Text
                    @
БИБЛИОТЕЧКА . КВАНТ-
ВЫПУСК 2З
А.Н. колмоrоРов
и. r. ЖУРБЕНКО
А.В. ПРОХОРОВ
ВВЕДЕНИЕ
В ТЕОРИЮ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ

МОСНВА «НАУИА>'
rЛАВНАЯ РЕДАНЦИЯ
ФИЗИI\О-МАТЕМАТИЧЕСI\ОЙ ЛИТРАТУРЫ
1982


22.17 R 60 УДК 519.2 PEJJ;A ИДИ ОННА я: Н о л л Е rи Я: АI{аде:М:ИR и. К. Rииоин (председатель), а1\адеШlR А. Н. Rол. MoropoB (замеСТИТ6JIЬ председателя), до:ктор физ.матем. наук л. r. АСJI8мазов (ученый секретарь), члеНRорреспондеит АН СССР А. А. Абрикосов, академик Б. К. Вайнштейн, за.. с лу)неllНЫП учи тель РСФСР Б. В. ВоздвижеПСRИЙ, а:кадеМИR ' В. М. rлушков 1, академии п. Л. Капица, профессор с. п. Ка- пица.. академик с. п. НОВИRов; а:кадемик Ю.- А. Осипьнн, акадеМИI{ АПН РСФСР В. r. РаЗУМОJJСКИЙ, аRадемиlt Р. 3. Саrдеев, :кандидат ХИМ. наук М. л. Смолянский, профес-- сор я. А. Смородинский, академик с. л. - Соболев, чпеНRОР" респондент АН СССР д. К. Фаддеев, члеинорреспондент .АН СССР II. с. Шкловский. (J KOJIMOrOpOB А. Н., Журбенко и. r., Прохоров А. В. К 60 Введение в теорию вероятвостей. М.: Наука. rлав.04 ная редакция Физико--математической литературы, 1982, 160 c. (Библиотечка «Квант». Вып. 23)  25 коп. в Rниrе на простых примерах вводятся основные понятия тео- рии вероятностей Наряду с Rомбинаторным определением вероят- nости рассматривается статистичеСRое определение. Подробно анализируется случайное блуждание на прямой, описывающее физичеСRие процессы одномерноrо брОУНОВСRоrо движения час" тиц, а таRже ряд друrих примеров. ДЛЯ ШRОЛЬНИRОВ, студентов, преподавателей, лиц, занимающих. ся самообразованием! 1702060000106 К 053(02)-82 191-82 ББК 22.17 517.8 к 1702060000106 053(02)82 19182 @ Изда.тлъство <HaYRa». rлавная редаRЦИЯ фИЗИRоматематичеСНО.1 питературы, 1982 
оrЛАВЛЕНИЕ Предисловие r п: а в а 1.- КОМБИНАТОРНЫй ПОДХОД К ПОПЯТИЮ ВЕРОЯТНОСТИ  1 Перестановки  2! Вероятность i 3.. Равновозможные случаи  4! Броуновское движение и задача о блуждании на плоскости  5. Блуждание по прямой ТреуrОЛЬНИR Паскаля  6 Бином Ньютона  7" Биномиальные Rоэффициенты и число сочетаний  8! Формула, выражающая биномиальные коэф" фициенты через факториалы, и ее примене.. ние R вычислению вероятностей  9.! Формула Стирлинrа r п: а в а 2. В&РQЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА r п: а в а 3 OCHOBHЫE ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ  1 Определение вероятности  2! Операции с событиями: теорема сложения вероят ностей  3! ЭJIементы комбинаторики и прменения к зада- чам теории вероятностей   !-  словные вероятности и независимость  S Последовательность независимых испытаний.! Фор мула Бернулли  6! Теорема Бернулли r JI а в а 4. СИММЕТРИЧНОЕ СЛУЧАйНОЕ БЛУЖ.. ДАНИЕ  1. Введение  2. Комбинаторные основы  3. Задача о возвращении частицы в начало Rоординат  4. Зацача о числе возвращений в начало координат  5 3анон арксинуса  6! О симметричном случаЙНБМ блуждании на пло скости и в пространстве r JI а в а 5. СЛУЧАйНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕ- ЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕй  1. Понятие случайной величины  2. Математическое ожидание и иисперсия l' 5 ., 7 9 10 11 17 21 22 23 25 27 34 34 36 44 52 62 69 74 74 76 81 86 91 97 102 102 106 3 
 8. Банон больших чисел в форме Чебышева  4. Производящие функции r л 8 В а 6. П0СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТАНИЙ ВЕР.. НУЛЛИ: СЛУЧАйНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАТИСТИ ЧЕСRIIЕ ВЫВОДЫ t 1.. Испытания Бернулли f 2. Случайное блуждание На прямой, соответствующее схеме Бернулли f 8. Задача о разорении f 4i Статистические ВЫВОДЫ r JI 8 И а 7. ПРОЦЕССЫ rИБЕЛИ И РАЗМНОЖЕНИЯ I 1i Общая постановка задачи I 2. ПРОИ8водящая фУНIЩия величины Zn t 8. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Zn I 4. Вероятность вырождения f 5. Предельное поведение Zn 8аключение 4 114 117 120 120 122 127 132 142 142 144 145 145 150 155 
ПРЕДИСЛОВИЕ  Данная книrа рассчитана на читателя, по... желавmеrо на элементарном уровне ознакомиться с ос-- новными понятиями теории вероятностей и составить себе некоторое впечатление о возможных применениях этой области математики, бурное развитие которой приходит-- ся на последние десятилетия. UUирокое распространение вероятностных методов в самых различных областях нау-- ки и техники было связано с тем, что с помощью этих методов удалось получить ответы на мноrие eCTeCTBeHHC научные задачи, долrое время не поддающиеся решению. l\ниrа не ставит перед собой цели охватить все возможные применения теории вероятностей, тем более что на элемен-- тарном уровне это сделать вообще невозможно. В то же самое время привестя интересные примеры использова-- ния вероятностных Iетодов в простейmих практических ситуациях являлось одной из rлавных целей книrи. В качестве таких примеров достаточно подробно изучаются основные законо:мерности броуновскоrо движения, про... водится исследование процессов rибели и размножения, приводятся некоторые друrие примеры. Естественно, что приведенные результаты являются лишь элементарным введением в указанные области науки, позволяющим, тем не менее, составить у читателя чувство близости к COBpe меННЫl\f естественнонаучным проблемам. rлава 1 служит общим введением в комбинаторные начала теории вероятностей, все идеи и иллюстрации u u этои rлавы получают дальнеиmее развитие в следующих rла вах. rлавы 3, 5 посвящены определениям и доказатель-- ствам основных закономерностей теории вероятностей Еа основе классической вероятностной модели. В этих rла-- вах подrотавливается почва для перехода к произвольны:м дискретным вероятностным моделям, потребность в кото-- 5 
рых продиктована конкретными естественнонаучными за.. дачами, разобранными в rлавах 4, 6 и 7. Проблема отношения основных вероятностных поня" тий R опыту затраrивается в rлаве 2. Здесь обсуждается происхождение Rла-ссическоrо определения вероятности, дается ее статистичеСRое определение, намечается аксиома.. тичеСRИЙ подход. В rлаве 4 рассматривается простейшая модель сим-- меТричноrо случайноrо блуждания частицы на прямой и на ПЛОСRОСТИ. Простыми Rомбинаторными методами решаются трудные задачи, имеющие занимательную фор МУЛИРОВRУ и неожиданные ответы. Это задачи о возвра щении частицы в исходное положение, о достижении H KOToporo уровня, о времени пребывания частицы в неко" торых rраницах. В rлаве 6 большая часть этих проблем развивается в песимметричпом случае. Решается RлассичеСRая задача о разорении. В поСЛеДнем параrрафе приведены примеры самых простых задач математичеСRОЙ статистики с реше пиями. Вопросам неоrраниченноrо роста допуляций или их пымирания посвящена rлава 7. В основу данной книrи леrли иурсы леRЦИЙ и семипа.. ров авторов, неоднократно .на, протяжении последних пет читавшиеся в Мосвовском rосударственном уни", J3ерситете и ФИЗИRо--математичеСRОЙ ШRоле при Mry. rлавы 1, 3 и 5 БЛИЗRИ по содержанию R статьям А. Н. Rолм:оrорова и Б. В. rнеденко, и. r. Журбепко, опуБЛИRованным в журнале «Математика в школе» в 1968 rоду. Весь тевст Rниrи постоянно сопровождается большим количеством примеров и задач, часть которых в зависи оо :МОСТ:Ц от трудности решается полностью, на остальные аются ТОЛЬRО ответы. Rниrа будет доступна школьникам старших Rлассов, проявляющим интерес к математике и ее применепиям. Она может также ОRазаться ,полезной студентам младших курсов самых, различных специальностей, интересующим-. ея применениями теории вероятностей в своих обласtях. А. Н. Ко.лмоеоров, и. r. Журбеnпо, А. В. Прохоров 
r ЛАВА 1 4 КОМБИНАТОРНЫЙ ПОДХОД R ПОНЛТИЮ ВЕРОЯТНОСТИ * 1. ПерестанОВRИ Две буквы А и Б можно расположить одну за друrой двумя способами: АБ, БА Три буквы А, Б и В можно расположить в виде послс довательности уже шестью способами: АБВ, АВБ БАВ, БВА БАБ, ВБi\ Для четырех букв получим 24 разных способа их рас. положения в виде последовательности: АБвr, -АБrв, БАвr, БАrв АВБr, АвrБ, БВАr, БвrА АrБВ, АrВБ, БrАВ, БrВА ВАБr, ВАrБ, rАБВ, rАВБ ВБАr, ВБrА, rБАВ, rБВА вrАБ, вrБА, rВАБ, rВБА Скольки:ми способами можно расположить десять букп в виде последовательности? Перебрать все способы рас-- положения здесь было бы трудно. Для ответа на вопрос желательно общее правило, формула, которая позволяла бы сразу вычислить число способов расположения п букв в виде последовательности. Число этих способов обозна чают п! (п с восклицательным знаком) и наЗ!JВают . «n--факториал». Найдем это число. Мы Yile видели, что 2! == 2, 3! == 6, 41 == 24. 7 
!{аЧ\дый способ расположения данноrо числа букв в по.. (,ледоваrrеJIЬНОС'IИ вазывается nерестаnовnои. Очевидно, что вм:есто буив можно взять цифры или любые друrие пред:меты., Число перестановок четырех предметов равно 4! == 24. Вообще п! есть число перестановок n предм:етов. Заметим еще что полаrают 11 == 1 (ОДИ!l peДMeT не с чем «переставлять», из одноrо предмета :можио сформировать только одну «последовательность», в RОТОрОЙ этот предмет стоит на первом месте). 1! == 1, 2! == 1. 2  2, 3! === 1.2. 3 === 6, 4! == 1. 2 · 3 · 4 == 24. Нараmивается rипотеза: число перестановок n предме.. тов равно произведению первых n натуральных чисеЛ1 n! == 1.2. 3. _ . .' n. (1) fипотеэа эта верна. Для доказательства заметим, что в случае п предметов на первое место можно поставить любой из п предметов. В важдом из этих п случаев Qстающиеся п ........ 1 предметов можно расположить (п........ 1)1 способами. Поэтому полу.. чим Bcero (n  1)!n способов расположения n предметов: п! :о=: (п ........ 1)! n. (2) 11ри ПО)10ЩИ формулы (2) получаем последовательно: 2! ::r::: 11.2 == 1-2, 3! == 2!.3 == 1.2.3, 4! == 3!.4 == 1.2.3.4, 5! ::::: 4! - 5  1, 2 · 3 · 4 - 5 === 120 и т_ д. Знакомые с принципом математической цндукции Mg.. rYT заметить, что вывод формулы (1) ив формулы (2) использует этот припцип, и провести cTporo формальное рассуждение. Теперь уже нетрудно вычислить число переставовок десяти букв! 1 О! ;::; 1. 2 · 3 · 4 , 5 · 6 · 7 · 8 · 9 · 1 О ::::; 3 628 800. 8 
9 2. Вероятность Семь букв разрезной азбуки А, А, Б, В, R, У, m положены в мешон, откуда их вынимают науда.. чу и располаrают одну за друrой в порядке, в котором они появляются. В результате получается слово БАБУШ.. НА.  В какой мере такой факт надо считать удивительным, БЫ"fЬ может, заставляющим предполаl"ать, что мы при.. сутствуем при нарочно подстроенном фокусе? 3анумеру.. ем наши семь карточек с буквами: 1234567 А .А Б Б К У Ш П1 можно расположить по порядку 7 r :=: 5040 способами. Из этих 5040 случаев слово БАБУШRА по.. лучится в четырех: 3146752 БАБУШКА 3246751 БАБУШКА 4136752 БАБУШКА 4236751 БАБУШКА rоворят, что из общеrо числа случаев (5040) четыре случая бдаеоприяmcтвуют появлению занимающеrо нас события (заключающеrося в том, что из вынутых буив сложилось слово БАБУШRА). Отношение числа блаrо.. приятствующих случаев к общему числу случаев в подоб.. вых задачах называют вероятностью события. В нашем примере 8ероятность ПОЯВJrения слова БАБ УШ КА есть 4 1 Р == 5040 == 1260 · Вероятность эта очень :мала, и наше событие действа.. тельно очень «маловероятно». Позднее мы узнаем, что u ... \ U подсчитанная нами вероятность имеет таков практическии смысл: если MHoro раз производть описаннЫЙ опыт с бук.. вами, то примерно одии раз на 1260 испытаний произойдет ваше событие (само собою сложится слово БАБУШКА). Аналоrичн:Ый расчет для четырех букв А, А, М, М приводит R результату, что из них случайно будет 9 
складываться слово МАМА с вероятностью 4 1 41==6. С такой же вероятностью 1/ будет получаться еще кат.. дое ив пяти «слов»: ААММ, АМАМ, АММА, МААМ, ММАА. Если производить этот опыт с четырьмя буквами, Tt) каждый из описанных шести возможных результатов бует появляться примерно в 1/6 доле случаев. i 3. Раввовозможные случаи Иrральная кость  это кубик, на rранях ROToporo обозначено число очков от 1 ДО 6. Бросив две кости, можно получить сумму очков (на верхних rранях двух костей) от 2 до 12. Можно было бы YMaTЬ, что 8 вааче имеется 11 возможных случаев и вероятность появ.. лея каждоrо из них равна 1/11. Но это не таК. Опыт ПО,зывает, что, например, сумма 7 появляется миоrо ,аше, чем сумма 12. Это и понятно, так как 12 можно r-l: получить ТОЛЬRО В виде: 6 + 6 == 12, , 7 ...... мноrими способами: t + 6 == 2 + 5 == 3 + 4  4 + 3 ;:; 5 + 2 == 6 + 1 ==7. При этом мы записываем первым слаrаемым число очков на первой кости, а вторым """-- на второй. Поэтому записи 1. + 6 и 6 + 1 указывают на две различные возможности поп:учения суммы 7. ля подсчета вероятностей здесь ПРИХh(ИТСЯ :рассиа.. '-'риватъ тридцать шесть случаев, Rаждыи из ноторых жарактерцвуется определенным числом ОЧRОJ), выпвmих u  Ва червои кости, и определенным числом очков, выпавших ", па второи кости: 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 3,1 ... 4,1 ... 5, t ... 6, t ... 10 
Естественно .считать эти тридцать тесть случаев рАIПiо- возможными. Опыт показывает, что в случае достаточн() правильных (кубических) костей, сделанных из од;вород'" Horo материала, и надлежащих приемов бросания (напри.. мер, после встряхивания в стаканчике) эти 36 слуаев появляются при большом числе повторений примерно С)ди.. наково часто. Для суммы очков на двух костях получаем таRие ре.. зультаты (проверьте): Сумма 2 3 Число блаrо.. 1 2 приятствую" щих случаев Вероятность 4 3 5 4 6 5 7 6 8 5 9 4 10 3 11 2 12 1 1 1 1 1 5 1 5 1 1 1 1 36 18 12 9 36 Т 36 9 12 18 36 "Уточним определение: вероятностью называется отно" шение числа блаrоприятствующих случаев к общему Чй:с.. лу рав1tовО8.м,ОЖ1tъх. На вопрос, какие случаи можно считать равновозможными, математика не дает ответа. При бросании костей условия выпадения любой из шести rраней представляются нам одинаковыми. Кроме Toro, представляется естественным считать, что различные ком.. бинации верхних rраней двух костей тоже одинаково правдоподобны. Разделение всех возможных исходов испытания на исключющие друr друrа равновозможные случаи доста.. точно деликатно. Часто вместо изложенноrо сейчас «клас.. сическоrо» определения вероятности приходится приб rать R друrому ....... «статистическому». Но на п.ервых по.. рах знакомства с теорией вероятностей разумно отнестись с ДОВjерие:м к «классичеСRОМУ» определению. С точки зре.. 'ния чистой математики тут нет никакой «нестроrости}). Подробнее об этом будет сказано в rлаве 2.  4. БРОУВОВСRО ДВlЩreвие и задача о блуждании на плоскости Вычислять вероятности приходится отнюдь не только при решении шуточных задач или задач. об иrре в кости И1\арты. На теории вероятностей основаны, в частности, кинетическая теория rазов, теория диффу.. зии растворенных в жидкости веществ и взвешенных частиц. 11 
Теория вероятнотей объясняет, почему хаО'lичеСRое, беспорядочное дви}нение отдельных молекул .приводит к tlет:ким:, простым закономерностям движения их больших совокупностей. Первая вовможность экспериментальноrо исследования TaKoro рода соотношений между беспорядочным движени е:м: отдельных частиц и закономерным движением их боль щих СОВОliупностей появилась, :коrда в 1827 rоду ботаник Р. Броу:н открыл явление, которое по ero и:мени названо БРОУНОВСI\ИМ движением. Броун наблюдал под микроскопом взвешенную в воде цветочную пыльцу. К своему удивле-- нию, он обнаРУ}I\ИЛ, что взвешенные в воде частицы пыльцы находятся в непрерывн<!м беспорядочном движении, кото-- рое не удается прекратить при самом тщательном тарании устранить внешние воздействия, способные это движение поддерл-\ивать (например, движение воды под влиянием неравнемерности температуры и т. п.). Вскоре было об.. наружено, что это движение  общее свойство любых достаrrочно мелких частиц, взвешенных в жидкости. Ero интенсивность зависит тольо от температуры и вязкости жидкости и от размеров частиц (движение тем интенсив", нее, чем температура выше, ВЯЗRОСТЬ меньше, а частицы мельче). Каждая частица движется по своей собственной траектории, не похожей на траектории соседних частиц, так что близкие вначале частицы очень быстро становятся удаленными (хотя MorYT иноrда случайно вновь встре- титься). На рис. 1 точками отмечены последовательные поло... жения частицы (rуммиrута в воде по классическим опы.. там Пе.ррена) с промежутками в 30 с. Эти последователь.. вые положения соединены прямолинейными отреЗRами. В действительности траектория частицы еще запутаннее. На рис. 2 схематически показано, что траектория трех частиц, которые в начальный момент были очень близки друr к друrу, совершенно различны. Броуновское движение больmоrо числа частиц можно наблюдать, выпустив в тонкий слой воды на плоском стеклышке каплю чернил. flри наблюдении простым rла.. зом траектории отдельных чернильных частиц увидеть нельзя. Чернильное пятно будет по.степенно расплывать" ея, сохраняя окруrлую форму. Ero oKpacRa будет болев интенсивной в центре, R краям же будет ослабевать. Схематически расположение бельшоrо числа частиц, под.. верженных броуновскому движению, через некоторый 1.2 
промежуток времени после Toro, нак все они вышли И ближайшей окрестности начальной ТОЧКИ, отмеченнои RреСТИ:J\ОМ., изображено на рис. 3. Обозначим через t промежуток времени, прошедший от выхода наших частиц из начальной ТОЧI\И, и через d  диаметр окружности с центром в начальной точив ,  Рис.! 1! Блуждание частицы rуммиrута с промежутками 30 c внутри которой находится половина часТИЦ (см. рис. 3)8 Наблюдение показывает, ЧТQ этот диаметр растет при.. близительно пропорционально квадратному корню .из промежутка времени t, т. е. изменяется примерно по за.. кону l == kYt. (1) Эта закономерность может быть обоснована теоретически средствами теории вероятностей. Сам ее вывод остается за пределами нашей книrи, но в причинах Toro, что диа.. метр d растет не пропорционально времени (как было бы, если бы частицы разбеrались из наальной точки' с постоянной скоростью, не меняя направления), а не.. сравненно медленнее, мы вскоре сможем разобраться. Основные черты броуновскоrо движения частицы мож" но наблюдать уже на упрощенной модели блуждания частицы по плоскости, разделенной на квадратики. R та.. ким упрощенным моделям при изучении более сложных явлений прибеrают и в серьезных нучных исследова.. НIJЯХ. 13 
Будем считать, что ваша частица перемещается из пвадратика, в ROTOpOM она находится вначале, в один ИЗ четырех соседних квадратиков. Ее путь за восемь ша.. rOB lViожет, например, иметь такой вид, как указано на рис. 4. Из начальноrо положения (рис. 5, а) частица может попасть в один из четырех смежных квадратиков, в каш.. дый однимединственным спосо.. бом (рис. 5, б). За два шаrа ча.. стица может попасть в началь.. ное положение четырьмя спосо- бами (выходя в сторону в I одном из четырех возможных u направлении и возвращаясь обратно), еще в четыре клетки частица может попасть двумя Рис-! 2 Траектории БЛУЖJ!а- ния трех чаСТИЦj) ... .... . . .. . . . .. . ...... ,8, -. . . . . . ... Рис. 3.t ПоложеВlJе частиц, вы.. mеllШИХ ив нуля, через не... который промежуток времени. способами в Rаждую и в четыре клетки ..... одним спосо(Jом В ка}ндую (рис. 5, в), Bcero частица может двиrаться В течение первых двух maroB шестнадцатью различны... ми способами. На рис. 5, а указан результат аналоrичноrо посчета ДЛЯ трех шаrов. Здесь число различных путей равно уже 4 + 4.9 + 8.3 =- 64. На рис. 5, д и е указано число способов попадания в различные клетки после четырех и после пяти marOB. {4 
  ) ( '\  Рис. 4. Блуждание частицы по двумерной решетке о) m1 6)+* Рис.! 5 Числа различных путей по двумерной решетке за раЗЛИЧВЫt) промежутки времени. 1 
Лrко ПОНЯТЬ, что число различных путей с ростом числа marOB t pacTe'f как 4 t : Число шаrов Число путей о 1 234 5 1 4 16 64 256 1024 Если сqитать, что частица всеrда помещается в центре зани" MaeMOl'O eIQ I\В8дратика, ТО за t шаrов она может удалиться от наЧtlJIЫIоrо поло;нения не более чем на расстояние th, rде h  длина стороны квадратиков. Но дл этоrо опа ДQЛ,Rна двиrаться прямолинейно. При t == 5 это будет тольно в четырех случаях из 1024. Б большинстве же случа.. ев частица о:кажется в .конце пути значительно ближе R своему начальному положению. Например, при t == 5 в 400 случаях (почти 40 %) расстояние конечноrо положе.. ни:я от начальноrо будет равно единице, а еще в 400 слу.. чалх это расстояние равно V З == 1,73. . . Лишь в остающихся HeMHoro более' чем 20 % случаях частица уйдет дальше. Допустим теперь, что при любом t все пути равно- возмо,нны. Тоrда числа, проставленные на рис. 5, после их деления на 4 t дадут вероятности попадания в соответ" ствующие клетни после t aroB. Обозначив через r рас.. стояние от начальноrо положения, получим при t == 2 TaHYIO таБЛИЧRУ: т2 О 2 4 т О У2 2 Число случаев 4 8 4 Вероятность 1 1 1 4Т4 При t == 5 таблица приобретает следующий вид: т 2 1 5 9 13 17 25 т 1 У5 3 У13 1/ 17 5 Число случаев 400 400 100 80 40 4 Вероятность /400 400 100 80 40 4  1024  1024 1024 ............ 1024 1024 1024 Интересно подсчитать среднее значение расстояния (чертой обозначен переход к 16 :квадрата среднему 
значению): 2 ..9, 8.2 + 4.4 2 при t ==  т---с= 16 == t при t == 5 ;:2 === 5. Можно доказать, что при любом t в нашей задаче т 2 == t. Корень Rвадратный из среднеrо значения нвадрата (называемый в статистике средним RвадратlfЧеским) ра... вен V t. На этом мы закончим исследование нашей задачи. За.. метим только, что рис. 5, е уже обнаРУiIивает большое сходство с рис. I 3. Оказывается, что наша модель случай.. Boro блуждания отдельной частицы хорошо соответствует иаблюдения:м, если предположить, что частицы блуждают независимо друr от друrа (с точным смыслом выражения «независимые испытания» вы познаRомитесь позднее)  5. Блуждание по прямой. Треуrольвик ПаСRаJШ Рассмотрим еще более простую задачу блуж- дания по прямой. За один шаr частица продвинется на расстояние ' вверх или на то же расстояние вниз. ro.- ризонтальную ось теперь удобно использовать для Toro, 9h 11 t. Рис. 6. Развертка во времени одномерноrо дискреТRоrо блуждания. чтобы на ней ОТRладывать число marOB. На рис. 6 изобра.. жен возможный rрафин движения частицы. ЛеrRО понять, что в этой задаче число всех возможных способов перемещения частицы за t maroB будет равно {7 
2 t . На рис. 7 подсчитано число способов, RОТОРЫМИ :можно попасть через t maroB в то или иное положение (на ту или иную ВЫСОТУ). Блуждание TaRoro рода осуществляется в специальном приборе, RОТОРЫЙ называют доской rальтона. На рис. 8 изображена схема возможноrо устройсва этоrо прибора. Метахлические шарики один за друrим попадают в самый верхний канал. Наткнувшись на первое острие, они долщ... вы выбрать путь направо или налево. Затем происходит второй такой выбор и Т. ц. При тщательной подrонке . 1 5 10 10 .; 1 3z JZ FZ Jf J2 2 Рис. 7. Подсчет чи сла траекторий одно.. MepHoro блуждания. Рис. 8. Доска rаль.. тона. деталей выбор пути оказывается вполне случайным: лю.. бой из 2 t способов (в нашем случае t == 5) равновозможец.J Пропустив через прибор большое число шариков, обва... руживают, что доля шариков, попавших в каждое из Деле-- ний внизу, примерно соответствует рассчитанным вероят-- ностям. Оставим теперь приборы, иллюстрирующие физиче... СНИЙ механизм случайности, и займемся математкой. 18 
Выпишем ЧИСЛа из рис. 7 в виде таблицы: -+т о 1 2 3 4 5 6 7 8 Сумма  О 1 1 n f 1 1 2 2 1 2 1 4 3 1 3 3 1 8 4 1 4 6 4 1 16 5 1 5 10 10 5 1 32 6 1 6 15 20 '15 6 1 64 7 1 7 21 35 35 21 7 1 128 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1 256 3акон образования таблицы ясен: в каждой клетне стоит сумма числа, стоящеrо непосредственно сверху, и Числа, стоящеrо сверху слева. Например, 56 :::: 21 + 35. Отдельно приходится оrоворить, что в нулевом столбце и по диаrонали стоят единицы. Можно поступить иначе, считать, что таблица продолжается неоrраниченно влево и вправо, но заполнена там нулями. Ее начало будет Tor 1I:a иметь вид: ......т . . . ........2 ........1 О 1 2 3 4 t О . . . о о 1 О О О О . . . n 1 О О 1 1 О О О . . . . . . 2 . . . о о 1 2 1 О О . . . ' Теперь указанное основное правило заполнения Ta JIИЦЫ будет действовать без всяких исключений, начинав 6 первой строки. Обозначив через СТ;: число, стоящее в таблице на пере- сечении т...ro столбца и n..й строки, можно записать ира.. вило заполнения таблицы в виде формулы С т с т....l + С т n == n1 n1. Особо надо задать числа нулевой строки: с т { 1 при т==О, о ZI:C О при остальных значениях т. Jlаша таблица. (без заполения клеток, rде все равно стоят ВfJIИ) называется треуеО/tъnu-пож П аспадя. 19 (1) 
Вернемся к задаче о блуждании по прямой, но изменим ее пост'ановку. Пусть чаС'lица двиrается ПО rоризонталь-- вой прямой и каждую секунду либо делает один mar впра.. во (на какое"то фиксированное расст<?яние h), либо QCTa.. етсн на месте. За n <mкунд частица сдвинется не более чем  п=' п .... --- "" о о 1 о 1 2 0,4 0,3 п=4 п=$ 0,2 о,, О 1 Z 3 4 О 1 2345678 0,2 · 0,1 п=16 п=З2 о 2 4 6 8 10 12 1* 16 и 4 8 12 16 20 2" 28 32 с. т Y :=R.(т)= п 2 п Рис. 9. rрафики функций Рп(т). на n maroB. Возникат вопрос о том, какое число marOB за n секунд будет наиболее вероятным, если считать все варианты движения равнововможными. .ясно, что крайние случаи (О maroB и n maroB) при больmом числе п появятся лиmь в виде очень редки исключений. Учитывая все сказанное выше, вы без труда докажете, что вероятность сделать т maroB за первые n секунд в 20 
t,J . это и задаче равна с т Р n (т) == : . (2) 2 На рис. 9 даны rрафики Ф1Нкций Р п (т) при n === 1, 2, 4, 8, 16, 32. Масштаб по rоризонтальной оси выбран посте пенно уменьшающимся, так что максимальный возмож", ный пробеr частицы все вре:мя изображается отрезком од... ной и той же длины. Масштаб по вертикальной оси (тде откладываются вероятности) сохраняется неизменным. Мы видим, что наиболее вероятным все время fIвляется gреднее значени пробеrа 1 х == 2 n. Большие же отк.лонения от этоrо среднето с возрастанием n делаются все более редкими. Можно доказать, что сред... нее -пвадратuчес-пое отплоnеnuе от среднето пробеrа в этой задаче равно 1 .. j...... ТУ n. Например, за 10 000 секунд средний пробеr. будет 5000 шаrов, а среднее квадратическое отклонение от этоrо  среднето будет лишь 50 шаrов. Здесь мы соприкасаемся с одним из фундаментальных предложений теории вероят" ностей ---- законом больших чисел, о, котором речь будет идти в rлавах 3 и 5. t 6. Бином Ньютона Числа Cr;: называются биномиальными коэ фициентами. При этом имеют в виду их обычное употреб пение в алrебре, не вязанное с теорией вероятностей и за дачами о блужданиях. Вам известны ФОРМУЛЫI' (а + Ь)О == 1, (а + Ь)l === а + Ь, (а + Ь)2 :::::2 а 2 + 2аЬ + Ь 2 , (а + Ь)З zct аЗ + 3а 2 Ь + 3аЬ 2 + Ь 3 . Qбращает на себя внимание то обстоятельство, ЧТО число... :рые коэффициенты ванты иа соответствующих строк тр&-- уrqльника ПаСI\аля. 21 
Вычислим еще: (а + Ь)4 == (а + Ь)3 (а + Ь); для этоrо надо умножить аЗ + 3а 2 Ь + :jab 2 + Ь 3 на а и на Ь и результаты сложиты а 4 + 3а 3 Ь + 3а 2 Ь 2 + аЬ З + а 3 Ь + 3a 2 b>f2 + 3аЬ 3 + Ь 4 а 4 + 4а 3 Ь + 6а 2 Ь 2 + 4аЬ 3 + Ь 4 МЫ видим, что Rоэффициенты суммы получаются точно по тому же правилу , по хахому формировался треуrольник ПаСRаля. ВОЗНИRает rипотеза, что всe:rда {а + ь)n == а'п + Can1b + . . . + Cr:anтbffi + . . . + ь n . () rипотеза верна. 3нахомые с методом математичеСRОЙ ИН- ДУRЦИИ MorYT ,:Ьровести cTporoe ДОRазательство формулы бинома Ньютона (1), опираясь на равенство (1) из  5. i 7. БИВОМИ8JIьвые коэффициенты u и число сочетании Числом сочетаний из п по т называется число способов выделения из множества, состоящеrо ив n предметов, подмножества, состоящеrо из т предметов. Например, из множества, состоящеrо из четырех БУRВ А,Б,В,r, :можно выделить шесть различных подмножеств, состоя.. щих Rждое ИЗ двух БУRВ: {А, Б}, {А, В}, {А, r}, {Б, В}, {Б, r}, {В, r}. ." ОRазывается, что число сочетаний из n по т равно СООТ" ветствующему элементу треуrОЛЬНИRа Паскаля с::". Этот фаRТ леrRО понять, если обратиться R последней задаче о блуждании из  5. Например, чтобы определить в этой задаче число различных способов, хоторым эта час.. тица может сделать два mara направо за 4 с, надо пере.. брать все способы выделения из четырех сеRУНДПЫХ про", 22 
