1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Prilozhenie
Oglavlenie

Author: Сканави М.И.  

Tags: математика   высшая математика   задачи по математике  

ISBN: 5-9466-033-0

Year: 2003

Similar

Полный сборник решений задач группы Б. Книга 2.

Полный сборник решений задач по математике для поступающих в ВУЗы. Группа А

Физика. Полный курс. Примеры, задачи, решения

Сборник задач по математике с решениями. 8—11 классы

Text
                    полный
СБОРНИК РЕШЕНИЙ
ЗАДАЧ
для поступающих
В ВУЗЫ
группа А
Под редакцией
М. И. СКАНАВИ
Москва
«Мир и Образование»
Минск
«Харвесг»
2003


УДК 51(076.1)
ББК 22.11
П51
Все права защищены. Перепечатка отдельных глав и произведения
в целом без письменного разрешения владельцев прав запрещена.
Полный сборник решений задач для поступающих в вузы.
П51 Группа А / Под ред. М. И. Сканави. —М.: 000 «Издательство «Мир
и Образование»: Мн.: 000 «Харвест», 2003 . — 912 с: ил.
ISBN 5-9466-033-0 (000 «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 985-13-1189-8 (000 «Харвест»)
Впервые в помощь абитуриентам публикуется полный сборник задач
с решениями под редакцией М. И. Сканави по всем группам сложности.
Книги помогут учащимся научиться решать экзаменационные задачи
различного уровня сложности любого вуза.
Условия и нумерация всех задач полностью соответствуют изданию
«Сборник задач по математике для поступающих в вузы» под редакцией
М. И. Сканави, 6-е издание (М.: ОНИКС 21 век, Мир и Образование).
УДК 51(076.1)
ББК 22.11
ISBN 5-9466-033-0
(000 «Издательство «Мир и Образование»)
ISBN 985-13-1189-8
(000 «Харвест»)
© Коллектив авторов, 2003
€> 000 «Харвест». Дизайн обложки, 2003


Решения к главе 1
Вычислить (1.001—1.040):
(7-6.35): 6.5+ 9,9
1.001. , - - - --- ■
1,2:36 + 1.2:0,25-1- :--
{ 16 J 24
Решение.
(7-6,35): 6,5+ 9,9 0,65:(
fu:36 + U:0.25-l-5-V6-9 f'-+~
( !б] 24 (30 5
= 1£ = 20.
2
Ответ: 20.
•4bSHKi):eus8-
Решение.
[№№i-%}^-w]
i.5 + 9,9
2И 24 "
16/169
- ОД 08)11,6-
.1,6-1» =
25
0,1 + 9,9
169 24
48 169
19
"25'
[56-47 4 24 —17 ~\ 19 / \ 19
= £? *-_.%-4 J .;0,25 -1,6- -=0,1 + 1 )-1,6--- = 1,76-0,76 = 1.
I. 72 5 28 J 25 ; 25
Отпет. 1.
3


1.003.
0,5:U5 + -:1--- |-3
5 7 11
,,5 + i:18I
4 3
0,5^54:4-1-3
1 5 7 "i
,,5 + ll:18l
4J 3
Ответ: 32.
55 11
7 3_
4 55
168 4 55
~55~VT"
32.
1.004.
(2,7 -0,8)- 2-
(5Д-1,4):
h 0.125
70
Решение.
(2,7 -0,8)- 2 i
2^ + 0,43.
2
(5Д-1.4):
f 0,125
70
:2- + 0,43 =
2
19 7
103
38 70 8
ю' з
- + 0,43 =
5
20 5 20
Ответ: О.5.
+ — + 0,43 = 0,02 + 0,05 + 0,43 = 0,5.
1.005.
2A:U + 3i ,
4 3.5
1 ' 7
2,5-0,4-3- '
3
2- + 4,5 0,375
6
2,75-1-
Решение.
1 ' 7
2,5-0,4-3- '
3
Ответ: 5.
2i + 4,5 1-0,375 i 10 _
_6 П__2 3 .7_ 3
2,75-1-
5 1 5
2~3
20 3
LI
1,25 '
:7-2 = 5.


1,006.
13,75 + 9- -1Д
1 6-
10,3 - 8
6,8-3': !-55
5 6
■27-
56
Il3,75 + 91\u Г<Л-зЛ.55 (^ + 55
(10,3-8-|-5 f3--3--]-56
2 9 3 6
11 1
163
6
Ответ:
Г 2]
18 5
10 9
1.
(2,3 -0,5)- -:
3) 16 35
Г34_
18 1 35
5 ' 6
56
j 6_ _ 163 _ 55 2 _ Ш
28 "б ~~2 3 6
169
6
163 _
6
(I.
0J +
1.007.
1 '0,1--' 1-2,52
«-;^-;-h-i-i73
[b<4}(i-«-*h
Н+«»ч)Н}й
1 63
_ 3 25 _il 5„3
'2.р.7 5 7
60 " 13
Ответ: 3.
fi_ j + 1 'i
_[б + 10 + 15 j
(1 1 1
:fi + -L_lY«
[б 10 15 J 25
-ll.fi_i\.!
5j\4 6 J 13
5


1.008.
3-+2.5 4,6-2-
3 3
2,5-1- 4,6+2 -
3 3
5,2
0,05
+ 5,7
-0,125
Решение.
3 i + 2,5 4,6-2-!
3 1 ' 3
2,5-li 4,6 + г!-
3 3
10 5 23 _ 7
J 2. J 1 ?6
'23 7 ' 5
5,2
0,05
--0,125
\ _l 10
7 8
5__4 _
2 3 5 + 3
~{ 7 104' 5 J'1^10 + ToJ~ 2 17~ '
Ответ: 1.
1.009.
0.4 + 81 5-0.8-5- 1-5 :2-
11
8,9-2,6:^
•90.
34-
0,4 + 815-0,8-- 1-5:2;
2l 2
(,9-2,6'.- 1-34 —
3jj 5
90
I 04+40-4-5- 90
-.1 LL
15 „ 89 13 3) 172
— ■8 +
8 10 5 2 5
34,4-90
344 9
fl50_89 391 172 2172
TV To+10 J" 5
Ответ: 9.


5-1._41;5А
l010 L«_iLii.342+MiMi+i.
42+0.75 -З^- 7 7° 7
[45 6 J 15
|4?+0.75|-3 —
I 3 J 13
83 15
_ 90 83
65 48
12 13
Ответ: 1
1.011. il
Решение.
240 5
7 7
+ 0,425-
30,5 +
Г229 25
,2 0,3:0,01 2 ~45"~"<F
34- + - •— + --*— ,-
7 70 7 fl4 3^
I 3 +4j
1
~6-20'
-0,005
- + 3-
6 3
240
7
t«.
5 2 5,
•- = - + - = 1.
7 7 7
6 - + 5 -
—i—^-0,05.
26:3
7
\ 83
J'15
48
13
240 30 2
+ — + -
7 70 7
Г- + 0,425-0,005 ):0J ft-+5-
30.5 + - + 3- 26:3-
6 3 7
(0,6 + 0,42)-10 124'26
61
"i
102
34
1
+ -•»
6
7
-1
4
10
" 3
1
~20~
26-7
3 7
: + _-
10 4
1
"20
0,05 =
Ответ: 2.


1 12 2
3-1,9 + 19.5:4- 3.5 + 4- + 2-
Ю12 -^ 2.-- 3- ^
62 ( l
^-0,16 0,5 1- + 4,1
75 ^ 20
Решение.
1 1 7 2 10 19 39 ^ IГ21 4!
3- 1,9 + 19,5:4- 3,5 + 4- + 2— '-•- +- •- гкг + тт
3 2 . 3 15 = 3 iO 2_? 2jj20_10
62 „ „ ' ( 1 "I 62 4 "7 14 32
0,6 0.5 1-— + 4I - + — + —
75 [20 J 75 25 2 3 15
19 13 103
= Xli_ 40_=!^ = 4
2 103 4 .
3 To
5)}:.7 4,75 + 7!-
-U-- + J- : 0,25
Ответ: 4.
|l-:p7- + 0,6-0,005
5 40
1.013. J—4 -Y—--±1- - + f : 0,25.
-+l—\-~ 33:4^
6 3 30 7
Решение.
(, 1
-.(^ + 0,6-0,005 ]}l,7 4>75+7I
-A " + -*■ :025 =
?. + ,I-,* 33:45
6 3 30 7
6.(17 3 J_\17 19 15 6 51 17
,40 5 200 10 4 2л 5 '50 10 49 , . _ ,„
6 ' 3 30 33 5
Ответ: 12.
8


4,5 -1--6,75 •-
3 ' 3
1.014.
[ 3 3 8
1-0,22:03-0.96
.11
0.2 - — I-1.6
40 '
i4'5jI6i75Jl
f3T.„3 + 5l.'T:22
3 3 8 3
4 (9 5 27
1 -0,22:0,3 -0,96-
,11
2 3
02- — |1,6
40
10 3_ 16
з 'ю+ з"
3
8 8
15 11 1_0_24
5 40 5
l 30 _ 27 | 2 24
i4 4 I 3 1_25 _ 18 1
.?' 3
2 5 5
Ответ: 1.
!,88+2
3 I 3
1.015.
0,625
13 26
f°^6 + C
0,56 :0.5
7.7:24- + - -4,5
4 15 '
Решение.
[138 + 2235
0625-?T
18
'"9
(TL.S + 1)
[\0 99 15 J
Ответ: 4.
*[
2
12
1^0,15
7,7:24-
3
4 —
16
5 1
8 4
0,56 j:
"41
(12
Ж
fl4
0.5
|.4,5 "
28 '
+ 50
+ 45,
(1.88 + 2Д2
''~ 5~13~
8 18'
L. = 4
1!
3
h ■ ---
16
26
8 4
. _ +._ =
3 2
-A.
9


1.016. f 16—-13— ]• —+ 2Д
(2 9 J 33 I 33 11
Решение.
{ 2 9) 33 (33 11J 11 [2 9 J 11
Hf_8 -1 ) 2 -4? 6 I i-f£ iZ--)
+ io[зз ззJ+ ii~i~8'ii+ з+11~ зз+ зз ~"'
Ответ: 2.
f,H_!3W
0,128:3,2 + 0,86 63 21
1.017. —j- -i г-1—-
--1Д + 0.8 0,505 ---0,002
6 5
Решение.
flI2-l3]-3,6 («-Ml?
0,128:3,2 + 0,86 (ь 63 _2JJ 0,04 + 036 [_63__63j_5_
l-ц+ад 'o,505^-o,oo2="i;o>8 'W^wof
6 . 5
=l.i.'.I8_=8
18 9 6,2-5
Ответ: 8.
31:10!°^а35 0^"il1,4
1.018. - u 5,- /" : ч - -
1,75-1^-^ 0,5-- -3
17 56 (_ 9 j
Решение.
31:10+0,175:0,35 [~K\* ~ + ~ -1
,,75-lH.H fo,5-l]-3 ~2-2»-5-I W
17 56 I, 9 J 4 17 56 18
5 7-18 10 l_s
/7_3l 18-7-3 3 3
Ответ: 3.


0,125:0,25 + 1-:2,5 , ,
1,019, , j- L6 J ii +ii9 .0,5.
(10-22:2,3)0,46 + 1,6 ^20 J
Решение.
0J25-.025 + 1-9 :2,5 ,,, , ~ +5 ,, ,„
VI6-. - JE + lA0,5 = - 2_JL. _ + IZ+ !» ,
(10-22:2.3)0,46 + 1,6 (20 J (\0_???1?2 8 40 20
23" [50 + 5
8 17 38 5 11 „
= ,---„- + --+ - = +-- = 2.
18 40 40 8 8
5 5
Ответ: 2.
^0 .Г|^-2П^-Г0,6:33Л21 + 3,75:11]:2,2.
'•" "• ^ 7 49 j 147 ^ ' 4 J 2 2)
Решение.
ff,b23l 22_|3|2.+ ,1V
[( 7 49 j 147 lv 4 J 2 2j
= rf8_23li47_0il6.2j5+2J\22 = r33,147_ |;
|^7 49 J 22 J ^49 22 '
= (4,5-0,4 + 2,5) •—=3.
'22
Ответ: 3.
[ 5^4 j 3 ^ 18 36J 65 j 3
Решение.
2:3^f3A:13U + r2l-A2].I8ll =
5^4 J 3 ( 18 36 j 65 J 3
( 16 4 2 36 65 J 3 ^8 8 SJ 3 2
Ответ: 0,5,


0,5+ ' +-'- + 0,125 (3,75-0,625)—
,.022. 4_J-_- + 'Ж.
i + ft4 + !* 12'80^
3 15
0,5 + 1 +-'- + 0,125 (3.75-0.625)-4-8- - + - + -1 + i ,,,,.„
_I_4_6. j + _L Ц5 = 2_ A^l_8 + 3d?l:48.
1 ., i4 12.8 0Д5 1 2 14 3,2125
- + 0.4 + — ' ^ -+- + — ^
3 15 3 5 15
25 3 U
= _ji. £+.!=; =0,625 + 0,375 = 1.
24 5 3,2
Ответ: 1.
84">26
1.023. f262-:6,4Vl9,2:3-5V-7--J-7- '
3 ' И 9i 0,5-.182--ll 18
3
Решение.
»*-2*
3 A 9J 05-,8=.ii 18 I3 32A5 32,
'" ' 3
6_o Tj
__ 7ll80__ • _25 27_HJ_1_2_ 1 _ 45 _ 1_12 _ 1
ITXTl I» ~ б" "5~~ 3^33' 18~2 ~T Ts"
2'5б'
18 '
Отпет: 10.
7 11
0,725 + 0.6+— + —
1.024. -«L--20 -0Д5.
0,l28-6--0,0345: —
4 25


Решение.
7 11
0,725 + 0,6 + — + -^
40 20
0Д28-6--0.0345: —
4 25
1325
■0,25 =
29
40
0,128-6,25-0,0345: ОД
■0,25 =
_ 1325 + 0,725
0,8-0,2875
Ответ: 1.
0,25 =
2,05
0,5125
■0,25 = 1.
1.025. j (5200,43):0Д6-2172-1-Г 31,5:12- + 114-2- + 6li
Решепие.
(520.0,43):0Д6-217-2-;
223,6:0,26-217--
31,5:12-- + 114-2- + 61- 1=
5 3 ~ '
63 5 ,, 7 23
+ 114—+
2 63 3 2
-527)-(1 + 26бД23
= 333-330 = 3.
Ответ: 3.
(3,4-1,275).-
1.02, Ч±Ь + <»
18 [ 85 17 )
125
2+ 1-5
5,75 + -
Решение.
(3,4-1,275)--
17
—7 ^+0,5
А.Д+61
18 [ 85 17 J
12.5
2 + -*
5,75 + -
У25.1*
17
5 Г 92 104
181 85+ 17
17 16
= 58б'п+, + , = ,+2 = 3-
18 85
Ответ: 3.
- + If2+'2'5
) 2 (^ 6,25


1.027.
3,75 + 2-
2--l,875 2,75-1-
V -
Решение.
I 1
3,75 + 2-
2-3+1.5
2 _4
2--1,875 2,75-1-
3^75 + 2,5_ _ 2.75 + 1^5 ^ K)_
2.5-US75 2/75-1,5 J 1 Г
J 625__425\H)=('|0_17,| 10 = 33 10 _6
[o~625 U5JU~{ 5 J 11 5 П
Ответ: 6.
1.028. ((21,85: 43,7 + 8,5:3,4): 4,5): !-"+l —.
« ' ' ' ' ' 5 21
Решение
((21,85 : 43,7 + 8,5 : 3,4): 4,5): l2 +1'-' J (0,5 + 2,5): 4 -'- ]■ - + -
; ; 5 21 (/ ; 1 j 5 2
5 32 10 32 42
9 J 7 21 21 21
Ответ: 2.
1.029. (1-+3,5:1-
[5 4
Решение.
22+3,4:21--0,35.
5 8
(2 П 2 1
1" + 3,5:1- :2" + 3,4:2--0,35 =
[5 4 J 5 8
= (1,4 + 3,5:125) .'2,4 + 3,4:2,125-0.35 = (1,4 + 2.8): 2,4 +
+ 1,6-035 = 4,2:2,4 + 125 = 1,75 + 125 = 3.
Ответ: 3.
14


h75- 2i4),29 }m
1 030 ^ — ^ '— -*-
' ' (l3-0,416):6,05 + l,92
Решение.
0,3275 -[2^+±\ 12 2\ 0,07 (ад275-(!* +« 1 -^1:0,07
[ 88_331 _^J 1 _L V88 _33j iiojr_
(13-1)~41б)7бД)5+1,92 ~ 1У84Тад5+"уТ
Ш 605 9_Л 100 (11)_±\Щ
400 ""264 110 J i 400 16 J V 7 100 1 1
2,08 + 1,92 4 50 7 4 2
Ответ: 0,5.
5~2L U25 + l-3-A
1.031.-^4.5 _4__12.
5 0,59
6
= 0,5.
5 21 3
----- U25 + 1--
6 45 4
1_5 °.59
6
_ 1 25 _ 5
5 6 6'
5
Ответ: - ■
6
('--Л'
1.032. '
■-- : 0,(
300
5
J.2
t
)925
5
= _6
),25
_ 7 9 7_ 5
15 8 + 4 12.
11 59
6 loo
+ 12,5-0,64.
116 59 100
З0ТГ24' 59
15


Решение.
- + 12,5-0,64 =
-37--. 0,0925 "' ' ^-40°
300 300 37
P-4f4
Д3 у + 8 = 3(-l)'2+8 = 3 + 8 = ll.
3
Ответ: 11.
8+2^4
1033- 7:Г-2з24Лпо"°'5'
30 111 401
Р+2П]:2.5 f5 + 65l2i '0.1
I8 _A4J __.05= ii 24±Э-2 =_i_J = 2-2=,
,,23 4 1 110 '■ ' ""
1,3 + -- + — - -
30 11 I 401
"ПЗ 23 4 ] 110 40! Ш) 3 '3 '
[Го + ЗД + П)'401 165 401
Ответ: 1.
((7-6,35):6,5+ 9,9)- ' -
1.034. 7 , j? , :(ШЛ
1,2-36 + 1-:0,25-Г ..
I 5 b) 4
Решение
((7-6,35): 6.5+9,9)--- (0,65:6,5 + 9,9)-- -8
-- If*- -0,125 = -- -6-4—:
5" 6 j 4 (5 36 5 6 j 4
16


(04+9.9)- W-- .
v ' 8 2 5
' \_ 24_П^5 90 3'
v30+ 5" 6 j*4 30
5
Ответ: ~ •
3
I 45 15 9 65 99 „e
1.035. ^--7-^ -T>-J 0,5.
f 18- -13 - I- —
[ 2 9J 85
2I8-i );i38+3A.26 25 .9 +198 26
45__15J_9 _65_ 99 9 J25__65_?9
' --13-) — " Г"-'24) -
2 9 J'85 ['2 _9_ J 85
= l^6i= 1 = 9
85 2 1
T8 85 9
Ответ: 9.
3.75:ll+fw:3-3b1+fl1—23Л^.
2_ (_ _ 4 j 2 I/7 49 J 147
5^4 J 3 ^ 18 36 J 65
Решение.
3,75:11+Г«:зП.2?+(11-?3Л^
2_Ц _J j__2 J_ 7_49_Jj47 =
"2:3-ЧГзГ:1зЩ2-Г " ^ fg =
5^4 j 3 ^ 18 36j 65
17


33 2+f3.^V+f®-—1 — 5 33 147
4 3 j 2 4 J 2 [7 49 J' 22 = 2 49"'22
"'2.А + Г13.13\3_Г42_17\18 -5 + 3_65J8 ■
16 I 4 2 18 36 65 8 8 36 65
= 16.
4.625-Ш :9+2,5:U5:6,75 :,53
{{ 18 26 j 4 J 68
--0,375 j: 0,125 + 1---7-|: (0,358-1,4796:13,7)
7 9
-4—
_ 2 2
, ]
1-i
2
Ответ:
_ 8
1
2
16.
1.037.
4,625-'3 -П9+2,5 :1,25:6,75 :,5
18 26 4 ' '°
[-•-0,375 |:0Д25+[-- -]: (0,358-1,4796:13,7)
37 ^4+2:6.75)6l f35 + 2;27^68
4j_9 Jlli_=L,8__ ' 4J,2I
' 0,125:0,125+0.25: (0358-0,108) ~' 1 + 0 5"5":"о,25"
_ 121 68 1
" 54 '12V 2
17
Ответ: --■
_17
27
[3l-2^2± ,А-АГз'+5 ,1
in„ lUi_18_ ^i.31 12L2_6JL13
• 19 f 13 13 5^,2 14
5 2 —+ - +1
42 28 24 27 3 9
18


Решение.
12 18
24
"Чз-1-
52 2
-,9:f513-
84 \. 42
43_47 49
12 18 24
,13 5,2
> — + - - +1
28 24 27 3
1 4
36 3
Z + 5 || .20 (2\1 36__3_
31 52(2 6 ИЗ 72" 31 52
1_3 \ 20
3" 13
69
" 28 "
■:^
19 .[223
84^42
7__ \'\ 20
2 __4_Jj3^ _ 13 20
Т+25 _Т'П
27 + 27
29 _ 4
Н27 27
Г9 Г71
84 ' 56 Н
Ответ' 5
Г
1.039.
(3.2-1.7): 0.003 I 20
1,5 -1.5
'29_
35"
4:0,2
2,44+ ,14 -1
I 25J8
62 —+1,364:0,124.
20
(ЗД-1,7): 0,003
(W з
".О
,4:0,2 |2.44+114]--
35 7 25 8
\ 3)
1,5 : 0.003 20 2
62—-
20
35
4-5
1,364:0.124 =
l^ + ll»
20
500 _ 9^
"8 " 40'
Jl?5_9_| 20 +11.1_241. 20+п = |2
^ 2 20 j 1241 20 1241
-^- + 11 =
1241
Ответ: 12.
19


1.040. 54 :(М.1(б-<У±?:«5):! |-20,384:1,3
7 [ 7 [ 80,0125 + 6,9 '
5
7 [ 7 i^ 8-0,0125 + 6.9 j J
7[ 0,1 + 6,9 J J 7 [5
=r —: (7,2-2,9-15.68) = —: (20,88-15,68) =
Л:И.6(б-^±МН)-,5,68]=^-.^Гб-^1_15,68|
7 5
39 . 39 . 26 _ 15
' 7 " ~7 ' 5 _ 14'
15
Ответ: - ■
14
Найти X из пропорции (1.041 — 1.045):
(4-3.5-(2^-1Л):0Л6 j?-3-'
104, ^ LZ_5JL_=i7_JL_6..
* 41^-40±9-
84 60
Решение.
3,5.(2-U !1\о,,6.(4123-40^
[7 5JJ [84 60
32 3.1
7~14'6
4-3.5-115-6]]:0,16.I6 (4-7.33U.^
7 5 35 2 35 '25 35
23 I
7 7
4-^1 1.16 7 25 16
10) 25 35 ^ го 4 35.
2 2
Ответ: 1.


Ц: 0,375-ОД 0.016:022 + 0,7
4 2
6 -:15 -+0.8
25 5
Решение.
(0,016:0.12,0.7) 6 4:152 + 0,8) ± l+J YL* .77 + *
х = __ "( 25 5 j (125 25 10 I 25 5 5
1.2:0.375-0,2 3,2-0,2
3 3 3
Ответ: ~-
2
1043 - -0J^ -«.UL 2'J._
f19_r1'i s 7 0.675-2.4-0,02'
^24 40 J 16
Решение.
f 28_17> fl9 21"|„7 (91 17^7 4 135
, 63 21 J 124 40 J 16 163 21 J 10 15 16
(0,675-2.4- 0,02) 0,125 (1,62-0,02)-0,125
40 63
1.6-0J25 02
Ответ. 5,
1.044. т—
911-1-0,945:0.9]
1 20 _J
10,5 0,24-15,15:7,5 { 3__4^.7
40 8'


Решение.
9 1—-0,945 :0,9 ■ (10,5-0,24 -15J5:7.5)
f = i 20 Г -J_ .
3 3
1--—4-:7
40 8
9{11-11)(2,52-2.02) 9.i.I £
43 35 „ 43 5 9
40
r~^-:7
40 8 20
Ответ: 5.
1.045.
15,2-0,25-48,51:14.7 _ (44 11 66 2 J 5
3,2+O.Si 5 --ЗД5
(15,2-0,25-48,51:14.7)- 32 + 0,8(5^3^5 ]
f= nEID.:2i\ii
1^44 11 66 2 J 5
(3,8-3,3)-(3,2 + 0,8■ 2,25)_ 0,5-(3,2 +1,8) _ 0,5-5
[ A_JL-A| 6
44 66 ' 2 [5
5__ 1 ) 6 16
44 33 [5 12 5
= 25.
Ответ: 25.
Вычислить наиболее рациональным способом (1.046 — 1.048):
-Д307
1.046.
в-
V(i5,3 + 1,7)2 -4-6,3-1.7


Решение.
n/63-1,7
1,7 V63
л/63 ■ 1,7
Vl,7 V63
л/^З+и)2-7-6.3-1,7 \/б32 +2-63-1,7 + 1.72 -4-6,3-1,7
л/бЗ-1,7-
^63" -л/1,7
76,3-1,7
63-1,7 _ 6,3-1,7
т/б,33 -2 6,3-1,7+1^ л/(б,3-1-7)2 6>3^1'7
Ответ: 1.
1.047.
fi^9' +Wio
2 2 20
4--0Д5+4-:--
7 ^ 7 3
ДЛИ.
3
Решение.
(
л/5612 -4592
42.оД5+42-:2°-
7 7 3
М,/К)
i^ =
У^61 + 459Х561-459)
30 3_ 30 3_
7 20 7 20
4,/То
3
2,/То '
il 020-102
+4лЯо
3 _7л/1022-10+36л/П) 3
2,/То 9 2л/ш "
714лДо+36лЯо 3 750,/То 3 375
2,/То
2,Ло 3
125.
Ответ: 125.
1.048.
JHJ-i/mj
23


Решение.
f/Tff -%Щt-(|-V2
-1 + 72
шч
Ответ:
Вычислить:
1.049.
2^+5"
(0,5)-:-5(-2Г2-
1-4,75.
Решение.
r^5u
(0,5)--5(-2)-Ч^Т2 _!_.__ ?_+f3T
' I'J (0.5У (-2)= UJ
-+4,75 =
4i 1
4
1 _5
025 4 + 4
+4,75 = - 4 +4,75 = - + 4- = 5.
9 4-rl 4 4
Ответ 5.
1.050. — -
(0.6)" - (0,1)"
3:2''- 1,5"' +
Решение.
(S: 2'Г-(1,5)4
lrl^_
П' s Г3V
-9 __ -9 _ -9 _
Ответ. - „


Решения к главе 2
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ПОНЯТИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКОГО ВЫРАЖЕНИЯ.
ТОЖДЕСТВО И ТОЖДЕСТВЕННОЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного
количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных
между собой знаками алгебраических действий и знаками
последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия
сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным
показателем, называют целым рациональным выражением Если кроме
указанных действий, входит действие деления, то выражения называют
дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе
называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения
корпя, то такое выражение называют иррациональным
Числовы м значением алгебраического выражения при заданных
числовых значениях букв называют тот результат, который получится
после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в
выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического
выражения называют множество всех допустимых совокупностей значении б\ кв,
входящих в -это выражение.
Действия над степенями
Действия над степенями производятся по нижеследующим правилам:
ат -а" -а'7'*"; (2.1)
25


a'" : a" =am'n
(a • b)" =a" - bn
Одночлен
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором
числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и
возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких
одночленов.
Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его
членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения
(a + bf -a2 + 2ab + b2 \
(a-bf =al-2ah+b2;
(a + bf = «3+3u26 + 3a62+63:
[a-bf = <r-3«26 + 3a62-63;
(а-Ь\а + Ь)=а2 -b2;
(a-b%i2 +oft + ft2)=o3 -б3;
(a + bjfi2 -o6 + 62)=a3 +Л3;
■i-bjfi1 +crh + abl +63)=a4 -b";
■)(a4 + «36 + a262 +a63 + 64)=a5 -b5:
>)(u4-a36 + «2.'>2-«63+64)=a5+65;
(2.6)
(2.7)
(2.8)
(2.9)
(2.10)
(2.11)
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.2)
(2.3)
(2.4)
(2.5)


(a-b^t5 +aAb + a*h2 +a2h> +ah4 ta5)=a* -b6 ; (2.16)
(a~bja*+a5b + a4b2 fcrV + a2b4 +ab5 + b6)=a7 -b7; (2.17)
{a + h%ib -a5h + aAb2 -игЬъ +a2bA -ab5 +b6)^ a1 +b7; (2.18)
(а-Ь^а"-1 +a"-2b+a"-yb2 +a"~4h} +... + b"~l )^a"-b", (2.19)
где л —любое целое число;
(a + biall-]-an-2b + a"-*b: -a"-4h}+... + b"-[)=:a" +b" , (2.20)
где n - 2k +1. к — натуральное число;
(a + b + vf ~a2+b2+c2 +2ab+2ac + 2hc ; (2.21)
(а + Л-с)2 =a2+62+c2+2tf6-2ac-26c; (2.22)
(a + b + c+df -a2 +b2 +c2 + d2 +
+ 2ab + 2ac + 2ad +2bc + 2bd +2cd;
(a+b-c-df = a2 + b2 + c2 + d2 +
+ 2ah-2ac-2ad-2bc-2bd+2cd;
(2.23)
(2.24)
a(x~x}Xx~x2)^ax2+bx + c , (2.25)
где xp x, — корпи квадратного трехчлена ах" +bx+c .
Формулы (2.16) — (2.24) остаются верными, если вместо одночленов
а, Ь,с, а1 подставить любые выражения.
Многочлен Рп{х) относительно переменнойх вида
Р„ {х)=а0хп + а]хп~1 +п2х"~2 + ... + all_]x + a{j,
где а0 , в], йт , ... ап — действительные числа и «0 ± 0 , называется
многочленом, расположенным по убывающим степеням х, или
многочленом, представленным в каноническом виде.
Числа а0 , ах, а,,... «„ называются его коэффициентами, одночлен
а()х" —его старшим членом, а0 —свободным членом, число
п—степенью многоч,/епа (и — натуральное число).
Корнями многочлена Рп (х) будем называть такие значения
переменной х, при которых многочлен Рп(х) превращается в нуль.
Разделить многочлен Рп (.v) иа многочлен Qm {х)(щ < п)зпачргт найти два


таких многочлена Sn_m(x) и яД.х), чтобы P„{x)^Qm{x)Sn_m(\)-i Rk{\) и
степень многочлена Rk(x) была меньше степени делителя (?,„(*). т.е.
к<т . При этом многочтеп Sn_l}l(x) называют частым, а многочлен
Rk(x) —остатком
Для любых двух многочленов ^„(-v) и
всегда найдется, и притом единственная пара многочленов Sn__w (x) и
-^fc(v), удовлетворяющая тождеству
р„ М=(?м (*&,.;, (*)+ ** W (а- <'"),
т.е. если делитель не пуль -— многочлен, то действие деления многочленов
всегда выполнимо.
ТеоремаБезу. Если многочлен Рп(х)=а0х': + а,х'м + а2х"~2 +... + а„
разделить на двучлен _v - а , то в остатке получим число R, равное
значению данного многочлена при _v = «,t.c. R=Ptt{a).
Схема сокращенного деления многочлена на двучлен. При делении
многочлена Рп(х) = аих" + ап_ххп~1 + а„_2Л'"~2 f ... + я0
расположенного по убывающим степеням х, па двучлеи х - а применяется метод
сокращенного деления, называемый схемой Горнера.
Имеют место следующие формулы для нахождения коэффициентов
частного h^b-,.,...^bnA и остатка R.
6, =Я| +СЮ0,
Ь2 = а2 +чЬ},
R = ап +аЬпЛ.
Практически вычисление коэффициентов частного Qn s(x) и остатка
R проводится по следующей схеме (схеме Горнера).
Пусть требуется раздедять многочлен Ptt(x)~ attx" +ап ]х!1"] л-ап_,хп~2 +
+... + а0 па двучлен х- а .
Значение а двучлена, коэффициенты многочлена (hn_,, Ьп _■»,..., Ь()) и
остаток запишем в следующей форме:
28


an
Ьп-\ ~ а„
an-\
b„_2 =a„..] +
4 ab„^
On-2
b„ з =a„^> t-
+ab„-2
U\
bo -/ii+abi
«0
R - f/o + (/fto
Отсюда -записываем частное
Q„-\(x)=bn_]\-n~] +bn_2x"~z +... +-Л(лч-&|
если R = 0. и результат деления
Pn(x):(x-a) = Q„^(x)+— или P„(.r)s (х-«)£„_, (д-)+Я ,
х-а
если Я * 0.
Понятие корня. Основные свойства корня
Алгебраические выражения, содержащие операцию извлечения
корня, называются иррациональными.
Корнем и-й степени из числа а называется такое число 6, п-я сгепепь
которого равна а(п>2). Обозначается цй , где а — подкоренное
выражение (или число), п — показатель корпя (п > 2; Tie Л').
По определению v a = b , если Ь" - а , или (уо J - а .
Основные свойства корня
Если корни рассматривать в множестве действительных чисел, то:
а) корень четной степени из положительного числа имеет два
значения, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку;
б) корень четной степени из отрицательного числа в множестве
действительных чисел не существует;
в) корень нечетной степени из положительного числа имеет только
одно действительное значение, которое положительно;
г) корень нечетной степени из отрицательного числа имеет то 1ько одно
действительное значение, которое отрицательно;
д) корень любой натуральной степени из нуля равен пулю.
Действие, посредством которого отыскивается корень и-й степени из
29


данного числа а, называется извлечением корня я-й степени из числа а,
а результат извлечения корня в виде Ща называют радикалом.
Таким образом, множество действительных чисел не замкнут о
относительно извлечения корня че гной степени, а резулы ат этого действия
(корень) не однозначен.
Заметим, что множество действительных чисел замкнуто относптечь-
но извлечения кория нечетной степени, а результат лого действия одно-
значен.
Арифметический корень и его свойства
Арифметическим значением корня или арифметическим корнем
степени л (л > 2; л £ N) из положительного числа а называется
положительное значение корня. Корень из нуля, равный нулю, также будет
называться арифметическим корнем, т.е. vrt = h есть арифметический корень.
где а>0,Ь>0 и Ьп =а .
Множество неотрицательных действительных чисел замкнуто
относительно извлечения арифметического корня, а результат этого действия
однозначен. Это значит, что для любого неотрицательного числа а и
натурального числа л (« > 1) всегда найдется, и при том только одно,
такое неотрицательное число Ь, что Ь" = а .
Правила действий над корнями
Для любых действительных чисел я, b и с и натуральных пик имеют
место следующие правила действий над корнями.
b'*fa2l,4[b^*fc=2^&c, (2.26)
г"![аЬ~с = 2"^-lnJ4b ■ !%^ . (2.27)
2| = 2'НЛ &*°). (2.28.
30


{^f =2"+47 , (2.30)
2»+^Г = (2«^)\ (2.31)
2'"+fi^ J2'"H*2"%, (2.32)
12»-+Ф»% = г,„>-1[^;, (2.33)
4a-2Hlb'-2fc~ = 2{Лс (a>0,6>0,c>0), (2.34)
2{Лс^\лЩ.ъ^\ (abc>0), (2.35)
1,fa -2JI (a>o,6>o)
2"4ь V6
(2.36)
->0,6*0 ,, ,74
2nWa=2l'!fa (o>0), (2-38)
2*=2^ (a>0), (2.39)
(2*f=2^ (a>0), (2.40)
(a —любое действительное число). (2.41)
Во множестве действительных чисел рассматриваются корни нечетной
степени из любых действительных чисел и корни четной степени из
неотрицательных чисел, причем берутся арифметическиезиачения корней.
Замена дробного выражения, у которого числитель или знаменатель
(или оба) иррациональны, тождественно равным ему выражением с
рациональным числителем (знаменателем) называется исключением
иррациональности из числителя (знаменателя) дробного выражения.
При исключении иррациональности из числителя (знаменателя)
дробного выражения числитель и знаменатель этого выражения умножают
на множитель, сопряженный с числителем (знаменателем).
Сопряженным множителем относительно иррационального
выражения А называют всякое не равное тождественно нулю выражение В,
которое в произведении с А не содержит знака корня, т.е. А В рационально.
31


Рассмотрим основные случаи исключения иррациональности из
знаменателей дробных выражений (аналогично выполняется исключение
иррациональности из числителей):
А
1. Дроби вида „/"Y , где п > к, а > О, А — некоторое выражение; в каче-
•47<
как ?jak -'у/a" k -«.
Умножив числитель и знаменатель этой дроби на л/а"~ .получим
A Aian~k A'4an '
2. Дроби вида -
47 47-47~-
А
(я>0).
' 4a±Jb '
Выражения -Ja+Jb и -Ja-Jb взаимно сопряженные, так ь
(4а + 4b\[a -4ь)= а-Ь, поэтому
А _ A{la-Jb) _A(ja-Jb)
/1 А4а Ayfb
4a+4b 2а 26
', если а > О, а ~ b ;
Л _ A(4a+Jb) _ A^ + Jb)
'■Ta-S'lfaSyiiSf а-Ь при а > 0, 6 > (W 6 .
3. Дроби вида
\Га±Гь 4aT±iM + 4b2"
Выражения Уа + Щ и \а2 -УаЬ+llb2 , а также Уа ~lfb и
Va +*Jab +\b взаимно сопряжены, так как их произведения (и+Ь) и
(a~b) рациональны. Поэтому исключить иррациональность из
знаменателей указанныхдробей можно следующим образом:
32


аШ-Ifcb+№) J^-lI^b+lfb2
^+^ &+\1ь]№-1Бь+№
a + b
гдеяиб —любые действительные числа, причем а + ЬфО.
аШ+&+№} аШ+Чл^
^-Я fa-lft]№+U+\
а-Ъ
гдеаиб—любые действительные числа, причем афЬ ■
"Га-Ч^Ь+Чь2 (Ча~-Чл ^^Ш+Чъ) " + b '
где а и Ь— любые действительные числа, причем а л Ь Ф§.
А _ А^-Чь) А^Ча-Чъ)
47л-ЧЛл№~ Ш +Чл+Чё\Га-Чъ) а'Ь
гдеяиб — любые действительные числа, причем афЬ .
4. Дроби ввда ^^/f и «/^^Г '
Для выражения Ща-ЩЬ сопряженный множитель можно определить
из тождества
(х-у\х"~1 + х"~2у+...+ху"~2 +у"~1]-х" -у" .
Если принять х~ыи,у-'ыЬ , то получим
\$а-Чъ\Чап ' +л/я" 2Ъ + ... + ЩаЬ" 2 +4lb" ' }=a-b
Следовательно,
Ча-'Чь
2Ь+..,+ЦаЬ"-2 +<ЦЬ-
а-Ъ
2 М. И Сканави, группа А


где а*Ъ (я > 0,6 £ О, если п — четное; а, Ь — любые действительные
числа, если» —нечетное).
Для выражения У a +yb сопряженный множитель можно определить
из тождества
(х+у\х""1~хп~2у + ... + х(~у)"~2 +(~у)"~1)=х" +(~l)"y" ■
Если принять х - ч[а, у = %[b , то
Следовательно,
А л(1к4^'-Ща1к-гЬ+...+ЩаЬ1к-1 -24ь^)
2кГа+2Ць~ а-Ь
при а > О, 6 й О, афЪ\
л(1к^-lk+4a2k4+...-2kiab2kA ~2к^
2k^ + 2k*4b а + Ь
где а и b — любые действительные числа н я + 6 * 0 .
А
З.Дробивида^^^.
Умножив знаменатель на Та + 4b-4c > получим
(■Ja+-Jb+-Jc)fi + -Jb--Jc)=a + b-c+2-Jab .
Умножив последнее выражение на а + b - с -2 Jab , найдем
({a + b-c)+2jab)(a+b-c)-24ab)=(a + b-c)2-4ab.
Таким образом, множителем, сопряженным со знаменателем данной
дроби,является (Vu + 4b-4c)x.\fi +b-с-2-Jabj.Следовательно,
A ^A(-J7,+4b~J7la + b~c-24ab)
■Ju + Jb+Jc (a + b-cf -4ab
где aJ>0,6>0,r>0,(a+6-c)2 -4a6*0.
34


Аналогично исключают иррациональность из знаменателей дробей
А А
■Ja + 4b -4c -Ja-Jb ~Jc '
Если знаменатель дроби — сумма четырех квадратных корней
А
у-— г г ^ , причем ab ~ cd , то исключить иррациональность из
V<J+V6 +vr+V('
знаменателя этой дроби можно так:
A =A{4~a + S)-{4c~ + Jd}^A[ra + Jb-4^-Jd)
47,+4ь+4~с+Л (47,+4ь)-{Гс+Д) а+ь-c-d '
wea20,bZ0,cZ0,d>0,a + b*c + d.
A_
6. Дроби вида з/^ + ^.
Найдем сопряженный со знаменателем множитель. Для этого
воспользуемся тождеством
(x + y + zftx2 + у~ +z ~xy~xz~yz)=x3 +y +z3 -3xyz ■
Еслипринять x = \[a,y=lfb,z~yfc,To
Умножив полученное выражение на
В = (а + Ь + с У + 3(а + Ь + c^Jabc + 9i[^bcf ,
получим
(а + Ь + с - fiabc )■ B = (a+b + cf -llabc .
Следовательно,
л(ъ4^ +tftf +tfj-Ч^-Ч^с-Чьс\в
Ча+Чь+Чс {a + b+cf -27abc
при
35


Преобразование сложного
квадратного корня (радикала)
Выражения вида J A ± -JВ называются сложными квадратными
корнями (радикалами). Для их преобразования пользуются формулой
Ал
4лг-в ^ 1а-4а2-в
4а±4в -
где А>0,В>0 и А - В > 0 ; знаки берутся либо только верхние, либо
только нижние. В правильности этой формулы можно убедиться,
возведя обе части формулы в квадрат. Эта формула упрощает сложный
радикал, если А2 -В —точный квадрат.
Упростить выражения и вычислить их, если даны числовые значения
параметров (2.001—2.124):
Vx+1 1
2.001. —j= г'-Г-Г-
XVX+X+VX X -т/х
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
Гх + 1 1 -Jx +1 т/х(-Ут/х-l)_
x-Jx +x + Jx x2-Vx t/x(x + t/x+i) 1
{•/x+l\fx-\) 4xixJx-\)^ x~\
7x\x~T7x\lfft^VJ 1 ,/x"(Wx"-l)
VxIxVx-l)
X i ' = x-i.
1
Ответ: x -1 .
2.002. {(fP^)-\(fP+fqy\Ji±U
P-1
Решение.
ОДЗ: p*q.


№-ЯГ+Ш+ЯГ\Ц^
р-ч
(fp-itif kTp+fuf
, р-ч _Цр+1йУ+Цр-1йУ {Гр-4ч~\Гр+1я)
1р+4ч {Jp-JvJ 4р+\1ч
_jp +2i[pq +4ч +jp -2i[pq +4ч 2{jp +4ч) ^
4р-4ч 1р-4ч
{Гр-4ч\Гр+4ч) р-ч
Ответ:
Р-Ч
2.003.
Решение.
Пусть X =
Ua2 +aJ7T*TVf1/a2 -aJT^'t
2-Ja4
Jf+JM fr>*>o)
^la2+Ja2-b2 l^-J^-i2
2Va36
Oafa + Va2-*2]-]/^^2-*2]'
2a4ab
\Л,Ца+4а2-ь2 -h-4a2-b2
1
2a4ab
ala+yja2 ~b2 -l4a2 -a1 + b2 + a-4a2 -b2 ]
2ajab
2a-2b _a-6.
2jab Jab


Y= ft + ft 2-^"i^ 2A4tf -2j7ib + {jbf ={47i-4bf
чь \а 4ь 47, 477b 477ь
Тогда Х:Г^:УЦЖ- = -^Ь)-^ - "~Ь =
^ ^ 47ф\47,-4ь? (47,-4ь)
(a-b%[7,+4b) (t,-bJ47,+4bj _ (a-bjfi + Sj _
'(47,~S){47,+4b~)={47,^47)fa+4'bt= (?-ь?
_ {47+4bf
a-b
Ответ: ^ ^.
0-6
f(a+6)"
2.004. , ,
Решение
ОДЗ:а*-6 = -
Пусть X = M
y-f "V
{(a + bf"a
Тогда А-: Г
bc2ll\a +
Ответ: 0,2.
-»/4.c
.6-3/4
-0,04.
a+i)'
,16-Si,
<A
б)"'3
1
-»/4.(
■6-3/4
,1/6
b-
-4„>3
/3 ,
1
.W '
*V 1
(a + Л
,4/3
1
b1'2
(«+6)*/3
с2'3
(a+6)"/3
.ftlc.c2'!
- = i"
\2n 16-8» 1
/ a j
[t, + b)-"r''t
a(8-V%
C2"
.,,(«-/3)'
6'-'2.
•(а+бГ3
Mo.04),/2
i/6
; 6 = 0,04.
.2/3
-I „(8-
C2/3
.a(8-4„V3
= 4Щ:
b;
Лф .
=
= 0,2,
:2/3
(" +
■бГ3
38


2х~"ъ
2-003. v2/,_3v-V3
Решение.
[х*0,
ОДЗ: дг*1,
[х*3.
2x-V х2**3
x2/3-3x"V3 x'P-x
х2/3 х + 1
х^(х-1) (х-*
2х-2-х + 3-х-1
■ (x-lXx-3)
Ответ: 0.
2.006. ^+fb
<-*):(й+3
Решение.
\а*Ь.
ОДЗ: Ь>0,
X'
X5'3-
.2/3
-з)
(*-
46
J=l
!/3 х+1
-х2''3 х2-4х
х+1
х2-4х + 3 х
2 1
-v-3 .t-1 (
0 0
■1Х*-з) '
9b + &Jab
■lb 4а
1
:+3
2x"V3
""3(х-3)
х+1
x-lXx-3)
6>0.
\Ja+Jbf -4b а + 9Ь + б4аЬ a+2y[ab + b-4b
[ja+7,4bf q+ 2-,/яб - ЗА . {ja+ iSf Jab
Vo6 v^6
39


{а+24аЬ-гь\Га+г4ь\4а+4ь)
a + 2jab~ib =J_
ab(a-4ab+3yTab-lb) ab'
1
Ответ: —г-
ab
2.007. &J+*TnUfa-K?. 1 ^
Решение.
ОДЗ:
[m * я,
jm>0,
L>0.
2(m-/i) Jm*-Jn*
_ vm + 2Цтп + Jn + 4m - 2Щтп + Jn
2{Jm -4n){Jm + Jn)
\Jm -Jni \fmj +yJmn +\Jnf
-3-Vmw ~
2\Jm +JnfcJm~Jni \-JmJ +Vm« +\Jnf
2\Jm ~Jn Jffm +v« j
- \Jm) + 4mn + (•Jn) - 2.4mn ~ (Vm j" -
- 24mn +
-3vm« =
Отвотг (,/^-,/л)2-
40


2.008.
Решение.
72 +35^
- + 3'»to/ -2
vi
ОДЗ: >/2+3^^0,«^^-1^-| .
tm$i^-2w
,/2+3^ ""^J "I 9
j2+i\Jy
U2\jy-2
[г,ф-г)1 )-Ш± )-Ш W.
Ответ: у
2.1
2.009.
Решение.
ОДЗ:0</*1.
ДО-*
ИМ**


2,1
;(JM
2.1
Ifl
2+r
■i[H-ffi-j) №;
V 4 r V 4r
.in
2 (,/7
-V?
| 1 1-2/+7" 1 b-f_ Ut + l-2t + t*~ 1-r
V +4' r 2 it \ 4r 2Vr
ll+2r+7~
l_+£
1+r 1+r
Vr Vr 1 + r
l |i + W_i-r l±l_Azl i±L"i±^ _?L r
г 2л/Г 2л^ 2^ 2^ 2^
Ответ:
2.010.
._4±t+vr+7+^=.
2—(//+4 V/+4
решение.
fr+4>0, [r>-4,
°«3'- 2-VTM*0**W0.
J/ + 4 r— 4
■ i/r+4H
Vr+£+2
V7+4 Wr + 4
2--Л + 4 Vr + 4 2-V/+4
т/г + 4 + 2 Wr + 4f+4
Vr + 42-vr+4l vr + 4
1±1.
Vr + 4


t[yfi+4 + 2fe+Jr + 4) (т/7+4 f+4
~ 17+a^.-4T+4^.+JT+a) ,/7+4
t\Jt + 4 + 2j (т/г +4J~ +4 _
77+4(4-/-4) т/г+4
-(/+4 + 4т// + 4+41 / + 4 + 4
т// + 4
-<-4т/Г+4-8 + М
т/7+4
Л + 4
4т/7+4
т/7+4
Ответ: -4 .
fl+т/х т/7+ltl fl-т/х л/Г
2.011.
^т/Г+х 1+т/~7 I [т/Г+л: 1-т/х
[l+x>0.
ОДЗ:|
х>0, ss>
1-т/г *0
х>0,
ХФ\.
Г]+4х t/7+.yY fl-т/х т/l + x'
т/l + А' 1 + т/л7 J (^т/l+X 1-т/х
^-^-(т/Г+ТЛ =Ги2т/л: + .
V^ra J'l
fl-2/v+.v-l-v"l f 2т/*
_( -ijx Т 4х
(ih-t/777)2 -(-т/Г+17)2 1
VT+Tf+Tx)
Iwir
43


4.v _4x((l-77)2-(l + 77)2)
(71+7(1-71))-' (7T+7(!+77)(i-77))2
4л(1-27д-+д-1-277-х)_ -16^77 16*77
(1+Х)(1-х)2 (1+\)(1-Х)(1-х) (1-Л-2)(.Т-1)'
16x77
Ответ: —-——
(I-.v-)(*-!)
2.012.
д-1
v».5.
1 2
J'2^' ,1.5 _, ,.-0,5'
х+х""+1 X
Решение.
f.v > 0.
ОДЗ:
-1 2 (*"2-1)(.y"2+1) (х"2)3-! 2
х + x''-'+l д-'-5-1 х-"'3 x+x'^+l x,;J+l
= <*^ ^+^+1» + 2х"2=,х"2-1,2 + 2х"2=х-2х|
х + д +1
+ 1 + 2д-Г2=х+1.
Ответ: х + 1.
2.0,3. -^Л= + -^^1 + .,а + 1
•Ja+Ja+l 4а~4а^\)\ V а —1
Решение.
ОДЗ:
/— у (£( > 0,
Va - V« - 1 * 0. <=s J <=> а > 1.
[а>1
а + 1_
44


Пусть X— выражение в первых скобках. }'— во вторых:
v I I ■Ja-4a-\+Ja+4uT\
Ja + sla + \ ■Ja-4a~\ (Ja + JaT\)(Ja - Vu-T)
2л[а+Ju + \ -Ja~\
, -Ja + \ -JaT~l +Ja-\
Тоща X: Y
Ju + l+Vu-1
1 Va-1
2i/U+t/« + I -i/a-1
V^(2>/«" + V7+T--,/o^T) /
= ,=—i —/^ = v« ~ 1.
2V« + Va +1 - -Ja - I
Отпет: -fa~\.
2.014.
.x"q+x:'-v
Решение.
[л го.
одз,- j.i-ao.
(л *у.
Л'- 1- л
A"''V +
l'2l.lM + v„4i,
v,,2-2.v"V'4 + )
,.з 4 , i/:,,i<4
V7v?+4^v2
v;
45


V - 1 ( /> j/^KV* + У< )
(/t+ 7г)("У7-У^)2 (ч/Т <-т/VnV.v -V7r
(У1-4У7)(4У7+4Уп 4A+j/T
Ответ.
2.015. V)'"'""
Решение.
ОЛЗ: jy*0.
I у > 0 при ш = 2к.
(m-n)-+4m
■n(»i+»)(»i-,7) .
/!Г +2пиШ!
~„ „„».-») = >.!,„„w„ ^ ,.».(»-..) =>7„=^
Ошвии: "^.
2.016.
(:r " + zz «)--4;
I (- '' -г "г +4z ; (/
ОДЗ:г*0, p*0.q*0.
((z2"+-2«)2-4-
2 ;j+2',
(J "_-l '/v
j(:2")2+2Z2',+::"+(:2")2-4-
Г+4*1 "+ь'< I (Г1 >'г-2-
•'+(:'■'«)-+4:
;,4J ,;
46


<--'V-2-2"ti'<'+<_-"r ~J f--2"-
I {zh"\2+2-y^] '<'+(-' ")- I [(_-'"'' + -'«Г' j --''" + -'"''
2.017. _iri_.!^.+*"4. v'/4+,
,v3/4+.v12 vl/2 + , * +'■
ОДЗ: x>0.
x3'4 + ,l<2 vl/2+, -V + \тЗ'4+х2/4 ^vf^ ^
л-2,4(х"4+1) 1
Ответ: J~^_
2Ю18.'±£±Г- + 2-'--*-+* I .(5-2.т2);л' = Д92:
( 2j + .г2 2.г-л
2.Г+Л-2 2.V-.V2 '
't?t£:+2_b.'-.+-i. i .(5-2^=
I .v(2 + .x) Jt(2-.v) '
((2-_х)(\ + х + х2Н2х(2 + х)[2-х)-(2+х)(\-х + х2)Т' f5_2 2,
[ .v(2 + .v)(2-.r) " J
С 2 + 2.v + 2_v2 - .v - .v2 - xJ + 8.v -2.^-2 + 2л -2.r2 - x + x2 - .v3 1
x{4-x2) " ,
47


^^I^H-^i^fc^l -1S-2X'
2x(5-2x2)
_(4-x2)(5-2y2)_4-x2
2(5-2x2) 2
Отсюда при х = >/3,92 имеем
4-(л/зД2~)2 4-3,92 _ 0,08 _
2 2 ~ 2
Ответ: 0,04.
0,04.
2.019.
\[xy+yf I x = 64.
j/x j>" -д/х с" -V^
ОДЗ;2 = ^ + ^У-^?7-3У7^0-
1?г-у2№+\Гу)
з/^Г + зСГТ 3/,3„2 j/„s
Х-^" -ЦХ-у- -Цу
{х-у1х + у%Гх+^)
]/7Ш+][/)- \[7(tf7
3/^4.3 „2 U.
*>'+^ Г
"^/7(х+^)-=/7(х+^)
(x-yj$Ix~ + \[y) ( i— 3Г7
-^L-HMr
"v^-V^


Mi --УгК>/? + ^т+г//)
=-y7+^+^r-^-V7=^/?=V(i4T.
= V4J" =4" = 16.
Отнеш. 16.
2.020
(1+nlVI+o
2n з 4+8/а+4/д-
VI
Решение.
2a
r^O,
(1+а)л71 + й
ОДЗ: \a*0, <=> я > 0.
o*-l
2a , 4+8/a+4/a~ _6
(1+п)л/Г+а" 1 л/2 \[<1+п)лУ1+а
4 + 8/a + 4/«"
_
8a- 6 j 4a"+8a+4
(l+ar'd+n) Ul «2л/2
(1+a)4 V 2a4 \J(l+«)4 a
8«3 Jl6(o + l)4 J 8a3 8(l+«)4 _ 61б4 _ 2\/«5
0//)№
49


4x x + Vx -1
2.021. f !—-
x + Vx2-l | -1
Решение.
fx + 1/xT-l I -1*0,
ОДЗ: i\
x2-l>0.
4x[x + Vx2-l) 4x[x + Vx2-l j
x + Vx-1 -1 x'+2xVx -l+x'-l | -1
4x x + Vx2 -1
2x2+2xVx--l-l I -1
4x1
fx + Vx2-]4]
2x2+2xVx2-l-1-1 ]2x2+2xVx2-1-1 + 1
4x[x + vV-l
2x2 + 2xVx2 -1-2 2x' + 2xVx -1
4x(x + Vx2-l
x + Vx" -1
2|x2+xVx2-l-l t>x x + vV-1 I (xz-l}+xVxz-l
x + Vx2-! _ 1
x2-l(Vx2-l+x | Vxz-1
1
Ответ:
Jx^-i
50


2.022. 4~х_*
■Jx
Решение.
ОДЗ: 0 < -v * 2 .
V(x + 2)2-8x _ Vx2+4.v + 4-8x _ VxVx2-4x-4 _
_JxJ[x2-2f V^]x-2|
" ~x^2 __*^2 '
Отсюда:
1) для x<2,--Jx ;
2) для a' g (2;-ь*>). vx .
Ответ: -Jx для xe (02); Vx для д'е (2:^).
2.023. ^6xl5+2X)-yJ^j2x-2ylTx.
Решение.
OR'i.xZO-
^6х(5 +27б) - v'Wil - 27з1 = ф>х^+27б) ■ JTfapWf] =
=4б4+2^]-4^[^-^1 =>№^/?) ^-27б)=
= t/бх^ + 2/б )■ 6х(5 -~2^б) = V36.v2(2?- 24) = t/збх2 = Тбх.
Ответ. 4бх.
2.024. ^4^ + 47^-&-Л*--2-Узх
ОДЗ:х>0.
51


^4х([ 1 + 4-Уб) ■ &,/2х - 27зТ = ^4x(l 1 + 4л/б) • ^2>/х"(2,/2 - ,/J) =
= ^4х^1 + 47б)-^/х"(2,/2-7з))! = ^4х(| 1 + 4л/б) • ^4х(| 1 - 4л/б) =
= ^4x(l 1 + 4-Уб )■ 4x(t 1 - 4-Уб) = $16х2 (121 - 96) = 6л/400х2~ = V20x".
Ответ:
аг-а-2Ь-Ь21а (а +аг +ab + a2b b )
2.025.7 1 n ! : 5 5 + Г t
a = 23;6 = 22.
Решение.
ai-a-2b-b1\a (a3 + a2 +ab + a2b b \__
я4-я2-2я6-62
a2 -a-b У a-b a-b\
(a2 -a-bjp2 +a + b) a2 +a + b
a'-a~b a-b
= ki£±*fe=*) = e_ft = 23-22 = l
a + a + 6
Ответ: 1.
52


2.026.
3!
■1Ш
547) fVWft
Решение.
fa>0,
ОДЗ:
6>0.
[Ж]_ (д¥5у/2 (V^^Wj aW15)P/2)
[V^^VTj ^ (д}/6 &1/6у ^^ ^5/6)4.^1/6)4 ^
я ' a '
a^-b^
b\ia bya 6i/i2
„10/3 ,2/3
= <Г10'5 .£ l£ =a-2 .„Ю/3-3/2 .2/3-3/4 -2 (20-9>6 . (8-9V12 _
a3/2.63/4 " о -CI а о -
= ^2.all/6.6-V12=a-2+,l/6.
1 = 1
%1/6.61/12=,^-
1
Ответ:
alb
2.027.
Ъ+ЗГ7 ■§-
П-х1
Ь-х2
Решение.
ОДЗ:
|1-^2-л:^>0,
ll-x2 *0.


4x + <ll-x2 -Щ-х4г^х:
l&
x+sl2-x* -m-xill-x
'Jl-x'
Чх2 + 2х^2-х2 +2-Л-2 Ъ-х^г-х1
Mx + xh-x1 \i\-xJ2-x2 pfl+x^-x1 Ъ-xh-x2 )
4\-x'
f2(\-x2t<2-x2)) ^^TTI7) ^7f
4\-xL
^.^x2f ^-F
VT"?"
-V2 при Vl-*2 < 0;
Ответ: - 6-Д при Vl-x2 < 0; V2 при Vl - х2 > 0 .
2.028.
/ 2 2V1/2 2 /
х\х -а } +1 « v х + а
a(x-«P+(^-a)l/2'.»-(x-2-a2f **-с
Решение.
ОДЗ:
х" -я" >0.
х-а>0,
х*0,
х-4х2 -а2 *0
\х>а,
<=> | х- * 0,
а*0.
54


xx -a- + 1
а(х-аУ'г+(х-аГ'х-{х1-а^ x2-ax
=r + l
x + \x~ -a
a2-Jx + a 1 _ ^(x+afc-a)
-Ji2-a2 1
~a x-4x2-a2 *(*-*)" ^(Vx^)2
hVx2-V
я -J x + a + a\x-a)(a + x-a)
a2y/x + a x(x-a)
v-2 v-2 . „2
я х(х + я)
X -X +Я
х(х-я) а2х{х + а) х(х-а)
1 1 _х-я+х + я_ 2х 2
х{х + а) х(х~а) х(х + аХх-а) х{х2 -а2} х2-а2 '
Ответ:
^+4f±-j\
2.029.
Решение.
ОДЗ: Гга2-
г<-2.
г2 -4-,1-^-
г2 -л/И -16


f^f?iHf?f [{?+*№■]
r2-4?~^~6
гг-4?^й>
2гДг-= +4 J-Jl + 4- -(r2 -4)-Jl--4-
'--4?
r2-Jr4 -16
^ ^ .^iJ^^^Q^ -4f .^
-VH'-ie
r3+4 2^Мб)7И-1б r^-4 f2 ,/,< w)
w w w r ^{r 16> ,
r2 -47~-
VrV-VT^fP
2 2V7
2V7
Л о аг112-247,
Решение.
ОДЗ:
Ja>0,
[0*1/2.
1/2ч а | 0 a2i/2-247i = a2+2ai/2+(i/2)2
" +i/2+" aJbi-'&F'i «1Я


W-Т.Л
2.иЧ- = ^4if гЧ*-аГ-\а1Р-2г1,)_
' а"'2 • 2"4 Т}1ги\, ]Г- -21/ТГ а''2 ■ 2"4
(c^-^ia + l^c^-H1'1) = а+2"1 _ ц +21/4 .Ц'/3+21'-
aV2.2l/4.(al/3_2l/4) а,/2.2,/Д я1/2.2,/4
и1/2.!1'4
,1/2 ,1/4
Ответ: -1
2.031.
С4ГТ ,
л'/2
4^-1
%
Та+\
-4а
I а-\сг
Решение.
fa>0,
ОД* 1*1.
\1а' -1 4
4^-
4^
^2 ^4ГТ ^
Vfl +1 г
л/я
(^4-
?1
^-l№" + ^+ll V ['(4Л4-1[4У7-4^4-П
i-= ^4-Й ■ 1— 1-41,
f-i f+i
) }
4л/7 + f +1 + fa f2 • f V7 - fa +1 - V7
а- л/а"1 ^ ^ ^ ^ a ~ V«J
.(<?.л.,|".4.*^.^|.1.
Ответ:


2.032.
J abc + 4 . I be
abc + 2
a = 0,04.
Решение.
ОДЗ:6С>0.
J abc + 4 . [be
abc + 4 t 4jbc Vabc + 4jubc+4
a 4a _V a
•Jabc +2
УиЬс_ + 2[
Jabc +2
J abc + 2
•Jabc + 2
■Iabc+2 Ja\Jabc+2) Ju ДЙ 0,2
Ответ: 5.
$lpT(f+J(2p~^f
2.033.
iJ4p + 2^'
4p'-\
Решение.
ОДЗ: Р S
^4p + 2^4p2-\
2p + \ +^2p-\\{jlpir\f -J2p~+~]j2p-i+(j2p-l f
\2p + \ + 2-[4p2 -\+2p-\
2~р~+] + /2~рЦ]2р + ]-^4р2-1 +2р-\
^2p + lf + 2^4p2 -1 + {Др~^
58


_ (JTp +1 +/2p-l)(4p -д/Т/)- - I) _
фр+\+^2р~^\)(4р-^4р2-\) Г~Г
, _==^ = 4^-^/4,,-.
V2/J + 1 4-,/zp-l
Отчет: 4р-^4р2 -\.
2.034. 1
Решение.
ОДЗ: u > 1
7^1
fl -Vu--1
Л +1 Vn^T
(ff-l)Va-t 1 -(u + l)Vff-l
\la + \ \a
l-l/^-l
Vff-1 . ^
1 __ J (и-1ь/а + 1-(и+1)т/й"-1 ' 7«^T - V« + I
>/«^l Л' -1 ~/(« + l)(u-l)
ч/яП7(^!)(« + !) _, (l-V"Z-l)J(a+l)(a-l),
\l(a-\j(u + \)(4a:^\-4^+l) ■Ja'-HyfcTA-yfa + l)
X ;= =
Vn+l
Ответ: va'-l
l-l + V«--l = Va -1.
2.035.
«+2
2 "] 7«-л/2
\/2e /2a+2 u-4Ta) " + 2
Решение
ОД'?.
я *2.
59


ia-H _■
■Jla -Jla +2 ' a-4lu ) a+2
u + 2 a 2 | -Ja-42 _
Jla J2(jli+j2) Ja(Ja-Jl)) a + 2
_ (a+IKJa' +J2)(ja-j2)-aj7i(ju~-j2) + 2j2(Ju' +J2) -Ja-Jl _
J2a{-Ju~+-J2)(-JU~--J2) a + 2
_ U--4-U2 +aj2a +2-Ла+4 1 _ Jlaja+l) _ 1
J2a(4u + j2) a + 2 J2a(ju+Л)(а + 2) J^ + Jl'
1
Ответ: г- rr ■
•Ja +V2
J36mrrp +mA—+ J3np J36mri2p
( Ь" к
2.036. I "<J36mn~p +mJ—+J3np I фбтп'р --J3mn -p\—
(_ V "' A ' ;'
Решение.
ОДЗ:
mn > 0,
np > 0,
m *0,
P*0,
mp> 0.
yj3bmn~p +mJ—+J3np yj3bmn~p- 43шп -p I— =
- т]36тп~р +(v3mn +J3np) I J36inn~p-(j3nw + J3np) =
= J36mn2p -(-v/Зпш +J3np)2 =
= \/36ш/Г/> -3nw-2j9mn"p -3np = -3n(m + p).
Ответ: -Зп[т + p).
60


Решение
U>0,
1/2 _д.-„2
l/o'-l
Г,
ху
- X
2 V2
-*-1'2
х-1
Гх
—,
~Тх
2
.V"
г*-
1
-,£-
-VIV7-2
*/х*-2 -х'-2
v.v3 Л3 Л3
х2 +2 (.г2 +2)-/! _ (х2+2)У7_
-*•»* xi]xj~x
Ответ:--Jxl 1ч—у
(т/я 1 Т fV"-l
Решение.
ОДЗ: 0<а*1.
х~
т/я+1
л/я-1
-VI 1
I л/« i_l fV^-i V^+il f(V^)2-iN| (У^-1)2-(У1+1)2 _
^2 2л/ы" J [л/йч-1 л/й-lj [ 2л/« j (л/й + 1)(л/а-1)
_(а-1)2 а-2л/ач-1-а-2л/а-1 _ (и- 1)2(-4-/ц ) _ о-1_1-и
4а а-1 4а(и-1) ,/н" ,/и"
Ответ:
Га
61


2.039. __=_.==-.=_JL_.=== ; A = 4.
]Лч(»П '/* т%4/' «'/4 -з/r'3
Решение.
9bv .sT , ^±:-«-!i
A2 6" ft2
*: 9ill,/,-a3'-
о''*-36
5/3 ^,2^*!:±^:.^_3iv3)
Л2
ЛЧзб5'3
-6 = -4.
*
Ответ: ~4.
I 1
2.040. «"^-L6'^2
II 2fa
й 6 + f
a = 0,02;A = -ll,05;r = l,07.
Решение.
1 1
О Ь + С f[ />" +f-n- \
\+ ..!_ [ 26f I'
« 6+f
-n2 'I
1'
J
0-6-
abc
62
u-Л-с.
«6c
6 + с-й
■с а(б + с) 2bc + b2 +c2 -az
h + c+a 2bc
„(b+c)


abc (b + c-a)a(b + c) \b2 +2bc + c2)-a2 abc _
a-b-c a(b + c\b+c + a) 2bc a-b-c
_b+c-a (b+c)1 -a2 ab _ -(a-b-c\b + c + a%b + c-a)a
b+c+a 2 a-b-c 2(b+c + a\a-b-c)
_-(б + с-а)в_(а-6-с)в_(0,02 + и05-1,07)-0,02_
2 ~ 2 2 "
Ответ: 0,1.
1 1 a2 +2
2-041- 2Twr)+2T^)"Ti^-
Решение.
ОДЗ: 0<a*l.
1 1 a2+2 1—Уя+1 + л/я a2+2_ 2
2^+Va") 2(l->/a") 1-a3 ~ 2|l + >/a")|l->/a") 1-a3 ~2(l-a)
a2 +2 1 a2+2 1+д+д2-д2-2
(1-д)(1 + д+д2) 1-a (l-fl)(l + fl+fl2)~ (l-a)(l+a+a2) "
.. -(Ы -1
(l-a)(l+a+a2) a2+a+l
-1
Ответ: ~~^ "■
J2(x-a)
2x-a
2.042.
a = 0,32; x= 0,08.
Решение.
■Ix ) (42x+Ja
-J2x+Ja\ [ 2-v/a
J2(x-a)
2x-a
[ -Jx V2x+Va I
■Jbc+Ja'l I 2>£
Л(х-а)
2x — a
63


2-Ja
x + 2Va(72x+Va)
(■Jxf +2j2ax +{j2af
Л(х-а)
У2(л--д)
1/2
Jl(x-a)
■JZx+Ja (Vic- -v/aJ(V2x + Ja) -fix +Ja
_ Jl(x-a)-{fx +Jb,\[2x'-ti)_
xj2-a-!2-xJl+4ax-24ax+aJl
2x~a
-T& -,/0,32-0,08
2x-a 2-0,08-0,32
Ответ: 1.
( , iff
-on (" ^ 'f" +
( ■, i Y f
("-i){-
Решение.
одЧ*о.
Г 2 iTf i Y""
I" ~1?\ Г»)
-0,16
-0,16 ~ '
1 Л"~т
i)
Л"
i)
fmV-1
I »'
fmn + П
J ! « J
WV-1
mn-\


(mn~\f (mn + \f (mn + \f-m
пгт ' m"-m
(mn-\f(mn + l)" (mn-lf-"
= (mn-\)m (mn + \f -m2n -п"-"
'(mn-\f (mn+Xf m-m n2m
m -n"-m" m-m" m
m „,">+и
m n n n n n
Ответ:
2.044.
Решение.
va+-ix-a Vx2-a2 -x+a
w-<
-1; x>a>0.
yjx-a x-a ]_ be 1
< + a+Jx-a Vx2 -a1 -x+a) V a2
<Jx-a
Я x + a +Vx-a ых-а\ях + а -
-Jx-a sfx-a
Jx-aJ
Jx+a +vx-fl vx+ й-vx-a J л/л^ _a2
x-a[Jx + a ~ilx-а)+т1 x-a{Jx + a +^x-a) a
[Jx + a + ^x-aj^Jx + a - -J x-a) -Jx2 -a2
\x2-a -x+a + ijx -a +x-a a _2\x2-a -a
x+a-x+a Vx2-a2 " 2ajx2-a2
Ответ: 1.
3 М. И. Ска наян, группа Л


2.045.
1-Vx ifx
Vx x
-1/2
Решение.
ОДЗ:0<х*1.
fV?-« 1+Л)
\~Гх Л
1 + -= + —
•Ух x
{ГхШ-Л
+ 2& + 1Y42 jyiifi-]) Ьм/х
1-Vx" Гх
i+Ух
\I/2
t(7x+,r j
j _4/— 1 + Vx | -Jx _|--Ух + 1 + -Ух j -Ух _ 1 -v/x
[ Л J 'Vx"+i| t/x" J'Л+Г^'Л+Г
_J Vx-1 -Ух-1 = 1—Ух
1—Ух
Ответ:
2.046.
1-х
УП2"-!
1-х
Л + х
У1-х2 +х-1 Vl + x-Vl-x
Решение.
ОДЗ:
|х*0,
lfix<l.
1-х2 -1 ( 1-х
Л + х
^Vl-x2 +x-l Vl + x-Vl-x
У1-х(-У1 + х--У1-х) vY+x-Vl-x
Л-х^-1
Л-х' -1
66


Л-JC
Л + х
Jl-x' -1 Vl-x+Vl + x
Vl + x-vl-x Vl + x-vl-x
Л-х2-1 WI-jc+VI + xwT+x+i/I-jcI
1 + x-Vl-xIVl + x+vl-xl
i/l-x -1 l-x + 2Vl-x2+l+x Vl-x-1
1 + x-l + x
Л + x-Vl-x
2x
x2
Ответ: -1.
я-6 a2 +62 + я
l-x'-l
- = -1.
2.047. 2a~6 02"2,+^-f yfr+b+ab+al
fa4 +Aab2 + a2):\lb1 +a) V '
Решение.
ОДЗ:
2
2я2+я6-62 *0,<
я*0,
6*0
2
a*-b,
я*0,
6*0.
я-6 я + 6 -4-я
я-
2я
6 я2+62
-6 (я + бХ2'
W+.J
+а
-ь)
т— ' (—^ \Ш + 6 + я6
(4б4+4я62+я2Д262+я)
262+я
(я-бХя + б)-я2-62-я
41 +Ь+<,Ь + а)= (°+ЬХ2а-Ь) ^ +b+ab+ay_
2b +a
67


a2_i2_a2_i2_a
(a+b)(2a-b)(2b2+a)
__-(2b2+a)
(a+b)(2a-b)(2b2 +a)
■(b(b + \) + a(b+\)) =
(b + l)(a + b) =
2a-b b-2a
Ответ:
b-2a
2.048.
2E--tf+hL=M; V-m. ^=078;a = 7/25
2p-' +?'
2 + ^
Решение.
(2p-qy +2q -Ърд 4р_^Ур<1 4p_^4pq+^q_^2q^-_3pg
„2 = "22'""'
2 + ^
p(Ap-'iq) 2 + pq2 P(4P-1<1) Ap-iq
= p-g = 0,78 = 0,78-0,28 = 0,5.
25
Ответ: 0,5.
f p?3 2p?2
2-0^W'2~o>+?)3'2'.
ОДЗ. Р + Ч >0«f>-}.
| pg3 2/;g2 po
и j.j />2 p2q
Jp+q )[(p+q)5'2 (p+q)112
\i p1 Л L
-_^P£_
2?
0>+?>"2 l(/>+?)2 p+« "I'(p+?)V2
/>+? ,
68


pq (q2-2q(p+q)+(p+q)2 ] p2 (p+q-q
~(p + qf2\ (p + q? ](р^Г\ P+«
_pq{g2 -2pq-2q2 + p2 + 2pq+q2) (p + qf2 jp+q) _
{p+qf2 {p+qf p2p
(p+q)1 p
Ответ: q{p + q}
2(x4+4x2-12)+x4+llx2+30
2.050.
x* + 6
Решение.
l{xi +4x2 -12)+x" +llx2 +30 _ 2(x2 + б)(х2 -2)+(х2 + б}х2 +s)_
x2 +6
(х2+б)^(х2-2)+х2+5)_
x' +6
Ответ: 1+Зх .
^-b^a'+lfiS+aVb
2.051.
2x2-4 + x2+5=3x2+l = l+3x2
a'-b
a\lb+aJH-b\lb-4ab2 аЩ-Ma3b2 -W + aJH
a=4,91;6=0,09.
Решение.
L2-b2]a2^ + aMb
a'-b
allb+aJa'-bl/b-JaT2 аЩ-64агЬ2 -ЦТ2 +a^
(a-bXa + bi^+aMb+^b2) fl3 _b
a{fi +\[b]-b(JH + Vb) a[fi +Уь)-УЬ~Уа' + Vb)~
(а-ЬХа + Ь^+аЦЬ+Уь2] ai_bj^J
= \fa+4b\a-b) (^+Щ,-\1ь) =
69


= а + 6 = 4,91 + 0,09 = 5.
Ответ: 5.
2.052.
' *-*'Г-д
Решение.
fl-x2 >0, f— 1 < х < 1,
:\2-хг-2^7\
ОДЗ:
х*0
:*0.
^2^+'+^
Г-
J-+i+- '
«fl-x'
1
Vl-x^
2-х -2Vl-x^
l-2Vl-x'+l-x"
у1\-х* \~Jl-x'
1-2V1
fuVi-x2 Ti-Vi-X2 уГл/1-x21
VI-x
= l-x2.
Ответ: 1 - x
(-M=
-t-^if


2.053.(Ь2Г-^2Г2|+2(!-/Г:
Решение.
0ДЗ:-1 </><!.
.р^4+рГ2)^-/У
V-1/2
1
1
2
\+р-
Jl-P*
2-2^-рл 2
2
Ответ: г-
1-/
За2 +2дх-х2
2.054. -г у г
(Зх + дХд + х)
Решение.
р~ V'+/> ,
__2 l+p2-2Vl-p4+l-p2
2-2^1-/ +2^1-/ _ 2
i 4 -"; г-
-2 + 10
дх-Зх
а2 -9х2
ОДЗ:
х*±",
3'
Зд2+2дх-х2 дх-Зх2 _-(х + дХх-Зд)
(Зх+дХд + х) д2-9х2 (Зх+дХа + х)
+10-
х(д-3х)
-х+Зд , _10х
(д-ЗхХд + Зх) Зх + д Зх+д
х+Зд—6х—2д + 10х Зх + д
Зх+д
Зх + д
- = 1.
Ответ: 1.
71


2.055.
\Jx + y ijx-y
Цх~у
\jx + y
-2
x-y \x + y
Решение.
ОДЗ: x*±y.
Vx + y Vx-
x + y Цх-у
Цх-у Цх + у
2 :
jx-y \x + y I
Щх + у) -2^{x + y\x-у) + Щх-У) \jx + y-\[x
Щх+у~Цх-у) Ух2-у2
фг~-2
-у- ЦХ + y-iJX-y
Ответ: Щх + у - Цх-у.
Цхл-у -цх-у
2.056.
1 1 b(abc + a+c)
ал ал— ч '
b+1/c Ъ
Решение.
ОДЗ:
а+——г*0,
Ь + -
a+-i*0,
о
b{abc + a+c)#0.
1 1 b(abc + a + c)
ал-- ал— ч '
Ь + ]/с Ъ
72


с ab+\ b(abc + a + c)
4
bc + \
46c+4 ab + 1
\abc + a + c b b(abc + a + c)\
[2 V1/2
4ab c + 4bc + 4ab + 4 4 ]
b(abc+a + c) b(abc+a+c) I
(4ab2<: + 4bc + 4ab + 4-4\l/2 (ЩаЬс + а + с)^
I b(abc + a + c) I I b(abc+a+c) \
W 4V2 2
Ответ:
2.057.
(x+y)2 -4xy
y-x J x2 -xy
Решение.
от.
x*±y,
x*0,
y*0.
(x+yf -4xy
[У-х) x2 -xy
((y~xf x2 +2ху+уг -4xy
x(x-y)
y2 -2xy + x x2 -2xy + y
x2 x(x-y)


y2-2xy + x2 (x-yf _^__^
,-V^PT{ s ~>b-y)} 'TV7?)"
y2-2xy + x2 x-y
W^TY
у -xy
SV-yTl x1 }'7P-y.2]
y2(y-xf x4 (x-yf _x-y
x* У2\?2-У2) (x-y\x+y) x+y"
Х-У
Ответ: х+у-
2.058.
1 1 Hi 1 II , * +c'
a b + c I a b + c I 26c
1+-
a = l —; 6 = 0,625; с = 3,2.
40
Решение.
1 1 Ul 1 ill, 6-+C -"
a b + c J I a b + c JI The
1,2 , Л _ „2
1+-
a+b + c -a+b+c \ lbc + b +c -a
1,2 , „2 „2
a(6 + c) ' a(6 + c) J 26c
д+6 + с д(б + с) \ ip2 +2bc + c2)-a2 _
a(b + c) -a + b + c J 26c
д+6 + с 26c 2(a + b+c)bc
-a+6+c (6 + c)2-a2 (-a+6 + cX6+c-aX* + e + a)
26c _ 2-0,625-3,2 " 4 _4
"(-a+b + c)2 =Г_ ,33+ f =(-I;825 + 3,825f =i
^40
• Ответ: 1.
= 1.


