ребрам кристалла).
Как видно на рисунке, промежутки трех взятых рядов О/, Oil и
0111 не равны друг другу. Тем самым плоскость А\В\Си которую
удобнее всего принять за единичную, отсекает отрезки
ОАхфОВхфОСх.
Нередко единичная грань на кристалле отсутствует. В этом
случае одну из граней, пересекающих две кристаллографические оси
и параллельных третьей, принимаем за масштабную, приписав ей
символ (011), или (101), или (110) (нуль находится в символе на
первом, втором или третьем месте в зависимости от того, какой оси
параллельна грань). Следует помнить, что отрезки, отсекаемые
такой гранью на двух кристаллографических осях, не равны друг
другу. Грани с символами (011), (101) и (ПО) называются двуеди-
ничными. Имея две двуединичные грани, всегда нетрудно вывести
возможную единичную грань, отрезки которой пропорциональны
отрезкам двуединичных граней. Последнее положение поясняется в
§ 7 настоящей главы.
Переходим к рассмотрению установок тетрагональных и
кубических кристаллов.
Установка тетрагональных кристаллов
В тетрагональных кристаллах всегда присутствует одна ось
L4 или L/4. Указанная ось ставится вертикально и принимается за
третью кристаллографическую ось (О///). Остальные две оси (01 и
ОН) лежат в плоскости, перпендикулярной к О///, образуя между
собой прямые углы. Эти горизонтальные оси совмещаются либо с
двойными осями, либо, в случае отсутствия таковых, с нормалями
142

Рис. 121. В тетрагональной
решетке единичная грань
отсекает равные отрезки на
двух горизонтальных
кристаллографических осях и
неравный отрезок по
вертикальной оси
—JZT
Рис. 122. Ориентировка
кристаллографических осей и
символы граней
тетрагонального кристалла
(L44L25PC — 4/ттт)
к вертикальным плоскостям симметрии, либо проводятся
параллельно действительным или возможным ребрам кристалла.
О том, что в плоскости, нормальной к L4 или к L/4 всегда
существуют два взаимно перпендикулярных ряда, свидетельствует
рисунок 121, изображающий элементарный параллелепипед
тетрагональной решетки.
Как видно на рисунке, форма представленного параллелепипеда
соответствует тетрагональной призме с пинакоидом. Третья
кристаллографическая ось совмещается с вертикальным рядом ОС{
(этотряд соответствует четверной оси симметрии). В
плоскости,-нормальной к ОСи находим два взаимно перпендикулярных ряда ОАх
и ОВи принимаемых за первую и вторую кристаллографические
оси.
Из данных того же рисунка следует, что в качестве единичной
грани удобно принять плоскость AJiiCu отсекающую равные
отрезки на осях 01 и ОН и неравный им отрезок по оси 0111
(ОА^ОВгфОСг).
Равенство промежутков ОАх и ОВх непосредственно связано с
присутствием четверной оси. В то же время вертикальные ряды,
араллельные оси L4 или Lti , обладают промежутками, отличными
от промежутков горизонтальных рядов.
При определении символов общее выражение может быть
несколько упрощено вследствие равенства ОАх и OBl(a0-=bo):
h:k:l =
ClQ
а0
со
ОАх ' ОВх ' ОСх
143

В случае вертикальных граней указанное упрощение играет уже
существенную роль:
ОАх' ОВх ' ОАх ' ОВх'
Как видим, здесь не принимают участия единичные отрезки.
Таким образом, тетрагональные кристаллы характеризуются
следующими величинами: а^^у^ЭО0; ^=^Ь^Фс^.
Яо #0 Со л -л
Отсюда имеем отношение ао:а0:с0 = —:—:— =1:1 :с,
а0 а0 а0
где величина с представляет собой единственную геометрическую
константу тетрагонального кристалла.
На рисунке 122 показаны ориентировка кристаллографических
->сей и символы граней кристалла планаксиального вида симметрии
тетрагональной сингонии.
Следует отметить, что в изображенном кристалле первую и
вторую координатные оси можно ориентировать и по-другому,
совмещая их с той или другой парой присутствующих здесь четырех
двойных осей (третья ось всегда выбирается по L4 или L/J.
Установка кубических кристаллов
В кристаллах кубической сингонии (кроме 4L3) всегда
присутствуют три взаимно перпендикулярные оси симметрии либо
четвертого, либо второго порядка. Эти три оси принимаются за
кристаллографические оси.
В случае наличия 3L4 кристаллографические оси проводятся по
ним и только при отсутствии четверных осей совмещаются с 3L2.
Легко сообразить, что ряды, соответствующие трем упомянутым
осям, будучи связанными между собой тройной осью симметрии,
обладают одинаковыми промежутками. Параллелепипеды,
слагающие любую кубическую решетку, имеют форму кубов. На этом
основании за единичную грань в кубическом кристалле следует
принимать такую, которая по всем трем кристаллографическим осям
отсекает равные отрезки.
Такому условию удовлетворяют грани тетраэдра или октаэдра.
Поэтому их символом будет (111).
В противоположность всем до сих пор рассматривавшимся син-
гониям, установка кубических кристаллов является строго
однозначной. Никакого произвола в выборе координатных осей здесь быть не
может.
Итак, для всех кристаллов кубической сингонии: а=р=у = 90°;
^о = t?o =:^o-
Эти величины одинаковы для всех таких кристаллов, а потому
отличать последние друг от друга путем измерения одних лишь
углов невозможно. Подобные определения осуществляются с
помоги

пантгрновского анализа, путем измерения расстояний между
Умными сетками, а также путем кристаллооптических и других
МеТ£ии?ы?ая^ приходим в случае кристаллов куби-
кой сингонии к весьма упрощенному выражению для символов
Яо bo Ср ар ш ар ш ар
h:k:l = l)Z'~6B~x:~dcI~ oax: овх ' осх ~~
ОСх
1 1
ОАх
осх
Для определения символа грани
кристалла кубической сингонии
достаточно измерить ее параметры по трем
кристаллографическим осям (выразив
их в сантиметрах или миллиметрах) и
взять обратные величины (значения
единичных отрезков в выражение
символа здесь не входят).
На рисунке 123 изображен пента-
гон-додекаэдр, элементами симметрии
которого являются 3L24Lz3PC—m3.
Кристаллографические оси совмещены
с 3L2. Грань d отсекает на первой оси
отрезок, равный 1см, на второй —
отрезок, равный 2 см. Третья ось
параллельна взятой грани. Тем самым
символ грани d находится следующим
образом:
Рис. 123. Ориентировка
кристаллографических осей и
символы граней Пентагон
додекаэдра (3L24LZ3PC —
тЗ)
2,
1
= 2:1:0 —d (210)
Напомним еще раз символы некоторых форм кубической
сингонии, знание которых обязательно.
Попутно заметим, что при описании кристаллов полную
совокупность всех граней одной простой формы принято условно
характеризовать символом одной из ее граней, обладающим
наибольшим количеством положительных индексов. Такой символ, условно
уносящийся к одной простой форме целиком, обычно заключается
фигурные -скобки. Например, вместо шести символов граней ку-
л^^Зн-^шо}000' {Т°0)' (0Т0) И {°01) МОЖН° УлотРеблять
Гексаэдр (куб) {100}
Октаэдр {III}— 8 граней
Тетраэдр {Ш} — 4 грани
Ромбододекаэдр {110}
Пентагон-додекаэдр ihko\ — 12 граней
Тетрагексаэдр {hko} — 24 грани
Гексоктаэдр {Ш} — 48 граней
145

Установка тригональных и гексагональных кристаллов
Обособленно стоят тригональные и гексагональные кристаллы,
в которых обычно выбираются четыре кристаллографические оси.
При этом четвертая ось {0IV) совмещается с вертикально
направленной главной осью симметрии (L3, ^6, £/в)-
В плоскости, перпендикулярной к £3, ^6 или Llt, всегда
присутствуют три симметрично равные направления, принимаемые за
первые три кристаллографические оси. Эти оси проводятся либо
по двойным осям, либо по нормалям к плоскостям симметрии,
либо же по прямым, параллельным действительным или возможным
ребрам кристалла.
На рисунке 124 показано расположение трех первых
кристаллографических осей, лежащих в горизонтальной плоскости. Как
видно на рисунке, такие оси образуют между собой углы 120°,
причем последовательность осей идет против часовой стрелки. Слева
от зрителя располагается положительный конец первой оси,
справа — положительный конец второй оси. На зрителя направляется
отрицательный конец третьей оси. Нередко вторую
кристаллографическую ось направляют вправо. В этом случае рисунок 124
следует повернуть против часовой стрелки на 30°.
Само собой разумеется, что единичные отрезки по трем
симметрично равным горизонтальным осям должны быть
одинаковыми. Четвертой же оси отвечает своя особая единица — свой
масштаб. Вместе с тем нельзя себе представить такую плоскость,
которая отсекала бы на трех горизонтальных осях равные отрезки.
Поэтому за единичную грань в тригональных и гексагональных
кристаллах принимают такую грань, .которая отсекает равные
отрезки на двух горизонтальных осях и неравный отрезок по
четвертой оси. Здесь возможны два случая.
1. Грань, отсекающая равные отрезки на двух соседних
горизонтальных осях, образующих друг с другом угол 60°, проходит
параллельно третьей горизонтальной оси (грань ММ, рис. 125, а).
+1
N ^Ф
^ 30°
N
Рис.
ние трех
горизонтальных
кристаллографических осей в
гексагональной установке
б
Рис. 125. Расположение граней с символами (1011)
(а) и (1121) (б) относительно горизонтальных
кристаллографических осей
146

Символ грани MM (1011).
9 Гпань отсекающая равные отрезки на двух горизонтальных
пгях* образующих угол 120°, пересекает и третью горизонтальную
ось (граЕь Ш, рис. 125,6).
Легко .сообразить, что отрезок по последней оси вдвое .короче
отрезков по двум другим^ кристаллографическим осям.
Символ грани NN (1121).
Обозначив единичные отрезки через а0 (для первых трех
кристаллографических осей) и со (для четвертой оси), получим
следующее выражение для символов тригональных и гексагональных
кристаллов:
h\k\i\l
а0
а0
а0
Со
ОАх' OBx'ODx 'OCx
Вая^но заметить, что алгебраическая сумма первых трех
индексов всегда равна нулю.
Следовательно, определив, например, первый и второй индексы,
мы можем найти третий простым подбором. Третий индекс равен
сумме первых двух с обратным знаком. Таким образом, и здесь,
как в других* сингониях, по существу, определяются лишь три
индекса.
Углы между кристаллографическими осями, согласно
вышесказанному, таковы:
< 01:011 = < 011:0111 = < 0111:01 = 120°;
<OI:OIV= <OII:OIV= < 0111:01V = 90°.
Подобно тетрагональным кристаллам, тригональные и
гексагональные кристаллы характеризуются одной геометрической
константой — отношением 1 : 1 : 1 : с.
На рисунке 126 изображены две возможные ориентировки
кристаллографических осей и символы граней кристалла планаксиаль-
ного вида симметрии гексагональной сингонии.
•Н7 +Ш
Рис. 126. Две ориентировки
кристаллографических осей и символы граней
гексагонального кристалла (L66L27PC — б/mmm)
147

Вторая установка тригональных кристаллов
В тригональных кристаллах (табл. 12) с ромбоэдрическим
габитусом удобно пользоваться не четырьмя, а тремя
кристаллографическими осями (такая установка нередко применяется для
любых тригональных кристаллов).
Таблица 12*
Установка кристаллов
Сингония
ЕЭС*
те
Я
«=;
id
О,
к
2
МОНОКЛИ!
Кристаллографические оси
Оси параллельны
действительным или возможным
ребрам кристалла. Третья ось О///,
параллельная оси наиболее
развитого пояса, ставится
вертикально
1
А
Вторая ось Oil совмещается
с £2 или _L к Р (лежит
горизонтально). Осн ОIII и 01
выбираются в плоскости -L ОНу
параллельно действительным или
возможным ребрам кристалла.
Ось OIII — вертикальная
i /~
1 fi
**
fi£Q
I4J
1 \ +й
0 / *
*90°
М=№
Ечиничная грань
Единичная грань отсекает на 1
кристаллографических осях
неравные отрезки
а0фЬс*со
Единичная грань отсекает на
кристаллографических осях
неравные отрезки
Г*
ao*b0*c0

Геометрические
константы
к{исталлon
^>
14S

Продолжение табл. 12
Кристаллографические оси
Единичная грань

Геометрические
константы
кристалло»
Оси, совпадая с единичными
направлениями кристалла,
совмещаются с 3L2 или с L2 и с
перпендикулярами к 2Р (одна
12 всегда вертикальна)
ОГ-уЗ-^Я?0
Единичная грань отсекает на
кристаллографических осях
неравные отрезки
*-Ш
+п
00±Ь0*со
Третья (вертикальная) ось
OIII совмещается с £4 или LiA,
Оси 01 и ОН выбираются в
плоскости _L к OIII или по
двойным осям, или по
перпендикулярам к плоскостям
симметрии, или же по
направлениям, параллельным
действительным или возможным
ребрам кристалла .
Единичная грань отсекает на
горизонтальных осях 01 и ОН
равные отрезки и неравный им
отрезок по OIH
*Р**$**5й%
сп~Ьп*С„
149

Продолжение табл. 12
Кристаллографические оси
Единичная грань

Геометрические
константы
кристаллов
Гексагональная установка.
Четвертая (вертикальная) ось|
01V совмещается с Lz или Li3,
£б, или Li9.
Оси О/, ОН и OIII
выбираются в плоскости -L к 01V или
по перпендикулярам к
плоскостям симметрии, или по
двойным осям, или же по
направлениям, параллельным
действительным, или возможным реб
рам кристалла
Единичная грань отсекает на
двух горизонтальных осях равные
отрезки и неравный отрезок по
OIV
При этом единичная грань одной
горизонтальной оси или
параллельна (а), или отсекает на ней
отрезок, вдвое меньший, чем на двух
других горизонтальных
кристаллографических осях (б)
(»21)
*2Г
*
*!^rJ^
1
/Ш
лжУФ ш*
'Ж/^М
-ш д+zr
а=р =90°; $=120°
(тригональная
стр. 151)
установка
- см.
Оси совмещаются или с 3£4,
или, в случае их отсутствия, с
3£г4, или 3Z-2
с(=р=]{~890
Единичная грань отсекает на
кристаллографических осях равные
отрезки
ao=k-CQ
* В основу настоящей таблицы положена таблица В. В. Дол иво-Добровольского из
«Курса кристаллографии», ОНТИ, 1937, стр. 262.
150

Как указывалось выше, ромбоэдр
соответствует кубу, вытянутому или сплющен-
яому вдоль одной из тройных осей симмет-
В кубе кристаллографические оси всегда
параллельны его ребрам (3L4 или, в
случае их отсутствия, 3L2 всегда
параллельны ребрам куба).
Аналогично проводим
кристаллографические оси и в ромбоэдре — параллельно
трем его ребрам, пересекающимся на
тройной оси. В результате получаем
косоугольную систему координат, в которой, однако,
все углы между осями равны друг другу:
а = р = y Ф 90°.
Рис. 127.
Ориентировка
кристаллографических осей (тригональ-
ная установка) и
символы граней триго-
нального кристалла
(LZ3L23PC — 3m)
За единичную грань принимается грань,
перпендикулярная к тройной оси (подобно
грани октаэдра или тетраэдра в кубической
сингонии). Такому условию удовлетворяют
грани пинакоида или моноэдра. Символ их выражается через (111).
При этом единичные отрезки по всем трем осям равны
а0 =
bo = с0.
Характерной константой является здесь угол между
кристаллографическими осями — а.
На рисунке 127 представлена ориентировка
кристаллографических осей и символы граней кристалла планаксиального вида
симметрии тригональной сингонии.
§ 6. СИМВОЛЫ РЕБЕР
Кроме символов граней, нередко приходится также определять
символы ребер *. Для этого ребро переносится параллельно
-самому себе в начало координат. Далее берем на ребре любую точку и
находим ее координаты (х9 у, z) по всем трем осям.
Если единичные отреаки (параметры единичной грани) по тем
же осям равны а0, Ь0у с0, получаем следующий символ ребра:
х у z
а0 ' bo ' со
= r:s:t.
с четырьмя °ЛЫ ер гексагональных и тригональных кристаллов в установке
отсылаем I %исталлогРаФическими осями здесь не разбираются. Интересующихся
стр 275 <<ДУРСУ кристаллографии» В. В. Доливо-Добровольского, ОНТИ 1937
151

Обратные величины, как при определении индексов граней,
здесь не берутся.
Символ ребра обычно принято заключать в квадратные
скобки — [rst].
Согласно сказанному, символы всех ребер, параллельных
первой кристаллографической оси, а следовательно, и символ самой
первой кристаллографической оси, находятся следующим образом:
-i:l;i = lAi = i:0:0=l:0:0.
а0 b0 Co а0 bo Co а0
Итак, символ первой кристаллографической оси — [100].
Соответственно символ второй кристаллографической оси—[010] и
символ третьей оси — [001].
Между символом грани (hkl) и символом лежащего в ее
плоскости ребра [rst] существует следующее соотношение (вывод
опускаем):
hr + ks + It = 0.
Исходя отсюда, можно вывести символ ребра [rst], лежащего на
пересечении двух граней с символами (hkl) и (тпр) по формуле
r:s:t = (kp — nl): (lm — ph) :(hn — mk).
Правую часть данной формулы легче всего получить
посредством следующего правила.
Напишем дважды символы обеих граней (hkl) и (тпр),
поместив их индексы друг под другом:
h k I h k I
m n p m n p
Затем отделяем по вертикали два первых и два последних
индекса:
h | k I h k | /
m I n p m n I p
В результате остаются индексы:
k I h k
n p m n
Произведем далее перекрестное умножение этих индексов,
начиная слева, и возьмем разности их произведений:
k I h k
XXX
п р т п
(kp — nl): (lm — ph): (hti — mk)
352

Произведя все указанные арифметические действия и взяв от-
шения между полученными разностями, находим искомый сим-
В°ЛП ри мер. Пусть заданы грани с символами (ПО) и (123).
Требуется найти символ ребра их пересечения.
Переписываем дважды приведенные символы, отделяем первые
последние две цифры по вертикали, производим перекрестное
умножение и берем отношения разностей:
1 | 1 0 1 1
1 ! 2 3 1 2
О
3
r:s:^ = (1X3-2X0): (0X1-3X1): (1X2-1X1) = 3:3:1
В результате получаем символ ребра [331].
Отметим, что размещение символов граней в обратном порядке
(в нашем случае — наверху (123), а внизу (ПО) приводит к тому
же результату, но с обратными знаками у индексов (в нашем
случае получим [331]. Легко сообразить, что последний результат
соответствует точке, взятой на том же ребре, но по другую сторону от
начала координат.
Как видим, одно и то же ребро может выражаться двумя
символами: [rst] и [rst]. Определяя символ ребра, можно пользоваться?
любым из них (обычно выбирается символ с положительным
третьим индексом: иначе говоря, берется конец ребра, направленный"
вверх).
Совершенно аналогичным путем, применяя правило
перекрестного умножения, определяем, исходя из символов двух ребер [rst]
и [uvw] символ грани (hkl), параллельной обоим этим ребрам или
проходящей через них
t г
w и
t
W
h:k:l = (sw — vt): (tu — wr): (rv — us)
В зависимости от того порядка, в котором были расставлены*
символы ребер (т. е. какой из них ставился вверху, а какой
внизу;, получаехМ символ одной из двух параллельных граней, отлича-
Щихся друг от друга обратными знаками всех индексов.
§ 7. ЗАКОН ПОЯСОВ
рого ^аключение остановимся на законе поясов, с помощью кото-
лов ргЫводятся теоретически возможные грани и ребра кристал-
кпигтпРедвар?тельно введем понятие первостепенной важности о
ри^^графических поясах (зонах).
ла пепРгМ U зоной) называется совокупность граней пристал-
a 'b fj™arot4uxcn в параллельных ребрах. На рисунке 128 грани
• и> с, а принадлежат одной зоне
I5&

N
Рис. 128. a, b, с, d —
грани одной зоны
(пояса) с осью зоны
MN
Направление, параллельное всем
ребрам зоны, называется ее осью. На том же
рисунке прямая MN представляет собой
ось зоны а — b — с — d.
Проектируя грани методом
стереографических проекций, заменяем их плоскости
нормалями к ним (стр. 39).
Аналогично поступаем и при
проектировании зоны, -пользуясь плоскостью,
нормальной к оси данной зоны (такая
плоскость в то же время перпендикулярна ко
всем ребрам и граням зоны).
Стереографическая проекция плоскости,
нормальной к оси пояса, является
проекцией пояса (зоны). Эта проекция в общем
случае изображается дугой большого круга.
Ясно, что в указанной плоскости лежат и все нормали к граням
данного пояса.
Следовательно, все грани одной зоны проектируются в виде
точек, расположенных на одной дуге большого круга,
соответствующего проекции самой зоны.
Закон поясов (закон Вейса *) состоит в следующем: любая
грань кристалла принадлежит по меньшей мере двум его поясам.
Если грань кристалла .принадлежит двум поясам, то она
должна быть параллельной оси одного и оси другого пояса. В свою
очередь, оси поясов параллельны ребрам кристалла, т. е. отвечают
направлениям, параллельным некоторым рядам его решетки
(ребро— ряд решетки). Через два ряда решетки всегда можно
провести плоскую сетку. Следовательно, параллельно осям двух поясов
мыслима теоретически возможная грань кристалла (грань —
плоская сетка решетки).
Нередко пользуются иной формулировкой закона Вейса, в
которую не входит понятие о поясах. Согласно этой формулировке,
плоскость, параллельная двум ребрам кристалла, представляет
собой возможную грань его, а прямая, параллельная линии
пересечения двух граней кристалла, является его возможным ребром.
Отметим, что вторая формулировка закона по существу
повторяет первую.
Исходя -из закона поясов, нетрудно вывести теоретически
возможные грани кристаллов. В самом деле, согласно этому закону,
на пересечении двух поясов теоретически всегда возможна грань.
Пусть на проекции заданы четыре грани кристалла— /, 2, 3 и 4,
причем на каждом поясе находится не более двух граней (рис. 129).
Проведем через точки 1 и 2 дугу большого круга /—2. Эта дуга
соответствует зоне, включающей грани 1 и 2. Таким же путем про-
* X. С. Вейс (1780—1856)—известный немецкий кристаллограф,
установивший кристаллографические системы — сингонии (1813) и открывший закон
поясов (1804).
154

Рис. 129. На
пересечении поясов /—
2 и 5—4 находится
возможная грань 5
Рис. 130. Вывод
возможных граней методом
развития зон
водим дугу 3—4. На пересечении обеих дуг находим точку 5,
являющуюся проекцией теоретически возможной грани.
Взяв четыре непараллельные грани кристалла, можно из них
путем развития зон вывести бесконечное количество возможных
граней.
Обратимся к рисунку 130, на котором в виде проекции заданы
четыре непараллельные грани /, 2, 3, 4. Проводим через них пояса
I 2, 2—3, 3—U I—4, 2—4 и 3—4. Изображенные пояса (1 — 2 и
3—4] 2—3'и 1—49 3—1 и 2—4) пересекаются. В точках их
пересечений находим проекции возможных граней 5, 6 и 7. Через
найденные точки 5, 6, 7 проводим дуги больших кругов 5—6, 6—7 и /—5.
На пересечении этих и предыдущих зон получаем новые
теоретически возможные грани S, 99 10.
Последовательно соединяя дугами больших кругов новые и
старые точки, выводим зоны, которые в точках пересечений с уже
приведенными зонами дают серию новых возможных граней. Такое
построение можно продолжать до бесконечности.
Таким образом, из данных четырех непараллельных граней
кристалла (три из которых не лежат в одной зоне) выводится
бесконечное количество возможных граней.
Зная символы четырех исходных граней кристалла, легко найти
и символы возможных граней.
Пусть на рисунке 131 представлены проекции граней /, 2, 3 и 4
с символами 1 (100), 2 (010), 3 (001) и 4 (111). Требуется найти
символ возможной грани 5.
С этой целью предварительно необходимо определить символы
поясов 1 2 и 3—4, в точке пересечения которых лежит грань с
искомым символом.
Символ пояса соответствует символу любого ребра, лежащего
на пересечении двух граней данного пояса (все ребра одного пояса,
оудучи параллельными, имеют один и тот же символ).
пп ^ледовательно> для опРеДеления символа пояса необходимо и
достаточно знать символы двух граней, ему принадлежащих.
155

3(001)
2(010)
3(001)
цщ
1(100)
1(100}
Рис. 131. Символ грани
5—(ПО)
Рис. 132. Вывод единичной
грани 6 по двум двуединич-
ным граням
В поясе /—2 лежат две грани 1 л 2 с известными нам'
символами (100) и (010). Определим символ пояса /—2У который
находится так же, как символ ребра, между гранями 1 (100) и 2 (010).
Согласно вышесказанному (стр. 152), имеем:
1
0 0 10
XXX
10 0 1
(0Х0-1Х0):(0Х0-0Х1):(1Х1-0Х0)
Итак, символ пояса /—2 — [001]. (Так же находятся символы
поясов 2—5—[100], 3—/—[010].)
Аналогичным путем, зная символы двух граней 3 и 4, выводим
символ пояса 3—4, проходящего через грани 3 (001) и 4 (111).
0 1 0 Oil
XXX
1111
(0-1):(1_0):(0-0)-[110]
Теперь остается найти символ теоретически возможной грани
5, лежащей на пересечении поясов /—2 [001] и 3—4 [ПО].
Для этого пользуемся символами обоих поясов /—2 и 3—4
совершенно так же, как в случае нахождения символа зоны
пользовались символами двух ее граней
1
0
10 11
XXX
0 10 0
0
1
(ПО)
Итак, искомый символ возможной грани 5—(ПО)
156

Таким же образом определяются все символы теоретически
возможных поясов и граней.
Как указывалось выше, на многих кристаллах единичная грань
lT;VpT в этих случаях некоторые грани принимаются за дву-
еГишчнью с символами (011), (101) и (ПО).
Применяя разобранное выше построение, можно показать, что,
ходя из пары двуединичных граней, нетрудно методом развития
поясов вывести возможную единичную грань.
Пусть на рисунке 132 заданы грали 1 (100), 2 (010), 3 (001),
4 (10П и 5 (ПО).
Проводим пояса 2—4 и 3—5. На их пересечении находим
возможную единичную грань 6 с символом (111).
Приведем примеры типовых записей, характеризующих
симметрию, формы и символы граней нескольких кристаллических
многогранников.
Порядок записи:
1. Элементы симметрии.
2. Сингония и ее категория.
3. Название вида симметрии.
4. Число и названия простых форм.
5. Проекция.
6. Ориентировка кристаллографических осей.
7. Символы граней (для одной грани каждой простой формы).
Пример 1. Реальгар — AsS (рис. 133).
1. LzPC — 2/m.
2. Моноклинная сингония, низшая категория.
3. Планаксиальный вид симметрии моноклинной сингонии.
4. Комбинация восьми простых форм: четырех пинакоидов (а, Ь3 с, d) и
четырех ромбических призм (е, f, g, h).
5. См. рисунок 133, б.
6. Вторая (горизонтальная) кристаллографическая ось совмещается с L2 и
направляется параллельно наблюдателю. Третья (вертикальная) ось параллельна
ребрам <?/<?, e/d и пр. Первая ось, параллельная ребрам a/g, g/d и пр.,
направляется на зрителя и несколько вниз.
7. Ромбическая призма f {111}; пинакоиды а {001}, Ь {101}, с {101}, d {010};
ромбические призмы е {ПО}, g {Oil}, h {Oil}.
Пример 2. Кальцит — Са[С03] (рис. 134).
1- Lz3L23PC-3m.
2. Тригональная сингония, средняя категория.
4 1/ла2аксиальныи ВИД симметрии тригональной сингонии.
попт,! ^0мбинаДия двух простых форм: одного ромбоэдра (а) и одного триго-
нального скаленоэдра (б).
|. См. рисунок 134, б.
первая твеРтая (вертикальная) кристаллографическая ось совмещается с £3
ляется'нВТ°Р"Я И третья (горизонтальные) оси с 3L2 (минус третья ось
направим еч°ЭДР й {1^1*' тРигональный скаленоэдр Ъ {hill}.
к>тся в тех en*1'"e* ycjI0BHble буквенные обозначения индексов граней применя-
тельным Учаях, когда нахождение численных значений является затрудик-
I. ЗЛ24Д~323ХЛ°РНОВаТОКИСЛЫЙНатрИЙ^№^ (РИС 135)*
3 Ппим^КаЯ Яинг°ния, высшая категория.
ПРИМИТИВНЫИ ВИД симметрии кубической сингонии.
157

Рис. 133. Комбинация четырех пинакоидов и четырех
ромбических призм (L2PC — 2/т)
Рис. 134. Комбинация ромбоэдра и
тритонального скаленоэдра
(LS3L23PC— 3m)
Рис. 135. Комбинация тетраэдра, гексаэдра, ромбо-доде-
каэдра и пентагон-додекаэдра (3L24L3—23)

а кпмбинаиия четырех простых форм: одного тетраэдра а, гексаэдра (куба)
Ь ромбо-додекаэдра с и одного пентагон-додекаэдра d.
' 5 См. рисунок 135, б.
r Кпнсталлографические оси совмещаются с 3L2.
^Тетра^р fl {III}, гексаэдр Ь {100}, ромбо-додекаэдр с {110}, Пентагон-
додекаэдр d {2Ю}.
§ 8. ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СИМВОЛОВ ГРАНЕЙ
Измеренные на гониометре сферические координаты граней
ел и р дают возможность точно установить их символы.
Существует ряд графических приемов определения символов
граней, однако такая задача решается точнее посредством особых
формул*.
С этой целью четыре непараллельные грани кристалла
принимаются за исходные. Им придаются символы: (100); (010); (001);
(111). Для каждой сингонии при выборе координатных и
единичных граней пользуются правилами установки кристаллов,
подробно разобранными выше.
Пусть дан ромбический кристалл. В соответствии с правилами
установки (стр. 140), одна из его двойных осей всегда ставится
вертикально. Грань (001) при этом располагается
перпендикулярно указанной оси L2, т. е. горизонтально. Полярное расстояние
такой грани равно нулю (pooi = 0°).
Грани (100) и (010) ориентируются здесь вертикально. Их
полярные расстояния равны 90° (pioo = 900 и рою^ЭО0). Помимо того,
по правилам установки, две последние грани должны быть
взаимно перпендикулярными. Следовательно, если принять долготу
грани (010) за .нулевую, то долгота грани (100) будет равна 90°.
Таким образом, грани (100) и (010) должны обладать сферическими
координатами: фою = 0°; p0l0=90°; q>10o=90°; pl0o = 90°.
Единичная грань в .кристаллах ромбической сингонии должна
пересекать все три кристаллографические оси, образуя на
последних неравные отрезки. Сферические координаты единичной грани
для различных веществ различны.
Приравняв измеренные координаты исходных граней к
указанным величинам [100 (90°, 90°); 010 (0°, 90°) и 001 (—, 0°)],
необходимо ввести соответственные поправки и для .координат всех
остальных граней. После этого символ (pqr) любой грани X легко
находится по исправленным сферическим координатам (фх, рж)
посредством следующей формулы:
р'п-г— sincp* . coscp* _ ctgpx
sincpiii coscpni 'ctgpiu ''
nPnSPe,iK0 ПРИХ°ДИТСЯ Решать и обратную задачу: именно опре-
mv Гп, сФеРИче™ координаты («J*, Рх) грани X по уже
известному ее символу (pqr).
фии. Изд.^"лгУ^939еС' Вычислительные и графические методы кристаллогра-
159

Эта задача для ромбических кристаллов решается по следую-
щим формулам
ctgcpx — — ctgcpm;
Р
Г . Ctgpili Г Ctgpiii
ctg рх = — sin фх — = — cos ср*
Р 51Пф1Ц q С08фш
Более простые формулы имеют место для тетрагональных
кристаллов. Здесь мы -находим снова уже приведенные выше
сферические координаты для исходных граней (100), (010) и (001).
Кроме того, долгота единичной грани, отсекающей равные
отрезки на двух горизонтальных осях, должна равняться 45° (фш =
=45°). В связи с этим формула для вычисления символа {pqr)
любой грани х упрощается, принимая следующий вид:
simp* совфх ctgp* . tgpm 1
p:q:r = : : = sincp^coscpx:—^ *
sin 45° cos 45° ctg рш У2 tg px
Обратная задача для тех же кристаллов решается посредством
следующих формул:
ч
г — г -—■
ctg р* = — У 2 ctg pm sin ф* = — У 2 ctg рш cos ф^
Р Я
Еще более простые формулы соответствуют кристаллам
кубической сингонии. Действительно, помимо условий, относящихся к
тетрагональным кристаллам, здесь всегда полярное расстояние
единичной грани (октаэдр, тетраэдр), отсекающей равные отрезки
на всех трех кристаллографических осях, равно 54°44' (рш^*
= 54°44').
Учитывая сказанное, получаем следующую формулу для
вычисления символа (pqr) любой грани х кристалла кубической
-сингонии:
p:q:r = sincpacicc^aerctgpx.
Для решения обратной задачи применяются формулы
to- P tcr УР2+<12
tgфx = —; tgp* = .
q r
Аналогичные, но несколько более сложные формулы известны
и для всех других сингонии.
160

ГЛАВА СЕДЬМАЯ
УСЛОЖНЕННЫЕ ФОРМЫ И ТИПЫ СРАСТАНИЙ
КРИСТАЛЛОВ
§ 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКИЕ СКЕЛЕТЫ И АНТИСКЕЛЕТЫ
Говоря о формах реальных кристаллов, необходимо принимать
о внимание ряд усложнений, получающихся в результате их роста
в природных, лабораторных и производственных условиях.
Выше описывались отклонения от тех строго закономерных форм
кристаллов, которые могут получаться лишь в условиях роста,
приближающихся к идеальным. Сюда прежде всего относятся
отклонения от совершенных плоскостных и прямореберных
многогранников в виде так называемых скульптур роста — вицинальных
образований, впадин и бугорков роста и растворения, штриховок на
гранях и т. п. (стр. 125).
При сильных отклонениях от условий нормальной
кристаллизации, например в вязких и загрязненных средах, в связи с
неравномерным поступанием вещества к различным частям кристалла
возникают усложненные фигуры роста — так называемые скелеты
и антискелеты. Само слово «скелет» указывает на то, что мы имеем
здесь как бы остов кристалла. В результате резкой разницы
скоростей роста по различным его направлениям вещество заполняет
не все тело кристаллического.многогранника, а только часть его.
При этом в самых выгодных условиях оказываются наиболее
выступающие части кристалла — вершины и ребра. По ним и
происходит в основном ускоренный рост, тогда как грани отстают в
своем развитии. Поэтому возникают, с одной стороны, входящие углы
и воронки, а с другой — выступающие ветки, отдельные бруски,
ступеньки и т. д. Классическим примером кристаллических
скелетов являются снежинки (рис. 136). Как видно, они
преимущественно состоят из форм, образованных .нарастанием вершин и ребер,
а не граней. При их описании мы не можем пользоваться
привычными понятиями о простых гранных формах. На помощь приходят
новые представления о простых вершинных и реберных формах
кристаллов.
По аналогии с простой гранной формой назовем простой
вершинной или реберной формой совокупность вершин или ребер
кристалла, выводящихся друг из друга посредством элементов его
симметрии*. v H
лов Ммио Михеев и И. И. Шафрановский. Реберные формы
кристаллов. Минералогический сб. Львов, геол. об-ва, 1955, №9.
Изд. i «Высшая школНа>?С19^ИЙ' Лекции по кристалломорфологии минералов.
1957Ивып\^0^ минералов. Вып. 1. Изд-во ЛГУ,
6—3681
161

Задавая точки (вершины) или отрезки
прямых (ребра) относительно элементов
симметрии какого-либо вида симметрии и
размножая их с помощью этих элементов,
мы находим все вершинные или реберные
простые формы, свойственные данному
виду.
В качестве примеров приведем куб (см.
рис. 94, а) и пентагон-додекаэдр (см. рис.
96, а). В кубе всего 8 вершин, связанных
между собой элементами симметрии. Они
образуют одну простую вершинную форму.
12 ребер куба также выводятся друг из
друга, образуя одну простую реберную форму. В пентагон-додекаэдре
всего 20 вершин, из них 8, находящихся на выходах осей LSy
принадлежат одной простой вершинной форме, а 12 остальных
вершин— второй простой вершинной форме. 30 ребер пентагон-да
декаэдра также распадаются на две простые реберные формы —
ребер [001] и 24 ребра — [Ш] *.
Здесь мы не будем рассматривать все такие формы, а
ограничимся лишь изображением плоских вершинных и реберных форм
(рис. 137 и 138).
Рис. 136. Снежинка
?
О 1
6
/ 2
9- чр
6 -о
6
А
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
<5- ъ
I
Р"**
/ \
0 Ь
\ /
о -б
7
Рис. 137. Простые
о- о
1 i
4
i
Ч У
8
о q
/ \
< V
\ /
\ /
5
„Л—О.
/ \
1 1
\ 1
9
плоские вершинные формы
* В. А. Франк-Каменецкий предложил ввести единую систему для
обозначений плоскостных, линейных и точечных элементов кристалла. Сущность этой
системы сводится к следующему. Отдельные одиночные элементы кристалла
обозначаются знаками трех типов: грань— (hkl)t ребро— \rst\y вершинная
точка— -тпр-. Соответственно совокупности этих элементов удобно обозначать
такими же, но удвоенными знаками: гранная форма—((hfy))\ реберная
форма — ||^|[; вершинная форма — :тпр:. (В. А. Франк-Каменецкий. Единая
система обозначений элементов кристалла, как структуры, дифракционной картины и
формы роста. Минералогический сб. Львов, геолог, об-ва, 1962, вып. 16,
стр. 384—387.)
162

Эти плоские форм
ы
выводятся с
помощью десяти
плоскостных
кристаллографических видов симметрии,
охватывающих все плоские
кристаллические
образования и, в первую очередь,
плоскостную симметрию
граней кристаллов (рис.
139).
Посредством плоских
вершинных и реберных форм
можно описывать такие
типичные скелетные
образования, как снежные звездочки,
а также узоры штриховок
на гранях, контуры вици-
нальных образований,
бугорков роста и растворения
и т. п.
Описание
пространственных кристаллических
скелетов дается с помощью
трехмерных простых вершинных
и реберных форм.
В отличие от
кристаллических скелетов, при росте
которых грани отстают от
вершин и ребер (рис. 140, а),
в так называемых
«антискелетах» вследствие быстрого
лучаются особые выпуклые
НО, бив).
|л
X
V
л
О
X.
X
А
Л
X
X]
п
□
Щ
щ
О,
о|ор|
AHHfo
V
Е
Рис. 138. Простые плоские реберные
формы
нарастания новых слоев <ло граням по-
ф.ормы роста (О. М. Аншелес) (рис.
l'M Lz(Z) Ls(3) LJQ L6(6)
p
(m)
t22P
(mmz)
LSJP
(3m)
L^P
(Umm)
LtbP
(6mm)
Рис. 139. Десять плоскостных кристаллографических видов
симметрии
163

.L_.
_J»1
К!
Рис. 140. Схемы образования скелетных (а) и антискелетных
(б и в) форм (по О. М. Аншелесу)
При детальном описании кристаллических многогранников и
усложненных форм, помимо их общей симметрии, желательно
учитывать симметрию отдельных граней, ребер и вершин.
Плоскостная симметрия граней характеризуется, как уже указывалось,
десятью видами плоскостной кристаллографической симметрии (см.
рис. 139). Тем же десяти видам подчиняется симметрия вершин
(вернее — крошечных пирамидальных участков, прилегающих к
вершинам). Симметрия ребер соответствует пяти видам,
изображенным с помощью стрелок на рисунке 141. Заменяя такими
стрелками ребра на обычных моделях простых форм, можно вывести
/
-—: ^^ Х/Г7
-** т
—- г г
-^ ^- mm 2
Рис. 141. Пять
видов симметрии
ребер
11 +
Рис. 142. Грани пяти
кристаллографических разновидностей куба с
соответственными реберными'узорами
все 146 (193) кристаллографических разновидностей простых форм
(см. стр. 123). Так, например, в результате замены ребер на
модели обычного куба пятью типами стрелок, мы находим все пять
кристаллографических разновидностей куба (рис. 142; см. также
рис. 104) *.
* И. И. Шафрановский. Разновидности куба в кристаллографии.
Кристаллография, 1962, т. 1, вып. 2.
В. А. Мокиевский и И. И. Шафрановский. Простые формы
кристаллов. Минералогический сб. Львов, геол. об-ва, 1963, № 17.
164

о 6
Рис 143. Поперечные сечения положительной (а) и от-
" рицательной (б) тригональных призм
При изучении таких усложненных форм, как скелеты и
антискелеты, наряду с обычными (положительными) гранными,
реберными и'вершинными простыми формами полезно отмечать их
отрицательные аналоги. Последние характеризуют поверхности входящих
углов и ограненных пустоток внутри кристаллов. На рисунке 143
изображены сечения положительной и отрицательной
тригональных призм. Число простых положительных форм равно числу
отрицательных; для простых гранных форм имеем всего 47 ( + ) и
47 (-).
Из приведенной выше схемы идеального роста кристалла
видно, что такой рост можно
рассматривать как постепенное развитие форм,
переходя от вершинных к реберным и
затем уже к гранным (см. рис. 14 и
144). В процессе подобного роста эти
ф.ормы имеют положительный знак.
При растворении снова повторяется
та же последовательность ф.орм
(вершинные, реберные, гранные), однако с
заменой их знака на отрицательный.
Итак, в условиях нормального
роста все элементы кристалла образуют
в совокупности замкнутый, выпуклый,
плоскогранный Прямореберный
многогранник. При аномальном росте
кристалла неравномерное распределение
питательного материала для
различных его участков приводит к
образованию усложненных форм, в том числе
скелетных и антискелетных.
Подчеркнем, что скелеты и анти- Рис- 144* Схемы идеального
скелеты в строгом смысле этого слова роста (левый столбец —бе-
являются монокристальными образо- *?ый ц?ет) й Раств°Рени?
ваниями Ппм глттг^™ п uup«wu (правый столбец — черный
ими. при определенных условиях цвет) кристаллов
165

роста они могут превращаться в обычные выпуклые многогранники
(В. А. Мокиевский).
Скопления скелетных образований, напоминающие
древовидные, моховидные и тому подобные формы, называются дендрита-
ми. В виде дендритов нередко кристаллизуются самородное золото,
серебро, медь. Характерным примером дендритов служат ледяные
узоры на стеклах.
§ 2. СРОСТКИ КРИСТАЛЛОВ
Все сказанное до сих пор относилось к отдельным кристаллам.
Однако в природных условиях гораздо чаще образуются не
отдельные кристаллы, а кристаллические сростки. Сперва разберем
сростки кристаллов одного и того же вещества.
С точки зрения ориентировки кристаллов, различают сростки
незакономерные, приближенно закономерные и закономерные. К
наиболее часто встречающимся незакономерным сросткам
принадлежат агрегаты различно ориентированных кристаллических зерен.
Примером таких образований могут служить скопления
кристалликов кальцита в мраморе. Сюда же относятся металлические
тела, состоящие из различно ориентированных зерен металла.
Обычно агрегаты подразделяются по крупности входящих в них зерен
на весьма крупнозернистые, крупнозернистые, средние,
тонкозернистые и весьма тонкозернистые, или плотные. В большинстве
случаев никаких явных закономерностей во взаимной ориентировке
зерен агрегата вышеописанного типа не наблюдается.
К приближенно закономерным сросткам принадлежат
агрегаты с известной упорядоченностью в расположении слагающих их
мельчайших кристалликов. Такая упорядоченность зерен агрегата
называется в технике текстурой. Кристаллические зерна в
металлах и сплавах в результате холодной обработки, прокатки и
других процессов деформируются и получают более или менее
одинаковую ориентировку (рис. 145). Подобное сложение характерно и
для многих горных пород, образовавшихся под давлением и
получивших в результате этого сланцеватый, «слоистый» характер,
Рис. 145. Латунь:
о — до проката; б — текстура латуни после проката
166

Рис. 146. Друза кристаллов
горного хрусталя
связанный опять-таки с перегруп-
Гровкой вещества я уп^™;
ным расположением составных
6ДИВИнекоторых случаях
текстурные особенности обусловлены
структурой кристаллов, входящих
в агрегат. Таковы, например,
параллельно-волокнистые агрегаты
амфиболового асбеста,
расщепляющегося на тонкие волокна
(горный лен). Способность
такого асбеста образовывать
вытянутые волокнистые кристаллы
объясняется наличием в его
структуре бесконечно протяженных лент
из кремнекислородных
тетраэдров.
Примером приближенно
закономерных кристаллических
сростков могут служить также друзы
(или минералогические щетки)—скопления кристаллов,
соответственные концы которых обращены более или менее в одну сторону
(рис. 146).
Происхождение друз обычно объясняется тем, что из
множества различно ориентированных кристаллических зародышей,
находящихся на общей исходной поверхности, разрастаются лишь те,
в которых направления наибольших скоростей роста образуют
максимальный угол отклонения от этой поверхности. В результате
возникают друзы с преобладанием кристаллов, вытянутых более или
менее в одном направлении. Рост иначе ориентированных
кристаллических зародышей с малыми углами отклонения от исходной
поверхности был задержан быстро разраставшимися кристаллами
(рис. 147).
В виде друз встречаются такие важные для промышленности
минералы, как кварц, флюорит, топаз, барит и др. *.
Весьма большой интерес представляют собственно
закономерные срастания кристаллов.
К ним принадлежат параллельные сростки и двойники. Первые
соответствуют ^ нескольким однородньш кристаллам, сросшимся
В п1аРаллельной относительно друг друга ориентировке. На
рисунке 148 изображены объединенные таким образом ромбические
кристаллы барита Ba[S04]. Здесь структура каждого отдельного
кристалла является как бы непосредственным продолжением
структуры соседних кристаллов. Более сложное явление представляют
двойниковые образования, рассматривающиеся в следующем
параграфе.
Д- П. Григорьев. Онтогения минералов. Изд-во Львов, ун-та, 1961.
167

Рис. 147. Схема образования друзы горного
хрусталя (по Д. П. Григорьеву)
§ 3. ДВОЙНИКОВЫЕ ОБРАЗОВАНИЯ
Двойником называется непараллельный сросток двух
кристаллов, в котором плоскость срастания обоих кристаллов имеет для
каждого из них в отдельности одно и то же кристаллографическое
значение, т. е. принадлежит сеткам одной и той же простой формы.
Следовательно, двойниковое срастание кристаллов обусловлено
наличием наложенных друг на друга одинаковых сеток, совпавших
друг с другом своими узлами и образовавших общую для обоих
кристаллов плоскую сетку. Такие общие плоские сетки могут иметь,
помимо параллельных сростков, во-первых, кристаллы,
расположенные относительно друг друга, как предмет и его зеркальное
отражение; во-вторых, кристаллы, повернутые относительно друг
друга на 180°, и, в-третьих, кристаллы, связанные друг с другом
общим центром инверсии. Для того чтобы пояснить сказанное,
обратимся к схематическому изображению плоской сетки на
рисунке 5. Легко сообразить, что такая сетка, рассматриваемая как
Рис. 148. Параллельный сросток
кристаллов барита
168

с
D
Рис. 149. Двойниковые образования:
а — кристаллы I и II, образующие двойник, связаны
двойниковой плоскостью РР; б — кристаллы I и II,
образующие двойник, связаны двойниковой осью АВ
Рис. 150.
Двойник гипса
бесконечно протяженная система, обладает двойными осями,
перпендикулярными к ее плоскости, а также центрами инверсии (в
узлах, серединах сторон й центрах параллелограммов).
Следовательно, плоская сетка после поворота вокруг одной из ее двойных осей
на' 180° или после отражения в одном из ее центров инверсии
совпадает всеми своими узлами, т. е. совмещается сама с собой. В этом
и кроется объяснение образования двойников. Лучше всего
известны двойники, образованные по первому и второму из
вышеупомянутых способов.
Поэтому двойником обычно называется закономерный сросток
двух однородных кристаллов, в котором один кристалл является
зеркальным отражением другого или же один кристалл выводится
из другого путем поворота на 180°.
Плоскость, при отражении в которой из одного кристалла
двойника выводится другой, называется двойниковой плоскостью.
На рисунке 149, а показан двойник, образованный двумя
кристаллами, связанными друг с другом, как предмет и его зеркальное
отражение. Прямая РР соответствует здесь двойниковой
плоскости. На рисунке 149, б изображен двойник, образованный двумя
кристаллами, повернутыми относительно друг друга на 180°.
Направление, при повороте вокруг,которого на 180° из одного
кристалла выводится другой (на рисунке прямая АВ), называется
двойниковой осью.
Граница между сросшимися кристаллами в двойнике
называется поверхностью срастания (при описании микроскопических
препаратов видимый след этой поверхности называется
двойниковым швом). Следует иметь в виду, что эта граница не обязательно
совпадает с двойниковой плоскостью. Плоскость срастания и двой-
169

