ДЛЯ ВУЗОВ
основы
ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В АВИАЦИОННОЙ
И РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
МАШИНОСТРОЕНИЕ
ДЛЯ ВУЗОВ
основы
ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
В АВИАЦИОННОЙ
И РАКЕТНО-
КОСМИЧЕСКОЙ
ТЕХНИКЕ
Под общей редакцией
академика В.С. Авдуевского
и Заслуженного деятеля науки
и техники РСФСР
профессора В.К. Кошкина
Рекомендовано Комитетом по вившей шпале
Министерства науки, высшей школы и техни-
ческой политики Российской Федерации в
качестве учебника для студентов авиацион-
ных специальностей вузов
Москва
• Машиностроение •
1992
ББК 39.52-01я73
0-75
УДК 1621.43.016.4 : 629.7] (075.8)
Авторы: В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов,
Ю. И. Данилов, Г. А. Дрейцер, Э. К. Калинин, В. К. Кошкин,
Т. В. Михайлова, А. М. Молчанов, Ю. А. Рыжов, В. П. Солнцев
Рецензент кафедра «Теоретические основы теплотехники»
МГТУ имени Н. Э. Баумана
Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-косми-
0-75 ческой технике: Учебник для авиационных специальностей
вузов/В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский, Г. А. Глебов
и др.; Под общ. ред. В. С. Авдуевскогр, В. К. Кошкина. —
2-е изд., перераб. и доп. — М.: Машиностроение, 1992. —
528 с.: ил.
ISBN 5-217-01338-9
Второе издание (1-е изд. 1975 г.) переработано и дополнено мате-
риалами по радиационно-конвективному теплообмену в высокотемпера-
турных газовых потоках и теплообмену в двухфазных потоках.
п 2705140400 427
° —,лп_09	114—91	ББК 39.52-01я73+ 39.62-01я73
UOO 1иIJ УХ
ISBN 5-217-01338-9
© Издательство «Машиностроение», 1975
© В. С. Авдуевский, Б. М. Галицейский,
Г. А. Глебов и др., 1992, с изменениями
и дополнениями
ПРЕДИСЛОВИЕ
Создание и развитие гиперзвуковой и высотной авиа-
ции, дальнейшее совершенствование космических летательных
аппаратов, создание космических аппаратов многоразового дей-
ствия, совершенствование энергосистем для авиационной и ракет-
но-космической техники, развитие радиоэлектроники требуют
непрерывного совершенствования науки о процессах тепло- и
массообмена, развития теории теплопередачи. Все это обусловило
необходимость второго исправленного и дополненного издания
учебника.
Вопросы совершенствования современных авиационных и кос-
мических реактивных двигателей, развитие ядерных энергетиче-
ских установок, тепловая защита высокоскоростных летательных
аппаратов, создание и развитие энергосистем прямого преобразо-
вания теплоты в электрическую энергию, развитие криогенной
техники потребовали дальнейшего совершенствования и раз-
вития ряда разделов науки о теплопередаче.
Второе издание учебника (первое издание вышло в 1975 г.)
существенно переработано и дополнено. При изложении мате-
риала учебника проведена ориентация на самостоятельную работу
студентов с книгой, что потребовало более подробного изложения
ряда вопросов и рассмотрения практических примеров, исполь-
зования численных методов при решении задач тепломассообмена.
Во все главы добавлены новейшие данные. Введен новый раздел
по радиационно-конвективному теплообмену в высокотемператур-
ных газовых потоках, заново перестроены разделы по тепло-
обмену на шероховатой поверхности, методы тепловой защиты
летательных аппаратов и их элементов, тепловые режимы косми-
ческих аппаратов.
Учебник написан коллективом авторов: В. С. Авдуевским
(гл. V, VI, VII, XIV, XVII, XVIII, XIX), Б. М. Галицейским
(гл. XVIII, XIX), Г. А. Глебовым (гл. XI, XVI), Ю. И. Дани-
ловым (гл. XII), Г. А. Дрейцером (гл. Ill, VIII), Э. К. Калини-
ным (гл. IX, X, XIII), В. К- Кошкиным (введение, гл. I, II),
Т. В. Михайловой (гл. XII), А. М. Молчановым (гл. VII, XVII),
Ю. А. Рыжовым (гл. IV), В. П. Солнцевым (гл. XV).
Авторы выражают благодарность Кравчик Т. Н. и Боко-
вой Л. Н. за большую помощь в подготовке рукописи к печати.
Авторы также выражают признательность кафедре теорети-
ческих основ теплотехники МГТУ им. Н. Э. Баумана и заведу-
ющему кафедрой профессору В. И. Крутову за ценные замеча-
ния, позволившие улучшить качество учебника.
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
а— коэффициент температуропроводности, м2/с; скорость
звука, м/с;
с—удельная теплоемкость, Дж/(кг-К);
Сс—удельная теплоемкость при v- ---- const, Дж/(кг-К);
Ср — удельная теплоемкость при р — const, Дж/(кг-К);
С/ — коэффициент трения;
се — константа геометрического подобия;
Ci — относительная массовая концентрация /-го компонента;
d — диаметр круглого сечения канала, м;
d;) — эквивалентный диаметр, м;
D — коэффициент диффузии, м3/с;
Е — модуль упругости,Па; плотность потока излучения, Вт/м2;
F, f— площадь поперечного сечения, м2;
G — массовый расход теплоносителя, кг/с;
g—ускорение свободного падения, м/с2;
/ — энтальпия, Дж/кг;
/0 = J + и2/2 — полная энтальпия торможения газа, Дж/кг;
Д,— спектральная интенсивность излучения, Вт/(м3-ср);
J К, р — спектральная равновесная интенсивность, Вт/(м3-ср);
—	спектральная интенсивность в верхнюю полусферу.
Вт/(м3- ср);
—	спектральная интенсивность в нижнюю полусферу,
Вт/(м3-ср);
—	линейный коэффициент теплопередачи цилиндрической
стенки, Вт/(м-К);
К— коэффициент теплопередачи, Вт/(м2-К);
k = Ср/с0 — отношение теплоемкостей (показатель адиабатного про-
цесса);
k—постоянная Больцмана (k — 1,38-10”23 Дж/К);
—спектральный объемный коэффициент поглощения, 1/м;
kn — константа равновесия;
kf — константа скорости реакции;
ki — константа скорости обратной реакции;
I,	L — длина свободного пробега молекул газа до их соуда-
рения, м;
/—длина цилиндрической трубы; толщина пластины; раз-
мер обтекания тела; линейный размер тела, м;
р — давление, Па;
Др — перепад давления, Па;
 <2— количество теплоты или тепла * *, Дж;
* Понятия теплоты или тепла — авторы считают полезным и необходимым
сохранить оба термина как равнозначные, так как теплота и тепло являются
синонимами. Это объясняется также и тем, что классики естествознания, все
классические учебники по термодинамике и теплопередаче и большая научно-
техническая литература в равной степени применяли оба термина. Поэтому нет
никакой необходимости пользоваться только одним из указанных терминов,
исключая другой.
4
q - плотность теплового потока (удельный тепловой поток),
Вт/'м2;
qv--- плотность внутренних источников тепловыделения,
Вт/м3;
qa — линейная плотность теплового потока, Вт/м;
Як — радиационный тепловой поток, Вт/м2;
г,, — теплота парообразования, Дж/кг;
R— полное термическое сопротивление, м2-K/Вт; радиус
вращения, м; универсальная газовая постоянная (/? —
--= 8,3 Дж/(моль-К);
R\- — радиус затупления головной части летательного аппа-
рата, м;
S — поверхность теплообмена, м2;
Т — температура, К;
Г,, — температура набегающего потока, К;
Ts — температура насыщения, К;
и?
То—Т + -кр------температура заторможенного потока, К;
-у-/,
Tw— температура поверхности, К',
Tj— температура окружающей среды, К;
t — температура, °C;
U — периметр канала, м;
u, с, w — относительные скорости, м/с;
V — вектор скорости, м/с;
х, у, 2 — декартовы координаты, м;
xi = PilP — объемная (мольная) концентрация i-ro компонента;
хэф — эффективная длина, м;
х — осредненный параметр;
а — коэффициент теплоотдачи, Вт/(м2-К);
Р — коэффициент объемного расширения, 1/К;
Гд -- радиационный параметр;
у — угол стреловидности крыла, °;
Д - - толщина ударного слоя, м;
6 — толщина стенки, толщина пограничного слоя, условная
толщина динамического пограничного слоя, м;
бт -- толщина теплового пограничного слоя, м;
б* — толщина вытеснения, м;
6** — толщина потери импульса, м;
бу — термическое сопротивление слоя, м2-К/Вт;
г; — коэффициент аккомодации;
~Т—T1,'fiw~ Tw—Ti — избыточная температура, К;
Т — Т, в
~ -------~ — —к-----безразмерная избыточная температура;
X	— коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);
X	— длина капиллярной волны, зависимая от геометрии
фитиля, м;
Хм. экв — эквивалентная теплопроводность контактирующих ма-
териалов, Вт/(м-К);
ХЭф— эффективный коэффициент теплопроводности, Вт/(м-К);
[г—	коэффициент динамической вязкости, Па-с;
V	— коэффициент кинематической вязкости, м2/с;
— коэффициент гидравлического сопротивления;
р — плотность, кг/м3;
рп-- плотность пара, кг/м3;
о — эффективное сечение площади столкновения моле-
кул, м2;
О— коэффициент поверхностного натяжения, Па;
т—время, с; касательное напряжение трения, Па;
5
xw— напряжение трения, Па;
<р — полярный угол, °;
 Bi aZ/k — число Био;
Da-" Ikjlu.— критерий Дамкелера;
Эйлера;
Фурье;
Фруда;
Грасгофа;
Льюиса;
М == и!а — число Маха;
Eu -- p/(puz) критерий
Fo — ailP — критерий
Fr — tr/(gZ) критерий
Or gp AZZ3/v2 — критерий
Le = (tCyDl'k Pr/Sc — критерий
Nu — allЛ — критерий Нуссельта;
Ре = ul/a ----- RePr — критерий Пекле;
Pr — via ------	— критерий Прапдтля;
Ra ~ gp MPIva — Gr-Pr — критерий Релея;
Re = uZ/v upZ/p — критерий Рейнольдса;
Sc == |i/(pD)— критерий Шмидта;
St -- a/(pucp) — критерий Стантона;
We = pu2X/(2n<j) — критерий Вебера.
ГЛАВА 1
ВВЕДЕНИЕ В КУРС ТЕПЛОПЕРЕДАЧИ
1.1. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА
Теорией теплопередачи или теплообмена называется наука, изу-
чающая процессы переноса тепла в пространстве с неоднородным температурным
полем. Процессы теплообмена возникают между различными телами или отдель-
ными частями одного и того же тела при наличии разности температур.
Наука о теплообмене насчитывает несколько столетни, но настоящего рас-
цвета опа достигла лишь в XX веке, найдя широкое применение при решении
назревших практических задач техники. Из раздела теоретической физики уче-
ние о теплообмене превратилось в самостоятельную научно-техническую дис-
циплину.
Особенно сложные и важные задачи стоят в области изучения теплообмена
в современной авиационной, ракетной и космической технике. При сверхзвуко-
вых скоростях полета значительно изменяются условия теплопередачи в отдель-
ных элементах конструкции летательного аппарата. Возникает необходимость
его охлаждения или защиты от аэродинамического нагрева, являющегося след-
ствием трения между поверхностью летательного аппарата и набегающим пото-
ком воздуха или потоком каких-либо других газов, составляющих атмосферы
планет.
Проблема тепловой защиты космического летательного аппарата от высоких
удельных тепловых потоков и высоких температур набегающего газового потока
при входе аппарата с гиперзвуковой скоростью в атмосферы планет (и в част-
ности Земли) разрабатывается в течение 30—40 лет. За это время про-
ведено широкое исследование различных видов теплозащитных материалов
и теплозащитных покрытий, обеспечивающих надежную тепловую защиту лета-
тельного аппарата. Разработана теория и исследованы основные закономерности
термодинамики и теплообмена процессов воздействия высокоэиергетических
и высокотемпературных газовых потоков на различные конструкционные ма-
териалы.
Не менее важные и сложные проблемы учета теплообмена возникают при
конструировании современных авиационных и ракетных двигателей. Высокая
тепловая напряженность реактивных двигателей, использование криогенных
топлив и многие другие важные вопросы требуют от современного конструктора
этих двигателей умения произвести сложный инженерный расчет теплообмена
в них и их агрегатах.
Большое значение теория теплообмена имеет в расчетах тепловых режимов
летательных аппаратов, кабин таких аппаратов, систем жизнеобеспечения и кон-
диционирования, надежной работы радиоэлектронной аппаратуры, а также
в современной атомной энергетике, в обеспечении тепловых режимов ядерных
энергетических установок и их безопасности.
Учение о теплообмене является частью общего учения о теплоте, основы
которого были заложены великим русским ученым М. В. Ломоносовым. Целый
ряд русских ученых Г. В. Рихман (1711 —1753), Б. Б. Голицын (1862—1916),
С. Я- Терешин (1863—1921) н другие исследовали процессы теплообмена и зало-
жили основы теплопередачи. Французские ученые — математики Ж. Б. Фурье
н С. Д. Пуассон в XIX столетии создали основы математической теории тепла.
Русский ученый В. А. Михельсон был первым исследователем, поставившим
в 1890 г. вопрос об изучении зависимости лучеиспускания от температуры и
длины волны. Основной закон излучения был открыт экспериментально австрий-
ским ученым И. Стефаном, а теоретически был выведен на основе второго закона
7
термодинамики австрийским ученым Л. Больцманом. Немецкий ученый В. Вин,
пользуясь методами термодинамики, установил один из законов теплового излу-
чения, связывающий длину волны, соответствующую максимальной интенсивно-
сти излучения черного тела, с абсолютной температурой излучающей поверх-
ности.
Немецкий ученый М. Планк в 1900 г. теоретически нашел закон распре-
деления интенсивности теплового излучения по длинам волн при различных
температурах, а Р. 3. Ленц провел в 1869 г. экспериментальные исследования,
подтвердившие связь между коэффициентами теплопроводности и электропро-
водности металлов. Теория теплообмена строилась на так называемой феномено-
логической основе, заключающейся в рассмотрении отдельных явлений как неко-
торых изолированных закономерностей, которые могут быть описаны математи-
чески без раскрытия физической сущности этих явлений. Примером такого фено-
менологического рассмотрения явлений теплообмена может служить формальная
математическая теория теплопроводности, созданная Фурье и развитая Пуас-
соном. Позже удалось глубже выявить физическую сущность процесса тепло-
обмена. Одновременно с этим была разработана общая методология исследования,
обработки и обобщения опытных данных, основанная на теории подобия.
Идеи, определившие общие принципы построения исследовательской работы,
были сформулированы советскими учеными к 1930 г. При их изложении подчер-
кивалось, что в противоположность старым, феноменологическим, методам иссле-
дований, основанным на изучении тепловых машин и аппаратов в целом, в новых
работах по теплообмену необходимо не только аналитически, но и эксперимен-
тально детально исследовать физические явления, из которых складываются
рабочие процессы изучаемых машин и аппаратов.
Конец двадцатых и начало тридцатых годов являются периодом широкого
развития учения о теплообмене. Важное значение имели работы чл.-корр. АН
СССР А. А. Радцига, который правильно оценил значение теплообмена в технике.
В 20-е годы развитие учения о теплообмене в СССР возглавил академик
М. В. Кирпичев, школа которого заложила основы теории подобия и ее прило-
жения к вопросам теплопередачи. Советскими учеными были разработаны ори-
гинальные н эффективные способы расчета процесса теплопроводности с помощью
теории регулярного режима и метода элементарных балансов; были предложены
расчет конвективного теплообмена по методу теплового пограничного слоя, рас-
четы теплопередачи при кипении жидкостей и конденсации паров, расчеты раз-
личных случаев теплопередачи и, в частности, теплоотдачи перегретого пара при
высоких давлениях, расчеты взаимной облученности тел в задачах радиацион-
ного теплообмена. Были разработаны также оригинальные методы эксперимен-
тального изучения процессов теплоотдачи н теплопроводности различных жид-
костей, газов и водяного пара, определены их коэффициенты теплопроводности
при высоких давлениях и температурах, составлены таблицы водяного пара
и других рабочих веществ н разработаны нормы теплового расчета паровых кот-
лов. Были разработаны также вопросы нестационарной теплопроводности,
исследованы явления теплопередачи в двигателях внутреннего сгорания и теп-
лообмена при изменении агрегатного состояния теплоносителя.
Большое значение в технике приобрели процессы теплообмена в движу-
щихся средах. Как известно, течение любой жидкости или газа может быть раз-
делено иа принципиально различные области ламинарного и турбулентного
течения. Теплообмен при ламинарном и турбулентном течениях имеет различный
характер. Теплообмен в движущейся среде (жидкость или газ) представляет
собой конвективный теплообмен, или, короче, конвекцию. При этом перенос
тепла осуществляется путем перемещения объемов жидкости или газа, а следо-
вательно, этот вид теплообмена неразрывно связан с переносом самой среды.
Обычно при технических расчетах теплообмен между потоком жидкости, газа и
поверхностью твердого тела называют конвективной теплоотдачей. Различают
свободную (гравитационную) и вынужденную конвекции.
Свободная, или гравитационная, конвекция осуществляется в потоке жидко-
сти или газа в поле массовых сил при наличии разности плотностей; вынужденная
конвекция — в потоке жидкости или газа, создаваемом внешними воздействиями
(насос, вентилятор, статическая разность давлений и др.).
8
В промышленности наибольшее значение имеет вынужденная конвекция при
турбулентном течении, хотя в приложении к задачам авиации и космонавтики
важны оба вида конвективного теплообмена и при ламинарном, и турбулентном
течениях.
Скорости потока, возникающие при свободной конвекции, сравнительно
малы, так что при наличии вынужденной конвекции она и определяет картину
течения н теплообмена.
Теплоотдача при вынужденной конвекции в турбулентном потоке зависит
от распределения осредненной скорости и пульсаций скорости. Однако эти воп-
росы исследованы еще далеко не полно.
До начала развития учения о турбулентных течениях жидкостей и газов,
т. е. примерно до 1925 г., исследования теплообмена при турбулентном течении
основывались на предположении, сделанном О. Рейнольдсом, о том, чт- тепло-
обмен и перенос количества движения осуществляются одним и тем же механиз-
мом. Отсюда О. Рейнольдс пришел к выводу, что теплообмен пропорционален
поверхностному трению.
В дальнейшем математический анализ осредненных уравнений движения
и теплообмена в турбулентном потоке показал, что эти уравнения оказываются
незамкнутыми, так как в них появляются члены, содержащие неизвестные вели-
чины пульсаций скорости и температуры. До сих пор не удалось построить тео-
рию, позволяющую вычислить эти величины, не прибегая к эксперименту. По-
этому широкое распространение получили так называемые полуэмпирические
теории турбулентности, в основу которых положено представление о том или
ином виде связи между переносимой турбулентными потоками величиной (коли-
чеством движения, количеством теплоты и т. п.) и осредненными параметрами
потока. Основы полуэмпирической теории теплообмена в турбулентном потоке
были заложены Л. ГТрандтлем и Б. Тейлором. В трудах академика Л. С. Лей-
бензона была разработана гидродинамическая теория теплообмена, получившая
практическое применение при исследовании теплообмена в трубопроводах.
Современные научно-технические проблемы теплообмена в потоках жидко-
сти, газа и плазмы настоятельно требуют знания законов турбулентного дви-
жения для определения как интегральных, так и локальных характеристик.
Теория теплообмена имеет непосредственную связь с одной из крупнейших
научных проблем современности — созданием теории турбулентности.
В области теплообмена наметился также определенный пересмотр взглядов
на явления теплообмена и методы их изучения. Так, наряду со среднеинтеграль-
нымн характеристиками (средними по времени и пространству) наметилось
использование мгновенных локальных значений температур, коэффициентов
теплоотдачи и трения. Появились теоретические обобщения перехода от средне-
интегральных соотношений к отдельным локальным переменным характеристи-
кам теплообмена.
Значительное развитие теории теплообмена, вопросов тепло- н массообмена
достигнуто благодаря трудам советских ученых. Большое влияние на это разви-
тие оказали труды А. В. Лыкова и его школы. С помощью их работ получили
значительное развитие самые различные вопросы теории теплообмена (теплопро-
водность, теплообмен при нестационарных режимах, конвективный теплообмен
н др.).
Широкое признание получили работы по теории теплообмена С. С. Кута-
теладзе. Им развита теория подобия в процессах теплообмена при изменении
агрегатного состояния вещества и сформулированы основные идеи гидродинами-
ческой теории кризисов кипения.
В работах ряда советских ученых были широко развиты физические основы
теплообмена в газовых потоках. Различные виды теплообмена имеют неодинако-
вую физическую сущность. Кроме того, эти процессы представляют собой слож-
ные физические явления. Все это заставляет исследователей в области теплооб-
мена обращаться к непосредственным экспериментам.
Фундаментальные работы по исследованию процессов тепло- и массообмена
применительно к задачам авиационной и ракетно-космической техники про-
ведены академиком В. С. Авдуевским и его школой. Им разработаны новые
вопросы тепло- и массообмена применительно к высокоскоростным газовым пото-
9
кам. Дана разработка теории пространственного пограничного слоя и трех-
мерных отрывных течений, разработаны методы расчета газодинамики и тепло-
обмена при обтекании аппаратов сложной формы под большими углами атаки
в условиях взаимодействия трехмерного пограничного слоя с ударной волной.
В. С. Авдуевским создана теория тепломассопереноса при течении сверхзвуковых
изобарных и неизобарпых струй применительно к реактивным двигателям.
Фундаментальные исследования процессов тепло- и массообмена в разре-
женных газах выполнены академиком Ю. А. Рыжовым. Им создано новое на-
правление в термодинамике и теплопередаче по изучению взаимодействия пото-
ков разреженных частиц различных энергий с конструкционными материалами.
Это направление работ Ю. А. Рыжова по существу заложило основы термо-
динамики плазмохимии. Ряд важных прикладных вопросов теплопередачи при-
менительно к авиационной и ракетно-космической технике решен в работах чле-
нов-корреспондентов АН СССР Н. А. Анфимова, А. П. Ваничева, В. М. Иевлева.
Современное развитие молекулярно-кинетической теории также способство-
вало развитию ряда разделов учения о теплообмене (переносные свойства газов
и газовых смесей при высоких температурах, разреженные газы и др.). Большие
задачи в области теории и практики теплообмена лежат в направлении создания
компактных теплообменников различного назначения, начиная от стационарных
установок и кончая теплообменниками на космических летательных аппаратах.
Для решения этой важной проблемы требуется применение всего современ-
ного аппарата теории теплопередачи, дальнейшая разработка методов интенси-
фикации процессов теплообмена в них и получение надежных данных, обеспечи-
вающих быстрое проектирование теплообменников методами автоматизирован-
ного проектирования.
Таким образом, курс теплопередачи является одной из важнейших тепло-
технических дисциплин, необходимых для современного инженера в области
авиационной, ракетной н космической техники.
1.2. ВИДЫ ТЕПЛООБМЕНА
В общем случае под понятием теплопередачи или тепло-
обмена понимается учение о процессах распространения тепла
в пространстве и времени.
Понятие теплопередачи (теплообмена) охватывает весь ком-
плекс явлений переноса тепла между телами или между частями
одного и того же тела, обусловленных разностью температур.
В общем случае перенос тепла представляет собой сложное явле-
ние, связанное с различными физическими процессами.
Различают три основных вида теплообмена:
1)	теплопроводность;
2)	конвективный теплообмен;
3)	лучистый теплообмен.
Теплопроводность представляет собой передачу тепла между
непосредственно соприкасающимися частями тела. Теплопровод-
ность не связана с макродвижением тел или частей тела и осу-
ществляется путем передачи энергии от одних элементарных
частиц тела к другим вследствие микродвижения этих элементар-
ных частиц. Для газов, например, такими частицами являются
молекулы.
Молекулы газа в той его части, которая имеет более высокую
температуру, обладают большей средней кинетической энергией.
При столкновениях молекул газа происходит обмен кинетиче-
10
Рис. 1.1. Схема процесса сво-
бодной конвекции
ской энергией, в результате чего тепло
передается от более нагретых частей
тела к более холодным.
В чистом виде явление теплопрово-
дности наблюдается в твердых телах,
в абсолютно неподвижных газах и
жидкостях при условии невозможно-
сти возникновения в них конвективных
токов.
В газах и жидкостях явление теп-
лопроводности обычно сопровождается
рядом других физических явлений,
например макродвиженпем массы газа
илн диффузией и связанным с этим
переносом тепла. 'Изучение явления
теплопроводности в металлах показывает, что в них механизм
переноса тепла аналогичен механизму электропроводности.
Согласно современным воззрениям электропроводность метал-
лов связана с наличием в них свободных электронов, а, следова-
тельно, в металлах процесс теплопроводности также связан с дви-
жением электронов, которые играют роль передатчиков тепла.
В простейшей теории теплопроводности металлов принимается,
что свободные электроны в металлах ведут себя подобно молеку-
лам газа, т. е. перемещаются между атомами твердого тела и осу-
ществляют перенос энергии, а следовательно, передачу тепла
теплопроводностью.
Конвективным теплообменом называют процесс переноса тепла
в жидкой или газообразной среде с неоднородным распределением
температуры и скорости, осуществляемый макроскопическими
частями среды при их перемещении. Конвективный теплообмен
всегда сопровождается теплопроводностью.
В зависимости от причины, вызывающей движение жидкости
или газа, различают:
а)	конвективный теплообмен при свободном движении среды
(свободная, илн гравитационная, конвекция);
б)	конвективный теплообмен при вынужденном движении среды
(вынужденная конвекция).
Свободная конвекция имеет место тогда, когда движение
жидкости илн газа осуществляется в поле массовых сил при
наличии разности плотностей среды в рассматриваемом объеме,
что, в свою очередь, может быть обусловлено неоднородностью
температурного поля этого объема. Например, если нагревать
сосуд с жидкостью (рис. 1.1), то частицы жидкости, имеющие
более высокую температуру (7"2 > 7\), вследствие уменьшения их
плотности (р2 <Д pj) будут всплывать, т. е. вытесняться более
холодными слоями, и переносить с собой теплоту; в сосуде воз-
никнут конвективные токи. Очевидно интенсивность переноса
тепла при прочих равных условиях будет зависеть от коэффи-
11
дачи больших количеств
циента объемного расширения, плот-
ности и вязкости среды.
Вынужденная конвекция имеет
место тогда, когда движение жидко-
сти или газа вызвано внешними при-
чинами (насосом, компрессором, вен-
тилятором, движением летательного
аппарата в воздухе и др.). В одной
и той же среде теплообмен при вы-
нужденной конвекции протекает
значительно интенсивнее, чем при
свободной конвекции, и поэтому
в технике при решении вопросов,
связанных с необходимостью пере-
тепла, используется вынужденная
конвекция.
Лучистым теплообменом называется перенос тепла излуче-
нием, обусловленный способностью нагретого тела превращать
часть принадлежащей ему внутренней энергии в лучистую или
в энергию электромагнитных колебаний, испускаемых нагретым
телом. Встречая на своем пути другое тело (вещество), тепло-
вые лучи частично поглощаются, и их энергия снова пре-
вращается в теплоту, а частично отражаются и проходят сквозь
тело.
Тепловое излучение подчиняется основным законам распро-
странения света, т. е. законам отражения, преломления и погло-
щения. В чистом виде лучистый теплообмен имеет место лишь
в условиях глубокого вакуума, например между поверхностью
летательного аппарата, совершающего полет в дальнем космосе,
и окружающими его пространством и телами. Чаще же мы имеем
дело со всеми тремя видами теплообмена одновременно, т. е. на
практике обычно имеет место сложный теплообмен. Однако ком-
плексное математическое изучение закономерностей, управля-
ющих сложным теплообменом, затруднено, поэтому часто пред-
варительно изучают каждый вид теплообмена в отдельности, а за-
тем переходят к расчету сложного теплообмена (рис. 1.2).
При решении конкретных практических задач количество
тепла, переданное теплопроводностью, излучением и конвекцией,
может быть весьма различным, поэтому в расчетах часто пре-
небрегают рлдш:и теплообмена, роль которых в рассматриваемом
случае несущественна, и весь процесс сводят к основному опре-
деляющему виду теплообмена.
Для удобства технических расчетов введено понятие о двух
видах теплообмена, которые называют теплоотдачей и тепло-
передачей. Теплоотдачей называется процесс теплообмена, воз-
никающий между твердым телом и омывающей его жидкой или
газообразной средой. Теплопередачей называется процесс тепло-
мена, возникающий между жидкими или газообразными сре-
1F
дами, разделенными твердой стенкой. Этим же термином иногда
пользуются и в качестве обобщающего наряду с термином «тепло-
обмен».
1.3. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Процессы теплопередачи возникают между телами, если
температура их различна. Тело или среда, имеющие более высокую
температуру 7\, называются теплоотдающими. Соответственно
тело или среда с температурой Т2 < Тх называются тепловоспри-
нимающими.
Разность температур ДТ Тх — Т2 > 0, вследствие которой
возникает процесс теплообмена, называется температурным
напором.
Количество тепла, проходящее через данную контрольную
поверхность в единицу времени, называется тепловым потоком (Q).
Тепловой поток, приходящийся на единицу площади поверхности,
называется плотностью теплового потока или удельным тепловым
потоком (д).
Всякое физическое явление протекает в пространстве и во
времени. Поэтому изучение физического явления может быть све-
дено к изучению пространственно-временных изменений величин,
его характеризующих.
Математическая физика вводит понятие ноля физической вели-
чины, под которым понимается совокупность мгновенных значе-
ний этой величины во всех точках рассматриваемой области. Так,
например, совокупность значений температур во всех точках
какого-либо тела в данный момент времени т называется темпера-
турным полем этого тела.
Температурное поле (рис. 1.3) в декартовой системе координат
задается уравнением вида
7’ - f (х, у, г, т),	(1.1)
где Т — температура, зависящая от
динат данной точки х, у, z и вре-
мени т.
Температура Т является скаляр-
ной величиной, поэтому и поле тем-
ператур — скалярное поле. Приве-
денное определение поля справе-
дливо и для векторных физических
величин, показывающих не только
величину, но и ' направление (ско-
рость, ускорение, сила). Такое поле
называется векторным полем вели-
чины.
В некоторых задачах теплообмена
уравнение температурного поля удобнее
записывать в цилиндрической или
13
сферической системе координат. В первом случае уравнение (1.1)
имеет вид
Т (г, ф>, z, т),	(1.2)
где Т — температура; г — расстояние от оси г до данной точки;
ср — угол отклонения радиуса г от выбранного начального на-
правления; т — время.
Во втором случае
Т = f (г, Ф) ф, т),	(1.3)
где г — радиус-вектор; ф и ф — полярный и азимутальный углы.
Перемещение из какой-либо точки температурного поля в про-
извольном направлении будет характеризоваться некоторым изме-
нением температуры. Если бесконечно малым приращениям про-
странственных координат соответствуют бесконечно малые изме-
нения температуры, то такое температурное поле называется
непрерывным. В этом случае производная от температуры по
любому направлению имеет конечную величину. Если бесконечно
малым приращениям хотя бы в одной точке поля отвечает конечное
или бесконечно большое изменение температуры, то поле назы-
вается разрывным. Последующие рассуждения будут относиться
только к непрерывным температурным полям.
Тепловые режимы, характеризуемые изменением температуры
во времени, носят название нестационарных, или неустановив-
шихся. Такому тепловому режиму соответствует нестационарный,
или неустановившийся, тепловой поток, изменяющийся по вре-
мени. Нестационарным тепловым режимам отвечают нестаци-
онарные температурные поля. Уравнения (1.1)—(1.3) нестаци-
онарного температурного поля являются наиболее общими и
соответствуют случаям, когда температуры различных точек поля
изменяются по времени.
Тепловые режимы, характеризуемые неизменностью темпера-
туры во времени, носят название стационарных, или установив-
шихся. Такому тепловому режиму соответствуют стационарные,
или установившиеся, тепловые потоки, не изменяющиеся по
времени. Стационарным тепловым режимам отвечают стационар-
ные температурные поля.
Уравнением стационарного температурного поля будет урав-
нение
Т == f (х, у, г),	(1.4)
которое получается из условия неизменности температуры по вре-
мени дТ/дх = 0.
В соответствии с приведенной классификацией тепловых ре-
жимов и отвечающих им температурных полей принципиально
различают два класса задач теплообмена: нестационарные и ста-
ционарные.
Температурные
(1-3), называются
14
поля, характеризуемые уравнениями (1.1) —
трехмерными, так как температура Т изме-
няется вдоль каждой из трех простран-
ственных координат. В практике встре-
чаются случаи двухмерного if одно-
мерного поля, где по одной или двум
из пространственных координат темпе-
ратура не изменяется.
Так, например, уравнение вида
Т^Ц*,У, т) (1.5)
есть уравнение нестационарного
(дТ/дх Ф 0) двухмерного (дТ/дг -= 0)
температурного поля. Уравнение вида
Г = /(г)	(1.6)
Рис. 1.4. Схема к определе-
нию понятия температурного
градиента
есть уравнение стационарного
(дТ/дх =0) одномерного (дТ/дц> =
= dT/dty = 0) сферически симметричного температурного поля.
Поверхности, представляющие собой геометрическое место
точек с одинаковой температурой, называются изотермическими
поверхностями: Таких изотермических поверхностей в рассматри-
ваемой области поля можно провести сколько угодно. Вся сово-
купность изотермических поверхностей однозначно определяет
температурное поле в данный момент времени.
Уже из самого определения изотермической поверхности вы-
текают два ее свойства:
1) изотермические поверхности не могут пересекаться друг
с другом, так как линия пересечения характеризовалась бы
неоднозначностью температуры, что физически невозможно;
2) изотермические поверхности не могут обрываться внутри
поля — они либо замкнуты, либо обрываются на наружных
границах тела.
При пересечении изотермических поверхностей какой-либо
плоскостью мы получим на ней следы в виде семейства изотерм.
Рассмотрим две весьма близкие изотермические поверхности
с температурами Т и 7' + ЛТ (рис. 1.4). Из второго закона термо-
динамики и свойства изотермической поверхности как геометри-
ческого места точек, имеющих одинаковую температуру, следует,
что тепловой поток не может распространяться вдоль изотерми-
ческой поверхности. Перемещаясь из точки А по какому-либо
направлению s, пересекающему изотермы, мы обнаружим изме-
нение температуры. При этом наибольшее изменение величины Т
на единицу длины будет, очевидно, наблюдаться при перемещении
по направлению нормали п к изотермической поверхности.
Предел отношения kT/kn при Дп0 называется темпера-
турным градиентом, ,т. е.
, ™	.. Д7 дТ
о-7»
15
Температурный градиент есть вектор, направленный по нор-
мали к изотермической поверхности в точке А. Величина этого
вектора определяет приращение температуры на единицу длины
нормали к изотермической поверхности. За положительное на-
правление вектора градиента принимают направление возрастания
температуры. Для разных точек, лежащих на одной и той же изо-
термической поверхности, величина температурного градиента
неодинакова: она будет больше там, где меньше расстояние Ап
между изотермическими поверхностями. Градиент температуры
Г-	Л	( ОТ \	,
может быть разложен по координатным осям: grad Т = I —) +
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Сформулируйте основные задачи теории теплопередачи. Дайте определе-
ние того, что понимается под общим явлением теплопередачи или теплообмена.
2.	Назовите виды теплопередачи.
3.	Дайте основные понятия и определения теории теплопередачи.
ГЛАВА П
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ СТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
2.1.	ОСНОВНОЙ ЗАКОН ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Количественная оценка тепла, проходящего внутри
данного тела вследствие теплопроводности, базируется на законе
французского ученого Фурье, сформулированном им в 1822 г.
Элементарное количество тепла dQ, проходящее через элемент
изотермической поверхности dF за промежуток времени dr,
пропорционально температурному градиенту dT/dri:
dQ=- — K — dF dr.	(2.1)
Уравнение (2.1) представляет основной закон теплопровод-
ности Фурье, где коэффициент пропорциональности X называется
коэффициентом теплопроводности; знак минус в правой части
уравнения стоит потому, что в направлении распространения
тепла температура убывает и, следовательно, температурный гра-
диент дТ/дп является величиной отрицательной.
Если отнести количество тепла, переданное посредством тепло-
проводности, к единице площади изотермической поверхности
и к единице времени, то получим плотность теплового потока или
удельный тепловой поток (Вт/м2)
(2-2)
г dF dr	v '
Вектор
q =— Х-^- = —X grad 7	(2.3)
нормален к изотермической поверхности и направлен в сторону
убывания, температуры. Следовательно, векторы q и grad Т коли-
неарны, но направлены в разные стороны (рис. 2.1).
На рис. 2.1 показаны различные изотермы Т 4- 2ДТ, Т +
+ ДТ и др., полученные как результат пересечения изотермиче-
ских поверхностей с плоскостью чертежа.
Проекция вектора q на оси координат х, у, z
. дТ	. дТ	, дТ	..
<7я — — X -з—, gu — — X —-т—, qz = — X —5—.	(2-4)
7	№	Qy	дг	\	/
Если в каждой точке изотропного тела (т. е. имеющего одина-
ковые свойства по всем направлениям) построить элементы нор-
17
Рис. 2.1. Линии теплового
потока
малей Дп к изотермическим поверхно-
стям, то совокупность этих нормалей
дает семейство кривых, называемых
линиями теплового тока. Они указы-
вают направление теплового потока.
Касательные к линии тока показы-
вают линии действия векторов q
и grad Т, направленные в противопо-
ложные стороны.
Из основного уравнения (2.1) опре-
делим значение коэффициента тепло-
проводности [Вт/(м-К)1
= (дТ/дп) dF di ‘
Численно коэффициент теплопроводности X равен количеству
тепла, проходящего в единицу времени через единицу площади
изотермической поверхности при условии, что градиент темпера-
тур в рассматриваемой точке равен единице.
Коэффициент теплопроводности является одной из физических
характеристик вещества: он характеризует способность данного
вещества проводить тепло. Для различных веществ величина X
различна. Лучшими проводниками тепла являются металлы, а худ-
шими —- газы.
С помощью коэффициента теплопроводности X и удельной
теплоемкости ср вещества с плотностью р может быть определено
другое его важное теплофизическое свойство — температуропро-
водность. Температуропроводность характеризует тепловую
инерционность и выражается через коэффициент температуро-
проводности (м2/с) а = Х/(ср).
Действительно, скорость выравнивания температуры в теле
зависит не только от того, как тело проводит тепло (X), но и от
того, на сколько изменится температура единицы объема тела при
передаче ему данного количества тепла. А это последнее свойство
зависит от удельной объемной теплоемкости вещества (ср).
В зависимости от строения вещества и механизма процесса
распространения тепла различных тел значения коэффициента
теплопроводности также различны. Коэффициент теплопровод-
ности материала определяется экспериментально на соответству-
ющих лабораторных установках, конструкция которых зависит
от рода материала и его агрегатного состояния. Зависимость
коэффициента теплопроводности некоторых металлов от темпе-
ратуры приведена на рис. 2.2.
В технических расчетах зависимость коэффициента теплопро-
водности от температуры приближенно выражают в виде линейной
функции
X = Хо (1 + bt),
18
где Хо — значение коэффициента теплопроводности при О °C;
b — постоянная, определяемая опытным путем в заданном диапа-
зоне температур.
Зависимость К от температуры может быть для различных
материалов и в различных диапазонах изменения температуры
как возрастающей, так и убывающей функцией.
Большинство теплоизоляционных материалов в авиационной
и ракетной технике имеют пористую структуру. Сложный процесс
распространения тепла в таких телах оценивается некоторым
средним значением коэффициента теплопроводности, увеличение
которого с ростом температуры объясняется не только увеличе-
нием к, свойственным газам, заполняющим поры, но и возраста-
нием лучистого, а возможно и конвективного теплообмена в по-
рах. В ряде практических случаев зависимостью коэффициента
теплопроводности от температуры можно пренебречь, проводя
расчет по некоторым средним значениям коэффициента тепло-
проводности Хср.
Согласно простейшей кинетической теории газов теплопровод-
ность в них осуществляется путем молекулярного переноса энер-
гии при соударении молекул. Коэффи-
циент молекулярного переноса тепла
в газе определяется следующим соот-
ношением:
1	1 т
% = — wMLcvp,
где ёсм — средняя скорость движения
молекул газа, м/с или м/ч; L — средняя
длина свободного пробега молекул
газа между их соударением, м; cY —
массовая удельная теплоемкость газа
при V = const, Дж/(кг-К); р — плот-
ность газа, кг/м3.
Для идеальных газов Lp = const,
так как с увеличением давления в рав-
ной мере повышается р и уменьшает-
ся L. Поэтому коэффициент теплопро-
водности для газов заметно не изме-
няется при изменении давления. Однако
для очень малых давлений, когда .дли-
на L свободного пробега молекул*ста-
новится больше, чем расстояние б
между теплообменивающимися поверх-
ностями (L > б), коэффициент тепло-
проводности такого разреженного газа
существенно зависит от давления,
уменьшаясь с понижением его. При
высоких давлениях теплопроводность
Рис. 2.2. Кривые коэффи-
циентов теплопроводности
металлов:
/ — медь чистая; 2 — медь
99,9%; 3 — алюминий 99,7%;
4 — алюминий 99%; 5 — мар-
ганец чистый; 6 — марганец
99.6%; 7 — цинк 99,8%; 8 —
платина чистая; '9 — никель
99%; 10 — никель 99,2%; 11 —
железо 99,2%; 12 — свинец чи-
стый технический
19
Рис, 2.3. Кривые коэффициентов
теплопроводности различных газов:
1 — водяной пар; 2 — углекислота;
3 — воздух; 4 - аргон; 5 - кислород;
5 — аэог; 7 — водород
Рис. 2.4. Кривые коэффициентов
теплопроводности гелия (7) и во-
дорода (2)
газов увеличивается с его ростом; так как при этом начинают
оказывать заметное влияние силы межмолекулярного взаимодей-
ствия.
Температура газа влияет на среднюю скорость движения моле-
кул юм и теплоемкость ту, в результате чего коэффициент тепло-
проводности газов возрастает с увеличением температуры.
На рис. 2.3 представлены экспериментальные значения коэф-
фициентов теплопроводности различных газов. Гелий и водород
отличаются высокой ‘теплопроводностью (рис. 2.4) — в 10 раз
большей, чем у других газов. На рис. 2.5 поедставлена зависи-
мость коэффициента теплопроводности жидких металлов и их
сплавов от температуры.
Характер зависимости коэффициента теплопроводности жидко-
стей от температуры может быть объяснен на основе принятого
представления о механизме распространения тепла в капельных
жидкостях как о переносе энергии путем упругих колеба-
ний.
Такое представление, предложенное АТ Ф. Широковым, и тео-
ретические положения А. С. Предводителева были использованы
Н. Б. Варгафтиком при анализе и обобщении опытных данных
по теплопроводности различных жидкостей. Из этих поло-
жений была получена следующая формула для коэффициента
20
Рис. 2.5. Зависимость коэффициен-
та теплопроводности жидких метал-
лов и их сплавов от температуры:
1	- натрий; 2 лигнй: 3 - калий,
4 - o.toiw; 5	- с»л,)'<, состоящий из
25% натрия н 75% калия; в - - висмут;
7 -- свинец; > сплав, состоящий из
44% свинца и 56% висмут; 9 -- ртуть
теп .л о п р о 1 ю д и о ст и ж и д к о ст е й:
где Ср -- удельная теплоем-
кость жидкости при р --
--- const; о - - плотность жидко-
сти; р -масса молекулы.
Коэффициент А пропорционален скорости распространения
упругих волн в жидкости и не зависит от ее природы. С изменением
температуры коэффициент А изменяется по соотношению Лср
« const.‘Для t О С Л - 3,58-10-3.
2.2. ВЫВОД ОСНОВНОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При решении всех без исключения задач теплопровод-
ности как при стационарных, так и при нестационарных тепловых
режимах обязательным является знание поля температур, т. е.
пространственно-временного распределения температуры в ин-
тересующей нас области. Это распределение подчиняется основ-
ному дифференциальному уравнению теплопроводности, к выводу
которого мы и приступим.
Выделим в пространстве, занятом рассматриваемым веществом
(рис. 2.6), элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz,
Рис. 2.6. Схема баланса тепла для
прямоугольного элемента
параллельными соответству-
ющим осям координат, и соста-
вим для него уравнение балан-
са тепла.
Для этого сначала подсчи-
таем количество тепла, подве-
денного и отведенного через
грани процессом теплопровод-
ности.
Тепло dQx„ вошедшее в па-
раллелепипед через грань
AA1A2A:s в направлении оси х,
dQx, == qXldF dx = qx,dy dz dx,
где qx, — удельный тепловой
поток в сечении ЛЛ1ЛгЛ3,
который можно выразить по закону Фурье (2.2) через значе-
ние градиента температур в этом сечении (дТ/дх~)х,.
Аналогично выразится и тепло dQX;, покинувшее параллеле-
пипед через грань ВВ1В2В3, с той разницей, что удельный тепло-
вой поток qX1 здесь будет иным: qXl = qXl	dx, и, следова-
тельно, dQXj = qX1dy dz dx.
Вычитая из dQx, значение dQx„ получим dQx, оставшееся
в элементе объема за время dx в результате движения тепла вдоль
оси х:
dQx - dQXi — dQXl ~---dx dy dz dx,
или после подстановки qx, определяемого по закону Фурье (2.3),
dQx = ~(%~-')dxdydzdx.	(2.6)
Выполняя те же операции для направлений у и г, получим
dQu "	dydxdzdx	(2.7)
И
dQz =	(А. dzdxdydx.	(2.8)
Общее количество тепла dQK, аккумулированное в силу теплопро-
водности в рассматриваемом элементарном объеме за время dx,
определится как сумма выражений (2.6), (2.7), (2.8):
‘‘Qk = dQ, + dQ, + dQ, =, [ ЛЬ (Д ~ (х +
<2Э>
где dV = dx dy dz — объем рассматриваемого элемента.
Плотность теплового потока q, как всякий вектор, может быть
представлена через свои проекции на оси координат: qx, qv и q2
[см. формулы (2.4)1.
Если рассматриваемое вещество изотропно и однородно, т. е.
если А = const, то dQx выразится через оператор Лапласа у2 =
дг , д2 , д2
——Н	1 т 2 в виде
дх“ 1 ду* 1 dz2
dQ- d\--TdV dx.	(2.10)
В самом веществе могут протекать процессы, связанные с вы-
делением или поглощением тепла (экзо- или эндотермические
химические реакции), физические явления, сопровождающиеся
выделением или поглощением энергии (джоулево нагревание,
ядерные процессы, конденсации и др.). Если известна характе-
ристика этих процессов — интенсивность объемного тенловыделе-
22
ния, т. е. количество тепла, выделяющееся в единице объема
в единицу времени qv, то за время dx в объеме dV выделится тепло
dQv qvdV dx.	(2.11)
Согласно закону сохранения энергии количество тепла dQv,
аккумулированное в элементарном объеме dV, вызовет в нем
соответствующее повышение температуры вследствие нагрева тела
от внутренних источников тепла.
Температура твердого тела является в общем случае функцией
четырех переменных х, у, z и т. Однако для твердого тела про-
странственные координаты точек поля х, у, z не связаны с коор-
динатой времени. Поэтому при рассмотрении явления теплопро-
водности в твердом теле изменение температуры ЪТ за бесконечно
малый отрезок времени dx выражается через частную произ-
водную
8T = ~dx.	(2.12)
Таким образом, тепло, аккумулированное в объеме dV в силу
теплопроводности (dQK) и объемного тепловыделения (dQv), можно
выразить через изменение температуры объема 6Т в виде
dQK + dQv = ср dV8T.	(2.13)
Подставляя сюда выражения (2.9) и (2.11), с учетом равенства
(2.12) получим
67	1 г д /. дТ \ . д / дТ \ . д (. дТ \ , -I
~дГ == МУ ~дГ) + W к ~дГ) + ~дГ Г + qv J 
(2-14)
В случае твердого тела с изотропными и однородными свой-
ствами (X = const) вид уравнения упрощается:
~ = a V2r +	.	(2.15)
Щ	1 ср	'	7
Уравнение (2.15) называется основным дифференциальным
уравнением теплопроводности при наличии внутренних источни-
ков тепла. Оно устанавливает связь между временными и про-
странственными изменениями температуры в любой точке поля,
а коэффициент температуропроводности а является коэффициен-
том пропорциональности между этими изменениями, что отчетливо
видно из формы уравнения (2.15) при отсутствии объемного тепло-
выделения:
-^- = aV2T.	(2.16)
Можно сказать также, что в то время, как коэффициент тепло-
проводности X. характеризует теплопроводящую способность тел,
коэффициент температуропроводности а характеризует тепло-
инерционные свойства этих тел.
23
Рис. 2.7. Схема цилиндрической си-
стемы координат точки
Рис. 2.8. Связь между прямо-
угольной и цилиндрической си-
стемами координат
Уравнения (2.15), (2.16) относятся к случаю нестационарного
теплового режима. Для стационарного теплового режима, когда
температурное поле не изменяется во времени (дТ/дт) = 0, урав-
нение (2.16) перепишется в виде aV2T или
дх2 + ду2 Н" dz2
В технике часто возникает необходимость исследования тепло-
обмена и распределения температур в телах цилиндрической
формы, плоских дисках, цилиндрических оболочках, круглых
стержнях и др. В этих случаях удобнее записать основное диффе-
ренциальное уравнение теплопроводности не в декартовой, а в ци-
линдрической системе координат.
Для фиксированного момента времени температура Т является
функцией трех аргументов — координат х, у, z : Т = f (х, у, z).
В цилиндрической системе координатами являются: г — ра-
диус-вектор точки, ср — полярный угол, z — аппликата точки
(расстояние от основной плоскости) (рис. 2.7).
Декартовы координаты х, у, z связывают с цилиндрическими
(рис. 2.8) следующие выражения: х = г cos ср; у = г sin ср; z = г.
Подставив х и у как функции от г и ср в выражение для темпе-
ратуры, получим Т = Т [х (г, ср), у (г, ср), z] = Т (г, ср, z). Таким
образом, температура может 'быть представлена как некоторая
функция от цилиндрических координат.
Выведем выражение для оператора Лапласа в цилиндрических
координатах. Так как координата z в декартовых и в цилиндри-
ческих координатах одна и та же, то достаточно найти выражения
для частных производных diTldxi и дгТ!ду2 в цилиндрических
координатах.
Составляя выражения первой и второй производных для функ-
ции Т = Т (г, ср, z) и учитывая, что
	дг _ дх	0;	дг ду	= 0;	дг дг	= 0;	Эср дг	= о,
получим		д2Т		д2Т	, 1	дТ	1	д'-Т
	дх2 +	ду2	—	дг2	+ г	дг +	г2	Эф2
24
Следовательно, в цилиндрических координатах оператор Лап-
ласа примет вид
572 = _д___|_ _!______I ! 2L _|_	(2 18)
дг2 г дг г2 5ср2 Эг2 '
В случае использования сферической системы координат,
когда Т = Т (г, ср, ф), где г — радиус-вектор точки, а ср и ф —
полярный и азимутальный углы соответственно, оператор Лап-
ласа аналогичным путем легко приводится к виду
„2 __ д2 .	1 д2	1 д2 2 д . cos ср д
дг2 г2 дер2 ' г2 sin2 ср <5ф2	’ г dr ‘ г2 sin ср сф
2.3.	УРАВНЕНИЕ ТЕПЛООТДАЧИ
(УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ)
Основное дифференциальное уравнение теплопровод-
ности характеризует пространственно-временное изменение
температуры в любой точке поля, объединяя все без исключения
явления теплопроводности независимо от геометрической формы
тела, его физических свойств и условий взаимодействия с окру-
жающей средой.
Это дифференциальное уравнение описывает класс явлений
теплопроводности. Для выделения из целого класса единичного
явления необходимо к дифференциальному уравнению присоеди-
нить дополнительные условия, специфические для данного кон-
кретного случая. В эти дополнительные частные данные, харак-
теризующие рассматриваемое единичное явление, входят форма
и размеры рассматриваемого тела, его теплофизические свойства
и краевые условия. Совокупность перечисленных данных назы-
вается условиями однозначности. Таким образом, условия одно-
значности подразделяются: на геометрические, характеризующие
форму и размеры тела, в котором протекает процесс; на физи-
ческие, характеризующие физические свойства тела, и на краевые,
характеризующие особенности протекания процесса в начальный
момент времени (начальные условия) и на границах тела (гранич-
ные условия).
Условия однозначности позволяют выделить конкретный про-
цесс, т. е. дать полное его математическое описание. В задачах
теплопроводности начальные условия определяются заданным
распределением температур в изучаемом теле для какого-либо
момента времени т, предшествующего рассматриваемому и при-
нимаемому за начальный момент времени (т = 0). Уравнение
температурного поля для этого случая запишется в виде Т (х, у,
г,0) = Т (х, у, г).
В целом ряде практических задач начальные условия имеют
более простой вид: Т (х, у, г, 0) = Тй — const, т. е. температура
тела в начальный момент времени постоянна по всему его объему.
25
Граничные условия связаны с взаимодействием тела и окружа-
ющей среды и для однородных тел могут быть заданы тремя спо-
собами.
1.	Граничное условие 1-го рода задается в виде распределения
температуры по поверхности в любой момент времени:
Tw -- Т (х, у', г', т) = / (х', у', г’, т); (х', у', z') £ F,
где F — поверхность тела.
В стационарных задачах, а также в таких нестационарных
задачах, когда при т ► оо тело стремится к некоторому стаци-
онарному состоянию, функция Т (х, у, z) не зависит от времени,
т. е. температура каждой точки поверхности тела постоянна. В ча-
стном, но весьма распространенном случае граничное условие
1-го рода может иметь вид Tw — const.
В более общих нестационарных задачах важными частными
случаями являются линейная и гармоническая зависимости тем-
пературы поверхности от времени:
Ти, — Тш0 4* Ьх,
где b — постоянный коэффициент, и
Тш = TWQ + Ло cos соТ,
где Ло — амплитуда; <о — частота изменения температуры.
2.	Граничное условие 2-го рода задается в виде удельного
теплового потока в каждой точке поверхности тела в любой мо-
мент времени:
q = f (.х, у', z', т); (х', у’, z') Е F.
Причем, поскольку удельный тепловой поток, осуществляемый
посредством теплопроводности, согласно закону Фурье можно
представить в виде q — —где дТ/дп — значение производной
от температуры тела по нормали к его поверхности непосред-
ственно у самой поверхности тела, а X — коэффициент теплопро-
водности тела, то граничные условия 2-го рода эквивалентны
заданным значения.м производной дТ/дп в любой момент времени:
. =	у, 2, Т) = ф(х, у, Z, т),
где <р (х', у', г', т) — заданная функция.
Этот случай граничных условий имеет место при нагревании
(охлаждении) тел посредством излучения и учитывается, напри-
мер, при расчете режимов работы радиационных холодильников
космических летательных аппаратов и др.
3.	Граничное условие 3-го рода задается в виде температуры
окружающей среды и закона теплообмена между поверхностью
тела и окружающей средой. Этот процесс, как указывалось, носит
название теплоотдачи.
26
Интенсивность теплообмена между средой и телом зависит
от сложных физико-механических процессов, протекающих у гра-
ницы раздела. Их можно достаточно точно описать упрощенной
формулой теплоотдачи, предложенной Ньютоном: количество
тепла dQ, отдаваемое или воспринимаемое элементом поверхности
твердого тела dF за время dx, пропорционально разности темпе-
ратур поверхности Tw и окружающей среды Т f, величине d F
и промежутку времени dx, т. е.
dQ — a (Tw — Тf) dF-dx,
dQ	,
где а = — _— коэффициент теплоотдачи.
Коэффициент теплоотдачи равен количеству тепла, отдава-
емого или воспринимаемого единицей площади поверхности в еди-
ницу времени при разности температур между стенкой и тепло-
воспринимающей средой, равной одному градусу. В этот коэффи-
циент включена вся сложность явления теплоотдачи. Он должен
учитывать все особенности теплообмена и является функцией
большого числа переменных: плотности среды, скорости движения
среды, температур Tw и Тf, положения тела в потоке, размеров
тела, физических параметров среды (теплопроводности, вязкости,
теплоемкости и др.).