2.059.
l\( x 1 , ])\(x-yf+4xy
-—+ —
\уг x I l у2 у x I i+y/x
Решение.
[x*0,
ОДЗ: Г*".
Iх * -У-
l|/ «JV' xJ/ 1+^x
-(x2-2xy+y2 +4xy]x
I XV Xy I Х+У
Г(х + Дх2-ху+у2) __V__\ (x + y)2x
x+y 1
у (x+y)x xy
1 ■
Ответ: —■
xy
f 3 2 1 ^
1M-{2x-y 2x + y 2x-5yJ
Решение.
°Д3: si
1 ^
Ux2-y2
f_3 2 1 \ у2 f3(2x + y)-2(2x-y) 1__\
\2x-y 2x+y 2x-5yJ'4x2-y2 { (2x-yX2x+y) 2x-5yJ
y2 (bx+iy-4x+2y 1 1 4x2 -y2
4x2-y2 2x-5y
75


2x + 5y 1 \4x2-y2 (2x + 5y\2x-5y)-4x2+y
\4x2~y
4x2-y2
y2
-24
2x-5y
2 2x-5yj
4x2-25y2
(4x2 -/'
24
5y-2x
24
У2
-4x"'
l+y2
■Sy)
(4x2-
4x2 -y2
/
-y2\2x-Sy)
-24y2
(2x-5y)y2
5y-2x
,^ ( 2 „ llx-2A f , 2x2+x+2'i „/_•,
2.061. x +2x -U + l ; ; x = 7,(3)
( Зх + l J [ 3x + l '
Решение.
2 „ 1Ьс-2И , 2х2+х + 2
x + 2x-- : x + 1
Зх + l J I 3x + l
3x3 +6x2 +x2 +2x-l lx + 2 , 3x2 +3x + x + l-2x2 -x-2
Зх + l ' ix + ]
_3x3+7x2-9x + 2 Зх + l =3x3+7x2-9x + 2_
Зх + l x2+3x-l x2+3x-l
_ 3x3 +9x2 -3x-2x2 -6x + 2 _ 3x(x2 +3x-l)-2(x2 +3x-l)_
x2+3x-l x2+3x-l
= (x2+3x-l)(3x-2) = 3x_2 = 3 (3)_2,3.73_ 1_
*2+3x-l ' 9 3
= 3 —-2 = 22-2 = 20.
3
Ответ: 20.
2.062. Гба2+5а-1 + —Уза-2 + —
^ а+1 J ^ а + 1
Решение.
ОДЗ:а*-1.
76


f6a2+5a_l+£±iU3a_2+-i-)=
_ (a+lX6«2+5a-l) +a+4 . (l+JX3fL^2)j+3 _ 6a3+lla2 + 5a+-3
a + l a+l a+l
__ajbl_ _ 6a3+2a2+2a + 9a2+3a+3 _
3a2+a+l 3a2+a + l
2a(3a2+a + l)+3(3a2+a+l) (3a2+a+l)(2a+3) „ ,
= ,- = s =2a + 3.
3a2+a + l 3<r+a + l
Ответ: 2a+3.
.... ^i"6:^4 _J2 4^(2.v + l)
Z-U63-4+2i-|+^2'4_4+J^ 1-2* ■
x л-2
Решение.
\x*U,
ОДЗ: 1
I 2
-1-64
л"6-64 __ _^ 4х2(2х + \) = / х1
4 + 2х^+х~2 4-- + -1- 1_2л: 4 + - + -- 4г-4* + 1
1-(4л2)
1-2л- 4л2+2л + 1 (2л-1)2 1-2* хА(4х2+2х + \)
а
х*_ ^л-2^ +1) _ (1-4j2)(1+4^2 + 16j4) _ 4х2(2х +1) _
(2x-l)2 l-2x (4i'2+2x + l)(l-2x)2 1-2*
- (1^2^^5)0+4^ + 16/) _4х2(2х + \) _ (1+2j)(1+4.v2 +1 бИ) _
.2,
4/(2£+1) _ (1 +2-0(1 +_4t2+_16VV-4x2(2j: +1)(4£2 +2х +1)
1-2х (4x2+2x + l)(l-2.v)
77


=;(l+2x)(l + 4x2+16x4-16x4-8x3-4x2) (1 + 2x)(l-8x3)
(4x2+2x + l)(l-2x) (4x2+2x + l)(l-2x)
_(l + 2xXl-2x)^+2x+4x2)=_1|2;e
(4x2+2x + l)[l-2x)
Ответ: 1+2х.
2.064.
,,. 4a2-б2
2i + " e а36-2а262+а63
63+2а62-3а26 а2-62
Решение.
еда]
6*0,
6*-За,
b*±a.
Aa2 -b2 lab-a1 -4a2 +b2
а аЪ-Ъа Ъ +ab _ a
63+2a62-3a26 a2-62 б(б2 + 2a6-3a2)
ai(a2-2ai+i2)_^2+2ai+i2)-4a2 ab(a-bf
(a-b\a + b) = a6(6 + 3aX*-a) (a-b\a+b)~
_ (a+i)2-4a2 _ (a + i-2aXa+i + 2a) _
~-(6+3aXa+6)" -(6 + 3aXa + 6)
_ (b-aXb+ia) b-a _a-b
-(Ь + Зада+Ь) a+b a+b
a-b
Ответ: r-
a + b
2.065. " V V {Vx + b).
Vx-Vy
Решение.
x>0,
ОДЗ: y>0,
x*y.


Vx +Vxy 4--\/ху-\Х АГ 4Г",
Vx-^y
4Vx-(V7+V7)-^(V7+V7) .4Г-аГ1
С47+$7)(Гх-Щх+Гу) 4гт 4P
Ответ: x + y.
■x+y.
2.066.
4.._4/i..,4_4/rr-
Решение.
ОДЗ:
x>0,
y>0,
x * y.
f^ + ^y^-jx^y-Jy1 _ (Ix* +Jxy1)-((xTy+Jy1) =
_ VxCV-v2 +Уу2)-л/у(У-у2 +д/у2) _ Ух(х + у)-л/у(х + у) _
=4v9(41/7+VxT)-Vr(V7+V7)" VyWyj-VTu+y)'
^ (x+yxVx"-Vy") ^ (^-t/7)(4Vx"+t/y) ^ ^ ; 4г:)
Ответ:
-(Гх+ТуУ
79


2.067.
а*+аЪ-'-
a-V3_a-i/«6-V3+6-2P з/j-
Решение.
ОДЗ: ja>0,
62/3_aV66V3+aV3^a
а^+аб"1
■v/a+т
6
a-V3_a^-V3+i-2/3 3/j J 1_ + J_ 3/6"
^ & lib1
41 €£> №
'■la2b'
[M/Z+^py' 6/7 f&vWpP" 6/7
Щ\Ь+6№у[?-№+€*} с/т- S/^+S/t7] 6^?
Щ№-&+№) ~W № ~W~
=—I—— J=l£_B-=V7=e5/6.
Ответ: а'


- + \a+b+2c)
(a b ah f „ „ , 5
2.068. i l 5—; a = 7,4; 6= — .
1 1 2 4c2 37
~a2+¥ + ab a2b2
Решение.
'Н-!Н*)_^*+»+*)
1 1 2 4C' a +2a6 + 6 2-4c2
a2 62 a* a2b2 a2b2
(a+b-2c\a+b+2c)
_ qb (а+Ь-2с\а+Ь + 2сУЬ2
(a+bf-(2cf {(a+b)2-(2c)2},b
a2b2
_(a + b-2c\a+b+2c^ib ^^^ _5_ = 37 _5__j
(a+6-2cXa+6 + 2c) " ' ' 37 5 ' 37 ~
Ответ: 1.
a7/3_2a5/3i2/3+ai4/3
2.069.
Решение.
ОДЗ:
a*0,
а5/3_а4/3^3_аг,2/3+а2/3^а
a7/3,2a5/3i2/3+afe4/3 ^
aV3_a4/3iV3_a62/3+a2/3ia -a2/3(a3/3'_a2/3iV3_aV3i2/3+Z)3/3)X
(a2P -b2"f a2'3-b2" i/^-b^P1^) ш ,V,
"(а1/3-б"3И3-62/3)"а1/3-6^' а'/з_г,'/з -a
Omeem: aV3+6V3.
81


(pi-b^-ilb)
2-0Ж Ца*+№-№-№
Решение.
ОДЗ: а * ±Ь.
(а + Ь\а-Ь^-Иь)
\17+\[^-\17ь-\[ь* \ГаШ+^\-ИьШ-г^
(а+ь$-Уь)
= а-Ь.
Ответ: а-Ъ.
(т — \}Jm - (л - l)Jn
2.071.
т п + тп + т -т
Решение.
1т > О,
п>0,
vmn + л+т-1*0.
(m~\)Jm -(n-\)Jn _m^/m~-Jm~n-Jn +Vn
4тъп+тп + тг-т т4т~п+тп + т2 -т
m\Jmn +n+m~l)
\Jm-Jn\\m +Jrrm +ijn2 j-(ym-vnj
m\>jmn +n+m~lj
_ (уш-уйдт+Уши+n-l) Jm-Jn
m\Jmn + n+m~\) m
Ответ.
■Jm — Vn


1БьШ-\[а*\\[7-№
2.072.
7]+V7
In* ^iL^ul _3/„3
a* +^а262 -Va36
Решение.
ОДЗ: а*0.
УлШ-\[7)+3J7-№
Ответ: \[а* -l[b*.
■v/s-2-Уб
2-073- pTWp3W]'
Решение.
" VT-,/1
У(Л-^У Уз-,/2_
VT-,/2 л/З-л/2
Ответ: 1.


2.074.
(„■"-WW"-")'"1"''
(а'""_а-"')("Уа""' +Va"T')
Решение.
ОДЗ:
я > 0, если шип — четные числа,
а*0,
(я+п)/(тп)
а2"" -2a'""a"" +а2/" ч-У"*"'" »
„2/.I ,„(1/»,)+(1/„) , „21„ ■ "'""«" '
+ а""+4а
(и""'-а"»)(а|""+а"")(а|+1""+а|+"")
а2""+2а<'
1
1
1
Ответ:
a(va -Ja)
2.075.
U'
-9^'"кУ^-"'-зУл'-")
и""'+3^"")2-12^(ш+")'('""»
Lv>0, если m и и —четные числа,
ОДЗ: |х*0,


(л-|/"'+Зх1/")2-Ш""+")/""")
II т , Mm Jin „ 2/в_., (1/ш)+(1/„)
-V +6.Y X +9x
2x"
(^'^-3x,''')(^'43i,'")(i,,'"')-,-3x<"")-1)
~2/m_6j;(l/7n)+(l//0~+9j2/;i
(л"'"-Зл"")(л"'"+Зл-"")(—-—-)
U"'"-3x"")z
(x""'-3x"")(x"m+3x"")--(xl""-3x1'") i/„,
X _ *
Aim 1v\tn\1
(x""'-3x""f
Mm , -i „1/h
Ответ:
3^12
■J45-4S
н5^27(7Г5+3) = -гШ^= + 5л|— (VII+ 3) =
V3'15-4V3 V 5
V3,/l5-4V3 V5 7J(Vi5-4)
=^_+30+6Vn= J^+f) +30+ai =
,/15-4 (Vi5-4)(Vl5+-4)
= 6( +4) +30 + б7Г5" = -б7Г5-24 + 30 + б7Г5=6.
15-16
Ответ: 6.
85


Решение.
а^'-Г1 a262 fa2-62T' a~6 . alb2
а~ъ + Г3' (a+6)2-3a6 I a* J _!_+_!_ ' a2 + 2ab + b2-iab
a3 63
6-a
ni gb a2 -ab+b2 ab _ (a-b^b*
V-^'^Ti3"" a262 a2-*2" a% + 6)^2-a6+62)X
aV
a2-ab+b2 ab ab ^-Л\[ + Л) __ 1
X a2b2 (a + b\a-b)~ (a + bf ^fi+l + Jtf~A
Ответ: — ■
4
(t-2f+l2t
2.078. ' J "- ' •- '
[t2+2t+2 (2+4( + 3 t2+5t + 6j 2
Решение.
ОДЗ:
«"-3,
<*-2,
(*-l.
2( 1 f (f-3)2 +12<
^(2+3(+2 (2+4(+3 (2+5(+6j 2
f 1 2( if (2-6(+9 + 12(
[(( + 2Х<+1) (< + ЗХ< + 1) (< + 3X< + 2)J 2
f< + 3+2<(<+2) + < + lf <2+6< + 9 f2(< + 2)+2<(<+2)f (t + if
{ (( + lX< + 2X< + 3) J ' 2 [(« + 1X< + 2X<+3)J ' 2 :
(2(t + 2Xt+l)f(t + if 4(t+2f(t+lf(t+3f
2((t + lXt+2Xt + i)f 2(t + 2f(t + \f(t+if
Ответ: 2,


--^ = Л(И1+3).
Ответ:
(a-bf+ab a5+b5+a2b3+a3b2
2.080.
' (a+bf ~ab' (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3 ~-b3)
Решение.
{a*b,
ОДЗ:
\a*~-b.
(a-bf+a^ _ a5+i5+aV+rt362 a1 -2ab + b2 +ab
(a+b)2 -ah' (a3 +b3 +a2b + ab2)(a3 -63) a2+2ab + b2-ab
i'l"l+a_2*!l + <?l1*it*5i u2-ab + b2
' (Ui} +b3) + (a2b+ab2))(.a3-b3) ~ a2 +ab+b2
((а_+6)(а2 -ab+b2) + ab(a+b)Xa-b){a2 +ab'+b2) __
a2(a3+63)+62(fl3+63)
(a + b)(a2-ab+b2)(a2+b2)
Ответ: и —b.
,~^=a-i.
87


2.081.
Nt+2 2V«-2
Л"2
■Jt-2 -Jt + 2 -it1-A
4t -4.
Решение.
ОДЗ:<>2.
(i/7+2~ 2л/(^2 4(
V«-2 -Jt+2 -it1-A
JCd-4 =
M£
Г +2(-2(+4-4(
h'-A
Vt-A =
bz-A
t(t + 2)-2(t-2)-At
<2-4< + 4
1/2
1
(-2
4.2
V«-4 J V« -4
(-2 (-2
■lt-lJt+2 -Jt + 2 -Jt + 2-4t + 2 '+2
. V^4
(+2
1
2'082- b(abc+a+c)
Решение.
ОДЗ:
6*0,
abc+a + c?0,
be*-I,
ab*-l.
1
a +
1 1
1 ' Г
я+ —
6 + 1/c 6
1 1
1
b(abc+a+c) I , 1 b(abc+a+c) с 'ab+l
b+\jc b bc + l
1 bc + l ab + l _l-{bc + l\ab+l) _
b(abc + a+c) abc + a + c b b(abc'+a + c)


_ \-аЪгс-аЪ-Ъс-\ _ -b(abc + a + c) _ .
b(abc + a + c) b(abc+a+c)
Ответ: -1.
-./,„- (-, л 2 5x2-6x + 3 } ( 2x
2.083. 2-x+4xz + : 2x + l+-
x-1 | 1 x-1
Решение.
ОДЗ.х*1.
f2-x+4x45*2-6* + 3V2x + l+^q
I x-1 Д x-lj
_(4x2-x + 2J(x-l)+5x2-6x + 3 (2x + lXx-l)+2x _
x-1 x-1
_4x3-3x + l x-1 ^(i3+l)+(3x3-3x)
x-1 2x2+x-l (x2-l)+(x2+x)
= (x + l)(x2-x + l)+3x(x-lXx + l)^
(x-lXx + l)+x(x + l)
_(x + l)(x2-x + l + 3x2-3x)^4x2-4x + l_(2x-l)2 ^2x l
(x + lXx-1 + x) 2x-l 2x-l
Ответ: 2 x -1.
(l-b „ а-П f, a-1 2-6
2.084.^+2— Д*._ + в._
a = Jl+U&b = fl-U,2.
Решение.
,г - - |.i f, "-' |д 2-iV.(2-iX"-2)+2(a-lX*-l)/
Г2-6 £-1^
[б-1+ а-2Д" 6-Г" a-2j "" (i-lX«-2)
%-lXa-2)+a(2-iX*-')_. ab-2 (p-lfa-l)
(6-lXa-2) "(*-lXa-2)'a26-a62-2a + 2ft
аб-2 аб-2 1 1
ab(a-b)-2(a-b) (a-bXab-2) a-b Л + 0,8 - Jl + 0,2
Ответ: 1,
= 1.


2.08S. f^^-V^y7"^
■Ja +Jb
a-b
Решение.
ОДЗ:
a SO,
бго.
a *6.
(aja+bjb j-r^f -fa +Jb\
■la +4b
Г -J^ + Jb
[(Л)2-(#)2
Ja+Jb
a-b I
v/aJ +V6J
■Ja+Jb
-4a~b
■Ja +-JE
^4a+Jb)(Ja-Jb)) \ l^i-Jb?
ф-Jb)2
(Ja'-Jbj2
Ответ: 1.
= 1.
2.086.
a-4a2-b~* a + 4a2-b2
а+л/а2-*2" a-4a2~b2
Wa4-ay
(5i)2
Решение.
ОДЗ:
6*0.
a-Ja2-*2 а + 4а2-Ь2 \л4а*-а2Ь2
а + 4а2-Ь2 а-\а2-Ъ2 \ W
90


Ui-Ja2 -h2)2 -«t+ylo2 -b2~ )2 25b2
{a + \la2 -b2 )(a -Та2 -b2 ) 4^a2(cr -b2)
a2 -2aiJ~-h2 +И2 -b2 -a2 -2aVo2 -b2 -a1 +b2 25b2
a2-a2+b2 4-|a|-i/o^4
Wa2-62" 25b2 25a f—25, если a > 0,
b1 4Ц-4«2-Ь2 N 125, если а <0.
Ответ: -25, если а >0; 25, если а < 0.
■Ji(a-b2) + 4lb& J2a-4Tc
2.087.
^2(a-b2)2 +(2b4Ta)2 |l_ jl
Решение.
[a>0,
ОДЗ: |e>0,
(2(a-62)2+(26^)2^0.
4ъ(а-ь2)+4гь& 727-727 4^(а~ь2)+24т>ь2
^2(a-b29 +(2bjTa)2 II_ ll -J2(,a-b2)2 л-^аЬ2
72(7" -7c) _ S(a-b2+2b2) 72(7ц-7ё)7дё.
iL^L ~7277-2аь2+б4+4а*2 7з(7?-Л)
7" 7c
a+Ь2 -Tar _ -(a + 62)7ac _ -(a+62)7ac _ i
7a2 +2ab2 +64 [ 77a+62)2 я+б2
Ответ: -Jac.
91


2.088. Vl-x2 +1
Решение.
ОДЗ; -1<х<1.
Л + х
= + -Л-Х .
i
1
'l + x
'1-х2 +1к/1Тх
,/f^I Uh/l-*2 +l):
1 + Vl-x2
= Vl+.x.
1 + Vl-x2
Ответ: Jl + x.
-n .2+V?l
Решение.
fn * ±8,
_№•
23Л ) 4-V^
3Л-2 )^? + 23Л'
2 + 3/л 2 + lfn
-№н
23Л 1 4-V^
23-^lJ ,4 + 2^ + V^ V7-2^ + 2^„
2 + lfn ' 2 + lfn 4n-2
^(^+2) 2+3Л 4 + 2^ + ^
Vn^ 2-Vn , 1Г ,r „
2-^M 3Л
Ответ: 2.
92


2.090. (a-bf(4a+Jb) 3+2a4a+bjb xJab-b)
a4a+bJb a-b
Решение.
a*b,
ОДЗ: • a > 0,
6>0.
(a-b)\4a+Jb)~3+2a4a+b4b 3(Jah-b) _
a4a+bjb a-b
_^L_._' +2a4a+bJb
_(4a+Jbf Mb(Ja-Jb)
aja+bjb (4a-Jb)(4a+Jb)
_ (a -bf +(2a4a+bJb)(yIa+Jbf ijb
(4a+Jbf(a4a+bJb) 4a + 4b
_ 3a3+9a2b + 9ab2 + 3b3 + 9a24ab + 9b24ab + 6ab4ab _
a3 +3a2b + 3ab2 +b3 + 3a24ah + 3b24ah + 2ab4ab
__ 3(fl') +3a2b + 3ab2 +1? +3a24ab +3b2 Job+ 2ab4ah) _
a3 +3a2A + 3aft2 +b3 + 3az4ab+ 3b24ab + 2ab4ab
Ответ: 3.
2091 ^-УШ ^'/3^'")2-4^,2;t-2».-l/«
^"2+^|/3у/6 *5/y3-.*"V'3
Решение.
л:*0,
ОДЗ:
.v*0,
*"2+*"У'г *5'V'3-*"V3 "V6+*2'y6
x~ ;5'у/"_/<у/б +;2'v6 x2v/6+3'"6)x
93


* х^у^^-у*) V6yV6 х2'6(х''6+у''6)Х
хФ-2ХФуУ*+уФ 2 _ х^-уЧ* jx^-y^J
2 _ ^^-у/в х^-уф г (j^6-/6)
t^V? = x2'6(x''6+y''6)' x^y2"1 +7^_x2<V6+y,/6)X
(x^-y^I^+y^6) 2 J*"6-/6)2 2
* x3/6y2^ +i4'6y'/6 x'^y2'6 """■И*/6
x*6 -2.r'/6/6 ч-у2'6 +2х'/у/6 x2'6 +y^6 _ x'/3 +yV3
Ответ: fi/ 5 2
Vх У
2.092.
x-1
x-1
[TMT^j
3/5
-if
Решение.
ОДЗ: х*±1.
x-1 x-1
[t(*+1)2 'fr^j
:^-lf =
xVx-1
VmF
^x+If ^/(x-l)2(x+l)2
■Vs
-1 Vx^T
f^f
[Vfr+ip ^^ J ^2_i)4
хУх-1 + Vx^T
Vm?
94


/ , N-V5
Vx^ijx +i)
1
l :
fVOc-lXx^
= (^-1Хх+1)Г
#г?
VmF
•3/5
C^f ^C
Ответ; ■
1
х2-Г
Vi+i S-i
Z09M^wr+^w?ir_^+2
Решение.
0ДЗ: W(V3-i^.
( УЗ+1 : УЗ-1 Uy^ 2 |2 |
. (>/з+1^-т/з+л/г)+(-Уз-1^+уз+V?) {jiJ-2+2/t ^
(Vf+i+V3j(J7+i-V3) Vf
2-,/зТ < + 2,/<-2 =2-Л(и-2т/<-2) ;yj
Ответ:
2Ш- m^+S^ + W
Решение.
ОДЗ; m Ф 0.
1-33,


Л3-
■ПтЧ'-п
т2*3+il[m7l+9п*3
ЗГГ -ЛГ~ "
1-33,
mV3(m-27n)
,V3p3J,-(k.*)J
т ^+3т"\"3+9П2"
™V3
-/
V^ т*3 ч-ЗгЛ"3 +9п*3 m"3 -in'13
^ m1^3 -inV3\m2" ч-З^У3 +9„2/3) m"3
m*3 + 3m'V3 +9п*3 ' ' m* -Зл''3 '
Ответ: О.
2.095. z"43" :z9-''2 z3"-"2.
Решение.
[0<z*l,
ОДЗ: p*0,
U>*±3.
„2/3 =
„2/3 =
z?*3p :z9_p! -z3^ =z^*3p 9"^ ^"^ =
- ,рЬн-з)*(р-зЬ+з)~рЬ-з) _ , Л+зХр-э) .
р-6/н-9ч-12р-3;>~9
р-+зр
p(/>+3)
7рО>+зХр-з) =zp{p+3h-3l=zP-3
Ответ: zp 3.
2.096.
Nx-V
Vx -\x-ci1 Vx+vx-л2
ых+Ых-а vx-vx-я
Решение.
[x>0,
ОДЗ: Ixi-a1,
\a*0.
96


■Jx-Ых-а2 т/л--t
~~ъ-а
Jx+-\lx~a Jx-\x — a
x (Jx-4x-a2)2 -(-Jx +Ых-а2 )2
(7л: + т/дг-а2 )(Vx —lx-cr )
A- (.Y-2y.Y(x-a~) + .v-a~ ~x-2^x(x~ct") -x + a
-»1 (4~x)2-(4x-a2)2
x _ rA^x(x-a2) _ Via2
.Y-a2 x-x+a2 4x-a2 -(-4^х(х-а2))
4(x-a2) 4(a-x)
2.097.
4(a2-x)
(2-л/дг + 2):| J- + l--~
V x Jx
Решение.
ОДЗ: лг>0,х*2.
(2-Vx + 2):|J2: + l-~
4 M. И. Скала ви, группа /
97


4x 4x 4x
(2-VxTl)^
2x
(г-т/хПУх
л/2+х-2
Ответ: 2.
л/2 + х
"А)
2.098.
\-4Ti
«2( RT
l-Vi?
—V5F
<
V27
Решение.
[* >0,
ОДЗ:Ц
1--Л7
1-V2?
^+
1/г7
-V27
I-*1
■4
-V2?
-tfiF
-Л? 4.
1-Й?
-^
1 +
1/2/
1-V*7
-Й?"ЛР"+^
l-tfa
V27
У^-УгТ)
-ЛТ5"
= (ьй7)х


((l+tfsTi-t/zT+V^ Y'
-—i—= L^r-
1+1/2F
= (i-*/27}x
-^J+^-^T =(l-^2j)(l-t/27)
V 1-1/2?
Ответ: 1.
2.099. ; _ " " л " '■ 2-3
fx*0,
ОДЗ: У*0,
x*Sy.
(x2'3+23/^+4.^) f fl^x^x'/3/3-^3
g] х^+гх"3/3^
2"fy f^/3_8yxV3):xV
R/x4 -8/7x :3/^
= x2/3 +2хУУ'3 + 4y2'3 23^-VI = (^3 +2х"У3 +4у2'ъУъ
xV3yV3
ify-4i= (x^3+2x^V3+4^3V3 2yV3 -x^3 =
X з/J ^V3_2yi/3^V3+2xV3y./3+4yV3)-' yV3
„'/3 ^..^/з _
2y"3~xV3 /
Ответ: -1.
99


2.100.
. •> , J Vz
z-2 +
Решение.
fz>0,
^-z4z~ + 2-2ji)\+fz) _j-J4
z-2+- "z
+ 4+z =
z2-2z + l Z V z
k-^)(z + 2fk + ^).z z4~zh+zf
(z-.f £
.j-V^+^^fz ^...(l-zHz^fz
(z-,f Zt?+Zb (z-,f.
-z(2+z)=(z + 2)!z-z(2+z)=(z + 2)z(z + 2-l) = z(z + lXz + 2).
Ответ: z(z +lfe + 2)
1
2.101.
^+4 If a 1 J_
[a + 72 a3 +2^2 J'(2 ^2 a
Решение.
a*0,
i
\а+Л аъ+ 2-Л }\2 -Ji a
" +4 4£__L I
" + >/2 a^^lf


a' + 4
а2-Ли+ 2
(2 J2 «j l^a + 72 (a + j2)(a2-j2a+2 j
я2-,/2а + 2-а2-4 a2-4la + l ~4la-l 1
(,а+Л)(а2-Ла+г) 2a a + >/2 2a
-Jlja + Jl) _J___>/?
a+VI >/2<i 2a
^2
Ответ
2.102.
2я
~'з
-0-«)"
l + a(a-2)
-a + 1 \(a + l)
1
Решение.
ОДЗ:
a*±l.
(a-1)"
--(!-")"
I l+a(a-2)
a'-a + l K(a + 1)
1
1 1-a
„3
\+a'-2a
a2-a + \ |a + l| (o-l a-1 J a2-« + l |a + l| a-1
Ja-1)i_ 1__ _ (a + 0(a^-£+ lKaj-J) _ (a +_1)(«_-_1)
a2-a + l |a+l| (a2-a + l)-j,
(a+\)(a~\)
-(a + 1)
(a+l)(a-0_
a + 1
- = 1 - a, если a +1 < 0, или a < -1;
a-1. если a + 1 >0. или, учитывая ОДЗ.
a>-l,a*0 и a*l.
Ответ: 1-a для яе(-~:-1); а-1 для as (-1,'0)U(0;1)(1;~).
101


I. (^-аь((, + ^УН{(аьУ2-ь)-(а-Ь)-<).
2.103.
Решение.
\ab > 0.
ОДЗ:
аФЪ.
Ш-abip + J^Y \ {l{(abf2 -ь)(а-ьГ )= (Jab ^=1/
a-b ^ Ja{J\,+Jb)j \Ja~JblJa+Jb)
{ Ja+Jb J ijb [ Ja+Jb J ijb
Jab[Ja+Jb-Jb) Ja+Jb a
Ja+Jb ijb 2'
Ответ: —■
2.104.
Решение.
fa* 0,
°Д3: й*0.
И б3 Va6 б3 аб
V^27
6 К б3 Va6 63 о*
i/V-2a3
6V б3 V aV a* V I Ц^Ъ?
b2
aJb^Aa* a2jjb^-4ab 2aVT4 -4a6 "
- + -
102
V62-2a3


llb^^iJL Vl bl Щг-2а^+2а^а
W ь bjifir—? ft2
+b)
$l?~^
Ответ: (a+bflb2 + 2a3.
1 + л/ьГх 1-,/Г+х I xl-\
2.105.
1-x + vl-x 1 + x-Vl+x
-Vl-x2
Решение.
ОДЗ:
i-l <x<l,
[x*0.
1 + Vl-x . 1-Vl + x ] x -1
2
ll-x + Vl-x 1 + x-Vl + x
1+Vbjc 1-Vl+x V x2-l
/Г^хрЬ^+7) л/Г+7(л/Г+хЛ]] 2
1 1 1 x2-l
--Vl-x2 =
i\~xl
П-х 4\+х \ 2
1 + X--JI-X
X -1
-Vl-x2
1 + X-2V1-* +l-x xz
1-
=-i+V
Ответ:
1-х2
С?)
2
-x
-*2-V
_i.
x2-l
2
-*2 =
2 "'
-1.
1-х-"
103


4a -* 2 otn~ff a4+2aV+4A4 / 2 ,. ГРт?
2.106. -7 r-V" -2Wa -6 ; =—Va + 2Ma -6" ;
a6-866 4a2+4a6+62
a = 4/3; 6 = 0,25.
Решение.
-- -\a-2Ma-b 5 г— V" +2Ha -b =
a6-866 4a2+4a6+62
_^а-фа + б) о4+2о262+464
^f-V)3' (Za+6)2 Х
xL>-2b47^Ya>+2b47^) =
(a2 -2Ьг\а* +2агЬг +4bAfta + b)
_(2а-Ь%' -2агЬг +Ab')=(2a-b)j{(l1~2b1J J2a-bj,2 -2Ьг)
(a2-262)[2a+6) ^2-262)[2а+бГ t»2-262X2a + b)
2а-6 2Г0'25 Г0'25 8-0.75 7.25 29
" 2а+6 " 2-1+0,25 "«+0.25 " 8+°.75 " 8'75 " 35 '
3 3
29
Ответ: —.
l + (a + x)-' ( l-^2+x2)l 1
Решение
ОДЗ:
а *1,
a*0,
x*0,
x*-a,
x * 1 - a.
104


1 _!_ Д + х + 1
l+(a+x)-' Л ]-l(i2+x2)\ +a + x 2ax-l+a2+x2 = a + x ^
l-(a+x)J ^ 2ax J ] 1_ 2ax a+x-1
a+x a+x
^LtlS^i^ljll- £i£il (д + *)2 -1 _ (a+x + lXa+x+lXa + x-l)
2ях a + x-] lax (a + x-])2ax
] У \ аг -а + \ + а-\
a + + 1
{a + x+\f _{ a-] J _( g-1
lax
a" a-]
(a-lf !<• I
a3
' 2(a-lJ
2.108. {l + ta+1
a = 0,75; 6 «4/3.
Решение.
(t+!+2)(l7
a2+2a6+62 a:
2a
a-1
a3
!(«-!)•
№"
-=b}(l
l+lab+b2
— )=
a + lb+
'-lab!
la
a-]
a+lb+ —
11
!(—+ — )
Да + * a-6j
b2)( a , 6 j|.
a 1 l^a+6 a-6 Jj
V+M> + 62
a1 -ab + ab+b2
ab 2a(a+b) I я (a+b\a-b)
Ja+bf(a2+b2),(a+b)2ifl2+b2)ja+bf(fi2+b2) a(a+bla-b)
2a2b(a+b) ' a(a+b\a-b) 2a2b(a+b) (a+bfip2 +b2)
h 0,75-1 1-* -I- ,
= £Z* = J 3.4 3 ._ 12 =__7_
~2я6~ 2-0.75.1 " 2-1.1" 2 ~ 24-
3 4 3
7
Ответ: -—т-
14


2.109.
-44-
+( -l(Wx VW"1 I +
-2?<
a = 3-;x = 0,28.
7
-4a?/-
+(-lOaVT-Vta^:)"1 ] +
-2?,
-64a3-Ли , 100a2x 8a2 Vx" г— г—
= — -+- —— = -64aVax+100a-8oVax =
a2 a»: /a
= 100a-72a^=100-34—723-J3-0^8 =
7 7 V 7 25 7 7 7
I' i Г5 "\
/c-_rf Ic +cd
\c+d \c2-cd '
Ответ: 100.
Решение.
; c = l;d = \jA.
tc-d
2fic
fsH. \c2+cd\..Ic-* i-^d Mc + d)
Vc+rf 4c2 -erf Г c2,S ' JcTd +U^d)
c-d -Jc + d ) -Jc — d c—d+c+d
2c
c2JTc j^i/c + rf Jc-d ) c2JTc Jc+d-Jc-d с2-Лс Jc + d
c-4~c-4cTd сл/с2 +crf 2£ТП Jl-liTl'^ 3
Ответ;
106


{abA+aAb + \LA ~bA)
2ЛП- Sb^+a^^-l^+^b)'
Решение.
fa* О,
°Д3:Ь*0.
[abA +аАЪ + \\аА -bAJ = [b + a+ [и b)
а2к-Ча'2*24?7оЛ) al_ b^_ (a_ b_\
b1 a2 \h a,
oft " "1 ab J ' aV
aU±\al±tL
„2.2 '
a* +b* -a3b-ab3
a'i1 ab агЬ2
{a1+ab+b1\a~bf агЬ2
aV "р~-а3ь)-\(,Ь'~¥)~
- (a2+ab + b%-bf = (a2+af>+62)(a-6)2
~~abi(i> (a-byi?(a-b))~ ab(a^h%P~'bTf
(a2 + ab+b2\a^b)2 =J_
'ab^'~b)la-b\a2 +ab + b2) ab'
Ответ:
ab
2.112.
■rir-*'
(5 +2(" +4Г'
V 4-4(4
Jl-Jt -Jl+Jt >
Решение.
ОДЗ:
|(>0.
i*2.
107


ai-»m£
■Л-Л 42+4i,
$2?~? \ JfV+2f+4> If -Jt+fi + Ji-Jt )
(2-()2 [{(Jl-Jixfi + Jt')]
V(2-r)(4+2(+r2)+^j
ЗП "1
(Vr +2( + 4
tf^o1
2£-
2-f "
V(2-()2 ^
Jj4 + 2t + t2-(2~t + t) fo-tf = V(2-r)(4 + 2r+r2) = ViT7
Ответ:
7Г
П'Р
2.113.
(x"''+i"")2-2.v1"'(x"''+x1/'') x(«-'',''" + l'
Решение.
ОДЗ:
1 л: > 0,
= <^"iL-^")(£2^ + .vl/''-v"'' +x2"'2+ _ >?_
(.r"''+x"»)(x"''+;rl/<'-2.v1;') .v"^i;»+T
108


(a""-.v"*)(.v2''<'+.vI"'.v"*+a:2^) л""
~\xl/l'+~x,r<t)(xt/~l'-xl''l) + л-'"'
.v2^ + *1"'.v"j'+.L2"< _.v^x'^ =
_x2,P+2x"PxV,'+x2'" _u""+x1/»)2_ .!/„ 1
,"/>+*"« .r""+.v""
Ответ: -Jx + vx.
9-4a"2 1 + <Г'-6<Г2 1
х"г+хУ«=рГх+€х.
2.114.
За^^а"3'2 a
■3'2 ",,-W±i,-!'2 ■
3<T
Решение.
ОДЗ:
a*0,
a*-3,
2
a*-
3
3a-"2 + 2a-3'2 а^ + За'3'2
' 9-Л
1 +
1 6
1 , 3
-?- + -?-
„1/2 aV2 иг aV2
9a -4 a+a-b
ia + 2_ а + Ъ
9a -A aiu a'+a-Ь a'
3a + 2
a+3
[(3a+2)(3a-2) (a + 3)(a -2) ) / 3a-2 a-2
'3a-2-a+2
Ответ: 16а .
2a
109


2.115. Aab +
1+1-1 -a3 (Ja+Jb) ,( Ja+Jb
2bJi 2ajb
{ja~ + Jbf -2ja~b (a + Jab^t (b + JabV
Решение.
fa>0,
°Д3: 6>0.
Aab +
1+1-1 la3 \ Ja+Jb] ,(Ja+Jb^
2bJ~a
2aJb
{ja+Jbf~2jab ( a + Jab] (b + Jah
2 J 4 2
26^a 26,/i
.♦4
-4ab +
Ja+Jb Ja+Jb _. , a' +b3
a + b
a+2ja~b+b~2jab 2 , L
a+Jab b + Jab
2bja+2ajb
Ja+Jb ^ub (a+bja2 -ab+b1) 2jab(ja+Jb)
2b+2jah+2a + 2jah a+b Jli+Jb
\p + Jabjb + Jabj
Jal(ja+JbJ 2 2 r- Ja~b{ja~ + Jb)
—r——-1 i—L—~- = 4ab + a -ab + b -Jab——^ ^-' =
2(jaf+2jab+(Jbf) (fa+Sf
= a2 + iab + b2 ~ab=a2 +2ab+b2 =(a + 6)2.
Ответ: (a + bf.
110


2.116. Ь/mn-
Решение.
)m>l,
л>0,
тп ymn
-Гп
т + ытп } т-п
■Jn :Цтпытп -
( i— тп ~\ ifrnn-ijn г-\ 3/ 7=
\ Vmn ==- : тып :\тп^тп-
m+Jmn ) т-п ] [ ^m+_i
(^ \Jm+4n)Jm \ {Jm~4nj^m+4n)
■Jn :Jmn -
-1
mn 1-
л
%1$т~-Гп)
Чп-Unffin +ifn\-Jm+Jn)
-Jm + Jn
1 m4 -1 f утп(Ут+Уи-Уп) v«
ifi m2 I -Jm+Jn $[m+i[n\Jm+Jn)
1 m4-1 [vmn-Vm p +vJiWm + Vn) /-]
K-== j-= -=—=-••* -£= '-m-Jn x
Vffm m I vm + Vn vn J
K-== — = ifnifn^Im+ifn)-mjnj —= — =
Vmfl m ilmn m
2 rUl~ *Г tr¥ ' m4-l m24mn m* -1
njn
n-Jn
•imn m
m4-l m'-m'+l 1
Ответ:
111


2.117.
(aV2_6V2)"1((I3/2_i3/2)_
(Л+Л)-2у
ЦаЬ-Jab -
uU-jy-
ОДЗ:
a*b,
a>0,
b>0,
-1<а<1.
^'Г^-^УШЧ
•Jabjab +
1+1 М-а*
-1/2 У Iav2_6v2"
[JZ+JEf :Л*
i+-
1-a'
1 1-я2
[ a"2-*"2 JW'2 l-a2+a2
= а+Л"2 +6-а_2аП"2 Л 1, ^a2 =
' a1'2*1'2
= -a''26^.
a1'2*1'2
l-l-u2=-l + l-a2=-a2
Ответ: -а
2
2.118.
3 15
Л-1 Л-2 3-Л
(sA'-
Решение.
3 15
Л-1 Л-2 3-Л
|.(л+5г


J 2(73 + l) jfi + 2) 15(з+Уз) ) 1
ЦЛ-1Уз+1) (73-2173+2)+ (з-7з1з+7з)/7з+5"
= Г2(Л + 1)з(7з+2) 15^+7?)] 1
(2 -1 6 j'73 + 5
^-473-10+15+57з 1 _7з+5 1 _ 1
2 7з+5 2 '7з+5~2'
Ответ: ~-
^7^/54 +15^128
2.119. ТгтТ^^ГТг^^'
V4^32+V9V162
Решение.
3/7754 + 15^128 ^ У7У27~2" + 15Уб4-2 _ 77-372+15-472
\J4il32+\[#Щ ^З/ПП + ^^/ИЗ & • 2$/2 + $ • 3^2
^ V21V2+60V2 ^ VsiT? = 3#f ^з'Тг^з
Ш+'&Ш гШ+гъШ г'Тг+з'Тг 5'72 5'
^12724 + 67375 ^Щ+бТШ^
5^4 ■ 473 + 7^18 ■ ЗТЗ _ 537l бТз + 7^5473
^12-27з + 6-573 ^2473 + 307?
ИЗ


5^8-2^3+7^27-2^3 ^5-2^Щ+ 1-$Щ
Ъ^Ш Ц21-2Щ
I0V2W+21V2W _ 3lV2VJ _31
У$М ~ 3^2W " 3 '
Ответ 4/l2.
Решение.
Ответ: 2^/ш.
114


2.123. 2-JwJu+3jsW-2i/T5-4^SjxJ
Решение
2^юШ + Зд/бЛв -2V75 -4VllW27 =
= 2^AaJ^l +з75>Яб~3 -2^25^1-4Vl5V9~3 =
^г^О-гТз+Зд/з 4л/1-2л/>/25 3 -4Vli^3Vf =
= 2VWI + 3 ■ 2^/571 - г^/бУТ - 4д/457? =
= 2>/l6-5,/3 +(>Jb&-2jb& -аЬ-5fi =
= 2 ■ А^Щъ + бл/бТТ - 2^/571 - 4 3^571 =
= вл/бЛ + бл/бТТ - 2т/5-Д -12^/571 = Мл/бТТ - Мл/бТТ = 0.
Ответ: 0.
2.124. б'/бУЖ- 33V9Vl62 -1 lVl8 + 2^75л/50.
бешеные.
537бУ32 - 3^97Тб2 -116>/18+2^75750 =
= 53Уб7Тб^-33^5Ж?-11^9^ + 2^75,/ЙГ2~ =
= 5iJi^j2 -itfrTiJI -1 1VW2 +231/125~зД =
=5 ■ г'Д/г - з ■ з$^2 -1 lVWf+2 ■ sl/WJ =
=1 о/зТ! - 2о3^з7г + loViWf - о.
Ответ: 0.
115


Проверить справедливость равенств (2.125—2.134):
2.125. 4: 0,63/1 = 10^15 : f 0,25^216^1
Решение.
Преобразуем отдельно левую и правую части равенства:
б) loVU:fo;25V216y9l=10^:fi--V23-33-
.32/3
10-3V4-23'4 23'4-3П/12 5 ■ 3V4 • 23'4 ■ 2
= 20-3~2'3.
2 ' 22 23/4-31,/12
Получили, что 20 ■ 3~2/3 = 20 ■ 3~2'3.
2.126. (4 + ^?)(Л0-^6)-а/4-Л5 =2.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
(t + -Л1У (Ло - 4б J (t - J\s)= 4,
(4 + -Л1 ](t - -Л114 + -Л1 |f 0 - 2^60 + б)= 4,
(V - УПj* \ + л/Г5 ^ 6 - 2,/бЬ")= 4,
(16-15)(4 + ,/i5)-2-(8-V60)=4, ^ + -Л5^--У4~П)=2,
(4 + ^15^-2^5)= 2, £t + ,/i5).2^-,/i5)=2,
(t + ,/i5^1-,/i5)=l, 42-(Л1)2=1, 16-15 = 1, 1 = 1.
2.127. ^3-Лф + ^5)-(Л0-^2")=8.
Решение.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда


(з - Л $ + -Js )(з + Js )? - 2S +1)= 32,
Гз2-(^Н + Д)(б-2Д)=32,
(9-5)^ + V5)-2.(3-V5)=32, 8(3 + ^-^/5)= 32,
^-(^^Зг, 8(9-5)=32, 8-4 = 32, 32 = 32
2.128.
Решение.
Преобразуем левую часть равенства:
$Д7Л~.$ГШ-Ш J{ji + Sf -^-бЛ-ЦИ ^
V2-1 ^2-1
^^ + 2-Л8+б)^-6.У2)-У18_6У^ + 6.У2)^-б72)-^/18 _
V2-1 ~ V2-1
_ 6j92-(6j2~j -Jj/II ^ ^72 -Jj/l8 ^ Уз1-^! ^
1/2-1 V2-1 V2-1
У/2)
= -УТ.
V2-1
Итак, - VI = -УЗ.
25-t/2
2.129.
Решение.
Положим
+ 2У? [
v— + -= + 2=-l.
5 Л
7250 + 5^8 t/5622+i/5TT2? ^2 -^2~Ш+ ЛУ


(0^+ffl p^JpJ-l^i,^)2]
Ш _5_ J2 + 2-572 +25 __ [^Тл/2"У =5 + У2
V5 +72+ =^ 572" =|^ _«/?Т
Получили -1 = -1.
Возведем обе части равенства в квадрат. Тогда
21/27-2^-p-.f ^ ^.Jj^
i/27-JJtj+T ' V27-V2VT+I
118


Уэт-ч/зл/з-л/Гп =1 4727-727з+1 _
V27-1/2V3+1 ' Mri-JiS+i
2.m.f^)-f^#|=2^Wr.
Решение.
J6 Г 7б(^-5)Т 2/{
9-б75 + 5 7б-5
(/61+24-У5,
—^-=-6 = 2V61 + 24V5, —^-=-6 = 2^61 + 2475,
14-6V5 7-375
7-3^5 7-375
7-375 (7-375I7+375)
пг-№ 4
з75+4 = 7б1 + 2475.
Возведем обе части последнего равенства в квадрат. Тогда
()75 + 4^=61 + 2475, 45 + 2475+16 = 61+2475,
61 + 2475=61+2475.
1 3.4
2.132.
77-7б 7б-7з 77+75"
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное ее знаменателю, имеем
77+7б з(7б+7з) 4(77-7з)
(77-7б)(77+7б) (7б-7з](7б+7з)+(77+7з)(77"-7з)'
119


7б = 7б.
з
2.133.
75-75 77+72 77-75'
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное ее знаменателю, имеем
з(75 + 72") 5(77- Л) 2(77 + 7?)
(■JE-J2WE+J2) yi+jiyn-Ji) yi-Syi+S)'
№+#)+№ ~Я) = Щ±Й, 7J + V2+77-^ = 77 + 7J,
Л+4Е=Л+S-
71-1 ,10-77?
2.134. -j=— = 5 т=.
V2+1 V10 + 7V2
Решение.
Умножая числитель и знаменатель каждой дроби на выражение,
сопряженное еезнаменателю, имеем
Ш-Ш2-1
Ш + ЛД-Х
"^0 + 772^0-772")' 2-1 V 100-98 '
2-27i+l = j100-1^gg. 3-2j2=$9^JI.
Возведем обе части последнего равенства в куб. Имеем
(3-2727=99-7072, "27-5472 + 72-1 б72= 99-7072,
99-7072 = 99-7072.
120


Сделать указанную подстановку и результат упростить (2.135—2.145):
2.135. йГ—; С J x = az'36 I1.
b> ■ х
Решение.
f"" О,
°Д3:1б*0.
^аЧ-У -аУ3/2(а2 +Ь2)+Ь112 _
а2 а2+Ь2 v2 а2-а2-Ь2+Ь2
..Ьг12 Ь'Р __ b"2 _0
ЬПаФ b4-aW
Ответ: 0.
2Л36. —.. -2*+#; *—.
бешеные.
ОДЗ: 0<6*1.
4ь\\-Л) i~Jb+ Jb ^_jbj i-fi
l-JE \-4ь i—Jb i-Jb
^Jb+b-2jb+Jb-b
I—lb
Ответ: 0.
( x + 2b x + 2a\ x __ АаЪ
2Л37- \J^2b + x~2a)2' *~7+6'
Решение.
ОДЗ:а*-6*0.
121


( 4ab ., 4ab ,
+ 26 - + 2a
a+b , a+b
4ab
2(a+b)°
i^-26 **--2a
a+b a+b
(4ab + 2ab+b2 4ab-2ab-2b2 4ab + 2a2+2ab 4ab-2a1-2ab)
- + -
a+b
a+b
a+b
a+b
a+b (2b(3a+b) a+b 2b{3b+a) a+b Л a+b _
X2ab'[ a+b '2b(a-b)+ a+b ' 2b(b-a)J 2ab ~~
(Ъа+b УЬ+аЛ a+b (Ъа+Ъ "!Ь+а\а+Ъ_
\ a-b b-a J 2ab \ a-b a-b J 2ab
Ъа+Ь-%-а a+b _2a-2b a+b _2{a-b\a+b) ^a+b
Ответ:
a-b 2ab
a+b
a~b 2ab 2{a-b)ab
ab
ab
2.138. (* + lX* + 2Xx + 3Xx + 4)s x-
Jl-5
(^-s+l){^l+2){Jbl+i).(Jbl+4l=
2 II 2 II 2 II 2
- + 1
- + 4
- + 2
+ 3
'^-0 + 5-^ + 4
^ +5.Vb5+6
'-/7-5^ |5 Л-5
•/7-5Y , 5(ч/7-5)
2
+ 4
+ 10
ч/7-5^ |5 ч/7-5
+ 6
-У7-5 Y , 5(4/7-5)
2
+ 24 =


f32-W7+W7-25^ +10f32-W7+W7-25Y24 =
f 16-SfJ , 5^7-25 "| Lln (16-5-У7 5^7-25 "| _„
1 +10- h +24 =
?)« ? W
Ответ:
2.139.
Решение.
(z-lXz + 2Xz-3Xz + 4). . V3-1
23 ' " 2
'4Ч(4^]№Ч№Ч
23
f£±Y+£zi-2
12 J 2
Щ +^-12
2 2
Viz1) +JL1
23
2 ■
) \\
yj-iT+:/3-i
~2 2
23
2 2
-14
■Уз-iT : -Уз-i
2 2
+ 24
23
'ir£/3+j/^!T _14 f^ + ^-J |+24
23
123


2^ + ^1] _14.Ы + ^1 ,+24
23
lt-14.I + 24j.7 + 24_3
23
23
Ответ: —-
4
,,лп 4x + lXx + 2Xx + 3), v_^-3
2.140. { — rg т\—-, x-—-—■
(x-lXx + 4) 2
Решение.
Js-з ГЛ-з„уд:з,Д^„
Ч-¥^
-Д-3 W-l.J^^^f^,;
^")(¥«
(^|и?
и*)
\з.^+2
2 2
(г^Т+зИ1 +2.toT+^M
+ 4
4 2
124


f 14-6^5 зУб-Э^ ,,f 14-6^5 зУ5-9
7-3i/5 , 3^5-9
(l-3-Js ^3j5-9) |2 С7-3^5 f 3^5-9,
7-3V5+3-»/5-9
-4
f 7-3^5+3^5-9 Y+ /7-3^5+3^5-9
-1-4
Ответ:
Q-yfr+2). Л-1
Решение.
№№«
=¥-=¥«
Уз-И f-Уз—i
i+i
'-Уз—1 f-Уз—i
-+i
f^l+^i-2 5^з+^._2
■Уз-0 ^-i
2 2
- + -
4 2
4-2-Уз : -Уз —1
4 2
2-Уз , Уз-i 2 2-Уз+Уз-1 2
2 2 2
[2-УЗ -Уз-1
2 2
2-S + S-1
= 6.
Ответ: 6.


■Ji + X-
2.142. 1
V3 + A--
Решение.
&
Л + 2
1
1
V3 - x ■ Vx
1
v3 - .v ■ Vx
1
i
-2
-2
2
= V5.
т/з+~5б-т/>/б+2 -Ji-S--J-j6-2
■J}^j6^Jb -2+Jb+Ji-iJb + 2
fi—j6-J-J(i-2—j3 + -j6--J-j6+2
Jl + -j6-y[J6 + 2--Jl-&-Jj6-2
У(з-Уб%/бЛ) + -Д; + УбХ/б+2) = t/W6^12 + t/5^ + 12
^-у/бУб-2)-^ + ^бУб+2) т/5>/б-12-т/5^6+12
Usj6-l2+^Sj6+l2\(Sj6-l2 + ^5^f6+l2
Гт/5>/б-12 -т/5,/6+12 VV5^6 -12 +л/5>/б +12
(■JsJb-lH-JijE+n
ilsje-n) — fVsVe+12
_5Уб-12 + 2^Уб-12^Уб+12) + 5>/б + 12
5^6-12-5^6-12
Ю-Уб+г^-Уб)2-^2 _ 5^6+^150-144 _ 5л/б + >/б Уб
-24 ~ -12 ~ -12 ~ 2 '
Ответ:
126


Решение.
2ft,
tb +
-1
№■"
la b
гиг
H [jb Jl
2bf
+ 2ab + b'
Aab
-1
]_(Jl + Jb_
2\Jb JZ\ V4
{■Га Jb
-1
a + b Q
2jab V
+ 2ab + b'
^
Tab+ b2 -Aab
Aab
Jb'J-a] ' 2^b
W-lab+b1
4ab
2ft,
Aab
a+b p
2Ja~b V
2bft
+ 2ab+b -Aab
Aab
a + b p
2,Лй V
-2ab + b
Aab
Aab
2ft
a-6
2Jg~b _b(a-b)(a+b~a+b\
a+b a-b J^h 1 2iui I
a+ft |(a-ft)2 £±b__£zt Jab
2jab i 4ai 2^ 2^
b(a-b) 2jah
^ 2A
Ответ: a-b.
127


Решение.
2а, 1 +
1 а
2а, 1 +
1 а-Ь'
1 а
г I \ъ
2
+ .1 +
т 1Ь
2* 1 [Job]
af + ~
-2а6 + 6"
4а6
2aj^r
-2a6 + 6"
4а6
_о-6_+ I a2 -2ab+tf- a-b I
24а~Ь+\ + 4ab 2,/ai»
2аЯЩ^ 2afe
\ 4ab \>
4ab+a-2ab + b2
4ab
4ab
2a(a + b)
24ah
a-b a+b
a-b f la2+2ab+b2' a-b Ua+bf
24a~b « 4a6 24a~b+i 4ab 2^> ^
a(a + b) (а-Ь + а+ЬЛ a(a + b) 2a a(a+b) Jab _
■Jab у 24ab J Jab 2yfab -Jab a
Ответ: a + b.
2.145. H*J}±£
l + ax V1 - bx
Решение.
a V I
;—; 0 < - < a < 6.
6 2
4-J¥ -iJ¥ ^
2a -b
b ,
-~ч/¥ HJ¥ -й


1+i №=*) ,.
Па-Ъ_
Jb
1. 1 \b2(2a-b) 1+V2£z»
a + Jb(2a-b) (yfb - ^a-bj-Ib - -J2a-b
_Jb--j2a-b
a—Jb(2a-b) -fb+j2a-b
a-Jb(2a-b) (Jb +J2a -ьЩ —J2a-b)
{a + Jb(2a-b)la + Jb(2a-bj) b-2^b(2a-b) + 2a-b
{a-i]b(2a-b)\a + Jb(2a-b)) b-2a+b
{a + Jb(2a-bjf _2a-2jb(2a-b) l(a + Jb(2a-bjf
a2-b(2a-b) 2b-2a \ a2-2ab+b2
a-jb(2a-b)
b-a
i
a + Jb(2a-b)
a-b
a-Jb(2a-b) a + Jb(2a-b)
b-a
a2 -b(2a-b) a2 -2ab + b2 (b-af
(b-af ~ (b-af ~ (b-af
Ответ: 1.
Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби (2.146—2.151):
14
>+'4Г2*-\17)
2.146.
1В
Решение.
и
+ V2'
14
й+Vi V9+V2
dffi -№ -2+У95 -21 -V942! +V93 24
t^ + ViT^7-
V^ + V^-'V^ + ^F-
ч^?"-^!
(V^-V^+^-VFW+VFl
М. VI. Скананк, группа А


-2ftf3-V2p3+t/2fc + ,/2)L
Ответ: г(Цз -УгрЗ + ,42% + Л\
4to+V9TVi3I+4V^l ,
=-—ib Ц^М^4
Ответ: (Vl3 +V9%/l3 +з)
3+-Л + -Л
(з + (72+,/з|з + (72+,/з|) (з + ^ + Тз))2
_9 + 6{j2+S)+{j2+Sf _9 + 6{j2+S)+2 + 2j6+3
9-(2 + 2,/б+з) 9-5-24б
u+dfi+S)+2S _ 7+з(У2+Уз)+Уб ^
4-2^6 ~ 2—^6
_ (7+з(72 + Уз]+ УбХг+^б)
(2- &^2 + Л) ^~
= 14+ б(У2+1/з)+ 2^6 +7->/б+з(У12+.Л8)+6
4-6
130


_ 14 + 6^2+6^3 + 9-JE +6-УЗ+9-У2 +6 _ 20 + 12&+isjl +9л/б _
-2 -2
(4 + зУ2~)^+зУз)
2
Ответ: --^- "- '.
2
6
2Л49- Л+S+S'
Решение.
б{42+&-4ъ) 6{l2+4l-4l) ^6{j2+Jl-S]_
[Jl+S + Sifi + S-S) 2 + 3-5+2-JF3 ~ 2-»/б
ъ{Л+S-S) =г{42 +S-41\!ь _з(УГ2+-Л8--Узо)_
■>/б ,/б -Уб 6
_л/4~3~+У9~2—УЗО _2>/3+3-Л--УзО
2 ~ 2
2i/3+3-j2--j30
2
2-72-Л
Ответ:
2.150. -—7^ ТГ-
2 + V2-V3
Решение.
■Л-Л-Тз
Предсгавимзаданнуюдробьвввде -г=—т=—/=■ Умножим эту дробь
на и[л +4l + V3 И + 2-3-2л/4-2) и, применив равенство
(Та +4b-Jc\Ja + yfb--Jc\a+b-c-2jabj-(a + b+cf -Aab, где
я>0,Ь £ 0 и с > 0,получим
(^4 -72 -Тз)(74 +72 +,/314 + 2 -3-2,/4~2")
W + j2-fiy4 + j2+fi\A + 2-3-2j4~2
131


9-32
(4 + 2-3)2-4-4-2
23
Ответ.
23
2.151.
а-1
Решение.
ОДЗ:0<а*1.
а-1
(a-i/^I?+6V??+^IT+6>/^+^ir+^"
(a-lU^+^ + ^i7+V7+V7+V71
я я
(Л + ^fa+V^ + ^l
Ответ:
{Га+Ща + Ча>+г4~а
132


2.152. Показать, что если г = Ца+4а2 + 63 -Ц4а2 + 63 -а ,
z' +3bz-2a = 0-
Решение.
z>Jlla + Ja7+bT-^a7+b>-a) =
Jlla + 4a2+b> +l[a~-4a2+b}
Ыа + 4а2+Ьъ^ + 3^aWa2+63T('a-Va2+63
3'Ja + Va2 + 63 Ya - 4 a2 + 631 +|Va^2+F
^a+4a2 +i3 +33)[a +Va2 +63 ja+ т/a2 +b3 \a-4a2 +i3 ] ч
13|fa + Va2+i3Ta-Va2+A3Ya-Va2+A3l+a->/a2
+ 33l
= 2a+33:
+V =
Jfa+V^+i'p-fV^+i'f
Hia2 Ma2 +b31)a-Ja7 +Ь>У
= 2а + з1~^77^у -а2 -Ь3)+3р2 -a2 -b3]a-Ja2 +Ь>У
= 2a + W-bHa+4a2 + ьЛ+Ц-Ьг(а-4а2 +Ьг\
= 2a-ib^a+4a2 +Ьг -ЪЬЧа-4а2 +Ьг =
= 2а-Ъа^а+4а2+Ьг +л/а- 4а2 +Ьг |=2a-3ftz.
Тогда г3 +3br-2a = 2a-3bz + 3bz-2a = 0 , что и требовалось дока-


2.153. Если т/8- а + т/5 + а = 5 , то чему равен J(&-a)(5 + a) ?
Решение.
f 8 - « > О,
°Д3:15 + а>0~-5йай8-
Возведя обе части равенства в квадрат, имеем
8-я + 27(8-яХ5+а) + 5 + я = 25,или л/(8-яХ5+я) = 6.
Ответ: 6.
2.154. Чему равна сумма -^25-х2 + Vl5-x2 > если известно, что
разность -^25 -х2 -\\5~x2 = 2 (величину х находить не нужно)?
Решение.
[25 - х2 > О, г- /—
иД [15-х2 > О
Умножив обе части равенства на -^25-х2 +\\5~х2 > имеем
р25-х2 -Vl5-x2 YV25-X3 +Vl5-x2l=
= 2fV25-x3 +Vl5-x2>)«
«25-x2 -15 + x2 =2fV25-x2 Wl5-x2 \
откуда V25-X2 +V15-X2 =5.
Ответ: 5.
2.155. Преобразовать (я2 +Ь2Дс2 + я*2) так, чтобы получилось
(яс + W/ + (яд1 - Ьс)2 .
Решение.
Раскрывая скобки, получим я2 с + я я*2 +b2c2 +b2d2 .Прибавим и
вычтем выражение labcd. Тогда
а2с2 +2abcd +b2d2 +a2d2 ~2abcd +b2c2 =(ac+bdf+(ad-bcf =>
=> (я2 +b2\c2 +d2)=(ac+bdf +(ad-bcf. -
134


2.156. Вычислить сумму кубов двух чисел, если их сумма и
произведение соответственно равны 11 и 21.
Решение.
Пусть а +6 = 11 и аЪ = 21. Тогда
аг +ЬЪ =(а+Ь%2 ~ab+b2)=(a+bi{a+bf -3aft)=l l(l l2 -32l)=
= ll(121-63) = 638.
Ответ: 638.
2.157. Вычислить значение выражения:
а)£—z, z = ^S + S+llS-j2;
6)x3+3.v, x = l]j5+2-llS~2.
Решение.
(\ls+j2+№-fi
-ШгТЖ+Ы-^У
_ Гъ+Г2+?№+Г2){Гг~Я)+${Гг+42Уг~й! +S~Ji
(Цд+л-Ы-яу
3
2Д+$\ё+&№-&№+л)+зууз+&№-&№-&)
fVV3+^-VV3-V2J=
2S+3!l{3-2%f3 + j2)+$l{3
3
3
-2%13-Д)-
3
-$]fi +V2-
-З^/Л+л/2
$]S-J2
-$IS-j2
.2S.
3 '
б)х3 + Зх = Г^Я72-3т/^5-2") +3(Y>/^+2-VV5^2l=
= -,/5+2-3 ^ + 2)!(75"-2) + 3^(75" + 2)(7?-2)2-V5"+2h
135


+ 337-Л + 2-331/-Л-2=4-331Д75+2)(75-2)(75+2) +
+ 35У(,Я + 2](75-2](75-2) + 331/ЛТ^-3^75-2 =
= 4-331/(5-4)(->/5+2) + 33J(5-4)(V5-2) + 33i75 + 2-3,1/^-2 =
= 4 - З^-Л + 2 + З^-Л - 2 + 33т/-Л + 2 - 3^75 -2 = 4.
2-Уз
Ответ: а) ——-; б) 4.
I


Решения к главе 3
ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного н того же аргумента
sin2 a + cos2 a=i; (31)
tga = , a*-(2n + l\ nsZ; (3.2)
cosa 2
cos a „
ctga = , a*m, nsZ; (3 3)
sin a
tgactga=l, a*~r~> «eZ; (3.4)
l+tg2a = —-j-, a*-(ln + il ncZ.
cos a 2 '
(3.5)
l + ctg2a = —-—, a*roi, «eZ (3«
sin2 a ■ v ' '
(здесь и в дальнейшем запись neZ означает, что я — любое целое
число).
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их
тригонометрических величин (табл. 3.1).
137


Таблица 3.1
Аргумент
(ос, градусы,
(Г(0)
15*
12
-■(г)
»•(;)
"(f)
45*
4
54- (*
1">
60°
75°
V
'5п
12
90"(f)
/
Функция
sin a
0
S-1
2-5l
Я-1
4
1
2
2^
1
h
-JE + 1
4
■2
■Д+1
2-Л
1
cos а
1
■Уз+1
111
2
,/5+1
4
1
г-h
1
2
Уз-i
ih
0
tga
0
2-V3
^-1
J10+2V5
1
л/ю-2л/5
7J+1
1
,/J+i
VlO-2^5
Л
2+,/3
°°(не
определен)
ctga
°°(не
определен)
2 + ,/3
^10 + 2-Л
V5-1
Л
,/5+1
Ло-г-Л
1
VlO-2,/5
75+1
1
73
2-Уз
0
138


Знаки функций по четвертям
Таблица 3.2
Четверти
I
II
III
IV
Функция
sin a
+
+
-
-
cos а
+
-
-
+
tga
+
-
+
-
ctga
+
-
+
-
Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
sin(a + p) = sinacosp + cosasinp ;
sin(a-p) = sinacosp-cosasinp;
cos(a + р) = cos occos p - sin asin p;
cos(a -p) = cosacosp + sinasinp;
BV H' l-tgatgp' 2
tg(a-p)
_ tga-tgp
1 + tgatgp
, a,p,a-p*-+jw, ieZ.
ctg(a + p)=£^£Mzl, a,p,a+p*m, „6z.
ctga + ctgp
ctg(a-p) = ^M±I, a,p,«-p*m, "^Z
6V H' ctga-ctgp'
(3.7)
(3.8)
(3.9)
(3.10)
(3.11)
(3.12)
(3.13)
(3.14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin 2a = 2 sin a cos a ; (315)
cos2oc = cos2oc-sin2oc=2cos2cc-l = l-2sin2a; (3.16)
139


» i 2tga n 7C& я _
tg2a = ^—, а*-н ,/fceZ,a*~+m,n£ Z .
l-tg2a 4 2 2
tg3a = 3tga-t2E4 a^(2„+lbeZ.
1—3tg a 6
cos
2 2
(3.17)
ctg a~l nk , „ „
ctg2a=—2 , a* — ,/fce Z,a*7w,/ieZ ■ (3 181
2ctga 2 > i • /
sin3a = 3sina-4sin3a; (3.19)
cos3a = 4cos3a-3cosa ; (3-20)
(3.21)
, , 3ctga-ctg3a joi _
ctg3a = Д Ё , o*?,,eZ (3 22)
l-3ctg a 3 v '
Формулы половинного аргумента
2 a 1-cosoc
n — =
2 2
2 a _ 1 + cosa
Sm 2=~2 ' (3J3)
(3.24)
, 2 a 1-cosa ,„ ,-. _
tg - = - , a*n{2n+l}n£Z ; (3.25)
2 1 + cosa '
,'iO 1+cosa „ _
ctB -r = - , a*2m,neZ; (3.26)
2 1-cosa '
a sina l~cosa „
tg^r = : = —: . a*70i,neZ; (3.27)
2 1 + cosa sina
, a 1 + cosa sina „
ctg—= —: = - , a^70i,neZ; (3.28)
2 sina 1-cosa . '
140


Формулы преобразования суммы н разности
тригонометрических функции в произведение
sina + sinB = 2sin °cos -; (3.29)
. „ . a + B . a-B
sina-sinB = 2cos -sm ■
2 2 '
(3.30)
cos a + cos В = 2 cos '-cos ■ (3 31)
2 2 '
„ . . a + B . a-B „ . a + B . B-a
cos a-cos В = -2 sin -sin -=2sin -sin- (3 32)
2 2 2 2 ' '
cosa + sina = v2cos(45°-aj; (3.33)
cosa-sina = V2sin(45°-aj; (3.34)
. „ sin(a + B) „ тс, ,\ _
tEa + tEP = ^o^' a,P*-^-lb6Z; (3.35)
tga-tgB = ^fe^fi, a,p*^»-lb6Z; (3.36)
cosacosB 2 ' v '
. „ sin(a + B) „
ctga + ctgp =—s <-£, a,B*7w, neZ- (3 37)
sinasinB ' ^ ■ t
ctga-ctgB=S'n'P~ J, a,B*7w, neZ. n 38)
sinasinB ' w-""/
tga + ctgB =—^—Щ, a*- + nk,k£Z,fi*mi,n£ Z ■ n 39)
cos asm В 2 ' '*■'■■'*'
. „ cos(a + B) re , , _ „ _
tga-ctgB = v . „, a*~ + jrf:,*eZ,B^jc«,/ieZ . пш
cosasinB 2 ' ^-™'
2 7W „
tga + ctga = . , a*—-, «eZ; (3.41)
sin2a 2 '
tga-ctga = -2ctg2a, a*—, «eZ; (3.42)
141


l + cosa = 2cos2 —; (3-43)
i ~ ■ 2 ОС
l-cosa=2sin — ; (3-44)
l + sina=2cos2[ 45° . (3.45)
l-sina = 2sin2J45--|-1. (3 46)
. . sin(45°+a) -Л sinks'+ а) rc _
l+tga = ! L- s ', a*- + iui, neZ-(3 47)
cos45 cosa cosa 2 v '
, sinW5°-a) i/2sint45'-a) и
1~tga = h^ = ' ■ a*~+m, nsZ- (3.48)
cos45 cosa cosa 2 v '
l + tgatgB =—^ 21 a,B*5+™> neZ- nim
cos a cos В 2 ' i.J>Kv
l-tgatgP=c0<a + P) a,B*f + m, «Z. и»)
cosacosB 2 ' iJ"Av
t 0 . cos(a-B) n „
ctgactgB + l = i—Щ, a,B*roi, «eZ.
sin asm В '
, 7 cos2a л „
l-tg"a = -—, a*- + jw, «eZ.
cos a 2 '
(3.51)
(3.52)
, , 2 cos2a „
l-ctg'a = ———, a*roi, n&Z ; <?-ЬЪ)
_2n_sin(a + B)sin(a-B)
tg oc-tg^(J = —^—^—V—^S a,B*- + m, jeZ; (3.54)
cos'acos В 2 '
» 2 » 2o sin(a + B)sin(|3-a) „ „
ctg^a-ctg'B^—\ ; . Г > a.P*™. "eZ-
; (3.55)
tg2a-sin2a = tg!asin2a, а*- + к„, nsZ; (3.56)
ctg2a-cos2a = ctg2acos2a, a*m, nsZ; (3.57)


Формулы преобразования произведения
тригонометрических функции в сумму
sinasinp = -(cos(a-|3)-cos(a + |3)); (3.58)
cosacosp = -(cos(a + |3)+cos(a-|3)); (3.59)
sinacosp = -(sin(a + |3)+sin(a-|3)); (3.60)
sinasin(isjnY =
= -(sin(a + p-Y) + sin(p + Y-a)+sin(Y + a-|3)-sin(a + |3+Y)); (3.61)
sin a cos (i cos y =
--(sin(a + p-Y)-sin(p + Y-a)+sin(Y+a-|3)+sin(a + |3 + Y)); (3.62)
sinasin(icosY =
= -(-cos(a + p-Y)+cos(p+Y-a)+cos(Y+a-|3)-cos(a + |3 + Y)); (3.63)
cosacos(icosY =
= -(cos(a + p-Y)+cos(p + Y-a)+cos(Y + a-|3) + cos(a+|3 + Y)). (364)
Формулы, выражающие трнгонометрнческне функции
через тангенс половинного аргумента
2tg-
sina = 1—, а*л(2л+1)> neZ; (3.65)
1-tg2-^
a = 2-, a*ji(2n+l); «cZ; (3.66)
cos
14-tP2
2
l + tg2a


2tg-
tga = ?-, a,~*^n+\\ neZ;
1-tg
2«
ctga =
2tgI
a ^ тги, «eZ .
Формулы приведения
(3.67)
(3.68)
sin — ±a =cosa, sin(7i±a) = + sma,
sin -л±а = -cosoc, sin(27r±a) = ±sina;
coa-±a = ±sina, cos(jr±a)=-cosa,
coa-7r±a =±sina, соя(2тг±а)= cosa;
(3.69)
(3.70)
td -±a = + ctga, а*тт, ns Z,
V J
tg(7r±a)- + tga, а*-(2л + 1), «gZ,
ta -7r±a = +ctga, аФтт, n&Z,
V )
tg(2n±a) = ±tga, а*|(2н+1), «eZ;
ctd-±a = + lga, а* — (2л+1), neZ,
ctg(ji±a)=±ctga, а*тш, «gZ,
ctd -n±a = + tga, a*-(2n + l), «eZ,
ctg(2ji±a) = + ctga, а*7ш, «eZ.
144
(3.71)
(3.72)


Обратные тригонометрические функции
sin(arcsin х) = х, -1 < х < 1;
sm(arctgx) =
sin(arcctg х) ~ .
cos(arccos х) ~ х, - К х <* 1;
cos(arctg x) = .
V1+.V
cos(arcctg л:) = .—
tg(arctg х) = х;
tg(arcctg .*) = —, j:*0;
(3.73)
(3.74)
(3.75)
(3.76)
(3.77)
<3.78)
(3.79)
(3.80)
(3.81)
(3.82)
tg(arcsin.r) = , —1 < лг< 1; (3.83)
л/l-.v2
tg(arccosx)= Y . -1<л-<0, 0<х<1; (3.84)
X
ctg(arcctg x) = x; (3.85)
ctg(arctgx) = - , ,v *0; (3.86)
ctg(arcsinx) = - , -lSx<0, 0<x<l; (3.87)
145


ctg(arccos.v) =
(3.8
arccos VI-x , если 0 < л- < 1,
- arccos VI - х2, если -1 < х < 0;
arcsin* = arctg-j^^=, -1 < ,v< 1;
у}\-х2
\l~x
arcctg , если 0 < x й 1
Vl-JT
arcctg к, если -1 < x < 0;
arcsinVl~.v2, если 0<х< 1,
n~arcsin-J\~x2 , если — 1 < л < 0;
(3.89)
(3.90)
(3.91)
(3-92)
Vl-jr
arctg , если 0 < x < 1,
я + arctg , если -1 й д* < 0;
(3.93)
arccos x = arcctg , , — 1 < Л' < 1;
arctgj: = arcsin-= , -°°< *<<*>;
arctg a* =
Jl+x
arccos-;^^=, если .y>0,
- arccos , , если х < 0;
2
(3.94)
(3.95)
(3.96)
146


arctg x -
arcctg x =
arcctg x =
arcctg—, если x > 0,
arcctg тс, если x < 0;
, если x > 0,
, если х < 0;
arccos —;= , если x > 0,
- arccos -==, если x < 0;
arctg — , если x >0,
arcctgx = <
(3.97)
(3.98)
(3.99)
(3.100)
7i + arctg—, если x < 0;
arcsin x + arccos x = -
arctg x+ arcctg x-
1<х<1
arcsin x + arcsin y-
arcsin\х-\\-уг +у4\-хг ,
если ху <0 или хг л-у1 < 1;
л-arcsin\х-\\-уг +у4\-хг ,
если х > 0, у > 0 и хг + у2 > 1;
-rc-arcsin\х-\\-уг +у\1-х2 ,
еслих<0, у<0их2 +у2 >1;
147
(3.101)
(3.102)
(3.103)


arcs in x-arcsin .у =
arcsinlxyjl-у2 -ут1\-х2 L
если xy > 0 или x2 + y2 < 1;
к - arcsin
fxVi~^-W^~\
если x>Q,y<Qnx2 + y2>\;
- я-arcsin x-^/l-^ ~yyjl-x2 L
если х<0,^>0их2+т2>1;
(3.104)
arccos x + arccos у =
arccos|x^-V^-x2 J->-2)L
если x + у > 0;
2rt-arccosixy-ij§-x2$-y2) i
если x + у < 0;
(3.105)
arccos x - arccos у =
arccos) xy + у(l - x2 J(l - y2 J L
если x > у;
arccosf xy - ^-x2J^~y2) \
если x < у;
(3.106)
arctg x +arctg _y =
arctg —, если xy < 1;
\~xy
X + V
n + arctg —, если x > 0 и ху > 1; (3.107)
l-x_y
X + V
-7Г + arctg ,если х<0иху>1;
l-x_y
148


arctgx-arctgy =
» x ~ У i
arctg —, если xy > -1;
1+xy
я + arctg — ,еслих >0иху<-1; (3 108)
l + xy
-71 + arctg — ,еслих <0иху<-1;
l + xy
Доказать тождества (3.001—3.062):
3.001. (l + cos-I2a + tg2a)(l-cos~12a + tg2a)=2tg2a.
Решение.
cos '2a+tg2a)(l-cos '2a+tg2a)=2tg2a =
, 1 sin2a Y, 1 sin2a *\
i н i 1 =
cos2a cos2aj^ cos2a cos2a J
cos2a + l + sin2a cos2a-l + sin2a
cos 2a cos2a
_ ((cos2a + sin2a)+lX(cos2a + sin2a)-l)_ (cos2a+sin2a)2-l
cos 2a cos2 2a
_ cos22a+2sin2acos2a + sin22a-l _ !+2sin2acos2a-l _
cos2 2a cos2 2a
_ 2sin2acos2a _ 2sin2a
cos2 2a cos2a
Получили 2tg2a = 2tg2a.
3.002. cos_l2a + ctg -Jt + 2a Mctg-jt-a =1.
Решение.
2tg2a.
cos ' 2a + ctd — n + 2a Ltd —n-a
IЧл + гс
cos2a
/4л + гс
J 4Л + Л „ Л 4Л + ГС
+ CU —-— + 2a -ctd — a =
149


1^+стл+1г2а]|г8ги
— + ctg! —+2а
1-tg2 а 12
1 + tg2 а
1+tg2 а
■ctg|--a]=
+ ctd—+ 2а -ctd —-а
tg'a 12 || 14
I+t8*a-tg2al -4t8a-lI + tg*a-
tg-j-tga
tg2a.
1 + tga
-tg'a J tg--tga t'-tg'" J '"'S"
1+tg2 a 2tga | 1+tga l + tg2a-2tga 1+tga _
-tg'a l-tg'aji-tga 1-tga 1-tga
-2tga+tg2a '+tga__ (1-tga)2 1+tga _
-tgaXl + tga) 1-tga ~(l-tgaXl+tga) 1-tga" '
Получили 1 = 1.
cos(3n-2a) ( 5rc
3.003. -ttl ^ = tS\a~ —
Решение.
cos(37T-2a)
'571
-cos 2a
-cos 2a
2sin2|^+a
-cos —+2a
2
(Ak+k . \
-cos +2a
-cos2a
l-cos| 2rc + -+2a
- cos 2a
1-cos -+2a
2
~cos2a
l+sin2a
150


si™ — 2a |
U ' =-tg|^-a|=-tg|7t+i
1 + cos —2a
Ь
=-"{т-аНа~?
Получили tg a-— -tg a
I 4 J I 4
tg2a+ctg3B_ tg2a
3-004- ctg2a+tg3p_ tg3(3'
Решение.
sin 2 a cos3B sin 2a sin 3B+cos 2a cos 3B
tg2a + ctg3B _ cos 2 a sin3B cos 2a sin 3B
ctg2a + tg3B " cos2a sin3J3 ~ cos2acos3B + sin2asin3B "
sin2a cos3B sin2acos3B
_sin2asin3B + cos2acos3B sin2acos3B
cos2asin3B cos2acos3B + sin2asin3B
sin2acos3B sin2a cos3B „ 1 tg2a
" Т"^™—i г ™ =tB2a'ctg3P = tB2a'7^5■ = 7S5-'
cos2aslnЗв cos 2a sm3B tg3B tg3B
tg2a _ tg2a
Получили ^р-^зр-
3.005. cosa+cos2a + cos6a + cos7a = 4cos—cos—cos4a.
2 2
Решение.
cosa+cos2a+cos6a + cos7a = (cosa+cos7a)+(cos2a + cos6a) =
= 2cos4acos3oc +2cos4occos2oc - 2cos4oc(cos3oc+cos2oc)=
Sol ct a. Sat
-2cos4a-2cos—cos—= 4cos—cos—cos4a.
2 2 2 2
a a 5a a 5a
Получили 4cos— cos — cos4a = 4cos—cos — cos4a.
' 7 7 7 7
151


a 2la
3.006. sin9a + sinl0a + sinlla+sinl2a=4cos —cosasin -.
Решение.
sin 9a + sin 10a + sin 1 la + sin 12a =
= (sin9a+sin!2a)+(sinl0a+sinl la) =
^ . 21a 3a ^ . 21a a . . 2 la Г 3a a\
= 2sin——cos —+2 sin cos— =2sin—— cos—+cos— =
2 2 22 2 ^ 2 2 J
. . 21a . a , a . 21a
= 2sin -2cosacos— = 4cos— cosasin—-.
2 2 2 2
Тождество доказано.
3.007. cos2a - cos 3a - cos4a + cos 5a = -4 sin —sin a cos—.
2 2
Решение.
(cos2a+cos5a)-(cos3a + cos4a) =
7a 3a , 7a a . 7a ( 3a a ^
= 2cos —cos /cos—cos- =2cos— cos cos— =
2 2 22 2^2 2 )
. 7a ( . . a) A . a . 7a
= 2cos -2sinasin— =-4 sin—sin a cos —.
2 [ 2 ) 2 2
Тождество доказано.
3.008. sin 4a - sin 5a - sin6a +sin 7a = -4sin — sin a sin—.
2 2
Решение.
sin 4a + sin 7a - (sin 5 a+sin 6a)=
. . 1 la 3a . . 1 la a , . 1 la( 3a a\
= 2sin —cos 2sin cos— = 2sin—- cos——cos— =
22 22 2^2 2j
, . 1 la ( , . ■ o.\ . . a . . 1 la
-2sin-—■ -2sinasm - = -4sin—smasin—.
2 [ 2 J 2 2
Тождество доказано.
152


3.009. cosa + sina + cos3a + sin3a = 2V2cosasin — + 2a
Решение,
cosa + cos —a + cos3a + cos —3a
-, ' f« ) , It ft ,
= 2cos~cos—a +2cos~cos —3a
4 [4 J 4 [4
= 2cos— cos —a +cos —3a =2 2cos —2a cosa =
41 14
2-Л cosacosf—-2al= cosacosf~-~-2a ]
= 2->/2cosacos --[ - + 2a = 2i/2cosasin ~ + 2a
I4 J I2 4
is --[- + 2a = 2i/2cosasin
l2 И )) И
Тождество доказано.
3.010. tga + ctga + tg3a + ctg3a = —
sin 6a
Решение.
sina cosa sin3a cos3a _sin2a+cos2 a sin2 3a+cos^ 3a
cosa sina cos3a sin3a sinacosa sin3acos3a
112 2
sinacosa sin3acos3a 2sinacosa 2sin3acos3a
2 2 _ 2sin6a + 2sin2a _2(sin6a+sin2a)_
sin2a sin 6a sin2asin6a sin2asin6a
2 2sin4acos2a 4sin4acos2a 4-2sin2acos2acos2a
sin2asjti6a sin2asin6a sin2asin6a
_ 8sin2acos~2a _ 8cos~2a
sin 2a sin 6a sin 6a
Тождество доказано.
153


3.011. (sina) ' +(tga) '=ctg-.
Решение
,. vi , 4_i 1 1 i 1 1 cosa
(sina) -Htgal = + = +---.— = + =
sma tga sina ^^ sina sina
, l+2cos~— 1 2cos — cos—
_M-cosa_ 2 2 2__ &
sina ~ . . a а - • a a .a- 2'
2 sin—cos— 2 sm-cos— sin —
2 2 2 2 2
Тождество доказано.
sin — + 3a . .
3.012 LL .l = ctg -л + -а
-sin(3a-n) *\4
ЧН cos3a 4i") ^f ^Y
] + sin 2 ■ - a
( 2
Г 3a . 3aY 3a . to) ( to . toY 3a . 3oO
cos sm— cos—+sin — cos— -sin— cos--+ sin—
2 2 I 2 2 _ 2 2 I 2 2
2 3a . 2 3a _. 3a 3a z' -*rv irv
Cos' + SUT +2sin — COS—- ггк— j-sin J
2 2 2 2 c0!>^p+slny
3a .3a , 3a , л , n, ta
cos—-sin— 1-tg— tg---tg-tg-— ,
2 2_„ 2___4— 4__2__ J__ _
3a . 3a , 3a ± л ± 3a . Jt
cosy+smy 1 + tgy tg-+tgy tg| —
. f11 За) .У л За) /5л За
л 3aV
4+т)
Тождество доказано.
154


sin2oc - sin3oc + sin4a
3.013. — ^- = tS3a-
cos2a-cos3a + cos4a
Решение.
(sin2a + sin4a)-sin3a _ 2sin3acosa-sin3a _ sin3a(2cosa-l)
(cos2a+cos4a)-cos3a 2cos3acosa-cos3a cos3a(2cosa-l)
sin3a
= —— = tg3a.
cos 3a
Тождество доказано.
3.014. 2sin2(3;i-2cc)cos2(5n + 2cc) = -sinI-7i-8a 1
„ -Iх 1-COSX
Применяя формулы понижения степени sin -
2 2
2-V 1+COSX
cos ~ = —: , представляем левую часть в виде
2 2
2 (1 -cos(6n-4a)Xl + cos(l07[+4a)) = 1(|_cos(6i[_4a))(ucos(l0;[+4a)) =
^i(l-cos4aXl+cos4a)al(l-cos24a)=l[l-l+c°s8al=
jfLl.IcostoVifi-icostaVi-Isinf^-a
2^ 2 2 J 21.2 2
Тождество доказано.
3.015. sin2a(l + tg2atga)+-i^I1^ = tg2a + tg2f*+-l
1-sin a 14 2)
Решение.
Обозначив
v ■ -. /, . -. . \ ■ -, (, sin2a sina
X = sin2a(l+tg2atga)=sm2odl+
I cos2a cos a
_ sin2a(cos2acosa + sin2asina)
cos 2a cos a
155


и применив формулу cos xcos у + sin xsiny- cos(x - у), представим это
выражение в виде
sin2acosa sin2a
X-
cos2acosa cos2a
1 + sini 2
tg2cc.
Пусть У =
1+sincc
1-sina
1-sin 2-
Поскольку sin2x =2sinxcosx ,то
,..cc a , a . 2 a _ . a a
l + 2sin—cos — cos — + sin —+2 sin—cos—
2 2 _ 2 2 2 2.
l-2sm—cos — cos —+ sin 2sin—cos—
2 2 2 2 2 2
COS hSin —
2 2_
a . a
cos—sin—
2 2
cos — + sin —
2 2
cos sin —
2 2
Разделив числитель и знаменатель выражения в скоб ках на cos -- * О
и применив формулу -&—.—— = tg(x + у), где х, у, х + у* — + кп, ns Z,
1-tgxtgy 2
1 + tg-
Л2 Л Л2
Wgf
l-tg-tgy
■i^iiiHM
Тогда A- + y = tg2a + tg2 - + -
[4 2
Тождество доказано.