Рис. 151. Двойник Рис. 152. Тройник Рис. 153. Полисин-
прорастания став- рутила: тетический двойник
ролита * — (Hi}, a — /100},
т — {НО};
двойниковые плоскости —
никовая плоскость должна отвечать некоторым плоским сеткам
(т. е. возможным граням). Двойниковая ось соответствует
возможному ребру или перпендикуляру к возможной грани.
Изображенный на рисунке 150 двойник гипса Ca[SOJ • 2Н20 представляет
собой пример сростка, обладающего двойниковой плоскостью Р.
Одновременно здесь присутствует и двойниковая ось. Как увидим
далее, за таковую с точки зрения симметрии двойника следовало бы
принять прямую, совпадающую с линией Р на чертеже (при
повороте вокруг такой оси на 180° один из индивидов двойника
переходит на место другого). Однако обычно за двойниковую ось
гипсового двойника условно принимают нормаль к Р—CD, так как при
повороте вокруг такой оси на 180° один из кристаллов двойника
занимает положение, параллельное второму. Последнее относится
к двойникам всех кристаллов, обладающих центром инверсии.
Иногда один из составляющих кристаллов двойника насквозь
прорастает другим (рис. 151). Такие образования носят название
двойников прорастания в отличие от двойников срастания (см.
рис. 149, 150).
До сих пор говорилось лишь о сростках двух кристаллов,
образующих двойники. В случае срастания по двойниковым законам
трех, четырех, пяти и т. д. кристаллов различаем соответственно
тройники, четверники, пятерники и т. д. или так называемые
сложные кристаллы. На рисунке 152 изображен тройник рутила ТЮг-
Двойниковыми плоскостями для сросшихся кристаллов здесь
являются грани тетрагональной дипирамиды {101}.
В некоторых случаях имеем целую серию кристаллов,
сросшихся так, что каждые два соседних ориентируются относительно друг
друга в двойниковом положении, а кристаллы, следующие через
один, являются взаимно параллельными. Это так .называемые
полисинтетические двойники (рис. 153). Они особенно характерны для
полевых шпатов и кальцита.
Рассмотрим подробнее несколько типичных примеров
двойниковых образований, широко распространенных в мире минералов.
170

Рис. 154. Октаэдр (а) и двойник (б) двух
октаэдрических кристаллов, сросшихся по
шпинелевому закону
На рисунке 154, б изображен двойник срастания двух октаэдров
по так называемому шпинелевому закону. Такие двойники часто
наблюдаются для ряда минералов, кристаллизующихся в
кубической сингонии, — шпинели (отсюда и название двойникового
закона), магнетита, алмаза, флюорита и др. Для того чтобы
разобраться в этом законе двойникования, мысленно разрежем октаэдр
на две половины по плоскости ЕЕи показанной на рисунке 154, а,
и повернем переднюю относительно этой плоскости половину
кристалла на 180° вокруг перпендикуляра /V к передней нижней окга-
эдрической грани. В то же время заднюю часть многогранника
оставим неподвижной. В результате этой операции получается
многогранник с входящими углами, показанный на рисунке 154, б.
Именно таким образом, как эти две повернутые относительно друг
друга части октаэдра, срастаются между собой в природе два
октаэдрических кристалла, образующих двойник по шпинелевому
закону. Один из них повернут относительно другого на 180° вокруг
перпендикуляра к октаэдрической грани. Этот перпендикуляр
представляет собой двойниковую ось с символом [111]. Оба кристалла
соприкасаются по плоскости (111), параллельной той же
октаэдрической грани. Такая плоскость является двойниковой плоскостью,
так как, отразив в ней, как в зеркале, один из кристаллов,
составляющих двойник, мы получим второй кристалл двойника (октаэд-
рические кристаллы, входящие в состав двойникового срастания,
обладают центром инверсии; отсюда двойник имеет одновременно и
двойниковую ось и двойниковую плоскость). Символ двойниковой
плоскости—(111). Поэтому двойник по шпинелевому закону
сокращенно обозначается как «двойник по (111)».
Все двойники, рассмотренные выше, отличаются от простых
одиночных кристаллов наличием входящих углов. Однако в
некоторых двойниковых образованиях таких узлов не наблюдается.
Образующие их кристаллы прорастают друг друга так что
возникают двойниковые сростки, трудно отличимые от одиночных
кристаллов. Примерами таких образований являются наиболее
распространенные двойники кварца.
171

a
Рис. 155. Левый (а)
кристаллы _кварца;
призма {10iO}_ (б);
ромбоэдр {1011} (г);
ромбоэдр {0111} (р);
и правый (б)
гексагональная
положительный
отрицательный
тригональная
дипирамида __(s) {2111} (левый
кристалл), {1121} (правый кристалл);
тригональный трапецоэдр (я) {6151}
(левый кристалл), {5161} (правый
кристалл)
На рисунке 155
изображены типичные комбинации
одиночных кристаллов кварца. На
них обычно присутствуют
гексагональная призма (6), два
ромбоэдра (гир) и
подчиненные грани тригональной ди-
пир амиды (5) и тригональногс
трапецоэдра (х). Два
кристалла, изображенные на рисунка
155, а и б, относятся друг i
другу, как предмет и его
зеркальное изображение, т. е.
.представляют собой энантио-
морфные фигуры, отвечающие
левому и правому кварцу
О принадлежности кристаллов
кварца к правым и левым
проще всего судить по положению
плоскостей тригонального
трапецоэдра х относительно
граней призмы Ь. Если грань х
ьаходится в верхнем правом
кристалл — правый, если в левом —
углу призматической грани,
левый.
Совокупность отмеченных выше простых форм кварца Ь, г, р,
5, л: вполне определяет его симметрию L33L2 — 32 (аксиальный
вид симметрии тригональной сингонии). На рисунке 156 отдельно
изображены оси симметрии кварца. Тройная ось в идеально
развитом кристалле соединяет его две противоположные
ромбоэдрические вершины; двойные оси проходят через середины
призматических ребер. На рисунке 155 видно, что грани s и х притупляют
призматические ребра через одно. Двойная ось соединяет два
противоположных призматических ребра, одно с притуплениями и другое
без них. Как увидим ниже,
двойные оси кварца являются его
электрическими осями. Выход
двойной оси, упирающейся в
ребро, притуплённое гранями ди-
пирамиды и трапецоэдра, при
сжатии электризуется
отрицательно (отрицательный полюс оси).
Противоположный ее выход на
ребре без притуплений
электризуется при сжатии положительно
(положительный полюс оси).
Соответственно этому на рисунке
156 поставлены плюсы и минусы
у выходов двойных осей.
+
т
•г
о
Рис.
рии
156. Ориентировка осей симмет-
двух кристаллов кварца,
образующих дофинейский двойник
172

Рис. 157. Дофинейский двойник кварца (а) и его
разрез (б)
Рис. 158.
Бразильский
двойник кварца
Наиболее распространенными двойниками кварца являются
двойниковые срастания по так называемому дофинейскому
закону, Дофинейские двойники образуются при срастании двух правых
или двух левых кристаллов кварца, причем двойниковой осью
является их тройная ось симметрии L3. Легко убедиться в том, что
после поворота кристалла кварца на 180° вокруг L3 все оси
его^совместятся сами с собой, причем положительные полюсы двойных
осей поменяются местами с отрицательными полюсами. На
рисунке 156 изображена ориентировка осей симметрии двух кристаллов
кварца, образующих дофинейский двойник. Совпадение
положительных и отрицательных полюсов для сдвойникованных по
дофинейскому закону кристаллов кварца снижает качество кварцевого
сырья, используемого для изготовления пьезокварцевых
пластинок *. В двух кристаллах кварца, входящих в состав дофинейского
двойника, грани гексагональной призмы совпадают, грани
положительного ромбоэдра одного кристалла оказываются параллельными
граням отрицательного ромбоэдра другого. В результате при
идеальном развитии двух кристаллов двойника образуется кажущийся
монокристалл с одинаково развитыми двенадцатью
ромбоэдрическими гранями, составляющими как бы одну гексагональную дипи-
рамиду. Кроме того, грани тригональной дипирамиды и тригональ-
ного трапецоэдра х будут одинаково притуплять соседние ребра
между призмами, повторяясь шесть раз как на одном, так и на
другом концах кристалла (рис. 157, а). Обобщенная симметрия
такого двойника является повышенной по сравнению с истинной
симметрией кварца и отвечает аксиальному виду гексагональной син-
гонии (L66L2—622). На рисунке 157, б представлен разрез
дофинейского двойника кварца, протравленного плавиковой кислотой.
Различно протравленные (белые и заштрихованные) области соот-
ветствуют здесь участкам кристалла, сросшихся по дофинейскому
Пьезоэлектричество — стр. 214.
173

закону. Отметим сложность и прихотливость границ между сдвой-
никованными участками.
На рисунке 158 изображен так называемый бразильский
двойник кварца. В нем два кристалла-—левый и правый срослись по
плоскости призмы {1120} так, что один кристалл_является как бы
зеркальным отражением другого. Плоскость (1120) представляет
здесь двойниковую плоскость. Идеально развитый бразильский
двойник имеет, так же как и монокристалл кварца, чередующиеся
через одну большие (г) и малые (р) ромбоэдрические плоскости.
Грани тригональной дипирамиды 5 притупляют подряд все шесть
призматических ребер. Грани трапецоэдра х образуют в
совокупности как бы тригональный скаленоэдр. Обобщенная симметрия
такого двойника является снова повышенной по сравнению с
симметрией одиночного кристалла кварца и отвечает планаксиальному
виду симметрии тригональной сингонии (L33L23PC—3m).
При прохождении курсов минералогии и петрографии особенно
много внимания-уделяется двойникам полевых шпатов,
чрезвычайно распространенным в природе. В связи с этим ниже приводится
лишь краткая кристаллографическая характеристика наиболее
важных законов. Предварительно заметим, что кристаллы полевых
шпатов относятся либо к моноклинной, либо к триклинной
сингонии, причем триклинные кристаллы по углам весьма близки к
моноклинным (рис. 159).
Карлсбадский
Манебахский
Бавенский
\льбитовый
Периклиновый
Название закона
^
Триклин-
► ная син- j
гония
)
>
Моноклинная
сингония

Двойниковая ось
[001]
± (001)
± (021)
± (010)
[010]
Плоскость срастания
(010)
(001)
(021)
(010)
(001) или другая
плоскость — так
называемое ромбическое
сечение, образующее с
(001) угол,
колеблющийся примерно до
20° в ту или другую
сторону.
При обзоре двойников кварца указывалось, что обобщенная
симметрия двойников превышает симметрию отдельных кристаллов.
Это явление констатируется и для. закономерных полевоишатовых
срастаний. Триклинные кристаллы кальциево-натриевых полевых
шпатов (плагиоклазов) способны образовывать комплексные
двойниковые сростки, по мере усложнения которых возрастает и их
суммарная симметрия (Л. А. Варданянц).
§ 4. АНТИСИММЕТРИЯ
Обычно до сих пор при описании двойников мы ограничивались
приведением символов для двойниковых осей и плоскостей и
перечнем простых форм для отдельных индивидов.
174

в г д
Рис. 159. Двойники полевых шпатов:
а —альбитовый закон; б — карлсбадский закон; М— {010}» Р —{001)f
Г— /НО1-, У—/201}; в — периклиновый закон; г — манебахский закон;
в —бавенский закон
Недавно 'появились предложения привлечь для этой цели учение
об антисимметрии А. В. Шубникова.
Ознакомимся в самом кратком виде с исходными положениями
упомянутого учения.
«Подобно тому как правая фигура .равна левой, так, по нашему
предположению, положительная фигура может быть равна
отрицательной. Этот в*ид равенства «азовем противоположным равенством
или антиравенством»*. В качестве примеров наиболее простых
антиравных фигур А. В. Шубников приводит медаль и слепок с нее,
винт и гайку, фотографические позитивные и негативные
изображения одного и того же предмета, гравюру и клише, капельку воды в
воздухе и пузырек воздуха в воде и т. д.
Из примеров, относящихся к области кристаллографии,
упомянем одинаковые по форме положительные и отрицательные
кристалла (см. рис. 143), фигуры травления и бугорки роста на
кристаллических гранях и др.
Удачный пример антиравных фигур (типа модели и слепка)
представляют внутренние соприкасающиеся поверхности двух срос-
,\J^ Узников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур. Изд-во
\ 1951, стр. 7. v
175

Рис. 160.
гипса по
Двойник
(100) с
обобщенной
двуцветной
симметрией L^PP^mm^1)
шихся кристаллов (одна из них обычно
является выпуклой, другая вогнутой).
По аналогии с симметричными
фигурами, состоящими из равных частей,
рассматривают и антисимметричные фигуры,
состоящие либо целиком, либо частично из
антиравных частей.
Элементы симметрии конечных фигур
сводятся, как известно, к простым и
сложным (инверсионным или
зеркально-поворотным) осям симметрии (центр инверсии
отвечает инверсионной оси первого
порядка или зеркально-поворотной оси второго
порядка; плоскость симметрии
представляет инверсионную ось второго порядка или
зеркально-поворотную ось первого
порядка).
Для антисимметричных фигур
соответствующими элементами будут аналогичные простые и сложные ан-
тиоси. В отличие от осей симметрии их обозначения отмечаются
штрихом. Для конечных кристаллографических фигур А. В.
Шубников дал полный вывод совокупностей элементов симметрии и
антисимметрии. Общее число их 58. Это — своеобразные аналоги
32 видов симметрии.
Несколько упрощая идеи Шубникова, условимся считать
элементы антисимметрии (антиоси, антиплоскости, антицентр)
элементами двуцветной (чер'но-белой) симметрии, связывающими между
собой равные, но различно окрашенные части «черно-белой» фигуры
(X. Кюрьен, И. Лекор). Ясно, что такой подход особенно
целесообразен по отношению к двойниковым сросткам, в которых можно
условно окрасить один из индивидов сростка в один цвет, а второй,
соответственно, в другой цвет. Прием именно такой раскраски
издавна практиковался в -педагогической практике по
кристаллографии. Учебные модели двойников, как правило, окрашены в два
цвета соответственно участкам двух индивидов, входящих в сросток.
Обобщенную симметрию двойникового сростка удобно
характеризовать как суммарную симметрию «черно-белого» тела с учетом
не только простых осей и плоскостей симметрии, но и «антиосей» и
«антиплоскостей» или осей и плоскостей двуцветной симметрии.
Рассмотрим в качестве примера уже известный нам двойник
гипса в форме «ласточкиного хвоста» (см. рис. 150). Раскрасим
один из индивидов сростка в черный, а другой — в белый цвет
(рис. 160). Общая (симметрия всего двойника отвечает планальному
виду симметрии ромбической сингонии (Z,22P—mm2). Однако ось
L2 переводит здесь черную часть фигуры на место белой и
наоборот. Иными словами, это будет не простая ось симметрии, а «анти-
ось», или «ось двуцветной симметрии» — L2'. To же самое относится
и к той плоскости симметрии, которая совпадает с гранями (100)
обоих индивидов и является двойниковой плоскостью. При отра-
176

■v:-:-.v:t:: :v:*V-V;*
\-M^W^^
hffi^^v>Vv:-:v,'
гШШШ^
у '•".■*-"-■/.•".■""."",v-Чv'■*:■;-;■'.*•";
w
г
wmm
I
/l"
1 i—-1
t
1 J—
2Ж]
1 >Ц?!
mffi- ir
^fiJ
mm
Ж
IP
:^
:.i
S1
Рис. 161. Восемь гранных разновидностей куба

Рис. 162. Примеры двуцветных разновидностей куба
жении в ней черный индивид превращается в белый и обратно.
Значит, эта плоскость является «антиплоскостью», или «плоскостью
двуцветной симметрии» — Р'. Вторая плоскость симметрии,
проходящая параллельно граням (010) обоих индивидов, как легко
понять из рисунка 160, представляет простую плоскость симметрии.
Следовательно, обобщенная двуцветная симметрия всего
двойника— WPP'—тт'2'. Именно такая симметрия с учетом
двуцветной оси и плоскости симметрии дает четкое понятие о законе двой-
никования, .по которому срослись оба кристалла.
Однако этого мало, при описании двойников необходимо дать
понятие об их чрезвычайно характерной суммарной форме. Здесь
следует -привлечь на помощь разновидности простых гранныхформ
с входящими углами, чрезвычайно часто проявляющихся на
суммарных формах двойниковых образований. На рисунке 161
изображены восемь гранных разновидностей куба как в виде выпуклых
фигур, так и с входящими углами. В верхней строке —
положительные разновидности, в нижней — отрицательные.
Применяя при описании двойников понятия о суммарных
простых формах как с входящими углами, так и без них, мы должны
все эти формы рассматривать как двуцветные фигуры (один цвет
отвечает одному, а другой—-второму индивиду двойника). В связи
с этим возникла необходимость дать полный вывод всех двуцветных
(«черно-белых») простых форм. Такой вывод для выпуклых
многогранников был осуществлен с помощью 58 групп антисимметрии
конечных кристаллографических фигур А. В. Шубникова *. На
рисунке 162 приведены примеры двуцветных разновидностей куба.
В качестве иллюстрации к вышесказанному приведем описание
форм двух известных в минералогии двойников. Начнем с дофиней-
ского двойника кварца, не обнаруживающего, как известно,
входящих углов (см. рис. 157 и 163).
Суммарная двуцветная симметрия такого двойника L6/3L23L2/—
6'22' (т. е. мы имеем как бы гексагонально-аксиальный вид
симметрии L66L2—622, где L6 и три двойные оси превращены в анти-
оси). Призмы обоих индивидов двойников дают одну суммарную
гексагональную призму с составными «черно-белыми» гранями.
Ромбоэдрические грани образуют в совокупности суммарную дву-
* Шафрановский И. И. и Письменный В. А. Обобщенные
формы двойниковых образований. «Кристаллография», 1961, т. 6, вып. 1.
178

itrpthvk) гексагональную дипирамиду также с
составными «черно-белыми» гранями. Триго-
няпьные трапецоэдры слагают суммарный дву-
пветный гексагональный трапецоэдр с цельными
«черными» и «белыми» гранями (см. рис. 163).
На рисунке 164 изображен двойник прораста-
[ двух пентагон-додекаэдров пирита по (110).
Рис. 163. Дофиней-
ский двойник
кварца с обобщенной
двуцветной
симметрией
WZL23W—в'221
. ния двух
Двуцветная суммарная симметрия всего
двойника _ зЬ4'4Ьз№2'ЗРбР'С-тЗт' (аналог планак-
сиального вида кубической сингонии).
Суммарная форма этого двойника отвечает одной
простой двуцветной форме — разновидности тетра-
гексаэдра с входящими углами и цельными
«черными» и «белыми» гранями (рис. 164, а).
В случае наличия на таком двойнике граней
куба получим двуцветную выпуклую
разновидность куба с составными «черно-белыми»
гранями. Последнее хорошо видно на рисунке 164, б
по узору штрихов на гранях куба.
Как видим, добавление перечня двуцветных простых форм, и
выпуклых, и с входящими углами, к простым формам общей
симметрии — антисимметрии — дает исчерпывающее понятие о сдвой-
никованных кристаллах.
В случае тройников, четверников и т. д. приходится прибегать к
понятиям многоцветной симметрии и к суммарным простым формам,
окрашенным в соответственное число цветов *.
Закономерные срастания нередко образуются во время
кристаллизации, когда мелкие кристаллики, будучи во взвешенном
состоянии, ориентируются относительно друг друга или же когда они
прирастают к уже образованным крупным кристаллам.
Рис. 164. Двойники прорастания двух пентагон-додекаэдров
пирита по (ПО) с обобщенной двуцветной симметрией
3144Л36121ЗР6Р1С — тЪт>
-алло"рафия>и9Л5б,Вт. \1ыА1^Г' ^^ ****** с™метрии. «Кри-
179

Возникновению двойников
способствует также резкое изменение
физико-химических условий, вследствие которого
кристалл перестает быть устойчивым,
переходя в другую модификацию.
Известно, что при температуре выше
573±2°С образуется так называемый
высокотемпературный гексагональный
кварц. При падении температуры ниже
573±2°С этот кварц переходит в триго-
нальные кристаллы. Переход 'Происходит
за счет распадания гексагональной
структуры на множество тригональных
участков, сдвойникованных между
собой.
Наконец, имеются двойники, образовавшиеся при механическом
воздействии, например давлении. Случай такого двойникования
разобран ниже (стр. 190, кальцит).
§ 5. ЭПИТАКСИЯ
До сих пор рассматривались срастания кристаллов одного и
того же вещества. Вместе с тем известны многочисленные случаи
закономерных срастаний кристаллов различных веществ. При таких
образованиях структуры обоих веществ должны обладать более или
менее сходными сетками или рядами, по которым и происходит
срастание.
Классический пример этого представляют кубики йодистого
калия KJ, нарастающие на третий пинакоид моноклинной слюды
(мусковита) так, что их тройные оси располагаются
перпендикулярно плоскости слюдяного ойнакойда (параллельно этой плоскости
слюда легко расщепляется на тончайшие пластинки, рис. 165).
Такое строго закономерное срастание объясняется сходством
октаэдрических сеток (_LL3)KJ и пинакоидальной сетки мусковита.
В самом деле, и ib тех и в других можно выделить весьма сходные
треугольники, по вершинам которых располагаются * ионы калия.
Этим и вызывается вышеописанное срастание, несмотря на то, что
ни симметрия, ни химический состав обоих веществ не имеют ничего
общего (мусковит—КА12(ОН)2[AlSi3Oio]—моноклинный, йодистый
калий KJ — кубический).
Структурно закономерное срастание кристаллов различных ее-
ществ называется эпитаксией (от греческих слов эпи— на и
таксис— расположение в порядке).
§ 6. МОЗАИЧНЫЕ КРИСТАЛЛЫ
Огромное распространение имеют усложнения в кристаллообра-
зовани'И, связанные с несовершенством реальных кристаллических
структур.
Рис. 165. Кубики KJ,
закономерно наросшие на
пинакоид слюды
L80

Рис. 166. Схема строения идеального
монокристалла (а) и мозаичного кристалла (б)
В 1870 г. русский минералог и кристаллограф М. В. Ерофеев
(1830—1889) высказал мысль о том, что почти всякий реальный
кристалл следует рассматривать как сросток — «кучу» множества
неделимых. Это положение дает .правильное понятие о сложном
строении реальных кристаллов. Примером кристаллов с подобным
строением служат так называемые мозаичные кристаллы,
кристаллическая структура которых представлена отдельными
однородными блоками, несколько смещенными относительно друг друга и
нередко отделенными друг от друга внутренними трещинами. Такие
кристаллы представляют в совокупности как бы мозаику из
сросшихся вместе в нестрого параллельном положении однородных
кристаллических участков (рис.
166). По новейшим данным, все
реальные кристаллы в той или
иной степени являются
мозаичными.
Иногда усложнения в
кристаллообразовании
обусловливают винтообразную
скрученность кристаллов. Таковы
скрученные кристаллы кварца.
Последние обычно уплощены по
одной^ паре призматических
граней и вытянуты вдоль одной
из двойных осей симметрии.
Вдоль этой же оси происходит
и^РУЧИВание кРистал-ла (рис.
1Ь7). Чаще всего скрученные
кристаллы отличаются своей
неоднородностью и мозаичным Dt, л» г
строением. Рис; 16£ вкрученный кварц
(по Г. Г. Леммлеину)
181

Причина образования винтообразно скрученных кристаллов дс
сих лор остается не выясненной до конца.
В природе и лабораторных условиях часто имеет место
расщепление кристалла на составные участки и изгибание последних в
процессе роста. В результате получаются так называемые сфероли-
товые образования. Обыкновенные сферолиты состоят из
удлиненных кристаллических волокон, радиально расходящихся из одного
центра. Внешняя форма такого сферолита приближается к шару.

^.ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
физика твердых тел М™-
сти физика ^^^f^T^Soi
все больший интерес как с научной,
так и с практической точки зрения.
Механические свойства алмаза,
корунда и металлических сплавов,
пьезоэлектрический эффект кварца
и турмалина, оптические
особенности кальцита, флюорита, селитры и
пр —все это находит широчайшее
применение в металлургии,
радиотехнике, приборостроении,
оптической промышленности и других
областях. Если раньше работы
физиков касались преимущественно
жидкостей и газов, то сейчас огромное
количество исследований посвящено
твердому телу и, главным образом,
кристаллам. В связи с назревшей
необходимостью изучения физики
кристаллических образований
появился ряд специальных журналов и
солидных монографий по данному
отделу*. В университетах и высших
технических учебных заведениях
выделены кафедры с курсами по
механическим, электрическим,
магнитным, оптическим и другим свойствам
кристаллов. Физика кристаллов
обособилась в самостоятельную быстро
растущую дисциплину.
В кратком учебнике нет никакой
возможности дать сколько-нибудь
полное понятие об этой области.
Поэтому мы ограничимся здесь
лишь отдельными примерами,
наиболее ярко иллюстрирующими связь
между геометрией кристаллов и их
физическими свойствами.
В связи с тем, что кристаллы
являются анизотропными телами,
характер большинства их физических
свойств зависит от направления
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ФИЗИЧЕСКАЯ
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ *
ГЛАВА ВОСЬМАЯ
МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
КРИСТАЛЛОВ
(НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ]
три о т?УзнеЧ°в В. Д. Физика твердого
1ела. Томск, 1952. Жданов Г. С.
Физика твердого тела. Изд-во МГУ, 1962.
183

внутри кристаллического тела. Это так называемые векторные и
тензорные физические свойства. Существуют, однако, и не
изменяющиеся в зависимости от направления скалярные физические
свойства (масса, плотность, температура и др.). Ниже мы рассмотрим
лишь некоторые из векторных и тензорных свойств.
Как увидим далее, в отношении тепловых и оптических свойств
кристаллы ведут себя так, как-будто бы они являются
непрерывными однородными средами, а не решетчатыми структурами. В связи
с этим поверхности теплопроводности и фигуры, характеризующие
оптические свойства кристаллов, имеют формы шаров (симметрия
ooLooOoPC), эллипсоидов вращения (LO0ocL2cvPnC) и трехосных
эллипсоидов (3L23PC — mmm). Другие физические свойства тех же
кристаллов, зависящие от их решетчатого строения, имеют менее
высокую симметрию, самой низкой симметрией отличаются
явления роста кристаллических многогранников (принцип Ф. Нейман-
на). Важно подчеркнуть, что один и тот же кристалл может
характеризоваться различной симметрией в зависимости от того, какое
физическое свойство принято во внимание (А. В. Шубников).
§ 2. ТВЕРДОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
Под твердостью подразумевается степень сопротивления
материала внешнему механическому воздействию. Точной
формулировки понятия о твердости до сих пор нет. В минералогической
практике для приближенного определения твердости исследуемого
объекта последний сравнивается с эталонами шкалы Мооса *. Такими
эталонами служат следующие минералы:
Тальк Mg3(OH)2[Si4Oio] 1
Каменная соль NaCl 2
Кальцит Са[С03] 3
Флюорит (плавиковый шпат) CaF2 4
Апатит Ca5F[P04]3 5
Полевой шпат (ортоклаз) K[AlSi308] 6
Кварц Si02 7
Топаз A12(F, OH)2[Si04] 8
Корунд А1203 9
Алмаз С . . . J 10
Более твердые эталоны царапают исследуемый объект, более
мягкие — царапаются ими **.
* Фридрих Моос (1773—1839), австрийский минералог. Ему наравне с Вей-
сом принадлежит классификация кристаллов по сингониям.
** По указанию проф. Н. К. Разумовского, минералы-эталоны с успехом могут
заменяться следующими предметами, твердость которых известна:
Предметы Твердость
Карандаш № 1 . . .: , 1
Игла из мягкой алюминиевой проволоки (минералы с твердостью меньше 2,
например гипс, чертятся ногтем) -
Медная монета (лучше игла из красной меди) 3
Мягкая железная проволока (лучше игла из железной проволоки) .... 4
Простое стекло 5
Лезвие перочинного ножа из хорошей стали 6
Напильник "i
184

Ясно что полученные таким
образом результаты являются весьма
приближенными. Однако и при помощи
шкалы Мооса уже удается подметить
анизотропию твердости кристаллов
некоторых веществ. Например, у
кристаллов дистена твердость в одном
направлении 4,5 (апатит царапает,
флюорит не царапает), а в другом 7 (топаз
царапает, долевой шпат не царапает),
т е такая же, как у кварца (см. стр.
12>-
Существует ряд методов более
точного испытания твердости кристаллов,
например, путем шлифования
(твердость определяется по потере в весе
шлифующегося материала).
Наиболее точные сведения о
твердости (микротвердости) можно
получить с помощью специальных
приборов — твердометров или
склерометров.
На рисунке 168 изображен один из
распространенных типов твердометров. Прибор представляет
микроскоп, снабженный особым приспособлением — индентором, в
который вставлена квадратная алмазная пирамидка. Индентор
приводится в соприкосновение с отполированной поверхностью
исследуемого образца. При этом алмазная пирамидка под определенной
нагрузкой вдавливается в образец. Получившийся отпечаток
пирамидки на поверхности объекта рассматривается в микроскоп;
диагональ отпечатка измеряется.
Микротвердость Н определяется по формуле
Рис. 168. Твердометр
М. М. Хрущева и
Е. С. Берковича:
а — алмазная пирамидка;
б — исследуемый объект
fl=2s,nT-.
где а —угол между гранями алмазной пирамидки, равный
обычно 136°; Р — нагрузка в кг; d — диагональ отпечатка в мм.
Полученные таким образом числа твердости имеют размерность
кг/мм2. г г
Приведем числа твердости для эталонных минералов шкалы
юоса, найденные проф. М. М. Хрущевым посредством метода
вдавливания квадратной пирамидки:
Тальк . ....
. Гипс
Кальцит . ...
Флюорит . ....
Апатит . . .
2,4
36
109
189
536
Ортоклаз . .
Кварц . . .
Топаз .
Корунд .
Алмаз . . .
. . 795
. . 1120
142?
2060
. . 10 060
185

о
о б
Рис. 169. «Розетки твердости» каменной соли:
а — для грани куба; 6 — для грани октаэдра
Точные методы измерения твердости дают различные значения
ее для разных направлений в пределах одного и того же кристалла.
Этого и следовало, ожидать, исходя из анизотропности
кристаллических тел. Если, например, по разным направлениям от какой-либо
точки на грани кристалла отложить векторы, каждый из которых
выражает в известном масштабе значение твердости по данному
направлению, и соединить затем концы векторов, то получим
характерную фигуру — розетку твердости. Симметрия такой фигуры,
как показано на рисунке 169, тесно связана с симметрией самой
грани (a — U4P — 4mm; б— ЬЪЗР — Зга).
Доказана зависимость твердости кристаллов от их строения.
Наиболее густо усаженные атомами плоскости
обычно.обладают наибольшей твердостью, и наоборот. В связи с этим на
разных гранях одного и того же кристалла наблюдается различная
твердость. Так, например, ювелиры с давних пор отмечали
неодинаковую твердость граней кристаллов алмаза. Наиболее твердые
грани соответствуют плоскостям октаэдра, на втором месте стоят
грани ромбо-додекаэдра и на третьем — куба. Эти наблюдения
прекрасно согласуются со структурными данными, по которым
сдвоенные (тесно прилегающие) октаэдрические сетки алмаза
являются плотнейшими, ромбо-додекаэдрические обладают меньшей
плотностью, а сетки куба по ретикулярной плотности занимают
третье место. Мало того, в пределах плоскости одной и той же грани
твердость алмаза меняется с направлением в зависимости от
густоты расположения атомов по взятым направлениям (рис. 170) *.
§ 3. СПАЙНОСТЬ
Спайностью называется свойство кристаллов колоться по
плоскостям, параллельным действительным или возможным граням.
Для некоторых веществ указанное свойство проявляется
чрезвычайно резко. Напомним о кристаллах слюды, легко
расщепляющихся на тончайшие листочки параллельно пинакоиду {001}.
Отчетливая спайность наблюдается здесь параллельно одной лишь
* Поваренных А. С. Твердость минералов. Изд-во АН УССР, 1963.
186

ч
X
/
X |
х !
С
Рис. 170. Плоские сетки (100), (110) и (111) в структуре
алмаза (верхний ряд); сплошные черточки показывают
наиболее выгодные, а пунктирные — наименее выгодные
направления для шлифовки (нижний ряд)
плоскости. В кристаллах поваренной соли спайные выколки имеют
форму кубиков. Тем самым спайность NaCl проходит параллельно
трем плоскостям (параллельно трем парам граней куба).
В приведенных примерах указывалась весьма совершенная
спайность. В других случаях это свойство едва заметно. Такова
трудно улавлираемая весьма несовершенная спайность кварца,
параллельная одному из его обычных (главных) ромбоэдров {0111}.
В некоторых кристаллах одновременно имеют место различные по
степени совершенства системы спайности, параллельные
различным кристаллографическим плоскостям.
Как указывалось, явление спайности обусловливается
особенностями внутреннего строения кристаллов.
Изобразим плоскую сетку (рис. 171), где в
направлении АВ узлы расположены часто, а в
направлении АС — редко.
Приложив силы с целью разорвать эту сетку
в направлениях, параллельных АВ и АС, можно
убедиться, что по первым направлениям разрыв
наступает при меньших усилиях. Действительно,
промежутки рядов \\АВ меньше, чем промежутки
рядов \\АС, и, наоборот, силы, действующие
между частицами в рядах \\АВ, больше
соответствующих сил в рядах \\АС.
Ясно, что ряды \\АВ по сравнению с рядами
4-4
W*
\\АС
оказывают большее сопротивление усилиям
разрыва. Сетка, изображенная на рисунке 171,
легче разрывается вдоль линии /—/, чем вдоль
Рис. 171. Разрыв
кристалла
осуществляется легче по
/—/, чем по 2—2
187

„<fr *\ A
Ui Ш:--Ш
u
fiw)
ZnS
Zn S ZnS ZnS ZnS ZnS
Рис. 172. Структура цинковой
обманки ZnS (а);
расположение сеток (111) (б);
расположение сеток (ПО) (в)
Сказанное можно обобщить и по
отношению ко всей структуре.
Спайность проходит параллельно
сеткам, наиболее слабо связанным
между собой. Такие сетки наиболее
удалены друг от друга и имеют
наибольшую ретикулярную плотность.
Положение это, впервые
сформулированное Бравэ, в большинстве
случаев оказывается справедливым;
однако в реальных структурах
необходимо еще принимать "во
внимание силы химического сцепления.
Г. В. Вульф, впервые отметивший
последнюю зависимость, приводит
в качестве примера кубическую
структуру цинковой обманки
(сфалерит) ZnS (рис. 172).
Цинковая обманка обладает
весьма совершенной спайностью по
плоскостям ромбо-додекаэдра {ПО},
тогда как наиболее широко
расставленными сетками в структуре ZnS
являются сетки {111}. Это
объясняется тем, что в одной из двух
соседних сеток {111} находятся лишь атомы (ионы) серы, тогда как во
второй расположены исключительно атомы (ионы) цинка (рис.
172, б). Такое расположение частиц препятствует разрыву
кристалла по сеткам {Ш}, хотя и далеко отстоящим друг от друга, до
крепко связанным действием разноименно заряженных частиц
цинка и серы.
На втором месте по величине межплоскостных расстояний стоят
сетки {ПО}. Здесь в плоскости любой одной сетки лежат
одновременно и атомы серы и атомы цинка (рис. 172, в). В связи с этим
заряды цинка и серы в значительной мере нейтрализуются уже в
пределах одной сетки, оставляя две соседние сетки {110} менее
связанными друг с другом.
Уместно провести параллель между рассмотренной спайностью
сфалерита и спайностью алмаза. Пространственное расположение
атомов углерода в структуре алмаза геометрически подобно
расположению ионов Zn и S в структуре сфалерита. 'Однако в алмазе
все атомы однородны, и поэтому плоскости спайности проходят
здесь параллельно наиболее удаленным друг от друга сеткам
{111}. Следовательно, в отличие от сфалерита, обладающего
спайностью по ромбо-додекаэдру, кристаллы алмаза характеризуются
ясно выраженной октаэдрической спайностью.
Правило Бравэ и теория Вульфа дают возможность по чисто
внешнему механическому признаку спайности приходить к
некоторым заключениям о внутреннем строении кристаллов. До начала
188

тгеноанализа спайность считалась одним из наиболее надежных
Признаков для определения типа решетки.
§ 4. МЕХАНИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ КРИСТАЛЛОВ
Одностороннее (иногда и всестороннее) давление на кристалл
часто приводит к пластическим деформациям структуры без ее
разрыва.
Пластические деформации вызываются либо скольжением одной
части кристалла относительно другой, либо сдвигами с
образованием двойников. Как и в случае спайности, скольжение одной части
кристалла относительно другой без его разрыва может происходить
лишь по плоскостям, наименее прочно связанным друг с другом.
Плоскость, по которой при механической деформации кристалла
происходит скольжение одной его части относительно другой без
разрыва структуры, называется плоскостью скольжения.
Скольжение в таких плоскостях может происходить лишь по определенным
направлениям, называющимся направлениями скольжения.
Последние параллельны рядам, в которых частицы наиболее прочно
связаны между собой.
На рисунке 173 изображена сетка куба поваренной соли, по
отношению к которому приложена сила, обозначенная стрелкой. Под
влиянием такого воздействия наблюдается перемещение
(скольжение) части кристалла, расположенной слева от некоторой плоскости
dd по отношению к другой части того же кристалла, лежащей
вправо от dd. Плоскость dd соответствует плоскости скольжения и
проходит параллельно ромбо-додекаэдрическим сеткам {110}
поваренной соли. В такой сетке параллельно направлению [110] имеем ряды,
образованные либо одними ионами натрия, либо одними
ионами хлора. В соседней плоской сетке против рядов с ионами Na
проходят ряды с ионами О, и наоборот.
При данной пластической деформации вторая плоская сетка
передвигается относительно первой так, что ионы Na скользят вдоль
ионов С1 (или ионы О вдоль ионов Na). Разрыву препятствует
притяжение разноименных зарядов ионов в соседних рядах обеих
ttX-ч
Y7i—6—*--6—*
Рис. 173. Скольжение в структуре NaCl вдоль
плоскости (110)
189

сеток. В результате одна часть кристалла скользит относительно
другой, оставаясь, однако, параллельной своему исходному
положению.
Известны случаи, когда под влиянием сдвигов получаются
двойники. Последнее, например, имеет место для кальцита. Взяв
спайный ромбоэдр его {1011} (или {100}) и надавив лезвием ножа на
ребро, образованное двумя гранями, пересекающимися под тупым
углом, получим сдвиги параллельно плоскости другого ромбоэдра
{0112} (или {ПО}). Такие сдвиги сопровождаются образованием
двойников. Рисунок 174 поясняет сказанное. Стрелка указывает
направление давления на кристалл кальцита.
Часть кристалла abed остается после давления в исходном
положении, тогда как часть defg путем сдвига слоев кальцита вдоль
ag перемещается, образуя участки, находящиеся в двойниковом
положении относительно остальной части кристалла agih.
Указанные пластические деформации широко распространены
среди кристаллов, проявляясь особенно резко на металлах. Этим
объясняется ковкость последних. Нередко наблюдающиеся
искривления и изгибы кристаллических граней и ребер связаны со
скольжением отдельных мельчайших участков кристалла вдоль
определенных плоскостей. На рисунке 175 изображена схема изгиба
кристалла путем скольжения. Однако следует иметь в виду, что
механические воздействия нередко также искажают кристаллическую
структуру, искривляя ее ряды и сетки.
В настоящее время пластичность кристаллов составляет одну
из важнейших проблем современной кристаллофизики; именно
здесь намечаются пути для создания высокопрочных
кристаллических материалов. Ясно, что пластические деформации в виде
трансляционных скольжений и механического двой-
никования неразрывно связаны с дефектами
кристалла в форме мельчайших трещин,
сдвинутых или шовернутых друг относительно
друга участков структуры и дислокаций
(дислокациями называются линейные нарушения
структуры).
Вообще заметное влияние дефектов
строения кристаллов на их физические свойства (в
Ъ с I e /
h ■ *г
Рис. 174. Образование двойника
в кальците путем давления
190
^
Рис. 175. Изгиб
кристалла как
результат
скольжения

гпбрнности на механические свойства) усиленно изучается в на-
шее время многочисленными исследователями в связи с боль-
СТ°Й практической важностью данного вопроса. Ниже приводится
каткая классификация дефектов кристаллов:
1 Точечные дефекты (атомы, находящиеся между узлами
кристаллической решетки; пустующие узлы решетки; центры окраски
И Д 2. Линейные дефекты (дислокации).
3* Поверхностные дефекты (границы зерен и двойников, сдвиги
и повороты участков структуры и др.).
4. Объемные дефекты (пустоты, включения иных веществ
и т. д.) *.
Борьба с такими дефектами и находится сейчас в центре
внимания специалистов, работающих над упрочнением кристаллов,
используемых в технике**.
§ 5. УПРУГОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
Под действием приложенных механических сил твердые тела
деформируются, изменяя свой внешний вид и объем. В предыдущем
параграфе отмечались деформации, при которых изменение
внешнего вида кристалла сохраняется и после прекращения действия
деформирующих сил. Однако, если не превысить известных
пределов, деформированное тело после прекращения действия указанных
сил может снова принять свой первоначальный вид.
Свойство твердого тела после деформации возвращаться к
своей исходной форме называется упругостью.
Пусть твердое тело имеет форму бруска длиной L и площадью
поперечного сечения q. Установив такой брусок на твердой опоре и
поместив на него сверху груз Р, мы тем самым уменьшим длину
бруска на некоторую величину I (рис. 176, а). В результате длина
бруска станет равной L — I. Укрепив теперь тот же брусок за
верхний конец и привесив снизу тот же груз Р9 получим увеличение
длины бруска на ту же величину I (рис. 176, б). Длина бруска
будет L+L
Наблюдения показывают, что величина / в обоих случаях может
быть вычислена из уравнения
/ = Е (закон Гука).
Я
Таким образом, удлинение или укорачивание бруска
пропорционально действующей на него силе — грузу Р9 а также длине его L
**5ан Бюрен. Дефекты в кристаллах. М, ИЛ., 1962, стр. 24.
за а ассен_НеклюД°ва М. в- и Рожанский В. Н. Основные
Дачи физики прочности и пластичности кристаллов. «Кристаллография», 1962,
т- /, вып. 4.
явпеМокиевскийиВ. А., Титова В. М., Бартошинский 3. В. Про-
- •> ние пластической деформации в алмазе и некоторые вопросы, связанные
^ пластичностью кристаллов. Зап. Всесоюзн. Минерал, об-ва, 1962, ч. 91, вып. 4.
191

Рис. 176. Сжатие (а) и растяже- Рис. 177. Поверхность
ние (б) бруска при помощи груза Р коэффициентов
растяжения барита Ba[SOJ
и обратно пропорционально площади поперечного сечения бруска
q. Помимо этого, / пропорционально величине Е, называющейся
коэффициентом растяжения или сжатия. При P = l, L=,l, q=\
коэффициент £ = /.
Коэффициент растяжения не зависит от размеров бруска,
являясь постоянной величиной для одного и того же вещества. Для
любого однородного аморфного тела коэффициент растяжения равен
строго определенной величине, не зависящей от направления.
Совершенно иное наблюдается для кристаллов. Если
исследуемые бруски вырезаны из кристалла в параллельной ориентировке,
получаем одинаковые коэффициенты растяжения. Бруски же,
вырезанные по различным направлениям, несмотря на одинаковые
размеры и нагрузки, имеют в общем случае различные коэффициенты
растяжения.
В связи с анизотропностью кристалла коэффициент его
растяжения (или сжатия) изменяется с направлением.
Наглядное представление о возникающих в кристалле
деформациях можно получить из следующего теоретического построения.
Проведем из какой-либо точки, взятой внутри кристалла, в
разные стороны векторы, длины которых пропорциональны
коэффициентам растяжения по тому или иному направлению. Концы
отрезков прямых соединим общей поверхностью, носящей название
поверхности коэффициентов растяжения. Для аморфных тел такая
поверхность имеет форму шара. В случае же кристаллов
поверхности коэффициентов растяжения весьма сложны и разнообразны.
Однако, получив такую поверхность, легко выяснить, как с
изменением направления меняются свойства кристалла.
Приведем в качестве иллюстрации (рис. 177) поверхность
коэффициентов растяжения барита Ba[S04]. На рисунке 177 следы
сечения фигуры плоскостями симметрии обозначены пунктирными
линиями; в точках пересечения каждой пары пунктирных линий
выходят двойные оси. Весьма замысловатая и кажущаяся на первый
взгляд незакономерной криволинейная поверхность коэффициентов
растяжения барита оказывается на деле строго связанной с симмет-
192

пией его кристаллов. Этот пример лишний
Еаз подчеркивает взаимную связь между
Стыками свойствами и геометрически
^ГособТ^стями кристаллических образо-
^заключение упомянем о следующем
явлении- шар, вырезанный из кристалла
средних'или низших сингонии и
подвергнутый равномерному и всестороннему
давлению превращается в млипсоид.
Забегая вперед, отметим, что в виде эл- ния воска н/гн ± 1з
липсоида (в частном случае —шара)
может быть «представлен целый ряд
физических явлений (сюда, например, относятся тепловые и оптические
свойства кристаллов —§ 6 и глава 9).
§ 6. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ КРИСТАЛЛОВ
Известен ряд простейших опытов, дающих понятие о
теплопроводности кристаллов. Сущность этих опытов заключается в
следующем. К грани кристалла, покрытой ровным слоем воска (или
парафина), прикасаются острием раскаленной проволоки. В
результате вокруг точки соприкосновения кристалла и проволоки в воске
получается ямка. Очертания этой ямки позволяют судить о скорости
распространения тепла по плоскости грани в различных
направлениях от упомянутой точки.
Опыт показывает, что ямки плавления воска на кристаллах
имеют форму кругов и эллипсов.
Приняв во внимание сказанное, нетрудно^ сообразить, на каких
гранях кристаллов следует ожидать круговые или эллипсоидальные
ямки. Возьмем, например, грань, перпендикулярную к тройной оси
симметрии (рис. 178). Очевидно, в этом случае скорости плавления
воска, начиная от точки О по направлениям Оа, Ob и Ос,
связанным L3, будут равны друг другу. Из двух возможных форм ямки
плавления — круга и эллипса ■— здесь будет наблюдаться круг, так
как через точки а, бис можно провести не эллипс, а окружность с
центром в точке О.
Круговые ямки плавления будут иметь место и на гранях,
перпендикулярных к четверным и шестерным осям симметрии. На всех
остальных гранях возникают ямки в форме эллипсов. Исключение
составляют кристаллы кубической сингонии с круговыми ямками
плавления на всех гранях.
На рисунке 179 изображены фигуры плавления на гранях
кристаллов кубической, гексагональной и ромбической сингонии. На
рисунке 179, а представлен куб. На всех гранях куба имеем фигуры
плавления в виде кругов. На рисунке 179, б изображена
гексагональная призма. На гранях пинакоида наблюдаются круги, тогда
кеК17рИЗМаТИЧеСКИМ плоскостям соответствуют эллипсы. На рисун-
'У, в представлен ромбический кристалл в форме кирпичика
7~3681 193

о
о
Рис. 179. Фигуры плавления на гранях куба (а)
гексагональной призмы с пинакоидом (б) и ромбической комбинации (в)
(комбинация трех пинакоидов). Фигуры плавления на всех гранях
здесь эллипсы.
На основании вышеизложенных опытов можно теоретически
представить себе особые поверхности, характеризующие
теплопроводность кристаллов. С этой целью внутри кристалла мысленно
поместим точечный источник тепла. По различным направлениям,
пересекающимся в указанной точке, отложим соответственные
скорости распространения тепла за один и~тот же промежуток времени.
В результате для всех кристаллов кубической сингонии получим
шаровые поверхности (симметрия шара ooLooooPC). Вот почему
такие вещества в смысле теплопроводности считаются
изотропными. Как увидим далее, они же являются изотропными и в
оптическом отношении. Однако из этого не следует заключать, что
кристаллы кубической сингонии вообще изотропны. Уже сама
многогранность их форм указывает на неравную скорость роста таких
образований по различным направлениям. Скорость роста обладает
ярко выраженной анизотропностью. То же справедливо и по
отношению к целому ряду других свойств кубических кристаллов.
Поверхности, характеризующие теплопроводность кристаллов
средних сингонии, выражаются так называемыми эллипсоидами
вращения (симметрия: L<» 00L200PIIC). Такой эллипсоид легко
вообразить, если вращать эллипс вокруг одной из его осей. Круговые
сечения этих поверхностей располагаются перпендикулярно оси
вращения, совпадающей в кристаллах с осями симметрии высших
наименований (L^ L4, Liit L6j L/e).
В кристаллах низших сингонии поверхность теплопроводности
соответствует трехосным эллипсоидам, в которых три взаимно
перпендикулярные оси не равны между собой (симметрия: 3L23PC —
mmm).
Аналогичные же поверхности, как увидим далее, характеризуют
и оптические свойства кристаллов. Подробное выяснение
ориентировки этих поверхностей относительно элементов симметрии
рассматривается в следующем параграфе.
Анизотропность кристаллических тел сказывается также и на
расширении их от нагревания. Кристаллы низших и средних синго-
194