При практическом использовании уравнения теплоотдачи при-
ходится проводить ряд сложных экспериментов и из полученных
опытных данных находить для исследованных явлений тепло-
отдачи значения коэффициента а. Поэтому все трудности расчета
теплоотдачи, заключающиеся в обилии влияющих на нее факторов,
сосредоточены в коэффициенте теплоотдачи а, так что расчетное
уравнение теплоотдачи Ньютона, несмотря на свою кажущуюся
простоту, по существу не вносит особых упрощений.
Итак, в случае граничных условий 3-го рода по закону Нью-
тона q = а (х’, у', z', т) — Tf], где а известно (задан закон
теплообмена и физические условия однозначности), a Tf = f (х',
у', z’, т) — известная функция координат и времени, тогда как q
и Tw неизвестны.
С другой стороны, конвективный удельный тепловой поток
у поверхности в любой момент времени равен потоку тепла внутрь
тела, осуществляемому посредством теплопроводности:
q = a(Tw-Tf^~^~,
откуда
K-^+a.(Tw-T})^.
Таким образом, математически граничные условия 3-го рода
представляют собой заданные функциональные связи между
неизвестными значениями функции Г и ее производной (dTldri}m
27
на поверхности тела F. Хотя значение коэффициента теплоотдачи
а зависит от многих факторов, при решении нестационарных
задач с граничными условиями 3-го рода часто приближенно
принимают а ----- const.
К граничным условиям 2-го и 3-го рода относятся те же заме-
чания о возможном характере зависимости заданной функции
f (д', у', z', т) от времени (линейный и гармонический закон), что
и для условий 1-го рода.
Важным для понимания дальнейших разделов курса, в ча-
стности, главы, посвященной нестационарной теплопроводности,
является то обстоятельство, что при очень больших значениях а
или малых л задача с граничными условиями 3-го рода переходит
в задачу с граничными условиями 1-го рода.
В самом деле, Tw— Тf ~~----И’ если (л/а0) (т. е.
а -> оо или X 0), то Tw -- Tf (х', у', z', т), т. е. температура
поверхности тела в любой момент времени задана и равна темпе-
ратуре окружающей среды Tf.
Ниже мы рассмотрим некоторые простейшие задачи стаци-
онарной теплопроводности в твердых телах.
2.4.	ПЛОСКАЯ СТЕНКА
Если плоское тело (пластина) имеет толщину б, значи-
тельно меньшую двух других характерных линейных размеров
(ширины и длины), граничные условия не зависят от координат
границы, можно пренебречь отводом или подводом тепла через
торцы, считая, что тепловой поток направлен перпендикулярно
поверхности пластины (рис. 2.9). Задача в этом случае является
пространственно одномерной, а следовательно, температурное
Рис. 2.9. Схема распре-
деления температуры в
плоской стенке
поле зависит только от одной координа-
ты х, поскольку
дТ _ дТ _
ду ~ дг ~
При отсутствии объемного тепловы-
деления (qv = 0) и постоянном X уравне-
ние теплопроводности (2.17) имеет вид
dx2 и-
(2.19)
Закон распределения температур ио
толщине стенки найдется двойным инте-
грированием выражения (2.19):
Т — С^х 4- С2,
(2.20)
где и С2 — постоянные интегриро-
вания.
28
Из уравнения (2,20) видно, что распределение температур
в сгенке следует линейному закону. Изотермические поверхности
представляют собой плоскости, параллельные поверхностям
стенки и нормальные к оси х.
Для определения постоянных интегрирования (Д и С., в урав-
нении (2.20) воспользуемся граничными условиями 1-го рода,
т. е. зададимся следующим законом распределения температур
на поверхности тела для любого момента времени: при х - О
Т -- - ТДд при х - - 6 Т --- 7Д,, где Tw} > Tw.,.
Подставляя заданные значения температур па границах в урав-
нение (2.20), найдем С2 = TW1 и С\6 -j- TW1 --- Тш2, откуда
(2.21)
Подставляя значения Сг и С2 в уравнение (2.20), получим
Т mi-
(2.22)
Выражение (2.22) и есть решение задачи, так как описываемое
им распределение температур удовлетворяет как дифференциаль-
ному уравнению (2.19), так и поставленным граничным условиям.
Для определения количества тепла, проходящего через эле-
мент стенки в единицу времени (dx I), воспользуемся законом
Фурье (2.1), согласно которому
dQ - --X—^-dF.
дх
Из уравнений (2.19) и (2.21) имеем - Сх	,
следовательно, dQ = X. ТdF.
Для участка поверхности площадью F находим
Q = ^(Twl--T^F.	(2.23)
Обозначим
TW1 - Tw2 - \TW.	(2.24)
Тогда
Q - 4 Л 7’, Д'.	(2.25)
Количество тепла, проходящее через единицу поверхности
стенки за единицу времени, определяется соотношением
q = 4 4	(2-26)
или с учетом выражения (2.24)
29
Рис. 2,10. Схема распреде-
ления температуры при теп-
лопередаче через плоскую
стенку
Из формул (2.23) и (2.26) видно,
что количество тепла, проходящее
сквозь стенку, зависит от разности
температур на поверхностях ДТШ.
Отношение 1/6 обычно называется
тепловой проводимостью стенки, а об-
ратная ей величина 6/2. — сопроти-
влением теплопроводности плоской
стенки.
В случае граничных условий 3-го
рода в рассматриваемой задаче долж-
ны быть заданы температуры сред,
омывающих стенку ТдТ/2 (Т fl > Т/2),
и коэффициенты теплоотдачи и а2.
Этот процесс носит название теплопе-
редачи через стенку и в стационарном
случае распределение температур в
средах и плоской стенке показано на
рис. 2.10. Температуры среды и стенки в точке их соприкоснове-
ния совпадают. В качестве Tf принимается температура среды
на достаточном удалении от стенки.
Удельный тепловой поток, который получает стенка, опре-
деляется законом Ньютона q = ах (Тfl — Twl), но из условия
непрерывности теплового потока он должен равняться тепловому
потоку, отводимому в силу теплопроводности внутрь стенки.
В стационарной задаче для плоской стенки этот поток, как было
X
показано, может быть записан в виде (2.26): 7 = у (Twi — Tw2),
но здесь, в отличие от задачи с граничными условиями 1-го рода,
температуры TW1 и нам неизвестны.
Тепловой поток, отводимый тепловоспринимающей средой,
по закону Ньютона может быть представлен в виде q = а2 (Тш1 —
— 7ф2); он также равен потоку, идущему через стенку посред-
ством теплопроводности.
Полученная система
X
7 = ai (7\i — 7 ш1); q = у (Т’ш! — Тж2); 7 == а2 — Ту2),
(2.28)
где известны 7’ш1, Т'ш2 и q, легко может быть решена путем деления
обеих частей уравнений (2.28) на ах, 1/6 и а2 соответственно.
Преобразованная таким образом система примет вид
7 „ — Tf!	Тш1> 7 \ — 7"mi	Т»2> 7 у — Т'
(2.29)
Складывая почленно отдельно левые и правые части уравне-
ния, получим q (-4-+ у + у-) = Т’д — Т/2, откуда
7 = К (Тд - Т’д),
(2.30)
30
где
l/<Xi “Ь 6/Х 4“ 1/^2
Величина К называется коэффициентом теплопередачи, а обрат-
ная ей величина
R = 1/К ~ l/«i + 6/А, 4- 1/а2 — полным термическим сопро-
тивлением. Это полное сопротивление является суммой уже изве-
стного нам сопротивления теплопроводности 6/Z, и двух сопро-
тивлений теплоотдачи I/04 и 1/а2,
Выражение для теплового потока при теплопередаче через
стенку (2.30), пользуясь понятием полного термического сопро-
тивления, можно переписать в виде
7 =	(2.31)
Все величины, входящие в правые части выражения (2.30)
и (2.31), заданы условиями однозначности.
Неизвестные значения температур поверхностей стенки TwX
и Тт могут теперь быть определены с помощью первого и третьего
уравнения системы (2.28), поскольку величина q вычисляется
по формулам (2.30), (2.31).
Например,
TW1 = Tfl — <7/04.	(2.32)
Полученные выше решения задачи о теплопроводности плоской
однородной стенки с граничными условиями 1-го и 3-го рода
легко распространяются на случай, когда стенка состоит из ряда
слоев различных материалов.
Пусть многослойная стенка состоит из п плотно прилегающих
Друг к другу слоев (рис. 2.11), коэффициенты теплопроводности
которых равны Х1т Х2, ..., Хл, а толщины — 61( 62, ..., соответ-
ственно. Вследствие стационарно-
сти задачи удельный тепловой
поток, проходящий через каждый
слой, для всех слоев будет одинаков.
Если бы было иначе, то тепловое
состояние какого-то слоя или не-
скольких слоев изменялось бы во вре-
мени, поскольку входящее в него
в единицу времени количество тепла
было бы отлично от выходящего.
Это привело бы к изменению во вре-
мени его температуры, что противо-
речит принятому в этом разделе
условию стационарности темпера-
турного поля дТ/дх = 0.
В случае граничных условий 1-го
рода, т. е. когда заданы темпера-
т
------------------
О	 *
Рис. 2.11. Схема распределения
температуры в многослойной
плоской стенке
31
туры на внешних поверхностях многослойной стенки TW1 и
Тш и, можно записать для удельных тепловых потоков в
каждом из слоев следующее:
9	^Т“’2 ” т^’	(2-33)
<7 = (Тип — Ти, (п+1))-
Напомним, что в этой системе нам заданы лишь температуры
7\в1 и 7’ц, (п+1), остальные величины пока неизвестны.
Перепишем уравнения (2.33) в следующем виде:
<7“^— = ТШ1 Tw2',
q-^~ = Twi - Tw3-	(2.34)
q~^r~ — т wn — т w (n+i).
An
Производя почленное сложение, найдем
('ir+4r++4^)=	(2-з5)
откуда
т ___________________________т
________oil 1 О1 (п+1)
Q_______+ • • • + бпАп ’
или, что то же,
q _ ^Ю1	(п+[)
Е
i=i
где i — номер слоя. Очевидно сумма, стоящая в знаменате-
ле, есть суммарное термическое сопротивление многослойной
стенки.
Иногда при расчете многослойной стенки вводят в рассмотре-
ние эквивалентный коэффициент теплопроводности Хэкв, который
равен коэффициенту теплопроводности фиктивной (однослойной)
стенки, толщина которой равна суммарной толщине исследуемой
п
многослойной стенки У 6f при условии, что разности температур
i=i
на границах однослойной и многослойной стенок одинаковы,
а количества тепла, проходящие через них в единицу времени,
совпадают.
32
Таким образом, для воображаемой однослойной стенки
q= ^кт<	(2.36)
i==i
где 7ЭКВ — эквивалентный коэффициент теплопроводности, опре-
деляемый из равенства уравнений (2.36) и (2.35):
п
Ьэив =	----•	(2.37)
Е
(=1
Эквивалентный коэффициент теплопроводности дает возмож-
ность сравнить теплопроводящие свойства многослойной стенки,
составленной из разнородных материалов, с однослойной стенкой,
выполненной из однородного материала.
Графически распределение температур по сечению многослой-
ной стенки (см. рис. 2.11) представляется ломаной линией, причем
внутри каждого слоя это распределение описывается уравнением
Txl = Twi - qXi/U,	(2.38)
где Xi — расстояние от начала г-го слоя, т. е. от плоскости его
соприкосновения с (i — 1)-м слоем, где температура равна Twi.
Пользуясь этим выражением, по аналогии с выражением
(2.32) можно последовательно найти неизвестные температуры на
границах всех слоев Tw2, Tw3, ..., Twn.
Абсолютная величина тангенса угла наклона зависимости Т (х)
в каждом из слоев тем больше, чем меньше коэффициент тепло-
проводности данного слоя 7. Это вытекает из закона Фурье qt =
= —7; grad Т, так как при постоянстве q во всех слоях вели-
чины 7 и grad Т связаны обратно пропорциональной зависи-
мостью.
Это рассуждение распространяется и на случай однослойной
стенки с переменным значением %, зависящим от координаты
или от температуры. Легко показать, что если в однослойной
стенке (см. рис. 2.9) % = Хо (1 -Г ЬТ) и b > 0, то распределение
температур в ней не будет носить линейный характер как при
X = const, а будет представляться кривой, наклон которой |
будет возрастать с ростом координаты х, поскольку коэффициент
теплопроводности с приближением к более холодной поверхности
такой стенки уменьшается. К аналогичному выводу можно прийти,
если условно разбить однослойную стенку на ряд тонких слоев,
теплопроводность каждого из которых принять постоянной.
Если в задаче о теплопроводности плоской многослойной
стенки заданы граничные условия 3-го рода, то расчетное уравне-
2 Авдуевский	33
ние теплового потока через такую стенку легко получить, добавив
к системе (2.33) выражение для конвективных тепловых потоков
между внешними поверхностями стенки и омывающими ее сре-
дами, аналогично выражению (2.28): q = (Тл — Тш1); q =
= а2 [Tw (rj+i) — Т/2]. В этом случае удельный тепловой поток
также выразится соотношением q = К (Т— Т только в зна-
менатель выражения для коэффициента теплопередачи
(2.39)
Val + Vi Sj/X; 1/а2
i+1
войдет сумма сопротивлений теплопроводности всех п слоев.
Полное термическое сопротивление в этом случае будет
= + + (2'40>
(=1
2.5.	ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ СТЕНКА
Если предположить, что круговая цилиндрическая
оболочка имеет длину достаточно большую, чтобы теплоотводом
с торцов можно было пренебречь, и что граничные условия не
зависят от полярного угла ср и продольной координаты г, то задача,
как и в предыдущем разделе, становится пространственно-одно-
мерной. Поле температур в стационарном случае изменяется
только по радиусу г, а следовательно, основное дифференциальное
уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат
(2.17) примет вид
Обозначая dT/dr через и, получим =-----------и, откуда, раз-
du	dr
деляя переменные, =-----------—.
После интегрирования последнего выражения получим In и =
= —In г -|- С, или In и = —In г +,ln Ci, откуда
= и =	(2.42)
После повторного интегрирования выражения (2.42) общее
решение уравнения (2.41) получим в виде
Т = Сх In г + Cs.	(2.43)
Из двух последних выражений можно заключить следующее.
1.	Удельный тепловой поток в цилиндрической стенке q =
» дТ	л	.
~	непостоянен по толщине и убывает к внешней поверх-
34
, i (IT 1 \ ~
ности трубы ~Это связа-
но с тем, что в стационарных усло-
виях должен быть постоянным
полный тепловой поток, проходя-
щий через участок цилиндрической
трубы длиной I и равный qF, где
F = 2лг1; поскольку же F увеличи-
вается с радиусом, то, естественно,
удельный тепловой поток должен
убывать.
2.	Температура по толщине ци-
линдрической стенки изменяется
нелинейно — по логарифмическому
закону (2.43) (рис. 2.12).
Постоянные интегрирования С-, и
Рис. 2.12. Схема распределения
температуры в цилиндрической
стенке
С2 находим из граничных
условий. Граничные условия 1-го рода для рассматриваемой
задачи можно записать в виде
= Т (гх) = Ci In + С3;
Т'шг ~ Т (гг) ~ Ci 1н г2 + С2.
Решая эту систему относительно Сх и С2, получим
___ 7 ан	r^'w2 -j р __ Tm In	Т W2 In Гх
1 ~ In (ЛЛ-Э 2 “ 1п (Гх/г2)
(2.44)
(2.45)
Подставляя эти выражения в решение (2.43), получим следу-
ющее выражение для распределения температуры в цилиндри-
ческой стенке:
у1   Т W1 In pg/Э + Ги/а In (г/гх)	/<2
~	1п(г2—Гх)	'	'
Легко убедиться, что это решение удовлетворяет заданным
граничным условиям (2.44).
Количество тепла, проходящее через участок цилиндрической
стенки длиной I в единицу времени, согласно закону Фурье будет
д , dT ,,,
О = — т— 12лг.
dr
Подставляя в это выражение значение dT/dr из выражения
(2.42) и учитывая равенства (2.45), найдем:
Q = Х (?Л1 Г,юг) 2л/.	(2.47)
In (Г2/Г1)	v ’
Из формулы (2.47) видно, что Q действительно не зависит от
текущего радиуса и определяется отношением наружного радиуса
к внутреннему.
2*	35
Рис. 2.13. Схема к задаче
с граничными условиями 3-го
рода
В практике технических расчетов
обычно относят тепловой поток Q к
единице длины цилиндрической трубы:
(2.48)
Эта величина, в отличие от плотности
потока, не зависит от текущего радиуса
и называется линейной плотностью
теплового потока.
В задаче с граничными условиями
3-го рода (рис. 2.13) заданы темпера-
туры сред, омывающих трубу с внутрен-
ней (ТУ1) и наружной (Tf2) сторон, а
также соответствующие значения ко-
эффициентов теплоотдачи и а2.
Конвективный тепловой поток на единицу длины трубы с на-
ружной и внутренней сторон может быть выражен согласно закону
Ньютона и должен равняться линейному тепловому потоку,
переносимому теплопроводностью через цилиндрическую стенку
(2.48). Выписав все эти выражения, получим систему:
9ц = ^(Tfl — Twl) 2лгх;
= In (г2/Г1) (Twl ~	2л;	(2-49)
9ц = «2 (Тиа — Т2лг2,
решая которую уже известным [см. выражения (2.28) и (2.29) ]
методом, найдем
9ц = л/<ц(7’/1-Г/2),	(2.50)
где
лКц = —----------НН-----------Г—	(2.51)
"* 2Х П Г1 + 2а2г,
Коэффициент Кд называется коэффициентом теплопередачи
цилиндрической стенки. Коэффициент Кц численно равен количе-
ству тепла, проходящему через стенку трубы длиной в 1 м в еди-
ницу времени от одной среды к другой, если температурный напор
между ними равен 1 К.
Величина, обратная коэффициенту теплопередачи,
=	+ -1-1П —+ Н-	(2-52)
ц	2ci.^r ।	2Х	2os2r 2
называется полным термическим сопротивлением трубы, причем
слагаемые 1/(2а1г1) и 1/(2а2г2) называются термическими сопро-
36
тивлениями теплопередачи, а слагае-
мое 1/(2%) in (г2/г,)—термическим со-
противлением теплопроводности стенки
трубы.
Итак, в случае цилиндрической
стенки сопротивление теплоотдачи за-
висит не только от величин и а2, но
также и от диаметров d± = 2ti и d2 —
= 2г2.
Для случая многослойной цилин-
дрической стенки (рис. 2.14) и гранич-
ных условий 1-го рода методами, со-
вершенно аналогичными тем, которыми
мы пользовались при рассмотрении
многослойной плоской стенки, можно
ражение для линейной плотности теплового потока:
Рис. 2.14. Схема распреде-
ления температуры в много-
слойной цилиндрической
стенке
получить следующее вы-
„ _ I7'®! ~ Tw (п+1)] Я
Чц ~ п
2 1/2%,- In (di+1/d;)
i=i
(2.53)
Точно так же для цилиндрической многослойной стенки
остается в силе то понятие эквивалентного коэффициента тепло-
проводности, которое было введено для многослойной плоской
стенки:
п — 2л^экв ^и’1 ~ Tw (п+1)1	/о
In	(	'
Приравнивая правые части уравнений (2.53) и (2.54), будем
иметь
Хэкв = — (dn+l/dl)---•	(2.55)
2 in (diM
Пользуясь выражением (2.50), напишем уравнение для опре-
деления температуры Т№((+1) на границе между i-м и (i + 1)-м
слоями:
т. ,ж> - Т., -	(-4- 1П А- + ~ 1„ А- +   • +
di J
(2.56)
В случае многослойной цилиндрической стенки, состоящей из
плотно прилегающих друг к другу слоев с соответствующими
коэффициентами теплопроводности Хъ X,., Xs по аналогии с плоской
37
многослойной стенкой, можно написать выражения для коэффи-
циента теплопередачи
и для теплового сопротивления
п
Rn^ = —ф + У ф- In ф- + -ф-.	(2.58)
А и czjdj	2Xj di ^2^n+i
1=1
Температура Tw ((-+i) на границе между i-м и (i + 1)-м слоями
определяется из уравнения
'т	Я I *
7№(l-+l) ~ lw\ I ,
1пф- + -4—1. (2.59)
uj	£^2^71+1 /
2.6.	КРИТИЧЕСКИЙ ДИАМЕТР ТЕПЛОВОЙ ИЗОЛЯЦИИ
ТРУБОПРОВОДА
На практике часто возникает необходимость уменьшить
теплопередачу между средой, движущейся по трубопроводу,
и окружающим трубопровод пространством. Эта необходимость
может быть связана как со стремлениями уменьшить потери тепла
горячего теплоносителя, передаваемого по трубопроводу от одного
агрегата к другому (в этом случае тепловой поток направлен
от трубы в окружающую среду), так и сохранить в заданном фазо-
вом состоянии криогенное рабочее тело, например сжиженный газ
при подаче его из баков. В этом случае следует уменьшить поток
тепла из окружающей среды внутрь трубопровода и предотвратить
возможность вскипания жидкости.
В обоих случаях внутренний диаметр трубопровода di, как
правило, задается исходя из потребного расхода, а толщина
стенок (d2 — dt)/2 и материал (А^) трубопровода определяются из
расчета на прочность. Температуры внутренней и внешней сред
Tf2 и Tfl, а также соответствующие коэффициенты теплоотдачи аг
и а2 также полагаем заданными.
Рассмотрим, как будет изменяться полное термическое сопро-
тивление трубы при нанесении на ее внешнюю поверхность слоя
тепловой изоляции (рис. 2.15), коэффициент теплопроводности
которой /_из = /_2 задан выбранным нами теплоизоляционным
материалом (асбест, фторопласт, пенопласт и др.). Согласно вы-
ражению (2.58) для двухслойной трубы можно записать
-J_= 1 + ’ 1пА-+-4-1п-ф + -4-, (2.60)
38
где d3 — внешний диаметр трубы со
слоем изоляции.
В выражении (2.60) от толщины
слоя изоляции (диаметра d3) зависят
два последних слагаемых. Термическое
сопротивление теплопроводности изо-
ляции In (d3/d2)/(2X2) растет с увели-
чением толщины теплоизоляционного
покрытия, а термическое сопротивле-
ние теплоотдачи 1/(а2^з) уменьшается,
что связано с увеличением поверхности
теплоотдачи при увеличении внешнего
диаметра трубы d3. Очевидно, что при
таком характере изменения двух сла-
гаемых выражение- (2.60) может иметь
Рис. 2.15. Схема цилиндра
с тепловой изоляцией
экстремум.
Исследуем на экстремум функцию Rn/d3. Приравняем нулю
первую производную от равенства (2.60) по d3:
\ Кц J
Из полученного уравнения найдем значение внешнего диа-
метра d3, при котором принимает экстремальное значение:
'Др
2Х2/о: 2.
(2.61)
Важно отметить, что критическое значение d3 не зависит от
внешнего диаметра изолируемого трубопровода d2, а определяется
лишь коэффициентом теплопроводности выбранного теплоизоля-
тора /.2 и коэффициентом теплопередачи с внешней поверхности
трубы а2.
Для того чтобы определить, является ли термическое сопро-
тивление при d3 = dKp максимальным или минимальным,
найдем знак второй производной от Дц по d3 в данной точке (d3 =
— dKp). Для этого подставим в выражение
критическое значение диаметра (2.61). Тогда
f_LV	= Д1_>о
пИ 2?	8X1
Это означает, что при d3 = полное термическое сопротивление
системы минимально (рис. 2.16).
Следовательно, если диаметр изолируемой трубы d2 больше
<ДР, найденного для выбранного изоляционного материала (Z,2)
и условий теплообмена с окружающей средой (2.61), то покрытие
трубы слоем такой изоляции уменьшит теплопередачу через
39
Рис. 2.16. Кривые изменения коэффициентов полного
термического сопротивления и теплопередачи в зави-
симости от внешнего диаметра изоляции
цилиндрическую стенку. В случае же,
когда d2 < dKp нанесение на поверхность
трубы выбранного изолятора первоначально
приведет к возрастанию теплопередачи, и
лишь после того, как наружный диаметр
достигнет и превысит критическое значение,
тепловой поток через стенку начнет убывать,
затем станет равным исходной величине, ко-
торая была при отсутствии слоя изоляции,
и лишь затем станет меньше ее. Тогда следует попытаться подо-
брать другой теплоизоляционный материал и (или) сделать много-
слойную изоляцию так, чтобы Хэкв > Х2, и, если это не удастся,
пойти на снижение теплопередачи путем значительного увеличе-
ния толщины изоляционного слоя (d3 > dKp).
2.7.	ШАРОВАЯ СТЕНКА
Рассмотрим пространственно одномерную стационар-
ную задачу теплопроводности в шаровой стенке с радиусами вну-
тренней и внешней поверхности rL и г2 (рис. 2.17) и коэффициентом
теплопроводности материала стенки К. Одномерность задачи
означает, что распределение температуры в стенке зависит только
от радиуса, а потому основное дифференциальное уравнение
теплопроводности в сферической системе координат [см. выра-
жение (2.18)] примет вид
4^ + -Т-4г = 0-. dT <2-62)
По аналогии с принятым в разд. 2.6, обозначим через и.
т- du	2	du	2dr
1огда -----------—и или =-----------—, откуда после интегри-
рования
In и = —21п г + С (2.63)
или
dT _ Ci
dr ~ rt '
где In Ci = С.
После повторного интегрирования по-
лучим
Т (г) = -Сх/г + С2.	(2.64)
Это и есть искомое решение уравнения
(2.62). Отметим, что здесь в силу тех же
Рис. 2.17. Схема распределения температуры в шаро-
вой стенке
40
причин, что и в случае цилиндрической трубы (см. разд. 2.6),
распределение температуры нелинейно. Однако в отличие от
трубы это распределение представляет собой гиперболу.
В случае граничных условий 1-го рода, когда заданы темпера-
туры внутренней Тш1 оболочки, постоянные из системы уравнений	и наружной 7^2 поверхностей шаровой интегрирования Сг и Сг определяются Тм =	^- + С2; (2.65) + С2> ' 2
т. е.		 Т	Т W2 • 1	~	— 1Д1 ’ (2.66) q	~ r-iTwi 2	~	г2 — гх
После подстановки этих констант в выражение (2.64) получим

1/Г1 --- 1/Г2
(2.67)
В стационарной задаче полный тепловой поток Q=—4№
не зависит от радиуса, так как общее количество тепла, проходя-
щее в единицу времени через изотермическую поверхность, какой
здесь является любая сфера с радиусом G-С г г2, должно быть
одинаково при любом г. Используя выражения (2.63) и (2.66),
получим
« = Т7^Т7Л(7’“	(2'68)
Для многослойной шаровой стенки в случае граничных усло-
вий 1-го рода методами, изложенными в разд. 2.7, 2.8, легко
получить следующее выражение для теплового потока:
Q =	—Tw <2±1>1>	(2.69)
£ 1Дг(1/гг-1/гг+1)
r=i
где Хг и гг — коэффициент теплопроводности и внутренний радиус
i-ro слоя.
Распределение температур внутри Pro слоя шаровой стенки
определяется соотношением (2.67) с заменой Twl, Tw2, гг и г2
на Ta,i, Tw(i+h, rt- и r;+i соответственно.
Задачи о теплопроводности однослойной и многослойной шаро-
вых стенок с граничными условиями 3-го рода решаются анало-
41
Рис. 2.18. Схема теплопроводности
стержня бесконечной длины
гично тому, как это делалось в
разд. 2.7 и 2.8, а потому здесь
не рассматриваются. Получить со-
ответствующие решения предла-
гается читателю самостоятельно.
2.8.	СТЕРЖЕНЬ
БЕСКОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Рассмотрим стационар-
ную задачу о теплопроводности
стержня бесконечной длины
(рис. 2.18). Температура одного
конца стержня поддерживается
постоянной, равной ТСтержень
омывается средой с постоянной
температурой Tf. Коэффициент
теплоотдачи от стержня к среде а вдоль всей его боковой поверх-
ности будем считать постоянным. Коэффициент теплопроводности
материала стержня X предполагается достаточно большим, а по-
перечные размеры стержня по сравнению с длиной настолько
малыми, что изменением температуры в нем можно пренебречь.
Температура стержня Т, таким образом, считается функцией
только одной координаты: Т = f (х). Разность между местной
температурой стержня и температурой окружающей среды Т (х) —
— Tf обозначим через 0 (х). В начальной точке стержня (х =
= 0) 7\ - Tf = ©i.
Рассмотрим тепловое равновесие элемента стержня, удален-
ного от его начала на расстояние х, имеющего длину dx, площадь
поперечного сечения F и периметр сечения U.
Количество тепла, входящее в рассматриваемый элемент
стержня через сечение I—I за единицу времени, согласно закону
Фурье
= <2'70>
Аналогичная величина в сечении II—II, расположенном на
расстоянии (х + dx) от начала стержня, будет
\ ах ) (x+dx)
(2.71)
Согласно закону Ньютона (2.18), боковой поверхностью
стержня (х + dx) будет отдано количество тепла
dQ = a&Udx.	(2.72)
 Составляя тепловой баланс для элемента стержня, получим
Qx — Qx+dx — dQ;	(2.73)
—	f +	F = aQUdx. (2.74)
\ dx Jx 1	\ dx Jx+dx	v ’
42
Принимая во внимание, что
	(dd/dx)x+dx — (dd/dx)x	Щ9 dx2 ’	(2.75)
	dx		
получим	- a@U. dx2		(2.76)
Вводя обозначение	Д2	 P - kF ’		(2.77)
находим	_29. = B20 dx2	P		(2.78)
Решение полученного линейного дифференциального уравне-
ния второго порядка можно представить в общем виде:
0 = С^х + С2е-₽*.	(2.79)
Постоянные С, и С2 могут быть найдены с помощью граничных
условий: при х = 0 0 = С\ = С\ + С2; при х оо 0 = 0 =
= (Де”.
Последнее равенство выполняется только при условии = О,
следовательно, С2 = 0х и 0 = ©щ"^.	(2.80)
Количество тепла, отдаваемое всей боковой поверхностью
стержня, можно получить как тепловой поток, входящий в стер-
жень через его основание
Так как согласно равенству (2.80)	0~ —
то = KFf,<31	(2.82)
или
Qi = К aUXF.	(2.83)
Если теплоотдача от стержня к среде идет не по всей поверх-
ности стержня, то под величиной U надо понимать ту часть пери-
метра сечения, по которой осуществляется теплообмен. Для
стержня круглого сечения с диаметром d при теплоотдаче по
всей поверхности получим
₽-2]/Д;	(2.84)
а - е, /Ы.	(2.85)
43
2.9.	СТЕРЖЕНЬ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ
Если длина стержня конечна, то температура на его
конце не будет равна температуре окружающей среды, а потому
выведенные выше формулы не будут справедливы.
Пусть длина стержня равна L, а превышение температуры
холодного конца стержня над окружающей средой — 0L. Тепло-
отдачей с торца стержня будем пренебрегать или учтем ее уве-
личением длины стержня с таким расчетом, чтобы боковая поверх-
ность удлиненного стержня равнялась бы полной боковой и тор-
цевой поверхностям реального стержня.
Общее решение (2.79) дифференциального уравнения (2.78)
© =	+ С2е~₽*	(2.86)
получено без каких-либо предположений о длине стержня, а по-
тому применимо и к стержню конечной длины.
Граничные же условия изменяются: при х = 0 0 = 0Х =
= Су + С2 или С2 = ©1 — Су при х = L, пренебрегая теплоот-
дачей с торца стержня, т. е. приравнивая нулю тепловой поток,
обусловленный теплопроводностью, в сечении х = L
= <2-87'
получим
=0;
.	xL	(2.88)
(4)„t - ₽с'еВ‘ - f^CL - «
По уравнениям (2.86) и (2.88) найдем
С1(е₽/- + е"Р/-)-01е"₽/- = О,	(2.89)
откуда
с»Дейй^зд1):	(2’90)
I	е₽/-	\	еРд
с2 = ®1 - с1 = 0Ц1 “	+ e-₽L j = 01 2 ch (pL) * (2-91)
Подставляя найденные значения Су и С2 в уравнение (2.79)
и переходя к гиперболическим функциям *, получим
0 =	(е₽*е~₽£ +	(2-92)
или
0 — ei	+еР (Л"Х)] _ о ch IP (L — <)] . /о qcn
°	2 ch (PL)	° . ch(pL) ’
* Напомним, что
ch (x) = (e* + e~x)/2;
sh (x) = (e* - e-*)/2;
th (x) = sh (x)/ch (x).
44
при х = L получаем
Тепловой поток, входящий в стержень и передаваемый боко-
вой поверхностью стержня окружающей среде, найдем, пользуясь
уравнениями (2.79) и (2.80),
е=₽ <с> - ~ 91 (pz;11- <2-95)
или
Q = VKF^U = 0Х th (pL) VaUXF. (2.96)
В случае круглого стержня диаметром d
' ₽2 = 4т; VtiWF	(2.97)
Ли	2
Q =	(2.98)
2.10.	КРУГЛЫЕ ПЛОСКИЕ РЕБРА
Задача правильного конструирования ребер для авиа-
ционных и космических теплообменников, цилиндров двигателей
воздушного охлаждения, экономайзеров, калориферов и других
теплообменных аппаратов, где теплоотдающая поверхность
строится путем оребрения, состоит в том, чтобы получить при
данном расходе охлаждающего агента максимальный отвод тепла
при минимальных массе и габаритных размерах самого аппарата.
Определению подлежат форма, высота и расстояние между
ребрами.
Вопрос о наивыгоднейшей форме ребра данной массы или дан-
ной высоты может быть разрешен расчетным путем. При постоян-
ных массе и площади поперечного сечения ребра максимальный
отвод тепла будет, если боковые поверхности ребра имеют вогну-
тую параболическую форму (рис. 2.19, а). В таком ребре темпера-
турный градиент будет постоянным по его высоте. Однако из-за
трудностей технологического характера на практике применяются
ребра с поперечным сечением, выполненным в виде трапеции
(рис. 2.19, б) или прямоугольника (рис. 2.19, в).
Аналитическое решение задачи о стационарной теплопровод-
ности для ребра параболической формы и, следовательно, о тепло-
отдаче с его наружной поверхности встречает ряд трудностей,
главнейшая из которых заключается в необходимости знать закон
распределения коэффициента теплоотдачи а по поверхности ребра.
Рассмотрим задачу о стационарном распределении темпе-
ратуры в ребре прямоугольной формы при следующих условиях:
1) температура основания ребра постоянна и равна 7\;
45
Рис. 2.19. Схема формы
ребер
2)	количество тепла, рассеиваемого за
единицу времени с какой-либо части поверх-
ности ребра, пропорционально разности
температур ребра и окружающей среды;
3)	коэффициент теплоотдачи а одинаков
во всех точках поверхности ребра;
4)	если h — высота ребра и 6 — его тол-
щина, то потеря тепла с торца шириной 6
может быть учтена путем замены действи-
тельной высоты h величиной h' = h + 6/2;
5)	вследствие того, что толщина 6 мала
по сравнению с другими размерами ребра,
будем считать, что температура зависит
лишь от одной координаты х (текущее зна-
чение высоты ребра), т. е. будем иметь дело
с одномерным стационарным температурным полем Т = f (х).
Обозначим через 0 разность температур какой-либо точки
ребра Т (х) и окружающей среды Tf. Тогда 0 = Т — Tf = fr (х).
Сделаем развертку круга плоского ребра по его среднему
диаметру dcp (рис. 2.20). В дальнейшем задача очевидно сведется
к рассматриваемой выше теплопередаче в стержне конечной
длины h' = h + 6/2, площадь поперечного сечения которого
F — ndcp6. Тогда роль |3 в показателях экспоненты общего ре-
шения (2.79) будет согласно выражению (2.77) играть величина
46
и распределение температуры по
высоте ребра выразится в виде
0 (И - A chfp (h'-x)]
J W	ch (ИЛ')
(2.100)
ента эффективности ребра от вели-
чины рЛ'
где 0Х = 1\ — Tf.
Количество тепла, отдаваемого
ребром в окружающую среду
за единицу времени, можно определить путем интегрирования
уравнения dQ = dQ2ndcvdx
k’	г» , Z-X
р	2аласгх-\
Q = 2andcp \ 0 dx =---------------th (рА ),	(2.101)
о	И
Если бы ребро имело по всей поверхности постоянную избы-
точную температуру, соответствующую 01; то количество тепла,
отданное ребром в окружающую среду в единицу времени, вы-
ражалось бы в следующем виде:
Q = 2a01ndcpA'.	(2.102)
Отношение тепла, действительно рассеиваемого ребром, к теплу,
которое ребро могло бы рассеять, если бы разность температур
по всей высоте ребра была постоянна и соответствовала 0Ь на-
зывается коэффициентом эффективности ребра
ПР = (Ж.	(2.ЮЗ)
Подставляя в уравнение (2.103) значения Q и из уравнений
(2.101) и (2.102), получим
т1р = ^1-	(2-Ю4)
Графическое выражение функциональной зависимости коэф-
фициента эффективности ребра т]р от величины рА' приведено
на рис. 2.21. Кроме того, в табл. 2.1 приведены значения коэф-
фициента эффективности ребра т]р для различных ребер, причем
величина коэффициента теплоотдачи а принята одинаковой для
всех ребер и равной 125 Вт/(м2-К), что соответствует скорости
обтекающего поверхность потока воздуха 40 м/с.
Таблица 2.1. Значения т]р для ребер из различных материалов
Материал	h, мм	б, мм	|Л, М'1	h', м	ph'	ъ
Алюминий	25	2,3	22,8	0,0261	0,595	0,9
Сталь	16	0,8	83	0,0164	1,36	0,65
Медь	25,4	0,5	36,4	0,0256	0,93	0,75
47
С точки зрения теплоотдачи, приходящейся на единицу массы,
выгодно иметь большое число тонких и легких ребер. Это спра-
ведливо до тех пор, пока поток, обтекающий ребро, не начинает
искажаться под влиянием соседних ребер.
При конструировании оребрения основным вопросом является,
насколько близко можно располагать ребра друг к другу без
серьезного снижения их эффективности вследствие уменьшения
количества протекающего между ними воздуха.
2.11.	ТЕЛА СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
Мы рассмотрели задачи стационарной теплопровод-
ности для простейших тел. В случаях, когда форма тела не яв-
ляется столь простой, а условия на границе зависят от рассматри-
ваемой точки поверхности, задача существенно усложняется и
для ее решения часто требуется привлечение ЭВМ.
Однако в ряде случаев для приближенной оценки тепловых
потоков, передаваемых теплопроводностью в довольно сложных
телах, можно воспользоваться уже полученными в этой главе
результатами. Для этого представим выражения (2.23), (2.47),
(2.68) для стационарного теплового потока через плоскую ци-
линдрическую и сферическую стенки в единой форме:
Q = — &TFX,	(2.105)
где X — коэффициент теплопроводности материала; 6 — толщина
плоской, цилиндрической или сферической стенок; Fx — неко-
торая фиктивная расчетная теплоотдающая поверхность, вы-
ражение для которой во всех трех рассматриваемых случаях мы
и пытаемся здесь получить; ДТ = ТШ1 — Т'ш2.
Выражение (2.105) практически совпадает с формулой (2.23)
для плоской стенки. Следовательно, в этом случае Fx есть не
что иное, как площадь плоской стенки F, поток тепла через кото-
рую мы рассматриваем, и может быть описана так:
^хпл =-^ = -^4^,	(2.106)
где Д и 72 — площади более нагретой и более холодной поверх-
ностей. (Очевидно, что для плоской пластины Тт н Т2).
В случае цилиндрической трубы согласно выражению (2.47)
тепловой поток
Помножив числитель
— г1 = 6, а числитель
логарифма на 2л/, получим
_ X	2л/ (г2 — г,)	. ~  X 2п1гг — 2n/rt
г2 — r\ In [2л/г2/(2л/г1)]	~ 6 1п (2л/г2/(2л/г1)]
2ям /т,
1п (Г2/гг)
и знаменатель этого выражения на г2 —
и знаменатель выражения под знаком
48
Это выражение сводится к выражению (2.105), если положить
Р	2 л/г,	FFi	/п , Л7\
In i2jrZra/(2jT//-1)J —	и '
где Fi и Г2 — площади внутренней и наружной поверхностей
цилиндрической трубы.
Аналогично можно преобразовать выражение (2.68) для шаро-
вой стенки:
Проведя вычитание в знаменателе, после простых преобразо-
ваний получим
£ = ±ЕА^ДГ==лХ-^-ДГ.	(2.108)
Поскольку площадь сферы равна nd2, то диаметры dx и d2
можно выразить через площади внутренней Fr и внешней Г2
поверхностей шаровой стенки в виде
" ^“i/Яг-	<21м>
Подставляя выражение (2.109) в равенства (2.108), получим
=	]/ ДГ.
о V л2
Это выражение сводится к формуле (2.105), если положить
Гхшар = 1/ГЛ-	(2.И0)
Итак, мы получили выражения для площади фиктивной расчет-
ной поверхности Fx, которые позволяют рассчитывать тепловой
поток в рассмотренных трех случаях по единой формуле (2.105).
Преимущества такого подхода в случае пластины, цилиндра и
шара весьма относительны. Однако, пользуясь формулой (2.105)
и одним из выведенных выражений для Fx [(2.106), (2.107) или
(2.110)], можно приближенно рассчитать стационарный тепловой
поток в телах более сложной формы.
Так, по формулам (2.165) и (2.106) можно оценить Q для плиты,
представляющей собой усеченный конус или пирамиду, и вообще
для элемента пластины произвольной формы в плане со скошен-
ным срезом.
В совокупности с выражением (2.107) по формуле (2.105)
можно приближенно рассчитать тепловой поток через цилиндриче-
скую стенку некруглого сечения. Та же формула (1.105), но с Fx,
вычисленной по формуле (2.110), позволит оценить тепловой
поток через стенки замкнутой несферической оболочки, образо-
ванной, например, эллипсоидами вращения и т. п.
В ряде практических случаев температура на поверхности не
является постоянной, а следовательно, непостоянна и величина
температурного напора ДГ в формуле (2.105). При не слишком
49
больших изменениях температуры по поверхности можно вос-
пользоваться усредненными значениями температур поверх-
ностей:
Tw = 4- J TwdF.
F
Если же изменения невелики, то расчет теплового потока
следует вести по участкам, рассчитывая величину Q, на участке
А/д, где (Tw\_2 = const. Для получения суммарного потока
останется просуммировать локальные тепловые потоки по
всей поверхности рассматриваемого тела.
2.12.	ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ ОБЪЕМНОМ
ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ (qv =£ 0)
Как уже говорилось, в веществе наряду с процессом
теплопроводности может протекать выделение или поглощение
тепла, связанное с какими-либо физико-химическими явлениями:
конденсацией, джоулевым нагреванием, ядерными реакциями,
экзо- или эндотермическими химическими реакциями и т. п.
С позиции теплообмена такие явления могут быть охарактеризо-
ваны количеством тепла, выделяющегося или поглощающегося
в единице объема вещества в единицу времени qv. Эта характери-
стика носит название интенсивности объемного тепловыделения.
Рассмотрим простейшие задачи стационарной теплопровод-
ности при наличии объемного тепловыделения, полагая, что ве-
личина qv не зависит от времени и координат.
2.12.1.	Бесконечная плоская пластина
Основное дифференциальное уравнение теплопровод-
ности (2.15) для этой одномерной задачи будет иметь вид
а^ + л. = 0.
dx2 ср
Принимая во внимание, что а = X (ср), получим
4т- + -т1==0-	(2.111)
dx2 1 К	'
Перенося qv!\ в правую часть и считая qv = const, после пер-
вого интегрирования получим
4f=-JT'[ + c>'	<2-и2>
а после второго —
/(x) = -^g- + C1x + C2.	(2.113)
Выражение (2.113) является общим решением уравнения
(2.111). Постоянные интегрирования находятся из граничных
условий.
50
Рассмотрим вначале задачу с гра-
ничными условиями 3-го рода. Пусть
слева пластина омывается средой с тем-
пературой Тд и коэффициент теплоот-
дачи между пластиной и средой равен alt
те же параметры справа от пластины
обозначим через 7',2 и а2 соответственно
(рис. 2.22).
При интенсивном тепловыделении
внутри пластины тепло может отдавать-
ся в омывающие ее среды с обеих по-
верхностей, т. е. кривая распределения
температур по толщине пластины будет
иметь максимум. Пусть ось ординат
проходит через этот максимум на
расстоянии 62 от правой поверхности
Рис. 2.22. Схема распреде-
ления температур в пластине
при объемном тепловыделе-
нии
пластины. (Величину 62 мы определим позднее.) Тогда из равен-
ства нулю производной dTIdx при х — 0 (условие максимума)
следует, что Сх = О, и решение (2.113) примет следующий вид:
/(х) =
%*-
2х
с2.
(2.114)
Граничное условие 3-го рода на этой поверхности
а!(Т.1-Т„) = -Х^-|01,
после подстановки Tw2 и I из выражения (2.114) примет вид
Tf2}	(2.115)
\	/	\ Л /
или
„ {Г \ -
а2 I С2----------------------------1 /2 I —
Выражение (2.115) можно интерпретировать, исходя из физи-
ческого содержания рассматриваемой задачи. Поскольку пло-
скость х — 0 можно считать теплоизолированной [(d77d,r)x=o =
== 0 ], следовательно, q — |—X,	q = 0, т. е. все тепло, вы-
делившееся в пластине справа от этой плоскости в единицу вре-
мени, должно быть отведено в окружающую среду посредством
теплоотдачи с правой поверхности стенки. В противном случае
будет нарушено условие стационарности процесса, и температура
в стенке вследствие изменения ее теплосодержания будет изме-
няться. Величина qvb2 представляет собой количество тепла,
выделяющееся в единицу времени в объеме пластины с толщиной 62
и площадью, равной единице. Слева же в уравнении (2.115) стоит
51
выражение для потока теплоотдачи с единицы площади поверх-
ности пластины.
Аналогичные рассуждения для слоя пластины, расположенного
слева и имеющего толщину бх — 6 — 62, приводят к уравнению
I q,, (6 — 6,)2	\
“1	- 2Т ' - М =	- б2).	(2.116)
Из уравнений (2.115) и (2.116) константа С2 выражается сле-
дующим образом’:
~ + 7 >2’
ИЛИ
_ ?y(6-S2)	^(6 — 6^2
------------------------
Решая систему
(2.117)
+ V '' ' +
(2.117) относительно 62, получим
2Хаха2 ДТу -f- qv 6а2 (6ах -f- 2Х)
Ч 13а1а2 +	+ М ’
(2.118)
б2 =
где Д7’/ = Tfl — Tfi.
Этим выражением определяется положение максимума кри-
вой распределения температуры по толщине пластины. Постоян-
ную С2 в решении (2.114) найдем подстановкой выражения (2.118)
в любое из уравнений системы (2,117).
Решение задачи принимает особо простой вид в случае сим-
метричного теплосъема с пластины, т. е. когда а.г = а2 = а
и Tfl = Тf2 = Тf. Очевидно, да и из выражения (2.118) следует,
что 62 = 6/2, т. е. максимальная температура достигается в пло-
скости симметрии пластины.
Тогда из формулы (2.117) находим
С — I	J- Г 
°2 2а 8%	7 /’
(2.119)
Из решения (2.119) видно, что распределение температуры
имеет вид квадратичной параболы, а максимальная температура
Tmsx - Т U=o =	+ -|г + Tf (2.120)
при постоянных qv и 6 будет тем больше, чем меньше теплопровод-
ность пластины X и чем хуже теплоотдача с ее поверхности, т. е.
чем меньше а.
Температура на поверхности пластины (х = 6/2), равная
=	+	(2.121)
также растет с ухудшением теплоотдачи.
52
Решение задачи с граничными условиями 1-го рода легко по-
лучить, определив 62 и постоянную С2 из решения системы

(2.122)
являющейся математической записью граничных условий.
Максимум температуры будет располагаться на расстоянии 6.2
от правой поверхности стенки, причем
X ® (л	(су 1
<2-123>
где ДТ = TW1 — Twi.
Решение же задачи примет такой вид:.
r«-r.. + -g-[[4(i	(2'124>
При очень больших значениях коэффициента теплоотдачи
граничные условия 3-го рода переходят в граничные условия
1-го рода с Tw — Tf. Это позволяет получить формулы распреде-
ления температур и максимальной температуры при симметрич-
ном теплосъеме и граничных условиях 1-го рода (Та1 = Тт =
= Tw) из выражений (2.119) и (2.120), считая а -> оо.
Тогда
^И = 1г[(т)2-х2] + т» (2-125)
и
Tmax = -^-+7’IB.	(2.126)
ОД
2.12.2.	Бесконечный цилиндр
теплопроводности при
одномерной стационар-
координатах [см. выра-
Дифференциальное уравнение
наличии объемного тепловыделения для
ной задачи запишется в цилиндрических
жение (2.17)] в виде
-^+4-4-+дН°-	(2-127)
Заменяя dTldr на и и умножая все члены на г, получим
г 4^-+ «+-?- = О-	(2.128)
Для первых членов этого уравнения можно представить как
d (ru) du ,
производную от произведения ги:	= г -&• + и, а урав-
нение (2.128) переписать в виде:	=----
иг	А
53
Qvr
Интегрируя по г, найдем ги =-----—И Ci, откуда обратной
заменой и на dT/dr получим
АТ —	। _£i_	/о 1291
dr 2% + г •	(2.12У)
Общее решение задачи найдем повторным интегрированием:
T(r) =-^ + С11пг + С2.	(2.130)
Из осевой симметрии задачи (дТ/дг)г=о = 0, следовательно
Сх =- 0.
В задаче с граничными условиями 3-го рода постоянная С2
найдется из уравнения
а[7’(А-)-7'/] = -^4Н=д’	(2Л31)
где R — наружный радиус цилиндра; Tf и а — заданные значе-
ния температуры окружающей среды и коэффициента тепло-
отдачи.
Подставим в выражение (2.131) значения Т (R) и R из
равенств (2.129) и (2.130): а(сг--^- -Tf} = —% (— —-]
Т0ГМС!^+^+;
Таким образом, распределение температуры по радиусу ци-
линдра выразится формулой
Т(г) = -^(/?2-га) + -^+Л.	(2.132)
Максимальная температура (на оси стержня) будет равна
q,,R2 q,,R
Tmax = 7'|г=0 = ^г-+^- + Л,	(2.133)
а температура на поверхности
Tw = T(R) =	+	(2.134)
Решение для случая граничных условий 1-го рода получим из
формулы (2.132), положив d -> оо (Tw — Tj).
2.13.	ПЛОСКАЯ СТЕНКА С ПЕРЕМЕННЫМ
КОЭФФИЦИЕНТОМ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
При значительных изменениях температуры твердых
тел необходимо учитывать зависимость коэффициента теплопровод-
ности к от температуры X = X (Т).
Основное дифференциальное уравнение теплопроводности для
плоской стенки в этом случае будет иметь вид
(2.135)
dx \ dx )	'
54
Это уравнение решается с граничными условиями 1-го рода:
при х = О Т = TWl; при х — 6 Т — TWt.
Введем новую переменную Ф, заданную уравнением
(2.136)
Тогда уравнение теплопроводности (2.135) примет вид
32Ф
dx2
(2.137)
Уравнение (2.137) решается с граничными условиями:
при х = О Ф — Фх;
при х = 6 Ф = Ф2.	(2.138)
Проинтегрируем уравнение (2.137) два раза:
Ф = Схх+С2.	(2.140)
Для определения констант Сх и С2 воспользуемся граничными
условиями (2.138):
Сх = Фг~Ф1 ;	(2.141)
С2=Фг.	(2.142)
Удельный тепловой поток (плотность потока) определяется
законом Фурье
которое с учетом (2.136), (2.139) и (2.141) примет вид
<7 = -^ = -^ = ^^-.	(2.143)
Для определения разности (Фх — Ф2) уравнение (2.136) про-
интегрируем в пределах х от 0 до 6:
откуда
ф2 — фг = | UT.
(2.144)
(2.145)
Подставляем выражение (2.145) в формулу (2.143), имеем
т
<7 = 4-	(2-146)
о J
Т
1 Ш2
55
Преобразуем выражение (2.146):
/	W1	\
Q = -у I "у у I dT (Тш1 — Т’ая)-
V 1 I Ш1 J W?2 J	I
\	т /
\	J
Обозначив
-я—% dT,
* ml 1 ц>2 t)
Т
1 ш2
окончательно получим
XCD
Я = ~^(TW1 - Тша),
(2.147)
(2.148)
которая совпадает по форме с соотношением (2.26), полученным
для плоской стенки в случае X = const. Из этого результата
следует важный вывод: полученные формулы расчета теплопро-
водности при постоянном X могут быть распространены и на
случаи, когда X = X (Т), если в эти соотношения подставить
среднее значение коэффициента теплопроводности Хор, опреде-
ленное по формуле (2.147).
На рис. 2.23 показано распределение температуры в плоской
стенке при различных зависимостях X = X (Т).
Распределение температуры при X = const дано на графике
(см. рис. 2.23, поз. 1).
Рассмотрим теперь случай, когда коэффициент теплопровод-
ности Ъ растет с увеличением температуры. Так как в нашем слу-
чае TW1 > Tw2, то при увеличении координаты х от 0 до б тем-
пература падает, а, следовательно, увеличивается X. Плотность
теплового потока q постоянна по длине пластины, т. е.
X -г- = const или
, I dT I ,
Л —Г— = const.
I dx I
О
56
при уменьшении X должна увеличиваться по
dT
модулю производная -уу, т. е. расти кру-
тизна кривой Т (х) (см. рис. 2.23,
поз. 2).
В случае, когда X уменьшается с ро-
- стом Т, распределение температуры в пло-
ской стенке описывается кривой (см. рис. 2.23,
поз. 3).
Рис. 2.23. Температурное поле в пластине при
переменном коэффициенте теплопроводности (X =
=а+ ЬТУ.
J X 1 — b — 0; 2 — b > 0; 3 — b < О
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	В чем существо основного закона теплопроводности? Объясните наличие
отрицательного знака в уравнении Фурье.
2.	Напишите основное дифференциальное уравнение теплопроводности.
Что означает стационарный тепловой режим?
3.	Что характеризуют коэффициенты теплопроводности А, и температуропро-
водности al
4.	Какие существуют условия одиозиачиости? Дайте определение граничных
условий 1-го, 2-го и 3-го родов.
5.	Объясните, почему при стационарном режиме функции температурного
поля в плоских однородных стейках представляются линейным законом.
6.	Каков математический закон температурного поля при стационарном
режиме в цилиндрической, шаровой стенках и в стержне бесконечной длины?
7.	Что понимается под коэффициентом эффективности ребра?
8.	Как влияет объемное тепловыделение на распределения температуры
в плоской стенке и в цилиндре бесконечной длины?
9.	Как изменяется распределение температуры в бесконечной плоской стенке
при изменении коэффициента теплопроводности с температурой?
ГЛАВА HI
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ПРОЦЕССОВ ТЕПЛО- И МАССООБМЕНА
3.1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Понятие конвективного теплообмена (теплоотдачи кон-
векцией) охватывает процесс теплообмена, обусловленный совмест-
ным действием конвективного и молекулярного переноса тепла.
Под конвективным переносом понимается процесс переноса тепла
при-перемещении макрочастиц жидкости или газа в пространстве
из области с одной температурой в область с другой. Конвекция
возможна только при движении среды; перенос тепла конвекцией
связан с переносом вещества. Под молекулярным переносом
(теплопроводностью) понимается процесс переноса тепла посред-
ством теплового движения микрочастиц в среде с неоднородным
распределением температуры. Конвекция тепла всегда сопрово-
ждается теплопроводностью, так как при движении жидкости или
газа неизбежно соприкосновение отдельных частиц, имеющих
различные температуры.
Обычно в инженерных расчетах определяют конвективный
теплообмен между потоком жидкости или газа и поверхностью
твердого тела, называемый конвективной теплоотдачей или просто
теплоотдачей.
При практических расчетах теплоотдачи используют закон
Ньютона-Рихмана
Q = a (Tw - Tf) F.	(3.1)
Согласно этому закону тепловой поток Q (количество тепла,
проходящее в единицу времени через произвольную поверхность
от жидкости к стенке или от стенки к жидкости) пропорционален
поверхности теплообмена F и разности температур поверхности
тела Tw и окружающей тело жидкой или газообразной среды Tf.
Разность температур ДТ = Tw—Tf называется температурным
напором. Коэффициент пропорциональности а, учитывающий
конкретные условия теплообмена, называется коэффициентом
теплоотдачи.
