/
Author: Херреро Д. Уиллонер Г.
Tags: электротехника электроника радиотехника издательство советское радио
Year: 1971
Text
J. HERRERO, G. WILLONER
SYNTHESIS OF FILTERS
1 RENTICE-HALL, INC., ENGLEWOOD CLIFF N. J.
1966
Д. ХЕРРЕРО и Г. УИЛЛОНЕР
СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ
Перевод с английского
И. В. СОЛОВЬЕВА
Под редакцией
И. С. ГОНОРОВСКОГО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «СОВЕТСКОЕ РАДИО*
МОСКВА — Wt
УДК 621.372.5
ХеррероД. и УиллонерГ. Синтез фильтров.
Пер. с англ., под ред. И. С. Гоноровского. М., изд-во
«Советское радио», 1971, стр. 232, т. 10 500 экз.,
ц. 88 коп.
В книге излагаются методы синтеза пассивных
фильтров лестничной структуры — фильтров Баттервор-
та, фильтров Чебышева, фильтров Кауэра и фильтров
общего типа. При этом используется сокращенная за-
пись матриц цепей посредством так называемых куму-
лянтов, составленных из элементов главных диагоналей
матриц. Такой способ описания цепи позволяет непо-
средственно выразить связь между параметрами цепи и
ее конфигурацией. Для расчета элементов синтезируе-
мой цепи применяется новый метод, отличающийся тем,
что цепь рассматривается как целое и схемная реализа-
ция цепи по заданным характеристикам определяется
без предварительного вычисления полюсов и нулей. Это
приводит к повышению точности расчетов, поскольку
не происходит накопления ошибок, как при методе
последовательных приближений.
Книга является полезным практическим пособием
для специалистов по расчету фильтров.
22 табл., 94 рис., библ. 45 назв.
3-4-1
2-71
Предисловие редактора перевода
В связи с возрастающим интересом радиоспециалис-
тов к задачам синтеза электрических цепей, издание
на русском языке книги Д. Херреро и Г. Уиллонера
«Синтез фильтров» представляется весьма целесообраз-
ным.
Хотя авторы ограничились рассмотрением синтеза
пассивных фильтров лестничного типа, с ориентировкой
на схемы с сосредоточенными параметрами, излагаемый
в книге метод может оказаться полезным также и для
более широкого класса фильтров (активные фильтры,
механические фильтры, некоторые виды сверхвысоко-
частотных фильтров).
В основу синтеза фильтра по заданной характеристи-
ке затухания авторы кладут «характеристическую функ-
цию», представляющую собой зависимость от <>>2 квадра-
та модуля величины Т/’Рг/Дг, где Р2 — мощность, выде-
ляемая в резистивной нагрузке, а Р,—отраженная мощ-
ность.
Достоинствами предлагаемого авторами метода яв-
ляются повышенная точность определения параметров
синтезируемого фильтра и удобство приспособления к
вычислениям на ЭВМ.
Книга содержит большое число примеров синтеза,
а также справочных таблиц, облегчающих приложение
метода к лестничным фильтрам различного вида (филь-
тры Баттерворта, Чебышева, Кауэра и др.).
% И. С. Гоноровский
• Предисловие
Синтез фильтров в этой книге рассматривается при-
менительно к пассивным фильтрам, заданным своей кри-
вой затухания, и реализуемым цепями лестничной струк-
туры. Другие характеристики, иные конфигурации цепей,
аппроксимация фазовой характеристики или совместная
аппроксимация затухания и фазы здесь не рассматрива-
ются. Также не включен синтез механических, сверхвы-
сокочастотных и активных фильтров, так как рассмотре-
ние этих вопросов привело бы к непомерному увеличе-
нию объема книги.
Изложение начинается с краткого рассмотрения по-
ложительных вещественных функций и принципов реали-
зации, после чего следует сжатый обзор анализа и син-
теза лестничных цепей. При этом вводится новый метод
представления параметров цепей при помощи символи-
ческого алгоритма — кумулянта. Этот метод отличается
тем, что в процессе синтеза все время сохраняется пря-
мая связь между свойствами и конфигурацией цепи. Это
позволяет установить некий единый принцип, пригодный
для всех видов лестничных цепей.
В третьей и следующих главах изучается расчет
фильтров — фильтров Баттерворта, Чебышева, Кауэра и
фильтров общего типа. Первые три типа фильтров рас-
сматриваются обычными способами, но с использованием
кумулянтов.
В восьмой главе вводится новый метод расчета, при-
менимый к любому типу фильтров. В этом методе цепь
рассматривается как целое и ее реализация находится
без вычисления полюсов и нулей в отличие от расчета
путем последовательных приближений, как это делается
при разделении полюсов. Поскольку значения элементов
фильтра определяются совместно, не происходит накопле-
ния ошибок, которое приводит к уменьшению точности
расчетов. Этот новый метод вычисления можно легко
приспособить для цифровых машин.
Для понимания материала книги требуется знаком-
ство с теорией цепей в объеме обычного курса теории
цепей электротехнических факультетов.
Авторы признательны профессору Р. У. Ньюкому из
Стэнфордского университета за его многочисленные ука-
зания при просмотре рукописи. Мы хотим также побла-
годарить мистера К- М. Брамблби и мистера Л. Харц-
дорфа за их многочисленные замечания, мистера и мис-
сис А. Ардуан за изготовление рисунков и мисс
А. С. Мартин за печатание рукописи. Выражаем благо-
дарность за поддержку руководству фирмы Lenkurt
Electric of Canada, Ltd.
Джозе Луис ХЕРРЕРО
Гидеон УИЛЛОНЕР
Вводные замечания
Одним из основных вопросов теории цепей является иссле-
дование соотношений в четырехполюснике между входным
сигналом (возбуждением), выходным сигналом (реакцией) и
параметрами цепи. Для этого применяются два общих метода:
анализ — когда цепь задана и отыскивается реакция на данное
возбуждение; синтез —когда составляется цепь по заданному
соотношению между входным и выходным сигналом. Здесь
будет изучаться синтез цепей.
1.1. Основные понятия
Если к входу цепи подается сигнал, то напряжения и
токи в цепи связаны системой уравнений, получаемых из
общеизвестных законов Кирхгофа. Контурные уравнения
содержат члены вида
представляющие напряжения,
члены вида
(1.1)
а узловые уравнения —
Gn((), (1.2)
о
описывающие токи в цепи.
Применением преобразования Лапласа к интегродиф-
ференциальным уравнениям функции вещественной пе-
ременной t преобразуются в функции комплексной пере-
менной р = о+](£> (комплексной частоты), которые здесь
используются для описания стационарного режима в це-
7
пи. При преобразовании дифференциальных уравнений
для функций времени в алгебраические уравнения для
функций частоты вычисления сильно упрощаются.
Преобразование Лапласа определяется как
= [HOI = 5 f(t)e~rtdt
о
и охватывает всю плоскость переменного р, за исключе-
нием особых точек. Лапласовы изображения функции
(1-1):
R1 (р), Lpl (р), I (р).
Лапласовы изображения функций (1.2):
GV(p), CpV(p), -^V(p)-
Эти изображения, называемые импедансными функция-
ми, используются при составлении контурных и узловых
уравнений цепей.
Исследование необходимых и достаточных условий,
которым должна удовлетворять функция от р, чтобы
представлять некий параметр цепи, привело к установле-
нию существенного понятия в теории цепей. Эти условия
в применении к входным импедансам были впервые из-
ложены О. Бруне [4], исходившим в своих исследованиях
из энергетических соотношений в цепи. Определенные им
функции образуют класс так называемых положительных
вещественных функций.
Рациональная функция F(р) является положительной
вещественной функцией, если:
1. F(р) вещественна при вещественном р,
2. ReF(p) ^0, если Re р>0.
Все реализуемые входные иммитансные функции
обязательно являются положительными вещественными
и обратно, все рациональные положительные веществен-
ные функции реализуемы. Доказательство этих положе-
ний можно найти в литературе [4, 7, 11, 12].
При рассмотрении четырехполюсников возникает бо-
лее общая задача. Для описания пассивного обратимого
четырехполюсника необходимы три параметра, например,
два входных иммитанса и передаточная функция.
8
Обычно цепь описывается набором параметров, рас-
положенных в виде матрицы. Необходимые и достаточ-
ные условия реализации матрицы n-полюсника без тран-
сформаторов в общем случае до сих пор неизвестны, но
в частных случаях цепь можно синтезировать по некото-
рым заданным параметрам. К такому случаю, рассмат-
риваемому в последующих разделах, относятся некото-
рые функции общего вида, описывающие фильтр лест-
ничного типа.
1.2. Кумулянты
Так как в этой книге расчет фильтров ограничивается
фильтрами лестничного типа, начнем изложение с крат-
кого анализа лестничной цепи. Для описания лестничных
Рис. 1.1. Лестничная цепь.
цепей мы будем применять контурные уравнения, а для
решения линейной системы уравнений — метод Крамера.
В лестничной цепи, изображенной на рис. 1.1, напря-
жения и токи связаны уравнениями Кирхгофа:
г, — ig^=e2yz
в2 i' 3Z3
^2П — 2 ^2Т1~ 1^2П— 1 -ф-
1 --- &2пУ2П
9
или, после приведения к более упорядоченной форме,
е0 = zIil + е2
О = —(, -|- Уг^г + <з
О = — е2 + ?з ' з +
(1.4)
О -- -й2п-2 + Z2n-l£2n-l + е2п
О = —г'гп-1 + Угпегп
где коэффициенты Zi, t/2, £з,--, Уъп — парциальные имми-
тансы цепи. Полагая величины элементов постоянными,
приходим к системе линейных уравнений. Определитель
<1 1 0 0 ... 0 0 0
—1 Уг 1 0 ... о 0 0
0 — 1 Z3 1 ... 0 0 0
0 0 —1 ... о 0 0
д= • • • • (1-5)
0 0 0 0 • • • Угп- 2 1 0
0 0 0 0 ... —1 — 1 1
0 0 0 0 ... 0 — 1 !/2п
квадратной матрицы, образованной коэффициентами
уравнений (1.4), отличается тем, что не равны нулю лишь
элементы, расположенные в трех соседних диагоналях.
Кроме того, определитель полностью определяется эле-
ментами главной диагонали, поэтому набор членов
(2\, у2, , ..., Z2n_,, //2п)’
который мы будем называть кумулянт', представляет
в сжатом виде определитель (1.5). Для сокращения мы
будем записывать кумулянт в виде
(Z,------у3п). (1.6)
т. е. указывать лишь два крайних элемента.
1 Здесь оставлен используемый автором термин <кумулянт>,
хотя в нашей литературе в данном случае используют термин скон-
тинуант». (Прим, ред.)
1.3. Параметры лестничной цепи в Символах
кумулянтов
Лестничная цепь, изображенная на рис. 1.1, является
четырехполюсником, который можно описывать различ-
ными параметрами. Чтобы вывести выражения для наи-
более важных параметров, вычислим сначала \2п, под-
ставив левые члены уравнения (1.4) в последний столбец
определителя (1.5):
— £ о о ... о о ООО ... J. - N* ' О - N" —Ml . => 1 N | О • • О О
Разлагая определитель по последнему столбцу, находим
А2п = ^о(-1Г’2 = ^о-
Следовательно, напряжение на выходе лестничной цепи
р ___
С2П-- Д »
а усиление напряжения по определению равно
__ <?2П _ Д2п/Д
^12 е„ е0
или, после подстановки е0 = ДаП,
_ _1____________________________1______
^*2 Д (z,---------угп)
(1-7)
Используя символы кумулянтов, вычислим подобным
образом входной импеданс лестничной цепи, представ-
ленной на рис. 1.1. Подставляя столбец е0 из (1.4) в
первый столбец определителя (1. 5), находим
е0 1
0 </2 1
О
О
О
о
о
1
==3 (Уг
Угп)-
О
Угп
11
Следовательно, входной ток равен
i _ Л< _ е° (ys У2п>
’ А (г,—------------!/2п) ’
а входной импеданс
у'1п\ • (1.8)
11 Ч (#2 ------------ Ь) ' '
Передаточный импеданс лестничной цепи (отношение
выходного напряжения к входному току) можно найти
аналогичным способом:
__g2n___Агп/А___________gp_____
12 Ч Д1М Ч>(#2-----------------f/2n)’
или
1.4. Вычисление кумулянтов
Кумулянт есть просто сокращенная форма определи-
теля, описывающего лестничную цепь. Чтобы вычислить
кумулянт, мы исходим из определителя. Поясним это на
простом примере:
«2
1
аг
— 1
(«1
Аналогично,
(а,--------а3) =
а\
-1
о
<4
— а^2 “К 1.
1
—1
= а, (а2а3 + 1) + а3 = a,a2a3 4- а, + а,
и
(а,-----а4) — а1а2а3а4 —aja2 —а^4 —]— а3а4 1.
(1.Ю)
о ___
аг
(1.И)
(1.12)
На основании вышеизложенного можно установить
следующее общее правило:
Величина кумулянта (а(----а„) равна:
а) произведению всех его членов, плюс
б) произведение членов, оставшихся после вычеркива-
ния одиночных пар, образованных из соседних членов,
просуммированных по всевозможным парным сочетани-
ям, плюс
12
в) произведение членов, оставшихся после вычеркива-
ния всех двойных пар соседних членов, просуммирован-
ных по всевозможным сочетаниям пар, плюс
г) произведение членов, оставшихся после вычеркива-
ния всех пар, образованных из соседних членов, просум-
мированных по всевозможным сочетаниям пар, плюс
д) единица, если кумулянт имеет четное число членов.
Относительно этого правила следует заметить, что
пары составляются лишь из соседних членов, но состав-
ленные таким образом пары могут быть расположены
в кумулянте как угодно. Можно предложить следующий
способ: закрыть пальцем пару, которую нужно исклю-
чить, и записать произведение оставшихся членов.
Правило доказывается путем приведения кумулянта
к кумулянтам низшего порядка. Практическое примене-
ние правила будет пояснено на примерах.
Формулу (1.11) можно вывести, применив общее
правило к кумулянту
(at, аг, а3).
Сначала составляем произведение всех членов
aja2«3,
затем вычеркиваем всевозможные пары соседних членов
и получаем
(ц, а3) — а^ага3 —ах —ц3.
Единица не прибавляется, так как кумулянт состоит из
нечетного числа членов.
При вычислении кумулянта четвертого порядка
(fl] й4)^=(ц,, д2, а3, я4)
находим:
а, аг а3 а„ произведение всех членов
аг \а/з/а/А
a, L^/^|
\a/i/a/\ aj а„
произведение членов,
оставшихся после
вычеркивания пар
плюс единица i так как число членов четное
13
Следовательно,
(«1-----а4) = а,а2а3а4 + a,a2-i~ a,a4~i~ а3а4-|- 1- (С 13)
Вычисление кумулянта пятого порядка
(«1-----а5) = (а1, аг, а3, а4, а5)
производится по этому способу следующим образом:
а, а? аз а4 as }
а, аг а31 '
д, аг °5 I
а, I #/#! я* as I
| a/t/a/z] аз а* as .
а, I 1
I g//^la’ Г
a5 J
произведение всех членов
произведение всех членов,
оставшихся после вычеркивания
всех единичных пар
члены, оставшиеся
после вычеркивания
всех двойных пар
Таким образом,
(й, ----£Z6) - й1й2й3й4й5 —|— d,d2d2 —|— d,d2d^ —|~
-* ird,d4di-irdid4di-\-d,-\-d3-\- d2. (1-14)
Для вычисления кумулянтов более высокого порядка
лучше разбивать их на кумулянты низшего порядка, как
будет показано далее.
Следует отметить, что вычисление кумулянтов путем
приведения выполняется довольно быстро.
Используя сокращенное обозначение
Сп — (я, яп),
мы можем написать
Со=1
С, d,
С2 (л15 д2) С,д2 | Со
, / z» z» zv \ _ zv I
^3 ^2’ “'З/ °2из'ТЬ1
С4 = (й,, й2, й3, й4) (?36Z4—(?2
(1-15)
Последовательные парциальные кумулянты указываются
под главным кумулянтом:
(ZZ,, ZZ2» ZZj, **•)
cj £J 2d-
В табл. 1.1 приведены некоторые функции цепей, вы-
раженные через кумулянты. Правила для вычисления
кумулянтов приведены в приложении 1.1.
Примеры
Пример 1.1. Вычислить входной импеданс лестничной
цепи, изображенной на рис. 1.2.
Решение. По табл. 1.1. находим входной импеданс
_(?2 ------Р5)__ (GP- Up, СЪр)
1, — (1/,--Рб) (с,р, 1гр, ctp, ltp, <\р)"
Раскрывая кумулянты, находим
________lzctUcsP* ~Ь UcaP2 ~Ь____k
” С^С^р* + cj^p* + Cj/sCsP’ +
___________~Ь UcjP2 -Ь Uc^p2 -Ь 1____.
~* + ClUCtP* + ClUCiP* + С tp +‘с3р + СБР
Рис. 1.2. Схемная реализация
в примере 1.1.
Рис. 1.3. Схемная реализация
в примере 1.2.
Пример 1.2. Найти усиление напряжения, входной,
выходной и передаточный импедансы лестничной цепи,
изображенной на рис. 1.3. Используйте функции цепей,
указанные в табл. 1.1.
Решение. Усиление напряжения
_ 1___________________________1_____
^12 —(z,---- yt)~ (р, 2р, 2р, р)
Раскрывая кумулянты, находим
4р* + 2р2 + р2 + 2р2 + 1 4р4 + 5р2 + 1 •
15
Иммитансные
г? ?з ?2n*-i oCZ)-rCZ>-r - -T-EZJo г г г3 г2/7 > J' NpQx',,
(г, Pan) 11 (Рг Угп) <г1 Угп) (Уг Угп)
(ггп-4-1 Уг) (Угп Уг) (ггп-1 У г) (Угп Уг)
1 ',2 (Уг Угп) 1 (Уг Угп)
1 8,2 (zi Угп) 1 (”1 г/гп)
(#2 2п 4-1) (^1 ~-2п+1) СУг гап-1) (z, z2„_,)
(Угп- —г,) !'гг (z2„_, г.) (Угп-~ -zi) (Z2n- 1 ^1)
1 У,г (г1 2гп+,) 1 (Z1 fc2n—1)
16
функции
Таблица 1.1
гг izn г2п £t4ZD-|—Or^2 jfr Qуд >.
(za' Pan-i) (Pl Р2П~1) (g2 У2ПА-1 ) (Pl ^2n+l)
(zan Pi) (Pan-i Pi) (zan Pi) (Pan+i Pi)
1 (Pi Pan-i) 1 ^2n + l)
1 Ga Pan-i) 1 (^2 f/2n + l)
С Й N t? (^1 ^2n) Ga ^an)
(Угп-1 za) (z2n z2) (p2n-M ^2) (?2n ^2)
1 (z2 zan) 1 (Z2 ‘an)
2—1469
17
Входной импеданс
(?i......................рО _ (р. 2р. 2р. р)
11 (г2----yt) (2р,2р,р)
Раскрывая кумулянты, находим
_ 4р‘ + 5р2 + 1
4рз + 3р
Выходной импеданс
__ (~« Уг) _ (2р, 2р) 4р2 + 1
22 (р*----Уг) (р.2р,2р) 4рЗ + Зр
Передаточный импеданс
z - 1 = 1 -__________________________!_____
12 (4/2---Pl) (2р. 2р, р) р (ip2 + 3)
Пример 1.3. Вычислить кумулянт
С5 = (1, х, 2х, х2,2х3)
а) в общем виде, б) при х = 1.
Решение: а) общее
(I, х, 2х, х2 2х3)
С,=1 | Са=С,х+1 | C3=2C2x+Ct | C^Catf+Ci | С5=2С4х +С8| ;
б) при х = 1 (в обоих направлениях)
(1, 1, 2, 1, 2)
1| 2 | 5 | 7| ]9|
|_19 |П |_8 |3_ |_2
Пример 1.4. Вычислить усиление напряжения лестнич-
ной цепи, изображенной на рис. 1.4, на частоте f0=l кгц.
204 мгн 204 мгн
zi Уг 2з У4 z5 Уб Z7 Ув
Рис. 1.4. Схемная реализация в примере 1.4.
Решение. При f0 = 1 кгц имеем
<о0 = 27г/0 = 6,28- 103, /7о = /®о = 6,28- 10’/,
o>q = 39,44-10е, р„ = — а>о = —39,44.10“,
18
Иммитансы равны:
= 0,6-103 ом,
z/2 = C2/?0 = 2,69-10~3/ мо,
z'=-'hPc 2 = 4,30-103j ом,
1 + L3C3Pq
z/4 = 4,025 10~3/ мо,
zf =— 5,55-103/ ом,
уа = 3,58-10“3 / мо,
z7 = 1,15-103/ ом,
уа = 1,667 • 10~3 мо.
Усиление напряжения можно представить как
= z,------z/8).
S12
Вычисляем отдельные кумулянты:
О,5-1О3\
2,69-10 3j,
1 + I,619j\
-5,55103j
9,30 103j,
-6,39l03+9,30-l03j |
3,58-10'3j
9,02510'3j
16,31-23,90j\
138,98-IO3 + 99,82-l03j\ -355,76-521,95j\
1,15-103J 1,167-10~3
46Q,07-103- 3l9,3-103j\ 912,2-1095,3j\
Следовательно,
—=411,2 — 1045,3/,
ИЛИ
_J_=== 103 /0,170+ 1,093= 1124 = 61 дб,
и фазовый угол
О = — arctg^^= - arctg2,534 = - 68°28'.
Комплексное усиление напряжения лестничной цепи
g,2 = 8,897-10-4168°28'.
2*
19
Задачи
Задача 1.1. При помощи правил алгебры кумулянтов доказать
следующие уравнения:
а)
(Н-Уг. Z3-----Г2) = ГХГ. (y2 ---------- z2n-l)"h
+ (-3 --------Угп-з) + Г J (y2 ------Узп- 2) + r 2 (Z3 -----~зп- 1)’
6)
(п+z,, y2----------z2„_„ r2) = r2(z1,p2------------?2n_,) +
+ ri (У2--------Угп-2) + (~i-------Узп-2) + rir3 ( У 2 —— z2n-1)>
8)
(ri + zi, y2-------Угп + г2) = (г,--------Угп) + Gr2 (Уг --------z2n_ ,) -|-
+ r2 (Zj-------Хзп-з) + Г! (у--------- у2„),
г) ]
(Z,, y2 У'гЗ + У"зз Узп) — 2 (г> ^у/22 Угп) +
Узп)-
Задача 1.2. Определить число членов кумулянта (а,, д2
Рис. 1.5. Схема к задаче 1.4.
Рис. 1.6. Эквивалентность мостовой и Т-образной цепи.
Задача 1.3. Вычислить усиление напряжения лестничной цепи,
изображенной на рнс. 1.4, прн помощи правил, приведенных в за-
даче 1.1.(б). (Вычисления упрощаются благодаря тому, что куму-
лянты содержат лишь мнимые члены).
Задача 1.4. Найти усиление напряжения и входной импеданс
цепи, изображенной на рнс. 1.5. Использовать эквивалентную Г-об-
разную мостовую схему, представленную на рнс. 1.6.
Задача 1.5. Найти усиление напряжения и входной импеданс
цепи, изображенной на рнс. 1.7. Использовать эквивалентную схе-
му, представленную на рис. 1.8.
20
Рнс. 1.8. Эквивалентность Т-образной цепи н трансформатора.
Приложения
Приложение 1.1. Действия над кумулянтами. В этом разделе
приводятся основные правила алгебры кумулянтов, на которые мы
будем ссылаться в дальнейшем.
Правило разбиения кумулянтов:
(Ц| Цг-f-l &п) — (^1 (^г + 1 I
+ (Л,-------лг_1)(дг+2-----а„). (1-16)
Доказательство. Представим кумулянт в виде определителей и
разложим по первым г столбцам. При этом остаются лишь два не-
нулевых минора, и мы получаем
21
Правая часть этого уравнения эквивалентна разложению, опреде-
ляемому выражением (1.16).
Правило разложения кумулянта по первому элементу:
(«1------«») = «! («г-----а„)+(а»------«„). (1-17)
Правило доказывается путем вычисления определителя по первому
столбцу.
Правило разложения кумулянта по последнему элементу:
(«1------ап) = (а.-------а,,-,) ап + ------а„_2). (1.18)
Правило доказывается путем вычисления определителя по послед-
нему столбцу.
Правило:
(«1------«п) («г------an-i) — (а,------«п-t) (дг-----а„)=(— 1)п.
(1-19)
Доказательство. Допустим, что выражение (1.19) справедливо,
и разложим первый и четвертый кумулянты по последнему элемен-
ту ап:
[(а,-----an_i) ап + ----«п-2)] («2------«n-i) —
— («1----«п-1) [(«г------«п-1) «п + (а2----«п-2)1 =
= («1 ---«п-2) («2 -------«п-1) — («1-----«п-1) («г----«п-2) =
= (-!)»-’.
Это выражение подобно уравнению (1.19), но имеет на один член
меньше. Продолжая разложение по последнему элементу, получаем
(«1 «п) («2 «П-1) («1 «п-1) («2 «п) ~
= («!, «2. «з)«2 — («1> «2)(«2> «з) = (—1)’>
что легко проверить.
Правило:
(«1------ап) = (ап----а,). (1.20)
Доказательство. Меняем местами строки, а затем столбцы:
ап
Для доказательства тождества (1.20) остается лишь поменять
местами элементы вдоль главной диагонали.
Правило:
(пи, 0, а3)=«1+«з- (1-21)
Доказательство. Раскрывая кумулянт, имеем
(«1, 0, Из) =0 + «1 +«з-
22
Правило:
(«!------an,0) = (al-------an_t). (1.22)
Доказательство. На основании уравнения (1.18):
К-------ап, 0) = (ах----ап) (0) + (ах-----ап^х)=(ах-------«„-,)•
Правило:
(а,-----Лп-2> ап- 1 + ап) = (а1---ап-1) + (ai-----Лп-а) «п-
(1-23)
Доказательство. На основании уравнений (1.21) и (1.16)
(«!-----an_g, а„_, + ап) = («!---а„_,, 0, ап) =
= (а,-----а„-1) + (<Н-------2) ап.
Правило:
(ах + аг, а3-----а„_2, л„_ 3 + ап) = (аг--«„_,) +
+ а, (а3---«„-.J + (а3--------а„_2) ап + (а4---а„_2) ахап. (1.24)
Доказательство. На основании уравнений (1.21) и (1.16)
(«1 + «а- а3-----ап_2, ап_г + ап) = (а,, 0, а2-ап_г, 0, ап) =
= («!• 0, а2----«„_!) + («,, 0, а,-----лп_2)<7п =
= (а2-----ап- 3) + а, (а3---а„_,) +
+ (а3------ап_ 2) а.п -]- (а4-ап-г) а1яп-
Правило:
(«1------ап + 1) = (я,-----ап, 1). (1.25)
Доказательство. На основании уравнений (1.21) и (1.16)
(ai-----ап..,, ап + 1) = (а,----«n-i) (an+l) + (ai---ап-г)-
С другой стороны, на основании (1.16)
(а,-----ап, 1) = (а1----ап_1)(ап, 1) + (л,-----а„_г).
Поскольку (an4-l) = («n, 1), очевидно, что
(«1-----«п-г ап+ l) = («i-------ап’ !)•
Правило. Для нечетных кумулянтов
X (а., а2, а3----а2я-1)= | а3Х-------^гп-гХ ) (1.26)
к Л J
или
1 , . ( а1 v а3________а2п-1\
(at, а2, а3--^a2n-i) — I 1 о2л , (1.27)
Для четных кумулянтов
или
1
(flj, 0-2.1 Оз
ч ( а* . Л3
(^2п) -- ( X * ’ %
а2пХ )- (1.29)
Доказательство. Правило легко доказывается путем вычисления
правых частей уравнений.
Правило. Частная производная кумулянта равна
д (а.-----аг-------<?„)
—------------------—=(а.---------^-,)(^+1---------ап). (1.30)
Доказательство. На основании правила (1.16) имеем
(а,-------аг-------ап) = (л,----аг) (аг+1-----ап) +
+ («1-----«г-,) (Дг+2--— ап) = (а,------аг->) («г + >--ап)аг+
+ («.-----аг_2) (ar+t------ап) + (at----«r-i)(«r+2------<?„),
откуда следует
d (at---------------ап)
----------------- (а,----аг_,) (аг+1------ап).
Правило. Частная производная кумулянта
д(а,-------а„_2, + а„)_
-----------------------------(а,------о„_2).
Доказательство-.
д(а, -- я„-2, о„-1 + <?„)_ 0(а, —an-i) .
дап дап
(1.31)
Правило. Частная производная кумулянта
д-^' (01-----------------------------------(,32)
Доказательство:
д(а, —о„-2, д„-1 + дп)__^(д,- -Дв-1) (
дап-, дап-А
Приложение 1.2. Вычисление полиномов. Чтобы вычислить мно-
гочлен
(р) = апРП + ап- tPn~' + + alP + а0
24,
при значении р = ро, можно подставить ро вместо р, произвести воз-
ведение в степень и затем сложение членов.
Более короткий путь — разделить F(p) на (р—р0):
1F (р) А
1 11 =Q(p) +----------------(1.33)
Р — Ро Р^Ро 1 ’
Умножая уравнение (1.33) на (р — р0), получим при р = р„
F (Ро) = А.
Отсюда следует правило: чтобы вычислить многочлен при данном
значении р=ро, нужно разделить его на (р—ро). Числитель остатка
равен значению многочлена при р = ро-
Если ро — действительное число, вычисления упрощаются. На-
пример, требуется вычислить
F (р) = 12р3 + 34р3 + 25р 4-4
при р — Ро = — Il Делим многочлен на (р 4- 1):
12р24-22р4-3
р 4- 1) 12р334р2 _|_ 25р 4-4
— 12р3 — 12р2
22р2 4- 25р 4- 4
—22р2 —22р;
Зр4-4
—Зр — 3
Г~
и находим
F (—1) = 1.
Деление может быть также проведено с использованием одних
лишь коэффициентов:
1) 12 34 25 4
—12 —22 —3
12 22 3 Г‘
В результате имеем Р(—1) = 1.
Другой пример: найти значение числителя дроби
8р2 4-8р4-1
F (Р)=---------j----
Р + -2-
25
при pt = — -g— Деля на \р + -у
1/2) 8 8 1
—4 —2
8 4 —Г’
находим
F(-p) = -\.