ний оасшиояются по различным направлениям различно. Так, шар,
выреРзанныйТз кварца, при нагревании переходит в эллипсоид
вращения! сплющенный вдоль тройной оси симметрии.
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОПТИКА КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ЕСТЕСТВЕННЫЙ И ПОЛЯРИЗОВАННЫЙ СВЕТ
Как известно, свет представляет собой поперечное
гармоническое колебательное движение электромагнитной природы.
В свете, распространяющемся от всех обычных источников
света в оптически изотропной среде, колебания совершаются во
всевозможных направлениях, перпендикулярных направлению луча *.
Такой свет называется естественным. На рисунке 180, а изображен
естественный луч света: прямая АВ— направление
распространения света, а отрезки аа, bb, ее... — направления световых
колебаний. Как видим, световые колебания, хотя и совершаются
нормально к направлению луча АВ, но происходят по самым разнообразным
направлениям в плоскости, перпендикулярной к нему.
На рисунке 180, б изображены световые колебания
естественного луча, направленного перпендикулярно плоскости чертежа.
В отличие от естественного (неполяризованного) света при
некоторых условиях получаем поляризованные лучи, где для каждого
луча все колебания происходят в строго параллельном
направлении и поэтому лежат в одной плоскости. На рисунке 180, в
представлен поляризованный луч света, направление которого показано пря-
о а
IIIIMIIIII
а а а
t М М
м м t
—я
Рис. 180. Колебания естественного (а и б) и
поляризованного (в и г) света
светова световым лучом понимают направление, вдоль которого передается
7*
195

мой CD. Отрезки аа отвечают направлениям колебаний,
соответствующих поляризованному лучу CD, Все они параллельны друг
другу и находятся в одной и той же плоскости (плоскости чертежа).
Рисунок 180, г дает представление о световых колебаниях
поляризованного луча CD, направленного перпендикулярно плоскости
рисунка.
Свет, колебания которого происходят по параллельным
направлениям и, следовательно, лежат в одной плоскости, идущей вдоль
луча, называется поляризованным (линейно поляризованным).
§ 2. ДВУПРЕЛОМЛЕНИЕ ЛУЧЕЙ
Пусть в кристалл К, относящийся ik средним или низшим синго-
ниям, входит неполяризованный луч света АВ (рис. 181). Кроме
преломления, наблюдающегося при лереходе луча из одной среды
в другую, здесь в общем случае будет иметь место следующее
явление.
Луч АВ, войдя в кристалл, распадается на два луча — ВС и BD,
идущих с различными скоростями в кристаллической среде. Оба
эти луча поляризованы, причем плоскости их световых колебаний
взаимно перпендикулярны. v
Разложение луча при преломлении на два луча получило
название двупреломления.
Отмеченное явление наблюдается для всех кристаллов, за
исключением кубических. В некоторых случаях оно выявляется
чрезвычайно резко. Примером вещества с высоким двупреломлением может
служить кальцит Са(С03]. Два луча, образующиеся в его
кристаллах вследствие двупреломления, настолько сильно расходятся
(6!/2°Ь что мелкие предметы, рассматриваемые сквозь кальцит,
двоятся. На рисунке 182 изображено раздвоение надписи,
расположенной под кристаллом «прозрачного .кальцита.
Явление двупреломления связано с анизотропностью
кристаллов. Представим себе внутри изотропного тела светящуюся точку и
отложим во все стороны от нее скорости распространения света по
данным направлениям. Оказывается, что скорости распространения
Рис. 181. Двупре- Рис. 182. Раздвоение надписи, расположенной
ломление свето- под кристаллом кальцита
вого луча в
кристалле низших или
средних сингоний.
196

Рис. 183. Поверхности световых волн
для кристаллов средних сингонии
света по всем направлениям здесь равны, т. е. наше построение
привело к шаровой поверхности. Такая же шаровая поверхность
характеризует распространение света в кубических кристаллах.
Кристаллы кубической сингонии в оптическом отношении
изотропны.
Значительно более сложными построениями выражается
распространение лучей света в кристаллах средних и низших сингонии.
Здесь по всем направлениям (за исключением оптических осей, о
которых будет говориться ниже) распространяются две волны, два
луча, идущие с различными скоростями и поляризованные во
взаимно перпендикулярных плоскостях. Поверхности световых волн
для кристаллов средних сингонии состоят из вставленных друг в
друга шара и эллипсоида вращения (рис. 183). Отсюда различаем
два рода лучей: лучи, волновая поверхность которых отвечает шару,
распространяются во все стороны с одинаковой скоростью и
называются обыкновенными-, лучи, волновая поверхность которых
соответствует эллипсоиду, имеют скорость в разных направлениях
различную и называются необыкновенными.
В кристаллах низших сингонии аналогичная поверхность еще
сложнее. Здесь, в частности, нет обыкновенных лучей,
соответствующих шаровой поверхности.
В практической .кристаллооптике вместо волновых поверхностей
пользуются особыми воображаемыми вспомогательными
поверхностями, называющимися оптическими индикатрисами.
§ 3. ОПТИЧЕСКАЯ ИНДИКАТРИСА
Поместим мысленно внутри кристаллического тела светящуюся
точку S (рис. 184). По некоторому направлению SNU будут
одновременно распространяться две световые волны Л^ и М2, поляризо-
ванные во взаимно перпендикулярных плоскостях*. Скорости рас-
Ь кристаллах в общем случае световой луч не перпендикулярен к поверх-
ости световой волны. Поэтому, кроме понятия луча, в кристаллооптике вводится
онятие световой нормали, представляющей нормаль к волновой поверхности,
ветовые колебания совершаются перпендикулярно к направлению световой
нормали (SNk на рисунке).
iir^ , я оптически изотропных сред понятия луча и нормали совпадают
(подробности см. в курсах кристаллооптики).
197

Рис. 184. Построение
оптической индикатрисы
пространения этих волн V\ и v2
различны. В связи с этим будут
различны и показатели преломления
волн П\ип2, представляющие собой,
как известно, обратные величины
по отношению к скоростям *.
Пусть волна М\ идет быстрее
(vy>v2)\ тем самым ее показатель
преломления (пх) будет меньше
соответственного показателя
преломления (п2) для волны М2(пу<п2).
Приняв точку S за исходную,
проведем через нее прямые А\АХ и
В2В2 параллельно колебаниям волн
М\ и М2 {А\А\ параллельна
колебаниям волны М\\ В2В2 параллельна колебаниям волны М2). Прямые
А\А\ и В2В2 взаимно перпендикулярны.
На прямых А\ВХ и В2В2 по обе стороны от S отложим в одном и
том же произвольном масштабе величины показателей преломления
п\ и п2 (пх откладываем по АуАи п2 — по В2В2). В результате
получаем четыре точки — Аи Ль B2j B2.
Рассматривая волны, идущие по другим направлениям, мы
будем получать новые четырехточия. Теоретически доказано, что по-
верхностъ, обнимающая все указанные четырехточия, представляет
собой либо трехосный эллипсоид, либо эллипсоид вращения, либо
шар (последние две -поверхности по существу представляют частные
случаи первой). Эта поверхность и носит название оптической
индикатрисы. Оптическая индикатриса дает возможность определять
для волн любого заданного направления ориентировку колебаний
и величины соответственных показателей преломления. В самом
деле, -проведя через центр индикатрисы плоскость, перпендикулярную
зааанному направлению световой нормали, получаем в общем
случае эллипс, оси которого соответствуют направлениям колебаний
двух возникающих в кристалле световых волн,
распространяющихся вдоль заданной нормали. Величины же этих осей дают в
определенном масштабе показатели преломления. В частном случае
сечение индикатрисы является окружностью. Это показывает, что
световые волны, распространяющиеся в заданном направлении, не
испытывают двупреломления. Рассмотрим отдельно все три
указанных типа оптической индикатрисы и выясним их ориентировку в
кристаллах.
Высшая категория. Кристаллы кубической сингонии
являются, как уже указывалось выше, оптически изотропными. Лучи
здесь идут с одинаковой скоростью и, следовательно, обладают
одним показателем преломления. Соответственно этому,
оптическая индикатриса в кристаллах кубической сингонии — шар.
* Показатель преломления — величина, обратная скорости волны,
распространяющейся вдоль световой нормали (на рис. 184 — SNM),
198

Рис. 185. Оптические индикатрисы для
кристаллов средних сингоний:
а — положительного; 6 — отрицательного
Ориентировка шара относительно элементов симметрии
кубических кристаллов безразлична. Охарактеризовать шаровую
индикатрису можно лишь при помощи одной величины — радиуса шара.
Радиус шара выражает показатель преломления. Следовательно,
характеристика оптической индикатрисы кристаллов кубической
сингоний заключается лишь в одной константе — показателе
преломления п.
Средняя категория. Кристаллам средних сингоний
(гексагональным, тетрагональным и тригональным) соответствует
оптическая индикатриса в виде эллипсоида вращения.
Поверхность эллипсоида вращения можно получить, как
отмечалось выше, путем вращения эллипса вокруг одной из его осей
(стр. 194). При этом получаются два рода эллипсоидов вращения
(рис. 185).
Вращение эллипса вокруг его длинной оси приводит к вытяну*
тому эллипсоиду вращения, ось вращения которого совпадает с
удлинением фигуры (рис. 185, а). Вращение эллипса вокруг его
короткой оси приводит к сплющенному эллипсоиду вращения, с
осью вращения, совпадающей с направлением сплющенности
фигуры (рис. 185, б). Первые (вытянутые) эллипсоиды соответствуют
оптически положительным, а вторые (сплющенные) — оптически
отрицательным кристаллам.
В эллипсоидах вращения, круговые сечения располагаются
перпендикулярно оси вращения. Все другие их сечения являются
эллипсами.
При разборе теплопроводности кристаллов средних сингоний
было отмечено, что круговые сечения соответствуют плоскостям,
перпендикулярным осям симметрии высшего наименования (L3, L4i
Эллипсоиды, выражающие оптические свойства кристаллов,
располагаются аналогично. Действительно, кристаллы средних
сингоний обладают л'ишь одним единичным направлением,
совпадающим с единственной осью высшего наименования. В свою очередь,
199

Рис. 186.
Ориентировка
оптической
индикатрисы в

гексагональном кристалле
соответствующая им оптическая индикатриса,
имеющая форму эллипсоида вращения, также
обладает лишь одним единичным направлением,
совмещенным с осью вращения эллипсоида. Ясно, что
единичное направление кристалла должно совпасть
с единичным же направлением оптической
индикатрисы.
В эллипсоиде вращения сечение,
перпендикулярное оси вращения, представляет окружность.
Тем самым круговое сечение оптической
индикатрисы располагается (Перпендикулярно оси симметрии
высшего наименования.
На рисунке 186 изображен гексагональный
кристалл. Оптическая индикатриса ориентирована в
нем так, что ее ось вращения совмещена с
шестерной осью симметрии.
Круговые сечения эллипсоидов указывают на то,
что перпендикулярно им световые волны идут не раздваиваясь и не
поляризуясь (любой радиус здесь представляет возможное
направление колебаний). Следовательно, параллельно главной оси
симметрии кристалла средних сингоний — вдоль оси вращения
оптической индикатрисы — идет один неполяризованный и нераздво-
енный луч.
Направление, по которому свет не испытывает двупреломления,
называется оптической осью.
Кристаллы средних сингоний имеют одну оптическую ось, т. е.
являются оптически одноосными. Для характеристики оптической
индикатрисы таких кристаллов достаточно ограничиться двумя
величинами, а именно: половиной величины оси вращения эллипсоида
и радиусом его кругового сечения. Отмеченные величины
выражают наибольший и наименьший показатели преломления
кристалла— пё и nv и численно равные им полуоси оптической
индикатрисы Ng и Np.
В вытянутом (положительном) эллипсоиде вращения с осью
вращения (главная ось симметрии кристалла) совпадает
наибольшая ось индикатрисы (Ng). Наименьшая ось (Np) соответствует
здесь радиусу кругового сечения. Наоборот, в сплющенном
(отрицательном) эллипсоиде вращения главная ось симметрии
кристалла (ось вращения) отвечает наименьшей оси (Np)y а наибольшая
ось индикатрисы (Ng) соответствует радиусу кругового сечения
(см. рис. 185).
Низшая категория. Оптические индикатрисы кристаллов
низших сингоний (ромбических, моноклинных и триклинных)
характеризуются эллипсоидами с тремя неравными взаимно
перпендикулярными осями. Эти три оси по величине отвечают трем
разным показателям преломления — ng>nm>nv* и обозначаются
Ng,Nm,Np (рис. 187).
* Grand (французск.) — большой, moyen — средни?!, petit — малый.
200

Рис. 187. Оптическая
индикатриса кристалла низшей
категории (трехосный
эллипсоид)
Каждая ось является единичным
направлением и соответствует двои-
ной оси симметрии эллипсоида, а
плоскость .перпендикулярная оси,
—плоскости его симметрии. Крометого,
можно доказать, что трехосный эллипсоид
обладает двумя круговыми сечениями,
проходящими через Nm.
Перпендикулярно каждому круговому сечению
проходит оптическая ось.
Следовательно, кристаллы низших
сингоний обладают двумя
оптическими осями (ОАх и ОА2), т. е. являются
оптически двуосными. Обе оптические
оси лежат в плоскости NgNp
(плоскость оптических осей). В том случае,
когда биссектриса острого угла между
оптическими осями совпадает с Ngy
имеем оптически положительный
кристалл; в случае совпадения той же*бис-
сектрисы с Np кристалл оптически
отрицателен.
Рассмотрим ориентировку
оптической индикатрисы в кристаллах
низших сингоний. Легко сообразить, что
в трехосном эллипсоиде три неравные оси его (Ng, Nm, Np)
являются тремя единичными направлениями эллипсоида.
В ромбических кристаллах также всегда присутствуют три
взаимно перпендикулярных единичных направления, совпадающих
или с тремя двойными осями симметрии, или с нормалями к
плоскостям симметрии. С этими тремя единичными направлениями
кристалла и должны совместиться три единичных направления (три
оси) оптической индикатрисы (рис. 188).
Однако по внешнему виду ромбического кристалла нельзя
определить, какая именно ось индикатрисы (Ngt Nm или Np) совпадает
с тем или иным его единичным на-
L? правлением. Возьмем для примера
кристалл в форме кирпичика.
Здесь бросаются в глаза три
серии разных по длине и взаимно
перпендикулярных ребер. Тем не менее
не следует предполагать, что
параллельно наиболее длинным ребрам
должна обязательно проходить
наибольшая ось индикатрисы Ng.
Также нельзя связывать средние и
малые ребра кристалла с осями Nm й
Np. Мы вправе лишь утверждать,
/\ i /*m/\
FR
я
J
рис. 188.
оптической
—+—-и,
Ориентировка
индикатрисы в
ромбическом кристалле
что с каждым единичным
направлено!

кием ромбического кристалла совпадает одна из осей
индикатрисы — либо Ng, либо Nm, либо Np. Точное решение вопроса об
ориентировке оптической индикатрисы требует применения кристалло-
оптических методов исследования.
В кристаллах моноклинной сингонии всегда имеем одно
характерное кристаллографическое направление, совпадающее с двойной
осью (L2) или нормалью к плоскости симметрии (-LP) и
совмещенное со второй кристаллографической осью. Это направление
является единичным, и с ним всегда совпадает одна из трех осей
(одно из трех единичных направлений) оптической индикатрисы
(Ng, Nm vuinNp).
Две другие оси эллипсоида лежат в плоскости (010) либо
перпендикулярной двойной оси (L2), либо параллельной плоскости
симметрии (напомним, что любое направление в такой плоскости
является единичным и тем самым может совмещаться с единичным
направлением, т. е. с той или другой осью оптической индикатрисы).
При этом они образуют некоторые углы с ребрами кристалла,
параллельными плоскости (010). Величины таких углов являются
характерными для каждого определенного вещества,
кристаллизующегося в моноклинной сингонии. Вместе с тем для разных веществ
они будут различными.
В кристаллах триклинной сингонии нет осей и плоскостей
симметрии. Все направления единичны. Вследствие этого оптическая
индикатриса может ориентироваться в каждом веществе,
кристаллизующемся в триклинной сингонии, по-разному. Здесь опять-таки
важное значение имеют углы, образованные осями индикатрисы с
ребрами кристалла.
Итак, при определении оптических свойств кристаллов низших
сингонии необходимо прежде всего измерить три главных
показателя преломления -— ng, nm и пр, являющихся наиболее
характерными оптическими константами, и определить, с какими
кристаллографическими направлениями совпадают соответствующие им оси
индикатрисы. Для моноклинных и триклинных кристаллов, как
указывалось, характерны еще углы между осями индикатрисы и
ребрами кристаллов.
Кроме перечисленных оптических констант, необходимо также
определять оптический знак кристалла и измерять острый угол
между обеииГй оптическими осями. Этот угол обозначается 2V.
Если почему-либо показатели преломления непосредственно не
измеряются, важное значение приобретает так называемая
величина (сила) двупреломления (ng—nv). Эта константа посредством
кристаллооптических методов может быть определена и в тех
случаях, когда величины показателей преломления % и пр остаются
неизвестными.
Резюмируя сказанное, приведем еще раз в виде краткой сводки
наиболее важные оптические константы кристаллов.
Кубическая сингония: п — единственный показатель
преломления.
202

„тт!_ия« тетрагональная и тригональ-
онии'П „наибольший показатель преломления; пр —
^а^меньший показатель преломления; tig-np - величина двупр*
Л0МПптичрский знак: положительный ( + ) или отрицательный (—).
Ромбическая, моноклинная и триклинная с и н-
. п —наибольший показатель преломления; пт — средний
показатель* преломления; пр — наименьший показатель
преломления; ng—np — величина двупреломления
Оптический знак: положительный ( + ) или отрицательный (—).
2у уГОЛ между оптическими осями (угол оптических осей).
Следует иметь в виду, что для лучей различного цвета (т. е.
лучей обладающих различными длинами волн) форма эллипсоида
оптической индикатрисы в одном и том же кристалле может
существенно меняться. В связи с этим изменяются и величины
оптических констант. Указанное явление носит название дисперсии эле-
ментов оптической индикатрисы.
В кристаллах моноклинной и триклинной сингонии явление
дисперсии отличается особенно сложным характером. В
моноклинных кристаллах, как упоминалось, одна из осей индикатрисы
всегда совпадает с L2 или с нормалью к Р, а две другие оси
располагаются в перпендикулярной ей плоскости. В связи с тем, что в этой
плоскости все направления единичны, обе оси индикатрисы для
лучей различных длин волн могут занимать различное положение.
В кристаллах триклинной сингонии все направления единичны, все
три оси индикатрисы для лучей разных длин волн могут быть по-
разному ориентированы в кристалле.
§ 4. ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЙ МИКРОСКОП
Изучение оптических свойств кристаллов обычно производится
с помощью поляризационного микроскопа (рис. 189). Отличие
последнего от простого микроскопа в основном заключается в
присутствии двух призм Николя (Р и Л), поляризующих свет.Рассмотрим
устройство призмы Николя.
Как указывалось, в общем случае световой луч, входя в
кристалл, распадается на два луча, распространяющихся с разными
скоростями и поляризованных в двух взаимно перпендикулярных
плоскостях.
Пусть в кристалл входит пучок параллельных лучей света. По
выходе из кристалла получим два параллельных световых пучка,
причем световые колебания одного пучка будут перпендикулярны
по отношению к световым колебаниям второго. Если необходимо
получить свет, поляризованный в одной плоскости, достаточно
погасить один из указанных световых пучков. Такую задачу и
выполняет призма Николя (рис. 190).
Для приготовления призмы кристалл прозрачного кальцита (так
называемого исландского шпата — Са[С03]) разрезается под опреде-
-> иным углом к ребрам на две части. Затем обе части склеивают-
203

Рис. 189. Поляризационный Рис. 190. Ход
микроскоп: лучей в призме
S — осветительное зеркало; t — НИКОЛЯ
предметный столик; Т — тубус
зрительной трубы; Ob — объектив;
Ok — окуляр; Р — поляризатор; Л —
анализатор; I — линза Лазо; В —
лииза Бертрана
ся особым клеем, употребляющимся в оптической
промышленности, — канадским бальзамом. Показатель преломления канадского
бальзама п =1,54 (приблизительно).
Параллельный пучок света, входя в призму, разделяется на два
распространяющихся с различными скоростями поляризованных
световых пучка. Для одного из этих пучков показатель
преломления кальцита 1,53—1,54, для другого — 1,658. Обратим внимание на
то, что первый показатель почти равен показателю преломления
канадского бальзама. Световой пучок, соответствующий ему,
беспрепятственно проходит сквозь прослойку бальзама с близким ему
показателем преломления. Второй пучок, соответствующий
большему показателю преломления (1,658), дойдя до упомянутой
прослойки, должен преломиться.
При изготовлении призмы Николя плоскость ее разреза
ориентируется так, чтобы второй пучок испытал полное внутреннее
отражение. Таким образом, достигнув прослойки канадского бальзама,
этот пучок не проходит через нее, а целиком отражается,
поглощаясь зачерненной оправой призмы Николя. В результате из двух
204

световых пучков через николь
проходит лишь один, отвечающий
показателю преломления 1,53-
1 54
' Поляризационный микроскоп
обладает двумя призмами Нико-
ая-николями. Одна из них Р
(поляризатор) находится под
предметным столиком
микроскопа *, другая А (анализатор)
вдвигается в тубус микроскопа Г,
между окуляром Ok и
объективом Ob (см. рис. 189).
Помимо николей, в
поляризационном микроскопе имеются две
линзы (также отсутствующие в
обыкновенных микроскопах),
посредством которых кристаллы
исследуются в сходящемся свете.
Первая из них — съемный конденсор L (линза Лазо)
—помещается над поляризатором под столиком микроскопа. Вторая — линза
Бертрана В — располагается в тубусе между анализатором и
окуляром. Столик микроскопа вращается вокруг своей оси.
Под микроскопом в проходящем свете обычно исследуются
мелкие кристаллики или специальные тончайшие срезы (шлифы)
кристаллических горных пород, минералов и т. п., заклеенные между
двумя стеклянными пластинками. Толщина шлифа приблизительно
0,02—0,03 мм.
Рис. 191. Скрещенные николи
§ 5. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИСТАЛЛОВ ПОД МИКРОСКОПОМ
Исследуя кристаллические образования под микроскопом, часто
рассматривают их при скрещенных николях. Последний термин
обозначает такую ориентировку николей в микроскопе, когда
световые колебания, проходящие сквозь один николь,
перпендикулярны направлению колебаний, пропускаемых другим николем. Иначе
говоря, анализатор, скрещенный с поляризатором, повернут
относительно последнего на 90°. При таком положении николей поле
зрения микроскопа представляется темным. Последнее выясняется,
если обратиться к рисунку 191, где оба николя (поляризатор Р и
анализатор А) изображены в плане друг над другом (поляризатор
внизу, анализатор наверху). Пусть снизу, перпендикулярно
плоскости чертежа, в поляризатор Р входит естественный свет. Из Р
выходит уже поляризованная световая волна, колебания которой
совершаются строго в одной плоскости pp. Далее эта волна
достигает анализатора А. Однако последний пропускает колебания лишь
в направлении аа, перпендикулярном pp. В результате свет с
колебаниями вдоль рр окажется погашенным. Благодаря этому при
скрещенных николях имеем темное поле зрения.
205

Положим теперь на столик
микроскопа, т. е. над
поляризатором и 1ПОД анализатором,
какое-либо оптически
изотропное тело (стеклянную
пластинку, кристалл кубической син-
гонии и т. п.). Как
указывалось, такие вещества
пропускают свет, не поляризуя его.
В изотропной среде
колебания могут совершаться по
любым направлениям.
Следовательно, пройдя поляризатор,
волна с колебаниями вдоль рр
в оптически изотропном
объекте продолжает колебаться по
тому же направлению pp.
Дойдя до анализатора,
пропускающего колебания лишь в
направлении аа(±.рр), свет по-
изотропные вещества (в частно-
скрещенными николями темные.
Темнота не исчезает, если исследуемый объект вращать со
столиком микроскопа или наклонять его относительно столика.
Совершенно иначе ведут себя оптически анизотропные
кристаллы.
Поместим на столик микроскопа кристалл одной из средних или
низших сингоний. Пусть при этом его оптическая ось (или оси)
располагается косо относительно плоскости столика. Обозначим
прямыми /—/ и 2—2 те взаимно перпендикулярные направления, по
которым в данном сечении кристалла могут совершаться колебания
(рис. 192). Вышедшая из поляризатора волна с колебаниями по
рр, войдя в кристалл, распадается на две волны, колеблющиеся
вдоль /—/ и 2—2.
Пусть амплитуда колебаний волны по выходе из Р
соответствует вектору 0/V Раскладываем его на две составляющие вдоль
1—/ и 2—2 по правилу параллелограмма, аналогично разложению
сил в механике. В результате получаем колебания 01 и От, с
которыми обе волны выходят из кристалла и достигают анализатора.
Последний же пропускает колебания лишь по аа. В связи с этим
каждый из полученных векторов 01 и От снова раскладывается по
правилу параллелограмма на составляющие вдоль аа и pp.
Составляющие по рр анализатором не пропускаются. Через
него пройдет лишь свет с колебаниями вдоль аа> т. е. 01\ и Отх.
Итак, при указанном положении кристалла, несмотря на
скрещенные николи, наблюдаются проходящие лучи, благодаря чему
кристалл будет освещен.
Далее, вращая объект вместе со столиком микроскопа, доводим
его до такого положения, при котором направления /—/ и 2—2
Рис. 192. Кристалл низшей или
средней категории в положении
просветления между скрещенными николями
гасится. Таким образом, оптически
сти, кубические кристаллы) между
206

с do и аа В этом положении, как нетрудно сообразить,
^пигтялГокажется темным. В самом деле, свет, вышедший из Р с
р i встречает кристалл, в котором одно из возмож-
™ v няТГммий световых колебаний параллельно PP. Поэтому
rfiff полна проходит кристалл, не раздваиваясь и не изменяя
направления своих колебаний. Анализатор же эти колебания не про-
П^СГ^еловательно, при параллельности направлений колебаний в
поляризаторе и кристалле последний в скрещенных николях
кажется темным.
Пои повороте столика на оои получим четырехкратное
погасание и четырехкратное просветление кристалла. В пределах
указанного поворота направления колебаний кристалла четыре раза
совпадут с направлениями колебаний николей. Отмеченное явление
имеет место для кристаллов всех сингоний, за исключением
кубической.
§ 6. ПРЯМОЕ И КОСОЕ ПОГАСАНИЕ
Под углом погасания кристалла следует подразумевать угол
между каким-либо характерным кристаллографическим
направлением (например, ребром) и направлением колебаний одного из
николей в момент погасания кристалла (николи скрещены). Если угол
погасания равен нулю, имеем прямое погасание. В противном
случае (угол погасания не равен нулю) говорим о косом погасании.
Случай, когда в момент погасания кристалла два его одинаковых
кристаллографических направления образуют равные углы с
направлениями колебаний николей, отвечает симметричному
погасанию. Для измерения указанных углов можно воспользоваться
нитяным крестом в окуляре микроскопа с нитями, параллельными
колебаниям николей.
Приняв во внимание ориентировку оптической индикатрисы для
кристаллов различных сингоний, можно связать погасание
последних с их кристаллографическими формами. Возьмем ромбический
кристалл, ограненный в форме прямоугольного параллелепипеда.
Оси оптической индикатрисы параллельны здесь ребрам
параллелепипеда. Вместе с тем эти оси соответствуют направлениям
колебаний в кристалле. Вследствие этого в тот момент, когда ребра
упомянутого многогранника окажутся параллельными колебаниям
николей (нитям окуляра), кристалл будет темным. В результате
имеем прямое погасание.
Аналогичная картина наблюдается для всех призматических
кристаллов тригональной, тетрагональной и гексагональной
сингоний. Здесь всюду оптическая ось совпадает с осью симметрии
высшего наименования (L3, U, L/4, L6, L/e), т. е. располагается
параллельно призматическим ребрам. Таким образом, все эти кристаллы
в те моменты, когда призматические ребра их будут параллельны
колебаниям николей (нитям креста), окажутся темными (прямое
погасание, рис. 193, а).
Прямое погасание характерно для призматических кристаллов
тригональной, тетрагональной и гексагональной сингоний, а также
207

Рис. 193. Прямое (а) и косое (б) погасание
для ромбических, ребра которых параллельны единичным
направлениям. Иначе ограненные кристаллы указанных сингонии могут
обладать симметричным и косым погасанием. В моноклинных
кристаллах прямое погасание наблюдается тогда, когда вторая кри-
" сталлографическая ось {010} лежит горизонтально и кристалл
имеет ребра, ей параллельные или перпендикулярные, также лежащие
в горизонтальной плоскости. Другие случаи приводят, как правило,
к косым погасаниям. Кристаллы триклинной сингонии, где все три
оси индикатрисы не параллельны ребрам, обладают косым
погасанием (рис. 193, б).
§ 7. СПАЙНОСТЬ И ДВОЙНИКИ ПОД МИКРОСКОПОМ
Во многих случаях при исследовании кристаллов под
микроскопом приходится иметь дело не со всесторонне ограненными
многогранниками, а с бесформенными кристаллическими зернами или
обломками.
Само собой разумеется, что в таких объектах определять
характер погасания относительно ребер невозможно. На помощь
здесь может прийти спайность (стр. 186). В шлиф.ах следы
мельчайших спайных трещин выглядят в виде взаимно параллельных
черточек (рис. 194). Иногда имеем две или больше систем таких
черточек, пересекающихся друг с другом. В таких зернах характер
погасания определяется по отношению к спайным трещинам. Следы
спайности обнаруживаются и без николей.
В случае прямого погасания кристаллическое зерно темнеет в
те моменты, когда следы спайности окажутся параллельными
колебаниям николей (нитям креста). Наоборот, при косом погасании
следы спайности в затемненном кристалле располагаются косо
относительно колебаний николей (нитей креста).
Весьма характерно ведут себя под микроскопом двойники
(стр. 168). При одном николе сдвойникованное зерно
представляется совершенно однородным. Однако в скрещенных николях такое
зерно распадается на два разновременно гаснущих участка. По-
208

a
Рис 194. Следы спай- Рис- 195* Вид Двойников при скрещенных
ности под микроско- николях:
пом а — простой двойник; о — полисинтетический
следнего и следовало ожидать, так как два кристалла, образующие
двойник, не являются взаимно параллельными. В связи с этим и
пропускаемые ими колебания не могут быть параллельными.
На рисунке 195, а представлен вид простого двойника при
скрещенных николях в момент погасания одного из кристаллов.
Соответственно на рисунке 195, б изображен полисинтетический двойник.
Однако существуют также двойники, оптически не
улавливаемые: Последнее имеет место в тех случаях, когда одна из осей
оптической индикатрисы параллельна двойниковой оси или
перпендикулярна двойниковой плоскости. В этих случаях индикатрисы
обоих сросшихся кристаллов располагаются параллельно, и
двойник ведет себя под микроскопом как один кристалл. Таковы
широко распространенные дофинейские двойники кварца.
§ 8. ПЛЕОХРОИЗМ И ИНТЕРФЕРЕНЦИОННАЯ ОКРАСКА КРИСТАЛЛОВ
Просмотр исследуемого кристалла при одном николе
(поляризаторе) или вовсе без николей дает понятие об его естественной
окраске.
Как указывалось, в проходящем свете обычно рассматриваются
тончайшие срезы кристаллов (шлифы, стр. 205). В таких срезах
окраска зачастую бледнее, чем в толстых слоях.
Например, черные, на вид непрозрачные кристаллы весьма
распространенного силиката — роговой обманки —в шлифах под
микроскопом оказываются прозрачными и окрашенными в бледные
зеленоватые и буроватые цвета.
Следует, однако, иметь в виду, что ряд рудных минералов даже
в таких тонких слоях непрозрачен и не поддается исследованию в
проходящем свете.
Иногда, вращая столик микроскопа с объектом, обнаруживаем
ясное изменение окраски одного и того же кристалла. Так,
например, упомянутая выше роговая обманка изменяет при этом свой
цвет от зеленых до бурых тонов.
з)то явление, наблюдающееся лишь в поляризованном свете (при
Дном николе), называется плеохроизмом. Плеохроизм связан с
209

различным поглощением тех или иных частей спектра по разным
направлениям кристалла в связи с его анизотропностью.
Естественную окраску кристаллов не следует смешивать с
интерференционными цветами, наблюдаемыми при скрещенных
николях. В этом случае нередко обнаруживается окраска, иногда очень
яркая, не соответствующая природному цвету исследуемого
кристалла (она имеет место и для совершенно бесцветных кристаллов).
Окраска эта аналогична известным из физики цветам тонких
пленок или колец Ньютона. Причина ее возникновения кроется в
интерференции волн, распространяющихся в кристалле с
различными скоростями.
По выходе из анализатора такие волны будут колебаться в
одной плоскости и интерферировать друг с другом. Таким образом,
указанная окраска обусловливается разностью хода двух
интерферирующих волн. Разность же хода зависит от толщины кристалла
и его двупреломления в данном сечении.
Следовательно, зная толщину кристалла и разность хода волн,
можно судить о величине двупреломления, являющейся, как мы
видели, одной из оптических констант кристалла.
§ 9. ВРАЩЕНИЕ ПЛОСКОСТИ ПОЛЯРИЗАЦИИ
Как отмечалось выше, оптическая ось совпадает с
направлением кристалла, вдоль которого свет не испытывает двупреломления.
Нормально к такому направлению располагается круговое сечение
индикатрисы. В связи с этим препарат, вырезанный
перпендикулярно оптической оси, при скрещенных николях ведет себя подобно
оптически изотропному телу, т. е. будет темным. Однако в
некоторых случаях приготовленная таким образом кристаллическая
пластинка остается освещенной. С поворотом столика микроскопа это
освещение не исчезает и не меняется. Отмеченное явление
наблюдается в кристаллах, вращающих плоскость поляризации. В таких
кристаллах колебания поляризованного света, идущего вдоль
оптической оси, поворачиваются на некоторый угол а, зависящий от
вещества кристалла, толщины препарата и длин волн
применяемого света.
На рисунке 196 вектор ОР0 выражает колебания, пропущенные
поляризатором; вектор ОК — колебания, пропущенные кристаллом.
Последние повернуты относительно ОРо на угол а. Колебания ОК
в анализаторе дают составляющие колебания ОА\ и OP\t из
которых первые и вызывают освещенность препарата.
При вращении столика микроскопа кристалл не погасает,
оставаясь все время одинаково освещенным. Для того чтобы он погас,
необходимо повернуть один из николей (например, анализатор) на
угол а, с тем чтобы направление пропускаемых этим николем kOj
лебаний оказалось перпендикулярным к направлению колебаний
света, прошедшего сквозь кристалл. На данном принципе основано
измерение углов вращения плоскости поляризации.
Л. Пастер (1822—1895) предположил, что явление вращения
210

плоскости поляризации
кристаллов, образующих
формы (стр.
Рис. 196. Вращение
плоскости
поляризации
характерно для
энантиоморфные
105) Напомним, что такие
формы могут быть правыми и левыми. По-
?леднее связано с наличием в
кристаллических структурах винтовых осей (стр. 68)
Расположение частиц вдоль винтовых осей
соответствует либо правовращающему,
либо левовращающему винту (правые и
левые винтовые оси). Присутствие в
кристалле только правых или только левых
винтовых осей и влечет за собой, согласно Пасте-
ру вращение плоскости поляризации.
' Исходя из этих соображений можно
предположить, что кристаллы, вращающие плоскость поляризации,
должны принадлежать лишь таким видам симметрии, в которых
отсутствуют центр инверсии, плоскости симметрии и инверсионные
оси. Таким условиям удовлетворяют следующие 11 видов
симметрии:
Ml); I2(2); ЫЗ); U(4)\ L6(6); 3L2(222); L33L2(32); L44L2(422);
L66L2(622); 3L24L3(23); 3L44L36L2(432).
Впоследствии были высказаны веские соображения в пользу
возможности вращения плоскости поляризации также некоторыми
ацентричными кристаллами, обладающими плоскостями симметрии
и инверсионными осями. Согласно этим взглядам, к вышеприведен-
„ ным 11 видам симметрии следует добавить еще четыре:
Lz-4(4); Lu2L22P(42m); P(m)\ L&P(mm2).
Примерами кристаллов, вращающих плоскость поляризации,
служат кварц (Si02—LZ3L2—32), киноварь (HgS—Lb3L?—32),
винная кислота (С4Н606—L2—2) и др.
§ 10. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИСТАЛЛОВ В СХОДЯЩЕМСЯ СВЕТЕ
Остановимся теперь на исключительно эффектных оптических
фигурах, получающихся при исследовании кристаллов в
сходящемся поляризованном свете.
Для создания пучка сходящегося света необходимо поместить
между поляризатором и столиком микроскопа линзу Лазо
(конденсор L, см. рис. 189). Кроме того, чтобы лучше рассмотреть
фигуры, над анализатором в тубус микроскопа вдвигается линза
Бертрана (В). Исследование ведется в скрещенных николях при
сильном увеличении. Возьмем препарат, вырезанный перпендикулярно
птической оси одноосного кристалла (средние сингонии). В
параллельном свете и при скрещенных николях такой разрез ведет
211

Рис. 197. Интерференционные фигуры в сходящемся свете:
а — для одноосного кристалла (оптическая ось нормальна плоскости
чертежа); б, в — для двуосного кристалла (острая биссектриса нормальна
плоскости чертежа)
себя как оптически изотропный, т. е. кажется темным. В
сходящемся белом свете это же сечение представляет собой картину,
изображенную на рисунке 197, а. Мы видим правильный темный крест на
фоне концентрических разноцветных колец. Вращение столика
микроскопа не изменяет фигуры.
Не менее эффектный результат получим в разрезах оптически
двуосных кристаллов (низшие сингонии), ориентированных
перпендикулярно биссектрисе острого угла между оптическими осями.
Здесь, в случае сходящегося белого света, также наблюдается
темная фигура, напоминающая крест на фоне цветных кривых,
приближающихся по форме к восьмеркам (рис. 197» б). С вращением
столика микроскопа такой крест распадается на две гиперболические
ветви, вершины которых, окруженные цветными овалами, в
определенные моменты соответствуют выходам оптических осей
(рис. 197, в).
Подробное истолкование отмеченных явлений, а также
выяснение хода систематического исследования кристаллов под
микроскопом не входят в программу данного курса. Наша задача была
подчеркнуть еше раз на примере оптических явлений связь между
геометрией и физическими свойствами кристаллов. Прямое и косое
погасание, плеохроизм, вращение плоскости поляризации, различие
оптических фигур в сходящемся свете для средних и низших
сингонии иллюстрируют сказанное.
§ 11. ПОНЯТИЕ ОБ ИММЕРСИОННОМ МЕТОДЕ
Из предыдущего текста видно, что важнейшими оптическими
константами кристалла являются главные показатели преломления
(ng, nm, пр). Для их определения в лабораторной практике широко
пользуются так называемым иммерсионным методом *. Сущность
его вкратце сводится к следующему. Мелкие зерна исследуемого
кристалла погружаются в эталонные жидкости с заранее известны-
* Immexsion — погружение.
212

Рис. 198. Федоровский столик
ми показателями преломления. В случае существенного различия
показателей преломления кристалла и жидкости контуры
кристалла резко выделяются на фоне окружающей жидкости. При
равенстве показателей преломления жидкости и кристалла упомянутые
контуры становятся чрезвычайно бледными, и кристалл на вид как
бы исчезает. Этим явлением и пользуются для практического
определения показателей преломления (с точностью до третьего знака
после запятой) *.
§ 12. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ СТОЛИК ФЕДОРОВА
В 1892 г. Е. С. Федоров предложил специальную модель
прибора, называемого ныне «федоровским столиком» (рис. 198). Прибор
этот привинчивается к обычному столику микроскопа.
Исследуемый препарат, помещаемый на середине столика
Федорова, может наклоняться вокруг осей последнего. Число таких осей
в современных столиках достигает пяти или даже шести. Наклоняя
столик вокруг этих осей, возможно исследовать один и тот же
кристалл в разных ориентировках относительно оси микроскопа,
независимо от того, как был проведен в шлифе разрез кристалла.
В. Б. Кристаллооптика и иммерсионный метод. «Недра»,
Ч е т в е р и к ов С. Д. Методика кристаллооптических исследований
шлифов. 1 осгеолтехиздат, 1949.
Б оки и Г. Б. Иммерсионный метод. Изд-во МГУ, 1948.
213

Таким образом, измерением лишь одного зерна на федоровском
столике возможно получить всестороннюю характеристику
соответствующей оптической индикатрисы.
Одной из простейших задач, решаемых с помощью данного
прибора, является измерение угла между оптическими осями. С
большой наглядностью также определяется здесь ориентировка
оптической индикатрисы относительно элементов ограничения кристалла
или плоскостей спайности и т. п.
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ И МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ПЬЕЗОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Остановимся вкратце на электризации кристаллов диэлектриков
под влиянием механических воздействий.
Электричество, возбуждающееся в кристаллах под влиянием их
сжатия или растяжения, называется пьезоэлектричеством.
Выясним, по каким направлениям можно ожидать появления
внутренней электризации (поляризации) кристаллов, при которой
одна из граней, перпендикулярных этому направлению, получает
положительный, а другая — отрицательный заряд. Такие
направления называются полярными. Различие полярных и неполярных
направлений показано на рисунке 199.
Расположение частиц аи b относительно
бесконечной прямой АВ одинаково,
независимо от того, рассматриваем ли мы эту
прямую по направлению АВ или же вдоль
обратного направления В А. Совершенно
иное расположение частиц наблюдается на
прямой DE. Здесь по направлению DE
частицы а и Ь группируются попарно,
соответствуя порядку последовательности ab.
Рассматривая ту же прямую в обратном
направлении ED, видим, что и порядок после-
£* \ довательности попарно сгруппированных
частиц также является обратным, отвечая
Ьа. Прямая DE представляет собой образец
полярного направления. Именно с такими
направлениями и должна быть связана
полярная электризация кристаллов. Так на
направлении, проходящем через центр
инверсии, не может появиться полярное элек-
^ тричество, так как по обе стороны от С лю-
,„„ „ бое направление должно обладать одина-
пРр™9ие-лТРНп°оляр"- новым строением. То же относится и к на-
ное направление—DE правлениям, перпендикулярным к плоскос-
214

метрии, или осям четных наименований. Все это примеры
там с*^* £ не обладающих полярностью.
НаППшшяв во внимание вышеуказанное, нетрудно решить вопрос,
же кристаллы будут обнаруживать явления полярного пьезо-
КаКктричества. Для этого достаточно знать элементы симметрии и
ЭЛ6пространственное расположение в кристаллах. В качестве
характерного примера вещества, обнаруживающего пьезоэлектрический
эффект, возьмем кристалл кварца. Кварц принадлежит к
аксиальному виду симметрии тригональной сингонии (L33I2—32). На
рисунке 156 представлена указанная совокупность элементов
симметрии. Требуется выяснить, являются ли полярными оси симметрии
кварца или же нет. Тройная ось кварца не может быть полярной
вследствие присутствия перпендикулярных к ней двойных осей.
В "самом деле, повернув на 180° вокруг любой L2 тройную ось, мы
из одного ее конца выведем второй конец, равнозначный с первым.
Итак, .оба конца тройной оси должны быть тождественными.
Тем самым тройная ось кварца не принадлежит к полярным
направлениям, а потому вдоль нее пьезоэлектрических явлений не
наблюдается.
Для выяснения полярности двойных осей кварца примем во
внимание, что в связи с наличием тройной оси один конец L2 не
равнозначен с другим ее концом. Таким образом, двойные оси являются
полярными (электрические оси кварца). Вот почему
пьезоэлектрический эффект кварца связан с направлениями его двойных
осей.
Следует иметь в виду, что при сжатии один конец такой оси
заряжается положительно, а другой отрицательно, тогда как при
растяжении наблюдается противоположное явление: первому концу
соответствует отрицательный заряд, а второму — положительный.
Наоборот, кварц, к которому приложена переменная разность
потенциалов, будет то сжиматься, то расширяться.
Это обстоятельство находит широчайшее применение в технике.
Так, кварцевая пластинка, вырезанная перпендикулярно
электрической оси (L2) и помещенная в переменное электрическое поле,
приходит в колебательное движение, изменяясь по своей толщине с
периодом, равным периоду поля. Явление протекает особенно
интенсивно, если частота собственных (механических) колебаний
пластинки совпадает с частотою поля. Механические колебания
пластинки, передаваясь частицам окружающей среды, возбуждают
в последней ультразвуковые волны. Такие волны могут
распространяться в воде на значительные расстояния и служить, например,
средством для подводной связи между судами.
Благодаря тому что кварцевая пластинка в электрической цепи
переменного тока играет роль колебательного контура с весьма
высоким качеством, пьезокварц широко используется как
стабилизатор частот в радиоаппаратуре. Помимо этого, пьезокварцевые
пластинки употребляются также в качестве излучателей
ультразвуковых волн. В последнее время ультразвуковые волны широко
используются в биологии, физике и химии, поскольку облучение
215

ультразвуком влияет на ход ряда онологических и
физико-химических процессов.
Как указывалось выше, наличие центра инверсии исключает
возможность появления пьезоэлектрического эффекта. В связи с
этим пьезокристаллы могут принадлежать лишь к следующим
20 ацентричным видам симметрии:
It(l); L2(2); 1з(3); L4(4); I6(6); (Lu){4); Lu(6); P(/ra);
L22P(mm 2); L33P (3m); L44P (4mm); LG6P (6mm); 3L2 (222);
L33L2(32); L44L2(422); L66L2(622); LU2L22P (42m); L;63L23P (6m2);
3L24L3(23); 3L*44L36P(43m)*.
Приведенные выше сведения о пьезоэлектричестве касаются
явлений, наблюдающихся лишь при деформациях сжатия
(растяжения). Пьезоэффект, возникающий за счет сдвиговых
напряжений, значительно сложнее. При деформациях, связанных со
сдвигом, электрические заряды могут возникать не только по
геометрически полярным направлениям.
§ 2. ПИРОЭЛЕКТРИЧЕСТВО
Электричество, возбуждающееся в кристаллах в связи с
колебаниями температуры, называется пироэлектричеством.
Пироэлектрические явления могут возникать в кристаллах
только вдоль вполне определенных направлений, являющихся
одновременно и полярными, и единичными. Поэтому кристаллы,
обнаруживающие пироэлектричество, не должны иметь центра инверсии, а
также плоскостей и осей симметрии, расположенных косо или
перпендикулярно относительно вертикального направления (при
обычной установке кристалла). Существует всего десять видов
симметрии, удовлетворяющих этим условиям:
U(l)\ L2(2); L3(3); L4(4); L6(6); P(m); U2P(mm2)\ L33P(3m);
' LAP(4mm); LG6P(6mm).
В кристаллах примитивного вида симметрии триклинной синго-
нии все направления являются и полярными, и единичными.
В планальном виде симметрии моноклинной сингонии такие
направления лежат, как известно, только в плоскости симметрии.
В остальных кристаллах, обнаруживающих пироэлектрические
явления, имеется лишь одно полярное и единичное направление,
совпадающее с главной осью симметрии. Типичным примером
относящихся сюда кристаллов является турмалин (боросиликатсослож-
* Аксиальный вид симметрии кубической сингонии (3L44L36L2—432)
выпадает из этого списка в связи с тем, что его пьезоэлектрические константы равны
нулю.
216

ным составом). Он обладает тройной осью и тремя плоскостями
ГИММРТПИИ ИДУЩИМИ ВДОЛЬ ЭТОЙ ОСИ (U3P).
Ось L является полярной и совпадает с единственным единичным
направлением. В связи с этим при нагревании кристалла один его
конец электризуется положительно, а другой отрицательно. Если
снять имеющиеся заряды и начать охлаждать кристалл, то тот
конец его, который был заряжен положительно, зарядится
отрицательно, и наоборот.
В наличии разноименных зарядов на двух концах турмалина
можно убедиться, посыпая нагреваемый или охлаждаемый
турмалин смесью порошка сурика (РЬ304) и серы, просеянной сквозь
шелковое сито. При таком просеивании вследствие трения о шелк
сурик электризуется положительно, а сера отрицательно. Поэтому
положительно заряженная часть кристалла, притягивая
отрицательные частицы, покрывается желтым порошком серы;
отрицательно же заряженная часть притягивает красные крупинки
положительного сурика. Описанный опыт особенно наглядно
иллюстрирует связь между распределением электрических зарядов и
симметрией кристалла.
§ 3. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА КРИСТАЛЛОВ *
Магнитные свойства кристаллов замечательны тем, что. они
зависят не только от закономерностей кристаллической структуры,
но и от состояния и поведения слагающих ее атомов. При этом
решающую роль играют движение электронов и их магнитные
моменты.
Атомы могут быть магнитными и немагнитными; их
расположение и взаимодействие определяют магнитные структуры кристаллов.
Атомы со спаренными электронами (в том случае, когда
магнитные моменты скомпенсированы) являются немагнитными
(спины отдельных электронов взаимно насыщены и могут быть
изображены с помощью двух антипараллельных стрелок Ц\\). Атомы с
неспаренными электронами являются магнитными и характеризу-
ются своими атомными магнитными моментами ГЛ. В общем маг-
нитность атомов пропорциональна числу неспаренных электронов.
патт основе характеристики магнитных свойств кристаллов лежит
величина магнитной восприимчивости:
/
* г
рало* Шпп?рЬев Д' П* и Кузнецова В. Г. Магнитные свойства мине-
т- 52. вып 2а?о!7СПОЗИЦИя В Г°рНОМ музее)' Заа.Ленингр. Горного института,
217