В общем случае коэффициент теплоотдачи переменен по по-
верхности и его можно определить как
“ = (Тш -Tf) dF = Tw-Tf 	(3•2)
Таким образом, коэффициент теплоотдачи есть плотность тепло-
вого потока q (тепловой поток, отнесенный к единице площади
58
поверхности) на поверхности тела, отнесенная к разности тем-
ператур поверхности тела и окружающей среды.
Теплоотдача является достаточно сложным процессом. В наи-
более общем случае коэффициент теплоотдачи является функцией
формы и размеров тела, режима движения, скорости и темпера-
туры жидкости, физических параметров жидкости (коэффициента
теплопроводности теплоемкости ср, плотности р, температуро-
проводности а, коэффициента динамической вязкости р, темпе-
ратурного коэффициента объемного расширения р) и других
величин.
Величины %, р, ср, а уже использовались при рассмотрении
теплопроводности. Коэффициент динамической вязкости численно
равен касательному напряжению т в жидкости в плоскости, ори-
ентированной по течению, при градиенте скорости в направлении
нормали к направлению движения du/dn, равном единице, т. е.
ц =	 Наряду с коэффициентом динамической вязкости ц
часто используется коэффициент кинематической вязкости v = ц/р.
Коэффициенты (1 и v существенно зависят от температуры.
У капельных жидкостей вязкость почти не зависит от давления
и значительно уменьшается при повышении температуры. У га-
зов (1 увеличивается с ростом температуры и практически не за-
висит от давления (например при увеличении давления от 0,1
до 10 МПа ц возрастает на 10%). Коэффициент кинематической
вязкости обратно пропорционален плотности газа и поэтому
сильнее чем ц возрастает с ростом температуры и обратно про-
порционален давлению.
Тепловое расширение жидкости характеризуется температур-
ным коэффициентом объемного расширения р = (ди/дТ)р,
равным относительному изменению удельного объема v — 1/р при
увеличении температуры на один градус и постоянном давлении.
Для капельных жидкостей коэффициент р сравнительно мал и
положителен (исключение составляет вода при t < 4 °C, когда
Р < 0). Для идеального газа р = МТ.
Процесс конвективного теплообмена зависит от природы воз-
никновения движения жидкости. Различают вынужденную и
естественную (свободную) конвекцию.
В первом случае жидкость или газ движутся за счет внешних
поверхностных сил, приложенных на границе системы, или одно-
родного поля массовых сил, приложенных к жидкости внутри
системы, или за счет кинетической энергии, сообщенной жидкости
или газу вне системы.
Во втором случае движение жидкости обусловливается дей-
ствием неоднородного поля массовых сил, приложенных к части-
цам жидкости внутри системы и обусловленных внешними по-
лями (гравитационным, магнитным, электрическим). Например,
свободное гравитационное движение обусловливается действием
59
гравитационного поля в системе с неоднородным распределением
плотности жидкости. Неоднородность плотности жидкости вы-
звана неоднородным распределением температуры.
Вынужденное движение в общем случае может сопровождаться
свободным движением. Относительное влияние свободного дви-
жения тем больше, чем больше разница температур отдельных
частиц жидкости и чем меньше скорость вынужденного движения.
При больших скоростях вынужденного движения влияние сво-
бодной конвекции становится пренебрежимо малым.
Главная трудность в использовании основного закона тепло-
отдачи заключается в определении коэффициента теплоотдачи.
Практически изучение процесса теплоотдачи сводится к опреде-
лению зависимости коэффициента теплоотдачи от различных
факторов.
Существенное влияние на процесс конвективного теплообмена
оказывает характер движения жидкости, так как им определяется
механизм переноса тепла. При ламинарном режиме течения ча-
стицы жидкости движутся не перемешиваясь, и перенос тепла
по нормали к направлению движения осуществляется путем
теплопроводности. При турбулентном режиме течения частицы
жидкости движутся неупорядоченно, хаотически, направление
и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются,
а перенос тепла по нормали к направлению осредненного движе-
ния осуществляется как теплопроводностью, так и за счет пуль-
саций (конвекции), при этом пульсационный перенос может во
много раз превышать передачу тепла теплопроводностью.
Форма и размеры поверхности теплообмена существенно влияют
на теплоотдачу. В природе имеется большое многообразие по-
верхностей теплообмена. Даже из тел простейшей формы, на-
пример плиты и трубы, можно составить множество теплоотдаю-
щих поверхностей. Например, плита может быть с одной или двумя
теплоотдающими поверхностями, может располагаться верти-
кально, горизонтально или наклонно. Из труб можно собрать
различные теплоотдающие пучки, обтекание труб снаружи может
быть продольным, поперечным и т. д. Каждая такая поверхность
создает специфические условия движения и теплоотдачи.
3.2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КРАЕВЫЕ
УСЛОВИЯ ДЛЯ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
При изучении процессов теплообмена применяется
главным образом феноменологический метод исследования, кото-
рый заключается в следующем. Теплоноситель рассматривается
как сплошная среда. Его молекулярная структура не рассма-
тривается, а микроскопический механизм переноса тепла учи-
тывается посредством параметров, характеризующих физические
свойства вещества (коэффициентами вязкости ц, теплопровод-
ностью X, плотностью р, теплоемкостью ср). Эти свойства счи-
60
таются заданными величинами. Для составления математического
описания процессов теплообмена используются: первый закон
термодинамики, закон сохранения вещества и закон сохранения
количества движения. Для составления замкнутой системы диф-
ференциальных уравнений используются гипотезы Био—Фурье
(о пропорциональности вектора плотности теплового потока за
счет теплопроводности вектору градиента температуры) и Нью-
тона (о пропорциональности касательного напряжения трения
между двумя слоями движущейся вязкой жидкости и градиента
скорости по нормали к направлению движения).
При феноменологическом методе исследования процесс пере-
дачи тепла будет однозначно определяться полями скорости и,
давления р, температуры Т в зависимости от координат х, у, г
и времени т. Для стационарного процесса v, р, Т зависят только
от х, у, z.
Для определения 5 неизвестных (трех компонент вектора ско-
рости v, р, Т) необходимо иметь 5 уравнений. Эти уравнения полу-
чают из основных законов физики (законов сохранения массы,
количества движения и энергии) с использованием закона вяз-
кого трения Ньютона и закона теплопроводности Био—Фурье.
Найденные таким образом уравнения называются уравнениями
неразрывности, движения и энергии, и эти уравнения в сочетании
с зависимостями теплофизических свойств жидкости от темпера-
туры и давления, геометрическими условиями, граничными и
начальными условиями составляют замкнутую систему уравне-
ний, описывающую процесс конвективного теплообмена и дви-
жения жидкости.
Вывод уравнений неразрывности и движения можно найти
в курсах по механике жидкости и газа. Для однофазной химически
однородной изотропной несжимаемой жидкости эти уравнения
имеют следующий вид.
Уравнение энергии
Г дТ	,	дТ	.	дТ	. дТ П	д	(.	3 \	,
OCD ”3---Г'	“5—	“1“	Т-Ь ® ~~а— '	~ “а—	I А.	“а— )	+
р |_ дт	1	дх	' ду	' дг j	дх	\	дх /	'
+ V (Л 4г) + it (х 4г) +	(3-3)
где и, v, w — проекции скорости на оси х, у, z; qa — плотность
внутренних источников тепловыделения; Ф — функция рассея-
ния (диссипации) механической энергии потока:
, / ди	dw V / dv . dw \2 ]
\ дг	дх ) ' \ дг ' ду J j'
61
Уравнение движения в проекциях на оси х, у, z (уравнения
Навье—Стокса):
+ 4’M't+Tr)];
I ±Г„	+	+ ЛГ„
дх L^V дх dz J J ‘ ду L^V ду дг J j'
+	(3.4)
где gx, gy, gz — проекции вектора ускорения свободного падения.
Уравнение неразрывности
-С div (ри) = 0.	(3.5)
К этим уравнениям добавляется уравнение состояния
Р = f (Р, Т)	(3.6)
и зависимости физических свойств жидкостей от температуры
и давления
ср = ср (р, Т);	(р, ту, ц = Р (р, ту (3.7)
Для однофазных жидкостей ср, X, ц практически не зависят
от давления. Уравнения (3.3) ... (3.5) получены для несжимаемой
жидкости. Однако они с достаточной точностью справедливы и
для течения сжимаемых жидкостей (например газов), если ско-
рость их течения значительно меньше звуковой.
Для решения уравнений (3.3) ... (3.5) необходимо задать
краевые условия, к которым относятся:
1)	геометрические условия, характеризующие форму и размер
тела, омываемого жидкостью;
2)	граничные условия, характеризующие распределение ско-
рости, давления, температуры на поверхности тела S и во вход-
ном и выходном сечениях канала. При феноменологическом описа-
нии процессов теплообмена скорость на поверхности тела S при-
62
нимается равной нулю (принимается, что жидкость прилипает
к поверхности), т. е.
v (S) = 0.	(3.8)
При течении жидкости в каналах граничные условия для тем-
пературного поля могут быть заданы в виде изменения темпе-
ратуры на поверхности тела (граничные условия 1-го рода):
Т = Т (S, т),	(3.9)
или в виде изменения плотности теплового потока (граничные
условия 2-го рода):
<7 = 7(5, т);	(З.Ю)
3)	начальные условия, характеризующие распределение ско-
рости и температуры в начальный момент времени при т = 0:
и = и (х, у, z, 0); Т = Т (х, у, г, 0); р = р (х, у, г, 0). (3.11)
Для стационарного процесса граничные условия по времени не
изменяются, а начальные условия не нужны.
Для ламинарного течения система уравнений (3.3) ... (3.5)
с учетом (3.6) ... (3.11) является замкнутой. В общем случае
получить аналитическое решение не удается, поэтому задача
решается численно и возможности ее решения определяются
возможностями современных вычислительных машин. Для тур-
булентного течения рассматриваемая система уравнений не-
замкнута, так как для мгновенных значений параметров задача
является нестационарной и имеющихся представлений о турбу-
лентном течении недостаточно для задания начальных условий
(3.11).
Для определения коэффициента теплоотдачи при решении дан-
ной системы уравнений используется закон (2.3)
q = _X (дТ/дп)г,	(3.12)
так как у поверхности твердого тела имеется слой неподвижной
жидкости и тепло переносится только за счет теплопроводности.
(Здесь п — нормаль к поверхности тела; индекс «з» означает,
что производная берется на поверхности тела.)
Приравнивая величины плотности теплового потока, полу-
ченные по выражениям (3.2) и (3.17), получим
а = —- „ Х т (дТ/дп)8.	(3.13)
Уравнение (3.13) называется дифференциальным уравнением теп-
лообмена, оно описывает процесс теплообмена на границах тела S.
8.3. ПОДОБИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Конвективный теплообмен представляет собой весьма
сложный физический процесс, описываемый системой дифферен-
циальных уравнений и условиями однозначности. Решение этих
63
уравнений встречает серьезные затруднения. Поэтому большое
значение приобретают экспериментальные исследования конвек-
тивного теплообмена.
Экспериментальные исследования ведутся, как правило, на
моделях. При постановке эксперимента необходимо выбрать
параметры исследуемой модели, определить измеряемые величины
и методику их обработки. Естественно, что исследователь должен
знать, как перенести полученные с помощью модели данные на
другие аналогичные натурные процессы. На все эти вопросы дает
ответы теория подобия.
При исследовании сложных процессов теория подобия позво-
ляет объединить размерные физические величины в безразмерные
комплексы, число которых меньше, чем число размерных величин.
При этом сокращается число величин, от которых зависит искомое
значение коэффициента теплоотдачи, что упрощает эксперимент.
Безразмерные переменные отражают влияние на теплообмен
совокупности параметров, что облегчает обнаружение физических
закономерностей.
Необходимо отметить, что теория подобия дает возможность
определить только общий вид искомой функции и не позволяет
найти ее конкретный вид. Тем не менее, теория подобия необ-
ходима как для экспериментальных, так и теоретических исследо-
ваний для анализа процесса и обобщения полученных данных.
Кратко остановимся на самом понятии подобия. Обязатель-
ной предпосылкой подобия физических процессов является гео-
метрическое подобие. Геометрически подобны фигуры, имеющие
одинаковую форму и пропорциональны? сходственные линейные
размеры. Например, два треугольника со сторонами соответ-
ственно /2, 1з и 1\, 1г, Г3 будут подобны, если 1{/Ц = /2//2 =
= tylz = С, где С — константа подобия (в данном случае гео-
метрического).
Понятие подобия можно распространить на любое физическое
явление. Оно применимо только к явлениям одного и того же рода,
которые качественно одинаковы и описываются одинаковыми урав-
нениями как по форме, так и по содержанию. При этом можно со-
поставлять только однородные величины (т. е. величины, имеющие
одинаковую размерность и один и тот же физический смысл)
в сходственных точках пространства и сходственные моменты
времени. Подобие двух физических явлений означает подобие
всех величин, характеризующих рассматриваемое явление. Это
значит, что в сходственных точках пространства и в сходственные
моменты времени любая величина <р первого явления пропорцио-
нальна однородной величине <р' второго явления, т. е. <р' = С^ф,
где константа подобия Сф не зависит от координат и времени.
Для подобия процессов необходимо подобие полей всех суще-
ственных для них величин.
Для теплового подобия двух процессов необходимо, чтобы
они протекали в геометрически подобных системах и чтобы во всех
64
точках системы и во все моменты времени были подобны поля всех
величин, характеризующих эти процессы, т. е. поля температур,
скоростей, давлений, плотностей, физических свойств и др.:
Т'/Т = Ст\ и /и = v’/v == w’/w Cw\ pip =- Ср, р'/р = Ср\
р'/н = С^; Х'/Х = Ск ит. и. При этом каждая физическая ве-
личина может иметь свою константу подобия С, численно отлич-
ную от других, т. е. в общем случае Ст С.Х( =/= Ср =/= Ср =/=
¥= Ср. =/= Ск.
Однако, поскольку сами физические величины связаны между
собой, что видно из дифференциальных уравнений (3.3) ... (3.5),
то и константы подобия связаны между собой.
Для практического использования теории подобия необходимо
знать, как привести уравнения рассматриваемых процессов к без-
размерному виду. Это можно сделать различными способами.
В следующем разделе дифференциальные уравнения конвектив-
ного теплообмена и условие однозначности будут приведены к без-
размерному виду методом масштабных преобразований.
3.4. АНАЛИЗ ПОСТАНОВКИ ЗАДАЧИ
КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА МЕТОДОМ ПОДОБИЯ
Проанализируем задачу конвективного теплообмена
с целью приведения дифференциальных уравнений процесса и
условий однозначности к безразмерному виду. Рассмотрим с по-
мощью метода подобия задачу о движении и теплообмене несжи-
маемой жидкости у поверхности твердого тела, скорость жидкости
вдали от тела постоянна и равна и0. Длина тела /0 и другие раз-
меры заданы. В момент времени, предшествующий начальному
(т < 0), температуры жидкости и стенки одинаковы и равны То,
т. е. теплообмен отсутствует и имеет место изотермическое тече-
ние. В начальный момент времени (т = 0) температура стенки или
плотность теплового потока на стенке мгновенно изменяется и
принимает постоянное во времени и по поверхности значение Tw
или qw. При этих условиях на поверхности тела в течение не-
которого времени будет протекать нестационарный процесс тепло-
обмена, а затем наступит стационарное состояние.
Будем считать физические свойства жидкости (кроме плот-
ности) постоянными. Зависимость плотности р от Т будем учиты-
вать лишь в члене уравнения движения, выражающем архиме-
дову силу. Примем эту зависимость линейной
р/Ро = 1 — 0 (Т — То),	(3.14)
где р0 — плотность при температуре То; ₽ = —	~
=----i- — температурный коэффициент объемного рас-
ширения.
В других членах уравнения движения и в уравнениях энергии
и неразрывности плотность будем считать постоянной.
3 Авдуевский	65
Рис. 3.1. Схема задачи конвективного теп-
лообмена (6д и 6Т — толщины динамиче-
ского и теплового пограничных слоев)
Полагая, что в потоке отсут-
ствуют внутренние источники тепла
и диссипация энергии пренебрежимо
мала, примем в уравнении (3.3)
qv = 0 и рФ = 0.
Расположим оси координат так,
как показано на рис. 3.1. Примем,
что ось х направлена вдоль тела и
под углом ф к направлению ускоре-
ния свободного падения, ось у нор-
мальна к поверхности тела. При
этом gx = g cos -ф.
Движение жидкости и теплообмен в рассматриваемых усло-
виях описываются уравнениями (3.3) ... (3.5), (3.13). С учетом
сделанных допущений эту систему можно записать в векторной
форме:
~ + ugradT = aW;
Р ('S’ + ^gradu) = —^М^-^созф-^ + р V2u; (3.15)
\ U L	/	О Л
div v = 0
* W - 1 f
где v — вектор скорости; V2 — оператор Лапласа.
В системе (3.15) опущены уравнения для проекций скорости v
и w в целях сокращения записи. Первый член правой части урав-
нения движения характеризует подъемную силу, под действием
которой в поле силы тяжести нагретые частицы жидкости под-
нимаются вверх, а холодные опускаются вниз. Величина этой
силы, отнесенная к единице объема, равна g (р0 — р), где р0 и р —
плотности холодных и нагретых частиц жидкости.
Согласно выражению (3.14) р0 = р [1 + р (Т— То)] (ввиду
малости р (Т —• То) по сравнению с 1), следовательно, р0 — р =
= рР (71 — То) и подъемная сила принимает вид gpp (Т — То) —
= g'ppAT, где Д71 — разность температур, вследствие которой
возникает свободная конвекция. Соответственно составляющая
подъемной силы вдоль оси х равна црр (Т — Тп) cos ф. Знак минус
перед ней в уравнении движения учитывает то обстоятельство,
что при созф> 0 и Т > То подъемная сила направлена против
направления движения вдоль оси х.
66
Начальные условия можно записать так: при т < О, х О
и о у о оо
T~-=TU;	=	4-,	i — х, у, z, (3.16)
«О Ч I» ’ /о Ы ’ V / ’	7
где Ft — заданные функции.
Граничные условия принимают вид:
при т О 0, х < 0 (вдали от тела)
Т = То; и -- ы0; v = w = 0;
при т О, 0	/0, у — 0 (на поверхности тела)
T = TW или = и = v — w = 0.	(3.17)
"У
В уравнениях и условиях однозначности различают три вида
величин:
независимые переменные — координаты х, у, z и время т;
зависимые переменные — это а, Г, и, и, ш, р (они однозначно
определяются значениями независимых переменных, если за-
даны величины, входящие в условие однозначности);
постоянные величины — и,„ Та. Т„, 10, р, А, а, |3, р (они за-
даются условиями однозначности и для конкретной задачи яв-
ляются постоянными величинами, не зависящими от других
переменных).
Итак, искомые зависимые переменные а, Т, и, v, w, р зависят
от большого числа величин и являются функцией независимых
переменных и постоянных величин, входящих в условия одно-
значности. Величины, входящие в выражения (3.15) ... (3.17),
можно сгруппировать в безразмерные комплексы, причем их
число будет меньше числа размерных величин.
Рассмотрим сличай, когда задана температура стенки Tw.
Для приведения системы уравнений (3.15) и условий однознач-
ности (3.16) и (3.17) к безразмерному виду введем переменную
О — Т — То и выберем масштабы: для координат и линейных
размеров /0, для скоростей — t>0, для температур — vw —
= Tw — То. Используя эти масштабы, введем безразмерные
величины:
X = x/Z0; Y = y/l0; Z = z/l0;
U — п/п0; V = v/u0; W = w/u0;
е = «Я = (Д - TO)/(TW - То).	(3.18)
Подставим в выражения (3.15) ... (3.17) вместо размерных ве-
личин, для которых выбраны масштабы, произведения из без-
размерных величин на их масштабы:
х = 10Х; у — l0Y; z = l0Z;
и = u0U; v = w ==- u0W',
T = Tw + Q (Tw - To).
3*
67
Уравнения энергии, движения и теплообмена примут соот-
ветственно вид:
+ f (V grad 6) =
ри0 ~ 4-	(V grad U) = —cos ф —
____1 др _j_	Г727 J.
/0 дХ ~ I? уи>
a=--^-(dG/dY)y=0.
10
Умножив уравнение энергии на ll/a, уравнение движения на
/о/ц«0, уравнение теплообмена на /0Д и выполнив аналогичные
преобразования для уравнений неразрывности, начальных и гра-
ничных условий, получим математическое описание процесса
конвективного теплообмена в безразмерной форме:
-^- + Pe(V grad 0) = V20;
- z р^ре V + Re (R grad t/) = —	© cos ф - (Eu Re) + V2£7;
(3.19)
div V = 0; Nu = — (d@/dY)y=0.
При Fo < 0; X >0; 0 < Y < oo
0 = 0; Vt = Fi (X, Г, Z, Re); i = x, y, z.
ПриРо>0; X<0 0 = 0; U = 1;
v = w = 0.	(3.20)
При Fo 0; 0 < X < 1; Y = 0
0 = 1; и = V = W = 0.
Полученное безразмерное описание процесса конвективного тепло-
обмена содержит следующие безразмерные комплексы:
Fo =	— критерий Фурье;
*б
Ре =	----критерий Пекле;
Re =	— критерий Рейнольдса;
Gr -----з---критерии Грасгофа;
4
Еи = -Д;—критерий Эйлера;
Nu =	----критерий Нуссельта.
А
68
3.5. КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ И КРИТЕРИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
При приведении системы уравнений конвективного
теплообмена к безразмерному виду появляются безразмерные
комплексы, составленные из разнородных физических величин:
ах ий10 u9la	р
/§ ’ а ’ v ’ v2 ’ рй^ ’ X
Этим комплексам, называемым критериями подобия или числами
подобия, присвоены имена ученых, внесших значительный вклад
в развитие гидродинамики или теплопереноса.
Рассмотрим физический смысл полученных в разд. 3.4 крите-
риев подобия. Критерии Re, Ей называют критериями гидроди-
намического подобия; Nu, Ре, Fo, Gr — критериями теплового
подобия.
Критерий Рейнольдса
Re == Jfl’L’P.	(3.21)
характеризует соотношение сил инерции и сил вязкости в потоке
и получается, если член уравнения движения, учитывающий
инерционные силы, разделить на член, учитывающий силы трения:
и grad и _ u0/„ V grad U
vV2u — ~v	V2 U '
Критерий Рейнольдса является важной характеристикой про-
цессов течения жидкости. Сила вязкого трения упорядочивает
движение жидкости и противодействует возмущениям, которые
нарушают форму течения и усиливаются с ростом инерционных
сил. Таким образом, эти две силы оказывают на поток противо-
положное влияние. При преобладании сил трения движение
жидкости является ламинарным, при преобладании инерцион-
ных сил — турбулентным. Поэтому малым значениям критерия
Рейнольдса соответствует ламинарное течение, большим — тур-
булентное. С ростом Re устойчивость ламинарного течения умень-
шается и при некотором критическом значении числа Рейнольдса
ReKpl начинается появление турбулентных пульсаций. Турбу-
лентное течение становится устойчивым при ReKp2 > ReKpl.
Критерий Эйлера
Еи = -А-	(3-22>
представляет собой отношение статического давления к скорост-
ному напору (к силам инерции). Можно показать, что он связан
с критерием Маха М = и0/а, где а — скорость распространения
звука в среде. Для этого умножим числитель и знаменатель
в (3.22) на показатель адиабаты k и учтем, что а = V kRT. Получим
— pk — kpv — kRT — 1	И
~	~ ku% ” kul ~ W '	t
69
При малых дозвуковых скоростях (М < 0,7) статическое
давление изменяется мало и критерий Ей не влияет на теплооб-
мен. При движении потока с большими скоростями влияние Ей
или М на теплообмен существенно и его приходится учитывать.
В уравнение движения критерий Ен входит под знаком про-
изводной. Поэтому при течении несжимаемой жидкости суще-
ственно не само давление, а его изменение. При исследовании
течений в каналах критерий Эйлера представляют в виде
Еи=Л,	(3.24)
где Др — перепад статических давлений между двумя точками
системы.
В этом случае Ей представляет собой отношение перепада
статических давлений к скоростному напору и является опреде-
ляемым при исследовании гидравлических сопротивлений в ка-
налах.
Критерий Нуссельта
Nu - а/0/Х	(3.25)
характеризует теплообмен на границе стенка—жидкость и в за-
дачах конвективного теплообмена является обычно определяемой
величиной.
Если выразить Nu в виде Nu = (а \Т\ / ( AT -т-\ где А71 —
I \	Ч) /
температурный напор, то видно, что критерий Нуссельта есть
отношение величины плотностей тепловых потоков: переданного
в процессе теплоотдачи и прошедшего через слой толщиной I
вследствие теплопроводности. Можно также трактовать Nu =
= как отношение коэффициента теплоотдачи к термической
А/ч)
проводимости слоя жидкости толщиной /0.
Критерий Пекле
Ре = «0/0/а.	(3.26)
„	рс,мп АТ
Если его представить в виде -Ф-—-т™-, то видно, что он ха-
АI о А1
рактеризует отношение тепла, переданного конвекцией, к теплу,
переносимому теплопроводностью. Критерий Пекле был получен
из уравнения энергии при делении конвективного члена на член,
учитывающий перенос тепла теплопроводностью.
Критерий Фурье
• Fo = ат//2с	(3.27)
можно рассматривать как отношение времени протекания про-
цесса т ко времени перестройки температурного поля среды 1%/а,
прямо пропорциональному квадрату линейного размера системы
и обратно пропорциональному температуропроводности среды.
Критерий Фурье включают в число определяющих при исследо-
вании нестационарных процессов теплообмена.
70
Критерий Грасгофа
Gr - -	АП°
— V2 — V2
(3.28)
характеризует соотношение между подъемной силой, возникающей
в жидкости вследствие разности температур & (или АТ), и силой
вязкости. Обычно при рассмотрении теплообмена между стен-
кой и жидкостью в Gr входит разность температур стенки и жидко-
сти вдали от стенки АТ = Tw — Т f. Несмотря на то, что критерий
Gr характеризует действие подъемных сил, он считается крите-
рием теплового подобия, так как эти силы возникают вследствие
теплообмена.
Вышеуказанные критерии подобия получены для определен-
ных условий рассматриваемой задачи. При рассмотрении других
задач теплообмена возможно появление и других критериев
подобия.
Например, если в уравнении движения (3.4) рассматривать
не подъемные силы, а силы тяжести, то вместо Gr определяющим
будет критерий Фруда
Fr = ^/(g/o).	(3.29)
который можно рассматривать как меру отношения кинетической
энергии потока к работе сил тяжести.
Если в критерии Грасгофа заменить [}& = (р0 — р)/р0, где р и
р0 — плотности жидкости в двух различных точках, то получится
критерий Архимеда
Аг =^--2!LZX.	(3.30)
Его обычно используют при рассмотрении двухфазных сред,
например при свободном движении жидкости, в которой нахо-
дятся твердые частицы, пузыри или капли другой жидкости.
В этом случае р0 и р будут соответственно плотностями фаз.
Поскольку различие критериев Re и Ре проявляется только
в физических свойствах жидкости v и а, целесообразно выделить
эти свойства в отдельный критерий подобия. Новые безразмерные
величины могут быть получены комбинированием старых без-
размерных величин, однако при этом общее число переменных
не должно изменяться.
Критерий Пекле представим как произведение двух критериев
Ре-= Re Рг =.	(3.31)
Критерий Прандтля
Рг = v/a = цСр/Х	(3.32)
целиком составлен из физических параметров, поэтому и сам
является физическим параметром. Критерий Прандтля можно
рассматривать как меру подобия полей скоростей и температур.
71
При а = v (Рг = 1) и аналогичности условий однозначности
расчетные поля скоростей и температур в потоке будут подобными.
Для газов критерий Рг практически не зависит от темпера-
туры и давления и для данного газа является величиной постоян-
ной, определяемой числом атомов в молекуле газа. Для идеаль-
ных одно-, двух-, трех- и многоатомных (четырехатомных и бо-
лее) газов в соответствии с кинетической теорией величина Рг
равна соответственно 0,67; 0,72; 0,80; 1,00. Для реальных газов
действительные значения Рг несколько отличаются от указанных.
Для капельных жидкостей (вода, нефтепродукты, расплавы
солей) критерий Рг, как правило, лежит в пределах от ] до 150 ...
200 и сильно зависит от температуры (в основном из-за изме-
нения вязкости). При увеличении температуры Рг резко умень-
шается. Например, для воды на линии насыщения при изменении
температуры от 0 °C до 180 °C Рг уменьшается от 13,7 до 1. Неко-
торые жидкости (глицерин, вязкие масла) при низких температу-
рах имеют Рг, достигающий нескольких тысяч. Для жидкометал-
лических теплоносителей (натрий, калий, литий, ртуть) критерий
Рг изменяется в пределах 0,005 ... 0,05. Столь низкие значения Рг
объясняются их высокой теплопроводностью.
Произведение критериев Gr и Рг обозначают
Ra = Gr Рг = gfJ A77o/(va)	(3.33)
и называют критерием Рэлея.
Вернемся теперь к системе безразмерных уравнений конвек-
тивного теплообмена (3.19) и безразмерным условиям однознач-
ности (3.20). Входящие в (3.19) и (3.20) безразмерные величины
X, Y, Z, 0, U, V, W, Nu, Re, Ре, Fo, Eu, Gr можно рассматри-
вать как новые переменные. Их можно разделить на три группы:
1)	независимые переменные — X, Y, Z, Fo;
2)	постоянные величины, заданные условиями однозначно-
сти,— Ре, Re, Gr, а также Ей в виде (3.22) (обычно для задач
теплообмена при внешнем обтекании тел);
3)	зависимые переменные — Nu, 0, U, V, W, а также Ей
в виде (3.24) (для задач теплообмена в каналах). Поэтому из
(3.19) и (3.20) следует, что
Nu = Л	(X,	Y, Z, Fo, Re,	Рг, М,	Gr (ф);	(3.34)
0 = /2	(X,	У, Z, Fo, Re,	Рг, М,	Gr, ф);	(3.35)
Ей = /3	(X,	У, Z, Fo, Re,	Рг, М,	Gr, ф);	(3.36)
Ui = ft	(X,	У, Z, Fo, Re,	Рг, М,	Gr, ф).	(3.37)
В уравнении (3.36), применяемом для течения в каналах, Ей
определяется по (3.24) и характеризует гидравлические потери.
Уравнения вида (3.34) ... (3.37) называются критериальными
уравнениями.
72
Вместо критерия Ей в уравнения введен критерий М согласно
(2.23). Критерий Ре, представляющий собой произведение Re, Рг,
заменен в критериальных уравнениях на Рг, так как в уравнения
уже входит Re.
Критерии подобия можно разделить на определяющие и опре-
деляемые. Под определяющими понимаются критерии, которые
целиком составлены из независимых переменных или постоянных
величин, входящих в условия однозначности. Для рассматривае-
мого случая определяющими являются параметры X, Y, Z, Fo,
Re, Рг, М, Gr, if>. Под определяемыми понимают критерии, в ко-
торые входят искомые зависимые переменные; в рассматриваемом
случае неизвестными являются а, Т, и, v, w, р и поэтому опреде-
ляемыми критериями будут Nu, 0, U, V, W, Ей.
В зависимости от условий задачи одни и те же критерии могут
быть и определяемыми, и определяющими. Например, если для
канала задан перепад давлений, то критерий Ей будет опреде-
ляющим, а расход жидкости и скорость являются величинами не-
известными, и Re становится определяемым критерием. Крите-
рий Re также становится определяемым для задач свободной
конвекции.
Критерии подобия подразделяют на комплексы и симплексы.
Комплексы — это критерии, составленные из нескольких неод-
нородных величин (Re, Рг, Gr, Nu, Fo). Симплекс представляет
собой отношение двух однородных величин (например, X = Х//о;
Ux = и/и0). t
3.6.	ОПРЕДЕЛЯЮЩИЙ РАЗМЕР И ОПРЕДЕЛЯЮЩАЯ
ТЕМПЕРАТУРА
В критерии Gr, Re, Ре, Nu, Fo, Ra входит характер-
ный или определяющий размер /0. Обычно при течении жидкости
внутри трубы в качестве определяющего размера принимается
внутренний диаметр трубы d.
Для каналов некруглой формы в качестве определяющего
размера принимают эквивалентный диаметр канала, равный
d3 = 4F/(7,	(3.38)
где F — площадь поперечного сечения; U — полный омываемый
периметр.
Например, для плоского канала (рис. 3.2, а) эквивалентный
диаметр da = где b — ширина; h — высота канала. Если
b h (плоская щель), то d3 = 2h. Для кольцевого канала с вну-
тренним диаметром d± и наружным d2 эквивалентный диаметр
da = d2 — di (рис. 3.2, б). Для продольно омываемого пучка
труб, если считать, что число труб бесконечно, эквивалентный
диаметр равен dax = [1,102 (s/d)3 — 1 ] d для шахматного рас-
положения (рис. 3.2, в) и daoo = [1,273 (s/d)3 — lid для коридор-
73
S)	г)
Рис. 3.2. Схемы поперечных сечений различных каналов
ного расположения (рис. 3.2, г), где s/d — относительный шаг
размещения труб в пучке (s—шаг).
Иногда при расчете теплообмена на начальном участке канала
в качестве определяющего размера используют расстояние от
входа х. Это же расстояние берется в качестве определяющего
размера для внешнего обтекания тел. Часто для обозначения
используемого определяющего размера критерии подобия сна-
бжены соответствующими индексами. Например, Nu^ означает,
что в качестве определяющего размера в Nu используется экви-
валентный диаметр Rex означает, что Re определяется по х.
Для процессов теплообмена существенен не только определяю-
щий размер d, d-, или 10, но и некоторые другие характерные
размеры. Например, при движении жидкости в прямой гладкой
трубе нужно вводить в качестве дополнительного размера ее
длину I или расстояние от входа х (или в безразмерном виде L —
= l/d3 и X = x/da). Для каналов сложной формы при изменении
коэффициента теплоотдачи по периметру в ряде случаев вводятся
также безразмерные координаты Y = y/d3 и Z = z/d3 или без-
размерные параметры, характеризующие геометрию канала ...
Ln (например для продольно омываемых пучков труб в ка-
честве такого параметра используются относительные шаги труб
Li = Si/d, для кольцевых каналов — L = d2/d1).
Входящие в критерии подобия физические свойства жидкости
или газа р, ср, р, v, X, а, Р в общем случае зависят от температуры.
Поэтому вводится понятие определяющей температуры, т. е.
температуры, при которой определяются значения физических
свойств, входящих в критерии. При этом критерий снабжается
74
соответствующим индексом. Наиболее часто в качестве определяю-
щей принимают среднемассовую температуру потока в рассма-
триваемом сечении Tf и среднюю для канала в целом Т j, тогда
соответствующие критерии обозначают Niip Rep Ргу (в литера-
туре эту температуру обозначают также индексами: «ж» — жид-
кость, «г» — газ, «п» — поток). Иногда в качестве определяющей
используется температура стенки Tw, тогда соответственно кри-
терии обозначают Nu^,, Re^, Ргщ (в литературе эту температуру
обозначают также индексом «с» — стейка). При расчете свободной
конвекции обычно в качестве определяющей принимается полу-
сумма температур жидкости и стенки Tm = -j- (Tw + Тf) и со-
ответствующие критерии обозначают Num, Grm, Prm (иногда
эту температуру обозначают индексом «ср» — средний).
Так как введение одной определяющей температуры не может
в общем случае учесть влияние переменности свойств среды на
теплообмен, вводятся дополнительные безразмерные параметры
Pf/Pw, CpfjCpw, Pf/Pw, ^f/^w, составленные из физических свойств,
взятых при температурах Tw и Т f.
Для газов эти свойства зависят в основном от температуры,
и эти зависимости имеют вид
(3.39)
где пр, пе, пк, — постоянные, зависящие от природы газа и
интервала температур.
Отношение абсолютных температур стенки и потока принято
называть температурным фактором. В большинстве случаев пр ~
= —I. Поэтому в критериальные уравнения теплообмена для
газов при учете влияния переменности свойств достаточно ввести
безразмерные параметры Tw!Tf, пс, пк, пр, а для конкретного
газа — только TwITf. Таким образом, в отличие от (3.34) в общем
случаев критериальное уравнение для местной теплоотдачи имеет
следующий вид:
Nuz - / (Rep Prp М, Grp ф, Fop TJTf,
пс, пк, пр, X, Y, Z, ... Ln).	(3.40)
В случае турбулентного режима теплообмена, практически
наиболее интересного при обобщении опытных данных, успешно
используются безразмерные критерии подобия, включающие в себя
производные по времени от граничных условий (температуры
стенки, расхода теплоносителя и т. д.). При этом время (крите-
рий Fo) в уравнении (3.40) явно не входит. Данную ситуацию на-
зывают локально-временным подобием. Для стационарного тепло-
обмена и при изменении коэффициента теплоотдачи только вдоль
75
продольной координаты х (например для течения жидкости в круг-
лой трубе, для продольно омываемой пластины и при продольном
обтекании осесимметричного тела) зависимость (3.40) можно
упростить:
Nu/ = /(Re/, Pry, М, Gry, ф, TjTjt пс, пк, п^, X). (3.41)
Для конкретных газов эту зависимость можно выразить в виде:
Nu/ = f(Rey, Prz, М, Gr/; ф, Tw/Tf, X),	(3.42)
или с учетом, что Pry = const,
Nu/-/(Re/, М, Gry, ф, Tw/Tf, X).	(3.43)
Если влияние свободной конвекции слабое, что характерно
для турбулентного режима течения (для ламинарного режима
при небольших АТ и малых размеров каналов d), то критериаль-
ное уравнение примет вид
Nu/ = /(Re/, М, Tw/Tf, X).	(3.44)
Для малых скоростей течения газов (обычно для М 0,7)
влияние М на теплообмен несущественно, и тогда
Nu/ = /(Re/, Tw/Tf, X).	(3.45)
При свободной конвекции зависимость (3.43) упрощается и
принимает вид
Nu/ = /(Gr/, РгЛ Tw!Tf, X).	(3.46)
Во многих случаях свободной конвекции принятие в качестве
определяющей средней температуры пристеночного слоя Тт =
= -у- (Тш + Tf) позволяет исключить влияние температурного
фактора Tw/Tf, а принятие в качестве определяющего размера
продольной координаты х позволяет исключить влияние X,
т. е. критериальное уравнение примет вид
Num = /(GrmPrm).	(3.47)
Для капельных жидкостей с изменением температуры изме-
няются ср, р, X, и учесть влияние их изменения на теплообмен
можно с помощью отношения Ргу/Ргю. Поскольку сильнее всего
с изменением температуры у жидкостей меняется коэффициент
вязкости, иногда вместо РгДРГщ, в критериальное уравнение
вводится Р//Ры>. Скорости течения жидкостей обычно намного
меньше, чем газов, и М на теплообмен не влияет. Таким образом,
критериальное уравнение при стационарном теплообмене для
жидкостей примет вид
Nu, = f (Rey, РГ/, Gt/,' ф,	-	(3-48)
а при слабом влиянии свободной конвекции
Nu^/fRe,, РгЛ X).	.	(3.49)
76
От аналогичных критериев в соответствующих условиях зави-
сят профили скорости и, v, w и профили температуры 0, а также
критерий Ей.
3.7.	УСЛОВИЯ ПОДОБИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
Уравнения типа (3.40) ... (3.49) так же, как исходная
система размерных уравнений (3.3) ... (3.5), описывают бесконеч-
ное множество конкретных процессов конвективного теплообмена.
Уравнения будут справедливы для любого процесса теплоотдачи
между стенкой и жидкостью, удовлетворяющего принятым при
выводе уравнения допущениям. Таким образом, эти уравнения
описывают совокупность физических процессов, характеризую-
щихся одинаковым механизмом. Различие отдельных физических
процессов определяется с помощью условий однозначности, кото-
рые могут иметь различные численные значения.
Сформулированные ниже условия являются определением
подобия физических процессов:
1)	подобные процессы должны быть качественно одинако-
выми, т. е. они должны иметь одинаковую физическую природу
и описываться одинаковыми по форме дифференциальными урав-
нениями;
2)	условия однозначности подобных процессов должны быть
одинаковыми во всем, кроме численных значений постоянных,
содержащихся в этих условиях;
3)	одноименные определяющие критерии подобных процессов
должны иметь одинаковую численную величину.
Из первого и второго условий следует, что подобные процессы
должны описываться одинаковыми (тождественными) безразмер-
ными дифференциальными уравнениями и безразмерными гра-
ничными условиями. В безразмерной форме математическая фор-
мулировка рассматриваемых подобных процессов одна и та же.
Следовательно, подобные процессы описываются единой формулой
типа (3.40) ... (3.49), функция f будет одной и той же для всех
подобных процессов.
При соблюдении первых двух условий подобия исследуемые
процессы будут зависеть от одних и тех же критериев. При соблю-
дении третьего условия, поскольку функции / одинаковы, опре-
деляемые одноименные критерии будут иметь одинаковую числен-
ную величину.
Зависимости (3.40) ... (3.49) получают обычно эмпирическим
путем, и поэтому они применимы лишь в пределах изменения
аргументов, которые подтверждены опытом.
3.8.	МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование — метод экспериментального исследо-
вания процесса на модели вместо изучения натурного явления.
Очевидно, что процесс должен быть осуществлен таким образом,
77
чтобы результаты его изучения можно было обоснованно пере-
нести на натурный образец.
Этот метод применяется в тех случаях, когда трудно или не-
возможно изучить натурное явление па натурном объекте, напри-
мер из-за недопустимой длительности, высокой стоимости или
невозможности провести в натурных условиях необходимые изме-
рения. В авиационной и ракетно-космической технике задачи
создания теплонапряженных узлов и объектов, как правило,
решаются с широким проведением моделирования. Хорошим
примером может служить создание тепловой защиты для косми-
ческих летательных аппаратов с целью их возвращения па Землю.
Условия моделирования определяются теорией подобия.
Исходя из изложенных выше условий подобия физических
процессов, при моделировании прежде всего необходимо осуще-
ствить геометрическое подобие модели и натуры. Соблюдение
подобия условий однозначности требует подобия теплофизиче-
ских свойств жидкости и подобия процессов на границах иссле-
дуемой системы. Первое требование особенно сложно соблюсти,
если физические параметры переменны и эта переменность про-
является в исследуемом процессе (например в условиях неизо-
термичности потока, характерном для конвективного теплообмена,
если такие существенные для теплообмена свойства, как вязкость,
плотность, теплопроводность, теплоемкость, зависят от темпе-
ратуры). Как правило, это существенно ограничивает возможности
моделирования на отличных от натурных теплоносителях (на-
пример возможности замены газа капельной жидкостью). Второе
требование обычно обеспечивается соблюдением подобия тем-
пературных и скоростных полей на входе жидкости в исследуемый
объект и подобия полей температур или тепловых потоков на
поверхности тел, участвующих в теплообмене.
Для подобия процессов в натуре и модели необходимо, кроме
того, равенство одноименных определяющих критериев подобия.
Например, если рассматривается процесс теплообмена при ста-
ционарной свободной конвекции, то согласно (3.46) или (3.47)
необходимо равенство критериев Грасгофа и Прандтля:
GrM = GrH; PrM = PrH,	(3.50)
(где индекс «м» относится к модели, «н» — к натурному объекту),
или
£мРм АГм4 _ gHP„ АГДн . Ум	ун
V2	V2	ам	ан
м	н
Как известно, для освоения Луны необходимо создание герме-
тичных лунных модулей, внутри которых необходимо создание
комфортных условий для человека. Эти модули должны оснащаться
системами жизнеобеспечения (кондиционирования, отопления,
вентиляции и др.), а для выбора их параметров необходимо изу-
чение процессов теплообмена внутри замкнутых помещений лун-
78
ных модулей. Эти процессы должны быть предварительно изучены
на Земле. Поскольку они в основном определяются свободной кон-
векцией, необходимо при моделировании соблюдение условий
(3.50). Если в процессе моделирования соблюсти равенство полей
температур (АТМ АТН) и физические свойства жидкости в мо-
дели и натуре одинаковы, то из (3.50) следует, что gMl„ = gHl».
Отсюда размеры модели нужно выбирать из условия /м=/и у ~ •
Если учесть, что gM = 9,81 м/с2, gw = 1,623 м/с2, то /м = 0,55/и,
т. е. геометрические размеры модели должны быть в 1,82 раза
меньше натурных размеров исследуемого объекта.
При моделировании более сложных процессов возникают до-
полнительные ограничительные условия. Например, если для
исследуемого процесса существенно влияние как свободной,
так и вынужденной .конвекции, то помимо соблюдения условий
(3.50) необходимо равенство критериев Рейнольдса, т. е. ReM =
= ReH. Совокупность всех ограничительных условий создает
серьезные трудности при практическом осуществлении моделиро-
вания. Часто точное моделирование оказывается невозможным
и приходится прибегать к приближенному моделированию.
В реальных условиях критерии подобия по-разному влияют
на протекание изучаемых процессов. Если влияние какого-либо
критерия проявляется слабо, то его можно исключить при моде-
лировании. В этом случае моделирование называется приближен-
ным.
Существенно расширяет возможности приближенного модели-
рования проявление свойства автомодельности процесса относи-
тельно какого-либо определяющего критерия. Определяемый кри-
терий автомоделей относительно определяющего, если данный
определяемый критерий не зависит от рассматриваемого опре-
деляющего. Если процесс автомоделен относительно какого-
либо определяющего критерия, то при моделировании нет необ-
ходимости соблюдать равенство этого критерия для натуры и мо-
дели.
Например, в реальных трубах, которые не являются гидравли-
чески гладкими, при достижении в них определенных значений
критерия Рейнольдса, он перестает влиять на коэффициент гидрав-
лического сопротивления и выпадает из числа определяющих
процесс критериев подобия. Аналогично, коэффициент расхода
диафрагм, сопел и других сужающих устройств, применяемых
для измерения расходов газов и жидкостей, при достижении оп-
ределенного значения критерия Рейнольдса также перестает от
него зависеть. Это позволяет значительно сократить объем экс-
периментов, необходимых для тарировки сужающих устройств.
Ввиду трудности точного моделирования на практике часто
используется приближенный метод локального теплового модели-
рования. Особенность этого метода заключается в том, что подо-
бие процессов осуществляется лишь в том месте, где производится
79
изучение теплоотдачи. Например, для изучения теплоотдачи
при поперечном обтекании жидкостью пучка труб часто доста-
точно проведения измерений на единичной трубе, участвующей
в теплобмене. Остальные же трубы пучка обеспечивают гидродина-
мическую обстановку около этой трубы и в теплообмене не уча-
ствуют. Применение локального моделирования позволяет уде-
шевить и ускорить проведение эксперимента. Однако его допу-
стимость необходимо тщательно обосновывать.
Для изучения процессов теплообмена также используется
метод аналогий. В этом случае исследование тепловых явлений
заменяется изучением аналогичных явлений, поскольку их экс-
периментально исследовать легче. Необходимо, чтобы аналогич-
ные явления описывались одинаковыми по форме дифференциаль-
ными уравнениями и условиями однозначности, несмотря на раз-
личное физическое содержание. При изучении процессов тепло-
проводности используется электротепловая и гидротепловая ана-
логии. В первом случае используется то обстоятельство, что яв-
ления теплопроводности и электропроводности описываются оди-
наковыми уравнениями, что позволяет вместо полей температур
определять поля электрических потенциалов. Гидротепловая ана-
логия основана на сходстве законов распространения тепла и
движения жидкости.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	При каких допущениях получены уравнения неразрывности, движения
и сохранения энергии?
2.	Какие условия однозначности необходимы для решения системы диффе-
ренциальных уравнений, описывающих конвективный теплообмен?
3.	Что такое критерий подобия?
4.	Какие критерии подобия используются для описания процессов тепло-
обмена при вынужденной конвекции?
ГЛАВА IV
ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ
4.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Ранее были рассмотрены стационарные режимы теплообмена,
т. е. такие, в которых температурное поле по времени не изменяется и в диффе-
ренциальном уравнении теплопроводности Фурье — Кирхгофа производная
дТ/дт; 0. Однако целый ряд важных практических задач теплообмена не может
быть рассмотрен в рамках предположения о неизменности параметров процесса
по времени. К ним относятся задачи о прогреве теплозащитных оболочек и кон-
структивных элементов скоростных тетательных аппаратов, о нагреве стенок со-
пел реактивных двигателей твердого топлива, о расчете поля температур в энер-
гетических ядерпых реакторах при изменении режима работы, о тепловом режиме
искусственного спутника Земли (ИСЗ). В этой главе будут рассмотрены нестацио-
нарные процессы теплопроводности в неподвижных средах (твердых телах)
и даны аналитические и численные методы решения дифференциального уравне-
ния Фурье — Кирхгофа для нестационарного случая с различными краевыми
условиями.
Нестационарные тепловые процессы сопровождаются не только изменением
температурного поля по времени, но почти всегда связаны с изменением энталь-
пии тела, т. е. с его нагревом и охлаждением.
Практические задачи нестационарного теплообмена можно разделить на две
основные группы. К первой относятся процессы, происходящие при переходе
тепла из некоторого начального теплового состояния в иное стационарное, обычно
равновесное тепловое состояние. Примерами могут служить изменение темпера-
турного поля в теле, помещенном в среду, температура которой отличается от
начальной температуры тела, или выравнивание температур в теле с заданным
начальным распределением температур. Ко второй группе можно отнести про-
цессы, происходящие в телах, испытывающих тепловое воздействие извне, изме-
няющиеся во времени по некоторому закону. Здесь можно назвать процессы
периодического изменения температуры при движении ИСЗ по орбите, часть
которой пролегает в тени Земли, суточные и годовые колебания температуры
в верхних слоях земной коры, тепловые режимы аппаратов, находящихся на
поверхности Луны, процессы в регенеративных теплообменниках и др.
В большинстве нестационарных тепловых процессов можно выделить три
этапа, характеризующиеся различными режимами, из которых собственно не-
стационарными будут лишь два первых. На первом этапе поле температур в теле
определяется не только изменившимся тепловым воздействием, например изме-
нением температуры жружающей среды, пои начальным распределением темпе-
ратур в теле Та (х, у, г) при т ~ = 0. Поскольку начальное температурное поле
в общем случае может быть весьма произвольным, то и тепловой режим на
этом первом этапе нсч'Ит характер неупорядоченного процесса.
На втором этапе влияние начального состояния все более и более осла-
бевает и дальнейшее протекание процесса управляется лишь условиями на
границе тела, т. е. наступает режим упорядоченного процесса, в частности,
регулярный режим.
Для большинства процессов первой группы характерен еще и третий этап,
в котором температура тела во всех точках одинакова и равна температуре
окружающей среды. Это состояние называют состоянием теплового равновесия.
Строго говоря, это новое равновесное тепловое состояние наступает лишь
по прошествии бесконечно большого промежутка времени. Однако на практике
81
тело относительно быстро достигает состояния, весьма близкого к состоянию теп-
лового равновесия, поэтому и интересующие нас длительности нестационарных
режимов отнюдь не бесконечны.
4.2.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Выведенное дифференциальное уравнение теплопровод-
ности Фурье—Кирхгофа (2.16) в случае неподвижной среды и
отсутствия внутренних источников тепла имеет вид
(4.1)
где а = ^/(ср) и V2 — оператор Лапласа, записанный в прямо-
угольной, цилиндрической, сферической или иной системах ко-
ординат. Это уравнение устанавливает зависимость между тем-
пературой, временем и координатами тела в элементарном объеме,
т. е. связывает временные и пространственные изменения темпера-
туры тела.
Если заданы форма и размеры тела, а также его физические
свойства (X, с, р, ...), т. е. геометрические и физические условия
однозначности, то для решения уравнения (4.1) необходимо за-
дать еще начальные и граничные, или краевые условия.
Поскольку температура тела в общем случае является функ-
цией координат и времени f (х, у, z, т), то начальные условия, т. е.
распределение температур в теле в начальный момент, задаются
в виде f (х, у, г, 0) = /0 (х, у, г), где f0 — известная функция, ко-
торая необязательно должна быть задана аналитически, а может
быть представлена численно или графически.
В ряде практических задач начальное условие имеет более
простой вид: f (х, у, г, 0) = То = const.
Для однородных тел граничные условия могут быть заданы
трех видов: температура любой точки поверхности тела в любой
момент времени; тепловой поток у поверхности, либо температура
среды, омывающей тело; условия теплообмена тела с окружающей
средой. В отличие от стационарных задач все величины, входя-
щие в граничные условия, могут изменяться во времени по задан-
ному закону.
4.3.	ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ
К ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Теория подобия позволяет определить, от каких без-
размерных параметров зависит решение уравнения (4.1).
Предположим, что температура среды Т f, омывающей рассма-
триваемое тело, — величина постоянная. Введем новую перемен-
ную
ft = т — Tt.
(4-2)
82
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности запишется
в виде
- «V30.	(4.3)
Начальные условия: при т == О О = Оо (х, у, т).
Используем граничные условия 3-го рода:	=----’
где X — коэффициент теплопроводности чела. Если считать, что
fro = const, то уравнение (1.3) можно привести к безразмерному
виду, используя в качестве масштаба температур т‘о, а в ка-
честве масштаба длины — характерный размер тела I. Тогда
0 ----й/й0— безразмерная избыточная температура, х = х/l, у ~=
= y/l, z = z/l — безразмерные линейные размеры.
При использовании новых переменных уравнение (4.3) примет
вид
где V2 — оператор Лапласа, записанный в системе безразмер-
ных координат (х, у, z). Эго выражение преобразуется:
——— =. V20
Р(ат/7-) v
Условия однозначности уравнения (4.4) имеют вид:
при т = 0, 0 = 1;
на границе тела
/ <30 \ _	а.1 р.
)ы ~~ Г ®w'
Как видно, в уравнение (4.4) и в граничное условие (4.5)
безразмерные величины — определяющие критерии подобия —
axil'1', al/h.
Решением является функция
 0 = f (х, у, z, ar/P, а/Д).	(4.6)
(<4)
(4-5)
входят
Безразмерный комплекс ат/72 есть не что иное, как критерий
тепловой гомохронности Фурье Fo = от//2 (см. гл. 3), который
характеризует соотношение между временем протекания про-
цесса и временем распространения температурной волны. Без-
размерный комплекс а/Д обозначается через Bi — а/Д и так же,
как и Fo, является критерием подобия процессов нестационар-
ной теплопроводности, в частности, подобия граничных условий
3-го рода. По своему физическому смыслу он характеризует от-
ношение термического сопротивления теплопроводности стенки
(6Д) к термическому сопротивлению теплоотдачи на границе
между телом и окружающей средой 1/а.
Критерии Fo и Bi являются определяющими критериями, а
функция 0 — определяемой.
83
(4.7)
(4-8)
(4-9)
В новых переменных уравнение Фурье — Кирхгофа имеет вид
-дв— = V©
а граничные условия 3-го рода
© ________L
а Bi V дп Jw-
Итак,
0 = f (х, у, z, Fo, Bi).
Формула (4.9) означает, что безразмерные температуры двух тел
одинаковой формы, равномерно нагретых в начальный момент
времени т = 0, в сходственных точках пространства и времени
будут одинаковы, если одинаковы критерии Bi.
Зависимость (4.9) можно получить аналитически и с помощью
численных методов: они представляются в виде таблиц или номо-
грамм. На рис. 4.1 ... 4.3 приведены примеры номограмм для рас-
чета процессов нагрева и охлаждения простейших тел в среде
с постоянной температурой.
Рассмотрим несколько примеров использования этих номо-
грамм.
Пример 1. Стальная плита толщиной 26 = 200 мм с начальной темпера-
турой То = 955 К опущена в масляную ванну (температура масла принимается
постоянной и равной Т/ = 355 К). Считая коэффициент теплоотдачи постоянным
[а = 40 Вт'(м3-К)1, определить температуру в плоскости симметрии и на по-
верхности плиты через 24 мин и через 1 ч.
Решение. Пренебрегая в первом приближении зависимостью теплофизиче-
ских свойств стали от температуры, примем в рассматриваемом интервале тем-
ператур X чт 40 Вт/(м-К) и а = 0,05 м2/ч. Тогда значения определяющих крите-
риев Fo и Bi будут
т,. ат 5-10~2-2
F°i =	= -~5.10~з-.= 2 ПРИ т = 24 мин
и Fo2 = 5 при т = 1 ч; Bi = 0,1.
Пользуясь номограммами, приведенными на рис. 4.1, а, б, находим:
через 24 мни 0Ц --------- = 0.85;	------=^- = 0,81, где 0ц—без-
i О--' f	i о — ‘ f
размерная температура в плоскости симметрии, а 0(1! — на поверхности пла-
стины;
через 1 ч 0ц — 0,66; 0Ж = 0,62.