меЖУТRОВ двух промеЖУТRОВ. tfаких способов шесть: 1 234 -1 + + 2 + + 3 + + 4 + + 5 + . + 6 + + Знакомые с методом математической индукции MorYT провести общее доказательство, опираясь на равенство (1) из  5.  8. Формула, выражающая биномиальные коэффициенты через факториалы, и ее примевевие к вычислевиlO вероятностей Эта замечательная ФОРМУJIа имеет вид: т п! Сп === т! (п  т)l · (1) Ее тоже можно доказать при помощи метода M:aTeMa тической индунции. Дадим друrое, более непосреДСТВСl.L-- пое ДОRазательство. Если из п предметов отобраны т, то можно т! спосо бами занумеровать отобранные предметы числами: 1, 2, 3, . . ., т. Оставшиеся n...... т предметов можно ааВУlVfсровать чис- uами: т + 1, т + 2, . . ., n (п  т)! способами. Таким образом, получим т! (п ....... т)1 u нумерации Bcero множества из n предметов числами: 1, 2, . . ., n. Но сам отбор т элементов из n можно произвести C спо.. собами. Таким образом, Bcero мы получим: ст; тl (п ...... т)! 23 
Таблица аоrарвфиов факториалов n I 19 n!  n ]g пl n ]g п! n ]gn! , 1 0,0000 26 26,6056 51 66,1906 76 111,2754 2 0,3010 27 28,0370 52 67,9066 77 113,1619 3 0,7782 28 29,4841 53 69,6309 78 115,0540 4 1,3802 29 30,9465 54 71,3633 79 116,9516 5 2,0792 30 32,4237 55 73 t 1037 80 118,8547 6 2,8573 81 83,9150 56 74,8519 81 120,7632 7 8,7024 82 35,4202 57 76,6077 82 122,6770 8 4,6055 33 36,9387 58 78,3712 83 124,5961 9 5,5598 84 38,4702 59 80,1.420 84 126,5204 10 6,5598 85 40,0142 60 81.,9202 85 128,4498 11 7,6012 36 41,5705 61 83,7055 86 130,3843 12 8,6803 87 48,1387 62 85,4979 87 132,3238 13 9,7943 38 44,7185 68 87,2972 88 134,2683 {4 10,9404 89 46,3096 64 89,1034 89 136,2177 15 12,1165 40 47,9116 65 90,9163 90 138,1719 16 13,3206 41 49,5244 66 92,7359 91 140, 1310 17 14,5511 42 51,1477 67 94,5619 92 142,0948 18 15,8063 43 52,781.1 68 96,8945 ЯЗ 144,0632 19 17,0851 44 54,4246 69 98,2333 94 146,0864 20 18,,3861 45 56,0778 70 100,0784 95 148,014! 21 19,7083 46 57,7406 71 101,9297 96 149,9964 22 21,0508 47 59,4127 72 103,7870 97 151,9831 23 22,4125 48 61,0939 73 1.05,6503 98 153,9744 24 23,7927 49 62,7841 74 107,5196 99 155,9700 25 25,1906 50 64,4831 75 109,3946 100 157,9700 нумераций полноrо множества из n элементов. Каждую нумерацию этоrо ив:ожества мы получили ровно оди:а: раз. Bcero же их п!. Поэтому: с:'тl (п  т)1 == nl, с т .......... п! ft.......... т! (п ......... т) I ' что и требовалось доКазать. Чтобы формула (1) бьша верна и при n == O и при т == О, надо положить: О! === 1 24 
Формула (1) позволяет вычислять C в сдучае боль п'их n и т -с помощью таблицы лоrарифмо:в факториалцв (СМ. таблицу или формулу СТИРЛИНl'а).  9. Формула Стирливrа Дж. Стирлинr (1730 r.) преД!lОЖЦЛ РЧ}10" жение натуральноrо лоrарифма nl, в бесконечный ряд. ln п! ::= п ln п  п + + ln п + ln У2Я + + 81 82 + + ( 1) т+l 8т + -п...... п В · · ....... n tт --- 1 . · · , rде ЧИСЛа Sm MorYT быть выписаны в явном виде, напри- мер, 81 ::::: 1/12, 82 == 1/360. Ряд этот расходится, однаНо при любом натуральном т верно равенство: 1 .. i ]п п! == п ln п  п + т ln п + ln у 2п + в е + !!.. ....... !L. + ( ..... 1 ) т+l .,т э · · · 2т 1 · ппп .. rде О < е < 1. Для вас представляют интерес тание С.Ч8ДСТВИЯ ц\>" е,ледней формулы: ln п! "" п ln n, (1) \ Jn пl  .п ln n  п + о (In п), (2) ..i е ]n п! == n ]n п ....... п + ln f 2п:п + 12п' О < е < 1, (3) п!  У 2л:п nnen. (4) Эдесь, нак всеrда, f  g обозначает 1/ g -+ 1, f == g + + о (h) обозначает! что 11;8/ оrраничено. Формула (t) плоха и приводится ЛИШJ» как простейmее асим:птотич&- СНое выражение для п!. Мы дадим простое ваrлядное ДО-- Rазательство формулы (2). В процесе доказательства по-- пучится оценКа остатка О (ln п). Так как ln п! === ln 2 + ln 3 + . . . + ln п 25 
и функция ln х ВЫLУI{ла вверх, из рис. 10 видно, что раз.. n ность между ln п! и  ln х ах положительна и меньше 1 tn2  --- --- ш5 4 --------- tn3 .... о , 2 s iJ. 5 6 7х РИО 4 10. Схема вычисления ивтеrрала ОТ ln х., суммарной площади заштрихованных треуrольников, ко.. roрая paBH 1/ 2 1 n n. Подсчитав 11,  ln xdx """ (х lnx  х) I == nln п  п + 1) 1 получим, что n ln n ......... lJ, + 1 < ln 1J,! < n In n ........ n + 1/ 2 1 n n + 1. Вычислим, например, в задаче из конца  5 вероят рость Сllелать за 100 секунд ровно 50 шаrов. Эта вероят" ность равна CO 1001 P100 (50) == 2100 === 2:100 (501)2 Лоrарифмические вычисления не сложны: 19 1001 == 157,9700, 19 2 == 0,3010300, 19 2100 == 30,1030, 19 50!  64,4831, 19 (50!)2  128,9662, 19 РI00 (50) == 2 ,9008, РI00 (50) ==: 0,0796  0,08. Z6 
rЛАВА 2 ВЕРОЯТНОСТЬ И ЧАСТОТА Числ-енное значение вероятностей в приме.. рах rлавы 1 получается из к л а с с и ч е с к о r о определения, в соответствии е которым вероятность ка.. коrолибо события равна отношению числа исходов, блаrо.. приятствующих этому событию, к общему числу равно... возможных исходов. Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчету элементов Toro или иноrо множества и оказывается чисто комбинаторной задачей (иноrда весь.. Ма трудной). Классическое определение оправдано тоrда, коrда существует возможность предсказания вероятности на основании симметрии условий, при которых, происхо дит испытание, и, вследствие этоrо, симметрии исходов испытания, что и приводит К представлению о «равновоз.. можности». Например, если сделанная из однородноrо материала rеометрически правильная иrральная кость подбрасывается так, что она успевает сделать достаточно большое число оборотов перед тем, как упасть, то выпаде'" вие любой из ее rраней мы считаем равновозможными ие.. ходами. По тем же соображениям симметрии мы считаем равновозможными исходы TaKoro эксперимента: из сосу.. да, в КQТОРЫЙ помещены одинаковые по размеру и массе, тщательно перемешанные и неотличимые на ощупь елые и черные шары, «наудачу» вынимается шар за Шаром так, что после реrистрации цвета каждый шар возвращается обратно в сосуд и после тщательноl'О перемеmивания про изводится извлечение следующеrо шара'. Таким образом, Rлассическое определение лишь сводит понятие «вероят" вости» К понятию «равновозможности». «Равновозмож" вость» представляет собой объективное свойство испыта... пий, определяемое условиями их проведения, но, как nсяное J\oHKpeTHoe свойство, может быть установлено только с известной степенью точности. Наше представле'" !Вие о «сим:метричных» костях, монетах и т. п. было бы 27 
только иллюзией, если бы данные опыта не подтверждали правоту сделанных" предположений. Существует мно", жество примеров испытаний со случайными исходами, ко... торые MorYT быть повторены большое число раз в одина-- ковых условиях. При рассмотрении результатов отдел,-ЬНЫХ испытаний очень трудно найти какие--либо закономер-- ности. Однако в последовательности одинаков:ых испыта-- пий можно обнаружить устойчивость некоторых средних характеРИСТИR. Назовем частотой какоrо--либо случай-- поrо события А в данной серии из n испытаний отношение т/п числа т тех испытаний, в которых событие А насту-- пило, к общему их числу. Наличие у события А при оп-- ределенных условиях вероятности, равной р, проявляется в том, что n о ч т и в каждой достаточно длинной серии испытаний частота события А приблизительно равна р. V стойчивость значений частоты неоднократно подтверж-- далась специальными экспериментами. В качестве иллюст-- рации рассмотрим данные по проверке симметричности ыонеты. Пусть т  число выпадений rерба в n испыта-- виях, так что т/п  частота выпадения rерба. В следующей табличке помещены результаты, экспериментально полу-- ч:енные разными исследователями, начиная с XVIII века (их фамилии помещены в левом столбце таблички): n т/n Бюффон 4040 0,507 Де MopraH 4092 0,5005 Джевоно 20480 0,5068 Романов-- 80640 0,.4923 СRИЙ Пирсон К. 24000 0,5005 ФеJlлер 10000 0,4979 Данные проверки в совокупности показывают, что пред-- положение о равновозможности rерба и решки, т. е. о том:, что с вероятностью 0,5 появляется любая сторона монеты, находится в соrласии с опытом. Это соrласие по данным таблички кажется вполне удовлетворительным, однако, если для исследования применить специальные вероят-- ностные методы, то вполне возможен вывод, что выпадение rерба и решки в отдельнь}х случаях не одинаково вероят", но, Это будет проявлением Toro факта, что любая реаль... наЯ монета не является идеально симметричной. И тем не менее, представление об абсолютно симметричной МОНР" те очень полевно, так как во мноrих приложениях теории 28 
вероятностей такая модель с двумя равновозможными ис- ходами достаточно точно описывает случайные явлвия. и даже точнее, чем эксперимент с подбрасыванием монеты. Статистические закономерности TaKoro рода были впер- вые обнаружены на примере азартных иrр, таких как иrра в кости, иrра в «орел  реШI\У», карточные иrры и Т. п., Т. е. на примере тех испытаний, которые характеРИ8JIOТ- си равновозможностью исходов. Эти наблюдения открыли путь для с т а т и с т II Ч е с и о r о подхода к численно- му определению вероятности, RОТОРЫЙ особенно важен тоrда, коrда из теоретических соображений, подобных соображениям симметрии, значение вероятности заранее установить нельзя. Например, если некий стрелок при 100 попытках попал в цель 39 раз, то можно думать, что для Hero вероятность попададия в цель при одном выстре.- ле и при неизменных условиях стрельбы близка к 39/100 =- == 0,39. Однако, таи как у нас заранее нет никаких пред. ставлений о том, какова эта вероятность, нам нужно быть уверенным в том, что результаты стелка устойчивы на протяжении достаточно большоrо числа попытон пора-- зить цель. Рассмотрим несколько серий испытаний, проходящих в неизменных условиях,  пусть п 1 , п 2 , . . ., п з  числа испытаний в каждой серии. Предположим, что в каждом испытании происходит или не происходит событие А, и пусть т 1 , т 2 , . . .'- m s  соответственно числа испыта.. ний, которые завершаются появлением события в иаждоi серии. Тоrда т 1 /п 11 т 2 /п 2 , . . ., тз/п з образуют ряд соот- ветственных частот. Явление статистической устойчивое.. ти состоит в том, что частоты, полученные при достаточно больших значениях п 1 , п 2 , . . ., n s , обнаруживают незиа 4t чительные отклонения друr от друrа или от некоторой с.редней величины. Например, еще в XVIII веке было аа.. мечено, что среди обычной корреспонденции письма без rод I Все письма \ Письма без адреса 1906 1907 1908 1909 1910 983000000 1076000000 1214000000 1357000000- 1507000000 26112 26977 33515 33643 40101 29 
адреса обладают определенной устойчивостью_ Данные абличк па Cl 29 ! собранные по материалам русской почтово:р: сrатистики, свидетельствуют о том, что JIa про тяжении нескольких JIeT на Rаждый миллион писем при.. ходилось в среднем 2527 писем без адреса. Приве.«ем также данные о рождаемости в Швеции за !935 rод по материалам r. Нрамера (1 ...... ЧИСЛО рождений, т/n ....... частота рождения мальчика): Месяцы 1 11 111 IV V VI \..о- п , 7280 6957 7883 7884 7892 7609 т/п 0,514 0,510 0,510 0,529 0,522 0,518 -  \ VII I \ XI I ХП I Месяuы VII1 IX Х За rод п 7585 7393 7203 6903 6552 71в2 88273 т/n 0,523 0,514 0,515 0,509 0,518 0,527 0,517 I I , I Несмотря на то что общее число рождений меняется в течение rода, частота рождения мальчика довольцо ус.... тойчиво колеблется около среднеrо значения 0,517. Тако.. ro рода статистические закономерности были открыты овольно давно, еще в XVIII веке, в демоrрафических ма.... териалах ...... при изучении статистики рождаемости, смерт.... ности, несчастных случа.ев и т. д. И ее использовании, на.. пример, в страховом деле. Позже, в конце XIX и начале ОСХ века были обнаружены новые статистические законо.. мерности в физике, химии, биолоrии, Эt(ономике и друrих науках. При вероятностном анализе этих данных основа.... пием для количественных оценок вероятности обычно мо" rYT служить только сами эти статистичеСRие данные. Итак, по поводу связи вероятности с частотой нужно иметь в виду следующее. При конечном числе п испытаний при неизменных условиях доля числа испытаний т, в ко.. торых данное- событие появится, т. е. частота события т/п, как правило, мало отличается от вероятности р. И чем больше число испытаний, тем реже встречаются скольнибудь значительные отклонения частоты т/п от вероятности р ---- ч а с т о т а о т к л о н е н и й стано.... 30 
вится все меньше. Это утверждение о близости частоты и вероятности математически уточняется законом боль тих чисел в форме теоремы Бериулли, о которой будет рассказано в rлаве 3. Проводя большое число наблюдений, мы принимаем частоту за приближенное значение вероят" ности, существование которой и постулируетсл на основа.. нии резу.tIьтатов наблюдений. Способы оценок неизвест.. ной вероятности по результатам наблюдений будут про.. демонстрированы на примере задач  4 rлавы 6. При третьем подходе к определению вероятuости  1\ К С И О М а т и ч е с к о м ....... вероятности задаются ие.. речислением их свойств. Простейmие свойства вероятное.. ти определяются естественными свойствами частоты т/п: 1) О <: т/ п < 1; 2) если событие появляется при каждом испытании, 2'. е. оно достоверно при любом п, то т == n й mln === d; 3) если т1 И8 fl испытанИй привели к осуществлен события А, а т 2 ....... к осуществлению события В, и при атом ни в 'одном из п испытаний события А и В не появЙ.. JIИСЬ o)jНoBpeMeннo, то частота т события, состоящеrо в появлении либо А, либо В, равна т/п ;;; тl/п + т2/п. При изложении I'еории вероятностей свойства вероятнО&- ти формулируются в виде аксиом. Ныне иринятое аксио" матическое опрееление вероятности было введено в 1933 rоду А. Н. Rолмоrоровым. Для случаев, которые рассматриваются в книrе, вероятность задается :как чис.. ловая функци Р (А) на множестве всех событий, опре.- деляемых данным экспериментом, которая удовлеТВОРЯ8'l следующим аксиомам: 1) О < Р (А) < 1; 2) р (А) == !, если А ...... достоверное событие; 3) р (А U В) == р (А) + р (В), rде событие А U В означает осуществление или события А, или события В, причем А и R не MorYT произойти О}J;новремепно. Эти ак" сиомы в простейmих случаях проверяются (см. подробнее в rлаве 3), в более сложных случаях служат еинственны1( способом задания вероятностей. Однако ни аксиомы, ни классичеОRИЙ и сттпстический походы к определению вероятностй не дают исчерПываю-- щеrо определения реалыIrоo содержания понятия «вероят.. НОСТЬ»l а ЯВЛЯIОТСЛ лишь приближениями ко все боJiее 31 
полному ero раскрытию. Предположение о том, что при дацвых условиях для данното события существует вероят- ность, является rипотезой, :которая в нажДОЙ отдельной задаче требует проверки и обосно'Вавия. Например, имеет смсл rОВQРИТЬ о веОЯТНОСТlI попаданиЯ в цель заданных размеов с заданноrо расстояния из оруя И8вестноrо обрs.зца СТIJелком, выбранным «наудаqу» из опредеJIенно rQ подразделения. Однако было бы ..бессыысл.енно rоворить О uроятности IJопадания в цель вообще, если об условиях стрельбы ничеrо 'неизвестно. По численным значениям вероятностей, определенным Rлассическим или статистическим способ6м, MorYT быть вычислены по правилам теории вероятностей новые вероят- ности. Например, если вероятность выпадения rерба при одном бросании :м:онеты равна 1/2, то вероятность Toro, что при четырех «независимых» бросаниях монеты хотя бы раз выпадет rерб, может быть вычислена следующим образом. Вероятность события, состоящеrо в том, 'что rерб не выпадет вовсе при четырех бросаниях, равна 1/24, так нак этому событию блаrоприятствует лишь один исход иs общеrо числа 24 равновозможных (в силу симметрии монеты) исходов. Так нак оба рассматриваемых события взаимно исключают и взаим:но дополняют друr друrа, 10 сумма их вероятностей (это следует из свойств 2 и 3) рав.. на 1. Поэтому искомая вероятность равна 1  (1/2)4 == :::;: 15/16 == 0,9375. Заметим, что частота этоrо события в эксперименте из 20 160 бросаний четырех монет, проделан.. ном В. и. Романовским (1912 r.), приняла значение 0,9305. ПОДрQБНQ о правилах вычисления вероятностей мы рас.. СRажем в следующей rлаве. Очевидно, что утверждение, что вероятность KaKoro.. либо события весьма БЛИЗRа н единице, имеет rоравдо большую практическую ценность, чем утверждение о том, что событие наступает с вероятностью, равной, например, 1/2. Это объясняется тем, что мы интересуемся практиче.. ски достоверными выводами и стремимся к пим. R при:меру, при 10 бросаниях симметричной 10HeTЫ появление десяти rербов или десяти решек очень маловероятно; вероят" ность этоrо события равна 1/210 == 1/1024 == 0,00098. Но и утверждение, что rерб выпадет ровно пять раз,... не имеет достаточных оснований, хотя эта вероятность в 252 раза больше предыдущей: Co/210 == 252/1024 == 0,24609. Более Toro, утверждая, что rерб выпадет 4, 5 или 6 раз, мы еще довольно сильно рискуем ошибиться; вероятность 32 
CO + CO + CO 672 этоrо собыrия равна 210  1024 == 0,65&25. Наиболее достоверный проrноз возможен лишь в отноше нии события, заключающеrося в появлении rерба хотя бы раз, но особой практической ценности утверждение об осуществлении этоrо события не имеет, так вак это собы тие противоположно очень маловероятному событию, :которое состоит в невыпаденииrерба вовсе. Однако увели чение числа испытаний делает проrноз более содержатель !Вым и надежным. При 100 бросаниях симметричной MOHe ты уже без праRтичеСRИ ощутимоrо риска можно заранео утверждать, что число выпавших rербов будет лежать между 39 и 61; вероятность этоrо события равна 61  CO т....==39 1o() следовательно, мы можем считать это событие практиче ски достоверным, но при этом отдавать себе отчет в том:, что если, например, данный эксперимент производится 100 раз, то в среднем приблизительно в двух случаях мы будем встречаться с событием, противоположным данному, так как вероятность противоположноrо события равна 0,02124. Для сравнения укажем, что вероятность Toro, что число rербов заключено :между 35 и 65, равна 0,99822. Решение вопроса о практической достоверности, в BO торому приводит описанный выше расчет, непосредствен НО связано с вопросом о том, вавими вероятностями можно пренебреrать на практике. Этот последний вопрос pc mается в каждом отдельном случае поразному и, как пра вило, за рамками теориц вероятостей. В большинстве случаев пренебреrают уже вероятностями 0,05. Если ус-- ловия. практической задачи допускают такую долю оmи бок (в среднем 5 случаев на каждые 100 эвспериментов), то мы считаем событие, происходящее с вероятностыu 0,95, праI{тичес:ки достоверным. В друrих, более деликат-- ных случаях принято пренебреrать лишь вероятностями  0,001, а иноrда требовать и еще большеrо приближения вероятности отсутствия ошибки в единице. Эти рассуж u дения основаны на практическои уверенности в том, что если вероятность события очень мала, то при одновратно:м иепытании это событие не осуществится. Примеры подоб.. БЫХ рассуждений" о практичесвой достоверности будут обсуждаться в rлаве 6. == 0,9787(:; 2 А. Н. Нолмоrоров и ДР. зз 
r ЛАВА 3 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ВЕРОЯТНОСТЯХ  (1. Определение вероятности Рассмотрим испытания со случайными ис.. хода:ми. Пу..JТЬ при :каждом испытании может появиться любой из п равновероятных исходов, и толь:ко они. Обо.. значим их символами Е 1 , Е2'- . . ., Еn. При бросании моне.. . . ты MorYT появиться толь:ко два исхода: Е 1  rерб и Е 2  решка. При бросании иrральной :кости мотут произойти 6 исходов: Е 1 , Е 2 , Е з , Е 4 , 'Е б, Ев, соответствующие выпад&- нию одното, двух, трех, четырех, пяти и шести оч:ков. Ее.. ли в лотерее имеется 1000 билетов, то при вынимании одно.. то билета имеются 1000 равновероятных исходов. Любое возможное множество исходов мы будем назы.. вать случайnьм собьтиеJJt. Так, например, при бросании иrральной :кости выпадение четноrо числа оч:ков, т. е. появление либо rрави с двумя очками, либо с четырьмя, либо с шестью, является случайным событием. Точно так же выпадение rрани с тремя оч:ками ЯВJIяется случайным событием. Появление любоrо из событий Е 1 , Е 2 , Е з , Е4' E r )7 Ев, т. е. появление :ка:коrолибо числа очков, также Является случайным событием. Это случайное событие обладает одной особенностью, оно обязательно наступает и поэтому называется aocmoeepnblM событием. Пусть А  некоторое случайное событие и оно Ha ступает тотда и только тотда, котда наступает xo'.tJI бы один из т различных определенных исходов йз общеrо числа п возможных. .Вероятностью события А называет.. ся отношение т/n,......... :как rоворят, отношение числа блаrоприятствующих событию А исходов к числу .всех возможных. Вероятность события А обозначают символом р (А). Таким образом, р (А) ;;;; т/ Tt. (1) 54 
В частности, при любом i (1 < i -< п) , Р (E i ) ;:=: 1/п, а ДЛЯ события и, происходящеrо каждый раз, котда насту.. пает 1\8кое--то из событий E i , которому блаrоприятствуют все возможные исходы, Р (И) =:=; 1. Событие U и в общем случае называется достоверным. и р и м е р 1. Лотерея состоит из 1000 билетов, ере.. АВ них 150 выиrрышных. Вынимается произвольный (обычно rоворят «наутад») билет из 1000. Чему равна ве.. роятность тото, что этот билет выиrрышный? Различных исходов в этом примере 1000 (п ;;;;:: d.OOO). I Б интересующее нас событие А входят 150 исходов, еле.. овательно, т;:= 150. Таким образом, соrласно опре.це... лен:ию: 150 3 Р (А) == 1000 == 20 · При м е р 2. В полученной партии деталей оказа лось 200 деталей первото сорта, 100 деталей......... BToporo сорта и 50 деталей  третьето сорта. Наудачу вынимает си одна из деталей. Чему равны вероятности получить деталь nepBoro, второто или третьето сорта? В нашем примере п == 350. Обозначим соответственно через А, В, С случайные события, состоящие, ceOTBeTCT венно, в получении детали первото, второто или третье/rо сорта. Леrко видеть, что 200 4 100 2 Р (А) == 350 == Т ' р (В) 4== 350 == Т ' 50 1 Р (С) == 350 === Т · При м е р 3. Бросается иrральная кость. Чему paB вы вероятности следующих событий: А ---- выпадет rpaHb с 6 очками, В ---- выпадет rрань с четным числом очков, С ......... выпадет трань с числом очков, делящимся на 31 В нашем примере п == 6. Событию А блаrоприятствует только один исход, событию В......... три исхода, событию С  два исхода. Таким образом, 1 3 1 2 1 , Р (А) === 6 ' Р (В) === 6 == "2: ' Р (С) === 6 == 3. При м е р 4. Известно, что в mRоле с 900 учащимися имеется 60 учеников, которые по всем предметам имеют 2* 35 
отличные оценки, 180 учеников только' по одному пред- мету имеют хорошую или удовлетворительную оценку, а по остальным отличные, 150 учащихся не имеют ни одной отличной оценки, а 20 учащихся имеют отличные оценки по всем предметам, кроме одноrо, по которому у них оцен" ка неудовлеТБорительная. Чему равны вероятности, ветре.. тив учащеrося этой школы, (А)  увидеть отличника, (В)  учащеrося, у KOToporo хотя бы по одному предмеr.tУ имеется отличная оценка, (С)  учащеrося, у KOToporo только по одному предмету нет отличной оценки? B нашем примере n == 900. Вероятность первоrо со..  бытия находится просто, она равна 60 1 Р (А) == . 900 == 15 · Событию В блаrоприятствуют все учащиеся, за ИСRЛЮ" чением 150. Таким образом, 750 5 Р (В) == 900 ==6. Событию С блаrоприятствуют, во--первых, 180 учащих.. ся, у которых оценки по всем предметам «положительные» и ТОЛЬRО по одному нет отличной оценки, а также 20 уча.. щихся, имеющих поодному предмету неудовлетворитель.. вую оценку  по остальным отличные. Следовательно, J 200' 2 Р (С) == gOO == 9 · * 2. Операции с событиями: u теорема сложения вероятвостеи Для дальнейшеrо нам полезно ввести неко" торые понятия. Суммьй или объдинением событий А и В назовем со.. бытие, состоящее кан из исходов, составляющих А, так и ИЗ исходов, составляющих В. Те исходы, которые BXO ДЯТ И В А, и в В, считаются только один раз. Сумму собы-- тий А и В мы будем обозначать символом А U В. Пусть А и В обозначают выпадение при бросании иr..  ральнои кости соответственно четноrо числа очков и чис.. ла очков, HpaTHoro трем. Событие А состоит ИЗ исходов Е 2 , Е 4 , Ее; событие В .:..... из исходов Е з , 6. Событие А U U в состоит .из исходов Е 2 , Е з , Е 4 , Ев. Исход Ев у нас встреЧ}JСЯ нан в событии А, так и Б событии В. Заметим. 36 
что событие В мы можем записать таRже в ВИде оуммы событий Е з и Е6. Понятие суммы распространяется естественным путеI на любое число событий А, В, . . ., N. Событие А UBU... . . . U N состоит из тех и ТОЛЬRО тех исходов, ноторые входят в состав хотя бы одноrо из событий А, В, . . ., N. Теперь и событие А, приведенное нами ТОЛЬRО что для иллюстрации понятия суммы двух событий, мы можем за писать в виде суммы А == Е 2 U Е4, U Е6. Пересечеnuем двух событий А и В назовем событие, состоящее из тех и только тех исходов, ноторые входят как в А, тан и в В. Такое событие будем обозначать А n В или А В . В примере с бросанием иrральвой кости пересечение событий А и В состоит из одноrоединственноrо исхода Е6. Таким образом, АВ · Е6. Понятие пересечения событий естественно распростра няется на любое число событий А, В, .'. ., N. Пересече нием событий А, В, . . ., N назовем событие А"В . . . N, состоящее из тех и ТОЛЬRО тех исходов, которые входят в СО,став Rаждоrо из событий А, В, . . ., N. П ротU(Jоположnым co6bLтueJtt или дополнением собы-- тия А' назовем событие А , сосfuящее .из всех тех исходов, ROTopble не входят в состав А. В иллюстраТИВНОl\1 примере с иrральной RОСТЬЮ собы тие А == Е 1 U Е з U Е 5 состоит 'в выпадении нечетноrо числа ОЧRОВ; событие В == Е 1 U Е 2 lJ Е4, U Е 5 , т. е. co стоит' в выпадении числа ОЧRОВ, не делящеrося H. Очень наrлядна и часТо бывает полезной rеометр'Иче СRая иллюстрация понятия СQбытия и толрко что опреде ленных понятий. Представим себе t что каждый исход Изо бржается точкой H ПЛОСRОСТИ. Событие мы будем обо вначать, взяв определенные ТОЧRИ в рМRИ И заmтрихо-- вав полученную область. На рис. 11 приведены события 'А, В, А , В , А U В, АВ. ДЛЯ прйведенной на рис. 11 иллюстрации общее число исходов равно 36. Подсчитав число точек, находящихся в соответствующих заштрихованных областях, находим, что 9 1 16 4 Р (А) ==36 ==4' р (В):=: 36 ==9' ...... 27 3 20 5 Р (А) ===36 . 4' ,Р (В) ==36 == 9" 21 7 4 1 Р (А U В) == 36 == 12 ' Р (АВ) == 36  9 · 37 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . it . . . . . . . . . . . . . - . . А В /";," ;' /.  . 1. / /: /1 /. ;'/:   ...... /.    //  h  1.  ,-  ,-   . . .  ,-  1.     1. 1.  1. . . . .., //  I./ . . . 1.     1./ ......  "/ /..1.      /  I.    "/   /a ." А / 'l// . . . . 1. . . . .  . . . . 8 . . . 1. 1.  /   '/ /. /. В . .  . . . . . . . . . . 8 . е о . /:. <t . 'l/ О  . /'/ . . 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . е 8 8 f) . , Аи8 АВ Рис. 11. Иллюстрация суммы и пересечения событий.! rоворят, что событие А влечет за собою событие В (roBo рят также, что В содержит, является следствием:, вклю-- чает А), и обозначают это символом А С В (или В  А), ее ЛИ все исходы, составляющие А, входят И в В. Очевидно, что всеrДа А С А U В,. АВ С А (конечно, I В С А U В, АВ С В) 3? 