3.016. l-sin4a+ctg| тп-2а ]cos4a = 0.
Решение.
l-sin4a + ctg — л-2а |cos4a =
(Зж
в -
cos 2a
= cos22a + sin22a-sinfe-2a)+—v- J-cosfe-2a) =
sm^-2a
И J
3n „ . Зл . „
cos-—cos2a+sin— sin2a
= cos22a-2sin2acos2a + sin22a + -—z^—— 4 >
. Зл _ Зтг . _
sin — cos 2a - cos—sin 2a
4 4
f г-> • 2*, \ / л --»\2 -cos2a + sin2a
x(cos 2a-sin 2a = (cos2a-sin2af + x
v ' cos2a + sin2a
x(cos2a-sin2aXcos2a + sin2a)= (cos2a-sin2a)2 -
(cos2a-sin2aXcos2a-sin2aXcos2a + sin2a)_
cos 2a + sin 2a
= (cos2a-sin2a)" -(cos2a-sin2a)" =0.
Тождество доказано.
-.л.-, ■ 6 a 6 a sin2a-4
3.017. snr —-cos° —= cosa.
2 2 4
Решение.
n v (■ 2 оЛ Г га
Пусть X = sin — - cos —
Используя формулы понижения степени sin —:
2 х 1 + cosx
cos — = —-—, получаем
157


Y n_cosa^ n+cosal l-3cosa+3cos'da-cosJa
l+3cosa + 3cos a+cos a 1 / , . 3 ^
= - -6cosa-2cos al=
8 8V '
2cosa/ , 2 1 cosa/ / . 2 \\
= —j— (-3-cos 2aJ= —(-3-(l-sm 2aJJ=
cosa/ , , . 2 1 sin2a-4
= -3-1+sin al=— cosa.
4 V ' 4
Тождество доказано.
3.018. cos)|n + 4a |+sin(3ji-8a)-sin(4ji-12a) =
=4cos2acos4asin6a.
Решение.
cos — rc+4a +sin(3n-8a)-sin(4n-12a)=
= sin4a+sin8a + sinl2a = 2sin6acos2a+2sin6acos6a =
= 2sin6a(cos2a + cos6a)=2sin6a-2cos4acos2a =
=4cos2acos4asin 6a.
Тождество доказано.
cos — 7t-6a +sin(jt+4a)+sin(3ji-a)
3.019. —-^ J = tgcc
sin — rc + 6a |+cos(4a-2rc)+cos(a+2rc)
Решение.
cos —7t- 6a +sin(rc+4a)+sin(3n-a)
12 I sin6a-sin4a + sina
■ (5 , \ 1л . \ , . \ cos6a+cos4a+cosa
sin — n + 6a + cos(4a-2rc)+cos(a+2rc)
_ 2cos5asina+sina _ sina(2cos5a+l) _ sina _
2cos5acosa+cosa cosa(2cos5a+l) cosa
Тождество доказано.


1+ctg 2a--n kg-п+а
3.020. \ i ) \t i = Itg2a
ctga + tga 2
Решение.
sin 2a sin a cos2acosa + sin2asina
l+tg2atga_ cos 2a cos a cos 2a cos a ,
ctga+tga cosa i sina
sin a cosa sin a cos a
cos2acosa + sin2asina sinacosa _ cos a sin a
cos2acosa cos2a+sin2a cos2a
2cosasina sin2a 1
2cos2a 2cos2a 2
Тождество доказано.
tg2a.
3.021. sina + sin an—rc |+sin| a--rc |=0.
Решение.
8 ^ . .(
-7r-a = sina+sirf
. (15tc-ji
;I1 з
-sin 3n~
+oc -
[a+f
7Г
loccos —+ cosocsm
)>
7Г
3~~
■ (14 ', ,
sina+sin —7Г+0С -sin
I3 J I
. (9n-n "\ . . (, ( к
-sin a =sina+sin 5ti+ a —
I 3 J I I 3
=sina-sinja— -sin! a+— = sina-sinacos —
я . л . 1 . V3 1 . -Уз
-sinacos—cosasin—=sma—sin an cosa—sin a cosa =
3 3 2 2 2 2
=sina-sina=0.
Тождество доказано.
2 2 о COS2 a-COS2 В
3.022. ctg2a-ctg2B = —-—rT-£.
sin asm В
159


Решение.
cos2 a _ cos2 p _ sin2ficos2a+cos fisin2a _
sin2 a sin2p sin asin p
_ (sinpcosa-cospsinaXsinpcosa + cosp>sina)_
sin2 asin2 p*
■ to \ • (a \ — (cos2a-cos2B)
_sin(p-a]sin(p + a]_ 2 _:_
sin2 asin2 p* sin2 asin2 p*
y^cos2a-l-2cos2p+l)
sin asin p* sin asin p*
Тождество доказано.
3,023. (cosa-cosp)2 +(sina-sin|})2 =4sin2 °.
Решение.
cos2a-2cosacosp+cos p + sin a-2sinasinp + sin |} =
= (cos2 a + sin2a)+(cos2 p+sin2 p)-2(cosacosp+sinasinp) =
= 2-2cos(a-p) = 2-2cosf2-^£l==2-2fl-2sin2-a^l=
. . . . 2 a-B . . 2 a-p*
= 2 -2 + 4sin - = 4sin ——.
2 2
Тождество доказано.
(tga+cos 'ajfcosa-ctga) .
1.024. i —-^f =H = 1
(cos a +ctg a^tg a -cos aj
3.
Решение.
fsina 1 Y cosa^
/ 1 V \ +- cosa--—
\tga + cos alcosa-ctga) ^cosa cosa | sin a
(cosa+ctga)(tga-cos-1 aj Л cos a Ysina _ 1 "j
sina + 1 (sina-l)cosa
_ cosa sin a .
cosa(sina+l) sina-1
sin a cosa
Тождество доказано.
cos+-
sin a 1 cosa cosa


sin4oc cos2oc (3
1П25 = ctg — л-а
Jui3- 1 +cos 4a 1 + cos 2a ^2
Решение.
2sin2acos2a cos2a 2sin2acos2a cos2a
l+2cos22a-l l + cos2a 2cos22a l+cos2a
sin 2a cos 2a sin 2a (Ъ
tga = ctg — rc-a
cos2a(l+cos2a) 1+cos 2a [2
Тождество доказано.
3.026. cos2(a-90")+ctg2(a-270")=—yi \-cos2(a + 180").
v v sin2(a+90°) v
Решение.
cos2(a-90°)+ctg2(a-270°)=sin2a + tg2a = sin2a + ^7^- =
cos a
sin2acos2a + sin2a _ sin2a(cos2a+l)_ (l-cos2a)(l+cos2a)_
cos2 a cos2 a cos2 a
l-cos4a 1 2
-cos'a + 180" .
3027' l+ctgt360"-aj ctg(270°-a)-l
Решение.
l-tg(90' +aj 1+ctga _ tga tga+1 tg(l80' +al+l
sin2 (a+90°)
Тождество доказано.
l-tg^O" +a) _ tg^8Q' +a)+l
l+ctgp60"-a) 1-ctga j 1_ tga-1 ctg(270°-a)-l'
tga
Тождество доказано.
tg2acos^'2B-tg2Bcos_12a , „>
3.028. -,- ч„ = tg(a-B).
cos 2a + cos 2p
i М- И. Сканавн, группа А 161


Решение.
sin2oc 1 sin2p 1
tg2otcos~'2ft-tg2ftcos~12ot_ cos2a cos2ft cos2ft cos 2a
cos-'2a+cos-'2|3 ~ 1 f 1
cos 2a cos2p
sin2a-sin2(i
_ cos2acos2fl _ sin2a-sin2fl _ 2cos(a + fl)sin(a-fl) _
~ cos 2a + cos 2ft ~ cos2a + cos2p ~ 2cos(a +'p)cos(a- p) ~
cos2acos2p
sin(a-p) , „>
cos(a-p)
Тождество доказано.
3.029. 2 sin"'4a-td —+4a + tg(5rc+a)=ctga.
Решение.
=2(^-'Е(3,1+г4а)+1ва)=2(^-'{!+4а))+'ва=
,f 1 t . > .f 1 cos4a"l
= 2 +ctg4a +tga = 2 + + tga =
^sin4a J (^sin4a sin4a I
2(l+cos4a) . 1 l-tg2a .
=-4—; - + tga = 2 — + tga = —a—+tga =
sin 4a 2tga tga
1
=ctga.
tga tga
Тождество доказано.
162


. т(\5 . ) ,(\7 . Л cos4a
3.030. sln V*"2" rcos1 T"2a Г"
■Si ■
Решение.
„ • 2 X 1-COSX
Используя формулы понижения степени sin — --
2 2
i X l+cos*
cos — = -
2 2
-, представляем левую часть равенства в виде
1-соя 4а 1+соя 4а 1-соя 4а
4 14 14
2 2
1 + cos —^i^-4a со5|4п-|-^+4а I
4 1 1 U 1
cos| 4гс + | —-4а cos 4гс- — + 4а соя 4гс +—4а
cos|-+4a| cos| — -4а
4 ) \( (* л \ (*
' =— cod —+4а \+соа — -
2 2[ \4 J \4
1 - тс . V2 . cos4a
= 2 cos—cos 4a = cos 4a = j=—.
2 4 2 Ji
Тождество доказано.
3.031. (cos a - cos J})2 - (sin a - sin J})2 = -4 sin2 -—- cos(a + p).
Решение.
(cos a - cos $f - $in a - sin p)2 =
-cos2a-2cosacosp + cos2 p-sin2a+2sinasinp-sin2 (5 =
= |cos2 a - sin2 aJ+|cos2p-sin2 p'J-2(cosacosp,-sinasinp,) =
= cos2a + cos2p-2cos(a + p) =


= 2 cos(a + p)cos(a - p)- 2 cos(a + p)=
= 2 cos(a + pXcos(a - P)~ 1)= 2 cos(a + P]( cosf2' ^T^ I"! I
= 2cos(a + pfl-2sin2^fi-ll=^sin2^-£cos(a + p).
Тождество доказано.
3.032. sm^-taVsin'f—2a]-^.
I8 J I8 J Я
Решение.
1-cos —-4a 1-cos 4a
cos -4a cos 4a
1 4 14
cos|2n- -+4a cos 2rc + --4a
= 1 cosl 2п + | - -4a | |-cos| 2n-l - +4a 11 |=
If (it
= — cos ■
||-4a -cos[^ + 4a =i[-2sin|sin(-4a) =
I4
■Jl . , sin4a
~ —sin 4a =—-f^--
2 -Д
Тождество доказано.
3.033. cos4a-sin4actg2a = cos2a-2cos2a.
Решение.
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a =
sin 2a


_ sin2otcos4a-cos2asin4a sin(-2a) _ -sin2a
sin 2a sin a sin2a
= -l = 2cos2a-l-2cos2a = cos2a-2cos2a.
Тождество доказано.
3.034. sin" —+- -sin' — + - \--yi-.
1,8 A) [s 4) Л
Решение.
(9тг a л (In a)
V
8rc+rc а) (&к-ж а
—;—+— I _ соя—:—+—
co< . , ,
1 1 4 2 1 4 2
2 2 2 2
if f, (an)) ( (а я
-~\ cos 2tt+ -cos 2rc + —+ —
l{ { {2 A)) \ [2 4
if (a n\ fa n
= - cos -cos — н—
2l U 4J I2 4
If a ж .a. re a re .сс.гЛ
~—\ cos — cos— + sin—sin — cos—cos —+ sin —sin— =
2^24 24 24 2 4)
1 , . a . n Ji . a sinf
= — 2 sin—sin— = — sin— =—p^.
2 2 4 2 2^
Тождество доказано.
4a =
tg2a-l
3.035. cos4atg2a-sin4a-—-—
Решение.
sin2a . . sin2acos4a-cos2asin4a
cos4a sin4a = =
cos2a cos2a
165


_sin(-2a)_ sin 2a _ 2tgg
cos2a cos2a tg2a-l
Тождество доказано.
3.036. sin22a-cos[--2a feinf2a-—]=-.
Решение.
.2, fn , V Л, 71 "\ 1-COS4C1 1 . Л 71 "\
sin 2a-cos --2a bin 2a— = sin 4a-- -
I3 / I 4 2 2 { 2)
1 . 71 1 cos4a 1 . fn . \ 1 1 cos4a cos4a 1
—sin — = +—sin --4a — = -• + - —
262 2 2 [2 J 4 4 2 2 4
Тождество доказано.
3.037. sin2a+cos—a cos -+a --.
Решение.
Используя формулы
. ? x 1-cosx
sin — =
2 2
cos x cos y= — (cos(x-_y)-T-cos(x + j>)) ч
представляем левую часть равенства в виде
l-cos2a \( „ 2тг ^ 1 cos 2a cos2a 1 1
cos2a + cos-
2 2^ 3 J 2 2 244
Тождество доказано.
tg3a l-ctg23a _
3'038, tg23a-l ctg3a
Решение.
- = 1.
1
tg3a 1-й^За_ tg3a tg23a
tg23a-l ctg3a tg^a-l 1
tg3a


= tg3a tg23a-l tg3a, tg3a tg23a-l = L
tg^a-l tg23a tg^a-l tg3a
Тождество доказано.
3.039. cos4a-sin4actg2a = -l.
Решение.
cos4a-sin4actg2a = cos4a-sin4a =
sin2a
_ sin2acos4a-cos2asin4a sin(-2a)_-sin2a _
sin2a sin2a sin2a
Тождество доказано.
l-cos4a l + cos4a .
304°- -^^~S^i^i~2-
Решение.
l-cos4a l + cos4a _ l-cos4a l+cos4a _
cos~22a-l sin"2 2a-1 1 t 1 _1
cos2 2a sin2 2a
_ (l-cos4a)cos22a (l+cos4a)sin22a _ (l-cos4a)cos22c(
1-cos2 2a 1-sin2 2a sin2 2a
(l+cos4a)sin22a _ (l- (l -sin2 2a))cos2 2a (l+2 cos2 2a -l)sin2 2a _
cos2 2a sin2 2a cos2 2a
2sin22acos22a 2cos22asin22a „ •>- , - 2~
-. __^_—— + ——_— = 2cos 2a + 2sur2a =
sin 2a cos 2a
= 2£os22a + sin22a)=2.
Тождество доказано.
tea-cos-1 a , _i
3.041. — = tgacos 'a.
cos a - ctg a
Решение.
sin a _ 1 sin a -1
tga-cos a __ cos a cos a _ cos a _
cos a - ctg a _ coscx cos a(sin a ^\)
sin a sin a
167


sin ос-1 sin a sin a sin a 1 _i
= _ -s = = tgacos a.
cosa cosa(sina-lJ cosa-cosa cosa cosa
Тождество доказано.
3.042. cos2(45° -a)-cos2(60° +a)-cos75Dsin(75° -2a)=sin2a.
Решение.
Используя формулы
2 x 1 + cos x
cos — =
2 2
и
sinxcosy = — (sin(x~y)+sm(x+y)),
представляем левую часть равенства в виде
l + cosfeo°-2a) l + cos(l20e+2a) 1 /. , . v . /, ..D . \\
s: i s '--(sin(-2a)+sin(150 — 2aJ)=
= -(l + cos(90e-2a)-l-cos(l20e+2a)+sin2a-sin(l50e-2a)).
Так как
cos(?0D-2a)=sin2a, cos(l20°+2a)=cosl20Dcos2a-sinl20°sin2a^
=—cos2a sin2a
2 2
и
sinU50e -2a)=sinl50Dcos2a-cosl50esin2a = -cos2aн sin2a ,
XI -) -) '
— sin2an—cos2an sin2a + sin2a—cos2a sin2a
2 2 2 2 2 I
= — ■ 2 sin 2a = sin 2a.
2
Тождество доказано.
168


l-2sin a 1-tga
3.043. -—^Г~ = Г^--
l + sin2a 1 + tga
Решение.
Используя формулы
l-2sin2 x = cos2x, sin2 j:+cos2 j: = l
и
sin 2x - 2 sin x cos x,
представляем левую часть равенства в виде
cos 2a cos 2a
X = -
cos2a+sin2a + 2sinacosa (cosa + sin of
Применяя формулу cos2x = cos~ x-sin x , имеем
cos a-sin2 a _ (cosa + sinaXcosa-sina)_ cosa-sina
(cosa + sina)2 (cosa + sina)2 cosa + sina
Разделив числитель и знаменатель этой дроби на cos a * 0, получим
1 + tga'
Тождество доказано.
sin2a + sin5a-sin3a - .
3.044. i-T^— = 2sina.
cosa + l-2sin 2a
Решение.
sin2a + (sin5a-sin3a)_ 2sinacosa + 2cos4asina _
~cosa + (l-2sin22a) cosa + cos4a
2sina(cosa+cos4a) , .
_ k— и - 2sin a.
cos a + cos 4a
Тождество доказано.
ctg22a-l 0
3 045 — ~ cos 8actg4a = sin 8a.
2 ctg2 a
Решение.
ctr2a-l „ , tg22a
—^ cos8actg4a = -&—= cos8acte4a =
2ctg2a e 2
tg2a
169


^l-t^g tg2g_cos8a l-tr2a_cos8otc
tg^a 2 B 2tg2a
= cos8actg4a = cos 8a = (l-cos8a)=
tg4a tg4a tg4a tg4a
1 „ a \ sin8a(l-cos8a) .
= -, — (l-cos8a)= i * = sin8a.
l-cos8a v l-cos8a
cos 8a
Тождество доказано.
cos4a+l 1 . .
3.046. ———;— = -sm4a.
ctga-tga 2
Решение.
cos4a +1 cos4a + l cos4a + l _ (cos4a+l)sinacosa
ctga-tga cosa sina cos2 a-sin2 a cos2a-sin2a
sina cosa sinacosa
_ (cos4a + l)2sinacosa _ (cos4a + l)sin2a _cos4a+l - _
2(cos2a-sin2a) 2cos2a 2
cos4a + l sin 4a _sin4a_ 1
2 l + cos4a~ 2 ~2
Тождество доказано.
3.047. ctg(l5-+2a)=^a-.
l+sin4a
Решение.
sin 4a.
Пусть A" = ctg(*5° +2a)=
1
tg(45° +2a)
1-cosx
„ t \ , , X 1-COSX
Применяя к выражению ts45 +2a) формулу tg —=—: , гДе
v ' 2 sinx
x^7T+27W, neZ,имеем
1 sinfro" +4aj _ cos4a
l-cos(po°+4a) l-cos^0'+4a) l+sin4a'
^staffO* +4a)
Тождество доказано.
170


(sin2 a + tg2 a+lfcos2 a - ctg2 a +1
3.048. f—J , 2 *N. 2 -г Л
(cos a+ctg a+ljsin a + tg a-lj
Решение.
(sin2 a + tg-2 a+lj(cos2a-ctg2a + l
(cos2 a +ctg2 a+ljsin2 a + tg2 a-1
i . 2 sin a , | 2 cos" a ,
| sin an ^—+1 | cos a —+1
sura
2 cos a , . 2 sin a ,
cos a +—г—+1 sin a +— 1
sin a cos a
-=1.
Тождество доказано.
,/tga + ,/ctga
3.049.
sin a + cos a
2
sin2a
Решение.
tga+^ctga ] tga+2^tgactga+ctga
sin a+cos a
sin a
+2 +
cos a sin a
sin a+2sinacosa +cos a
cosa sin2a+2sinacosa+cos2 a
sin a cos a
sin2a+2sinacosa+cos2a sin2a+2sinacosa + cos2 a
1 2 2
sinacosa 2sinacosa sin2a
Тождество доказано.
171


3.050. sin2^5° + a)-sin2(s0° -a)-sinl5°cos(l5° +2a)=sin2a.
Решение.
sin2(l5"+a)-sin2po"-a)-sinl5-cosJ5"+2a)=
cos^042a)_l-cos(60--2a)_l(s.n(_2a)+s|.n(3y+2a|=
2 2 21
cosfco'+2a) 1 cosfco' -2a) sin2a sin(30'+2a)
2 2 2 2 2 2
= -(-cosp0"+2a)+cos(60"-2a)+sin2a-sinp0'+2a))=
(sin2a+cos60ocos2a+sin60°sin2a+sin2a-sin30°cos2a-cos30°sin2a)=
- 2sin2a-i—cos2on sin2a--cos2a sin2a =
2 2 2 2 1
2sin2a=sin2a.
2
Тождество доказано.
3.051. sin a+cos a+3sin2 acos2a = l.
Решение.
sin6 a + cos6 a +3sin2 acos2 a =
= (sin2 a J +(cos2aj +3sin2acos2a =
= (sin2a+cos2a]^in4 a-sin2 acos2 a+cos aj+3sin2 acos2 a =
= |sin4 a + cos4 a J- sin2 acos2 aj+3sin2 acos2 a =
= ^in2a + cos2aJ -2sin2acos2a -sin2 acos2 a +3sin2acos2a =
-3 sin2 acos2 aJ+3sin2acos2a=l.
Тождество доказано.
tg3a _ 3-tg2q
3'052- "tg^T~l-3tg2a'
Решение.
tg2a + tga
tg3a _ tg(2a+a)_ l-tg2atga tg2a + tga
tga tga tga (l-tg2atga)tga


2-M- + tga tgJ-V+1
1-tra
|,--*i£-.,gaU fl-^ltga
1-tg a I 1-tg a
1-tg2 a _3-tg2a
l-t^a-ltg'a l-3tg2a'
Тождество доказано.
3.053. sinasin(x-a)+sin2 —-a | = suT .
Решение.
Используя формулы
sin ^sinB = ~(cos(^ - B)- cos(A + b))
. 2 A l-cos.4
sin
2 2
представляем левую часть равенства в виде
A- = I(cos(2a-x)-cosx) + b£2fc^ = £2!fcz^)_£^
2V v ' 2 2 2
1 cos(j: - 2a) 1,. ч 1 ( ( x
н - - = -(l-cosx)= — 1-coa 2- —
2 2 2V 2[ \ 2
4fl-fl-2sin24]4fl-l + 2sin244-2sm2^SIn2X
21 ^ 2)\ 2[ 2 J 2 2 2'
Тождество доказано.
3.054. cos2 a-sin22a = cos2acos2a-2sin2 acos2 a.
Решение.
cos2 a-sin2 2a = cos2 a-(sin2a)2 = cos2 a-(2 sin a cos a)2 =
= cos2a-4sin2 acos2 a = cos2 a|-4sin2aj=
173


= cos2a(l-2sin2 a-2sin2 aJ=cos a(cos2a-2sin aj=
= cos2 acos2a-2sin2 acos2 a.
Тождество доказано.
3.055. --2(cos2a + cos4a + cos6a)-l = 0.
sin a
Решение.
2(cos2a+cos4a + cos6a) -1 =
sin a
sin(6a+a) , „ . , , ,
~__L.—-^-2cos2a-2cos4a-2cosoa-l =
sina
—^ -^-2cos6a -2cos2a-2cos4a-l
sina J
sin6acosa+cos6asina , , ^ . л „ . ,
2cos6a |-2cos2a-2cos4a-l =
2cos2a-2cos4a~l =
sma
_ sin6acosa + cos6asma-2cos6asina
sina
sin 6a cosa - cos 6a sm a
- 2 cos2a - 2 cos4a -1 =
1 =
sma
= f™^-2cos4al-2cos2a-l = f^«±5)_2cos4aV2coS2a.
I sina
sma
sin4acosa+cos4asina-2cos4asina
sina
2cos2a-l =
sin4acosa-cos4asjna - , . sin3a , . , .
= — ————— 2cos2a-l = 2c6s2a-l =
sina sina
gn^a+a)-2cos2aVl = f5in2acOSa+COs2aSil"X-2cos2al-U
sin2acosa+cos2asina-2cos2asina _ sin2acosa--cos2asina
sina sina
,sH£_, = ,_,=0.
sina
Тождество доказано.


3.056. sin2a-sin2B = sin(a + B)sin(a-B).
Решение.
sin2 a-sin2 B = (sina-sinBXsina + sinB) =
. a+B . a-B . a + B a-B
= 2 cos !-sin --2s>n -cos - =
2 2 2 2
' . a+B a+pY. . a-B a-B"|
2sm -cos - 2sin ^cos =
ч 2 2 | 2 2 j
= sin(a + B)sin(a-B).
Тождество доказано.
3.057. cos4 x + sin2 у + - sin2 2x -1 = sin(y + x)sin(y - x).
Решение.
cos4x + sin2y + -sin22x-l = cos4x + sin2y + — (sin2x)2-) =
= cos4x + sin2 y + — (2sinxcosx)2 -1 =
= cos4x + sin y + — -4sin2 xcos x-l =
4
= cos4 x+sin2y + sin2 xcos2 x-l =
= (cos4 x + sin2 x cos2 x)+ sin2 у -1 =
= cos2 x(cos2 x + sin2 x)- (l - sin2 y)=
= cos2 x - cos2 у = (cos x - cos yXcos x + cos y) =
. x+y . x-y x+y x-y
= -2sin Lsin -2cos -cos -
2 2 2 2
{. ■ x+y x+yY . x-y x-y
= 4 2sin -cos - 2sm -cos -
\ 2 2 X 2 2
= -sin(x + y)sin(x - y) = sin(x + y)sin(y - x).
Тождество доказано.
175


ctg | + a tg(2ji-2a)
3.058. L I ,
ctg -я-2а -tga
-2v3sin —+ a sin —a L=2sin 2a —
I4 J I4 J I 3
Решение.
Используя формулу sjnxsiny = — (cos(x-y)-cos(x-fy)) нформулы
приведения, перепишем левую часть равенства в виде
„ tgatg2a гт( к\ tgatg2a /т .
Х-—-—= V3 cos2a-cos- = —— V3cos2a =
tg2a-tga ^ 2) tg2a-tga
2tga . 2tg2a
tga- -— &—
1-tg a /г 1-tg a c- .
= —^i v3cos2a = 1— ц—\-V3 cos2a =
2tSa -tgq tga^-l+tg2a)
l-tg2a l-tg2a
= *Ц >/3cos2a = sin2a--\/3~cos2a = 2 -sin2a cos2a
l + tg2a [2 2 J
= 2 sin2acos—cos2asin— =2sin 2a —
I 3 3 J t 3
Тождество доказано.
tg(7t+2a)cta -к+а
3.059.
Решение.
tg2a-tga
—a poJ . _.,
4 I 14 I 14
+2co9 —a poJ - + a S=->/2sirJ —2a .
Используя формулу cos ,rcosy = ~(cos(x-y)+cos(x + y)) нформулы
приведения, перепишем левую часть равенства в виде
176


х = ч,-~к ^ + Cos2a+cos- = ^~"6" +cos2a =
tg2a-tga 2 tga-tg2a
2lgo ,
—-2—tea
1 — tp (X 2 tp К
= ^-^ hcos2a = -—-~— + cos2a = -sin2a+cos2a =
1-tra
= cos2a-sin2a = cos2a-cos—2a = -2 sin— sin 2a— =
I2 J 4 I 4J
= _2.^.f-sinf2-2a]]=^sin^-2a
2 I V4 JJ V4
Тождество доказано.
,„,„.. ч. cos2a+sin2a
3.060. tg4a+cos '4a = : .
cos2a-sm2a
Решение.
-i , sjn4a 1 l+sin4a
tg4a + cos 4a = v = =
cos4a cos4a cos4a
_ (cos2a + sin2a)2 _ cos2a+sin2a
(cos2a+sin2aXcos2a-sin2a) cos2a-sin2a
Тождество доказано.
3.061.
tga+tgB tga-rgB .2 -, -•>
- K ' -^-—~+2tg a = 2cos a
tg(a+B) tg(a-B)
Решение.
~ sin(x+y) ^ sinfx- y)
Так как tgx + tgy = *—-1- н tgx-tgy = ^—'-!- , где
cos x cos у cos x cos у
x, у * ~ + я«, и e Z , то левую часть равенства можно записать в виде
sin(a+B) sin(a-B
cos a cos В cos a cos
sin(a+B) sin(a-B
cos(a+3) cos(a-3)
Y_cosacosp | cosacosp , -,2 a_ cos(a + B)+ cos(a-B) | 2(x_
sin(a+B) sin(a-B) cosacosB cosacosB
177


cos(a + 3)+cos(a-3) ., 2 2cosacos3 г ■,, t 2 \
_—v—r± J—^ + 2tg'a = ;r + 2tg a = 2U + tg'ab
cos acos [3 cos acos p
= —y— =2cos"'a
cos" a
Тождество доказано.
3.062. 1 — sin22a + cos2a = cos2a + cos4a.
4
Решение.
1- - sin2 2a+ cos2a = 1 — (sin2af + cos2a =
4 4V '
= 1 - - (2sinacosaf + cos2 a-sin2 a = 1 4sin2 acos2 a+
4 4
+ COS2 a-sin2 a = l+cos2a~sin2a| + cos2a)=
= (l+cos2 a](l-sin2 a)= (l+cos2 ajcos2 ascos2 a+cos4 a.
Тождество доказано.
Упростить выражения (3.063—3.113):
a , ") 2 a . 2 a
--Зп -cos —+sin —.
2 4 4
3.063. 1-sin " -3n -cos2 - + sin2 "
Решение.
1 - sm
a,4! 2a .-.a, . ( аЛ 2a .2a
— in -cos —+ sin -=l + siri37t— -cos —+ sm — =
2 J 2 2 \ 2) 4 4
,■2» .a.2afaN\..2a..a a
= 2sin -+sin- = 2sin — + sin 2-— = 2sin -+2sin — cos— =
42 4 [ 4J 4 44
_ . af . a оЛ ., . a( . a . (к а\\
= 2sin- sin —+ cos— =2sin- sin—+ S11J =
4[ 4 A) 4[ 4 \2 4jJ
„ . a _ . rc fo i"! ./r.a faun
= 2sin- '2sin-coa =2V2sin — соя — +
4 4 \4 4j 4 \4 4 2
.2^51п|со^^ + |)]=2725!п^^
Ответ: 2V2sin — sin
4 4


l + sin2g
3.064. cos(2a-2n)ctg[a--n
l + sin2a
l+sin2a
cos(2a - 27i)ctgj a—n
cos(27i-2a] -ctgj -7i-a
l+sin2a 2 l+sin2a г
j- r+cos a = ,— v.+cos a =
~cos2actgj^±^-a cos2actdit+[~-a I
l+sin2a 2 cos2a+sin2a+2sinacosa 2
—r+cos a= 7 г hcos a =
cos2oxtd —a
-(cosa+sina^sin —a
cos2a
cos —a
4
sin —a
cosGcos —a
H
fi,
-(cosa+sinaj ■—(cosa-sina)
(cosa+sinaXcosa-sina)—(cosa+sina)
fcos a = -l+cos a-
= -\l-cos2 a)= -sin2 a.
Ответ: -sin a.
if a], t 2(3 3
cos 7t + — 1 + tg-a — ж
3.065. . ,(9 aY if 5 оЛ 2(3 7 "|
Sin ' -7C+- tg — 7C -tg2 -a-- 71
2 2 2 4 4 2
179


Решение.
cos>+^|l+tg2(|a-|7t
. _if9 aY 2(5 аЛ -,(3 7
sin ' -n+- tg -тс-- -tg^ -a—я
2 2 2 4 4 2
1+1 tg|-a--7t
. (9 o'
Sin -7C + —
2 2 ,
*H -HK-
1
COS
lu+
rr |
<JJ
f
1 1
H
-tg
<
I**-
<
— a
4 ,
|
J
sir
f4
t
Л +
rr |
;J
ЧН W-#-f
1+1 tgl l^-l«
, 8ГС+ГС a]
Sm|^~+2
MT-4
Гбл+гс За
lco^+4j||1 + |ts[f,t-|a
sin|4rc + ||+"
tg 2ti+
2 4
td3rc +
re 3a
2~T
-°»")[1 + hf f |Sin[f + "j cos^ll+ctg^jcos
3a 1 a
2
12 4
re 3a
2~T
2 a 2 3a
ctg2T-ctg2 —
4 4
180


,3a
1 + -
■ 3a
a
COS— COS'
2 4
. 2 3a 2 3a
„ sin 1-cos —
2 a ^ 4^
i 3a
2 a 2 3a
cos — cos —
4 4_
. 2 a . 2 3a
4
X 0
-cos-
. 2 3a 2 a 2 3a . 2 a
sin —cos —cos —sin —
4 4 4 4
. 2 a . 2 3a
sin — sin —
4 4
. 2 a . 2 3a
sin -sin —
4 4
> 3a
. 2 3a 2 o. 2 3a . 2 a
sin —cos —cos —sin —
4 4 4 4
2 a a . 2 a
cos — cos — sin —
4 2 4
( . 3a a 3a . a Y . 3a a 3a . a
sin — cos cos — sin— sin—cos— +cos — sin —
[44 4 4j^44 44
2a a. 2a , , ?ft 2a a .2a a
cos —cos—sin — 4sin —cos —cos— sin —cos —
42 4_ 4 4 2 _ 22.
sm —sma 4sin —sina
2 2
.a a „ . a a
sm —cos— 2sin —cos— ■ „ ,
2 2 2 2 sma 1
4sinoc 8sinoc 8sinoc 8
. . a .
4 sin —sin a
2
Ответ: -
3.066.
sin 27Г +
"И
cos| 27t+—
4
fa , V о (7 a
cos —Зти ctg —+ cos — ти
[4 /E8 [2 4
Решение.
sin 2ti + — ctg—cos 27I + -
4 8 4
COS 371 Ctg - + COS,
4 8 12 4


{, о! о ( a
Z7I+ — Ctg С0я2т1+ —
cosl 3rc— ctg- + cos3rc+
1 4 Г 8 1 2 4
.а й a
sin— — -cos—
. a a a 4 . a 4
sin — ctg — cos — sin —
4 8 4 8
a a . a a
-cos —ctg — sin— cos— л
4 8 4 a 8 ■ a
40 ч cos —+ sin-
4 . a 4
sin-
. a a a . a
sin — cos — cos — sin —
4 8 4 "
cos
a
4
ro*
a
sin —
a
8
8
+ sin
a .
4
a
8
a a a . a
sin — cos — cos — sin —
4 8 4 8
a a . a . a
cos—cos—+ sin —sin —
4 8 4 8
. a
sin —
8___ о
a ~ tg 8'
cos —
Ответ: - tg-
3.067. cosa(l+cos 'a+tgajl-cos 'a+tga)
Решение.
cosa(l + cos-1 a+ tg ajl - cos"' a+ tg a)=
(, 1 sinaYi 1 sinaA
= cosa 1+ + 1 + =
I cosa cosa 1 cosa cosa I
cosa+1+sina cosa-l+sina
= cosa ~
182


((cosa+sina)+lX(cosg+sina)-l) _ (cosa+sina)2 -1 _
cosa cos a
cos2a+2sinacosa+sin2a-l 2sinacosa . .
= = = 2sina
cosa cos a
Ответ: 2 sin a.
3.068. sin2 a(l + sin-1 a + ctg a|l - sin'1 a+ctg a).
Решение.
sin2a^+sin"'a+ctga)^-sin"1a+ctga)=
. 2 (, 1 cosaY, 1 cosa
= sin od 1+ + 1 + -—
^ sina sinaj^ sina sma
. 2 sina+1+cosa sina-1+cosa
= sin a : =
sina sina
= ((sina + cosa)+lX(sina+cosa)-l) = (sina + cosa)2-l =
= sin2a+2sinacosa+cos2a-l = 2sinacosa = sin2a.
Ответ: sin 2a
l-cos(8a-3rc)
лиоу- tg2a-ctg2a
Решение.
l-cos(8a-3rc)_ l-cos(3rc-8a) (l-cos(3n-8a))sin2acos2a _
tg2a-ctg2a ~ sin2a cos2a sin22a-cos22a
cos2a sin2a
(l-cos(3;i-8a))-2sin2acos2a _ (l + cos8a)sin4a
2|cos22a-sin22a) 2cos4a
(l + 2cos24a-l)sin4a _ 2cos24asin4a _ -2sin4acos4a _
2cos4a 2cos4a 2
sin 8a
2~~'
sin 8a
Ответ: r—■
183


(ж а V (ж а V а
3-070-СО\б-2Нз-2/т2'
Решение.
(ж aVfn <х V а \( . ж . (ж V) . а
cos sin sin- = - sin- + sin —a sin—=
[б 2j [3 2j 2 2[ 6 [2 j) 2
lfl У a 1 . a 1 . a 1 . a
= - - + cosa sin— = -sin— + — sin — cosa = — sin — +
2^2 J 2 4 2 2 2 4 2
l(. ( oO . 3 1 1 . a 1 . a 1 . 3 1.3
sin — +sm—a =—sin sin — + — sin—a = — sin—a.
1 ' ~ ' ~ ' 1 2 4 2 4 2 42
13
Ответ: -sin-a
4 2
3.071. sm2fy + 2pysin2fy-2p
Решение.
sin2fg + 2pysin<^2p]='^<«+4p)j-cos(a-4p) =
1 cos(a + 4B) 1 cos(a-4S) \ r , .„\ , .„«
= - у-И-- + ——- --jW"- 4B)-cos(a + 4B)) =
= -sin asin(- 4B) = sin asin4B.
Ответ: sinasin4B.
cos_12x + sin2xtg2x 1
3.072.
Решение.
l + cos4x . . -,1ж
4sin- -
4 Xftg4-
cos 2x + sin2x'tg2x
l + cos4x
4sin-|--.vctg--
184


1 . „ sin2x
— + sin2x
„ coszx coszx
1 + cos 4x
1 + sin 2x
sm|--x
_ cos2x { 1 1 + sin- 2x ^
l + cos4x . . fn *) fn *) cos2x(l + cos4x)
4 sin —x cos — * I '
I4 J I4
1 l + sin22x _ 1
4smf|- jclcosfc-x)' cos2x(l + 2cos22x-ij 2cos2л:'
l + sin22x 1 l + sin22x + cos22x 1 + 1
2cos 2x 2cos2x 2cos32x 2cos32x
2 1
2 cos 2x cos 2x
= cos 3 2x.
Ответ: cos 2x.
3.073. cos2(a+2B)+sin2(a-2B)-l.
Решение.
2/- -,oi ■ К -,n\ , l+cos(2a + 4B)
cos (a+2B)+sin (a-2B)-l = * " +
l-cos(2a-4B) 1 cos(2a+4B) 1 cos(2a-4B)
+ 2 ~2+ 2 +2 2
= -(cos(2a+4p)-cos(2a-4|3)) = -sin2asin4|3.
Ответ: -sin2asin4B.
3.074. sin2(a+2B)+sin2(a-2B)-l.
Решение.
■ 2/ -ю1 ■ 2/ -,„\ , l-cos(2a + 4B)
sin (a+ 2BJ+sin (a - 2BJ-1 = И +
185


l-cos(2a-4B) 1 cos(2a + 4B) 1 cos(2a-4B)
+ 2 2 2 +2 2
= - - (cos(2a + 4B)+cos(2a - 4B)) = 2 cos2acos4P = - cos2acos4p.
Ответ: -cos2acos4B.
3.075. (cosa-cos2B)"+ (sma + sjn2B)2.
Решение.
(cos a - cos 2B)2 + (sin a+sin 2B)2 =
= cos2a-2cosacos2B + cos22B + sin2a + 2sinasin2B + sin22B =
= (cos2 a + sin2 a)+ (cos2 2B+ sin2 2Bj-2(cosacos2B - sin asin2B) =
= 2-2(cosacos2B-sinasin2B) = 2-2cos(a + 2B) =
= 2_242.^b-2fl-2sm2^b-2 + 4sta2<x^ =
. • 2« + 2B
= 4sm2 1.
2
и • 2<* + 2B
Ответ: 4sm' K.
(l-cos2a)cosW5" + 2a)
3.076. *——ji—" '.
2sin 2a-sin4a
Решение.
i, ., \ /.,. -\ tt-l + 2sin2a (cos2a-sin2a)
(l-cos2a)cosft5 +2a; т '2 _
2sin22a-sin4a ' 2sin2 2a-2sin2acos2a
72sin2 a(cos2a-sin2a) ifisin2a _ i/2sin2 a _ i/2sina_
-2sin2a(cos2a-sin2a) -2sin2a 4sinacosa 4cosa
-tga.
4
Ответ: tga.
4


3.077. cos2|-л:-- Vcos2f1'n+" |.
Решение.
cos2
1+
1
7
"К
■K
-л
V8
cod
CO!
-CC
a) 2(ll
: -cos —
a) {»
'4Л-7Г
2
Hi
1 U
2
id - + -
И 2,
-2sin~~sin -
4 I
Ответ:
У2 . a
— sin —
2 2
"):
-t1"
l),
+ cos
■f)}
a'
Л + —
4
L + cos
I ,,-
i I3"
1 + cos
1—^
12rc + rc a4]
2
' 4
= — COS 71-
it a
4 2
)HI
72 . a
= TSm2'
[M
cos — -
"4
a
"l
_ 1
' 2
IJ-
a
"I
1 + cos
COS Л -
f—*—
COS 371-'
1 (*
- cos -
) U
'11 a)
14 2j
2
(Ml)
2
u-
a
+ 2
"III
2JJI
)>
3.078. ctg 45 ° — + ctg 135" - -
. ч . ч cos 45" cos 135" —
ctg45--^+ctgl35- «V. I 2». I 2
2J ' 2J sm|45--| sin(l35--|
sin[l35--tX ]cos[45'-~ 1+ cosf 135- - ^ \inf450 - - 1
sm|45--| Jsinll35--"
187


sinU80"-a
nU -|\in 904 Ur -§]] sinks' -f U45- -f
2sina 2sina 2sina .
2tga.
"2sinf45--^cosf45--^rsmK-«)~ «»«
Ответ: 2tga.
l+ctg2actga
3.079. t t ■
tga+ctga
l+ctg "-'.ctga 2 + c^a-l
l+ctg2actga _ 2ctga 2 _ l+ctg a
tga+ctga " _J_ + Ctga ~ l+ctg2a " 2
ctg« ctga
x ctga =ctga
l+ctg2 a 2
„ ctga
Ответ:
2
sin na-sin ma
Решение.
cos ma-cos na cos ma-cos na
sin na-sin ma sin ma-sin na
. m + n
sin a
"} m+n
* = tg—^— a.
m + n 2
cos a
2
~ t m+n
Ответ: tg—-—a.
188


3.081. sin2 a—- ll-tg2a)tg — + a cos 2 —-
Решение.
sin2 a p-tg-a)tg| -+a |cos"'i| --a 1=
2 / ' V J ' [4 )
4
_ . i-cos - + 2a
-cos 2a ^ __ [2 J
-cos |
, ; i -cosla. \
= cos~a
1 + cos 2a J (n , i , i "- л
1 sin - + 2a | 1 + cos| - - 2a
__l + cos2a 1 + cos 2a-1 +cos 2a 1 +sin 2a 2
2 1 +cos 2a cos 2a 1 +sin 2a
Ответ: 2.
1-sin"1 20E+-7C
Решение.
,_.. . ' =, ' ...,_
'^ Г+П 1_*{aa+f)
.1 1 cos2a+T
-cos 2a cos 2a cos 2a
cos2a + l-cos2a 1 1
i
, i
S,n^-+2a|
cos 2a ___
cos 2a+1
1
Ответ : —j— ■
2cos a
189


cos a+cos В
3.083. т ТГ-ri:—T~'
tgacos B+tgBcos 'a
Решение.
1 1 cosa+cosB
cos*1 a + cos-1 В _ cosa cos В cosacosB
tgacos",B+tgBcos"'a__sina_J_+sin^ _[_~ sin a + sin В
cosa cosf3 cosB cosa cosacosB
. a + B a-B a+B
n 2cos -cos - cos n
_cosa+cosB_ 2 2 _ 2 a+P
~ sina+sinB ~ -, • «+P o-B ~ • a+P ~ 2 '
v 2sin -cos - sin—--
Ответ: ctg—-~.
tgUn-a |+tg;
|+a^
3.084. ,(S Л (3
ctg -л-a +ctg -л+a
Решение.
tg\-~K-a + tg3 ^+a I л
j2 j ^2 j ctga-ctg'a
ctg3Un-a +ctg -л+a ctg3[-?y^-a l-tga
ctg a-ctg3 a ctga-ctg3 a _ ctga-ctg3 a
t з(- (it Y) 4 tg3a-tga 1 1
ctg ^--ajj-tga ct?a^tga
= ctgaVctg2a) = ctg4a
1-ctg a
ctg3 a
Ответ: ctg4 a.


3.085. 1 '
1—sin - + a
2
Решение.
, » -1 ^ =1 »_=,-__!_ =
I2 J sinf^ + a] cosa cosa
cosa cosa-1 cosa 1 1 1
cosa-1 cosa-1 cosa-1 . ~. ■ г a , ... 2 a
1-zsin 1 2 sin --
2 2
2'
3.086. l^^a
tg Uit-a +tga
, . 1 + ^— tga
l-tg(n-2a)tga _l + tg2atga _ 1—tg a
f3 ^ , ctga+tga 1 . „
tg-n-a + tga ь ь -— + tga
1^2 J tga
l-tg2a+2tg2a
l-tg2a _l+tg2a tga _ tga 2tga
l + tg2a l-tg2a l + tg2a l-tg2a 2(l-tg2a)
tga
2 l-tg2a 2 E 2
tg2a
Ответ: —-—■
191


ctg a+y Fos a~2
3.087. if n\ ,( к
ctg" a-- -cos a+-
ctg- a + - cos' a-- ctda+- I cos a--
Ctt1 —2 «+§ -ctg?-a Ucos5 + a
„ , sin" a
- tg asm a _ cos2 a
ч2 II I I2
sin'a
tj^a-sin'a sin2a . г sin2a(l-cos2a)
* —т, sm a *-= '
cos"a cos a
cos2 a sin4 a sin4 a
cos a sin a(l-cos~aj sin asm" a sin a
Ответ: 1.
ctg(270"-a) ctg2(360"-a)-l
ЗШ- rV^T-180-)' ctg^LSO'+a)"'
Решение.
ctg(270"-a) ctg2(360'-a)-l _ tga ctg2a-l_ 2tga
i~-tg2(a-180 ) ctg(l80°+a)~~ l-tg2a ctga l-tg2a
ctg2a-l . - 4 -
x — = tg2actg 2a = 1.
2 ctg a
Ответ: 1.
cos2(a-270") sin2(a+270")
sin"2 a+90")-l cos-2a-90*)-l
192


Решение.
cos2 (a- 270',
sin~2(a + 90°)-l ' cos-zla-90")-l
sin •'la+ 270°)
r-1
fcin(270°+a)f sin2 a cos2 a _ sin2 a cos2 a
___J [ ___!___[ _J__i l-cos2a l-sin2a
(мфо°-а]Р cos2" sin2« cos2 a sin2 a
sin2 a cos2 a cos2 asin2 a sin2 acos2 a cos2asin2a_
l-cos2a l-sin2a sin2 a cos2 a
= cos2a+sin2a=l.
Ответ: 1.
(l+tg2(a-90°))(sur2(a-270°'
3.090.
Решение.
fctg2|a+270°)jcos-2(a + 90°)
+ tg2 (a - 90" ДмгГ2 (a - 270°)-1)
(l + ctg2 (a + 270° jjcos"2 (a + 90°)
1
1 +
^%fe
r-l
-270°
1 +
g(270°+a)
1
^os^0° + a)/
(i + irtffor-,$}(.*—T
V ^(sin(270°-aj/
V J (cospo° + aj/
(f+ctg-a).(-L—l) fl+
cos a I 1-cos a
sin a cos a
t^+tral-
7 M. И. Сканави, группа А
1 +
sin a
1
cos' a ] sin a
193


sin a + cos2 a sin2 a 1
sin2 a cos^a^ cos2 a ^ sin2 acos2 a _
cos2 a+sin2 a 1 1 cos2 a
Ответ: sin a.
sin2 —ha l-cos'l a-
2 2
3.091. f— ,
tg2 |+a -ctg2 a-|
sin2 — +a -cos2
tg2(f+arctg2f
cos2 a-sin2 a
ctg^a-tg^a
(pos2a-sin2a)c
H)
-f)
cos" a -
cos2 a
sin2 a
os2 asin
cos4 a-sin4 a
cos2 asin2 a
cos2 a+sin2 a
sin2 2a
Ответ: .
(•>
ftg
-sin2
sin2
cos2
2a
cos2 asin2 a =
1H
H
a cos2
a cos4
a cos
(cos2 a -
f-Hf-)!
-HHJ
a-sin2 a
a-sin4 a
2 asin2 a
-sin aicos2 asin2 a
(cos2 a-sin2 ajcos2 a+sin2a)
4 cos2 a
4
sin a sin2 2a
4
3.092.
4
a a
tg- -ctg-
. a . a
tg~ + ctg-
194


Решение.
.ос а . 2 ос 2 ос
sin— cos— sin —cos —
2 2 2 2
а а
tg 2 ~ctS j
а а
tg2+dgy
а
cos —
2
. а
sin —
2
. а
sin —
2 .
а
cos —
^—3-
а . а
cos — sin —
2 2
. i а 2 <x
sin" — + cos —
2 2
. •> ос 2 ос
= Sin" COS — :
2 2
а . а а . а
cos — sin — cos — sm —
2 2 2 2
=4 cos^
( 2 ОС . 2 ОЛ
= 4 COS Sin — =-C
1 2 2j
Ответ: -cosa.
cos2 a-ctg2a+l
3.093. —1 -i -•
sin a+tg a-1
Решение.
2 cos a ,
2 . 2 , COS a ^—+1
cos a-ctg a+l_ sin2 a _
sin2 a + tg2a-1 . 2 sin2a ,
sin a+—5 1
cos a
sin2 a cos2 a - cos2 a + sin2 a
sin2 a -cos2 a ,
■ 2 2 '2 2 '2 s
sin acos a+sin a-cos^a sin a
Ответ: ctg a.
cos^a-gQ'j+ctg'lpO' + 2a)+l
3094- sin2^a-270,)+tg2,£70'' + 2a)+l'
Решение.
cos2^a-90,)+ctg2^0J+2a}+l _
sin2 £a - 270 )+ tg2 (270" + 2a)+1
195


(=os(90°-2qjf + (itgpo'+ 2af +1 sin22a + tg22a + l
(- sin^70* - 2a|f + (tg^70° + 2a jf +1 cos2 2a+ctg2 2a+1
. 2-, sin2 2a , sin2 2a cos2 2a + sin2 2a + cos2 2a
sin 2a+—j Hi j
or 2a cos 2a
2„ cos 2a , sin22acos22a + cos22a + sin 2a
cos 2a+—j " 2
sin 2a sin 2a
sin2 2a у
= ^r—- = tg22a
cos 2a
Ответ: tg2 2a.
3.095.
sin2! 4a-
ctgj-7t-2a +td-~Ji + 2a
Решение.
sin | 4a-- -sin --4a
ctgl -n-2a + tg -rc+2a ctgI-n-2a + td -n+2a
cos 4a cos2 4a cos2 4a
tg2a-ctg2a sin2a cos2a sin2 2a-cos2 2a
cos 2a sin 2a sin2acos2a
cos2 4asin2acos2a cos2 4asin2acos2a _
cos2 2a - sin2 2a cos4a
cos 4a-2 sin 2a cos 2a _ cos4asin4a _
2 2
_2cos4asin4a _ sin8a
4 4~'
Ответ: —sin 8a.
4


1 l-cos(4ct-;i)
2tgfVaVfa--5] + sin32a
3.096.
2tp( — ТГ — CL 1сО!г1 Ct-
1
2ct^ a+-rc pin2 a — it
Решение.
l-cos(4a-7i)
2tgf|I:-alcos2r- ^ sin32a
1
2ctgfa + |7tjsin2fa-|7tj 2t/-7t-a
1- cos (n -4a) ■ 1
sin3 2a (2 У /3
2ctg -тг+a -sin —тг-а
I2 I I2
1 l+cos4a 1
- + -
2ctgasin2a sin32a -2tgacos2a 2cosa ;in2a
sin a
1 + 2cos22a-l 1 1 2cos22a
+ ; + ^r~- = ^~. ~ + , +
sin 2a cos2 a 2sinacosa sin 2a
cos a
1 _ 1 2 cos2 2a 1 _2sin22a + 2cos22a
2sinacosa sin2a sin3 2a sin2a sin3 2a
2 (sin2 2a + cos 2a) _ 2
sin3 2a sin3 2a
2
Ответ: . -i „ •
sin 2a
197


cos2g+2sin2(a-;i) cos2 a+4sina+sin2 (a+n)
3097' cos3(a-4n) + cosa(4sina+l) '.
Решение.
cos2a+2sin2(a-;t) cos2a+4sma+sin2(a+;i)
cos3(a-4rc) cosa(4sina+l)
_ cos2 a+2 (- sin (it - a)f cos2a + 4sina+(sin(;i+a))2 _
(cos(4n-a))3 cosa^tsina+1)
cos2a+2sin2a cos2a+4sina+sin2a cos2a+2sin2a
-+
cos3a cosa(4sina+l) cos3a
l+4sina cos a+2sin2a 1 _cos2a+2sin2'a + cos2a
cosa(4sina+l) cos3a cosa cos3a
_2cos2a+2sin2a_2(cos2a+sin2a)= 2
cos a cos a cos3 a
2
Ответ: з
cos a
3.098. sin 2a—л + cos 2a--rc +cos -rc + 2a
{ 2 j { 3 J [3
Решение.
Пусть
A" = sin 2a—к Ucos 2a—тг +cos —7r+2a =
= -sin —я-2а +cos -тс-2а +cos —тс+2а
I2 J I3 J I3
-sin —rc-2a |=cos2a;
cos -rc-2a =cos 2a =cos Згс- —н2а
\3 J \ 3 J I I3 .
= -cog —+2a = -cos—cos2a+sin— sin2a = -— cos2a+—sin2a;
13 3 3 2 2


(Л \ Л 1 Л [Ч
—7i+2a = cos — 7icos2a-sin—7isin2a = —cos2a sin2a.
3 J 3 3 2 2
i -Уз i -Уз
A" = cos2a— cos2a+—sin2a—cos2a sin2a = 0.
2 2 2 2
Ответ: О.
3099 4sin2(a-5n)-sin2(2a + n)
cos2 2a—rc ]-4 + 4sin2a
Решение.
4sin2(a-5n)-sin2(2a+n) _ 4(-sin(5;i-a))2-(sin(n + 2a))2 _
со82Г2а-|п|-4+48т2а fco/in-2all -4+4sin2a
4sin2a-sin22a _ 4sin2a-4sin2acos2a _
sin22a-4+4sin2a 4sin2acos2a-4+4(l-cos2a)
4sin2a(l-cos2a) 4sin2 asin2 a
4(l-cos2a)cos2a-4+4-4cos2a 4 cos2 a-4 cos4 a-4 cos2 a
4 sin4 a
4 cos a
=-tg*a.
Ответ: - tg4 a.
3.100. sin2 -rc + a -sin2[ —rc-a
Решение.
■ if9 ) . г(17
sin -rc+a -sin
я_а)=^*ШЕ+а)] -Jsiijl^-aj =
= siiJrc+ - + a 111 -I sin|2rc+[ ^-a 111 =sin2| ^+a |-sin2| ^-a 1=
199


1-соя-+2а 1-соя—2а , соя-+2а , cod--
■2а
2 2 2 2 2 2
= 2 m\ 2 ~2а rcosj т +2а =2 -2sin~sin(-2a)
= —— (-sin2a)=—sin2a= -i=sin2a.
2 '2 J2
Ответ: —=sin2a.
3.101. ctg(4a-nj cos4! - л-2а -sin4! -n-2a 11.
ctg(4a-n)| cos4 -rc-2a -sin4 — л-2a
=-ctg(rc-4a) cos
(4-k + k
is ———
2a - sin
(&Ж + К
n —
2a
= -ctg(n-4aJ||cos|n+|--2a III -Isinl 2n+|--2a |
= ctg4a cos4 --2a -sin4--2a
= ctg4a
= ctg4acos| --4a |= sin4a = cos4a.
1 2 J sin4a
Ответ: cos4a.
200


cos2 — n-2a -sin2 — rc-2a
I4 J L4
3.102. ( a . aY (. a] (n a),.
cos— + sin — cos 2л — + cos — + — ma
I 2 4 I 2J I2 2.
Решение.
cos2 -7r-2a -sin2 -7r-2a
и J и
cos —+ sin— cod 2rc +cos —+ — sina
{ 2 2 I \ 2 J [2 2JJ
(5 . ) (4n + n л Л
cos -rc-4a cos 4a
i2 J ._ L2 _J
I a . а У а . о . I 2 a • 20 ■
cos—hsin— cos sin— sina cos sin — sma
2 2 2 2 2 2
cod 2n+ --4a 2cos ~-4a
[ (2 jj= [2 J=2sin4a.
cosasina 2cosasina sin2a
4sin2acos2a
= 4cos2a.
-гс-a U+sin2a)
sin 2a
Ответ: 4cos2a.
3.103. — (5
cos —л-2a
I2
бешеные.
tg -гс-a Il + sin2a) ta — a ll+sin2a)
(5 Tl f4rc + jt .
cos -л-2а cog —- 2a
201


Jn+ --a ll + sin2a) tg--a Il + sin2a)
cos]27t + |--2a|| cos|y-2a
ta - - a (1 + sin 2a)
sin —2a
Ц L.(i + Sjn2a)
1+cos —2a
U
sin 2a sin 20
cos2a
•(l+sin2a) -
v ' cos 2a
:I + sin2a = ^^ = ctg2a.
sin2a sin2a
Ответ: ctg2a.
tg2a
3.104.
tg4a-tg2a
Решение.
tg2a _ tg2a _ tg2a(l-tg22a) l-tg22a
tg4a-tg2a~ 2tg2a tg2a(2-l + tg22a) l + tg22a~
l-tg22a
sin22a cos 2a-sin22a
= cos22a=__^osi2cL__ = cos22a_sin22a = cos4a
, sin 2a cos 2a + sin 2a
cos 2a cos 2a
Ответ: cos 4a.
sin6q cos(6a-fl)
sjn2a cos2a
Решение.
sjn6a cos(6a-7r)_ sin6a cos(7r-6a)_ sin6a cos6a _
sjn2a cos2a sjn2a cos2a sjn2a cos2a
202


sin6acos2a-cos6asin2a sin4a 2sin4a
sin2acos2a sin2acos2a 2sjn2acos2a
2sin4a ,
Ответ: 2.
1 + cos (4a - 2и)+cos 4a —
3.106.
l+cos(4a + 7i)+cos| 4a+—7i
Решение.
l+cos(4a-2n)+cos[4a-— l + cos(2ii-4a)+cos—4a
l+cos(4a+n)+cos 4a + — л l + cos(n+4a)+cos —rc+4a
l + cos4a + sin4a l + 2cos22a-l + 2sin2acos2a
l-cos4a + sin4a l-(l-2sin22a)+2s>n2acos2a
_ 2cos22a+2sin2acos2a _ 2cos2a(cos2a + sin2a)_ cos2a _
2sin22a+2sin2acos2a 2sin2a(sm2a + cos2a) sin2a
Ответ: ctg2a.
sin(2a + 2;t)+2sin(4a-;t)+sin(6a + 4;t)
' cos(6it-2a)+2cos(4a-it)+cos(6a—4n)
Решение.
sin(2a+2;i)+2sin(4a-;i)+sin(6a+4;i)
cos(6n-2a)+2cos(4a-n)+cos(6a-4ji)
_ sin(2n+2a)-2sin(;i-4a)+sin(4;i + 6a) _ sin2a-2sin4a+sin6a
cos(6jt-2a)+2cos(n-4a)+cos(4n-6a) cos2a-2cos4a+cos6a
_ 2sin4acos2a-2sin4a _ 2sm4a(cos2a-l) _ sin4a _
2cos4acos2a-2cos4a 2cos4a(cos2a-l) cos4a
Ответ: tg4a.
203


4sinj —7i + a
3.108. - \~ 7
3 a 2(3
«nrri
Решение.
4 sin —n + a.
tg2(f*-f)-ctg>(
4sinl 2n+
KH)H
4cosa
2 a .2a
cos — sin —
. 2« 2a
sin — cos —
2 2
4 cos a sin2
H) (■
H
' /3 сЛ
Ctg —74
. V 2)
4cosa
4a
cos —sin
2
sin —cos
2
a , a
—cos —
2 2
-G
1
4a
i
a
7
4sin
a"
n —
2
4 sin
2 a
=
Г471 + 71
\)b
f+a)
-2«
-tg2-
+a
/3 aN
i— 7IH
I2 2,
ctg:
U
4 cos a
га
2
-tg2
a
2
cos a
Ответ: sin a.
smi
3.109.
(2a + B)+sin(2a-B)-cos| -7i-2a
cos(2a + B)+cos(2a-B)-sin —7i + 2a
204


Решение.
sin(2a+B)+sin(2a-B)-cos -тс-2а|
v fi \- fi ^2 j_2sin2acosB + sm2a _
cos(2a+B)+cos(2a-B)-sin -rc+2a p
sin2a(2cosB + l) sin2a „
= 7 —т = = tg2a.
cos2a(2cosB + l) cos2a
Ответ: tg2a.
cos 3a + cos4a + cos 5a
3.110. -— — ——
sin 3a+sin4a+sin 5a
Решение.
cos3a + cos4a + cos5a 2cos4acosa + cos4a _ cos4a(2cosa + l)_
sin3a + sjn4a + sin5a 2sin4acosa + sin4a sin4a(2cosa + l)
cos4a
= —-r- = ctg4a
sin4a
Ответ: ctg4a.
cos2 —rc-2a + 4cos2 — rc-a -4
l+cos(4a-n)-8sm2(5n-a)
Решение.
cos2 —я-2a +4cos2 —n-a -4
1 + cos(4a - 7t)- 8sin2 (5л - a)
( (4n + n . Yf J (бл + тс Yf „
cos — 2a +4 cos a 11 -4
1 + cos(rc- 4a)- 8^in(5n - a)f
|cos|2n + [--2a||| +4cos|3n + f--a HI -4
l + cos(rc-4a)-8(sin(5rc-a))2
205


cos all + cos a I sin22a + 4sin2a-4
l-cos4a-8sjn a l-cos4a-8sin a
4sin2acos2a-4(l-sin2a)_4sin2acos2a-4cos2a
l-(l-2sin22a)-8sin2a 2sin22a-8sin2a
4cos alsin a-l) -4cos acos a -4cos4a
8sin2acos a-8sin2a 8sin a(cos a-lj -8sin2asin a
cos4 a
-ctg'a.
2 sin a 2
1 4
Ответ: —ctg a.
5. ) . (л a
cos — 7i-a km — + —
2 2 2
3.112.
2frc-aY_ . rc-a [3
cos 2sm + cos — тт-a
4 I 2 2
Решение.
5
cos —
2
V (it a
л-a sum — ч—
J 12 2
2fn-aY. . rc-a (3
cos 2sm + соя—rc-a
I 4 I 2 Ь
/Чгс+гс V fi a
cos| —- o. jsin — + --
2 2
2frc aY„ . frc О.Л (3
cos 2siw +cos -rc-a
4 4 1 12 2
cos 2rc + —a sin —+ —
2frc a.Y. .fit a) (3
cos 2sira +cos -тт-a
4 4 1 (2 2 2
206


2 a |cosy 2sinacos-
i fn a
+ cod
\2 2
2 cos— sjna
1 + sin — 2cos~-sina
2 1 2
2 I 2
2sinacos— 2sinacos—
2 2
(, . aL a . . a a
1+sin— 2cos 2sin—cos —
2 I 2 2 2
. . a a . a
2sm —cos— 2sin —
2 2 2__
2tg,
• 2« 2 a a 2
-sin — cos — cos —
2 2 2
tt
Ответ; 2tg—.
l + cosa + cos2a + cos3a
3.113. : ; 2 : ■
cosa+2cos a-1
Решение.
l+cosa + cos2a + cos3a _ 1 + cos2a + (cos a + cos 3a) _
cos a+2 cos2 a -1 cosa+2 cos2 a -1
_ l+cos2a+2cos2acosa _ l + 2cos2a-l + 2(2cos2a-l]cosa _
cosa+2 cos2 a-1 cosa + 2cos2 a-1
_ 2cosatcosa+2cos2 a-l)
cosa + 2cos2 a-1
Ответ; 2 cos a.
-2 cos a.
Преобразовать в произведение (3.114—3.147):
3.114. sin4a-2cos22a+l.
Решение.
sm4a-cos4a = sin4a-sin(90D-4a)=2cos45Dsin(4a-45D)=r
= 2 — sJn^a-45D)=V2sin^a-45D).
Ответ: •j2sin^la-45°).
207


3.115. tgy + ctgy+2.
Решение.
.a a . 2 a -> a
sin— cos— sin — +cos" —
tg^ + ctg^+2 = -A + —2. + 2- 2 2..
2 2 a . a a . a
cos— sin— cos —sin —
2 2 2 2
1 . 2 2 2+2sina
= + 2 = + 2 = +2 = =
.a a . a a sina sina
sin—cos— 2sin—cos —
2 2 2 2
Ж Ж
f тс ^ —+ a —a
iA • 1 2 sin- + sina 22sin-2 cos-2
_2Q + sina)_ [ 2 j_ 2 2
sina sina sina
4sin - + — V°4 4sin - -
sina sina
. . fit oV fi a4! 2fn <x>
4sin — н— Bin—+ — 4sin —+ —
sina sina
ж a V -i
- + — sin a.
4 2f
4sin — + — Pin a.
4 2 P
Ответ: 4 sin
3.116. cos a-sin a.
Решение.
_4 . _4 1 1 sin a-cos a
cos a-sm a = —- -z— = ^ ^— =
cos a sin a cos a sin a
_ -16(cos4 a-sin4 a)_ -16(cos2 a-sin2 a)(cos2 a+sin2 a)_
16sin4acos4a sin4 2a
-16cos2a ,, cos2a 1 ,, „ . _3„
= д = -16 — = -16ctg2asin 2a.
sin 2a sin2a sin 2a
Ответ: -16ctg2asin"32a.
208


tg a-tg a
ЗЛ17- ctg4a-ctgV
Решение.
tg4a-tg6a _ Ji£(x-ti£a_ - tg4"^-tg';")
ctg'a-^a 1 1 b^tgjjx
tg4a tg2a tg«a
tg4a(l-tg2aj 4 8
= _ё—s_6—'tg a = tg a.
1-tg a
Ответ: tg8a.
3.118. l-3tg2(a + 270").
Решение.
l-3tg2(a+270")=l-3(tg^70"+a))!=l-3ctg2a=4f---ctg2a |=
\ & ]1 S , ) .(l S cosaYl S cose;
--—ctga -+—-ctga =4 --——.— -+—■-—
2 2 12 2 112 2 sina 12 2 sum
1 . S 1 V3
-srna cosa —sinan cosa
M 2 2 2 2
sina sina
4(sfflacos60° -cosasin60°J(sinacos60° +cosasin60°)_
_ 4sin(a - 60° )sin(a+60°)
Ответ/ 4sin(a-60°)sin(a + 60°)sin""2a.
3.119. l-3tg2(a-180°).
Решение.
l-3tg2(a-18ff)=l-3(-tg(l8ff-a)J =
209


= l-3tg2a=4[---tg2a =4--—tga -+—tga
1 >/J small Ji_ sin a
2 2 cosa I 2 2 cosa
1 ,/S . Yl ,/S . '
-cosa sma -cosan sina
2 2 2 2
_4(sin30"cosa-cos30°sina|sin30'cosa + cos30''sina)
cos2 a
_ 4sin(30° - ajsin^O' +a)
cos2 a
Ответ: 4sin(30° -ajsjn(30e + a)cos~2 a.
3.120. tg2fa--n -ctg2 a+-n
tg'|a--n -ctg2[a+-n = -tg -я-a - ctg -л+a
= ctg a-
sin a cos a sin acos a
4|cos2 a-sin2aJ(cos2a+sin2a) 4cos2a
4sin2acos2a sin2 2a
Ответ: 4cos2asin~2 2a.
3.121. 3sin2(a-270")-cos2(a+270°).
Решение.
3sin2^-270°)-cos2(a + 270°)=3(-sin^70° -af -(cos£>70° +a| =
= 3^in£>70° - af - (cos(270" + ajf = 3 cos2 a - sin2 a =
210


/3 2 I . 2 } IS 1 . Тл/З 1 . "|
= 4—cos a—sm a =4—cosa—sina—cosan—sina =
V 4 J I2 2 i2 2 J
= 4(cos30Dcosa-sin30°sinaJtcos30°cosa + sin30Dsina)=
= 4cos(30° +a)cos(30° -a).
Ответ: 4cos(30" +a)cos(30" -a)
3.122. sin'!^x + 90'')-3cos2(a-90''J
Решение.
sin2 (a + 90°)- 3 cos2 (a - 90° )= (sin (90° + a)} - З^дафо" - of =
= cos2a-3sin2a = 4 —cos2 a—sin2 a =
И 4 J
h S . Yi S .
= 4 —cosa sina —cosan sma
= 4sin(30° -сфкфо" +a).
Ответ: 4sin(30° -a)sin(30° +a).
3.123. sin2[p--|-cos2[a — ж
sin2(p-^j-cos2(a--jij= -sin[*-|5j - cod-y-a
( . (ж „Yf ( (Ъж
= sin —В - cos a
I I2 JJ I I2
_l+cos2(i l-cos2a_l cos2p 1 cos2a _
2 2 2+^2 2+ 2
= —(cos2a+cos2p)=-'2cos(a+|3)cos(a~|3)=cos(a+|3)cos(a-3)
Ответ: cos(a + p)cos(a - p)
211


атэ-Wff,-.,.
Решение.
3-4cosf^-aV3-4.-' + COs(3'I-2a) =
I2 J 2
= 3-2-2cos(3n-2a)=l-2cos(3n-2a) =
= l + 2cos2a = 2 — + cos2a =2 cos —+cos2a =
I2 J I 3 J
= 2-2cos — + a cos —a =4cos| —+ a cos —a
6 6 \6 U
Ответ; 4 cos —+ a cos —a
I6 J I6
.2 "
Решение.
3.125. 3-4sin2|--a
3-4sin^-al=3-4.bcos('I-2«) =
I2 J 2
= 3-2+2cos(7r-2a) = l + 2cos(7r-2a)=l-2cos2a =
= 2 —cos2a =2 cos —-cos2a
= 2 • - 2 sin — + a sin — a = -4 sin — + a sin — a
I I6 J I6 )) I6 J I6 J
л . (n V ( к
= 4sin — + a sin <x- —
Ответ: 4 sin —+ a sin a —
6 6
212


3.126. l + cos|^+3a l-sin -7t-3a + ctg -n + 3a
Решение.
1+cosf —+3a -sin — n-3a +ctd —7t+3a
=;l-sin3a + cos3a-tg3a = l-sin3a + cos3a =
cos 3a
_ (cos3a-sin3a)cos3a+cos3a-sin3a_ (cos3a-sin3aXcos3a + l)^
cos 3a cos 3a
cos3a-cos —3a j |(cos3a + cos27r)
-2sin —
4
-2Л.
2
2,/2cos2
sin
sin
;3a
2
3a-
f3a
■ 1
cos
71
71
~4
7U
3a
■2cosj
cos3a
w-
cos 3a
-3a]
71 +
cos
3a ^
3a ^
2
CO!
(-
{-?)
3a ^
cos —
2 1
cos 3a
2,/2cos2^sinf*-3a
Ответ:
cos 3a
3.127. l + cospa+270°)+sin£a + 450°).
Решение.
l + cos^a + 270°)+sin^a + 450°)=l + cos^70° +2a)+sin(450° + 2a)
= l+sin2a+cos2a = cos2a+sin2a+2sinacosa+cos2a-sin2a =
= (cos2a+2sinacosa+sin2a)+(cosa-sinaXcosa+sina) =
= (cos a+sin a)2 + (cos a - sin aXcos a+sin a)=


= (cosa + sinaXcosa + sina +cosa- sina) =
= 2(cosa + sina)cosa = 2(cosa+cos(90D -aj)cosa =
= 2 ■ 2 cos45° cos(jx - 45° )cos a=4 cos (a - 45° jcos a =
= 2V2cosacos(jx-45D)=2-^cosacos(45° -a).
Ответ: cosacos45 -a .
3.128. l-cos(2a-270D}fsin(2a+270o).
Решение.
l-cos(za-270D)+siti^a+27(r)=l-cos(z7(r-2a)+siti^70D+2a)=
= l + sin2a-cos2a = sh2a+cos2a+2sinacosa-(cos2a-sin2a)=
= (sina+cosa]P +sin2a-cos2a = (sina+cosa]P +
+ (sma+cosaXsina-cosa)=(sina+cosaXsina+cosa + sma-cosa)=
= 2(sina+cosa)sina—2(sina + sin(90°-ajjsjna =
= 2 -2 sin45° cos(a -45° Jsina = 4—sinacos(a -45° J=
= 2л/2 sinacos(a -45° )= 2^2 sinacos(45" - a).
Ответ: sm a cos
3.129. sm||7r-2a |+2sin2|2a--^|-l.
Решение.
sin|-K-2a +2sin2[2a—к 1—1 = sinf -7r-2a +2sin2f-7r-2a 1-1 =
= cos2a+2cos22a-l =cos2a+cos4a = 2cos3acosa =
= 2cosacos3a.
Ответ: 2cosacos3a.
3.130. l-cos(2a-n)-cos(4a+7r)+cos(6a-27r)
214


Решение.
l-cos(2a-7r)-cos(4a+7r)+cos(6a-27r) =
= l-cos(7r-2a)-cos(7r+4a)+cos(27r-6a)=
= l+cos2a + cos4a + cos6a = l+2cos2a-l + cos4a+cos6a =
= 2cos2a + cos4a + cos6a = 2cos a+2cos5acosa =
л / с i л л a+5a a-5a
= 2cosa(cosa+cos5a) = 2cosa-2cos——cos =
V ' 2 2
= 4cosacos3acos2a = 4cosacos2acos3a.
Ответ: 4cosacos2acos3a.
3.131. 1+ctg —я-4а Usin"1 —я+4а
I2 J I2
Решение.
\+сщ-п~4а +sin ' -7c+4a =l+ctg(-7c-4a |+
sid-7r+4a
, , . , 1 , sin4a 1 cos4a+sin4a+l
=l + tg4a+—_^i+_ — +—_. = 21 =
cos4a cos4a cos4a cos4a
_cos22a-sin22a+2sin2acos2a+cos22a+sirr2a
cos4a
_ (cos2a-sin2a)(pos2a+sin2a)+(cos2a+sin2a)2 _
cos4a
- (ras2a+sin2aXcos2a-sin2a+cos2a+sin2a)_2(cos2a+sin2a)cos2a
cos4a cos4a
2cos2oJ cos2a+cod y-2a 2cos2a-2cos-cosJ2a-- |
cos4a cos4a
2V2cos2acos2a— 2V2cos2acod —-2a
cos4a cos4a
2v2cos2acod —2a
Ответ:
cos 4a
215


sjna-2cos3a-sin5a
3.132. т—г —.
cosa-2sm3a-cos5a
Решение.
sina-2cos3a-sin5a _ (sina-sin5a)-2cos3a
cosa-2sin3a-cos5a (cosa-cos5a)-2sin3a
2cos3asin(-2a)-2cos3a _ -2cos3asin2a-2cos3a _
-2sin3asin(-2a)-2sin3a 2sin3asin2a-2sin3a
_-2cos3a(sin2a+l)_ , sin2a+l _ , l + sin2a_
~ 2sin3a(sin2a-llJ sin2a-l l-sin2a
-+sin2a 2sinl7 + arslj~a
i =ctg3a f 1 У4 U
--sin2a 2oosj-+a siiJ--a
соя—-аюоя—-a cos —-a
= ctg3a 1= |-ii—J=ctg3a £ }=a.giaai\^-a\
sinl—a siJ—a sin2---' *
I4 J I4 J I4
Ответ: ctg3actg2 --a
Решение.
= 2соА^-^уЛсо1^к-а\-\ =
= 2sin2 V3sina-l = l-cosa + -\/3sina-l =
2


f 1 JJ
- cos a + V3 sin a = -2 — cos a - — sin a
~2 sin—cos a-cos —sin a = -2sid —a =2sin a—
6 6 и e,
Ответ: 2 sin a—
{ 6
„„, sin4a + sin5a + sin6a
3.134. .
cos4a+cos5a+cos6a
Решение.
sin4a + sin5a + sin6g _ (sjn4a + sin6a)+sjn5a _
cos4a+cos5a + cos6a (cos4a + cos6a)+cos5a
_ 2sin5acosa + sin5a _ sjn5a(2cosa+l) _ sin5a _ _
2 cos 5acos a + cos5a cos5a(2 cos a +1) cos5a
Ответ: tg5oc
3.135. -cos5acos4a-cos4acos3a + 2cos 2acosa.
Решение.
- cos 5acos4a - cos4acos 3a + 2 cos2 2acos a =
= - cos 4a(cos 5a + cos 3a)+2 cos" 2a cos a -
= -cos4a-2cos4acosa + 2cos2 2acosa =
= -2cos 4a,cosa + 2cos2 2acosa = -2cosa(cos2 4a-cos2 2aJ=
= -2 cos a(cos 4a - cos 2aXcos 4a + cos 2a) =
=-2 cos a(-2 sin 3asin a) ■ 2 cos 3a cos a =
= 2cosa(2sinacosaX2sin3acos3a)=2cosasin2asin6a.
Ответ: 2cosasjn2asjn6a.
3.136. sinl0asin8a + sin8asjn6a-sin4asin2a.
Решение.
sinl Oa sin 8a + sin8asin6a- sin 4a sin 2a. =
= sin8a(sinl0a + sin6a)-sin4asin2a =
= 2sin8asjn8acos2a-sin4asjn2a =
217


= 2 sin2 8acos 2a - sin4a sin 2a =
= 2sjn2 8acos2a-2sin2acos2asjn2a=
= 2sin28acos2a-2sin2 2acos2a=; 2 cos2a|sin2 8a-sin 2a)=
= 2 cos 2a(sin 8a - sin2aXsin 8a + sin 2a)=
= 2cos2a-2cos5asin3a-2sin5acos3a =
= 2cos2a(2sin3acos3aX2sin5acos5a) = 2cos2asin6asinl0a.
Ответ: 2cos2asin6asinl0a.
cos 7a - cos 8a - cos 9a + cos 1 Oa
3 137 .
sin7a - sin8a - sin 9a + sinl Oa
Решение.
cos7a-cos8a-cos9a + cosl0a _ (coslOa+cos7a)-(cos9a + cos8a)_
sin 7a- sin8a- sin9a + s jnl Oa (sinl0a+sin7a)-(sjn9a + sin8a)
- 17a 3a - 17a a 2roSl7afros3a £
2cos~—cos—-2cos—-cos— -^cos^- C0S^T-T
^22 2 2 ^ 2 I 2 2
. . 17a 3a . . 17a a . . i7af 3a a
2sm-— cos——2sm—- cos— 2sin— cos— - —
2 2 22 2^22
17a
C0ST^ Ha
= — = ctg .
.17a Б 2
sin
2
. 17«
Ответ/ ctg—-.
3.138. sin5a-sin6a-sin7a + sin8a
Решение.
sin5a—Sin6a-sin7a + sin8a=(sin8a + sin5a)-(sin7a + sin6a)=
_ . 13a 3a . . 13a a . . I3af 3a a\
= 2sm cos 2sin cos— = 2sm cos cos— =
2 2 22 2^2 2 )
_ . l3af . . . a\ . . a . . 13a
— 2sin-— -2sinasm— =-4sin — srnasin .
2 2 2 2
. . a . . 13a
Ответ: -4sin—sinasin—.