Приложение 1.3. Нормированные параметры. При вычислениях
в уравнения вместо букв или символов подставляются числа. При
этом нужно учитывать используемую систему единиц. Можно при-
менять, например, систему МКС с единицами: вольт (в), ампер (а),
ватт (вт), ом, секунда (сек), метр (л«), фарада (ф), генри (гн), мо
и т. д.
Кроме того, полезно выбрать такие единицы, чтобы они соот-
ветствовали величинам, применяемым в дайной задаче. Например,
можно выбрать три основные единицы:
а) единицу напряжения V» = le,
б) единицу тока /и = 1 ма (миллиампер),
в) единицу индуктивности Lu=ll мг (миллигенри) и отсюда
определить остальные единицы:
г) единицу мощности Pu = VuX/u = l eXi ма=1 мет,
д) единицу сопротивления 7?и = 1 в/1 ма=1 ком и т. д. В дру-
гих случаях можно положить:
а) единица индуктивности Lu = 1 гн,
б) единица емкости Си = 1 мкф,
тогда
в) единица угловой частоты
““= VT~c~ и°К1^10-||~~103 рад^сек = 1 кРад1сек
г) единица сопротивления,
Ru = = 1 О3 1 = 1 КОМ.
Приложение >1.4. Децибел и непер. В дальнейшем некоторые
отношения напряжений токов и мощностей выражаются в логариф-
мической шкале. При применении натуральных логарифмов это
приводит к хорошо известной единице измерения — неперу (неп),
и число неперов равно натуральному логарифму отношения напря-
жений или токов:
Если одно напряжение (или ток) в 2,718 раз больше другого,
говорят, что одно напряжение больше другого на 1 неп. Для че-
тырехполюсника с разными оконечными сопротивлениями
26
a = In
V! 1 /?,
7Д7Г In l/2 2 ln R2 '
"2/ Кг
Если сопротивления одинаковы, второй член равен нулю.
Другой основной логарифмической единицей является бел. По
определению это есть десятичный логарифм отношения мощностей:
Р. Р,
а = 1g -р^ бел = 101g -р^- децибел (дб)'
Соотношение между непером и децибелом: 1 неп =5=8,7 дб.
Приложение 1.5. Приставки для обозначения множителей при
единицах измерения. Для обозначения кратных и дробных единиц
по отношению к таким основным единицам, как ом, фарада, генри,
вольт, применяются следующие приставки:
Приставка Сокращенное обозначение Множитель
Мега м 10s
Кило к 103
Милли- м ю-3
Микро- мк 10-6
Нано- н 10-’
Пико- п 10-12
2 Синтез лестничных цепей
В этой главе рассматривается синтез лестничных цепей,
в частности, те вопросы, которые связаны с применением ку-
мулянтов. Мы будем исследовать новые методы в той мере,
в какой это необходимо для понимания дальнейшего материа-
ла, не пытаясь входить в подробности. Предполагается зна-
комство с основами анализа и синтеза цепей.
2.1. Реактансные функции
Основным элементом, общим для всех цепей, являет-
ся двухполюсник, характеризуемый своим иммитансом
(импедансом или адмитансом). Как упоминалось выше,
все реализуемые функции цепей и, следовательно, реак-
тансные функции цепей без потерь должны быть положи-
тельными вещественными функциями. Числитель и зна-
менатель многочленов реактансных функций не должны
иметь нулей в правой половине плоскости р. Кроме того,
если pi есть корень многочлена, то (—р,)также является
корнем. Для выполнения вышеуказанных требований ну-
ли и полюсы должны быть расположены лишь на мни-
мой оси плоскости р.
В конце главы в табл. 2.1 приведены - возможные
реактансные функции с соответствующими частотными
характеристиками и каноническими конфигурациями це-
пей.
Сосредоточим теперь свое внимание на лестничной
цепи. Как было указано в гл. 1, существуют два вида
входного импеданса лестничной лепи:
£=! н * •
Если эти импедансные функции принадлежат цепям,
содержащим лишь реактивные элементы, то z(p) должна
быть мнимой. Так как дробь является мнимой лишь в
28
том случае, когда числитель ее мнимый, а знаменатель
действительный или наоборот, то числитель должен со-
держать четные степени параметра частоты р, а знаме-
натель— нечетные степени или наоборот.
Например, импеданс последовательного резонансного
контура с элементами L, С и резонансной частотой ы0
равен
(2.1)
w/ Ср р
а импеданс параллельного резонансного контура равен
2м 2=4---------Р—т- (2.2)
Если реактансная функция задана в полиномиальной
форме, т. е. как отношение двух полиномов, то элементы
цепи, реализующие заданный импеданс, можно найти
путем последовательного деления, приводящего к цепной
дроби. Разлагая числитель импедансной функции, вы-
раженной через кумулянты, находим
7(п\— <г1------) — г^Уг------)+(z3-------) __
Z[P,~ {Уг------) ~ {Уг~-----) “
==г, -------—=2,+-------2-------=
{Уг----) (У« )
(г3----) У* + (г3----------)
ИТ. д., или
z(P) = z'A----------i---------, (2.3)
Уг +---------J----
z, +-------j--
+z7M
что соответствует схемной реализации, представленной
на рис. 2. 1. В зависимости от вида реактанса, который
требуется синтезировать, z(p) или у(р) можно реализо-
29
вать восьмью типами цепи. Это так называемые канони-
ческие формы Кауэра. Эти цепи также приведены в
табл. 2.1.
Необходимые и достаточные условия того, чтобы
реактансные функции соответствовали реализуемым ле-
2,
Рис. 2.1. Схемная реализация, соответствующая цепной
дроби.
стничным цепям, изложены в приведенной ниже таблице.
Доказательство можно найти в литературе [11, 13, 39].
Условия реализуемости реактансных'функций
Импеданс । Адмитанс
1. Все полюсы и нули простые и рас- положены на мнимой оси р-плоскости 2. Нулевая и бесконечная частоты являются критическими частотами (т.е. импеданс на этих частотах равен нулю или бесконечности) 3. Полюсы и нули чередуются на мнимой оси 4. Вычеты в полюсах действитель- ные и положительные 5. Постоянный множитель Н поло- жительный 6. Наклон кривой, выражающей за- висимость импеданса'от частоты, всю- ду положителен 1. То же 2. То же 3. То же 4. То же 5. То же 6. Наклон кривой, выра- жающей зависимость прово- димости от частоты, всюду положителен
2.2. Синтез лестничных цепей
Любой четырехполюсник можно синтезировать, если
даны два его параметра, скажем, г41 и Zi2. Эти две импе-
дансные функции обычно определяются своими полюсами
и нулями следующим образом:
30
(р\+ “01) (Р* + “оз) • • •
z12 =------------=---------
(2-5)
Р (Р2 + “2) • • •
Мы будем рассматривать лишь наиболее простой слу-
чай, когда знаменатели этих функций одинаковы. Чтобы
установить непосредственную связь между полюсами и
нулями этих функций и элементами цепи zb у3, z3,...,
выразим импедансные функции через кумулянты:
и
_ 1
2,2 (Уг------) ’
Тогда кумулянты, описывающие цепь, определяются
следующим образом:
(г,-----) = (2.6)
г’2 (р2 +®Q1) (/?2 + ®0з)’ ’ '
, . 1 __ р(Р2 + “2)-' /97Х
\Уг ) — г ' , г . 2 . , 2 . 9 \
*12 (рг + “0!) (рг +“оз)-
Изфуравнений (2.6) и (2.7) видно, что при задании им-
педансной функции в полиномиальной форме для получения
выражения, пригодного для синтеза, достаточно разложить
G на множители лишь числитель функции zI2. Члены в зна-
менателях правых частей уравнений (2.6) и (2.7), (р2-ф-®’),
. (/?2 + шоз) и т. д. означают полюсы, соответствующие по-
f cлeдoвaтeльным и параллельным резонансным контурам
в ветвях лестничной'цепи, и являются знаменателями
парциальных иммитансов, входящих в кумулянт. Обычно
(эти полюсы можно размещать многими способами, но
имеются все же. некоторые ограничения. Например, зна-
менатели в правых частях уравнений (2.6) и (2.7) оди-
наковы, поэтому zb которое входит лишь в один куму-
- лянт, не может образовать полюса функции.
<
31
Канонические формы рёактансной функции
Частотные кривые и функции инпеванса
(Р^шг,)(р^ш23)...(рг^1п_2) рг+ш*
Таблица 2.1
3—1469
33
Пусть, например, <o0i — резонансная частота для
z/2 и ©оз — резонансная частота для Тогда иммитансы
двух ветвей лестничной цепи равны
у
Р2 + “о1
У'*
Рг + “оЗ
И =
и уравнения (2.6) и (2.7) можно переписать в виде
{ ~ У>г г . А—
' Р2 +.“oi Р + “оз у
_ (Pg + “i) (Р2 +“!)•••
(Р2 + “(и) (Р2 + “оз) • • •
/ у'г g y'i • • • А
\^2 + “о1 ” 72 + “оз ’ /
___________Р (Р2 + “г)_________
(р2 + “oi) (.Р2 + “оз) •
С помощью этих уравнений можно вычислить элемен-
ты лестничной цепи, используя свойства цепи в полюсах.
Мы опишем подробно порядок вычислений не в общем
виде, а на примерах.
Если заданы входной импеданс
и усиление
_ 1
^1а~ (г>-----)
то кумулянты равны
и
Таким образом, синтез можно осуществить, как опи-
сано выше. Та же процедура применима и в том случае,
когда заданы yi2 и g12.
34
Необходимые и достаточные условия, которым долж-
ны удовлетворять две заданные функции для того, чтобы
их можно было реализовать лестничной цепью, выте-
кают из таблицы, приведенной в конце предыдущего
раздела. В большинстве случаев их можно вывести из
выражений, связывающих кумулянты с параметрами
цепей.
Пример 2.1. Синтезировать лестничную цепь LC, за-
данную двумя импедансными функциями:
? — № + 9) <Р* + 25) — (z>-------)
Р(Р2+16) (1/2 ---)’
_ __ (р2 + 1)(/>2 + 4) _ 1 '
'* ' Р(р2+16) (Уг-------------) ’
Решение. Из уравнений (2.10) и (2.11)
два кумулянта лестничной цепи:
/_ ______Г(Р2 + 9) а + 25)
’ 2,2 (Р2+'1) (Р2 + 4) ’
1 _ Р(Р2 + ]6)
2,2 (р2 + 1) (Р2 + 4)
(2.Ю)
(2.11)
находим
(2.12)
(Уг
(2.13)
Отождествляя полюсы в выражениях (2.12) и (2.13)
с параллельными ветвями лестничной цепи
У^ /,2 + 4 И = р2+ ] •
получаем два основных уравнения для синтеза
< у'г y't Х_(р2 +9) (р2 + 25)
(. *’^+4’ ” /?2+ J (р2+1)(р2 + 4)
( У'г y'i р(р2 + 16)
(р2 + 4’ 3, P2+1J (р2 + 1) (р2+4) •
Чтобы вычислить первый элемент цепи, применим
правило (1.17) к уравнениям (2.14) и (2.15); тогда
(г1 ) г1 (Уг ) = ^гз> р2 1^
_(p3+9)(p2 + 25)-Z1p(p2+16)
• (Р2 + 1) (Р2 + 4) ‘
Поскольку множитель знаменателя функций (2.16) (z?2—{—4)
не входит в кумулянт (zs, числитель правой части
з* 35
I
должен делиться на (р2+4) или при подстановке
р2=—4 в члены с четными степенями числитель должен
обращаться в нуль. Следовательно,
(-4 + 9) (-4 + 25) - zlP (-4 + 16) = О,
откуда
Подставляя это значение z1 в (2.16), получаем
101 85
. ✓ \ Р4 + -4"Р2 + 85 р2 + —
( У* >—_____________________—________. (9 17\
V” Р2+<) (Р2+1)(р2 + 4) рг + 1 { • ,}
Второй член лестничной цепи можно найти вышеиз-
ложенным способом из уравнений (2.15) и (2. 17). Имеем
(Уа ) У г (^з ) У 4=: pi _|_ 1
f 85 \
Р(Р2+ 16) — У'г (р2+-4')
= (р2 + 1)(Р2 + 4) ’ (2’18)
Числитель делится на (р2-|-4). Подставляя рг =— 4 в
(2.18), находим числитель
12/7—гу'2 = 0,
откуда
16
, _ 16 _ 23 Р
У 2" 23 ? ИЛИ р2 + 4 '
Подставляя значение у'л в (2.18), находим
7 28
23 р* + 23 р __ 7 р
(^2 + 1)(Р2+4) — "23 р2+ 1 ’
и, наконец, из уравнений (2.17) и (2.19) находим
85
z Г_1-^-Н1-Р2 + —
’(23 р2 +1р2 +1
(2.19)
36
и
_ 1863
2з~ 28р '
Схемная реализация представлена на рис. 2.2.
Пример 2.2. Синтезировать лестничную цепь, задан-
ную импедансными функциями
_ 6р4 + 6р2Н-1 (z, — )
6р. + 3р — (уг-------)
И
_ - Р2+' - 1
12 бр* + Зр (г/2----------)
0,11^3
O—II—
0,01503
Рис. 2.2. Схемная реализация
в примере 2.1.
о
Решение. Zu является функцией четвертой степени,
которую можно реализовать лестничной цепью из четы-
рех ветвей. Отнесем единственный нуль функции z12
в последнюю ветвь лестничной цепи. Тогда кумулянты
равны
(г,------+ (2-20)
(2.21)
Zj и у2 находим путем последовательного деления:
6р4 + 6р2ц-1 . 1 __
&Р* 4- 3/> //_г б/>*-|-Зр
Зр2+1
=/’ +--------Ц----------=*,+--------(4______, (2.22)
2p + (3p2+l)/p (yt----)
37
Из уравнения (2.22) находим г, = р и у2-=2р. Остальные
две ветви находим из уравнения (2.22), положив
(г.-----) _ Зрг + 1
(У*-----) Р
Подставляя г/4 = y'J(pz-\-1), раскрывая числитель куму-
лянта
гзгО + Р2 +1 = зР2+1
y'l y'l Р
р2 + 1
и приравнивая друг другу числитель и знаменатель, находим
, р
Уь = р или у*=-^,
z3p = 2p* или г3 = 2/?.
Схемная реализация изображена на рис. 2.3.
/ г
Рис. 2.3. Схемная реализация
в примере 2.2.
2.3. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном
конце; общие соображения
Рассматриваемые далее методы синтеза относятся
главным образом к лестничным цепям LC без потерь,
нагруженным сопротивлениями. Если обозначить сопро-
тивление на входе (выходе) через /?1(/?2) и соответству-
ющую проводимость через Gi(G2), то входной импеданс
38
лестничной цепи, нагруженной на входе, можно пред-
ставить в виде
В этом выражении члены гь Уг, , zzn-i представ-
ляют собой чистые реактивности и, следовательно, нечет-
ные функции от р.
Синтез входных импедансов посредством лестничных
цепей, содержащих элементы R, L и С и взаимные индук-
тивности, разработал впервые О. Бруне [4]. Впоследствии
Дарлингтон [13] доказал, что любую положительную ве-
щественную функцию можно реализовать четырехполюс-
ником без потерь с одним оконечным сопротивлением.
При этом могут появиться отрицательные индуктивности
в последовательных ветвях или отрицательные емкости
в параллельных ветвях. Такие цепи можно осуществить
при помощи взаимных индуктивностей, но можно обой-
тись и без них, если соединить параллельно две соответ-
ствующие цепи. Необходимые и достаточные условия для
реализации положительной вещественной функции лест-
ничными цепями без взаимных индуктивностей впервые
установил Т. Футджисава [17]. В приложении к этой
главе помещен вывод его формул.
В конце главы в табл. 2.2 и 2.3 приведены функции
лестничных цепей с нагрузкой на одном конце.
2.4. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном
конце; синтез по заданному г12
Исследуем сначала синтез передаточного импеданса
Z12. Рассмотрим лестничную цепь без потерь, нагружен-
ную на выходе проводимостью G2. Имеем
________1________
1 ({/а----z2n-i> Ог)
Раскрывая кумулянты, нахбдим
~ == ^а (.Уг 2an_i) -[- (у2 Угп-а)-
z12
Поскольку выражение (у2-----z2n-i), содержащее (2«—2)
члена, является четной функцией, а выражение (у2-у2п-а),
39
содержащее (2н — 3) члена, — нечетной функцией, разбивая
l/z12 на четную и нечетную части, находим
(у,----г,п_1)=71- [четная часть —1, (2.24)
“ “ 'J2 I ^,2 J
(у,----уп_2) = [нечетная часть— 1- (2.25)
i г'2 J
На основании уравнений (2. 24) и (2. 25) четырехпо-
люсник без потерь, нагруженный сопротивлением, можно
синтезировать по общим правилам, как указано выше.
Необходимое и достаточное условие такого синтеза со-
стоит в том, что четная и нечетная части функции Zi2
должны быть реализуемыми функциями. zt не входит
в кумулянты уравнений (2. 24) и (2. 25), так как по оп-
ределению Z12 есть функция цепи, питаемой генератором
тока, поэтому схемная реализация не зависит от импе-
данса Zi, включенного последовательно с бесконечным
импедансом.
Пример 2.3. Найти схемную реализацию цепи без по-
терь с выходной нагрузкой J?2=l, с передаточным импе-
дансом
1 1
Z’2—^+Ж+5р34-5р2 + Зр+ 1— (У1-----------г/5 + 1) ’
Решение. По заданной функции цепи находим
(У,----У.) + (У>----г4) = Р* + 3Р4 + 5р* +
+ 5р* + Зр -ф-1.
Разделив многочлен на нечетную и четную части, находим
(У,----У5) = Р5 + 5Р3 + Зр,
(у,----z4) = Зр4-[-5р2-[-I.
На основании обратимости кумулянтов [уравнение (1.20)],
имеем
> — (У* У»)=<У»----------У»)
22 (z«------У1) (У1______г*У
Производим последовательное деление
40
Зр‘,+5рг*1)р**5р3*Зр(±р
%р3+£р)Зр*+5р*+1(±Р
12 п2
L1TL
13. 2 . . । /Z7„з а -г 50 п
+1)^Р ^(здР
1^Опг. 50 _
3Р 39 Р
18DL'3^i(’59p
13 РРТР ' 90
%Р2
к
о
откуда следует
, . /I 9 50 169 18 \
(У5-----У.)= -39 Л 90-А ТГ Р]’
Схемная реализация изображена на рис. 2.4.
Рнс. 2.4. Схемная реализация в примере 2.3.
Пример 2.4. По заданному передаточному импедансу
лестничной цепи, нагруженной сопротивлением /?2=1>
_ (Р2+1)2______________1
р‘+3р* + 4р2 + 3р+ ! — ((/,--z2„, 1)
найти схемную реализацию.
41
Решение. Четная и нечетная функции цепи равны
_____г )_P4 + 4P2+1
«И (р2_|-1)2
(и _____и )=.3^+_3Z=. 3Р .
\У1 У2П-!) (р2_|_])2 р2_|_]
Множитель (р2+1), на который сокращается числитель
и знаменатель нечетной части функции, должен быть
полюсом члена Z2n- Кроме того, поскольку Z12, явля-
ющаяся функцией четвертой степени, имеет два полюса,
лестничная цепь с таким передаточным импедансом дол-
жна содержать две реактивные ветви. Следовательно,
y't zZ2 А Р4 + 4Р2+1
p24-1’p2 + U — (р2+Т
и
У1 _ 3Р .
Р2 + 1 Р2 + 1
Из последнего уравнения находим
У', = 3/2 или
Подставляя у\ в первый кумулянт, получаем
I
z'i Ър I. . Р4+ 4Р2 + 1
Р24-1р24-1“г (Р2 + П2
или
z\-3/2 + /24 + 2/22+1=/24 + 4^ + 1,
откуда следует
2
z\ = -yp или z2 = -^-x-
Реализация изображена на рис. 2.5.
1
2
Рис. 2.5. Схемная реализация
в примере 2.4.
42
5.5. Лестничная цепь LC с нагрузкой на Одном
конце; синтез по заданному
Если входной импеданс лестничной цепи без потерь
с нагрузочным сопротивлением (см. табл. 2.2 в конце
главы) задан в виде
_ (г1 г2п-1'0г)
1' (Уг z2n-1 > Gi)
то для того, чтобы исключить сопротивления, мы разла-
гаем кумулянты по последнему члену:
___ (Z1 Z2n—1) ^2 (Z1 j/2ft—2) /9 ЛСЧ
11 ““ (4/2 --Z2„- х) G2 + (4/2 - f/2„-2)‘
Заметим, что
(г,----z2n_,)— нечетная функция от р,
(г,----У2п-2) — четная функция от р,
(у2----z2n-x) — четная функция от р,
(Уг-----Угп-г) — нечетная функция от р.
Кроме того, из уравнения (2. 26) следует, что зна-
менатель должен быть общим множителем четных и не-
четных частей знаменателя рациональной функции Zu.
Пусть задано распределение полюсов. Положив
<?2= 1, находим следующие соотношения между кумулян-
тами и числителем и знаменателем:
z'i у'г _________z'2n_, \ [Нечетная часть числителя] [О„]
^х ^2 d2n_ 1 У dtds, — , d2n— j D
(2.27)
''z'l У'г У'гп-гУ___[Четная часть числителя] ____[£„] /990ч
^dt’ d2 d2n_2 J ~ dtd2, ... , d2„_, ~~ D
/у'г__________2'2n-i\___ [Четная часть знаменателя] _____[£d]
\ d2 d2—_ * / d.d2. ... , .. j D
(2.29)
/у'г_________У’гп-г \___[Нечетная часть знаменателя] ____[Од]
\ ^2 '4п-2 ) dtd2, ... ,d2n_, D
(2.30)
43
li
Для облегчения вычислений четные и нече'гные части
числителя и знаменателя уравнения (2.26) разделены
на D = (dld2, .., d2n—i).
Чтобы найти общий знаменатель D, применим урав-
нение (1. 19)
({Zj @"п) (®г ' @"П — 1) (d'l &П~ 1) (®2 ®п)
=(-1)п
к уравнениям (2.27) — (2.30). Тогда
[О„] [Od] - [£„] [£d] = ± D\ (2.31)
После того как члены выражения для D найдены,
можно разместить полюсы и произвести синтез.
Пример 2.5. Задан входной импеданс четырехполюс- '
ника без потерь, нагруженного на сопротивление, равное
единице:
19,5р4 + ЗЗр3 + 60р2 + 84р + 24
2,1 13р» + 22р2 + 20 р + 24
Синтезировать цепь.
Решение. Цепь описывается импедансной функци-
ей четвертой степени, которую мы представим в виде
? ------г«- Ч
11 (уг------------у*, 1)
Сопротивления исключаются при разложении кумулян-
тов. Разделим их на четные и нечетные части. После это-
го из уравнения (2. 31) находим
D* = [E„l [Ed] - [CM [СЦ] = (19,5/4 + 60/7= + 24) X
X (22р2 + 24) — (33/73 + 84/7) (13/73 + 20/7) = (6/7= + 24)\
т. е.
£> = 6/7=+ 24.
Поместим единственный полюс в третью ветвь лест-
ничной цели. Тогда кумулянты для четных и нечетных
частей знаменателя и числителя на основании уравнений
(2.27) — (2.30) равны:
,, г'3 ,Л 19,5р4 + 60р2 + 24
D 6X4-24 &р2 + 24
[OJ „ XJ_______________А— 3ЗР3 + 84Р
—о-----+>’1/2. QP2 + 24J— 6Х + 24 ’
(2.32)
(2.33)
44
[OJ _ z'3 <Л- 13P* + 20p
D I2*2’ 6p24-24 ’»*y 6p2 4- 24
*'> >_22p24-24
D [J™’ 6p2 4-24 J 6p24-24
Из уравнений (2.32) и (2.34) находим
(2.34)
(2.35)
а из уравнений (2.33) и (2.35)
ЗЗр3 + 84/2 — z, (22р2 + 24) = z', = 48/?,
откуда
_______________________ 48р _ 8р
2з бр2 4- 24 — р’- 4- 4'
Раскрывая (2.35), получаем
У^3 = (22/?2 + 24) - (6/?2 + 24) = 16/?2
или
У2=-т-
Р и с. 2.6. Схемная реализация в примере 2.5.
Наконец, из уравнений (2.34) и (2.35) находим
13р» 4-20^-^(22^3 4-24)
6р2 4- 24 у2-
Подставляя в числитель р- = — 4, получаем
Схемная реализация представлена на рис. 2.6.
45
2.6. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном
конце; синтез по заданному |z12|2
Эту функцию цепи можно [представить (см. табл. 2.2)
как
I z I2 =---------5----------
1,21 1(^2----в2)1*
Чтобы исключить сопротивление, разлагаем кумулянт по
нагрузке G2. Имеем
| |2 | (У2 ^гп-1) ^2 Ч“~ (^2 Угп- г) |2-
Так как
(у2------г2П_,) — четная функция,
(уг------У2п-г) — нечетная функция,
то
j г |2 — (Уг ^"2п-1)2^2 О/з Угп-г)
= G2 [Е]2 [О]2. (2.36)
Чтобы найти величины элементов, представим иско-
мую функцию в форме функции с неопределенными ко-
эффициентами и приравняем коэффициенты при одина-
ковых степенях р в искомой и заданной функциях. Это
приводит к системе уравнений, по которым можно вы-
числить неизвестные коэффициенты. После этого можно
произвести синтез по четной и нечетной части модуля
передаточного импеданса. Этот способ поясняется следу-
ющим примером.
Пример 2.6. Синтезировать цепь, заданную модулем
передаточного импеданса
1 121 14-<о6
при G2 = 1.
Решение. Подставляя р2= — <о2, имеем
’ =1-/=[Е12-[д]2.
I ^12 I
46
Задавая четную и нечетную части функции в виде
а [Е\ = \^-ар2
\0} = Ьр + р*,
I получаем
[Е]2 — [О]2 = 1 + (2аЬ — Ь2) р2 4- (а2 — 2Ь) д4 — рл.
Сравнивая это выражение с заданной функцией, находим
2а — 62 = 0,
• а2 — 2Ь = 0
или
а —2, Ь — 2.
Кумулянты заданной функции цепи можно задать в виде
[Е] = (У1,гг)=1+2^
[О] = (*Л, га, t/3) = 2/2-|~E3-
Путем последовательного деления находим величины эле-
ментов:
1 4 3
Уз — 2 Р' з Р И Р1 2 Р’
Схемная реализация представлена на рис. 2.7.
*
о Т Г J
Рис. 2.7. Схемная реализация
в примере 2.6.
2.7. Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих
! концах; синтез по заданному z12
} Передаточный импеданс лестничной цепи с нагруз-
। ками на обоих концах выражается следующим образом
(см. табл. 2.4 в конце главы):
______________________________ 1
?,2~ (У,-----g2)
47
или
1
2,2 — (</, ----f/2n + G2)’
Синтез цепей с такими функциями был уже рассмотрен
в разд. 2.4.
2.8. Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих
концах; синтез по заданному
Типичная функция этого рода (см. табл. 2.4):
(Rt.yt---z2n, G2)
(У,------z2n,G2)
Для исключения сопротивлений разложим кумулян-
ты числителя и знаменателя по Rt и по G2;
__Rfii(y\ zzn)-\-Ri(yi —#2n-i) +
11 G2 (ух--------z2n) +
4~ G2 (г2 г2п) 4~ (г2 Угп-i). ?2 37\
+ (f/i Угп-i)
Так как в уравнении (2.37)
(у,------г2П)— четная функция от р,
(у2------у2П_,) — нечетная функция от р,
(z2------г2„) — нечетная функция от р,
(z2------y2n-i) — четная функция от р,
то многочлен в числителе можно разделить на -четную
и нечетную части следующим образом:
В fit (.У1 22П) -J— (Z2 У2п-1)
------------[Четная часть числителя] 1Еп]_/С) оо>
________________________________________Д-= —Д- - V да)
(i/i Угп — i) 1 @2 (^2 Z2n)
[Нечетная часть числителя] _ [О„]
— д д ’ (2.6J)
48
Подобно этому
„ , , (Четная часть знаменателя] __ (£'d)
^2 \У1 zin)= [j D ’
{у,
[Нечетная часть знаменателя] _ [Од]
Угп-1)— £) D ’
(2-41)
где D — общий знаменатель, образованный произведени-
ем всех частных знаменателей функций 1/2 и т. д.,
содержащий все полосы цепи.
Следовательно, кумулянты лестничной цепи равны:
(*/.----= <2-«)
&.------₽«)
(г.-----(2.44)
Общий знаменатель можно вычислить при помощи урав-
нения (1.19):
-----22П) (z2---У2п-Х~ (*Л-----У2п-д X
X (%2 Z2n) 1 •
Имеем
Ж] - [Ed]} [Ed] - {[O„l - [Od]} [Oal = G2D\ (2.46)
После того как многочлен D вычислен по заданной
функции цепи, синтез проводится обычным способом по
кумулянтам (2.42) — (2.45). Избыточность данных дает
некоторую свободу выбора при вычислениях. Как видно
из уравнения (2.46), многочлен D содержит лишь чет-
ные степени р.
Пример 2.7. По заданной функции цепи
______________3,9р4 + 6,9/?’ + 8,4р2 -|-5,8р 4-2
~ 3,9р4 + 3р* + 5,4р= + 3р+1 ’
представляющей собой входной импеданс четырехполюс-
ника без потерь с нагрузками на обоих концах, найти
схемную реализацию при =
4—1469________49
Решение. На основании уравнения (2.46) знамена-
тель кумулянтов определяется уравнением
GtD* = {[Е„] - [Ed]} [Ed] - ДОП] - [Od]) [Od] =
= (3/2a 4-1) (3.9/24 4-5,4/?2 4-1)—
— (3,9//4-2,8/2) (3/23 4-3/2)=H.
При (?2=1 имеем D=l.
Теперь можно произвести синтез по уравнениям
(2.42) и (2.43). Находим
(у,-----г2„) = = 3,9/2* 4- 5,4/2= 4- 1,
(У,-------t/a„_I) = [Odl = 3/234-3/2.
Путем последовательного деления находим элементы
I схемной реализации, изображенной на рис. 2.8.
/ 1,5
I о----------------*-----°—
Р и с. 2.8, Схемная реализация в примере 2.7.