Для операций над событиями часто используют скоб.. ни, чтобы показать, в какой последовательности следует производить действия. Например, (А U В) (В U С) оз начает, что сначала нужно найти сумму событий А и В, а также В и С, а зате1\1 взять пересечение получившихся событий. Обратим внимание на то, что в том множестве случай ных событий, которое мы ввели, операции пересечения co бытий И нахождения противоположноrо события выпол нимы не всетда. Действительно, если события А и В не содержат общих исходов, то их пересечение не является событием при данном нами определении (оно не состоит из каких--нибудь исходов). Точно так же, если событие А является достоверным, то противоположное ему событие А в определенном нами классе случайных событий не cy ществует. Чтобы исключить такие возможности, мы попол ним класс случайных событий nевО3МОЖllЬL.-м соБЬLтuем, в которое не входит ни один из исходов. Иными словами, невозможное событие состоит из nycToro множества исхо дон. Обозначим невозможное событие символом v. Te перь мы уже свободны от возможных исключений и можем rоворить, что операции пересечения событий и нахожде ния противо!!оложноrо события всетда вполнимы. В частности, и ==-- v. Очевидно, что мы должны положить р (v) == о. Про события А и В rоворят, ч.то они neC08MecтnbL, если их пересечение является невозможным событие{. Если А и В несовместны, то Р (АВ) == о. Сформулируем теперь "'несколько свойств вероятности. 1. Для каждоrо случайноrо события А определена ero вероятность Р (А), причем О -< Р (А) -< 1. 2. Для достоверноr<J события и имеет место равенство Р (И) === 1. 3. Если события А и В несовместны, то (теорема сло- жения вероятностей): р (А U В) === Р (А) + р (В). 4. Для противоположных событий А и А имеет место равенство: р (А) ::z: 1 ----- Р (А). Первые два свойства очевидны и следуюt' из самото определения вероятности случ:аЬоrо события (включая, eCTeCTeHH02 и невозможное). 89 
Докажем свойство 3. Пусть событие А содержит т ИСХОДО'В, а событие В ----- k исходов. ПОСКОЛЬRУ, по пред.. ПОJI2f(ению, события А и В несовместны, то событие А U fJ состоит ровно из т + k исходов. Теперь, по определению, р (А U В) == т +  ===!!:... +  . ппп Но р (А) == т/п, Р (В) == k/n. Это и ДОRазывает свой.. СТВО 3 :....... теорему сложения вероятностей. По определению противоположных событий А и А имеем: 1) А U А ::::% и и 2) А и А несовместны. Поэтому в силу свойства 2 р (А U А) == 1, а в силу свойства 3: р (А U А) == Р (А) + Р (А). Свойство 4, таRИМ образом, доказано. Докажем теперь одно обобщение "свойства З. Пусть события А 1 , А 2 , . . ., Ak попарно пecoeMecтиbt, т. е. для каждой пары событий А i И А j при i =F j имеет место ра.. венство AiAj== У. Тоrда: р (А 1 IJ А 2 U · · · u Akl U A k ) == === р (А 1 ) + р (А 2 ) + · · · + Р (Akl) + Р (A k ). Действйтельно, события ..41 U А 2 U · · · U A k -- 1 И Ak несовместны и в сумме дают А 1 U А 2 U · · · u A k -- 1 U U Ak. Поэтому В силу теоремы сложения Р (А 1 U А 2 U · · · u A k -- 1 U A k ) === ::::= р (А 1 U А 2 U · · · u Akl) + Р (A k ). 110 теперь снова события Al U А 2 U · · · u A 1t -- 2 И A k -- 1 несовместны и в сумме дают А 1 U А 2 U ... u A k -- 1t поэтому В силу теоремы сложения р (А 1 U А 2 U · · · u Ak2 U A k -- 1 ) == == Р (А 1 U А 2 U · · · u A k -- 2 ) + р (A k -- 1 )., 1'аким ч,рраsом, ..... ... t"" " . р (А 1 U 2 U · · · U A k ) == :;; р (А 1 U А 2 U · · · u A k -- 2 ) + Р (A k -- 1 ) + Р (A k ). .  iO 
Повторив проведенные рассуждения еще k...... Зраз, мы завершим доказательство обобщенной теоремы сложе.- вия. Л р и м е р 1. В зрительном зале Rипотеатра имеются 9 рядов, пронумерованвых подряд числами от 1 до 9, а в каждом fРЯду по 9 нресел, танже пронумерованных lf,rat 2 3 4 5 6 7 8 {J 1. lpRiJ r. . :1 5- :I  Рис. 12. Иллюстрация R задаче о I{'Ииотеатре. числами от 1 до 9. i3ритель наудачу занимает место. Ч\1rо вероятнее: сумма номеров ряда и места в ряду окажется четной или нечетной?  . Пусть А ...... событие, состощее в тои, что указанная сумма будет четной. Тоrда А распадается на сумму попар.. во песовместных событий А 2 , А4' А 6 , . . ., ;418, rде Ал означает событие, состоящее в том, что сумма номеров ряда и места оказалась равной k. По теореме сложения: р (А) == Р (А 2 ) + р (А 4 ) + · . . + р (А 1В ). Из рис. 12 непосредственным подсчетом получаем} 1 3 5 Р (А 2 ) .== вт ,. р (А 4 ) == 81 ' Р (А6) == 81' 41 
9 7 Р (А 10 ) == вr' р (А 1з ) == У t Р (А 18 )== ;1 t р (Аlа)::::: :1 · 7 Р (Ав) ==у' 5 Р (А 14 ) === вr' Отсюда: р (А) с= 41/81. Поскольку событие, СОСТQящее в том, что интересующая Вас сумма бrдет нечетиой, противоположно событию А ,- 1-0 ero вероятность равна: р ( А ) == f ...... Р (А) == 40/81. Мы видим, таким образом, что Р (А) > Р ( А ). При м е р 2. Имеются три электрические схемы, состоящие Rаждая из 4 ВЫRлючателей. Каждый из вьmлю.. чателей с вероятностью 0,5 может быть включен и BЫЦдJO" чеп. Выяснить, для накой из схем, изображенных на рис. 13, вероятность Toro, 1 л что тон будет проходить от точни А Н точке В, будет наибольшей. Под исходом здесь сле.. дует понимать состояние всех выключателей. На.. прииер, возиожен такой исход: первый ВЫКJIюча.. тель включен, второй ВЫ-- Rлючен, третий ВRлючен, J/l четвертый выlt1ПD'lJ:ен. По.. v СRОЛЬКУ ВЫRлюч:ателеи че-- тыре и наждый из них :может находиться ТОЛЬRО в одном иа двух допусти.. v Рис" 13. Электричоокие схемы 1\ мых состоянии, то Bcero примеру 2. ИСХОДОВ 24 == 16. Пусть А обозначает событие, состоящее в тои, что схема проводит тон. 1. Найдеи Р (А) для схемы 1. Чтобы схема 1 проводи.. па ток, необходимо, чтобы все выключатели были ВКJIю" чены. Такая Возможность только одна. Следовательно, р (А) == 1/16. 2. Для схемы 11 рассмотрим событие А , состоящее в том, что схема 11 ток не проводит. Для этоrо необходи- мо, чтобы ни один иа ВЫКJlIоч:ателей Ile проводил' ТОК. 42 
Событие А состоит из единствеиноrо исхода. ТаRИМ об разом, р ( А ) == 1/16 И, значит, р (А) == 1  Р ( А ) == 15/16. 3. Найдем, наконец, Р (А) ДЛЯ третьей схемы. Собы тие А мы можем здесь представить в виде суммы поп.арВ:о несовместПЬ1Х событий А 1 , А 2 , Аз. Событие А 1 состоит в ТОМ, что участок «1.......2» ток проводит, а участок «34» ток не проводит. Событие А 2 состоит В том, что участок «34» ток проводит, а участок «12» ток не проводит. Событие. А з состоит в том, что оба участка проводят ток. Очевидно, что события А 1 и А 2 содержат по три исхода, а событие 4А 3  только один исход. Отсюда р (А) == Р (А 1 ) + р (A2)+ р (Аз) == 3 +;6+ 1 == :6 . Итак, самой выrодной схемой, которая с :максимальной вероятностью проводит ток, является схема 11. Упражнения f. Возможны BCCl"'O четыре исхода aI, а2, аз, а4. Перечислить все события. Каково их число? Ответ: 16. 2. Каков с:мы:сл равенств АВС == А; А U В U С == А? Ответ: А С ВС; А ::> в U С. 3. Доказать, что А U В == == АВ; АВС == А U Jj U с. 4. Упростить (А U В) (А U В). Ответ: А. 5. Д оказ а!1'Ь , что из .А:) В следует неравенство Р (А)   Р(В). 6. Какой ответ в примере 1, если в зале 8 рядов, а в каждом ряду 8 мест? Ответ: искомые вероятности равны. 7. Иrральная КОСТЬ бросается два раза. Чему равна вероятность Toro, что сумма очков бу-- дет делиться на 3; будет боль.. Рис. 14. Электрические схемы .ше 7? Какая из возможных :к задаqе 8. сумм (2,3, (..., 12) имеет наи-- большую вероятность появления при двух бросаниях? Ответ: 1/3; 5/12; 6/36......... вероятность, что сумма равна 7. 8. Какая из двух изображенных на рис. 14 цепей с большей ве.. роятностью проводит электрический тон? Ответ: 11....... ероятность для нее равна 21/64. 9. Что вероятнее: при двух бросаниях монеты получить хотя бы раз I'ерб или получить подряд два раза peIlIКY? 01nвет: хотя бы раз rерб, вероятность зтоrо события равна 3/48) 43 : ....G) л в 
 3. Элементы комбинаторики и применения к задачам теории вероятностей Мы оrраничимся здесь изложением элемен- тов :комбинатори:ки, предварительное озна:комление с :которыми было начато в rлаве 1. Пусть имеется п элементов (предметов), отличающих.. ел друr от друrа :Какимито признаками, н'апример, номе.. рами или индексами. Размещением из п элементов по k называется совокупность k элементов из этих п, размещен.. ных в определенном порядке. . Различными считаются размещения, в которых или имеются различные элементы, или, если все элементы одни и те же, то различны поряд ки их расположения. Пусть для примера: в портфеле и:меются такие пред меты  ручка (р), :карандаш (к), линей:ка (л), резинка (ре) и очки (о). lы просим одоrо из учащихся достать по очереди два предмета. При этом MorYT представиться следующие случаи: (р, к), (р, л), (р, ре), (р, о), (, о), (к, р), (к, ре), (К, л), (л, р), (л, :к), (л, ре), (л, о), (ре, р), (ре, к), (ре, л), (ре, о), (о, р), (о, :к), (о, л), (о, ре). Напер во:м месте в с:кобках выписан предмет, извлеченный из портфеля первым, на втором  извлеченный вторым. Мы выписали все в()зможые размещения из 5 предметqв по 2, их окЦ,заJ(QСЪ 20. Часть из этих разме}Цений отличается только ПQР.ядком элементов, например, первая пара и шестая, BT'OpwI й: девятая. Некоторые же из них отличают.. ея и элементами  первая пара и вторая, первая и один..  надцатая. В п:ривеlJ;енном примере было несложно подсчитать число всех возможных размещений путем непосредствен" Horo их выписывания. Одна:Ко в ряде случаев такое пере.. числение всех возможных размещений о:казывается или техничес:ки затруднител.ьным, или же пра:ктичес:ки невоз" можным изза orpoMHoro времени, :которое необходимо на эту работу. Естественно поставить вопрос о разысйании общей формулы ДЛЯ числа различных размещений из п элементов по k. Это число обозначается символом A. До:кажем, что А{ === п (п  1) (п  2) . . . (n ----- k + 1). с этой целью разобьем все размещения на п непересеКаю.... mихся между собой rрупп. Б nepBYIO rруппу включим 44 
все размещения, начинающиеся с nepBoro элемента, ВО вторую  начинающиеся со BToporo и т. д. Теперь, по скольку в первой rруппе первый элемент уже фиксирован, мы можем эту rруппу разбить на n  1 новых подrрупп: в первую подrруппу первой-- rруппы :мы OTHecel те и толь.. ко те элементы первой rруппы, у которых второй по поряд ну элемент будет иметь номер 2. Во второй подrруппе вторым элементом будет элемент с номером 3 и т. д. Эту операцию мы проделаем для каждой rруппы. В резуль.. тате мы получим: n (n  1) различных подrрупп. Продол.. жив этот процесс разбиения далее, мы убедимся, что всех размещений будет n.(n  1) . . . (n  k + 1). Размещения из n элементов по n называют nерестаnов.. a.ми. Мы видим, что число различных перестаНОВОR равно A == n (n  1) . . .2.1. Это число обозначается символом n! (n..факториал). Очевидно, что n..факториал при n  2 обладает следую щим свойством: n! == (n  1)! n. Чтобы это равенство имело место при любых целых поло.. JRительных значениях n, положим по определению О! == 1. Функция n! растет с ростом n очень быстро. Приведем неСRОЛЬКО первых ее значений:  ,. О! === 1, 1! === 1, 2! == 2, 31 == "6, 4! == 24, 51 == 120, 6! == 720, . . . Теперь формула дЛЯ A может быть записана и в иной форме: k п! А п === (п  k)! · С очетаnие.м из n различных элементов по k наЗЫВае'1'СЯ произвольный набор k предметов из етих n. Различными считаются сочетания, различающиеся между собой хотя бы одним элементом. Найдем формулу для числа сочетаний, которое мы будем обозначать символом C. Рассмотрим все размещения из n элементов по k. Разобьем их на различные rруппы, в каждой из которых размещения различаются только порядком элементов, но не составом, а ;цве раSJIпчuые rруппы отличаются хотя бы  
()Дним элементом. Очевидно, что число раЗЛИЧНЫJf rруп:q овпадает с числом сочетаний ив n элементов по k. НО JJНУТРИ каждой из rpynn содержится столько размещений, сколькими способ(\МD можно переставить k различных предметов, Т. е. A. Таким образом, k A п (п ....... 1) . . . (п  k + 1) t Сп ==== kl Ak п!  kl (п....... k)1 · По определению положим C == 1. Рассмотрим теперь несколько примеров использова.. вия формул комбинаторики для разыскания вероятностей случайных событий. При :м е р 1. Пять друзей живут вместе. Они решили, что УТРО:М, котда нужно пойти в :маrазин купить R зав.. траку свежеrо хлеба, они будут тянуть жребий: из пяти бумаjнек на одной будет стоять буква «х». Кто вытянет бумаЖRУ с этой буквой, тот и должен идти за покупкой. Для RaRoro из друзей, вытяrивающеrо бумажку первым, вторым, третьим, четвертым или пятым, вероятность вы.. путь jнребий «х» будет наименьшей? Исходом здесь следует назвать любую из 5! переста... вовок 5 билетов. IIайдем вероятность Toro, что билет «х)} достанется k--MY по счету друrу. Это событие содержит IJсе исходы, в которых билет «х» занимает k--e место, а ос.. тальные 4 билета :моrут занимать любые из оставшихся 4 :мест. Это может произойти 4! способами. Таким обра.. зом, вероятность вытянуть билет «х» kMY по счету дру-- ry равна Р 41 1  k ::::: 51 == 5 · Эта вероятность не зависит от Toro, RаRИМ по ПОРЯДRУ оче.. реДRОСТИ вытяrивать жребий, TaR что последний в очере.. ди имеет такую же вероятность вытянуть жребий, RaK и первый. Очевидно, что этой задаче можно придать большое число различных интересных в ПРИRладном отношении формулировок. При м е р 2. В ящике 'имеются 10 белых и 5 черных шаров. Наудачу вынимают 3 из них. I\цкой соста.в шаров по цвету извечь нуqолее вероятно? 46 
Обозначим через А i,зi событие, состоящее в том, что среди трех извлеченных шаров i окажутся белыми, а 3 ......... i  черными. Очевидно, что MorYT осуществиться такие события: Аз,о, А 2 ,1' А 1 ,2, Ао,з. Так как порядок извлеченных шаров нас не интересует, то под исхuдом ce" дует понимать любое сочетание трех элементов из 15. Тоrда событие Аз,о состоит из CO исходов (вынимаются какиео 3 белых шара из 10 белых), событие А 2 ,1 состоит из COC исходов, событие А 1 ,2  из COC исходов и Ао,з ...... из с: исходов. Вероятности интересующих нас событий будут: р (А 1 ,2) == OO 24 О 264 3 ===91' , 015 coo 45 з / === 91  0,494, С 15 coc o 220 03  91 , , 15 с 3 2 Р (Ао, 3) == ': === 91  0,022. С 15 р (Аз, о) === р (А2, 1) == Таким образом, наиболее вероятно появление двух белых и одното черноrо шара. При м, е р 3. В rрупп из М + N предметов имеIОТСЯ М предметов, обладающих некоторым свойством А, и N предметов, которые им не обладают. Из этой rруппы пред-- метов вынимаются наудачу k предметов. СпраmИВdетс: чему равна вероятность Toro, что будут извлечены т предметов со свойством А и 1 предметов, не обладающих этим свойством (т + n == k)? Эта задача иrрает большую роль в ряде областей ирак.. тических применений математики в демоrрафии, статис'fИ" ке населения, статистическом конrrроле качества пром:ыш" ленной продукции. Под исходом здесь следует пони мать появление Лlобых k предметов из имеющихся М + N. Поскольку нас не ин-- тересует порядок появления этих элементов, то оБIЦее 'k число различных исходов равно CJ!f+N. Очевидно, что в за.. даче следует считать О -< т < lJt[  о < n  N, ПОС:КОЛЬ'" КУ, если эти условия не выполняются, то вероятносrrЬ по-- явления интересущеrо нас события. будет равна О. И2" 41 
влечь m предметов со свойством А можно C различными способами. Но нажДЫЙ способ извлечения т предметов со Свойством А может сочетаться с любым способом извле- чения n предметов, Не обладающих этим свойством. Сле- довательно, общее число исходов, блаrоприятствующих интересующему нас событию, равно См. C N , а тем самыМ: искомая вероятность равна стеП Р== м N . с т + n M+N При м е р 4. Имеются N ячеек и n частиц. Частицы наудачу размещаются по ячейкам. Найти вероятность наждоrо J!з возможных размещений. Эта задача представляет значительный интерес для ряда основных вопросов физики, химии, биолоr.ии, инже.. HepHoro дела и пр. В зависиости от физической сущно" сти задачи в слово «наудачу» вкладывается различный смысл. Мы приведем три различных подхода, выработан.. ных в физике и получивших соответственно наименование статистик Максвелла...... Больцмана t Бозе....... Эйнштейна и Ферми...... Дирака. , С т а т и с т и н а М а к с в е л JI а ....... Б о л ь Ц м а.. н а. Каждая из всех n различных частиц с вероятностью 1/N может попасть в наждую из ячеек, независимо от по.. ложения друrих частиц. Число всех возможных различ.. ных расположений частиц по ячейкам, нак леrно понять; равно N'n. Найдем теперь вероятность Toro, что в первой ячейке окажутся n 1 частиц, во второй........ n 2 , в Nй ...... nN. ПОНfIТНО, что некоторые из чисел n 1 , n 2 , . . ., nN MorYT оказаться нулями. На формулу для числа сочетаний из п элементов во т можно смотреть как на размещение n элементов по двум ячейкам (N == 2), прич;ем n 1 == m и n 2 == п ...... т. Певторив почти дословно рассуждения, про.. веденные нами при выводе формулы для числа сочетаний, мы получаем, что число всех возможных различных спо... собов раЗl\'1ещения n элементов по N ячейнам, при нотором в первую из них попадает п 1 элементов, во вторую ........ n 2 элементов и, наконец, в N....ю ...... nN элементов (nN == n ....... .......... n 1 ...... п 2 ........ . . . ...... n N --1) , р авн о пl n 1 1 Па! . . . пN f · '8 
Теперь ясно, что исномая вероятность уиазапноrо раз- мещения равна р (nl' п2, . · · , n N) == n! nl! n2! . . . nN I N n . в Rачестве частноrо случая рассмотрим эту задачу при n -< N. Чему равна вероятность Toro, что в определенных u u ячеиках окажется по однои чаС'РИце, а в остальных по О частиц? ИСRомая вероятность, как это вытенает из фор :мулы, равна п! Рl == N n · Если бы нас интересовала вероятность Toro, что по одпоii частице окажется в каRИХ"то ячеЙRах, то вероятность он&-- 8алась бы иной, больше в C'N раз. Таким образом, эта Be р оятность равна ....... СП......... N ! Р 2........ N Р 1....... N n (N ....... n) 1 · С т а т и с т и к а Б о з е ...... Э й н ш т е й н а. Ча-- стицы неразличимы между собой, и тождественными ел у.. чаями считаются те, в которых в дан;ные ячеЙRИ попадает данное число частиц, но какие именно частицы, не имеет значения. Число всех равновозможных исходов в стати.. стике Возе ---- Эйнштейна, нак мы сейчас ПОRажем, равно +n""1. В современной физике эта стаТИСТИRа исполь-- вуется при изучении ряда явлений ядерной фИЗИRИ. РаСПОЛ0ЖИМ на прямойN + 1 веРТИRальную черточку. Каждую ячейку станем рассматривать как промежуток между двумя соседними чеРТОЧRами. Две крайние черточ-- ии оставим неподвижпыми и между ними поместим n точеR. Станем теперь переставлять всеми возможными способами N .......... 1 внутреннюю черточку и n точен. Число .возможных перестановок черточек и точек равно (N + + n ...... 1)!. Среди них, однано, имеются тождественные. Действительно, за различные перестановки мы, во--первых, считали те, в которых поменялись местами черТОЧRИ, Т. е. , стеНRИ ячеек. Таим образом, каждое распределение мы счита.1}И (N ....... 1)1 раз. BQ--ВТОРblХ, мы считали различны-- ми ТОЧRИ, и тем самым каждое распределение мы снова считали п! раз. Отсюда число различных в смысле ста-- тистики Возе  Эйнштейна распределений частиц по 49 
ячейкам равно (N+n1)! n (N  1)1 п! == C N + n ... 1 . Рассмотрим теперь вероятности Рl и Р2 для статистики Бозе ........ Эйнштейна. Вероятность попадания по одной частице в заданные п ячеек (п < N) равна 1 п! (N 1)! Рl == СП === (N + п  1)1 · N+nl Вероятность попадания в какието 1 ячеек по одной ча- стице равна СП N N!(Nt)! Р2== C+n1  (N +n 1)! (N n)t · С т а т и с т и к а Ф е р !VJ и ........ Д и р а к а. В этой статистике не только уничтожена ИНДИВИдуалЬНОСТЬ ча стиц, но И предполаrается, что в каждой ячейке может находиться либо О частиц, либо 1 частица. Общее число распределений n частиц по N ячейкам (п -< N) равно с;. Действительно, первая частица может быть расположена N способами, вторая  (N ........ 1) способами, пя  (N ........ .......... п + 1) способами. Общее число различных способов равно, таким образом, N (N ........ 1) . . . ( N  п + 1). При этом подсчете, однако, мы учитывали индивидуаль-- БОСТЬ частиц. Для Toro чтобы исключить ее, нужно это произведение разделить на п!, т. е. на обще число пере-- становок п частиц. ИтаR, общее число различных и рав-- новероятных распределений в статистике Ферми ........ Дира-- ка равно +N(N  1).. .(N п.+ 1)==C. 11. lIнтересовавmие нас вероятности Рl и Р2 В статистик Ферми ---- Дирака равны 1 п! (N  п)! Рl == СП == LVI Р2 === 1. N · у пражнеНllЯ 1. Чему равна вер()ятность Toro, что два лица А иВ окажутся рядом, если они рассаживаются вместе с 15 остальвьп..'iИ произвольным образом в ряд из 17 меС1? ' 21 161 Oпвelп: 171  2;17. 50 
2" n девочек и п маЛЬЧИRОВ рассаживаются произвольным об.. разом в ряду из 2п мест. Нанова вероятность Toro, что никакие пве девочки не окажутся рядом? Чему равна вероятность Toro, что все певочки будут сидеть рядом? 2 (п!)2 (п + 1) (п1)З Ответ: (2п)!' (2п)! · 3. На шахматную доску произвольвым образом поставили две nадьи (белую и черную), каждую в свою Rлетку Что вероятнее: побьют эти люди друr друrа или нет? Ответ: вероятнее, что не побьют; вероятность этоrо 64.49  64.63 == 49/63. 4. Построить таблицы и rрафики вероятностей выпадения rep.. ба при числе бросаний монеты п == 5, 10, 15. Отложить l1/n (,.., ----- ч:иоло появлений rерба) по оси Ох, а по оси Оу ---- вероятности соответствующеrо значения 11. Ч то можно сказать о том, как ме.. няются вероятности при увеличении п? Ответ: см. рис 15. р \ \. .... \, \. 0,2 0,1 '-, " \. "\ .. Q t f L 2 1 3 4  1570 s ....... 5'  10 2 п Рис.15!. Вероятности успеха при бросании монеты. 5 Частица поrлощается Э1\раНО1\l с вероятностью 0,5, Какое минимальное число таких экранов надо поставить на пути частицы, чтобы они поrлотили эту частицу с вероятностью не меньшей, чем 0,999? ( l' Ответ: 10. 2lO < 1000 ') 51 
 4. Условные вероятности и независимость При решении вероятностных задач часто бывает важно определить веРОЯТНОС1Ь события, коrда о нем имеются некоторые дополнительные сведения. Обыч-- ная ситуация при этом такова: нужно найти вероятность события А после Toro, как стало известно, что некоторое событие В произошло, т. е. нам уже известно, что произо шел некоторый исход, блаrоприятствующий событию В. Так, если мы ищем вероятность Toro, что при бросании иrральной кости выпадет четное число очков, а нам стало известно, что выпало число очков, меньшее 4, то это 08" начает, что из трех возможностей только одна блаrопри-- ятствует наступлению интересующеrо нас события. Предположим, что всех возможных исходов имеется N и ИЗ. них т блаrоприятствуют наступлению события В. Пусть событие В наступило. Это означает, что наступил один И8 исходов, блаrоприятствующих В. Условной вероятностью соБЬLтuя А. при условии, что наступило событие В, называется отношение числа тех исходов, блаrоприятствующих А, которые блаrоприятст-- вуют и В, К числу всех исходов, блаrоприятетвующих В. Эту вероятность будем обозначать символом Р (А/В). Если В  невозможное событие, то будем считать р (А/В) == о. Пусть событию АВ блаrоприятствуют k исходов, тоrда по определению р (А/В) == k/п. n оаметии) t;ITO Р (А/В)  k, п ......... Р (АВ)  т/n  р (В) · Мы получили важное равенство, позволяющее вычис" лять условную веРОЯТНQСТЬ по вероятностям Р (АВ) и Р (В), или, .как rоворят, по безусловным вероятностям. Полученная формула обычно используется для подсчета условных вероятностей. При м е р 1. Трое ваших приятелей живут в одном из 50 домов с номерами от 1 до 50. В каждом из этих домов по 100 квартир с номерами от 1 до 100. rде живет Rаждый из ваших приятелей, вы точно не знаете. Вам известно JШшь, что а) номер квартиры nepBoro оканчивается на 3; б) номер дома BToporo делится на 5, а номер ero кварти-- 52 
/ ры ....... на 2; в) сумма номеров нвартиры и дома третьеrо j\aBHa 100. В наком из этих случаев вероятность попасть в нужную вам нвартиру с первоrо раза наибольшая? Обозначим через А событие: номер нвартиры оканчи вается на 3. Ясно, что всевозможных исходов, блаrоприят ствующих А, будет 50.1 О == 500. Пусть В  событие, состоящее в том, что номер дома делится на 5, а номер нвартиры  на 2. Очевидно, что и В состоит ив 10. 50  500 исходов. Далее, С ....... событие, для ROToporo сумма номера дома и номера квартиры равна 100. Для С имеется 50 исходов. Наконец, D ....... событие, состоящее в том, что с первоrо 8ахода удается попасть в нужную Rвартиру. Искомые вероятности равны 111 Р (DjA) =z 500 ' Р (DjB) == 500 ' Р (D1 C ) == 50. Для сравнения приведем безусловную вероятность события D: 1 Р (D) == 5000 · Подобно тому, как мы выписали в  2 неоколько свойств безусловных вероятностей, мы выпиш.е:к в.цесь подобные же свойства для условных вероятносте_J 1. Всеrда О -< р (А/В) < 1, причем Р (А/В)' -== О, ебли АВ ....... невозможное событие, и Р (А/В) :::z 1, веди А ::> В. 2. Если С === А U В и АВ == V, то для любоrо собы тин D Р (А/п) + Р (в/п) === Р (С/п). T€Ope1a сложения вероятностей распространяеТGЯ и на случай, Rоrда А == А 1 U A 2 lJ . . . UA k , А iAj === ;;:;;:: v при i =t= j, i, j == 1, 2, . . . , k: \ Р (A/D) == Р (А 1 /п) + Р (А 2 /п) + . . . + Р (Ak/D). 3. Если А ....... событие, противопьложное 4, то Р (Jf/B) == 1  Р (А/В). Приведенные свойства доказываются точно так же, нан и подобные свойства для безусловных вероятностей, поэтому мы не станем проводить необходимых рассуждений. При м е р 2. ЭлектрИ1:lеские схемы, о которых речь пойдет дальше, собраны из элементов, которые MorYT в момент включения с вероятностью 0,5 про водить ток и 53 
с вероятностью 0,5 не проводить ток. Состояние Rаждоrо из эле:ментов не Rлпяет на состояние друrих. а) Известно, что цеПJ, (рис. 16) проводит ток. Какова вероятность Toro, что элемент 1 проводит ток? Иакова вероятность Toro, что эле-- мент 2 проводит ток? Какая из ве.. роятностей больше? б) Известно, что цепь (рис. 17) проводит ток. Чему равны веро-- Рис. 16., ЭлеБТрИЧССI\ая ятности Toro, что ТОК проводят схема к примеру 2 участки 1, 11 и 111? в) Известно, ЧТQцепь (рис. 18) Не ПРОВОДИТТОR. Иаковы вероятности Toro, что ток не проводят участки 1, 11 и III? Реш е н и е. а) Поскольку в цепи имеются 5 элемеiI.. тов и каждый из них может находиться в одном из двух I --- п I1 j Рис. 17. 3лектричеСRая схе.. Рис. 18. Электрическая схема к при.. ма к примеру 2 ;":/: " меру 2!- состояний, то цепь может находиться в 25 == 32 состоя.. ниях. Введем обозначения: А 1 ----- событие, состоящее в том, что элемент 1 проводит ток; А 2 ----- событие, состоя.. щее в том, что элемент 2 проподит ток; В  БСЯ цепь про.. водит ток. Из всех 32 возможных состояний элементов цепи в 16 она проводит ток. В этом леrRО убедиться, выписав все. возможные состояния: nnnnn + с одной буквой n все проводят нnnнп , nnнпн  Все остальные с двумя буквами н ПрОВQДЯТ пнnнН, +, нннnn + Все остальные с тремя буквами н не проводят С четырьмя буквами н все не ПрОБОДНТ ННН НН, ........ (1+) (5+) (2) (8+) (2+) (8) () (1) 54 
в втой табличке буква n обозначае1 слово «про водит», 11 ---- «не проводит», место буквы означает номер элемента, знак «+» означает, что цепь проводит, а знак «.........» ...... что цепь не ПрОБОДИТ ток. Таким: образом, Р (В) == 0,5. Далее находим, что р (А 1 В) == 11132 и Р (А 2 В) == 9/32. Отсюда находим, что р (А1.В) 11/32 11 Р (A 1 jB) == р (В) s:= 16/32 === 16 ' r. Р{АэВ) 9 P(AlB)== Р(В) ==1"6.\ б) Введем сл:едующие обозначения событий: А 1  участок 1 проводит ТОК, А 2 """:."'" участок 11 ПрОВО,IlИт ток, Аз ........ участок 111 проворт ток, В ----- цепь ПрОБОДИТ ток. iЛеrко подечита'Ть Р ( В ), Т. е. вероятность Toro, что цепь не проводит тон. Для зтоrо нужно, чтобы ни один ИЗ участков не" проводил ток. Из 64 возможных исходов 21 блаrоприятствует этому событию. Таким образом, р (В) == 43/64. Так как А 1 влечет за собой В, то А 1 В == А 1 . Но А 1 содержит ровно 8 ИСХОДОВ ----- элементы 4., 2, 3 проводят ток, а элементы 4, 5, 6 :м:orYT находиться в любых co стояниях (а таких состояний Bcero 8). Таким образом, Р (A1B) == 8/64. Подобным же способом убеждаемся в том, ЧТО Р (А 2 В) ==-= 16/64 и Р (АзВ) == 32/64. Следовательно, р {A1B} 8 Р (А 1 /В) == р (В) ,=== 43' P ( AB )  P(A)   zt  Р {В) ......... 43 ' Р (А JB) ......... Р (АвВ) 32 3 ....... Р (В) == 43 · Решение задачи в) ничем не отличается от решения задачи б), только повсюду спеду-ет заменить слово «nро-- водит» на слово «не проводит». Искомые вероятности OKa зываются равными соответственно 8/43, 16/43, 32/43. В теории вероятностей и ее при:менениях иrрает очень важную роль понятие независимости двух и нескольких событий. Событие А называется neaaвиcuм,ым, от события В, если имеет место равенство Р (А/В) === Р (А). Иными словами, событие А независим:о от события В, если условная вероят 55 
вость события А при условии, что СООытие В произоm.лО f совпадает с безусловной вероятностью события А. Приведем некоторые примеры. Из колоды карт вынимают наудачу Карту. Чему равна вероятность Toro, что эта карта окажется тузом? Если (1 колоде 36 карт, то леrко видеть, что искомая вероятность равна 4/36 == 1/9. Итак, вероятность события А равна 1/9. Предпоj,[ОЖИМ теперь, что произошло событие В, со.. стоящее в том, что вынутая карта оказалась черной. Чему равна условная вероятность вынуть туз при этом допол-- нительном условии? Леrко видеть, что теперь у нас имеет.. ся только 18 возможностей и И8 них 2 блаrоприятствуют событию А. Таким образом, условная вероятность собы.. тия А при условии, что В наступило, равна безусловной вероятности. Событие А не вависит от события В. В классе 4 ученик-а, имеющих недовлетворительные оценки по предметам А, В и с. Первый учеНИR имеет не.. удовлетворительную оценку по" предмету А, второй---- по предмету В, третий ---- по предмету С, а четвертый .......... по всем этим трем предметам. Директор ШКО.lIЫ знает, что у этих четырех учеников неудовлетворительные оценки по предметам А, В и С, но не знает, у KaKoro ученика по !(акому предмету. Во время перемены он встречает одноro из учеников и rОБОрИТ ему: «Коrда же ты исправишься по предмету А?» Ясно, что какой бы предмет он ни назвал, он скажет правильно только с вероятностью 0,5: р (А) == Р (В) %:: Р (С) \== 0,5. fIYCTb теперь нам стало известно, что директор уадал, действительно, У этоrо ученика имеется неудовлетвори.. тельная оцеНка по предмету А. Тоrда директор добавляет: «Тебе нужно исправить твои оценки и по предмету В». С какой вероятностью директор не ошибается и на этот раз? Леrко подсчитать, что р (В/А) == Р (С/А) == Р (А/В) == Р (А/С) == Р (В/С) == == 0,5. l\tlы видим, что и В этом примере события А, В, С, состоя.. щие в.том, что наудачу спрошенный из этих четырех уче.. виков имеет неудовлетворительную оценку по предмету А (соответственно по предмету В и С), таковы, что каждая пара из этих событий является независимой. Пусть вероятность события В больше О, т. е. событие В Не является невозмо;RIIыII.. Докаiнем, что в этом случае 56 
не ТОJlЬt{о событие А не зависит от В, но и соытие lJ не зависит от А. Иными словами, .донажем, что свойствq независимости случайных событий является взаимным. Пусть известно, что Р (А/В) == Р (А) и что Р-(В) > О. МЫ имеем в силу определения независимости и сделанноro условия слеДУЮЩИе равенства: р (АВ) Р (А/В) == р (В) === Р (А), откудц Р (АВ) == Р (А) Р (В). Но по определецию р (В/А) == Р (АВ)/Р (А), если Р (А) > о, и Р (В/А)  О, если Р (А) == о. Этот последний случай можно отбросить, поскольку для HeFo всеrда Р (В/А) :::zo::= Р (А) :=;: о. Пусть поэтому р (А) > о. Мы уже знаем, что Р (АВ) === == р (А) Р (В), поэтому р ( В/А )  р (А) Р (В) == р ( В)  р (А) · Требу-емое доказано. Леrко видеть, что' свойство взаим-- ности независимости имеет место и в случае, если р (В) == о. Докажите это. Из проведенноrо доказательства вытеКает ваЖJfОf) следствие: для везависимых событий А и В имеет место теорема умножения вероятностей р (АВ) == Р (А) Р (В). 'цОRажите обратное предложение-: если Р (АВ) :=:s == р (А) Р (В) > О, то события А и В независимы. Если события А  В произвольны, то теореМа умноже- ния имеет вид: р (АВ) == Р (А) Р (В/А) == Р (В).Р (А/В). Обобщим понятие независимости на любое число собы тиji-. События А 1 , А 2 , . . ., А п называются пеаависи.м,ы.м,и, в сово-пуnпостu, если для любоrо события А т (1 -< r< k) и произвольноrо набора событий А i17 А i2' · · ., А 1а' rде r 1Iе совпадает ни с одним из чисел i 1 , i 2 , · .,., ist а s может быть любым между 1 и k  1, события А r и (А i1 A :2. · · А is) независимы. Заметим, что в примере с учениками собы'fИЯ А, В и С в совокупности уже не являюТся независимыми. При м е р 3. Дважды бросается иrральная кость. Доказать, что соБЫFJ:ИЯ А (при первом бросании выпала 57 
шестерка) и В (при втором бросании выпало нечетное чис.. 40 очков) независимы. В нашей задаче имеется 36 различных исходов. Из них _есть следующих блаrоприятствуют событию А: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6). . Событие В содержит 18 исходов, поскольку каж.цое BЫ падение нечетноrо числа очков при втором брсании :может оочетаться с любым из шести возможных исiоов npBoro бросания. Событие АВ будет содержать только слеJJУIО аие три исхо.ца: (6,1), (6,3), (6,5). Таким образом) , 6 1 f8 1 Р(А) ===36 == б' Р(В)== з6 == Т, 3 1 1 1 Р (АВ) == 36 === 12 === б. Т == р (А). Р (В). Fебуемое доказано. Нетрудно показать, что при п бросаниях иrральной кости события, формулируемые относительно отдельных брос.аний, будут независимы в сококупности. ДОRазатель СТВО этоrо факта проводится аналоrично только что при веденным рассуждениям. МЫ перейдем теперь R выводу важной формулы, нося-- щей наименование фОрJrtуль полной вероятности. ([усть для событий А, В!, В 2 , . . ., Bk извествЬJ сле-- дующие вероятности: Р (В!), Р (В 2 ), . . ., Р (B k ) И Р (А/В!), Р (А/В 2 ), . . ., Р (A/B k ). Пусть далее нам из вестно, что А С В! U . . . U Bk И события В, попарно иесовместны. Можно ли только ПО этим данным найти вероятность события А, и если можно, то как? На этот вопрос исчерпывающий ответ и дает формула полной вероятности. Прежде Bcero заметим, ЧТО имеет место следующее ра-- вевство: А == А (В 1 U В'). U · · · U B k ) == АВ! U АВ 2 U . . . · · · U ABk. Это равенство хорошо иллюстрируется рис. 19, Из несовместности событий В i вытекает несовмеСlНОСТЬ событий AB i . Следовательно, можно воспольэоваться теоремой сложения вероятностей: р (А) == Р (AB l ) + Р (АВ 2 ) + . . . + Р (AB k ). 58 