3.139. cos3a-cos4a-cos5a+cos6a.
Решение.
cos3a-cos4a-cos5a + cos6a = (cos6a + cos3a)-(cos5a+cos4a) =
. 9a 3a 9a a , 9af За а\
-2C0S COS /COS COS——/COS COS COS— -
2 2 22 2^2 2 )
. 9a < . . аЛ . . a . 9a
-2cos -2smasin— = -4sin—sinacos—.
2 2 2 2
, • a ■ 9a
Ответ: -4sm—sinacos —.
2 2
sinl3a + sinl4a + sinl5a + sinl6a
3.140.
cosl3a + cosl4a + cosl5a+cosl6a
Решение. '
sinl3a + sinl4a + sinl5a + sinl6a
cosl3a+cosl4a+cosl5a + cosl6a
(sinl6a + sinl3a) + (sinl5a + sinl4a)
(cosl6a + cosl3a) + (cosl5a + cosl4a)
90*v 3 90*v r* 29a ( Ъ а ^
2sin—cos-a + 2sin^a-cos- 2sin— cos-a + cos-
_ 2 2 22^ 2 I 2 2 j
29a 3 . 29a a T 29a Г 3 a
2cos —-cos-a+2cos—-cos — 2cos cos-a + cos —
22 22 2^2 2
- - 29a
JSm— . 29a
, 29a g 2 '
2 cos
2
. 29«
Ответ: Щ-^г--
3.141. sin2a + sin4a + sin6a.
sin2a + sin4a + sin6a = (sin2a + sin4a)+sin2(3a)=
-2sin3acosa+2sin3acos3a = 2sin3a(cosa + cos 3a)=
-2sin3a-2cos2acosa = 4sin3acos2acosa.
219


Ответ: 4sin3acos2acosot
3.142. sin5a + sin6a+sin7a + sin8a.
Решение.
Sin5a+sin6a + sin7a + sin8a = (sin5a + sin6a)+(sin7a + sin8a) =
_ . 1 la a . . 15a a , a ( . 1 la . 15a ^
— 2sin cos —+ 2sm cos —= 2cos — sin hsin =
2 2 2 2 2[ 2 2 )
„ a . . 13a a . 13a
= 2 cos — -2sin cos a -4cos— cos asm .
2 2 2 2
„ л a 13a
Ответ: 4cos—cosasin —-.
3.143. cos5a+cos8a + cos9a + cosl2a.
Решение.
cos5a + cos8a + cos9a + cosl2a = (cos5a + cos8a)+(cos9a + cosl2a) =
. 13a 3a . 21a 3a . 3a ( 13a 21a "|
— 2cos cos h2cos cos—=2cos— cos + cos \-
22 22 2^2 2 J
3a ., 17a . . 3a . 17a
~2cos 2 cos cos2a = 4cos — cos2acos .
2 2 2 2
_ . 3a . 17a
Ответ: 4cos — cos2acos .
2 2
3.144. 3 + 4cos4a+cos8a.
Решение.
3+4cos4a+cos8a=3+4(2cos22a—l)+2cos24a-l =
= 3 + 8cos22a-4 + 2pcos22a-l)2-l =
= 8cos22a+2(4cos42a-4cos42a+l)-2 =
= 8cos22a + 8cos42a-8cos22a+2-2=8cos42a.
Ответ: 8 cos 2a.
3.145. .Jtga+sina —Jtga-sina, 0<a<-.
Решение.
т/tga+sma-Jtga-sina =^tga(l+cosa)-^tga(l-cosa) =
220


= Vtga+sma-.Jtga-sma=-v/tga(l+cosa)-,/tga(l-cosa) =
= Vtga-i/l + cosa-Vtga-Vl-cosa = ^tga(1/l + cosa-Vl-cosa):
= Vtg^Ul + 2a>S2|~l~Jl~fl~2Sin2|
FT.—( o. ■ a\ it-—( a (n a
= V2tga oosj-sinj =^2tga cosj-cod--y
i/2 tg a
-2sin
о i_o a 7t a
2 2 2.;„2~2" 2
. pr-— . 7t . f a я
-^tgasm-smU--
-1 FT,— -J2 . (а теЛ _ г— . (n a
= -2j2tga-TSii^I--J=2,/tgaSin^--I
= 2V^Sin^^ + f))=2^co^ + |
Ответ: 2 Jtg a cos — + —
v & I 4 2
3.146. l + sin2a-cos2a-tg2a.
Решение.
sin 2a
H-sin2a-cos2a-tg2a-l + sin2a-cos2a-
cos2a
_cos2a-(cos2a-sin2a)cos2a-sin2a _
cos 2a
_ (cos 2a - sin 2a) - (cos 2a - sin 2a)cos 2a _ (cos 2a - sin 2a)(i - cos 2a) _
cos 2a cos 2a
cos2a-cos —-2a (cos2л-cos2a)
cos 2a
- 2 sin — sin 2a - — Г- 2 sinfa + a)sin(7C - a))
cos 2a
221


-2- —sin|2a--](-2sin2a) 2V2sin2asin2[ 2a-- j
cos 2a cos 2a
• 2v2sin2acos -- + 2a
4
cos 2a
2v2 sin2acos —+ 2a
Ответ: -
cos 2a .
3.174. sin2a + sin4a-sin6a.
Решение.
sin2a+sin4a-sin6a = sin2a + sin4a-sin2(3a) =
= 2 sin 3a cos a - 2 sin 3a cos 3a = 2 sin 3a(cos a - cos 3a) =
= 2 sin 3a- (-2 sin 2asin(-a)) = 4sin3asin 2asin a.
Omeem:4sin3asin2asina.
Доказать справедливость равенств (3.148—3.152):
3.148. (sin 160° + sin 40°)(sin 140° + sin 20°) + (sin 50° - sin 70°) x
x(sinl30°-sinll0°) = l.
Решение.
(Sinl600+sin400)(sinl400+sin200)+(sin500-sin700)(sinl300-sinll0°) =
= (sin(l80o-20o) + sin40o)(sin(l80o-40o)+sin20°) +
= (sin 50° - sin 70°)(sin(l 80° - 50°) - sin(l 80° - 70°)) =
= (sin20o + sin40o)(sin40o + sin20o)+(sin50o-sin70o)(sin50o-sin70D)-
= (sin20o+sin40°)2+(sin50o-sin70°)2 =(2sin30°cosl0°)2+
+(2cos6O3sint0°)2= |2-cosl0° I +|2--sinl0° I =cos2 !0°+sin2l0° = l.
Равенство справедливо.
3.149. (cos34T1+Ug56Tl =ctg28°.
222


Решение.
tos34°r +(tg56°r = + ctg56° =—t \ + ctg56°
v ; V ; cos34" cra^O--56*)
1 cos56° l+cos56° _l+cos2^8°)_l+2cos228°-l_
sin56° sin56° sin56° sin2(28°) 2sin28Dcos28"
2cos228° cos28°
= = r = ctg28 .
2 sin28 cos28 sin28
Равенство справедливо.
cos28°cos56° cos2°cos4° V3sin38°
3.150. — +-
sin2° sin28° 4sin2"sin28°
Решение.
cos28°cos56° , cos2°cos4° sin28°cos28Dcos56°+sin2"cos2Dcos4D
sin2° sin28° sin2°sin28"
4sin28° cos28° cos56° +4sin2° cos2° cos4° _
4sin2"cos28°
_ 2sin56° cos56° +2sjn4° cos4° _ sinl 12° + sin8° _
4sin2°cos28° 4sin2°cos28°
2sin60'cos52- 2^-cos^0"-38") jj^g.
4sin2°cos28° 4sin2°cos28° 4sin2°sin28'
Равенство справедливо.
3.151. l-2sin50° = 0,5cos_1160°.
Решение.
, „ . -„. (i-2sin50°)-2cosl60° 2cosl60' -4sin50°cos 160"
l-2sin50 = -* ' = =
2cosl60° 2cosl60°
2cosl60°-2^in(-110°)+sin2l0')_
2 cos 160"
-2sin50°)-2cosl60° 2cosl60°-4sin50°cosl60°
-l-2sin50°
2 cos 160" 2 cos 160°
223


_ (2cosl60P-2(sin(-110P) + sin210P) _ 2cosl6Q°+2sinl 10°-2sin210°
2cosl60° ~ 2cosl6QP
_ 2cos(180°-20°) + 2sin(90° + 20°)-2sin(180° + 30°) _
2 cos 160°
2.1
_-2cos20° + 2cos20° + 2sin30°_ 2_ _ _J
2cosl60° ' 2cosl60° 2cosl60°'
Равенство справедливо.
3.152. (cos70°+cos50°)(cos310° + cos290°) + (cos40° + cosl60°)x
x (cos320° - cos 380°) = 1.
Решение.
(cos 70° + cos 50°)(cos 310° + cos 290°) + (cos 40° + cos 160°) x
x(cos320°-cos380°) = (cos70° + cos50°)(cos(360o-50°)+cos(360p-70°)) +
+(cos(90° -50°) +cos(90° + 70°))(cos(270° + 50°) - cos(450°- 70°)) =
= (cos70°+cos50°)(cos70°+cos50°) + (sin50°-sin70°)(sin50°-sin70°) =
= (eos70°+cos50°)2 +(sin50°-sin70°)3 = (2 cos 60° cos 10")3 +
+ (2cos60°sin(-10°))2=|2-i.-cosl0°I +|-2- i sinl0° | =
Равенство справедливо.
Вычислить (3.153—3.166):
. 2 Ж 2 3lt . т 5П 2 7П
-1 154 Sin' - +COS hsin 1-COS .
J J' 8 8 8 8
Решение.
. ■> л 2 Згс . 2 5л 2 7ге
Sin - + COS hSIn 1-COS =
ж , Зп 5rc , 7rc
1-cos- 1+cos— 1-cos— 1 + cos —
= 4 + 4-+ -4.+ 4 :
2 2 2 2
224


и 4л-л 4п + п 87Г-7Г
4-COS — +COS COS hCOS
4 4 4 4
4 - COS—+ COS 71 -COS 71 + — +COS 27U
4 4 4 4
4-COS COS—+COS—+ COS — .
4 4 4 4-4=2
2 2
Ответ: 2.
3.154. tg435'+tg375\
Решение.
tg435° +tg375° = tg(450° -15")+tg(360* +15°)=
» ic » ic. cosl5° sinl5' cos215° + sin215°
= ctgl5 +tgl5 = - + =
sinl5° cosl5° sinl5°cosl5°
i -> -> -)
= =r = 4.
sinl5°cosl5° 2sinl5°cosl5° sin30° |
2
Ответ: 4.
3.155. tg255°-tgl95°.
Решение.
tg255°-tgl95°=tg£>70°-15°)-tg(l80°+15") =
cosl5° sinl5° cos215°-sin215°
= ctgl5 -tgl5 = = =
sinl5 cosl5 sinl5°cosl5°
cos30° 2cos30° 2cos30° „ „na „ r-
2ctg30° =2V3.
sinl5°cosl5° 2sinl5°cosl5* sin30
Ответ: 2>/з~.
3.156. sin -Tt-2 arctg-
Я М. И. Ска наем, группа А 225


Решение.
sin —7t-2arctg— = -cod2arctg—
2cos" arctg— -1 =
= 1-2 cos arctg- || =1-2
= 1-2
25 25'
Ответ: ~ •
13 5
3.157. ctg—я-ctg--п.
Решение.
.13 .5 t 1271+71 5 ( 71 > 571
Ctg Tt-Ctg — 7I = Ctg Ctg 7I = Ctg 7IH -ctg =
12 12 12 12 \ 12 J B12
к Sk . Ък к 5я . 7t
c cos— cos— sin—cos cos—sin—
= ctg—-ctg— 13- !2. = !2 12 12 12.,
12 12 „.-..t „•_ 5te ...ti^Si
sin— sin-
12 12

sm—stall 12
12
2sin-
1 f 4ti 6tc
— cos cos —
2 12 12
2-£
i 2_:
71 71 1 - '
COS COS— 0
3 2 2
2^3.
Ответ: 2>/з".
3.158. sin 2a + -7t
Решение.
если tga =
n 2a + -7t =sin +2a =sin тс+ 2a + —
4 4 4
-sin 2a + -
226


.. л _ . л VI . _ VI _
= -sm2acos— cos2asm— = sin2a cos2a =
4 4 2 2
•/2/. , , \ VI f 2tga l-tg2a"|
= (sin2a+cos2a) = —%,— + %r~ =
2 2 [l+tg2a l + tg2aj
44
_J2_ tg2a-2tga-l_V2 9 3 _ 17VI
2 1 + tg2 a ~ 2 ,4 26
9
_ 17^2
Ответ: .
26
Г 7 Л 2
3.159. cos 2aн—71 , если ctga = ~,
{ 4 ) 3
.Решение.
cos 2a + —я =cos +2a = соэ 2n+ 2a— =
1 4 J I 4 J \ [ 4jJ
(, lO -, л ... л VI . VI . _
= cos 2a— =cos2acos- + sin2asin- = —cos2a + — sin2a =
\ 4 J 4 4 2 2
VI/ . . . ч VIfl-tg2a 2tga "l
= — (cos2a+sin2a)=— =r—+—==— =
2 2 [l + tg2a l + tg2aj
| + __2 1_
_ V2fl+2tga-tgza'j_V2" ctga ctg'a^
2 [ l + tg2a J 2 , , 1
ctg2a
4 4
_VI ctg2a+2ctga-l VI 9 + 3 7 VI
~ 2 ct^a + l' "2 4 " 26 '
9
Ответ: .
26
227


3.160. , „ . - ■ если tga = 0,2.
6 + 7sin2a
Решение.
5 5 5 + 5tg2a
6+7sin2a 61 Htga 6+6tg2a+14tga
l + tg2a
5 + 50,04 _ 65
6+60,04 + 14 02 113'
Ответ: —r-
2
3.161. t—; T-, если tga = 0,2.
3+4cos2a
Решение.
2 2 2+2tg2a _2 + 2tg2a_
3+4cos2a 4-4tg2a 3+3tg2a+4-4tg2a 7-tg2a
l + tg2a
_2+2-0,04_26
7-0,04 87'
26
Ответ: rr-
ft ft
3.162. sina, если sin— +cos— = 1,4.
Решение.
sin— + cos— = 1,4 =э
2 2
=»sin2-+2sin"cos" + cos2- = l£6, (sin2 - + cos2 -1+ sina = 1£6,
2 22 2^2 2j
l+sina = l,96.
Тогда sina = l,96-l = 0,96.
Ответ: sina = 0,96.


3.163. sin2a, если sina-cosa = p.
Решение.
sina-cosa = p =>
=>sin2 a-2sinacosa + cos2 a- p2, l-sin2a = p2,
откуда sin2a = l-/j2.
Ответ: 1 - p .
3.164. 2-13cos2a + sin" 2a, если ctga = —.
Решение.
2-13cos2a + sirr12a = 2-13cos2a + —— = 2-13 13t.g—+
sin2a 1 + tg a
2 13 i#_ 1 + -V-
| 1 = 13-13tg2a | l + tg2a_2 ctg2a | ctg2a
2tgct 1+tg2 a 2tga n 1 2
l+tg2a ctg2a ctga
13 1
^ 13ctg;a-13|ctg;a+l=2 25 , 25+ =
ctg2a+l 2ctga J^+1 _2
25 5
= 2 13-325 1 + 25 2 | 312 26=2|12 13 = 57
1 + 25 2-5 26 10 5 5'
57
Ответ: —■
3.165. l + 5sin2a-3cos"'2a, если tga = -2.
Решение.
l + 5sin2a-3cos_12a = l + 5sin2a — = 1+ 10tg"
cos2a 1 + tg a l-tg2a
229


^u lOtgg 3 + 3tg2g=1|10(-2) 3 + 3(-2f _
l + tg2oc l-tg2a 1 + 4 1-4
= 1_^ + ll = 1_4 + 5 = 2.
5 3
Ответ: 2.
злее. ^ ^+a j-ts (т_04 если tE (т+2оТТГ
= tg^+[a+^]-tg^_[«3)]=tg[«+|)+tg(a-|)=
sin2a 2sin2a 2sin2a ... 2
^2tg2a = -
( k\ ( л\ я ,_„„,.->„ cos2a ctg2a
cos a+- cosJ a— cos- + cos2a Б
tgUp + 2a = tg(^+2aj=tgl3*+l^ + 2ajl=tgl^ + 2<x|
9
= -ctg2a = -,
2 2
ctg2a 9
11
22
Ответ: ~~г-
ctg2a =
22
9
9.
11'
3.167. Найти число ae ^">л , если известно, что tg2a = ——.
Решение.
2tga _ 12 2tga 12
l-tg2a 5' l-tg2a 5
= 0 =>
230


=>6tg2 a-5 tga-6 = 0 , откуда (tga), = — , что не подходит к решению
задачи, так как по условию угол принадлежит 2-й четверти и его
тангенс отрицателен, и (tgct^ = -— .
Отсюда, a = -arctg— + ти, neZ. Так как осе — ,к , то
t 2
a = -arctg — + 7C.
2
Ответ: я-arctg—.
3.168. Доказать, что если А и В — острые углы некоторого
прямоугольного треугольника, то sin2i4 + sin2£ = 4sini4sin£.
Решение.
sm2A + sm2B = AsmAsmB =>
=> 2 sin A cos A + 2 sin В cos В - 4 sin A sin В.
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° •
Отсюда А + В = 90', В = 90'-А, и
2sinAcQsA + 2smlpO° -A^oslpO0 -^)=4sin^sin^0° - л) =>
=^ 2 sin Л cos Л + 2 cos A sin Л = 4 sin Л cos Л,
4sin^cos^ = 4 sin ЛсовД
что и требовалось доказать.
3.169. Найти число р — < р < я , если известно, что tg(a + р) = — и
tga = -4 .
Решение.
BV v' l-tgatgp 19
-4 + tgJ} 9
Так как tga = -4 , то 1 + 4tgp_19'
231


P = -arctg5 + 7m,ne 2 . С учетом того, что Ре v71 , получим
j} = 7t-arctg5.
Ответ: P = ;i-arctg5.
4 4 1
3.170. Найти sin a+cos а если известно, что sina-cosa = - .
2
Решение.
sin4 a + cos4a = (sin2 a + cos2a/ -2sin2acos2a = l-2sin2acos2a.
Возведя обе части равенства sina-cosa = — в квадрат, получим
, , 1
sin a-2sinacosa+cos a-— .
4 '
откуда
3.2 2 9
sinacosa=—, sin acos a =—.
8 64
Подставив зто значение sin2 acos2 a в исходное равенство,
получим
■ ,, 4 ,,9.9 32-9 23
sin a+cos a = l-2— = 1 = = —.
64 32 32 32
23
Ответ: — ■
3.171. Дано: ctga = -,ctgP = -,0<a<~,0<p<|. Найти a+p\
Решение.
n 3 1 cosa cosB 25
ctga + ctgp = - + -, + —J- = —,
4 7 sina sinp 28
sin(icosa+cos(isina _25
sinasin(i 28
„ . 3 cosa 3 cos2a 9 l-sin2a 9
По условию ctga = -, —— = -, —5— = —, : = —, откуда
4 sina 4 sin2a 16 sin a 16
232


sin2ct = — и, так как ае\ °^J
4 , „ 1 cos2 В 1 l-sin2B l
since = -; ctgp = -,——!- = —, —^ =—
5 7'sin2B 49' sin2B 49'
sin B = — и.таккак Pe| ";— |,то
SinBs-p-s—r
V50 5V2 '
Подставляя полученные значения, получаем
sin(oc + e) 25 . , -ч Jl
, ч - -—, sin(ct+pl =— ,
•4 _7_ 28 v p' 2
5 5V2
откуда a + B = (-l)" — + ял,пе2;и учитывая ограничения на a, P , име-
ем a + |3 =—.
п Зл
Ответ: a + (J = —-.
4
3.172. Найти ctg2a, если известно, что sin|a-90°J=-— н
270" < а < 360" ■
Решение.
sin(a-90*)=--, -sin£o--a)=--, sm£o°-a)=-,
2 2 4
cosa =—, cos a=~,
3 9
, ■ 2 4 .2 5
1-sin a =—, sin a = —.
9 9
233


/5
С учетом того, что хе (270°; 360°), имеем sina= . Учитывая
найденные значения, получим
1 1
ctg2a= = —- =
tg2a 2_tga
l-tg2a
4 5
9 9 _ Ji
Ответ: —.
20
l-tg2a_
2tga
. sin" a
cos a
2 sin a
cosa
2 ■ 2
cos a-sin a
2 sina cos a
3.173. Доказать, что если an P удовлетворяют неравенствам
ялЛтг 7 „ 1 ллтг
0<а<~,0<р< — и cosa--;=, tgp = —, то а + 2р = —.
2 2 ,/50 3 4
Решение.
sina 2tgp
н l-tgatg2p ^smoi __2tgp_
cosa i _tg2p
_ sina(l-tg2_P) + 2tgPco_sa
cosa(l-tg2P)-2sinatg|3
Так как ae|0;~
7 2 49 , . ■> 49 . , 1 1
cosa = -=-, cos a =—, l-sin"a = —, sin"a =—, sina = —;=.
V50 50 50 50 ,/50
1 7 i
Учитывая значения sina = —^=, cosa = —1= и teB=-, имеем
4b0 V50 3
234


5ina(l-[g2P) + 2tgPcosa^ V50| 9 J 3 Viso _
cosa(l-tg2B)-2sinatgB If^lK] 1
V50\ 9 J 3 Vs?
Отсюда tg(a + 2B) = l,T.e. a + 2B=5 - (при 0<a< * и 0<В< п-), что
и требовалось доказать.
3.174. Найти tg2a, если нзаестно, что cos(a-90°) = 0,2 и
90° < ос < 180°.
Решение.
cos(a-90°) = cos(90°-a) = sina = 0,2,sin2 a = 0,04,
1 -cos2 a = 0,04, cos2 a = 0,96 = ~-4-,
25
(24 2,/б
cosa = -J—- =—— при ae(90°;180°).
2.4-^1 r
„ sin2a 2sinacosa 5 5 1 4V6
Далее, tg2a = =— -;-_ = :n—i = ■
cos2a cos2a-sin2a ?4 1_ 23
25 25
n 4^
Ответ: .
23
3.175. Доказать, что если а и В удовлетворяют неравенсгвам
0<a<-,0<8<5 и tga = 5,ctgB=-, тоа + Р = 3л.
Решение.
. 2 cosB 2 cos2В 4 l-sin2B 4 . ,„ 9
3 smB 3'sin2B 9 sjn2p 9 13
откуда при 0<B< - имеем
„3 , sina sin2a „_ 1-cos a „, -> 1
sinP = -j=; tga = 5; = 5; —;—= 25; =— = 25;cos"a = —.
i/13 cosa cos2 a cosza 26
235


Отсюда при 0 < а й — находим cos a = —f=. Тогда
2 ,/26
2 13
ctgB-tga = --5 = -y,
cosB sina _ cosacosB-sinasinB _ cos(a+B) _ 13
sin В cos a sin В cos a sin В cos a 3
Использовав найденные значения sinB=-f=r и cosa = —т=, имеем
Ju -J26
cos(a + B)_ 13 13-i2cos(a + B) 13
~3 i y> 3 _~' откуда
■Jl3 ,/26
cos(a + B)= ——, отсюда a +В = — ,что и требовалось доказать.
3.176.Дано: ctga = 4, ctgp = -, 0<a<|, 0<B<|.Найти a + B.
Решение.
. cosa . cos2 a ,, l-sin2a ,,
ctga = 4,- = 4,—=— = 16, 5 = 16,
sina sin a sin a
откуда sin a = —, отсюда при 0 < a < — имеем
17 2
1 , „ cosB 5 cos2 В 25 l-sin2B 25
sina = -==; ctgB = *- = -,—J- = —, r—K =—
Si sinP 3'sin2p 9 sin2B 9 '
откуда sin B = — , следовательно, при 0<В<- имеем sinB = -=.
34 2 V34
т . . 0 cosa cosB sinBcosa+sinacosB , 5 17
Тогда ctga + ctgp = + ^ = —" 1 = 4 + _ = —
sina sinB sinasinB 3 3
sin(a + B)_17
sinasinB 3
236


Использовав найденные значения sina = -f=^ и sin В=—;=, имеем
л/17 ,/34
sin(a+B) _17 17i/2sin(a + B)_17
J L."3' 3 " 3'
л/17 ч/34
т/2
откуда sin(a + B)= —.
Отсюда а + В = - для 0<а<~ и 0<В<-.
Ответ: а + р = —.
4
Зл
3.177. Вычислить (l + ctgaXl + ctgp),ecra a + B = —
Решение.
a + ctgaXl+ctgpb 1 + ^ 1 + 52Е -
cosp sina + cosa
sin a 1 sinp J sin a
sinp + cosp _ cosacosp + sinasinp + sinacosp + cosasinp
sinP sinasin|i
ч 2fcos(a-B)+^)
cos(a-p)+sin(a + p) { 2 I 2
-(cos(a-p)-cos(a + p)) cos(a-p)+ —
Ответ: 2.
3.178. Вычислить (l + tgaXl + tgP), если a + P = -.
Решение.
i, . Vi . a\ fi . sinaY, sinp") cosa+sina
(l + tgaXl + tgp)= 1 + 1 + —t U x
I cosal cospj cosa
237


cos ft + sin ft _ cos gcos ft + sin asin ft + sin acos ft + cos asin ft _
cosft cosacosft
2|cos(a-B)+^
cos(a-B)+sin(a + B) _ ( 2
2-(cos(a-p)+cos(a + p)) с08(а-в)+~
= 2.
— (cOs(a — ftWrnsfa + ftYl l~ a\
Ответ: 2.
3.179. Доказать, что если sina= , sinB = —— и a,B —острые
углы, то а + В = 60°.
Решение.
<Ял . г 21 , 2 21 2 28
sina= ,sin a=—,1-cos a =—,cos a=—;
7 49 49 49
так как aa — острьш угол, то cos a = J— = ;
. „ -Ш. . 2o 21 , 2o 21 2o 175
sinB = -—,sin B= —,1-cos В = ,cos B = ;
14 ^ 196 196 196
так как ВВ — острый угол, то cosB = I—— = ——. Тогда
V196 14
• I а\ ■ „ ■ а ^1 Sjl iJl -Jll Jl
sm(a + B]=smacosB+cosasinB = + = —.
^ ^ K 7 14 7 14 2
Следовательно, a + В = 60*, что и требовалось доказать.
sina+tga
3.180. Показать, что выражение неотрицательно в
области определения.
Решение.
sina+tga _ sina+tga _
tga
238


2H
2tg;
1 + tg"
2'6
2*3 1-tff ♦!♦„'«
i+.g2fli-.g2-:
!1
4tg^
1^?K
li^fli-^flfi-tffW
8tg.z
.-,^11..,,
Vs*?
l-.g2«l.+.g2
>0,
что и требовалось доказать.
3.181. Исключшъ а нз равенств х= tg"oc, j'=sin'i a
Решение.
«2,
9 Sill Ot у V 7
x=tgia=—-1~- = •-*=— и -scos a
cos" a cos a *
Отсюда
v+- = sin a+cos a, v + — =1, xy+ v- x, x- y-vy.
x ' x
Ответ: х — у = ху.
3.182. Доказать, что cos2-cos8<0.
Решение.
cos2-cos8 = -2sin5sin(-3) = 2sin5sin3.
Так как — < 5 < 2тс, то sin 5 < 0; 3 < тс, поэтому sin 3 > 0. Тогда
2sin5sin3< 0 и cos2 — cosS < 0, что и требовалось доказать.
239


3,183. Величины а, р\ у в указанном порядке составляют арифметиче-
sina-siny
cosY- cosa
п sina-siny _
кую прогрессию. Доказать, что = ctgp.
Решение.
Согласно свойству членов арифметической профессии
а,=а'-1+а4+!:, * = 2.3,...,я-1,
* 2
поэтому
a + Y
2
Тогда
sina-siny =, _L2..____2__ =ctg?_+J! = ctgp
cosy-cosa 2sill«+Ysjn«-T 2
2 2
что и требовалось доказать.
3.184. Дана дробь , =. Преобразовать нодко-
l + ^32cos415°-10-8^
ренное выражение к более простому виду, после чего дробь сократить.
Решение.
l + V32cos415°-10-8V3 l + V32(cos215°)2-10-8,/3
5 5
l+H1+cf °°] -">-*/э 1+;Ы,+^Т-,о-8Л
1+^2(2+,/з~)2-Ю-8,/3 1 + ^2(4 + 4,/3+3)-10-8,/з 1 + ^4
5(1-^4+^16) _5(1-У4+^/16)_1 эд,.у^
(l + V4)(l-V4+yi6) 1+4
Ответ: 1-V4 + V16.
240


3.185. Выразить tg4 a+ctg4 а через т, где m = tga+ctga.
Решение.
tg4 a+ctg4 a = ((tga+ctgaf - 2 tgactgaj" - 2 tg2 actg2 a =
= ((tga+ctgaf-2f-2 = ^7i2-2j-2 = m4-4mz + 4~2 =
= m4-4m2+2.
Ответ: т* -4m2 +2.


Решения к главе 4
ПРОГРЕССИИ
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМУЛЫ
Арифметическая прогрессия
Арифметической прогрессией называется последовательность, у
которой задан первый член ау а каждый следующий член, начиная со
второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом
d, называемым разностью прогрессии.
Если заданы первый член а{ и разность арифметической профессии
d, то /7-й член арифметической профессии вычисляется по формуле
a„Sfl,+rf(n-l), ■ (4-1)
Формула (4.1) называется формулой общего члена арифметической
прогрессии.
Свойства членов арифметической прогрессии
1. Каждый средний член арифметической профессии равен
полусумме равноотстоящих от него членов:
%=£i=rLaJ:±L, * = 2.3,...,/>-l. (4.2)
2. В конечной арифметической профессии суммы членов,
равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны сумме крайних членов:
«1 +а„ = а2 +а„_\ —. . = </; +u„_k+\ -... - 2аi + d{n~\). (4.3)
242


Сумма п первых членов арифметической прогрессии
Сумма п первых членов арифметической прогрессии равна
S^^ + a"-;, (4.4)
2
Учитывая (4.3), т.е что а{ +а„ -2а1 + </(/;~1), формулу (4.4) можно
■записать в виде
S„ = 2^"-i).„. (4.5)
Геометрическая прогрессия
Геометрической прогрессией называется последовательность, у
которой задан первый член b]t а каждый следующий член, начиная со второ-
го,равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же постоянное
для данной последовательности число q, называемое знаменателем
прогрессии.
Если заданы первый член bi и знаменатель геометрической
прогрессии <7,то п-н член геометрической профессии вычисляется по формуле
К=Ь\ЧП~1- (4.6)
Формула (4.6) называется формулой общего члена геометрической
прогрессии.
Свойства членов геометрической прогрессии
1. Квадрат каждого среднего члена геометрической прогрессии равен
произведению равноотстоящих от него членов, т.е.
6?=64-А+|.* = 2,3,...,п-1. (4.7)
2. В конечной геометрической прогессии произведения членов,
равноотстоящих от ее концов, равны между собой и равны произведению
крайних членов:
*i А = *2 А-. =Аз А-2 -■•■=** A-*+i-=*? ■?""'■ 0-8)
3. Произведение п первых членов геометрической прогрессии с по-
243


ложительными Членами равно корню квадратному из п-тл степени
произведения ее крайних членов:
P„=({k-b„)". (4-9)
В общем случае
Сумма п первых членов геометрической прогрессии
Сумма п первых членов геометрической прогрессии вычисляется по
формуле
S„=b-^-{q*\). (4.10)
\~q
Учитывая (4.6), т.е. что bn =bxqn~ , формулу (4.10) можно
представить в виде
*,,=« (4.11)
1-fif
Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии
Бесконечный числовой ряд, образованный из членов геометрической
прогрессии by + b2 + b3+ ... + bn +... , при \q\< 1 сходится, и его сумма S
равна
S =-^-. (4.12)
\~q
Формулу (4.12) называют также формулой суммы членов бесконечно
убывающей геометрической прогрессии. \
4.001.3а изготовление и установку самого нижнего железобетонного
кольца заплатили 2600 руб., а за каждое следующее заплатили на
200 руб. меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы
было уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость изготовления и у станов-
244


4
ки одного кольца оказалась равной 2244 руб. Сколько колец было
установлено?
Решение.
Пусть аг = 2600 — первый член арифметической
прогрессии, d ~ -200— разность этой прогрессии, и — количество членов.
2.2б00+(„-1)(-200) п+4000
Тогдапо формуле (4.5) получаем - - — =2244-,
п 9
1 40
9п -41/7-360 = 0, откуда "i = 9;/;2 =--— (неподходит).
Ответ: п ~ 9.
4.002.Сумма первого и пятого членов арифметической прогрессии
равна 5/3, а произведение третьего и четвертого ее членов равно 65/72.
Найти сумму 17 первых членов этой профессии.
Решение.
Имеем -<
65
I 3 4 72
Используя формулу (4.1), находим
\а, +а, +4d = -, 2л, + 4d = -,
11 3 ' 3
L, + 2</)(л1 +3</) = — (л, + 2</)(д1 +3rf)=—-
Ui +2d=-, \al+2d = -,
6 6
<=> s <=> < , , '^
5 w St1-1
U=--2</. kl = 6-2-4-3.
U1 **</='.■
I 4 I 4
245


. 1 1 ,r
2- + —16 П9
По формуле (4.5) получаем Sl7 =—-— 17 = .
119
Ответ: ——■
4.003. В соревновании по стрельбе за каждый промах в серии из 25
выстрелов стрелок получал штрафные очкн: за первый промах — одно
штрафное очко, а за каждый последующий — на 1/2 очка больше, чем
за предыдущий. Сколько раз попал в цель стрелок, получивший 7
штрафных очков?
Решение.
Пусть а{ =1 —первый член арифметической прогрессии, d = -z —
ее разность, Sn=7 — сумма п членов этой прогрессии, где п —
количество членов. По формуле (4.5) имеем
*-.п = 7 п2 +Зп-28 = 0,
2
откуда п{ = -7 (не подходит); пг =4 . Отсюда: стрелок попал в цель 21
раз.
Ответ: 21 раз.
4.004. Найтн три первых члена д}, д2, д3 арифметической
прогрессии, если известно, что д} + д3 + д5 =-12 н а{а3а5 = 80.
Решение.
[а{ +д3 +д5 =-12,
Из условия имеем <
[д, -а3-а5 =80.
Используя формулу (4.1), получим
(а{ + а{ +2d+al+4d = -\2,
|д,(д1+2*/Х«1+4^)=80 **
Jflt + 2d = -4,
^\ai{al+2dXai+2d+2d)=80^
246


U =-4-2d, U =-4-2d,
[щ ■ (-4Х-4 + 2d) = 80 ** [щУ -2)= -10 '
U =-4-2d, U=-4-2d,
|(-4-2dXd-2)=-10**{^=9
U =-4-2d,
|d = ±3.
fa =-4-2d, U=-4-2d,
т,е.
U=2, /a, =-10,
V = -3mHV=3.
Тогда
Я[ = 2,я2 = 2-3 = -1,я3 =2-6 = -4;
или
я1" = -10,я2" = -10 + 3 = -7,яз =-10+6 = -4.
Ответ: 1) 2, -1, -4; 2) -10, -7, -4.
4.005. Найтн чнсло членов арифметической прогресснн, у которой
сумма всех членов равна 112, произведение второго члена на разность
прогресснн равно 30, а сумма третьего и пятого членов равна 32.
Написать трн первых члена этой прогресснн.
Решение.
f(n+d)d = 30.
Из условия имеем \, „ л / . л ~~ S„=112=*
' [(ei + 2d)+(e, + 4d)=32 "
=>я,=16-3^, (16-2^ = 30, 2d2-16d + 30 = 0
или
d2-8d + 15 = 0=>
fa"=3, f/ = 5
=> J , или \ »
[щ =7 (Щ =1
Для каждого из решений воспользуемся формулой (4.5).
247


1) При а{ = 7, d''=3 получим
112 = 14+3fc-l) 3*2+Ш-224=0
2
32
откуда щ=1, п2= (не подходит). В этом случае имеем
а\ = 7, д2 = 10,д3 =13-
2) При а" = \ Г = 5 имеем П2 = 2 + 5^~%, 5и2-Зи-224 = 0,
откуда п = 7, п = -6,4 (не подходит). В этом случае трн члена таковы:
а{ = 1, аг — 6, д3 =11.
Ответ:!; 1)7, 10,13; 2) 1,6, 11.
4.006. Турист, поднимаясь в гору, в первый час достиг высоты 800 м,
а каждый следующий час поднимался на высоту, на 25 м меньшую, чем
в предыдущий. За сколько часов он достигнет высоты в 5700 м?
Решение.
Пусть я, =800 — первый член арифметической прогрессии,
d = -25 — разность, Sn = 5700 — сумма п членов этой прогрессии.
Используя формулу (4.5), получим
1600-0,-1)25^ „2_65„+456 = 0,
2
отсюда п{ =8 , п2 =57 (неподходит).
Ответ: 3d 8 часов.
4.007. Прн делении девятого члена арифметической прогрессии на
второй член в частном получается 5, а прн делении тринадцатого члена
на шестой член в частном получается 2 и в остатке 5. Найти первый
член и разность прогрессии.
Решение.
„ f«9=5«2,
Из условия имеем <
[й13»2а6+5.
Используя формулу (4.1), получим
U+Sd = 5{a{+d} J4ai=3d,
Ц + 12^ = 2(й1 + 5^)+5<=>Ц = 2^-5,<=>
248


|4(2d-5) = 3d, Id = 4,
ja,=2</-5 l«i = 3.
Ответ: 3; 4.
4.008. Найти четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой сумма краиннх членов равна -49, а сумма средних
членов равна 14.
Решение.
ГА,+А4=-49,
Из условия имеем <,
[b2+b3 =14.
Используя формулу (4.6), получим
JA, + V3 = "49, Ja,(i + ?')= "49,
[а,? + А,?2=14 }а,?(1+?)=14
о|*|(1 + ^-? + ?2)=-49,
Ц(1 + ?) = 14.
Разделив первое уравнение системы на второе, получим
Йф^) = Д 5^£±i + «»=0, 14?2+35? + 14 = 0;
V(l + ?) 14 ? 14
2?2+5? + 2 = 0 т.е. q' = -2, ?*=--, At =7, 6, =-56.
Тогда получим:
1) А,' = 7, А2' = -14, А3' = 28, А4' = -56 ;
2) А," = -56, А," =28, А," = -14, А4" = 7-
Ответ: 1) 7,-14, 28, -56; 2) -56, 28, -14. 7.
4.009. Найти третий член бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем \q\ < 1, сумма которой равна 8/5, второй член равен-1/2.
Решение.
' А, _8
Используя форму лы S = - н А„ =b[qr,~[, получим < =>
\Ь\Ч = --


=>*, = ——-, 1-6»2-16»-5 = 0,откуданайдем ?| =--, ?2=т>1(не
. ,, f П( Щ
подходит). Тогда °з = °\Ч -\ J ' 4
1
Ответ: -■
о
4.010. Найти три первых члена бесконечной геометрической
прогрессии со знаменателем |я| < 1, сумма которой равна 6, а сумма пяти
первых членов равна 93/16.
Решение.
Используя формулы S = —— и (4.11), получим
1-я
~- = 6. [*|=б0-»1 f*i-6(l-,i
*^_„Ч«ыЫ=»Нв_1 ~
1-я 16 I 2
1-я 16 1
|i,=6| 1—1=3,
__1_
' 2
Тогда ij=3-- = -, i,=3-- = -.
Ответ; 3,—,—.
2 4
4Ю11. Сумма трехчисел, образующих арифметическую прогрессию,
равна 2, а сумма квадратов этих же чисел равна 14/9. Найти этн числа.
Решение.
{щ+ аг+а2 = 2,
? 5 ? 14
я,2+я2-+я32=у.
250


Используя формулу (4.1), получим
\al+ai+d + aK+2d = 2i
]a^(a1 + df + (ai + 2df^
3
4+Ul+d\^
**"j 3 Отсюда имеем; 1) j , 1 2)-j
1за?-4й1+1=о. [d=-j; [d*=l.
Тогда
^ / 2 ' 1 " 1 " 2 "
2 1 12
Ответ: 1) 1,~>-;2) т.т,1.
4.012. Сумма третьего и девятого членов арифметической
прогрессии равна 8. Найти сумму 11 первых членов этой прогрессии.
Решение.
Из условия имеем а3 + (Ц=^. По формуле (4.1) получаем
al+2d+al+Sd=S, 2al+\0d = &, а по формуле (4.5), находим
2А±ШП=4
11 2
Ответ: 44.
4.013. Сумма трех первых членов возрастающей арифметической
прогрессии равна 15. Если от первых двух членов этой прогрессии
отнять по 1, а к третьему члену прибавить 1, то полученные трн чнсла
составят геометрическую прогрессию. Найтн сумму 10 первых членов
арифметической прогрессии.
Решение.
Из условия имеем: а{-\, a{ + d-l, a{+2d + l —трн
последовательных члена геометрической прогрессии. По формуле (4.5) находим
53 =—1 3 = 15 нлн a{ + d^5. По формуле (4.7) получаем
(a{+d-\f ={al-\Xal + 2d + l). Подставляя в это уравнение значение
251


я, = 5-d, получим l6 = (4-d)(6-hd), d2 +2^-8 = 0. Отсюда о1, =-4,
d2 =2 . Тогда Я[ =9, я2 = 5> яз = '; я1 = 3> аг = 5> яз =7-
Учитывая, что по условню щ < я2 < я3, получнм flt = 3, J = 2. Тогда
510-12±21.,0-120.
Ответ: 120.
4.014. Известно, что прн любом п сумма Sn членов некоторой
арифметической прогрессин выражается формулой Sn - 4п2 - Ъп . Найтн трн
первых члена этой прогрессии.
Решение.
Пусть л=2 и л=3. По формуле (4.4), находим
L.a±a.2 = 4-(2)!-3-2 = 10,
L3=-Sl^.3=4(3)2-3.3 = 18
I 2 '
или по формуле (4.1) получаем
al + al+d=W, (2al + d = 10, ГЯ1 = 1,
я1 + я1 + 2о' = 18<=>{я1 + а' = 9 **]d = 8.
Тогда я2 =я1 + о' = 9, я3 =Я[+2^ = 17.
Ответ: 1,9, 17.
4.015. Вычислить
(l + З2 + 52 +... + (2n-l)2 +... + 1992)-(г2 +42 +62 + (2n)2 +... + 2002).
Решение.
Из условия имеем
l + 32 + 52 + ... + (2n-l)2+... + 1992-22-42-62-(2nj2-...-2002 =
= (1-2)2+(з2-42)+(52-62)+... + ((2л-1)2-(2п)2)+... + ^992-2002)=
= (l-2Xl+2)+(3-4X3 + 4)+(5-6X5 + 6)+... + (2n-l-2nX2«-l + 2n)+
+ ... + (199-200Х199 + 200)=-3-7-11-...-(4п-1)-...-399.
Отсюда Я! = -3, d = -4, ял=-399. Используя формулы (4.4) и
п = -— + 1, получнм
d
252


-т,-299 f-399 + 3 }
Sn=—~\-~^+l =-20100.
Ответ: -20100.
4.016. Найти четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой второй член меньше первого на 35, а третий больше
четвертого на 560.
Решение.
[6,-^2=35,
Из условия имеем <
|А,-64=560.
По формуле (4.6) получаем
1^-6,-7 = 35, Гб,(1-<7) = 35, 1-з = 35^
}%2-%3=560 }%2(1-^) = 560 q2(l-q) 560
=> q2 = 16,q{ =-4,q2= 4. Подставляя q{ = -4,получнм
b\ =7,t>2 =-28,6з = П2,64 =-448. Подставляя q2 =4, получим
h"--— h"=-— /ь" = --60 b" = -21—
1 " 3 ' 2 3 '^ 3~~' 4 ~~3 '
ло ... ,,o .ч 35 140 560 2240
Ответ: 1) 7, -28, 112, -448; 2) - --,——,——, —.
4.017. Найтн четыре числа, образующих геометрическую
прогрессию, у которой третий член больше первого на 9, а второй больше
четвертого на 18.
Решение.
Гб3-6,=9,
Из условия имеем <
\р2 ~^4 = 18.
По формуле (4.6) получаем
|б,^-/>,=9, \bx{q1-\) = 9i ?2_| _9_
[b]q-blql=\S [-blq(q2-\) = lS ~q{q2 -1) *8
9 9
=> q - -2. Подставляя q = -2, получаем Ь\ = ——- = —- = 3. Тогда
^=-6,63=12,64 =-24.
Ответ: 3, -6, 12, -24.
253


4.018. Знаменатель геометрической прогрессии равен 1/3, четвертый
член этой прогресснн равен 1/54, а сумма всех ее членов равна 121/162.
Найти число членов прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
*4 =
_1_
54'
162'
По формулам (4.6) н (4.11) получаем
i4 =*,,'= Jit *L = ±, il=I;
4 "14 "1 з • 27 54 ' 2
' 1-я
n
1-1
3
m
: 162"
243^"-l)= 242-3" =
=> 3"=243, л = 5.
Ответ: n — S.
4.019. Наитн первый член н знаменатель геометрической
прогресснн, если известно, что b4 -b2 =-45/32 и Ь6-Ь4 =-45/512 .
Решение.
-*4-*2=-
Из условия имеем \
\Ьь-Ьа =-
45
32'
45
512'
Используя формулу (4.6), получим
V3'6!?'
45
"32'
<
45
512
L(?2-l)=
L^-d—
45
32'
45_"
512
-l) 512
ГН 32 "
254


? 1 1 1
^ ^ ~Тл' ^' = ~7' ^2 =7 ' П°ДставляяэтиЗНачения ?i H Чг ънайдем
b] = -6 и Ь] = 6 ■
Ответ: 1) -6,--;2) 6,- .
4 4
4.020. Найти первый и пятый члены геометрической прогрессии, если
известно, что ее знаменатель равен 3, а сумма шести первых членов
равна 1820.
Решение.
Из условия имеем q = 3, S6 = 1820 .
По формуле (4.11) получаем -^—'—* = 1820, 6] = 5.
Используя формулу (4.6), найдем Ь5 = 6]#4 = 5 ■ (з)4 = 405.
Ответ: 5, 405.
4.021. Арифметическая прогрессия обладает следующим свойством:
прн любом п сумма ее я первых членов равна 5«2 . Найтн разность этой
прогрессии и три первых ее члена.
Решение.
Пусть п = 2 н/! = 3-По формуле (4.5) находим
\2al + d 2
2 'Z-D'z> Ы+(1=20, \d = l0,
2а{ + 2d . 2 \a]+d=l5 Ui=5.
Тогда а2 =15, аъ =25 .
Ответ: 10; 5, 15,25.
4.022. Произведение трех первых членов геометрической
прогрессии равно 1728, а их сумма равна 63. Найти первый член и знаменатель
этой прогрессии.
Решение.
rVVA3=l728,
Из условия имеем \, , , ,.
[О] +&2 +£>з ="3.
Используя формулу (4.6), получим
255


J6,&,?V = 1728, о|У=1728, „1^ = 12-
\bl+b1q + blq2=63 [6, + 6,? + (V)?=63 [6,+12 + 12? = 63
f&»=12, ,
[й,+12? = 51.
f = 4 нлн ? = —.
Отсюда получаем < или < 4
|й'=3 [*i =48.
Ответ: 1) 3, 4; 2) 48, - .
4.023. Решнть уравнения:
а)2д: + 1 + д:2-х3+.г4-.г5+... = 13/6, где |*| <1;
1 2 я 7 | ,
6)— + х + х +... + Х +... = -, гдеЫ<1.
х 2 ' !
Решение.
а) 2х + 1 + (х2-хг + х4-х5 +...)= — .
6
По формуле S = —^— получаем
1-я
2х + 1 + -^ = ]— =>18д:2+5л:-7=0 =>*1=-. *2=-х;
1+х 6 2 9
6) — + [х + х2 + ... + х" + ...)= —.
х '2
По формуле (4.12) получаем
! + — = !, 9x2-9* + 2 = 0 => *, = -, х, =-.
х 1-х 2 • 3 3
1 7 12
Ответ.а) *1=;р *2 = -^:б) *i = j' *2 =j.
256


4.024. Первый член арифметической прогрессии равен 429, разность
ее равна -22. Сколько членов этой прогрессии нужно взять, чтобы их
сумма была равна 3069?
Решение.
Из условия имеем ах = 429, d - -22, Sn = 3069.
По формуле (4.5) получаем
2-429-22б-1).л = 3()69> (429-11(„-1)>, = 3069,
„2-40н +279 = 0 => л, =9, л, =31.
Ответ: 9нли31.
4.025. Сумма бесконечной геометрической прогрессии со
знаменателем \q\ < 1 равна 16, а сумма квадратов членов этой же прогрессии
равна 153,6. Найти четвертый член н знаменатель прогрессии.
Решение.
[61+62+6, + ... = 16,
Из условия имеем \ . . ,
[612+622+63+... = 153,6,
По формуле (4.6) получаем
ibl+blq + blq2+... = 16, |б,^ + ? + ?2+...)=16,
[б2+6,У+61У+... = 153,6 ** \b2^ + q2 + q4+..)=\53,6.
По формуле (4.12) получаем
6,—= 16,
Ь2—Ц- = 153,6
1-Я
=>& = l6(l-q) => {l6(l-q)J =- = 153,6, откуда » = -. Тогда
1-^г 4
*! =1611-— =12. По формуле (4.6) получаем Ь4 =l\q3 =12 = — .
3 1
Ответ: —, -■
16 4
9 М. И. Сканави, группа А 257


4.026. Найти натуральные числа, образующие арифметическую
прогрессию, если произведение трех н четырех первых ее членов равны
соответственно 6 и 24 .
Решение.
Га,(a, -hci)(a2 +d) = 6t
Из условия имеем { =>
[а^сц +(/)(а, +2(/)(а, + 3д,) = 24
=> '-±-1 ^ =— => a, + 3</ =4,а, я4-3«Л
a|(tti+rf)(a2 + rf)(fli+3(/) 24
Получаем уравнение
3</3-22</2+48</ -29 = 0 <=>3</3-3</2-Ш2+ 19</ + 29д' -29 = 0 <=>
<=>(д,-1)(3д''!-19д, + 29) = 0=>д,| =1,^3 = ' ± (не подходят).
6
d =1 => a, =1, a2 =2, «а=3, а4 = 4.
Ответ: 1,2,3,4,...
4.027. Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии
равна 6, их произведение равно 135/16. Найти сумму 15 первых членов
этой профессии.
Решение.
Из условия имеем
а3 + а9 = 6,
135
«з-9=Тб-
По формуле (4.1) получаем
fa,+2d+a,+8rf = 6, ffl|+5rf = 3,
1 135 =>i 135
(«1+2</)(o1+8(/)=-7 (a,+2rfXfl|+&') = --
I 16 I 16
=> a, = 3-5d =>(3-5<( + 2d)(3-fW + 8(0 = —-,
16
16 ' 4 2 4
_ ' 17 " 7
1огда «] = - и д, =
258


По формуле (4.5) получаем
/ 14 „ - + --14
с -Х_4 15 = 37,5 илн5и = •*—4 15 = 52,5.
15 2 '5 2
Ответ: 37,5 нлн 52,5.
4.028. Найтн число членов конечной геометрической прогрессии, у
которого первый, второй н последний члены соответственно равны 3,
12 н 3072.
Решение.
Из условия имеем 6] -Ъ,Ьг -\2,...,Ьп =3072 .
По формуле (4.6) получаем
[*, =3, fi, =3,
<£,<7 = 12, «-117 = 4, =>4"-1 =45 «л-1=5=> л = 6.
(А,?"-1 =3072 [4"-' =1024
Ответ: 6.
4.029. Найти сумму всех положительных четных двузначныхчисел,
делящихся на 3 нацело.
Решение.
Из условия имеем а{ =12, ап =96, я* =12 .
По формулам (4.4) и (4.5) получаем
я.-я, , 96-12 , ,, _ 12+96 ,, ...
п = — L+l; /1 = +1 = 15, S„= 15 = 810.
d 6 "2
Ответ: 810.
4.030. Найтн знаменатель q бесконечной геометрической
прогрессии щ < \), у которой каждый член в четыре раза больше суммы всех ее
последующих членов.
Решение.
Из условия имеем b] =4(S,-A]).
По формуле (4.12) получаем
, / А, . 1 . 4А,(1-1 + я) 1
6,^3.-6, j 61=^тгг^,1-,=4,,, = 1.
1
Ответ: —■
259


4.031. Известно, что внутренние углы некоторого выпуклого
многоугольника, наименьший угол которого равен 120°, образуют
арифметическую профессию с разностью в 5°. Определить число сторон
многоугольника.
Решение.
Из условия имеем щ =120°, d = 5°. Используя формулы суммы
членов арифметической прогрессии (4.5) и суммы внутренних упюв
«-угольника Sn =180°(л-2), нолучнм
2
=> }ц = 9,л2 = 16 (не подходит, так как в этом случае
=> а 1 {, = 120°+5° ■ 15 = 195°, а внутренний угол выпуклого л-угольннка
всегда меньше 180° ).
Ответ: 9.
4.032. Произведение третьего и шестого членов арифметической
профессии равно 406. При делении девятого члена профессии на ее
четвертый член в частном получается 2. а в остатке 6. Найти первый член и
разность прогрессии.
Решение.
[ау аь= 406,
[я9 = 2я4+6.
И-j условия нмеем < По формуле (4Л) получаем
la, =2- '
|(а,+ 2dXa| +5*0=406,
Ц+8</=Да,+3d) + 6. ^
=>а,=2^-6н 14о'2-33д'-185 = 0,
откуда найдем
37 ' ( Ъ1 \ 79
а", =- -,d7 =5. Тогда а, =2 -6= (не подходит) нли
14 { U) 1
а" = 1 5-6 = 4.
Ответ Л н 5.
260


4.033. В бесконечной геометрической прогрессии с положительными
членами н со знаменателем Ы < 1 сумма трех первых членов равна 10,5, а
сумма прогрессии 12. Найти профессию.
Решение.
По формулам (4.6) н (4.12) получаем:
J/j,+%+%2 = 10,5, j/J,(l + </ + 42) = iO,5,
[6, =12(1-?) ^,=12(1-9).
Отсюда 12(l-tf)(l + tf + tf2) = 10,5, 12(1 -</) = 10,5, ^ = 0,5.
Тогда 6, =12(1-0,5) = 6, Ь2=Ъ, Ьъ = -.
Ответ: 6,3 — ....
2
4.034. Найти три первых члена арифметической профессии, у
которой сумма любого числа членов равна утроенному квадрату этого числа.
Решение.
Пусть л =2 и л =3. Изусяовияимеем
\а{+а2=3-22,
[д, + а2 +йз =3-3 .
По формуле (4.1) получаем
Гй,+й, +(/ = 12, j2o, + ^=12, \d-d,
\a[+a[+d+a[+2d=2'7 \a{+d = 9 Ц =3.
Тогда а2 =9,а^=15.
Ответ: 3,9, 15.
4.035. При делении тринадцатого члена арифметической профессии
на третий член в частном получается 3, а при делении восемнадцатого
члена на седьмой член в частном получается 2 и в осгатке 8. Определить
разность н первый член прогрессии.
Решение.
Из условия имеем
Гй1з=3</3,
Цх=2я7+8
261


Используя формулу (4.1), получнм
U+l2d = 3{al+2d\ U=3d, U = 12,
{д, + \ld = 2(ц + 6d)+ 8 ^ {о, = 5d -8 ^ [Л = 4,
Ответ; 4, 12.


Решения к главе 6
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Для любых a, b н с верны равенства:
(a + bf =a2+2ab + b2; (6.1)
(a-bf =a2-2ab + b2; (6.2)
a2-b2=(a-b\a + b); (6.3)
(a + bf =a>+3a2b + 3ab2+b}; (6,4)
(a-bf=a'-3a2b + 3ab2-b}; (6.5)
a'+b^ia + bi^-ab + b2); (6.6)
a'-b'^ia-b^+ab + b2); (6.7)
ax2 +Ьх + с = а(х-х1Хх-х2),где jbi2 —корннуравнения
ax2 + bx + с = 0 • (6-8)
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ОДНИМ
НЕИЗВЕСТНЫМ
Уравнением с одним неизвестным называется равенство
fi(xhSl(x\ (6-9)
где fi(x) н g{{x) — некоторые заданные функции переменной х над
числовым множеством М.
Решением (корнем) уравнения (6,9) с одним неизвестным называет-
к.г такое численное значение неизвестного, взятое нз множества чисел,
263


указанных в условии уравнения, которое обращает данное уравнение в
тождество (верное равенство).
Решить уравнение — это значит найти множество всех его решений
или показать, что решений нет.
Областью допустимых значений неизвестного (ОДЗ) уравнения
(6.9), называется множество всех значений, взятых из числового
множества, над которым задано уравнение, при которых существуют обе фун-
кцни(частиуравнения) /{{х) и gi(x).
Пусть в результате преобразования уравнения (6,9) получено уравнение
f2(x) = gM (6.10)
Если все решения уравнения (6.9) являются решениями уравнения
(6.10), то уравнение (6.10) называется следствием уравнения (6.9).
Два уравнения (6.9) и (6.10) с одним и тем же неизвестным
называются равносильными (эквивалентными), если уравнение (6.10) является
следствием уравнения (6.9) и, наоборот, уравнение (6.9) является
следствием уравнения (6.10) или если оба уравнения решений не имеют.
При преобразованиях уравнения область его допустимых значений
может изменяться, полученное уравнение в общем случае
неравносильно данному. Если при некоторых преобразованиях ОДЗ уравнения
расширяется, то полученное уравнение может иметь корни, посторонние
для данного уравнения.
Если обе части данного уравнения возвести в одну и ту же степень, то
все его корни будут корнями полученного уравнения, т.е. полученное
уравнение всегда будет следствием данного, обратное утверждение не
всегда имеет место.
Всякое целое рациональное алгебраическое уравнение п-й степени с
одним неизвестным может быть записано в виде
апхп + а!1_[хп~1 +... + Д|А+д0 -0 (д„ * 0\ (6.11)
где ani ап_{,..., aQ —заданные числа (коэффициенты уравнения), х —
неизвестное, п — натуральное число.
Коэффициенты ап и д0 называются соответственно старшим
коэффициентом и свободным членом уравнения (6.11).
Уравнение первой степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение первой степени
называют просто уравнением первой степени.
264


Любое уравнение первой степени с одним неизвестным может быть
приведено к каноническому виду
ах + Ь=0 (я*0) (6.12)
Уравнение (6.12) является частным случаем уравнения (6.11), если в
последнем положить и ~ 1, а{ -1 и а0 = Ь .
Уравнение ах + b ~ О (а ф 0) в множестве действительных чисел
всегда имеет решение, и притом только одно:
Ь
х - —.
а
Уравнение второй степени с одним неизвестным
Целое рациональное алгебраическое уравнение второй степени
называется уравнением второй степени, или квадратным уравнением.
Всякое квадратное уравнение с одним неизвестным можно привести
к каноническому виду
ах2 + bx + c=0 (а*0) (6.13)
Уравнение (6.13) является частным случаем уравнения (6.11), если в
последнем положить п ~ 2 > а2 ~ а , щ ~ b и д0 = с .
Квадратное уравнение (6.13), записанное в канонической форме,
называется неполным, если хотя бы один из его коэффициентов, кроме
старшего я, равен пулю.
Если все коэффициенты квадратного уравнения, записанного в
каноническом виде, отличны от нуля, то оно называется полным.
Полное квадратное уравнение, старший коэффициент которого
равен 1 (а = 1), называется приведенным квадратным уравнением; оно
имеет вид
Х2 +pX + q-0. (6.14)
Формулы корней полного квадратного уравнения
Если D-b2 -4дс>0 (днскр(шшшнтуравнения),тоуравнение(6.13)
в множестве действительных чисел имеет два и только два
действительных корня, которые определяются по формулам
265


-4b2-Лас „ _-b + 4b2-4ac (Ы5)
1 2a 2a
Если b2 -4ac> 0, то ^ * x2, а если £2 ~4ac - 0, то х1 = х2. Если
/j2 -4дс < 0, то уравнение (6,13) действительных решений не имеет.
В частном случае, когда b — четное число, т.е. b = 2к , уравнение
(6.13) принимает вид дх2 + 2&д: + с = 0 ,аформулы(6.15)
преобразуются в следующую:
-к±4к2-ас ,, .,.
х = . (6.16)
а
Если уравнение приведенное, т.е. имеет вид х2 + рх + д = 0, то для
определения его корней получим
Я
«_£ + .(£ я (6.17)
Разложение квадратного трехчлена на множители
Выражение ах2+Ьх + с при д*0 называется квадратным
трехчлен ом.
Выражение D — b —Лас называется дискриминантом квадратного
трехчлена.
Если D ^ 0, то квадратный трехчлен разлагается на множители с
действительными коэффициентами:
ах2 + Ьх + с~а(х- Х\ \х-х2\ (6.18)
где хх и х2 — корни квадратного трехчлена, определяемые по формулам
нахождения корней полного квадратного уравнения.
Биквадратные уравнения
Биквадратным уравнением называется целое рациональное
алгебраическое уравнение четвертой степени, которое может быть приведено
к канон ическому виду
266


ax4+bx2+c^Q (a*0). (6.19)
Заменив л;2 на*,получим at + bt + с = 0, из которого находим
-/j-Vb2-4ac _-/) + л/б2-4ас
, /2 _ -
2а ' 2я
Если (, >0 и (2>° (я>0,с>0,й2-4яс>0,6<0 или
я < 0, с < 0, i2 - 4яс > О, b > О), то биквадратное уравнение имеет четыре
действительных корня
, Ub-4b2-*ac , bi + Vft2^
:=±1Г^ '^=±ll 27"
4яс
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения
Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения и имеющие
вид
(6.20)
(6.21)
решаются с помощью подстановки
Ш ,
Тогда , / \ ~ и относительно (получается уравнение
j\\x) *
at + b--~c или at2 ~ct + b = 0 (f*0).
Теорема Виета
Корни уравнения «„х" + fl^x"*1 +... + fl[X + e0 = 0 (д„ * 0) сего
коэффициентами связаны следующими соотношениями;
267


. дл-2
X] +Х2 +... + Х„ ,
ап
Х\%2ХЪ + Х]Х2Х$ + ■-. + Хп—2хп-\Хп ~ ~
Х1Х2Х3-■■хп-\хп ~ \~Ч '
Например, для уравнений четвертой степени ах4 -t-bx3 +■ сх2 +■ dx + e = О
(й ф О) теорема Виета имеет вид
Ь
хх +х2 +х3 +х4 - —,
а
с
Х\Х2 +Х^Х$ + Х\Х4 +Х2Х3 + Х2Х4 +Х3Х4 ~ ~~>
а
d
Х]Х2Х$ + Х]Х2Х4 -Ь-ХуХъХ4 ~г Х2Х?Х4 — ,
а
__ е
Х\Х2Х^Х4 — — 5
а
для кубического уравнения ах3 + Ьх2 + сх + d - О (а Ф 0):
Х\ +Х2 +Х3 =
Х]Х2 +Х]Х$ +^2^3 ;
Х\Х2Х^ — ',
а
для квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0 (я * 0):
268


' b
a
i „ c
lxlx2 - ~-
Иррациональные уравнения
Иррациоштьиымуравтншм называется алгебраическое уравнение, если
хотя бы один из членов которого иррационален относительно неизвестного,
т.е. это есть уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала.
Общий метод решения иррациональных уравнений заключается в
следующем; сначала изолируется один радикал, затем обе части
уравнения возводят в степень, потом снова изолируют радикал и т.д. При
возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается
уравнение, в общем случае неравносильное данному; поэтому проверка
найденных значений неизвестного по условию исходного уравнения
обязательна, т.е. является составной частью решения.
Если обе части уравнения f\{x)~ fi\x) возвести в четную степень п,
то корнями полученного уравнения (/](*))" =(/2 (я))" будут все корни
исходного уравнения /\(х)~ /2(х) иуравнения f\(x)--f2(x).
При переходе от уравнения /iM-AM к уравнению
(/j(x))n =(/"2(х))п потери корней не произойдет, но могут появиться
посторонние корни, а именно: корни сопряженного с исходным уравнения
Если обе части уравнения f\{x)~ fi{x) возвести в нечетную степень
к, то получим уравнение (/j (*))* = (f2 (x)f, равносильное исходному в
множестве действительных чисел.
Прн возведении в нечетную степень обеих частей уравнения,
рассматриваемого в множестве действительных чисел, посторонние корни
не появляются.
Приступая к решению иррационального уравнения, целесообразно
предварительно определить ОДЗ, так как может оказаться, что это
уравнение не определено в области действительных чисел.
269


При решении иррациональных уравнений следует иметь в виду, что
не принадлежащие к ОДЗ значения неизвестного всегда посторонние
для решаемого уравнения; их можно отбросить без проверки по
условию. Найденные значения неизвестного из области допустимых
обязательно следует проверить по условию уравнения, так как они также
могут оказаться посторонними.
СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
Системой п уравнений с т неизвестными называется п уравнений, в
каждом из которых неизвестные, обозначенные одной и той же буквой,
означают одну и ту же неизвестную величину.
Решением системы п уравнений с т неизвестными называется
всякая упорядоченная совокупность из т таких чисел, которые, будучи
подставлены в систему вместо неизвестных, обращают каждое
уравнение системы в тождество.
Решить систему уравнений — значит найти множество всех ее
решений или показать, что она решений не имеет.
Если система не имеет решений, то ее называют несовместной или
противоречивой, в противном случае — совместной.
\а{х+Ьху = си
Система < может либо иметь единственное решение,
[c^x + bjy = c2
либо иметь бесконечно много решений, либо не иметь решений. При
графическом способе решения каждому уравнению данной системы
ставится в соответствие некоторая прямая на плоскости ХО Y; таким
образом, данной системе на плоскости соответствует пара прямых. Две
прямые на плоскости могут либо пересекаться в одной точке, либо
совпадать, либо не иметь общих точек.
Прн пересечении прямых данная система имеет единственное
решение; при совпадении прямых данная система имеет бесконечно много
решений; если прямые не имеют ни одной общей точки, то данная
система решений не имеет.
Решить уравнения (6.001 — 6.066):
х2 +1 х2 -1
6.001. 2-L1-X. i=23.
х-4 х+3
270


Решение.
ОДЗ: х * -3, х * 4.
л:2+1 х2-1 ,,, 16х2-25л:-275 .
= 23 <=> —, о г— = 0 =>
х-4 х + 3 (х-4\х+3)
=>16a:2-25x-275 = 0=>x, =- —, х, = 5.
1 16 2
55
Ответ: Х\ ~~—, х2 -5.
16
6.002. -*- + _2_о2.
х -я л: -о
Решение.
ОДЗ: х*я, х*Ь,
л: - д л: - 6 (х-дДд:-/))
=>2х2 -3(a + b)x + (a + bf = 0=>Х! = ——, хг -а + Ь.
а + b ,
Ответ: х, = —г—, хг=а + Ь.
х + х - 5 Зх , п
6.003. +-j - + 4 = 0.
х х +х-5
Решение.
от-.х*о,х*=^-.
„ х +х-5 . 1 . Л л
Пусть = z , тогда z + - + 4 = и =>
>z +4z + 3 = 0, => Z[ =-3, z2 =-1.
Чтобы найти л:, решим два уравнения:
х2+х-5 , л:2+л:-5 ,
= -3 или = -1.
271


Решая каждое из них, находим:
Ху ~~5, х2 =1, х3 =-l-V6, xA --1 + V6.
Ответ: х{ ~~5, х2 =1, *з.4 = -l±v6,
4 50
6.004. х -—^—--14.
2л: -7
Решение.
4
ОДЗ; х Ф
v ^
4 z+2 50 ,,
Пусть 2л: -7 = z,тогда — =14 =>
2 z
=>z2 -21z-100 = 0<=>z, =-4, z2 =25.
Чтобы найтих, решим два уравнения 2.x4 - 7 = -4 или 2х4 - 7 = 25,
решив которые, получим х, -~i/~, *2 ~{/~' хз ~~2, *4 ~2-
Ответ: х1г = +<(-, х5|4 = ±2.
1 1 1
6.005.
4^2] (x + l)2 12'
Решение.
ОДЗ: х * 0, х * -1, х * -2.
1 • 11 1
- = — » -
х(х + 2) (x + if 12 х=+2х х2+2х+1 12'
Пусть х2 +2х = z, тогда
2 И2 „ . ,
0=>z2+z + 12 = 0=>z, =-4, z2 =3.
4zTT)
Чтобы найти х, решим два уравнения:
х2 +2х =~4 или х2 +2х =3.
Решая их, находим: xi2 e
0(/)<О) х3 =-3, х4 =1.
Ответ: Xji2 е 0, х3 = -3, ха, =1.
272


