А, В. ПРОХОРОВ, В. Г. УШАКОВ, Н. Г. УШАКОВ
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ
ОСНОВНЫЕ понятия
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Допущено Министерством высшего и среднего
специального образования СССР в качестве учебного пособия
для студентов университетов, обучающихся
по специальностям «Математикам и «Прикладная математика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1986
ББК 22.171
П 84
УДК 519.2
Прохоров А. В., Ушаков В. Г., Ушаков Н. Г. Задачи по теории
вероятностей: Основные понятия. Предельные теоремы. Случайные процессы:
Учебное пособие.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986.— 328 с.
Сборник задач содержит около 1500 задач и рассчитан на изучение расши-
ренного курса теории вероятностей (содержит, в частности, разделы, посвя-
щенные безгранично делимым распределениям, условным математическим
ожиданиям и условным вероятностям, случайным процессам).
Для студентов математических специальностей университетов.
Библиогр. 41 назв.
Рецензенты:
кафедра теории вероятностей и математической статистики Ленинград-
ского государственного университета им. А. А. Жданова (заведующий кафед-
рой доктор физико-математических наук профессор В. В. Петров),
доктор физико-математических наук профессор В. П. Чистяков
п 1702060000—055 64 85
053(02)-86
©Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической
литературы, 1S89
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................................ 5
Глава 1. Введение в теорию вероятностей .	.	  7
§ 1.	Операции над событиями. Свойства вероятностей ....	9
§ 2.	Классическое определение вероятности...........................11
§ 3.	Геометрические вероятности.....................................16
§ 4.	Условная вероятность. Независимость............................18
Глава 2. Основные понятия теории вероятностей...........................23
§ 1.	Вероятностное пространство.....................................26
§ 2.	Случайные величины. Математическое	ожидание ....	30
§ 3.	Независимость..................................................32
Глава 3. Распределения случайных величин................................37
§ 1.	Функции распределения..................................42
§ 2.	Моменты................................................49
§ 3.	Корреляция.............................................56
§ 4.	Некоторые важные распределения.........................58
§ 5.	Распределения сумм независимых случайных	величин	...	61
§ 6.	Неравенства............................................66
§ 7.	Расстояния в пространстве вероятностных	распределений	.	.	69
§ 8.	Многомерные распределения..............................71
§ 9.	Разные задачи..........................................75
Глава 4. Аналитические методы теории вероятностей.......................80
§ 1.	Производящие функции...................................81
§ 2.	Характеристические функции	и	их	основные	свойства	...	83
§ 3.	Связь свойств характеристических	функций	со	свойствами.рас-
пределений. Неравенства	89
§ 4.	Формулы обращения......................................94
§ 5.	Преобразования Лапласа.................................97
§ 6.	Разные задачи..........................................98
Глава 5. Сходимость последовательностей случайных величин и веро-
ятностных распределений...................................104
Глава 6. Предельные теоремы теории вероятностей........................113
§ 1.	Закон больших чисел...........................................122
§ 2.	Сходимость рядов из независимых случайных величин .	.	.	126
§ 3.	Усиленный закон больших чисел.................................130
§ 4.	Центральная предельная теорема................................132
1*
3
§ 5.	Разные задачи.............................................136
§ 6.	Применения предельных теорем..............................142
Глава 7. Условные распределения и условные математические ожи-
дания ...........................................................148
Глава 8. Безгранично делимые распределения........................154
Глава 9. Дискретные цепи Маркова..................................161
§ 1.	Основные понятия и соотношения............................162
§ 2.	Классификация состояний...................................167
§ 3.	Стационарные и предельные распределения...................171
§ 4.	Разные задачи.............................................173
Глава 10. Случайные процессы......................................174
§ 1.	Основные понятия..........................................182
§ 2.	Ветвящиеся процессы.......................................187
§ 3.	Марковские процессы.......................................188
§ 4.	Процессы массового обслуживания...........................191
§ 5.	Винеровский процесс.......................................195
§ 6.	Процессы с независимыми приращениями......................197
§ 7.	Стационарные процессы.....................................200
§ 8.	Мартингалы................................................203
§ 9.	Разные задачи.............................................206
Ответы, указания, решения.........................................208
Список учебных изданий по теории вероятностей .	.	...	.	326
ПРЕДИСЛОВИЕ
За последнее десятилетие значительно увеличился объем препо-
давания теории вероятностей в высших учебных заведениях.
В университетах на математических факультетах читается годовой
или полуторагодовой курс теории вероятностей, случайных процес-
сов и математической статистики, появились новые курсы по веро-
ятности в технических вузах, изданы новые учебники.
Предлагаемый сборник задач был задуман как учебное пособие,
приспособленное к университетским курсам теории вероятностей и
таким современным учебникам, как «Теория вероятностей»
А. А. Боровкова, «Вероятность» А. Н. Ширяева, «Курс теории слу-
чайных процессов» А. Д. Вентцеля, «Теория вероятностей. Случай-
ные процессы. Математическая статистика» Ю. А.-Розанова, «Курс
теории вероятностей и математической статистики» Б. А. Севасть-
янова. В книге отражен опыт авторов, работавших на механико-
математическом факультете и факультете вычислительной матема-
тики и кибернетики Московского университета. Сборник содержит
около 1500 задач по многим разделам теории вероятностей, в том
числе и по теории случайных процессов. При этом материал, соот-
ветствующий программе общего курса, расширен за счет включения
тем, которые традиционно составляли содержание курса «Допол-
нительные главы теории вероятностей», читавшегося в течение мно-
гих лет в МГУ. Это относится в первую очередь к главам «Анали-
тические методы теории вероятностей», «Безгранично делимые рас-
пределения», «Условные распределения и условные математические
ожидания». Задачник имеет небольшой отдел по элементарной тео-
рии вероятностей. Это оправдано тем, что начальная часть курса
теории вероятностей очень хорошо обеспечена задачами в первом
томе известной книги В. Феллера «Введение в теорию вероятно-
стей и ее приложения» и в недавно изданном «Сборнике задач по
теории вероятностей» Б. А. Севастьянова, В. П. Чистякова и
А. М. Зубкова. В гл. 1 представлены основные схемы элементарной
теории вероятностей: урновая схема, схема размещения частиц по
ячейкам и схема случайного блуждания. В параграфе, посвящен-
ном геометрическим вероятностям, собраны известные («классиче-
ские») задачи ввиду их поучительности (эти задачи легко фор-
мулируются в терминах «выбора точки наудачу»). Сборник содер-
жит большое число задач, связанных с распределениями вероятно-
5
стей, характеристическими функциями и предельными теоремами.
Разделы, посвященные предельным теоремам и случайным процес-
сам, ни в коей мере не претендуют на полноту и объединяют за-
дачи, естественно связанные с содержанием общего (хотя и доста-
точно широкого по программе) курса теории вероятностей.
Задачи в сборнике имеют разную степень трудности и рассчи-
таны на читателей, находящихся на различных этапах овладения
основами теории вероятностей. Кроме задач учебного характера,
в сборник включены задачи, которые могут быть полезны студен-
там и даже аспирантам, занимающимся углубленным изучением
специальных разделов теории. Задачи, как правило, снабжены от-
ветами, многие задачи имеют указания к решению, некоторые за-
дачи имеют подробное решение. В конце книги приведен список
учебников и сборников задач по теории вероятностей, используемых
в высших учебных заведениях.
Авторы сознают, что сборник задач такого большого объема не-
избежно вызовет критические замечания читателей как с точки
зрения структуры, так и с точки зрения содержания отдельных раз-
делов и отдельных задач. Решившись издать сборник задач в на-
стоящем виде, авторы рассчитывают получить указания, замечания
и предложения и заранее благодарны всем своим корреспондентам.
Авторы выражают свою глубокую благодарность сотрудникам
кафедры математической статистики факультета вычислительной
математики и кибернетики и кафедры математической статистики
и случайных процессов механико-математического факультета Мо-
сковского университета за неоценимую помощь и поддержку в ра-
боте над сборником задач. Добрежелательные критические указания,
полученные авторами от профессора В. П. Чистякова и коллектива
кафедры теории вероятностей и математической статистики мате-
матико-механического факультета Ленинградского университета,
помогли освободить рукопись книги от многих недочетов и погреш-
ностей. Авторы выражают рецензентам сердечную признательность
за их труд.
А. В. Прохоров, В. Г. Ушаков, Н. Г. Ушаков
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Исходным понятием теории вероятностей является понятие вероятност-
ного пространства как математической модели изучаемого явления.
Пусть й — непустое множество, элементы которого интерпретируются как
неразложимые, исключающие друг друга исходы w случайного эксперимен-
та и называются элементарными событиями (само Й называется пространст-
вом элементарных событий), — класс подмножеств Асй, называемых со-
бытиями, Р — числовая функция, определенная для каждого события .4 е
и носящая название вероятности.
Поскольку события являются подмножествами Й, можно использовать те-
оретико-множественную терминологию и определить новые события путем
объединения, перюсечепия, перехода к дополнениям соответствующих мно-
жеств. По аналогии с операциями над множествами определим операции
над событиями, используя специфическую вероятностную терминологию.
Если случайный эксперимент заканчивается исходом <о и и е.4, то го-
ворят, что осуществилось (произошло) событие А, если А е s&. Пусть .4. Be
erf — события. Событие A U В (объединение множеств Л и В) осуществля-
ется тогда, когда осуществляется по крайней мере одно из событий А или В.
Событие А О В = АВ (пересечение множеств А и В) осуществляется тогда,
когда осуществляются оба события А и В. Событие А, противоположное со-
бытию А (дополнение А), осуществляется тогда, когда не осуществляется А.
Событие А\В (разность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуще-
ствляется А, но В не осуществляется. Событие А Д В (симметрическая раз-
ность множеств А и В) осуществляется тогда, когда осуществляется А и не
осуществляется В, или когда осуществляется В и не осуществляется А. Собы-
тие й называют достоверным событием, а событие 0 (пустое множество) —
невозможным событием. События А и В несовместны, если АВ = 0.
Класс событий rf удовлетворяет следующим свойствам:
1)	Й е rf;
2)	если Л е rf, то Л е rf;
оо
3)	если Ль Л2, ..., А„, ... е rf, то U Л; е rf. Класс множеств с указан-
i=l
пыми свойствами называется а-алгеброй множеств.
Вероятность Р определена как функция множеств на п-алгебре rf и удов-
летворяет следующим аксиомам:
1) Р(Л) 0 для любого Л е rf;
2) Р(Й) = 1;
ОО
= у, ₽(Л,.), если AiAj = 0 при i =/= /.
i=l
Тройка (й, rf, Р) называется вероятностным пространством. Его общая
конструкция рассматривается в следующей главе. Здесь мы будем иметь де-
ло с простейшими формулами для вычисления вероятностей в двух важных
частных случаях, в которых формализовано понятие равновозможпости ис-
ходов случайного эксперимента.
3) Р U
\г—1
Наиболее просто устроено следующее вероятностное пространство:
й = {&>!, ..., «„}
— множество всех подмножеств Й,
Р (Л) — —, где п . — число элементарных событий ш, содержащихся в
п
А е .&.
Это определение вероятности как отношения числа элементарных событий,
благоприятствующих некоторому событию, к общему числу элементарных со-
бытий, называют классическим определением. Оно имеет непосредственное
отношение к опытам с конечным числом равновозможных исходов. Извест-
ная симметрия опыта, нашедшая свое выражение в гипотезе равновозможно-
сти, проявляется в словах «наудачу», «правильная» монета или кость и т. п.
Для вычисления вероятностей в таком вероятностном пространстве ис-
пользуются комбинаторные методы подсчета числа подмножеств некоторого
множества. Главнейшие понятия здесь: сочетания, размещения и переста-
новки.
Пусть задано множество из N различных элементов. Рассмотрим его под-
множества объема п. Обозначим.
ДП=ЛГ(ЛГ-1) ... 3-2-1, Л” = N (N — i)	п 4-1).
Упорядоченный набор п различных элементов из общего числа /V называется
размещением. Общее число размещений равно Л™. При п — N размещения
называются перестановками и в этом случае Л^ = ЛИ. Если не учитывать
порядок элементов в размещении, то получающиеся различные подмножест-
ва называются сочетаниями, их общее число равно
сп __ Лп / Ап
.N/ n'
Другой простой случай вероятностного пространства описывается следу-
ющим образом:
Й — ограниченное множество «-мерного евклидова пространства Rn, име-
ющее «-мерный объем (лебегову меру) mes Й;
.и£ — класс подмножеств A s й, имеющих «-мерный объем (лебегову ме-
ру) mes A.Aeoi;
Р(Л) = mes A/mes Й, Лей.
Это определение обычно называют геометрическим определением вероят-
ности. В большинстве задач вероятность определяется как отношение обыч-
ных площадей или объемов некоторых геометрических фигур в Rn. В таком
случае образно говорят, что «точка наудачу выбрана в некотором множестве»
или «брошена в некоторое множество» и подразумевают, что вероятность вы-
бора точки из множества пропорциональна его площади или объему.
Важную роль в теории вероятностей играют понятия условной вероят-
ности и независимости событий.
Пусть А и В — события и Р(В) > 0. Условная вероятность события А при
условии В определяется формулой
Р(ЛВ)
Р(Л|й) = Т(яр
События А и В называются независимыми, если Р(Л5) = Р(Л)Р(В); в
этом случае Р(Л|В) — ₽(Л) и Р(В|Л) = Р(В).
События Ai, ..., Ап называются взаимно независимыми (независимыми
в совокупности), если для любого к sj « и любых 1 ij < ... < й ^ «
8
При решении некоторых задач, связанных с вычислением вероятностей,
бывают полезны следующие формулы.
Пусть события В\, Вп попарно несовместны, т. е. = 0,
п
пусть U гэ А и Р(В,) > 0 для всех I. Тогда
г—1
п
1)	₽(4)=2	(формула полной вероятности)-,
2)	если Р(4) >0, то
Р(й;Н) = .р^)рИ15)
2 Р№)р(л1^)
1=1
(формула Байеса').
§ 1.	Операции над событиями. Свойства вероятностей
1.1.	Пусть А нВ — события. Найти все события X такие, что
АХ = АВ.
1.2.	Найти все события X такие, что
(X U Л) U (X U Л) = 5,
где А и В — некоторые события.
1.3.	Определить события А и В, если:
а) Л1И? = Я;б) Л5 = Л.
1.4.	Доказать, что для любых событий Л и В соотношения А <= В,
Л => В, A U В — В, АВ = Л, А\В = 0 равносильны.
1.5.	При _любых Л и В сравнить события (Л U В) (A U В) U
и (Л и 5) (Л и_5),_ (Л и В) (Л и В) и (Л и В) (Л и В)	и
(Л и В) (АО В) (АО В) (А 0 В).
1.6.	Доказать равенства:
а) АВ -A0B-, б) АО В = АВ; в) A U 5 = АВ Ц(ЛА5);
г) Л &B — ABQAB; д) Л А Й==(ЛВ)Д(ЛЭ);
е) U Л = П Л;; ж) П А{ = (J Ль
i=l	i=l	i=l	i= 1
1.7.	Верны ли следующие равенства:
а) Л и5 = Л5Д(ЛА5); б) А\В = А^(АВ); в) Л\Л = А\В;
г) А\(В\С) = (А\В')\С;	д) А А (В А С) = (Л А В) А С;
е) (А 0 В)\С = А 0 (В\С);	ж) АВ U CD =(Л U В) (С U D);
з)	(Л U В) (Л 0 С) (В 0 С) = АВ 0 ВС 0 АС;	и) ABC U ABD U
U ACD и BCD = (Л и В) (Л U С) (Л U D) (В U С) (В U D) (С U £>);
к) (Л U В) А (Л U В) = Л А В.
1.8.	Обязаны ли совпадать события Л и В, если:
а) А = В; б) АО С = ВО С (С—некоторое событие); в) АС =•
= ВС (С — некоторое событие); г) Л (Л U В) = В (A U В);
д) Л(Л\В) = В(5\Л); е) Л (А\В) = В(А\В); ж) А\В = 0?
1.9.	Пусть Л, В, С — некоторые события. Доказать, что
а) АВ U ВС U АС => АВС; б) АВ U ВС U АС с A U В U С.
9
1.10.	Двое играют в шахматы. Событие А означает, что выиграл
первый игрок, событие В — что выиграл второй игрок. Что означа-
ют события:	_ _	_
а) А&В-, б) Дд5; в) А ПВ; г) В\А-, д) А\В?
1.11.	Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены
п шаров. Пусть At — событие, состоящее в том, что i-ый шар белый
(1 i п). Выразить через А{ следующие события:
а) все шары белые; б) хотя бы один шар белый; в) ровно один
шар белый; г) не более к шаров белые (1 =£ к п); д) по крайней
мере к шаров белые; е) ровно к шаров белые; ж) все п шаров од-
ного цвета.
1.12.	Эксперимент состоит в выборе одной из возможных пере-
становок чисел 1, 2, .. ., п. Пусть событие Ац состоит в том, что
в выбранной перестановке число i стоит на /-ом месте (i, / =
= 1, 2, ..., п). Выразить с помощью AiS следующие события:
а) число 1 стоит левее числа 2; б) число 1 стоит не далее /-го
места.
1.13.	Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концент-
рическими окружностями с радиусами 7?, < В2 <.. .< 7?]0. Событие
А„ означает попадание в круг радиуса Bh. Что означают события
5 = Д1иД3иД6; С=Д2Д4Д6Д8;
Р=(Д1иД3)Д8?
п
1.14.	Пусть At, ..., Ап — любые события и А = |J А,. Предста-
г—1
вить событие А в виде объединения п несовместных событий.
1.15.	Является ли операция симметрической разности
а) коммутативной; б) ассоциативной?
1.16.	Доказать, что если А&В = C^D, то А&С — B&D.
1.17.	Доказать, что события А и В совместны тогда и только
тогда, когда пересечение трех событий Ди В, Л U В и Д U В не-
пусто.
1.18.	Пусть At, Д2, ..., Д„ — события. Доказать, что
N N	N N
U П = П U Л =
71 = 1 k=n	П=1 k—П
1.19.	Доказать, что
Р(Д и5) = Р(Д) + Р(В)-Р(Д5).
1.20.	Пусть вероятность_каждого из событий А и В равна 1/2.
Доказать, что Р(ДВ) = Р(ДВ).
1.21.	Доказать, что
Р(Д А5) = Р(Д) + Р(Л)-2Р(Д5).
1.22.	Пусть Д, В, С — события. Доказать, что:
а)	Р(ДВ) + Р(ДС) + Р(ВС)>Р(Д) + Р(В) + Р(С)-1;
б)	Р(ДВ)+Р(ДС)-Р(ВС)^Р(Д).
10
1.23.	Доказать, что для любых А, В, С
Р(Л Д5)^Р(Л ДС) + Р(СД£).
1.24.	Пусть Ai, Аг, ..., Ап — события. Доказать, что:
а)р(ил| = 2р(4)- 2 ЧАчА^ +
\i—1 J г=1	l^i1<i2<n
+ .2. Р (Л;1Л;2Л;з)+ ... +(-1)п-1Р(Л1Л2... Л);
б)	Р(Л дИ2 д ... дл„) = 2 Р(Л)-2	2 Р(АЧ) +
г—1	1 i i<i2
+ 4	2. <пР(АгЛЛ3)+ ... +(-2)п-1Р(4142... лп).
1.25.	Пусть Аь ..., Ап — некоторые события и Вт — событие,
заключающееся в том, что осуществится ровно т событий из Alt ...
..., Ап. Доказать, что
Р(/у = ?(-1№+Д+н
k=o
где
sh= 2	р(+4... лй).
1Сг1<-..<iA<n	4
§ 2. Классическое определение вероятности
1.26	(урновая схема-, выбор с возвращением) Некий сосуд (ур-
на) содержит N различных шаров с номерами 1, 2, ..., N. На каж-
дом шаге из урны «наудачу» извлекается шар и затем возвращает-
ся назад, после чего шары в урне перемешиваются. Исход п
последовательных извлечений называется выборкой объема п с
возвращением. Описать пространство элементарных событий, соот-
ветствующих данному эксперименту. Рассмотреть отдельно случай,
когда порядок шаров в выборке важен, и случай, когда порядок не
учитывается.
1.27	(продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выбо-
рок и предположим, что они все равновозможны. Предположим до-
полнительно, что все шары с номерами 1, 2, ..., М (М «5 N) ок-
рашены в белый цвет, а остальные шары — в черный цвет. Най-
дите вероятность того, что в выборке объема .га окажется ровно т,
О т cJ га, белых шаров.
1.28.	В схеме выбора с возвращением найдите вероятность того,
что все шары встретятся в выборке не более одного раза.
1.29	(урновая схема-, выбор без возвращения). Пусть урна со-
держит N различных шаров с номерами 1, 2, ..., N. На каждом
шаге из урны «наудачу» извлекается шар и назад в урну не воз-
вращается. Исход га последовательных извлечений называется вы-
боркой объема п без возвращения или бесповторной выборкой.
11
Описать пространство элементарных событий в двух случаях: когда
выборка упорядочена и когда не упорядочена.
1.30	(продолжение). Рассмотрим случай упорядоченных выбо-
рок и предположим, что они равновероятны. Так же как в задаче
1.15, предположим, что шары с первыми М (М N) номерами окра-
шены в белый цвет, а остальные — в черный. Найдите вероятность
того, что в выборке объема п окажется ровно т белых шаров.
1.31	(генуэзская лотерея). Из общего числа 90 номеров разыг-
рываются 5 номеров. Можно заранее сделать ставку на любое число
номеров в пределах пяти. Если ставка сделана на к, к — 1, 2, 3-, 4,
5, номеров и именно эти к номеров находятся среди номеров, вы-
шедших в тираж, то соответствующие выигрыши таковы:
если к = 1, то	15 ставок,
к = 2, то	270 ставок,
к = 3, то 5500 ставок,
к = 4, то 75000 ставок,
к = 5, то 1000000 ставок.
Подсчитать вероятности выигрышей при ставке на любое число но-
меров.
1.32.	На восьми одинаковых карточках написаны соответственно
числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наугад берутся две карточки. Оп-
ределить вероятность  того, что образованная из двух полученных
чисел дробь сократима.
1.33.	Из полного набора 28 костей домино наудачу берутся 5
костей. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы одна
кость с шестью очками.
1.34.	Бросается п игральных костей. Найти вероятность события,
состоящего в том, что на всех костях выпало одинаковое число
очков.
1.35.	Монета подбрасывается п раз. Найти вероятность того, что
число появлений герба нечетно.
1.36.	Брошены шесть игральных костей. Найти вероятности сле-
дующих событий:
а) на всех костях выпало разное число очков; б) суммарное
число выпавших очков равно 7.
1.37.	Игральная кость бросается п раз. Чему равна вероятность
того, что:
а) хотя бы один раз выпадет шестерка? б) шестерка выпадет в
точности один раз?
1.38.	(задача игрока де Мере). Какое событие более вероятно:
{при четырех бросаниях кости хотя бы раз выпадет шесть очков)
или {при двадцати четырех бросаниях двух костей хотя бы раз
одновременно выпадут шесть и шесть очков)? Найдите эти вероят-
ности.
1.39.	Несколько раз бросается игральная кость. Какое событие
более вероятно: {сумма выпавших очков четна) или {сумма выпав-
ших очков нечетна)?
12
1.40.	Между двумя игроками проводится п партий, причем каж-
дая партия кончается или выигрышем, или проигрышем, и всевоз-
можные исходы партий равновероятны. Найти вероятность того, что
определенный игрок выиграет ровно т партий, 0 < т п.
1.41.	В зале, насчитывающем п + к мест, случайным образом
занимают места п человек. Определить вероятность того, что будут
заняты определенные т п мест.
1.42.	Для уменьшения общего количества игр 2п команд спорт-
сменов разбиваются на две подгруппы. Определить вероятность то-
го, что две наиболее сильные команды окажутся:
а) в разных подгруппах; б) в одной подгруппе.
1.43.	Сорок участников турнира разбиваются па четыре равные
группы. Найти вероятность того, что четыре сильнейших участника
окажутся в разных группах.
1.44.	Рассмотрим множество из N элементов. Наудачу выбира-
ется одно из непустых подмножеств. Найти вероятность того, что
в выбранном подмножестве четное число элементов.
1.45.	Из урны, содержащей 2п белых и 2п черных шаров, из-
влекаются с возвращением 2га шаров. Найти вероятность того, что
в выборке будет одинаковое число белых и,черных шаров.
1.46.	В урне а белых и b черных шаров (а > 2, Ь > 2). Из урны
без возвращения извлекаются два шара. Найти вероятность
того, что:
а) шары одного цвета; б) шары разных цветов.
1.47.	В урне находятся 5 шаров различных цветов. Производит-
ся выборка с возвращением объема 25. Найти вероятность того,
что в выборке будет по 5 шаров каждого цвета.
1.48.	В урне К красных, L белых и М черных шаров. Из урны
с возвращением (без возвращения) извлекается га шаров. Найти
вероятность того, что в выборке будет к красных, I белых и т чер-
ных шаров.
1.49.	В урне находятся черные и белые шары, которые без воз-
вращения извлекаются из урны. Какое событие более вероятно:
{первый шар оказался белым} или {последний шар оказался бе-
лым)?
1.50.	В урне находятся черные и белые шары, причем отноше-
ние числа белых шаров к числу черных шаров равно а. Найти
вероятность того, что при извлечении всех шаров из урны послед-
ним окажется черный шар.
1.51.	В урне находятся а белых и b черных шаров. Шары без
возвращения извлекаются из урны. Найти вероятность того, что
к-й вынутый шар оказался белым.
1.52.	Из урны, в которой находятся черные и белые шары,
с возвращением извлекаются два шара. Доказать, что вероятность
того, что шары одного цвета, не меньше 1/2.
1.53.	В урне содержится а белых и Ъ черных шаров (а^Ъ).
Все шары без возвращения извлекаются из урны. Какое событие
более вероятно: {в некоторый момент число извлеченных белых
13
шаров равно числу извлеченных черных шаров} или {в некоторый
момент число оставшихся в урне белых шаров равно числу остав-
шихся черных шаров)? Найти эти вероятности.
1.54.	п лиц рассаживаются в ряд в случайном порядке. Какова
вероятность, что два определенных лица окажутся рядом? Найти
соответствующую вероятность, если те же лица садятся за круг-
лый стол.
1.55.	га лиц рассаживаются в ряд или за круглый стол в случай-
ном порядке. Найти в том и другом случае вероятность того, что
между двумя определенными лицами окажется ровно з человек.
1.56	(размещение шаров По ящикам). Рассмотрим случайный
эксперимент, в котором различимые (занумерованные) шары раз-
мещаются по нескольким ящикам, так что каждый шар может по-
пасть в ящик с любым номером. Описать множество всех разли-
чимых размещений — элементарных исходов данного эксперимента.
Считая все элементарные события равновероятными, вычислить со-
ответствующие вероятности.
1.57	(продолжение). Рассмотрим тот же эксперимент, но на этот
раз будем считать шары неразличимыми. Подсчитать число всех
различных размещений.
1.58	(продолжение). Рассмотрим задачу размещения п шаров
по N ящикам. Считаем возможными только те размещения, при
которых в каждый ящик попадает не более одного шара. Построить
пространство элементарных событий в случае различимых и в слу-
чае неразличимых шаров.
1.59.	30 шаров размещаются по 8 ящикам так, что для каждого
шара одинаково возможно попадание в любой ящик. Найти веро-
ятность размещения, при котором будет 3 пустых ящика, 2 ящи-
ка — с тремя, 2 ящика — с шестью и 1 ящик — с двенадцатью
шарами.
1.60.	Найти вероятность того, что при размещении п различи-
мых-шаров по N ящикам заданный ящик будет содержать ровно к,
О^к^п, шаров (все различимые размещения равновероятны).
1.61.	п различимых шаров размещаются по N ящикам. Найти
вероятность того, что ящики с номерами 1, 2, ..., N будут содер-
жать ni, ..., nN шаров соответственно (nt +...+ nN = га).
1.62.	В га ящиках размещают п шаров так, что для каждого
шара равновозможно попадание в любой ящик. Найти вероятность
того, что ни один ящик не пуст.
1.63	(продолжение). В га ящиках размещают га + 2 шаров. Найти
вероятность того, что по крайней мере один ящик будет пустым.
1.64	(продолжение). В га ящиках размещают га+1 шаров. Най-
ти вероятность того, что ровно два ящика окажутся пустыми.
1.65.	В га ящиках размещают 2га шаров. Найти вероятность того,
что ни один ящик не пуст, если шары неразличимы и все разли-
чимые размещения имеют равные вероятности.
1.66	(продолжение). Найти вероятность Чт* того, что заданный
ящик содержит ровно т шаров.
14
1.67	(продолжение). Найти предел Цт при
1.68	(продолжение)'. Найти вероятность того, что ровно к ящи-
ков останутся пустыми.
1.69.	Имеется 2п карточек, на которых написаны числа от 1 до
2ге, и 2п конвертов, на которых написаны те же числа. Карточки
случайным образом вкладываются в конверты (в каждый конверт
по одной карточке). Найти вероятность того, что сумма чисел на
любом конверте и лежащей в нем карточке четна.
1.70.	Два игрока независимым образом подбрасывают (каждый
свою) монеты. Найти вероятность того, что после п подбрасываний
у них будет одно и то же число гербов.
1.71.	Имеется тщательно перетасованная колода из 52 карт (4
масти, по 13 карт в каждой от двойки до туза). Найти вероятность
того, что:
а) первые четыре карты в колоде — тузы; б) первая и последняя
карты — тузы; в) между тузами находится одинаковое число карт I,.
1.72.	Колода из 52 карт раздается поровну четверым игрокам.
Найти вероятность того, что:
а) у каждого из игроков окажется по одному тузу; б) у одного
из игроков все тринадцать карт будут одной масти; в) у каждого
из игроков будут все карты, от двойки до туза; г) у 1-го, 2-го,
3-го и 4-го игроков окажется соответственно ait а2, а3, at карт масти
«пик» (а, + а2 + а3 + а4 = 13).
1.73.	Сравниваются две перетасованные колоды, содержащие по
N различных карт. Если карта находится на одном и том же месте
в обеих колодах, будем говорить, что имеет место совпадение. Най-
ти вероятность того, что будет:
а) по крайней мере одно совпадение; б) по крайней мере к
совпадений.
1.74.	Две колоды из N различных карт сравниваются между со-
бой и одновременно с такой же третьей колодой. Найти вероят-
ность того, что будет ровно т двойных совпадений.
1.75.	Найти вероятность того, что при случайном размещении г
шаров по п ящикам ровно в т ящиках окажется по к шаров, если
для каждого шара равновозможно попадание в любой ящик.
1.76.	Найти вероятность того, что при размещении г шаров по
п ящикам ровно т ящиков останутся пустыми, если шары нераз-
личимы и все различные размещения равновероятны.
1.77.	Восемь ладей случайным образом расставлены на шахмат-
ной доске. Найти вероятность того, что ни одна из них не бьет
другую и ни одна не стоит на главной белой диагонали.
1.78.	Из колоды, содержащей 52 карты, извлекаются 13 карт.
Найти вероятность того, что в выборке содержится ровно к пар
«туз — король» одной масти.
1.79.	Рассмотрим множество 3~ кусочно-линейных функций вида
7(0) = О,
j(x) = /(i) + (х—I),	i^.x^.i + 1,	— 1,
15
где a.i—принимает значения 1 или —1. Найти вероятность того,
что наудачу выбранная функция из множества принимает в
точке п значение к.
1.80	(продолжение). Найти вероятность того, что наудачу вы-
бранная функция из имеет в полуинтервале (0, n] i корней.
1.81	(продолжение). Найти вероятность того, что для случайно
выбранной функции / е
п
J / (я.) dx — 0.
0
1.82.	Пусть cz ST — множество функций / из .9“ таких, что
/(«)=? 0. Найти вероятность того, что наудачу выбранная функция
из ) не имеет нулей в интервале (0, п).
1.83	(продолжение). Найти вероятность того, что минимальный
корень в интервале (0, п) случайно выбранной функции из STi
равен г.
§ 3. Геометрические вероятности
1.84.	Двое условились о встрече между 10 и 11 часами утра,
причем договорились ждать друг друга не более 10 минут. Считая,
что момент прихода на встречу выбирается каждым «наудачу» в
пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча
состоится.
1.85.	Содержание предыдущей задачи- дополнить третьим лицом
при тех же условиях встречи. Найти вероятность того, что:
а) встреча трех лиц состоится; б) встреча по крайней мере двух
лиц состоится.
1.86.	На отрезке длины I наудачу выбираются две точки. Какова
вероятность, что из трех отрезков, на которые делится исходный
отрезок выбранными точками, можно составить треугольник?
1.87	(задача Бюффона). На плоскость, разграфленную парал-
лельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии а,
наудачу бросается игла длиною 2г (2г < а). Какова вероятность
того, что игла пересечет одну из проведенных прямых?
1.88	(продолжение). На плоскости проведены две взаимно пер-
пендикулярные совокупности параллельных прямых, которые раз-
бивают плоскость на прямоугольники со сторонами а и Ъ. Найти
вероятность того, что наудачу брошенная на плоскость игла длиною
2г (2г < а + Ъ — V (а + Ъ)2, — лаЬ) пересечет хотя бы одну из про-
веденных прямых.
1.89	(задача Бертрана). На окружности радиуса г наудачу вы-
бираются две точки и соединяются хордой. Найти вероятность того,
что длина хорды превысит V3 г.
1.90	(продолжение). На окружности радиуса г выбирается на-
удачу точка, и через нее проводится диаметр. На диаметре наудачу
16
выбирается точка — середина хорды, перпендикулярной диаметру.
Найти вероятность того, что длина полученной хорды превзойдет
73 г.
1.91	{продолжение). Внутри круга радиуса г наудачу выбира-
ется точка. Эта точка служит серединой хорды, перпендикулярной
проведенному через нее диаметру. Найти вероятность того, что
полученная хорда превзойдет по длине V3r.
1.92.	На плоскость нанесены параллельные прямые па одина-
ковом расстоянии а друг от друга. На плоскость наудачу бросается
монета (круг) радиуса R (R<a/2). Найти вероятность того, что
монета не пересечет ни одну из прямых.
1.93.	Две точки выбираются наудачу из отрезка [—1, 1]. Пусть
р и q — координаты этих точек. Найти вероятность того, что квад-
ратное уравнение хг + рх + q = 0 будет иметь вещественные корни.
1.94.	В круг вписан квадрат. Точка наудачу бросается в круг.
Найти вероятность того, что она попадет в квадрат.
1.95.	На отрезок наудачу бросают три точки, одну за другой.
Какова вероятность того, что третья по счету точка упадет между
двумя первыми?
1.96.	Отрезок длины а, + а2 поделен на две части длины щ и аг
соответственно, п точек последовательно бросаются наудачу на от-
резок. Найти вероятность того, что ровно т из п точек попадут
на часть отрезка длины а,.
1.97	{продолжение). Отрезок длины щ + а2+...+ а3 поделен на
s частей длины а,, а2, ..., а, соответственно. Наудачу бросаются п
точек. Найти вероятность того, что на части длины а,, а2, . .,
попадет соответственно т}, т2, ..., т.а точек (т, +...+ ms = п).
1.98.	В шар радиуса R наудачу бросаются N точек. Найти веро-
ятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки
будет не меньше а, 0 < а < R.
1.99.	В квадрат наудачу брошены три точки. Найти вероятность
того, что они образуют вершины:
а) какого-нибудь треугольника; б) правильного треугольника;
в) прямоугольного треугольника.
1.100.	В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти
вероятность того, что круг, диаметром которого является отрезок
АВ, целиком содержится в исходном квадрате.
1.101.	В квадрат наудачу брошены две точки А и В. Найти ве-
роятность того, что квадрат, диагональю которого является отрезок
АВ, целиком содержится в исходном квадрате.
1.102.	В единичный квадрат наудачу брошена точка. Какова
вероятность того, что точка будет удалена от центра квадрата на
расстояние меньше, чем 1/3, если известно, что от каждой из сто-
рон квадрата она удалена больше, чем на 1/6?
1.103.	На окружности наудачу выбраны три точки А, В, С.
Найти вероятность того, что треугольник АВС будет остро-
угольным.
2 А. В. Прохоров и др.	17
§ 4. Условная вероятность. Независимость
1.104.	Доказать, что
Р(Л,.. .Л„)= Р(Л)₽(Л1Л).. .РМДЛр . .Лп_,),
если все входящие в правую часть условные вероятности опре-
делены.
1.105.	Доказать, что
Р(Л...ЛП|С) = Р(Л1|С)Р(Л2|Л1С)...Р(Л„|Л,...An_tC),
если все входящие в правую часть условные вероятности опре-
делены.
1.106.	Доказать формулу полной вероятности
Р(Л)= 2 Р(Л|5Й)Р(5Й),
Й=1
где Р(5()> 0, Bt П Bs = 0, i¥=/, Acz J Bk.
fi=i
1.107.	Доказать формулу Байеса.
1.108.	Доказать, что
Р(Л|С)= 2 Р(Л|5ЙС)Р(5Й|С),
Й=1
где
р(ад>о, в^в^0, i^i, лссцв,.
Й=1
1.109.	Пусть Р(4\В)> Р(Я1Л) и Р(Л)>0, Р(5)>0. Будет ли
Р(Л)> Р(5)?
1.110.	Верно ли равенство
Р(Л |5) + Р(Л |Л)= 1?
1.111	{урновая схема Пойа). Урна содержит а белых и Ь чер-
ных шаров. Наудачу извлекается шар. Он возвращается обратно,
и, кроме того, добавляется с шаров одного с ним цвета. Произво-
дится новое извлечение, и процедура изменения состава урны по-
вторяется и т. д. Доказать, что вероятность того, что при первых
п = пх + п2 извлечениях появилось п{ белых и п2 черных шаров,
равна
а (а + с) (a -J- 2с) ... (а п^с — с)Ь (Ь + с)	п^с — с)
(а -|- Ь) (а + Ь + с) (а -|- b + 2с) ... (а + Ь + пс — с)
1.112	(продолжение). Доказать, что вероятность извлечения бе-
лого шара на Л-м шаге равна а/ (а + Ь).
1.113	(продолжение). Доказать, что условная вероятность извле-
чения белого шара на ш-м шаге, при условии, что на к-м. шаге,
к < т, был извлечен белый шар, равна (а + с)/(а + b + с).
18
1.114	{продолжение). Пусть событие Ат означает извлечение
белого шара на т-м. шаге. Доказать, что
Р(Лт|Л„) = Р(Лп|Лт).
1.115.	Имеются три урны с белыми и черными шарами, причем
отношение числа белых шаров к числу черных равно /ц, р2, р3
для 1-й, 2-й, 3-й урн соответственно. Наудачу (с вероятностью 1/3)
выбирается урна и из нее шар. Какова вероятность того, что он
белый?
1.116	{продолжение). Наудачу выбирается урна и из нее шар.
Оказалось, что он белый. Какова вероятность того, что шар был
вынут из первой урны?
1.117.	Два стрелка стреляют по мишени. Один из них попадает
в цель в среднем в 5 случаях, а второй — в 8 случаях из 10. Перед
выстрелом они бросают правильную монету для определения оче-
редности. Посторонний наблюдатель знает условия стрельбы, но не
знает, кто в данный момент стреляет. Вот он видит, что стрелок
попал в цель. Какова вероятность того, что стрелял первый стрелок?
1.118.	Урна содержит N шаров, из которых М — белого цвета.
Производится выборка объема п. Пусть событие Ah состоит в том,
что на Л-м шаге извлечен шар белого цвета, а событие Вт — в том,
что в выборке ровно т белых шаров. Доказать, что
P{Ak\Bm) = m/n
в случае выбора с возвращением и без возвращения.
1.119.	В урне 7 белых и 3 черных шара. Без возвращения из-
влекаются 3 шара. Известно, что среди них есть черный шар. Ка-
кова вероятность того, что другие два шара белые?
1.120.	Вероятность того, что в справочное бюро в течение часа
обратятся к человек, равна Ve_7/c! при некотором Х>0. Для каж-
дого человека вероятность отказа равна р. Найти вероятность того,
что в течение часа s человек не получат ответа на свой вопрос.
1.121.	Имеются три урны. В первой урне находится белых
и М1 черных, во второй — N2 белых и М2 черных, в третьей — /V»
белых и М, черных шаров. Наудачу выбирается одна из урн и иа
нее выбираются без возвращения 2 шара. Один из них оказывается
белым, другой — черным. Найти вероятности того, что выбор про-
изводился из первой, второй или третьей урн.
1.122.	В урне первоначально находилось N белых и М черных
шаров. Один шар потерян, и цвет его неизвестен. Из урны без воз-
вращения извлечены 2 шара, и оба оказались белыми. Определить
вероятность того, что потерян белый шар.
1.123.	В первой урне N3 белых и М1 черных шаров, во второй —
N2 белых и М2 черных шаров. Из первой урны во вторую перекла-
дывают шар. После тщательного перемешивания из второй урны
извлекают один шар. Какова вероятность, что он белый?
1.124.	В первой урне Nt белых и черных шаров, во второй —
А?2 белых й М2 черных и в третьей — N3 белых и М3 черных. Из
2*	19
первой урны наудачу извлекают один шар и перекладывают во
вторую урну. Затем перекладывают один шар из второй урны в
третью и, наконец, из третьей в первую. С какой вероятностью
состав шаров в первой урне останется прежним?
1.125.	В первой урне Nt белых и Mt черных шаров, во второй —
N2 белых и М2 черных шаров. Из первой урны без возвращения
извлекаются nt шаров, а из второй — п2 шаров. Все извле-
ченные шары кладутся в третыр урну, из которой наудачу извле-
кается один шар. Какова вероятность, что он белый?
1.126.	В урне N белых и М черных шаров. Без возвращения из-
влекаются п «5 N шаров. Известно, что среди них т белых
шаров. Какова вероятность, что остальные п — т шаров также
белые?
1.127.	Имеется п урн одинакового состава: N белых и М черных
шаров. Из первой урны во вторую перекладывается один шар, за-
тем из второй урны в третью перекладывается один шар и т. д.
Из последней урны извлекается один шар. Найти вероятность того,
что он белый.
1.128.	Урна содержит один шар, про который известно, что он
либо белый, либо черный с одинаковыми вероятностями. В урну
кладут один белый шар и затем наудачу извлекают один шар.
Он оказался белым. Какова вероятность, что оставшийся в урне
шар — белый?
1.129.	Брошено три игральных кости. Найти вероятность того,
что на всех костях выпала шестерка, если известно, что
а) на одной кости выпало 6 очков; б) на первой кости выпало
6 очков; в) на двух костях выпали «шестерки»; г) по крайней
мере на двух костях выпало одинаковое число очков; д) на всех
костях выпало одинаковое число очков; е) по крайней мере на од-
ной кости выпало 6 очков.
1.130.	Найти вероятность того, что при бросании трех играль-
ных костей хотя бы на одной выпадет 6 очков, при условии, что
на всех костях выпали грани с четным числом очков.
1.131.	Группа студентов, сдающая экзамен, состоит из 5 отлич-
ников, 10 хороших студентов и 15 слабых студентов; отличник всег-
да получает оценку «отлично», хороший студент — «отлично» и «хо-
рошо» с равными вероятностями, слабый студент — «хорошо»,
«удовлетворительно» и «неудовлетворительно» с равными вероят-
ностями. Какова вероятность, что наугад вызванный студент полу-
чит оценку
а) «отлично»; б) «хорошо»?
1.132.	В урне находятся белые и черные шары. Пусть имеется
s предположений Alt ..., Аа о том, что доля белых шаров в урне
равна соответственно pf, . .., р3. Считаем, что эти предположения
выполняются с вероятностями at, ..., as, cci +. ..+ «„ = 1. Для про-
верки произведем выбор шаров с возвращением объема ге,. Пусть
выборка содержит пц белых шаров (событие В). Вычислим а,- =
= Р(2и5), i = l, ..., s, и рассмотрим их как исправленные значе-
20
ния взамен а1; ..., а, (для удобства переобозначим и сами исходные
предположения: А,, . .., Л8). Для дополнительной корректировки
произведем выбор с возвращением объема п2. Допустим, что число
белых шаров в выборке равно т2 (событие С). Находим P(JJC).
Пусть, далее, событие D состоит в том, что выборка объема п, + п2
содержит т, + mz белых шаров. Доказать, что Р(Л(|£>)= Р(Д<|С),
z = 1, .. ., s.
1.133.	Доказать, что если А и В независимы, то независимы А
и В, А и В, А и В.	_
1.134.	Доказать, что если Р(Л|В) = Р(Д|В), то события А и В
независимы.
1.135.	Пусть А и В независимы, Р(Л U В)= Р(Л)+Р(В),
Р(ДЛ5) = р и Р(4\В)< р. Найти Р(Л), Р(В) и Р(Л\В).
1.136.	Пусть событие А таково, что оно не зависит от самого
себя. Показать, что тогда Р(Л) равно 0 или 1.
1.137.	Пусть событие А таково, что Р(Л) равно 0 или 1. Пока-
зать, что А и любое событие В независимы.
1.138.	Пусть А и В — независимые события и Р(Л U В)= 1. До-
казать, что либо А, либо В имеет вероятность, равную еди-
нице.
1.139.	Пусть А и В — независимые события. Доказать, что если
A U 5 и Л Л В независимы, то либо Р(Л)= 1, либо Р(В)=1, либо
Р(Л) = 0, либо Р(В) = 0.
1.140.	Подбрасываются три игральные кости. Событие А состоит
в том, что одинаковое число очков выпало на первой и второй ко-
стях, событие В — одинаковое число очков на второй и третьей ко-
стях, С — на первой и третьей. Будут ли события А, В и С:
а) попарно независимы, б) независимы в совокупности?
1.141.	Пусть события А, В и С независимы в совокупности, при-
чем каждое из этих событий имеет вероятность, отличную от нуля
и единицы. Могут ли события АВ, ВС и АС быть:
а) независимыми в совокупности, б) попарно независимыми?
1.142.	Пусть события А, В и С попарно независимы и каждое
из них имеет вероятность, отличную от нуля и единицы. Могут
ли события АВ, ВС и АС быть:
а) попарно независимыми, б) независимыми в совокупности?
1.143.	Пусть А и В — независимые события, а событие С не за-
висит от событий АВ и A U В. Обязаны ли события А, В и С быть
попарно независимыми?
1.144.	Пусть А, В, С, D — события, причем А и В не зависят
от С и D. Доказать, что если АВ = 0 и CD = 0, то A U В не зави-
висит от С U D.
1.145.	Пусть события А, В и С таковы, что А не зависит от ВС
и от В U С, 5 не зависит от АС, а С — от АВ, причем вероятности
Р(Л), Р(В), Р(С) положительны. Доказать, что события А, В и С
независимы в совокупности.
1.146.	Показать, что из попарной независимости Alt А2, А3 не
следует их взаимная независимость.
21
1.147.	Показать, что из равенства
Р(Л1Л2Л3) = Р(Л,)Р(Л2)Р(Л)
не следует попарная независимость Aif А2, А3.
1.148.	Пусть А и В независимы и А и С независимы. Показать,
что А и В U С могут быть зависимы.
1.149	(продолжение). Доказать, что если, кроме того, А и ВС
независимы, то А и В U С также независимы. Будут ли независи-
мы А, В, С?
1.159.	Из урны, содержащей белые и черные шары, с возвра-
щением извлекаются шары. Пусть событие Ak означает, что к-й
по счету вынутый шар — белый. Доказать,- что события At, ..., А„
взаимно независимы.
1.151	(продолжение). Показать, что если выбор производится
без возвращения, то события А,, ..., Ап зависимы.
1.152	(продолжение). Доказать, что в случае выбора без воз-
вращения:
а) Р(Л/!)=Р(Л1) при любом к; б) Р(ЛА+1|Л„) не зависит от к;
в) Р(Л),+т|ЛА) не зависит от т.
1.153.	Пусть Ai} А2, ..., Ап — взаимно независимые события.
Доказать, что
р( и а) = 1 -П₽(Л).
\i=l /	i=l
1.154.	Доказать, что события А,, А2, ..., А„, заданные на одном
вероятностном пространстве независимы тогда и только тогда, когда
выполнены 2" условия
Р(Л^... А*”) = Р(Л^) ... Р(Л*П), 61 = 0,1, t = 1, 2, ..., /г,
в{ ( А;, если 61 = 1
I Ai, если б» = 0.
Глава 2
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В основе.любой теоретико-вероятностной схемы лежит понятие вероятно-
стного пространства. Для описания вероятностного пространства напомним
некоторые понятия и факты теории множеств и теории меры.
Пусть Й — некоторое непустое множество. Элементы его будем обозна-
чать со. Дополнение, объединение, пересечение, разность, симметрическая раз-
ность подмножеств Й определяются следующим образом'
А = {со ей: и ^4},
4 I) -В = {со ей: со е А или со е В},
4ПВ = {соеЙ: сие А и сое В),
4\В = А П В,
АаВ= (А\В) и (В\4).
Наряду с A В будем применять обозначение АВ. Множества А и В называ-
ются непересекающимися, если А П В — 0 (0 — пустое множество).
Пусть I = {а} — некоторое множество индексов. Имеют место формулы
двойственности'.
и ла= п 4а, П 4а= и Аа.
si azi asi a=I
Класс 2) подмножеств Й называется полуалгеброй, если:
1)	Йе®;
2)	если .4, Be®, то .4 Г| В е 2>\
3)	если А, В <=2> и А с В, то существуют попарно не пересекающиеся
множества 4Ь А2, Ап, принадлежащие 2), такие, что В\А = 4iU-..ll4n.
Класс подмножеств Й называется алгеброй, если:
1)	Йе^;
2)	если А е^, то Л е rf;
3)	если .4, В е rf, то 4 f В erf.
Класс 2~ подмножеств Й называется а-алгеброй, если:
1)	Йе®;
2)	если Ае®, то Ле®;
3)	если 41, А2, ... е 5Г, то U 4n е s4-.
П=1
Пересечение любого числа алгебр (о-алгебр) является алгеброй (а-алгеб-
рой). Каждая алгебра является полу алгеброй, а каждая а-алгебра — алгеброй.
Класс В? подмножеств Й называется разбиением Й, если:
1) элементы 21 отличны от 0 и попарно не пересекаются;
2) объединение всех элементов 21 Совпадают с Й.
Пусть ё — некоторый класс подмножеств Й. с-алгеброй, порожденной клас-
сом ё, называется минимальная а-алгебра, содержащая ё, которая равна
пересечению всех а-алгебр, содержащих ё.
Пространство Й вместе с а-алгеброй его подмножеств называется из-
меримым пространством и обозначается (Й, J^). Элементы st- называются из-
23
меримыми или ^-измеримыми множествами. Пусть Й = R есть веществен-
ная прямая и пусть ё — класс всех непересекающихся интервалов вида
(а, &]. Обозначим через ^к= & (ё) о-алгебру, порожденную классом ё.
Эта о-алгебра подмножеств прямой называется борелевской о-алгеброй, а ее
элементы борелевскими множествами. Аналогично определяется борелевская
а алгебра и борелевские множества в евклидовом пространство п измерений.
Вероятностным пространством называется тройка (О,	Р), где О — не-
пустое множество, — о-алгебра подмножеств й, Р — вещественная функция,
определенная на $ и удовлетворяющая следующим аксиомам:
1)	Р(А) 0 для любого
2)	Р(й) = 1;
3)	если Ai, А2, ... е X и Aj В Aj = 0 при i #= /, то
/ °° \
₽ и 4 = 2 ₽(А)-
\п—1	/ п—1
Элементы й называются элементарными событиями или исходами, мно-
жество Й называется пространством элементарных событий, элементы — со-
бытиями, функция множеств Р(А) (вероятностная мера на измеримом прост-
ранстве (й, ^)) называется вероятностью или вероятностным распределе-
нием. (Следует различать события и элементарные события: они являются
элементами разных множеств; подчеркнем, что вероятность определена на мно-
жестве событий.) В вероятностном пространстве (Й, Р) событие й называ-
ется достоверным событием, 0 называется невозможным событием, А и А =
— Й\А — противоположными событиями, события А и В называются несов-
местными событиями при АВ — 0 и т. п., см. введение в гл. 1.
Пусть Ai, А2, ... — последовательность событий из лА Верхним и ниж-
ним пределами этой последовательности называются события .
lim sup Ап = fl U Ah, lim inf An = (J 0 Ah.
n=l k—n	n=l h—n
Событие lim sup An состоит в том, что произойдет бесконечно много событий
из числа Ai, А2, ..., событие lim inf An — в том, что произойдут все Ai, А2, ...
за исключением, быть может, только конечного числа. Очевидно,
lim inf An cl lim sup An.
Пусть (Й, s4-, P) — вероятностное пространство. Событие A e называет-
ся атомом, если Р(А) >0и для любого В cl А либо Р(В) =0, либо Р(В) =
= Р(А). Вероятностное пространство называется неатомическим, если оно не
имеет атомов; если же Й представимо в виде объединения непересекающихся
атомов, вероятностное пространство называется атомическим.
Пусть (Й,	— некоторое измеримое пространство. Вещественная функ-
ция / = /(со), определенная на (Й, s£), называется измеримой относительно
о-алгебры или .^-измеримой, если прообраз любого борелевского множест-
ва принадлежит
/->(В) = {<о<=й,/(<о)<=В} <=.я£, В<=&.
Если (Й, ffL) есть измеримое пространство (R„, где Rn евклидово про-
странство п измерений, а — борелевская а-алгебра, то любая изме-
римая функция fix), х е Rn, называется борелевской.
Рассмотрим вероятностное пространство (й, s4-, Р). Случайной величиной
на (Й, Р) называется любая вещественная функция | = £(ш), измеримая
относительно sA. Случайным вектором со значениями в (Rn, («-мерной
случайной величиной) называется любая ^-измеримая функция £(со) =
= (£](<*>), ..., £п(ю)) со значениями в Rn.
24
Вещественная функция g(co) является случайной величиной, если для
любого вещественного х
= {о) е Й : s{u>) < ;} е
с-алгеброй, порожденной случайной величиной g, называется а-алгебра,
порожденная классом всех событий вида
{вей: 5 (со) е В},
где В пробегает множество всех борелевских множеств прямой. Эта о-алгеб-
ра совпадает с о-алгеброй, порожденной событиями вида
{со е й : g (со) г},
где х — произвольное вещественное число.
Пусть А — событие. Индикатором А называется случайная величина
(1 при Об Л,
А | о при со ф. А.
Случайная величина £ называется простой, если она представима в виде
g = g (ы) = £ Va; (®).	(!)
j=l 3
где события Alt Am образуют разбиение Q, а Х[,	— веществен-
ные числа.
Математическим ожиданием Е£ простой случайной величины (1) называ-
ется величина
m
Е?=2^р(Л.).
j=l
Математическим ожиданием неотрицательной случайной величины £ на-
зывается конечный или бесконечный предел
Eg = lim Е п,
П—*оо
где gi, g2, ••• — монотонно неубывающая последовательность простых случай-
ных величин, при каждом со сходящаяся к g: g„(co)g (со) при га->оо.
Пусть g — произвольная случайная величина. Положим
1+ = 5'Ле>о), 1“ = III-Л^СОЦ
-Очевидно, g = g + — g“.
Математическим ожиданием случайной величины g называется величина
Eg = Eg+-Eg.-
в том случае, когда Eg+ и Eg- не равны оо одновременно. Если Eg+ = Eg- ==
= оо, то говорят, что математическое ожидание случайной величины g не су-
ществует. (Иногда говорят, что математическое ожидание пе существует и в
том случае, когда оно бесконечно.)
Математическое ожидание случайной величины g есть не что иное, как
интеграл Лебега от функции g (со) по мере Р:
Eg = J g (со) dP.
Q
Приведем основные свойства математического ожидания. Предполагается,
что все написанные математические ожидания существуют.
1	Eg Ец, если g Г].
25
2.	Ес — с для любого действительного с.
3.	E(ag + Ьн) = aEg + ЬЕп для любых вещественных а и Ь.
4-	|Eg|<E(g|.
5.	(теорема, о монотонной сходимости). Если gi, £2, ••• — неуоывающая по-
следовательность неотрицательных случайных величин, сходящаяся при каж-
дом ю к случайной величине g, то
lim Egn = Eg.
П-»оо
6	(теорема Лебега о мажорируемой сходимости). Если при каждом со gn-»-
->-g при п->оои|^п|^т]. гДе Erl < °°i го
lim Egn = Eg.
П-»оо
7.	Если сходится ряд
ОО
2 ER»I-
П=1
то
(оо	\	оо
2 d = 2 Е?п-
п=1 /	и=1
Одним из основных и наиболее важных понятий теории вероятностей яв-
ляется понятие независимости.
Два события А та В называются независимыми, если
Р(Л ПВ) = Р(Л)Р(В).
События, не являющиеся независимыми, называются зависимыми.
События ..., Ап, п>2, называются взаимно независимыми, если для
любого набора индексов 1 sc ii < i2 < ... < ir n выполнено равенство
Р(Л1п...АДг) = ₽(Л1)...Р(Дг).
Взаимно независимые события иногда называют независимыми в сово-
купности или независимыми. Из независимости следует попарная независи-
мость каждой пары событий, обратное, вообще говоря, неверно.
События, составляющие бесконечное множество &, называются взаимно
независимыми, если при каждом п любые п из этих событий взаимно неза-
висимы.
Пусть Я ь	... — некоторые классы событий. Классы £?i, ЗЬ, ... назы-
ваются независимыми, если любые события Bt, В2, ..., такие, что Bk^fSk,
к = 1, 2, ..., являются независимыми.
В соответствии с этим определением мы будем говорить о независимости
алгебр, о-алгебр, полуалгебр, разбиений и т. д.
Случайные величины gi, g2, ••• называются независимыми, если незави-
симы порожденные ими о-алгебры. Случайные величины, не являющиеся не-
зависимыми, называются зависимыми
§ 1.	Вероятностное пространство
2.1.	Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока герб
не выпадет два раза подряд. Построить вероятностное пространство.
Найти вероятность того, что число подбрасываний не превосходит 5.
2.2.	Правильная монета подбрасывается до тех пор, пока она
два раза подряд не выпадет одной стороной. Построить вероятно-
26
стное пространство. Найти вероятность того, что число подбрасы-
ваний будет четным.
2.3.	Правильная монета подбрасывается до тех пор, нона герб
не появится г раз. Построить вероятностное пространство. Сколько
элементарных событий будет содержать событие {эксперимент за-
канчивается после n-го подбрасывания)?
2.4.	На отрезке [0, 1] случайным образом выбирается точка.
Пусть событие Ап означает, что точка выбрана из полуинтервала
|о, - j, событие В„ — что точка выбрана из интервала^), -^-J.4to
со	со
означают события U Ап и (] Вп?
П=1	п=1
2.5.	Доказать, что каждая алгебра является полуалгеброй.
2.6.	Привести пример полуалгебры, не являющейся алгеброй.
2.7.	Привести пример алгебры, не являющейся о-алгеброй.
2.8.	Пусть й = {О, 1, 2}. Привести примеры о-алгебр, содержа-
щих множества А = {0, 1) и В = {1, 2).
2.9.	Описать о-алгебру подмножеств отрезка [0, 1], порожден-
ную множествами:
а) [0, 2/3], [1/3, 1]; б) [0, 1/2], [1/2, 1]; в) {0), Ш; г) [1/3, 1/2];
д) 0; е) [0, 1]; ж) множество всех рациональных точек отрез-
ка [0, 1].
2.10.	Пусть й — несчетное множество. Описать о-алгебру, по-
рожденную:
а) всеми одноточечными подмножествами й; б) всеми счетными
подмножествами й; в) всеми несчетными подмножествами Й;
г) всемп бесконечными подмножествами Й.
2.11.	Доказать, что всякая конечная о-алгебра подмножеств про-
странства й порождается некоторым конечным разбиением й.
2.12,	Пусть и — Две о-алгебры подмножеств пространства
й. Являются ли о-алгебрами классы множеств:
a) П б) U J?2; в) ^Д^2; г) ^1Д^2?
2.13.	Пусть At, А2, ...— последовательность непересекающихся
подмножеств пространства Й. Определить мощность о-алгебры, по-
рожденной этой последовательностью.
2.14.	Доказать, что если .55/15	• • •— неубывающая последова-
тельность о-алгебр, то з£ = U з/п — алгебра.
и=1
2.15.	Может ли число всех событий какого-либо вероятностного
пространства быть равным 129; 130; 128?
2.16.	Пусть .5/ — о-алгебра подмножеств пространства й. До-
казать, что если з& бесконечно, то существует счетная последова-
тельность непустых непересекающихся элементов з£.
2.17.	Доказать, что для любого пространства й никакая о-ал-
гебра его подмножеств не может иметь счетную мощность.
2.18.	Может ли число элементарных событий быть строго боль-
ше, чем число Ьсех событий?
27
2.19.	Может ли быть: а) число элементарных событий конечно,
а число событий бесконечно; б) число событий конечно, а число
элементарных событий бесконечно?
2.20.	Число элементарных событий некоторого вероятностного
пространства равно п. Указать минимальное и максимальное воз-
можные значения для числа событий.
2.21.	Описать о-алгебру, порожденную:
а) событиями нулевой вероятности; б) событиями вероятности
единица.
2.22.	Образует ли о-алгебру множество всех событий, вероятно-
сти которых выражаются рациональными числами.
2.23.	Доказать, что: _	_________ _
a) lim sup Ап = lim inf An; 6) lim inf An — lim sup An.
2.24.	Пусть A^ A2, ...— последовательность событий. Доказать,
что события lim sup Ап и lim inf An принадлежат о-алгебре, порож-
денной этой последовательностью.
2.25.	Доказать следующие соотношения:
lim sup (Л „ U Вп) = lim sup А„ U lim sup Вп,
lim inf AnBn = lim inf An 0 lim inf Bn,
lim sup An П. lim inf Bn <= lim sup (Л„ fl Bn) cz lim sup A„ fl lim sup Bn.
2.26.	Пусть Л, => Л2 =>. • •—невозрастающая последовательность
событий. Доказать, что
(оо \
П Ai = lim Р (ЛГ1).
1=1	/ П-*оо
2.27.	Пусть А^Аг^...— неубывающая последовательность со-
бытий. Доказать, что
Р ( U Ai ) = lira Р (А<).
\г=1	/ п-+оо
2.28.	Доказать, что
Р ( U л) = Р (А) + ₽ ЙА) + Р А4Л) + ...
\i=l /
2.29.	Пусть (й, А Р) — произвольное вероятностное простран-
ство. Доказать, что множество значений функции Р(Л), А^$Ф
представляет собой замкнутое подмножество отрезка [0, 1].
2.30.	Пусть (Й, Ж, Р) — неатомическое вероятностное простран-
ство. Доказать, что множество значений функции Р(Л) есть весь
отрезок [0, 1].
2.31.	Пусть (й, Р) — вероятностное пространство. Назовем
события Л и В эквивалентными, если Р(ЛА5)=0. Пусть 89—мно-
жество классов эквивалентных событий. Для любых двух классов
эквивалентных событий .Д и .Д положим
p(^i, ^2) = P(5i Д52),
28
где В, и В2 — произвольные представители классов и Ж соот-
ветственно. Доказать, что р — метрика на 59 и что 89 с таким обра-
зом введенной метрикой представляет собой полное метрическое
пространство.
2.32.	Пусть (Q, st, Р) — вероятностное пространство, причем
порождено некоторой алгеброй Доказать, что для любого е > О
и любого существует такое В что Р(Д А В) С е.
2.33.	Привести пример последовательности событий Аг, ...
такой, что Р (/!„)-* 1 при п -> °°, но
/ оо \
р П a J = О
\fe=n /
для любого п.
2.34.	Доказать, что для любой последовательности событий
Ai, А2, ..
P(lim inf Лп) lim inf Р(Д„) 'Л lim sup Р(Д„) 'Л P(lim sup Д„).
2.35.	Справедливы ли следующие соотношения:
а)	Р (lim sup An) = lim Р I (J
п-> оо \ i=n /
б)	Р (lim inf Д„) = lim Р I Q 4j?
n-»oo \ i=n /
2.36.	Пусть А,, А2, ...— последовательность событий такая, что
ОО
S Р (АпХ+1) < °о И Р(Ап)->о при п->оо.
П=1
Доказать, что P(lim sup Ап) = 0.
2.3,7	. Пусть Д,, А2, ...— последовательность событий. Верно ли,
что если lim inf Р (Д„) > 0, то Р (lim inf Ап) > 0?
2.38.	Пусть А,, А2, ... и В,, В2, ...— две последовательности со-
бытий, причем Р(£„)-»• 1 при п -* °°. Доказать, что
lim Р(ДП) = lim Р(Д„5П)
при условии, что хотя бы один из указанных пределов существует.
2.39.	Пусть Д(, А2, ... и В,, В2, .. .— две последовательности со-
бытий, причем P(5n)-> 1 при п -* Доказать, что если
ТО
lim inf Р (Дп) > а > 0,
(1)
n^=o₽(W
= 1.
Можно ли отказаться от условия (1)?
29
§ 2. Случайные величины. Математическое ожидание
2.40.	Пусть | и г) — случайные величины, определенные на од-
ном и том же вероятностном пространстве (й,	Р). Доказать, что
множества
А = {со е й : §(&))< т)(со)},
В = {со eQ : |(й)) = т] («)},
C=={(oeQ:5(®)^ т) (а>)}
являются событиями.
2.41.	Пусть (Й, Р) — вероятностное пространство, —
определенная на й вещественная функция такая, что для каж-
дого вещественного с множество
Ас = {со е й : | (<о) = с}
является событием. Обязана ли | быть случайной величиной?
2.42.	Пусть | и т] — случайные величины, определенные на
одном вероятностном пространстве. Доказать, что следующие функ-
ции являются случайными величинами:
а) £ + ц; б) | — ц; в) § • ц; г) |||; д) max {£, ц); е) min {£, т)};
ж) если Р(ц > 0) = 1.
2.43.	Пусть (й, Р) — вероятностное пространство, £((о) —ве-
щественная функция, определенная на й. Обязана ли | быть слу-
чайной величиной, если случайной величиной является:
а) %2; б) 1||; в) cos|; г) еЕ; д) е) [|] ([•] — целая часть)?
2.44.	Пусть |t, |2, • • •— последовательность случайных величин,
определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что
функции inf |п и sup |п являются случайными величинами.
п	п
2.45.	Пусть 2П — несчетное семейство случайных величин. Обя-
заны ли функции inf | и sup | быть случайными величинами?
2.46.	Доказать, что если | — случайная величина, a f(x) — бо-
релевская функция, то т] = f(|) — случайная величина.
2.47.	Пусть |1, ..., |п — случайные величины, определенные на
одном вероятностном пространстве, <р (xit ..., хп) —вещественная
борелевская функция п переменных. Доказать, что функция
<p(|i, ..., |„) является случайной величиной.
2.48.	Пусть А и В — события одного вероятностного простран-
ства, 1А и 1В — их индикаторы. Доказать, что
I At.B — (IА — 1в)2-
2.49.	В урне 3 белых и 2 черных шара. Эксперимент состоит
в последовательном извлечении всех шаров из урны. Построить ве-
роятностное пространство. Описать о-алгебру, порожденную случай-
ной величиной |, если:
а) | — число белых шаров, предшествующих первому черному
шару; б) | — число черных шаров среди извлеченных; в) | =	+
30
+ g2, где g, — число белых шаров, предшествующих первому чер-
ному шару, и g2 — число черных шаров, предшествующих первому
белому.
2.50.	Вероятностное пространство (Q, Р) представляет собой
отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Ле-
бега. Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной g, если:
[1/4, (ое[0, 1/4),
а) £ = 1/2, со е= [1/4, 3/4), б) g = в) g = 1/2.
1, ше [3/4, 1],
2.51.	Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство, причем
Q — вещественная прямая, a st- — о-алгебра борелевских множеств.
Описать о-алгебру, порожденную случайной величиной g = cos со.
2.52.	Пусть g,, g2, ...— последовательность случайных величин,
определенных на одном вероятностном пространстве. Доказать, что
следующие множества являются событиями:
а)	А = {(а е Q: последовательность g,, g2, ... ограничена);
б)	В = !g)gQ: последовательность g„ g2, ... сходится).
2.53.	Привести пример нетривиального вероятностного простран-
ства (Q, Р) и случайной величины £ на нем, таких, что любая
случайная величина ц, определенная на этом вероятностном про-
странстве, является борелевской функцией от g.
2.54.	На вероятностном пространстве (Q,	Р), представляю-
щем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств и
мерой Лебега, определена последовательность случайных величин
g,, g2, ... следующим образом: g„ = (on. Положим Ап = {со Q : gn С
1/п). Найти U Ап и П Ап.
П=1	п=1
2.55.	Пусть g и ц — эквивалентные случайные величины, то есть
P(g^r]) = O. Доказать, что если существует Eg, то существует Ец
и Eg = Ец.
2.56.	Доказать, что Eg2 = 0 равносильно P(g = 0)= 1.
2.57.	Пусть g и ц — случайные величины. Доказать, что если
существует Eg и Ец,. то существует Е max {g, ц). Верно ли обратное?
2.58.	Пусть g и ц — случайные величины. Доказать, что если
существует Е max {g, ц) и Е min {g, ц), то существуют Eg и Ец,
причем
Eg + Ец = Е max {g, тД + Е min {g, ц).
2.59.	Пусть gi, ..., gn — случайные величины, имеющие конеч-
ные математические ожидания. Доказать, что
Е max{gt, ..., gn) > max {Eg,, ..., Eg,)
и
E min {g,, ..., g„) min {Eg,, ..., Eg„).
2.60.	Привести пример случайных величин g и ц, таких, что
Eg и Ер существуют, a Egi] не существует.
31
2.61.	Пусть gt, g2, • • — последовательность
случайных величин. Доказать, что
(ОО	\	оо
2 Bn = 2 ЕВп,
И=1 /	п=1
неотрицательных
оо
если ряд 2 Вп сходится с вероятностью 1.
п=1
2.62.	Пусть т], g, So Ва, •••—случайные величины на (Q,	Р),
такие, что при каждом со gn “* 5 при п °°- Известно, что Eg„
не обязательно сходится к Eg (даже если Eg существует). Доказать,
что Egn -> Eg, если выполнено одно из условий:
a) g„ > г| для всех п > 1, Ер > —и последовательность g4,
g2, ... монотонно не убывает; б) g„ р для всех и > 1, Ер < °° и
последовательность g,, g2, ... монотонно не возрастает.
§ 3. Независимость
2.63.	Пусть At, Аг, ...— последовательность независимых собы-
тий. Доказать, что
/ оо \	«
₽ П А =П₽(А).
\й=1 /
2.64.	Пусть At, А2, ...— последовательность независимых собы-
тий. Доказать, что для сходимости ряда
оо
2 (1 - ₽(А))
h=l
необходимо и достаточно, чтобы
(ОО	\
П А >0.
h=l /
Можно ли условие независимости заменить условием попарной
независимости событий Aiy Az, ...?
2.65.	Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство такое, что
для любого события А множество всех событий, не зависящих от
А, образует алгебру. Доказать, что в этом случае из попарной не-
зависимости любого набора событий следует их независимость.
2.66.	Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство. Доказать,
что для того, чтобы все события на нем были попарно независимы,
необходимо и достаточно, чтобы каждое событие имело вероятность,
равную 0 или 1.
2.67.	Является ли транзитивным отношение независимости на
множестве событий произвольного вероятностного пространства?
2.68.	Является ли транзитивным отношение зависимости на мно-
жестве событий произвольного вероятностного пространства?
32
2.69.	Доказать, что для того чтобы отношение независимости на
некотором вероятностном пространстве было транзитивным, необ-
ходимо и достаточно, чтобы каждое событие этого вероятностного
пространства имело вероятность 0 или 1.
2.70.	События А и В называются е-независимыми, если
|Р(Л5)-Р(А)Р(5)| <е.
Доказать, что если А е-независимо с самим собой, то либо Р(Л)<
«С 2е, либо Р(Л) > 1 — 2е.
2.71.	Пусть событие А таково, что Р(Л) или Р(Л) >1 — е.
Доказать, что Л и любое событие В е-незавиСимы.
2.72.	Пусть А п В — е-пезависимые события. Доказать, что
события:	_	_	_
а) Л и В, б) Л и В, в) Л и В
также е-пезависимы.
2.73.	Пусть и <s/2 — независимые полуалгебры. Доказать, что
порожденные ими алгебры также независимы.
2.74.	Пусть <5^! и s^-2 — независимые алгебры. Доказать, что
порожденные ими о-алгебры также независимы.
2.75.	Пусть (Q, Р) —вероятностное пространство, и 3?>г —
две под-о-алгебры причем .^?t <= ^2. Могут ли и быть
независимыми, если содержит событие, вероятность которого
отлична от 0 и 1?
2.76.	Доказать, что объединение двух независимых о-алгебр,
каждая из которых содержит событие, вероятность которого отлич-
на от 0 и 1, не может быть алгеброй.
2.77.	Пусть дир — случайные величины. Обязаны ли они быть
независимыми, если независимы случайные величины S2 и р2?
2.78.	Пусть 5, р и £ — случайные величины, причем 5 не зави-
сит от р + £. Верно ли, что 5 не зависит от р и от £?
2.79.	Доказать, что случайная величина не зависит от самой
себя тогда и только тогда, когда опа с вероятностью 1 равна по-
стоянной.
2.80.	Какие условия нужно наложить на 5, чтобы случайные
величины 5 и sin 5 были независимы?
2.81.	Пусть на вероятностном пространстве (Q, 3^, Р), представ-
ляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
п мерой Лебега, заданы случайные величины £ и р. Будут ли §
и р независимы, если:
a) £ = со2, р =	1 — со2; б) 5 = 1/2, р = ы;
	1/2, со е= [0, 1/4),
	1, со = 1/4,
в) 1 = со, р =	1/2, со 6= (1/4, 3/4),
	1/4, со = 3/4,
	1/2, сое (3/4, 1].
2.82. Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство, причем
Q
состоит ровно из п точек, каждая из которых имеет положительную
3 А. В. Прохоров и др.
33
вероятность. Доказать, что на этом вероятностном пространстве не
существует двух независимых случайных величин, каждая из ко-
торых принимает п различных значений.
2.83.	Пусть (Q, .5/, Р)—вероятностное пространство такое, что
з& содержит ровно п событий, ...,	— попарно независимые
случайные величины, определенные па этом вероятностном про-
странстве. Доказать, что по крайней мере одна из них есть с ве-
роятностью единица постоянная.
2.84.	Определим вероятностное пространство (Q, .5/, Р) следу-
ющим образом: Q = {1, 2, 3), .5/— множество всех подмножеств Q,
Р(1)= Р(2) = Р(3)= 1/3. Доказать, что па этом вероятностшш про-
странстве нельзя определить две независимые случайные величины,
каждая из которых принимает по крайней мере два значения.
2.85.	Вероятностное пространство (Q, 3&, Р) определено сле-
дующим образом: Q = {1, 2, 3, 4}, з&—множество всех подмно-
жеств Q, Р(1) = Р(2)= Р(3) = Р(4) = 1/4. Построить па этом вероят-
ностном пространстве две независимые случайные величины, не
равные с вероятностью единица постоянным.
2.86.	Существует ли на вероятностном пространстве (Q, 3&, Р),
представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских мно-
жеств и мерой Лебега, случайная величина, не равная с вероят-
ностью единица постоянной и не зависящая от случайной величи-
ны 5 (<*>) = о?
2.87.	Пусть £ и г] — независимые случайные . величины. Дока-
зать, что случайные величины min {1, g} и min{l, гД независимы.
2.88.	Пусть £ и г] — случайные величины, причем для любых
вещественных а и Ь случайные величины min {а, с) и min {b, гД
независимы. Доказать, что £ и ц независимы.
2.89.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины, f(x) и
g(x)—борелевские функции. Доказать, что случайные величины
/(£) и g(p) независимы.
2.90.	Пусть £ и г]— зависимые случайные величины, f(x) п
g(x)—борелевские функции. Могут ли случайные величины /(£)
и g(q) быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнитель-
но предположить, что /(£) и g(p) имеют невырожденные рас-
пределения?
2.91.	Может ли существовать случайная величина § и две бо-
релевские функции f(x) и g(x) такие, что случайные величины
/(§) и g(£) независимы и имеют невырожденные распределения?
Изменится ли ответ, если дополнительно предположить, что fug —
строго монотонные функции?
2.92.	Пусть £ и т] — случайные величины, Р(с > 0) = Р(ц > 0) =
= 3/4, Р(£ +ц > 0)= 1/2. Доказать, что £ и ц зависимы.
2.93.	Пусть £ и т] — независимые одинаково распределенные слу-
чайные величины, р = Р(£>0), д = 1—р. Доказать, что р2
< Р(| + Т] > 0)	1 - q\
2.94.	Пусть %, т] и £ — случайные величины, причем | ие зави-
сит от г] и от £. Верно ли, что £ не зависит от ц + t?
2.95.	Пусть т] и £ — независимые в совокупности случайные
величины. Будут ли независимыми случайные величины £ и ц + £?
Изменится ли ответ, если предположить лишь попарную независи-
мость £, Т] И С?
2.96.	Пусть ...,	— независимые случайные величины,
<р(жъ ..., хк) и	^n-h)—борелевские функции к и п — к
аргументов соответственно. Доказать, что случайные величины
<f(£n ..., £k) и i|)(b+i, •••. £„) независимы.
2.97.	Пусть |1, £2, . •.— последовательность независимых случай-
ных величин, определенных на некотором вероятностном простран-
стве (й. .5/, Р). Доказать, что на этом же вероятностном простран-
стве существует двойная последовательность случайных величин
£111 £’li . • Ч
£121 £22, ...,
*	• I ь •
удовлетворяющая следующим условиям:
а) все принимают не более чем счетное число значений;
б) при каждом к	... независимы; в) при каждом п последо-
вательность |п11 равномерно по се сходится при к -* °° к
2.98.	Существуют ли случайные величины | и т] такие, что §
и ц не равны с вероятностью единица постоянным и:
а) £ и £ + т] независимы? б) £ и £ • ц независимы? в) %, £ + ц и
5 • ц независимы в совокупности?
2.99.	Показать, что из равенства Е£ц = Е£Ец не следует, вооб-
ще говоря, независимость £ и ц.
2.100.	Доказать, что если случайные величины | и ц прини-
мают по два значения, то из равенства Е£П = Е£Ец следует незави-
симость £ и т].
2.101.	Пусть £1, ...,	— независимые случайные величины
с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что
е(п^) = П^.
\Л=1	/	Л=1
2.102.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины, <р(х) и
1р(т) — борелевские функции. Доказать, что
еф(£) М’(п) = ЕФ (£) Е^(п)»
если написанные математические ожидания существуют.
2.103.	Пусть ...,	— случайные величины, каждая из кото-
рых принимает не более чем счетное число значений. Доказать,
что они независимы тогда и только тогда, когда для любых
7;11 • •
п
Р (£1 = ^11 . . . , £п = хп) = П Р (gft = Хк).
k=l
3*
85
2.104.	Пусть | и т] — случайные величины, не равные с вероят-
ностью единица постоянным, причем Р(% < r])= 1. Могут ли | и ц
быть независимыми? Изменится ли ответ, если дополнительно
предположить, что для любого а>0 P(rg >а) >0?
2.105.	Пусть случайные величины ..., независимы и одп-
(1 \ 1
= — J =-jy-,7 — 1, 2, ..., N. Положим
Будут ли случайные величины ip* попарно независимыми? Неза-
висимыми?
2.106.	События Ai, ..., Ап называются симметрично зависимы-
ми, если вероятность
PfA^A^ ... Л{г),	1< 4< ... < ir<n,
зависит только от г и не зависит от конкретного пабора индексов
ih i2, ..., ir. Доказать, что независимые события, имеющие одина-
ковую вероятность, являются симметрично зависимыми. Можно ли
отказаться от условия равновероятности?
2.107.	Следует ли из симметричной зависимости событий их не-
зависимость?
2.108.	В урне N белых и М черных шаров. Из урны извлека-
ется п шаров по схеме выбора без возвращения (w^min{2V, М}).
Пусть Ак — событие, состоящее в том, что к-й извлеченный шар
оказался белым. Доказать, что события ..., Ап симметрично
зависимы.
2.109.	Доказать, что неотрицательные числа pi, ..., рп тогда и
только тогда могут быть вероятностями п попарно независимых
событий таких, что пересечение любых трех из них не пусто, ког-
да выполнены следующие неравенства:
Рг + • • • + Р,г-1 <
Pi + Р2 + • • • + рп-2 + рп<1;
Рг + ••• +
Глава 3
РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Пусть £(a), иеЙ,— случайная величина, определенная на некотором ве-
роятностном пространстве (Й, s4-, Р). Функция P(g <= А) — Р{со : g (<о) е Б},
определенная для всех борелевских множеств В прямой, является вероятно-
стной мерой на измеримом пространстве (W, Й?к) (где R — прямая с борелев-
ской о-алгеброй и называется распределением вероятностей случайной
величины £(ш).
Функцией распределения случайной величины £(w) называется функция
вещественной переменной, определяемая равенством
Г(ж) = P(g(w) sS х).
Каждая функция распределения F (х) обладает следующими свойствами:
1) F(x) неубывающая функция;
2) F (х) непрерывна справа при каждом х;
3) lim F (х) = 0, lim F (г) — 1.
5С-> — оо	х~>оо
Любая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)—3), является функцией
распределения некоторой случайной величины.
Точка х называется точкой роста функции распределения (или распре-
деления) , если для любого е > О
F (z + е) — F (х — е) >0.
Распределение случайной величины называется вырожденным, если
P(g = а) = 1 для некоторого вещественного а.
Распределение случайной величины £ называется дискретным, если £ с
вероятностью 1 принимает конечное или счетное число значений. Соответству-
ющая функция распределения является ступенчатой (кусочно постоянной)
функцией: если х2, ... — значения случайной величины ди pf =
= Р{со: g(to) = Х{}, то F(x) имеет скачки в точках xt, равные = F(xt) —
~F(Xi -0).
Наиболее важными дискретными распределениями являются решетчатые
(пли арифметические) распределения, сосредоточенные на множестве точек
вида а -)- kh, к — 0, ±1, ..., где h называется шагом распределения:
Ph = Р(£ = а -)- kh) = F(a -|- kh) —F(a -f- kh — 0).
Распределения случайных величин, которые принимают только целые значе-
ния, называют целочисленными.
Пусть — случайная величина с функцией распределения F{x). Если для
любого борелевского множества В е существует неотрицательная боре-
левская функция f(x), такая, что
Р (g е В) = J / (х) dx и J / (х) dx — 1,
В	R
то распределение | и функция распределения F(x) называются абсолютно не-
прерывными, а /(ж) называется плотностью распределения вероятностей или
37
X
просто плотностью случайной величины g. В этом случае F (г) = j / (у) dy
— ОО
и для почти всех х f(x) = F'(x).
Непрерывная функция распределения называется сингулярной, если мно-
жество ее точек роста образует множество нулевой меры Лебега.
Любую функцию распределения F (х) можно однозначно представить в
виде (разложение Лебега)
F(x) = aiFi(x) + a2F2(x) + a3F3(x),
где a,i > 0, i = 1, 2, 3, Я[ + «2 + «з = 1, Ft (x), F2(x) n F3(x) — дискретная, аб-
солютно непрерывная и сингулярная функции распределения.
Случайная величина и ее распределение называются симметричными от-
носительно начала координат, если функции распределения случайных ве-
личин g и —g совпадают;
F(x) = l-F(-x — 0).
Распределение называется одновершинным (пли унимодальным), если
существует а такое, что F(х) выпукла вверх при х > а и выпукла вниз при
х <_ а (в точке х = а функция F(x) может иметь разрыв); точка а называет-
ся вершиной (или модой) распределения.
Укажем наиболее часто встречающиеся распределения вероятностей.
Дискретные распределения:
1.	Биномиальное распределение с параметрами р и п (п — целое положи-
тельное число, О р 1):
Р (§ = А) = C*ph (1 - p}n~h, А = 0, 1, 2, ..., п.
2.	Геометрическое распределение с параметром 0 р tgz 1:
Р(6 = Л) =	А = 1, 2, ...
3.	Пуассоновское распределение с параметром А > 0:
Р (5= к) = е-^, А = 0, 1, ...
к\
4.	Гипергеометрическое распределение с параметрами тг, Л/, N;
f'h рП—k
° JM'-' N—M
Р (5 = А) =--, к = 0, 1, ..., min (и, М).
С N
Абсолютно непрерывные распределения (приводим плот
кости случайной величины);
1, Равномерное распределение на отрезке [я, 6]:
1
/ (г) ~ ~ь"-2'а ПРП	и / (г) = 0 при других х;
2.	Показательное (экспоненциальное) распределение с параметром А > О
Цх) = Ae-Zjc при 0 и f(x) = 0 при х < 0.
3.	Нормальное распределение с параметрами m и а2:
(х—тл)2
ЯЯ
4,	Распределение Коши с параметрами а и Ъ > 0;
Ъ
ЦХ}== п(ь2 + (Х-а)2У
Медианой случайной величины 5 (или ее распределения) называется чи-
сто ml такое, что
Р{® > ml} > 1/2 и P{g s' mt} > 1/2.
Медиана, вообще говоря, определяется неоднозначно.
Моментом (или абсолютным моментом) порядка а (а — вещественное чи-
сло) случайной величины g (или ее распределения) называется математиче-
ское ожидание Eg“ (пли E|g|“), если оно существует (число а может быть
как положительным, так и отрицательным; чаще всего момент определяется
для целых положительных а).
Центральным моментом (или абсолютным центральным моментом) поряд-
ка а>0 называется математическое ожидание E(g—Eg)“ (или E[g—Eg|“).
Центральный момент порядка а = 2 называется дисперсией и обозначает-
ся Dg.
Отметим некоторые важные неравенства, в которых участвуют моменты
случайных величин. Некоторые из этих неравенств дают возможность оцени-
вать вероятности событий, связанных с этими случайными величинами.
Неравенство Чебышева-, если g ^3= 0 и Е1g1 <; о°, то для любого е>0
Eg
если g — произвольная случайная величина с Eg2 < оо, то
de
₽{| I - Eg | > 8}
ь
Неравенство Колмогорова: если	— независимые случайные вели-
чины и Egi = 0, Dgj < оо, то при любом е > О
Неравенство Коши — Буняковского — Шварца-, если случайные величины
g и ц таковы, что Eg2 < оо, Ец2 < оо, то
E|gr)l < T'Eg2 • УЁц2-
Неравенство Йенсена-, если g —случайная величина с Е | g | < оо и f(x) —
выпуклая вниз функция, то
е/(Е) >/(E(g)),
если математическое ожидание слева существует и Eg принадлежит области
определения функции /.
Неравенство Ляпунова', при 0 < s < г
(E|g|’)'/«^ (E|g|r)1/r.
1 1
Неравенство Гёльдера: если р > 1, q > 1,---------1--= 1, Е | g | ₽ < оо,
ЕIП |5 < оо, то
Е|Еп1 (ElEinWInl’)17’-
Неравенство Минковского-, если E|g|r<oo, Е|г||г<оо при г Ц? 1, то
(E|g + цП’/г < (E|g|r)1/r+ (E|nlr),/r-
39
Если случайные величины gi(w), .... in (и) определены на одном и том жо
вероятностном пространстве (Q,	Р), то вектор g(w) = (gi(o),..,, g„(w))
называется п-мерной случайной величиной или случайным вектором со зна-
чениями в евклидовом пространстве Rn. Функция P(g е В) = Р(со : (5,(ю),...
Jn(<o)) еВ), определенная для всех борелевских множеств В пространст-
ва Rn, называется распределением вероятностей случайного вектора g. Мож-
но также говорить о совместном распределении случайных величин gi, ...
..gn- Определенная для любых вещественных хп функция
E(zb ..хп) — Р(gi С xt, ..gn хп)
называется функцией распределения случайного вектора g. Свойства этой
функции аналогичны свойствам одномерной функции распределения.
Если существует неотрицательная борелевская функция /(г) =
= /(гь ..., хп), такая, что для всех В е
Р (g е В) — f / (ж) dx и f / (г) dx = 1,
В	Rn
то соответствующее распределение называется абсолютно непрерывным,
а функция fix) *= f(x\, ..., хп)—плотностью распределения случайного век-
тора g = (gi, ..., g„). Распределения случайных величин g4, i = 1, ..., п, ком-
понент вектора g, называются маргинальными (частными) распределениями
и вычисляются по распределению вектора; так например функция распреде-
ления gi определяется равенством:
Fl{Xi) = F(x,, —J—OOj	Н-оо).
Случайные величины gi, ..., g„ независимы тогда и только тогда, когда
функция распределения F (хц, ..., хп) представима в виде
F (л?1, .. *, хп) 63 F1 (xi) ... Fn (хп),
где Fi(xi), t = 1,	п,— функции распределений величин g( (маргинальных
распределений). Если распределение случайного вектора g= (gi, ..., gn) аб-
солютно непрерывно, то необходимым и достаточным условием независимос-
ти gi, ..., 5п служит соотношение
f(Xi, . . ,, Хп) *== fl (xt) . • • fn (Хп),
где f(xi, хп)—совместная плотность распределения, a fi(x,)—маргиналь-
ные плотности.
Характеристикой связи между двумя случайными величинами с совмест-
ным распределением вероятностей служит ковариация и определяемый с ее
помощью коэффициент корреляции.
Ковариацией случайных величин 5 и Т| называется величина cov(g, т;) =
= Egn - EgErj, где Eg и Ер — математические ожидания 5 и 1]. Коэффициен-
том корреляции g и ц, имеющих конечные дисперсии D5 и Di], называется
величина
р(5, ц) = cov(g, n)/yD5 Di].
Если cov(g, ц) = 0 или р(5, Т|) •= 0, то случайные величины называются
некоррелированными.
Если случайные величины g и т| независимы, то (E|g| < оо, Е|р| < оо)
Egn = EgEr)
и тогда cov(g, Т]) «= 0 и величины g и ц некоррелировапы.
Ковариационной матрицей случайного вектора g = (gi, . ., 5п) называется
квадратная пХл матрица с элементами оц = cov(gi, g>), определенная в
предположении, что все указанные моменты конечны.
40
Многомерным нормальным роспределением в называется распределен
пие вероятностей с плотностью
<р (г) = (2л)~n^2 I М |-1/2 ехр |— -1 (М-1 (х — т), х— т)1
где М— ковариационная матрица, |М|—ее определитель, х = (хь ..., хп),
т =, (mi, ..., тп). Если компоненты случайного вектора некоррелированы, то
плотность приобретает вид:
п
2
ф(*г
,,ХП) =(2л)
где mt и о2 >0—параметры маргинальных распределений.
Пусть g и т)—независимые случайные величины с функциями распре-
деления F (х) и G(x) соответственно. Функцией распределения их суммы
g + Ц является свертка F и G:
СО	со
Р (5 + 1]< *) =F * G (х) = J F (х — t) dG (t) = J G (x — t) dF (t).
— 00	— 00
Симметризацией функции распределения F(x) называется функция рас-
пределения
F(i)(x) = J F(x+ t) dF(t).
— ОО
Симметризация F(x) совпадает с функцией распределения случайной вели-
чины gi — gj, где gi и с2 независимы и имеют одинаковую функцию-распре-
деления Е(х), случайная величина g(,) = gi — gj называется симметризацией
величин gi и g2.
Функция распределения Fi(x) называется компонентой функции распре-
деления F(x), если существует функция распределения Е2(х) такая, что
F(x) =Л*/2(х).
Имеется несколько употребительных способов измерять расстояние меж-
ду функциями распределения. Наиболее важными являются следующие.
1.	Расстояние по вариации для любых двух распределений вероятностей
Р и Q определяется как
вир | Р (А) - О (А) |,
Asa
где 8 — борелевская о-алгебра множеств.
2.	Равномерная метрика (метрика Колмогорова) для любых двух функций
распределения F (х) и G(x) определяется как
вир| F (х) — G (х) |.
X
3.	Метрика Леви определяется как точная нижняя грань таких А, что
F(x — h)—h С G(x) С F(x + h) + h
и
G (х — h) — h sg F (x) G(x-f-A) + Й
41
§ 1. Функции распределения
3.1.	Найти функцию распределения случайной величины оп-
ределенной на вероятностном пространстве (й,	Р), представля-
ющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега в качестве вероятности, если:
аЦ~о; б) £ = и2; в) £ =	а<0;
|2а>,	0<ю<1/2,
т)5 = 8ШЛа; Д) £ = 12(1 —о>), 1/2<ю<1;
со, 0 < со < 1/3,	(1/4, 0<ю<1/4,
1/3 < и < 2/3,
2/3 <со< 1;
1, 1/4 < со <3/4,
ж) £ =
е) -1,
- ю3,
.1/4, 3/4 < со<1.
3.2.	Пусть £ и т] — случайные величины, определенные па ве-
роятностном пространстве (й,	Р), где Й — квадрат с вершинами
(О, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1),	— о-алгебра борелевских подмно-
жеств й, Р — мера Лебега. Найти функцию распределения и плот-
ность распределения случайной величины £ + ц, если:
а) £ = со! И- со2, ц = со, — со2; б) g = со,, ц = со2;
в) § = 1 при со, = со2, | — 0 при со, =#= со2, ц = со,со2.
Являются ли случайные величины £ и ц независимыми?
3.3.	Пусть случайная величина В определена на вероятностном
пространстве (й,	Р), где й — треугольник с вершинами в точ-
ках (0, 0), (2, 1), (2, 0),	— о-алгебра борелевских подмножеств
указанного треугольника, Р — мера Лебега. Найти функцию рас-
пределения и плотность распределения случайной величины £, если:
a) £ = со,; б) £ = со,.
3.4. Равнобедренный треугольник образован единичным векто-
ром в направлении оси абсцисс и единичным вектором в случайно,м
направлении. Найти функцию распределения длины третьей
стороны:
а) в R2; б) в R3.
3.5.	Окружность единичного радиуса с центром в нуле имеет
северный полюс на положительной полуоси абсцисс. Из полюса
случайным образом направлен луч, причем его угол с осью абсцисс
распределен равномерно на отрезке —у, -у]. Найти функцию рас-
пределения длины хорды внутри окружности.
3.6.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины с функ-
циями распределения F (х) и G(x) соответственно. Найти функции
распределения следующих случайных величин:
а) тах{£, гр; б) min {%, гр; в) max {2%, гр; г) тт{£’, гр.
3.7.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины, имеющие
одинаковое показательное с параметром а распределение. Найти
функции распределения и плотности распределения следующих
случайных величин:
а) с3; б) ? — ц; в) тах{|, гр); г) min {£, гр}, д) 3 + 2g;
е) i'^-ip.
42
3.8.	Решить предыдущую задачу в предположении, что g и р
равномерно распределены па отрезке [—1, 1].
3.9.	Пусть — случайная величина, имеющая показательное
распределение с параметром X, /(х) —положительная строго моно-
тонная дифференцируемая функция. Найти плотность распреде-
ления случайной величины /(g).
3.10.	Пусть g, ц и g — независимые случайные величины, при-
чем £ принимает значения 1 и 0 с вероятностями р и q соответ-
ственно, р + д = 1, a g и т] имеют функции распределения F (х) и
С(^). Найти функции распределения следующих случайных
величии:
a) gg + (i-g)n; б) gg + (i-g)(max{g, п>);
в) gg + (l-g)(min{g, т]}).
3.11.	Пусть ..., gn — независимые одинаково распределенные
случайные величины, P(gf = 1)= P(gf =—1)= 1/2, i — 1, 2, ..., п.
Найти распределение случайной величины
п
Цп = П Si-
2=1
3.12.	Можно ли подобрать постоянную с так, чтобы функция сх~3
определяла плотность распределения вероятностей на:
а) луче [1, +°°); б) луче [0, +°°); в) отрезке [—2, —1].
3.13.	Пусть g и ц — независимые одинаково распределенные
случайные величины, <р(х, у)—борелевская функция двух пере-
менных. Доказать, что случайные величины <p(g, ц) и <р(т], g) оди-
наково распределены. Можно ли отказаться от условия неза-
висимости?
3.14.	Пусть g — случайная величина с симметричным распреде-
лением, А — симметричное относительно нуля борелевское множе-
ство па прямой. Положим
J g, если gs Л,
~ g, если g А.
Доказать, что случайные величины g и ц одинаково распределены.
3.15.	Пусть g и т) — случайные величины е функциями распре-
деления F (х) и G(x) соответственно. Доказать, что если P(g > т]) =
= 1, то F(x) < G(x) при всех х. Верно ли обратное при условии,
что g и т] определены на одном вероятностном пространстве?
3.16	(продолжение). Пусть F(х) и G(x) —две функции распре-
деления, причем F(x)<G(x) для всех х. Доказать, что существует
вероятностное пространство и две случайные величины g и ц,
определенные на этом вероятностном пространстве и такие, что
F(х) = P(l^ х), G(x) = Р(^^х) и g > ц.
3.17.	Доказать, что множество точек разрыва любой функции
распределения не более чем счетно.
3.18.	Может ли множество точек разрыва функции распределе-
ния быть всюду плотным па прямой?
43
3.19.	Доказать, что любая функция распределения F (х) может
быть представлена в виде
F (х) = aiFl(x)+a2F2(x),	> 0, а2 > 0, ai + a2 = l,
где Ft(x) и F2{x)—функции распределения, причем /71(х) непре-
рывна, и F2 (х) —дискретная функция распределения. Доказать, что
такое представление единственно.
3.20.	Пусть борелевская функция двух переменных F(x, у) при
каждом фиксированном у является функцией распределения. Дока-
зать, что если G(x) —функция распределения, то функция
оо
Я(х)= f F(x,y)dG(y)
— ОО
также является функцией распределения.
3.21.	Функция распределения F(х) случайной величины £ не-
прерывна в нуле. Найти распределение случайной величины
, S
-у-, если s ¥= 0,
)-]= U si
11,	если £ = 0.
3.22.	Случайная величина g имеет функцию распределения F(x).
j
Найти функцию распределения случайной величины (В + I £ I)-
3.23.	Доказать, что если функция распределения непрерывна
в каждой точке прямой, то опа равномерно непрерывна на всей
прямой.
3.24.	Пусть |2, • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, принимающих значения 0
и 1 с вероятностью 1/2 каждое. Найти распределение случайной
величины
00 t
k=l 4
3.25.	Пусть £ — случайная величина, имеющая равномерное на
отрезке [0, 1] распределение. Доказать, что для любой функции рас-
пределения F(x) существует борелевская функция j(x) такая, что
F(x) будет функцией распределения случайной величины /(?).
3.26.	Пусть S — случайная величина, равномерно распределенная
6.	6„ 6„
па отрезке [0, 1),	= у +	. ..,6п = 0 или 1 — двоичное
разложение g. Доказать, что при любом натуральном п
Р (6п = 0) = Р (S„ = 1) = 4
и случайные величины 6lt б2, ... взаимно независимы.
3.27.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Расположим
знаки двоичного разложения 5 — случайные величины fij, б2,
44
в виде следующей квадратной таблицы:
бв ...
62 V..
64 ...
63...
• • •
Из знаков /с-й строки этой таблицы построим двоичное разложение,
определяющее случайную величину например:
Г	б>	S3
— 2	+ 22	‘	’
г	62	б5
£2 = у +	,
„	Si	бя
= 2- +	+ • •  >
Доказать, что случайные величины £2, ... независимы и каждая
из них имеет равномерное па отрезке [0, 1] распределение.
3.28.	Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство, представ-
ляющее собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега, Л’Дх), F2(x), ...— произвольная последовательность
функций распределения. Доказать, что на указанном вероятностном
пространстве существует последовательность независимых случай-
ных величии £i, 5г, ... таких, что при каждом п функция распре-
деления случайной величины совпадает с F„(x).
3.29.	Пусть F(х) и G(a?) —функции распределения. Найти не-
обходимые и достаточные условия того, что функция //(х) =
= F(G(х)) является функцией распределения.
3.30.	Привести пример случайной величины £ с плотностью р(х)
и непрерывной функции g(x), таких, что g(£) является невырож-
денной случайной величиной с дискретным распределением.
3.31.	Пусть Р — произвольное вероятностное распределение на
прямой. Доказать, что для любого борелевского множества А и лю-
бого положительного е найдутся открытое множество G и замкну-
тое множество F такие, что F s A s G и P(G\F) < е.
3.32.	Пусть Р — произвольное вероятностное распределение па
прямой. Доказать, что для любого борелевского множества А и лю-
бого положительного е найдется компакт К такой, что К s А и
Р(А\К) < е.
3.33.	Какова мощность множества всех функций распределения?
3.34.	Пусть £i, |2, ...— последовательность случайных величии
с функциями распределения Ft(x), F2(x), ... соответственно, a v —
положительная целочисленная случайная величина, не зависящая
45
от всех 5п £2, • • Положим ph = P(v = к), к = 1, 2, .... Найти
функцию распределения случайной величины
3.35.	Доказать, что для любой непрерывной функции распреде-
ления F (х)
со
J F (х) dF (х) —
— ОО
3.36.	Доказать, что для любой непрерывной функции распреде-
ления F(x) и любых натуральных п и к
СО
— ОО
3.37.	Пусть 5 — случайная величина с непрерывной функцией
распределения F(x). Найти функцию распределения случайной ве-
личины F(5).
3.38.	Доказать, что если случайная величина 5 имеет абсолютно
непрерывное распределение, то случайная величина I5I также имеет
абсолютно непрерывное распределение. Верно ли обратное ут-
верждение?
3.39.	Случайные величины 5 и ц независимы и имеют одинако-
вое распределение:
P(5 = Ar)=P(r) = fc)=l/2V, /с = 1, N.
Положим
v = min {5, г]}, у. = max {£, ц}, Х = у — v.
Найти распределения случайных величин v, у, и X.
3.40.	Пусть 5 и ц — независимые случайные величины с непре-
рывными функциями распределения F(x) и G(x) соответственно.
Найти функцию распределения произведения
3.41.	Пусть 51, ..., 5„ — независимые одинаково распределенпые
случайные величины, F(x)—функция распределения 51. Введем
функцию двух переменных ф(.т, у) следующим образом:
[1 при х^уг
<р(х, у) = \ „
г' (0 при х<.у-
При каждом фиксированном х найти распределение случайной
величины
п
Пп = 4 2
3.42.	Функция распределения F (х) неотрицательной случайной
величины называется полуаддитивной, если
F(x + y)^F(x) + F(y)
46
для любых х, у 5= 0. Привести пример полуаддитивной функции
распределения.
3.43.	Пусть р (х) — плотность распределения, не возрастающая
при х > 0 и равная нулю при х < 0. Доказать, что соответствующая
функция распределения полуаддитивна (определение см. в преды-
дущей задаче).
3.44.	Доказать, что для любой функции распределения F (х)
справедливы соотношения:
оо	X
,.	(* dF (у)	n	. f dF [у) п
a) lira х I —— = 0, о) hm х I —— = 0,
Х->4-оо	У	Х->—оо и У
X	—ОО
о,
г) Ига х
0.
X
в) lira х 1
Х->-0
— Oi
3.45. Пусть функция
Доказать, что функция
распределения F (х) непрерывна в нуле.
Р W =
4-00
[ dF (у)
J У
х
_ f
J У
при х > О,
при х < О
является плотностью распределения.
3.46.	Доказать, что если в предыдущей задаче отказаться от
условия непрерывности в нуле, т. е. предположить, что 0<F(0) —
— F(0 — 0) — а < 1, то функция р(х)/(1 —а) является плотностью
распределения вероятностей.
3.47.	Пусть Fi{x) и F2(х) —две функции распределения. Дока-
зать, что Ft(x)^ F2(x) при всех х тогда и только тогда, когда
ОО	оо
J f(x)dF1(x)^ J f(x)dF2(x)
— 00	—оо
для любой монотонно неубывающей функции /(х), для которой
указанные интегралы существуют.
3.48.	Пусть вещественная функция f(x) такова, что для любых
двух функций распределения 1‘\(х) и F2 (х), удовлетворяющих не-
равенству Ft(x)^ F2(x), выполнено неравенство
ОО	оо
f f И dFx (х) > j / (х) dF2 (х).
— 00	—оо
Доказать, что /(х) монотонно не убывает.
3.49.	Распределение Р называется доминирующим для семей-
ства распределений S3, если для любого борелевского множества А
47
такого, что Р(Л) = 0, выполнены равенства <2(Л) = 0 для всех Q
из 83. Семейство распределений называется доминируемым, если су-
ществует распределение, доминирующее его.
Доказать, что любое счетное семейство распределений до-
минируемо.
3.50.	Привести пример не доминируемого семейства рас-
пределений.
3.51.	Доказать, что если 83,, §Э2, ...— последовательность доми-
нируемых семейств распределений, то доминируемо и их
объединение
СО
и Sn.
«=1
3.52.	Выпуклой оболочкой семейства распределений S3 называ-
ется множество всех распределений вида
оо
i=l
со
где а; > 0, 2 ai =	i=l, 2, .... Доказать, что выпуклая
1—1
оболочка доминируемого семейства распределений доминируема.
3.53.	Доказать, что семейство распределений S доминируемо
тогда и только тогда, когда существует не более чем счетное под-
семейство S3' семейства S3 такое, что если борелевское множество А
удовлетворяет условию Р(Л) = 0 для любого /'ей', то (?(4) = 0
для любого Q s S3.
3.54.	Функцией концентрации случайной величины | называет-
ся функция
Ql (я) = SUP Р (а 5 а + х).
а
Очевидно, функция концентрации однозначно определяется функ-
цией распределения. Верно ли обратное?
3.55.	Доказать, что для любой случайной величины £ и любого
положительного х найдется а такое, что
Qi (*) = р (а с	а + •*) •
3.56.	Доказать, что для любой случайной величины £ и любых
неотрицательных а и а: имеет место неравенство
(Ма*)=М[а] + IXM*).
где [а] — целая часть числа а.
3.57.	Пусть F(x) —функция распределения, Q(x) —соответству-
ющая функция концентрации.
1.	Может ли F (х) иметь больше точек разрыва, чем С (я)?
2.	Может ли Q(x) иметь больше точек разрыва, чем F(x)?
48
3.58.	Может ли функция распределения иметь бесконечное чис-
ло точек разрыва, а соответствующая функция концентрации —
конечное?
3.59.	Пусть F (х)—функция распределения, Q(x)— соответству-
ющая функция концентрации, п — число точек разрыва F(x), т —
число точек разрыва Q(x). Доказать, что
1.
3.60.	Пусть — произвольная случайная величина. Доказать, что
для любых положительных а тх I множество
Л, а = {я : Р (х < £ < х + Z) а}
является компактным (может быть, пустым).
§ 2.	Моменты
3.61.	Найти математическое ожидание и дисперсию случайной
величины 1 = 1(ы), определенной на вероятностном пространстве
(Q,	Р), представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй боре-
левских подмножеств и мерой Лебега, если:
а) 1 = со2, б) £ = о — 1/2, в) 1 = sin лю, г) £ = sin 2лю.
3.62.	Диаметр круга d измерен приближенно, и известно лишь,
что 0 < а d sS Ъ. Считая d случайной величиной, равномерно рас-
пределенной па отрезке [а, 5], найти математическое ожидание и
дисперсию площади круга.
3.63.	Брошены две игральные кости. Найти математическое ожи-
дание суммы выпавших очков, если известно, что выпали разные
грани.
3.64.	Доказать, что равенство нулю дисперсии D£ = О равно-
сильно тому, что случайная величина 1 с вероятностью единица
равна постоянной: Р(£ = с)= 1 для некоторого числа с.
3.65.	Пусть 1 и т] — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечной дисперсией. Доказать, что 1 с ве-
роятностью единица принимает значения одного знака тогда и
только тогда, когда случайные величины 1 — ц и Ifcl — 1т]1 одина-
ково распределены.
3.66.	Пусть 1 — случайная величина такая, что Р(0 <1 < 1)= 1.
Доказать, что D£ < Е£.
3.67.	Пусть случайные величины 1 и ц независимы и Eg — 1,
Ет] =2, Dg = 1, Dt] = 4.
Найти математические ожидания случайных величин:
а) I2 + 2ц2 - 1ц - 41 + т) + 4; б) (£ + г] + 1)2.
3.68.	Доказать, что для любых случайных величин 1 и Т), име-
ющих конечные дисперсии, справедливы неравенства
(УЩ- У Dp)2 С D(1 + т]) < (VDl + yD^)2.
3.69.	Доказать, что если Е|£|“< <», а>0, то Е|£|’<<» при
О < Р sS а.
4 А. В. Прохоров и др.
49
3.70.	Привести пример распределения, пе имеющего моментов
ни положительного, ни отрицательного порядков.
3.71.	Пусть и т] — одинаково распределенные случайные вели-
чины. Верно ли, что
Е —i— = Е --п..?
5 + ’I I + П'
3.72.	Пусть	|п — независимые одинаково распределенные
положительные случайные величины. Доказать, что
г j Ч	| _ к
\	+ • • • + in / п
для любого 1 к п. Можно ли отказаться от условия незави-
симости?
3.73.	Случайная величина £ принимает значения 0, 1, ..., п, ...
с вероятностями, убывающими в геометрической прогрессии:
а) найти зависимость между ES, и Щ; б) известно, что Е|, = а;
найти Р(£ = «), п = 0, 1, ....
3.74.	Пусть случайная величина £ принимает конечное число
неотрицательных значений	..., хг. Доказать, что
Е£п+1
lim	= maxCz^, ...,xr),
n-»oo
lim E£n max Uj, .. ., £r)-
n-»OO
3.75.	Пусть — неотрицательная целочисленная случайная ве-
личина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
оо
Е£ = 2
i=i
3.76.	Написаны п писем, предназначенных разным адресатам.
Имеется п конвертов с соответствующими адресами. Письма в слу-
чайном порядке вложены в конверты. Пусть — число писем, ко-
торые посланы тем адресатам, которым они предназначены. Най-
ти Е£п.
3.77.	Пусть — ограниченная с вероятностью единица случай-
ная величина: Р(|||^с)=1. Доказать, что
Щ cElgl.
3.78.	Доказать, что Ед существует тогда и только тогда, когда
существует ЕИ ([ ] —целая часть), причем Ее = E[gJ тогда и
только тогда, когда 5 — целочисленная случайная величина.
3.79.	Пусть Еj = 0 и Ei|| — 1. Найти Етах{0, £1 и Emin{0, |1.
3.80.	Каким условиям должны удовлетворять числа а и b для
того, чтобы существовала случайная величина £ такая, что EJj = а,
Е1Ц = Ь?
50
3.81.	Доказать неравенство Йенсена.
3.82.	Пусть £ и л — независимые случайные величины с конеч-
ными дисперсиями. Доказать, что
D|r] > Dg Dr].
3.83.	Каким условиям должны удовлетворять независимые слу-
чайные величины | и 1], чтобы выполнялось равенство
D£r] = Dg • Dr]?
3.84.	Пусть g2, ...— последовательность случайных величин,
Е;( = mt (г = 1, 2, ...); Ah А2, ... попарно несовместные события,
оо
U Aj == P(j4j) = pj; случайные величины и Iaj независимы;
оо
случайная величина £ равна 2 ЫаЛ случайная величина ц при-
i=l
нимает значения mt с вероятностями pt, соответственно. Доказать,
что
D£ = 2	+ Dp.
•i=i
3.85.	Случайная величина В имеет конечный абсолютный момент
порядка р > 0:
E|gp< ОО.
Доказать, что
ipP(||l >«)->• 0
при t оо.
3.86.	Доказать, что функция распределения F (х) имеет конеч-
ный абсолютный момент порядка а > 0 тогда и. только тогда, когда
функция |х|“-4 (1 — F(a:) + F(—х)) интегрируема на всей веществен-
ной оси.
3.87.	Доказать, что для того чтобы у случайной величины § су-
ществовал конечный абсолютный момент порядка а > 0: Е|£|а <
необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд
2 na-’P(R|>n).
п=1
3.88.	Пусть £ п т] — независимые случайные величины, принима-
ющие целые неотрицательные значения и Е||| < °°. Доказать, что
оо
Е min {fe, г]} = 2 ₽ (£ > 0 р G1 > О-
i=l
3.89.	Пусть £ — неотрицательная случайная величина с функ-
цией распределения F(x) и конечным математическим ожиданием.
4*	51
Доказать, что
Eg - J (1 - F (x)) dx.
О
3.90.	Пусть g — положительная случайная величина с функцией
распределения F(x) и
Е 4- < оо, а >- 0.
ё“
Доказать, что
—->()
ха
при х -> 0.
3.91.	Пусть g — неотрицательная случайная величина с функ-
цией распределения F(x} и конечным моментом порядка а > 0.
Доказать, что
Eg“ = a	F(x))dx.
О
3.92.	Пусть g — положительная случайная величина с функцией
распределения F(x) и конечным моментом порядка а < 0. Дока-
зать, что
Eg“ = | а | J xa~rF (х) dx.
О
3.93.	Доказать, что если F (х) — функция распределения с ко-
нечным математическим ожиданием и такая, что F(0) —0, то
функция
G Сг) = П Р (* + ге)
П=1
является функцией распределения.
3.94.	Пусть g — случайная величина с нулевым математическим
ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что
E|^|<y(Dg + l).
3.95.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
ским ожиданием и конечной дисперсией. Положим
Доказать, что последовательность а2, ... равномерно ограничена.
52
3.96.	Случайные величины gi, g2, ..., g„ независимы и одинако-
Бо распределены. Каждая из случайных величин g< принимает два
значения: 1 и 0 с вероятностями р и q ~ 1 — р соответственно.
Пусть т]» — случайная величина, равная 0, если = gA+1, и 1, если
Положим gn = г)1 + • •  + T]n-i. Найти математическое ожи-
дание и дисперсию случайной величины g„.
3.97.	Случайная величина В равномерно распределена на отрез-
ке [а, &]• Найти а и Ь, если Eg2 = 1 и Eg = —Eg3.
3.98.	Пусть g — случайная величина с симметричным относи-
тельно нуля распределением. Доказать, что для любого веществен-
ного а
E|g + al >E|g|.
3.99.	Показать, что существуют две случайные величины g и т],
такие, что ЕI g I <	Е|т]| < » и
E|g + al > Е|т] + а\
для любого вещественного а.
3.100.	Пусть g и и — случайные величины такие, что для лю-
бого а
Elg +	= Е|т] + al“
(а — некоторое вещественное число), и пусть g — случайная вели-
чина, не зависящая от g и ц. Доказать, что
Elg + gl“ = Е| П + g|“.
3.101.	Пусть g и т| — случайные величины такие, что для лю-
бого а
Elg + а|“ Elri + а\а
(а —некоторое вещественное число), и пусть g— случайная вели-
чина, не зависящая от g и 1]. Доказать, что
Elg + g|“ Eln + g|“.
3.102.	Пусть g и p — неотрицательные случайные величины
с функциями распределения F(x) и G(x) соответственно, причем
F (х)^ G(x) для всех х. Доказать, что:
a) Ega^En“, 0 ^а<оо; б) Eg“ > Ец“, а < 0, если указанные
моменты существуют.
3.103.	Пусть g — случайная величина с конечным математиче-
ским ожиданием. Доказать, что для любого х
max {х, Eg} Е max {х, g}.
3.104.	Пусть gi и g2 — случайные величины с функциями рас-
пределения Ft(x) и F2(x) соответственно. Доказать, что
оо	оо
Jd-^ (i))^<f(l-Fa(Z))dt
X	X
53
тогда и только тогда, когда
Е max {х, Е max {х, £2).
3.105.	Пусть £ и 1] — случайные величины с нулевыми матема-
тическими ожиданиями и такие, что для любого х
Е max {х,	«2 Е max {х, ц).
Доказать, что для любой выпуклой функции /(х)
Е/U) СЕ/(П).
3.106.	Пусть и £2 — случайные величины с функциями рас-
пределения Ft(x) и Рг(х) соответственно. Доказать, что если для
любого х
СО	со
а	х
ТО
для любого г>1 (при условии, что эти моменты существуют).
3.107.	Пусть | — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка а > 0. Доказать, что
Е|| + а|“ -> оо
при а -> оо.
3.108.	Пусть § — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка 2п — 1 (п — целое положительное число). Дока-
зать, что существует такое вещественное а, что
Е(£ — а)2"-1 = О,
причем такое а единственно.
3.109.	Пусть £ — случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка а > 0: E|gl“<°°. Доказать, что для любого ве-
щественного а
Е|| — а|“ <°°.
3.110.	Доказать, что
Dg = min Е (g — а)2,
а
3.111.	Пусть £ —случайная величина с конечным абсолютным
моментом порядка 2п: Eg2n < Доказать, что число а удовлетво-
ряет условию
ЕU - а)гп-1 = О
тогда и только тогда, когда
Е(£-<“'*< Е(В-&)2"
для любого вещественного Ь.
54
3.112.	Пусть | и т] — случайные величины с плотностями рас-
пределения j(x) и g(x) соответственно, причем существует такое а,
что j(x)^S(x) при х> а и /(x)>g(a?) при х < а. Доказать, что
Ej «S Ец, если указанные математические ожидания существуют,
а если дополнительно f(x) = g(x) = 0 при х < 0, то Е%“ Ец“ для
любого а > 0.
3.113.	Пусть Fi(x) и F2(x) — функции распределения, ^не-
соответствующие математические ожидания (предполагается, что
они существуют). Доказать, что если Fi(x')'^: F2(x) для любого х,
ТО Я) а2.
3.114.	Пусть 51 и |2 -случайные величины с симметричными
относительно нуля плотностями распределения pt(x) и р2(х) и ко-
печными дисперсиями <Ji и о2 соответственно, причем pi(x) =
= д2(.г) = 0 при Ы >а (а>0). Пусть р4(х) выпукла вниз, а р2(х)
выпукла вверх на отрезке [—а, а]. Что больше: о! или сг^?
3.115.	Можно ли в предыдущей задаче сказать, что больше:
о( или о2, если отказаться от предположения симметричности
распределений случайных величин 51 и 5а?
3.116.	Доказать неравенство Коши — Буняковского — Шварца.
3.117	(неравенство Гёльдера). Доказать, что если г>1 и
— 4- — = 1, то
Г S
Е|£т]| (ElBlr)1/r(Ehls)1/s.
3.118.	Доказать, что (Е151r)11г — "неубывающая функция от г.
3.119.	Доказать, что для любых случайных величин
с конечными моментами порядка	справедливо неравенство
Elg1 + ... + 5„l“^«a-1(El51|“ + ... + El5J“).
3.120.	Доказать, что для любых случайных величин ...,
имеющих конечные моменты порядка а 1, справедливо нера-
венство
е(5, +... + 5„|“ El5il“ +.. • + Е15„1а.
3.121	(неравенство Минковского'). Доказать, что при г>1
(EI5+ ц1г)1/г =5 (El5lr)1/r + (Е|т]Г)1/г-.
3.122.	Доказать, что log El5lr — выпуклая функция от г (г>0).
3.123.	Доказать, что logE|£|r как функция от г (г >0)- линейна
тогда и только тогда, когда | имеет вырожденное распределение.
3.124.	Пусть В —случайная величина. Положим — Е|^|\
Доказать, что если 0 С I тп п, то Р™ 1 РГ -mPn ~1.
3.125.	Пусть 5 — случайная величина. Доказать, что при 0 < г
1 для любого вещественного а
|Е |5 -	|r<E|^>|r<2E	- af.
55
3.126.	Пусть | — случайная величина. Доказать, что при 1<г<.
< 2 для любого вещественного а
4 Е IS - ml |r<E|£(”2rE |S - «Г.
3.127.	Пусть S и Л — независимые случайные величины, причем
11 имеет симметричное распределение. Доказать, что для любого
1 < а -С 2
ElS + ц1а ElSl“ +
3.128.	Доказать, что если случайные величины Si, < •., неза-
висимы и имеют симметричные распределения, то для любого
1<а^2
ElSi + ... + S„l“ EISJ“ + ... + ElS»l°.
3.129.	Доказать, что если случайные величины S и Л незави-
симы и Ег| — 0, ElSl“ < °°, Е1л1“<°°, а > 1, то
EIS + л1а > Е|£|“.
3.130.	Доказать, что если Si, • 	— независимые случайные
величины, ES< = 0, ElS,l“ < °°, 1 < а 2, то
EIS. + ... W“<2“(ElSila + ... + ElS„la).
3.131.	Случайная величина S имеет решетчатое распределение
с шагом h. Положим
vh = EIS - ESlft
(fc— целое положительное число). Доказать, что
2
3.132.	Пусть S — положительная невырожденная случайная ве-
личина с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
3.133.	Пусть S и Л — независимые случайные величины, прини-
мающие положительные значения. Доказать, что для любого г 0
Е fir
\Л J Erf
§ 3.	Корреляция
3.134.	Найти коэффициент корреляции между числом выпадений
«единиц» и числом выпадений «шестерок» при п независимых
бросаниях правильной игральной кости.
3.135.	Пусть неотрицательные целочисленные случайные вели-,
чины Si, |г, ..., В, таковы, что Si + £2 + . •. + ё» = п и для любых
56
mt, ms, mt>0, ml+ ... + m,= n,
_	,	n 1	m i	m <j
P (11 = m1; ..., ь = ms) = ;ПТ77ГТ • • • Ps ’
где Pi 0, pi + ... + Ps = 1. Найти коэффициент корреляции между
и Вь i, 7 = 1,2,..., s.
3.136.	Доказать, что коэффициент корреляции любых двух слу-
чайных величин, имеющих конечные ненулевые дисперсии, заклю-
чен между —1 и +1; равен нулю, если величины независимы; ра-
вен —1 или +1 тогда и только тогда, когда случайные величины
линейно связаны.
3.137.	Построить пример, показывающий, что из равенства нулю
коэффициента корреляции двух случайных величин не следует их
независимость.
3.138.	Пусть Во ..., В» случайные величины с конечными нену-
левыми дисперсиями. Доказать, что D (£, + ... + |n) =	+ ... +
тогда и только тогда, когда В< и Вк ..., попарно не коррелированье
3.139.	Случайные величины Вь ..., £n+m (п > т) независимы,
одинаково распределены и имеют конечную дисперсию. Найти ко-
эффициент корреляции между случайными величинами ц, = В1 + ---
. . . + В« И Ц2 = Im+1 + . . . + |т+я.
3.140.	Случайные величины Виц независимы и имеют одина-
ковое распределение с математическим ожиданием а и дисперсией
о2. Найти коэффициент корреляции случайных величин Bi — aB+^Л
и В2 = аВ~
3.141.	Пусть совместное распределение случайных величин В 11
ц нормально, причем ЕВ = Ец — 0, а коэффициент корреляции В и
т| равен р. Найти коэффициент корреляции случайных вели-
чин В2 и ц2.
3.142.	Пусть Bi, • • Bn — случайные величины, причем коэффи-
циент корреляции любых двух из них равен р. Доказать, что
р —1/(га — 1).
3.143.	Случайные величины Виц независимы,
Р(В = 1) = Р(В = -1) = 1/2, Р(ц = 1)=Р(ц = -1)= 1/4,
Р(ц = 0) = 1/2.
Будут ли случайные величины В1! и ц независимыми?
3.144	(продолжение). Будут ли в условиях предыдущей задачи
случайные величины Вц и ц некоррелированными?
3.145.	Пусть В — случайная величина с конечной дисперсией.
Доказать, что коэффициент корреляции случайных величин В и
sign | неотрицателен.
3.146.	Пусть В — случайная величина с симметричным распре-
делением и конечной дисперсией. Найти коэффициент корреляции
случайных величин Ви iBl.
3.147.	Пусть Вь •••, Вп — случайные величины, оу — ковариация
между В< и Bj (Л 7 = 1. •••> и). Доказать, что ковариационная
57
матрица
|aii ... а1п \
\СТП1 • • • °пп/
неотрицательно определена.
3.148.	Пусть | — случайная величина.
Р(£>0) = а, Р(|<0)=₽, ЕВ = а, Е|£| = Ь.
Найти cov(£, sign|).
3.149.	Пусть случайные величины и %2 независимы, одинако-
во распределены и имеют конечные дисперсии. Доказать, что слу-
чайные величины Л1 = ^1 + ^2 и ц2 =	— £2 некоррелированы.
Можно ли утверждать, что они независимы?
3.150.	Пусть | и ц — случайные величины с нулевыми матема-
тическими ожиданиями, единичными дисперсиями и коэффициен-
том корреляции р. Доказать, что
Е шах {^2, 1]2}	1 + V1 — р2.
3.151.	Пусть Л и £ — попарно некоррелированные случайные
величины. Можно ли утверждать, что некоррелированными будут
случайные величины:
а) £ и ц + £; б) £ и ц£?
3.152.	Пусть г] и £ — независимые случайные величины с ко-
нечными положительными дисперсиями. Могут ли быть независи-
мыми случайные величины | + £ и ц +
3.153.	Пусть ..., S,n — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины с конечным третьим моментом, причем
E(gi — Е£()3=0. Найти коэффициент корреляции случайных величин
§ 4.	Некоторые важные распределения
3.154.	Доказать, что если каждая из независимых случайных ве-
личин и £2 имеет геометрическое распределение, то случайная
величина ц = min {£[, %2} также имеет геометрическое распределе-
ние. Найти параметр этого распределения, если параметры распре-
делений и с2 равны соответственно р> и р2.
3.155.	Случайная величина £ принимает целые неотрицательные
значения. Доказать, что следующие утверждения равносильны:
а)	имеет геометрическое распределение;
б)	Р(В = н + /с1В> fc) = P(g = n), к, п = 0, 1, 2, ...
3.156.	Случайные величины и %2 независимы и имеют одно п
то же геометрическое распределение. Доказать, что
P(^ = *|L + ^ = «) = ^pi, k = Q,i,...,n.
58
3.157.	Случайная величина | имеет геометрическое распределение
с параметром р. Найти распределение случайной величины
п = -| (1 — (— 1)').
3.158.	Сумма двух независимых целочисленных неотрицатель-
ных случайных величин имеет биномиальное распределение. Дока-
зать, что каждое слагаемое имеет биномиальное распределение.
3.159.	Пусть gi, §2, • • — последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, каждая из которых при-
нимает значение 1 с вероятностью р и значение 0 с вероятностью
1 — р, a v — неотрицательная целочисленная случайная величина, не
зависящая от |2, ... Доказать, что случайные величины +...
... + £» и v — (^ +... +5») независимы тогда и только тогда, когда
v имеет пуассоновское распределение.
3.160.	Случайные величины g( и |2 имеют пуассоновское распре-
деление с параметрами 7Ч и л2 соответственно, причем Х2. До-
казать, что для любого t > 0
3.161.	Случайные величины щ и с2 независимы и имеют распре-
деления Пуассона с параметрами и Х2 соответственно. Найти
P(&i = Al^+^ = n), fc = 0,
3.162.	Случайные величины щ и £2 нормально распределены с
параметрами (0, Hi) и (0, Ог) соответственно. Доказать, что если
о2 > то
P(IBJ sU)s£P(lg2l ^t)
для любого t > 0.
3.163.	Пусть и — независимые случайные величины, имею-
щие одинаковое нормальное распределение. Доказать, что случай-
ные величины + g2 и gi — независимы.
3.164.	Случайная величина 5 имеет нормальное распределение с
математическим ожиданием а и дисперсией о2. Найти распределе-
ние случайной величины sign 5.
3.165.	Пусть 5 и ц — независимые случайные величины, имею-
щие одинаковое нормальное распределение с нулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение слу-
чайной величины |2 + ц2.
3.166	(продолжение). В тех же условиях найти распределение
случайной величины Vg2 + ц2.
3.167.	Пусть |i, ..., g„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины, имеющие нормальное распределение с нуле-
вым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Найти
распределение случайной величины + • • • + £«•
3.168	(продолжение). В тех же условиях папти распределение
случайной величины 51+ »..+ й (распределение этой случайной
59
величины называется хи — квадрат распределением с п степенями
свободы).
3.169.	Пусть Р(х) и Q(x)— нормальные функции распределения
,	2	2
с математическими ожиданиями а и о и дисперсиями и а2 соот-
ветственно. Подобрать распределение R так, чтобы выполнялось ра-
венство Р * R = Q. Какие условия на параметры распределений Р и
Q нужно наложить, чтобы такое распределение существовало?
3.170.	Пусть Р — равномерное распределение на отрезке [0, 1],
Q — распределение, приписывающее точкам —л и —л + 1/2 вероят-
ности 1/2 каждой. Найти распределение R, удовлетворяющее соот-
ношению R* Q = Р.
3.171.	Пусть go, £i, £2, •••—независимые одинаково распределен-
ные случайные величины, имеющие равномерное на отрезке [0, 1]
распределение. Найти плотность распределения случайной величины
= П Sfe-
л=о
8.172.	Пусть go, £2, • • •— последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин, имеющих равномерное
на отрезке [0, 1] распределение. Найти распределение случайной ве-
личины
{ п	'
п\ П
/1=0
3.173.	Пусть g — случайная величина, имеющая равномерное на
отрезке [0, 1] распределение. Найти распределение случайной
величины
-|logg, Х>0.
Л
3.174.	Случайная величина g имеет показательное распределение
с параметром 1. Найти распределение случайной величины е~5.
3.175.	Случайные величины gIt ..., g„ независимы и имеют оди-
наковое показательное с параметром X распределение. Доказать,
что случайные величины
ЕЕ	Е
max{g1,...,g„} и g1 + | + ^+ .„-Не-
одинаково распределены.
3.176.	Пусть F(x)—функция распределения, F(0) = 0 и F(x)<l
при некотором ж>0. Доказать, что F(x) является показательной
функцией распределения тогда и только тогда, когда
F(x+у)~ F (у) = F(x) (1 — F (у))
при всех х, у > 0.
3.177.	Пусть gt и g2 — независимые случайные величины, имею-
щие одинаковое нормальное распределение с пулевым математичс-
60
ским ожиданием и единичной дисперсией. Найти распределение
случайной величины £f/£2-
3.178.	Пусть £ — случайная величина, имеющая распределение
Коши с плотностью
--------5---sr, — сю < x<Z оо.
Л ((а: — а)2 4* Ь2)
Найти плотность распределения случайной величины 1/£.
3.179.	Случайная величина £ имеет равномерное на отрезке
[О, 1] распределение. Найти плотность распределения случайной
величины
3.180.	Случайная величина £ имеет логистическое распределение
с плотностью
е»
Найти математическое ожидание и медиану
3.181.	Случайная величина | имеет равномерное распределение
на отрезке [0, 1]. Найти распределение случайной величины
{ 4
§ 5.	Распределения сумм независимых случайных величин
3.182.	Пусть g и ц— независимые случайные величины, причем
| имеет показательное с параметром X распределение, а ц равно-
мерно распределена на отрезке [0, kJ. Найти плотности распределе-
ния случайных величин £ + ц и 2,-1] соответственно.
3.183.	Пусть £ и т| — независимые случайные величины, причем
| равномерно распределена на отрезке [0, 1], а ц принимает значе-
ния 0, ±1, ±2, ... с вероятностями р0, P-i, Pi, ... соответственно;
+ Р-1 + Pi + ... = 1. Найти плотность распределения суммы
£ + т].
3.184.	Найти плотность распределения суммы £ + ц независимых
случайных величин | и т), если £ имеет равномерное распределение
на отрезке [о, 6], а ц — равномерное распределение на отрезке
[ с, <7] (а<Ъ, с < d, b — a^d — c).
3.185.	Пусть £ и г] — независимые случайные величины с оди-
наковой плотностью распределения
g и)=4 е~,х|-
Найти плотность распределения суммы £ + т).
3.186.	Найти вероятность того, что функция хг — 2ах+Ь имеет
комплексные корни, если коэффициенты а и Ъ являются независи-
61
мыми одинаково распределенными случайными величинами, имею-
щими:
а) равномерное распределение на отрезке [0, /г], б) показатель-
ное распределение с параметром а.
3.187.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины такие,
что сумма £ + г) имеет вырожденное распределение. Доказать, что
каждая из случайных величин £ и т) имеет вырожденное распреде-
ление. Можно ли это утверждать, если § и т] зависимы?
3.188.	Пусть £ и ц — независимые случайные величины, причем
случайные величины £ + ц и £ одинаково распределены. Найти рас-
пределение случайной величины тр
3.189.	Сколько нужно произвести бросаний правильной играль-
ной кости, чтобы с вероятностью 1/2 сумма выпавших очков пре-
высила 780?
3.190.	Доказать, что в классе распределений операция свертки
коммутативна и ассоциативна.
3.191.	Доказать, что свертка двух дискретных распределений
дискретна.
3.192.	Доказать, что свертка непрерывной функции распределе-
ния с любой функцией распределения непрерывна.
3.193.	Доказать, что свертка абсолютно непрерывного распреде-
ления с любым распределением абсолютно непрерывна.
3.194.	Доказать, что свертка п раз дифференцируемой функции
распределения с любой функцией распределения п раз дифферен-
цируема.
3.195.	Доказать, что свертка двух симметричных распределений
симметрична.
3.196.	Показать, что свертка двух одновершинных распределений
не обязана быть одновершинным распределением.
3.197.	Доказать, что свертка двух симметричных одновершинных
распределений одновершинна.
3.198.	Пусть £ и ц — независимые случайные величины, из кото-
рых по крайней мере одна имеет непрерывное распределение. Дока-
зать, что ₽(£ = т]) = 0.
3.199.	Пусть £1( g2, |з — независимые случайные величины с
симметричными распределениями и пусть для некоторого М > 0
Р(1В1 + Вз + Вз1 <М) = 1.
Доказать, что
раи + 1ы + ig3i ss/и)=1.
3.200.	Для каждой случайной величины £ положим
s(£) = inf {х: х > 0, Р(|£|^х)=1}.
Пусть £,, ..., £„ — независимые случайные величины с симмет-
ричными распределениями. Доказать, что:
а)	s(£, + ... + £„) = 8(10+ ... + s(gn),
б)	s(|i + • • • + ё«) =	+  • • + Ignl),.
62
3.201.	В обозначениях предыдущей задачи доказать, что равен-
ства а) и б) справедливы, если Во . •Bn — независимые одинаково
распределенные случайные величины (не обязательно симмет-
ричные).
3.202.	Пусть | — случайная величина с равномерным на отрезке
[0, 1] распределением, а случайная величина ц не зависит от £ и
принимает значения 1, 2, 3, ... с вероятностями pIf р2, Рз, ... соот-
ветственно, причем pt + р2 + ... — 1,	> Pi+i, i=l, 2, ... Дока-
зать, что случайная величина В + ц имеет одновершинное распреде-
ление.
3.203.	Пусть В — неотрицательная случайная величина. Положим
(х) при В>А
(0 при	х^0.
Доказать, что если В и ц — неотрицательные случайные величины
с конечными математическими ожиданиями, то
X \	| X \ \
3.204.	Пусть ...,	— независимые одинаково распределенные
случайные величины, т) = Bi + ... + В». Доказать, что если для не-
которого с >0 ₽(0<1]<с)=1, то
Р(0<^<с/«)=1.
3.205.	Пусть Вг, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, причем Р(В, = 0)<1.
Положим ц„ = gi + ... + В». Доказать, что для любого с > 0 суще-
ствует п = п(с) такое, что
Р(1т]п1 > с)>0.
3.206.	Пусть £i, Вг,   •— последовательность независимых одина-
ково распределенных положительных случайных величии, т]„ =
= В, + • • • + Вн- Доказать, что для любого с > 0 найдется а = а (с) >
> 0 такое, что
Р(Цп < c)sS е ап.
3.207.	Пусть | и ц — независимые одинаково распределенные
случайные величины, Р(В > 0) — Р(ц > 0) > 1/2. Верно ли, что
Р(В + т]>0)> 1/2?
3.208.	Пусть В — целочисленная неотрицательная случайная ве-
личина, Р(В = 0)>0 и пусть В~ + гДе и Вг — независимые
одинаково распределенные случайные величины. Доказать, что В
могут принимать только целые значения.
3.209.	Пусть В и ц — независимые случайные величины с решет-
чатым распределением с шагами а и Ь. Доказать, что сумма В + П
имеет решетчатое распределение тогда и только тогда, когда а/Ъ —
рациональное число.
63
8.210.	Пусть F(x), F,(x), F2(x) — функции распределения, при-
чем F = F,* Fi, и пусть N, n, m — число точек разрыва функций
F(x), Fi(x) и Fa(x) соответственно. Доказать, что п + т —
< пт.
3.211.	Пусть £ и ц — независимые случайные величины с плот-
ностями распределения р(х) и q(x) соответственно. Доказать, что
плотность распределения суммы £ + ц равна
r(x)=J р{х — t)q(t)dt = J p(t)q(x — t)dt.
— оо	—00
3.212.	Пусть В и т] — независимые случайные величины, причем
S имеет плотность распределения, нигде не обращающуюся в нуль. До-
казать, что плотность распределения суммы £ + ц также нигде по
обращается в нуль.
3.213.	Пусть £ и т] — независимые одинаково распределенные це-
лочисленные случайные величины, pf = P(^ = i), i — 0, ±1, ±2, ...
Доказать, что
Р($-П = 0) = 2 pl
2 = —00
3.214.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины с одина-
ковой плотностью распределения р(х). Обозначим q(x) плотность
распределения случайной величины £ — ц. Доказать, что
q (0) — J р2 (х) dx.
— оо
3.215.	Пусть |i, ...,&, и i)i, ...,	— две совокупности независи-
мых в каждой совокупности случайных величин. Доказать, что если
для любого вещественного а и любого к = 1, 2, ..., п
то
P(£i,+ ... + > «)> Р(т]1 + ... +	> а).
3.216.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины. Доказать,
что функция концентрации их суммы не превосходит функций кон-
центрации слагаемых:
<?Е+п(ж)^тт{<?Дх), (M*)}
(определение функции концентрации см. в задаче 3.54).
3.217.	Пусть и £а — независимые случайные величины. Дока-
зать, что для любых неотрицательных х, и хг
Qli (^1)	(^z)	"I"
64
3.218	{теорема И. В. Романовского). Пусть 5< и 5г— независи-
мые случайные величины, | = + 5z- Доказать, что для любого
х О
<2? (х) < <?h (х)	(х) + (1 - Qh (х)) (1 - Qh (х)).
3.219.	Пусть и 5з — независимые случайные величины, § =
= 51 + 5г! пусть для некоторого борелевского множества А
Р(5еЛ)>1 — 8, 0<8=С1.
Доказать, что для некоторого вещественного а
P(gi е Л + а)> 1 — 8.
3.220.	Пусть 5 и Л — независимые случайные величины, причем
5 имеет плотность распределения р(х). Обозначим д(х) плотность
распределения суммы 5 + Л- Доказать, что
sup q (х)	sup р (х).
У	X
3.221.	Привести пример случайной величины § такой, что ее
функция распределения F(x) представима в виде F“Fi*F2, где
?’i(x) и F2(x) — некоторые невырожденные функции распределения,
по не существует двух независимых случайных величин 51 и 5г та-
ких, что 51 имеет функцию распределения Fi(x), 1-1, 2, и 5 =
= £< +
3.222.	Пусть 5 — случайная величина, Р(0<5<с) = 1, с>0,
Е5 = а, D5 = 6. Доказать, что если Ь>а, то при п > с 5 не может
быть представлена как сумма п независимых одинаково распреде-
ленных случайных величин.
3.223.	Пусть 5 — случайная величина, принимающая значения
0n, I71, 2”, ... (п > 2) с положительными вероятностями и
s₽a~in)=i.
г=0
Доказать, что 5 не может быть представлена как сумма двух неза-
висимых случайных величин, каждая из которых имеет невырож-
денное распределение.
3.224.	Пусть случайная величина 5 принимает ровно два значе-
ния. Доказать, что она не может быть представлена в виде суммы
двух независимых случайных величин, каждая из которых имеет
невырожденное распределение.
3.225.	Случайная величина 5 принимает значения —1, 0 и 1
с вероятностями plt рг и ps соответственно (pip2p3 >0, pi + р2 +
+ р3 = 1). Какие условия нужно наложить на pu р2 и р3, чтобы рас-
пределение 5 было представимо в виде свертки двух одинаковых
распределений?
3.226.	Пусть 5 и П — независимые случайные величины, причем
функция распределения 5 строго возрастает. Доказать, что функция
распределения суммы 5 + Л также строго возрастает.
5 А. В. Прохоров и др.
65
3.227.	Пусть £ и т] — независимые целочисленные случайные ве-
личины. Доказать, что
Р(£ +Т]У1Г=О) = Р(£ = О)Р(т) = 0).
3.228.	Вещественные числа at, ..., ап называются рационально
независимыми, если пи одно из них не представимо в виде линей-
ной комбинации остальных с рациональными коэффициентами.
Пусть щ, ..., а„ — рационально независимые числа, ...,	—
независимые случайные величины, принимающие целые значения.
Доказать, что для любых вещественных bi, ..., bn
₽|2 а,^ = о'| <pfi Ь& = 0].
3.229.	Пусть ..., gn — независимые целочисленные случайные
величины, ..., ап — рационально независимые числа. Дока-
зать, что
(оо	\	Т1
2 а^ = х = И sup Р = х,).
i=l	/	г=1
3.230.	Пусть £ — целочисленная случайная величина. Положим
оо
Г(£)= 2 |Р(В = 0-₽(£ = i + 1)1-
г=—оо
а) Доказать, что V(|)^2, б) пусть £ и ц—независимые слу-
чайные величины. Доказать, что
V(§ + -n)=sSmin{V(£), У(т])}.
§ 6.	Неравенства
3.231.	Пусть | — неотрицательная случайная величина с конеч-
ным математическим ожиданием. Доказать, что
со	оо
п=1	п=1
3.232.	Пусть | — случайная величина с конечной дисперсией. До-
казать, что
lmg-E^| V2Dj
(mi, — медиана £).
3.233.	Пусть | — случайная величина с конечным математиче-
ским ожиданием. Доказать, что для любого 8 > 0
Р(£> e)sSEmax{0, £}/е.
3.234.	Пусть £ — неотрицательная случайная величина, Ее4 < <»,
h > 0. Доказать, что для любого 8 > 0
P^e^Ee'W*.
В6
3.235.	Пусть g —случайная величина, f(x)— неотрицательная
неубывающая функция. Доказать, что для любого вещественного с
P(g>c)^E/(g)//(c).
3.236.	Пусть g— случайная величина, f(x)— положительная, не
возрастающая при х 0 функция. Доказать, что для любого а > О
P(g<a)^E/(g)//(a).
3.237.	Пусть g — случайная величина с конечным математиче-
ским ожиданием и конечной дисперсией. Доказать, что для любо-
го х > О