Следовательно, через 24 мни температура в плоскости симметрии плиты
будет' Тц 0.85 (То — Т i) + Tf = 0,85 (955 — 355) + 355 = 865 К, а на по-
верхности — Та --- 0,81 -600 + 355 = 841 К-
Через 1 ч соответствующие температуры будут 7’ц = 751 К и Тю =727 К.
Пример 2. Какую минимальную толщину должна иметь стенка дозвукового
сопла для того, чтобы за 5 с работы двигателя температура поверхности, омы-
ваемой продуктами сгорания с Tf = 2500 К, не превысила допустимой — Тю =
= 1300 К. (Стенку рассматривать как плоскую пластину; отводом тепла с на-
ружной поверхности сопла пренебречь; а -- 1000 Вт/(м2-К);	30 Вт/(м-К);
а = 0,05 м3/ч; начальная температура стенок Т$ — 300 К-)
Решение. Согласно номограмме (см. рис. 4.1, б) для поверхности пластины
л	n Tw—Tf
при допустимом значении Тш безразмерной температуре 0а, = -------дн-=
г о — 7 f
84
~ ~300—-"’б1)?)	соответствует совокупность значений Fo =- 1; 2; 3;
4; 5; 6 и Bi — 0,5; 0.28; 0,19; 0,14; 0,11; 0,095. В то же время между Bi =- аб/Z
и Fo == ат/62 можно найти связь, выражая 6 через [6 = Bi (?v/ct)] и подставляя
в критерий Фурье:
„	аза-
Fo	—
Bl'Л'
Для условий рассматриваемой задачи
0	1	2	3	4	5 б 7	8 10 12 16 1618 2022 2626 28 30 F„
3)
Рис. 4.1. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры
[(6= (Т—Tf)/(T0— Tj)] плоской бесконечной пластины;
а — в плоскости симметрии; б — на поверхности
85
Построив графически эту зависимость и нанеся на тот же график зависимость
Fo =- [ (Bi), заданную таблицей .значении, взятых из номограммы 4.1, б, в точке
пересечения двух кривых получим совокупность значений Fo и Bi, удовлетворя-
ющую требованию задачи. Этими значениями являются Fo = 4,5 и Bi = 0,13.
X
По любому из них найдем потребную толщину стенки сопла: 6 = В1 — =

3,9-Ю-з м.
Интересно рассмотреть качественный характер и некоторые
предельные случаи изменения безразмерной избыточной темпера-
1~вц
Рис. 4.2. Номограммы для определения безразмерной избыточной темпера-
туры бесконечного цилиндра:
а — на оси; б — на поверхности
86
туры по безразмерному времени (Fo) при граничных условиях
3-го рода. Очевидно, что при фиксированном числе Bi температура
поверхности Tw быстрее приближается к температуре окружаю-
щей среды Т h чем температура в точках, расположенных глубоко
внутри тела (см. рис. 4.3). Степень этого различия в скоростях
зависит, однако, от Bi — Так, при Bi 0 температуры цен-
тра и на поверхности в течение всего процесса можно считать
одинаковыми, так как приток тепла к телу вследствие конвекции
мал (мало а), и температура внутри тела успевает в каждый мо-
мент выравняться в силу большой его теплопроводности (боль-
шое К). В случае же Bi оо отличие в температурах внутренних
точек тела и его поверхности будет максимальным, так как за-
дача, как уже говорилось, стремится к задаче с граничными ус-
ловиями 1-го рода, когда Tw = Тf в течение всего процесса.
Это легко обнаружить и на номограммах (см. рис. 4.1 ... 4.3),
сравнивая зависимости безразмерной температуры от Fo в центре
и на поверхности при малых и больших значениях Bi.
В практике часто нельзя воспользоваться решениями для тел
бесконечной протяженности (пластина, цилиндр) в силу того, что
продольный размер реального объекта (например длина цилиндра)
сравним с поперечным (его диаметром). В этих случаях задача
существенно неодномерна.
Рис. 4.3. Номограммы для определения безразмерной избыточной температуры
шара:
а ~ в центре; б ~ на поверхности
87
Рис. 4.4. Схема решения задачи о
нагреве (охлаждении) цилиндра ко-
нечной длины (граничные условия
3-го рода)
Можно показать, что для
ряда простейших тел конечных
размеров решение может быть по-
лучено комбинацией имеющихся
решений для тел бесконечной
протяженности. Для цилиндра
радиусом и длиной 26 реше-
ние находится по формуле 8 =
®ПЛ®ЦИЛ, где ©ПЛ, ®ЦИЛ PC"
шение для пластины и цилиндра
соответственно (рис. 4.4).
Для параллелепипеда с реб-
рами 26х, 262 и 263 безразмерное
решение будет равно 6)	©/-^©д,
где 0г — безразмерное решение
соответствующей задачи о беско-
нечной пластине толщиной 26г.
тел конечной
Построение комбинированных решений для
протяженности, продемонстрированное здесь на примере задачи
с граничными условиями 3-го рода, возможно и в задачах с гра-
ничными условиями других родов. Следовательно, номограммы
типа приведенных на рис. 4.1 ... 4.3 для определения температур
простейших тел в нестационарных процессах применимы к весьма
широкому кругу неодномерных задач.
Следует учитывать, что полученные с помощью номограмм ре-
шения носят приближенный характер, так как они получены
в предположении постоянства а по поверхности, неизменности
теплофизических свойств тела по температуре и т. д.
4.4.	АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ
(МЕТОД ФУРЬЕ)
Классическим методом решения уравнения (4.7) яв-
ляется метод разделения переменных (метод Фурье). Идея метода
состоит в предположении, что решение можно представить в виде
произведения двух функций, одна из которых является функцией
безразмерных координат, а другая — функцией только крите-
рия Fo. Таким образом находятся частные решения уравнения 0П,
удовлетворяющие граничным условиям, но не удовлетворяющие
начальным. Затем, пользуясь линейностью уравнения, находят
решение как линейную суперпозицию этих частных решений © =
оо
= У Апап, причем такую, которая удовлетворяет уже началь-
п-=1
ным условиям путем соответствующего выбора коэффициентов Ап.
Итак, представляем 0 в виде
Q(x, у, z, Bi, Fo) = ф (х, у, z, Bi) чр (Fo).
(4.Ю)
88
Подстановка (4.10) в уравнение (4.7) дает
Ф тощ “ 4>V1 2<p или <р -- фф2ф,	64.11)
откуда
i|- a Fo ф т
Здесь слева функции только времени, а справа — только ко-
ординат. Равенства (4.11) возможны лишь в том случае, если как
левые, так и правые его части — одинаковые постоянные вели-
чины, не зависящие ни от времени, ни от координат. Обозначим
эту константу через — «/и» (знак минус принят для удобства по-
следующих преобразований, что отнюдь не налагает каких-либо
ограничений на знак самой константы т).
Тогда исходная задача сводится к следующим двум:
1)-^#- = — т;	(4.12)
7 d Fo	v 7
^—-^ (•£.)„.	(4.13)
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.12)
имеет вид
ф =- А ехр (—т Fo),	(4.14)
где А — произвольная константа.
Из полученного вида решения видна непригодность значе-
ний т < 0 в рассматриваемой задаче, так как при т < 0 функция
оказывается монотонно растущей функцией времени, что противо-
речит физическому смыслу задачи, согласно которому тело стре-
мится к тепловому равновесию, т. е. lim гр = 0.
Fo-*-oc
Решение второго уравнения (4.13) зависит от геометрии тела.
При этом оказывается, что не все положительные значения т
позволяют удовлетворить граничным условиям так, чтобы ре-
шение не было тривиальным: <р = 0.
Дискретные значения постоянной tn, при которых задача
(4.13) имеет ненулевые решения, удовлетворяющие граничным ус-
ловиям, называются собственными значениями задачи (4.13)
и обозначаются тх, т2, т3, ..., тп, ... (причем тх < т2 < т3 <...
< тп ...). Соответствующие решения называются собственными
функциями задачи (4.13) и обозначаются ф1т <р2, <р3, ..., срп, ... .
Общее решение ур-авнения (4.7), таким образом, имеет вид
оо
©=2 Antpn exp (—тп Fo).	(4.15)
П=1
Как уже говорилось, коэффициенты Ап выбираются из усло-
вия удовлетворения решения начальным условиям, т. е. при Fo =
= 0
1 = 2 24пфп(х, у, z, Bi).	(4.16)
п==1
89
Рис. 4.5. Схема к задаче
об охлаждении плоской
стенки (граничные усло-
вия 3-го рода)
Для нахождения коэффициентов едини-
ца раскладывается в ряд по собственным
функциям фп.
Рассмотрим конкретный пример опре-
деления собственных значений и собствен-
ных функций задачи в простом случае
пространственно одномерной задачи об
изменении температур в плоской беско-
нечной стенке толщиной 26 (рис. 4.5).
В качестве характерного размера I возь-
мем 6. В этом случае задача (4.13) будет
иметь вид
И-1 Л
=	(“-'в)
’<~-1> = 4-ji£5FiL-	<419>
Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что распреде-
ление ср в стенке будет симметричным относительно плоскости
х = 0. Поэтому в плоскости симметрии будет выполняться
= 0.	(4.20)
Это условие позволяет освободиться от 2-го граничного ус-
ловия (4.19) при х = —1 и свести к задаче о пластине толщиной 6,
теплоизолированной от поверхности х = 0.
Частное решение исходного уравнения (4.17), удовлетворяю-
щее граничному условию (4.20), имеет вид
ср = D cos (]/~тх).	(4.21)
Граничному условию при х = 1 это частное решение удов-
летворяет, если
Bi Dn cos ]/~т — Dn sin ]/~m = 0.	(4.22)
Это уравнение получается подстановкой равенства (4.21)
в условие (4.18). Отсюда получаем Ag У~т = j/m/Bi. Это ха-
рактеристическое уравнение позволяет найти собственные значе-
ния, а ’следовательно, и собственные функции рассматриваемой
задачи.
Обозначая У~т через р, получим
ctg pi = p/Bi.	(4.23)
На рис. 4.6 показан графический метод отыскания корней ха-
рактеристического уравнения как координат точек пересечения
котангенсоид уг = ctg р с прямой у2 = p/Bi. Очевидно, что число
корней бесконечно, причем каждый последующий корень больше
90
предыдущего:	у, < у2 < у3 < ... <"
<уГ! < ... . Этот набор корней зави-
сит от Bi. Таким образом, решение за-
дачи (4.13) в данном случае имеет вид
<рп(х, Bi) = D cos (|inx),
или
фп (х, Bi) = D cos (1^тпх),
а общее решение (4.15) дифференциаль-
ного уравнения теплопроводности
0 (х, Bi, Fo)
оо
= 2	cos (]Атпх) exp (—тп Fo).
И = 1
(4.24)
Рис. 4.6. Графический ме-
тод отыскания корней ха-
рактеристического уравнения
Условие (4.16) для нахождения коэффициентов Ап примет вид
оо
2 Ancos(]A тпх), откуда Ап
п—1
0 (х, Bi,
оо
(4-25)
4.5. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
НЕСТАЦИОНАРНОЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
Упоминавшиеся выше решения простейших задач, ко-
торые удается затабулпровать или свести к расчетным номограм-
мам, получены при неизменной по времени температуре окружаю-
щей среды Тf (или температуре стенки Тю, или теплового потока
qw}, а также при одинаковой по всему объему тела начальной
температуре в момент т = 0.
В виде рядов выписывается решение в случае произвольно за-
данного распределения температур при т 0 для тел простей-
шей формы и одномерных задач (см. разд. 4.2). Однако и в этом
случае вычисление коэффициентов ряда является часто весьма
трудоемким. В связи с этим наряду с аналитическими развивались
и численные методы решения нестационарных задач теплопровод-
ности, причем с появлением электронных счетных машин эти
методы приобрели решающую роль в проведении точных инже-
нерных тепловых расчетов (прогрев теплозащитных покрытий,
камер сгорания и сопел ЖРД, тепловые режимы ИСЭ). Численные
методы являются, пожалуй, единственным инструментом решения
нелинейных задач и задач теплопроводностей тел сложной
формы.
91
4.5.1. Явный метод
Идею одного из простейших численных методов про-
демонстрируем на примере одномерной задачи прогрева (охлаж-
дения) плоской стенки с граничными условиями 3-го рода.
Разобьем стенку изотермическими поверхностями (в рассма-
триваемой задаче они параллельны поверхности стенки) на слои
равной толщины Ах. В центре каждого слоя поместим узел. Ис-
ключение составляют слои, непосредственно прилегающие к гра-
ницам твердого тела: их толщина вдвое меньше и узлы располо-
жены на границе (рис. 4.7). Пронумеровав узлы и соответствую-
щие им слои и разделив интересующий нас период времени на малые
интервалы Ату, Дт2, Лт3, ..., Дтп и т. д., температуру k-ro узла
в п-й момент времени будем считать равной Г*. Считаем, что тем-
пература между узлами в каждый момент времени изменяется
по линейному закону (рис. 4.8).
’Запишем баланс тепла для k-го слоя (см. рис. 4.8). Очевидно,
что тепловые потоки, втекающие через левую Qv4 и правую Qn
границы слоя, изменяют энтальпию I рассматриваемого слоя, т. е.
Qx + Qa=-^.	(4.26)
Тепловые потоки выражаются через закон Фурье:	=
——%FQn =	где F— площадь поверхности слоя.
Так как мы предположили, что между узлами (а значит и на
границе слоя) температура меняется по линейному закону, то
Qa = — IF
гпП ГГП	грП	грП
1 k~ 1 k-i _	1 k-i ~ J k
\x	Ax
Qn =
Tnh^-rnk
\x
Энтальпия выражается соотношением /
теплоемкость материала; р — плотность.
Рис. 4.7. Схема решения задач неста- Рис. 4.8. Внутренний узел
циоиарной теплопроводности методом
конечных разностей
92
pFЬхсТ, где с —
Ее изменение за интервал вре-
мени Дт в предположении, что
плотность и теплоемкость постоян-
ны, можно аппроксимировать
выражением
Г Л
- ле pF &хс
Подставляя соотношения для
<3л, <2п и в УРавнение (4-26),
получим
Рис. 4.9. Граничный узел
Решая это уравнение относительно ТУ^1, получим
ТГ' -= Fo (Tnk+l + 7’Ll) + (1 - 2 Fo) П,
(4.27)
(Ах)2
где критерий Фурье определяется соотношением Fo =
X а = — .
\ рс /
Уравнение (4.27) позволяет в явной форме определить значе-
ния температур во всех внутренних узлах в (п + 1)-й момент вре-
мени, если известны значения температур в п-й момент, поэтому
такой способ численного решения называется явным.
Теперь рассмотрим баланс тепла в граничном слое (рис. 4.9).
Отличие от предыдущего случая состоит в том, что поток тепла
через левую границу слоя определяется по формуле Ньютона
Qj, = aF (ТУ — ТУ), что энтальпия равна / =рЕЛхсТ',
qj ।	j’M-l_грп
-S— ж -7г- PF \хс—!—Записав балансное уравнение
дт 2	Дт	J г
получим
aF (Tf - ТУ) + IF-	-- 4- pF Лхс	,
v 1	1/1	Дх 2 г	Дт ’
откуда
FL’ = 2 Fo (ТУ + Bi ТУ) 4- ТУ (\ - 2 Fo - 2 Fo Bi),
е.
(4.26),
(4.28)
где Bi = аДх/А,.
Чтобы решить задачу нестационарного теплообмена, необхо-
димо знать начальное распределение температуры в теле Тк.
С помощью соотношений (4.26) и (4.28) определяется распределе-
ние температуры в следующий момент времени Дт, — ТТ Дальше
процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнут момент
времени, для которого требуется знать распределение темпера-
туры. Аналогично можно решать двухмерные и трехмерные задачи
93
Остановимся на выборе шагов интегрирования Дт и Дх. Этот
выбор не является произвольным. Покажем, что при некоторых
соотношениях шагов можно получить результаты, противореча-
щие законам термодинамики. Пусть в какой-то момент времени
в трех соседних точках температуры равны T'k—i = 200 К; Tnk =
= 100 К; Tk+i = 200 К. Пусть интервал времени Дт таков, что
критерий Fo = 1. Определим 7'/'1 по формуле (4.27); Т’1~л =
= (200 + 200) — 100 = 300 К-
В первый момент времени температура /г-й точки меньше, чем
в двух соседних точках, и тепло подводится к ней от этих точек.
Таким образом, тот факт, что в следующий момент времени тем-
пература &-й точки превысила 200 К, противоречит второму за-
кону термодинамики. Анализ показывает, что нарушение законов
термодинамики не будет происходить только при выполнении ус-
ловия
Fo < 1/2,	(4.29)
т. е., когда коэффициент при Tnk в формуле (4.27) не является отри-
цательным.
Условие (4.29) называется критерием устойчивости уравнения
(4.27). Если оно не выполняется, решение становится неустойчи-
вым.
Критерий устойчивости для слоя, прилежащего к границе,
имеет вид
1— 2 Fo — 2Fo Bi > 0.	(4.30)
Для получения устойчивого решения необходимо и достаточно
выполнение обоих условий: (4.29) и (4.30). Например, если поло-
жить Fo = 1/4, то из (4.30) получим условие Bi < 1. Это значит,
что, если значение коэффициента теплоотдачи а достаточно ве-
лико, необходимо уменьшить шаг Дх, что, в свою очередь, повле-
чет уменьшение шага Дт согласно (4.29). Ограничения типа (4.29),
(4.30) являются существенным недостатком явных методов.
Пример 3. Рассмотрим применение описанного выше численного метода
для решения задачи, представленной в примере 1.
Решение. Разобьем плиту на 11 слоев: 9 — толщиной Дх = 0,02 и 2 — тол-
щиной Дх/2.
„	„ о. а Дх 40-0,02
Критерий В1 — —т— = ——-----= 0,02.
Л	40
Выберем шаг по времени так, чтобы удовлетворялись условия устойчивости
(4.29) и (4.30).
Пусть Дт = 10 с, тогда Fo = —= 0,34725 < 0,5.
Таким образом, условие (4.29) выполняется. Условие (4.30) также выпол-
няется.
Для решения задачи можно использовать следующую программу на языке
ФОРТРАН, основанную на уравнениях (4.27) и (4.28):
PROGRAM NESTAT
REAL L, LAMBDA
DIMENSION T (11), T1 (11)
94
500 FORMAT (IX, 5E12.5)
300 FORMAT (IX, 10E12.5)
READ 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA. A
PRINT 500, DT, TAUK, L, TO, TF, ALFA, LAMBDA, A
NY = 11
DX=L/(NY—1)
BI = ALFA * DX/LAMBDA
FO = A * DT/DX -i*2
DO 1 K=l, NY
1	T (K) = TO
тли = 0
NE = NY—1
2	TAU= TAU+ DT
DO 4K = 1, NY
4	T1(K)=T(K)
T (1) = 2 * FO * (T1 (2) + BI * TF) + T1 (1) * (1—2 *FO —
— 2 * BI * FO)
T (NY) = T (!)•
4DO 3 К = 2, NE
3	T (K) = FO * (T1 (K + 1) + T1 (K — 1) +
+ (1—2 * FO) * T1 (K)
PRINT 300, TAU
PRINT 300, T
IF (TAU.LE.TAUK) GO TO 2
STOP
END
В программе используются следующие обозначения: входная информация —
DT ~ Ат; TAUK — конечный момент времени; L ~ 26; Т0 ~ То; ALFA ~ а-
LAMBDA ~ Л; А ~ а; выходная информация — TAU (текущий момент вре-
мени); Т (11) — массив значений температуры в узлах в текущий момент вре-
мени.
В результате получаем:
через 24 мин — Tw~ 840,16 К; Гц = 867,3 К;
Через 1 ч— Тд= 727,95 К; Тп = 748,8 К.
Эти результаты неплохо согласуются с полученными в примере 1.
4.5.2. Неявный метод
Как уже говорилось, основной недостаток явных ме-
тодов связан ограничениями на шаг по времени согласно крите-
риям устойчивости (4.29) и (4.30). Часто для удовлетворения этих
критериев приходится выбирать очень малый шаг Дт, что приводит
к возрастанию времени расчетов. Избежать ограничений на шаг
по времени, связанных с удовлетворением критериев устойчиво-
сти, позволяет переход к неявным методам.
Рассмотрим сначала внутренний узел. Если выразить потоки
тепла через температуры на (и + 1)-м шаге по времени (а не на
п-м, как это было сделано в предыдущем разделе), то получится
следующий конечно-разностный аналог дифференциального урав-
нения теплопроводности
IF	—k— + IF -4Ц—k— = pF кхс	, (4.31)
Дх 1	Дх	1	Дт ’ 4	7
95
откуда получаем систему уравнений для определения температур
на (п 4* 1)-м шаге по времени
Tnk+1 (1 + 2 Fo) - Fo Kt! - Fo Tk±{ -~Tnk = 0.	(4.32)
В отличие от явного метода, при использовании которого тем-
пература T^+i выражается явно через остальные члены уравне-
ния (4.27), в данном случае необходимо решать одновременно
систему уравнений (4.32) для всех узлов. Такой метод называется
неявным. Он является устойчивым при любом значении Дт,
и в этом его основное преимущество по сравнению с явным мето-
дом. Его недостаток — это необходимость решать систему алгеб-
раических уравнений.
Аналогично выводится уравнение для граничных узлов:
11 + 2 Fo (1 + Bi)] Ti+' - 2 Fo (T2+ Bi ?7+1) - Ti = 0. (4.33)
Таким образом, получена система из (N — 2)-х уравнений для
внутренних узлов и 2-х — для граничных. Она содержит N
неизвестных и таким образом является замкнутой.
Эту систему решают эффективным способом, описанным в главе
XVI.
4.6. РЕГУЛЯРНЫЕ ТЕПЛОВЫЕ РЕЖИМЫ
Для того чтобы ввести понятие регулярного теплового
режима, рассмотрим процесс охлаждения (нагрева) в среде с по-
стоянной температурой произвольного по форме однородного и
изотропного тела, начальное распределение температур в котором
(при т = 0) задано известной функцией координат f (х, у, z) =
= То. В целях упрощения записи будем, не уменьшая общности,
считать температуру окружающей среды Tf = 0.
Решение (4.15) можно переписать в виде бесконечного ряда
Т (х, у, z, т) = 2 сп$п (х, у, z) е т"Х, (4.34)
П=1
или
Т (х, у, z, т) = c1i3,1e-'Tb't -L c2F2('- "!!"	.	(4.35)
Рассматривая поведение ряда (4.35) с ростом времени т, убе-
димся, что все его члены убывают по времени, хотя и с неодинако-
вой скоростью. Причем, поскольку < m2 < m3 ..., члены
высших порядковых номеров убывают быстрее и уже очень скоро
становятся пренебрежимо малыми. Поэтому температура какой-
либо произвольной точки тела задолго до достижения ею темпера-
туры окружающей среды (в нашем случае Т} = 0) будет опреде-
ляться, по существу, первым членом ряда (4.35), т. е. следовать
простому экспоненциальному закону
Т (х, у, z, т) » С1'01 (х, у, z')t~mix.	(4.36)
Момент, когда изменение температуры всех точек тела можно
считать следующим этому простому закону, называют началом
96
регулярного, т. е. упорядочен-
ного режима. Функция Ф (х, у, z)
по определению не зависит от
начальных условий, а Сг, хотя и
определяется из начальных усло-
вий, но не зависит от коорди-
нат точки и является постоянной
для всех точек тела. Поэтому
при наступлении регулярного ре-
жима можно считать, что началь-
Рис. 4.10. Изменение по времени
логарифма избыточной температу-
ры двух точек произвольного тела
ное тепловое состояние тела
больше не оказывает влияния на
закон изменения температур по
времени во всех его точках.
Логарифмируя выражение (4.36), получим In Т = —гщг +
 ,,	д In Т
+ г (х, у, г), а следовательно,----т— = mlt т. е. зависимость
In Т от т в области регулярного режима для всех точек приобре-
тает линейный характер, причем ее угол наклона одинаков для
всех точек и равен — arctg mr (рис. 4.10). Величину m (индекс
далее опускаем) называют темпом охлаждения.
Существенно, что поле температур в теле в процессе регуляр-
ного охлаждения остается подобным самому себе, поскольку от-
ношение температур любых точек тела становится постоянным и
не зависящим от времени, а определяется лишь координатами
этих точек. В этом легко убедиться, поделив полученное из равен-
ства (4.36) выражение для Тг (хъ уг, zlt т) на выражение для Т2Х
X (х2, у2, z2, т):
(*1< У1’ г1)
7\	(т2. у2, гг)
Темп охлаждения m зависит от формы, размеров и материала
тела, а также от граничных условий задачи. Значение m можно
определить, замеряя в эксперименте изменение температуры
какой-либо точки охлаждаемого тела по времени. Для этого, по-
строив график зависимости In Тотт, следует взять на прямолиней-
ном его участке (область регулярного режима) две точки и тогда
m —
In Т (tJ — In Т (т2)
^2 Т1
(4-37)
Если Tf 0, то под Т следует понимать разность температур
тела и среды.
Наглядную интерпретацию становления регулярного режима
охлаждения можно дать, рассмотрев распределение температуры
по толщине плоской стенки, помещенной в среду с постоянной
температурой (рис. 4.11). Если вначале (т — 0) распределение
температуры имело вид, изображенный кривой А'А, то в ближай-
шие за начальным моменты времени тх и т2 изменения температуры
отдельных точек по времени во многом еще определяются не внеш-
4 Авдуевский	97
ному закону, т. е. н;
дано представление о ]
тела в соеде с постоя:
Рис. 4.11. Распределение температуры по толщине
плоской стенки (граничные условия 3-го рода) для
различных моментов времени при произвольном
начальном распределении А'А
ними условиями [Tf < Т (х, у, Z, 0) ],
а самим начальным распределением. Так,
в некоторых сечениях (близких к хх) тем-
пература сначала начинает даже возра-
стать. Но постепенно влияние начальных
условий ослабевает, и, начиная ст«т4,
температура всех точек тела начинает
падать по одинаковому экспоненциаль-
(ступает регулярный режим. Выше было
регулярном режиме охлаждения (нагрева)
иной температурой Tf. Понятие регуляр-
ности режима может быть обобщено и на случай изменения Tf
во времени по таким простейшим законам, как линейный и гармо-
нический. (При рассмотрении регулярных режимов здесь не де-
лается различия между задачами с граничными условиями 1-го
и 3-го рода, поскольку ранее было показано, что при Х/а О
обе задачи эквивалентны (Тf --- Тш}, а значит и все выводы, полу-
ченные из рассмотрения задачи с граничными условиями 3-го
рода, легко обобщаются на случай граничных условий 1-го рода.)
В соответствии с названными выше тремя типичными законами
изменения Тf во времени различают регулярные режимы трех
родов. Рассмотренный в начале этого раздела Т} =~~ const назы-
вается регулярным режимом 1-го рода. Признак регуляризации
режима 1-го рода состоит в том, что изменение температуры в каж-
дой точке системы происходит по экспоненте, одинаковой для всех
точек:
Т = С1О’1е-тх; С\ = const; й == & (х, у, г).
Регулярный режим 2-го рода (dTf/dx = const = b) наступает,
когда скорость изменения температуры становится, во-первых,
постоянной, общей для всех точек тела и, во-вторых, равной ско-
рости изменения температуры внешней среды:
<7Т ах
т. е. Т = Tf + М (х, у, г).
Для регулярного режима 3-го рода (когда Tf = Тi0 4-
+ A cos сот) характерно, что температура любой точки тела ко-
леблется около своего среднего значения с тем же периодом, что
и температура окружающей среды, т. е. с периодом, одинаковым
для всех точек тела:
Т — Р sin о:т Q cos сот = То -ф Д'cos (сот — ср),
где Р, Q, То, А' и ср — функции координат. (Очевидно эти колеба-
ния происходят с иной амплитудой, а также могут быть смещены
98
по фазе по сравнению с колебаниями температуры окружающей
среды.)
Остановимся подробно на регулярном режиме 1-го рода. В не-
которых случаях регулярный режим может наступать сразу после
начала процесса охлаждения или нагрева тела. Пусть тело про-
извольной формы, с объемом V и поверхностью F обладает высо-
кой теплопроводностью X, а коэффициент теплоотдачи у поверх-
ности а мал. Это означает, что критерий Bi —- aL/k 1 и можно
считать, что температура внутри тела очень быстро выравнивается
и в каждый данный момент времени близка к постоянной, равной
температуре его поверхности Tw. Тогда уравнение теплового ба-
ланса, приравнивающее количество тепла, поступившее через
поверхность :ела, к изменению его эшальпии, запишем в виде
-a(7’/-7’)F = pCV-g-.	(4.38)
В этом уравнении Т — температура тела — не зависит от
координат (х, у, г) в силу предположения, что Bi <ф 1. Считая
теплое изические характеристики системы постоянными и вводя
новую переменную 0 = Tf— Т, легко проинтегрировать это
выражение:
aF
---ту — /72
pcV
din 0
dr
(4.39)
© = ©oe-™ (e^Tf-Tj,
или
где m = const.
Таким образом, при Bi 1 регулярный режим устанавливается
сразу после начала процесса.
Уравнение, аналогичное уравнению (4.38), можно составить
и для  .,учая, когда Bi произвольно, т. е. температура в различ-
ных точках тела в данный момент времени различна. Только при
этом пришлось бы воспользоваться понятиями средней по объему
избыточной температуры ©y=-y-j"Q©dV и
V
поверхности избыточной температуры ©ш =
где 0 = Tf — Т (х, у, z) — местная избыточная температура в дан-
ный момент времени. В этом произвольном случае темп охлажде-
ния m отличался бы от выражения (4.39) при Bi < 1 на коэффи-
циент
V f f 0 dF
/2»
средней no
т И edF-
представляющий собой отношение средней поверхностной темпера-
туры к средней по объему (очевидно, что при Bi <ф 1, когда Тх
4*	99
X (х, у, z) = Tw, Qw — Gv и ф = 1; другой предельный случай,
когда гр = 0, соответствует Bi оо, т. е. максимальной неравно-
мерности температурного поля внутри тела).
Коэффициент ф, таким образом, характеризует неравномер-
ность температурного поля в теле и потому, естественно, зависит
от критерия Bi. Из выражения (4.40) видна также его зависимость
от формы тела (от F и V). К-тому же выводу можно прийти, рас-
сматривая mf в уравнении (4.35) как о|3,;, где |Зг — собственные
значения, определяющиеся формой тела и граничными условиями.
Однако, как уже говорилось, найти |Зг для тел более или менее
сложной формы весьма трудно.
Итак, при произвольном Bi темп охлаждения
и при Bi —оо (а -'- оо) ф стремится к нулю. Однако в этом пре-
дельном случае, который очевидно сводит задачу с граничными
условиями 3-го рода к задаче с граничными условиями 1-го рода
(Tf = Tw), темп охлаждения стремится к определенному конеч-
ному пределу, независящему от Bi и прямо пропорциональному
коэффициенту температуропроводности тела а (это утверждение
называют 1-й теоремой Кондратьева):
а = Ктж.	(4.41)
В этом выражении коэффициент пропорциональности R за-
висит лишь от формы и размеров тела и для задач с граничными ус-
ловиями 1-го рода, где доступно аналитическое решение (пластина,
шар, цилиндр, параллелепипед и др.), может быть получен из
показателя экспоненты первого члена ряда, представляющего
соответствующее решение.
Так, для шара радиусом R
К = К'2/л2;
для цилиндра радиусом R и длиной I
к 1
Л (2.4048//?)3 + (я//)2 ’
для параллелепипеда со сторонами R, l2, ls
У (л//;)2
1=1
Его размерность — м2.
Важным с точки зрения практики является то обстоятельство,
что с увеличением Bi темп охлаждения т очень быстро прибли-
жается к своему предельному значению тх, соответствующему
Bi оо.
Исходя из сказанного, укажем на некоторые практические при-
ложения теории регулярного режима 1-го рода.
100
В теплофизическом эксперименте часто необходимо экспери-
ментально найти коэффициент теплоотдачи а на каком-то участке
поверхности. В этом случае удобно воспользоваться тем обстоя-
тельством, что при Bi-> 0 ф1, а следовательно,
а --= т .	(4.42)
Заделав в интересующей части поверхности тела датчик в виде
тонкой пластины из теплопроводного материала (медь, серебро)
и подсоединив в нему термопару, связанную с регистрирующим
устройством (например осциллографом), можно получить зависи-
мость температуры датчика от времени, после того как тело, на
поверхности которого установлен датчик, поместили в поток или
среду с постоянной температурой Tf. Вследствие малости Bi =
= аб/Х (толщина датчика 6 мала, а коэффициент X велик) темпера-
туру в данный момент времени можно считать одинаковой по всему
датчику и равной измеренной с помощью термопары. Перестраи-
вая полученную зависимость в полулогарифмических коорди-
натах [In (Тf — 7") ^/(т)], определим т на участке регуляр-
ного режима по формуле (4.37) (см. рис. 4.10). А затем, пользуясь
выражением (4.42), легко найти а. В этом случае в качестве F
должна браться лишь та площадь поверхности датчика, которая
воспринимает конвективный тепловой поток. Остальную часть
его поверхности при установке датчика стремятся тщательно тепло-
изолировать, поскольку важно быть уверенным, что за время
измерений / (т) утечки тепла от датчика в корпус или иным путем
пренебрежимо малы в сравнении с конвективным потоком Q =
= a(Tf — Г) F.
Основное преимущество данного метода регулярного режима
состоит в том, что при очень малых, а следовательно, малоинер-
ционных датчиках время измерения можно сократить до 1 с и
менее, что важно в экспериментальных установках кратковремен-
ного действия, таких, например, как аэродинамические трубы
больших скоростей.
Другой пример практического использования регулярного
режима относится к экспериментальному определению теплофи-
зических констант материала. Поскольку при Bi оо а — Кт<х>,
то, найдя экспериментально и зная коэффициент формы К
(если образцу придана простая геометрическая форма), можно
определить коэффициент температуропроводности материала а.
Как уже говорилось, т быстро приближается к с ростом Bi
(или а). Поэтому с достаточно высокой точностью при больших,
но конечных Bi можно принять т --= т^. Поместив образец в во-
дяной термостат, где температура поддерживается постоянной
и идет интенсивное вынужденное перемешивание, обеспечиваю-
щее высокое значение коэффициентов теплоотдачи а, измеряют
заделанной внутрь образца термопарой величину Т через опре-
деленные промежутки времени. Из построенной для участка ре-
101
гулярного режима зависимости In 0 = f (т) находят т =
и, зная К, вычисляют коэффициент температуропроводности а
по формуле (4.41).
4.7.	НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
ПРИ ОБЪЕМНОМ ТЕПЛОВЫДЕЛЕНИИ
Ранее было показано, что при наличии объемного
тепловыделения уравнение теплопроводности в твердом теле имеет
вид
дТ	1
= а^т + —
дт	ср 7 k
где qv — известная функция, характеризующая объемную плот-
ность тепловыделения, т. е. количество тепла, выделяющееся
в единице объема тела в единицу времени.
В общем случае qv может быть функцией как координат, так
и времени. Нестационарные задачи этого типа значительно слож-
нее рассмотренных ранее, поэтому в рамках этой главы мы про-
демонстрируем подход к их решению на простейшем примере
пространственно одномерной задачи с однородными граничными
условиями 1-го рода.
Математическая формулировка задачи о бесконечной пластине
толщиной I при -^У-= f (х, т) сводится к дифференциальному урав-
ср
нению
дТ	д2т । I/ \	/л лоч
-аГ= a-d^ + f^x’ т)	<4-43)
с начальным условием Т (х, 0) = 0 и граничными условиями
Т (0, т) = 0; Т (I, т) = 0. (Однородность начальных и граничных
условий принята здесь для упрощения.)
Пользуясь методом разделения переменных, будем искать
решение в виде ряда Фурье по sin(-^-x)
оо
т (*, т) = У, in (т) sin х) .
Для решения задачи нужно найти функции tn (т). Представим
заданную функцию f (х, т) также в виде ряда по sin^-^-x^:
оо
f(x, г) = 2/n(T) Sin(-y-x),
где коэффициенты /п определяются по известным соотношениям
i
/п(т)-4.Р^’
о
102
Подставляя предполагаемую форму решения в исходное уравне-
ние задачи (4.43), получим
оо
2 sin 4(-Т)2	(т) +	~ /п (Т)] = 0.
П — 1
Это уравнение удовлетворяется, если все коэффициенты ряда,
т. е. выражения в квадратных скобках, равны нулю:
=	(^рп(т) + /п(т).	(4.44)
Это обыкновенное дифференциальное уравнение для функций
fw (т). Начальные условия для него найдем из начального усло-
вия исходной задачи
Т(х, 0) = j\n(°) sin(^x) = 0.
П=1
Отсюда следует, что все tn (0) = 0.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения (4.49)
с этим начальным условием имеет вид
Таким образом, решение исходной задачи представляется в виде
ряда
где
а
fn (т) dx
Подставляя сюда функции fn (т), получим
Т(х,
х I
X/(£, т') dr' = J ^G(x, t т-т')Н5, ^dldx',
о о
G (х,
П=1
В качестве примера мы рассмотрели неоднородное уравнение
с функцией f (х, х) в правой части, но с однородными (нулевыми)
103
начальными условиями. Если начальные условия отличны от
нуля, то к полученному решению следует прибавить решение
однородной задачи (без внутренних источников тепла) с заданными
начальными условиями Т (х, 0) = q? (х). Что касается нулевых
граничных условий, то к ним может быть сведена задача с Т (0, т) =
= Т (I, т) = const 0 простой заменой переменной.
4.8.	ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 4-го РОДА
В практике встречаются задачи, когда теплообмен
тела с окружающей средой происходит не излучением или конвек-
цией (граничные условия соответственно 2-го и 3-го рода), а при
помощи теплопроводности. Такой случай встречается, например,
при теплообмене тела с очень вязкой жидкостью или в системе
тел, находящихся в тепловом контакте. Здесь для каждого из
тел такой системы имеют место так называемые граничные усло-
вия 4-го рода, т. е. теплообмен между телом и окружающими его
телами или средой происходит по закону Фурье. Эти условия
при идеальном тепловом контакте соприкасающихся тел требуют
равенства температур обоих тел (или тела и среды) на поверх-
ности контакта, а, кроме того, тепловые потоки в обоих телах
у самой поверхности должны быть равны между собой. Математи-
ческая формулировка граничных условий 4-го рода имеет, таким
образом, следующий вид:
Л (О, Г) = Т2 (О, г); - X, т) = -Х2	, (4.45)
где индекс «1» относится к телу, а «2» — к окружающей среде
или примыкающему телу; граница раздела условно помещена
в начале координаты п — нормали к поверхности контакта.
Для иллюстрации этого случая рассмотрим простую одномер-
ную задачу. Пусть два полубесконечных тела, обладающих раз-
личными теплофизическими свойствами, приведены в момент
времени т = 0 в идеальный тепловой контакт по плоскости уг
(х = 0). Протяженность первого тела не ограничена по осям у
и г и в положительном направлении оси х. Второе тело прости-
рается до по осям у и z и от 0 до —оо по оси х.
Температура первого тела в начальный момент времени
равна Го, а второго — нулю. Задача состоит в отыскании распре-
деления температуры в телах в любой момент времени и форму-
лируется следующим образом:
=	(т>0, х>0);
=	(т>0, х<0).
дт * дх2 v ’	7
Начальные условия к этой системе уравнений: Т\ (х, 0) = 70;
Г2 (х, 0) = 0; граничные условия — 7\ (0, т) = Т2 (0, т);
/•2Х
104
Рис. 4.12. Графическая картина распределе-
ния теплообмена (граничные условия 4-го
рода при идеальном тепловом контакте)
дТ\ (0, т) дТ2 (0, т) г,
X —Ц-2—- = —Эта задача,
дх	ох	’
как и ранее рассмотренные, допу-
скает аналитическое решение раз-
личными методами (разделением
переменных, операционным и др.).
Приведем здесь лишь окончатель-
ный вид этого решения:
ТЛх, т)- Гс?В1_
2	1
^2 (^2 Cg	Cf
777777777777
(х>0); (4.46)
X
2 f/aj
1 + ~ erf
Т2(х,	=	(х<0),
*тЛ(	2 |/а2т /
(4-47)
где К = ~== =	= (величину К
V Ка * Л2ХР2	Л2	а2
иногда называют отношением коэффициентов тепловой актив-
ности); ф и с2 — удельные теплоемкости первого и второго тел
соответственно.
Функция erf определяется хорошо известной формулой:
erf £ =
2
~|/л
( е ~=2 2g — интеграл вероятности Гаусса.
На рис. (4.12) приведен характер зависимостей Т (х, т), опи-
сываемых этими решениями.
Если т-э-оо, можно найти ту единую температуру, которая
установится в обоих телах в стационарном состоянии. Так
как erf (0) = 0, то
Л (х, оо) = Л (х, «,) = То .	(4.48)
При К = 1 (одинаковы тепловые активности тел) установится
средняя арифметическая температура Т (х, оо) = Т0/2.
Важно отметить, что на границе раздела (х = 0) это равно-
весное значение температуры установится уже с самого начала
процесса, т. е. в любой момент времени:
Т, (0, т) = Т, (0, т) = Т (х, <ю) - То —(4.49)
105
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	В чем состоит основная идея метода разделения переменных для задачи
нестационарной теплопроводности?
2.	Поясните номограммы для определения безразмерной избыточной тем-
пературы. Как их использовать для решения задач нестационарной теплопровод-
ности в случае тел простейшей формы?
3.	Что дает использование численных методов прн решении задач нестацио-
нарной теплопроводности? Какие основные достоинства и недостатки явного
метода и неявного метода?
4.	Что собой представляют регулярные тепловые режимы? Какие они бы-
вают?
5.	Как используются регулярные режимы 1-го рода для экспериментального
определения коэффициента теплоотдачи и коэффициента температуропровод-
ности?
6.	Что собой представляют граничные условия 4-го рода?
ГЛАВА V
ЛАМИНАРНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
5.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При конструировании двигателей и летательных аппаратов боль-
шое значение имеют правильное определение температуры элементов конструк-
ции, выбор тепловой защиты и теплоизоляции. Вопросы тепловых режимов
конструкции стали особенно серьезными и во многих случаях определяющими
в связи с развитием реактивных двигателей и летательных аппаратов, движу-
щихся с большими сверхзвуковыми скоростями.
Рассмотрим различные случаи теплообмена при высоких скоростях и тем-
пературах газового потока, встречающихся в современной авиационной и ракет-
ной технике. При движении летательного аппарата в атмосфере частицы газа,
примыкающие к стенке, увлекаются стенкой или, что одно и то же, при обтека-
нии аппарата из-за трения тормозятся у стенки. Процесс торможения сопро-
вождается выделением теплоты за счет диссипации кинетической энергии потока.
Если скорость полета достаточно велика, то вблизи стенки образуется слой газа
с высокой температурой, нагревающей поверхность аппарата.
Температура газа может достигать значений, близких к значениям
температуры торможения:
( k - 1	2\
Гоп-ЕЦЦ-—2— Мн ),
где Тя—температура набегающего потока газа; k — отношение теплоемкостей
(для воздуха k ----- 1,4); Mi — число Маха.
Уже прн числах М > 2,5 температура в пристеночном слое газа может
достигать 575 К, что связано с переходом от обычно применяемых в авиацион-
ных конструкциях алюминиевых сплавов к более теплостойким материалам;
при М > 5 остальные конструкции должны быть защищены специальными покры-
тиями; при М > 10 не всегда удается создать неохлаждаемую конструкцию.
Наконец, при еще более высоких скоростях иолета температура газа у стенки
и тепловые потоки становятся такими большими, что происходит унос веществ
самой поверхности из-за плавления, сублимации и др.
В камерах сгорания и соплах ракетных двигателей, на лопатках газовых
турбин тепловые потоки также достигают очень больших значений. Температура
газа в камерах сгорания жидкостно-реактивных двигателей достигает 3000 ...
4000 С. В связи с использованием высококалорийных топлив значения тем-
пературы газов непрерывно растут. Для того чтобы уменьшить размеры двига-
телей, конструкторы стремятся повышать давление в них. Совместное действие
температуры и давления (повышение) ведет к резкому увеличению тепловых по-
токов.
Не меньшее значение имеет расчет теплообмена и тепловой защиты элемен-
тов воздушно-реактивных двигателей. У этих двигателей для охлаждения отби-
рается часть поступающего в камеру воздуха. При увеличении числа М темпе-
ратура торможения забираемого воздуха растет и соответственно растет количе-
ство воздуха, необходимого для охлаждения, что ведет к заметному падению
тяги и экономичности.
Во всех рассмотренных случаях нагрев происходит за счет теплоотдачи от
горячего газа. Газ может иметь высокую температуру во всем потоке, либо на-
греваться вблизи стенки из-за трения при больших скоростях. Нагрев стенки
целиком определяется процессами, протекающими в топком пристеночном слое,
107
называемом пограничным слоем. Поэтому для расчета конвективного тепло-
обмена необходимо провести расчет пограничного слоя.
Мы рассмотрим ламинарный пограничный слой, в котором перенос тепла
и количества движения совершается только путем молекулярной теплопровод-
ности и вязкости.
5.2.	ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
При обтекании тела потоком жидкости или газа с боль-
шими значениями числа Рейнольдса течение в окрестности тела
можно разбить на две области.
Первая область (рис. 5.1) представляет собой тонкий слой,
примыкающий к телу и называемый пограничным слоем. В по-
граничном слое вязкость и теплопроводность оказывают сущест-
венное влияние на течение. Непосредственно на стенке имеет
место явление прилипания, в результате чего скорость и темпе-
ратура жидкости у поверхности равны скорости и температуре
поверхности (исключая течение в разреженном газе). При уда-
лении от поверхности скорость и температура асимптотически
стремятся к своим значениям в обтекающем потоке.
Толщина пограничного слоя (6) намного меньше размера об-
текаемого тела /: 6/7 7 1 при Re 1.
Вторая область — внешний поток, идеальное течение вне
пограничного слоя. Здесь градиенты скорости и температуры малы,
а влиянием вязкости и теплопроводности можно пренебречь.
Между этими двумя областями нет резкой границы. Разделе-
ние течения на две области существенно упрощает исследование
и расчет обтекания тел при больших числах Re.
Благодаря тому, что пограничный слой тонкий, давление попе-
рек его сохраняется практически постоянным. При этом расчет
обтекания тела, т. е. определение параметров потока вне погра-
ничного слоя, можно производить так, как будто пограничного
слоя не существует. Найденные при этом параметры внешнего по-
тока: давление щ, плотность рх, скорость их и температура 7\
могут быть затем использованы для расчета распределения ско-
рости и температуры в пограничном слое.
Если эти распределения известны, то легко вычисляются зна-
Рис. 5.1. Схематическое изображение
пограничного слоя (иа — скорость на-
бегающего потока)
трения на поверхности и удель-
ных тепловых потоков, иду-
щих в стенку:
_	/ ди \
=	,	(5-1)
где у — координата по норма-
ли к поверхности тела; индекс
w» означает, что все величины
берутся при значении у = 0.
108
Таким образом, расчет трения и конвективного теплообмена
на поверхности обтекаемых тел сводится к расчету пограничного
слоя при заданных параметрах идеального течения вне слоя.
Рассмотрим некоторые характеристики пограничного слоя.
Распределение скорости в пограничном слое характеризуется
профилем скорости й = u/ut = / где 6 — условная толщина
динамического пограничного слоя, равная, например, значению у,
при котором и = 0,99. Соответствующее выражение для профиля
температуры имеет вид Т (Т — Тт)/(Тг — Tw) = Л (z//6T),
где 6Т — толщина теплового пограничного слоя. В общем случае
распределения скорости и температуры, так же как и толщины
теплового и динамического слоев, не совпадают.
Практическое определение толщины пограничного слоя затруд-
нено, так как нельзя точно установить границу между погранич-
ным слоем и внешним потоком и точность определения толщины
слоя в большой степени зависит от точности самих измерений.
Поэтому в рассмотрение вводят некоторые интегральные характе-
ристики, определяемые более точно, ибо на их величину не оказы-
вает заметного влияния тот факт, что значения параметров те-
чения в пограничных слоях асимптотически стремятся к значе-
ниям параметров внешнего потока.
5.3.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Течение вязкой и теплопроводной жидкости описы-
вается уравнениями Навье—Стокса, неразрывности и энергии.
Как уже было сказано, при больших значениях Re толщина
слоя намного меньше характерного размера тела 6 <7 1. При
этом условии произведем оценку членов в уравнениях Навье—
Стокса для двухмерного течения при обтекании плоской стенки
(см. рис. 5.1). Ось х направим вдоль поверхности, у по нормали
к ней, соответствующие компоненты скорости обозначим и и V.
Уравнения Навье—Стокса для установившегося плоского те-
чения имеют вид:
ди , ди др , д / ди \ , 4 д ( ди \ ,
pu-j- 4- ри - аГ + 47 (11J Т "дх \11 ~дх ) +
+	№ А 2 0 Z	(5.2)
1	ду	v	дх )	3	дх	ду	J	'	'
dv	, dv	др	.	4	д (	ди \	.	д /	dv \	,
г дх	1	г ду	ду	1	3	ду V	ду J	1	дх v	дх J	1
।	д	(	ди \	2	д	/	ди	\
дх	(, Р	ду )	3	ду	(. Р	дх	/	’	(		)
уравнение неразрывности
4-(P“) + ^(pv) = 0.	(5.4)
109
Граничными условиями будут: прилипание жидкости к стенке
и = v =- 0 при у — О	(5.5)
и совпадение скорости вдали от стенки со скоростью невозмущен-
ного течения.
Для анализа приведем систему уравнений к безразмерной фор-
ме. При построении безразмерных величин выберем масштабы
таким образом, чтобы безразмерные переменные изменялись в уз-
ких пределах. При этом уравнение будет нормировано и можно
будет сделать оценку различных членов.
Все скорости отнесены к скорости набегающего потока иа,
все длины — к характерному линейному размеру /, который вы-
берем так, чтобы порядок безразмерной величины ди/дх не пре-
вышал единицы. Давление сделаем безразмерным, разделив его
на РнЦн*
Рассмотрим для простоты случай несжимаемого течения,
тогда р - рн и [I нн принимаются постоянными и с учетом урав-
нения (5.4)
~ ~ 0.	(5.6)
дх ' ду	' '
Безразмерные величины примут вид:
и' = u/uH; v' = v/usl; х —• x/i,
у' == z///; р' p/lp^y, б' = 6//.
Подставим в уравнения (5.2) ... (5.4) безразмерные величины.
Уравнения Навье—Стокса примут вид
, ди’	.	, ди'	др'	,	1 Г д2и' . д2и’ П
дх’	1 ду’	дх	!	Re \__(ду )- 1 (<9x')2J	4	'
, dv’ .	, dv'	др’ ,	1 Г , д-v’ “I	o
dx 1 dy dy' Re LO* )“ (dy ) J
а уравнение неразрывности
-К-+ 4^-0,	(5.9)
дх 1 ду'	к ’
где число Рейнольдса Re 11нРи-.
Ви
Оценку порядка величин начнем с уравнения неразрывности.
Поскольку величина ди'/дх’ имеет порядок единицы, то из урав-
нения (5.9) следует, что такой же порядок имеет и величина
dv'/dy'. Но так как толщина слоя мала и имеет порядок 6', то
и поперечная скорость имеет порядок 6' и ~ 6'.
Отсюда получаем важнейший вывод, что в пограничном слое
вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с про-
дольной составляющей:
г>/щ ~ 6//.	(5.10)
НО
Порядки величин, стоящих в левой части уравнений (5.7),
следующие: и', ди1 /дх', p'v' ~ l;v' ~ б; ди' /ду' ~ 1/6; иди /дх’ +
4~ v’du'/dy' ~ 1.
Оценим величины, заключенные в скобках в уравнении (5.7).
В первом уравнении
д2и' 1	<32и'	.
(/ду'У ~ (б7?2 И (Э7р ~ '
Так как 6' мало, то величину д“и/(dx'f можно отбросить как
малую по сравнению с величиной д2и'/(ду')2. Это очень важное
обстоятельство, поскольку, отбросив вторую производную по
одной переменной, мы изменяем характер дифференциального
уравнения в частных производных.
После исключения второго члена в скобках уравнения (5.7)
в нем остается член, который нужно учитывать, если его порядок
такой же или больше, чем порядок остальных членов.
Следовательно, влияние вязкости нужно учитывать, если
ЩПЯ-Т т. е. OT-l/Re.
Толщина пограничного слоя б, в котором проявляется вязкость
обратно пропорциональна корню квадратному из числа Рей-
нольдса:
6/Z ~ l/j/~Re-	(5.И)
Перейдем к рассмотрению второго уравнения системы (5.7) ...
(5.9). Порядок величин левой части не требует разъяснения. По-
рядок градиента давления пока неизвестен. В скобках в правой
части уравнения можно пренебречь первым членом по сравнению
со вторым. Далее, поскольку б' — l/'j/'Rc, то порядок послед-
него члена будет равен б', т. е. будет таким же, как и порядок
остальных членов левой части.
Окончательно получаем оценку для значения др/ду
и перепад давлений в пограничном слое
(5.13)
Отсюда следует, что в принятых для пограничного слоя при-
ближениях давление поперек слоя можно считать постоянным
р --- р (х). Это означает, что первое уравнение системы (5.7)
можно решать независимо от второго, а значения статического
давления и его производных по х по всей толщине пограничного
слоя могут приниматься равными их значениям на границе слоя,
т. е. могут определяться из расчета течения идеальной жидкости.
При необходимости точного определения сил давления, дей-
ствующих на поверхность, следует учшывагь поправку Др. Эта
111
поправка определяется из уравнения (5.8) при заданных значе-
ниях и, v, р. (При течении вдоль криволинейного контура, как
будет показано ниже, справедлива другая оценка.)
Все сделанные нами выводы остаются справедливыми и в слу-
чае течения сжимаемой жидкости с теплообменом. Однако при
этом к системе уравнений (5.7) ... (5.9) должны быть добавлены
уравнения энергии, уравнение состояния газа и законы измене-
ния вязкости и теплопроводности от температуры.
С учетом оценок, аналогичных сделанным для уравнений
движения, выпишем без вывода полную систему дифференциаль-
ных уравнений пограничного слоя в сжимаемом газе:
ди ।	ди	др	д / ди \	/к i л \
pU дх +	ду ~ “ дх	ду И ду ) ’	(5-14)
£j£E) =	0;	(5.15)
дх	' ду		'
дТ	дТ д /. дТ \ . dp (ди V
рцс„ -з--к	pvcn -ч—	=	-z—	Л -5—	4- и  !-	и	——	; (5.1 6)
г	р	।	г	р	ду	ду	\ ду )	1 dx 1	г	\ ду )	'	’
р = pRT', р = р (ТУ, X = X (Г).	(5.17)
Эта система уравнений справедлива для так называемого
совершенного газа. Вязкость р и теплопроводность X для совер-
шенного газа являются функциями только температуры. Наи-
более распространенной является формула Саттерленда. На-
пример, для вязкости
р	/ Т \з/2	1 д- (Ts/T*)
И* ~ I Т* J (T/T*) + (TS/T*) ’
где Ts — постоянная Саттерленда, равная для воздуха 102 К;
Т*, р* — значения температуры и вязкости, соответствующие
некоторому начальному состоянию. Широко применяются также
и степенные формулы р/р* = (Т/Т*)'’* и Х/Хо = (Т/Т*)'’’, где Hi
и п, —• постоянные, подбираемые для заданного диапазона изме-
нения температуры и изменяющиеся в пределах от 0,5 до 1.
В случае течения реального газа необходимо учесть некоторые
дополнительные свойства газа (например переменность теплоем-
кости ср и газовой постоянной R, зависимость р и X от давления
и ряд других физических явлений, которые будут рассмотрены
позднее).
Уравнение (5.14) соответствует уравнению количества дви-
жения в проекции на ось х. Члены, стоящие в левой части этого
уравнения, называют конвективными членами. Уравнение не-
разрывности (5.16) выражает собой закон сохранения массы.
Третье уравнение (5.16) также имеет простой физический смысл,
представляя собой математическое выражение закона сохранения
энергии. Левая часть соответствует конвективному выносу энер-
гии из элементарного объема. Первый член в правой части опре-
деляет подвод тепла теплопроводностью; второй член и (др/дх)
112
Рис. 5.2. Схема пограничного слоя в сверхзвуковом сопле
соответствует работе сил давления. Величина Ф -- р (ди/ду)*
называется иногда диссипативным членом уравнения и опреде-
ляет количество тепла, выделяемое в объеме необратимым обра-
зом при работе сил трения.