1 X
6.006. x+-=2 —
x m
Решение.
ОДЗ: х Ф 0, m * ±я.
+ И2
-Я"
1 ^m2 + n2 2 -,'n2
x m2-n~
m-hn
KOpHH X[ - , X2 ■
m-n
m+n
Ответ: x{ =
m-n
x2 ft3
6.007. "T + —=
a x
Решение.
ОДЗ: х*0,а*0.
m"
m-n
m + n
m—n
m -hn
b b2
-+—•
я о
-t-л2
.где
x+l = 0
m * Ц.
x2 A3 6 ft2 x4-L2b+ab2l2+aV .
+. — = -+ — « i j-^ = 0
aJ х- a a ax
wm x4 -(a2b + ab2pc2 +а*Ь3 =0, ax*0.
Уравнение является биквадратным относительно х. Пусть х2 ~ у,
тогда наше уравнение принимает вид
y2-(a2b + ab2)y-ta3b3=0,
откуда
У1.2
a2b + ab2 ±^(a2b + ab2f -4aV
а-Ь+ah2 ±4аАЬ2 +2а3Ь3 + а2Ь4 -4д V _
2
a2b+ab2 ±УдУ -2дУ + а2Ь* = сгЬ + аЬ2 ±^(a1b-ab1J
2 2
a2b+ab2 ±(a2b-ab2) ,-, г,
= * s v, ~ab~, y-> =a b.
2
273


Чтобы найти х, нужно решить два квадратных уравнения:
х1 = ab2 или х2 = я26.
х[ 2 - ±\ab2 - ±b4a , где с учетом ОДЗ а > 0;
х3|4 = ±4аЧ> = ±a4b , где ft >0 ■
Ответ: х,2 = ±b4a , где я >0 ; х34 = ±a4b , где i > 0 .
х-3 х+3 х + 6 х-6
6.008. + = + .
х-1 х+1 х + 2 х-2
Решение.
ОДЗ: х*+1,х#+2.
х-3 х + 3 х + 6 х-6 2х2-6 2х2-24
Х-1 X +1
х2-3
отсюда х - 0.
Ответ: х =
5я
6.009. ——
у+ я
Решение.
ОДЗ: у#-а
х+2
х-2 х
х2-12 6х2
х2_4 ~V-lj(x2
0.
4а
+ г-
у+2я
, у Ф —2а,
+ ^V = 8.
3>+3я
у * -За.
2-1
-4)'
х2-4
= 0,
5я | 4я | За ^g<=> 8/+36ау2+38д2у
у + я у+2я у+Зя (у + яХу + 2яХ>'+Зя)
у(4у2+18яу+19я2)=0,
У*-2а,
УФ-За
> у = 0 или 4у2+18яу + 19я
274


Отсюда д
^-9д±т/81д2-76д2 _-9a±aS _a(-9+Js)
г, п а(-9±45)
Ответ: у^ = 0, y2j ~ —i '.
1 1 1
6.010. -5—Г з—Г = ТТ-
х'+2 х' + 3 12
Решение.
ОДЗ.х*-^2,х*-^3.
_1 1 _ 1 л6+5х3-6
хъ +2 х3+3 12**12(«3+2](«3+з)~ **
[х6+5л:3-6 = 0,
{(х3 +2)(х:3 + з)* 0.
Пусть хъ -у . Получаем квадратное уравнение относительно у:
jv2 +5^ — 6 = 0. Отсюда у1 = -6, уг~\.
Отсюда хъ = -6 или хъ -\ и х, = -т/б , х2 =1.
Ответ: х^ ~~У6,х2 =1.
, .. х-2 х+2 х-4 х+4 28
6.011. + = + ■
х-1 х+1 х-3 х+3 15
Решение.
ОДЗ: х * ±1, х * ±3.
х-2 х+2\ (х-4 х+4Л 28
Изусловияимеем^ + ^Д—+ ^j-~ -«
х2-2 х2-12 14 2д:2+6 14
V-1 х2_9- 15<=>^_1J(?e2_9j- 15**
х2+3 7 х2+3 7 „
•(^-1р-9Г"15**И-1)^-9)+Т5 = 0**
275


7*4-55л:2+ 108 „ f7A-4-55x2 + 108 = 0,
(х2-1)(х2-9) {(x2-lX*2-9)*0.
Пусть х ~ у, откуда
7v2-55v + 108 = 0; у, =4, v, =21-.
' * 7
Чтобы найти х, решим два уравнения: х -4, л-|д=±2 ил*1
,2.27. ,_- J"
/27
Ответ: xi2 =i2,x}4 -±J—.
6.012. (*-1)(;е2-3) + (2;е-1)(х2+2)=3.
Решение.
ОДЗ: .т 6 Л.
Имеем
л-3-х2-Зл: + 3 + 2л:3-л:2+4л--2=3»
«3.г-1-2х2+л-2 = 0»Зл:-1-Зд:2+д:2-д: + 2д:-2 = 0<=>
«3x2(x-l)+x(x-l)+2(x-l) = 0»(x-l)(3x2-t-x- + 2) = 0
x-l = 0,.v, =1 или Зх2 + х + 2 = 0,х2,зей (В<0).
Ответ: х~\.
6.013. 3\х + -\ ]-7|l + --1=0.
Решение.
ОДЗ: л*0.
3(x-t-l)(x2-x-t-l)-7(.r-t-l)j: „ (х + 1)(3(х2-х + 1)-7х) „
276


(А+1)(Зл:2-10л:+3)
Имеем (лг+1)(3л:2-10л: + 3) = 0. Огскда х + 1 = 0, дс, = -1 или
3x2-10* + 3 = 0, хг =-, *3 = 3.
Ответ: Х\ ~ -1, л"2 = -. хз - 3.
4 5
6.014. -,--+ 3—=2-
*2+4 .Г+5
Решение.
ОДЗ: xeR.
2х4 +9y2 1 т т
-— ~ =0<=>2д:4+9а2=0од:2(2х2+9)=0,
(л:2 +А)(Х2 +5)
х2 = 0,*, =0или 2х2+9 = 0, дг23е0.
Ответ: х = 0.
7(дг2)(д:-ЗХ£-4)=_2
U1:>' (2.v-7)(*+2)(*-6)
Решение.
7
ОДЗ: -т * - , .1 * -2, х Ф 6.
Пд"3 -93л:2 + 190*
Из условия получаем = 0. С учетом ОДЗ это урав-
(2д-7)(а+2)(д-6)
нение равносильно
11д3-93д-2+190д = 0»д(11д2-93д+190) = 0=>
=>.Г! =0 или 11д2-93л: + 190 = 0, х7 =5, л = —.
38
Ответ: Х\ = 0, л? =5, х, = —-.
2 з u
277


6.016. ^^ + ^ = 2,9.
x x +\
Решение.
ОДЗ: х Ф 0.
х1+1 1 v2-29v+l
Пусть = у,тогда У +— 2,9 = 0<=>^ '-+—: =
х у У
у2-2,9у+1 = 0,
у*0
х2 + \ 5 х2+\ 2
Отсюда = — или = —.
х 2 х 5
Первое уравнение имеет корни *i = 2, л:2 = "Т, а второе уравнение
решений не имеет (/) < 0).
Ответ: х1 = 2,х2 =—.
х+п т-п х+р т~р
6.017. = -■
т + п х-п т + р х-р
Решение.
ОДЗ: хф п,хФ р,тф -п,тф~р.
Из условия получаем
(х + п\х-п)-(т-п\т + п) ^(х + р\х- р)-(т- р^т+ р) ц
(т + "Х*-") (™ + Л*-.р)
2272 27 22
х -п -mz+n __ х* -pL -mL + pL
(m + n)x-n(m + n) {m+ p)x~ p(m+ p)
{m + n)x-n(m + n) (m+ p)x- p(m + p)
2 2 2 ?
X -ПС X ~nf
{m + n)x-n(m + n) (m + p)x- p(m + p)
I (m + npc - n(m + n) (m + p)x~ p(m + p)
278


Отсюда получаем х -т = 0 о х = т , х12 = ±ш, или
1 1
(m + n)x-n(m + n) (m + р)х~ р(т + р)
-О»
(m+ p)x-p(m+ р)~ (т + п)х + п(т + п) _
((т + н)х-н(т + н)Х(т + р)х-р(т + р))
или с учетом ОДЗ
{m+ p)x-{m+n)x-p{m+p)+n{m + n) = Oo
о (m + р)х-(/и + н)х = р{т + р)-н{т + н)<=>
<=> (m + p-m-n)x = pwi + р2 ~mn~n о (р-л)х = /^ -л + рт-тп о
о (р-n)x = (p-n)(p+n)+m(p -и)<=> (p-n)x=(p-n)(p+n + m)
Отсюда:
1) если р ~ п ~ О, р = л , то, учитывая ОДЗ, х е R, кроме р и п\
2)если р - н # О, р*н,тод:3=р+н + /и.
Ответ: если л = р, то хе R, кроме пир; если п * р, то лс, = m ,
х2 = —т, хъ-т + п + р.
6.018. х2 +Х + Х'1 + х~2 =4.
Решение.
ОДЗ:**0.
Из условия имеем х + ~~2~ + * + ~ ~ 4 = 0.
Пусть х + — -у=> х2 +2 + —j = y2 или х2 + —- = у2 -2.Нашеурав-
х х х2
нение принимает вид у2 -2 +у-4 = 0 ыу2 +у-6~0 , откуда
У\ - ~3, У2 = 2 . Относительно д- получаем два уравнения: д: + — = -3 ,
д:
-З + л/5 1 „
откуда jq -у = или д- + — = 2 , откуда x3 4 = 1.
2 л:
л -З + л/5
Ответ: х12 — , *3 4 = ' ■
279


21
6.019. —2 --x2+4x=6.
x -4x+10
Решение.
ОДЗ. хе R.
Из условия имеем ~ ^~\х ~4a4-10j+4 = 0.
х~ - 4х +10
Пусть х2-4х + \0 = у*0: — -у + 4 = 0 о у ~4У~21 =0.Урав-
У У
нение у2 - 4у - 21 = 0 имеет корни я = -3, у2 = 7 . Относительно х
получаем два уравнения: х2 ~4х +10 = -3 , х -4х+13 = 0 (/)<0)или
х2 -4х + 10 = 7, д:2 -4дг + 3=0, х, = 3 , д:2 =1.
Ответ: xt = 3, д-2 = 1 ■
д-д х-б - с
6.020. - + = 2>5-
х~Ь х-а
Решение.
ОДЗ: х*Ь,х*а.
„ х~а ,' -is n У — 2,5jv +1
Пусть - = у: у + --2,5 = 0; ± '-^— = 0.
х-Ъ у у
Уравнение у2 -2,5j> + 1 = 0 имеет корни У\ =—, у2 =2 . Получаем
х-а \
два уравнения относительно х: 1~^> 0ТКУДа х\ -2а-Ь, или
х~а -> ,,
—— = 2, откуда х2 = 2о - о .
Ответ: если а * 6, то д1=2д-й, д-2 = 26 - д ; если д = 6, то
корней иет.
6.021. 8л:4+ Х3+64*+ 8 = 0.
Решение.
ОДЗ: I6S.
280


Из условия имеем
(8.y4+.y-,) + (64,y+8) = 0<=>a:3(8,y+1) + 8(8.y + 1) = 0<=>
<=> (8х + 1)( Д' + 8) = 0 <=> (8д + 1X.Y + 2)(х2 -2.x + 4) = 0.
Отсюда 8.Y+1 =0,*, =—, или д+2 = О.А--, = -2, или
8
х2-2х + 4 = 0, ,Y,4e0(D<O).
Ответ: Л, = - ■ ,х->=-2.
6.022. (дг + 3)3-(л-+1):,=56.
ОДЗ: хе Я.
Из условия имеем
(x + 3-.y-1)(("1' + 3)2+(-* + 3)(.i + 1) + (.v+])2) = 56<=>
<=>2(.y2 + 6x + 9 + x2+4x+3 + .y2+2i + 1) = 56<=>
<=> д-2 + 4х-5 = 0,д, = —5, х2 = 1.
Ответ: Xj = -5,х^ =1.
, „,, х+2 х + 6 х + 10 .
6.023. + + -- — = 6.
х + 1 х + 1 х + 5
Решение.
ОДЗ: лг*-1,л-*-3,л-*-5.
Из условия имеем:
(х + 1)+1 (д + 3)+3 (д + 5)+5 ,
х + 1 х + 1 х + 5
х+1 1 х + 3 3 х+5 5
<=>_-- + + + __ -+ + = 6<=>
х + 1 х + \ д + 3 д + 3 д + 5 х+5
13 5, Зх3 + 18х2+23х „
<=>3+ + + = 6<=> -- =0.
х + 1 л- + 3 д+5 (х+1)(х + ЗХд + 5)
С учетом ОДЗ получаем 3xs + 18д2 + 23х = 0 или
x(3x2 + I8x + 23) = 0, откуда д, =0, или
281


, -9 + -Л2 -9-лЛТ
Зл-2 +18л + 23 = 0. х2 = ,*3 = .
-9 + л/12 -9-л/12
Ответ: *i = и, х2 = , *э = ■
, 12 4
6024 4* +12* + —+-г-=47.
Решение.
ОДЗ: * * 0.
Группируя, получаем:
f4*2+4rl+fl2* + — |-47 = 0о
о4| х2+4-1+121* + - 1-47=0.
Пусть * + —= у=> *2 +2 + -^- = у2 или *2 + — = v2 -2 Тогда
* Л"2 *2
4(у2-2)+12>>-47 = 0> 4у2 +12^-55 = 0, у,=--,у2 =-.
1 11 15
Относительно* получаем два уравнения: * н— = —
-П±лЛЬТ 1
корнями которых являются *it2 = > * э - -z > хи = 2-
-11 + л/Й)5 1 .
Ответ: х^ = , *3 = —, *4 = 2.
6.025. (*-в)3-(*-*)3=*3-в3.
Решение.
ОДЗ: *е Д-
Левую и правую части уравнения разложим на множители как
разности кубов:
(х-а-х + ЬЦх-af +(х-а\х -*)+(* -bf)=(b-e)b2 л-ba + a1),
282


(b - afp2 - lax + a2 + x2 -(a + b)x + ab + x2 - Ibx + b2 j-
-(*-я$>2+*й+я2)=0,
(b-afex2 -i{a + b)x + ab + al + Ь2У{Ъ-а%1 + Ъа + а2)=а&
o(*-e)(>r2-(e + *)x)=0.
Отсюда:
1)если b-a = Q,b~a ,го хе R;
2) если b-a*0, b* а ,то х2 - (а + b)x = 0, или x(x -(a + b))-0,
откуда Х[ = 0, х2 = а + Ь.
Ответ: если а = b , то хей; если а * Ь, то Х| = 0, х2 = а + 6.
6.026. — = (e + l)P.
х-1
Решение.
ОДЗ.х*1.
Приводим уравнение к общему знаменателю:
ах2 -(a+lf(x-[) _ Q ^ ах2 -(a + [fx + (a + [f =(j
х-\ х-\
С учетом ОДЗ ах2 - (а + if х + (а + if = 0, откуда
*ц = - = 2a
Ja + if±4(a + lf[(I2+2a + l-4a)ja + if±J(a + lf(a-lf _
2я 2я
(a+iy±(fl-if.
2я
(a + lf-^-l)2 _я2+2я + 1-я2+1_я + 1
2д 2д д
(fl + lf+fl2-! я2+2я + 1 + я2-1 2я2 + 2й
х2 = - L = = = а +1.
2а 2а 2а
Ответ: Х\ , где а * О; х2 = а +1.


(x-af +x(x-a)+x2 _ 19
(x-af -x(x-a) + x2 7
Решение.
ОДЗ: (x-af -x(x-a) + x2 *0.
Из условия получаем
б(х - af-13х(х - a)+6x2 n ,{ У ,, { \ , 2 n
-ijj—i-- ■? {—-r = 0=>6(x-ef-13x(x-e)+6xJ =0.
7[(x-af-x(x-a)+x2 )
Разделим обе части последнего уравнения на х * 0:
Пусть = У: 6 у2 -13у + 6 = 0 . Корнями полученного квадрат-
2 3
ного уравнения являются у\ = —, Уг - т-
х-а 2 х-а 3
Имеем два уравнения: = — или = —, откуда х1=3д,
хг - -2а . Сделав проверку по ОДЗ, получим ответ.
Ответ: если д * 0 , то х^^За ,хг = -2а ; если а = 0 , то корней нет.
х 2а —х а + b .
6.028. г + т = 1-
я + 6 а-Ь х
Решение.
ОДЗ: в # +*, х # 0.
Из условия имеем
х 2а-х а + b „
- + 1 = 0»
а+b а-Ь х
(a-by+(2a-x\a + b)x-(fl + bf(a-b)-(a + bXa-b)x_Q
{a + bXa-b)x
(а-ЬУ +2а(а + Ь)х-(а + ьУ -(a + bf(a-b)-(p2 -b2)c ^Q
284


{(а-ЬУ-(а + Ь)х1)+^а{а+Ь)х-{а1-Ь2)к)-(а + ьЛа-Ь)_
(«2-*2>
(а-Ь-а-Ь)х2 + (2д2 +2аЬ-аг + Ь2\с - (а + bf (a-b)
~ (а2-*2)*
-2ftx2+(»2+2aft + ft2)c-(a + ft]F(a-ft)_
** (а2-*2)* "
СучетомОДЗ-2*л:2+(а2+2а* + *2)>:-(а + *)2(а-*) = 0или
2*х2-(д + *)2д: + (д + *)2(д-*) = 0, откуда
'1Д-
(а
(а + *)Ч
ч-*)2!^
:^Д + *Г-
4*
[ + £д(д + (
4*
-№(,
bf-
a + bf(a-b)
■8*(a-b))
(д+г>У±(д+г>)>/д2+2дг>+г>2-8аг>+8
4*
(д+г>У±(д+г>)>/д2-бдг>+9г>2 ^(д+бУ + ^+^д-зб)2
4* "~ 4*
(д+г>У+(д+г>Хд-з»)^(д+»Х(д+*)±(д-з»)).
4* 4*
(д + *Хд + *-я + 3*) (д + *)4*
ДГ1 = ; ' = f = Д + Ь,
1 4* 4*
_(д+г>Хд+г>+д-зг>)_(д+фд-2г>)^(д+г>Хд-*)__д2-*2
*2 4* 4* 2* " 2* '
2 _ .2
Ответ:если 6*0 ,то Х| =а + Ь, х2 = :— ;если 6 = 0,то х = д.
2о
6.029. «Izl + £z£ = 1.
ддг-1 д


Решение.
1
ОДЗ: й#0,х#-
а
Изусловия имеем:
-1
-=1о + 1 — = 1<=> --- = 0»
ax-l a a дх-1 a ax-l a
-кЛ,
{ах - l)a
: учетом ОДЗ ах2 - х - (я2 - ф = 0, откуда
_ l±-Jl + 4a2(a2-l)
*''2 = S
2я
1-2я2 + 1 1-е2
1 2я в
1±л/4я4-4я2+1^1±У1?я2-1)'
2я 2я
1 + 2я^-1
х2 = = я.
2я
Ответ: Х\=-
6.030.
,х2 = я прн я#0.
5х
4-х2
кх 4
Решение.
ОДЗ: х * ±2.
Перепишем это уравнение в виде
х2+6
5х
х2-4
5х
х'-4
х2+6
4
5х
х2-4
5х
5х
х -4 х2-4 х -4 х -4
С учетом Ода получим уравнения х2 +5х + 6 = 0 или х2-5х + 6 = 0,
286


откуда *i = -3, х2 = -2, хъ = 2, ха, = 3; х2 = -2 и х, = 2 не подходят по
одз.
Ответ: х\ =-3,х2 = 3.
6.031. ^Ъх + 4+^х-4=24х.
Решение.
ОДЗ: Зл: + 4>0, х-4 >0,л:>0=> х>4.
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем
Зх + 4 + 2^(3дг + 4X-V-4) + a:-4=4x о
о 27(3.v + 4X-v-4) = 0.
Еще раз возводя в квадрат, получаем: (Зх + 4Хл:-4) = 0 .Отсюдаимеем
4 4
3.V + 4 = 0 или х-4 = 0,^^-—,х2=4;х1=-— не входит в ОДЗ.
Проверяя х = 4 непосредственной подстановкоивисходноеуравнение,имеем:
Ответ: х -4 ■
6.032. tJx+Jx + 11 + д/х-Jx+TI = 4.
Решение.
Пусть ,/дс + П = у £ 0 или д: +11 = у2 , т.е. д: = у2 -11. Тогда
lly2 +у-11+л]у2 -у-\\ =4 ИЛИ Jy2 +у-ц =4-ily2 -y-ll .
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
у2 +У-11 = 16-«4у2^у^П+у2 -у-\\, Цу2 -у-\\=\6-2у
или 4-\у2 -^-11=8-^. После возведения обеих частей уравнения в
квадрат, найдем
16у2-\6у-\76 = 64-\6у + у2, 0<уй8=>
\l5y2 =240,
=> < или у = 4.
[0<у<8
Отсюда получаем vл: + 11 = 4 или д + 11 = 16, х = 5. Проверкой
убеждаемся, что это корень исходного уравнения.
Ответ: х =5.
287


6.033. -J\5-x + j3~x =6.
Решение.
(15-х >0, [хй.15,
°Д3:|з-*>о ~|*<з. **xS3-
Из условия имеем:
■J15-X = 6-V3~x=>15-;t = 36-12V3~x+3-;t,
12V3-x=24,V3-.y=2.
Отсюда 3 - л: = 4 или л: = -1. Проверкой убеждаемся, что это
корень исходного уравнения.
Ответ: х = -1.
6.034. l + Vl+Wx2-24 =*.
Запишем уравнение в виде -yjl + xvx2 -24 = лс-1. Возведя обе
части уравнения в квадрат, получим
|l + xVx2-24=x2-2x + l,<=>|Wx2-24=x2-2x,<
L-1>0 [jc >1
к/х2-24=х-2,=
U>1.
=>лг -24 = лГ -4x+4 или 4.x =28; x = l.
Проверяя x = 7 непосредственной подстановкой в исходное
уравнение, имеем:
Ответ: х = 7 ■
(х -a\lx-a + (x-b\lx -Ь , ( ,\
6.035. / / г - = Д-Ь (о>6)
-jx-a +y}x -о
Из условия имеем
(Ул>^д / + (Ух - 6 [
V х - а + V х - Ь
= 0-6.
288


Разложим на множители числитель левой части уравнения как сумму
кубов:
Ух-a + Jx-b] У.х-а) - fix - а\х - b) + \Jx -bj
i == == —i = a-b.
Ых-а +ых -b
Так как Jx-a + -Jx-b * О, то
(■Jx-aj --J(x-а\х-b) + Ух -bj -a-b <=>
<=> x-a- fix~a\^-bj + x-b = a-b <=>
«2дг-2я=^(л:-яХ*-*)<=*2(л:-я)=,/(*-<'Х;<:-',)=>
=>4(х-я)2 =(д:-яХд:_',)<=>',(л:-а)' - (x-aX*-4)=0 <=>
Из последнего уравнения следует, что либо х - а = 0, откуда х{ - а,
4а-Ь
либо Ъх-Ла + b-Q, откуда х2 = —-— .
Подставляя х1нх2ъ начальное уравнение, убеждаемся, что это
действительно корни.
п 4а-Ь
Ответ: х, —а;х-, .
2 3
6.036. i/3x + 7-i/x + l=2.
Решение.
[Зх+7>0,
ОДЗ: { '<=>х>-1.
м [л: + 1>0
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
Зл: + 7-2л/(Зл: + 7Хл: + 1)+л: + 1=4<=>4л: + 4=2л/(Зл: + 7Хл: + 1)<=>
о 2(х + I) = fiix~+?fa + ]) =>4(х- + if = (3* + 7Хх + l)о
<=>4(х+1)2-(Зх + 7Хх + 1)=0<=>(х + 1Х4х+4-Зд:-7) = 0<=>
<=>(x + iXjc—3) = 0 или д:+1 = С1 ^ =-1 или д: -3 =0,хг =3.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что это корни
начального уравнения.
Ответ: х^ --1, х2 =3.
10 М. И. Сканавн, фуппа А 289


6.037. Vl + Vx+Vl-V? =2.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
l + Jx + 3
«3^(| + л/х)(|-л/х/^1 + -^+ $-•«/* 1=6.
Так как , то уравнение принимает вид:
331/(f + ^-^)-2 = 6oV^ + ^-V^J = l<=>^b-^ = l<=>
<=>1-д: = 1,д: = 0.
Ответ: х = 0.
6.038. 2V7-x:0,
,63ji=10$/iJ:-V216V9.
Решение.
ОДЗ: 7-х>0ох<7.
Будем упрощать исходное уравнение:
ioVu
2V7-
■Л
104/4
2У7-д:
2^7-х-5^3 _ 40У?
3 21^ГГ
<=>V7-x=2.
Очевидно, что х = 3 есть корень этого уравнения и других корней нет.
Ответ: х = 3.
6.039. |^Ы_£_р=4.


Решение.
Из условия имеем
[х + 5 х 1х + 5
1 +4i 4 = 0<=>1 "
V х V х + 5 \ х
,-4 = 0.
Пусть
[х + 5
= у>0: у + — 4 = 0<=>у -4у + 4 = 0<=>
У
<=>(у-2)2=0<=>з'-2 = 0<=>з' = 2.
_ \х + 5 -, г, „ ^
Тогда J = £ . Проверкой убеждаемся, что это выражение
удовлетворяет условию.
х + 5
Отсюда -
= 4 <=> х + 5 = 4х, х =;
Ответ: х -
3
6.040. т/24 + Лх-лЬ + V* =1.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
2А + ^-ЪЩА + ^){5 + 4х^)+ЪЩ4 + 4х% + 4х^ -5-Ух" =
н-З^ + ^ + ^^ + ^-^ + ^У-^.
Так как ^/24 + -Ух - V5 + -Ух* = 1 п0 условию, то получаем
^ + -Ух)^ + -Ух) = 6«=»(м + -Ух)^ + -Ух)=216,
(^+29^-96-0.
Откуда Ух = 3 , -Ух = -3 (не подходит). Отсюда х = 9.
Ответ: х = 9 .
291


6.041. Vx + 34-Vx-3=l.
Решение.
Возведя обе части уравнения в куб, получим
*+34-х + 3-^(* + 34Х*-3)(У* + 34-й^з)=1.
Так как Vx + 34 -Vx-3 = 1, то имеем следующее уравнение:
37-3^(х + 34Хд:-3) = 1о^ + Зф-3) = 12о
<=>(x + 24Xx-3) = 1728<=>x2 + 31x-1830=0; х, =-61,ж, =30.
Проверкой убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: Х[ =-61, х2 =30.
6.042. х2+Зх-18 + 4л/х2+Зх-6=0.
Решение.
Пусть л/х2 + 3х-6 = j>>0. Тогда х2+3х-6 = ;у2
ИЛИ
х2 + 3х = у2 +6
и уравнение принимает вид'.
у2 + 6-18 + 4у = 0<=> j>2 + 4у-12 = 0, }>1 =-6 (неподходит), у2 =2 .
Тогда
л/х2+3х-6=2<=>х2+3х-6 = 4<=>
о х2 + Зх-10=0; х^-5, х2=2.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: Х\ = -5, х2 = 2.
6.043. л/х2+32-2л/х2+32=3.
Решение.
Пусть Vx2 + 32 =;у > 0 . Относительно у получаем уравнение
у2 -2у -3=0, откуда д =-1 (не подходит), j>2 =3.Тогда
44хГ+31 = 3 о х2 + 32 = 81 <=> х2 = 49.
292


Это выражение удовлетворяет заданному уравнению. Отсюда \х\ = 7
или *1д = ±7.
Ответ: ху = -1, х2 = 7.
6.044. \j(5x + 2f —=JL= = 6.
^(Sx + 2)3
Решение.
ОДЗ:х*-^.
Пусть ^(Sx + lf = у, у#0- Относительно у имеем уравнение:
у = б(у#0)<=>у2-6у-16 = 0, откуда у, =-2 , j>2 = 8 . Тогда:
1) #>* + 2)3=-2; x, = -ii
23-2 -2К/4 + 1
5 5
2) Щх + if = 8; х2 = 6.
-гб/4 + l)
Ответ: xi = Ч ', хг = 6.
6.045. хУх-4>/х2~ + 4=0.
Решение.
Пусть Ifx = у, тогда х = j>3, х2 = у6. Относительно у имеем
уравнение
у'- у-4уг + 4 = 0 <=> /-4/ +4 = 0 о (у2 -2^=0 о
о у2-2 = 0, /=2,
откуда дг =+-^2 . Тогда ъ4х = -i/2, X! = -JH vilfx = Л, х2 =Л.
Ответ: х, = -2-J2, х2 =2-^2.
293


6.046. 3^-5^ = 2*-'.
Решение.
,г- 5 2
Из условия имеем 3v х —рг = —.
Ух х
Пусть \[х = у, у ф 0, и уравнение принимает вид
33,_.1_А = 0(г*о)«3>'4-5г-2 = 0<=>з(><2)г-5(/)-2 = 0,
откуда у1 =2; у1 =-1 (неподходит).Тогда yl2 =±V2=> vx =-2 или
Ц~х~ = -1г, х, = ~Дх2=,/8 .
Ответ: х, =-!■&, х, =2i/2.
6.047. х2 + л/х2 +20 = 22.
Пусть Vx2 +20 =у > 0, тогда х2 +20 = у2, х2 = j>2 -20 и
уравнение принимает вид у2 -20 + у = 22еэ у2 + у-42 = 0 , откуда найдем
3>!=-7, j>2=6; з>,=-7<0 не подходит. Тогда -Jx2 +20 =6 или
х2+20 = 36. х2 = 16, *и = ±4-
Ответ: х{ - 4, х2 = -4 .
4 ^/х+3
6.048.
- = 2.
Ух" + 2
Решение.
ОДЗ: ^с+2*0,^с*-2,х*-8.
Пусть . Относительно у уравнение принимает вид
- + ^~ = 2 (y#0)<=>y2-9y + 20 = 0,откуда у, =4, у2 =5.
У 5
Тогда: 1) ^/х + 2 = 4; х, =8; 2) ^/х + 2 = 5; х2=27.
Ответ: %\ = 8; х2 =27.
294


6.049. V77I + 4,/*3+8 = 6.
Решение.
ОДЗ; 1Ч1>0«1'>-!«1>-2.
Пусть ух3 + 8 =у, у>0,пуравнение принимает вид у2 + у = 6 <=>
<=>y2+j>-6 = 0, откуда у, = -3 , j>2 = 2 ; л = -3 не подходит. Тогда
Vx3+8 = 2, л;3 +8 = 16, хг =8, * = 2-
Ответ: х~2.
(5-хУ5-х+(х-ЗУх-3
6.050.
V5 - х + Vx - 3
Решение.
Г5-Л > О,
ода*-з>о,~3^-<5-
- = 2.
Перепишем уравнение в виде
■JS-x + ylx-3
числитель левой части на множители как сумму кубов:
{jS-x + ylx-iUiS-xf -Jls-xfrSfj + ^x-tf
■J 5 - х + -Jx - 3
Учитывая, что знаменатель положителен, получаем
разложим
^{5-xf -4{S-x\x-i)+^{x-if =2 о
<=>5-л:-,/(5-хХ*-3)+х-3=2 <=>
<=> ^(5-хХд--3) = 0, (5-*Х*-3) = 0,
откуда 5-х -0 , Х| =5, или * - 3 = 0 , л2=3. Проверкой
убеждаемся, что это корни исходного уравнения.
Ответ: х{ ~5,х2 =3.
6.051. Jx~+j-j9-x=j2x-l2.
295


Решение.
|х + 1>0, |х>-1,
ОДЗ: Ь-х>0, «ix<9, &6&хй9.
[2х-12>0 [х>6,
Возведя обе части уравнения в квадрат и приведя подобные члены,
получаем J(x + ф - х) = 11-*, откуда
(x + lX9-x) = 121-22x + x2 о х2 -15х + 56 = 0; х,=7,х2 = 8.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: xi ~1 ,x2 = 8.
6.052. Тт= 7Т="Л/3-
x-Vx -х x + vx -х
Решение.
ОДЗ: К -* *0'« ИХ-1)£°'« «(-»;0)U[l;+-)
Из условия получаем
с + ух" - х - л: + Ух2 - х /г 2ыхг -х __ /г
-х +х
,^/Ei = ^«^P = ^(x*0)
X у/х
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем = 3 или
х = 4 . Проверкой убеждаемся, что л; = 4 является корнем последнего
уравнения с радикалами.
Ответ: х = 4.
У7-1 V7-i ,
6.053. тт= ТГ~7= '
Vx2-1 Vx +1
ОДЗ:х*+1.
296


Пусть 1[х = у, у # ±1. Относительно у уравнение принимает вид
/-1 y+i y2-i y+i
<=>y2+l-3' + l = 4<=>y2-y-2 = 0,
откуда найдем yt =-1, y2 =2 . Тогда Ух =-1, x2 =-1, или 3/x =2,
x2 = 8; xl = -1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: х = 8.
6.054. V5 + Vx"+i/5-^=^.
Решение.
ОДЗ:(5 + ^а0'«-125,х,Ш.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение
<=>2j25-V?=V?-10=>100-4V? = V?-2oV? + 100o
откуда V?=0, x, =0, или л/х2-16 = 0, Vx^ = 16, х2 =64 . При
проверке Xj =0 не удовлетворяет исходному уравнению.
Ответ: х = 64.
6.055. -JxZfx + Ijxjic = 56.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия имеем
6 3 / 3 Л2 3
х«'-хю=56<
-х>°-56 = 0.
297


Пусть х10 = у>0. Относительно у уравнение принимает вид
у1 -у-56 = 0, откуда у\--1 или уг-Ъ; ух--1 <0 не подходит.
- - / ^
Тогда хю =8 .Отсюда х = 83 , х = \13р , x = 2w =1024 .
Ответ: х = 1024.
6.056. 4хг + 9-4х2-1 = 2.
Решение.
ОДЗ: дг2-7й0.
Перепишем уравнение в виде л1х2+9 = л1х2-7 + 2 . Возводя обе
части уравнения в квадрат, получаем
х2 +9=х2 -l+jx2 -7+4<=> Jx2-7=3<=>a-2-7=9<=>
<=>х2=16, х,,2 = ±4.
Проверкой убеждаемся, что это корни заданного уравнения.
Ответ: х^ =4, х2 - -4.
6.057. VlO-x2 W*2+3=5.
Решение.
ОДЗ: 10-х2 >0.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получаем .
10-x2+2^0-x2Kx2+3)+x2+3 = 25»>/(!0-^2t2 + 3)=6<
<=> (l0- х2)(x2 + з)= 36 <=> а-4 - 7х2 + 6 = 0, х2 = 1 или х2 = 6;
Хф = ±1,Х3,4 =±7б.
Ответ: х^2 = ±1, *3 4 - iv6-
6.058. т(Е*: + 7р1,2.
Vx+3 V5-A:
Решение.
(х # -3,
°Д3:Ь*5.


p- x
Пусть l\ г - z, z Ф 0. Относительно z уравнение принимает вид
V х+3
z + - = 2 «.z2 -22 + 1 = 0 «• (z-lf =0» 2-1 = 0, z = l.
ч5-х , 5-х ,
Тогда Ц =1 » г--1; х = \.
Нх+г
Ответ: х~\.
Il6z
дг + 3
6.059.
V z
Решение.
[2*1,
-1 V16г
= 2,5.
ОДЗ:
z#0.
16z
„ < l°z
Пусть ^ —- = у, у * 0 . Относительно у уравнение принимает вид
j> + —= 2,5»;у2 -2,5у +1 = 0, откуда у\=—,У2=2. Тогданлн
У 2
Дб7_1 1& _ 1 . _ 1 .._.. ,ДбГ_2 lfe 32
ч-2'^Т = з1'2' = -ЦТ,нлн\2-,
Ответ: 2i = ,23 =2.
511
6.060. V5x + 7-V5x-12=l.
Решение.
Перепишем уравненне в виде V5x + 7 = ^J5x~Y2 +1 н возведем обе
частн в куб:
5A: + 7 = 5A:-l2 + 3(fe-12)!+3fe-12+l»
<а$5х-п} +У5х-\2-6 = 0.
Пусть \l5x-12 = (. Относительно ( уравненне принимает вид
t —г — 6 — 0, откуданайдем t} - -3 и t2 =2 .
299


Тогда или V5x-12 --3 . 5л:-12 = -27, х; = -3 , или л/5х-12 =2,
5л:-12 = 8, х2=4.
Ответ: Х[ =-3, х2 =4.
6.061. 2^ + 5^-18 = 0.
Решение.
ОДЗ: д го.
Обозначим д/д7 = у ;> 0. Относительно у уравнение принимает вид
9 9
2уг + 5у-\8 = 0, откуда найдем У\ =--, уг=2; yi =-—<0 не
подходит.
Тогда^ = 2, х = 26 = 64-
Ответ: х = 64.
6.062. т/зх2+1+7х2+3 = л/бх2+10.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
Зх2 +1+2^х2+1^<:2+з) + х2 + 3 = 6х2 +Ю<=>
<=> ^(Зх2 +l)(x2 +з) = х2 +3 =>
=>(Зх2 +1)(д2 +з)= (д2 +3^ <=> (Зх2 +l)(x:2 + з)-(х2 +3^ = 0 <=>
<=> (х2 + з)(зх2 +1-д2 -з)=0 <=> (д2 +з|д2 -l)=0;
л2 +3 * 0, д2 -1 = 0, х2 =1, хц = +1.
Ответ: х^ = ±1 ■
Vx"+Vx"
6.063.
~ = 3.
Гх-Гх
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Перепншем уравнение в виде
^/T+j/7 . £%£+0 . ^+i ,
—==—т= = 3 <=> ,—) ( = 3<=> -=— = 3 »
300


У7-И , n , УГ-и-з^+з „
«__-3=0,.rsil<=> j—- = 0«
V-v-I Vx-I
»-2,^л:+4 = 0»'^л: = 2,х = 2" = 64.
Ответ: x = 64.
6.064. Vx + 2 + -УЗдГП = 4lx + 6.
Решение.
f.r+2>0,
ОДЗ:|зд- + 8>0,»л>-2.
(2.y+6>0
Запишем уравнение в виде Vx + 2 -yllx+b = -V3x + 8 и возведем
обе его части в квадрат:
1+2-2^(д+2)(2х + 6)+2.т + 6 = Зд: + 8«.
<=> yl(x + 2)(2x + 6)=0,
откуда л+2 = 0. л'! =-2. или 2д + 6^0, х2 --3—не подходит по ОДЗ.
Проверкой убеждаемся, чго х~—2 является корнем данною уравнения.
Ответ: х~—2.
6.065. i/2.y+5 +i/5i-+6 = ->/l2.v+2?.
Г2.Т+5 >0,
ОДЗ: J5.v+6>0, ».v>- -.
[l2.v + 25>0
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
2j+S + 2^(2.v + S)(Si+6)+5.Y+fi = I2.v+2S о
<^2j(2x+5)(5x + 6) =5х + 14=>
=>4(2х+5)(5.г + 6) = 25х2+140л:+196»15д2+8а'-76 = 0,
38 _ 38
огкуда-v'i -- , л'з = 2; Х| = не подходит по ОДЗ. Проверкой
убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.
Ответ: х~2.
301


6.066. x2-4x-6=j2x2-$x + \2.
Решение.
Возведя обе части уравнения в квадрат, имеем
(х2 -4x-6f = 2х2 -8х+12 <=> (х2 -4x-6f -l{?2 -4х-6+1 г)=0.
Пусть х2 -4х-6= у, у > 0 . Относнтельно у уравнение прнмет вид
у2 -2у-24=0, откуда j>, = -4 , j>2 = 6; ух - -4 не подходит.
Тогда х2 -4д:-6 = 6» х2 -4л:-12 = 0, хх = -2, л:2 = 6.
Проверкой убеждаемся, что это действительно корнн исходного уравнения.
Ответ: х\ — -2, х2 = 6.
Решить системы уравнений (6.067—6.119):
|(х+о2)2+0'+оз)2=1,
6.067. , , nQ
[х + у = 0$.
Решение.
Перепишем систему в виде
Ux+0,2f+(y + 0jf=l, ^Ux+0,2f+{y + 0^f=\,
|*+ 02-02+.У+0,3-0,3 = 0,9 1(л: + 02)+6'+0,3) = 1.4.
Ьс + 02 = и,
Пусть s
[.у+ 0,3 = v.
,m2+v2=1, f(M + vf-2Mv = l,
Тогда ! «J ч ' '
и + v = 1,4 I и + v = 1,4
'0,4)F-2uv = l, Jl,96-2Mv =
u + v = I,4 [u+v = l,4
l Гот = 0,48,
[m+v = I,4.
По теореме Внета возможны только следующие варианты:
[и, =0,6, [«2=0,8,
< илн <
[v, - 0,8 |v2 = 0,6.
\х + 02 = 0,6, \х + 02 = 0,8, f х, = 0,4, fjc2 =0,6,
Тогда { илн { -^ илн \
[^+0,3 = 0,8 [^ + 03 = 0,6; ^,=0,5 Ь2=°3-
Ответ: (0,4; 0,5 ), (0,6;0,3)
302


х' +у' = г
6.068.
Решение.
По теореме Виета возможны только следующие варианты:
1)
Ответ: (2;-(\ (-1;2)
Л
= -1,
= 2.
6.069. I
Решение.
1 =5,
2 =13.
= 13.
■ -У
Перепишем систему уравнении в виде
°«3:Wo.
Приводя к общему знаменателю, получаем
tx + y = 5xy, !х + у = 5ху, 1х+у = 5ху,
[х2 +у2 =]3х2у2 ** \(x + yf -2xy = \3x2y2 **\xy(6xy-l) = 0.
Последняя снстема равносильна двум снстемам уравненнй:
{х + у = 0, |лг,=0,
\ху=0 **|Л=0.
1)
Это решение не подходит по ОДЗ.
2)
Ответ:
5
► , = -.
6 V
3 2 J 2 3
Уг
*ъ
й-.


6.070.
.13
' 6'
Решение.
fx*0,
ОДЗ:
у*0.
Умножив левую и правую частн первого уравнения на бху * 0,
получим
\х + у = 5
1у2-5у+6 = 0,
[х+у = 5, [У1-Х
Ответ: (2;3)(3;2)
Щх+yf -2ху)=Пху, \ху = 6,
х + у = 5 \х+у = 5,
х\ =2, [х2 =3,
уг=2.
6.071.
-у = 1,
-у3~г
Решение.
Преобразуем второе уравнение системы
\х-У = 1,
\(х-у%г+ху + у2)=1
\х-у = \,
[1+Здг>' = 7
Ответ: (2;l)i (-1;-2)
х-у = \
I Y2 <
(х-уу +3ху = 7
х~у = ], bq =2,
откуда i
ху-2, \У\=\
хг=-\,
Уг =-2.
6.072,
J 1_ =
\у-\ у+\
{у2-х-5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
у*±\,
х*а.
304


Преобразуем первое уравнение системы
х(у+\)-х(у-])~у -1, ху + х-ху+х = у2 -1, 2х = у -I,
у - .х = 5 [у - х = 5 [у - х = 5
^ л: = v2 - 5. Подставнв это значенне х в первое уравнение системы,
получим 2\у2 -5J= у2 ~\,уг = 9,j>, = 3, j>2 =-3;тогда х, =4, дг2 =4 .
Ответ: (4; 3) (4; - 3)
[у2-лу = -12,
6.073.
\х1-ху = 2Ь.
Решение.
Из условия имеем
у(у-х) = -\2,
xlx-y)=2S.
Разделив первое уравнение на второе, получим
у(х-у) = \2
х{х-у) 28' <=>
л:(л:-;у)=28
x{x-y)=2i
Зх
х(х-у)=2%.
Зх
Подставив у - ~ из первого уравнения системы во второе, полу-
Зх
4*~ И8
Зх
х2=49.
Отсюда:
Зх г ,
У= —, )У\='\
1*1 = _7
х = -7
Ответ: (-7; - 3), (7;3)
305


6.074.
x + y + — = 9,
У
(х + у)х _
20.
Решение.
ОДЗ: у*0.
\х+у = и, .
Пусть i х Имеем { По теореме Внета возможны толь-
1 - = v. Imv = 20. v
ко следующие варнанты:
f "1 = 4,
Ь=5
Тогда
I)
|д: + 3'=4,
1) \х
= 5,
*1 =
У\ =
"2 = 5,
{х + у = 5,
2> ^ = 4,
дг2 =4,
й =1.
Ответ: у! J К4;1)
6.075.
х у + ху =6,
ху + х + у = 5.
Решение.
\ху{х+у)=6,
Из условия имеем 4 , ч „


}xy = u,
Пусть 1 ,
J [x + у = v.
„ fMV = 6,
Относительно и и v получим систему < , откуда по теореме
[и + v = 5
Внета находим щ -2 , и2 -3 , Vj =3 , v2 =2 .
[я* = 2, \ху = % fx'=1> Й=2,
Тогда ^ или < ,откуда 1 ,н| _,
\х + у = Ъ [х + у = 2 [Ух-1 №->■
Ответ, (t l\ (2;l)
[*У+*У =12,
6.076. ,
[*У-*У =4.
Решение.
Из условия имеем 1 2 11 \ .
[х У [у-х) = 4.
Разделнв первое уравнение на второе, получим
х2у2(у + х) 12 у + х . . . .
- -У '- = — » = 3 » у + х = зу-зхеэ у-2х.
х2у2(у-х) 4 у-х
Из первого уравнения системы находим
x2(2xf +x'Qxf =12»8д:5+4д:5 =12 «л:5 =1, х = 1.
Тогда у = 2 .
Ответ: (];2)
/х4+/=82,
6.077. I ,
[ху = 3.
Решение.
Перепишем систему в виде
{(x + yf -2xyJ -2xV =82, f((x + y)? -6f -18 = 82)<=> '
XF = 3 I xy = 3
307


((x + yf-6f=\00,
xy = 3.
Из первого уравнения yc + J')' -а = 10, откуда (x + yf = 16 или
(x + yf =-4; (x + yf =-4 не подходит. Тогда
[х+у = 4, 1*1=1, 1*2=3,
,)W = 3, |Л=3, |у2=1
2)
ix + y = -A, \xj = -1.
ху = 3,
Уъ=-\ \У*
Ответ: (l;3) (3;1>, (-1,- 3) (-3,-1)
\х'+уг=Ъ5,
6.078. 1
[х + у = Ъ.
Решение.
По формуле суммы кубов получаем
{(x + yi^-xy + y1)^,
\х + у = 5
|5(25-Злу)=35, Г25-Здгу = 7
\х + у = 5 \х+у = 5
(x + y%x + yf-ixy)^iu
х + у = 5
ху-Ь,
x + y-i.
п т> 1Х1~ 2> 1*2 = 3,
По теореме Виета возможные варианты; { или <
№=3 Ьг=2.
Ответ: ^; з! (3; 2)
\х1 +уъ =9,
6.079. 1 ,
[ху = 2.
Решение.
Перепишем систему в виде
308


<
2
x6 -9л:3 +8 = 0, гдел:#0,
2
Из первого уравнения получаем л-3 = 1 или х\ = 8, откуда х; = 1,
х2 = 2 . Тогда ^1=2, у2 = 1.
Ответ: (l;2);(2;l)
„2
6.0
Jm/+mv=15,
|v2 +m>=10.
'Решение.
Jm(m+v) = 15,
Перепншем систему в виде | / +vl = 10 и V33^1111™ первое
уравнение на второе:
m(m + v) 15 и 3 3v
-7 i =— » —= —»и =—.
v(m + v) 10 v 2 2
Подставив w = -^- во второе уравнение системы, получим
3vz
= 10
5vz
= 10,
2 ' 2
и2=3.
Ответ. (-3;-2) (3;2)
= 4 > откуда V; = -2 , v2 = 2 , Тогда и, = -3 ,
6.081. I
х3+у3 = 65,
Решение.
Разложив левые части, представим систему в виде
\(х + у{х2 - ху + у2)= 65, ^ \(х +у%х + уУ -Ъху)= 65,
\ху(х + у) = 20 \ху(х + у) = 20.
309


Пусть |Л + ^"'Тогда H2-3v)=65-«.
[xy = v. mv = 20
m(m2-3v)=65,
_20
Из первого уравнения получаем мм - 3 — = 65 , и3 = 125 , отку-
20
20 \х + у = 5, Ui = 4, \хг = 1,
да и = 5 . Тогда v = — = 4 и < Отсюда < , н <
5 [ху=4. [3-1=1 [у2=4.
Ответ: (4; life 4 )
6.082.
х2+у4=5,
ху2 =2.
Решение.
Из второго уравнения системы д: = — . Тогда из первого уравнения
получаем —j \ + у4 = 5 , у% - 5у4 +4 = 0. Отсюда у4 = 1 илн у4 = 4 ,
U )
откуда з>1=-1, Л =1 > Уз =—«2 , y4=*J2. Тогда х12= — = 2;
«3,4 =^ = 1-
Ответ: (2; Ц (2; - Ц (f; ^) (l; - ,Й)
\n{x + yf +х = 2,5-у,
6Ш- {6(x-yf+x = 0,125 + у.
Решение.
12(д: + у)2+(х+у)-2,5 = 0,
Перепишем систему в виде
б(х-;у)г+(л:-;у)-0Д25 = 0.
310


Тогда первое уравненне будет квадратным относительно х + у, а
второе относительно х-у . Решая указанные уравнения, получаем
(х+у\л =
(х-у)з,4 =
-1±-УГ+120 -1+11
24
-1 + УГ+З
12
24
-1±2
12
Перебирая возможные варианты, имеем:
f 1 ( 3
2)
1)
\х+у =-
\Х-У = -
\х + у =
\У\ =-
1
I 12
\х2=-
\У2 =~
Ответ:
1 1
'12'
1
\х + у =—,
12
дг4 =
\У4 =
4'6 }ll2'3
6.084.
Решени
l+z
х 3
х 3
—+ —
I2 У
е.
= 1
1
2
ОДЗ:
Ь*0.
JL-_JL
'24' 24
3 1
Приводя к общему знаменателю, получаем
(6 + ху = 9х,
\ху + 6 = 3у
> 9х - Ъу = 0 ,
311


2 Зх
откуда у = Зх . Отсюда получаем — +— = 3, х2 -Зх +2 - О при х Ф 0,
х 3
откуда ATi = 1, %2 - 2 ; тогда у, = 3 , уг = 6 .
Ответ: (1;3)(2;б)
6.085.
х +у
х + у
1 1 3
—+ —= —
х у 4
Решение.
[л:* О,
ОДЗ:Ь*0,
[х*-;у.
Перепншем систему в виде
Ш + у2 )= 10(х + у\ ^ \з{(х + yf - 2ху) = 10(х + у\
[4(х + у)=3ху [4(х+у)=3ху.
Пусть] Тогда в новых переменных 1. _,
3mj-10m-6v = 0,
Отсюда v = -m н Зи2 -10и-9 -и | = 0, Зи2-18и = 0, откуда
щ = 0 , и2 = 6; тогда V; = 0 , v2 = 8 .
Получнли совокупность двух систем
\х+у = 6,
W = 8.
дг + у = 0,|
»W = o шш2)
Решая эти системы, найдем
Ответ: (2;4^ (4;2)
= 2,
Л =4 "Ь=2
312


6.086.
\(x-yp-S)=K,
[x+y = 5.
Решение.
Перепншем эту систему в виде
{{х-у\х-у\х+у) = 4Ь,\(х-уЧ(х+у)=45,^
\х + у = 5 \х + у = 5.
=> (х- у)- = 9, откуда х -у = -3 илн х-у = 3 . Получили совокупность
двух систем:
f*-j> = -3, fx-j> = 3,
1)
х + у = 5, ^\х+у = 5.
Решая эти системы, найдем
Ответ: (4;Ц(1;4)
6.087. з з Л
х у-ху = о.
Решение.
х\ = 4> }х2 - I
У\ = 1 [Уг= 4-
Пусть t = — } тогда >, = /д: н система принимает вид
|x4r-*V=6 <
*4(l-f4)=15,
x4Li3 )=6.
]_ ,4 ir
После деления получаем г = — » 2(2 - 5( + 2 = 0, откуда
t-t 6
'i = 2> 'г =2.
При \ =— из уравнения ;t4(l-(4)=15 имеем


откуда л:; = -2 , x2 = 2 ; тогда у; = -1, у2 = 1 ■
Прн (2 =2 имеем x4(l-16) = 15, х4 =-1, это решение не подходит.
Ответ: (-2;-Ц (2;l)
ix .У _^
у х 6'
х2-у2=5.
Решение,
\х*0у
°H*o.
После преобразований первого уравнения, получим
2 2 5
6 => -ху = 5 «эху = 6, у = —.
2 2с6 *
х -у =5.
Из второго уравнения системы находим
х2-^|- = 5»х4-5х2-36 = 0
х '
откуда х =-4 или х =9;х = -4 не подходит, поэтому х\ = -3 ,
х2 = 3; тогда Vi = -2 , j>2 = 2 .
Ответ/ (-3;-2), (3; 2)
Jm3+v3 +l = m,
6.089. I з з
[и v =-т.
Решение.
Из первого уравнения системы v3 = m -1 - и3. Подставив это
значение v3 во второе уравнение, получим
M3(m-l-M3)=-m»(M3]f-(m-l^3-m = 0,
314


откуда
3 m-\±4{m-\f +4m т-\±Ытг -2т+1+4т
«1,2= ^ = 1 :
m~\±4m2 +2/Я+1 _ m-\±4(m+\f _m-\±(m+\)
2 '2 ~ 2 '
3 m-l-m-1
«i = j = ~ ' "i " _1 >
или
з m-l + m + I ,,—
«2 = = m , u2=i]m ;
тогда v,3 =m , Vj = Vm илн v| -m-\-m = -1, v2 =-1.
Ответ: (-1; l[m](l[m; -l)
ЙХ + — ■
6.090. | , У
— + ay ■■
Решение.
fx*0,
= 2,
= 2eft.
„ \axy + b-2y, л .
Перепишем систему в виде < =* 2у = 2abx, у = abx.
[b + axy-2abx
Из первого уравнения системы получаем а2х2 -2ах +1 = 0 (при b ф 0)
[н (ах - \у = 0, откуда jq = x-i ~ —. Тогда у = a b ■ - = b, где й * 0.
я а
Ответ: еслн й£ = 0 , то корней иет; еслн йЬ * 0, то х = —, у = Ь.
а
Нх-у)-ху = 30,
6Ш-\(х + у).ху = \20.
315


Решение.
После деления второго уравнения системы на первое получаем
(х + у)ху _ 120 3 „
7 \—-ТГ, у = -х. Из первого уравнения системы находим
(х-у)ху 30 ' у 5
х — л: Ьс-л: = 30, \3 =53, откуда х = 5; тогда у = 3 .
Ответ: (5; 3)
6.092. i0 .
Решение.
Из второго уравнения системы у = -8 - х. Подставив это значение у
в первое уравнение системы, получим
х2 +(-$-xf +6х+2(-&-х) = 0*Эх2 +10х+24=0,
откуда х; = -6 , х2 - -Л ; тогда yt = -2 , у2 = -4 .
Ответ: (-6;-2) (-4;-4)
v - и = 1,
6.093. \w-v = i,
(fi-if+(v-2f+(w-3f =3.
Решение.
Из первого уравнения системы найдем v = 1 + и ■ Подставив это
значение v во второе н третье уравнения системы, имеем
fw-(l + u) = l, tw-u = 2,
{(„_!)> +(1 + „-2)J +(w-3f =3 **{(«-if ^-l)3 +(»-!? =3 **
|и>-и = 2,
el2(»-lf+(»-3b3.
Из первого уравнения последней системы найдем w - 2 + и .
Подставив это значение w во второе уравнение этой же системы, находим
316


х- у
ху-5.
x + y
=
13
6
2(»-|)Ч(2 + в-3)] = Зо(в-1)' = 1,
откуда u = 2.Тогда vv = 4, av = 3.
Ответ: (2;3;4).
6.094.
Решение.
ОДЗ: x*±y.
Преобразовав первое уравнение системы, получим
Ых+у)1 +6(.v-v)2 = l3(x-y)(x + y)t=>x2 = 25 у1,
откуда
-V| =-5 V. Х2 = 5V\
Из второго уравнения системы находим у~ --I (не подходит) шш
у" - 1, откуда .Чд=^1- Тогда *i,2=±5-
CWctj. (5:1). (-5:-!).
Гз*+2у+2г = 13,
6.095.J2.v + 3y+2; = 14,
[2*+2 v+ 3s = 15.
Сложив все три уравнения, подучим 7(*+.v + z) = 42, откуд:!
х + у + z = 6. Теперь будем последовшельно вычитать тто уравнение из
каждого уравнения системы:
f3* + 2v + 2z = 13, f2.v-r3>> + 2r = 14,
<=>.r = l; { <=> v = 2;
[л- + .1' + : = 6 |.t + y+; = 6
f2*+2v + 3z = 15,
<=>v=3.
(.v+.l-+r=6
Отве/ч:(1;2;3).
317


6.096.
Решение.
у
Деля первое уравнение снстемы на второе, получаем — = 8, у = 8х .
Из второго уравнення системы имеем х ■ 64х -2 r x --~ , откуда
х - - ; тогда у = 4 .
Ответ: J >^
6.097. Ы + у + 2г = 7,
[гдг+з^+г^г.
Решение.
Будем преобразовывать систему по методу Гаусса, т.е. из второго н
третьего уравнення системы вычтем первое, помноженное на
соответствующее число
x+2y + 3z = 3, fx+2y + 3z = 3, fx+2y+3z = 3,
3x + y + 2z = 7,e*\-5y-7z = -2, »Jy + 5z = 4, <=>
2x+3y+z = 2 {-y-5z = -4 [-5y-lz = -2
x+2y+3z = 3, ix = 3-2y-3z, \x = 2,
»-jj>+5z = 4, »<y = 4-5z, «Jy = -1,
18z = 18 (z = l |z = l.
Ответ: (2;-l;l)
6.098. 1 , n ,
Решение.
Перепишем систему уравнении в виде


Ux + y\x2 - xy + y2
\xy(x + y) = -2
1=7.
(x+xi(x+yf-3xy)^l,
xy{x + y) = -2.
\x + y = u,
Пусть < тогда снстема уравнений нмеет вид
[ху = v,
U2-3v)=7,^v = _2
|uv = -2 и
Из первого уравнения полученной системы найдем
иГ»2 +-1=7<=>ы3+6 = 7. и3=Ь
откуда и = 1. Тогда v = - - = -2 . Далее,
W = -2 |)Л=-1
Ответ: (2;-Ц(-1;2)
х2 =-1,
у2 =2.
6.099.
]д:2 + ху+у2 =91,
|л: + Л/х)> + J> = 13.
Решение.
ОДЗ: лу>0.
[Vx = и > 0,
Пусть 4 тогда
Относительно и и v снстема уравнений принимает вид
1и4 +«V +v4 =91, „ j(»2 +v2]f -2„V +«V =91,
х = м
2
>- = V ,
х -и
,2 „4
[иг +UV+V1 = 13 [Mz + И = 13-«v.
Из первого уравнения полученной системы имеем
(\3-uvf-u2v2 =91, 169-26«v+mV-«V=91, «v=3.
Из второго уравнения системы получим ^
319


M2+v2=13-3, (u + vf-2uv = l0, (u + vf=W+2uv = l6,
откуда
w + v = -4
илн
w+v=4.
Получилн две снстемы уравненнй:
, f«+v = -4, , f«+v=4,
1) i нлн 2) i ,
откуда по теореме Внета находим
[щ = -1, |и2 = -3, [иг = 1, [щ = 3,
{v,=-3, Ь=-1, {v3=3, {v4=l.
Тогда для { .— - 0, для < - 0,
л=1,
Ответ: (l;9);(9;l)
,4 =1, [V*=3, |x2=9,
,- откуда -^ ^ откуда -^
V?=3> h=9. №=i, Ь=ь
6.100.
/и +v -Vh-v =2,
\fu +v - Vh-v =8.
Решение.
|m + v>0,
°fl3:lM-v>0.
Перепишем систему уравнений в виде
и +v -iju-v =2,
i$Ju+v-ilu-vfiJu +v +л/и-у)=8
u+v-iju-^v =2, \iiu+v~$Ju-v =2,
2(Vw+v +Vw-v)=8 |V« + v+3/w-v =4.
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем


\2i/u+v=6, \ilu+v=3,
Отсюда
f« + v = 81, fu = 41,
[m-v = 1, [v=40.
Ответ: (41;40)
Jx + у + IJx - у = 6,
6.101.
Решение.
f*+;y>0,
Перепишем систему уравнений в виде
Jx + у + ух - у = 6,
VC^-vo^F-»
Jx + y -yx-y =8.
Ujc + J^m, Jm+v=6,
Если К/ то '
IV* ~ У = v>
[mv = 8.
По теореме Внета единственно возможные варианты
fu,=2, (и2=4,
или 1
v, =4
v,=2.
L/x + .y=2, Ujc + J'=4- [дг+у = 4,
Тогда 1 . или s . откуда < или
[\1х-у=4 [Vx"3'=2. U - J' = 64
|дг + у=16, U=34, fx, =12,
Ответ: (34; - 30), (12; 4)
I M. И. С канав и, группа А
321


U2x-y+ll-j3x+y-9 =3,
6Л02- \Ц2Х-у + и+ф~хТу^ = 3.
Решение.
(фх-у+11 = и>0,
Относительно и и v система принимает вид
Im2-v2=3, |(u-vXm + v) = 3, Jm-v = 1,
1 u + v = 3 [и + v = 3 1 и + v = 3,
Тогда
]фх-у+11 = 2, f2x-;y+ll = 16,
[i]3x+y-9=l [3x+y-9 = l
откуда
2x-y-
3x+y =
= 5,
= 10,
откуда
f.-з.
b=i.
Ответ: (3; l)
6.103.
&$•>•
у]5х + у + ^/5x - у = 4.
Решение.
ОДЗ:
5д: + у>0,
5д:-у>0,
^>0.
П7 2
Пусть , — = z>0. Тогда z — = 1 или z -z-2 = 0, где z#0 . От-
V х z
сюда z, = -1, z2 = 2 ; z, = -1 < 0 не подходит.
322


Тогда J— -^, — = 4, у = 4х .Из второго уравнения системы имеем
-J5x+4x + -JSx- 4х = 4, $9х + -Ух = 4, 4-Ух = 4, -1х = 1, откуда
находим х = 1. Тогда у = 4. Непосредственной проверкой убеждаемся, что
это решение.
Ответ: (l;4)
V^ + ^,/I = 12,
лгу = 64.
Решение.
6.104,
л:>0,
°Д3'Ь>о.
Перепишем систему в виде
W-$7+{76J?=i2, ^ Wi/tfy+yi)=и,
[лу = 64 [яу = 64.
Пусть ^ = и>0,а ^ = v>0 . Тогда имеем
jMV(«+v) = 12,
1. б..б _ ,. <
(uvf(u + v) = \2,
uv = 2
|4(m+v) = 12, fu + v = 3,
[mv = 2 [mv = 2,
Гм, =1, \u2 =2,
откуда -^ или i
v,=2 v2=l.
откуда
f Xi = 1, \%1 - 64.
i или \
[у, =64 ^2=1.
Ответ: (1;64)(б4;1)


6.105. i
fo-y? -i.
Решение.
f|x + ^ = 3,
Из условия имеем i. . Из этой системы уравнений получаем
следующие четыре системы:
\х + у = -\ {х + у = -3, \х + у = 3, \х\у = 3,
Складывая н вычитая уравнения каждой системы, найдем ее
решения:
*1=-2, |х2 =-1, |х3=2, fx4=l>
Л=-1. V2=-2, [Уз=\ [У* =2.
Ответ: (-2;-l)l(-l;-2)l(2;l)l 0;2)
6.106.
w+v = Vuv +3.
w = x ,
v2=/.
Решение.
ОДЗ: Mv > 0.
„ fi/u = x > 0, f и = j
Пусть < <
|yv=j>>0, [v=i
Относительно д- ну получаем систему
+ / = *У +13, ^ |(^ +/J _2л:У = *У +13, ф
(хг+у2]-Зхгуг-П = 0,
Л"2 +у2 = ху+3.
Из первого уравнения системы имеем
(ху + 3)Р-3;еУ-13 = 0, л-У + 6ху + 9-Зх2у2 -13 = 0,
324


xy = 2, (xy = 1,
(x+yf=3xy + 3 ШШ 2) {(x+y)2 = 3xy + 3,
откуда находим
[л:, =1, \х2=2.
л =4 № =
*3 =
Уз
л/б-ч/2
2 '
■JZ+J2
х4 =
74
41 + -Л
2 '
■Л-Л
|Л" = 1, |и,=1, {Л" = 2, |и2=4,
Тогда|Л = 2, Ь-4; {Л = 1, Ь=1;
Уб-ч/2
2 ' k=2-V3,
Тб+,/2 lv, =2 + Д
л/б+,/2
■J6-Jl v4=2-V3.
u. =2 + V3,
Ответ: (l; 4), (4;l)t (2-7з~;2 + Л) (г + 73;2~7з)
6.Ю7. yx J? 3
[xy = 9.
Решение.
\x>0,
ОДЗ:
h>>0.
Пусть < где и > 0 и v > 0 .
Относнтельно м н v система уравненнн прнмет вид \и v 3 '
uV=9.


Учитывая, что и > О, v > 0 , получаем
4
u + v _4
uv 3
uv = 3 [wv = 3
vx =1, fx, =1, U/x =3.
и + v = 4,
= 3,
откуда
«1=1. j«2=3>
= 3; lv,=l.
6.108.
Тогда , _ , , _ ,
[■Jy=x 1л=9; №>=i, b=i-
Ответ: (v,9),(9;\)
У$.-^х~уУ +iafe + Jx + yY =5,
[Л^—Jx-yY -sfy + Jx+yY =3.
Решение.
Перепишем снстему уравненнй в виде
= 5,
= 3.
2-Jx~y 2 + ^х + у
4 5
,/л:~.у 2+^х+у
\х-у >0,
ОДЗ: |х+у>0,
[х-у#4.
Пусть
1
2-~у]х~у
1
Относительно w и v система уравнений прини-
2 + ,/х + .у
мает вид
|3M + 10v = 5,
|4u-5v = 3.
Отсюда получаем и -1; v = — . Тогда
326


■Jx-y
2+yjx + y 5
2-Jx-y =1,
<
2 + yjx + y =5
jx-y=i \x-y = \,
jx + y=3 \x+y = 9,
откуда
\y=4.
Ответ: (5:4)
\x+y=2i.
Решение.
6.109.
Пусть
fy=v,
\y=v
' Относительно и и v система принимает вид
]M + v=4, Jm + v=4,
{m3+v'=28 [(u + vj^t1-uv + v2)=2i^'\
ju + v = 4,
** [mv=3,
откуда
fu,=l, fu2=3,
\v,=3; \v2 =1.
V*=l, lx,=l Wi = \ \x2=2l,
M + v=4,
((m + v)2-3mv)=7
Тогда 1 „, , „.
1^ = 3 bi=27; [з/^ = 1 Ь=1.
Omeem: (l;27), (27; l)
|^/x+;y +^/x-.y =4,
6.110.
Jx + y-i]x-y =i
327


Решение.
ОДЗ:
х+у>0, \х>-у,
Х~У>0, [X>y.
jx + y = н >0, \yjx + y =иг
Пусть
"х- у =v>.0, \<Jx—у =vz
Относительно и и v система примет вид
M + v=4, fM + v=4, Jm + v=4,
M2-v2=8<=>[(« + vX«-") = 8<=>l«-v=2,
е
' = 3, _, №+7 = 3, fx+y=81, f* = 4i,
откуда -^ Тогда ■{ , <=> J откуда •
у =40.
Ответ: (41; 40)
6.111.
x + j> = 5.
Решение.
ОДЗ:
л:>0,
у>0.
Перепишем систему уравнений в виде
i{jx~+S>)=-i4v>,
Ух~ + 4у[-4х~у: = 5
{\х +Jy =и,
где w £ 0 и v > 0 . Тогда
2u = 3v,
<
-2v = 5
_2и
' 3 '
_2и
: з '
2и
M2-2v = 5 »'-2-j=5
_2и
= 3 '
Зи2-4и-15 = 0.
4 4
Из второго уравнения tf| =-—, u2 =3; их =— не подходит.
Тогда v = 2 н


x+2jxy+y = 9,(x + y = 5,
ху = 4 \ху=4.
Используя теорему Виета, находим:
Ответ: (4; l), (l; 4).
lJx~ + J>>=10,
6.112. ,_ V-
Решение.
[х>0.
ДГ| =4, \хг =1,
Л =1; Ьг =4-
ОДЗ:
[j>>0.
Пусть j
\i[x = и > О, fV3c = и:
[^ = 1,20, |-/y=v2
Относительно и и v система имеет вид
lMz +vz =10, (
[u+v=4
откуда
|«,=1, /и2 =3,
V,=3; \v2=l.
Тогда
(m + v)2-2mv = i0,<=> f«v = 3,
u + v=4 \u + v=4,
4>/л" = з;
4/^ = 1 °b=81; b=l.
Omemi: (l; 8l). (81; 1>
6.113.
x + a | у
х + ^ = х^+д.
=2,
329


Решение.
\х + а
Пусть - =/, где / > 0. Относительно / уравнение принимав
1 ? у 1-х + а
вид /+ =2,? -2? + 1 = 0,(/-1г =0, откуда 7 = 1. Тогда
х + х + а = х(х + а) + и,х + {а~2)х = 0,х(х + а-2) = 0,
откуда л'] =0,л2 ~2-а. Тогда у, = я, v2 ~2.
Ответ: чат й*0, то -vt=0, ух = «, л2 —2- a, v2 =2; если <г=0, го
х = у = 2.
vJlx-xJlv =6,
6.114. v
Uv3-.v2v-30.
Решение.
0ДЗ: Lo.
Перепишем первое уравнение в виде -Jl^xy —^x~y) = b и
положим V-v-v" = "■ \Х~У ~ v- 'Ж и>0, v>0. Тогда система относительно и
и г примет вид
JV2(.,-v) = 6. J„-v-*/2, kl' = 3^-
1 , , «Н <=Н 30 <=>
l«--v2=30 [(w-i>)(« + v) = 30 " + ,' = T7J
[u-v = 31/2,
, откуда u = 4V2, v = V2.
[w + v = 5V2,
330


Значи г
Д? = 4,/2, |лг =32.
/?7=^2 [х2у = 2.
Перемножив эти уравнения, получим х i J = 64, откуда лт = 4. Окон-
2 1 32 .
чагельно находим -v =
Ответ. (- ; 8).
2
4 2'
6.115.
[^+^=з,
Решение,
Пусть
[y = v
Относительно w и v система принимает
и + v = 3,
H+v = 3,
»v = 2,
u + v-3,
<
(k + v)2-3w = 3
» + v=3,
32-3»v = 3
'2=2, f^ = l,
откуда •{ ' , ■! Тогда \ откуда
■ -2: ("2=1- [^ = 2,
[V7=2, Г, = 8.
^ откуда ^
Ответ: (1;8)Д8;1).
Vu-VV = 1,
6.116.
Ii/w+i/v =5.
331


Решение.
fu>0,
°Д3ф>о.
Пусть \ Относительно хну система принимает вид
[Ъ=у>0.
х-у = 1,
x2 + v2=5(
х-у = \ (х-у~\, jx-y = l,
(x-yf +2ху = 5 ** [1 + 2ху = 5 **\ху = 2,
fjf, = -I, U2=2, |х,=-1<0,
откуда { { { не подходит.
Ь=-2; \у2=К V,=-2<0
№=2, f« = i6,
Тогда \ <=>^
Ответ: (16; 1)
fx-y = 8a2,
6.117. | г- г-
Решение.
\х>а,
°Д3:Ь>о.
Перепишем систему уравнений в виде
(>/* "4у V* + 4у )= 8«2. ^ [(>/* -4)>)'4а = 8а2,
-Jx+-Jy=4a [Jx+Jy=4a.
,. тт о f^--/y=0, Г* =0,
1) Прня = 0имеем^ откуда^
-, „ „ \Jx-Jy=2a, \-Jx=3a, \х2
2) При а ф 0 имеем ^ откуда J <=> j
при я > 0 .
:9«z


Ответ: если д = 0,то х, - у, =0;если я>0,то х2 =9д2,^2 =д2
если д < 0, 0 .
6.118.
р + _у \х~у
\х + у \х~у
[8 V 12
Решение.
\х+у>0,
ОДЗ:
x-v>0.
Обозначим •
где и > 0 и v > 0 .
fw + v=14,
Относительно ми уснстемапрнннмает вид ^ и v <=М
U 2 l
Ги = 10
откуда ^ Тогда
у=4.
jx=124,
откуда j^ = 76
= 10,
\х+У _
2
)х->' _
{ 3
100,
16
х + у = 200,
х-у = 48,
Ответ: (124;7б)
■Jx~Jy= 0,5 Jxy,
6.119. ^ ,
х + у =5.
Решение.
ОДЗ:
Гх>0,
Ь>0.


Пусть < где и > О н v > О.
Относительно и н v система принимает вид
m-v = 0,5uv, fu-v-O^wv,
u2+v2=5 j(u-v)2+2Mv = 5
=> (0,5uvf +2uv-5 = 0, 0,25(Mv)2 + 2mv-5 = 0,
откуда uv = -]0 илн mv = 2; mv=-I0<0 не подходит. Тогда
Jm-v = 0,5mv, fu-v = l, f« = 2, [Vx=2, fx=4,
|»v = 2 ~[m> = 2, 0TKy№{v = l; |^ = 1) |r = l-
Ответ: (4;l)
и x2 —корни данного уравнения.
Решение.
-г _2 11 *,2+*2 (x1+x2)2-2xlx2
{x)X2f
По теореме Внета xt + х2 ~—, xt -x2 -
*Т-2 - —- —
-2 -2 I а ) а а2 а Ь2 -2ас а2 Ь2 -2ас
Х\ +*2 -~
а"
oz -2ас
Ответ: ? ■
J_ 1
6.121. Составить квадратное уравнение с корнями г н если
х{ и х2 — корни уравнення ах + Ьх + с = 0 .
334


Решение.
1
Пусть у + ру + д-0 есть нскомое уравнение с корнями
f ь
\хх + х2 =—,
-_L ] "
i ~ .Из условия по теореме Внета имеем ] с
хг \хгх2=-.
Л =
Т0ГДа Ьл -9-
Отсюда
/ \ Г I О Xi+x2 b с b
Р=-(у1+У2) = -\— + — =—' Ls-:-=_>
I х{ x2 J Х\Х2 а а с
=— _L=^
Получили уравнение у2 +~у + ~=0, д ■ с * 0 , « су2 + by + а = 0 .
с с
Ответ: су2 +by + a=0 прн а ■ с Ф О .
6.122. Составить уравнение второй степени, один нз корней
которого был бы равен сумме, а другой — пронзведенню корней уравнения
ах +bx + c = 0 •
Решение.
Пусть у2 + ру + q = О — нскомое уравнение с корнями yi = х{ + х2,
Уг = xi' х2 ■ По теореме Внета имеем
b
у] = х{+х2 = —,
с н i
у2 =хх-хг =- К -у2 =д.
а
Отсюда р = -(у1 + у2) = = , д = у,у2=—=г- Получили
а а а а1
уравнение
335


у2 + у -=0<=>fl2v2 +a(b-c)y-bc = 0 .
а а1
Ответ: а2у2 + a(b-c)y-bc = Q.
6.123. Составить уравнение второй степени, корнн которого были
бы на единицу больше корней уравнения ах + Ьх + с = О .
Решение.
Пусть у2 + py + q = 0 —искомое уравнение с корнями >,I=x]+l,
у-у =х2 +1. Из условия по теореме Внета
{ Ь
J a тогда
с
\х\ -х2 = -,
1у] + у2 = jt] +1 + х2 +1 = X] + х2 + 2 = — + 2 = -р,
У\'Уг~ (х\ +^ХХ2 +!)=*]*-> + X] + х2 +1= + ! = <?,
а а
f =b~2a
a-b + c
Получили уравнение
2 b—2a a—b + cn it, „ \ , п
у + у + = 0<=>aj> + (b-2a)y + a-b+c=0 ,
а а
Ответ: ay2 +(b-2a)y + a-b + c = 0.
6.124. Определить коэффициенты квадратного уравнения
х2 + рх + q =0
так, чтобы его корнн были равны р и q .
Решение.
{p + q=~p, [2p + <7 = 0,
По теореме Виета ч ~ .. ,
V?=? l?0>-i)=o.