Р(5
Dg + х2
3.238	(неравенство Гаусса). Случайная величина § имеет сим-
метричное одновершинное распределение. Доказать, что для любого
е>0

3.239.	Пусть | — случайная величина, имеющая одновершинное
распределение с вершиной в точке ха и конечную дисперсию.
Положим
t2 = Dg + (;r0 — Eg)2.
Доказать, что для любого е > О
Р (I 5 -•	I > ет) < ^5-
3.240.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Положим
Доказать, что для любого е > 1st справедливо неравенство
P(|g - Eg | >8 ]/Dg)С 4(1 + *2)2.
3.241.	Пусть и g2— независимые одинаково распределенные
случайные величины. Доказать, что:
a)	4P(^-^i>e)<P(£i-^>e),
б)	IPfl^-^l^eXPq^-^l^e).
3.242.	Доказать, что для любого вещественного а
P(lg1-g2|>e)^2P(|g,-a|>e/2).
3.243.	Пусть g и т] — независимые случайные величины, причем
т) имеет нулевую медиану. Доказать, что для любого а:
5*
67
а) Р(£ + П>«)>4₽(£>«). б) P(|S + r]|>a)>|p(|S|>a).
3.244.	Пусть Si и S2 — независимые случайные величины. Дока-
зать, что для любых неотрицательных xt и х2
P(l|il < Р(1S21 < Xz)^ P(l|i + |г! < Xt + х2).
3.245.	Пусть Si, ..., Sn — случайные величины с конечными мате-
матическими ожиданиями, т]„ = Si + • • • + In. Доказать, что для лю-
бого е > О
Р ( max | Tjft | > e) <
3.246.	Пусть Si, ..., Sn — независимые случайные величины с ну-
левыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными
моментами порядка к > 1, т]п = Si + . • • + In. Доказать, что для лю-
бого е > О
Р ( max | гр | е'
Ет1п
(при к = 2 — неравенство Колмогорова).
3.247.	Пусть Si> • • •> Sn — независимые случайные величины с
симметричными распределениями, т]„ = Si + • • • + In. Доказать, что
для любого вещественного а
Р ( max т]А > а) 2Р (цп > а).
3.248	(неравенства Леви). Пусть Sn . • •, Sn — независимые слу-
чайные величины, т]„ = Si + • • • + In. Доказать, что для любого е > 0:
а)	Р (max (т)й — m (т)й — т)п)) 2Р (ц„>е);
\k<n	)
б)	Р (max I Т)Л — m (т]А — я„) | > е) < 2Р (|	> е)
\k<n	)
(тп() — медиана).
3.249.	Пусть Si, ..., In — независимые случайные величины с ну-
левыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями,
т]п = |i +... + Sn. Доказать, что для любого е >0
Р ( max щ < 2Р (т]п > е — У 2Drln).
l<k<n
3.250.	Пусть Si, • • •, In — независимые случайные величины с
симметричными распределениями и конечными абсолютными мо-
ментами порядка г > 1, т]п = Si + • • • + 1л- Доказать, что
Е ( max । щ П < 2Е | т]п |г.
3.251.	Пусть Sn • • •, In — независимые случайные величины с
нулевыми математическими ожиданиями и конечными абсолютными
68
моментами порядка г Эг 1, т]„ — +... + Доказать, что
Е ( max | т]л Г) < 22r+1E | |г.
\14Un	/
3.252.	Функция ф(х) четна, неотрицательна и не возрастает при
х 0, | и ц — случайные величины. Доказать, что если при любом
а^О
Р(||| ^а)^Р(|ц| «2 а),
то
Е<р(^)>Е<р(т1)
и наоборот.
§ 7.	Расстояния в пространстве вероятностных распределений
3.253.	Доказать неравенство треугольника для расстояния по ва-
риации, то есть доказать, что для любых трех вероятностных рас-
пределений F, G и Р справедливо неравенство
Var(F, G)^Var(F, P)+Var(P, G).
Доказать неравенство треугольника для равномерного расстоя-
ния sup | F (х) — G (х) |.
X
3.254.	Пусть Р и Q — абсолютно непрерывные вероятностные рас-
пределения, р(х) и q(x) — соответствующие плотности распределе-
ния. Доказать, что
ОО
Var(P, Q) = -jJ | р (х) — д (х) | dx.
— СО
3.255.	Пусть | и ц — случайные величины с функциями распре-
деления F(x) и G(x) соответственно. Доказать, что
sup | F (х) — G (х) К Р (£ ¥= т])-
X
3.256.	Найти равномерное расстояние между двумя нормальны-
ми распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями
2	2
и дисперсиями th и а2.
3.257.	Равномерное расстояние между распределениями случай-
ных величин £ и т] равно р. Найти равномерное расстояние между
распределениями случайных величин с£ и (с =И= 0).
3.258.	Найти равномерное расстояние между двумя равномерны-
ми распределениями с одинаковыми математическими ожиданиями
И дисперсиями Щ и <т2-
3.259.	Указать распределение, равноудаленное в равномерной
метрике от двух нормальных распределений с математическими
ожиданиями at и а2 и дисперсиями и о2 соответственно.
69
3.260.	Пусть Fi (х) и F2(x)— произвольные функции распределе-
ния. Указать функцию распределения F(x), равноудаленную в рав-
номерной метрике от функций распределения Ft(x) и F2(x).
3.261.	Найти равномерное на отрезке распределение, равноуда-
ленное в равномерной метрике от двух равномерных распределений
на отрезках [—а, а] и [—Ь, 6] соответственно.
3.262.	Доказать неравенство треугольника для расстояния Леви.
3.263.	Найти расстояние Леви между двумя равномерными рас-
пределениями с нулевыми математическими ожиданиями и диспер-
сиями о? и 02 (а, ста)-
3.264.	Пусть | и т] — случайные величины с функциями распре-
деления F(x) и G(x) соответственно. Доказать, что если
Р(|§ — т)| > е)<е
для некоторого положительного е > 0, то
L(F, G)^e.
3.265.	Пусть £ и т] — случайные величины с вероятностными
распределениями F и G соответственно. Доказать, что
Var(F, G) «С Р(£ =Н= т|).
3.266.	Доказать, что для любых функций распределения F (х) и
G(x) справедливы неравенства
L(^,G)<sup|F(^)-G(x)K(l + $)L(F,G),
X
тде P = supG'(a;), если G(x) дифференцируема, и £ = °° в против-
X
ном случае.
3.267.	Доказать, что для любых двух функций распределения
F (х) и G(x)
IF(F,G)^] \F (х)— G(x)\dx.
— оо
3.268.	Пусть и F2(x)— две функции распределения с оди-
2	2
паковыми математическими ожиданиями и дисперсиями Oi и о2
соответственно. Доказать, что
L(Fi, F2)	2(2 max {<Ji, о2})2/3.
3.269.	Пусть F(x) — функция распределения с нулевым матема-
тическим ожиданием и единичной дисперсией, Ф (я) — стандартная
нормальная функция распределения. Доказать, что
sup| F (х) — Ф (х) |	0,5416.
X
3.270.	Доказать, что для любых трех функций распределения
Fi(x), F2(x) и G(x) справедливо неравенство
sup | Fr * G (х) — F2 * G (x) | «С sup | F± (x) — F2 (x) |.
70
3.271.	Доказать, что для любых трех вероятностных распределе-
нии F), F2 и G справедливо неравенство
Var(F,*G, F2*G)^ Var(F„ F2).
3,272.	Доказать, что для любых трех функций распределения
д,, р2 и G справедливо неравенство
L(Ft*G, F2* G)^ L(Fit F2).
3.273.	Пусть Ft(x), ..., Fn(x), Gi(x), .. ., Gn (x) — произвольные
функции распределения. Доказать, что
gup | Ft * ... * Fn (x) — G± * ... * Gn (x) | --C 2 (sup | Fi (x) — G, (x) h.
x	i=l\ x	J
3.274.	Доказать, что для любых вероятностных распределений
. ., Fn(;r), G,(x), ..., Gn(x)
Var (Fj* ... » Fn, Gp ...*Gn)--C S Var(F,, G,)-
i=1
3.275.	Доказать, что для любых функций распределения
Fi (х), ..., Fn(x), Gt(x), ..., Gn(x)
L (Fx . * Fn, Gx * ... * Gn) <2 L (Fi, G,)
i=l
3.276.	Пусть | и f] — случайные величины с функциями распре-
деления F(x) и G(x) соответственно, £— случайная величина, не
зависящая от £ п ц и имеющая функцию распределения Н(х). До-
казать, что
sup | F (х) — G (х) | sup | F * Н (х) — G* Н (х)\ + Р (£ =/= 0).
X	X
3.277.	Доказать, что в условиях предыдущей задачи
Var(F, G)^Var(F*H, G • Н) + P(g #= 0).
§ 8. Многомерные распределения
3.278.	Каким условиям должны удовлетворять числа а, Ъ и с
для того, чтобы при подходящем выборе нормирующего множителя
А функция
А ехр {— (ах2 + 2Ьх + су2)}
являлась плотностью распределения вероятностей на плоскости?
3.279.	Пусть | — случайный вектор, принимающий значения в
И? . Доказать, что
ll^ll sS^llgH.
74
3.280.	Показать, что функция
(1 при х 4- у 0,
G (х, у) =	прИ х _|_ у < о
является непрерывной справа, возрастающей по каждой переменной,
но не является функцией распределения в R2. Показать то же са-
мое для функции G(x, y) = [x4-y] (целой части х + у).
3.281.	Случайные величины £2, и В* независимы. Доказать,
что случайные векторы r)=(§i, |2) и £ = (£3, £*) независимы. Верно
ли обратное?
3.282.	Привести пример разрывной двумерной плотности распре-
деления вероятностей, у которой обе маргинальные плотности не-
прерывны.
3.283.	Найти и сравнить маргинальные распределения равномер-
ного распределения в единичном квадрате с равномерным распре-
делением на его диагонали.
3.284.	Случайный вектор (В, ц) равномерно распределен в квад-
рате со стороной, равной единице, и диагоналями, совпадающими с
осями координат. Найти коэффициент корреляции величин £ и тр
3.285.	Пусть (£, т]) — случайный вектор, распределение которого
сосредоточено на некоторой прямой. Найти коэффициент корреля-
ции величин | и т].
3.286.	Каждая из случайных величин £, тр £ имеет нулевое ма-
тематическое ожидание и единичную дисперсию, причем выполнено
соотношение
4-	+ с£ = О
(а, b и с — вещественные числа, аЪс 0). Найти ковариационную
матрицу случайного вектора (£, тр £) и доказать, что
а‘ 4- Ы + с4 сЗ 2 (а2Ь2 4- а2с2 4- Ь2с2).
3.287.	Случайные векторы £ и т] независимы и каждый из них
имеет равномерное распределение в круге единичного радиуса с
центром в нуле. Найти плотность распределения суммы £ 4- тр
3.288.	Пусть £ = (£i, ..., £п) и 4=(tii, ..., т]„) — независимые
случайные векторы, принимающие значения в Rn. Доказать, что
для любых г, ysF случайные величины <|, хУ и <гр уУ (<•, •>—
скалярное произведение) независимы.
3.289.	Пусть |2, тр, тр — случайные векторы, принимающие
значения в Rn причем и и £2 не зависят от щ и ц2. Будут ли
независимыми случайные величины <£,, £2> и <тр, т]2>?
3.290.	Случайный вектор 5 *=(£i, Ы принимает значения (0, 0),
(0, 1), (1, 0), (1, 1), (0, 2), (1, 2), каждое с вероятностью 1/6.
Найти распределение случайной величины <£, е>, где е — вектор с
координатами (1, 1).
3.291.	Случайный вектор £ = (£,, |2) имеет равномерное распре-
деление в треугольнике с вершинами в точках (—1,0), (0, 1), (1,0).
72
Найти распределение случайной величины <g, е>, где е — вектор с
координатами (1/2, 1/2).
3.292.	Пусть 0 < а 1 и
f(x, у) = ((1 + ах) (1 + ay) — а)
при х>0, у>0 и f(x, у) = 0 при остальных х и. у. Доказать, что
у (я, У) — двумерная плотность распределения вероятностей, и найти
ее маргинальные распределения.
3.293.	Коэффициент корреляции случайных величин g и т] равен
единице. Может ли случайный вектор (g, т0 иметь плотность рас-
пределения?
3.294.	Пусть § — случайная величина с функцией распределения
F(x). Найти функцию распределения Fz(x, у) случайного векто-
ра (g, Ю-
3.295.	Случайная величина g имеет плотность распределения.
Будет ли иметь плотность распределения случайный вектор
(В, V, •••, Г)?
3.296.	Пусть g — случайная величина с функцией распределения
F(x). Найти функцию распределения Р2{х, у) случайного вектора
(ъ, HD-
3.297.	Пусть gb ..., g„ — независимые случайные величины с оди-
наковой функцией распределения F(x). Положим g = min {Sji,..g,J
и ц = max {gi, ..., g„}. Найти функцию распределения случайного
вектора (g, ц).
3.298.	Пусть g = (gi, ..., g„) —случайный вектор, принимающий
значения в О?”, А — неслучайная матрица из т строк и п столбцов.
Доказать, что
E(4g) = 4 (Eg).
3.299.	Случайный вектор g принимает значения в Rn и имеет
дискретное распределение. Доказать, что в R” найдется вектор е
такой, что распределение g однозначно восстанавливается по рас-
пределению случайной величины <g, е>.
3.300.	Вероятностное распределение в R” называется сфериче-
ски симметричным, если оно инвариантно относительно поворотов
вокруг нуля.
Пусть случайные векторы g и т] независимы и каждый из них
имеет сферически симметричное распределение. Доказать, что их
сумма g + т] также имеет сферически симметричное распределение.
3.301.	Пусть случайный вектор g = (gi, ..., gn) имеет сферически
симметричное распределение. Доказать, что случайные величины
gi, ..., g„ попарно некоррелированы.
3.302.	Доказать, что двумерное распределение, сосредоточенное
в п точках, полностью определяется своими проекциями на п+1
попарно неколлинеарных векторов.
3.303.	Привести пример независимых случайных векторов g и т],
принимающих значения в R" и таких, что при любом a s R" g + а
73
и т| + а имеют распределения, не являющиеся сферически симмет-
ричными, но распределение их суммы £ + т] сферически симмет-
рично.
3.304.	Пусть фДя, р) и ф2(^, у) — две нормальные двумерные
плотности распределения с одинаковыми математическими ожида-
ниями и дисперсиями, но разными ковариационными матрицами.
Положим
Ф (*> У) = у (Ф1 У) + Фг (*. У))-
Является ли плотность распределения 4 (х, у) нормальной?
3.305	(продолжение). Являются ли нормальными маргинальные
распределения у распределения с плотностью ф(я, р)?
3.306.	Пусть и(х)— нечетная непрерывная функция на прямой,
равная пулю вне интервала [-1,1], причем | и (х) | < Дока-
р 2ле
зать, что функция
x2+t/2
/ (*, у) •= 2Д-е 2 + и и (У)
есть двумерная плотность распределения, которое не является нор-
мальным, но его маргинальные распределения нормальны.
3.307.	Пусть £==(£,, ..., Ь) ~ случайный вектор, принимающий
значения в R” и имеющий нормальное распределение с матрицей
ковариаций
Д	°\
Л =	' • .
\0	’ 1/
Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
<£, е>, где е — произвольный единичный вектор в Rn.
3.308.	Случайная величина | имеет нормальное распределение с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Най-
ти распределение случайного вектора
т] =(1п 1^1, sign£).
3.309.	Доказать, что n-мерный случайный вектор £=(£4, . •£„)
имеет нормальное распределение тогда и только тогда, когда для
любого набора п вещественных чисел сь ..., сп линейная ком-
бинация
п
4=1
имеет нормальное распределение в D?1.
3.310.	Доказать, что если случайный вектор =	..., £п) рас-
пределен нормально с нулевым математическим ожиданием и еди-
74
яичной ковариационной матрицей, то случайная точка, представляю-
щая собой конец вектора g/ilgll, равномерно распределена на единич-
ной сфере в (Rn. Доказать, что то же самое справедливо для любо-
го случайного вектора, имеющего сферически симметричное распре-
деление.
3.311.	Пусть glt g2, g3— независимые одинаково распределенные
случайные величины,
Ее’*^ = f(t),	7 = 1,2,3, —оо<£<оо.
Найти
Ее 4 '	' ' ° 1 , — оо < и, н < оо.
3.312.	Доказать, что для того чтобы квадратная матрица размера
п X п была ковариационной матрицей некоторого «-мерного вероят-
ностного распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была
симметрична и неотрицательно определена.
3.313.	Пусть g и ц — случайные величины с коэффициентом кор-
реляции р. Доказать справедливость следующего двумерного анало-
га неравенства Чебышева:
Р (I £ — Е'ё I > е или I ц — Ец I > S VDq)	(1 +	1 — р2).
3.314.	Пусть
11’ • 	?1п
«^2,
711» ‘
матрица, составленная из случайных величин, имеющих одинаков
вое конечное математическое ожидание. Обозначим |И| определи-
тель матрицы А. Доказать, что если строки матрицы независимы, то
есть случайные векторы gi = (gn, . ..,gi„), ..., gn = (gni, ..., gnn)
независимы, то математическое ожидание определителя равно нулю:
Е|Л| = 0. Верно ли обратное? Будет ли справедливо утверждение
задачи в том случае, когда элементы матрицы имеют различные ма-
тематические ожидания?
§ 9. Разные задачи
3.315.	Пусть g15 ..., g„ — независимые одинаково распределенные
случайные величины, P(g; = /) = 1/N, j = 1, 2, ..., N. Найти веро-
ятность P(g4 = ... = g„).
3.316.	Пусть g17 ..., gn — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины, принимающие значения 1, 2, ..., N,
Цп = gi +... + gn. Доказать, что
Р(т]„ делится на «)> 1/Nn~l.
3.317.	Пусть а, Ъ и с — независимые случайные величины, а и b
имеют равномерное распределение на отрезке [—1, 1], а с принимает
75
значения —1, О, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно.
Найти вероятность того, что (случайная) функция f{x) не убывает
при х > 0, если:
а) / (х) — з + a, sin х; б) / (х) — ехр {ах — &х2};
в) /(x) = coscx; г) f{x) — {ab + с)х.
3.318.	Пусть £ — случайная величина с медианой иг£. Доказать,
что для любого вещественного а таЪ, = ат£.
3.319.	Пусть и £г — случайные величины с функциями распре-
деления Fi{x) и F2{x) соответственно. Доказать, что если Ft{x)^
<F2(x) для всех х, то
Е max {х, g j > Е max {х, %2}.
3.320.	Пусть ...,	— независимые случайные величины с ну-
левыми математическими ожиданиями и конечными третьими мо-
ментами. Доказать, что
Е(^+ ... +£п)3 = ЕЙ+ ... +Е&
3.321.	Пусть и £2— независимые случайные величины, | =
= gi + g2, М и Х2 — медианы распределений и g2, j/i и у2 — соот-
ветственно нижняя и верхняя квартили распределения случайной
величины £, то есть yt — число, удовлетворяющее условию
а у2 — число, удовлетворяющее условию
Доказать, что
j/i + Х2 5== у2.
3.322.	Пусть £1( ...,	— независимые одинаково распределен-
ные случайные величины с конечной дисперсией о2. Положим
ё = ^i + •••+&!
6 — п
Найти математическое ожидание случайной величины
fe=l
3.323.	Пусть £ — случайная величина с конечной дисперсией.
Доказать, что
р /_ 3 2 <	< 3,2^ > 0,9.
3.324.	Пусть | — случайная величина и
а~Е%, 0 < 6 = (Е(| — а)10)171’,
те
Доказать, что
Р (— 2 <	< 2) > 0, 999.
3.325.	Пусть — случайная величина с математическим ожида-
нием а и дисперсией а2. Доказать, что вероятность того, что § от-
клонится от а больше чем на Зо, не превосходит 1/9.
3.326.	Пусть g и р — случайные величины с конечными момен-
тами второго порядка. Доказать, что
Е(р - at - b)2 > Е(р -	- boy = (1 - р2) • Dp
для любых вещественных а и Ь, где
а0=------6g ’ &о = ЕП — аоЧ, p = cov(g, р)
и а0 = 0, если Dg = 0.
3.327.	Доказать, что последовательность моментов любой непре-
рывной функции распределения F(х) положительно определена, то
есть для любого целого положительного т и любых вещественных
т
t,fe=0
где
аг = f xld,F(x).
— ОО
3.328.	Пусть gb g2, . •.— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, каждая из которых имеет
равномерное распределение на отрезке [0, 1], и пусть v — случайная
величина, равная тому к, при котором впервые сумма р* = gi + ...
... + gft превосходит единицу. Найти Ev.
3.329.	Пусть g — случайная величина, имеющая симметричное
распределение и принимающая не менее трех значений. Доказать,
что на том же вероятностном пространстве найдутся независимые
невырожденные случайные величины р и g такие, что g = р • g.
3.330.	Пусть g и р — случайные величины. Доказать, что если
для любой непрерывной ограниченной функции /(х)
E/(g) = E/(p),
то g и р одинаково распределены.
3.331.	Имеется п шаров, среди которых к белых и п — к черных.
Наудачу выбирается v шаров, где v — случайная величина, прини-
мающая значения от 1 до п с равными вероятностями. Найти мате-
матическое ожидание числа белых шаров среди отобранных.
3.332.	Пусть gi, g^ ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, таких, что ₽(gi = gj) = O
77
при i j. Положим = 1, если g3 =С git и = 0 в остальных слу-
чаях, i, j — 1, 2, ... Пусть
Доказать, что гр, гр, ...— независимые случайные величины. Най-
ти распределение гр.
3.333.	Пусть е и р — случайные величины, определенные на од-
ном вероятностном пространстве. Расстоянием Ku-Фана между g и
р называется точная нижняя грань таких положительных е, что
P(l£ — pl > е)< е.
На вероятностном пространстве (Q, st, Р), представляющем со-
бой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевскпх подмножеств в качестве
st и мерой Лебега в качестве Р заданы две случайные величины g
и тр Найти между ними расстояние Ки-Фана, если:
(1 при О С/ со 1/2,	10 при 0^Ло^Х1/2,
а) = ^ (“) = (О при 1/2 < со < 1, 11 = П = (1 при 1/2<со<1,
б) g = % (со) = со, 1] = р (со) = со/2.
3.334.	Пусть g1; g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечным математиче-
ским ожиданием, а случайная величина v не зависит от g,, g2, ...
и принимает целые положительные значения. Положим т]„ = g, + ...
... + gn. Доказать, что Ещ = Eg, • Ev.
3.335.	Пусть
11 • •  ^in
I
A = 
nl • • • *пп
— матрица, элементами которой являются независимые случайные
величины с нулевыми математическими ожиданиями и одинаковыми
дисперсиями о2. Найти математическое ожидание и дисперсию опре-
делителя матрицы А.
3.336	(теорема Бирнбаума'). Пусть g, ц, g— случайные величи-
ны, причем g пе зависит от g и г] и имеет симметричное одновер-
шинное распределение. Доказать, что если
P(lgl «U)>P(|pl«U)
для любого t > 0, то
р(|£ + £| «=г)>Р(|т] + £| ^/).
3.337.	Пусть g1; ..., g„ и тр, ..., Цп —две совокупности незави-
симых в каждой совокупности случайных величин, имеющих сим-
метричные одновершинные распределения. Доказать, что если
P(lgJ =sU)^P(hd ^0
78
для любого t > 0 и всех к = 1, 2, ..п, то
(П
/<=1
t .
3.338.	Пусть	— независимые случайные величины, щ =
=	Fn (х) — функция распределения т]„, F(xt, ..., хп) =
= Р(ц, Жц ..., т]„ =5 хп). Доказать, что
F(xx, ..., zn)> П Fh{xk)
для любых xt, ..., х„.
3.339.	Доказать, что пи при каком целом положительном п > 2
ни на каком вероятностном пространстве не существует трех поло-
жительных целочисленных случайных величин £, ц, £, каждая из
которых приписывает всем числам 1, 2, ... положительные вероят-
ности, таких, что £ и ц независимы и
3.340.	Правомерно ли следующее рассуждение: «От дома до ра-
боты 1 км, хожу я в среднем со скоростью 5 км/час, следовательно,
в среднем на дорогу у меня будет уходить 12 мин»?
Глава 4
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Характеристические функции, также как и производящие функции и пре-
образования Лапласа, составляют основное аналитическое орудие изучения
вероятностных распределений, в первую очередь, распределений, возникаю-
щих при суммировании случайных величин.
Производящей функцией случайной величины £, принимающей целые не-
отрицательные значения, называется функция комплексной переменной
ОО
P(z) = EzS = 2 zhP£ = k), |z|<l.
fe=o
Если £ и г) — независимые случайные величины с производящими функ-
циями P(z) и Q(z) соответствеппо (говоря о производящих функциях, мы
всегда подразумеваем, что соответствующие случайные величины принимают
целые неотрицательные значения), то производящая функция суммы £ + ц
равна P(z)(?(z).
Характеристической функцией произвольной случайной величины £ назы-
вается функция вещественной переменной
f(t) = Ее1'*
(если F(х) — функция распределения £, то
ОО
/ (i) = J eitxdF(x)).
— оо
Характеристическая функция любой случайной величины обладает следующи-
ми свойствами;
1)	/(0) = 1, 1/(4) I 1 при всех 4;
2)	f(t) равномерно непрерывна на всей числовой оси;
3)	если а и Ь — постоянные, то характеристическая функция случайной
величины + 6 равна f(at)eilb (/(() — характеристическая функция £);
4)	если g и г; — независимые случайные величины с характеристически-
ми функциями /(<) и g(4), то характеристическая функция суммы | + ц рав-
на /(4)g(«).
Справедлива следующая
Теорема Бохнера — Хинчина. Для того чтобы непрерывная функция
/(4), заданная па вещественной оси и удовлетворяющая условию /(0) — 1,
была характеристической функцией некоторой случайной величины, необходи-
мо и достаточно, чтобы она была положительно определенной, т. е. при каж-
дом целом п > 0 для любых комплексных чисел zb ..zn и любых вещест-
венных чисел ti, ..tn
2 /(«A-tr) Vr>°-
k,r=l
Любая функция распределения однозначно определяется своей характе-
ристической функцией, при этом имеет место следующая формула обращения:
80
если F (х)—функция распределения и /(/)—соответствующая характеристи-
ческая функция, то
,	_ ~ИХ2
F (Ti) - F ('2) Г lirrl -------—7-------/ w
'	' 2/	2.4 7 ->оо J — it
-т
где xi и х2 — произвольные точки непрерывности F(x).
Справедлива также
Теорема непрерывности. Последовательность функций распределения
{F„(x)}, п = 1, 2, ... слабо сходится к некоторой функции распределения
F(x) тогда и только тогда, когда соответствующая последовательность харак-
теристических функций	сходится к непрерывной в нуле функции /(/)
При этом /(t) есть характеристическая функция предельного распределения
F(x) и сходимость /п(0 к /(/) равномерна на каждом конечном отрезке.
Существует тесная связь между моментами вероятностного распределе-
ния и производными соответствующей характеристической функции. Так, если
Е|£|*<оо (к 5г 1), то характеристическая функция /(г) случайной величи-
ны £ к раз дифференцируема и
. ь dk
E£h-=(- i)
53/0
В свою очередь, существование производной
влечет за собой
f=o
существование абсолютного момента порядка 2к: Е|£|2А < оо.
Пусть Е|£|*<оо. Если <р(г)—характеристическая функция случайной
величины то величина
ь d
называется семиинвариантом случайной величины £ порядка к. В частности,
zj = Е£, Хг = D£, х3 = Е(£ — Е£)3. Существуют соотношения, связывающие
между собой моменты и семиинварианты.
Преобразованием Лапласа неотрицательной случайпой величины £ назы-
вается функция
ср (s) = Ee-S*
(если F(x) —функция распределения £, то
СЮ
<р (s) = J e~sxdF (.г)).
о
Распределение однозначно определяется своим преобразованием Лапласа.
При сложении независимых случайных величин соответствующие преобра-
зования Лапласа перемножаются.
§ 1.	Производящие функции
4.1.	Пусть g—неотрицательная целочисленная случайная вели-
чина с производящей функцией <p(z). Найти производящие функ-
ции случайных величин £ + п и (п — целое неотрицательное
число).
б А. В. Прохоров и др.
81
4.2.	Найти распределения, которым соответствуют следующие
производящие функции:
а) (1 + z)2; б) р (1 — gz)-1, р, q > 0, р + q = 1;
в) еМг-1>, Л>0; г) (р + qz)n; ц) 7~сЬз;
е)	In (1 — z)j.
4.3.	Найти распределение, отвечающее производящей функции
/1 \ 1
tp(z), если <р 1^1 = п «= 1, 2,, ...
4.4.	Доказать, что функция ф(г) = |г| не может быть произво-
дящей функцией вероятностного распределения.
4.5.	Пусть £ — случайная величина, принимающая целые неот-
рицательные значения, ф (z) — ее производящая функция. Дока-
зать, что
п
₽(£ = 0) = Ит-^2
п ft=1
где	щ-’-О при к -> °°.
4.6.	Пусть £ — случайная величина, принимающая целые неот-
рицательные значения, ф(г) — ее производящая функция. Дока-
зать, что Р(£ = 0) = 0 тогда и только тогда, когда сходится ряд
ОО
2 <1-
n=i Z !
При каких значениях параметров дробно-линейпая функ-
ция ф (z) = с является производящей функцией вероятност-
ного распределения?
4.8.	Пусть £ и т] — случайные величины, причем | принимает
значения 0 и 1 с вероятностями 1/2 каждое, а ц — значения 0, 1,
2, 3 с вероятностями 1/8, 1/4, 1/2 и 1/8 соответственно. Доказать,
что не существует случайной величины £, не зависящей от £ и
такой, что £ + £ = ц.
4.9.	Пусть | и т] — случайные величины, причем £ принимает
значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/2, 1/4, 1/4, а ц— значения 0, I,
2, 3, 4 с вероятностями 6/10, 1/10, 1/10, 1/10, 1/10 соответственно.
Доказать, что не существует случайной величины £, не зависящей
от £ и такой, что £ + £ = г].
4.10.	Пусть § и ц — независимые случайные величины, причем
| + т| принимает значения 0, 1, 2 с вероятностями 1/3 каждое.
Доказать, что одна из величин g и т| имеет вырожденное распре-
деление.
4.11.	Пусть F(x), Ft(x), F2(x), ...— последовательность функ-
ций распределения неотрицательных целочисленных случайных ве-
82
личин, <p(z), <fi(z), <p2(z), ... — соответствующие им производящие
функции. Доказать, что если <p„(z) -* <p(z) при	то Fn(x)^>-
-+F(x) равномерно по х.
4.12.	Пусть g2, ... — последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, F(x)—функция распре-
деления £i, и пусть v — положительная целочисленная случайная
величина, не зависящая от gj, £2, ... и имеющая производящую
функцию tp(z). Доказать, что функция распределения случайной
величины тах{^, ..., gv} равна дД/'Дя));
§ 2.	Характеристические функции и их основные свойства
4.13.	Пусть f(t) — характеристическая функция случайной ве-
личины £, а и Ь — вещественные числа. Найти характеристическую
функцию случайной величины + Ъ.
4.14.	Пусть /(£)—характеристическая функция случайной ве-
личины £. Найти характеристическую функцию случайной вели-
чины —£.
4.15.	Доказать, что характеристическая функция четна тогда и
только тогда, когда соответствующая функция распределения F (х)
удовлетворяет соотношению
F(z)=l-F(-x-0).
4.16.	Доказать, что характеристически функция вещественна
тогда и только тогда, когда она четна.
4.17.	Доказать, что четная характеристическая функция <p(t)
представима в виде
ОО
<р (£) = J cos tx dF (х),
— ОО
где F(x)—соответствующая функция распределения.
4.18.	Пусть | и г] — независимые, одинаково распределенные
случайные величины с характеристической функцией f(t). Найти
характеристическую функцию случайной величины £ — ц.
4.19.	Доказать, что следующие функции не могут быть характе-
ристическими:
a)
б)	щ cos t + ... + ап cos nt + bi sin t + ... + bn sin nt, bt •... •	#= 0,
где все a,i и b( — вещественные числа.
4.20.	Доказать, что характеристическая функция любого рас-
пределения равномерно непрерывна на всей вещественной прямой.
4.21.	Является ли функция cos t2 характеристической?
4.22.	На вероятностном пространстве (Q,	Р), представля-
ющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств
и мерой Лебега, определена случайная величина £(<в). Найти ее
характеристическую функцию, если:
6*	ЙЧ
|2и, 0 и sgC 1/2,
а) В (®) = [2<й — 1, 1/2 < <й < 1;
6П(<й) = 1п<й, |(О) = О;
(1, 0^<й<1/3,
в) В (®) -
О, 1/3 < и < 2/Зл
1, 2/3 С и С1.
4.23. Найти характеристическую функцию, отвечающую плотно-
1 ~
сти распределения , — °° <3 х <. °о.
4.24.	Найти характеристические функции следующих распреде-
лений:
а) равномерного распределения на отрезке [а, Ь]; б) биномиаль-
ного распределения; в) распределения Пуассона; г) распределения
Коши; д) показательного распределения; е) нормального распределе-
ния; ж) геометрического распределения; з) отрицательного биноми-
ального распределения.
4.25.	Характеристическая функция суммы двух случайных вели-
чин равна произведению характеристических функций слагаемых.
Можно ли утверждать, что слагаемые независимы?
4.26.	Пусть |=(|i, ..., |п)—случайный вектор в К”»
f(ti, ..., tn)—его характеристическая функция, A(t), ..., fn(t)—
характеристические функции случайных величин |1( ..., |п. Дока-
зать, что для того, чтобы gi, ..., были независимы, необходимо
и достаточно, чтобы для любого набора вещественных ti, ..., tn вы-
полнялось равенство
/(ii,
= П/г(<г).
i=l
.. •, tn)
4.27.	Пусть | = (|(, •••» |n) — случайный вектор в 0?n,
/(£(, ..., tn)—его характеристическая функция, A(t)» •••» fn(t)—
характеристические функции случайных величин |t, ..., |„. Пока-
зать, что из равенства
Ж 0 = ПЛ(0
i=l
для любого вещественного t не следует независимость случайных
величин |4, ..., |„.
4.28.	Пусть fi(t), h(t), ... — характеристические функции,
а2, ...— неотрицательные числа, такие, что щ + а2 + ... и 1. До-
казать, что функция
ОО
g (0 - 2 (О
i=l
является характеристической функцией.
4.29.	Пусть функция f(t, a), t, aeff, удовлетворяет следу-
ющим условиям:
84
а) при каждом фиксированном a f(t, а) является характеристи-
ческой функцией, б) при каждом фиксированном t f(t, а) измерима.
Доказать, что для любой функции распределения F(x)
ОО
?(0- У /(^ a)dF(fl)
—оо
характеристическая функция.
4.30.	Пусть /(f)—произвольная характеристическая функция.
Доказать, что функция 2/(2 — /(f))—1 также является характе-
ристической.
4.31.	Пусть F(ж) — функция распределения с характеристиче-
ской функцией /(f). Доказать, что Re/(f) является характеристи-
ческой функцией, и найти соответствующую функцию распреде-
ления.
4.32.	Пусть F(x) — функция распределения с характеристиче-
ской функцией /(f). Доказать, что |/(t)|2 является характеристи-
ческой функцией, и найти соответствующую функцию распреде-
ления.
4.33.	Пусть и г) — независимые случайные величины, каждая
из которых имеет несимметричное распределение. Может ли слу-
чайная величина g + ц иметь симметричное распределение?
4.34.	Пусть § — случайная величина с характеристической функ-
цией /(f) и пусть для некоторого а Р(£ = а)>1/2. Доказать, что
/(f) не обращается в нуль нигде на вещественной прямой.
4.35.	Пусть § — случайная величина с вещественной характери-
стической функцией /(f). Доказать, что если Р(£ = а)>1/4 при
некотором а =/=(), то /(f) обращается в нуль бесконечное число раз.
4.36.	Привести пример характеристической функции, обраща-
ющейся в нуль, но лишь конечное число раз.
4.37.	Найти распределения, которым соответствуют следующие
характеристические функции:
a) cosf; б) cos2Z;b) e-t ; г) д)	е)  j ; ж)
з) e-|/|cosf.
4.38.	Пусть £2, ... — последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, v — случайная величина,
не зависящая от glt g2, ... и принимающая целые положительные
значения, рк = P(v = к). Пусть /(f)—характеристическая функ-
ция gi. Найти характеристическую функцию случайной величины
£, + ... + gv
4.39.	Доказать, что функция
fl-|f|, |f|<l,
I 0,	|t|>l
является характеристической функцией.
85
4.40.	Доказать, что любая четная непрерывная функция выпук-
лая при ОО и такая, что 0</(£)^1 и /(0)=1, является харак-
теристической функцией.
4.41.	Существуют ли две различные характеристические функ-
ции, совпадающие на некотором отрезке, содержащем начало коор-
динат?
4.42.	Доказать, что при любом 0 < а < 1 функция
/ (0 = —-—
м 1 i + 111“
является характеристической функцией.
4.43.	Пусть /(f)—характеристическая функция непрерывного
распределения. Доказать, что |/(£)|< 1 при t=#0.
4.44.	Пусть g— случайная величина с симметричным непре-
рывным распределением. Доказать, что характеристическая функ-
ция случайной величины max {0, g} нигде не обращается в нуль.
Можно ли отказаться от условия непрерывности?
4.45.	Пусть gl5 g2, ••• — независимые одинаково распределенные
целочисленные случайные величины, ц„ = g4 +... +g„. Доказать,
что если 0<P(gi делится на два)<1, то
ИтР (ц„ делится на два) = 1/2.
П-»оо
4.46.	Пусть /(i)—произвольная характеристическая функция.
Доказать, что для любого вещественного t справедливы неравенства:
a) 1 — Re/(2i)C 4(1 — Re/(f)); б) 1 -1/(2?) I2 4(1	|2);
в) l-Re/(2i)^2(l-(Re/(i))2); г) 1 —1/(2«) |< 2 (1 —1/(«) I2);
д) 1 —1/(20 |С 4(1 -l/(i) I).
4.47.	Доказать, что для любой характеристической функции f(t)
и любого целого неотрицательного п справедливы неравенства
a)	l-Re/(£)>l(l-Re/(2n0);
б)
4.48.	Доказать, что для любой характеристической функции
/(f) и любого целого цеотрицательного п справедливы неравенства
а)	1 — Re и(1 — (Re f(t) )")^ ra2(l — Re f(t));
б)	1-|/(Щ)|2^п(1-|/(«)12п)^м2(1-1/(#)12).
4.49.	Пусть f(t) —характеристическая функция, с и b— поло-
жительные постоянные. Доказать, что если \f(t) |sg с при то
4 _ с2
при Ъ.
4.50.	Характеристическая функция f(t) называется саморазло-
жимой, если для любого 0 < с < 1 существует характеристическая
функция /<,(£), такая, что f(t) = /(ct)/c(i). Доказать, что самораз-
86
ложимая характеристическая функция нигде
нуль.
4.51.	Пусть F (х)—функция распределения
ской функцией f(t). Доказать, что для любого
не обращается в
с характеристиче-
t>0
n/t
l-Re/(f)>^ f x2dF(x).
n Л/t
4.52.	Пусть и т] — независимые случайные величины с функ-
циями распределения F(x) и G(x) и характеристическими функ-
циями f(t) и g(i) соответственно. Найти характеристическую функ-
цию ф(0 случайной величины £ • ц.
4.53.	Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
ской функцией <p(i). Найти n-мерную функцию распределения
G(xt, ..., хп), соответствующую характеристической функции
ф(£й ..., tn) = ф(Л + ... + tn).
4.54.	Пусть — случайная величина, имеющая распределение
Коши. Могут ли существовать две независимые случайные величи-
ны и |2, такие, что £ = + g2 и одна из них имеет равномерное
на некотором отрезке распределение?
4.55.	Пусть £, ц и £ — случайные величины, причем £ не зави-
сит от £ и ц. Распределения случайных величин g + £ и ц + £
совпадают. Можно ли утверждать, что распределения случайных
величин £ и ц совпадают?
4.56.	Пусть g, ц и £ — случайные величины, причем £ не зави-
сит от £ и ф Доказать, что если распределения случайных величин
£ + с£ и ц + с£ совпадают при любом с > 0, то совпадают распре-
деления Е и т].
4.57.	Пусть g и ц — независимые одинаково распределенные
симметричные случайные величины, причем величины g — ц и
Igl — Iт|I одинаково распределены. Найти распределение g.
4.58.	Пусть F(x) и G(x)—произвольные функции распределе-
ния, f(t) и g(0—соответствующие характеристические функции.
Доказать, что
ОО	оо
J f(t)dG(t) = f g(u)dF(u).
— со	— оо
4.59.	Пусть ф (t) — характеристическая функция. Доказать, что
функция
t
/ (0 = у [ ф («) du
о
также является характеристической функцией.
87
4.60.	Пусть tp(i)—характеристическая функция. Доказать, что
при любом р > 0 функция
t
u₽”ldu
о
является характеристической функцией.
4.61.	Пусть g(t) — характеристическая функция и р — произ-
вольное положительное число. Доказать, что функция
является характеристической функцией.
4.62.	Пусть последовательность функций распределения Fl(x)T
F2(x), ... равномерно на всей прямой сходится к функции распре-
деления F(x). Можно ли утверждать, что соответствующая после-
довательность характеристических функций Л(<), Л(0, ... равно-
мерно на всей прямой сходится к характеристической функции
распределения F?
4.63.	Пусть F^x), F2(x), .... — последовательность функций
распределения, /г(0» ••• — соответствующая последователь-
ность характеристических функций. Доказать, что если lim 1
П->эо
для всех —е<£<е, где е > 0, то Fn(x) слабо сходится при п -> <»
к вырожденному в нуле распределению.
4.64.	Пусть Fi(x), F2(x), ... и бДх), G2(x), ... — две последо-
вательности функций распределения и пусть существует функция
распределения F(x), такая, что обе последовательности Fn и
Fn * Gn слабо сходятся к F при п -* Доказать, что последова-
тельность Gn слабо сходится к вырожденному в нуле распределению.
4.65.	Доказать, что последовательность функций распределения
Filx"), F2(x), ... слабо сходится к некоторой функции распреде-
ления F(x) тогда и только тогда, когда соответствующая последо-
вательность характеристических функций ft(£), /з(0, ... сходится
к некоторой функции f(t) и эта сходимость равномерна в некото-
рой окрестности нуля.
4.66.	Пусть F(x), Ft(x), F2(x), ...— последовательность функ-
ций распределения, /(/),	A(i), ... — соответствующая после-
довательность характеристических функций. Доказать, что если
для любых а С Ъ
ь	ь
lim j (Z) dt = / (t} dt,
H->o° a	a
to Fn слабо сходится к F.
4.67.	Пусть f(t)—характеристическая функция и для беско-
нечно возрастающей последовательности h2, ... функции
88
j(t)g(hnt) также являются характеристическими. Доказать, что в
этом случае g(t)—характеристическая функция.
4.68.	Пусть F(x) и G(x)—функции распределения, f(t) и
g (f) — соответствующие характеристические функции. Доказать,
что
supl/(f)-g (f)|<2Var(Ff G).
t
4.69.	Пусть /i(f), /2(f), ... — последовательность характеристи-
ческих функций. Доказать, что следующие два условия эквива-
лентны:
а)	произведения
п
Hfi(t)
1=1
сходятся при п -* оо равномерно на каждом компактном подмноже-
стве прямой,
б)	произведения
Пл(о
4=1
сходятся при п оо к ненулевому пределу на некотором множестве
положительной лебеговой меры.
§ 3.	Связь свойств характеристических функций
со свойствами распределений. Неравенства
4.70.	Доказать, что характеристическая функция /(f) соответ-
ствует решетчатому распределению тогда и только тогда, когда су-
ществует вещественное число to^O, такое, что l/(f0)l — 1.
4.71.	Пусть /(f)—характеристическая функция. Доказать, что
если найдутся tt и f2, такие, что tjt2 иррационально и l/(ti) I =
*=l/(f2) 1= 1, то l/(f) 1^ 1.
4.72.	Пусть характеристическая функция /(f) равна единице в
некоторой точке f0 > 0. Доказать, что f0 является периодом функ-
ции /(f).
4.73.	Привести пример решетчатого распределения, характери-
стическая функция которого непериодична.
4.74.	Пусть решетчатое распределение сосредоточено на некото-
ром подмножестве множества точек ак, k — Q, ±1, ±2, ... Дока-
зать, что характеристическая функция такого распределения пе-
риодична.
4.75.	Доказать, что характеристическая функция любого решет-
чатого распределения представима в виде e<ia/(f), где /(f)—пе-
риодическая функция, а а — вещественное число.
4.76.	Может ли вещественная часть характеристической функ-
ции быть периодической функцией, а мнимая — нет?
89
4.77.	Пусть u(t)—вещественная часть некоторой характеристи-
ческой функции, a v(t) —мнимая часть некоторой другой характе-
ристической функции. Будет ли, вообще говоря, функция u(t) +
+iv(t) характеристической?
4.78.	Пусть f(t) —характеристическая функция чисто дискрет-
ного распределения. Доказать, что
limsup | f(t) | — 1.
|tI-»OO
4.79.	Доказать, что плотность распределения, отвечающая абсо-
лютно интегрируемой характеристической функции, непрерывна.
4.80.	Доказать, что дифференцируемая в нуле характеристиче-
ская функция непрерывно дифференцируема на всей прямой.
4.81.	Доказать, что функция
11 —t2, p|<t
I 0,	р|>1
не может быть характеристической функцией.
4.82.	Пусть — случайная величина с характеристической функ-
цией f(t). Доказать, что если для некоторого целого положитель-
ного п E|g|n<oo, то f(t) п раз дифференцируема и
4.83.	Доказать, что характеристическая функция случайной ве-
личины £ с распределением
Р (£ = 2*) = Р (£ = - 26) =А: = 2, 3, ...
/С 1П к
дифференцируема в нуле, но Eg не существует.
4.84.	Пусть — случайная величина с характеристической функ-
цией f(t) и с конечным математическим ожиданием. Доказать, что
оо
е1?|=4J
—оо
4.85.	При каких вещественных а функция
является характеристической, а при каких — нет?
4.86.	Является ли функция е характеристической функцией?
4.87.	Пусть f(t) — характеристическая функция случайной ве-
личины, имеющей конечную дисперсию. Доказать, что при доста-
точно малом е>0 функция l/(i)l не возрастает при 0<£<е и
не убывает при —е < t < 0.
90
4.88.	Пусть f(t) —характеристическая функция симметричного
распределения, ак — соответствующий момент порядка к. Доказать,
что:
а) Ию«!> _	1)Ч,; 6)
t-^0	1	t^O	*
4.89.	Пусть /1(4) и f2(t)—характеристические функции сим-
метричных распределений и для некоторых положительных <Xi и а2
в некоторой окрестности нуля выполняется равенство
#Ю/“2 (*) = *<
Доказать, что распределения, отвечающие характеристическим
функциям Д(£) и fz(t) имеют конечные дисперсии.
4.90.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать,
что распределения, отвечающие характеристическим функциям
j,(t) и /2(i), имеют моменты всех порядков.
4.91.	Выразить первые четыре семиинварианта случайной вели-
чины через математическое ожидание и центральные моменты.
4.92.	Доказать, что при линейном преобразовании %' = 0% + b
случайной величины £ ее семиинварианты изменяются по закону
х, = ахх + Ъ, хп = а”хп (га >• 1).
4.93.	Доказать, что для любой случайной величины g и любого
и > О
и
P(R|> 2/u)<| J (l-<p(f))df,
где <p(f)—характеристическая функция
4.94.	Пусть £ — случайная величина с характеристической функ-
цией f(t). Доказать, что если 1 — /(i) = o(|f|“) при t 0, то
Р ( I ВI > х) = о (х~а) при Х-*оо.
4.95.	Пусть £ — случайная величина с вещественной характери-
стической функцией /(f) и дисперсией о2. Доказать, что
,2 2
4.96.	Пусть | — случайная величина с характеристической функ-
цией /(f) и дисперсией о2. Доказать, что если t0 — наименьший
положительный корень f(t), то £0>1/о.
4.97.	Пусть /(f)—характеристическая функция распределения,
имеющего конечную дисперсию. Доказать, что существуют поло-
жительные постоянные сие, такие, что
.2
npil If 1^8.
91
4.98.	Пусть f(t) —характеристическая функция случайной ве-
личины, имеющей конечное математическое ожидание. Доказать,
что найдутся положительные постоянные сие, такие, что
l/(i) |> е-»1'1
при |4|s£e.
4.99.	Доказать, что для характеристической функции /(f) люоой
невырожденной случайной величины £ существуют положительные
постоянные б и е, такие, что
|/(i) 1^1 — eia
при |4|^б.
4.100.	Пусть /(4)—характеристическая функция. Доказать,
что если /(4)= 1 + w>(4) +о(42) при 4-*0, где w(t) = — w(—t),
то fit)*3 1.
4.101.	Пусть £ — ограниченная случайная величина, I g I С с,
имеющая симметричное распределение с характеристической функ-
цией /(4) и дисперсией о2. Доказать, что
-V?
0</(4)<е 31
1 л. I
при р|<2?
4.102.	Пусть В — ограниченная случайная величина, |£|<с,
с характеристической функцией /(4) и дисперсией о2. Доказать, что
1/(01<* 31
при и < £•
4.103.	Пусть — случайная величина с характеристической
функцией /(4) и дисперсией о2. Доказать, что для любого с<2о*
найдется е > 0, такое, что
при |4|^е.
4.104.	Пусть — случайная величина с характеристической
функцией /(4). Доказать, что если £|^|2 = °°, то для любого с>0
найдется е > 0, такое, что
при |4|=^е.
4.105.	Пусть р(х)—симметричная одновершинная плотность
распределения, /(4)—соответствующая характеристическая функ-
ция. Доказать, что если
р(0)< А < оо,
92
то
\f(t) |< 2A/|t|
при любом вещественном t.
4.106.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи. Доказать,
что
1 / I Bin W2^
17 WI ** t/2A
при
4.107.	Пусть F(x) — функция распределения, f(t) —соответству-
ющая характеристическая функция. Доказать, что для любого г > О
t2 j xzdF(x)^3\l-j(f)\
— Г
при |i|< 1/г.
4.108.	Пусть и — случайные величины с характеристиче-
скими функциями /i(t) и Д(£) и дисперсиями а? и соответ-
ственно, причем существует е>0, такое, что \fi(t)\>\f2(t) I при
0<|tl<e. Может ли быть:
а)о1>о2, б) О, < О2, в) о, = о2?
4.109.	Доказать, что распределение с дифференцируемой харак-
теристической функцией f(t) имеет конечную дисперсию тогда и
только тогда, когда существует е > 0, такое, что функция
f'W~ Г (0)
t
ограничена при 0<|i|< е.
4.110.	Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
ской функцией f(t). Доказать, что если для некоторого положи-
тельного X < 2 и некоторой последовательности tlt t2, ..., такой,
что tn -* 0 при п -> оо, выполнены неравенства
(с — положительная постоянная), то
J | х \6dF (х) — оо
•—ОО
для всех б > X.
4.111.	Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
ской функцией f(t). Доказать, что F(x) имеет конечную диспер-
сию тогда и только тогда, когда существуют с > 0 и последователь-
ность ii, t2, ..., такие, что tn -* 0 при п -* <» и
-ct2
п, п = 1,2,...
93
4.И2	. Пусть F(x)—функция распределения с характеристиче-
ской функцией /(1). Доказать, что если существует последователь-
ность ii, t2, такая, что t„ -> 0 при п -> оо и
д°1 /(*»)! . г 0
при «->00, т0 F(x)—вырожденная функция распределения.
4.113.	Пусть В — неотрицательная случайная величина с плот-
ностью распределения р(х) и характеристической функцией f(t).
Доказать, что если р(х) монотонно убывает при ж>0, то f(t)
нигде не обращается в нуль.
4.114.	Пусть В — неотрицательная случайная величина с плот-
ностью распределения р(х) и характеристической функцией /(<).
Доказать, что если р(х) монотонно не возрастает при	то
при t> О
§ 4.	Формулы обращения
4.115.	Пусть F(x)—функция распределения, /(£)—соответ-
ствующая характеристическая функция. Доказать, что если /(£)
абсолютно интегрируема, то F(x) абсолютно непрерывна и соответ-
ствующая плотность распределения выражается формулой
оо
Р (х) = J е_,'7 (Z) dt
—оо
4.116.	Доказать, что плотность распределения р(ж), отвечающая
вещественной интегрируемой характеристической функции /(<) вы-
ражается формулой
оо
р (х) — J cos txf (/) dt.
—оо
4.117.	Пусть р(х) — плотность распределения с характеристиче-
ской функцией f(t). Доказать, что если j(t) симметрична, поло-
жительна и интегрируема, то р(^) имеет единственный максимум.
В какой точке он достигается?
4.118.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи и, кроме
того, существует вторая производная р" (х). Доказать, что для
любого х О
2
Р (0) > р (х) > р (0)— р" (0).
34
4.119.	Доказать, что распределение с характеристической
функцией
е-и1“	(0<а<2)
имеет ограниченную плотность.
4.120.	Пусть характеристическая функция f(t) такова, что
/(2) = 0 при |2|> с (с>0). Доказать, что соответствующее распре-
деление имеет ограниченную плотность р(х), причем
sup р (х) с/л.
4.121	(равенство Парсеваля). Пусть р(х)—плотность распре-
деления с характеристической функцией f(t). Доказать, что если
функция р2(х) интегрируема, то
J p2(x)dx = -^ J \f(t)\2dt.
4.122.	Пусть —целочисленная случайная величина с харак-
теристической функцией/(2). Доказать, что
₽(£ = *) = A. J e~ithf(t)dt, k = Q, ±1, ..
4.123.	Пусть F (х) — функция распределения с характеристиче-
ской функцией /(2). Доказать, что для любого х
Jim A f / (2) e~itxdt = F (х + 0) - F (х - 0).
4.124.	Пусть F(x) — функция распределения с характеристиче-
ской функцией /(2). Доказать, что F(x) непрерывна тогда и толь-
ко тогда, когда
4.125.	Пусть — дискретная случайная величина, принимающая
значения xt, х2, ... с вероятностями р1; р2, ..., /(2)—соответ-
ствующая характеристическая функция. Доказать, что
95
4.126.	Пусть /(£) — характеристическая функция, такая, что
lim inf Re / (t) a > 0.
f-»oo
Доказать, что функция
является характеристической функцией.
4.127.	Доказать, что для любого вещественного а, такого, что
0=Са<1, существует характеристическая функция /(Л, удовлет-
воряющая соотношению
lim/(t) =• а.
f—>оо
4.128.	Пусть а — отрицательное число, |al< 1. Существует ли
характеристическая функция /(f), такая, что
lim / (0 =» а?
f-*oo
4.129.	Пусть |2, ...-“Последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин, принимающих целые
значения, т]„ = +... +Доказать, что если £t не постоянна с
вероятностью 1, то
sup Р (т]п “ к) -> 0
h
при п^- оо.
4.130.	Пусть F(x) a G (х) — функции распределения, f(t) и
g (t) — соответствующие характеристические функции. Доказать,
что
С»
SUp|^(x)-G(x)|<4- f I \dt.
х	J I * I
—oo
4.131.	Пусть f(t) и g(t) — абсолютно интегрируемые характе-
ристические функции, р (х)’ и q (х) — соответствующие плотности
распределения. Доказать, что
ОО
sup|p(x) — ?(х)|<2^ J 1/(0 — g(i)ldt-
*—09
4.132.	Пусть F(x) и G(x) — функции распределения с симмет-
ричными плотностями распределения р(х) и д(х) и неотрицатель-
ными характеристическими функциями /(t) и g(0, причем
sup р (х) Ai sup q (х)	В,
а	а
«а
Доказать, что для любого положительного Т
т
I I? t \	С I fW-gW hf . 2(4 + 5)
sup I F (x) — G (x) К — J I------| at H----?---.
4.133.	Пусть § и т) — целочисленные случайные величины с ха-
рактеристическими функциями /(£) и g(t) соответственно. Дока-
зать, что
Л
sup| Р (£ = п) - Р(Т] = п)\< A- J
п	—л
§ 5.	Преобразование Лапласа
4.134.	Пусть — неотрицательная случайная величина, <р(и) —
соответствующее преобразование Лапласа. Найти преобразование
Лапласа случайной величины а^+Ь (а,Ь^0).
4.135.	Найти преобразование Лапласа равномерного на отрезке
[О, 1] распределения.
4.136.	Пусть q>i(w), ф2(м), ... — преобразования Лапласа неко-
торых вероятностных распределений, aif а2, ... — неотрицательные
числа, такие, что
2а; = 1.
1=1
Доказать, что функция
ф («) = 2 адь (u)
является преобразованием Лапласа некоторого вероятностного рас-
пределения.
4.137.	Пусть ф(п) —преобразование Лапласа некоторогс вероят-
ностного распределения. Доказать, что функция
2 — <р (и)
также является преобразованием Лапласа.
4.138.	Найти преобразование Лапласа распределения, характери-
стическая функция которого равна
itn
( sin (i/2) \n n 2
t7F“) e ’
4.139.	Доказать, что преобразование Лапласа любого невырож-
денного распределения есть монотонно убывающая функция.
7 А. в. Прохоров и др.	97
4.140.	Доказать, что преобразование Лапласа любого распреде-
ления есть выпуклая функция.
4.141.	Функция <р(и), определенная на положительной полуосй,
называется вполне монотонной, если она имеет производные всех
порядков, причем все четные производные неотрицательны, а не-
четные — неположительны:
(—1)"<р<п)(и)> 0, и>0.
Доказать, что преобразование Лапласа любого распределения есть
вполне монотонная функция.
4.142.	Показать, что каждая из указанных ниже функций не
может быть преобразованием Лапласа вероятностного распреде-
ления:
'	(1,	(1 — t,
">'H (>1;	Ч/И-)	(>1."
в) / (t) = ie-t; г) / (t) = e~f + д) / («) = е~‘2.
4.143.	Пусть £г> .. • — последовательность независимых оди-
наково распределенных неотрицательных случайных величин, v —
положительная целочисленная случайная величина, не зависящая
от |2, ... Обозначим <р(и) преобразование Лапласа a p(s) —
производящую функцию v. Найти-преобразование Лапласа случай-
ной величины +... + £«
§ 6. Разные задачи
4.144.	Пусть •••, В»— независимые одинаково распределен-
ные случайные величины, имеющие распределение Коши с плот-
ностью
Р	' / 1—2? •
' л (1 + ж2)
Найти плотность распределения случайной величины
4.145.	Пусть ср (£)—характеристическая функция. Доказать, что
функция
t
/ (f) = ЛЦ11 J ф (м) du
о
является характеристической функцией абсолютно непрерывного
распределения.
98
4.146.	Существует ли вероятностное распределение, сосредото-
ченное на конечном отрезке и такое, что его характеристическая
функция отлична от нуля всюду на вещественной прямой.
4.147.	Пусть функции Л(х), /2(2:), fs(x) удовлетворяют соот-
ношению
ОО
/3(ж)= J Л (х — и} /2 (и) du.
— ОО
Найти Д(х), если:
1	2
а) Л (х) = л(1 + х2)’ /з (z) = л(4 + х2);
0 k (х) = е-*2, /3 (х) = е~х2/\
4.148.	Доказать, что интегральное уравнение относительно не-
известной функции x(t)
ОО
С х (t) dt —у2
J (у — ^)2 + 1
— ОО
не имеет решений в классе неотрицательных функций.
4.149.	Доказать, что интегральное уравнение
ОО	ОО
J 2(i-cos(y-J)).x(z)rf^_L J e-^maxJo,
— 00	— 00
относительно неизвестной функции х(1) имеет бесконечно много
решений в классе неотрицательных функций.
4.150.	Существуют ли невырожденные случайные величины
|2, тр, т]2 такие, что не зависит от |2, щ не зависит от ц2,
Й!<Ец?<оо,. 1=1, 2, но Е(£, + UY > Е(ц, + щ)4?
4.151.	Пусть /(1)—характеристическая функция, у которой су-
ществует производная порядка 2п (га>0). Доказать, что функция
является характеристической функцией вероятностного распреде-
ления.
4.152.	Пусть /(1)—характеристическая функция, у которой
всюду на вещественной прямой существует производная порядка
2п — 1. Доказать, что распределение, отвечающее характеристиче-
ской функции /(1) имеет конечный момент порядка 2п тогда и
только тогда, когда существует е > 0, такое, что функция
/2П-1) щ __ ^(2П-1)
I
ограничена при 0<|1|<е.
7*
99
в2(2 агг ]
2т ’ 2т J
4.153.	Доказать, что функция f(t), равная 1—при 111 =5 2а
(а > 0) и периодическая с периодом 4а, является характеристиче-
ской функцией.
4.154.	Доказать, что функция /(£), равная 1—при И1=^а
(а>0) и периодическая с периодом 2а, является характеристиче-
ской функцией.
4.155.	Привести пример двух различных характеристических
функций ф(1) и таких, что q>2(i) = i|32(<).
4.156.	На тележку, стоящую па абсолютно твердой, гладкой и
ровной поверхности действуют постоянно во времени две силы:
слева Ft и справа F2, величины которых являются случайными
величинами, распределенными равномерно на отрезках [0, щ] и
[0, а2] соответственно. Можно ли считать, что силы действуют не-
зависимо, если путь, пройденный тележкой за время t, есть слу-
чайная величина, имеющая равномерное распределение на отрезке
где т — масса тележки? Путь вправо считается
положительным, влево — отрицательным.
4.157.	Пусть выполнены условия предыдущей задачи, но кроме
сил Ft и F2 на тележку действует еще одна сила Fo, величина
которой есть случайная величина с неизвестным распределением.
Можно ли считать, что силы Fa, Ft и F2 действуют независимо?
4.158.	Пусть £ — случайная величина с симметричным распре-
делением. Положим
р при |£|<с,
|0 при | £|>. с, с>0.
Обозначим /(£) и g(i) —характеристические функции соответствен-
но £ и г]. Доказать, что найдется е > 0, такое, что
7(0^ ?(0
при И^е.
4.159.	Пусть — случайная величина с характеристической
функцией /(Z), Е£ = 0, Dg = о2, Е|£|3 = р. Доказать, что существует
абсолютная (не зависящая ни от чего) постоянная К, такая, что
|/(0|<ехр[- ^-71 - КАИН
I z \ о J)
для всех вещественных t.
4.160.	Пусть v, |(, ^2, ••• — независимые случайные величины,
причем git g2, ... одинаково распределены, a v имеет распределе-
ние Пуассона с параметром X. Доказать, что если F(x) —функция
распределения §i, то характеристическая функция случайной вели-
100
чины gi + ... + gv равна
{оо
A, J (eliu
— ОО
i)dF (и)
4.161.	Пусть F(x), Ft(x), F2(x), ... — последовательность функ-
ций распределения, /(£), Д(<), /2 (О, ••• — соответствующая после-
довательность характеристических функций. Доказать, что если Fn
сходится к F по вариации при п то /„ сходится к f равно-
мерно на всей прямой.
4.162.	Пусть £ и ц — случайные величины с характеристиче-
скими функциями /(f) и g(t) соответственно. Доказать, что
sup|/(0 —g(0|<2P (£=/=n)-
t
4.163.	Пусть £ — случайная величина с нулевым математиче-
ским ожиданием, дисперсией о2 и характеристической функцией
f(t). Положим
_ р при | £ |
— (О при | £ | > с, с > 0.
Обозначим g (£) характеристическую функцию ц. Доказать, что
9 2
SUp|/(O —g(0K—•
t	с
4.164.	Пусть | — случайная величина с характеристической
функцией /(<)• Степенью рассеивания случайной величины £
называется величина
Доказать, что 6-; == 0 тогда и только тогда, когда £ есть с вероят-
ностью 1 постоянная.
4.165.	Пусть §2, ••• — последовательность случайных вели-
чин. Доказать, что 6g -* 0 при п -* °° (определение 6gnCM. в преды-
дущей задаче) тогда и только тогда, когда найдется последователь-
ность вещественных чисел at, а2,	, такая, что %,п — ап —> 0
при п -> оо.
4.166.	Доказать, что при сложении независимых случайных ве-
личин степень рассеивания не убывает (определение степени рас-
сеивания см. в задаче 4.164), т. е. если j и ц— независимые слу-
чайные величины, то
б5+ч > max {6£, 6Д.
Показать, что знак равенства при этом может достигаться тогда и
только тогда, когда одно из слагаемых есть с вероятностью 1 по-
стоянная.
101
4.167.	Пусть ^(i)—комплексная функция вещественной пере-
менной, причем
ОО
Лф = j | (г) |2 dt < оо.
— оо
Доказать, что функция
оо
*р (и) = J ip (t + и) -ф (t) dt
—00
является характеристической функцией абсолютно непрерывного
распределения.
4.168.	Пусть /(£)—характеристическая функция, причем при
йекотором е>0 /(<) = ь~^2 для всех lil^e. Доказать, что
f(f)==e~‘2/2.
4.169.	Доказать, что для любых целых положительных к и п,
к^п, справедливо неравенство