Краевыми условиями являются условия прилипания у стенки
при у = О, Т = Tw.(x), и ~= 0, v = 0 и условия вне слоя
у оо; и -> up, Т 7\.
Для решения системы уравнений (5.14) ... (5.17) в частных
производных необходимо задать также начальные значения по х.
При х = х0; и = f (у)-, Т = / (у).
Уравнения выписаны для течения вдоль плоской поверхности.
В случае двухмерного течения вдоль искривленной стенки ко-
ордината х направляется вдоль поверхности, а у — по нормали
к ней (рис. 5.2). Если толщина пограничного слоя 6 мала по сравне-
нию с радиусом кривизны образующей г, то такая система коорди-
нат будет приближенно ортогональной, и уравнения останутся
без изменения. Из оценок, которые можно сделать для этого слу-
чая, следует, что
9
или
ду г	ду г
Если г' ~ 1, то др' /ду’ ca. 1 и Др ~ 8/1, где I — продольный
размер тела. Под действием центробежных сил перепад давлений
в пограничном слое на теле с криволинейной образующей хотя и
остается малым, но значительно
больше, чем на пластине. В слу-
чае осесимметричного двухмер-
ного течения, например при
внешнем обтекании осесиммет-
ричного тела и при течении в
сопле (см. рис. 5.2, 5.3) уравне-
ния движения и энергии остают-
ся без изменения, а, уравнение
неразрывности при 8/R<£ 1 имеет
вид
(5.18)
Рис. 5.3. Схема образования погранич-
ного слоя на теле вращения с криво-
линейной образующей
113
где /? = /?(%) — радиус вращения, т. е. расстояние по нормали
от оси тела до точек образующей.
Существуют преобразования переменных, с помощью которых
система уравнений пограничного слоя на осесимметричном теле
приводится к виду, совпадающему с видом уравнений для пло-
ского течения.
5.4.	ВТОРАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
Для того чтобы лучше представить физическую кар-
тину теплообмена при переходе от малых скоростей к большим,
приведем уравнение энергии к новому виду.
Умножим уравнение движения (5.14) на и и сложим его с урав-
нением энергии (5.16). Будем учитывать, что и
и и э / ди\ = д Г	.
ду V ду ) ду |_г ду J г \ ду )
Используя связь между статической температурой и темпера-
турой торможения
dT0 = dT + d~,
получим вторую форму уравнения энергии:
омг । оог дТ° д (у дТ^\ \ д	1 у кт
р л дх + риср ду - ду у ду J + ду ^1 Рг ) ду J.
(5.19)
Наиболее интересный вид это уравнение принимает при Рг = 1,
что приближенно справедливо для газов:
с7'г, , дТ 0 д дТ0 \	ОЛ.
Р“Ср дх ^~?VCP ду ~ ду ду)'	(5'2°)
Полученное уравнение по виду совпадает с уравнением (5.16)
без двух последних членов, только вместо температуры газа
в нем стоит температура торможения. Уравнение (5.16) без двух
последних членов соответствует случаю течения при малых зна-
чениях М, когда можно пренебрегать выделением тепла от трения
и сжатия. Теплообмен при этом происходит только из-за разности
между статической температурой потока и температурой стенки.
При малых скоростях потока мы использовали понятие коэф-
фициента теплоотдачи, записывая выражение для теплового по-
тока в виде qw = а (То1 — Tw). Здесь отражен тот факт, что теп-
ловой поток тела тем больше, чем больше перепад статических
температур потока и стенки.
При больших скоростях (при Рг = 1) уравнение энергии
(5.20) сохраняет такой же вид, как и при малых скоростях, но
вместо температуры газа в нем стоит температура его торможе-
ния. Теплообмен в этом случае определяется перепадом между
температурой заторможенного потока и температурой стенки
Tqi Tw.
114
Выражение для удельного теплового потока при Pr = 1
можно записать по аналогии с формулой для малых скоростей:
= а (Л1 — Tw),	(5.21)
где коэффициент теплоотдачи а может не совпадать с его значе-
нием при малых скоростях и должен быть определен из решения
уравнений пограничного слоя. Однако, поскольку главная ве-
личина, определяющая теплообмен при больших скоростях, —
перепад температур торможения — выделена в виде множителя,
то отличие в а при малых и больших скоростях не очень велико.
В соответствии с формулой (5.21) поток будет нагревать тело
(qw > 0), если Т01 > Tw. Статическая температура в потоке
может быть выше или ниже температуры стенки. В последнем
случае нагрев будет происходить из-за преобразования кинети-
ческой энергии газа в энтальпию в пограничном слое. Подробнее
это явление будет рассмотрено в разд. 5.7.
5.5.	ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ В ПРИМЕНЕНИИ
К УРАВНЕНИЯМ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Прежде чем перейти к рассмотрению известных реше-
ний системы уравнений (5.14) ... (5.17), остановимся сначала на
некоторых соображениях подобия, которые должны показать, от
каких безразмерных параметров зависят эти решения.
Приведем уравнения к безразмерному виду, используя в ка-
честве масштабов значения параметров газа в набегающем по-
токе рн, цн, Хн. В качестве масштаба для продольных размеров
возьмем характерный размер тела /, для поперечных размеров —
масштаб //]/ Re, имеющий порядок толщины слоя б.
Соответственно, для продольных скоростей используем мас-
штаб цн, а для поперечных — uH/]/”Re. Масштабом температуры
может служить, например, перепад (Тон — Tw). Уравнения в без-
размерной форме будут иметь вид (ср = const):
, , ди'	.	,	,	ди'	др'	, д	(	.	ди' \
р и + р v -з-г =--------------- 4- -5-7- ц' -5—	(5.22)
г	дх'	1	г	ду	дх	ду	\'	ду,Г -	'
, , дТ' , , дТ' 1 д (., дТ" \ .
Р U —Х~,--R	Р	V --	--g----5—	| X	~х~Г~	) +
дх	1	г	ду	Рг	ду	К	ду	) ‘
2
+ т ) [у + “'#]•	(5-23)
ср U он 1 w) L \°У /	ох J
Граничные условия в безразмерной форме имеют вид:
при у = 0 и—О, Т' = 7\,/(Г0н — Tw);
при t/->oo u'->ujua,	(5.24)
Законы изменения вязкости и теплопроводности в выражении
(5.17) возьмем в простейшей форме p/pH =	Х/Хн —
= (Т/Тн)^.
115
Величина, стоящая перед квадратными скобками в уравне-
нии (5.23), может быть представлена через известные критерии
подобия:
и« Т	(к—1) М»
ср (Т’он — Тд,) срТа Тоа Tw _ 1)у2Мд + 1 — T'wi'^-я '
где k — cp)cv — показатель адиабаты.
Как видно, в уравнения и в граничные условия входят без-
размерные величины — определяющие критерии подобия —
М —- Иц/Вт —	Tw/1 н, 71^, /Ы.	(5.26)
Число Рейнольдса не входит непосредственно в систему (5.22) ...
(5.24), что связано со специальным выбором масштабов для длин
и скоростей в поперечном направлении так, что безразмерные
значения у' = y/l j/"Re и v' = v/uH]/~Re имеют одинаковый по-
рядок с х' = х/1, и' = н/ии.
В практических задачах требуется определить значения удель-
ного теплового потока в стенку и напряжения трения:
- НЯ-=(Я),-.-Я1; <5-27>
/ ди \	/ ди' \ VRe	оо.
~ ду Л=о	( ду' )у'=о I ‘	(5’28^
Безразмерные значения (-ч-т-
Соответствующие безразмерные критерии подобия можно пред-
ставить в виде:
Nu = qwlT . г СрТЯ; (5.29)
__У %) / дм
f ~ 1 „ „2 ~ Нн \ ду’ Л’.- о 1
2 Рн н	2
и (•^7-') должны быть
р’=о к ду /р'-о
получены из решения системы уравнений (5.22) ... (5.23) и за-
висят только от определяющих параметров (5.26).
Следовательно, для ламинарного течения критериальные урав-
нения для расчета теплообмена и трения в точках поверхности
х' — х/1 имеют вид
Nu/Re = /1(M, Pr, Tw/Tn, k, nY, п2, x/l);	(5.31)
CfVRe = /2(М, Pr, TwjTn, k, Пг, n2, x/l).	(5.32)
Таким образом, при расчете ламинарного теплообмена и тре-
ния нет необходимости определять отдельно Nu и Cf, а можно
вычислять комплексы Nu/У Re и С{ Re и далее по значениям
этих комплексов определять коэффициент теплоотдачи а и на-
116
пряжение трения тш. Эта особенность является общим свойством
ламинарного течения. Если определить
то
Nu .	Nu	-1
I	]/Re	'	,11н
Р Н^" т)
Используя далее условие Лп == —=—•, получаем
Ргп
а — Nu 1	СР .
' у "Re *	/ Ргн ’	(5.33)
аналогично
= -у Cf /Re
В этих формулах значения Nu/V^Re и СД/Т^ё представляют
собой некоторые искомые безразмерные числа, зависящие от оп-
ределяющих критериев подобия в соответствии с формулами
(5.31) и (5.32).
С учетом результатов, полученных в разд. 5.2, можно утверждать,
что для ламинарного течения в общем случае справедливы зависимо-
6	1 v 1 а	1 ти, 1
I	У Re	ин V Re Рн“нср	/Re	VRe
Рассмотрим далее безразмерное уравнение (5.23). Если отно-
шение Tw/Ta отлично от единицы, то, как видно из уравнения
(5.25), влияние двух последних членов будет существенным только
при большом М и пренебрежимо мало, если М -> 0.
Это согласуется со сделанным в предыдущем разделе выводом
о том, что выделение тепла при трении и сжатии существенно
только при больших значениях М. (Если =1, то нагрев
может вызываться только трением и сжатием и последние члены
в уравнении (5.23) остаются конечными также и при М 0.
Поскольку нагрев при этом пренебрежимо мал, то этот случай
имеет чисто академическое значение.)
5.6, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Одной из интегральных характеристик пограничного
слоя является толщина вытеснения
«о
<5'34)
о
Интегрирование от 0 до оо означает, что значение верхнего
предела интеграла превышает значение толщины слоя 6. Физиче-
117
ский смысл толщины вытесне-
ния следует из выражения
оо
6*Pt«i = j (Pi«i — pu)dy.
°	(5.35)
Интеграл соответствует умень-
шению расхода жидкости, проте-
Рис. 5.4. Схема отклонения линий то-
ка внутри пограничного слоя;
1 — граница слоя; 2 — линии тока
кающей вдоль поверхности, из-за образования пограничного слоя.
Из-за уменьшения расхода линии тока вблизи поверхности от-
клоняются так, как это было бы при обтекании идеальной жидко-
стью некоторого более толстого тела (рис. 5.4). Отсюда следует,
что толщина вытеснения представляет собой некоторое условное
расстояние, на которое нужно отодвинуть стенку, чтобы при обте-
кании тела идеальной жидкостью получить распределение дав-
ления таким же, как и при обтекании истинного контура тела вяз-
кой жидкостью.
Следующая интегральная характеристика пограничного слоя —
толщина потери импульса 6** — выражается формулой
5** = С С1 _ dy.	(5.36)
J Р1Щ \ щ	'
о
Величина 6** характеризует потерю количества движения
из-за трения. Физический смысл величин толщины вытеснения
и толщины потери импульса можно выявить из рассмотрения ин-
тегрального уравнения импульса. Для вывода интегрального
уравнения используем уравнения (5.14) и (5.18) для осесимме-
тричного течения. Приняв R = const, можно будет легко полу-
чить соответствующее соотношение для плоского течения.
Используя уравнение Бернулли для идеального газа
и уравнение неразрывности для осесимметричного течения (5.18),
преобразуем уравнение (5.14) и получим
i (RpU") + (КCUV) _ ЯрА (J + Я ±	) .	(5.37)
Умножая обе части уравнения (5.18) на иг (х), получаем
д (pRuui~) । д (pRvud _ nn„ dui
дх ' ду RpU дх 
(5.38)
Вычитая почленно обе части уравнения (5.37) из уравнения
(5.38), имеем
~ [pRu (их - и)] + [pRv (Ы1 ~и)] + Rd-^ (plU1 - pu) =
' R 'ду (? дуУ
(5.39)
118
Интегрируя обе части равенства поперек пограничного слоя
от 0 до оо, получаем интегральное уравнение количества движения
+ § /?Р1М’ = R^,	(5.40)
где 6** и 6*
/ ди \
~~ V ду ) у^о
определяются выражениями (5.34) и (5.36);	—
Для случая течения вдоль пластины без градиен-
та давления при R = const
^(р>«?6**) = тда.
(5.41)
Сопротивление трения пластины шириной Ь, длиной I будет
равно
i
W = b \xwdx = b^u\e\	(5.42)
о
Таким образом, 6** в этом случае определяет суммарное сопро-
тивление трения. Покажем, что этот вывод справедлив и в общем
случае течения на поверхности тела с криволинейной образующей
(рис. 5.5).
Сопротивление тела произвольной формы складывается из со-
противления давления и сопротивления трения. Сопротивление
давления при наличии пограничного слоя изменяется, во-первых,
из-за оттеснения линий тока. Однако это сопротивление не свя-
зано непосредственно с вязкими потерями и может быть компенси-
ровано путем исправления контура тела на толщину вытеснения.
Во-вторых, сопротивление давления может измениться от того,
что в пристеночном слое на криволинейной поверхности инерцион-
ные центробежные силы будут различными в случае распределения
скорости и плотности, соответствующих течению идеальной жид-
кости, и в случае распределения скорости и плотности, соответ-
ствующих пограничному слою. Это изменение давления дает вклад
в потери импульса в сопле и может быть названо вязким изменением
давления. Рассмотрим влияние этих факторов на примере течения
в сопле, хотя выводы останутся справедливыми и для случая
внешнего обтекания тела.
Пусть параметры идеального сопла (без трения) заданы: G —
расход; иа, ра, ра — скорость, давление и плотность на срезе
сопла (см. рис. 5.5). Если кон-
тур сопла исправлен (расши-
рен) на толщину вытеснения, то
эти величины останутся без из-
менения в реальном сопле.
Рис. 5.5. Схема расчета потерь на тре-
ние в сопле
119
Потери тяги в таком исправленном сопле из-за поверхностного
трения и изменения сил давления
X	X
W = 2л J Rxw cos <р dx — 2л J ptR sin <p dx
о	о
*ид
+ 2л j pxR sin ф dxt,a,	(5.43)
о
где R — радиус Ьращения (расстояние по нормали от оси сопла
до точек образующей); <р — угол между касательной к образующей
сопла и осью; — давление на стенке сопла; индекс «ид» отно-
сится к идеальному (не исправленному на толщину вытеснения)
соплу.
Обозначим Rn (х) радиус кривизны образующей исправленного
сопла в меридиальной плоскости. Так как приращение dx„R свя-
зано со значением dx соотношением dxajl = dx (1 —• 6*/Rn), то
X	X
W — 2л j Rxw cos ф dx — 2л j A (px7? sin ф) dx
о	о
— 2л j pr sin ф6*/7?п dx.
о
Первый член в уравнении (5.44) определяет силы трения, вто-
рой — вязкое изменение давления, третий — увеличение силы
тяги из-за увеличения поверхности сопла.
Для учета влияния центробежных сил инерции используем
уравнение импульсов в проекции на ось у
I dp |_РЦ1
I rfF | Rn '
(5.44)
(5.45)
Значение dp/dy < 0, если ось у направлена к центру кривизны.
Если контур исправлен на толщину вытеснения, то давление р'
на некоторой линии тока вне пограничного слоя одинаково в
идеальном и реальном соплах, а на стенке оно различно в резуль-
тате разного действия инерционных сил:
у'	у'
So	Г	о	о
^Ldy = p' +И“±^-£р.б*;	(5.46)
Дп	J	Ап	Ап
6*	О
У
p^p'+\{~dy.	(5.47)
о
Отсюда
р.и?
Др = л-Лид = --^-6**.	(5.48)
120
Далее из геометрических соображений
A sin <р = cos <р , AjR = б* cos ф;
1 _	dtp
Rn ~~	dx'
-у- — sin ф.
rtY	’
(5.49)
Подставляя эти значения в уравнение (5.44), получаем
W = 2л j Rtw cos ф dx — 2л J piU2t6**R sin ф dx —
о	о
X	X
С	d$*	С	*
— 2л 1 Rpi cos ф dx — 2л 1 pi sin ф cos ф  б dx +
о -	о
+ 2л PiR sin <$>•&* ^dx.	(5.50)
о
Подставляя в уравнение (5.50) значение Rxw из равенства (5.40)
и используя очевидные соотношения
d	dtp ,	du. dp
-J- COS Ф =------y- Sin ф И piU, =--------------r-,
dx r dx r 1 dx dx ’
имеем
W = 2л J ~ (Rptu26'*) созф dx + 2л j Rpiufy** dx —
о	о
— 2л R 6* совфс/х — 2л J Ярх^-соБф dx —
о	0
— 2л J pi6* cos ф dx — 2л J Rpi8* - dx =
о	0
X	X
= 2л f ~ (jRpiufe’* cos ф) dx — 2л f (Rpi&* cos ф) dx. (5.51)
CLX	J uX
о	0
Принимая в начале сопла б* = 0 и б** = 0, имеем оконча-
тельно выражение для потери тяги, тождественно равное (5.43),
W = 2л/?ара«аба‘ COS фа — 2nRapa&a СОЗфд. (5.52)
Этот результат можно получить и непосредственно, сравнивая
импульс в выходном сечении идеального (без трения) сопла и
сопла, исправленного на толщину вытеснения, но с учетом трения.
121
Рис. 5.6. Схема вывода интегрального
уравнения энергии
сопла, поскольку может быть
геометрии.
В качестве интегральной
используется толщина потери
скорости внешнего потока
Таким образом, толщина по-
тери импульса на среде соп-
ла 6J* характеризует все по-
тери количества движения,
связанные с вязкостью и дисси-
пацией энергии. Изменение ко-
личества движения, связанное
с уменьшением расхода через
пограничный слой, характери-
зуется толщиной вытеснения
и не является потерей тяги
компенсировано изменением его
характеристики теплового слоя
энергии 6^‘. При сверхзвуковой
бт“
С	Т!>_ Дц
.) Pi«i тп - тш ау-
О
(5.53)
Эта величина характеризует количество тепла, потерянное
пограничным слоем путем теплоотвода в стенку. Для пояснения
физического смысла этой величины рассмотрим интегральное
уравнение энергии. Рассмотрим осесимметричное обтекание неко-
торого тела, температура которого поддерживается постоянной
и равной Tw.
Выделим контур abed (рис. 5.6), где линия Ьс совпадает с линией
тока, а точка с находится вне пограничного слоя. Примем, что
на тело набегает поток с параметрами ин, ТОн, рн. В сечении cd
параметры потока вне пограничного слоя plt u1( Т01.
Из условия баланса энергии тепловой поток, уходящий в
стенку,
Qui	таЬсрРон	2лср риТ^ (R у) dy,
о
где таЪ — масса, втекающая в сечение ab, причем таЪ — mcd,
«с
поскольку Ьс — линия тока; таЪ = 2л [ ри (Д + y)dy.
б
Внутри тонкого пограничного слоя у/Д < 1 и так как Т01 =
= 7\>н>
Q.w = 2nRCppvur (Тп - Тш) f ДД	dy (5.54)
J PlUl 7 01 J w
0
Окончательно получаем
Qw = 2^RcpplUl (Ты - Tw) 8”.	(5.55)
122
X
Из соотношения Qw = j 2лRqwdx следует, что
о
После дифференцирования уравнения (5.55) с учетом равенства
(5.56) получаем интегральное уравнение энергии
[ЯсРрА (Л1 ~ Tw) бД] = Rqw.	(5.57)
Из этого уравнения видно, что толщина потери энергии про-
порциональна полному количеству тепла, отданному потоком
в стенку на участке от начала развития пограничного слоя до
рассматриваемого сечения, вне зависимости от распределения
давления.
Уравнения (5.40) и (5.57) для определения толщины потери
импульса и энергии являются вполне строгими. Однако они не
являются замкнутыми, поскольку для их решения необходимо
иметь связь между тш и 6**, qw и 6Т’* и между 6** и 6*. Благодаря
тому, что уравнения (5.40) и (5.57) не зависят от режима течения
в пограничном слое и их порядок ниже, чем порядок дифферен-
циальных уравнений (5.14)...(5.16), они с успехом используются
в приближенных расчетах и при обработке экспериментальных
данных.
5.7. ТЕПЛООБМЕН ПРИ МАЛЫХ СКОРОСТЯХ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Рассмотрим сначала случай, когда жидкость можно
считать несжимаемой: р = const, ср = const, р, = const, к =
— const и М«1. Дифференциальные уравнения (5.22) и (5.23)
при этом получают вид (штрихи над обозначениями отброшены)
ди .	ди   dp . д2и _
дх '	ду	dx ду2 ’
дТ_	_ р. (д2Т \
U дх ' ду Рг \ ду2 / ’
а уравнение неразрывности
ди dv
дх “г ду
(5.58)
(5.59)
(5.60)
Тепловой поток и напряжение трения определяются формулами
(5.27) и (5.28):
?Ш = МЛ-Тю)(^=о^;	(5.61)
/ ди \ Д/Ре
-	\ ду ~1
(5.62)
123
Используя формулу Ньютона, получаем
/-г 'г \	f дТ \ VRe
= а “ г-) и а = Л ( аГЛ=0— •
Граничными условиями системы (5.58)...(5.60) будут:
при у = 0 и = 0, v = О, Т = Tw\
при у-*-<х> u-+ut, Т-+7\.
Рассмотрим применение интегральных уравнений для расчета
теплообмена в простейшем случае течения — вдоль плоской
пластины (dp/dx = 0). (Строгий метод решения системы дифферен-
циальных уравнений пограничного слоя для пластины будет
рассмотрен в разд. 5.11.)
Интегральные соотношения имеют вид
d6**  тю .
d*	ри? ’
(5.64)
гй**
dx
_______Qw______
cpPui (7\ Tw)
(5.65)
Выберем подходящие выражения для распределения скорости
и температуры таким образом, чтобы они удовлетворяли важней-
шим граничным условиям и, кроме того, содержали два свободных
параметра, которые могли бы быть определены из уравнений
(5.64) и (5.65). Примем
(5 66>
Ьнч]='><”>>•	<5-67>
Здесь принято, что профили скорости и соответственно темпе-
ратуры в различных сечениях отличаются только масштабом
координат и что вид функций f (ц) и (т^) не зависит от х. След-
ствием принятого условия, обоснованного в разд. 5.10, является
также то, что отношение £ = 6т/6 — const.
Результаты расчета будут тем точнее, чем ближе выбранные
профили будут совпадать с истинными. Выберем вид функций
таким образом, чтобы удовлетворить граничным условиям (5.63)
и дополнительно дифференциальным уравнениям (5.58)...(5.59)
при
у = 0 — (d2u/dz/2)v=0 и (<?2Т/<?х2)г/=о = 0.
На внешней границе у -> оо примем условие плавности сопря-
жения профилей скорости и температуры с их значениями вне
124
пограничного слоя. Аппроксимируем функции f и f1 полиномами
третьей степени:
-±- = а0 4- ajTj 4- а,ц2 4- й3ц3;	(5.68)
и1
ур--п?~ — бо Ч- i’l'Hi 4~ 62Л1 4~ бзт]р	(5.69)
1 1	1 W
Для определения коэффициентов a-t и bt используем восемь
условий на границах, оставив значения 8 и 6, свободными пара-
метрами. Тогда получаем
« _ 3 У	' ( У V .	/К -7СЛ
«! “ 2 б	2 к 6 / ’	<5-70)
т Тщ _____ 3	у_____1 / У V	/е	Ч
. 'Л - То, "	2	бт	2 к 6Т /	’	1	'
Толщина потери энергии может быть представлена в виде
«т
б"= (ЧИ1 ~	=
J ^1 \	* 1	1(1)/
о
«г
о
Если £ не сильно отличается от единицы, то, интегрируя, полу-
чаем
e;'-«(4?-is‘)-	<5-72)
Соответственно толщина потери импульса
49
6** = 6<g;	(5.73)
напряжение трения на стенке
" И к ду Jy^o ~ *2~ “Г ’	(5-74)
тепловой поток в стенку
п __ а I дТ I __ 3 « 7\ Tw 3	1 7\ — Tw .г
4w~ Ч	—з;——§—• <5-75)
Подставляя выражения (5.72) и (5.73) в интегральное уравнение
импульса, имеем
<5-76)
Ри1
б = 4,64 1/^.	(5.77)
Г Р^!
125
Отсюда напряжение трения на стенке
З^УЖ= 0,323.	(5.78)
Р«!
Подставляя выражения (5.72) и (5.75) в интегральное уравне-
ние энергии (5.65), получаем (при £ = const)
=4~^—dx-	(5-79)
\ 20 ъ 280 ъ J	2 Cppuj	v ’
Разделив почленно левую и правую части уравнения (5.79)
на уравнение (5.76), имеем
W =-У’- Ж <5-80»
Пренебрегая вторым членом в правой части, найдем
(5.8!)
Подставляя равенства (5.77) и (5.81) в выражение (5.75),
имеем выражение для теплового потока
УЖ = 0,323 Рг~2/3,	(5.82)
pitjCp	7
или, сравнивая с выражением (5.78),
Сн = -LCf Рг“2/3 =	Рг”2/3,	(5.83)
где Сн =	--тг-г и коэффициент трения Cf =	.
Точные решения для этого случая дают другой численный
коэффициент
сн = 4- С/Рг~2/з = 44^-Рг~2/3 •	(5 •84)
У Re
При значении Рг = 1 уравнение (5.84) переходит в уравнение
гидродинамической аналогии между трением и теплообменом.
Для этого случая справедливо также условие
в чем легко убедиться, подставляя значение Т из условия (5.85)
в уравнение (5.59) и граничные условия (5.63), которые становятся
тождественными с уравнением
Рис. 5.7. Схема развития погранично-
го слоя на пластине соступень кой
температуры
126
(5.58) и соответствующими гра-
ничными условиями.
Аналогично может быть полу-
чена формула для расчета тепло-
обмена на пластине, имеющей
переменнуютемпературу стенки.
Простейшим случаем является
ступенчатое изменение темпера-
туры, когда передняя часть пластины длиной х0 имеет температуру,
равную температуре внешнего потока Ти а на остальной части
пластины при х/>хй поддерживается при температуре Tw (рис. 5.7).
При этом на передней части пластины отсутствует теплообмен,
динамический пограничный слой развивается от точки х — О,
а тепловой — от точки х = хй. Отношение толщин слоев £ =
= 6т/6 будет являться функцией х/х0.
Решение уравнений (5.64) и (5.65) дает для этого случая
Е=vW Л1	(5'86>
и
п 1------ 0 323Рг~2/3
/ Re = .,"±12	(?! - Тю).	(5.87)
Поскольку задача-решалась в рамках несжимаемой жидкости,
то распределение температуры не оказывает обратного влияния
на распределение скорости, т. е. решение уравнения (5.64) не
зависит от решения уравнения (5.65); напряжение трения при
этом может по-прежнему рассчитываться по формуле (5.78).
Используя линейность дифференциального уравнения энергии
в несжимаемой жидкости, полученный результат легко распростра-
нить на случай, когда температура пластины изменяется ступен-
чато на величины АТц, А7\,2, АТ^, , ^Tw. в точках хх, х2>
х3, ..., Xt.
Тепловой поток в стенку может быть представлен как сумма
qw = 2 а«АТ’и,г>
1
где
дт1 __ 'г	т	и п	_	0,332Рг	2/э Piuicp
А / и, —	1 1	1 w.	И а,(	— 3 — ....	..	—	(0.88)
'	j	/ 1 — (х;/х)3/4 V Rex
рассчитываются для каждого t-ro участка в предположении, что
тепловой слой начинается в точке xt.
5.8. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРЫ И СКОРОСТИ
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ПРИ БОЛЬШИХ СКОРОСТЯХ
ПОТОКА
Рассмотрим в качестве примера течение вдоль плоской
пластины. При этом dp/dx — 0 и вне пограничного слоя =
= const, Т\ — const (а следовательно, и Гм = const).
Если число Рг = 1 и ср = const, то’уравнения движения (5.14)
для пластины и энергии в форме (5.20) примут вид:
ди ди	д ( ди \	п
—F Pv ~ ~5~ ( И дг” Ь	(5.89)
1 дх 1 г ду ду \ ‘ ду )	v '
дТа . дТ0	д / дТ0\	пп.
рЦ _-L. „а(5.90)
' дх 1 ' ду ду V ду J	v 7
127
Граничные условия: при у = 0 и = О, То — Tw; у —> оа
и —* ult Гд —> ТQi-
Уравнения (5.89) и (5.90) аналогичны по форме. Легко пока-
зать, что условие
(То - TW)/(TO1 - Tw) = и/иг	(5.91)
является решением уравнения (5.90). Действительно, если опре-
делить
То —	(Т01 — Tw) + Tw
“i
и подставить в уравнение (5.90), то уравнение (5.90) и граничное
условие для температуры торможения станут тождественны урав-
нению (5.89) с соответствующим граничным условием. Следова-
тельно, в этом случае справедливо условие подобия профилей
скорости и температуры торможения (5.91).
Полученное математическое условие имеет физический смысл
и является следствием того, что перенос количества движения
и энергии при Рг — 1 происходит с помощью одинаковых молеку-
лярных процессов.
При малых скоростях То — Т и, следовательно, профили ско-
рости и статической температуры подобны: (Г — Ги,)/(Т1 — Tw) —
= и/и^
Распределения скорости и температуры при малых скоростях
потока, когда энтальпия газа значительно больше кинетической
энергии (М < 1), представлены на рис. 5.8. Как видно, при
приближении к стенке значения температуры газа в пограничном
слое монотонно стремятся к значению, равному температуре
стенки.
При больших скоростях потока (М )§> 1) монотонным будет
только изменение температуры торможения. Распределение стати-
ческой температуры из-за выделения тепла при торможении га-
за в пограничном слое может иметь другой вид, зависящий от за-
и температуры в пограничном слое при
М< 1:
Г - 4W > о; 2 - qw < 0; 3 -	= 0
Рис. 5.9. Кривые распределения
температуры в пограничном слое
при М > 1:
i-4w> о; 2 - qw = 0;	3 -
< о
128
дания условий теплообмена на стенке. На рис. 5.9 показан при-
мерный вид кривых. Для исследования этих кривых рассмотрим
некоторые частные случаи.
5.8.1. Теплоизолированная поверхность при Рг = 1
Рассмотрим случай, когда стенка теплоизолирована,
т. е. на ней отсутствует теплообмен, и число Рг = 1.
В действительности на поверхности тела всегда имеет место
теплообмен в виде, например, отвода тепла внутрь тела или излу-
чения во вне. Однако для исследования полезно рассмотреть
некоторую условную теплоизолированную адиабатную стенку.
г>	-	ъ /дТ \ п
В этом случае тепловой поток равен нулю: q№ = I = О
/ дТ \	_	_ и2 дТ дТ0 и ди
и -з-	=0, но / = "о-к- и	------з- па стенке при
\ ду Jw	" 2ср ду ду Ср ду	г
и = 0 и поэтому {dT/dy)™ = {dTnldy)w.
Уравнение (5.90) должно решаться при граничных условиях,
когда при у = 0 dTJdy = 0, а при у —оо То = Т01 и имеет
тривиальное решение: То = То1.
Всюду в пограничном слое при Рг = 1 устанавливается по-
стоянная температура торможения, равная температуре затормо-
женного набегающего потока. На стенке То = Тш и, следовательно,
температура теплоизолированной поверхности также равна тем-
пературе торможения внешнего потока. Распределение статиче-
ской температуры определяется из формулы Т = То ~—.
Отсюда
Т-Л + 2Г	(5-92)
zcp \	“1 /
Температура плавно изменяется от температуры внешнего
потока Ту до температуры Т01 у стенки. На рис. 5.10 приведены
зависимости безразмерных величин
_ и 	т .	п г - T*~Ti
и - ---,	1 — — --------- и 1 о = —------
.	u(/(2Cp)
от безразмерной координаты у/6. При больших скоростях потока
температура газа в пограничном слое выше, чем вне его. Работа
сил трения в каждой точке внутри слоя порож-
дает тепло. Выделение тепла уравновешивается
непрерывным отводом тепла из области с высо-
кой температурой в область с меньшей темпе-
ратурой. При Pr = 1 оба процесса уравкове-
^2
шаны, когда То  Т +	= То1.
Рис. 5.10. Распределения безразмерной скорости стати-
ческой температуры и температуры торможения в погра-
ничном слое при = 0; Рг = 1
5 Авдуевский
5.8.	2. Распределение температуры в пограничном
слое на теплоизолированной поверхности при Рг =4 1
Если число Прандтля Рг =/= 1, то на теплоизолирован-
ной стенке устанавливается температура, отличная от температуры
торможения внешнего потока. Для газов Рг <С 1 (например для
воздуха Рг « 0,71). В этом случае температура теплоизоли-
рованной стенки ниже температуры торможения внешнего
потока.
Обозначим температуру, которую принимает теплоизолирован-
ная стенка, через Те. При Рг < 1 процессы выделения тепла вслед-
ствие трения и отвода тепла теплопроводностью и конвективным
переносом находятся в равенстве, при этом Те <; То.
Введем понятие — коэффициент восстановления температуры
г = (^-ЛЖо1-Л) или иначе Г =	Те=Л+г^-=
= 7\(1 +г-^^Мг).
Коэффициент восстановления температуры г показывает, какая
доля кинетической энергии внешнего потока затрачена на повыше-
ние теплосодержания газа у стенки. При ламинарном течении
вдоль плоской пластины г^]/Рг. Для воздуха г « 0,84 и
Л = 71(1 + -^4 /PFM?)	(5.93)
или при k = 1,4 Те = 7\ (1 + 0,168 М,).
Распределение скорости, статической температуры и темпера-
туры торможения на теплоизолированной поверхности при Рг <Z 1
показано на рис. 5.11. Как видно, температура торможения у
стенки ниже температуры торможения внешнего потока. Из этой
области часть энергии передалась во внешнюю часть пограничного
слоя, вследствие чего температура торможения в этой части стала
больше температуры торможения внешнего потока.
В случае, когда скорость внешнего потока переменна (ut
=/= const и dpjdx =/= 0), коэффициент восстановления изменяется
по длине. Расчеты показывают, однако, что местное значение
Те — 7\	й
-V7-H—достаточно близко
к его значению на пластине г»]/"Рги
коэффициента восстановления г
2ср
и? i /——	\
1 +4 ГРг- 1 -(5-94)
“н
Рис. 5.11. Распределения безразмерной скорости, стати-
ческой температуры и температуры торможения в погра-
ничном слое при qm = 0; Рг < 1
В передней критической точке, где =0, Те = Топ; в точках,
где скорость близка к максимальной, т. е. где
Umax/(2cp) = То,,, Те « V Рг ТОн •
5.8.	3. Распределение температуры в пограничном
слое сжимаемого газа на пластине при теплообмене
Рассмотрим сначала случай Рг = 1. Тогда (То—
— TW)/(TO1 — Tw) = u/Uj. Учитывая, что То = Т + и2/(2ср), после
преобразования получим
2
Г =Г. + (Т,- П.)ф + Дф(1	(5.95)
Так как =-^-^-М12Т1, то
~	—	f 1 _JL). (5.96)
7\ Л \ Т\ ) их 1	2	«1 \	«1 /	'	'
Если число М мало (М -> 0), то получается известное соотно-
шение для малых скоростей
(Т - 7Д)/(7\ - 7Д) = u/uv
Распределение температуры и скорости поперек пограничного
слоя показано на рис. 5.12. Для случая Рг = 1, если Tw < Т01,
стенка будет нагреваться. При Tw > Т01 стенка будет охлаждаться;
при Tw = Т01 тепловой поток qw = Kw (dT/dy)w = 0.
Если Tw <' То1, то кривая распределения температуры имеет
максимум. Во внешней части пограничного слоя газ нагревается
от трения. Внутри пограничного слоя температура газа может
быть значительно выше температуры потока. Нагретый газ далее
передает тепло к стенке. Из-за отвода тепла б стенку температура
газа вблизи стенки понижается и непосредственно на охлаждаемой
стенке (dT/dy)w > 0.
Оценим максимальное значение температуры. Полагая Рг = 1,
дифференцируем выражение для определения Т по у и приравни-
ваем производную дТ]ду нулю. Зна-
чение Тщах определится по формуле
Emax Tw   1 / 1 — ТW]T;	. \
Eol - Tw ~ ~4 k - 1 М2 ‘	•
\	2	1	/
(5.97)
Рис. 5.12. Распределение безразмерной скорости
и температуры при наличии теплообмена
(Рг = 1):
’ Г Tw < Дг г ~ Д, = Дг 3-Tw> То1; 4 -
n/Ui
5*
Если М > 1 при Tw ж Tlt то (Тшах — TW)/(TO1 — Tw) = 1/4.
Например, при числе полета Ма 20	= 250 К; Tw » 1000 К;
Ещах ~ 5700 К. Таким образом, хотя температура потока у стенки
не превышает 1000 К, внутри пограничного слоя устанавливается
весьма высокая температура.
Если Рг 1, то распределение температур на стенке с тепло-
обменом имеет аналогичный вид. Однако, поскольку при отсут-
ствии теплообмена на стенке устанавливается температура, отлич-
ная от температуры торможения (Те Т01), стенка будет охлаж-
даться внешним потоком, если ее поддерживать при температуре
Tw > Те, и будет нагреваться внешним потоком, если ее поддер-
живать при температуре Tw <Z Те.
5.9.	КОЭФФИЦИЕНТ ТЕПЛООТДАЧИ ПРИ БОЛЬШИХ
СКОРОСТЯХ
Как уже указывалось, при больших скоростях, для
того чтобы учесть выделение тепла из-за диссипации кинетической
энергии при Pr = 1, формула для расчета теплообмена должна
быть записана в виде
7® — а (T’oi Т ®)>	(5.98)
где Т01 —• температура торможения вне пограничного слоя,
характеризующая полную тепловую энергию потока.
Однако, как следует из рассмотрения распределения темпера-
туры на теплоизолированной поверхности при Рг 1, в тепло
на стенке преобразуется только часть кинетической энергии.
Максимально допустимая при этом температура Те ~ Т\ +
+ ги*/(2ср) может быть использована как величина, характери-
зующая тепловую энергию внешнего потока для расчета тепло-
обмена, и выражение для расчета теплообмена может быть записано
в виде
qw = ^(Te-Tw).	(5.99)
Эта формула имеет еще то преимущество, что в случае тепло-
изолированной стенки, когда Tw = Те, при любом а значение
qw = 0. При Рг = 1 формулы (5.98) и (5.99) совпадают.
Следует указать, что в формуле (5.99) значение Те является
некоторой эффективной температурой, численно совпадающей
с температурой теплоизолированной поверхности. Внутри погра-
ничного слоя на охлаждаемой поверхности температура во всех
точках меньше, чем Те.
5.10.	СВЯЗЬ МЕЖДУ ТРЕНИЕМ И ТЕПЛООТДАЧЕЙ
В разд. 5.6 при расчете пограничного слоя на плоской
пластине в несжимаемой жидкости методом интегральных соотно-
шений были получены выражения (5.83) и (5.84), связывающие
132
между собой коэффициенты трения и теплообмена при малых
скоростях потока.
Покажем теперь, что, используя определение коэффициента
теплообмена по формулам (5.98) и (5.99), можно получить аналогич-
ные более общие выражения, справедливые при течении газа с
большими скоростями.
Напряжение трения определяется по формуле
____	( ди \ ___ Zди\ _ _________ и
Т“’_ ~
Для случая течения вдоль плоской пластины при Рг = 1
справедливо условие (5.91). Тогда iw = -„г—( ~а - ,а при
1 01	* w \ иу / w
.. _ л ( дТр X _ / дТ X ______ ___На>ц1___л / дТ X
У \ ду Jw \.-ду )w’ ш	'Ч ду к
Поскольку
JWp .	, ( дТ X
Рг ~	~ 1 И (. ду L ~ <7“”
тп — —	_
ui ср (Т<н Тоу)
Переходя к безразмерным величинам, получаем-------—=—г =
Р1ц1ср U 01-' w)
"TfM
’ откуда
St = 4-Cy.	(5.100)
Используя условие Nu — St Re Рг, можно записать вместо
(5.100)
Nu = 4-C/Re.	(5.101)
Найденные выражения являются условием аналогии между
теплообменом и трением. Уравнения (5.100) и (5.101) справедливы
при больших и малых скоростях.
Если число Рг =£ 1, то в эти уравнения необходимо внести
поправки. Аппроксимируя расчеты, проведенные на пластине
при Рг =/= 1, получаем уравнение
Nu =С/Re Рг1/3.	(5.102)
При этом коэффициент теплоотдачи а определяется в соответствии
с формулой (5.99).
В потоке с продольным градиентом давления эта связь имеет
более сложный вид:
Nu == SC/RePrn,	(5.103)
где S и п зависят от распределения давления.
133
5.11.	ТЕПЛООБМЕН ПРИ ТЕЧЕНИИ ВДОЛЬ ПЛОСКОЙ
ПЛАСТИНЫ
Рассмотрим простейший случай течения вдоль плоской
пластины, когда скорость и давление потока вне пограничного
слоя постоянны. Этот случай имеет большое практическое значе-
ние. При обтекании боковой поверхности корпуса летательного
аппарата поверхности крыла сверхзвуковым потоком и в ряде
других случаев изменение давления незначительно и для расчета
теплообмена можно использовать формулы, полученные для
пластины.
Рассмотрим пластину (см. рис. 5.1). Параметры течения вне
пограничного слоя ut = мн; рх = рн; Т„ = Т\. Уравнения погра-
ничного слоя имеют вид (5.14)...(5.16) при dp/dx = 0. Для опреде-
ления теплового потока будем использовать соотношение (5.99)
и соответственно
Nu = .-.
(Д-ГДХн
(5.104)
Поскольку --------~~ = f (М, Рг), общий вид критериальных
'ОН ' W
зависимостей (5.31)...(5.32) остается без изменения. Однако на
пластине нельзя указать характерный размер I, входящий в опре-
деляющие критерии подобия.
Действительно, тепловой поток в какой-либо точке пластины
не должен зависеть от изменения общей длины пластины I. Это
связано с тем, что вверх по потоку в направлении уменьшения
х влияние длины пластины через тонкий пограничный слой,
описываемый дифференциальными уравнениями параболического
типа, передаваться не может. Физически точки, лежащие ниже
по потоку, оказывают влияние на точки вверх по потоку, однако
оно заметно только на расстоянии порядка толщины слоя 6.
Поэтому пластину длиной I можно рассматривать как полубеско-
нечную.
Отсюда следует, что в критериальных зависимостях (5.31),
(5.32) необходимо отыскать такую комбинацию переменных, при
которой выпадает длина I. Исходя из этого, получаем условие
Nu/]/Re~ (х//)-1/2 и C/]/"Re ~ (х//)~1/2, и критериальные зависи-
мости для течения на пластине приобретают вид
NuJ/Ж = /3(М1; Pr1; TJT,, k, nlt nJ, (5.105)
Ct KRe^ = /4 (Mi, Piy, TWIT\, k, nlt nJ, (5.106)
где Nux = ax/%!; Рех = -1^-.
Hi
Аналогично можно получить выражение для размера погра-
ничного слоя, например для его толщины:
£
х
Rex = A(Mi, Рг> tw/t\, k, П1, nJ.
(5.107)
134
Для любой точки х пластины при ламинарном режиме
а ~ 1 /]/х, т№ ~ 1	6 ~ ]/~х, v ~ 1 !У~х-
Из формулы (5.105) следует очень важный вывод, что в любой
точке пластины отношение Nux/]/Rex постоянно. Поэтому, при
расчете теплообмена целесообразно не рассматривать отдельно
критерии подобия Nux и Rex, а использовать новый комбиниро-
ванный критерий Nux/]/Rex, что и будет нами сделано при расчете
теплообмена.
Отнеся физические параметры р, р, X к условиям при темпе-
ратуре стенки Tw, получаем расчетные формулы:
_ Nuo, 1/	ср (Te — Tw)
где
+	(5.109)
а
со = ^1м?	(5.110)
и
= 4	]/ и^~-.	(5.1Н)
В этих формулах остаются неизвестными численные значения
комплексов Nuw/]/ Re№ и (С/)ШУ Rew, являющиеся функциями опре-
деляющих критериев подобия Мп Ргю, ТуТг, k, пг, п1. Вид этих
функций может быть получен на основании решения уравнений
(5.14)...(5.17) или из экспериментов.
5.12.	РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА В ПОГРАНИЧНОМ
СЛОЕ НА ПЛАСТИНЕ
Уравнения пограничного слоя в частных производных
для пластины могут быть преобразованы в систему обыкновенных
дифференциальных уравнений. Такая возможность связана с тем,
что профили скорости и температуры в разных сечениях подобны
друг другу в переменных у/Ь, или с учетом уравнения (5.107)
имеет место условие u/uj = и (?]) и T/Tt — Т Си), где г] = у X
V 2 щх ' о
Уравнения пограничного слоя (5.14)...(5.17) с учетом условия
dpjdx — 0, справедливого при обтекании плоской пластины,
135
после перехода от независимых переменных х, у к переменным х,
Т] приводятся к виду
(Т|
j pudt]) й' — (Й-й')';	(5.112)
о
/п \
-( jpudT]ir= (£?)' + Й(«')2(*- 1)М?.	(5.113)
Здесь
Т' = dT/dr\; и' = du/diy, р = р/рг;
„2
^==(й-1)м|; ц =
Ср/ !	Ц1
Л
Обозначая jpudt]== W; и' = т; Т — q, получаем'систему пяти
о
обыкновенных уравнений первого порядка
й' = т; W’  рй;
(йт)' = — tW; Т'~= q;	(5.114)
(-£?)' ^-qW-^(k- 1)М?
с граничными условиями: при z/ = Ou = IF = O, Т = Tw; при
у -> сю й -> 1, Т —> 1.
Система (5.14) может быть решена с помощью ЭВМ одним из
стандартных методов. Результаты расчетов системы (5.114),
проведенных в широком диапазоне изменения М, Tw/T\, Рг и при
различных предположениях о зависимости вязкости и теплопро-
водности от температуры, могут быть представлены в виде
NuJ/Re^ = 0,332 Рг1/3#.
Соответственно из уравнения (5.108) следует:
qw = 0,332# ]/	ср (Т е - Тш) Рг~2/3 -
= 0,332# PwU^p Т~ Рг—2/3.	(5.115)
Ж
Средний тепловой поток на пластине длиной х определяется по
X
формуле <7ср = 1/х J q^dx = 2qw, а полное количество тепла, пере-
о
данное стенке с шириной, равной единице, — по формуле
Qw dcp-^7=1	(5.116)
Коэффициент # — фактор, учитывающий влияние сжимаемости:
# = / (со, Tw/Tlt пъ п2).
136
Рис. 5.13. Распределение безразмерной
скорости и температуры в пограничном
слое при различных числах М на
теплоизолированной поверхности Т~
Т — Т\
= ч?/(2Ср)
Рис. 5.14. Зависимость
2Nu/(VR^Pr1/3) от М и TjTi
Для значения /С можно предложить различные аппроксимацион-
ные зависимости. Например, используя представления о форме
профиля температуры
(5.117)
Здесь индекс « * » означает, что данная величина отнесена к
максимальной температуре Т* ~ Т,„,^ [см. формулу (5.97)], либо
Т* ~ Tw, если Та, > Те, либо Т* ~ Т1г если со < 1 — TWIT\-
При использовании понятий определяющей температуры
7(о) =	+ 0,5 (Та, — Л) + 0,22 со
получим
/||(°)010) \0’5 Рг
ТУ' __ I И Р I *
~ \	) Рг(о) ’
(5.118)
где верхний индекс «о» означает, что соответствующие величины
берутся при определяющей температуре.
В формулы (5.118) и (5.117) не входит в явном виде отношение
температур (Tw/T^, поэтому они пригодны при различных зави-
симостях физических свойств от температуры. Если р ~ Тп,
Z ~ и Рг = const, то результаты расчета хорошо аппроксими-
руются зависимостью
п—1
К = /_РА_у/2 f 0,45 4-0,55^ +0,18со Рг'/2) 2 . (5-119)
В выражении Те = Тг (1 ф- гео) в диапазоне изменения пара-
метров воздуха коэффициент восстановления г = 0,84.
Возможность подбора простых аппроксимирующих формул
связана с относительно слабым влиянием М и Тда/Т1 на теплоотдачу
и трение. В частности, если п = 1 и р ~ 1/Т, то Д’ = 1 и влияние
сжимаемости на теплообмен на пластине исчезает.
Профили скорости и температуры и толщина пограничного
слоя существенно зависят от значений М и Т^Т^ На рис. 5.13
137
приведены результаты расчетов для теплоизолированной поверх-
ности при различных М и п = 0,75, Рг = 1. По оси ординат отло-
жена безразмерная координата т] = ~]/Rex. Как видно, при уве-
личении М толщина пограничного слоя растет, а профили скорости
становятся более прямыми. На рис. 5.14 представлены кривые
зависимости 2Nu/(]/Re1Pr1/3) от М и ТW[Ti при п = 0,5.
5.13.	РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПЕРЕМЕННОМ
ДАВЛЕНИИ ВНЕ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В общем случае произвольного распределения давления
вне пограничного слоя для расчета теплообмена необходимо решить
систему уравнений пограничного слоя в частных производных.
В настоящее время разработан ряд эффективных численных мето-
дов решения такой системы на быстродействующих вычислитель-
ных машинах.
Наряду с разработкой общих методов расчета теплообмена
при произвольном распределении давления возможны решения в
некоторых важных частных случаях распределения скорости вне
пограничного слоя путем преобразования системы уравнений
(5.14)...(5.17) в систему обыкновенных дифференциальных урав-
нений. Такие решения называются подобными.
Распределение скорости вне пограничного слоя зависит от
конкретной формы тела и условий его обтекания и может быть
самым различным (рис. 5.15, 5.16). Если скорость потока вне
пограничного слоя в несжимаемой жидкости изменяется по закону
= fixm, где х — расстояние от начала развития пограничного
слоя, то при введении специальных переменных система (5.14)...
(5.17) может быть преобразована в систему обыкновенных диффе-
ренциальных уравнений. Это является справедливым, если значе-
ния скорости существенно меньше скорости звука (Мх =
« 1).
Рассмотрим случай, когда жидкость можно считать не-
сжимаемой: р = const, ср = const, v = р/р = const, Рг —
= const и Мг 1.
Рис. 5.16. Кривая рас-
пределения скорости в до-
звуковой части сопла
Рис. 5.15. Схема обтека-
ния сферы сверхзвуковым
потоком:
1 — ударная волна; 2 —
критическая точка
138
Уравнение Бернулли для струйки тока вне пограничного слоя
имеет вид
Тогда дифференциальные уравнения пограничного слоя в рассмат-
риваемом случае принимают вид
ди	,	ди и	-z	Р	V	-у-	= V дх	1	ду	д2и .	(1иг dy2'Ui~dx'	(5.121)
дТ , дТ	v д2Т	
U	+ v -7Г = дх 1 ду	Рг ду2 '	(5.122)
ди	dv дх	ду	= 0.	(5.123)
Для построения решения введем новую зависимую переменную
ф, называемую функцией тока и заданную соотношениями
и = ^; u =	(5.124)
ду	дх	х '
При переходе к переменной ф уравнение неразрывности выпол-
няет^ аналогично.
Выберем некоторый характерный масштаб пограничного слоя
S (х), не уточняя пока его форму, и введем безразмерные пара-
метры
T] = y/S-, й = и/и1-,
f = ф/(п15).	(5.125)
Распределения и в различных сечениях будут подобными, т. е.
отличающимися друг от друга только характерными для данного
сечения масштабами скорости и длины, если функции й и f зависят
только от координаты т]. Аналогично функция 0 тоже должна
зависеть только от т].
При переходе к новым переменным уравнение (5.121) примет
вид
/+ ff	= О,
где штрих означает производную по х, а точка — по т].
Для того чтобы решения этого уравнения были подобными,
величины и'гЗг1х и u^S'S/v должны быть произвольными констан-
тами.
Поставим условие, что коэффициент при ff равняется единице.
В результате имеем дифференциальное уравнение u[S2 + u^S'S =
— v, решая которое с учетом того, что щ = [Дт и полагая S (0) =
= 0, получим
________ 1~т
5=1/тягот* 1 •	<5J26>
+ <5-127)
139
Уравнение энергии (5.122) при переходе к новым переменным
примет вид
0 + Рг/0 = 0.	(5.128)
При этом мы приняли допущение, что Tw и 7\ не зависят от
координаты х. Уравнения (5.127) и (5.128) решаются с граничными
условиями: при т] = 0 f — t = 0, 0=0; при т] -> оо / -> 1,
0 -* 1. Это следует из условий (5.63).
Уравнение (5.127) интегрируется численно. При заданной
функции f (rj) уравнение (5.128) решается аналитически
(5.129)
Получив функции f (rj) и 0 (т]) можно определить выражения
для напряжения трения xw и теплового потока в стенку qw:
\ оу / w о (X)
(5.130)
ИСр(Л - гш) д(0)
Рг S (х)	°
(5.131)
Величина f (0) зависит от пг, а 0 (0) от пг и Рг.
Рассмотрим некоторые примеры течений.
1. Плоская пластина.
В этом случае 0 = и1У т — 0. Тогда из (5.126), (5.130) и (5.131)
следует:
5(х)=1/Ж;	=
4 ' V Р«1	" х т/У
п __ 1 / PU1P- ® (0) СР /гр /р X
" V Т~ ~у1Г'Pr~1~ 1w>-
При т = 0 f (0) = 0,4696, а функция критерия Рг -► 0 (0) хорошо
аппроксимируется зависимостью 0 (0) = 0,4696Рг1/3. С учетом
этого получаем уже известные нам критериальные зависимости
— с — Таг — °’4696 1 f Н _ 0.332 .
2 f ~ pul ~ Д/2”	₽«1* ~ урт; ’
Nu, 1/-^ 0Л696Рг1/3 Срх = 0332-j/R^- рг>/з.
* х	т/2	* г А
2. Течение в окрестности передней критической точки (см.
рис. 5.15).
140
В этом случае т — 1, откуда
(5-132)
^ = KphF4(0);	(5.133)
qw = ppp© (0) -g- (7\ — Tw).	(5.134)
При т = 1 величина /(0) равна 1,2326, а параметр 6 (0)
аппроксимируется зависимостью
0 (0) = 0,57Рг0-4.	(5.135)
С учетом выражений (5.134) и (5.135) получаем формулы для
критерия теплообмена и теплового потока:
-7^=- = 4- ТЛЛ" = °-57 рг°-4;	(5.136)
qw = 0,57 Vpp0	•	(5.137)
Мы рассмотрели плоские несжимаемые пограничные слои. В
случае осесимметричного двухмерного течения уравнение нераз-
рывности имеет иной вид [см. уравнение (5.18)], однако путем
простой замены переменных уравнения осесимметричного погра-
ничного слоя несжимаемой жидкости сводятся к такому же виду,
как уравнения (5.121)...(5.123), и решаются аналогично.
Расчетные формулы для теплообмена в окрестности передней
критической точки осесимметричного тела имеют вид:
Nux//R^ = 0,77 Рг0-4;	(5.138)
^ = 0,77У)ГррсрРг-0-6(7’1-7’[а).	(5.139)
В случае сжимаемого пограничного слоя (р =/= const, р
const, X const) необходимо учитывать деформацию распре-
деления параметров внутри слоя и, переменность произведения
рр поперек пограничного слоя. Результаты численных расчетов,
проведенных при различных значениях и различных зако-
нах р (Т), хорошо аппроксимируются для плоского и осесиммет-
ричного течений в окрестности передней критической точки сле-
дующими формулами, в которых введены поправочные множители,
учитывающие переменность рр:
для плоского течения
qw = 0,57 Г1 + 0,107	- 1 )1 (—-F X
L.	\ 1 он	/ J \	/
, /----а~ Ср (Ток T’w)
X Y РшРдаРш _ о'д »	(5.140)
г* и;
141
для осесимметричного течения
дш = 0,77 Г1 + 0,074	-1)1 (-^)‘/3 X
L	\ 1 он / J \	/
,/-----о~ СР (Т’он — Тн)
И»	06
^Tw
(5.141)
Значения pw и Ргю берутся при температуре стенки Tw
и давлении в передней критической точке poi = р'о (штрихом обо-
значаются параметры за скачком уплотнения). Для определения
параметра = (-^т) 0 воспользуемся уравнением Бернулли
(5.120).