I
) 2.9, Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих
|! концах; синтез по заданному |р|2
Как будет показано в следующих главах, наиболее
важная часть синтеза лестничных цепей LC с нагрузка-
ми на обоих концах производится по квадрату модуля
коэффициента отражения.
Прежде всего определим коэффициент отражения
I __ г,,-/?,
| Р ги +
и подставим сюда выражение для входного импеданса
лестничной цепи:
_ ____ (г2 --г2п> бг) .
(Щ-----г2п.б?)
50
Имеем
р Z-n' --- г2п. .
( — 2 г2п. G2) 4" Rt (yt ----Z2n, G2)
Раскрывая кумулянты и составляя квадрат модуля ко-
эффициента отражения, находим
| р |2 __ (г2 г2п) бг + (г2 --//2п-1)
(г2 z2n) G2 + (г, Угп- i)+
(j/, ~ г2п) — Riklh Угп-i) 2. /о
+ ^,G2 (l/i z2n) + /?, (р, У2п~ i)
После разделения на четные и нечетные кумулянты по-
лучаем
г i2 f(//i z2n)G2Rt — (z2 -y2n-t)]2 —
[(1/1 г2п) G2Rl + (г2 У2п — 1)]2
№ (j/i У2П-1)—G2 (г2 ггп)]2
[^1 (1/1 У2п -1) + G2 (?2 ?2п)] 2
Следовательно,
।, _ [£nl2 - [On]2
|N [£d]2 - [Od[2 ’
(2.48)
В уравнении (2.48) числитель и знаменатель представ-
ляют собой разности квадратов четного и нечетного много-
членов, или
р]2 = р(р)р (-/?) =
{fgnl + fOn|}{f£„|-fOnl}
{[6d] + fOd]}{[/?d]-[Od|}
откуда находим
_ [Е„] + [On]
И [£d| + [Od] •
(2.49)
Сопоставляя это уравнение с уравнением (2.47), полу-
чаем:
[£п] == — (z2-----У2п-,) 4-(У,-----z2n) R,G2, (2.50)
[Оп] = — (z2------г2П) G, 4- (у,---у2П_,) /?„ (2.51)
[Ed]=(z2-------У2п-,)4-(У1-------z2n\Rfi2, (2.52)
[Od] = (z2-----Lz2n)G24-(j/1-----у2П_,)/?,. (2.53)
Из уравнений (2.50) — (2.53) находим соотношения, свя-
зывающие кумулянты с коэффициентом отражения р при
равном единице:
G2 (у,-----г2П) = , (2.54)
4
51
{у г----(2.55)
(z2-----г2П) = f0J ~ f0"! , (2.56)
(г2-----j/2n_.)= [£1112~f£nl. (2.57)
Уравнения (2.54)— (2.57) будут часто применяться
далее при синтезе фильтров.
2.10. Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих
концах; синтез по заданному £12
Если функция усиления задана в виде
^'2 (fli + Z|, у2---J/2n4~Ga)
или в каком-либо другом виде, синтез следует проводить
по квадрату модуля коэффициента отражения. Порядок
действий будет описан ниже.
2.11. Симметричные и антиметричные
лестничные цепи
Большинство лестничных цепей, которые мы будем
рассматривать, являются либо симметричными, либо ан-
тиметричными. В симметричном четырехполюснике вход-
ной и выходной импедансы одинаковы. Следовательно,
z = ^-
" (У,
Угп + \< 1) (г2п
J/2n + l- В
(i/2n +1
^=г„.(2.58)
Так как
(У1 ^гп) (^2 Угп+1)>
то четная часть числителя в уравнении (2.58) сократится,
и мы получим
|р|а =
fOJ2
[Ci]2 - [Odl2’
(2.59)
52
В антиметричной лестничной цепи входной и выход-
ной импедансы представляют собой взаимно обратные
величины, т. е.
___ (га ~ Ga)_____(У2п- 1 Уп ^i) — 1
(У,------z2n,G2) — (z2„------- (/!,/?,)
и при одинаковых оконечных сопротивлениях (/?, = 62 — 1)
(У1 У2п~ 1) (^"2 £2п)"
Следовательно, из уравнения (2.48) получается
। pl2 = [fiJ- '[Oil2' (2,60)
Задачи
Задача 2.1. Задан входной импеданс четырехполюсника
12р3 + 'Мр2 + 25р + 4 _ (z,---------------)
z«- 4р‘+18р3+16р24-3р (у2---)
и передаточный импеданс
(2р 4~ 1) (Р 4~ 1) 1
zi2-4p«+18р34-16р2 + 3р (у2---------)
Синтезировать цепь по схеме, изображенной на рис. 2.9.
Задача 2.2. Для лестничной цепи с единичной нагрузкой на
одном конце задано
_ (Рг 4-1) (2р3 4-2р2 4-2р 4-1) (г2 )
211 — 6р64-бр“4- 10р34-7р24-Зр4-1 (г/!--)’
_______________£1+J____________ 1
г>2-6р64-6р44-Юр34-7р24-Зр4-1 (Уг------------)
Синтезировать цепь.
Задача 2.3. Синтезировать лестничную цепь, эквивалентную це-
пи, изображенной на’рис. 2.10.
Задача 2.4. По заданному входному импедансу
р4 4~ р3 4- 2,25р2 4" 1 *5р 4" 1
211 Рг4-^2 + 2,5р4-1
53
синтезировать цепь с передаточной
только на бесконечной частоте и
остальные в бесконечности.
функцией, имеющей: а) нули
б) один нуль при р2 =—2 и
0,5
Рис. 2.10. Схема к задаче 2.3.
Приложение 2.1
Реализуемость положительных вещественных функций лестнич-
ной цепью без потерь и без взаимных индуктивностей с нагрузкой
иа одном конце. Входной импеданс лестничной цепи без потерь
с нагрузочным сопротивлением, равным единице, можно предста-
вить как
Угп+Х > И
(2.61)
2 (Ух--------Угп+х, 1)
Раскрывая кумулянты, находим
_ (г2 ~1/2п+1 ) 4~ (Z2 ?2n)
(Ух-----'</2п+1) + (Ух-----~2п)
где (~2------Угп+х) и (Ух------г2П)> содержащие четное число имми-
тансов, — четные функции, a (z2-----— z2n) и (г/,------Угп+х) — нечет-
ные.
Тогда входной импеданс можно представить в виде •
__ Et + Ot
Ег Ог
где Et и Е2 — четные многочлены, а О, и О2 — иечетиые.
Вводим многочлен D в качестве общего знаменателя:
D ф D
г1
(2.62)
__ °2
Dr D
Сравнивая уравнения (2.61) и (2.62), находим
(Ух---------------------------Угп + х) — j) ’
54
Е2
(УI ----- г2п) — £) >
(г2 -------02п + 1) £) ’
О,
(22 -----Z2n) --- £)
Поскольку для части цепи, не имеющей потерь, импедансные функции
можно представить как
1_________= _D_
2,2 ~ (yt------02n+i) Ог ’
_ (ггп- — 01) _Е2
22 “ (02„+i-------У1) О2 ’
необходимые условия для реализации сводятся к следующим:
1. Степени числителя и знаменателя импедансной функции от-
личаются самое большее на единицу.
2. Так как D является произведением знаменателей иммитан-
сов, входящих в Zu, то числитель импеданса Zu фильтра нижних
частот представляет собой либо постоянное число, либо произведе-
ние вида
Если числитель импеданса z12 является постоянным числом,
нормированным к единице, то из уравнения (1.19)
(01-----02„+i) (2г--------2г„) — (г2--------02п+1) (0)------г2п) = —1
следует
О2О,-£,£2 = - 1.
Вводя знаменатель, имеем
О2 О. £. £2
D D D D'~~ L
т. е.
OjO2 — £,£2 = — О2.
3. Из рассмотрения импеданса
______ (г2 ~ ~ ~ 0211-4-1) _ £1
г" ~ (01 02„+!) о2
(или г2г) следует, что нули многочленов £1 и 02 должны чередо-
ваться.
Эти условия не только необходимые, но и достаточные, так как
если они выполняются, можно синтезировать пепь без потерь. На-
грузив эту цепь единичным сопротивлением, мы будем иметь схем-
ную реализацию исходной импедансной функции.
55
Функции лестничных цепей LC
2; ~ %2п-1
211 (21> р2, ^2п- 1’ ^2) (?1’ #2’ У2п~\~^2)
(У2’ “.г2п-1’^2) (^2>‘ у2п + G2)
Z22 (г2п_,, у2) (-2п—1’ У-’)
(G2'Z2„_1, У%) (62 + у2п, “,//2)
?12 1 1
(Уг, -'=n-l- G2) (У?’ У2п + Сг)
£12 1 1
(’1’' ' ггп-1>Сг) (г1> ‘//гп + Ог)
Ун (У2’ г2п-1) (//2> Z2n-1)
(•’п г2п_,) . ("1’ ^2п-1)
[/22 (6,.г2я-„ ’,) (бг + У2п' г,)
(:2л_,, 21) (г2„-,, z,)
[1 12 1 1
(?,• -2г.-,) (г,. 22л-,)
56
Таблица 2.2
с нагрузкой на выходе
гг г2п гг
(з2,— ^2п’ ^2) (Z2. У2п-1 4-G2)
(4/1. - ~2n. G2) (4/1> У2п- 1 + g2)
—^2 : У1) 4/1)
(G2, 2* 2п’ ' У1) (Gj + У2п- г 4/1)
1 1
(У1- -2п’ (Ум //2?/ -1 + ^2)
1 1
(^2. ~-2п’ G2) (?2, 4/2п- 1 + G2)
(4/1. " ^2п) (4/1, ^2п-г)
(?2. Z2„) (Z2, У2П-2)
— ——- 1 1 1, (Сг, ^2п’ гг) (G2 + У2п- -i> '2)
(z2, .. г2) \?2п-2’ -2?
1 1
(?2. ?2п) (^2. гп-2)
57
Функции лестничных
г1 *Zn*1 / г, г3 у
(/?,+ zv у2. Угп) (/?, + zv у2, 02п)
ги (Уг< Угп) (Уъ ^2п)
(z2n+1, — ZpGi) (z2„_„ ZpGJ
2*22 (&2П’ -ZpGj) (^2п* G,)
I 1
2 (У2' Угп) (Уг< #2n)
I 1
812 (/?, + г,, у2,- Угп) (^1+г1> Уг> 02n)
(У г, Угп+1) (Уг> ^2n- 1)
У it (/?i + г,, г/г> Угп+1) (/?i + гр у2,- г2п- 1)
(#2Я» г1» Gj) {у^п* Zp G.)
Угг (г2п+1’ Zj.Gi) (г2П— 1» - г,, GJ
1 1
У\ъ (/?! + у2, Чп+1) (/?! + Zp у2, — ^2n- 1)
58
Таблица 2.3
ц цепей LC с нагрузкой на входе
гг *гп~ гг 9-—гО —Т~"°
Пе>
ф I т
(КгУг Угп- 1) (ЯрУр — Угп-1)
(Уг Угп-1) (Уг Угп- i)
(Z2n. /, + G>) (г2п-2’ У1 + G,)
(У2п- V У\ + GJ (1/2П-1- У\ + Gj)
1 1
(Уг У?П~ 1) (Уг Угп- i)
1 1
(Яр Уг У-in— 1 ) (ЯрУг Угп-г)
(Уг г2„) (У г г2п- з)
(/?р У\, z2n) (Кг Уг ^2п- 2)
(У2п-Р f/рЯ,) (Угп-г Уг К,)
(^2п’ ~ Уг Я,) (^2п~2< Уг я>)
1 1
(Яр Уг — 22я) (Яр!/р ^2П-г)
59
Функции лестничных цепей RC
Ri гз г2л*1 HZZZHZD-rCZJ -t-CZh? о—— /?7 г, г3 HZZHZZWO-p? S УгП
(Rt + гг Уг, G2) (/?14-г,, у2. Угп + 02)
г11 G/г. g2) (у^- Угп 4" G2)
(г2п+1* У2) (ггп-п Уг)
^22 (G2, Уг) (G2 + Угп Уг)
1 1
‘ 12 {У 2’ G,) (1/г. Угп + G2)
1 1
Sa (/?! + У2 g2) (/?, + г,, у2. Угп + ^2)
(Уг* г2п+ 1) {У г. ^2п— г)
Ун (/?, + г,, у2, °2n+l) ^гп-1)
(С?2’ ^2п+1’ г1 + Ri) (G2 + УгП’ г1 + Ri)
У 22 (^п+г zi + Ri) (^2n— j» zi + Ri)
1 1
Ум (/?, + zlt Z2n + 1) (/?, + Z,, ^гп-1)
60
Таблица 2.4
с нагрузкой на входе и выходе
/?, г2 oCZi-t£Z>T‘ /И ггл 3 Ri iz ггп-г oCD-rCZ)- "CZlt-9 УгП ^/7-гППй>
о - 1 —A 0
Уъп.) Gg) № yt, Угп+t + G2)
(У и g2) (У1, Угп-i + G2)
(г2п, У1) (z2„-2, У1)
(G2, z2n, У1) (G2 4~ f/2n-1 > f/i)
1 1
(l/i. g2) (//1, <y2n+i4-G2)
1 1
(Rt,yt< g2) (^?i> У1< //2n+i4-G2)
(Ун z2n) (f/l. Z2n-2)
W,. yt, •?2n) (^1» УI» ^2n— 2)
(G2, ^2n> у и Rt) ((j2 + У2П- 1, #1» ^1)
(z2„. yt. Ri) (z2„_2, -yt,RJ
1 1
№- г2п) (Ri,yt, z2„_2)
3 Введение в синтез
фильтров
В этой главе приводится определение основных пара-
метров фильтров и излагается принцип расчета. Фильтры
классифицируются: 1) по характеристике затухания, 2) по
характеристической функции. Другие способы классифика-
ции — по фазовой характеристике, переходному процессу,
по оптимуму отношения сигнал/шум и т. д. — не рассмат-
риваются. Синтез фильтров проводится для лестничных
цепей.
3.1. Общие замечания
Если между генератором и нагрузкой включить че-
тырехполюсник без потерь (рис. 3.1), мощность, рассе-
иваемая в резистивной нагрузке, равна
/?2
> _____
2
Максимально возможная мощность, отдаваемая источ-
ником с внутренним сопротивлением равна
Квадратный корень из отношения этих двух величии
является мерой передачи четырехполюсника и называет-
ся эффективным коэффициентом передачи t. Итак,
s,
О г *У2
(3.1)
62
где
Рг
£12 Р
называется усилением четырехполюсника.
Рис. 3.1. Четырехполюсник, включенный между генератором и па-
грузкой.
Во многих случаях вместо t мы будем рассматривать
логарифм обратной величины, который назовем эффек-
тивной постоянной передачи:
— эффективное затухание',
6 = агс-^- рад
(3-2)
(3.3)
(3.4)
— эффективный фазовый угол.
Вообще, мощность Р%, передаваемая от генератора
к нагрузке, меньше максимальной мощности на величину,
равную отраженной (мощности Рг. Следовательно,
Рт = Р2 + Рг- (3.5)
Введя коэффициент отражения
63
где z— входной импеданс четырехполюсника и 7? — око-
нечное сопротивление на входе, можно определить
постоянную отражения
(3-7)
gr = log-y = log|/ ^- = ar-\-ibr,
где
— затухание отражения и
(3-8)
рад
(3.9)
— фазовый угол отражения.
Соотношение между Рг и Р% выражается характери-
стическим коэффициентом
(ЗЛ0)
и характеристической постоянной
где ^z = logZ = logp Г Pr _ Pt - = az + /6z' (3.11)
аг = In | zl = In 1/ неп T t 2
или (3.12)
«z = 201g|Z 201g = 101g
it, ijixС' i/ice CxCz/vvzl**
v/>ина и
I lij ✓ VVZ'I kWV. 14
bv —arc/= arc V pad (3.13)
X F rj
— характеристический фазовый угол.
64
Из уравнения (3.5) вытекает следующее соотношение
между t, р и у:
или
|№+|р|г=1- (З-14)
Из этого же уравнения (3.5) вытекает соотношение
между t и /:
hV=>+izI’- <3-15)
3.2. Принцип расчета
I
it Эффективный коэффициент передачи t, характеристи-
/ ческий коэффициент % и коэффициент отражения р пред-
ставляют собой функции комплексной частоты р. Обычно
при расчете фильтров исходят из требования, чтобы
затухание в полосе пропускания было очень мало; по-
этому в этой полосе частот абсолютная величина t
близка к единице, а абсолютная величина у близка
( к нулю. Поскольку производить действия над функциями,
близкими к нулю, легче, чем над функциями, близкими
к единице, лучше рассматривать характеристический ко-
’ эффициент %, а не эффективный коэффициент передачи t.
Представим квадрат модуля усиления из уравнения
(3.1) в виде
I /12
I а |2 = _Ш—=
|ё1г1 4#,G, Л I4 I >
где
К=- '_______
/4/?1G2
Подставляя |f|2 из уравнения (3.15), получаем
(3.16)
(3.17)
Обозначив
I К. I2 = [Р И] [Z7 (— Р)] = F («>г),
5—1469
(
&
приходим к следующему основному уравнению для рас-
чета фильтров:
I Я12 |2 1 р (И2) >
(3.18)
где F(co2) —характеристическая функция. Возможность
такого представления функции усиления является необ-
ходимым и достаточным условием ее реализуемости,
так как квадрат модуля усиления, являющийся вещест-
венной рациональной функцией со2, всегда положителен
при действительных значениях со.
Квадрат модуля усиления выражается следующим
образом через кумулянты:
1^>г1 |(1, у, г,---с/2п+1+бг)1г ‘
Разлагаем знаменатель по первому и последнему члену:
I ^,2 I 1(У> ----г2п) G2 + (гг------1/2п+1)Г —
— KfCi------ Угп+д + (гг г2п)бг]2 ‘
откуда следует
'£,г| ~ {у У-------?2n)2 + (г2--------1/2П+. )2 -
-- (У1 ----- У2п+1)г — (гг г2п) 4" 2^2
пли
____________1/2Ог_
1 +(1/2G2) [(</,—z2n)2G^ + (?2
Угп+iY —
— (У1
Угп+1)2 — (г2
г2п)2 Gj]
66
Поскольку (yt-------2гп) и (z2----У2п+1) — четные функции,
а (у,------Угп+1) и (z2------z2n) — нечетные функции от р,
необходимое и достаточное условие реализуемости функции
усиления состоит в том, что
(t/1----z2n) и (г2 - t/2n+1)
(У1 Угп+i) (гг ггп)
должны быть реактансными функциями.
Вернемся к уравнению (3.18) и расмотрим случай,
когда нагрузки Ri и G2 имеют значения, отличные от
тех, которые требуются для передачи максимальной
мощности. В этом случае выбирается
Наибольшее значение К (обозначим его К') ограничи-
вается следующим соображением. В уравнении
2
I |Э=: 1 F (<о=) (3.19)
К'^=К определяет плоскую часть кривой усиления пере-
даваемой мощности. Из уравнений (3.14) и (3.1) сле-
дует
1^|а= ! — |p|2 = 4/?IG2|gr12p.
Подставляя уравнение (3.19), получаем
4/?,О2К'2
1 + F (®2)
= 1-|р|2<1.
Поскольку F(co2) на некоторых частотах может быть
равно нулю, получаем условие
47?iG2/P^ 1
или
/4/?,о2 ’
(3.20)
(3.21)
Если фильтр, как это обычно бывает, включен между
двумя одинаковыми сопротивлениями, то при нормиров-
ке i/?i=/?2=4 уравнение (3.21) сводится к следующему:
<3-22)
51
67
Если четырехполюсник включен между разными сопро-
тивлениями, как фильтр нижних частот на рис. 3.1, уси-
ление на нулевой частоте равно
Из уравнения (3.19) следует
К' < g12 (0) [1 4-Е (0)] = [1 4- F (0)],
причем максимальная мощность передается, когда име-
ет место равенство.
33. Классификация фильтров
Расчет фильтров производится обычно по уравнению
(3.18), причем функцию Е(со2) нужно выбирать таким
образом, чтобы она была близка к нулю в полосе про-
пускания, так как при этом вносимые потери малы.
В полосе задерживания функция Е(со2) должна быть
выше определенной величины, чтобы обеспечить требу-
емое затухание.
Характеристическая функция F(со2) должна быть
положительной на всех частотах, независимо от того, ка-
кова заданная зависимость затухания от частоты. По-
скольку здесь рассматриваются лишь пассивные цепи, не
содержащие источников энергии, из закона сохранения
энергии следует, что можно реализовать лишь характе-
ристические функции, являющиеся положительными ве-
щественными функциями. По экономическим соображе-
ниям заданную характеристику фильтра следует осуще-
ствлять при минимальном числе элементов. Этим
определяется минимальная степень функции F(ra2).
Фильтры можно классифицировать прежде всего по
расположению полос пропускания и задерживания на
фильтры нижних частот, фильтры верхних частот, по-
лосовые фильтры, заграждающие фильтры, фильтры по-
стоянного затухания и т. д.
Мы рассмотрим здесь лишь фильтры нижних частот,
но сказанное ниже применимо и к фильтру верхних ча-
стот, полосовому и заграждающему фильтрам. На рис. 3.2
представлена идеальная характеристика фильтра ниж-
68
них частот (кривая зависимости затухания от частоты).
Сигналы, поступающие от генератора на частотах,
лежащих в полосе пропускания (0 1), проходят
без ослабления, а сигналы на частотах, лежащих в по-
Полоса ;
пропускания , Полоса
*--- —* *— задерживания
ш-1
Граничная
частота
Рис. 3.2. Идеальная характеристика фильтра нижних частот.
лосе задерживания (со>1), совсем не проходят. Ап-
проксимацией такой идеальной характеристики является
функция усиления
I ^’212 = 1 + F (о2) • (3.23)
Умножив на 47?iG2 и учитывая (3.1), приводим последнее
выражение к виду:
\t |2 = 4/?,G21 g121’ = (3.24)
Как уже было упомянуто, в выражениях (3.23) и
(3.24) характеристическая функция F(co2) должна быть
близка к нулю в полосе пропускания и должна иметь
очень большую величину в полосе задерживания. Сте-
пень функции F(co2) определяется максимально допусти-
мым отклонением от идеальных условий, а это, в свою
очередь, определяет число элементов, необходимое для
схемной реализации. Лучшее приближение к идеальной
характеристике достигается при функции более высокой
степени, но идеальную характеристику осуществить не-
возможно.
При выборе характеристической функции /’(со2) мож-
но исходить из следующего классического подразделения
фильтров:
1. Фильтры Баттерворта. Фильтры имеют максималь-
но плоскую характеристику в полосе пропускания вблизи
нулевой частоты и далее мнотонно возрастающее зату-
хание с бесконечным затуханием при а=оо. Характери-
69
стика затухания фильтра Баттерворта показана на
рис. 3.3.
2. Фильтры Чебышева. Фильтры имеют переменное
затухание в полосе пропускания, изменяющееся от нуля
до заданного максимального значения, и далее монотон-
Р и с. 3.3. Характеристика за
тухания фильтра Баттерворта.
Р и с. 3.4. Характеристика за-
тухания фильтра Чебышева.
ы—*
Рис. 3.5. Характеристика зату-
хания фильтра Кауэра.
Рис. 3.6. Характеристика зату-
хания фильтра общего вида.
но возрастающее затухание с бесконечным затуханием
при со = оо. Характеристика фильтра изображена на
рис. 3. 4.
3. Фильтры Кауэра. Фильтры имеют характеристику
с минимальными изменениями затухания в полосе про-
пускания и полосе задерживания, как показано на
рис. 3.5.
4. Фильтры общего вида. Фильтры имеют характери-
стику с равномерной пульсацией в полосе пропускания
и произвольное затухание в полосе задерживания, как
показано на рис. 3.6.
Следует отметить, что при заданной степени харак-
теристической функции математическое решение задачи
о равномерной пульсации кривой затухания в полосе
70
пропускания одновременно является а решением задачи
о получении максимального затухания вне этой полосы
(при ограниченных потерях в полосе пропускания).
Задачи
Задача 3.1. Пусть для цепи, изображенной на рис. 3.1, имеют
место соотношения
Е2 _ 1
£, +
!г _ 1
/, Л42 + N2 ’
где ЛЬ и М2 — четные, a Ni и N2 — нечетные рациональные функ-
ции. Доказать следующие положения:
а) необходимое и достаточное условие реализуемости переда-
точных функций |£2/5i| и |/г//1| выражается уравнениями
|£1/£гр = Л[1+Нр)((-р)],
|Л/А|2=в[1+Нр)Н-р)].
где А и В — соответственно подобранные постоянные;
б) необходимое и достаточное условие реализуемости переда-
точных функций, указанных в а), выражается также уравнением
Л41Л4г — NtN2 = 1,
где
M2 + N2
М, + У,
— положительная вещественная величина.
Задача 3.2. Необходимое условие для реализации модуля функ-
ции усиления цепью без потерь с нагрузками на обоих концах со-
стоит в том, что функцию можно представить в виде
. ,2____________/С_________
lg,al “ 1 + е21 + Е2-о1-оГ
где £1 и Е2 — четные, a Oi н О2 — нечетные рациональные функции
от р.
а) Является ли это условие достаточным?
б) Если оно недостаточно, то будет ли оно достаточным при
выполнении равенства
' EiEi—OiO2=l?
в) Достаточно ли задать
£i£2—OiO2=l
вместе с условием, что Et/Oi — реактансная функция?
4 Фильтры Баттерворта
фильтры Баттерворта (или фильтры с максимально
плоской частотной характеристикой) широко применяются
из-за их простой схемы и хорошей фазовой характеристи-
ки. Поскольку фильтры этого типа определяются лишь не-
сколькими параметрами, имеются таблицы элементов, при-
годные для всех практических приложений. Тем не менее,
для лучшего понимания более сложных цепей, которые
рассматриваются дальше, в этой главе излагаются теория
и подробный расчет этих фильтров.
4.1. Общие замечания
Для того чтобы обеспечить максимально плоскую ча-
стотную характеристику в полосе нижних частот, подоб-
ную представленной на рис. 3.3, Баттерворт предложил
характеристическую функцию вида
F(a2) = а>2п,
где п — степень функции. Тогда уравнение (3.24) можно
представить в форме:
. <4-»
Если постоянная 47?iG2№ нормирована к единице, функ-
цию (4.1) можно разложить в области сходимости
(со<1) в степенной ряд:
id2
,гп
о>4" —
Сопоставляя этот ряд с рядом Маклорена
£И2
И2=1 +
1 rfHl2
2! da2
72
замечаем, что первые 2/г—1 производных равны нулю
в начале координат, поэтому кривая этой функции яв-
ляется максимально плоской при самых низких частотах.
На рис. 4.1 показаны характеристики фильтров Бат-
терворта первой, второй и третьей степени (н=1,2 и 3),
а также идеальная кривая (н = оо) при 4P|G2№—1.
Рис. 4.1. Характеристика фильтра Баттерворта при л=1, 2, 3 и <ю.
Все кривые пересекаются в точке со = 1, |/|2 = 0,5, что со-
ответствует затуханию 3 дб на частоте среза.
Рассмотрим ход кривой при аппроксимации Баттер-
ворта на частотах со> 1. Из рассмотрения (4.1) замеча-
ем, что для частот много больше единицы (со2лг^§>1) и
при величине 4RtG2K2, приведенной к единице,
Тогда из уравнения (3.3) следует
а = 20 lg r-U 20/г 1g <•> дб,
I 1 I
(4.2)
т. е. рост затухания стремится асимпотически к величине
6п дб на октаву (20 п дб на декаду).
На рис. 4.2 изображена кривая затухания в децибе-
лах в зависимости от частоты (со) для значений п от 1
до 10, вычисленная по уравнению (4.2). Точность этой
аппроксимации уменьшается при более низких частотах,
когда со приближается к 1. Пунктирная кривая изобра-
жает действительные значения в этой области частот
73
при п = 5. Как было указано раньше, при со = 1 затухание
равно 3 дб (|/|2=0,5) для всех кривых.
С помощью рис. 4.2 можно установить степень п
фильтра с данным затуханием на определенной частоте.
Ее можно также найти путем вычисления, как показано
в следующем примере.
Л ей стоите ль ное
Рис. 4.2. Затухание фильтра Баттерворта А ~ 20п 1g со.
Пример 4.1. Найти степень функции Баттерворта, при
которой получается затухание 55 дб на нормированной
частоте со = 4.
Р е ш е ни е. Из уравнения (4.2) находим 55.-20 п 1g 4
или п = 55/(20X0,6) =4,6. Следовательно, степень функ-
ции равна следующему целому числу, т. е. /г=5.
4,2. Синтез фильтров Баттерворта
После того как определена степень фильтра Баттер-
ворта, можно провести синтез фильтра исходя из урав-
нения (4.1). При i/?] = G2='1, т. е. К—'1/2,
№ 1 + <о2" '
(4.3)
74
Подставляя по принципу аналитического продолжения
р2 вместо -—<в2, имеем
1112 =-----------.
11 1 + (_р2)П-
Подобно этому находим квадрат модуля функции усиления
I S'n I2 = j _|_ (_ р2)П • (4-4)
Если фильтр имеет нагрузки на обоих концах, синтез
нужно проводить исходя из квадрата модуля коэффи-
циента отражения:
(4.5)
Разбиваем квадраты модулей на множители:
gtt(P)git( Р) — d (p)D (—р)'
?(Р)?(-Р) = щ№&у
Корни знаменателя
i+(-^2)n=o
расположены на окружности радиусом единица в плоско-
сти р и определяются уравнением
J п 2 ____________ ^rv "т" '* — i
Рк = е — cos п 2
+ /sin
2fe + п — 1
п
п
У’
где k=\, 2, ..2п. На рис. 4.3 представлено расположе-
ние корней в плоскости р для п = 3 и n = 4. Dn(p) опреде-
ляется как произведение всех множителей (р—р()
в левой полуплоскости, составляющих полином Гурвица.
В табл. 4.1. приведены нормированные коэффициенты
первых десяти полиномов Гурвица.
Имеются таблицы нормированных значений элементов
фильтров Баттерворта с нагрузками на обоих концах
[39]. Для пояснения практического расчета фильтров,
основанного на вышеизложенной теории, приводим сле-
дующий пример.