4.170.	Пусть Р — равномерное распределение на единичной
окружности в R2 (Р, очевидно, сингулярно). Доказать, что сверт-
ка Р * Р абсолютно непрерывна и имеет ограниченную плотность.
4.171.	Пусть «-мерный случайный вектор £ и тп-мерный слу-
чайный вектор ц связаны линейной зависимостью ц =	+ а, где
А — прямоугольная матрица размером т X п, а — неслучайный
«^мерный вектор. Выразить характеристическую функцию случай-
ного вектора ц через характеристическую функцию случайного век-
тора
4.172	(теорема А. Я. Хинчина). Доказать, что для того, чтобы
функция f(t) была характеристической функцией одновершинного
распределения, необходимо и достаточно, чтобы она была пред-
ставима в виде
t
Jta р
/ (О = “ J *₽ du*
о
где <р(«) — характеристическая функция, а а — вещественное число.
4.173.	Доказать, что функция
1
14-1*1“
(0<а<1)
является характеристической функцией одновершинного распреде-
ления.
102
4.174.	Пусть /(i)—характеристическая функция одновершин-
ного распределения. Доказать, что функция
<р(0=(О
является характеристической функцией.
4.175.	Существует ли нигде не дифференцируемая характери-
стическая функция?
4.176.	Привести пример двух различных характеристических
функций f(t) и g(t)	таких, что
l/(0l2=lg(0l2-
4.177.	Привести пример двух различных характеристических
функций /(i) и g(t) (f(t)^=g(—f)), отвечающих ограниченным
случайным величинам и таких, что
l/G)l2=lg(i)l2.
4.178.	Пусть случайный вектор В = (§1, ..., £„) имеет сфериче-
ски симметричное распределение (см. определение в задаче 3.300),
Доказать, что если случайные величины ..., независимы, то
вектор | имеет n-мерное нормальное распределение.
Глава 5
СХОДИМОСТЬ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
И ВЕРОЯТНОСТНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ
В теории вероятностей обычно рассматриваются следующие виды сходи-
мости последовательностей случайных величин и вероятностных распреде-
лений.
Последовательность случайных величин gb g2, ... сходится к случайной
величине g с вероятностью 1 (почти наверное), если
P(lim gn = g) = l.
П-»оо
Этот вид сходимости будем обозначать gn-> g п. н.
Последовательность gi, g2, ... сходится по вероятности к случайной вели-
Р
чине | (gn ->• g), если для любого е > О
limP(|gn-g|>e)=0.
П-»оо
Последовательность gi, g2, ... сходится в среднем порядка р (0 < р < оо)
к случайной величине g, если
lim. Е | gn — g |р = 0.
?»-»оо
При р = 2 говорят о сходимости в среднем квадратическом.
Последовательность вероятностных распределений Рь Р2, ... слабо сходит-
W X
с я к распределению Р (обозначается ₽n -> ₽_), если для любой непрерывной
ограниченной функции f(x)
ОО	оо
lim f f (*) Pn (dx) = f / (x) P (dx).
n->OO J	d
— oo	— oo
w
Если Pn—»P, то слабо сходятся и соответствующие функции распределения:
w
Последовательность случайных величин gl( g2, ..., будем называть схо-
дящейся к случайной величине g по распределению (gn-> g), если последова-
тельность функций распределения случайных величин gh g2, ... слабо сходит-
ся к функции распределения случайной величины g.
Семейство вероятностных распределений = (Fa, aeSl) называется от-
носительно компактным, если любая последовательность распределений из
содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому вероятност-
ному распределению.
Семейство вероятностных распределений SF = (Fa, ае Я} называется
плотным, если для любого е > 0 существует компакт К такой, что
sup F„ (Rn\£) < е.
а=И
104
Последовательность случайных величин £2, ..называется равномер*
но интегрируемой, если
bup J । Bn ।р w -*• °
" {14>с}
при с -> оо.
Последовательность функций распределения F\(x), F2(x), .слабо схо-
дится к функции распределения F (ж) тогда и только тогда, когда
limFn(z) = F(x)
П-»СО
для каждой точки х, в которой функция F(x) непрерывна,
5.1.	Пусть и Вп—>тр Доказать, что Р(£ = т))=1.
Р	Р
5.2.	Доказать, что если Вп — —> О и Вп — Ьп~^ 0, где а{, а2,...
и 61, 62, ... — две последовательности вещественных чисел, то
Цп Ъп 0.
Р	Р
5.3.	Пусть Вп В и Tin Л- Доказать, что:
Р	Р
а) аВп + 6т]п аВ + 6г] (а, b — постоянные), б) [ Вп | -»| В
Р
в) ВпНп-^Вт].
5.4.	Пусть |2, ...— последовательность случайных величин,
причем принимает значения е~ап и еап с вероятностями 1 — е~Ьп
и е~Ъп (Ь>0) соответственно. При каких значениях а и b Вп^О?
5.5.	Пусть Вь Ва, ••• — последовательность случайных величин,
таких, что P(lBnl>c>0)>6>0, п = 1, 2, ... Пусть ait а2, ...—•
Р
последовательность вещественных чисел, такая, что «пВп—* 0- До-
казать, что ап 0.
Р
5.6.	Пусть Вп — ял^0. Доказать, что —а„->0 (тп|п —ме-
диана |п).
5.7.	Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
ных величин gi, §2, ... сходилась по вероятности к некоторой слу-
чайной величине В, необходимо и достаточно, чтобы для любого
е > 0 существовало такое N, что при п, тп > N
Р(||„- В™1> е)< 8.
5.8. Пусть
любого 8 > 0
Р Р
Вп-^В,
и Р(В = Т1)==1- Доказать, что для
Р(1Вп-Пп1>е)-*0
при п оо.
5.9.	Пусть (Вп — В)2	0. Доказать, что Вп ~*В2»
105
р
5.10.	Пусть In а и пусть /(х) — борелевская функция, име-
ющая производную в точке х = а. Доказать, что
/(В») = /(«) + /' (a) (В» - а) + (|„ - а) п„,
Р
где Цп —* 0.
5.11.	Доказать, что если последовательность случайных величин
It, |2, ... почти наверное сходится, то функция |(а>), равная
если этот предел существует, и нулю в противном случае,
П-»оо
является случайной величиной.
5.12.	Пусть !„"-* | п. н. и т}„ -* ц п. н. Доказать, что:
а)	а|„ + &т]„ -*• а| +• п. н. (а, Ъ — постоянные),
б)	1|нI -* ||| п. и., в) |„цп -* |т| п. н.
5.13.	Доказать, что |„ -*• | п. н. тогда и только тогда, когда для
любого е > 0
/ оо	\
1» и	->0
при п -* оо.
5.14.	Доказать, что |„ -* | п. н. тогда и только тогда, когда для
любого е > 0
Р(||„ —1|> 8 бесконечное число раз) = 0.
5.15.	Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
ных величин с вероятностью 1 сходилась к некоторой случайной
величине, необходимо и достаточно, чтобы она была с вероятно-
стью 1 фундаментальной.
5.16.	Доказать, что для того, чтобы |„	1 п. н., необходимо и
достаточно, чтобы для любого 8 > 0
Р (sup I Ife — 11> 8) -> О
при п -> оо.
5.17.	Доказать, что для того, чтобы последовательность случай-
ных величин |i, |2, ... была с вероятностью 1 фундаментальной,
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0
Р (sup I |n+ft — In | > е) 0
при п -* ОО.
5.18.	Пусть е > 0, |, |(, |2, ... — последовательность случайных
величин. Доказать, что если
ОО
2 Р(||п-||>8)<0О,
п=1
ТО In -*• | п. Н.
106
5.19.	Пусть £г, |2, ... — последовательность случайных величин.
Доказать, что если для некоторой суммируемой последовательности
положительных чисел е2, е2> ...
ОО
S P(|£n+1 Sa I > еп) "С 001
п=1
то последовательность |i, £2, ... с вероятностью 1 сходится к неко-
торой почти наверное конечной случайной величине.
5.20.	Пусть %,. g2, ...— последовательность случайных величин.
Предположим, что существует случайная величина £ и подпоследо-
вательность целых положительных чисел nlt п2, ..., такие, что
п. н. и
max I — In I -> О
пй_1<кпй 1	1
при к оо. Доказать, что тогда £ п. н.
5.21.	Доказать, что если £mn п. н. при п -> °о и -> | п. в.
при т оо, то существуют две подпоследовательности {тпД и InJ,
такие, что	п. н. при /с-*оо.
5.22.	Доказать, что из сходимости с вероятностью 1 следует схо-
димость по вероятности.
5.23.	Показать, что из сходимости по вероятности не следует
сходимость с вероятностью 1.
5.24.	Пусть £2, ...— последовательность случайных величин.
Доказать, что:
а) если £п—>а=#-0,
б) если а =7^=0,
5.25. Доказать, что
то г---> — п. н.
а
для того, чтобы для некоторого вероятност-
ного пространства понятия сходимости с вероятностью 1 и сходимо-
сти по вероятности совпадали, необходимо и достаточно, чтобы это
пространство было атомическим.
5.26.	Пусть — пространство классов случайных величин, сов-
падающих с вероятностью 1. Для любых двух классов S, Н s SF
положим
d(S, И) = Е ~
4 ’ 7	14-1& — n I
где £ и ц — случайные величины из S и Н соответственно.
Доказать, что d — метрика на и что сходимость по вероятно-
сти эквивалентна сходимости в метрике d.
5.27.	Доказать, что для сходимости последовательности случай-
ных величин в среднем порядка р > 1, необходимо и достаточно,
чтобы эта последовательность была фундаментальной в среднем по-
рядка р.
5.28.	Доказать, что из сходимости в среднем какого-либо поло-
жительного порядка оледует сходимость по вероятности.
107
5.29.	Привести пример, показывающий, что из сходимости по
вероятности не следует сходимость в среднем порядка р > 0.
5.30.	Привести пример, показывающий, что из сходимости в
среднем любого положительного порядка не следует сходимость с
вероятностью 1.
5.31.	Привести пример последовательности случайных величин,
сходящейся с вероятностью 1 и такой, что никакая ее подпоследо-
вательность не сходится в среднем порядка р > 0.
5.32.	Доказать, что если £ п. н. и для некоторого р > О
Е|£„ —ЛIs 0, то Р(£ = т]) = 1.
5.33.	Пусть Р„ Р2, ...— последовательность вероятностных рас-
пределений, причем Р„ сосредоточено в точке хп (п = 1, 2, ...). До-
казать, что слабая сходимость Рп —> Р означает, что существует
предел lim,rn = .r и распределение Р сосредоточено в точке х.
П-юо
Доказать обратное.
5.34.	Пусть Р, Pi, Р2, >..— последовательность целочисленных
W
распределений. Доказать, что Рп —> Р тогда и только тогда, когда
Р„(/с) Р(к) для каждого целого к.
5.35.	Пусть Р — мера Лебега на единичном интервале, а Р„ при-
1
писывает массы — некоторым точкам, выбранным по одной в ин-
тервалах п 1, i = 1, ..., п. Доказать, что Pn Р.
5.36.	Пусть F(x), Ftfx), F2(x), ...— последовательность функ-
ций распределения. Доказать, что если Fn{x) -*• F(х) для всех х из
W
некоторого всюду плотного множества на прямой, то Fn—>F.
5.37.	Привести пример последовательности вероятностных рас-
пределений Р, Pt, Р2, ... и ограниченной функции /(х), таких, что
РГ1—>Р,но не выполняется соотношение
ОО	оо
J f(x)dPn-+ J f{x)dP.
— оо	— оо
5.38.	Привести пример последовательности вероятностных рас-
пределений Р, Pi, Р2, ... и непрерывной функции f(x), таких, что
W
Рп_>Р,но не выполняется соотношение
со	оо
J /(x)dPn — f f(z)dP,
— ОО	—00
W
5.39.	Доказать, что Рп —» Р тогда и только тогда, когда каждая
подпоследовательность {РП'} последовательности {Р„} содержит под-
последовательность {Рп4, такую, что РП" —> Р,
108
5.40.	Доказать, что если Fn—>F и если F (х) непрерывна в
каждой точке замкнутого множества А, то
sup | Fn (ж) — F (х) | -> 0.
х~А
5.41.	Доказать, что Fn-+F тогда и только тогда, когда
lim sup Fn (х) СХ F (х)
П-^ОО
и
lira sup Fn (х — 0) F (х — 0).
5.42.	Пусть Р, Р(, Р2, ...— последовательность вероятностных
распределений. Доказать, что следующие три условия эквивалентны:
а)	Рп—>р,
б)	для любого замкнутого множества В
lim sup Pn ' Д) Р (В),
?L—>ОО
в)	для любого открытого множества G
lim inf Рп (G) Р (G).
П-*оо
W
5.43.	Доказать, что для того, чтобы Рп—>Р, необходимо и до-
статочно, чтобы для любого P-непрерывного множества А выполня-
лось соотношение
limPn (И) = Р(Л)
71->ос
(Р-не прерывным называется борелевское множество, граница кото-
рого удовлетворяет условию Р(б/1) = 0, т. е. имеет вероятность 0).
5.44.	Пусть Р, Pt, Р2, ...— последовательность вероятностных рас-
пределений и пусть для любой ограниченной равномерно непрерыв-
ной функции f(x)
ОО	оо
lim f f(x)dPn=* f f(x)dP.
-<x>
w
Доказать, что P„—>P.
5.45.	Пусть P, Pt, P2, ...— последовательность вероятностных
распределений и пусть для любой ограниченной функции f(x), об-
ладающей непрерывными производными любого порядка,
оо	оо
lim Г / (ж) dPn = [ / (х) dP,
тт	n ™
Доказать, что Pn Р.
109
5.46.	Пусть g, gi, £2,  • •— последовательность случайных вели-
тт	t D t
чин. Доказать, что gn ""*6 тогда и только тогда, когда
E(F(gn)) -Е(ГШ)
для каждой непрерывной функции распределения F(x).
5А7. Пусть случайная величина ц не зависит от случайных ве-
личин g, £2, ... и имеет функцию распределения F(x). Доказать,
что
тогда и только тогда, когда
Р(п^п)-Р(пМ).
5.48.	Пусть последовательность функций распределения F^x),
F2(x), ... слабо сходится к некоторой функции распределения,
имеющей по крайней мере две точки роста. Доказать, что последо-
вательность {Fn(anx+ bn)} слабо сходится к распределению, сосре-
доточенному в нуле тогда и только тогда, когда ап °° и Ъп = о(«„),
П оо.
5.49.	Пусть F(x), Fl(x'), F2(x), ...— последовательность функций
распределения, такая, что при некоторых а„, Ьп > О
w
Fn (bnx + а„)-+ F (х).
Доказать, что если последовательности вещественных чисел alt
а2, ... и 0Ь 02, • • • таковы, что
П-*оо^П	П-юо
то имеет место сходимость
Fn (Рп-Г + <Zn) F (х).
5.50.	Пусть Р, Р(, Р2, ...— последовательность абсолютно непре-
рывных вероятностных распределений, р(х), pt(x), р2(х), ...— со-
ответствующие плотности. Доказать, что если рп(х)->-р(х), п-+°о,
равномерно на любом конечном отрезке, то Рп ~> Рг Верно ли
обратное?
W	W
5.51.	Пусть Rn~*R,Pn~и Rn = Р„ * Qn. Доказать, что су-
ществует распределение Q, такое, что R = Р * Q.
5.52.	Являются ли относительно компактными следующие семей-
ства вероятностных распределений:
а) множество всех равномерных распределений на отрезках, сим-
метричных относительно нуля; б) множество всех нормальных рас-
пределений; в) множество всех равномерных распределений на от-
резках, содержащихся в отрезке [0, 1]; г) множество всех нормаль-
ных распределений с фиксированным математическим ожиданием
и равномерно ограниченными дисперсиями?
ПО
5.53.	Указать, какие из семейств вероятностных распределений,
приведенных в предыдущей задаче, являются плотными
5.54	{теорема Ю. В. Прохорова). Доказать, что семейство рас-
пределений на прямой является относительно компактным тогда
и тольив тогда, когда оно является плотным.
5.55.	Доказать, что множество всех распределений, математиче-
ское ожидание которых равно а, а дисперсия о1, является относи-
тельно компактным.
5.56.	Доказать, что семейство нормальных распределений явля-
ется плотным тогда и только тогда, когда равномерно ограничены
математические ожидания и дисперсии элементов этого семейства.
5.57.	Доказать, что счетное семейство вероятностных мер плотно
тогда и только тогда, когда соответствующие функции распределе-
ния удовлетворяют соотношениям
lim Fn {х) = 1 и lim Fn {х) - О
Х-»ОО	х->—оо
равномерно по п.
5.58.	Доказать, что слабая сходимость распределений эквива-
лентна сходимости в метрике Леви (определение см. во введении к
гл. 3)
W
Fn-+F^L{Fn, F)^Q.
5.59.	Пусть совместное распределение gn и слабо сходится
к совместному распределению g и тр Доказать, что распределение
gn + р» слабо сходится к распределению g + тр
5.60.	Доказать, что из сходимости по вероятности следует схо-
димость по распределению.
5.61.	Привести пример, показывающий, что из сходймости по
распределению не следует сходимость по вероятности.
d	Р
5.62.	Пусть gn —> а, где а — постоянная. Доказать, что gn
5.63,	Пусть £„—>£. Верно ли, что gn—
D	Р
5.64.	Доказать, что если gn~и цп-^0, то:
D	Р
а) Вп + Цп и б) £пт]п —> 0.
D	₽
5.65.	Доказать, что если gn	g, | — Цп К ?»] 1 и £п 0, то
5.66.	Доказать, что если gn —* 6, | %п — Цп | U | Цп I и U ~* О, т0
5.67.	Пусть |t, $2, ...— такая последовательность случайных ве-
личин, что
Р (lim	» оо\ = р	Р (lim gn = — оо^ =	q, Р (lim gn =	0\	= г
\П-»<Ю	)	)	\П-»Ов	J
p+r+q^h
ш
Что можно сказать о последовательности функций распределения
Fn(x) = P(^x)?
5.68.	Пусть функция f(x) имеет производную в точке ж = 0.
D	р
Доказать, что если	—> г] и	—> О, то
ёп(/(пп)-/(0))-^/' (0)п.
5.69.	Пусть функции /(z), Л (я) , fz(x), ... имеют непрерывные
производные, причем /п (х) -> f (х) равномерно по х. Доказать, что
d	₽
если ёпЦп —> ц и —> 0, то
In (fn Ы-/п(0))-^/' (0)ц.
5.70.	Пусть |, I,, §2, ...— последовательность случайных вели-
чин, определенных на вероятностном пространстве (Q,	Р), при-
чем при каждом о>еО g„(<o)-* g((a) при п °°. Примером пока-
жите, что Egn не обязано сходиться к Eg даже в том случае, когда
все эти математические ожидания существуют.
5.71.	Привести пример, показывающий, что из сходимости по
вероятности не вытекает сходимость математических ожиданий.
5.72.	Пусть	Привести пример, когда Egn существуют,
a Eg — нет, и наоборот.
5.73.	Пусть последовательность случайных величин gb g2, ...
сходится в среднем квадратическом к случайной величине g, причем
Efgl„ < 00, п = 1, 2, ... Доказать, что Elgl < °° и
lim Egn = Eg.
n-*oo
5.74.	Пусть последовательность функций распределения Fi(x),
F2(x), ... слабо сходится к функции распределения F(x). Обозна-
чим <Jn и о2 дисперсии распределений Fn и F соответственно (п =
= 1, 2, ...). Доказать, что
lim inf o2i>o2.
п-*<х>
5.75.	Пусть F (х), Ft (х), F2 (х), ...— последовательность функ-
ций распределения с математическими ожиданиями а, а,, а2, ...
и дисперсиями о2» а2, о2, ... соответственно. Доказать, что если
р w	2
rn—>F и Оп->о f, то ап-> а.
5.76.	Пусть последовательность функций распределения Ft(x),
F2(x), ... с дисперсиями о2, ст2»... слабо сходится к функции
распределения F(x) с дисперсией о2, причем последовательность
о2, ст2, • • • сходится к некоторому конечному пределу Ь. Обязано
ли выполняться равенство b = о2?
112
5.77.	Пусть gfi —g. Доказать, что
Е | g К lim inf Е | g„ |.
П-><Х>
5.78.	Последовательность случайных величин gb g2, ... равно-
мерно интегрируема. Доказать, что
supE |g„| < оо.
п
5.79.	Пусть glt g2, ...— последовательность случайных величин.
Доказать, что если при некотором е > О
sup E|gn|1+e<oo,
п
то последовательность gt, g2, ... равномерно интегрируема.
5.80.	Пусть g2, ...— последовательность случайных величин
и пусть существует случайная величина ц, такая, что
Е|ц| < °°,
и для любого а > 0 и всех п
P(|gnl >а)<Р(|ц| >а).
Доказать, что последовательность gb g2, ... равномерно интегри-
руема.
5.81.	Пусть g(, g2, ...— равномерно интегрируемая последова-
тельность случайных величин и пусть gn g. Доказать, что Eg„
-Eg.
5.82.	Пусть g, glt g2, ...— последовательность неотрицательных
случайных величин с конечными математическими ожиданиями.
Доказать, что если gn —>g и Egn -* Eg, то последовательность glr
g2, ... равномерно интегрируема.
5.83.	Доказать, что последовательность случайных величин g,,
g2, ... равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда
sup Е | gn | < оо
п
и для любого е > 0 существует б, такое, что при всех п из неравен-
ства Р(Е)<6 следует
J|g„ | dP <8.
Е
5.84.	Пусть g, gj, g2, ...— последовательность случайных вели-
чин и
Elg„l -Elgl
при п — оо. Обязана ли иметь место сходимость
Elg„ + а| Elg + а|?
8 А. В. Прохоров и др.	ИЗ-
5.85.	Изменится ли ответ в предыдущей задаче, если дополни-
Р
тельно известно, что Вп^В?
5.86.	Пусть |2, ...— последовательность, случайных величин,
/(х)— положительная измеримая функция, удовлетворяющая усло-<
вию
т
lim ' = оо.
к-»оо х
Доказать, что если
supE (/ (|£п|)) < оо
п
то последовательность |i, |2, ... равномерно интегрируема.
5.87.	Пусть ВьВг» .. •— последовательность случайных величин.
Доказать, что если последовательность 1Вг1г, ... (г > 0) равно-
мерна интегрируема, то для любого 0 < г' < г равномерно интегри-
руема последовательность | Bi Г , | Ва Г , • • •
5.88.	Пусть Вп В и для некоторого г > О
supE |Вп Г< оо.
п
Доказать, что
lim E|£n|r' = E|g|r
для любого положительного г' < г.
5.89.	Пусть Bi, Вг, • • •— последовательность случайных величин,
причем В„ принимает значения па и 0 с вероятностями 1/п и 1 — 1/п
соответственно (п = 1, 2, ...). Исследовать сходимость последова-
тельнастей {£„} (по вероятности) и {E|gJr} в зависимости от выбора
а и г.
5.9®.	Пусть |2, ...— последовательность неотрицательных слу-
Р
чайных величин, таких, что Вп В и Eg„ -> Ед < °°. Доказать, что
ElSn-Bl ~>0.
5.91.	Пусть %2, ... и ц2, ...— две последовательности слу-
р Р
чайных величин, такие, что ₽(£„> Цл >0) = 1, Вп^В» Цп-* т] и
ЕВ» “* ЕВ- Доказать, что Е|ц„ —ц| 0.
5.92.	Пусть в среднем порядка г > 0:
ElBn-Bl” 0
при п -* °о. Доказать, что
E|gn|'-*E|||'.
114
5.93.	Пусть |2, ...— последовательность случайных величин,
такая, что для некоторого р > О
S Е|^|”<оо.
п=1
Доказать, что -* 0 п. н.
Р
5.94.	Пусть %,п~и
lim sup Е |£„ | <;Е |£|.
П->00
Доказать, что последовательность £2, ...— равномерно интегри-
руема и
lim Е |g„ — g| =0.
П'-КХ>
5.95.	Пусть £п —и
limsupE
Доказать, что
lim E|^-gp=O.
n-»oo
5.96.	Доказать, что если последовательность 11,1е, |§21’, ... рав-
номерно интегрируема при некотором 6 > 0, то последовательность
распределений случайных величин g2, ... плотна.
5.97.	Пусть gi, . •. и тр, тр,  — две последовательности поло-
жительных случайных величин. Могут ли существовать положи-
тельные числа аир, такие, что
/Е Р /В V ₽
-) ->0 и I- ->оо (п->оо)?
5.98.	Пусть |2, ...— последовательность неотрицательных слу-
чайных величин с функциями распределения Fi(x), Fz(x), ... и с
конечными математическими ожиданиями. Будем говорить, что эта
последовательность сходится к нулю по Хинчину, если для любого
х > 0
ОО
4-	f tdFn (t) -> О
ESn J
x
при n -> oo (будем обозначать £n—>o). Доказать, что если £n-*0
Р
ТО £n -> 0 (п -> оо).
5.99.	Следует ли из сходимости по вероятности сходимость по
Хинчину (определение сходимости по Хинчину см. в предыдущей
задаче)?
8*
5.100.	Пусть £n —> 0 и т]п“^О. Доказать, что Вп + цп-* 0.
5.101.	Пусть £2, ...— последовательность независимых слу-
Р
чайных величин и пусть Вп ~~* В< Доказать, что £ имеет вырожден-
ное распределение.
5.102.	Доказать, что если |2, • • •— последовательность незави-
симых одинаково распределенных невырожденных случайных ве-
личин, то Р(£п сходится) = 0.
Р
5.103.	Пусть Вп —*В, где § имеет невырожденное распределение.
Возможно ли из последовательности |2, ... выделить подпосле-
довательность £п1, £пг, ..., такую, что все |,i(1 не зависят от В?
Р
5.104.	Пусть Вп —*В и при каждом п распределение содержит
в качестве компоненты стандартное нормальное распределение. До-
казать, что распределение § также содержит в качестве компоненты
стандартное нормальное распределение.
5.105.	Пусть £2, ••• и тр, т]2, ...— две последовательности
случайных величин, такие, что для любого е > 0
5 Р(1Вп_ Т]п|>е)<0О.
П=1
Доказать, что если т}п а п. н., то а п. н.
5.106.	Пусть gj, §2, .. •— последовательность случайных величин,
V!, v2, ...— последовательность положительных целочисленных слу-
чайных величин, таких, что v„ не зависит от Bi, g2, • •. при любом п.
Р	Р	р
1.	Доказать, что если vn —> оо и	—> £, то Bvn —> В-
Р	D	D
2.	Доказать, что если vn оо и	—> с, то Bvn -» В-
5.107.	Пусть для любого п = 1, 2, ... случайные векторы (В„ ...
..., |„) и (г|1, • ••» Лп) одинаково распределены. Доказать, что если
последовательность В2, ... сходится по вероятности, то последо-
вательность тр, ц2, ... также сходится по вероятности, причем
предельные случайные величины одинаково распределены.
5.108.	Пусть g(Xi, ..., хк)— непрерывная-вещественная функция
Р
к аргументов. Доказать, что если 1пт~^1,т при п->- т = 1, 2, ...
..., к, то
S Йпи • • g (Bi> . . . j Bft)
при п -* оо.
5.109.	Пусть |2, ...— последовательность случайных векто-
ров, принимающих значения в Rm, Доказать, что Вм~*В тогда и
только тогда, когда для любого вектора I Rm (Bn,. I) —> (B.t И
((•, •) — скалярное произведение).
не
5.110.	Доказать, что если и цп—а, то распределение слу-
чайного вектора (£„, рп) слабо сходится к распределению случай-
ного вектора (£, а).
5.111.	Доказать, что последовательность вероятностных распре-
делений на плоскости плотна тогда и только тогда, когда плотны
обе последовательности ее маргинальных распределений.
5.112.	Пусть F(х)—дискретная функция распределения, Ft(x),
F2(x), ...— некоторая последовательность ее компонент. Доказать,
что существует последовательность вещественных чисел ал, а2, ...,
такая, что последовательность ГДл: —a,), F2(x — а2), ... сходится
в равномерной метрике к некоторой функции распределения G(x),
т. е.
|Г„(л; — ап} — G(x)\ -> 0 при п -*
Глава 6
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Пусть Ji, g2, ... — последовательность случайных величин с конечными
математическими ожиданиями а, = Egj, i = 1, 2, .... Говорят, что для этой
последовательности выполняется закон больших чисел (ЗБЧ), если
п п
р
!—1-----—!——> 0 при n-j-oo,
п
т. е. для любого е > О
lim Р
П-,00
ЗБЧ выполняется при различных предположениях относительно последо-
вательности gb g2, ... В частности, справедлива следующая теорема.
Теорема (Д. Я. Хинчин). Если glt g2, ••• — последовательность незави-
симых одинаково распределенных случайных величин с конечными математи-
ческими ожиданиями, то для нее выполняется ЗВЧ.
Для проверки выполнимости ЗБЧ часто оказывается полезным неравенст-
во Чебышева.
Теорема. Пусть £ — случайная величина с конечной дисперсией, тог-
да для любого е > О
P(|g-£g| > 8) ^Z)g/82.
Говорят, что для последовательности случайных величин gb g2, ... выпол-
няется усиленный закон больших чисел (УЗБЧ), если
п	п
2 Si- 2 ES1
i=l	1=1
--------------—О при п->оо.
Теорема. Пусть случайные величины gb g2, ... независимы, Eg,- — 0r
V DSi
Dg< < оо и	—£ < °°« Тогда для последовательности gb g2, ... выполня-
ется УЗБЧ.
Теорема (А. Н. Колмогоров). Пусть gt, g2, ... — последовательность не-
зависимых одинаково распределенных случайных величин. Для выполнения.
УЗБЧ необходимо и достаточно существование у величин g< конечного ма-
тематического ожидания.
Пусть А„ А2, ...— последовательность событий и А — событие, состоящее
в том, что наступит бесконечно много событий Ап.
118
Лемма (Борелъ— Кантелли).
1. Если 2} Р(Л)<°°’ т0 р(л) = °*
Ь=1
со
2. Если Л|, А2, ... независимы и 2 P(4ft) = оо, т0 р(Д) = 1
fc=l
Пусть gi, ... — последовательность независимых случайных величин,
заданных на вероятностном пространстве (Q, s&, Р), 9~п— а-алгебра, порож-
денная случайными величинами 5п, 5п+ь ..а-алгебра
ОО
п=1
называется остаточной а-алгеброй относительно последовательности 5ь £2,...,
а любое событие А е ЗГ — остаточным событием.
Теорема (закон «О» или «1» Колмогорова). Любое остаточное событие
имеет вероятность 0 или 1.
Если 5ь 5а,	— последовательность независимых случайных величин, то
ОО
в силу закона «О» или «1» Колмогорова ряд 2 либо с вероятностью 1
г=1
сходится, либо с вероятностью 1 расходится. Имеют место следующие крите-
рии, позволяющие определить сходимость или расходимость ряда из незави-
симых случайных величин.
Теорема («о двух рядах»). Для сходимости с вероятностью 1 ряда
оо
У 1-п из независимых случайных величин достаточно, чтобы одновремен-
/1—1
но сходились два ряда*
оо	оо
2 Е?п « 2 D^n-
п=1	п=1
Если, кроме того, sup Р ( | 5П | > с)=0 для некоторого с > 0, то эти условия яв-
ляются необходимыми.
Пусть с — неотрицательное число, 5 — случайная величина. Обозначим
=	1?КС>
(0, |5|>с.
Теорема («о трех рядах»; А. Н. Колмогоров). Для сходимости с ее-
ОО
роятнестью 1 ряда У, 5П из независимых случайных величин необходимо,
П=1
чтобы для любого с > 0 сходились ряды
ОО	ОО	ОО
2	2D*n- 2₽(1^1>с)-
п=1	п—1	п=1
и достаточно, чтобы эти ряды сходились при некотором с > 0.
Пусть 51, 5а, ... — последовательность случайных .величин. Будем гово-
рить, что для этой последовательности выполняется центральная предельная
теорема (ЦПТ), если последовательность распределений случайных величин
~-;7б~П	(11«==^i+ ••• +М
119
слабо сходится при п->-оо к стандартному
для любого вещественного х
нормальному распределению, т. о.
ft->00	И°Пп ) и 2л
I е 2 du = Ф (х).
п
Обозначим а* = Egft, сгк = D£ft, В2 =	F’d1') = ₽(Ь < *)• Говорят, что
fc=l
для последовательности £lt £2, выполнено
а)	условие Линдеберга, если для любого т > О
п
^SEi&-<M2; |?ft-+0
fe=l
при п-^-00, где Е[(5* —аЛ)2; |	— aft|>xB„]= J (х — atfdFh (x);
|x—а^!^тВп
б)	условие Ляпунова, если для некоторого 6 2> О
п
El^-ad2+e^° п₽и п-*°°-
Dn fc=i
Имеет место
Теорема. Пусть д2, ... — последовательность независимых случай-
ных величин с конечными дисперсиями. Если для этой последовательности вы-
полнено условие Линдеберга, то для нее выполняется ЦПТ.
Если для последовательности gi, g2, •••
max Р
при п —оо
и выполнена ЦПТ, то для нее выполняется условие Линдеберга.
Из указанной теоремы, в качестве следствий, вытекают справедливость-
ЦПТ для последовательности независимых одинаково распределенных случай-
ных величин с конечным вторым моментом и справедливость ЦПТ для по-
следовательности случайных величин, для которой выполняется условие
Ляпунова.
Для получения оценок скорости сходимости в ЦПТ бывает полезным сле-
дующее неравенство.
Теорема (Берри — Эссеен). Пусть F(x) и G(x)— функции распределе-
ния, f(t) и g(t) —соответствующие характеристические функции, sup | G' (х)
sg С. Тогда для любого 7>0 u t>> 1/(2л)
т
sup | F (х) - G (х) | < b С I Ш ~	I dt + £ а (6),
а	J | t	j Т
-Т
где а(Ь) —положительная постоянная, зависящая только от Ь.
Если последовательность случайных величин g2, ..., g„, ... такова, что
/ ап \
lim Р —б------ < х = Ф (х)
П->оо 1 °п	j
при некоторых ап и Вп > 0, то говорят, что случайная величина имеет
асимптотически нормальное распределение с параметрами («п, -В2).
120
Вероятностное распределение называется устойчивым, если для его функ-
ции распределения F (х) при любых вещественных щ >0, аа > 0, bi, b2 име-
ет место равенство
F(atx + bi) * F(a2x + 62) = F(ax + 6),
тде а > 0 и 6 — некоторые постоянные. Для соответствующей характеристи-
ческой функции /(Z) имеет место равенство при любых ai > 0, я2 > 0i
где а > 0 и 6 — некоторые постоянные. Характеристическая функция симмет-
ричного устойчивого распределения имеет вид е~^ J 0 < а < 2.
Переформулируем некоторые общие теоремы для схемы испытаний Бер-
нулли.
Говорят, что случайные величины gi, §2, • • •, ?п соответствуют схеме ис-
пытаний Бернулли, если они взаимно независимы и одинаково распределены,
так что
Р(Ь =!)=/>, Р(£а = 0) = 1-р, 0<р<1.
Событие = 1} называется «успехом», а = 0} — «неудачей».
Бесконечная последовательность случайных величин gi, •••> соответ-
ствует схеме Бернулли (с данным р), если вышеприведенные условия выпол-
няются при любом п.
Теорема Бернулли (закон больших чисел). Пусть Ji, £2, .<>, 5п—
схема Бернулли u Sn =41 + .•• + £п. Тогда при п—гсо
п
Теорема Бореля (усиленный закон больших чисел). В схеме Бер-
нулли
Sn
— -» р п.н.
п
Теорема Пуассона. Дана последовательность серий испытаний Бер-
нулли: в п-й серии имеется п случайных величин k = 1, 2, ..., п, соот-
ветствующих испытаниям с вероятностью успеха рп. Пусть S„ = gnI
__+ £nn — число успехов в n-й серии. Если п->оо, рп->-0 и прп->-А, где
X — действительное положительное число, то при любом тп
л m
4Sn = rn)^^e~\
Теорема Муавра — Лапласа. Пусть 5n = §i+••+?« — число ус-
пехов в схеме п испытаний Бернулли с вероятностью успеха р. При п—>-оо
равномерна по х (р — постоянно)
f Sn — пр	)
Р 1—' < г ->• Ф W, g = 1 — Р>
[ V пР9	J
Для вычислений используется приближенная формула
или более точная формула
/ m — пр 4- 0,5 \	/ m — пр — 0,5 \
—VS-V5?—)•
121
Оценка скорости
Берри — Эссеена);
сходимости в теореме Муавра — Лапласа (неравенств»
sup
к
( Sn — пр	)
Р	<г>— Ф(х)
{ V пРЧ	J
§ 1.	Закон больших чисел
6.1.	Проводятся испытания Бернулли с постоянной вероятностью
успеха. Пусть
|1, если i-е и (г + 1)-е испытания закончились успехом,
’г = |0 в остальных случаях.
Выполняется ли для последовательности g(, g2, ... ЗБЧ?
6.2.	Пусть gf, |2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем g„ принимает значения Vn, 0 и —Vra с вероят-
ностями 1/(2п), 1 —1/ге, 1/(2п) соответственно. Выполняется ли
для этой последовательности ЗБЧ?
6.3.	Пусть gj, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причём g„ принимает значения — п, 0 и п с вероятно-
стями 1/(2тг2), 1 — 1/и2, и 1/(2п2) соответственно. Применим ли к
этой последовательности ЗБЧ?
6.4.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин,
Р (g„ = ±2П) = 2-(гп+1), Р (g„ ==• 0) = 1 - 2-2п.
Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.5.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем gn принимает значения 2" и —2П с вероятно-
стями 1/2. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.6.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем g„ принимает значения —2n, —1, 1, 2" с веро-
О-П-1 1-2"п 1—2—п
ятностями 2	, ---2---> ---2---’ соответственно. Применим
ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.7.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем gn принимает значения —п, 0, п с вероятно-
стями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно. Применим ли к этой последова-
тельности ЗБЧ?
6.8.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем g„ принимает значения — п, 0, п с вероятно-
стями 2-n, 1 — 2_n+1, 2_" соответственно. Применим ли к этой по-
следовательности ЗБЧ?
6.9.	Пусть gi, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, причем gn принимает значения — <р(п), 0, <р(п) с
вероятностями 1/чр(?г), 1 — 2/\f(n), l/if)(re) соответственно, где <р(п)
122
и ip(n) таковы, что
Ф(«)>0, ^(п)>2,
(С — постоянная). Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.10.	Пусть glt g2, •••—последовательность независимых случай-
ных величин. В случае, когда п — точный квадрат, g„ принимает
значения —~/п, }'п с вероятностью 1/2 каждое, при остальных п gn
принимает значения — 2-п, 2"" с вероятностью 1/2 каждое. При-
меним ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.11.	Пусть glt g2,	—последовательность независимых случай-
ных величин, причем g„ принимает значения —Vn и Уп с вероятно-
стью 1/2 каждое. Применим ли к этой последовательности ЗБЧ?
6.12.	При каких значениях а>0 к последовательности незави-
симых случайных величин gt, g2, ..., таких, что
p(£n = re«) = p (|n = _re«) =1/2,
применим ЗБЧ?
6.13	(теорема Чебышева). Доказать, что ЗБЧ выполняется для
последовательности независимых случайных величин, имеющих рав-
номерно ограниченные дисперсии.
6.14.	Пусть |i, g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин с конечными дисперсиями of. Доказать, что если
п
ПРИ П-+-ОО,
п ,=1
то к последовательности g4, g2, ... применим ЗБЧ.
6.15.	Пусть glt g2, •••—последовательность случайных величин
с дисперсиями а]. Доказать, что если ковариация g< и g3- неположи-
тельна при г ¥= / и
при ге->оо,
71 S
то для последовательности g,, g2, ... выполняется ЗБЧ.
6.16.	Пусть g4, g2, ...— последовательность случайных величин
с равномерно ограниченными дисперсиями, причем g„ зависит толь-
ко от и gn+f, но не зависит от остальных gi. Доказать, что для
этой последовательности выполняется ЗБЧ.
6.17.	Пусть gb g2, ...— последовательность случайных величин
с равномерно ограниченными дисперсиями, причем cov(g{, gj)^O
при i ¥= j. Доказать, что к этой последовательности применим ЗБЧ.
6.18.	Пусть gi, g2, ..последовательность случайных величин
с конечными дисперсиями и пусть коэффициент корреляции вели-
чин gi и g, не превосходит g(\j — i\), где g(k)>0. Доказать, что
если
[g(0) + . . . + g(n— 1)1 [<J1 + . . . + On] = о(п?) при 71->оо,
то к последовательности gl5 g2, ... применим ЗБЧ.
123
6.19	{теорема Бернштейна'). Пурть g2, ...— последователь-
ность случайных величин с равномерно ограниченными дисперсиями,
причем cov(gj, Вл)-*-0 равномерно при I/ — /с|Доказать, что
к этой последовательности применим ЗБЧ.
6.20.	Пусть gu g2, . •.— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, Eg( = a, Dgf = о2, i = 1,
2, ... Доказать, что последовательность случайных величин ip,
1]2, ..где
_	+ .  + Вп
11,1 “ в*+...+&*’
сходится ио вероятности, и найти предел.
6.21.	Пусть gb g2,  • •— последовательность случайных величин,
Лп = В1+••• + §«• Доказать, что если |т]п| < сп, a Dii„>a«2, то к
последовательности glt g2, ... ЗБЧ неприменим.
6.22.	Пусть g(, g2, . • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечной ненулевой дис-
персией, Т)„ = g( +... + gn. Доказать, что ЗБЧ не выполняется для
последовательности Tji, т]2, ..., но выполняется для последователь-
ности Л1Т]!, а2т]2, ..., если ап -> 0 при п -> °°.
6.23.	Последовательность независимых случайных величин gi,
g2, ... называется эквивалентной последовательности независимых
случайных величин тр, т]2, . •., если сходится ряд
оо
2 ₽(1п=#Т]п)-
П=1
Доказать, что если при каждом п случайные величины gn и т]„
имеют одинаковое математическое ожидание и ЗБЧ применим к од-
ной из двух эквивалентных последовательностей, то он применим
и к другой.
6.24.	Пусть gi, g2, ...— последовательность случайных величин,
для которой выполняется ЗБЧ. Обязан ли выполняться ЗБЧ для
последовательности IgJ, lg2l, ...?
6.25.	Пусть gi, g2, ...— последовательность случайных величин
с нулевыми математическими ожиданиями. Вытекает ли из сходи-
р	t л, . s. р
МОСТИ §71^0 сходимость —£-------------—>Ur
6.26.	Пусть gi, g2, ...— последовательность случайных величип,
таких, что
Elgj — Egil^C, i = l, 2, ... (С — постоянная),
и пусть а,, а2, ...— последовательность вещественных чисел, а„ -> О
при	Доказать, что для последовательности а^, а£г, ...
выполняется ЗБЧ.
6.27.	Верно ли следующее утверждение: если для последователь-
ности случайных величин gi, g2, ... выполняется ЗБЧ и at, а2, ...—
124
равномерно ограниченная последовательность неотрицательных чи-
сел, то для последовательности тц, т]2, ..., где т\п = ап%п, также вы-
полняется ЗБЧ?
6.28.	Пусть glt g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, а„ а2, ...— равномерно
ограниченная последовательность неотрицательных чисел. Можно ли
утверждать, что если ЗБЧ выполняется для gt, g2, ..то он выпол-
няется и для т]1? ц2, ..., где тц = <2ig(?
6.29.	Пусть g,, g2, ... и т]1, т]2, ...— две последовательности не-
зависимых случайных величин, причем
	<p(n)		с вероятностью	Рп,
£n =	0		с вероятностью	1 — 2рп,
		- <Г(тг)	с вероятностью	Pnt
		<р(тг)	с вероятностью	Qnt
T]n =		0	с вероятностью	1
		ср (тг)	с вероятностью	Qny
— ^С<ОО, 77=1,2,..,
9п
Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности {т]п},
то он выполняется и для последовательности {gnJ.
6.30. Пусть g2, ... и r]i, ц2, ...— две последовательности не-
зависимых в каждой последовательности случайных величин,
причем ф(тг) 0 1— <р (тг) гр(тг) *]п =	0 ф (тг) ф (тг) Ф (п)	с вероятностью Рп, с вероятностью 1 — 2рп, с вероятностью Рп, с вероятностью Рп, с вероятностью 1 — 2рп, с вероятностью рп, <Z оо, тг = 1, 2, ....
Доказать, что если ЗБЧ выполняется для последовательности {ц„},
то он выполняется и для последовательности {gn}.
6.31.	Пусть gi, g2, ... и T]i, т]2, ...— две последовательности не-
зависимых в каждой последовательности случайных величин и
пусть
Pdgi-EgJ	>0
для любого t > 0. Верно ли, что если для последовательности t]!,
т|2, ... выполняется ЗБЧ, то он выполняется и для последователь-
ности gb g2, ...?
125
6.32.	Пусть |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечными дисперсия-
ми, Ct, С2, ...— неубывающая последовательность положительных
чисел. Доказать, что к последовательности C(Bi, GBz, • • • применим
ЗБЧ тогда и только тогда, когда
С„/Уи->• О при п -> оо
§ 2. Сходимость рядов из независимых случайных величин
6.33.	Пусть g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин с нулевыми математическими ожиданиями и равно-
ОО
мерно ограниченными дисперсиями. Доказать, что ряд У, %,п/п
П=1
почти наверное сходится.
6.34.	Пусть £lt £2, • • •— последовательность независимых нор-
мально распределенных случайных величии с пулевыми математи-
ческими ожиданиями. Доказать, что ряд 2 почти наверное схо-
дится тогда и только тогда, когда сходится ряд 2ds„.
6.35.	Доказать, что если ряд из независимых случайных вели-
чин сходится попти наверное к постоянной, то каждый член ряда
есть почти наверное постоянная.
6.36.	Пусть £2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин,	+ ... + Может ли ряд 2 £п сходиться
почти наверное, а последовательность медпап тх\п не сходиться?
6.37.	Пусть |1( £2, . • •— последовательность независимых случай-
ных величин. Доказать, что ряд 2^ Un’ — симметризация |„)
сходится почти наверное тогда и только тогда, когда существует
последовательность вещественных чисел щ, а2, ..., такая, что почти
наверное сходится ряд 2 (£п — аД
6.38.	Пусть gt, |2, •  ., 1]!, т]2, ...— независимые в совокупности
случайные величины. Доказать, что если почти наверное сходится
РЯД 2 (5п + т]”)’ т° для некоторых последовательностей веществен-
ных чисел щ, а2, ... и bt, Ь2, ... почти наверное сходятся ряды
2 (£п ~~ ®п) И 2 (т)п — Ьп).
6.39.	Пусть £2, • • — последовательность независимых случай-
оо
ных величин. Доказать, что ряд 2 сходится почти наверное
П = 1
тогда и только тогда, когда он сходится по вероятности.
6.40.	Доказать, что ряд из независимых случайных величин схо-
дится почти наверное тогда и только тогда, когда он сходится по
распределению.
6.41.	Пусть £г, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, /z(i), •••—соответствующие характеристические
функции. Доказать, что ряд IX почти наверное сходится тогда
126
п только тогда, когда
п
ИшП /л(0-=/(0,
п-.оо А=1
где /(<)—непрерывная в пуле функция.
6.42.	Пусть £2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин с характеристическими функциями	/2(<), •••
соответственно. Доказать, что если бесконечное произведение
оо
П (0 сходится к отличному от пуля пределу на некотором мно-
»=1
;кестве положительной лебеговой меры, то ряд почти наверное
сходится, и обратно.
6.43.	Пусть |2, . • •— последовательность независимых случай-
ных величин с характеристическими функциями /i(i), /2(<), •••
оо
соответственно. Доказать, что бесконечное произведение П | fn (t) |
71 = 1
строго положительно па множестве положительной лебеговой меры
тогда и только тогда, когда существует последоватедьность веще-
ственных чисел а,, а2, ... такая, что ряд Х(£п — а«) почти навер-
ное сходится.
6.44.	Пусть |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин,
P(£t = —1) = Р(£, = 1)= 1/2.
Доказать, что ряд	где с,, с2, ...— последовательность веще-
ственных чисел, сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
2 Л.
6.45.	Пусть £2, . •.— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с равномерным на отрезке
[—1, +1] распределением. Доказать, что ряд сходится почти
наверное тогда и только тогда, когда сходится ряд
6.46.	Пусть £(, £г> • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных ограниченных случайных величин с нулевыми
математическими ожиданиями. Доказать, что ряд 2С>Л»> где с(,
с2, ...— последовательность вещественных чисел, почти наверное
сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
6.47.	Пусть |(, £2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями
и нулевыми математическими ожиданиями. Доказать, что ряд
ОО
У Спът где Ci, с2, ...—последовательность вещественных чисел,
п=1
почти наверное сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд
2с2п < оо.
6.48.	Пусть £(, £г, •••—последовательность независимых случай-
ных величин, каждая из которых имеет распределение Пуассона.
127
Доказать, что ряд S Zn почти наверное сходится тогда и только
П=1
оо
тогда, когда сходится ряд 2
71=1
6.49.	Пусть £2, ...— последовательность независимых неотри-
цательных случайных величин, таких, что Р(^„>с) = 0. Доказать,
что ряд почти наверное сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд
6.50.	Пусть g2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, удовлетворяющих условию |£„1^с<°о, п = 1, 2, ...
Доказать, что ряд У, почти наверное сходится, если сходится ряд
У. Е | Zn — Е^>п Верно ли обратное?
6.51.	Пусть £2, ,..— последовательность независимых случай-
ных величин, имеющих одинаковое распределение Коши с плот-
ностью
1
л(1 + т2) *
Доказать, что ряд 2c«Sn, где ct, с2, ...— последовательность ве-
щественных чисел, почти наверное сходится тогда и только тогда,
когда сходится ряд 2lcn I’
6.52.	Пусть £2, • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с плотностью распреде-
ления
1 — cos т
ля2
с,, с2, ...— последовательность вещественных чисел. Доказать, что
ряд	почти наверное сходится тогда и только тогда, когда
сходится ряд 21 I-
6.53.	Пусть	• • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, имеющих симметричное
устойчивое с показателем а > 0 распределение. Доказать, что ряд
где Ci, с2, ...— последовательность вещественных чисел,
почти наверное сходится тогда и только тогда, когда 2|спГ<°°-
6.54.	Пусть £г, ...— последовательность независимых случай-
ных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечны-
ми третьими моментами. Положим с>7 = D£jt Р, = Е|£{ |3. Доказать, что
если величины Pi/'o2 равномерно ограничены: Р,/о2 с, I = 1,2,
и ряд У почти наверное сходится, то сходится ряд
6.55.	Пусть |2, .. •— последовательность независимых случай-
ных величин с конечными третьими моментами. Положим о2 = D£,,
Pt = Е | Si I3. Доказать, что если величины Рг/ст^ равномерно огра-
128
пичепы, то для сходимости почти наверное ряда 2 Вп необходимо
и достаточно, чтобы сходились ряды 2 ^Вп и S
6.56.	Пусть Bz, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, с,, с2, ...— последователь-
ность вещественных чисел. Доказать, что если ряд 2спВп почти
наверное сходится, то 2С«<^ 00 •
6.57.	Пусть £|, Bz, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, имеющих конечное ма-
тематическое ожидание, ct, с2, ...—- последовательность веществен-
ных чисел. Доказать, что если 2lcn|<°°, т0 РЯД 2 е" (В™—а")
почти наверное сходится при некотором выборе вещественных чи-
сел а„ а2, ...
6.58.	Привести пример последовательности независимых случай-
ных величин gi, |2, • • , имеющих нулевые математические ожида-
ния, такой, что ряд 2 Вп почти наверное сходится, а ряд 2 ®Вп
расходится.
6.59.	Пусть Е,,,	...— последовательность независимых цело-
численных случайных величин. Доказать, что если ряд 2 Вп почти
наверное сходится, то Ц ph > 0, где р„ — максимальный скачок
функции распределения случайной величины £А.
6.60.	Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
2 £nSn, где {£„} — независимые случайные величины, есть почти
п=О
наверное постоянная.
6.61.	Пусть Еь Вг, •••—последовательность независимых случай-
ных величин. Доказать, что ряд 2 Вп почти наверное сходится
тогда и только тогда, когда
6.62.	Пусть Вн Вг, •••—последовательность независимых случай-
ных величин с нулевыми математическими ожиданиями. Доказать,
что если
то ряд 2 Вп почти наверное сходится.
6.63.	Последовательность случайных величин щ, ц2, ... называ-
ется ограниченной по вероятности, если
lim sup Р (| Цп | >с) = 0.
C-»OO n
Доказать, что если Вь Вг, • • •— независимые симметричные случай-
9 А. Е. Прохоров и др.
129
пые величины, а случайные величины т]п = 2 ограничены по
i=i
вероятности, то ряд почти наверное сходится. Можно ли от-
казаться от условия симметричности?
§ 3. Усиленный закон больших чисел
6.64.	Пусть v„ — число успехов в п испытаниях Бернулли с
вероятностью успеха р. Доказать, что
v„/n -> р п. н. при п оо.
6.65.	Пусть ^1, |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин. Доказать, что если
+ ... + 5П
—i-------------► с п. н. при п -> оо,
где с — некоторое вещественное число, то ЕI 51 I < оо и E5i = с.
6.66.	Пусть gi, 5г,  • •— последовательность независимых случай-
ных величин, имеющих конечные дисперсии, blt b2, ...— неубываю-
щая последовательность вещественных чисел, такая, что Ьп -*• «>
при п -> о°, т]п = £] +... + 5„. Доказать, что если
то
---j----► 0 п. н. при п->оо.
6.67.	Пусть 5,, 5з, . • •— последовательность независимых случай-
ных величин, таких, что 15.1^ С, С > 0, i = 1, 2, ... Положим
т]„ = 51 + .• • + |п. Доказать, что
in <П А
------> U п. н., ?г-> оо.
у п log п
6.68.	Пусть 5н • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, 0 < г < 2. Доказать, что
если
п
2	— «ft) О п. н. t
п
то Е15fc 1г < где ah = 0 при г < 1 и ak = Е5* при г > 1.
6.69.	Пусть 511 Ь, • •.— последовательность независимых случай-
ных величин, т]„ = 51 + • • • + Доказать, что если при некотором
г > 1
130
то
т1„ л
------->- и П. И.,	П—> оо.
II
6.70.	Показать, что, какова бы пи была последовательность не-
отрицательных чисел ст*, о?, .. ., такая, что
существует последовательность независимых случайных величин
£i, £2, ..., такая, что
Egn = 0, D'jn = 0,;, п =1,2,...,
п
и последовательность т]„ т]2, ..., где т]п = п~12 не сходится
i = l
почти наверное к нулю.
6.71.	Пусть gt, |2, •••—последовательность независимых случай-
ных величин, такая, что
Е£п = 0,	<С, и =1,2, ...,
где С — некоторая постоянная, и пусть
п-н-
П —>• сю.
Доказать, что для любого е > 0
6.72.	Пусть £2,  • •— последовательность независимых случай-
ных величин, имеющих нормальное распределение. Доказать, что
если последовательность |2, ... удовлетворяет условию
lim inf D£n > 0, то УЗБЧ для нее не выполняется.
П-*сю П
6.73.	Пусть £2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, ElgJ’’ < °°, 1^г<2. До-
казать, что
_1- п
М Г 2 (S; —	П. H. При П->ОО.
5=1
6.74.	Пусть £|, £г, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, Е|£,1г<°°, 0<г<1.
9*	131
Доказать, что
_1 "
п г	0 п. н. при п-*оо.
j=i
6.75.	Пусть |2, .  •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин. Доказать, что если
Е|£11р = 0° Для некоторого 0 < р < 2, то
lim sup п
П-»оо
= + оо п. н.
для любого вещественного а.
6.76.	Пусть |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с математическим ожида-
нием а, т]„ = (^+ .'.. +£„)/п. Доказать, что к последовательности
Pi, т)25 применим УЗБЧ.
§ 4. Центральная предельная теорема
6.77.	Пусть gi, £2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных невырожденных случайных величин с конеч-
ными дисперсиями, +... + Доказать, что для любых ко-
нечных вещественных чисел а и b
lim Р (а т]п Ъ) = 0.
П-»оо
6.78.	Пусть £2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечными положитель-
ными дисперсиями. Доказать, что для любого вещественного числа
х предел
lim Р + ... +	< х)
71—>оо
равен либо 0, либо 1, либо 1/2. Указать условия, прп которых име-
ет место каждая из указанных ситуаций.
6.79.	Пусть §i, ^2, • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
скими ожиданиями и конечными дисперсиями. Доказать, что для
любого положительного х предел
равен 0 при а< 1/2 и 1 при а> 1/2.
6.80.	Пусть Рп = max Р (vn = к), где vn — число успехов в схеме
Бернулли с вероятностью успеха р. Найти lim Рп п.
П-ьоа
132
6.81.	Пусть Bz, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
скими ожиданиями и конечными дисперсиями, т]п = Bi + • • • + В*-
Найти D|b если
]imPf-^=r >1') = 1/3.
п-»эо у И	J
6.82.	Пусть Во §2, ...— последовательность независимых случай-
ных величии, i]„ = |, + ... + |п. Найти
lim Р( 0< -<1 !
7 J-*OO	у И	у
если В» равномерно распределена на отрезке [а„ —1, ап +1]
(а,, а2, ...— последовательность вещественных чисел,Л<оо).
6.83.	Пусть Bz? ...— последовательность независимых случай-
ных величин, имеющих равномерное на отрезке [0, 1] распределе-
ние, т]„ = Bi +... + В». Найти последовательность вещественных чи-
сел аи а2, ..., удовлетворяющую условию
lim Р (г]„ С/ ап Yп) = pt
6.84.	Пусть Во Bz, • • •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с конечной дисперсией и
О < lim Р
П-* 00
< а I = Ь < 1.
Найти
lim Р
п-*оо
< 2а
6.85.	Пусть Во Вг, —последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с единичными дисперсия-
ми, E[Bi] = 0 ([z] — целая часть х) и пусть
lim Р f	>(Л = 1/2.
n-»oc у	у tl	j
Найти E{BJ (W—дробпая часть х).
6.86.	Пусть Bi, Вг, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, принимающих значения
О, ±1, ±2, ..., Р(В< =0)> 0, P(Bi = l)>0. Найти предел (в смысле
слабой сходимости) последовательности распределений случайных
п
величии {т]„/2 + 1/2) (>]n = SB;, {z)— дробпая часть х). Будет ли
i=i
иметь место сходимость по вариации?
6.87.	Пусть Вь Вг, •••—последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевыми математпче-
133
скими ожиданиями и единичными дисперсиями. Найти предел
(в смысле слабой сходимости) последовательности распределений
Пп = 5 Si, М — целая часть х
,=1
Будет ли иметь место сходимость по вариации?
6.88.	Пусть gt, g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевыми математиче-
скими ожиданиями и единичными дисперсиями. Доказать, что ве-
личины
асимптотически нормальны.
6.89.	Пусть g,, |2,  • •— последовательность независимых случай-
ных величин, причем glt g3, g5, ... одинаково распределены и g2, gt,
... одинаково распределены,
ESi<°°, Eg2<oo, Dg1>0, Dg2>0.
Положим
Цп =S1 + ••• +Sn, Т]п= .л— ♦
V
Найти предельное (в смысле слабой сходимости) распределение
ДЛЯ Т]п.
6.90.	Пусть glt g2, •  •— последовательность независимых случай-
ных величии, имеющих одинаковое пуассоновское с параметром к
распределение. Найти предел
/ 2 (^21-1	?2i)
limPl _±i---- ------
П-»оо \	М
6.91.	Доказать, что условие Лпндеберга выполнено для последо-
вательности независимых одинаково распределенных случайных ве-
личин с конечной дисперсией.
6.92.	Доказать, что если для последовательности случайных ве-
личин выполнено условие Ляпунова, то выполнено и условие Лин-
деберга.
6.93.	Пусть gt, g2, ...— последовательность независимых нор-
мально распределенных случайных величин, Egk = O, к = 1, 2, ...,
Dgj = 1, Dg* = 2ft_2, к 2. Показать, что в этом случае условие Лин-
деберга пе выполнено, но ЦПТ имеет место.
6.94.	Пусть glt g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с пулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией, v(,v2,...— последователь-
ность целочисленных положительных случайных величин, таких,
134
что при каждом г v, не зависит от |(, £2, Пусть т)„ =	+ ... +
р	__
Доказать, что если v„—оо при пто распределение tivn/ У\п
слабо сходится при п -> °° к стандартному нормальному закону.
6.95.	Пусть |г, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
ским ожиданием и единичной дисперсией, v,, v2, ...— последователь-
ность целочисленных положительных случайных величин, таких,
что ЕсЛ = ocft, Dvfc = р* и при каждом к не зависит от £2, .. ..
Пусть ct„ -* оо и = о (а?,) при п -* оо. Найти предельное (в смысле
слабой сходимости) распределение для i]v„/	= 11 + . • 
6.96.	Пусть |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с нулевым математиче-
ским ожиданием, единичной дисперсией! и абсолютно инте1рпруемой
характеристической функцией. Пусть р{п} (z)—плотность распреде-
ления случайной величины
Доказать, что равномерно по х
lim р(п\х) = ~^= е
.— последовательность независимых случай-
отрезке [—а, а|
нормированной
6.97.	Пусть £2,
пых величин, имеющих одинаковое равномерное па
распределение, F„ (х) — функция распределения
суммы
Доказать, что

snp Fn (х) —
1
4л п
4 \
п — 1/"
6.98.	Пусть ...,	— независимые одинаково распределенные
случайные величины с нулевым математическим ожиданием, дис-
персией о2 и конечным третьим абсолютным моментом Е|£,|’ = (З3.
Пусть /„(/)—характеристическая функция случайной величины
Е -к -к е
0 "]/ >1
Доказать, что
тЬ7=«-,г'"п г
а у п
135
6.99.	Пусть |(, §г, ...— последовательность независимых случай-
ных величин с одинаковой функцией распределения F(x), причем
Е£х = 0, E|i = а2, ЕII3 = р3, F(z) симметрична, а соответствующая
характеристическая функция /(£) неотрицательна. Пусть
sup F' (а) У А < оо.
X
Доказать, что
С (А) рз
а3 Уп1
где С (И) — положительная постоянная, зависящая только от А.
§ 5. Разные задачи
6.100.	Пусть	...— последовательность случайных величин,
bi, Ы, ...— последовательность вещественных чисел, — медиана
р
случайной величины i=l, 2,... Доказать, что если Вп— bn~^ О
Р
при ?г->оо, то £п —пг£п—>0.
6.101.	Пусть последовательность независимых случайных вели-
чин £2, ... почти наверное сходится. Доказать, что существует
постоянная а, такая, что Р (Ит Вп = «) = 1-
6.102.	Пусть ||, Вг, ...— последовательность случайных величин
с функциями распределения У(х), F2(x), ... соответственно. До-
р
казать, что Вп —> 0 при п -* 00 тогда и только тогда, когда
ОО
lim С —2dFny) = 0.
П-»0О J 1 + X
6.103.	Пусть gi, Вг, • • •— последовательность случайных величин
с конечными дисперсиями. Положим ап = Е|п, ап = Доказать,
что если а„ -> °° и oh = о (ah) при п -> <», то
— Д1 при п~>-оо.
ап
6.104.	Пусть Во Вг, ...— последовательность независимых слу-
чайных величин с конечными математическими ожиданиями, >]„ =
Р
=	Доказать, что если E|£t| = Е|^г| = ... < 1, то Цп~*0 при
п -* оо. Верно ли обратное утверждение, если {£,} одинаково рас-
пределены?
6.105.	Пусть ^1, Вг, •••—последовательность независимых слу-
чайных величин, T]n = 51 • • • Вп. Доказать, что если для некоторого
136
ft r
a>0 ElgJ® = E||2la = ... < 1, то npT]n—*0 при	для любого
вещественного (3.
6.106.	Пусть §i, £z, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, т]„ =	Доказать,
Р
что если т]п « при п -* 00 (а — конечное вещественное число), то
либо а = 0, либо а=1, причем в последнем случае Р(£< = 1)— 1,
i= 1,2,...
6.107.	Пусть |2, ...— последовательность независимых оди-
наково распределенных неотрицательных случайных величин с ма-
тематическим ожиданием а,
П" =-----й------•
Доказать, что последовательность случайных величин ?n=^T]i .. • Чп
почти наверное сходится к а.
6.108.	Пусть ё2, ...— последовательность случайных величин
с конечными математическими ожиданиями, а | — случайная вели-
чина с конечной дисперсией, такая, что при любом натуральном п
|(+ ... + !„ и | — (^ +... + ь>.) независимы. Доказать, что в этом
оо
случае все имеют конечные дисперсии и ряд 2 (Вп— ЕВ«)
п=1
почти наверное сходится.
6.109.	Пусть £i, |2, ...— последовательность одинаково распреде-
ленных случайных величин с конечным абсолютным моментом по-
рядка р > 0. Положим
|0, ||„|<и1/р,
Пп-11, Ы>п1/₽.
Доказать, что
2 епп<е|ВХ
6.110.	Пусть gi, |2,	—последовательность одинаково распре-
деленных случайных величин с конечным абсолютным моментом
порядка р > 0. Положим
JB«, |Вп|<п1/р,
П — I
Io, Rn|>n,/P.
Доказать, что
2 Р (Вп =# Лп) Е I В1 |₽ < 00 •
n—1
6.111.	Пусть £2, ...— последовательность случайных величин,
а > > 0. Следует ли из сходимости ряда 2 Е |а сходимость
ряда 2 Е | Вп
137
6.112.	Пусть gb §2, ...— равномерно интегрируемая последова-
тельность случайных величин. Доказать, что
Е(т- sup lUlj-’-O
V 1<т.<п J
при п -*
6.113.	Пусть £2, ... и i]i, Цг, ...— Две последовательности
случайных величин, причем асимптотически нормальна с пара-
метрами (a, h/Vn), а т]„ асимптотически нормальна с параметрами
(b, k/~hi), Ъ =А 0. Доказать, что случайная величина
асимптотически нормальна с параметрами (0, А/6).
6.114.	Пусть /(г) — непрерывная ограниченная па [0, °°) функ-
ция. Доказать, что при h > 0
lim Л / U + т -jj- е = ] (х + Л).
к=о '	'
6.115.	Доказать, что случайная величина, измеримая относитель-
но остаточной о-алгебры, имеет вырожденное распределение.
6.116.	Привести пример остаточной о-алгебры, содержащей боль-
ше двух событий.
6.117.	Пусть |2, ...— последовательность независимых слу-
чайных величин. Доказать, что случайные величины lim sop и
lim inf g„ являются вырожденными.
6.118.	Пусть |17 |2, ...— последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин, имеющих стандартное
нормальное распределение, и пусть событие А„ заключается в том,
что
. + gn > а (2п In п)1/2,
где а — фиксированная постоянная. Доказать, что при а > 1 с веро-
ятностью 1 осуществится только конечное число событий Лп.
6.119.	Пусть |2, ...— последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин, имеющих стандартное
нормальное распределение. Доказать, что
Р (lim sup	 =1^ = 1.
1/2 In п )
6.120.	Пусть |(, |2, ...— последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин, имеющих пуассонов-
ское распределение. Доказать, что
_ I	L. Inin п \
Р lim sup —:-----=1=1.
\	In п j
138
6.121.	Пусть £(, g2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с характеристической
функцией
j(t)= exp {—	0<а<2.
Доказать, что
₽(	1	X
Е -4-	4- Е In In п	|
i •	bl ч • • • r Sn	1 ,(X I .
Inn sup —----r-----	= e 1 = 1.
Л17	/
6.122.	Пусть £i, ^2, ...— последовательность независимых слу-
чайных величин,
Доказать, что с вероятностью 1
lim — = i.
2j
k=l
6.123.	Пусть £i, |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, Blt В2, ,..— последова-
тельность вещественных чисел. Пусть последовательность распре-
делений случайных величин
+	+ Вп
слабо сходится при ” к некоторому невырожденному распре-
делению F. Доказать, что в этом случае
lim Вп = оо и lim "+1 = 1.
n-*oo	п->оо
6.124.	Пусть £2, . • •— последовательность независимых оди-
наково распределенных случайных величин с конечным математи-
ческим ожиданием, В2, ...— последовательность положительных
чисел. Доказать, что если последовательность распределений слу-
чайных величин
^ + • • • +
слабо сходится при п -> °° к некоторому невырожденному распре-
делению, то E£i = 0.
6.125.	Пусть §!, £2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, имеющих характеристи-
139
ческую функцию
/(*) =
о
|И < 1.
\t |>1,
О < a
Подобрать последовательность вещественных чисел Bt, В2, ... так,
чтобы последовательность распределений случайных величин
...+£п
Вп
слабо сходилась при п -* °° к некоторому предельному невырожден-
ному распределению. Найти предельный закон.
6.126.	Пусть |t, |2, .. •— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин с плотностью распреде-
ления
1 — cos X
4- ... + In
r]n =-----------, /'„(х)— функция распределения т]„. Доказать, что
существует функция распределения F(x), такая, что Fn слабо схо-
дится к F при п -> оо. Найти функцию распределения F(x).
6.127.	Пусть |t, |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, Вь В2, ...— последова-
тельность положительных чисел, причем последовательность распре-
делений случайных величин
Вп
слабо сходится при п -* °° к распределению с характеристической
функцией
е~с|||<Х, с>0, 0<а^2.
Доказать, что Вп = ni/ah(n), причем lim h (tx)lh (х) = 1 при t>0.
х-*оо
6.128.	Пусть |t, |2, ...— последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, А» А2, ... и В(, В2, ...
(В„>0)— две последовательности вещественных чисел, причем по-
следовательность распределений случайных величин
|j + ... + 1п — Ап
Вп
слабо сходится при п -> °° к некоторому распределению. Доказать,
что предельное распределение устойчиво.
140
6.129.	Пусть случайная величина м, п имеет гипергеометриче-
ское распределение с параметрами /V, М, п:
шах (О, М + п—N)^mt^min(n, М),
Р(ьх,м,п — тп) — |q в 11ном случае
(M^N, n^N).
М
Доказать, что при	Л/ -> °°,	0 < р < 1, и фиксирован-
ием п гипергеометрическое распределение сходится к биномиально-
му распределению с параметром р:
r<m тп /л кп—т
Спр (1 — р)
6.130.	Пусть последовательность случайных величин ...,
образует схему Пуассона, т. е. §t, ..., £„ взаимно независимы и
распределены так, что
Р(Ь = 1) = А, ₽(Ь = 0)= 1 - A, k = i.....п.
Обозначим ц„ = 4-... + Доказать, что если /ц + ... + р„ X > О
при п -> °°, то
limP(un = m) = e —г.
6.131	{продолжение). Пусть в схеме Пуассона ц„ = + ... +
л = рк + ... + р„, б = Pi + ... + Рп, 0 < pj 1/2. Доказать, что при
п С’ 2
|Р(И„ = т) -	26.
6.132.	Пусть случайные величины S,„, п = 1, 2, ..., имеют рас-
пределение, сосредоточенное па интервале [0, 1). Доказать, что если
при любом целом к О
2Л1ХП
Ее -> О
при п -> оо, то для любых а и (1, ОС а < 3 < 1,
Р(а g„ < Р)-> Р - а.
6.133.	Пусть случайные величины |(, g2, ..., взаимно незави-
симы и одинаково распределены, причем Р(0 =£	< 1) = 1. Пусть
Tin =	+ ... + U — дробная часть суммы ^1 + ... + ^„. Если
при к =# О
_ 2Л1ЬЧп А
Ее —> 0, п—>оо,
то при любых а и Р, 0=С а < р < 1,
Р(а Цп < Р)-> Р - а.
(Это утверждение служит аналогом центральной предельной тео-
ремы, когда случайные величины складываются по mod 1.)
141
§ 6. Применения предельных теорем
6.134.	Найти приближенное значение для вероятности того, что
число «успехов» $п в схеме п = 100 испытаний Бернулли с вероят-
ностью «успеха» р = 0,5 лежит в пределах 35 и 65; 47 и 53. При
£
каких значениях п вероятность того, что 0,35	0,65, будет
больше 0,998?
6.135	(продолжение). Каково должно быть число испытаний п,
чтобы с вероятностью 1 — а частота «успеха» — отличалась от
вероятности «успеха» р не более, чем на е > 0? Решить задачу при
а = 0,01, е = 0,01.
6.136	(продолжение). Предположим, что в схеме Бернулли с ве-
роятностью «успеха» /) = Р(^=з1), к = 1, ..., /г, значение р неиз-
вестно и нужно определить его по значениям, которые принимают
случайные величины ..., |п. Наиболее естественно в качестве
Sn
оценки р взять частоту «успеха» рп = — , Sn =	+ ... + по-
скольку Ерп = р и Р t I Рп — р I < с) > 1 —1 р) при любом п.
пь
В качестве оценкиможпо указать интервал [/>„(£], ..., £n), p„(£i,...
..., £„)], 0 < рп < ра < 1, такой, что
Р(/)„ р С рп)^ 1 - а
для любого паперед заданного 0<а<1. Такой интервал называ-
ется доверительным интервалом для р уровня 1 — а. Найти с по-
мощью теоремы Муавра — Лапласа приближенный доверительный
интервал для р.
6.137	(экспериментальная оценка л). Опыт Бюффона с броса-
нием иглы на плоскость, расчерченную параллельными прямыми
(см. задачу 1.75) использовался для вычисления числа л. В 19 и
20 веках было произведено множество экспериментов (см. о них под-
робнее в книге: Кендалл М. и Моран 11. Геометрические вероятно-
сти: Пер. с англ.— М: Наука, 1972). В опыте Р. Вольфа из Цюриха
длина иглы Z = 36 мм, расстояние между прямыми а = 45 мм, игла
была брошена п = 5000 раз и m = 2532 раза пересекла прямые.
Если считать, что последовательность бросаний иглы соответствует
схеме Бернулли с вероятностью «успеха» (игла пересекает прямую)
21
/>==—, то можно оценить погрешность экспериментальной оценки л.
1.	В опыте Вольфа отклонение |^- — р| не превышает 0,0029.
Пайти число бросаний иглы, при котором с вероятностью, большей
0,5, имеет место подобное отклонение.
2.	По результатам опыта Вольфа пайти доверительный интервал
для числа л,
149
6.138.	В январе 1935 г. в Швеция (по данным Г. Крамера) из
общего числа 7280 новорожденных родилось 3743 мальчика. Гипо-
тезу о конкретном значении вероятности р рождения мальчика
можно проверить следующим образом. Допустим, что можно исполь-
зовать схему Бернулли. По приведенным данным при определенном
О < а < 1 нужно построить доверительный интервал [р„, р„] для р
уровня 1 — а, а затем сравнить гипотетическое значение р0 с грани-
цами доверительного интервала: если е [рп, рп], то считать гипо-
тезу о том, что р = ра совместимой с данными, а в случае ра < р„
или > рп — отказываться от гипотезы, имея в виду, что вероят-
ность ошибочного заключения не превосходит а. Проверить гипо-
тезы = 0,3;	= 0,515; р0 = 0,55.
6.139.	В урне находятся шары белого и черпого цвета. О составе
урны известно лишь то, что доля белых шаров равна либо 0,5, либо
0,4. Из урны извлечено с возвращением 100 шаров и обнаружено,
что белые шары составляют большую часть выборки. На почве
этого наблюдения сделан вывод, что доля белых шаров в урне рав-
на 0,5. Чему равна вероятность того, что принято ошибочное за-
ключение?
6.140.	Пусть произведено п испытаний Берпулли с вероятностью
успеха р. Допустим, что число успехов Sn оказалось равным т,
0< т< п, и нужно проверить, согласуется ли это с какой-либо
гипотезой относительно неизвестного значения р. Можно воспользо-
ваться следующим критерием. Зададим число а, 0 < а < 1, и в пред-
положении, что верна гипотеза р = р„ вычислим вероятность
P(S„> т). Если эта вероятность меньше а, то отказываемся от ги-
потезы. В противоположном случае считаем, что гипотеза согласу-
ется со статистическими данными.
При 1000 независимых бросаниях монеты герб выпал в 540 слу-
чаях. Проверить гипотезу о том, что монета симметрична при
а = 0,05.
6.141	(продолжение). Пусть а задано. В предположении, что
некоторая гипотеза р = р0 верна, найдем наименьшее целое тл,
такое, что P(S„> та)а. Критерий проверки гипотезы
р = может быть таким: если Sn > m.t. то отказываемся от гипо-
тезы р — р0', если же S„ < m7, то считаем, что гипотеза согласуется
с данными. Вероятность ошибочного отказа от гипотезы ио пре-
восходит а.
Проверить гипотезу о вероятности рождения мальчиков из за-
дачи 6.138.
6.142.	Предположим, что в схеме испытаний Бернулли есть две
гипотезы о вероятности «успеха» р1 и рг, 0<pi<p2<l. Для разли-
чения этих гипотез произведено п испытаний и в результате полу-
чено {Sn — m}. Пусть заданы числа а и 0 < а, fj < 1, и пусть п
таково, что существует целое положительное число т*, такое, что
Q Р₽1 (Sn > ^*) ^ О2 ‘	т*) 0-1
143
где первая вероятность вычислена в предположении, что р =
а вторая — в предположении р — рг. Тогда критерий проверки ги-
потез строится так: если т>т*, то гипотеза р = отбрасывается,
а гипотеза р = р2 считается приемлемой; если же т «2 т*, то наобо-
рот, гипотеза р = принимается, а р = рг — отбрасывается. Указан-
ные выше вероятности Q1 и О2 интерпретируются как вероятности
ошибочных заключений.
Применить предложенную процедуру проверки к задаче де Мере
(см. задачу 1.26), а именно ответить па вопрос: сколько нужно
провести испытаний, чтобы различить две вероятности успеха
(35 \ 2 4	/ 5 \
2g- и р2 = 1 — I -g-1 при заданных а - р = 0,05.
6.143.	Доказать, что гипергеометрическое распределение при
1#	пМ .
/V М -► оо, п оо, — -> X > и сходится к распределению
Пуассона с параметром X.
6.144.	Доказать, что гипергеометрическое распределение при
N -► °0, М -> °0, п -> оо, ——► оо сходится к нормальному рас-
пределению.
6.145.	Случайная величина '/Д имеет хи-квадрат распределение
с п степенями свободы (так называется распределение с плотностью
р (л?) = -——— хп~ 1е~х /2, z > 0,
-—1	1 п\
22 ф)
см. задачу 3.167). Доказать, что распределение нормированной слу-
V2 _ g.. 2
чайной величины	асимптотически нормально с парамет-
рами (0,1).
6.146.	Случайная величина имеет распределение Пуассона с
параметром X > 0. Доказать, что при X -* °° случайная величина
- X
 ' асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
|/ X
6.147.	Пусть случайные величины ..., взаимно независи-
мы и имеют одинаковое распределение Пуассона с параметром X.
Обозначим Вп = — (£i + ... + Вп).
_ Р
1.	Доказать, что X при п ->
2.	Построить доверительный интервал для X, т. е. указать такие
ХД^п) и Х2(|„), чтобы при заданном 0<а<1
Р(Х1(Ь)^Х^Х2(1„))>1-а.
6.148.	Случайные величины ..., взаимно независимы и
имеют одинаковое равномерное распределение на отрезке [0—1/2,
0 + 1/2]. Предполагается, что значение 0 неизвестно. Пусть при
144
п = 100 величины	приняли некоторое конкретное зпаче-
— 1
пне, так что среднее арифметическое £ = — (si + ...+£») равно а.
Пользуясь центральной предельной теоремой, пайти доверительный
интервал, который содержит неизвестное значение 0 с вероятностью,
приближенно равной 0,95.
6.149.	Необходимо сложить миллион чисел, округленных с точ-
ностью до пятого десятичного знака. В предположении, что ошибки
округления всех чисел взаимно независимы и имеют равномерное
распределение в соответствующем интервале, найти пределы, в ко-
торых с вероятностью 0,95 находится суммарная ошибка округления.
6.150.	Пусть а — произвольное иррациональное число. Рассмот-
рим числа па, кратные а при л=1, ..., Л', и их дробные части
{па} = па — [па]. Доказать, что дробные доли {па} распределены
в интервале [0, 1) почти равномерно в следующем смысле: для лю-
бых а и Р, 0 а < р < 1,
N (а, Р) о „
---—*-Р — К, Л'—»-оо,
/V
где 7V(a, Р)— число значений {па}, при п = 1, ..., N содержащихся
в интервале {а, Р).
6.151.	Пусть действительная случайная величина £ распределе-
на с плотностью р{х), у которой существует абсолютно интегрируе-
мая на всей прямой производная р'(х). Рассмотрим десятичное
разложение %:
^га+т? + ^+--- + ^ + 6<п>®.
где at, ..., ап — первые п десятичных знаков, а б<п)(^)—ошибка
округления. Доказать, что случайная величина Д(п) = 10" 6(п> (^)
имеет при п асимптотически равномерное распределепие в ин-
тервале [0, 1), т. е. при п -* «> и 0 С а < р < 1
Р(а< Д(п) <Р)->Р-а.
6.152.	Пусть случайные величины ..., с„ при каждом п вза-
имно независимы и одинаково распределены с функцией распреде-
ления Г{х). Определим для каждого действительного х случайную
величину ?’,l(z)=-p,„(x), где рп(х) — число ..., удовлет-
воряющих неравенству < х. Доказать, что при каждом х
Fn (х) F (х).
Будет ли эта сходимость выполняться с вероятностью 1?
F„{x) называется эмпирической функцией распределения для
£1, • • •!
10 а, в. Прохоров и др.	145
6.153	(продолжение}. Обозначим через ал и р* соответствующие
моменты распределения
+”
Е^= J x'‘dF (х),
— оо
Н-ОО
Щ=Е£-Е£)"= J (x-a1)hdF(x).
— оо
Рассмотрим случайные величины
1=1	i=l
Показать, что при п и е > О
р ( I «1"’ — ai I > е) -> О, р ( I т2 ° — Pz I > к) —*- О-
Случайные величины и т2 называются, соответственно, вы-
борочным средним и выборочной дисперсией, а утверждаемое свой-
ство их — состоятельностью.
6.154	(продолжение). Доказать следующие утверждения. Если
<х2 < оо, то при п -► °0 величина ctj асимптотически нормальна с па-
/ а2 — а, \
раметрами I ссп--------I.
Если р4 < °0, то при п -> оо величина пг2 асимптотически пор-
/ й4 -.“2^
мальпа с параметрами I p2i —~— !•
Если агй < °°, то при п оо величина a!t асимптотически пор-
(	«-о, —
мальва с параметрами I «ю -х—---- I.
6.155 (метод Монте-Карло статистических испытаний). Вычпсле-
1
пне интеграла I = J j (х) dx молено описать следующим образом,
о
Пусть случайная величина S, имеет равномерное распределение па
отрезке [0,1]. Тогда
1.
Е/(В) = $Hx)dz = I.
О
Пусть	взаимно независимы и равномерно распределены
на [0, 1]. Рассмотрим /п = — [/ (£i) + • •. + / (£п)] и предположим,
_	_	_ Р
что o2 = D/„=CC. Показать, что Е/п = Z и 1п~+1, п->оо. Оценить
Р(|/„ —71<е) для произвольного е>0 с помощью центральной
предельной теоремы.
6.156 (теорема Вейерштрасса). Пусть f(x)—непрерывная функ-
ция на отрезке [0,1]. Пусть последовательность случайных величин
146
соответствует схеме Бернулли с вероятностью успеха
Р(£,= 1) = ;г, 0 < х < 1, и 5n = + .., + g„. Введем многочлены
' '	т—о 4
Доказать, что при п °°
sup | / (х) — Вп (.г) | -> 0.
(Многочлены Вп(х) называются многочленами Бернштейна.)
6.157. Рассмотрим двоичное разложение числа £е[0, 1)
& = v + ^+ «.-+^+--«
(с бесконечным числом нулей). Тогда по отношению к лебеговой
мере знаки двоичного разложения £(, £г, ..— независимые оди-
наково распределенные случайные величины с Р(£, = 1) = Р(§( =
= 0)=1/2.
Доказать, что для почти всех чисел £ е [0, 1) доля единиц и ну-
лей в двоичном разложении £ с вероятностью 1 стремится к 1/2:
42 Лел =!)-* 4-
А=1
10*
Глава 7
УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
И УСЛОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЖИДАНИЯ
Пусть (Q, si, Р) — вероятностное пространство, £ — определенная па пем
случайная величина, Я — о-алгебра, содержащаяся в si. Если 5 неотрицатель-
на и Е151 < °0, то ее условное математическое ожидание относительно а-ал-
гебры Я определяется как случайная величина E(g [Я), удовлетворяющая сле-
дующим условиям:
1) E(g|^?) измерима относительной;
2) для любого А е Я
У 5 (W) Р (d<0) = f Е (g|В) Р (d(0).
А	А
Для произвольной случайной величины условное математическое ожи-
дание относительно Я определяется как
Е(£|Я) = Е(£+|^) -Е(Г|^),
при условии, что
min{E(g+|^), E(g-|^)}< оо,
где g+ = max {5, 0}, 5“ = —min {g, 0}.
Условным математическим ожиданием случайной величины £ относитель-
но случайной величины г] называется условное математическое ожидание g
относительно о-алгебры, порожденной щ
Пусть В — произвольное событие (Be si). Условной вероятностью собы-
тия В относительно о-алгебры Я называется условное математическое ожида-
ние индикатора этого события /в- Р(В|^?) = Е(/в|^). Таким образом, для лю-
бого А е Я
V(AB) = J Р (В| Я) P(dco).
А
Имеют место следующие свойства условного математического ожидания.
1.	Если с — постоянная и g =с почти наверное (п. н.), то E(g|,$) =
= с п. и.
2.	Если g T) п. п., то Е |^)	Е(г]|^) п. н.
3.	|E(g|<3)| С E(|g| \Я) п. н.
4.	Если а и Ь — постоянные и существует aEg -f- ЬЕг|, то
Е(я£ + tr)\Я) = яЕ (g\Я) + &Е (т) )Я).
5.	Если Я = {0, Q} — тривиальная о-алгебра, то
Е(£|Я) = Eg п. н.
6.	E(g|^) = g п. и.
7.	Е(Е(&|Я)) = Eg.
8.	Если g не зависит от Я, то
Е(£|Я) = Eg п. п.
<48
9.	Если т] ^-измерима и E|g| < оо, Е[т)[ < оо, то
Е(£т]|Я) = цЕ(£|Я) п. п.
10.	Пусть £|, £2, ... — последовательность случайных величин. Если
|	< т|, Eq < оо и („ _> £ п. н., то
Е(5П|Я)->Е(£|^) п. н., E(|gn-g||^)-0 п. п.
Пусть (Q, Р) — вероятностное пространство, 35 — а-алгебра, содержа-
щаяся в si. Семейство условных вероятностей Р(Л f3S), A s si называется ре-
гулярным, если существует функция р(со, А), такая, что:
1) при фиксированном со р(ы, Л) является вероятностью на si',
2) Р(Л\35) = р(со, Л) п. н. при любом фиксированном Л.
Пусть 35t, 3§2 и 35 — а-алгебры, содержащиеся в si. Будем говорить, что
351 и 351 условно независимы при данном 35, если для любых 35\ е 35 \ и
Siг <=
P(S,B2|<3) = Р(В,|^)Р(В2|^).
Случайные величины £ и >| будем называть условно независимыми при
Нанном 35, если условно независимы порождаемые ими а-алгебры.
Пусть £ — случайная величина на вероятностном пространстве (Q, si, Р),
35 cz Л — некоторая а-алгебра. Функция Q(u>, В), вей, В — борелевское мно-
жество на прямой, называется регулярным условным распределением случай-
ной величины 5 относительно а-алгебры 35, если:
1)	при фиксированном В <2(со, В) ^-измерима;
2)	для почти всех со Q (со, В) является вероятностной мерой;
3)	при каждом В <?(со, В) =Р(£ <=В\35) п. п.
7.1.	На вероятностном пространстве (Й, б$, Р), где й = [0, 1],
б$ — о-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Лебега, задана
случайная величина £. Пусть — о-алгебра, порожденная множе-
ствами [0, 1/3), {1/3) и (1/3, 1/2). Найти Е(^|^), если
а) £ = <о; б) £ = sinn<o; в) £ — и2; г) £ = 1 —со;
11,	со с= [0, 1/3],
д) * = 12, сое (1/3, 1].
7.2.	В условиях предыдущей задачи найти функцию распреде-
ления случайной величины Е(gl^).
7.3.	На вероятностном пространстве (Й, б$, Р), где й = [0, 1],
б$ — о-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Лебега, задана
случайная величина £ = со. Найти Е(£|^), если:
а) 3! — о-алгебра всех борелевских подмножеств отрезка [0, 1],
симметричных относительно точки 1/2; б) — о-алгебра, порожден-
ная множествами [0, 1/3], [1/3, 2/3]; в) & — о-алгебра, порожден-
ная случайной величиной n = min{2<o, 1).
7.4.	Пусть g и т] — независимые случайные величины. Найти
DE(^I^) , если:
а) £ равномерно распределена па отрезке [0, 1], а ц имеет нор-
мальное распределение с параметрами а и о2; б) £ и ц имеют пока-
зательное распределение с параметрами /. и ц соответственно.
7.5.	Пусть случайная величина £ принимает не более п значе-
ний. Верно ли, что Е(^|^) также принимает не более п значений?
7.6.	Доказать, что если все события о-алгебры 31 имеют вероят-
ность 0 или 1, то с вероятностью 1
Е(^)=Е*.
149
7.7.	Пусть — случайная величина и <р(х)—борелевская функ-
ция, такая, что Е<р(£) существует. Доказать, что
Е(<р(£)|£) = <₽(Ю.
7.8.	Доказать, что если о-алгебры и 9%г независимы, то для
любых £ и ц случайные величины Е(^|^() и Е(т]|^2) независимы.
7.9.	Пусть и — независимые о-алгебры. Доказать, что для
любой случайной величины |, имеющей математическое ожидание,
с вероятностью 1
Е	Eg.
7.10.	Пусть на вероятностном пространстве (й,	Р), где Й—
отрезок [0, 1],	— о-алгебра борелевских подмножеств й, Р — мера
Лебега, задана случайная величина г] = ш. Доказать, что для любой
случайной величины £ с вероятностью 1 Е(£|т])=£.
7.11.	Обязана ли случайная величина Е(£|т]) быть измеримой
относительно о-алгебры, порожденной случайной величиной
7.12.	Пусть £ и г] — случайные величины с конечным математи-
ческим ожиданием. Доказать, что если существует случайная ве-
личина £ такая, что Е(^|£)=т], то Е^ = Ер. Верно ли обратное, т. е.
следует ли из равенства Е ; = Ет], существование £ такой, что
Е(Ш) = П?
7.13.	Пусть £ и т] — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечным математическим ожиданием. До-
казать, что случайные величины Е(£|£ + ц) и Е(цI£ + р) одинаково
распределены. В каком случае они будут независимы?
7.14.	Доказать, что в условиях предыдущей задачи
Е(£|£ + ц) = Е(ц|£ + ц) п.н.
7.15.	Пусть 5 и Л — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечным математическим ожиданием. До-
казать, что
Е (Ш + ц) = Е (’11 £ + п) = Цр- п- н.
7.16.	Пусть .$!, ^2, ...— певозрастающая последовательность
о-алгебр, | — случайная величина. Найти
Е(Е(... Е(^,) 1^2)... |Ж).
7.17.	Пусть .$!, ^2, . •.— неубывающая последовательность о-ал-
гебр, | — случайная величина. Найти
Е(Е(...Е(£|^,)|^2)... 1Я.).
7.18.	Пусть | и 1] — случайные величины с конечными матема-
тическими ожиданиями. Доказать, что если с вероятностью 1
Е(£1п)=П и Е(ц|£) = £, то i = t] п.н.
150
7.19.	Пусть % —случайная величина с математическим ожида-
нием а, & и $г — независимые о-алгебры, ^ = £(^1^?,),	=
= Е(£(|^2). Найти распределение £2.
7.20.	Пусть ..., |п — независимые одинаково распределенные
случайные величины с конечным математическим ожиданием, т)„ =
= + ... + £„. Доказать, что
Е(giIЛ-, T]n+i, •• •)= ПпЬ
с вероятностью единица.
7.21	(неравенство Йенсена). Пусть <р(х) — выпуклая функция,
£ — случайная величина, такая, что £|ф(£)1<°°. Доказать, что
Е(<р(^) |^)^<р(Е(^|^)).
7.22.	Доказать, что DE (£|.$) Dg.
7.23.	Пусть 0 < а 1, 0 < С 1, а+^^1, | и л — случайные
величины с конечными математическими ожиданиями. Доказать, что
Е(|£|“|т]И^)=С [E(1BI l^)]“[E(ln11^)?.
7.24.	Пусть £2, ...— последовательность независимых случай-
ных величин, л — случайная величина с конечной дисперсией,
а = Ел. Доказать, что
1	р
^(Е(лЮ+ ... +Е(л1Ы))^а
при п -> оо.
7.25.	Справедливо ли следующее утверждение: если g„ g п. п.,
то для любой случайной величины л
Е (Л Е (л1ё)?
7.26.	Пусть £2, •••—последовательность случайных величин,
— о-алгебра. Доказать, что еслп для некоторого 1 Е|£„ —
0 при п -* оо, то
ElE(^l^)-E(gl^f) |₽ -> 0.
7.27.	Пусть ^i, ^2, ...— последовательность о-алгебр, £ и л —
случайные величины с конечными математическими ожиданиями.
Доказать, что если Е (£!.$„) -* л 11 • п. при п -> оо, то Е (£!.$)= Е (л\3>)
п. п., где $ — П $ п-
п=1
7.28.	Пусть £ и л — случайные величины с конечными математи-
ческими ожиданиями. Доказать, что если существует последователь-
ность случайных величин £2, ... такая, что Е(£|£п)->л п. и. при
л °0, то Eg = Ел.
7.29.	Пусть = $2 с ...— неубывающая последовательность
с-алгебр, £ — случайная величина с конечным математическим ожи-
данием. Доказать, что для любого е > 0
Р( sup IЕ(gI%h)I>е\ <JLLLL.
\ 1 < l< < п	J е
151
7.30.	Пусть	<= £г <= ...— неубывающая последовательность
о-алгебр,
& = о [ U Яп
\n=1 /
£ — случайная величина с конечным математическим ожиданием.
Доказать, что ЕЕ(^1^) п.н.
7.31.	Пусть =>	73 ..— невозрастающая последовательность
о-алгебр,
Я = П
П=1
J — случайная величина с конечным математическим ожиданием.
Доказать, что Е (£!.$„)->- Е(£|^) п.н.
7.32.	Пусть ^4, &2, ...— последовательность о-алгебр, Н — слу-
чайная величина с конечным математическим ожиданием. Доказать,
что последовательность E(£|Z§,), Е(^|^2), ... равномерно интегри-
руема.
7.33.	Доказать, что случайная величина £ и о-алгебра $ неза-
висимы тогда и только тогда, когда для любой борелевской функции
такой, что Е|ф(£)| <<», выполнено равенство
Е(ф(^)|^) = Е<р(В).
7.34.	Пусть (Q, Р)—вероятностное пространство, S3 — о-ал-
гебра, & <= st. Доказать, что для любого события А
Р(Л) = f Р(Л |<Я) P(d<o).
Q
7.35.	Доказать, что любые две случайные величины, определен-
ные на вероятностном пространстве (Q,	Р), условно независимы
относительно о-алгебры
7.36.	Доказать, что случайные величины £ и т] независимы тогда
и только тогда, когда они условно независимы относительно три-
виальной о-алгебры ^ = {0, Q}.
7.37.	Доказать, что о-алгебры и условно независимы отно-
сительно о-алгебры & тогда и только тогда, когда для любого
Z?2 е ^2
Р(В21ад) = Р(В21^).
7.38.	Пусть случайные величины £ и г) независимы. Могут ли
они быть условно зависимыми относительно какой-нибудь о-ал-
гебры
7.39.	Пусть Р(Л|^), А еst,— регулярное семейство условных
вероятностей, | — случайная величина с конечным математическим:
152
ожиданием. Доказать, что
Е (£ I •$) =*	(ш) ₽ (d“ I п- н.
а
7/10. Пусть $—о-алгебра борелевских подмтюжеств й = (0, 1),
Р — мера Лебега на /?, С с й — множество, имеющее внешнюю ме-
ру Лебега 1 и внутреннюю меру Лебега 0. Рассмотрим вероятност-
ное пространство (Й, л/, Рс), где 3$— о-алгебра множеств вида
Л = В£ + В£, Bt, B2t=$!, РС(Л) =у P(#i) + -д Р(^2)- Доказать,
что семейство условных вероятностей РС(А\^) не является ре-
гулярным.
7.41. Рассмотрим вероятностное пространство (й, st, Р), где
Й = [0. 1], st- — о-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера Ле-
бега. Доказать, что семейство условных вероятностей Р(Л|^) явля-
ется регулярным, если:
а) ^ = {0, й); б) 9а = st\ в) — о-алгебра, порожденная мно-
жеством (0, 1/2).
7.42. Пусть па вероятностном пространстве (й, st, Р), где Й =•
= [0,1], st — о-алгебра борелевских множеств, Р — мера Лебега, за-
дана случайная величина |(со)=со. Найти условное распределение
£ относительно о-алгебры /?, порожденной случайной величиной т],
если
fl, со е [0, 1/3),
[0, со е [1/3, 1];
в) п =
б) г] = sin лсо;
1 — Зсо,
Зсо — 1
СО е [0, 1/3),
[1/3, 1].
2
Глава 8
БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие безгранично делимого распределения возникает при изучении
случайных процессов с независимыми приращениями и при исследовании
распределений, являющихся предельными для распределений сумм незави-
симых случайных величин.
Распределение вероятностей или соответствующая функция распределе-
ния F(x) называются безгранично делимыми, если для любого целого поло-
жительного п существует функция распределения Fn(x), такая, что
F(x) = Fn* ...*Fn(x).
п раз
Соответствующая характеристическая функция называется безгранично
делимой. Таким образом, характеристическая функция 7(0 называется безгра-
нично делимой, если для любого целого положительного п существует харак-
теристическая функция такая, что
7(0 = СМОГ
Примерами безгранично делимых распределений могут служить нормаль-
пос, пуассоновское, показательное распределения, распределение Коши (см.
задачи 8.14, 8.5).
Безгранично делимые характеристические функции распределений допус-
кают следующее каноническое представление.
Каноническое представление Леви — Хинчина. Функция /(/) является
безгранично делимой характеристической функцией тогда и только тогда, ког-
да она представима в виде
{ОО
ity -|- J (e’tu — 1
— оо
itu \ 1 -I- и2
1 л- и2) и2
dG (и)
(1>
где G(u) —неубывающая ограниченная функция, у—вещественное число. При
г2
и = 0 подынтегральная функция полагается равной _—.
Иногда предпочтительнее пользоваться другим представлением.
Каноническое представление Леви, функция f(t) является безгранично
делимой характеристической функцией тогда и только тогда, когда она пред-
ставима в виде
7(0 = ехр
—о
iyt — 1оТт J fe’(u — 1
i t и \
+ ". ; 2 ^-4 In) +
1 + “ /
oo
+ 0
(2)
где "f и с—вещественные постоянные, М(и) и N(u) —неубывающие функции,
М (и) Тл О, Л’(и) С О,
lim М (и) = lim,/V(u) = 0.
В случае, когда существует дисперсия, имеет место более удобное пред-
ставление Колмогорова.
Каноническое представление Колмогорова, Функция /(Z) является харак-
теристической функцией беграпично делимого распределения с конечной дис-
персией тогда и только тогда, когда она представима в виде
- 1 - Ku)_L dK (и)
(3)
где 7 — вещественная постоянная, а К (и) —неубывающая ограниченная функ-
ция. такая, что К(—оо) = 0.
Каждое из представлений (1), (2) и (3) единственно.
Важным подклассом безгранично делимых распределений является класс
устойчивых распределений.
Распределение вероятностей или соответствующая функция распределе-
ния /•’(z) называются устойчивыми, если для любых положительных 6| и Ь2
п любых вещественных с, и с? существуют положительное число Ь и дейст-
вительное число с, такие, что
В терминах характеристических функций это определение может быть
сформулировано следующим образом. Характеристическая функция /(() на-
зывается устойчивой, если для любых положительных Ь, и Ь2 существуют по-
ложительное число Ъ и действительное число 7, такие, что