Из второго уравнения системы имеем q = 0 ила р-[ = 0. Тогда
?1 =0, р, =0; рг =1, q2 =-1рг =-2.
Ответ: р, = qt =0; р2 = 1, q2 = -2 .
6.125. Найтн коэффициенты Л н В уравнения х2 + Ах + В =0, если
известно, что числа Л н 5 являются его корнями.
Решение.
По теореме Внета
\А + В = -А,
\АВ=В
2Л + В = 0, U=0,
Л2=1,
В, =-2.
[в(л-1)=о \в,=о
Ответ: А, = В, = 0;А2 =\,В2 =-2.
6.126. Прн каком целом значеннн & однн из корней уравнения
4х2 -(3fc + 2)x + (fc2 -l)=0 втрое меньше другого?
Решение.
Из условия по теореме Внета имеем
Ък + 2
4 '
■2-1
х, = 3х.
_3fc + 2
4 '
_ fc2 -I
4 '
= 3х,
3/i + 2
Xi -~
16
х2 = 3хь
3fc + 2
16
где hZ. Отсюда 37* -36&-76 = 0,
дит).
38
*i =2, к2 = е 2 (не подхо-
Ответ: к — 2.
6.127. Прн каком целом значении^ уравнения Зх2 -4х + р-2=0 н
х -2рх + 5 = 0 имеют общий корень? Найтн этот корень.
Решение.
Пусть X, — общий корень, тогда
J3x2 -4х, + р-2 = 0, J3x,2 -4xi + P-2 = 0,
[х1 -2pxt + 5^0 [Зх2-6рх|+15 = 0
=>-4х,+6рх, + р-2-15=0, (бр-4)х,+р-17 = 0,
337


откуда хх = — . Из второго уравнения системы имеем
fin—4
6р-4
И^Р.) _2p[22z£ +5=0, 12р3-31р2-138р + 369 = 0,
12р3 -36р2 +5р2 -15р-123р +369 = 0,
(l2/>3 -36р2)+(5р2 -15p)-(l23p-369) = 0,
12р2(р-3)+5р(р-3)-123(р-3) = 0,
(р-3)<12р2+5р-12з)=0.
, 41
Отсюда р-3=0, р, =3,илн ]2р +5р-]23 = 0,откуда Рг =_Т7,
41
Рз = 3; Р2 = ~тт не подходит. Таким образом, р = 3 , тогда х = 1.
Ответ: х =\, р = 3 .
6.128. Найтн все значения д, прн которых сумма корней уравнения
х2 -2а(х -])-]= 0 равна сумме квадратов корней.
Решение.
Ixi +x2 =2а,
Поусловию д:2-2яд: + (2я-]) = 0.ПотеоремеВнета 1 _, ,
Далее,
х, + х2 =^t + х\ -{хх +хг) -2xtx2 » Xi +x2 ={х{ + х2) -2х{х2 .
Используя значения X[+x2=2« н хгх2=2а-\, получаем
2д = (2д)2-2(2д-1), откуда 2д2-Зд + 1=(Ь ai =y, «2 =1 •
Ответ: си = — д? ^1.
2 ' 2
6.129. Прн каком значеннн д. уравнения х2 + дх + 8 = 0 н
х + х + а = 0 имеют общий корень?
338


Решение.
Пусть хг — общий корень, тогда
[х,2+а^+8 = 0, д-8
■^ => алг( -,v( + 8-а =0, .v( = .
[jc, +JC!+a=0 д-1
Из второго уравнения системы имеем
, . а3-24а + 72 . I
+ а=0, = ()»■
а-1 I la-lj (а-\)2
V-24а+ 72= 0,
а*1,
а3+21б-21б-24а + 72 = 0, (а3 + 21б)-24а-144 = 0,
^3+63)-24(а + б)=0,
(а + б)(г-6а + 3б)-24(а + б) = 0,
(а + б)(*2-6а + 12)=0,
откуда а = -6 . Для квадратного уравнения D < 0,0 .
Ответ: а = -6.
6.130. В уравненнн х -2х + с = 0 определнть то значенне с, при
котором его корни xt и х2 удовлетворяют условию 7х2 ~4xt =47 .
Решение.
j ЛС| + х2 =2,
Из условия по теореме Внета имеем -j*i -x2 =с, Отсюда
|7*2-4*, =47.
х2 =2-xt и получаем
\xl\2-xl) = c, \xl\2-xl) = c,
[7(2-jc,)-4x, =47 \jc, =-3.
Таким образом, с = -15.
Ответ: с = — 15 .
6.131. Не решая уравнения х -(2а + 1)х + а +2 = 0, найти, при
каком значении а одни нз корней в два раза больше другого.
Решение.
Из условия по теореме Внета имеем
339


1*1 +x2 = 2д + 1, |3л'| = 2д + 1,
х1 -х2 = Д2 +2, » J2.V[2 = д2 + 2,»
х2 -2xt be 2 =2х[
2д + 1
flz+2
*2
= 2*,.
Отсюда
Т--
3 2
2д + 1Т_ д^+2 4д-+4д+1_д^+2
^ 9 2
<=>д' -8д+16 = 0»(д-4)2 =0.
Таким образом, д =4 .
Ответ: д = 4.
6.132. Прн каком значении р отношение корней уравнения
х2 + рх-\6 = 0 равно -4?
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
= -4
-Зд:, =-р,
-4х,2=-16
л, + Л"2 = — р, \xt+ х2 = —р,
Xt ■ Х2 = -16, <=> -j X[ ■ Л"2 = -16, =>
х2=-4х1
х -Е-
*?-4.
*i-4*, =-/>, ^
х1(-4х1) = -16
Таким образом, — =45откуда р2 =36,или ptj2 =±6.
Ответ: р^ =±6.
6.133. Не решая уравнения Зх -5лс -2 =0 , найти сумму кубов его
корней.
Решение.
По теореме Виета и условию имеем систему
340


\x,-x, = --
x\+x\ = (x, + x2\xf -хххг + *f )=(*, + x2j[x, + x2f -3Xlx2).
Отсюда' хх +x\
з_5
215
' 27 '
Ответ:
215
27 '
6.134. При каком целом значении 6 уравнения 2* + (36-l)x-3=0
и 6х2 -(26-3)х-1 =0 имеют общий корень?
Решение.
Пусть хх —общий корень. Тогда
2x,2 + (3fe-l)x1-3 = 0,
6д:,2-(2й-3)х1-1 = 0
6х2 + (96-3)х-9 = 0,
6х2-(2Ь-3)х1-\ = 0~
<=>(96-з)х + (26-3)х-9 + 1 = 0, х =
life-6
Из первого уравнения имеем
116-6
34
99
34
|-(36-1
, Ъг =2;
116-6
-3=0, 996' -1646-68=0,
6. не является целым значением.
1 99
Ответ: 6-2.
6.135. При каком положительном значенни с одни корень уравнения
8х2 -6лг + 9с2 =0 равен квадрату другого?
341


Решение.
По теореме Виета н условию нмеем систему
хх + х2
х1 " х2 ~'
v - v2
Х2 -Х|
, 1
--»2
8**4'
9с2
хг-хх,
*!+*? =
хх ■ хх
_3
~ 4'
9с2
4*1+4^,-3 = 0,=
з 9с2
Отсюда получаем с2 - -3 или с2 = —; с = -3 < 0 не подходит. Тог-
1 I 1 л
да Cj = —, с2 =-; С| = — <0 не удовлетворяет условию.
Ответ: с=—.
3


Решения к главе 7
ЛОГАРИФМЫ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ
И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА И ФОРМУЛЫ
Степени с действительными показателями
а0"!, (7.1)
где 0° не имеет смысла;
а~" --v(a*°), (7.2)
а
где п - действительное число;
д»2^(д>0)> (7-3)
где тип- натуральные числа;
„а-)>
(7.4)
(7.5)
Ifi'Jmd^, (7.6)
где а и Р —действительные числа.
Показательная функция
Показательной функцией переменной* называется функция
у = ах,
где а - данное число.
343


Если а< О, то функция ах определена только при целых и при
дробных значениях х (если знаменатель дробного показателя- нечетное
число). Если а = 0, то выражение О* определено при х > О. Если а > О, то
функция ах определенапрнвсехдействнтельныхзначенияхд:,причем
прн а = 1 имеем ]х = 1, т.е. функция равна постоянному.
В дальнейшем показательную функцию ах будем рассматривать прн
а>0 Haiti.
Основные свойства показательной функции
у-ах при а> О, я*1:
1. Показательная функция определена прн всех действительных
значениях х(хе R).
2. Областью изменения показательной функции служит множество
всех положительных действительных чисел, т.е. у е (0, + «.).
3. Прн а > 1 показательная функция строго возрастает, т.е. нз
неравенства jcj < х2 следует неравенство a* <aXl . Причем если
хе (-°°;0), то ye(0;l); если а- = 0, то у = \ ; если х<= (0;<*>), то
ye (j; + °o), т.е. если хе (-<*>;+<*>), то уе (О;+ <*>); у -»0 прн х -»-оо н
^->+оо при х-^+оо. ¥
4. При я е (0; l) показательная функция строго убывает, т.е. из
неравенства лс, < х2 следует неравенство а*1 > ах*. Причем если х е (- оо; 0),
то >-е (l; + oo); если х = 0,то >- = 1;еслн хе (0; + <*>), то ye (0;l), т.е.
если хе (-°°; + °°), то уе (0; + °°); >--»+<» при х ->-оо и у-»0 прн
л; ->+оо.
5. Характеристическое свойство: значение показательной функции от
суммы равно произведению значений этой функции от слагаемых, т.е.
а*+Х2=аХ1-аХ2.
Логарифмы н нх свойства
Логарифмом числа Ь по основанию а называется показатель
степени, в которую надо возвести число д, чтобы получить число b: loga Ь = х,
если ах =6,или
al0^b =b- (7-7)
344


В дальнейшем основание логарифмов будем считать положительным
и отличным от единицы (а>0,д*1).
Приведем некоторые свойства логарнфмов (при любом
положительном основании, отличном от единицы).
1. Логарифм единицы равен нулю. т.е. log,, 1 = 0.
2. Логарифм основания равен единице, т.е. Iog^o =1.
3. Для любого положительного числа b существует, и притом только
одно, такое действительное число а, что bg„ b = а.
4. Hi равенства logw х} = log,, х2 следует xs ~ х2 (и наоборот).
Основные правила логарифмирования
1. Логарифм произведения двух или нескольких положительных
чисел равен сумме логарнфмов этих чисел, взятых по тому же
основанию, т.е.
bgfl(6-c) = Ioge6 + log(,c. (7.8)
Замечание. Логарифм произведения нескольких чисел, если оно
положительно, равен сумме логарнфмов модулей этих чисел, взятых по тому
же основанию, т.е.
\og(l(brb2...b„) = \oga\bs\ + \oga\b2\ + ...+
+ Iog>wj (brb2...b„>0). (7.9)
2. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности
логарифмов делимого н делителя, взятых по тому же основанию, т.е.
^ga-^\ogab-\ogac. (7.10)
с
Замечание. Логарифм частного двух чисел, если оно положительно,
равен разности логарифмов модулей делимого н делителя, взятых по тому
же основанию, т.е.
k>g0- = loge|6|-Iogfl|cl (bc>Q). (7.11)
с
3. Логарифм степени положительного числа равен произведению
показателя степени на логарифм ее основания (логарифмы взяты по тому же
основанию), т.е.
log(lbc = c\ogab. (7.12)
345


Замечание. Логарифм положительной степени числа, отличного от
нуля, равен произведению показателя степени на логарифм модуля ее
основания, взятый по тому же основанию, т.е.
loga6c=clogfl|u| [be>o). (7.13)
Формулы перехода от одного основания логарифма к другому
1. Логарифм числа по данному основанию равен логарифму этого
числа по новому основанию, деленному на логарифм данного
основания по новому основанию, т.е.
Log„iV = ^. (7.14)
log,, a >■ I
1
Множитель - называется л/од улел* перехода.
log,, я
2. Из формулы (7.14) при N = Ь получаем
3. Часто в логарифмических преобразованиях пользуются
тождествами
log/JV = ilog|fl|JV (</">o) (7.16)
log, j N
log,feA^ И (ab>0)
l+l0gjfljfe
(7.17)
Логарифмическая функция, ее свойства и график
Логарифмической функцией называется функция вида
У - logfl х,
гдед>0, д*1 их-независимаяпеременная.
По определению логарифма выражение у = logfl x означает то же,
что и выражение ау = х , т.е. логарифмическая функция есть обратная
функция по отношению к показательной.
346


Основные свойства логарифмической функции
1. Логарифмическая функция определена при всех положительных
действительных значенияхх (нуль и отрицательные числа при
положительном основании логарифмов не имеют).
2. Областью изменения логарифмической функции служит
множество всех действительных чисел уе (~оо;+оо).
3. При д>0 логарифмическая функцня возрастает, т.е. если
0<xs <х2, то logfl Xj <logfl х2. Причем если хе (0;l), то уе (-<*>;0);
если х = 1,то ;у = 0;если хе (1; + °°),то ye (О; + <*>),т.е.если хе (0;+°о)5
то ^е(~оо; + оо); у-*-**> при х -»0 и >--»+°° ПрИ х _»+оо.
4. При 0<д<1 логарифмическая функция убывает, т.е. если
0<x,<x2,to logflx, >loga x2. Причем если хе(0;1),то уе(0;+°о);
если х = 1,то у~0;если хе (l;+<*>), то уе (-*>;0), т.е.если д:е(0; + »),
то у е (-<*>;+ <*>); у-*-**> при х-»+оо и ^-»-н» при х ->0-
5. Характеристическое свойство: значение логарифмической
функции от произведений двух положительных чисел равно сумме значений
функции от каждого из чисел:
loga(x, x2)=logflx, +logex2.
Показательные уравнения
Показательным называется уравнение, содержащее неизвестное
только в показателе степенн.
Рассмотрим несколько типов показательных уравнений, решаемых
методами элементарной математики.
Показательные уравнения рассматриваются в множестве
действительных чисел. Проверка найденных значений неизвестного по
условию уравнения при решении показательных уравнений в общем случае
обязательна.
1. Уравнение вида ''
ах=Ь (7.18)
называется простейшим показательным.
Рассмотрим уравнение (7.18) при а > О и а ф 1. Если b > О, то
уравнение имеет единственное решение х = log([ b . Если Ь <■ О, то уравнение
решений не имеет.
347


2. Показательное уравнение вида
afi{x)=bf^\ (7.19)
где д >0,д *1, Ь>0,6* 1,а fxixifjix) —заданные элементарные
функции, логарифмированием приводится к виду
fi(x)logea = f2(x)logcb.
Если последнее уравнение решается методами элементарной
математики, то тем самым решается уравнение (7.19).
Логарифмические уравнения
Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее
неизвестные только под знаком логарифма.
Логарифмические уравнения, как и показательные, рассматриваются
в множестве действительных чисел. Проверка найденных значений
неизвестного по условию уравнения в общем случае является обязательной.
1. Уравнение вида
logfl x = b, (7.20)
где х - неизвестное, ааиЬ- заданные числа, называется простейшим
логарифмическим.
Если а > 0 и а ф 1, то такое уравнение при любом действительном
значении b имеет единственное решение
х=аъ. (7.21)
2. Логарифмическое уравнение вида
loge >;(*)= loge/2(*} (7.22)
где а > 0 и а ф 1, после потенцирования приводится к виду
/iW = /2W- (7-23)
Корнями уравнения (7.22) будут только те корни уравнения (7.23),
при которых /i(x)> 0 и /2(х)> 0, т.е. корни, принадлежащие к области
определения уравнения (7.22).
3. Логарифмические уравнения вида
/(logavW)=0, (7.24)
где f(t) и у(х) —некоторые заданные функции, заменой loga у(х)= t
приводятся к уравнению f(t)~0 .
348


Показательно-логарифмические уравнения
Если неизвестное в уравнении входит в показатель степени и под
знак логарифма ил и в основание логарифма, то такое уравнение
называют показательно-логарифмическим.
Показательно-логарифмические уравнения чаще всего решают,
логарифмируя обе части уравнения, н приводят их к логарифмическим
уравнениям.
При решении систем показательных и логарифмических уравнений
в основном применяются те же способы, что и при решенни систем
алгебраических уравнений (подстановки, алгебраического сложения,
введения новых неизвестных и Др.).
Упростить (7.001 -7.015):
7.001. 'V25Ios<'5 +49,OSs7.
Решение.
rjz—— .
V25,og>5 +49,08!7 = V52,ogi 6 + 72,og' = V5,og! 6' + 7,OE'8! =
= i/62+82 =10.
Ответ: 10.
I 4
7.002. ei'08'3 +27,OE'36+3Iog''.
Решение.
' < зг 36 i, 7 2
glIog53+27I„g»36+3Ic>g,9=34Ioei5+3Jos> +32OS' =5"+362+49 =
= 625 + 216+49 = 890.
Ответ: 890.
7.003. -log2log2l/V2.
Решение.
-log2log2VV2 =-log2log228 = -log2-log22 = -log22 ~3 =3.
О
Ответ: З.
349


7.004. -log3log33VV3-
-log3 log3 V^/3 = -log3 log3 39 = -log3 -log33 = -log3 3"2 = 2.
Ответ: 2.
7.005.
27Io&3 +5Io6:549
3 + 5Io&625 .5Io653*
Решение.
27Iog23 +5!о§2549
gjIog49 _gbg49
(33)o8j2+5loE527iY(92Jo8H_^Jo8!23=
3+51о8!24=.з
Г3ЮВ,2' +5Iogs7 Y9Iog,4= _2Iog23> ^ ^ +7^2 _зз
15-(-ll)
3 + 5tofo4-3
-11.
3+4-3
15
Ответ: -11.
7.006. 36,08«5 +ioHe2 _3r°8>36
Решение.
36,08«5 +101"'82 -3r°b36 =62Iog65 + _L5 3l°8j26! _
It)'82
= 6,0f'5!+^-3'08'6=52 +5-6 = 24.
Ответ: 24.


7.007.
Решение.
^V8»4 +25i°gl2i8 I.49108'2.
„гз-Чи-*»'
49
log, 2 .
h52Iog!32J
(3
+ 4 -4=19.
_72Iog,2 _
Ответ: 19.
I
7.008. - ^ yifie^ -125,08«6
409
Решение.
1_ _Л-
[1о8!9 +3,08Л3 (,гу±_
о 1 log, У о «Л /f-\ Z , <
— ШГ8^7 -125108"6
409 lv '
,2Iog,25
у2 I _53I°gj'
409
7Iog,25_5Iogs62
Ответ: 1.
1 9Iofie52 +3Iog3
409
з Y з >
25+ 62
25-62
409
625-216 _
409
7.009.
( i i i i A
jylogj" . jyIog,AT .jylogstf ...jylogsu"
(основания
логарифмов представляют собой идущие подряд натуральные степени числа 2).
351


Решение.
( l i I I A
xrIog3W _jyIog4W jyIogB^ ... xrIogsi2^
= (дг1о8«2 .дг1»**4 .jylog*» ___yog„5I2V; _
= (2-4.g.-512)i7=^-22-23-2'^ = ^+2+3++9)B.
Выражение Sn =1 + 2 + 3 + ... + 9 является суммой членов арифметн-
_ а, + ап
ческой прогрессии, где я, =1,d = l,an = 9, л =9. Тогда оп ^——~п~
i ^
= —-9 = 45.Отсюда fc45P=23 =8.
2
Ответ: 8.
7.010.
Решение.
(2'°1К° .jtoto^+i)" _2а):Г74'08"" -50'5"'8''3" -1
Г2'ое«° _з,08=^(''!+^', -2al: f74,og»° -5°'5'°8^° -1
-^'"fo»' _3l08i(°2+I)_2aYf'7IO8'',! _5,08s° -{]=
tl2-a-l) ( 2 \ 2
^ '--(a + a + lj=a + a + l.
-2a-\
a -a-1
Ответ: a2+a + l
log. Va -1-log,/. Va -1
7.011. — -^
logal(a2 -lJ-log^Va2 -1
Решение.
log. УТИ -log2, VT^i _ ^'°E,("2 -l)^l°g2("2 -0
log^^-O-log^^M Ilog„(,2-l)-Ilog„k2-l)
352


log^ -lj=logaVa -I.
Ответ: loga va —1.
_2_+J 2 ^
7.012. я1о£ла+ ■b-la10*"1'*1 -blo&ha+l + ablog"b+ .
Решение.
a'08" .u-2a'08-w-u'08''",+aul08-<' =a-a2,08-',-u-
-2aa,oe'b -bb1"^ +a-b-b2l0Si" ^aaloe-b' -b-labbaA
+a-fe-u'08'"' =ab1b-la1b1 + aba2 =аЬг -2a2b2 +aba2 =
= a9 -2a2b2 + a3b = ab(b2 -2ab+a2)= ab(b-af =
= ab(a-bf.
Ответ: ablp-bf.
7.013.
252to*«25+21og2log2log2a2toe'<
Решение.
252,08»25+21og2log2log2a2b8-4
\fe,°*>»f+2log2log24W,°*iY-S
|(49^+21og22
1-я
Ответ: l + a.
12 M. И. Ска нави, группа А
l
■»-
-Я
-й2
(7 + 2).i-«2
1-я
353
1-я2
= 1 + 0.


7.014. (log„6 + log6a + 2Xlog1I6-logeb6)logjfl-l.
Решение. ,
(log06 + log6a + 2Xlog„4-log„46)logba-l= log„fe + —- + 2 x
log„6
\oggb ~) 1 log^fc+21ogafc + l
log„ ab Jlog„/> log„ b
log» 6
" log0a + log0u J log„fe
(log, ft+ 1? Г ^Jog^fe ^ 1
inn к \ 1 _l_ Inn
-1 =
f log,, fe)log„ 6
— * I"™" 1 + log„ b (log,, 6
Jo^b + lf Г ' "l ' , = (log. 4+ 1^ + 106,6-1)
log, 6 " [ l + log>jlog7*
— 1 = log„ 6 +1 -1 = log„ 6.
Ответ: loga 6.
1-log J 6
7.015. ~ -■
(log„u + logba+Ologa-
o
l-log„6
(l-logao)^ + logao + log^o
(loge6 + logba + l)-log0^ logai + -J— + 1 Ylog.a-logJ
_t-'°E.p)^ + log.° + log.°)log.f'_1 fe
togj6 + l + loge6)(l-log«*)
Ответ: logfl 6.
7.016. Если logfl 27 = b, то чему равен log j^
Решение.
6r L, 1 11
log rr va = — -21og4 a = - = - = —.
Ь 6 Б3 31oga3 logu27 6
Ответ: —.
354


7.017. Показать, что при условии х>0 и >->0 из равенства
д-2 +4у2 =[2ху следует равенство lg(x+2>')-21g2=0,5(lgx+lg>')
Решение.
Из условия имеем: (x+2yf -2х-2у = \2ху, (x+2yf =1вху.
Прологарифмировав обе части полученного равенства по
основанию 10, получим:
lg(x+2yf =lgl6xy, 21g(x+2;y)=lgl6+lgx+lg:yI
21g(jc+2^) = 41g2+lgx+lg^ lg(x+2^)-21g2=0,5(lgx+lg^)
7.018. Вычислить сумму 2 х + 2~Л,если4Л +4"х =23.
Решение.
2Х+2~Х ==fyx+2~vj =л/4х+4-,г+2=л/23+2=л/25=5.
Ответ: 5.
7.019. Доказать, что если у = 2 и z = 2^ ,то х = ±.J0,5 log2 log2 z ,
и указать все z, при которых х принимает действительные значения.
Решение.
По условию у > О и z > О. Прологарифмировав обе части равенства по
основанию2,получим iog2 ^ = log,2х , log2 y = х2,откуда x = ±^j[og2y ■
Аналогично z=2y => у =-N/log2z .
Таким образом, x = +^log2 ■N/log2z = ±y0,51og2 log2z . Отсюда
log2log2z>0, log2z>l, z>2 .
Ответ: z>2.
Решить уравнения (7.020 - 7.046):
7.020. fl+^llg3 + lg2 = rg^7-3I/,:).
Решение.
[x*0,
ОДЗ: {27_3l/,>0.
355


;3 2*+ig2 =
27-3 v
,нл
;lg
27-3»
2-3 2x =27-3*. 3*+6-32*-27 = 0.
j_ j_
Это уравнение, квадратное относительно 32х; найдем 32л = -9,
которое не подходит, и 31х = 3, откуда х ■■
Ответ: —■
7.021. 31og52 + 2-A: = log5(3v-52-*)
Решение.
ОДЗ: 3*-52~*>0.
1
log
8 + 21og55-log5(3*-25-5")=x»log5
8-25
3*-25-Г-
200
откуда = 5* <=* 15* =15 .Такимобразом, х=2 .
з*-25-5-»
Ответ: 2.
7.022. T/log3;t9-41og9-/3x=l.
ОДЗ:
:>0,
log3 х > 0, х > 1.
1/log3 х9 =l+41og9-\/3x <=» -j9log]X = 1 + log3 Зл: <=>
<=» ,/9 log3 л: = 1 + log, 3 + log3 x в ^9 log3 x = 2 + log3 x.
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим
9 log3 х =4 + 4 log3 x + log2 x <=> logj x-5 log3 jc + 4 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log3 x , имеем
(log,*), =1, (log3A:)2 =4 .откуда х, =3, х2 =34 =81.
Ответ: 3:81.


7.023. 1оёьлЗ-1оёЬл 2-0,5 = 0.
Решение.
ОДЗ:
[1-*>0,
3 3 / 9 5
Из условия logj^- = 0^ e$- = jl-x=>- = l-x , откуда х = --.
2 2 4 4
Ответ: .
4
7.024. lg5 + lg(x + 10) = l-lg(2x-l)+lg(21x-20)
Решение.
ОДЗ:
ЛЧ-Ю>0,
2*-1>0, х>
2U-20 > 0,
20
lg5 + lg(*+lO)=lglO-lg(2*-l)+lg(2U-20)<==>lg50( + 10) =
= lg10.(2bc-20)^5(;( + l()b10.(2bc-20))
2х-1 2jc-l
откуда 2х2 -2Ъх + 30 = 0 . Решая это уравнение, имеем хх = 1,5; х2 = 10.
Ответ: 1,5; 10.
7.025. log2182-21og2V5-A: = log2(ll-A:)+l.
Решение.
[5-х>0,
ОДЗ:
11-л:>0,л:<5.
log2182-log2(5-A:)=log2(ll-A:)+log22=>log2J^-=logj(ll-A:)-2,
182
= 2(11-4
5-х
откуда х2 -16л:-36 = 0, х, --2 , х2 =18; хг =18 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -2.
357


7.026. log5Vx-9-log510 + log5V2*-l=0.
Решение.
[д-9>0,
ОДЗ:{2х-1>0,,т>9.
Из условия
V(*-9X2*-l) Пц J(x-9llx-\)
10 10
=>(д--9Х2лг-1)=100,
7 7
откуда2д2-19д:-91 = 0, д, =13, д, = -TJ *2 =-Т не подходит по ОДЗ.
Ответ: 13.
7.027. lg(x + l,5)=-lgx.
л„„ [д+1,5>0,
ОДЗ: ■
[х > 0.
lg(x +1,5)+ lg x = 0 => lg(x +1,5 )х = 0 => х2 +1,5д -1 = 0,
откуда Xf = —, хг =-2 ; х2 =-2 не подходитпо ОДЗ.
Ответ: —-
2
7.028. 52(-,08!2','*'-2 = 5л+ь%2.
Решение.
\5 *+Ioes 2 j - 5 *+Ioes 2 - 2 = 0; решив это уравнение как квадратное от-
не имеет решений.
Таким образом,
5v*es2 = 2 => log5 5w,"b2 = log52, д + log52 = log5 2,
откуда х = 0 ■
Ответ: 0.
358


7.029. 0,25"* л+3-°'51°ь('2"') = JltT^T).
Решение.
[*+3>0,
ОДЗ: f2-^>0.3<.x<7
[1-х 2.0.
Ш условия имеем
(Vm^^-^^TTi, ^=^T7i, х-з = №П).
Следовательно, х2-4х-5 = 0 при х>3.=> х, =5,х2 =-1; х2 =-1
не подходит по ОДЗ.
Ответ; 5.
7-030. x]gsJjF*-[g25=0.
Решение.
A-lg5 5 =lg25, lg5 5 =lg52, 5 5 =52,
2х2 -8.x , , , „
= 2, х-4д:-5=0,
5
откуда л, = 5, хг =-1.
Ответ: 5; -1.
7.031. log50c-2)+logVj(x3 -2)+ log02(x-2)=4.
Реше/ше.
ОДЗ: х-2>0, х>2.
Из условия имеем
iog5(x-2)+21og5(x3-2)-logs(A:-2)=4> log3(x'-2)=2,
откуда л-3-2=25, л-3=27.Тогда т = 3-
Ответ: 3.
359


7.032.
2-lg4 + lg0,12
lg(y3x + l+4) -lg2x
Решение.
bt>0,
ОДЗ: |Зд: + 1>0, -х>0.
[lg(j3x+ 1 + 4)* lg2x,
Из условия
Зх + 1+4
|100-lg4 + lg0,12 = lg(V3TfI + 4)-lg2A:=>lgl55-J- = lg
4 2х
ч/з^+Т+4 /
3= . =>>/Зх + 1 = 6х-4, 6д:-4>0=>
2*
|3д: + 1 = 36д:2-48д: + 16,
]бд:-4>0
12л -17*+5=0,
х>л.
3
Корнями квадратного уравнения будут хх =—,хг =1; х, =— не
подходит.
Ответ: 1.
7.033. х'*5*""5'8* =0,0001.
Решены?.
ОДЗ: 0<л:#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем
lg хы'xii%x = lgO.0001 => (lg3 x - 5 lgx)lgx = -4,
lg4x-51g2A:+4 = 0.
Отсюда §gx\ =-[, (lgx\ =1, (lg*), =-2 , (lg*), =2. Тогда х, =
x, =10. хъ = —- x, =100.
2 100 ' 4
Omeem.-U"^10;100-
100 10
360


7.034. lg(3*-2"-*)=2 + 0,251gl6-0,5;<:Ig4.
Решение.
ОДЗ: 3*-2"-* >0.
Из условия
lg(3" -24"')= lg100+ lg2 - lg2* => lg(3" -24-*)= lgi°^i,
3'-2"-*= —
2х '
Отсюда 6* = 216, откуда х = 3 .
Ответ: 3.
7.035. log3(81*+32*)=31og2790.
Решение.
Изусловня log3^1* +32*)=log3 90, 92* + 9" -90 = 0, откуданай-
дем 9х = -10, что не подходит, или 9х =9, откуда имеем х- 1.
Ответ: 1.
7.036. 3AT-log68* =log6(33*+A:2 -9)
Решение.
ОДЗ: 33*+х2-9>0.
H3ycnoBm3A: = log68* + log6(33,r + x2 -9) Зл: = tog6 8х(з3аг +х2 -9),
откуда 63'=8'(з3*+д:2-9) 33jr =33* + х2 -9 о х2 = 9.Тогда хи =±3.
Ответ: -3; 3.
7.037. log6(V +l^-log6^32-*2 + 9~)=log62-l.
Решение.
Из условия
log6^3,J+l'j-log/32-*49J=log62-log66,
3'\+1 -2, З2*3 2У1 3-0.
i 3*
+ 1
'* +9
= log6|
9-3'1' +9 6'
2
Решая это уравнение как квадратное относительно 3 , получим
3* =-1 (не подходит) или 3* =3 , откуда х ~hxu = ±1 ■
Ответ: -I; 1.
361


7.038. lg 6
7.038. lgl 625^'-20*+55 | = 0.
Решение.
!-20-v+55 .v!-20i+55
Из условия имеем 625-5 5 = 1, 5 5 =5 4, откуда
х2-20х + 55_
5
Ответ: 5; 15
= -4, х2-20х + 75=0. Тогда х, =5; х-2 =15.
7.039. Igfl0,«(,!-2i)y2^igx-ig25.
Решение.
0ДЗ:Р-21>°^>>Й.
[х > 0,
Из условия имеем
х2-21 л: х2-21 _ х
Ig(x2-2l)-lgl00 = lgx-lg25, lg- — = lg —,
BV ' Б Б ' Б 100 Б 25 100 25
Получаем квадратное уравнение х2 -4х-21 = 0,корнямикоторо-
го будут х1 ~ 1, х2 ~ -3; х1 - -3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 1.
7.040. lg(*2+l)=21g'(*2+l)-l.
Решение.
ОДЗ: х#0.
lg(x2 +l)=-TT \-1. !S2(x2 + l)+lg(x2 +l)-2 = 0.
№ + lj
Решая это уравнение как квадратное относительно lg(x2 +lj,
найдем lg(x2 +1)= -2 и lg(x2+l)=l. Отсюда x2+l = 0,01, x2=-O,99,0.
x2+1 = 10, x2 =9.Тогда х12=±3.
Ответ: -3; 3.
362


7.041. lg,/<F^)" + lllg2 = ll.
Решение.
*('3-0 I £йЫ
lg5 2 +lg2"=ll, IgU 2 .2»
Огсюдаимеем5 2 ■2,,=10,,,5 2 =5". Тогда- X, = U,
л:2-13л:+22=0, откуда x, =2 ; хг = 11.
Ответ: 2; 11.
7.042. 4lg5-l)=lg(2,+l)-lg6.
Решение.
4lg5-lgl0)=lg^+l)-lg6, .xlg-5- = lg^-ti,
lu 6
,g2-*=lgll±I, 2-'=—i, 22<+2^-6 = 0.
6 6
Решив это уравнение как квадратное относительно 2 х, найдем
2 * = -3 (не подходит), 2х ~ 2 , откуда имеем я- = 1.
Ответ: 1.
ig[8i.^
7.043.
Реше/ше.
г^— ',~"' - -я
Имеем81-л/3':^* =1, 3 3 =3'4, откуда-—— = -4, хг -8л:+12 = 0;
х, = 2; хг -6.
Ответ: 2; 6.
7.044. log, 9.x2. log, .х = 4.
Решение.
ОДЗ: 0<л:*1.
Имеем
'"Ез9а: -log2 л: = 4, (k>g39+log3x2)log3x=4, logl.v + log3x-2=0.
log3x
363


Решая это уравнение как квадратное относительно log3 x, найдем
(log3 х\ = -2 , откуда хх = - , (log3 х\ -1, откуда х2 = 3.
1 ,
Ответ: -£>->■
7.045. log5(3A:-ll)+log5(.x-27) = 3 + log5 8.
Решение.
ГЗх-11 >0,
°да|,-27>о, х>2г
Имеем
log5(3^-l l) + log5(x-27)=log5125 + log58,
logs(Зл:-11)■ (х:-27) = log3(l25■ 8i (3*-llX*-27)=12S-8,
Злг2-92х-703 = 0,
19 19
откуда находим х, =37, х2 --—; хг -—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 37.
7.046. lg(s-*)+ 2 lgvT^ =1.
Решение.
|5 - д: > О,
[3-л:>0,
Имеем lg(5-*)+lg(3-jc)=l>lg(5-j:X3-*)=l, откуда (s-*X3-x) = Ю,
х1 - 8л: + 5 = 0 . Тогда хх -4-л/ГГ, х2 = 4 + л/ГГ; л-2 = 4 + л/П не
подходит по ОДЗ.
Ответ:
7.047. Найти натуральное число п нз равенства
32-35-3g ■■■З3"-1 ^275.
Решение.
32+5*-+3"-' =315, 2 + 5 + 8 + ... + Зл-1 = 15.
В левой части уравнения имеем сумму членов арифметической
прогрессии Sk, где я, =2, а- = з, ак = Зл-1, к = ———+ 1= " +1 = и-
364
ОДЗ: i- -' х<ъ-


с а\+ак , 2 + 3/1-1 Ъп2+П
Тогда Ък ~ — к ~ п = , н уравнение принимает
~ 1
+"=15, Зл2+л-30 = 0, откуда „ = 3.
Ответ: 3.
вид
2
Решить уравнения (7.048 — 7.127):
7.048. 0,5^(д:2 -55л: + 9о)-lg(* -36))= lg>/2.
Решение.
р-55х + 90>0,
. |л:-36>0.
Из условия
0,5^g(x2-55x + 90)-lg(x-36))^0,51g2,lgJ:2~55^6+90 = lg2,
*2-SSx + 90_2
х-36
Имеем х1 — 57jc + 162 = 0 при хф36 ■ Отсюда х, = 54 , х2=3;
х2 = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 54.
7.049. lg(5-*)-ilg(35-A:3)=0.
Решение.
fS-*>0, ,,—
ОДЗ: \ , х < V35.
А |35-х3>0,
H3ycnoBHHHMeeM31g(5-x)=lg(35-A:3) lgfc-x)3
=lg(35-x3),откуда (i-xf = 35-.т3, х2 -s* + 6 = 0 -Тогда х, =2, х2 =3.
Ответ: 2; 3.
7.050. log2^—- + log2(x2-25j=0.
Решение.
ОЛЗ' > 0 ™н дг е (-«>;- 5)U (5; «■)
" ' х + 5


Имеем log, '*~5А* —' = 0, (лг-5)2 = 1, откуда *-5 = -1 или
х + 5
-5 = 1- Тогда х, = 4 , х2 ~ 6; х, = 4 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 6.
1в8-1в(л:-5)
7.051. -а__^ i = _i.
lgVx + 7-lg2
Решение.
|х-5>0,
ОДЗ:|д: + 7>0, х>5.
[■Jx + 1 *2,
Из условня
lg8-lg(A:-5)=lg2-lgVI+7"> lg—5— = lg-рЗ—-,
-^-= , 2 , Wl+7=r-5, 16д: + 112 = л:2-10д: + 25>д:>5.
*-S -]х + 7
Имеем х1 ~26х-87-0 , откуда х, =29 , х2 =~3; х2 =~3 не
подходит по ОДЗ.
Ответ: 29.
х2
7.052. log£54x + log2—= 8.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Имеем
logj4x + log2— -8 = 0, (log24 + log2 x^ + logj^-logj 8-8 = 0,
log2 x + 6 log2 x ~ 7 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относнтельно log2 x , найдем
(log2 х\ = -7, откуда д:, = 2 "' = — , илн (log2 х\ -1, откуда х2 = 2.
Ответ: rrz
1 :2.
366


7.053. lg(lgj:)+lg(lgj:3-2)=0.
Решение.
fig x > О, ,,
ОДЗ:^ , х>ШЮ.
|lgA:3-2>0,
Из условня имеем
lg(lg*-(lg*3-2))=0, lgx(31gx-2)=l,
31g2x~2lgx~l = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно lg-v, найдем
(\gx\ -~~,откуда х, ~jj=r,mm(lgx\ =1,откуда хг = 10; х, -jf=
не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.054. log2 х + log4 x + log8 x = 11.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
Имеем log2 x + — log2 x + ~log2.x= 11, log2 x= 6, откуда х~26 =64.
Ответ: 64.
7.055. log,(Г-8)= 2-х.
Решение.
ОДЗ: 3*-8>0.
9
По определению логарифма имеем 3X~8 = 32_V, 3*-8 =—,
З2* - 8 ■ 3* - 9 = 0, откуда, решая это уравненне как квадратное отно-
= -1, 0 ; или 3* = 9, откуда х ~2 .
-13-7lg*-'.
снтельно Ъх, найдем 3*
Ответ: 2.
7.056. 7|8,~
Решение.
ОДЗ: х >0.
Из условня
7ii-v_5-5le-'
. 51вл+1 _
5
: = -1, 0
з.5'«-'
7
35-7lBI+65-7lsv =21 5l8* + 175-5lg*
367


откуда lgx = 2 н x = 100.
Ответ: 100.
- ,отку-
7.057. 5x+6-3'"=43-5"4-193"5.
Решение.
Имеем 56 -5* -43-54 -5* = З7 -3* -1935 -3*
да х = -3.
Ответ: -3.
log, (727^7 + l)
7.058. : 1 rz _\"°.5-
log5(V2A:-7 + 7j
Решение.
чОДЗ:2х-7йО,д:г j.
Из условия
log,(т/2х-7 +1)= i log, (Лх-7 +7) log,(,/2x-7 + l)= log, i/i/2x-7+7,
откуда
Jlx~7 + l = Jj2x-777 ^(-Jlx-lJ+lJlx-T+l^Jlx-T+l,
(л/2л:-7]Р + л/2х-7-6 = 0.
Решнв это уравненне как квадратное относительно v2x - 7 , найдем
■Jlx-1 = -3,0; нлн ^2х-1 = 2, откуда х = 5,5.
Ответ: 5,5.
7.059. л/з-З1^ .(Л^=81.
Решение.
ОДЗ-. х>0.
368


1 х 2-ь/л+х t+ x 2+Jx+x
32 .3I+VI .3 2(1+^) _34 32 1+V7 2(l+^) =з4
откуда
1 x 2 + Vx+x
2+Г7Х"1^^Г '~x~8^9=0-
Решнв это уравнение как квадратное относительно
ых ~ -1,0 ; или vx = 9, откуда х = 81.
Ответ: 81.
7.060. ^"■V't'-O.US1'1 =4^2.
ОДЗ:д:#0.
Перепишем уравнение в виде
22 .23 -2 2" =22 -23, 22+3 2* =2 X
откуда
х х 1 7 .
2 3 2х 3
Тогда х\ = —, х2 - 3.
Ответ: ~~>^-
5 1
7.061. J2 ■ 0,54Л+|°-16^^ = 0.
Решение.
ОДЗ: хйО.
Из условия
22 .9 4^/л+ю -2^+1 22 4^+|0 =2^+|
(Vl]f-3Vx-io = o.
откуда
1 5 2
2 4Vx+10 Vx + 1
369


Решая это уравнение как квадратное относительно \х , найдем
Jx ~ -2, 0; или Jx~5, откуда х ~ 25.
Ответ: 25.
>-71) 1/0,25 гН
7.062. S3»
Решение.
ОДЗ 7
I 3
Перепишем уравнение в виде
to-9 Ъх-1 Зл-9_Зл-[
23v-7.2 Зл-з =2°>23v_7 3'-з=2°,
откуда
Зл-9 Зл-1 . 5
= 0=> х = -.
Ъх-7 Ъх-Ъ 3
Ответ: -.
3
7.063. 2r-}-5'1-li=0fi[(l0x^?.
Из условия 10г""3 = 103лг_5,х2-3=3.х-5,д:2-Зл: + 2 = 0, откуда
,v, = 1, л-2 = 2.
Ответ: 1; 2.
Решение.
Имеем
...... . ,, ,
370


откуда X, = — , х2 = 3.
2
Ответ: —;3.
2
7.065. 5Л_Л -0,2Л =^25.
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
_!_ _J_ 2 _! L 2
Из условия 5 *"!* • 5 Л =53, 5*-Л Л =53 .
Отсюда т=г —у= = —, 2\Jx J + 4х - 6 = 0. Решив это уравне-
х-т/х -Jx 3
ie как квадратное относительно Vx , найдем -Jx = -2,0 ; или v х = —,
9
куда д: = - .
9
Ответ: —■
4
1 1 Л
7.066. 2^-' -0,5Л+| =4"+Л.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
1 |_ ijx _1 l_ 2>S
Имеем: 2Л"' 2 Л+| =2*+Л, 2Л-' Л+| = 2*+Л .
Тогда ~у= у=— = ~ , х-4х -2 = 0. Решая это уравне-
Vx -1 V* +1 х + V*
ние как квадратное относительно vx , найдем -Jx - -1,0 ; или -Jx -2,
откуда имеем д = 4 ■
Ответ: 4.
4+VIPx
7.067. 2,5 ^ ■0,4|-Л:*=5к10Д5.
Решение.
ОДЗ: 9-x>0,x<9.
371


Перепншем уравнение в виде
«♦УЕ* . ../sir., . , . **^_,
2 I 12 J 12 I ' 12
Л^-i
Тогда
4W9-* д: , ,, /г дг2-д:-56 = 0,
V9-.1 U<9,
откуда х, = -7 , х2 = 8 .
Ответ: -7, 8.
-2 I -г ^2 , 2^-,
7.068. 2*"1 -3* = 3*~'-2*+2.
Решение.
Имеем^4-Ч-2Ч-Ч1]Ч!;
Тогда х2 = 3 , откуда *, = —Уз , *2 = V3 .
Ответ: - V3; V3.
7.069. logJj^-6)-logJj(2'-2)=2.
Решение.
[4*-6>0,
|2*-2>0.
HineeMlogfr = 2. — = 5, 22*-5-2*+4 = 0 .Решаяэто
V52*-2 22-2
уравненне как квадратное относнтельно 2х,найдем b'v) = 1, откуда
нмеем х, = 0 , илн (2т J^ = 4 , откуда имеем хг =2; xt =0 не подходнт
поОДЗ.
Ответ: 2.
7.070. 4lo8"! +logJ;3 = 0^^2+loe'-,-4loe'JC).
Решение.
ОДЗ: х>0.
372


Перепишем уравнение в внде
42log»*+21og33 = 0,2(l6-4log»v-4log>*} 42lo6>*-3-4log»>c+2=0.
Решая это уравненне как квадратное относительно 4!°ё9* ,
найдем (4log'* \ = 1, откуда (log, х\ = 0, х, = 1, нлн (4log> '\=2, откуда
Ответ: 1; 3.
7.071. 3-52дН-2-5*ч=0,2.
Решение.
Из условия Ъ-¥х -2-У = 1, 352лг —2-5* —1 = 0. Решая это
уравненне как квадратное относительно у , получаем 5* =—, 0 ; или
5' = 1, откуда х = 0.
Ответ: 0.
I I I
7.072. 10* +25' =4,25-50*.
Решение.
ОДЗ: х*0.
Разделив обе части уравнения на 2 5 *, имеем 2х -4,25
+1 = 0,
откуда, решаяуравнение как квадратное относительно 2 *, получим 2х
2х
= 4, откуда I - I -А,х2=- .
М 2 1 ''
откуда — \ =-2, х, =— ,или
11'"
Ответ: х, = --; х2 = j ■
7.073. 9*'-'-36-3JtJ-3+3 = 0.
Решение.
2 2
Имеем 36—+ 3 = 0, З2*2 -12-3*2 +27 = 0 . Решив это
9 27
373


уравнение как квадратное относительно 3* , получим 3* = 3 ,
откуда х2 =1, *1д =±1, нли З*2 =9, откуда х2 = 2 , х3,4 -±v2 .
Ответ: ~ V2;-1;1;V2.
7.074. 4х -№-2х-] -24=0.
Решение.
Из условия 22л - 5 ■ 2v - 24 = 0. Решая это уравненне как
квадратное относнтельно 2х , получим 2х = -3,0; или 2* = 8 , откуда х-Ъ.
Ответ: 3.
7.075. (Уз~)Ч^Г° = 84.
Решение.
Перепишем уравненне в виде
№)' +М.-84 = 0, ъЩ'+faf -252 = 0.
Решая уравненне как квадратное относнтельно \$3) , получаем
feV1 = -11,0 ; нли te)" = 9,31» = З2, откуда — = 2, х = 20.
v ' 3 10
Ответ: 20.
7.076. 9^-27 = 6-3^.
Решение.
ОДЗ: x-5Z0,xZ5.
32V?5 _6.3ЛГ5_27 = 0.
Решаем уравненне как квадратное относнтельно 3 . Имеем
3 5 =-3 (не подходит) нлн 3 =9, откуда -Jx-5 = 2 , нли
д: - 5 = 4 . Тогда д: = 9.
Ответ: 9.
7.077. 172v*-8*-8 = 24v* "8*.
Решение.
ОДЗ: х2-8д:>0,л:(=(-~;0]и(8;+<»)
Имеем 2 ■ 22" ~8л -17 ■ 2" ~8* +8 = 0. Решая это уравнение как
374


квадратное относительно 2
-/.v2-8=-l,0; или 2-1**7*'
Vv " , получаем 2" ~gx =2"', откуда
= 8, откуда 4х2 -8х =3, х2-8х = 9,
2-8д:-9 = 0, -t, =-1, хг = 9.
Ответ: -1; 9.
7.078. 8"-2 » +.12 = 0.
Решение.
ОДЗ: ж * 0.
Перепишем уравнение в виде
2*-2 " +12 = 0,
( ъ\г
■2*+12 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 *, получаем
= 2
, откуда
1, х\ = 3, или 2
= 6, откуда
log2 2 <
= log26 [2] =iog26 *2 = 3
log26
= 31og62 = log68
Ответ: 3; log6 8.
7.079. 21ogx27-31og27.v = l.
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перейдем к основанию 27. Имеем
31og27 х -1 = 0 => 31og|7 .т + log27 л: -2 = 0.
Решая это уравнешю как квадратное относительно log27 x, получаем
1 2 -
(log27 х\ =-1,откудаХ| = —,HiiH(log27 x)2 =-,откудах2 =273 =9.
1
Ответ: тг^-
375


7.080. 1е(,/б + * + б) = .
Решение.
[б + д:>0,
ОДЗ:]д:>0, 0<.y#1.
Перейдем к основанню 10. Имеем
lg(v/6 + ;t+6)=21g-/x, [gy6 + x+6)=[gx.
т С г С * {х2-\Ъх + ЪО = 0,
1огда VO+ х +6 = х, -Jb +х = х-Ь=ь 1
[х>6,
откуда л: = 10.
Ответ: 10.
7.081. log5x + log»25 = ctg2-p.
о
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Перейдем к основанню 5. Имеем
log5x+ = ctg 4it+- , log5x + = 3=>
log5x ^ ^ 6)) log5x
=> log2 x-31og5 x + 2 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относнтельно log5 x,
получаем (log5 х\ =1 илн (log5 х\ = 2 , откуда хх = 5 ; х2 = 25 .
Ответ: 5; 25.
IgJ+S
7.082. д: 3 = 105+lg\
Решение.
ОДЗ: 0<х#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанню 10, имеем
lg-x 3 = lgl05+lg\ gX lgA:^(5 + lgA:)lglft lg2x + 21g.x-15 = 0.
376


Решая это уравнение как квадратное относительно lgx . получаем
(lg х), = -5, или (lgл), = 3, откуда хх = 10"5, х2 = 1000.
Омвеш. 10~5; 103.
7.083. д-|°В41-2 =23(icBjx-n
Решение.
ОДЗ:0<.г*1.
Логарифмируя обе части уравнения но основанию 4, имеем
log4 x'°^'-2 = log4 2"|о^>-|), (log4 *-2)log4 * = 3(log4 .x- l)log4 2.
log4J-21og4A: = -(log4i-l), 21og4x-71og4:* + 3 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно log 4 л-,найдем
1
(log4 .v), = --, (log4 .т), =3. Следовательно, .т, = 42 = 2,.v2 = 43 = 64.
Ответ: 2; 64.
2*+ 10 9
7.084. ~ - - = —2 ■
4 2
Из условия
2- ±1? 9 Д'_+1_0 = 36 2jr + 10.2, _ 144 = 0.
4 2Д2~2 4 2'
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 , найдем
2х =-18,0, или 2* =8,откуда лс =3.
Ответ: 3.
7.085. 10|+лг~-10|_д" =99.
Имеем 1010jZ—l—, -99 = 0=> 10102'2 -9910д2 -10 = 0. решив
101"
х- г2 1
это уравнение как квадратное относительно 10 .получим 10 =- ,0,
или Юл =10, откуда х2 = 1,.г, 2 =±1-
Ответ: - 1; 1.
377


7М6--х ~ш=0-
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Записывая уравненне в виде т 3 ---■■■ н логарнфмнруя обе
ViOO
част по основанню 10, получаем
Igx'^.lg ' j\-|lg*llg*=~lgl00, 21g2*-31g.v-2 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относнтельно lg х , находим
Og*)i ~—z нли (lgx), =2, откуда *, =10 2 = -=, *. = Ю2 =100.
2 л/10
Ответ: -==г;Ю0.
л/10
7.087. 7х(Л^~б-[- =0.
Решение.
Из условия
7*.2*2-3 = 7*-2-2* =>2*2-' = 2~2*, x2-3 = -2a', х2+2*-3 = 0 ,
откуда X; =-3 , х2 =1.
Ответ: -3; 1.
7.088. 3-4|og^-46-2log^-1=8.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Имеем 3-2 °ё* -23-2 og*~ -8 = 0. Решая уравненне как
квадратное относительно 2 °ё*2, найдем 2log*3 = —,0 ;или 2loej:2 =8 , откуда
logx2 = 3, a- = V2.
Ответ:
378


7.089. 9logVl(*+l) = 5logv^2-v4').
Решение.
ОДЗ: * + 1>0,х>-1.
Из условия
(х + If 2х2 +1
Решая это уравнение, имеем х, - 0 , х2 = 2 .
Ответ.- 0; 2.
7.090. 27lg*-7-9l8*-21-3lg*+27 = 0.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Имеем
33'8*-7-32l8*-21-3l8*+27 = 0, (з31е*+27)-7-31е*(з||рс+з)=0>
(з|8*+з)(з2|8лг-3-3|8>+9)-7-318''(з|8л: + з)=0>
(3l8'+3)(32lg'-l0.3l8v+9 = o),
откуда З2'8* -10-318* +9-0 . Решая это уравненне как квадратное
относительно з'8д , получаем р18* ) = 1 илн (з18* ^ - 9, откуда (lgx), = О
нлн (jg*)i = 2 . Отсюда х1 - 1, х2 = 100 .
Ответ: 1; 100.
7.091. log2^3x-6)-log2(9*-6)=l.
Решение.
[4-3* -6 > 0,
ОДЗ: ^
[9*-6 >0.
Имеем log, —- = 1, —г = 2 => Ъ2х -2-3* -3 = 0. Решая
32х-6 32дг-6
его как квадратное относительно 3*, найдем 3* = -1,0 ; илн 3* - 3,
откуда л: = 1.
Ответ: 1.
379


7.092. 21og3(x-2)+log3(x-4)2 = 0.
Решение.
ОДЗ: i 2 < x Ф 4.
l*-4*0,
Из условия 2 log3(x - 2)+2 log3|x - 4| = 0 или log3 (x - 2)+ 1оЕз|х - 4| = 0.
Имеем:
|2<x<4, |2<x<4,
0 |1оЕз(д:-2)+1оЕз(4-л:)=0Ф*11оЕз(д:-2Х4-Д:)=0Ф*
|2<х<4,
**{x2-6x + 9 = 0,
откуда x, = 3 ;
2) J*>4> h>4,
\1оЕз(д:-2)+1оЕз(д:-4) = 0Ф*11оЕз(х-2Хд:-4)=0Ф*
x >4,
\x2-6x+7=0,
откуда х2 = 3 +
Ответ: 3; 3 + v 2.
2
7.093. 1оЕз x ■ loE, x -log27 x ■ log81 x = -.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Ill 2
Имеем log3 x- — log3 x ■ — log3 x — log3 x = —, log3 x - 16 , откуда
(log3 x), =-2 илн (log3x)2 =2 .Отсюда x, =— , x2 = 9.
Ответ; т|9.
7.094. 4logs*2 -41оь*+1 +41°8s*-1 -1=0.
Решение.
ОДЗ: х >0.
Из условия 4-4 ogs * - 15 ■ 4logs * - 4 = 0 . Решая это уравнение как
380


квадратное относительно 4 °ё5 х, найдем 4 °Ss * = —, 0; или 4 og5 * = 4 ,
4
откуда logg х = 1, х = 5 ■
Ответ: 5.
7.095. T/log„x + ^log,fl = —.
Решение.
[log„ л: > 0,
ОДЗ: ]о<я#1,
[о<х*1.
Из условия
Vlog0 х + —L=-^ = 0 => 3(Vlog0 xj - lO^log,, x +3 = 0 .
Vl°ga * 3
Решая это уравнение как квадратное относительно ^/loga x ,
получаем ylog„x)[ = - , 0ogo x\ = -, откуда х, = 9-Ja , или (^log0 л: )j = 3,
(log„ x\ = 9, откуда х2=а9.
Ответ: va; я9, где 0 < я # 1.
7.096. lg(3x2+12x + 19)-lg(3A: + 4)=l.
4
ОДЗ: Зх + 4>0,л:>—.
, Зх2+12х+19 . Зх2+12х + 19 2
Имеем lg = 1, = 10, Ъх -18л:-21 = 0
Зх + 4 Зх + 4
при Зх + 4 # 0 . Отсюда хх = -1, х2 = 7.
Ответ: -1; 7.
7.097. log3(x-3)2+log3|x-3| = 3.
Решение.
ОДЗ: х-3#0,л:#3.
381


Из условия
21og3|x-3| + log3|x-3| = 3, 31оВз|а-3| = 3, log3|x-3|=l,
откуда ;.v-3; = 3. Тогда (л'-3)| =-3 или (а'-3)2=3. Отсюда aj — О,
х2 =6.
Ответ; 0; 6.
7.098. |gVJT^3 + lgVx+3 = 2-0,5lg625.
Решение.
ОДЗ: J х>Ъ.
\х + Ъ>0
Имеем
lgV*-3+lgVx+3 = lgl00-lg25, lgV-v2-9^1g4, -Jx2~9=4,
откуда -v2 = 25, X\ = -5, x2 = 5, *! = -5 не подходит но ОДЗ.
Ответ: 5.
7.099. lg(3-x)-Sg(27-.*Vo.
Решение.
ОДЗ: 3-х>0, х<3.
Перепишем уравнение в виде
31g(3-*) = lg(27-*3),lg(3~*)3 = lg(27-*3).
Тогда (3-х)3 =27-л-3 => .t2 - 9,t = 0, откуда х} = 0,x2 = 9;.v2 =9 не
подходит по ОДЗ.
Ответ.0.
7.100. 21gx-lg4 = -lg(5-jc2).
U > о, г
ОДЗ:< , 0<*<V5.
[5-х2 >0,
Из условия
lg.x2+lg(5-,v2) = lg4, lg(;r(5-A'2))=lg4,.v2(5-x2) = 4,
x4-5j2+4 = 0.
382


Решая это уравнение как биквадратное относительно х , найдем
ж, =-1, х2 = 1, хъ = -2, х4 = 2; ж, =-1 н ху = -2 не подходят по О ДЗ.
Ответ: 1; 2.
7.101. lg8-lgV* + 6 = lgl6-lg0t-2)
Решение.
Л„„ Га: + 6 > О,
ОДЗ: J л: > 2.
[х-2>0,
Имеем
lg-=L= = lg-^-, -JL—JL 24хП = х-2, д:2-8х-20 = 0,
Va: + 6 х-2 Vx + 6 *-2
откуда л:, = 10, х2 = -2; х2 = -2 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
7.102. 21g-y4^+lg(6-x)=l.
Решение.
f4-x>0,
ОДЗ: I х<4.
М [6-х>0,
Перепишем уравнение в виде
lg(4-j:)+lg(6-A:)=l, 1В(4-д:Хб-х)=1,
откуда(4-д:Хб-х)=10, х1 + \0х-14 = 0.Следовательно,х, =5-л/ll,
хг = 5 + л/lT; д:2 = 5 + VI1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 5-Л7.
7103 1В(2д:-19)-1Е(Зл:-20)_ L
Решение.
f2jc -19 > 0, 19
°Д3:Ь-20>0, Х>У
Из условия
lg(2x-19)-lg(3x-20) = -lgjc, lg(2;c-19)+lgA: = lg(3x-20]i
д:(2х-19) = Зх-20, д:2 -11х + 10 = 0.
383


Отсюда х] = 10, х2 =1; х2 =1 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
™4-igferL
Решение.
ОДЗ: \ -<х*1.
[6х-5>0, 6
Имеемся2 = lg(6;t-5), откуда х2 = 6х-5, х2 -6х + 5 =
0,отсюда х, = 5 и д2 = 1; х2 = 1 не подходнт по ОДЗ.
Ответ: 5.
7.105. logoj> + loge(y + 5)+log„0,02 = 0.
Решенне
У > 0,
у + 5>0, V
0<я#1 L
Имеем
loga(y(y + 5)0,02)=0, 062уг+0}у = 1, 0,02/ + ОДу-1 = 0,
откуда ух = 5 ; уг = -10 не подходит по ОДЗ.
Ответ: у = 5 прн 0 < я * 1.
7.106. log, -Я - log2 -Л = log3 27 - log, (2x)
ОДЗ: 0<х#1.
Перепншем уравненне в внде
|log, 2--log2,2 = 3-log, 2-1, log2 2- 61og, 2 + 8 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно log x 2 , найдем
log, 2=2 , log, 2 = 4, откуда х2=2 илн х*=2. Тогда х,=—\/2,
Х2=Л,хъ = -il2 , x4 =V2; ж, =-V2 hi, =-V2 не подходят по ОДЗ.
Ответ: H2;J2.
ОДЗ:
384


7.107. (logj x-3)log2 x + 2(log2 x + l)log2 V2 = 0.
Решение.
ОДЗ: x>0.
Из условня
log2V2=log22l/3=i, log|x-31og2x + |log2* + | = 0,
31og2A:-71og2x + 2 = 0.
Решая уравненне как квадратное относнтельно log2 х , нмеем
(log2 х\ = - нлн (log2 х\ = 2 , откуда хх = \ll, х2 = 4 .
Ответ: ^2; 4.
7.108. 041og2,(*-4)-l,31og2,G(-4)+3,6 = 0.
Решение.
ОДЗ: х-4>0, х>4.
Решая это уравнение как биквадратное относительно log2(x -4),имеем
(log2(*-4)), =-2; (1о82(д:-4))2 =2; (log2(*-4)), =-3 ; (logj(x -4))4 = 3 ,
откуда х, = — , х2 =8, хъ = —, х4 =12.
4 о
Ответ: —, —, о; 1Z. '
4 8
7.109. 52хЦ +22х -52х +22х+2 =0.
Решение.
Запишем уравнение в виде
5!l_52*=-22*-4-22\
5
(If # -■
Ответ: 1.
13 М. И. Сканави. группа Л
-1.5*,
5
385
-5-2:


7.110. log2^-2*)=10l»(3"J().
Решение.
f9-2*>0,
ОДЗ: х<Ъ.
3 - x > О,
Имеем log2(j-2*)=3-x, 9-2'=23"', 22x -9-2' +8 = 0 .
Решив это уравненне как квадратное относительно 2х , имеем £* ] = 1
или Цх jj = 8 , откуда х{ = 0 , х2 = 3; хг = 3 не подходит по ОДЗ.
Ответ: 0.
7.111. 11Е|'271 + 32Л1+1Е10 = 2.
Решение.
ОДЗ: х > 0.
ИзусловшДЦЪкЗ^ + ^г, 1/271 + 32'С1=З.Тогда271+32'/:" =
= 1000, 32л/*=36,откуда VI = 3, л: = 9.
Ответ: 9.
7.112.
(У2?)П^Г ' =t/3T.
Решение.
ОДЗ: х й 0.
7
Перепншем уравненне в виде З^4 ,:>ЛЧ 'J J = 34 . Тогда
,5|rifl?+if) = 3
f-JfIf+JfH'-2- — о.
14 14
откуда х, =10 , х2 =—— ; хг =—— не подходит по ОДЗ.
Ответ: 10.
386


7.113. x's' =1000x2.
Решение.
ОДЗ: 0<лг#1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 10, получаем
lg.v'e*=lgl000A:2, lgxlgx = lgl000+lg;<:2, lg2 х-2\%х-Ъ = 0.Решая
это уравненне как квадратное относительно lg х, получаем (lg x\=-l
или (lg х^ =3,откуда х, =0Д, х2 =1000.
Ответ: 0,1; 1000.
7.114. lgM* + 9))+ lgii^ = 0.
х
Решение.
ОДЗ: д:(д: + 9)>0,хе(-~;-9)и(0;~)
, х{х + 9\х + 9) „ , ., , ,
Имеем lg - = 0, откуда (х + 9f = 1. Тогда (х + 9\ = -1,
х, =-10 или (х + 9\ =1, х2 = -8; х2 = -8 не подходит по ОДЗ.
Ответ: -10.
7.115. Ig2(l0ta)+lg2(l0j:)=14 + lgi.
х
Решение.
ОДЗ: х>0.
Логарифмируя, имеем
(lglOO+lgxf + ftglO+lgxf^-lgx, 21g2A: + 71gx-9 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно lg x , получаем
{\gx\ = -- или {[%х\ =1,откуда хх =10~9/2, хг =10.
Ответ: 10~э/2; 10.
7.116. l + 21og*2-log4(l0-x) = ——.
log,,*
Решение.
f0 < х * \
0ДЗ:{,<ю.
387


Переходя к основанию 2, нмеем
1 + log200-x) = _4__ 2&0-л:)=4, log2x(l0-x)=4^
log2 х log2 х
=>л:2-10л:+16=0,
откуда хх = 2, х2 = 8 .
Ответ: 2; 8.
7.117. 21ое'*г ■5|о8)*=400.
Решение.
ОДЗ: х>0.
Из условия 4l08,*-5l08,Jt =400, 20108"* =202 , откуда log3* = 2,
х = 9-
Ответ: 9.
7.118. S108''**-21)^2 .25"°'5lo8!* =1.
Решение.
ОДЗ:{*2-21>°' х>&.
[х>0,
Записываем
5bg2 {x2 -2l). Q 04 . ' ^ [ glog2(х2 -2l) _ 52+log2 х
' 250-5|°82Х
log2(x2-2l)=2 + log2x, log2(x2-2l)=log24x,
откуда х2 -21 = 4х, х2 -4л:-21 = 0, xt = 7, х2 = -3; х2 =-3 не под-
ходнтпоОДЗ.
Ответ: 7.
7.119. 42|ОВ8(2^2)-ОД5|ОВ8(2^3) = ^[6.
Решение.
(2*-2>0, 3
ОДЗ:-! *>-.
[2д--3>0, 2
Имеем
4210е8(2д:-2) _4-10е8(2^-3) =42/3, 42]о^2х-2^]о^2х'-^ =42/3
21og8(2,-2)-log8(2,-3)^, log8%^4 ¥#=4'
3 2л:-3 3 2л:-3
388


х2-4л: + 4 = 0, (дг-2)2 =0,
откуда х = 2■
Ответ: 2.
7.120. 1ое3Гз'2из^28+|1=1ое5од.
Решение.
Изусловня
logJy'""x^+ -)=-{, 3*Мз«28+- = -, 3'^3"28=i,
откуда X, = 3, х2 = 10.
Ответ: 3; 10.
7.121. log2(4v+4)=A: + log2(2,+l -з)
Решение.
ОДЗ: 2v+l-3>0.
Перепишем уравненне в виде
log2(22*+4)-log2(2-2*-3)=A:, log2 т^- = *,
22*+4 , ,,
— = 2", 22,-32*-4 = 0.
22v-3
Решая это уравненне как квадратное относительно 2х, получаем
2х = -1,0 ; или 2х =4, откуда л; = 2 .
Ответ: 2.
7.122. ^275Л =3*(/"-4).
Решение.
ОДЗ: л:SO.
Имеем 35Л =3*(Л~4'=>571 = д:(Л-4) 71 = 0, х,=0, или
(Vx]f-4Vx-5 = 0-
389


Решая это уравненне как квадратное относительно , получаем
V* = -1,0 ; или Vx = 5, х ~ 25.
Ответ; 0; 25.
7.123. log6 ^Зя°5_лг) + 8 log6 2 = 8.
Решение.
Из условия log6 3*(15-* + log6 28 = 8, log6 (И15-**7.28 )= 8. Отсюда
3*«5-*У7.28=68, 3*(l5~*>7=38. Тогда Alzll = 8, х2-15* + 56 = 0,
7
откуда *t = 7, х2 = 8 .
Ответ: 7; 8.
7.124. log5(4* + l44)-41og52 = l + log5(2*~2 +l)
Решение.
Имеем
22л +144 , jV \ 22л +144 5J2*+4)
22х -20-2^+64 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2х , получаем
\2Х\ =4 или цх\ =16, откуда .*, =2, х2 =4 .
Ответ; 2; 4.
7.125. 27х1ов"* = ;с10'3.
Решение.
ОДЗ: 0<**1.
Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3, имеем
log3 27*'*" = log3 х'*3, 3 + ilog23 х = [1 log3 *,
logf x-101og3 х + 9 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно log3 x ,
получаем (log3 х\ = 1 илн (log3 х)2 = 9, откуда х{ = 3, х2 = З9.
Ответ; 3; З9.
390


7.126. log, 9 4-log^ 729 = 10.
Решение.
\x > 0, „
°Д3;Ь=±1, 0<"'1-
Имеем log, 9-(- — log, 9 = 10, log,9 = 4, откуда xA =9, x-Jb,
x=-Jb не подходит по ОДЗ.
Ответ:
7.127. log2(25*+3 -l) = 2 + log2(5*+3+l)
Решение.
ОДЗ:25*+3-1>0, 25*+3>25°, х>-3.
Из условия
log2£>53 -25' -l)=log2 4(53 -5* +l) 253 -52лг -1 = 4-53 -5* +4,
3125-52* -100-5* -1 = 0,
откуда, решая это уравненне как квадратное относнтельно 5х , имеем
5* = ,0;илн 5* = 5~2 .откуда х = -2.
125
Ответ: -2.
Решить системы уравнений (7.128 - 7.149):
flog х + log, у = 2,
7.128. \ ,
[х2-.у = 20.
Решение.
ГО < х * 1,
ОДЗ:|о<„1.
Из первого уравнения имеем:
log,*-)--—! 2 = 0, log2;t-21ogyA:-t-l = 0, (log x-l} =0,
log, д:
391


откуда logj,x = l, х-у. Из второго уравнения системы имеем
у2 - у - 20 = 0, откуда ух = -4 , уг - 5; yi = -4 не подходит по ОДЗ.
Тогда х - у - 5 .
Ответ: (5; 5)
|10мв(^) = 50,
' [lg(x-y)+\g(x + j>) = 2-lg5.
Решение.
\х-у>0,
°^{х + у>0.
Имеем:
|lgl0WB(^) = ig50, Jl + lg(* + j>) = lg50, ^
{lg(x2-/)=lg20 "lx2-/=20
\x + y-5, \x + у = 5,
откуда x = — , у- — .
Ответ: \—\ —
2 2
7130 {18(^ + /) = 2-lg5,
\\%(x + y)+\%(x-y) = \%\2 + \.
Решение.
\x + y>U,
°*ЪЛх-у>0.
Иэ условия
\\%{х2 +у1)^\%20, [х1 +у2 =20,
{lg(x2-^) = lgl2 °{x2-/=12.
392


Отсюда х2 = 16, откуда х1л = ±4 . у2 = 4 , Дг = ±2 . Следовательно,
fx,=4, |Л2=4,
Ь=2; Ь=-2.
Остальные решения не удовлетворяют ОДЗ.
Ответ. (4; 2) (4;-2)
log4A: + log4 ^ = l + log49,
7JM- [, + ,-20 = 0
Решение.
\х>0.
°ДЗ: I n
[j> > 0.
.. to = 36, U=2, to =18,
Имеем 4 откуда ^ 1
\х + у = 20, |Л=18; \д=2.
Ответ; (2; 18). (18; 2).
У-9* =81,
7.132.
lg(y + ATf -lgAT = 21g3.
Решение.
х>0,
°Д3:Ь+^о.
Иэ первого уравнения системы з-*+2х =34, _у + 2х=4, у=4-2х.
Из второго уравнения системы lg— — = lg9, откуда — — = 9.
х х
Тогда исходная система приобретает вид
'.y = 4-2x, ,
vj =>л:2-17л: + 16=0,
{у + ху = 9х
откуда ху = 1, хг =16. Тогда ^, = 2 , ,у2 = -28 .
Ответ: (l;2) (16; -28)
393


7.133.
j log,*-flog,
\xy = 27.
Решение.
ОДЗ:
ГО < х Ф1,
[0<у*1.
J" =
_5
~2!
Из первого уравнения системы имеем: 2 log2 x-5 log, х + 2 = 0,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно log, x ,
найдем (logj, л:)[ = - нли (log,х)2=2. Отсюда х,=4у , хг-уг ■
Из второго уравнения системы найдем уъ12 =27, .У] = 9 .
Подставляя значение х2 = у2, найдем у2 = 27, j>2 = 3 .
= 3, Гх2 = 9,
Учитывая ОДЗ, имеем \
Ь=9; Ь2 = з.
Ответ: (3;9)(9;3)
[з2* -2' = 725,
7.134. \
[У -2>12 =25.
Решение.
Перепишем систему уравнений в виде
|(з'-2>'/2)^*+2>'/2) = 725, |з*+2>-{2=29, Гз' = 27,
[3*-2'/2 =25 [З'-г'/2 =25 [2'/2 =2,
f*=3,
откуда \ 2
Ответ: (3;2)
7Л35.{'^^2)--2'
[log2A:-4 = log23-log2.y.
394


Решение.
f*>0,
°Д3:|,>0.
х , 3 х 3
второго уравнения системы найдем log2 — = log2 —, откуда ~- = — ,
16 у 16 у
х=—. Далее получаем — +/-100 = 0, / -100/ +2304 = 0 ,
у [у)
откуда д2 = ±6 > Л.4 = ±8; ,у2 = -6 и у, - -8 не подходят по ОДЗ.
Тогда л:, = 8 , хг = 6.
Ответ: (8;б1(б;8)
[32^*=81,
7.136.
[Ig-Jxy =l + lg3.
Гл:>0,
°Д3:|у>о.
Из первого уравнения системы нмеем 3 *у =3" ,2jx -Jy =4 ,
yjy -l-Jx-Л . Из второго уравнения системы получим Jxy =30,
■Jx-Jy =30. Система принимает вид
\£-2f-*-~W -2^-15 = 0,
откуда Jx =5 или Jx =—3 (неподходит).Тогда Jy -6
.Следовательно, x = 25, J" = 36.
Ответ: (25; 36)
395


7.137. 2 г +2 ' =2-5'
[lg(2x-^) + l = lg(F + 2x)+lg6.
Решение.
f2x-v>0,
°ДЗ:{^2х>0.
Из первого уравнения системы получаем
2 2
-2,5-2 2 +1 = 0.
Решая это уравнение как квадратное относительно 2 2 , найдем
-2 или
2^
2, откуда (х-у\=-2 или (х~у)2 =2.
Из второго уравнения системы получаем lg 10(2х - у) = lg б(у + 2х),
откуда I0(2x-^) = 6(v + 2x), х =2_у. Таким образом, исходная система
эквивалентна системам уравнений:
[х-у~-2, [х-у = 2,
Я-2У, 2>U*
(-,=-4, х2=4, U=-4,
|j>, = -2; |j>2 =2; (ji, =-2 (не подходит по ОДЗ).
Ответ: (4; 2)
2/-1 =5
7.138.
*'+2=125.
Решение.
ОДЗ: 0<х*1.
Логарифмируя первое и второе уравнения системы по основанию 5,
получаем
log5x2'-'=log55, _
[log5*'i+2= log5125
k/-l)log5*=l, 1.
/ \ => log5 X = т .
>2+2)log5x = 3 2y2-\
396


2 ~
Из второго уравнения системы имеем -iL-±— = 3, у2 = 1, откуда
2/-1
^ =+1. Тогда log5 х = 1, т.е. х = 5.
Ответ/ (5;l]t. (5, — l).
llog3(x-2^)+log3(3A:+2^) = 3.
Решение.
\х-2у>0,
°ДЗ: [3, + 2,>0.
Имеем
12 2 =23-? _ 13 + ^^ = 3-^, |*=-.у,
2
[log3Gt-2j-X3* + 2jO = 3 [(х-2^3*+ 2^ = 27, ^ "9"
откуда, учитывая ОДЗ, получаем х = 3, .V = -3 .
Ответ: (3; - 3)
Г4*+у =2у-*,
ОДЗ: х > 0.
Из условия
'>>2x+2y =<>у-х \2х + 2У = у-Х,
../-5 *У = -ЗХ-
Из второго уравнения х4 = (- 3xf ■ - 5, х4 — —, откуда, учитывая
16
1 3
ОДЗ, получаем х =— , У = —г.
'. 1 3
Ответ:


flog4A:-log2.y=0,
7.141. i , ,
[x2-2.y2-8 = 0.
Решение.
U>0,
ОДЗ:
y>0.
Перепншем первое уравнение системы в виде
log4 л: = log2 / =>-log2x = log2.y, log2x = log2/, x = f.
Из второго уравнения системы имеем _у4-2_у2-8 = 0, откуда с
учетом ОДЗ, у = 2 . Тогда х = 4 ■
Ответ: (4; 2)
'log2 х + log4 у = 4,
7.142. 1, ,
[log4x + log2^ = 5.
Решение.
1л: >0,
°Д3:Ь>о.
Перейдем к основанию 2. Имеем
1
jlog2x + -log2, = 4, j21og2x + log2^ = 8,
]li , с ]log2x + 21og2 j< = 10~
-log2x + log2^ = 5 L
log2x2.y = 8,
_log2x/=10
2 л8
x y = 2
2 лИ
xj» =2
2
Из первого уравнения системы у = —г-. Из второго уравнения
х
*■ \ =210, х3=26,откуда х = 4, ^ = 16.
Ответ: (<4;1б)


7.143.
х+у х+у
2 3 +2 6 =6,
(x +5y =bxy.
Решение.
Из условия
х+У
2 6
+ 2 6 -6 = 0- Решая это уравнение как квад-
х+у х+у х+у
ратное относительно 2 6 , имеем 2 6 =-3,0; или 2 6 =2, откуда
х + _у
15 x + _v = 6.
Из второго уравнения системы х -бух + 5у = 0, решая его как
квадратное относительно х , имеем х( = у, х2 = 5у. Исходная система
эквивалентна двум системам:
1){* + , = 6, 2){* + ' = 6-^,)Ь=3' 2)Ь=,5'
'\х = у; '\х = 5у Ь=3; Ь=1-
Ответ: (3; 3J (5; 1>
\2" У =Ь,
7.144. \
[У .4' = 12.
Решение.
Разделив второе уравнение заданной системы на первое, получим
3"-4'_12 21L-2 y-y=1^*-iy
2х -У 6 ' 2х'2' ~ '
Это равенство возможно, когда
[1 + х-2у = 0~
Тогда х = у = 1
Ответ: (l,l)
х = .у, 1 + _у - 2_у = 0, .у = 1.
399


7.145.
у = 1 + Iog4 х,
У=46.
Решение.
ОДЗ: 0 < л- * I.
Логарифмируя второе уравнение системы по основанию 4, имеем
Iog4 л-1' = log4 46, v Iog4 х = 6. Отсюда
V = 1 + log4 х, 7
1 =>(l + Iog4.v)Iog4x = 6, IogJ-r+Ii
ylog4A: = 6
, А'-6= О,
откуда, решая это уравнение как квадратное относительно Iog4.v, найдем
(Iog4Jt)i =-3, (Iog4*)2 =2,дг| =—-,х2 = 16. Тогда у, =-2, г2=3.
64
Ответ:!—; -2 1 (16; 3).
7.146.
[^^(«( = 8,
I°g31Ogl/9- = 0.
Решение.
ОДЗ'. -
()<л#1.
v>0.
log|„~>0=>0<^<I.
Из первого уравнения системы ху = -х или с учетом ОДЗ у ~ х . Из
1
второго уравнения имеем log5/9 -- =
. Исходная система
переписывается в виде \ х 1
Ответ: (3; 27).
= -, откуда с учетом ОДЗ х - 3, у = 27.
400


[log*, (х-.у) = '.
7UT (logw(x + ,)=0.
Решение.
[x -у > 0,
ОДЗ: jx + joO,
[0<ху*1.
Имеем
\x-y-xy, 1
[х+у = \
откуда х, =—-—, х2 = —-—,
Тогда с учетом ОДЗ имеем х = —
(-1 + л/5 ,3-уВ)
Ответ/ э ' 2 (
\(x + y)-2>-2*=ty5,
{(x + yW^ =5.
Решение.
\0<х + у*1
ОДЗ:|2»-Д
)-4-
л=:
1 + -/5
2
-х) = 0,
2 '
3-
, у = —
2 ,
X + X
3
^2=-
2
-1 = 1
-V5
2
Логарифмируя оба уравнения по основанию 10, имеем
lg(* + j0-2'-2*=lg(.
^2J =>jlg(i±2) = lg5
[lg(x + ^)2^=lg5 I *~-v
Из второго уравнения системы получаем Ig(x + ^)=(2x-^)lg5 ,тогда
(2x-^lg5 + {y-2x)lg2=2(lg5-lg2i (2x-^lg5-lg2) = 2(lg5-lg2}
2х-^ = 2.