Но при любом i (1 < i -< k) Р (AB i ) :::= Р (B i ) Р (A/B i ), поэтому р (А) == Р (В 1 ) Р (А/В 1 ) + Р (В 2 ) Р (А/В 2 ) + , , · . . . + Р (ВК) Р (A/B k ). Это В есть формула tIqЛВQft »ероятности. При м е р 4. Партия детаJJей содержит 20 % деталей, '\Iзrотовленных заводом 1, 30%  заводом 11,50% .......  T . . . . . . . Q . . I 81 .1' 82 . о . . о . .  ;;  /. ( / о . . / А" . .  / /' / /,  / //.:;/ / . . . /. /. '// /"/.1 . .  /// .I////- /. '/ '/ .I//, '1 В" В з . l t:> . . . . . о . .  Рис 19__ К BblBOJ!Y формулы долноii вероятности. заводом 111. Для завода 1 вероятность выпуска брако ванной детали равна 0,05, для завода 11  0,01, для sa... вода 111  0,06. Чему равна вероятность Toro, что Ha удачу взятая из партии деталь окажется бракованной? Обозначим через А, В 1 , В 2 , Б з следующие события: деталь бракованная, деталь изrотовлена соответственно lаводом 1, 11, 111. Нам известны следующие вероятности: 235 Р (В 1 ) ===10 ' Р (В 2 ) ===10 ' Р (Б в ) ===10 ' р (А/В 1 ) == 0,05, Р (А/В 2 ) == 0,01, Р (А/В з ) == 0,06. По формуле полной вероятности находим, что р (А) == 0,2.0,05 + 0,3.0,01 + 0,5.0,06 == 0,043. Простым следствием формулы полной вероятности яв.. ляется так называемая теорема Байеса: Пусть собьтия B i попарно 1f;eC08MeClпnbL и А С B 1 U... ... UB k , тоеда р (Bi/ А) == k Р (B i ) Р (A/B i )  Р (B j ) Р {A/Bj} ;==1 59 
В самом деле, из формул Р (АВ) == Р (В/А).Р (А), Р (АВ) == Р (А/В).Р (В) следует формула Байеса р (В/А)........ р (В) Р (А/В)  р (А) · Подставим сюда выражение для Р (А) по формуле полной вероятности: положив В == Bj, получим утверждение теоремы Байеа. Эта теорема находит на'м значения «апо.. стериорных» вероятностей Р (В j/A) события В j после на.. ступления события А (а posteriori  после опыта) через 8начения «априорных» вероятностей Р (В д (а priori  до опыта). Проиллюстрируем теорему Байеса на материале примера 4. При м е р 5. Пусть выполнены условия примера 4. ' Наудачу выбранная деталь из партии оказалась брако-- ванной. Чему равна вероятность, что она была изrотов-- лена ваводом 1, заводом 11, ваводом III? Будем придерживаться обозначений примера 4. Нам необходимо найти вероятности Р (B/A), Р (В 2 /А), Р (В 3/ А). По теореме Байеса р (В 1 / А) === / (В 1 ) Р (А/В 1 ) 2] Р (B j ) Р (A/Bj) j==l Р (82/ А)!:Ш O'g:1  0,070, р (Ва/ А) Q:a O;'6  0,698. И1'ан, вероятность Toro, что бракованная деталь приНад.... лежит третьему заводу, в десять раз больше, чем та же вероятность для BToporo завода, и в три раза больше, чем "а же вероятность для nepBoro завода. .......... 0,2.0,05 О 233 ........... О, 043 , , Упражнения 1. R оrда вероятнее уrадать результат: если изве- iТЦО, что CMMa очков при бросании двух иrральвых костей равна '1 ,ли если она равна 1 О? Ответ% вероятнее, если сумма равна 10, тоrда вероятность равна 1/. 2. Может ли быть верва формула р {(А 1 U А 2 )/В} == р {А 1 /В} + р {А 2 /В}, если А 1 А 2 ........ не пустое событие? Ответ: Может.,. Например, если В :::::: AIA 2' 60 
3. Имеется 4 урны со следующим составом шаров: 1я урна - б белых и 5 черных; 2я урна  1 белый и 2 черных; 3я урна- 2 белых и 5 черных; 4я урна  3 белЬJХ и 7 черных. Наудачу вы,. рается урна и из нее один шар. Чему равна вероятность Toro, .. он оиажется черным? Ответ: 1/4 (1/2 + 2/3 + 5/7 + 7/10) == 271/420. 4. Имеются три схемы с ненадежными элементами (рис. 20). Наудачу выбирается произвольная из них. RaнoBa вероятность Toro, что она проводит .  {;;\ t';\ тои?  Ответ: 1/3 (1/8 + 5/8 + 7/8) === 13/24@ 5. 3а неиоторый промежутои времени аМеба может поrибнуть с вероятностью 1/4, Л  выжить с вероятностью - 1/4, разделиться ТИ Т  з  2 на две с вероятностью 1/2. В следующий промежутои времени с Rаждой амебой происходит то же самое. Сиольио амеб и с иаиими вероятностями будут существо вать и ионцу BToporo промежутиа времени (см. rлаву 7)? Ответ: если при t === О число амеб равнялось 1, то число амеб и ионцу BTOpO ro промежутиа будет О, 1, 2, 3, 4 с Bepo ятностями 11/32, 4/32, 9/32, 4/32, 4/32. у и а з а н и е. Сравните вычисления требуемых вероятностей с вычислением суперпозиции F ( Р ( t )) == .i... t + t2 + 3 + t2. 32 + 32 32 32 32 Рис. 20. Элеитриче.. сиие схемы R 8аllа- че 4. тде  111 F (t) == Т + т t + 2 t 2 . ЛеrRОАоиазать, что вероятности в kй момент времени совпадают с Rоэффициентами kRратной суперпозиции фуниции F (t), а иоэф фициент при tO (вероятность вырождения) стремится к меньшему (неотрицательному) RОРНЮ уравнения F (t) == t. 6. ИrрОR А называет число О или 1 с вероятностью Рl и 11"--1 Р! соответственно. ИrрОR В, неаависимо от А, называет те же ЧИСВ8, но с вероятностью Р2 и 1 ...... Р2' Выиr:рывает А, если сумма чеТНaJI, если же сумма нечетная, то выиrрывает В. Иаиовы вероятноети выиrрыша для R8Ждоrо из иrроиов? Если А знает Р2' то иак ему Me дует выбрать Рl, чтобы добитьс,fl маисимальной вероятности Bы' иrрыша? Ответ: вероятности выиrрыша: для иrроиа А  РIР2 + q19, для иrроиа В  PIQ2 + P2Ql; Рl == 1, если Р2 > 0,5; Рl == О, еми Р2 < 0,5, и безразлично при Р2 == 0,5. 7. У маЛЬЧИRа в левом кармане 3 конфеты «ЕеЛОЧRа» и 1 Rонфе- та «Маска», а в правом........ две «ЕеЛОЧRИ» и две «Маски». Он достал две нонфеты из одноrо кармана, 11 оиазалось, что одна из них <,Ее.. лочиа», а друrая «Маска». Чему равны вероятности Toro, что он достал Rонфеты из левоrо кармана, из npaBoro иармана? Ответ: 3/7, 4/7. 61 
i 5. ПоследоватеЛЬВОСТIr везависlOfЫХ испытаниii Формула БернулJIИ В самом начале формирования основных по- нятий теории вероятностей выяснилась фундаментальная роль одной математической схемы, изученной известным швейцарским математиком я. Бернулли (16541705). Эта схема состоит в следующем: производится последова.. тельность испытаний, в наждомиз которых вероятность на.. ступления определенноrо события А одна и та же и равна р. Испытания предполаrаются независимыми. В это ВRла-- дывается следующий смысл: вероятность появления собы тия А в каждом из испытаний не зависит от Toro, появи" лось или не появилось это событие в друrих испытаниях (предшествующих или последующих). Последовательность u .,- независимых испытании с двумя исходами,) впервые нссле-- дованная я. Бернулли, носит название последовательности ucпbtтanии Верпулли. Приведем несколько примеров. Два шахматиста усло-- вились сыrрать 10 партий. Вероятность выиrрыша каждой отдельной партии первым иrрОRОМ равна 2/3. В этом при-- мере мы наждую _партию можем считать за отдельное ис-- < пытание. Bcero производится 10 испытаний. Предпола-- rается, что результат наждой сыrранной партии не вли-- нет на результаты остальных партий. Спрашивается, чему равна вероятность Toro, что вся иrра будет выиrрана первым иrроком? Известно, что внекотором rороде в течение rода роди-- лось 400 детей. Вероятность рождения мальчика при каж-- ДОМ рождении равна О ,5. Под испытанием здесь:мы будем понимать рождение ребенка. Достаточно ясно, что испы-- тания можно считать нев8.ВИСИМЫМИ. Спрашивается, чему равна вероятность Toro, что число родившихея мальчиков окажется :между 180 и 22О? Производятся независимые испытания партии изде-- лий на длительность безотказной работы. Известно, что вероятность Toro, что конденсатор откажет до истечения 40 000 часов непрерывной работы, равна 0,01. Чему рав-- ив, вероятность Toro, что в течение 10 000 часов испытаний откажут О, 1, Q, 3 конденсатора? Число важных в практическом отношении примеров МQЖВО увеличивать неоrраниченно. Однако нам нужно иное  получение общих математических результтов, 62 
которые позволяли бы решать все подобные задачи едк. ным способом. Необходимые для этой цели формулы были найдены я. Бернулли. R их В,ыводу мы теперь и пере ходим. Задача состоит в следующем: производится п незави.. симых испытаний, в каждом из ноторых событие А MO жет появиться с вероятностью р. Найти вероятность Toro, что событие А наступит т раз в п испытаниях. Заметим сначала, что в каждом испытании нас инт ресуют два исхода  наступление и ненаступление собы тия А (по традиции «успех» и «неудача»). Вероятность наступления события А в определенном испытании равна 'q ---- 1 ....... р. Вероятность Toro, что событие А наступит при опре... деленных т испытаниях, а при о.стальных п .....,.. т (также определенных) не наступит, в силу теоремы умножения вероятностей равна prrqnm . Но событие А может произойти при любых' т из n возможных испытаний. Число всех различных выборов т элементов из п равно с::::. Поэтому, в силу теоремы ело.. жения вероятностей, ИСRомая вероятность, которую мы станем обозначать символом Р n (т), равна: Р п (т) == c:::pтqm. ( 1) Эта формула носит :название форудъt Верnуми. Формула (1) дает, в частности, вероятность '1'010, ЧТО событие А произойдет во всех п испытаниях, Рn (п) == рn; вероятность Toro, что она не произой,цет ни разу, Рn (О) == qn. Рассотрим несколько примеров. При м е р 1. В семье 10 детей. Считая ;:;;лn упрощения, что вероятность рождения мальчика равна 0,5, найдем вероятность Toro, что в сем:ье имеются О, 1, 2, . . ., 10 маль-- 3 С т C т чиков. аметим, что в силу равенства n == n И пред-- полощения р ::::; q == 0,5 имеют место равенства Р n (т) === 63 
== Р n (п ...... т). Таким образом, P 10 (О) == P 10 (10) == CO' 2O == 124 ' Р 1 9 1 1 10 10 ( ) == P 10 ( ) == С 1О · 210 == 1024 ' Р lo (2) :::о P 10 (8) == CO · 2O ::3 14 ' 3 1 120 Pio (3) == РI0 (7) == С 1О . 210 == 1024 ' 4 1 210 P 10 (4) == P 10 (6) == C 10 . 210 === 1024 ' " 5 1 252 РI0 (5) == С 1О . 210 == 1024 · Мы видим, таRИМ образом, что почти с вероятносты 0,25 в Iноrодетной семье с десятью детьми половина будет мальчиков и половина девочеR. Вероятность же Toro, что в семье будут только мальчики или ТОЛЬRО деВОЧКИ,очеНI) мала ..... чуть меньше одной пятисотой. С вероятностью 672 21 2 . 1024 :zzs 32  3 в столь мноrодетных семьях будет четыре мальчика и шесть девочеR, или пять мальчиков и пять дe вочеR, или шесть. мальчиков и четыре девочки. / При I е р 2. На испытательный стенд поставлены 100 конденсаторов. Известно, что вероятность пробоя кон... дей:сатора до истечения 10 000 часов равна 0,01. Чему равны вероятности Toro, что за 10 000 часов откажут О, 1, 2, 3 конденсатора? Соrласно формуле (1) имеем р 100 (О) == 0,99100 == 0,3660, Р100 (1) == 100.0,01.0,9999 == 0,3697, P 100 (2) == 1010,':9 · 0,012. 0,9998 == 0,1848, Р (3)  100.99.98 001 3 0 99 970 0 1 85 100  1 .2. 3 ., ., , · Вероятность Toro, что во время испытаний будут про" бои более чем у трех нонденсаторов, очень невелика .......... о на равна: 1  [РI00 (О) + Рl00 (1) + P 100 (2) + P 100 (3)] == 0,0185., 64 
П р и м е р 3. Известно, что внекотором rороде роди.. лось 400 детей. Чему равна вероятность Toro, что число родивmихся мальчиков оказалось между 180 и 220, если вероятность появления мальчика при каждом рОЖДQНИИ равна 0,5? Нам нужно наити вероятность Toro, что число родив... '* mихся мальчиков будет равно или 181, или 182, или 183, .._ . . ., или 219. Если rраничные значения..... 180 или 220 ....... желательно включить в интересующую нас rpynny собы... тий, ' то нужно к полученной сумме прибавить и вероят-- , ности двух этих событий. Итак, искомая вероятность равна или 219 р==  Р400(т) == т==181 219  с:О о ' т==181 1 2400 или 220 р' ==  G'OO' т==180 1 2400 · , Однако эти вероятности отличаются друr от друrа очень мало, поскольку р 400 (180) == Р 400 (220)  0,005. При м е р 4. Два maхматиста условились сыrрать t1.0 результативных партий. Вероятность выиrрыmа каж.. дой отдельной партии первым иrроком равна 2/3, ве}юят-- ность выиrрыmа каждой отдельной партии вторым иrро.. нои равна 1/3 (ничь не считаются). Чему -равны в'роят-- nость выиrрыша всей иrры перВЫМ иrроком, вторым иrро-- нои, общеrо ничейноrо результата Для Toro чтобы иrру выиrрал первый иrрок, ему необ..  ходимо выиrрать 6, 7, 8, 8 или 10 партий. Вероятность 8Toro в силу формулы Бернулли и формулы сложения ве-- роятностей равна РI0 (6) + РI0 (7) + РI0 (8) + Р10 (9) + РI0 (10) ::с: 2 26.242 == sw -[210 + 240 + 180+ 80 + i6] 39  0,7869. Вероятность ничейноrо результата равна РI0 (5) """ Co (+ у ( +)5  7 ;7  0,1366. J А. и. I\олмоrоров и ДР. 65 
Вероятность выиrрыmа иrры J;JTOpblM иrрОВОМ равна РI0 (О) + РI0 (1) + РI0 (2) + РI0 (3) + РI0 (4) ::! == (+ уо + Co ; . (  )9 + Co ( ; у (  )8 + + c! (+)8 (+ У + Co (fY (+/ == 17 z 0,0765. Мы видим, ч'l'О, хотя первый иrрок выиrрывает каж.. дую отдельную парri'ИЮ р вероятностью вдвое большей, чем второй иrрОR, всю иrру он выиrрывает с вероятно.. стью, более чем в десять раз большей, чем вероятность выиrрыmа всей иrры вторым иrроком. Для BToporo иrрока вероятность сведения иrры вничью почти вдвое больше, чем вероятность ее выиrрыmа. Рассмотрим событие Е т , заключающееся в TOI, что событие А появилось т раз в n независимых испытаниях. Обратим внимание на то, что события Е т , т == О, 1, 2, . . ., n, являются несовместными событиями и вдо- бавок в сумме составляют достоверное событие. Следо.. вательно, так как Е т происходит с вероятностью Рn (т), то n Pn(т)==1. т==О ЗамеТIIМ, что, с друrой стороны, для каждоrо испытания имеет место равенство р + q == 1, а при n испытаниях, на основании теоремы умножения вероятностей, (р + q)n == 1. Таким образом, из сравения левых частей двух только что написанных равенств находим, что 1 n (р + q)n ==  Р п (т) ==  СТ:ртqnт. m== O т==О Мы получили частный случай так называемой формулы бuнома Ньютона. Рассуждения настоящеrо параrрафа, как Mor заме.. тить внимательный читатель, по существу не связаны с классическим определением вероятности: рассматри" ваютуя испытания с двумя 'Взаимоисключающими исхо.. дами, имеющими вероятности р, О -< р < 1, и q == 1 .......... р. не обязательно равные друr друrу. В данных здесь при- мерах мы уже не можем находить вероятности по сообра..l 66 
женилм симметрии, а ДОЛЖНЫ прибеrать к их статистич&- fJ.KOMY определению. Даже в .случае р == q == 1/2 мы С ПО... МОЩЬЮ формулы Бернулли приходим: к испытаниям с ие-- ходами 110, . . ., Е п , которым соответствуют раз л и ч-- п ы е вероятности Рn (т) === СХ" (1/,)"'. Такимобразом:, под вероятностью OTneJIЬHOrO исхода поии:мается любое поло.. жите,nьное число, не бо-льmее 1, которое удовлеторяет требованиям, выделенным нами в качестве основных u своиств вероятности. Изучим теперь вероятность Р n (т) как.. функцию цеJlочисленноrо aprYMeHTa т. Примеры 1 и 2 наводят на мысль, что следует ожидать TaRoro ее поведения: сначала при возрастании aprYMeHTa т функция Р п (т) возрастает, затем достиrает м:аксимальноrо значения и ПОСJIе BToro начинает убывать. Докажем, что это дейетви тельно так. С атой целью рассмотрим отношение 1'",(.+1) р 1J, (т)  п! Х (т+1)!(пт1)! п' пт Х pm+lqnт""l: · pfflqnт == т! (п  т)1 т + 1 р -Т- Вероятность Р п (т + 1) будет больше, равна или меньше вероятности Р n (т) в зависимости от Toro будет ли OTHO n ....... т р . тение rn + 1 · q больше, равно или меньше 1. В частности, Р п (т + 1) больше, чем Р п (т), т. е. возрастает в точке т, еСlIИ п......т .L>1 т+1 q , Т. е. если т < пр ........ q. Таким образом, Р R (т) возрастает при увеличении т от О до пр....... fl. Есхи ", ...... т р t т'+1 87== , 1'. е. ее.т.ш т == пр ..... q (это равенство ВОЗМОЖНQ в очень реВRИХ случаях, а именно только Torga, коrда пр....... q есть целое неотрицательное число), ТО Р", (т) :;;; РВ (т + '). 3* 67 
Наконец, Рn (т + 1) < Р п (т), если nт . ..l!... < 1 т+1 q , !'. е. если т > пр ...... q. Теперь поведение функции Р п (т) мы выяснили пол- ностью! оно возрастает, пока nl, остается меньшим пр ...... q, достиrает максимума и для т, больших пр ....... q, убывает. Если величина пр ....... q является целым, то имеется два наибольших значения вероятности, а именно Р п (пр ....... ..... q) == Р.", (пр + р). Если же пр ...... q ...... нецелое число, то имеется един" ственное максимальное значение Р п (т) ри т, большем пр ..... q и :меньшем пр + р. При м е р 5. Вероятность события А равна 3/5. Найти число появлений события А, имеющее Jlаибольmую вероятность, если число испытаний равно 19, 20. При n == 19 находим 3 2 пр ...... q :::::; 19. 5 ...... Т == 11. Таким образом, максимальная вероятность достиrается для двух значений т, pBHЫX 11 и 12. Эта вероятность равна Р19 (11) == Р 19 (12) == 0,1797. При n == 20 максимальная вероятность достиrается только для одноrо значения т, ПОСI{ОЛЬКУ пр ..... q == 3 2 2 ==20. 5 ..... 5 == 12  "5 не является целым числом. Самое вероятное начение т равно 12. Вероятность ero появления равна Р 20 (12) == 0,1797. Совпадение чисел Р 19 (12) и Р 20 (12) вызвано лишь соче- танием значений пир и не имеет общеrо характера. Упражнения 1. Воспользовавшись рассуждениями, проведеп.. выми при выводе формулы Бернулли, доказать формулу Ньютона (а  О и Ь  О): (а + ь)n == а'п + Can--lb +. . . + ь n . 2. В урне 9 белы'х и 1 красный шар. Иакова вероятность 'J'oro,. что при 10 извлечениях (с возвращением каждоrо выну!оrо шара) 68 
буДет навлечен хотя бы раз Rрасвый шар? Скопьно раз ну)кно про.. изводить извлечения, чтобы вероятность получцть хотя'бы раз :крас.. ный шар была не меньше 0,91 ( 9 ) 10 19 0,1 Ответ: 1........ 10  0,.65131 19 0,9  22. 3. Нейтрино лропетает СRВОЗЬ Землю с вероя'l'НОСТЬЮ 249 99Q/250 000. С наной веРОЯТНОСТЬJQ неЙТРJlНО пролетит сквозь 250 000 земных шаров, СRВОЗЬ 500 000 шаров? Ответ: e!  0,3679; e"'3  0,1353.  6. Теорема БеРВУJIJIИ Мы можем теперь сформулировать и дока.. зать одну из важнейших теорем теории вероятностей, найденную я. Бернулли и опубликованную уже после ero кончины в 1713 rоду. Задача, котораяпривела я. Бернулли к формулировке теоремы, получившей наименование закона больших чи-- сел -в форме я. Бервулли, очень естественна и может быть описана так. В каждом из n независимых испытаний Бернулли с од.. ной и той же вероятностью р ожет появиться некоторое событие А. В предыдущем параr'рафе мы устаНОВlIИ, что наиболее вероятное число появлении события А в n ис.. пытаниях близко к пр. Нелзя ли высказать несколько более определенное суждение относительно числа появ.. лений А во всей совокупности этих испытаний? Оказы.. вается, можно. Обозначим с этой целью через ..., число появлений события А во всех п испытаниях и рассмотрим разность J1/n ....... р между частотой J1/п события А и ero вероятностью р. Величина этой разности, естественно, зависит оТ случая, поскольку J.' может принять любое целочисленное значение от О до n. Однако, как мы уви" дим, чем больше п, тем реже' эта разность сможет значи.. тельно отклониться от о. Более Toro, какое бы маЛQе по-- ложительное число 8 МЫ ни взяли, например, 0,0001 или 0,000001, при достаточно большом n разность /n....... р по абсолютной величине окажется с большой вероятнО'.. стью меньше, чем 8. Дадим теперь точную формулировку этоrо утвержде.. ния Бернулли. 3 а к о и б о л ь ш и х ч и с е л (т е о р е м а Б е р'" н у л л и). Если вероятность наступления непотОРО80 случаЙНО80 соБы,uяя А в последовательности п пеаариоц-- ,м,ых исnы,аuийй постоянна и равна р, то" папово бы ни t}9 
было nОЛО:J/ипеJl,ЪnО число }  вероятnостью, СХОАЬ уаодпо БАUSnОЙ п 1, при досmаТЛ9Чll<J QОА,ЬШОJfl, n раа1ttOсm ь /n....... р по аБСО/l,ютnо" величии,' охаJCеmcя м,ен ьше , чем 8. Это утверждение М5>Ж\JО записать слецующим образом: иаковы бы ни были е> О и !) > О, при достаточно боль-  том пимее'!' Mec1'fO веравепство Р { I »ln ..... l! I « е} > 1 ..... n. (1) Прежде чем перейти R доказательству теоремы Вер- ву JIJIИ , вычислим следующие суммы: n n 1)  Рn(т),  тР п (т),  т 2 Р п (т). т==О т==О т==О 8начеиие первой суммы уже БЫJlО вычислено в предыду- щем параrрафе. ОназаJlОСЬ, что n  Р n (т)==1. ==o (2) Теперь ППП тPn(т)== ьтРп(т)== Бт тl(nn:' т )! p'"qtН"==t tJJ== O т=::1 т==l n   п! т n--т -----  (т........1)!(пт)l р q ::::2 т==l n  N  (п ......1)1 Р P тl q n---m == ........ (т ...... 1)! (п ...... т)! т==l n == пр  сТ:::fртlqт == m== 1 n1 == пр  Clp1rq(nlH( == пр. k==O Последнее равенство написано на основании равен.. ства (2)( для значения n, paBHoro n  1. Итан, 11.  тР п (т) == пр. т ==Q . (3) 70 
'iеперь " n  т2Рп (т) ===  т (т..... 1 + 1) Р п {т)::::::: 81==0 т ==1  .п n   тР п (т) + :Е т (т  1) Р Q (т М==О т==l Первая сумма правой части нам известна (равенство (3)), поэтому n n  't т"Р п (т) === пр + 1 m (т  1) т! (nn т)1 pтqnт:::::; fI. +  ( А ) п! m n--т :;:= пр  т т.... iJO тl Сп 1P)1 Р fJ == т==а n + ( 1) I  (п  2)! т2 nт:==$ а==nр n n р  (т2)!(пт)! р q т== 2 n, ;:= пр + п ( п  1 ) рl  (п ....... 2)! pk q n2k ==  kJ(.2)I k==O ;:::: пр + n (n ...... 1) р2 == n2р2 + пр (1 ........ р) == с= np2 + npq. Здесь равенство n  (п ....... 2)! рkqЧlr2 == 1  k (п  2l&)1 k==O ваписa,.uо на основании формулы (2) для n, paBHoro п  2. 'f аI{ИИ образом, а  т2Рп (т) == n 2 ;J2 -+ n[:q. tn=;: O ( 4) Заметим, что случаjНЫ(t еобытц i   р 1 < 8 И I   р I :> в противоположны, а потому р {]   р I :> е} === 1  Р {t   р \ < в} · .71 
в силу теорем:ы сложения вероятностей P{I*pl;>B} === ьРn(т), rде сумма распространена на те значения т, для которых I 1'" I i -r- ....... Р :> Е. НО для тих значений т (':  рУ 1-'2 > 1, п поэтому Р {I t  р I ;> в} < 1: (7  р )2 Р n (т), rде сумма попрежнему распространена на те т, для по.. торых \   р I ;> в. Очевидно, что эта сумма может быть только увеличена, если ее распространить на все 8наче-- ния т от О ДО n. Следовательно, P{J*pl;>B}<t (7:;РУ Рn(т)=== т==о n n ==   (т ....... nр)2 рт> (п) ===  [  т2Рп (т) ...... nв  ng  т==О т==О n п  2nр L тР n (т) + n 2 р21: Р п (т)] """" т==О · т==О === n82 [npq + n2р2  2n2р2 + n2р2] == :::2 . При вычислениях мы воспользовались равенствами (2), (3) и (4). Теперь Р {I "*"  р I < в} === 1  Р {I +  р I ;> в} ;> 1  . (5) Отсюда видно, что для любоrо положительноrо Е мы можем сделать вероятность Р {I   р I < в} сколь уrодно блив RОЙ К 1. Теорема Бернулли' допазана. . При м е р 1. В примере 3 предыдущеrо параrрафа мы ивтересовались вероятностью Toro, что число родив- шихея мальчиков среди 400 ро,цившихся детей отклонится 72 
от 200 .. пр ве более чем: на 20. Эта вероятность была Пред- ставn:епа в Виде суммы. Теперь мы можем оценить 8ТУ суим:у. Действительно, ПОСRОЛТ)ЧV n  400, то р.. р {I  ....... пр J < 20} =- ...р {I -+  р I <.} ..". Р {I * --- Р I < j, }. Соrn:8СИО иеравеиств)" (5) Р> i --- :. -- I  4.400.1(1/20)2 Более точный подсчет ПОR8вывает, р  0,95. 1 3 === 1 ...... Т ::с: Т · что Если число рождений п =- 10 000, то вероятность Toro, что число родивmихся мальчиков отклонится от пр ::::= 1;:::: 5000 не более чек па 10 %, соrласно неравенству (5) бу.. Ает больше чем 0,99. УпражнеUWI 1:1 ПОRСDИТЬ I'рафики упражнения 4 к  8 о по 8ИЦИЙ теореИR Вернулли. 1. Веllика ии lерОIlТ1tос'В ..oro, что при 6000 бросаниях иrральной RОСТИ сшестериа» выпадe'l не более 500 рав? Дать оцеп:ку сверху зто, вероятности. 1 5 lIOO .......... . ......... о · t  O &6000...7r 6 6 t твет. ()6000  1000 < J  1/1 2 )a.6000 == 300 · k.ko 3" При каких р и tJ оцепив, испольвуемая при ДОRавательстве ..еореlDJ Верв)'лпв, при данных п . е будет самой далеRОЙ от 1? От".Е ПР. , -= q =- 0,5" 4. ПDЗIЬВУIIОЬ вероятностными соображениями (упражнение 4 . I 8), доказать формул)' о: -= c:--- k . б Спова «папахu и «писыI.. наносятся на RарТОЧRИ и раsреэа- ЮТОII На отдеJlыrые б)'Квы. Дп.lI Rаждоrо слова эти буквы перетасо... БывaIOтеll . иау»;а.у распоnаrаJOТОII одна 8а друrой. Чему равны вероятности вновь ПОЗIучить те .8 м:ова? Oтs,т: t/60. {/720. 6. б человек ПРИ1Wlи в rости и оставили свои шляпы в rард робе. }/il:ОДII, R8ЖДЫЙ И8 rостей 8ВIIЛ птяпу наудачу. Чему равна вероятность Toro, что каждый И8 rостей надел чужую шляпу? Oт8т: 1/211/a! + 1/'1 8ele1/51 с= 11/30" 
rЛАВА li СИМIЕТРИЧНОЕ СЛУЧАЙНОЕ БЛУЖДАНИЕ * 1. Введение в этой rлаве Мы более подробно рассмотрим задаЧlI, которые .возникают в схеме случайноrо блужда-- иин. I\aK ул{е БJ,IЛО отмечено в rлаве 1 (см. с. 17 ----21), вта математическая схема подсказана и оправдапа физи-- ческими приложеНИЯl\fИ ---- она СЛУiI\ИТ для простейmеrо, приближенноrо описания одномерноrо физическоrо про-- цесса БРОУНОВСRоrо ДВИiRения и диффузии материальной частицы, которая совершает случайные перемещения под ,з;ейстnие-м: больmоrо числа СТОJIIновений с молекулами. ФизичеСRИЙ Сl\fЫСЛ имеет лишь предельный случай  непрерывное движение, однаl\О дискретная схема слу-- чайноrо блуждаIIИЯ приводит к результатам, остающимся справедливыми п в своей предельной форме. Представим: себе, что пеКQторая частица (подвижная точка) перемещается в дискретные моменты времени по целым точкам числовой прямой, расположенной верти... кально. Будем: считать, что в начальный момент времени п .=.: О частица находится в начале отсчета, а в каждый следующий MO:MeIIT времени n == 1, 2, 3, ... она совершает перемещение на единицу вверх или на единицу вниз. TaI{, например, в :момент п == 1 частица оказывается в точ", ках +1 или ......1; если в момент времени n частица вани-- мала положение у, то в следующий момент времени n + 1 {)на ОRаВЫR&ется в точках с координатами у + 1 или у ....... t независимо от тото, как осуществлялосъ ее движение до момента n. llредположим, что движение частицы вверх и вниз на один mar равновозможно, т. е. происходит еве.. роятностям:и 1/2 каждое. Тоrда rоворят, что частица совершает простое симметричное случайное блуждание на прямой. Рассмотрим rрафик случайноrо блуждания в пространстненновременной системе координат, rде 74 
ось абсцисс выступает в роли оси времени, а ось ординат по--прежнем:у служит для указания положения частицы. Отметим: точки, соответствующие положению частицы в каждый момент времени, соединим ближайшие точки прямолинейными отрезками. Тоrда любой ВОЗМОfRНЫЙ исход последовательных- перемещений частицы будет rpa... фически изображаться ломаной с вершинами в точках с абсциссами 1, 2, 3,... и целочисленными ординатами. Рис. 21! Траектория движения частицы Полученный rрафик и есть траектория движения части-- цы. На рис. 21 изображена траектория движения частицы, занимающей за время n == 41 последовательные поло.. женин: О, 1, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 2, ,3,4, 3, 2, 1, О, .........1, О, 1, 2 1 2 ......3 .........4 5 4 3 4 -----3 2  1 , , , , , , , , , , , , 0,1,2, 1,2,3, 4, 5, 6, 7, 6, 7.,При финсированном времени наблюдения n в качестве множества возможных со-- бытий (исходов) естественно выбрать множество всех тра-- екторий длины n, начинающихся в начале координат. Так как их общее число равно 2 n и все они равновозможны, то каждой траектории приписывается вероятность 2'-' n . Та-- ким образом, в симметричном случайном блуждании лю-- бое событие, состоящее в достижении частицей некото-- poro множества точек ца прямой, имеет вероятность, про... порциональную числу траекторий, заканчивающихся в точках этоrо MHOiI\eCTBa. Поэтому ри подсчете вероят" ностей тех или иных событий мы будем пользоваться НОМ- бинаторным:ц формулами 9 5 rлавы 1. В этой rлаве будут рассмотрены задачи, типичные для случайных блужданий'......... задача первоrо достижения ча.. стицей H0KoToporo уровня, задача возвращения частицы в начало координат, задача о времени пребывания ча... стицы на положительной части прямой и т. п. На примере 75 
СIlммвтричноrо одномерноrо случайноrо блудания бу- дут I>одемонс_трирован совершенно неожиданные, пр- ти:воречащие, На первыи взrляд, здравому смыслу свои- CTB случайных бужданий. Эти закономерности случай- ных бУiI\давий на прямой имеют чисто комбинаторную природу и остаются справедливыми для случайных блуж- дании rораздо более общеrо вида. - i 2. Комбинаторные основы Траектория частицы rрафически представ" ляется пом:аной с вершинами в точках с целочислен- выми Rоординатами, при этом координатами своих вер- mиц: каждая траектория определяется однозначно. Такие 'rраеRТОрИИ мы будем называть nутя:ми из начала коор" динат, и в этом параrрафе будем ааниматься подсчетом числа путей, обладающих определенными свойствами. 060вначим L (х, у) число всех путей, ведущих из начала :координат в точку (х, у). Очевидно, в соответствии с вы.. числениями в  5 rлавы 1, в случае, коrда х и у имеют одинаковую четность и у -< х, L (х, у) === c+Y)/2 (1) (в друrих случаях полаrаем просто L (х, у) == О). Оче.. видно также,. что число путей из точки (хо, Уо) в точку (х, у), rде О < хо < х, Уо -< хо, у < х, хо --ь уо и х + у .четны, равно числу путей ""'Йз начала координат в точку (х ---- хо, у........ Уо), т. е. равно L (х ---- хо, у ---- Уо). Все подсчеты в этом параrрафе и вычисление вероят- ностей в следующих параrрафах будут основаны на одном замечательном и чрезвычайно простом результате, но.. сящем название «принципа отражения». / Л е м a 1 (п р и н Ц и п о т р а ж е н и я). Пусть А и В ....... точки с целочисленны,мии координата:ми (хо, уо) и (х, у), О < хо < х, Уо > О, У > О, и А I ........ точка (хо, ----у о), симметричная точпе А относительно оси абсцисс. Тоада чис.ло тех путей из А в В, которые па.. саются или nересе11,ают ОСЬ абсцисс, равно числу всех путей, ведущих ив точ11,U А I в точку В. Д о к а з а т е л ь с т в о. Сопоставим каждому пути из А в В, который касается или пересекает Ьсь абсцисс, путь из А 1 В В следующим образом (СМ. рис. 22)! если путь из А в В попадает на ось абсцисс вП'ервые в точке С, то участок А I С пути А I В пострим по симметрии как отра: 76 
жение участка АС относительно оси абсцисс (на рисунно новый участок пути изобраjlен пунктиром) и сохраним для пути. А'В без изменения участок СВ. Очевидно, что указанное соответствие между путями из А в В, попа дающими на ось абсцисс, и отраженными путями из А t В В взаимно однозначно, что и доказывает лемму. I /С Jf J # . I ,, ,11 1" , а. " 1$ А l " " 'r:f Рис. 22. Принцип отражения. Эта лемма значительно облеrчает вычисление числа путей, обладающих некоторыми НУiIНЫМИ свойствами. Будем называть пути положительными, если их вершины лежат cTporo выше оси абсцисс, инеотрицательными, если их вершины не опускаются ниже оси абсцисс. Ана.. лоrично определяютоя отрицательные и неПОЛОiI\итель.. ные пути. Л е м м а 2. Число nО/LожитеЛЬNЬХ путей ид начала поординат в точу (х, у), О < У < х, равпо .JL. L (х, у), х еде L (х, у) ...... число всех путей ид (О, О) в (х, у). Д о к а з а т е л ь с т в о. Все положительные пути проходят через точку (1, 1 ) (см. рис. 23). Поэтому иСко.. мое число совпадает с числом положительных путей из (1, 1) в. (х, у), а это число равно разности между числом всех путей из точки (1, 1) в (х, у) и числом путей из (1, 1) в (х, у), касающихся или пересекающих ось абсцисс, или, по лемме 1, разности между числом всех путей из (1, 1) в (х, у) и числом всех путей из (1,  1) в (х, у), т. е. равно L (х  1, у ...... 1) ...... L (х ...... 1, у + 1). Теперь леrко про.. верить, что х+у L (  1, у  1)  L(x  1, у + 1) == С Х : 1 1  iY)/2 ::с == CX+Y)/2 ( Х + у ....... х,...... У ) === JL... С<;+У)/2 == .L. L ( Х, у) . 2х 2х х :t 77 
По симметрии заключаем, что, число ОТрИЦ8'lеJlЬИЫ.l: путей В точку (х, .......у), у > О, также равно : L (ж, у). При м е р 1. Лемма 2 известна как «теорем&. о бал.. лотировке» в комбинаторном анализе. Исторически пер.. вое ее использование связано е именами 'у айтворта (1878 r.) и Бертрана (1881 r.), решивших так называемую баллотировочну.ю задачу. Если два кандидата R и S ПО.. .пучили на -выборах соответственно r и в, r > s, rолосов, Рис. 28.! Подсчет числа положительных траеКТОРИЙi то каковы шансы, что кандидат R в течение всех, выборов был по количеству rOJIOCOB впереди 81 Очевидно, что по-- становка задачи предполаrает выполненной следующую u несколько наивную процедуру подсчета rолосов: каждыи выборщик отдает СБОЙ rолос или кандидату R, или'S с ве-- роятностью 1/2; последовательно опрашиваются все BЫ борщики, и на каждом шаrе подсчитывается разность rолосов, поданных за R и за 8; после опроса (т + s}-ro вы.. борщика эта разность должна быть равна Т...... в. Таким образом, речь идет о подсчете числа положительных путей из (О, О) в точку (т + s, Т........ s). По лемме 2 это число равно Т----В + L (r + s, r ..... а). т s Тоrда шаисы на устойчивый перевес кандидата R над S в течение выборов измеряются отношением этоrо числа R L (r + а, r  а), т. е. величиной Т+, . т 8 При М е р 2. Та же задача, но с более понятным на.1 сюжетом звучит так. Два шахматиста, имея равные шан... сы на успешиый результат в каждой партии (ничьи не васчитываются), иrраю1' матч из 10 партий. Матч закаlL. 78 
чивается победой определенноrо иrрока со счетом 6 : 4. Каковы шансы на то, что победитель матча после важдой партии был впереди по числу очков? Очевидным образом используя лемму 2 и рассуждеnия предыдущеrо примера, 6 ....... 4 О получаем, что вероятность этоrо события равна 6 + 4 === ,2. Нам понадобится еще один важный результат, пред.. ставляющий собой утверждение, двойственное утвержде.. нию леммы 2. Будем рассматривать все пути из (О, О) в (х, у), обладающие тем свойством, что ординаты всех промежуточных вершин меньше у, и будем называть та.. кие пути путями, впервые достиrающими уровень (поло... жение) у в момент х (или путями первоrо достижения у). Л е м м а 3. Чис/1,О путей, 8ыходящих ив нача/1,а -поор.. динат и впервые достuеающих  уровня" у, у > о, в .мо... ,м,ент Х, ра8НО : L (х, у). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим все пути, удов" летворяющие условию, и будем проходить каждый такой путь в обратном направлев:ии. Для этоrо выберем новую систему координат с началом в точке (х, у) и осями, ко- торые параJ1лельны и противоположно направлены соот" ветствующим осям исходной системы координат. Очевид" но, что «обращенный» путь удовлетворяет условию леммы 2, т. е. является положительным путем из HOBoro начала в точку с координатами (х, у) в новой системе (см. рис. 23). Тем самым установлено взаимно однозначное соответствие между двумя типами-путей. Используя результат леммы 2, получаем утверждение леммы. По симметрии, число путей, впервые достиrающих уровня..... у, у > о, равно JL.. L (х, у). :е Докажем в заключение одно простое следствие леммы 1, которое будет полезно в последующих рассуждениях. Л е м м а 4. Чис/1,О nо.ltожите/1,ъны, путей, вы,одя.. UfUX ив 1Шча/1,а оордU1Шт и ва1i,анчивающихся в точпах с абсциссой х > 1, равно Cl при Х четном и равно Cx.:t)/? при хнечетном. Д о к а з а т е л ь с т в о. Мы должны найти число всех путей, ведущих из (о, о) в множество М точек (х, у), имеющих одинаковую абсциссу х и ординаты у > о. Все такие пути необходимо проходят через точку (1, 1). Число х путей иа (1, 1) в М равно }j L (х  1, у ......1), а число 1/==Уо 79 