Характеристические функции устойчивых распределений допускают следую-
щее представление: f(t) устойчива тогда и только тогда, когда она предста-
вима в виде
/ (0 = exp L’tp — d j 11“ fl -L /О G (^a)
где 0 < a 2, p — вещественное число, d 0, 10 |	1, при t = 0 полагаем
npn a #= 1,
G (1, a) —
tg -ту a npn a #= 1,
2
— In 11 I при a — 1.
P> симметричном случае это представление может быть существенно упроще-
но: для того, чтобы симметричная характеристическая функция /(/) была
устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид
/(Z) = e-d|'|a, d>0, 0 < a < 2.
8.1.	Пусть случайная величина £ имеет безгранично делимое
распределение. Доказать, что при любых вещественных а и b рас-
пределение случайной величины aS + b также безгранично делимо.
155
8.2.	Доказать, что слабый предел последовательности безгранич-
но делимых распределений безгранично делим.
8.3.	Пусть £ и Т| — независимые случайные величины с безгра-
нично делимым распределением. Доказать, что случайная величина
| + т] имеет также безграничное распределение.
8.4.	Пусть /(<) —безгранично делимая характеристическая функ-
ция. Доказать, что характеристическая функция \f(t) I также без-
гранично делима.
8.5.	Доказать, что безгранично делимая характеристическая
функция нигде не обращается в нуль.
8.6.	Доказать, что показательное распределение безгранично де-
лимо и найти его «корень к-й степени».
8.7.	Пусть /(/)—безгранично делимая характеристическая функ-
ция. Доказать, что для любого а>0 функция (/(£))“ также явля-
ется безгранично делимой характеристической функцией.
8.8.	Пусть f(t) — характеристическая функция, такая, что для
некоторой последовательности целых положительных чисел nt, п2,...,
удовлетворяющей условию nh -> °° при к -► <», функции
(/(0)1/ПА, А = 1, 2, ...,
являются характеристическими. Доказать, что /(<) безгранично
делима.
8.9.	Доказать, что равномерное па отрезке распределение пе мо-
жет быть безгранично делимым.
8.10.	Доказать, что распределение с плотностью sin2 не
является безгранично делимым.
8.11.	Доказать, что:
а) распределение Пуассона, б) отрицательное биномиальное рас-
пределение, в) нормальное распределение, г) распределение Коши
являются безгранично делимыми.
8.12.	Пусть £ и т] — независимые случайные величины, причем
£ имеет равномерное на некотором отрезке распределение. Доказать,
что случайная величина £ + ц не может иметь безгранично делимое
распределение.
8.13.	Пусть F (х)—произвольная функция распределения. Дока-
зать, что ни при каком а =/= 0 функция распределения
F (х) + F (г + а)
2
пе может быть безгранично делимой.
8.14.	Доказать, что непрерывная, линейная на каждом отрезке
[П, п +1], 71 = 0, ±1, ... функция пе может быть безгранично дели-
мой функцией распределения.
8.15.	Случайная величина £, определенная на некотором вероят-
ностном пространстве, может быть названа безгранично делимой*
если при любом целом положительном п она может быть представ-
156
лена в виде суммы п независимых, одинаково распределенных слу-
чайных величин, заданных на том же вероятностном пространстве.
Привести пример величины, которая не является безгранично дели-
мой, но имеет безгранично делимое распределение.
8.16.	Доказать, что безгранично делимая невырожденная случай-
ная величина не может быть с вероятностью единица ограниченной.
8.17.	Пусть cp(t) — любая характеристическая функция и р — про-
извольное положительное число. Доказать, что функция
/(Z) = exp {p(<p(t)-l)>
является безгранично делимой характеристической функцией.
8.18.	Доказать, что любая безгранично делимая характеристиче-
ская функция /(£) представима в виде
/ (t) = lira exp {р„ (<pn (Z) — 1)},
n-»oc
где pn — положительные числа, a <pn(Z)— некоторые характеристи-
ческие функции.
8.19.	Пусть <p(Z) —произвольная характеристическая функция.
Доказать, что для любого а > 1 функция
а — 1
a —<p(t)
есть безгранично делимая характеристическая функция.
8.20.	Доказать, что геометрическое распределение безгранично
делимо.
8.21.	Пусть ф(0 — произвольная непрерывная неположительная
четная функция, выпуклая при t > 0, ф(0) = 0 Доказать, что
е*(,)—безгранично делимая характеристическая функция.
8.22.	Доказать, что нормальное распределение и распределение
Коши являются устойчивыми.
8.23.	Можно ли утверждать, что сумма независимых случайных
величин, каждая из которых имеет устойчивое распределение, так-
же имеет устойчивое распределение?
8.24.	Доказать, что любое устойчивое распределение является
безгранично делймым.
8.25.	Является ли устойчивым показательное распределение?
8.26.	Доказать, что распределение с характеристической функ-
цией ехр {—где с>0 и 0<а«£2, является устойчивым.
8.27.	Доказать, что для устойчивой случайной величины £
ЕI£I” < 00
для всех ге(0, а), где а — параметр в каноническом представле-
нии устойчивых распределений.
8.28.	Доказать, что характеристическая функция устойчивого с
параметром а распределения при 0 < а С 1 не дифференцируема
в нуле.
8.29.	Может ли безгранично делимое распределение быть диск-
ретным, но не решетчатым?
157
8.30.	Пусть щ, ..., а„, Ci, ..., с„ — произвольные положительные
числа, такие, что
2 = !•
Л=1
Доказать, что распределение с плотностью
/ к у
безгранично делимо.
8.31.	Пусть f(x)— положительная измеримая функция, F(x)~
функция распределения. Доказать, что распределение с плотностью
/ (») dF (»)
л (/2 (и) -|- г1)
безграпичпо делимо.
8.32.	Доказать, что функция
оо
/(0=2 “h exp ( — ch | /р),
где Н/,^0, 2 ah = 1, 0.5= 0, 0<aAs£l, является характеристиче-
ской функцией безгранично делимого распределения.
8.33.	Может ли производящая функция целочисленного неотри-
цательного безгранично делимого распределения обращаться в нуль?
8.34.	Пусть £ — целочисленная случайная величина с безгранич-
но делимым распределением. Доказать, что Р(§ делится на два)~А
не делится на два).
8.35.	Пусть £ — целочисленная случайная величина с симмет-
ричным безгранично делимым распределением. Доказать, что
Р(£ делится на два)>Р(^ пе делится па два).
8.36.	Пусть £ — неотрицательная целочисленная случайная ве-
личина с безграпичпо делимым распределением, P(g = 0)>0. Дока-
зать, что Р(£ делится на два)> P(g не делится на два).
8.37.	Пусть £ — неотрицательная целочисленная случайная ве-
личина с безгранично делимым распределением. Доказать, что если
P(g = 0)>0 и Р(| = 1)>0, то P(g = /c)>0 для любого целого по-
ложительного к.
8.38.	Доказать, что плотность безграпичпо делимого распределе-
ния, симметричная относительно некоторой точки а, достигает в
точке а своего максимума.
8.39.	Пусть F (х)—целочисленная безгранично делимая функ-
ция распределения, симметричная относительно точки к. Доказать,
что в точке к F(х) имеет максимальный скачок.
153
8.40.	Показать, что характеристическая функция
/(<) =	(0<а<р<1)
не является безгранично делимой.
8.41.	Может ли безгранично делимая характеристическая функ-
ция быть произведением двух не безгранично делимых характери-
стических функций?
8.42.	Пусть £ — неотрицательная целочисленная случайная ве-
личина с безгранично делимым распределением, = ₽(& = &),
> 0, pi > 0. Доказать, что р\ 2рорг.
8.43.	Пусть £nft, 1, 1 п — последовательность случай-
ных величин, причем при каждом п случайные величины
t	?
Ъп1> • • • , ЬПП
независимы и одинаково распределены. Положим
Цп ^ni ”h... 4" ^nn,
Доказать, что если распределения т]п слабо сходятся при п -* °°
к некоторому предельному распределению, то последнее безгранич-
но делимо.
8.44.	Пусть — неотрицательная целочисленная случайная ве-
личина, Р(£ = 0)>0. Доказать, что для того, чтобы £ имела без-
гранично делимое распределение, необходимо и достаточно, чтобы
ее производящая функция допускала представление
P(z) = exp {X((?(z) — 1)},
где <2(z) — производящая функция некоторой целочисленной неот-
рицательной случайной величины, а 2. — положительное число.
8.45.	Пусть ifi(i)—произвольная характеристическая функция.
Доказать, что функция
f t U	1
/(<) = exp.— J J ф (y)dydu\
loo	J
является характеристической функцией безгранично делимого рас-
пределения с конечной дисперсией.
8.46.	Доказать, что функция
/(0 = ехр {—UI + 1 —е-111}
является характеристической функцией безгранично делимого рас-
пределения с конечной дисперсией.
8.47.	Пусть £ — целочисленная случайная величина, имеющая
безгранично делимое распределение. Доказать, что ее характеристи-
ческая функция <p(z) представима в виде
<p(z) = exphmz + 2 qk(ehz — l)k
I	h= — oo	J
где m — целое, qh > 0.
159
8.48.	Пусть — безгранично делимая случайная величина с ре-
шетчатым распределением (h — шаг решетки). Доказать, что
оо
I = 2
h=l
где Vi, v2, ...— независимые случайные величины, имеющие рас-
пределение Пуассона.
8.49.	Доказать, что для того, чтобы последовательность безгра-
нично делимых характеристических функций	<p2(z), ... схо-
дилась к характеристической функции <p(z), необходимо и доста-
точно, чтобы почти для всех х Gn(x)->- G(x) п у»-*] при п -* °°,
где G„, G, у„, у — функции и постоянные из канонического пред-
ставления Леви — Хипчипа характеристических функций <p„(z)
и <p(z).
8.50.	Пусть gi, Вг, •••—последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величин, v — случайная величина,
не зависящая от Bi, ёг, • • • и имеющая пуассоновское распределе-
ние. Доказать, что случайная величина
V
nv = 2 Вл, Ло = °,
л=1
имеет безгранично делимое распределение.
8.51.	Доказать, что для всех а>0 функция
1
(1 + iz)a
является безграпичпо делимой характеристической функцией. Найти
ее представление в форме Леви — Хипчипа.
8.52.	Найти представление Леви — Хипчина характеристических
функций нормального и пуассоновского распределений.
8.53.	Пусть 5 = Bi + Вг, где Bi и Вг независимы и имеют безгра-
нично делимые распределения. Доказать, что:
а) если 5 нормально распределена, то Bi и 5г нормально рас-
пределены; б) если 5 имеет пуассоновское распределение, то В, и
Вг имеют пуассоновские распределения.
Глава 9
ДИСКРЕТНЫЕ ЦЕПИ МАРКОВА
Одним из наиболее важных обобщений последовательностей независимых
случайных величин являются последовательности случайных величин, свя-
занных в цепь Маркова.
Пусть дана последовательность случайных величин £0, £...  определен-
ных на одном вероятностном пространстве (Й, з#-, Р) и принимающих не бо-
лее чем счетное множество значений (zi, z2,
Последовательность случайных величин £0,	••• образует цепь Маркова
(связана в цепь Маркова), если для любого п и любых io, ц, ..., in таких, что
|,(£n-1=*in_1.	=
имеет место равенство
Р = Ч | ^"-1 = %-1..............=	%) = Р (^l = X’n| = Ч-х)
(марковское свойство).
Случайная величина £п интерпретируется как состояние цепи Маркова на
п-м шаге. Во многих задачах, связанных с изучением цепей Маркова, множест-
во значений случайных величин gf, i = 0, 1, ..., можно отождествить с под-
множеством множества натуральных чисел (номерами состояний цепи).
Цепь Маркова £о,	••• называется однородной, если для любых i и j
P(gn =	= z() — Ptj не зависит от п. В дальнейшем, если не огова-
ривается противное, рассматриваются только однородные цепи Маркова.
Матрица Р с элементами Рц называется матрицей вероятностей перехода
за один шаг.
Матрица Р является стохастической, т. е. для любых I и / Рц 0 и
2^ = 1-
j
Матрица Р(п> с элементами Р-"* = Р (£n = j | £0 = i) называется матрицей
вероятностей перехода за п шагов. Для любых неотрицательных пит спра-
ведливо (уравнение Колмогорова — Чепмена
р(п+т) = р(п)р(т)
Р(0) — единичная матрица).
Пусть pw = (₽(п>, р(™\ ...) — распределение вероятностей цепи Маркова
на n-м шаге:	— Р(£п = z{), тогда р<п+т> = р(")р(”>) или р(п> = pi°>P", где
распределение р(0> называется начальным распределением цепи Маркова. От-
сюда следует, что матрица вероятностей перехода за один шаг и начальное
распределение полностью определяют все распределения цепи Маркова, а зна-
чит и саму цепь Маркова, если отождествлять цепи с одинаковыми распре-
делениями.
Важную роль в теории цепей Маркова играет классификация состояний.
Говорят, что состояние ij достижимо из состояния xi, если существует такое
п > 0, что Р^р > 0. Состояния z( и xs называется сообщающимися, если они
Достижимы друг из друга.
И А. в. Прохоров и др.	161
Состояние х< называется несущественным, если существует такое состоя-
ние Xj, что Xj достижимо из х,, a xt недостижимо из xj и называется сущест-
венным в противном случае. Множество всех сущем венных состоянии цепи
Маркова разбивается на ненересекакициеся классы сообщающихся состояний
так, что любые два состояния из одного класса сообщаются между собой,
а для любых двух состояний и х, из разных классов Р j1' — Pj’" — О для
любого п.
Цепь Маркова, все состояния которой составляют один класс сообщаю-
щихся состояний, называется неразложимой.
Состояние it называется возвратным, если вероятность возвращения в
это состояние равна 1, и невозвратным в —противном случае. Если для воз-
вратного состояния среднее время возвращения конечно, то оно называется
возвратным положительным, в противном случае возвратным нулевым.
Состояние xt называется периодическим, если II. О. Д.*) (и: Р*Л'>(|) =
—d>i, при этом d называется периодом состояния. Если d = 1, состояние на-
зывается непериодическим. В неразложимой цепи Маркова все состояния име-
ют одинаковый период, в частности, одновременно являются непериодически-
ми. Неразложимая цепь Маркова называется непериодической, если все ее со-
стояния являются непериодическими.
Цепь Маркова называется эргодической, если для любых i и / существует
нт р;.р = р.х>,	=
Ч-»оо	j
Распределеппе вероятностей л,, я2, ... называется стационарным распре-
делением цепи Маркова, если для любого п
=	7 = 1,2,...
i
Справедливы следующие критерии эргодичности неразложимых цепей
Маркова.
Теорема 1. Если для однородной цепи Маркова с конечным числом со-
стояний существует п0 такое, что P\j0> >0 для любых i и j, то цепь Маркова
является эргодической.
Теорема 2. Для эргодичности однородной, неразложимой, непериоди-
ческой цепй Маркова со счетным числом состояний достаточно существования
конечного множества 70 ст {1, 2, ...}, действительного в > 0, натурального п
и неотрицательных действительных чисел U|, и2, ..., таких, что
Sp(i"4<ui-E’
j-=l
5	< °°-	' е 7о-
7=1
§ 1.	Основные понятия и соотношения
9.1.	Доказать, что для любой стохастической матрицы Р суще-
ствует вероятностное пространство и последовательность случайных
величин на нем, образующих цепь Маркова с матрицей вероятно-
стей перехода за один шаг Р.
9.2.	Всякая ли стохастическая матрица может быть матрицей
вероятностей перехода за два шага некоторой цепи Маркова?
*) II. О. Д.— наибольший общий делитель.
162
9.3.	Известно, что цепь Маркова полностью определяется на-
чальным распределением и матрицей вероятностей перехода за один
шаг. Определяется ли цепь Маркова начальным распределением и
матрицей вероятностей перехода за два шага?
9.4.	Доказать, что стохастическая матрица второго порядка яв-
ляется матрицей вероятностей перехода за два шага некоторой цепи
Маркова тогда и только тогда, когда сумма ее диагональных эле-
ментов больше или равна единице.
9.5.	Определить, при каких значениях с и d цепь Маркова опре-
деляется однозначно начальным распределением и матрицей вероят-
ностей перехода за два шага:
0'2) = f С 1-<Л
1 — d d )'
9.6.	Доказать, что для цепи Маркова	... при любых
О «S к < п — 1:
а)	Р(ц,I।	iп~।, .... ц) Р(= i„ 1	1	?п—।)j
б)	Р(ьп ^'п, ...,	=	. . ., 5(! = !11) =
= P(s-. = i>>, ..., ьы-i = U+iI= ц);
а) Р (5* in I ьа Ц. ...,	i«) Р ( йп in I ьь	Ц) •
9.7.	Пусть А—событие, зависящее только от состояний цепи
Маркова на первых п — 1 шагах, а В — событие, зависящее от со-
стояний па (п + 1)-м, ..., (п + т.)-м шагах. Доказать, что при фик-
сированном состоянии па н-м шаге события А и В независимы.
9.8.	Пусть gi, ...— цепь Маркова. Доказать, что для любых
0 с' щ п
I* (Sn+i = in+i | S i] ~ iпр • • •, 5% = inft) ~ ₽ (®zl n = ^'•+11 bn., = in,)>
где z;, = max {щ}.
i
9.9.	Пусть случайная величина т не зависит от однородной цепи
Маркова £0,	•	• • и принимает целые неотрицательные значения.
Доказать, что для любого п 5= 1 и любых I», ..., г„+1
Р(ьг+п + 1 in + 1 I S 1 + П inf • • ., st (’о) Р(^г+п + 1	in)	•
Верны ли указанные равенства, если цепь Маркова §0, £i, ••• не-
однородна?
9.10.	Пусть Tlt т2, ...— последовательность независимых поло-
жительных целочисленных случайных величии, не зависящих от
цепи Маркова £0,	... Доказать, что
..ч тп = in | ^т1 + ...+тп_1 =	= *1) =
= ₽(Ц+...+тп = in |£r1+...+Tn_1 = i,1_1).
9.11.	Цепь Маркова имеет матрицу вероятностей перехода за
один шаг
U(l>_fl а а \
b i-b]'
11*
163
Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов и предел
при п оо.
9.12.	Пусть в матрице вероятностей перехода за один шаг цепи
Маркова с тремя состояниями
р
1 а = | р .	; "-ъ ;
Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов и предел
при п оо.
9.13.	В матрице вероятностей перехода Р за один шаг
_ (^U-i+i, 7>«,
+	7 ~~ '•
Доказать, что аналогичные соотношения выполняются для вероят-
ностей перехода за т шагов.
9.14.	Пусть — вероятность перехода за п шагов из i-ro со-
стояния в ;-е некоторой цепи Маркова,
ccj (n) = min Р<1}\ Pj («) — max P(ij'•
i	i
Доказать, что
аЛ1)^М2)^...^аДга)^...МЛ«)^...МД2)Мь (О
9.15.	Пусть последовательность случайных величин	...
образует цепь Маркова. Доказать, чТо любая подпоследовательность
последовательности £0,	• • • также образует цепь Маркова.
9.16.	Пусть £0,	...— последовательность независимых одина-
ково распределенных целочисленных случайных величин. Доказать,
что опа образует цепь Маркова. Найти матрицу вероятностей пере-
хода за п шагов.
9.17.	Пусть £0, £i, •••—последовательность случайных величин,
образующих однородную цепь Маркова. Доказать, что для того,
чтобы случайные величины £0, £i, ... были независимы, необходимо
и достаточно, чтобы все строки матрицы вероятностей перехода за
один шаг были одинаковыми.
9.18.	Пусть £о,	...— последовательность попарно независимых
(пе обязательно независимых в совокупности) случайных величин.
Образуют ли £0,	... цепь Маркова?
9.19.	Точки ..., А„ представляют собой вершины правиль-
ного «-угольника. Некоторая частица совершает случайное блужда-
ние по точкам Л(, ..., А„. Определить, является ли последователь-
ность положений частицы цепью Маркова, если
а) частица совершает детерминированное движение по часовой
стрелке; б) частица в начальный момент случайно выбирает на-
правление по или против часовой стрелки и далее постоянно дви-
жется в выбранном направлении; в) из любой точки Л(, i=/=l, ча-
стица с вероятностью р сдвигается по часовой стрелке, а с вероят-
ностью <? = 1 —р — против часовой стрелки в соседнюю точку. По-
164
падая в точку Ль частица возвращается в ту точку, из которой
она пришла в А,.
9.20.	Частица совершает случайное блуждание в плоскости по
целочисленным точкам (i, J), таким, что 0 «5 i, j п. Из любой
внутренней точки указанного квадрата частица с равными вероят-
ностями, независимо от ее предыдущего движения, переходит в
одну из соседних (по вертикали или горизонтали) точек. При вы-
ходе на границу квадрата частица далее:
а)	движется по границе квадрата детерминировапно по часовой
стрелке;
б)	возвращается в ту точку, из которой опа вышла па границу;
в)	выбирает случайным образом направление па границе и дви-
жется по границе в выбранном направлении.
Для каждого из указанных случаев определить, будет ли по-
следовательность положений, занимаемых частицей, цепью Маркова.
9.21.	В условиях предыдущей задачи частица из каждой внут-
ренней точки с равной вероятностью может переходить в одну из
соседних (по горизонтали, вертикали или диагонали). Будет ли
последовательность положений частицы цепью Маркова для каждо-
го из трех указанных в предыдущей задаче условий движения по-
сле выхода на границу?
9.22.	В начальный момент времени в урне пл белых и та чер-
ных шаров. Через каждую единицу времени из урны по схеме
выбора без возвращения извлекается один шар. Пусть пк — число
белых, а тк — число черных шаров в урне в момент времени к.
Какие из указанных ниже последовательностей образуют цепь Мар-
кова, а какие нет:
а) Щ, б) п„ — тк, в) пк + тк, г) пара (пк, тк), д) пк — тк +
+ 1/(пк + тк + 2)?
9.23.	Пусть случайные величины So, ..., Sn образуют цепь Мар-
кова. Доказать, что случайные величины Т)о, ..., рп, где тр = Sn-<,
также образуют цепь Маркова. Образуют ли цепь Маркова случай-
ные величины So, ..Sn, где So, ..., Sn — произвольная перестанов-
ка So, ..., Sn?
9.24.	Пусть So, Si, • • •— последовательность независимых случай-
ных величин. Образует ли цепь Маркова последовательность So + So
S. + S», S2 + S3, ...?
9.25.	Пусть So, Si, • • •— последовательность случайных величин,
образующих цепь Маркова. Будет ли цепью Маркова последова-
тельность So + Si, S2 + Ss, S* + So, ...?
9.26.	Дана цепь Маркова с конечным числом состояний. Пусть
S< — состояние цепи на i-м шаге. Будет ли цепью Маркова после-
довательность гр, Л,, ..., где
(1, если Si = ^i,
111 (0, если StT^^i-
9.27.	Пусть So, Si, • • •— последовательность независимых одппа-
ково распределенных случайных величин, принимающих значения
165
— 1 и +1 с вероятностями р и q = i — р соответственно. Положим:
п
а) Л» = gngn+ь б) ц» = max g,; в) т)„ = П
0<i	i==0
Будет ли последовательность л<ь Ль ••• Цепью Маркова?
9.28.	Пусть g0, g(, ...— последовательность независимых цело-
численных случайных величин, причем
₽(gn = fc) = /4, Л = 0, ±1, ±2, ...
Положим л„ = So + • • • + gn. Доказать, что последовательность
Л», Ль ••• образует цепь Маркова. Найти соответствующую матрицу
вероятностей перехода за один шаг.
9.29.	Пусть go, gi, ... и л», Ль ...— две цепи Маркова. Будет
ли цепью Маркова последовательность g0 + Ло, gi + Ль •••?
9.30.	Пусть (l?*, ..., In’), i 1,— последовательность независи-
мых одинаково распределенных случайных векторов, g0 — случай-
ная величина, не зависящая от Kli’h • • •, In hi, i = 1, 2, ... .
Пусть go и g;!> принимают значения 1, ..., п. Построим последова-
тельность случайных величин ц0, Ль • • • следующим образом:
Ло = Во» Л; = В”^,	'>!•
Доказать, что последовательность л», Ль ••• образует цепь Маркова.
9.31.	Для цепи Маркова, определенной в предыдущей задаче,
найти число состояний, матрицу вероятностей перехода за один
шаг и вектор начальных вероятностей, если
₽ (Bi0 = /) = Pii, i = 0, 1, ..., и; 7 = 1, 2,..., п.
9.32.	Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом
состояний может быть представлена как последовательность случай-
ных величин 1]0, Ль • • •> определенных в задаче 9.30.
9.33.	Пусть go, gi, ...— независимые случайные величины с ди-
скретным распределением, />, .. — некоторые функции. Дока-
сать, что последовательность случайных величин ip, ц2, ..., где
»)*+• =/*(л«, Ва+1), образует цепь Маркова.
9.34.	Пусть go, gi, ...— последовательность случайных величин,
образующих цепь Маркова, /(х) — некоторая функция. Будет ли
последовательность /(go), /(gi), ... цепью Маркова?
9.35.	Пусть go, gi, ...— цель Маркова со счетным множеством
состояний {1, 2, ...) и матрицей вероятностей перехода за один
шаг Р, причем состояния 1, 2, ..., N возвратны. Положим
v0 = min(i: gi<2V), v„ = min(i > v„_t: g, s£A'), n>l,
Л; = Bvr
Доказать, что последовательность л», Ль ... образует цепь Марко-
ва. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг.
9.36.	Для всякой ли цепи Маркова g0, gi, ... со счетным числом
состояний {1, 2, ...} можно выбрать последовательность независи-
мых между собой и ие зависящих от g0, gi, ... случайных величин
1С6
5„, 5i, ... со значениями в множестве (1, 2, ..., Л’}, таких, что по-
следовательность I]!, ..., где
ть = 7(^ ТО+ /(&>#)£,,
является цепью Маркова?
§ 2.	Классификация состоянии
9.37.	Пусть 5», 51, • • • — цифровая последовательность, в которой
цифры появляются случайно, независимо друг от друга и равнове-
роятно. Имеется счетчик, который в момент п показывает, сколько
различных цифр встретилось среди первых п цифр последователь-
ности 5о, 5i, • • • Доказать, что показания счетчика образуют цепь
Маркова. Найти матрицу вероятностей перехода за один шаг. Ука-
зать существенные и несущественные состояния.
9.38.	Частица случайным образом блуждает на прямой по цело-
численным точкам 0, 1, ..., п. Из любой внутренней точкп частица
передвигается с вероятностью р па один шаг вправо или, с вероят-
ностью q = 1 — р, на один шаг влево. Попадая в точки Опп части-
ца остается в них навсегда (поглощающие .экраны). Найти матри-
цу вероятностей перехода за один шаг. Указать существенные и
несущественные состояния.
9.39.	Частица случайным образом блуждает па прямой по цело-
численным точкам 0, 1, .. ., п. Из любой внутренней точки частица
передвигается с вероятностью р на один шаг вправо или, с вероят-
ностью q = 1 — р, на один шаг влево. Попадая в точки 0 и п части-
ца в следующий момент времени с вероятностью 1 переходит соот-
ветственно в точки 1 или п — 1 (отражающие экраны). Найти мат-
рицу вероятностей перехода за один шаг. Указать существенные и
несущественные состояния.
9.40.	Указать существенные и несущественные состояния цепи
Маркова с матрицей вероятностей перехода за один шаг
(1/4	1/4	0	0	1/2\
1/3	0	1/3 1/3	0 \
1/2	0	0	0	1/2 I
00	01/2	1/2 I
0	0	0	1	0	/
9.41.	Могут ли все состояния цепи Маркова с конечным числом
состояний быть несущественными?
9.42.	Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом
состояний быть несущественными?
9.43.	Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко-
ва имеет вид
(1/4 1/4 1/4 1/4\
0 1/2 1/2 0 I
0 1/2 1/2 0 Г
1	0	0	0	/
Указать все пары сообщающихся состояний.
167
(о
1
1
о
о
о
о
1
о
о
0 I
1Г
о/
в) Р =
1/2
0
0
1/2
1/2
0
о
о
1/2
1/2
0
9.44. Цепь Маркова имеет г состояний. Доказать, что:
а) если ]'-е состояние достижимо из i-ro (i =?*=/), то оно может
быть достигнуто меньше чем за г шагов; б) если вероятность воз-
вращения в состояние i положительна, то возвращение может про-
изойти за г или менее шагов.
9.45. Будет ли цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
за один шаг Р периодической, если
О	1/2	0	1/2	0	0
0	0	1	0	0	0
Р _ 0	0 °1/2 0 1/2
0	0	0	0	1	0’
0	0	0	0	0	1
1	0	0	0	0	0
0 \
0 I
1/2 '
1/2/
Для периодических цепей указать период.
9.46.	а) Доказать, что неразложимая цепь, у матрицы переход-
ных вероятностей которой хотя бы один диагональный элемент
положителен, не может быть периодической.
б) Может ли неразложимая цепь, у которой все диагональные
элементы равны нулю, быть непериодической?
9.47.	Доказать, что конечная неразложимая цепь Маркова явля-
ется непериодической тогда и только тогда, когда существует п та-
кое, что > 0 для всех i и j.
9.48.	Указать возвратные и невозвратные состояния цепи Мар-
кова с матрицей вероятностей перехода за один шаг
	0	1/2	1/2	0	0	0
	0	0	1/2	1/2	0	0
	0	0	0	1/2	1/2	0
р =	0	0	0	0	1/2	1/2
	1/2	0	0	0	0	1/2
	0	0	0	0	0	1
9.49.	Доказать, что все состояния цепи Маркова с матрицей пе-
реходных вероятностей Р возвратны, если
(1/2 0 1/2 0 ’
0 1/2 0 1/2
1/2 0 1/2 0
0 1/2 0 1/2.
/1/п	0	1/п	0	. . .	\
.	р	I 0	1/п	0	1/п	...	1
Г)	I 1/п	0	1/п	0	...	Г
/1/2 1/20 0 \
1/2 1/2 0 0 |
0 0 1/2 1/2 Г
\ 0 01/2 1/2/
168
9.50.	Доказать, что если j-e состояние невозвратно, то для всех i
W<oo.
71=1
9.51.	Доказать, что любая цепь Маркова с конечным числом со-
стояний имеет по крайней мере одно возвратное состояние.
9.52.	Могут ли все состояния цепи Маркова со счетным числом
состояний быть невозвратными?
9.53.	Доказать, что для конечной цепи Маркова состояние воз-
вратно тогда и только тогда, когда оно существенно. Показать, что
это неверно для цепей со счетным числом состояний.
9.54.	Имеется «цепь Маркова со счетным числом состояний и
матрицей вероятностей перехода за один шаг
₽! 1 — Pi 0	0	0 . . . 1
Р2 0	1 — л2 0	0 . . .
р3 0 О 1 — />3 0 . . . I
.........................................)
Доказать, что если ряд У, р, сходится, то все состояния этой це-
i=l
пи возвратны, в противном случае — невозвратны.
9.55.	Пусть все состояния цепей Маркова с матрицами вероят-
ностей перехода за один шаг А и В возвратны. Доказать, что воз-
вратны все состояния цепи Маркова с матрицей вероятностей пе-
рехода:
а) (о в]' (в о)'
9.56.	Доказать, что для любого состояния i цепи Маркова веро-
ятность возвращения в него бесконечное число раз равна 0 или
1, причем в первом случае состояние невозвратно, а во втором воз-
вратно.
9.57.	Пусть цепь Маркова имеет т < <» состояний и пусть к-е
состояние возвратно. Доказать, что существует положительное чис-
ло q < 1, такое, что при п > т вероятность того, что время возвра-
щения в к-е состояние превысит п, меньше, чем qn.
9.58.	Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
ным числом состояний была невозвратной, необходимо и достаточ-
но, чтобы система уравнений
ОО
и, = У щРц, I = 1, 2, ... ,
о
имела ограниченное решение, такое, что щ const, i = 0, 1, ...
9.59.	Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
ным числом состояний была возвратной, достаточно существования
такой последовательности и0, и,, ..., что щ -* оо при i -* оо и для
169
всех i =/= О
11 i У
9.60.	Доказать, что для того, чтобы неразложимая цепь со счет-
ным числом состояний была возвратной и положительной, необхо-
димо и достаточно, чтобы система уравнений
оо
И; = 2	7 — 0, 1, ...
i=o
имела не равное тождественно пулю решение, для которого
оо
2 |Ui|<OO.
1=0
9.61.	Имеется цепь Маркова со счетным числом состояний и пе-
реходными вероятностями РОо — гч, P»i — р0 > 0
		Pi >	• 0, у = i + 1,
			0, j = i,
		9i>	0, j = i - 1,
		0	в остальных случаях.
Пусть			
			,	••• 9m
		Ро	-* p" 14
Доказать справедливость следующих утверждений:
а) цепь возвратна тогда и только тогда, когда
ОО
2 рш = оо;
т— о
б)	цепь невозвратна тогда и только тогда, когда
ОО
2 Рт< оо;
т=0
в)	цепь положительна тогда и только тогда, когда
ОО	оо
pm ~	[p?npml <С ОО J
т=о	тп—о
г)	цепь нулевая тогда и только тогда, когда
оо	оо
2 Pm = оо, 2 [PrnPm] = ОО.
т=0
9.62.	Пусть £о,	— цепь Маркова,
Un = max {0, £*-!) + т]*+1, к > 0,
где т)1, ц2, ... —1 последовательность независимых одинаково рас-
170
лределенных случайных величин с Д(1']й = ]) = Р>, j = О, 1, ... Най-
ти матрицу вероятностей перехода за один шаг и доказать, что ес-
ли р0 > 0, ра + pi < 1, то цепь возвратна тогда и только тогда, когда
2 кр„ < 1.
k
§ 3. Стационарные и предельные распределения
9.63.	Доказать, что если цепь Маркова имеет по крайней мере
одно несущественное состояние, то она не является эргодической.
9.64.	Показать, что у неэргодической марковской цепи может
существовать стационарное распределение, причем единственное.
9.65.	Доказать, что для конечной цепи Маркова всегда сущест-
вует стационарное распределение.
9.66.	Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко-
ва имеет вид:
('01/20	0 1/2\
0	0	1	о	о	\
1/5	1/5	1/5	1/5	1/5 I
О	1/2	О	О	1/2 I
< 0	1/2	1/2	0	0	/
Найти стационарное распределение.
9.67.	Эргодичны ли цепи Маркова со следующими матрицами
вероятностей перехода за один шаг:
а) /° 1\ б) /1 0\ в) /1 0\ Г) /1/2 1/2\ д) /1/2. 1/2\
\1 О/’	\0 1Д И ОД \ 1 О Г \ О 1 Д
е) /1/2 1/2
О 1/2
\1/2 О
0 \
1/2 ,
1/2/
(1	О
1	О
1/2 1/2
1/4 1/4
О 0 \
О	0 |
О	о г
1/4 1/4/
9.68.	Пусть цепь Маркова имеет по крайней мере два несообща-
ющихся состояния. Доказать, что она не является эргоди-
ческой.
9.69.	Пусть цепь Маркова имеет два состояния. Доказать, что
имеет место один из следующих трех случаев:
а) цепь эргодична; б) состояния не сообщаются; в) матрица
/О 1\
вероятностей перехода за один шаг имеет вид I * 0 I-
9.70.	Эргодичная цепь Маркова с двумя состояниями имеет пре-
дельные вероятности р и q = 1 — р. Найти матрицу вероятностей
перехода за одип шаг.
9.71.	Доказать, что если все существенные состояния однород-
ной цепи Маркова с конечным числом состояний образуют один
непериодический класс, то существуют не зависящие от i пределы
lim Р$ = лр
•WO0
171
9.72.	Цепь Маркова имеет следующую матрицу вероятностей
перехода за один шаг:
(Ро Р1 Р2 "' • Рт—1\
Pm—l Pq Pl ' ‘ ‘ Рт-2 )
Pl Р2 Р3 ••• Р0 /
tn—1
где 0 < pt < 1, У = 1. Доказать, что
1=0
lim Р (g„ = xi) = 1/т, i = 1, 2, ..., m.
П-»оо
9.73.	Пусть £o, £i, ... и т)0,	• • • — Две цепи Маркова с конеч-
ным числом состояний, одинаковой матрицей вероятностей перехо-
да за одип шаг и начальными распределениями (pt, ..., рт) и
(д,, ..., qm) соответственно. Доказать, что если
min Рц е > О,
i.i
то
т
S I /4"’ - ^п’|< 2 (1—тпе)п,
1=1
где р\п} = Р (gn = i), q™ = Р (цп = г).
9.74.	Пусть конечная цепь Маркова является эргодической и
jtj = lim Доказать, что существуют 0 < р < 1 и С, такие, что
П-»оо
для любых i, ] и п.
9.75.	Доказать, что если матрица вероятностей перехода цепи
Маркова имеет два собственных значения, по модулю равных еди-
нице, то цепь неэргодична.
9.76.	Рассмотрим цепь Маркова из задачи 9.62. Доказать, что
при pQ >0, ра + Pi <	< 1 она является эргодической. Найти
производящую функцию стационарного распределения.
9.77.	Найти стационарное распределение цепи Маркова из зада-
оо
чи 9.54 в случае сходимости ряда 2 Pi-
i=i
9.78.	Рассмотрим цепь Маркова со счетным числом состояний и
матрицей верояГностей перехода за один шаг
(₽о	Pi	Р2	•••\
1	О	0	...	1
О	1	о	...	|.
О	0	1	...	I
Доказать, что при > 0, i = 0, 1, .. .,^ipi<o° цепь является эр-
годической. Найти производящую функцию стационарного распре-
деления.
172
§ 4. Разные задачи
9.79.	Рассмотрим цепь Маркойа со счетным числом состояний
{... —к, —к+1, ..., —1, 0, 1, .... к, ...} и вероятностями перехода
за один шаг
р,
1-р,
о

i = t + 1,
] = i — i,
для остальных /.
Найти производящую функцию времени возвращения в состояние 0.
9.80.	Пусть дана цепь Маркова с состояниями (0, ...,2V) и мат-
рицей вероятностей перехода за один шаг
( р, у = i + 1
11 fl -р, 7 = 7-1, i = 1,	1,
^00 ^NN — 1 •
Пайти математическое ожидание времени до поглощения, при усло-
вии, что начальное состояние к.
9.81.	Пусть цепь Маркова с состояниями 0, 1, ..., N имеет мат-
рицу вероятностей перехода за один шаг
		7 = 7 — 1,
	Я;, 1 — (а; -+- bi),	7 = i + 1, 1 = i,
	0,	I 7 — г I > 1,
где а0 = b0 = aN = bN = 0, at > 0, bi > 0, i = 1, ..., N— 1. Найти
вероятность поглощения в состоянии 0, исходя из состояния к.
9.82.	Пусть £2, ... — независимые, одинаково распределенные
случайные i еличины, P(£t = 1) = Р(£, = —1) =1/2, z0 = 0, z„ = zft_t +
к = 1, 2, ... Положим Tjv = min {/г >1 : |zn| = /V). Найти Etjv.
9.83.	Матрица вероятностей перехода за один шаг цепи Марко-
ва с множеством состояний (0, 1, ..., /V) имеет вид
(О	1	0	0	...	О	О	О
1/2	0	1/2	0	...	О	О	О
О	1/2	0	1/2	...	О	О	О
О	0	0	0	...	1/2	0	1/2
О	0	0	0...0	1	О
Найти матрицу вероятностей перехода за п шагов.
9.84.	Пусть £0,	• • • — неразложимая возвратная положитель-
ная цепь Маркова, P(^0 = i)=l, 2Vn(i)—число возвращений в со-
стояние i за первые п шагов. Доказать, что Ит —   = —, где
71-# СЮ	П
gi — среднее время возвращения в состояние г.
9.85.	Пусть для неразложимой марковской цепи с состояниями
{О, 1,2,...) существует а > 0, такое, что /<0 > а для всех i ¥= 0.
Доказать, что все состояния цепи возвратны.
Глава 10
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Основные понятия. Пусть (£2, st, Р) — некоторое вероятностное простран-
ство. Функция двух переменных £<(<>), определенная при t е Т, oeQ, при-
нимающая значения в пространстве А', л?-измерпмая как функция <о при каж-
дом t е Т, называется случайной функцией, а А' — ее областью значений.
В том случае, когда Т представляет собой подмножество числовой прямой,
случайную функцию чаще называют случайным процессом.
При фиксированном ш (ы) называют реализацией (траекторией) слу-
чайного процесса.
Два случайных процесса и !еГ, заданных на одном и том же
вероятностном пространстве, называются стохастически эквивалентными, ес-
ли для любого t е Т
₽(^#=!О = 0.
Случайный процесс t е Т, называется сепарабельным, если существу-
ют в Т счетное всюду плотное множество {/>}, > , п в <2 множество .V вероят-
ности I) такие, что для любого открытого множества G cz и замкнутого мно-
жества F с. А два множества
[ш:	(ы) s /•’, Vt  <= 6'j,
|w: (w) s s G]
отличаются только па подмножество Д’.
Пусть (U, л/, Р) — вероятностное пространство, £<(о>). t е Г,— заданный
на нем случайный процесс со значениями в метрическом пространстве (X, р).
Пусть па Т определена о-алгебра Я, содержащая борелевсьие множества, и на
Я — некоторая полная мера ц. Обозначим через o(jSX-S^) о-алгебру, порож-
денную в Т X U произведением о-алгебр Я X и через a(^XJ#)—ее по-
полнение относительно меры ц X ₽.
Случайный процесс £:(<>) называется измеримым, если функция (t, <и) -*•
-> £((ы) измерима относительно, о (Я X
Всюду в дальнейшем в случае Т с Н в качестве о-алгебры Я будем вы-
бирать о-алгебру борелевских множеств, в качестве меры ц — меру Лебега.
В случае Т с {0, 1,2,...} в качестве Я будем выбирать множество всех под-
множеств Т.
Пусть gi, t е Т,— случайный процесс, па Т задана метрика г.
Случайный процесс со значениями в Rn называется стохастически не-
прерывным (непрерывным в среднем порядка р > 0) в точке to, если для лю-
бого е > 0
>е}-> 0 (E|g,_ |,о I”-О)
при r(t, t0) -► 0.
174
Случайный процесс t е Т, со значениями в IRn называется стохасти-
чески ограниченным, если
Случайный процесс gi, t е Т, со значениями в Rn называется равно-
мерно стохастически непрерывным па множестве К с: Т, если для любого
е > 0 существует б > 0, такое, что Р (|	— £(, | > е) < е для всех t, t' е К,
r(t, t') <6.	_
Функция K(t, s) = Е£(£, — Eg(E£, называется корреляционной функцией
случайного процесса i,t (X = 2 — множество комплексных чисел).
Марковские процессы. Пусть £(, t е Т, — случайный процесс, X — область
его значений, Я — некоторая о-алгебра на X, содержащая все одноточечные
множества. Обозначим У<t,	и — o-алгебры, порожденные случайны-
ми величинами
£\si = а{Ь. 5 «S 0.	> 0.
Случайный процесс £(, t е Т, называется марковским процессом с фазо-
вым пространством (X, Я), если для любых A е	почти навер-
ное
P(4B|fF_t) = P(4|fF_t)P(B|fF_l).
В случае Т = {0, 1, ...} марковский процесс называют цепью Маркова
(марковской последовательностью).
Функция Р(в, х, t, Г), определенная для s, t е Т, s t, х е X, Г е Я яв-
ляется переходной функцией марковского процесса £t, t е Т, если:
а) при фиксированных s, t, х функция P(s, х, t. Г) является вероят-
ностной мерой на Я; б) при фиксированных s, t, Г функция P(s, х, t, Г) изме-
, х е Г,
г) для любых
х^Г;
s t, х е X, Г s Я
Р(£<еГ|Ь) =/>(«, t, Г) п. ц.
Последнюю формулу можно переписать в виде
Р(», х, t, Г) =Р(^е=Г|Ь = х).
Если X — не более чем счетно, переходная функция полностью определяется
заданием вероятностей перехода p(s, х, t, у) = P(s, х, t, fj/}).
Переходные функции марковских процессов удовлетворяют соотношению
Р (s, х, и. Г) = j" Р (в, х, t, dy) Р (t, у, и, Г),
X
называемому уравнением Колмогорова— Чепмена.
Пусть фиксировано некоторое множество Т на прямой и фазовое прост-
ранство (X, Я). Пусть функция Р(в, х, t, Г) удовлетворяет условиям а)—в),
f! — множество элементарных событий, gt(<o) — функция, определенная на
Т X й со значениями в X. Положим
Гт = ° е ^”[«,<] = ° {^tp 3 u 0’
*<<}’ sr>t = a{^-
Предположим, что для каждого s е Т и каждого хе X на а-алгебре >
определена вероятностная мера Р,,ж.
Пара (£t (<*>), Р», х) называется марковским семейством с переходной функ-
цией P(s, х, t, Г), если для любых s, х:
(1
рима относительно а-алгебры Я; в) Р(в, х, в. Г) = <
175
1)	случайный процесс gi(<o), t е Т П [s, °°) па вероятностном пространст-
ве (Q, ST st,, ₽.,») — марковский;
2)	этот марковский процесс обладает переходной функцией Р(з, х, I, Г);
3)	Р.,х($, = х) =1.
Наиболее часто в дальнейшем мы будем иметь дело с однородными мар-
ковскими процессами и семействами, т. е. такими, у которых переходная
функция P(s, х, t, Г) однородна по времени:
P(s + h, х, t + h, Г) = P(s, x, t, Г)
для любого h, причем в качестве Т рассматриваются
Т = R = (— оо, оо),	Т = Я+= [О, оо),
7 =	1, 0, 1,	Т = {0, 1, 2,
В случае однородного процесса переходную функцию можно задать как функ-
цию трех переменных P(t, х, Г) = P(s, х, s + t, Г).
Для однородных марковских процессов с множеством состояний X с
с {0, 1, ...} для переходных вероятностей будем использовать обозначение
P(t, i, {;})=
Мера ц на фазовом пространстве (л, 3S), удовлетворяющая условию
р (Г) = J р (dx) Р (i, z, Г),
х
называется инвариантной мерой однородного марковского семейства с пере-
ходной функцией P(t, х, Г).
Пусть (Q, st, Р) — вероятностное пространство, ГсЯ, {У <, t е Т} — не-
убывающее семейство а-алгебр: t с: &~t2’ £| < с
Случайная величина т, принимающая значения из 7.U называется
марковским моментом относительно семейства {&~t, t е 7}, если для любого
te7
{Т < О Е &~t.
Пусть, далее, — а-алгебра борелевских подмножеств множества Т Г1
Л (—°°, *]•
Случайный процесс £(, t е Т, называется прогрессивно измеримым отно-
сительно семейства {&~t, teT}, если для каждого функция па
множестве (7 П (—оо, t]) X £2 измерима по (s, ю) относительно а-алгебры
X3Tt.
Марковское семейство (£|, Рх) с фазовым пространством (X, 8) называ-
ется строго марковским, если:
1) процесс прогрессивно измерим;
2) для любого марковского момента т, любой функции г) = ц(<о), прини-
мающей значения из 7 U {°°} и определенной на S2, = {<о: т < оо) и измери-
мой относительно любого х еХ и Г е 8 и любого А с [) Йп, принад-
лежащего
MWx+n е Г1) = 5г Г)РХ(^).
А
Пусть £ti * е Т~ однородный марковский процесс, X = {О, 1, ...},
Т представляет собой либо полупрямую [0, оо), либо множество целых неот-
рицательных чисел.
Ветвящиеся процессы. Случайный процесс 1еТ, называется ветвя-
щимся, если
Ру(О= 2. РИ^ РП2^	i>i,P00W = i.
31 +... + 3 j=3
176
Определение ветвящегося процесса допускает следующую наглядную ин-
терпретацию: пусть — число частиц в момент времени t. Предположим, что
ва время Та одна частица независимо от ее происхождения и наличия дру-
гих частиц, с вероятностью Р1П(Уо) превращается в п частиц (п = 0, 1, ...).
Тогда
Р(1(+, = ^, = г) = Р^(О= S
^+...+Л=?
Пусть 5t— ветвящийся процесс. Тогда P(£i = 0), lim Р (£, = 0) вазыва-
t—*00	'
ются соответственно вероятностью вырождения ва время t и вероятностью
вырождения; т = min{t: = 0} называется временем до вырождения.
Пусть £। — ветвящийся процесс с непрерывным временем (Т = [0, оо)).
Положим
где 61, * — символ Кронекера. Числа я0, «ь называются инфинитезималь-
ными параметрами ветвящегося процесса. Производящую функцию инфините-
зимальных параметров
/(2) =2 я/
1=0
будем навывать производящей функцией ветвящегося процесса.
Теорема 1. Пусть £о,	...— ветвящийся процесс с дискретным вре-
менем, £0 = 1, фп (z) = q> (2) = Е Тогда
4>n+i(z) = <p(q>n(z)), Ol,
а вероятность вырождения q — наименьший неотрицательный корень уравне-
ния q = <p(g).
2.	Пусть ^1, 5о = 1 — ветвящийся процесс с непрерывным временем и
производящей функцией /(2). Положим F(t, 2) = Ег^'. Тогда
a)	F(/, 2) удовлетворяет функциональному уравнению
F(t + t, z) = F(t, F(t, 2)),	F(0, z) = z;
6)	F(t, 2) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
dF (t, 2)
—=f(F(t, 2)),	F(0, 2) =2;
в)	F(t, 2) удовлетворяет уравнению в частных производных
г)	вероятность вырождения процесса равна наименьшему неотрицатель-
ному корню уравнения f(q) = 0.
Процессы массового обслуживания. Случайным потоком событий называет-
ся любой случайный процесс Vi, t 0, удовлетворяющий следующим ус-
ловиям:
1)	v0 = 0;
2)	v( для каждого t 0 принимает лишь целые неотрицательные вначе-
ния и значение +°о;
3)	траектории процесса vi не убывают и непрерывны справа.
Поток vt считается заданным, если для каждого целого а > 1 и неотрица-
тельных действительных Т|, ..., т„ задано совместное распределение случай-
ных величин vx , ..., vTn- Случайная величина v( имеет смысл числа собы-
тий, наступивших в интервале [0, /).
12 А. в. Прохоров и др.
177
Можно дать следующее эквивалентное определение случайного потока.
Пусть <1, <2, ... — последовательные моменты наступления событий; th 3= Га—t
при к > 1, t0 = 0. Положим z* = th — th-i, к > 1. Говорят, что задан случай'
ный поток событий, если для каждого целого п 1 задано совместное распре-
деление случайных величин Z|, ..., z„.
Случайный поток, у которого zb z2, ... независимы в совокупностп и z2,
гз, ... одинаково распределены, называется рекуррентным потоком с запазды-
ванием. Для задания такого потока достаточно задать две функции распре-
деления:
^i(t) = P(Z1 < t), A(t) — P(zh < t),	fc>2.
Рекуррентный поток с запаздыванием, у которого -4i(t) =Л((), называется
рекуррентным.
Поток v< называется потоком без последействия (с отсутствием после-
действия), если для любого целого п > 1 и для любых действительных 0 =
= То < Т[ < ... < тп случайные величины — vTfc-i' k = \,..., п, незави-
симы в совокупности.
Поток vi называется стационарным, если для любого целого п >1 и для
любых неотрицательных чисел т,, ..., т„ распределение случайного вектора
|vc+T^ — vc, k = 1, ..., п|не зависит от выбора с 0. Часто поток называют
стационарным, если последнее условие выполняется хотя бы при п = 1.
Поток Vt называется ординарным, если для любого t 0
P(v,+h — vt > 2|v1+fl — vt > 1) -*-0 при h | 0.
Стационарный ординарный поток без последействия называется простейшим.
Для задания такого потока достаточно для любого t 0 и целого к 0 за-
дать вероятности P*(t) = P(v< = к).
Если дополнительно потребовать выполнение двух условий:
1)	P(v( < 4- оо) = 1 для каждого t > 0;
2)	существуют t1 и t2, такие, что
то существует X > 0, такое, что
Простейший поток будем называть также пуассоновским (иногда под пуас-
соновским понимают более широкий класс потоков).
Для простейшего потока Eyt = kt. Число 1 имеет смысл среднего числа
событий, поступивших в единицу времени, и называется интенсивностью.
Пусть Ть ..., тп — независимые случайные величины, равномерно распре-
деленные па отрезке [0, Т], Т > 0. Положим
v(h) _ (О, если Th > t,
(	(1, если ть < t,
v^v^’ + .-. + vr’.
Случайный поток называется потоком Бернулли.
Пусть заданы n > 1 случайных потоков ..., v((n). Говорят, что слу-
чайный поток
vt = v<n+ ... +v<n)
получается наложением (суперпозицией) потоков v^, ...,
Пусть {гл}* > !—последовательность .неотрицательных случайных величин.
Положим tn = zt + ... -f- zn, п Ss 1, to = 0; vi = max{n: tn<t}, t 0. Про-
178
цесс vt называется процессом восстановления. Так как vt полностью определя-
ется последовательностью {zt} (и наоборот), ее также будем называть про-
цессом восстановления.
Процесс восстановления {z*} называется рекуррентным с запаздыванием,
если zi, z2, ... независимы в совокупности и z2, гз, ... одинаково распределены.
Если Z|, z2, ... независимы и одинаково распределены, процесс восстановле-
ния {z*} называется рекуррентным.
Циклом длительности z назовем упорядоченную пару (z, £(), где z — не-
отрицательная случайная величина, а £ t — случайный процесс, определенный
при 0 t < z, причем P(z = 0) < 1, P(z < + оо) = 1.
Рассмотрим последовательность циклов [(z^,	в которой циклы
независимы и, начиная со второго, стохастически эквивалентны. Положим
Л1(х) = P(zt < х), А (х) = P(z* < х), к 3=2.
Случайный процесс £(, t 0, определяемый соотношениями
l;1’ при 0
ПРИ \ < г < ‘2,
при 4Л-1<г<^-