где к — магнитная восприимчивость, / — магнитный момент
единицы объема кристалла, Н — напряженность магнитного поля.
Различают диамагнитные, парамагнитные, ферромагнитные и
антиферромагнитные кристаллы.
Диамагнитные кристаллы. В структурах диамагнитных
кристаллов атомы немагнитны вследствие того, что в них магнитные
моменты отдельных электронов взаимно скомпенсированы и тем
самым собственные магнитные моменты отсутствуют. Схема
магнитной структуры такого кристалла изображена на рис. 200, а.
Магнитная восприимчивость диамагнитных кристаллов отрицательна и
очень мала. Примерами диамагнитных минералов являются
самородная медь и хлористый натрий.
Парамагнитные кристаллы. Структуры парамагнитных
кристаллов либо состоят целиком из магнитных атомов, либо содержат их
в качестве примеси. Магнитные оси (оси наибольшего намагничи-*
вания) атомов расположены беспорядочно (рис. 200, б). При
наложении магнитного поля лишь незначительная их часть
ориентируется параллельно полю. Магнитная восприимчивость парамагнитных
кристаллов положительна, но мала. К парамагнитным минералам
принадлежит пирит (FeS2).
@®®© о©©® ффф©
®®@® ©0®0 ©фф©
®@®® 0®00 ффф©
®@®® ©00® ффф©
ФФФ© ФФФ®
ФФФ© ФФФ®
ФФФ© ФФФ®
©ФФФ ФФФ®
Рис. 200. Магнитная структура диамагнитного минерала (а)\ магнитная
структура парамагнитного минерала (б); магнитная структура ферромагнитного
минерала (в); антиферромагнитная структура скомпенсированного
антиферромагнитного минерала (г); магнитная структура ферромагнитного минерала с
неравенством магнитных моментов антипараллельно ориентированных атомов (д)
218

Феюроиагнитные кристаллы. Структуры ферромагнитных кри-
/так же как и парамагнитных) слагаются из магнитных ато-
сталлов { жат их примеси. Магнитные оси атомов ориентируют-
Гя°взаимно параллельно (рис. 200, в). Магнитная восприимчивость
Л\» ооомагнитных кристаллов положительна и очень велика. К маг-
н тным структурам принадлежит самородное железо (камасит).
И Антиферромагнитные кристаллы. Структуры
антиферромагнитных кристаллов также состоят из магнитных атомов или содержат
их в качестве примеси. Магнитные оси этих атомов ориентированы
антипараллельно (рис. 200, гид). В случае скомпенсированных
магнитных моментов (рис. 200, г) магнитная восприимчивость
кристаллов положительна, но мала. Примером может служить
минерал гематит (Fe203). Антиферромагнитные кристаллы, магнитные
моменты которых не скомпенсированы, выделяются под названием
ферримагнитных. Магнитные моменты антипараллельно
ориентированных атомов не равны (рис. 200, д). В связи с этим магнитная
восприимчивость ферримагнитных кристаллов положительна и
достигает значительной величины. Такие кристаллы создают вокруг
себя свое магнитное поле. К ферримагнитным кристаллам
принадлежит важнейшая железная руда — магнетит (FeFe204).
Описанные выше явления усложняются тем, что кристаллы
ферримагнитных минералов самопроизвольно делятся (при
сохранении монокристаллической структуры) на отдельные участки —
домены размером 10~5—10~3 см2, каждый из которых имеет
однородную магнитную структуру.
Проявление магнитных свойств и в особенности ферримагнитиз-
ма зависит в сильной степени от дефектов структуры (мозаичного
строения кристаллов и др.). Поэтому исследования магнитных
свойств широко используют при детальном изучении реальных
кристаллических структур со всеми их отклонениями от
идеализированных схем.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В предыдущих главах мы
познакомились с основами
геометрической и физической
кристаллографии. Далее нам предстоит
рассмотреть новейший раздел науки о
кристаллах — химическую
кристаллографию, или кристаллохимию.
Интенсивное развитие этого
раздела целиком связано с успехами
рентгеноструктурного анализа,
давшего возможность детально
исследовать внутреннее строение
(атомную структуру) кристаллических
веществ: Следовательно, прежде
чем приступить непосредственно к
знакомству с началами
кристаллохимии, необходимо получить
понятие о сущности и методах
структурного, в частности,
рентгеноструктурного анализа. Своими
исключительными достижениями последний во
многом обязан трудам выдающихся
кристаллографов прошлого,
заложивших основы геометрической
теории строения кристаллов. С
именами этих ученых мы уже знакомы —
это Ломоносов, Гаюи, Бравэ, Зонке
и, прежде всего, Федоров.
Таким образом, главе о рентге-
ноструктурном анализе кристаллов
надлежит предпослать еще одну
главу, касающуюся учения об их
строении (структуре).
В первой главе приводились
основные понятия о строении
кристаллов и выяснился принцип
построения пространственных решеток.
Дальнейшее развитие
теоретической кристаллографии привело к
учению о 230 пространственных
группах — совокупностях элементов
симметрии для структур кристаллов,
мыслимых как бесконечно
протяженные системы. Полный вывод
этих групп впервые осуществил в
1890 г. Е. С. Федоров (несколько
позднее к тому же пришел немец-
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
УЧЕНИЕ
О СТРУКТУРЕ
КРИСТАЛЛОВ
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
ОСНОВЫ УЧЕНИЯ
О СТРУКТУРЕ
КРИСТАЛЛОВ
220

« математик А. Шенфлис) *. Федоровские пространственные
КИ\ представляют те 230 геометрических законов, по которым
группь с^олагаТЬСЯ атомы внутри кристаллических построек. Вы-
М°ГУнные за 22 года до зарождения рентгеноструктурного анализа
Металлов, они послужили надежной основой для его успешного
развития.
§ 2. КРАТКИЙ ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Попытки понять сущность строения кристаллов относятся к
давним временам. и
В 1611 г. великий немецкий математик-астроном И. Кеплер
/1571 1630) опубликовал небольшой трактат «О шестиугольном
снеге», где высказал замечательные мысли о связи шестиугольной
формы снежинок с плоскостными узорами плотнейших шаровых
укладок (стр. 281).
Идею сложения кристаллов из шарообразных частиц подхватил
(1665) старший современник И. Ньютона английский физик Р. Гук
(1635—1703).
В 1749 г. М. В. Ломоносов в своей диссертации «О селитре»
наметил основы теории строения кристаллов. Шестиугольную форму
кристаллических многогранников селитры он также объяснял
шарообразной формой материальных частиц (корпускул), слагающих
подобные кристаллы. В самом деле, укладывая плотнейшим
образом одинаковые по размерам шарики, вокруг каждого
центрального шарика мы в состоянии уложить шесть таких же шаров. Центры
этих шести шаров образуют правильный шестиугольник (рис. 201).
Ясно, что множество мельчайших шарообразных корпускул,
сгруппированных наиболее плотно, будут образовывать фигуры,
напоминающие шестиугольники селитры. Рисунок 202, взятый из рукописи
Ломоносова, дает ясное понятие о том, как великий ученый
представлял себе строение кристаллов.
Мало того, не ограничиваясь шаровыми укладками в плоскости,
Ломоносов, рассматривая пространственные шаровые упаковки,
дал в 1760 г. первое изображение так называемой плотнейшей
кубической шаровой упаковки (стр. 284).
В своих высказываниях Ломоносов во многом предвосхитил
современные взгляды на строение кристаллов. И сейчас в первом
приближении мы нередко рассматриваем структуры как плотней-
шие укладки шаров — сфер действия атомов — ионов.
В конце XVIII в. французский ученый Гаюи предложил свою
теорию строения кристаллов. Согласно этой теории, структурные
единицы (молекулы) кристаллов имеют форму многогранников, а
весь кристалл представляет как бы кладку из множества таких
кирпичиков — молекул. Форму молекул Гаюи уподоблял форме
В 1879 г. Леонард Зонке (1842—1897) вывел 65 различных прострапствен-
221

Рис. 201, Расположение
шаровых частиц
(«корпускул») в кристалле
селитры по М. В.
Ломоносову
спайных осколков. Так поваренной соли
и свинцовому блеску (галениту),
имеющим спайность по кубу, Гаюи
приписывал «молекулы» кубической формы.
Кальцит, обладающий ромбоэдрической
спайностью, по его мнению, имел
«молекулы» в виде ромбоэдров и т. д. Рисунок
203 изображает но Гаюи строение скале-
ноэдра кальцита, сложенного из
ромбоэдрических частиц.
Само собой разумеется, что теория
Гаюи была лишь ранней попыткой
проникнуть в сущность строения кристаллов.
Вскоре после опубликования трудов Гаюи
появились возражения против его
теории. Указывалось, что реальные
кристаллы сжимаются под влиянием давления и
расширяются при нагревании. Такое
явление не имело бы места, если бы
кристаллы состояли из мельчайших
молекулярных кирпичиков,
вплотную-прилегающих друг к другу, как это представлял
себе Гаюи.
Теории Гаюи противоречило также
существование октаэдрической спайности
у ряда минералов, например флюорита.
Действительно, заполнить пространство октаэдрическими
«молекулами» невозможно.
Один из последователей Гаюи — О. Бравэ (1811—1863)
отбросил многогранную форму, приписывавшуюся материальным
частицам в кристаллах. Справедливо решив, что форма этих частиц
является неизвестной, он занялся вопросом о расположении их
центров тяжестей внутри кристаллического тела. Исходя из
однородности и анизотропности кристаллов, Бравэ пришел к выводу, что
упомянутые центры тяжестей должны располагаться в виде узлов
пространственной решетки (см. рис. 3). Не ограничиваясь этим, он в
1855 г. вывел 14 пространственных решеток, разнящихся по
формам элементарных ячеек и симметрии. Эти выведенные Бравэ
14 решеток подразделяются на известные нам сингонии.
Таким образом, кабинетный вывод ученого хорошо совпал с тем,
что было уже известно ранее из экспериментальных данных (как
мы знаем, опытное подразделение кристаллов на сингонии ввели в
науку в начале прошлого века X. Вейс и Ф. Моос).
Решетки Бравэ рассматриваются в следующем параграфе. На
рисунке 206 показаны элементарные ячейки решеток Бравэ. Из
этого рисунка видно, что ограничиться одной теорией Бравэ для
объяснения геометрии кристаллов нельзя. В самом деле, триклинная
решетка принадлежит центральному виду симметрии, все же
остальные — полносимметричным (планаксиальным) видам соот-
Рис. 202. Строение
кристалла селитры
(по рисунку М. В.
Ломоносова)
222

Рис. 203. Строение скаленоэдра кальцита
по Гаюи
ветствующих сингоний. Естественно, возникает вопрос о том, как
же объяснить посредством теории Бравэ строение кристаллов,
имеющих более низкую симметрию (например, строение
кристаллов, принадлежащих примитивным, планальным и другим видам
симметрии).
Ответ на этот вопрос дал Е. С. Федоров в своем выводе 230
пространственных групп симметрии.
Первая обширная монография Е. С. Федорова, написанная им
еще в студенческие годы, — «Начала учения о фигурах» (1885) —
содержит оригинальный вывод и классификацию пространственных
решеток. По сути дела эти решетки аналогичны решеткам Бравэ,
хотя и выводятся из иных принципов. Федоров не удовлетворился
этим. Он значительно расширил вопрос о строении кристаллов.
В решетках Бравэ и Федорова все структурные единицы
параллельны друг другу. Однако можно представить такие однородные
правильные геометрические системы, в которых, помимо параллельных
друг другу частиц, имеются и повернутые друг относительно друга
и зеркально-равные частицы. При этом расположение окружающих
частиц вокруг любой частицы данной системы должно быть
одинаковым. В связи с таким подходом Е. С. Федоров заменил понятие
о пространственных решетках более широким понятием о
правильных системах фигур. Вот как характеризует он сам эти системы:
«Под правильною системою фигур я подразумеваю такую
бесконечную во всех направлениях совокупность конечных фигур, что
если мы приведем по законам симметрии в совмещение две из
фигур, входящих в состав системы, то совместятся и сами системы.
Если в одной из фигур системы мы возьмем некоторую точку, а
затем определим положение всех соответствующих точек как в той же
самой фигуре, так и во всех остальных фигурах, то получим
правильную систему точек» (Е. С. Федоров «Начала учения о
фигурах», 1885, стр. 240).
223

Совокупностями правильных систем точек, по мнению
Федорова, и являются структуры кристаллов. Изучая симметрию
вышеупомянутых правильных систем, Е. С. Федоров нашел для них 230
геометрических законов симметрии — 230 пространственных групп.
§ 3. ЧЕТЫРНАДЦАТЬ ТИПОВ РЕШЕТОК БРАВЭ
Как указывалось в предыдущем параграфе, Бравэ вывел все
возможные типы пространственных решёток.
Для ознакомления с ними достаточно ограничиться описанием
соответственных параллелепипедов повторяемости. Перемещение
такого параллелепипеда по направлениям его ребер на величину
этих ребер может привести к бесконечной пространственной
решетке. Ясно, что в пределах одной решетки выбор параллелепипедов
повторяемости может быть осуществлен неопределенно большим
числом способов. На рисунке 204 изображены для ромбической
решетки следы параллелепипедов повторяемости, построенные на
трансляциях tx и t2 (рис. 204, а) и t2 и t3 (рис. 204, б). Поэтому для
характеристики решеток Бравэ выбираются параллелепипеды
повторяемости (элементарные ячейки решеток Бравэ),
удовлетворяющие следующим условиям:
1. Сингония выбранного параллелепипеда повторяемости
должна соответствовать сингонии всей решетки.
2. Число равных ребер и углов между ребрами
параллелепипеда должно быть максимальным.
3. При наличии прямых углов между ребрами параллелепипеда
их число должно быть наибольшим.
4. При соблюдении первых трех условий объем
параллелепипеда должен быть наименьшим.
Таким образом, при выборе элементарной ячейки пользуются
уже известными нам правилами установки кристаллов (стр. 138);
Рис. 204. Параллелепипеды (параллелограммы) повторяемости,
построенные на трансляциях tx и t2 (а) и t2 и t3 (б) в пределах
одной и той же ромбической решетки (плоской сетки)
224

Рис, 205,
Обозначение
ребер и углов
элементарной
ячейки
ребра ячейки —это кратчайшие трансляции
вдоль координатных осей.
Прежде всего остановимся на внешней
форме элементарных ячеек решеток Бравэ.
Для характеристики такой формы используем
величины ребер ячейки а, Ь, с и величины
углов между этими ребрами се, р, у (рис. 205).
Ребра параллелепипедов повторяемости
совпадают с трансляциями в решетках.
Существует теорема, согласно которой в
решетках всегда имеются трансляции,
параллельные осям и плоскостям симметрии, а так-
же трансляции, перпендикулярные к
упомянутым элементам симметрии (доказательство
отдельных положений теоремы читатель
найдет на стр. 136).
На основании этой теоремы и в строгом соответствии с
четырьмя перечисленными условиями можно выбрать элементарные
ячейки для решеток всех сингоний.
В кристаллах кубической сингоний всегда присутствует тройка
взаимно перпендикулярных осей симметрии четвертого или второго
порядка (3L4, 3L/4 или 3L2). Согласно вышеприведенной теореме,
параллельно этим осям существуют трансляции, выбираемые нами
за ребра элементарной ячейки. Три оси четвертого или второго
порядка в кубическом кристалле, как известно, связаны между собою
осью симметрии третьего порядка. Следовательно, все три ребра
ячейки должны быть равны между собой.
Как видим, форма элементарной ячейки для кубической
сингоний соответствует кубу (рис. 206, а):
а = Ь = с; а = (3 = <у = 90°.
В тетрагональной сингоний за вертикальные ребра ячейки (с)
принимают период идентичности в направлении, параллельном LA
или Z./4, а за горизонтальные ребра (а и Ь) —две равные и
взаимно перпендикулярные трансляции, лежащие в плоскости,
нормальной к этой оси. Само собой разумеется, две последние трансляции
выводятся друг из друга посредством четверной оси симметрии.
уТегко понять, что форма элементарной ячейки для
тетрагональной сингоний соответствует тетрагональной призме с пинакоидом
(рис. 206, б)
а = Ьфс\ а = (3 = у = 90°.
t*—1
1 1 11
1
1
1
Л
71 Ю\
J 1 *-I J
— y 1 / [7
■**->.
8—3681
0 * 9 e m
Рис. 206. Формы элементарных ячеек решеток разных сингоний
225

В ромбической сингонии ребра ячейки выбираются
параллельно трем двойным осям симметрии или же параллельно одной
двойной оси и перпендикулярно двум плоскостям симметрии (для
случая L22P — mm2). Все эти трансляции взаимно перпендикулярны,
но не связаны между собой элементами симметрии и,
следовательно, не равны друг другу.
Итак, форма элементарной ячейки в ромбической сингонии
отвечает кирпичику (рис. 206, в)
афЪфс\ a = p = Y = 90°.
В моноклинной сингонии можем принимать за ребро Ъ
параллелепипеда трансляцию, параллельную единственной двойной оси
или нормали к плоскости симметрии. Двумя другими ребрами
ячейки, в данном случае а и с, служат неравные между собой
трансляции, лежащие в плоскости, перпендикулярной к Z,2, или в
плоскости симметрии Р. Характеристика такого параллелепипеда
(рис. 206, г)
афЬфс; $фа = у = 90°.
В триклинной сингонии вследствие отсутствия осей и
плоскостей симметрии ребра параллелепипеда совмещаются с любыми
тремя трансляциями решетки. В результате получаем ячейку в
форме косоугольного параллелепипеда с неравными ребрами
(рис. 206, д):
афЬфс; а ф р ф у Ф 90°.
В гексагональной сингонии шестерную ось симметрии L6 или
Lie принимают за ребро с, ребра жеаиб совмещают с
трансляциями, перпендикулярными главной оси, посредством которой они
выводятся друг из друга.
Для такого параллелепипеда имеем:
а = Ьфс; се=р = 90°; Y = 120°.
Как видим, в случае гексагональной сингонии первое условие —
соответствие сингонии ячейки и решетки — невыполнимо, так как
не существует параллелепипедов, обладающих шестерной
симметрией. Для того, чтобы подчеркнуть принадлежность выведенной
ячейки к гексагональной сингонии, часто добавляют к ней еще две
ячейки, повернутые друг относительно друга на 120°, получая
таким образом утроенную «ячейку» в форме гексагональной
призмы (рис. 206, ж).
В тригональной сингонии, приняв ось L3 или L/, за ребро с
ячейки и совместив ребра а и Ъ с трансляциями,
перпендикулярными главной оси и выводящимися этой осью друг из друга,
приходим к параллелепипеду, уже рассмотренному в гексагональной
сингонии: а = Ьфс\ се=Р = 90°; у=120°. Иное расположение узлов
в пространственных решетках тригональной сингонии позволяет
выбрать параллелепипед в форме ромбоэдра, ребра которого рас-
226

Сингония
Триклинная
Моноклинная
Таблица 13
Ячейки 14 решеток Бравэ
Примитивная
Базоцентрирован-
ная
Объемноцентриро'
ванная
Л7\
М
W
Гранецентриро-
ванная
Ромбическая
Тетрагональная
7\
VL
V
71
i
/Г-*.
Тригональная

(ромбоэдрическая)
227

Продолжение табл. 13
Сингония
Примитивная
Базоцентрирован-j Объемиоцентриро-]
ная 1 ванная
Граиецеитрирован-
иая
Гексагональная
Кубическая
£ZA
\£У>
положены под косым углом к главной оси симметрии L3, действием
которой они связываются между собой (рис. 206, е). При этом:
а = Ь = с; а = $ = уф 90°.
В связи с возможностью выбора одинаковых по форме
элементарных ячеек в тригональных и гексагональных решетках,
некоторые авторы объединяют гексагональные и тригональные
кристаллы в одну гексагональную сингонию (с подразделением на три-
гональную и гексагональную подсингонии).
Мы познакомились с формами элементарных ячеек для всех
сингоний. Узлы решеток всегда располагаются по вершинам этих
ячеек. Кроме того, в отдельных случаях они могут размещаться в
центрах самих ячеек и в центрах их граней, но отнюдь не на
ребрах.
В таблице 13 представлены распределенные по сингониям
ячейки 14 решеток Бравэ. Как следует из данных таблицы, решетки
подразделяются на примитивные (Р), базоцентрированные (С)
объемноцентрированные (I), дважды центрированная (R) и гране-
центрированные {F). J
В случае примитивных решеток узлы расположены лишь по
вершинам ячеек; в случае базоцентрированных (и бокоцентриро-
ванных) — по вершинам и в центрах двух взаимно параллельных
граней; в случае объемноцентрированных — по вершинам и в цент-
228

Рис. 207. Базоцентрированный (а) и гранецентпи-
рованный (б) варианты тетрагональных решеток
приводят соответственно к примитивной и объем-
ноцентрированной решеткам (плоскость чертежа
ре ячейки; в случае гранецентрированных—по вершинам и в
центрах всех граней.
Чтобы получить некоторое представление о выводе решеток
Бравэ, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Тетрагональная сингония. Выясним причины
отсутствия в списке тетрагональных решеток базоцентрированиого и
гранецентрированного вариантов.
А. Базоцентрированный вариант. Пусть дана
тетрагональная базоцентрированная решетка (С). Следы двух ее ячеек
на плоскости _LL4 представлены на рисунке 207, а. Как видно из
данных рисунка, взятый вариант не согласуется с условиями
Бравэ. Действительно, в соответствии с условием наименьшего
объема мы в качестве ячейки Бравэ должны принять не взятую нами
базоцентрированную ячейку, а ячейку с заштрихованным на
рисунке основанием. Эта последняя ячейка, при соблюдении первых
трех условий, обладает по сравнению с заданной вдвое меньшим
объемом. Вместе с тем она является примитивной.
Следовательно, базоцентрированный вариант приводит к
примитивному случаю, а потому не нуждается в специальном
рассмотрении.
Б. Гранецентрированный вариант. На рисунке 207, б
изображены следы двух тетрагональных гранецентрированных
ячеек. Согласно сказанному выше, и здесь мы приходим к ячейке
вдвое меньшего объема (след этой ячейки заштрихован на
рисунке). Ячейка эта является объемноцентрированной. Таким образом,
гранецентрированный вариант приводит к варианту / и на этом
основании также отдельно не рассматривается.
Пример 2. Кубическая сингония. Выясним причины
отсутствия С-варианта.
На основании предыдущих рассуждений нетрудно заключить,
что С-вариант кубической решетки неминуемо снижает симметрию
ячейки до тетрагональной.
Пример 3. Гексагональная сингония. На
рисунке 208, а в плане на плоскости, перпендикулярной к главной осп
симметрии, изображена гексагональная ячейка.
229

Рис. 208. Гексагональная примитивная ячейка Рис. 209. Дважды
Бравэ (а); базоцентрированный вариант гексаго- центрированная гекса-
нальной ячейки приводит к примитивной решетке тональная ячейка
Бравэ (плоскость чертежа перпендикулярна
главной оси решетки) (б)
Ни один из обычных способов центрировки (дополнительные
узлы в центрах граней, в центре объема) не приводит в данном
случае к новой решетке Бравэ. Проверим это на примере базоцент-
рированной ячейки. На рисунке 208, б изображены следы трех
смежных базоцентрированных гексагональных ячеек (С) на
плоскости, перпендикулярной главной оси решетки: /—2—3—4, 2—
3—5—6У 1—2—6—7. Пусть 8, 9 и 10— дополнительные узлы,
центрирующие основания ячеек. Зная, что расстояния между узлами в
каждом ряду и во всех параллельных рядах должны быть равны
между собой, находим узлы //, 12, ..., 19. Из данных рисунка
очевидно, что в соответствии с условием наименьшего объема мы
должны принять в качестве элементарной ячейки Бравэ не взятую
ранее базоцентрированную ячейку /—2—3—4, а ячейку с
заштрихованным на рисунке основанием. Нетрудно показать, что все
способы центрировки ячейки неизменно приведут к подобной же
(лишь меньшего объема) гексагональной ячейке, за исключением
одного варианта, когда дополнительные узлы располагаются в
одной из тригональных призм ячейки на высоте Уз, а в другой — на
высоте 2/3 ребра с ячейки (рис. 209). Такая дважды
центрированная гексагональная ячейка (R) характеризует
существенно новую решетку Бравэ, так как примитивный параллелепипед,
выбранный в этой решетке по кратчайшим трансляциям, имеет
форму ромбоэдра.
Выше упоминалась классификация пространственных решеток
по Е. С. Федорову. Согласно такой классификации, все
пространственные решетки выводятся из четырех исходных идеальных
типов. К ним принадлежат: 1) кубическая примитивная (по
Федорову «гексаэдрическая»), 2) кубическая объемноцентрированная
(«октаэдрическая»), 3) кубическая гранецентрированная («додека-
эдрическая») и 4) гексагональная примитивная («призматичес-
230

я») Все остальные менее симметричные решетки могут быть
порчены из этих идеальных путем растяжений и сдвигов.
Исходя из подобной классификации, заключаем, что по форме
ячеек весь мир кристаллов подразделяется на два типа —
кубический и гексагональный. К первому относятся кристаллы, близкие к
кубическим, ко второму —к гексагональным.
Такова сущность одного из основных законов
кристаллографии—закона кристаллографических пределов Е. С. Федорова.
Приведем несколько иллюстраций к этому закону.
^Моноклинная слюда образует псевдогексагональные пластины,
приближающиеся по формам к правильным шестиугольникам.
Ромбический барит при раскалывании распадается на спайные
осколки, напоминающие кубики, что указывает на псевдокубичность
Ba[S04].
Важнейшие породообразующие минералы — пироксены и
амфиболы (сингонии низшей категории) при раскалывании образуют
углы, близкие к 90° (пироксены) и к 120° (амфиболы). Это говорит
о псевдокубичности (псевдотетрагональности) пироксенов и псев-
догексагональности амфиболов.
В историческом обзоре (§ 2 настоящей главы) говорилось о том,
что Бравэ сводил структуры реальных кристаллов к выведенным
им типам решеток. Однако, как указывалось там же, эти решетки
не могут объяснить строения большинства кристаллов, не
принадлежащих к планаксиальным видам симметрии.
Сейчас известно, что с помощью решеток Бравэ мы может
вывести в реальных структурах кристаллов лишь одинаковые
частицы структуры (атомы, ионы, молекулы),, расположенные
параллельно друг относительно друга. Такие частицы в структурах
называются тождественными. Из сказанного видно, что
тождественные частицы связаны друг с другом параллельными поступа-
ниями.
Итак, каждый тип решеток Бравэ представляет по существу
некоторый набор — пространственную совокупность (группу) —
трансляций. Посредством их любая деталь структуры (атом, ион,
молекула) переносится параллельно самой себе, образуя в
пространстве трехмерный узор кристалла. Группы трансляций (решетки
Бравэ) входят как составные мотивы во все совокупности
элементов симметрии для реальных кристаллических структур. Эти
совокупности элементов симметрии, как мы знаем, соответствуют 230
пространственным группам Федорова.
§ 4. ЭЛЕМЕНТЫ СИММЕТРИИ БЕСКОНЕЧНЫХ ФИГУР
В четвертой главе приведена схема вывода элементов
симметрии для конечных и бесконечных фигур (стр. 66). Было показано,
что симметрия конечных фигур может 'быть охарактеризована
центром инверсии (С — 1), плоскостями симметрии (Р—т) и осями
симметрии, простыми (L2 —2, L3 — 3, LA — 4, L6 — 6) и сложными
(Li<~4, Lle~6).
231

/77
о o-f~
i
а
of/2
о//2
t
о •
I
о i
Рис. 210. Плоскость симметрии т и плоскости скользящего
отражения at b, ct n, d
К числу же элементов симметрии бесконечных фигур, помимо
восьми перечисленных, принадлежат еще трансляции (переносы),
плоскости скользящего отражения и винтовые оси — двойные,
тройные,, четверные и шестерные. При описании кристаллических
структур все эти элементы симметрии даются в обозначениях
международной символики (см. стр. 80 и нижеследующий текст).
На рисунке 210 показаны условные обозначения и результаты
действия на заданную точку зеркальной плоскости симметрии и
различных (также вертикальных) плоскостей скользящего
отражения. Среди последних различают плоскости скользящего
отражения а, Ь, с, п и d. Плоскости скользящего отражения а, Ь и с
обладают поступаниями (компонентами скольжения),
действующими параллельно кристаллографическим осям — параллельно
первой (а), второй (Ь) и третьей (с). При этом величины их по-
ступаний соответственно равны половинам трансляций вдоль
первой, второй и третьей кристаллографических осей (Уга, У26, Уг^Ь
Компоненты скольжения плоскостей п и d направлены по
диагоналям сторон элементарной ячейки и соответственно равны их
половинам и четвертям. Для п поступания равны У2(& + с), У2(с + а),
У2(а-+6); для d—xU{b + c), xU(c + a)y xU(a + b). Заметив, что
сфера действия плоскостей d ограничивается случаями гранецентри-
рованных трансляционных решеток, приходим к выводу:
компоненты скольжения всех плоскостей скользящего отражения равны
половинам соответственных трансляций.
Плоскости а, Ь, с легко обнаружить на моделях структур типа
NaCl (см. рис. 2, а).
На рисунке 211 изображена деталь узора шахматной доски.
Представив себе такой узор бесконечно протяженным, легко
увидеть, что вдоль отмеченной на рисунке линии а — а проходит
плоскость скользящего отражения типа а. Действительно, для того
чтобы совместить белый квадрат / с аналогичным квадратом 2, нужно
первый квадрат перенести параллельно самому себе на место
нижележащего черного квадрата и затем отразить в плоскости,
перпендикулярной рисунку и проходящей вдоль а — а. При этом
совместится целиком весь-бесконечно протяженный узор шахматной
доски. Такая же плоскость будет проходить и вдоль линии а\ — а\.
Легко понять, что вдоль линий b — b и b\ — bx будут проходить
плоскости скользящего отражения типа Ь. Предоставим самому
232

— ь,
'а 1а,
Рис. 211. Плоскости
скользящего отражения типов а и b ца
узоре шахматной доски
I
-+-
+-
I
-+-
I
— Ь
—Ь
-ш
Рис. 212. Плоскости
скользящего отражения а и b на сетке
куба элементарной ячейки
NaCI
читателю нанести на тот же узор не изображенные нами
плоскости симметрии (т).
Заменив черные и белые квадраты шахматного .узора черными
и белыми кружками, получим изображение сетки куба
элементарной ячейки структуры NaCI (рис. 212). Здесь совершенно так же,
как и в случае шахматного узора, пройдут плоскости скользящего
отражения типов а и Ь, чередующиеся с обыкновенными
плоскостями симметрии (т).
Для практического освоения плоскостей скользящего
отражения п и d рекомендуем обратиться непосредственно к
пространственным моделям кристаллических структур. Плоскости п легко
обнаруживаются, например, на структуре типа а—Fe (объемно-
центрированная кубическая решетка, рис. 213), плоскости d — на
структуре алмаза (гранецентрированная кубическая решетка,
рис. 214 и 262).
Рис. 213. Плоскость
(п) скользящего
отражения в структуре
a —Fe
Рис. 214. Плоскость (d)
скользящего отражения в структуре
алмаза
233

ti
/•-
г
Перейдем к винтовым осям.
Как указывалось выше, винтовые
оси в кристаллах аналогично
простым и инверсионным осям
> могут быть только двойными,
; тройными, четверными и шес-
в^7" терными.
Различают правые и левые
винтовые оси. Можно, например,
* I условиться, что если смотреть по
2f направлению трансляции, то для
правой винтовой оси вращение
^ вокруг нее происходит по часо-
£ £ \ / в°й стрелке, для левой — против
О Щ &2 часовой стрелки.
\^_^У Кроме того, имеют место осо-
Q б бые винтовые оси, совпадающие
Рис. 215. Двойная поворотная ось с простыми осями симметрии.
симметрии 2(a) и двойная винто- При описании структур крис-
вая ось 2\ (б) таллов винтовые оси
обозначаются следующим образом: 2и Зи 32у
4и 42j 43, 6и 62у 63у #4, ^5- В этих обозначениях частное от деления
маленькой цифры на большую, впереди стоящую, дает величину
поступания i вдоль оси по отношению к элементарной трансляции
структуры Т в направлении, параллельном данной оси.
Разберем существующие винтовые оси, изображенные на
рисунках 215—218.
Двойная винтовая ось 2Х вместе с простой поворотной двойной
осью симметрии 2 показаны на рисунке 215.
Действие двойной винтовой оси равно повороту на 180° с
последующим поступанием вдоль нее. Величина последнего равна
половине элементарной трансляции вдоль оси. Отсюда понятно
обозначение этой оси — 2\.
Двойная винтовая ось является одновременно и правой и
левой, так как повороты вокруг нее на 180° и вправо и влево
приводят к тождественному результату.
На рисунке 216 изображены тройные оси: простая поворотная 3
и две винтовые — правая 3\ и левая 32.
Действие правой тройной винтовой оси состоит в повороте
точек на 120° по часовой стрелке с последующим поступанием их
вдоль оси на одну треть элементарной трансляции. В случае левой
винтовой оси поворот на 120° производится против часовой
стрелки. Обозначение 32 выясняется с помощью рисунка 216, б и в. Как
видно из данных рисунков, в случае правой винтовой оси точка 2
перемещена вверх на одну треть трансляции. В случае левой оси
точка 3, лежащая на аналогичном ребре изображенной тригональ-
ной призмы, поднята на 2/3 такой трансляции.
На рисунке 217, помимо простой четверной поворотной оси
симметрии 4, изображены четверные винтовые оси — правая 4и ле-
234

2/5
Уз
0»
tf
Рис. 216. Тройная поворотная ось симметрии 3(a)
тройные винтовые оси — правая 3{(б) и левая 32(е)
Л
М
71
Рис. 217. Четверная поворотная ось симметрии 4 (а) и четверные винтовые
оси — правая 4i(6), нейтральная 42(е) и левая 43(г)

Рис. 218. Шестерная поворотная ось симметрии 6 (а) и шестерные
винтовые оси — правые 6\ и 62 (бив), нейтральная б3 (г) и левые 64 и 65
{д и е)
вая 4Ъ и нейтральная, являющаяся одновременно простой двойной
осью 42 *.
Поступание для последней оси равно половине, а не четверти
элементарной трансляции. Для практического ознакомления с
этими осями рекомендуем читателю обратиться к пространственным
моделям кристаллических структур. Оси 4 и 42 легко обнаружить
на структуре NaCl, оси 4Х и-43 — на структурах алмаза и циркона
Zr[Si04].
На рисунке 218 изображены шестерные оси: простая
поворотная 6 и винтовые — правая 6\ и левая 6$. Кроме того, существуют
правая и левая шестерные винтовые оси 62 и 6А с поступаниями на
одну треть элементарной трансляции, являющиеся одновременно
двойными поворотными осями симметрии. Наконец, имеем
нейтральную шестерную винтовую ось 63 с поступанием на половину
элементарной трансляции, совпадающую с тройной поворотной
осью.
Ниже приведен полный список элементов симметрии,
встречающихся в кристаллических структурах:
1. Простые оси симметрии 2, 5, 4,6.
2. Инверсионные оси /(С), 2(т), 3, 4У 6.
3. Винтовые оси 1\ (перенос), 2и 3\, 32, 4и 42, 43у 6и 62, 63, 6А, 6$.
4. Плоскости скользящего отражения а, Ьу с, п, d.
* С целью изображения полного винтового цикла на рисунке 217, в
представлены две ячейки (то же на рис. 218).
236

вертикальные
О С И:
горизонтальные
% 2
▲ 3
Аз,
Азг
♦ *
♦ *3
# Б,
*- h
О 1
О z
О *
2
2;
дерглинольные
f- 4*.
fr -**
/7 ./7 0 fftftf С ГИ:
горизонтальные
/77
/7
нахлонньн?
-^- 2
К з2
/77
я,*
С
/7
(Г
И
1
Л
71
•7[\
наклонные
м
/77
MJ
а.Ь
п,й
Рис. 219. Условные обозначения элементов симметрии
структур кристаллов
Условные обозначения этих элементов симметрии
представлены на рисунке 219.
Комбинируя элементы симметрии конечных фигур, мы вывели
32 вида симметрии кристаллов. Комбинируя же элементы
симметрии бесконечных фигур, можно вывести 230 пространственных
групп симметрии.
Благодаря обязательному наличию трансляций элементы
симметрии пространственных групп встречаются в виде серий: серии
центров инверсии, серии взаимно параллельных плоскостей, серии
взаимно параллельных осей (в конечных фигурах, как известно,
все элементы симметрии пересекаются в одной точке) *.
* При всех симметрических преобразованиях в конечных фигурах, как
минимум, одна точка остается на месте. На этом основании 32 вида симметрии иначе
называются точечными группами.
237

Если в пространственных группах сократить переносы, а также
превратить плоскости скользящего отражения и винтовые оси в
обычные зеркальные плоскости симметрии и поворотные оси,
получим 32 вида симметрии.
И наоборот, рассматривая элементы симметрии конечных
фигур во всем их возможном структурном многообразии (в том
числе, превращая целиком или частично зеркальные плоскости и
поворотные оси симметрии в плоскости скользящего отражения и
винтовые оси), а также прибавляя соответствующие группы
трансляций (решетки Бравэ), переходим от 32 точечных групп
симметрии к 230 их разновидностям — к федоровским пространственным
группам.
По аналогии с разобранными выше международными
символами (формулами для видов симметрии, см. стр. 87 и 320),
существуют соответственные символы и для пространственных групп.'
В этих формулах на первом месте стоит большая латинская буква,
обозначающая решетку Бравэ, т. е. группу чистых трансляций (см.
табл. 13). Далее следует совокупность порождающих элементов
симметрии, отвечающая формуле того вида симметрии,
разновидностью которого является данная пространственная группа (см.
табл. 4). Однако в отличие от формул видов симметрии цифры и
буквы, обозначающие оси и плоскости симметрии, могут быть здесь
заменены обозначениями винтовых осей и плоскостей
скользящего отражения. В качестве примера ниже приводятся символы
пространственных групп, являющихся разновидностями видов
симметрии 4/т (L4PC) и тЗт (3LA4L36L29PC).
_ л А, Вид симметрии тЗт
Вид симметрии 4(т *
Р 4/т P тЗт
Р4/п РпЗп
Р 42/т Р т 3 п
Р 42/п РпЗт
I 4/т Fm 3 т
I 4х\а F т 3 с
F d3m
Fd3c
Im 3 т
la 3d
Вышеописанные символы (формулы), дающие ясное
представление о пространственных группах, нашли самое широкое
распространение во всем мире. В частности, они положены в основу
описания пространственных групп в «Интернациональных таблицах
для определения кристаллических структур» (Internationale Tabellen
zur Bestimmung von Kristallstrukturen, 1935).
Примеры упрощенного вывода пространственных групп
рассматриваются в следующем параграфе.
238

§ 5. ПРИМЕРЫ ВЫВОДА ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ГРУПП СИММЕТРИИ
Пример 1. Планальный вид симметрии
моноклинной сингонии.
Планальный вид симметрии моноклинной сингонии содержит
единственную плоскость симметрии т. Плоскость эту расположим
вертикально и направим на зрителя (рис. 220). Кружками на
рисунке отметим проекции граней общей формы (диэдр безосный).
Переходим к бесконечным системам.
1. Анализ элементов симметрии с точки зрения их структурного
многообразия.
Плоскость симметрии в структурах может выступать или в
виде обычной зеркальной плоскости ту или в виде плоскостей
скользящего отражения ау Ьу с, пу d. При заданной ориентировке т
вариант 6-плоскости исключается из рассмотрения (компонент
скольжения h выходит за пределы вертикальной и направленной
на наблюдателя плоскости). Также исключается вариант d-плос-
кости, совместимой лишь с гранецентрированными аспектами
решеток, необязательными для моноклинной сингонии. Оставшиеся
четыре плоскости ту ау с, п возможно свести к двум, например к
тис, поскольку лежащие в одной плоскости (010) компоненты
скольжения плоскостей а, с, п — tay tc и tn (рис. 221) могут
совмещаться друг с другом при вращении рисунка в собственной его
плоскости. Таким образом, плоскости ау с, п в данном случае
равнозначны, и на этом основании достаточно рассматривать одну,
любую из них, например плоскость с.
Итак, мы окончательно остановились на двух плоскостях тис,
2. Прибавляем теперь соответственные решетки Бравэ.
К моноклинным кристаллам принадлежат две решетки Бравэ
Р и С (стр. 227). Последовательно рассматривая оставшиеся
элементы симметрии (тис) в сфере действия этих двух решеток,
приходим к четырем возможным пространственным группам Рт,
Рсу Сту Сс.
ф
Рис. 220.
Проекция
плоскости
симметрии
и граней общей
формы (диэдр
безосный) пла-
нального вида
симметрии
моноклинной
сингонии
Рис. 221. Компоненты
скольжения
плоскостей а, с, п в
плоскости (010)
239

f
m
Рис. 222. След ячейки
примитивной моноклинной
решетки
Рис. 223. К сложению
плоскости симметрии
т с
перпендикулярной трансляцией Т
В заключение остается проверить и, если таковые найдутся,
вычеркнуть повторяющиеся группы.
Примитивный вариант (Р -решетка). К данной
проекции точечной группы (см. рис. 220) придаем Р-моноклинную
ячейку Бравэ. На рисунке 222 изображен прямоугольный след
примитивной моноклинной решетки, ребра которой по величине и
направлению выражают трансляции Тг и Т2. Остается выяснить
результат действия трансляций на заданные элементы симметрии и
точки.
Например, под действием трансляции Г2, перпендикулярной к
mt эта последняя перемещается параллельно самой себе на вели-,
чину трансляции. При этом, во избежание пропусков элементов
симметрии, необходимо рассмотреть результат сложения двух
элементов симметрии: плоскости (т) и перпендикулярной к ней
трансляции (Г2).
Существует теорема, согласно которой в результате сложения
плоскости симметрии m и перпендикулярной к ней трансляции
появляется новая плоскость симметрии т, параллельная данной и
отстоящая от нее в сторону трансляции на половину длины
трансляции.
Для доказательства теоремы вспомним, что действие
трансляции эквивалентно действию двух перпендикулярных к ней
зеркальных плоскостей, отставленных друг от друга на величину, равную
половине трансляции (стр. 66).
На этом основании данную трансляцию (Т) заменим двумя
плоскостями зеркального отражения / и //, перпендикулярными
т
трансляции и расставленными на величину, равную -—(рис.223).
Одну из этих плоскостей, например плоскость /, мы вправе
совместить с заданной плоскостью т. Последовательное же действие
двух совмещенных плоскостей сводится к нулю.
В результате получается отдельная плоскость //, параллельная
Т
заданной и отстоящая от нее на величину, равную —, что и дока-
240

+o
1 ® +
+o 1
+o o +
0+ I# +o
Рис. 224. Пространственная группа
Pm
+ o o+
# + o
#+o o+
#+0 0+*
Рис. 225. Пространственная группа
Pc
зывает теорему. Таким образом выводится пространственная
группа Рту изображенная на рисунке 224.
Аналогичным путем получаем изображение пространственной
группы Рс (рис. 225).
Базоцентрированный вариант (С-решетка). Ба-
зоцентрированная решетка отличается от примитивной
присутствием трансляций, действующих в направлении диагоналей
оснований ячеек на величины, равные половинам этих диагоналей. Таким
образом, для вывода пространственных групп базоцентрированного
варианта необходимо пересмотреть все ранее полученные
примитивные группы в свете действия этой диагональной по основанию
трансляции (Тс). Так, например, следующая пространственная
группа (Cm) получается по схеме: Pm + Tc = Cm (рис. 226). Здесь
плоскости складываются уже с косо расположенными по
отношению к ним трансляциями.
Известна теорема, согласно которой равнодействующим
элементом симметрии плоскости m с косой трансляцией Тс является
плоскость скользящего отражения, параллельная данной плоскости и
отстоящая от нее в сторону трансляции на величину, равную
половине проекции трансляции Тс на нормаль к заданной плоскости /п.
Величина же скольжения равна проекции той же трансляции Те
на плоскость т.
Тс
Рис. 226. Б аз
сцентрированная ячейка
отличается от
примитивной присутствием
диагональной трансляции
Тс
Рис. 227. К сложению
плоскости симметрии m с
косой трансляции Тс
24!