«! путей ив (1, .......1) в М равно  L (х...... 1, у + 1), rде У==УО 110 == 2 при х четном, и Уо == 1 при хнечетном. Тоrда по лемме 1 число путей из (О, О) в точки множества м. равно 'х х---2  L (х  1, У ....... 1)......  L (х ---- 1, у + 1) == V== lIo У==Уо х == L (.t ....... 1, у о ...... 1) +  L (х....... 1, у ...... 1) .:.... у==уо+2 x2 ......  L (х ...... 1, у + 1) == L (х ...... 1, уо  1) == У== Уо { C, х чеТRО, == C<:"i 1 )/2 t Х нечетно. с л е Д с т в и е. Общее число положительных и отри- цательных путей, въходящих из начала -поординат и за.. IШ"чuвающихся в точах с абсциссой х, равно 2Cn"'1 == J::: Cn при х == 2п и равно 2C при х == 2п + 1. у пражвевия 1. Покажите, что число положительных JJутей И3 1 n...l (О, О) В (2n, О) равво -п с 2n...2. 21 Покажите, что число веотрицательных путей иа (О, О) 1 n в (2n, О) равно n + 1 с 2n. 3 Покажите, что число веотрицательвыx путей длины 2п С п- равно 2n. 41' Используя лемму 1, докажите, что число путей первоrо до- сntжения точки у в момент 2n.......у равно рааности между числом пу- I't'Й  из (О, О) в (2n.......у, у) и упвоенным числом путей иа (О, О) в (2n ...... у ...... 1, у + 1). 5. Докажите; что число путей И8 (О, О) в точку (х, уо), УО > О, которые лежат выше прямой у '== ---Уl' Уl > О, равно L (ж, Уо)  L (х, Уо + 2Уl). (ИСПОЛЬ8уйте принцип отражения примевительво к прямой 11 == ..... [1 · ) 6, докажите, что число путей из (О, О) в (х, уо), УО > О, которые вешат ниже прямой У == Yg, У2 > уо, равно L (ж, уо)  L (ж, 2У2 ... YO)J Используйте аапачу 5,,) 80 
 3. Задача о возвращении частицы в начало Rоординат Этот и последующие параrрафы посвящены собственно симметричному .аслучайному блужданию на прямой. Основываясь только на комбинаторных свой.. ствах путей (фактически только на лемме 1), :мы получим  некоторые rлубокие и неожиданные закономерности пове.. дения блуждающей частицы. Наши предсказания, в пер" вую очередь, будут относиться к возвращению частицы в исходное положение и достижению ею neKoToporo уров- ня. При решении задачи о возвращении будем рассмат" ривать пути, соединяющие начало координат с точками (х, О), rде х == 2п, так как возвращение частицы в нуль может происходить только в четные моменты времени. Событие, состоящее в том, что возвращение в нуль про- изошло на 2п"м шаrе, связано лишь с первыми 2п пер&- мещениями частицы. В силу симметрии все 2 2n возможные траектории длины 2п оказываются равновозможнымв. Поэтому вероятности позвращения вычисляются подсч8-' том соответствующих путей на отрезке от О до 2п. Пусть и2n....... вероятность ВО8вращения частицы в О в момент 2п. Так нак число путей, соединяющих ТОЧКИ (О, О) и (2п, О), равно L (2n, О) == с: n (см. формулу (1) , 2), то и 2n == Cn2"'2n. Пусть '2n ....... вероятность первоrо воз.. вращения в нуль в момент 2п. Для определения f2n МЫ найдем соотношение, связывающее f2n С вероятностью Utn. Л е м м а. При п > 1 ' f 2n == и2n--2 ...... и2n. ( 1 ) Д о к а з а т е л ь с" т в о. Пусть событие А 2n состо- ит В том, ЧТО путь до момента 2п включительно ниrде не обращается в нуль По лемме 4  2 Р (А 2n ) == и2n. Пуст. событие В состоит в том, что в момент 2п имеет место воз- вращение в нуль. Тоrда событие A gn -- 2 n в означает, что первое возвращение в нуль произошло в момент времени 2п, и поэтому Р (А 2n -- 2 n В) == f2n. Очевидно, что (A2n2 n В) u (А2П--2 n :8) ==с А 2n -- 2 , rде В ....... дополнение собыия В. Так как события, стоящие в скобках, несовместны и А2n....! n в == А 2n , то р (Аn....2 n В) + р (А 2n ) == Р (A2n--J), что и приводит К соотношению (1). 81 
С л е Д с т в и е. При n > 1 f 1 С П 2 2n+!: 2'11,::::: 2п  1 2n 1 (2) (иди f2n== in и2n2). Соотношение (1) можно таиже довазать вак простое комбинаторное тождество, если вероятности f2n В виде (2) вычислить, непосредственно применяя лемму 2  2 (см. упражнение 1). Используя формулу (2), нетрудно проверить, что ве.- роятности nepBoro возвращения в нуль, например, на 2M, M, 6M marax, равны соответственно 12 == 0,5, 14 == 0,125, /6 == 0,0625. Вычисление /2n для неБОJIЬШИХ значений n удобно произ-- водить, используя таБJiичну значений вероятностей и2n: '11, I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 и 2n I 0,5 I 0,375 I 0,3125 I 0,2734 I 0,2461 '11, I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 u 2n 1 0,2265 \ O,2G95 I О, 1964 I О, 1855 1 О, 1762 Для больших значений n можно вычислять f2n прибли-- женно, пользуясь таблицами лоrарифмов (см. с. 24) или формулой Стирлинrа. По формуле Стирлинrа (см. с. 25) при больших n п!  nnе"' n Jf 2л:п , ОТRуда С П 2 2n 1 2'11, .-...J .. / _______ . , nn Поэтому 1 1 и2n....... -y и f2n....... -y 3' · Пn 2 пп 3 Интересно узнать, каковы шансы на возвращение час- тицы в нуль за HeKTopoe конечное время. Например, ве- роятность вернуться в нуль за 2 mara равна /2 == 0,5, за 82 
4 mara 12 + 14 == 0,626, 88 6 marOB /2 + 14 + 16 == == 0,6875 и Т. д. Очевидно, что пероятиость возвращения частицы в нуль за время 2п равна /2 + /4 + ... + f2n. По лемме получаем, что f 2 + ... + f 2n == (1 ...... и2) + ... + (и2n__2 ........ и2n) ...... == 1  и 2n , (3) т. е. и2n......... вероятность, противоположноrо события. ПОJlЬЗУЯСЬ приближенным: значением и2n при больших п, можно вычислить, например, вероятность возвращения за 100 marOB ...... 0,9202, за 1000 шаrов  0,9748, за 10 000 marOB ....... 0,9920. Заметно, что с ростом n вероятности и2n n стремятся н О, а вероятности  f2k возрастают и прибли... . k==l )Rаются н 1. Накова же вероятность Toro, что частица коrдалибо вернется в начало координат? До сих пор мы рассматривали вероятности в конечном множестве воз.. ножных событий, а для RoppeKTHoro uпределения инте.- ресующей нас вероятности необходимо рассматривать бес.. нонечное множество траеRТОрИЙ. Для Toro чтобы не выхо-- дить за рамки конечной схемы, мы упростим решение аадачи и предположим, что событие, заключающееся в том, что частица рано или поздно вернется в нуль, имеет опре.- деленную вероятность, которую :мы обозначим через f. TorAa f == 12 + /4 + ... + /2n + · · · (4) Теперь мы можем ДОRазать замечательный результат о возвратности симметричноrо случайноrо блуждания на прямой. Т е о р е м а. Воавращение частиць1, в нуль происходит с вероятностью 1. Д о к а з а т е л ь с Т в о. Из формул (2), (1) и (4) имеем f == (1 ....... и2) + (и2 ........ и 4 ) + (и 4 ........ и6) +. . . == f. Таким образом, возвращение частицы в нуль является событием с вероятностью 1. Оназывается, однако, что но.. мента возвращения приходится ждать слишном долrо. Для Toro чтобы в этом убедиться, найдем среднее 8наче.. п ие периода времени до возвращения частицы в нуль. Так 83 
как каждому значению 2п времени ожидания соответствует в-ероятность f2n' то peДHee время ожидания возвращения частицы, если время наблюдения не превосходит HeKOTO poro момента 2N, равно N  2nf2n + 2Nu2N. (5) n:=l Последнее слаrаемое в этой сумме соответствует случаю, коrда за время 2N частица ни разу не вернется в нуль N (  f2n + U2N == 1, см. (3)). Очевидно, что большим зна n:=l чениям N соответствуют довольно большие ЗНilчения вы... ражения (5). Оценим значение выражения 00  2n12n. n==1 1 1 Так как при п  00 !2т"'" 2 Vn n." И 2'n!'Jn"'" Ум ' то ряд 00  2nf2n расходится *) и, следовательно, среднее 8наче.. пl . ние времени возвращения бесконечно. Итак, частица бязательно вернется в начало коор- динат, и, стало быть, побывает там бесконечное число раз, но (среднее) время ожидания даже первоrо возвращения бесконечно. Можно ли утверждать, что начало RООРДИ" нат .........единственная точка, которая обладает таким свой.. ством9 Ответ на поставленный BOpOC дает решение за.. дачи о пеРВО)l достижении HeKoToporo уровня. По лемме 3  2 вероятность Toro, что точка с ординатой у > о будет впервые достиrнута при абсциссе х, равна К (у)......... у С (Х+ У )!2 2 --х х .................. х · , х (6) о -<: у < х. Так как х + у четно, положим х + у == 2п и перепишем (6), выразив х через 2п: (у) у С П 2 --2n+1I g 2n-- У == 2 2n--У · · n.......у Положим В (7) у == 1 и п'одучим gl == 2n  1 C:l. 22n+1  (7) *) Ряд расходится (сумма бесконечна), если расхоится по- следовательность Rонечных частичных CYMM 84 
вероятность первоrо достижения прямой у 2п  1. Нак следует из фор:мулы (2), gl === {2n.  1 в момент (8) Это соответствие между вероятностями nepBoro достиже... ния точки с ординатой 1 и первоrо возвращения в нуль позволяет, применить докзанную теорему R реmеНИIО за.. дачи о первом достижении. С л е Д с т в и е. С ее роят ностью 1 частица достиаает уровня 1. По симметрии, тот же вывод справедлив в отношении первоrо достижения уровня 1. Теперь интуиция ПОДСRазывает, что подобное утверж-- дение может быть сформулировано для любоrо уровня у; план точноrо доказательства см. в задачах 5 и 6. Общий итоr параrрафа таков: с вероятностью 1 блуж-- дающая частица бесконечное число раз пересекает любой постоянный уровень, в частности, бесконечное число раз возвращается в исходное положение, но среднее время ожидания этих событий беСRонечно. у пражнеНВJI 1. Используя лемму 2  2 для подсчета числа по... пожительных и отрицательных путей, соедцвяющих ТОЧИИ (О, О) и (2п, О), найдите вероятвость f2n. 2. В сбереrательную иассу стоят в очереди 2п человеи. Rаждый ив них с вероятностью 1/2 вносит 10 рублей или с вероятностью 1/2 берет 10 рублей. В начальный момент времени в иассе денет нет. Найдите вероятность тото, что ни один ив -тех, ито хочет взять деньrи, не будет ждать? Доиажите, что эта вероятность равна и2n_ И найдите ее точные,и приближенные звачения для п == 4, 5, 6. 3. Опираясь на упражнение 2  2, вайди-те, что С (у) == СП .22n+Y  СП .22n+Y+l. ( 9 ) 2y '2ny y""'l 4. Поиажите, что вероятвость достижения точии (nт, т), равная Cт.22n+т, :может быть представлена в виде суммы n  (у) .LJ C2nY. у==т (10) 5. Докажите формулу n'-т 1 gt+l) 2а  g%y8"2k1' (11) k связыва[Ощую вероятности первоrо 1!9стижевия уровней У и У + f. 85 
61 В следствии из основной теоремы доказано, что н(1) == 00 ==  gJ"'l == 1. Докажите, что частица с вероятностью 1 достиrнет n==1 00 любоrо уровня у, т. е. что g(Y),==  gy === 1. [Доказательство про.. n==у ведите методом математической индукции, используя формулу (11) и формулу изменения порядка суммирования: 00 n1 00 00   ==   .] п== у+ 1 v==y v==y nV==l 7. Покажите, что частица, начинающая блуждание из любой точк с ордиваТQЙ у, с вероятностью 1 попадет в нуль. 8. Пусть в слайном блуждании на прямой уча.ствуют две ча.. стицы, которые перемещаются независимо друr от Apyra и в одни и те же моменты времени. Используя вывод о том, что частица Be- роятностью 1 достиrает любоrо положения на прямой, ДOHaНQIтe, что вероятность встречи частиц равна 1, если начальное расстоя.. вие между ниии четво, и равна О, если начальное расстояние не-- четно 1 i 4. Задача о числе возвращений в начало Rоординат Мы доказали, что симметричное случайное блуждание бесконечное число раз возвращается в исход.. ное ПОЛОiRение. После Toro как произоmо первое возвра" щеиие, мы проводим время в ожидании BToporo возвра" щения, и, хотя оно достоверно, ждать нам приходится в среднем столь же долrо, как и первоrо возвращения. В этом параrрафе мы ответим на зопросы о том, как с увеличе.. Rием: продолжительности наблюдеция растет число воз.. вращений и как «тянется» время ожидания m--ro возвра" щения. т е о р е м а 1. Вероятиостъ тО20, что в .мо.меит 2п и.меет .место т--е воавращеиuе в иу.лъ, равиа j (m) .......... т С П 2 2n+т 2n  2 2nт · · nт (1) Сравнение (1) с формулой (7) из  3 позволяет выска.. затр утверждение теоремы иначе: вероятность m--ro воз.. вращения в начало координат на 2n--м mare равна вероят ности первоrо достижения точки с ординатой т на (2п ....... т)--м mare, Т. е. j (fIn) (Тin) 211 == g2nm. (2) 86 
иТО утверждение справедливо во веяком случае при т ::::= 1 (СМ. (8) в  3). Новая формулировка теоремы подсказывает способ доказательства. Д о к а з а т е л ь с т в о. "Установим взаимно одно-- значное соответс.твие между путями, впервые достиrающи-- ми точки т в момент 2п  т, и всеми неположительными путями, для которых точка (2п, О) является точной noc леднеrо m--ro возвращения в нуль. Для этоrо рас.С:МОТрИlrI  , .. ,,,' ;/' -., '  )( ,  , , , " , , '.. , " , , , , , '- " .\ ' (5) I '... {6, ,...  , , " , " , ' '", '11> " , #1\.. ," "" , 'yf' 'у' ', i'" 't/ * Рис. 24!, Иллюстрация R теореме 1. произвольпый путь первоrо достижения т и проведем через точни перв()то достижения уровней 1, 2, . . ., т пря-- мые с уrловым коэффициентом 1 до пересечения с осью абсцисс (см. рис. 24). Полученные т точек на оси абсцисс будут вершинами некоторото неположительпоrо пути дли вы 2п и будут уназывать моменты возвращения этоrо пути в начало координат. С помощью обратноrо построения любJj неположительный путь длины 2п, имеющий ровно т вершин на оси абсцисс и последнюю в точке 2п, преоб-- разуется в :цекоторый путь, впервые достиrающий точки т в MoJMeHT 2п 7'""" т. Из соответствия двух множеств путей следrе', что число неположительныi путей с т--м возвра-- щением в нуль в момент 2п равно т С т 2 2nт (тп) 2 2nт == K2nт. nт КаЖДЫЙ такой путь точками возвращения делится на т участков. Отображая произвольным образом эти участки относительно оси абсцисс, мы получим все пути" с т Bep шинами' на оси абсцисс. Число их будет, очевидно, в 2т раз больше числа неположительных путей и поэтому.... бу.. дет равно 22ng2m. Разделив это число на 2211....,... общее число путей длины 2п,  получим вероятность (1). , 87 
Найдем теперь вероятность т возвращений в течение Bcero промежутка времени от О до 2п. Рассмотрим все пу- ти длины 2п, которые m rаз возвращаются в нуль. суще.... ствуют две возможности: последнее т--е возвращение про- исходит или в момент 2п, или в некоторый момент 2" < < 2т. Во втором случае каждый путь точкой 2" послед- Hero m--ro возвращения делится на два участка, причем на участке от 2" до 2п возвращений в нуль нет. По лемме 4  2 (см. следствие) участок пути от 2" до 2п можно вы- брать числом способов, равным числу всех путей, соединяю- щих точки (2'\', О) И (2п, О). Поэтому все участки от 1lомен- та последнеrо воввращения м:ожно без ущерба заменить участками, которые имеют возвращение в пуль по край- ней мере в момеит 2п. Следовательно, число путей длины 2п, имеющих ровно т ВО8вращений, равно числу путей, которые имеют саков кеиъmее т возвращений в нулъ И последнее  в момент 211. Таким образом, мы свели за- дачу к подсчету общвrо числа путей, им:еющих т, 1n + + 1, . . .; n ВО8вращений в нуль в момент 2n. Переходя R вероятностям и используя теорему 1, получаем, что ве- роятность m возвращений равна L(m) .z<т) + лт+l) + + j (n) ''1. - 11_ It. · · · In или h (m) "<М) + ,(т+l) + (1\' 2n - .t..... gltt--(1n+J) + · · · 'n, rде слаrаемые справа  зто вероятности первоrо дости- жения точек т, т + !, . . ., п в коменты 2п  т, 2п ......  т  1, . . _, 1J соответственно. Таи вак при k te:: т, т + 1, . . ., п ...... 1 (k) С П 2 --1В+k С П 2 --2n+k+l Bsti--lt -= Itl--k. --- Inkl. И c) =- с:. 2.... (см. упражнение 8 t 3), то L(m) па 2 In+т 111" - {.,In--m · , т. е. hc;,,>- равна вероя:тиост. достижения точки т в момен'! 2п ....... т (см. упражнение 4: , 8). Итак, докавана т е о р е м а 2. Вероятность тоео, что 8а врежя 2. nРОИ80йдет ровно т возвращений в нуль, равна h m .rra n(It\m) ." :1:118:: (., AAт ·  . Заметим, что в теоремах 1 и 2. «новых» вероятностей Н8 появ:q:посы найденные вероятности совпали СО 8И8еИИJl" ии вероятностей, полученных в предыдущих параrрафах. 88 (8) 
С л е Д с т в :и е. При п == О и т == 1 вероятности ht1:,,> равны и 2n ; при п > 1 вероятности hrr;,,) строео убы'" вают: h (O) h (l) > h (2) > > h (n) 2n == 211, 2n · · · 2n · (4) Следствие доказывается простой проверкой. Для про... верки формулы (4) достаточно показать, что h) > h"::--l) при т> 1. Неравенства (4) неопровержимо свидетельствуют, что каково бы ни было время случайноrо блуждани.я, наибо... лее вероятно либо отсутствие возвраIЦений, либо ровно одно возвращение, чем любое друrое их число. Обычно ожидается, что число возвраIЦений пропорционально вре.. мени блуждания. Но это представление опроверrается наблюдением и расчетом........ число возвращений растет Q ростом 2п как У 2п . Пути возвраIЦаются в начало коор-- динат очень редко, и чем продолжительнее время блуж.. дания, тем реже возвращается частица в исходное поло- жение. Чтобы в этом убедиться, вычислим сре.цнее ЧИJIО возвращений за фиксированное время 2n! n . h (m) 11==  т 2n. т==О Используем соотношения n  14'::):=: 1, т==о n....l  h (ffl+l)........... ( ) h (т) 2п....... т h (m+l)  2n nт 2 n ::а: 2 2n. т=о Проведем выкладки по вычислению f.tJ n n1  ( ) h (m)  2п....... т h (т+l) n ..... l" === l..J n....... т 28:;:;:: I-J I 2 2n == тo тo n1 n1 == 2rJ t 1  14'::+1)  +  (т + 1) hr;:+l) === т== О т==о  2п + 1 ( 1 h(o). ) 1  2 ..... 2n ....... т 11- Отсюда 2п+1 f1 == 2 u 2n ......... 1. 89 
raK нан при больших значениях n 1 и2n  ...r , r nn то 1f21i f1""""" ... r  · f 2rc; Таким образом, с увеличением продолжительности б луж..' дания относительное число возвращений убывает, а пе.. риоды между возвращениями возрастают по длине8 Так, например, ва 10 000 maroB частица побывает в нуле в среАнем около 40 раз, за 1 000 000 maroB  около 400 раз, а за 100 000 000 maroB  около 4000 раз. Соответственно, cpeHee время :между возвращениями будет меняться от 250 к 2500 и далее до 25 000. Мы уже rоворили о TO, что рост среднеrо вреlени между соседними возвраще ииями не зависит от номера возвращения. Теперь, ис-- пользуя ТО, что число взвращений растет в cpeДHeI как Уп, можно сделать вывод О том, что среднее время orr начала блуждания до тro возвращения в начало RООрДИ-- нат растет как т 2 . Это заключение может быть УТQчне-- НО В форме «предельной» теоремы (СМ. упражнение 2). Так как при6лизитеJIЬНО в половине моментов возвра" щения в нуль частица переходит о ОДИОЙ на друrую IIО .повину прямой, то полученные вдесь BывдьI иепосредст-- венно касаются продолжительности времени пребывания частицы на положительной и отрицательной сторонах прямой. R точной формулировке результата мы переХОДИl\1 в следующем параrрафе. у оражиеНIIJI 1. Покаватъ, что "2n IC: '2n + t<: + ... + r: (см.! следствие к теореме 2)r 1. Используя аСИИПТОТJl1lесКjl' СООТИО1ПeIDUI  1 , (С.... 1 t In C 1r .....  lln т  (k  1) In k + In У"IП V  при 1  OQ И k  1 ..... 00 (ато "llедстви, формулы СТИрJlивrа, ем, I 9 flIaBW {) и 111 10 (1 + } l8W . ....... т 90 
при 'a I < f (первые дa члена разложения функции в ряд Тейлора), докажите, что при n  00 j<m),... .. / 2 т е т2/2<2n":'т) . 2n V ",. (2п ____ m )8/'1. m+N Тоrдавероятность  f'::) Toro, что m возвращеий в начало коор- п==т динат произойдет за время от 2т до 2т + 2N, м.ожно предстаиить как интеrральную сумму для интеrрала Римана от ФУНRЦИИ '1 'ф (у) == V y..Jl'e1121J 2", в пределах от О до 2N/m 2 . Отсюда можно заключить, что вероятность Toro, что тe возвращение ПрОИЗ9йдет до моме1lта ат' (а> О ...... произвольвое действительное число), етремится ИР. возрастании m к ввтеrралу а  'Ф(у) dy. о Т. е. время до т..ro возвращения растет с ростом т как 'mlJ (Дли Еычислевия последнеrо иuтеrрала удобно использовать paBeicTBO с  '" (у) dy == 2 (1  Ф ( ; а. )) " о ' t так как значеJIJUI фУНКЦИИ Ф (t) == v  eи2/2 dи можно вaйтII ---00 в любом учебнике по теории вероятностей в таблицах ФУВRЦИИ вор- J4aJILHOrO распределения.) * 5. ЗакОН арксинуса Мы установили важнейшее свойство симмет.. ричноrо случайноrо блуждания........ пеРИ6ДЫ между по- следовательными возвращениями частицы в нуль ОRазыва... ются необычайно длинными. Мы убедились в этом, ИС- пользуя различные подходы, и теперь нам предстоит ОТ.... 'l'ить йа вопрос о том, как долrо частица будет в течеВ1l8 I l' I блуждания находиться выше или ниже оси абсцисс.  тественное, с точки зрения здравоrо смысла, предположе-- вве о том, что относительное время, ноторое частица про- :водит выше оси абсцисс, близко R 1/2, не подтверждаете. экспериментом. Оказывается, что для этой доли времена !. значения, близкие R 1/2, наименее вероятны, и значитеJIЬ- Й 
вую часть времени частица проводит в RаRОЙ"'Лйбо ОДНОЙ ПОЛУПЛОСRОСJl. Эти парадоксальные закономерости пе.. рехода частицы с положительной стороны прямой на отрицательную и наоборот раскрываются теоремой, полу- чившей название «заRона аРRсинуса». Докажем предварительно следующий простой резуль- тат. Л е м м а. При п > 1 n и2n ===  f2kи2n2k. k==1. Для ДОRазательства рассмотрим все пути длиной 2п, которые возвращаются в момент 2п в нуль. Формула (1) яв.. ляется вариантом формулы полной вероятности (см. с. 59). В самом деле, пусть событие А 2n соответствует любому пути из (О, О) в (2п, О), а событие B 2k ......... пути С первым возвращением в нуль в момент 2k, k == 1, . . ., п; при этом n события B 2k несовместны и А 2n С U B2k8 Тоrда k l (1) n n р (А 2n ) == }j Р (B 2k ) Р (А 2n /В 2к ) ===  р (B 2k ) Р (A2n2) kl  kl в силу Toro, что Р (A 2n /B 2k ) .. р (A 2n -- 2k ). Так как р (A 21t ) == и2n, р (B 2k ) == f2k, получаем (1). Обозначим через p2k,2n вероятность Toro, что в течение времени от О до 2п путь частицы неотрицателев 2k единиц времени инеположителен 2п ......... 2k единиц времени. доб.. но rоворить, что частица ироводит, на положительной сто.. роне вр'емя от п до п + 1, если соответствующий отрезок пути лежит выше оси х. т е о р е м а 1. При n :> 1 и О < k < n P2k, 2n == U2kи2n2k. ( 2) д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A 2k ; 2n ......... событие, состоящее в том, что частица за период времени от О до 2п проводит 2k единиц времени на положцтельной стороне и 2п ......... 2k ......... на отрицательной стороне. Пусть Br и B;r ......... обытия, состоящие в том, что частица впервые возвраща.. ется в нуль в момент 2r, оставаясь до этоrо соответственно па положительной или отрицательной стороне. Очевидно, I ЧТО Р (A 2k ,2n) == P2k,2n И Р (Bir) == Р (B'2r) ==  !2r' По 92 
формуле полной вероятности р (A 21r ; 2n) == U Р (BT) Р (A 2k , 2nIBr) + + U Р (В;:1') Р (A 2k , 2nI.B2"r)1 r таи как р (A 2k , 2n7 В;,. ) == р (A2k"'21', 2n...21') t р (A 2k , 2n/ В 21') == р (A 2k , 2n...21')' то k nk 1 1 P2k, 2n === т L..J f2rP21r"'21', 2n21' + т l.:..J f2rP2k, 2n...21'. T1 T1 (3) В случае, коrда k == О или k ::::: n, равенство (2) тривиаль- но, так иак искомая веl'ОЯТНОСТЬ равна и2n. Полученное тождество рассматривается при всех n и О < k « n ...... 1. Выведем (2) из (3) методом математичеСRОЙ индукции ПО n. Леrко видеть, что при n == 1 соотношение тривиально. Предположим, что при всех т -< n  1 P2k, 2т == U2k U 2т....2k И, В частности, P2k...2r, 2n...2,. == U2n....2k U 2k...2rt P2k, 2n...21' == U2k U 2n....2k...2r. (4) 1"orAa из (3) и (4) ,получаем k пk P2k. 2n ==  U2n--2k  '2Tи2n2T +  U2k l: f2rU2n--2k2r' T1 1'1 Пользуясь ;утверждением леммы, находим окончательно 1 1 P2k, 2n == Т U2n....2k U 2k + т U2kU2n....2 == U2k U 2n...2k. Соотношение (2) определяет удивительное свойство, присущее БЛУiRданию частицы. Интуиция подсказывает, u что доли времени, проводимые ЧQстицеи выше и ниже оси абсцисс, примрно одинаковы и близки к 1/2. Для провер ки произведем подсчеты с помощью формулы (2) для случая n == 10. Вероятности P2k.2n даны в следующей 9з 
табличке: k О I 1 I 2 I 3 t . 1. P2t, 2R I о t 1762 I 0,0927 I 0,0736 I 0,0655 I 0,0617 0,0606 k I 10 I 9 I 8 I 7 I 6 5 Даже эти данные показываlQТ, что значениям k == О и k == n соответствуют наибольшие вероятности и, наобо- рот, менее Bcero Bepo:rHO, что поля времени k/n близка R 1/2. В данном случае важ.. вы не абсолютные значения nерятностей, а харантер ИХ изменения в зависимости от k. В общем олучае эти вера-- нтности обладают 6JIедующи-- ми свойствами: P21t t 2а == == P'1kt 2.; при k < (п + 1)J2. вероятности P2k,lf1. убывают t при k:> (п + 4)/2 ...... возрас.. тают; при n четном мини.. мальное значение P2k,2» ДОС" тиrается в точке k == n/2, при n вечетвом  в двух точках k == (п ......... 1)/2 и k == (п + 1)/2. rрафичеСRИ зависимость P2k,2n ОТ k уна.. вана для n == 10 на рис. .!. .!. /:  " 25. Более вы р азительно ID tD uf fP .. I ооотноmевие вероятностей Рис. 25. Баков арксинуса. P2k, tn для больших вначе... пий n. Воспользуемся для сравнения приб.в:ижешши 8н&чением Uln ПО форМfхе OrИрllИllrа: , \ , 1) 1 1'0, 2n == Р2n, tn == и2n ,-.J  ' 1 P21t, 2n == и2kи2n!k""'" fi V k (п  k) · в частности, вежи п QeтBO, !'о минимальное ВВ8чевие "*"" врибпвteиио равно 2 2 Рn. 2n -= "о ,...., .. · м 
Результаты подсчета для n == 100, 1000, 10 000, 100 000 сведены в следующую табличку! 2п I Ро, 2п I Р2, 21\ I Рп, 2п 100 0,07979 0,04030 0,01273 1000 0,02523 0,01263 0,00127 10000 0,00798 0,00399 0,00013 100000 0,00252 0,00126 0,00001 Отношение максимальной верояности к минимальной о ростом п стремится к беСRонечности: 2 Ро, 2n + Р2n, 2n V пn ...i  2 == У Л:N  00. Р п , 2n лп Введем в рассмотрение функцию f (х) == V 1 . n х (1  zt определенную ДЛЯ О < х < 1. Эта функция имеет u..oo.- разную форму, симметрична относительно прямой х ::z 1/. И имеет минимум в точке х == 1/2, равный 2/n (см. рис. 25). Леrко убедиться в том, что *) /(х) == :х [ : arcsin у х ] или 00  f (у) ау ==  arcsin ух. о Пользуясь только формулой Стирлинrа, можно утвер. дать, что при больших n P2k. 2n "-'  1 ( : ) с хорошим приближением, если только k не очень БЛИЗRО R О или n. Зададимся некоторым а, О <  < 1, и сравlIIПt *) Для этоrо достаточно вспомнить, что проиэводвая сложио. функции у == f (rp (х)) находится по формуле: у' == f' (q> (х» ер' (.s.'t а производвая функции у == 1/! (х) ..... по формуле: , 1 , у ==  (1 (x» J (х). 95 
две величины 11 P2k, 2n И ylna (1 S f (х) d3J. о Обозначим Xk !ас% k/n и X1t - Xlt ...... tC"__1 - 1/ n , тоrда  P21r. In ,....., }1, dfZtf (:l:t). klnQ .k Правая часть :ttРИ n -+ 00 ИЛИ пр. Atell.... О отреиится к . величине ПJIощади фиrуры, оrрапиченноl ОСЬJO Z, кривой f (IJ) И вертинальными прямыми :в 1:1 О :&1 . - CI. Эта пво.. щаnь по опреелению выражается инте:rраllОIl (J  f (ж) dж =- f arcsin yCi. Таким образом, мы пришив К '1'80реМ8, KOTOp811 mироко ИВВt9тва как BaKOH аРКСИВ1еаt. т Q о Р е и а 2 (8 а к о в ар. I И В J . а). В'роят.. пооть тоей, что долSl 'Р'м',на, про,одu;м,о,о чtlfDШIfI4 на nОД,ОDlCитедьН,ой части, н, nре,ос.о8ит о, О < tI < 1 t tJmр,,М,uтся п (2/n) arcsin уо ПР. n..... 00. ПОЛЬЗУЯСL таблицами синуса, иожво DЪtЧислить, например,  PIk, 13""'" О t 05. "ln<O,0061  Ptk, ,N ,..,.", 0,1 t "'n<о,О241  P2k. In  0,25. 1rln<o,1484 Тан, например, за время D - 4000 частица е вероятно- стью 0,1 остается на одной 6тороне более чем 998 момента времени и с вероятностью 0,2 ---- больше чеи 975 моментов времени. При м е р. Представим себе, что Ава человека иr- рают в «орла и решку», П90чередно подбраеRВ&S правиль- ную монету и выиrрываll веяний .рав при выпадении «орла» «<rерба»). ПослеДОВ8Тenьностъ реВJПЪ'lато. ОТI8ЛЬ- вых партий (посл,доиатепьвость выиrрыше' . преilrры.. шей) rеометрически будет предстаВЛЯТЬОII rрафИКОIrI СНА1" метричиоrо случайноrо б1l1ЖАаиия. ПоаожёИ1l8 rрафика выше оси аБСЦИСG соответствует ситуации, пр. RОТОрОЙ 96 
одии ив иrрОRОВ лидирует; достижеJIие rрафиком оси абс.. U U u цисс интерпретируется как суммарныи ничеиныи резуль- тат и т. п. Результаты  4 и 5 применительно к описанной ритуации rОБОрЯТ о том, что с ростом числа cblrpaHHblX партий «ничьи» становятся все реже и реже, соответствен-- !НО уменьшается относительное число смен лидерства и, таким обравом, большую часть времени лидирует одии из иrроков. В иrре, состоящей из 1000 партий, среднее чис по ничьих равно 12, ив них приБЛИ8ительно половина бу... дет соответствовать действительной смене лидерства. Как показывают предыдущие расчеты, по вакону арксинуса ие реже чем в одном случае ив десяти один иrрок будет за все время находиться в выиrрыmе более чем в 975 партиях из 1000. Упражнения 1. Доназ"ать, что вероятность Toro, что последнее возвращение в нуль для траентории длины 2п произойдет в момент 2k, k == О, 1, 2,. . ., п, рамна и2kи2n2k. 2. Найти число путей из начала ноординат в точну (2п, О) Ta них, что 2k вершин лежат не ниже оси х, а остальные  ниже (k == О, -1,. t8 ., п). Доназать, что это число не зависит 1 n от k и равно n+ 1 С 2n . 3. rоворят, что траентория длины п с ординатами Уо == О, Уl. · ., Уn имеет первый .мапси,м,у,м, Yk в момент k, если Yk > Уо, Ук > > Уl'. · ., Yk > Ykl И Yk  Yk+l" . ., Yk  Уn. Допазать утвержде-- ние, носящее название «второй запон арнсинуса»: вероятность Toro, что траентория длины 2п имеет первый мансимум в моменты 2k (k == == О, 1,.  ., п) или 2k + 1 (k == О,.,. ., п  1), равна P2k,2n. * 6. О симметричном случайном блymщании на плоскости и в пространстве . в rлаве 1 на с. 1117 было рассказано о случайном блуждании на плоскости. Предполаrалось, что частица выходит из начала координат (О, О) и переме щается по точкам плоскости с целочисленными коорди-- натами. При этом за один mar частица перемещается из точки (х,' у) с вероятностями 1/4 в одну из четырех С?tfея\- ных точек (х + 1, у), (х  1, у), (х, у + 1) (х, у....... 1) невависимо ОТ Toro, rде паходилась частица до точив .. (х, у). Аналоrично можно определить симметричное блуж.. данив в трехмерном пространстве! частица перемещается иэ точки (х, У, z) эа один mar в одну из тести точен (х + 1, у, ), (х ...... 1, у, z), (х, у + 11 Z), (х, у ...... 1) Z)2 (х, у, z + 1), 4 А! Не I\олм oropOB и l1P. 97 
(х, у, z ......... 1) с вероятностями 1/6. В  3 мы разрешили БОП" рос о возвратности симметричноrо блуждания на рямой. Рассмотрим эту же задачу на плоскости и в пространстве. Покажем, что двумерное случайное блуждание возвратно, а трехмерное, вообще rОБОрЯ, невозвратно. Введем снова вероятности и 2n и f2n. Как и раньше, и2n ......... вероятность возвращения частицы в исходное по- ложение в момент 2п, а f2n  вероятность nepBoro возвра", щения в момент 2п. Оказывается, что в случае двух и трех измерений отается справедливым соотношение n и2n ===  f2kи2n2k, К::::&1 п>1, (1) между и 2n и f2n (это леrко проверить, используя сообра- жения при выводе этой формулы в одномерном случае, см. лемму Б Э 5 на с. 92). Наша задача состоит в том, чтобы показать, что на 00 00 плоскости  f 2 n === 1, а в пространстве  f2n < 1. Вспом" 1 n==1 00 НИМ, что в одномерном случае в то :Rремя как ряд  /2n n==1 00 сходится R 1, ряд  и2n расходится. (1то поведение рядов n==о есть проявление общей ванономерности, которая будет доказана в rлаве 6 (см.  2) и состоит в том, что 00 OQ  f2n === 1 тоrда и только тоrда, коrда  и2п == 00; иными n1 no словами, вероятность воавращения {J начало координат равна 1 иди меньше 1 в аависи,м,ости от тО80, расходится 00 00 ид,и схаfJamcя ряд  и2n. Например, если ряд  и2n схо.. n==о n o 00 ДИТlI, т. е.  и2n == s < 00, то, суммируя обе части СООТ48 1&==0 ношения (1) по п > 1, получаем слева 00 00 00  и2n ==  u 2n........ ио ==  и2n........ 1, 11==1 n==о n==о тан как ио == 1, и справа 00 n 00 00  [ f2kll2n2k] ==  f2k }j U2n. n1 kl kl no 98 
Таким образом, 00 00 00  и2n 1 ==  f2n  и2n, n==о n==1 n:=аО 00  f2n == 1 --- 00 1 . n==l  и 2n n==о (2) 00  1 00 П6ЗТОМУ  f2n === 1  8 < 1. Если ряд  и2n расходит n==1 no 00 СЯ, то  '2n === 1. В этом параrрафе мы только воспользу" n==1 емся этим утверждением, а доказательство отложим до 00 9 2 rлавы 6. Исследуем сходимость ряда  U2n В ДBYMep n==о ном И трехмерном случае и на этой основе сделаем ваклю чение о возвратности соответствующеrо блуждания. Найдеl и 2n В двумерном случае. Общее число путей из начала координат длины 2п равно 4 2n . Для Toro чтобы в момент 2п частица оказалась снова в начале :Координат, число пер )мещений вверх должно ,быть равно числу пере l\Iещений вниз, а число перемещений вправо  числу пе ремещений влево. Поэтому, если k  число перемещений вверх, то число перемещеНИЙ впив равно k, а число пере.. мещений вправо, так же как и число перемещений влево, равно п  k. Таи хак при этом последовательность пере.. мещений вверх, вниз, вправо, влево произвольна, то ис.. комое число путей равно (2п)! СП ( C k ) 2 k I k! (n  k)! (n  k)! === 2n n. (3) Поскольку k может принимать значения от О до n, то об.. щее число путей, заканчивающихся в момент 2п в начале координат, равно n n  (2п)! "n  C k 2 l.:.J kl k! (п ...... k)! (п ...... k)J == 2n 1.:.1 ( n). kO kO (4) п n Так как  ()2 ==  ccl1 ::::::: Cn' то ЭТО число равно k==O k-=O !t* 99 
(С: n )2. ТаRИМ образом:, и2п == 4 ...2n (Cnj2. (5) Еще раз воспользуемся приближенным представлеиием: С:,. при больших n по формуле Сти'рлинrа. Получаем: 4 ... 211 2 4n 1 1 u2n 2tn == м t Ij 00 откуда следует, что ряд  и2п расходится. Поэтому, ис- n ==о пользуя соображения, относящиеся к соотноmеНИIО (2), 00 ваключаем:, что  f2n == 1, т. е. блуждание возвратно. n==1 В трехмерном случае вероятность возвращения в на- чало координат в :момент 2п равна по аналоrии с (3) ...... (5) · Usn == 6sп  " " " '! ( 2n)\, ( , ')1 ==    1 1 n ...... t ..... 1 n ....... z ...... 1 o<;i+jE;;n  2 -- 2пЛn Ь [3 --n п! ] 2 == (,.,211. . ! ' 1 ( . . )1 · ,/,  1 n......  ....... 1 . i+j<n . (6) Выражения 'C n (t, j) === "'1( п'. ') 1 являются RОЭффИ l 1. n....... z ...... 1 циевтами в так называемом триномиалъном разложении (а + ь + с)n ==  СП (i, j) aibjc n -- i ...;. O<i+in Полаrая в этом разложении а == Ь == с == 1, получаем , . з n ==  СП (i, j), Oi+in или 1 === ' з---nс n (i, j). O<i+i<'n Поэтому  (З"'nС п (i, j) < тах [З--nС n (i, j)] i+.i<n i+j< и Ill n < (2-- 2n с:п) .. шах. [з...nс n (i, j»). (7) i+j'D 100 
Вероятности з---nс п (t, 1) достиrают CBoero маRсимальиоrо 8иачения . . п при  == J == 3 ' . . n.....1 при  == ] == 3 ' . . n+1 при  == ] == -----r ' если n делится на 3, если n..... 1 деJIИТСЯ на 3, если n + 1 делится на 3. Во всех трех случаях, ИСПОJIЬЗУЯ формулу Стирлииrа, по.. lIучаем, что при больших n шах [3nCn (i, j)] ,...., ..L (с...... постоянная). i+in n Тан нан 22nCn....... у:'" t то иВ n В (6) по порядну не превос-- пn 00 iКодит 11n'/2. Отсюда спедует, что ряд }j и2n сходится К n==о 00 конечному пределу, и, еледовательно,  12n < 1, Т. е. n=l симметричное БJIуждание в трехмерном пространстве н&а 09 возвратно (вероятность f ==  Ita вычислена и окааапас. п-:t близкой к Q,35). Таким образом, замечательное свойство возвратности одномерноrо сим:метричиоrо случайиоrо блуждания сохраняется в двумерном случае и утрачива. ется при боны.ем числе измерений. 