называется регенерирующим процессом. Случайные величины ?2, ... назы-
ваются моментами регенерации.
Положим
Ив (О = р (б?’ <= В- z1>t) = P (ь< 65 В’ 2i > 0’
Ив <«) = Р е= 5, zft > г) = Р	е В, zh > t), к > 2.
Теорема. Пусть 4(z)—нерешетчатая функция распределения-, сущест-
вует целое п 0, такое, что функция
t
<2(0 = J Рв(‘ —
о
где F(х) = А*п(х), является непосредственно интегрируемой по Риману на
[0, оо). Тогда
СО
lim Р (£( е В\ = а I рв (z) dx,
/-*00	“
О
где
ОО
а-1 = J xdA (z).
о
Следствие. Пусть A (z)—нерешетчатая функция распределения и вы-
полнено хотя бы одно из условий-.
1)	функция Цв(0 не возрастает и интегрируема;
2)	Цв(0 имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале
времени и
ОО
а-1 = J xdA (z) < + оо;
о
12*
17»
3)	для некоторого целого	А*п (х) является абсолютно непрерыв-
ОО
ной и	j xdA (х) < -|- оо.
О
Тогда
оо
lim Р (£( ее В) = а С (х) dx.
/-*ЭО	*
О
Для обозначения систем обслуживания используются четыре символа или
комбинации символов, разделенные вертикальными чертами: а | b | с | d, где а —
характеризует входящий поток, Ъ — длительность обслуживания, с — число об-
служивающих приборов, d — число мест для ожидания. Если на первом мес-
те стоит символ М, то входящий поток пуассоновский, Ek — эрланговский по-
рядка к (т. е. рекуррентный поток, у которого
ах
А (х) = J (7с е Udtl^
О
D — регулярный (т. е. требования поступают через фиксированные (неслу-
чайные) интервалы времени), G1 — рекуррентный, G — произвольный.
Если па втором месте стоит буква G, то длительности обслуживания тре-
бований имеют произвольное распределение и могут быть зависимыми. Если
стоит символ, отличный от G, то длительности обслуживания независимы в
совокупности и одинаково распределены, причем если стоит буква М, то — по
показательному закону, если сочетание GI — по произвольному. Например,
М|G/|2|10 означает, что в систему обслуживания, состоящую из 2 приборов
и имеющую 10 мест для ожидания, поступает пуассоновский поток требова-
ний. Длительности обслуживания независимы в совокупности и одинаково рас-
пределены по произвольному закону.
В качестве характеристик функционирования системы обслуживания ча-
ще всего рассматриваются следующие случайные процессы и величины:
nt —общее число требований в системе в момент времени
IV.v — время ожидания до начала обслуживания Л’го требования (нуме-
рация требований производится в порядке их поступления в систему);
П — длительность периода занятости, т. е. промежутка времени с момента
поступления в свободную систему требования до следующего неносредствепно
момента освобождения системы.
ОО
Если существуют lim Р (nt= к)= лк > 0, причем У, л = i, u limP(^,\<
о
< х) = ИДх), где 1Е(х)—собственная функция распределения, бу-
дем говорить, что существует стационарное распределение процессов
nt и {'Ел}.
Формулами Поллачека— Хинчина для системы A/|G/|l|oo называют со-
отношения
(1-XpJs	(1 — Х£,) (z — 1) р (X — Хг)
»-Х4-ХЖ ’ P(z)= Z- Р(Х- U)
00	оо
справедливые при Х£| < 1, где co (s)= I e~,xdW (х), Р (z) = У zh^h, X — интен-
о	о
сивность входящего потока, В(х)—функция распределения времени обслу-
живания,
ОО	оо
P1=fzdB(z), ₽ « - j (х).
о	о
180
Процессы с независимыми приращениями. Случайный процесс gt, t е
[я, 6], 0 а < Ь оо, называется процессом с независимыми прираще-
ниями, если для любых t0 < h < ... < tn случайные величины g((j, g(—	...
...,	— ^tn_ независимы в совокупности.
Процесс gt, t 0, с независимыми приращениями называется однород-
ным, если распределение g( + — не зависит от s, g0 = 0.
Винеровский процесс. Однородный случайный процесс u>t, t 0 с неза-
висимыми приращениями называется винеровским, если:
1) и>0 = 0 почти наверное;
2) для любых s, t 0 иц+, — и>, имеет нормальное распределение с ма-
тематическим ожиданием 0 и дисперсией ct (в дальнейшем будут в основном
рассматриваться винеровские процессы с с = 1).
Случайный процесс wt, t 0 является винеровским тогда и только тогда,
когда он является гауссовским процессом (т. е. процессом, конечномерные
распределения которого гауссовские (нормальные)) с математическим ожида-
нием 0 и ковариационной функцией K(t, t) = min (г, t).
Стационарные процессы. Случайный процесс fei" со значениями в
комплексной плоскости называется стационарным в узком смысле, если для
любого п, любых s, t|, ..., !п е Г, таких, что ti + г, ,.., t„ + * е Т, распреде-
ления случайных векторов (g(i, ..., и (g(i+,, ..., £tn+«) совпадают.
Случайный процесс gt, <Е.Т называется стационарным в широком смыс-
ле, если	_
Eg, = m = const, Eg,g, — q>(t — s).
Процессы, стационарные в узком смысле, будем называть просто стаци-
онарными.
Пусть (Q, 6^, Р) — некоторое вероятностное пространство.
Измеримое отображение Т пространства Q в себя называется сохраняю-
щим меру преобразованием, если для любого'Л е э£
ЦТ-'А} = Р(Л).
Множество А называется инвариантным относительно преобразования Т,
если Р(Я ДЛМ) =0.
Сохраняющее меру преобразование Т называется эргодическим, если каж-
дое инвариантное множество А имеет меру 0 или 1.
Случайная величина g(w) называется инвариантной относительно Т, ес-
ли g (со) = g(7’e>) для почти всех шей.
Сохраняющее меру преобразование Т называется перемешиванием, если
для любых И.
lim Р(4ЛТ_ПВ)=Р(Л) Р (В).
п-»оо
Пусть g = (gt, ..., gn, . • •)—последовательность случайных величин. Мно-
жество И называется инвариантным по отношению к последовательно-
сти g, если существует Be^9(R") (а-алгебра борелевских подмножеств R~)
такое, что для любого п 1
4 = {<о: (gn^ gn+i, ...) е В}.
Стационарная последовательность g называется эргодической, если мера
любого инвариантного множества равна 0 или 1.
Пусть g( — стационарный в широком смысле случайный процесс, K(t) —
его ковариационная функция. Тогда существует неубывающая функция F (X)
такая, что
ОО
К (t) = J eiiKdF (X).
— оо
Е(Х) называется спектральной функцией процесса gt. Если Е(Х) абсолютно
непрерывна, ее производная /(X) называется спектральной плотностью.
181
Для всякого стационарного в широком смысле случайного процесса £(,
Ео = 0, fe/i (te{.—1, 0, 1, ...}), существует процесс ?. e/f
(—я X л), с ортогональными приращениями, такой, что
Е^ = °- Е1 ^12 = ^(М-Р(Ч
И
оо	/	Л
= j	k = J ^dzK
—co	\	—Л
Если потребовать Z_„ = 0 (Z_n = 0), то процесс Z>. определяется одно-
значно с точностью до эквивалентности. Указанное представление процесса
называется его спектральным представлением.
Мартингалы. Пусть (Q, st, Р) — некоторое вероятностное пространство.
Т — подмножество либо числовой прямой, либо множества целых чисел, £(,
t s Т,— случайный процесс. Пусть далее, — поток о-алгебр, t st для
любого t, с. t , ti < <2>	— измерима относительно t.
Случайный процесс (£<, t, teT) называется мартингалом (супермар-
тингалом, субмартингалом), если E[gt| < оо, t е Т,
«S Ь, Е(6«|^.) > Ь) при s < t, s, t<=T.
Когда не будет указан явно поток а-алгебр t, предполагается, что , —
= о(£., s < Г)-
§ 1.	Основные понятия
10.1	. Пусть случайный процесс (со) задан на вероятностном
пространстве (й,	Р), где й = {1, 2),	— множество всех под-
множеств й, а Р приписывает вероятности 1/2 множествам {1} и
{2}. Пусть множество значений параметра t есть отрезок [0, 1] и
(со)= со/. Найти:
а) все реализации процесса £<(со); б) все двумерные, трехмер-
ные, n-мерные распределения процесса £((со).
10.2	. Пусть случайный процесс (со) определен на вероятност-
ном пространстве (Й,	Р), й = [0, 1], st — о-алгебра борелевских
подмножеств, Р — мера Лебега, t е [0, 1] и
(1 при t со,
(М) = 10 при t > со.
Найти:
а) все реализации процесса (со); б) двумерные распределения
процесса £( (со).
10.3	. Пусть ц — случайная величина с функцией распределения
F(x), t^R. Найти все конечномерные распределения случайного
процесса = ц + t.
10.4	. Пусть т] и £ — независимые случайные величины, имею-
щие одинаковое нормальное распределение с нулевым математиче-
ским ожиданием и дисперсией 1/2, t > 0. Найти все конечномерные
распределения случайного процесса = (r] + t)/t.
182
10.5	. Пусть £ и г] — случайные величины, причем г] имеет сим-
метричное относительно нуля распределение и Р(г)=О)=О. Найти
вероятность того, что реализации случайного процесса
= £ + £ (г) + t), t>Q,
возрастают.
10.6	. Пусть т), и Т]г — независимые случайные величины, имею-
щие одинаковое равномерное на отрезке [—1, 1] распределение,
£ = (£i, <2)еЯ2. Найти значения а, при которых почти все реализа-
ции случайной функции (тр + ^(тр + 2а)). монотонно возрастают
по i, при t2 = а.
10.7	. Привести пример случайного процесса £(, такого, что мно-
жество элементарных событий, которым отвечают непрерывные реа-
лизации процесса ij(, не является событием.
10.8	. Доказать, что если случайный процесс £(, t е R, стохасти-
чески непрерывен на компактном множестве AcR, то он равно-
мерно стохастически непрерывен на этом множестве.
10.9	. Доказать, что если случайный процесс стохастически не-
прерывен на компактном множестве А е Rt то на этом .множестве
он ограничен по вероятности.
10.10	. Пусть — стохастически непрерывный процесс, a g(x)—
непрерывная функция. Доказать, что процесс g(£() также стохасти-
чески непрерывен.
10.11	. Привести пример стохастически непрерывного па отрезке
случайного процесса, все траектории которого разрывны.
10.12	. Пусть |(, t е [0, 1],— случайный процесс, такой, что все
независимы в совокупности и имеют одинаковое невырожденное
распределение. Доказать, что этот процесс не является стохастиче-
ски непрерывным ни в какой точке.
10.13	. Пусть случайный процесс непрерывен в среднем поряд-
ка р > 0 на компактном множестве А. Доказать, что равномерно
непрерывен в среднем порядка р на множестве А.
10.14	. Пусть случайный процесс непрерывен в среднем поряд-
ка р > 0 па компактном множестве А. Доказать, что существует
такое положительное число С < °°, что
Е|Iр < С при t е А.
10.15	. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс был
стохастически непрерывным на множестве Т, необходимо и доста-
точно, чтобы для любых t0, s,,eT
lim Р(£( <zn gs<x2) = ₽(^0<л:1Л»0< ^2),
Sq
для всех Xi, хг, для которых ₽ (£t0 < xlt E,So < .r2) непрерывна.
10.16	. Пусть g(, a < i < 6 — стохастически непрерывный про-
цесс, /(f) — неслучайная функция, определенная на [а, 6]. Дока-
зать, что случайный процесс тр = £( + /(О стохастически непреры-
183
вен в тех и только тех точках отрезка [а, 6], где непрерывна функ-
ция f(t).
10.17	. Пусть £((со), 0 t С 1,— измеримый случайный процесс,
заданный на вероятностном пространстве (fi, Р), а т(со)—слу-
чайная величина, заданная на том же вероятностном пространстве,
причем Р(0^г^1)=1. Доказать, что £t = £t(a)(co)—случайная
величина.
10.18	. Случайный процесс £(, — °° < t < и случайная величи-
на т заданы на одном вероятностном пространстве. Всегда ли явля-
ется случайной величиной функция £т, если:
а) т принимает конечное число значений; б) т принимает счет-
ное число значений; в) т — произвольная случайная величина?
10.19	. Пусть — стохастически непрерывный случайный про-
цесс. Доказать, что для всякой непрерывной ограниченной функции
<р (х) функция Е<р (£() непрерывна по t.
10.20	. Привести пример случайного процесса |(, t е [а, 6], тако-
го, что для любой непрерывной ограниченной функции g(x) функ-
ция Eg(g() непрерывна на [а, 6], но не является стохастически
непрерывным.
10.21	. Пусть — стохастически непрерывный случайный про-
цесс, a g(x)— непрерывная функция. Доказать, что если при неко-
тором а > 1
supE|g(£() |“<оо,
t
то функция Eg(|() непрерывна по t.
10.22	. Показать, что стохастически эквивалентные процессы име-
ют одинаковые конечномерные распределения.
10.23	. Доказать, что процесс, стохастически эквивалентный сто-
хастически непрерывному процессу, стохастически непрерывен.
10.24	. Рассмотрим на вероятностном пространстве (Q,	Р),
представляющем собой отрезок [0, 1] с а-алгеброй борелевских под-
множеств и мерой Лебега, случайный процесс (со), определенный
следующим образом:
1,	если прямая, проходящая через точку (t, со)
.	параллельно прямой t — со, пересекает
Е4со) =
' ось t в рациональной точке,
0 в остальных случаях.
Показать, что (со) стохастически непрерывен, но все его траекто-
рии разрывны в каждой точке.
10.25	. Пусть — случайный процесс, определенный па вероят-
ностном пространстве (Q,	Р). Доказать, что если Q счетно и все
одноточечные множества имеют положительную вероятность, то сто-
хастическая непрерывность процесса эквивалентна непрерывно-
сти всех его траекторий.
10.26	. Доказать, что если множество значений параметра t слу-
чайного процесса счетно, то процесс измерим.
184
10.27	. Пусть St — случайный процесс, все траектории которого
непрерывны, а множество значений параметра t представляет собой
отрезок прямой. Доказать, что St измерим.
10.28	. Доказать, что все траектории измеримого случайного про-
цесса измеримы. Обязан ли случайный процесс быть измеримым,
если все его траектории измеримы?
10.29	. Пусть St, а t Ь,— случайный процесс. Доказать, что
для его измеримости достаточно, чтобы все его траектории были не-
прерывны справа (или слева).
10.30	. Пусть St, а < t С Ь,— стохастически непрерывный процесс.
Доказать, что на [а, 6] существует измеримый процесс St , стохасти-
чески эквивалентный St.
10.31	. Пусть — стохастически непрерывный на [а, б] (за ис-
ключением не более чем счетного числа точек отрезка [а, 6]) слу-
чайный процесс. Доказать, что на [а, б] существует измеримый про-
цесс St, стохастически эквивалентный £(.
10.32	. Пусть St, tе Т,— случайный процесс, N = {£,,..., tn,...} —
счетное всюду плотное в Т множество. Процесс называется 2V-cena-
рабельным, если для любого t <= Т
lim sup Sin>Bt>lim inf Stn.
fi-»0 |t—<п|<в	6-»0 |tn—t|<e
Пусть T — [a, б]. Доказать, что если St стохастически непрерывен
на [а, б], то для всякого счетного всюду плотного в [а, б] множест-
ва N существует процесс St, стохастически эквивалентный St и
УУ-сепарабельный.
10.33	. Пусть все траектории пуассоновского процесса непрерыв-
ны справа. Доказать, что тогда почти все траектории — неубываю-
щие целочисленные функции, возрастающие только скачками вели-
чины 1.
10.34	. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс St был
непрерывен в среднем квадратическом на множестве Т, необходимо
и достаточно, чтобы функция L(t, s)=EStS. была непрерывна на
множестве Т X Т по совокупности аргументов.
10.35	. Доказать, что для того, чтобы случайный процесс St был
непрерывно дифференцируем в среднем квадратическом на интер-
вале (а, б), необходимо и достаточно, чтобы функция L(t, s)=ESiS.
обладала на множестве (а, Ь)Х(а, Ь) непрерывной смешанной про-
изводной второго порядка по t и s.
10.36	. Доказать, что пуассоновский процесс дифференцируем по
вероятности, но не дифференцируем в смысле сходимости в сред-
нем любого порядка р > 1.
10.37	. Найти корреляционную функцию случайного процесса
£< = Ъ/1(0+ •••+'Yn/n(0, где ..., /„(i) — неслучайные функ-
ции, а ...,	— некоррелированные случайные величины с
дисперсиями dt, .,d„ соответственно.
185
10.38	. Пусть £(, fs?',— случайный процесс с корреляционной
функцией K(t,s). Доказать, что K(t,s) неотрицательно определена.
10.39	. Пусть , It"* — независимые случайные процессы, та-
кие, что = 0, i=l, ..., n; Kt(t, s), ..., K„(t, s)—соответству-
ющие корреляционные функции. Найти корреляционную функцию
процесса + ... +
10.40	. Доказать положительную определенность следующих
функций:
Кг (t, s) = min [£, s], t, s^O;
fl — R — s|, 11 — $ |< 1
^2(f, s) = {	0,	|f_s|>i, t, s^R;
s) = m'n 1^, s] — t, s [0, 1]’>
Ki (i, s) =	t, s<=R.
10.41	. Пусть K(t, s), t, s^T,— корреляционная функция неко-
торого случайного процесса, Q(z)—полином с положительными ко-
эффициентами. Доказать, что функция Ki(t, s)— Q(K(t, s)) также
является корреляционной функцией некоторого случайного
процесса.
10.42	. Найти спектральную плотность случайного процесса gf,
корреляционная функция которого равна К(Z) = ce-a;il, с, а > 0,
te=R.
10.43	. Пусть |(, t е R,— случайный процесс с пулевым матема-
тическим ожиданием и корреляционной функцией K(t, s)=es‘. До-
казать, что он бесконечно дифференцируем в среднем квадрати-
ческом.
10.44	. Пусть £ — случайная величина, имеющая нормальное рас-
пределение с математическим ожиданием т и дисперсией о2, Ъ —
вещественное число. Найти корреляционную функцию процесса
=	+	t^0.
10.45	. Пусть А, ц и ф — случайные величины, ф не зависит от
Л и г], Л 0, г| > 0, ф' равномерно распределена на отрезке [0, 2л].
Найти математическое ожидание и корреляционную функцию про-
цесса
= A cos(t]2 + ф), t е R.
10.46	. Пусть ф1(<), ..., фп(0—произвольные вещественные
функции, ct, ..., сп — неотрицательные числа. Доказать, что
функция
R (^1, ^2) ~	<'1Ф1 (^1)	(^з)
1=1
является корреляционной функцией некоторого случайного процесса.
186
10.47	. Пусть fct1’ и £t2) — два независимых случайных процесса с
корреляционными функциями K.,(t, s) и Kt(t, s) соответственно.
Найти корреляционную функцию процесса
„ _ t(De(2)
— fet fet •
§ 2.	Ветвящиеся процессы
10.48	. Найти производящую функцию числа частиц в n-м поко-
лении, если производящая функция непосредственных потомков
одной частицы равна:
а) pz+1-p; б) (1 — р)/(1 — pz); в) 1—р(1 —z)“, 0 < р < 1,
0 < а < 1.
10.49	. Найти вероятности вырождения для ветвящихся процес-
сов с производящей функцией числа потомков одной частицы:
а) (1 — р)/(1 — pz); б) 1 — р(1 — z)“, 0 < а < 1; в) (l + z + z2 +
+ z3)/4.
10.50	. Найти распределение времени вырождения Т для ветвя-
щихся процессов с производящей функцией числа потомков одной
частицы:
a) pz + 1— р;б) 1 — р(1 — z)“, 0<а<1.
10.51	. Пусть Ха, ... — ветвящийся процесс, Ха = 1. Дока-
зать, что
Р(ХП>Л; при некотором 1 'С п С m — 1|Хт — 0) [Р(Хт = 0)]\
10.52	. Найти производящую функцию общего числа частиц в
первых п поколениях, если производящая функция числа потомков
одной частицы равна pz + 1 — р.
10.53	. Рассмотрим ветвящийся процесс Ха, X,, ... с производя-
щей функцией
„	1 - (Ь + <•) , bz
Ф (г) = —з-----F з---,
1 -- с 1 --- f2’
0<с<6+с<1, (1 — b — с)/[с(1 — с)] > 1.
Найти lim Р (Хп = к | Хп >> 0).
п —*<х>
10.54	. Пусть в ветвящемся процессе Хо, Х{, ... из задачи 10.53
1 — b — с = с(1 — с). Найти lim Р (Хп пх |ХП> 0).
п -»оо
10.55	. Пусть Хо, Xi, ..ветвящийся процесс, Хо = 1, ЕХ, = т.
Доказать, что
E{Xn+ft|Xn} = mftX„.
10.56	. Пусть Хо, Х|, ...— ветвящийся процесс, Хо = 1, <p(z) =
= Ez‘vi, <р„ (z) = EzXn, <р' (1)> 1. Обозначим через У„ число всех
частиц в n-м поколении, имеющих бесконечное число поколений
187
потомков. Доказать, что
“	Ч>П (г <! — 9) + 9) — 9
2 (Уп = к I Уо = х0 = 1) =-------------------•
л=о
где q — вероятность вырождения.
10.57	. Найти производящую функцию числа частиц в момент t
для ветвящегося процесса с непрерывным временем и производя-
щей функцией инфинитезимальных параметров:
a)	/(z)= aaz2 + atz — (aj + а2), а2 > 0;
б)	/(z) = z* — z, fe 2;
в)	/(z) = 1 — z — VI — z;
г)	/(z)=A(l-z)[l + ln(l-z)], Л>0.
10.58	. Найти вероятности вырождения ветвящихся процессов из
задачи 10.57.
10.59	. Пусть Xt — ветвящийся процесс с производящей функци-
ей инфинитезимальных параметров f(z) = a2z2 + a,z — (at + а2), где
аа > 0, at + 2аа < 0. Доказать, что
lim е~(а1+га^ Р (Х( > 0) = 1 +
t-»oo	а1 + а2
10.60	. Доказать, что для ветвящегося процесса Xt с производя-
щей функцией /(z) = 3 — 5z + z2 + z’
lim i-’P(Xt>0) = 4-.
10.61	. Пусть Xt — ветвящийся процесс с производящей функци-
ей /(z)=z2 — z. Доказать, что Xte~* сходится при t -* °° в среднем
квадратическом к случайной величине |, имеющей показательное
распределение с параметром 1.
10.62	. Пусть Xt — ветвящийся процесс с производящей функци-
ей /(z)= z2 — 2z + 1. Доказать, что
( х, 1
lim Р1 <у । у< т- < х I Xt > 01 = 1 — е~х.
§ 3. Марковские процессы
10.63	. Доказать, что следующие определения марковского про-
цесса эквивалентны:
а)	для любого t и любых A eF<(, В е
Р(Л515Г_()=Р(4|5Г_()Р(5|5Г_,) п. н.;
б)	для любого t и любого В е
Р(В\^-^)=-Р(В\^,) п. н.;
188
в)	для любого t и любого Л е
Р(ЛIST>() = Р(Л|5Г_,) п. н.
10.64	. Докажите, что случайный процесс |(, t<^T, со значения-
ми в фазовом пространстве (X, S3) является марковским, тогда и
только тогда, когда для любых st «£ sa «S ... sm < t «£ «£ ... < Z„,
slt t, tjf=T, и любых Д„ ..Am, Bi, ..., B„ «= S3
(m	n	\
n foe А) n n foe=A]|Sfb=
i=l	j=l	]
(m	\ I n	\
П foeAjIS* p n foeB}]|£fL
i=l	)	/
10.65	. Для того чтобы случайный процесс £(, t^T, со значения-
ми в фазовом пространстве (X, S3) был марковским, необходимо и
достаточно, чтобы для любых Si s2 ^ ... ^ $тп t < tt < . .. tn,
Si, t, tj e T, и любых ограниченных SB-измеримых функций /i, ...
• • •» A"! 8ll • • •» 8"
E
m	n
i=l	7=1
П. H.
10.66	. Пусть £(, t > 0,— марковский процесс. Доказать, что £n,
п = 0, 1, ... — марковский процесс с дискретным временем.
10.67	. Пусть £(, ОО,— марковский процесс. Будет ли последо-
вательность
Цл [Sn],
где [я] — целая часть х, цепью Маркова?
10.68	. Пусть {£„) — последовательность независимых случайных
величин, имеющих одинаковую плотность распределения р(х),
р(х)>0, — оо < х < оо. Будет ли последовательность {ц„} марков-
ской, если:
а) т]„ = S«, п = 0, 1, ...; б)	п = 0, 1, ...;
в) = max {0, |0, ..., М-
Для цепей Маркова найти переходные вероятности за один шаг.
10.69	. Пусть {£„) — последовательность независимых случайных
величин, имеющих одинаковую плотность распределения р(%),
р (х) > 0, — оо <? х < оо. Положим
St = Sk(t — к) + (к + 1 — t),
k^.t^.k+ 1,
Sn = Si + ... + Sn-
Будет ли процесс St марковским?
10.70	. Пусть £(, t > 0,— однородный марковский процесс со
счетным числом состояний {0, 1, ...}. Доказать, что если переход-
189
иые функции непрерывны при t = 0, то они равномерно не-
прерывны при t > 0.
10.71	. Пусть и r]i, £^0,—два однородных марковских про-
цесса со счетным числом состояний, Р,Д£) и Qa(t)—соответствую-
щие переходные функции. Доказать, что если для некоторого £0 > 0
и всех i и j = (^(t) при 0	то Pw(£) = Qu(t) при
всех £ > 0.
10.72	. Пусть |(, t > 0,— однородный марковский процесс с ко-
нечным числом состояний {0, 1, ..., N) и переходными функциями
Pii(t). Доказать, что определитель матрицы Р(£) с элементами
ЛД£), O^i, j^N, положителен для всех t > 0.
10.73	. Пусть £(, t > 0,— однородный марковский процесс с ко-
нечным числом состояний {0, 1, ..., N} и переходными функциями
Pn(t). Предположим, что Р,Д£) непрерывны при всех t 3* 0. Дока-
зать, что существуют конечные пределы
a‘j ~ 1™ h 1 8ij ~ (о,
причем У, ац = — ан.
Mi
10.74	. Привести пример однородного марковского процесса со
счетным числом состояний, для которого существуют конечные пре-
делы
hm---------=ан, lim—— = ai;, г =И= у,
t~*o £	t-»0
но	—ац.
i
10.75	. Доказать, что любая однородная цепь Маркова является
строго марковской относительно семейства о-алгебр
п = 0, 1, ....
10.76	. Привести пример марковского, но не строго марковского
семейства.
10.77	. Пусть |(, t > 0,— марковский случайный процесс со счет-
ным множеством состояний {0, 1, . ..}. Предположим, что в момент
t = 0 процесс находится в состоянии г. Найти функцию распреде-
ления времени до первого изменения состояния процесса.
10.78	. Найти все инвариантные меры, соответствующие матрице
вероятностей перехода
W 1	- \(2_2e-3t)/3 (1 + 2е-3')/зГ
10.79	. Привести пример марковского семейства с двумя не про-
порциональными друг другу конечными инвариантными мерами.
10.80	. Показать, что не существует марковского процесса
t > 0, £о — 0, с двумя состояниями {0, 1) и непрерывными почти на-
верное траекториями, переходные вероятности которого равны
Роо(£)= e~‘t P<n(t)== 1 - е-‘, Рц(£).= 1.
190
§ 4. Процессы массового обслуживания
10.81	. Пусть £ и ц — независимые неотрицательные случайные
величины
Р(| < х)= 1 ~ e~"Xi Р(ц < х)— G(x).
Доказать, что
Р(£ <и + т)1£> П)= 1 ~ е"““,
в частности, для любого t > 0
Р(£ < и + S' t)= 1 — е_°“, и 3' 0.
(Свойство отсутствия памяти у показательного распределения.)
10.82	. Доказать, что случайный поток является пуассоновским
с интенсивностью X тогда и только тогда, когда он является ре-
куррентным потоком с И (i)=’l — e~KI, t > 0.
10.83	. Доказать, что случайный поток v(, полученный в резуль-
тате наложения к независимых пуассоновских потоков VtX), .
с интенсивностями Хь ..., X*, является пуассоновским с интенсив-
ностью X = Х( + ... + Xt.
10.84	. Пусть задан пуассоновский поток с интенсивностью X.
Каждое требование этого потока с вероятностью р<, 1 = 1, ..., к,
2, Pi — 1, отнесем к г-му подпотоку независимо от остальных требо-
ваний. Доказать, что i-й подпоток является пуассоновским с интен-
сивностью Хр<.
10.85	. Пусть пуассоновский поток с интенсивностью X подверга-
ется следующей операции просеивания: первые к требований теря-
ются, (Л: + 1)-е — остается, затем снова к теряются, следующее ос-
тается и т. д. Доказать, что просеянный поток (он называется по-
током Эрлапга порядка к) является рекуррентным потоком, опре-
деляемым функцией распределения
Xi
л (0 = J и- e~xdx-
о
10.86	. Обозначим через v( случайное число требований пуассо-
новского потока, поступивших в интервале [0, t). Доказать, что при
t С Т, к п
. f t \h t t \n-k
P(yt = k\ vT=n)=Chn j (1 -	.
10.87	. Доказать, что если известно, что на отрезке [0, 71], Т > 0,
поступило N требований пуассоновского потока, то поток требова-
ний на этом отрезке является потоком Бернулли.
10.88	. Пусть задан рекуррентный поток требований, определяе-
мый функцией распределения Л(<). Каждое требование независимо
от остальных либо с вероятностью р выбрасываем из потока, либо
с вероятностью 1 — р оставляем. Показать, что поток оставленных
191
требований является рекуррентным потоком, определяемым функ-
цией распределения B(t), где
t
B(t) <= A(t) — р J Р(р, t — и) dA (u)t
о
а преобразование Лапласа функции P(z, t) равно
J е~,1Р (z, t)dt =
о
1 1 — ct (*)
/ 1 — za (s) ‘
oo
a(s) == J e-“dA (t).
о
10.89. Доказать, что для любого стационарного
потока
су-
ществует
lim
t-*o
= Н>
t
где Po(t)—вероятность того, что за время t не поступит ни одного
требования. Число ц (конечное или бесконечное) называется пара-
метром стационарного потока.
10.90. Пусть ц — параметр, а X — интенсивность (т. е. среднее
число требований, поступивших в единицу времени) стационарного
потока. Доказать, что если параметр является конечным положи-
тельным числом, то условия:
а) ординарность потока; б) X = ц
равносильны.
10.91. Для каждого п > 1 рассмотрим суммарный поток 2п>
получающийся наложением п независимых потоков, где к-й поток
(к — 1, ..., п) является рекуррентным потоком с запаздыванием,
определяемым функциями распределения Лц(<) и Ал(/):
t	оо
(t) = ah J [1 — Ah (u)] du, akl = f [1 — Ak (u)] du.
V	0
Предположим, что при n -*
1)	a, + . .. 4- a„ = a = const;
2)	max {aA}->-0;
3)	при каждом фиксированном t
max {Ak (£)}-»-0.
l<k<n
Доказать, что при n -* °° поток 2n равномерно сходится к пуассо-
новскому с параметром а.
10.92.	Поток пассажиров на остановку — пуассоновский с ин-
тенсивностью X. Через случайные интервалы времени |lt |2, ... на
остановку прибывают автобусы. Случайные величины |2, .. .
независимы в совокупности и одинаково распределены с нерешетча-
оо
той функцией распределения G(x), ц-1 = \ xdG{x)<oo. Автобус
о
192
забирает всех пассажиров, находящихся на остановке в момент его
прибытия. Пусть wt — время ожидания до прихода автобуса начи-
ная с момента t. Найти lim Р (ivt < у).
/-*оо
В задачах 10.93—10.95 рассматривается та же система обслужи-
вания, что и в задаче 10.92.
10.93.	Пусть а, — время, прошедшее с момента последнего при-
хода автобуса до момента t. Найти lim Р (а( <Z у).
t —* 00
10.94.	Найти lim Р < и, а( <; н).
1 —» ОО
10.95.	Пусть Vi — число пассажиров на остановке в момент вре-
мени t. Найти lim Р(vt = к), к = 0, 1, 2, ,,.
t->ОО
10.96.	Найти вероятность P0(t) свободного состояния в момент t
системы ЛГ|Л/|110, если интенсивность входящего потока равна X,
среднее время обслуживания — ц-1 и:
а) в момент t — О система была свободна; б) в момент t = 0 си-
стема была занята.
10.97.	Найти вероятность qn того, что в стационарном режиме в
системе Л7|Л/|п|°о все приборы заняты, если интенсивность входя-
щего потока равна X, среднее время обслуживания — р-1, причем
X < пр.
10.98.	Рассмотрим систему обслуживания Л7|Л7|1|оо, Предполо-
жим дополнительно, что длительность пребывания re-го требования
(нумерация требований производится в порядке их поступления в
систему) в очереди ограничено случайной величиной |п. Случайные
величины |i, |2, ... независимы в совокупности и одинаково рас-
пределены с функцией распределения 1 — e-VI, х > 0. Пусть X —
интенсивность входящего потока, ц-1 — среднее время обслужива-
ния. Найти вероятность Ро того, что в стационарном режиме систе-
ма свободна.
10.99.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти математическое ожидание п числа тре-
бований в системе в стационарном режиме.
10.100.	Найти стационарную вероятность того, что в системе
M\M\n\mt
а) заняты все приборы (Р„); б) заняты все места для ожида-
ния (Рп+т).
10.101.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти математическое ожидание N числа при-
боров, запятых обслуживанием в стационарном режиме.
10.102.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Пайти математическое ожидание числа требо-
ваний:
а; в очереди q\ б) в системе п
в стационарном режиме.
10.103.	Рассмотрим систему МI GI111 °°. Пусть X — интенсивность
входящего потока, В(х)—функция распределения длительности об-
13 Л. В. Прохоров и др.
1£3
служивания, jij — вероятность нахождения в системе j требований
в стационарном режиме. Доказать, что при
[О, х ^а,
#(*)=,
' '	[1, х ;> а,
Ло = 1 — Ха, Л1=(ех“ — 1) (1 — Ха),
,,	. X V /	>, м„ [МХа)7-* , (Па)7-'1-1 ] ,
ъ = (1 - *«) 2 (-[ (—туг + 0 _ А-_ Di] +
к—1
+ (1 —Ха)<?аЛ, 7 >2.
10.104.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Пусть /, — вероятпость того, что за период за-
нятости обслужено j требований. Показать, что при
(0, х^а, f-Kai
10.105.	Рассмотрим систему Af|GZ|l|°°. Пусть —функция
распределения времени ожидания в стационарном режиме, X — ин-
тенсивность входящего потока, В(х)—функция распределения вре-
мени обслуживания. Доказать, что И(.г)—безгранично делимая
функция распределения.
10.106.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти функцию распределения интервалов
времени между уходом из системы требований в стационарном ре-
жиме.
10.107.	Рассмотрим систему J/|GZ|1|«>. Пусть после окончания
обслуживания каждого требования с вероятностью р оно покидает
систему и с вероятностью 1 — р возвращается в очередь для повтор-
ного обслуживания независимо от остальных требований и числа
предыдущих поступлений па прибор данного требования. Найти
преобразование Лапласа — Стплгьеса n(s) функции распределения
длительности периода занятости.
10.108.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию P(z) числа
требований в системе в стационарном режиме.
10.109.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти функцию распределения F(x) интерва-
лов времени между выходящими из системы требованиями в стаци-
онарном режиме.
10.110.	Найти преобразование Лапласа вероятности свободного
состояния системы M\G1\ 110 в момент t при условии, что в момент
7 = 0 система была свободна.
10.111.	Найти л($)— преобразование Лапласа — Стилтьеса
функции распределения длительности периода занятости в системе
МIGZI111.
194
10.112.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию /(z) числа тре-
бований, обслуженных за период занятости.
10.113.	Рассмотрим систему обслуживания Jf|GZ|«>. Пусть X —
интенсивность входящего потока, В(х) — функция распределения
времени обслуживания на любом приборе, п, — число требований в
системе в момент t. Найти совместное распределение («t , nt2),
it < tz-
10.114.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Пусть ц, — число требований, обслуженных до
момента t. Найти совместное распределение Ц<2), tt <Zt2.
10.115.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти совместное распределение (п(, ц<).
10.116.	Рассмотрим систему обслуживания М|G/| 11°°. Предполо-
жим дополнительно, что длительность обслуживания требования,
поступающего в свободную систему, имеет функцию распределения
/?,(/), отличную от функции распределения длительности обслужи-
вания B(t) требований, поступающих в занятую систему. Найти
преобразование Лапласа — Стилтьеса длительности периода заня-
тости л($).
10.117.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию /(z) числа тре-
бований, обслуженных за период занятости.
10.118.	Рассмотрим систему обслуживания Л/1GZ| 11«>. Предпо-
ложим, что обслуживающий прибор ненадежен в занятом' состоя-
нии. Длительность работы прибора до поломки имеет показательное
распределение 1 — e-vx, х > 0. Сразу после поломки прибора начи-
нается его восстановление, которое длится случайное время с функ-
цией распределения G(x). Требование, во время обслуживания ко-
торого прибор вышел из строя, теряется. Пусть X — интенсивность
входящего потока, В{х)—функция распределения времени обслу-
живания. Найти преобразование Лапласа — Стилтьеса длительно-
сти периода занятости.
10.119.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти преобразование Лапласа — Стилтьеса
функции распределения времени ожидания в стационарном режиме.
10.120.	Рассматривается та же система обслуживания, что и в
предыдущей задаче. Найти производящую функцию P(z) числа
требований в системе в стационарном режиме.
§ 5. Винеровским процесс
10.121.	Найти корреляционную функцию винеровского про-
цесса Wt.
10.122.	Пусть Wt — винеровский процесс. Найти совместную
плотность распределения величин wu и w„ 0 < и < у < 1 при ус-
ловии, что Wt = 0.
13*	- 195
10.123.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти ковариацию ве-
личин w„ и wt, s < t < 1, при условии, что Wt = 0.
10.124.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти корреляцион-
ную функцию процесса w‘t0} = wt — twit рассматриваемого на отрезке
0 «£ t «£ 1 (условный винеровский процесс).
10.125.	Пусть w\°\ 0 «S t «£ 1,— условный винеровский процесс, оп-
ределенный в предыдущей задаче. Доказать, что процесс wt =(1 +
+ 0 u’l/A+i),	— винеровский.
10.126.	Пусть wt — винеровский процесс. Доказать, что следую-
щие процессы также винеровские:
t — 0, б) — ус wt/c, t 0,
/>0; с = const > 0.
10.127. Пусть мУ* и w(t^ — независимые винеровские процессы.
Доказать, что процесс	+ щ<2)), 1^0, также винеровский.
10.128.	Пусть Wt, t 3s 0,— винеровский процесс. Положим
(w‘,	t Т,
‘ “ 12щт - Wt, t > Т.
Доказать, что w\^ — винеровский процесс.
10.129.	Пусть |0,	£2, • •  — независимые случайные величины,
имеющие одинаковое нормальное распределение с нулевым мате-
матическим ожиданием и единичной дисперсией. Доказать, что
1е[0, л],
— винеровский процесс.
10.130.	Доказать, что винеровский процесс не дифференцируем
по вероятности.
10.131.	Пусть wt — винеровский процесс. Доказать, что
Е ((wt — zp5)2,i+1) = 0,
£ ((wt — ид)2") = (2п — 1)!! (i — s)n.
10.132.	Доказать, что винеровский процесс является марковским.
Найти его переходную функцию.
10.133.	Найти конечномерные распределения винеровского
процесса.
10.134.	Доказать, что почти все траектории винеровского процес-
са нигде не дифференцируемы.
10.135.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти условную плот-
ность величины wt, ti<t < t2, при условии, что
wt = A, w, = И.
196
10.136.	Пусть wt — винеровский процесс. Доказать, что при z > 0
Р /'max wt z'i = 2Р (wt z).
\0<s<t	)
Найти плотность распределения случайной величины max-trs.
10.137.	Пусть t(z), z > 0,— случайный момент времени, в кото-
рый винеровский процесс wt впервые достигает значения z. Найти
плотность распределения x(z). Показать, что математическое ожи-
дание t(z) бесконечно.
10.138.	Пусть t(z) — случайная величина, определенная в пре-
дыдущей задаче. Доказать, что композиция распределений случай-
ных величин t(z!) и t(z2) совпадает с распределением случайной
величины t(z, + z2).
10.139.	Показать, что распределение случайной величины т(г),
определенной в задаче 10.137, совпадает с распределением случай-
ной величины г2т(1).
10.140.	Найти характеристическую функцию случайной величи-
ны т(1), определенной в задаче 10.137.
10.141.	Найти вероятность того, что винеровский процесс wt не
обращается в нуль в интервале (i0, tt), 0 < t0 < tt.
10.142.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти вероятность
события
/max irs^z,
I
10.143.	Пусть w, — винеровский процесс. Найти функцию рас-
пределения и плотность распределения случайной величины
max Ws при условии, что = 0.
0<s<l
10.144.	Найти вероятность того, что винеровский процесс wt до-
стигнет наклонной границы, задаваемой в координатах (t, w) урав-
нением ta = a (t + 1), t > 0, а > 0.
10.145.	Пусть Р(а, Ь) означает вероятность того, что винеров-
скип процесс wt достигнет наклонной границы, задаваемой в коор-
динатах (/, w) уравнением w = at + b, t 0, a, b > 0. Дока-
зать, что:
a) P(a, b) = P(6, a); 6) P(a, bt + b2) = P(a, bt)P(a, b2).
10.146.	Пусть P(a, b)—величина, определенная в предыдущей
задаче. Доказать, что
Р(а, &)= е-^ь,
где у — некоторая неотрицательная постоянная.
10.147.	Определить значение постоянной в предыдущей задаче,
§ 6.	Процессы с независимыми приращениями
10.148.	Доказать, что всякий процесс с независимыми прираще-
ниями является марковским.
10.149.	Пусть и £(2), t > 0,— независимые случайные процес-
сы, каждый из которых является процессом с независимыми при-
197
ращениями. Доказать, что их сумма
Ь = + VA
также является процессом с независимыми приращениями.
10.150.	Пусть — случайный процесс с независимыми прира-
щениями, t^R. Доказать, что если для некоторых tt и б> и некото-
рой постоянной а
7^-4 = «) = !’
то для любой пары ut и и2, такой, что С ut С и2 ' t2, существует
постоянная Ь, такая, что
Р(Ц-^2 = ^) = 1.
10.151.	Доказать, что функция распределения приращения лю-
бого однородного случайного процесса с независимыми прираще-
ниями безгранично делима.
10.152.	Пусть cp(Z, z)—характеристическая функция однородно-
го стохастически непрерывного процесса с независимыми прираще-
ниями £(. Доказать, что <р(£, z) непрерывна как функция t.
10.153.	Пусть t,t — процесс с независимыми приращениями,
<р (i, z)—его характеристическая функция. Доказать, что если
<р(<, z) непрерывна по t в точке t„, то стохастически непрерывен
в точке
10.154.	Пусть gi, ..., gn — независимые случайные величины,
ti < t2 < ... < t„ — точки пз интервала [а, Ь). Положим = 2 ?/<•
Доказать, что g( — процесс с независимыми приращениями.
10.155.	Пусть || — процесс с независимыми приращениями,
ср(t, z)—его характеристическая функция. Доказать, что при каж-
дом z |ср(Р, z) I не возрастает как функция t.
10.156.	Пусть — однородный случайный процесс с независи-
мыми приращениями, g0 = 0, <p(f, z)—его характеристическая
функция. Доказать, что для любых t и з
ф (t + s,z)= ср (t, z)<p(s, z).
10.157.	Пусть — процесс с независимыми приращениями. До-
казать, что если имеет абсолютно непрерывное распределение
при некотором Ро, то g( имеет абсолютно непрерывное распределе-
ние при любом t 5= t0.
10.158.	Пусть — процесс с независимыми приращениями. До-
казать, что функция D;( не убывает по t.
10.159.	Пусть g(, а -б t =£ b,— однородный процесс с независимы-
ми приращениями. Доказать, что g( стохастически непрерывен всю-
ду на [о, fe],
10.160.	Пусть S/, (>0,— однородный случайный процесс с не-
вависимыми приращениями, фх (п) — характеристическая функция
198
случайной величины |«. — |0. Доказать, что
<Рл(п)= {<Pi (и) }\
10.161.	Пусть |( — процесс с независимыми приращениями, г] —
некоторая случайная величина, определенная па том же вероятно-
стном пространстве, что и |(. Будет ли процесс = |( + ц процес-
сом с независимыми приращениями?
10.162.	Пусть |(, i^O,— однородный процесс с независимыми
приращениями, не равный почти наверное постоянной. Доказать,
что |( не является стохастически ограниченным.
10.163.	Пусть |(, t > 0,— процесс с независимыми приращения-
ми. Доказать, что если при некотором t0 Р (|f = const) = 1,
то Р(|( = const) = 1 для всех t «£ t0.
10.164.	Пусть g(, a	< b,— симметричный процесс с независи-
мыми приращениями. Доказать, что если для некоторой последова-
тельности ti, Л, ..., такой, что tn -* b при п -* °° и t„ < b,
Р
п = 1, 2, ..	> £ь, п~>оо, то
t-+b.
10.165	(продолжение). Можно ли отказаться от условия сим-
метричности?
10.166.	Пусть |(, а sS t sS Ь,— процесс с независимыми прираще-
ниями. Будет ли процесс гр = g_(, —b sS t sS —а, процессом с неза-
висимыми приращениями?
10.167.	Доказать, что если |( — однородный процесс с независи-
мыми приращениями, то существует положительная постоянная с
(с может равняться +°°), такая, что Dg( = ct.
10.168.	Пусть |(, а sS t < b, 0 < а < Ь,— процесс с независимы-
ми приращениями. Можно ли его доопределить па отрезках [0, а)
н [5, оо) так, чтобы полученный (па [0, °о)) процесс также был
процессом с независимыми приращениями?
10.169.	Пусть |t — процесс с независимыми приращениями. До-
казать, что если функция Dg( непрерывна по t, то |( стохастически
непрерывен.
10.170.	Пусть |(, f>0,— однородный невырожденный процесс с
независимыми приращениями. Доказать, что для любого t > 0 и
любого Л >0 P(l|tl>X)>0.
10.171.	Пусть |(, t 3* 0,— случайный процесс, причем |0 равно-
мерно распределена на отрезке [0, 1], a lt0, £0>0, имеет показа-
тельное распределение. Доказать, что |( не может быть процессом
с независимыми приращениями.
10.172.	Доказать, что гауссовский случайный процесс с некорре-
лированными прпращенпямп является процессом с независимыми
при раще пиями.
10.173.	Доказать, что любой процесс с некоррелированными при-
ращениями и нулевым математическим ожиданием имеет пределы
в среднем квадратическом слева и справа в любой точке t е Т.
199
10.174.	Пусть — случайный процесс с некоррелированными
приращениями, t ® R. Доказать, что существует неубывающая
функция F(t), такая, что при любых t и з случайная величина
имеет дисперсию, равную F(t) — F(s).
§ 7. Стационарные процессы
10.175.	Пусть А, т] и <р — случайные величины, причем А, г| не-
отрицательны и имеют произвольное совместное распределение, а <р
не зависит от них и имеет равномерное распределение на [0, 2л).
Доказать, что случайный процесс
=» A cos(r|£ + <р), t е R,
является стационарным.
10.176.	Пусть и £2 — независимые одинаково распределенные
случайные величины, принимающие значение +1 и —1 с вероятно-
стями 1/2. Доказать, что случайный процесс
т)< = cosXt + £гsinXf, teR,
не является стационарным, но является стационарным в широком
смысле.
10.177.	Пусть — действительный гауссовский стационарный
процесс с пулевым математическим ожиданием и непрерывной кор-
реляционной функцией K(t), Найти корреляционную функцию
процесса T], = g(+,£..
10.178.	Пусть л(, О 0,— пуассоновский процесс с параметром X.
Доказать, что процесс = л(+1 — л(, t 1, является стационарным
в широком смысле.
10.179.	Доказать, что если — стационарный процесс и сущест-
вует предел при t -> °° по вероятности, то для любых tt, Р =•
 = 1-
10.180.	Пусть Т — сохраняющее меру преобразование и
£ = Ко) — случайная величина с конечным математическим ожи-
данием. Доказать, что
Е^(®) = Е|(7’(о).
10.181.	Пусть Й=(ь)1, ..., «„)—множество, состоящее из ко-
нечного числа точек, п > 2, st — множество всех подмножеств,
Zcot = w(+1, 1 «S j «S n — 1, и 7’co„ = g)1. Доказать, что если Р(со,) =
= 1/п, то Т — сохраняющее меру преобразование.
10.182.	Пусть (Й, Р) — вероятностное пространство, где
й = [0, 1], SS — а-алгебра борелевских множеств, Р — мера Лебега.
Пусть Хе[0, 1) и
а) Т(х) = (х + X)mod 1; б) Т(х)— 2х mod 1.
Доказать, что Т является сохраняющим меру преобразованием.
10.183.	Пусть й = [0, 1), st— множество борелевских подмно-
жеств [0, 1), Р — некоторая мера с непрерывной функцией распре-
200
деления. Показать, что преобразования Тх = ).х, 0< Х< 1, и Тх — х2
не являются преобразованиями, сохраняющими меру.
10.184.	Доказать, что класс множеств, инвариантных относитель-
но сохраняющего меру преобразования, образует о-алгебру.
10.185.	Рассмотрим то же вероятностное пространство, что и в
задаче 10.182. Доказать, что преобразование 7’со = (со + X)mod 1 эр-
юдично в том и только том случае, когда X иррационально.
10.186.	Показать, что случайная величина является инвариант-
ной относительно некоторого сохраняющего меру преобразования
тогда и только тогда, когда она измерима относительно о-алгебры
инвариантных событий.
10.187.	Показать, что событие А является инвариантным отно-
сительно Т тогда и только тогда, когда
Р(Г-‘Л\Л) = 0 или Р(Д\Т-‘Л) = 0.
10.188.	Обладает ли преобразование, рассмотренное в задаче
10.185, свойством перемешивания?
10.189.	Доказать, что преобразование Т есть перемешивание в
том и только в том случае, когда для любых двух случайных вели-
чин £ и г), имеющих конечные дисперсии,
Eg(7’"co)i](co)->- Е£(со)Ец (со), п -> °°
10.190.	Является ли стационарной последовательность попарно
независимых одинаково распределенных случайных величин?
10.191.	Пусть i-г, ».. — последовательность одинаково распре-
деленных случайных величин, причем £, не зависит от и £,+ i.
Является ли эта последовательность стационарной?
10.192.	Пусть g=(£t, £2, • • •)—гауссовская стационарная после-
довательность с Е£„ = 0 и ковариационной функцией R(n) = Egk+ng4.
Показать, что условие 7?(п)-*0 является достаточным для эргодич-
ности g.
10.193.	Доказать, что всякая последовательность, состоящая из
независимых одинаково распределенных случайных величин, явля-
ется эргодической.
10.194.	Показать, что стационарная последовательность
£=(£1,	>..) эргодична в том и только том случае, когда для
любого В е j® (R.h), к = 1, 2, ...,
п
± 2	.... ы р «Si,.... ^+i) е в).
i=i
10.195.	Указать условия, при которых однородная цепь Маркова
является стационарной последовательностью.
10.196.	Пусть f(x0, ..., xm)—измеримая вещественная функция,
определенная в Rm+>, и {£„} — стационарная последовательность
случайных величин. Доказать, что последовательность {цД, где
»)« = /(U •	|n+m), также стационарна.
201
10.197.	Доказать, что для того, чтобы последовательность слу-
чайных величин {£„} была стационарной, необходимо и достаточно,
чтобы для любого т 0 и для любой ограниченной измеримой
функции f(x0, хт) Е/(£п, . g/.+nJ не зависело от п.
10.198.	Доказать, что из эргодичности последовательности
{£*, к 0} вытекает эргодичность последовательности {т]Л, к > 0),
где щ =	..., ^+т), а /(х0, , хт) — произвольная измеримая
функция.
10.199.	Пусть {£*) — стационарная последовательность, а
/п(л0, ..., хп) такая последовательность функций, что /п(£о, ..., е„)
сходится по вероятности к некоторой случайной величине ij0. Поло-
Р
жим т]д = Jim /п(£д> ..., gA+n). Доказать, что {цД — стационар-
71-*оо
пая последовательность и она эргодична, если эргодична {|Д.
10.200.	Доказать, что последовательность {£*} эргодична тогда и
только тогда, когда для каждой измеримой ограниченной функции
/(Хо, ..., хт)
п-1
к=0
10.201.	Пусть {£*) — стационарная последовательность, Е|„Вп —
— (Е|0)2 “* 0 при п -> °°. Доказать, что
п-1
Ит 4 Ц h = Е£о.
п-»°о А=о
10.202.	Пусть {ВХ>о — гауссовская последовательность. Дока-
зать, что для стационарности этой последовательности необходимо
и достаточно выполнение равенств
Е£„ = Е£о, п > 0, Е£0£п = Egft|ft+„, к > 0, п > 0.
10.203.	Пусть — однородный процесс с независимыми прира-
щениями. Доказать, что при /г > 0 процесс = lt+л—стацио-
нарен.
10.204.	Пусть <р(£)—непрерывная периодическая функция с пе-
риодом Т, — случайная величина, равномерно распределенная на
отрезке [о, П Показать, что процесс ^ = q)(i+^) является ста-
ционарным.
10.205.	Доказать, что сумма независимых стационарных случай-
ных процессов является .стационарным случайным процессом.
10.206.	Пусть .. .,	0„ ..., 0„ — независимые случайные ве-
личины, 01, ..., 0„ равномерно распределены на отрезке [0, 2л 1.
Доказать, что процесс
11
= 2 £лcos (оА + 01
Л = 1
является стационарным.
202
10.207.	Пусть Bi, t > 0 — гауссовский процесс. Доказать, что он
стационарен тогда и только тогда, когда Ej( = ЕВ», Е£(£(+, = Е£о£,
для всех t > 0, s > 0.
10.208.	Пусть корреляционная функция стационарного в широ-
ком смысле случайного процесса В< стремится к нулю на бесконеч-
на
пости. Доказать, что т-,—— I %tdt сходится к ЕВ< в среднеквадра-
2
тическом при t2 — tt 0.
10.209.	Доказать, что если В« — непрерывный в среднем квадра-
тическом стационарный процесс, Е|(	0, то не существует случай-
t
ной величины ц, такой, что ц + f ^$ds — стационарный процесс,
о
10.210.	Пусть В» — стационарный процесс, ц — случайная вели-
чина. Будет ли процесс В< = В< + ц стационарным?
10.211.	Найти спектральное представление случайного процесса
В«, определенного в задаче 10.175.
10.212.	Пусть — действительный стационарный процесс с ма-
тематическим ожиданием пг и спектральной плотностью /(X). Поло-
жим г]| = В< cos(Ai + ф), где А = const, ф — независимая от В< слу-
чайная величина, равномерно распределенная на [0, 2л). Найти
спектральное представление для ц(.
§ 8.	Мартингалы
10.213.	Пусть Во, ... — последовательность независимых слу-
чайных величин с нулевыми математическими ожиданиями,
Sn = Во + •.. + Вп- Доказать, что последовательность {5„) образует
мартингал.
10.214.	Пусть |о, Во • • • — последовательность независимых слу-
п
чайных величин, ЕВ» = 1, п = 0, 1, ..., Хп = JJ Bi. Доказать, что
1=0
последовательность {Х„} образует мартингал.
10.215.	Пусть В — случайная величина с конечным математиче-
ским ожиданием,	— неубывающая последовательность
о-алгебр. Положим Вп = Е(В1^'„). Доказать, что последовательность
{Вп, ^"п? образует мартингал.
10.216.	Пусть {BJ — последовательность независимых случайных
величин, {ц*} — последовательность случайных величин, таких, что
при каждом к {гр, ..., щ} и {В*, В*-н, • • независимые совокупно-
сти случайных величин. Доказать, что если ЕВ* = 0, ElrpBJ < °0, то
последовательность
п
sn = 2 П'Л/о п = 1, 2, • • -1
/<=1
является мартингалом.
203
10.217.	Пусть {£„} — мартингал, Е£® < оо. Доказать, что —
субмартингал.
10.218.	Пусть {£„} — последовательность неотрицательных слу-
чайных величин, имеющих конечные математические ожидании
S„ = £о + •.. + Доказать, что последовательность {S„} образует
субмартипгал.
10.219.	Пусть {Хп, 3~— мартингал, a —выпуклая функ-
ция, такая, что E|g(X„)| < °°, п = 0, 1, ... Доказать, что последо-
вательность {g(X„), образует субмартингал.
10.220.	Пусть {£„} и {цп} — две последовательности случайных
величин, такие, что при каждом п существуют совместная плот-
ность распределения случайных величин .. .,	— /„(ад, ..., хп)
и совместная плотность распределения случайных величин тр, ...
.. ., >1« —gn(xi, ..., хп). Доказать, что последовательность
_____ %п (?1' • • • ’ ?»)
'П~ ’
n= 1, 2, ...,
образует мартингал.
10.221.	Пусть {X,,, 5^.)— субмартипгал, a g(x)—выпуклая не-
убывающая функция, такая, что E|g(Xn)| < °°, п = 0, 1, ... Дока-
зать, что последовательность {g(Xn), также образует субмар-
тингал.
10.222.	Пусть {STn} — неубывающая последовательность о-ал-
гебр, {Х„} — последовательность случайных величин, таких, что Х„
измерима относительно Пусть В — произвольное борелевские
множество па прямой. Доказать, что момент первого попадания в
множество Bi тв = inf {п 3s 0 : Хп е В} является марковским мо-
ментом.
10.223.	Пусть тио — марковские моменты. Доказать, что т + о,
min {т, о), max (т, о) — также марковские моменты относительно
той же последовательности о-алгебр, что и т, о.
10.224.	Пусть тио — марковские моменты. Будет ли случайная
величина т — о марковским моментом?
10.225.	Пусть {Х„, &~п)— мартингал (субмартипгал), т—мар-
ковский момент относительно последовательности о-алгебр №~„}.
Положим т„ = min {л, т). Доказать, что последовательности
{ХТп, также является мартингалом (субмартингалом),
10.226.	Пусть (LU» — последовательность независимых одина-
ково распределенных случайных величии, Р(£( =« 0)= Р(£< = 2)^
п
= 1/2, Хп = JJ Показать, что не существует такой интегрируе-
i=i
мой случайной величины 5 и неубывающего семейства о-алгебр
{ЗГп}, что Хл-Е(^.),
10.227.	Пусть — однородный процесс Пуассона о параметром
А. Доказать, что — exp {£( — at} представляет собой субмартингал
при а < А(е — 1) и супермартингал при а 5* А(е — 1).
9 ДА
10.228.	Пусть — неубывающая последовательность о-алгебр,
FT — о-алгебра, порожденная U^"„. Пусть £ — измеримая от-
носительно SF неотрицательная случайная величина, имеющая ко-
нечное математическое ожидание. Доказать, что lim Е (£ | <?„) = £.
п —»оо
10.229.	Пусть {§„) — равномерно интегрируемый мартингал,
£„3=0, £ = lim £п. Доказать, что £„ = Е (£|^„), где — о-алгебра,
порожденная величинами
10.230.	Пусть {X,,}, п > 0 — мартингал. Доказать, что ЕХ„ = ЕА'„
для любого п = 1, 2, ...
10.231.	Доказать, что виперовский процесс, выходящий из нуля,
является мартингалом.
10.232.	Доказать, что если £,(£3*0)—процесс с независимыми
приращениями, = 0 и Е£, = 0 для любого t 3* 0, то £, образует
мартингал.
10.233.	Пусть £,, t е Т — мартингал относительно семейства
Е |£,12< °0. Доказать, что £, имеет некоррелированные приращения.
10.234.	Пусть £,,	— процесс с независимыми приращения-
ми, £0 = 0, Е£, — 0, Е(£, — £s)2 = F(t) — F(s), s<t. Доказать, что
(£? — F(t), t) — мартингал, где t = ст(gu, и t).
10.235.	Пусть {£„}— мартингал и Е£2<оо,га = 1, 2, Дока-
зать, что для любого а > 0
ЕЕ2
Р ( sup |	> а) <
/ а
10.236.	Пусть {£„} — субмартингал. Доказать, что £„ = т]п +
где {т]„} — мартингал, а £„ измерима относительно о(£,, ..., £„-t)
и Р(0 Sz ^ -- -)= 1-
10.237.	Пусть {£„) — субмартингал. Доказать, что для лю-
бого а > 0
Е шах /0,
Р ! sup > га) <--------А—
10.238.	Пусть {£„} — супермартингал. Доказать, что для любо-
го гаЗ5 0
Р( sup > a) (Е max {0, £„} — E£n + E£j).
\l<k<n	j °
10.239.	Пусть {£j — субмартингал. Доказать, что для лю-
бого а 3* 0
р ( SUP I ь I > I Ъ | -	+ Е£„).
10.240.	Пусть {£„} —- неотрицательный субмартингал, Е£„^С,
га= 1, 2, ... Доказать, что почти наверное существует предел lini£n-
П**оо
205
10.241.	Пусть {£„}— произвольный субмартингал,
п —-- 1, 2, ...Доказать, что почти наверное существует предел lim
10.242.	Пусть {£„) — неотрицательный мартингал. Доказать, что
почти наверное существует предел limgn.
П->оо
§ 9. Разные задачи
10.243.	Найти переходную функцию пуассоновского процесса,
рассматривая его как марковский процесс.
10.244.	Пусть wh 1^0 — винеровский процесс. Найти переход-
ную функцию процесса = w-t, i С 0, рассматривая его как мар-
ковский процесс.
10.245.	Пусть w,, t > 0 — винеровский процесс. Доказать, что
lu^il — марковский процесс. Найти его переходную функцию.
10.246.	Пусть л, — пуассоновский процесс. Найти Е([л(— л,]п),
п = 1, 2,...
10.247.	Пусть Я|, t > 0,— пуассоновский_процесс с параметром Л.
Доказать, что распределение л( — 2.Z/17.Z слабо сходится при
t -> оо к нормальному распределению с параметрами 0 и 1.
10.248.	Показать, что если стационарный процесс является гаус-
совским и марковским, то его ковариационная функция имеет вид
се-®1'1, а > 0, с > 0 — некоторая постоянная.
10.249.	Пусть wa — винеровский процесс, = e~lwe2t. Показать,
что — стационарный марковский процесс. Найти его ковариаци-
онную функцию и спектральную плотность.
10.250.	Пусть т(а)—момент первого достижения винеровским
процессом w, уровня а. Положим
W> (а, I > т (о).
Доказать, что w“ —марковский процесс. Найти его переходную
функцию.
10.251.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти вероятность со-
бытия f sup | ws |	2, wt &1,где 2>0 и — z < a < Ъ < z.
locs^i	I
10.252.	Пусть wt — винеровский процесс. Найти функцию рас-
пределения случайной величины sup | wt | при условии, что wt = 0.
o<t< l
10.253.	Пусть и’”* и w(2> — независимые винеровские процес-
сы. Для любого вещественного t положим
- Н'’, О о,
Пусть, далее, & =	h = const. Показать, что — стаци-
206
опарный процесс. Найти его ковариационную функцию и спектраль-
ную плотность.
10.254.	Пусть ... В-2, В-i, Во, Вь Вг, • • • — независимые одинако-
во распределенные случайные величины, такие, что ЕВ/, = О,
ЕВ* = о2. Положим = В™ + Вп-1 + • • • + Вп-m (п = 0, ±1, ...
..., т = const). Показать, что последовательность {ц„} образует ста-
ционарный процесс. Найти ковариационную функцию этого про-
цесса.
10.255.	Пусть ... В-2, В-i, В», Вп Вг, ... — независимые одинако-
во распределенные случайные величины, такие, что ЕВл = О,
ЕВ2 = а2. Положим = CoBn + ... + cmBn-m, п = 0, ±1, ..., где
Со, ..., ст — произвольные вещественные числа, пг фиксировано.
Показать, что последовательность {цп) образует стационарный про-
цесс и найти его ковариационную функцию.
10.256.	Показать, что функция R(t)= о2е-а|11 cos $t, где а, и
о — некоторые положительные постоянные, может быть ковариаци-
онной функцией непрерывного и стационарного в широком смысле
процесса. Определить спектральную плотность, отвечающую такой
ковариационной функции.
10.257.	Пусть Хо, Xi, ... — ветвящийся процесс, Хо = 1, EX, = тп,
Zn = XJmn, Доказать, что {Zn} образует мартингал.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ, РЕШЕНИЯ
Глава 1
1.1. X = АВ (J AD, где D — произвольное событие. 1.2. X = В. 1.3. а) .4 =
«= 0; В <= Й; б) А = й, В = 0. 1.4. Например, пусть Лей, тогда (о е В =>
=^ы^й=>(оеЛ, т. е. Л□ й и т. д. 1.5. Первые два события достоверны,
а третье — невозможно. 1.7. а), б) да; в), г) нет; д) да; е) нет; ж), з), и),
к) да. 1.8. В случаях а), г), д), ж)—да, в остальных — пет. 1.9. а) Пусть
аеЛЙС, тогда ы е АВ и, следовательно, ы s АВ (J ВС (J АС; б) пусть
w е АВ (J ВС (J АС, тогда либо ы s АВ, либо ы е АС, либо со е ВС. Пусть, на-
пример, со е АВ, тогда ы е Л и, следовательно, ше Л и В J С. 1.10. Во всех слу-
чаях а) — д) — ничья. 1.11.
г) и At. ...А,	•
' i^...^in-Л	1 ‘n~h
а) П Лр б) и Л;,
г=1	1=1
Д) и А. ...Л, ;
* А (А<п
е) U . Л. Л; ...
iy/=,,.^in	1	2
(Дл0 и(А Л;)‘	112- а) А(лнплг;);
« «-и	« \i=i у \»=1	/	^<1
б) U 4Н.	1.13. Событие В означает попадание вкруг радиуса Be, собы-
i=l
тис С—-в круг радиуса Я2 и D — в круг радиуса В3. 1.14. Л| U (42\4j) U
j \n-1 \
U (Л3\(А 1 (J Л2)) U «.• U lAA.U ЛАВпрочем, можно и А = A U 0 U .•> U 0-
1.15. а) да; б) да. 1.16. Используя коммутативность и ассоциативность операции А
(предыдущая задача), получаем ЛАВ == C&D =^- (АДВ) А0 =• (C&D) Л 0 =>
=► (Л А В) А (С Л С) = (С AD) А (В А В) => (Л Л С) А (В АС) = (В АС) А
А (ВДВ) => (Л А С) А (В А С) А (В А С) = (ВДВ) А (В А С) А (В ДС)=>
=>ЛАС = ВДВ (мы воспользовались тем, что для любого
события Е Е ЛЕ = 0). 1.17. (Л (J В) П (Л U В) Л (Л (J В)_== (ЛЛ U ЛВ_и ВЛ (J
U ВВ) П (Л U В) = (АВ и АВ U В) Л (Л (J В) = В Л (Л U В) = BA (J В В = АВ.
1Л9. Л (J В = Л (J (В\ЛВ), причем Л Q (В\ЛВ) = 0. Следовательно,
Р(Л (J В) = Р(Л) + Р(В\ЛВ). Далее, В = (В\ЛВ) (J АВ и (В\ЛВ) Л АВ = 0.
Отсюда Р(В\ЛВ) = Р(В) — Р(ЛВ). 1.20. Имеем Р(ЛВ) = Р(Л (J В) = 1 —
— Р(Л (J В) = 1 — Р(Л)— Р(В)+ Р(ЛВ) = Р(ЛВ). 1.21. Воспользуйтесь равенст-
вом Л АВ= (Л\ЛВ) (J (В\ЛВ). 1.23. Воспользуйтесь задачами 1.21 и 1.22. 1.24.
Примените метод математической индукции. 1.26. Пространство элементарных
событий й = {со: ы = (/,, ..., jn)},jh = 1, .... N; /«—номер шара, вынутого
на Л-м шаге. Число различных упорядоченных наборов (Д, ..., /„) равно Nn,
число различных неупорядоченных наборов—С^+п_1.
1.27. С„Мт (N — M)n~m>/Nn— C™pm(i — р)п~т, ^.п,глер — доля белых
шаров в урне. 1.28. Л^/.V".	1.29. Пространство элементарных событий
й = {<о : <о = (/1, ..., fn)}, 7* = 1, .... А, все /* различны; /«—номер шара,
вынутого на к-м шаге. Число различных упорядоченных выборок равно Л’^>
число различных неупорядоченных выборок — С^.
208
1.64.
1.66.
1.69.
1.30. с”СЛ1^7 Л//СХ-, 0 с т С min(n, М). 1.31. 1/18 при 4 = 1;
2/801 при к = 2; 1/11748 при 4 = 3; 1/511038 при 4 = 4; 1/43949268 при 4 = 5.
1.32. СЦС*. 1.33. 1-C®j/C|8. 1.34. 1/6»-1. 1.35. 1/2. 1.36. а) 6!/66; б) 1/65; в)
(б)-|-С2)/б®. 1.37. а) (б" —5")/6"; б) п5"-,/6«; в) (б11 — 5" — «5"-‘)/6п.
1.38. Вероятность события {хотя бы раз шесть очков при 4-х бросаниях
кости } = 1 — 54/64 ~ 0,5177. Вероятность события {хотя бы раз одновременное
выпадение шести очков при 24-х бросаниях двух костей) = 1 — 3524/3024»0,4914.
1.39. Вероятности равны. 1.40. С”‘/2'‘. 1.41. С"~™_т/C"+h-
1.42. a) n/(2n — 1); б) (п - 1)/(2л - 1). 1.43. (24-104.36!)/40!.
1.44. (2—-1)/(2"-1). 1.45.	1.46. а)	;
Г» (а + Ь)^+6_ 1)- 1-47. 25!/([5!]5525). 1.48,-j^ b'c^a + Ь + с)",
если к 4-1 + т = п. 1.49. Вероятности равны. 1.50. 1/(1 +а). 1.51. а/(а+6).
1.52. Пусть /V и М — соответственно число черных и белых шаров. Покажите,
что вероятность выбора двух шаров одного цвета равна (Л'2-f-A/2)/(.V + Л7)2.
1.53. Вероятности равны. 1.54. 2/N\ 2/(/V — 1). 1.55.  ‘	' 2/(N — 1).
1.56. Пространство элементарных событий П = {ы : ы = (й.............in)},
jk =1, ..., Л'; Д —номер ящика, в который помещен 4-й шар. 1.57. Множество
всех различимых размещений можно описать как множество наборов
(г,, ..., г,-,), где г* — количество шаров в 4-м ящике, гл — 0, 1, ..., п. Число
различных размещений равно С^+п-г' 1-68. Лд для различимых шаров; С’д
30!	8!	1
для неразличимых. 1.59.	• 3!2!2Г^-
1.60. C*(N — i)n~k/Nn = С^рк (1 — p)n~h, где р = 1/.V — вероятность любому
n! 1	„
шару попасть в данный ящик. 1.61. —;------—г 1.62. п!/п‘.
• • • “л* Л
1-	[ 2 (- l)A^(n-4)n+2)/,ln+2.
\fc=o
(л —2
с\ 2 (-	- 2 - *)”+1)/n”+1. 1-65. С’^/С^.
4=0
9т = С^-2/С^-_\. 1.67. 2m/3m+1. 1.68. С^-^/С^.
\!Сп1п-	1.70. С'‘,/22п.	1.71. а) (4!48!)/52!; б) 2С350!/52|;
24С)2С42С*2
в) (49 —3Z) 4!48!/521. 1.72. а) ~~~ б) 4/С’3; в) (4!)13/(с’3С’3С'3);
V62G39U26
1.63.
rl Га>Г13-а1Г°2	/-13~°2г-°3	г»13-а2	/ (/Ч3г.13г13\
1> '•'13е 39	^13-0! 26+a1vi3-a1-aavi3+a1-t-a2| {°52°39°26Л
N N
1.73.	а) 1-1/2! +,,, + (- 1)*-1/ЛЧ; б) 2 S 1^~ТП	~ "‘Э1!-1’
m—k j=^m
N—m
t.li. 2 ((-1)А(ЛГ — m — 4)!/(т!Л’!4!)).
4=0
1.75.	(—l)m n!r!/(m!nr) 2 ((-	(« - i)r~}h/((i - m)\ (n - /)! (r - /*)! W)).
kj<r
1.76.	C^C”Zr_7c,rl+r_r 1.77. 81(1/21-1/3!+... + l/8!)/C684.
14 А. В. Прохоров и др.
209
1.79.	C^2 j 2", если п -|- к четно и 0, если п + к нечетно. 1.80.	,/2аЛ 1>
где к =	J. 1.81. О, если п но делится на 4, (^2^2~2/!)2, если п = Mt.
1.82.	Множество 1 пе является пустым, только если п — четное. В этом
случае искомая вероятность равна 1/(га—1). 1.84. Пусть х и у — моменты
прихода двух человек на встречу. В качестве пространства элементарных со-
бытий ’рассмотрим множество точек (х, у) плоскости, образующих квадрат:
0 sg х 1, 0 у 1. В качестве класса событий возьмем класс всех подмно-
жеств квадрата, имеющих площадь. Вероятности событий будут измерять-
ся площадями. Все точки (х, у), которые «благоприятствуют» встрече,
удовлетворяют условию: |х—у| 1/6. Площадь полученной геометриче-
ской фигуры равна 1—(1 — 1/6)2= 11/36, это и есть искомая вероятность.
1.85. а) 2/27; б) 83/108. 1.86. 1/4. Ср. с задачей 1.103. 1.87. Обозначим че-
рез х расстояние от середины случайной хорды до ближайшей прямой,
0 х sg а/2, через (р — острый угол между иглой и перпендикуляром к прямым,
0 ф л/2. Положение иглы полностью определяется значением координат
х и ф. Бросание иглы «наудачу» интерпретируем как бросание точки с коорди-
натами (х, ф) «наудачу» в квадрат: 0 х а/2, 0 ф л/2. Площадь области
в которой лежат точки, благоприятствующие пересечению иглой прямых, равна
Л/2
J Zcos xdx = 1/2. Поэтому искомая вероятность есть 21/(ап.).
о
1.88.	(4г(а 4- 6) —4г2)/ла6. 1.89. 1/3. Эта задача и две следующие имеют отноше-
ние к так называемому парадоксу Бертрана; если «наудачу» выбирать хорду
в некотором круге, то вычисления вероятности того, что хорда превзойдет
сторону правильного вписанного треугольника, приводят к разным ответам,
в зависимости от смысла, вкладываемого в предположение о случайности по-
ложения хорды в круге. 1.90. 1/2. 1.91. 1/4. 1.92. 1 — 2R/a. 1.93. 13/24. 1.94. 2/л.
Г.95. 1/3.	1.96.	(а^ + а2))т (а2/(в1 + а2))'‘-’".
и! (	/ а, \т«
1’97. ----;—;-------г f —;-----г~ I ... I------;----:—~	, если п =
= От! + ... + т„ 1.98. [1— (а/Я)3]№. 1.102. л/4. 1.103. 1/4.	1.106. Вос-
пользуйтесь тем, что
тссь формулой полной
1?тс)Р(вло
h______________________
*= Р (С)
ря, пет. 1.111. Докажите, что .вероятность извлечения белых и п2 черных
шаров в фиксированном порядке равна
Р (А) =*ци	1.107» Воспольз
2₽(л^с)
Р(ЛС) k
вероятности. 1.108. Р (Л|С) = -р-т,,. =
Р(С)
= 2Р(Л'Вас),’(5а1с)-1-109- Да- 1110- Вообще гово-
а (а + с) (а 2с) ... (а — с) b (Ь 4- с) ... (ft -|- п2с — с)
(а + b) (а + ft + с) ... (а + ft + ас — с)
1.112.	Используйте метод математической индукции. 1.113. Докажите по ипдук-
ции, что вероятность извлечения белого шара па А--м и т-м шагах равна
а а -|- с
а~^1> ’ а | ft с' Воспользуйтесь предыдущей задачей.
1.115. (Pi/(1 + Pi) + Рг/(1 + Рг) + Рз/(1 + Рз))/3.
1.116.	----------------______________________________j .in. 5/(3
М1 + Pi) + М1 + Рг) + Рз/V- + Р3)
1.119.	3/7.
210
1.120.	e-K₽(X/))’/s!.
112!	2Л'"Л/'' [V 2N^> Г'
 (^+Л/а)(Л\ + Л/а-1)[^(Л; + ^)(Л;Н-^-1)]а_12з
л^г + О+л'Лг
1.122.	(N— 2)t(2N— 2). 1.123. -(^	+	f).	1.128.2/3.
1.129.	a) 1/75; 6) 1/25; в) 1/15; r) 1/24; д) 1/0; e) 1/91. 1.130. 19/27.
1.131.	a) 1/3; 6) 1/3. 1.132. Воспользуйтесь формулой Байеса и найдите а; = а{
в» О-в,)	2 а>в, (‘-^)
/\г=1	/
~ то .. .п?-пц
₽(Л
/1=1
т1 +ТП2 л Л‘1+^9 ——то
а;/л 1 (I — рЛ 1212
Р (Л. | D) =	1------------.
2«ХП1+т2(1-/ч)’,1+"2“т1“т2
к — 1
1.134.	Воспользуйтесь равенствами Р (Л | В) =~р	, Р(А\В) = ?	Р(В)^
или формулой полной вероятности. 1.135. Р(Л) =0, Р(В) = р, Р(Д\В) = 0.
Действительно, из первого равенства следует, что Р(Л)Р(В) = 0, т. е. либо
Р(Л) =0, либо Р(В) =0. Отсюда и из второго равенства следует, что либо
Р(Л\В) = р, либо Р(В\Л) = р. Третье равенство показывает, что справедли-
во последнее. Отсюда получаем нужные равенства. 1.136. Р2(Л) = Р(Л)-Р(Л) =
= Р(Л В Л) = Р(Л) или Р(Л)(1-Р(Л)) =0. 1.137. Всегда Р(ЛВ)<£Р(Л).
Пусть Р(Л) = 0. Имеем Р(ЛВ) ^Р(Л) = 0, Р(Л)Р(В) = 0-Р(В) = 0. Если же
Р(Л)=1, то Р(ЛВ) = Р(ЛВ)+0 = Р(ЛВ) + Р(ЛВ) = Р(В) = Р(В)-1 =
= Р(В)Р(Л). 1.138.	1 = Р(Л UB) = Р(Л)+ Р(В)-Р(ЛВ) = Р(Л) +Р(В) —
— Р(Л)Р(В), откуда 1 —Р(В) = Р(Л)(1— Р(В)). Отсюда следует, что либо
Р(Л) = 1, либо Р(В) = 1. 1.139. Р(Л)Р(В) = Р(ЛВ) = Р((Л U В) П АВ) =
= Р(Л U В)Р(ЛВ) = (Р(Л)+Р(В)-Р(Л)Р(В))Р(Л)Р(В), откуда, применяя
предыдущую задачу, получаем нужные соотношения. 1.140. а) Да, б) нет.
141. а) Нет, б) нет. 142. а) Да, б) нет. Приведем решения: а) пусть О = [0, 1],
вероятность равна мере Лебега, а события Л, В и С есть соответственно
Л = [0, 1/2], В =[1/4, 3/4], С = [1/16, 5/16] U [9/16, 13/16]. Тогда
Р(Л) = Р(В) = Р(С) = 1/2, Р(ЛВ) = Р(ВС) = Р(ЛС) = 1/4 (и, следовательно,
Л, В и С попарно независимы), Р(ЛВС) = 1/16, Р(ЛВ [) ВС) = Р(ЛВС) = 1/16 =
= Р(Л)Р2(В)Р(С) = Р(ЛВ)Р(ВС), и аналогично Р(ВС f] AC) = Р(ВС)Р(ЛС),
Р(ЛВПЛС) = Р(ЛВ)Р(ЛС); б) независимость в совокупности означает, во-пер-
вых, что Р(ЛВС) = Р(ЛВ П ВС) = Р(АВ)Р(ВС) = Р(Л)Р2(В)Р(С), и, во-вторых,
что Р(АВС) = Р(АВ П ВС П АС) = Р(ЛВ)Р(ВС)Р(ЛС) = Р2(Л)Р2(В)Р2(С), отку-
да Р(Л)Р(С)Р2(В) = Р2(Л)Р2(С)Р2(В). Но это невозможно, так как вероятности
событий Л, В и С по условии? отличны от нуля и единицы. 1.143. Нет, пе обя-
заны. Возьмем вероятностное пространство предыдущей задачи и положим
А = [0, 1/2], В = [1/4, 3/4], С = [3/8, 7/8]. Тогда Р(Л) = Р(В) = Р(С) = 1/2,
Р(ЛВ) = 1/4 (и, следовательно, Л и В независимы), Р(ЛВС) = 1/8,
Р(С(Л U В)) =3/8, Р(Л U В) =3/4 и, таким образом, С не зависит от АВ и
ЛиВ, по, очевидно, С зависит от Л и от В, так как Р(ЛС) = 1/8 ф Р(Л)Р(С),
Р(ВС) = 3/8=/=Р(В)Р(С). 1.144. Р( (Л U В) П (С (J В)) = Р(ЛС U ЛВ U ВС U ®О) =
= Р(ЛС)+Р(ЛО)+₽(ВС) + Р(ВВ) = Р(Л)Р(С) + Р(Л)Р(О)+Р(В)Р(С) +
+ Р(В)Р(О) =Р(Л)(Р(С) +Р(О))+ Р(В)(Р(С)+ Р(О)) = (Р(Л)+Р(В))Х
14*
211
X (Р(С) + Р(Л)) = Р(л и В)Р(С и D). 1.145. Имеем
Р(Л5С) =	Р(5)Р(ЛС),	(1>
Р(АВС) =	Р(С)Р(АВ),	(2)
Р(АВС) =	Р(А)Р(ВС),	(3)
Р(Л)(Р(5)+Р(С)-Р(ВС)) = Р(Л)Р(в	U С) =
= Р(Л(В (J С)) = PMS U АС) = Р(ЛВ) + Р(ЛС) — Р(АВС).
Подставляя в последнее равенство выражение для Р(ЛВС) из (3), получаем
Р(Л)Р(В) + Р(Л)Р(С) - Р(Л)Р(ВС) = Р(ЛВ) + Р(ЛС) - Р(Л)Р(ВС)	или
Р(Л)Р(В) + Р(Л)Р(С) = Р(ЛВ) + Р(ЛС). Запишем это в виде
Р(ЛВ) — Р(Л)Р(В) = Р(Л)Р(С) — Р(ЛС).	(4)
Приравнивая правые части (1) и (2), получим Р(ЛВ) = Р(В)Р(ЛС)/Р(С).
Подставим это выражение в (4):
Р(В)
Р(ЛС)
Р(С)
р (АС) 1
-р^- - Р (Л) j = Р (Л) Р (С) - Р (ЛС) = р (С) |р (Л) -
Р(ЛС)
откуда Р (Л) —-р-^Tj-= 0 пли Р(ЛС) = Р(Л)Р(С). Отсюда и из
Р(ЛВС’) = Р(Л)Р(В)Р(С). Используя это равенство, из (2) и (3)
(1) получаем
.................... .	.	, ,	, , получаем ут-
верждение. 1.146. Пусть Q = (а>|, ы2, о>3, ш4), P(4>i) = 1/4, Л1 = (ы,, <о4),
Л2 = (ы2, ш,), Аз = (о>з, ы4). Тогда Р(Л>) = 1/2, Р(Л(Л2) = Р(о>4) = 1/4, i =/= /,
Р(Л1Л2Л3) = Р(ы4) = 1/4. 1.148. Пусть At, Л2, Л3— события, введенные в от-
вете к задаче 1.146. Тогда Л = Л,, В = Л2, С = Л3 удовлетворяют условию
данной задачи. 1.149. В силу независимости А и В, А и С, А «. ВС имеем
Р(АВ) +Р(ЛС) — Р(АВС) =Р(Л)[Р(В) + Р(С) — Р(ВС)], откуда следует неза-
висимость Л и В (J С; В и С могут быть зависимы. 1.150. Найдите
Р(Л1Л2 ... Ап). 1.151. Пусть в урне N белых и М черных шаров Покажите, что
Р (Л,ЛЛ =-------------------------------------------А(;У — 1)-, Р (А \ = Р (АЛ =N/(N 4- М).
1 г г) (л + м) ov + л/— 1) k 11	' 2> v '
1.153.	=	=1-’,(.21А) = 1-П₽Рп)-
1.154. Воспользуйтесь методом математической индукции.
Глава 2
2.1. В качестве пространства элементарных событий возьмем множество
всех конечных цепочек длины не меньшей 2 из символов Г и Р, в которых со-
четание ГГ содержится только в конце цепочки, а также множество бесконеч-
ных цепочек из Г и Р, не содержащих сочетания ГГ. В качестве о-алгебры со-
бытий возьмем множество всех подмножеств этого пространства, а вероятности
определим следующим образом: каждому событию, определенному цепочкой
длины п припишем вероятность 1/2", а событию, определенному цепочкой бес-
конечной длины — вероятность 0. Разыскиваемая в задаче вероятность равна
19/32. 2.2. Пространство элементарных событий — множество всех цепочек ко-
нечной длины (не менее 2) и бесконечной длины, в которых гербы и решки
строго чередуются, о-алгебра событий — множество всех подмножеств. Веро-
ятность события, состоящего из одной цепочки длины п, равна 1/2". Искомая
вероятность равна 2/3. 2.3. В качестве пространства элементарных событий
возьмем все конечные цепочки длины г, г +1, ..., содержащие ровно г букв
Г и оканчивающиеся буквой Г, а также бесконечные цепочки, содержащие не
более г — 1 букв Г. Указанное в задаче событие насчитывает Cn-i элемен-
тарных событий. 2.4. Первое событие означает, что выбранная точка не равна
1, второе событие совпадает с 0. 2.5. Пусть з# — произвольная алгебра. Пока-
жите, что если Л,	то А\В s st. 2.6. Например, множество всех отрез-
ков вида (а, &] на отрезке (0, 1] (0 < а < b 1). 2.7. Например, множество
всех конечных подмножеств отрезка [0, 1] и их дополнений. 2.8. Единственный
212
пример — множество всех подмножеств й. 2.9. а) 0, [0, 1], [0, 1/3), [1/3, 2/3],
(2/3, 1], [0, 2/3], [1/3, 1], [0, 1/3) U (2/3, 1]; б) 0, [0, 1], [0, 1/2], [1/2, 1].
[О, 1/2), (1/2, 1], {1/2}, [U, 1]\{1/2}; в) 0, [0, 1], {0}, {1}, (0, 1], [1, 0), (0, 1),
{О, 1}; г) 0, [0, 1], [0, 1/3), [1/3, 1/2], (1/2, 1], [0, 1/2], [1,/3, 1],
[О, 1/3) U (1/2, 1]; д) 0, [О, 1]; е) 0, [0, 1]; ж) 0, [О, 1], множество всех ра-
циональных точек отрезка [0, 1], множество всех иррациональных точек отрез-
ка [0, 1]. 2.10. а) Все не более чем счетные подмножества Й и все подмноже-
ства й, отличающиеся от Й не более чем в счетном числе точек; б) то же самое;
в) множество всех подмножеств й; г) то же самое. 2.12. а) да, б) вообще го
веря, нет, в) заведомо нет, г) заведомо нет. 2.13. Мощность континуума.
2.14. Очевидно, что 0е^п Йе^. Пусть А е st-. Тогда существует такое
«о, что А е ^п0 и> следовательно, A е ^n(j с: т. о. st замкнуто отпоситсль
по взятия дополнений. Остается доказать, что st замкнуто относительно взл
тия конечных объединений. Пусть Л,, ..., Ane.st. Тогда существуют такие
нц, ..., тп, что A,s stm_. Положим т = шах т, Тогда Ai е stm
‘ п	и Ki<n	v
1 = 1, 2, ..., п, и, следовательно, (J Л- е stm с st. 2.15. Нет; нет; да.
i=i	°
2.17. Воспользуйтесь задачами 2.13 и 2.16. 2.18. Может. 2.19. а) Нет, б) да. 2.20.
2 и 2". 2.21. В обоих случаях это множество всех событий вероятности 0 или 1.
2.22. Вообще говоря, нет. 2.23. Воспользуйтесь формулами двойственности.
ОО ОО	оо
2.24.	Имеем lim sup Л = П U Л.. При каждом п (J Лй принадлежит о-ал-
n=i A=n	h=n
гебре, порожденной Л,, Л2, ... (как счетное объединение элементов о-алгеб-
ры), и, следовательно, их счетов пересечение также принадлежит этой о-ал-
гебре. 2.25.	lim	sup (Л	(J 5	) = Л J (Лй	(J	ВЛ	= П [ (	U	J U ( U
п=1А=п' "	'	n=l\\fc=n	/ \fc=n	1)
— ( A U	Ль j	U	( Л	U В. 'j = lim sup Ап	(J	lim	sup Bn,	2.26, 2.27. Восполь-
\n=l k=n /	\H=1	k=n	/
ауйтесь о-аддитивностью вероятностной меры. Доказанное соотношение ха-
рактеризует непрерывность вероятности (вообще, о-аддитпвной меры). 2.28.
ОО
Рассмотрим множества Bi = А[А2	Они не пересекаются и (J А =--
П=1
оо
= U Вп. 2.30. Докажите, что множество значений функции Р (Л) плотпо на от-
П=1
резке [0,1], и воспользуйтесь предыдущей задачей. 2.32. Каждый элемепт st пред
ставим в виде счетного объединения или пересечения элементов Л. 2.33. В ка-
честве й возьмем окружность единичной длины. At — дуга длины 1/2 с произволь-
1
ным началом, каждое Л„(п = 2,3, ,..) — дуга длины 1 — с началом в кон-
це дуги Ап-1 (дуги берутся в одном направлении, скажем, против часовой стрел-
ки). 2.34. Р (lim inf Л ) = Р ( U Л Лй ) = lim Р [ Л Л. < lim inf Р (Л„)<
'	1	\п=1А=п / п->оо \k=n /	' п>
<limsupPM)= lim Р ( U А| = р( П U Л. ] = P(lim sup Л V 2.35. Да.
'	'	п-»оо \fc=n )	U=.u=n
2.36. Р (lim sup	Лп) = Р [ Л U	А ) “ 1>т	р I U	Лй|, но Р [	(J	Лй^ =
\n=l h=n / n->oo	\fc=n	/	\h=n	/
(m+n \	(in+m— 1   \	\
и	лй	» lim Р I	и	ЛлЛй+ и	Ап+т	<
fe=n / т-*оо \\ h=n	/	/
(n-j-m+i	\ оо
2 Р GMA+1) + Р (Л„+т) < 2 Р (^4+1) + Iim Р (лп+т) =
- 2 ₽(Л4+1)-о
213
при n-> оо. 2.37. Не обязательно, например, 42п-: = A, А2п = А, Р (4) = -g- .
2.38.	lim Р (А„) = lim (Р (4ПВ„) + Р (4,Д,)) = lim Р (АпВп) +
71—»оо	71—t оо	71—*оо
-j- lim Р (АпВп)	lim Р(Яп)*г lim Р (АпВп\ — lim Р (4П2?,Л Обратное
71->оо	'	71—*эо '	П->х>	П-*оо
неравенство очевидно. 2.39. Воспользуйтесь соотношениями
р(А0
Р(АА)
P(AA) + P(-W
Р(АА)
= 1 + v 11 "<
Р(ЛА)
. От условия (1) отказаться, вообще го-
воря, нельзя. Например, возьмите в качестве вероятностного пространства
отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских подмножеств и мерой Лебега и Ап =
= [0, 1/п], Вп = [1/(2п), 1]. 2.40. Легко видеть, что
А = (J ({£ (ю) < а) Л О] (ш) > а)), В = й\(4 U ( U ({£ (w) > а} Л 01 («) <«}))),
С = A (J В, где (J означает объединение по всем рациональным а. Множества
а
{£(ы) > а} и {i](w) < а} являются событиями по определению. 2.41. Нет,
не обязана. Например, £2 — отрезок [0, 1], 4 — о-алгебра счетных под-
множеств и их дополнений, Р — мера Лебега, £ = о>. 2.42. е) {min {£, ц) х} —
•= {£ si х] (J {г] si х} — событие. Таким образом, все подмножества вида
{min {£,	т)} si х] принадлежат о-алгебре событий, следовательно, ей
принадлежит о-алгебра, порожденная классом множеств такого вида, т. е.
о-алгебра, порожденная функцией min {£, т)}. Это по определению означает,
что min {^, г)} — случайная величина. Аналогично проводится доказательство
в других случаях. 2.43. а) Нет, б) нет, в) пет, г) да, д) да, е) нет. 2.44. Восполь-
зуйтесь соотношениями |о>: inf ^ < ^] = (J {w; fen <	11 sup = — inf (— £,,)
' п	1 и	п	II
2.45. Нет. 2.46. Пусть (й, 6^, Р) — вероятностное пространство, па ко-
тором задана случайная величина | и — о-алгебра борелевских мно-
жеств прямой. Пусть В<=ЗВ. Так как /(z)—борелевская функция,
/-(В) = Bi s ЗВ. Но Т]-1(В) =	е si и, следовательно, ц — случайная
величина. 2.47. Воспользуйтесь определением борелевской функции.
2.48. (/ А— 1В)2= 12а— 21 а1в Аг 1в= ^а~^^в~ а1 в = ^а\в + 1 ав + 1 b\a~^
+ 1 АВ~~ 21 А1В~ ^А\в+ ZB\a + ZAZb + 1Af В'~ А1 В= 1А\В +^В\А = 1 АД В'
2.49. й — множество всевозможных последовательностей из пяти букв, две из
которых — буквы Ч, а три — буквы Б, si — множество всех подмножеств й,
Р приписывает равные вероятности всем одноточечным событиям, о-алгебры,
порожденные случайной величиной а) о-алгебра, порожденная событиями
4о, 41, 42, 4з, где 4о—множество всех элементарных событий, начинающихся
буквой Ч, 4| — начинающихся комбинацией БЧ, 42 — комбинацией ББЧ, 43 —
БББЧ, б) тривиальная о-алгебра: 0, Й, в) о-алгебра, порожденная событиями
В\, В2, В3, В<, В*,, где Вх — множество всех элементарных событий, начинающих-
ся комбинацией БЧ, В2— ЧБ, Вз — ББЧ, В4— ЧЧБ, В$ — БББЧ. 2.50. а) 0, О,
(О, 1/4); [1/4, 3/4), [3/4, 1], [0, 3/4), [1/4, 1], й\[1/4, 3/4), б) si (т. е. о-алгебра
борелевских подмножеств отрезка [0, 1]), в) 0, й. 2.51. Всевозможные множе-
ОО
ства вида U (4-|-2лА‘), где 4—борелевские симметричные относительно
k<=—ОО
начала координат подмножества отрезка [—л, л], 4 + а — сдвиг множества 4
на а вправо. 2.52. а) 4 = U П {s,, < m}.	2.53. Пусть вероятностное про-
пах п*=1 *	’
странство (й, si, Р) представляет собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелев-
ских подмножеств и мерой Лебега. Положим £ — <о. Поскольку каждая случай-
ная величина на этом вероятностном пространстве является борелевской функ-
цией ш, а о = Ё, каждая случайная величина является борелевской функцией £.
214
тельио, в сплу задачи 2.36 ₽
2.54. U Лп = 1°> *)’ 0_1 Ai = [о, 1/,/з] (воспользуйтесь тем, что ,/п1 при
п —>оо и min 1/7 п. = 1/у з). 2.55. Интеграл Лебега по множеству нулевой
71
меры равен пулю. 2.56. Если Р(£ = 0) = 1, то Р(£2 = 0) = 1 и, в силу предыду-
щей задачи, Е£2 — Е0 = 0. Пусть Е£2 = 0 и предположим, что Р(£ = 0) <' 1.
Тогда существуют е > 0 и б > 0, такие, что Р(||| > е) >6. Но тогда Eg'--«
== I g2 (ю) Р {do} I £2 (со) Р (с/со) е-б > 0. 2.57. Достаточно воспользоваться
И	|г|>8
неравенством |шах{£, т)}| С 151 + I’ll Обратное, вообще говоря, неверпо.
2.58. Воспользуйтесь равенством £ + ц = min {£, р) + max {£, р} и следующим
очевидным неравенством, справедливом для любых вещественных а и Ь:
|а| [max {а, Ь) | + |min (а, 6) |. 2.59. Докажем, например, первое неравен-
ство. Для любого	sg max {£i, ..., £п} и, значит, Eg< sg
si Е max {^i, ..., £„}. В силу произвольности I это означает, что
max {Е£ь ..., е£п} sg;Emax{gi, ..., £„}. 2.60. £ = р и £ имеет распределение
с плотностью ------о прп х > 0 п 0 при х < 0. 2.61. Последовательность
1 4- х
п
рп = У, частичных сумм удовлетворяет условиям теоремы о монотонной
сходимости, поэтому lim Epn = E lim рп, откуда следует нужное соотноше-
п-*00	71—>О0
пие. 2.62. Воспользуйтесь теоремой о монотонной сходимости. 2.63. Положим
Вп = R Ah. Тогда последовательность Bh В2, ... не возрастает и, следова-
,П ^)=р(п Bh]=limP(5n) = lim П”(4) =
к=1	/ \fc=l /	n-»°o	n-»oo
ОО
= JJ Р (Лл). 2.64. Воспользуйтесь предыдущей задачей и тем, что для
fc=i
ОО
абсолютной сходимости бесконечного произведения JJ (1 + лп) к некоторо-
71=1
оо
му отличному от нуля пределу, необходимо и достаточно, чтобы ряд 2 ап
П=1
абсолютно сходился. 2.65. Пусть Я — произвольное семейство попарно незави-
симых событий. Докажем, что для любого к — 2, 3, ... и любых
А1, zl2, ••• Ак^Я выполняется равенство
Р(Л, п ... ПЛ*) = Р(Л,)- ... • Р(Л*)	(1)
(т. е. все элементы Я независимы). Поскольку Л2, Лз, ... Л* не зависят от Л,,
этим же свойством обладает их пересечение (множество событий, не завися-
щих от 4h образует алгебру и, следовательно, замкнуто относительно конеч-
ных пересечений), поэтому Р(Л, Q ... ПЛ*) =Р(Л|)Р(Л2П ••• АЛ*). Анало-
гичные рассуждения показывают, что Р(Л2 0 ••• Г1 Л*) = Р(Л2)Р(Л3П ... Г1 Л*)
и т. д. В конце копнов приходим к (1). 2.66. Если все события имеют вероят-
ности. равные 0 или 1, то все они, очевидно, независимы и тем более попарно
независимы. Обратно. Пусть все события попарно^ независимы и существует
такое событие Л, что 0 < Р(Л) < 1. Тогда 0 < Р(Л) < 1, и Р(ЛЛ) = Р(0) =
= 0 =/= Р(Л)Р(Л). 2.67. Нет (например, Л пе зависит от В и, следовательно, В
пе зависит от Л, по Л, если оно имеет вероятность отличную от нуля и едини-
цы, зависит от Л). 2.68. Нет. Пример: П = {1, 2, 3, 4}, Л = {1, 2}, В = {4},
С = {2, 3), Р{1} = Р{2} = Р{3} = Р{4} = 1/4. В зависит от Л, С зависит от В,
ио С пе зависит от Л. 2.69. Достаточность очевидна. Необходимость. Пусть
215
отношение независимости транзитивно и существует событие А такое, что
О < Р(Л) < 1. Тогда 0 не зависит от Л и Л не зависит от 0, но А, очевидно,
зависит от А, что противоречит транзитивности. 2.70. | Р (Л ПЛ) —Р(Л)Р(Л)| =
= |Р(Л)—Р(Л)Р(Л)| = Р(4)(1— Р(Л))^е. Решая относительно Р(Л) полу-
ченное квадратное неравенство, получаем Р(Л) (1т-fl — 4е)/2, либо Р(Л)
2; (1 + VI — 4е)/2. Остается воспользоваться неравенствами (1 — fl — 4e)/2sj
С 2е, (1 + VI — 4е)/2> 1 — 2е. 2.71. Пусть Р(Л) sg е. Тогда Р(Л)Р(В)^е и
Р(ЛВ) Р(Л) С в и, следовательно, |Р^Л)Р(В)—Р(ЛВ) | птах {Р(Л)Р(В),
Р(ЛВ)} в. Если же Р(Л) > 1 —в, то Р(Л) е и, следовательно, Л и любое
событие В е-независимы, откуда (см. следующую задачу) получаем е-независи-
мость событий Л и В. 2.72. а) Имеем Р(ЛВ) = Р(В)—Р_(ЛВ), Р(Л)Р(В) =
= (1 — Р(Л))Р(В) = Р(В) — Р(Л)Р(В), поэтому |Р(Л)Р(В) — Р(ЛВ)| =
= |Р(Л)Р(В)—Р(ЛВ)|	е; б) и в) доказываются аналогично. 2.73. Каждый эле-
мент алгебры, порожденной полуалгеброй, представим в виде конечного объеди-
нения непересекающихся элементов полуалгебры. 2.74. Пусть — произвольная
алгебра событий и о (j^)—порожденная ей о-алгебра. Покажите, что для любого
Л = о(^) и любого в > 0 найдется Ве s такое, что Р (Л Д Bt)«g в. 2.75. Нет.
2.76. Обозначим а-алгебры, фигурирующие в условии задачи, st и Я. Пусть
Л е st- и В<= Я и 0 < Р(Л) < 1, 0 < Р(В) < 1. Предположим, что st U Я — ал-
гебра. Тогда Р(ЛВ) = Р(Л)Р(В) = 0 или 1 и АВ е (J Я и, следовательно, ли-
бо AB^st, либо АВ е Я. В первом случае АВ не зависит от В, во втором —
от Л и, следовательно, в первом случае Р(Л)Р2(В) = Р(ЛВ)Р(В) = Р(ЛВ П В) =
= Р(ЛВ) •= Р(Л)Р(В), во втором —Р2(Л)Р(В) = Р(ЛВ)Р(Л) = Р(ЛВ Q В) =
~ Р(Л) • Р(В). В обоих случаях приходим к противоречию. 2.77. Нет. Положим
f 1 с вероятностью 1/2,
1— 1 с вероятностью 1/2.
2.78. Нет. J не равно с вероятностью 1 постоянной, Г] = <р = —5- 2.79. Если
случайная величина £ не равна с вероятностью 1 постоянной, то существует
борелевское множество В на прямой, такое, что 0<Р(5еВ) < 1. Но тогда
Р(£еВ, ЕеЙ) = 0/= ₽(5 е В)Р(5 s Л). Если же £ равна с вероятностью 1
постоянной, то она не зависит от любой случайной величины, заданной на том же
вероятностном пространстве и, в частности, от самой себя. 2.80. Когда для пекото-
(ОО	\	/ оо	\
U {5 = а + 2nfc) I U I U {£ = — а + 2л/с) )
k=~ ОО	/	\Л=—оо	/
имеет вероятность 1. 2.81. а) Нет, б) да, в) да. 2.82. Возьмем про-
извольное из п элементарных событий—ы,. Пусть £ и т] — произвольные слу-
чайные величины, определенные на этом вероятностном пространстве и прини-
мающие п различных значений каждая. Положим |(о>|) = a, i](<Oi) = Ь. Тогда
Р(5 = а) = Р({Ы1}) = Р(п = б) (это справедливо, так как не существует
других элементарных событий, на которых § принимало бы значение а или
т] — Ь). Имеем Р(5 = а, = б) = P({coJ), Р(5 = о)₽(’1 = б) = P2({coJ), т. е.
| и 1] зависимы. 2.83. Пусть к — число различных событий из st, вероятности
которых отличны от 0 и 1. Очевидно, к п — 2. Предположим, что ни одпа из
случайных величин 5ь ..., 5n-i пе равна с вероятностью 1 постоянной. Тогда
существуют вещественные числа аь ..., ап_|, такие, что 0 < Р(5с = а<) < 1,
1 = 1,2, ..., п — 1. Обозначим = {5с = а(}. Имеем п — 1 событие, вероят-
ности которых отличны от 0 и 1, следовательно, по крайней мере два из них
совпадают: At = Aj, !/=/. Но тогда Р(4с) = P(4,-4j) = P(£t = at, 5j = aj) =
= ₽(5c •= ac)P(5j e aj) = P(4>)P(4J = P2(4(). Противоречие. 2.84. Восполь-
зуйтесь тем, что на этом вероятностном пространстве нет двух независимых собы-
тий, каждое из которых отлично от 0 и й. 2.85. Например, 5(1) = 5(2) = 0,
5(3) = 5(4) = 1, т)(1) = т)(4) = 0, т)(2) = п(3) = 1. 2.86. Нет. (о-алгебра, по-
рожденная случайной величиной 5, совпадает с st и, следовательно, содержит
о-алгебру, порожденную любой другой случайной величиной). 2.87. Воспользуй-
тесь тем, что о-алгебра, порожденная случайной величиной min{l, 5} содер-
жится в о-алгебре, порожденной 5. и то жс самое для т|. 2.88. Воспользуйтесь
тем, что {co; min {а, 5} > «} =• {ы: 5 > а}, {о: min {б, т]}	6} = {со: г] > 6}
216
для любых а и Ь. 2.89. о-алгебры, порожденные случайными величинами /(6) и
#(»]) принадлежат соответственно о-алгебрам, порожденным случайными вели-
чинами £ и тр 2.90. Могут; ответ не изменится. 2.91. Да. Пусть вероятностное
пространство (Я, Р) представляет собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелев-
ских подмножеств и мерой Лебега. Положим 6 = ы. /(х) — 1 при х > 1/2 и
j(x) =0 при х < 1/2, g(x) -= 1 при 1/4 =5 х eg 3/4 и g(x) = 0 при остальных
значениях аргумента. Тогда /(6) = /(<о) и g(6) = g(<o) и легко видеть, что
/(ы) и g(w) независимы. 2.92. Р(6 > 0, г] > 0) eg Р(6 + л > 0) — 1/2 < 9/16 =
= Р(6>0)Р(л>0).	2.93. р2 =• Р(6 > О)Р(т] > 0) = Р(6 > 0, ti>O)sr
<Р(£+т) >0) sSP({S >0, t] > 0} U U > 0, т) < 0} U {|	0, т) > 0}) «=
= Р(6>0, Г) > О)+Р(ё >0, П =5 0)4- Р(£ СО, п>0)=Р(6 >0)Р(л>0) +
+ Р(6 >0)Р(т;С0) +P(fcc0)P(n >0) = р2+ /><? + ?? = p2 + 2pg = 1 - ?2.
2.94. Нет. Рассмотрим вероятностное пространство (Я, л#, Р), где Я =
= {1, 2, 3, 4}, st — множество всех подмножеств Я, вероятности задаются сле-
дующим образом: Р({1}) = Р({2}) = Р({3}) = Р({4}) “ 1/4. И положим 6(1) =
= 6(3)= 0, 6(2)= 6(4)= 1, п(1) = п(2)=1, п(3)=П(4)=0, Ф(1)-<р(4) =
= 0, <р (2) = <р(3) = 1. Очевидно, 6, Л, ф попарно независимы, по
₽(6 = 1, Л + Ф = 2) = 1/4 чА Р(6 = 1)Р(т) + ф «= 2). 2.95. Да; вообще говоря,
изменится. 2.96. Для любых xt, ..., х„ события {61	• • •, 6» < г*) 11
{6a+i С irii+i, 6n С хп} независимы, т. е. независимы о-алгебры, порожден-
ные соответственно случайными величинами 6ь 6* и l*+i, • • in- Но о-ал-
гебра, порожденная <p(6i, •••> 6а) (Ф(6*+ь •	In)), принадлежит о-алгебре,
порожденной 61, •  •, 6» (6*+ь • • •, In). 2.97. Положите 6*n = i/k при l/k С In <
< /+ i/k. 2.98. а) Да (л = —6), б) да (г] = 1/6), в) да (6 принимает значе-
ния —1 и +1, г; = —6; тогда 6 + Л = 0, 6л = —!)• 2.99. Положим Я =
«= {1, 2, 3, 4), st— множество всех подмножеств Я, Р({1}) = Р({2}) =
с= Р({3)) = Р({4}) = 1/4, и рассмотрим на вероятностном пространстве
(Я, j#, Р) случайные величины 6 п Л, определенные следующим образом:
6(1) = 1, 6(2) = -1, 1(3) = 6(4) = 0, п(1) = Л(2) = 0, л(3) = 1, Л(4) = -1.
Эти величины зависимы, так как Р(6 — 1, Л = — 1) = 0 ф 1/16 —
= Р(6 = 1)Р(л ——1), но тем не менее Ебл = 0 = Е6#Л- 2.100. Равенство
Ебл = Е1ЕЛ эквивалентно равенству Е(6 — я) (л — Ь) «= Е(6 — а)Е(л — Ъ) для
любых а и & (проверяется непосредственно), поэтому достаточно рассмотреть
случай, когда каждая из величин 6 и Л принимает два значения: 0 и 1.
2.101. Воспользуйтесь задачей 2.126. 2.102. Случайные величины <р(6) и Ф(л)
независимы (задача 2.126). 2.103. Пусть At, ..., Ап — произвольные борелев-
ские множества на прямой
....£пеЛп) = Р(.и {5! = ^], U {Еп-^ПП
\Д1	Rn	/
(объединение берется по всем элементам множеств («м Ап положительной
вероятности). Значит,
₽(11е41,...,1п = лп)=22 ••5р01 = гч..........= М =
Ал
2.104. На вероятностном пространстве (Я, st, Р), где Я = {1, 2, 3, 4),
st — множество всех подмножеств Я, ₽({!})= Р({2}) = Р({3}) = Р({4}) =
= 1/4, случайные величины 6 и л определим следующим образом: 6(1) =
= 6(2) = 1, 6(3) = 6(4) =0, л(1) =Л(4) =2, л(2)=л(3)=3. Ясно, что
бил независимы и Р(6 < л) = !• Если же дополнительно известно, что для
любого я > 0 Р(6 > я) > 0, то 6 и Л обязательно зависимы. Действи-
тельно, существует событие Е единичной вероятности, такое, что Е П А —
217
= {<о : £ > a} n E с В f| E = {<o : r] > n} П E (для любого a > 0). Выберем a
достаточно большим, чтобы Р(Л) < 1. Тогда Р(£'Л5) = Р(ЛВ) = Р(В) =#=
>/=Р(Л)Р(В). 2.105. Да; нет. 2.106. От условия равновозможности отказаться,
вообще говоря, нельзя, например, Л, = Л2 = О, Аз = Л4 = 0. 2.107. Нет. Так,
любые два равновозможных события симметрично зависимы; любые п попар-
но пепересекающихся равновозможных событий симметрично зависимы.
2.108.Рассмотрите события Е- л-т={при извлечении п шаров /,-й, ...
..., im-a шары оказались белыми} и покажите, что при фиксированном т все
они равновероятны. 2.109. Воспользуйтесь задачей 2.39.
Глава 3
3.1. a) F(x) = P(^x)=
0 при х^0,	0 при х^0,
х при 0 < х < 1, б) F (х) = "|/х при 0 < х< 1,
1 при х 1;	(	1 при .г 1;
в) F (х) =
при х 1,
1 — х при х > 1;
0
2
— arcsin х
я
1
0 при х
при х 0,
при 0 < х < 1,
при х 1;
< - 1,
4/3-®^
д) то же, что и в а); е) F (х) =	2/3
2/3+ 1/Зх
I 1
при — 1 + х + — 8/27,
при — 8/27 < х < О,
при 0 х 1;
при х > 1,
ж) F (х) =
3.2. a) F(x)
б) Л(х)=
1
	0 при	х < 1/4,
1/2 при		1/4 х
	1 при	х>1.
	0	при х <
=	х/2	при 0
	1	при X >
	0	при X
	х2/2 (2-х) 2	при 0 s 2 - при 1
	1	при X
1,
; о,
Х<1
х + 2,
2,
О,
2.
(1/2 при о х 2,
I 0 при остальных х;
( 0 при	X <	; 0> х > 2,
/ (х) = < х при	0s	S х< 1,
|2 — х при	1 S	х + 2;
в) F (х) =
I , 1'
X I 1 + In —
0
1
при
при
при
0 + х + 1,
х < О,
х > 1,
In —
X
0
при 0 х < 1,
при х < О, X > 1,
В случае б) случайные величппы g
виспмы.
и т) пезавпепмы, в случаях а), в) за-
3.3. a) F (х) =
О при
х2/4 при
 1 при
х < О,
0< х<2,
х > 1,
/(х) =
х/2
О
при 0^х^2,
при х < 0, х > 2;
218
3.4.
a) F (х) =
(О	при
1 — (1 — х)2 при
1	при
6
— arcsin —
и 2
X
при
при
3.5.
3.6.
1
при
О
при
2
F (х) = 1 — arccos
при
1
при
х > 2.
2(1 — ,г) при 0 гС .г 1
О при х < (• и х
О при х <0,
1
a) /’(.r)G(x), б) 1 —(1—F (т — 0)) (1 — С (г — О)), в)
G U),
г) 1
(rz\ - °)) (1-G
(х — о».
3.7. a) F(a-)=
3/—
—а-. л
е *
О
при
при
1 U) =
а
2
3
’е
3 —
О
при х <0;
б) F(x} =
1 — — е~ах
1	2 е
1
—га-х
2
" -<ф|.
2 е
в)
F (г) =
1
о
— е
—а
при
при
/(*) =
F(z) =
аг"0"
з <
-а. ;
е '
—2	Зг-
X Зе а,/ Л (t _ е-ал) при
О
3
при
Д)
л	“Г
1 — е 4
О
У (*> =
£
3
3
е
О
(	--(х-з)
/’(z) = ]l-e 2
I О
а “(*-з)
Т« 2
/ (*) = 2
I О
(1 — р~пх
е) F (х) = |1 J
при
при
/(.г)=(да	ПР”
[ 0	при
219
3.8. a) F (x) =
0,	— 1,
1 , X 1,
6) F (x) =
/ W =
1 1
y —“Pl- p|<2,
0, p| >2;
U, ж>2,
3.9. ।	^-j e I(x\ где p’(z)—функция, обратная к /(z), a /'(.r) — произ-
водная f(x). 3.10. Соответствующие функции распределения равны a) pF(x) 4-
4-yG(z), б) F(x) (р + qG(x)), в) F (х) + qG (х) (1 — F(x)). Получим, на-
пример, выражение а): Р(Р + (1 — £)ц z) = Р(Р + (1 — £)i] Р х |£ =
= 0)Р(£ = 0) + Р(Р + (1 - t)n р = 1)Р(5 = 1) = P(i] pz)?4~P(£
x)p = pF(x) + qG(x). В случаях б) и в) выкладки аналогичны. 3.11.
Р(пп = -|-1) = Р(ц„ = —1) = 1/2. Для доказательства применим индукцию:
р (П„ = 1) - ” (П„ = 11 р == 1) Р (р - 1) 4- Р (ii„ = 11 р = - 1) Р (Р = -1) =
11 11 1
-₽(P-1 = l)P(^ = 1)+P(’lJ1_1 = -l)«’(?n = -l) = Y-2-+'2-^ = Т’
( 8
3.12. а) Можно (с= 2), б) нельзя (интеграл расходится), в) можно! с = —-у !•
3.13. Положим Аг — {р у): <р(х, у) р z). Тогда Р((£, т]) е А,) =
= Р((ц, Р е 4г) = Р(<p(g, ц) sg z).
Отказаться от условия независимости нельзя: достаточно в качестве g и
»1 взять случайные величины из а) и д) задачи 3.1 и положить <р(х, у) = z/y
220
(<p(g, *1) и ф(п> 5) заведомо имеют в этом случае различные распределения,
так как P(g/i] > 1) = 1/3, P(r)/g > 1) = 2/3. 3.14. Воспользуйтесь тем, что слу-
чайные величины и —£ одинаково распределены. 3.15. Первая часть задачи
тривиальна. Обратное, вообще говоря, неверно, например, если в качестве ве-
роятностного пространства взять отрезок [0, 1] с о-алгеброй борелевских под-
1
множеств и мерой Лебега и положить £ (ы) = ы, Г) (<о) = -у (1 — ы). 3.16. Возь-
мите в качестве вероятностного пространства отрезок [0, 1] с о-алгеброй
борелевских подмножеств и мерой Лебега. 3.17. Функция распределения F(x)
имеет конечное число точек, скачок в которых р = F(x) — F(x — 0) удовлет-
1 1
воряет неравенству р < к = 1, 2, ... .3.18. Может (можно, напри-
мер, занумеровать все рациональные точки и приписать точке с номером п
вероятность 1/2"). 3.19. Пусть xIt х2, ... — точки разрыва функции F(x) (их
число не более чем счетно). В качестве F2(x) возьмите функцию, изменяю-
щуюся скачками в точках хь х2, ... так, что F2 (xj -J- 0) — F2 (xt — 0) =
1
— — (F (x. + 0) — F (x. — 0)), где a2 — суммарная величина скачков функции
F(x). Покажите, что функция F(x) ~a2F2(x) непрерывна и монотонно не убы-
вает. 3.20. Покажите, что функция Н(х) непрерывна справа, удовлетворяет
соотношениям lim Н(х) = 0, lim Н (х) = 1 и монотонно не убывает.
X-*—оо	х-»оо
3.21.	Случайная величина ц принимает два значения 1 и —1 с вероятностями
(F (х) при х>0,
„	3.23. Нуж-
0 при х < 0.
по доказать, что для любого е > 0 существует 6 > 0, такое, что для любых х,
и х2, удовлетворяющих условию |х, —х2|^6, выполнено неравенство
|F(xi)—Е(х2) | е. Фиксируем произвольное положительное е и выберем
е	е
Л > 0 столь большим, чтобы 1 — F (Л) sSC -у и F (— Л) -у. На отрезке
[—Л, Л] функция F(x) равномерно непрерывна (функция, непрерывная на
компакте, равномерно непрерывна). Возьмем 6 из определения равномерной
е
непрерывности Е(х) на отрезке [—Л, Л] с заменой е на  Если х,, х2е
е [—Л, Л], то все очевидно, если xt Л, х2> А, то |F(xi) — F(x2) |
< l^i) —	+ |Е(Л) — Г(х2)|	еит.д.3.24. Пусть 1}п = :у+	+
12 2П — 1	1
Покажите, что т)„ принимает значения0, —, —, ...,———с вероятностями2п
каждое (воспользуйтесь индукцией). 3.25. Рассмотрите вначале случай, когда
F(x) монотонно возрастает и положите /(g) = E-1(g). 3.26. Воспользуйтесь
следующими соотношениями:
2”-1 о (i — 1)
{6„=°}= U
271-1 (21 — 1
{6n = 1}= и I 2"
21 - 1)
—1
2n J'
3.27. Независимость случайных величин glt g2, ... с.тедует из независимо-
сти случайных величин 6Ь 62, ... (см. предыдущую задачу); равномерная
распределенность на отрезке [0, 1] каждой gf следует из задачи 3.24. 3.28. Рас-
смотрим случайную величину g = (о. Очевидно, g имеет равномерное распре-
деление на отрезке [0, 1]. Пусть g = y-|--y+... + ^+... — двоичное
221
разложение Тогда (задача 3.27) величины
G‘ 2	4	2 d 4 +
взаимно независимы и каждая равномерно распределена па отрезке [0, 1].
Но в силу задачи 3.25 существуют борелевскпе функции /Дт), filx), ... та-
кие, что случайные величины	/2(ь2), ••• имеют функции распределения
F2(x), ... соответственно. Далее, поскольку /2(Ь), .... являются
борелевскими функциями от независимых случайных величин, они независи-
мы. 3.2ST. Для того чтобы функция И(х) являлась функцией распределения, не-
обходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия F(0) = 0, F(l) = 1.
3.30. В качестве р(х) и g\x) можно взять функции, определенные следующим
образом: р(х) =1 на отрезках [—1, —1/2] и [1/2, 1] и р(х) = 0 в остальных
точках, g(x) >= О при х —1/2, g(x) =1 при х 1/2 и g(x) линейна на от-
резке [—1/2, 1/2]. Легко видеть, что g(£) принимает значения 0 и 1 с вероят-
”	'	можно положить F — A и
при некотором б > О, поскольку последние мио-
I USA'	)
жества убывают при монотонном стремлении б к пулю и в пересечении да-
ют А. Обозначим © класс множеств, для которых утверждение задачи выпол-
нено, т. е. для любого /1 е0 и любого положительного е существуют откры-
тое множество СзЛ и замкнутое множество F А такие, что P(G\F) < е.
Покажем, что класс © является о-алгеброй. Пусть Ль Л2, ... — множества
из
ностями 1/2 каждое. 3.31. Если А замкнуто, то
G — /j: sup | x
I VSA
F,
©. Выберем замкнутые множества Fn и открытые множества Gn так, чтобы
Ап S. Gn и P(Gn\F„) < e/2n+1. Если G=n^^n и если F	где
выбрано так, что ₽( (J Fn\F ] < А, то F С (J Ап С Си P(G\F) < е. Та-
\n=i	/	2	n=i
По
ким образом, © замкнуто относительно взятия счетных объединений. Очевид-
но, © — замкнуто относительно взятия дополнений, следовательно, © —
а-алгебра. Но, с одной стороны, ©, как было показано выше, содержит
все замкнутые множества, а с другой стороны — содержится в ст-алгеб-
ре борелевских множеств, следовательно, оно совпадает с послед-
ней. 3.32. Пусть Лс = А И [—с,, с]. Выберем с достаточно большим, чтобы
Р(Я’\[—с, с]) < е/2. В силу предыдущей задачи существует замкнутое мно-
жество F, такое, что Р(Лг\Е) < е/2. Далее, Fc = F (J [—с, с]—компакт и
Р(ЛС\ЕС) = Р(ЛС\Е) = е/2, по Р(Л\ЕС) Р(ЛДЕС) + Р((Я'\[-с, c])\Fc)^
е/2 + Р(Я*\[—с, с]) < е. 3.33. Мощность континуума. (Воспользуйтесь тем,
что монотонная функция полностью определяется своими значениями па не-
ОО
котором счетпом множестве точек числовой прямой.) 3.34. 2 PiFt(z)- 3.35. До-
i=i
статочпо сделать замену переменной y — F(x). 3.36. Сделайте замену пере-
менной y = F(x). 3.37. Равномерное распределение на отрезке [0, 1|.
3.38. Пусть £ имеет абсолютное непрерывное распределение, т. е. Р(£ еЛ) = 0
для всякого множества А нулевой лебеговой меры. Имеем Р(|£| е 4) =
= P(|g| <= {4 П [0. оо)}) =Р({-еЛ П [0, оо)} и {В <= -{А П [0,	оо)}}) д
Р(£ еЛ П [0, оо)) + P(g е —{Л ("| [0, оо)})=0. Обратное утверждение до-
казывается аналогично. 3.39. P(v к) = 2k/N— k2/N2, Р(|х к) = k2/N, к =
= 1, 2 N, Р(Х = 0) = MN, Р(Х = т) = 2(N — m)/№, m = 1, 2 N-t
(при вычислении X воспользуйтесь равенством тах(т, у)— min(T, у) =
О	оо
k_
n
dF (t) +
о
«= Cll'.Fh (л:)(1— F(x))n~h, А-= 0,1,2......п (покажите, что случайные
величины ч>(ж, fci), <f(х, g2), ... независимы и <г(лг, £&) = 1 с вероятностью
|x — у |). 3-40.
Пп =
222
F(x) и <p(x,	= 0 с вероятностью 1— F(x)). 3,42. Например, равномерное
на отрезке [0, 1] распределение. 3.43. Пусть F(x) — функция распределения,
соответствующая плотности р(х). Тогда F (х) = J р (и) du. Имеем F (.г + у) =
о
х+у	X	х+у	“	V	х
-х J р (и) du = J р (u) du + J р (и) du = J р (и) du + р (v + х) du < J р (u)du -|-
0	О	X	о	в	о
оо	оо
•	, CdF(y) f
4- I р (i>) dv = F (х) + F (у). 3.44. а) 0 < х I —— s; I dF (у)-*- 0 при х оо,
О	х	_х
оо	Ух	оо
CdF(y)	i’ dF (у)	С dF	(у)
б)	доказывается аналогично а), в) I —-— — х I —-— 4-х I —— <
х	х	Vx
Vx	оо
dF (у)4- VJ dF (у) = G (Vx) — G (x) 4- "|/х (1 — G (Vx)) при
«	Vi
x->4-0, г) доказывается аналогично в). 3.45. Непосредственной провер-
-f-oo	4-оо
кой убедитесь, что р(х)^О, \ p(x)dx = 1.3.46. Покажите, что J р (х) dx=i—а
— оо	—оо
и воспользуйтесь предыдущей задачей. 3.47. Необходимость очевидна. Для до-
казательства достаточности рассмотрите сначала случай, когда функция /(х)
ограничена — в этом случае нужное неравенство доказывается интегрирова-
нием по частям. Если функция /(х) пе ограничена, рассмотрите последователь-
ность /,(х), /2(х), ... ограниченных неубывающих функций, монотонно
сходящихся к/(х). 3.48. Пусть х, < х2— произвольные вещественные числа,
/’|(х) и F2(x)—функции распределения, вырожденные в точках xt и х2 со-
00
ответственно. Тогда /4 (х) 5;/4 (х) и, следовательно, f^xj^ § / (х) dFr (х)
— оо
со
< J / (х) dF2 (х) = /2 (х). В силу произвольности Xi и х2 это означает, что
— 00
/(х) монотонно пе убывает. 3.49. Пусть {Q,, О2, ...}—любое счетное семейст-
во распределений. Легко видеть, что его доминирует, например, распределение
1	1
Р = ~2 Qj 4-у 92 + • • • 3.50. Например, множество всех вырожденных распре-
делений. 3.51. Пусть Pi, Р2,... — распределения, доминирующие соответственно
ОО	оо
семейства 82, • •. Легко видеть, что распределение > = 2^ = 1,
г=1	г==1
оо
а, >0, i = l, 2, ... доминирует объединение U 3.52. Покажите, что лю-
бое распределение, доминирующее ®, будет доминировать и его выпуклую
оболочку. 3.53. Воспользуйтесь задачей 3.49. 3.54. Пет, не верно. В частности,
всем функциям распределения вида G„(x) =G(i4-“), —оо < а < оо, где
С(х)—некоторая функция распределения, отвечает одна и та же функция
концентрации. 3.55. По условию существует последовательность at, а2, ..., та-
кая, что Р(«п 5 Яп4-х) ->- Ct(x) при п -> оо. Последовательность «|, а2,...
очевидно, ограничена, следовательно, из нее можно выделить сходящуюся подпо-
следовательность alt , ah , . ,.oh ...-га при n -* oo. lie ограничивая общпо-
223
сти, можно считать, что последовательность ah , ah , ,.. монотонна, например, мо-
нотонно возрастает. Тогда множества	+ монотонно убывают и
Р (aftn < ь < a + г) (Л)- Таким образом, Р (а sg; £ < а х) — Р^ Л
+ (1«1 +!)*)< ([«1 + 1) sup Р (а < g < а + х) = ([а] + 1) Q. (х).	3.57. а) Да.
а
Например,
Л*) =
о
3/8
3/4
1
при
при
при
при
2,
F(x) имеет три точки разрыва, а
четыре, б) Да. Например,
соответствующая функция концентрации —
О
т/3
2/3
при
при
при
х< О,
0<т<1,
1 .г < 2,
1 при х ^2,
f(z) имеет две точки разрыва, а
только одну. 3.58. Да. Например,
соответствующая функция концентрации —
( 0		при	X <	;o,	
	0,1	при	0 s	J X <	: 1,
	{X)	при	1 S	$ X <	: 2,
F(z) =	0,2	при	2 s	X <	;4,
	0,8	при	4s	X <	: 6,
	0,9	при	6s	J X <	:8.
	1	при	X	S= 8,	
где Fi(a) выбрана так, чтобы F(x) была функцией распределения и F|(x)
имеет бесконечное число точек разрыва. Имеем
	0,6,	если	0 S	z c	: 2
	0,7,	если	2s	J z <	4
Qf (2) =	0,8,	если	4 s	S z <	; 6
	0,9,	если	6 s	s 2 <	; 8
	1,	если	z J	s8.	
3.59. Используйте следующий факт: если х0 > 0 — точка разрыва Qt(x) и а
таково, что Qi (z0) = P(a a + z0), где g — случайная величина с функ-
цией распределения F(x),to точки а и а + х0 являются точками разрыва F(x).
3.60. При любых положительных а и I множество Л(.п, очевидно, ограничено,
поэтому достаточно доказать его замкнутость. Пусть х„ х и	т. е.
Р(х„ хп + 0 а. Не ограничивая общности, можно считать, что по-
следовательность xh х2, ... мотонониа. Для определенности будем считать, что
(оо	\
П {тп < z + 1} •
П=1 1	’ '
По множества {хп х + 1} монотонно убывают и для каждого п
Р(хп х + Z) а. Отсюда окончательно получаем Р Е; С 1 + 0--
= lim Р (тп С?®? х + Z) > а. 3.61. а) 1/3, 4/45; 6)0, 1/12; в) 2/л, 1/2л, г) 0,
П-»оо	'	2л
224
л # »	о\ л / и а
3.62. 12 (« +“b + ^)-i6
(лз _ „з\2\
-------— I. 3.63. 7. 3.64. Положим с =
9(6 —а)2/
= Eg, Ап = [| g — Eg | > J_l, n = 1, 2, ... Тогда (g c) = (J А. Но в силу
I	n J	П-1
неравенства Чебышева P(An) nDg = 0, откуда P (g с) = P (J Anj = 0
(см. также задачу 2.72). 3.65. Необходимость очевидна. Докажем достаточность.
Пусть g — t] и |g| — |q| одинаково распределены. Тогда D(g — р) =
= 0(161 — IПI) п, следовательно, Dg = D| g |, или Eg2— (Eg)2 = Eg2— (E| g | )2,
то есть |Eg| = E|g|. Но это, как легко видеть, и означает, что случайная ве-
личина g с вероятностью единица принимает значения одного знака. 3.66. Име-
ем P(g2 < g) = 1 и, следовательно, Dg = E(g — Eg)2 = Eg2 —(Eg)2 < Eg2 < Eg.
3.67. a) 18, 6) 22. 3.68. Имеем D(E + n)=E(g-Eg + q — Eq)2 = Dg-|-Dq +
+ 2E(g — Eg) (q — Eq). Теперь пужные неравенства следуют из неравенства
Коши — Буняковского: |Е(g — Eg) (q — Eq) |	1Е(g — Eg)2Е(q — Eq)2= fDgDq.
3.69. Воспользуйтесь неравенством as 1 + а О, 0 < Р а. 3.70. Распре-
деление с плотностью р(л-), равной 1/х In2 х на отрезках (0, 1/е2) и (е2, оо) и
нулю при всех остальных х. 3.71. Нет. Рассмотрим, например вероятностное
пространство (П, s/, Р), где П= {1, 2, 3},	— множество всех подмно-
жеств Q, ₽({!}) = Р({2}) = Р({3}) = 1/3, и положим g(1) = 2, g(2) = 1,
g(3)=0,	q(l)=0,	q(2)=2, q (3) = 1.	Тогда E	= -l/3=^0,
g q _	_
т. e. E ।	=/= E . 3.72. В силу незавпсимости и одинаковой распреде-
ленности gt, ..., gn, случайные величины
Е,	Еп
gj + ... + g„’ ' ‘’ gx + ... + g„
- ( Е. + • • • + Е/, \ _	,
одинаково распределены, следовательно, Е _!------------_Д. 1 = Е-----i---—
Х^+... + Sn/ 61+...+5п
Eft	Ej
+ ... + Е	Для любого к = 1, 2, (.., п. Положив
Ei	1
к = п, получим Е =—-------। t = —। откуда следует нужпое соотношение.
St -г •••-+- Sn п
а
3.73.	a) Dg = Eg (Eg + 1), б) Р (g = п) =	,	„,,, п = 0,1, 2, ... 3.74. Пусть
(1 + а) т
xi = max{xi, ..., Хп) и pi = P(g = х(), i = 1...........г. Тогда
Eg"+t _ <+4 + 4+4 + • •• + 4+1рг _
ЕЕп ~ <4 + 44+ • •• + 44
<+4	4+4
44 + ... + 4рг + ”’ + 44 + --- + «
Все слагаемые, начиная со второго, стремятся к нулю при п -> оо, первое сла-
гаемое стремится к xt. Аналогично доказывается второе соотношение.
3.75. Имеем Eg = P(g = 1) + 2P(g = 2) + 3P(g = 3) +... = P(g = 1) +
+ P(g = 2) +P(g = 2) +P(g = 3) +P(g = 3) +P(g = 3) +... Ряд абсолют-
но сходится, следовательно, можно перегруппировать его члепы:
ОО
еЕ=2 р(Е='-)+ 2 р(Е = /)+... = р(Е>1) + ₽(Е>2)+...3.77. Dg^
i=l	i=2
Е|£|2г^ сЕ|Е|. 3.78. Воспользуйтесь неравенствами [х] х [х] + 1 и тем.
15 Д. В. Прохоров и др.
225
что если J не является целочисленной, то P(g > [g])>0. 3.79. 1/2, —1/2. Дейст-
вительно, обозначим g+ = тах{0, g), g~ = —min{0, g). Тогда g = g+ — g~,
I£I = £+ + g“ и, следовательно, Eg+ — Eg- = 0, Eg+ + Eg- = 1, откуда Eg+«=
= 1/2, Eg~ — 1/2. 3.80. b |a|. 3.81. В силу выпуклости f(x) для каждого ха
найдется число Л(г0), такое, что для всех х f(x) /(z0) + (х — zo)X(zo). От-
сюда, полагая х = g и z0 = Eg, получаем /(g) 5s/(Eg) + (g — Eg)l(Eg) и, сле-
довательно, E/(g) 5s E(/(Eg) + (f - Eg)X(Eg)) =/(Eg) -|-A(Eg)E(g — Eg) =
=/(Eg). 3.82. Имеем Dgi] = Eg2En2 - (Eg)2(Er])2; DgDq = Eg2Eq2 - (Eg)2Er)» -
— E£J(^n)2 + (Е£)а(Ед)2. Теперь достаточно воспользоваться элементарным нера-
венством Eg2 (Eg)2, справедливом для любой случайной величины в силу
того, что 0 Dg = Eg2 — (Eg)2. 3.83. Должно выполняться хотя бы одно из
условий: Eg = Eq = 0 или Dg = Dr] = 0. 3.84. Обозначим Fx(x), F2(x), ...
СЮ
функции распределения случайных величин gi, g2, ... Тогда F(x)= 5 рЛ (*)•
i=l
оо	оо
Отсюда следует, что е£2 = 2 P^i и ЕЕ = У» поэтому Dg = Eg2
i—1	i=l
оо	/ оо	\ 2	ОО	оо	оо
- (Е£)2 = 5 PiE^ - 2	“ 2	- 2 Pi (EM2 + 2 Pi (EM2 -
i=l	\ i=l	/	i=l	i=l	i=l
(oo	\ 2	00	oo	/ oo	oo
2 Л "2р<(^-(Е5()г)+2^-	-2рЛ+
i=l / i=l	г=1	\i=l J i-1
oo
+ Dp. 3.85. Имеем J | z|“ dF (x) < oo, следовательно, J |z|“dF(z)~>0
-OO	|x|>i
приг->оо. Ho j* |z|“dF(z)>/“ j* dF (z) = t“P (| g | > t) > 0. Отсюда
|x|>t	ixi>i
следует нужное соотношение. 3.86. Положим G(z) = 1 — F(z) + F(—z).
При любом T > 0 интегрировапием по частям получаем
т	т
—	z“ dG (z) + TaG (T) — J ar®'1 G (z) dx, откуда следует равенство интегралов
о	о
оо	оо
—	xadG (z) и a za-1G (z) dx, если хотя бы один из пих конечен,
о	о
3.87.	Воспользуйтесь предыдущей задачей. 3.88. В силу задачи 3.75 имеем
Е min (g, 1]) = 2 Р (min (g, Ц) > i) = У, Р (g > i, г) > i) = У Р (g > i) Р (т) > г).
i=l	i=l	i=l
3.89. Прежде всего заметим, что в силу существования Eg z(l — F(z))->0
при z -> оо (см. задачу 3.86). Итак, имеем
оо	ОО	00
а = J xdF (т) = — f xd (— F (х)) = xd(i—F (х)) = — х (1 — F (х))	+
0	0	О
оо	оо	оо
+ J (1 — F (z)) dx = J (1 — F (z)) dx. 3.90. Имеем dF (t) < <x>, следова-
0	0	0
X	XX
тельно, J — dF(t)-»O при z->0. Ho J dF (t) J dF (Z) =
о	oo
226