+ o
+ c
o +
+ o
o+ # + o
+ o o+
+o o+ fi + ° °+
o*-
#+o o +
Рис. 228. Пространственная группа
Cm
Рис. 229. Пространственная группа Сс
Для доказательства разложим, как это показано на
рисунке 227, заданную под косым углом к плоскости т трансляцию Тс
на составляющие ta и tb. Далее, применяя к взаимно
перпендикулярным элементам — плоскости m и составляющей h —
предыдущую теорему, находим новую плоскость, параллельную заданной
тп и отставленную от нее на 1/2^. При этом вторая составляющая
. ta обращает найденную плоскость в плоскость скользящего
отражения {а), что и требовалось доказать.
На рисунке 228 изображена пространственная группа Ст.
Наконец, применив к группе Рс диагональную трансляцию
(Гс), приходим к последней пространственной группе Сс (рис.229).
Обратимся теперь к точкам — кружкам на рисунках групп.
Ранее на рисунках 32 точечных групп кружками (и
крестиками) обозначались, как известно, проекции граней простых ф.орм.
На рисунках же пространственных групп кружки соответствуют
уже не граням, а, например, местам потенциально возможного
размещения центров тяжестей структурных единиц (ионов, атомов
и пр.). Знаки плюсов (и минусов), проставленные у кружков,
указывают на смещение точек по вертикали относительно некоторого
условного нулевого уровня. Знаки же дробей ОД, 7г и т. д.) также
выражают показатели высот точек в долях соответствующей
осевой трансляции.
Мы видим, что во всех четырех случаях (Рту Рс, Cm, Сс)
аналогично заданная точка (например, зачерненный кружок на
рисунках) привела к различным точечным конфигурациям
(атомным распределениям), что и подтверждает оригинальность всех
четырех выведенных пространственных групп.
Итак, к п л анальному виду -симметрии моноклинной сингонии
относятся четыре пространственные группы Рт, Рс, Cm, Сс.
Пример 2. Примитивный вид симметрии
тетрагональной сингонии.
Примитивный вид симметрии тетрагональной сингонии
содержит единственную ось симметрии четвертого порядка 4.
1. Анализ элементов симметрии.
В структурах поворотная ось симметрии четвертого порядка
может выступать в виде осей 4, 4и 42у 43 (стр. 234—236).
242

2. Прибавление двух тетрагональных Р- и /-решеток Бравэ
приводит к возможным пространственным группам:
Р49 P4U Р42, P43t
14, 14и 142, 143,
из которых, как нетрудно показать, группы 14 и 142у а также 14\ и
14ъ равны друг другу. Таким образом, для данного вида
симметрии получаем всего шесть пространственных групп:
Я4, Р4Ь Р42, Р43, /4, /4,\
§ 6. ПОНЯТИЕ О ПРАВИЛЬНЫХ СИСТЕМАХ ТОЧЕК
В предыдущем параграфе на отдельных примерах был показан
упрощенный вывод 230 пространственных групп, представляющих
аналогично 32 точечным группам конечной симметрии возможные
сочетания элементов симметрии бесконечных
кристаллографических фигур.
Любая точка (например, зачерненный кружок на рисунках 224,
225 и др.)> повторенная элементами симметрии пространственной
группы, приводит к правильной системе точек (стр. 223).
Правильной системой точек называется система точек,
выводящихся из исходной точки посредством элементов симметрии
пространственной группы.
В общем случае в пределах одной и той же пространственной
группы возможны разные по типу правильные системы точек. При
этом вывод правильных систем точек во многом напоминает
вывод простых форм. Следующее сопоставление подтверждает
сказанное:
Конечные фигуры
(кристаллические
пики)
32 вида симметрии
многогран-
Заданные ^ точки — проекции
граней, связанные элементами
симметрии точечных групп, в
совокупности отвечают
проекциям простых форм
Бесконечные фигуры
(структуры кристаллов)
230 пространственных групп
симметрии
Заданные точки (например
центры тяжестей структурных
единиц, фиксированные в
моменты равновесия последних),
связанные элементами
симметрии пространственных групп, в
совокупности образуют
правильные системы точек
. * Вывод 230 пространственных групп читатель может найти, например, в
работе акад. Н. В. Белова «Классный .метод вывода пространственных групп
симметрии». Тр. Ин-та кристалл. АН СССР, вып. 6, стр. 25—62 (1951).
243

Простые формы, в связи с
заданием исходных точек,
подразделяются на частные и общие
Существенным является число
граней каждой простой формы
Правильные системы точек в
связи с заданием исходных
точек подразделяются на частные
и общие
Существенным является число
точек каждой правильной
системы, приходящихся на объем
элементарной ячейки —
«кратность точек»
Познакомимся с выводом правильных систем точек на примере
пространственной группы Pmm2 (планальный вид симметрии
ромбической сингонии — L22P или mm2).
На рисунке 230 в окружности представлена проекция элементов
симметрии — L22P и проекции граней i9 i\ i", i"f ромбической
пирамиды (общей формы).
Пространственная группа Ртт2 выводится путем" приложения
к данной точечной группе соответствующей Р-группы трансляций
(ТиТ2).
Действиями трансляций точки и элементы симметрии
повторяются в пространстве кристалла. Нетрудно убедиться, что получаю--
щаяся при этом совокупность точек относится к числу правильных
систем. В самом деле, отражение любой точки в плоскости
симметрии или поворот точки вокруг двойной оси симметрии, или,
наконец, перенос точки за счет трансляции совмещает ее с
симметрично-равной точкой. При этом приходит в самосовмещение и вся
система точек.
Выясним для пространственной группы Pmm относительные
координаты (в долях ребер элементарной ячейки) и кратности
точек частных (ау Ь, с, dy еу fy gy h) и общей (i) правильных систем
(рис. 231) (табл. 14).
Очевидно, число правильных систем точек, сходных с
указанными, может быть неопределенно большим.
Рис. 230. Точечная (mm2) н простран- Рис. 231. Правильные системы то-
ственная (Pmm2) группы симметрии чек в пространственной группе
симметрии Pmm2
244

« Таблица 14
Обозначение точек
а
Ь
€
d
ее'
ff
ggr
hh'
* i
/, i', i", i"
Относительные координаты точек
ООг
01/2*
V2o*
V2 Щг
xOz; xOz
xy2z; xi:r>z
Oyz; Oyz
xyz; xyz; xyz; xyz
Кратность точек
1*
1 1
1
1
2
2
2
2
4
* XU flX4«fl, т. е. кратность 1.
Правильные системы точек для каждой пространственной
группы выражают геометрические законы пространственного
расположения структурных единиц в кристаллах.
В этом заключается огромное значение теории строения
кристаллов— 230 пространственных групп симметрии, выведенных
Е. С. Федоровым и экспериментально подтвержденных лучами
Рентгена.
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ
РЕНТГЕНОМЕТРИЯ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Посредством рентгеновых лучей была впервые
экспериментально подтверждена теория решетчатого строения кристалла, с их
помощью стало возможно на конкретных примерах в абсолютных
единицах измерять расстояния между атомами и устанавливать
структуру (пространственное расположение атомов) каждого
исследованного кристаллического объекта.
Как известно, рентгеновы лучи названы по имени знаменитого
немецкого физика В. К. Рентгена (1845—1923), открывшего их в
конце 1895 года.
Подчеркивая загадочность природы нового излучения, Рентген
называл открытые им лучи ^-лучами. Действительно, опыты
Рентгена и ряда других физиков, проведенные с целью объяснения
природы найденных лучей, долгое время не давали определенных
результатов. Только к середине 1912 г. благодаря открытию М. Лауэ
245

(1879—1960) дифракции рентгеновых лучей в кристаллах природа
рентгеновых лучей была отождествлена с природой инфракрасных,
видимых, ультрафиолетовых и других лучей электромагнитного
спектра. Оказалось, что длины волн рентгеновых лучей весьма
малы— заключаются в ориентировочных пределах от 140 до 0,1 А
(1 А=10~8 см). В среднем длины волн рентгеновых лучей в 10 000
раз короче видимых лучей. Это обстоятельство и обусловило в
основном неудачу первых опытов: приборы, в обычном порядке
применявшиеся исследователями, оказались слишком грубыми
инструментами для улавливания столь малых волн.
Лишь с момента открытия дифракции рентгеновых лучей в
кристаллах стало возможным, с одной стороны, посредством
кристаллов исследовать рентгеновы лучи, а с другой — посредством
рентгеновых лучей исследовать кристаллы. Здесь рассматривается
второе направление исследований, называющееся рентгенострук-
турным анализом.
В основе рентгеноструктурного анализа лежат две
замечательные особенности рентгеновых лучей: во-первых, свойство этих
лучей проникать внутрь тел и, во-вторых, свойство их дифрагировать
от структурных единиц кристалла (атомов, ионов, молекул),
периодически повторяющихся в пространстве.
Тем не менее кристаллические образования не являются
единственными объектами для рентгеноисследования. К числу
последних, вследствие известной упорядоченности частиц, принадлежат и
стеклообразные тела, а также жидкости и газы.
Касаясь исключительно кристаллов, отметим, что при
рентгеновском анализе выбор объектов для исследования практически
ничем не ограничен. Таковыми могут служить обломки
кристаллов, отдельные сравнительно небольшие кристаллики и агрегаты
мельчайших кристаллических зерен (металлы, многие химические
осадки, разнообразные горные породы и пр.).
Каждое рентгеноструктурное исследование слагается из ряда
этапов, последовательность и существо которых прежде всего
зависит от характера самого образца и задач анализа.
Ниже знакомству с отдельными этапами структурного
изучения предпошлем краткий анализ вопросов, .касающихся получения,
состава и дифракции рентгеновых лучей, а также примеров первых
рентгеноструктурных расшифровок.
§ 2. ПОЛУЧЕНИЕ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ
Для получения рентгеновых лучей обычно необходимо
выполнить три условия:
1. Получить большое количество свободных электронов*.
2. Заставить полученные электроны двигаться в определенном
направлении с большой скоростью.
* Свободными электронами называются электроны, беспрепятственно
передвигающиеся в безвоздушном пространстве.
246

к-i
) Л
Рис. 232. Электронная
рентгеновская трубка (а) и спираль
накала (б)
3. Внезапно затормозить
электроны. При этом
тормозящее вещество в результате
резкой потери скорости
электронов при торможении
излучает рентгеновы лучи.
Приборы, удовлетворяющие
трем указанным условиям и
предназначенные для
получения рентгеновых лучей,
называются рентгеновскими
трубками. По устройству и
назначению рентгеновские трубки
разделяются на несколько
типов. Познакомимся с одним
типом трубок, именно — с
электронной рентгеновской
трубкой.
Электронная рентгеновская
трубка (рис. 232)
представляет собой цилиндрический,
обычно стеклянный, сосуд, из
которого воздух удален до
технически возможных
пределов (давление газа в трубке
достигает Ю-6 мм рт. ст. и ниже). В трубку введены два
металлических электрода. Один электрод называется катодом (/С),
другой — анодом (А).
Чтобы электрический ток смог пройти через трубку} необходимо
предварительно позаботиться о создании свободных электронов
внутри ее. С этой целью катоду придается специальное устройство,
состоящее из двух проводников п и пу к концам которых
присоединяется вольфрамовая нить или спираль накала. Отдельно спираль
накала наиболее распространенной формы изображена на
рисунке 232, б (на рис. 232, а спираль не видна: она скрыта
окружающим ее фиксирующим приспособлением т).
Пользуясь понижающим трансформатором, пропускаем через
вольфрамовую спираль ток силой в 3—4 а. Под влиянием
указанного тока спираль нагревается до температуры, примерно, 2300° С.
При такой температуре накала в условиях почти совершенного
вакуума вольфрамовая нить испускает большое количество
электронов. Первое условие для получения рентгеновых лучей
осуществлено.
Остается еще придать электронам движение и их затормозить.
Заставить электроны двигаться в определенном направлении с
большой скоростью нетрудно, если включить трубку с накаленной
спиралью в цепь высоковольтного трансформатора; другими
словами, если подвести к полюсам трубки ток напряжением в
несколько десятков тысяч вольт (30—50 кв и выше). Тогда в те полупе-
247

риоды, когда анод заряжен положительно, отрицательно
заряженные электроны устремляются в сторону положительного
полюса — анода со скоростями, соизмеримыми со скоростью
световых лучей. Таким образом, второе условие для получения
рентгеновых лучей также выполнено. Наконец, летящие электроны,
встречая поверхность анода, тормозятся его веществом.
Следовательно, все три условия для получения рентгеновых лучей
осуществлены.
В результате процессов торможения электронов с тормозящей
поверхности анода распространяется рентгеновское излучение.
§ 3. БЕЛОЕ И ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
РЕНТГЕНОВСКОЙ ТРУБКИ
Подобно видимому свету рентгеновское излучение неоднородно.
Каждая рентгеновская трубка является источником волн,
различных по длине и по интенсивности. В зависимости от режима работы
трубки и ее устройства характер рентгеновского излучения может
существенно изменяться. Эти изменения
прежде всего связаны со скоростью движе-'
ния свободных электронов (напряжением
на полюсах трубки) и веществом анода (его
атомным номером).
При сравнительно низких напряжениях
электроны, не проникая в глубину
отдельных атомов вещества анода,
преимущественно тратят свою энергию на нагрев
анода, отчасти на излучение и пр.
Как показал анализ, такое излучение
состоит из множества следующих друг за
другом различных по длине и
интенсивности волн. По аналогии с видимым светом
оно называется белым излучением.
Состав белого излучения зависит от
приложенного к трубке напряжения
(скорости свободных электронов) и не зависит
от вещества анода.
С повышением напряжения на полюсах
трубки скорости электронов в промежутке
катод — анод возрастают, достигая
значений, при которых летящие электроны в
состоянии проходить электронные уровни
атомов анода. Тем самым, атомам сообщается
некоторая дополнительная энергия. Эту
привнесенную энергию атомы анода в той
или иной мере возвращают окружающему
пространству в форме ряда волн,
характерных по своим длинам только для данною
типа атомов. Возникающие здесь волны оп-
W№ worn itЛ
Рис. 233. Спектр
молибденового анода
при 35 кв на трубке;
Ха и Ц—наиболее
интенсивные длины
волн
характеристического излучения
248

ределенных длин составляют характеристическое излучение
рентгеновской трубки.
•Состав характеристического излучения зависит от вещества
анода (его атомного номера) и не зависит от величины
приложенного к трубке напряжения.
На рисунке 233 показан спектр молибденового анода при 35 кв
на трубке. Высокие пики, наложенные на плавную кривую спектра
белых лучей, соответствуют длинам волн }** и лр
характеристического излучения.
Каждая рентгеновская трубка может рассматриваться как
источник двух, независимых друг от друга, излучений — белого и
характеристического. Однако подбором определенных условий
работы по своему желанию можно получать либо существенно белое,
либо существенно характеристическое излучение. Важность
последнего становится очевидной, если, забегая несколько вперед,
указать, что одни этапы рентгеноструктурного анализа рассчитаны на
применение белых лучей, другие же, наоборот, —
характеристических.
В практике структурного анализа несравненно чаще
используются характеристические лучи. Это связано с тем, что в случае
применения таких лучей нам заранее известны длины волн. Так, при
железном аноде в расчет могут приниматься следующие длины
волн: Яа= 1,9379 А, Яр= 1,7565 А; при медном: *,«= 1,5424 A, Zp =
= 1,3922А* и т. д. Мы видим, что характеристическое излучение
рентгеновской трубки практически приближается к
монохроматическому.
§ 4. ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ
(ВЫВОД ОСНОВНОЙ ФОРМУЛЫ]
Чтобы установить тождественность природы рентгеновых и све-
товых лучей, необходимо было обнаружить для первых явления
отражения, преломления и т. д. Однако долгое время этого доказать
не удавалось.
В 1912 г. Лауэ высказал предположение о соизмеримости длин
волн рентгеновых лучей с межатомными расстояниями в
кристаллических постройках. Из оптики известны явления дифракции
лучей. Эти явления заключаются, между прочим, в том, что лучи,
проходя сквозь оптическую дифракционную решетку, постоянная
которой соизмерима с длинами волн падающих лучей,
отклоняются от своего первоначального пути по ряду избранных
направлений.
Согласно своей гипотезе, Лауэ предложил воспользоваться
кристаллами как естественными трехмерными дифракционными
решетками для анализа рентгеновых лучей. Схема соответствующего
опыта изображена на рисунке 234. Здесь А и В — ширмы с узким
7 *■ £ ки??иксах (1^Х=1,00202А) те же длины волн равны: для железа:
К -1,9340 kX; Лр =1,7530 kX\ для меди: Ка -1,5393 kX; Ц =1,3894 kX.
249

So
Рис. 234. Опыт Лауэ
отверстием, пропускающие
пучок белых рентгеновых
лучей S0, К — кристалл, F —
фотографическая пластинка,
помещенная за кристаллом.
Применение этой пластинки
основывается на том, что
рентгеновы лучи, подобно
видимым лучам,
воздействуют на ее
светочувствительный слой.
Длительность опыта до
стигала нескольких часов. После .проявления фотографической
пластинки на ней, помимо центрального пятна 0, связанного с
лучами, не отклонившимися от первоначального направления S0,
обнаруживается серия пятен (/, 2,...), соответствующих
отклонившимся лучам (Sb S2,...).
Лауэ в том же 1912 г. теоретически обосновал явление
дифракции рентгеновых лучей в кристаллах.
Однако более просто и изящно явление дифракции, сведенное к
«отражению» рентгеновых лучей кристаллическими гранями,
истолковали в 1912 г. независимо друг от друга английский ученый
В. Л. Брэгг и крупнейший русский кристаллограф Г. В. Вульф
(1863—1925). Обратимся к выводу этой основной формулы.
Пусть (рис. 235) i, 2, 3,... — взаимно параллельные плоские
(атомные) сетки кристалла; d — кратчайшее расстояние между
двумя такими сетками; S0—направленный на сетки пучок
монохроматических (с длиной волны Я) рентгеновых лучей; 9 — угол, при
котором лучи данной длины волны (Я) «отражаются» от данной
системы сеток (d)\ S\ — пучок отраженных рентгеновых лучей.
Если в дифракционном направлении Si наблюдается
отраженный пучок, значит лучи Sj_b S^, Sj_3,..., отклоненные сетками /,
2, 3,..., усиливают друг друга. Последнее по законам интерференции
возможно, если разность хода (Д) лучей пучка Si равна целому
числу длин волн:
Д = /гЯ,
где п — порядок отражения, равный /, 2,3,...
Остается вывести правую часть основной формулы.
Опустив из А на S0-2 и Si_2 перпендикуляры Ар и Aq, находим
& = рВ + Вд = 2рВ.
Из прямоугольного треугольника АрВ следует:
рВ = АВ sin 6 = d sin 6.
Таким образом:
Д — пК = 2d sin 6,
где Д — разность хода отклоненных лучей, п — порядок отражения,
250

Рис. 235. К выводу формулы Брэгга — Вульфа
л —длина волны рентгеновых лучей, d—межплоскостное
расстояние, 8 — угол, при котором данная длина волны «отражается» от
данной системы сеток. Относительно углов падения или отражения
углы 8 являются дополнительными до 90° *.
Напишем формулу Брэгга — Вульфа для разных порядков
отражения:
Я = 2d sin 8i —'первый порядок,
2К = 2d sin 82 — второй порядок,
3% = 2d sin 83 — третий порядок и т. д.
Поделив почленно написанные уравнения, придем к закону
отражения рентгеновых лучей от серии плоских сеток:
sin8i:sin82:sin83.:. = 1,2,3,...
Рентгеновы лучи данной длины волны «отражаются» от данной
грани (системы атомных сеток) кристалла под углами 8ь 8г, 6з-,
отношение синусов которых равно отношению простых целых чисел.
Выведенная формула, или уравнение Брэгга — Вульфа, лежит в
основе всего рентгеноструктурного анализа. Например, при
известных К (характеристическое излучение) и экспериментально
найденных углах 8 определяются значения:
d _ К
п 2 sin 8'
§ 5. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОБОСНОВАНИЕ ЗАКОНА ОТРАЖЕНИЯ
РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ ОТ СИСТЕМ АТОМНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ КРИСТАЛЛОВ
Вслед за открытием дифракции рентгеновых лучей В. Л. Брэгг
и У. Л. Брэгг экспериментально обосновали закон отражения
рентгеновых лучей от систем атомных плоскостей кристаллов.
* Иногда угол 6 называют «углом отблеска» (А. К. Болдырев).
251

1-ч|.1.|.|.|| '
Рис. 236. Опыт Брэггов
Схема опыта, на основании которого был утвержден
упомянутый закон отражения и были определены первые, структуры
кристаллов, изображена на рисунке 236.
Достаточно крупный кристалл К помещался на специальный
однокружный гониометр (спектрометр Брэгга) так, чтобы одна из
граней его располагалась параллельно вертикальной оси
гониометра. Путем вращения горизонтального лимба L вместе с кристаллом
вокруг вертикальной оси прибора можно было устанавливать
выбранную грань под различными углами относительно узкого пучка
характеристических рентгеновых лучей So.
Применение монохроматических лучей в данном случае
допустимо, поскольку поворотами кристалла выбранную грань всегда
можно привести в отражающее положение.
Для улавливания отраженных лучей применялась особая, так
называемая ионизационная камера /, вращающаяся вокруг той же
вертикальной оси гониометра. Действие ионизационной камеры
основано на свойстве рентгеновых лучей вызывать ионизацию
газов и тем самым превращать их в проводники электричества.
Камера состоит из свинцового цилиндра, внутрь которого введены
электроды тип, включенные в цепь аккумуляторной батареи Л. Внутри
камеры находится воздух или другой какой-нибудь более тяжелый
газ (например, ксенон или криптон).
Отраженные рентгеновы лучи могут проникнуть внутрь камеры
через отверстие f, закрытое алюминиевой фольгой, пропускающей
лучи. Проникновение лучей в камеру сопровождается ионизацией
газа. Ионизированные газы способны пропускать электрический
ток. Таким образом, электрометр Е будет регистрировать ток в
аккумуляторной цепи лишь тогда, когда в камеру проникают
рентгеновы лучи.
252

Чем больше возникло в газе заряженных частиц, тем сильнее
ток, и наоборот.
С другой стороны, количество заряженных частиц в газе прямо
пропорционально интенсивности рентгеновых лучей, проникших в
камеру.
Следовательно, пользуясь ионизационной камерой, возможно
устанавливать факт присутствия рентгеновых лучей и измерять их
интенсивность. '
Улавливая ионизационной камерой отраженные от грани
кристалла лучи, Брэгги показали, что отражение наступает не при
любых, а при некоторых определенных углах 0i, 62, 9з,... между
падающими лучами и гранью. Взяв отношение синусов этих углов, придем
к знакомому уже закону отражения рентгеновых лучей (стр. 251).
Сказанное поясним примером. От грани куба (100) КС1 рентгеновы
лучи с длиной волны Я=0,5876А отражаются под углами:
в4 = 5°23',
92= 10°49',
6з= 16°207.
Отсюда:
sin6i:sin 62:sin63 = sin5°23':sin 10°49':sin 16°20' =
= 0,094:0,188:0,281 = 1:2:3.
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НАЧАЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ О РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫХ
ИССЛЕДОВАНИЯХ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ПЕРВЫЕ РЕНТГЕНОСТРУКТУРНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Теоретические и экспериментальные исследования в облаете
дифракции рентгеновых лучей в кристаллах (Предопределили бурное
развитие структурного анализа.
Уже в 1912 г. Брэгги на основании своих опытов расшифровали
структуры ряда кристаллических «веществ.
Познакомимся на примере меди с одной из таких первых рент-
геноструктурных расшифровок.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТРУКТУРЫ МЕДИ ПО МЕТОДУ В. Л. БРЭГГА И
У. Л. БРЭГГА
Медь образует (Кристаллы кубической сингонии с гранями куба
{100} ромбо-додекаэдра {ПО}, октаэдра {111} и др.
Известно, что к кубической сингонии принадлежат три решетки
Бравэ — кубическая примитивная (Р), кубическая объемноцентри-
рованная (/) и кубическая гранецентрированная (F). Выясним, ка-
25а

ким образом удалось установить для меди тип решетки Бравэ,
выражающей в данном случае структуру Си. С этой целью, поместив
хорошо образованный и достаточно крупный кристалл меди на
брэгговский спектрометр, изучим последовательно отражения
монохроматических рентгеновых лучей от граней куба, ромбо-додекаэд-
ра и октаэдра (для решения задачи трех указанных граней вполне
достаточно). При этом во внимание принимаются лишь наименьшие
углы: 0ЮО, бпо и 9ш, при которых наблюдаются отражения от
граней (100), (ПО) и (111). Оказалось, что такие наименьшие углы 9,
отвечающие первым порядкам отражения, соответственно равны;
eioo=n°23,f eiio=i60i3/ и еш=905г.
Далее обратимся к формуле Брэгга—Вульфа (п= 1):
К = 2dm • sin Gioo; * Я = 2d но • sin 9ц0
и К = 2diii-sin8iu.
Отсюда
1 1 1
sin бюо: sin 8но: sm 9Ш = —-: —: —
«юо duo dm
или после подстановки:
sin H°23':sin 16°13,:sin9051/ = 0,1974:0,2793:0,1711 =
0,2793 0,1711
1:
0,1974*0,1974
= 1:1,41:0,87.
Остается теперь сравнить эти отношения, найденные опытным
путем, с аналогичными отношениями, теоретически вычисленными
для Р-, /-, f-кубических решеток.
Простая кубическая решетка. На рисунке 237, а представлена
кубическая элементарная ячейка с ребром а. Здесь для примера,
Рис. 237. Простая кубическая решетка (а), сетка (001) (б) и сет
ка (ПО) (в)
254

помимо сеток куба, изображены сетки ромбо-додекаэдра (ACGE)
и октаэдра (BGE и АСН). На рисунке 237, б, где на плоскости куба
ABCD показаны следы интересующих нас плоских сеток, видно, что
кратчайшие расстояния между сетками куба
АВ == dioo = Щ
между сетками ромбо-додекаэдра
У2
Для решения вопроса о расположении ближайших и
параллельных BGE сеток октаэдра обращаемся к рисунку 237, в, где на
диагональной плоскости BDHF «представлены следы перпендикулярных
ей сжтаэдричеоких сеток BGE и АСН.
Как видно из рисунка, плоскости эти делят телесную диагональ
куба FD на три равные части. Таким образом, кратчайшие
расстояния между октаэдрическими сетками равны одной трети телесной
диагонали куба, т. е.
ai3 a
FN = NK=KD = dm = —— = —.
з уз
Итак, для Р-кубической ячейки вычислены следующие
межплоскостные расстояния для сеток куба, ромбододекаэдрами октаэдра:
а а*
dioo = а\ duo = ~r=z; dm = -z=.
У2 УЗ
Отсюда
1 11 1 V2 УЗ л — —
— :—:—=—:—:—=1:У2:УЗ= 1:1,41:1,73.
^100 "НО "111 CL CL CL
* Оказывается, для простой кубической решетки
dhkl = г ZZ7" у
у № + & + /2
где h,k,l — индексы плоских сеток.
Докажем это положение для случая двух индексов (hk).
Пусть на рисунке 238 точками показан участок кубической плоской сетки и
пусть кратчайшие расстояния между точками отвечают параметру а.
Возьмем некоторую систему плоских сеток с символом (hk). Пусть й = 3,
a k=2. Отдельные плоские сетки этой системы с межплоскостным расстоянием
й обозначены на рисунке прямыми линиями. Заметим, что данные плоские сетки
на кристаллографических осях отсекают отрезки, соответственно равные 7з и У2
(или 2/з и 1, или 1 и 3/г и т. д.) от величины параметра.
Теперь нетрудно решить, что;
а а
АС = —; AD = —.
h k
255

3— N-p
I \ \ \ \
Рис. 239. Объемноцентрированная кубическая решетка (а), сетка (001) (б)
и сетка (ПО) (в)
Сравнивая эти отношения с приведенными ранее
экспериментальными данными (1 : 1,41 :0,87), замечаем, что структура меди не-
соответствует простой кубической решетке.
Объемноцентрированная кубическая решетка. Из рисунка 239,
сходного с рисунком 237, выясняется, что через объемноцентрирую-
Таким образом,
°°-Vr&<i)'-Y-ir+±
\
Рис. 238. К выводу
зависимости
dhkl = "
У hi + & + Р
С другой стороны, из подобия треугольников
СВА и CAD следует:
АВ AD
AC DC
а
а
h
откуда
У-г
Л2 + £2
*=■
Уь2 + &
256

щий узел /, лежащий в плоскости ромбо-додекаэдрических сеток,
проходят дополнительные сетки <куба и октаэдра, делящие пополам
прежние межплоскостные расстояния куба и октаэдра в Р-ячейке.
Таким образом, в данном случае:
Итак, для /-кубической ячейки:
111 2 yF 2V3~ ft ,- ,-
—: :— = —:—:—— ==2:У2:2уз =
"юо rfno dm a a a
Y2" —
= 1:*—:уз = 1:0,71:1,73.
Приведенные выше экспериментальные данные (1:1,41:0,87)
не соответствуют вычисленным результатам, что опровергает
/-вариант для структуры меди.
Гранецентрированная кубическая решетка. Остается еще
рассмотреть межплоскостные расстояния в гранецентрированной
кубической решетке, элементарная ячейка которой изображена на
рисунке 240, а.
Через гранецентрирующие узлы, лежащие в плоскостях октаэд-
рических сеток, проходят дополнительные сетки куба и ромбо-до-
декаэдра.
Таким образОхМ, в данном случае:
Рис. 240. Гранецентрированная кубическая решетка (а), сетка
(001) (б) и сетка (110) (в)
9-3681 257

Итак, для F-кубической ячейки:
111 2 2У2" УЗ" п п .— ,—
Т~:Т-:Т- = — :~^—:J— = 2:2У2:УЗ =
cliOQ ацо wni а а а
= 1:У2":4г= 1:1,41:0,87.
Как видим, ряд последних отношений совпал о опытными
данными (1:1,41:0,87). Отсюда заключаем: структура меди
выражается кубической гранецентрированной решеткой.
•Переходим к определению величины ребра кубической
элементарной ячейки—параметра решетки а структуры меди.
Брэгги для этой цели воспользовались известными формулами,
выражающими «вес» элементарной кубической ячейки: пМт и
а3р, где п — число атомов, приходящихся на одну элементарную
ячейку, М — атомный вес (для меди М = 63,57), т — вес атома
водорода, равный 1,64-Ю-24 г, а — ребро элементарного куба, р —
плотность (для меди р = 8,96). В случае гранецентрированной
ячейки л=4 (каждый из 8 атомов, находящихся в вершинах параллеле-,
пипедальнои ячейки, одновременно .принадлежит восьми таким же
ячейкам; каждый из 6 атомов, расположенных в центрах граней
ячейки, — двум ячейкам; т. е.
п = 1/8Х8+1/2Х6=4).
Отсюда
пМт = а3р,
з з
_ у пМт _ у 4-63,57-1,64-10~24 _
= 3,6-Ю-8 см = 3,6Л (см. рис. 261).
Так в абсолютных единицах были впервые определены
межатомные расстояния в кристаллах (и измерены длины волн рентгеновых
лучей). Помимо того, первые структурные расшифровки показали,
что в узлах пространственных решеток могут находиться не только
молекулы, 1как это предполагалось ранее, но также обособленные
атомы и ионы.
§ 2. РЕНТГЕНОФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ
Вещество, выбранное для структурного изучения, нередко
нуждается в (контрольном определении. Это (последнее часто
осуществляется путем привлечения рентгенографической методики, именно
рентгенофазового анализа, сводящегося как раз к определению
кристаллических веществ по дифракционным эффектам
характеристических лучей, полученных от мелкозернистых объектов. К подоб-
258

ной методике (Дебай, Шеррер —
1916 г. и Хелл—1917 г.)
обращаются не только при фазовом,
в частности, рентгеноминералоги-
ческом анализе, но также при
решении отдельных задач, доведен- _j££^a£^^T^-4ftl S
ных, порой, до полных структур- S0—^
ных расшифровок.
Итак, рентгенофазовый
анализ может рассматриваться как
первый или, во всяком случае,
предварительный этап многих
структурных исследований.
В смысле выбора объекта рас- Ри«- 241- Раствор конуса отраженных
сматриваемая методика универ- лучеи равен 4е
сальна. В самом деле, металлы
и их сплавы, представленные обычно беспорядочными
скоплениями кристаллических зерен, большинство тонкозернистых
химических осадков, размельченные пробы многих горных пород,
минералов и кристаллов одинаково пригодны для анализа.
Размельчение проб (размеры зерен порошка не должны
превышать 10_3 мм), как правило, не вызывает затруднений.
Далее из порошка, пригодного для зарядки, приготовляют
объект обычно в виде цилиндрического столбика (длина 1—3 мм,
диаметр 0,1—1,0 мм) или небольшого шарика, или спрессованной
пластинки. При изготовлении цилиндрических объектов порошок чаще
всего наносится на покрытую клейким веществом тонкую
стеклянную нить.
Таким образом, для анализа может быть использовано
ничтожное количество вещества, вплоть до одной крупинки, по размерам
не превышающей булавочной головки.
Обратимся теперь к объяснению получающихся при этом
дифракционных картин.
Пропустим через цилиндрический объект /С, состоящий из
беспорядочно расположенных мелких кристаллических зерен, узкий
пучок параллельных монохроматических рентгеновых лучей с длиной
волны Я (рис. 241) *.
Пусть в каком-нибудь зерне некоторая система атомных сеток
1—1 с межплоскостным расстоянием d\ составляет с пучком
падающих лучей S0 такой угол 6ь при .котором данная длина волны Я,
согласно уравнению nX=2dsin6, «отражается» от сеток 1—1.
Обозначим отраженный луч через А\, При этом ZS/Ci4i = 26i.
Очевидно, в порошке найдется другое зерно, где аналогичная
система сеток I1—I1 будет располагаться симметрично. Луч,
отраженный этой системой, будет также образовывать с 50 угол 26i.
Однако в порошке найдется множество кристалликов, в которых
* Применение характеристического излучения обусловлено множеством углов
скольжения—-порошок состоит из множества как угодно ориентированных
кристаллических зерен.
9*
259

системы сеток, аналогичные системам 1 — 1 или Г—I7, дают с
направлением первичных лучей углы вь Ясно, что лучи, отраженные
такими сетками, будут в совокупности образовывать конус
отраженных лучей с углом раствора 46ь
Вспомним теперь, что аз кристалле, помимо сеток с d\,
существует множество других систем плоских сеток с иными
межплоскостными расстояниями d2, d3, rf4,... Обратимся, например, к сеткам с d2.
Из формулы Брэгга—Вульфа вытекает, что при «постоянной
длине волны изменение величины d влечет за собой и изменение угла 8.
Таким образом, лучи, отраженные от сеток, с d2 будут образовывать
новый конус лучей с раствором в 46г. Сетки с межплоскостным
расстоянием d3 дадут третий конус и т. д. В результате объект
окажется в вершине вставленных друг в друга дифракционных конусов,
общей осью которых является пучок падающих на объект лучей.
Число же таких конусов (при данном излучении) зависит от числа
различных по межплоскостным расстояниям du d2, d3y... систем
атомных сеток, эффективно участвующих в отражении.
На плоской фотографической пленке F, расположенной за
объектом .перпендикулярно пучку рентгеновых лучей 50,
дифракционные конусы дают ряд концентрических окружностей вокруг
центрального пятна снимка — места пересечения неотклоненного -пучка
So с F (рис. 242). Однако при таком расположении пленки
улавливаются лишь конусы с углами раствора в 46, меньшими 180°.
Поэтому целесообразно изменить условия опыта, окружив объект
фотопленкой по 'поверхности цилиндра (ось цилиндра пленки должна
совпадать с осью объекта). При этом дифракционные конусы почти
любых углов раствора могут уже .пересекаться с пленкой.
Очевидно, в результате таких пересечений каждый дифракционный конус
даст на пленке две линии (дужки), симметрично расположенные
относительно первичного пучка. Каждая пара линий будет являться
следом пересечения конуса с цилиндрической -поверхностью.
Для исследования порошков применяются специальные
рентгеновские камеры. Расположение пленки и ход лучей в одной из таких
камер показаны на рисунке 243. Здесь D — диафрагма,
вырезающая в направлении объекта К узкий пучок параллельных монохро-
Рис. 242. Получение рентгенограммы порошка при
плоской фотопленке
260

V
2' 1' 1
з s|_
3[ 2* 19 1 2 3
) l (o°) ) Г
JF/
Рис. 243. Получение рентгенограмм порошка на цилиндрической
фотопленке при FFi — симметричном и PPi — асимметричном
размещении пленки
матических рентгеновых лучей SG; 40ь 402, 403,... — углы раствора
дифракционных конусов, пересекающихся с цилиндрической
пленкой FFX или (РРХ) по парным следам 1—1, 2—2, 3—3,...; О
—отверстие в пленке для выхода лучей, прошедших объект без отклонения.
По способу размещения (закладки) пленки в камере обычно
различают симметричное и асимметричное размещение лленки.
При симметричном размещении пленки (FFX на рис. 243)
парные линии располагаются симметрично относительно центра
рентгенограммы. При асимметричном размещении пленки (РР{)
отмеченная выше симметрия в расположении линий нарушается
(здесь О1 —отверстие в .пленке для ввода диафрагмы). Второй
способ размещения пленки, по сравнению с -первым, обладает
известным преимуществом (стр. 263).
Каждую рентгенограмму порошка можно характеризовать
числом и взаимным расположением линий, а также оценкой степени
почернения линий (одни линии выражены ярче, другие —слабее).
Заметим, что то почернению линий судят об относительных интен-
сивностях лучей, дифрагированных объектом..
Вид рентгенограммы порошка прежде всего зависит от
внутреннего строения—структуры вещества. Следовательно, переход от
одного вещества к другому —от одной структуры к другой
—приводит, отри .прочих равных условиях, к новым снимкам,
отличающимся друг от друга и числом, и расположением, и относительными ин-
тенсивностями линий.
26!

inn ii id и 111 n
II I Ill II Id И 11 III 11IIII ШТТП
6
Рис. 244. Схемы рентгенограмм порошков:
а — алмаза; б — графита
В качестве иллюстрации приведем на рисунке 244 схемы
рентгенограмм алмаза (а) и графита (б). Мы видим, что рентгенограммы
этих двух веществ одинакового химического состава резко
отличаются друг от друга. Таким образом, рентгенограмму порошка
можно рассматривать как своеобразную фотографическую карточку
вещества. Если заранее составить набор рентгенограмм — эталонов,
то определение любого неизвестного вещества сведется к
установлению идентичности между снимком неизвестного вещества и
соответствующим снимком эталона. В таком сравнении
(идентификации) рентгенограмм и заключается сущность фазового, в частности,
рентгеноминералогического анализа.
Практически удобнее сравнивать между собой не
рентгенограммы, на дифракционный рисунок которых влияют условия работы
(длины волн падающих на объект лучей, диаметр пленки и объекта
и т. п.)* а не зависящие от условий эксперимента результаты
расчета снимков. Ниже приводим одно из описаний сокращенной схемы
расчета рентгенограмм порошка (при симметричном размещении
пленки).
Таблица 15
Сокращенная схема расчета
1
№
2
/о
3
2е мм
4
е°
5
sin 0°
6
djnA
L В первый вертикальный столбец расчетной таблицы 15
вписываем номера нар симметричных линий, начиная от центра
рентгенограммы (1, 2, 3,... на пленке jFjFi, рис. 243).
2. Во второй столбец таблицы (/0) вписываем значения
относительных интенсивноетей линий, найденные визуально, например, по
пяти- или десятибалльной шкале.
3. В третий столбец таблицы (2е мм) вписываем промеры
расстояний между симметричными линиями снимка в мм (или вдвое
меньшие значения — е мм).
Для 'измерения снимков обычно пользуются компараторами или
линейками с полумиллиметровыми делениями. Край линейки
совмещается с экваториальной линией снимка, и промеры берутся от се-
262

редины линии до середины парной линии (по толщине). Точность
промеров колеблется в пределах 0,1—0,2 мм. Рентгенограмма
промеряется несколько раз и в третий столбец таблицы окончательно
вписываются средние значения из нескольких .промеров *.
4. В четвертый столбец таблицы (6е) виисываются значения
углов 6, определяющиеся из пропорции
2 емм 46°
nDp 360°
где Dp — расчетный диаметр пленки **.
Отсюда
90°
6 =■——2 емм
nDv
или, положив
окончательно находим
= *.
в° = к2емм.
Для определения углов 6е необходимо и достаточно все промеры
(2е мм) умножить на некоторый коэффициент k (при Dp~57,3 мм
коэффициент k равен 7г, т.е. 6°=!/2 (2емм) или в°=емм.
Например, в этом случае значению е = 26,40 мм соответствует угол 6°=
=26°24'; значению е = 31,18 мм — угол е°=31°11' и т. д.).
Замечание. Вычисленные таким образом углы 6е подлежат
исправлению. Однако способы введения поправок здесь не
рассматриваются.
5. В пятый столбец таблицы (sin 6е) вписываются синусы
углов 6°.
6. Шестой столбец таблицы (d/nA) содержит значения rf/nA,
найденные по известной формуле
Д = пк = 2 d sin 6,
* При асимметричном снимке {РР\ на рис. 243) во внимание принимают
значения е мм, определяющиеся следующим образом.
Начальный индекс линейки устанавливается на одну какую-нибудь хорошо
выраженную линию в интервале ОРх снимка, например, на линию Л. После чего
по линейке отсчитывают промеры от линии V- до всех линий 1, 2, 3 ... в интервале
О—О1. Теперь для определения значений еи е2, е3,..., очевидно, достаточно из
найденных промеров извлечь половину соответствующего промера (в данном случае
** При асимметричной закладке пленки D'p определяется непосредственно по
рентгенограмме. В самом деле, рассматривая пленку РР\ на рисунке 243, видим,
например, что сумма промеров (У1—51) +[(/х—5) — (Л—/)] = л£>Р.
263

откуда
d/П:
2 sinG°
где Я — длина волны монохроматического излучения.
d
Величины — по углам 8 обычно находят по имеющимся
■специальным таблицам.
На основании приведенного расчета для каждого вещества
составляется табличка с двумя колонками цифр — /0 и dfnA. Такими
табличками-паспортами, являющимися числовыми
характеристиками веществ по рентгенометрическим данным, пользуются обычно
при фазовом анализе. В качестве примера приведем числовые
характеристики пирита (FeS2 — кубическая оингония) и марказита
(FeS2 — ромбическая сингония) по данным Г. А. Ковалева:
Парит FeS2 Марказит FeS2
/о
2
8*
8*
у*
6*
10*
3
4
6*
3
4
4
5*
6*
dfnh
1 3,102
2,696
2,417
2,206
1,908
1,629
1,560
1,498
1,444
1,239
1,208
1,179
1,103
1,040
dfnA
4
10*
8*
8*
2
6*
10*
2
3
3
5*
3
5*
4
2
2
3
- 4
i 3,428
2,690
2,412
2,314
2,051
1,908
1,754
1,720
1,689
1,673
1,593
1,499
1,428
1,365
1,209
1,204
1,190
1,164
Как видно из данных таблиц, числовые характеристики пирита
и марказита достаточно своеобразны и не могут быть смешаны друг
с другом.
Так же анализируются и смеси нескольких соединений. На
рентгенограмме смеси проявляются линии (в первую очередь наиболее
яркие) кристаллических компонентов, входящих в смесь в
количествах, как правило, не менее 3—5%. Эти компоненты могут быть
определены по рентгенограмме. Задача по определению
компонентов смеси часто решается по следующей схеме.
А. Подготовительный этап. 1. Сбор эталонного
материала—числовых характеристик всех фаз, (Присутствие которых в
данном образце вероятно. При этом широко используются
литературные источники. В случае необходимости эталоны изготовляются
специально.
264

2. Выделение характеризующих комплексов линий для всех
эталонных числовых характеристик.
В характеризующий комплекс линий снимка вещества входят
линии, относительные интенсивности которых равны или
превышают среднее значение (на приведенных выше числовых
характеристиках пирита и марказита линии характеризующих комплексов
отмечены звездочками).
3. Выделение определяющих комплексов линий для всех
эталонных числовых характеристик.
Определяющий комплекс линий снимка вещества состоит из
тех линий его характеризующего комплекса, которые при данном
наборе эталонов не перекрываются линиями других
характеризующих комплексов.
Б. Получение рентгенограммы образца и
расчет общей числовой характеристики.
В. Определение фазового состава образца путем
сопоставления общей числовой характеристики объекта, в первую
очередь, с определяющими и характеризующими комплексами
линий эталонов (на основании относительных интенсивностей линий
можно приближенно судить и о количественных взаимоотношениях
компонентов).
Таким образом, внедрение в практику столь важного для науки
и техники рентгенофазового анализа непосредственно зависит от
полноты имеющегося под рукой сравнительного эталонного
материала.
Существующие наборы объединяют уже тысячи эталонных
числовых характеристик. В частности, в Советском Союзе
сотрудниками Ленинградского Горного института под руководством проф.
А. К- Болдырева (1883—1946), начиная с 1932 г., выпускается
эталонный материал по минералам. Наиболее крупной, в своем роде
уникальной работой этой серии явился вышедший в 1957 г.
«Рентгенометрический определитель минералов» -проф. В. И. Михеева
(1912—1956), содержащий эталонные числовые характеристики
более 900 минералов.
В 1965 г. вышел в свет 2-й том «Определителя» с
характеристиками 300 новых минералов, составленный В. И. Михеевым и
Э. П. Сальдау (под редакцией И. В. Михеевой). Пользуясь
«Ключом» данного «Определителя», можно вести рентгеноминералогиче-
ский анализ даже в тех случаях, когда об исследуемых минералах
ничего, кроме их числовых характеристик, неизвестно.
Подчеркнем преимущества рассмотренного анализа:
1. Документальность анализа.
2. Простота анализа.
3. Объект — порошок.
4. Необходимо ничтожное количество вещества.
5. Вещество может сохраняться.
6. Сложность химического состава не оказывает влияния на ход
анализа.
265

В заключение отметим, чтоб последние годы возможности рент-
генофазового анализа особенно углублены благодаря развитию ди-
фрактометрической методики (ионизационной регистрации
отражений). Именно таким путем многие относящиеся сюда задачи
находят сейчас более быстрое и точное решение.
§ 3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛОВ ПО ЛАУЭГРАММАМ
Если вид симметрии кристалла неизвестен, то определение или
проверка такой «макросимметрии» обычно составляет первый этап
собственно структурного анализа.
При решении задачи часто обращаются к лауэграммам,
получающимся улавливанием на плоскую фотопленку или пластинку волн
белого рентгеновского излучения, дифрагированных неподвижным
монокристаллом (применение белого излучения — множества длин
волн Л — обусловлено ограниченным количеством углов
скольжения). Схема опыта Лауэ (1912) была показана на рисунке 234.
Дифракция происходит вследствие того, что для каждой серии
участвующих в отражении сеток кристалла в пучке белого
рентгеновского излучения S0 находятся длины волн, удовлетворяющие
формуле Брэгга — Вульфа. Получающиеся на ориентированной
перпендикулярно к So «пленке F пятна группируются по эллипсам,
параболам, гиперболам и прямым.
В специальных курсах показывается, что на один эллипс, одну
параболу и т. д. ложатся пятна, соответствующие лучам,
«отраженным» от плоскостей одной зоны (пояса). Форма зональной кривой
зависит от угла наклона оси зоны к направлению падающих на
кристалл лучей. На рисунке 245, а представлена схема рентгенограммы
сфалерита (получена в 1912 г.). Несколько зональных кривых того
же снимжа показаны отдельно на рисунке 245, б.
Рис. 245. Схема лауэграммы сфалерита (ZnS); лучи параллельны £/4
266

Ц(1) Lz(2) L3(3) ЦМ L6(6)
Рис. 246. Типы симметрии лауэграмм
Пятна отличаются друг от друга не только положением на
рентгенограмме, но и яркостью — интенсивностью почернения. При этом,
как правило, наиболее яркие пятна соответствуют плоскостям
малых индексов. *
Заметим, что лауэграмма отображает симметрию кристалла в
направлении проходящих лучей. Если, например, четверная ось
симметрии кристалла устанавливалась параллельно пучку
направленных на него лучей, то пятна лауэграммы по своему расположению
будут подчиняться этой четверной симметрии и т. д.
С точки зрения симметрии расположение пятен на снимках
лауэграммы .-подразделяется на 10 типов в соответствии с десятью
видами симметрии плоскостной кристаллографической симметрии
(рис. 246 и 139).
Первые пять «видов симметрии содержат по одной из возможных
в кристаллах поворотных осей симметрии, остальные пять,—
помимо тех же осей, еще по соответственному числу плоскостей
симметрии, (проходящих через каждую такую ось. Таким образом, по
лауэграммам (по одной или нескольким, полученным при разных
ориентировках одного и того же кристалла) можно судить о
симметрии кристаллов.
Однако .возможность отнесения кристалла к одному из 32 видов
симметрии при этом ограничивается тем, что по дифракционным
картинам нельзя заключить о присутствии или отсутствии центра
инверсии. Это обстоятельство снижает число различимых случаев
дифракционной симметрии до 11, соответственно одиннадцати
видам симметрии, содержащим С. Например, для кристаллов
ромбической сингонии — L22P(mm2); 3L2(222); 3L23PC(mmm) —на
основании лауэграмм приходим к полносимметричному
(голоэдрическому) виду 3L23PC (к элементам симметрии кристалла всегда как бы
прибавляется центр инверсии).
Обратимся теперь <к вопросу, каким образом осуществляется
переход от лауэграмм к привычным нам гномостереографическим
267

Ъ'~
к
N |
'^ Р
Р 1 ,
D N
Рис. 247. К выводу связи между
углами Вир
проекциям кристалла. Для этого рассмотрим рисунок 247, где S0 —
первичный пучок белых рентгеновых лучей, падающих на
кристалл К; F — фотопленка; О — след лучей, прошедших кристалл без
отклонения; ABC— одна из серий атомных сеток, образующих с S0
угол 6; N — нормаль к этим сеткам. От сеток ABC лучи
определенных длин волн «отражаются» и действуют на фотопленку в точке L.
Угол OBL равен 2G.
Для перехода к стереографической проекции нормали N к ABC
необходимо вскрыть связь между ее сферическими координатами
(ф, р) и углом 8.
Пусть прямая S0O совпадает с направлением в кристалле,
принимаемым за ось (Проекций. В таком случае угол OBN,
образованный нормалью N и направлением S0O, отвечает полярному
расстоянию р. Кж видим, этот же угол может быть выражен через 90°—6,
т. е. р = 90°—6.
Итак, для определения одной сферической координаты (р) не-*
обходимо и достаточно знать угол 0.
По лауэграмме угол 6 легко определить, если измерить
расстояние пятна L от центра снимка О. Обозначим это расстояние через /.
Тогда из треугольника LOB найдем:
tg29 = -A
где D — известное нам расстояние между кристаллом и
фотопленкой F.
Другая сферическая координата <р определяется
непосредственно по снимку, измерением угла между двумя его диаметрами.
Один из таких диаметров, принимаемый за нулевой,
проводится через какое-нибудь характерное пятно лауэграммы и центр
снимка. Второй же диаметр проводится также через центр лауэграммы
и пятно, отвечающее сетке, координаты которой определяются.
Отметим, что стереографическая проекция нормали к взятой
сетке лежит на том же диаметре, что и данное пятно, но по другую
сторону от центральной точки О.
268

Переход от лауэграмм ж проекциям отражающих плоскостей
осуществляется обычно с целью определения симметрии кристаллов
и их ориентировки относительно первичного пучка лучей So.
На практике особенно часто приходится встречаться с последней
задачей, поскольку «правильное положение кристалла является,
как увидим, необходимой предпосылкой для успешного проведения
экспериментов, связанных с вращением (колебанием) кристалла в
процессе экспозиции.
Подчеркнем, что этим в круг объектов, пригодных для полного
структурного изучения, вовлекаются не только отдельные
ограненные кристаллы, но также бесформенные кристаллические зерна и
осколки кристаллов, вовсе лишенные следов какой бы то ни было
огранки.
§ 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАЗМЕРОВ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ И ТИПА
РЕШЕТКИ БРАВЭ
Для определения размеров элементарной ячейки и типа решетки
Бравэ монокристальных объектов, а также для решения других
вопросов, вплоть до установления координат атомов, привлекается
структурно-универсальный «метод вращающегося кристалла» и
особенно его многочисленные разновидности. В основу метода
вращающегося кристалла, разработанного в 1919—1922 гг., положен
принцип спектрометра Брэгга (стр. 252).
Узкий .пучок монохроматических рентгеновых лучей So
направляется на кристалл /С, вращающийся во время опыта (рис. 248) *
(применение характеристического излучения обусловлено
множеством углов скольжения — кристалл вращается). Однако
отражающиеся от атомных сеток лучи (bu b2, b3, bi) улавливаются иным
способом. Вместо ионизационной камеры обычно берется свернутая в
виде цилиндра фотопленка F, окружающая кристалл. При этом
улавливаются отражения не только от сеток, параллельных оси
вращения О, но также и от сеток,
расположенных под углом к О.
Оказывается, что при полном повороте на
360° вертикальная сетка (сетка, параллельная
оси вращения кристалла) четыре раза
становится в положение отражения.
Последнее выясняется из рисунка 249, а, на
котором представлена стереографическая
проекция сетки А\А2, параллельной оси вращения
О, изображенной в центре круга проекций. При
* Здесь и ниже предполагается, что ось вращения
кристалла перпендикулярна направлению первичного
пучка лучей Sq.
Рис. 248. Постановка
опыта вращающегося
кристалла
269