Продифференцируем (5.120) по х и учтем, что при х -> 0,
и -> 0, pi -> рб, р\ -> р'\. Тогда имеем
02 = к Ро д (Рт/Ро) 1_
Р	рб 5(#R0)2 1Цк •
Так как kp'Jp'Q = а}, где а0 — скорость звука в критической
точке, то
P-cirl/T-	<5-142’
В случае сферического или цилиндрического затупления
приближенно по теории Ньютона С1 = 1 — Рн!р0-
При больших значениях Мн можно считать С« 1.
Из формул (5.140)...(5.142) следует, что коэффициент тепло-
отдачи в критической точке обратно пропорционален квадратному
корню из радиуса затупления До. Поэтому при больших скоростях
полета и соответственно больших температурах торможения
радиус затупления передних кромок элементов конструкции ле-
тательных аппаратов приходится учитывать с целью уменьшения
тепловых потоков.
При произвольном значении m в зависимости скорости иг =
= fix для критерия теплообмена в случае плоского течения с уче-
том сжимаемости может быть использована приближенная формула
= 0,332 (m + l)i/2 рг1/з (х
xii+o'i6(i+»(^r),T- <5-из>
о	a	du, х
Значение безразмерного градиента скорости m =	— долж-
но определяться из газодинамического расчета.
Мы рассмотрели случай, когда значение скорости иг сущест-
венно меньше скорости звука. При Мх > 1 подобные решения
возможны при Рг = 1 и р, ~ 7\ но не в физических переменных,
а в некоторых переменных, выбранных специально.
142
5.14. РАСЧЕТ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОМ
ПРОДОЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ДАВЛЕНИЯ
(МЕТОД ЭФФЕКТИВНОЙ ДЛИНЫ)
Одним из способов упростить уравнения пограничного
слоя является переход от удовлетворения дифференциальных урав-
нений для каждой отдельной частицы к удовлетворению этих урав-
нений в среднем по толщине пограничного слоя. При этом задача
сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений
по переменной х.
Такие методы дают достаточную точность при расчете тепло-
обмена и меньшую при расчете характеристик динамического
пограничного слоя, особенно в ибчасти течения с положительными
градиентами давления. В том случае, когда требуется рассчитать
только теплообмен, оказалось возможным получить еще более
простые решения, используя методы эффективной длины или
локального подобия.
Изложим метод эффективной длины. Тепловой поток в какой-
либо точке тела определяется двумя факторами: толщиной тепло-
вого пограничного слоя и формой профиля температуры в данном
сечении. При приближенном расчете целесообразно эти эффекты
разделить. Зададимся формой профиля температуры в виде функ-
ции
Гр Тд,
Te — Tw
(5.144)
где
г рц
J Р1“1
о
^dy-
1 е * w
(5.145)
толщина потери энергии, или интегральная характеристика тол-
щины пограничного слоя, входящая в равенство
(5-146)
\ оу J w	от [ Oyj^ _|^=о
Вместо 6’* введем эффективную длину. Эффективной хэф
будем называть длину плоской пластины, на которой при внешнем
течении с постоянными параметрами такими же, как в рас-
сматриваемой точке тела, нарастает такой же тепловой погранич-
ный слой, как и на длине х рассматриваемого тела с переменными
параметрами р1и1 вне слоя. В осесимметричном случае хэф будет
длиной цилиндра с радиусом, равным радиусу в данном сечении.
Для расчета теплообмена можно теперь использовать формулу
для пластины (5.115)	_______
qw = 0,3326^ 1/	- Tw) Рг-2/3	(5.147)
при условии, что вместо истинной длины х в ней используется эффек-
тивная хэф. Здесь k—поправка на переменность физических свойств
143
Рис. 5.17. Схема расчета х8ф
[формулы (5.117), (5.118) или
(5.119) ]. Дополнительно в фор-
мулу внесена поправка kr на
влияние продольного градиента
скорости по формуле (5.126), где
2/п	„ du, х п
---——=2—г1-----. Все вели-
m + 1 dx и}
чины, входящие в формулу,
являются функциями X.
Для определения эффективной длины используем уравнение
баланса тепла. Используя обозначение для толщины потери энер-
гии 6** (5.53), имеем
Qw = 2nRcppiUi (Toi - Tw)	(5.148)
Таким образом, толщина потери энергии определяется количе-
ством тепла Qw, ушедшим из пограничного слоя. Следовательно,
для определения хэф можно использовать условие равенства потерь
тепла на эффективной пластине (или цилиндре) и рассматриваемом
теле (рис. 5.17).
На цилиндре с радиусом R = const общее количество тепла,
ушедшее из пограничного слоя на длине хэф,
Qtr — 2лРхэф^Ср “ 4лР<7ц,Х8ф,	(о. 149)
так как из уравнения (5.116) на пластине или цилиндре qcp =
= 2</ж. На рассматриваемом теле на длине х отдано количество
тепла
X
Qw = 2л j Rqwdx.	(5.150)
о
Сравнивая выражения (5.149) и (5.150), имеем
X
2/^<7оАэф — [ Rqwdx,
б
а после дифференцирования по х получаем уравнение для опреде-
ления хэф : 2-^-Rqwx^ = Rqw.
После подстановки значения qw из равенства (5.147) найдем
2 [tf V ЦЛВДФ ср (Те - Тш) РГ1' =
= R -^gL-	(7\ _ tw) Рг1. (5.151)
VRe® * -«эф
Умножая обе части уравнения на выражение, стоящее в квад-
ратных скобках, получаем в правой части выражение, не завися-
144
щее от Хэф. После интегрирования формула для хэф имеет вид
X
С	(Те - Tj Pt~2dx
X \ V Квц, /
хЭф = ° ~ / ы'п — \ 2-------------------	(5-152)
(4г-)	(^-^^рг-2
В числителе стоит интеграл от некоторой известной функции
от х, в знаменателе — значение подынтегральной функции в дан-
ной точке. В частном случае при Tw = const можно, пренебрегая
переменностью величины —(Тё — Tw)2, упростить формулу:
~У
X
j РшЩТ?2 dx
'	*ЗФ=Ъ^~-	(5Л53)
При подстановке равенства (5.153) в выражение (5.147) формула
для расчета теплообмена на теле с переменным давлением вдоль
образующей имеет вид
л O'ioll Pt»ulcp (Те Tw)	,с , - ..
qx = 0,332^*!-----—.	(5.154)
Она совпадает по виду с формулой (5.115) для расчета тепло-
обмена на пластине, только вместо значения числа Рейнольдса
Нвц, в данной точке в нее входит усредненное значение Re^:
X
Реэф - J ЯЧр» dx.	(5.155)
о
Таким образом, учет развития потока в этом методе сводится
по существу к использованию усредненного значения вместо мест-
ного. Чтобы получить формулу для плоского течения, достаточно
принять R = 1. Здесь kY — поправка на влияние местного гра-
диента скорости по формуле (5.126), где 2m/(m + 1) = 2 (dujdx) х
X (x/uj).
Формула (5.154), если в ней принять k± « 1, легко преобра-
зуется в формулу для расчета теплообмена, получаемую по методу
«локального подобия». Точность такой формулы достаточно высока
при малых TWITO1, что имеет место, например, при обтекании тел
с очень большими, гиперзвуковыми скоростями. Если TwIT0l не
сильно отличается от единицы или если температура стенки пере-
менна, то большую точность дадут формулы (5.152) и (5.147).
5.15. ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ И ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА
Рассмотрим применение формулы (5.153) в некоторых
частных случаях.
1.	Плоская пластина.
= const, R = const, Pi = const, рш = const.
145
По формуле (5.159) получаем очевидный результат: хэф = х.
2.	Конус при сверхзвуковом обтекании с углом атаки, равным
нулю. В этом случае так же, как и на пластине, иг = const, р± =
= const, pw = const, = 1, но радиус рассматриваемого тела
вращения 7? = sin 0h, где Qh — полуугол при вершине конуса.
Тогда
X
| хг sin2 dx
хэф= X2sin2 eft = ТХ•	(5.156)
Из формул (5.147) и (5.156) следует, что значение местного
удельного теплового потока на конусе в /3 раз больше, чем на
пластине той же длины и при тех же параметрах течения вне
пограничного слоя.
Поскольку значение хэф определяет толщину слоя (6/хэф ~
~ 1/]/Деэф), то на конусе
6	1	/ *эф )1/2	1	1
х ~ УЖ \ х ' - УЖ Уз ’
т. е. на конусе из-за растекания толщина пограничного слоя в
/3 раз меньше, чем на пластине.
3.	Течение в окрестности передней критической точки иг —
= 0х (см. рис. 5.15).
Для двухмерного течения (например на кромке крыла), при-
нимая в окрестности критической точки рш = const, = const,
получаем
f dx
_ о _ 1
Ж - рх 2 Х'
а удельный тепловой поток по формулам (5.26) и (5.147) будет
^ = 0,47 [1 +0,16 (1 +4^)Г2 Х
X (^)1/3У7лР+(7,он-7’ш)Рг-2+	(5.157)
для осесимметричного течения в окрестности критической точки
R хх, хэф = —х и
<7» = 0,664 [1+0,16(1 +-^+)J2 X
X (-^У/3УКр^ + (Лн- Тш) Рг~2/3.	(5.158)
Формулы (5.157) и (5.158) удовлетворительно согласуются с
формулами (5.140) и (5.141), полученными из обработки численных
расчетов.
146
Рис. 5.18. Кривые изменения коэффициентов теплообмена вдоль образующей
сферы TwlTn = 0,2; 0,4; 0,6; 1,0
4.	Распределение тепловых потоков по лобовой поверхности
затупленного тела. На рис. 5.18 представлены результаты расчета
распределения коэффициента теплоотдачи вдоль образующей
сферы. Здесь
z=	РСщо = б1оРц,о^?о/Р'и?'
Там же приведена кривая распределения давления рх/р01 Для этого
случая и обозначен примерный разброс экспериментальных точек.
Распределение скорости определялось по газодинамическим
таблицам для изэнтропийного течения, а распределение плотно-
сти — по соотношению рж/рш0 = Pi/Poi-
На рис. 5.19 приведены аналогичные кривые, полученные
для случая течения около плоского торца осесимметричного тела.
Как видно, характер кривых распределения рх/р01 и Nutt)O/(Pr0,4 X
X |/Rea,0) в дозвуковой части тела (Pi/poi < 0,52) на сфере и плос-
ком торце качественно различны.
Аналогично рассчитывается теплоотдача по длине сопла. На
характер распределения удельных тепловых потоков при ламинар-
Рис. 5.19. Кривые распределения тепловых потоков на поверхности плоской
передней кромки осесимметричного тела при ламинарном режиме течения
7’и/7'о1===
147
ном режиме влияет форма сопла. В соплах с крутым входом наблю-
дается резкое увеличение теплового потока до максимального
значения в критическом сечении.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что такое пограничный слой? Как меняется давление поперек погранич-
ного слоя? Запишите систему дифференциальных уравнений пограничного слоя
в сжимаемом газе.
2.	Какие критерии определяют ламинарный теплообмен и трение в погра-
ничном слое?
3.	Как выглядит распределение скорости, статической температуры и тем-
пературы торможения в пограничном слое при высоких скоростях газового по-
тока:
а)	на теплоизолированной стенке при Рг = 1 и Рг < 1?
б)	при наличии теплообмена?
Объясните это распределение.
4.	Запишите закон Ньютона при больших скоростях газового потока при
Рг = 1 н Рг 1. Что такое ТД
5.	В чем состоит связь трення и теплоотдачи?
6.	Как рассчитывается теплообмен в пограничном слое иа пластине? Как
меняются вдоль пластины критерий Nu/"|/Re, коэффициент теплоотдачи, тол-
щина пограничного слоя?
7.	Что такое эффективная длина? Как рассчитывается теплообмен при пере-
менном давлении вне пограничного слоя?
ГЛАВА VI
ТУРБУЛЕНТНЫЙ КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН
6.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
В предыдущей главе мы рассмотрели ламинарное течение в погра-
ничном слое, при котором перенос количества движения, тепла и вещества про-
исходит в результате молекулярных процессов вязкости, теплопроводности и
диффузии. При этом значения напряжения трения и теплового потока являются
известными функциями распределения скорости и температуры. Для лами-
нарного течения можно написать полную систему уравнений, и в настоящее время
существуют математические методы их решения. Расчеты требуют некоторого
экспериментального уточнения вследствие неизбежной схематизации явлений
в сложных случаях течений и неточного знания ряда физических характери-
стик газа, однако вводимые поправки невелики.
Течения при очень высоких числах Рейнольдса обладают новым особым
свойством—турбулентностью. Законы таких течений значительно отличаются
от законов ламинарных течений и не описываются стационарными уравнениями
Навье—Стокса для вязкой жидкости. При турбулентном течении усиливается
обмен импульсом и энергией в поперечном направлении, в связи с чем возрастают
трение, теплообмен и массообмен.
Вследствие чрезвычайно сложной картины турбулентного течения и отсут-
ствия рациональных теорий турбулентности, решение задачи в строгой математи-
ческой постановке в настоящее время невозможно. При решении отдельных за-
дач вводится много различных предположений и упрощающих допущений,
поэтому в принятых методах расчета турбулентного теплообмена решающее
значение приобретает эксперимент.
Турбулентные течения встречаются так же часто, как и ламинарные. При
движении летательного аппарата в верхних слоях атмосферы на его поверхности
образуется ламинарный слой, но при полете на высотах ниже 30—50 км в погра-
ничном слое может возникнуть турбулентный. В камерах сгорания и соплах
двигателей течение большей частью турбулентное. Однако при низких давлениях
на стенках камер сгорания или на поверхностях сопел с большой степенью рас-
ширения возможны также и ламинарные течения.
6.2.	ПЕРЕХОД ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОЕ
Как уже было сказано, впервые систематические иссле-
дования перехода ламинарного течения в турбулентное в трубах и
каналах были выполнены Рейнольдсом. Им был найден закон подо-
бия, согласно которому переход происходит примерно при одном
и том же значении числа Re, называемым критическим членом
Рейнольдса:
(и р \
ср
V /кр’
(6-1)
где иор — средняя по сечению скорость течения; d — диаметр
трубы; v — коэффициент кинематической вязкости.
149
Рис. 6.1. Схема течения и распределение коэффициентов теплоотдачи при пе-
реходе ламинарного течения в турбулентное на пластине
Значение критического числа Рейнольдса существенно зависит
от условий входа в трубу, степени шероховатости и др. и может
колебаться в диапазоне 2300 < Relip < 20 000. Однако, если
Re < 2300, то течение всегда ламинарное.
Переход ламинарного течения в турбулентное происходит
не мгновенно. При достижении значений Re, близких к критиче-
ским, наступает режим перемежающегося течения, когда течение
в трубе становится попеременно то ламинарным, то турбулентным.
Поэтому область перехода занимает очень большую часть, измеряю-
щуюся иногда тысячами диаметров трубы.
Явление перехода было обнаружено также и в пограничном
слое на обтекаемом теле. Наиболее просто переход наблюдать
на плоской пластине. С увеличением расстояния х от передней
кромки пластины увеличивается число Рейнольдса:
Re, = и1р1х/^1.	(6. 2)
При достижении некоторого критического значения, (Rex =
= ReKp) наблюдается изменение режима течения, сопровождаю-
щееся резким утолщением пограничного слоя и деформацией рас-
пределения скорости и температуры. Одновременно возрастают
коэффициенты теплоотдачи и трения, а также изменяется характер
их зависимости от х (рис. 6.1).
Тщательные измерения, проведенные на гладких пластинах
при М s 0, позволили установить нижнюю границу критического
числа Рейнольдса в диапазоне 3-105...5-105. Верхняя граница,
достигнутая в специальных опытах в особенно равномерном
потоке, находится в диапазоне 3-10е...4-10е.
В некоторых случаях для определения условия перехода
используется
Re6 = UjpjS/p,!,	(6.3)
где 6 — толщина пограничного слоя на пластине при М »= 0,
связанная с расстоянием соотношением:
(6.4)
150
Для области перехода (Rea)Kp = 2700...9000. Полученные зна-
чения сравнимы с соответствующими величинами, полученными
в трубах. Значение ReKP в общем случае обтекания тел потоком сжи-
маемого газа зависит от большого числа факторов. Ограничиваясь
учетом наиболее важных из них, можно получить критериальную
зависимость для общего случая течения на теле с градиентом
давления:
(ReJltp - F (М,	(6.5)
' '	т1 ’ Vi dx ’ г ’ щ	'
г* du,
где -—определяет влияние местного градиента давления (п—
высота бугорков шероховатости; и — интенсивность турбулент-
ности во внешнем потоке; г — характерный линейный размер по-
граничного слоя).
Использование в качестве линейного размера условной тол-
щины слоя 6 не всегда удобно из-за нечеткого определения ее
значения. Поэтому в качестве линейного размера используются
интегральные величины: толщина вытеснения б*, толщина потери
импульса 6** или толщина потери энергии б)!* [формулы (5.36),
(5.53)1. Для определения характера зависимости (6.5) проведено
множество теоретических и экспериментальных исследований, но
экспериментальные данные часто противоречивы, не согласуются
с теоретическими предсказаниями, и к ним следует относиться
с осторожностью. Поэтому ограничимся рассмотрением влияния
отдельных факторов на величину ReKp.
Большое практическое значение имеет исследование влияния
шероховатости стенки, которая всегда присутствует на так назы-
ваемых технически гладких поверхностях. Шероховатость вызы-
вает возмущения в ламинарном слое, и переход в турбулентное
течение происходит при меньших значениях ReKp. Интенсивность
шероховатости можно характеризовать отношением /i/б*. Кроме
высоты бугорков h играет роль, хотя и меньшую, также их форма,
Рис. о.г.	।олныы’-’Л-гы..л
на ReKp при различных числа?: М
на теплоизолированной пластине
расстояние между ними и др. На
рис. 6.2 представлена зависи-
мость отношения значения ReKp
па шероховатой поверхности к
Рис. 6.3. Влияние М на ReKp на глад
кой теплоизолированной пластине
151
Рис. 6.4. Влияние теплообмена на
ReKp на гладкой пластине
Рис. 6.5. Влияние охлаждения и ше-
роховатости на ReKp:
1 — гладкая поверхность; 2 — h =
— 0,025 мм; 3 — h -- 0,05 мм; 4 — h = -
значению (ReHp)0 на гладкой по-
верхности от /г/д* для случая те-
чения на плоской пластине без теплообмена. Результаты для
различных форм шероховатости и различных (ReKp)0 для каждого
М укладываются па одну кривую. Как видно, с увеличением
М влияние шероховатости ослабевает, что может быть объяснено
уменьшением плотности газа у стенки.
Влияние числа М на значение ReKp при отсутствии теплообмена
недостаточно ясно. Из экспериментов (рис. 6.3) получено уменьше-
ние ReKp при возрастании М до 3,5 и затем медленное увеличение
при М ----- 5. Однако это может быть объяснено также изменением
условий опыта при возрастании М.
Общее влияние теплообмена на момент перехода ламинарного
течения в турбулентное такое, что на охлажденной стенке (TWITC <
< 1) значение ReKp увеличивается, а на нагретой (TwITe >1) —
уменьшается. Примерный характер зависимости, предсказываемый
теорией и согласующийся с экспериментами на гладкой поверх-
ности, представлен на рис. 6.4.
Характер зависимости ReKp от TwjTe резко изменяется на шеро-
ховатой поверхности, что видно, например, из рис. 6.5, где приве-
дены экспериментальные данные по определению ReKp на конусе
с углом при вершине 10° при различной шероховатости. Сущест-
вование режимов обратного влияния охлаждения, когда ReKp
уменьшается при снижении Tw/Te, может быть качественно объяс-
нено тем, что при сильном охлаждении пограничный слой утонь-
шается и влияние шероховатости проявляется сильнее.
Исследования в потоках с продольными градиентами давления
обнаруживают общую тенденцию стабилизации ламинарного режи-
ма в ускоряющихся течениях и, соответственно, ранней турбулиза-
ции в замедляющихся.
Экспериментальное определение точки перехода ламинарного
течения в турбулентное в аэродинамических трубах затруднено
влиянием начальной турбулентности, которая, однако, ослабевает
при больших М. Приведенные данные могут быть использованы
152
как ориентировочные. В практических случаях, когда положение
точки перехода из ламинарного в турбулентное течение не ясно,
расчет теплообмена проводится для обоих режимов и используются
ге значения коеД/фициентов теплоотдачи, которые обеспечивают
необходимый запас работоспособности конструкции.
6.3.	УСРЕДНЕННОЕ И ПУЛЬСАЦИОННОЕ ДВИЖЕНИЯ
Исследования турбулентного потока показывают, что
в каждой фиксированной точке скорость, давление и темпера! ура
не остаются постоянными но времени, а очень часто изменяются и
притом неравномерно. Такне изменения скорости, давления и
температуры называются пульсациями и являются наиболее харак-
терным свойством турбулентного течения. Элементы жидкости,
пульсирующие в потоке, представляют собой крупные макроскопи-
ческие образования жидкие комки, или моли.
Значения пульсаций составляют, как правило, всего несколько
процентов от средних значений скорости, но очень сильно влияют
на развитие течения жидкости. Пульсационное движение, наклады-
вающееся на главное движение, настолько сложзо, что его теоре-
тический расчет пока не представляется возможным. Поэтому
закономерности развитого турбулентного течения приходится
определять для осредненных по времени величин.
Для математического исследования течение делят на среднее
и пульсационное. Обозначим осредненные но времени значения
скорости й, v, давления р, температуры 7'*, а пульсационные соот-
ветственно — и', v', р', 7" (рис. 6.6). Тогда мгновенные значения
можно записать в виде и й 7-и’\ v v 6V'', Р т Р 7 р'',
Т Т  Т.
Осредненное значение продольной составляющей скорости
может быть определено как
т, +-Лт
и---,'-	\ и di.	(6.6)
t'O
Чтобы осреднение не зависело от времени, необходимо для
осреднения брать достаточно большой интервал времени т. Точно
также определяются средние значения в<-ех параметров потока
Из
Рис. Г3>- б ид ' а ючж I раммы пульсаций продольной -оставляющей скорости
153
Средние значения скорости, давления, температуры представ-
ляют собой величины, измеряемые с помощью инерционных датчи-
ков. Средние значения пульсационных составляющих равны
нулю: й' = 0; v' =0; р ' = 0; Т' 0. Точно также равны нулю
средние значения произведений типа йи' = 0; vv' = 0; рр' = 0.
Средние значения произведений пульсационных составляющих
в турбулентном потоке могут быть не равны нулю: u'v' =/= 0,
(и')2 ф 0, v'T' =£ 0. В таком случае говорят, что между пульса-
циями существует корреляция. Появление в турбулентном потоке
дополнительного механизма передачи импульса и энергии, как
это будет показано ниже, связано с существованием корреляции
между пульсациями.
6.4.	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВЯЗКОСТЬ
И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОСРЕДНЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ
Рассмотрим физическую картину появления дополни-
тельных (кажущихся) вязкости и теплопроводности в турбулент-
ном потоке.
Пусть в пограничном слое распределения скорости и темпера-
туры заданы некоторыми функциями от координаты у : и = и (у),
Т-:Т (у) (рис. 6.7).
Рассмотрим единичную площадку с нормалью, параллельной
оси у. Через эту площадку протекает масса газа m = pv. Перете-
канию жидкости соответствует некоторый поток импульса.
Составляющая этого потока вдоль оси х
Ix = mu = pvu.	(6.7)
Будем рассматривать пульсацию потока массы вдоль оси у —
— tri = (pv)', не выделяя отдельно пульсации плотности и ско-
рости. При наличии пульсации
Ix = [ (^) (^) ] (^ —у и )	тй. —ти —(т) й —(т) и . (6.8)
После осреднения за достаточный промежуток времени
получим
1Х = ти (т)' и = pvu -ф (pv)' и',	(6.9)
так как второй и третий члены в выражении (6.8) после осред-
нения равны нулю.
Если второй член в выражении (6.9) не равен нулю, то при
наличии пульсаций появляется дополнительный перенос им-
пульса, равный (ри)' и'. Но поток количества движения через
некоторую площадку эквивалентен противоположно направленной
силе, с которой окружающая среда действует на площадку. Сде--
довательно, при наличии пульсаций (турбулентности) возникает
154
Рис. 6.7. Схемы определения тур-
булентной вязкости и теплопровод-
ности
Рис. 6.8. Схема определения пути
перемешивания
дополнительное воздействие — напряжение трения между верх-
ней и нижней частями потока: тт = —(pv)' и'.
Аналогично можно показать, что при наличии пульсаций
поток тепла через единичную площадку
q = pvcpT + (pv)' срТ'	(6.10)
и что в турбулентном потоке возникает дополнительный перенос
энергии
9т = (р0'срГ'-	(6.11)
Легко убедиться, что значения тт и ут не равны нулю. Частицы
жидкости, попадающие вследствие поперечного движения в слой у
снизу 1m' = (pv)' > 0] из области с меньшей средней скоростью й,
вызывают в слое у отрицательную пульсацию (—и'), так что
произведение (pv)' и' < 0. Точно таким же рассуждением можно
показать, что и для частиц, проникших в слой у сверху, (pv)' и <
< 0. Следовательно, и среднее значение (pv)' и < 0. Отсюда полу-
чаем, что тт =—(pv)' и > 0, т. е. напряжение турбулентного
трения при распределении скорости (рис. 6.8) имеет направление,
совпадающее с положительным направлением оси х. Аналогично
получаем, что при распределении температуры (см. рис. 6.7)
9т = (р^Г СрТ' < 0, т. е. турбулентный поток направлен от
слоев с большей температурой к слоям с меныней температурой.
Используя эти результаты, можно ввести понятия турбулентной
вязкости рт и теплопроводности А.т. По аналогии с ламинарным
течением
Тт = — (pv)'и'- Нт-3^-;	(6-12)
gT = (pv)' срТ'—.	(6.13)
С учетом молекулярной вязкости и теплопроводности напря-
жение трения и удельный тепловой поток могут быть представ-
лены в виде
T = (p + HT)-g-;	9 = -(% + Хт)^-.	(6.14)
155
Выражения для тт и q-r (6.12), (6.13) могут быть строго полу-
чены на основании осреднения уравнений Навье — Стокса и
энергии.
Уравнения турбулентного пограничного слоя относительно
средних величин получают вид. совпадающий с видом уравнений
ламинарного слоя, только вместо молекулярной вязкости и тепло-
проводности в них Л.одят полная вязкость и теплопроводность
в соответствии с выражениями (6.14):
-|г<И + -ау(р^ = 0;	(6.15)
— дй — дй д Г.	дй “I dp
Р“Puw = IF	фГ’ (6-16)
+ (й + и,)«)!+«^.	(6-17)
Наряду с числом Рг = рср/Х иногда используется турбулент-
ное число Прандтля Ргт = ртср/Хт и смешанное число Прандтля
Dr _ 1L±±t) ср	1 Я1
Pm (X + Хт) •	(6‘ 8)
Уравнения (6.15) ... (6.17) с учетом выражения (6.14) назы-
ваются уравнениями Рейнольдса и описывают турбулентный
поток. Однако они не замкнуты, ибо в них число неизвестных
превышает число уравнений. Чтобы получить некоторые прибли-
женные решения этих уравнений, в практических случаях при-
бегают к дополнительным допущениям и гипотезам.
6.5.	ТЕОРИЯ ПУТИ ПЕРЕМЕШИВАНИЯ
Формулы (6.12) и (6.13) для определения турбулент-
ного трения и турбулентной теплопроводности не могут быть
непосредственно использованы, поскольку в них входят неизве-
стные значения пульсационных составляющих. Следующий шаг
в их решении состоит в выражении пульсаций через средние
значения. С этой целью Прандтлем была предложена идея теории
пути перемешивания.
Рассмотрим в параллельном потоке два слоя жидкости на
расстоянии Аг/ (см. рис. 6.8). Скорости в этих слоях различны,
и из-за пульсаций происходит обмен количествами движения
между отдельными струйками. Теория пути перемешивания осно-
вывается на предположении, что комок жидкости, перемеща-
ющийся из-за пульсации из одного слоя в другой, сохраняет
составляющую импульса в направлении оси на некотором рас-
стоянии, названном путем перемешивания. Обозначим эту вели-
чину через /. Если расстояние между слоями (см. рис.68.) вы-
156
брано так, что Ду = I, то частицы, поступающие из нижнего слоя
в верхний, сохраняют горизонтальную составляющую скоро-
сти ЙР
Разность между средней скоростью потока в точке у2 и мгно-
венной скоростью поступивших частиц из нижнего слоя дает
пульсацию скорости в этом месте и' = Дй = й2 (у2) — й1 (у,),
но если / мало, то Дй = I (дй/ду). Таким образом, величина пуль-
сации и — I (дй/ду).
Пульсации в поперечном направлении связаны с пульсациями
в продольном направлении. При столкновении двух комков жидко-
сти, движущихся со скоростями, отличающимися на величину
пульсации, возникает поперечное движение, интенсивность кото-
рого будет пропорциональна пульсации и', поэтому можно считать,
что пульсация потока массы по оси у
пг' = (ри)' ~ ри'.
Окончательно с точностью до некоторого коэффициента про-
порциональности, который можно включить в I, получаем фор-
мулы:
для турбулентного напряжения трения
тт = — (pv)'u' = p/2(-J-)2	(6.19)
и для турбулентной вязкости
= (6’20)
Такие же рассуждения могут быть использованы при рассмо-
трении переноса любой величины и, в частности, для переноса
тепла. При этом выражение (6.13) принимает вид
 ут = (pv')cpT' = -СрР/? 1	(6-21)
И 	XT = Cpp/?|-g-|.	(6.22)
Значение может отличаться от I, и коэффициенты турбулент-
ного обмена при переносе импульсов и тепла не совпадают. В функ-
циях (6.20) и (6.21) вместо неизвестных значений пульсаций и'
и v' введены новые неизвестные I и /х. Хотя эти величины не
являются физическими характеристиками жидкости, они могут
рассматриваться как функции точки. Во многих случаях удается
установить связи между характерными длинами в рассматрива-
емом течении и длиной пути перемешивания. Эти связи можно
определить только из экспериментальных данных, поэтому та-
кого рода связи в теории турбулентности называются полуэмпи-
рическими.
Итак, необходимо указать, что теория пути перемешивания,
хотя является удачной схематизацией турбулентности, не
157
отражает ее истинной физической картины. В действительности
жидкие элементы при пульсациях проникают один внутрь другого
и смешиваются, и таким образом в процессе турбулентного пере-
носа эти элементы не сохраняют своей индивидуальности, а не-
прерывно изменяются. Теория пути перемешивания имеет и другие
недостатки. Так, например, значения I, вычисленные из измерения
средних скоростей в трубах, имеют тот же порядок величин, что
и размеры среднего потока, в то время как при выводе формулы
6.19) предполагалось, что эта величина мала. Тем не менее,
теория пути перемешивания во многих случаях удачно предска-
зывает распределение скорости и температуры в турбулентных
потоках и имеет ряд практических приложений.
6.6.	СТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО
СЛОЯ
Для расчета турбулентного пограничного слоя большое
значение имеют данные о распределениях скорости и температуры.
При турбулентном режиме течения общее напряжение трения
складывается из напряжения трения, вызванного молекулярной
и турбулентной вязкостью (далее знак осреднения опускаем):
г = (р + Ит)-^-.	(6.23)
На большом расстоянии от стенки величина турбулентной
вязкости намного превышает величину молекулярной вязкости.
Область пограничного слоя, в которой можно пренебречь молеку-
лярной вязкостью, называется турбулентным ядром (рис. 6.9).
Вблизи стенки турбулентные пульсации затухают, и моле-
кулярная вязкость играет решающую роль. Эта часть погранич-
ного слоя называется ламинарным подслоем. Между ними нахо-
дится переходная область, в которой величины молекулярной
н турбулентной вязкостей одного порядка.
Для описания распределения скорости и температуры исполь-
зуются методы теории подобия. Если ограничиться рассмотрением
области турбулентного пограничного слоя, не слишком удаленной
Рис. 6.9. Турбулентное ядро
(I) течения и ламинарный
подслой (II)
от стенки, то в число физических па-
раметров, определяющих течение в этой
области в несжимаемой жидкости, вой-
дут тш, р, р, координата у и подлежа-
щая определению величина скорости и.
Составляя безразмерные комплексы, по-
лучим безразмерную скорость и/У Tw/p
и безразмерное расстояние уУ~тю/р/м.
Величину Утю/р, имеющую раз-
мерность скорости, обозначают их и
называют скоростью сдвига. Тогда рас-
158
Рис. 6.10. Универсальное распределение скорости в турбулентном пограничном
слое на гладкой поверхности (закон стенки):
О, Д — экспериментальные точки
пределение скорости в рассматриваемой области может быть пред-
ставлено в виде универсальной функциональной зависимости, не
связанной с Re:
w/u-r = f (yux/v).	(6.24)
Эта важная зависимость называется законом стенки.
Как показывают эксперименты (рис. 6.10), формула (6.24)
применима на значительных расстояниях от стенки как в случае
течений на пластине, так и в случае течений с градиентом дав-
ления.
Непосредственно у стенки в ламинарном подслое
= ци/у,
и формула (6.4) имеет вид
и/их = уих1ч.	(6.25)
Рассмотрим турбулентное ядро пограничного слоя. В этой
области пограничного слоя из-за турбулентного трения скорость
уменьшается по сравнению со скоростью внешнего потока на
величину (Uj — и). Это уменьшение есть результат действия каса-
тельного напряжения трения. Масштабом скорости в этом случае
будет их = У тш/р, масштабом длины — толщина слоя б. Без-
размерную зависимость можно представить в виде
(и3 — и)/их = g (у/6).	(6.26)
Эта зависимость называется законом убывания скорости и вы-
ражает собой универсальный закон, хорошо подтверждающийся
экспериментами. Интересно отметить, что при обработке резуль-
татов опытов в формуле (6.26) на единственную кривую уклады-
ваются экспериментальные данные не только для гладких, но
и для шероховатых поверхностей, хотя распределения скорости
в обычных координатах при этом значительно различаются.
159
Рис. 6.11. Распределение скорости
в турбулентном слое на гладких н
шероховатых поверхностях (закон
убывания скорости):
О, Д — экспериментальные точки
Как видно из рис. 6.10 и 6.11,
функции f (у/их/v) И g (у/6) яв-
ляются логарифмическими. Можно
показать, что логарифмический
вид функций fag непосредственно
вытекает из условия, что различ-
ные по виду формулы (6.24) и
(6.26) описывают одно и то же
распределение скорости.
Такой же закон может быть
получен из формулы Прандтля
(6.19):
т’=Р'!(»г.	(6.27)
Путь перемешивания I у стен-
ки должен быть равен нулю
и в первом приближении может быть принят пропорциональным
расстоянию от стенки / == Ку, где К — безразмерная постоянная,
которая должна быть определена из опыта. Далее предположим,
что т поперек слоя постоянно, т. е. т -- тш, тогда уравнение (6.27)
Д/тщ/р их и 1 .	„
приводится К виду -7— =	и ---= -р-ШифС, или
н	1 <iy Ку Ку их К а
в безразмерном виде при использовании в качестве масштаба длины
величину v/uT — = In -4- С-----------In — = -Х-ln -^--г Сг.
J	их К v	К v К v
Полученное распределение скорости зависит от двух постоян-
ных.
Экспериментальные точки (см. рис. 6.10) хорошо согласуются
с формулой (при переходе к десятичным логарифмам)
— = 5,6 lg J^ + 4,9.
их	Ь V
(6.28)
Отличие заметно только в ламинарном подслое при уихК <g 10,
где справедлива зависимость (6.25).
При рассмотрении распределения температуры получаем ана-
логично распределению скорости, что в области, не слишком
удаленной от стенки, в число определяющих параметров войдут
тш, р, и и тепловые величины: температура стенки Tw, тепло-
проводность X, удельный тепловой поток в стейку qw и тепло-
емкость ср.
В качестве масштаба скоростей и длин можно взять по-преж-
1	Тц)	ц
нему	соответственноит	=	I/	——	и	——.
}	V	р	рих
Масштаб	температуры	представим в виде
Qw
Рсрит:
Qw
(6.29)
160
Рис. 6.12. Степенные закны распреде-
ления скорости
Тогда для распределения из-
быточной температуры можно за-
писать безразмерную зависимость
Г.Г.Ь>. =	Рг). (6.30)
В непосредственной близости от
qw - Л ду ~
стенки в ламинарном подслое
T-Tw
или с учетом уравнения (6.29)
7 - Тж = уи^ рг	(б з1)
/ х	V
Распределение температуры в турбулентном ядре при значе-
ниях Pr ~ 1, что приближенно справедливо для газов, подобно
распределению скорости:
(Т - Tw)/Tx = и/их.	(6.32)
Равенство (6.32) эквивалентно условию
Ргт — р.тсрДт = 1.
Выражения для распределений скорости и температуры (6.28)
и (6.32) получены при условии р = const и р, = const. Однако
экспериментальные данные удовлетворительно согласуются с ло-
гарифмическим профилем (6.28) и при сверхзвуковых скоростях.
При построении приближенных методов расчета для аппро-
ксимации экспериментальных данных используются так называ-
емые степенные законы (рис. 6.12): и/иг = (у/&)п; (Т — Trv)/'(T1 —
— Tw) = (у/6т)я‘.
Логарифмические .законы являются универсальными, и кон-
станты в них не зависят от числа Re. Значения показателей п и пг
в степенных формулах зависят от Re (изменяясь от п = 1/7 до 1/9
при увеличении Re и уменьшаясь при больших М).
В сжимаемой жидкости эффективно применяются степенные
представления распределения скорости и температуры в пре-
у
образованных координатах т] = j pdz/.
о
6.7.	КОЭФФИЦИЕНТ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ
Уравнения турбулентного пограничного слоя (6.15) ...
(6.17)	совпадают по виду с уравнениями ламинарного слоя.
Поэтому многие результаты, полученные при исследовании лами-
6 Авдуевскяй	161
Рис. 6.13. Экспериментальное распре-
деление температуры и температуры
торможения в турбулентном погранич-
ном слое (М = 6,8; Tw/T01 --= 0,57)
парного течения, могут быть
по аналогии использованы при
создании методов расчета тур-
булентного слоя.
При малых скоростях теп-
лообмен определяется разно-
стью температур qw = а (7\ —
— Тю). При больших скоростях
в пограничном слое происходит
выделение тепла в результате
диссипации кинетической энер-
гии и при работе сил давления
[второй и третий члены в пра-
вой части уравнения (6.17)].
На рис. 6.13 показано распре-
деление статической температу-
ры и температуры торможения
газа в турбулентном погранич-
ном слое на охлажденной стенке
при (Тю/Т01) =- 0,57 и М 6,8.
Как видно, статическая темпе-
ратура при торможении в пограничном слое растет в силу пре-
образования кинетической энергии в тепловую, достигая макси-
мального значения вблизи стенки в ламинарном подслое. Не-
посредственно у стенки температура падает и qw > 0, так как
тепло идет в стенку, хотя температура стенки больше, чем тем-
пература внешнего потока.
Для того чтобы учесть влияние этих факторов, формула для
расчета теплообмена записывается в виде
qw = а (Те — Tw),	(6.33)
где Те = Г, + ги\/(2ср) — эффективная температура; г — коэф-
фициент восстановления температуры.
По определению Те совпадает со значением температуры
теплоизолированной стенки (qw — 0). В частном случае при малых
скоростях, если -х-^— = —Д-'-М? < 1, значение Те ~ 7\.
Коэффициент восстановления температуры г в турбулентном
слое должен зависеть от характера преобразования энергии и от
соотношения между вязкостью и теплопроводностью в ламинар-
ном подслое и в турбулентном ядре. Поскольку соотношение
между толщиной ламинарного подслоя и толщиной всего по-
граничного слоя 6 зависит от Re, то можно предполагать, что
г — f (Рг, Ргт, Re); Рг = рср/%, Ргт = ртср/%т.
Для экспериментального определения г проводятся измерения
температуры теплоизолированной стенки, равной Те:
U~J (2ср)
162
0,90
0,86
0,82\—
105
° n
О °l
"D'B"
□
-□----------
5ешли а
г^(о,и) *
ю6
 ?£0£д°
w7
Re

0°
Рис. 6.14. Зависимость коэффициента восстановления температуры от числа Re:
А, □ — М, = 2,2; Q — М, = 3,8
Экспериментальные исследования показывают, что коэффи-
циент восстановления температуры практически зависит только
от молекулярного значения Рг.
Для расчета обычно применяется формула гт = Рг|/3, которая
удовлетворительно согласуется с экспериментом. В частности,
для воздуха (Рг = 0,73) г = 0,88
(рис. 6.14).
В теоретических работах, осно-
вывающихся на уравнениях (6.15) ...
(6.17) и данных о структуре погра-
ничного слоя, удается учесть влия-
ние Re и Ргт, которое, однако, не-
велико.
Величина г < 1 и Те < Т01, что
объясняется перераспределением
энергии внутри пограничного слоя.
Этот факт удалось подтвердить экс-
периментально. Из рис. 6.15 видно,
что температура торможения в не-
которой части пограничного слоя
Рис. 6.15. Экспериментальное
распределение температуры тор-
можения в пограничном слое
на теплоизолированной поверх-
ности (М = 2,8)
на теплоизолированной стенке превышает температуру тор-
можения во внешнем потоке.
6.8.	ТУРБУЛЕНТНЫЙ ТЕПЛООБМЕН НА ПЛОСКОЙ
ПЛАСТИНЕ
6.8.1.	Связь между трением и теплообменом
Подобие между процессами переноса количества дви-
жения и энергии приводит так же, как и в случае ламинарного
движения, к связи между трением и теплообменом.
Уравнения турбулентного пограничного слоя по виду совпа-
дают с уравнениями ламинарного пограничного слоя. Если при-
нять условие (ц + цт) ср/(Х + Хт), то из системы (6.15) ... (6.17)
для случая течения на плоской пластине (dpldx — 0) с помощью
преобразований, аналогичных преобразованиям в разд. 6.7 и 6.9,
МОЖНО получить условие подобия и/и1=(Т0 — Та,)/(Т01— Та,).
6*	163
Настенке при у = 0 qw =	=	и Tw =
—	q. После преобразований имеем
Qw = ^ui^-p (Г01
и в безразмерной форме, приняв I = х,
St =-^-Cf или Nus = -j-Cf Rex,	(6.34)
где
Rex=-^; Nu =-?, -f.
r	V 01	1 W) Л
Полученные условия (6.34), называемые условиями аналогии
Рейнольдса между трением и теплообменом, выполняются лишь
приближенно, поскольку значения Рг и Ргт отличны от единицы.
Поэтому в более общем виде аналогия между трением и тепло-
обменом записывается в виде
Nu=-J-C/Re$,	(6.35)
где Nu = -т ——г-; Те — определяется формулой (6.33); S —
фактор аналогии Рейнольдса.
В общем случае S = S (Рг, М, Re). Среднее значение S можно
приближенно принять равным Рг0-43.
Наличие соотношения (6.35) облегчает исследование погранич-
ного слоя. Следует иметь в виду, что оно справедливо только
при постоянной температуре стенки и при отсутствии продольного
градиента давления.
6.8.2.	Теплообмен и трение в несжимаемой жидкости
Результаты экспериментальных исследований трения
на плоской пластине при малых скоростях (М = 0) и отсутствии
теплообмена представлены на рис. 6.16. Там же приведена теоре-
Рис. 6.16. Зависимость коэффициента трения от Re в несжимаемой жидкости
по экспериментальным данным различных авторов:
--------Cf = (2 1g Res = —0.65)~2’3;--------Cf = 0,059Rex‘
164
тическая зависимость, определен-
ная при использовании логариф-
мического закона (6.28),
C/ = (21gRe3C-0,65)-2-3.
(6.36)
Хорошие результаты дает фор-
мула
Cf = 0,085 ^0.29+0,01 lg Re.
(6.37)
В диапазоне значений Re от
10е до ]08 можно использовать
более простую формулу
Cf = 0,059 Re?012 .	(6.38)
Рнс. 6.17. Экспериментальные ис-
следования теплообмена в несжи-
маемой жидкости:
Обобщением экспериментальных
данных (рис. 6.17) установлена
зависимость для воздуха Nu =
изменения Re от 10б до 10’.
1 — нагревание воздуха; 2 — нагрева-
ние воды
0,0296Re* 8Рг°’43 в диапазоне
Из сравнения с формулой (6.38) следует, что в этой области
изменения Re условие аналогии имеет вид
Nu = Су Rex Рг0'43.
6.8.3.	Турбулентный теплообмен и трение
на пластине в сжимаемом газе
Влияние числа М на значение коэффициента трения
на пластине при отсутствии теплообмена видно из рис. 6.18,
где приведены экспериментальные значения CtICt0 = f (М). Зна-
чение СЛ соответствует случаю М = 0 и определяется по одной
из формул (6.36) ... (6.38).
Результаты исследований различных авторов хорошо согла-
суются между собой и дают возможность провести единую аппро-
ксимирующую зависимость, проверенную до значения М = 9:
С,/С/о = (14- г®)-о.55,	(6.39)
где Cf = --.J”’---коэффициент трения при значениях М, отлич-
1/ZPjUl
ных от нуля, но при фиксированном значении Re; Cf0 =
2т
== —^2— коэффициент трения в несжимаемой жидкости; г~0,88.
Piuf
Таким образом, поправка на влияние числа М практически
не зависит от Re. Как видно, с увеличением М коэффициент трения
на теплоизолированной поверхности падает, что связано с умень-
шением плотности у поверхности, которая имеет в этом случае
температуру Те = Тг (1 4- гсл).
165
Рис. 6.18. Экспериментальные исследования
трения в сверхзвуковом потоке (Tw!be = 1)
Если температура стенки Tw мень-
ше Те, то тепловой поток направлен
от газа к стенке. В этом случае ха-
рактер изменения физических свойств
газа в пограничном слое будет
другим и в формулу (6.39) необхо-
димо ввести поправку на влияние температурного фактора Twll\.
На основании анализа результатов экспериментальных иссле-
дований в диапазоне М = 2 ... 5 предложена эмпирическая фор-
мула в виде
=	0,35 (1 + г®)-°-55
(6.40)
при 105 < Rex < 10°;
Cf = 0,059 Re0’8 (Ти,/Л)-°’35 (1 + ra)-°-55.	(6.41)
Для практических целей удобно отнести параметры течения
к температуре поверхности, используя значения (Cf)w —
= 2т[г,/(рИ)и12); Reffi = u^x/p.^,. Если перейти к этим обозна-
чениям, то формула (6.41) для расчета коэффициента трения
может быть приведена к виду
(Cf)w = 0,059 Re°’8 (Тш/Те)0’4 (1 + гео)0’11.	(6.42)
Благодаря аналогии между трением и теплообменом можно
ожидать, что влияние сжимаемости на теплообмен может быть
учтено такими же множителями. Это предположение подтвер-
ждается экспериментами по измерению теплообмена.
При отнесении физических свойств газа к температуре поверх-
ности эмпирическая формула получает вид, аналогичный фор-
муле (6.42):
Nuffi = 0,0296 Re^ Рг°'43(7Д/7Д°'4О +г®)°’п.	(6.43)
На рис. 6.19 и 6.20 представлены экспериментальные резуль-
таты, подтверждающие формулу (6.43).
— Nu.
Рис. 6.19. Зависимость Nu^ от числа
на пластине (7^, яа 1, Рг = 0,71):
ЦДм’)0’11;
О — экспериментальные точка
166
Рис. 6.20. Зависимость Nu^, от TwlTe на пластине при различных М
6.8.4. Расчет теплообмена и трения на пластине
Для расчета теплообмена могут быть использованы
критериальные зависимости
Nuffi,/Re°’8 = Ф (Рг, Tw/Te, о)	(6.44)
и
(С,Д Re" - Ф1 (Ре, 7Д/7Д ®),	(6.45)
где л изменяется от 0,18 до 0,1 при изменении Re от 10s до 1О10,
при Re 5-105 ... 10s можно принять п ~ 0,2.
Эксперименты показывают, что условия Nu ~ Re0’8 и С} ~
~ Re-"'1 являются общими для турбулентного пограничного слоя
на произвольной поверхности. Поэтому при расчете турбулент-
ного трения и теплообмена удобнее вместо критериев Re и Nu
использовать комплексные критерии подобия Nu/Re0-8 и QRen.
Расчетные формулы для пластины при этом будут иметь вид
кт п°’8гу^'8п 0’2 г (Т ТУ
Nuw Рш U1 Рш cp\ie 1 w)
R-'0’8	%°>2	Pr T	(o-46)
7\= Ti(l-RrM?), r~0,88;
0.8 O.S^i.S
= -у ИДк, Re°;2 —5— (прн п = 0,2).	(6.47)
Формулу (6.44) можно привести к виду
Nu^/Re3,’8 = 0,0296 Рг0,43 Лт.	(6.48)
Величина Л'т учитывает влияние сжимаемости. Приближенные
зависимости для Дт могут быть получены разными методами.
Из формулы (6.43) следует, что
Л'т = (7’ш/7’е)0л (1-R го>)0,11.	(6.49)
167
В методе определяющей температуры
KtMh(0W-2(P(0W^	(6-50)
где р,<°> и р<°> вычисляются при некоторой подобранной темпе-
ратуре
Т(0> = -1 7\ + А Тш + 4-	г№7\,	(6.51)
О	О	О Z
называется определяющей.
При малой скорости потока и большом перепаде температур
(например при течении в окрестности передней критической
точки или в дозвуковой части сопла) хорошие результаты дает
формула
Кт = (Р1/рш)°Л	(6.52)
где рх — плотность вне пограничного слоя.
Обобщая формулы (6.49) и (6.52), получим выражение для
Кт, удовлетворительно согласующееся с опытными данными как
при дозвуковых, так и при сверхзвуковых скоростях:
Кт = (Ти,/Те)0-4+°’2ех’’ <-“г> (1 + (ОГ)0’11.	(6.53)
6.9.	РАСЧЕТ ТУРБУЛЕНТНОГО ТЕПЛООБМЕНА
В ПОТОКЕ С ПРОДОЛЬНЫМ ГРАДИЕНТОМ ДАВЛЕНИЯ
Критериальные зависимости, полученные для рас-
чета теплообмена на пластине, могут быть использованы в расчете
теплообмена при произвольном распределении давления вне
пограничного слоя.
Рассмотрим метод эффективной длины для расчета ламинар-
ного слоя. В этом методе предполагается, что тепловой поток
в рассматриваемой точке тела будет таким же, как в некоторой
точке на пластине с теми же местными параметрами течения, при
условии, что в рассматриваемых точках тела и пластины одина-
ковы толщины потери энергии. Это условие равносильно тому,
что на пластине длиной хэф или цилиндре радиусом R в случае
тела вращения будет отдано в стенку количество тепла такое же,
как на рассматриваемом теле на длине х.
При этом учитывается предыстория развития пограничного
слоя. Для того чтобы учесть влияние местного градиента давле-
ния, можно ввести поправки в окончательную формулу. Течение
в турбулентном слое более устойчиво к воздействию перепадов
давлений, и указанные поправки необходимо вносить только при
положительных градиентах давления вблизи точки отрыва.
При указанных предположениях выражение для удельного
теплового потока имеет вид
__ NUa, Рщ8“?'8Рда2 ср(Те Tw)
9® — рр0.8	„0.2	Рг ’	(6.54)
кеа>	*эф
168
где ^-u0-8- = 0,0296 Рг0-43 Кт', Кт = К Мх) находится по фор-
мулам (6.49) ... (6.52); Те^тф	Ри)> рш, Tw -
значения параметров газа в данном сечении.
Для определения эффективной длины используем условие
баланса тепла.
На цилиндре радиусом R = const общее количество тепла,
*эф
ушедшее из пограничного слоя на длине хэф, Qw = 2nR I qa,dxai>.
о
Подставляя q^ из формулы (6.54) и интегрируя (при условии
и± = const, = const, рш = const), получаем
= 2,5nRqwxat).	(6.55)
На рассматриваемом теле R = var на длине х отдано количе-
ство тепла
Qw = 2л j Rqw dx,	(6.56)
о
где R = R (х).
Сравнивая выражения (6.55) и (6.56), получаем
X
l,25Rqwx^ = j Rqwdx.
о
После дифференцирования по х имеем
~(l,25R^x^)= R^.	(6.57)
Подставим в выражение (6.57) значение qw из формулы (6.54)
и получим дифференциальное уравнение для определения хэф:
1,25 —
dx
n
0,8 0,8 0,2 0,8 СР	?w}
Рш	Хэф
Рг
м „0.8 0.8 0,2
_ р Nura Ри, “1 Ра,
~ К ре0,8	0,2
хэф
Ср (Д - Tw) .
Рг
(6.58)
Обозначая выражение в квадратных скобках в левой
части
через г, т. е.
г= R
NUa, „0,8. 0.8 0,2 ,0,8 ср ^e — Tw)
n-0,8 Pw Ul J1» x	pr
и умножая правую и левую части на г1/4, получаем
4г’/4~ = /(х),
4 dx 1 v 1
169
где
/ m =•-- R5/i
Nuw \5/4 im / T(.~TW \5,M >5/4
(b8	Рш«1Р>ц,	pr J Cp
^СИ7 /
известная функция от х.
После интегрирования получаем окончательно
J *5/4 (Nuw/Re°’T/4 РЛ^'4 [(Те - T^/Vr]5/4 dx
Хэф ~~	vipL4 i(Te - MPri5/1 ’	(6'59)
Формула (6.59) справедлива при переменной температуре
стенки. Если Tw -= const, то можно пользоваться более простой
приближенной формулой
/?5'4рю«гФс
Подставляя равенство (6.60) в выражение (6.54), получаем
следующую формулу для определения qw:
qw =
0,0296 Рг'0’57Д7рщ/1Р1!ц';5
х	"1-0,2
J /?5/4рю«1 dx ср (Те
о
Tw) =
- 0,0296 Рг"0,57 KTpa,ulCp (Те -- T.J Ре;ф°-2,	(6.61)
где Re,* — —i /?5/4рю«1 dx — среднее значение Рейнольдса.
R ' J
Таким образом, расчет производится по формуле для плоской
пластины, только вместо истинного числа Рейнольдса подстав-
ляется некоторое эффективное число Рейнольдса Re3({,.
Для плоской пластины достаточно положить R const и
после сокращения формула (6.60) не отличается от соответству-
ющей формулы для ламинарного течения.
6.10.	ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ТЕЧЕНИЯ
6.10.1.	Распределение скорости
вне пограничного слоя
1.	Плоская пластина (щ = const, R = const).
Из формулы (6.60) имеем в этом случае очевидный результат хЭф = х. Теп-
лообмен рассчитывается непосредственно по формуле (6.46).
2.	Конус, обтекаемый сверхзвуковым потоком без угла атаки.
щ = const; р, = const; pw = const; R = x sin бд, где буу — полуугол
при вершине конуса;
х
| х°'^ (sin dx
0	4
*ЭФ —	5/4 , 	\5 '4	= ПГ *•
X ' (sin 6^)	9
170
Как и в случае ламинарного течения эффективная длина на конусе значи-
тельно меньше, чем на пластине.
Из формулы (6.54) следует, что тепловой поток ча конусе при тех же зна-
чениях параметров течения идеальной жидкости больше, чем на пластине: (qw)x =
= (<7ш)пл(Э/4)0’2 = 1,175 (Уш)пл, где (уш)пл определяется по формуле (6.46). Фи-
зическое объяснение этому состоит в том, что линии потока при удалении от вер-
шины расходятся и нарастание пограничного слоя происходит медленнее.
3.	Течение в окрестности передней критической точки (см. рис. 6.15).
Для плоского тела:
7? = const; Мп ~ 0; u-t = fix;
р ~ const; рш ~ const;
х
j p.r dx
= (662)
Подставляя в выражение (6.54) и используя формулу (6.52), получаем рас-
четную формулу в виде
qw = 0,034 Pr-^^p^UjCp (Ти — Tw) (₽х2/тш)-°.2 (Р1/рш)°'в,	(6.63)
где
Для осесимметричного тела:
М, те 0; и, ха |3х; р, те const; pw ха const; R ха х;
*	(6.64)
|3x9/4 dx
о	4
эф~	“"Тз”*’
qw = 0,0375 Pr-^pwuiCp (Т01 - Тш) (рлЛЧ,)-».2 (Р1/Рш)°А	(6.65)
При использовании формул (6.63) и (6.65) необходимо иметь в виду, что они
справедливы только в окрестности критической точки, где можно пренебречь
изменением рш в зависимости от х. Для сферического или цилиндрического зату-
пления по формуле (5.124)
где лНр
газе; С2 =
критическая скорость звука; аа — скорость звука в заторможенном
---ГТдЗУ' С2 0 ~ Рн/Рог): Йо —радиус сферы или ци-
линдра.