Отсюда следует нужное соотношение. 3.91. Реше-
м
ние полностью аналогично решению задачи 3.80. 3.92. Имеем Е£а = J xadF (х) =
о
оо	оо	оо
= xaF (z) I” — J F (x) dxa = — a J za-1F (z) dx = | a | J xa~xF (z) dx.
0	0	0
oo	П
3.93.	Функция G (z) = JJ F (z-f-n) = lim JJ F (z + i) существует как пре-
n = l	П-.0О j—£
дел монотонно невозрастающей последовательности функций. Далее, G(z),
очевидно, непрерывна справа, монотонно не убывает и lim G (z) = О,
Х-> —ОО
поетому достаточно доказать, что G(z)->1 при z->+<x>. В силу ко-
ОО
вечности математического ожидания сходится интеграл J (1 — F (х)) dx
о
оо
(см. задачу 3.86) и, следовательно, при х > 0 сходится ряд 2	+ л) — 1)=
П=1
оо
= — J(l-F(x+л)).Выберем г0 так, чтобы F(x0) >0. Тогда при х > г0
П=1
lim .	+±L = 1 и,
n-ю» F (х л) — 1
значит, при х > х0 равномерно сходится ряд
У, rnF(z4-ra). Осуществляя почленный переход к пределу, получим
п-=1
lim InG (z) = lim У, In F (z + n) = 0, t. e. G(z) 1 при z-> oo. 3.94. 0
a-koo	x-»oo n—i
(E|J| - I)2 = E|gp-2E|g
дыдущей задачей. Имеем E
+ 1 =D£ + 1 — 2E|g|. 3.95. Воспользуемся ире-
1
=-J-(D;t + 1). 3.96. Et„ = 2pqn, Dtn = 2pq(i — 2pq)n + 2pq(p — q)2(n — 1).
3.97. a — — V3, 6=1'3. 3.98. Пусть F(z) — функция распределения случайной
величины £. Не ограничивая общности, будем считать, что a < 0. Полагая
-f-ao	-f-oo
b = —а, имеем E|g-{-a| = E|g — 6[=J|z — 6|dF(z) = J xdF (z) —
— oo	b
b	4-oo	b	oo
-J xdF (x) — b J dF(x)+b J dF(z)>2 ^zdF(z) = E | g |.	3.99. Пусть
— oo	b	—оо	о
случайная величина г) с вероятностью 1 равпа пулю, а £ принима-
ет значения +1 и —1 с вероятностями 1/2 каждое. Тогда Е |т] + а | — | а | =>
1 ,	I а — 11	| а + 1 I
= ~2~ I а — 1+ а + 11	—2------1” —“~2—==Е1^+а I- 3.100. Пусть^(г)— функция
распределения £. Тогда Е | g £ |“
ОО
= J Е 1 g + z |“ dF (z) =
J E | r) + z |adF(z) =
~oo	—oo t
“= El Л + Cl“. 3.101. Пусть F(z) —- функция распределения £. Тогда E | £ + £ |“=.
15*
227
co	oo
= J E I 6 + x \adF (x)< [ E | t] + x \adF (x) = E | r) + g |a. 3.102. В случае а) вое-
•—ОС	— oo
пользуйтесь задачей 3.91, а в случае б) — 3.92. 3.103. Если х < т, то
шах{х, т) •= т = Eg cj Е тах{х, g}, если х т, то тах{х, т} = х =
•= Ех Е тах{х, g). 3.104. Функция распределения случайной величины
тах{х, gi) равна
(О при t < х,
Fi(t) при t>x
ОО
и, следовательно, в силу задачи 3.89 Е max (х, gj = х + J (1 — F{ (t)J dt, отсю-
X
да следует нужное утверждение. 3.105. Используйте предыдущую задачу.
3.106. Воспользуйтесь задачами 3.104 и 3.105. 3.107. Существует А, такое, что
11 1
P(g >Л) > 1/2. Тогда Е^ + а|а>-уЕ|Л + а|а>^Е|в-|Л||а=^-1я-
—| А ||®-*-оо при а->оо. 3.108. Покажите, что функция /(а) = E(g— а)2"-1 моно-
тонно убывает по а (можно, например, продифференцировать (g— а)2"-1 по а
при каждом фиксированном элементарном событии). 3.109. Воспользуйтесь не-
равенствами (а + й)“	аа +	Ъа, а, 5^0,	0 < а 1, (я + Ь)а
2“_|(а° + Ь“), а, b	0, а 1. 3.110. Для	любого	вещественного	а
имеем E(g-a)2-Dg = Eg2 - 2<zEg + а2 - Eg2 + (Eg)2 = a2-2aEg-f- (Eg)2 =
= (<z —Eg)2^O. 3.111. Продифференцируем по х функцию /(х) = E(g — х)2п
иод знаком математического ожидания; получим f (x) = — 2ziE(g — х)2п_|. Ис-
пользуя задачу 3.108, видим, что E(g— х)2" достигает минимального значе-
ния в	единственной точке,	а	именно	там, где	E(g	—	х)2п”* =	0.	3.112.	Eg	— Ец	=
co	со	оо	а
•= J	х/(х)	dx —	j xg	(х)	dx	=	f x (/	(x) —	g (x))	dx	+	J	x (/ (x)	—	g	(x))	dx <
— OO	«-co	в	—oo
со	a	oo
<aj (/ (x) — g (x)) dx + a j (/ (x) — g (x)) dx = a § (f (x) — g (x)) dx. Вторая
a	—oo	—oo
часть доказывается аналогично. 3.113. См. задачу 3.47. 3.114. о2^о2.
3.115. Нет. 3.116. Для любого вещественного х E(xg + т;)2	0. Но E(xg + ц2) =
= x2Eg2 + 2xEgr; + Ец2. Таким образом, дискриминант квадратного трехчлена,
стоящего в правой части последнего равенства, неположителен: 4(Egq)2—
— 4Eg2Er]2 0 или (Egi;)2 Eg2Er]2. 3.117. Воспользуйтесь элементарным нера-
I а Г | Ь Г	11	/'	g
венством | ab |< —— + —j—, г > 1, — + — = 11 положите а =------------j- ,
V	(Е I g |f
1 1
b —------—— j. 3.118. Покажем, что если 0 < s < t, то (Е | g |’)’ < (Е | g \(/•
(Е | 7] |’)‘ )
Положим г=~ ,т) = | g |* и применим неравенство Йенсена к фупкции g(x) =
t
= |х|г. Получим |Ет]|г E|t]|r, т. е. (Е | g |’)’ Е ] g |‘.	3.119. Воспользуй
тесь неравенством Йенсена. 3.120. Используйте элементарное неравенстве
|а + Ь|“	|а|“ + |й|“, 0 < а 1. 3.121. При г=1 неравенство очевидно
Пусть 1. Имеем
Е| g + ЛIГ^Е(| g| | g + т; |г-,)+Е(| Л11 g+ц |г-1)^(Е| g |г),/г(Е|g+r]|
/Flnl>-V/r/EIP 4- Т, t (Г—1).Х I/. = / /El fc |r\f/r 1 /Е n|rp/r\ (Eit .
228
Исключая тривиальный случай E|g4-r]|r = 0 и замечая, что (г—1)»«=г,
разделим обе части на (E|g + т||г)1/я п получим доказываемое неравенство.
3.122. Пусть г'г. По неравенству Коши — Буняковского E|g|r =
Г-г'	г+г1	1
«= Е |g 1 2 Щ 2 (Е | g |г-г'. е | g ]г+г')2. Взяв логарифм от обеих частей,
получим log Е | g |r <:-£-log Е | g lr~r' — iOg е | g |r+r,t что и означает выпук-
лость функции logE|g|r по г. 3.123. См. решение задачи 3.122. 3.124. В силу
задачи 3.122 logE|g|r выпукла как функция г, т. е. logE|g|ai+<I-“)!'
a log Е | g |1 + (1 — a), log E | g p, x, у > 0, 0 a 1. Положим a =	,
x = Z, у = n. Получим log E ' g < ',7—7 log E । % V + 7— z' loS E I £ l” или
log (El g I"1)"-1 sg; log (E|g|,)n-m + log (E|g|")m-', откуда вытекает нужное не-
равенство. 3.125. Докажем вначале правое неравенство. Используя неравенство
задачи 3.120, получим E|g1 — g2|r = E|(g1 — a) — (g2 — a)|’-<E|g1—a|r +
4- E[g2 — «|г = 2E|g] — a|r. Докажем теперь левое неравенство. Положим
c(Z) = P(|gi — mg,| 7= Z) и p(t) = P(|gi — g2|	Z). Тогда в силу задачи 3.121
?(Z) =2p(Z). Отсюда, применяя интегрирование по частям, получаем
ОО	ОО	оо	оо
E|g1-,ng1|r =-J Zrrf9(Z)<J g(Z)dZr<2]’ P(Z)dZr = -2[ trdp(t) = 2E |gx -
n	n	о	0
—g2[r. 3.126. Доказательство левого неравенства в точности такое же, как и в
предыдущей задаче. Для доказательства правого неравепства используем зада-
чу 3.119 (при п = 2). Получим Е|gt — g2|r = Е| (g, — а) — (g2 — а) |г
2Г 'Е | gi — а |r + 2Г ’E|g2 — a|r = 2ГЕ|§! — a|r. 3.127. Воспользуйтесь эле-
ментарным неравенством |х + y|r + |z — у|г 2{|г|г + |у|г), 1 г < 2, и
одинаковой распределенностью случайных величин g + Л и g — т|, из
которой, в частности, следует, что Е | g -[- т] |r = -^"(е | g + л |г + Е 1 g — т]|г).
3.128. Используйте предыдущую задачу. 3.129. Из неравенства Иепсена
следует, что для любого х и г^1 Е |г + л |г IЕ (х + л) |г = | х |г. Пусть
F (х)—функция распределения случайной величины g. Имеем Е [ g -|- т] |г ==
□о	оо
= J Е | х + т) f dF (х) 5=	| х ]г dF (х) = Е | g |г. 3.130. Используйте задачи
— оо	—оо
3.119, 3.127—3.129. 3.131. Не ограничивая общности, можно считать, что g при-
нимает целочисленные значения. Пусть а = {Eg} ({•}—дробная часть) и
Ь =1 — а и пусть для определенности а < 1/2. Тогда 2vft— v*_,= ak-'(2a — 1)Х
X₽(g = [Eg]) + (a + l)“-l-(2(a + 1) — 1)P(g = [Eg] - 1) + bK~'(2b - 1) X
XP(g = [Eg] + 1) + (a + 2)*~*(2(a + 2) — l)P(g = [Eg] -2) + (b + !)*-> X
X (2b—l)P(g = [Eg] +2) -[-... В паписапной сумме все члены, кроме пер-
вого, неотрицательны. Если Д = а',-1(2а— l)P(g = [Eg]) + bk~' (2b— 1) X
X P(g = [Eg] +1)^0, то утверждение становится очевидным. Пусть Д < 0.
Тогда, учитывая, что 2a —1 = 1—2b, получаем a't~1(2a — l)P(g=[Eg])-|-
+ b*->(2b-l)P(g= [Eg] + 1) bi-lP(g = [Eg] + l)-a*-'P(g= [Eg]) 5г
^e*-2(6.p(g = [Eg]+ l)-aP(g =[Eg]))>bP(g = [Eg] +1) -aP(g = [Eg]).
Окончательно получаем 2vk — Vh-j 6P(g = [Eg] + 1) —aP(g = [Eg]) 4-
+ (a+l)»-(2(a+l)-l)P(g = [Eg]-l) + (b+l)'l-1(2b-l)P(g = [Eg]+2) + ...>
> bP(g = [Eg] + 1) -aP(g = [Eg]) - (a 4- l)P(g = [Eg] -1) 4- (b 4- 1)X
X P(g = [Eg] 4-2) + • • • = E(g — Eg) = 0. 3.132. Воспользуйтесь неравенством
1 = ^E	"|/gj<1 E-y Eg (задача 3.117). 3.133. Воспользуемся предыдущей
gr _ 1 Egr
задачей. Имеем E — =Eg E-^-^ Trf7 3-134- —1/5. Это частный случай сле-
16 л. В. Прохоров и др.
229
дующей задачи. 3.135. —	__р.у 7 = 1- 2, • • •	3.136. Исполь-
зуйте неравенство Коши — Буняковского. 3.137. Пусть вероятностное жрост-
рапство (Q, л/, Р) представляет собой отрезок [0, 1] с а-алгеброй борежевских
подмножеств и мерой Лебега Р. Тогда случайные величины
Е =
1
— 1
о
при
при
при
0<о>< 1/4,
1/4 < со < 1/2,
1/2<ш<1,
И Г]
О при
1 при
— 1 прп
0<ш<1/2,
1/2 < со <3/4,
3/4 < cd < 1,
очевидно, некоррелировапы, но зависимы (так как P(g = 1, т) = 1) = 0, но
P(g = 1)Р(т] = 1) = 1/16 > 0. 3.138. Это следует из формулы для дис-
персии суммы: D (^ + ... + |п) = 2 D^i + 2 2 cov (^’У- 3-139-
i=l	i<j	п
а2 —В2	g. —Eg.
3.140. —2-di" 3.141. Р2. 3.142. Положим т]£==	1 = 1, 2, ..., п. Тогда
а + р	у Dii
р = Er] tT)j, i =h 1, и Ет]?=1. Имеем
О < Е (’ll + • • • + Пп)2 = Е (’ll + • • • + Ли) (’ll + • • • + Лп) =
=Е (2 ’i? + 2 ’li’ij') = 2 Eti! + 2
\i=l	1 i=l
1
откуда n(n—l)p —n или p> —д	3.143. Нет. 3.144. Да. Легко видеть, что
£т] принимает значения —1, 0, 1 с вероятностями 1/4, 1/2, 1/4 соответственно.
Имеем Р(ёп = 1, т) = 1) = Р(? = 1, 1] = 1) = P(g = l)P(n = 1) = 1/8 =#
ф 1/16 = P(gr] = 1)Р(т] = 1), т. е. gi) и 11 зависимы. Очевидно, Egi] = 0 и
Ет| = 0, поэтому cov(gti, г]) = Е£г)Т) = Egi]2 = EgEr]2 = 0, т. е. gr] и ц некор-
релированы. 3.145. Достаточно показать, что cov(g, sign g) 0. Имеем
cov (g, sign |) = Eg sign g — Eg Е sign g = Е|g| — Eg Е sign g. Остается восполь-
зоваться неравенствами |Eg| <E|g| и IЕ sign 5 I 1. 3.146. 0 Достаточно по-
казать, 4Tocov(g, |g|)=0. Имеем cov(g, |g|) = Eg|g| — EgE|g| = Eg|g|.Далее,
g2 и sign £ независимы (действительно, для любого х 0 имеем Р (g2 < х,
signg = l) = P(-VJ<g<Vz, £>0) = P(0<£<VI)=4-₽(-V*<*<
< Ух) = P(g2<z) р (sign | = 1)) и |g| = g sign I, поэтому Eg|g| = Ensign g =
= E£*Esign £ = 0. 3.147. Нужно доказать, что для любых вещественных ...
п п
.... Ап 2 2 ауА4А;>0. Имеем
1=1 j=l
п п	п п	/ п	\2
2 2	= 2 2Е & -Е^) & - ^) ал,-=Е 2 & -Е^) м >
1=1 ;=1	1=1 ;=1	\г—1	/
3.148. Ь — а(а— ₽). (cov(£, sign 5) = Eg sign g — Eg E sign £ = E||| — E£ X
X E sign g = & — a(a — P)_). 3.149. Положим_ g( = g< — Eg<, I = 1, 2. Имеем
cov (’ll- П2) = E & + k) (^ - E2) = E (I? “	= 0. 3.150. Исполь-
зуя неравенство Коши — Буняковского, получаем
Emax{g2, л2} = Е
l&2 + nal + lg2 —nal
Eg2 + Eif 1
~ T +teI 5-"IH + nl =
e~-	- ----
= 1 + T E|g-r)||g + r)|<l+TV E(g_nj2E(g + r))2 =
230
= i + 4 /(Eg2 + Er)2 - 2EgEn) (Eg2 + Ец2 + 2EgEn) =
= 1 + У(1 - р) (1 + р) = 1 + /1 - р2.
3.151. а) Да, б) вообще говоря, пет. 3.152. Нет; cov (g + £, ц + g) =
= E(g + g)(n + g)-E(g + g)E(T) + £) =Eg’-(Eg‘) =D£>0.	3.153.	0.
3.154. P(g = fc)=P(g1 = fc)P(g2>*) + P(g1>*)P(g2 = A:) = p19J 2 Ра?‘ +
+ Р^г 2 ^i1?! = Pi^l+1 + P2’29i+1
i=h + l
Параметр распределения £ равен Pi<72 + p2<7i = 1 — ?i?2.
„	Р (5 = п + к, g>fc) P(g-n + fe)
= (Р1<?2 +
3.155. а) =► б):
p (5 > к) - P (g > k)
= 7t---------------J.+i /-----= (1 — Р)" P = P (5 = ")•
(1 — p)K p + (1 — p)K+l p+ ...
P (l=n+k, g>fc)
Ph = P(g = к). Имеем P (£=n+fc|g>fc)= -----P (g > fc)-
Pn+h
(1 - р)п+* р
б) => а): пусть
РЦ=п + к)
=----v------T---- — Рп- Положим п = 0, к = 1. Тогда
Pk । Ph+l Т •••
Р (5 > к)
Pi
Pt + Ра + • • • =
Рг
пли Р! = Ро (Р i + Р2 + .-•) =Ро(1 — Ро). При п = 1, к = 1 -{_р =Р1=Р0 С1 —Ро)
пли р-2 — р«(1 —Ро)2 и т. д. Окончательно получаем р< = Ро(1 —Ро)' для лю-
бого 1=1, 2, ... 3.156. Пусть 0^ i О. Имеем ₽ (gj = к |	-f- g2 = п) =
P(b=^Jl±b = ") Р (^1 = *) Р (Е3=”~ *) P(l-P)ft Р(1-Р)П~Й
=	P(51 + 5a = n) ~	₽(51 + 52 = ")	“ P(5i + ?a = ")	~
P2 (1 - p)n
= в /t _i_ t — „v откуда видно, что правая часть не зависит от к.
к т- s2 — п)
3.157.Р (г) = 0) = j-^, Р(т] = 2к) = 0, Р(п = 2к + 1) = рд»+>. 3.158. Пусть
g = gi + g2, где 1, g2 независимы и принимают целые неотрицательные зна-
чения. а | имеет биномиальное распределение с параметрами п и р. Пусть
1 принимает значения 0, 1...... к. Тогда, очевидно, g2 принимает значения
О, 1, ..., п — к. Положим pt = Р(g। = 1), qj = P(g2 = /). Из равенства g = gi+
i
4-^2 имеем 2 Pfli-j = CnP* “ P)n~\ * = 0, 1.........
следняя система уравнений (относительно р01 • • ч Рл, <7о>
ственпое решение. 3.160. Имеем Ха—kjC (А.а —
V (*2-Ч)* V *2-^V *2 Vх*
• 	' ' k=l
п. Покажите, что по-
..qn-k) имеет едип-
поэтому
*1
h=l
fc=l	k—1	h=l '	k—1	k—l
>• ‘2-n- s-161-	+тг
Л = 1	\ 1 Z/ \ 1	2/
3.162. Достаточно показать, что P(g, t) P(g2 1). Имеем P (gx () =
f/aa 2
I tf 2 du
l/2n J
r —
1
U2
е du
t!ai _ —
16*
231
t _
________1 C 2O3
l/2Ha., J e rf« = ’’(5„ <«) 3J63-
F	& —oo
Найдите совместное
распре-
деление случайных величин £1 + ^2 п Si — I2 3.164. Р (sign £=—1) —
0 (х-а)З	оо <х~"'12
= -Д7==— I е ial dx,	Р (sign g = 1)=	* - fe ‘° dx,
у 2л a J	у 2л 0 J
— оо	О
3.1С5.	Показательное распределение	с параметром 1/2.	3.166. хе - -
.г”-1	- V
при х	0 и 0 при х < 0. 3.167. -7---------------е 2 при х	0 и 0 прп
-—1 1п \
22 Г к
х < 0. 3.168. —-------е 2 прп х^О п 0 прп х < 0. 3.169. 7? — нормаль-
2Tr(J)
•	О 9	О
пос распределение с математическим ожиданием Ь — ли дисперсией <т‘—о‘.
Необходимо выполнение условия а2 > о2. 3.170. R — равномерное распределе-
ние на отрезке^л, л +-у 3.171.-----------прп 0 < х 1 и 0 при остальных х.
3.172. Распределение Пуассона с параметром X. 3.173. Показательное распреде-
ление с параметром X. 3.174. Равномерное распределение на отрезке [0, 1]
(ср. с предыдущей задачей). 3.175. Имеем при z>0: Р(тах(Ц, ..., ^.nj<.xj =
It
= ТТ₽ (g; < х) = (1 — е~'-х)п. Отсюда плотность распределения max(Si, ..., Sn)
равна пЛе-х*(1 — е-Хх)п_|, х > 0. Далее, £2/2, Ё.з/3, ... — независимы и пока-
зательно распределены с параметрами X, 2Х, ЗХ, ... соответственно. Покажи-
те по индукции, что плотность распределения Si + Вг/2 + £з/3 4-. .. + £ПМ
равна nXe-XjI(l—е-*1)"-1, х > 0. 3.176. Покажите, что функция F(х) удовлет-
воряет дифференциальному уравнению F'(x) — Х(1 — F(x)), где X — посто-
янная. 3.177. Распределение Коши с параметрами 0, 1, то есть распре-
3.178.	Распределение Коши с параметрами
деленпе с плотностью
а	Ь
а~ 6“ а2 + Ь~’
т. е. распределение с плотностью
___________________b____________________
Л («2 + Ь2) ( (х -	2 I + 7ТТ“.2\2)
\ \ а +Ь / (а + Ь ) )
3.179.	Логистическое распределение с параметрами 0, 1, т. е. распределение с
плотностью e’/U + e1)2. 3.180. 0, 0. 3.181. Распределение с функцией распре-
деления
[1 — z~1/x при х > 1,
F (х) = <
(	0 при х < 1
е->лс (е>-Л —1) f-Xx Л —е-М)
(распределение Ilapei о с параметром 1/Х). 3.182. -, ------------т------ .
232
3.183.	р (х) — pt при i х < i + 1, i = 0, ±1,... 3.184. Плотность распределен
ния суммы £ + Л равна нулю вне отрезка [а + с, Ь + d], равна	на
отрезке [с 4- b, а + d] и линейна на каждом из отрезков [а + с, Ь + с] и
[я + d, 6 4-d], 3.185. -|-е“|х| (| х| 4-1).	ЗЛ86, в обоих случаях вероятность
равна 1/2 (покажите, что распределение случайной величины 62— а2 сим-
метрично относительно пуля). 3.187. Имеем Р(£ + т) = а) — 1 при некото-
ром а. Предположим, что £ имеет невырожденное распределение. Тогда су-
ществуют два непересекающихся отрезка [а, 6] и [с, d] (d > с > 6 > а), та-
кие, что	Р(а	Ь) >	0 и Р(с d)	>	0.	Далее,	для	любого е > 0,
очевидно,	существует	отрезок [Д, Д +	е]	длиной	е,	такой, что
с — Ь
Р(Д 1]	Д + е)	> 0. Положим е = ——. Тогда	Р(а + Д	5	+ ч 6 4- Д +
4- е) Js Р(а |	6, Д	г|< Д + е) = Р(«	6)₽(Д	л	=4 Д +е)>0и
36 с
аналогично Р (с + Д «С £ + ц d + Д + е) >0. Но64-Д + е = -^4_А+"4'<
< с + Д, т. е. отрезки [а + Д, 6 + Д + е] и [с + Д, d + Д + е] не пересекают-
ся. Следовательно, распределение случайной величины t + Л невырождено.
Противоречие.
Если £ и л зависимы, утверждение перестает быть верным. Пример:
i| = —| и £ имеет невырожденное распределение. 3.188. Р(л = 0) = 1.
3.189. 223 раза. Воспользуйтесь симметричностью распределения суммы вы-
павших очков относительно ее математического ожидания. 3.190. В частно-
сти, это следует из коммутативности и ассоциативности операции сложения
случайных величин. 3.191. Укажите счетное множество, такое, что сумма скач-
ков свертки в точках этого множества равна единице. 3.192. Пусть F(x) и
G(x)~ две функции распределения, причем F(x) непрерывна. Тогда (см. за-
дачу 3.23) F(x) равномерно непрерывна. Следовательно, для любого положи-
тельного е существует 6 > 0, такое, что если Дх < 6, то |F(x 4- Дх) — F(x) |
sc е при любом х. Имеем
| F * G (х ф- Дх) — F * G (х) | —
ОО *	оо
j F (х 4- Дх — 0 dG (t) — [ F (х — t) dG (t)
— oo	—oo
J dG (t) = e.
3.193. Пусть P = Q » R и Q абсолютно непрерывно, т. e. Q(4) = 0 для любого
борелевского множества А, имеющего нулевую лебегову меру. Имеем Р(4) =
ОО
= J О (4 — х) dP(z).Ho если 4 имеет пулевую лебегову меру, то 4 —х так-
— ОО
же имеет нулевую лебегову меру при любом х, следовательно, 0(4—х) =0
при любом х и, значит, Р(4) = 0. 3.194. Приведем доказательство для случая
п = 1. Пусть F(x) п раз дифференцируема. Имеем
F * G (х 4- Дх) — F * G (х)	С F (а 4- Дх — О — F (х — Г)
lim-------------т—------------= Jim I ---------------т-------------dG (f) =
Дх->0	а	Дх-о J	а
— ОО
I lim
J Дх-щ
— 00
ОО
F(x + Ax-n-F(x-j) rfC(()= [ F' {x_i}dGW'
Дх	J
—OO
233
3.195.	Пусть F(x) и G(x) — две функции распределения, причем F(x) симмет-
рична, т. е. F(x) = 1 — F(x — 0). Докажем, что 11(х) = F»G(x) также
ОО
симметрична. Имеем II (х) = J F (х — t) dG (t),	1 — II (х — 0) = 1 —
— оо
оо	оо	оо
— J F (х — t — 0) dG (I) =
—-ОО	—оо	—оо
3.196.	Рассмотрите свертку двух одинаковых распределений с плотностью
С (1 — F (х — t —0)) dG (t)= J F (x—t) dG (t)=H (x).
p(x) =
при
при
— 1/30 < X < 0,
0 при остальных х.
3.197.	Пусть F|(x) и F2(x)—симметричные одновершинные функции распре-
деления и F0(x) == F\ » F2(x). Условие одновершинпости функции распре-
деления Ft(x), i = 0, 1, 2, (с учетом ее симметричности) означает, что для
1	( xi + т2
любых Г1 х2 0 ~2 (xj + Fj (т2)) < Fj I —<5-----I' Положим Gh(y) —
1
=Fj (у)—~2'(F1 (v+h)+F1 (y — h)). Нетрудно проверить, что Gh(y) — —Gh(—y),
Gft(y)signy>0 и что d(F2(y — x) — F2(y + x))	0, x > 0, у > 0. Положим
xi — x + Л, x2 = x — h, x > h, > 0. Тогда, очевидно,
OO
j Од (“) d (F2 (u — x) — F2 (u -f- x)) > 0.
0
Используя определение функции Gh(x), можно преобразовать это неравенство
к виду
— оо
— и | dF2 (и)
ОО
> f Т - Ы) + (*2 - “)) dF2 М = Т ^0	+ F0 (Гг))-
— ОО
Последнее неравенство с учетом симметричности функции распределения
F0(x) означает, что F0(x) одновершинна. 3.198. Положим S = S — г]. £ имеет
непрерывное распределение (см. задачу 3.192), то есть Р(£ — х) =0 для любо-
го х и, в частности, для х = 0. 3.199. В силу симметричности распределений
одновременно все 8 комбинаций ±|i ± £2 ± |з с вероятностью единица огра-
ничены по модулю числом М, а среди пих есть и сумма модулей. 3.200. а) Не-
равенство s(|i + ... + Sn) s(£i) + • •  + s(|n) очевидно. Докажем, что
s(Si + •  • + Sn) s(Si) + • •• + s(Sn). Фиксируем произвольное е > 0. Имеем
(	в \
РI > s (S;) — “ I > 0 и, следовательно,
p(S1+... + sn>451)+.-- + 4^)-e)>n,,5i>i(M-v)>0’
1=1	'
т. е. s(gi 4-... + £п)	s(|i) + ... + «(Еп)—е- В силу произвольности е от
сюда следует нужное неравенство.
234
б) Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем пунк-
те, показываем, что s( |Ei | + ... + | g„|) = s(l £, |) + ... + s(| |„|), откуда
s(IS.|+ ... + |&n|) = s(|Ei|) + ... +*(|£n|) =4(60+ ... + *(Bn) =
= S(E1 + •  • + Bn).
В	случае, когда зависимы или не являются симметрич-
ными, равенства а) и б), вообще говоря, неверны. 3.201. Неравенство
»(6i + •••+ 6п)С »(б1)+... + «(Вп) очевидно. Докажем, что »(Bi + ... + Вп)>
s(Bi) + • • • + s(Bn). Фиксируем произвольное положительное е > 0. Имеем
р | > 5 (В;) —	> 0 и,таким образом,либо P^Bi>s(Bj)—	ли^°
₽	»(В,) +	> 0. Пусть, например, выполнено первое неравенство.
Тогда
п /	е \
₽(B1+... + 6n>4S1)+..- + ^(B„)-e)>n₽hi>»(M-T >°-
4=1	'	'
В силу произвольности е отсюда следует нужное неравенство. 3.202. См. зада-
чу 3.183. 3.203. Пусть А = {£	р). Тогда Е (g + т])(ж) = Е (£ + т])(ж) 1А +
+ Е (5 + Т])(х) 1- < Е (2£)<ж>+£(2п)<ж) = Е2£ W + E2r)W = г^2) + ЕцМ)
А
(мы воспользовались тем, что (г£/х) = с£' ' )• 3.204. Предположим против-
(с \
В, > — I >0. Тогда
Р(Л > с) > Р(В, > с/п, ..., Вп с/п) = P(Bt^cM) •... • ₽(Вп> с/п) >0.
Противоречие. 3.205. Поскольку Р(Вi = 0) < 1, существует положительное е,
такое, что Р(| Bi I е) > 0. Но тогда либо Р(|, е) > 0, либо Р(£| —е) > 0.
Пусть, например, выполнено первое неравенство. Тогда при п^— Р(|т]„| >
> с) Р(ц„ > с) Р(£, е Вп^е) = Р(В,>е). ... .Р(Е„>е) >0.
3.206. Если Р(|( с) =0, то утверждение очевидно (причем в качестве а мож-
но взять любое положительное число). Пусть P(gf с) >0. Имеем
” & + • • • + < о < р (max {Ег..Вв} < с) =
= Р(В1<О^2<С)--"-₽(^<С)=(₽(51<С))П
—n In
= е
3.207. Нет. Пример, В и Л одинаково распределены и принимают значения 1
и —2 с вероятностью 1/2 каждое. В этом случае Р(В + Л > 0) =1/4.
3.208. Прежде всего заметим, что Bi и g2 также неотрицательны, а потому
Р(В< = 0) >0. Пусть существует нецелое а, такое, что Р(£< = а) > 0. Тогда
Р(В = <0 > P(Bi = а)Р(Ва = 0) > 0. Противоречие. 3.209. Из условия задачи
следует, что существуют такие вещественные х, у и такие целые кап, что
Р(В = х) >0, Р(В = х + ка) > 0, Р(т] = у) > 0, Р(т) = у + nb) > 0. Но тог-
да Р(В+ Л= х + у)> 0, Р(В + Л = х + у+ ка)> 0, Р(В+ Л =х + !/+ пЬ) >0,
Нужное утверждение следует теперь из того, что ка и nb соизмеримы тогда
и только тогда, когда а/Ь — рациональное число. 3.210. Пусть ii, ..„ хп— точ-
ки разрыва функции Ft(x), yt, ..., у„ — точки разрыва функции F2(x) (рас-
положенные в порядке возрастания). Точками разрыва F(x) будут те и толь-
ко те значения х, которые представимы в виде х = xt + yj, 4=1, 2, ..., п,
7 = 1, 2, ..., т. Среди таких значений не меньше п + т — 1 различных, так
как Ц + У! < X! + у2 < 21 + у3 < . . . < Xt + ут < Хг + ут < X} + Ут < .. . <
235
< xn + Ут, и пе больше чем тп различных, так как всего из элементов двух
множеств, содержащих п и т элементов соответственно, можно образовать
тп различных пар. 3.211. Пусть Р(х), Q(x) и R(x) — функции распределения
случайных величин £, т] и £ + т] соответственно. Имеем
ОО	оо
R (х) = j Р (х - I) dQ (1) = J Р (х - t) д (!) dt =
— ОО	—оо
00	00
Q (х — 1) dP (i) = j Q (х — 1) р (t) dt.
— ОО	—оо
00
Дифференцируя под злаком интеграла, получаем г (х) = у р (х — t)q (t) dt —
— □О
оо
q (х — t) р (t) dt. 3.212.. Покажите, что для любых а и 6, таких, что
— ОО
Ь > а, справедливо Р(а Ь) > О и Р(а т] Ь) > 0, и восполь-
зуйтесь задачей 3.211.3.213. Р (£ — т] = 0) = У1, Р (£ — ц = 0, £ = t) =
i=—oo
оо	оо	оо
= 2 ₽ (5 = *' ’I = ') = 2 ₽ (5 = 0 ₽ (П = 0 = 2 Pi Заметим,
1=—оо	i=—оо	i=—оо
что случайная величина —г] имеет плотность распределения р(—х). Имеем
ОО	оо	оо
р2 (— х) dx = J р2 (х) dx.
— ОО
3.215.	Пусть Fi(x) и Gt(x) — функции распределения случайных вели-
чин I, и т],, i = 1, 2, ..., п соответственно. Тогда условие задачи мож-
но записать как Ft (х) Gt (х), i = 1, ..., п, а доказываемое неравенство
как F\ * ... * Fn(x) С, * ... » Gn(x). Доказательство будем вести по индук-
ции. Пусть Fi * ... » Fk(x) cj G, » ... » Gk(x). Имеем
^*•••*^+1 (*) =
OO	00
= f Fh+1(z-t)dF^ ...*Fh(t)^ j Gk+1{z-t)dF^ ,..^Fh(t) =
9 (x) = I p (y — x) p (— x) dx, откуда q (0) =
— f * • • • * Fh (x t) dGfc+i (Q	. * Gk (x  t) dG^^ (t) —
— 00	—00
= G1* ••• *Gh+l (*)•
3.216.	Пусть Fi(x), F2(x) и F(x) — функции распределения случайных величии
£, ц и £ + t] соответственно. Для любого а имеем
₽(“<5 + т]<“ + ^) =
ОО
= F(a + x)-F(a-O)= J (а + х - t) - (а - t - 0)) dF2 (t) =
= У P(a<£<a + a-)dF2(t)< У (z) dF2 (i) =	(x) f dF2 («) = W-
— 00	— 00	— 00
236
Б силу произвольности а это означает, что ^j+t,(z) ^.Qi(x). Аналогично до-
казывается, что <2е+11(х)	<?п(г)- 3.217. Для любых положительных х,, х2 и
любых а, Ь имеем
₽ (а ’С Bj < а + Xj) Р (4 < |2 < b + а-2) = Р (а < gx < а +	6 < |2 < Ь + т2) <
< Р (а + b < Bj + В2 < а + Ь +	+ х2) =	+ х*).
В силу произвольности а и & это означает, что	+ as).
3.219.	Для произвольной случайной величины г) положим
а ПИ) = sup Р (1]еА+а). Пусть Ft ц F2 — распределения случайных величин g,
а
со
и g2 соответственно. Имеем 1— е<Р(?е.4)= J Ft (А — х) dF2 (х)
—оо
ОО	00
*^Q ^(Л) J dF2 (z) = Q^fA). 3.220. Для любого х имеем g(z)=» J* р (х—t) dF (1),
— ОС	—00
где F(t)—функция распределения случайной величины г). Таким образом,
q (х) sup р (х) J dF (t) = sup р (х}. 3.221, В качестве вероятностного прост-
ранства (й, сУ, Р) возьмем множество й — {1, 2, 3} с о-алгеброй всех подмно-
жеств Й и мерой Р, определяемой равенствами Р({1}) = Р({3}) = 1/4,
Р({2}) = 1/2. Положим Р(| = 0) = Р(| = 2) = 1/4, P(g = 1) = 1/2. Тогда
функция распределения случайной величины £ есть
F W =
О	при	х < О,
1/4	при	0	x<z 1,
3/4	при	1	х <z 2,
1	при	х	2
и представима в виде свертки F = G * G, где
G (х) =
О при х < О,
-у- при О 'С х <_ 1,
1 при х 1,
по на указанном вероятностном пространстве вообще пе существует двух не-
зависимых невырожденных случайных величин. 3.222. Предположим против-
ное: | = |, + ... + |п, где |i, ..., |п — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины. Тогда Eg = — Eg = —, Dg =— Dg = •— и, следо-
1 /X	it	A ft	tt
вательпо,
Dg, > Eg,.
(1)
С другой стороны, в силу задачи 3.204 Р^О < g: < —j =1 и, значит (поскольку
и с), Р(0 < g, < 1) = 1, поэтому в силу задачи 3.66 Dg, < Eg,, что проти-
воречит (1). 3.223. Воспользуйтесь тем, что если g принимает целые неотрица-
тельные значения и g = |, + g2, где g, и |2 — независимые невырожденные
237
случайные величины, то существуют независимые невырожденные случайные
величины и g2, принимающие целые неотрицательные значения, такие, что
g = + g2. 3.224. Предположим противное: g = gt + £2. где g, и g2 — незави-
симые невырожденные случайные величины. Очевидно, gi и g2 дискретны.
В силу невырожденности существуют щ, а2, Ь, и 62, такие, что a, < а2, bt <
< b2 и
P(gt = at) > 0,	₽(£, = а2) > 0,	(1)
₽(Ь = 6.) > О,	P(g2 = Ь2) > 0,	(2)
но	a,	4- 6|	<	Я1 +	62 < а2 + Ь2 и в	силу (1) и (2)	P(g	= a, bt)	> О,
P(g	=	at +	Ь2)	>‘0,	P(g = а2+ Ь2) > 0. Получили противоречие	с тем,	что £
принимает ровпо два значения. 3.225. р2 = 2(}'р1 — pt), р2 = 1 + р,—2У/>|.
3.226. Пусть F(x), G(x) и И (г) —функции распределения случайных величии
g, т] и g + т] соответственно. Для любых zi > х2 функция /(г) = F(xt — t) -—
ОО
— F{x2— t) строго положительна, поэтому II (х^ — Н (r2) = j" (F(^xt — t) —•
—-ОО
оо
-Г(г2-«)) dG(«)= j /(t)dG(«)>°.	3.227. Р (g + n-|/2 = О) =
—-OO
k—00
= 2 P(g + TiV2 = 0, n = *) = ₽(£ = 0, n=0H £ pU+ri V2=°, П = Л).
fe = — no	fl^O
Каждое слагаемое в последней сумме равно нулю, так _как при к ф О
P(g + цУ2 = 0, т) = к} = P(g = — к}2, т] = к) P(g = —Л-У2) = 0, следова-
тельно, P(g + т]У2 = 0) = P(g = 0, ц = 0) = P(g = О)Р(т] = 0).	3.228.
(п	\	11
2-'Ь-»-2П’ (g; = к/у где суммирование ведется по всем набо-
1—1	/	1=1
п
рам kt, ..., кп, таким, что X аЛг = Но й силу рациональной независимости
i=i
чисел «|, ..., ап последнее равенство может выполняться только при fc1 = ...
(71	\ П
=П₽ (?i = 0).Ho, очевидно, для
1=1	/ г=1
(п	\ п
2	= о > П Р (g, = 0). 3.229. Пера-
1=1	/	1=1
(п	\	Н
X = х j > JJ sup Р (g; = fcj) очевидно. Докажем, что
1=1	/	1=1 ^1
(n	\ п
X х I JJ sup Р (gj = к^. Для этого достаточно показать, что
1=1 *	/	i=i hi
(п	\
X = г I > 0| существует только один набор
i=i	/
п
А’1, .... кп, такой, что P(g,- = kt) > 0 и * = X аЛ’ Действительно, пусть
1=1
существует второй такой набор: mt, .... тп (существует по крайней мере од-
но г, такое, что !ц ф пг>). Имеем Х°‘*4= Xа» т* или
1=1	i=i	1=1
238
что противоречит рациональной независимости чисел аь ..а„. 3.230. a)V(g) =
= 2l Р (5 = к + 1) - Р (g = к) |	& = к + D + ₽ = *)) = 2₽(£=*+!)+
к	к	к
оо
ч-2 р (£ = *)= 2. 6) Имеем P(g-|-n = *) = 2 Р (6 = Л - п) Р(П =н),
к	п=—оо
поэтому
V(^ + n) = 2l₽^+Tl = fc)-P(? + n = *+ni-
к
=2
к
2 (р =к — п> р41 =п) — р='к +1 —л) р(’i = ”))
< 2 21₽ =к -п) -₽ & =к +1 -п) ।₽ < п =п) =
k п
-= 2 21₽ & = к - ,г) - ₽ & = к +1 - п) IР (п = «) = V (g) 2 ₽ (п =") = V (5).
п k	п
Аналогично доказывается, что V(g + ц) sg И(1]). 3.231. Примените задачу 3.88.
3.232. Покажем, что mi,— Eg sg }'2Dg. Действительно, событие {mg — Eg
eg }2Dg} имеет, очевидно, вероятность 0 или 1. Имеем mg — Eg = т В-& +
+ g — Eg. По P(mg — g sg 0) 5= 1/2, P(g — Eg sg|2Dg) > 1/2 (в силу неравенст-
ва Чебышева), следовательно, P(mg — Eg eg }2Dg) P({mg — g 0} f)
fl {g — Eg }'2Dg}) > 0, и поэтому P(mg — Eg eg y2Dg) = 1. Аналогично до-
казывается, что m g-Eg>-}'2Dg. 3.233. Воспользуйтесь тем, что g eg
max {0, g). 3.234. Используйте схему доказательства неравенства Чебышева.
3.235. См. указание к предыдущей задаче. 3.236. Пусть F(x)—функция рас-
пределения случайной величины g. Имеем
оо	а	а
E/(g) = j/(x)dF(x)> J f (x) dF (г) > f (a) J dF (x) = / (a) P (g eg a),
— OO	—oo	—oo
откуда следует нужное неравенство. 3.237. Не ограничивая общности, будем
считать, что Dg = 1. Пусть F(x)—функция распределения случайной вели-
чины g. Фиксируем х > 0. Для любого Ь 0 имеем
1 + 62> J (у - 5)2 dF (у) > J (y-b)2dF{y)^(x+b)2F(-x)
— оо	—оо
или F(—х) (1 + Ь2) (г + Ь)~2. Полагая Ъ = 1/х, получим F (— х) gg---------
1 + X
Аналогично доказывается второе неравенство. 3.241. а) Очевидно, mg, =,
= mg2. Имеем
Р (gx- g2 > е) = P((g1 -mgj-(g2 - mg2) > e) >P (g, -mg1 > e, g2 -mg2 < 0) 
1
P (^ -	> e) P (g2 - mg2 gg 0) > у P (?i ~ m=i > e)-
б) Заменяя в неравенстве a) g< на —g«, 1=1, 2, получим -2'P(I1 — mgj <
—е)^Р (gj—g2^—e), отсюда и из неравенства а) получаем нужное соотноше-
ние. 3.242. P(|g1-g2|>e)=P(|(g1-a)-(g2-a)|^e)^P(|g,-fl|^e/2) +
+ P(l gz — я| > е/2) = 2P(|gi — a| е/2),	3.243. Имеем P(g + г) а) >
239
^•Р (£>а, г) 0)=Р (£>а) ₽ (л^0)>—Р (|>а). Второе неравенство следует из
первого. 3.244.	P(|£i| s£ x,)P(|g2|	х2) = P(||,J	*1, I Ы ^2) sS
С ₽(|§|| + 1Ы «£ *1 + *2) s£ P(|Si + Ь| Z1 + *2). 3.245. Имеем
4XxJ11'il>e) = ₽({lTlil>e}и "•и {1л«1>е}) =
\ 1	f
= ₽({l^il>6}U{|^ + S2|>e}U ... U {Jgx+ ... +g„|>e})^
<”(1^1+ ••• + |Вп|>е).
откуда, применяя неравенство Чебышева, получаем
..	,	, Е(1М+-+|М) Е|Е,| + - + Е|Е.|
Р (1?йп II >>) <------------;--------=-----------г--------L-
3.246. Положим т]о = 0 и рассмотрим события Ch = |sup | т];-1 < е, | т|Л | е},
п
С= fsup I nft I > с]. Тогда Е|т]п1г7с= V Е Г rjn [г 7С . Но в силу задачи 3.129
J	й=1	й
п
Е|г)п|г Е|лл|г, поэтому Е| tin|rZc> У, Е | T)ft |г Zc > erP (С), откуда следует
h=l
нужное неравенство. 3.247. Это неравенство Леви для случайных величин о
симметричными распределениями (обобщение см. в следующей задаче).
3.248. а) Положим г]0 = 0, Л* = max (Л; — (Л; — Л,,)) и рассмотрим события
Ah= {П*-1<е> Пд - m (Лй - Лп) > е], Bk = {лп - Л/, - ш (лп - Пл) >0}.
п п
События Ak не пересекаются и ]л* >е) = U Hft, [J AhBh <=. {лп> е). Кроме
того, очевидно, Р(В&)	1/2 для любого к. Учитывая, что при каждом к собы-
тия Ак и Bk независимы (первое зависит только от gh ..., а вто-
п
рое — от £*+i, ..., ^п), окончательно получаем Р(лп5=е)^ У ”(4А) =
Ь=1
п	п
= 2₽	₽ т 2₽ (лл)=тр (л* е)’ что д°казывает неРа-
Л=1	1<—1
венство а).
Изменяя знаки всех случайных величин в неравенстве а) п комбинируя
полученные неравенства, получим неравенство б). 3.249. В силу задачи 3.232
|т(т]& — Л") I 1'2Р(Лп — Л*) «в T2Di]n. Применяя неравенство а) задачи 3.248
и заменяя е на е — У2Оцп, получим нужное неравенство. 3.250. Пусть FntT(x)
и G„, г (z) — функции распределения случайных величин sup I Ль Г и |лп|г
1<£Л«п
соответственно. Используя задачи 3.89 и 3.248, получим Е / sup 1 ть |г)=.
1 1)
оо	оо
= J (1 — Fn r (x)J dx 2 J (1 — Gn r (х)) dx = 2Е | т)п |г. 3.251. Рассмотрите сим-
fl	п
метризованные случайные величины и воспользуйтесь предыдущей задачей.
3.252. Заметим, что Е<р(|) =Е<р(|||) и Еср(т]) = Е<р (| ц |). Положим R(x) =
— P(j g I x) — Р(|л1	x)- Очевидно, 7?(г)>0. Имеем E<p (g) — Eqp (ц) =
240
oo	oo
— Еф ( I ъ I) — EtP (I Л I) — [<P W dR (z) = — [ R (x) (Уф (z).llo в силу пеотрица-
0	о
oo
тельпости R(x) и убывания <р(г) j R (z) dtp (r) <g 0, следовательно, Etp(g)—
n
—Erf (rj) 3' 0. 3.253. Для любого борелевского множества А имеем | F(Л) — G (Л) | =
= ]Р(Л)-Р(Л)+ Р(Я)— О(Л) | sg |F(A) —Р(Л) | + |Р(Л)—О(Л) | ^Var(F,P) +
+ Var (Р, G). В силу произвольности А отсюда следует пужпоо
неравенство. Для равномерного расстояния доказательство аналогично.
3.254. Обозначим В = {z: p(z) gi- q (z)}. Имеем
|Р(Л) —О(Л)| = |Р(Л/?) — Q(AB) +У(АН} —О(ЛЛ)|.	(1)
Заметим, что Р(ЛВ) — Q(AB) 0. а Р(Л И) — Q(Л В) «g: 0. Пусть для опреде-
ленности |Р(ЛЛ) — О(Л/7) | |Р(ЛЛ)—О(ЛД)|. Тогда из (1) следует, что
| Р (Л) —О(Л) I Р {АВ) —Q {АВ) f {р (х) — q (z)) dx < f (р (х) — q (z)) dx
АВ
В
— q (х) | dr. 3.255. См. решение предыдущей задачи.
3.256.
— Ф|
0g
СТ2
ы-2-
о.
,гдс Ф(г) —
/ а
Ф —п
а
стандартная нормальная функция распределения. 3.257. р.
/	/v — п
1
3.258. —

1
е
1 1
3.259. Распределенное плотностью-4	— е
“ \ I/ а
20-
20-’
2
:п а2
3.260. F (z) — —1-----—=  . 3.261. Равномерное распределение па
[—]а6, }'«/;]. 3.262. Из определения метрики Леви следует, что для
Л > Л(7>’, В) и любого z
7/(z — h) — hsZF(x) sg7/(z + ft) 4- 7г,
а для любого h' > L(G, II) и любого у
G(y — It') — h' И(y) d G(y + h') + h’.
отрезка
любого
(1)
Положим в (2) у = х— h. Из левых неравенств (1) и (2) получаем
G (z — (h + h')) — (h + h') = G (z — h — h') — h — h’ (x — h) — h rf F(.r).
Аналогично, положив в (2) у = z + h, получим F(x) г G(x + h + h') -f- h Д- h'.
Из последних двух неравенств следует нужное соотношение.
3.263.	2г_ 3.264. Из условия задачи следует, что P(s п 4- е) eg е
1 !- 2 /3 а2
и Р(£ eg Л — в) sg е. Из первого перавепства получаем Р(£ -g: х)
Р(т) + в sg z)— е = P(i] <g z — в)— е для любого- х. Аналогично из второго —
P(S   х) sg P(i| o' X + g) + е, т. е. G(x — е) — г F(х) G(x + е) +е,
откуда G) sg: в. 3.265. Для любого борелевского множества Л, применяя
формулу полной вероятности, получаем
|Р(£ е Л) — Р(ц е А) ] =.
= iP(g = п)Р(6 = >1) +P(se.44 #= t|)p(g _
241
— Р(ц е=Л |£ = ц)Р(; = ц) — Р( ц е=Л|£ =/= ц)Р(£ =/= ц) | =
= |Р(£е=Л|£=/=п)р(£=^П) — Р(ц е Л #= п)Р(£ #= П) I =
= р(£ =/= 1) |Р(£ еЛ|£ #= 1]) — P(i] е А |£ #= т|) |
«S ₽(£ =/= n)max{P(g е= А|£ ¥= ц), Р(П е Л|£ #= П)) «S p(s =# >!)•
3.266. Докажем левое неравенство. Положим h — sup | F (z) — G (z) |. Тогда
X
G(z) F(x) + h и F(х) G (х) + h и, следовательно, G(x— h) — h
^G(z)—Л^Г(х)4-Л — h = F(x) «J G (x + h)	G (x + h) -j- h. Докажем пра-
вое неравенство. Для любого h > L(G, F) G(x — h)— h F(x)^. G(x -|- 4) + h
и, следовательно, F (x) — G (x) G (x + h) G (x) -f- h sup G' (z) h + h. Ана-
логично F(x) —G(z) supG'(z) —h. 3.267. He ограничивая общности, мож-
X
но считать, что L(F, G) > 0. Для любого положительного h < L(F, G) суще-
ствует такое Xh, что верно одно из следующих двух неравенств:
F (хк) < G(xh — h) — h, F (хк) > G (in + h) + h.
Пусть, например, выполнено первое неравенство. Тогда
X,	X,
со	h	fi
J \F(x)~ G(z)|dz> J (G(z)—F(z))dz> J (G (z) — F (xh)) dx >
— oo	x.—h	x.—h
Fl	Fl
xh
> J (G (z) — G (xh — h) + h) dx h2,
xh~h
откуда следует нужное неравенство. 3.268. Не ограничивая общности, можно
считать, что математические ожидания, соответствующие функциям распреде-
ления Fi(x) и F2(z), равны нулю. Положим
h = (2max {Ср о2})2^3,
(1)
Из неравенства Чебышева следует, что (см. задачу 3.65)	| Fr (z) — F% lx) |
max {aj, c2}
------5----» поэтому sup | F (z) — F (z)|^/i. Следовательно, пои всех
x‘---------xSA 1	i
x e= A
F2(x — h) — h F|(z) F2(x + h) + h.	(2)
Если x^A, то, применяя неравенство Чебышева, получаем 1—F2(x + h)^.
1 — F2(h/2) :g: h, F2(x — h) :g: F2(h/2) h. Поэтому при z A
F2(x — h)—h^0^Fl(x) ^i^F2(x + h) + h.	(3)
Из (1), (2) и (3) получаем нужное неравенство. 3.269. Воспользуйтесь зада-
чей 3.237. 3.270. Для любого х имеем
|Z\*G(z)-F2 * G (z) [ =
ОО	оо
J Ft (z - t) dG (z) - J F2 (z - t) dG (z)
— OO	— oo
co	oo
< f	0—Ft(x— t) I dG(z)< sup I/^(z)—F2(z)| J dG(z) = sup|£1(z)—F2(z)|.
—oo	x	—oo	36
3.271. Var (F * G, F *G) = sup
12	A
J Fx(A-z)G(dz) - J F2 (A - x) G(dx) <
242
(sup берется по всем борелевским множествам Л)
ОО	оо
<sup J |Р1(Л-ж)-Р2(Л-а:)|6(^)< f Var(Fr F2)G(dz)=Var(Fv Fa).
3.272. Положим h = L(F\, F2). Имеем F} (x — h) — h F2(x) Fi(x + h) + h,
откуда
co	oo	oo
f f2 - t) dG (/) < J (F1(z + h-t) + h)dG(t) = j F1(x + h-t)dG(t) + h
• X	—OO	—00
oo	oo
к аналогично J F2 {x— t)dG{t)^ F± {z — h — t) dG (t)—h. 3.273. При-
— oo	—oo
мечите индукцию и воспользуйтесь задачей 3.270. 3.274. Воспользуйтесь зада-
чей 3.271. 3.275. Достаточно провести доказательство для случая п = 2 (далее по
индукции). Воспользуемся задачами 3.272 и 3.262. Имеем L(Ft • Ft, G| * Gt)
G, ♦ F2) -|- 7(G|»F2, Gi * G2)	L(F\, G|) -|- L{Ft, Gt).
3.276.	См. решение следующей задачи. 3.277. Имеем Var(F, G) =
= sup | F (Л) —G (Л) |. Пусть A — произвольное борелевское множество. Имеем
ASiS
ОО	оо
F*H (Л) — О*Н(Л) = F (Л — х) н (<7-г) — [ G (Л — х) Н {dx) =.
— оо	— оо
= j (F (Л) — G (Л)) Н (dx) + J (F (Л —- х) — О(Л — х)) Н (dx) =
pt=O>	<xUo>
= (F (Л)-G (Л)) P (C = 0) + J (F (Л — x) —G (Л — r)) H (de),
откуда
| F (Л) «в(Л)|<|Р*Н (Л) —G*H (Л) 1+ J ] F (Л — х)—
<х=А0>
- G (Л-х) | H(dx)<|F * Н (Л) — G * Н (Л)| + Р(£^О).
3.278. в > 0, с > О, Ь — любое. 3.279. Пусть £ = (£,, ..., £п). По неравенству
Коши — Буняковского
||	+ ... +	|| <	... + ^ /(Е^Р+.-. + Ш2
П.ЕЕ + ... +VM
и, значит,!!—!—1   —2—2-1! < II g ||, откуда
и ее II=iih£=ит+--- + т2И=iie^+.-.+wh <
6	Щ||	||ЕЦ	II Е||| о
3.280. Каждая функция распределения G в R2 должна удовлетворять условию
G(x2, ya)—G(x2, pi) — G(xb у2) + G(xt, Pl)>0 при любых _х, sj х2 и yi уг.
3.282. f{x, у) = 1 _в квадрате с вершинами в точках (У2/2, 0), (О, У2/2),
(—У2/2, 0), (0, —У2/2) и f(x, у) = 0 вне этого квадрата. Другой пример:
f{x. у)= 1 в единичном круге и /(х, у)= 0 вне этого круга; здесь непрерывны
плотности всех проекций. 3.283. Маргинальные распределения этих двумерных
распределений совпадают: оба они равны равномерному распределению на
отрезке [0, 1]. 3.284. 0. 3.285. -)-1 или —1.
243
8.286.
(	1	2	2	12 с — а — Ъ	Ь2 — а2 — с2 1
		2аЬ	2ас
2 С	л2 к2 — а — b	1	2	, 2	2 Q — 1) — с
	2аЬ		2Ьс
,2	2	2	2	,2	2	
ь	— а — с	а — Ъ — с	1
	2ас	2Ьс	
3.287. р(х, у) = 2
«г “Г" '/	• I
— —sin a |, где
при
x2 + У2 4 и p(x, у) = 0 при остальных х. 3.288. a-алгебра, порожденная
случайной величиной (5, е>, содержится в о-алгебре, порожденной случайным
вектором £, и аналогично для <т), х> и т]. 3.289. Вообще говоря, нет. 3.290.
Р«Е, e>=O)=P«s, е) = 3) = 1/6, Р«£, e> = l)=P«g, е> = 2) = 1/3.
3.291. Распределение с плотностью р(х) = 2х + 1 при —1/2 ^х^: 1/2 и
р(х) «= 0 при остальных х. 3.292. Маргинальные плотности совпадают и равны
е~х при х^О и 0 при х < 0. 3.293. Нет. 3.294. Р2(х, у) = F(min{x, у}).
0
3.295. Нет. 3.296. F2 (х, у) = Ь (х) - F (- у)
U’ (у) — F (— у)
3.297. G(x, у) = (Г(у))"~ (Р(у) — Р(х))11
при х у. 3.298. Пусть
при х — у, у <; 0,
при — у < х < у, у >0,
прп х у, у 0.
при х<у и G(x, у) = (Р(у))п
Тогда
3.299. Покажите, что для любого не более чем счетного множества ЛсЯ”
найдется единичный вектор е, такой, что проекции всех элементов А па пря-
мую, порожденную вектором е, различны. 3.300. Пусть Р— распределенпе.
Рассмотрим поворот пространства вокруг начала координат, при котором еди-
ничный вектор с переходит в вектор ео = (1, 0, ..., 0). Пусть Piei— распре-
деление, в которое при данном повороте переходит распределение Р. Покажп-
244
те, ЧТО (Р*О(е) = P{e)*Q(e). 3.301. И.МССМ
E^i=j = J xixjdF =	x^dF + J x^dF.
Rn	[Xj>0,Xj>0'|	[Х;>0, Xj<0|
(Xj<0, XjCnj	\x;<0, Xj>oj
Последние два интеграла имеют противоположные знаки и равны по абсо-
лютной величине. 3.302. Среди этих п + 1 векторов найдется по крайней мере
один такой, что проекции всех п точек на него различны. 3.303. Пусть и
Е" — независимые одномерные случайные величины, имеющие одинаковое нор-
мальное распределение. Можно положить £ — (£'> 0), т] = (0, £"). 3.304. Нет.
ОО оо
3.305. Да. 3.306. Легко проверить, что J f / (ж, у) dx dy = 1 п в силу ус-
— ОО —00
1
ловил 1 и (ж) I < ,— функция /{ж, у) всюду неотрицательна. Найдем маргп-
у 2ле
пальпые распределения /(ж, у):
ОО /		>	\
f / !	\
J \2л е 2 + “(*)“ (</) J dy =
— ОО
“|/2n	”|/ 2 л
Г --	С
I е 2 dy + и (ж) I и (у) dy =
— оо	—1
(в силу нечетности функции и (у))
Диалогично / (у) = ^==е	-3.307. Е<|, е> = 0, D<|, е> = 1. 3.308. F(x, у) =
== G(x)B(y), где В(ж) —функция распределения случайной величины, прини-
мающей значения 1 и —1 с вероятностью 1/2 каждое, G(x) = 2Ф(ех)—1»
ф(ж) —стандартная нормальная функция распределения. 3.310. Распределение
g инвариантно относительно поворотов вокруг начала координат. 3.311.
g(«, у) = f(u)f(y)f(—и— v). 3.312. Для доказательства достаточности рассмот-
рите многомерное нормальное распределение; по поводу необходимости см.
задачу 3.147. 3.313. Воспользуемся задачей 3.150. Имеем
Р(| I —	8 1/DJ пли
11] — Ei] I > е VD,1) = ₽ ((£ — ₽5)2 > е2|35 пли (ц — Ет])2 > е20ц) =
3.314. Обратное, вообще говоря, неверно. Если элементы матрицы имеют раз-
личные математические ожидания, то утверждение задачи, вообще говоря, не-
верно. 3.315. Л|-п. 3.316. Легко видеть, что Р(г)п делится на п) >
;> P(gi = £2 = ... = £„). Отсюда, используя результат предыдущей задачи,
получаем нужное неравенство. 3.317. а) 1/2, б) 1/2 (случайная величина /(г)
имеет симметричное распределение при любом ж), в) 1/2, г) 1/2. 3.318. Если
а — 0, то утверждение очевидно. Если а > 0, то
P(«j Эг ante,) = Р(| > /ng) > 1/2,	Р(«£ сД ami,) = P(g nil) 1/2.
17 А. В. Прохоров и др.
245
Если а < 0, то
Р(а£ ami) = Р(£е= ml) > 1/2, Р(al ami) = P(g > ml) > 1/2.
3.319. Следует из задачи 3.104. 3.320. Достаточно доказать для случая п = 2
(в общем случае доказывается по индукции). Имеем
Е + ?2)3 = Е (Ц + 3^2 + 31^1 + g3) = Щ + ЗЕ^ + ЗЕ?1Е122 + Е£3 =
= Е£? + Е^
3.321. Обозначим F(z), Ft(z) и F2(z) функции распределения случайных ве-
личин £1 и соответственно. Имеем
Ч+о
1/4 < Р1 (1х + 0) F2 (k2 + 0) < J Fr + X., - s + 0) dF2 (s) < F (k,+ \+ 0)
И
1/4 < (1 - Fx (X)) (1 - F2 (X)) < f (1 - Ft + X2 - .)) dF2 (s) <1 —F (Xx+k2).
8.322. o’. 3.323. Воспользуйтесь неравенством Чебышева. 3.324. Воспользуйтесь
обобщенным неравенством Чебышева (задача 3.235). 3.325. Воспользуйтесь не-
равенством Чебышева. 3.326. Продифференцируйте выражение
Е(ц-«^-Ь)2	(1)
под знаком математического ожидания по а и Ь, приравняйте производные
пулю и из получеппых уравнений найдите а0 и 60, при которых (1) достигает
минимального значения. 3.327. Имеем
СО
*= J (r0 + z1y+ ••• + -Wm)2 dF(y)> 0
— ОО
(строгое неравенство следует из непрерывности F(x)). 3.328. Ev— е. 3.329. £ =
«= |£| sign | и случайные величины |£| и sign | независимы (см. решеппе
задачи 3.146). Невырожденность распределений ||| и sign | следует из того,
что g принимает пе менее трех значений. 3.330. Приблизьте индикаторную
функцию отрезка последовательностью непрерывных ограниченных функций.
3.331.	3.332. Р(щ = j) = i/i, j = 1, 2, ..., t, i'^ 1. 3.333. a) 1, б) 1/2.
3.334. Пусть Fv(z), Fi(z), F?(x), ... — функции распределения случайных ве-
личин T|v, t|i, 1]2, ... соответственно. Тогда
р (Ду = *) = 2 р (Дл < r’ v = А) = 2 р (Да < х) р (v = =*
к = 1	/г=1
= 2 Fk wр =А),
откуда получаем
E,iv = 2 ЕД/р =А) = 2 АЕДгр = = E’hEv-
Л=1	А=1
246
3.335. 0; a'lnn\. 3.337. Воспользуйтесь предыдущей задачей и тем, что сумма
независимых случайных величин, имеющих симметричные одновершинные
распределения, имеет симметричное одновершинное распределение (зада-
чи 3.195 и 3.197). 3.339. Воспользуйтесь задачей 3.223. 3.340. Прежде всего уточ-
ним формулировку задачи: имеется в виду, что скорость — случайная вели-
чина, математическое ожидание которой равно 5 км/час.
< с 1 1
Рассуяадеппе неправомерно, так как, вообще говоря, Е Ф gg-.
Глава 4
4.1.	z"tp(z); <p(zn). 4.2. а) распределение, приписывающее точкам 0, 1, 2
вероятности 1/4, 1/2, 1/4 соответственно, б) распределение, приписывающее
каждой точке к (к = 0, 1, 2, ...) вероятность pqk (геометрическое распреде-
ление), в) распределение Пуассона с- параметром X, г) биномиальное рас-
пределение с параметрами р и п, д) распределение, приписывающее нечет-
Зе
ным точкам 2k -|- 1 вероятности 2четным — нулевые, е) рас-
пределение, приписывающее каждой точке к (к = 1, 2, 3, ...) вероятность
11	1 — z
-у- — Л- г Приведем, например, решение в случае е):1 + —-—In (1 —. z) =
00	оо *	оо
= 1 + 41п(1-г)-1п(1-2) = 1-42т +2т“1-2гт1 +
г=1	i=l	г=о
z’. 4.3. Распределение, сосредоточенное в точке 1.
4.4. Производящая функция аналитична в области |z| <1. 4.5. Воспользуйтесь
непрерывностью производящей функции. 4.6. Пусть Р(£ = 0) =0. Тог-
ОО
да <р(1/2)	1, ф(1/4)	1/2,	<р(1/2п)	1/2п”1 и ряд 2 Ф(1/2п) сходится.
71=1
ОО
Обратно, если ряд 2 Ф (1/277) сходится, то для любого W
71 = 1
оо	/V
2 <р(1/2п)> 2 <р(1/2")>^-Р(^ = 0),
tl = l	П=1
откуда получаем Р(£ = 0) =0. 4.7. 0 а/с 1, —1 < d/c 0, Ь/с = 1 — ajc 4-
+ djc. 4.8. Предположим, что такая случайная величина £ существует. Обозна-
чим <p(z), ф(г) и 7(z) производящие функции £, £ и т) соответственно. Имеем
<T(z)ip(z) = f(z),	|z| sS 1,	(1)
ф(г) = 4'а + 2)-	(2)
Y(s)=4+-b+-P+4z3-	(3)
Из (1) следует, что все корпи уравнения <p(z) =0 являются одновременно кор-
нями уравнения f(z) =0. Но из (2) и (3) следует, что <р(—1) = О. а "((—1) =
= 1/4. 4.9. Предположим, что такая случайная величина £ существует. Обозна-
чим <p(z), ф(г) и. 7(z) производящие функции £, £ и г, соответственно. Имеем
<(. (г)ф(г) = ^(z), |z| С/ 1, откуда |(p(z) | H(z) I (ПРИ всех lz|s£l). но
<р(—1) = 1/2 < 6/10 = 7(—1). 4.10. Не ограничивая общности, можно считать,
что £ и г] принимают целые неотрицательные значения. Пусть <p(z) >=
(1 -L z + z~) — производящая функция случайной величины 5 + Т] и пусть
17*
247
<p (z) = 2 ahzh и Ч’г =2 bk^ ~ производящие функции £ и ц соответствен-
но	fc=0
оо	оо
но. Тогда -g-(l ~k z + z2) = ^^a;izh ^^Z>nzn и, значит, й(Фо = 1/3, ai^o + Qo^i = 1/3,
k=o	n=o
а1Ь, = 1/3, откуда a?62 + 2%^^ + a2fe2 = 1/9 = a^a^, что, очевидно, не-
возможно. 4.11. Пусть а(оп), а(”\ ... — вероятности, которые F„ приписывает
точками 0, 1,2,..., а а0, at,... — вероятности, которые этим точкам приписывает
распределение F. Достаточно доказать, что при каждом к = 0, 1,2, ...
ОО	00
при п->оо. Из условия задачи следует, что У, а*;пМ-> У а;гг при тг-э-оо. По-
1=0	1=0
ложив z = 0, получим -> ац, и, значит,
ОО	оо
У, 4п)гг-> У a;z\	(1)
1=1 1 = 1
Пусть	Тогда существуют 6>0 и подпоследовательность такие,
что | а^1'^ — аг | > 6 и, следовательно, существует подпоследовательность
а^1") такая, что либо а^"'> > <гх + б, либо < а± — б. Пусть, например,
ОО
выполнено первое неравенство. Тогда при г > О У а^г \г > a±z + 6z +
i=i
°°	V,	• б	\
~г2	Выбирая z достаточно малым (так, чтобы У z’c-g-z .придем
1=2	1=2	/
к противоречию с (1).
Для	произвольного к доказательство	проводится по	индукции.
ОО
4.12. Р (max {gx, .. ., gv} < z) = У Р (max {gx, ..., §„} < г) Р (V = и) =
71=1
= У, Fn (х) Р (у=п)— <р (F (г)). 4.13. eitbf(at). 4.14. /(—t) пли, что то же самое, /(/).
4.15. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.16. Воспользуйтесь задачей 4.14.
ОО	оо
4.17. ср (l)=j cos tx dF (х) + i J sin tx dF (x). 4.18. \f(t) |2. 4.19. В случае a)
— oo	—ОС
функция четна, но не вещественна, в случае б) — вещественна, но не четпа.
В силу задачи 4.16 такие функции не могут быть характеристическими
4.20. Пусть /(/)—характеристическая функция, a F(x)—соответствующая ег
функция распределения. Имеем
ОО
+	J | е’хй _ — 00 •=2 J | sin | dF (х)^ 2 — оо	1 | dF(x) = -А	В f I xh I	f 1 xh I 1 sin	dF (z) + 2 1 sin	dF (.r) -j- — oo	—A oo fl xh \ + 2 1 sin	dF (z
248
при любых А, В > 0. Заметим, что правая часть не зависит от t. Первый и
третий интегралы в правой части могут быть сделаны сколь угодно малыми,
если Л и В выбрать достаточно большими, а второй интеграл при выбранных
Л и В может быть сделан сколь угодно малым за счет выбора достаточно мало-
го h. То есть \f(t + h)—/(f)| ->-0 при h-+0 равномерно по t. 4.21. Нет, по-
скольку опа пе является равномерно непрерывной (см. предыдущую задачу).
it
4.22. a) e2б) у, в) -y (1 + 2e,(). 4.23. I ch -у I . 4.24.
(6 — a)
sin 4 —2—
a) exppt(a2+b)j-----(b — a) ’ 6) (« + веП)"> B) exp {/. (elt — 1)}, r) exp {iat —
*	2
/ it 1	( oVl	p f p \r
’ e)expppt-—j, ж) i _ з)	•
4.25. Нет. Пример: g = т] и g имеет распределение Коши с характеристической
функцией е-1‘1. 4.26. Необходимость следует непосредственно из определения
характеристической функции случайного вектора. Для доказательства доста-
точности воспользуйтесь формулой обращения. 4.27. Пусть gt = ... = gn = g и g
имеет распределение Коши с характеристической функцией е-1'1. Тогда
f (4, ..., t) = Eei(^+-"+® = Eein^ =	= (e~= JJ fi (4).	4.28. Пусть
i=l
Fi (x) — функция распределения, соответствующая характеристической функции
/1(4). Найдите характеристическую функцию, отвечающую функции распреде-
ОО
ленпяВ(г) = У, aiFi (г). 4.29. Пусть G(x, а) —функция распределения, отве-
i=l
чающая характеристической функции /(4, а). Найдите характеристическую
ОО
функцию, отвечающую функции распределения J G(x, a) dF (а). 4.30. Имеем
—оо
2 л / (4) V f (4)	, оо
--- — 1 — _L—и, в силу задачи 4.28, это — характер!!-
( )	i—1 2
1 -----------
стическая функция. 4.31. Воспользуйтесь тем, что Re f (4) = (f (4) + f (4)) =
1
= -g- (/ (4) -|- / (—4)). Соответствующая	функция распределения равна
оо
1 + F — F (~5..~ 92. 4.32. J [1 — F (и — х -0)] dF (и). 4.33. Да. 4.34. Не
ограничивая общности, положим а — 0. Имеем
1/W 1 =
Р(5 = 0)+ j
«^0
>Р(£ = 0)-
j" eitxdB(2)l>P(g = 0)- J | eitx | dF (г) = P (g = 0) —
|	X#:Q
-J dB(z) = P(g = 0)-P(g#=0)>0.
249
4.35. Используйте равенство / (i) = Р (| £ | — a) cos at -f- J cos tx dF (x). 4.36.
|xjy=a
Например, / (t) «= a -f- (1 — a) e~<2 cos t, 0 < a < 1, причем для любого к =
= 1, 2, 3, ... можно подобрать а таким образом, что /(t) будет иметь ровно 2к
нулей. 4.37. а) Распределение, приписывающее вероятности 1/2 точкам —1 и 1^
б) распределение, приписывающее точкам —2, 0, 2 вероятности 1/4, 1/2, 1/4
соответственно, в) нормальное распределение с нулевым математическим ожида-
1
нием и дисперсией 1/2, г) распределение Коши с плотностью —т-—;—.к, д) рас.
л 11 + X )
пределение с плотностью ~2~е~(распределение Лапласа), е) показательное
распределение с параметром к = 1, ж) равномерное распределение па отрезке
1 / ! 1 \
[—1, 1] в) распределение с плотностью	——-------j +'	. ,	2  4-38-
\1	1)	1 “Г (X-f- 1) /
2 Pkfk W-4.39. Покажите, что функция р (х) —
fe=l
является плот*
ностью распределения и, следовательно, функция / (/) = f е1(жр (я) dг является
характеристической функцией. 4.40. В силу предыдущей задачи каждая функ-
ция вида
faW I о, I t I > 1/a
является характеристической функцией. Покажите, что любая функция, ука-
занная в условии задачи, может быть представлена как предел линейных ком-
бинаций функций такого вида и примените задачу 4.28. 4.41. Да. Примеры таких
характеристических функций легко построить, используя предыдущую задачу.
1
4.42. Покажите, что функция------ выпукла при < > 0 (0 < a sg 1) и восполь-
1 "Т t
зуйтесь задачей 4.40. 4.43. Обозначим F(x) функцию распределения, отвечаю-
щую характеристической функции /(/). Рассмотрите множества Л»(е) =
= {х: | cos	•< 1 — е} и покажите, что для каждого t найдется е > 0, такое,
что J dF(x) > 0.4.44. Обозначим F(x) и G(x) функции распределения слу-
АДе)
чайных величин и шах {0, (•} соответственно, и пусть Е(х) —вырожденная
в нуле функция распределения. Тогда G(x) = F(x)E(x). Легко видеть, что
1 1
G (х) ж=-2~-}- -g- Gj (х), где Gi (х) — непрерывная функция распределения. Пусть
g(t) и gi(£)—характеристические функции распределений G и Gh Тогда
1
g(0 = —(1 +	(i))iHo в силу непрерывности Gi(x) |gi(/)l <1 при 1 О
1
(см. предыдущую задачу); следовательно, | g (1) | > — (1 — | g± (t) |) > 0. От
условия непрерывности отказаться нельзя (пример: Р(£ =—1) = Р(£ = 1) =
= 1/2). 4.45. Пусть gn(t)—характеристическая функция случайной величины
ОО
1]п. Положим pk — Р(51 = к), к — 0, ±1, ±2, ... Имеем/(t) = У, phe'th, по-
h~—оо
оо
втому /(л) = У, (— Ph = р(£х делится па два) —P(£i не делится на два),
СЮ
250
Аналогично gn(n)=P(rin делится на два)— Р(т]„ не делится на два). Но
(л) =/п(л)-> О при	откуда получаем нужное соотношение. 4.46.
оо	оо	оо
а)	1—Re/(t) = J (1— cos tx) dF(x) = J 2 sin24±dZ- (z)>j2sina-^-cos2-^dF(z) =
— OO	— OO	— oo
oo	oo
-= J _1_ Sin2 tx dF (z) = _L J (1 — cos 2tx) dF (z) = _L Re / (2f);
— OO	—oo
б)	следует из а); в) доказываемое неравенство эквивалентно следую-
1 + Re / (2t)	„
щему:	------2-----(Re/(f)) • Применяя неравенство Коши — Буня-
ОО	оо
ковского, получаем	/ (—1 = у (1 cos 2tx) dF (z) = у cos2 txdF (z) )>
— oo	—oo
/ oo	\ 2
j J cos txdF (z) I = (Re 7(f))2’, г) следует из в); д) из г) получаем
\ —ОО	/
1- |/(2/) | ^2(1- |7(f) |2) = 2(1 — |7(f) |)(1+ |/(f) |)^ 4(1- |/(f)|). 4.47. При-
мените индукцию, имея в виду предыдущую задачу. 4.48. См. решение задачи
4.46. 4.49. В силу задачи 4.47 1 — |/(2"t) |2	4"(1 — 17(f) |2) для любого п. При
t = 0 доказываемое неравенство очевидно. Пусть t #= О, |t| <Ъ. Выберем п
1 __я2
так, чтобы 2~nb < 1t1 <2-"+1 b. Тогда | /(2nf) |2 < с2 и 1 — | / (f) I2 > т~ t2 или
4Ь
j__с2
| f (t) |	1 —---2— *2, 4.50. Проведем доказательство от противного. Предполо-
жим, что /(f) имеет нули. Тогда существует fo > 0, такое, что /(f0) =0 и
to. Поло-
2\
/(f) =И= 0 при |/| < f0. Следовательно, /c(t0) = 0 и /с(1) =7=0 при |f|
жив t = fo/2 и применяя задачу 4.46, получаем
— | /с (f0) |2 = 1. Так как функция /с I-g- / = f I — I / f I I непрерывна no c,
то, выбирая с достаточно близким к единице, приходим к противоречию.
ОО
4.51. Имеем/ (t) = J еихdF (х), откуда
2/(0) — / (f) — / (—f)
h2
, zf
4 sin2 -j-
----^2----dF (*)•
(1)
2
Далее, при 0 sg t sg л/2 справедливо элементарное неравенство sin t t. Сле-
2 zt 4 z2t2 z2t2
довательно, при I z I sg п/t sin -к- >	=—T- Отсюда и из (1) получаем
л 1 л
n/f
У x2dF (z). Для получения нужного неравенства
—n/f
п‘
остается заметить, что /(t) + f(—t) = 2 Re /(t). 4.52. <р (t) =
dG (z)
251
00
— J g^d—^dF (z). 4.53. G(zi, ..., xn) =/?(min{zi, ..., zn}). 4.54. Нет, пе мо-
— OO
гут. Характеристическая функция равномерного па отрезке распределения обя-
зательно имеет нули, а характеристическая функция распределения Коши нигде
пе обращается в нуль. 4.55. Нет, нельзя. Воспользуйтесь задачами 4.40 и 4.41.
4.56. Обозначим /(<), g(i) и h(t) характеристические функции случайных ве-
личин £, т] и £ соответственно. Из условия задачи следует, что
= g(t)h(ct)
(1)
для любого с > 0. Фиксируем произвольное t. Выберем с настолько малым,
чтобы h(ct) #= 0 (это всегда можно сделать, так как /г(0) = 1 и h(l.) — непре-
рывная функция). Учитывая (1), получаем /(Z) = g(l). В силу произвольно-
сти t это означает, что /(1) =g(t). i.57. Р(£ =0) =1. 4.58. Имеем /(/) =
ОО
= J ezlxdF(x). Проинтегрируем обе части этого равенства по G(t)
—оо
от —о© до Н-оо:
оо	оо	/ оо
J /(t)dG(l) = j I J
— OO	—oo \—oo
eitxdF (z) j dG (t) = J I [ eitxdG (t) j dF (z) =
J	— oo \ — oo	/
OO
= j g(z) dF (x).
— 00
4.59. Пусть Ф(х) — функция распределения, соответствующая характеристиче-
ской функции <p(t)- Обозначим /?;(z) и rt(u) соответственно функцию распре-
деления и характеристическую функцию равномерного на отрезке [0, 1] рас-
пределения. Имеем
t	оо	оо	оо
/ (Z) = _1_ J ср (и.) du = J ф (и) dRt (и) = У rt(u) <1Ф (и.) — У tu (и)
О	—оо	—оо	—оо
(мы воспользовались предыдущей задачей). Подынтегральное выражение в
последнем интеграле является характеристической функцией (как по !. так и
по и), следовательно, в силу задачи 4.29 последний интеграл представлят собой
характеристическую функцию. 4.60. Решение аналогично решению предыдущей
задачи, только в качестве Ri(x) теперь нужно взять распределение с влит-
лостью иУ 1 при 0< а < ! и 0 при остальных и. 4.61. Пусть п > р —
ие по-
II Р \ Р
торое целое положительное число. Тогда функция /п (1)=111 —	+~ А' И) I =
[ р (g (t) — 1)\n
= 14--------------) является характеристической функцией (см. задачу 4.28).
Но /п(«) -> ep<gU)-i) ПрИ п-хоо и предельная функция непрерывна в пуле,
следовательно, по теореме непрерывности, она является характеристической
функцией. 4.62. Нет (например, когда Fi, F2, ... — дискретные распределения,
a F — непрерывное). 4.63. Воспользуйтесь теоремой непрерывности. 4.64. Пусть.
/п(1), gn(t) и /(()—характеристические функции распределений Fn, Gn и F
соответственно. Существует б > О, такое, что |/(1) | а > 0 (а — положитель-
ное число) при |<| sg б. Следовательно, при |(| sg б для достаточно больших п
/ (С
/„ (0 #= о и g (f) — у 1 при п -> оо. Отсюда следует, что Gn слаоо сходится
252
т; вырожденному в пуле распределению (см. предыдущую задачу). 4.65. Доста-
точно показать, что функция /(/) непрерывна в нуле. Ясно, что /(0) = 1. Имеем
|1 —/(01 <	+ |/n(t)-/(t)|.	(1)
По условию, для некоторого б > 0 сходимость /п(<) к /(<) равномерна па отрез-
ке |/| Eg б, то есть для любого е > 0 и всех |t| б существует п0 такое, что
при п по |/п(0—7(0 I fig е/2. Первое слагаемое в правой части (1) можно,
зафиксировав п п0, сделать меньше е/2, выбирая t достаточно близко к нулю.
Левая часть от п не зависит, следовательно, 11 — f(t) | sg е при достаточно близ-
ком к пулю t. Но это и означает, что функция f(t) непрерывна в нуле. 4.66.
Покажите, что в каждой точке t fn(t) -> f(t) при л-> оо. 4.67. Имеем g (t) —
=	причем fi(t) и f(t) — характеристические функции, следова-
тельно, g(Z) непрерывна в пуле. Далее,
I t \	! t\
в,,|Д)=Чм
а.
I t \
ii при л->оо/|:—1-> 1, т. е. левая часть (1) при л->-оо сходится к g(i), и,
\лп/
/ t \
следовательно ,/п j—I—► g (t), т. е. последовательность характеристических
\гп/
функций сходится к непрерывной в нуле функции, следовательно, предельная
функция g(t) является характеристической.
4.68. |/(t)- g(«)| =
ОО	00
J eiixdF(x) — j eitxdG (х)
— ОО	—оо

оо
d (F (г) - G (х)) | = j \d(F(x) — G (х)) | = 2Var (F, G).
— 00
4.69. Покажите, что оба условия эквивалентны сходимости в некоторой окрестно-
сти нуля к непрерывной в нуле функции. 4.70. Если F (х) — решетчатое распреде-
ление, приписывающее положительные вероятности рь точкам а 4- kh, к = О,
“ 00
±1, ..., то / (t) = V eltxdF (х) — У, Рйе,г(0+йЛ) и, как легко видеть,
-оо	А.=-о°
|/(2л/Л.) | = 1. Обратно. Пусть существует t0 #= О, такое, что |/(i0)| = 1. Это
ОО
означает, что /(ZQ) = еиоа для некоторого вещественного а, или j" eltoxdF (х) =
— 00
оо
= Отсюда следует, что J (1 — cos tQ (х — a)) dF (х) = 0. Так как функ-
—оо
ция 1 — cos ta(x — а) непрерывна и неотрицательна, последнее равенство может
иметь место только тогда, когда F (х) является решетчатой функцией распреде-
ления, точки разрыва которой содержатся в множестве нулей функции
1 — cos t0(x — а). Поэтому точки разрыва F(х) имеют вид а + 2лк!и, (к — це-
лое). 4.71. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.72. Пусть F(x)—функция
распределения, отвечающая характеристической функции /(г). Тогда (см. реше-
ние задачи 4.70) точки разрыва F(x) имеют вид 2nklt0 (к — целое), следова-
. 2ЛЙ4
ОО i * —	оо
тельно, f (t) = У '° ,«д >0, У ah=l.Отсюда следует, что функция
Ь=— оо	k=—оо
/(t) периодична с периодом t0. 4.73. Любое распределение, сосредоточенное па
множестве точек а + Ьк, к = 0, ±1, ..., где а — иррациональное, а Ь — рацио-
253
пальное числа. 4.74? См. решение задачи 4.70. 4.75. См. задачу 4.70. В случае,
когда распределение целочисленное, можно положить а = 0. 4.76. Нет. 4.77. Вооб-
ще говоря, не будет. 4.78. Вначале докажите утверждение в случае, когда рас-
пределение сосредоточено в конечном числе точек. При этом используйте сле-
дующий факт: если хь ..., хп — вещественные числа, то для любого е > 0 най-
дутся целые kt, ,кп и вещественное t, такие, что |x*t— 2nkt | е, I =а
= 1, 2, ..п.
ОО
4.79. |р(х + Л)-Р(*)1<2Н' J 1«"{'Л-1||е-<<ж1|/(П1Л<
—оо
А
< J I e~iih - 11 | / (t) | dt + 2 f \f(t)\dt
-А	Ш>А
Выбирая А достаточно большим, можно второй интеграл в правой чавти сде-
лать сколь угодно малым, а первый интеграл в правой части при фиквирован-
пом А можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточно малым h. 4.81.
Функция дифференцируема в нуле, но не дифференцируема в точке t = 1
(см. предыдущую задачу). 4.82. Учитывая абсолютную и равномерную сходи-
ОО
мость интеграла J xnextxdF (х) (F(x) — функция распределения случайной
— 00
величины 5) и применяя теорему о дифференцировании под знаком интеграла,
получаем
ОО	00
xnextxdF (х) < J | х V'-dF (х) = Е | g |п.
— 00	—оо
4.83.	Покажите, что характеристическая функция случайной величины g
оо
2 СОЗ /4
-yj—;, дифференцируема в точке t = 0.
;=27	7
ОО	оо
1 — cos tx	(* fl — cos tx
-----г---dF (x) = J dF(x} j ---------dt =
— OO	— OO —OO	—00	—oo
00	OO	OO	OO
|x|dF(x) f 1	- cos	* И dt | x | = f	|x|dF(x)	[ lzLE2£Ady-
J (tx)2	J	J /
-oo	—oo	—00	—CO
oo
= n J | x | dF (x) — лЕ | g |. 4.85. При 0<a^l /(t) — характеристическая
— 00
функция, при остальных a — нет. 4.86. Вторая производная в нуле функции
/(t) равна пулю, следовательно, дисперсия должно была бы равняться нулю.
Но тогда /(t)—характеристическая функция вырожденного распределения и
по модулю должна равняться единице, что противоречит условию задачи. Та-
ким образом, /(/) не может быть характеристической функцией вероятностного
распределения. 4.87. Рассмотрите функцию |/(t) |2 (это характеристическая
функция) и исследуйте знак ее второй и первой производной в окрестности
нуля (при этом воспользуйтесь тем, что первая производная в нуле равна
нулю). 4.88. Используйте соотношения
00	00
sin tx-x29—xdF (х), /(29> (I) = (— I)9 J cos tx-x2qdF (х}
— 00	— ОО
/29-1) (t) = (- !)« I
254
oo
и равенство cos х—1=—2 sin2-^-. 4.89. Имеем /^(£) = 1—2 J sin2-^-^ (x) <
— OO
/	OO	X
< exp I — 2 J sin2^ dFj (x) 1.При достаточно малых t это неравенство можно
V — ОО	'
возводить в положительную степень aj, поэтому, учитывая равенство
(Z)/j2 (/) = е-(2. получаем^ a?. I sin2 -g dF. (х)	. Таким образом,
>=1 -оо
f „tx	t* „
при каждом / получаем I sin -j dFj (x)	Ho------------=«
— OO
oo
2 C 2^X
-7-	j sin ~2 dFj (x), И в силу предыдущей задачи дисперсии существуют»
4.91. х, = Eg, х2 = Цз = 0g, х3 = цз = E(g — Eg)3, х4 = р4 — Зр2. 4.92. Пусть
/(1)—характеристическая функция g. Воспользуйтесь тем, что характеристи-
ческая функция g' есть eitbf(at). 4.93. Пусть F(x) —функция распределепия g.
Тогда
и	их
4" J (1 — Ф (г)) dt = J (1 — е,(ж) dF (х) dt =
—и	—и -«>
00 и	оо
= V У У d - Л dF (-) = 2 У (1 -	^(х),
— ОО — и	—00
откуда получаем
2
и
оо
\	С ( sin их\
J^(x) + 2 J [1-— JdF(x)>
2/u
—2/U	00
Cl 1 \	Cl 1 \	[	2 \ l l 2\\
J + 2 J t1 -nr(I)H"7)+rV))•
— 00	2/u
4.94.	Используйте предыдущую задачу. 4.95. Пусть F (х) — функция распреде-
х2
лепил g. Воспользуемся элементарным неравенством cos х 1—-у. Имеем
О	С I ix* \	t С	tv
j (t) = I cos tx dF (x) t	— j dF (x) = 1 —	1 x2dF (x) = 1 — ——•
— ao	—00	—00
4.96.	Рассмотрим характеристическую функцию |/(t) |2. Дисперсия соответ-
ствующего распределения равна 2a2. Используя предыдущую задачу, полу-
чаем 1/(0	— f2°2, откуда следует нужное соотношение. 4.97. Вос-
а2«2
пользуйтесь тем, что / (1) е~иа = 12'~ + ° (г), «->0, где а — математи-
255
ческое ожидание распределения, соответствующего характеристической функ-
ции /(f). 4.98. Воспользуйтесь тем, что |/'(!)|	и, следовательно, |/(f) |
не может убывать быстрее некоторой линейной функции. 4.99. Предположим
вначале, что £ имеет конечную дисперсию о2. Тогда, поскольку £ имеет невы-
рожденное распределение, о2 > 0. Положим а = Eg. Тогда /(f) = e~ial — ха-
рактеристическая функция случайной величины g — а, т. е. случайной величи-
. o~t“
ны, имеющей нулевое математическое ожидание, поэтому / (f) е = 1 ——5—-f-
+ 0 G2) при f 0. Модуль правой части этого равенства пе превосходит
„2,2
(J t
1 — ——для всех достаточно малых t. Отсюда следует требуемое утверждение.
Перейдем теперь к общему случаю (когда дисперсия может и не сущест-
вовать). Пусть с — Р(| |	Ь). Выберем b так, чтобы было с > 0. Пусть
Р(ж)— функция распределения g. Определим функцию С(ж) равенством
G (ж) =
0, если ж — Ь,
1
— (F (ж) — F (— 6)), если — Ь<ж^Ь,
1, если
х > Ъ.
Очевидно, G (ж) — невырожденная функция распределения с конечной диспер-
спей и характеристической функцией g (t)=— I eltxdF(x). По ранее доказан-
1
ному —
1 — et2 при |f| si/6 для некоторых положительных
6 и е.
Далее, !/(«)[
dF (ж). Поэтому |/(f)| sg
, . -	|xl>b
еД с(1 — ef2) + 1 — с = 1 — cef2 при |f| ел б. 4.100. Рассмотрите характеристи-
ческую функцию Ke / (f) =-------------- и воспользуптесь предыдущей зада-
чей. 4.101. Воспользуемся следующими элементарными неравенствами:
4 о
0 sj cos ж sC 1 — —7 х
л2
(1)
/(f) Js 0. Используя пра-
С
f (1-4 t2x2\ dF (ж) =
ОО	С
при |ж|	л/2. Имеем при |f| е^л/(2с) / (f) = f cos txdF (ж) = cos trdF (ж).
— ОС
Используя левое неравенство в (1), получаем
вое неравенство в (1), получаем / (0
J \	J
—с
с	с	__^-/2аа
= f dF (х) - Д t2 f	(ж) = 1 - 4-f2o2 < е 4.102. Пусть gi и g2-
J	л2	J	л2
—с	—с
независимые случайные величины, распределенные как g. Тогда gi — g2 имеет
дисперсию 2о2 и характеристическую функцию |/(t) |2. Кроме того, очевидно,
2 4°2(2
|gi — g2| sg 2с,поэтому в силу предыдущей задачи	| / (t) |
-io2f2
при 111 «g л/(4с), или|/(1) 1^е я при I fl sg л/(4с). 4.103. Воспользуй-
о2/2
тесь соотношением / (t) e~iat = 1 — —т;— + о (t2) при f0, где а = Eg.
25G
4.104. Перейдите к усеченным распределениям и воспользуйтесь предыду-
ОО	оо
щей задачей. 4.105. Имеем f (t) = J cos txp (z) dx = 2 J cos tx p (z) dr. Фикси-
— oo	0
руем произвольное г > 0. Получим
(n/2i	ОО n/2f+nft/t	\
j cos txp (x) dx -j- 2 J cos txp (x) dx j. (1)
0	ft=1 n/2t+n(b—l)/t	/
n/2t+nft/f	CO
Положим ah (1) = J cos txp (x) dx. Ряд У ak, очевидно, знакопере-
n/2t+n(h-l)/t	й=-оо
менпый, причем |дл| 5г |as+i| для любого к (это следует из того, что функция
р(х) не возрастает при 0), поэтому
ОО	оо
2Х<0, $^0.	(2)
Й=1	k=2
Если /(t)^0 (при данном фиксированном t), то из (1) и (2) получаем
Л/21	л/21
/ (t)	2 j cos txp (х) dx sg 2A J cos tx dx = 2A/t. Если же /(1) <0, то / (1) 5=
о	о
Л/f
5* J cos tx p (x) dx п/(1)>—2Л/1. Таким образом, |/(1)|^2И/1. 4.106. По-
n/2t
n/2f+nft/t
кажите, что при некотором | / (1) j | cos tx \ р (х) dr и что последний
—n/2t+nh/t
1/(2/)
интеграл пе превосходит величины A J cos tx dx. 4.107. |1 — 7(1) |
-1/(2А)
ОО
2г Re (1—/(!)) = j (1 — cos tx)dF(x) и далее воспользуйтесь неравен-
ством cos х Eg 1—х1 2/3 при |х| Eg 1. 4.108. а) пет, б) да, в) да. 4.109. Обо-
значим F(x) функцию распределения, отвечающую характеристической
функции /(1). Пусть функция ф(1) = (/'(1) —/'(0))/1 ограничена при 0 < |t| <
< е: |<р(1) | с < оо. По теореме о среднем /(t) + /(—t) —2/(0) =.
— tj' (10 (t))—tf (—ZE> (—1)), где O<0 (±i) < 1 и, таким образом, /(!) +
+ /(—1)—2/(0) = 12(У (1)<р(10(1)) + 0(—1)ф(—10(—1))), так что
cos tx — 1 ,,, , ,
de (x)
i2
1 |/H)+/(-*)—2/(0)
2 |	t2
OO
npn 0 •< |t| < e. Отсюда, применяя лемму Фату, получаем J х2dF (х) < » .
— оо
Обратное утверждение тривиально, поскольку t	/" (0) при 1->0,
_2c\t
если j x2dF (х) < оо. 4.110. Имеем |/(1п)|2<е	Пусть X < б <g 2.
— ОО
Обозначим E(s)(z) симметризацию функции распределения F(x). Характеристик
257
ческая функция распределения F(’> есть |/(/) |2. Предположим, что момент по-
рядка в существует. Положим ип = <п/2. По лемме Фату
ОО >2
lim sup
П-»оо
sin unx
sin unx
6
dF™ (x) >
A	00	. 2
6	,	x	C	sm
dF^s\x) > 2 lim	sup	I	-	,	|й
n-»oo	J	I un	I
— 00
(x} =
e-2Cl'n|>-
sin u„x в
и условие б > 1). Таким
(мы использовали интегрируемость
образом, £<•> и, следовательно, F не имеют моментов порядка б > 1. 4.111. Обо-
аначим симметризацию функции распределения F(x)
-ct2
ская функция /’('>(z) есть |/(/)|2). Имеем | / (in) j2 > е п,
Фату
ип
(характеристиче-
так что по лемме
1 — cos i„z\
---------- dF^ (х) <
j
pl — COS tnx
^2 lim inf I ----------------dF^ (x) = 2 lim inf
n-»00 J tn	n-»oo
|2
t2
п.

.	— Ctn
1 — e n
t2
n
= 2с.
Таким образом, F('>, а следовательно, и F имеют второй момент. Обратное три-
ОО
виально. 4.112. Имеем (см. решение предыдущей задачи) J x2dF(z) с
— □О
оо
для любого с > 0. Таким образом, J x2dFis> (z) = 0, откуда следует, что Г<’>,
— ОО
а значит, и F являются вырожденными распределениями. 4.113. Достаточно
л(й+1)/(
доказать, что Im /(t) =/= 0 для всех t > 0. Положим ah (t) = J sin tx p (z) dx.
nh/t
°?	00
Фиксируем t > 0. Имеем Im f (Z) = I sin tx p (z) dx = 2 ak W-Ио, как легко
о	h=o
видеть, ak(Z) > 0 при к четном, a*(i) < 0 при к нечетном и |as(i) | > [аь+1 (Z) |
для всех к = 0, 1, 2, ... (в силу убывания р(х) и периодичности sin z). Отсюда
получаем, что Im/(Z) > 0. 4.114. Сохраним обозначения, принятые при решении
задачи 4.113, Легко показать (см. решение предыдущей задачи), что
258
0 Im f(t) a0(t), no
Л/t	Я/t	Л
С	f	p(0) r
ao (t) = I sin tx p (x) dx ^.p (0) I sin tx dx = —j— 1 sin x dx =
о	oo
0<Im/(/)<
при t 0. 4.115. По формуле обращения
F (x + h) - F (x)
li
e xth —
При h-t-0 -------------> 1, следовательно,
lim	= JL J e-itxf (() dt = J- J e-Hxy (t) dt,
— T	~oo
4.116.	Используйте равенство e~itx — cos-ix — i sin tx. 4.117. Используя преды-
дущую задачу, получаем
оо
If	if
р (г) = I cos txf (t) dt — 2^- I cos txf (t) dt +
— oo	(COSf.Ot)}
if	if
+ t—~	I cos txf (t) dt < -ту^- j cos txf (t)dt^
{eosfxcoi	(costx>0}
OO
f iWdt<±- fWdt = p(O).
{costx>o)	—»
Таким образом, p(x) достигает наибольшего значения в нуле. 4.118. По поводу
левого неравенства см. предыдущую задачу. Докажем правое неравенство.
Воспользуемся задачей 4.116 и следующим элементарным неравенством:
cos х > 1 — х'2!2 (х #= 0). Имеем
ОО
1 f	1
Р I*) = -«nr cos txf (/) dt >
— OO
dt =
?/ (t} dt = p(O)-^- p’ (0).
oo	0
If*.	1 (*
4.119.	Воспользуйтесь задачей 4.115. 4.120. p	I e~ltxf (t)	\dt—c/n.
— oo	—C
4.121.	Пусть g и T] — независимые одинаково распределенные случайные вели-
чины с плотностью распределения р(х). Случайная величина £—г] имеет
259
плотность распределения
g (г) = j р (х + у) р (у) dy.
(1)
С другой стороны, 5 — Л имеет характеристическую функцию |/(1)|2 п, следо-
вательно, но формуле обращения для плотностей (задача 4.115)
ОО
г<х I / (t)\2dt.
— оо
(2)
Положив х = 0 и приравняв правьте части (1) и (2), получим нужное соотно-
шение. 4.122. Воспользуйтесь периодичностью функции /((). 4.123. Имеем
Т
-Т	|)/|<h
dyF(y + x)+ f s2Rl!LdyF(y + x),
где h — произвольное положительное число. Обозначим рх = F (х 0) —
— F(x~ 0). Покажите, что для любого е > 0 существуют 7г0 > > 0 и 7’0,
такие, что
О sin Т.у	С sin Т.у
y/W’X6-	_^d/G + x)<26,
1г/|>Л0	°	0
sin Toy
dyF (у + г) — рх
<2е.