75
Пример 4.2. Синтезировать цепь, заданную функцией
ld2 = 4/?,G2l^l2=4^’
Решение. Положив /?1 = /?2=1, находим /(=1/2. Из
уравнения (3.14) находим
Рис. 4.3. Корни уравнения 1 +(—р2) п на плоскости,
а) п=3; б) п-=\.
Подставляя р2=—ы2 и разделяя на множители числи-
тель и знаменатель, получаем
|о|, .
|Н| D (р) D (—р)
Подставляя вместо D(p) полином Баттерворта пятой степени
(см. табл. 4.1), находим
n N(p)_________________________£____________________
'~~D(p)~ р6 + 3,236р4 + 5,236р3 + 5,236р2 + 3,236р+ 1
Проводя синтез по уравнениям (2.54) и (2.55), получаем
(У,-------Угп+,) = [Odl + [On] = 2/75 + 5,236/т3 + 3,236/7
и
(У,-----z2n) = [£dl + [£п] = 3,236/ + 5,236/ + 1.
Поскольку кумулянты не имеют знаменателя, выполняем
последовательное деление, которое приводит к схемной
реализации, изображенной па рис. 4.4.
76
Вследствие симметрии полинома Баттерворта (четно-
го или нечетного) цепь с одинаковыми нагрузками яв-
ляется симметричной, так что достаточно вычислить
значения половины элементов. При разных нагрузках
это не имеет места. Для этого случая в гл. 9 приведено
простое правило преобразования величины элементов.
Рис. 4.4. Схемная реализация в примере 4.2.
Задачи
Задача 4,1. а) Сравнить характеристику фильтра Баттерворта,
заданного функцией усиления
I gll I2 ~ j _j_ е2пр2П ’
с характеристикой, выраженной уравнением (4.1).
б) Можно ли при помощи преобразования переменной р = ер'
вычислить новые величины элементов?
в) Куда перемещаются пули знаменателя в плоскости р в ре-
зультате преобразования переменной р=р'(1—р'2)?
г) Имеется ли схемная реализация для функции, определенной
в пункте в)?
Задача 4.2. Задана функция усиления фильтра
1
I git I2 = (J '
Синтезировать по ней цепь лестничной структуры.
Задача 4.3. Фильтр нижних частот Баттерворта задан следую-
щими параметрами:
а) затухание при ш=1: максимум 1 дб,
б) затухание при ш=,2: минимум 47 дб,
в) фильтр включен между генератором с сопротивлением 1 ом
и нагрузкой 0,5 ом.
Найти величины элементов.
Задача 4.4. Включить последовательно два фильтра Баттервор-
та пятой степени, предназначенные для одинаковых нагрузок на
обоих концах. Найти затухание и коэффициент отражения всей цепи
(с такими же нагрузками) и сравнить их с соответствующими функ-
циями фильтра Баттерворта десятой степени (см. табл. 4.1 в конце
главы).
77
i
i
5 Фильтры Чебышева
В фильтрах Чебышева, как было упомянуто в гл. 3,
применяется равноволновая аппроксимация в полосе про-
пускания при монотонно возрастающем затухании в полосе
задерживания. В отличие от фильтров Баттерворта, имею-
щих максимально плоскую характеристику, в фильтрах
Чебышева погрешность распределена по всей полосе про-
пускания. Благодаря этому снижается максимальная вели-
чина погрешности.
5.1. Общие замечания
Функцию усиления, как и для фильтров Баттерворта,
представим в виде
1 + ^F2n (®) ’
(5.1)
где e2F2 (о>) обычно много меньше единицы в полосе про-
пускания и много больше единицы в полосе задержива-
ния. Функция Fn(co) должна иметь в интервале
— l^co^l максимумы и минимумы одинаковой величи-
ны. На рис. 5.1 представлена типичная характеристиче-
ская функция Fn(co). Ее аналитическое выражение:
Fn (w) = cos (га arccos <n).
Передаточная функция фильтра Чебышева определяется вы-
ражением
1 [ е2/г2 1 _|_ ег cos2 (п arccos <о) ’
79
где е — действительная постоянная величина, обычно
много меньше единицы, определяющая максимальную
пульсацию в полосе пропускания. На рис. 5.2 изобра-
жена типичная кривая усиления.
-1
Рис. 5.1. Полином Чебышева Fn (щ) =cos (п arccos со)
при п= 10.
№
1^12 I 1 г2 cos2 (п arccos <о)
5.2. Полином. Чебышева
Чтобы преобразовать трансцендентную функцию Fn —
= cos (и arccos со) в полином, разложим ее в степенной
ряд:
cos n<f = cos” ? — ( ” ) cos" 2 ? О — cos2 “Ь
я:)
cosn~4<p(l —COS2<f>)2 —
80
При <р —arccos <о имеем
Fn (<о) = cos (/г arccos <p) =
— <Dn— ( « )oun~2(l — a>2) _j_ — 0)2)2 _ ...
Посредством этого ряда можно вычислять полиномы
Чебышева различных степеней; однако их можно нахо-
дить гораздо быстрее при помощи рекуррентных фомул
Fпн (“») = 2a>Fn (ш) — t (ш),
выражающих соотношения между полиномами степени
п и п — 1, или
F2n(a>) = 2^(a>) — 1,
выражающих соотношение между полиномами степени
2п и п. В табл. 5. 1. приведены 10 полиномов Чебышева:
Таблица 5.1
Полиномы Чебышева Fn(w) = cos (n arccos co)
n Fn (“)
4
5
6
7
8
9
10
8 co4 — 8 co2 + 1
16 co5 — 20 co3 + 5 co
32 co6 — 48 co4 + 18 co2 — 1
64 co7 — 112 cos 56 co3 — 7 co
128 co8 — 256 co6 + 160 co4—32 co2 + 1
256 co9 — 576 co7 + 432 co6 — 120 co3 -f- 9 co
512 co10 — 1 280 co8 + 1 120 co6 — 400 co4-|- 50 co2 — 1
5.3. Полюсы функции усиления
Прежде чем обсуждать расчет фильтров, рассмотрим
корни знаменателей. Исходя из выражения
6—1469
81
и решая уравнение
0= 1 + s2cos2ti'-f = (jеcos«<?) (—j-|-s cosn<f), (5.3)
приходим к следующему уравнению для определения
нулей в полосе пропускания (—1 <ы<1):
е cos пер = ± /.
Представим искомое решение в форме
<f = u + jv.
Тогда подставляя
ы = cos ? = cos (u -ф- iu)
и
p = a-]~j<o,
находим действительную часть корней [11, 22, 39]
зл == — shusin-^- (5.4)
и мнимую часть
<oft= chucos-^-, (5.5)
где
k= 1, 3,..., 4/г — 1.
Чтобы наглядно представить комплексные корни на
плоскости р, возведем уравнения (5.4) и (5.5) в квадрат
и сложим их. Мы получим
sh2y ' eh2y
Это уравнение эллипса с большой полуосью ch и и ма-
лой полуосью sh v. Разделив уравнения (5.4) и (5.5) на
ch v, получим
а'к = ± th v sin
, kn
(Oft = COS2^-
Сравнивая фильтры Чебышева и Баттерворта, заме-
чаем, что мнимые составляющие корней для этих фильт-
ров одинаковы, а действительные части в фильтрах Че-
82
бышева расположены не на окружности радиуса едини-
ца, как в фильтрах Баттерворта, а на эллипсе
с большой полуосью, равной единице. На рис. 5.3 изоб-
ражены корни типичных фильтров Чебышева и Баттер-
Р и с. 5.3. Соотношение между корнями фильтров Чебы-
шева и Баттерворта.
ворта одной и той же степени. При помощи этого соот-
ношения можно вычислить корни полинома Чебышева,
если известны соответствующие корни полинома Баттер-
ворта.
5.4. Расчет фильтров
Чтобы исследовать полосу задерживания фильтра, по-
ложим в уравнении (5.1) ш^>1. Тогда
4/?.Ga|g,2|2~- -J; •
Затухание в децибелах равно
А-20 lg[eFn (и)].
Подставляя вместо Fn(w) первый член полинома Чебы-
шева из табл. 5.1, находим асимптотическое значение
затухания
A^201g[e2n-1<o"] = 6(ra — 1) + 201gе20га 1g®. (5.6)
6* 83
Соответствующее выражение для фильтра Баттерворта
(уравнение (4.2)):
А — 20 п 1g ш.
На рис. 5.4 приведены кривые затухания фильтров Чебы-
шева и Баттерворта в полулогарифмическом масштабе для
е=1. В соответствии с уравнением (5.6) при увеличении
е затухание в полосе задерживания увеличивается.
Рис. 5.4. Нормированная характеристика затухания
фильтров Чебышева и Баттерворта.
В заключение следует указать на интересное исследо-
вание фильтров Чебышева, проведенное Такахаша (31].
Пример 5.1. Требуется рассчитать фильтр Чебышева
нижних частот по следующим условиям: максимальная
пульсация в полосе пропускания 0,5 дб, минимальное
затухание на частоте, равной удвоенной частоте среза,
40 дб, нормированные сопротивления генератора и на-
грузки равны единице.
Решение. Сначала найдем е. Затухание 0,5 дб
соответствует усилению напряжения 0,944. Так как при
и = 1 имеет место равенство £п(ш) = 1, то из уравнения
(5.2) находим
4^,G2|g12|2-
1 ____ 1_
1 +^(“) “1 + *=
Следовательно, р = 0,348.
84
Теперь определим степень фильтра. Из уравнения
(5.6) имеем
40 ~ 6 (тд — 1) + 201g 0,348 4-20/г 1g 2.
Следовательно, п^4,6, т. е. нужно иметь фильтр пятой
степени.
Теперь можно приступить к синтезу исходя из вы-
ражения для квадрата модуля коэффициента отраже-
ния. Из уравнения (3.14) и (3.15) находим
1 1 (“)
I г 2_ 1 ___*___ - | _____ /I ' '
|Р| 1+|Х|2—1 1+№(“)—1 +е-^2(<0) ’
1,230 1,230
Р и с. 5.5. Схемная реализация в примере 5.1.
Подставляя вместо Fn (to) полином Чебышева пятой
степени (табл. 5.1), находим
.2 N (р) N (—р)______е2 (16<о5 — 20<о3 + 5to)2_
I ? I “ D (р) D (—р) ~ 1 + е2 (16<о5 — 20<о3 + 5<о)2
( 20 5 V
(^-Тб “3 + Тб “J
= ~1 20 5 у?
(“"“Тб “3 + Чб‘“) +1/(|62е2)
Применяя аналитическое продолжение р2 =— ш2, находим
N(p)_ р5+1,25/? + 0,3125р
Р Щр)-‘р6+1,1725р4 + 1,9374р3+1 ,3096р2+0,7525р+0,1789’
где полином в знаменателе представляет собой произ-
ведение всех корней в левой полуплоскости. Из выраже-
ния для р и уравнений (2.55) и (2.54) получаем
(У,-----У5) - pal 4- [On] == 2ps + 3,1874// + 1,065/;
85
(У,-----Z4) = [£d] + [£n] = 1,1725p4 + 1,3096p2 + 0,1789.
Путем последовательного деления находим
(у,-----г/5) = (1,705р, 1,230р, 2,542р. 1,230р, 1,705р).
На рис. 5.5 изображена схемная реализация.
В гл. 10 будет описан другой метод синтеза.
Задачи
Задача 5.1. Рассчитать фильтр Чебышева пятой степени с ко-
эффициентом отражения 0,1, согласованный с оконечными сопро-
тивлениями 1 ом и 0,5 ом.
Задача 5.2. Исследовать частотную характеристику фильтра
с передаточной функцией
I 812 |2 = g2 1
1 + f2(l/<0)
где /'2 (<о) — полином Чебышева.
6 Фильтры Кауэра
Как отмечалось в гл. 3, фильтры Кауэра реализуют чебы-
шевскую аппроксимацию как в полосе пропускания, так и
в полосе задерживания. Характеристика фильтра имеет пуль-
сирующую форму, причем в полосе пропускания амплитуда
равномерной пульсации ограничена заданной величиной,
а в полосе задерживания обеспечивается требуемая мини-
мальная величина затухания.
6.1. Общие замечания
На рис. 6.1 представлена кривая затухания фильтра
Кауэра, соответствующая лестничной цепи, изображен-
ной на рис. 6.2.
Ри с. 6.1. Типичная характеристика фильтра Кауэра.
Для упрощения вычислений частота среза фильтра
временно нормирована к единице и приравнена средне-
му геометрическому частот шР и определяющих ши-
рину области перехода (интервал между полосой пропу-
87
скания и полосой задерживания). Таким образом,
1/(Ор(Ол=1-
Относительную ширину области перехода обозначим через и1
<0„
“л
Тогда
1
гг *
Рис. 6.2. Конфигурация
цепи, соответствующая рис. 6.1.
Рис. 6.3. Четная характеристика фильтра Кауэра.
Следовательно, полоса пропускания простирается^ от нуля до
<о2п = 1/х , а полоса задерживания —от 1//хдосо.
Исходя из общего вида функции усиления
i + с2 (") ’
88
находим, что предполагаемая характеристическая функ-
ция фильтров Кауэра должна быть либо четной функ-
цией от ш (рис. 6.3)
г, . (<О? —<О5) (<О?— <О2)... ((Ojn—l — W2)
F(<о) = J...1 --- 3 2”~' -----(6.1)
(1 — <о2<о2) (1 — <0з<02) ... (1 — <02„—1<Л2)
либо нечетной функцией (рис. 6.4)
р, , <> (“2-“2) (®4-<О2) ... (<О2«- “2) о.
г(®)=---------ъ---------5------------5----(6.2)
(1 — <02<02) (1 — <о2<о2) ... (1 — <ofrt<o'2)
Рассмотрим теперь более подробно фильтры, обла-
дающие характеристическими функциями (6.1) и (6.2).
Рис. 6.4. Нечетная характеристика фильтра Кауэра.
6.2. Функция F(<o) четная (Тип А)
На рис. 6.3 начерчена характеристическая функция
(6.1). По размещению нулей мы замечаем, что это есть
чебышевская аппроксимация. Другими словами, модуль
функции |F(w) | имеет равные пульсации с постоянной
максимальной величиной в полосе пропускания и по-
стоянной минимальной величиной в полосе задержива-
ния. В области перехода модуль |F(w)| монотонно воз-
растает. Из уравнения (6.1) следует, что К(ю) = 1 при
(0= 1.
89
Задачу определения нулей и точек максимального
отклонения в полосе пропускания впервые решил Кауэр
[11]. Решение, выраженное через эллиптическую функ-
цию Якоби, имеет следующий вид1:
= (6.3)
где v=l, 3, 5, ..., 2п—1 для нулей и v = 0, 2, 4, ..., 2п
для точек максимального отклонения.
Функция (6.1), зависящая от выбранного значения
Ир, имеет максимум в полосе пропускания, определяе-
мый ее значением на нулевой частоте:
е = F (0) =>,<0, ...<о2П_,)2,
и минимум в полосе задерживания, определяемый ее
значением при бесконечной частоте 1/е. Таким образом,
е определяется нулями характеристической функции,
а не коэффициентом отражения, как для фильтров Че-
бышева.
Для удобства проектирования в выражение для
функции усиления вводят параметр h:
Тогда коэффициент отражения при 4/?,G2№= I равен
ipi’=i—id2=rS&r- (б-5)
I г I 11 1 _|_ (со) ' '
По этой исходной функции (6.5) можно вычислить
значение h, обеспечивающее при данном е заданное ма-
ксимальное затухание в полосе пропускания и мини-
мальное затухание в полосе задерживания: Поскольку
пульсация в полосе пропускания имеет максимальную
величину на нулевой частоте, имеем
или
= (6.7)
1 В формуле (6.3) К означает период эллиптической функции
Якоби. (Прим, ред.)
90
так как в полосе пропускания на нулевой частоте и на
частотах, соответствующих максимальному затуханию,
|р|2=р2.
Наконец, минимальное затухание в полосе задержи-
вания (равное затуханию при бесконечной частоте) на
основании уравнения (6.4) равно
Л =101g 1^= 101g [1 +/№(«>)]•
Подставляя
f2(°°) = 7r«
а также h2 из уравнения (6.7):
=_________________________-____
®2(р-2-1)’
получаем
^=10lg[l+ дб. (6.8)
Для проведения синтеза классическим способом не-
обходимо с помощью уравнения (6.5) найти величину,
соответствующую р(р)р(—р). Иными словами, полином
в знаменателе выражения (6.5) нужно разбить на две
части, одна из которых содержит все корни в левой
полуплоскости, а другая — симметричные полюсы в пра-
вой полуплоскости. После этого полиномы должны быть
отождествлены с соответствующими кумулянтами.
Способ непосредственного определения элементов
цепи (без разбиения полинома) будет описан в гл. 8.
6. 3. Функция четная {Тип В)
При схемной реализации фильтра по методу, изло-
женному в разд. 6.2, ’могут возникнуть затруднения из-
за того, что функция Р(ы) имеет конечную величину
(1/е) при со = оо и, следовательно, затухание фильтра на
этой частоте конечное. Но лестничная цепь, содержащая
лишь простые реактивные элементы, имеет нулевой или
бесконечный импеданс при ш = оо, следовательно, зату-
хание фильтра при (о = оо имеет бесконечную величину.
Реализации такой передаточной функции лестничной
91
цепью без потерь, с нагрузкой на одном конце, возмож-
ны, но требуют применения практически неприемлемых
взаимных индуктивностей.
Чистую лестничную цепь можно осуществить при
помощи частотного преобразования F(co), при котором
конечный полюс на наивысшей частоте перемещается
в бесконечность. Как описано в приложении 6.1, функ-
ция (6.1) переходит при этом в функцию
г, , , -2 „ («з2 - «2) (“52 - ®2) (®2«-1~®2)
Г (со) = (СП - О)2) -------------—------------77^----,
а частота среза будет равна
01 2п— 1 == j/”У К tOjn-i-
Следовательно, это преобразование приводит к рас-
ширению области перехода фильтра ценой повышения
его стоимости, поскольку исключается возможность пол-
ного использования полюса, соответствующего макси-
мальному затуханию. Но такой ценой можно реализо-
вать лестничную цепь без взаимных индуктивностей.
В конце главы в табл. 6.1 приведены характеристики
затухания, схемные реализации и характеристические
функции для фильтров Кауэра этого и других типов.
Как можно видеть, преобразование частотного диа-
пазона не влияет на затухание при ы = 0, имеющее ко-
нечную величину, поэтому при одинаковых нагрузках на
выходе цепи нужно включать согласующий трансформа-
тор. При отсутствии этого трансформатора нагрузка
будет равна не единице, а
Ъ = (6.9)
6.4. Функция F(w) четная (Тип С)
Преобразование диапазона частот, при котором ко-
нечный полюс наивысшей частоты полосы задержива-
ния перемещается в бесконечность, а конечный нуль на
низшей частоте перемещается в точку <о = 0 (двойной
92
нуль в начале координат), в табл. 6.1 обозначено как С.
Схема не содержит взаимных индуктивностей, R2— 1.
Как показано в приложении 6.2, новая характеристи-
ческая функция имеет следующий вид:
— м32) (ш2 ~ м52) • (<°2 — «>2»-1)
(1 - <»;2<о*) (1 - ш'м... (1 - <о;2_!<о2) ’
а соответствующая частота среза равна
СО 2n = 0)2n-b
Следовательно, область перехода расширяется.
В табл. 6.1 приведены все три типа фильтров Кауэра
с четной функцией.
6.5. Функция нечетная
Рассмотрим теперь нечетную характеристическую
функцию
“ (“2 — “2) (“4 — “2) • •• (®2« — “2)
(1 -®2“2) (1 -®>г) (1 -«2>2)
где
v = 2, 4, ..., 2п для нулей функции F (ы) и v= 1, 3, ...,
..., 2n-f-l для частот максимального отклонения.
Эта функция F(w) представлена на рис. 6.4, и часто-
та среза фильтра равна
/к = <й2П4.,.
Чтобы определить величину пульсации е, в соответст-
вии с рис. 6.4 образуем числитель выражения [е2—К2 (со)]:
(“\ _ о>2)> (о,2 _ 0)2)2 (ц,^ _ ш2)3
93
(нули этого полинома двойные, за исключением послед-
него множителя). Следовательно,
2 г,/ . foi ~ 0)2)2 fol~ 0)2)2 ••• fo^-i ~ 0)2)2 foUi-”’)
(1 -<o^)2(i~<ф2)2...(1-<->2>2)2
При <о = 0 и F2(a>) — 0
, / 2 2 2 .. 2
е2 = (<о со ... со )2<о
'• 1 » гп-i' 2n+i
поэтому
е = (<о1®3 ...ш^.,)2 ]/х .
Уравнения (6.4) и (6.5) также сохраняют силу, и
максимальная величина пульсации в полосе пропуска-
ния определяется выражением
р2-=тт^ (6Л°)
или
J-=e/p-^l. (6.11)
Минимальное затухание в полосе задерживания
определяется из уравнения (6.8):
>i = ioig[i+ М-
(6.12)
Конфигурация цепей, соответствующих нечетной
функции, а также некоторые другие характеристики
приведены в табл. 6.1.
В заключение необходимо отметить, что Р. Саль
[30] составил каталог нормированных величин элемен-
тов основных типов- фильтров Кауэра.
Задачи
Задача 6.1. Определить степень характеристики фильтра Кауэра,
удовлетворяющей следующим требованиям: пульсация в полосе
пропускания 0,2 дб, вне полосы пропускания, при частоте (норми-
рованной) 4,3 и выше, минимальное затухание 45 дб.
Задача 6.2. Определить входной и выходной импедансы и ко-
эффициент отражения фильтров Кауэра, представленных в табл. 6.1.
94
Приложения
Приложение 6.1. Преобразование диапазона частот для фильт-
ров типа В. Чтобы переместить конечный полюс функции (6.1)
ч (^-ш2)(ш2-о>2)... («о^-ш2) ,
“ (1 — <ф>2)(1 — <ф2) ...(1-<о2„_,<о2)
соответствующий наивысшей частоте, в бесконечность, нужно при-
менить преобразование
ач>г + Ь
где параметры определяются следующими соотношениями:
< о = 0 соответствует <о' = О,
< о = 1/(0] соответствует <о' = со,
< о = <о2п соответствует <о' = <о'2п,
<о= 1/<о2п соответствует <о'= 1/<о'2п.
Тогда преобразованная частота определяется соотношением
ты- т
Ч>’ 2 = ---9---- =--------о •
1 — <0[<02 (О-2 — <0]
Обратное соотношение имеет вид
<о'2
<о2 = -----2——'
т + 2
где
/ “| \
/П = (1 — <02<02J 1 — —2" Г
\ “2га /
(6-14)
Применяя преобразование частоты (6.14) и обозначая преобразован-
ную частоту буквой <о вместо <о', находим
,2 (со^-о2) (ы'2-<02) - (<2_!-<о2)
“ (i-^^Hi-^M-.-G-^Z,®2)’
где
и
2 2
2 = <0, —0>1
т
95
JL
<c
3-
3
CJ
3
96
при v = 1, 3, 5,... ,2n —1. Преобразованная частота среза равна
“'2п=]/‘<огп<о8п_1)Л]/‘х<08п_1 .
Приложение 6.2. Преобразование диапазона частот для филь-
тров типа С. Это преобразование приводит к перемещению высшего
конечного полюса затухания в бесконечность и, вместе с тем, первого
нуля полосы пропускания в начало координат, где образуется двойной
нуль. Преобразование определяется следующими соотношениями:
< о = <О] соответствует <о' = О,
< о= 1/(0, соответствует <о'=оо,
< о = <о8п соответствует <о' = <о'8п,
<о=1/<о8п соответствует о/ = 1/<о'8п.
Применяя преобразование
<о2 — <о|
<о' 8 = ----9--->
1 — <0|<02
получаем преобразованную функцию
2 (<->2 — <-*з 2) К*0' — 2) • • (°2 — <4и-1)
F (<>) = “2 (1 _ 2ш8) (1 _ 2w8) (1 _ 2_1<о8)’
где
,2 0)2-ml
при v = 3, 5,.,.,2/г—1. Поскольку преобразованная частота среза
равна теперь
“’гп- 1 = “гп-!’
область перехода еще больше расширяется.
7—1469
7 Денормирование
и преобразование
полосы частот
В начале этой главы мы рассмотрим, как денормировать
фильтры, т. е. как перейти от нормированных элементов
к истинным. Далее мы рассмотрим преобразования фильтра
нижних частот в фильтр верхних частот, в полосовой или
заградительный фильтры.
Все эти преобразования являются частотными. Примене-
ние частотных преобразований к передаточной функции филь-
тра позволяет синтезировать новую цепь стандартными при-
емами, разработанными для фильтра нижннх частот. Мы
будем применять этот метод, когда требуется максимальная
свобода выбора конфигурации цепи, сведение к минимуму
числа индуктивностей и т. д. Преобразование можно также
применять непосредственно к величинам элементов, что приво-
дит к превращению одного элемента цепи в другой элемент —
реактанса в реактанс, т. е. нечетной функции от р в другую
нечетную функцию от р.
7.1 Денормирование
При преобразовании
Р = % или (0 = ^> (7Л)
где штрихи обозначают истинные величины, нормиро-
ванная частота ш переходит в истинную (о'=(о1(о.
Если оконечное сопротивление было принято за еди-
ницу, импедансы всех элементов нужно умножить на
истинную величину этого сопротивления. В конце гла-
вы в табл. 7.1 приведены соотношения между нормиро-
ванными и истинными величинами.
98
7.2. Преобразование в фильтр верхних частот
Посредством преобразования
или <о=—(7.2)
где штрихи обозначают диапазон верхних частот,
фильтр нижних частот преобразуется в фильтр верхних
частот с той же частотой среза. При этом преобразо-
вании импеданс индуктивного элемента pl переходит
в р'1:
где с=\/1. В конце главы в табл. 7.2 приведены пра-
вила преобразования.
7.3. Преобразование в полосовой фильтр
Чтобы превратить фильтр нижних частот в полосо-
вой фильтр или наоборот, нужно применить преобра-
зование
p'+(l/p') <о'—(1/<о') „ 9
р_ И Г или ш =-------------' (7.3)
На рис. 7.1 показано соотношение между со (из полосы
нижних частот) и о/ (из полосы верхних частот), опре-
деляемое формулой (7.3).
Результаты вычислений по формулам (7.3) для (о/ =
=0 и 1 (и далее для (о = 1, —1, <os и ы_5) нанесены на
рис. 7.1. (Их легко проверить. Например, о/ = 1 соответ-
ствует со= (1—1)/б=0 и т. д.). Из уравнения (7.3) сле-
дует равенство
со'2—бймо'—1 = 0. (7-4)
Следовательно, произведение каждой пары преобра-
зованных частот (двух корней уравнения) равно минус
единице, откуда следует логарифмическая симметрия
характеристики затухания полосового фильтра. Другими
словами, затухание на частоте w' равно затуханию на
7* 99
частоте 1/cdz, где за единицу принята нормированная
средняя частота полосы пропускания. На рис. 7.2 нане-
сены характеристики затухания соответствующих фильт-
ров— фильтра нижних частот и полосового фильтра.
Р и с. 7.1. Преобразование фильтра нижних частот в полосовой
фильтр.
Ширина нормированной полосы пропускания равна
8 = 1»',—’ (7.5)
l»s =
а частоты среза нормированной полосы задерживания,
как следует из уравнения (7.3), равны
(1/<>',)
9
Элементы фильтра нижних частот можно преобразо-
вать в элементы полосового фильтра при помощи урав-
нения (7.3):
(7.6)
I Of)
Следовательно, импеданс индуктивности z = lp преобра-
зуется по уравнению
1р = -^Р'-\ (3/7) р'
в импеданс последовательного резонансного контура
с индуктивностью Z/d и емкостью d/Z. Подобно этому
импеданс емкости ср преобразуется по уравнению
с , , 1
СР~~ГР +" (8/с) р'
в импеданс параллельного резонансного контура с ем-
костью с/d и индуктивностью д/с.
Нормированные частоты полосы пропускания (поло-
сового фильтра) на основании уравнения (7.4) свя-
Р и с. 7.2. Характеристика затухания фильтра нижних частот (а).
Преобразование в характеристику полосового фильтра (б).
заны с соответствующими частотами фильтра нижних
частот уравнением
^^^/(ад+Г. (7.7)
В конце главы в табл. 7.3 приведены формулы пре-
образования фильтра нижних частот в полосовой
фильтр.
7.4. Преобразование в заградительный фильтр
Преобразование фильтра нижних частот в полосо-
вой фильтр соответствует преобразованию фильтра
Ю1
верхних частот в заградительный фильтр. Следователь-
но, если подставить в (7.3) l/р вместо р, то преобра-
зование фильтра нижних частот в заградительный
фильтр будет определяться соотношениями
Р' + ^/Р')’ Ю (1/<о') —<о' *
На рис. 7.3 представлены соответствующие харак-
теристики затухания. Нормированная ширина полосы
равна
д —w'-i.
Рис. 7.3. Характеристика затухания фильтра верхних частот (а).
Преобразование в характеристику затухания заградительного филь-
тра (б).
Из симметричности логарифмической характеристики
затухания следует равенство
= 1-
Граница полосы задерживания преобразуется по уравнению
8
(Ос = ---------- •
s (1/<о',)-<О,
В табл. 7.4 приведены формулы преобразования для
нормированного заградительного фильтра.
Задачи
Задача 7.1. Найти преобразование третьей степени дли превра-
щения фильтра нижних частот в фильтр с двумя полосами пропу-
скания, из которых одна примыкает к нулю. Какое преобразование
получается при использовании обратной функции?
10?