Тогда формула для расчета теплообмена в точке поверхности затупления
с координатой х = xJR0 имеет вид
qw = А Pr-М? °-° х^ср (Ти-Тш) (-М°'6(С |Z4f8, (6.66)
\ Рсу /	\	*	« /
где А = 0,034 для плоского и А = 0,0375 для осесимметричного течений.
При увеличении радиуса затупления тепловой поток в сходственных точках
тела уменьшается обратно пропорционально R6.
Непосредственно в критической точке турбулентный тепловой поток равен
нулю. Это связано с тем, что на границе пограничного слоя скорость равна нулю.
Ламинарный тепловой поток в этой точке сохраняет конечное значение.
171
Введя безразмерные критерии
Nu =	и RP = а»Р^о
i'* их>о — /р т 1 и i\ = ----------------------
* 01 J &	Hui
можно (при С0,8 = 1) привести формулу (6.66) к виду
N4o/R^o = А Pr°-3.f°'6 (Р1/Ра,)0’6 (2/£)°<
6.10.2.	Примеры расчета при различных законах
распределения скорости
Турбулентный пограничный слой на лобовой поверхности затуплен-
ного тела. Рассмотрим в качестве примера расчет теплообмена на сферическом
и плоском затуплениях осесимметричного тела. Распределение давления на таких
телах задается из газодинамического расчета или экспериментов. Изменение
скорости определяется по формулам изоэнтропийного течения, изменение плот-
ности — по формуле Рш/ри.0 = pjpoi- Тогда безразмерная формула может быть
получена в виде
______________= о 0296 (-£”-У’8 (_Н1_\0’8 ( J2®_V°'2
Re°'“Pr°’43Kr	k Р™ ) Uo / k Ro )
На рис. 6.21 и 6.22 представлены расчетные зависимости для сферического
и плоского торцов. Для сравнения с соответствующими ламинарными тепловыми
потоками на рис. 6.23 приведены распределения коэффициентов теплоотдачи при
турбулентном и ламинарном режимах для двух значений числа Рейнольдса на
каждом режиме.
Как видно, при уменьшении числа Рейнольдса турбулентный тепловой поток
снижается сильнее, чем ламинарный. Расчеты показывают, что при значении
Re.OT ~ 1,5-106 максимальные значения коэффициентов теплоотдачи при лами-
нарном и турбулентном режимах течения примерно равны. При этом устанавли-
вается ламинарный режим на всей поверхности. Из опытов следует, что значение
при переходе ламинарного слоя в турбулентный равно на гладкой поверхности
примерно 5-106.
Турбулентный пограничный слой в сопле. Расчет теплообмена в сверхзвуко-
вом сопле при заданном распределении давления ничем не отличается от расчета
теплообмена вдоль образующей тела при внешнем обтекании и может быть сделан
по формулам (6.54) и (6.59) или (6.60).
При использовании этих формул возникает вопрос о начале расчета. В реси-
вере или камере сгорания двигателя газ движется с относительно низкой средней
Рис. 6.21. Распределение давления и
коэффициента теплоотдачи вдоль обра-
зующей сферического затупления при
турбулентном режиме
172
Рис. 6.22. Распределение давления и
коэффициента теплоотдачи вдоль обра-
зующей плоского затупления при тур-
булентном режиме
Рис. 6.23. Сравнение коэффициентов
теплоотдачи на сфере при ламинарном
(/) и турбулентном (2) режимах те-
чения:
--------Кежо = 8.1О-;
--------“ 1.з. 10-
скоростью. Около задней стенки обыч-
но образуется несколько вихревых
зон и пограничный слой сразу имеет
некоторую конечную толщину. Значе-
ния коэффициентов теплоотдачи в са-
мой камере сильно зависят от условий
подачи в нее газа или горючей смеси
и должны определяться эксперимен-
тальным путем. Расчет теплообмена в камере сгорания осложняется еще тем,
что температура торможения по длине камеры растет вследствие подвода
тепла при горении. Расчетные зависимости для разных случаев рассматри-
ваются в специальных курсах и могут быть представлены в виде
_______________ д
Re0/ Рг°’4^г
При расчете камер сгорания ЖРД используют в качестве характерной тем-
пературы среднюю температуру Т' = 7'ср=(7'ш+ Тг)/2. Тогда Кт = (р'/рш)0,8 х
X (р'/рда)0-2. Значение А ~ 0,026.
При приближении к соплу течение стабилизируется и здесь пригодна фор-
мула (6.54).
Для камер двигателей можно приближенно принять, что слой стабилизи-
руется на расстоянии от входа в сопло порядка радиуса камеры RK. Тогда в на-
чале сопла (при х — х0) хэф0 ~ RK (рис. 6.24).
Внутри сопла
X
( PuAiR5/4 dx
х ____ r (Pk;WiR5'/4)k ।
эф -эф ° Р[Л/Я4 + 	•	(6-67)
Формула для расчета теплообмена
qw = 0,0296 Рг-°.62 Кт	ср 	(6.68)
хэф	Рг
где
Кт = (7'и,/т'е)0>4+0'2"Р <-'•“> (1 + шг)0,11;
Те	(1 +<ог); ш = .? ~2_Ма» ; г . 0,88.
На рис. 6.25 представлены результаты расчета распределения давления
Pi/poi по длине сопла (см. рис. 6.24) при k = 1,4 и распределения комплекса
_________Num0_______,
(Re^)».» Рг0-‘3Кт ’
“Кнр	ПоРдаоКцр
Nuw;0 = -	1 ;	~
Лц;	Р-о;
где
173
Рис. 6.24. Схема профиля свррхзвуко-
вого сопла
Рис. 6:25. Распределение давления и
коэффициентов теплообмена по длине
сопла хЭф
Преобразуя формулу (6.68), получ
_____	_ / п \
р-0,8 р 0,43b-	= 0,0296 1——I
еи;0 '	^'Т	\ Ро /
—0,2
кр
Влияние химических реакций на теплообмен изложено в гл. VII.
6.10.3.	Обобщение экспериментальных данных
Формула (6.54) может быть использована для обобщения экспери-
ментальных данных и уточнения значения Кт на основании экспериментов,
проведенных в различных случаях, в виде
(Nuj.,^= 0,0296К т(Ке°'8)эфРг0’43
(6.69)
где
(Ь1ищ)эф — СбХэф/Х^,,	(РСщ))эф — ^Хр^Хэф/Цщ).
Если на каком-либо теле с произвольным распределением давления изме-
рено распределение тепловых потоков, то эффективная длина определяется из
формулы (6.55):
у_________Qw
эф' 2,5л/??ш
—•—Для плоского течения,
ф 1,25<7ы,
для осесимметричного течения;
где
суммарное количество тепла, отданное в
точки ло рассматриваемого сечения.
Qw — J Pw
(6.70)
стенки па расстоянии от критической
В случае плоского течения берется
полоса поверхности единичной ши-
рины.
При известном значении хуф из
экспериментов можно уточнить значе-
ние Кт в формуле (6.69). Если изме-
рения qw проводились только в одной
Рис. 6.26. Обобщенная эксперимен-
тальная зависимость коэффициента
теплоотдачи от температуры при
использовании хэф (для пластины
и конуса при М = 2,5 ... 4,5 и для
сопла при М = 6 ... 10)
174
точке и суммарный тепловой поток в стенке не может быть найден из форму-
лы (6.70) томожно определять по формуле (С.59), задаваясь видом зависи-
мости Кт от М н TwlTe.
Далее значение Кт уточняется из эксперимента и формулы (6.69). Вносимая
погрешность из-за возможной ошибки в определении ,у,ф будет незначительна,
так как значение хдф входит в формулу в степени одной пятой.
На рис. 6.26 представлены результаты измерений теплообмена па различных
телах при различных отношениях TwiTe.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какие основные особенности турбулентных течений Вы знаете?
2.	Что такое корреляции пульсаций, и почему Uv 0?
3.	Объясните природу возникновения дополнительных переносов импульса
и тепла в турбулентном пограничном слое?
4.	Как рассчитывается дополнительная турбулентная вязкость, и что такое
длина пути перемешивания?
5.	Опишите структуру турбулентного пограничного слоя.
6.	Как рассчитывается турбулентный теплообмен на плоской пластине и на
теле произвольной формы?
ГЛАВА VII
КОНВЕКТИВНЫЙ ТЕПЛООБМЕН ПРИ ХИМИЧЕСКИХ
РЕАКЦИЯХ
7.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При высоких температурах газа, например в камерах сгорания
реактивных двигателей и вблизи поверхности тел, движущихся в атмосфере с боль-
шими скоростями, течение в пограничном слое сопровождается химическими
реакциями. Если поверхность непроницаемая и химически не взаимодействует
с газом внешнего потока, то химические реакции могут протекать в виде диссо-
циации и рекомбинации газа. Химические реакции происходят также в случае
подачи в пограничный слой через проницаемую поверхность веществ, способных
вступать в реакцию с газом внешнего потока. В ряде случаев при высоких тем-
пературах и больших тепловых потоках возможно разрушение поверхности тела
или специального теплозащитного покрытия, нанесенного на поверхность. Это
может быть плавление, сублимация или горение поверхности. Частицы разру-
шенной поверхности могут вступать в химические реакции между собой и с газом
внешнего потока.
При температурах газа (10—15)-103 К, что соответствует, например, усло-
виям в лобовой точке тела при скоростях потока 10—15 км/с, возможна также
частичная ионизация газа, в результате чего в потоке кроме нейтральных частиц
появляются ионы в электроны.
При наличии химических реакций в пограничном слое необходимо учиты-
вать дополнительное выделение и поглощение тепла внутри слоя. В этих случаях
кроме совокупности уравнений пограничного слоя нужно рассматривать урав-
нения, определяющие условия протекания химических реакций. Рассматривая
движение смеси газов в целом, нужно иметь в виду, что физические параметры
смеси р, р, X, D, Ср будут зависеть от состава, давления и температуры смеси.
Определение этих параметров (особенно характеризующих переносные свойства
газовых смесей) связано с некоторыми предположениями, которые делаются за-
данием потенциалов взаимодействия при столкновении частиц различных типов.
Ряд предположений приходится делать при задании кинетики химических реак-
ций. Поэтому расчеты (даже в случае ламинарного режима течения в пограничном
слое) должны обязательно сопоставляться с экспериментальными данными. Кроме
того, при высоких температурах появляется еще выделение и поглощение тепла
путем излучения. Влияние излучения в воздухе растет при увеличении темпера-
туры и особенно существенно при скоростях полета более 10 км/с. Во многих
случаях влияние излучения на конвективный теплообмен невелико, при этом
лучистый и конвективный потоки могут рассчитываться независимо. В главе
весь анализ приводится для ламинарного пограничного слоя, однако полученные
выводы могут использоваться и для расчета турбулентного пограничного слоя.
7.2. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Рассматривая теплообмен с химическими реакциями,
мы будем иметь дело с газовыми смесями, состоящими из N ком-
понентов, отличающихся по своим физическим свойствам. Введем
некоторые определения, характеризующие течение смеси газов.
Обозначим через nt полное количество частиц i-го компонента,
находящихся в элементарном единичном объеме вблизи точки
176
с координатами (х, у, г) в момент времени t. Полное количество
частиц всех компонентов в единице объема
П = S nt.	(7.1)
r=i
Введем еще обозначения. Если mj — масса частицы /-го ком-
понента, то плотность /-го компонента
р( = пг/п<.	(7.2)
Очевидно, что плотность газовой смеси
Р = S Pi = S W	(7.3)
Пусть Vt — средняя скорость частиц /-го компонента, тогда
средняя массовая" скорость смеси определяется по формуле
7 =	(7-4)
i
Диффузионная скорость /-го компонента
v^Vt-V.	(7.5)
Для парциального давления i-го компонента pt справедливо
уравнение состояния
Pt=^~RT,	(7.6)
где Mt — молекулярная масса i-го компонента; R — универсаль-
ная газовая постоянная (R = 8,3 Дж/(моль • К)).
По закону Дальтона давление смеси
(7-7)
/=1
Введем понятия массовой концентрации /-го компонента
Ct = Pi/p,	(7.8)
объемной (или мольной) концентрации /-го компонента
Xj = р,/р.	(7.9)
Из выражения (7.3) следует, что
N '
2^ = 1,	(7.10)
а из (7.7)	‘ *
N
2хг = 1.	(7.11)
177
Используя уравнения (7.6). (7.7) и (7.8), получаем уравнение
состояния для смеси
у
Р	оДГ-	(7.12)
( 1 •L
/ N \
,, V Ci	x
где .VI2 ; | ? ] -ду-1 средняя (кажущаяся) молекулярная масса
'il ‘ :
смеси.
Из уравнении (7.7) и (7.12) можно выразить объемную кон-
центрацию X; чере? массовую С,
г г,-	,и2 мх C./Vi
1 р MpiRT ~ Р Mi 1 ,llt N .
У CjMj
оД
Из уравнения (7.13) получаем еще одно выражение для средней
моле куля р 1 ю й массы
-И2 - У XtMi.	(7.14)
Значение С; через х.
может быть определено по формуле
Неоднородность полей макроскопических величии (Т, 7’,
С,-, п и т. д.) является причиной молекулярного переноса ц газе
количества движения, энеринц массы и т. и. Введем понятие
вектора плотности потока некоторой физической величины. Физи-
ческий смысл ее состоит в том, чю составляющая потока в любом
направлении равна количеству cooiветствующей «величины'), про-
ходящему в единицу времени через единицу площади поверхно-
сти. нормальной к этому направлению.
При определении 'потока количества движения й эпериш
необходимо знание коэффипиенюв вязкости н теплопроводности
газовой смеси у п 'R.
Для смеси газов можно использовать приближенные формулы:
(7.16)
(7.17)
где у;. Хг — соответственно вязкость и теплопроводность i-ro
компонента.
178
7.3.	ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАМИНАРНОГО
ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Основные уравнения динамики вязкого многокомпо-
нентного реагирующего газа могут быть получены из уравнения
Больцмана. В приближении плоского пограничного слоя они
имеют следующий вид.
1.	Уравнение неразрывности
д (М t 3 №) п
дх	1	ду	'	'
2.	Уравнение количества движения
ди	, ди	д	(	ди	\	dp
ри -т-	В	pv -V-	==: -т- Ц	—-	 5—	.
дх	'	г ду	ду	\г	ду	)	дх
3.	Уравнение неразрывности i-ro компонента
Р С > . о 2	д .	,. io	,,,
(1=1, 2.....У).
4. Уравнение энергии
(7.18)
(7.19)
(7.29)
(7-21)
урав-
Уравнения (7.18), (7.19) сохраняют прежний вид [см.
нения (5.14), (5.15)1.
Появилось дополнительное уравнение переноса i-ro компо-
нента (7.20). В нем учитываются gt — плотность диффузионного
потока i-ro компонента; gly — составляющая gt в направлении
поперек пограничного слоя; wt — скорость образования i-ro
компонента. Диффузионный поток
gi - PiVi	(7.22)
ИЛИ
.V
где 7)’/ --- коэффициенты диффузии многокомпонентной смеси,
зависящие от состава смеси, 'температуры и давления.
Для бинарной смеси (У ~ 2) диффузионные потоки опре-
деляются законом Фика
gi -= — pDiygracl Ct,	(7.24)
где Dtj — коэффициент диффузии бинарной смеси. D пропор-
ционален температуре в некоторой степени и обратно нропоц-
ипонален давлению. Для каждой пары газов Dq может Со.';;,
подсчитан с помощью кинетической теории газов. Коэффициент;
1)р. могут быть выражены через Dtl и концентрации компонентов,
причем D'i == 0.
179
В некоторых случаях формула (7.24) используется и для
многокомпонентной смеси
gi = — pL>i gradCt.	(7.25)
При этом так называемые обобщенные коэффициенты диффу-
зии D являются сложными функциями концентрации, давления
и температуры. Однако в ряде случаев такая запись дает хорошее
приближение и удобна.
Заметим, что формула (7.23) учитывает перенос массы только
под действием градиента концентраций. В общем случае необхо-
димо учитывать влияние градиентов температуры и давления
(термо- и бародиффузия). Однако в пограничном слое вклад термо-
диффузии и бародиффузии пренебрежимо мал. Итак,
giv = — P°i >	(7-26)
или
Л4,р	д (С.М )
S D‘i	(7-27)
Скорость образования i-ro компонента wt является сложной
функцией температуры и состава смеси. Вопрос определения да,
будет рассмотрен в следующем разделе.
Фактически нет необходимости решать все N уравнений не-
разрывности компонентов (7.20). Достаточно (N — т) уравнений,
где т — число элементов, из которых состоят данные N компо-
нентов. Обозначим через zh концентрацию элемента k и через
vik — массовую долю элемента k в t-м компоненте. Например,
и гл	2	16
в молекуле Н2О доля водорода равна-yg-, а кислорода--yg-.
Очевидно, что
= X CiVlk.
Умножая уравнение (7.20) на vth и суммируя по i, получим
r>2k ! dih	д V3	।	/-7
рЦ —+рц^- = _ —(7'28)
I	i
Последний член в правой части этого уравнения имеет смысл
скорости образования элемента k в процессе химических реакций
и, соответственно, равен нулю.
Таким образом, уравнение неразрывности для k-ro элемента
имеет вид
(А = 1-2....<7-291
I
Система включает (N— т) уравнений (7.20) и (т— 1) (7.29).
Если смесь состоит из компонентов, молекулярные массы которых
не слишком отличаются друг от друга, коэффициенты Dt в фор-
муле (7.26) примерно равны (£>, = D).
180
Тогда
S	V _ _pD £ С1,„ - -Рь >. •
i	i	i
(7.30)
На непроницаемой поверхности решением уравнений (7.29)
при условии (7.30) является zh = const = zM, т. е. концентрации
элементов поперек слоя постоянны.
Перейдем теперь к уравнению (7.21). Оно отличается от ана-
логичного уравнения энергии (5.16) тем, что вместо температуры Т
используется полная энтальпия [, которая учитывает не только
термодинамическое теплосодержание, зависящее от температуры,
ио и химическую энергию, которая выделяется в процессе хими-
ческих реакций:
/ = 2 hCit	(7.31)
где I — полная энтальпия х'-го компонента, рассчитываемая по
формуле
т
h = ht + f cpi dT -	(7.32)
(здесь cpl — удельная теплоемкость i-го компонента, Дж/(кг-К);
hi — теплота образования x-го компонента, равная энергии, кото-
рую необходимо затратить, чтобы получить единицу массы данного
вещества из стандартных компонентов при стандартной темпера-
туре 710). Величина ht зависит от выбранной системы отсчета.
Обычно в качестве стандартной температуры берут То = 293 К,
а в качестве стандартных компонентов — наиболее стабильные
соединения при нормальных условиях: О2, Н2, N2 и др.
Например, при реакции горения водорода при начальной тем-
пературе То выделяется на единицу массы воды тепло Qo
H2 + 4-O2=H2O + Q0.	(7.33)
Из определения следует
Лщо = —Qo,	(7-34)
т. е. теплота образования воды — отрицательная величина.
Вторая особенность уравнения (7.21) состоит в том, что удель-
ный поток тепла- q должен учитывать перенос энергии за счет
диффузии в дополнение к переносу под действием градиента
температуры
q = — X grad Т ф- £ рцДг.	(7.35)
С учетом (7.22) получаем
7 = -AgradT+S?x/x,	(7-36)
i
181
а в приближении пограничного слоя рассматриваем удельный
поток в направлении
= <7-37)
i
Выражение (7.37) может быть упрощено, если использовать
формулу (7.26) для giy.
Сначала заметим, что из формул (7.31) и (7.32) следует
" =ус, «!.+ у,,Щ.= ус1Ср " +уЛ
ду	1 ду 1	ду	1 pl ду 1 Z_i ‘ ду
tit	i
- дТ j_ V г _£±
~ Ср ду + L ‘ ду ’
'	I
где ср = 5С;ср1 — теплоемкость смеси. Отсюда
дТ 1 - д!____________________yi dCj х
ду ~ Ср ду	L 1 ду i '
Используя выражения (7.26) и (7.37), получим
Л ,дТ V г dCi \ V г n dct
Уу ~ ср [^ду ‘ ду	1Р 1 ду
_ _ д! %	/ fDiCp \ qq1
ср ду Ср 1 у	%	) Зу
Введем безразмерные критерии подобия: Рг — рср/Х — критерий
Прандтля; Sc; ~ p./(pDf) — критерий Шмидта i-ro компонента;
Le; = ^CpDJK — Рг/Sc, — критерий Льюиса i-ro компонента.
Тогда выражение для qy примет вид
<7'38>
Таким образом, основные уравнения ламинарного пограничного
слоя при наличии химических реакций имеют следующий вид
2^1 4- £££>.	0;	(7.39)
дх ' ду	'	'
ди . ди д / ди \ dp	. п.
рц —+ ри— . —(р—J	(7.40)
рн^ + ри^-'=-£-(\Д^') +^(1 = 1.2........Л^-т);	(7.41)
г дх ‘ г ду ду Scf ду J ‘	1 к	1 •	1
рЫ^4	vih/-dLi\(k^ 1, 2, .... т- 1); (7.42)
г дх ' ду ду I	See ду 4	' 4	1
'' i	/
д! । д! д / ц д! \ .
ри дх + Р° ду “ ~ду (. Рг ду ) +
182
+ тг[тт- У MLef - Ьуг] +	<7-43)
ду I>r J 1X1	' ду г \ ду / ' ах '	'
Lt	J
р P-S-T.	(7.44)
‘е
Эту систему дополняет условие (7.10). Система является замкну-
той, если заданы зависимости коэффициентов ц, Scit Рг и скоростей
образования wt от параметров течения, а также связь 1 с Ct и Т
(формулы (7.31) и (7.32)].
В некоторых случаях удобнее вместо уравнения (7.43) исполь-
зовать уравнение энергии во второй форме. Введем понятие полной
эпталыши торможения
/0 - I + zC/2.	(7.45)
Умножим уравнение (7.40) на и, сложим его с (7.43) и получим
+i[pTS'-(L*'"1>t]-	<7-46>
Это уравнение аналогично уравнению (5.19), полученному
для ламинарного пограничного слоя без химических реакций.
Приведем еще одну форму уравнения энергии, удобную для
решения ряда задач. Из формул (7.31) и (7.32) следует
а/ дТ п РСг.
дх Ср дх 1 Z 1 ‘ дх ’
£
д!_ _ дТ,\Л dCj
ду ’ Ср ду г 1 ду ‘
I
Г учетом этого, а также выражения (7.37), уравнение (7.21) пре-
(/разуется к виду
дГ . V , дТ , V т дС1
РисШ	+	+
£ £
д t\dT\ Х'д&и т дТ V „ „ । fdu\2 I dP
ду (/ ду) ду II ду 1 СР1^ + И ( ду ) + u dx ‘
i	t
Уравнение (7.20) умножим на /(, просуммируем по i и вычтем
его из полученного уравнения энергии
дТ , /	, \д \ дТ <5 /л дТ\ ,
Р«Ср дх -г ^ср-г 2_iCpigiu^ ~ ду у" ду) +
+И»’+“>-S<7-47>
183
Уравнение энергии в форме (7.47) записано для температуры
и отличается от соответствующего уравнения пограничного слоя
без химических реакций (5.16) тем, что в правой части учитывается
дополнительное тепловыделение (или теплопоглощение) за счет
химических реакций, а в левой части — перераспределение тепла
за счет различия теплоемкостей компонентов (при одинаковых
теплоносителях cpi = ср и Dt = D). Этот член равен нулю, так
как из (7.26) следует
У, giv = — pD У, grad С( = — pD grad У Ct = 0.
i	i
Уравнения турбулентного пограничного слоя с химическими
реакциями имеют такой же вид, как и уравнения ламинарного,
только вместо коэффициентов р, X, Dt должны использоваться
эффективные коэффициенты, учитывающие дополнительный
перенос за счет турбулентности.
7.4. ЭЛЕМЕНТЫ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ
В уравнение неразрывности химических компонентов
(7.20) входит скорость образования wt. Для того чтобы записать
для нее выражение, необходимо ознакомиться с элементами
кинетики химических реакций.
7.4.1.	Гомогенные газовые химические реакции
Рассмотрим реакции, протекающие в газовой фазе,
т. е. между газовыми компонентами. Если Сг — концентрация
i-ro компонента, a Mt — его молекулярная масса, то число кило-
молей i-го компонента в единице объема равно
[А г] = ClP/M(.	(7.48)
Пусть протекает реакция диссоциации
О2 20.	(7.49)
Число киломолей О, образующихся в единицу времени в еди-
нице объема, пропорционально числу столкновений, которое
в свою очередь пропорционально числу молекул реагирующих
веществ в единице объема: kt [ЛоД где kf— так называемая
константа скорости реакции. Скорость образования компонента О
в реакции (7.49) равна w0 = 2Mokf [Ло, 1- Реакции идут обычно
в обе стороны, и поэтому общая скорость образования О
и>о =2Л4о{^[До,]-МЛо]2},	(7.50)
где kr — константа скорости обратной реакции.
Обычная форма записи выражений для констант скорости
реакций имеет вид
k = ВТ$ exp (TJT),	(7.51)
184
где В, р, Та — числовые константы (берутся из справочника).
Произвольную химическую реакцию можно записать в следу-
ющем общем виде:
N	N
(7.52)
1=1	t=i
где i-й химический компонент обозначен символом А v'{, v"t—
стехиометрические коэффициенты прямой и обратной реакций
соответственно.
Пронумеруем химические компоненты: Аг — N2, Л2 •= О2
А3 = N, Л4 = О, Л5 = NO. Тогда в рассматриваемой химической
реакции
vi = 0; v2 — 1; v3 = 0; v4 = 0; vg = 0;
V, = 0; v2 = 0; v3 = 0; v4 — 2; v5 = 0.
Скорость образования i-го компонента в реакции (7.52) примет
вид
1 n ' N v")
®i = Мс (v] - \kf П [Л/] - kr П [Л;] ‘ ,	(7.53)
I /=i	/=i J
где символом П обозначено произведение.
Введем константу равновесия kc и условные величины (по-
рядки) соответственно прямой и обратной реакций п и п":
N	N
kc = kf/kr; п = S V(i п = £ Vi-
i=i	i=i
(7.54)
Тогда с учетом (7.48) получаем
Wi = Miiyt
(7.55)
Если в газовой смеси протекает L реакций, то скорость обра-
зования i-го компонента складывается из скоростей образования
i-го компонента в каждой реакции
w
(7.56)
где индекс I относится к параметрам реакций под номером I.
Как уже указывалось, достаточно (АС — т) уравнений нераз-
рывности компонентов, поэтому формула (7.56) используется
только для (У — т) компонентов.
В воздухе при температурах от 2000 до 8000 К в основном
играют роль следующие химические реакции:
1)	О2 + X ** 20 + X;
2)	N2 + X 2N 4- X;	(7.57)
185
3)	N ' О ! X щ NO : X;
1) а ; N з с КО : О;
.3) X, : О NO , N;	(7.57 '
5) К2 : <Х 2NO,
где Д' --- означает шаталитичсскую частицу.
Выражения для констант скоростей и равновесия содержатся
в сисциалнных енргшочпиках.
Таким образом, в д;ншо.м случае Л' 5, /_	С>, т 2. Имеем
Д' т 3 \ равнения неразрывности химических компомчггов
со скором до образования (7.56) и 2 уравнения для элементов.
•	7.4.2. Химически равновесные и замороженные
течения
Система уравнений существенно упрощается в •
про ;e;i:>!t!.i ; слушаях. Запщщ”.! \равнение неразрывное:л
но-щовщо'з О. Для простои,! сначала предположи:,', что !
толы.о модельная реакция (7.49), а смесь бинарная:
дС
!’U'V
-’Д>
(7.58)
о
Нсрсчйдсм в этом уравнении к безразмерным величин;,:.’ р, м,
й, о, ц, введя в качеств!' m.iciutаба длины характерный рэ шер /,
наспи аба скорости щ, масштаба плотности (ц и масштаба вяз-
кости р,:
- - и<~-о , , - ()^О 1 д ( В С'Д:> \
PU дх 1 |JL' ду ' АС1 ду ) Всо ду )
/к 9Й ГЕкЛх Д<Щ
щ "Р L Л!о2	kcM(,
(7.59)
В квадратных скобках
величина.
Введем параметр
Da
в правой части
стоит безразмерная'
//г,
“1
(7.60)
критерий Дамкелера, физический смысл которого от ношеные
характерного времени нахождения частицы газа в потоке (//Щ)
к времени протекания химической реакции.
В зависимости от значения критерия Дамкелера течения бы-
вают химически равновесными (Da Д 1), химически неравновес-
ными (Da ~ 1) и замороженными (Da -Д 1). В первом и третьем
случаях решение значительно упрощается.
Изложенное выше справедливо и для произвольного числа
N компонентов газовой смеси, в которой идет L химпчсскш.
реакций. Только выражение для характерного времени протека-
ния химических реакций имеет более сложный вид.
186
При Da •• I последний член в правой части уравнения (7.2<г
значительно меньше остальных членов и им можно прсо-.''.речь.
Таким образом, уравнения неразрывности компонентов прини-
мают вид
ОС/ . дС{ д , .	, п .,	х
р“ аТ’^’ Пу- "~-ду^	*’ 2’ 3.....Л' ’г>-
Во вюром предельном случае (Da . Г) конвс к а ишше и диф-
фузионные члены значительно меш.с.т скорости образования
и ими можно пренебречь. Тш да мы приходим к системе
Фактически число уравнений (7.63) ранне- Л, и.с> нам достаточно
(А'--- т) уравнений. Константы равновесия Aci являются изве-
стными функциями темпе.рат\ ры.
Система (7.63) дополняется (т — 1) уравнениями (7.29), и ре-
шение имеет вид
Су	Су (Т, р, гь г2, .... zx),	(7.64)
г. е. концентрации компонентов являются функциями темпера-
туры, давления и концентраций элементов, находимых из решения
уравнений (7.29).
7.5.	МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕПЛОВОГО ПОТОКА
В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ
Рассмотрим случай, когда все критерии Льюиса Let =
= 1. Тогда уравнение энергии (7.46) примет вид
<3/0 .	д!0 д г ц д/0\ , д г /,	1 \ д (к5/2)	._ сс
Это уравнение аналогично соответствующему уравнению энер-
1ии (5.19) при отсутствии химических реакций, но вместо темпе-
ратуры торможения То в нем стоит полная энтальпия торможе-
187
ния /0. Это дает основание ввести видоизмененную формулу Нью-
тона для химически реагирующих потоков, в которой вместо
температур используются энтальпии. Вместо формулы (5.99),
по которой удельный тепловой поток пропорционален разности
{Те — Tw), используем формулу
=	(7.66)
ср
где
/^Л + г^/2, /1 = S (A)i (Ci)i;	IlaiClw,
i	i
r — коэффициент восстановления энтальпии, равный для лами-
нарного пограничного слоя а для турбулентного — V”Рг-
Для расчета коэффициента теплоотдачи а необходимо исполь-
зовать критериальные уравнения. Введем критерии подобия
Num, Rew и Ргш, используя в качестве определяющего размера
эффективную длину хйф:
N	Re^, = ра^1-К"эф/Р>ип Ргщ = P'uX'p/^'w (7.67)
Тогда основные критериальные уравнения на изотермической
непроницаемой поверхности имеют вид:
для ламинарного пограничного слоя
Nu^/УЖ = А Рг°лККхии;	(7.68)
для турбулентного пограничного слоя
AX/Re^ = О,О29бРголзККхии.	(7.69)
Использование в качестве определяющего размера хдф поз-
воляет распространить результаты, полученные для течения
на плоской пластине, на течения с произвольным распределением
параметров на внешней границе пограничного слоя (на пластине
хэф = х). Коэффициент А в формуле (7.68) учитывает деформацию
распределения параметров внутри слоя (на пластине А = 0,332).
Коэффициенты К и Кхим учитывают соответственно переменность
pip поперек поперечного слоя и наличие химических реакций.
Формулы для определения x3(J) аналогичны полученным в раз-
делах 5.14 и 6.9 и для изотермической поверхности имеют вид:
для ламинарного режима
X
^ф = —(7'70)
и1Р1К о
для турбулентного режима
х
хэФ = pi.25z f uiPiR dx,	(7-71)
“1Р1* о
где z — 0 — для плоского и z = 1 для осесимметричного течений.
Формулы для хЭф в различных частных случаях содержатся
в разделах 5.15 и 6.10.
188
Как уже говорилось, на плоской пластине А = 0,332. Такое же
значение имеет коэффициент А на конусе. На передней критиче-
ской точке можно использовать следующие формулы для Д:
для плоского течения
А = 0,358(1 +0,2677\,/T0H)I/2;
(7-72)
для осесимметричного течения
А = 0,35 (1 + О,1857'и,/Тон)1/2.	(7.73)
Коэффициент К, учитывающий переменность р.р, можно рас-
считать по следующим формулам:
для ламинарного режима
= ( М-*Р* > / РтР1 у/1БГц,/г°1
где р* и р* рассчитываются при «условной» энтальпии /*
/*
/ь при со = м?/(2/1)< 1 —/ш//ь
+	+ “- 7^/Zx)2],
при со > 1 — /^/Л;
K = (^F,
где р*р* вычисляется при условной энтальпии
/♦ = 0,5 (/№ +	+ 0,22со,
для турбулентного режима
\ Цш /	\ Pw /
где р. * и р* вычисляются при условной энтальпии
Г* 1 г I 2 .	,	1	.
I — ~ 71-J-cor/i,
(7-74)
(7.75)
(7.76)
(7.77)
(7.78)
(7.79)
К = ((1 + гео)0,11 (т = 0,4 ф- 0,2 ехр (— сот)). (7.80)
\ I в /
Влияние диссоциации, ионизации и других химических реак-
ций на теплопередачу при ламинарном течении наиболее просто
оценивается при помощи коэффициента К1т1 для химически
равновесного и замороженного пограничных слоев. Для равно-
весного пограничного слоя при отсутствии диссоциации газа на
стенке множитель равен
Яхим = 1 + (Le0,52 - 1) Q/(701 - Iw).	(7.81)
Зависимость критерия Le и приведенного теплового эффекта
диссоциации и ионизации Q = 1 — 0,23 /о, — 0,77/Nj для воз-
духа от I представлены соответственно на рис. 7.1 и 7.2.
189
Q-10 *, кДж/кг
Л'.. Зависимость критерия Le от Рас. 7.Л Зависимость принелек-.>r..
эп ।я.иии для воздуха	теплового эффекта Q от анталыши /
для воздуха
В формуле (7.81) величины Le и Q рассчитываются по услов-
ной энтальпии I* [формула (7.75)].
/[ля расчета замороженного пограничного слоя можно исполь-
зовать выражение
Кх„м -= I : (Le0,63--- D—-А—	(7.82)
'01	‘ w
где Le и Q определяются по тем же графикам (см. рис. 7.1 и 7.2),
по ио энтальпии Д.
Как показывают поправки (7.81) и (7.82), при Le — 1 тепловой
поток нс зависит от скоростей химических реакций (/<Х11М -= 1).
В случае турбулентного пограничного слоя коэффициент КХ11М
определяется по формуле (7.81), однако показатель степени при
Le и(меняется в диапазоне 0,67 < 1.
Используя формулы (7.68) ... (7.82), можно рассчитать крите-
рии теплообмена: для ламинарного пограничного слоя NuM,'L' Re®
и тля турбулентного .Ки^/Кеф'. Тогда тепловой поток рассчиты-
вается по формулам:
для ламинарного пограничного слоя
Nu® -I К р.дгщ.® (/е 1 Д ,	„л.
<7® ==-Д7==- I/ —~-------р7---’>	(/.83)
|/Re® '	^г“'
для турбулентного пограничного слоя
Nu® (P№4,)°'8p°'2
Re0,8	ro,2	Рг„,
“	"'эф
(7.84)
Для определения 1е и Iw должны быть заданы Т\, Tw и Ch
С^„ Параметры 7\ и Сг1 известны из расчета внешнего обтекания.
Гсмнература на стенке Та, обычно задана в качестве граничного
условия. Для химически равновесного пограничного слоя можно
считать, что концентрации являются функциями только Т и р.
На рис. 7.3 приведена зависимость энтальпии воздуха от
температуры и давления. В химически замороженном пограничном
190
I, кЛ*/кг
Рис. 7.3. ;
pCKOM СИ П I !р Ю1Д)! Л
слое на каталитической
11 ()-
.чггов можно записать
iw
ve a.wi — параметр каталитической рекомбинации.
Очевидно, что при a,wl --> то (.,6co,Tiorn<> каталитическая стопка)
атомы no.'ib'u'.' 1ыо рскомбиаирую1. а нрн =- 0 (абсолют но
licinri«лкгичсекая стенка) Ci;a  : Cix.
7.С. МЕТОД ПОЛНЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ
ДЛЯ ХИМИЧЕСКИ РАВНОВЕСНЫХ ТЕЧЕНИЙ
Ранее было показано, что для расчета химически равио-
еспых течений нет необходимости решать вею систему уравнений
<7.39) ... (7.44). Дифференциальные уравнения неразрывности хи-
мических компонентон заменяются гшгебраическими уравнениями
Г.63). Решение системы при этом существенно упрощается, но
все же остается еще достаточно сложным из-за нелинейности
сравнений (7.63). Система уравнений, описывающих течение
.. химически равновесном пограничном слое, .может 6m:i, еще
больше упрощена в одном практически важном случае.
В разделе 7.3 показано, что rr;i непроницаемой с гонке при
соблюдении условия Dt == D (все коэффициенты диффузии равны
между собой) конце»। рации элементов поперек пограничного слоя
постоянны, т. е.
- О Д -I, 6....т).	(7.86)
С учетом этого, а также тою, что для химически равновесного
течения справедливо условие (7.6-1)
Cj-СДГ, р, 21, га, , zt),
получаем следующее выражение для плотности диффузионого
потока
_ Л дС1 — П I дС1 дТ I дС‘ -₽ I V дС* 3гЬ I
Р ду — \дТ ду ' др ду ' 2-i дгк ду / ’
X	k=l /
Так как в пограничном слое др/'ду = О, то
dCi дТ	0~,
giv PDdf"lty'	(7.87)
При этом производная dCJdT является, также как и Сг, функ-
цией температуры Т, давления р и концентраций элементов гк.
Тогда для удельного теплового потока (см. формулу (7.37))
получим
N	N
к дт , V „ т	8Т	\ydCt т
ду + givIt	ду	pD ду 1 дТ II
1=1	1=1
N
 - Х + РО^Л %
L	i=i J
Введем обозначение
N
хэф = х + ро 2 § Л-
i=i
тогда
„ _	. дТ
qv лэф .
(7.88)
(7.89)
(7.90)
Очевидно, что эффективный или полный коэффициент тепло-
проводности лэф является функцией Т, р и zx, z2, ..., zT и для
каждого элементного состава может быть затабулирован. На
рис. 7.4 в качестве примера представлена зависимость Хэф воздуха
от температуры для различных значений давления р.
Напомним, что полная энтальпия I выражается через формулы
(7.31) и (7.32):
/	т
I —	S I + Cl j cpt dT
I	I \	T„
Продифференцировав это выражение по у, получим
ер1 dT -|- GiCpi~d^
ду ~ дт ду дТ ду J
i 01 t J \ i	)
192
Рис, 7.4. Зависимость полного коэф-
фициента теплопроводности ХЭф воз-
духа от температуры:
1 . . 3 — р — 0,1; 1,0; 10 МПа соответ-
ственно
Рис. 7.5. Зависимость полной тепло-
емкости воздуха от температуры:
1 ... 3 — р — 0, Г, 1,0; 10 МПа соответ-
ственно
Введем обозначение полной удельной теплоемкости
сРэф = сР + £л^,	(7.91)
i
которая так же, как и Хэф, является в рассматриваемом случае
функцией Т, р, 2П z2, гт. На рис. 7.5 представлена зависимость
срэф для воздуха от температуры.
Таким образом, получаем
д!	дТ	дТ 1 д/
ду р эф ду	ду ср эф ду
Тогда для удельного теплового потока из (7.90) следует
а = _ ,..-эф _ Ёк	(7.92)
сР эф ду •	7
Подставляя это выражение в исходное уравнение энергии (7.21),
получим
д!	д!	д	I ^эф	dl\	/ ди \г . dp	по.
ри	+	ро	-------т-	+	Ц I -Г-	+	« -Г- .	(7.93)
н дх	г	ду	ду	\ ср эф	ду)	т	\ ду J 1 dx •	'	'
Таким образом, метод эффективных коэффициентов позволяет
описать течение в химически равновесном пограничном слое
всего тремя дифференциальными уравнениями: неразрывности
7 Авдуевский	193
(7.18),	количества движения (7.19) и энергии в форме (7.93). Эти
уравнения полностью аналогичны соответствующим уравнениям
в случае пограничного слоя без химических реакций (5.14) ...
(5.17) и решаются аналогично.
В заключение еще раз отметим, что указанное упрощение
возможно только в случае химического равновесия и постоянства
элементного состава поперек пограничного слоя.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Какие особенности появляются при теплообмене при наличии химических
реакций?
2.	Что такое диффузионный поток и как он рассчитывается в химически реа-
гирующих газовых смесях?
3.	Как влияют на приближение к химическому равновесию скорость газо-
вого потока и характерный размер течения?
4.	Чем отличается закон Ньютона для расчета теплообмена при наличии
химических реакций от закона Ньютона в случае совершенного газа?
5.	Какова последовательность расчета теплового потока при наличии хи-
мических реакций в пограничном слое?
ГЛАВА VIII
ТЕПЛООБМЕН ПРИ СВОБОДНОЙ КОНВЕКЦИИ
8.1.	ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Свободное движение возникает при изменении в жидко-
сти массовых сил. Такими силами могут быть сила тяжести, цен-
тробежная сила и сила, возникающая при наведении в жидкости
электромагнитного поля. Наиболее распространено и хорошо
изучено свободное движение жидкости, вызванное гравитацион-
ными силами.
Свободной гравитационной конвекцией называется движение
жидкости, возникающее в поле сил тяжести при наличии гра-
диента температуры.
Плотность как жидкости, так и газа зависит от температуры.
Поэтому при наличии в жидкости или газе градиента температуры
массовые силы в различных точках gp различны. Это вызывает
движение жидкости, определяемое направлением поля массовых
сил, распределением температур в жидкости и геометрической
формой объема. При свободной конвекции поля скоростей и тем-
ператур существенно взаимосвязаны. Поэтому для описания сво-
бодной конвекции необходимо совместное рассмотрение уравнений
неразрывности, движения и энергии.
Свободная гравитационная конвекция широко распростра-
нена в природе и технике. Она определяет циркуляцию воздуха
в атмосфере Земли, воды в озерах, морях и океанах, теплообмен
в жилых и производственных помещениях, в кабинах и отсеках
летательных аппаратов, в топливных баках ракет и самолетов,
тепловых процессах в различных технологических устройствах
и энергетических установках, в системах охлаждения радио-
электронного оборудования.
Различают ламинарную и турбулентную свободные конвек-
ции. При ламинарном движении частицы жидкости перемещаются,
не перемешиваясь по своим траекториям, и в каждой точке среды
скорость определенна. При турбулентном движении частицы
жидкости перемещаются хаотически, неупрочненно, направление
и величина скорости отдельных частиц непрерывно меняются.
Скорость жидкости в каждой точке среды пульсирует. Поэтому
при турбулентном течении обычно рассматривают среднестати-
стические значения скоростей и температур, используя осреднен-
ные уравнения движения и энергии.
Опытные данные свидетельствуют о том, что при свободной
конвекции' основная область тепловых и гидродинамических
7*	195
О 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 у,см .
Рк 8.1. Рзсире >,елекие скорости
и температуры в ламинарном погра-
ничном слое на расстояниях 1 см
(1) и 24 см (2) от начала обогрева
вертикальной пластины при сво-
бодной конвекции в большом объеме
воздуха:
---------температура;
рос гь
ско-
г.озмущений сосредоточена в от-
носительно тонком пограничном
слое ЖИДКОСТИ ОКОЛО ПОНС р К IК >С I и
“плообмена. Например, в ннж-
!л.й части нагретой вертикальной
н пггы образуется ламинарный по-
граничный слой. С ростом высоты
плиты теплоотдача уменьшается
из-за возрастания толщины по-
граничного слоя (рис. 8.1, 8.2).
На определенной высоте ламинар-
ное течение нарушается и пере-
ходи! в турб\ленtное.
Для описания свободно кон-
вективного ДВИЖеНИЯ И 1Л!,'Ю-
обмепа исполнят клея законы со-
хранения количества движения,
массы и анергии в жидкое 1 н, дни-
жушейся под действием массовых,
поверхности!,IX и ишрншшиых
сил. В прямоугольной сиенце
координат эта система принимает вид уравнений (3.3) ... (3.7),
причем уравнение движения принимает вид (3 15), где верный
член правой части характеризует подъемную силу. В этом урав-
нении учитывается изменение плотности только из-за изменения
температуры:
р = р0/[1 Д- ₽ (Т- Го)1 - Ро [1 - Р (Т- То)].	(8.1)
Данная система уравнений является простейшей моделью
термической конвекции и называется приближением Буссинсска.
Сравнение решений в этом приближении с экспериментальными
данными показывает, что оно правильно отражает основные осо-
бенности тепловой конвекции.
В уравнения движения (3.4) и (3.15) входит ускорение силы
тяжести gn па поверхности Земли. В общем случае плотность
массовых сил на летательных аппаратах прн их движении с уско-
рением равна сумме ускорений полета и плотности массовых
сил гравитационного поля в данной точке пространства F - а +- g
и се как ускорение силового поля, действующего в системе коор-
динат, связанных с летательным аппаратом, нужно рассматривать
в уравнениях движения.
Для ламинарной свободной конвекции приведенная выше
система уравнений (3.3) ... (3.7) в конкретных случаях может
быть численно решена на ЭВМ.
Для обобщения результатов экспериментов и численных расче-
тов нужно использовать безразмерные параметры, определяющие
196
теп/ л счу при свободней конвекции. В общем случае крите-
рпаль у равнение (3.40) приме! вид для газов
\uz -- /(Gr,, Pry, ф, Fo,,
пс, п}.., /ги, Л-, у, zL, hr ... Ln)	(8.2)
и для жидь.< к 'к if
/ (Cirz> Ргу, ф, Foy, ру/рш,
L'Г’П °/7 P/'PiC’	G У > G  •	^7l)>
где x, у, z - безразмерные координаты точек поверхности тепло-
обмена; Li, — безразмерные геометрические параметры;
ф — \ гол между поверхностью и вектором силы тяжести.
Для стационарного теплообмена и изменения коэффициента
теплоотдачи только вдоль продольной координаты х (пикример,
для свободной конвекции вдоль вертикальной пластины или
цилиндра) зависимости (8.2) и (8.3) упрощаются и принимают
соответствен по вид
Хиу - / (Gr,-. Ргъ ф, TJTf, пс. пк, пр, х);	(8.4)
Nll y - f (Gfy, РгЛ ф, Рг/;Ргх).	(8.5)
Как уже отмечалось, отношение Ргу/Ргж позволяет учесть
влияние переменное'!и свойств жидкости с Л и р ла теплообмен.
Для копире!него газа и конкретного учла наклона поверхности
зависимость (8.4) примет вид
Nuy f(Grf, РГ/) TJTh x),	(8.6)
или при принятии в качестве определяющей средней температуры
пограничном; слоя Тт =- 0,5 (7да ф- Тf)
f(Gv1tlPrm, х).	(8.7)
Рис, 8.2. Схема "еде-:?;;, и изменен?,& к^ффидиеФна теплоотдачи свобод-
ной конвекции на вертикальной стенке:
1, 2, 3 ~ ламинарная переходная, турбулентная области соответственно; а — Tw > Т
6~Tw>Tf
197
В ряде случаев при принятии в качестве определяющего раз-
мера продольной координаты удается исключить влияние х и урав-
нение (8.7) принимает вид (3.47), а уравнение (8.5) для жидкости
упрощается:
Mj, -/(GryPr,, Pr;/Prm).	(8.8)
8.2.	ТЕПЛООТДАЧА В БОЛЬШОМ ОБЪЕМЕ
При свободной конвекции у вертикальной поверхности
основные изменения полей скоростей и температуры сосредото-
чены в сравнительно тонких пограничных слоях (см. рис. 8.1).
Пограничный слой, в котором сосредоточено изменение ноля
скорости, называется гидродинамическим, а ноля температур —
тепловым. В общем случае (Рг 1) толщины этих слоев и
могут не совпадать. Из расчетов и эксперимента известно, что
при Рг < 1, 6Т ~ де, а при Рг ,:> 1, Ьт < bg. В турбулентном
пограничном слое при Рг > 1 обычно Ьг ~ 6» и не зависит от
продольной координаты х. Рассматриваемый случай называют
свободной конвекцией в большом объеме. Это значит, что объем
жидкости настолько велик, что свободное движение, возникаю-
щее у других тел, расположенных в этом объеме, не сказывается на
рассматриваемом течении.
8.2.1.	Вертикальная стенка
Развитие свободного конвективного течения вблизи
обогреваемой вертикальной стенки показано на рис. 8.2. Движе-
ние возникает под действием архимедовых сил, выталкивающих
нагретые и, следовательно, менее плотные слои жидкости, находя-
щиеся вблизи горячей стенки, вверх. В нижней части стенки раз-
вивается ламинарный пограничный слой, при этом, как ви-
дно из рис. 8.2, а, коэффициент теплоотдачи убывает по высоте
поверхности вследствие роста толщины пограничного слоя.
Переход от ламинарного режима к турбулентному происходит
в диапазоне Сгх-Рг = 109 ... 6-Ю10, определяющим так называе-
мую переходную область. При турбулентном режиме течения
коэффициент теплоотдачи а (х) практически не изменяется по вы-
соте поверхности, так как вместе с ростом толщины пограничного
слоя увеличивается интенсивность турбулентного переноса. В об-
ласти перехода коэффициент теплоотдачи может изменяться от
минимального значения, характерного для ламинарного режима,
до максимального, соответствующего турбулентному режиму.
Если температура стенки ниже температуры жидкости, вблизи
стенки более плотные слои будут опускаться вниз, и картина те
чения будет обратной по сравнению со случаем горячей стенки
(см. рис. 8.2, б).
Наличие тонкого пограничного слоя позволяет существенно
упростить систему уравнений, воспользовавшись приближениями
пограничного слоя. Для ламинарной свободной конвекции на ве.р-
198
тика.пшой пластине в стационарном режиме и при и const
и я соп>1 уравнения неразрывности, энергии и движения (3.15)
п р им у т вид:	ди , ди дх 1 ду	-- 0;	(8.9)
zz - 11 dx	дТ • дт	ТТ	/0 , у--—	Z7-—(8.10) дх '	()у	ду-	' ; *> =	i	(811)	
Граничные условия: у - 0, Т 7\	- 0, и * v -	- 0, Т — Та; у 6, и v --
Результаты численного расчета		по местной и средней тепло-
отдаче обобщаются зав	нсимостями	
справедливыми при 10* < GrxPr < 109, Рг == 0,01 ... 1000 для
таких шпервалов изменения температурного напора АТ, в кото-
рых и и л мало изменяется. Однако и для больших АТ, если фи-
.-шческие свойства относить к средней температуре пограничного
слоя Тт - ~ 0,5 (7ф, -r Tf}, получается удовлетворительное сов-
падение с. экспериментом, причем как при Tw ~~ const, так и при
q.^. - con^t. Здесь Nux а (х) х/'к, Nu; =- aljk’, а — средний
коэффициент теплоотдачи; I — высота пластины.
При GrxPr < 10* приближение пограничного слоя неприем-
лемо, так как его толщина становится большой. В диапазоне
Gr.Pr -  5-102 ... 109, Рг 0,7 ... 10 можно с достаточной точ-
ностью для расчета .местной теплоотдачи использовать уравнение
Nuxm - 0,6 (СгхРг)Д5,	(8.14)
которое хорошо согласуется с экспериментальными данными для
вертикальных пластин и труб, включая свободную конвекцию
в криогенных жидкостях. В качестве определяющего размера в
выражении (8.14) принято расстояние х, отсчитываемое от места
начала теплообмена, а в качестве определяющей принята средняя
температура пограничного слоя Тт.
Средний коэффициент теплоотдачи обычно определяется как
отношение средней по поверхности плотности теплового потока
к среднему температурному напору. В рассматриваемом случае
i	i
\q (х) dx	У а &.Т dx
-------- (8Л5)
— \ ЬТ (х) dx	У ДТ dx
о	0
199
Если Tw = const и температурный напор по длине пластины
ДГ = Tw — Tf постоянен, то
। ।
at = -у- у adx = -j- У Сх~0'25 dx = -|-С/”“0,25 = — ax=z-
°	°	-	5
При qw — const получаем a, = -j- ах=г, т. e. расчетная
формула для средней теплоотдачи принимает вид
Nu(m = 0,75 (Gr; Рг)„25,	(8.16)
где за определяющий размер принята длина пластины I, отсчиты-
ваемая от начала теплообмена.
Формула (8.16) справедлива и для горизонтальных цилиндров,
так как около них из-за малой протяженности поверхности по
высоте обычно свободная конвекция происходит при ламинарном
режиме. В качестве определяющего размера принимается диаметр
цилиндра d.
При малых значениях GrxPr = 10~3 ... 5-Ю2 можно исполь-
зовать эмпирическую формулу М. А. Михеева
Nuxm = 1,18 (Grx Рг)„25.	(8.17)
Для турбулентной свободной конвекции Эккертом и Джексоном
было получено теоретическое решение интегральным методом в
приближении пограничного слоя для постоянной температуры
стенки. Они заложили в решение f>g = 6Г, постоянные физические
свойства (кроме плотности) и эмпирические данные для полей
скоростей и температур. Обобщение решений имеет вид
Nux = 0,0295 Gr2/5Pr7/15(l + 0,494 Рг2/3)-2/5	(8.18)
для местной теплоотдачи в сечении х и
Nu, = 0,0246 Gr?/5Pr7/15 (1 -ф 0,494 Pr2/3)-2/s	(8.19)
для средней по длине I теплоотдачи (если вдоль всей поверхности
поток турбулентный).
Эти уравнения хорошо согласуются с результатами экспери-
ментов, проведенных на воздухе и воде (Рг = 0,7 ... 10) в диапа-
зоне GrxPr = 10е ... 1012.
В этом же диапазоне Рг можно использовать и более простые
формулы
Nuxm = 0,15 (Grx Pr)Jn/3,	(8.20)
Nuzm = 0,13 (Grz РгД/3,	(8.21)
справедливые соответственно для местной и средней теплоотдачи.
На рис. 8.3 показана зависимость местной теплоотдачи на
вертикальной поверхности от (GrxPr)m для ламинарного и тур-
булентного режимов. В переходном режиме (GrxPr)m — 109...
6-Ю10 процесс течения неустойчив, в этой области течение может
200
Рис. 8.3. Местная теплоотдача при свободной конвекции на вертикальной по-
верхности:
1 ~ ламинарный режим; 2 -- турбулентный режим; 3 -- область возможных изменений
коэффициента теплоотдачи в переходной области
быть ламинарным, может быть и турбулентным. В среднем в этой
области теплоотдача возрастает от величины, соответствующей ла-
минарному течению, до величины, соответствующей турбулент-
ному течению (см. рис. 8.3); предельные значения коэффициентов
теплоотдачи определятся по формулам (8.14) и (8.20).
Для расчета теплоотдачи при турбулентной свободной конвек-
ции к вертикальному цилиндру предложена зависимость, обоб-
щающая результаты теоретических расчетов:
Nu, - Nu/0 .'1 :-0.026Д-^- --0.04782	(8.22)
где Nu/o — теплоотдача для вертикальной плоской стенки, опре-
ределяемая по (8.19); В - 0,565GrP0’1Pr"8/15 (1 + О,494Рг2/3)0,1—
отношение толщины пограничного слоя при х. = I к высоте ци-
линдра l\ d — диаметр цилиндра,
8.2.2.	Горизонтальные поверхности
Движение жидкости и интенсивность теплообмена на
горизонтальной поверхности зависят от ориентации поверхности и
направления теплового потока. На рис. 8.4 представлено 4 воз-
можных варианта. При нагревании жидкости на пластине, обра-
щенной поверхностью вверх (см. рис. 8.4, а), подъемная сила
способствует выталкиванию нагретой около стенки жидкости
вверх, на ее место поступает холодная жидкость. Конвекция около
стенки носит сложный ячеистый характер. При охлаждении жид-
кое! и па пластине, обращенной поверхностью вниз (см. рис. 8.4, б),
опускная сила выталкивает охлаждаемую около стенки жидкость
вниз (течение аналогично рассмотренному выше варианту).