Исходная система принимает вид
2х-у = 2, \2x-y~2,
lg(x + .y)=21g5, \х + у = 25,
Ответ: (9; 1б)
4х'2у-7-2х'2'' =$.
Решение.
ОД.З: х-4у>0.
Из условия
[^'f ~7-2*-2-"-8 = 0.
Иэ первого уравнения системы имеем log9(x-4^) = 0, откуда
х-4у-\. Решая второе уравненне системы как квадратное
относительно 2х'2у, получаем 2х' у = -1,0 ; 2х"2у =23, откуда х -2у = 3 .
(x-4y = l [х = 5,
Исходная система принимает вид« => ]
[х-2у = Ъ [у = 1.
Ответ: (5;1)


Решения к главе 8
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ
Соотношения между тригонометрическими функциями
одного и того же аргумента
sin2a + cos2oc = i; (8-1)
sin а ж и ,\ ^
tgoc = - , а#-(2н + Ц neZ; (8.2)
cosa 2
cosa т /о о-,
ctga= , а#ля, ле2; (8.3)
since
tgactga = l, a#—, neZ; (8.4)
l+tg2a = —1~r~, a*^(2n + ll »e2; (8.5)
cos a 2
, 1
1+ctg a = —;—, a#m, neZ. (8.6)
sin a
(Здесь н в дальнейшем эапнсь пе2 означает, что п- любое целое
число.)
Значения тригонометрических функций некоторых углов
Для некоторых углов можно записать точные выражения их
тригонометрических величин (табл. 8.1), а также энакн функций по четвертям
(табл. 8.2).
403


Таблица 8.1
Аргумент
(а, градусы,
радианы)
о'(о)
15- {±\
\12J
18- U)
I10;
зо- (*)
I6 J
36- (*)
I51
45' (*}
[4 )
54- (H)
I10 J
I31
I12 J
90- (l)
(2 )
Функция
sin a
0
Л-1
2Л
Л-1
4
1
2
Л^л
2j2
1
Л
Л + 1
4
й
2
Л + 1
2j2
1
cos a
1
Л + 1
2j2
•Js+Js
2j2
Л
2
Л + 1
4
1
Л
2i/2
1
2
Л-1
2j2
0
tga
0
2-Л
Л-1
л/ю + 2Л
1
VlO-2,/5
1
1/5+I
■v/l0-2i/5
Л
2 + Л
оо (не
определен)
ctga
00 (не
определен)
2 + Л
л/ю + 2Л
Л-1
Л
•Л+1
•Ло-гЛ
1
л/ю-гЛ
Л+1
1
Л
2-Л
0
404


Таблица 8.2
Четверть
i
и
ш
IV
Функции
sin a
+
+
-
-
cos а
+
-
-
+
tgoc
+
-
+
-
ctgoc
+
-
+
-
Формулы сложения и вычитания аргументов
тригонометрических функций
sin(a+p)=sinacosp + cosasinp;
sin(a-|i) = sinacos|}-cosasin|} ;
cos(a + р) = cos a cos p - sin a sin p;
cos(a - p)=cos a cos p + sin a sin p;
tg(a+Pbtgct+tgP, a,p,<x + p*5 + m, „eZ.
1-tgatgp 2
tg(a-p)= tgct~tgP , a>p>a-p*- + roi, neZ-
l + tgatgp 2
ctg(a + p)=ctgctctg|i-1, аДа + Р**». „e Z ■
ctga + ctgp
ctg(a-p)=ctgctctg|a + 1, a,p,a-p*m, „e Z
ctga-ctgp
(8.7)
(8.8)
(8.9)
(8.10)
(8.11)
(8.12)
(8.13)
(8.14)
Формулы двойных и тройных аргументов
sin2a = 2sinoccosa; (8.15)
cos2a = cos2 a-sin2 a = 2 cos2 a-l = l-2sin2 a; (8.16)
„ 2tga к nk , _ к _
tg2a = ^—, a# —+—,к2,о*- + и,»£2.
l-tg2a 4 2' 2
(8.17)


. , ctg ос-1 кк , „ ,
ctg2a = —- , a#—Де2,а*«»,ле2- fs 181
2ctga 2 ' v '
sin3a = 3sina-4sin3 a; (8-19)
cos3a = 4cos3 a-3cosa 5 (8.20)
, 3tga-tg3o кг. >
tg3a = —£ f—, a*-U" + UneZ. (8 2n
1-3tg a 6 ■ '
, 3ctga-ctg3a кп
Ctg3"= l-3ctg2a ' a*T--2. (8.22)
Формулы половинного аргумента
. ? <* 1-cosa
sin 2—2—; (823)
7 a 1 + cosa
2=—2—' (8'24)
tg2a = l-cosaj а^(2и + 1Ье2 (825)
2 1 + cosa
га 1 + cosa
ctg — = - , a#2ro,neZ; (8.26)
2 1 - cos a
, a sina 1-cosa „
tg— = - = —: , a*m,neZ; (8.27)
2 1 + cosa sina
a 1 + cosa sina
ctg —= = - , aznn.neZ; (8.28)
2 sma 1-cosa
406


Формулы преобразования суммы и разности
тригонометрических функций в произведение
. „ „ . а + В а-В
sina + sinB = 2sin -cos -• (8.29)
2 2
. „ „ а+В . а-В
sina-sinB = 2cos -sin -■ (8 30)
2 2
„ „ а+В а-В
cosa + cosp = 2cos -cos -■ (8.31)
2 2
„ . . а + В . а-В . а + В . В-а
cos a-cos В = -2 sin -sin - = 2sin ~sinr ; (8.32)
2 2 2 2
cosa + sina= i/2cos(45°-a); (8.33)
cosa-sina = i/2sin(45--a); (8.34)
tga + tgB=sin(ct + |a) a,p*?(2„-lb6Z; (8.35)
cos a cos p 2
cos acos p 2
tga-tgB=sin(ct-|i], a,B*i(2„-l}„e2; (8.36)
_ sin(a + B) n ~
ctga + ctgB = —i VJ-, a,p*m, neZ; (8.37)
sin asm В
ctga-ctgB=sm^~ct^, a,e*m, neZ; (8.38)
sin a sin В
tga + ctgB^00^""^, a*- + nk,ke 2,р*ю,ле 2; (8.39)
cosasinB 2
tga-ctgB = -c0^Ct + ^, a*- + «t,/fceZ,p*]tn,neZ; (8.40)
cos asm p 2
2 ял
tga+ctga = , a#—, «eZ: (8.41)
sin 2a 2
tga-ctga = -2ctg2a, a#—, ne2; (8.42)
■407


l + cosa = 2cos —; (8.43)
l-cosa=2sin2 —; (8.44)
l + sina = 2cos2|45°-" |; (8.45)
l-sina = 2sin 45° ; (8.46)
, , sm(45°+a) ,/2sin(45°+a) л _ ,_ ,_,
l + tga = s '- = s '-, ос#- + тш, «eZ; (8.47)
cos 45° cos a cos a 2
. . sin(45°-a) v/2sin(45°-a) л
l-tga = i £■ = i ', а#- + яя, neZ; (8.48)
cos45°cosa cosa 2
l + tgatgp = ^LlM, а,р*- + ял, «2; (8.49)
cos acos p 2
l-tgatgP = -^±^, a,p*- + m, «e2; (8.50)
cos a cos p 2
ctgactgp + l = -cos^ct~^, a,p*jw, neZ; (8.51)
sin asm p
, т cos 2a я „
l-tg2a = r—, a#- + 7W, яе2; (8.52)
2 cos 2a _
l-ctgza = —, a#roi, kZ; (8.53)
sin a
„2„ .„2n_sin(a + p)sin(a-p) „r^
cos2 acos2 p ' 2
tg2a-tgzp = —s—jKi—T-^' a. P *- + »". »£2; (8.54)
2 ?„ sin(a + p)sin(p-a) „ „
ctg2a-ctg"P = —i-^p—f '., a,p#m, «eZ; (8.55)
sin" asin В
408


tg2 ос-sin2 a = tg2asin2a, a# — + m, neZ; (8.56)
ctg2 a-cos2a = ctg2 acos2 a, a*m, neZ; (8.57)
Формулы преобразования произведения
тригонометрических функций в сумму
sinasinB = -(cos(a-B)-cos(a + B)); (8.58)
cosacosB=-(cos(a + B)+cos(a-|j)); (8.59)
sin acos В = - (sin(a + B)+ sin (a - в)); (8.60)
sinasinBsin7 =
= -(sin(a + B-7)+sin(B+7-a)+sin(7+a-B)-sin(a+B + 7)); (8.61)
sin a cos В cos 7 =
= -(sin(a + B-7)-sin(B+7-a)+sin(7 + a-B)+sin(a + B + 7)); (8.62)
4
sinasinBcos7 =
=—(-cos(a + B-7)+cos(B + 7-a)+cos(7 + a-B)-cos(a + B + 7)); (8.63)
4
cos a cos В cos 7 =
— x(cos(a + B-7)+cos(B+7-a)+cos(7+a-B)+cos(a + B + 7)), (8.64)
4
409


Формулы, выражающие тригонометрические функции через
тангенс половинного аргумента
2tg,
1+tg2-
■ 2 ОС
l-tg2y
cosa = —,
. + ts2f
a ф 7t(2n + l\ n<= Z ;
i.65)
(8.66)
2tg
tga =
-, ot, — #— (2n+l) neZ;
l-tg2f 2 2
(8.67)
, 2 «
1-tg2^
ctga = —, а*яя, ne Z.
2tgi
(8.68)
Формулы приведения
sin—± a = cos a, sin(it±a)=+sina,
sin — тг + ос =-cosa, sin(2rc + a) = + sina;
(8.69)
cos —±a = + sina, cos(7t±a) = -cosa,
cos -it±a =±sin a, cos(2it±a) = cosa;
(8.70)
410


tg — ±oc = + ctgoc, ос#яя, ne Z,
tg(it±a)=±tga, a# —(2n+li neZ,
tffl — n+a =T ctga, а#ля, neZ,
tg(2it±a)=+tga, a#-(2n+li ne Z;
(8.71)
ctg — ±a =+tgoc, a*—(2n+l\ ne Z,
ctg(jt±a)=±ctga, ос#яя, neZ,
ctg — it±a = + tga, a* — (2n + l\ neZ,
ctg(2;i±(x)=+ctga, афтт, ntZ.
1.72)
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Тригонометрическим называется уравнение, в котором неизвестное
входит только под знак тригонометрических функций непосредственно
или в виде линейной функции неизвестного, причем над
тригонометрическими функциями выполняются только алгебраические действия.
Простейшие тригонометрические уравнения
Простейшими тригонометрическими уравнениями называются
уравнения вида
sin х = т, (8.73)
cosx=m, (8.74)
tgx = m, (8.75)
ctgA: = m, (8.76)
где m- любое действительное число.
411


Решить простейшее тригонометрическое уравнение - значит найти
множество всех углов (дуг), имеющих данное значение
тригонометрической функции.
Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.
1. sinx = т. Если |т| < 1, то решения данного уравнения
определяются формулой
х = (-l)" arcsin/и + яя, пе Z. (8.77)
Если |/и| > 1, то уравнение (8.73) решений не имеет.
2. cos х-т. Если jmj < 1, то решения этого уравнения определяются
формулой
x = ±arccosm+27trt1 пе Z. (8.78)
Если |/и| > 1, то уравнение (8.74) решений не имеет.
3. tgx = m. При любом действительном т
х = arctgm +7Ея, пе Z. (8.79)
4. ctgx = m. При любом Действительном т
х =arcctgm + 7tn, neZ. (8.80)
В частных случаях при m = -1, m = 0, m = 1 получаются
следующие формулы:
sinx = -l; jc = — + 2яя, не 2; (8.81)
sin л; =0,- x = 7tn, ne Z; (8.82)
sinд: = 1; х = — + 2кпу пе Z; (8.83)
cos.x = -l; х = 7Г + 2лл, пе Z; (8.84)
cosx = 0; х- — + тш, пе Z; (8.85)
cosxsrl; x = 27tn, ne Z; (8.86)
tgx = -l; х =— + 7Ш, не 2; (8.87)
tgx=0; х~ш1, neZ; (8.88)
412


tgjc — 1; л: = —+ яя, не 2; (8.89)
4
ctg* = -l; x =— + nn, neZ; (8.90)
4
ctgx=0; х~— + ЯЯ, яе2; (8.91)
ctgx = l; x = - + 7tn, neZ. (8.92)
Тригонометрическиеуравнениявида81п(дх + б)=т, cos(«x + fe)= m,
tg(ax+b)-t, c\g\(ix + b)=t, где дх+fe —линейная функция, |mj<l,
д ф 0, х, 6 — любые действительные числа, также относятся к
простейшим н приводятся к уравнениям (8-73) -(8.76) заменой ах + Ь = у.
Тригонометрические уравнения, содержащие
тригонометрические функции одинакового аргумента
Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные
относительно тригонометрических функций.
Пусть имеем
R($\nx,co$x)=0, (8.93)
где R- рациональная функция относительно sin x acosx .
Данное уравнение приводится к алгебраическому относительно
тригонометрической функции одинакового аргумента. Затем, решая
получившееся алгебраическое уравнение относительно этой функции,
приводят данное уравнение к нескольким простейшим тригонометрическим
уравнениям, из которых находят значения неизвестного и проверяют,
какие из них являются решениями данного уравнения.
Если хф \1п+\)к, где пе Z, то каждое тригонометрическое
уравнение вида (8.93) можно привести к рациональному уравнению
относительно неизвестного tg— с помощью формул (8.65) - (8.68). Решая
уравнение таким методом, можно потерять корни вида х = (2п+1)л,где
413


n e Z, для которых tg — не имеет смысла. Поэтому необходимо
проверить, являются ли числа д: — (2« + l)jt, где пе Z, корнями исходного
уравнения.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене х на к - х
не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно sin х.
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему не изменяется при
замене х на -х , то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно COS X .
Если уравнение (8.93) или приводимое к нему при замене л; на к+х
не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному
относительно tgx .
Однородные тригонометрические уравнения и уравнения,
приводящиеся к ним
Тригонометрическое уравнение вида
aQcosn x + citсо$п~ хsinx + a2co$n~ xsin x + ... + ansinn x~0, (8.94)
где а0, я,,..., ап — данные числа, an — натуральное число, называется
однородным уравнением относительно функций sin x и cos x . Сумма
показателей у sin л; и cosx во всех членах такого уравнения
одинакова. Эта сумма называется степенью однородности уравнения или
показателем однородности.
Уравнение (8.94) является частным случаем уравнения (8.93) и
делением обеих своих частей на cos " х ф О (или на sin " х ф О ) приводится к
целому рациональному относительно tgx (или ctgx):
ао tg" x + at tg""1 x+a2 tg""2 x + ... + an = 0
или
Дос1ё * + fljtg x + fl2tg х + ...+дл =0;
при этом область определения уравнения сужается на значения
х = —(2/1 + 0 (или на х-т), где пе Z.
Умножением на тригонометрическую единицу (sin2 x +cos2 xf ,
где fee N , можно привести к однородному некоторые уравнения, не
414


являющиеся однородными. Так, к уравнению вида (8.94) сводится
уравнение
а0 cos2" х + a, cos2"" xsinx + a2 cos""2 xsin2 x +...+an sin" x = b.
Для этого нужно умножить Ь на тригонометрическую единицу:
b = fe(sin2 x + cos2 xf, ke Z.
Уравнение вида a sin <ox + b cos Oix = с [a2 +b2 ф o)
Это уравнение является частным случаем уравнения (8.93),
следовательно, его можно решать с помощью универсальной подстановки, а
также приводить к однородному.
Укажем еще один способ решения этого уравнения, так называемый
способ введения вспомогательного угла. Пусть
я sin ox*+ fe cos (йх = с ^2+62*о). (8.95)
Разделим обе его части на -^/д2 + £2 , тогда
а Ь
JTTt
J77t
=r COS (ИХ =
477i
Пусть Ф —одно из решений системы
cos<p = -
sin<p =
''477?
b
4777
Воспользовавшись этими равенствами, запишем уравнение в виде
с
SU1 (ИХ COS ф + COS (ИХ Sin ф = .
4az +b2
Применив формулу sin (а + р)=sin а cos p + cos а sin P, получим
уравнение 8т((йх + ф) =
Vfl2 +b
, которое, как видно из проделанных
415


выкладок, равносильно исходному уравнению. Если
а2 +Ь2 > с 2,т° уравнение имеет решение
(Hx + <p~(-lY arcsin-
V?
477t
или
(-1)" .С ф 1В
х= — arcsm - —+— ~
Если
J77t
> ,т.е. а2 +Ь <с2,тоуравнениерешениннеимеет.
Уравнения, рациональные относительно выражений
sinx+cosx и sinxcosx
Если левая часть тригонометрического уравнения /(х) = О содержит
лишь одно из выражении sin х + cos х или sin х - cos x н функцию sin 2x
(или произведение sin x cos х), то, вводя новое неизвестное t - sin x + cos x
или ( = sin х-cos x и учитывая, что sin2x = (sinx+cosx)" -l, sin2x =
= 1-(sinx-cosx)", приходим к уравнению относительно t.
СИСТЕМЫ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ
При решении систем тригонометрических уравнений пользуются
способом подстановки или сводят системытригогометрических уравнений к
системам алгебраических уравнений. В ряде случаев для решения системы
тригонометрических уравнений ее преобразуют с помощью почленного сложения,
вычитания, умножения, деления уравнений с целью, например, исключить
одно из неизвестных, разложить полученное уравнение на множители и тд.
Решениясистемызаписываютсяввидеупорядоченныхпар (х; у).
416


Решить уравнения (8.001 - 8.175):
8.001. cos3x-sinx = V3(cosx-sin3x)
Решение.
s
cos3x-V3cosx = sinx-V3sin3x, <=>— cos3x +—sin3x =
2 2
1 . S , я ... я
= —sinx +—cosx, <=>cos3xcos —+ sin3xsin—=
2 2 3 3
it . it . f, пЛ ( пЛ
= cos — cosx + sin —smx,<=>cos3x— = coa x— <=>
6 6 [ 3j \ 6)
.it it
/ \ / \ 3x 1-х—-
«cos 3x— -cos x— =0,<=>-2sin - - "
3) 1 6 ) 2
it it
3x—--x + -
i ? ^- = 0<=>sin|2x-- Isinl x~— 1=0.
2 { 4 J ( 12
Тогда:
l)sinf2x--l=0, 2х,--=я*, х, =- + —= -(4fc + ll keZ;
' [ 4) ' ' 4 '828
2) sin x =0, x, = яя, x, = — + ля = — (l2n + l\ neZ.
{ 12 J 2 12 2 12 12
Ответ: x, =-(4fc + llx2 = —(l2n+Ц k,ne Z.
8 12
8.002. 7+4sinxcosx + y(tgx+ctgx)=0.
Решение.
(sin x * 0,
cosx#0.
- . ■ ./sini oosi4! „
7 + 4sinxcosx + l,5| + | = 0 <=>
cosx sinx
, ,f sin2x+cos'x |
<=>7 + 4smxcosx+U =0<=>
I sinxcosx I
<=>7 + 4sinxcosx + : = 0<=> 7+2sin2x + = 0.
sinxcosx sm2x
14 M. И. Сканави, группа А


Отсюда получаем уравнение 2 sin 2л: + 7sin 2л: +3 = 0, квадратное
относительно sinlx. Таким образом, sin2x = -3,0, или sin2;t = — ,
откуда 2x = (-l)*[-|W *eZ, л-ЙГ^ + у, *е Z.
Ответ: x = (-\f«~+ — , keZ.
12 2
8.003. 4ctg* +sin22A: + l = 0.
1 + ctg x
Решение.
ОДЗ: sinx#0.
Из условия
4 cos л:
—§Ш^_ + sin22A: + l = 0,<=>sin22x + 2sin2x + l = 0<=>
, cos х
sin л:
<=> (sin2x +1^ = 0, sin2A: = -l.
Тогда 2д: = — + 2жк, keZix = — + жк - — {4к-\\ ке Z.
Ответ/ х = — (лк-\\ keZ.
4
„„„ sin2 2x-4 sin2* 2
8.004. —5 5 + l = 2tg x.
sin 2x +4sin x-4
Решение.
ОДЗ: cosa:#0.
Имеем
sin22x-4sin2 x+sin2 2x+4sin2 x~4
sin 2x+4sin x-4
= 2tg2A:e
2snr2;t-4 „ •, sinz2x-2 2
- = 2tg*X,—-r- 7-; = tg X<=>
sin 2A:+4sin'д:-4 sin 2x+4sin .v-4
418


sin 2x -2 l-cos2x
~»..
cos32x+cos22x = 0,
22x+4sin2x-4 l+cos2x
l-cos22x-2 \-coslx
w - ■
1-cos 2x +2-2cos2x-4 1 +co$2x
cos2 2x\cos2x + \)= 0.
Отсюда:
ncos22x = 0, cos2x = 0, 2x = ~ + nk, ke Z,
2
'424*
2) cos2x + l = 0, cos2x = -l, 2л: = л+27Сл, ле2,
x2 = — + ЛЛ = — (2n + l]t neZ.
Объединяя решения, получаем x = — + — = — (lm + \\ me 2.
4 2 4
Ответ: x= — l^m + l\ meZ.
4
8.005. sinzsin(60°-z)sin(60°+z)=-.
8
Из условия
sinz|2sin(60°-z)sin(60* + z))= —,<=>sinz(pos2z-cosl20° )= — <=>
<=>2sinzcos2z+sinz = - <=> -sinz +sin3z + sinz = —, sin3z = —.
2 2 2
Тогда 3z = (-l)*.30°+180°*:, h2, z = (- If ■ 10° + 60° k, keZ.
Ответ: z = (-if 10° +60°*:, h2.
8.006. cos~22i-sin~22( = -.
Реше/ше.
[cos2( * 0,
ОДЗ: {
M [sin2(*0.
419


Перепишем уравнение в виде
1 18. cos22(-sin22( 8 „
-, ; - = 0, ; s +- = 0,<=>
cos It sin It 3 sin 2(cos It 3
cos4t 2 „ cos4( 2 „ „ 2 , , „ „
<=>—-—+- = 0, -— + - = 0, 2cos 4f-3cos4(-2 = 0.
sin22( 3 l-cos24( 3
Решив это уравнение как квадратное относительно cos4t, найдем
cos4(=2,0;cos4( = -- откуда4( = ±-тч-2я£, keZ, t = ±-+—
2 3 6 2
1
■2, Y) ; C0S4f = -
/fceZ.
Ответ: t = ±-+—, keZ.
6 2
8.007. tg3(-tg(-4sin( = 0.
Решение.

ОДЗ-.{С°83'voices ( * 0.
Использовав формулу tga - tg В = —-—^Ц-, перепишем уравнение в
cosacosp
sin2r 2sin(cos( , . . „ . fl-2cos3("\ „
вице— 4sin( = 0, 4sm( = 0, <=>2sinr- —, =0.
cos3(cos( cos3(cos( ^ cos3r J
OraOflasin( = 0,(i = 7tfc, ke Z,iraHl-2cos3( = 0,cos3f = - 3f = ±- + 2iui,
it 2m
2 9 3
Ответ: h - 1&', h = ±T + . k,neZ.
9 3''
8.008. cos~'3(-6cos3(=4sin3(.
Решение.
ОДЗ: cos3(#0.
Из условия
l-6cos2 3r-4cos3lsin3t=0, cos2 3l+sin2 3l-6cos2 3l-4cos3lsin3f =0,
5cos2 3(-sin2 3(+4cos3(sin3( = 0.
Разделив уравнение на-cos2 3( #0,имеем tg2 3(-4tg3(-5 =0.Решив
420


это уравнение как квадратное относительно t g3?, получим (tg3t\ = -1 или
(tg3()2 =5, откуда Зг, =~ + я*, it=-~ + — = ~(4k-\\ keZ-
arctg5 яя
3(2 = arctg5+jtn, l2 =—-—+—■ neZ.
Ответ: Г, =—(<№- 1J Г2 = —~ +—, k,neZ.
8.009. ctg(-sin( = 2sin2-.
Решение.
ОДЗ: sin(#0.
cosf . . 2 . .
sinf = l-cosf =>cosf-sin t = smt-smtcost,
sint
(cos( + sin(cos()-^in2 ( + sin()=0, cos((l + sin()-sin((l + sin()= 0,
(l + sin(Xcos(-sin() = 0.
Отсюда 1) l+sinf = 0 или 2) cosf-sinf = 0 . Тогда:
l)sin( = -l, r, =-—+2nJfc = —(4*-li fee 2;
2) cosf = sirU <=> tgf = 1, ь = — + 7Ея = — (4n + ll не Z
4 4
Ответ: 1, =y(4i-l) '2 = ^(4n +U k,ne Z.
8.010. 8coszcos(60° -z)cos(60* + z)+l = 0.
Решение.
Имеем
4cosz|cos2z+cosl20°)+l = 0, 4coszcos2z-2cosz + l = 0<=>
1 2
<=>2cosz+2cos3z-2cosz + l = 0, cos3z = —, 3z = ±—n+2-nk,
2 3
z = +-7t + , h2.
9 3
,2 Ink , ,
Ответ: z = +-lt+——, isZ.
421


8.011. sini+2A: Wg3;t+sin(it + 2.x:)--j2cos5;<: = 0.
Решение.
ОДЗ: sin3A:#0.
Из условия
cos2xctg3x-sin2x-V2cos5x = 0 <=>
fcos2xcos3.v . ^ iz , „
<=> sin2x -V2cos5x = 0,
^ sin3A: J
cos2xcos3x-sin2xsin3x пг с п
V2cos5x = 0<=>
sin3x
cos 5л: г- cos5A:(l-V2sm3A:)
<=> V2cos5a: = 0, E ' = 0.
sin3x sin3x
Отсюда:
1)cos5a: = 0, 5x = - + nk, x, = — + — = — (2/fc + ll ieZ,
2 10 5 10
или
2)]—j2s\n3x = 0, sin3A: = ^y-, 3x = (-l)"j+m, *2 =(-l)"^ + -
!v = l-ll' HTn Y, = I— IF
12 3 :
ne Z.
Ответ; x, =—(2fc + ll x, = (-l)"— +—, k,neZ.
1 10 2 12 3
8.012. sinxcos2x + cosxcos4x = sin — + 2x sin 3x
I4 J I4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
-sinx + sin3x+cos3x+cos5x = cos5x-cos —х »
U J
<=>sin3x+cos3.v = 0, sin3x = -cos3x, tg3x = -l,
откуда Зх = -- + пл, * = -- — +— = — (4n-ll neZ-
4 12 3 12
Ответ: х=—\4п-\\ neZ.
422


8.013. sin2x = cos4 —-sin4—.
2 2
Решение.
Имеем
2 2^ 2 2
2 sin x cos л: - cos x = 0« cosx(2sin x-i)= 0.
Тогда:
1) cosx-0,дг| = —+ 7tn = —(2п+Ц neZ;
ИЛИ
2) 2sinx-l = 0, sinx = -, x2 = (-if - + nk, keZ.
2 6
Ответ: xt = — (2n+l) x7 = (-If — + я&, и, fce 2.
2 " 6
8.014. (l+cos4.x)sin2x = cos2 2x.
Решение.
Из условия
^+l-2sin22x)sin2x = l-sin22x, 2sin3 2x-sin2 2x-2sin2x+l = 0,
sin2 2x(2sin2x-l)-(2sin2x-l)=:0, (2sin2x-l)^in2 2x-l]=0.
Отсюда или
l)2sin2x-l = 0, sin2x = -, 2X-(-\f- + iiky x, = L\f — +
' 2 v ' 6 1 v ' 12 2
или
2) sin22x-1 = 0, sm2* = ±l, 2x= —+ яя, x, =- +— = -(2л + Ц
2 2 4 2 4 *
ne2.
Ответ: xt=(-\) — + —; д:2 = -(2л + ll k,neZ.
8.015. sin2 2z + sin2 3z + sin2 4z + sin2 5z = 2.
Перепишем уравнение в виде
-(l-cos4z)+-§-cos6z)+-(l-cos8z)+-(l-cosl0z)=2,
z. 2 2 2
(cos4^+cos6z)+(cos8z + cosl0z)=0, «=>2cos5zcosz + 2cos92cosz=0,
423


2cosz(cos5z + cos9z)=0.
Тогда:
1) cosz = 0,z, = — + nk = — (2k+l\ ktZ,
или
2) cos5z + cos9z = 0, 2cos7zcos2z = 0, cos7z = 0, 7z = — + яя
2
I ПЛ )l /Л л ^ _ It
z,=_ + — = —pn + U neZ; cos2z=0, 2z = - + 7tm,
14 7 14 '2
it 7tm it /_ > _
z3 = — +— = — (2/я + Ц /и е-i; z, входит в z2.
Ответ: z, = —(2n +liz2 = -(2m +Ц n,me 2.
14 4
8.016. ^42г + 8т"^2г = 25.
Решение.
ОДЗ: sin2z#0.
Из условия
C0S 2z +—\ 25 = 0<=>cos42z + l-25sin42z = 0<=>
sin 2z sin 2z
<=> (;os2 2z)P + l-25sin4 2z = 0, (l-sin2 2zf +l-25sin4 2z = 0 о
<=>12sin4 2z+sin2 2z-l = 0.
Решив уравнение как биквадратное относительно sin 2z , получим
sin2z = ±- откуда 2z = ±—+ яА:, z = ±— + — = — (бк±\\ keZ
2' ' 6 12 2 12
Ответ: z = —(6k±l\ keZ.
8.017. tg2xcos3x + sin3x + V2sin5x = 0.
Решение.
ОДЗ: cos2a:*0.
Перепишем уравнение в виде
424


+ sin 3x + V2 sin 5л: = 0 »
sin2xcos3x
cos 2 x
sin2xcos3x+cos2xsin3x rz . .
+ V2sin5x = 0,
cos2x
sin5x pr . sin5xh + v2cos2x)
+ V2sm5x = 0, ^ - = 0.
cos2x cos2x
Отсюда или
nk
1) sin5x = 0, 5л: = пк, xi -—, &e Z,
' l 5
или
Jl 3
2) 1 + V2cos2^ = 0, cos2x = , 2л: = ±—л + 2ян,
x, = ± — тг + яя -— (8n±3l ne Z.
2 8 8
Ответ: Xj = —; x2 =-(8n ±3), к,пе Z.
8.018. ctg -~ + x - tg2 x = (cos 2x - l)cos~2 x.
Решение.
ОДЗ: cosx*0.
Имеем
7 cos2x-l sinx sin2 x l-cos2x
-tgx-tg2x = —, + —r~ = 5—<=>
cos x cosx cos x cos x
sinxcosx+sin2x 1-Qcos x-l) . / \ _ . 2
0 _ —z—_ s=>sinx(posx+sinxj-2sin x
COS X COS X
sin x(cosx +sinx -2sin x)= 0, sin x(cosx -sin x)= 0.
Тогда-.
1) sinx = 0, x, = nk, ke Z,
ИЛИ
2) cos x - sin x = 0 » tgx = l, x2 = — + nn - — (4n+l]t, ne Z.
Ответ: *i = nk; *2 = "T (4n +U k,ne Z.
425


8.019. cos —cos sinxsin3x-sin2xsin3x = 0.
2 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
cosa- + cos2a--cos2*: + cos4x-cosa'+cos5x = 0<=>
9л" х
<=> cos4x+cos5x = 0, <=>2cos—cos—= 0.
2 2
Тогда или
9х „ 9лг я , к 2жк к г ,
и cos — = 0, — = - + жк, *, = - + = -(2&+Ц fceZ,
' 222 '99 9
2) cos—= 0, — = — + т, хг =n + 2jw = n(2n + li »eZ; х, вхо-
Ответ: x=-{2k+l\ keZ.
f х х
8.020. l-sin3x= sin cos —
[2 2
Решение.
Имеем
l-sin3x = sin2 —2 sin —cos —+ cos2 —, sin3x-sinx = 0<=>
2 2 2 2
<=> 2sinxcos2x = 0.
Тогда или
1) sinx = 0, x1 = ял, ne2,
или
2)cos2x = 0, 2x = — + жк, x, = — + — = —fefc+ll Are Z
2 4 2 4
Ответ: x, =nn; x, =—(2k+l\ n,keZ.
4
8.021. 2ctg2xcos2 x+4cos2x-ctg2x-2 = 0.
Решение.
ОДЗ: sin x * 0.
Из условия 2cos2x(ctg2 x + 2)-(ctg2x+2)=0, или (ctg2 x + 2/>


x(2cos2 x-l = 0/, (:tg2x + 2)cos2x = 0 . Так как ctg2x + 2*0, то
cos2x = 0 2x = — + nk , x- — + — - — (2k + \\ ke Z.
2 '424
Ответ: x = — (lk + \\ ke Z.
4
8.022. 2sin3x+2sin2xcosx-sinxcos2 x-cos3 x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2 sin x(sin л: + cos x)- cos x(sin x+cos x)= 0,«
» (sinx+cosx)^sin x-cos x]=0.
Тогда:
1) sinx + cosx = 0,
или
2) 2sin2 x-cos2 x = 0.
Имеем:
1) tgx = -l
ИЛИ
2) tg2 x = -yоткуда xx=--~ + %n- = l(4n-l\ neZ;
x23 =±arctg— + nk, ke Z.
Jl
Ответ: xx =—(4n-\\x2j -±arctg—- +nk, n,ke Z.
Решение.
Из условия
2 sin 8x cos x = 1 + cos — 2x -1 - cos — + 4x «
i I2 J I2 J
» 2 sin 8xcos x = sin 2x + sin 4x »
» 2sin8xcosx-2sin3xcosx = 0,» cosx(sin8x-sm3x)=0.
Тогда:
1) cos x = 0
или
2) sinSx-sinSx^O,
427


откуда 1)х, = — + я& = — (2к+\\ ке Z,2)2sm—xcos—x-0, sin — л: = 0,
5 2 ,11 .11 к , и 2 ,
-х = пп хг- — -т, не Z ; cos—-л-=0, —-* = — + ш . х, = — + — я/ =
2 ' 2 5 2 ' 2 2 ' 3 11 11
= -(2/+Ц /Е2.
Ответ; х, = -(2fc + l)t.r2 =-roi;дг3 = — (2/ + Ц k,n,leZ.
8.024. tgA: + tg2x-tg3A: = 0.
Решение.
{cosx* 0,
cos 2л: * О,
cos3a:#0.
Используя формулу tgoc-tgP = —-—^-, перепишем уравнение в виде
cosotcosp
sin3x sin3x Л sin3x(cos3x-cosxcos2x)
— и <=> = и,
cosxcos2x cos3x cosxcos2xcos3x
откуда:
1) shi3a: = 0 или 2) cos3x-cosa:cos2a: = 0.
Тогда:
l)3x = itn, x, -—, neZ;
1 3
2) 4cos3 x-3cosx-cosx(2cos2 x-\)=0, cosx(cos2 x-lj=0,
cosx*0,=> cosx = ±1, xt = nk, keZ;x2 входитв^.
Ответ; х~~{~> ne *■•
8.025. sin([5° +x)+sin(45°-A:)=l.
Решение.
Имеем:
„ . 15° + x + 45° -x 15'+x-45°+X , / ,_„\ ,
2sm cos = 1, coslx-15 1=1.
2 2 x '
Тогда x-15° =3604% x = 15°+360°/i, fee 2.
Ответ: х = 15° + 360° /i, h2.
428


8.026. cos x + ctg3x = ctg
Ъх
Решение.
ОДЗ:
cosx* О,
sin3x * О,
sm—#0.
. 2
Из условня
1 I , 3i „ 1
+ ctg3x-ctg— =0<=>
cosx I 2 cos л:
sin Ъх — х
2
= 0<=>
sin Зх sin—х
2
. 3
sm — x . . . ,,
1 2 n __} _-n sm3*~cosx _n
cosx . , .3 cos* sin3x ' cosxsin3x
sin3xsin—x
2
(n
sin3x-cosx = 0, <=> sin3x-sin—x = 0<=>
I2 J
it , it
3x4 x Ъх 1-х
<=>2cos sin = 0,
откуда: 1) cos x + J = °; 2) sin 2x -- = 0.
Тогда:
hj + - = — + nk, x, = — + жк =~(4k + \\ keZ;
' 4 2 ' 4 4
21 2x — = ля, л, = — + — = —I4n + U neZ.
' 4 2 8 2 8
Ответ: xt =-(4k + \} x2 =—(4n + l\ k,neZ.


8.027. sin л-sin Зл- +sin 4л: sin 8л- = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(x-3a-)-cos(*+3*))+ — (cos(4a--8*)-cos(4* + 8x))=0,
, ,, „ , . 2л + 12л: . 12л-2л: . .
cos2x-cosl2x = 0<=>2sin sm = 0, sm7л-sin5a- = 0.
2 2
Отсюда:
. 1) sin lx - 0, 1х-тшу х-.-—, не 2;
' ' 7
тсА:
2)sin5A-=0, 5л- = Ttfc, д-2 =—, k&Z.
т "* , -г
Ответ: л:, = —, х2 = —, n,keZ.
8.028. 2tg3*-2tg2* + 3tg*-3 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos*#0.
Из условия 2tg2 *(tgx-l) + 3(tg*-l) = 0, (tgj:-l)^tg2 д- +з)=0 .
Отсюда tg*-l = 0,tgx = l,x = —+ 1В! = -(4n + l)i ле 2.
Ответ: х-— (4н + ll ne 2.
4
8.029. cosA-cos2* = sin|-^ + * Isinl — + 4л l + sin —+ 4л cos —-5л-
I4 J I4 J I4 J I4
Решение.
Перепишем уравнение в виде
— (cos(* -2х)+ cos(x+2л)) =
1( (л > , 1 (* * „ Yl
= — cos —1-л 4х -cos —+ Л- + —+ 4л- +
Ч И 4 J I4 4 JJ
if . (Зп . 7 я , "\ . (Зя , 7я .
+- sm — + 4л- + 5х +sin — + 4л- + 5л
2|1 4 4 J 14 4
430


<=>cosx + cos3x = cos3x-cos — + 5x -sin(Tt-9x)+sin — к-х <=>
«cos* = sin 5*-sin 9* + cos x, sin 9x-sin 5л: = 0 <=>
9*+5x . 9*-5л: „
<=> 2 cos -sin = 0,
2 2
откуда:
я£
nsin2*=0, 2x = 7cA:, x, -—, k^Z-
i 2
2icos7a: = 0, 7л = - + яя, x2 - — + — = —(2n + ll neZ
> 2 2 14 7 14
Ответ: xt = —;x2 =—fan+l\ k,neZ.
8.030. 2 + tgx-ctg- + ctg*tg- = 0.
Решение.
ОДЗ:
cos x * 0,
sin x * 0,
sm— * 0,
2
cos— * 0
2
„ , a 1 + cos a a sin a
По формулам половинного аргумента ctg— = , tg~ = ,
2 sma 2 1+cosa'
поэтому
. sinx 1 + cosx cosx sin л; . . 1 + cosx cosx .
2 + + = 0=}2 + — + = 0,
cos x sin x sin x 1 + cos x cos x 1 + cos x
4 cos2 x + 4 cos x +1 = 0, (2 cos x + lf =0,
откуда cosx = —, x = ±~n + 2nk =— (3k±l\ fee Z .
Ответ: x~—(3k±l\ ke Z.
431


8.031. sin2* + sin(Tt-8x)=V2cos3*.
Решение.
Из условия
■ -, о /Ton-,- 2л+8л 2л-8л Д" -> п
sin 2x+sin8x- V2 cos3* = 0 <=> 2sin cos V2 cos3x = 0,
2 2
2sin5xcos3x--\/2cos3x = 0, cos3^psin5A:-V2)=0.
Отсюда:
ncos3;t=0, 3x = — + nk, x, = —+ — = — (2k + l\ keZ-
> 2 6 3 6
2) 2sin5л:-,/2=0,sin5л: = — ,5x = (-\f j + m,
I ,y, я Jin „
2 20 5
Ответ: xt = -fak + l\ x2 = (-l)" — + —-, k,neZ.
о zO 5
8.032. 0,5(cos5* + cos7;v:)-cos22* + sin2 Зл = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
5x + 7x 5х-7х \ /, , \ 1 I. , \ -
cos cos (I + cos 4л:)+ —11-cos 6л )= 0 <=>
2 2 2 2
<=>2cos6a-cosx-1-cos4a- + 1-cos6a- = 0, 2cos6лcosx-
f r 1 n -, t -, 4л+6л 4л-6л
-Icos4x + cos6x)=0<=>2cos6xcosx-2cos cos = 0,
2 2'
cos6xcosx-cos5xcosx = 0<=> cosx(cos6x-cos5x)=0.
Отсюда:
l)cosx = 0, x,= —+nk~ — (2k + l\ keZ;
' x 2 2
~ ■ 6л + 5л . 5л-6л п
2) cos6л-cos5л = 0, -2sin sin ~0.
' 2 2
.11 11 2lUl .XX ,
Тогда sin — x = 0, —х = 7Ея, л? = , не Z-sin — = 0, —-пЛ
2 2 2 11 '22
хъ— 2%l, / е Z; л3 входит в л2.
7Г / , \ 27ЕЯ , „
Ответ: л, =—(2А:+Ц л2 =——, к, н е Z.


8.033. 2(cos4A,~sinxcos3A,)=sin4A- + sin2x.
Решение.
Имеем
2 cos 4х - 2 sin x cos 3x - sin 4x - sin2 x = 0, 2 cos 4x - sin (x - 3x )-
-sin(x + 3x)-sin4x-sin2x= 0, 2cos4x + sin2x~sin4x-sin4x-
-sin2x= 0, 2cos4x~2sin4x- Oo tg4x = 1,
откуда 4х~ — + кк, х- — + — - — [4к + Ц ке Z .
4 16 4 16
Ответ: x=~-(4k+l\ keZ.
16
8.034. sinxcosxcos2xcos8x = —sinl2x.
4
Решение.
Из условия
2(2sinxcosx)cos2xcos8x = sinl2x »2sin2xcos2xcos8x==siril2,x: «
t^sin4xcos8x-sinl2x = 0t^-(sin(4x-8x)+sin(4x+8x))-sinl2x =0,
-sin4x + sinl2x-2sinl2x = 0, sinl2x+sin4x = 0«
. . I2x+4x 12x-4x .
<=>2sm cos = 0, sine* cos 4лс =0.
2 2
Отсюда:
П sin8*-0, 8х = я&, x,-—, keZ ■
2)cos4x=0, 4x~— + %n, x2= —+ — = — (2п + Ц и e Z ; x2 вхо-
2 8 4 8
ДНТ В Х] .
як i -,
Ответ: х-—, ке Z.
8
8.035. 3sin22x + 7cos2x-3 = 0.
Решение.
Имеем
3^~cos22x)+7cos2x-3=0«3cos22x-7cos2x = 0!
cos2x(3cos2x-7)=0.
Отсюда:
433


ncos2x = 0, 2x- — + nk, x,- — +— = — (2k + ]\ keZ:
> 2*424
7
2) 3cos2x-7 = 0, cos2x = ->l-0.
Ответ: x=-{2k + l\ keZ.
4
8.036. sin2xsin6x-cos2xcos6x = V2sin3xcos8x.
Решение.
Из условия
(cos2xcos6x -sin2xsin6x)+ V2 sin 3xcos8x - 0 <=>
<=>cos8x + >/2sin3* cos8x = 0, cos8x(l + -\/2sin3xj=0.
Отсюда:
ncos8x = 0, 8x = —+ яя, x, =—i- — = — fen + ll neZ-
' 2 ' 16 8 16
2) l+*/2sin3x = 0, sin3*=~, 3x = {-lf(~\nk = (-if+i^
Х2=(-1У ITT' ^2-
Ответ: x, = £(2n + lb2 = (-l)'+1 4 + ^. ",^2.
16 12 3
8.037. sin3xcos3x = sin2x.
Решение.
Имеем
2sin3xcos3x-2sm2x-0, <=>sin6x-2sin2x -0.
sin3(2x)-2sin2x = 0, <=>3sin2x-4sin3 2x-2sin2x = 0,
4sin3 2x-sin2x = 0, sin2x(4sin2 2x-lJ=0.
Отсюда:
n sin2x = 0, 2x-%n, x> =—, neZ1
' 2 '
21 4sin22x-l = 0, sin22x = -, sin2x = + -, 2x = ±- + nk
' 4 2 6'
x2,=±- + —= -(6/i±l), kzZ.
2.3 I2 2 12* *
Ответ: xx = —; х2.з = — (бк ± l\ n,keZ.
434


8.038. cos2x~5sinx-3 -0.
Решение.
Из условия 1 — 2sin2 x-5sinx-3 = 0, 2sin2 x + 5sinx + 2 = 0.
Решая это уравненне как квадратное относительно sinx, имеем
sin* --2,0 ;илн sinх --— откуда x-(-\j — + пк, ке Z.
2 6
Ответ: х = (-]f+i ^ + nk, keZ.
6
8.039. 3sin2x + 2cos2x = 3.
Решение.
Имеем
6sinxcosx + 2\cos2 x-sin2 jc)=3(cos x + sin2 xj,
Решив это уравненне как квадратное относительно tgx, найдем
{lgx\ -~ wm{tgx\ = 1,откуда х{ = arctg- + fl& -arcctg5 + 7t&, keZ;
х-, - —\-Ttn = —(4n + l) ne Z.
2 4 4 '*
Ответ: x} = arcctg 5 + nk; x2 - — (4« +1 \ k,neZ.
г.л,<л ГЗТГ ^ 2 1 + COS2X
8.040. ctg x \- ctg; x + r = 0.
^ 2 ) sin2 x
Решение.
(cos x ф 0,
ОДЗ; \
[sin x ф 0.
Перепишем заданное уравненне в виде
tgx-ctg2 x + = 0, » tgx-ctg2 л:+ 2 ctg2 х=0,
sin x
ctg2 х+ = 0, ctg3 х = -\, ctgx = -l.
ctgx
435


Тогда х = —л + яА: = —(4fc + 3\ keZ.
4 4
Ответ: х=-(4к + 3\ keZ.
4
8.041. cos9x-cos7x + cos3x-cosx - 0.
Решение.
Перепншем уравнение в виде
, . 9х + 1х . 9х-7х . Зх+х . Зх-х
-2 sin sin 2sm sm = 0<=>
2 2 2 2
<=>sin8xsinx + sm2xsmx = 0 <=>sinx(sin8x + sin2x)=0.
Отсюда:
l)sinx=:0, xt-TUi, neZ;
„ „ . &x + 2x %x-2x „
2) sm8* + sin2x-0 <=>2sin cos—-— = 0,
sin5xcos3x = 0
жк
Тогда илн sin5A: = 0, 5x = nk , x2-—, keZ,nn« cos3a: = 0,
3x = — + nm, x-. = - + — = —(2m+ l), me Z; x, входит в хг.
2 3 6 3 6
Ответ/ х, =—; x-> = — (2m + l\ k,meZ.
1 5 2 6 *
8.042. 2| tg—— I | = cosr.
ОДЗ: cos-#0.
Имеем
. (
sm —
2__
(
cos-
2
. 2 sin—cos-
cos —sm - ЦОфэ-1
2 2 „„ I
i ' ■ ' 1 л ( ■ < 'I2 . r (
x cos—hsin- = 0<=> sm—cos— | hsm — + cos—
2 2J I 2 2W 2 2
436
= 0<=>


{ . t t )( . t t 9 /
sin -cos- 2 -к sin cos — + cos"--
Отсюда:
/
i— _ _ _
2 2 2 2
Из первого уравнения получим
tg =1. -= +iui,t= +2Ш1--(4п+1), neZ.
Ь2 2 4 '2 2
Ответ: t = - (4и+1), «eZ.
8.043. sin Ъг -cos 3z
Решение.
И ч условия
=1
4г 4г Л -Л
sin 32 cos3z = <=> sin 32COS45 -cos 32sin 45°= — <=>
2 2 2 2
7з
<=>sin(32-45°)= —,
откуда 3z-45° = 60°+360°*: или Зг-45°= 120°+360°*\ Отсюда
г, =35°+120Ч-, 22 = 55° +120°*, ке Z.
Ответ: ;, = 35°+ 120°*-, 22 = 55°+120°Ме Z.
8.044. V3sjh2a+cos5a:-cos9a: = 0.
Решение.
Перепишем 'заданное уравнение в виде
гг . . . . 5.v + 9,v . 5*-9*
V3sin2x-2sm sin = 0»
2 2
<=> v3sm2x + 2sin7xsin2.v = 0<=>sin2x(V3 + 2sin7а) = 0.
Отсюда:
1) sin 2x = 0, 2х = пл, х, - ■ ,ле Z;
1 2
437


- 2)V3+2sin7x = 0, sin7;t = - —-, 7x = {-if*' ^ + жк,
2 ' 21 7
Ответ: х, = —; х2 = (- If — +—, n.kzZ.
8.045. 2cos2 x + 5sin;(-4 = 0.
Решение.
Имеем 2(1- sin2 A:)+5sinA:-4 = 0 nnH2sin2 л:-5 sin л:+ 2 = 0. Решив
это уравнение как квадратное относительно sin х , получим sin x = 2, 0 ,
или sinх = - , х = (-if у + пк, ке Z .
2 о
Ответ: х ^(-lf — + кк, ке Z.
'б
„„., ■ г 3z 1 . , . 3z г
8.046. sin—cos = sin2z = sin—cos—.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
\( . (г ЪгЛ . (z 3zY| sin2z
1Г{2-т}+»п{гт)}-7Г-
\( . (Та z\ . (3z zVl
— sin +sin 1-— = 0<=>
ч I2 2J U 2JJ
. _ 2sin2z ■ л л
<=> -sinz + sin2z j= sinz-sin2z = u<=>
•Уз
<=> V3sinz+sin2z = 0<=> V3sinz + 2sinzcosz = 0,
sinz(y3 + 2cosz)=0.
Отсюда:
l)sinz = 0, Z| = Ttn, ne2;
г т/з~ 5
2) V3 + 2cosz = 0, cosz = , z, =± — Ji+2nk, keZ.
' 2 6
Ответ: z, = Jtn;z, =±— гс+2яА:, n,keZ.
' 6


1 1 -Jl
8.047. sinz cos z-sin 2 cos z-—.
Решение.
Из условия
>£ ..,.: L..2. .:..гЛ J*
С 2 ■ 2 | V2 . . / 2 2 1 V2
-sinzcoszlcos z-sin zl=— <=> 2sinzcoszcos z-sin г 1= <=>
v '8 ^ '4
•У2 -Д J2
<=>sm2zcos2z = <=>2sm2zcos2z = , sin4z = ,
4 2 2
откуда 4г-(-1Г7 + 1*, ^(-'Г^ + ^г, *eZ.
4 16 4
a»»».- z=(-ir4+-, ^z-
16 4
8.048. sin — + 5x cos —+ 2x = sin — + x sin —6x
I4 J I4 J I4 J I4
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
- sin — + 5х 2х Usin ~+5х + ~ + 2х \-
Ч v4 4 J I4 4 ))
= — cos — + х i-6x -cos — + х + —Ьх U=> sin3x +
Ч I4 4 J I4 4 ■ ))
+ sin —+ 7л: -cos7x + cos —5х =0 » sin3x+cos7.\-cos7x4-
V2 J I2 J
. _ л . . . _ л л ■ Sx + 3x 5x-3x .
+ sm5x = 0, sin3;c + sm5.x = 0<=> 2 sin cos = 0.
2 2
sin 4x cos x = 0.
Отсюда:
l)sin4;t = 0, 4x = 7tn, x, =—, neZ;
1 4
2) cosx = 0, x2 = — + itk, ke Z; x2 входит в х}.
Ответ: х = —, n e Z.
4
439


„ ■ (Зк
8.049. cos3x = 2sin ь х
Решение.
Перепншем заданное уравнение в виде
4cos3x-3cosx = -2cosx, <=>4cos3 x-cosx -0 <=>
<=> cosa:(4cos2 A:-l)= 0.
Отсюда:
ncosj- = 0, x. = — + пк = — (2к + Л keZ-
' '2 2
2} 4 cos x-l-Q, cosx-±—, x7=±— + tui, neZ
' 2 3
Ответ: x, =— (2k + \\ x2 =±— + JW, k,ne Z.
8.050. 5(l + cos;t)=2 + sin4 лг-cos4 x.
Решение.
Из условия
5 + 5cosx—2 + \cos x-sin xjcos x + sin2 xj=0,
2cos2 x + 5cosx + 2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos x , получим
1 2
cos л: = -2,0 ;илн cosa: = — .откуда х- ±-к + 2жк, ке Z .
2
Ответ: х-±—к + 2пк, к е Z.
8.051. l + sm2x = (cos3x + sm3xf.
Решение.
Имеем
l + sin2x = cos 3x + 2sin3xcos3x + sin Зх, 1 4- sin2x -1 + sin6x,
. . - „ 6д: + 2д: . 6,х-2д: „ . .
sinox-sin2x = 0 <=>2cos sin = 0, cos4xsin2x = 0,
2 2.
откуда:
ncos4;t = 0, 4х = — +кк, х. =—v—= — (2fc+ ll keZ-
' 2 '848
440


2)sin2x = 0, 2х-тт, х-, =—, не Z
' 2 2
Ответ: х, = — (2к + \} х2 =—, k,neZ.
о 2
8.052. sin3A: = 2cos --л:
I2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
3sinx-4sin3 х -2 sin л:, 4sin3 x-sinx = 0., sinx(4sin x-lj= 0,
откуда:
1) sin x = 0, X| = яя, n e Z ;
2 1 It
2) 4sin x-l = 0, sinx = ±—, x-,, = + — +itfe, keZ.
' 2 2'3 6
Ответ: хг = 7ш; х2 3 -±— + tOc, n,ke Z.
6
8.053. cos4x + 2sin2x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
2cos22x-l + l~cos2x = 0, 2cos2 2x-cos2x = 0,
cos 2 x (2 cos 2 x -1) = 0,
откуда;
ncos2x = 0, 2x~- + nk, x>=- +— = -(2fc+l) h2;
2 4 2 4
2) 2cos2x-1=t0,cos2x = -,2x = ±- + 27dj,x, - + —+itn,ne 2.
7 2 3 2 6
Ответ: x, = — (2k + \\x, - + — +юг, к,пе Z.
1 4 h - 6
8.054. sinx + sinIx -cos5x + cos(3x- 2n )= 0.
Решение.
Из условия
/- \ / , ^ Л -. ■ x + 7x x-7x
(sin x + sin 7x j- (cos5x - cos3xJ= 0«2 sin—-—cos —-— +
441


, . 5л: + 3л: . 5.v-3.i; . .
+ 2sin sin - = 0 <=>sin4xcosxH-sin4xsinx = 0,
2 2
sin4x(cos3x + sin *)= 0,
откуда:
l)sin4A: = 0, 4x = nk, x,=-—, Are 2;
2) cos3x + sinx = 0, 2cos x + — cos 2x— =0.
> { 4j { 4j
Полученное уравнение эквивалентно двум уравнениям:
a) cos дс + — =0, х + —= —+ ял, д.'2 = — + т> ле2;
' ( 4J 4 2 4
б)cos 2x =0, 2л- = — + ят, л-, = — (4m + 3jt meZ.
' I 4 J 42 3 8
Решения x, входят в Xj.
Wfc
Ответ: x> -—, x^ ■= — (4«-t-3l i,ne2.
1 4 * 8
25
8.055. cos4 2x + 6cos2 2т = —.
16
Решение.
Имеем 16cos4 2x + 96cosz 2x-25 = 0. Решив это уравнение как
биквадратное относительно cos2х , получим cos2x—± —, 2х = ± — + кк _
, к пк
х = + - + — ,где fce Z
6 2
Ответ: х = ± — + —, Аге2.
6 2
8.056. l + cosf + cos2f + cos3f = 0.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
l+eos/ + 2cos2 f-l + 4cosJ / -3cosf -0,
4 cos3 f + 2cos2 f-2cosf -0 <=> 2cosf(2cos2 f+ cosf-l)= 0.


Отсюда:
l)cosf = 0, Ц = — + nk~-(2k + \\ kzZ;
2) 2cos2f + cosf-l = 0.
Решив уравненне как квадратное относительно cost, получнм
(cosf)2 =-l, t2 = п + 2тт, n<zZ; (cost\ = ~, t3 = + — + 2тгт, meZ.
Объединив решения t2 н/3, получим t2 = — (2n +1) neZ.
Ответ: t} = - (2jfc +l) f2 = - (2n +1) k,neZ.
8.057. cos2x = V2(cosx-sinx)
Решение.
Из условия
cos x-sin2x-V2(cosx-sinx) = 0«
» (cos x - sin x )(cos x + sin x - V2 J= 0.
Тогда:
1) cos x - sin x = 0,
2) cosx + sinx-V2 = 0.
Шпервого уравнения tg x ~\, х1-~ + як,ке Z. Из второго уравнения
cos
■Л . Ji . n . . n ,
JC h Sin X = 1 » COS X COS — + Sill ЛС Sm — = 1 <=>
2 2 4 4
«cos л:— =1,
4
откуда х - — = 2тт, х2 = — + Inn, ne 2. Объединив решения х, н х2
получим х = ~ + кк, ke Z ,
Ответ: x = ~ + nk, ke Z.
4


„ ( . Зх Зх
8.058. 1 + cos7a:= sm cos —
^2 2
Решение.
Имеем
■ 2 Зх „ . Зх Зх 2 Зх , „ , . л
l + cos7A: = sin 2sm—cos i-cos —, 1 + cos7a: =l-sm3jc,
2 2 2 2
lx + -~3x
= 0, cos\2x + — bos 5л:— =0.
cos7x + sin3x- 0, cos7a- + cos| —3x | = 0<=> 2cos-
Ix— + 3x
2 ^ 4) [ 4
Отсюда:
(\ I1! n , 7ГТГ . Jt
1) cos 2x + — =0, 2x + —=—urn , 2x= — + nn,
[ 4 J 4 2 4
x, =—I- — = —14н + 11 neZ;
1 8 2 8
[ti\ ,. к к , ,. 3 ,
5л: =0, 5x = - + Л* 5х=-Т[+Т[А:
4J 4 2 4
л, = — п+ — = — (4k + 3\ke Z
2 20 5 20
Ответ х1 = - (4н + l)t х2 = — (4к + 3\п,ке Z.
8.059. 2tg4 3A:-3tg2 3jc + 1 = 0.
Решение.
ОДЗ: cos3x # 0.
Решнв это уравнение как биквадратное относительно tg3x, полу-
/г ±arctg— ,
чнм: 1) tg3x = ±— , х|2 = —-— + —, keZ;2) tg3x = ±l,
, 7t 7Ш
Отвал.' х1д =+-arctg —+ у;л3,4 =±^" + у. k,nsZ.
444


is Ix +
8.060. sin2x-sin3x + sin8x=cos ,.. .
^ 2
Решение.
Из условия
(■ -. ■ -» \ / ■ г. --т\/ч -. ■ 2л-Зл 2л + 3х
(sin2x-sin3xj+ (sin8x-sin/;tj = 0, <=> 2 sin cos- ь
. . 8л-~7л Ъх+lx п . х 5х . х 15л п
+ 2sin cos - 0, -sin—cos h sin—cos -0 <=>
2 2 2 2 2 2
. x( 5x 15л:" .
<=>-sin— cos cos =0<
2^ 2 2
5л^ 15л: 15л 5х
«sin—-2sin— — sin———2_ = 0<=>
2 2 2
. x ... 5 n
<=> sin—sin 5x sin — x - 0.
2 2
Тогда:
1) sin— = 0, — = ™ , x, =2roi, neZ;
2 2 '
кк
2) 8т5л: = 0, 5л- = itfc, x2 = —, ksZ-
5 5 2
3) sin-* = 0 — л- = 7С/и, л-3 =-itm, me 2; л:, н л-3 входят в л2.
пк
Ответ: х~—, keZ. °
5
8.061. 4tg23x-cos"23x=2.
Решение.
ОДЗ: совЗл: # 0.
Имеем
4sin23* 1 , „ 4(l-cos23x) 1 , .
cos Зл: cos Зл: cos Зл: COS Зл:
4tt-cos2 3*)-l-2cos2 Зл- = 0, cos2 Зл = -.
~ , ,v2, , л , , л яА: , „_
Отсюда cos Зл:-±—, Зл- = ±— + пк, х-±—+ —, k^Z.
2 4 12 3
, тг пк , -,
Ответ: л- = +—- + —, keZ.
12 3
445


8.062. cos3 x + cos2 x-4cos2 — =0.
Решение.
Из условня
cos3x + cos x-4-~(l + cosx)=0, cos x+cos x-2cosx-2 = 0,»
<^>cos2 x{cosx + \)-2{cosx+\)-0, »(cosx + l)(cos2 x-2J=0.
Тогда cosx+I = 0,cosx=-l,Xi = 7Г+27И = 7г(2и + 1)ие Z; cos2 x-2^0.
Ответ: :* = 7t(2n+l) neZ.
8.063. sin9^ = 2sin3x.
Решение.
Перепнсав уравнение в виде sin3(3x)-2sin3x = 0
нвоспользовавшись формулой sin3ct = 3 sin a -4 sin а, имеем
3sin3x-4sin33x-2sin3x = 0, 4sin33x-sin3x =0,
sin3x(4sin23x-l)=0.
Тогда
1) sin3x = 0, 3x = 7tn, xj= —, neZ;
- 1 . , 7t . , К Ilk
2)4sin23x-l = 0,sin3x = ±-,3x = ±- + 7^,x2=±— + — ,keZ.
2 о lo J
ля , тг тг& , „
Ответ; x{ ~—; x2 --"S"1"-^-' n,keZ.
8.064. (sin~'z + cos-IzJ(sinz + cosz)+2 = 0.
Решение.
fsinz * 0,
[cosz * 0.
Перепишем уравнение в виде
1 1 ^ / . \ л л sinz + cosz /. \ л .
+ ■ (sinz + coszj+ 2 = 0, (sinz + coszj+ 2 = 0.
sinz cosz J sinzcosz
Отсюда
(sinz + coszf + 2sinzcosz = 0, sin z + 2sinzcosz+cos2z+2 sinzcosz =
= 0,4 sinz cosz = -1, sin2z =—.
2
446


Тогда 2,=(~l)'+l-+7tf,z=(-l/+'-+— ,kzZ.
6 12 2
Ответ: : =.(-l)'+l -™ + —. Ae Z.
12 2
8.065. sin2z + cos2z = -j2sin3z.
/>еше(ше.
По формуле cos a + sin a - cosf - - a
получаем
•У! cos 2z = Л sin 3z» cos —~2z -sin3z = 0»
I4 / I4
«cosl — — 2z l-cosj--3z 1=0,
?-2z+5-3, *-2z-* + 3z
-2sin4 ?_ —sin4- -i = 0,
2 2
sin sin =0.
I2 8 J I2 4
Тогда:
„ . (5= 3lt 1 „ 5; 3lt 5z 3lt
l)sm - =0, ----- =jtii - = ~ +j[ii
( 2 8 J 28 2 8
:, =- —n+-i4i= - -(8n + 3), ne Z;
' 20 5 20v
2)sinf ?-" =0, --- = л*,- = - + ni,
12 8 2 8 2 8
2 4 4
Отвин: z, = -?~(8n+3);z, = -(8i+l), n.ke Z.
1 20 2 4
8.066. 6sin2A + 2sin22.v=5.
Решение.
Перепишем это уравнение в виде
6- -(J-cos2.v) + 2(l-cos2 2.v)-5=0<=>2cos22;t+3cos2
cos2,v(2cos2,v + 3) = 0.
447


Тогда
cos2x=u, 2х~ — +ля, х, =: —+—= — \2п + \), ntZ:
2 ' 4 2 4V
2cos2x + 3*0.
Ответ: х - —(2н +1) п е 2.
4
8.067. sin3x + sin5x = 2(;os22х -sin23x\
Решение.
Перепншем заданное уравнение в виде
„ . 3x+5x Зх~5х J\ /, л \ 1 л , Л
2sin cos—-— =2 — 0 + cos4xj~—0-cos6лj <=>
2sin4xcosx = cos4x+cos6x »
л . . л 4х + Ьх Лх~Ьх .
»2sin4;tcosx-2cos cos =0 »
2 2
» sin4xcos л: - cos 5x cos x = 0, cos x(sin4x - cos 5x) = 0.
Отсюда:
1) cosx=0, X| = — +лл = — (2и+Ц neZ;
4x h5x 4x + —5x
9 2
2) sin4x-cos5x = 0»2sin cos =0,
' 2 2
. (9x кЛ (х кЛ .
sin cos =0.
I2 ч l2 ч
. (9x n\ „ 9x it , 9x it it
Тогда илн sin^--j = 0, Y~4=nk- T=4 + ^' *2 = 4 +
+ 2„* = il(4/i+l), *6 2,или cos(i-il = 0, i_* =f+ n/, 1 = 25 +
9 18 ^2 4j 2 4 2 2 4
+ к, x3 -—K+2nl, /e 2; x3 входит в jq.
Ответ: xx =-(in+ \\ x2 =--(^k+ \\ n,keZ.
L lo
448


8.068. tgr + л ~ctg2x-sin 2x(i + cos2a:)=0.
Решение.
ОДЗ: smxstO.
Из условия
2 1 + 2COS X-l „ 2 ~ 2
-ctgx-ctg д: + ^ = 0, -ctgx-ctg A: + 2ctg x = 0,
sin" x
cl%2 x-a%x = 0, ctgA:(ctgx-l)=0.
Отсюда:
l)ctgx = 0, хх = ~+тА = ~{2к + \\ /fceZ;
2)ctgjr-l = 0, ctgx«H, x-, = — + id! = — (4n+l\ neZ.
" 4 4
Ответ: л:, =— (2fc + l); д:2 = — (4n + l), k,neZ.
8.069. 2sin3 x-cos2x~sinx = 0.
Решите.
Имеем
2sin3 A:-l + 2sin2 x-sin;v = 0, 2sin3 x+2sin2 x-sin;(-l = 0,
2sin2 A:(sinx + l)-(sinA: + l) = 0, (sinx + 1Д2sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx + l = 0, sin*=-l, x, =-- + 2ni = — (4fc-l) fceZ;
2)2sin2A:-l = 0, sinx=± —; д:2 =-- + — = -(2n + l) «Z.
2 2 4 2 4
Ответ: x, =—(4k-\\ x2 = — (2n+l\ k,neZ.
8.070. 3sin5z-2cos5z = 3.
Решение.
Из условия
3sin2|~z]-2cos2|~zj-3|cos2-z + sin2-z |=0<=>
IS M. И. Сканнян, группа Л


* ■ 5 5 J 25 . 25 ) J 2S ■ 25 I „
<=>6sin—zcos—z-2 cos — z-sin — z -3 cos —z+sin —z U=0<=>
2 2^2 2 J ^ 2 2 J
■ 25 , . 5 5 . 25 „
<=>sm —z-6sm-zcos—z+5cos —z = 0.
2 2 2 2
2 5
Разделив это уравненне на cos -~z * 0 , получим
2 5,5,.,.
tg -z-6tg-z + 5 = 0.
Решив уравненне как квадратное относительно tg—z, найдем
5,5 л к 2 ,
«2I",'2Z-4+'*'Z, = io + 5,*'*6Z'
или
5 с 5 с 2.2
tg-z = 5 , —z = arctg5 + 7t«, z2 =— arctg5+—лл, ne Z.
Ответ: 2j = —+ -t^;z2 =-arctg5 + -7tn, k,ne Z.
8.071. 4sin3z +—cos3z = 3.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
». . 3z 3z 2 3z ■ 2 3z л 2 3z л . 2 3z .
24sin—cos — + cos sin 9cos 9sin — = 0o
2 2 2 2 2 2
,A . 2 3z л. . 3z 3z „ 2 3z .
<=>10sin 24 sin—cos h8cos — -0.
2 2 2 2
Разделив это уравненне на 2 cos2 — ф 0, получим
5tg2^-12tg^ + 4=0;
3z 3z 2
решив уравнение как квадратное относительно tg^-, найдем tg —= —
y = arctg- + im, z1 = -arctg- + -jtnJ Л£2; tg-^ = 2, ~-;t = arctg2 +
2 2
+Jlfc, z3 = -arctg2 + -Ttfc _ k& Z.
2 2 2 2 2
Ответ: z, = -arctg- + -iBi;z2 =-arctg2 + -ni, k,neZ.
450


8.072. (cos6x-l)ctg3A: = sin3A:.
Решение.
C№:sin3;<:*0.
Имеем
(cos2(3a:)-i)cos3jc L 2, A , . 2, „
-—-— sm3jc = 0, Gcos 3A:-2lcos3A:-sin 3дг = 0,
-2(l-cos2 3x)cos3A:-sin2 3л: = 0, 2sin2 3;tcos3A: + sin2 3л: = 0,
sin2 3x(2cos3x + l)=0.
Так как sin3x
#0,to 2cos3x + l = 0, cos3x = -- Зх = ±-к+2пк
2 2
2 2
± — 74—3
9 3
8.073.
sin\- + x sin--*
cod -~ + x bos —x
= 3.
Решение.
ОДЗ:
cos[ — +x I* 0,
cos| x |* 0.
Перепишем уравнение в виде
cosxcosx = 3cos -~ + x cos —x
I4 ) I4
cos2x-3cos — + x kos—л: =0»
4 J I4 J
I / , i 3f fn " ^ fn it
<=* —(l+cos2xl— cos — + x — + x +cos — + x + —
24 2|^ [4 4 J ^4 4
-x Ц»
451


<=>1 + cos2x-3(cos2x + 0)=0, cos2x = —,
2x = ±— + 2iui, x=±— + mi, neZ.
3 6
Ответ: x = ± — +nn, neZ.
6
8.074. I-cos(t +x)-sin - = 0.
Решение.
Имеем
1 + cos x +cos— = 0 <=> 1 + 2 cos2 — 1 + cos— = 0,
2 2 2
-. 2* * л *f-. * Л л
2cos — + cos— = 0, cos— 2cos —+1 =0.
2 2 2( 2 '
Отсюда:
1) cos— = 0, — = - + nk, x, =n+2nk=nb.k+\\ keZ:
' 2 • 2 2 '
x x 1 x 2 4
2) 2cos — + 1 = 0, cos—= —, — = ±— 7Г + 2лл, x7 = ± —тг + 4лл,
' 2 2 2 2 3 2 3
Ответ: x\ = л(2А:+1);.х2 =±~к+4тт, k,ne Z.
_2_
8.075. 9cosx =9sinx -3COs*.
ОДЗ: cosx^O.
Решение.
Из условня
2 2
32cosX =32шХ,2-^-x ^32coSx =32smx+-^ ^2cosx = 2smx+~^~
COS;t
Отсюда
cos2 x-sinxcosx-l = 0, sinxcosx + l-cos2 x = 0,
sinxcosx + sin2 x = 0> sinx(cosx + sinx)= 0.
Тогда:
1) sin.x = 0, Xj =тш, neZ;
2) cosx + sinx = 0 <=> tg* = I, х2 =-- + 1сА, &e z ■
4
Ответ: x{ =im;x2 = — + л£:, n,keZ.
4
452


8.076. sinx-sin2x + sin5x + sin8x = 0.
Решение.
Имеем
/. ■ „ \ / ■ ■n^/^ -,- х-2х х + 2х
(sinx-sin2x}+(smx + sm8A:}=0<=>2sm cos +
. . 5дч-8л" 5л:-8л" . . . х Зх . . 13л:
+2 sin cos = 0<=> -2 sin—cos h2sin x
2 2 2 2 2
Зх . . Зх( . x . 13хЛ . Зх
xcos— = 0<=>-2cos— sin sin = 0<=>cos—x
2 2 [ 2 2 J 2
x \3x x \3x
*) T • *) *) 3x 1x
x2sin— — cos— — = 0 «cos—sin3jccos— = 0.
2 2 2 2
Отсюда:
Зх Зх к , я 2 , Ял,, ,\ , _
I) cos— = 0, — = — + кк, х, = — + — пк = — 12к+Ц keZ:
' 2 2 2 '33 Зч
2)sin3x = 0. Зх = кп, х, = —, neZ;
' 2 3
7х 7х я я 2я/ Я/,, ,ч , ^,
3)cos—=0, —=-+я/, ^3=т+^г=чР/+1* /eZ;
2 2 2 111
Xj ВХОДИТ В л:2 .
Ответ: х, =——;д:2 = — (2/ + l) n,leZ.
2
8.077. 2sinz-cosz = -.
Решение.
Переходя к половннному аргументу, находнм
= 0,
,„2£
2" "'" 2 J "1^"" 2 "'" 2
3sin2i+20sin-cos--7cos2- = 0e3tg2|+20tg|-7 = 0;
z z
решив это уравнение как квадратное относительно tg—, найдем tg— = -7,
453


- = -arctg7+7r&, z, =-2arctg7+27ti, ke Z ; tg- = -, - = arctg-+
+it/, z2 =2arctg-+2it/=2arcctg3+2it/, /eZ.
Ответ: z, = -2arctg7 + 27t£;z2 =2arcctg3 + 2n/, k,leZ.
8.078. cosI — +5д: |+sinA: = 2cos3x.
Решение.
Из условня
(sin5jc-sinjc)+2cos3jc = 0e»2cos sin +2cos3jc = 0,
K ' -22
2sin2Arcos3x + 2cos3x = 0, 2cos3jc(sin2jc + l) = 0.
Отсюда:
ncos3x = 0, Зх = — + -кк, x,= — + — = — (2k+]\ keZ-
' 2 ' 6 3 64 *
2) sin2x+l =0, sin2x<=-l, 2x =—+2nn, xj = — + тш =
2 4
= —(4n-l) neZ
4
О/шотг *i =7(2*+!), x, =-(4n-l) fc,neZ.
6 4
8.079. (l + sin jc)tg i = cos"1 x - cos x.
I4 2J
Решение.
[cos л: ф 0,
i4 2
Имеем
x ] 1 - coa — x\\
1 (l + sinxYl-sinx) 1-cos2a
cosx, - £ i =
cos л: cos л: cosx
454


Отсюда l-sin x = \-cos2 x, sin2 x = cos2 * <=> tg2 л; =1, откуда
tgx = ±I,T.e, jcj = — + itk , ke Z, x2= — + nn, neZ. Объеднннв x,
4 4
к nk к (гч, ч „
н x2,получнм x= — +— = _(2A: + i]) ke Z.
Ответ: x = ~(lk +l) h2.
4
8.080. cosx-V3sinx =cos3x.
Решение.
Из условия
(cosx-cos3x)-V3sinx = 0<=> -2 sin sin V3sin;t = 0,
2sin 2xsin x - V3 sin д: = 0, sinx(2sin2;t-V3 j=0.
Отсюда:
1) sinx = 0, xl = ли, пе Z ;
2) 2sin2x-V3=0, 2sm2x = ^,2x = (-]f ^ + nk,
' 2 3
Xl=(-lf* + ?*, kzZ
2 V ' 6 2
Ответ: ^ = тш; x2 = (-if ~ +-~, n,keZ.
о 2
8.081. 6sin2 x + sinxcosx-cos2 л: = 2.
Решение.
Имеем
6sin2 x + sinxcosx-cos2x-2\sin2x+cos2x]=0,
4sin2x+sinxcosx-3cos2 x = 0<=> 4tg2x + tgx-3 = 0.
Решнв это уравненне как квадратное относнтельно tgx , получнм
tgx = -l, jc, - — +itk , Are 2; tgx = -, x2 =arctg- + nn, neZ.
4 4 4
71 3 , „
Ответ: x{ =— +izk;x2 =arctg—+ тш, k,ne Z.
4 4
455


8.082. cos7A+sin8.v = cos3x-sin2.v.
Решение.
Имеем
lx + За- 1х — Ъх
(cos7-y-cos3A,) + (sinSA, + sin2A-) = 0<=>-2sin - sin' "■■ н
л . 8-V + 2.V 8jc-2jc . . . _ . . . . ,
+ 2sin ——cos =0, -2sin5.vsin2x + 2sin5vcos3x = 0,
2 2
-2sin5A(sin2A--cos3A') = 0.
Отсюда:
J)sin5.Y = 0,5х = кн, .(|=—,neZ;
2)sin2.v-cos3.v =0<=>sin2A'-sin —3x <=>
2jr+--3jr 2.y--+3jt /я x\ /5 я\
<=>2cos — sin-—— -—- = 0, 2cos sin ~x-~ =0.
2 2 14 2 J [2 A)
Отсюда:
(n хЛ (x n\ . x n n , 3
a)cos =cos =0, = — +nk, x-, = ~n + 2nk =
[4 2) [2 4 J 2 4 2 2 2
= -7t + 27rA = 7t(4A-J),AeZ;
2 2
6)sinf 5~x-ll)=0,-x-- = nl,x, = -~ + -TU = ~ (4/ + 1), /e г.
1^2 4 J 2 4 3 10 5 10
Ответ: Л| = ""-; х-, = K(4k-l);x-, = -(4/ + I), п,*,/е г.
1 5 " 2 3 10
8.083. sin" -i:-2sinACOsx = 3cos" x.
Решение.
Разделив обе части уравнения на cos д- *0, имеем tg л — 2 tg х —3 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно tg х, найдем
(tg-t)| =-1, л', = — + кк, к е Z;(tgx)-> =3; х2 = arctg3 + Tin, ne Z.
4
Ответ: х] - — + пк, х2 = arctg3+ftH, k,neZ.
4
456


8.084. cos5x + cos7x = cos(7i + 6x)
Решение.
Из условия
5х 4~ 7х 5х 1х
2 cos cos + cos 6x = 0, 2 cos 6x cos x+cos 6x = 0,
2 2
cos 6х(2 cos х +1) = 0.
Отсюда:
1) cos6x = 0, 6х = — + кп, х, =—+— = —(2w + l\ neZ;
} 2 l 12 6 12^ h
1 2
2)2cosx + l = 0, cosx =—, х-, =+-71 + 2л&, fceZ.
2 2 3
Ответ: x{ - — (2w + l)x2 — ±—7c + 27iA:, n,keZ.
8.085. 4sinxcoa—-x +4sin(rc+x)cosx + 2sin — я-х kos(jc+x)=1.
бешеные.
По формулам приведения имеем
4sinxsinx-4sinxcosx+2cosxcosx-l = 0,
4sin2 x-4sinxcosx + 2cos2 x-(cos2 x+sin2xj=0,
3sin2x-4sinxcosx+cos2x = 0, <=>3tg2x~4tgx + l = 0;
решив уравнение как квадратное относительно tg x , найдем (tg x\- - ,
X! =arctg- + 7i&, keZ; (tgx^ =1, х2 =- + кп , weZ-
Ответ; х{ = arctg - + кк; х2 = — + nnt ktne Z.
8.086. cos6x = 2sin —+ 2х
I2
Решение.
Представив уравнение в виде cos3(2x)~2sin— + 2х =0 иприме-
нив формулу cos3a=4cos3a-3cosa , имеем
4cos32x-3cos2x + 2cos2x = 0 . 4cos32x-cos2x = 0.
cos2x(lcos22x-l)=0.