Таблица 7.1
Денормирование
Параметры Нормированные величины Истинные величины
Частота среза 1 “1
Нагрузочные сопро- тивления 1 R
Индуктивность t . _ RL и - id,
Емкость с Cfe*—||s—'О /? с Rid) '—и—
Таблица 7.2
Преобразование фильтра нижних частот в фильтр
верхних частот
Параметры Фильтр нижних частот Фильтр верхних частот
Частота среза 1 1
Границы полосы за- держивания 1 (0,
Индуктивность ' 1 ’ 2 , о—И 0 2 с
Емкость о—П—О
103
Преобразование фильтра нижних частот в полосовой фильтр
Параметры Фильтр нижиих частот Полосовой фильтр
Частоты среза 1 to'-l, в»'. (£>'_! (o'j — 1
Границы полосы задерживания “'-s. (У, <о'_, <й'а — 1
Индуктивность 4 o>^4V-o , / 8 L_ 5 , С = —
Емкость С с—41—о L L=~, С= 4" с о
Вспомогательные параметры: 8<о Г /8<о V = —±|/ +1 4 b‘ = + 1 0 1 <0* = ~г~ 00 1С Примечание: S = — <о'_ 1 L С II О о Ьг Сг г_1_ b Ь-{ С1— L2 1 2b r _L_ 3 6+i 1 2b С +С - — С 1 “Г С2 — 1
1 с с? — 1 — а Ь—1 L,~ С2 с 26 . 1 _ 3 &+ 1 2 — С> с 26
Т а б л и ц а 7.4
Преобразование фильтра нижних частот в заградительный фильтр
Параметры Фильтр нижних частот Заградительный фильтр
Частоты среза 1 <о' <S>'i (£>'= 1
Границы полосы задерживания <0, <OZS = 1
Индуктивность 1 L L = bL 1 С = 8/
Емкость с С^—II ° ^-А-, || Г ? ^1
Вспомогательные параметры: оД^|-о t, с, о е> м II II .fi- ll II Oi» ©i> Л еъ 1 to Т с- | • к—
8 / / 8 V “' = 2^±|/ +1 b2 = §2 4-1 2 1 . “00 = 77 Примечание. 8 = (a'i — <о'_!
1 Ct С2 1 ь~ 1 L1 = С2 ~ 8 2Ь 1 64- 1 ^2— Ci = °1 26
Задача 7.2. Рассчитать полосовой фильтр Чебышева, удовлет-
воряющий следующим требованиям: а) пульсация 0,5 дб в полосе
пропускания от 60 до 108 кгц, б) минимальное затухание 60 дб
в полосах задерживания, т. е. ниже 54 кгц и выше 120 кгц.
Задача 7.3. К фильтру нижних частот применены следующие
частотные преобразования:
1) Р=Р'3,
2) р=р'(4р'3+3),
_ 2,25р'*-|-2р'
Л>Р~ 0,75р'24-1
а) Как преобразуются полосы пропускания и задерживания
фильтра?
б) Как преобразовать новые передаточные функции, чтобы они
были положительными вещественными?
в) В каких случаях можно синтезировать передаточные функции
преобразованного фильтра посредством лестничных цепей без по-
терь, не содержащих взаимных индуктивностей?
8 Вычисление элементов
В этой главе будет выведено прямое соотношение между
величинами элементов фильтра и его характеристической
функцией. Затем будет описано вычисление величин элемен-
тов способом, не требующим разбиения полиномов на множи-
тели или отыскания их корней. В последующих главах будут
приведены численные примеры.
8.1 Общие замечания
При расчете фильтров без потерь, нагруженных со-
противлениями на одной или на обеих сторонах и обла-
дающих характеристикой с равномерной пульсацией, об-
iTTQQ хт п о о и g ujj п синтеза ^3 24^ можно написать в випе
|£]2 = 4J? G Ifi- l2= __
I 1 I I S12 I 1 4- e2 |F(p)|2’
причем максимум передаваемой мощности достигается
при выполнении условия G2№= 1.
При нормировании к единице получается следую-
щее соотношение между усилением, величинами элеме«-
гов и характеристической функцией:
1 '2 = 1(1. f/t-f/2„+i -h G2)I2 = l±e2!^ (P)l2 ‘ (8‘
С другой стороны, абсолютная величина коэффициента
отражения равна по определению
(г/i---------°2)
I (У\ G2) (z2 G2) 2
| (У\---------G2) -|- (г2------G2)
107
или, после преобразования кумулянтов,
Iq|2 ( 1 + j/1’ Gi) р | 1/(2 ±К (Р) I2
(1.г/>,г2-----G2) | I” 1±е2(Р(/<
(8.2)
Из выражений (8.1) и (8.2) находим
I (-1 + «/„ г2-----G2) р = =t 1F (р) р. (8.3)
Символы абсолютных величин в данном случае можно опу-
стить, и мы получаем
(-1 + у,, г2-----G2) = F \(р). (8.4)
Эта простая формула, выражающая прямую связь
между кумулянтом и характеристической функцией, яв-
ляется общим исходным уравнением для синтеза фильт-
ров при максимальной передаваемой мощности.
Уравнение (8.4) можно разделить на четную и нечет-
ную части:
(У1 G2 (22 У2П-1)— F(p), 1 (8 5)
(у,-----У2п-,)--(г2----z,n)G2 = 0, I
при функции F (р) четной и
(У, ---У^-,) — ^-------^n-s)G2=^-F (р), 1 (86)
(У1 ^2П~ 2) G2 (~2 У2П - 1) От '
при функции F (р) нечетной.
Уравнение (8.4) при р = 0 выражает связь между кон-
стантой К и оконечными сопротивлениями. Если функ-
ция F(р) мечетная, то G2=l и для передачи максималь-
ной мощности должно быть К=1/2- Если функция F(p')
четная, то
Ga-1=-^F(O)
и при = 1
4G,№ = 1,
откуда следует
G2= [/1 +s2F2(0) + eF(O)p
и
/1 + (O)-eF(O)
V ' 2
(8.7)
(8.8)
108
8.2. Параметрические фильтры
В 'предыдущем параграфе рассматривалась характе-
ристическая функция F(p), которая является либо чет-
ной, либо нечетной. Аналогичные уравнения можно вы-
вести для функции F(p), состоящей из четной и нечет-
ной частей. Для нечетного числа реактивных ветвей по
аналогии можем написать
। 212 |(1, у,--y2n+1+G2)|2 =
= , (8 9)
1 +е2И(Р)Р 1-еЧР20(р)-^(р)]
где F0(p) и Fe(p) —нечетная и четная части характери-
стической функции.
Коэффициент отражения согласно уравнению (8.2)
равен
(—1 + У1~ ^2 — 6г)
(1- Щ----О2)
~^F2(p) + ^F2e(p)
i-^[F2o(P)-F2(p)]
(8.10)
Объединяя уравнения (8.9) и (8.10), находим
|(-1 + У.-------Сг)|3= И (Р) + < (/>)] (8.11)
или, после разделения на четную и нечетную части,
(У1 Угп + 1) (2г ^гп) G = — к F0 (р), А
е (8-12)
(У1 2-гп) ^2 ' (%г" " 'Угп+1) — е (р)- |
Определяющие уравнения фильтра (8.12) справедли-
вы при передаче максимальной мощности, т. е. когда
выполняется условие 4/?]G2K2=l. При выводе соотно-
шения (8.12) Rt было нормировано к единице.
Это обобщение определяющих уравнений позволяет
охватить все типы фильтров, включая фильтры с харак-
теристическими параметрами, и синтезировать их по за-
данному вносимому затуханию. Если определяющие
109
функции являются либо четными, либо нечетными, этого
сделать нельзя, за исключением частных случаев, напри-
мер, когда фильтр имеет один нуль передачи в первой
ветви.
Если характеристические функции являются четными
или нечетными, возникает задача отыскания функций,
дающих характеристику с равномерной пульсацией в по-
лосе пропускания при любых полюсах в полосе задержи-
вания. Характеристическая функция, не принадлежащая
к этому типу, приводит к кривой затухания, которая не
будет иметь максимального возможного числа одинако-
вых пульсаций в полосе пропускания, и можно найти
фильтр с четной- или нечетной характеристикой, имею-
щей большое затухание в полосе задерживания при за-
данной пульсации в полосе пропускания. Во многих слу-
чаях приходится отказываться от требования передачи
максимальной мощности, например, когда в схеме
имеются кварцы.
При таком более общем методе синтеза, не обеспе-
чивающем максимального 'числа пульсаций или одина-
ковых пульсаций в полосе пропускания, фильтр зависит
от одного или нескольких параметров. Поэтому такие
фильтры называются параметрическими.
Для параметрических фильтров с нечетным числом
ветвей соотношение между оконечными сопротивлениями
и коэффициентом передачи можно установить путем под-
становки р = 0 в определяющие уравнения. В результате
мы получим
1-G2=±-^Fo(0). (8.13)
Аналогичное выражение получается длй фильтра с
четным числом ветвей.
8.3. Численные расчеты
Исходя из уравнения (8.4) и соответствующей конфи-
гурации цепи можно вычислить кумулянт и, следова-
тельно, величины элементов фильтра. Приравнивая
коэффициенты при степенях р к соответствующим коэф-
фициентам известной функции Е(р), можно составить
110
систему уравнений и найти из них величины элементов.
Чтобы решить их путем последовательного приближе-
ния, без разбиения полиномов на множители или оты-
скания их корней, нужно вычислить кумулянты, как
описано ниже.
Поскольку уравнение (8.4)
(-1+f/,,^------G2)=^F(p)
справедливо при любом данном наборе значений р, про-
ще всего использовать для численных расчетов вещест-
венные значения р. Выбрав различные значения р и
Рис. 8.1. Лестничная цепь — фильтр нижних частот.
подставив их в уравнения (8.4), получим систему урав-
нений, в которой неизвестными являются величины эле-
ментов.
Рассмотрим частный случай — фильтр нижних частот,
представленный на рис. 8.1, и вычислим величины эле-
ментов путем последовательного приближения. Ветви
лестничной цепи в этой схеме образуют иммитансы
yt = Cip,
_ liP '
(8.14)
с неизвестными ct и
В качестве первого приближения напишем уравнение
(8.4) в следующем виде:
(- 1 +У, +^yt,z2+[^z2;-----, G2) = 2.F(p), (8.15)
где yt и Zj — предполагаемые иммитансы, а Ау, и Az;—
неизвестные разности между истинными и предполагае-
мыми величинами. Разлагая уравнение (8.15) в ряд Тей-
111
лора, получаем, пренебрегая высшими степенями разно-
сти:
= 1 +f/,,2:2---G2) + Ar/,(z2----G2) +
+ (— 1+f/,) Дг2 {У3---62) + (~ 1+lM z2) Ду3 (z4-G2) +
+ •• + (—l+y>,z2------z2n) Ду2П+1. (8.16)
Выражение (8.16) при подстановке различных значе-
ний р образует систему линейных уравнений, в которой
неизвестными являются разности. Решив эту систему от-
носительно Дг,- и Ay,, мы можем скорректировать пер-
вые оценки и повторить процедуру. При повторных ите-
рациях разности становятся меньше. Для начала можно
принять все величины элементов равными единице, но
гораздо лучше взять величины элементов аналогичного
фильтра. Тогда процесс итерации будет сходиться бы-
стрее. Эти вычисления можно также проводить на вы-
числительной машине. Если имеется лишь настольная
счетная машинка, можно применить сокращения.
Приближение можно получить также путем решения
группы из двух уравнений относительно двух разностей.
Скорректировав первые элементы, можно перейти к сле-
дующим двум и т. д. В одной из следующих глав мы
опишем дальнейшее упрощение этих вычислений и улуч-
шение сходимости итерации при помощи z-преобразова-
ния.
8.4. Расчет по модулю функции усиления
Для случая, рассматриваемого в следующей главе, и
во всех случаях, когда характеристическая функция не яв-
ляется либо четной, либо нечетной, синтез следует прово-
дить исходя из модуля функции усиления. Обозначив
у, (—р) = у~, z2(—p) = z~ и т. д., можем написать
|g-l2|2 — О ’ У1 ’ ^2 ^г) (1 > У} > ^2
=^[1- н/чт
(8.17)
112
Разлагая в ряд Тейлора, получим
^-[l±e2|F^)p] =
= (1, Уиг2---— Ga) С1. t/j , Z2 -G*) +
ДУ, (I) (z2--G2) (1. у7----g2) +
+ by~(1) (z~-----G2)(l,y.------G,) +
Дг2 (1, yt)(y3---G,) (1, y?----G,)4-
+Д2Г (1, У?) (у7—~G2) (1 ’ У г-+
(8.18)
ДУ2п + 1(1>У1 2гп)(^’У\ Ga)_|_
+дС+1(1-^Г------г2та)(1,у,---G2) ) .
G2 и К можно вычислить при нулевой частоте, хотя G2
можно также ввести как переменную в систему линей-
ных уравнений. Заметим, что для фильтров без потерь
Ду, = — Ду,, Дг2 = — Дг2.
Этот способ можно также применять в том случае, ког-
да частные иммитансы содержат сопротивления, соот-
ветствующие потерям элементов фильтра.
В литературе можно найти необходимые и достаточ-
ные условия реализуемости некоторых функций усиле-
ния [11, 13, 22].
Задачи
Задача 8.1. Доказать, что для полюсового фильтра, изображен-
ного на рис. 8.2, справедливы определяющие уравнения:
Г(/2сг + с,<2) рг + 1] [с3(?4с4рг + 1) Ч-с41 ____е_
с,(1гс2рг+ 1)(/4с4Р2 + 1) + к !-'(р),
(1гсг + С,1г) рг -I- 1 С3р (ltCtp2 + 1) е
С^Р^р' + Г) 2“ /ЛР2+1 ~ К Го{Р>-
Задача 8.2. Доказать, что цепь, изображенная на рис. 8.3, не
может иметь в полосе пропускания максимального числа пульса-
ции, соответствующего степени фильтра
8—1469 113
Задача 8.3. При помощи эквивалентной мостовой цепи, изобра-
женной на рис. 8.4, доказать, что функция усиления цепи, изобра-
женной на рис. 8.4, равна
___________ ?Ь Za
8" = ~^~ (1 4-Zb) (1 +ZO)’
а определяющая функция равна
Рис. 8.4.
Как можно представить посредством антиметричной- мостовой
цепи другие типы функций, и как будут выглядеть определяющие
уравнения?
Задача 8.4. Для фильтра нижних частот Кауэр [Г1] предложил
следующее частное решение для синтеза функции F(p) мостовой
цепи, описанной в задаче 8.3:
Zb
-— = т
za
p(p2+'<oj) (р2’+“?)- 1
(Р2 + “?)(рг + ‘ор... И>+1
или
(р2 + “?)(р2 +“I)-. 1
Р (/’2'+ “г)
О2+1
114
и
z-—_ (р2+д>;2) (р2+д>з2)--- i
ИЛИ
----_ (р2 + и>12) (Р2 + <Дз2)--- 1
Za~b Р(Р24-“22) (Р2+<й42)"-//’2+1 ’
где
О < ... <<о4 < <о3 < <о2 <“i < 1 < <o'i < ®'г •• •
Какова будет пульсация характеристики в полосе пропускания
при применении набора этих .функций и произвольных значениях
параметров? Можно ли взять произвольные параметры для опреде-
ляющей функции, приведенной в задаче 8.3?
Задача 8.5. Уравнения, определяющие симметричную цепь
с равномерной пульсацией в полосе пропускания, можно предста-
вить в следующем виде:
е
01 — Ог = F (р), Е1 — Ег = 0.
В силу основного свойства кумулянтов (£j£2)— (OiO2) = l и,
следовательно,
f е \
О; (02 + ^£(/0j = (£,-!)(£,+ 1).
Описать способ решения этого уравнения путем последовательных
приближений.
8*
Преобразование импеданса
В восьмой главе был описан численный метод построения
фильтров, включенных между источником сигнала и нагрузкой,
на максимальную передаваемую мощность. При произволь-
ном соотношении оконечных сопротивлений обычно проводят
расчет для отношения сопротивлений, обеспечивающего ма-
ксимальную передаваемую мощность, после чего согласовы-
вают входной или выходной импеданс с заданными сопротив-
лениями. Для фильтров нижних частот при этом требуется
специальный трансформатор, а для полосовых фильтров пре-
образование импеданса можно осуществить при помощи отво-
дов от одной из катушек. В некоторых случаях для полосо-
вых фильтров применяется преобразование Нортона, при кото-
ром требуется дополнительная емкость (см. задачу 9.1). Ниже
описывается более общий метод непосредственного синтеза
окончательного фильтра, основанный на теории, изложенной
в предшествующих главах.
9.1. Обобщенный синтез
Имея в виду симметричный фильтр, рассчитанный на
получение максимума передаваемой мощности, напишем
выражение (8.1) для квадрата модуля усиления:
1(1. У^-----(9.1)
и выражение (8.2) для квадрата модуля коэффициента отра-
жения:
(—l+j/i.Zg' Ga)
(!,</] z2----G2)
2_ _e2[F(/?)|2
1 -e4F(p)p
(9.2)
В этих уравнениях G, — 1 и К = 1/2.
116
Из уравнений (9.1) и (9.2) было выведено непосред-
ственное 'соотношение между кумулянтом и характери-
стической функцией:
(—l+'/1.z2-------Gt)=-^-F(p). (9.3)
Разложив кумулянты на четную и нечетную части, по-
лучаем
(У1 УгП+t) (zt Z2n) (
(У1 Zzn) (2а ’ У2П + 1) О-
Обобщйм эти уравнения для — 1 и G2#=l- Уравне-
ние (9.1) принимает следующий вид:
| (1, y't-y'sn„ + G'J |2=1- е-У;(Р)-. (9.5)
В частности, при р = 0 имеем
1+ч=4-
Квадрат модуля коэффициента отражения равен
Вместо уравнения (8.2) имеем
(— 1 4~ у'т> г\ в'2)
(1. /1-------------G'z)
2 ^4G'2K'2~e^F2(p) _ (9б)
1 — №(р)
Из уравнений (9.5) и (9.6) находим
|z 1 । X, /?, па- l-4G\^-e^(p)
К’2
Разлагаем кумулянт на четную и нечетную части и прирав-
ниваем:
(У\------У\п+1) — (z\------z\n) G'2 =+4
(.7 1 Z 2«) 2 “I- (^ 2 У 2«+l)
Kl — 4G'2K'2
117
Для проверки этих равенств возведем их в квадрат и
вычтем первое из второго
/2
(У I Z 2n) G2 -J- (Z 2 у 2п+1)* (у 1 У 2П+1)2
(Z 2
г'2„Г G\ - 2G', = \ .
К'г
Это равенство тождественно уравнению (9.5), если
к обеим его частям прибавить 4G'2.
Таким образом, расчетное уравнение фильтра при
произвольном соотношении оконечных сопротивлений и
нечетной функции F(p) имеет вид
(— 1 +У'1,
где
’ У 2П + 1 Т U 2/ К' ’
^=1 + С'2
или после разложения кумулянта на четную и нечетную
части
ОА-------?/'гп+>)—(Z\------z\n)G\=^l,
(у\-----У'гп) G'„ — (z'2---у\п+1) = G’z -- 1.
9.2. Преобразование фильтров
Допустим, что величины элементов симметричного
фильтра при максимальной передаваемой мощности из-
вестны. Тогда между кумулянтами и характеристической
функцией в соответствии с (8.6) имеют место следую-
щие соотношения:
(У1 У^п+t) (z2 z2n)= ,
(Z2 Угп+i) (Уi — - - Z2n) = 0.
Кумулянты связаны с четной и нечетной частями функции
усиления уравнениями (8.1):
I х__ Нечетная степень (р)
Угп + i) “Г (Z2 — z2n)
118
, x t / . Четная степень(р)
(z2------г/2п+1) + {у X-------£2П) =----------к------- •
Из этих четырех уравнений следует:
(У.
(z2
sF(р) + Нечетная степень(р)
х___Четная степень (р)
У 2 п + 11
(9.7)
2К
2К
Для фильтров с такой же схемой, но другими оконеч-
ными сопротивлениями, по аналогии можем написать:
(у'г-----У'гп+1) — (z'2------z'an) G'g=^^,
\ (z 2 У 2n + t) ’ (у 1 z 2n) G 2 1 G 2
и, подобно этому,
(у\------/2n+1) + (z'2
, х р, Нечетная степень (р)
Z гп) U г— pv
(г'.-«'„„I + (»',-Ли) о;=4"" "Т"ъМ
где 1/К' = 1 -J~G,2. Из последних четырех уравнений сле-
дует
, , , х_________sF (р) + Нечетная степень (р) •.
\У 1 У 2П+1/ 2/С ’ I
и z х 1 г, (9.8)
, , , х Четная степень(р) 1—G'2 | '
(z'2------/2п+1) =--------2F--------------2“^’ I
Приравнивая соответствующие члены уравнений (9.7) и (9.8),
находим
(j/ t У 2n + i)== (f/i J/an+t),
к 1 с (9-9)
/f f \ х\ / \ [ 1 -^2 I
\Z 2 У 2П + 1) (Z2 У2П + 1) ~I 2 ‘ J
Это есть основное уравнение для преобразования импе-
дапсов фильтров.
119
9.3. Преобразование фильтров, имеющих
полюсы в бесконечности
Уравнения (9.9) применимы к фильтрам любого типа,
но в некоторых случаях их можно упростить. Если все
полюсы фильтра расположены в бесконечности, вычита-
ние из первого уравнения (9.9) второго уравнения, умно-
женного на г/i, дает
(У 1 У 2»+i) У.(г 2 У 2П+1) —
К , .1 — G2
=Хг{У3------У2п+.)----2~ У,.
Приравнивая члены с одинаковыми степенями, находим
У. = У'.-
Следовательно,
\У 3 У 2П + 1) \Уз
Аналогичным образом находим
2 2
1 - О2
2
и
(^4 У 2^ + 1)—" (^4 У2П+1) ~Н
I 1 — G2 , .
“Г g (^1 ’ ^2)
и т. д. Таким образом, для первой половины кумулянтов
можно написать:
1
у. = у.,
Z2 --- 2 2>
Уп- 1 — У п — 1,
и далее
(2 п+2
„ . к ,
У 2П+1' \Уп + .
1 —б2/
—^(У>----------
У 2П+1/ (Zn + 2
, 1 — g2 ,
—
(9.10)
Уп-.),
У*п+.) +
для остальных элементов
120
Если исходный фильтр построен по симметричной
схеме, то, как можно показать, при преобразовании по-
ловина элементов остается неизменной, а остальные из-
меняются, как показано на рис. 9.1.
Рис. 9.1. Преобразование резистивной нагрузки в симметричном,
фильтре нижних частот.
с, ~ са т
/а = } для R, = R, = 1
С3 = С, |
9.4, Дополнительные замечания
Характеристика в полосе пропускания для фильтров,
не обеспечивающих передачу максимальной мощности,
осциллирует из-за коэффициента отражения между дву-
мя крайними значениями:
|р|2 = 1 _ 4G'2K'3
' 'mtn
2 1 — 4G22X/2 + е2
Р 'max 1 _|_ е2
В частном случае, когда фильтр, рассчитанный на ма-
ксимальную передаваемую мощность, требуется преоб-
разовать в другой фильтр, включаемый между генерато-
ром тока и конечной нагрузкой, определяемой, напри-
мер, уравнениями (9.7):
121
/„ ,, х____ sf (р) + Нечетная степень (р)
У2Л+1/^= 27^ '
г„ х Четная степень (р)
*’а il/an+i) 2у^
и нужно найти новые уравнения:
(y't--------------f/'an+i) — Нечетная степень (/?),
(z'a-----У'гп+1)~ Четная степень (/»),
то исходные уравнения для синтеза будут иметь следующий
вид:
(У 1 .У an+i) —(l/i f/an+i)2/C- eF (р), |
а У an+i) (2а Угп+i) J
где
Аналогичные соотношения имеют место также и для обрат-
ного преобразования фильтра.
Примеры
Пример 9.1. Найти новые величины элементов фильт-
ра, представленного на рис. 9.2, при измененной нагруз-
ке Т?2=0,5.
Рис. 9.2. Преобразование цепи в примере 9.1.
122
Решение. Применяя общую процедуру, независимо
от симметричного построения фильтра, находим
у', = 3,4817/?,
z’2 = 0,7618/2.
На основании уравнений (9,10)
(у'з, z\, у\)=-А. (4,5381/2, 0,7618/2,3,4817/2) +
+4-3,4817/2,
(г\,у\)=^-(0,7618/2, 3,4817/2) -
----L (3,4817/2, 0,7618/2).
При К{К' = 3/2 находим
(у'„ z\, y's) = 18,05500/2’ + 13,77055/2,
(z'4, у\) — 2,652359/2’ + 1 •
Величины остальных элементов определяются из послед-
них двух уравнений посредством последовательного де-
ления:
у',— 6,80715/2,
z'4 = 0,3809/2,
у',= 6,9634/2.
Пример 9.2. Преобразовать величины элементов
фильтра, изображенного на рис. 9.3,а, при измененной
нагрузке /?2 = 0,5.
Решение. При преобразовании первый элемент
фильтра не меняется. Поэтому два кумулянта при дан-
ных величинах элементов равны согласно (9.9)
~~Т ( "0,06574308^’+ 1 ’ 2’140/7 ’
____М67р________ । 339./Л____1
0,1630299 р1 + 1 ’ 2’
(Угз У's)~-у ( 2,140/2, 0,1630299^+ 1 ’ 1 ’332/2^ +
+4- 1,412/2.
125
Выполняя вычисления, находим
,, 7,552123р4 + 8,992716р2 + 1
(Z2 У ъ) — DiDi
(9.12)
Умножая второе уравнение на z\ и вычитая его из первого,
получаем
, 7,552123р4+8,992716р2+1—Z2lp(5,953924p3+5,914p)
(z 4> У s) — '•
Это выражение можно сократить на знаменатель Ds. Нахо-
дим
12= 1,25189
1,525083р2 4- 1
(9.13)
124
Умножая (9.13) на у'3 и вычитая из (9.12), получаем
, __5,953924^4-5,914р — с3р(1,525083р2 + 1)
У 6
Это выражение можно сократить на знаменатель Dt.
Находим
с3 = 3,663415,
с 5 = 2,250585.
Из (9.13) находим
/4 = 0,605199.
На рис. 9.3,6 показана окончательная схема.
Пример 9.3. Рассчитать фильтр нижних частот Бат-
терворта пятой степени с разомкнутым выходом, если из-
вестны величины элементов фильтра, имеющего одина-
ковые оконечные сопротивления (см. рис. 9.4).
Л zz Уз z« Уб
Рис. 9.4. Преобразование цепи в примере 9.3.
Решение. Определяющие уравнения при F(p) =
= ръ (9.11):
(У.-----Уъ) =
= (0,6180/2, 1,618/2,2,000/?, 1,618/2,0,6180/2) --р\
(zs-----у5) = (1,618/2, 2,000/2, 1,618/2, 0,6180/2).
Вычисляем кумулянты:
(г/,----у5) = /25 + 5,236/2’ + 3,236/2,
(гг-----yt) = 3,236/2* + 5,236/2* -4- 1.
Величины элементов находим при помощи последова-
тельного деления:
с, = 0,3090,
/г = 0,8944,
с, = 1,382,
/4= 1,694,
125
Задачи
Задача 9.1. На рис. 9.5 показаны два способа преобразования
цепи для согласования входного импеданса с нагруЭкоРй предложен-
ные Нортоном (патент США 16315о4). Доказать н
схем.
эквивалентность
Рис. 9.5. Преобразовавие Нортона.
Задача 9.2. При преобразовании импеданса, оПисанном в этой
главе, затухание фильтра в полосе пропускания увеличивается на
постоянную величину. Рассмотреть, как изменяется коэффициент от-
ражения и входной импеданс по сравнению с ФилЬтр0„ рассчитаи.
ным на максимальную передаваемую мощность. р "
Задача 9.3. Четырехполюсник без потерь с оконечным сопро-
тивлением Z2, имеет входной импеданс zf. Дока^ать что тот ^е
четырехполюсник с оконечным сопротивлением । входе сопря-
женным с гь будет иметь выходной импеданс, сопряженный с z2
10 Фильтры общего вида
В предшествующих главах изложена основная теория
LC-фильтров и описаны применения этой теории к расчету
простых фильтров. На основе этой теории мы может теперь,
рассмотреть синтез фильтров общего вида. Как было вкратце
установлено и показано снова на рис. 10.1, фильтр этого типа
имеет характеристику с равномерной пульсацией в полосе
пропускания и произвольно задаваемую характеристику зату-
хания в полосах задерживания. Все вышеописанные фильтры
можно рассматривать как частные случаи этого более общего
фильтра, и их можно рассчитывать по методам, изложенным
в этой главе.
10.1. Общие замечания
При исследовании фильтров общего вида рассмотрим
сначала полосовые фильтры, так как фильтры нижних
частот, фильтры верхних частот и заградительные филь-
тры можно рассматривать как развитие фильтра обще-
го вида.
Полосовой фильтр, преобразованный из фильтра ниж-
них частот, имеет симметричное затухание в обеих по-
лосах задерживания в логарифмической шкале частоты.
Кроме этого ограничения, преобразование приводит
к конфигурациям цепей, обладающим одинаковым чис-
лом индуктивностей и емкостей. Но целью синтеза явля-
ется создание фильура с минимальным числом индук-
тивностей. Более того, число элементов должно быть
минимальным для сведения затухания в полосах пропу-
скания к минимуму.
Полюсы необходимо выбрать графическим или ариф-
метическим способом так, чтобы добиться требуемого
затухания в полосах задерживания. Как это сделать,
будет объяснено ниже.
127
Главная задача синтеза — найти такую характери-
стическую функцию, которая давала бы:
1) равномерную пульсацию кривой затухания в по-
лосе пропускания при любых полюсах затухания,
2) схемную реализацию с минимальным числом ин-
дуктивностей.
После того как характеристическая функция опреде-
лена, синтез фильтров всех типов, включая нахождение
Рис. 10.1. Типичная характеристика потерь полосового фильтра.
элементов, проводится по общей процедуре. Этот метод
расчета фильтров Кауэра и Чебышева требует меньше
вычислений, чем методы, описанные в предшествующих
главах.
Описание метода удобно начать с преобразования
фильтра нижних частот в полосовой фильтр с минималь-
ным числом индуктивностей. Как показал Ватанабе [36,
40], для фильтра п-й степени должно быть;
Число катушек равно целому кратному от
Схема полосового фильтра не должна содержать вза-
имных индуктивностей, кроме одного идеального транс-
форматора (без которого можно обойтись, если через
трансформатор включается нагрузка). Полосовой
фильтр должен иметь по меньшей мере два полюса за-
тухания: один на бесконечной и другой на нулевой ча-
стоте.
Выполнение этих требований приводит к зигзагооб-
разной схеме полосового фильтра (рис. 10.2), содержа-
щей параллельный резонансный контур на входе и по-
следовательный резонансный контур на выходе, которые
создают два полюса па нулевой частоте и два полюса
на бесконечной частоте. Импедансы третьей степени
128
в последовательных ветвях образуют конечные полюсы
в верхней полосе задерживания, а импедансы в парал-
лельных ветвях — конечные полюсы в нижней полосе за-
держивания.