Результаты экспериментов по средней теплоотдаче на квад-
ратных пластинах со стороной I для двух вышеупомянутых слу-
чаев обобщаются следующими уравнениями:
Nuim = 0,54 (Grz Рг)°;25	(8.23)
201
г)
Риг 8Л. Схемы течения и профили темпер аг. ры при свободой к.пир'кпив
на ’ физонта/н.ных поверхностях:
а наг псв<’ '-'и ( (Т '• Т у); б  охлаждение (ю ч- If)- ° ” о,\л<-:жд< пне (1	7‘р
г - >.,и рочише (7Д, Щ)
для ламинарной конвекции в диапазоне 1 СР (GipPr),,, • 2-Ю7
и
Nil/,,,	0,14 (Grz Pr),1,,'*	(8.24)
для турбулентной конвекции в диапазоне 2-10' •' (GrJ’r),,, •
- . з-Го10.
Соотношения (8.23) и (8.24) справедливы также и для криогенных
жидкостей при ускорениях <//е„ - 1 ... 20.
Следует отмстить, что при ламинарном режиме, когда показа-
тели степени при Ст равен 0,25, зависимоеi и коэфушциен i а тенло-
oi/ianii от размера / является слабой (~/ -’-’C, а при ту рбу тс-н i ном
режиме, когда показатели степени равен 1/3, длина I вообще не
влияет на коэффициент теплоотдачи.
Рели поверхность при нагреве обращена вниз ('см. рис. 8.4, а),
нагрет ля жидкость не может опуститься вниз, тече! вдоль по-
верхности и затем поднимается вверх за пределами пластины.
Аналогичный характер течения жидкости при охлаждении па
поверхности, обращенной вверх (см. рис. 8.4, с). Теплоеiдача
в -лих случаях значительно меньше, чем для варпаигов,показанных
на рис. 8.4, а, б, и обобщается зависимостью
NuZm - 0,27 (Сг/Рг)";25,	(8.25)
справедливой для 3-105 < (Gr, Рг),,, < 3 1010.
Для пеквадратны.х пластин при использовании приведенных
выше зависимостей рекомендуется пользоваться средним разме-
ром /.
202
Как показали результаты летного эксперимента, расчетные
зависимости можно применить для расчета теплообмена в боль-
шом объеме водорода и кислорода при пониженных ускорениях
До a/go = 8- КГ4.
8.2.3.	Наклонные поверхности
Теплоотдача при свободной конвекции па наклонных
поверхностях изучена менее подробно, чем вышерассмотренные
поверхности, однако имеются расчетные рекомендации, получен-
ные теоретически п эксперимента'паю.
Для расчета местной теплоотдачи при ламинарной свободной
конвекции численным решением для Рг - 0,1 ... 100 получены
ел еду ю: i [не з а в и с 11 мост и:
для Tw const,
Nux 0,75 Рг0-3 [2,5 (1 |-2Рг0-5 [ 2 Рг)] °'25 (Grr cos ф)п-23; (8.26)
для y.j, - con-4
К’ид. - Рг0"1 (4 -9Рг0"’ г ЮРг)'°’2 (GrU'osi]-)0’2,	(8.27)
где GrJ - Д>7:;.х'р~'Ч127) — модифицированное число Грасгофа,
применяемое в случае задания на стенке плотности теплового
потока ф — угол наклона, отсчитываемый от вертикали.
Экспериментально показано, что при 7Д -= const переход от
ламинарного течения к турбулентному на наклонных поверхно-
стях начинается при
(GrvPr)Kp t - 6,3- 10s exp (°—4,95ф)	(8.28)
и заканчивается при
(GrvPr)I;pa 1,6-10° exp (—3,6ф).	(8.29)
При ламинарном течении местная теплоотдача обобщена в виде
зависимости
Nu,,; " 0,39 (Grx Рг cos ф)0'25,	(8.30)
справедливой для 2- 10‘ GrvPr < (Gi\Pr)):pl, а при турбулент-
ном гечешш представлена формулой
.\нд (0,1 О.ОЗф'л) (GrxPr)1/3.	(8.31)
Средняя теплоотдача при ламинарном течении для 1,5-19
 Дг.Ргсогф . (Сг-Ргфр । обобщена формулой.
\Т1,	0,54 (Gr, Рг)00"';	(8.32)
при турбулентном для (Gr.Рг),,,,,, GiyPr I010
Nu- - (0,1 -у 0,05ф/.л) (Gr.Pr)123.	(8.33)
Формулы (8.28) ... (8..33) справедливы для 0 -у ф [ 80'.
8.3.	ТЕПЛООТДАЧА ЖИДКОСТИ В ОГРАНИЧЕННОМ
ПРОСТРАНСТВЕ
Если обьем жидкости невелик, то свободные движения,
возникающие у других тел или частей данного тела, расположен-
ных в этом объеме, могут влиять на рассматриваемое течение.
Разделясь эти течения и рассматривать их отдельно затруднительно
или вообще невозможно.
Движение и теплоотдача в этих объемах зависят не только от
рода жидкости, ее температуры и температурного напора, но и от
формы, размеров и ориентации пространства. В рассматриваемом
случае, имеет место свободная конвекция в ограниченном или
замкнутом пространстве, называемом также иногда газовой или
жидкой прослойкой.
Для инженерных расчетов переноса тепла через прослойки
вводят понятие среднего условного числа Нуссельта

Nu
^т ( Га1 - 7 и) ’
(8.34)
где — осредпенная по поверхности прослойка—плотность
теплового потока; д — толщина прослойки; TW1 и Т.„,,—тем-
пературы стенок прослойки; Хт — коэффициент теплопровод-
ности жидкости, определяемый обычно по средней по толщине
прослойки температуре среды Тт -- = 0,5 (Twl + Tw2).
Величину	— Тш2) называют эффективным коэффи-
циентом теплопроводности прослойки и обозначают А.)фф. Тогда
Nu - Дфф.Дп-Отношение А 1фф/Л показывает, во сколько раз пере-
нос тепла в прослойке выше, чем в случае чистой теплопроводности.
Поскольку рост переноса тепла в этом случае обусловлен кон-
векцией, это отношение называют также коэффициентом конвек-
ции
ек ~ А;)фф/лm.	(8.3о)
Значение коэффициента ек позволяет легко рассчитать плот-
ность теплового потока, переносимого через прослойку
Г-К g (Дг>1 - ' Тtaj) ек^гепг,,
(8.36)
где с/тепл - И четность теплового потока, переносимого тепло-
проводностью.
Теплообмен при свободной конвекции в жидких и газовых про-
слойках эффективно исследуется с помощью численных методов.
8.3.1.	Горизонтальные прослойки
Рассмотрим горизонтальную прослойку, образованную
двумя пластинами с постоянными по поверхности температурами
и заполненную жидкостью или газом. Боковые сгенки прослойки
теплоизолированы.
204
При подводе тепла сверху (рис, 8.5, а) при малых 6 и посто-
янной X, свободная конвекция в прослойке не возникает, т. е.
в этом случае ек ~ I и qw дте,-1;,.
При подводе тепла снизу (рис. 8.5, 6) возникновение свободной
конвекции определяется числом Рэлея
стВ с о‘- 63
Raem - Gr6m Prm -- _(7Ш1 - Тш3).	(8.37)
р гп т
Численным расчетом было установлено, что свободная кон-
векция возникает лишь при Ra щ- RaKp ~ 1700. Когда верхняя
граница жидкости свободна, критическое число Рэлея уменьшается
до RaKp ~ 1100 (здесь 6 — толщина слоя жидкости).
Следует обратить внимание на то, что при подогреве сверху
слоя газа или жидкости отсутствие конвекции возможно лишь
в строго горизонтальном слое и при однородном распределении
температур на границах слоя. В этих условиях более плотная
холодная жидкость находится у нижней стенки и менее плотная —
у верхней, т. е. расслоение плотности является устойчивым.
При нагревании прослойки снизу при некоторых условиях так-
же возможно гидростатическое равновесие в слое газа или жид-
кости. В частности, при нагреве снизу идеального газа условием
dT . g т,	dT
устойчивости среды будет	. Возникающая при
СТ
,» свободная конвекция стремится перемешать газ так,
ср
чтобы установился в среднем адиабатический градиент темпера-
туры. Это означает, что увеличение плотности в направлении
сверху вниз под действием силы тяжести компенсирует умень-
шение плотности за счет нагревания нижней стенки при выполпе-
нии условия	и гидростатическое равновесие в про-
слойке нарушается. В. И. Полежаевым было показано, что крити-
ческое число Рэлея является функцией параметра g/[Cj, (dT/dy)],
числа Прандтля.
При Ra .> RaKp в прослойке возникает свободная конвекция,
имеющая ячеистую структуру (рис. 8.5, б). Эго могут быть двух-
мерные ячейки в виде вращающихся в противоположные стороны
«валиков», или трехмерные ячейки, коюрые в плане могут иметь
форму шестигранника, квадрата, треугольника. Горячая среда
205
Рис. 8.6. Зависимость коэффициента конвекции через топкие горизонтальные
прослойки от числа Рэлея по экспериментальным данным:
С — Для поды; + — для гептана; • — для силиконового масла; д, д - для воадуха
поднимается вверх в центре ячеек, а холодная опускается вниз
по их краям, или наоборот.
Реализация того или иного вида ячеистой структуры зависит
от начальных условий, геометрии прослойки, неоднородности рас-
пределения температуры и др. Имеющиеся численные решения
получены для заданных форм ячеек. При увеличении числа Рэлея
упорядоченная ячеистая структура постепенно разрушается (в диа-
пазоне Ra 3• 104 ... 107) пока не наступит полностью турбулент-
ная конвекция.
С ростом Ra коэффициент конвекции возрастает. На рис. 8.6
представлены результаты экспериментов н численных расчетов
теплоотдачи через тонкие прослойки, выполненные В. И. Поле-
жаевым и М. П. Власюком. Число Ram определено по равенству
(8.37) с использованием в качестве определяющей температуры
Тт - 0,5 (Тш1 + Twi).
Для расчета коэффициента конвекции можно использовать
формулу
ек --= С (Gr5 Рг)" ,	(8.38)
где при (Gr6Pr)m < 1700	1, п = 0; при 1700 < (Grfl Pr)m.< 10е
С =- 0,105, п = 0,3; при 106 < (GraPr)m 7 I0ln С ----- 0,4,/г -• 0,2.
8.3.2.	Вертикальные прослойки
Рассмотрим вертикальную прослойку, температура од-
ной из боковых стенок которой равна Та,->, а другой — Тк,2,
причем ТЮ1 > Tw2- Горизонтальные стенки прослойки теплоизо-
лированы. Характер свободной конвекции в среде, заполняющей
прослойку, определяется числом Рэлея и отношением высоты
прослойки I к толщине прослойки 6. Кроме того, на теплоотдачу
и характер течения влияют сжимаемость среды, зависимость
206
Рис. 8.7. Зави им->сть коэффициента конвекции or отношения длины к ширине
прослойки для рамичных чисел Рэлея:
О - - эксперимент.----- -- расчет (верхняя кривая Ra-~-5*10*. нижняя--Па 10*)
теплофизических свойств от температуры и характер распределения
температуры по поверхности стенок.
При малых значениях числа Рэлея Ra6 свободная конвекция
практически не влияет на процессы переноса тепла, определяемые
целиком теплопроводностью. С ростом Ra6 возникает конвектив-
ное движение. Около горячей стенки жидкость движется вверх,
а у холодной — вниз. Это увеличивает теплоотдачу, если погра-
ничные слои на горячей и холодной стенках не касаются друг
друга. Если пограничные слои сомкнулись, профиль температур
линейный и тепло через них передается только теплопроводностью,
т. е. t'K -= 1. При Z/5 оо основная часть прослойки занята сомк-
нувшимися пограничными слоями и тогда е„ 1. При //б —0
и теплоизоляции горизонтальных стенок теплообмен также будет
происходить только за счет теплопроводности.
Зависимость ек от //б имеет максимум. Рис. 8.7 показывает,
как изменяется коэффициент ен в зависимости от //б для двух
значений Rae. Максимальное значение г,, приходится на //6 ~ 1,5.
Для этого значения //б на рис. 8.8 показаны изотермы 0 (Гшг --
— - 7’)/(7ф, — линии тока ф и профили скоростей для ла-
минарной свободной конвекции по данным В. II. Полежаева.
Рис.  8 (.1 ацпопарное распределение в вертикальной прослойке нзшерм (а),
линий юка (б), скорости (.Д для Z/6 = 1.5 и Ra = 104
207
Рис. 8.9. Основные режимы конвек-
тивного движения в вертикальном слое
при Рг -0,7:
I стационарный одноячейковый режим,
II - стационарный многоячейковый ре-
жим; III -- нестационарный многоячей'
ковый режим
В этом случае возникает двух-
мерный вихрь. Жидкость по вы-
соте стратифицирована: горя-
чая расположена выше холод-
ной.
Рекомендуется для расчета
теплообмена в вертикальных
прослойках в диапазоне //6 =
= 1 ...20; Рг = 1 ... 1000; Ra =
= 10э ... 107 зависимость
ек - 0,28 (Ra.P- ' (Z/б) 1! .
(8.39)
Из нее следует, что в случае
экранной изоляции, заполнен-
ной газом, более эффективными
будут длинные прослойки, не
разделенные горизонтальными
перегородками.
Режим течения и теплообмена
в вертикальных прослойках при
постоянных значениях и Тт2 определяется безразмерными
параметрами Ra, Рг и 6//, или их сочетаниями. На рве. 8.9 в ко-
ординатах Ра и б/Z приведены границы конвективной устойчи-
вости. Для больших значений Ь/l вблизи Ra 10° проходит гра-
ница между стационарным и нестационарным режимами и граница
между течениями с разной структурой. При Ra 10:! перенос теп-
ла происходит путем теплопроводности. Увеличение Ra до 10‘ ...
10s приводит к возникновению системы вытянутых по верти-
кали ячеек. Расстояние между ячейками зависит от определяющих
параметров. При Ra --- 2-10° взаимодействие встречных потоков
ослабевает; между ними образуется застойная зона, чао ведет
к исчезновению системы вихрей. Влияние устойчивой стратифи-
кации усиливается и приводит к тому, что вблизи торцев образу-
ется зона повышенной устойчивости и основная циркуляция от-
тесняется из этих областей. При Ra -3-105 возникает' новая фор-
ма движения: восходящий вдоль нагретой стенки ноток разделяется
на высоте 0,75/ на две части, одна из которых продолжает восходя-
щее движение, а другая переходит во встречный поток вдоль хо-
лодной стенки, который аналогичным образом расщепляется па
высоте 0,25/.
При Ra = 7-Ю5 появляются колебания температуры и ско-
рости в пристеночной области. Дальнейшее увеличение Ra до
(2 ... 4)-10е .... 10я и соответствующее повышение интенсивности
движения приводит к появлению нерегулярных вихревых
структур, характерных для переходного и турбулентного
режима,
208
8.4.	ПРОЦЕССЫ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЗАПОЛНЕНИИ
И ОПОРОЖНЕНИИ ЗАМКНУТЫХ ЕМКОСТЕЙ
8.4.1.	Методика расчета процесса заполнения
емкости газом и вытеснения из нее жидкости
Задача расчета теплообмена в замкнутых емкостях при
их заполнении горячим газом и вытеснения из них жидкости весьма
сложна и актуальна. В данном случае имеют место нестационарные
процессы теплообмена между горячим газом и стенками емкости,
а также между газом и зеркалом жидкости. Интенсивность этих
процессов определяется характером изменения температур стенок
и зеркала жидкости, т. е. данную задачу нужно решать в сопря-
женной постановке. Использование коэффициентов теплоотдачи,
зависящих от нестационарных граничных условий, позволяет при
заданных геометрических параметрах емкости, расходе горячего
газа и его температуре на входе определить изменение по времени
температуры стенки и средней температуры газа. Это позволяет
в конечном итоге рассчитать количество горячего газа, необхо-
димого для вытеснения жидкости из емкости.
Движение в газовой подушке обуславливается как свободной
конвекцией (из-за разности температур, стенок и газа), так и вы-
нужденным движением газа от входного устройства до зеркала
в процессе вдува газа в бак. Поэтому и теплообмен газа со стенками
и зеркалом обуславливается совместным
вынужденной конвекций. Надежные
данные по тепло- и массообмену в га-
зовой подушке могут быть получены
только в специально проводимых экспе-
риментах, тщательно моделирующих
условия работы реальных баков.
Существующие системы расчета
ставят своей целью определение тем-
пературы газа Ть и расхода газа Gb0.
Для этого рассматриваются для газо-
вой подушки уравнение сохранения
массы (рис. 8.10)
d (щП)) _ zj
(8.40)
и уравнение сохранения энергии
d (pbVbub) । „ dVb___т	/о At \
----dr------- P~^- -	(8.41)
где рь — плотность газа в подушке;
— объем газовой подушки; т —
время; Gb — суммарный расход газа,
поступающего в подушку, Gb = Gb0 —
— GTp — GKC—G3 (Gb0—расход газа, по-
влиянием свободной и
газом и
при ее заполнении
сливе жидкости
209
пающего в емкость; GTp—расход газа на вытравливание через пре-
дохранительный клапан; GKC — расход пара, сконденсировавше-
гося на стенках; G3 — расход пара, сконденсировавшегося на
зеркале); иь = срЬТь — удельная внутренняя энергия газа в
сосуде;
I ь — Giglio GTpiTp GKCiKC G3i3 = Gbo^pboTьо — G^pCp трТтр —
GKCcp KCTKC ^3Ср37\ = GiCpiTi
i
(fit, cpi, Ti — соответственно расход, теплоемкость и температура,
с которой газ поступает или уходит из рассматриваемой системы);
Qb — отток тепла в стенки и в жидкость через зеркало.
Из уравнений (8.40) и (8.41) получаем выражение для скорости
изменения температуры газа в баке:
dTb _ ’b — Qb—P—^—GbCvbT'b
4т	b
Для расчета оттоков тепла к стенкам бака и к жидкости в об-
щем случае необходимо рассматривать нестационарное трехмерное
температурное поле в газовой подушке. Однако в практических
расчетах нас обычно интересуют не температурные поля, а лишь
изменение по времени средней температуры газа и тепловых по-
токов в стенку и зеркало. Поэтому в инженерной практике вво-
дится средняя температура газа Ть, а влияние реального трех-
мерного температурного поля учитывается зависимостью коэффи-
циента теплоотдачи от граничных условий, геометрии бака, зави-
симости свойств газа от температуры и т. д.
Обычно в газовой подушке нет существенных градиентов тем-
ператур по радиусу бака и по углу; существенно только изменение
температуры газа по высоте бака. Этим обстоятельством сущест-
венно упрощено определение средней температуры газа по слоям
и средней температуры по всей газовой подушке.
При практических расчетах рассматривается либо осредненная
система, в которой не учитывается изменение температуры газа и
коэффициента теплоотдачи по поверхности бака, а учитывается
их изменение только по времени, либо распределенная система,
в которой температура газа и коэффициент теплоотдачи являются
функцией координаты вдоль оси бака х и времени т.
Первую систему называют иногда нольмерной, вторую — одно-
мерной. В первом случае рассматривается средний коэффициент
теплоотдачи по поверхности газовой подушки а (т) и суммарный
поток тепла от газа в стенки:
Qbw-a(F)F (Tb-Tw),	(8.43)
где Tw — средняя температура стенок; F — поверхность; Ть —
средняя температура газа в подушке.
210
Для одномерной модели
X	X
Qbw = f dQbw = J a (x, r) (Tb — Tw) nD dx, (8.44)
о	о
где D — диаметр бака, Tw — температура стенки в данном се-
чении.
Для расчета теплообмена с зеркалом жидкости для обеих
систем рассматривается средний коэффициент теплоотдачи и сред-
няя температура газа в подушке.
При расчете теплообмена необходимо знать притоки тепла из
окружающей среды или потери тепла в окружающую среду для
поверхности бака, контактирующей с газом, Qto0Iip и для по-
верхности, контактирующей с жидкостью, Qi[aoKp (см. рис. 8.10).
Для определения тепловых потоков от газа к стенке Qbw и
от газа в зеркало Qb3, от зеркала к жидкости Q3i и от стенок к жид-
кости Qi[B необходимо знание коэффициентов теплоотдачи.
Для замыкания системы (8.40), (8.41) необходимы уравнения
для температуры стенок бака в газовой и жидких полостях, а
также уравнение баланса энергии для жидкости (см. рис. 8.10).
Кроме этого необходимо условие для определения температуры
зеркала жидкости Т3. Если значительна доля паров жидкого ком-
понента в подушке, то Т3 определяется как температура насыще-
ния Ts при парциальном давлении паров в подушке бака.
При малой доле паров парциальное давление неконденсирую-
щегося газа у зеркала жидкости (следовательно, и Т3) определя-
ется по уравнениям диффузии для компонентов газа. Для опреде-
ления GKC и G3 необходимо произвести расчет массообмена на
стенках и зеркале.
Решение данной задачи как при использовании сосредоточен-
ных параметров, так и при одномерной схеме с распределенными
параметрами, выполняется численными методами.
8.4.2.	Картины течения
Для замыкания приведенной в 8.4.1 системы уравне-
нений необходимо знание коэффициента теплоотдачи газа со
стенками бака (при нольмерном описании — среднего, при одно-
мерном— местного), а также среднего коэффициента теплоот-
дачи газа с зеркалом жилкости.
Ниже излагаются результаты экспериментальных исследова-
ний, выполненных Г. А. Дрейцером, А. С. Неверовым и А. С. Мякочи-
ным. Эксперименты ставились следующим образом. В модельный
бак, частично заполненный жидкостью, вдувался определенный
расход горячего газа и происходил разогрев стенок. При дости-
жении заданного давления в газовой подушке начиналось вы-
теснение жидкости из бака и продолжался разогрев стенок. После
окончания слива подача газа прекращалась и шло его остывание
211
в баке. Эксперименты проводи-
лись в двух баках различных диа-
метров для двух схем вдува --
осевой струей и через полусфери-
ческий инжектор, обеспечиваю-
щий равномерное распределение
вдуваемого газа по сечению бака.
Проведенные исследования по-
зволили установить следующее.
При вдуве горячего газа осевой
струей в замкнутую полость струя
практически распространяется по
законам затопленной струи до
взаимодействия с поверхностью
жидкости. На эту струю оказы-
вает тормозящее воздействие архи-
медова сила. Измеренные скоро-
сти течения газа у стенки при
горячем наддуве оказались выше,
чем скорости при изотермическом
наддуве (как и скорости на осн
бака).
При вдуве в бак осевой струи
ее взаимодействие с поверхно-
стью жидкости протекает по из-
вестным законам для турбуле.пт-
Рис. 8.11. Схема «течения в баке
при вдуве осевой струи; слева от
оси — первый момент вдува, справа
от оси—последующие моменты над-
дува
ной струи, набегающей перпендикулярно на стенку ('рис. 8.11).
Движение газа у стенки при осевом вдуве обусловлено вторич-
ными отраженными от зеркала жидкости потоками, формирую-
щими у стенки кольцевую полуограниченную струю, направлен-
ную вверх. Распространению движений этой струи противодей-
ствует свободная конвекция, причем тем существеннее, чем силь-
нее рассматриваемый слой газа отдален от поверхности жидкости.
Непосредственного воздействия струи на стенку нет. Движение газа
у границ газовой подушки протекает более интенсивно с увели-
чением скорости и температуры газа на входе и уменьшением рас-
стояния от среза инжектора до зеркала жидкости.
При равномерном вдуве в замкнутой полости практически по
всему сечению бака течение газа направлено вниз до взаимодей-
ствия с поверхностью жидкости, причем амплитуда образуемых на
поверхности жидкости волн примерно в два раза меньше, чем при
осевой струе. Течение газа от инжектора типа «полусфера» непо-
средственно воздействует на стенку, и это воздействие, по-види-
мому, будет усилено свободной конвекцией. С увеличением рас-
хода газа на входе при равномерном наддуве у границ газовой
подушки реализуются большие значения скоростей. У поверх-
ности жидкости на движение газа оказывает влияние волно-
образование. Как и при осевом наддуве, взаимодействие газа с по-
212
верхностью жидкости можно приближенно описать с помощью
той же модели.
Проведенные эксперименты показали, что на процесс тепло-
обмена is газовой подушке влияют: вынужденное движение, обу-
словленное вдувом газа, свободное движение, обусловленное раз-
ностью температур газа и стенки; нестационарные граничные ус-
ловия на стенке.
8.4.3.	Теплообмен в газовой подушке
Теплообмен в газовой подушке при вдуве в нее горя-
чего газа в общем случае зависит от чисел Рэлея (Rа), Рейнольдса
(Re), температурного фактора (Тш/Ть), расстояния от инжектора,
конструкции инжектора, а также от параметра тепловой нестацио-
нарности. При -рассмотрении теплообмена на стенках бака в ка-
честве такого параметра был выбран
--
dTw
дт;
1
(ТЬ - Тю)3/2
(8.45)
влияющий на интенсивность теплообмена при нестационарной сво-
бодной конвекции. Здесь I — характерный размер, определяемый
как расстояние по образующей бака от верхнего сечения обо-
греваемой поверхности до рассматриваемого сечения; Т = 0,5
(Tb + Tw). Как будет показано ниже, для конкретной геомет-
рии инжектора опытные данные по теплообмену на стенках бака
при принятии в качестве определяющей температуры Т не зави-
сят от TwjTb, Re и расстояния от инжектора.
Опыты проводились в вертикальном цилиндрическом сосуде.
Горячий воздух подавался в сосуд, частично заполненный водой,
двумя способами: осевой струей и равномерным по сечению бака
вдувом с помощью полусферического насадка. Все исследуемые
процессы состояли из трех стадий: 1) вдув горячего газа в сосуд
с повышением давления в нем до заданного значения при x/D =
= const и (ji~ 0; 2) вытеснение жидкости горячим газом при
pb0 -- const; 3) остывание газа в замкнутом объеме при Gb0 —
- G, - 0.
Основные параметры эксперимента изменялись в следующих
диапазонах: рь ~= 0,1 ... 1,1 МПа; Тьо -- 373 ... 650 К; Gb0 =
= (2,5 ... 15)-10~3 кг/с; <?г = (0,4 ... 1,8)-10"3 кг/с; числа Рэлея,
определенные по I, Ra — 10s... 5-Ю11; числа Рейнольдса, опреде-
ленные по параметрам газа на входе в сосуд и его диаметру, Rao =
= 300 ... 2000; числа Рейнольдса, определенные по диаметру
дросселя, Red = (4 ... 80)-103.
Мегодика расчета позволяла получать местный коэффициент
теплоотдачи на стенке aw (по высоте сосуда и по времени) и среднее
значение коэффициента теплоотдачи на зеркале жидкости аг.
Газовая полость но высоте сосуда разбивалась на 16 слоев, в каж-
213
Рис. 8.12. Зависимость К от вре-
мени для стенок бака при различ-
ных x/D:
▲ , • ,  — x/D = 0,293; 0,626;
2,359 — равномерный вдув; д, О, □ —
x/D = 0,293; 0,626;	2,359 ~ осевой
вдув
дом из которых определялась плот-
ность теплового потока в стенку
по темпу ее разогрева, a a,w опре-
делялся как отношение плотности
теплового потока к разности тем-
ператур между газом и стенкой
в рассматриваемом слое. Плот-
ность теплового потока в зеркало
жидкости определялась по балан-
су энергии в газовой полости, а
аг — как отношение плотности
теплового потока в зеркало к раз-
ности между средней температу-
рой газовой подушки и температу-
рой слоя жидкости, лежащего под
зеркалом.
При осевом вдуве горячая струя
непосредственно воздействует на
зеркало жидкости, над уровнем
которого устанавливается мак-
симальная температура газа по
высоте сосуда, что соответст-
вует области растекания струи
при ее ударе о зеркало. Воздей-
ствие струи интенсивно переме-
шивает газовую подушку, по вы-
соте которой практически устанавливается постоянная температура
до слива. Сразу с подачей горячего газа идет прогрев пристенной
области, формирующейся кольцевой полуограниченной струей
у стенки (вследствие растекания по зеркалу и отражения у стенок
осесимметричной струи). Прогрев пристенной области тем интен-
сивнее, чем ближе сечение к зеркалу жидкости. Более интенсивный
прогрев стенки в сечениях, непосредственно лежащих у зеркала
жидкости, объясняет полученные значения К, = 5,46 ... 18,93
(для x/D = 1,3 .... 1,7), которые превышают значения для слоев,
лежащих выше, К = 2,56 .... 13,53 (для x/D = 0,6 ... 1,2)
(рис. 8.12). Значения К тем больше, чем раньше рассматриваемый
момент времени. Действительно, в процессе первой стадии эк-
сперимента с ростом давления падает дальнобойность струи, в
последующие моменты времени в пристенной области возникает
гравитационная конвекция, направленная вниз. Все это противо-
действует воздействию струи на стенку, и теплоотдача уменьша-
ется. Теплоотдача на стенке интенсифицируется влиянием струи
тем интенсивнее, чем больше расход газа Gb0 и выше уровень жид-
кости (меньше x0/D).
С наступлением второй стадии режима, когда сосуд опорож-
няется и объем газовой полости увеличивается, интенсивность
перемешивания газа падает, ослабевает влияние воздействия струи
214
на стенку, не наблюдается прогрева пристенной области. Для
данного периода теплоотдача на стенке обуславливается нестаци-
онарной свободной конвекцией, К = 2,0. При остывании газа
в замкнутом объеме после отсечки подачи газа и слива жид-
кости Л — 1,3, затем постепенно падает до значений, меньших
единицы, когда свободная конвекция затухает и наступает
режим нестационарной теплопроводности.
Анализ опытных данных по теплоотдаче позволил установить
линейную зависимость К = f (KTi) в логарифмических коорди-
натах, которая расслаивается по высоте сосуда. Эта связь не на-
рушается и для значений К < 1. В сечениях, где наблюдается
прогрев пристенной области за счет воздействия струи, значения К
несколько выше (в 2—3 раза), чем значения, соответствующие ли-
нейному характеру 1g К = f (1g KTi), при тех же величинах пара-
метров нестационарности КГ1. Наибольшие отклонения К харак-
терны для слоев, лежащих у зеркала, в начальной стадии вдува
газа, пока воздействие отраженной от зеркала струи на стенку
существенно.
При равномерной подаче газа в сосуд поля температур и струк-
тура газовых течений в замкнутом объеме формируются иным
образом. Нет непосредственного воздействия вдуваемого газа на
зеркало жидкости. Максимальная температура газа по высоте со-
суда соответствует средним сечениям начального объема газовой
подушки, а не близлежащим к зеркалу, как для осевого вдува.
Отсутствует постоянство температуры газа по высоте сосуда.
Нет интенсивного перемешивания газа в объеме, как при осевой
подаче. Этим объясняется, что прогрев газа по высоте при равно-
мерном вдуве выше, чем для осевой подачи, хотя практически
температура газа на входе для двух режимов одинакова. При-
стенная область газовой подушки прогревается менее интенсивно,
чем ее центральная часть. По-видимому, по радиальному сечению
сосуда движение газа направлено только вниз (для x/D = 0,6
1,7), обусловленное возникновением нестационарной свободной
конвекции при остывании газа у холодной стенки. Теплоотдача-
на стенке и в ее верхних сечениях протекает интенсивнее. Так
К = 5 ... 9,5 для x/D = 0,793 выше, чем К = 3,5 ... 6,8 для
x/D = 1,626.
На второй стадии режима с удалением зеркала жидкости от
входного устройства температура газа существенно расслаивается
по высоте. Теплоотдача па стенке по высоте осредняется значением
К = 2,5. Однако для сечений, открывающихся из-под жидкости,
К = 5 ... 2, что объясняется быстрым ростом темпа нагрева стенки
и некоторым падением АТ = Тъ — Tw для этих сечений. Про-
цесс остывания газа после отсечки Gb0 и протекает дольше, а зна-
чение К— 1,6 затем медленно падает до значений, меньших единицы.
Опытные данные для равномерного вдува аналогично осевому
характеризуются линейной связью К — f (Кп) в логарифмиче-
215
О 20 00 60 80 100 120 100 Г,С
5)
Рис. 8.13. Зависимости
на зеркале от времени:
Q, • — при осевом и равномер-
ном вдуве для x/D — 2,43 при
расчете Nu0 по зависимостям для
стационарной конвекции (а) и по
зависимости для взаимодействия
струи с преградой (б)
ских координатах. Теплообмен газо-
вой подушки со стенкой при равно-
мерном вдуве характеризуется лишь
нестационарной свободной конвек-
цией в отличие от осевого вдува,
когда на стенку воздействует отра-
женная от зеркала полуограничен-
ная струя.
Сравнение результатов опыта с
различными режимными параметра-
ми (Gb0, ТЬйУ рЬй, Xq/D) позволило
установить, что расслоение значений
по высоте обусловлено различными
значениями Ra. Учет влияния Ra
позволил устранить расслоение по
высоте.
Установлено превышение тепло-
отдачи на стенке при равномерной
подаче газа в сосуд над теплоотда-
чей при осевом вдуве.
Полученные опытные данные обоб-
щаются следующими зависимостями:
для равномерного вдува в диа-
пазонах Кп == Ю~5 .... 1; Ra; =
= 10е ... 1012; RaB = 5-10e .... 5-Ю8;
Ren = 300 ... 2000
Nu = 0,724/Gi Ra?'09 Ra£6, (8.46)
где Ra; определено по характерному размеру I, a Ran — по диа-
метру бака Dy
для осевого вдува
Nu - 0,16№/i02 Ra?'14 Re?'07 Ra?,'625	’	(8-47)
Формула (8.47) справедлива при КГ1 = 10"5 .... 1; Ra; =
= 10й ... 1012; Red = 103 ... 2- 10й; RaB == 5-10е ... 5-108; d/D =
- 0,008 ... 0,025.
Таким образом, установлено, что теплообмен газовой подушки
со стенками сосуда в основном обусловлен нестационарной сво-
бодной конвекцией. С целью уменьшения теплообмена газа со
стенками эффективнее использовать осевой вдув.
Опытные данные по теплоотдаче на зеркале также значительно
превышают значения Nu0, подсчитанные по зависимостям квази-
стационарной свободной конвекции у горизонтальных пластин
в неограниченном объеме. Как уже отмечалось, теплообмен на
зеркале для осевого вдува протекает гораздо интенсивнее, чем
при равномерной подаче газа (рис. 8.13, а). При осевом вдуве
216
имеет место непосредственное воздействие струи на зеркало жид-
кости как на преграду. Особенно это проявляется в начальной
стадии вдува (Ку = 120 ... 20), пока еще противодавление не-
значительно и струя добивает до зеркала. В последующие моменты
времени струя воздействует на зеркало, как и поток газа при
равномерном вдуве, вследствие расширения и гашения скорости
по оси струи у границы раздела газ—жидкость. Теплоотдача
в этот момент времени для двух форм вдува определяется значением
К, == 8 ... 12.
Ясно, что недопустимо производить расчет теплообмена на
зеркале по рекомендации для свободной конвекции как при осе-
вом, так и при равномерном вдуве.
Сравнение опытных значений Nu, со значениями Nu), подсчи-
танными по зависимости для средней теплоотдачи при взаимодей-
ствии осесимметричной струи с плоской преградой дало значения
К) = Nuf/Nu) = 3,2 ... 1,2 (см. рис. 3.13, б).
Значения Nuy превышают Nu) в среднем на 20 ..,50%, что
можно отнести на долю интенсификации теплообмена за счет вол-
нообразования на поверхности жидкости и нестационарных эф-
фектов при остывании газа у зеркала.
Таким образом, в условиях проведенных экспериментов тепло-
отдача от газа к зеркалу обусловлена непосредственным воздей-
ствием потока газа от входного устройства. Количественно тепло-
обмен на зеркале при осевом вдуве можно оценить как
Nu/ = К) Nu),	(8.48)
где К; = 5 ... 1,5 (период Gb0 ф= 0; Gt = 0); К) — 2 ... 1,1 (пе-
риод Gb0 =5^ 0; Gi 0);
0,15 Pr0’33 Re?'88
Nu) =	—2
ro*.
0,29 Pr0’12 Re8,38 + 16
р7°^“кфр
, /771,25 , 15,8Pr1/4 о оо\°'8 I 15,8Рг1/4 \°'8'
\ Z r5/S Ре3/6	-5/8 п 3/8
\	r0	/	\ г0	/ J
При равномерном вдуве, если определить скорость по площади
инжектора, то Д’) ~ 0,4.
8.5.	ТЕПЛОВАЯ СТРАТИФИКАЦИЯ
в вертикальных цилиндрических емкостях
Тепловая стратификация в емкостях возникает из-за
подвода тепла к боковой поверхности емкости или через зеркало
жидкости от горячего газа наддува. Как показал опыт применения
криогенных топлив, тепловая стратификация в баках ракет и в
хранилищах оказывается наибольшей, когда тепло подводится
сбоку. Она может быть значительной и при подводе тепла со сво-
бодной поверхности жидкости, при тепловыделении в самой жид-
кости и при подогреве емкости снизу. Для баков двигателей ле-
217
Рис. 8.14. Схема к пояснению мо-
дели температурного расслоения:
] — подвод газа наддува; 2 — газ над-
дува; 3 — слой температурного рас-
слоения; 4 ~ распределение скорости
и (у); 5 — неперемешаниая жидкость;
— отвод жидкости к ТНА
тательных аппаратов, работаю-
щих на криогенных топливах,
стратификация нежелательна. Яв-
ление температурного расслое-
ния играет важную роль при
проектировании и эксплуатации
топливных баков; оно оказывает
влияние на выбор дренажных
устройств, теплоизоляции, насо-
сов, конструкции бака; определяет
неиспользуемые остатки топлива
в баке, т. е. сильно нагретые
верхние слои криогенного топли-
ва, которые, попав в магистраль
и насос двигателя, могут ока-
заться перегретыми (Те ф> Ts) от-
носительно локального давления
и вскипать, что недопустимо по
условиям работы насоса.
Давление в баке непосред-
ственно связано с температурой
поверхности раздела, которая
определяется процессами конвек-
тивного теплообмена в баке.В баке
с жидким водородом повышение
температуры поверхности раздела
жидкость — пар на 1 К сопро-
вождается увеличением давления на ~0,4-10“ Па. В результате
температурного расслоения давление в криогенных баках значи-
тельно превышает значение, соответствующее давлению насы-
щенных паров при среднемассовой температуре жидкости.
Рассмотрим широко известную модель температурного рассло-
ения Кларка. Температурное расслоение жидкости вызывается
происходящим в результате естественной конвекции движением
нагретой жидкости вдоль боковых стенок бака наверх и вдоль
поверхности раздела. На поверхности раздела жидкость течет
по направлению к центру бака, смешиваясь с ненагретой жид-
костью. Затем нагретая жидкость проникает внутрь бака. Глубина
проникновения увеличивается по времени, она называется тол-
щиной слоя температурного расслоения. Предполагается, что
течение жидкости вдоль стенок может рассматриваться как те-
чение в пограничном слое. В сечении х = 0 (рис. 8.14) начинает
развиваться пограничный слой, толщина которого 6 увеличива-
ется по высоте. Затем этот слой пересекается с нижней границей
слоя температурного расслоения А (т) и перемещается с этим слоем
в область V (т). Основная масса жидкости, которая не затронута
перемешиванием, сохраняет свою начальную постоянную тем-
пературу.
218
Для уменьшения неравномерности температурного поля в ем-
кости можно установить перегородки на внутренней стенке.
Во время течения вдоль загроможденной стенки тепловой погра-
ничный слой разрушается при встрече с перегородкой, а затем по
другую сторону развивается вновь. Перегородки снижают среднее
значение коэффициента теплоотдачи на стенке. Их влияние на
интенсивность расслоения становится существенным, когда их
ширина больше местной толщины пограничного слоя.
Для 1 ... 6 перегородок, направленных вниз, были выполнены
эксперименты на воде и азоте в вертикальных сосудах при Gr =
= 10й ... 6,31-1014; Рг = 2 ... 7,5; Ga = 1,6-Ю11 ... 3• 1О:6; х =
= Я/D = 0,84 ... 3,427.
Путем расстановки перегородок на внутренней стенке сосуда
можно уменьшить интенсивность расслоения на 15—20% по
сравнению с сосудом без перегородок.
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
1.	Что такое свободная гравитационная конвекция?
2.	Какие уравнения необходимо использовать для описания процесса теп-
лообмена при свободной конвекции?
3.	Почему при свободной конвекции около вертикальной стенки коэффи-
циент теплоотдачи при ламинарном режиме течения падает с ростом расстояния
от начала обогрева или охлаждения, а при турбулентном — не зависит от этого
расстояния?
4.	Что такое коэффициент конвекции для замкнутых полостей?
5.	Как влияет отношение длины к высоте плоского зазора на процесс пе-
реноса тепла в зазоре?
6.	Как влияет ориентация поверхности на процесс теплообмена при сво-
бодной конвекции?
7.	Каковы особенности процесса теплообмена между газовой подушкой и
стенками бака при горячем наддуве?
8.	Как сказывается влияние тепловой нестационарности на процесс тепло-
обмена между газовой подушкой и зеркалом жидкости в процессе наддува?
9.	Каким образом можно уменьшить температурную стратификацию топ-
лива в баке?
10.	В чем особенности одномерного описания тепловых процессов в баке?
ГЛАВА IX
ОСОБЕННОСТИ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА
В КАНАЛАХ
9.1.	ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
При внешнем обтекании пластины вязкой жидкостью ее взаимодей-
ствие с поверхностью пластины распространяется на определенную область по-
тока, которую называют гидродинамическим пограничным слоем. В погранич-
ном слое скорость изменяется от нуля на стенке до величины, близкой к скорости
набегающего потока, па внешней границе пограничного слоя.
Толщина пограничного слоя растет подлине пластины. Дело в том, что изме-
нение импульса ламинарною потока вследствие торможения у стенки передается
вглубь со скоростью, пропорциональной коэффициенту кинематической вязко-
сти V. А так как поток сам движется вдоль стенки с определенной скоростью,
то более удаленные от стенки слои воспринимают это изменение, пройдя больший
путь вдоль стенки, чем близко расположенные слои. Поэтому толщина погранич-
ного слоя растет по длине тем быстрее, чем больше кинематическая вязкость v
и чем меньше скорость течения потока. Турбулентный аналог кинематической
вязкости ех, называемой коэффициентом турбулентного переноса импульса,
много больше чем v, что определяет более быстрый рост толщины турбулентного
пограничного слоя, чем ламинарного.
При течении гидродинамический пограничный слой во входной части трубы
растет кольцеобразно по всей поверхности трубы. На некотором удалении от
входа пограничные слои смыкаются и все сечение потока как бы становится
пограничным слоем. Это означает, что в каждой его точке, кроме оси потока,
производная скорости по радиусу трубы отлична от нуля.
Расстояние от входа, на котором происходит смывание пограничных слоев,
называе.тся участком гидродинамической стабилизации. В отличие от пластины,
в трубе на начальном участке поток вне пограничного слоя ускоряется, так как
в пограничном слое он тормозится.
В трубе смыкание пограничных слоев происходит на оси канала в конце
участка стабилизации. В каналах некруглой формы смыкание пограничных слоев
происходит постепенно на всей длине участка стабилизации и начинается с углов
канала. Это значительно усложняет картину течения.
Если температура с'генки отличается от температуры потока, то между ними
возникает теплообмен. Однако поле температур в потоке возникает не сразу:
оно, так же как и поле скоростей, формируется на определенной длине канала.
Прогрев жидкости по нормали к стенке происходит с конечной скоростью, про-
порциональной коэффициенту температуропроводности а в ламинарном потоке
и коэффициенту турбулентного переноса тепла fg в турбулентном. Так как жид-
кость движется, то по аналогии с гидродинамическим пограничным слоем воз-
никает тепловой пограничный слой. Длина входного участка канала, на кото-
ром происходит смыкание тепловых пограничных слоев, называется участком
тепловой стабилизации. Толщины гидродинамического и теплового пограничных
слоев, так же как н участки гидродинамической и тепловой стабилизации, обычно
не совпадают, даже если они начинаются в одном сечении. Обычно д Д или,
другими словами, число Прандтля Pr = v/a 1; то же самое имеет место и при
турбулентном течении, так как турбулентный аналог числа Прандтля, назы-
ваемый турбулентным числом Прандтля Ргт = &x/&q, обычно отличается от
единицы.
В силу этих особенностей начальных участков теплообмен и гидродинамика
на них существенно отличаются от теплообмена в области гидродинамической
и тепловой стабилизации течения в каналах.
220
В гл. IV говорились, чю) решение замкнутой системы уравнений для любого
конкретного случая конвективного 7Ш’ллобмска позволяет найти поля всех пара-
м-нров. <>i!i;!K'i <’iia.!!H'i и’и ‘ к< и* jMiTK-ыие такой системы уравнений (ft общем еду
ча<‘ гримерной! /’ижо для ламвтшршно течения возможно в редких слсчаях.
1 In 'вл <4 б на т ро. развит и-• ЭВ.М Bi  в ы • м я р ж JHH ряст кр\ г задач, где решение этой
ОНТСМЫ может бЫП.	В-Н(, Th'JC11 К: .1МИ методами
Для ту Р^УЛСН !Ш,1Х [е'Ь'ПИЙ. КИК о[ М0ЧЗЛо< К Н ГЛ. IV, (НГСТ0МЛ урЛВНС'ИЧИ
в обв.’с-м шуюр голунигт; я незамкнутой. Е<* удается замкнуть лишь с помощью
частные < :i(q нпад ннй для рж пр- делг'Вчя турбулентных параметров. получаемых
В 11о:!у-1М:’ИрНЧе.-К('Й рюр’Ш 7 Урбул! НТНОС'ТИ
В 1-« же вр’-мя в инженерных приложениях при расчете теплообменных
уо’рой.’тч «:4'Т-:> и не нужно .шагь распределение всех параметров по сечению
кад 1 :и Joeiяточво льщ, лишь. как изменяются интегральные характеристики
течения 7/, 7Ш и ко длине канала. Поэтому в большинстве инженерных при-
ложекпй ра<'чл ю п.пшбмгнч и гидравлических потерь в каналах теплообменных
уырм/'ы Ы па <><. шлю ।|Д1'оМ(,рш>го, т.е. ио «\ти деля интегрального (по
(сч.-н ню/ онш.шия /еилообменпы х iipeiieecoB. '1огда основные уравнения унро-
UldKH С5П
где /дг -- проекция плотности массовых сил па ось х; f - - площадь поперечного
сечения канали: уравнение ширм пи
-ббе 4. G J11L .. и г, (Т - Tf} 4- / -бы хаф ббб 4- f ^JL. 4- /7’0, (94)
и '<т	rlx	- dx У, dx J at
где ('- периметр калил,т.
При одномерном описании предполагается, что все параметры потока изме-
няются по времени и лишь в одном измерении по длине канала, т. е. по х; а но
сечению канала они нгчтоянны и равны некоторым средним значениям. В каче-
стве этих средних значений принимают:
а)	средне массовую энтальпию
где р, г/, i — плотно< ть. скорость и удельная энтальпия в струйке потока, проте-
кающей через данный элемент сечения канала rff; / - - полная энтальпия потока,
a Ci — г,гат,№Н расход;
6)	среднемас( овую температуру Tf, соответствующую if'.
в)	среднерасходную скорость
и =
где р/ — плотность теплоносителя при температуре Tf.
Кроме того, в уравнении (9.2) тр I — доля градиента давления, расхо-
дуемая на предоление сил вязкости, т. е. на преодоление трения теплоносителя
о стенки и на перестройку распределения скорости. Из уравнения (9.2) имеем

JJL
дх
fZx
J [grad(--
f ix
“о- ц div и / + 2 div [IS dv.
О '	/	J
(9.4)
221
В уравнении (9.3) а = qwl(Tw— Ту)— коэффициент теплоотдачи; ХЭф =
—	—средний эффективный коэффициент теплопроводности, опреде-
перетечки тепла по теплоносителю вдоль оси канала; о — средняя
~ KdTf/дх)
ляющий
скорость роста энтропии в единице объема теплоносителя из-за необратимости
перехода кинетической энергии в тепло, в силу вязкого трения
а =
I (1/ФД
f dx_____
f dx
где Ф — диссипативная функция (см. уравнение (3.3)).
Для большинства теплообменных процессов в каналах первый член правой
части уравнения энергии много больше остальных трех. Поэтому уравнение (9.3)
можно упростить:
-1Г 4г + Ua(Tw — Tf).	(9.5)
...	^-Р
если мало или теплоноситель — совершенный газ (р = [>RT], то dif =
= cPf dTi и
^ + GCpi^^Ua{Tw-TiY
и дт	дх х '
(9.6)
Основные три уравнения (9.1), (9.2) и (9.6) содержат 12 неизвестных: ру,
G, и, f, Fx, ф, р, cPf, Тf, U, a, Tw. Чтобы получить одномерную математи-
ческую модель процесса, удобную для инженерных расчетов, следует замкнуть
систему уравнений и сформулировать граничные условия.
Из условий однозначности задачи должны быть заданы: поле плотности мас-
совых сил F (обычно это гравитационное поле F = g); площадь поперечного се-
чения канала /; периметр канала U.
Выпишем недостающие 6 уравнений:
G = pyUy; cpj — Ср/ (Tf)',
Pf = Pf(.pTn)\ a = a(x, т)
и ф = ф (x, t).	(9.7)
Краевые условия: т = 0 — задаются Тf = Тf (х) и G = G (х); т > 0 —
задаются G = G (т) при х = 0, а также температура стенки Tw =. Tw (т, х)
или плотность теплового потока на стенке qw — qw (т, х).
Таким образом, получается замкнутая система уравнений, т. е. одномерная
математическая модель тепловых процессов в каналах. Простота этой модели по
сравнению с трехмерной достигается ценой введения двух коэффициентов а
и ф. Появление этих коэффициентов в одномерных уравнениях как раз и есть
следствие описания реальных трехмерных процессов одномерной теорией. По-
этому они не могут быть определены в рамках одномерной модели и находятся
либо из эксперимента, либо из решения трехмерной системы уравнений с помощью
их определения и одномерных уравнений (9.1 ... 9.3).
Для обобщения экспериментов или численных решений трехмерной системы
уравнений сначала устанавливают, от каких параметров зависят а и ф. Это можно
сделать для каждого конкретного случая на основе анализа трехмерной системы
уравнений (или особенностей механизма процесса) и уравнений (9.1) ... (9.3).
Затем представляют размерную зависимость в безразмерном виде, используя
методы подобия и размерностей, и лишь после этого подбирают безразмерную
эмпирическую функцию, наилучшим образом обобщающую экспериментальные
данные или результаты численных расчетов.
Нахождение зависимостей для определения а и ф, таким образом, является
основной задачей прикладных исследований теплообменных процессов при те-
чении однофазных теплоносителей в каналах.
222
Заметим, что аналогичное положение наблюдается и при внешнем обтека-
нии тел в пограничном слое. Интегрируя уравнения пограничного слоя по тол-
щине, переходят к интегральным (т. е. одномерным) уравнениям пограничного
слоя. В них также появляются коэффициенты теплоотдачи и трения, которые
находят либо из эксперимента, либо из решения дифференциальных уравнений
пограничного слоя.
9.2.	ТЕПЛООБМЕН В ТРУБАХ ПРИ ТЕЧЕНИИ
ТЕПЛОНОСИТЕЛЕЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ ПО СЕЧЕНИЮ
ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ СВОЙСТВАМИ
Рассмотрим лишь некоторые специальные случаи кон-
вективного теплообмена в каналах, которые часто встречаются
в практике расчета теплообменных устройств двигателей и раз-
личных систем летательных аппаратов.
В теплообменных устройствах летательных аппаратов часто
передаются большие удельные тепловые потоки. Интенсивный
теплосъем с поверхности обычно достигается при значительных
градиентах температуры теплоносителя по радиусу канала, т. е.
при больших температурных напорах (Tw — Tt). Теплофизические
свойства теплоносителей (коэффициент теплопроводности X, ко-
эффициент динамической вязкости р, плотность р, удельные тепло-
емкости ср и cv) зависят от температуры. Поэтому чем больше
температурный напор, тем сильнее изменение теплофизических
свойств теплоносителя по сечению канала. Это, в свою очередь,
ведет к перестройке профилей температуры и скорости и, следова-
тельно, к изменению теплоотдачи и гидравлического сопротивле-
ния.
Анализируя систему дифференциальных уравнений вязкой
жидкости при наличии теплообмена и граничные условия, из-
ложенные в гл. III, а также уравнения (9.1) ... (9.3), можно уста-
новить, от каких размерных параметров зависит коэффициент
теплоотдачи. Масштаб изменения теплофизических параметров
учитывают введением их значений при среднемассовой темпера-
туре теплоносителя в данном сечении трубы диаметром d и при
температуре стенки Tw. Такой анализ для стационарного течения
теплоносителей дает следующую размерную зависимость для ко-
эффициента теплоотдачи:
о: f [d, х, и, (Тц,	71/), ру, рц,, Ху, Хц,, [1у, Цц,, £ру»
Применяя к этой зависимости п-теорему теории размерностей
или приводя систему уравнений к безразмерному виду (см. гл. III),
получим соответствующую безразмерную зависимость:
Nuy = f (x/d, Rey, Pry, Gry,
PwlPf)	Pw/P/’ ^pw/^pf)'	(9.8)
Аналогично для коэффициента гидравлического сопротивления
найдем
f (x/d, Rey, Gry, Рц,/Ру, Цф/р-у, Xw/Xy, Ор^/Сру), (9.9)
223
где Nu, — ad/kf — число Нуссельта; Gr, — ьф> (Tw — Tf) x
X рфГ/ц)—число Грасгофа; Re, = p,ud/u,f— число Рейнольдса
(и = 4G/pn<i3 — среднерасходная скорость); Рг, = и,срфХ, —
число Прандтля; —------------------коэффициент гидравличес-
кого сопротивления.
В большинстве случаев для газов и капельных жидкостей
вдали от критической точки зависимость теплофизических свойств
от температурь! можно представить в виде степенной функции;
Р/Ро = (Т/Т0)пе; ХД0 = (Т/То)\
Н/Но = (7/Т0)^; Ср/Ср0 = (Т/То)\
где пр, «ц, пс — константы, в общем случае зависящие от
рода теплоносителя и интервала температур, причем пр может
зависеть и от давления.
9.2.1. Капельные жидкости
У различных теплоносителей не все физические свой-
ства изменяются с температурой одинаково. Например, у капель-
ных жидкостей наиболее сильно изменяется вязкость, т. е. от-
ношение ЦИ,/)Л/, и гораздо слабее плотность pw/pf, теплопровод-
ность KJ’kj и теплоемкость срю/ср,.
Следовательно, можно ожидать, что, оставаясь достаточно
точными, для капельных жидкостей уравнений (9.8) и (9.9) упро-
стятся соответственно:
Nu, = f (x/d, Gr,, Рг,, pjp.,. Re,);
= f (x/cf, Gr,, Re,, рш/р,).
У капельных жидкостей изменение температурных напоров
(Tw — Tf) в сечении канала в первую очередь приведет к изме-
нению профиля скоростей (поскольку наиболее сильно изменяется
вязкость) и, как следствие этого, к дополнительной деформации
профиля температур. Изменения профилей скорости и температур
будут большими в ламинарных потоках и меньшими в турбулент-
ных. В турбулентных потоках профиль скорости зависит от ц
лишь около стенки, где динамическая вязкость и турбулентная
динамическая вязкость цт (см. гл. III) соизмеримы или р > щ.
В ядре потока рт ф> ц. Однако интенсивность турбулентности, а
значит величина и распределение цт по радиусу трубы косвенно
зависят от р., так как от него зависит градиент скорости около
стенки дих/дг, который входит как множитель в слагаемое урав-
нения баланса турбулентной энергии ри'хиг (дих/дг), определяю-
щее переход кинетической энергии осредненного движения потока
в кинетическую энергию турбулентных пульсаций, т. е. определя-
ющее порождение турбулентности.
224
На рис. 9.1 показаны типич-
ные изменения скорости, массовой
скорости р