l"ЛАВА 5 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ, РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕИ  1. Понятие случайной величины в обыденной жизни и в научных исследова- ниях постоянно приходится встречаться с такими ситуа- циями, коrда интересующая нас величина может при... нимать различные значения в зависимости от случайных обстоятельств. Сколько вызовов поступит на телефонную станцию в течение ближайmеrо часа? На этот вопрос нельзя дать cTporo определенноrо ответа, поскольку число вызовов за определенный промежуток времени подвержено случайным колебаниям ото дня Ко Дню. Точно так же нет' возможности указать точное число уличных происшествий в течение предстоящих суток в Rакомлибо населенном пункте. В подобных ситуациях прихuдится иметь дело со слу- чайными величинами, T.. величинами, значения которых :MorYT быть различны в зависимости от случая. Что нужно знать о случайной величине, чтобы иметь о ней исчерпывающие сведения? В первую очередь, очевид- но, перечень тех значений, которые она может принимать. Однако этоrо далеко не достаточно. Действительно, леrко представить себе величины, которые ПРИIIимают в ТОЧ:'" вости одни И те же значения, но с разными вероятностями. Пусть для приера имеются два стрелка А и В, которые MorYT при каждом выстреле по мишени выбить О, 1 и 2 очка. Одних этих сведений, конечно, недостаточно, чтобы охарактеризовать меткость стрелков. Если же допол IIительно сообщить вероятности, с которыми каждый ив них выбивает то или иное число очков (СМ. таблицу), то такая характеристика уже возможна. Нет сомнений, что стрелок А лучше, поскольку он чаще выбивает наиболь... шее число очков и реже выбивает минимальное число оч.. :ков. В даВ!lОМ примере сравнение СЛУЧ8:НЫХ величин 102 
I о I 1 I 2 А 0,01 0,19 0,80 В 0,05 0,25 0,70 , несложно, но можно привести и друrие примеры, в кото-- рых такое сравнение затруднено: Принято определять случайную величину как число-- вую функцию, определенную на множестве исходов. Если все возможные исходы исчерпываются множеством Е 1 , Е 2 ,. . . , Е п , то любая числовая функция  (E i ) является I .If' сдучаunой велuчuuой. При таком определении на случай-- пые величины распространяются все правила действий с обычными функциями: их можно складывать, вычитать, перемножать и т. д. При м е р 1. Пусть имеются шесть исходов E i , i == == 1, 2, 3, 4, 5, 6, вероятности которых равны между со-- бой. Определим на этом множестве следующие случайные величины: а) б) в) r) 'Д) 1 (1) == 1, 1 (4) == 4, 2 (1) == 1, 2 (4) == 16, 3 (1) == 1, 3 (4) == О, 4 (1) == О, 4 (4) == о, 5 (1) == 1, 5 (4) == 1, 1 (2) == 2, 1 (5) == 5, 2 (2) == 4, 2 (5) == 25, 3 (2) == О, 3 (5) == 1, 4 (2) == О, . 4 (5) == о, 5 (2) == 1, 5:(5) == 1, 1 (3) == 3, 1 (6) == 6; 2 (3) == 9, 2 (6) == 36; 3 (3) == 1, 3 (6) == о; 4 (3) == 1, 64 (6) == 1; Б (3) == 1, I) (6) == 1. Сумма случайных величин 1 и 2 дает HOBYIO случай.. BYIO величину !], которая определяется из равенства rI (Е д == 1 (E i ) + 2 (E i ). Следовательно,  (1) == 2,  (2) == 6, n (3)  12,  (4) == 20,  (5) == 30,  (6) s:::: 42. Из определения случайной величины с ПОfОЩЬЮ ос-- nOBHЫX свойств вероятностей мы може:trI нацти верояrnо-- 103 
u стц, (} RОТОрЫМИ СJlучаиная величина принимает то ил. иное из возожвых своих значений. Обозначим череа Ве событие, состоящее из всех тех исходов Et, на ното- рых  (Et) принимает значение с, тоrда ве.роятность Toro, ' что I (Ед примет значение с, равна Р {ВС}. В зависимости от значений с событие Вс может оказаться невозможным, состоять из oAHoro исхода, И8 двух и даже И8 Bcero мно- жества исходов. В примере 1в) мы можем записать такие равенства: P{; == О} == 0,5; P{8 == 1} == 0,5. В примерах 1r) и 1д) р {4 === О} == Т ; р {5 == ..... 1} == 0,5; 1 P{== 1}T; Р {5 === 1} == 0,5. Совокупность значений, которые может принима'lЬ случайная величина, и вероятностей, с которыми она их принимает, называют расnределение;м, случайной 'веJtuчи-- н,Ь7, . В примерах 1а) и1б) уже сразу определены распреде-- ления. Для примеров 1в), 1r) и 1д) распределения бы-- ли только что выписаны. При м е р 2. Пусть случайная величина  равна числу выпадений rерба при 10 бросаниях монеты. Какие значения принимает случайная величина 6 и с каКИl\'lИ вероятностями? Очевидно, что  может принимать любые целые значе вия ОТ О до 10 включительно с вероятностями 1 Р CO Р { === О} == 210 ' {s == 1} == 2iO ' CO Р {s === 2} == "'2iO' · · ., с 1О 1 Р {s === 10} == 2O == 210 . Выделим один важный клаес случайных величии, l1усть В ---- некоторое случайное событие. Определим сну.. чайную величину ХВ посредством равенств { О, если E i Е В , хв (Е,) == 1, если Е, ЕВ. t04 
Эту величину называют характеристической фуnкциеil или индикатором события В, поскольку по событию мож-- но найти ero характеристическую функцию, а по ФУНК-- цИИ х'в (E i ) .... породившее ее событие В. Леrко проверить, что случайные величины ХА (Е i) и ХВ (Е i) удовлетворяют следующим свойствам! ХА (E i ). ХВ (Ед == ХАВ (Ед, ХА (E i ) + Х,В (E f ) ....... ХАВ (Ед == XAUB (E i ), 1  ХА (Ед == ХА (Ед. Рассмотрение характеристической функции события полезно тем, что оно позволяет свести операции 'над собы-- тиями к соответствующим действиям над характеристи... ческими функциями событий. Две случайные величины S и 11 называются неаавиои... tь"tжи, если для любых а и Ь имеют место равенства р {== а}.Р {11 == Ь} == Р {== а, 11 == Ь}. При м е р 3. Пусть случайная величина  равна числу очков, выпавшему при первом бросании иrральной кости, а 11  числу очков, выпавшему при :втором ее бро... сании. Докажем, что случайные величины; и !1 независи-- мы при условии, что все исходы двух бросаний кости рав'" новозможны. Действительно, всэrо при дву,х бросаниях кости воз... иожны 36 исходов. Обозначим их через Etj, i, j == 1, 2, 3, 4, 5, 6, rде i  число очков, выпавших при первом бросании кости, а j  при втором. Очевидно, что  (EiJ) == ::= i при любом j, а 11 (E ij ) == j при любом i. Событие E iJ в !Нашем случае совпадает с событием { == i, 11 == j}, ивероят... вость ero равна 1/36. Событие { == i} ВКЛlочает шесть равновероятных исходов Е ij, j == 1, .. ., 6. ПОЭ'fОМУ еJIИ'" 'Чина  принимает Rаждое из своих возможных значений 1, 2, 3, 4, 5, 6 (} вероятностью 1/6. То же самое можно сказать и о величине 11. Таким образом, при Jfюбых i и j р {== i, 'Il == j} == Р {g == i}. Р {f] == j} == + · + === ;п  'Wпражнения 1" СI\ОЛр1S0 Bcero уществует рзп:ичвых xapaj<T" ристически функций для aHHoro »ltожества Ei, Es,i (! -.о, Е п ? Omeeтi 2 n . 2. На ПЛОСКОСТИ tloy З8даны 100 !fочен с цеЛОЧИСJIенвыми НО- ОРДИJIатами от 1 до 10! Можно JIИ С }IО;МОЩЬЮ комбинацпЙ ОДНИХ 105 
JJJIШЬ фУНRЦИЙ от ОДНОЙ переменной (от х или у отдельно), опреде.. ленных в точках 1, 2,. . ., 10, задать !Характерис'ТичеСКУJО фуннциm произвольноrо множества из этих точен? Ответ: можно. 3. Д оказать, что при двух бросаниях монеты с раВНОВО3МОЖНЫ1\1И исходами случайная величина, равная числу выпадений rерба рри бросании в первый раз, ,не зависит от числа выпадений rrерба во второй . раз. 4. Доказать, что случайные величины, равные числу очков, выпавших при бросании иrральной RОСТИ в первый и третий раз, пезависимы при условии равновозможности исходов. 5. Четыре станка расположены на одной прямой, расстояния между каждыми двумя соседними стаНRами одинаковы и равны а. Рабочий обслуживает эти станки и переходит от Toro станка, на котором им была закончена работа к любому из четырех с равными вероятностями. Спрашивается, какое распределение имеет длина совершаеl\Iоrо им Rаждый: раз перехода? Ответ: РО == 1/4, Ра == 3/8, Р 2а == 1/4, Р за == 1/8.  2. Математическое ожидание и дисперсия Полная характеристика случайнойвсличи вы дается ее распределением вероятностей. Однако в ряде случаев исключительно полезны бывают некоторые постоянные числовые характеристики, дающие представ ление о ее свойствах. Среди таких характеристик особен но большую роль иrрают математическое ожидание и днс-- персия. Они определяются однозначно по распределению случайной величины. Начнем изложение со следующеrо схематическоrо примера. Предположим, что некоторая школа решила орrанизовать автобусную проrулК'У для учащихся. За.. ранее неизвестно, сколько учаIЦИХСЯ соrласитея поехать на эту праrулку, и поэтому неизвестно, с.колько автобу... сов следует заказать. Из некоторых общих соображений паи известны вероятности Toro, 'что потребуются 1, 2, 3, . . . . . ., n автобусов (заведомо достаточно n автобусов, по... скольву они вместят всех учащихся школы) Пусть эти вероятности соответственно равны Рl' Р2, · · · , Рn' при этом Рl + Р2 + · · · + Рп == 1. Сколько в среднем потребуется автобусов? Точнее: если бы таких школ было MHoro и автобусы забрали бы всех учащихся, пожелавших принять участие в проrул-- ке, то в среднем сколько автобусов ПрИШJIОСЬ бы на OHY' школу?  -  {06 
Для ответа на поставленный вопрос будем рассуждать ТаК. Есл таких школ очень MHoro, то на основании TO" peMЫ Бернулли относительное число слycrаев, коrда 6у.. д.вт достаточен один автобус, приблизительно равно Рl. Точно так, же дв-а автобуса потребуются приблизителы!o для 100Р2 % всех школ и т. д. Таким образом, в среднем ДЛЯ проryлки) потребуется 1р! + 2Р2'+ ... + п.рn автобусов. Аналоrичные задачи по подсчету среднеrо значения u u r случаинои величины возникают в очень мноrих теорети- ческих и прикладных.. задачах. Пусть случайная величина  принимает значения Xl, Х2,. · ., Х т соответственно с вероятностями Pl' Р2" · ., Рт. Сумма 11} M == }1 XkPk k==l значепий случайной величины, умноженных на соответ- ствующие вероятности, называется математuчеспиJt1, ожu- даnием случайпой велuчunы, S и обозначается символом M. Часто вместо термина «математическое ожидание» используют термин «среднее вnаченuе случайной величины ». При м е р' 1. Вероятность появления события А в испытании равна р. Спрашивается, чему равно MaTe:мa тическое ожидание числа появлений события А в одном испытании? · Рассмотрим случайную величину ", равную 1, если событие А в испытании наступило, и равную О, если оно не наступило. Эта величина :как раз равна числу HaCTY плений события А в одном испытании, если только пред- положить, что Р {v == 1} == р и Р {" == О} == 1  р :::;::; q. Теперь лсно, что искомая величина равна Mv == O.q -+-l.р == р. При м е р 2. Производится п независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с вероятно- стью р. Чему равно мате:матическое Оil\идание числа до- ЯБлений события А в n ИСIIытаIШЯХ? t07 
ОБО8ваим через f1 число появлевий события в n ис.. пытациях. Эта случайня величина принимает значения О, 1, 2,. . ., n. Как иы знаем из  5 rлавы 3, р {f1 == k) == Cp" (1 ....... р )n--k, k == О, 1, 2, . , ., 11" что называется биuомиаД,ьныМ, расnределеuие:м. Соrласно определению, Мате1\fзтичеСRое ожидание  равно n n Mf.L ==  kCpk (1  p)nk ==  kCpk (1...... p)n...k. "==О "==1 в  6 rлавы 3 (см. с. 70) при доказаIJlьстве теоремы Бернулли было обнаружено, что Mf1 == пр. Чуть ниже (при:мер 4) иы выведем без вычислений это равенство из общих свойств математических ожиданий. При м е р 3. Станки расположены' по Rpyry, рассто.. янив между соседними стаИRаии равно а, число CTaHOB равно n. Рабочий обслуживает стаНRИ в порядке возник.. u новения отказов, двиrаясь  по часовои стрелке по Kpyry. Вероятность ВОЗIJ;ИRновеиия требования об обслуживании на каждом ив стаИRОВ одна и та же и равна 1/п. Найти сред.. нюф длину перехода, который должеи сделать рабочий. В начальный :момент рабочий находится у станка с во.. :мерок о. Требование об обслуживании иожет ВОЗНИRНУТЬ на любои из стаИRОВ, поэтому рабочему потребуется сдеЛ81'Ь путь 6, длина KOToporo иожет равняться О, а, 2а,. . . . .., (п ........ 1)а. МатеиатичеСRое ожидание длины перехода равно n1 M ==  ka ·  == + (п --- 1). k==o Очень часто встречается 1!еобходимость вычислять среднее значение суммы двух случайных величии, коrда известны средние значения каждоrо из слаrаемых. Матрматичеспое ожидание СУJUtЫ равuо суМ,:ме :мате.. жатичес-пих ожиданий слааае.м,ых: ' М(6 + 1])  M + Mll. 108 
Действительно, n М (9 + f)) == + L. (6 (E i ) + f) (E i )) == i==l 1 11 == + Бg(Е i ) + +  f)(E i )== Mg + Mf). i==l il Этот I реВУJIьтат обобщается на сумму проиавольвоrо числа слаrаемых. Действительно, М (Sl + ... + n"1 + Sn) == м (1 + ... + n"'1) + + Mn == Ml + M2 + ... + Mn. При м е р 4. Продолжим вычисления примера 2. Пусть A обозначает число появлений события А в k..и испытании. Тоrда очевидно, что  == 1 + 2 + ... + iл и м'" == ме 1 + MS 2 + ... + Mn. Но из примера 1 мы внаем, что MS k == Р, поэтому Мр, == пр. При м е р 5. На двух столах положены по две Rороб.. ки с фантами Коробки внешне абсолютно одинаковы. На первом столе в одной Rоробке имеется один фант, а в друrой ....... 7 фантов. На втором столе в одной Rоробке имеются 2 фанта, а в друrой  5 фантов. Ребенок сначала выбирает стол, а затем наудачу берет коробку С этоrо сто.. ла. После Toro :как :коробка выбрана, иrра начинается сначала и повторяется n раз. Какой стол лучше выбирать, чтобы в среднем за n иrр получить большее число фантов? Пусть k  число фантов, которое получит ребенок в k..й раз, если он берет коробку с перnото CTOJla t 8 1'Jk ..... число фантов, которое он получит, если возы\'етT Rоробну со BToporo · стола. Если ребенок буде'r системаТИЧQСКИ брать коробки С пер:Воrо стола, то он получит 1 + 2 + ... ... + 6л фантов, а если он станет Ка}I\ДЫЙ раз выбирать норобку со BToporo стола, ТО он получит !11 + 1'l2 + ... ... +!1л фантов. Подсчитаем мате!\IQтичеСRие ожидания числа ВЬШУтЫ( фанТОВ. Так как M1t == 1. . + 7. +:::zo: 4, 1 1 а М llJc == 2. Т + lS. "2 == 3,5, то 8а n раз в среДНем ребенок с пеРВQrо стола получит 4n, а со BToporo .... только 3,3п фантов. 4f1 
Вопрос, который мы тольно что разрешили для суммы случайных величин, часто возникает и для произведений: ЪiОЖНО ли выразить среднее значение произведевия двух случайных величин через средние значения сомножителей? Оказывается, что при дополнительном условии незави" симости сомножителей имеет место следующая простая q-еорема. Мате,м,атuчес-пое ожидание проиаведенuя двух н,eaa висuж'ЬХ случайnь"Ьх величин  u f) равно nроивведению ,м,а- 1Jzе,м,атuчес-пuх ОЖиданий сомножителей: MSf) == Ms. Mf). ДЛЯ независимых случайных величин 6 и f) вероят- ность Toro, что будут выполнены сразу два события { == == Xt} и {У) == Yj}, равна произведению вероятностей ка- ждоrо из этих событий: Р {s == Х i, 11 == !lj} =="' Р {6 == Xi}. Р {11 == У j }. Очевидно, что мы можем написать слеДУЮЩУIО цепочну равенств: М61) ==  XiYjP {; == Xi, t) == Yj} == i j ==   XiYjP {s == Xi} Р {'fJ == Yj} == i j ==  Xi P {=== Xi}.  yjP {1) == Yj} == M. 11ft) i j При 1\1 е р 6. По проводиику, сопротивление KOToporp зависит от случайных обстоятельств (изменения теплвых условий, влажности, состояния окружающей среды и ,1И т. д.), течет эл,ектрический ток, сила KOToporo таиже ваВИCJIТ от случая. Известно, что среднее значение сопро.. fJ.'ИВJlеиия R проводника равнв 25 омам, а среияя сила «,ока 1 ..... 6 амперам. Требуется подсчитать среднее зва- чепе 8лектроДвижущей силы Е, если известно, что со.. .пРОТИВJIеиие и сила тока иевависимы. COrJIaCRO закону Ома Е == RI. 'Так вак по условию задачи MR == 25 омам, МI == 6 ампе- рам, ro МЕ == 25.,{) == t50 вольт. Для общеrо пре,1lставления о распределении случайной величины важно Зllачение ие только ее м-атематическоrо ол,идаНИЯ J но и разбrоса Бо3ы1il\llыыx ее зваqевий. Тиин'!- '10 
вый пример, RОТОрЫЙ может пояснить положение дел, представляет собой распределение случайных ошибок измерения. Пусть ro ..... величина ошибки, допущенной при измерении. Если при измерении не допускаются система- тические ошибки, связанные с особенностями наблюда- теля и измерительноrо прибора, то математическое ожи- дание (среднее значение) ошибки измерения равно о. Равенство М ro == О позволяет нам утверждать, что ошибки ПОЛОiнительноrо и отрицатеЛЬRоrо знака в среднем урав- новешивают друr друrа, но не дает ответа на важный во- прос: будут ли ошибки измерения малы по абсолютйой величине и, следовательно, результаты измерений будут БЛИЗRИ R измеряемой величине и на каждый из них можно уверенно рассчитывать, или же довольно часто будут встре- чаться большие ошибки ':CQro или иноrо 3HaKav В теории вероятностей для измерения разброса зна- U U U чении случаинои величины около среднеrо значения ис- пользуют ПОНЯ(fие дисперсии *)  математическоrо ожи- дания нвадрата отклонения случайной величины от ее математическоrо ожидания: D == М ( ....... M)2. Из определения ясно, что дисперсия является неотри- цательной величиной и обращается в О, е.сли случайная величина постоянна. Дисперсии можно придать друrую форму, а именно, . поскольку D == М (6 ---- M)2 == М [62 ........ 2M + (M)2] =='  M2 ........ 2 (M)2 + (M)2 ;;:;3 M2 ....... (М;)2, то D == M2 ....... (M)2. Из этой формулы мы делаем простой и ПОJlеЗIlЫЙ ВLIВОД!  U U математическое ожидание квадрата случаинои величины не меньше квадрата ее математиqескоrо ожидания: ./Jtf2 :;> · > (Ms)2. Для дальнейmеrо нам важна слеДУIощая теоре.ма. Дисперсия суж.7f' bt пе8авшиJnЬХ сдучайnых величии равна cy.;+.мe их дисперсий D (1 + 2 + ... + Sn) == Dl + D2 + ... + Dn. *} Дисперсия!!!!!!! БУКJ3аnьво в переВОl!е с паТЫВII «рассо- япив>}. 111' 
Действительно, rel + 2 + · · · + n  (Ml + м;, + . . . + Mn)]2 == -= [(1 ....... Ml) + . · . + (п ..... М;п)]2 == n ==  (;k  Mk)1 +  (, ...... Mi) () ....... M;j). "1 ij Отсюда n n D ( Sk) ==  DSk +  м (9, --- MSt) (SJ --- Ms j ). "==1 k==l i,6j Но, по предположевию, при i =F 1 величины Si и ;} пе 8ависимы. По свойству математическоrо ожидания про.. наведения везависимых случайных величин ", М (, ..... M;i)(J ..... Mj) == М (;, ..... Mf)M () ...... Mj). Но м (а, ..... Mi) == О, DОЭТОМУ окончательно n n D  k==  Dk. k==-l "==1 Теорема доказана. При  е р 7. Найти дисперсию числа Jt появлений события А в n иезависимых испытаниях Бернулли, в ка.. ждом из КОТОРЫХ.А появляется с одной-и той же вероят" ностью р. Мы знаем, что р { == т} == РП (т) == е: рт (1---- p)nm. По определению дисперсия  может быть записана в виде n DJ1 ==  (т....... nр)2 Cpт (1 ....... p)n--m. т==о fораздо проще вычислить дисперсию с помощью толь.. ко что доказанной теоремы. В самом деле, J.t == ""1 + + I + ... + ""п, rде J.tk означает число появлений со бы.. тин А в испытании с номером k. Но Mk == Р и M ::;:; =:: Q.q + t.p == р. Поэтому D'k == MI --- (M)a == р --- рl ;::: Р (1  р) ::;; pq. Таким образом, D  ::::: npq. 112 
у пражнеНИJl 1. Пусть I == I (EiJ) ..... случайная веЛИЧИН8, рав" вая числу очнов при бросании первой кости, а 1) == 11 (Eij) ...... СВУ-- чайная величина, равная числу очков, выпавших при бросаниа второй кости. Доказать, что M1) == M;.MfJ. 2. Монета бросается наудачу 5 раз. Пусть i ...... число вьшаде-- / пий rерба, а fJ ..... lIлина максимальной серии (выпавших подряд) rербов. Найти распределевин величин i и fJ, а также их математи ческие ожидания и дисперсии. Ответ: о 1 2 3  5 Р ( == i) 1/32 5/32 1 0/32 10/32 5/32 1/32 р (1) ==i) 1/32 12/32 11/32 5/32 2/32 1/32 M == 5/2; D == 5/4; М1) == 31/16; Dч == 303/253. 3. Бросаются две иrральные КОСТИ. Пусть х ...... число очков, выпавших на первой кости, а у ...... число очков, выпавших на второй. Найти распределеня х и z == шах (х, у), а также Мх, Dx, Mz и Dz. Ответ: i I 1 I 2 I з I 4 I 5 I 6 Р (х == i) 1/6 1/6 1/6 1/6 {/6 1/6 р (z == i) 1/36 3/36 5/36 7/36 9/36 11/36 ltlx == 7/2; Dx . 35/12; Mz  161/36; Dz == 2555/1296. 4. Бросается ИЛИ кость с обычными числами очков (О, 1, 2, 4 5, 6) на rранях, или кость, на rравях которой обозначены числ очков (1,1,1,4,4,4). Rакойвостью лучше иrрать,..чтобыпри трех бросаниях вероятность набрать в сумме не меньше 9 очков была большей? у к а ,-,8 а н И е. ,", Докажите, что распределения сумм 81 и 82 для iIервои и второи кости Симметричны...... одно относительно 9.. APyroe ........ относительно 7 ,5. Полезно сравнить математические ожидания. . Ответ: первой, поснольку для нее Р{В1  9} > 0,5, тоrда вак Р {S2  9} < 0,r5. 5. Предлаrается трижды бросить или иrральную кость (1, 2, 3 4, 5, 6) ИЛИ ность (1, 1,1, 6,6,6). Накой RОСТЬЮ лучше иrрать, чтоб С большей вероятностью набрать в сумме не менее 15 очков? Найти 113 
для обеих костей математические ожидания и дисперсии суммы числа выпавших очков.. Ответ: второй. MS l == МВ 2 == 3-3,5 == 10,5; DSf == 3.35/12 == == 8,75; D S J == 3. 6,25 == 18, 7 5. 6. Пусть при иrре в спортлото «5 из 36» вы заранее знаете, что при 5, 4, 3 уrаданвых вами номерах вы получаете выиrрыш соответ" ствевио 10 000, 175, 8 р-ублей. Анал.оrично пусть в спортлото «6 из 49» вам заранее известны выиrрыmи: 10 000, 27ЗQ, 42, 3 рубля. Какая из этих иrр оказывается более выrОДDОЙ для иrрока, если он собирается иrрать достаточно MHoro раз? Ответ: «5 из 36»; математическое ожидание выиrрыmа в этом случае при одной иrре 20 коп., в спортлото «6 из 49» это матема.. 1вчеСRое ожидание 14 коп. При большом количестве иrр к ре.. вультату выиrрыша применим закон больших чисел (см. следующий Dараrраф) * 3. Закон больших чисел в форме Чебышева Мы возвращаеIСЯ теперь к идеям, которые были изложены в i 6 rJI. 3 в связи с теоремой я. Бернулли. Оказывается, что доказанный там важный предельный результат, получивший наименование закона больших чисел в форме Бернулли, доnyскает очень широкие 0606-- щения. Мы изложим здесь замечательное предложение, принадлежащее одному из нрупнейших математиков прошлоrо вена П л. Чебышеву (18211894). Теорема 11. л. Чебышева интересна не только широтой Формули-- ровки, но И ИСRлючительно простой идеей доказательства. В основе последующих рассуждений лежит неравенство , обнаруженное п. Л. Чебышевым и позднее нашедшее МIIo-- rочисленные применения :как в теории вероятностей, так и в друrих математических дисциплинах. Л е м ка Ч е б ы ш е в а. Е ели случайная еелuчu на  u.мeeт поnечnую дисперсию, то при л.юбо.м, nоложитель-- нож а и1lreeт ;место неравеnство , р {I s --- Msl >' а} -<  . д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Xi ......... возможные зва-- чевия ве JFИЧИ НЫ S и Pi ..... их вероятности. IТo определе- нию D6 ==  (Х! ...... M)2 Р1.. i Если в этой сумме мы выбросим все слаrаемые, для которых I Х! ..... Ms I < а , и сохраНИl\{ ЛИШЬ те) для ко.. 114 
opыx I Xi  М6 1 > а, то от этоrо сумма может ТОЛЬКО уменьmиться. Следовательно, п6 >  (Xi ...... M)2 Pi, I xi .... MXi I  I'X rде сумма распространяется ва те,значения i, для которых I Xi ...... M I :> а. Сумму, стоящую справа, мы уменьmии еще больше, если все множители (Xi  M)2 заменим допустимым ДЛЯ них минимумом а 2 : Ds>a 2 }j Pi. IXi .....MI Но Р {J s  M I > а} == }j Pi. ,xiMI Последнее неравенство эквивалентно утверждению леммы. Найденный нами результат Н,ОСИТ название неравен- ства Чебышева. 3 l\ к о н б о л ь m и х ч и с е л (т е о р е м а Ч е б ы.. m е в а). Пусть имеется последовательность попарно He8a виси;м,ых случайньх величин l' 2'. · ., Sn С .м,атематичесr;,ими ожиданиями ak === Mk и дисперсия.. жи Dk' о ер ан ичеН,Н,ыж и одной и той же вс.Фuчuной с: Dk -< С (k == 1, 2, 3,. . .). Тоада при дюбо.м,  > о и n ---+ 00 n n pn==p{l+ k + akl <а }1 k==l k==l д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку события n ТI 1+ k+ akl<a h-==l k:;;;;l и n n I  k  akl>a k::=:l ](==1 115 
противоположны, то имеет место равенство n n " Qn==p{l+ E'k  +  akl> а}=- "==1 r=. n n :=:Р{/  gk  akl>aп},==1Pn. k=:1 k==1 Нам будет проще проводить рассуждения, оперируя с ве- роятностью Qn. Соrласво неравенству Чебышева n D  " "==1 n 2 а 2 Qn< . в силу независимости слаrаемых k n, n D  Sk==  Dk. "==1 k==1 А таи НаН по условию теоремы Dk < С, то n D  k < nс. "==1 Но теперь очевидно, что Qn  О, Rоrда n --4 00. Отсюда Р n == 1 ........ Q  1 .....  n ,... nа. 2 · Нами не только ДОRазана теорема, но и выяснено, нак бы.. стро Р п приближается к 1 при возрастании n. \ С л е Д с т в и е 1. Если в условиях тeope.мь Чебышева дополнительно положить а", == a при всех k, то теОFе.ма Чебышева приобретает особенно простую фор.му: при п  00 и любо.м а > О n Р {I +  k  а I < а}  1. "1 Этому следствию можно придать такую интерпретаЦИIО. Предположим, что n наблюдателей измряют величину а без систематичесиой оmибии таи, что допусиаемые Иl\fИ поrреmности сравнимы' по величине; тоrда при большом числе измерений среднее арифметиесиое их результатов с вероятностью, СRОЛЬ уrодно близиой и 1, будет нан уrодпо мало отличаться от измеряемой величины. В ЭТОМ след.. 118 
ствии мы можем видеть обоснование прииципа средиеrо рифметическоrо, широко используемоrо в эксперимев-- альных науках.  С lJ е Д с т в и е 2 (т е о .р е м а Б е р н у л л и). Если случайnье величинь nринu.мают тОЛЬ1tо два значения О и 1 с вероятностями соответственно q == 1  р и р, то мы пол уча еж допааанnыи ранее аапоn больших чисел в форже Вернулли. Заметим, что теоремы о законе больших чисел содержат исключительно важные факты, указывающие на то, что при неизвес.тных условиях совместное воздействие боль... moro числа случайных величин оказывается почти .по стоянным. В этом заложено обоснование мноrих законов физики, экономики и друrих явлений масаовото харак'" тера. у пражвения {. Монета нидается 1600 раз. Велини ли вероятно-- С1И получить при этом выпадение rерба а) более 1200 раз; б) более 900 раз? Ответ: оценна по неравенству Чебышева дает а) менее 1/800; б) менее 0,02. 2. Частица пролетает снвозь поrлощающий энран с вероятно.. стью 0,01. Чему равно математичесное ожидание числа JJРОЛ;i'ТВ" тих снвозь Hero частиц, если их было выпущено 100? Белина ли вероятность Toro, что снвозь энран пролетит более 11 частиц? Ответ: математичес:sое ожидание числа пролетевших частиц равно 1. По неравенству Чебышева эта вероятность не преВОСХОДIIТ 0,0099.   4. ПрОD3Dодящие функции Будем рассматривать случайные величины Х, У, принимающие только целочисленные неотрица... тельные значения. Определим производящую функцию fx (s) ==}] р (Х == k) .s", lk тут И далее мы не будем выписывать пределы суммирова ния, подразумевая, что суммирование производится по всем k, для которых Р (Х == k) =1= о. Приведем некоторые <1'tевидиые свойства функции fx (s). Так, fx (О) == Р (Х == == О), и если эта велИчина меньше 1, то 'Х (8) ----- cTporo возр.астающая функция, выпуклая вниз, как сумма вы... пуклых вниз функций Sk. В точке s == 1 выполняется равенство !х (1) ==  р (Х == k) === 1. Вычислим теперь s:>o; 117 
производвую функции fx (8) при S == 1: t'x (1)== p (Х ==k).k:::;MX; k друrими словами, первая производная производя:щей ФУИК цИИ в точке 8 == 1 равна математическому ожиданию случайной величины х. Вычислим f (1) ==  р (Х == k).k (k ...... 1) === k ==  р (Д) k 2 ...... МХ == М х 2 ...... М х. k Учитывая DX == МХ 2 ....... (МХ)2, получим DX === !'Х (1) ...... (!х (1»2 + !х (1). Вероятности Р (Х == k) можно выразить через про.. из водные производящей функции, вычисленные в точке s == о. в самом деле, . fx. (о)  р (Х са О), точно таи же ''Х (О) == е (Х  1). Вычисляя производную k--ro порядка производящей функ.. ции при 8 == О, получим: f(k) (О) == klP (Х == k) или Р'(Х === k) === f(k[O) . Таким образом-, через n'рОИЗБDдные производящей функ-- ции в точках 8 == О И 8 == 1 lVIОЖНО вычислить все основ... ные характеристики случайной величины х. ВtячJюлии теперь производящую ФУНItцию суммы двух нзаВИси случайных величин Х и У: f Х+У (8) ==  р (Х + у == k) sk == k ==   р (Х == l) Р (У == k  l) sl8kl == k l ===  р (Х == l) sl}] Р (У == п) sm == /х (8) fy (8), l т 118 
Т. е. производящая функция суммы независимых случай.. ных величин равна произведению производящих функ-- " ции этих величин. Производящие функции будут применены в дальнейшем R решению комбиаторных задач и выводу «предельных» теорем в rлавах 6 и 7. Упражнения 1. Найти прриrОl'qщую фУВl\ЦИЮ для случаiiТ!ой величины ft примера 2  1 дiltой,;r)':nьыI 1 Ответ: 210 (.1 + s)lO. 2. Найти ПрОИ3БОДЯЩУЮ ф;lfl(ЦИЮ СJ:)тчайноii ВСlиqины fA П ри мера 2  2. Ответ: (рв + q)n 
r ЛАВА 6 . ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ИСПЫТЛ{lИЙ БЕРНУЛЛИ: СЛУЧАйНОЕ БЛУЖДАНИЕ И СТАтистltЧЕСКИЕ ВЫВОДЫ А 1. Испытания Бернулли Мы возвратимся в этой rлаве к одной ив вал<нейmих моделей теории вероятностей  схеме Вер-- J u I нулли независимых испытании с двумя исходами, которая была введена в  5 rлавы 3. Обычно один из исходов yc ловно называют «успехом» (событие А), а друrой  «не.. удачей» (событие А ). Предполаrается, что в каждом испы тании «успех» происходит с одной И,той ,не вероятностью р, О < р < 1, а «неудача»  с вероятностью q == 1  р. Используя понятие случайной величины (см. Э 1 rлавы 5), можно дать равносильное определение схеМнI Вернулли в терминах случайных величин. Именно, рассм:отрим последовательность случайных величин Х 1 , Х 2 ,. . ., Х п , каждая из которых принимает лишь два значения 1 и о. Пусть {X k == 1} == А, {X k == О} == А, тоrда Р {X k == 1} === р, Р {Х К == О} == q. Таким образом, случайные величины X k мол\но назват характеристическими функциями (индикаторами) события А в каждом испытании с соответствующим номером k  === 1, , . ., n. Предположим также, что случайные величи.. ВЫ Х 1 ,. . . Х п взаимно независимы. Тоrда rоворят, что последовательность Х 1, · . ., Х п задает схему БеРНУJIЛ)l везависимых испытаний. Число успехов в n испытаниях Бернулли выражается случайной величино Sn, равной сумме Х 1 ,. . "' Х п : Sn ::= X 1 + . . . + Х п . Эта случайная величина имеет биномиальное распределе- ние, т. е. Р {S  }  С т lП nп" О n .......... п ......... n Р q  , т;;:=: '.") п; 120 