Формулы преобразования здесь не приводятся; их
можно найти в литературе [29]. Задачу можно также
решить при помощи общего уравнения (8.4):
(— 1, Ух---z2„, G2) = — -J- F (/>),
справедливого пр>< максимальной передаваемой мощно-
сти. Иммитансы могут иметь форму, показанную на
рис. 10.2.
Рис. 10.2. Зигзагообразная схема полосового фильтра.
Следует заметить, что при использовании общей рас-
четной формулы выполняются следующие четыре урав-
нения (см. гл. 9):
(!/,----г„) + ,),
(»,----Ут-,) G, + (г.----г,„)=Л.””' ,
(^1 2гп) (2г : Угп-i) G2 = F (/?),
(У1 Угп- 1) С2 (г2 Z2n) = G2 — 1.
(При произвольной нагрузке 1//C==G2 1).
Из этих уравнений находим
(9,-----г„) = 3£=ц=±ж+ f w.
•£-1\
( _____ х____ Нечетная степень (р) G2 — 1
Х2П) — ' 7 л-----------= .
9—1469
129
При преобразовании фильтра нижних частот в полосовой
фильтр имеем
, Четная степень,.,, (т/) е
(/.-----2\т) =------------+ 2К (Р )’
f г Нечетная степень^ (р') гб'2—1
(2 2"----—2 гт) == 2^ 2 ’
где
Четная степеньнч(/2') = Четная степень (р),
Нечетная степеньнч(/2,) = Нечетная степень (р),
Р(р') = Р(р).
Применяя преобразование
Р “ Р
получаем
(У1 Ztn) ------- {У 1 2 гп)>
(22 22n) 2 2 2п)-
Если величины элементов или определяющие уравне-
ния фильтра нижних частот известны, при помощи этих
уравнений можно найти новые величины элементов, как
было описано в гл. 8.
К симметричным фильтрам описываемый метод при-
меним только в случае максимальной передаваемой
мощности. Полученные при этом отрицательные величи-
ны элементов нужно компенсировать взаимными индук-
тивностями.
С другой стороны, если полином Гурвица (24] в зна-
менателе функции усиления известен, то расчет можно
проводить непосредственно по уравнению
(1, у,-----г/2п+1+(5г) = 4' [Нечетная степень (р)-\-
-|-Четная степень (/?)],
что дает большую свободу в схемной реализации.
В этом случае дополнительный параметр (Д) созда-
ет потери постоянной величины. Например, полосовой
130
фильтр с минимальным числом индуктивностей, преоб-
разованный из фильтра нижних частот путем отождеств-
ления четырех определяющих кумулянтов, приводит
к схеме, изображенной на рис. 10.3, для которой сохра-
няется симметрия четырех определяющих уравнений,
тогда как при использовании одних лишь уравнений для
функции усиления возможны различные построения
фильтра, подобные изображенным на рис. 10.4.
Рис. 10.3. Преобразование фильтра нижних частот в симметричный
полосовой фильтп с минимальным числом индуктивностей.
Рис. 10.4. Схемы, эквивалентные схеме рис. 10.3, синтезированные
по функции усиления.
Следует отметить, что преобразование на базе филь-
тров нижних частот с минимальным числом катушек, без
взаимных индуктивностей, возможно лишь для антиме-
тричных фильтров (фильтров четной степени).
Имея в виду приведенные замечания, мы можем при-
ступить к расчету фильтров общего типа.
10.2. Условия для равномерной пульсации
характеристики в полосе пропускания
Усиление фильтра с характеристикой, обладающей
равномерной пульсацией в полосе пропускания и произ-
вольными полисами в полосе задерживания, определим
с помощью уже применявшегося ранее выражения
|!==___*L_,
1^1! I l+e2f(<0=)’
9*
131
где положительный знак относится к четной функции,
а отрицательный — к нечетной.
Эту задачу удобно исследовать не в плоскости р,
а в так называемой z-плоскости, применив преобразо-
вание
2__ р
4-wL, ‘°2-' wL| *
где <в_|, <В| обозначают границы полосы пропускания по-
лосового фильтра.
Рис. 10.5. Соответствие плоскостей р н z при преобразовании.
, 2
р2 +
г2 = 2 '
рг + ш—1
Это преобразование (рис. 10.5), как видно из под-
становки некоторых существенных частот:
Плоскость р Плоскость Z (
р=0 Z — ,
Z=CO
Р = /®1 2 = 0
р =оо 2=1
132
отображают полосу пропускания из плоскости р на всю
мнимую ось плоскости z. Диапазон частот от (щ до °о
в плоскости р отображается в отрезок от 0 до 1 дейст-
вительной оси в плоскости z. Диапазон от <о_| до О
в плоскости р соответствует области от оо до <Oi/<d-i
действительной оси в плоскости z. Наконец, действитель-
ная ось плоскости р отобразится в отрезок действитель-
ной оси плоскости z от 1 до й>1/<в-1. Таким образом, по-
люсы затухания в плоскости р преобразуются в отрезки
действительной оси плоскости р.
Ограничиваясь исследованием в плоскости z, рас-
смотрим функцию
n(z'-w0 ПО 2)
n(z + mf) ’ ( • >
состоящую из произведения всех известных полюсов за-
тухания. Иначе говоря, если pi — заданный полюс, то
т,- определяется преобразованием
2 P2i+tf
Подобно этому все полюсы расположены на действи-
тельной оси плоскости г, включая полюс на бесконечной
частоте
2 1
/Поо= 1
и полюс на нулевой частоте
Рассмотрим теперь функцию (10.2), где все пг<— ве-
щественные величины. Очевидно, абсолютная величина
функции (10.2) повсюду на мнимой оси в плоскости z
равна единице, так как
П (z — тд 2_ П(И2 + "Ф
П (z + mt) ~ п (| z |2 + /п? ) = 1 ’
Поэтому можно написать
Щг-тО =eJ/(z> (10.3)
И (г + mt) х '
133
Прибавим единицу к функции (10.3) и найдем квадрат
модуля суммы:
П (г — mt)
п (г 4- znf)
г=| 1 -|-e^(*)p = 2-|-2cosf (г).
Эта функция осциллирует между 0 и 4. Подобно этому
находим
Эта функция также осциллирует между 0 и 4. Умножая
на е2/4, находим квадрат модуля искомой функции
Эта функция осциллирует между 0 и е при любом набо-
ре полюсов на всей мнимой оси в плоскости г, т. е. в по-
лосе пропускания фильтра.
При составлении характеристической функции полю-
сы можно размещать произвольно на действительной
оси плоскости. Полюсы .можно также разместить в об-
ласти, соответствующей действительной оси плоскости р.
Требование физической реализуемости налагает не-
которые ограничения на эту функцию. Из выражения
для модуля функции усиления лестничной цепи с оконеч-
ными сопротивлениями
= (1,Z/,,Z2---------)(1, ~уг, ~2г----------)
следует, что определяющая функция должна содержать
квадраты полюсов. Как будет показано дальше на неко-
торых частных случаях, простые полюсы допустимы
лишь на бесконечной и нулевой частоте. Отсюда следует,
что выражение (10.4) должно быть вида
S2 I 1 , П (z — 2 мл tn
Следует заметить, что числитель этой функции дол-
жен быть квадратом четной функции по г.
134
Другое ограничение на выбор характеристической
функции налагается требованием устранения отрица-
тельных элементов (которые могут быть реализованы
лишь с помощью взаимных индуктивностей). Как было
упомянуто при разборе фильтров Кауэра, для создания
характеристических функций, четных или нечетных, без
применения взаимных индуктивностей, должен сущест-
вовать по меньшей мере один полюс на бесконечной ча-
стоте. Исследования и доказательства этих ограничений
можно найти в литературе (34, 36, 37, 38].
10.3. Расчетные уравнения
Имея в виду указанные выше ограничения, рассмот-
рим расчетные уравнения фильтров общего типа, выте-
кающие из выражения (10.5).
1. Фильтры нечетной степени (симметричные). Квад-
рат модуля характеристической функции для этих филь-
тров равен
— IF (г\ 1’-= — И - п(г~^б2 I2—1)
4 v ’ I 4 | П (г + (г + 1)
(Ю.6)
или после приведения к общему множителю
I р /гх|г__ g2 [П (г + МгУ (г + 1) — П (г — mt)2 (г — I)]2
4 1 U 4 П(г2 — mfr (г2—1)
(Ю.7)
Само собой разумеется, что некоторые из конечных
полюсов в точках могут быть в бесконечности. Филь-
тры с такой характеристикой имеют нечетное число по-
люсов в бесконечности.
Усиление цепи определяется из выражения
' ^1а । е2 [ГГ (г-4-Wi)2 (z 1)—П (z—mt)2 (z— I)]2* (Ю-8)
1 — 4 ' П (г2 —- mfr(z2 — 1)
Величины элементов, в соответствии с (8.4), вычисляют-
СЯ ИЗ урЗВНСНИЯ
135
(— U//1------Угп+' -Ь 1) —
е И (г -|-mt)! (г + 1)—П (г— от()2 (z — 1)
2К П (г2 — т?) 1
(10.9)
где e/2/(=e, поскольку К=1.
2) Фильтры четной степени (антиметричные).
Фильтр типа В (названный так по аналогии с соответ-
ствующим классом фильтров Кауэра) отличается от
фильтров нечетной степени тем, что он имеет четное чис-
ло полюсов в бесконечности. Установив знаки так, чтобы
получить четную функцию от z, которая преобразуется
обратно в рациональную функцию от р в плоскости р,
находим квадрат модуля характеристической функции
е2 . ₽2
[П (z, + /я,)2 (z + I)2 + П (z -- /я,)2 (г - I)2]
A II(z2 —яг*)2 (z2—I)2
Следовательно, квадрат модуля усиления равен
________________________________________
е2 [П(г4-/и^2(г+1)2+П(г —/«J2 (г — I)2]2 ‘
4 II (г2 —/Я;)2 (г2 — I)2
(10.10)
Элементы вычисляются по уравнению
у (г + (г 4- О2 + п (г mtY (г О2 (10 11)
А П (z — «2) (z2 — 1) ’ ' ’ }
Из рассмотрения этих уравнений видно, что проще
всего проводить вычисления либо только в плоскости z,
либо одновременно в плоскостях г и р. Например, куму-
лянты можно вычислять в плоскости р, а характеристи-
ческую функцию в плоскости z. Это будет показано на
примерах.
Следует отметить, что характеристическая функция
в плоскости г, например такая, как (10.9), не является
единственно возможной. При некоторых других сочета-
136
ниях знаков в числителе цепь может сохранить харак-
теристику с равномерной пульсацией, хотя нули затуха-
ния в полосе пропускания переместятся. Следовательно,
при одних и тех же полюсах затухания и пульсациях
в полосе пропускания фильтр может иметь различные
элементы. Например, можно применять любую из функ-
ций третьей степени:
е (г -|- т)2 (z + 1) — (г — т) 2 (г — 1)_
2 (г2 — т2) У г2 — I
= р (2/и + 1)г2 + 7и2 (Ю12)
(z2 — т2) Уг2 — 1
или
* К +от)2 (г — 1) — (г —от)2(г + 1)_
2 (Z2 - - от2) У Z2 — 1
=е (10.13)
(г2 — от2)/г2— I
Различие в характеристиках затухания показано на
рис. 10.6. Это справедливо для характеристических функ-
ций любой степени и любого другого сочетания знаков.
Р и с. 10.6. Характеристика затухания фильтра третьей степени при
различных сочетаниях знаков в характеристической функции:
/ — максимальное затухание; 2 — измененное затухание.
Кроме того, при некоторых значениях т функция (10.13)
может не иметь нулей на мнимой оси, так что фильтр
будет иметь плоскую характеристику затухания в полосе
пропускания. Можно также получить цепь с тремя ве-
щественными полюсами усиления.
137
И НШКШКШйшшмаавшм
10.4. Вычисление К
Вычислим теперь К в основных расчетных уравнени-
ях (10.9) и (10.11) для фильтров общего типа. Из опре-
деления усиления для симметричного фильтра нижних
частот
1^= I (1, у,----угп+1 + G2) Д1 - 4 (г)].
При /7 = 0, т. е. г = оо, находим
(Ч°_—3 (10-14)
Четное число
нулей
С другой стороны, из определяющего уравнения
(— Uy.-----y2n+,4-G2)=—^-F(z)
при р = 0 находим
Hi,o_o,o+G,)=o. (|015)
Четное число нулей
Из уравнений (10.14) и (10.15) следует:
1 +G2 = ~у>
-14-G2 = 0
и
G2=l,
,, 1 (10-16)
Аналогично, определяющие уравнения для антиметричного
фильтра нижних частот имеют вид
| (1. Ух---G2)|’ = -4 [ 1 + 4 Р(г) ]
и
( 1»Ух ztn' Ga)== 2К F
138
При р = 0, т. е. z=oo, из этих дйух уравнений находим
(1,0---0, G^ = ^r(l+e^>
(-1.0-----0,G2)=--£-.
Вычисляя кумулянты
i+g2 = !^l>
получаем
_1+Ga = —
4 2
С! = ^г=[ГН^+в]2.
(10.17)
Выражение (10.17) позволяет вычислить коэффици-
ент К по известной величине е, а также найти коэффи-
циент отражения и пульсацию из соотношений
•=7=г=Г. 1(10.18)
Р’.= Р^Т <10.19)
ИЛИ
Пульсация (дб) = 101g (1 s2)- (10.20)
10.5. Фильтры типа С
Как было показано раньше, характеристическая функция
* -n(z + ,nt)°(z + l)2 + n(z-mtr(z-l)2 (Ю21)
2 К П(г2 —пф (z2 —1) ' ‘ '
описывает антиметричный фильтр нижних частот типа
С с характеристикой, обладающей равномерной пульса-
цией в полосе пропускания при любом наборе полюсов
затухания.
Часто требуется ставить антиметричный фильтр меж-
ду одинаковыми оконечными сопротивлениями, что соот-
139
ветствует фильтру типа С, рассмотренному в гл. 6. При-
меним преобразование диапазона частот и допустим, что
выражение (10.21) может быть представлено в виде
II(z+mt)2(z-|-l)4-II (z-mtY (г-1)2 = (?2 - zg) P2n-2(z)
П (z2 —/и? ) (z2 — 1) (г2 — 1) Qi»~2 (г) ' ’ '
где Ргп.2 и Q2„_2— полиномы степени 2п — 2 на плоско-
сти z и Zq — наибольший из корней числителя. После пре-
образования
z2 + z(j
z'2 _ I Z2 — 1
ИЛИ
„ *2 (1 +>2)
Z ,2 =-------s-
z2+ zg
в полосе пропускания переместится
наинизший нуль
в начало координат, и вместо (10.22) будем иметь
<|0-23>
z'2— 1
Рис. 10.7. Соответствие между плоскостями гиг'" для фильтров
типа С.
Функция (10.23) сохраняет одинаковые пульсации при мни-
мых значениях z' и, следовательно, при мнимых значениях z,
если (z2 -ф- Zq ) > 0.
На рис. 10.7 показано соответствие между плоскостя-
ми z и г'. Подстановкой в (10.23) новой переменной
z'2 =
Р
140
Можно получить характеристику антиметричного фильт-
ра типа С. При синтезе цепи вычисления можно прово-
дить как в плоскости г', так и в плоскости р при помощи
определяющей функции
( 1 , У1> ^2 ^2П’ 1)
е 1 ^2п — 2 О' )
Ж г'2 — 1 <эг„_2(г') •
В частности, при вычислении усиления для случая
р = 0 постоянная К = '/г
Все остальные характеристики (ширина полосы, за-
тухание и т. д.) определяются так же, как и у фильтров
Кауэра типа С.
С другой стороны, как видно из общего уравнения
для усиления фильтров типа В
l^i2|2— [ + | р р — |(1,у,, г2------г2п, О2)|2’ (10-24)
где F(z) определяется выражением (10.21) и G2=l, пере-
даваемая мощность не будет максимальной и, следователь-
но,
В частности, при /2 = 0 и G2 = 1
№ __ 1
1 + е2 4
ИЛИ
Из сопоставления последнего выражения с выражением
(10.17)
д-2 — -HF
. 4
видно, что усиление в этом случае уменьшается на
201£[(|/1-Н2 + *)/(И+е2)] дб.
Если это уменьшение допустимо, расчет можно проводить
исходя из уравнений
141
(f/i ^-ап) (^-а Угп-1)^2
„__ s П (z 4- mQ2 (z -f~ 1)~ 4~ П (г — ,и<)а (г — 1)"’ (10 25)
2ft II (z2 — m?)(z2—1) ’
(«/.-----«/,»-.) G2 - (г, -Zm) = (10.26)
как описано в гл. 8.
10,6. Дополнительные функции с равномерной
пульсацией
Рассмотрим опять функцию (10.3)
П(2~"М. If (2)
п (г 4- mt)
и обратную ей функцию
П (г 4- тг) -f (z)
П (z - /л()
при которых получаются характеристические функции,
обеспечивающие равномерную пульсацию кривой затуха-
ния в полосе пропускания.
С помощью этих выражений можно составить триго-
нометрические функции
sin f (г) =--№-------, (10.27)
,, . (О 4-е-•'По пп
cos f (z) =---L2-----» (10.28)
каждая из которых образует равномерную пульсацию
в определяемой области, т. е. для мнимых значений z.
Подобно этому определяем:
n(z4-/wt) Vz+ 1 = е jg(z)
И (z — mt) Vz — 1
n(z-mt) t/r=n = e_ .g(z)
П (г 4- mt) Vz 4- 1 !
(10.29)
142
и
П ) z+ mt У~г + 1^е,-л<г)
пКг— m4y'z — 1
(10.30)
n-)Zz- /«tKz- 1 = е_j/l(z),
nj/z-y OT4Kz+ 1
при мнимых значениях z.
Из этих функций можно составить большое число ха-
рактеристических функций, приводящих к кривой зату-
хания с равномерной пульсацией. Например, из (10.29)
находим
1 Гп (г 4- пг4) Kz + 1 П (z — mt) У z — 1
П (2J—>«) Kz^T ~ П (г + mt) У г + 1
Это есть не что иное, как характеристическая функ-
ция четной степени только что исследованных фильтров.
Функция
ст»а(2\- 1 Г П(2 + ^) К+1) ,.П(г-^)(г-1) у
cos g{Z)— 4 | п (г _ т<) (г _ Т п (г + тt) (г + 1} J
соответствует фильтрам с характеристической функцией
четной степени типа В.
Учитывая приведенные выше рассуждения об опреде-
лении кратных полюсов и составив модули выражения
(10.30), получим характеристики с равномерной пульса-
цией:
cos,n 1 h П(г + ^г) (г+‘1)±ПК-/и0 (z — 1) ] ”.
sin2” f { j ~~ 4” L п (г2 - OTf)'/2 (г2 - D‘/2
(10.31)
При n = 2 квадрат модуля усиления для нового фильтра
нижних частот будет
1 1 Г., , 1П (г + (z + Ч + П (z-^0 - 1)14.
Ififial2 № “l” 16 П(г2 —m?)2(z2 —I)2
(10.32)
143
10.7. Применение к фильтрам Чебышева
Чтобы проиллюстрировать применение вышеизложен-
ной теории, составим полиномы Чебышева на плоскости
z и выполним синтез фильтра, заданного в примере 10.1.
Ниже перечислены полиномы Чебышева на плоско-
стях р и z:
с двумя полюсами в
бесконечности,
2/>*4-1
1 (Z+l)2+ (3-1)2
— 2 z2 — 1
*Р* + 3Р
8/7*4-8/724- 1]
16/7® 4- 20/7* 4-5/>
1 (z4-l)‘-(z-l)«
— 2 (г2,— 1) /г2:—1
1 (z4- l)44-(z- 1)*
— 2 (Z2 — I)2
1 (z4-l)»-(z-l)’
— 2 (z2 — l)2Kz2 — 1
с тремя полюсами в
бесконечности,
с четырьмя полюсами
в бесконечности,
с пятью полюсами в
бесконечности,
'Полином Чебышева]____ 1 (г4-1)г”4-(г—I)2” с 1п полюсами в
степени Чп J 2 (г2 — 1)” бесконечности.
'Полином /Чебышева]___ 1 (г4-1)2п+1—(г-—l)2n+I с 2/г4-1 полюсами в
степени 2п 4-1 2 (z2—1)”Кг2—1 бесконечности.
Заметим, что если все полюсы затухания удалить
в бесконечность, то с помощью функции (10.32) можно
составить модифицированный фильтр Чебышева, напри-
мер:
е2 [(г4-1)«±(г- I)’]2"
45Г (Z2_l)Qn
при п четном и q четном или нечетном. Эта характери-
стическая функция охватывает все типы фильтров, от
фильтра Баттерворта до обычного фильтра Чебышева, и
имеет любое число нулей затухания в начале координат.
Для иллюстрации этого вывода на рис. 10.8 приведены
частотные характеристики в полосе пропускания для
фильтра четвертой степени, соответствующие различным
структурам характеристической функции.
144
дб
Wtg(l*e2)
ez[(z4)-(z-l)]
16
1,0 а'
4 ;
___________=£ 2----- — г 2 fj
(Zz-1)2 (гг-1)г Р
дб
ЮЬд( 1+£г)
£Z[(Z^1)UZ-1)][ £^z4__ г( г}г
16 (гг-1]2 (гг-1)г ' P '
1,0 ш
дб
1О1д(1*Ег)
0,7 \ i,0 и>
6zl^1)^(z-lf][ г(^2 г г
4 Гг2-/)2 (z2-/)2 ' Р 1
дб
10lg(i*s2}^
1OI3(1^2)-
। j
I * e2[(zfir(z-i)]!if ez[(z^i)-(z-i')]l>
I \ /16 (z^-1)2 16 (Z2-1)Z
~ТП.
0,7 1 1,0ы
I ।
еЛ^=£^2р^2р^1)
дб
101g (1*е2)
Ю1д(1+1£г)
0,7* 1,0 О)
sz['z+i)-(z-i)] * e2 [(z*i)+(z-i)]z
16 (zz-i)2 4 гг-1
в-2 7 2
дб
101д(1+£г)
ег,
uJ.
0,7 1,0 id
ez[(z*i)*(z-l)]6^ €г[(г*1)-(г-1)]е
64 (г2-/)3 64 (гг-1)3
Рис. 10.8. Полосы пропускания фильтра Чебышева четвертой степе-
ни при различном соотношении показателей степени характеристиче-
ской функции.
10—1469
J45
10.8. Замечания о вычислении на плоскости г
В гл. 8 была описана общая процедура непосредст-
венного вычисления элементов простых фильтров, осно-
ванная на соотношении между кумулянтом и характе-
ристической функцией. В настоящей главе эти результа-
ты будут приложены к практическим расчетам. Учиты-
Р и с. 10.9. Симметричный фильтр нижних частот.
вая, что (eIK)F(p) = (eI2K)F(z), применим уравнение
(8.4) к симметричному фильтру нижних частот, изобра-
женному на рис. 10.9. Развертывая кумулянты, получаем
следующие уравнения для элементов фильтра:
(1/1 У2П+1) (Zj ---
f '^Р
— у^Р’ 1гСгрг+\ ,С*Р' >С2П+1Р)
— ( I - 1 ’ ----’ -7—) = ~w~ F (z)> (10-33)
(у,------Z2n) — (z.-------z/2„+1) = 0. (10.34)
Эти уравнения равносильны уравнениям (1.26):
/2с2/Я + 1 ’ С*’ W2 + 1 ’ ’ С2П+1 J
____1 ( 1>Р2 г 1^пР2 \_____е_РМ
р у /2с2р*+1 ’ ”___________________________________’ ^nP’ + i
(10.35)
(г 1^рг_________________linp3 А_
V1’ W2 + i ’ ’ /2пс2пР2 +1 J
(10-36)
146
Заменяя переменную
или
получаем следующие выражения для отдельных частей
кумулянтов:
itP2 ________________it___________it
\liCiP2 + 1 Z2 — (1 — liCt) ~
(10.37)
где
= 1 -]--2~ = 1-----2~ — 1 — lid .
Pi “7
Таким образом, приходим к следующим определяю-
щим уравнениям фильтра на плоскости z:
-(z2- 1) (—Ц-, с3,----------, U-2 W-^/z2- 1 F(z)
v 'I z2 — ml 3 * * * * В * г — 2K
(10.38)
и
/ c , l2n \_____
” г2 — ml ’ z2 — tr?2nj
’ c»n+> V°- (10-39)
Для .всех других фильтров — антиметричных фильтров
нижних частот, полосовых фильтров, заградительных
фильтров и т. д. — определяющие уравнения имеют та-
кую же форму.
В нижеследующем примере описан практический спо-
соб расчета фильтра, пригодный для использования вы-
числительной машины.
Пример 10.1. Расчет фильтра нижних частот Чебы-
шева. Рассчитать фильтр Чебышева нижних частот
10* 147
третьей степени с одинаковыми оконечными сопротивле-
ниями, с пульсацией -у- дб в полосе пропускания.
Решение. Из соотношения между s и пульсацией:
10 lg (1 -|- s2) следует: е = 0,3493. Общие уравнения
(10.38) и (10.39) для этого случая принимают следующий
вид:
г —— г \ /
*’z2 —1,С’1 2
_ е (Z + I)3 —(г — 1)3_„ Зг2+1
2ft г2 —1 — г2—1
(10.40)
Из последнего уравнения находим с1 = с3. Подстав-
ляя это значение с3 в первое уравнение, приходим к тож-
деству, справедливому при любом значении г:
= (10.41)
Зададим теперь наугад величины элементов, после
чего произведем коррекцию каждого элемента с помо-
щью линейного уравнения для приращений, проверяя
тождество на разных частотах. Например, при z2= 2, 3,
5, 6 и первой оценке
С) = /2=С3= 1,
вычисление кумулянта в выражении (10.41) дает:
при г2 — 2: (1, 1, 1) при г2 = 3: (1, 0,5, ' 1)
2| J?]- 1,5| 2.51
при г2=5: (1, 0,25, 1) при г2 = 6: (1, 0,2, 1)
1,25| 2,25| 1,2 | 2,2 f
Разлагаем выражение (10.41) в ряд Тейлора по при-
ращению Дс1 (приг2=2):
3+2Дс, + 2ДС]—1 = 4,8902,
т. е.
4Дс,=2,8902 или ДС] = 0,72255.
148
Аналогично уравнение для z& = 3, 5, 6 дает:
ЗДс, = 1,993, Дс, = 0,66433,
2,5Дс, = 1,5444, Дс, = 0,61776,
2,4Дс, = 1,45468, Дс, = 0,60612.
Арифметическое среднее равно Aci = 0,65269, т. е. ci =
= 1,65269. Подставляя новое значение ct в кумулянты,
находим:
при г2 = 2: (1,65269, 1, 1,65269)
2,65269 | 6,03676 |
при г2 = 3: (1,65269, 0,5, 1,65269)
1,82634 | 4,67107)
при г2 = 5: (1,65269, 0,25, 1,65269)
1,41317| 3,98822 |
при г2 = 6: (1,65269, 0,2 1,65269)
1,33053) 3,85166 |.
Разложение выражения (10.41) в ряд Тейлора по
приращению Д/2 при четырех выбранных значениях z
приводит к следующим результатам:
1,73138Д/2 = —0,14656 или Д/2 = — 0,08465,
0,36569Д/2 = — 0,17807 Д/2 = — 0,48694,
— 0,31715Д/2 = — 0,19382 Д/2 = 0,61112,
—0,45372Д/2 = — 0,19697 Д/2 = 0,43413.
Среднее значение равно
Л/2=0,11841 или Zj = 1,11891.
На этом заканчивается первый цикл. Внося уточнен-
ные значения в кумулянт, находим в том же порядке:
(1,65269, 1,11841, 1,65269) (1,65269, 0,55920, 1,65269)
2,84838 | 6,36018| 1,92418| 4,83276|
(1,65269, 0,27960) 1,65269) (1,65269, 0,22368, 1,65269)
1,46209 | 4,06908 | 1,36967 | 3,91634 [
Отсюда находим: Дс, = — 0,06247, = — 0,15741, = — 0,05344, = — 0,05229.
149
Средняя величина равна
ДС1 = —0,0564 или Ci = 1,5962
и, аналогично,
Д/2=—0,0217 или /2=1,0967.
Сравнивая эти величины с точными величинами из из-
вестных таблиц, убеждаемся, что они совпадают в пяти
знаках. Относительные ошибки приведены в следующей
таблице:
Порядок приближений С1 1,
Первое допущение Первая поправка Вторая поправка —37,0% 3,68% 0 —9,16% 2,46% 0
10.9. Приложение теории к фильтрам
различного типа
Теория, изложенная в этой главе, имеет общее зна-
чение и ее можно приложить к любому фильтру, обла-
дающему характеристикой с равномерной пульсацией.
Тип фильтра определяется лишь распределением полю-
сов.
Так, например, для фильтра нижних частот (рас-
смотренного в предыдущей главе) положим co i = 0 и
©I = 1. Тогда
Р2 + Ч
л3+"!..!
как показано иа рис. 10.10. Выше были выведены рас-
четные уравнения (10.9) для нечетной функции
( 1’1/1 //гП+1 ' | 1)
__ _ е п (z + '««)2 (г + 1) — П (z — m-tY (z — 1) q 42)
П (г2 — пг?) J/z2 — 1
150
и (10.11) для четной функции
( Zznt ^2) =
а П (z + тО2 (z + I)2 + П (z — mQ2 (г — I)2
2К П(г2—m?)(z2—1)
(10.43)
в обоих случаях при <щ = 1.
Рис. 10.10. z-преобразование в применении к фильтру нижних ча-
стот:
г2 = 1 +"—.
- />*
Подобно этому, применяя общую теорию к полосо-
вым фильтрам, ‘мы задаем:
степень фильтра п,
число конечных ненулевых полюсов 2m,
число полюсов на нулевой частоте s,
число полюсов на бесконечной частоте q = n—2т—s,
коэффициент отражения р.
Тогда можно составить расчетное уравнение
( 1 > У1 Угп+i “I- ==
_______а П (z-f-/n<)2(Z-{-<Oi)« (Z-f-l)^j;II(z—ffZt)2(Z—<О,)* (z—1)0
2К И (z2 — m?) j/(z2—<of)» /(z2 — 1)0
(10.44)
где нормированная величина ш.ч = 1.