Рис. 249. Проекции отражающих сеток
вращающегося кристалла
повороте вокруг О сетка А\А2 четыре раза окажется в таком
«отражающем» положении (под углом 6 к So).
Обозначим эти попарно, через 180°, совпадающие положения
через А\—А2(А2—А\) и А3—Л4 (Л4—Л3). Очевидно, от вертикальной
> сетки при ее вращении на экваториальной линии снимка
появляются два пятна (например, пятна а\ и а2 на рисунке 250),
симметрично расположенных относительно центра рентгенограммы. Другая
вертикальная сетка может дать на той же экваториальной линии
другую пару пятен и т. д.
Иначе ведет себя косо расположенная относительно оси О
сетка ВХВ2 (см. рис. 249, б). В четырех «отражающих» положениях
(под углом 6 к S0) В\—В2\ В3—В4; Въ—В6; В7—В8 она отбрасывает
два луча в верхнюю часть рентгенограммы — от В\—В2 и Вг—В4 и
два луча — в нижнюю часть рентгенограммы — от Вь—В6 и В7—В8
(например, пятна Ьи Ъ2у &3, ^4 на рисунке 250).
Другая наклонная сетка может дать другую четверку пятен,
также симметрично расположенных относительно центра снимка, и т. д.
Таким образом, при полном повороте кристалла на 360° можем
получить от сеток, .параллельных оси вращения, по два пятна, а от
косо ориентированных сеток по четыре «пятна на снимке.
На цилиндрической -пленке пятна рентгенограмм вращения
располагаются по прямым линиям. Линии эти называются слоевыми.
Через центр снимка проходит нулевая слоевая линия. Выше л ниже
нулевой линии располагаются +■/, +2,..., —1, —2,... слоевые линии.
Номер слоевой линии равен одному и^ индексов дифракционного
символа сетки при условии, если вращение происходило вокруг
одной из кристаллографических осей кристалла. Например, при
вращении вокруг -оси Z на нулевой слоевой линии располагаются пятна
hko, на плюс первой — hkl, на плюс второй — hk2 и т. д.
Расстояния между слоевыми линиями (у) при постоянных
условиях эксперимента зависят от периода идентичности
•—трансляции (Т) вдоль атомных рядов, параллельных оси вращения.
Выведем формулу для определения периода идентичности (Г).
270

-+ 1-*—j-H-I H- + 2
+ - yl -J- - -+ ~ -h + 1
- 4 e-l—н-1-l 1 2
Рис. 250. Схема рентгенограммы
вращения
Пусть АВ один из рядов, параллельных оси вращения кристалла
с периодом идентичности Т (рис. 251, а). И пусть под углом а к
направлению .первичных лучей 50 (/, 2,...) имеют место отклоненные
лучи Si (/', 2\...), образующие пятно а на некоторой п слоевой
линии (рис. 251, б). Опустив из А на В2' перпендикуляр АС, находим
разность хода лучей V и 2', равную Д: /
Д = ВС = пХ = Т sin a.
Далее, обозначив радиус цилиндрической пленки через R, а
расстояние п слоевой линии от нулевой через уп получаем:
Уп
следовательно,
tga=v
пК=Т sin arctg -£-.
s R
Отсюда окончательно
, Уп
sinarctg —
ё R
где п — номер слоевой линии.
Если вращение кристалла происходило вокруг одной из его
кристаллографических осей, то найденный таким путем период
идентичности Т является соответствующим параметром решетки. Вот
почему столь .важно правильно ориентировать кристалл в «камерах
вращения».
В качестве примера возьмем ромбический кристалл в форме
кирпичика. Кристаллографические оси, как известно, проводятся
здесь параллельно большим, средним и малым взаимно
перпендикулярным ребрам.
Путем вращения кристалла вокруг оси, параллельной самым
длинным ребрам, получаем рентгенограмму, позволяющую судить
о межатомных расстояниях вдоль этих ребер.
271

Рис 251. К выводу формулы:
Т «
sin arctg
Уп
Придав кристаллу другую ориентировку так, чтобы ось
вращения совпадала с направлением, параллельным его средним по
величине ребрам, получаем вторую рентгенограмму. Этот снимок дает
понятие о расстояниях между атомами вдоль средних ребер
кристалла.
Наконец, получаем третью рентгенограмму, совместив с осью
вращения направление, параллельное наименьшим ребрам
кристалла. Соответственно находим межатомные расстояния вдоль этих
ребер. Таким образом, в результате трех последовательных вращений
выясняем значения периодов идентичности вдоль трех
непараллельных ребер.
В случае точных установок кристалла в камере найденные
периоды являются параметрами решетки, позволяющими судить о
размерах элементарного параллелепипеда.
Одна из возможностей определения типа решетки Бравэ
поясняется на том же примере. Элементарная ячейка ромбической
решетки может быть не только примитивной Ру но и объемноцентрирован-
ной / и гранецентрированной F, и центрированной по паре граней,
например, С (стр. 227). Для проверки этих центрированных
вариантов /, F, С обращаемся к дополнительным вращениям
кристалла.
Вариант 1. Кристалл дополнительно вращается вокруг
телесной диагонали элементарной ячейки. Если при этом величина
периода идентичности окажется равной целой диагонали (а не
половине ее), вариант / отпадает.
Варианты F и С. Кристалл последовательно вращается
вокруг гранных диагоналей. Если при этом величина периода идентич-
272

ности окажется равной половине гранной диагонали, грань
центрирована.
Подобный путь определения размеров элементарной ячейки и
типа решетки Бравэ распространяется на кристаллы любых син-
гоний.
В практике рентгеноструктурного анализа периоды идентичности
Т нередко находятся иначе. Именно, полное вращение кристалла
на 360° заменяется колебанием (качанием) его обычно в пределах
5—25°.
Получающиеся рентгенограммы колебания в общем близко
напоминают рентгенограммы вращения, но содержат на тех же
слоевых линиях меньшее количество пятен. Уменьшение числа
пятен связано с тем, что ряд отражающих положений атомных сеток,
благодаря малым углам колебания, выпадает из рассмотрения. При
этом, естественно, нарушается симметрия снимка вплоть до полного
исчезновения элементов симметрии (L22P — mm2) рентгенограммы
полного вращения- *
Однако, если плоскость симметрии перпендикулярна оси
вращения кристалла, а также есть плоскость симметрии, параллельная
оси вращения, или ось четного наименования объекта (в среднем
положении колеблющегося кристалла) совпадает с направлением
первичного пучка лучей,— рентгенограмма колебания отображает
соответственную симметрию, достигающую в предельных случаях
симметрии рентгенограмм вращения.
Следовательно, рентгенограммы колебания, подобно
лауэграммам, могут служить для улавливания элементов симметрии.
Помимо этого, благодаря уменьшению количества пятен рентгенограммы
колебания, по сравнению с рентгенограммами вращения, легче
поддаются расчету.
Наконец, при более полных рентгеноструктурных исследованиях
достаточно сложных объектов обычно обращаются к рентгенгонио-
метрическим методам, при которых вращение кристалла синхронно
сопряжено с поступательным движением пленки.
Достоинства последней схемы очевидны. Действительно, при
обычном методе вращающегося кристалла всегда возможно
наложение дифракционных эффектов, порожденных различными
плоскостями объекта. При рентгенгониометрических методах благодаря
одновременному и согласованному движению пленки и кристалла
подобные наложения исключаются, и каждое пятно на пленке
представляет собой след лучей, отраженных от системы плоскостей
вполне определенного символа.
Таким образом, перед рентгенгониометрической методикой
прежде всего открываются следующие возможности: 1) полное и
определенное индицирование рентгенограмм; 2) определение
относительных интенсивностей лучей, отраженных теми или иными
плоскостями объекта.
Полученные таким образом сведения позволяют устанавливать
законы погасаний (при определении федоровских пространственных
групп симметрии) и изучать относительные интенсивности дифра-
273

гированных кристаллом лучей (при определении координат
атомов) *.
В настоящее время для структурного анализа кристаллов
широко привлекаются также методы электронографических и нейтроно-
графических исследований **.
*Бокий Г. Б. и Порай-Кошиц М А. Практический курс рентге-
ноструктурного анализа, т. 1. Изд-во МГУ, 1951.
Порай-Кошиц М. А. Практический курс рентгеноструктурного анализа,
т. II. Изд-во МГУ, 1960.
** Вайнштейн Б. К. Структурная электронография. Изд-во АН СССР,
1956.

§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Кристаллохимия изучает связь
между атомным строением
(структурой) кристаллов и их химическими,
физическими и геометрическими
свойствами. Таким образом, в основу
этого раздела должны быть
положены точные сведения о
пространственном расположении атомов в
кристаллических телах. Отсюда ясно, что
современное развитие
кристаллохимии во многом связано с открытием
дифракции рентгеновых лучей в
кристаллах (1912). Подробное
изложение этой непрерывно и интенсивно
развивающейся научной дисциплины
выходит за рамки настоящего
руководства. С каждым годом
появляются здесь новые исследования и
обобщения, все более расширяющие и
углубляющие прежние данные.
Из всех разделов
кристаллографии кристаллохимия является
наиболее юным. До структурного
анализа — экспериментального изучения
структур кристаллов — имелись
лишь разрозненные наблюдения и
требующие проверки гипотезы.
Многие современные крупнейшие
ученые посвятили себя разработке
кристаллохимических проблем.
Конечной целью таких исследований
должна явиться практическая
возможность получения любых
кристаллических тел с наперед заданными
свойствами путем выявления связи
между структурой кристалла и его
физико-химическими особенностями.
Значение кристаллохимических
закономерностей не ограничивается
пределами кристаллографии.
Законы кристаллохимии лежат также в
основе науки о поведении атомов в
земной коре — геохимии, на которой,
в частности, базируется учение о
рудных месторождениях.
Исключительную роль играет кристаллохи-
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
КРИСТАЛЛОХИМИЯ
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ОСНОВНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
275

мия и в современной химии и минералогии, объясняя свойства
веществ и устанавливая принципы их рациональной классификации.
В ряде высших учебных заведений Советского Союза на
геологических и химических факультетах кристаллохимия преподается
как отдельная самостоятельная дисциплина. Желающих детальнее
ознакомиться с ней отсылаем к специальным сводкам и
руководствам *.
§ 2. ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
С давних пор известны многочисленные попытки связать
внешнюю форму кристаллов с их внутренним строением и химическим
составом. Напомним, например, 'прием заполнения пространства
шаровыми частицами, примененный еще И. Кеплером, Р. Гуком и
М. В. Ломоносовым при объяснении кристаллических форм.
Читатель знаком также и со старинной теорией Гаюи, согласно
которой всем кристаллам одинакового состава соответствуют
одинаковые по форме молекулы, тогда как кристаллам различного
состава соответствуют различные их формы. Иными словами:
каждое химическое соединение обладает своим строением — своей
структурой.
В первой четверти XIX в. Э. Митчерлих (1794—1863) открыл
явления полиморфизма и изоморфизма, с первого взгляда казалось
бы -противоречащие положению Гаюи.
Полиморфизм заключается в свойстве одного и того же
вещества кристаллизоваться в разных структурах (стр. 310). Например,
углерод кристаллизуется и в виде кубического алмаза, и в виде
гексагонального графита.
В свою очередь, прямо противоположный полиморфизму
изоморфизм заключается в особенности различных, хотя и сходных по
составу, веществ кристаллизоваться в близких, подчас геометрически
тождественных структурах (стр. 307).
Полное выяснение и увязка всех этих вопросов стали
возможными лишь после опытного изучения структур.
До применения рентгеноструктурной методики относящиеся
сюда исследования сводились к установлению зависимости между
формой кристаллов и их составом. Внутренняя структура вещества
практически оставалась недоступной. Только первые успехи рент-
геноструктурного анализа, замечательные достижения которого тес-
* Б о кий Г. Б. Введение в кристаллохимию. Изд-во МГУ, 1954.
Б о кий Г. Б. Кристаллохимия. Изд-во МГУ, 1960.
Белов Н. В. Структура ионных кристаллов и металлических фаз. Изд-во
АН СССР, 1947.
Белов Н. В. Кристаллохимия силикатов с крупными катионами. Изд-во
АН СССР, 1961.
Соболев В. С. Введение в минералогию силикатов. Изд-во Львовск. гос.
ун-та, 1949.
Китайгородский А. И. Органическая кристаллохимия. Изд-во
АН СССР, 1955.
Григорьев Д. П. Основы конституции минералов. М., «Недра», 1966.
276

но связаны с 230 федоровскими пространственными группами
симметрии, обеспечили кристаллохимическим идеям необычайно
быстрое и глубокое развитие.
§ 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КРИСТАЛЛОВ ПО СИНГОНИЯМ
Огромный фактический материал, собранный Е. С. Федоровым
и приведенный в его таблицах по кристалл охимическому анализу
(«Царство кристаллов»), позволил обнаружить более или менее
ясно выраженную связь между химическим составом и симметрией
кристаллов. Вот что пишет Федоров в одной из своих статей (1914):
«... можно заключить, что с упрощением состава вообще связано
повышение симметрии...» *.
Аналогичные высказывания принадлежат и немецкому
кристаллографу П. Гроту (1843—1926). Сейчас отмеченный выше закон
известен под именем закона Федорова — Грота.
Согласно этому закону, в большинстве случаев простому
химическому составу вещества соответствует высокая симметрия его
кристаллов. И наоборот, чем сложнее состав, тем обычно ниже
симметрия. Наиболее высокой симметрией, как известно, обладают
кристаллы кубической и гексагональной сингоний. Отсюда следует
ожидать, что большинство веществ простейшего состава будет
кристаллизоваться именно в этих сингониях.
Действительно, кристаллы химических элементов часто
являются либо кубическими, либо гексагональными (медь, серебро,
платина, золото и пр. кристаллизуются в кубических кристаллах; углерод
образует две модификации: кубический алмаз и гексагональный
графит и т. п.). Наоборот, сложные соединения чаще относятся к
низшим сингониям. Таковы, например, триклинные и моноклинные
полевые шпаты, моноклинные слюды и ряд других веществ весьма
сложного химического состава.
Характерно, что среди органических соединений почти
отсутствуют вещества, кристаллизующиеся в кубической сингоний.
Последнее, несомненно, связано с обычно сложным составом органических
продуктов. Однако существуют и исключения из этого правила.
Например, известны элементы, кристаллы которых принадлежат
низшим сингониям (ромбическая и моноклинная сера и др.)-
Поскольку вещества сложного состава преобладают над
простыми, следует ожидать большего количества кристаллов низших
сингоний по сравнению с кристаллами средней и высшей категорий.
Нижеследующая таблица на примере минералов с твердо
установленными видами симметрии подтверждает сказанное **.
* «Энциклопедический словарь». Гранат, 7-е изд., т. 25, термин
«Кристаллография» (стр. 615).
** Поваренных А. С. О закономерностях в распределении минеральных
видов по сингониям, классам симметрии и пространственным группам.
Минералогический сб. Львовск, гос. ун-та, 1966, № 20, вып. 3.
Шафрановский И. И. Симметрия в мире минералов. Сб. «Проблемы
кристаллохимии минералов и эндогенного минералообразования». Л., «Наука»,
277

Таблица 16
Распределение минеральных видов по сингониям
^/
Сингония ^s^
^s^ Вид
у^ симметрии
Триклинная . . .
Моноклинная . . .
Ромбическая . . .
Тригональная . . .
Тетрагональная . .
Гексагональная . .
Кубическая ....
2
ный
я
Я
! S
Я
р 1
12
—
—
6
2
7
5
| 32
ный
л
СЗ
pt,
Е-
х
76
—
1 —
22
23
26
30
177
*
2
я
л
ч
Й
И
СЗ
^
С
1
28
! 34
20
1
13
33
129
2
д
•^
СЗ
к
о
<
14
32
11
13
8
1
79
й
о
«
СЗ
К
СЗ ,з
351
213
84
72
43
102
865
и классам симметрии
н
ноны й
О CQ
ЕЕ я
О Е*
о-я
CJ g
и а
If
—
—
—
3
—
—
3
К Е
О ее
К Л
О с;
ЛсЗ
£ X
£ «
S в
—
—
—
17
6
—
23
2
88 (6,5%)
393 (30%)
279 (21%)
143(11,5%)
131 (10%)
103 (8%)
171 (13%)
1308(100%)
Как видим, наибольшее количество минералов принадлежит
моноклинной сингонии, а среди видов симметрии на первом месте
по количеству минералов стоит L2PC(2/m). Еще нагляднее
демонстрируется закономерное падение числа минералов при разбивке
последних не на отдельные сингонии, а на три категории — низшую,
среднюю и высшую:
Категория Число (%)
Низшая категория 760(57,5)
Средняя категория 377(29,5)
Высшая категория 171(13,0)
Выше указывалось, что успешное развитие кристаллохимии
стало возможным только после применения рентгеновых лучей для
структурного анализа кристаллов, т. е. после 1912 г. Ознакомимся
вкратце с основными достижениями в этой области.
§ 4. АТОМНЫЕ И ИОННЫЕ РАДИУСЫ
Как известно, атомы состоят из положительных ядер,
окруженных отрицательно заряженными электронными оболочками.
В случае неравенства зарядов ядра и электронной оболочки
имеем отрицательно или положительно заряженные частицы — ионы
(отрицательно заряженный ион называется анионом,
положительно заряженный — катионом). В дальнейшем следует учитывать, что
между разноименно заряженными частицами, помимо притяжения,
действуют также и силы отталкивания. Последние имеют место при
тесном сближении ионов, когда их одноименно заряженные
(отрицательные) электронные оболочки приходят в непосредственное
соприкосновение и до известной степени даже переплетаются друг
с другом.
278

Грубо говоря, взаимное притяжение двух ионов происходит до
тех пор, пока силы притяжения и силы отталкивания не окажутся
уравновешенными. Ясно, что расстояния между центрами
сгруппированных в кристаллических структурах частиц будут определяться
взаимодействием указанных сил.
В связи с неодинаковым строением атомов и ионов различных
химических элементов неодинаковы и силы их взаимодействия, а
вместе с тем и взаимные расстояния между ними. Вот почему
вещества различного химического состава кристаллизуются в различных
структурах.
При изучении той или иной структуры кристалла обращают
внимание на расстояния между структурными единицами (ионами,
атомами и пр.). В связи с этим существенно установить те минимально
допустимые расстояния, на которые могут приблизиться друг к
другу две такие структурные единицы. С этой целью мысленно
каждому атому или иону приписывают некоторую сферу действия, внутрь
которой никакие другие атомы или ионы проникать не могут. Такая
сфера действия носит название атомной или ионной сферы, а ее
радиус — атомного или ионного эффективного радиуса (не
смешивать эффективный радиус с расстоянием наружной электронной
оболочки атома или иона от ядра).
Эффективный атомный (ионный) радиус (ниже просто радиус)
равен минимальному расстоянию, на которое центр сферы данного
атома (иона) может приблизиться к поверхности сфер соседних
атомов (ионов). Не касаясь иных систем радиусов, остановимся
лишь на отдельных примерах вычисления атомных (металлических)
и ионных радиусов.
Атомные радиусы. Вычислим, например, атомный
(металлический) радиус меди. Выше (стр. 256) было показано, что структура
меди выражается кубической гранецентрированной решеткой с
параметром а=3,6, или точнее — 3,61А (рис. 252).
Прежде всего находим кратчайшее расстояние между атомами
меди в ее структуре, равное половине гранной диагонали
элементарной ячейки:
А±А3 ayl
Л1Л2 = = .
2 2
Именно в этом направлении (ЛИз) атомные сферы меди
максимально сближены. Очевидно, что для вычисления атомного радиу-
al/2
с а меди (гси) достаточно кратчайшее расстояние ЛИ2 =
поделить пополам:
«УТ 3,61 X 1,414
гол = —— = = 1,28
4 4
(при координационном числе 12).
279

Рис. 252. Сетка куба в структуре Рис. 253. Сетка куба в структурах
меди типа поваренной соли (А —
катион; X — анион)
Ионные радиусы. Познакомимся на примере метода Ланде
(1920) с первыми определениями ионных радиусов *.
К 1920 г. накопился уже значительный фактический материал по
межатомным расстояниям в кристаллах, в том числе и по
межионным расстояниям в веществах, кристаллизующихся в структурном
типе NaCl (рис. 253). Рентгеноструктурный анализ дал для этих
веществ величины параметра а. При этом половина параметра,
соответствующая расстоянию АХ, является суммой радиусов катиона
(га) и аниона (гх):
АХ = га + гх.
Остается установить, какие части АХ приходятся на
составляющие га и гх.
Заметим, что диагональ ХХХЪ может быть приравнена 40* при
условии взаимного соприкосновения анионных сфер,
расположенных вдоль нее. Как же убедиться в том, что в направлении ХхХг
осуществляется контакт анионных сфер?
Выберем среди исследованных соединений, относящихся к
структурному типу NaCl, два вещества с равными анионами и разными
катионами, например MgO и МпО.
На основании рентгенометрических данных расстояния между
ионами равны:
Mg —0 = 2,10,
Мп — 0 = 2,24.
Отсюда заключаем: для катионов — ион марганца больше
соответствующего иона магния. Помимо того, неравенство межионных
расстояний (2,10 и 2,24) показывает, что замена меньшего иона
магния на больший ион марганца сопряжена с раздвижкой всей
структуры (возрос параметр).
Следовательно, в данном случае диагональ Х\Х2 не может быть
приравнена четырем анионным радиусам.
Далее была взята другая пара аналогичных по структурному
типу соединений — MgSe и MnSe. По данным рентгеноструктурного
* Детальное развитие этого вопроса дается в работах Л. Паулинга «Природа
химической связи», Госхимиздат, 1947 и А. С. Поваренных «Вопросы теории
координационного числа атомов в кристаллах», зап. Минералог, об-ва, ч. 88, вып. 4,
1959.
280

анализа, расстояния Mg—Se и Mn—Se для обоих соединений
оказались равными 2,73. Сравнивая данные по обеим парам
соединений, заключаем:
1. Увеличение межионных расстояний (с 2,10 и 2,24 до 2,73)
показывает, что ионы Se крупнее ионов 0.
2. Равенство полупараметров второй пары соединений (2,73)
говорит о том, что величина анионов Se обусловливает уже такие
пустоты, при которых замена Mg на Мп (и наоборот) не
сопровождается раздвижкой (или сжатием) структуры. Последнее же может
быть объяснено лишь контактированием анионных сфер в
направлении Х\Хз. На этом основании возможно считать диаметр X\Xz
равным четырем радиусам двухвалентного селена. Отсюда
М 2,73 уТ
(при координационном числе 6).
Теперь нетрудно установить и другие ионные рад%сы.
Например, из соединения CaSe, также кристаллизующегося в структурном
типе NaCl, с полупараметром Са—Se=2,97, находим
гСа2+ = 2,97—1,93= 1,04.
Наконец, из подобного же соединения СаО при расстоянии
Са—О = 2,38 приходим к ионному радиусу кислорода
г02- = 2,38 — 1,04 = 1,34 и т. д.
В настоящее время пользуется распространением система
ионных радиусов, в основу которой положен ионный радиус кислорода
/Чг~= 1,36 А (Н. В. Белов, Г. Б. Бокий, 1954).
Рассматривая структуру кристалла как совокупность
соприкасающихся между собой атомных (ионных) сфер, мы тем самым
сталкиваемся с чисто геометрической задачей о плотнейшей упаковке
(укладке) шаров, радиусы которых равны радиусам атомных
(ионных) сфер.
§ 5. ПЛОТНЕЙШИЕ УПАКОВКИ ШАРОВ
Рассмотрим случай, когда вся структура построена из
одинаковых структурных единиц. Такому случаю соответствуют
кристаллические структуры простых веществ. Все атомные сферы здесь
должны обладать одинаковыми радиусами. Поэтому приходится
рассматривать задачу об упаковке равных шаров.
Слойность упаковки. Задача плотнейшей упаковки равных
шаров имеет бесконечное количество решений, однако наиболее
просто равные шары можно сложить плотнейшим образом двумя
способами. Разберем подробно эти две плотнейшие упаковки.
Покроем горизонтальную плоскость слоем соприкасающихся
между собой одинаковых шаров, достигнув наиболее плотного их
размещения.
281

Рис. 254. Расположение шаров в Рис. 255. Расположение шаров в двух
одном слое (представлено сечение - слоях
слоя, проходящее через центры
шаров)
Начнем с шара Ах (рис. 254). Приложим к нему шар Л2 так,
чтобы он коснулся Ах. Третий шар Л3 вклинится между А\ и Лг, причем
«центры трех шаров Ль Л2 и Л3 расположатся в виде правильного
треугольника. Продолжая такое построение до бесконечности,
получим весь первый слой. На рисунке 254 представлено сечение этого
слоя, проходящее через центры шаров. Обратим внимание в этом
сечении на треугольные лунки (отверстия) между шарами. В
построенном слое различаются два типа таких лунок — М и //. Лунки
типа М обращены одной из трех вершин вверх, в то время как
одна из трех вершин лунок типа N смотрит вниз. Легко сообразить,
что число всех лунок вдвое превышает число шаров. Один шар
окружен шестью лунками; каждая лунка окружена тремя шарами;
следовательно, на один шар приходится по 7з от каждой лунки, т. е.
всего (УзХб) две лунки — из них одна лунка типа М, другая — N.
Покрывая теперь первый слой шаров вторым таким же слоем,
кладем новый исходный шар В\ в любую из лунок первого слоя М
или N (рис. 255). Остальные шары второго слоя располагаются
вокруг шара В\ так же, как шары первого слоя вокруг А\ (нижние
шары на рисунке показаны пунктирными, верхние — сплошными
кружками). Отметим, что все шары второго слоя, занимая лишь
половину лунок, укладываются в лунки одного типа (М или N)
соответственно тому, в какую именно лунку (М или N) был положен
шар Вх.
При наличии только двух слоев — первого и второго — разница
в расположении шаров по лункам М или N не играет роли, так как
путем поворота на 180° в плоскости чертежа лунки М займут
положение лунок N и наоборот. Вместе с тем на рисунке 255,
изображающем совокупность двух шаровых слоев, видим, что второй слой,
располагаясь над первым, образует два резко отличных рода лунок.
Одни из них (Т) отвечают несквозным отверстиям, находясь над
центрами нижележащих шаров первого слоя. Другие же (О),
отвечая сквозным отверстиям, расположены над лунками первого слоя.
282

+
©
+
4
©
+
©
f
©
4
©
+
©
+
©
+
©
+
©
4
©
©
f
©
Рис. 256. Плотнейшая гексагональная - упаковка
шаров:
а — общий вид; б — центры шаров, лежащих в трех
слоях (белые кружки — центры шаров первого слоя,
крестики — второго, точки — третьего)
В связи с этим укладку шаров третьего слоя можно осуществить
двояким путем, помещая их либо в несквозные лунки Г, либо в
сквозные лунки О.
Повторяя вышележащие слои в указанных порадках, приходим
как раз к двум самым простым плотнейшим упаковкам *.
Случай, когда шары третьего слоя находятся над несквозными
лунками Т (над шарами первого слоя), соответствует плотнейшеи
гексагональной упаковке (рис. 256 и 257). В гексагональной
упаковке шары всех нечетных слоев лежат точно друг над другом. Так же
ведут себя и шары всех четных слоев.
Гексагональная упаковка характеризуется двумя
оригинальными слоями А й В (третий слой повторяет первый, четвертый —
второй и т. д.). На этом основании гексагональная упаковка иначе
называется двухслойной плотнейшеи упаковкой. Формула
гексагональной упаковки —... | АВ \ АВ |...
Случай, когда шары третьего слоя находятся над сквозными
тч2ЁЕЕ^
•
о
-f
•
о
•
о
+
•
о
+
•
о
•
о
-г
•
о
+
•
о
+
•
о
+
•
о
+
•
о
•
с
Рис. 257.
Плотнейшая
гексагональная
упаковка
Рис. 258. Плотнейшая кубическая
упаковка шаров:
а — общ'ий вид; б — центры шаров, лежащих в трех
слоях (белые кружки — центры шаров первого слоя,
крестики — второго, точки — третьего)
* Если вышележащие слои не повторяют порядка двух или трех
нижележащих слоев, получаем более сложные, но также плотнейшие упаковки, которые
здесь не рассматриваются. Число таких упаковок бесконечно велико.
283

Рис. 259. Плотнейшая кубическая упаковка Рис. 260. К подсчету
числа октаэдрических (О) и
тетраэдрических (Т)
пустот, окружающих
каждый шар плотнейшей
упаковки
8 лунками О, соответствует плотнейшей кубической упаковке
(рис.258).
Отметим, что в гексагональной упаковке повторяющиеся слои
разделены однослойными промежутками, в кубической —
двухслойными. Кубическая плотнейшая упаковка называется так потому,
что размещение шаров в упаковке совпадает с размещением узлов
в кубической гранецентрированной ячейке (рис. 259).
Кубическая плотнейшая упаковка характеризуется тремя
оригинальными слоям Л, В, С (четвертый слой повторяет первый,
пятый— второй, шестой — третий и т. д.). На этом
основании кубическую плотнейшую упаковку иначе называют
трехслойной плотнейшей упаковкой. Формула кубической
упаковки — ...\ABC\ABC\...
Десятки простых веществ имеют структуры, соответствующие
обеим разобранным упаковкам. Плотнейшая гексагональная
упаковка характеризует определенные структуры бериллия, магния,
кальция, стронция и т. д. Плотнейшая кубическая упаковка
характеризует структуры меди, серебра, золота и т. д.
Все остальные (по природе — гексагональные) плотнейшие
упаковки называются многослойными. Формула любой многослойной
упаковки также складывается тремя буквами — Л, В, С,
повторением, при разных сочетаниях, «гексагональных» (АВ) и «кубических»
(ABC) мотивов. При этом, очевидно, в формулах никакая новая
четвертая буква не возможна, и две одинаковые буквы не могут
располагаться рядом. Напишем несколько формул многослойных
плотнейших упаковок
« . • С\АВАС\А .-. четырехслойная упаковка,
. . ».В)АВСАВ\А -. пятислойная упаковка,
г.]. t. В\АВСАСВ\А » . одна из шестислойных упаковок и т. д.
до бесконечности.
284

Многие химические соединения могут рассматриваться как
упаковки обычно более крупных атомных сфер, в пустотах между
которыми находятся более мелкие сферы.
В связи с этим нельзя ограничиться лишь выяснением слойности
упаковки, необходимо еще остановиться на пустотах, заключенных
между шарами, образующими плотнейшую упаковку.
Пустоты плотнейшей упаковки. Шарами любых идеальных
плотнейших упаковок пространство заполняется на 74,05%. Таким
образом, немногим более четверти всего пространства принадлежит
пустотам.
Различают два рода таких пустот. Одни окружены четырьмя
шарами. Это так называемые тетраэдрические пустоты. Другие,
окруженные шестью шарами, называются октаэдрическими
пустотами (названия пустот определяются тем, что центры четырех шаров,
окружающих тетраэдр ическую пустоту, расположены наподобие
вершин тетраэдра, а центры шести шаров^окружающих октаэдри-
ческую пустоту, соответствуют вершинам октаэдра).
На п шаров плотнейшей упаковки приходится всего п октаэдры-
ческих и 2п тетраэдрических пустот. Это выясняется при
рассмотрении рисунка 255, где дано расположение шаров в двух слоях
плотнейшей упаковки. На рисунке октаэдрические пустоты О зачернены,
тетраэдрические Т — представлены светлыми треугольниками,
сплошными или пунктирными. (В образовании октаэдрической
пустоты участвуют шесть шаров упаковки — на рисунке три нижних
шара и три верхних, причем нижние шары повернуты относительно-
верхних на 60°. В образовании тетраэдрической пустоты участвуют
четыре шара — на рисунке один верхний и три нижних, или
наоборот, три верхних и один нижний.)
На рисунке отчетливо видно, что каждый ряд октаэдрических
пустот чередуется с двумя рядами тетраэдрических. К такому же
выводу нетрудно прийти иначе.
Любой шар каждой плотнейшей упаковки находится в соседстве
с двенадцатью шарами. Например, центральный пунктирный шар
на рисунке 260 окружен по гексагональному закону шестью
пунктирными шарами, к которым снизу и сверху примыкают по три
шара (на рисунке сплошными кружками изображена лишь верхняя
тройка шаров).
Буквами О и Г отмечены октаэдрические и тетраэдрические
пустоты. Всего, таким образом, шар плотнейшей упаковки окружен
шестью октаэдрическими (тремя верхними и тремя нижними) и
восемью тетраэдрическими (четырьмя верхними и четырьмя
нижними) пустотами. Но каждая октаэдрическая пустота окружена
шестью шарами, следовательно, на один шар приходится по 7б от
каждой октаэдрической пустоты, а всего (7еХ6)—одна
октаэдрическая пустота. В свою очередь, каждая тетраэдрическая пустота
окружена четырьмя шарами; следовательно, на один шар
приходится по 74 от каждой тетраэдрической пустоты, а всего (74X8) —две
тетраэдрические пустоты. В результате, на один шар плотнейшей
упаковки приходится одна октаэдрическая и две тетраэдрические
285

пустоты, а на п шаров — в п раз больше, что и требовалось
доказать.
Итак, более крупные (как правило) компоненты химических
соединений могут укладываться в структурах порой по весьма
однообразным законам плотнейших упаковок. Различия между
отдельными структурами заключаются не столько в них, сколько в
количестве и качестве заполненных пустот упаковок.
«По характеру анионов соответствующего «анионного моря», в
котором разыгрываются минералогические события, мы различаем
«мир» окислов, «мир» сульфидов, «мир» галогенидов. Все же
разнообразие минералогического мира внутри каждого из этих
крупных подразделений, вся «минералогическая игра» сводится к
распределению катионов по пустотам плотнейшей упаковки» *.
Примеры описания структур в терминах плотнейшей упаковки
рассматриваются ниже.
Признаки плотнейшей упаковки. В заключение отметим
некоторые основные признаки существования в структуре идеальной
шаровой упаковки.
1. Наличие плоских плотноупакованных слоев.
Перпендикулярно плотноупакованным слоям проходят тройные
оси симметрии упаковки. В кубической упаковке таких направлений
четыре (по числу систем плотноупакованных слоев), во всех
остальных — одно. Рекомендуется не смешивать тройные оси упаковки с
тройными осями симметрии всей структуры, хотя при
одновременном присутствии они и должны совпадать.
2. Размещение шаров плотноупакованного
слоя по лункам, образованным шарами соседних
слоев упаковки.
3. Равенство расстояний между центрами
ближайших шаров, взятых как в одном плотноупако-
ванном слое, так и в двух соседних слоях
упаковки.
Следует подчеркнуть, что при работе с конкретными
структурами чаще всего приходится принимать эти признаки с известными
оговорками и допусками. Например, в условиях студенческого
практикума «плотноупакованный слой» в структурной модели
фиксируется обычно без учета размеров атомов и решетки. На этом
основании в данном случае было бы точнее утверждать не факт
присутствия «плотноупакованного слоя», а лишь то обстоятельство, что
центры данных шаров-сфер расположены по местам центров шаров
плотноупакованного слоя и т. д.
§ 6. КООРДИНАЦИОННЫЕ ЧИСЛА И КООРДИНАЦИОННЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Число атомов (ионов противоположного знака), составляющих
ближайшее окружение данного атома (иона), называется его
координационным числом, а геометрическая фигура, получающаяся при
* Белов Н. В. Структура ионных кристаллов и металлических фаз." М,
1947, стр. 39.
286

соединении центров этих атомов (ионов) прямыми линиями, — его
координационным «многогранником».
В структуре меди — Си (рис. 261) каждый атом меди окружен
двенадцатью ближайшими к нему такими же атомами,
расположенными по вершинам кубооктаэдра. Например, к координационному
многограннику атома 1 относятся атомы 2, 2, 2 и другие, не
изображенные на рисунке атомы, отстоящие от него на расстоянии, равном
половине г ранной диагонали ячейки I —— J. Таким образам,
координационное число атома меди в ее структуре равно 12,
координационный многогранник— кубооктаэдр.
В структуре алмаза — С (рис. 262) каждый атом углерода тет-
раэдрически окружен четырьмя атомами. Например, к
координационному многограннику атома, находящегося в центре переднего
нижнего левого октанта, относятся четыре атома, занимающих
через одну четыре вершины этого октанта. Координационное число
атома углерода в структуре алмаза равно ^координационный
многогранник — тетраэдр.
В структуре графита — С (рис. 263) каждый атом углерода ок-'
ружен тремя атомами по треугольнику (другие атомы не входят в
ближайшее окружение). Координационное число атома углерода в
структуре графита равно 5, координационный
многогранник—правильный треугольник, в центре которого лежит координируемый^
атом.
В структуре поваренной соли — NaCl (рис. 264) вокруг каждого
иона натрия располагается по октаэдру шесть ближайших ионов
хлора, и наоборот, вокруг каждого иона хлора располагаются по
октаэдру шесть ближайших ионов натрия. Следовательно,
координационное число натрия в структуре NaCl равно 6>,
координационный многогранник:—октаэдр; координационное число хлора в той
же структуре равно 6, координационный многогранник — октаэдр.
В структуре хлористого цезия — CsCl (рис. 265) вокруг каждого
иона цезия располагается по гексаэдру восемь ближайших ионов
хлора, вокруг каждого иона хлора — также по гексаэдру — восемь
ближайших ионов цезия. Координационные числа атомов в струк-
Рис. 261. Структура меди Си
Рис. 262. Структура
алмаза С
287

т- 9
\ е
е
<
У
/
г
А
Г
V
г
*s
? ,/"
1.4
1
V
г
\у
£_
...
г
4
V
J
г
/
f
9
? ' '
к
Г
~_j
—^
\С-\
7
J
/
/
-п, J
/
л
Л
р f
/$
^>
• yVfl
с а
Рис. 263. Структура
графита С (7з элемен-
, тарной ячейки)
Рис. 264. Структура
поваренной соли NaCl
туре CsCl — 8 и 8, координационные многогранники — гексаэдр и
гексаэдр.
В структуре фтористого кальция— флюорита — CaF2 (рис. 266)
вокруг каждого иона кальция по гексаэдру располагается восемь
ионов фтора, вокруг каждого иона фтора по тетраэдру — четыре
иона кальция. Координационное число кальция в структуре
флюорита равно 8, координационный многогранник — гексаэдр;
координационное число фтора в той же структуре равно 4, координационный
многогранник — тетраэдр.
В структурах одному и тому же координационному числу могут
соответствовать различные координационные многогранники.
Например, координационному числу 4 — тетраэдр и квадрат,
координационному числу 6 — октаэдр и тригональная призма и пр.
Заметим, что если структуру простого вещества можно
представить в виде идеальной или несколько искаженной плотнейшей упа-
mcs ось
Рис. 265. Структура
хлористого цезия CsCl
Рис. 266. Структура флюорита
CaF2
288

а б д
Рис. 267. Схема, иллюстрирующая степень устойчивости структур:
а, г — более устойчивые; б, в — менее устойчивые варианты
ковки (например, структуры меди, магния и т. п.), то
координационное число в такой структуре равно 12, а координационный
многогранник — кубооктаэдр (кубический — Си или гексагональный —
Mg). Спрашивается, можно ли предвидеть координационные
многогранники и координационные числа в структурах кристаллических
веществ более сложного химического состава?
Оказывается, эта важнейшая задача находит сейчас более или
менее удовлетворительное решение лишь в области отдельных групп
вполне определенных соединений.
Взаимное расположение атомов зависит как от соотношения их
размеров, так и от числа и направления химических связей. В
кристаллах с ионной или металлической связью (ненаправленные
связи) основную роль играет соотношение размеров атомов (ионов).
На рисунке 267 показаны схемы, иллюстрирующие степень
устойчивости структур. Уменьшение размеров центрального атома (иона)
при сохранении размеров окружающих атомов (ионов) ведет к
понижению устойчивости структур (особенно за счет «болтанки»
центрального атома), вплоть до полной перегруппировки атомов с
изменением координационного многогранника (рис. 267, г).
В предположении несжимаемых шаров нетрудно теоретически
рассчитать для каждого координационного многогранника те
отношения радиуса центрального атома (иона) к радиусу окружающих
атомов (ионов), в пределах которых структура должна еще
обладать устойчивостью.
Переходя к рассмотрению примеров такой зависимости между
координационным многогранником и отношениями радиусов ионов,
условимся для простоты принимать во внимание как наиболее
жесткие лишь нижние пределы устойчивости структур *.
I. Координационный многогранник октаэдр (координационное
число 6).
Рисунок 268 представляет сечение октаэдра, проходящее через
центры четырех анионных сфер X (крупные шары),
перпендикулярно четверной оси симметрии.
В предположении одного из крайних случаев соприкасающихся
ионных сфер X и А диагональ X — А—X, очевидно, равна 2га +
4-2гх, где га — радиус катиона, а гх — радиус аниона. Таким
образом:
* Верхние пределы устойчивости находятся как величины, обратные нижним
пределам.
10—3681
289

."*
или
2ra + 2rx = 2rxy2,
Гх
■+1=V2,
откуда
= У2 — 1 =0,41.
Рис. 268. К определению
пределов устойчивости
структур с
координационным числом 6
Этим найден нижний предел
устойчивости структур при октаэдрическом
координационном многограннике. Верхний предел
равен
0,41
= 2,41.
Однако в найденных пределах 0,41—2,41 заключается еще интервал,
соответствующий гексаэдрическому координационному
многограннику. Обратимся к его вычислению.
2. Координационный многогранник гексаэдр (координационное
число 8).
Представим себе картину также соприкасающихся шаров, когда
меньшая катионная сфера А окружена восемью анионными
сферами X, расположенными по вершинам куба. В таком случае
телесная диагональ подобного куба слагается 2га+2гх. При этом
или
2га + 2гх = 2гхуЗ,
-+1=УЗ,
откуда
Гх
'= УЗ— 1 =0,73.
Найден нижний предел устойчивости структур при гексаэдриче-
ском координационном многограннике (верхний предел -— = 1,37).
Ниже приводятся некоторые значения таких пределов
Координационные
числа
2
3
4
б
8
12
Координационные
« многогранники»
гантель
треугольник
тетраэдр
октаэдр
ч гексаэдр
кубооктаэдр
от 0
от 0,115
от 0,225
от 0,414
от 0,732
1,00
до 0,115
до 0,225
до 0,414
до 0,732
до 1,000
290

Рассмотрим несколько примеров структур с ионной и металли-j
ческой связью.
Поваренная соль (NaCl). Ионные радиусы натрия и хлора со-|
ответственно равны:
ПЧа+
0,98;
га-= 1,81.
Таким образом, отношение
гх гС\- 1,81
= 0,54
заключается в пределах от 0,41 до 0,73 и тем самым может
свидетельствовать в пользу октаэдрического координационного
многогранника (координационное число 6), что в действительности и
имеет место (см. рис. 264).
Хлористый цезий (CsCl). Ионный радиус цезия равен 1,65.
Таким образом, отношение
га-
1,65
1,81
0,91
заключается уже в пределах от 0,73 до 1,00 и тем самым менее
вероятный здесь октаэдрическии координационный многогранник
уступает место гексаэдр ическому многограннику (координационное
число 8), что в данном случае также вполне согласуется с
действительностью (см. рис. 265). Этим объясняется несколько
неожиданный, казалось бы, переход от одного структурного типа к другому
в ряде рассмотренных соединений NaCl, CsCl и пр. (пример мор-1
фотропных превращений).
Ю*
Рис. 269. Расположение ковалентных связей,
создаваемых разными группами
электронов. Цифрами указано число связей
291

Медь (Си). Связь между атомами металлическая, атомы одного
сорта одинакового размера, отсюда стремление каждого
атома окружить себя максимальным числом соседей. Следовательно,
здесь мы должны ожидать координационное число 12,
координационный многогранник — кубооктаздр, что и имеет место в
действительности (см. рис. 261).
В кристаллах с преимущественно ковалентной связью
(направленная связь) при решении вопроса о взаимном расположении
атомов на первый план выступают конфигурации электронных
оболочек, набор электронов, участвующих в связи. В таблице 17 и на
рисунке 269 приведены примеры расположения ковалентных связей в
зависимости от сочетаний электронов *.
Таблица 17
Расположение связей у различных групп электронов
Группы электронов
sp или dp
jo2, ds или d2
S/?2
P3
dsfi или d%s2
sp$ или d^s
dispZ
rf2S/73
d*sp или d^p
язей
OB
о
ИСЛ(
IT
2
2
3
3
4
4
5
6
6
Расположение связей
Линейное или «гантель,»
Уголковое
Треугольное плоское
Треугольное пирамидальное
Квадратное
Тетр аэдрическое
Пятистороннее
Октаэдрическое
По вершинам тригональной
призмы
1ЦИ-
сло
х s
S ~
|8
Ы с
2
2
3
3
4
4
г>
6
6
В качестве примера структуры с ковалентными связями назо,-
вем структуру алмаза. Четыре ковалентных связи углерода в алма--
зе образуются группой электронов sp3, что соответствует тетраэдри-
ческой координации (см. рис. 262).
Вопросы, связанные с координацией атомов, приобретают
исключительное значение благодаря .влиянию их на решение проблемы
теоретического определения атомных расположений в
кристаллических структурах, проблемы устойчивости соединений, проблемы
химической связи и т. д.
Нередко координационные многогранники принимаются за
основную характеристику при классификации химических
соединений.
Отметим также, что координационные многогранники
(полиэдры) могут использоваться для изображения кристаллических
структур. На рисунке 270 представлены структурные типы поваренной
* Григорьев Д. П. Основы конституции минералов. М., «Недра», 1966.
292

Рис. 270. Полиэдрическое оформление структурных типов
поваренной соли NaCl {а) и флюорита CaF2 (б)
соли (NaCl) и флюорита (CaF2) в полиэдрах. Внутри каждого
полиэдра следует подразумевать катион, по вершинам — центры
анионов. Полиэдрический метод в кристаллохимии с успехом
применяется при изучении отдельных структур и, особенно, структурных
типов (Л. Полинг, Н. В. Белов).
ГЛАВА ПЯТНАДЦАТАЯ
СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ
§ 1. ОПИСАНИЕ МОДЕЛЕЙ СТРУКТУРЫ КРИСТАЛЛОВ
В программы практикума по кристаллохимическому разделу
кристаллографии прежде всего входит описание достаточно
простых и вместе с тем, по возможности, типичных структурных
моделей первоначального набора.
В учебной практике наибольшее распространение получил
следующий набор структур*: Си, Mg, a-Fe, С — алмаз, С — графит,
CsCl, NaCl, NiAs, ZnS — сф,алерит, ZnS — вюртцит, BN, CaF2,
CdCl2, CdJ2 (двух- четырех- и шестислойные модификации),
FeS2 — пирит, MoS2, Ti02 — рутил, Si02-p — кристобалит
высокотемпературный, С02, Си20, СаТЮ3.
Список этот нередко дополняется структурами шпинели —
MgAl204, кальцита Са[С03] и корунда А1203.
Вслед за первоначальным набором, в соответствии со
спецификой курса, особо рассматриваются структуры силикатов, сульфидов,
органических соединений и интерметаллов.
Порядок записи при изучении моделей кристаллографических
структур следующий:
* Модели эти с 1930 г. выпускаются модельной мастерской Ленинградского
горного института.
293

p—
г—
?
A—
а б
Рис. 271. Любой узел (атом) Л,
взятый в вершине любой параллелепипе-
далыюй ячейки, в равной степени
принадлежит восьми одинаковым и
параллельно ориентированным
ячейкам (четыре из них расположены в
нижнем «этаже», четыре над ними
в верхнем)
1. Выделение элементарной ячейки. Сингония. Определение
типа решетки Бравэ.
2. Подсчет количества структурных единиц в одной
элементарной ячейке *.
3. Определение координационных чисел и координационных
многогранников.
4. Плотнейшая шаровая упаковка (выявление и
характеристика).
5. Описание структуры.
После приобретения учащимися известных навыков чтения
структур приведенный план, даже в общих курсах, полезно
расширить вопросами, касающимися пространственных групп
(определение элементов симметрии, правильных систем точек, координат
атомов на проекции), связи структур со свойствами веществ,
характера химической связи и пр.
* При подсчете атомов в одной параллелепипедальной элементарной ячейке
(«подсчет содержания») следует руководствоваться правилом: если центр
атомной сферы совпадает с одной из вершин параллелепипедальной ячейки, то от
такого атома данной ячейке принадлежит Ув, поскольку в любой вершине
параллелепипеда одновременно сходятся восемь смежных и параллельно
ориентированных таких же параллелепипедов, к которым в равной мере относится вершинный
атом (рис. 271, а); от атома, расположенного на ребре ячейки, — Ч* (ребро
является общим для четырех параллелепипедов); от атома, лежащего на грани
ячейки, — У3 (грань ячейки является общей для двух параллелепипедов) и,
наконец, атом, находящийся внутри ячейки, принадлежит ей целиком (рис. 272).
При этом форма параллелепипедальной ячейки безразлична.
Таким образом, сформулированное правило подсчета может быть
распространено на ячейки любых сингоний. Например, в гексагональной структуре с
элементарной ячейкой в виде гексагональной призмы с пинакоидом удобно вести
подобного рода подсчет не на всю ячейку, а только на одну ее треть
параллелепипедальной формы (см. рис. 271, б).
Касаясь\выбора начала координат, отметим, что выбор этот вполне
произволен— любая точка в объеме структуры пригодна для этой цели. Однако для
удобства начало координат обычно совмещают с центром того или иного атома
либо с центром координационного многогранника.
м
1
) 6
294