4.124.	Пусть F{,1 (z)—симметризация функции распределения F(x), т. с,
~ 00
F<s>(z) = С F(x + t)dF (/). Ясно, что A(s) (0 + 0) — F(s) (0 — 0) = >? р*,
_оо	;<=—<»
где рь — всевозможные скачки функции F (х). Но характеристическая функция
функции распределения	есть |/(1)|2, поэтому в силу задачи 4.123
т
°°	1 С 2
У pf — lim ----- I | / (Z) |2di = 0, т. е. F(x) не имеет ни одного скачка.
1=^00 Т-*оо 2Т Д,
4.125.	Пусть F(x) —функция распределения Симметризации F(5)(z) соответ-
ствует характеристическая функция |/(z)|2. Очевидно, /’(s) (0 + 0)—
— f(s)(0—0) — У, р2, а в силу задачи 4.123 F(0 + 0) — F^ (0 — 0) =
г=1
т	г
= lim цу J | / (!) |2Л, откуда lim J | f (t) \2dt =	р2. 4.126. Пусть
—Т	i=1
F(х)—функция распределения, соответствующая характеристической функ-
ции /(/), a F(x) — вырожденная в нуле функция распределения. В силу задачи
4.123 F(х) имеет в пуле скачок больше или равный а, следовательно, F(x) =
= (1—«) G (г) + аЕ(х'), где G (х) — некоторая функция распределения. Обо-
значим р(1) характеристическую функцию распределения G. Тогда /(1) =
f(t) — а
"= (1 — a)g(0 + «, откуда g (t) =	_ а  • 4.127. Достаточно положить / (1) =
260
= (1 — а) е <2/'2 + а.4.128. Нет (воспользуйтесь задачей 4.123). 4.129. Из условия
sup Р (Jjj = Л) < 1 следует, что всюду па отрезке [—л, л] за исключением ко-
нечного числа точек 1/(1) | < 1, поэтому
(1)
—л
при п-* оо. Но в силу задачи 4.122 для любого к
п	я
Р(^+... + ^=^) = 2Т	J \fW\ndt.
—л
Правая часть не зависит от к, следовательно,
л
supp(?i+ .•• + ^ = *)<2л- J
-Л
Учитывая (1), получаем, что sup Р /т|п = к\ ->0 при п->оо. 4.130. По формуле
k
обращения для любого у имеем
F(x) — F (у) — (G (ж) - G (у)) | = g”"
т
р e~ilx__e-ity
Jijn J -----—~ g dt
—T
— е
т
С 2
J ^\fW-gW\dt = -
-т
1 С 1/(0 —<(*)! ,,
ГЛ at.
Правая часть пе зависит от х и у. Устремляя —оо получаем нужное не-
равенство. 4.131. По формуле обращения для плотностей (задача 4.115)
|р U) — g (х)
2л
ОО
J e-iix(/(«)-g(i))dl
— ОО
Правая часть не зависит
ОС
\fW-gW\dt.
— 00
1
2л
ОО
J g (1) dt = q (0)
<в.
— ОО
sup | F (х) — С (л:)
х
1
2л
/ (t) - g (t) | dt.
от следовательно, sup ]р(я) — q(x) |
х
00
1 с
4.132. Имеем 1 f W dt = р (0) А,
— ОО
Используя эти неравенства и задачу 4.130, получаем
dt -f*
-оо	-Т
1
2G1
П|>Г
ll|>r	-T	-oo
90	T
+ ~f J gWdt^ J |
-or	-T
f(t)~g(t)
t
2A , 2B
dt 4- -y- 4- y.
4.133. Воспользуйтесь задачей 4.122. 4.134. e й“<р(ац). 4.135. -----------.
4.136. Пусть Fi(x), F2(x), ...— функции распределения, отвечающие q>i(u),
<р2(«), ... Тогда, как легко видеть, преобразование Лапласа функции распреде-
ления 2 anFn (х) равно J *„<Рп (и). 4137. Имеем 2	- 1 =
ф (и)
2	1	1
“-----фТйГ = Т*Р(“) +"4 <Р2 (“)+• ••• При каждом п = 1, 2, .., <рп(и)—пре-
1 — 2
образование Лапласа, следовательно в силу предыдущей задачи функция
1	1	2
~2 <р (и) 4- ф (“)+••! также является преобразованием Лапласа.
/. u\n
/ 1   С I	—U X —иоХ
4.138.1-------1 . 4.139. Функциям 1 —е 2 строго положительна при х >
> 0 и ui < ц2 и, следовательно,
Je UlXdF(a:)-Je “«’dF (х) - j («	dF [x] > 0.
ООО
4.140. Покажите, что вторая производная неотрицательна. 4.141. Цифференци-
оо
руя п раз функцию ф (u) = J e'^dF (х) по и под знаком интеграла, полу-
о
оо
чаем q/n) (u) = J (—;r)"e_uxdF (х), откуда (— 1)пф(п) (и) > 0.4.142. a) /(t) нс
о
является непрерывной, б) /(Z) пе дифференцируема в точке t = 1, в) /(0) =
= 0 =/= 1, г) то же самое, д) пе является выпуклой. 4.143. Р(<р(и)). 4.144.
(t	\
1 г	I
-г I <р (u) du I. Выражение, стоящее в скобках
J	J
о
sin t
является характеристической функцией (задача 4.59), а —j— — характеристике
ская функция равномерного на отрезке [—1, 1] распределения. Таким образом
/(0 — характеристическая функция свертки двух распределений, одно из кото
рых абсолютно непрерывно. Следовательно, f (t) — характеристическая функ
ция абсолютно непрерывного распределения (см. задачу 3.193). 4.146. Да, на
пример, распределение с характеристической функцией р4"<?е“, р q
1	i/T ~х*
4.147. а) —-/-оТ-, б) у •—е	. 4.148. Воспользуйтесь тем, что нормальное
л (1 4" х ) п
распределение не может быть сверткой двух распределений, одно из которые
является распределением Коши. 4.149. Воспользуйтесь тем, что характеристи
ческая функция ядра равна пулю вне отрезка [—1, 1] и задачей 4.4С
262
4.150. Существует. Достаточно в качестве gi, £2, Пь Ла взять симметричные слу-
чайные величины, для которых Ец2Ец2 — Eg2EgJ >-g-(Ец*Ец* — Eg* — Eg*)
00
(воспользуйтесь равенством (i) = in j zneltxdF (x) в случае, когда момент
— ОО
порядка п существует). 4.151. Воспользуйтесь тем, что функция G (х) =
х	I со
г= J z*ndF (z) J itndF (z) является функцией распределения. 4.152. Восполь-
— ОО	/ —00
зуйтесь задачей 4.109 и тем, что функция /(2п~2) (1)//<2п~2> (0) является характе-
ристической функцией с конечной первой производной (см. предыдущую зада-
чу). 4.153. Покажите, что /(t) — характеристическая функция случайной вели-
чины g, принимающей значения //(2а), j = ±1, ±2, ... с вероятностями P(g =
2(1 — cos л/)
= j/(2a)) — ------2----.4.154. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 4.155.
Я
ф(() четна и периодична с периодом 2, <р(1) = 1— |1| при |1| eg 1; Ф(0 четна
и периодична с периодом 4 и ф(4) = 1— |t| при |/|	2. 4.156. Нет (по прой-
денному пути определяем ускорение, по ускорению — результирующую си-
лу F и убеждаемся, что распределение F не является сверткой распределений
F, и Fi). 4.157. Нет (поступая так же, как и в предыдущей задаче, убеждаемся,
что распределение Е, не может быть компонентой распределения F).
4.158. Пусть F(x) —функция распределения g. Тогда
ОО	С
/ (t) = J eitxdF (х) = J eitxdF (x) + J ,iixdF (x) =	(t) + /, (1).
— OO	—C	|X|>C
Если P(IgI < c) =0, то утверждение задачи очевидно. Пусть P(|g| sg с) > 0.
Тогда /1(0) > 0 и в силу непрерывности /1(1) существует е > 0, такое, что
/1(4) > 0 при |1| Eg 8. Окончательно получаем /(t) —/i(t) + ЫО </1(0+
+ Р(|g| > с) = g(t) при |t| Eg з. 4.160. Пусть /(£) — характеристическая функ-
ция случайной величины gi. Воспользуйтесь тем, что характеристическая
оо
h
-г-— / (О-
А*!
й=о
4,161. Воспользуйтесь задачей 4.68. 4.162. Положим £ =	Очевидно,
|g| sg 2 и P(g #= 0) Eg P(g #= n). откуда E|g| sg 2 • P(g =#= ц), но \f(t) — g(t) | =
= |EeilE — Ee,,n| = |E(e*‘5 — e*b|) | sg E|g|. Отсюда следует нужное неравен-
ство. 4.163. Применяя предыдущую задачу и неравенство Чебышёва, получаем
sup | / (J) — g (i) | sg 2P (g Ф Ц) sg 2P (| g | > c)< 2o2/c2. 4.164. Если g не является
i
с вероятностью 1 постоянной, то |/(0l < 1 па множестве положительной лебе-
ОС	оо
„	f I / (и) I2 ,	. С du _ с . п
говой меры и, следовательно, I	du < I -------- =п, т. е. бг >—In 1 = 0.
I 1 + u2 J 1 + u2
— 30	— OO
4.165. Покажите, что |/„(z) | -* 1 при n-+<x>. 4.166. Пусть /1(1) и /2(1) — харак-
теристические функции случайных величии gi и g2 соответственно. Тогда

ОС	оо
д_ (	1.. [ 1ЛМ
nJ 1 + t2	Я J 1	12
— oo	—oo
и аналогично	6^. Ясно, что равенство может достигаться лишь в
том случае, когда |/i(l) | = 1 (|/2(1) I = 1). 4.167. Очевидно, <р(0) = 1. Покажем,
чю <f(u) положительно определена. Пусть п — произвольное целое положи-
263
тельное число, щ, ..ип — вещественные, zj, ..., zn— комплексные числа.
Имеем
uk ~ “г) 'р (0 dtzkzr =
Vrdt
Абсолютная непрерывность распределения, соответствующего т|з(гг) вытекает
(2
из условия Лф < оо. 4.168. Функции /(0 и е 2 равны сумме одного и того же
абсолютно сходящегося степенного ряда. 4.169. Рассмотрим независимые оди-
наково распределенные случайные величины gi, ..., каждая из которых
принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями. Тогда
Р (^ + ... +	= к^— С^2п- С другой стороны, если /(0 — характеристическая
функция §1, то

I /п (0el,ftdt и, следовательно,—С?!
J	2’1
—л
Л	П/2
|/(0|ndt = — I cos2n|— \dt. Воспользуемся элементарным перавен-
л J 12/
—Л	—Л/2
Л/2
ством cosf^e-*2/2 при 10 sj л/2. Получим — rf	| е~t2n^dt О
2п л J
—Л/2
ОО	____
——/= f е_< ^dt = ~\f------, откуда С?.1 О 2п .
л Д/п J	' лп	п г пп
4.170. Покажите, что
характеристическая функция свертки Р * Р абсолютно интегрируема.
4.171. g(l) = ei{t' a>f(At), где I = (t,, ..f,„), т = (тц ..., т„), (/, а) — скаляр-
ное произведение векторов t и а, /(т) —характеристическая функция g, g(0 —
характеристическая функция ц. 4.173. Введем функцию g (0 =
l + (l-a)|i|“ „	_ „
=—--------—3------• Легко видеть, что при t > 0
И ~h I и )
rf W = Trfrfrfv К1 “ а2) + 2 (1 + 2“2) г“ + t1 ~ °2)	> 0
\1т U
и, следовательно (см. задачу 4.40), g(t) —характеристическая функция. С дру-
гой стороны, как легко видеть, g(0 =/(0-}-при t > 0, или, что то же
i
1 Г
самое, / (0 = -г- 1 g (u) du, откуда в силу предыдущей задачи следует, что
1 J
о
/(0 —характеристическая функция одновершинного распределения. 4.174. Вос-
пользуйтесь задачей 4.172. 4.175. Да Примером может служить функция Вейер-
0°	fa
штрасса:/(0= /2Л+1> которая является характеристической функцией
h—о
распределения, приписывающего точкам 1, 5, 52, ..., 5А, ... вероятности 1/2, 1/4,
264
л
"1/8... 1/2MI,... 4.176. В качестве f(t) можпо взять любую безгранично дели-
мую характеристическую функцию, а в качестве g(t)—функцию |/(t)|. 4.177.
Пусть <р(() — характеристическая функция любой ограниченной несимметрич-
ной случайной величины. Положим /(0 = |(р(1) |2, g(0=q/-(0. 4.178. Пусть
/((i, ..., гп)—характеристическая функция а §(/)—характеристическая
функция £, (случайные величины ..., одинаково распределены). Тогда
/(1..... tn) = g(tl) . . . g(ln).
Глава 5
5.1. Введем события Ат = || %—ц	т = 1, 2, ... . Тогда = р} =
= П Ат. Предположим, что P(g = г]) < 1, т. е. ₽ \ П Лт)<1. Последнее не-
т=1	тит '
равенство означает, что существует т0, такое, что Р / Л А < 1 или
С другой стороны,
„ / 1 \ ! 1 \
!	1 \	(	1 А
<₽(|s-Sn|>^;) + p(lri~Tin|>^J-0 (2)
при п->оо. И, таким образом, (2) противоречит (1). 5.2. Предположим про-
тивное. Тогда существуют в > 0 и последовательность натуральных чисел
П1, п2, ..такие, что! а — fc I > в для всех к = 1, 2, ... Имеем
I мя nk I
ношения справедливы для всех элементарных событий, следовательно,
₽(Рп-%| + Ра-Ч|>е) = 1.	(О
Но
(2)
Из (1) и (2) сразу же получается противоречие с условием задачи. 5.3. Вос-
пользуйтесь неравенствами |а+&|^|а| + |&|,	||а|_|&||^|в_{)|,
\апЬ„— а6|^Ьп|<г„ — а | + а | Ьп — &|. 5.4. Либо а > О, Ь > 0, либо а < О,
Ь = 0. 5.5. Предположим противное: существует в > 0 и последовательность
натуральных чисел nlt п2,..., такие, что | ап& | в. Тогда Р ( | 47tjinh | вс)
Р С |	|	с)^6 т^»-0, что противоречит условию задачи. 5.6. Не ограничи-
вая общности, можно считать, что все ап равны нулю (в противном случае пе-
реходим к случайным величинам = ^„— а). По определению медианы
Предположим, что т^п -fr 0. Тогда существуют в > 0 и последовательность на-
туральных чисел щ, ns, ..., такие, что либо	— в, либо	Пусть,
например, выполнено второе неравенство. По условию задачи Р	с) —> 0
при /соо или Р < е) —> 1 и, следовательно, p(s„ft <	1 или
18 д. в. Прохоров и др.	265
Р (^nh m^nk) ~* О’ ЧТ° пРотивоРечит второму неравенству в (1). 5.8. Восполь-
р
зуйтесь реультатами задач 5.1 и 5.3а. 5.9. Покажите, что если (gn — g)2 -*0, то
Р
gn —» g и воспользуйтесь задачей 5.3, в. 5.10. Поскольку функция /(z) диф-
ференцируема в точке х = а, для любого е > 0 существует 6 > 0, такое, что
из |z — я| б следует
|/ (.г) — / (я)
х — а
е.
Для тех элементарных событий, где gn = а, положим Цп = 0 (это упро-
щает рассуждения). Очевидно, для этих элементарных событий нужное равен-
ство теперь выполнено. Фиксируем произвольное е > 0. Положим А^ =
— (и: | cf| — я|<б}. Очевидно, Р(4^)—>1 при п—>-оо для любого б > 0.
С другой стороны, для всех элементарных событий из 4^, где gn=£ а, |	| =
з. Таким образом, окончательно получаем
{ | Лп |	8} И> следовательно, Р(|т)п|	в)-> 1 при и-*оо. Вейлу произ-
Р
вольности е это означает, что — 0. 5.11. Множество {со: последовательность
т) 1
Ъп-а
/' (а)
gi, g2, ... сходится} является событием. 5.12. Воспользуйтесь аналогичными
свойствами числовых последовательностей. 5.13. Прежде всего заметим, что.
lim Р j (J { I gm — g I > s}) = 0 тогда и только тогда, когда
п->оо \т—п *	/
(ОО СО	X	00
л и {Rm —	=0 (так как события Вз. * * * * 8 * = U {lgm —gl>e).
n==l т=п	/	т~п ' ’	1 '
монотонно убывают по п). Далее, множество элементарных событий, для ко-
оо оо оо {	.Л
торых gn A g, совпадает с множеством A — (J f| (J j I gm — gl > _ 1.
k —1 tv. 1 m—n I	к )
Действительно, принадлежность co множеству А означает, что для этого <л
существует к, такое, что для любого п 1 найдется т п, такое, что
1 / 00 \
I g (со) — g (со) 1>-т-. Итак, если Р (J { I gm — g I > е} ) ->-0, то для любого
’	in,	\ т=п '	1	/
/ оо оо	X
«>0Р Л и {|gm-g|>8} =0
\п=1 т=п	/
п. н. Обратно, если -> § п.
/	оо оо	\
Р U П U	=°
I 1 п=1 т=п 11	* I
х е	/
и, следовательно, Р(4) — 0, т. е. -► g
н., то Р (4) = 0, следовательно,
(ОО СЮ	\
л и {I gm—g| >8} =0,
откуда P ( U { I gm — g I > e}) -> 0.
\m=n	*	/
P(|g„— g|^e бесконечное число
5.14. Достаточно заметить, что
(ОО ОО	\
Л и {1 gm — g I > е} In что
n=i т—пК	/
последняя вероятность равна нулю тогда и только тогда, когда
Р| U { I £1	)-*0 при га^-оо, и воспользоваться предыдущей задачей.
5.15. Воспользуйтесь критерием Коши для числовых последовательностей.
5.16. Воспользуйтесь задачей 5.13 и следующим равенством:
Р (sup I gft — g I >	= Р I U { I g — g I > e} ).	5.17. Используйте две пре-
\fi>n	/ \m=n	’)
дыдущие задачи. 5.18. Заметим, что из условия задачи следует, что при любом
266
oo
положительном e 2 P ( I ? I > 8) -> ° при n -> oo, откуда
m —n
lim P ( U { |	— U > e} ) = 0. Применяя задачу 5.13, получаем gn 5 п. н.
n-»oo \т~п '	/
5.19. Из суммируемости последовательности ei, ••• следует, что
оо
2 е^°	О)
h=n
при п -> оо. Пусть е — произвольное положительное число. В силу (1) сущест-
вует п0, такое, что прип nQ У, ек < е. Имеем
k=n
р (sup I ?„+ft - Bn | > e] < P [ sup | ln+h - - 5n I > 2 C J <
/	\	k—n j
Применяя теперь задачу 5.17, получим нужное утверждение. 5.20. Для каждо-
го целого положительного т обозначим п(т) максимальный член последова-
тельности, фигурирующей в условии задачи, удовлетворяющий условию
п(т) < т. Имеем п(т)-*-оо при т -* оо и, следовательно, Rm— Вп(т>|-*0
П. Н. при т-+оо. Таким образом, 0 с' Rm — || С Rm — Bn(m)| + Rn(m> — Bl ->
—> 0 п. н., t. e. 5m-* В n. н. при zn->-oo. 5.21. Примените задачу 5.13. 5.22. При-
мените задачу 5.13. 5.23. Пусть (Q, Р)—вероятностное пространство, где
О — окружность единичной длины, — о-алгебра борелевских подмножеств Q,
Р — мера Лебега. Рассмотрим последовательность дуг Л,, Л2, ... следующего
вида: Л, имеет длину 1/2 и откладывается от произвольной точки против часо-
вой стрелки, дуга Л2 имеет длину 1/3 и откладывается в том же направлении
и ее начало совпадает с концом дуги Л|, вообще, дуга Л„ имеет длину --
n-f-1
и откладывается от конца дуги Лп_; в том же направлении, что и все дуги.
Рассмотрим последовательность случайных величин Bn(w) на (Q, г?/, Р),
п = 1, 2, ...:
1 при а е Ап,
0 при а	n = 1, 2, ...
Р
Очевидно, что	но пе сходится ни в одной точке Q. 5.24. а) Пусть
для определенности а > 0. Для любого б > 0 существует п0 такое, что при
п п0
P{Bn > а/2} > 1 - 5.	(1)
Обозначим Л= П (Вп > «/2}. Неравенство (1) означает, что
">по
Р(Л)>1-б.	(2)
При п js п0 имеем
р(л п	(3)
Gi	11	\
ё~ — — Ь>е б. В силу произвольно-
го	“ I	j
к =!
18*
267
сти 5 это означает, чтоР^^—— — |>в^-»0прп п-*оо б) Воспользуйтесь
аналогичным свойством для числовых последовательностей. 5.25. Достаточность
очевидна. Докажем необходимость. Пусть пространство пе является атомиче-
ским. Тогда существует событие А такое, что а — Р(Л) > 0 и никакое подмно-
жество А не является атомом. Итак, можно выбрать последовательность собы-
тий И], Ai, ... следующим образом:
At с A, i = 1, 2, ...,
Р(4.) = Р(Л2) = а/2, Л,ПЛ2 = 0,
Р(Л3) = Р(Л4) = Р(Л5) = а/3, А,- П Aj = 0, i =# /; i, j = 3, 4, 5,
Р(Л6) = Р(Л;) = Р(Л6) = Р(Л9) = а/4, Ai f] Aj = 0, i ¥= /; i, j = 6, 7, 8, 9,
Тогда JA -> 0,
лп
но не сходится с вероятностью 1. 5.26. Пусть 5п сходится к
g
е
В
в метрике d. Применяя неравенство Чебышева, получаем для любого
—— Е
е
0 при п оо. Обратно, пусть
Р
5- Воспользуемся следующим неравенством (см. задачу 3.236): если
5	0 и /(ж)—пе возрастающая при ж 0 положительная
Р(5	°)	Е/(£)//(а)- Отсюда следует, что при любом е > 0
функция, то
1
l-(l+e)E1 + |^_^<p(|gn-q>e)->°	(1)
при п->оо. Устремляя е->0, получаем 1 — (1 + g) Е t .  ь-----------п
1 I I Sn — &
1 I - В I
1 — Е ।	। = Е 1	।	_g । Отсюда и из (1) окончательно получаем-
|5п-5| "	"
Е ।	__- । -* 0 при п—> оо. 5.28. Воспользуйтесь обобщенным неравенством
Чебышёва Р(| gn — 51 е) sg: Е| gn — 51 р/ер (е > 0, р > 0). 5.29. На вероятност-
ном пространстве (Q,	Р), представляющем собой отрезок [0, 1] с о-алгеброй
борелевских подмножеств и мерой Лебега в качестве Р, рассмотрим последова-
тельность случайных величин 5ь 5г, ..., определенную следующим образом:
В„ = В„«о) = К прп
(.0 при 1 /п < со	1.
Р
Очевидно, 5„ -> 0 (и даже 5п~*5 п. и.), ио Е1 5п|р = е?п1п -> оо прп любом
р > 0. 5.30. См. решение задачи 5.23. 5.31. См. решение задачи 5.29. 5.32. Из за-
Р	Р
дач 5.22 и 5.28 следует, что £п —> 5 и 5П —• Щ поэтому, в силу задачи 5.1
₽(5 — л) — 1- 5-33. Воспользуйтесь тем, что характеристическая функция рас-
пределения Рп есть « ". 5.34. Пусть ₽„-*₽• Это значит, что для любой нс-
ОО	сю
прерывной ограниченной функции f(x) j / (ж) dPn j f (x) dP. Положим
— OO	—oo
/(Ze) « s=o при |я —&] >1/2 и f(x) линейна на каждом из отрезков
268
[/с-1/2, *],	[/с, к + 1/2]. Тогда
ОО	оо
₽П W = J / М dPn -> J / (z) dP = Р (к).
— ОО	—оо
Обратно, пусть Рп(к) -> Р(к) для каждого целого к.
СО
Тогда J / (х) dPn =
— оо
«= 2 У (*) pn W -* 2 У № ₽ W = i У (ж) ^Р. 5.35. Воспользуйтесь тем,
k——оо	h — — oo	_со
что для любой непрерывной ограничеппой функции f(x) интеграл
ОО
J / (z) dPn представляет собой интегральную сумму Римана для интеграла
— ОО
ОО	]
У / (z) dP = У / (х) dx. 5.36. Докажите, что Fn (х) -> F(x) во всех точках не-
— оо	о
прерывности F(x). 5.37. Возьмем в качестве Рп вероятностную меру, сосредото-
ченную в точке 1/ге, в качество Р — вероятностную меру, сосредоточенную в
нуле, и положим
[1 при х<0,
У(я) =
(.0 при х > 0.
ОО
5.38. Р„(0) = 1 - 1/«, Рп(п) = 1/п, Р(0) = 1, Цх) = х. Тогда У / (z) dPn =
— оо
= 1 А 0 = | У (z) dP. 5.39. Доказывается так же, как и в случае числовых
— оо
последовательностей. 5.40. Фиксируем произвольное положительное 8. Выберем
в множестве А точки яд, ..., xN так, чтобы zi < z2 < ... < xN и
— F(zi+,)|  е/5, I — 1, 2, ..., /V — 1, и выберем п0 достаточно большим,
чтобы |Fn(z()—F(xi)\ ^.г/5. Пусть хеА. Выберем к так, чтобы xk х
zft+1. Имеем: |	(z) - F (x) | < | Fn (z) — Fn (zft) | + | F„ (zft) — F (zft) | +
+ |E(zft)-F(z)|<|F„(zft+i)-F„(zft)| + |F„(z0-B(zft)| + |F(zft)-
- F (z) | < | Fn (zft+1) - F (zft+1) | + | F (zft+1) - F (zft) | + | F (zft) - Fn (zft) | +
e 8 e 8 e
+ \Pn Ы-F^) | + | F(xh)-F(x^ - + T + T + - + -5-= e.
5.42. а)-*б) Для любого 8 > 0 постройте равномерно непрерывную функцию
/(z) такую, что 0^/(z)^l, /(z) = 1 при isS и j / (z) dP < в.
RV\B
Тогда lim sup P,, (B) lim I / (z) dPn — 1 / (z) dP < P (B) -f-e. б) -> в) Пе-
П~*оо	П-*оо J	»•'
— 00	—00
рейдите к дополнениям, в) -> а) Вначале покажите, что для любой
ОО	оо
непрерывной ограниченной функции /(z) lim sup / (z) dPn <	/ (z) dP,
П-+00	J	J
— 00	—00
затем рассмотрите функцию — /(z). 5.43. Обозначим через Л° внутренность
множества А, а через А — его замыкание. В силу предыдущей задачи
Р (й) > lim sup Pv (л) lim sup Рп (Л) > lim inf Pn (Л) > lim inf Pn (Л°) >P (Л0)-
n-»oo '	n-*tx>	11^*00
Если Р(бЛ) = 0, то крайние члены равны Р(Л) и получаем lim Рп (Л) = Р (Л).
п->оо
Обратно. Пусть В — произвольное замкнутое множество. Обозначим Вд и Сл
269
множества	B® = /z: inf |ж— y\ s^Sl, С6 = lx: inf |z — y| —6l.
I 17=B	I	I ySB	I
Тогда дВб С6 и, следовательно, множества 3Ba при различных 6 не пересека-
ются, поэтому не более чем счетное их число имеет положительную Р-меру.
Следовательно, для некоторой последовательности положительных б», стремя-
щейся к нулю, множества В6 являются P-непрерывными множествами и, значит,
lim sup Pn (В)< lim Pn (s6,t) = Р (вб/!) для каждого к. Но множества
П-»ОО	71^00
В^ь монотонно убывают и сходятся к В, поэтому lim sup Р)г (В) г^Р (В).
Г1—»оо
IV
Отсюда, используя предыдущую задачу, получаем ₽п -* ₽. 5.44. Воспользуй-
тесь тем, что функция, непрерывная на замкнутом ограниченном множестве,
равномерно непрерывна. 5.45. Воспользуйтесь тем, что каждую ограниченную
непрерывную функцию можно с любой степенью точности приблизить в рав-
номерной метрике ограниченными непрерывными функциями, обладающими
ограниченными непрерывными производными любого порядка. 5.46. Приблизьте
непрерывными функциями распределения индикаторы полупрямых. 5.47. Обо-
значим G(x), Gi(z), С2(ж), ... функции распределения случайных величин
5, §i,	••• соответственно. Тогда функции распределения случайных ве-
ОО
личип ц — Вп и г] — £ равны соответственно Нп (х) = j F (х -f-1) dGn(t) и
— 00
оо
Н (х) = F (z-|- t) dG (t). Таким образом, имеем ₽(т]< gn) = Р (ц —	< 0) =
— оо
оо
= [ F (х) dGn (х) = Е (/•’	и аналогично Р(ц < g) = E(F(g)), откуда еле-
—оо
дует нужное утверждение. 5.50. Пусть f(x) — произвольная непрерывная огра
ниченная функция, |/(z) | sj С. Для любого А > 0 имеем
оо	оо	оо
J /(г)<1Рп—	/ (х) dP < J |/(г) I |р„(х) — p(x)\dx^
— оо	—оо	—оо
(А
[ (PnW+?W)^+ J pnW — p(z)\d.r
-A
Первый интеграл можно сделать сколь угодно малым, выбирая достаточш
большим А, второй интеграл можно сделать при фиксированном А сколь угод
но малым, выбирая достаточно большим п. Обратное, вообще говоря, неверно
5.51. Пусть f(t), p„(t), p(t), qn(t) — характеристические функции распре
делений R„, R, Р„, Р, Q„ соответственно. Тогда fn(t) -> f(t), р„(«) —►₽(«) 1
/„(() =Рп(0?п(0 при каждом п. Выберем б>0 достаточно малым, чтоб1
|/«(1) I > О и |p„(t) | > 0 при |1| < б. Тогда при |«| < б ?„(() = f„(0/pn(O-
->-f(«)/p(i), причем функция f(l)/p(l) непрерывна в нуле, следовательно
f(;)/p(i)—характеристическая функция и Q„ слабо сходится к соответствую
щему распределению. 5.52. а) Нет; б) нет; в) да; г) да. 5.53. Плотными явля
ются семейства распределений, указанные в пунктах в) иг). 5.55. Это семей
ство является плотным (для доказательства этого достаточно воспользоватьс
неравенством Чебышева), и, следовательно, в силу предыдущей задачи оно
относительно компактно. 5.56. Воспользуйтесь задачей 5.54 (впрочем, эту за
дачу легко решить и непосредственно). 5.57. Если последовательность Fi(x)
Fi{x), ... плотна, то для любого е>0 существует А >0 такое, что
1— Fn(A) + Fn(—A) < в для всех п, откуда 1 —Е„(Л)< е и Е„(—Л)< в, то
есть Еп(г)-*1 при х-+оо и Fn(x)->-0 при х->----оо равномерно по п. Аналс
гично проводится доказательство в обратную сторону. 5.58. Пусть L(Fn, F) ->о
270
Покажем, что Fn(x) —> F (х) в каждой точке непрерывности F(x). Пусть
х — точка непрерывности F(x). Имеем F(x — е„) — en si F„(x) sg F(x -j- en)+en,
где en 0 при п оо, или F(x — е„) — F(x) — en F„(x) — F(x) F (х + en) —
— F(z) + е„. В силу непрерывности F(x) в точке х F(х — е„) — F(т)	0 и
F (х + е„) — F(x) -> 0 при п оо, откуда Fn (х) — F(x) -> 0. Обратно, пусть
Fn(x) -+F(x) в каждой точке непрерывности F(x), т. е.
—вп ь/ F(x) — Fn(x) е„,	(1)
где вп 0 при п -> оо. Пусть х — произвольная точка. Выберем последователь-
ность б], б2,-.. так, чтобы б„ -* 0, а точки х + бп и х — б„ были точками непре-
рывности функции распределения F (х) при любом п. Положим Дп =
= max {е„. бп}. Учитывая (1), получаем F(x) si F(x.+ б„) Fn(x + бп) + en
sg Fn (х + Дп) + Дп и аналогично F (х) Fn(x — Д„). 5.59. Пусть /„(ti, t2)—
характеристическая функция случайного вектора (£„, Цп), а фп(0—характе-
ристическая функция случайной величины + Цп. Тогда фп(1) =
= Е exp {ii(Ejn + Цп)} = Е exp {i(i£n + И]п)} =/n(f, t). Точно так же, если
f(ti, t2) и ф(£)—характеристические функции (£, ц) и g + ц соответственно,
ТО ф(/) — f(t, t). Но ПО условию /п(<1, t2)->/(ll, 1г) ДЛЯ всех t] И <2, поэтому
W	Р
Ф„(г)->т(г) и- следовательно, + цп g + 1]. 5.60. Пусть gn -> £. Доста-
точно показать, что при каждом веществеппом t последовательность характери-
стических функций ф|(/), ф2(0> ••• случайных величин g2, ••• сходится
к характеристической функции ф(<) случайной величины £. Для любого t и
любого положительного е имеем
| <₽„«)- Ф(О|< f ЬЩп-е;‘фР+ J
\-ri—;|<Е
<Р (|	|>е) + f |Л('” - lldP,
откуда, учитывая сходимость и g по вероятности, непрерывность функции
eix и произвольность е, получаем нужное утверждение. 5.61. Например, после-
довательность gi, g2, • • •. определенная следующим образом: g! = 1 с вероят-
ностью 1/2 и §! = 0 с вероятностью 1/2, g2ft+i = k = 1, 2, ...
{0, если g, =1,
1, если £ = 0.
5.62. Воспользуйтесь неравенствами
g£U) dFn (х), где Fn{x) — функция распределения gn, «=1,2,
а
функции /£(х) и gt(x) определяются следующим образом:
Зе
g- и х а +
при а — е «С х sj а + е
/е(*) = 1
(о
прп х
Зе
2 ’
и }г(х) линейна на каждом
из
Г Зе
отрезков а — а — е
Зе
2
а —
1
0
при х а -
е
при а —
е
271
и ge(z) липейпа па каждом из отрезков |а — е, а — -у | и | а + ~2~> я + ej.
5.63. Вообще говоря, нет. Например, в случае, когда все §2, ... независи-
мы и одинаково распределены. 5.64. б) P(|gnr)n| si е) >P(|gnr|7>| е, |g„| С
<4) >P(|rin|	|gn| <4) >1-P(hn| >e/4)-J>(|g„| >4).	5.65.
Р	Р
В силу пункта б) предыдущей задачи t,n | gn | -> 0 и, следовательно, gn — О,
откуда, применяя пункт а) предыдущей задачи, получаем т]п = g^-f- (r]n—
— gn) Д. g. 5.66. Сведите задачу к предыдущей, используя тот факт, что из
неравенства |ж —j/[ sg е|у| при е < 1/2 следует неравенство |я — р|
2е [ х |. 5.67. Последовательность Fi(x), F2(x), ... сходится к функции
I и при х «Д О,
6(*) = ,	Хп
11 — р при х > О
в каждой точке вещественной прямой, за исключением, быть может, точки 0.
5.68. Используйте задачу 5.64. 5.69. Воспользуйтесь предыдущей задачей. 5.70.
£ с вероятностью единица принимает значение 0, а каждое gn с вероятностью
1/2" принимает значение 2П и с вероятностью 1 — 1/2" — пулевое значение.
1 1
5.71. £n = п с вероятностью —и gn = 0 с вероятностью 1 ——. 5.72. Пример,
когда Egn существует, a Eg — нет: g—любая случайная величина с бесконеч-
ным математическим ожиданием,
_ !g, если | g К п,
"	10, если | с | > п.
Обратный пример: g — случайная величина с конечным математическим
1
ожиданием, т) — с бесконечным, gn = g + — т). 5.73. | Egn — Eg |	Е|gn — g |
еС (E|gn — g|)1/2-*0 при п -* оо. 5.74. Достаточно доказать, что существуют
такие е0 > 0 и п0, что для любого е < е0 и для всех п па
„2 ‘А I -
°	< °П + 8-
(1)
Не ограничивая общности, можно считать, что математическое ожидание рас-
пределения равно нулю. Для данного е > 0 найдем такие N > 1 и па, что при
к = 0, 1, 2
x*dFn (,т) —	| xhdF (х)
|x|'«N
(2)
(3)
272
Применим неравенство Коши — Буняковского:
Г У ?dFn(x) j < j ЛДДг) J dFn(x)<^~ j Afn(r).	(5)
\|x|>N	/	|x|>.V	|x|>,V	|x|>N
Для последнего слагаемого в правой части (4) можно написать неравенство
2 J х dFn (х) J xdFn (я) < 2 j" xidFn (х) у xdFn (х) —
jx|CN	lx|,>.V	Jxi>.V	Ixl^N
— У xdF(x)— xdF (x)	x2 dFn(x). (6)
|х|<Л	|.r>N	|х|'>У
Кроме того,
(7)
(8)
5.75. Используйте неравенства (2), (3), (8) из решения предыдущей задачи.
5.76. Нет, не обязано. Пример: Fn приписывает точкам 0, п, —п вероятности
1	1	1
1—_—- соответственно, F — вырожденное в пуле распределение.
/г2 2п2 2п2
В этом случае п2 = 1, п = 1, 2, ...,& = 1, о2 = 0. 5.77. См. решение задачи
5.75. 5.78. Равномерная интегрируемость означает, что для любого положитель-
ного е существует а > 0, такое, что sup 1	| gn | dP е. Отсюда
п J
1£п1>а
supE|g„| = sup/ 1	| gn | d? + I Цп| dP < sup (e + а) = s +а < oo.
П	n I lt	V
\Rnl2*“
У
j' +
P(|g| =И) =0
< У In HP.
1Ш>а
+ f НИР-
l£l>a
5.79. Примените обобщенное неравенство Чебышева. 5.80.
5.81. Докажите, что lim sup | Egn—Eg sup
П-»оо	п
5.82. Покажите, что для тех а, при которых
gdP. 5.83. Положим а = sup Е | gn |, тогда равномерно по п
I5n*i>a llfea
р(| §п| с) а/с. Фиксируем произвольное е > 0. По условию задачи для
пего существует 6 > 0, такое, что из условия Р(Е) еС б следует, что
sup f |g |dP<e. 5.84. Нет. Пример: Р = — 1) = ₽ (£n = 1) =
{15п|>с}
e. Возьмем
б
следовательно,
273
P (g = 0) = Р (5 = 2) = -L
p
a = l. 5.85. Ответ изменится. Имеем lsn|->-|£|
и значит последовательность ]&t], |5г|, ••• равномерно интегрируема (зада-
ча 5.82), но тогда равномерно интегрируема и последовательность | § 1 -f- а |,
Р
|52 + а|, ••• Кроме того, 15n + “ I l£+al, откуда (задача 5.81) следует, что
Е|5п + «| -* Е|5 + «|. 5.86. Покажите, что для любого вещественного А > 0 су-
ществует с, такое, что /(| 5n |) d₽ A j |£n|dP.	5.87. Для любого
а>1 и любого п J | ln \r'dP = J |5np₽< J j s„ p₽
и, следовательно, sup I I 5„ jr,dP sup 1	|£nlrdP->-0, a-> 00.
n J, 1	n •’ . .
|^тг|г	|5я|г2гаГ r ,	,
5.88.	Как следует из задачи 5.79 последовательность! |г , | |г , ... равномер-
но интегрируема и, следовательно, в силу задачи 5.81, Е[?„|г сходится к Е |г'.
5.89. 5п сходится по вероятности к пулю (при любом a); Е| 5п |г -* 0 при аг < 1,
при ar = 1 E|£„|r = 1 для всех п, при ar > 1 Е|§„|г->-оо. 5.90. Из задачи 5.82
следует, что последовательность 5ь 5г, •  а значит и последовательность
Р
1^1 — 5|, |5г—51, ••• равномерно интегрируемы. Кроме того, | 5„ — 5|~^0.
Отсюда (задача 5.81) следует, что Е|5п — 5 I -* 0. 5.91. Из задачи 5.82 следует,
что последовательность 51, Вг, • • • равномерно интегрируема. Ио тогда в силу
задачи 5.80 последовательность тщ т]2, ..., а значит и последовательность
Р
|т]1 — 01, |т]2—Л|» ••• равномерно интегрируемы. Кроме того, | т)п—г]|->-0.
Отсюда (задача 5.81) следует, что Е ] rjn — т) | —► 0. 5.92. Если г 1, то
| Е | 5„ |г — Е | 51г | Е | 5 п — 5 |г -» 0. Если же г > 1, то по неравенству Минковско-
го | (Е j 5т> |г)1/г — (Е| 5 Г) 1/г| £$ (Е | 5« — 5 Iг) |/г->- 0. 5.93. Выберем последова-
ОО
тельпость Bi, е2, ... так, что еп —► 0 при п -> оо, но ряд У Е | 5П |р/ер сходится.
71=1
Тогда, в силу неравенства Чебышева, ₽(|5п|^ еп)^ Е|5п|?/ери, следовательно,
2j ₽ (|	> Еп) < 00> откуда, применяя задачу 5.18, получаем 5п -* 0 п. п.
71 = 1
5.94.	Из задачи 5.77 следует, что Е| 5„| ->Е|5| и, значит, (задача (5.82)) последо-
вательность I5i|, |5г|, . ., а следовательно, и последовательность 51, Вг, •••
равномерно интегрируемы. Следовательно, |5i — £1, |?2—£!,••• равномерно
Р
интегрируема и, кроме того, | 5П — 5 | > 0 поэтому (задача 5.81) Е15п — 51	0.
5.95.	Решение аналогично решению предыдущей задачи (используйте задачи
5.81, 5.82 и 5.74). 5.96. Из равномерной интегрируемости следует (задача 5.78),
что
sup Е | 5П |б<оо.
(1)
С другой стороны, вследствие обобщенного неравенства Чебышева Р(|5п| =5= a)sS
Е| 5п|б/аб. Отсюда и из (1) следует, что sup ₽ (| 5n | > a) < sup Е | 5П |б/аб,
71	П
то есть последовательность распределений случайных величин 5ь §2, ••• плот-
р
на. 5.97. Нет. Действительно, из сходимости	° CJIWeT сходимость
р	р
—> 0 и, таким образом, 5n/rln“*0-	5.98. Сходимость по Хинчп-
274
ву, очевидно, эквивалентна тому, что
X
J tdFn (О
п-------->оо,	71-коо.	(1)
J Щ (О
к
р
Величина, стоящая в числителе, ограничена сверху числом х и если 1-п	0.
то величина, стоящая в знаменателе, ограничена для некоторой подпоследова-
тельности «1, «г, •   некоторым положительным числом снизу, то есть (2) в
Р
этом случае пе имеет места. Таким образом, £п->0. 5.99. Нет. Достаточно
положить
0
71 — 1
с вероятностью —-—
1
с вероятностью —
X	X
5.100. Соотношения ^->0и)|п-»0 эквивалентны соответственно следую-
щим:	-* 0, Ег]<х)/Ег)п -+ 0 для любого х > 0, где
t(x) _
рп,
I °’
|(Х) _
1д
Пп.
.о, Лп<х
(см. задачу 5.98). Имеем
_/t 4-п\(х)	/	₽Ё(х/2)	Еп(х/2) \	/е£<ж/2)	Еп(х/2)\
E(SnT^'ln) <-о I	1	4'i	|<'2| ’п [ 1п |-»-0
Е + М " k ES„ + Ч, + Ч	)
5.101. Из условия задачи следует, что
Sn-Sn+l^O-	(1)
Пусть /„(/)—характеристическая функция случайной величины gn, тг =
= 1, 2, ...Из (1) следует, что 7n(t)/n+i(—01 и, значит, |/n(0 I l/n+i(—01 **
-> 1, откуда |/«(0 |-> 1. Но |/„(0 * |/(«)1, гДе /(0~ характеристическая функ-
ция случайной величины g. Следовательно, |/(0 I = 1. т- е. § имеет вырожден-
ное распределение. 5.102. Покажите, что Р (последовательность Ь, £2, ... фун-
даментальна) = 0. 5.103. Нет. 5.101. Пусть /(0, /1(0, /г(0, •••—характеристи-
ческие функции случайных величии £, Ь, Ь, соответственно. Тогда
/п(0~>/(0 и /„(0 =	(0 «-‘^.где gi(0, £г(0, ...— некоторые характеристи-
ческие функции. Имеем gn (0 -> / (t)/e—*3/з, причем предельпая функция не-
прерывна в пуле. Следовательно, опа является характеристической функцией.
/ оо	\	°°
5.105. Имеем Р I 1) { | \ — г](, | > е} < У Р (| b — PJt | > е)-> 0 при п <х>
\	/ h~n
и, следовательно, в силу задачи 5.13, £п — т)п->-0 п. п. Но тогда (задача 5.12)
In = (Ь, — Л») +цп-*«. 5.106. Используйте равенства
ОО
оо
Р (^vn <	Р < *) р (Vn = k)-
275
5.107. Покажите, что из фундаментальности по вероятности последователь-
ности gi, £2, ••• следует фундаментальность по вероятности последовательности
т)1, т|2, ••• и воспользуйтесь задачей 5.7. 5.108. Для любого s>0 существуют
положительные 61, ..., б&, такие, что если | х±—ir' 6Т, ..., | xh—x'h 6ft, то
....•••• 4) I <8, ПОЭТОМУ P(|g(gnl....................M~^l’ •••
k
.. ., gA)| > e) < 2 ₽(Rni — |>fii)-*° ПРИ и->оо. 5.109. Пусть Д('ь •••
i=l
..., tn)—характеристическая функция случайного вектора 5», /(Zi, • ., М—
характеристическая функция случайного вектора(,г) и <р'(м)—характери-
стические функции (5n, I) и (5, I) соответственно (I — (lt, ..., Z,,)). Тогда
4(/1, •••> г71) = Фп (!)./(fb •••. М = Ф* (1) и, следовательно, ..., Z„)->
-►/(Zi, • • tn) для любого Z. 5.110. Воспользуйтесь задачами 5.64 и 5.109. 5.111.
Воспользуйтесь тем, что каждый замкнутый ограниченный прямоугольник па
плоскости является компактом и, что каждый компакт можно поместить в не-
который прямоугольник.
Глава 6
6.1. Выполняется. 6.2. Выполняется. 6.3. Да. 6.4. Да. Воспользуйтесь нера-
венством Чебышева и тем, что Ej„ = 0, Dgn = 1/2. 6.5. Нет. Пусть
е<1. Тогда	| > s) > Р (gn = 2",
ХР ( g] + '" + gn;2 ----------— > в) = Р (5П = 2п, §п_1 = 2"-1) = 1/4.
6.6.	Нет. 6.7. Нет. 6.8. Да. 6.9. Да. 6.10. Применим. Воспользуйтесь равенством
I2 + 22 + ... + п1 = (п(п + 1) (2п + 1) )/6. 6.11. Нет. Так как характеристиче-
ская функция 5п равна cos Z, то характеристическая функция (51+ • •. +ьп)/»
t Y2t	У nt
равна fn (Z) = cos — cos —-— ... cos —-—. Пусть 0 < t < л/2 и n — четное.
Z n _,г/.
Тогда 0 </n (Z) <^coszjy==j ->e	. 6.12. a < 1/2. 6.13. Воспользуйтесь нера-
венством Чебышева. 6.14. Воспользуйтесь неравенством Чебышева. 6.15. Пока-
/5 + . . + \	1
жите, что D —-----------— 1^—г / D6i- 6.16. Пусть Dg, С/ С, Z = 1, 2,...
\ п / п **
i=l
Не ограничивая общности будем считать, что имеют пулевые математиче-
ские ожидания. Имеем
п
36’
—->0 при
\п / I “	/ \п ) I *•	*
\ 1=1	г=^}	/	\ i=l	|i-11 * 1,
п оо. Используя теперь неравенство Чебышева, получаем утверж-
дение задачи. 6.17. Пусть Dg,- sg С, Z = 1, 2, ... Тогда	А =
п
1 1 1 **
= —У + —V COV (£.,	<— У Dgj < — 6.18. Воспользуйтесь пера-
1=1	гУТ	г=1
венством 2 cov	g (| I — j |) (о? + о2) и неравенством Чебышева.
I I ь \ 1 ( П	\
6.19.	Воспользуйтесь равенством D^-^----------пI 2D*i+2C0V Г
\i=l i7±j	J
276
6.20.	a2 u_ g2~	6.21. Поскольку |r]„— Ец„|^2Ся, можно без ограничения
общности считать, что Eg,- = 0, 1=1, 2, ... Пусть А > 0. Положим рА =
= ₽(|i]n|	Л), дА = 1 — рА. Тогда Dr]n = Ец2 < Л2рл-|-С2я25А<Л2+ С2п2дА,
а А2
откуда 9а>-2-^,
т. е. дА не стремится к нулю при я—>- оо. 6.22. Без огра-
ничения общности можно считать, что имеют нулевое математическое ожида-
„	’Б+'-’ + Лп	(п — 1)Е .	, 1 . п-
ние. Имеем —------------=?	------'?>+•••+—6П- Пусть f(t)— харак-
п	Ъ1 1 п 1	п
теристическад функция gi, g„(Z) — характеристическая функция
н ~ ' t । д_ — t и hn(t)—характеристическая функция —------------------
п =2 г ' ‘	' п	п
Достаточно показать, что hn(t) -А- 1 для некоторого t. Поскольку =/= 0,
существует t, такое, что \f(t) | < 1. Но |/г„(г) | = |/(t) 11 g„(t) |	|/(0|.
Докажем теперь, что для последовательности а|Щ, а2>12, ••• выполняется ЗБЧ.
Пусть о2 — дисперсия gi. Тогда Da,lMn = апп°2- Далее, так как а2->-0,
+ 2«2 + . .. + па2п
-------2—2----------->0 при я -> оо,
и
1 П
Отсюда “г z Dr] - -<-0
п
при п-1- 00.	6.23. Покажите, что
(^-П1)+ +(£„-%') PQ
п
6.24. Пет. 6.25. Нет. 6.26. Воспользуйтесь пера-
венством Чебышева и следующим утверждением: если щ, а2,... — последователь-
ность вещественных чисел таких, что яп-> а при п ->оо, то (<ц + ...-)-ап)/я-> а
прп я ->- <». 6.27. Нет. Достаточно положить — (—!)*§, где § — невырожденная
случайная величина с пулевым математическим ожиданием и а2, = 1, a2i-i = 0.
6.28. Да. 6.29. Не ограничивая общности можно считать, что с = 1. Пусть fn(t) и
+ •.. + ln ’1j+ • • • + Пп
gn(t)—характеристические функции сумм ------------- и -----------соот-
ветственно. Воспользуйтесь тем, что fn (1) = JJ (1 - 2Рр) + Pk cos
a=iL
TT Г	/ср (n ) t \ ]
> H1 — ^kl + Qk cost-~—) =A'„(0- 6.30. См. указание к предыдущей
k=l L	X / J
задаче. 6.31. Нет. 6.32. He ограничивая общности будем считать, что = 0.
Пусть /(/) — характеристическая функция и срп(()—характеристическая
1С11\ (с21\	(сп*\
функция (с^| + ... + Сп1п)/п. Тогда Ф„ (1) = / j f j ... f 1^—J. Далее,
для некоторого б > 0 функция |/(t) | монотонно не возрастает при 0 < t < б.
I 1С^\\Н
Таким образом, при 0 < t < б имеем	/
71— Г — 1	I Cnt\ °212(:п
Р ^[п/2]^ |	12 откуда, учитывая, что	= 1-—-+ o(t2) при
t-* 0, получаем, что |срл (/) |->-1 тогда и только тогда, когда сп/}'я->0при
л->оо. 6.33. Воспользуйтесь теоремой «о двух рядах». 6.34. Пусть/П(Р)—характе-

ристическая функция £i+...+£n. Тогда fn (t) = JJ exp । —
277
Ь=1
и, следовательно, fn(t) сходится к непрерывной в пуле функ-
оо
ции тогда и только тогда, когда У о2 < °°- 6.35. Воспользуйтесь тем, что если
fc=i
сумма двух независимых случайных величин почти наверное постоянная, то каж-
дое из слагаемых — почти наверное постоянная. 6.36. Нет. 6.37. Воспользуйтесь
тем, что 2	— (2 ^>)<S)	6-38. Пусть /п(4) и gn(t) — характеристические
п	п
функции случайных величин	соответственно. По условикх
fn(t)gn(t) ->ф(4), где ф (4) — характеристическая функция. Отсюда
|/п(4) 12|gn(4) |2-> |ф(4) |2. Следовательно, последовательности |/n(f) |2 и |gn(4) |2
сходятся к непрерывным в нуле функциям. Но |/к(4) |2 и |g„(4) |2 — характери-
п	п
стические функции случайных величин 2 W и 2 поэтому ряды
Ь=1	Ь=1
оо	ОО
S и 2 почти наверное сходятся. Применяя предыдущую задачу, по-
n=i	п=1
лучаем, что для некоторых последовательностей вещественных чисел ai, а% ... и
оо	оо
J], &2. • • • почти наверное сходятся ряды У (^-%) и У (п„ - Ьп). 6.39. По-
П= 1	74—1
кажите, что из сходимости по вероятности ряда У £>п вытекает существо-
71 = 1
оо
ванне последовательности {ап} такой, что ряд У — ап} сходится с ве-
П = 1
оо
роятностью 1. Тогда будет сходиться ряд У а„ как разность двух сходя-
П = 1
щихся по вероятности рядов и, следовательно, будет сходиться с вероят-
ОО
постью 1 ряд У £пкак сумма двух сходящихся с вероятностью 1 рядов.
П=1
6.40. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 6.41. Воспользуйтесь за-
дачей 6.39. 6.42. Воспользуйтесь задачей 4.54 6.43. Воспользуйтесь результа-
тами задач 4.54 и 6.37. 6.44. Пусть /п(4) — характеристическая функция слу-
п
чайной величины У Достаточно доказать, что /„(4) сходится в пеко-
/<=1
торой окрестности пуля к непрерывной в пуле функции. Характеристическая
функция Jji равна cos t. Существуют положительные а, b и б, такие, что
ехр {—at2} si cos 4 sj: ехр {—bt2} при |4| б. Но /„(4) = cos c,t cos c2t... cos cn4,
следовательно, exp [— at'2 (c2-|- ... + c2 )) < /„ (4) exp {— bt" (c2 -j- ... + c2 ))
при 14| s^6. Кроме того, последовательность {/n(4)} монотонно не возрастает, и,
следовательно, для сходимости ее к непрерывной в нуле функции при |4|	&
ОО
необходимо и достаточно выполнения условия У с2 < оо. 6.45. См. решение за-
П=1
дачи 6.44. 6.46. См. решение задачи 6.44. 6.47. Достаточность следует из теоремы
о двух рядах. Докажем необходимость. Пусть /(4) —характеристическая функ-
ция случайной величины и g„(4) — характеристическая функция частичной
278
п	оо
суммы У, cklh. Если ряд 2 стЛп почти наверное сходится, то gn(t) сходит-
к=1	п—1
п	оо
ся к непрерывной в нуле функции. Имеем gn (f) = JJ f Пусть У, с2 =
Й = 1	Па|
= оо. Существуют положительные б н е (см. задачу 4.119), такие, что |/(t) |
1/ п \ 1
— et2 I У ск jI
\h=»l /I
и, следовательно, gn(0_>0 при |i| ^5, «=#0 и gn(O)->l. Противоречие. 6.48.
См. решение предыдущей задачи. 6.49. Не ограничивая общности, можно счи-
(ОО
так как сходимость ряда У, очевидно, эквивалентна сходи-
n=i
оо	\	оо
мости ряда У С-15п I. Тогда Dgn EEj„ и сходимость ряда SD^n следует
п=1	/	п=1
оо
из сходимости ряда У Е§п. Остается применить теорему о двух рядах. 6.50. Ис-
п— 1
пользуйте неравенство DEjn si 2CE|5n— Eg„| и теорему о двух рядах. Обратное,
вообще говоря, неверно; рассмотрите, например, последовательность независи-
мых случайных величин |it 5z, ••• таких, что
(	1/п с вероятностью 1/2,
п (— 1/п с вероятностью 1/2.
п
6.51.	Характеристическая функция gn(t) частичной суммы У, равна
h=l
!п	1
— 111 У |	| ?• 6.52. Покажите, что в некоторой окрестности нуля харак-
Л=4	J
п
меристическая функция gn(t) частичной суммы У удовлетворяет нера-
к=1
{п	|	|	п
— а | « | У | ск | gn (t) exp < — b 11 | У | ck 11 (a, b — поло-
A=i	J	I	s=i	J
n
жительиые числа). 6.53. Характеристическая функция частичной суммы У с^,к
к=1
[ п	]
равна ехр—а 111“ У | ск |“|. 6.54. Используйте неравенство задачи 4.127.
I	ft=i	J
6.55. Достаточность вытекает из теоремы о двух рядах. При доказательстве не-
обходимости используйте неравенство задачи 4.127. 6.56. См. решение
задачи 6.47. 6.57. Используйте задачи 4.126 и 6.37. 6.58. В качестве
такой последовательности можно взять, например, последовательность
независимых случайных величин, удовлетворяющую условиям D5i = оо,
ОО
5„ = О п. п., п = 2, 3, ... 6.60. Покажите, что если ряд У 1-nzn
п=о
почти наверное сходится при z = z0 > 0, то он почти наверное сходится при
любом |z| si го- 6.62. Воспользуйтесь теоремой о трех рядах. 6.63. От ус-
ловия симметричности отказаться нельзя (пример: 5гп-1 = 1, 5зп = —1).
6.64. v„ = 5i + ... + где gi, ..., 5„ — независимые одинаково распределен-
ные случайные величины, Р(5> = 1) = р, Р(5> = 0) = 1 — р. 6.65. Поскольку
279
£х + ... + £„	^4-...+^
----- ------> С П. Н., ТО - =------------- — --------—i-----> О,
I I
т. е. с вероятностью 1 осуществляется лишь конечное число событий — >-1.
оо
Отсюда, в силу леммы Бореля — Кантелли следует, что У Р (|	| > п) =
со
=2 Р(1 ^11 > ”) < °0, Значит, Е | g,| < оо. 6.66. Воспользуемся следующим
П=1
фактом: если &i, &2, •  •— возрастающая последовательность положительных чи-
сел, Ьп -> оо при я оо и xt, х2 ...— последовательность чисел таких, что ряд
vt	1 v
>, хп сходится, то ~ 2, bjXj-* 0 при п-*оо. Имеем --------------£----=
п	п j=1	п
1 V . ( ih ~ Е1И	с-
=г~ /1 bk I-------- I поэтому достаточно, чтобы почти наверное сходился ряд
"и V b* J
---1----, но этот ряд сходится в силу теоремы о двух рядах. 6.67. Вос-
пользуйтесь предыдущей задачей и тем, что ряд
1
—;—й—сходится. 6.70.
п log п
Рассмотрите последовательность независимых случайных величин g,, g2, ...,
On	<
г«е ₽ (?п = п) = р (?п = — п) =^2“’ ₽	= °) = 1 — Для тех для ко-
торых Оп^п, и P(g„ = п„) — P(g„ == —On) = 1/2 для
= 0, Dg^ — о4. Покажите, что
п.
А0 п.
остальных п. Тогда
н. 6.72. Исследуйте
2«+1
-1 2 (?i— Egf) на сходимость к 0 с вероятностью 1. 6.76. Воспользуй-
2 i=2ft+l
тесь тем, что для последовательности gb g2, ... выполняется УЗВЧ. 6.77. Пусть
т = Eg,, о2 = Dg,. Тогда
lim Р (а -С T]n С Ь)
П-»оо
= lim Р
п-»оо
*1П пт Ь — пт '
а "|/га о "|/п .
6.78.
0, если Eg, > 0;
1, если
Eg, < 0;
1/2, если
lim Р
= lim
Eg, = 0.
1 \
а----\
2 I
хп
6.79.
6.80.
П-^оо \	И	j n-*oo
1/У2лр(1 —- p). 6.81. Dg, = 1/Vz, где
6.82. Ф(УЗ) — 1/2. 6.83. {ап} — любая последовательность, эквивалентная при
п->оо последовательности (Jp/yi2) + Тп/2, где tp — решение уравнения
Ф(<р) = р. 6.84. 2Ф(2а/г) — 1, где х — решение уравнения Ф(а/ж) = (1 + Ь)/2.
6.85. 0. Воспользуйтесь тем, что Eg, = E[g,] + E{g,}. 6.86. Распределение, при-
писывающее точкам 0 и 1/2 вероятность 1/2. Сходимость по вариации будет
иметь место. 6.87. Предельное распределение приписывает точкам пг, т =
= 0, ±1, ... вероятности Ф(пг-|- 1)—Ф(?и). Сходимость по вариации будет
х— решение уравнения Ф(г)
= 2/3.
Р
280
иметь место. 6.88.
ё, + • • . + ёп 1
V« ё? +  • • + ё2
п
1	ё?+... + Й₽
X----f ' —~ и --------------------“1 при п -> оо. 6.89. Нормальное распре-
I
деление с параметрами (0, 1). 6.90. Ф(тУ2/к). 6.91. Пусть £2, ... независимы
и одинаково распределены, — a, D£b = а2. Тогда
. п	£ Г
F 2 Е ~а)2; I ~а । > = —~
" (i=l
ау< I Eft - ° I
а2
> та]/п]
прп п -> оо для любого т > 0. 6.92. Пусть для последовательности g2,
выполнено условие Ляпунова, т. е. сп/#п->0 при п->оо, где с?2 + 6 =
= 2 Е I - ак |2+б- вп = 2 D?ft- “k = EEft- Имеем
h—1	k—1
2E	<
n k=i
1 71	1	1 Ic v+s
2 E11 -ahl2+6; I~“d >
n ft=l ' n'
при n 00 для любого т > 0. 6.93. ЦПТ выполняется в силу того, что для лю-
бого п (ё1 + .. • + ёп)/)'О(^1 + ... + gn) имеет нормальное распределение
(0, 1). Далее,
^2 Е(^;	« ^т2 2 ₽usd > ^)>’2р (J2 >т) °
п k=l	k=l	Х П '
при п -> оо, так как г1п='§— имеет нормальное распределение с параметрами
ЕПп = 0, Dqn = 1/2. 6.94. По формуле полной вероятности
По Р
Ф (х) прп к -> оо, следовательно, для любого е >
существует 1:0, такое, что для
любого к ка
< Далее, vn -^00. Отсюда
следует существование п0, такого, что для любо-
8
ГО п 35 no Р (Vn < *0) < у.
Следовательно,
19 л. в. Прохоров и др,
281
для любого п по- 6.95. Нормальное распределение с параметрами (0, 1).
8.96. Пусть /п(О—характеристическая функция т]„. Воспользуйтесь следую-
щим равенством:
ОО
p(n) (ж) - w е’х2/2 = 2Н- J e~itx (г> - е'<2/2)Л-
— оо
6.98. Рассмотрите два случая: 1) 1t1 > Ln 1/3/2, 111	1/(4Лп);
2) 111 < L~1/3/2, | i |	l/(4Ln), где£п — P3/a3 1/n. 6.99. Воспользуйтесь ре-
зультатом предыдущей задачи и неравенством
/п(/)е-^
t
sup
X
J
|il<l/4Ln
dt + С± (Л) Ln,
где С1(Л) —постоянная, зависящая только от А. 6.100. Воспользуйтесь
п.н.	р	р
татом задачи 5.11. 6.101. Пусть gn—► £, тогда £п —> ? и — £„+10.
jn(t)—характеристическая функция Имеем |/n(«)l I/п+1(0 I -* 1 и,
J/n(0|-*l, т- е. существует а, такое, что /„(<) ->exp (ita). Значит,
Поскольку известно, что почти наверное сходится, отсюда следует
п. н. 6.102. Заметим,
= £2„/(1 + Й) - о- В
Р
что сходимость	—» 0
силу неравенства
е, откуда
следует достаточность.
резуль-
Пусть
значит,
Р
а
эквивалентна сходимости т]п
Необходимость следует из равно-
_ ( In
Д 1 +
мерной ограниченности случайных величин г)п и задачи 5.87. 6.103. Применяя не-
равенство Чебышева, имеем ₽

“ГТ-*0
ап&
при	6.104. Воспользуемся неравенством Чебышева: Р(|т]п| > е) <
< Е|т)п|/е = (Е| £| |)п/е ->0 при и->оо для любого е > 0. Обратное утвержде-
ние (даже в случае, когда g2, ... одинаково распределены), вообще говоря,
неверно. Действительно, пусть £„ = 0 с вероятностью 0 < р < 1 и =
1
= b >|___ с вероятностью 1 — р. Тогда т]л = 0 с вероятностью 1 —(1 — р)" и,
Р
следовательно, т]„ —» 0 при п->оо, но,, очевидно, Е|£„| =5(1—р) > 1.
6.105. Применяя неравенство Чебышева, имеем Р( | raSr|n | е) йС Е | гЛ]„|/е =
= л0(Е|gi|“)п/е->0 при п—-оо. 6.106. В случае, когда имеют вырожденное
распределение, утверждение задачи очевидно. Пусть невырождены. Покажи-
те, что если а 0 и	, ... — подпоследовательность последовательности
Pi, т]2, ..., сходящаяся по вероятности к а, то подпоследовательность т]П1+1,
282
tln2+1’ ••• пе может сходиться по вероятности ни к какому числу. 6.107. Если
X), х2, ... — последовательность неотрицательных чисел, сходящаяся к а, то
71,-------
у ... хп -> а при га—>- оо. 6.109. Для любой случайной величины £, имеющей
конечное математическое ожидание, справедливо неравенство 2 Р ( I g I ^5= га)
Имеем Ет]п = Р(|£п|	я1/р) = Р(|£п |р /5 я); отсюда У, Ету =
П=1
оо	оо
~	** ( I |Р я) = У ₽ ( | ?! |р я) Е | £т 1Р. 6.110. Рассмотрите случайные
»>=i	я—1
величины
(0, если £п=т)п,
(Г, если gn =/= т)п
и воспользуйтесь предыдущей задачей. 6.111. Нет. Пусть, например, прини-
мает значения 0 и 1/я с вероятностями 1/2, а = 2, fJ = 1. 6.115. Если £ измерима
относительно остаточной а-алгебры, то для любых а и b вероятность
Р(а<с ; йС равна либо 0, либо 1. 6.116. Пусть (П, jZ, Р)—вероятностное
пространство, Q = [0,1],	—а-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера
Лебега, gn = 1 при ы е (0, 1], £п = 0 при ш = 0. Остаточная а-алгебра состо-
ит из множеств 0,12, {0}, (0, 1]. 6.117. Воспользуйтесь результатом задачи 6.115.
6.118. Покажите, что ряд У ₽(-<4п) сходится. 6.123. Воспользуйтесь тем, что ес-
п—1
ли последовательность Вп не стремится к оо, то существует ее подпоследователь-
ность вт , сходящаяся к конечному пределу В. 6.125. Вп = п'/а-. Предельный
закон — устойчивый с характеристической функцией ехр {—1£[“}. 6.126. Функ-
ция распределения Коши с плотностью [л(1 + х2)]-1. 6.128. Воспользуйтесь
М '
результатом задачи 6.91. 6.129. Положим р = jy~,
gm — P(£.v.w,n = яг). Справедливо неравенство
п — т\п-т
N — М
q =---jy--- и обозначим
> п
„ < С™ r>mnn~m 1 — —
Q I1 Д/' )	•
М
Отсюда gm -* C™pmqn т при N, М -> оо, дГ -* р- 6.130. См. следующую зада-
чу. 6.131. В доказательстве используются формулы обращения для характе-
ристических функций:
Ст
„	7."‘
Р (Ра = т) - е
,-ь = J_
2л
~Ит
е
dt,
ех(с’(-1)
где Qj = 1 — pj. Дальнейшие оценки основаны па двух неравенствах для ком-
плексных чисел: 1) |	— JJ b- I < У | а- — bj | при |аД sir 1, |ЬД^1;
I i з I j
2) \ег— 1 — z| й/ |z|2 при |z| sg 1. Тогда для модуля подынтегральной функ-
ции имеем
;=1
— 1 — Pj (elt — 1) | <
<2 Pj I eil - 1 I2 = 26 (1 - cos !)•
>=1
;=1
283
После интегрирования получаем ответ. 6.132. Условие задачи означает, что при
люоом целом к Ее -> Ее , п->- оо, где £ имеет равномерное распреде-
ление на [0, 1). Для произвольного тригонометрического многочлена 'F(() =
2h=-mefe<?2n'ftZ получаем ЕТ (£„) -* ЕТ (?) при п -> оо. Используя вторую
теорему Вейерштрасса, можно показать, что для любой непрерывной периоди-
ческой функции /(() при п->оо Е/(£„) ->-£/(£). Для функции
fl, х е [а, Р1, 0	<{5 < 1,
g(l) = to, xt£[a, р],
имеем Eg(£n) =Р(а^?„^Р) и Eg(£) = 3 — а. Остается доказать, что
Eg(£„) -*• Eg(?) при п->оо. Для этого нужно функцию g(x) доопределить на
всей прямой и аппроксимировать двумя непрерывными периодическими с пе-
риодом 1 функциями, для которых выполнены доказанные предельные соотно-
шения. 6.133. Доказательство опирается на предыдущую задачу. 6.134. Можно
воспользоваться приближенной формулой
Р
— а
Sn — пр
У лр (1 — р)
2Ф аЧ-
0,5
У>гр(1—р)/
Полученные значения Р (35 й/ Sn 65) ~ 0,99806, Р(47 Sn ей 53) ~ 0,51608
интересно сравнить со значениями, вычисленными по таблицам биномиального
распределения (точность до 10-5) Р(35 ей Sn ей 65) = 0,99822, Р (47 ей Sn ей 53) =
= 0,51588.
Следует иметь в виду, что оценки вероятностей, близких к 0 или 1, получен-
ные с помощью центральной предельной теоремы менее надежны. Вычислим
относительную ошибку при оценке вероятности события {Sn < 35, Sn > 65}.
0,00194 — 0,00178
Имеем -------00178-------100 % «=9%. Для вероятности события {Sn < 47,
Sn > 53} получаем 0,04 %. При значениях п > 100. 6.135. Пользуемся прибли-
fl5- м (1/—*	\
жеппой формулой Р у | Р|<е 2Ф^е у р (1 — р) / Так как р (1 — р)
1/4, то	z	2Ф (2е Д/")- При заданном а приравниваем
—	а
2Ф(2е}'п)—1 = 1 — а и разыскиваем корень u=ux— уравнения Ф (и) =
= 1 —у. Тогда п и2 а/4е2. Для данных задачи п 16589.
6.136.	При заданном а имеем
Р{|;-р|<е} = Р
У пр (1 — р)
— 1 2Ф (2еУп) — 1 = 1 — а. Тогда
< е 1/	—г|, 2ф/е 1/-------)
Г Р (1 — р) [’	\ г рД — р) J
где и а —корень уравнения Ф (и)=1—у
1---
2
и неравенство р — и а/2У?г у р у р л -и а/2Уп дает искомый прибли-
1 2	Г
женпый доверительный интервал уровня 1 — а.
Более последовательно результат получается из соотношения 1— а =>
= 2Ф (е) — 1«р[|р — р I < е Р-~-  I = Р {рп < р < рп}, где р „ и У —
284
корни уравнения (р —р)2 = 82р(1 — р)!п, именно
~ е2 _ 1 /е2 л ~ е4
= р + Д- + 1/ — р(1— р)+5~2
-	=	An V п	Ап
Рп' Рп
е=ч
£
п
Более точный результат получается при использовании оценки скорости
сходимости в теореме Муавра — Лапласа, если дополнительно известно, что
0<&<р<с<1 при некоторых & и с. Тогда ₽1 | р — р I < 8
fcr \ 1 " ‘ 1 ш Li J	11	' 	ф
> 2Ф (е) — 1 —----—т=— где Д = yb(l — с). При заданном а находим е „
Д у п '	i-~
как наименьшее значение е, удовлетворяющее соотношению Ф (е) 1 +
1 - 2Д2 а_
Д ~\/п
Г I sn I )
6.137.	а) Нужно найти такое п, при котором Р|— — р 0,0029 [	0,5.
Используя приближенную формулу Муавра — Лапласа, получаем п 13525.
Iт I
Отметим, что вероятность получить — — р 0,0029 при п = 5000 равна при-
ближенно 0,318. б) Приближенный доверительный интервал для л уровня 0,95:
3,0614 ; л 3,2642.
6.138.	Доверительный интервал для р уровня 0,95: 0,502 sj р sj 0,526. Ги-
потезы р = 0,5 и р = 0,55 отбрасываются, гипотезу р == 0,515 можно
считать согласующейся с данными. 6.139. Заключение о том, что доля белых
шаров в урне равна 0,5, сделано на том основании, что в выборке с возвраще-
нием объема 100 обнаружено преобладающее количество белых шаров. Вероят-
ность ошибки равна вероятности того, что число белых шаров Sn в выборке
объема п = 100 превзойдет 50, крторая вычислена в предположении, что доля
/ Sn — пр	\
белых шаров в урне равна 0,4: Р (Sn 51) = Р 	= 2,245 I 0,012.
6.140.	Гипотезу симметричности монеты нужно отклонить, так как вероятность
Р(5„^ 540), вычисленная при р = 0,5, приблизительно равна 0,006. 6.141. При
а = 0,05	= ll,645}'rapo(l — ро) + про] + 1 (здесь []—целая часть). Гипо-
теза ро = 0,5 отклоняется, так как S„ 3711. Гипотеза р0 = 0,515 может быть
признана удовлетворительной, так как Sn < 3820. 6.142. Для а = 0,05 найдем
8 „ = 1,645 из уравнения Ф(е) = 1 — Заменяя Qt и Q2 приближенными
1-Г 2
выражениями в соответствии с формулой Муавра — Лапласа, найдем со-
отношения, связывающие п и т*: т* — l,645Vnpi (1 — Pi) + wpi, т* =
= —1,645}'пр2(1 — P2)+^p2. Значение n, при котором можно различить две
гипотезы при заданных вероятностях ошибок а = 0 = 0,05, равно приближенно
1,645(/р1(1- -
^2-^1
. Для различения вероятностей р, =
= 0,4914 и р2 = 0,5178 в задаче де Мере понадобится около 3895 испытаний.
6.143. Воспользоваться задачей 6.129 и теоремой Пуассона. 6.144. Если g
имеет гипергеометрическое распределение, то
п м.п а 1	пМ
ЯХ ₽ 1------а----< х) ф (*)> гДе а = -у-,
доказательства воспользоваться задачей 6.129
6.145. Воспользоваться центральной предельной теоремой для одинаково рас-
М, П
при сформулированных услови-
а2 = М (N — М)п (N — п). для
TV2 (7V — 1)
и теоремой Муавра — Лапласа.
285
Найти харак-
пределенных слагаемых, предварительно вычислив Е-/2 и D/2. 6.146. Харак-
теристическая функция случайной величины gx равна
теристическую функцию случайной величины щ = (£х — Х)/УХ и показать, что
при л -> оо она стремится к ехр {—t2/2}.
С другой стороны, можно воспользоваться тем, что ?/.=	+
+	где£00, к — 1, ..., га, взаимно независимы и имеют одинаковое рас-
с параметром /.0, а имеет распределеппе Пуассона с
По центральной предельной теореме при п -+• оо X -> оо
	~ асимптотически нормальна с параметрами (0, 1).
Хо Хо
пределение Пуассона
параметром X = пХо.
случайная величина
6.147. Из предыдущей задачи следует, что пХп имеет асимптотически нормаль-
ное распределение с параметрами (гаХ, пк). Поэтому с вероятностью, близкой
1 — а, выполняется неравенство У га
у?.
г а есть корень
а
уравнения Ф (е) = 1 — -у;. Границами доверительного интервала служат корни
с2 „ е2 с4
квадратного уравнения (Хп — к)2 = е2л/га: Л.,Х, = a-f--—р I/ а-— + ~з.
12 2га г п in
При a = 0,01 (8 = 2,576) и a = 1,5 получается доверительный интервал:
_ Р
1,22 йС к йС 1,85. Сходимость Хп —> X следует из закона больших чисел. 6.148.
В силу центральной предельной теоремы случайная величина пХп асимптоти-
чески нормально распределена с параметрами («0,	га/12). Поэтому
8	1
уЁГГ2ф<е|-‘-
У 12га
нормально
Р{У12?г|£ — 0|<се} ~2Ф(е)—1и₽^
Пусть га = 100, а = 0,05, х = а. Тогда е = 1,96 и с вероятностью, близкой к
0,95, а — 0,057 йС 0 йС а + 0,057. 6.149. В предположении, что ошибки А,- равно-
мерно распределены в интервале (—0,5-10~5, 0,5'10-5), находим ЕД,= 0, ОД. =
°-25 А-1П
=—у—10	. По центральной предельной теореме для А = At + ... + A.v,
f | A |	)
N = 106, имеем P	2Ф (e) — 1. По a = 0,05 находим соответству-
ющее значение e = 1,96. Отсюда с вероятностью 0,95 |Д| йС 0,00566. 6.150. Рас-
смотрим при фиксированном /V случайную величину которая принимает
значения {а}, {2а},..., {А'а}, с вероятностями 1/N. Очевидно, Р{а йС 6} =
= A'(a, b)/N. Для того чтобы Р(а йС тру йС Ь) -> Ъ — а, достаточно выполнения
соотношения	_> о при о и А —> оо, Имеем при к =^= О
Ее231’*^ = ± e2ni^na) =	2 (е2Л^а)" -* 0, N-+oo.
k = l	71 = 1
6.151. Перейти к случайным величинам Д(п> = 10"6(п>, 0 йС Д(п> < 1, и показать,
что при к =/= 0 Ее2Л1/:л(п)->0. 6.152. Нужно представить Fn(x\ в виде F.a (х) =
= У, /(_оо,х) (Sfe), где 7л(£&), А = 1, га,—индикаторы случайных событий
Л=1	’	~
{бленЛ}. Поскольку EFn(at) = F(x), то можно воспользоваться законом боль-
ших чисел (теорема Бернулли). Верно более сильное утверждение:
Р /sup | Fn (х) — F (я) |	0) = 1 (теорема Гливенко — Кантелли). 6.153. Реше-
286
пие следует из закона больших чисел. 6.154. Воспользоваться центральной пре-
дельной теоремой для независимых одинаково распределенных случайных вели-
р
чин. 6.155. Соотношение /п / есть выражение закона больших чисел. Для от-
вета па второй вопрос
воспользоваться
2Ф(е)—1, где а
центральной предельной теоремой:
= D/(£i) sj С2. 6.156. Функция f(x)
равномерно непрерывна и ограничена на отрезке, |/(х)| К. В силу этого и
закона больших чисел имеем (е > 0, б > 0)
2
<е + 2ЛГ V С™хт (1 - х)п~т С е +
rn I
m:-----х >о
In
Последнее выражение меньше 2е при п, начиная с некоторого. 6.157. Доказа-
тельство вытекает из усиленного закона больших чисел (теорема Бореля).
Глава 7
7.1. а) 1/6, ае [0, 1/3], 5/12, as (1/3, 1/2), 3/4, а е [1/2, 1]; б) 3/2л, а <=
е [0, 1/3], 3/л, ое (1/3, 1/2), 2/л, ше [1/2, 1J; в) 1/27, сое [0, 1/3], 19/108,
сое (1/3, 1/2), 7/12, as [1/2, 1]; г) 5/6, со е [0, 1/3], 7/12, as (1/3, 1/2), 1/4,
сое [1/2, 1]; Д) 7.2.
		0,	X < 1/6,	[ 0,	х <_ 3/2л,
		1/3,	1/6 <х< 5/12,	11/3,	3/2л СТ х < 2/л,
а)	F(x) =	1/2,	5/12 < х < 3/4, б) F ~ 15/6,	2/л < х < 3/л,
		и,	х 3/4;	1 1,	х 3/л;
		’ 0,	х< 1/27,	0,	х< 1/4,
		1/3,	1/27 <х< 19/108,	1/2, 1/4< х < 7/12,
в)	F (х) =	1/2,	19/108 х < 7/12,	r)f(x)_	2/3, 7/12 <х< 5/6,
		1 1,	х>7/12;	 1,	х> 5/6;
		[ о,	х < 1,	
д)	/’ (х) -	1/3,	1<х<2,7.3. а) 1/2; б) 1/6, as	[0, 1/3], 1/2, а е (1/3, 2/3],
		1 1,	х 2.	
5/6,	со е (2/3,	1];	в) при а е [0, 1/2], 3/4 при	о е (1/2, 1]. 7.4. а) а2/12;
б) 1/(Х2ц2). 7.5. Нет. Рассмотрите, например, вероятностное пространство
(Q,	Р), где Q = [0, 1], st-—о-алгебра борелевских подмножеств, Р — мера
Лебега, 5- — случайная величина, равная 1 при ые[0, 1/2] и 2 при о>е(1/2,1|,
В качестве $ возьмите о-алгебру, порожденную множествами [0,1/4], (1/4, 3/4],
(3/4, 1]. 7.6. Покажите, что Е(£|.$)—почти наверное постоянная. 7.7. Случайная
величина ср (£) измерима относительно о-алгебры, порожденной £. 7.8. Для
любых борелевских множеств А, и Л2{Е(£ е /Г} е {Е(г| 15?2) ез/12} е
е и, в силу независимости о-алгебр и &2, эти события независимы.
7.9. Воспользуйтесь результатом задачи 7.6. 7.10. Воспользуйтесь тем, что о-ал-
гебра, порожденная случайной величиной ц совпадает со всей о-алгеброй со-
бытий. 7.11. Нет. См., например, указание к задаче 7.5. 7.12. Для доказательства
287
равенства Eg = Ет] достаточно взять математическое ожидание от обеих частей
равенства E(g|g) = ц. Обратное, вообще говоря, неверно. 7.13. E(g|g + ц) п
E(r]|g + т|) независимы тогда и только тогда, когда они почти наверное по-
стоянные. 7.14. Используйте определение условного математического ожидания.
7.15. Воспользуйтесь результатом предыдущей задачи. 7.16. E(g|^„). 7.17.
E(g|.^\). 7.18. Из определения условного математического ожидания и условия
задачи следует, что для любых 4eo(g) и Ве о (ц) J g (ы) Р (dco) = j г] (<г>) Р (dw),
А	А
Jg (а) Р (dw) = Ji) (а) Р (da). Покажите, что отсюда следует утверждение задачи.
в	в
7.19. Вырожденное в точке а распределение. 7.20. E(r)n|t]n, г}п+ь • •)=т]п,
Е ( S 1 | Г|п, Т]п+1, • • «) == Е (£ 21 т) п, Лп+Ь •••) = Е (gn | Т]п, Г]п-М» . • ) .
7.21. Поскольку функция <р(гг) выпукла, для каждого х0 существует Л(аг0), та-
кое, что <p(rr) cp(rro) + (х —	Положим х = g, х0 = E(g|^). Тогда
<p(g) ф(Е (g |5?)) + (g — Е (g | J?))/. (Е (g |5?)). Вычисляя для обеих частей по-
следнего неравенства условное математическое ожидание относительно о-ал-
гебры Я и учитывая, что E(cp(E(g |J?)) |.Й?) =ф(Е(^|й?)) получим E(q?(J)\Я О
cp(E (g\£g)). 7.22. Используя неравенство предыдущей задачи, имеем
DE(g|^) = E(E(g|$))2 — (Eg)*	E(E(g*|^)) - (Eg)* = Eg*- (Eg)* = Dg.
7.23.	Воспользуйтесь неравенством из задачи 7.21. 7.24. Покажите, что слу-
чайные величины E(r||gi), E(r)|g2), ... независимы и имеют равномерно ог-
раниченные дисперсии (см. задачи 7.8 и 7.22). Отсюда, используя закон боль-
ших чисел, получаем утверждение задачи. 7.25. Нет. Пусть на вероятностном
пространстве (Я, б/, Р), где й= [0, 1],	—о-алгебра борелевских подмно-
жеств, Р — мера Лебега, задана последовательность случайных величин
Г 0, ве[0, 1/2)
[1/п, we [1/2, 1].
Тогда почти наверное gn(w) ->g(w) = 0. Положим
q(w) =
юе[0, 1/2),
w е [1/2, 1].
Тогда E(r)|g„)=T], a E(r]|g) = 1/2. 7.26. Используя задачу 7.21, име-
ем E[E(gn|^) -E(g|^)|r = E|E(g„ - g |^) |₽	E(E(| g„ - g|P|^)) = E|g„-
-g|₽->0. 7.27. E (g| a) = E (E (g |	| ^)^'E(i1|^) при n->oo. Но Ле-
H.h.
вая часть не зависит от п, поэтому Е (g | 5?) = Е (т| | J?).	7.28. Воспользуй-
тесь тем, что для любого п E(E(g|g„)) = Eg. 7.29. Не ограничивая общности,
можно считать, что g—неотрицательная случайная величина. Положим
Л = /<о: sup Е (g | ЯЛ > el,
I	)
43 = {ю: E(g|^,)=S8,	E(g|<82) <е, ..., E(g|^_,) ^8,
E(g|^) > 8},
j = 1, 2, ..., n.
Очевидно, Aj не пересекаются и A = (J А,. Поскольку Aj e Я], f — 1, n, to
3=1
E|g|>JgP(dw) = 2 f Sp(dw)= 2 J E (g P (dw) > e £ Р(^) = еР(Л),
откуда следует нужное неравенство. 7.30. Воспользуйтесь результатом предыду-
288
щеп задачи. 7.31. Воспользуйтесь результатом задачи 7.29. 7.33. Необходимость.
Если с и Я независимы, то ср(£) и Я также независимы. Поэтому в силу
свойств условного математического ожидания Е(<р(£) |.®) = Ьр(£). Достаточ-
ность. Пусть А — любое борелевское множество, <р(£) = /л(£). Тогда из равен-
ства Е(<р(£)\Я) = Ecp(g) следует, что для любого В е Я J* 1А (£) Р (dw) =
в
= Р (5) е;а U) = Р (В) Р (5 е А). Но JIA (g) Р (dco) = Р(В п (S6 4)).
В
7.34.	₽ (4) = Е/а = Е (Е | J?)) = Р (4 | Я) Р Idco). 7.35. Для любых борелев-
й
ских множеств 4 и В Р(£ е 4, т| Е Д|б>/) =-E(ZA(g)ZB(T|)) |^/=/л(5)7в(г]) =
=	|j^)E(7b(t]) |.?Z) = P(g е 4|j/)P(t] eB|j^).	7.36. Воспользуйтесь
тем, что при Я ={0, й}Е(ср(g) |Я) — Еср(^). 7.37. Пусть даны произвольные
В, е Я, и Й2е Я2. Нужно показать, что Е (Z в I в | 39) = Е (ZB | 39) Е (J в |
п. н. равносильно E(ZB ^ЯЯ^= Е (Iв |39) п. н. Для этого достаточно доказать,
п.н.
что второе равенство равносильно E(ZB Е (Iв уЯЯ^Я') = t(JB Е (ZBJ39)|.$).
7.38. Да. Пусть, например,
(О, СО Е 4,	(0, и> е В,
[1, со	4,	[1, со^В,
р(4) = Р(В) = 1/2, £ и г, независимы. В качестве Я возьмите о-алгебру, по-
рожденную случайной величиной £г]. 7.39. Докажите сначала утверждение за-
дачи для кусочно-постоянных случайных величин. 7.40. Воспользуйтесь тем,
что РС(В) = Р(В), Рс(С) = 1/2. 7.41. Воспользуйтесь тем, что в случае
а) Р(4|39) =Р(4); б) Р(4|$) = 1А-,
|2Р (4 П [0, 1/2», сое (0, 1/2),
(	12Р (.4 П [1/2, 1]), <о<=|1/2, 1].
|ЗР(4П[0, 1/3», сое [0, 1/3),
7.42.	а) Р(£ е 4 \Я) = j_3_ р	1]ь щ 1]; б) Р (£ е 4 \ Я} =
в) Р (£ е 4 I Я) =
7Д (со) + 2/^ (1 — 2<о)
—---------2!-------, сое [0, 1/3),
'а(Ц^) + 2/а И
--- "	,----------, <0Е[1/3,Ц.
Глава 8
8.1. Пусть /(t) и g(l)—характеристические функции случайных величин
? и а| Ъ соответственно. Тогда (g(t)1/n =	= e’ib/"(/(at))/"
является характеристической функцией при любом целом положительном п.
8.2. Покажем, что характеристическая функция, являющаяся пределом последо-
вательности безгранично делимых характеристических функций, безгранично
делима. Пусть fn(t) -*/(<). Фиксируем произвольное целое положительное т.
Тогда
(/n(0)I/m-^ (/(0),/т-	(1)
Из непрерывности /(t) следует непрерывность (/(1))1/т, и, таким образом, (1)
означает, что последовательность характеристических функций сходится к не-
прерывной функции и, следовательно, последняя является характеристической
функцией. 8.3. Воспользуйтесь тем, что характеристическая функция £ + ц
289
равна произведению характеристических функций | и тр 8.4. Докажите снача-
ла, что ]/(/) |2 — безгранично делимая характеристическая функция и восполь-
зуйтесь тем, что квадратный корень из безгранично делимой характеристиче-
ской функции — безгранично делимая характеристическая функция. 8.5. Пусть
/(Z) •— безгранично делимая характеристическая функция. Тогда | / (£) | — также
безгранично делимая характеристическая функция (см. задачу 8.4) и, следова-
тельно, |/(0|,/п— характеристическая функция. Далее, последовательность
1/(0 1,/п ПРИ каждом t монотонно не убывает и, следовательно, стремится при
п->-оо к пределу g(t). Последний непрерывен в нуле и, значит, является харак-
теристической функцией. Но g(t) может принимать только два значения: 0 и 1.
Поскольку g(0) = 1, это означает, что g(t) = 1. Если бы существовала точка
t0, такая, что f(t0) = 0, было бы g(Z0) = 0. 8.6. Распределение с плотностью
при х > 0 и 0 при
когда а рационально; в общем случае
циональных чисел. 8.8. Покажем, что
х <_ 0. 8.7. Рассмотреть сначала случай,
приблизить а последовательностью ра-
для любого целого положительного п
(f(t'))>/n — характеристическая функция. Фиксируем п. Для каждого п>, найдет-
ся целое неотрицательное Z*, такое, что nlk га* sj nlk+i. Очевидно, Zft->oo
1
------* 0 при к -> оо,
Но все (/	—
" ...... непрерыв-
lk
п lk+i
при к
М< А
п пк j | nlk
следовательно, (/ (Z))ife^nft -> (/ (0)1/т1
характеристические функции, а предельная функция (/(0)1/п
на в нуле (поскольку /(Z) непрерывна в нуле). Отсюда (/(0)1/п— ха-
рактеристическая функция. 8.9. Покажите, что характеристическая функция
равномерпого на отрезке распределения обязательно обращается в нуль, и вос-
пользуйтесь задачей 8.5. 8.10. Найдите соответствующую характеристическую
функцию пуассоновского, отрицательного биномиального, нормального распре-
при к -> оо. Имеем
лений и покажите, что корень га-й степени из характеристической функции
пуассоновского, отрицательного биномиального, нормального распределений и
распределения Коши представляет собой соответственно характеристическую
функцию пуассоновского отрицательною биномиального, нормального распре-
делений и распределения Коши (правда, с другими параметрами). 8.12. См. ре-
шение задачи 8.9. 8.13. Пусть f(t) —характеристическая функция, отвечающая
функции распределения F(x). Тогда функция распределения (F(x) 4-
f if\ I fit} e~’’ta
-|- F(x + a))/2 имеет характеристическую функцию ~ ---------------- =
= L^2(1 -|- cos ta —I sin Za), которая обращается в пуль, например , при t — nja.
8.14. Покажите, что непрерывная и линейная на каждом отрезке [n, п + 1]
функция распределения имеет в качестве компоненты равномерное на отрезке
[0, 1] распределение, и воспользуйтесь задачей 8.9. 8.15. Рассмотрим вероятно-
стное пространство (Q, jtf, Р), где Q = {0, 1, 2, ...},	— множество всех под-
множеств Q, Р({/0) = e-’-V/il (А >0). Тогда случайная величина ^(ш) = о>
имеет пуассоновское (и, значит, безгранично делимое) распределение, но не
может быть разложена в сумму двух независимых одинаково распределенных
случайных величин (действительно, если это не так, т. е. 5 = Bi + Is. где |i и
^2 независимы и одинаково распределены, то имеет распределение Пуассо-
А
па с параметром -ту"; это означает, что й можно разбить на непересекающиеся
подмножества Ло, Аг, ... так, что Р = е 2 jkl, а это невозмож-
но). 8.16. Предположим противное: 5 безгранично делима, невырождена и
111^ I-	(1)
290
Очевидно, Dg sc I'2. Далее, при каждом n g= g^n)+ ... + g^\ где g^n), ..., g(nn>
независимы и одинаково распределены. Из (1) следует, что |^]П)| ^1/п
н, значит,
Dg<")	Z2/ra2.	(2)
С другой стороны,
1
<3)
причем Dg") =/:0. Разделив (2) на (3), получим 1 sg Z2/raDg или Dg 121п, отку-
да в силу произвольности п следует, что Dg = 0, т. е. g — вырождена. Противоре-
чие. 8.17. Достаточно доказать, что /(/)—характеристическая функция (так как
(/ (<))1/л = exp (<р (Z) — 1)| = exp [р' (<р (t) — 1)}, т. е. имеет тот же вид, что
и/(()). Пусть п — целое положительное число, такое, что п > р. Положим /п(0 =
// Р \ Р \п f P(v(t) —1)\"
= 1 — — Ц- — q> (/) ] =11 +-----------I При каждом (Z) — характе-
ристическая функция (см. задачу 4.28). Но /n(Z) -’fit) при п -> оо и /(/) непре-
рывна в нуле, следовательно, /(/)—характеристическая функция. 8.18. Посколь-
ку /(«)= lim exp ((<p(Z))1/n — 1 И и (/(I))1'" — характеристическая функ-
71—»СО	( Л	/ )
ция при любом га, то достаточно положить Рп = 1М И фп(О = (/(0)	.
(	1 \	( ф (1)\
8.19. Имеем In f(t) = In 11 — — j — In ( 1 —	1. Разлагая в ряд и пере-
ходя к экспонентам, получим f (Z) = JJ ехР (0)ft— 1)|- Применяя
А=1 а	'
задачи 8.2, 8.3, 8.17, убеждаемся, что /(/) безгранично делима. 8.20. Восполь-
зуйтесь задачей 8.19 (характеристическая функция геометрического распреде-
ления равна (р—1)/(р—е1'), р>1). 8.21. Покажите, что функция ехр{ф(Z)/ra)
выпукла при t > 0 и воспользуйтесь задачей 4.40. 8.22. Для любых bi и Ь2
№ №	(ьМ),2
/(vmvw 2 -е 2 =е 2
и, значит, /(/) устойчива. Аналогично доказывается устойчивость распределе-
ния Кошп. 8.23. Нельзя. Например, распределение суммы независимых случай-
ных величин, одна из которых имеет нормальное распределение, а другая____
распределение Коши, не является устойчивым. 8.24. Пусть /(/) — произвольная
характеристическая функция. Тогда по определению устойчивости
f(t) f{t) = f (Z>jZ) exp{ia1Z},
f (*/) f (0 = f (b2<) exp {ia21},
1 (V2*) / W = f (bn_xt) exp[ian_1t}
и, значит,	(/(Z))n =/(&n_,Z)exp{i(a1 + ... + on-!)/}, откуда
/ I t \\n	(	a, + «„-j	]
If т----- exp <— i ----------------------- t}~f(t) и, следовательно,
\ \vn-i j!	(	°n~i	j
291
f t \	( “F • • • Ч- an__1 I
(/ (t))n = f I т-j exp {— i —---t--------- t( является характеристпчекой
\°n-i ] I	n°n-i	)
функцией. 8.25. Пет. 8.26. Для любых bt и b2
f (M f (V) = ex₽ c I bi Г । f l“l ‘exP I- c I 62 Г ।11“1 =
= exp [- c ( | br +| 62 |“) I «|“) = / (( Рт |“ + P2 \a)at).
8.27. Воспользуйтесь каноническим представлением для устойчивых характери-
стических функций и задачей 4.94. 8.28. Используя каноническое представле-
ние устойчивой характеристической функции, покажите, что левая производ-
ная в нуле не равпа правой. 8.29. Пусть Виц — независимые случайные вели-
чины, имеющие одинаковое пуассоновское распределение, а — иррациональное
число. Тогда В + ат) имеет безграпичпо делимое распределение (в силу задач
8.1 и 8.3), дискретное, но пе решетчатое (Р(В + ац = 1) >0 и Р(В + ац =
= а) >0). 8.30. Характеристическая функция, отвечающая плотности р(х),
п
равна /(«)= У, ah ехр {— ch | t | }. Два раза продифференцировав функцию
fe=i
(/(()),/п при 1 > 0, убедитесь, что она выпукла, монотонно убывает и, следова-
тельно (см. задачу 4.40), является характеристической функцией. 8.31. См. ука-
зание к предыдущей задаче. 8.32. Дважды продифференцировав функцию
(/(г))1/п при 1>Ои доказав неравенство /"(f)/(z)	(/'(О)2, убедитесь, что
/(г))|/п выпукла и убывает при г > 0 и, следовательно (см. задачу 4.40), яв-
ляется характеристической функцией. 8.33. Да, конечно (например, пусть В —
случайная величина с пуассоновским распределением, тогда производя-
щая функция случайной величины В + 1 равна 0 при z = 0). 8.31 поло-
жим pi, = Р(В ~ к), к — 0, ±1, .... Тогда
ОО
Р(В делится па 2) — Р(В не делится па 2) = 2 (~	(О
k = ~ ОО
Пусть /(() — характеристическая функция В- Имеем
ОО	оо
/(Л)= 2 Pheink= У (—(2)
— оо	k — — оо
Сравнивая (1) и (2) и учитывая, что характеристическая функция безгранич-
но делимого распределения пе обращается в нуль (задача 8.5), получаем нуж-
ное утверждение. 8.35. См. решение предыдущей задачи. 8.36. Пусть /(1) — ха-
рактеристическая функция В- Тогда существует характеристическая функция
/2(1), такая, что / (t) =	(t). Легко видеть, что /2(1) отвечает целочисленно-
му распределению. Пусть ро, рь р—i, ... — вероятности, которые это распреде-
ление приписывает точкам 0, +1, —1, ... Тогда (см. решение задачи 8.34)
ОО
/ (л) = 2 (— ^hPk и’ зпачит, /2(л) вещественно. Но тогда / (л) = /2 (л) > О,
ft=— оо
а /(л) = Р(В делится на 2) — Р(В не делится на 2) (см. решение задачи 8.34).
8.37. Пусть /(z) — производящая функция В: f (2) = 2 ₽ =	‘ В силу
h=0
безграничной делимости для каждого целого положительного п существует
ОО
производящая функция <рп (з), такая, что / (z) =	(z). Пусть <pn(z) = 2
Тогда 2 р (5 = ^) zft = [ 2 a/i">zh j » откуда P (g =1) — tuf^ п, следова-
k=o	\k=o J
292
тельно, а^>0. Зафиксировав к и положив п — к, получаем Р (?=^)>(oi"^),i>0•
8.38. Не ограничивая общности можно считать, что а — 0. Пусть р(х)— фигури-
рующая в условии задачи плотность распределения, /(Z)—соответствующая
характеристическая функция. Тогда /(/) > 0 и (см. задачу 4.116)
ОО	оо
р (*) = Д- f c°s txf wdt < Д- f f wdt=p (°)-
2л J	2л J
— OO	— oo
8.39. См. решение предыдущей задачи. 8.40. Покажите, что f(t) пе может быть
представлена в каноническом виде формула Леви — Хипчипа. 8.41. Может.
8.43. Имеем
Т)пЬ = (Лпк, 1 +	2 +---+ ВпЛ, h) + •  • + (ёпЛ, n(S-l)-H + • • • 4" Bnk. n*).
Положим
Яд ) —	4" • • • 4~ Snfe.fe’ • •  ’	^nli,n(li —1)+1 4“ • • • 4” inh,nh
Последовательность распределений величин г]пй сходится при п -> <ю п. следо-
вательно, является относительно компактной, а значит, в силу теоремы Про-
хорова (см. задачу 5.54), плотной. Легко показать, что из плотности множества
распределений т]п^ следует плотность, а значит, в силу теоремы Прохорова,
и относительная компактность множества распределений случайных величин
т]П\ Отсюда следует существование подпоследовательности га,-, такой, что
/« у D	(л\ D	(ь\ D
^п-	Аналогично т]^/ —> q2, ...,	причем из независимо-
сти и одинаковой распределенности т)П\ ..., т]^ следует независимость и одп-
D
наковая распределенность t)i, ..., щ. Окончательно получаем T) 4~
D
и цп. k—> т], откуда следует, что распределения г] и щ 4-...-I-щ
совпадают. В силу произвольности к это означает безграничную делпмость
распределения т). 8.44. См. решения задач 8.17 и 8.18. 8.45. Пусть
G(x)—функция распределения, отвечающая характеристической функции
и	и оо
ф(/). Положим h (и) = J if {у} dy = J J eiy dG (z) dy. Порядок интегрирования
о	о
можно изменить, поэтому
dG (х).
Обозначим
— ОО
t и	t	t 00
-J J if (u) dy du, тогда (p (i) = —	(u) du = J
0 0	0	0 — no
dG (x) du.
<F (0 =
Снова
изменив порядок интегрирования, получаем <p(t)= J (eitx — 1 — ixl) -	,
т. e. функция /(/) = exp {<p(/)} допускает каноническое представление
Колмогорова и, следовательно, является характеристической функци-
ей безгранично делимого распределения с конечной дисперсией. 8.46. В преды-
дущей задаче положите if(t) — е_|(|. 8.47. Воспользуйтесь каноническим пред-
ставлением Леви — Хипчипа и периодичностью функции <р(г). 8.48. Ср. с пре-
дыдущей задачей. 8.49. Сходимость <pn(Z)->ф(() эквивалентна сходимости
1п<р„(г)-*1п <р(0. 8.50. Покажите, что характеристическая функция случайной
величины г] равна exp {X(/(Z) — 1)}, где /(/)—характеристическая функция
293
Ji, a X — параметр распределения случайной величины v, и примените зада-
чу 8.17. 8.52. Для нормального распределения параметр у и функция G(x) рав-
ны f = a, G(x) — а* 2Е(х) (Е(х)—вырожденная в нуле функция распределе-
ния), где а — математическое ожидание, а о2 — дисперсия. Для пуассоновского
X	X
распределения — у =	, G (х) = Е (z— 1),где X — параметр распределения.
8.53. Воспользуйтесь каноническим представлением Леви — Хинчина и предыду-
щей задачей.
Глава 9
пример,
распределения последовательности g0, £i, ...
вероятности перехода за один шаг. Восполь-
согласованных распределснпях. 9.2. Нет. На-
. Такую матрицу вероят-
9.1. Выразите конечномерные
через начальное распределение и
зуйтесь теоремой Колмогорова о
9.3. Нет. Например, —
за один шаг
ностей перехода за два шага имеют цепи с матрицами вероятностей перехода
1 О\ /0 1\	л ( с 1 — с\
и . 9.4. Пусть 4=	—стохастическая
О 1/	\1 0/	\i — d d }
(а 1 —
матрица второго порядка. Предположим, что Л = Р2, где Р = |,
\1 — о Ь
стохастическая матрица. Тогда
/ с 1- с\ _ /а2+ (1 -а) (1 -&) (а-)-6) (1 — а) \
11 — d d ) \ (а + 5)(1 — Ь)	—
Отсюда с + d — (а + & — I)2 + 1	1. То есть для того, чтобы матрица А яв-
лялась матрицей вероятностей перехода за два шага необходимо, чтобы
с + d 1. Пусть с + d 1. Докажем, что	система	уравнений
а2 + (1 — а) (1 — Ь) = с, (а + Ь) (1 — а) = 1 — с,	(а + 6) (1 —	b) = 1	— d,
b2 + (1 — а) (1 — ft) = d имеет такое решение, что 0	sg	a sg 1, 0 sg	6 sg 1.	При
с + d 1 из 1-го и 4-го уравнений имеем (а +	b	— I)2 = с + d— 1	или
а + Ь = 1 ± У с + d — 1). Рассмотрим отдельно случаи 1 sg c-|-d < 2 и c-f-d = 2.
В первом случае из 2-го и 3-го уравнений находим 1 — а =
= (1 — c)/(l±Yc + d—1), 1 — b = (1 — d)/(l ± Ус-J-d—1). Легко видеть,
что указанные а и Ь удовлетворяют также первому и четвертому уравнениям.
Кроме того, очевидно, что по крайней мере решения 1 — а =
== (1 — с)/(1 + |с + d—1) и 1 —&= (1 — d)/(l + Ус + d —1) удовлетворяют
неравенствам 0 sg i— a sg 1, 0 sg 1 — ftsg 1. Случай с + d = 2 (т. е. с — d — 1)
тривиален. 9.5. (с + d = 1) (J (с2 — с + 1 < d sg 1) J (d2 — d + 1 < c sg 1).
2  • • 2 P (5n = ln, . ,.,5n= %)
9-6. a) P (5n-„|	= *n—i.....5ft=	--------Г—T =
Xj • • • 2j P (Sn-l гп-1,...,50 lo)
g bl-1
2  • • 2 P (5n = гп | 5n-l = *n-l) P (5(1-1 ~ bl-1’ • • •’ 5q = ;o)
g ife-l_______________________________________________
2 • • • 2 p (5n-i == ln-1> • • • ’ 50 = i„)
P (5n in I Sn —1	!n —1)'
6) P (5n — bl’ • • •’ 5ft + l ’ lk + l I	50 — l0)- p /£ j g = t ч -
— p (5n bi I 5n—i bi—i ’ •   ’ Sft b.)p (sn_ j --	11 in—2 2п—2’ • • • ’ 5/; —
= b<)... p (5fe+i = bi+i I ih = b<) = p (5fi = bi' •	5/i4-i = f/i+i | Sfe = '/,).
294
2 ---.S p(?n = 'n’ ••.ё0 = М
в) p (Sn = | = ih, . • •, So = i0) =	₽(l = ift...g0 = i0)	=
= 2 • • • 2 p (?n= jn>  • • ’ Sk+i= ^+i I Sh= [h) =p (?n= 'n | Sfe =
i k +1	’n— 1
9.7.	Пусть A = {go e Л, ..., £„_] e= 4n_i}, В = {gn+i e Bi, ..., g„+m (= Bm}.
Тогда
.	p((Sn = n,)n^)₽(SMn(gn = ,?in
P {AB I gn =	=	 =-----------₽7g—---------------=
= ₽HlBn = ^)₽(^is„ = M-
9.8.	Воспользуйтесь результатами задачи 9.6.
9.9.	P (gx+ri + 1 — j„ + 1 | ST+n = in, ...,	= i0) =
2 p(т /)₽(Sj+n+i — 'n+i’ •• > Sj —1„)
j-<>_______________________________________
P (^x+?l	....Sx 7q)
2 P (T	P (^j+n + l	*n+l | £j + n	гп)Р(^+п гп- •••>£;	\))
P (St+n *П’ •  • I St = г0)
= P (^1 = Sl + l I % = *n).
Аналогично P(gT+n+i = in+i|gr+n = in) = P(gi = jn+i|go= in). Для неоднород-
ных цепей Маркова равенства, вообще говоря, неверны. Рассмотрите пример:
р(т = 0)=Р(т = 1)=1/2, P(g0 = 1) = 2/5, Р(Ёо = 2) =3/5, (р (S1=/|S0=i))=
/1/3 2/3\	_ „	.	/1/2 1/2\	/5/6 1/6\
=(з/4 1м)’ ( (^=7'^1 = г))=(1/2 1/2)’ <₽	= 7 । = г)) = (1/2 1/2)-
Покажите, что P(gT+2 = 1 I £t+i =1, Ь= 1) =# р(£т+г = 1 | Ь+i = 1).
9-10- Р (’Тп+...+Tj — 1 2 * *П | ^T„_1+...+i:1 - *п-1.\	— ‘1) —
2 •  • 2 Р (^п+.. +11=	•  • ’	*1) Р (Т1 = 71) • • • -Р (ТП = 7’п)
Р(Ч1_1+...+г1 = га-1’ •’ Ц = г1)
2 Р 0/п = гп I ^0 ~ гп-1) Р (тп = 7«) Р (5тп_1 + ...+т1 = гп-!> • • •> STi = 4)
__ ???________________________________________________________ _______________________
Р(^п-1 + ...+т1 = 1»-1’ Ц = г1)
= Р = Hl | So = гп-1)-
Аналогично Р (Ц1+...+х = 1п | Ц,_1+„,+т=гп-1) =Р (4=Z« I So = i"-i)’
9.11. Если а + b = 1, то lim P(n) = P''n> = Р Y если а + b = 0 (т. е.
п->оо	\1 — и a J
/1 0\
а = b = 0),to lim	=	Если a -J- b ф 1, а + b =^= 0, та
П-»оо	\0	1/
295
p(n) =
Ы(а + b) + (1 — a — b)na/(a + b) a/(a + b) — (1 — a — b}na/(a + b}
b/(a + b) — (1 — a — b)na/(a 4- b) аЦа 4* b) + (1 — a — b)na/(a 4~ b)
. л i* n(n\ /wvu-ги/ <*/	-|- u)\
причем при a 4- 6 < 2 lim =	, , v ,, , , J, а при a + b = 2, t. e
п-»эо	\b/\d-\-b) a/(a~]~b)/
a =3 b = 1, lim P<n> не существует. Указание: запишите уравнение Колмого
П-*оо
рова — Чепмена р<п> = р<-п—Р> (
\ Ъ 1 —
изводящих функций. 9.12. Покажите, что из
цы Р и Р<п> имеют вид
и воспользуйтесь методом про-
условия задачи следует, что матри-
a(n)	1 - a<n>	1 - a(n)
	2	2
1 - a(n>	л(п)	1 -a(n)
2		2
1 - aw	1 - a(n>	a(n)
2	2	
p =	tc I tc I Q 1 ft	‘ ft rcl |	ft	tc 1 1 ft	1 ft ft	tc 1 te 1 1 ft 1 ft	p(”) —
Используя уравнение Колмогорова — Чепмена, покажите, что а(”)=
=	+ ЦЛ Отсюда a(n) = -L + — 6-а,~ -Г, lim a(n) =
2	2	3	3 \ 2 /	п—>зо
(1/3, а=/=1, л4о
= { .	л 9.13. Покажите, что матрица Р имеет вид
ц, а = 1.
(Р	Р \
и • •• г1п \
Р Р Р I
ШИ •••	1п-1 I.
Р	Р Р /
12	• •• гтг iv
9.14. Из уравнения Колмогорова — Чепмена ~ У Р
k
^2 Лл min -1> = aj (" — и’ значит> a,(«) = min Pffl > a.j (п — li-
ft 1	’
Аналогично < 2 ЛйтахР("~1)=₽,- (га — !), т- е- Мп)сМп—Л
h I
Кроме того, очевидно, аДп) ^^(п). 9.15. Воспользуйтесь резуль
татом задачи 9.8. 9.16. Так как Во, Bi ..-—независимы, тс
Р (Bn+1 — in+1 |Bn в &п, ...» В О — ^о) — Р (Bn+1 — in+1) — Р(5п+1 — in+11 Вп — in)
Кроме того, Р<.?> = Р (£п = j | £о = i) = Р (?п = /) = Р (gn = j |	= i) = Р..
9.17. Если go, 5i, ... независимы, то, как следует из предыдущей задачи, стро
ки матрицы вероятностей перехода за один шаг (и за любое число шагов) оди
паковы. Пусть в матрице вероятностей перехода за один шаг строки одинако
вы, т. е. Рц = a,, i=l, 2, ... Тогда' Р (g0= iQ, g, = 1,, ...,	= in) =
= Р(5о = го)₽ (51 = ii | »о= го) р (?п = !n j £11-1 = in—i) ~
= p (s0 = i0) a^-... -ain. С другой стороны,
P (£1 = 4) = 2 P (?o = \>) P Gh = ‘i Ro =го) = 2 P Ro = !o) «4 = ai’
*0	*0
p (?2 = = 2p Ri = 4)p (S2 = 414 = 4) = 2p Ri = 4) % =
P {in — ln) — ain-
296
Таким	образом, P(g0 = f0, ..gn =	in) = p(go = 'о) • • • •	• p(gn = In), т. е.
go, g......... независимы. 9.18.	Нет. Это	легко показать с помощью следующего
примера. Пусть g0, gb g2— случайные величины, такие, что P(g, = 0) =
= P(gj	= l) =1/2, P(g( =	Z.,	gj =	Z2)=l/4, Z, = 0,1;	Z2 = 0,1; P(go = O,
g, =0,	g2 = 0) = P(g0 = 0,	g,	= 1,	g2 = 1) = P(g0 = 1,	g, = 0, g2=l) =
=p(go=l, gi = l, g2 = 0) = 1/6, P(go = O, g1 = 0, g2 = 1) = P(go = O,
g, = 1, g2 = 0) = P(g0= 1, g, = 0, g2 = 0) = P(g0 = 1, g, = 1, g2=l) =
= 1/12. Очевидно, случайные величины go, gi, g2 попарно независимы, но не
являются независимыми в совокупности (проверьте, что указанные распреде-
ления согласованы). Для введенных случайных величин р (g2=0|g1=0, g(| —0) =
2	1
= — :/=— = Р (g = O|gj = 0).	9.19. а) является; б) не является; в) по
является. 9.20. а) будет; б) будет; в) не будет. 9.21. а) будет; б) пе будет;
в) не будет. 9.22. а) образует; б) образует; в) пет; г) образует; д) образует.
р (Пь =	...А =
9.23. р (л, =	= r,i_1, ..., т)0 = i0) = P(11ft_1 = Ift_1.1lo = ioj =*
p(gn = in,	=
P (ki ~ i»'   ’ Szi-fc+i = ‘k-i)
P (?n ~	~ '7) P (S„—7 ~ f\’ • • ’ ft ~
P (bn = Ijsn-l = (1) P (Sn-1 = 4’ • • •’ ^n-k + 1 = jfe-1)
__ P (Sn—k+1 = гь-1, gn_i, = if,) _	_ ____________ _
~-”= P (S„_/t+1 = i^)	- ^n-k - M»n-h+1 -	=
= p (nh =	= Vi)-
Произвольная перестановка цепь Маркова, вообще говоря, не образует. Пусть,
например, to = gi, gt = go, g2 = S2- Тогда P(g2 = l|g, = 1, g0 = i) =
= P(g2 = l|go= 1, B, = l) =Pn, p(?2=l|g1-l) = p(g2 = l|g0 = l) = P<2,),
и если Pn^P(121), to P(g2= l|g> = 1, go = 1)) ¥= P(g2 = l|g, =1). 9.24. Нет.
Пусть, например, go, gi, ... независимы, g, = !	1	Тогда
10, q = l — p, p#=l/2.
P(gn-O,g-O, g =1, g =0)
p (g2 + B3 = 1Г61 + S2 = 1, ?0 + k = 0)=	=
= Q, a P^ + g^l^ + g^l)^
_Р^ = О, s2 = l, g3^0) + p(g1 = l,g2 = 0, g5 = i)_
p(g1 = 0,g3 = l) + p(g1 = l,g2 = 0)
9.25. Нет. Возьмем, например, цепь Маркова с двумя состояниями {1, 2), матри-
Р/2 1/2 \
пей вероятностей перехода за один шаг ,,	, | и начальным распределепи-
\ 1/4 . 3/4 '
ем (1/3, 2/3). При таком начальном распределении распределение на га-м шаго
также будет (1/3, 2/3). Легко проверить, что p(g4 + g5 = 3| g2 + g3 = 3,
£0 -|_ g! = 3) =£ P(g4 + gs = 3|g2 + g3 = 3). 9.26. Нет. Рассмотрим цепь Марко-
gi, ... с тремя состояниями {1, 2, 3}, матрицей вероятностей перехода
1/3 1/3\	/ 6	5	6 \
2/5 2/5 и начальным распределением l“iy> "jy, "Гт”Г Распределение
1/6 1/3/	'	'
ва So,
/1/3
1/5
kl/2
па n-м шаге также будет (6/17, 5/17, 6/17). Легко подсчитать, что р (т12 =
= 1 |П1 = °- Л,, = 1) = р (Л2 = 1 iHj = °) =1Т- 9.27. а) Да — при р = q =
= 1/2, пет — при р =/= q. Действительно, Р(r)n = in, Пп-i = in-i, ..т)о = io) =
20 а. в. Прохоров и др.	297
= P(So = l)P(gl = i,) ... P(5n+1 = in/in-x) + P(b = —1)P(B1 = -«1) X ...
•. • X P(£n+i i-n/in— i) । Р(т]п—i 2=1 in—i, .... Цо — io) P (£o	1) P (£ i i|) X • • •
• ••X₽(?n = in-i/in-2) + P(5o = —1)P(51 = —ii)	P(£n = —in-i/in-2).
Таким образом, при p = q = 1/2 имеем P (цп = in 19n_j = in_j, • .,"% = i0) =
1
= ~= P (nn = ijJ^n-i = 'n-i)- При p =# q достаточно взять какую-нибудь
конкретную комбинацию io, ..., in, например ij = 1, j — 0, n. Тогда
„п+2 + ра+2	93 + р®
P(n„ = ihn_1 = i, ...>п0 = 1)=-„+г+^7Г1’ а р(^ =!!%-! = 1) =ТТР7‘
б) Да. в) Да. 9.28. Р (т]„ = «п|Пп-1=1»-1’• • -’10=г0)=
_	** (^о"го’—г1	1П ;п-1)	_	_
(ъп“гп '"-1)-ПпЧп-Г
С другой стороны,
р (’1» = М’1„-1 =
р (gn +  • • +	= i„, % +    + En_i 222 <„_])
P (|0 + .. . + fen_1 = i^)
P (£n Si Si-I ’ Sq	fn-l) _	_ . __ .	_
P	= in-t)	-^n-'n	гп-1) -
Таким образом, ц0, Hi, — цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
за один шаг Р, где Рц = Р4_<. 9.29. Нет. Возьмем, например, две независимые
между собой цепи Маркова {£,} и {гр}, такие, что и гр принимают значения
О и 1, начальные w распределения Р(£о = 0) = Р(£о = 1) == Р(гр = 0) —
= Р (т)о = 1) = 1/2 и матрицы вероятностей перехода за один шаг для {£<}:
/1/2 1/2\	/2/3	1/3\
(1/2	1/2);ДЛЯ^:	(1/3	2/з)	T0W ”^ + 92 = 01^ + ^ = !,
£о + По = 0) — 5/18, а Р(|г + 92 = 0|^| + г), — 1) = 1/2.
,	Р(9П = «„,•
9.30. Р (т)п = i„| Пп.! = i^j.По = i0) = P(l|/t_1 =
= v С = ч......С^-)
• ’ 9р —
•••’9о = ‘р)
?••• s₽(5o=io.--c:)“i-vCJ=<n)
М	Ъ/—2
(п„ = *„| Пп-г = in-т) = — 2... 2 P(gp=io, ..„^Z^i^)
’о {п—2
2--S »(«.-<.........
“ p (b—i “ '") 2... 2 p(E«-‘......й"*”-1» 1) ” ₽	=
\®O o’ ’ ®P1—2	П—1/
‘0	’n—2
9.31. Множество состояний — {1, 2, ..., n}. Начальное распределение —
Р(По = 7) == ₽OJ, 1 == 1, п. Матрица вероятностей перехода за один шаг —
Р (Лп = /iHn-i = i) = Р = у) = Pi:p i — 1, п; j — 1, п. 9.32. Воспользуйтесь
результатом задачи 9.31.
9.33. Р (9ft+1 е Лй+1|т]л = xjft..г]о = х4о) =
Р(/А(ПЙ. ^+1)е4+1> 9/, = ^. ...,Т)О = %)
P(9ft = ^ft, ...,9р = %)
298
p(M+>ft+i)^A^)p(+-+,,
”('1/,=^, ••+',)	-Р(4(-Л-;/^+1)еЛ+1)-
= Р (+ + 1 е Л/{+1 | T]ft = х.^. 9.34. Нет. Пусть g0, |i, . ..— цепь Маркова с тремя
/1/3 1/3 1/3>
состояниями 1, 0, —1, матрицей вероятностей перехода 1/5 2/5 2/5
\1/2 1/6 1/3)
f 6	5	6 \
п начальным распределением I уу, уу, уу I. В качестве функции f возьмем
/(х)=х2. Тогда Р(^=0|Г; = 1, ^=0)=2/9; Р = 0|^ = 1) =1/4.
9.35.	Пусть	Р	и	Q соответственно	матрицы	вероятностей	пере-
хода за один шаг для go, Bi, ... и i]0, т), ... Тогда Су = Т’у: +
ОО	30	оо
+ 2	2	2	W'i'2 pin	K/</v.
n=2,’,=.V+l	/„--j-V + l	п~1'
Указание:	воспользуйтесь тем, что Р(т1о = ^о’ •••’Tlfe = M =
= 2 2
1о=О /1=/о+1
2 /О*..........Ч-.** Ч-............Ч-.»>
=714-1+1
О,
7
>У, ...,Е; ,.>Л', g, = I, Y 9.36. Нет. 9.37.
7 = 7,
7 = I + 1,
Р —	'	’
ч“ 1 — г/10,
О, 7 >7 + 1.
Все состояния, кроме 10, несущественны. Указание: пусть т|п показания счетчи-
ка в момент п. Найти Р(ц п — in, i]n—1 — in—ь • • •, Лi — ii) •
/1	0	0	0	...	0\
I q	0	/>	0	...	О |
9.38.1 о	q	о	р	о г Состояния 0 и п — существенные, все осталь-
\0	0	0	0	...	1 /
(О	1	0	...	О	0	0	\
q	0	р	...	0	0	0	1
....................I.	Все состояния — су-
0	0	0	...	q	0	р	j
ООО ...010/
щественпые. 9.40. Состояния 1,2, 3 — несущественные, 4, 5 — существенные.
9.41. Нет. 9.42. Да. Например, для цепи Маркова с матрицей вероятностей пе-
/0	1	0	0	0..
1 0	0	1	0	0..
рехода за один шаг} О	О	О	1	О
\ 0	0	0	0	1 ..
. 9.43. 1 и 4; 2 и 3. 9.44. а) Так как j-o
состояние достижимо из 7-го, существуют п и цепочка состояний г,, ..., tn-i,
такие, что ра1Рг1,г  • • Pin_1j > Предположим, что и > г, тогда: 1) либо
среди состояний it, ..., tn-i есть совпадающие; 2) либо одно из состояний
71, ..., in-i совпадает с 7 или j. Пусть в первом случае 7г = I <_ к. Тогда
Р-- Р; ; ...Pi, ;,Р;,;	 •Pt j > 0, т. е. состояние 7 достижимо из 7 за
”1 ’1'2	’7-1’7 ’!’7l+l	’п-17
п—(к — I) шагов. Пусть во втором случае, например, 7 = 7г. Тогда
•   Рin	т- е- состояние j достижимо из 7 за п — I шагов.
20*
299
Отсюда следует, что если состояние / достижимо из i, то можпо выбрать
цепочку из различных, отличных от i и /, состояний ц, ..., гт, таких,
что	Р,, ... Р: ; > 0. Но так как всего состояний г, то т г—2 и.
следовательно, / достижимо из i не более чем за г — 1 шаг. Доказательство
б) аналогично. 9.45. а) да, d = 4; б) да, d — 2; в) пет. 9.46. а) Возьмем любое
состояние i. Так как цепь неразложима, существуют п п т, такие, что Р\'^>
> 0,	>0. Следовательно, р(Д+т> > 0, и так как Рц > 0, то п Р<-Р+т+>^
Р^РцР^ > 0- как п + т и n + m + 1 взаимно просты, отсюда сле-
дует непериодичпость цепи, б) Да. Например, цепь
/ 0 1/2
рицей вероятностей перехода за один шаг 1/2	0
\1/2 1/2
Маркова с мат-
1/2\
1/2 . 9.47. Для ре-
0 /
шепия задачи воспользуйтесь следующими двумя свойствами: 1) для неперио-
дического состояния I существует конечный набор натуральных чисел
га,, ..., лй, таких, что Р'^1 > 0 и Н. О. Д. (nt, ..., пь) — 1; 2) если Н. О. Д.
(«1, ..., пь) — 1, то существует No такое, что любое N > NQ может быть
h
представлено в виде W = У, aini, где а, — целые неотрицательные числа.
i=l
9.48.	Состояние 6 возвратно, состояния 1—5 невозвратны. 9.49. Используйте
критерий возвратности: состояние i возвратно тогда и только тогда, когда
ОО
У, Р^ = оо. 9.50. Используйте критерий возвратности и следующее соот-
П=1
ношение. Пусть — вероятность того, что состояние / будет впервые до-
стигнуто из i за к шагов. Тогда Р^ = У,	9.51. Так как
/1=0
У Р^ =1, то существует /, такое, что Р^’- > -& 0 при n->oo. В силу пре-
1
дыдугцей задачи состояние / возвратно. 9.52. Да. 9.53. Пусть состояние i несу-
щественно. Тогда существует п и состояние /, такие, что Р^ > 0, но Р^Р = 0
для любого к. Обозначим /и — вероятность возвращения в состояние i.
Тогда /л s/ Р (не будет ни одного попадания в состояние j из состояния i) .<:
1 — Р^ < 1- Пусть теперь состояние i существенно. Возможны два случая:
1) i не сообщается ни с одним состоянием. Тогда Р(/|> = 1 для каждого п и, сле-
довательно, i — возвратно; 2) i сообщается только с состояниями ц, ...,
В силу предыдущей задачи одно из состояний I, ц, ..., im возвратно и, следова-
тельно, возвратны все остальные. Относительно цепей со счетным числом состоя-
ний см., например, следующую задачу. 9.54. Так как рассматриваемая цепь нераз-
ложима, то все ее состояния одновременно возвратны или невозвратны. Пусть
—вероятность первого возвращения в состояние 0 за / шагов. Покажите, что
п—2	пг+1	т
4V = Р0’ 4”’ = П С1 - Pi) Pn-V п > 2- S 4о’ = 1 - П С1 - Pi)’ и вос-
1=0	П=1	1=0
пользуйтесь критерием сходимости бесконечного произведения. 9.55. Найдите
матрицы вероятностей перехода за п шагов и воспользуйтесь критерием воз-
вратности. 9.56. Пусть /*<— вероятность возвращения в состояние i, a —
вероятность возвращения по крайней мере п раз. Покажите, что =[/г!|п-
9.57. Воспользуйтесь результатами задачи 9.44. 9.58. Рассмотрите цепь Марко-
300
/ 1 о о . •
I р	р	р	. . . \
ва с матрицей вероятностей перехода Q = I 10	11	12	I, где
\Р20 Р21	^22	• ‘ ’ /
Рц — вероятности перехода в исходной цепи. Для доказательства необходимо-
сти найдите вероятности поглощения в состоянии 0 исходя из состояний
О, 1, 2, ... и покажите, что они образуют искомое решение. Для доказательства
достаточности покажите сначала, что можно выбрать решение и0 = 1. О
Ui еД 2. Далее, покажите, что вероятность поглощения в нуле исходя из со-
стояния I меньше пли равна Рассмотрите два случая: 1) существует ик<. 1;
2) существует Uk > 1. 9.59. Рассмотрите цепь Маркова с матрицей вероятно-
стей перехода Q (см. указание к задаче 9.58). Покажите, что можно считать
все iii > 0. Далее, используя неравенства в условии задачи и то, что и,->оо,
докажите существование константы С, такой, что для любого е > 0 вероятность
поглощения в состоянии 0 больше или равна 1 — еС. 9.60. Покажите, что
ОО
ко, ... удовлетворяют соотношениям = У и^Р^ для любого пату*
i=o
рального п. Используя эти уравнения и неравенство У | ui | < оо из усло-
г=о
вия задачи, покажите, что по крайней мере для одной пары i, 7* Pff А 0 при
П — 1
п->оо. 9.61. Покажите, что — 0, ип = У р. является решением систе-
?=о
оо
мы У, PijU- = и у i 0. Воспользуйтесь результатом задачи 9.58. 9.62.
з=о
/Ро	Рг	Р2	Р3	. • • \
| Ро	^2	^3	’ ‘ ‘ |	00	00
Р= о	Р,	/>	... •	Пусть /(z) =	2	P/А тогда /'<!)=	Ij
I _ п	I	h=o	k=o
и если У kph > 1,
k=0
0 < zo < 1. В случае
то уравнение /(z) = z имеет решение z0, такое, что
У kph > 1 воспользуйтесь результатом задачи 9.58, взяв
h=0
= В случае У kph 1 воспользуйтесь результатом задачи 9.59,
k—o
взяв и; = /. 9.63. Пусть / — несущественное состояние. Тогда существу-
ет i такое, что PW = 0 для любого п и, следовательно, lim PW = 0. 9.64. Рас-
J	п—»оо
смотрите, например, цепь Маркова с матрицей вероятностей перехода
/0 1\
за один шаг I I. 9.65. Покажите, что если Р — стохастическая
п
матрица, то система уравнений х- = У а^Ру, 7 = 1, ..., п, имеет неотрица-
7=1
тельное решение, отличное от нулевого. 9.66. а) (6/17, 7/17, 2/17, 2/17);
б) (1/12, 1/4, 5/12, 1/12, 1/6). 9.67. а) нет; б) нет; в) нет; г) да; д) нет; е) да;
ж) пет. 9.68. Пусть in/ — несообщающиеся состояния. Тогда либо Pty =0, ли-
бо Pffl — 0 для любого п. 9.69. Воспользуйтесь результатами задачи 9.11,
301
9.70. Р =	I, где 0 < а < 1. 9.71. Пусть So и Si соот-
\(р/(1— р))а 1 —(/>/(1 — рНа /
ветственно множества несущественных и существенных состояний рассматри-
ваемой цепи. В силу задачи 9.47 существует s > 0, такое, что Р!^ > О
для любых / е Si. Покажите, что если ] — несущественное состояние, то
ГтТ
шах Р(;") </Л5 J, где h = max 5] Р^ < 1. Существование пределов
i	heSn
lim P(n) = n->0 при i, / е Si следует из критерия эргодичности нераз-
п-»оо гз	?
ложимых цепей Маркова с конечным числом состояний. Ис-
пользуя уравнения Колмогорова — Чепмена, покажите, что если i е So,
j е Si, то lim Р&= nj. 9.72. Так как Рц > 0 для всех i и /, то рассматри-
71—>оо
ваемая цепь эргодична. Следовательно, существуют lim Р& = л; > О
71—*00	J	1
для всех г, / и л>, j — 1, ..., пг, является единственным стационарным
771
распределением. Далее, lim P(gn = ^) = lim У, ₽ (gn = Ру— Л].
72-*00	7?-*ОО j—1
Утверждение задачи вытекает теперь из того, что л, = 1/т, / = 1, ..., т явля-
ется решением системы уравнений
Л1(Л)2 множество состояний,
Тогда	9jn+1)|= 2 (
iSA1
л;- = 2 niPij< 2 ni = 1* Пусть
для которых р(Р^ > 9(;п) (р-п) < 9;п)).
О + 2 М"’
<ол,	I
т
< 2 (Pin)-9in))fPy-minPyy Отсюда 2 |pj”+1) — 9>"+1>| С
1 ~2 min ^у) 2 I Pi”5 — 9(гП) |-	9.74. ПУСТЬ ар'= max PQ?’, pjn) =
\	з=1 *	/ г=1	4
= min Ру \ Докажите, что существует 0 < h < 1, такое, что о^п) — pj”) < hn.
9.75. Воспользуйтесь следующим представлением матрицы вероятностей перехо-
r sfe-l
да за п шагов Py'^=2^h 2	, где Л,, ..., Хг— собственные значения
&=г	/=о
матрицы вероятностей перехода за один шаг, S; — кратность Xj. 9.76. В услови-
ях задачи цепь |0, Вь неразложима и непериодична. Воспользуйтесь доста-
точным условием эргодичности цепей со счетным числом состояний, взяв
ОО	оо
Uj = 7, IQ = {0}, и = 1, е = 1 — 2 kpk‘ Пусть л (z) = 2 zRjlfe> Р (г) =
k=0	fe=0
= 2 Ьк.
k=0
(z — 1) р (z) I 1 — 2 kPk
m	' h—o
Тогда л (z) =--------T=7(z)--------
ft-1
9-77.	/ =П (1-P;)
3=1
fc= 1,2,
9.78. Воспользуйтесь критерием эргодичности неразложимых цепей со
счетным числом состояний, взяв е > 0 — любое, 10 = {1}, п — 1, Uj=je,
302
7 = 1,2,... л (z) = 2 z3n;. =
j=i
1 —	— 4p (1 — p) z2). 9.80.
/N-l \ l/N-i \
9-81- 2 Pi / 2
\i=k	/ I \ i=o /
2.V-1
9.83. P<?> = ± V cos"
13 N
/<=о
OO
—-----Z~, где p (z) =2 zkPk' 9-79-
(1 - z) 2 kpk	M
/<=0
/с	N 1 — (p-1 — 1)*
1 — 2p ~ 1 - 2p j _ (p-i _ !)Л ’ если p 1/21
к (N—к), если p = 1/2.
г
, где p0 = 1, Pj = П	9-82- Етл = Л’2’
j=l
A‘‘[ lkn jkn	n Л'Я ikft
-rr cos —77-cos	. Покажите, что cos ^ c°sv =
Л Л i\	Л iv
N
i=	cos 2—1—. 9.84. Пусть xn(j) — P(An(0 = /). Используйте соотношения
;=о
п— j-Н	оо
®п(/) = У	а — Ь’ i^1’, з:п(0)= 2 6li- 9-85- Покажите, что
?=1	! = «+!
вероятность возвращения в 0 конечное число раз равна нулю.
10.1. а) «, 21;
Глава 10
б) \..........
1/2
1, если
если
О, если
i
10.2.	а) каждая реализация равна 1 при
fa п 0 при t > ta, где 0ta 1;
1	при	min	{xi	’ *2}	> 1,
г1	при	0 <		1.	
Ч	при		> 1,	0 <	*2<1,
пНпррУ	при	0 <	т1'		: 1.
0	при	min	{тг	’ *2}	<0.
Ю.З. Fti...1п (хг ..., *„) = F (min - ix....хп - <„}).
10.4.	Ft...tn (.г,, ..., *„) = Ф(ппп ...,	где Ф(т) — стандарт-
ная нормальная функция распределения. Ft > , ( (тг ...,zn) =
/fi Т	т| 4- L \
=	•••’ -7^<^„J = P(’l + ?<min {t^j...........ГЛ}).
10.5.	1/2. Рассмотрим события {£„ > £„}, и > v 0; {г]	0}. Покажем, что
Ol>0}= U (L, >£,Л. Действительно, {$и >£»} = {£ ++ “)> S+
U>®>0 * “ v>
+ г(т) 4- р)} = {(и — р)п + (и — v) (и + v) > 0} = {г]	— (и 4- р)}, откуда
следует доказываемое равенство. Далее, в силу симметричности г] и условия
Р(г| — 0) = 0 имеем Р(т) 0) = 1/2. 10.6. а —1/2 и а > 1. 10.7. Рассмотрим
303
вероятностное пространство (fi, 5$, Р), где £5 = [0, 1], л/— о-алгебра, порож-
денная всеми одноточечными подмножествами fi, Р — мера Лебега. В качест-
ве gt можно взять случайный процесс
1
О