Если полосовой фильтр рассчитывается по уравнению
(10.32), то величины элементов можно вычислить из
уравнения
151
( 1 > У1 ^гп’^г)=—
______а [П (г-|-т<)(г-|-со1)<|(г-|-1)ч + П (г—wt)(z—<o,)8(z—1р)]2
TL (г2 — m2) (z2 — со2)» (г2 — 1 )ч
(10.45)
где можно положить G2=l и /С=1/г-
Таким же образом, используя обобщенную функцию
(10.31), находим
(— hf/i--------г2П, G2)==
___е [П (г Ц- mt)(z Ц- <!>,)*(? Ц- 1)ч — П (z — 1 )(? — cojsfz — 1)ч]2п
— 4” (П (г2 —т2) (г2 — со2)» (z2 — 1)ч]п ’
(10.46)
Аналогично, для фильтра верхних частот применяется
преобразование z2—1+р2 (нормированное для <oi = l).
На рис. 10.11 показано соответствующее преобразо-
вание плоскостей р и z на одном участке оси; остальное
определяется на основании симметрии.
j
Рис. 10.11. z-преобразование в применении к фильтру верхних
частот:
г2=1+р2.
Наконец, в случае полосового заградительного филь-
тра можно применить либо преобразование этого филь-
тра в фильтр нижних частот, либо, в случае прямого
расчета, преобразование
+ Ч____________+ 1
р\+ wL ] рг +>L’j1
152
(при (oi = l). На рис. 10.12 показано соответствие между
плоскостями риг.
Характеристические функции полосового заградитель-
ного фильтра (приводящие к кривой затухания с равно-
мерной пульсацией) тождественны аналогичным функци-
Р и с. 10.12. г-пре,образование в применении к заградительному
фильтру:
г2 =_____________________________р2+ 1
2
Р1 + ш— 1
ям полосового фильтра, за исключением того, что они
не должны иметь полюсов ни на нулевой, ни на беско-
нечных частотах. Таким образом,
е2 Г П (г + тгу- + П (г — /щ)2
4 П(?2-т2)
(10.47)
или
16
П (Z + mi] + П (г — тг)
П jZ г2 — /гг?
(10.48)
Следует отметить, что при расчете фильтров эта
функция имеет более широкую область применения, чем
функция, получаемая преобразованием функции фильт-
ра нижних частот, которая приводит лишь к симметрич-
ным характеристикам, затухания.
10.10. Расположение полюсов затухания
Рассмотрим, как нужно выбирать полюсы затухания
для того, чтобы выполнить требования к полосе задер-
живания фильтра. После того как полюсы определены,
153
расчет производится на основании вышеизложенной тео-
рии.
Из выражений для функции усиления (10.8) и (10.10)
следует:
1 ___. е2 [П(г + mt)2 ± П(г — mt)2]2_
РГ ~ ~~ [П(г2 —т?)]2 —
___. е2 г n(z4-ffli) । П (г — mt) T2
4 [ П(г— mt) ~~ H(z-)-mi) J
(10.49)
Так как основной вклад в затухание отдельных звень-
ев дают области, расположенные около полюсов (z^
— mt), то в полосе задерживания с достаточной точно-
стью можно положить
1 е2 П (г -J- irtt)2
1112 4 П (z — mt)2 ‘
Следовательно, уменьшение коэффициента передачи равно
1п-|ТГ^ Б1П^5“ + '"ТЛ' <105<)<
1=1
или
п
201gV 20 lg ! + ^- + 201g^-^. (10.51)
| £ I l,4 "
1=1
Введя новые переменные
Y = In z,
Yoo^lnmz,
(10.52)
находим
z — mt
eT i_eTco • e7“7o°
ln^ + V=ln-^—-
C1 — e7°° eT 00
— 1
= Incth
Следовательно, уменьшение коэффициента передачи равно
п
Inw- Elncth
i =1
+in_f_ tv.
(10.53)
154
Ранее было найдено, что преобразование частоты в
плоскости z для фильтра нижних частот имеет вид
или для новой переменной
Y = lnz = 4"ln(1 — i)’ (10.54)
Соответствующие величины <о, z и у, на основании
(10.54), будут
(О 1 оо
Z 0 1
Y 30 0
На рис. 10.13 нанесена характеристика затухания
(10.53) в этих двух шкалах частот. Она приведена так-
же в табл. 10.1. На графике затухание, выраженное ве-
личиной
201gcth|—дб,
(10.55)
построено в виде функции параметра у, нанесенного
в линейной шкале по оси абсцисс.
Преобразование приводит к тому, что шкала частот
растянута по направлению к частоте среза и сжата при
более высоких частотах. При использовании графических
способов это штвышает точность расчета. При этом пре-
образовании шкала частот искажается таким образом,
что характеристика затухания получается симметричной.
Выбранное значение не влияет на форму кривой,
но лишь определяет положение полюса преобразованно-
го затухания.
При таком частотном преобразовании характеристи-
ки затухания, соответствующие полюсам при различных
частотах, становятся сопоставимыми, и их можно распо-
155
дожить одна над другой, сместив их -в горизонтальном
направлении. Частота среза каждой из характеристик
стремится к отрицательной бесконечности, и в этой точке
все кривые пересекаются.
Рис. 10.14. Кривая затухания многозвенного фильтра в зависимости
от преобразованной частоты.
Для определения общего затухания фильтра высокой
степени можно применять шаблон, изображенный на
рис. 10.13 и на табл. 10.1. Выбрав полюсы у<х,|, у°°2,
Уооз, • •, Yoon и совмещая шаблон с этими частотами, на-
носят соответствующую характеристику затухания для
каждого полюса. Складывая эти кривые, находят общее
затухание фильтра (рис. 10.14). Из него нужно вычесть
равномерное затухание 201g(e/2) дб.
Такой же способ можно применить при преобразова-
нии мнимых значений z. Поскольку модуль функции
в полосе пропускания равен единице, находим
156
arc (2 ~*~m< = 2 arctg (— 20/.
\z — mt J 1 ]mt j
Следовательно, характеристическая функция равна
4-е 2;x9i) = cos (2E0f), (10.56)
откуда следует
1_______________1
1 4- е2Д2 -- 1J+ е2 cos2(2S0<)
ИЛИ
1 _ 1
1 — e2F2 ~ 1 — е2 cos2(2S0t)’
В случае фильтра верхних частот можно применить
те же графики и приведенные выше соотношения оста-
ются справедливы для нормированной частоты
Q
(Oj
(О
Для полосовых фильтров с симметричной логариф-
мической характеристикой затухания в полосах задер-
живания можно применить такой же графический спо-
соб расчета, положив
1 . /, 1 \
У 2 П S2 J
и введя нормированную частоту
со —СО-» _ “2 —“т
СО, —СО_, СО (со, — СО-])’
где со, и со_, — верхняя и нижняя частоты среза, а
шт =
— среднегеометрическая частота фильтра.
157
10.11. Распространение метода на полосовые
фильтры
Для полосовых фильтров общего типа с несиммет-
ричной характеристикой затухания вышеописанный гра-
фический .расчет нужно выполнять для каждой из полос
задерживания. Вместо преобразования
„2 ^ + <0'
z2 = ——5—,
Р2+ “Li
которое применялось раньше, нужно применить преобразова-
ние
где постоянная введена, чтобы связать среднегео-
метрическую частоту с частотой, принятой за еди-
ницу в плоскости z. Это преобразование приводит к сим-
метрии в плоскости у.
Плоскость р |
Плоскость z
Рис. 10.15. Соответствие между плоскостями риг для фильтров
общего вида.
На рис. 10.15 показано соответствие между плоскостью
р и плоскостью z. Это преобразование связывает средне-
геометрическую частоту <о = {/«>!«>_, с преобразованной
частотой
2 __ <0-1 “1—“i“-i ___ j
Z,n “1 со2 . — СО_,СО.
158
Из соотношения (10.57) находим
T==41n(^) = 41n^--41n^-. (10.58)
На рис. 10.16 показано соответствие между шкалами и
и -у.
<ъ
Рис. 10.16. Соответствие шкал со и у по уравнению (10.58).
Для определения характеристик в полосе задержива-
ния применим преобразование (10.57) к выражению
* г + mt
z — nti ’
в котором
. — 1 /^2-1 “1^“^
mt V “1 -<<>?«,
Тогда получается соотношение
In =;in \ V// + 1 = in с th ), (10.59)
z — mi 1 ei—Toot ] \ z /
из которого следует, что для полосового фильтра можно
применить те же шаблоны и шкалы. После этого нужно
провести графический расчет отдельно для верхней и
нижней полосы ’ задерживания. Единственное отличие
этого расчета от описанного в разд. 10.4 состоит в том,
что соотношение между параметром у и нормированной
частотой и здесь другое.
159
»
Графические способы расчета можно проводить и при
других преобразованиях частоты. Например, чтобы пре-
вратить асимметричную логарифмическую характеристи-
ку в полосе пропускания в симметричную характеристи-
ку с растянутой шкалой, было «предложено следующее
преобразование [27]. Положив
(Ю.60)
СО, — СО- , СО 4- СО - 1 * СО2 4- Г ' '
где
и нормированная частота
<от = [/со, <о_, = 1, (10.62)
получаем следующие соотношения между основными часто»
тами:
со = со, соответствует] <1=1,
<о = <о_, соответствует Q = — 1,
со = сю соответствует Q — Q,,
<о = 0 соответствует О = — О,,
Таким образом, получается симметрично растянутая ло-
гарифмическая шкала частот.
На рис. 10.17 изображена типичная характеристика
затухания полосового фильтра в шкале у согласно урав-
JU'AJ
верхняя полоса_
задерживания
——°® -jArcth О
Рис. 10.17. Характеристика затухания полосового фильтра в шка-
ле у в соответствии с преобразованием (10.60).
160
пению (10.60). На этом рисунке указаны также соответ-
ствующие основные частоты в шкалах Й и to. Можно
заметить, иго н симметричной шкале у полосы задержи-
вания поменялись местами, так что верхняя частота сре-
за расположена в —ю, а нижняя — в +оо. Промежуток
между полосами затухания не является полосой пропу-
скания, так как z здесь — мнимая величина.
Для исследования полос задерживания преобразуем член
Z -|- fUi
Z — nti
Тогда
с помощью преобразования
р‘! 4- <°i
z2 =--------5—"
Р! + “с
(10.63)
a i/'cce замены переменной
будем иметь
Положив далее
(10.64)
находим, что
, z+m, . e2(1 7°°г)+]
In =hi e2(T-T-);t - In cth (Y - TooZ).
11 — 1469
161
I
Мы получили кривую, подобную рассмотренной рань-
ше, но с другой шкалой оси абсцисс.
Из частотного преобразования (10.64) следует ।
2 + 1 __ 4Г
S — 1 ~
ИЛИ f
Q=^r4-=cfh2b
е 1 — 1
Таким образом, переход к шкале у осуществляется по
уравнению *
Y=4-ArcthQ=4ArclhQ1[-g^-j- (10.65) I
Ниже приводится практическое применение преобра-
зования этого вида.
I
10.12. Правила графического расчета
Для определения полюсов на оси частот, обеспечи-
вающих аппроксимацию заданной характеристики зату-
хания, нужно произвести следующие действия:
1. Установить общий вид кривой, прибавив 201g(e/2)
к заданным значениям затухания. J
2. Выбрать верхнюю и нижнюю границы полосы про- j
пускания А и и установить единицу частот из условия i
= Вычислить нормированные угловые I
частоты w = 2'nf/2'nfm = f/fu для основных точек намечен-
ной характеристики. • ’
3. Преобразовать граничные частоты по уравнению
Q +<>-!
1 <1>! -W-1 ’
где Qj — всегда положительна, затем вычислить значения *
s =Arcth [=t (10.66) г
и нанести эти значения ±s (соответствующие f=0 и
/=оо) на график.
162 >
4. Перечертить намеченную характеристику, приме-
нив преобразование
Y = 4-ArcthQ1[-^-j. (10.67)
5. Выбрать частоты полюсов в пределах
—s.
6. При помощи шаблонов начертить парциальные ха-
рактеристики затухания около частот полюсов. Приме-
нять половинные шаблоны только при га = ±$ (полуоб-
ходы при нулевой и бесконечной частотах), причем об-
щее число половинных полюсов должно быть четным.
7. Чтобы найти общее затухание, сложить парциаль-
ные характеристики затухания и повторить расчет, вы-
брав другие частоты полюсов, пока не будет достигнута
требуемая аппроксимация.
8. Вычислить нормированные частоты по уравнению
[27]
„>2=: -S\^L+-SL (Ю.68)
sh 2 (f — s) ' '
и перейти от нормированных к истинным значениям.
о
8600 117.50
7750
70
-----1 60
60
12650 12650 13300
f/ги,
Рис. 10.18. Заданная характеристика затухания в примере 10.2.
Пример 10.2. Определить частоты полюсов полосово-
го фильтра с характеристикой затухания, приближаю-
щейся к .кривой, показанной на рис. 10.18.
Решение. Границы полосы пропускания идеального
фильтра выбираются при f_1 = 8 150 гц и Д = 12 100 гц.
Отсюда находим fu = = 9931 гц. Далее находим
q —(Л +f-i)— г toy
5,127
11
163
и
s = -g- Arcth = 0,10.
В таблице приведены основные частоты в шкале у:
!, гц Arctic, Lj
7 750 0,7804 —0,55
12 450 1,245 0,68
12 650 1,274 0,58
13 300 1,339 0,42
На рис. 10.19 построены приближенные характери-
стики с этими значениями у. После этого выбираются
частоты полюсов и наносится характеристика затухания.
Рис. 10.19. Характеристика затухания в примере 10.2.
Преобразование частот полюсов к истинным частотам по
уравнению
sh 2 (у 4- s)
О) ----г~
sh 2 (y — s)
приводит к следующим результатам:
164
i'oo fcQ’
—0,55 7 750
0,68 12 450
0,60 12610
0,44 13 200
—0,10 0
0,10 оо
х Пример 10.3. Расчет фильтра нижних частот общего
вида. Рассчитать фильтр нижних частот по следующим
данным:
1) максимальный коэффициент отражения в полосе
пропускания 20%;
Рис. 10.20. Заданная харак-
теристика затухания в при-
мере 10.3.
| дб [
4/7 -
30 -
20-
10 t
1 1,2 1,48 2,05 -*
2) минимальное затухание в полосе задерживания,
указанное на рис. 10.20;
3) частота среза и оконечные сопротивления норми-
рованы к единице.
Решение. Применяя графический метод расчета,
описанный в разд. 10.10, замечаем, что при полюсах на
частотах (рис. 10.21)
<Ооо2 = 2,0 И (Ооо4=1,5
получается удовлетворительная характеристика затуха-
ния. Поэтому выбираем фильтр пятой степени, построен-
ный по схеме, изображенной на рис. 10.22.
Величины элементов в первом приближении, в соот-
ветствии с ближайшим табличным фильтром Кауэра
(и = 5, р = 20%, (о.ч= 1,5), равны [30]:
й = 1,78, /2= 1,20, с3= 1,75, /4 = 0,93, с5=0,96.
165
Преобразованная частота f
Рис. 10.21. Расположение полюсов затухания в приме-
ре 10.3:
Я» б — конечный полюс; в—2 полюса в бесконечности; г — i по-
люс в бесконечности.
Рис. 10.22. Конфигурация цепи в примере 10.3.
166
По частотам полюсов находим
(В^9=/2С2 = 4- = °-250>
002 2 2 4 ’ 1
ю-2 — / с —___!___=0 444444
оо4 £4с4 2,250 —
Следовательно, преобразованные частоты полюсов равны
m2 = V1 -(V^) = /0J50 = 0,866025,
/га4='|/'1— (1/а£>4) = /0,555555 = 0,745355
(т2 и mt можно также определить с .помощью графиче-
„ ского расчета).
Теперь найдем характеристическую функцию в пло-
скости z (табл. 10.5):
е/7 (2\ 6 (z+w2)2(z + m4)2(z + 1) — (г — ot2)2(z—m4)2(z—1).
(z2 — m%) (г2 — mfy /(z2 — 1)
Подставляя найденные величины при е=0,204124 (для
р = 20%) и учитывая, что
(z + m2)2(z + /и4)2(£ 4- 1) — (z — m2y(z — mj2(z — 1) =
=2ХЧетная часть [(z-pm2)2(z-pm4)2(z-|- 1)],
находим характеристическую функцию
ч ЛПА.,О. 8,445520г4 + 11,935640г2 + 0,833332
sF (г) = 0,204124 --------—— ----------- -
(z2 —0,555555)(г2— 0,750)|Лг2 — 1
(При использовании цифровой машины может оказать-
ся, что функция F(z) вычисляется быстрее, чем ее чет-
ная часть.)
Теперь можно путем последовательного приближения
вычислить элементы фильтра при помощи табл. 10.5,
подставляя в расчетные уравнения, скажем, р = ±1,
±0,5 и 2. Значения функции для выбранных частот:
eF (/2) = 0,204124 V50-= 6,612114
при /?= 1, т. е. z2= 1 1/f2= 2;
£F (/5) =1,467800
при р = 0,5, т. е. z2 = 5;
eF (]/h25) = 34,036938
при р = 2, т. е. z2= 1,250.
167
Величины иммитансов при выбранных значениях при-
ведены в таблице:
р 1 1 о,-к
У! = с,р 1,18 0,590 2,360
Z?2 “ 1/(^2^гР2-|”1) 0,8 0,941176 0,5
2^2 = IspB?. 0,960 0,564705 1,200
Уз = с3р 1,750 0,875 3.500
О4=1/(/4с4р2 + 1) 0,692307 0,9 0,36
z4 = l^pDt 0,643296 0,4185 0,6699
Уз = сйр 0,960 0,480 1,920
При этих данных кумулянты могут быть определены
в виде:
для р= 1
(-/, 1,18, 0,960, 1,750, 0,693258, 0,960+ ?)
-0,18\ -1,П28\ -2,2329\ - 2,008899\ - 7,3^585'
[7,990705 | 5,916505 I ?,2,60860 | 1,960
дляр=-1:
(-1, -1,18, -0,960, -1,750, - 0,693296, -0,560+1)
2,18\ -3,0928\ 7,59Z9\ - 7,9769611 7,273322 i
\2,572638 \-1,669969 j 0,979253 \О,О9_________
для р- -0,5:
(-1, +0,590, 0,569705, 0,875 0,9185 0,980 + 1)
0,91 | -0,768971 \ -0,262912^ -0,878299\ -1,562281\
\3,255306__ 12.896950 | 1,619380 | 1,980
для р--0,5:
(-1, -0,590, -0,569705, -0,875, -0.9785, -0,980+7)
1,590\ -1,897881 \ 3,250696] -3,258276] 1556392]
\-0,875321 \-0,169582 \0J3233C ГоТ?.
для р=+2:
(-1, 2,360, 1,200, 3,500 0,569600, 1,920+7.
-1,360\ -2,632 | -10,572 | -9,711011 | -38,92815 \
\18,870797 | 13,2с"9^ \ 25-г.27^ 12.920
1G8
При подстановке этих значений расчетное уравнение,
приведенное в табл. 10.5, образует линейную систему:
— 0,733718 = 7,940705 Де, + 0,851977 Д/2 + 2,651537 Дс3 +
+ 3,029192 Д/4 — 2,608894 Де6
— 0,661208 = 2,572638 Дс, + 2,9037059 Д 1г + 3,013216 Дс3 —
--0,2102508Д/4 + 7,976961 Дс6
— 0,094481 = 1,627653 Дг, — 0,558942 Д/2 + 0,622223 Дг, +
+ 0,174766 Д/4 + 0,439145 Дс3
— 0,088542 = 0,431660 Дс, + 1,231460 Д/2 +0,742432 Дг3 —
— 0,7606511 Д/4 + 1,629138 Дг3
— 4,891212 =37,741494Дс, +18,037586 Д/2 +15,55633 Дс3 +
+22,226573Д /4 +19,422022Дг 6.
Отсюда находим приращения:
Дс1 = —0,0504234,
Д/2 = —0,0616896,
Дс3 = — 0,0492408,
Д/4 = —0,0269483,
Дс5 = —0,0262821.
Поскольку эти приращения не превышают несколь-
ких процентов от первоначально принятых величин, пер-
вая поправка обеспечивает удовлетворительную аппро-
ксимацию и нет необходимости повторять вычисления.
На рис. 10.23 представлен фильтр с элементами, вычис-
Р и с. 10.23. Схемная реализация в примере 10.3.
169
ленными с учетом поправки первого приближения. На
рис. 10.24 показана снятая экспериментально характери-
стика затухания фильтра при переходе от нормирован-
ной частоты и сопротивлений к истинным значениям
10 кгц и =R2=600 ом.
Рис. 10.24. Измеренная характеристика затухания в примере 10.3.
Задачи
Задача 10.1. Для фильтра нижних частот с характеристической
функцией
3,01748/7* + 0,473668/j2 — 1,37896
е 0,258537 (/724-5,50555)
где е = 0,258199, задано усиление
К (/72 + 5,50555)
£12=(р2 4-2,19303/7 + 1,41349) (/724-0,606887/7 + 1,33233)'
Найти константу К и составить схему фильтра.
Приложение 10.1
Для практических расчетов фильтров в приложении приведены
следующие таблицы:
170
Характеристика’затухапия в шкале у Табл’ица 10.1
gg ‘апнпхИшпс
171
Таблица 10.2
Фильтр нижних частот общего вида с нечетной характеристической функцией
Rt = Rs, К =
Характеристическая функция п П (г + 'М2 (г + 1)’ - П 0 - "W (г - >)’ е е 1
2/С 27С п ' не iLiiiotj 1 = 1 Дтя фильтров Кауэрл q = 1 Возможно любое другое сочетание знаков, например: п П (г ± '«st)2 (г ± 1)’ — П(? + (г + 1)? е е Z = 1 2К А (г) — 2К п П(гг-^1.)(г2-1)9/'2 1=1
Уравнения в плоскости г.
( >Угп+1-г1) fc' О).
определяющие величины эле- ментов где htP - сгг-lP, - 1ггСг1р2 _|_ !
* ’***'
‘7
Продолженис табл. 10.2
Уравнения в плоскости z для последовательного приближения (—l.ZA.Za, Уг„+1 + 1), Дсгр(гг У2„ + 1 + 1) + "Т/гсгр2 4- 1 (—1-1л)(уэ У2п+1 4~ 1) 4- ^csP ( 1-У1> 2г) (-1Р Уг-n + i + , + 1) + . . . + 1 » #1» *2» У2п- 1) (У2п 0 4~ + ДСгп + iP (— 1 ’ У1’ г2п) — е (~)
Уравнения в плоскости г, оп- ределяющие величины элемен- тов (У1 уг,1 + 1)-(гг-1)(гг г2п)_еЛ (г)/г2 1, (Уг г2п) —(гг Уг„ + 1)-0, 'где ^2г = C2t-1» <2г=^2 9 m2i Линейные уравнения Л ^21-1 — S ^21 2е (1 + 2 Л ^21)
Уравнения в плоскости г для последовательного приближения ef(z)Kz2— 1—(l/i Угп+i) — (г2—1) Ог " -гп)+^с1 (-2 Угп + Л- + , '2’[У10з Угп+1) О2 ') (Уз z2n)]+--- + z2 — т.2 Н-Д<-'гп+1 (У1 ~гп), 0-—(1/j "-гп) Ог Угп + 1) 4" (-2 ~2п) 4~ 4“ ' 2 [У1 Оз 22п) (Уз Угп + 1)] 4~ • •• 4~“12п + 1 [ (- .^2п)1 <2 ~~
ГI родолжение ‘табл. 10.2
Характеристика затухания и
конфигурация цепи
Таблица 10,3
Фильтр нижних частот общего вида с четной характеристической функцией
П , О 1 /1 + _|_ е I/1+^+bI’ К 2
Характеристическая функция П (z+m2t)2(z+1)’+ П^-^Н*-1)' 2кПг) = 2К « --(<7 четное) J] (z2 — m2i) (z2 -I)9'2 1=1 Для фильтров Кауэра q = 2 Возможно любое другое сочетание знаков, например: П (г ± т^У (Z ± 1) ’ + (Z + m2i)2 (г + 1)3 е е j=l 2К F (z) “ 2/C « J] (г2 - m2i) (z* - 1)9/2 1=1
Уравнения, определяющие величины элементов е (—1> f/i> Z2, z2n, G2) 27^ Р (z)> где lap , yit-i—Cit-iP, z*t — l^Cztp2 + 1 ' ^n — linP
Продолжение табл. 10.3
Уравнения для последова- тельного приближения ( 1 • У11 ^2 г2П’^2) р (^2 г2п> ^г) + 13сгр2 -)- 1 ( - —an’ Ga) + ^с3р ( 1 > Уи Са) (-4 гап> ^а) + + ... + Д/гпр( 1, Уап-1)0а= 2X‘f(z)
Уравнения в плоскости г, определяющие величины эле- ментов (У1 -ап) (-а Уап-1)^2— где (у, Угп_,) Gi _ (2а _ ,} (2г 2гп) = о, £/21— 1 ^21- 1» ^21 — 9 ’ ^2п — 1 гг —/и2/
Уравнения в плоскости z для последовательного при- ближения 27( (~) (У> -ап) (гг Угп-1) Ga + ^С1 (га -an) "b "Г -г ,„2 (У1 (Уз -ап) (Уз' Угп-1) G2J + •• • + iliQ I - А/зп г/-» ,/ м + 1г „,2 ' Рг:(У1 Уг„-1)]. г т2п ° — (У1 Угп-1)Ог (г2 г2п) (г2—1) + Дс, (z2 Угп-1)О2 + , Д/г । ~2 /;г2 [У1 (У» , Угп-1)^г (г 1) (у3 -2п)] + --.+ + Z* п? (г2 - 1)(22“ z ~~т2п
►w* - гтур~'|~г - nlWI»l«-i»<Wm
12—1469
Характеристика затухания
и конфигурация цепи
П родолжение [та0лЛ0.3
Таблица 10.4
00
Фильтр нижних частот общего вида с четной характеристической функцией, тип С
^=^=1, к=4'
Характеристическая функ- ция [П(2 + wat)(z+ 1)« — (г — m2i) (z — 1)»Г 8 8 Н=1 1 4К F 4К п JJ (Z2 — Z«2Z )(г2 — О’ 1=1 Для фильтров Кауэра q = 2 Возможно любое другое сочетание знаков
У р авнен ие, о пре де ля юшее величины элементов ( 1 ’ Ух z2n, 1) — 2^ Г (г), где 1гхР , Уи — С2х-хР, z2t— /2tC2ip2_|_! > z2n— 1гпр
to
*
Продолжение табл. 10.4
Характеристика затухания
и конфигурация цепи
g Таблица 10,5 Фильтр нижних частот общего вида, л =5 У?, = — U К =
Характеристическая функция е г , , 6 (z + ^z)'(2 + 1) — (г— т4)г (г — m2)2 (z — 1) (г2 — т2) (z2 — т2) Y (z2 — 1)
Уравнение, определяющее величины элементов ( . 1-iP КР \ Lqp, /гСарг _|_ ! ’ чР> iiCip2 j» СъР + lj = — (?)
Уравнение для последова- тельного приближения ( 1> Dv Уз< г4> Уз + О ^сзР (гг> Уз> г4> Уз + 1) + /гСгр2 ] 1 (—Ь У1) (1/з> г4> J/s“h + 1) + ДсзР (—1. У> 2г) (г4, уъ 1) । j (—1, Уг гг- Уз) (Уз + 1) +
- + дс5Р (— 1. Уг г2, у3, z.) = — sF (z)
Уравнения в плоскости z, . определяющие величины эле- ментов / „ \ , , .. ( G {4 \ 1 z2 — z2—m2 J к 1 z2—z2 — т4 j = sF (z) Vz2 — 1
00
13—1469
Продолжение табл. 10.5
Уравнения в плоскости z, определяющие величины эле- ментов f ll \ f ^2 К \ _ р 1 г2—mr, z2 — mij у г —от2 2 —т4 J Линейное уравнение С] с3 + с6 — 1г — 1. = 2е [1 2 (тпг т^)]
Уравнения в плоскости г для последовательного приближения Р (z + т2)2 (z + ntj)2 (г + 1) — (z + mi)2 (z — тг)2 (г —1) _ е 2 ' (z2 — т^) (г2—т^) Yz2— 1 2 , ,С3, 2 , сЛ (г2 ))( 2 ,С3, 9 W 1 ’ z2- /«| z2— т\ J z2 — т2 г2 — тА J / 11 1. \ । Д^2 I / ^4 \ •4“ 1 Ь ’ ^3’ 2 ’ ^5 1 ' р 2 I Й | 2 2 ’ ^5 ) *1 z2 —«5 Z2 — ml J z2—m2 z2 — mJ J -(22-1)(G’ z2-m} )] + "‘+ z2-^)’ / ^2 ^4 \ ( ^2 ^4 \ । l г2 — m2 г2 — т\1 у z2 — m2 z2 — m4 j / ll I. \ । Д^2 Г f lj \ + ДДг2-т2 z2-m* ) z2-m22 ^’Г” z2-m\ ) (C” z2-m2 ,C^) +-" Л-™42)
11 роОолжение табл. 10.5
11 Фильтры RLC
Расчет фильтров, изложенный в предшествующих главах,
основывался на лестничной цепи без потерь, включенной меж-
ду генератором и резистивной нагрузкой. Теперь мы снимаем
ограничение, чтобы фильтр строился только на реактивных
элементах. Мы увидим, что ограниченное число сопротивлений,
соответствующим образом введенных в цепь, может привести
к более эффективным фильтрам.
11.1. Общие замечания
Рассмотрим фильтр нижних частот, изображенный на
рис. 11.1. Усиление цепи равно
=(1, у,, z2----у2П+1 + G2)
S12
или после подстановки значений иммитансов, г2,..., г2П
gi2 I ,;/1 /2с2р2 + 1
\ /2ПС2пр1+2,У2П + ,+°2
Мы замечаем, что степень числителя функции l/gfiz
равна 2п+1, а степень знаменателя равна 2п.
Рис. 11.1. Фильтр нижних частот LC.
После включения сопротивлений (рис. 11.2) таким
образом, что последовательно с каждым параллельным
13* 183
контуром находится одно сопротивление, усиление ста-
новится равным
—=(1>//i>r2+Z2,2pf+r .