ее математическое ожидание ....... среднее число «успехов»...... равно MS n =- пр, а дисперсия равна DS n =:: пpq (см. t 3 rлавы 5). Очевидно, что ПОСJIе,«овательность Ylt'.., Уn, rде У" взаимно нзависимы и принимают ,1JBa .значения +1 (<<успех») и ......1 «<неудача») с вероятностями р == р {У" :;: 1}, q == Р {У " :ж: .......}, также представляет собой схему БеРНУJIЛИ, приток случайные величины У К и Х" связаны соотношением: у k == 2Х k ...... 1, k === 1,. . ., п. , В этом случае сумма Sn == у 1 + . . . + у n имеет смысл разности между числом «успехов» и числом «неудач» в , n испытаниях: Sn == 2S n ...... n  Sn ----- (п ....... Sn). Так КаК , {Sn ==: т} == {8 п == 2т ...... п}, то распределение случай.. , вой величины Sn находится по распределению Sn И опре.. деллется формулой (п + k четно) n+К n+k nk , 222 Р {Sn == k} == Сп Р q , k == о, . . . , n. (1) , Математическое ожидание и дисперсия Sn paB:tIbl соответ- ственно , , MS n == п (р ----- q), DS n == 4npq (см. задачу '1). Соrласно закону rJОJIЬШИХ чисел при п  00 Р( ';;  р >8}O, Р { s;  (р  q) > 8}  о (2) (3) ДЛЯ любоrо е > о. в последующи параrрафах будут изучены представ.. плющи е несомненный практический интерес задачи, иоторые ставятся в рамках схемы Бернулли. Параrрафьi 2 и 3 посвящены случайным блужданиям на прямой, а параrраф 4....... простейmим статистическим задачам, Dозникающм в схеме Бервулли. ' 121 
Рассмотрим случайное БПУЖllание, OTopoe порождается схемой испы'!аний Бернудл:ц, IIреnПОJIОЖИМ, что частица выходит из начала :координат и -через lIИницу времени перемещается на единицу вверх с вероятностью р, О < р < 1, или на единицу вниз С Bepo ятностью q == 1 ........ р (см. рис. 26). В RаЖдый: последующий момент времени повторяется та же история независимо от предыдущеrо положения частицы. ТаНИl\'I образом, за вре.. мя n частица проходит некоторый путь, RO торый можно, так же как в rлаве 4 (СМ.  1), изобразить rрафически. Всето путей движе ния Частицы за время п будет 2п, однако теперь эти пути нельзя считать равновоз.. можными. Последовательность перемещений частицы' за время n может быть рассмотрена нак no следовательность п независимых Испытаний с двумя исходами (движение вверх на еди.. вицу «1», движение вниз на единицу «1»), т. е.' :как схема Вернулли. Рассмотрим п взаимно независи.. мых случаЙНЫх ве:л:ичин Х 1 , . . ., Х п , каждая из ното" рых принимает значения +1 и 1 с вероятностями р и q == 1  р соответственно. Тотда :каждой последов а.. тельности значений этих величин, например, 1, 1, .......1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, . . ., !, будет соответствовать опр&- . : деленная траектория движения частицы. Удобнее опи.. (у Х ЫBaTЬ путь частицы не самими lр а их последовательно вычисленными суммами: 80 == О, 8k == Х 1 + . . · + X k , k == 1, . . ., n. Значение Rаждой суммы 8 п будет характеризовать по.. ножение частицы в момент времени n, таи, наПJ)имер, событие {Sn == у} означает, что частица в момент n на.. ходится в точке с координатой у. Траектория движения ЧаСТИЦЫ Ба время n однозначно описывается набором 80, 81, . . ., 8n, И, наоборот, последовательность случай.. ных величин 80, 81, . . ., 8n, определенных по формулам (1), интерпретируется :как траеRТОрИЛ неl\ОТОрОЙ блу.... ждающей частицы. о Рис" 26. He сим:метрич  вое блужда виечастицы. 122 5 2. Случайное блуждание на прямой, соответствующее схеме Бернулли (1) 
КаК следует иа g 1, случайная величина Sn имеет рае.. пределение Р {S n == k} == c+k)12 p(n+k)f2q<n...k)/2 (2) (п и k ДОЛЖВЫ иметь одинаковую четность). Эта ФОРМУJlа дает вероятность достижения блуждающей частицей ТО.-- ки с ординатой k в момент n. При р  q ==: 1/2 р {S n == k} == Cn+k)/22"'n; этот случай, соответствующий сuмметрич1ЮМУ случайному блужданию, был подробно рассмотрен в rлаве 4. Перейдем непосредственно к решению задачи о B03 вращении частицы в начало Rоординат в случайном блу ждавИИ, задаваемом схемой Бернулли. Интуитивно ясво, что В силу несимметрии задачи начало Rоординат уже 1:0 будет иrрать ту роль, которую оно иrрало в симмеТРИЧИ():l случае, и поведение ЧастИцы будет зависеть от соотпошс" ния вероятностей р и q. Вновь введем вероятности и 2п ...... вероятность BOO вращения в нуль в момент 2п и t2n ....... вероятность пep 8020 возвращения в нуль в момент 2п: и 2n ==: р {S2n  О}, f2n == р {S2 :f= О, . . ., S2n2 .;р О, S2n === О}. 00 Нам необходимо определить величину f ==  f2n вероят... 11== 1 ности вернуться Rоrда",ли60 в 1fачало Rоординат. Так )ке как и в симметричном случае (см. (1) в  5 rлавы 4), по формуле полной вероятности n n и2n ==  t2ku2n2k ==  t2n2kU2k' n> 1, (3) к==о k==tJ; rде ио  1, /0  о. Вероятности и 2n леrRО находятся из формулы (2) при k :::::: О. И n, заlененном на 2п: С П n n и 2n == 2nР q (при р == q == 1/2 получаем ЗНilRОМУЮ величину и 2n =::- == Cn2"'2.n). Найдем вероятности '2n И f с помощью про... изводящих фУНRЦИЙ. Замечанuе о проиаводящих фунпциях. Для дальнейmеrо нам будет полезно переформулировать более общим об... разоМ одно ваrl\нейшее свойство производящих ФУНRЦИЙ.. 123 
Рассмотрим две числовые последовательности (п .} и {b j } и !новую оследовательн<?сть {сп}: сп :t::: аоЬ n + albnl + . . . + ап,Ь о , n ::::z О, 1, 2,. . . Пусть 11 (z) И /2 (z) ...... производящие функции числовых последовательностей {ai} и {b J } соответственно. _ Тоrда проивводящая функция 1 (z) последовательности {сп} выражается формулой f (z) == f 1 (z) /2 (z), Т. е. равна произведению производящих фуннций -/1 (z) И /2 (z). Ясно, что это не что иное, НаН свойство ПРОИ8ВО" дящих ФУИRЦИЙ суммы невависимых случайных величин (см. с. 118). Однано в данном случае последовательности {aj}, {b j } не обязаны быть распределениями вероятностей (напомним, что последовательность {ai} тоrда считается расuределение:м, Rоrда а! > О,  а! == 1). Введем пр<51lзводящие ФУНRПИИ числовых последова- тельностей и 2n И f2n: 00 00 и (z) == }J U2n Z2n , F (z) ==  f1nZ?n, , z1 < 1. no n1 Тоrда между фУНRЦИЯМИ U (z) И F (z) в силу (3) мо}нно об- нружить следующую связы 00 00 n и (z)  1 == }j Unz2rt == }j (zl!rt }j /kUntk):=a n==1 n==1 k==l 00 ro  I 2k ( .  2n"'2k ) ' == L.J 2k Z .LJ и2n2kZ ::;:: k==l n:=k 00 00 <::::: (}] /2kz2k) ( }j. utnzl!rt) == F (z) и (z). «==1 п==о Отсюда 1 F (z) == 1....... и (z)  (4) Найдем производящую фуннцию и (z) по вероятностям и2n. Удобно переписать и 2n В виде С;n (4 n иn == 2n pq). 2 124 
Имеем N\  n и (z) == l: U2nZ2f' == Е :: (4 pqz 2)n. n==o n==-о Обозначим через (2п..... 1)11 произведение всех нечетвыz чисе вплоть до 2n ...... 1. Тоrда, так как (2п)! == (2п ..... 1)II 2f\n!, то с: n ....... (2п ) t .......... (2п....... 1) 11 2 n n ! ........ (2 n ..... 1)!I ........ z2n 2 2n (п1)2  227\ (nl)2 ........ 2 n n! ......... == 1.3.5. · . (2п ........1) 1/2.З/2.5/2. . . (2п ........1)/2 2 n nl == п! :::Z +(++1)(++2)... (++n1) == , . п. Сравним эти коэффициенты с коэффициентами разлож ния функции (1 ..... х)...т по степеням х: ' сс> (1---x)т== 1: т(т+1)./т+n1) х " (5) п==о при I х I < 1 и любом т > о. Получим 00 сп и (z) == l: 2 (4pqz2)n == (1--- 4pqz2)'/. 11==0 при 4 pqz 2 < 1. Леrко видеть, что 00 f == Е f2n == т F (z) == 1 --- lim 1 и (z) · n==1 1 z.....1 Отсюда f == 1, если и (z)  00 при z  1, что равноеиль- ,во расходимости ряда  и2п == 00, И f < 1, если и (z) < 00, Т. е. ряд  и2п сходится, и (1)==  и2п < 00. Таким образом, получено общее утверждение, верное не толы\o для случайвоrо блуждания на прямой, во и в евRлидовыx простравствах любой размерности (см. t 6, rлавы 4):  Вероятность f .меньше ши равна 1 в зависимостu от тоео, сходится или раС3.0дится ряд  и9А. 125 
Из (4) получаем, что F(z) == 1 ...... (1 ...... 4 pqz 2)1J J при I z I < 1. Повтоиу f == i ...... (t ....... 4pq)/2. Так вак 1 ...... 4pq == (р ...... q)!, то окончательно имеем t == 1 ...... I р ...... q I и приходим R выводу, что вероятность возвращения Ror далибо в начало Rоординат f == f при р == q == 1/2' f < 1 при р =F q. 'J1aKiIM образом, случайное БJ.[уждание па прямой, СООТ'" ввтствующее схеме Б ер ВУЛJIИ , возвратно тоrда и только тоrда, Rоrда р ;:: q :;:: 1/ а, Т. е. тольно в симметричном слу... Чае. . Для Toro чтобы уяснить, что же происходи'l с траекто", раями Частицы при р > q ИЛИ р < q, обратимся R закону  I I о N п р не  27. Траектория вееим:м:етричноrо блуждания!. больших 'Шсел. Итак, траектория частицы задается последовательностью величин 80, 81'. . ., 8n. Перепишем ОООТlIOшенив (3)  1 следующим оБРllЗОМ: Р {I Sn ...... n (р ....... q) 1 > e}' О, п  00. (6) \ Про ведем для случая р > q на rрафике случайноrо блу ждания две прямые, n (р  q ----- 8) И n (р ....... q + 8) (СМ. рис. 27). Тоrда из соотношения (6) MOiHHO сделать ВЫВОД, что траектория Частицы пролеrает в среднем {26 
вдоль прямой п (р  q) и для любоrо 8 > О и ДOCTaTO" ВО больших n точка с координатой S n (положение ча.. стицы в мо:мент п) будет с большой вероятностью J1ej-I\ат в вертикальном интервале с концами п (р ........ q ........ е) и n (р  q + 8). Это утверждение можно уточнить: она... зывается, что почти все траектории ведут себя подобным: образом, т. е. с вероятностью 1 ордината блуждающей Частицы в момент п будет находиться в указанных пре-- делах. :Кроме Toro, можно уточнить сами rраницы, в которых с вероятностью 1 оказывается блуждающая частица. Эти возмол\ные уточнения следуют из двух заи&- чательных теорем теории вероятностей ....... усиленноrо за-- кона больших чисел и закона nOBTopHor'o лоrарифма, НО-- торые для cBoero доказательста требуют более сложною аппарата и поэтому остаIОТСЯ за пределами нашей книrи. Таким образом, при, р > q существует постоянный СВОО частицы вверх, при р < q ...... вниз, и лишь в симметри'l-- БОМ случае частица бесконечное число раз возвраIЦается в начальное положение. А 3. Задача о разорении Рассмотрим eIЦe одну задачу, естественным образом возникаюIЦУЮ в схеме случайноrо блуждания. Предположим, что частица, ВЫХОДЯIЦая из начала КООр48 динат, блуждает на оrраниченном интервале оси, а на rраницах эт'оrо интервала исчезает и блуждание пренра-- щается. Пусть, например, при достижении частицей пря.. мых У === ----а или у == Ь, а, Ь > О, она исчезает (rоворят обычно, что в точках у == a, у == ь находятся noz'//'ощаю- щие Э11,рапы). Какова вероятность TOfO, что частица исчез,.. нет в точке у == a раньше, чем она достиrнет точки у ::=; == Ь. Этот вопрос (или ему противоположный) представ.. пяетсн в сформулированной задаче наиболее интересным. При а == 00 или/Ь == 00 мы уже рассматривали эту задачу в симметричном случайном блуждании (задача nepBoro достижения). Мы увидим, что такое, на первый вarJlЯД несложное, видоизменение задачи приводит к новым со.. держательным результатам. Очевидно, что описанное нами блуждание равносильно блужданию, ВЫХОДЯIЦему из точки у == а и имеющему rраницы в точках у == о и у == а + ь (см. рис. 28 и 29). Это последнее блуждание с rраничными точками О и а + Ь мы и рассмотрим. Обо-- значим через qa вероятность Toro, что частица, выходящая 127, 
"ИЗ точки у == а, достиrнет прамои у == о ранее, чем пря.. мой у == а + Ь. Однако корректно определить ату ве- роятность можно лишь .В множестве ВО8МОЖНЫХ событий, которое образовано бесконечным множеством траекторий, выходящих из точки а. МЫ обойдем ату труд.. кость так же, как в  3 rлавы 4, а именно, orрничимся .* 1J п о п --о Рис. 28. Иллюстрация к задаче о разорении. Рис. 29. R задаче о .разо" рении. . рассмотрением множества возможных исходов, со... ответствующеrо n испытаниям Бернулли или соответ-- ственно n перемещениям частицы, и введем вероятность Qn.a достижения частицей точки О до момента времени n. Вероятности qn,a С ростом n. убывают и имеют предел, который мы и называем вероятностью qa. Аналоrично можно рассмотреть вероятность Ра достижения частицей прямой у == а + Ь раньше, чем прямой у =1= о. Будет по-- казано, что Ра + qa == 1, тем caMblI исключается необхо-- димость рассмотрения бесконечноrо блуждания. В реЗУJIьтате первоrо испытания ЧастИца попадает в точку а + 1 при Х 1 == 1 с вероятностью р, О < р < 1, или в точку а  1 при Х 1 == 1 с вероятностью q == 1 ..... р. Тоrда по формуле полной вероятнооти qa == р. qa+l + q. qal. (1) Это основное соотношение для нахождения вероятности qa. При Э10М очевидно, что qo == 1 и qa+b ::;= о. Перепишем 128 
соотношение (1) в более удобной форме q (qo, ....... qO,--1) == р (qo'+l  qo,) (2) и раQCМОТРИМ два случая в зависимости от значений р и q. !) Пусть р z:::: q === 1/2. Имеем при любом а q а ...... q 0,--1 === q 0,+ 1 ........ q а === L\ , rде L\ ........ подлежащая определению ПОСТ9янная. Ясно, чт-о величины qo, образуют арифметическую проrрессию с раз.. ностью L\, так что qo, == qo.+ aL\. В силу TOrO, что qo == 1, qa+b === О, имеем О == 1 + (а + 1 + b)L\, откуда L\ ===...... а + ь . Таким образом, \ искомая вероятность равна q а == 1 ...... а ......... а+Ь ь а+Ь · (3) Аналоrичным образом, составляя соотношение для ве.. роятности Р а, можно вывести, что она равна а Ро'== а+ Ь и, С!Iедовательно, Ра + qa === 1. 2) Пусть Р =1= q. Обозначим q/p == л. Имеем из (2) q 0,+1 ........ q а == Л (q а ........ q 0,--1) и поэтому qa+1........ qo, == л о, (q1 ........ qo). Суммируем обе части по а от 1 до произвольноrо {loJ 0,0 0,0  (qO,+1 ....... qo,) ==  'л а (q1 .... qo) al o'1 и после сокращения и подсчета суммы rеометрической 0,0 проrрессии  'А а получаем al '" (1 ...... л, 0,0) ql ...... Qao+l == (qo ....... ql) 1......л . (4) 5 А. Н. Rолмоrоров и др, J {29 
};"ЧИТlвая, что qo == 1 и q а+Ь == О, находим из (4) 'А, ....... ),Р 'r-b ql === 1.... 'А, а+Ь п 1  'А,а qa == ql 1......... ').., 'А, ....... 'А а 1  л · ОI\ончатеЛЬlIО 1\ а 'i а+Ь л ........ I'v qa === 1 ____ 'А, а+Ь · (5) Заменяя в этой формуле р на q, q на р, а на Ь, получаем 1 ........ 'А а р а === 1...... А а+Ь · Св.ова р а -t q а == 1. Мы проведем интерпретацию полученных результатов n друrих терминах. Тольио что решенная задача имеет mирокую известность :как классичеснав: задача о рааоре.. нии иеро-па. Традиционная постановиа этой задачи таио.. .ва. Представим себе, что два иrрока, имея начальные Ka питалы а и Ь, иrрают в иrру «орел и решка» или в какую.. IIибудь ей подобную. При этом иrрок с капиталом а выиr.. рывает в иа;I\ДОЙ партии с вероятностью р и проиrрывает с вероятностью q, р + q == 1 (предполаrаем, что ничьи ИСКЛIочевы, см., впроче}!, задачу 5). При выиrрыmе он увеличивает свой Rапита.l! на 1, при npоиrрыmе капитал ero становится на 1 меньше. После HeKOToporo числа пар.. тий может оказаться, что иrрок проиrрает весь свой ка.. питал а или на руках у этоrо. иrрока будет вся сумма де.. иеr а + Ь. Эта ситуация и называется разорением либо nepBoro, либо BToporo иrрока. Если частица, выходя из точии a, достиrает нуля, ТО разорен иrрОR с капиталом а, еСJIИ частица достиrает точки а + Ь, то разорен иrрок с капитало){ Ь. Поэтому вероятность q а называется вероят.. nостъю разорения. Итак, КаК мы установили, вероятность разорения; иrроиа с капиталом а в случае одинаковых возможностей на выиrрыш в каждой партии (р === q) рав" Ь u (р па qa == а + ь ' в случае неодинаиовых ВО8можностеи =F ) а 'А, а+Ь '" =1= q) равна qa === 11 ---- а+Ь . Приводимая даJlее 'rабличка , 1A попазывает, что в случае р == q === 1/2 большие шансы на 130 
Iра"рение имеет иrрок с меньшим КаПllтал"Ом, и ero шаисы  'на' разорение тем боле увеличиваются" если он менее ис НУС8В (или Hee везуч) в иrре. р t q 1. а I ь I qa О' 5 0,5 50 50 0,5 , 0,5 0,5 90 10 0,1 0,45 I б,55 90 10 0,866 0.,6 0,4 10 90 0,017 Рассмотрим, однако, ситуацию, коrда иrрок, для ко... Toporo результаты отдельных партий оол-ее блаrоприятны, иrрает с более боrатым противником (:как, например, в последней строке таблички). Разберем крайний случай, коrда у ИrроКа с начальным капиталом а соперник «бес... новечно» боrат, т. e Ь === 00, но при этом р > q. в форму.. ме (5) перейдем R пределу при Ь  00. Т0rда, так КаВ л == д.... < 1, то р qала== (+)а и вероятность выиrрыша иrрока с капиталом а стремится к величине 1  ( + )а . Таким образом, иrрох с :капИталом а имеет неПJIохие шан.. сы ка выиrрыm, несмотря на то, что ero соперник бес ко.. нечно боrат. lIапротив, при Р -< q Ра --+ D. Интересно дополнить наши выводы замечанием о сред.. неи продолжительности иrры до разорения OДRoro из со... первиков. Понятно, что ПRодолжитеJIЬИОСТЬ иrры пред-- ставляет собой случайную величину, распределевие которой зависит :как от соотношения р и q, так и от соотно.. шенин а и: Ь. Математическое ожидаIШе' iЦ>ОДОJIЖите/lЬ"" пасти иrры вычисляется несколько. более сложным ovpa-- зои, чем вероятность разо.р.евия, и поэтому мы лmь УКа- жем, что оно равно при р === q == 1/2 произведеlШЮ а.Ь, а при р =1= q оно равно а а+Ь qp 1"ла 1 ____ д а+Ь · q----p S* 13i 
Подсчеты по этим ФОРМУ!'lам ПОRазывают, что продолжи.. "ельность иrры обычно rораздо больше, чем мы моrJIИ бы предположит} заранее. При равных шансах на выиrрыш в наждой партии длительность иrры пропорционаЛLна Еапиталам иrроков. Если иrра более блаrопринтна для одноrо из иrроков, то длитеЛЬНОСТh иrры в среднем М:O! тет уменьшиться. ТаЕ, например, для УRаэанных в таб.. личке случаев иrра продолжается в среднем 2500, 900, 766, 441 партий соответственвс. Иrра более ис-(усноrо иrрока (р > q) с беСFgнечно боrатым соперником с поло... тительной вероятностью MOiHeT вообще не иметь конца.  4. Статистические ВЫВОДЫ Все задачи, ноторые до сих пор нами реша.. J[ИСЬ, были отмечены TeYvI общим характерным свойством, что в них принимал ась HeKOTpaH вероятностная модель и в рамках этой модели по вороятностям элементарных исходов вычисляли вероятности друrих, более сложных собlЗIТИЙ. Так, в схеме испытаний Берпулли мы по вероят" воrтш «успеха» р предсказывали суммарное число успехов в писпытаниях, т. е. находили для Rаждоrо значения т числа упехоn Sn соответствующую е:м:у вероятность Р п (т) == Cprп (1 ----- p)nт. (1) 9та простая задача является типичной для теории вероят" ностеЙ. В данном параrрафе мы будем решать задачи, в оп.. ределеННОА-I смысле обратные. Задачи, обратные задачам 'J.\еОрИlI вероятностей, очень ваiI\НЫ для приложений, они составс.ТIЯОТ содержание математической статистики. Ти-- пичной для математиче<шой стаТИСТИRИ применительно R схе:ме Бернулли является следующая задача. Предпо-- ЛОЖИI, что вероятность «успеха» р заранее неизвестна п ну,кно определить ее по наблюдениям за исходами ис-- пытаний, ноторые и предстамяют собой статистические данные. При м е р. Рассмотрим стандартную схему «случай.. 'Roro выбора с возвращением». Пусть имеется неRОТОРЫЙ сосуд (урна) с шарами двух цветов........ белоrо и черноrо. Шары в урне хорошо перемешаны и доля белых шаров равна р, О < р < 1. Предположим, что значение р невз" вестно и мы должны поставить ЭRсперимент по определе-- нию р. Будем последовательно выбирать тары из урны «наудачу» по одному, Еажый раз возвращая шар в ypH 432 
и перемешиваll шары в урне перед новым извлечением. В результате получим случайную выборку иекотороrо фиксированноrо объема. При этом результаты отдельных извлечений будут взаимно независимы. При известном р 11 указнных .условиях эксперимента вероятность полу.. ЧI:ТЬ т белых ш'аров в выборке объема п равна вероятности п успехов (извлечение белоrо шара из урны  успех) в п"'испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р. В рас... Сlатриваемом случае значение р неизвестно, но известно соотношение белых и черных шаров в выборке. Интуиц-ия подсназывает, что если выборка достаточно представитель-- на, то доля белых шаров в выборке должна быть близ-- ка к р. Схема выбора с возвращением является частным слу.. Чаем схемы Бернулли независимых испытаний. Частота «успеха» в n испытаниях (в примере ---- доля белых шаров в выборке) есть учайная величина S'1,,1n со значениями mln, rде т == О, 1, . . ., п. При этом из формулы (1) сле-- дует, что р { Sn n == : } == cpт (1  p)nт, т==О,...,п. Математическое OiJ-\идапие случайн()й величины Sn1n равно М Sn 1 71/ 1 (' 1 п ----:--- n .LYj U п === n пр === р, (2) а ее дисперсия равна s 1 '1 Р (1 р) D----Е...==----тDsn==пр(1р)==  . ппп" n Следовательно, cpдHee значение частоты успеха есть Низвестная вероятность упеха р, а дисперсия частоты, Т. е. мера рассеяния значений частоты около р, стре-- мится к нулю при п --+ 00 нак 11п. Таким образом, про-- изводя MHoroKpaTHo случайный выбор объема п с возвра", щением из урны, мы мо;нем рассчитЬ]вать, что частоты белых шаров в выборнах будут rруппцроваться ОНОЛQ р И С ростом п отнлонения т/п от р будут в среднем умень" шаться, т. е. доля белых шаров в выборке будет прибли-- зительно соответствовать доле белых шаров в урне: (т{n)",-, р. Из занона больших чисел для. схемы Бернулли 1L  133 
ледует, что при любом Е > О И n --+ 00 Р{\ s; pl>B}O (3) (СМ. (2) в  1), иными словами, вероятности любых напе.. ред заданных ОТRлонений Sn/n от р с ростом n делаются СRОЛЬ уrодно малыми. Из этих рассуждений eCT€CTBeHHO сделать вывод, что частота Sn/п явля-етсп достаточно ороmей оцеппой неизвестно:й, вероятности р (в матема.. тической статистике оценки р со свойством (2) называют.. ел nесмещеnnьtМU, а со свойством (3)  состоятельnыжu). На праRтике, однако, редко удается осуществить слу.. чайный выбор с возвращением и приходится использовать друrой выборочный способ определения р  случайный :выбор без ВDзвращения, см. по этому поводу задачу 9. Доводы в пользу частоты Sn/n КаК оценки неизвестной вероятности успеха можно дополнить следующим рассуж- дением. О значении р нам известно только то, что О -< р -< < 1. Напротив, значение Sn/n известно по результатам n испытаний, Ifpи этом ясно, что этому значению т/п соот" ветствует вероятность ст;:рт (1  p)nпt, зависящая от веЙзвестноrо р. Рассмотрим при фиксированном т выра.. жение Рn (р) == C!;prп (1  p)nт, как функцию от р, О < р -< 1. Будем «перебирать» возможные значения р и сравнивать соответствующие им значения Р п (р) по ве.. личине. Идея этой процедуры состоит в том, чтобы вы.. брать в Rачестве «истинноrо» то значение р, для KOToporo выражение Р n (р) принимает маRСИlально возможное значение при фИRсированном т. «Выбор» р можно осу.. ществить следующим образом. Так как биномиальнй коэффициент Cr;: не зависит' от р. рассмотрим' вместо Рn (р) Фуннцию L (р) == рт (1 ....... p)nп1, О -< р -< 1. Эта функция обращается в нуль в точках р == о и р == 1, ВЫПУRла, неотрицателъна и имеет максимум в точке р* == т/п, О < р* < 1 (в последнем леrко убедиться, , приравнивая производную L (р) нулю и решая полу.. ченное уравнение). Итак, наибольшему значению С"::рт (1 ....... p)nm отвечает значение р, равное т/по Этот простой, замечательный ПрИlIЦИП, называемый прunцunож, жапсu:мальnоzо правдоподобuя, восходит еще к н. rayccy, знаменитому не:мецкому мате:матику XIX века, и ОR8ЗЫ" :вается полезным: в более сложных задачах. 134 
Наши ВЫВОДЫ имеют важное, НО в большей степени теоретическое, значение, так как вопрос о точности оцепи u ванин неизвествои вероятности с помощью частоты решен лишь прИНЦИJIИально, а в каждом конкретном случае ОТ.. :клоиения частоты ОТ' вереятности MOryT быть значитель.. иыии. Более прав:тичен метод оцениваиия неизвестиой вероятности в схеме Бернулли, при котором указывается u u ие одно, а цепни интервал подходящих значении р, на.., зываемый доверительным иптеР8fJ/tОЖ. Мы оrраиичимсл для иллюстрации построением «rрубоrо» доверательноrо интервала для р на основе неравенства Чебышева. По неравеl!lСТВУ Чебышева Р{\ s: pl<8}>1 p(;;p» 1 482 , так как р (1  р) < 1/4. Зададимся числом а, О < а < 1, и найдем е > О из уравнения 1 1  4n8 2 === 1  а. Заменяя в на 1/2У па , получаем р {  р '< 2;па }> 1  а или Р  s;  Р I > 2 ;па } < а. (4) Итак, с вероятностью, превосходящей 1........а, ВЫПОJIнлет.. ея неравенство I 8п I 1 n p < 2"(пa или ему раЕносильное S n ............... ....... n s 2Jпa <Р< : + 2;па ·  Sn 1.  Sn Интервал с rраницами Р == n  2 "(па ' Р == n + f + 2 ум называется доверительным интервалом ДЛЯ р с уровнем вначимости (Х. Смысл ero применения заключает.. ел в том, что, доверяясь проведенному расчету, мы 135 
. утверждаем, что неизвестная вероятность р принадлежит интервалу [р, р], а вероятность возможной ошибки, име Iощей место, если ,этот инт.ервал не накрывает истинное значение р, не превосходит а. Друrими словами, при ис.. пользовании доверительноrо интервала уровня значимости а для оценки р мы будем ошибаться в, среднем в доле слу чаев, не превосходящей а (а задается заранее). Приведем ля примера доверительные интервалы для а === 0205 и значения частоты 0,6 при разных значениях п: ..!  = n р р 100 0,38 0,82 {ООО 0,529 0,671 {ОООО 0,578 0,622 Мы видим, что (} ростом n доверительный интервал су.. жается. Если уменьшить а, например, взять а === 0,01, то для тех ЖL данных при n == 1000 получим доверитель.. вый интервал [0,442, 0,758]. Этот доверительный:интервал Шире Toro, который соответствует уровню а == 0,05, что является лоrичным следствием rарантированноrо умень" mеВ:QЯ оли ошибочных решений. Часто в 8ТОЙ же ситуации возникает проблема про Берки rипотезы о том, что неизвестная вероятность р равна заданному числу ро. Эту rипотезу, анализируя резуль... таты ВRсперимеита, можно принять, т. е. посчитать не про тиворечащей статистическим данным, или отклонить. Можно указать такую процедуру проверки rипотезы р zt= ро: если ро Е [р, р ], rде [р, р]  доверительный инте... рвал с уровнем 8начимости а, то rипотеза р === ро прини.. мается, если же Ро $. [р, р], то эта rипотеза отклояется. При этом можно ОТRЛОНИТЬ верную rипотезу, слишком полаrаясъ на «неудачные» в некотором смысле резуль.. таты эксперимента. Вероятность такой ошибки нам известна, вернее, нами задана заранее при построении доверительноrо интервала, и она не превосходит а. Если, например, n C!I 1000, Ро::::Ж 0,5, а == 0,05, то, отверrая rИПОТ8ВУ о ТОМ, что р с::: 0,5, на основании Toro, что 0,5 Eti [0,529, 0,671] (см. табличку), мы оmибаемся в сред" неи менее чем в 5 случаях из 100. Еще одна интересная задача возникает при необходи мости различения двух rипотез о неизвестнqй вероятно-- t36 
сти р. Пусть заранее известно, что или р == Рl' или Р ==Р2' rде Рl й Р2  заданны-е числа, О < Рl < Р2 < 1. При м е р. Рассмотрим урновую схему и предполо, iRИМ, что доля белых шаров в урне неизвестна. Пусть Рl == 02 и Р2 == 0,8. Необходимо экспериментальным путем определить, какое из двух значений Рl и Р2 больше COOTBeT ствует р. Для наrлядности доrоворимся называть урну с р == р1 урной 1, а урну с р == lls1. ....=. урной 11. Вытаскива ем из урны один шар и, если этот шар белый, то считаем, что он вынут из урны 11, если же черный, то из урны 1. 'При этом можно ошибиться в указании номера урны. Вероятность одной из ошибок равна вероятности вынуть белый шар из урны 1, т. е. равна Q,2. Вероятность друrой ошибки (вероятность извлечь черный шар из урны 11) также равна 0,2. Вероятности ошибок можно уменьшить. Для этоrо и...звлечем из урны три шара с возвращением так, чтобы результаты испытаний были независимы. Если 'среди трех вынутых шаров белые шары составляют боль.. шинство, т. е. 2 или 3 белых шара, то будем считать, что это урна 11, в противоположном случае  урна 1. Оче-- видно, что вероятность ошибки при этом равна вероят" ности вытащить 3 или 2 белых шара из урны 1, т. е. равна Cp (1  Рl)О + C;p (1  Рl)l == 0,104. По сравнеНИIО с первоначальной процедурой проверки вероятность ошибки уменьшилась почти В два раза. При увеличении объема выборки вероятности ошибок в разли-- чении двух rипоте.2..-.продолжают уменьшаться. Если сре.. ди пяти выбранных шараn большинство белые, то мы , принимаем rипотезу р == о ,8 (урна 11) и убен\даем:с-я в том, что вероятность ошибки равна C:p + С:р: (1  Pl)l + C:p (1  Рl)2 == 0,058. При объеме выборки 7 вероятность ошибки равна 0,033, и мы ра.вличаем две rипотезы (две урны) с вероятностями ошибок, которые во всяком случае меньше 0,05. Таким образом, придерживаясь принятоrо правила или, как ro-- ворят статистики, критерия проверки, мы будем ошибать-- ся в среднем меньше, чем в пяти случаях из ста. Поясним мотивы наших действий следующим рассуж дением. Рассмотрим случайное блуждание, соответствую.. щее схеме случайноrо выбора: частица выходит ив начQла Rоординат и перемещается. на единицу вверх при извлече.. 137 
нии белоrо шара и остается на том же уровне при извле... чении черноrо. Траектория движения частицы описыва... стсп величиной Sn ---- числом белых шаров в выборке объе:м:а n. Так как р == Р1 или Р == Р2, то В соответствии с законом больших чисел траектория случайноrо блужца.. пия ДОЛiI\на пролеrать или в направлении прямой у == nР1! IIЛИ в направлении прямой у == nР2, так. что при' больших n отклонения 8n от пР1  М8n при Р == Р1 или от nР2 == t:;::: MS n при р == Р2 В среднем малы. При фиксированном 11 MOjI-\НО задать некоторое (КРИТ.JIчеСRое) значение Уn, nРз,. < Уn <: nР2, тавое, чтобы при Sn -< Уп принимать ПIпотезу р == Рl, & при Sn > Уn принимать rипотезу р == Р2. Значение Уn должно быть назначено из соображе.. пий минимальности ошибочных решений. Можно посту.. пить иначе: задаtь два числа Уп И У n (nР1 < Уn < У n < < nР2) и последовательно для каждоrо n проверять, какое из трех неравенств Sn < Уn, Sn > y , Уn < Sn < У n име.. ет место. В первом случае принимается rипотеза Р == Р1' ВО втором ---- rипотеза Р == Р2, И на этом эксперимент по определению р прекращается. В третьем же случае на.. блюдения продолжаются. При таком подходе число шаров в выборке не фиксируется заранее, а является случайным, вависящим от значений Sn. rраницы Уп, Уn также опре.. деляются оrраничениями на возможные ошибки. В это)! случае задача проверки rипотез имеет непосредственное отношение к задаче о разорении, но в более сложной по.. становне, чем мы рассматривали в  3. На практине задачу различения двух rипотез о веро.. ятв:ости успеха в схеме Бе.Рнулли решают, например, следующим образом:. Пусть  и р ---- два малых числа, О < а < 1, О < Р < 1. Для проверки rипотез р == Рl И Р === Р2' Рl < Р2, производится n независимых испыта.. пий и подсчитывается число успехов т. Тоrда если т > т n , то принимается rипотеза р == р?, если т -< rп n , то принимается rипотеза р == Рl. 3Д&СЬ т п ---- Jti,риmuчесJti,ое значение т, подлежащее опреде... пению. Вероятность оmибочноrо отклонения верной rипо. тезы р == Рl равна n p ( т n , Pl) ===  с:: p (1  Рl)n--т, т== т n +l  1:i6. 