при t = со, t	1/2,
при всех остальных со и t.
10.8.	Предположите противное. 10.9. Воспользуйтесь результатом предыдущей
задачи. 10.10. Нужно доказать, что для любого е > 0 существует б > 0, такое,
что если (t0 фиксировано) 11 — /0| еД б, то Р ( | g (g() — g | > e) < e- Выбе-
рем а такое, что если — z0| о, то |g(.z) —g(xo) | s/ e. Выберем теперь б
так, чтобы Р ( | g( —	е' если Н — М (это МО!КНО сделать в си-
лу стохастической непрерывности процесса gt). Теперь имеем при |t—t0| б
₽(И(М-^(Ч)1^е)^₽(1
10.11. Рассмотрите случайный процесс
1,
0,

если t = со,
если t =£ от,
0 < t < 1,
определенный па вероятностном пространстве (Q, .я/ Р), где Q = [0, 1|.
— о-алгебра борелевских подмножеств и Р—-мера Лебега. 10.12. Воспользуй-
тесь тем, что при всех б и t2 случайные величины g, — g( имеют одно и то
же невырожденное распределение. 10.13. Предположим противное: существует
е>0и две последовательности {t^} и [t"J, такие, что | tn — t"n | -> 0 при
n->oo, по E|g, —g„|p^e. В силу компактности множества А из (tn}
I tn I	,
можно выделить подпоследовательность {tn^}, сходящуюся к некоторой точке
to е А. Очевидно, t" также сходится к ta. Если р 1, то
EiV4+EIVM>E
g , -- t „ lp > е А 0.
tnk tnk I
Если р > 1, то Е| Ь -ЧГ+Е|У' -4|P>2P“1E|V
I °| I °| I Ч 41
т. е. в обоих случаях приходим к противоречию со стохастической непрерыв-
ностью gt в точке io- 10.14. Предположим противное: существует последователь-
ность {(„} такая, что Е | g(^ |р-> о° при п оо. В силу компактности А из
{tn} можно выбрать сходящуюся подпоследовательность |t;[], tn->-1 . При
1 имеем Е | g , jp < 2Р-1 (Е | g , — g jp-|- Е | g^ |Р). Первый член в скобках
стремится к нулю, второй — ограничен, левая часть стремится к бесконечно-
сти. Противоречие. Случай р <_ 1 рассматривается аналогично. 10.15. Для до-
казательства необходимости воспользуйтесь тем, что из сходимости по вероят-
ности следует слабая сходимость. Для доказательства достаточности покажи-
те, что предельное распределение вектора (gt, gs) при t, s -> t0 сосредоточено
на биссектрисе первого и третьего координатных углов. Далее, пусть /е(.г) —
непрерывная функция, равная 0 в нуле и 1 вне е-окрестности нуля. Тогда
P{|g(— gs| =Х Е} Е/е(gt — gs). Покажите, что математическое ожидание в
правой части неравенства стремится к нулю при t, s-г tn. 10.16. Пусть /(/)
непрерывна в точке to. Фиксируем произвольное е > 0. По условию
/	е \
PI |g( — g/o| :>—!->0 при t->t0. Выберем б такое, что при
р-'о|^б 1/(0—/(to) | В. Имеем Р ( | g; + / (t) -	- / (у |> в) <
304
< P( I It - lt0 I + I / W -f(tn) I > e) < p ( | - s,0 | > I) ->0. Пусть теперь
/(t) разрывна в точке t0. Тогда существует е > 0 и последовательность {/„},
такие, что tn -> t, |/(i„) — /(io) | 5= e. Отсюда вытекает существование подпосле-
довательности [inftJ такой, что либо /	~ / (г0) либо / (1П/ ) — / (i0)
— е. Пусть, например, первое. Из стохастической непрерывности процесса
/	8 \
следует, что при t to Р I — £f0	— ~2 ) Окончательно имеем
/	е \ I	е	\
р [к +7 (Ч) ~ Ч ~7 т) =₽ (4ft - Ч	- (7 Ы - 7М) <
<р (ч^Ч^-т)^0-т-е- ₽(ч, + 7М~Ч“74)>lh и-сле<
дователыго, |; + /(1) пе является стохастически непрерывным в точке t0.
10.17. Воспользуйтесь тем, что суперпозиция измеримых отображений является
измеримым отображением. 10.18. а) да, б) да, в) пет. 10.19. Воспользуйтесь Test,
что из сходимости по вероятности следует слабая сходимость распределений.
10.20. Рассмотрите случайный процесс из задачи 10.12. 10.21. Пусть
Л = {||<—|t„| < б}, 1А — индикатор события А. Используйте представление
*'(4 ~g(4) = [g(4-44)]4+ [*4i) “ ^(4)1 Ч 10-22’ Пусть Si и
с, — стохастически эквивалентные процессы. Тогда	..., itn < гп)'“
= р({1(1 <*1( •••> itn<хп] л (Ц = Ч’ •••> Ч = Ч))=
= Р (it < х1’• • •> Ч < гп)’ 10.23. Пусть Е; — стохастически непрерывный
процесс, g* стохастически эквивалентен g<. Имеем для любого е>0
₽(1^-Ч1>е)=р(1Ч-^+^-Ч+Ч”Ч1>8)<
C₽0lt*-lt| + Pt-4| + l4-^o|^e)<p(|£t*-g( |>|) +
+ р(р8'-Ч1гт) + |,(1Ч-Ч1>т)-',(р.-Ч|>1)-»
при t ->•10. 10.24. Стохастическая непрерывность следует из того, что при лю-
бом t P(|t(co) 5^=0) — 0. Разрывность всех траекторий в каждой точке очевид-
на. 10.25. Перенумеруем элементарные события: cob <i>2, ... Тогда
ОО
р (I —ч I е)= ₽ (1^	~ Ч I е)’ Пусть все тРаскт°рии пепРе’
рывны, тогда ряд справа сходится п каждый его член стремится к пулю при
t -»• <о, поэтому сумма ряда также стремится к нулю. Обратно, если стремится
к нулю левая часть, то, очевидно, стремится к пулю каждый член ряда в пра-
вой части, т. е. все траектории непрерывны. 10.26. Перенумеруем значения па-
раметра t: tj, t2, ... Для каждого i — 1, 2, ... и для любого борелевского мно-
жества В на прямой множество [со:	является событием, но тогда
ОО
событием является и множество {со:	U [w: sBj. 10.27. Пусть
Л — счетное всюду плотное подмножество множества значений параметра.
[ 1 1 )
Для любых a sj Ь и любого п {со: а 6} cz< со: а ——|t 6 +7Г’
»° (	1	1	1
и, значит, (со: а L 6} с. 1) [со: а — —	^6+ tsAi —
С	’	П=1 (	“	“	)
={со:	t еА}. Обратное включение {со:	is Л} с {со:
305
очевидно. Следовательно, {со: a gisX b) = {со: а '/ b, t еЛ}.
Но последнее множество измеримо. 10.28. Для любого борелевсцого множества
В на прямой имеем {(со, г): ^((со) е В, со = со0} — {(со, 1): ^;(со)е^}П
n {(со, t): со = соо}. Оба множества, стоящие в правой части измеримы, следо-
вательно, измеримо их пересечение, т. е. множество, стоящее в левой части.
Обратное неверно. Пусть (й, з1, Р) — вероятностное пространство, где Q =
= [0, 1], зФ—о-алгебра борелевских множеств, Р — мера Лебега, 0 t 1.
Пусть А — любое неизмеримое множество на отрезке со = t, 0 t 1. Рас-
смотрите случайный процесс
(Ч при (со, f) е Л
1	(0 в остальных случаях.
10.29. См. решение задачи 10.27. 10.30. Пусть V — класс всех открытых иптер-
'валов из [а, Ь] с рациональными радиусами и центрами в произвольном фикси-
рованном счетном всюду плотном множестве. Пусть, далее, S^, к=1, ..., mnt
конечное покрытие отрезка [я, 6] диаметром scj 1/п, е V. Возьмем про-
извольные точки е S!f. Положим = £ (п) при t е U 5уП).
^=1
Очевидно, случайные процессы измеримы. Покажите, что из последова-
тельности можно выбрать подпоследовательность сходящуюся почти всю-
ду к измеримому случайному процессу |(. Пусть Mi— множество точек (о>, t)
меры нуль, на котором эта сходимость не имеет места, К\ —множество t таких,
что t — сечения множества Mi имеют меру отличную от нуля. Покажите, что
случайный процесс
. =pt ПРИ
* [lt при t & К1
является искомым. 10.31. Рассмотрите случайный процесс
* при t е и К2
п₽и ^л\и^2,
где Ki — множество точек в которых пе является стохастически непрерыв-
ным, а К\ и определены в указании к задаче 10.30. 10.32. Положим
g(1)=lim sup t, , ^2) = lim inf £ , A = |g(1) > £ (t) >	Пока-
*	6^o|t- tn|<6 n 6->o |t-t„|cC tn t I t
жите, что P(/l() = 1 и случайный процесс	-{-gpV— является
искомым. 10.33. Докажите, что события А = {£<— целые для всех двоично-
рациональных t, т. е. t — k/2'}, В —	для всех двоично-рациональ-
ных 1, sc t2], CN= {для всех целых i от 0 до существует двоично-рацио-
нальное !е [0, А’], такое, ч!о gi = 1} имеют вероятность 1. 10.34. Используйте
равенство Е| — £s [2 = Е ||2 — E£ig„ — Е?.Д( + Е | £„ |2. 10.35. Используйте ра-
венство Е | (£( + л — £()/Ь|2 = (L(t -j- h, t + h) — L{t h, t) — L(t, t + h) -f-
-\-h
+ L(t, t))/h2, 10.36. Покажите, что lim------------т-----= 0 по вероятности, по
h->o п
Е| (g(+ft — gj)/b|P ~ a|/i|‘-P А 0. 10.37. K(t, s) = d,/1 (l)/i(s) +...+ d„/n(t)/„(s).
10.38.	% cickK (*,'	= 2 cick cov (Ц- 4) = cov ^2	2 ck^
n
10.39. У1, Ki (t, s). 10.41. Воспользуйтесь следующими двумя утверждениями:
i=l
а) если K{t, s)—корреляционная функция случайного процесса и я > 0,
то aK/t, s) —корреляционная функция процесса б) если случайные про-
зой
цессы gj1’ п //> независимы и имеют корреляционные функции Ki(t, s) и
K2(t, s) соответственно, то случайный процесс [g/*—	— Е/2)j име-
ет корреляционную функцию K^t, s), K2(t, s). 10.42. ca/[n(z2 -f- a2)]. 10.43. До-
кажите, что из бесконечной дифференцируемости корреляционной функции
по обоим переменным следует бесконечная дифференцируемость процесса в
ОО
среднем квадратическом. 10.44. a2is. 10.45. Eg( = 0, К (t) = j cos yip (dy), где
о
p.— конечная мера на [0, oo), определяемая равенством p(B) = EA2Zb(i]),
fl, х е В
10.46. Покажите, что если с^Ои <p(i) — произвольная
(0, х ф. В.
/ 1
+ h
/ 1	1/2 — pz \ / 1	1	.--------\n
G +у1-4р(1-р) Д 2 + 2 - 1—P) j +
—1/1 — 4p (1 — p))j при p Ф 1/2, a„(z) =
вещественная функция, то функция c<p(ii)<p(i2) положительно определена.
10.47.	[Кт (i, s) + Eg^Eg^]	s) + tg<2>£^2']. 10.48. a) p"z+l-pn;
(1 —p) (z)
6) -----’ где <г> =
1/2-pz У 1 _
1/1 — 4p (1 — р)Д 2
= (l/2)n[n+ 1 — nz\ при p = 1/2; в) 1—(1—z)"” p1+a+-"+/2-1'
10.49. a) 1 при p 1/2, (1—p)/p при 1/2 < p <_ 1; б) 1 — p'/U-"); B) y2 — 1.
10.50. a) pn(1 - p); 6) p1+“+---+“n“1(l-p“'1). 10.52. pnzn+1 -f-(l — p) z
c (1 — c)
10.53. (1 — a)u'i-1, где «=	10.54. 1 — exp {—c(l — c)x}. 10.55. Boc-
(^n	\
y, g,. | у I =
?=1	1
=	где gi — число потомков i-й частицы n-го поколения в
(п + 1)-м поколении; Е(Xnj-s+i|А\) = Е(Е[Xn+n-ц|ЛП+Й] |ХП). 10.56. Воспользуй-
2₽(Уп = /г, ХП = /|ХО = 1)
тесь равенством Р (Уп = к | Уц = Хо = 1) = J——руру~Тру~ту---------'
„	1 — z	eat (1 — z)
10.57. а) 1 — ------------- при a = 0,	1 — ------------------
y(l-z) + l	^(eat - 1) (1 - z) + 1
при а =/= 0, a = 2«г + Я], Ь — 2а2; б) z[e(ft_,)f—	— l)j*-i]-i/(*-i);
в) 1 — [1 — е~,/2 + е-1/2У1 — z]2; г) 1 — ехр {е-*-1— 1 -ф е~и In (1 — z)}. 10.58.
а) —1 — ai/a2, если ai/a2 > —2; 1 в противном случае; б) 0; в) 0; г) 1 — е-1.
10.59. Воспользуйтесь результатами задачи 10.57. 10.60. Обозначим Q(t) =,
= Р(Х( > 0). Покажите, что Q(t) -*0 при (->» и удовлетворяет дифферен-
d(^ (0	2
циальному уравнению - м = Q (t)(Q (i) — 4), Q(0) = 1. • Отсюда Q (t) =
— 1 /| 1+ it — J<2 (w) du I. 10.61. Положим gt = Xte-‘. Тогда E(£i+T — £()2 =
I \ о /
ж» e~* (1 — e-T) —>-0 при t->oo. Таким образом, существует случайная
величина £, такая, что сходится при t -> оо к g в среднем квадратическом.
Отсюда следует сходимость характеристических функций. Положим, далее,
(Ft, z) = EzX*, <р4 (Л) = Ее’Тогда, подставляя в уравнение /’(t-f-т, z) =
<=F(r, F(t, z)) значение z = exp {1Ле_11+г>}, имеем <pi+T(X) = F(x, <p<(Ле-T))
307
Отсюда при t->oo <р (/.) = lim <р( (Л) = F (т; <р (/.е т)). Устремляя т к нулю,
/-»СО
имеем	(Ф W), m (0) =1. Из последнего уравнения находим <р(Л) =
а Л	Л
= 1/(1 — гЛ). 10.62. Покажите, что
*1
< х | Xt > 0
F (t, exp (i/,Р (Xt > 0)й - F (t, 0)
= E {exp {1U(P (Xt > 0)} | Xt > 0} = —-------1---------------------
₽(Х(>0)
1 — z
где F(t, z) = 1 — г (1 _ t (см. задачу 10.57 а)) и P(X, > 0) = (1 + t)"1.
10.63.	Пусть выполняется а), тогда для доказательства б) нужно показать, что
для любого В Е И любого HelFct ₽ (АВ) = J Р (В | #"_f) dP.	Но
А
Р(АВ) = ЕР(4В|ЗГ=() = Е[Р(А|ЗГ=1)Р(В|ЗГ=1)]. Далее, J Р (В | Sr=t) dP =
= Е [Р (В | <F=1) 1а] = ЕЕ [Р (В | ^=/) 1А | ST=<] = Е [Р (В |	Е (7А | ЗГ^] =
— Е [Р (В | Р (И |	Пусть теперь выполняется б). Тогда для дока-
зательства а) нужно показать, что для любого СеУ”=| Р (АВС) =
= P(Hl^=()p(B|S^=()dP, где /1еУс1, ВеУй1. Имеем Р (АВС) =
= ЕЕ [ЛЛ'с |^d=E/Vcp (В1^/) = ЕЕ [ЛА₽ (*1^=/) | ^=/] =
= Е [/сР (B|ST=/) Е (7Л | <г=/)[ = Е[Р (4|<Г=()Р (B|ST=/) 1 с] =
«= J Р (4 | Р (В | ^'=j) dP. Доказательство эквивалентности определения в)
С
аналогично. 10.64. Воспользуйтесь тем, что о-алгебра (^”х) порожда-
ется полукольцом событий вида {t,Si s 4р ...,	Sj, ...,sm^t,
41,...,4me«	((ЦеВ1,...41пеД„р1,...,<п>и1>...> BneS8).
10.65. Воспользуйтесь результатом задачи 10.64. 10.66. См. задачу 10.64.
10.67. Нет. 10.68. а) да, Р (х, 4) == р (и) du; б) да, Р(х, 4) = J р (и — х) du;
А	А
в) да, Р (х, 4) = J р (и) du. 10.69. Нет. 10.70. Используйте
тах(х, и)£А
оо
уравнение Колмогорова — Чепмена Py(t-|-T)= У, Pih (t) Рь^ (т). 10.71. Ис-
k=o
пользуйте уравнение Колмогорова — Чепмена. 10.73. Пусть i = j. Поло-
жим а= sup (1 — P{i (h)\/h. Если р<а и (1 — Bii(io))/io > ₽, то при
Л>о
1	1 — ГР,, (т)1п
tol(n + 1) Т < tain Р < — (1 _ р.. (т)]« В.. (го _ пт) <----L—--L +
, «-•PiiGo-^ „	„	1-Лг<Т) ,
I ------------_ Поэтому р <----------+--------;------ и так как
%	т	’о
lim (1 — Pji(<0 — пт)) = 0, то для любого р < а существует б такое, что
7<->оо
308
1 - Рц (?)
при т < б Р <---------а, откуда вытекает, что а — lim (1 — Ри (т))/т.
т	т->0
Пусть теперь i ф j. Выберем б так, чтобы при 0 < s йС nh < б Pn(s) > с и
Pji(s) > с- Рассматривая цепь Маркова с вероятностями перехода за один шаг
Pij=Ptj(h) можно показать, что Рц (nh) is с(2с— l)nPij(h). Отсюда
Р i j О)	I t \ п
•—j—с (2с — 1) Рц\~ I ~ при 2 < 6. Пусть [х],— целая часть х, тогда
Л/т) !	Р;/П/т|т)
~< с (2с — 1) —р/трт—’	Переходя к пределу при т О, имеем
— Pi} (?) ~	1 Рц <0
lim—— < ... _ ,-rlini—— < оо, по так как Л,(/)->-1 и Pj}(t) ->
т->о г	1
-> 1, то с можно выбрать как угодно близким к 1. Отсюда вытекает существо-
вание конечного предела lim Рн (/)//. Существование конечных ан и равен-
(->о
N
ство У, a.j = —следуют теперь из соотношения 1—Pit (h) = У, Рц(^)-
3ri	2=0
10.74.	В качестве множества состояний процесса возьмем множество А
всех рациональных точек прямой. Пусть т|о — показательно распределен-
ная с параметром 1/у0 случайная величина, причем {ца} независимы,
У уа < оо для любого «, У, Та " Положим Paa(t) —P(r\^Z>t),
о<п	а^А
Раь(Р) — 0, b < а, РаЬ (/) — Р / У 'Па < * < 2 ’laY
\а<а<Ь	/
1-	1 п/	, Лг/О 1 /
lim----------= lim-r Р (лп < о = Та > hm —т~ < lim—— Р
1	/->о £	/->»	1
10.75. Прогрессивная измеримость очевидна. Далее,
b > а. Тогда
а<а<Ь /
ОО 00
РХ (л л {1т+пеГ}) = 2 2 Рх<л П {? = m) п {Г) = п} л {U„el’}) =
711=0 71 — 0
оо оо
= 2 2 J	Г)РЖ (dm).
ш—о л—о д гцт =m,ri=n)
Отсюда вытекает утверждение задачи. 10.76. Пусть (m(, t 0; Рх) — семейство
винеровских процессов, выходящих из каждой точки прямой. Положим
mo^O,
| 0, wQ = 0.
Покажите, что семейство (£;, Рх) является марковским, по не строго марков-
ским. 10.77.	1-г-М, где Х. = Ит --------------•. 10.78. ц{1}=2с, ц{2} = с,
/->о	1
с 0. 10.79. Любая конечная цепь Маркова более чем с одним классом су-
щественных состояний.
ОО
f Р (Ж < | < 14 + X) dG (т)
Р (Т] < g<U-f-Tl) о
10.81.	Р(£<« + Ш>'П) = —р	Vjj— “--------«--------------------=
Jp(£>x)dG(x)
О
809
J [e-°* _ e-«(*+u)] dG (Z)
= -------—---------------- = 1 — e~au. В частности, полагая G(x) =( ’	’
p	11, x > t,
J e~axdG (x)
о
имеем P(£ <Z a+ r|g t) =1 — e~au. 10.82. Воспользуйтесь результатом зада-
чи 10.81. 10.83. В силу определения операции наложения потоков vt —
= v^+ ... + Свойства отсутствия последействия и стационарности vt вы-
текают из свойств отсутствия последействия и стационарности	г = 1, ...,к,
и их независимости. Свойство ординарности следует из того, что сумма к не-
зависимых случайных величин, имеющих пуассоновские распределения с па-
раметрами Лц ..., кь имеет пуассоновское распределение с параметром
р(+>2)
M + ... + Хл и равенства Р (yt+h - v; > 2|v(+/1 - vt > 1) =	=
₽№’ + ... + vW>2)	_
z	;—7Г)----r. 10.84. В силу задачи 10.82 исходный поток—рекур-
р (Ч +  • • + vh> о
рентный с функцией распределения интервалов между поступлением 1 — е~м,
Z + 0. Докажите, что интервалы времени между поступлениями требований
i-го подпотока независимы в совокупности и имеют показательное распределе-
ние с параметром kpi. Затем воспользуйтесь результатом задачи 10.82 10.85.
Пусть Z], z2, ...— интервалы времени между поступлениями требований исход-
ного пуассоновского потока, иь и2, ... — интервалы времени между поступле-
ниями требований просеянного потока. Из определения операции просеивания
следует, что
111 = Z1 + . . . + Zk+1,
= Zs+2 +  •  + Z2|S+1),
Un = Zln-l)(fc+l) + l + • •  + Zn(S+l).
Отсюда следует, что щ, и2, ... независимы в совокупности и одинаково распре-
делены. Найдем функцию распределения щ. Для этого надо найти функцию
распределения суммы (fc + 1)-й независимых случайных величин, имеющих
показательное распределение. Докажем, что Р (++•••+++1 < *) =
М .
С — X
= I е dx. Воспользуемся методом математической индукции. При к = 0
о
м
Р (zx < t) = 1 — е~>л — I e~xdx. Предположим, что Р	. + zn < t'j =
о
м
С ^п~1
 J _ i)fe Х<1х- ТогДа р (гх+ • •
о
t	и
г Г.	МЛ«)П-1 ... С хп~г
:	[1 —е “)] ---------- e '-udu = I ---------7ТГ" е xdx — e u----j—=
J	(n — 1)!	J (n — 1)!	h!
о	0
м	n
Xn	P (VT ~ n* vt ~
J ТГ e~XdX- 10Ж ₽ (V‘ = *1Vr = n) =--------P (vr = n)---- =
0
310
Р (ут — V, = п — к, v( = к')
Р (Vj, = /г)
Р (vT_, = « — ") ₽ (v( = А)
Р (vT = п)
Р (vr - у, = а- А) Р (у; = к)
_цг_0 1Х(Г-ПГ-\
« 1	’ (п — к)[ е А!
е-ХТ
(Ш’‘
п!
. /t \k Г t \n-h
= C”ly 11 — у I . 10.87. Пусть v;—пуассоновский поток с интенсивностью
X vj — поток Бернулли на [0, Г], определяемый параметром N. Покажите, что
для любых непересекающихся интервалов Ai, Д2, ...., Дп с: [0, Г] и целых
п
к„...,кп,	^k^N,	....	=*n) = P(vAi = fc1, vAn==
7=1
= ^n|vr = ra)’ гДе VA- и VA- —число требований, поступивших в интервале
Д( соответственно потока Бернулли и пуассоновского потока. 10.88. Пусть
гь z2, ..., ut, и2, ... — интервалы времени между поступлениями требований
соответственно исходного потока и потока оставленных требований, V! v2 ...—
последовательность независимых в совокупности одинаково распределенных
по геометрическому закону и независящих от zj, z2, ... случайных величин,
Р(у, = к) = (1 — p)pk~', к = 1, 2, ... Покажите, что
“l = zl + z2 + ••• +zvx’
“2 — ZVX+1 + • • • + Zv1+V2,
uk — zVx+...+vft_x+l + ” • + zVx+...+vft
Исходя из свойств геометрического распределения докажите, что щ, и2, ...
независимы в совокупности и одинаково распределены, т. е. поток оставлен-
ных требований — рекуррентный Далее, Р (и± < t) = Р -j- zv^ < tj =
= У](1—P) Pft-1P(Zx+- • -+zft < «/Отсюда j e-sfdP(<u1<t) = V(l—p)	[a (s)]h=
fe=i	0	ft=1
1—a(s)
= a (s) —pa, (s) z-- . "г. Ооращая последнее равенство, получите утвержде-
1 pa, ps)
ние задачи. 10.89. Докажите следующее утверждение: если./(я)—неотрица-
тельная и неубывающая па отрезке 0 у х а функция и
у f (х) + /(О Для любых х, у е. (0, а), х + у е (0, а), то t(x)lx при
х 0 либо неограниченно возрастает, либо стремится к пределу, причем этот
предел равеп нулю, только в случае /(а) =0. Докажите, что функция /(?) =
= 1—Ро(^) удовлетворяет указанным выше условиям. 10.90. Покажем, что
ОО
из б) следует а). Положим = P(vf = /с). Тогда Р (vf > 2) < 2	(0
ft=i
оо	____
- У, Ph (i) = X« — P(vt > !),	откуда 0 < lim у P (v( >	%—
s=i
1
-lim — P 1) == X — ц = 0. Покажем теперь, что из а) следует б). Поло-
ТП	оо	оо
жим Vm (t) = у, Ph (1). Тогда к = 2 кРь. О) = S I1 ~ vk (!)]• Покажите,
й=о	А=1	к=0
311
что для стационарного ординарного потока с конечным параметром pi Vm (£) =
с	,	1- г)
= — рхр™ (0,1 — ^т(0 = И J <Рт (“) dlli где	1 — Р0(т)’ hk(r, t) —
о
вероятность того, что в промежутке [0, т) поступило хотя бы одно требование,
а в промежутке [т, £ + т) ровно к требований. Отсюда X
о
и У, <рь (и)	1, 0 < u 1. Следовательно, X ц. По Х£ = У /сРь (£) >
А=В	/1=1
> 2/J/< (0 = 1 — р0 (0-Отсюда Х>(1 —PQ(t))/t и X>lim(l — /,0(£))/£=ц. Таким
/,1 1~*а
образом, X = ц. 10.91. Пусть	и — моменты поступления 1-го и
2-го требований к-го потока. Положим Bh (Г) = Р < (). Тогда У, Alf{ (£) =
Л=1
п
2
/,-|
п 1	п
так как У ah j Ak(u)dus^.t У akAh (t)
/<=1 0J	/г=г
<at max (£)}. Далее, У Bh (t) < 2 Aih (0 Ak (0 <
14Л4П	k=l	fc=l
n
< Sauo max (AkW}<at max {A(0}> max Ми,(0}<г max ю»
icfecn1 ' Kitin'- ’ HUn1 1 14КП 1 ’
Покажите, что при выполнении этих условий справедливо утверждение за-
дачи. 10.92. Случайный процесс wt является регенерирующим, моментами
регенерации служат моменты прихода автобусов:	51 + ^2, Si + Sa + £з, ...
Используя предельную теорему для регенерирующих процессов, имеем
оо	оо
lim Р (wt < у\ = Ц I Р < у, > х) dx = ц Р (х < £ < х + у) dx =
t-»oo	•’	J
О	О
оо
= М J [G (х + у) — G (a:)] dx.
О
V
10.93. |1 J [1 — G (z)| dx.
о
10.94. piJlG^ + u)— G(x)]dx. 10.95. р. J ^р[1 — G (a)] dx.
о	о
10.96.
10.97.
10.98.
10.99.
ц X
а)^(0=х4у+х7нГ
(»р+ ,	, _ j
Чп = — 11 ~ P1 Z
_/!=»
е-а+ин. б) Ро(() = Л + ^
(np)h t (пр)"	1 1 1
к!
£—	_+___е-а+ц)г.
где р = Х/(пц).
Р0
где а = Л/р., Р = v/p.
п^аРл 1 + 2
,п
10.100. рп = ^ Ро,
1 —Р
Р
т=1
312
a”+m
nmn! P°' ГДе Po
Л — интенсивность входящего потока,
”	m
П	j,	п т
fc=i
-1
n h
10.101. 7V= У ...4-
^4 (k— 1)1 1
_k=l
(п-1)!
DI
p-1 среднее время обслуживания,
х Y1	_ ап ъ (a\s
rj р0. Ю.102. g=—
a = Vlb
n
" = 2,
>=1
Ро- 10.103. Воспользуйтесь формулой
Поллачека — Хинчина, которая в случае
В (х) = 1
11
принимает. вид
, , х1 i (1 — Ла) (z — 1) ехр {—а (Л — Лг)}
P(z) —z nj — z _ exp (—а (Л — Лг)}
j=o
= (1 — Ла) (1 — z) z’ exp {а (Л — Лг) j}. Разложите последнее выражение по
1=о
степеням z. 10.104. Пусть / (z) =
е—s*dB (х).	Докажите,
о
что /(z) удовлетворяет уравнению /(z) = гР(Л— Л/(г)); далее, при
„ ГО, х<а,
В (х) = ]
(1, х > а,
имеем P(s)=e_,a и, следовательно, /(z) = z ехр {—а(Л — Л/(г))}. Положим
х = 2е-хаЛа, (/ = Ла/(г). Тогда ye~tt = х. Это уравнение (относительно у)
ОО
имеет единственное решение у = У, (у7-1/;!) х3. Отсюда / (z) =
1=1
= 2 е~Каз--Tj----z3. 10.105. В силу формулы Поллачека — Хинчина w(s) =
1=1
(1 _Лрг)5	1 _ л₽!	Г _sx
= « —Л+ЛР(«) ==1-ЛР1[1-РИ1/Р1^’ где ₽(s)=Je sx^w, Pj =
(О*
=J xdB (т), co (s) = J e sxdW (x), причем для того, чтобы существовал стацио-
о	о
парный режим, необходимо, чтобы Лр1 < 1. Пусть со*(1) —характеристическая
функция функции распределения №(х), а Р*(0 —функции распределения В(х):
оо	оо
§eltxdW (х), P*(t)=§eltxdB(x). Тогда из формулы Поллачека — Хинчи»
о	о
1-ЛР,
на следует: w*(t)= t [Р* (t) — 1 J/Ztp"~' Покажите> чт0 (Р*(г) — 1)/('Ф1)
является характеристической функцией. Используя это утверждение и формулу
X
для и*(<), докажите утверждение задачи. 10.106. F (т)=ЛРх.В (аг)-|-(1—ЛРХ)^ [1 —
о
21 л. В. Прохоров и др.
313
— e-M*-u)] dB(n). 10.107. Функция n(s) является единственным
решением уравнения n(s) .= P(s + X — Xn(s)) [p + (1 — p)n(s)], таким, что
jn(s)| < 1 при Re s > 0. 10.108. Пусть n( — число требований в системе в мо-
ОО
мент t, Р (г, <) = 2 2"Р (п; = ”)• Тогда Р (г) = lim Р (z, t) = (Р — ХРх) X
П=0	<->оо
Р (X - Xz)(z - 1)
X z _ щ _ pj z р _ ^2) •	Стационарным распределением длины
очереди иногда называют также nt = lim P(n^=fc); где n^l=ntN+0, tN —
2V->oo
oo
момент N-co окончания обслуживания. Положим Р* (z) = 2 zftH*. Если
h=o
0 < р < 1, то P(z) и P*(z) не совпадают:
(р—XPx)(z —1)Р(Х —Xz)[(l—p)z + p]
Р* (z) =	z-[(l-p)z + p]p(X-Xz)
X
10.109. F (z) = (1 - p + XPJ В (x) 4- (p - XPx) J [1 - e-x(x-u)] dB (x).
0
10.110. po($) = [$ + X— Xfi(s)]”1, где % — интенсивность входящего потока,
00
Р (s) = J e~sxdB (x), B(x)—функция распределения времени обслуживания,
о
. 10.111. л (s) = р («+ X) [1 - -А- Р 4 + X)]”1.
nt nt
10.112. /(z) =zP(X)[l-z(l — P(X))]-1. 10.113. Ezj iz2 2
= exp {(zT - 1) р (tl) + (z2 - 1) zxp (t2) - (1 - zx) (1 - z2) p (f2 - tx)}, где
t
(*	M-t
P (0 = X J [1 — в (и)] du. 10.114. Ez± 1 Z2 2 = exP {(г2 — 1) (Xfj — P(«2)) +
0
+ S (zi - !) Pr - P (f 1))}- 10-115- P ("(=«- Р(=т)=е-Х(
10.116.	л (s) = Pi (s + X — Xnt(s)), где Hi(s)—решение уравнения
OO	oo
=P(s + X —Хл^)), P(s)= [ e~sxdB(x), px(s) = J e-sxdBx{x).
о	0
10.117.	/(z) = zP[ (X — ХЛ (z)), где у, (z) — решение уравнения jx(z) =•'
= zp(X — Xfi(z)). 10.118. Функция л(я) является решением уравнения л($) =
= X(s+ X — Xn(s)), где h (s) = Р (s + v) + [1 — p (s + v)J g (s), P (s) =
oo	oo	oo
= j e~sxdB (x), g (s) = J e-^dG (t). 10.119. Пусть ay (s) = e~sxdW (x),
0	0	0
,, ll-Xrv^ + g.ld-pCvnls f
тогда co (s) = 1-L--------------!_, g — \ xdG (x). 10.120. P (z) =«
$ — a-\- ah (s)	1 J
о
Bl^4>-+g,](i-plv»|)i-1)»a-M	,21 K _mln
z —X(X—Xz)	' ’
314
10.123.	s(l — t).	10.124. K(u, v) = min [u, t>]—uv. 10.125. Очевидно,
»t — гауссовский процесс. Найдем ковариационную функцию ut. Так как
“W= (1 + t)	(1 + s) u’%+,)= [(1 + «) «’t/d+p — X
X [(1 + *) “'s/d-H) “ SU,11 = d + *) (i + «) ^/(1+i)№s/(1+s) - t (1 + «) M’s/d+«)B,l—
— s (1 + i) ivt/(1+t)w1 + stiv2, to Eu>fw, = (1 + t) (1 + s) min	~
— st = min (г, s). 10.126. Покажите, что процессы и Ц2) гауссовские, най-
дите их ковариационные функции. 10.127. Независимость приращений
(«;<1>+Ч2>)/1/2 следует из независимости приращений и и>^ и их
независимости. Найдите распределение	— ws1> +
n-i . , A
2 sin kt
—к— ®Ь’
части сходится равномерно с вероятностью 1. Теперь достаточно показать, что
is 2 sin kt sin ks
Efui.tcsl — ~+~ У ----------»----= min (t, s).	10.130. Предположим, что
Й=1
1]л = (ifi+л — wt)lh сходится по вероятности к некоторой случайной величи-
не г). Отсюда следует слабая сходимость распределений г]л к распределению т).
Но т]Л имеет нормальное распределение 7V(0, Л-1) и, следовательно,
lim Р (т]Л < х) = 0. 10.131. Воспользуйтесь тем, что wt — и>, имеет нормальное
А-»о
распределение с математическим ожиданием 0 и дисперсией t—s.
V—и
1 С [	.т2 1
10.132.Р(м>( < i>| u>, = u)= р(«\—tc5<r— »)=y2	> J exP] — 2
10.133. Совместная плотность распределения равна
1
(2л)”/2	(t2	*п-1)
6XPl 24 2^-iJ •••
10.134. Если траектория винеровского процесса дифференцируема в некоторой
точке s (без ограничения общности 0 s 1), то | ivt — w, | < l(t — s) при
s < t < s + 5/n, n m для некоторого Z 5г 1 и некоторого т 1. Но это
событие содержится в событии
U U П U П
i^»l ш>1 п$>т o<i«n+2 i<h«i+3
“  I wk/n - “'(fc-D/n 1 < — ’
21*
315
a
f	(	7Z H	Г ( 7ЩЗ
₽(o<x+2 кХзb: ।	। < “))< <n+2) [ 0wi<" )i ~
.„ -I /	*2-fi	(*2~Ч) Г л В-A pl
10.13a. |/ 2n(t2-t)(t-Z1)expl 2(t2-t^t-«,)]/ A t^-t^ *i)j J-
10.136. Используя строгую марковость вииеровского процесса, покажите, что
Р ( max ws z, wt > z\ = Р / max ivs z, wt < zV Отсюда Pf max ws z'] =
«= 2P f max ws z, wt > z'j = 2P (u>t > z) = 2P (wf 7? z).	10.137. pt(2) (z) =
1 z f z 1
_ .— -тттехр)—-к— f, tr>0.
У 2л x3/2 I 2z J’
Покажите, что P(t(z) < x) = 2P(tz>x z).
10.138.	Воспользуйтесь результатами задачи 10.137. 10.139. Так как P(z2t(1) <
< х) =Р(Т(1) < x/z2), то плотность распределения z2T(1) равна р (х) =
Z“T( 1)
/	__о\ __2	1
= PT(1)Uz )z = у=? (1г-2)3/2 Z
10.140.	exp f— fl + гуу[) VI1 lj.
2/(2x)_____i-----z_ -г-/(2х) _	/ ,
УЫ г3/2	~ Px^ ( b
10.141.	(2/n) arcsin	10.142.
I f	. i
_ I e	dv, z> x,	,—
У2л£ J	y2nt
(2Z-V)2	® _»2
e 21 dv	I e 2tdv,
~ У 2n« J
X.
z
— oo
z
10.143. F (x} = l-e-2*2, p (x) = 4ze-2x2. 10.144. e~2a2.	10.145. Для до-
казательства а) воспользуйтесь утверждением а) задачи 10.126. Для
доказательства б) используйте строгую марковость вииеровского процесса.
10.146. Из утверждения б) задачи 10.145 и того, что для любых а, Ь Р(а, Ь)
^1 следует, что Р(я, 6) = е_“ь, где а 0. В силу утверждения а) задачи
10.145 отсюда следует, что Р(а, Ь) =е~^аЬ, 7^0. 10.147. 7 = 2. 10.148. Восполь-
хо
ауйтесь тем, что Р < хп, < хп_у...............£0 < *0) = J dP (?0 < “0)Х
— ОО
— ОО	—оо
10.149. Воспользуйтесь тем, что если £t, ..и т]!, г)п — две независимые
последовательности независимых случайных величин, то случайные величины
Si + Ль + Лп независимы. 10.150. Если сумма независимых случайных
величин имеет вырожденное распределение, то каждое слагаемое также имеет
вырожденное распределение. 10.151. Для любого £, любого Ai > 0 и любого на-
п
турального п имеем £г+Д{ — ^ = 2 {^t+kM/n ~ ^+(Л_1)Д</П)- В правой части
h=l
стоит сумма независимых (процесс с независимыми приращениями), одинако-
во распределенных (процесс однородный) случайных величин. Следовательно,
распределение	безгранично делимо. 10.152. Докажем непрерывность
справа (непрерывность слева доказывается аналогично). В силу стохастической
Р
непрерывности £(+д/0 при Дг->-0. Пусть /(z) =f(t, Af, z) — характери-
стическая функция случайной величины — St, Тогда /(z) ->-1 при Д/->-0,
316
Но ср (t + At, г) = <p(t, z)/(z), следовательно, <p(t Ч~ At, z)->-cp(t, z) при Дс->0.
10.153. Воспользуйтесь следующим фактом: пусть g)t |2. •••—последователь-
ность случайных величин, /i(t), /г(4), •••—соответствующая последователь-
ность характеристических функций. Если равномерно в некоторой окрестности
Р
нуля /п(г)~»-1 при п->оо, то £„->0. 10.154. Воспользуйтесь равенством
— L = V дь и независимостью gi, .. м	10.155. Пусть
bm—1	.
й: 5тп—1
ti < Обозначим через f(z) характеристическую функцию	Тог-
да <p(t2, z) =<р(<1, z) /(z) и, поскольку |/(z)|cl, |ф(<2, z) | sS l<p(ti, z)|.
10.156. £(+s = g(+„ — £, + Ь- Случайные величины g(+>, gt+, — I» имеют
характеристические функции <p(t + s, z), <p(t, z) и <p(«, z) соответственно. Кро-
ме того, g1+, — и независимы. Таким образом, <p(t -f- s, z) = <p(t, z)<p(s, z).
10.157. Воспользуйтесь тем, что сумма независимых случайных величин, одна
из которых имеет абсолютно непрерывное распределение, имеет абсолютно
непрерывное распределение. 10.158. Дисперсия суммы независимых случайных
величин равна сумме дисперсий слагаемых. 10.159. Воспользуйтесь следующим
фактом: пусть £ — случайная величина, причем для каждого п существуют
независимые одинаково распределенные случайные величины..., такие,
р
ЧТО 5 = £<п>+ • • • + £пП)- Тогда Bin) -> 0 при п -> оо. 10.160. Установите сначала
справедливость требуемого утверждения, когда % — рациональное число. Затем
воспользуйтесь результатом задачи 10.159. 10.161. Вообще говоря, нет. Рассмот-
рите случайный процесс Ь, = Ц, = 0 при a t < Ь, причем г] имеет не-
вырожденное распределение. 10.162. Воспользуйтесь результатом задачи 3.190.
10.163. 1<0 = Ц — ^ +	+ &0- Случайные величины 1,0 — 1(,	— 10
и до независимы и, так как д^ почти наверное равна постоянной, каждая
из пих также почти наверное постоянная. Отсюда следует, что gt — почти на-
верное постоянная. 10.166. Воспользуйтесь результатом задачи 10.155. 10.167.
Воспользуйтесь равенством D£t = D£;_i + Dgi. 10.169. Воспользуйтесь неравен-
ством Чебышева и соотношением Е — l/0)2= DSt — Dlt0 + (Elt — El;0)2,
справедливым при t t0. 10.170. Докажите методом от противного. 10.171. Если
gf — процесс с независимыми приращениями, то д((| = д/() — t(| + t,0 п g( — д()
и до независимы. Покажите, что это невозможно, если имеет показательное
распределение, а до— равномерное на отрезке [0, 1]. 10.172. Найдите характе-
ристическую функцию совместного распределения приращений. 10.175. Пусть
/’—совместное распределение А и ц: F(B, С) — Р(А е В, ц е С) для любых
борелевских множеств В и С. Тогда для любых борелевских множеств 41, .,., А„
Р (A cos [т] (tr -J- h) + <р] е Av ..., A cos [ц (tn + h) + <р] <= Л„) =
ОО оо
= J р (х cos [1/(^4- h) + <р] е= Лг xcos[?/( *n + h) + <р] G Лп) F (dx, dy) =
о о
оо оо
= j j р (ф е гл)F rfy),
о о
где Гл = {z: х cos [у(г, + h) + z] е At, ..., х cos [y(tn + h) + z] Л„} fl [0, 2л].
Так как множество Гл получается из Го сдвигом на yh и приведением по
модулю 2л, а распределение <р — равномерное на [0, 2л], последний иптеграл
равен
оо оо
J [ P(<per0)F(dz,dy) = P(^cos(T]<1 + <p)e41, ..., A cos (цг„+<р)е=Ап).
о о
317
10.176. Er] ( = 0,	Ег|(т), = Е [(5i cos Xi + 5s sin Xi) (5i cos Xs J-5г sin Xs) ] =
= cos Xi cos Xs + sin Xi sin Xs = cos [X (i— s)], т. e. г]г — случайный процесс,
стационарный в широком смысле. Но, например, ₽(т)0 == 1) = P(5i = 1) = 1/2,
Р^л = 1)=Р^ у_. =1^=0. 10.177.	[£(s)]2 + tf(s+i)£(s —/).	10.178.
E5f = Ejti+i— Ел(= X(t+ 1) —Xi = X; E5i5s = E[(n(+i —л()(л,+| — л8)]. Рас-
смотрим три случая. 1. ssjt— 1. Тогда E[(nt+i— лч)(n8+i— л8)] =
= E(n(+i — л()Е(л„ + | — л8) = X2. 2. s = I. Е(л1+1 — л;)2 = X2 + X. 3. t — 1 <
s <Х t. Так как (лi^i — лi) (л8+1 — л8) — [л;-;	л:8+]	л84-1 — Л/] Ж
X [л8-Ц — Л; + Л( — Л,] = (Л(+1 — Ла+1) (л8 + 1 — Л() + (Л8 + 1 — Л|)2 -f-
+ (л(+1 — л,+1) (л* — л.) + (л8+1 — л() (л( — я,), то Е5<58 = X2 + X — X(t — s).
р
10.179. Пусть g(->g, iоо, т. е. для любого е > 0 Р( | 5< — 51 е) -> 0 при
(-►оо. Возьмем любые ii < t2. Тогда для любого Т P(|S/1—
<р(|^1-&г|>8/2) + Р(|5т-5|>е/2), Р(|5,
<p(>2-^+t2-fl|>^) + p( £г+г2-(1-ё|>е/2)- Нотаккак5<-
стационарный процесс, р ( 5(1 — 5Т е/2)= Р (|	— 5r+(2_(l | > е/2).
Отсюда	|p(|£(1-5|>e)-P(|g,?-g|>e)|<P(|gr-E|>£/2) +
+ р ?T+f2—(j — 5 | ь/2у II, следовательно, для любого е > 0 и любых
ii < i2p(| 5fl — 5| > е) = Р(| 5(2 —	>е). Отсюда, в силу P(|gt — 51 > е) -*
-> 0 при i-*oo, для любого e/S’OP^g^ — g | > е) = Р (| gfi>— £|>е) = 0.
Зпачит, и р Q g(1 — g(2 | е) = 0 для любых h, /2 и е > 0. Отсюда вытекает
утверждение задачи. 10.180. Пусть т)(со) = £ (Ты). Тогда Er] = J ц (co) Р (da>).
й
Сделайте замену переменных Тео = и и воспользуйтесь тем, что Т — сохраняю-
щее меру преобразование. 10.181. Для любого /1 =^.4 и Т~'А содержат оди-
наковое число элементарных событий. 10.182. Покажите, что мера Jleoeia мно-
жеств [а, Р) и Т-1([а, р)), Ог^а <	1 одинакова. Получите отсюда утверж-
дение задачи. 10.183. Рассмотрим преобразование Тх = кх, 0 < X < 1. Пусть
F(x)— функция распределения меры Р, F(0) = 0. Тогда для любого я>0
[0, а)=Т-1([0, Ха)) и, если Т — сохраняющее меру преобразование, то
Р([0, я)) = F (a) = F(ka) — Р([0, Ха)). Отсюда F(a) =1, но F(0) =0, что про-
тиворечит непрерывности F. Аналогично рассматривается преобразование
Тх = х2. 10.184. Обозначим С — класс множеств инвариантных относительно Т.
Тогда, очевидно, fieC. Пусть А еС. Тогда, так как АДТ-1А = ААТ~'А,
Р(А Д Т~‘А) =Р(А Л Т~‘А) = 0 и, следовательно, А бС. Аналогично прове-
ряются все остальные условия в определении а-алгебры. 10.185. Пусть 5 (со) —
случайная величина с Eg2 < оо. Тогда ряд Фурье Спв2Л1,1Ю5(ы) сходится в
Ti=—оо
оо
среднеквадратическом, 2 I сп |2 < 00 и 5 (®) = У, спе2л,пш почти наверное.
п=— ОО
оо
Отсюда g (Та) = У, Cne2nina>e2iiinkи есди g инвариантна, то
П=—ОО
сп (1 — е2я’"х) =0. По предположению X иррационально и, значит, для всех
п =А= 1 e2,link Ф 1. Поэтому с„ = 0, п Ф 1, 5(ш) = со. Отсюда следует, что пре-
образование Т эргодично.
Пусть теперь X рационально, т. е. X = к/m, где Х-ит — целые. Рассмот-
2т — 2
рим множество 4 = {со: 0 со < 1/т, 2/т со < 3/т, ...,	—~со <
318
< ———|.Это множество является инвариантным, но Р(А) =1/2. Следователь-
но, Т не эргодично.
10.186. Необходимость. Пусть А — любое множество из ©. Положим
В = (ы: g (ы) е А). Тогда Т~'В = {и: Тч> е В} = {ы: ^(Ты) е А} = В (J N, где
Р(Х)=О. Следовательно, Р(В Д Т~1В) = 0. Отсюда В е ©. Достаточность.
Пусть А еС. Тогда В — (со: g (ы) = А ) е С. Так как Т~'В = (ы: g (Ты) е А),
то Р( (g (ы) е А) Д (g (Ты) е А)) = 0. Следовательно, P(g(co)eA,
g(To>) е* А) =Р(£(ы) <^А, g(Tio) еА)=0. Получите отсюда утверждение за-
дачи. 10.187. Пусть Р(А Д Т-‘А) = 0. Так как А Д Т~'А = (А\Т-‘А) U (Т-‘А\А),
То Р(А\Т-'А) =Р(Т-1А\А) =0. Пусть теперь Р(А\Т-1А) =0. Тогда, так как
Р(А) = Р(Т-'А), Р(Т->А\А) = Р (Т-«А) — Р(АПТ-’А) = Р(А) —Р(АПТ-'А) =
= Р(А\Т-1А) = 0. Значит Р(АДТ-1А)=0. 10.188, Нет. 10.189. Для доказа-
тельства достаточности возьмите в качестве ц и g индикаторы событий А и В.
Необходимость. Докажите сначала справедливость утверждения для сту-
пенчатых случайных величин. 10.190. Вообще говоря, нет. Пусть, например, go,
Si, g? — попарно независимые одинаково распределенные случайные величины,
зависимые в совокупности (постройте пример таких случайных величин!),
g3, g4, ... — независимые в совокупности, одинаково распределенные с go слу-
чайные величины, не зависящие от ^о, 61, &2- Тогда последовательность go, gi, ••.
удовлетворяет условию задачи, но не является стационарной, так как трехмер-
ные распределения (go, £ь ga) и (g3, g4, g5), очевидно, не совпадают. 10.191. Во-
обще говоря, нет. 10.192. Пусть f(xa, ..., xm) и g(x0, ..., xm) — ограниченные
функции, имеющие абсолютно интегрируемые преобразования Фурье. Покажите,
что если lim R (п) = 0, то lim Е/(gn, gn+1, ..., gn+m) # (g , gp ..., gm) =
V—»оо	П~»<Х>
= Е/ (g , • • , %т) Е/? (gn, ..., gm). 10.193. Воспользуйтесь законом 0 или 1 Колмо-
горова. 10.195. Однородная цепь Маркова go, gi, ... с фазовым пространством
(X, S?) будет стационарной последовательностью, если распределение случай-
ной величины g0: ₽о(А) =Р(;ое.'1), АеЗ, связано с переходной функцией
P(t, х, Г) соотношением Р() (Г) = Р (t, х, Г) ₽0 (dx) для любых t и Г е Э.
Л'
10.196. Пусть Ai, ..., Ап — любые борелевские множества. Тогда
₽(1]л+1 <= A j, ..., цй+1 е А„) = P(/(gA+i, ..., gm+ft+i) е Ai, ...
. • ., /(gft-l-n, • . gm+ft+n) An) — P((gh4-1, . . ., gm+fe+n) £=7?),
где В = {2|, ..., Ztn+n’. f(zi, ..., 2m+i) ее Ai, ..., f(zn ..., Zm+n) eh An). Так как по-
следовательность {gn}— стационарная, то
Р( (§S+1, • • *, £ т 4-S+ п ) ЕЕ Р ( ( £ 1, ..., ^,т+п) В) ~ Р (1)1 Е= А1, ..., Цп ЕЕ Ап),
10.197. Достаточность. Пусть
/	(х ... х )=(1’ *1 S Л’ xm+lS Ап+1,
' !’•••’ m+i; (0 в противном случае.
Тогда
Р (ё/1 — Af • • • ’ S An+1) —	...Am+l	?n+m) =
= Е^Л1,...,Лт+1 (^o’ • • • ’	= P (^0 e ^1’ • • •’ S An-f-1)"
Необходимость. Пусть F(Ai, ..., Am+i) — распределение gn, ..., gn+m.
В силу стационарности последовательности go, gi, ... оно не зависит от п. Но
тогда и
Е/ (5П, •••, ?n+m) “ J ••• У Я'г1’ •••’ rm+i) •••’ dzm+i)
пе зависит от п. 10.198. Пусть А — произвольное инвариантное множество
относительно последовательности t]0, тщ ... Тогда существует йеЗ(Л“),
319
такое, что А = {ы: (цп, Цп-н, ...) е В)} для любого п. Отсюда
А = {to; (/(Sn, • . », Sn+m), /(Sn+l, . . Sn+m+l), , . .) S B} =
= {co: (Sn, Sn+1, ...) e C],
где C={z0, Z], .... (/(z0, ..., zm), /(zb ..., zm+i), ...) e= В}, и, так как
BeiS(B“), а функция /(т0, ..., xm) измерима, то Се^(/!““). Таким образом,
А — инвариантное множество относительно последовательности So, Si,  • • и в
силу эргодичности последней Р(4) =0 или 1. Отсюда следует эргодичность
последовательности ц0, -qj, ... 10.199. Стационарность {цй} следует из того,
что совместное распределение (/n(S*+i, •••, Вп+л-н), ..., /n(Sft+m, • • •, Sn+ы-т))
не зависит от к.
Для доказательства эргодичности воспользуйтесь предыдущей задачей.
10.200. Воспользуйтесь результатом задачи 10.194. 10.202. Напишите конечно-
мерные распределения и покажите, что в условиях задачи они не зависят
от сдвига времени. 10.203. Воспользуйтесь тем, что для однородного процесса
с независимыми приращениями
Ee^(?t+A-?i) =
где ф(Х) не зависит от h. 10.204. Пусть Л(, ..., Ап — произвольные борелевские
множества. Тогда для любых й, .. tn, t
Р (S(1+ie	..., Sin+t е 4) = Р (<₽(!, +1 + S) е 4.<Р (tn -H+S) ^4) =
= ₽(НВ(),
где Bt = {x: <p(fi 4-t + х) .е Л1, ..., <р(;п + t ф- х) е Лл} П [0, Г]. Так как
функция <р(н)—периодическая с периодом Т, то множество В; получа-
ется из Во сдвигом на t и приведением по модулю Т. Но S имеет рав-
номерное распределение па [0, Г], следовательно, P(:eB() = P(-eBj-
= Р0(1 е Л1, ..., Stn е 4у 10.205. Пусть St = St + ni, гДе Ь и •nt —неза-
висимые стационарные процессы. Выразите конечномерные распределения S»
через конечномерные распределения St и т]ь
10.206. Р е 4’ • • •' ^im+t s 4) =
=	2 ^с°8№ + г1 + ‘)1е 4.............2	cos [/с (0, + tm+ ;)]£=
\h=l	Л=1
= [... T₽ fs Ihcos[/c(°h+‘i+i)]s4’ •••’ 2 xbcos[ft (ел+4+91 s
-4 -oo \Л=1
e4)dp (Sx <	• • • > 4 < xn) =
oo	oo
= J	J P((4........0„)eBf)tZP(S1<^1,...,Sn<^,
—oo —oo
где Bt=L, ...,zn: ^lxkcos[k(zh + tt-]-t)]sA1,..,
I	fc=l
..,, 2J Xh cos [k + tm+ t)] €3 Лт} П [0, 2n]n, [0, 2л]п - [0,2л]X ... X [0,2л].
h=l
Но множество Bi получается из Во сдвигом на (t, 2t, nt) и приведением
по модулю 2л по каждой координате. Так как 01, ..., 0П независимы и имеют
320
равномерное распределение на [0, 2л], P((0i, ..0n) s В() = Р((0Ь ... 0„) <=
ейо). Следовательно,P(g(i+{e4r ...Д(и+<еЛл1)=Р(Це41..............4т).
10.207. См. указание к задаче 10.202. 10.208. Пусть К(и) — корреляционная
функция процесса g(. Тогда
i2	2
----1---- f ltdt — т
t2 - t. J ‘
2	1 h
<2-h
= 2 (?2 — ij)-2 Re 1 [(«2 — ijJ — и] К (и) du О при t2 — tt ->oo, если K(t)->-0
о
при t oo. 10.209. Воспользуйтесь тем, что если существует производная ста-
ционарного процесса, то она имеет нулевое математическое ожидание. 10.210.
Вообще говоря, нет. Пусть, например g0, ?i, ... — независимые невырожденные
одинаково распределенные случайные величины и р = —g0. Тогда последова-
тельность to, gi, ... — стационарная, а {go + p, gi + р, ...} = {0, gi — go, ...}
не является стационарной. 10.211. Процесс Z(X) постоянен на интервалах
(—оо, —р), (—р, р) и (р, оо), а в точках —р и р (при р > 0) делает скачки,
равные ~2 е~1Ч> и -g-e’14’. При р = 0 процесс делает один скачок A cos ср.
10.212. Пусть g( = J eitKdZ1 (X). Тогда р( = J eindZ (X), где	Z (К) =
с’% (X - А) + (К + А)
=---------------2---------------• Ю.213. При т еД п E(5n|c(go, ..gm)) =
= E(Sm	gm + i + . . . + g„| <j(go, . . ., gm)) =
= Sm -|- E (gm+i + . . . + gn | О (g0, . . ., gm) ) = Sm + E (gm+l + . . . + gn) = Sm.
10.21 A E (I„ | a (g0.gm)) = E (Xmgm+1 • • • ?„ I ° (?0- • • • - U)) =
= A'mE(gm+1...gn|o(go, ...,gm)) = Xm П EsWm- 10-215. E(g„|^„) =
j=?n + l
= E[E(g|^„)|‘Tm] = E[g|.Tm] =gm. 10.216.	E (gn | a ....
(n	\
2 пАНПр nm, ...............?m) =
’1=1	/
m	n
= 2^+ S Е(’1Л< I ° nm. ?!,••., ?m)) =
/i—l	k=m+l
= Sm+ S E {ME I ° (’ll.............П/Ы ?!- •••- ?m))] |O(P1.....  glt	...
k—m + 1
n
-.Ц=^+ S E5ftE(’lft I a(’li’ nm. ?!.......................=
Ю.217. E(g2|a(g1...........gs))>[E(gJa(g1,	..., gs))]2 = g*.
10.218. E(5n|a(go..gm)) =5m+ E(gm+1 + ... + gn|a(g0......gm)) >• Sm. 10.219.
Вейлу неравенства Йенсена E (g (X„)g(E (X„ 1^)i) = g(Xm). 10.220.
Пусть 5ri = a(gt, . •gs) — a-алгебра, порожденная случайными величинами
gi, .... g*. Используя то, что fn(zi.^п) — плотность распределения gt, ..., gn,
а gn(.Ti, ..., хп) —плотность распределения, покажите, что для любого
(ы), ..., gft (с*>))
1г j fn (51 (ш), ..., gn (ш)) Р ~ J 4 (gx (и), ..., gfe (ш)) Р
в	в
10.221. См. решение задачи 10.219.
10.222. {тв<п}= U {.\еВ}е^п.
k=o
10.223. Пусть {5^;} — неубывающее семейство о-алгебр, относительно которого
321
тиа являются марковскими моментами. Тогда {т+ 1 cj /} = {т -sc t— 1} <=
е &"t-i &"t, {min(T, о) /) = {т t} U {о С t} е 3~,, {тах(т, о) < <} =
= {т с £} И {<т С г} e.T’i. 10.224. Вообще говоря, нет. 10.225. Покажите, чю т„—
марковский момент. Далее, так как TiТг ^ ... ^ тя ^ ..., то при mscn
и А е ST т
У хТпр (Ао) =22 У Х(2Р = у ,f V -
А	Д-1 *2—,1 АЛ(Тт=?1,Тп=?2)	/,=1 .•АЛ(Тт=/1)
Х^ 4-1** (^ш)
АГ)(тт=!^,тп>71)	А А (Тщ=Н’тп->П)
—'	J ^'(1+iP (^w) + • • • + f •Xn_1p (А°) —’
АП(тт=;1-тп>11+1)	АП(тт=(|,тп>в—2)
—'	J ^п-1Р	4" У ^п₽	‘
^П(Тт=/]	— 1)
Далее, так как {тп > \+ 1} е i^+j^ то	^;1+7-+1р (Ао) =
>1Л(тт=.^,тп>!1+7)
(:> для субмартингалов)	j	(&о). Следовасе.тьно,
АП (тт=г1’тп->^1+^)
п
2	I	X, Р (Ао) = (:> для субмартингалов)
^2 Н АГ)(Тт=/1,Гп==?2)
У X, Р(Ао). Отсюда f X Р (Ао) = для субмартппгалов)
АП(гт=г1) 1	д п
т Г	С	I
2 I Xt Р (Ао) = I Хх Р (Ао), т. е. мт 1—мартингал (субмартппгал).
Г - J	1	V 771	nJ
1 АП(т,и=Н)	А
10.227. Пусть S', = a(g„, и еС s). Имеем E(g(|^",) = Е(ехр {£, — as — £i — g,—
— a(t — s)} |^",) = ехр {£, — cls}E ехр (g( — g, — a(t — s)). Ho
E exp - gs - a (t — s)) >
при a>X(e—1),
при a<%(e—1).
Отсюда следует утверждение задачи. 10.228. Покажите сначала, что
lim E(g|^"T1) почти наверное существует. Пусть
п-»оо
{lim Е(£|£Г V если предел существует и конечен,
п-»оо
0 в противном случае
Тогда т] измерима относительно У и интегрируема. Достаточно показать, что
для любого А е f £ (со) Р (Ао) = У q (со) Р (Ао), а для этого достаточно
А	А
доказать выполнение указанного равенства для А е U^"n. Пусть А е З^и.
Тогда С т] (to) Р (Ao) = lim Е (g (со) | л Р (Ao) = lim f Е (g (со) | л Р (Ао) =
V.	% fe-»oo	fe-*oo
А	А	А
= lim f g (со) P(dco)= f g (co)P (Ao).	10.229. Так как {g„}—мартингал, то
h-»oo J	J
A	A
Е(£п+т|^"п) = для любого т 0, Покажите, что если {g„} — равномерно
322
интегрируемый мартингал, то lim Е (gn,m | ^"n) = Е / lim g I ^"п\.
ГП->со	1щ-*оо	I
10.230. Так как {Xn} — мартингал, то Е(ХП1ХО) = Ха для любого п 0. Но
Е(Е(Х„|Хо)) = ЕХ„. 10.231. Пусть Srs = a{wu, и sg s}. Тогда Е(щ(|^",)==
= Е(гг, + u>t — w,\&~>) = ir, + Е((ш( — ivs) [&",) — w, + Е(гщ — w,) = wa.
10.232. См. решение предыдущей задачи. 10.233. Пусть t и js s. Тогда
Е1(ё<-£и) Ли - £.)] = E[E((gu - £,) (g, - gu) |JTu)] = E(gu-g,) X
XE[(g1-gu)|3Tu] =E(g„-gs) (gu-gu) =0. 10.234.	E(g2-F(r)|iT,) =
= E [g2 + 2ES (g( - gs) + (gf - gs)2 - F (t) | -rj = gs2 + E (E( - gs)2 - F (i) =
— g2 — F (s).	10.235. Пусть = a(gi, ..., |n).
если такое к существует
в противном случае.
Тогда т(п> — марковский момент относительно семейства {5^, 1 к п}.
Е /g	\2
Имеем ₽ (, jx* 1 1,1' а)=₽ (1	Но Е (w2=(для
субмартипгалов Е (£т(п))2 < Eg2).	10.236. Пусть {£„, 8Г „} — субмар-
тингал, #„ = a(gi................ In), Agn = Bn— gn-l, п > 2, Ц| = gi, Т)П = Г)П_,+
-|-(Д5„ — Е(Д^П|^'П_1)), п > 2. Обозначим ti=0, gn = gn-i + ECAgnpF,,-,).
Тогда gft = T]ft + g», fc>l. Так как {g„} — субмартипгал, то Е(ДЕ„|5^п_1) Эг 0
и, следовательно, Р(0 С' gi *  & С' .. .)i = 1. Далее, очевидно, gn измерима отно-
сительно З^п-ь Покажем, что {рп} — мартингал. Для этого достаточно
показать, что Е (тр,\^n-i) = pn-i. Имеем E(r]nl^n-i) = Е[(r]„_i-|-Ag„ —
— Е(Д§п|^-п_1)|^-п_1]=ри-1 + Е((Дё„-Д^)|Зг„_1) = ц„_1.	10.237. Пусть
min re : gft	a J,
п
дС") =
если такое к существует,
в противном случае.
Е max (0, 5^,)
Тогда Р supn > а) = Р (^(п) > а) = ----------------------.
{gn} — субмартингал, а у — max (0, г)—выпуклая
Е max (0, gTtn>) Е max (0, gn). 10.238. Пусть
Но так
функция,
как
то
min {к < п :	> а},
п
г(’П =
если такое к существует
в противном случае,
Тогда Е^> E^(n)>aPf sup gft>a\+ J gnP (d<o) >
\ ' *"n	/ sup
1 -^k^n
aP ( sup g. > a\ — E max (0, — gn). Отсюда P ( sup g. a\
J	7	J
E max (0, — E ) 4-Eg Emax(0, g„) — Eg + Eg
}--—пЛ-------1--------------------2-----L. Ю.239. См. решения
задач 10.235, 10.237. 10.240. Последовательность {?„} ограничена с вероятностью
1 снизу (нулем) и сверху (в силу задачи 10.237). Пусть, далее, v(a, &] — чи-
сло пересечений сверху вниз промежутка («, &] последовательностью {gn}.
Тогда, если {gn} — субмартингал (в частности, мартингал), то Ev(a, Ь] sg
sup Е шах (0, gn — 6)
1 <»«» (докажите!). Следовательно, Ev(<z, Ь] < оо для лю-
b — а
бых «, Ъ. Отсюда следует, что Р(А) = 0, Л = U{<jj: v(a, Ь] = °°}, где объеди-
323
пение берется по всем рациональным а, Ь, а < Ь. Так как при со	Л lim
существует, а Р(Л) = 0, утверждение задачи доказано. 10.241. Докажи-
те ограниченность снизу последовательности {|„}. Далее доказательство
повторяет решение задачи 10.240. 10.242. Докажите ограниченность последо-
вательности {|п} сверху. Далее см. решение задачи 10.240.	10.243. Pi;-р) =
1 С Г (“ — (</«) ^i2!
10.2«	. P(„,,,r) = ?s==.J е«р[- 2,„_,)Л>, .«<0,
P (s>
10.245.	P(s, x,t, Г) = у2Т^-]
x)7[2(Z-s)J	e-(l/+x)7[2(t-s)]Jd
10.246. E(pt —
"V n! _•
фп.т= t . Zd . M. ../”1 (П) ;i(2!)~'2...(«!) ,n-
j1+j2+ —+M=r	1	"
j1 + 2j2+...+?J7n=n
f л(— А.П / l }_д_	\	\
10.247.	E expjip -y="j= exP Vu _ J _ Z(i =
{ ц2	X
= exp I—-77-+ о (1) I-> e 2 при Z-> oo.
10.248.	Пусть — стационарный гауссовский марковский процесс. Рас-
смотрим случай, когда Е|(=0. Покажите сначала, что для гауссовского
марковского процесса переходная функция P(s, х, t, Г) имеет вид
1 Г ( (u — ms(z)2l
Р (s, х, t, Г) = z---1 ехр 1 —-----—----| du, где mst и о2( удовлетвори-
V 2ло2(	[ 2ost J
ют соотношениям т8и — mtum8i, ofu = m2u а2( + a2u, 0 sgi t ^.u. Если про-
цесс дополнительно является стационарным, то тзи = т8-и, о‘и = при-
чем mt+s = mtms, o2+s — m2o2 + о2. Кроме того, в силу стационарности |t
существует о2 такое, что о2 = т2о2 + о2. Из полученных условий находим,
что mt = e~at, а 0, о2 = а2 (1 — е-2а(). Отсюда R(Z) = o2e-2a|i|. Случай, ког-
да Е|(	0, рассматривается аналогично. 10.249. Ковариационная функция
спектральная плотность [л(1 + х2)]-1. 10.250. При х < а
I.	У (и-х)2
,	=- | е du, у^.а,
V2n(Z —i) J
— оо
(	1,	у>а.
(О, у sg а,
P(s,a,t,(—oo,y})=\
1.1, у > а.
10.251.
324
0, a<0,
10.252. Pf sup I u>, I <a | w. = 0
1 + 2 2- (-l)h e~2'i2a2,a>0.
k=i
10.253. Ковариационная функция равна (| hI — |s|)//i2npH |s|	|h|, Опри |s| >
> |/i|. Спектральная плотность [1 — cos (17г |z)]/(nfe2z2).
Um + 1 — n) о2, 0 + n
10.254. R (n) = {	‘
[	0, n > m
10.255.
2 сгС<+г1°2-0<п<т-
i=0
R (n) =
n ^>m.
10.256.	Спектральная плотность равна £-2 Г-—--------
2л [а2+(г_р)2
10.257.	Воспользуйтесь результатом задачи 10.55.
^a2 + (z + р)г ]’
СПИСОК УЧЕБНЫХ ИЗДАНИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Помещаемый ниже список литературы содержит практически все извест-
ные учебники и сборники задач по теории вероятностей, изданные в нашей
стране за последние пятьдесят лет. Кроме того, в список включены некоторые
переводные издания, полезные при изучении теории вероятностей в целом или
ее специальных разделов. Перечисленные в пункте III учебные пособия не
используются в университетах, но они содержат материал, представляющий
интерес для приложений.
I.	УЧЕБНИКИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Бернштейн С. Н. Теория вероятностей.— 4-е изд.,— М.: Гостехиздат, 1948.
Боровков А. А. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1976.
Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов.— М.: Наука, 1976.
Гливенко В. И. Курс теории вероятностей.— М.: ГОНТП, 1939.
Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.— 5-е изд..— М.: Наука, 1974.
Гихман И. И., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процес-
сов.— М.: Наука, 1977.
Гихман И. И., Скороход А. В., Ядрепко М. II. Теория вероятностей и
математическая статистика.— Киев: Вища школа, 1979.
Карлин С. Основы теории случайных процессов: Пер. с англ,—М.: Мир,
1971.
Климов Г. П. Теория вероятностей и математическая статистика.— М.: Изд-
во МГУ, 1983.
Коваленко И. Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математиче-
ская статистика.— М.: Высшая школа, 1973.
Колмогоров А. Н. Основные попятил теории вероятностей,— 2-е изд.— М.:
Наука, 1974.
Ламперти Дж. Вероятность: Пер. с апгл.— №.: Наука, 1973.
Лоэв М. Теория вероятностей: Пер. с англ.— М.: ПЛ, 1962.
Круглов В. М. Дополнительные главы теории вероятностей.— М.: Высшая
школа, 1984.
Неве Ж. Математические основы теории вероятностей: Пер. с фр.—М.: Мир,
1969.
П а р т а с а р а т и К. Введение в теорию вероятностей и теорию меры,— М.:
Мир, 1983.
Розанов 10. А. Случайные процессы.— 2-е изд,— М.: Паука, 1979.
Розанов 10. А. Введение в теорию случайных процессов.— М.: Наука, 1982.
Розанов 10. А. Теория вероятностей, случайные процессы, математическая
статпстика.— М.: Наука, 1985.
Севастьянов Б. А. Курс теории вероятностей и математической статисти-
ки.— М.: Наука, 1982.
Скороход А. В. Элементы теории вероятностей и случайных процессов.—
Киев: Вища школа, 1980.
Тутубалин В. Н. Теория вероятностей.— М.: Изд-во МГУ, 1972.
Уиттл П. Вероятность: Пер. с англ.— М.: Наука, 1982.
Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: Пер. с апгл.—
3-е изд.— М.: Мир, 1984, т. 1, 2.
326
Хейнекен П. А., Т о р т р а А. Теория вероятностей и некоторые ее прило-
жения: Пер. с апгл.— М.: Наука, 1974.
Чистяков В. П. Курс теории вероятностей.— 2-е изд.— М.: Наука, 1982.
Ширяев А. Н. Случайные процессы.— М.: Изд-во МГУ, 1972.
Ширяев А. Н. Вероятность, статистика, случайные процессы.— М.: Изд-во
МГУ, 1973, 1974, т. 1, 2.
Ширяев А. Н. Вероятность.— М.: Наука, 1980.
II.	СБОРНИКИ ЗАДАЧ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Гиленко Н. Д. Задачник по теории вероятностей.— М.: Учпедгиз, 1943.
Д о р о г о в ц е в А. Я., Сильвестров Д. С., СкороходА. В., Ядре н-
к о М. И. Теория вероятностей. Сборник задач,— Киев: Вища школа, 1980.
II з р а й л е в и ч В. Л., С м и р н о в А. К., Черкасов И. Д., Ч ервяв-
с к и й И. Я. Сборник задач по теории вероятностей и математической ста-
тистике.— Саратов: Изд-во СГУ, 1982.
М е ш а л к и и Л. Д. Сборник задач по теории вероятностей.— М.: Изд-во МГУ,
1963.
Севастьянов Б. А., Чистяков В. П., Зубков А. М. Сборник задач по
теории вероятностей.— М.: Наука, 1980.
III.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ СПИСОК УЧЕБНЫХ ПОСОБИЙ
Арлей И., Бух К. Введение в теорию вероятностей и математическую ста-
тистику: Пер. с англ.— М.: ИЛ, 1951.
В е и т ц е л ь Е. С. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1964.
Вентцель Е. С., О вчаров Л. А. Прикладные задачи теории вероятностей.—
М.: Советское радио, 1982.-
Вентцель Е. С., О в ч а р о в Л. А. Теория вероятностей. Задачи и упраж-
нения.— М.: Наука, 1969.
Володин Б. Г., Ганин М. П., Д и н е р И. Я. и др. Сборник задач по тео-
рии вероятностей, математической статистике и теории случайных функ-
ций/Под ред. А. А. Свешникова.—М.: Наука, 1965.
Захаров В. К., С е в а с т ь я н о в Б. А., Чистяков В. П. Теория вероят-
ностей.— М.: Наука, 1983.
Пугачев В. С. Введение в теорию вероятностей.— М.: Наука, 1968.
С м и р п о в Н. В., Дунин-Барковский Н. В. Курс теории вероятностей
и математической статистики (для технических приложений).— М.: Наука
969.
Александр Владимирович Прохоров
Владимир Георгиевич Ушаков
Николай Георгиевич Ушаков
ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Основные понятия. Предельные теоремы.
Случайные процессы
ИБ № 12515
Редактор С. Я. Шоргин
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Л. И. Назарова, О. М. Березина
Сдано в набор 13.05.85. Подписано к печати 18.02.86. Формат 60x90'/iS. Бумага тип.Л» 3
Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л. 20,5. Усл. кр.-отт, 20,5
Уч.-изд. л. 25,28. Тираж 23 000 экз. Заказ Ki 729. Цена 1 р. 20 к.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, Станиславского, 25