Рис. 273. Структура сфалерита ZnS^
Пример 1. Структура сфалерита — ZnS (рис. 273).
1. На изображенной структуре ZnS сфалерита начало
координат элементарной кубической ячейки совпадает с ионом серы
(белые кружки на рисунке).
После проверки и по сере, и по цинку возможного здесь
примитивного (Р), объемноцентрированного (/) и гранецентрированного
(F) комплекса трансляций утверждаем гранецентрированную F-
кубическую решетку Бравэ.
2. На одну ячейку приходится следующее количество
Структурных единиц:
Сера — 8 «атомов» серы располагаются по вершинам ячейки;
от каждого такого атома к ячейке относится по Vs; находим 7вХ
Х8= 1 атом; 6 атомов серы лежат на гранях ячейки; от каждого из
них к ячейке относится по 1/г; находим 72X6=3 атома.
Таким образом, одной ячейке принадлежат
1/8 X 8 + 7г X 6 = 4 атома серы.
Цинк — 4 атома цинка полностью принадлежат ячейке.
Всего получаем: 4 (ZnS); Z — 4, где под Z в данном случае
понимают число формульных единиц (ZnS), приходящихся на одну
ячейку; в молекулярных соединениях Z соответствует числу
молекул. _
3. Каждый атом цинка тетраздрически окружен четырьмя
атомами серы, и наоборот, каждый атом серы также тетраздрически
окружен четырьмя атомами цинка; координационные числа цинка
и серы 4 и 49 координационные многогранники — тетраэдр и
тетраэдр.
На рисунке 274 изображена структура сфалерита, выполненная
координационными полиэдрами Zn. Атомы цинка располагаются
внутри каждого тетраэдра, атомы серы—по его вершинам.
4. Для выявления шютнейшей упаковки ориентируем
структуру так, чтобы одна из ее тройных осей оказалась вертикальной.
Рис. 272. К подсчету чис- '
ла структурных единиц в
одной параллелепипед
дальной элементарной
ячейке
295

^^—--gy Плотно упакованные слои, если
\|":^/ | таковые имеются, будут теперь рас-
V^^r^^\-T^F^^^^^^ полагаться горизонтально.
^"г^^Жу~" Щг у Сосредоточив внимание на более
^^^/^ji"-■ - 7т\ / крупных атомах, как правило, в
Wy" ^7^1 / J первую очередь участвующих в об-
^ж. -~ту ^A^fW разовании плотнейших упаковок, об-
у _ д^~ Д^=Ж £===? наруживаем .для серы трехслой-
Ж^ /WV£^ / \Ц/^ ~7 ную — кубическую — упаковку (чет-
^/ ^лРнВ!^ / вертый слой повторяет первый, пя-
ч^" / ^^ ты^ — второй и т. д.). Атомы цинка
л^/ при этом располагаются в тетраэд-
рических пустотах. Однако коли-
Рис. 274. Структура сфале- чество последних вдвое превышает
рита ZnS в координацией- число шар упаК0вки; отсюда при-
ных полиэдрах Zn ^ J ' ^
ходим к выводу: атомы цинка
занимают половину тетраэдрических
пустот. Остальные тетраэдрические, равно как все октаэдрические,
пустоты вакантны *.
На рисунке 274 закон пространственного распределения
катионов (Zn) выступает особенно рельефно.
5. а) Атомы серы располагаются по вершинам кубической
ячейки и в центрах всех ее граней; атомы цинка — через один (в
шахматном порядке) центрируют малые кубы или октанты **.
•б) Центры атомов серы повторяют расположение центров
шаров кубической (трехслойной) плотнейшей упаковки, половину
тетраэдрических пустот которой занимают атомы цинка.
Вид симметрии ге^сатетраэдрический 3LU4L3QP—43m
пространственная группа F43m; параметр решетки — а = 5,412.
Атомы серы образуют одну правильную систему точек с
кратностью 4 и координатами (000; 0 1/2[ 7г; Уг 0 У2; xh У2О).
Атомы цинка образуют также одну правильную систему точек
с кратностью 4 и координатами, У4 У4 У4; У4 3А 3А; 3А 3А xh\
3Д У4 3А.
Заметив, что структурный тип алмаза нетрудно вывести из
структуры сфалерита путем отождествления в последней всех
структурных единиц, полезно в заключение обратить внимание на
спайность сфалерита, проходящую по плоскостям ромбо-додека-
эдра {110}, и сравнить ее со спайностью алмаза — по плоскостям
октаэдра {111} (стр. 188).
Пример 2. Структура никелина — NiAs (рис. 275).
1. На изображенной структуре NiAs — никелина начало
координат элементарной гексагональной ячейки совпадает с «атомом»
* Заполнение здесь катионами всех тетраэдрических пустот привело бы -к
антифлюоритовому структурному типу (Li20 и др.).
** Тремя взаимно перпендикулярными, пересекающимися в центре кубической
ячейки плоскостями, параллельными граням ячейки, последняя разделяется на
восемь малых кубов или октантов.
296

а б
Рис. 275. Структура никелина NiAs:
а ~ общий вид элементарной ячейки; 6 — проекция на
грань пинакоида
никеля (зачерненные кружки на рисунке). Утверждаем
примитивную Р-гексагональную решетку Бравэ (стр. 228).
2. На одну треть ячейки^риходится следующее количество
формульных единиц:
Никель — 8 атомов никеля располагаются по вершинам
ячейки, 4 — по ее ребрам
1/8X8+1/4X4 = 2.
Мышьяк — 2 атома мышьяка полностью принадлежат ячейке.
Всего получаем 2(NiAs); Z = 2, где и б данном случае под Z
понимаем число формульных единиц (NiAs).
3. Каждый атом никеля октаэдрически окружен шестью
атомами мышьяка — координационное число никеля равно 6,
координационный многогранник — октаэдр.
Каждый атом мышьяка находится внутри тригональной
призмы, образованной шестью атомами никеля — координационное
число мышьяка также 6, координационный многогранник — триго-
нальная призма.
На рисунке 276 структура NiAs представлена
координационными полиэдрами Ni.
4. Для атомов мышьяка обнаруживаем двухслойную —
гексагональную упаковку (третий слой As повторяет первый,
четвертый— второй и т. д.). При этом никель занимает все октаэдриче-
ские пустоты упаковки (все тетраэдрические пустоты вакантны).
5. а) Атомы никеля располагаются по вершинам элементарной
ячейки и в серединах ребер, параллельных главной оси -симметрии
структуры; атомы мышьяка центрируют через одну в шахматном
порядке малые тригональные призмы * (заметим, что вся ячейка
разделяется плоскостью, перпендикулярной шестерной оси, на две
* Малые призмы получаются делением гексагональной ячейки двумя
плоскостями: вертикальной, проходящей по короткой диагонали, ромбического сечения, "
и горизонтальной, расположенной на высоте, равной у2 ребра с ячейки.
297

Рис. 276. Струк- Рис. 277. Корундовый слой
тура никелина
NiAs в
координационных
полиэдрах Ni
равные части, повернутые друг относительно друга вокруг главной
оси на 60°).
б) Центры атомов мышьяка повторяют расположение центров
шаров гексагональной (двухслойной) плотнейшей упаковки, все ок-
таэдрические пустоты которой занимают атомы никеля. Вид
симметрии дигексагонально дипирамидальный — L66L27PC — 6/mmm;
пространственная группа — P63/mmc; параметры решетки а=
=3,602; с = 5,009; с/а = 1,391.
Атомы никеля образуют одну правильную систему точек с
кратностью 2 ,и координатами (000; 00 1/г).
Атомы мышьяка образуют одну правильную систему точек с
той же кратностью 2 и координатами (2/з 7з XU\ 7з 2/з 3А).
Пример 3. Структура корунда — А1203. Ввиду сложности
структуры, остановимся лишь на некоторых наиболее характерных ее
особенностях.
Атомы кислорода образуют плотнейшую гексагональную
(двухслойную) упаковку. Атомы алюминия занимают 2/з октаэдрических
пустот упаковки. Заполнение пустот осуществляется по так
называемому «корундовому закону»: в каждом слое, перпендикулярном
L3 в трех направлениях, составляющих друг с другом углы в 120°,
две заполненные октаэдрические пустоты чередуются с одной
пустой. Образующиеся в результате такого заполнения «корундовые
слои» (рис. 277) накладываются друг на друга, причем и в
«вертикальном направлении закон чередования пустот сохраняется — две
заполненные пустоты чередуются с одной незаполненной. Вид
симметрии тригонально-скаленоэдрический — LS3L23PC — 3m;
пространственная группа R3c; параметры решетки а=4,751А, с= 12,91 А.
298

Атомы алюминия образуют одну двенадцатикратную
правильную систему точек. Атомы кислорода образуют одну
восемнадцатикратную правильную систему точек.
§ 2. ЗАВИСИМОСТЬ СТРОЕНИЯ ИОННЫХ КРИСТАЛЛОВ
ОТ ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА, РАЗМЕРОВ ИОНОВ
И ИХ ПОЛЯРИЗАЦИОННЫХ СВОЙСТВ
До сих пор атомные (ионные) сферы рассматривались как
правильные шары с постоянными радиусами.
На -самом же деле величина ионного радиуса некоторого
химического элемента изменяется от целого ряда причин. В число этих
причин входят: а) заряд иона: с увеличением положительного
заряда ионный радиус уменьшается, с увеличением
отрицательного— увеличивается; б) изменение температуры и давления: обычно
радиусы увеличиваются с повышением температуры и
понижением давления. Помимо того, сама форма ионной сферы
претерпевает значительные деформации под влиянием внешнего
электрического поля (например, деля, создаваемого соседними ионами).
Это явление называется поляризацией ионов.
Анионы, обладающие обычно большими ионными радиусами,
поляризуются, т. е. деформируются, легче катионов, ионные
радиусы которых относительно меньше.
Явления поляризации играют весьма существенную роль,
отчасти обусловливая структурный тип кристалла. Изучение ионных
радиусов позволило выдающемуся норвежскому кристаллохимику
В. М. Гольдшмидту (1888—1947) сформулировать следующие
приближенные, правила строения ионных кристаллов.
Строение ионного кристалла определяется соотношением
количеств его структурных единиц (ионов), их размеров (радиусов
сфер), а также их поляризационными свойствами.
В настоящее время правило Гольдшмидта требует-
существенных оговорок и дополнений. Сейчас все чаще обращается внимание
на то, что сама идея атомных и ионных сфер является лишь весьма
упрощенным приближением к истине. На место представлений о
более или менее шарообразных (хотя бы и -искаженных) сферах
действия выступают понятия о расходящихся в виде пучков силах
химической связи. В особенности отмечается важная роль кова-
лентной, резко направленной связи в кристаллах (см. стр. 300) *.
Ясно, что отмеченные недостатки концепции атомных и ионных
сфер сказываются и на выводах, базирующихся на правиле
Гольдшмидта.
§ 3. ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ТИПЫ СТРУКТУР КРИСТАЛЛОВ
От рассмотрения структур кристаллов с геометрической точки
зрения перейдем теперь к обзору их физико-химической классифи-
* Григорьев Д. П. Основы конституции минералов. М., «Недра», 1966.
Файф У. Введение в геохимию твердого тела. М, «Мир», 1967.
299

кации. Для этого примем во внимание силы, связывающие
структурные единицы в кристаллических постройках («химическую
связь»).
В зависимости от характера химической связи 'выделяют
следующие типы кристаллических структур.
1. В металлических кристаллах большую роль играют слабо
связанные и легко перемещающиеся между атомами электроны.
При металлической связи каждый атом окружается максимальным
количеством ближайших атомов, поэтому относящиеся сюда
структуры характеризуются большими координационными
числами и нередко возникающими плотнейшими упаковками.
Подавляющее число металлов принадлежит либо к кубической плотнейшей
упаковке (медь и др., координационное число 12), либо к
гексагональной плотнейшей упаковке (магний и др., координационное
число 12), либо, наконец, к кубической объемноцентрированной не-
плотнейшей упаковке (сс-железо и др., координационное число 8).
Кристаллы данного типа отличаются ковкостью, высокой
электропроводностью и теплопроводностью. Все эти свойства прежде
всего объясняются существованием электронов, слабо связанных с
атомами металла. Энергия металлической связи для меди (Си—Си)
и магния (Mg—Mg) выражается примерно 10—20 ккал/моль.
2. В неметаллических (гомеополярных) атомных кристаллах
ковалентная (гомеополярная) связь осуществляется за счет
наличия у двух связанных атомов общих электронов. Ковалентная связь
направленна и насыщаема. При этом для структур характерны
малые координационные числа (обычно до 4 включительно) и
отсутствие плотнейших упаковок. Примером таких структур .могут служить
кристаллы химических элементов, не имеющих
металлического характера. Классический пример атомных кристаллов
представляет кубическая модификация углерода — алмаз,
исключительная твердость и тугоплавкость которого объясняются
значительной прочностью ковалентной связи.
Энергия ковалентной связи для алмаза (С—С) равна
примерно 170 ккал/моль.
3. Ионные (гетерополярные) кристаллы слагаются из
положительно и отрицательно заряженных ионов (катионов и анионов).
При ненаправленности и ненасыщаемости ионной связи (как и в
случае металлических кристаллов) каждый ион окружен
максимальным количеством ионов противоположного знака. Поэтому
здесь, как правило, обычны сравнительно высокие
координационные числа — 6 и 8 — и нередки плотнейшие упаковки. В качестве
примеров назовем структуры NaCl, CsCl и др.
Из числа характерных свойств ионных соединений укажем на
их диэлектрические свойства, хрупкость, низкую теплопроводность
и пр.; температура плавления варьирует в широких пределах,
показатели преломления низкие, плотности средние. Энергия
ионной связи для поваренной соли (Na — О) примерно равна
180 ккал/моль. Этот тип кристаллов является чрезвычайно расп-
300

ространенйым. В частности, именно к нему относится большинство
минералов.
Следует отметить еще раз, что при таком строении понятие об
обособленных химических молекулах в кристаллах теряет смысл.
Например, в структуре поваренной соли, где каждый ион Na
окружен шестью ионами О и наоборот, нет нужды обособлять в
молекулы какие-либо пары ионов натрия и хлора от других. Однако
имеются структуры, где частицы группируются в виде более или
менее отчетливо выраженных отдельных молекул. Переходными к
этому типу структур являются радикал-ионные, комплексные, а
^якже'слоистые структуры.
В структурах радикал-ионных и комплекс-ионных кристаллов
имеем отдельные группы атомов, несущие положительные или
отрицательные заряды (о слоистых структурах см. ниже).
4. Молекулярным кристаллам соответствуют структуры,
сложенные уже ясно обособленными группами атомов— молекулами.
Силы, действующие между молекулами, объединяются общим
названием остаточных или вандерваальсовских.
В первом приближении остаточную или вандерваальсовскую
связь по природе можно подразделить на две категории: это, ъо-
первых, дипольные взаимодействия между полярными
молекулами, и, во-вторых, объемные силы у неполярных молекул.
Остаточная связь, 'столь характерная для инертных газов,
широко распространена также (в качестве одной из составляющих) и
в органических соединениях. Структура одного из таких
соединений — гексаметилен-тетрамина (C6Hi2N4) изображена на
рисунке 278. Отдельно представлена одна из молекул, входящих в
структуру указанного соединения.
Строение веществ нередко подчиняется здесь законам плотней-
шей кладки, что говорит в пользу ненаправленности и
ненасыщаемости рассматриваемой связи. Координационные числа
разнообразны. Для относящихся сюда кристаллов характерны летучесть,
легкоплавкость, отсутствие электро- и теплопроводности, малая
твердость, очень низкие показатели преломления (около 1) и пр.
Все это свидетельствует о крайней слабости межмолекулярных сил,
Рис. 278. Структура гексаметилен-тетрамина (C6Hi2N4)
301

значения которых обычно колеблются в пределах от 0,5 до
3 ккал/моль.
Приведенная выше классификация базируется на силах связи
между структурными единицами. Однако следует иметь в виду, что
чаще всего в одном и том же кристалле одновременно
присутствуют различные типы связи, из которых один нередко преобладает
над остальными. Последнее, естественно, не может не затруднить
классификацию веществ по признаку химической связи.
Структуры можно различать также по характеру группировок
составляющих единиц,- выделяя «островные», «ниточные»,
«слоистые» и прочие типы. Например, на этом основании структуры
молекулярных органических соединений подразделяются на четыре
группы. К первой группе принадлежат кристаллы, в структуре
которых каждая молекула занимает обособленное положение (см.
рис. 278). Во второй группе молекулы располагаются отдельными
цепочками (парафин). В третьей имеем пачки обособленных
слоев (нафталин). Наконец, к четвертой группе относятся
комплексные молекулы, образующие сложные трехмерные сочетания
(камфара, стрихнин). m
Всеобщее признание получила аналогичная классификация
силикатов (кремнекислородных соединений). Каждый ион кремния,
входящий в состав таких соединений, окружен четырьмя ионами
кислорода. Подобная совокупность ионов образует так называемый
кремнекислородный тетраэдр, в центре которого находится
кремний, а в вершинах — кислород.
ГЛАВА ШЕСТНАДЦАТАЯ
КРИСТАЛЛОХИМИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ СИЛИКАТОВ
В основу кристаллохимической классификации силикатов
положены типы группировок — мотивы кремнекислородных тетраэдров
[SiOJ. В частном случае такие мотивы характеризуются
одиночными тетраэдрами, в общем случае —их сочетаниями. При этом
объединение тетраэдров осуществляется общими вершинами, т. е.
ионами кислорода. Число обобщенных вершин может быть
различным,
В структурном отношении силикаты прежде всего
подразделяются на силикаты с конечными и на силикаты с бесконечными
мотивами кремнекислородных тетраэдров. Схема
кристаллохимической классификации силикатов в упрощенном виде приведена в
таблице 18.
Полезно для каждого типа силиката находить формулу
радикала. Например, представленный на рисунке 279, и лист состоит из
гексагональных колец. В образовании каждого кольца участвуют
шесть «атомов» кремния и двенадцать «атомов» кислорода (шесть
связанных и шесть несвязанных). В свою очередь, каждый атом
кремния одновременно принадлежит трем кольцам, следовательно,
302

I Таблица 18
Схема кристаллохимической классификации силикатов
Тин силиката
Радикал
Примеры
Л. Силикаты с конечными мотивами («островные силикаты»)
1ЛШС
Изолированные (крем-
некислородные
тетраэдры — ортосиликаты (рис.
279, а) •
Сдвоенные
тетраэдры — диортосиликаты
(рис. 279, б)
[St04J
[Si207]
Форстерит
Циркон
Гранат
Топаз
Каламин
Тортвейтит
Куспидин
Ловенит
Ильваит
-Mg2[Si04]
— Zr[Si04]
-AI2Ca3[Si04]3
-Al2[Si04](F,OH)2
-Zn4tSi207](OH)2.H20
-Sc2[Si207]
-Ca4[Si207]-F2
— (Na, Ca)3(Zr, Fe)X
X[Si207]OF
— CaFe-Fe2* [Si207] ООН
Кольчатые силикаты:
Трехчленные кольца
(рис. 279, в)
Четырехчленные кол€5а
(рис. 279, г)
Шестичленные кольца
(рис. 279, д)
Сдвоенные
шестичленные кольца Грис. 279, е)
Более сложные
объединения
fSisOP]
[SI4O12]
[Si6018]
[S112O30]
Бенитоит
Вадеит
Баотпт
Берилл
Диоптаз
Турмалин
Миларит
Эпидот
- BaTi [Si309]
-K2Zr[Si309]
-Ba4(Ti, Nb)8Oi6X
X fSi40i2] CI
-Be3Al2[Si6018]
*Cu6[Si6018].6H20
-Na(Ca)Mg3Al6B3X
X [Sl6Oie] (O, OH)]2
-K(Be,Al)3Ca2[Sii2O30]
- Ca2AI2FeSi30]2OH =
=-Ca2Al2FeOfSi04]X
X[Si207](OH)
Б. Силикаты с бесконечными мотивами
Цепочки из кремнекис-
лородных тетраэдров —
цепочечные силикаты
(одна из цепочек
изображена на рис. 279, ж)
fSi03]°
Пироксены:
диопсид — MgCa [Si206]
энстатит — Mg2 [Si206]
Пироксениды:
волластонш— Са3 [Si30$]
Ленты в виде двух
объединенных цепочек —
ленточные силикаты
(одна из лент
изображена на рис. 279, з)
[Sl4On]e
Тремолит
— Ca2Mg5[Si4On]2(OH)2
Листы — листовые
силикаты (один из листов
изображен на рис. 279, и)
[Si205]°
Каолинит
Антигорит
Пирофиллит
Тальк
Мусковит
-Al2[S!205](OH)4
- Mg6 [Si4Oi0] (OH)8
-Al2[Si4O10)(OH)2
-Mg3[Si4Ol0](OH)2
-KAl2[AISi3OI0](OH)2
303

/
Продолжение табл. 18
Тип силиката
Трехмерная вязь из
кремнекислородных
тетраэдров — каркасные
силикаты (рис. 279, к)
Радикал
ос
fSiOz]"
- 1
J
Примеры
Модификации SiOo
Ортоклаз — К [ A!Si308]
Плагиоклазы:
альбит — Na [AlSi308]
анортит — Са [ Al2Si20g]
Микроклин — К [А1§1з08]
Содалит — 3Na203Ai203-6Si02 X
X 2NaCl = Na8 X
X[AISi04]6Cl2
Рис. 279. Типы группировок кремнекислородных тетраэдров:
а — кремнекислородный тетраэдр; б — сдвоенный тетраэдр; в — кольцо из трех
тетраэдров; г — кольцо из четырех тетраэдров; д — кольцо из шести тетраэдров;
е — сдвоенное шестичленное кольцо; ж — цепочка; з — лента; и — лист; к — каркас
304

всего на одно кольцо приходится УзХб = 2 атома кремния. Каждый
связанный атом кислорода принадлежит двум кольцам,
следовательно, на одно кольцо приходится 7гХб = 3 связанных атома
кислорода. Каждый несвязанный атом кислорода принадлежит трем
кольцам. На одно кольцо приходится УзХб = 2 несвязанных
атома кислорода. В сумме на одно кольцо листа приходится 3 + 2=5
атомов кислорода. Таким образом, получаем радикал [Si205].
При описании структур силикатов необходимо расширить ранее
принятый порядок записи (см. стр. 293). Дополнительными здесь
являются вопросы о типе силиката, роли алюминия * и т. д.
Пример. Структура форстерита — Mg^SiOJ.
1. Тип силиката — структура с изолированными кремнекисло-
родными тетраэдрами — ортооиликат.
2. Тип решетки — примитивная Р-ромбическая решетка Бравэ.
3. Подсчет содержания — в элементарных ячейках с большим
количеством структурных единиц формулу проще устанавливать
методом учета взаимной координации атомов. Именно: атом
кремния тетраэдрически окружен 4 атомами кислорода [SiOJ» при этом
все атомы кислорода структурно равноценны. Каждый атом
кислорода окружен 3 атомами магния, каждый атом магния — октаэд-
рически окружен 6 атомами кислорода, следовательно, всего на
один атом кислорода приходится 7бХЗ = !/2 атома магния, а на
4 атома кислорода — 2 атома магния.
В результате приходим к формуле Mg2[Si04].
Естественно, Tai^o простую формулу нетрудно получить иначе:
наша цель — познакомить лишь с приемом подсчета.
4. Координационные числа и координационные многогранники
(для катионов).
Для атома кремния координационное число четыре,
координационный многогранник — тетраэдр; для атома магния
координационное число шесть, координационный многогранник —октаэдр.
5. Плотнейшая упаковка. Кислородные «плотноупакованные»
слои находятся «перпендикулярно малым ребрам (а) ячейки.
Устанавливаем двухслойную (гексагональную) упаковку
атомов кислорода, в которой атомы магния занимают половину окта-
эдрических, а атомы кремния 7в тетраэдрических пустот (в
формуле на четыре кислородных шара упаковки приходится два атома
магния в октаэдрическом и один атом кремния в тетраэдрическом
окружении).
Вид симметрии — ромбо-дипирамидальный — 3L23PC — ттт,
пространственная группа — Рпта (Интернациональные таблицы)
или в минералогической установке — РЪпт\щ параметры решетки:
а = 4,77; Ь-10,88; с = 6,00.
* Алюминий в структурах силикатов находится либо в октаэдрических
координационных многогранниках, либо, например, при замещении кремния, в
тетраэдрических, либо, наконец, и в тех и в других. В соответствии с этим различают:
силикаты алюминия (берилл), алюмосиликаты (ортоклаз), алюмосиликаты
алюминия (мусковит).
305

Атомы магния образуют две правильные системы точек (для
РЬпт):
Mgl:4(000; 00 У2; Ц2 Ц2 0; */2 У2 72);
Mgn : 4(ху Ча\ !/г + *, V2 — У, 3Л; 7г — *, 7г + У, !А; х*/3/^
Атомы кремния образуют одну правильную систему точек
Si:4(**/74; V2 + *, V2-y, 3А; 'Л-*, 72 +у, 74; *РЛ).
Атомы кислорода образуют три правильные системы точек
Oi-A(xytfc *h + x, Ч2-У, 74; 72-*, Чг+у, 74; *?Л);
Оп'.Цху1/* 42 +х, Чг-у> 74; 72-*, 72 +у, 74; *РЛ);
Oin:8{xyz:x,yy */2—ъ; 7а + *, 7г —£, 7г + 2; 72 + *,
■ lk — У, *; 7г — *, 7г + У у г\ 7г — х, 7г + У, 7г — z\ xyz;
Х,У> l/2 + Z).
Приведенная выше классификация силикатов <и ряд примеров,
иллюстрирующих ее, принадлежит первой классической (Бреггов-
ской) главе кристаллохимии силикатов.
Характерными чертами относящихся сюда структур является-
наличие сравнительно малых катионов Mg, Fe, Al в октаэдр ическом
окружении (ребра октаэдров, равные 2,7—2,8А, со-измеримы с
ребрами Si-тетраэдров — 2,55—2,7А). Минералы, как правило,
темноцветны и обладают сравнительно большой плотностью (больше 3).
Благодаря относительно простому строению минералы «первой
главы» были структурно расшифрованы еще на ранних стадиях
рентгеноструктурного анализа.
Усовершенствование техники эксперимента и расчета,
разработка новых «прямых» методов решений (1955) обеспечили
проведение структурных исследований более трудоемких объектов.
Начиная с 1953 г. в отечественных лабораториях определены
структуры таких сложных минералов, как ильваит, эпидот, цоизит,
куспидин, ксонотлит, волластонит, гадолинит, сейдозерит, ловенит,
ловозерит, эпидидимит и др. Найденные структуры существенно
дополнили и расширили рамки вышеприведенной классификации.
Были установлены новые, геометрически отличные от классических,
кольца, цепочки, ленты, листы. Этим заполняются страницы
второй главы кристаллохимии силикатов, прежде всего связанной с
именем и школой советского академика Н. В. Белова *.
Принадлежащие сюда структуры характеризуются наличием крупных
катионов Са, Na и др. с ребрами октаэдров, несоизмеримыми уже с
ребрами Si-тетраэдров (3,8А против 2,6А) «и с преимущественной
заменой основной «строительной единицы» [SiOJ на [Si207]. При этом
«строительной основой силикатов служит уже не кремнезем и не
* Б е л о в Н. В. Кристаллохимия силикатов с крупными катионами. Изд-во
АН СССР. М, 1961.
306

анионные кремнекислородные радикалы, а наоборот, катионы,
обычно укладывающиеся в стержни <из кислородных октаэдров».
Минералы «второй главы», как правило, светлой окраски и
небольшой плотности (меньше 3).
На протяжении последних лет под руководством чл.-корр. АН
СССР проф. Г. Б. Бокия ведутся большие работы по созданию
рациональной (кристаллохимической) классификации химических
соединений, б частности сульфидов и сульфатов.
ГЛАВА СЕМНАДЦАТАЯ
ИЗОМОРФИЗМ И ПОЛИМОРФИЗМ
§ 1. ИЗОМОРФИЗМ
В заключение коснемся двух неоднократно упоминавшихся
выше явлений — изоморфизма и полиморфизма.
В 1819 г. немецкий химик и кристаллограф Э. Митчерлих
открыл, что некоторые вещества с различным, хвтя и родственным
химическим составом кристаллизуются в чрезвычайно -сходных
формах. Открытое им явление он назвал «изоморфизмом» («изос»
по-гречески — равный, изоморфизм — равноформность).
Молодой Д. И. Менделеев в своей кандидатской диссертации
«Изоморфизм в связи £ другими отношениями кристаллической
формы к составу» (185о) указал на громадное значение этого
открытия. Оно давало возможность судить о сходстве и различии
соединений, устанавливать закономерности, связывающие
кристаллическую форму и химический состав. Однако понять истинную
природу изоморфизма, вникнуть в его структурную сущность стало
возможным лишь после рентгенометрического изучения
внутреннего строения кристаллов. Если Митчерлих обращал внимание на
сходство внешней формы кристаллов, то сейчас прежде всего
рассматривается близость их кристаллических структур.
При изоморфизме разные, хотя и сходные пд химическому
составу, вещества кристаллизуются в близких в геометрическом
отношении структурах. Помимо геометрического сходства структур,
обусловленного, как мы уже знаем, близостью объемных размеров
структурных единиц (см. принцип Гольдшмидта, стр. 299) для
изоморфных кристаллов необходимо сходство типа химической связи
и типа структуры *.
Следует подчеркнуть, что без объемного подобия -изоморфизм
невозможен.
* Горюнова Н. А. и Франк:КаменецкийВ. А. О содержании
понятия изоморфизм. Сб. «Кристаллография», ЛГИ, 1956, вып. 5, стр. 51.
Франк-Каменецкий В. А. Природа структурных примесей и
включений в минералах. Изд. ЛГУ, 1964.
307

I
Ясно, что внутреннее
строение отражается и на внешней
форме кристаллов. В
результате имеем близкие по формам,
хотя и отличающиеся по
составу, кристаллические
образования.
Рис. 280. Схема соответственных Многочисленные природные
атомных сеток изоморфных соеди- и искусственные соединения ил-
нений люстрируют вышесказанное. В
качестве примера приведем ряд
углекислых соединений, образующих хорошо известные минералы:
кальцит (Са[С03]), магнезит (Mg[C03]), смитсонит (Zn[C03]) и
сидерит (Fe[C03]). Все они кристаллизуются в тригональной синго-
нии. Кристаллы их обладают весьма совершенной спайностью по
ромбоэдру, причем угол последнего для всех перечисленных
веществ весьма близок. Приведем углы между ребрами,
пересекающимися на тройной оси, для указанных ромбоэдров:
Кальцит . . . . . 10Р55' Магнезит . ....... 103°21'
Сидерит . . . _ 103°04' Смитсонит . ........ 103°28'
К этому же ряду относится и широко распространенный
минерал доломит (CaMgtCOsk) промежуточного состава (между
кальцитом— Са[С03] и магнезитом—Mg[C03]). Угол его также
является промежуточным по отношению к углам кальцита и магнезита
(102°38/). Как объяснить указанное сходство?
В предыдущих параграфах выяснено, что решающую роль при
образовании кристаллических структур играют соотношения
величин атомных или ионных радиусов.
Представим схематически две соответственные сетки двух
весьма сходных по составу соединений с формулами типа АВ и АС
(рис. 280, а и б). Пусть элемент А входит в оба соединения, а
частицы В и С обладают близкими радиусами сфер при однотипных
силах связи.
Согласно принципу В. М. Гольдшмидта (стр. 299), структуры
таких соединений геометрически должны быть сходными. Другими
словами, величины углов между ребрами и гранями, промежутки
между частицами и сетками — все это при указанных условиях
почти тождественно в обеих структурах/ Они различаются лишь
тем, что частицы В первой структуры заменяются во второй
частицами С. При условии равенства или весьма большой близости
радиусов В и С сетка АС не изменится геометрически, если в ней
часть частиц С будет заменена частицами В (то же самое
относится и ко всей структуре соединения АС). Последнее нередко и
имеет место в реальных структурах. В связи с этим наблюдаются
непрерывные переходы от АВ к АС (от 100% АВ до 100% АС).
Это явление носит название совершенного изоморфизма.
При совершенном изоморфизме два изоморфных вещества мо- /
308

гут образовывать непрерывный ряд соединений промежуточного
состава.
Такой непрерывный ряд известен для магнезита (Mg[C03]) и
сидерита (Fe[C03]) вследствие большой близости ионных радиусов
магния и закисного железа i?Mg+2=:0,78; i?Fe+2 = 0,83.
Формулу любого промежуточного соединения из этого ряда в
случае преобладания Mg[C03] условимся писать следующим
образом: (Mg, Fe)[C03]. Запятая между Mg и Fe, заключенными в
круглые скобки, указывает на то, что частицы Mg и Fe ведут себя
подобно атомам одного элемента. При преобладании Ре(СОз]
формула получает вид (Fe, Mg)[C03]. Известны значительно более
сложные примеры совершенного изоморфизма.
В природе чрезвычайно широко распространены переходные
соединения непрерывного изоморфного ряда, конечными членами
которого являются натриевый полевой шпат — альбит и
кальциевый полевой шпат—анортит. Химические формулы альбита —
Na[AlSi308], анортита — Ca[Al2Si208]. Переход от альбита к
анортиту осуществляется путем замещения группы атомов NaI+Si4+
альбита группой атомов Ca^Al3* анортита.
В данном случае обратим внимание на одинаковую суммарную
валентность этих групп (5 и 5), а также на то, что при вычитании
NaSi из формулы альбита и СаА1 из формулы анортита мы
приходим для обеих формул к одному и тому же остатку — AlSi2Oe.
Менее близкое сходство ионных радиусов приводит к
отсутствию непрерывного перехода между двумя исходными
соединениями. Так, кальцит (Ca[C03j) fc магнезит (Mg[C03]) дают лишь одно
соединение промежуточного состава — доломит
CaMg[C03]2(Rca+2= 1,06; RMg+2 = 0,78).
Отсутствие в формуле доломита запятой между Са <и Mg
указывает на то, что здесь мы -имеем химическое соединение
определенного состава, а не изоморфную смесь.
Следует различать несколько типов изоморфизма, в
зависимости от характера замещения одних элементарных частиц
кристалла другими.
При изовалентном изоморфизме происходит замещение одних
ионов другими, имеющих ту же валентность. При этом сохраняется
и число ионов и распределение зарядов в структуре. Приведенный
выше пример с магнезитом (Mg[C03]) и сидеритом (Fe[C03])
относится именно к этому случаю.
При гетеровалентном изоморфизме одни ионы замещаются
другими ионами, имеющими иную валентность. В таких случаях число
ионов сохраняется, но сумма зарядов изменяется. В качестве
примера гетеровалентного изоморфизма можно назвать минералы
монацит (Се[Р04]) и крокоит (РЬ[Сг04]).
Упоминавшийся выше пример изоморфизма полевых шпатов —
альбита и анортита — представляет переходный случай от изова-
лентного изоморфизма к гетеровалентному. Сумма зарядов здесь
остается одинаковой, однако изменяется их распределение. Суще-
309

ствуют и более сложные случаи замещения в изоморфных
-кристаллах с добавлением или вычитанием элементарных частиц. В
качестве примера приведем кристаллы фтористого лития (LiF) и
фтористого магния (MgF2). Эти два вещества образуют переходные
изоморфные кристаллы, причем переход может совершаться как от
первого вещества ко второму, так и обратно (LiF^MgF2).
Оказывается, что структуры обоих соединений относятся к одному типу
плотнейшей шаровой кубической упаковки. Однако в структуре
фтористого лития (как и в случае хлористого натрия) заполнены
все октаэдрические гнезда упаковки, а <в структуре фтористого
магния заполнена лишь половина таких гнезд. При образовании
смешанного (промежуточного) кристалла плотнейшая упаков-ка
сохраняется, но изменяется число заполненных октаэдрических
пустот от 0,5 до 1,0.
К усложненным случаям изоморфизма следует отнести и такие,
где замещения ионов сопровождаются заменой .их положения в
структуре. Так, например, бромистое серебро (AgBr) со структурой
типа хлористого натрия и бромистая медь (CuBr) €0 структурой
типа сфалерита образуют при нагревании смешанные кристаллы.
' В этих переходных кристаллах на фоне общей кубической
плотнейшей упаковки ионы меди размещаются статистически в тетраэдри-
ческих гнездах, а ионы серебра — в октаэдр.ических.
От изоморфизма следует .отличать изоструктуюность. Под изо-
структурностью понимается чисто геометрическое сходство
кристаллических структур. Так, например, подобные геометрически, но
резко отличающиеся химически структуры NaCl и PbS являются
изоструктурными, но отнюдь не изоморфными.
В сериях химически сходных соединений можно проследить
закономерное изменение структуры кристаллов, связанное с заменой
одного элемента структуры другим (даже в случае невозможности
изоморфизма). Подобное -изменение структуры параллельно с
изменением химического состава носит название морфотропии. В
.качестве примера морфотропных изменений напомним структуры
NaCl .и CsCl (см. рис. 264 и 265).
§ 2. ПОЛИМОРФИЗМ
Полиморфизм * представляет собой явление, прямо
противоположное изоморфизму. Это явление также было открыто Э. Мит-
черлихом. При полиморфизме частицы одинаковых по составу
веществ образуют разные структуры. В этом отношении
классическим примером служит углерод, кристаллизующийся, как известно,
в виде двух модификаций: кубического алмаза и гексагонального
графита (см. рис. 262 и 263) **. Читатель хорошо помнит,
насколько резко отличаются друг от друга эти два минерала.
* Полис (греч.) — многий; полиморфизм — многоформность (следует
понимать как многоструктурность).
** Недавно открыты: гексагональная полиморфная модификация алмаза со
структурой вюртцита— лонсдалеит — и новый гексагональный полиморф
углерода — уаоит.
310

Алмаз замечателен своей твердостью. В настоящее время он
является наиболее твердым из всех . известных нам минералов (в
шкале Мооса ему принадлежит наивысшая ступень—10). Обычно
бесцветные и прозрачные кристаллы его привлекают внимание
своим необычайно сильным блеском. Благодаря указанным
свойствам алмаз, как искусственный, так и естественный, относится к
числу важнейших шлифующих и режущих материалов.
Совершенно иными свойствами обладает графит. По своей
твердости он занимает вместе с тальком первое место в таблице Мооса
(его твердость 1); он мажет бумагу (графитовые карандаши).
Агрегаты графита отличаются своей непрозрачностью, и черным или
стально-серым цветом.
Резко различаются два описанных вещества и в отношении
плотности. Плотность алмаза равна 3,5—3,6, плотность графита —
2,2. Все это связано с глубокими различиями в структуре обоих
минералов.
Не менее характерные примеры можно привести .и для ряда
других веществ. Хорошо известны гексагональная, ромбическая и
моноклинная модификации серы. Полиморфизм по отношению к
элементам (углерод, сера и пр.) часто называется аллотропией.
В виде различных полиморфных разновидностей встречаются и
более сложные образования. Выше неоднократно упоминался
кальцит (Са[С03]), кристаллизующийся в тригональной сингонии.
Вместе с тем в природе находится и другой минерал того же состава,
но уже относящийся к ромбической сингонии — арагонит.
В свете современных воззрений на природу частир;, слагающих
структуры кристаллов, легко Объяснимо существование
полиморфных модификаций для веществ определенного состава. В самом
деле, атомные (ионные) сферы изменяются по величине и
деформируются от ряда причин, в том числе и от температуры и
давления. Вместе с тем известно, что различные по объему и степени
деформированности атомные (ионные) сферы должны
группироваться по-разному.
Следовательно, при различных физико-химических условиях мы
вправе ожидать появление одного и того же вещества в виде
различных кристаллических структур.
Возникновение полиморфных модификаций одного и того же
вещества вызываются различными физико-химическими условиями
их образования (температура, давление) и характером
окружающей среды.
ГЛАВА ВОСЕМНАДЦАТАЯ
ЗАВИСИМОСТЬ ВНЕШНЕЙ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ
ОТ ИХ СТРУКТУРЫ
Одной из основных задач кристаллохимии, как указывалось,
является выявление связи между структурой кристалла и его
физическими свойствами. Частные случаи 'проявления такой связи уже
311

рассматривались выше при разборе твердости алмаза (стр. 186)
и спайности сфалерита (стр. 188). Здесь мы остановимся на
вопросе взаимосвязи структуры и внешней кристаллической
формы.
Известно, что кристаллы со слоистой структурой (слюды,
хлориты, тальк и пр.) обычно развиваются в виде таблитчатых
кристаллов. Наличие в такой структуре прочно связанных в слои
атомов или -ионов обусловливает широкое развитие граней,
параллельных слоям структуры. Игольчатые кристаллы характерны для
структур с хорошо выраженными одномерными связями — рядами,
цепочками .и др. Структуры, не имеющие ярко выраженных слоев
или направлений, соответствуют чаще всего равномерно развитым,
изометрическим кристаллам. Но и в этом случае наиболее
устойчивыми гранями будут грани, развивающиеся параллельно
наиболее плотным сеткам или рядам.
Решение вопроса о .связи внешней и внутренней геометрии
кристаллов долгое время опиралось, а отчасти опирается и сейчас, на
извесгное правило Бравэ, согласно .которому возможность
появления и развития каждой рациональной грани -кристалла должна
, быть в какой-то мере пропорциональна плотности ее сетки. Зная
правило Бравэ, можно предсказать заранее, какие именно грани
будут важнейшими в смысле развития и частоты появления на
кристаллах с определенным типом решетчатого строения.
Возьмем в качестве примера три кубические решетки —
примитивную (Я), объемноцентрированную (/) и гранецентрированную
(F) —.и посмотрим, какие именно грани будут важнейшими для
этих трех случаев.
Вычислим прежде вёего площади элементарных
параллелограммов для плоских сеток, соответствующих граням куба,
ромбододекаэдра и октаэдра. Величину ребра элементарной кубической
ячейки обозначим через а (см. рис. 237).
Элементарный 'квадрат сетки куба (100) имеет площадь ADHE9
равную а2.
Площадь ACGE элементарного прямоугольника
ромбо-додекаэдра (ПО) равна а X а У 2 = а2У 2.
Плоская сетка октаэдра (111) совпадает на рисунке -с
правильным треугольником BGE, каждая сторона которого равна а У 2.
Площадь этого треугольника
а2 —
гп-
Взяв два таких соседних треугольника, получим площадь
элементарного ромба (111), равную а2|^3.
Переходим теперь к вычислению плотностей сеток (100), (ПО),
(111) для трех кубических решеток Р, I, F (рис. 281).
Простая кубическая решетка Р (см. рис. 237, а).
Распределение узлов в сетках (100), (ПО) и (111) показано на
рисунке 281, а.
312

<н Е?
к^
Ф
2_
а2
Рис. 281. К вычислению ретикулярных плотностей
сеток куба ADHE, ромбо-додекаэдрa ACGE и
октаэдра 2 ВСЕ для кубических решеток Р, I, F
Во всех трех элементарных параллелограммах узлы в числе
четырех расположены лишь по вершинам параллелограмма. Однако
каждый такой узел принадлежит в пределах плоскости
одновременно четырем одинаковым параллелограммам, сходящимся по
четыре в одном узле решетки.
Следовательно, на долю элементарного параллелограмма
приходится лишь одна четверть каждого вершинного узла.
Сумма узлов, принадлежащих собственно данному
параллелограмму, равна 4X74 = 1. Это имеет место для всех трех сеток
простой кубической решетки— (100), (ПО) и (111).
Отсюда получим следующие значения для плотностей этих
сеток:
Плотн. (100):
1
—; плотн. (110) = —; шлотн. (111) =
а2 а2]/2 - G2y3
Итак, в случае простой кубической решетки наибольшей
плотностью обладают сетки (100). Согласно правилу Бравэ, для
кристаллов с такой решеткой важнейшими гранями должны быть
грани куба.
Объемно центрированная кубическая
решетка I (см. рис. 239, а).
313

Распределение узлов в сетках (100), (110) и (111) такой
решетки показано на рисунке 281, б. Как видим, узоры сеток куба и
октаэдра остались прежними, сетки же (110) в центре элементарного
прямоугольника приобрели дополнительный узел. Таким образом,
число узлов, приходящихся на такой прямоугольник, равно
4x74+1=2.
Отсюда получаем следующие плотности сеток:
1 2
Плоти. (100) = —; плотн. (110) = —; ллотн. (111) =
а2 а2у2
а2уз
Ясно, что наиболее плотной сеткой здесь будет сетка (ПО) л
что, согласно правилу Бравэ, на кристаллах с объемноцентриро-
ванной решеткой важнейшими гранями должны быть грани
ромбододекаэдра.
Гра нецентриро ванная кубическая решетка F
(см. рис. 240, а) образует узоры сеток (100), (ПО) и (111),
изображенные на рисунке 281, в. Легко понять, что плотность сеток (100)
'и (ПО) по сравнению .со случаем примитивной решетки
удваивается.
Для элементарного квадрата (100) число узлов равно: 4х
Х74 + 1-2.
Для элементарного прямоугольника (ПО) соответственно
имеем: 4XV4+2xV2=2.
Вместе с тем число узлов для ромба (111) оказывается равным
четырем: 4x74+4x72 + 1=4.
Отсюда получаем следующие плотности:
2 2 4
Плотн. (100) = ; плотн. (110) = ——; плогн. (111) = —.
а2 а2У2 L а2УЗ
Поскольку наибольшей плотностью здесь обладают сетки (111),
на кристаллах с кубической гранецентрированной решеткой,
-согласно правилу Бравэ, важнейшими гранями должны быть грани
октаэдра.
Итак, подводя итоги вышесказанному, мы приходим к выводу,
что для кубических кристаллов с примитивной решеткой на первом
месте стоят грани куба; для кристаллов с объемноцентрированной
решеткой — грани ромбо-додекаэдра, а для кристаллов с гранецен-
тргированной решеткой — грани октаэдра.
Вычисление плотностей сеток в различных типах решеток
осуществляется с помощью специальных таблиц проф. О. М. Аншеле-
са, чрезвычайно облегчающих процесс соответственных расчетов *.
Исходя из правила Бравэ, Е. С. Федоров в своих таблицах для
кристаллохимического анализа («Царство кристаллов») сделал
попытку статистически определять по формам кристаллов тип их
^Аншелес О. М. Определение относительной ретикулярной плотности
граней кристаллов. «Тр. Ленингр. об-ва естествоиспытателей», 1924, т. 39.
314

&
cz> сю
о f
Рис. 282. Распределение частиц в
плоских сетках, перпендикулярных
осям 4 (а) и 4i (б)
пространственной решетки. В результате он пришел к выводу, что,
за некоторыми исключениями, статистическое изучение формы
кристаллов позволяет получить понятие о типе их решетки.
Однако обращали внимание и резкие отклонения от правила
Бравэ. Одним из самых известных таких отклонений является
хорошо знакомое минералогам явление — полное отсутствие
пинакоида на кварце. Пинакоид никогда не образует на кварце настоящих
граней, а между тем, в гексагональной решетке, лежащей в основе
структуры кварца, сетки пинакоида по плотности занимают первое
место.
К вопросу об этих отклонениях мы еще вернемся ниже, а сейчас
лишь подчеркнем, что правило Бравэ может рассматриваться
только как первый, очень приближенный шаг по пути разрешения
проблемы о взаимосвязи внешней "формы кристаллов с их внутренним
строением.
Новая попытка расширить классическое правило Бравэ с
учетом элементов симметрии пространственной группы встречается в
работах И. Д. Дочнэя и Дж. Харкера *.
Согласно принципу Доннэя — Харкера, морфологическая
важность граней (в смысле величины их развития и частоты
появления) зависит от элементов симметрии, перпендикулярных их
плоскостям. При этом грани, перпендикулярные простым поворотным
осям и плоскостям симметрии, морфологически важнее, чем грани,
перпендикулярные винтовым осям тех же порядков и плоскостям
скользящего отражения.
Это хорошо видно на рисунке 282, где для примера показано
распределение частиц в плоских сетках, перпендикулярных прос-
* 1. D. Donnav, D. Harker.A new law of crystal morphology extending the law
of Bravais. Am. Min., vol. 23. 1937.
315

той поворотной четверной оси симметрии (4) и четверной винтовой
оси (4\ или 43).
В сетке, перпендикулярной 4У четыре симметричные частицы
вокруг оси лежат в одной и той же плоскости. Вместе с тем,
частицы, повторяющиеся вокруг 4г .или 43, находятся в четырех разных
плоскостях. Ясно, что плотность сетки в -первом случае в четыре
раза превышает плотность сеток второго случая.
Уточнение правила Бравэ позволило устранить ряд отклонений
от этого правила, упоминавшихся выше. Так, отсутствие пинакои-
да на кристаллах кварца объясняется наличием тройных
винтовых, а не -простых осей симметрии, перпендикулярных граням
данной формы. В связи с этим пинакоид кварца по своей плотности
переходит в списке кварцевых форм с первого места на восьмое.
Однако Доннэй и Харкер отмечали, что их принцип — только
приближение к выяснению проблемы «структура — морфология».
В ряде случаев полученные ими результаты продолжали резко
расходиться с фактами. Так, например, по Доннэю — Харкеру, на
кристаллах поваренной соли первое место должны занимать грани
октаэдра, тогда как на реальных кристаллах обычно
присутствуют грани куба.
Приводившиеся выше результаты 'получены в основном с
помощью плотностей сеток (или же с помощью межплоскостных
расстояний, прямо пропорциональных в решетках Бравэ плотностям
сеток). В отличие от такого подхода некоторые авторы (В. Клебер,
О. М. Аншелес, П. Хартман и др.) стремятся использовать ряды в
структурах или, что то же, ребра кристаллов и оси зон для
выявления связи между внешними формами и структурой
кристаллов *.
Наиболее последовательное развитие взглядов, согласно
которым исходными элементами для решения проблемы
«морфология— структура» должны служить не грани, а направления в
кристаллах, дано в серии статей П. Хартмана и др. **.
Согласно этим авторам, важнейшие зоны .кристаллов
соответствуют направлениям наиболее интенсивных сил связей в
структуре.
Все кристаллические грани делятся на три типа 1в зависимости
от их расположения относительно векторов, совпадающих .с этими
направлениями. Важнейшими гранями 'кристалла являются
плоскости, параллельные, по меньшей мере, двум таким векторам (так
называемые плоские грани F). На втором месте стоят ступенчатые
грани S, параллельные только одному подобному вектору. Они
имеют среднее значение. Наконец, грани К (неровные грани),
расположенные косо ко всем таким векторам, должны встречаться
*Kleber W. Kristallwachstum, Morphologie und Struktur. Acta Crysi,
8, 1955.
Аншелес О. М Вывод формы кристаллов алмаза на основе их
атомного строения. «Докл. АН СССР», т. 101, № 6, 1955.
** Harlmann P. and Per do k. On the relation between crystal
structure and crystal morphology. Acta Cryst, 8, 1955.
316

Рис. 283, Грани F, S и К на
модели кристалла
очень редко или вовсе не встречаться на кристаллах. Если на
рис. 283 векторы важнейших сил связи обозначить стрелками
А [100], В [010], С [001], то грани F отвечают символам (100), (010),
(001); гранями S являются (ПО), (101), (011); грань К— (111).
Нужно отметить, что описанный метод дает 'возможность
получить приближенное понятие об энергии связей между
частицами, В то же время он позволяет оперировать с помощью
элементарных построений. |
Все рассмотренные выше попытки увязать внешнюю форму
кристалла с его структурой страдают одним принципиально важным
недостатком: они или вовсе игнорируют влияние кристаллообра-
зующей среды, или недостаточно ее учитывают. В частности, они
не объясняют очень важного для минералогов вопроса: почему
кристаллы одного и того же минерала могут иметь в различных
месторождениях или даже в пределах одного месторождения совершенно
различные формы.
С этой точки зрения интересна работа А. Ф. Веллса «Габитус
кристаллов и их внешняя структура» ** В ней подчеркивается, что
внешняя форма кристаллов является функцией не только
внутренней структуры, но и взаимодействия атомов (молекул) в различных
гранях кристалла с растворителем и другими атомами и
молекулами в растворе. В частности, Веллс отмечает существенное
влияние факта адсорбции сорастворенного вещества некоторыми
гранями кристалла на общее развитие габитуса кристалла. Напомним,
что медленное отложение вещества на таких гранях вследствие
перекрытия последних чуждыми частицами будет, согласно
известному правилу элементарной кристаллографии, способствовать их
разрастанию вширь (стр. 20).
* Веллс А. Ф. Кристаллический габитус и внутренняя структура
кристаллов. Пер. Балашовой М. Н. Изд-во ВСЕГЕИ, 1950.
317

Следует, однако, отметить, что проблема взаимосвязи формы
кристаллов и их структуры решена в настоящее время лишь в
.самых общих чертах. Этот важный и интересный вопрос требует в
дальнейшем доработки и уточнения.
Следовательно, знание федоровской пространственной группы
(т. е. полной совокупности элементов симметрии структуры
кристалла)' дает возможность предсказывать типы соединений,
кристаллизующихся в данной группе. Наоборот, некоторому типу
химической формулы соответствует определенный комплекс
пространственных групп *. Отсюда понятно исключительное значение,
которое играют в кристаллохимии пространственные группы
симметрии, впервые выведенные Федоровым в 1890 г.
* Шубников А. В. Закон симметрии и кристаллохимии. В кн. О. Гасселя
«Кристаллохимия», ОНТИ, 1936.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Приведенные немногочисленные данные подтверждают
неразрывную связь между химией, физикой и геометрией кристаллов.
Нетрудно представить себе связь, существующую между
симметрией и химическим составом кристаллов.
Пусть, например, в структуре присутствуют лишь взаимно
параллельные тройные оси. Частицы могут располагаться либо на
этих осях, либо вне их. При повороте вокруг тройной оси лежащая
на ней частица А остается единственной, тогда как частица В,
находящаяся вне оси, повторяется трижды. Отсюда заключаем, что
в структурах с одними тройными осями могут кристаллизоваться
соединения типа АВг. Вместе с тем здесь нельзя ожидать
соединений типа АВ2.