а вероятность оmибочноrо припятия неверной rипотеSfiI р == Рl равна т п Qn ( т п , Р2) ==  ст;: рТ;- (1  P2)nт. т ==о Спрашивается, каново наименьшее число испытаний, при котором возможно различение двух rипоте,З с вероят- ностями ошибок, не превосходящими заданных чисел а и р. Наименьшее значение п и соответствующее ему зна.. чение т п удовлетворяют неравенствам Р п (  , Рl) < а, Qn ( т п , Р2) -< . (5) IIри решении практических задач использовать неравен" ства (5) для нахождения п и т п не представляетря возмож-- вым, но можно воспользоваться специальными таблица-- ми, в которых указываются пары (п, mn ) ДJrЯ употреби тельных значений Рl' Р2, а, . В следующей табличке ука.. заны результаты решения задачи о различении rипотез, для а ==  == 0,05: Pt Р2 n т n 0,1 0,5 13 3 0,3 0,5 67 26 0,1 0,2 135 19 0,05 0,1 248 21 Если число испытаний не фиксировать заранее, а опреде.. лять в ходе эксперимента, действуя по указанной выше схеме: на каждом шаrе или принимать одну из rипотез, "Или продолжать наблюдения, то число испытаний при тех же оrраничениях на' вероятности ошибок удается сокра-- тить в среднем почти вдвое. Упражнения 1. П окаiните, что с.ц:учайная велиqина У k с распре- делением Р {У k == 1} == р, р {У k == .......1} == q имеет математиче- СКое ожидание MY k == Р ........ q и дисперсию DYk == 4pq. Пользуясь свойствами математических ожиданий и дисперсий, докажите, что М (Уl + ... + Уn) == n (р  q), D (Уl + 'е.. + Уn) == 4пpq. 2. Докажите, что в случайном блуждании, соответствующем схеме Бернулли с вероятностями р и q, вероятность ип,у Toro, что '139 
JJ М9tdеит n частица будет находиться в точке с ординатой у > о, раппа и п , у === C+Y)/2 p(n+Y)/2q(nY)/2 (п и у имеют одиаковую четност). В. Дока}квте, что вероятность пеРВQFО возвращения в начало Rоорд:ина'f в момент 2п, введенная в  2 (см! (3», равна f 2 C п1 n n 2n == n 2п2P q · 4. Рассмотрим симметричное случайное блуждание, начинаю щееся в точке с ординатой z > о. Если частица исчезает (ПОFлощает" сл) в !очке о, то докажие, что вероятность Qn,1I (z) достижения ча.. С1'ицеи точии с ординатои у в момент п равна qn, у (z) == и n , yz ---- и п , y+z, тде ип,у определено в упраi!(lfeНИИ 2. Если частица исчезает в двух '{'очках О и а  о, то Qn, у (z) ==  (и n , yz2ka ......... и п , 1/+Z--2ka), k тде суммирование происходит по всем отрицательным и положитель- ным k. (Используйте принцип отражения, см.  2 rлавы 4.) 5 В задаче о разорении ( 3) предположим, что частица пере.. мещается в положительном направлении, отрицательном направ" лен:р:и или остается на месте соответственно с вероятностями р, q и 'Р, Р + q + r == 1 (это обобщение на иrровом языке означает, что результатом отдельной партии с вероятностью r > О может быть ничья). ДОRажите, что вероятность разорения qa попрежнему за.. дается формулой (4), т. е. ла+ьла qa == Л a+  1 ' rJle "л == q/ р. 6.! Покажите, что математическое ожидание и дисперсия ча.. Sn S стоты «успеха» в схеме Бернулли равны М n == р и D : == р (1  р) . п 7. Докажите, что функция L !р) == pтqn--т достиrает максиму.. ма в точке р == т/п. 8. Рассмотрим урновую схему, введенную в примере  4. Пусть N ....... общее чцоло шаров, М  число белых шаров, так что р == == м/ N ""'!о"'" доля белых шаров. Для оценки неизвестноrо значения р производится (<случайный ВЬJбор без возвращения». Докажите, что веролтность получения т белых шаров в выборке объема п равна с т cпт М NM СП N . {40 
9. В условиях упражнения  пусть случайная величина Sn есть число.белых шаров в выборке без возвращения. Частоту появле ния белоrо шара в выборке Sn/n можно использовать в Rачестве Qценпи р == M/N. д опажите , что S п М  === Р . n ,. 10. При 100 бросаниях монеты «rерб» появляется 70 раз. Про.. верьте, соrласуются ли эти данные с. предсr.tавлением о симметрии монеты (р == 0,5). Постройте для этоrо доверителы.ый интервал с уровнем значимости 0,5. 
r ЛАВА 7 ПРОЦЕССЫ rИВЕЛИ и РАЗМВОЖЕНИll А f. ОбщаJl постановка задачи Общепринято, что фамилия в семье сохра.. влетел по МУЖСRОЙ линии. Пусть р!, Рl, Р2'.......... вероятно.. сти Toro, что отец имеет соответственно О, 1, 2, ... сыновей, пусть.с теми же вероятностями Каждый из них имеет своих сыновей и т. д. RaRoBa вероятность Tor.o, что мужская линил выродится R r"MY ПОRолению. Эта задача решена была rальтоном и Ватсоном в 1874 rоду, ROTopble по ее поводу писали: «Исчезновение фамилий лиц, которые за нимали видное положение в истории,....... это факт, неодно" RpaTHO отмечавшийся в прошлом; по этому поводу CTpO ились различные доrадки... СЛИШRОМ мноrочисленны были примеры фамцлий, которые, будучи распространенными, становились реДRИМИ или даже совсем исчезали». Аналоrичная задача ВОЗНИRает при рассмотрении цеп.. ной ядерной' реаКЦИИ. Нейтрон, находящийся в куске «ядерноrо rорючеrо», характеризуется своим положени" ем, направлением движения и энерrией. В. любой момент он может СТОЛRНУТЬСЯ с атомным ядром. В результате та.. Koro СТОЛRноверия может произойти расщепление ядра. В процессе расщепления MorYT появиться различные ча.. стицы, в том числе случайное число новых нейтронов со случайными энерrиями и направлениями движения. Оче.. видно, вероятность СТОЛRновения нейтрона с ядром зави.. сит от rеометричеСRИХ размеров данвоrо RycRa «ядерноrо rорючеrо». Опять ВОЗНИRает задача, какова вероятност для данноrо нейтрона на п"м mare иметь N ПОТОМRОВ. Какова вероятность, что N будет с ростом п веоrраниченно возрастать (ядерный взрыв), или N будет находиться'в не.. которых фИRсцрованных пределах (управляемая ядерная реа:цция), или N == О (преRращение реаRЦИ). Аналоrичные задачи ВОЗНИRаюf при рассмотрении вопросов ра3МRОil\ения простейших ОДНОRлеточных ор" 142 
rанизмов, при размножении вирусов-" и бактерий (sад.ача эпидемиолоrии), при изучении различных химических реакцИй и т. д. Часто рассматривают процессы rибели и раэмноженй.ll частиц нескольких, взаимосвязанных типов. Типичным примером: является изменение численности ПОПУЛЯЦИJ!J зайцев и волков в векоторой местности. Чрезмерное YB'" личение численности зайцев приводит к ускоренному росту популяции волков, но заметное увеличение числен.. ности волков ведет к снижению численности зайцев. Происходит в результате взаимосвязанный колебатель.. вый процесс численности зайцев и волков. Абстраrируясь от описанных выше природных явле.. пий, сформулируем следующую задачу. Пусть в началь- ный момент времени t == О имеется одна частИца, HOT рая к моменту t == 1 может произвести с определенными I вероятностями неК{)Т9Рое число частиц Toro же вида. I Rаждая из образовавшихс.я частиц неаависимо с теми ( же вероятностями за единицу времени опять может про... извести некоторое число частиц Toro же вида и т. д. Пусть Zo, Zl'... означает последовательность случайных вели-- чин, равных числу частиц в мом:енты времени t == о, t == == 1,... Мы всеrда будем полаrать Zo === 1. Заметим, что соответствующие свойства процесса при Zo =1= 1 леrко получить, так как мы предположили, что процессы, на.. чинающиеся от различных первоначальных частиц, раз-- виваются независимо. Итак, мы будем интерпретировать Zn :как число ча.. стиц популяции в n--М поколении: Zo === 1, распределение вероятностей Zl определяется числами Р {Zl === k} == Pk < < 1, k == 0,1,2, . . .,' К, Pk== 1, rде Pk  вероятность Toro, что в следующем поколении одной фиксированной частицы будет ровно k частиц. Мы предполаrаем, что этот же вероятностный закон размножения действует в любом поколении для каждой из частиц незавИсимым образом. Друrими словами, условн.ое распределение Zn+l при ус-- ловии, что Zn == k, определяется из предположения, что различные частицы размножаются независимо. Таким образом, Zn+l распределена как сумма k независимых слу- чайных величин, каждая из которых распределена Т8Н же, как Zl. Если ZN == О, то с nероятностью 1 выполняется 2'n+l == о. Определив так процесс, мы хотим знать ero свойстваt распределение вероятностей величины Zn, ее математиче-- 143 
.ское ожидание, дисперсию; вероятность Toro, что случай.. пая последовательность zo, Zl,..: сходится к нулю; пове.. дение этой последовательности в случае, коrда она не .сходится к нулю. В процессе наших раССУJкдений мы будем придеРЖИВ(lТЬСЯ определенной нами абстрактной модели, котя за ней MorYT стоять конкретные процессы в фИ8ИRе, биолоrии, химии, rенетике и друrих областях науки. i 2. ПрОИ3DОДЯЩая фуниция величины Zn Воспользуемся определением и простейmи.. ми свойствами производящих функций, введенных в rла.. ве 5, Э 4. В дальнейшем будем обозначать производящую функцию случайной величины Zn через fn (8), произво" дящую функцию ZI дЛЯ краткости будем обозначать f (8). Между производящими функциями величин Zn справед" пиво следующее соотношение: I 1n+l (s) ==  р (Zn+1 === т) sm === т · ==   р (zn == k) Р (Zn+1 === тjzn === k) === т k ==  Р (zn === k)  Р (Zn+1 === тjzn == k) sm. k т Числа потомков от каждой из k частиц независимы друr ОТ друrа по определению, поэтому пр условии zn == k распределение величины Zn+l является суммой незави.. симых случайных величин, каждая из которых распре... делена как ZI И, слдовательно, имеет производящую функцию [/1 (s)]k, т. е.  Р (Zn+1 == тjzn == k) sffi === [/1 (s)]k, т k=r=O, 1,... Отсюда получаем fn+1 (s) ===  Р (zn == k) [/1 (s)]k, k что по определению производящей функции величины Zn равно , f n+ 1 (s) == f n (/1 (s)) == f n (! (s)). (1) На основании последней формулы получим / 2 ( s) == 1 (/ ( s ) ) , f 3 ( S ) == t (1 (f (8))), {44 
вообще 1 п ( S ) === 1 (!... f (s)...), (2) Т. е. производящая функция !п (s) величины Zn равна nкратной Итерации производящей функции f (s) величи.. вы Zl.  3. МатемаТllческое ожидание u u И дисперсия случаинои величины zn Обозначим MZ 1 == /' (1) === т, DZ 1 == а 2 == 1" (1) + т ---- т 2 . Дифференцируя (1) из  2 в точке s == 1, HaдeM математи.. чеСRое ожидание 1+1 (1) . / (1 (1)) l' (1) :=; /!n (1). т, ОТКуда по ИНДУRЦИИ получаем Mz n == f (1) == т n , п == О, t, ... (1) Продифференцировав еще раз, получим f+l (1) == / (1) [/' (1)]2 + /;. (1) /а (1) :;;1 :=:; / (1) т 2 + т (а 2 + та ...... т), откуда следует I (1) == a 2 т n -- 1 (т n -- 1 + тn2 + ... + 1) + т 2n ----:-.- m n или DZ n == a2тn1 (mnl + mni + ...+ 1). (2) Формулы (1), (2)1 дают нам явный вид математическоrо ожидания и дисперсии числа потомков п..ro ПОRоления через известные :математическое ожидание и ,цисперсию числа потомков от одной частицы.  4. ВерОЯТНОСТЬ вырождения Рассмотрим теперь задачу о вероятности вырождения потомства о.u;ной nервовачальной частицы. например, вероятности вырождени:я фаМИJJИИ, или ве.. роятиости затухания цепной ядерной реакции, порожден-- ной отдельвым нейтроном, и Т. д. На языке :роследова.. тельвости Zn вырождение означает, что Zn == О, начиная I с Hej}OToporo номера n, при этом,. если fn::;;:; О, то по 145 
определению Zm == О для всех т> n с вероятностью едини", ца. Друrими словами, мы имеем дело с последовательно.. стью вложенных друr в друrа событий {Zn == О} С {Zn+l == О} С {Zn+2 == О} С... Найдем предел q === lim Р {Zn === О}, noo который и будем называть верояpIОСТЬЮ вырождения последовательности zn. т е о р е м а. Ес.лu т === MZ 1 -< 1, то вероятиостъ вы.. рождеиuя' раfЛtа 1. Ес.лu т > 1, то вероятиостъ вырож... i}еnuя равnа едипcnuJеиио;му ие{)трицате.льпоiМ<У решению уравиеuuя s === t (3), жеuъшему 'едuиuцыl. Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Очевидно, :ввиду вложен... НQСТИ событий {zn === О} С {Zn+l == О} справедливо О -< р {Zn === О} < р {Zn+l === О} <: Р {Zn+2 == О} < ... < 1. Т. е. мы имеем неубьrвающую оrраничеиную последова.. тельность Р {'.zn с::: О}, Mд.oBaTeMЪHO, существует предел q. Из определения производящей функции ПОC.JIедователь" ности Zn следует. Р {zn === О} === tn (О), а также fn+l (О) == 1 (tn (О,). Но так кап: liтnfn (0):= l'imt-п+l == " n--+oo  то справеливо q === 1 (q). (1) Если т == l' (1) -< 1, то в силу выпуклости вниз функции t (s) f (8) > S при О < 8 < 1. ОТСlОД t а сл-едует, ЧТ() В ЭТ6М Сm:'учае еАин-етвен:иътм реmепием: у,ftа:вJreНИЯ (1) будет q ==- 1. Если т === /f (1) > 1, то в неRОТОрОЙ окреств:ости точки 8 ;;;:; 1 для 8 < 1 будет выполняться 1(8) < 8, В то 146 
же время f (О) > О, следовательно, уравнеАие (1) имеет решение в полуинтервале [О, 1). R тому 'же, lim fn (О) n--+оо не может равняться единице, так как это означало бы, что в некоторой окрестноси точки 1 функция 'N (О) убы вает ввиду /n+l (О) == 1 (/n (О).), а это невозможно (см. Ha чало доказательства теоремы). СледоватеJIЬНО, искомое q является единственным решением уравнения (1) в по луинтервале [О, 1). Теорема доказана. Доказательство приведенной выше теоремы было OCHO вано на свойствах итераций функции / (8), оно наrлядво иллюстрируется следующими rрaJPиками (рис. 30, 31). Значение / (О) есть ордината пересечения rрафика f (8) С осью ординат. Значение /2 (О) == t (! (О) можно получить, проведя rоризонтальную прямую на высоте t (О) дО пересечения с диаrональю квадрата с вершинами в точках (О, О), (О, 1), (1, О}, (1, 1) и восставив затем к ней перпендикуляр из этой точки до пересечения с rрафиком f (8). Точие так же получаются последующие итерации функции / (8): /3 (О) == / (12 (О» и т. д. В виде небольшоr",О отступления заметим, что приведен пая процедура дает очень удобный способ отыскания приближенных значений решения уравнения f (8) == s. Любое уравнение может быть сведено к такому виду, и для приближенноrо отыкания корня после этоrо нужно лишь MHoroKparnoe повторение вычислений функции f (8). Это довольно часто используется на практике при отыскаНИИj численных решений уравнений. Читателю полезно будет самому подробнее ознакомиться с предла rаемым методом и убедиться, что при решении таких ypaB иений мотут быть «устойчивые» и «неустойчивые» решения. К какому из корней приведут последовательные итера ции, зависит от начальноrо значения 80 или тото, в об пасть притяжения какото из' корней попадает начальное приближение. Леrко заметить, что в устойчивых корнях I f' (q) I < 1 (рис. 32), в неустойчивых корнях 1 f' (q) I > > 1, хотя праRтически любой неустойчивый .корень MO жет быть п-ереведен в устойчивый путе1\f линеЙноrо пре образования. В случае задачи о вырождении фамилий обычно счи Т8-Т, что вероятности P'k === Р {Zl == k} рождения в семье k маЛЬЧИRОВ образуют rеометрическую проrрессию Р k == bck 1 , k === 1, 2,. . ., о < Ь,. Ь < 1 ........ с, а Ро == z::: 1  Рl  Р2 ....... ... в таком случае произво,цящая 147 
f(t} 1 f(O) 19(0 f 2 (0) I:.. О 1 s Рис. 30. fрафик функции l(s) при т  1 с иэображевием rраФи'" ческоrо способа отыскания итераций 12 (о) ICC 1 (/ (О», 1з (О) == 1 (/2 (О)),. .. f{S) q, 12(0) .........--.. . f(O) о 'J. 1 s р l1С 31. fрафик функции f (s) при т >. 1 с изображекием rрафи- чеСRоrо способа отыскания итераций f 2 (О) == 1 (/ (О», f 3 (о) ;::: 1 (12 (О»,. · · {48 
1 о St $2 $з Рис. 32. rрафИRИ ФУНRЦИИ f (8), ее пRратной итерации fn (8) И пре- дельной ФУНRЦИИ q(8) в общем случае. А и С  устройчивые RОРНИ, В  неустойчивый. Начальвые ТОЧRИ 81 И 82 попаllают в область . притяжения RОрНЯ А, ТОЧRа 8з ........ область притяжеН}lЯ корня с. функция t (8) вычисляе'!ся следующим образом: 00 f S k 1 ь Ь8 (8 ) === \ Pk 8 == ......... 1 + 1 · ,,,  с  С8 k ====0 \ Математическое ожидание числа мальчиков будет  , ь т == М Zl === f (1) с:: (1 _____ с)2 t 'Уравнение 8 == f (8) имеет неотрицательный корень t-,rbc . 80 == с (1 ----- с) · TOT корень равен 1, если т == 1; если т =1= 1, то это динствениый неотрицательный корень. Если т:> 1, {[о вероятность ВЪJрожения fl === 80. По данным А, ЛОТRа вроятности :рырожения поом ства мужских линий хорошо прибли'жаJOТСЯ rеометриче... кой проrрессией с Ь == 0,2126, с ==: 075893, ро == 0,4825.  этом случе вероятность вырожевия q ;;;::; 0,819. ECTe (49 
ственно, что величины Ь, с подсчитываются статистичеСRИ по данным переписей населения и MorYT меняться для раз-- ных rеоrрафических областей. Приведенные данные осно-- вывались на переписи 1920 rода в Америке. Эти величины даже для одной и той же местности MorYT. со временем ме-- няться. Изучением таких явлений занимается наука де.. моrрафия.  5. Предельное поведеНllе Zn Мы уже выяснили в предыдущем параrрафе, что П р и n  00 т <.. 1 , .... lim Р (zn == О) == 1, n--+оо . '1\ е. с вероятностью единица в этом случае потомство од" ной частицы вырождается, коrда число поколений n  00. При этом при т < 1 математическое ожидание числа по-- томков MZ n == т n  О -и дисперсия l'5 2 пl, n (т n  1) О Dz n ::::; 02тn1(тn1 + тn2 + · · · + 1) === 1 . m ....... . в то же самое время при т == 1 математичеокое Оil{идзвие и дисперсия числа потомков Mz n == 1, Dz n == nа 2 R нулю вообще не стремятся, несмотря на то, ЧТО Zn вы.. рождается с вероятностью едИница. Это означает, что, несмотря на достоверность вырождения, с ростом n исче-- зающе малые вероятности больших флуктуаций все время остаются. Друrими словами, «типичная траектория» чи-- ела потомков при т == 1 довольно долrо блуждает вне нуля и может при этом подниматься достаточно высоко, но, тем не менее, с вероятностью 1 рано или поздно обры-- nаетсн в нуле/. Найдем оценку вероятности Р (zn> О) при т < 1. Очевидно, р (Zn > О) == 1  Р (Zn == О) == 1 ----- tn (о). I Рассмотрим приближение функции t (8) (рис. 33) f (8) == 1 + т (8  1). 150 
ФУИRцияf (s)  тmеЙПRЯ и она совпадает с f (s) в точке 1 точно так же, как и ее производная. Очевидно, f (s)< f (s), 0< s< 1, и nя итерация функции f (8) будет меньше nй итерации фУНКЦИИ 1 f (8): fn (О) <: fn (О) 1  fn (О) < 1  f п (О), или но из вида f (s) непосредственно следует  ---- f (О) == т, 1  Т2 (О) == т 2 , i  f 3 (О) === тЗ, 1  f п (О) == т n . Q 1 s I Таким образом, в случае т < 1 Рис. 33. ФУШЩИЯ 1(8) И Р (zn > О) === 1 ........ fn (О) -< т'1", ее приближение 1(8). Т. е. вероятность выживания убывает как rеометрическая проrрессия. Б случае т == 1 эта вероятность убывает значительно медленнее: можно показать, что в этом случае 2 р (zn > О)  nf" (1) · Из рис. 30 для f (s) с т == 1 видно, что это убывание про.. исходит rораздо медленнее, но стротое доказателъетво этоrо факта тут мы не приводим. В случае т > 1., как мы уже установили, вероятность вырождения lim Р (Zn == О) == q < 1, в то же самое время noo при любом k > О вероятность фиксироваНВоrо числа k потомков стремится R нулю: lim Р (zn == к) ::=: о. (1) n...оо В самом деле, нан видно из рис. 31, 32, при любом s < 1 lim fn (s) == q, noo ВО это было бы невозможно при невыполнении равенства (1). Функция fn (s) является полиномом от s с неотрица.. ktfельными коэффициентами, иневыполнение (1) означало бы, что fn (s) при достаточно больших п возрастает бы.. Tpee} чем 1/ 2P h, S k, О -< s < 1, r,це Pk == lim Р (zn == k) > О, n"'OQ 151 
и не моrло бы в пределе совпадать с постоянной q. Мате... матическое ожидание Zn при т > 1 Mz n == т n -. 00, (j2 m n--l (т n  1.) дисперсия Dz n  1  00. т Таким образом, последовательность Zn при т > 1 с ве- роятностью q обращается в нуль и с вероятностью 1 ...... q r '/ ..-'  ' ...,   s::' .....:- .... (01 Qj п Рис. 84. Три реаJlи&аD.ИИ функции ln Zn при т > 1 J стре:мится к бесконечности. Типичная траектория после.. довательности Zn при т > 1 совершает при малых п ко... лебавия и может с вероятностью q обратиться в нуль, но если она досmrла достаточно больших значений, то она позрастает со скоростью т n (рис. 34). Упражнения 1. Найти веРОЯ1IIОСТЬ вырождения равьпт€' 5ro mara, если Р (ZI == О) == 0,5; Р (ZI с:: 2) == 0,5 Ответ: р (Z4:= О) с: 14 (О) == + (1 + + (1 ++ (1 + +у!у) == 0,7417. 2. Найти вероятность выживания до 100ro mara ВRлючительно, если р (ZI == О) == 0,5; Р (Z2 == 2) == 0,5. Ответ: р (ZI00> О)  0,02. 3. Найти оценну вероятности выживания Aq 10ro шаrа ВНJПО чительно, если Р (Z:[ ::С:: О) == 0,9; Р (В2 == 2) == 0,1.'. Ответ: Р (Zio> О)  1. ,02.10"'. 4. Най-ти вероявость выживания до Зrо mara в:ключительво, если Р (ZI == О) == 0,9; Р (ZI == 2) с: O,1 r'4 ,  Ответ: Р (zз  О) =:z: 0,О038! {52 
5. Найти оценку для вероятности, отыскиваемой в предыдущем упражнении. Ответ: Р (Zз> О)  0,008. 6. Найти вероятность выживания до 3ro шаrа В:t\лючительво, если р (Zl == О) == 0,1; Р (Zl == 2) == 0,9 f Найти предельную. ве- роятность выживания. Сравните численные ответы всех предыдущих вадач. Ответ: Р (Zз > О) == 0,8893, lim Р (zn> О) == 0,8888. n--+oo 7. Найти вероятность вырождения до '5ro mara, если в началь.. ный момент было пять частиц, а каждая частица исчезает с вероят ностью Р == 0,5 и делится На две частицы с вероятностью Р с::2 0,5.. Ответ: р (Z4 == 0/ Zo == 5) == t: (О) == 0,1096. У к а з а н и е: воспользоваться тем, что ПрОИЗВОДЯЩilЯ функ- r(nя суммы независимых случайных величин равна произведевию производящих фУНRЦИЙ. 8. Найти вероятность выживания до 100ro mara включительно, если в начальный момент было 100 частиц, Zo :::::: 100, а вероятность исчезновения для ка.!RДОЙ частицы р == 0,5 и деления на две ча- стицы Р == 0,5. Ответ: Р (ZlOO > O/zo == 100) == 1  f (О) :::::: 1  ( 1  1O YOO == 0,8674. 9. Найти оценку вероятности выживания до 10ro mara ВКЛ19ЧИ" тельно, если в начальный момент было 100 частиц, вероятность исчезновения наждой частицы 0,9 и деления на две частицЫ 0,1. Ответ: Р (Z10 > О I Zo == 100) ::::::: 1  tiO (О) < 1 ........ (1  ........ т 1О )100 === 1,024105. 10. Найти вероятность выживания до 3ro mara включительно, если в начальный момент имеется 1 О частиц (1000 частиц), а веро... ятность исчезновения для одной частицы 0,9, деления на две части- цы 0,1. Ответ: Р (zз> OJz o == 10) == 0,037; Р (zз> О / Zo == 1000) :::: == 0,978. 11. То же, что в упражнении 9, но в начальный момент имеется один миллион частиц (десять миллионов частиц). Ответ: Р (z10 > О / Zo == 1 000 000)  0,097; Р (z10 > О L Zo ==: === 10 000 ОО(})  0,64. 12. Найти вероятность выживания до 3ro mara включительно, если в начальный момент имеется 1 О частиц (1 частица), а вероят- ность 'исчезновения для каждой частицы 0,1, деления на две частицы 0,9. Сравните численные ответы всех предыдущих задач. Дайте «физическое» объяснение полученным результатам.. Ответ: Р (zз> О I Zo == 10) == 1  fo (О) == 1  2,76.10!O; Р (zз > О I Zo == 1) == 10,1107 == 0,8893. 13. Найти итерационный метод приближенноrо извлечения квадратноrо корня из числа. Можно ли достиrнуть в итерацйонном процессе сходимости :к искомому корню более быстрой, qeM re<r метричесная проrрессия? у :к а з а н и е: извлечение :квадратноrо корня из числа c равносильно численному решению уравнения (рис! 35) x2 +  х 3 Х + с 2 == О или  2с 2 + т + х == Х. 153 
Последнее уравнение имеет корень с, при эток проввводная функция в левой части в точке с равна нулю, что приводИТ К CK с Рис. 35. Итерационный метод отыскания ворня. рости сходимости в итерацио-вво:и процессе более быстрой, чем reo- метрическая ПрОFреССИIl. В качестве примера приведем несколько итераций, последовательно приближающих с == 1,414213562.. AJlЯ c == 2: хо == 1; %1 == 1,25; Х2 == 1,387; Х3 == 1,413417; Х4 == 1,41421289; %5 == 1,414213563 Естественно, что существуют и друrие итерационные после.. .АОВательности, сходящиеся к с. Скорость сходимости в приведевном прцере та же, что и уит.ерациовноrо процесса, приводящеrокоты сканию КОРI;IЯ х == О уравиemш %2 == Х, К которому наше уравнение сводится путем линейной замены. Для последнеrо же уравнения скорость C-ХОllииосrrи итерацинв:оrо процесса, очевидно, будет Zf} == x2'J), I %0 I < 1, что превосходит скорость сходимости тео- метрической проrрессии. 14. Провести авалоrично задаче 13 исследование итерационвоrо процесс а %п + с 2 /х n Хn+l == 2 ' извествоrо как ревневавилонский способ извлечения квадратиоrо :кория из с 2 . Дать объяснение, почему итерациопные l\1етоды особеи.. во Q. ЛJIЯ соврем:еввых ЭВМ 
3АliЛIОЧЕНИЕ Мы расс:казали в этой небольшой !{ниrе об основных по.нятиях и непоторых результатах теории Btr роятностей, стараясь выдержать по возможности более простую форму, но в то же время сделать изложение достаточно полным и строrим. Мы стремились при выводе формул и ДОRазательстве утверждений оrраничиться кок... бинаторными методами, производящими функциями и формулой Стирлинrа. Основные понятия теории вероят- ностей формировались, начиная с середины XVII века, IJ трудах ПаСRаля, Ферма, fюйrенса, fалилея и др., п«r священных решению мноrочисленных иrровых задач. В то IJpeMeHa были уже известны и ИСПОЛЬЗ0вались теоремы сложения и умножения вероятностей, понятие условнoi. вероятности, формула полной вероятности, было введено математичесное ожидание. Вершиной этоrо периода яв'" лось творчество Янова Бернулли. В ero «Искусстве пре положений», изданном посмертно в 1713 rоду, рассматрива... лась последовательность независимых испытаний с ДВУiiJI исходами, было выведено биномиальное распределение, появились производящие фуннции, решалась задача о разорении иrрона, но rлавное  была обоснована прив... ципиалъная возможность статистичесноrо подхода к вe роятности. Знаменитая TeopeM:a .Бернулли, установившая, 'Что при большом числе независи:мых испытаний час1'ота события, нан правило, мало отличается от ero верояТН«r сти, положила начало предельным теоремам теории ве-- роятностей. Среди этих теорем первыми нужно назвать теоремы Муавра ....... Лапласа о предельном распределении 6ТRлонения частоты события от ero вероятности. Соrласно формуле БеРНУ-1IЛИ вероятность т успехов в п испытаниях Бернулли равна (см.  5 rл. 3) при любом О<р<1 Р n (т) == СТ: рт (1 ....... р )r,т, t5Ъ 
а в сим:метричпой cxee Бернулли с р == 1/2 Р п (т) == C2n. Для не очень больших значений n можно непосредствеп... но вычислять факториалы и степени, входящие в правые части выписанных формул, или пользоваться специальны... ми таблицами (папример, таблицей для лоrарифмов фак-- ториалов, помещенной на с. 24). При больших n и т фор... мулы Бернулли мало приrодны для непосредственноrо вычисления. Так, если n == 100, т == 50, то для вычисле.. ния Р 100 (50) необходимо найти cgo и 2100. Еще более затруднительно вычисление вероятностей вида 65  РI00 (т); т==35 Подобные примеры показывают, что точные выражения MorYT быть бесполезны для практическоrо подсчета. При-- ближенная формула для симметричноrо биномиальноrо распределения (с р == 1/2), которая позволяет сравни-- тельно леrI\О находить Р п (т) при больших 11" была до'" казапа Муавром в 1730 rоду. Было показано, что при n --+- 00 2 ( т   ) 2 C2n V е n n!!:.. 2 Если n фиксировано, то справа в формуле стоят значения  (x Ь)2 функции ае с (а, Ь, с ......... постоянные) в точках х == т. (Если на рис. 9, помещенном на с. 20, провести кривые, оrибающие rрафики Р п (т) сверху, то мы получим при больших n приближенный rрафик указанной функции.) Основным средством доказательства была все та же фор.. I\lула Стирлинrа, которую Муавр доказал независимо. Эту формулу Муавра читатель может получить сам, исполь... ауя рекомендации и результаты упражнения 2 fЛ. 4  4. В последующем Лапласом (1812) была cTporo доказана для общеI'О случаll О < р < 1 формула . Р п (т)  cpт (1 ........ p)n1}1,  1 е У2nnр (1  р) (тnp)! 2nР (1 p) t {56 
включающая в себя формулу Муавра. Если положитъ тnp t === , v пр (1 ----- р) то формула приобретнет ВИД, Р п (т) ,.....", 1 et212. \ V 2пn р (1 ----- р) Последнее соотношение известно нан локальная предель.. ная теорема Муавра  Лапласа. Используя ЛОRальную формулу, можно получить приближение для сумм бино т2 миальных вероятностей  Р п (т), ноторые выражают тт1 . вероятность Toro, что число успехов в п испытаниях Вер.. нулли лежит в пределах т 1 и т 2 (т 1 < т 2 ). Это прибли-- жение дает так называемая интеrральная предельиая- тео.. рема Муавра  Лапласа: 1n2 t 2  Р n (т)  /2it  (;t'/2 dt, ттl t l т. ...... пр t i ===  · у пр (1----- р) (1:) Разность между левой И правой частями стремится при п --+ 00 К нулю равномерно относительно t 1 , t 2 при по.. стоянном значении О < р < 1. С помощью интеrральной формулы (*) оценивается вероятность отклонения частоты успеха Sn/п в п испыта-- ниях Бернулли от вероятности успеха р: Р {I n  р I < в}  y12;t  (;и'12 du, t == в V р (1  р) t t 8>0. Отсюда вытекает, в частности, основной результат rreo. ремы Бернулли. Если переписать последнюю формулу а виде t Р {I   Р I < tV f ( ;; R) }  y  fr"U'/2 du, ' то отсюда можно сдел&'ТЬ вывод о том, что, пак правило, отклонения частоты от вероятности р имеют ПОрЯДОIt 1/У n . Иптеrрал, входящий в правые части асимптоти'" 15'l. 
чески.х ФОРМУЛ J принято выражать через функцию t 1  Ф (t) ==  eи2/2 dи У2п oo как разность Ф (t 2 )  Ф (С 1 ). Функция Ф (t) называется функцией нормальноrо распределения, ее подробные таб.. лицы имеются во мноrих учебниках и пособиях по тео.. рии вероятностей и математической статистике. Функция Ф (t) непрерывна, ее значения при t -+  00 довольно быстро приближаю'Тся к О, а при t --+ 00 приближаются к 1. Значения Ф (t) для значений aprYMeHTa t и ------t свя-- аапы равенством Ф (t) + ф (t) == 1. Приведем здесь несколько значений функции Ф (t): t О .0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 . 3,0 Ф (t) 0,500 0,691 0,841 0,933 0,977 0,994 0,999 (Читатель может использовать эту табл:qчку для вычис ления приближенных значений вероятностей в ynражне fR[ЯХ 4, 5  2 rл.' 5 и упраЖНlIИИ 2  6 rл. 3.) Укажем вероятностный смысл правой части Ф (t 2 )  ..... Ф (С 1 ) интеrpальной формулы (*). Существуют слу-- чайные величины, распределение вероятностей дЛЯ HO frOpblX задается с помощью неотрицательной функции q> (t),  00 < t < 00, следующим образом: для любоrо интеvвала (t 1 , t 2 ) на прямой вероятность Toro, что случай ная величина примет значения из этоrо интервала, равна t 2 + 00 интеrралу  q> (t) dt, приqем: S ер (t) dt == 1. Функция ер (t) t1 ..... 00 Q указанными евойствами называется nдотuостью ее-- роятпостu, а распределение такой случайной величины обычно называется непрерывным распределением. Pac 1 nределение с плотностью ер (t) == y et'12 нааываетя HOp 2п .м,альnым распределеnием, и поэтому разность Ф (t 2 )   Ф (t 1 ) есть вероятность случайной величине с HOp мальным распределением принять значение из интервала (t 1 , е 2 ). Это распределение часто называют также еауссовспи.м, по имени raycca J КОТОр!>IЙ приблизительно в то же время, 158 
что и Лаплас, получил ero RaR распределение ошибок на- блюдения n задачах астрономии и rеодезии. Работы Лап ласа и raycca по теории оmиБОR обнаРУЖИЛИ 9 что рас- пределение суммарной оmибни, полученной СЛОiнснием: больmоrо числа незначительных случайных ошибок, при довольно общих условиях будет приближенно нормаль.. ным распределением. Таним обраЗОlИ, асимптотичеСRая формула Муавра ---- Лапласа ОRазалась следствием до- ста точно универсальноrо вероятностноrо заRона.. Роль, потовую нормальное распределение иrрает в теории ве- u  роятностеи и ее приложениях, определяется центральнои предельной теоремой. rоворят, что случайные величины Х 1 , Х 2 , . . ., Х п удовлетворяют центральной предельной теореме, если при любых действительных числах а. и р для суммы Sn == Х 1 + . . . + К п при п -+ 00 справед- ливо асимптотичеСRое равенство , 4i Р {а < Sn;n <}oo vk--  tru'li!и. Эта формула справедлива при очень ШИроRИХ условиях, налаrаемых на Х 1 , Х 2 , . . ., Х п . Возвращаясь к теореме Муавра  Лапласа, отметим, что при значениях р, близких к О или 1, можно восполь", З0ваться друrой приближенной формулой для биноми альной вероятности, которая носит имя с. ПуаесоШl, открывшеrо и опубликовавmеrо ее в 1873 rоду. Если в формуле Бернулли р близко R О, а п велико, то Р п (т) л m л m близко п е---"л ........., , rде л == пр. Числа рт === е"л..........., неотри т т цатепыш: и в сумме по всем т == 'о, 1, 2, составляют t.. Поэтому они MorYT быть взяты в :качестве распределеmш некоторой случайной величины, принимающей целые неотрицательные значения О, 1, 2, . . . Это раепределвJ1И8 называется распределеиием Пуассона (пример pa-спредеJlе-- ния случайной величины, принимающей счетное число значений). Оба предельных распределения...... нормальное 11 IlyaccoHa выводят нас за пределы нниrи. 
Анд рей НU1:0лаевич КОЛМО20ров Иаорь Fеораuевuч ЖурбеН1:0 Алеrtса-н,ар Владимирович Прохоров ВВЕЕВИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Серил: Библиотечна <HBaHT») Редантор В. В. ДоН,чеппо «'ехн. редаитор л. В. Лихачева Норректор M Л. МвдведСNая ив М 12102 СДaJIQ 8 набор 17&04.82! Подцисано R печати IЗ&0782, Т-Н1ЗЗ. Формат 84Xf08 1 1 a !. Б')1М8.ffi trип. М з. Обыиновенная rаРНИТ'Ура. BЫCOHa печаТь» УСЛОВВ. печ. л. 8,4. УЧ.-И8J1. л. 8,1g. Тираж 150000 H3. ЗaRаз 1670 Цепа 25 l\ОП_ Издательство «На 'Уна» rлавнал реаRЦИЯ физино-математичеСRОЙ питераТfРЫ 11701f, МОСЕва. B-7f. ЛеНИВСRИЙ проспент, 15 2-11 типоrрафпя --издательства «Науна») {21099! :м: о C1\JJ а.... :r.9, W-уБЦПСRИЙ пер.; 10