Отсюда:
l)cos2x = 0, 2x = - + itt, x,=-+—= -(2* + l)l keZ; .
2 4 2 4
2)4cos22x-l = 0, cos2x = ±-, 2х = ±- + ли,
2 3
л ли
x, =±— + —, ие Z.
2 6 2
Ответ: x, = —(2fc+l)x2 =±—+—, k,neZ.
4 6 2
8.087. 2sinxcos— + x -3sin(n-x)cosx+sin — + x cosx = 0.
Решение.
По формулам приведения
2sinxsinx-3sinxcosx+cosxcosx = 0,
2sin2 x-3sinxcosx + cos2 x = 0<=>2tg2 x-3tgx + l = 0;
■решив уравнение как квадратное относительно tgx,найдем (tgx)s = — ,
х, =arctg- + uA:, ке Z; (tgx); = 1, х2 =- + ял =-(4и + 1), ие Z.
Ответ: х, = arctg- + nA:;x2 =-(4n + l)l k,neZ.
8.088. (sin4( + cos4()2 =16sin2(cos3 2(-8sin2(cos2(.
Решение.
Из условия
Sin24( + 2sin4(cos4( + cos24( = 8(2sin2/cos2()cos22(-4(2sin2(cos2/)e
<=> sin2 4/+2sin 4*cos4/ +cos2 4* = 8sin 4* -(l + cos4/)-4sin4f,
sin24/ + 2sin4/cos4/ + cos24/ = 4sin4/(l+cos4/-l)i sin2 4/+ 2 sin 4/cos 4/ +
+ cos24*=4sin4/cos4/, sin24/-2sin4*cos4/+cos24* = 0,
(sin4/-cos4()!=0, sin4/-cos4( = 0etg4/ = l, 4f = — + nk,
4
16 4 16V
Ответ: t = ^-{4k+l), keZ.
16
458


8.089. cos^(-18")tg50" +sin^(-18")= l- .
2cos130*
Решение.
Имеем
cosfef-18")sin50° . L ,„Л 1
E £ + smEf-18 1= 1 \<=>
cos50° 2cos(|80°-50°j
cosfcf-18°)sin50°+sinfcf-18°)cos50° _ 1
cos 50° -2 cos 50°
=>sin^(-18°+50°)=--; sin(2r+32")=-I.
Отсюда:
1) 2( + 32°=-30°+360°£, keZ, I, =-31° +180°*;
2) 2f + 32° = 210°+360°(t, r2 =89° +180°*, keZ.
Ответ: (, =-31° +180° к; г2 =89° +180°*, hZ,
8.090. tg-ctg — + cos"'-sin"1 — = 1.
2 2 2 2
|cos-*0,
sin—*0.
2
Перепишем уравнение в виде
. ( 3(
sin —cos— . . т. , т.
2 2 1 i г. ■ ' 3( Г . 3( ,
^+ —-l = 0=>sin—cos cos—sin —+1 = 0<=>
t ■ 3( ( . 3( 2 2 2 2
cos—sin— cos —sin —
2 2 2 2
<=>sin +1 = 0, -sin( + l = 0, sin( = l.
I2 2J
Отсюда t = - + 2Tdc = -(4k+l\ keZ.
2 2
Ответ: I = — (4£ +1) teZ.


1 1 • ,
8091 "7= Р «sin 2».
влт- ,/3-tg» V3 + tg(
Решение.
ftgf Ф ±Д
°ДЗ: 1
Имеем
JhlMz£±3L=sin2l, ^_-sin2(=o«
(£-tg,)(fl+tg,) з-tg /
2sinf
cost ■ -, n 2sin*cos2* . _ „
** —^^ sl"2/ = 0 <=> sin2f = 0 =>
3-sin f cos/(3cos2/-sin2/)
cos21
=>2sin/cos/-2sin/cos/pcos2/-sin2/J=0,2sinfcosf(l~3cos2/+sin2/J-0,
2sin/cos^in2/+cos2/-3cos2/+sm2fJ=0,-2sin/cos/(cos2/-sm2/J=0,
sinfcosfcos2f =0.
Отсюда:
1) sinf = 0, г, =ял, we Z;
2)cos2f = 0, 2f = - + wt, , =- + ^ = £(2Л + Ц k<=Z;cost*0.
2 4 2 4
Ответ: h = nn; U = — (lk + \), n,ktZ.
4
8.092. cos(20° + x)+cosp0°-x)=-.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
. 20° +х + 100° -х 20° +х-100° +х 1 . ,п„{ лпл 1
2cos cos = —, 2cos60 (лг-40 J= —,
2 2 2 ^ ' 2'
cos(x-40D)= —.
Отсюда
х-40° =±60°+3604, jci =-20" +3604; х2 =100°+3604, keZ .
Ответ: х, а -20° +3604; х2 =100° +3604, keZ.
460


8.093. cosfsin - + 6( +cos —-( sin6( = cos6(+cos4(.
Решение.
По формулам приведения
cosfcos6f+siiWsin6f = cos6f+cos4f <=>
<=>cos(6(-()-2cos cos = 0, cos5(-2cos5(cos(=0,
2 2
cos5((l-2cos() = 0.
Отсюда:
l)cos5( = 0, 5f = - + iofc, f,= —+— = — (2k+\\ keZ;
' 2 ' 10 5 10v *
2)l-2cos( = 0, cos( = -, r, =±- + 2n/, /eZ.
2 3
Ответ: t, = — tk + Uи =±- + 2nl, k,leZ.
1 10 2 3
1 - cos x .
8.094. T"""2-
sin —
2
Решение.
ОДЗ: sin-*0.
Из условия
l-COS2[f] ,.
>—' = 2 <=> —
. X
sin —
2
-1 + 2 sin2 —
2
X
sin —
2
= 2=>sm—= 1, — = — + 2idc,
2 2 2
x = n + 4irir = jr(4A: + l)i £eZ.
Ответ: x - ж(4к +\\ ke Z.
1x 3x x 5x
8.095. sin — cos— + sin—cos — + sin2xcos7jc = 0.
2 2 2 2


Применив формулу sinacosP = — (sin(a-P)+sin(a + p)), запишем
уравнение в виде
\( . <1х ЗлЛ . (7х ЗхХ\ \(.(х 5х\ . (х 5хХ)
- sin +sin —+— +- sin +sin — + — +
4 I2 2J I2 2JJ 2l I2 2J I2 2JJ
+- (sin(2x - 7x)+sin(2x + lx)) = 0,
sin 2x + sin 5x - sin 2x + sin 3x -sin 5x + sin 9x = 0,
9x+3x 9x —3x
sin 9x + sin 3x = 0 <=> 2 sin cos = 0, sin 6x cos 3x = 0.
Отсюда:
1) sin6x = 0, 6x-nnt xl= —, weZ;
2)cos3x=0, 3x = - + jc/:, x2=- + —, &e Z; *., входитв jc, ,
Ответ: * = —> ne Z.
6
8.096. sin3x + sin5x ~sin4x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
Зх 4-5х Зх— 5х
2 sin cos sin 4х = 0, 2 sin 4x cos x - sin 4x = 0,
2 2
sin 4x(2 cos x -1) = 0.
Отсюда:
1) sin4x = 0, 4x = 7tw, x, =—, we Z:
i 4
2) 2cosx-l = 0, cosx = i, x2~±-+2nk=-(6k±l\ keZ.
2 2 3 3V Л
Ответ: х{ = —;x2 = — (бк±l\ n,ktZ.


Решение.
sin z + cos z - (sin2 z +cos2 zj= 0, sin z +cos z-ЫО,
sin2 — +cos2 — - sin2 —+cos2— =0,<=>2sin—c^ — , WJ
[2) 1^2 J ^ 2 2) 2 2 2
.->2 .?Z -> Z „ - . Z Z л . ■) Z
-sin --Sin—cos - = 0<=>2sm-cos— 2sin - = 0<=>
2 2 2 2 2 2
<=>2sin— cos— sin— =0.
A 2 2)
Отсюда:
. z z
1) sin— =0, — = кп, z, =2ял, neZ:
' 2 ' 2 '
2) cos—sin- = 0<=>tg--l, - - = — + жк, z2 -~ + 2nk = ~(4k+\\
2 2 B2 2 4 2 2 2V л
hZ.
Ответ; zx = 2im\ z2 = — (4& + l} n,k e Z.
8.098. sin z + sin 2z + sin 3z = cosz + cos2z + cos 3z.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
„ . z + 3z z-3z .. . z + 3z z-3z
2sin cos + sin2z = 2cos cos +cos2z <=>
2 2 2 2
<=>2sin2zcosz + sin2z = 2cos2zcosz+cos2z, sin2z(2cosz+l)-
-cos2z(2cosz+l) = 0, (2cosz + lXsin2z-cos2z) = 0.
Отсюда:
1) 2cosz + l = 0, cosz = --, z, = + — к + 2пк = -1&к±\\ kt Z ;
2 3 3
2) sin2z-cos2z = 0<=>tg2z = l, 2z=- + jw, z2 =- + — = -(4«+Ц
4 8 2 8
«eZ.
Ответ: zl =— (7i(3£±l) z2 =—{4п + Ц к,пе Z.
463


8.099. ctgx-tgx + 2 '
tgx+1 tgx-1
Решение.
ftgx*±l,
ОДЗ: jcosx*0,
[sin x Ф 0.
Из условия
4sinjc
cosx sinx cosx л cos2 х-sin2 jc 4sinxcos2 x
— ._ \ '■'jjg-* = 4 ^ 1 = 4 ^
sinx cosx sin2* j sinxcosx COs4in2x-cos2x)
cos2x
2cos2.r 2sin2x . cos2 2x-sin2 2x , cos4:x ,
__=4) -^ = \} ctg4x = l.
sin2x cos2x 2sin2xcos2x sin4x
Отсюда 4x = — +7iw, x = — + — = — (4w+l\ ne Z .
4 16 4 16
Ответ: x =— (4/1 + 1) n e Z.
16
8.100. l-cos6x = tg3x.
Решение.
ОДЗ: cos Зх Ф 0, Зх Ф - + im, x ± - (2w +1\ n e Z.
2 6
Имеем
1—cos6x = 0, (l-cos6x)(i+cos6x)-sin6x=0,
1 + cos ox
1—cos 6x-sinox = 0, sin2 6.x-sinox = 0, sin6x(sinox-l) = 0.
Тогда:
1) sin ox = 0, 6х = ял, х{=— , но с учетом ОДЗ х, = —,
6 3
Л1 ^ 2л +1, meZ;
2) sin6x-l = 0, sin6x = l, 6х = — +2кк, х2 =— +— =s—(4&+l),
2 12 3 12
keZ-
Ответ: х\ -~'>х2 =— (4* + Ц m,keZ.
464


8.101. v2cosx + cos2jr + cos4x = 0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
/г . 2.v + 4.v 2а-4а /г
л/2 cos а + 2 cos cos = 0 <=> v2 cos a' ■+
2 2
+ 2 cos Зл- cos .v = 0 <=> cos a( v2 + 2 cos Зл-) = О.
Отсюда:
1)cosa = 0, xl = K+Tdc=~(2k + \),keZ;
Jl 3
2) v2 + 2cos3a = 0, cos3a = , За =±— я+2ял,
2 4
л=:±Я+ roi = -*-(8n±3),*,neZ.
4 3 12
Ответ: хх = -(2Л + 1); a2 = —(8h±3), A-,oe Z.
Решение.
Имеем
(sin" a+cos~ a) -2sin2 acos2 A-sin2A+0,5 = 0<=>l-- sin 2л-
-sin2x + =0, sin22A + 2sin2;t-3 = 0.
2
Решив это уравнение как квадратное относительно sin 2а, получим
sin2а = -3,0, или sin2а = 1, 2а = -- + 2тг«, а = — +тгн = - (4и + 1), пе Z.
2 4 4
к
Ответ: х- - (4л +1), «е Z.
4
Решение.
ОДЗ; cos.v*0.
Перепишем уравнение в виде
2 cos 2*+ 2-^--С—-—-* -5 = 0 => 2cos2a(1 + cos2a) + 2(1 -cos 2л)-
I + cos 2а
-5(I + cos2a) = 0, 2cos"2a-5cos2a-3 = 0.
465


Решив это уравнение как квадратное относительно cos2x , найдем
cos2x = 3,0,mm cos2x = --, 2х = ±-п + 2пк
2 3
Ответ: x-—{3k±l\ ktZ.
8.104. sin2xsin6.x = cosxcos3x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
— (cos(2x - 6х)- cosi^x + 6х))— (cos(;t - 3x)+cos(x + Зх))= 0,
cos4x-cos8x-cos2x-cos4x = 0, cos8* + cos2x = 0<=>
. $х+2х Sx-2x
2cos cos = 0, cos5xcos3x = 0.
2 2
Отсюда:
l)cos5x=0, 5х = - + кк> x,=—+ — = —&+{), keZ;
2 x 10 5 10 - h
., _ „ _ 71 71 КП 71 /- ,\ _,
2) cos3x = 0, 3x = — + 7tw, Xj = — +— = — Liw + ll we Z .
; 2 2 6 3 6 Л
Ответ: xl =— (2&+l) x2 = -(2w + l)i &,weZ.
10 6
8.105. sin42x + cos42x = sin2xcos2x.
бешеные.
Имеем
^in22;t + cos2 2xf -2 sin2 2;tcos2 2x - sin 2;tcos 2* = 0,
l-2sin2 2xcos22*-sin2;tcos2;t = 0<=> sin24x+sin4x-2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin 4x, найдем
sm4x = -2,0 , или sin4x = l, 4x = -+27tw, x = -+— = —(4w+l),
2 8 2 8V "
we Z.
Ответ: x = -{*n + l\ we Z.
466


8.106. cos(3x-30")-sin(3A:-30")tg30" = .
2cos210"
Решение.
Из условия
L „Л sin(3;t-30°)sin30° 1
cosLjx-30 1 Е с = j <<=>
cos30° 2cos(180°+30°)
cos(3x-30')cos30'-sinpx-30')sin30° 1
E L E L 1 4 = 0 <=>
cos 30° 2cos(|80°+30°j
cosfex-30" + 30°) 1 „,,,,«
c ' + = 0<=>2cos3x+l = 0,
cos 30° 2 cos 30°
откуда cosЪх =—, Зх = ± — к+2пк, x-± —+—izk, ke Z.
2n 2 , ,
Ответ: х = ±— + -як, keZ.
8.107. 4sinx + cosx = 4.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
4sin2\— +cos2 — -4 cos2 —+sin2 — = 0<=>8sin — cos-— +
l2J l2J I 2 2J 2 2
•) X . •) X „ „ . 2 X n . X X
-4cos —4sm — = 0, 5sm —8sm —cos —+
2 2 2 2 2 2 2
+ 3cos2 |=0,<=>5tg2--8tg| + 3 = 0.
x
Решив последнее уравнение как квадратное относительно tg — , найдем
(«f ]=|. Y|=arctg- + roi,x,=2arctg-+2»i,B6Z; tg| | =1,
. - + пк,х2 = - + 2т* = -(4* + 1), keZ.
, 2 JL, 4 2 2 2К '
Ответ: Х\ =2arctg- + 2roi;x2 = — (4k + l\ n,keZ.


8.108. 2sin2z + tg2z = 2.
Решение.
ОДЗ: cosz*0.
Из условия
. . 2 sin2 z . 2 , sin2 z
2sin z + г 2 = 0<=>2sm z + = 2 = 0=>
cos z 1-sin z
=>2sin2z^-sin2z)+sin2z-2(l-sin2z)=0, 2sin4z-5sin2z + 2 = 0.
Решив это уравнение как биквадратное относительно sinz , полу-
ш sinz = ±—, z = - +— = -i2k + \), keZ.
2 A 2 A* '
Ответ: z = — (2k +1\ keZ.
A
8.109. cos2x + cos6jt + 2sin2x=l.
Решение.
Из условия
cos2x + cos6x-t|-2sin2;t)=0<=>cos2;t+cos6x-cos2;t = 0, cos6x = 0.
m л Я ЯИ Я /- ,\ „
Тогда 6х = -+ли, * = —+ -r = 7r(2'I + U. neZ.
2 12 о 12
Ответ: х = —(2w + l)l we Z.
8.110. cos3xcos6x = cos4xcos7x
.Решение.
Имеем
— (cos(3;t - 6;t)+cos(3;t + 6x)) = — (cos(4;t - lx)+ cos(4x + 7*)}
cos 3x + cos 9x - cos 3x - cos I Ix = 0, cos 9x - cos I Ix = 0 <=>
. . 9x+Ilx . 9x-llx . . .. . .
<=>-2sin sin = 0, sinl0xsmx = 0.
2 2
Отсюда:
1) sin 1 Ox =0, 10x = яи, x, =—, we Z;
/ ' 10
2) sin x = 0, jc2 = я&, Л e Z; x2 входит в х1.
^ KW
Ответ: x = —, и е Z.


8.111. sin3x +—sin5x + — cos5x = 0.
2 2
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin3x +cos30° sin 5x +sin30° cos 5x = 0, sin3x + sin(30o + 5xJ= 0 <=>
. . 3x + 30°+5x 3x-30°-5x . . (. Л.Л ( ..Л п
<=>2sm cos = 0, smWx + 15 JcosLx+15 1=0.
2 2 r ^ '
Отсюда:
l)sin(4x + 15o)=0, 4x + 15° = 180° &, x, =-— + 45°k, keZ;
2) cos(v + 15°)=0, x+15° =90°+180° и, x2 = 75° +1804 neZ.
Ответ: ^ = -3°45 + 45°k;x2 = 75° + 1804 k,ntZ.
8.112. ctg3x + sin~2 x-3ctgx-4 = 0.
.Решение.
ОДЗ: sinx*0.
Из условия
cos3x 1 3cosx л _ з . . 2 . . з
—-—+—г ; 4 = 0=>cos x+sinx-3cosxsin x-4sm x = 0,
sin x sin2 x sinx
cos3x + sinx(sin2x+cos2x)-3cosxsin2x-4sin3x = 0, cos3x +
+ sinx cos2 x+sin3x-3cosxsin2 x-4sin3x = 0, (cos3x + sinxcos2 xj-
-3cosxsin2x-3sin3 x = 0, cos2x(cosx+sinx)~3sin2x(cosx+sinx)=0,
(cos x+sin x)(cos2 x - 3 sin2 x)= 0.
Отсюда:
1) cos x +sinx =0;
2) cos2 x-3sin2 x = 0 => ctgx = -1, xl =— + im , we Z;
4
ctgx = ±v3 , x2=±— + кк, ke Z.
6
Ответ: *i ~—- + nn;x2 =±Т+т±уп,ке Z.
4 О


8.113. cos23x+cos24x + cos25;t = -.
2
Решение.
По формулам понижения степени получаем
— (l + cos6х)+ — (l + cos8;t)+ - (l + coslOx) = —, cos6;t +cos8x +
„ ~ 6x+10x 6x-l0x
+coslOx = 0 <=> 2cos cos +cos8;t = 0,
2 2
2cos8xcos2x+cos8x =0, cos8x(2cos2x + l)=0.
Отсюда:
I)cos8x = 0, 8х=-+кк, хг=~ + — = — (2* + ll hZ;
; 2 * 16 8 16V *
2)2cos2x+l=0, cos2* = —, 2x = +~7i + 2nk, x2 = ±-+nn = -{3n±\\
Ответ: ^ = —{2k+l}x2 --i?n±i\ k,nt Z.
Id 5
8.114. l + sinx-cos5x-sin7x =2cos2 — x.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
l+sinx-cos5x-sin7x = l+cos3x <=? (sin;t-sin7;i:)-(cos5;t+cos3;<:)=0<=>
«*-2sin3xcos4x-2cos4xcosx = 0, -2cos4;t(sin3;t+cos;t)=0.
Отсюда:
l)cos4x=0, 4х = - + кк, х, =- + — =-{2k+l\ keZ-
} 2 ' 8 4 8
/ \ 3x + x
2) sin3;t + cos.x: = 0<=> sin3x+siiJ x \=0, 2sin x
\2 J ' 2
xcos = 0, sinl x + ~ |cos]2x-- 1=0.
3x--+x
_2
2 ■' —I" 4 Г""! " 4
sin jc + — =0, x + — = nn, x-. = — + ял = —(4и-1\ neZ,
I 4 > 4'24 4V *
470


cos2х— =0, 2х— = — + л/, х,= —л +—, /eZ-
[ 4j 4 2 3 8 2
Х3 ВХОДИТ В Xj .
Ответ: хх = — (2&+l) x2 = —(4w-l) Л, we Z.
8.П5. -™L-2-ctg2.
1 + cosz
ОДЗ:{51пг*°'
|cosz*-l.
Из условия
1Z _ COSZ _ . 2 -. ■ /i Л /i \ r.
2+—— = 0=>sin z-2smz(l+cosz)+cosz(l + cosz) = 0,
1+cosz sinz
sin2z-2sinz-2sinzcosz+cosz+cos2z=0, (l-2sinz)+
+ (cosz-2sinzcosz) = 0, (l-2sinz)+cosz(l-2sinz)=0,
(l -2 sinzXl + cosz)= 0.
Отсюда
l-2sinz = 0, sinz = —, z = (-lf — + 7tk, ke Z; 1+cosz *0 .
2 6
Ответ. z = (-lf — + nk, keZ.
6
8.116. sin(l5° +x)+cos(45" +x)+- = 0.
Решение.
Имеем
sin(|5°+A:)+sin£>0°-45'-x)+~ = 0, sin(|5° +x)+sin(45°-jt)+
1 . . . 15'+a: + 45°-a: 15"+x-45°+.x 1 .
+ - = 0<=>2sm cos + - = 0,
2 2 2 2
2sin30'cos(x:-15')+- = 0> cos(x-15°)=—.
471


Отсюда
х-15о=±120°+360°Ь Xi=-105e+360°fc; х2 =135° +360°&, keZ ■
Ответ: хх = -105° +360°&;х2 =135° + 360°&, &е Z.
8.117. 1 + sin 2x = sin х + cos х.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin x+2sinxcosx+cos2 x-(sinx+cosx)=0, (sinx + cosx)^ -
- (sin x + cos x) = 0, (sin x+cos xXsin x + cos x -1) = 0.
Отсюда или sinx + cosx = 0, или sinx+cos^r-l = 0- Из первого
уравнения tgx = -l, х, =— + кк = — (4&-l), ке Z . Второе уравнение
4 4
запишем в виде
» . X X 2 X ■ 2 -^ f 2 л ■ 1 л I r\ t • л л
2 sin — cos— +cos —sm — cos —+ sm — =0, 2sm — cos —
22 2 2|^2 2 J 22
-2sin2 —=0, 2sin— cos sin— =0.
2 2 ^ 2 2 J
Отсюда
sin — = 0, — = im. x7 = 2кп, пе Z ,
2 2 2
или
cos--sin- = 0<=>tg-*l,- = - + ji/,X3=- + 2jc/ = -(4/ + l\/€Z
2 2 62 * 2 4 3 2 2V Л
Ответ: xl = — (4к-Цх2 = 2яи;х3 = —(4/+l) k,n,l€ Z.
4 2
8.118. 3(l-siiH) + sin4f*l + cos4f.
.Решение.
Из условия
3-3snu+sin4f-l-(cos2fjF =0, sin4f-3sinf+ 2-(l-sin2fjF =0<=>
<=>2sin2f-3snu + l = 0.
Решив последнее уравнение как квадратное относительно sin *,получим
(sinfjj =1, *2=- + 2тш^ — (4я + 1), neZ.
Ответ: '\ = {-^Т^ + ^сИ2=^(Лп + 1\ k,ntZ.
о 2
472


8.119. td-^ + x -3tg2x = (cos2x-l)cos~2x.
Решение.
(cos x * 0,
ОДЗ: i .
[sin x * 0.
Имеем
,. 2 COS2x-l 1 2 1-C0s2x
-ctgx-3tg x- <=> + 3tg x = - <=>
cos x x$x I(l + cos2x)
<=> + 3tg2x-2tg2x = 0, + tg2x = 0=>tg3x + l = 0,
tgx tgx
tgx = -l, х = -- + кк = -{4к-1\ keZ.
4 4
Ответ: х = — (4Л-Ц keZ.
4
8.120. cos2 — + cos2— -sin22x-sin24x = 0.
2 2
Решение.
По формулам понижения степени
-(l + cosx)+-(l + cos3x)--(l-cos4x)—(l-cos8x)=0,
(cosx + cos3x)+(cos4x+cos8x)=0<=>2cos2xcosx+2cos6xcos2x
2cos2x(cosx + cos6x)=0.
Отсюда:
l)cos2x = 0, 2x=- + xk, x,=- + — = -tik+\\ keZ;
2 ' 4 2 4
x + 6x x-6x n Ix 5x n
2) cosx-t-cos6x = 0<=>2cos cos = 0, cos—cos— = 0
' 2 2 2 2
, 7x „ 7x я л 2 i/, ,i ._,
а) cos— = 0, — = — + Ш1, x7 ~ —+ -~яя = —(2w + lL weZ;
2 2 2 2 7 7 7^ *
б) cos— =0, — =- + */, x,=- + -nl=~l}l + l), leZ.
2 2 2 ' 5 5 5
Ответ: x, =-(2£+l)x2 =i(2/i+l)x3 =i(2/+l)i k,n,leZ.
4 7 5


sin x - 2 2 х
8.121. =tg
• 2 л 2 ■* 2
Sin Х- 4 COS —
2
бешеные.
cos2-* О,
J 2
ОДЗ: 1
sin 4cos — *0.
I 2 2
Перепишем заданное уравнение в виде
sin2x-2 _l-cosx l-cos2x-2 1-cosx
sin2 x-2(l + cosx) 1 + cosx' l-cos2x-2-2cosx 1 + cosx
cos2 x + 1 1-cosx „ cos2 x + 1 1-cosx „
- = 0. = 0=»
= 0,
cos2x + 2cosx+l 1+cosx (l+cosx)2 1 + cosx
=>cos2 x+l-(l-cosx)(l+cosx)=:0<=>2cos2 x = 0, cosx = 0,
x = - + iot = -(2fc + l)l keZ.
2 2
Ответ: x = -(?k + l\ keZ.
8.122. cos2 x + cos22x-cos2 3x-cos24x = 0.
Решение.
По формулам понижения степени
-(l+cos2x)+-(l+cos4x)—(l+cos6x)—(l + cos8x)=0,
(cos2x+cos4x)-(cos6x+cos8x)=0 <=>2cos3xcosx-2cos7xcosx = 0,
2cosx(cos3x-cos7x)=0.
Отсюда или cos x = 0, или cos 3x - cos Ix - 0. Из первого уравнения
имеем xl - —h кк , ke Z. Второе уравнение эквивалентно
следующему: sin 5xsin2x = 0, откуда или sin 5х = 0, 5х = яи, хг =—, /ieZ,
нлн sin 2х = 0, 2х = Ш, хъ= —, / е Z; х, входит в х3.
„ л« я/ , „
Ответ: х. = —; х, = —, и, / е Z.
5 2
474


8.123. sin3x-4sinxcos2;c =0.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
sin Зх - 2(sin(x - 2х)+ sin(x + 2*)) = 0, sin Зх + 2 sin x - 2 sin Зх = 0,
sin Зх - 2 sin x = 0.
Так как sin3a = 3sina-4sin3a , то 3sinx-4sin3x-2sinx = 0,
4sin3x-sinx = 0, sinx(4sjn2 jc —lj= 0.
Отсюда:
1) sin x - 0, Xj = 7iw, w e Z ,
2)4sin2x-l = a sinx = ±i, x2 *±- + nk = -(6k±l), keZ.
2 6 6
Ответ: *\ = ли; x2 = т (б& + Ц n,ke Z.
6
8.124. tgx + ctgx = 2cos~14x.
бешеные.
{cos x * 0,
sin x * 0,
cos4x *0.
Из условия
sinx cosx 2 _„ sin x+cos x_ 2 _
cosx sinx cos4x * sinxcosx cos4x
<=> — = 0=>2sin22x + sin2;c-l = 0.
sin2x 1-2 sin2 2x
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x,
найдем (sin2x)i = -1, 2х5 =—+2кк , *i =— + лА: , ке Z ; (sin2x)2 =- ,
2х2 =(-1/—+ я/, х2 = (-1/— +—, /eZ„ Объединив решения х1 и
л кк к tA, ,\ , „
х-, ,получим х = — +— = —(4Л+1), keZ .
2 12 3 12
Ответ: x = — {4k + l), kt Z.


8.125. sin —+ 3x -sin(n-5x)= V3~(cos5x-sin3x)
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
— + 3х-к + 5х ~ + Зх + ж-5х / / %л
2SU1-2- cos-2- л/з! cos5x-cod —Зх <=>
2 2 { \2 JJ
/ \ f -. \ 5х + — Зх — 3.x - 5х
<=>2sin 4х— bos х -2v3sin - sin — = 0,
I 4Г14 J 2 2'
2sin 4x-— Icos — -x +2V3sin\x + - kin\4x-- =0,
2smf4x-|Tcosf^-xWsinfx + |ll=0.
Отсюда:
l)sin4x— =0, 4x — = кк, 4х = — + кк, х,=~ + — = — {4k+l\
14 1 4 4 16 4 16
keZ;
(Ъ% \ nr . f k\ n Зтг . Зтг .
2) cos x + л/3 sin x + — = 0<=>cos—cosx + sin—smx +
I4 J I 4J 4 4
/T ■ К ГТ Ж ТГ . . ТГ
+ V3sinxcos— + V3cosxsin — = 0, - cos x cos — + sinxsm — +
+ cosxcos—+ sinxsin—= 0<=>-cos x + — +cos x— = 0<=>
6 6 ( 3j { 6j
Я Ж К К
X +Х+— Х+ Х + — г \
<=>2sin S ?-sin Ъ- §- = 0,sin x + — sin- = 0,
2 2 [ 12 J 4
sin\x + — = 0, x2 = -—+ гот = —(12и-1\ neZ.
[ 12 J 2 12 12 *
Ответ: x, =—(4fc + l)x2 = —(12и-1) k,neZ.
10 12


8.126.
1
1
16
l + cos2z l + sin2z И
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
1
1
-11 = 0,-
-11 = 0 =
l+I(l+cos2z) l + !(l-cos2z) П 3+cos2z 3-cos2z "
=>cos22z =—,cos2z = ±—,2z = ±— -frcA:,
4 2 6
z = ±4+^-4fc*±ll*«=Z.
12 2 12
Ответ: z = — (бк +1), teZ.
tg-tgx + l
, X 2 X .X
2tg-cos — tg—+ ctgx
Решение.
ОДЗ:
cos — * 0,
2
sin x * 0,
tg|+ctgjc*0.
Из условия получаем
sin — sin x
2
COS — COS X
2
- . X i X . X
2 sin —cos — sin —
2 2 2 , oosx
= 2л/з <
COS*
sinx
sin — sin x + cos — cos x
2 2
X
cos — cos x
2
cos — sin x
2
. X . X
sin — sin x + cos — cos x
2 2
= 2S<
477


cos .v sin x r- cos2 x - sin x rr
» = 2v3 » = 2v3,
sin* cos x sin x cost
cos V-sm2 .r = ^ ^2r = ^ 2x = 1 + rtj
2sin.xcos* 6
ж nk ж
x = —+ — = —(6* +1), ke Z.
12 2 12
Ответ: x = - -(6* +1), k e Z.
12
(ж \ л/2
8.128- cos4xcos(jr + 2j)-sin2jccos —4л =—sin4x
I2 J 2
Решение.
По формулам приведения
л/2
- cos 4 л cos 2л - sin 2.x sin 4* 2 sin 2л cos 2л = 0> cos 4jt cos 2* +
2
+ sin 4xsin 2x + V2 sin 2x cos 2л = 0 <=> cos 2л + V2 sin 2x cos 2x = 0,
cos2x(I+^sin2x) = 0.
Отсюда:
n -. я я ян я,- .. -,
I)cos2.v=0, 2x=—+ яи, x, = — + -- =— (2w + l),neZ;
2 4 2 4
/r
2)l+V2sin2;t = 0)sin2* = -^)2* = (-l)*+1-+7ut,
2 4
Owwem: x, = -(2n +I);jr2 =(-I)A+1| + ^, н,*е Z.
8-129. sin л - sin 3*-sin 5* +sin Ix = 0.
Имеем
(sm л +sm7x)-(sin3x+sm5jc) = 0<^2sm -cos-
. . Зл+5л Зх~5х . i -> • A л
-2 sin cos = 0,2 sin 4л cos 3x -2 sin 4л cos x = 0,
2 2
2 sin 4*(cos 3* - cos x) = 0.
478


Отсюда:
кк
1) sin4x = 0, Ах —ilk, X\ = —, к€ Z;
3 х + х х — Зх
2) cos3x-cosx = 0 <^2sin — sin —— =0, -sin2xsinx = 0,
2 2'
откуда
а) sm2x = 0, 2x = nn, x7 -- —, ne Z
' 2 '
б) sin x = 0, x3 = л/, / e 2 ; x2 и x3 входят в х{.
~ Ttk , ^
Ответ: x = —, k e Z.
4
8.130. sin3x~sin7x = V3sin2x.
.Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
Зх-7х Зх+7х
cos
2 2
-sin 2x(2 cos 5х + л/з)= 0.
Отсюда:
кк
1) sin2x = 0, 2х=кк, х,=—, keZ:
j i 2
2) 2cos5x + V3 =0, cos5x = -—, 5х = ±-я + 2яя, x7=±— + ~nn>
2 6 6 5
we Z
7I& Л 2 _
0/шет; ^i =^r;x2 =±t + T7IW' *'пе7-
2 о j
8.131. V3-tgx = tg[^--x
(cos x * 0,
cosf--xl*0.
Из условия
• ( ^
. . sin x +— x
V3=tg*+tgj^-xU*V3 ^—^—
V ' COS X COS X
3


V3= -f r=*2cosx:cOL
2cosxcos| —x ^
= 1,
ooilx-— +cos— = \ coilx— =-, 2x— = ±—+2itA:;
\ 3) 3 \ 3j 2 3 3
2xx=2-nk, x^-idc, keZ; 2хг =—+2л/, x2 =—+it/ =—(3/+l) /eZ.
Ответ: *i = nk; x2 = - (3/ +1) £, / e Z.
8.132. sin2xcos^x-4tg2x + 3cos"2x-l2=0.
Решение.
ОДЗ: cos x * 0.
Имеем
sin2x 4sin2x 3 ,. . l-cos2x 4-4cos2x
~. — + ; 12=0, +
COS X COS X COS X COS X
3
-12 = 0=>8cos4x + 2cos2x-l = 0.
COS^ X
Решив это уравнение как биквадратное относительно cosx ,
получим cosx = ±—, х~± — + пк~— (ЗЛ+l), ке Z.
2 3 3
Ответ: x = -(ik±l\ keZ.
8.133. sin23A: + sin24x = sm2 5x + sin26x.
Решение.
По формулам понижения степени
— (l-cos6x)+—(l-cos8x)= — (l-cosl0x)+ — (l-cosl2x)l
(cos6x + cos8x)-(cosl0x + cosl2x) = 0 <=>2cos cos
j \ 2 2
, 10x + 12x 10x-l2x . . . , „
-2 cos cos = 0<=>2cos7xcosx-2coslbccosx = 0,
2 2
2cosx(cos7x:-cosllx) = 0.


Отсюда:
l)cosx = 0, x, = — + пк = — (2£ + 1) keZ;
~. „ ., л . . 1х + \\х . \\x~lx п
2) cos 7л:—cosllx = 0 <=>2sin sin =0,
2 2
sin9xsin2x = 0.
Отсюда:
пи
a)su>9x = 0, 9х = кп, х2 =—, «eZ;
6)sin2x = 0, 2х = я/, x3=—-, /e Z; xl входит в x3.
Ответ: x\ - ~r, хг - ~^~< ''we z-
8.134. (sin2(-sin42(J + lpos~i2t-cos2tf =1.
Решение.
|sin2/*0,
ОДЗ: i
M \cos2<*0.
Имеем
? 1 1 •> '
sinz2(-2 + —г— + 2+cos22( = l,
sin 2t cos It sin 2f cos'2*
<=>cos22( + sin22( = 4sin22<cos22(, sin24( = l, sin4( = ±l,
откуда 4( = —+ rot, i = -r + — = — (2A + l)l keZ.
2 8 4 8
Ответ: l=~(2k+l\ ke Z.
8
8.135. sin4 x+cos4 x = cos2 2x +0,25.
Решение.
Из условия
(■ 2 ¥ I 2 ¥ 2-, „-,<; (l-COS2xf (l + COS2x^
(sin'xj+^os xf =cos^2a:+0,25<=> + ——
= cos2 2x+ 0,25 <=>2cos22x-l = 0<=>cos4x = 0, 4x = - + nk,
2
ж +пк=1(?к I keZ
8 4 8
Ответ: x = -(2fc+l)l keZ.
о
16 M. И, Сканани, ipynna A 481


8.136. sin2z — 4cos2z =4.
Решение.
Перепишем заданное уравнение в виде
2sinzcosz~4(cos2 z-sin2 zj-4(cos2 z + sin2zj=0,
2sin2COS2-8cos2 z = 0, 2cosz(sinz-4cosz) = 0.
Отсюда:
1) cosz = 0, zx =- + rot = -(2fc+l)l keZ;
2) sinz-4cos2-0**tgz = 4, z2 = arctg4 + JTrt, ne Z.
Ответ: zl ~ — (2& +1) z2 = arctg 4 + ял, k,nt Z.
8.137. 3+2sin2x = tgx + ctgx.
Решение.
fcos* *0,
O«3-isinx^0.
Имеем
I cos* sinx
2sin22x + 3sin2x~2 = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin2x, найдем
1 -» /i^t71 ; f \ь к кк
= -2,& , или smz.T =
keZ.
sin2x =-2,0, или sin2.T = I 2x = (-lf^+nk t x = {-lf^-+l
2 6 12 2
Ответ: x = (-if тт+-г-» ^€Z.
8.138. sin2 - + * |=sin* + sin:
t5-)
Решение.
По формулам понижения степени
- l-coJ- + 2* =sin( + - l-coJ — ~2t 11 2sin/+cos -+2f -
4 I4 )) 4 I4 J] I4 J
-cos[i-2( = 0<=>2sin< + 2sin- - sin- - = 0<=>
I4 J 2 2
482


о 2sin / — 2sin —sm2/ =0. 2sin?-2v2 sin*cos* = 0,
4
2sin/(l-V2cos/) = 0.
О t сюда:
)) stn/ -0. /, -nn, n e Z;
/г
2) 1 - VI cos t = 0, cos ( = —, fr - + - + 2rat = - (8k ± 1), к е Z.
2 " 4 4
Ответ: I, = ли; /-> = ■(8A ±1), «Де Z.
- 4
Э A" . i A' X _ . X 2 * - -t X
8.139. stn -sin" cos -3sin -cos - + 3cos - = 0.
3 3 3 3 3 3
Решение.
Перепишем уравнение в виде
■ 2 -v ( X х\ t 2 * ( ■ х х\ п
stn stn -cos -3cos - stn - -cos - - 0.
3^3 3j 3[ 3 3 )
stn -cos sin ---3cos"': 1-0.
.V A 9 J 2 -v
Отсюда: sin -cos- - 0, sin — -3cos =0.
3 3 3 3
1) tg T = 1, -- = " + я*, л-, = - я +ЗяА = - (4* +1), * e Z;
3 3 4 4 4
2) t«2 ' =3. ш'- = ±л/з. - = ±—+я*. x, = ±я+3ял =я(3л±1).
- з з зз
»€ Z.
Ответ: x, = — (4£+l);x2 = 7t(3«± 1), *, л е Z.
8.140. tg(;r-15°)ctgU+15°) = -.
Яел/слле.
Имеем
sin(.y-15°)cos(jr + 15°)_ I _. sin(x-15°-x-15°)+sin(x-15°+A+15°)
cos(A'-15")sin(x + l5°) 3 sm(x + 15°-x + 15°)+sin(x+15°+x-15°)
483


1 • 1
1 -sm30 + sm2jc 1 2 1 n • -, ,
— = 0, = 0, —-= = 0=»sm2x = l,
3 sin30'+sin2A: 3 i + sin2x 3
2
2x = 90° +360°*, x = 45°+180°A: = 45°(4A:+l) keZ.
Ответ: x = 45°{4k + \\ keZ.
8.141. cos(jc + l)sin2(j[: + l) = cos3(A: + l)sin4(A: + l)
Решение.
Перепишем уравнение в виде
—(sin(2x+2-x-l)+sin(2x+2+A:+l))-
(sin(4A: + 4-3x-3)+sin(4A: + 4+3A: + 3))=0, sin(x: + l)+sin(x + 3)-
-sin(jc + l)-sin(7A: + 7) = 0, sin(3x + 3)-sin(7A: + 7)=0 <=>
. Зх + 3 + 7д:+7 . 3.v + 3-7x-7 , . . / ,
<=>2cos sin = 0,cos(5jc + 5)sin(2x+2)=0.
Отсюда:
1)cos(5a: + 5)=0, 5x + 5 = £ + iflfc, x, = -l + — + — = -^k+l)-l,
2 10 5 10
keZ;
2) sin(2x + 2) = 0, 2л:+2=ян, x2=-l +—, weZ.
Ответ: *i = "1 + —(2£+l) jc2 =-1 + y, k,neZ.
8.142. cos(4x + 2)+3sin(2x + l) = 2.
Решение.
Из условия
cos2(2x +1)+ 3sin(2x: +1)-2 = 0 <=> l-2sin2 (2a: +1)+ 3sin(2;t +1)-2 = 0,
2sin2(2x + l)-3sin(2A: + l)+l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно sin(2x +1), найдем
(sin(2* + l)), Л, 24+l = (-iy| + rt, ,,=(_iyi_i + ^, fcGZ:
(sin(2x + l))2 =1, 2x2+1 = - + 2jw, x, =--t- + "" = -(*« + 1)-- /ieZ.
Ответ: д:|=(-1Г + —;x?= —(4w+l)—, k.neZ.
1 ' 12 2 2 2 4 '2
484


8.143. cos4;t+2cos2x=l.
Решение.
Имеем
cos2(2x)+2cos2 x -1 = 0, <=> 2 cos2 2x-l + cos2x = 0,
2cos2 2x + cos2;c-l = 0.
Решив это уравнение как квадратное относительно cos2;t,
найдем {cos2x\ =-1, 2х1 = п + 2кк , Хх= — + пк, keZ'> (coslx^ = —,
2х2=±—+ 2яи, л2=±—+ тш, we Z. Объединив х{ и *2 > получим
3 6
О 3 О
Ответ: х = — (2&+1} &е Z.
6
8.144. sin4 *+cos4 х = —.
8
Решение.
Представим уравнение в виде
(sin2 x+cos2 xf -2sin2 xcos2 x— = 0, 8-4(4sin2 jccos2 xj-5 = 0,
3-4sin2 2x=0, sin2 2*= — sin2;t=±—, 2х = ± — + кк.
4' 2 3
-_±^+^=Цзк±\\ keZ.
6 2 6
Ответ: x = -(Зк±l), keZ.
6
8.145. cosx-cos2x = sin3x.
Решение.
Перепишем уравнение в виде
. . х + 2х . 2х-х . Зх . х . -(ЗхЛ
2sm sin sm3* = 0, 2sm — sm sin2— =0,
2 2 2 2 I2 J
. . 3x . x . 3x 3x Л . . 3x ( . x Зх \
2sin — sin 2sra—cos—=0, 2sm— sin cos— =0.
22 2 2' 2^2 2 )
485


Отсюда:
. Зх _ Зх . 2 , , _
У) sin — = 0, — = кк, х,^—пк, keZ-
'22 ' 3
л_л Зх х л Зх
■ х Зх „ „ . 2 2 2 222
2) sin--cos — = 0<=>2sin-— — cos^—^—— = 0,
'22 2 2
sin x cos
4/ [4 2
Отсюда:
a) sin be— =0, x— = nl, х-, = —+л/ = — (4/+l)l /eZ;
4 4 24 4 *
(*
I4
ne Z.
... (ft x\ . X К К 1 71 / ч
б) COS =0, + — = — + ЯИ, Х-, = 7I + 27IW = —(4И-Ц
' 14 2l ' 2 4 2 ' 3 2 2V h
Ответ: хх =-кк;х2 = — (4/ + l);x3 =z-(4n-l)t k,i,ne Z.
3 4 2
8.146. tgx + tg50o+tg70° -tgxtg50°tg70°.
Решение.
ОДЗ: cosx*0.
Из условия
sinx sin 50" sin 70° sin x sin 50° sin 70° __
cos x cos 50° cos 70" cos x cos 50" cos 70"
=s> ^in xcos 50" cos 70" - sin x sin 50° sin 70°)+
+ (sin 50° cos x cos 70" +sin70°cosxcos50°J=0,
sinx|cos50"cos70" -sin50°sin70° j+
+ cos x^in 50" cos 70° + cos 50" sin 70" j= 0 <=>
<=>sinxcos(50o-r-70o)+cosxsin(50o +70" j=0, sinxcosl20° +
+ cosxsin 120° =0, sin(x+l20°)=0, -sin(x-60°)=0.
Отсюда x-60° = 180°w, x = 60° + I80°w, neZ.
Ответ: x = 60° +180°n, ne Z.


8.147. cosx-sinx = 4cosxsin2 x.
Решение.
По формулам понижения степени
cosx-sinx = 2cosx(l-cos2x)<^2cosxcos2x-(cosx + sinx)=0,
2cosx(cosx + sinxXcosx-sinx)-(cosx + sinx)=0,
(cos x + sin хД2 cos x(cos x - sin x)-1) = 0, (cos x + sin x)x
x(2cos x-2sinxcosx-l)=0<=> (cosx + sinxXcos2x-sin2x}=0.
Тогда:
1) cosx + sinx = 0<=> tgx =-L, x, = — + кк = ~{4k-l\ ke Z;
4 4
2) cos2x-sin2x=0<=> tg2x = l, x2 = —+— = — (4« + l} «e Z .
Ответ: xl=—(4k~l}x2~—{4n + l)l k,ntZ.
8.148. tg2xsin2x~3V3ctg2xcos2x = 0.
Решение.
[cos2x*0,
ОДНт2**0.
Имеем
sin2xsin2x 3V3cos2xcos2x . 3 г- 3
= 0=>sin 2x-3v3cos 2x = 0,
cos2x sin2x
tg32x=3V3, tg2x = V3, 2x = - + *n,x = -+^=4(3w + l)w€Z.
3 6 2 6
Ответ: x = — (Зи +1) n e Z.
6
8.149. cosx-cos3x = sin2x.
Решение.
Из условия
x Ч" Зх Зх — х
2 sin sin sin2x = 0. 2sin2xsinx-sin2x = 0,
2 2
sin 2x(2 sin x -1)= 0.


Отсюда:
як
П sin2x =0, 2х = пк, х, =—, ке Z ■
' ' 2
2) 2sinx-l = 0, sinx = —, x2 =(-1)" — + 7Ш, weZ.
2 6
кк ( ,,„ л , _
Ответ: *i ~^->х2 = l_1) Т + 7Ш> к,пе Z.
1 о
8.150. V2~(l + cosx) = ctg|-.
ОДЗ: sin —^0.
a 1+cosa
По формуле ctg — = —: получаем
2 sin a
V2(l + cosx)-i±^ii = 0, (l+cosx(^—i-] = 0.
sin x I sin x I
Отсюда:
1) l+cosx = 0, cosx = -l, х{ = л + 2тш =7t(2w + l} weZ;
2) Ji L=o, sinx = —, x7^{-lf- + Kk, keZ
' sin* 2 2 4
Ответ; *| = n(2w +1) x2 =(~ч~~ + ^ n,k€ Z.
4
. Зх-7я 7t-3x _i 3
8.151. sin cos = cos — x.
2 2 2
Решение.
Зх
ОДЗ: cos—^0.
Перепишем уравнение в виде
. (п Зх) (к Зх~] 1 . Зх . Зх
sin — + — +соа — =0<^cos hsin-
2 2 J 12 2 Зх 2 2 Зх
/V J cos— cos—
cos-
2
cos2 v sin —cos 1 = 0 <^> cos 3x + sin 3x -1 = 0,
2 2 2
488


sin3x-(l-cos3x)=0 «2 sin—cos 2 sin2 — =0,
. 2 2 2
Зх( Зх . ЪхЛ
2sm— cos sin— =0.
H 2 2)
Отсюда:
,. . Зх _ 3.x , Ink , „
1) sm — = 0, —-nk, x, = , keZ:
'22 ' 3
.. 3x 3x _ . Зх Зх Зх , Зх л
2) cos sm — = 0, sm— = cos—, tg— = 1, — = — + nn,
2 2 2 2 5 2 2 4
71 2тШ 7t / ,\ „
x, = —+ = — (4w+ll we Z.
2 6 3 6 Л
Ответ: хх =-—;x2 =—(4w + l} &,weZ.
5 о
8.152. sin23x = 3cos23x.
Решение.
Разделив это уравнение на cos2 Зх Ф 0 , получим
1ё2Зх = 3,1ёЗх = ±7з,Зх = ±^ + 71Л,^ = ±|+у = |(ЗЛ±1),Лег.
Ответ/ х = |(3&±1} &eZ.
8.153. sin3x+sinx = 4sin3x.
Решение.
По формуле sin3a = 3sina~4sin3a получаем
3sinx-4sin3 х + sin х- 4 sin3 x = 0, 8 sin3 x-4sinx = 0,
4sinx(2sin2 x-l)=0.
Отсюда:
l)sinx = 0, xx = кк, keZ;
2)2sin2x-l = 0, sinx = ±—, jt2=-+— =-(2и+1\ neZ.
' ' 2 ' 2 4 2 4V Л
Ответ: х, - jcA:; x2 = — (2«+l)i k,neZ.
4
489


8.154. sin6x + sin2x = —tg2x.
Решение.
ОДЗ:со82**0.
По формуле sma + sinp = 2 sin—— cos—~~ получаем
л . 6х + 2х 6.x-2х sin2x _ . . „ sin2x
2sin—-—cos -— = 0, 2sm4xcos2x = 0,
2 2 2 cos2 x 2 cos 2x
4sin2xcos2;ccos2x — -0=>8sin2xcos32x-sin2x = 0,
2cos2x
sin2x^cos32x-l)=0.
Отсюда-.
1) sin2x = 0, 2* = яи, x,= —, neZ;
2)8cos32x-l = 0,cos2x = i,2;t=±- + 2jEA:,x, =±-+яА:=-(б&±11
2 3 2 6 6V Л
&€Z
Ответ: *i =^r',x2 ~-~{6k±\\ n,keZ.
2 6
2 cos(7i + x)- 5 cos ~ л - л
COS-7I+X -COs(fl-xJ
Решение.
ОДЗ: sinx + cosx^O.
По формулам приведения
-2cosx + 5sinx 3 n „ .
= 0=* 7smx~7cosx = 0 <=> tgx=l,
sjnx+cosx 2
x = -+7i£=-(4£ + l)t /ceZ.
4 4
Ответ; x = — (4& + ll ke Z.
4


8.156. (sin2A + V3cns2.r)2 =2-2cos|-it- v|
Решецие.
Имеем
4 - sin2.\ +^^cos2.\ I =2-2cos|—7i-
2 sin-- sm 2.v + cos —cos2a- =1-cos ic-v |<=>
6 6 3
>2cos2 --2л -1+cos -it-.t |=0<=>
<=> cos -4.v +cos "rc-x =0<=>
I3 J I3
it . 2it it 2%
- 4.V + л - - 4x ■ + л-
«2cos3- -3--cos-3 -3 - =0,
2 2
Oi сюда:
1) sin ' -0,-- =тш,Л|= - тш, (ieZ;
2 2 5
., (in z\ 3x it it , 2 2 2 it
2) cos + - =0, - = -- + - + nk, x1 = it + - 7i/r = - 3t + l),
^ 2 6 J 2 6 2 2 9 3 9
JeZ.
Ответ: л"| - -гсп,Хт = — (3/: + 1), n,ke 2.
8.157. ctgv+tg2.v + l = 4cos2.v + - -"--2cos2.\.
sin x
Решение.
fcps2.v*0,
ОДЗ: .
По формуле sin3a = 3sma-4sin a запишем уравнение в виде
cos* sin2.x , я -> 3sin.v-4sin -v ^
- - + - +1 = 4cos"a + 2cos2.v,
sin -v cos 2x sin x
491


cos2xcosx+sin2xsin^ . . j sin^(3-4s
+ l = 4cos x + S-
smxcos2x sin*
- +1 = 4cos2 x + 3 - 4sin2 x -2cos2x <^-
sinxcos2;t
cos*
„ . _ ._ - =4(cos2x-sin2x)+2-2cos2*<^ = 4cos2*
sin *cos2x sin xcos2x
+2-2cos2* <^ — 2(cos2*+l)=0,
sinJccos2* ' sin*cos2*
~2fecos2*-l+l)=0, . C°SX 4cos2* = 0,
sin*cos2*
-4cosx Uo,
I sin*cos2x
cos*(l-4sinxcos;tcos2x) n /< . . \ n
= 0, cos x[l - sin Ax) ~ 0.
sin*cos2*
Отсюда:
l)cosx = 0, ;t|=- + 7ifc = -(2&+l) hZ;
2) l-sin4* = 0, sin4*=l, 4* = —+27Ш, x7 = — + —= —(4« + l\
2 2 8 2 8 Л
«e Z.
Ответ: хх =—$.к + Цх2 =— (4и+Ц fc,neZ.
8.158. tgxtg20°+tg20° tg40° + tg40° tg*«l.
Решение.
ОДЗ: Cos**0.
По условию
sin*sin20° sin20" sin40° sin40" sin* , _
_ + _ _.+ . 1-0,
cos x cos 20° cos 20" cos 40° cos 40° cos*
(sin x sin 20" cos 40" + sin x cos 20° sin 40°)+
+ (cos* sin 20" sin 40" -cos *cos20° cos 40" )= 0,
sin *(sin 20° cos 40" + cos 20" sin 40" j-
- cos *(cos 20° cos 40° - sin 20" sin 40° J = 0 <=>
<^sin*siri(20o+40°)-cos;ccos(20o +40°)= 0, sin*sin60°-
492


-cosa:cos60° =0, -cost* + 60"J=0, д: + 60° =90*+180*/t,
х = 30° +180°к, keZ.
Ответ: х - 30* +180° к, keZ.
8.159. 2cosJ 1 = sin 3jt.
2
Решение.
Имеем
cosjc-cos —Зх =0»sin —х kin —2х |=0,
sin х- — kin 2;t— =0.
I 4J I 4J
Отсюда:
1) sinмс—1=0, x—-iik, x, ~~ + лА:= — (4&+l\ keZ:
{ 4) 4 '4 4 *
. Л, л"\ . . л я яя я/л ,\ _
т\ sin 2*—Ь=0, 2х — -ля, *, =~ + — = — (4и + Ц neZ
Z' [ 4 J 4 2828V h
Ответ: xt =-(4& + 1}х2 =-(4w + l)t k,neZ.
8.160. sin22x + sin2 * = —-.
16
По формулам понижения степени
1 -cos2 2х + - (l -cos2*) = 0, 16cos2 2x + 8cos2x -15 = 0.
2V ' 16
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2;t , находим
5 3 3
cos2;t = —,0,или cos2x = — t 2;t = +arccos —+2 л&,
4 4 4
х = ±—arccos — + кк, ке Z ■
2 4
1 3 , , „
Ответ: х = ±—arccos— +кк, keZ.
2 4
493


8.161.3 cos x = sin A' + sin2x-
Решеные.
Из условия sin2 x+2sinrcos r-3cos2 x = 0. Разделив это урав-
квадратное относительно tg*,находим (tg.x)t =-3,.xt =-arctg3 + nA-,
ke Z; (tg.x)2 = 1, ^2 ~ ~ +Kn -—(4n + l), л е Z.
Ответ: xl ~ -arctg3 + 7tA, x2 ~ - (4n + \), k.n e Z.
4
8.162. 2(l-cos2*)=,/3tgx
Решение.
ОДЗ;со5л:*0.
Из условия
2(i-co.2j[)-^l=^i>=0,(l-co.2J)-(2-^-Vo-
sin 2* I sin 2x j
Отсюда:
1) 1 -cos2.x = 0, cos 2*- 1,2x~2nk, x\ = nk, ke Z;
2)2 — *0, sin2.r = —,2x = (-1)"- +1ся. л-, = (-!>"-+ —
sin2x 2 3^62
«eZ.
Ответ, х, =л/:, д-, =(-l) - +—,L/ieZ.
1 2 6 2
8.163. «cos2 "--(« + 2b)sin2 - -acosjt-bsinjr; />*0.
2 2
По формулам понижения степени
a,t ч и + 2{} ,. , . *,
-(I+cos.y)-- —- ■(l-cosj)-acos.i;+/jsm.v = 0,fl + acosA--fl-2/j +
+(а + 2/j)cos x - 2(7 cos x + 2b sin .v = 0 <=> 2/> cos x + 2bsin x ~ 2b - 0,
/>(cosx + sinjt-l)s=0.
Так как b Ф 0, то получаем уравнение cos х + sin я -1 = 0;
494


cos2 — + sin2 — - cos2 —+ sin2i = 0<=>sin — cosi-sin2 — = 0,
{2} 1^2 J ^ 2 2) 2 2 2
. x( x . хЛ _
sin— cos sin— =0.
2{ 2 2j
Отсюда:
1) sin —= 0, — ~nn, x, ~2izn, n<z Z ■
'22
2)cos--sin- = 0«tgj=l, - = _+я*, jCj=Y+2Jtfc=-(4fc + l]l
Ответ: *i = 2ян;*2 ~—fafc + l} пДе Z.
8.164. sin5x = cos4x.
Решение.
По формулам приведения
/ \ 5х + 4х 5х + 4х
sin 5x- sin —4х = 0<=>2sin cos = 0
2 2 2
f-!Ht+^°-
sin
Отсюда:
. f9x л ^ 9л: it л 2 я i, ,% _,
1) sin =0, = ли, х, =— + -лл= — (4я + Ц »eZ;
^ 2 4) 2 4 ' 18 9 18 *
2)cos-+- =0, - + - = ~ + nk, x,=—+2nk = -Uk + n keZ.
^2 4j 2 4 2 2 2 2V *
Ответ: x, = — (4и +1) x2 = —(4* +1) n,ke Z.
8.165. 2tgx-2ctgx = 3.
Решение.
cosx*0,


^.f sin л- cos* i „ sin" a'—cos x 3 cos2a"
2 ; =3, ; =T<=>-
coSa: sin* J sinxcosx 2 sin2x 4'
3 „ 3 1 3 тш
ctg2-A" = —, 2jt = -arcctg —+ яп, л =— arcctg—+—, neZ.
4 4 2 4 2
1 3 ли
Ответ: х =--arcctg--f — , we Z.
8.166. 25sin2x+100cosx = 89.
Решение.
Из условия
25(l-cos2x)+100cosx-89 = 0, 25cos2 x-100cosx + 64 = 0 .
Решив уравнение как квадратное относительно cosx , получим
16 Л 4 л ,
cosa =—,0,или cosx= — , x=±arccos— + 2кк, ке Z.
4
Ответ: х - + arccos ~- +2л&, А- е Z.
8.167. cos2-A4-sin2 л-+ sin л-= 0,25.
Решение.
Перепишем уравнение в виде 1-2sin2 x + sin2 Х +sin л--0,25 = 0 ,
4 sin2 jt-4suix-3 = 0, Решив его как квадратное относительно sin л-,
получим sinx =—, 0 ; sinx = —, х = (—1у+ — + пк , к е Z .
2 2 6
Ответ: х = (-l)*+1 ~+пк, к е Z.
о
1
8.168. : J—= l+cos4x
l-tg'2*
Реше/ше.
fcos2jc*0,
°да ttg2jc.ii.
т a 1-cosa
По формуле tg" — имеем
^ * J 2 1+cosa
496


0 + C0S4.X i + Cos4.v
1 + C0S4.Y 2cos4x
Так как 1 +cos4;t Ф 0, то
s=l, cos4x = -. 4дг = ±— +2nk,
2cos4x 2 3
Ответ: x = — (б& + l)t Л е Z.
8.169. sin л -) sin 3x = 4cos3 ;t.
Решение.
Из условия
2sin —cos- 4cos3.v-0, 2shi2a'cos.v-4cos х~0<=>
2 2
<=>2cosx(2sin;tcos.x-2cos2 jcJ— 0, 4cos2 jt(sin;v~cosx)=0.
Отсюда:
l)cosx=0, jc, s — + jcA:^-(2& + l)l hZ;
2) sinjc-cosx =0<=>tgx=l, jc2 = — + 7i«=-(4«+L)t neZ,
4 4
Ответ: *i = - (2* +1) x2 = — (*« + U k,neZ.
2 4
8.170. cos2x + 3sinx =2.
Решение.
Имеем L-2sin2x + 3sin;t~2 = 0, 2 sin2 x-3sin.\+L =0 . Решив это
уравнение как квадратное относительно sin* , получим (sin.x)l=—,
*1 = И/ т + я*> Ле Z; (sinx)j =L, x2 = - + 2л« = г(4« + 0, neZ.
Ответ: xl={-\f— + пк; х2 = — (4л +1} к,П€ Z.
6 "2
497


8.171. coslx = L-sin2jt.
Решение.
По формулам двойного аргумента получаем
cos2 х-sin2 ;t=cos2 jr+sin2 jt-2sin.vcosx, 2sin2 .v-2sin .vcosx=0,
2 sin ;t(sin x -cos x)= 0.
Отсюда:
L) sin x = 0, Xj = яи, w e Z ;
2) sin x - cos x ^ 0 <=> tg.v = t, x2 = — + jcA: = — (4& +1} & e Z .
4 4
Ответ: xl = ли; „x2 = — (4& +1} «, к е Z.
4
8.172. tg(70°+x)+tg^0°-x)=2.
Решение.
ОДЗ:
cospO^ + jcj^O,
cos^0°-a:)*0.
„ , „ sin(a + B)
По формуле tga+ tgp = ^ представим уравнение в виде
cosacosp*
т(70°+х+20'-л:)
sin
sin 90*
cos|70°+x)cos^0*-x) ' coslyO' + .-tJcos^O'-A:)
=» 2cos(70° + x)cos(>0° ~x)= 1 <=> cos(70" + л: -20° + x)+
+ cos(70' + x + 20' - x)= 1, cos^x + 50° )= 1, 2x + 50° = 360° к,
x = -25" +180°к, keZ.
Ответ: х = -25' + 180Ч-, keZ.
8.173. sin* + sin — -sin\ x + —
Решение.
Перепишем уравнение в виде
П
sinx + sin— I— sjn2
х+-
= 0<=>2sin — cos -
2 2


1 1 I
x+— x+— x+-
-2 sin ^cos *- = 0, 2 sin 7-
2 2 2
1 1
x + -
cos — - cos
2 2
= 0<=>
11 11
. X X + — X+— X
v+A 2Lj 2L я. К
<=>2sin -2 sin—- 2—sin—? 2—.
2 2 2
1
x + -
sin ^sin —sin — = 0.
2 2 2л
Отсюда:
1) sin ^ = 0, ^ = xk, x,= — + 2nk, keZ;
2 2 л
2) sin — = 0. — = ян, д? ~ 2ян, n e Z .
'22 2
Ответ: *i -— + 2nk;x2 = 2nn, k,neZ.
8.174. tg23.v-2sin23x: = 0.
Решение.
ОДЗ: ам3д*0.
sin2 Зд
Имеем
cos 3x
Отсюда:
2 sin 3x = 0, sin Зд:
кк
cos 3x
--2 =0
1) sin3x = 0, 3x = nk, xx~—, keZ-t
„. 1 ., „ . , v2 . л ля л ли
2) г 2=0, cos3x = +—, Зд = ™ +—, д, =— + — =
cos2 Ъх 2 4 2 12 2
= £(2и + 4 neZ.
Ответ: х^ =—;х2 = — (2n + l\ k,ne Z.


8.175. 6ctg2;c-2cos2A: = 3.
Решение.
ОДЗ: sin.x^O.
Из условия
6cos2A' 2 -, п 6(1 + cos2a:) / , •,
2cos x-3 = 0»—- --(1+cos2jc)-3 = 0=>
sin2* l-cos2x
=> 6(l + cos2x)-(l+cos2x)(t-cos2x)-3(l-cos2A:)=0,
cos22x + 9cos2a: + 2=0.
Решая это уравнение как квадратное относительно cos2x:, имеем
, -9-V73 . _ , -9 + V73
cos2x = <-L0 ,или cos2a: = , откуда
2 2
. ^ -9+V73 , , 1 -9 + V73 , , _
2x = ±arccos + 2л«:, х = ±—arccos + яА:, fceZ.
4 2 2
Ответ: х = ±—arccos + mfc, keZ.
2 2


Решения к главе 9
НЕРАВЕНСТВА
НЕРАВЕНСТВА С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Неравенства/Дх)>/2(х),/|(х)>/2(х),/|(х)</3(х),/|(х)</2(х),
где /i(x) и /2(х) — заданные функции переменной х (одна из них
может быть постоянной), называются неравенствами с одним
неизвестным.
Переменная величина х называется неизвестной. Если fx (x) и /2 (х) —
алгебраические выражения, то неравенство называется алгебраическим.
Решением неравенства с одним неизвестным называется такое
значение неизвестного, при котором данное неравенство обращается в
тождественное (истинное).
Решить неравенство с одним неизвестным — значит найти
множество (совокупность) всех его решений или показать, что оно не имеет
решений.
Областью допустимых значений неизвестного данного неравенства
(ОД 3) или областью определения неравенства называют множество всех
значений неизвестного, при которых существуют обе части неравенства.
Равносильные неравенства н основные теоремы о
равносильности неравенств
Так как рассматриваемые ниже понятия и свойства неравенств
одинаковы для неравенств fi(x)> f2(x), fi(x)>f2(x), f\(x)< f2(x),
fi (-*) ^ fi (x) >т0 будем рассматривать только неравенства вида
/iW>/2W-
Пусть даны два неравенства с одним неизвестным
/lW>/2W, (9.1)
501


g\(x)>g2(x).
Неравенство (9.2) называйся следствием неравенства (9.1), если все
решения неравенства (9.1) есть решения неравенства (9.2) или
неравенство (9.1) не имеет решений.
Два неравенства (с одним неизвестным) называются равносильными
(эквивалентными), если каждое из них является следствием другого.
Если иад обеими частями неравенства с одним неизвестным
произвести тождественные преобразования, не меняющие области определения
неравенства, то получим неравенство того же смысла, равносильное
данному, т.е. если дано неравенство /i (■**)> ./П*) с областью определения D
и в результате тождественных преобразований получилось неравенство
/з(ЛГ)> /а(х) с т°й же областью определения, то они равносильны.
Если к каждой части данного неравенства прибавить одно и то же
число или выражение, имеющее смысл при всех значениях неизвестного из
области определения неравенства, то получим неравенство того же
смысла, равносильное данному, т.е. если дано неравенство f](x)> fii*) с
областью определения D и т(х) — число или выражение,
имеющее смысл при всех значениях х из Д то неравенство fy(x) + m(x)>
> f2(x) + m(x) равносильно данному.
Члены неравенства можно переносить с противоположным знаком из
одной части неравенства в другую.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное
число или выражение, принимающее положительные значения при всех
значениях неизвестного из области допустимых, то полученное
неравенство того же смысла будет равносильно данному.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное
число или выражение, принимающее отрицательные значения при всех
значениях неизвестного из области допустимых, то подучим равносильное
данному неравенство противоположного смысла, т.е. если дано неравенство
/i(-y) > fi{x) и число или выражение т(х) < 0 при всех* из ОДЗ
неравенства, то неравенство /5 (_х) ■ т(х) < fji.x) *'«(х) будет равносильно данному.
f (х)
Неравенство^-5-^-> 0 равносильно неравенству {\(х)/2(х)>0 при
/2(д-)*о.
Неравенство -•■' -<0 равносильно неравенству f\(x)- f2(x)<0 при
fi(x)
/200*0.
502


РЕШЕНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Решение неравенства первой степени с одним неизвестным
Неравенства вида
ЛМ>Л(4 /КФЛМ
/.М<Л(4 /iW^AW
где /j (х) и /2 (х) — линейные функции переменной д- (одна из которых
может быть постоянной), называются неравенствами первой степени с
одним неизвестным.
Всякое линейное неравенство с одним неизвестным всегда можно
привести к каноническому виду \
ах + Ь>0- (9.3)
Решение неравенства ах + Ь>0
Если а > О, то после умножения обеих частей неравенства на — > О
получим равносильное данному неравенство х + — > О, из которого
ь
последует д: > — .
а
Если а<0, то после умножения обеих частей данного неравен-
1 Л Ь .
ства на — < 0 получим равносильное данному неравенство х + — < 0,
а а
Ь
из которого следует х < — .
а
Если а =0, то при b < 0 для любого действительного значения х
неравенство обращается в неверное, т.е. решений не имеет, а при b > 0
данное неравенство верно при всех действительных значениях х , т.е.
все действительные числа являются решениями неравенства.


Решение неравенств второй степени (квадратных) с одним
неизвестным
Неравенство, обе части которого есть многочлены относительно
неизвестного не выше второй степени, причем хотя бы один из них
второй степени, называется неравенством второй степени с одним
неизвестным.
Всякое неравенство второй степени с одним неизвестным
(квадратное неравенство) можно привести к одному из его канонических
видов:
ах2 + bx+c>0, ax2 +bx + c>.0,
1 1 (9 4)
ах + Ьх + с < О, ах + Ьх + с й О,
где х * О .
Решение неравенства ах2 + bx + c>0 (а ■$. 0)
Если а > О, то данное неравенство равносильно неравенству
2 Ь с п
х +—х+—>0
а а
или
х2 +px + q>0, (9.5)
Ь с
где р=— , q=~.
а а
Если а < 0, то данное неравенство равносильно неравенству
2 Ь с _
jr+ —* + ~<0
а а
или
х2 +px+q<0, (9.6)
Ь с
где р-~, q- — .
а а
Другие неравенства вида (9.4) также приводятся к виду,
аналогичному (9.5) или (9.6).
Исследование трехчлена х2 + px + q =0
Рассмотрим трехчлен
х2 +px+q. (9.7)
504


1. Если D~p2 ~4q > 0, то трехчлен ,т2 + px + q можно разложить
на множители с действительными коэффициентами
х2 +px+q^(x-XlXx-x2\
- корни трехчлена
■- \\* ) * W-)
(х{ <х2).
Если х < jcj < х2, то х - хх < 0 и х ~х2 < 0 ; тогда х2 + рх + q > О .
Если х, < х < х2, то х-хх > 0, a jv - х2 < 0 ; тогда *2 + рх + q < 0 .
Если х > х2 > хх, то х - х1 > 0 и л - х2 > 0 ; тогда *2 + /7Х + q > О .
Вывод. Если £> = /7Z - Aq > О, то квадратный трехчлен х2 + px + q
положителен при значениях х , меньших меньшего корня и больших
большего корня, и отрицателен при значениях х , лежащих между
корнями.
2. Если D = р2 - Aq - О \q =— I то трехчлен х2 + px + q прини
4
мает вид
2 2 Р2 ( Р
хг + px + q-x +рх + *-— = \х+ —
Р Р
и при всех х * —- будет положительным, а при х = —- равен нулю.
3. Если D = р2 - Aq < О, то трехчлен x2+px + q можно
представить в виде
Так как х + — >0 при всех х , а 4а-р2 >0, то трехчлен
I 2J
2 + px + q положителен при всех значениях л .
505


Решение целых рациональных неравенств с одним
неизвестным
Целым рациональным алгебраическим неравенством с одним
неизвестным называется такое неравенство, обе части которого есть
многочлены относительно неизвестного.
Степенью целого рационального алгебраического неравенства с
одним неизвестным называется большая из степеней многочленов,
входящих в это неравенство.
Всякое целое рациональное алгебраическое неравенство л-й
степени с одним неизвестным может быть приведено к одному из
канонических видов
а0х" +а,х"4 + а2х"~2 + ... + а„^_2х2 + ап„лх + а„ > О, (9.8)
а0хп + щхпА + а2х"~2 + ... + ап„2х2 +а„„лх + ап >0 (9.9)
или
а0х" + а]хпА + а2х"~2 + ... + а„^_2х2 +ап^х + а„ <0, (9.Ю)
Oqx" + щх""' + а2х""2 +... + ап_2х2 + апАх + а„ <О (9.11)
(я0*0).
Метод интервалов
Чтобы найти решения неравенства
{х-х1Хх-х2Ь-Хз)-(х-хл)>0 (9.12)
или
{х-х^х-x2)ix-х3)...(х-х„)<0 , (9.13)
достаточно нанести на числовую ось нули (корни) левой части
неравенства хг,х2, х3, ...,*п, а затем проверить знак левой части неравенства
на каждом из полученных интервалов путем подстановки любого числа
из этого интервала. Тогда множеством всех решений неравенства (9.12)
(х - х] X* - х2 X* - х3)... {х - хп) > О
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак плюс,
а решением неравенства (9.13)
{х - Х\\х — х2\х - х3)...{х - хп)<0
будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак минус.
506


При решении неравенств
{х~х]Хх-х2\х~хг)...(х-хп)>0
и
{х - xi X* - х2 Xх ~ хг )■ ■ ■ (х ~ хп) - ^
с помощью метода интервалов, кроме соответствующих интервалов зна-
копостоянства левых частей неравенств, к их решениям надо относить и
их нули (корни).
Обобщенный метод интервалов
Рассмотрим схему решения неравенства (9.8)
а0х" +щхп~1 + а2х"~2 +... + ап_2х2 +апАх + ап >0 (а Ф 0)
Многочлен а0хп •\-щхп~1 + а2х"~' + ...+ ап_2х2 + ап~]х + ап вмноже-
стве действительных чисел можно представить в виде
а0хп+а1х"~ + а2х"~' + ... + а„^2х +ап_1х+ ап =
= а0{х - х^ {х - хгТ2 ...{х-хк)щ (х2 + p1x + qlf ...\х2 + p,x + qif)
где х1,х2,...,хк —действительные корни соответственно кратности
тьт2,...>тк, а трехчлены х2 + p]x+ql,...,x2 + ptx+qt имеют
отрицательные дискриминанты, т.е. при всех х положительны.
Неравенство (9.8) можно переписать в виде
a0{x-xl)mi{x-x2)m2 ...(*-**Г* (к2 +P]X + qif ...
...\х2 +p{x + qtf >0.
Так как квадратные трехчлены в этом неравенстве принимают
положительные значения при всех действительных значениях неизвестного,
то оно равносильно неравенству
flak - х, Г (л-^Г ■■■(*-**У" >0.
Множители левой части неравенства с нечетными показателями можно
оставить в первой степени,-а с четными- опустить, выписав те значения х,
при которых они обращаются в нуль. Тогда неравенство примет вид
при а0 >0 оно равносильно неравенству
507


а при а0 < 0 —неравенству
(х - Хл\х - Xh)...(x - Xjj<0 .
Последнее неравенство решаем методом интервалов.
Дробно-рацнональные неравенства
Неравенства вида
или
(9.14)
(9.15)
где Рп(х)=а0х" + щхпА +а2х" 2 +... + ап__2х2 + а„чд: + а„ (а0 * 0) и
Qm(x)= b0xm +blxm~' +b2xm~2 + ... + bm_7x2 +bm_tx + bm (b0
#о)—многочлены переменной х, называются дробно-рациональными неравенствами.
При решении таких неравенств пользуются следующими
утверждениями:
Р (х)
1. Неравенство —^-jA > 0 равносильно неравенству
лМа.Ю>о.
) " > \ г
Р (х)
2. Неравенство " \ , > 0 равносильно системе неравенств
АЫйтМга
3. Неравенство " \ < О равносильно неравенству
^Ма»(*)<о.
4. Неравенство —^Л_± <, О равносильно системе неравенств
QM
р„ШЛ*Но,
508


Таким образом, решение дробно-рациональных неравенств
сводится к решению целых рациональных неравенств.
При решении дробно-рациональных неравенств нужно
придерживаться следующей схемы;
а) перенести все члены неравенства в левую часть;
б) привести все члены левой части неравенства к общему знаменателю;
в) заменить дробные неравенства целыми;
г) разложить левую часть полученного неравенства на простейшие
множители;
д) привести полученное неравенство к виду (9.12) или (9.13);
е) найти решения полученного неравенства по методу интервалов.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ РАЦИОНАЛЬНЫХ
НЕРАВЕНСТВ С ОДНИМ НЕИЗВЕСТНЫМ
Системой неравенств с одним неизвестным называется несколько
неравенств, в которых под одной и той же буквой, обозначающей
неизвестное, подразумевается одна и та же величина.
При решении системы неравенств с одним неизвестным обычно
решают каждое из неравенств системы, а затем находят пересечение
множеств полученных решений.
Решить систему неравенств с одним неизвестным - значит найти
множество всех ее решений или показать, что система не имеет решений.
НЕРАВЕНСТВА С НЕИЗВЕСТНЫМ ПОД ЗНАКОМ
АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
При решении неравенств, содержащих переменную под знаком
абсолютной величины (модуля), используется определение абсолютной
величины:
If М- J /Мпрн/(*)>0,
|Л *'Ь/(х)при/(х)<0.
Кроме того, иногда бывает полезным применить геометрический
смысл модуля числа, согласно которому \х\ есть расстояние от точки х
числовой прямой до начала отсчета, а \х - а\ — это расстояние на
числовой прямой между точками х и а.
509


Рассмотрим неравенство
Ax\)<g{x), (9.16)
где f(x) и g(x) —некоторые функции.
Неравенство такого вида равносильно следующей совокупности
двух систем неравенств:
\х < 0, \х> О,
1)t/(-')<eU)™Dl2)W)<eU)
Рассмотрим неравенство
\fk]<sU), (9-П)
где f(x) и g{x) —некоторые функции. Неравенство такого вида
равносильно следующей совокупности двух систем неравенств:
М*)>0, JgtosQ,
l)\-g(x)<f(x)<g(x)^^\xe0.
Рассмотрим неравенство
\f(x}>g{x), (9.18)
где f(x) и #(*) — некоторые функции. Это неравенство равносильно
следующей совокупности двух систем неравенств:
[/(*)> sto „лиг)!^^0' , ч
/(*)< -g{x) Iх 6 одз неРавенства (918>
Рассмотрим неравенство
|/N|<g(x), (9.19)
где f(x) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство можно решить
двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
\х < О, Jх > О,
d{|/(-^<^)h™2){|/(^<sw
Во-вторых, оно также равносильно двойному неравенству
-g(x)<f\x\)<g(s)
Рассмотрим неравенство
|/N|>gM, (9.20)
П'


где f(x) и g{x) — некоторые функции. Это неравенство можно решить
двумя способами. Во-первых, оно равносильно совокупности двух систем:
[х < О, (х> О,
1>l|/(-^>e^)H,I,l2)U/H>«<*)
Во-вторых, оно также равносильно совокупности двух неравенств
/N)>sM
Рассмотрим неравенство
|/Иф(*Ь (9.21)
где f(x) и g(x) — некоторые функции. Это неравенство решается при
помощи разбиения области его допустимых значений на промежутки,
каждый из которых является промежутком постоянства знака как функции
f{x), так и функции g(x). Затем на каждом из этих промежутков
решается неравенство без знака абсолютной величины. Объединив решения на
всех промежутках, получим множество всех решений неравенства.
Некоторые неравенства вида (9.21) j/(*)| ^ \g{x] целесообразно
решать, перейдя к равносильному неравенству (/(х))2 > {g{x)f, т.е.
возведением обеих частей исходного неравенства в квадрат.
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Алгебраическое неравенство называется иррациональным, если его
неизвестное входит под знак корпя.
При решении иррациональных неравенств, как и иррациональных
уравнений, корни четной степени рассматриваются только
арифметические, а корни нечетной степени рассматриваются на всей числовой
оси (при всех действительных значениях подкоренных выражений).
Если неравенство, обе части которого неотрицательны при всех
значениях неизвестного из области допустимых, возвести в любую
натуральную степень, то получим неравенство того же смысла,
равносильное данному, т.е. если дано неравенство
/iW>/2W,
причем при всех х нз О