ПОВТОРИТЕЛЬНАЯ ТАБЛИЦА ПО ГЕО
Вилы симметрии и прсек-
«ни э* е /ентов симметрии
Названия грютых
форм, возможных
в данном виче
симметрии
Пргекции простых форм
(объяснение см. ряюм слева)
О*
1. Примитивный
(моноэдрический)
Моноэдры (1, 2, 3, 4)
2. Центральный
(пинакоидальный)
Пинакоиды (1, 2, 3)
3. Планальный
(диэдр ический
безосный)
Моноэдры (1)
Пинакоид (2)
Диэдры (3, 4, 5)
320

МЕТРИЧЕСКОЙ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Примеры комбинации
Проекции комбинаций
(объяснение см. ря^.ом слева>
Кислый правый виннокислый стронций-
Sr(C4H406H)2-5H20
1. Моноздр (100)
£*£
6 +\ 1
2.
3.
4.
5.
6.
(010)
(ООП
01 ii
(100)
(010)
(101)
fey
Аксинит — Ca2(Fe, Mn)AlAl[OH/B03/Si40I2]
1. Пинакоид
2.
Л 3- »
к 4. »
1 5. »
6. »
f 100)
(ПО)
(ПО)
(111)
(101)
(111)
Паратолуидо-нзомаслянокислый эфир —
CH3-C6H4NH.C3H6.C02*C2H5
1. Моноэдр (100)
3 2. » (001)
3. » (100)
4. » (101)
5. Пинакоид (010)
6. Диэдр (011)
L
-х—г-
/ 2
П-^3681
321

Вилы симметрии и проекции
элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в тайном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. ря ом слсвв)
4. Аксиальный
(диэдрический осевой)
Моноэдры (1, 2)
Пинакоиды (3, 4, 5)
Диэдры (6, 7, 8)
5. П ланаксиальный
(призматический)
ЦРС
Пинакоиды (1, 2, 3, 4)
Ромбические призмы
(5, 6, 7)
6. Планальпый

(ромбо-пирамидальный)
тт2
к
\о
S
о
Моноэдры (1)
Пинакоиды (2, 3)
Диэдры (4, 5)
Ромбические призмы
(6)
Ромбические
пирамиды (7)
322

Продолжение
Гримеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слева)
Молочный сахар -
Q2H24O12
1. Моноэдр (010)
2. » (010)
3. Пинакоид (100)
4. Диэдр (110)
5. » (110)
6. » (011)
Реальгар — As4S4
1. Пинакоид (010)
2. » (001)
3. Ромбическая
призма (210)
4. То же (ПО)
5. » (0И)
6. » (Ш)
Струвит — NH4Mg[P04l • 6Н20
1. Моноэдр (001)
2. Пинакоид (010)
3. Диэдр (041)
4. » (011)
5. » (101)
6. » (103)
11*
323

Ви/ы симметрии и проекции
элементов симметрии
Названия простых фор:.?,
возможных в данном
Bvi.e симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. ря мм слева)
7. Аксиальный
(ромбо-тетраэдриче-
ский)
Пинакоиды (1,
Ромбические
(4, 5, 6)
Ромбические
эдры (7)
2,3)
призмы
тетра-
8. Планаксиальный
(ромбо-дипирами-
дальный)
rnmm
Пинакоиды (1, 2, 3)
Ромбические призмы
(4, 5, 6)
Ромбические дипира-
миды (7)
9. Примитивный
(тригонально-пирами-
дальный)
Моноэдры (1, 2)
Тригональные
призмы (3)
Тригональные
пирамиды (4, 5)
324

Продолжение
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слеза)
Эасомит — MglSOJ-бНгО
<h
1 1
it
i 1
1 1
м
-3
-2
h-;
1. Пинакоид (010)
2. Ромбическая
призма (ПО)
3. Ромбический
тетраэдр (121)
Оливин— (Mg, Fe)2[Si04]
3 6 7
1. Пинакоид (100)
2. » (ОЮ)
3. » (001)
4. Ромбическая
призма (ПО)
5. То же (ОН)
6. » (101)
7. Ромбическая
дипир амида (III)
-*
Метапериодат натрия — гексагидрат —
Na2J208-6H20
1. Моиоэдр (0001)
2. Тригональная _
о пирамида (1011)
3. То же (0221)
4. » (hbil)
325

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных r данном
киде симметрии
Проекции простых форм
(обьяснение см. рядом слева)
10. Центральный
(ромбоэдрический)
©
Пинакоид (1)
Гексагональные
мы (2)
Ромбоэдры (3)
приз-
11. Планальный
(дитригонально-пира-
мидальный)
Моноэдры (1, 2)
Тригональные приз
мы (3)
Дитригональные приз
мы (4)
Гексагональная
ма (5)
Тригональные
МИДЫ (6)
Гексагональные
миды (7)
Дитригональные
пирамиды (8)
приз-
пира-
пира-
L 4
12. Аксиальный
(тригонально-трапецо-
эдрический)
Пинакоид (1)
Тригональные
призмы (2)
Дитригональные
призмы (3)
Гексагональная
призма (4)
Тригональные дипира-
миды (5)
Ромбоэдры (6)
Тригональные
трапецоэдры (7)
326

Продолжение
Примеры комбинации
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слева)
Диоптаз — Cu6[Si60i8] • 6Н20
1. Гексагональ- __
3 ная призма (П20)
2. Ромбоэдр (10П)
3. » (hkil)
Турмалин — сложный алюмосиликат,
содержащий бор _
1. Моноэдр (0001)
2. Тригональ-
ная
призма (1010)
3.
Гексагональная призма (1120)
4. Тригональ-
ная
пирамида (0П2)
5. То же (ЮН)
Низкотем*йратурный кварц — Si02
1.
Гексагональная призма (1010)
2. Ромбоэдр (1011)
3. » (0111)
4. Тригональ-
ная дипира- __
мида (П21)
5. Тригональ-
ный
трапецоэдр (hkil)
327

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. рядом слева)
Си
13. Планаксиальный
(тригонально-скалено-
эдрический)
Зт
Пинакоид (1)
Гексагональные приз-
мы (2, 3)
Дигексагональные
призмы (4)
Гексагональные дипи-
рамиды (5)
Ромбоэдры (6)
Тригональиые скале-
ноэдры (7)
L33L23PC
14. Примитивный

(тетрагонально-пирамидальный)
Моноэдры (1, 2)
Тетрагональные
призмы (3)
Тетрагональные
пирамиды (4, 5)
15. Центральный
(тетрагон алъно-дипи-
рамидальный)
Пинакоид (1)
Тетрагональные
призмы (2)
Тетрагональные дипи-
рамиды (3)
323

Продолжение
Примеры комбинаций
Кальцит— Си[С03]
1, Ромбоэдр
2. Тригональ-
ный скалено
эдр
(1011)
(2131)
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слева)
Фергусоиит — Y (Nb, Та) 04
1. Моноэдр (00J)
2. » (001)
f 3.
Тетрагональная призма (230)
4.
Тетрагональная пирамида (111)
3 '
Поведдит — Са[Мо04]
1.
Тетрагональная дипира-
мида (011)
2. То же (313)
3. » (ПП
329

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. рядом слева)
16. Планальный
(дитетрагонально-
пирамидальный)
Umm
Моноэдры (1, 2)
Тетрагональные приз
мы (3, 4)
Дитетрагональные
призмы (5)
Тетрагональные пира
миды (6, 7)
Дитетрагональные
пирамиды (8)
П. Аксиальный
(тетрагон ал ьно-трапецо-
эдрический)
Ь22
Пинаконд (1)
Тетрагон альные приз -
мы (2, 3)
Дитетрагональные
призмы (4)
Тетрагональные дипи
рамиды (5)
Тетрагональные трапе
цоэдры (6)
18. Планаксиальный
(дитетрагонально-ди-
пирамидальный)
bjmmm
Lb Uz 5PC
Пинакоид (1)
[Тетрагональные
призмы (2, 3)
Дитетрагональные
призмы (4)
[Тетрагональные дипи-
рамиды (5)
Дитетрагональные ди-
пирамиды (6)
330

Продолжение
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слева)
Моногидрат фтористого серебра — AgF • Н20
1.
Тетрагональная
пирамида (113)
2. То же (Ш)
а » (111)
Дитрихлордиацетат калия -
СС13С02КСС13С02Н
1.
Тетрагональная дипира-
мида (111)
2.
Тетрагональный
трапецоэдр (311)
Циркон — Zr[Si04]
1. Тетрагональ
ная призма
2. То же
3. Тетрагональ
ная дипира-
мида
4. Дитетрагональ
ная дипира-
мида (131)
(100)
(ПО)
(111)
331

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. рядом слева)
19.
Инверсионно-примитивный (тетрагональ-
но-тетраэдрический)
Пинакоид (1)
Тетрагональные
мы (2)
Тетрагональные
раэдры (3)

призер
20. Инверсионно-пла-
нальный (тетрагональ
но-скаленоэдрический)
12 m
Пинакоид (1)
(Тетрагональные
призмы (2, 3)
Д итетрагон альные
призмы (4)
Тетрагональные дипи-
рамиды (5)
Тетрагональные
тетраэдры (6)
Тетрагональные скале-
ноэдры (7)
Lt^2L22P
21. Примитивный

(гексагонально-пирамидальный)
Моноэдры (1, 2)
Гексагональные приз
мы (3)
Гексагональные
пирамиды (4, 5) '
332

Продолжены
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слева)
Иодид тетраэтил-аммония — N[C2HS]4J
1.
Тетрагональный тетраэдр (111)
2. То же
3. »
(111)
(Ш)
"^
Карбамид — CO[NHJ2
2
1. Тетрагональная
призма (ПО)
2. Тетрагональный
тетраэдр (1П)
Сульфат лития и калия — LiK[SOJ
1.
2.
3.
4.
5.
Моноэдр

Гексагональная призма

Гексагональная
пирамида
То же
(0001)
(0001)
(1010)
(1011)
(hkil)
333

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых ферм
(объяснение см. рядом слева)
22. Центральный
(гексаген ально-дипи-
рамидальный)
6/т
Is рС
23. Планальный
(дигексагон ал
ьио-пирамидальный)
Smm
Lc6P
24. Аксиальный
(гексагонально-тра-
пецоэдр ический)
Ls6Lt
Пинакоид (1)
Гексагональные
призмы (2)
Гексагональные дипи-
рамиды (3)
Моноэдры (1, 2)
Гексагональные приз
мы (3, 4)
Дигексагон альные
призмы (5)
Гексагональные
пирамиды (6, 7)
Цигексагональные
пирамиды (8)
Пинакоид (1)
Гексагональные
призмы (2, 3)
Цигексагональные
призмы (4)
Гексагональные дипи-
рамиды (5)
Гексагональные
трапецоэдры (6)
334

Продолжение
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом слев;?)
Апатит — Ca5F[P04j3
t, 5 1 4 5
1. Пинакоид (0001)
2.
Гексагональная призма (1010)
3.
Гексагональная дипирами-
да (1121)
4. То же (1011)
5. » (hkil)
1. Моноэдр (000J)
» (0001)
3. Гексагональ- _
ная призма (1010)
4.
Гексагональная пирами- _
да (1012)
5. То же (1011)
6. » (2021)
Высокотемпературный кварц — S1O2
«■I 1. Гексагональ- __
ная призма (1010)
2.
Гексагональная дипира-
мида (1011)
3. То же (1121)
4.
Гексагональный
трапецоэдр (hkil)
335

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. рядом слева)
25. Планаксиальиый
(дигексагоиальио-ди-
пирамидальный)
6/ттт
LS6L27PC
Пинакоид (1)
Гексагональные приз
мы (2, 3)
Дигексагональные
призмы (4)
Гексагональные
дипирамиды (5)
Цигексагона. гьные
дипирамиды (6)
26.
Инверсионно-примитивный (тригональ-
но-дипирамидаль-
ный)
к6(^П
Пинакоид (1)
Тригональные
мы (2)
Тригональные
рамиды (3)
приз-
дипи-
27. Инверсионно-пла-
нальный
(дитригонально-ди-
пирамидальный)
е ш2
Пинакоид (1)
Тригональные призмы
(2, 3)
Дитригональные
призмы (4)
Гексагональная приз
ма (5)
Тригональные дипира
МИДЫ (6)
Гексагональные дипи-,
рамиды (7)
Дитригональные ди
пирамиды (8)
l(^L2JP^ljJl^P
336

Продолжение
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. оядом слева)
Берилл — Al2Be3[Si6Oi8]
3
1. Пинакопд (0001)
2. Гексагональ- __
ная призма (1010)
3.
Гексагональная дипира- _
мида (ЮН)
4. То же (2021)
Кислый фосфат серебра (?) — Ag2[P04]H
1. Пннакоид (0001)
2. Тригональная __
3 призма (1010)
3. Тригональная
пирамида (hkil)
Ферросилиций — SinFer,i
1. Пииакоид (0001)
2 2. Тригональная
днпнр амида (2111)
337

Виды симметрии и
проекции элементов симметрии
Названия простых форм,
возможных в данном
виде симметрии
Проекции простых форм
(объяснение см. рядом слева)
28. Примитивный
(Пентагон -тритетра-
эдрический)
Гексаэдр (куб) (1)
Ромбо-додекаэдр (2)

Пентагон-додекаэдры (3)
Тетраэдры (4, 5)
Тригон-тритетра-
эдры (6)
Тетрагон-тритетра-
эдры (7)
Пентагон- тритетра-
эдры (8)
29. Центральный
(дидодекаэдриче-
ский)
3L2bLz3PC
Гексаэдр (куб) (1)
Ромбо-додекаэдр (2)

Пентагон-додекаэдры (3)
Октаэдр (4)
Тетрагон -триокта -
эдры (5)
Тригон-триоктаэдры
(6)
Дидодекаэдры (7)
2-2 3-3
30. Планальный
(гексатетраэдриче-
ский)
4J/77
Гексаэдр (куб) (1)
Ромбо-додекаэдр (2)
Тетрагексаэдры (3)
Тетраэдры (4, 5)
Тригон-тритетраэд-
ры (6)
Тетрагон-тритетра-
эдры (7)
Гексатетраэдры (8)
4

Продолжение
Примеры комбинаций
Проекции комбинаций
(объяснение см. рядом ©лева)
Хлорыоватокислый натрий — Na[C103]
1. Гексаэдр
(куб)
(100)
2.
Ромбо-додекаэдр (ПО)
3.
Пентагон-додекаэдр (120)
4. Тетраэдр (111)
Пирит — FeS2
1. Гексаэдр (куб)
(100)
2. Пентагон-до
декаэдр (210)
Тетраэдрит — Cui2S[SbS3]4
1. Тетраэдр (111)
2. Тригон-тритетра-
эдр (211)
339

ПРИЛОЖЕН ME 2
СИНОНИМЫ И СТАРАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ ФОРМ
А. Простые формы низших сингоний
Моноэдр — педион
1-й педион {^00}
2-й » {010}
3-й » {001}
Педион 1-го рода {okl}
» 2-го » \hol}
» 3-го » , {hko}
» 4-го » {hkl}
Пинакоид
1-й пинакоид {100}
2-й » {010}
3-й » {001}
Пинакоид 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » {hko}
» 4-го » , {hkl}
Диэдр безосный — дома
Дома 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » {hko}
» 4-го » , {hkl}
Диэдр осевой — сфеноид
Сфеноид 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » {hko}
» 4-го » {hkl}
Ромбическая призма
Ромбическая призма 1-го рода {okl}
» » 2-го » , {hoi}
» » 3-го » {hko}
» » 4-го » {hkl}
Ромбический тетраэдр — ромбический бпсфеноид
Правый ромбический бисфеноид {hkl}
Левый » » {hkl}
Ромбическая пирамида
Ромбическая дипирамида — ромбическая бипир амида
Б. Простые формы средних сингоний
Моноэдр — педион
Пинакоид — базопинакоид (основной пинакоид, базис)
Тетрагональная призма — квадратная призма
Квадратная призма 1-го рода {1Щ
» » 2-го » {100}
» » 3-го » {hko}
342

Дитетрагональная призма — восьмигранная призма
Тригональная призма
Тригональная призма 1-го рода {10J
» » 2-го » {Ill
» » 3-го » {h&
Дитригональная призма
Гексагональная призма I
Гексагональная призма 1-го рода {10]
у> » 2-го » {Ill
» » 3-го » {hk\
Дигексагональная призма — двенадцатигранная приема
Тетрагональная пирамида — квадратная пирамида
Квадратная пирамида 1-го рода щ
» » 2-го » {/и
» » 3-го » щ
Дитеграгональная пирамида — восьмигранная пирамида
Тригональная пирамида
Тригональная пирамида 1-го рода ._ Щ
» » 2-го » {На
» » 3-го » {ha
Дитригональная пирамида
Гексагональная пирамида
Гексагональная пирамида 1-го рода {id
» » 2-го » * . . . {иЩ
» » 3-го » -. {hm
Дигексагональная пирамида — двенадцатигранная пирамида
Тетрагональная дипирамида — квадратная бипирамида
Квадратная бипирамида 1-го рода {hi
» » 2-го » {Ы
» » 3-го » Ш
Дитетрагональная дипирамида — восьмигранная бипирамида
Тригональная дипирамида — тригональная бипирамида
Тригональная бипирамида 1-го рода {щ
» » 2-го » {1щ
» » 3-го » л {hA
Дитригональная дипирамида — дитригональная бипирамида
Гексагональная дипирамида — гексагональная бипирамида J
Гексагональная бипирамида 1-го рода {щ
» » 2-го » {Щ
» » 3-го » {hU,
Дигексагональная дипирамида — двенадцатигранная бипирамида
Тетрагональный тетраэдр — квадратный бисфеноид
Квадратный бисфеноид 1-го рода Щ
» » 2-го » {hi
Ромбоэдр
Ромбоэдр 1-го рода Щ
» 2-го » {и"|
» 3-го » {Ля
Тетрагональный скаленоэдр — квадратный скаленоэдр
Тригональиый скаленоэдр
Тетрагональный трапецоэдр — квадратный трапецоэдр

ПРИЛОЖЕНИЕ 2
СИНОНИМЫ И СТАРАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ПРОСТЫХ ФОРМ
А. Простые формы низших сингоний
Моноэдр — педион
1-й педион 4 . . .
2-й » . . .
3-й » . . . .
{100}
{010}
{001}
{okl}
\hol)
Педион 1-го рода
» 2-го »
» 3-го » {hko}
» 4-го » {hkl}
Пинакоид
1-й пинакоид {100}
2-й » {010'
3-й » {001
Пинакоид 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » . {hko}
» 4-го » {hkl}
Диэдр безосный — дома
Дома 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » {hko}
» 4-го » , {hkl}
Диэдр осевой — сфеноид
Сфеноид 1-го рода {okl}
» 2-го » {hoi}
» 3-го » {hko}
» 4-го » {hkl}
Ромбическая призма
Ромбическая призма 1-го рода {®Щ
» » 2-го » , {hoi}
» » 3-го » {hko}
» » 4-го » {hkl}
Ромбический тетраэдр — ромбический бпсфеиоид
Правый ромбический бисфеноид {hkl}
Левый » » {hkl}
Ромбическая пирамида
Ромбическая дипирамида — ромбическая бипирамида
Б. Простые формы средних сингоний
Моноэдр — педион
Пинакоид — базопинакоид (основной пинакоид, базис)
Тетрагональная призма — квадратная призма
Квадратная призма 1-го рода {НО}
» » 2-го » {100}
» » 3-го » {hko}
342

Дитетрагональная призма — восьмигранная призма
Тригональная призма
Тригональная призма 1-го рода {10J
» » 2-го » {ill
» » 3-го » {Ая
Дитригональная призма
Гексагональная призма I
Гексагональная призма 1-го рода . {10]
» » 2-го » {Ш
» » 3-го » {hk\
Дигексагональная призма — двенадцатигранная призма
Тетрагональная пирамида —■ квадратная пирамида
Квадратная пирамида 1-го рода {А
» » 2-го » . щ
» » 3-го » {А
Дитеграгональная пирамида — восьмигранная пирамида
Тригональная пирамида
Тригональная пирамида 1-го рода , щ
» » 2-го » . {иЗ
» » 3-го » (Ал
Дитригональная пирамида
Гексагональная пирамида
Гексагональная пирамида 1-го рода {ш
» » 2-го » {ьщ
» » 3-го » -. {А/а
Дигексагональная пирамида — двенадцатигранная пирамида
Тетрагональная дипирамида — квадратная бипирамида
Квадратная бипирамида 1-го рода Ш
» » 2-го » {hi
» » 3-го » Ш
Дитетрагональная дипирамида — восьмигранная бипирамида
Тригональная дипирамида — тригональная бипирамида
Тригональная бипирамида 1-го рода {щ
» » 2-го » {На
» » 3-го » {Щ
Дитригональная дипирамида — дитригональная бипирамида I
Гексагональная дипирамида — гексагональная бипирамида I
Гексагональная бипирамида 1-го рода {id
» » 2-го » - {Щ
» » 3-го » {Щ
Дигексагональная дипирамида — двенадцатигранная бипирамида
Тетрагональный тетраэдр — квадратный бисфеиоид
Квадратный бисфеноид 1-го рода Ш
» » 2-го » {hi
Ромбоэдр
Ромбоэдр 1-го рода {to
» 2-го » {Щ
» 3-го » . {А/я
Тетрагональный скаленоэдр — квадратный скаленоэдр I
Тригоиальный скаленоэдр
Тетрагональный трапецоэдр — квадратный трапецоэдр

Правый квадратный трапецоэдр {khl}
Левый » » . {hkl\
Тригональный трапецоэдр
Правый тригональный трапецоэдр {ihkl}
Левый » » {khil}
Гексагональный трапецоэдр
Правый гексагональный трапецоэдр {ihkl}
Левый » » , {khil}
В. Простые формы кубической сингонии
Тетраэдр — кубический, или правильный тетраэдр.
Гексаэдр — куб.
Октаэдр.
Ромбо-додекаэдр — ромбический додекаэдр, или гранатоэдр.
Пентагон-додекаэдр — пентагональный додекаэдр или пиритоэдр.
Тригон-тритетраэдр — пирамидальный тетраэдр, или триакистетраэдр.
Тетрагон-тритетраэдр — дельтоэдр, или дельтоид — додекаэдр.
Пентагон-тритетраэдр — тетраэдрический пентагональный додекаэдр, или тетарто-
эдр.
Гексатетраэдр — преломленный пирамидальный тетраэдр, или гексакистетраэдр.
Тригон-триоктаэдр — пирамидальный октаэдр, или триакисоктаэдр.
Тетрагон-триоктаэдр — трапецоэдр, пли пкоситетраэдр.
Пентагон-триоктаэдр — гироэдр, или пентагональный пкоситетраэдр.
Гексоктаэдр-сор ока восьмигранник, или гексакисоктаэдр.
Тетрагексаэдр — пирамидальный куб, или тетракисгексаэдр.
Дидодекаэдр — преломленный пентагональный додекаэдр, или диакисдодекаэдр.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аллотропия 311
Аморфное тело 9
Анализатор 205
Анизотропность 11
Анод (антикатод) рентгеновской
трубки 247
Антиоси 176
— простые 176
— сложные 176
Антисимметрия 174
Аитиферромагнитные кристаллы 219
Атомные радиусы 278
Атомы магнитные 217
— не магнитные 217
Белое излучение рентгеновской
трубки 248
Величина (сила) двупреломления 202
— магнитной восприимчивости 217
Вершина кристалла 5
Виды симметрии 76, 320
— — аксиальные 78, 83
— — инверсионно-планальные 80
инверсионно-примитивные 79
планаксиальные 79, 82
планальные 78, 83
примитивные 77
— — центральные 78. 82
Винтовая ось 67, 234
Винтовые дислокации 22
Вицина л и 93
Возгонка 16
Волновые поверхности 197
Вращение плоскости поляризации 210
Высшая категория сингоний 86
Габитус кристалла 124
Гексагон 107
Гексагональная дипирамида ПО, 101,
112
344

— пирамида 109, 112
— плотнейшая упаковка шаров 283
— призма 107, 112
-— сингония 86
Гексагональный трапецоэдр 111, 112
Гексатетраэдр 112, 115
Гексаэдр (куб) 102, 115
Гексоктаэдр 103, 115
Геометрические константы или
элементы кристалла 139
Гномостереографическая проекция 39
Гониометр двукружный 34
— однокружный 33
— прикладной 32
Грань кристалла 5
возможная 136, 142, 154
двуединичная 142
единичная 133
Группы пространственные (федоров-
" ские) 231, 237
— точечные 237
— трансляций 231
Дендриты 166
Дефекты кристаллов 191
Двойники 168
— кальцита 190
— кварца 171, 172
— полевых шпатов 174
— полисинтетические 170
— прорастания 170
— срастания 167, 170
— по шпинелевому закону 171
Двойниковая ось 169
— плоскость 169
Двойниковый шов 169
Дворик кристаллизации 24
Двукружный гониометр Е. С.
Федорова 34
Двуосный кристалл 201
Двупреломление лучей 196, 202
Диамагнитные кристаллы 218
Дигексагон 108, 109
Дигексагональная дипирамида 109
— пирамида 109
— призма 101, 107
Дидодекаэдр 115
Динамический метод выращивания
кристаллов 25
Дипирамида гексагональная ПО, 112
— дигексагональная ПО, 112
— дитетраШнальная ПО, 112
— дитригональная ПО, 112
Дипирамида ромбическая 99, 105
— тетрагональная ПО, 112
— тригональная ПО
Дислокации 190
Дисперсия элементов оптической
индикатрисы 203
Дитетрагон 108, 109
Дитетрагональная дипирамида ПО
— пирамида 109
— призма 108
Дитригон 107, 109
Дитригональная дипирамида ПО
— пирамида 109
— призма 107
Дифракция рентгеновых лучей в
кристаллах 249
Диэдр 97, 104
Друзы 167
Дуги больших кругов 37
— малых кругов 37
Единичные направления 65, 74
Закон Гаюн 129, 132
— Гука 191
— кристаллографических пределов
Федорова 231
— отражения рентгеновых лучей 249
— постоянства углов 30
— поясов (зон) 153
— симметрии 61
— Федорова-Грота 277
Затравки 17
Зеркально-поворотная ось 65
Зона или пояс 153
Зоны роста 20
Изоморфизм 307
— гетеровалентный 209
— изовалентный 309
Изоструктурность 310
Иммерсионный метод 212
Инверсионная ось 63
Индексы символа 134
Интерференционная окраска 209
Интерференционные фигуры в
сходящемся свете 211
Ионизационная камера 252
Ионные радиусы 280
Ионы (анионы, катионы) 278
Категория сингоний 85
— — высшая 86
низшая 85
средняя 86
Катод рентгеновской трубки 247
Квадрат 109
Комбинация простых форм 96
Концентрационные потоки 23
Координационный многогранник 287
Координационное число 287
Корундовая буля 27
Косое погасание 207
Коэффициент растяжения (сжатия)
192
Кратность точек 244
Кристалл 5, 8
— идиоморфный 124
— ксеноморфный 124
— мозаичный 180
— оптически двуосный 201
одноосный 200
отрицательный 199, 201
345

положительный 199, 201
— скрученный 181
Кристаллы ионные 300
— антиферромагнитные 219
— диамагнитные 218
— металлические 300
— молекулярные 301
— неметаллические 300
— парамагнитные 218
— сложные 170
— ферримагнитные 219
— ферромагнитные 219
Кристаллизатор 18
Кристаллические антискелеты 161
— скелеты 161
Кристаллические сростки 166
закономерные 166
незакономерные 166
приближенно закономерные 166
Кристаллографические оси 134
— символы 129
Кристаллохимический анализ
Е. С. Федорова 36
Круг проекций 37
Куб (гексаэдр) 102
Кубическая плотнейшая упаковка
шаров 284
— сингония 86, 113
Линза Бертрана 205
— Лазо 205
Ложная симметрия 126
Ложные формы 126
Лучи зрения 38
— необыкновенные 197
— обыкновенные 197
— поляризованные 195
— рентгеновы 245, 247
— световые 195
Межплоскостное расстояние 251
Метасоматоз 16
Механические деформации
кристаллов 189
Микротвердость 185
Мозаичные кристаллы 180
Моноклинная сингония 104
Моноэдр 95, 97, 103
Морфотропия 310
Направление неполярное 214
— полярное 214
Направление скольжения 189
Необыкновенные лучи 197
Низшая категория сингоний 85
Николи 203
Облик кристалла 124
Обыкновенные лучи 197
Однокружный отражательный
гониометр 33
Одноосный кристалл 200
Однородность II
Октаэдр 102, 115
Определяющие комплексы линий
рентгенограмм порошков 265
Оптическая индикатриса 197
кристаллов высшей категории
198
низшей категории 200
средней категории 199
Оптическая ось 200
Оптические константы кристалла 202
Опыт Брэггов 251
— Лауэ 250
Осевой диэдр 97
Ось винтовая 67, 234
— вращения 58
— винтовой дислокации 22
— главная 86
— двойниковая 169
— зеркально-поворотная 65
-— зоны (пояса) 154
— инверсионная 63
— кристаллографическая 134
— оптическая 200
— поступания (трансляций) 67
— проекций 37
— симметрии 52, 56
— электрическая 172
Параллелепипед повторяемости 8, 224
Парамагнитные кристаллы 218
Параллельные сростки 167
Параметры грани 129
— решетки 225
Пентагон-додекаэдр 115
Пентагон-триоктаэдр 115
Пентагон-тритетраэдр 115
Перекристаллизация 16
Пинакоид 97, 99, 104
— второй 136
— первый 136
— третий 136
Пирамида гексагональная 109, 112
— дигексагональная 109, 112
— дитетрагональная 109, 112
— дитригональная 109
-— ромбическая 105
— роста 20
— тетрагональная 109, 112
— тригональная 109, 112
Пироэлектричество 216
Пластические деформации 189
Плеохроизм 209
Плоская сетка 9
Плоскостные виды симметрии 163
Плоскость двойникования 169
— оптических осей 201
— проекций 37
— симметрии 52, 54
— скольжения 189
— скользящего отражения 67, 232
Плотнейшая упаковка шаров 281
346

гексагональная 283
— — — двуслойная 284
кубическая 284
многослойная 284
— — — трехслойная 284
Поверхность коэффициентов
растяжения 192
— срастания 169
Погасание косое 207
— прямое 207
— симметричное 207
— четырехкратное 207
Показатель преломления 212
Полиморфизм 310
Полисинтетические двойники 170
Полюс дуги 46
Поляризатор 205
Поляризационный микроскоп 203
Поляризация ионов 299
Полярные направления 214
Порядок (наименование) оси
симметрии 58
Пояс или зона 153
Правила строения ионных кристаллов
(по В. М. Гольдшмидту) 299
Правильные системы точек 223, 243
общие 244
частные 244
Призма Николя 203
— гексагональная 107, 112
— дигексагональная 101, 107, 112
— дитетрагональная 108, 112
— дитригональная .107, 112
— ромбическая 99, 104
— тетрагональная 108, 112
— тригональная 107, 112
Прикладной гониометр 32
Примитивные виды симметрии 77, 82
Проекции гномостереографические 39
— стереографические 37
Промежуток ряда 9, 10
Простая форма 95, 123
общая 97
частная 97
— — вершинная 161
отрицательная 165
положительная 165
реберная 161
Простейшая стереографическая сетка
П ростр анствешше (федоровские)
группы 231, 237
Пространственная решетка 8, 9, 224
Прямое погасание 207
Пустоты шаровых упаковок 285
Пьезоэлектричество 214
Равно действующие элементы
симметрии 69
Разновидности простых форм 123
Раствор насыщенный 17
— ненасыщенный 17
— пересыщенный 17
Растворение кристаллов 22
Ребро кристалла 5
возможное 136, 138, 154
Регенерация кристаллов 22, 23
Рентгеновская трубка
Рентгеновские методы исследования
253
вращающегося кристалла
269
неподвижного
монокристалла 266
порошков 266
Рентгеновы лучи 245, 247
Рентгенограмма вращающегося
кристалла 270
— неподвижного монокристалла 266
— порошка 262
Ретикулярная плотность 11
Решетки Бравэ 224
— базоцентрированные 228
— дважды центрированные 228
— гранецентрированные 228
— объемноцентрированные 228
— Федорова 230
Розетка твердости 186
Ромбическая дипирамида 99, 105
— пирамида 105
— призма 99, 104
— сингония 84, 86, 92, 105
Ромбический тетраэдр 105, 113
Ром бо- додекаэдр 102, 115
Ромбоэдр 85, 101, ПО
Рост кристаллов 17
— несовершенный 22
— совершенный 22
Ряд пространственной решетки 9
Самоограняемость кристаллов 13
Свет естественный 195
— поляризованный 195
— сходящийся 205
Световая нормаль 197
Световой луч 195
Световые колебания 195
Сетка Вульфа 41, 42
Символы граней 133
— ребер 151
Симметрично-равные направления 74
Симметричное погасание 207
Симметрия 50
Симметрия двуцветная 176
Сингония 84
— гексагональная 86
— кубическая 86
— моноклинная 85
— ромбическая 86
— тетрагональная 86
— тригональная 86
— триклинная 85
Скаленоэдр тетрагональный 111
— тригональный 111
347

,'чггь нарастания грани 19
шный кристалл 181
лтура грани 125
та 161
не линии 270
■нне элементов симметрии 69
|ость 186
ильный рост 22
ч*зя категория сингоннй 86
ш кристаллов 166
графическая проекция 37
круга 38
направлений 38
нормалей к граням 39
плоскостей 38
элементов симметрии 90
ка 41
тура кристалла 299, 302
тикатов 302
гур'ная единица 279
I ччческие координаты 35, 40
1!*Ъметр 185
*йсть кристаллов 184
Ара 166
А дислокаций 22
Лроводность кристаллов 193
^гексаэдр 103, 115
•Ггон 108
I" йон-тритетраэдр 103, 115
_ &он-триоктаэдр 103, 115
^тональная дипирамида ПО
^амида 109
^йзма 108
* Чгония 86
Зональный тетраэдр 110, 113
^'апецоэдр 111
Уленоэдр 111
•эдр кубический (правильный)
J3, 115
,,кбический 113
цЗрагональный 113
^'структур 299
Лые группы 237
Дзрения 37
Аяционные группы 231
Ляция (керенос) 66, 232
/\оэдр гексагональный 111
•Лрагональиый 111
"^гональиый 111
ный эллипсоид 198
Jft 107
Г%альная дипирамида 110
Замида 109
Ззма 107
клмбоэдрическая) сингония 86
бальный скаленоэдр 101, 111
— трапецоэдр 111
Тригон-триоктаэдр 115
Тригон-тритетраэдр 115
Триклинная сингония 103
Тройник рутила 170
Угол оптических осей 203
Узел пространственной решетки 9, !0
Упругость кристаллов 191
Установка кристаллов 134, 138
Фазовый рентгеноанализ 256
Федоровский столик 213
Ферримагнитные кристаллы 219
Ферромагнитные кристаллы 219
Фигуры взаимно равные 51
— в сходящемся свете
(интерференционные) 211
— плавления 193
— роста 161
— травления 94
Формула Брэгга — Вульфа 250
Формы растворения кристаллов 23
Характеризующий комплекс линий
рентгенограммы порошка 265
Характеристическое излучение
рентгеновской трубки 249
Химическая связь (типы ее) в
кристаллах 289
Хрустальный погреб 27
Центр инверсии 52
— проекций 37
— симметрии 52
Центральный вид симметрии 82
Числовые характеристики вещества
по рентгеновским данным 264
Шаг поступания (период трансляции)
67
Шар проекций 37
Шкала Мооса 184
Шлиф 205
Штриховка на гранях 93
Электронная рентгеновская трубка
247
Электроны свободные 246
Элементарный угол поворота оси 57
Элементы или геометрические
константы кристалла 139
— симметрии 52
Эллипсоид вращения 199
Эиантиоморфизм 105
Эпитаксия 180

ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр
Предисловие к пятому изданию 3
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
Основные понятия о кристаллах
Глава первая. Введение * °
§ 1. Предварительные понятия °
§ 2. Распространенность кристаллов £
§ 3. Строение кристаллов 7
§ 4. Пространственная решетка (9
§ 5. Важнейшие свойства кристаллов J [
| 6. Предмет кристаллографии. Связь ее с другими науками 1<3
Глава вторая. Возникновение, рост и разрушение кристаллов .... 15
§ I. Возникновение кристаллов 15
§ 2. Пути образования кристаллов }б
§ 3. Выращивание кристаллов из растворов 17
§ 4. Явления, сопровождающие кристаллизацию 19
§ 5. Растворение и регенерация кристаллов ^~
§ 6. Концентрационные потоки и другие факторы, влияющие на облик
кристаллов ^'3
§ 7. Технические методы выращивания кристаллов 26
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
Геометрическая кристаллография
Глава третья. Закон постоянства углов, гониометрия и
проектирование кристаллов 30
§ 1. Закон постоянства углов 30
§ 2. Однокружный отражательный гониометр 32
§ 3. Двукружный отражательный гониометр Е. С. Федорова 34
§ 4. Кристаллохимический анализ Е. С. Федорова 36
§ 5. Стереографические проекции Ь7
§ 6. Сферические координаты 40
§ 7. Решение кристаллографических задач на сетке Вульфа 4о
Глава четвертая. Симметрия кристаллов . 50
§ I. Общие понятия 50
§ 2. Элементы симметрии 52
§ 3. Центр инверсии 52
§ 4. Плоскости симметрии 54
§ 5. Оси симметрии 56
§ 6. Инверсионные оси 63

§ 7. Понятие о выводе элементов симметрии 66
§ 8. Взаимодействие элементов симметрии 68
§ 9. Единичные направления 74
§ 10. Тридцать два вида симметрии 76
§ 11. Сингонии ж 84
Низшая категория 85
Средняя категория 86
Высшая категория 86
§ 12. Определение симметрии реальных кристаллов 92
Глава пятая. Формы кристаллов 95
§ 1. Предварительные замечания 95
§ 2. Простые формы и комбинации 95
§ 3. Понятие о выводе простых форм 97
§ 4. Простые формы низших сингонии !03
Триклинная сингония ЮЗ
Моноклинная сингония 104
Ромбическая сингония 105
§ 5. Простые формы средних сингонии 106
§ 6. Простые формы кубической сингонии ИЗ
Примеры 121
§ 7. Разновидности простых форм 123
§ 8. Формы реальных кристаллов 124
Глава шестая. Кристаллографические символы 129
§ 1. Предварительные замечания 129
§ 2. Закон рациональности отношений параметров (закон целых чисел,
закон Гаюи) 129
§ 3. Символы граней 133
§ 4. Теоремы к выбору кристаллографических осей 136
§ 5. Установка кристаллов 138
Установка триклинных кристаллов 139
Установка моноклинных кристаллов 140
Установка ромбических кристаллов 140
Установка тетрагональных кристаллов 142
Установка кубических кристаллов 144
Установка тригональных и гексагональных кристаллов 146
Вторая установка тригональных кристаллов 148
§ 6. Символы ребер 151
§ 7. Закон поясов 153
§ 8. Точные методы определения символов граней 159 -
Глава седьмая. Усложненные формы и типы срастаний кристаллов 151
§ 1. Кристаллические скелеты и антискелеты 161
§ 2. Сростки кристаллов 166
§ 3. Двойниковые образования 168
§ 4. Антисимметрия 174
| 5. Эпитаксия 180
§ 6. Мозаичные кристаллы 1£0

ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
Физическая кристаллография
Глава восьмая. Механические свойства и теплопроводность
кристаллов (начальные сведения) ' 1$3
§ 1. Предварительные замечания 183
§ 2. Твердость кристаллов 184
§ 3. Спайность 186
§ 4. Механические деформации кристаллов 189
§ 5. Упругость кристаллов 191
§ 6. Теплопроводность кристаллов 193
Глава девятая. Оптика кристаллов 195
§ 1. Естественный и поляризованный свет 195
§ 2. Двупреломление лучей 196
§ 3. Оптическая индикатриса . 197
§ 4. Поляризационный микроскоп 203
§ 5. Исследование кристаллов под микроскопом 205
§ 6. Прямое и косое погасание 207
§ 7. Спайность и двойники под микроскопом 208
§ 8. Плеохроизм и интерференционная окраска кристаллов 209
§ 9. Вращение плоскости поляризации 210
| 10. Исследование кристаллов в сходящемся свете 211
§ 11. Понятие об иммерсионном методе 212
§ 12. Универсальный столик Федорова 213
Глава десятая. Электрические и магнитные свойства кристаллов . . .214
§ 1. Пьезоэлектричество , 214
§ 2. Пироэлектричество 216
§ 3. Магнитные свойства кристаллов 217
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
Учение о структуре кристаллов
Глава одиннадцатая. Основы учения о структуре кристаллов . . 220
§ 1. Предварительные замечания 220
§ 2. Краткий исторический обзор * " .221
§ 3. Четырнадцать типов решеток Бравэ !.".".". 224
§ 4. Элементы симметрии бесконечных фигур m 231
§ 5. Примеры вывода пространственных групп симметрии* \ \ \ \ ". . 239
§ 6. Понятие о правильных системах точек . * ! . 243
Глава двенадцатая. Рентгенометрия кристаллов 245
§ I. Предварительные замечания 245
§ 2. Получение рентгеновых лучей * 24б
§ 3. Белое|р характеристическое излучение рентгеновской трубки * 248
§ 4. Дифракция рентгеновых лучей в кристаллах (вывод основной
Формулы) 249
§ 5. Экспериментальное обоснование закона отражения * пентген'овых
лучей от систем атомных плоскостей кристаллов . . 251
Глава тринадцатая. Начальные сведения о рентгеностриктипных
исследованиях кристаллов • . . . . . 253
§ 1. Первые рентгеноструктурные определения . . . 253
Определение структуры меди по методу В. д " Брэгга " и
У. Л. Брэгга " e e e # e . 253
351

Стр.
§ 2. Рентгенофазовый анализ 258
§ 3. Определение симметрии кристаллов по лауэграммам 266
§ 4. Определение размеров элементарной ячейки и типа решетки Бравэ 269
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
Кристаллохимия
Глава четырнадцатая. Основные представления 275
§ I. Предварительные замечания 275
§ 2. Исторический обзор 27S
§ 3. Распределение кристаллов по сингоииям 277
§ 4. Атомные и ионные радиусы 278
§ 5. Плотнейшие упаковки шаров 281
§ 6. Координационные числа и координационные многогранники . . . 28G
Глава пятнадцатая. Структуры кристаллов - 293
§ I. Описание моделей структуры кристаллов 293
§ 2. Зависимость строения ионных кристаллов от химического состава,
размеров ионов и их поляризационных свойств 299
§ 3. Физико-химические типы структур кристаллов 299
Глава шестнадцатая. Кристаллохимическая классификация
силикатов 302
Глава семнадцатая. Изоморфизм и полиморфизм 307
§ I. Изоморфизм 307
§ 2. Полиморфизм 310
Глава восемнадцатая. Зависимость внешней формы кристаллов
от их структуры 311
Заключение 319
Приложение 1. Повторительная таблица по геометрической
кристаллографии 320
Приложение 2. Синонимы и старая классификация простых форм 342
Предметный указатель 344