Ггп + + 1 ’ У2П+* + °2) ’
откуда следует, что степень числителя равна
2и 4- 1 ~\-п — Зп 4- 1,
хотя степень знаменателя остается равной 2п. Степень
числителя теперь равна числу реактивных элементов.
Рис. 11.2. Фильтр нижних частот R.LC.
Таким образом, мы имеем цепь наивысшей степени для
данного числа полюсов на оси частот. Если все индук-
тивности образуют полюсы затухания, то все степени
свободы использованы и цепь будет иметь минимальное
число катушек. Этот вывод имеет общий характер и мо-
жет быть приложен к фильтрам любого вида.
11.2. Синтез
Синтез всех фильтров начинается с определения об-
щей характеристической функции, затем составляется
схема фильтра и, наконец, вычисляются величины эле-
ментов. Характеристическая функция выбирается таким
образом, чтобы пульсация кривой затухания в полосе
пропускания была равномерна при любом наборе полю-
сов в полосах задерживания.
Для фильтров типа С был составлен ряд функций,
обладающих указанными свойствами. Одна из них
(10.44): .
1 _ 1 Г, [П(г+ /щ)2(?4- 1)» (z +
|g12|2 № [ - 4 П (z2 — /л?)2Х
184
t 4- <0[)s + П (г — ntj)2 (г —Ip (г — со,)3]2
Х(гг-1)’(гг-“2)«
Здесь использовано преобразование
Рг + “1
z2 =------
рг + «11
и нормирование частоты ы_| = 1.
Вводя в цепь сопротивления, как показано на
рис. 11.2, можно образовать дополнительные полюсы за-
тухания, причем повышается степень числителя и (или)
знаменателя функции усиления (в зависимости от типа
фильтра).
Если повышается степень числителя, то он будет со-
стоять из множителей первой степени, соответствующих
действительным корням полинома в числителе; но этого
нельзя сказать в 'Случае, когда эти сопротивления пред-
ставляют собой сопротивления потерь элементов филь-
тра. Включение сопротивлений приводит к изменению
знаменателя функции усилителя, и может случиться, что
знаменатель будет иметь несколько корней на отрица-
тельной части действительной осп плоскости р.
Рассмотрим характеристические функции фильтров
нижних частот с п конечными полюсами и (п+1) или
(п+2) полюсами в бесконечности. Полюсы функции уси-
ления
1Й12 1 1 егрг
определяются корнями знаменателя. Эти корни ком-
плексные и образуют кратные полюсы второго порядка,
за исключением двух действительных полюсов, если F—
нечетная функция. Применение таких функций к нахож-
дению эквивалентных /?£С-фильтров может в некоторых
случаях приводить к ртрицателыным элементам.
Чтобы найти общую форму характеристической
функции, при которой усиление будет обладать задан-
ным числом вещественных нулей в знаменателе, лучше
использовать -плоскость г, которая в случае фильтра
нижних частот связана с плоскостью р преобразованием
185
где частота среза нормирована к единице. Отображение
одной плоскости в другую было рассмотрено раньше.
В гл. 10 мы показали, что для заданного набора полю-
сов, при р1оо = /(01оо, имеет место соотношение
п 1 ZA 2 «
т = 1—~2— где 0</я <1.
1 ют™ ‘
Аналогично для вещественных значений pi =ii
2 , , 1 2_____
где т)(>1.
Рассмотрим функцию
ч ______ ____
П (z + mi) 4-T]t/z4-l
— --------------- - ---------
П (z — mt) V z — I)t j/’z — 1
модуль которой равен единице при всех мнимых z. Возведем
в квадрат сумму этой функции и обратной ей функции:
-2
\? l2 = VX
fn(z+wt)2(z+7)t) (z+l)+(-l)n+.n(z-Wt)^(Z-7it) (?-l)]2
(^2 — 1)
₽2 ( h ( t\
_-2_[eJh<z) J (11.1)
4 I—s2sin2/i(z).
(Знак выбран таким образом, чтобы квадрат числителя
был четным полиномом). Это —функция, равномерно
пульсирующая между 0 и е2 при всех мнимых значе-
ниях z, т. е. в полосе пропускания.
При характеристической функции (11.1) усиление це-
пи равно
где корни числителя второго члена определяются урав-
нением (11.1).
Хотя общая форма и типы характеристических функ-
ций фильтров /?£С по существу такие же, как для филь*
186
трое без потерь, свойства этих фильтров мало изучены,
и поэтому .мы не будем больше рассматривать этот во-
прос.
Задача
Задача 11.1. Задана характеристическая функция фильтра Кауэ-
ра третьей степени
Г (1 + /и)* 1 2 * * */?2 -|- 1 -|- 2т 1
‘Р [ (1—/и2)р2 + 1 ] ’
Чтобы добиться большего затухания без добавления реактивных
элементов, введем в эту функцию такой множитель, чтобы полу-
чить функцию усиления
Г (l+w)2/,2 + 1+2w1 />2-<О20
[ (1 _пг2)р2+1 ] 1+<02
Для составленного таким способом фильтра RLC следует:
1) определить при каких значениях <оо и в выражения (р2—1)
и (р2—2) образуют корни знаменателя функции усиления;
2) иайти функцию gt2;
3-) составить фильтр в виде лестничной цепи с функцией уси-
ления
1 _ , 1гР \
г + /—2_р , сзРу
Задача 11.2. Доказать, что одна из реализаций цепи с переда-
точной функцией
1____, , . Р6(Рг~8)
|^2|2~1+’ (р2+4)2
при е2 = 27/125 представляет собой лестничную цепь с функцией уси-
ления
1 f \,\Ъ1Ьр „ '
=М0,3155р, 0,1766+ -0 25^2 _|_ Г 0.8339р
12 Фильтры с потерями
В предшествующих главах расчет и синтез фильтров были
основаны на предположении, что фильтр состоит из идеальных
элементов и имеет идеальную характеристику. Измеренная
характеристика изготовленного фильтра отличается от теоре-
тической характеристики вследствие:
1) потерь в элементах, таких, как в сопротивлении по-
стоянному току, и потерь в сердечниках, и
2) допусков при изготовлении элементов.
Потери проявляются главным образом на частоте
среза и вблизи нее. Как показано на рис. 12.1 для филь-
тра нижних частот, идеальная (пунктирная кривая) и
действительная (сплошная кривая) характеристики от-
личаются больше всего на краю полосы пропускания,
где наблюдается возрастание затухания фильтра с по-
терями.
Для компенсации этих увеличенных потерь при про-
ектировании обычно задается более высокая частота
соеза, чем требуется для идеальной характеристики.
Хотя часто такое решение является приемлемым, умень-
шение области перехода может привести к тому, что
фильтр будет иметь более высокую степень. Даже в этом
случае затухание на краю полосы пропускания часто
получается больше заданного и приходится включать
согласующее устройство.
Более совершенный способ компенсации потерь со-
стоит в том, что полюсы и нули передаточной функции
смещаются таким образом, чтобы характеристика филь-
тра с потерями была равна характеристике идеального
фильтра с добавочным равномерным затуханием (14].
Чтобы осуществить это, нужно применить предыскаже-
ние;, затем в передаточную функцию вводятся смещен-
ные полюсы и нули, после чего можно приступать к син-
188
тезу. Основная идея этой процедуры заключается в ком-
пенсации отклонений первого порядка от идеальныхэле-
ментов искажениями первого порядка.
В следующей главе будет описан способ аппроксима-
ции, основанный на использовании кумулянтов, описы-
вающих как идеальные, так и действительные цепи. Этот
способ легко может быть приспособлен для вычислитель-
ных машин.
Рис. 12.1. Влияние затухания в фильтре нижних частот.
12.1. Общий порядок расчета
Далее будут применены следующие обозначения.
1. Иммитансы идеальной цепи:
l,yt,z2, ...,G2.
2 Иммитансы некомпенсированной физической цепи:
1, у* z*, G„
где
z2x=z24-r2.
3. Иммитансы компенсированной цепи:
У' > = У1 + + г, = у *+ Ду,,
189
Z 2 Z2 ~|- Д?2 -f- Г 2 Z* -j- As'j,
G'2 = G2 + AG2.
Допустим, что нормированные величины элементов
идеального фильтра известны. Тогда усиление фильтра,
нагруженного оконечными сопротивлениями, равно
____________К___________
12 (1 » Ук z2 z2n> G2)
Требуется определить, каким образом нужно изме-
нить величины элементов цепи, чтобы усиление изме-
ненной цепи, определяемое выражением
ё 12 . У'1. z'2--Z'2n, G'2)
отвечало следующим условиям: числители обоих куму-
лянтов отличались лишь постоянным множителем, а зна-
менатели имели одни и те же нули с погрешностями,
вызванными лишь одними потерями. Знаменатель мож-
Плоскость р
Рис. 12.2. Компенсация зату-
хания посредством перемеще-
ния комплексных полюсов
функции усиления.
но скорректировать, так как
он изменяет лишь характе-
ристику в полосе пропуска-
ния, что позволяет прибли-
зиться к почти тождествен-
ной характеристике идеаль-
ного фильтра, но с допол-
нительным равномерным за-
туханием. При этом не нуж-
но предварительно смещать
полюсы затухания, так как
влиянием потерь в полосе
задерживания можно прене-
бречь.
Комплексные полюсы уси-
ления можно изменить тг
ким образом, чтобы вернуть их на те точки в полосе
пропускания, где они должны быть расположены для
идеального фильтра. Это можно осуществлять, как по-
казано на рис. 12.2. Идеальные полюсы и нули усиления
в плоскости р обозначены сплошными крестиками и
кружками. Потери приводят к тому, что полюсы пере-
мещаются в точки, обозначенные пунктирными крести-
100
ками. При компенсации нули усиления остаются без
изменения, а полюсы возвращаются на их первоначаль-
ные места. Характеристика будет близка к идеальной,
за исключением небольшого отклонения на краю полосы
пропускания.
Обозначим числители функций g-12 и g'l2 через D и
D'. Задача сводится к выявлению того, как нужно изме-
нить величины элементов, чтобы для усиления изменен-
ной цепи выполнялось соотношение
(12.1)
или в терминах кумулянтов
K’D (1, у.---zw Ga) = D' (/?., у\----z\n, &г). (12.2)
При этом должна быть сохранена общая конфигурация
цепи.
В указанных выше обозначениях иммитансы ветвей
в окончательном виде должны быть:
У\ = У*+&У^
где Ау; и AZj — приращения, которые нужно ввести для
компенсации потерь. С учетом этих поправок (12.2)
можно написать в виде
K'D (1, yt, z2--г2П, G2) = D' (1 + y*± Lyx z*+
+ Дг2,-----,G2 + AG2), (12.3)
где правая часть представляет собой функцию, являю-
щуюся аналитической как внутри, так и на периметре
круга данного радиуса вокруг любой точки, соответст-
вующей любой частоте в плоскости р. Разложение вы-
ражения (12.3) в ряд Тейлора, если пренебречь высши-
ми степенями поправочных членов, дает
K'D (1, у„ z2-----ггп, G2) = D' [(1, у*, 2*---zx, G2) +
+ Д/?, (у* z*------G2) + Ду, (z* y3x-----Ga) +
Дг2 (1, yx) (y* G2) -)-... -)- Дг2П (1, у*-{/* _,) -]-
-f-AG,(l,yx-------zx)j. (12.4)
191
В этом линейном уравнении для неизвестных при-
ращений все кумулянты известны. Так как это соотно-
шение справедливо при любом р, то, задавая ряд зна-
чений р, мы получим систему уравнений для прира-
щений. При применении метода последовательных
приближений нужно вычислить вторую поправку, третью
поправку и т. д., пока не будет обеспечена требуемая
точность.
Следует заметить, что компенсацию потерь можно
осуществить различными способами в зависимости от
принятых условий. Поэтому окончательный результат
будет зависеть от начальных условий, которые выбира-
ются в пределах возможного числа степеней свободы и
формы поправочных членов. Например, для катушки
с потерями при
z=lp + r
можно принять условие, что коррекция не меняет со-
противление, а изменяет величину I. Тогда
\z=\lp.
Другой способ: в выражении для импеданса
добротность Q катушки остается постоянной. Тогда по-
правочный член
дает точную аппроксимацию при сохранении знамена-
теля неизменным.
12.2. Компенсация потерь в фильтрах
Баттерворта и Чебышева
Применим вышеописанные способы к фильтрам Бат-
терворта и Чебышева. Кумулянты в (12.4) представля-
ют собой полиномы от р. В фильтре степени п должно
быть п реактивных элементов и два сопротивления,
192
а также постоянная К', которую можно изменить, что-
бы выполнялось заданное тождество. Таким образом,
нужно определить (п+1) коэффициент, тогда как число
неизвестных равно (п + 3). Если потери в катушке счи-
таются постоянными, то остаются две степени свободы.
Возьмем К/=1. При этом потери в компенсированном
фильтре будут такие же, как и в идеальном фильтре.
При имеются дополнительные постоянные поте-
ри, при этом чем больше К', тем больше потери.
Для фильтров Баттерворта и Чебышева выражения
yi = Cip,
представляют собой иммитансы плечей лестничной цепи.
Соответствующие выражения для цепи с потерями име-
ют вид
у^=ар-}-п,
z^— hP~Vr3-
Приращения равны
\yi = \Cip,
bZj=\ljp.
Во многих случаях потери в конденсаторах ничтож-
ны по сравнению с потерями в катушках. Тогда уравне-
ния можно упростить:
ctp,
^=liP + rj,
где rj можно считать известным, поскольку это есть
последовательное эквивалентное сопротивление предпо-
лагаемых потерь в сердечнике.
Чтобы решить уравнение (12.4) для приращёпий,
нужно приравнять коэффициенты при одинаковых степе-
нях р. Это приводит к системе и линейных уравнений
с и неизвестными.
193
Решая их, находим величины элементов компенсиро-
ванного фильтра с потерями:
y'i=y*+&yi,
z' j = z*-h На-
пример 12.1. Рассчитать компенсированный в отно-
шении потерь фильтр нижних частот Баттерворта треть-
ей степени, когда можно ожидать, что добротность ка-
тушки будет Q = 25, а потерями в конденсаторах можно
Рис. 12.3. Некомпенсирован-
ный фильтр нижних частот
в примере 12.1.
пренебречь. Нормирован-
ный фильтр должен быть
включен между источни-
ком тока и единичным со-
противлением.
Решение. На рис.
12.3 изображен нормиро-
ванный фильтр Баттер-
ворта третьей степени, без
потерь, с нагрузкой на одном конце. Функции усиления
идеального фильтра и действительного фильтра с ком-
пенсацией потерь должны отличаться лишь постоянным
множителем. В символах кумулянтов это записывается
следующим образом:
К.'(y3,z2,ys, V) = (y\,z\, у'3+ 1). (12.5)
Разлагая правую часть в ряд при К' — 1 и оставляя лишь
члены первой степени, находим
(у,,г2,г/3, 1)=(г/х,г2х,г/3х, 1)-ф- Дг/, (гх,г/х,1) +
+ Дг2ух(^, 1) + ДУз(г/х,г^). (12.6)
Из рис. 12.3 находим
(У,.22,«/2, 1) = р*4-2/Я-]-2р-|-1. (12.7)
Сопротивление потерь катушки при частоте среза ш= 1
равно
_ L 4 _ 4
r2 Q = 3-25 75
194
Далее иммитансы некомпенсированной цепи и прираще-
ния равны
II II 3 -ТР’ 4 . 4 3 Р^ 75 ’ 4 £ II II сч N <1 <1 (12.8)
Уз = 4* Ду3 - Да3/7.
Подставляя (12.7) и (12.8) в (12.6), находим
/>3-W + 2/>+ 1 =p’ + 4s-^ + -g-/’+1 +
4" -у- р3^ + -5^- р2^ + phat + 4- р3Ьаг +
4- -^ргЬаг 4-2/73Да3 + ^-/7гДа3+/7Да3.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степе-
нях р, получаем систему уравнений:
О = ^-Да. 4-4^4-2^,
2 = ^5“ 4 75~ + “2“ ^2 4--25" Даз ,
2=4г+-^Да.+д«з
)
откуда находим приращения
Да1 = —0,08509,
Да2 = 0,04990,
Да3 = 0,009625.
Следовательно, величины элементов скорректированной
цепи равны
а\ — 1,414,
а'г — 1,383,
а' 3 = 0,510.
На рис. 12.4 показана цепь, компенсированная по по-
терям. На рис. 12.5 построены характеристики в полосе
пропускания идеального и компенсированного фильтров.
Рис. 12.4. Компенсация зату-
хания фильтра нижних частот
в примере 12.1.
Рис. 12.5. Расчетная характери-
стика затухания фильтра нижиих
частот в примере 12.1 с компен-
сацией (а) и без компенсации (б).
По оси абсцисс отложена частота
в герцах.
12.3. Компенсация потерь в фильтрах Кауэра
и фильтрах общего вида
Методы компенсации потерь, описанные вцтше для
фильтров Баттерворта, применимы также для фильтров
Кауэра и фильтров общего вида; отличие лишь в том,
что выражения для приращений будут различны в со-
ответствии с иммитансами ветвей. В общем случае, при-
равнивая кумулянты идеального и компенсированного
фильтров, можно составить уравнение
DK' (/?, + г., уг-угп + G2)D' (/?', +
+ г\,у'2---у\п+С'2\ (12.9)
196
в котором один из иммитансов Rit zit угп, G2, в зави-
симости от рассматриваемой цепи, можно положить
равным нулю. Для фильтра, представленного на
рис. 12.6, уравнение (12.9) принимает следующий вид:
DK' (Rt + с,р, , сгПр.+:Ог)У=
----------------------,с'гпр + ёг„’+'О'г), (12.10
где
$1 Г1 = 1Г;ё'12=~ЙГ ;Гз=-5Г и т’ Д’
Поскольку затухание в полосе задерживания не требует-
5 ся корректировать, частоты полюсов остаются без изме-
|? нения и в уравнении (12.10) можно положить:
V 1,сз~1'зс'з’
/5CS =
Рис. 12.6. Фильтр нижних частот Кауэра.
При этом знаменатели равны
D=(Z,c,₽4-l)('.^+0-
О' = [^,(р+ ТХ-) (р+ qv)+ I ] ['л(/>+
Здесь неизвестными являются лишь приращения.
Развертывая уравнение (12.10) и применяя последова-
тельное приближение, находим
197
198
Следует напомнить, что поскольку выражение (12.11)
есть тождество полиномов, оно является аналитическим
на всей плоскости р и для р можно подставлять вещест-
венные значения.
12.4. Компенсация потерь в преобразованных
фильтрах
Следует отметить, что компенсацию потерь в фильт-
рах верхних частот, полосовых и заградительных поло-
совых фильтрах можно осуществить путем компенсации
потерь в соответствующих фильтрах нижних частот, от
которых они происходят. Нужно лишь найти связь меж-
ду поправками исходных и преобразованных цепей.
С; С3 С$ 13 15
11----О
О--II-г—11
Рис. 12.7. Компенсация затухания фильтра верхних частот.
Для фильтра верхних частот, изображенного на
рис. 12.7, принимают, что потери имеются лишь в ка-
тушках. Для соответствующего фильтра нижних частот
(рис. 12.7,6) следует считать, что потери сосредоточены
в конденсаторах с'2 и c't, причем значения Q в них оди-
наковы со значениями Q в /2 и h, а индуктивности
I'i—Г5 нужно считать свободными от потерь.
В качестве дальнейшего примера рассмотрим полосо-
вой фильтр, изображенный на рис. 12.8,а, и соответст-
вующий ему фильтр нижних частот на рис. 12.8,6.
В предположении, что потери имеются как в катушках,
так и в конденсаторах, при преобразовании в полосовой
фильтр окажутся скомпенсированными потери во всех
элементах.
Задача
Задача 12Л. Фильтр рассчитан на подключение к источнику
напряжения или тока, и потери во всех катушках и коидеисаторах
считаются постоянными. В этом случае можно добиться точной
компенсации потерь, приравнивая передаточные функции идеальной
и компенсированной цепи:
(z,, уг ----1)'= К (z'p -----= 1),
где
Z4 = Zt(p),
z't = z't(p'±80).
Преобразование первоначальной функции цепи путем замены
переменной, р=р'о±6о, приводит к новым четным и нечетным поли-
номам от р', по которым можно синтезировать компенсированные
фильтры. Покажите это для цепи без потерь с передаточной функцией
/ 2/i 0,5/ \
(Р’ /2 -j. 1 Р' о,5р2+ 1 + 1 )
и постоянными потерями бо=О,1.
Задача 12.2. Идеальный фильтр, описываемый передаточной
функцией
(zv уг------у2п< О.
реализуется физической цепью с постоянными потерями во всех
элементах. Потери компенсируются по методу, указанному в зада-
че 12.1, путем приравнивания передаточных функций идеального
фильтра и фильтра с потерями. Определить погрешность компен-
сации.
13 Параллельное соединение
фильтров и цепи
постоянного импеданса
Часто требуется соединить два или более фильтров
параллельно. При этом необходимо предусмотреть, чтобы
ни один фильтр не ухудшил характеристики других фильт-
ров. Исходя из этого условия, при проведении синтеза
параллельно соединенные фильтры будут рассматриваться
как единая цепь.
Подобную же задачу нужно решать при проектиро-
вании фильтров с постоянным входным импедансом, когда
изменение этого импеданса или коэффициента отражения
не должны превышать заданных пределов. В этом случае
парад только зхо кпчм зажимах" фильтра должен быть
включен некоторый импеданс, так чтобы общий входной
импеданс всей цепи был примерно постоянным на всех
частотах.
13.1. Общие замечания
Чтобы решить эти задачи, рассмотрим схему, изо-
браженную на рис. 13.1. Входы фильтров с входными
адмитансами Yt и У2 присоединены параллельно к ге-
нератору с единичным сопротивлением.
К выходным зажимам подключены соответственно
нагрузки G2 и G'2- При обычных обозначениях элемен-
тов адмитапсы равны:
у _____ С!,'з б2)
’ (?2 б2)
у _____ (й'з б'з)
2~ (г'2---------------G'2) •
(13.1)
14—1469
201
Число членов в этих уравнениях (иммитансов ветвей
фильтра) может быть неодинаковым.
Функции усиления фильтров можно написать в виде
et gl2 ’ (1,У2,?2-----------<32) ’
__ Г _ 1
—£12— (1,у112'2-------------G'2) ’
(13.2)
так как входной адмитанс другой цепи составляет часть
лестничной цепи. Расчет проводится по уравнениям:
Рис. 13 1. Параллельное соединение фильтров.
Развертывая кумулянты в (13.3), получаем
|(1, У2, z2---G.J2-1(1, Y2) (z2------G2) + (y3 - G2)|2 =
= |(z2-----G2)|21 (1, y2) + | =
О2)|2|(1,У2) + У, |2 = |(z2
<g)I2I'1 + M-^I2
(13.4)
202
и подобно этому
| (1, У,, г'2-G'2)|2=|( 1, У,) (z'2-G'2) +
+ (У'3----G'2)|’ = |(z'2 — G'2)p 11 + У. + У2 p. (13.5)
Подставляя (13.4) и (13.5) в (13.3), имеем
|(z2---g2)P[i + ^.+^I2= ’ I
Л) I
1+г^ > (13’6)
|(z'2 —G'2)P 114-УгК l2 = I
откуда находим
11+У+У 1+^-______=_1+^______________
2 К11(г2 ---О2)р Тф(г'2------в'2)12
Чтобы проверить это тождество, возьмем, например,
i + 4^? I
|(z2 —g2)|= = z—L—1 . 1.
1Ч-е;№ (13.7)
К2'2 — G'2)p= 1 ’ 2 1 « ’1
)
где
К02 = [ 1 +У, + У212 (13.8)
пли в более общем виде
(13.9)
У равнения (13.7) или (13.9) показывают, что каждую
цепь можно рассчитывать независимо, но синтез нужно
14* 203
проводить так, как если бы на общем входе был источ-
ник напряжения. Это видно по кумулянту
(г2----62).
Сравнивая его с обычным видом кумулянта
(1,г2—---G2),
заключаем, что импеданс источника равен нулю.
13.2. Разветвленная цепь
Определим константы разветвленной цепи, образо-
ванной параллельным соединением фильтра нижних ча-
стот и полосового фильтра. Для фильтра нижних частот
гг
Р и с. 13.2. Разветвленная цепь
нижних частот (четной сте-
пени) .
четной степени (рис. 13.2) из уравнений (13.3) и (13.7)
при нулевой частоте следует
(1,0,0-----O-W^l +G,y
Нечетное число
1 4-е2
(0-------о + <?2)*=1 = —--г-
-----.-----' Л (Ал
Четное число
Следовательно,
(13.11)
204
В табл. 13.1 приведены константы и расчетные уравне-
ния для разветвленной цепи, составленной по уравне-
ниям (13.7) и (13.11) для (?2=1.
Таблица 13.1
Константы G2= 1 Kl + ef Ki— 2 К 0 = 2 G2= 1 A'j — 2 К. = 2
Расчетные уравнения | (г2 У1П-1> 01 1 + 1 + 4 l(Z2 Bl2 — = 1+е^
Усиление l£W = 1 —
\-2 У2п~1’ О 1
Подобно этому, для фильтра нижних частот нечетной
степени (рис. 13.3) можно написать
i=^-
Л1 Л1Ло
В табл. 13.2 приведены константы и расчетные уравне-
ния.
Таблица 13.2
Константы g2=i, 1 ^=ПГ’ Ко = 2
Расчетные уравнения 1(22 22„. 1) I2 = 1+«р1
205
Для фильтра верхних частот константы можно найти
таким же способом из уравнений (13.3) и (13.7) при бес-
конечной частоте.
Рассмотрим теперь коэффициент отражения, опреде-
ляемый выражением
|Р|2== _ у. + .^. \
И1 . ___ Л + гг+1
+ Yt + Гг
где, в соответствии с (13.8),
1^ + ^+И2=Д\.
(13.12)
Рис. 13.3. Разветвленная цепь
верхних частот (нечетной сте-
пени).
Разбив адмитансы в (13.1) на четные и нечетные
части и умножив на сопряженный полином, получим
Y —_______________L 01
1 |(г2----6'г)12^ |(?2---’
Поскольку для четных частей выполняется соотношение
(Уз ^гп) (^г Узп+i) (Уз Узп+i) X
Х&--------г2.,)= 1,
приходим к выводу, что
Е, = Ег = I.
206
Следовательно,
1 = [ 1 + |(z2--б2)|Г + 1(2'2 -G'2)P j
_ г 0. . Ог r
[|(22---G2)p ^|(2'2---G'2)|2J •
Тогда (13.12) приводится к виду:
Н’=4гИ,+>'.-ii!=
^0
т. e.
I p 12 — i_____ 4 Г________________!___________I-----------!----------
|p| Kl IKz2------------------------Gs)l2 ----------------------o^l2
или
I р|2=1
4*2/4
l+®^2 ’
(13.13)
Из уравнения (13.3) видно, что коэффициент отра-
жения в полосе пропускания каждого фильтра пример-
но равен коэффициенту отражения для одиночного
фильтра, а в области перехода он уменьшается в боль-
шей степени.
13.3. Разветвленные цепи с нулевым
коэффициентом отражения
Разветвленные цепи можно также рассчитать па тео-
ретически постоянный входной импеданс, причем в этом
случае коэффициент отражения (13.12)
Н У1 + г2 + 1
207
будет равен нулю. Тогда, поскольку
У, = (13.14)
квадрат модуля усиления (13.4) равен
। 812 ।2 |(1,Г2,г2---=4^ = |1+У.+Г2 |2|(?2--------62) |2
ИЛИ
, (2_________1__________ 1
|£,21 — 4|(г2-------G2)|2 I
I
и, аналогично, } (13.15)
I S> |2 --------!----------!
|ё,2|~ 4|(z'2--------G'2)|2 I
Разбивая опять на четные и нечетные части
1 ____________________________ц______21_______+
|(г2----- G2)|2 “ | (гг------62)|2 1
,________1___________I_______Ог__________ I
"Г | (г'г---G'2) I2 ’’ 1 (Z'2--G'2) I2
и учитывая, что входной импеданс должен быть чистым со-
противлением, получаем
________01_________I ______02___________ Q
I (2г G2) |2 | (г'2 G'2) |2
-----------1----------+-------!------= i
| (г2_________________________G2) |2 ~ | (г'2_G'2) |2
Таким образом, положив
1 _
I (Z2 --- G2) I2 1 _|_ e2f2 ’
находим
i == (1 — к?) + .
I (г'а----G'2)|2 l+4fl
В частности, при К — 1
2Г2
-------------------1------------------_ elFl _ 1
1Р'2 _________________________________________G'2)|2 ' 1 _|_ e2f2 l+P/^2)) '
Таким образом, при расчете второго фильтра нужно
исходить из функции, обратной функции, выбранной для
первого фильтра.
208
Обычно полагают е= 1, но можно задавать и другие
величины пульсации. Приведенные выше соотношения
применимы также при параллельном соединении боль-
шего числа фильтров, нежели два.
13.4. Дополнительные замечания о фильтрах
с постоянным входным импедансом
Мы изложим другой точный способ расчета фильтров
с постоянным входным импедансом. Рассмотрим лест-
ничную цепь, изображенную на рис. 13.4. Чтобы осу-
ществить постоянный входной импеданс, положим
Y —...1) _ ।
1 (22—1)
или
(1/1’ *“2 0 (^2 О’
Развертывая кумулянты и перенося члены, получим
___ (-2 1) - (Уз И_________( 1 Ч~ , Уз 1)
У'~ (22'--- 1) (?2---- 1)
(13.16)
Подставляя равенство
— 1+г2=г'2,
находим
.. 1) (г,2 > Уз 1)
У1 (1+г'2,---------1) (1,г'2----1)’
Соответствующая схема представлена на рис. 13.5. Уси-
ление цепи равно
______________________ 1 _
y,,z2-----------------------------1) ~
______________1__________________________ 1
(У1 ’~2 1)+ (г2 1)_2 (г2_1)
откуда следует
8,2 = 2(1 +z'2> у3----1)- (13' 17>
Заметим, что компенсация входного импеданса была
осуществлена путем параллельного подсоединения цепи,
дуальной к исходной цепи, поэтому в отличие от раз-
ветвленных цепей оба фильтра должны быть фильтрами
209
Рис. 13.4. Принцип действия фильтра постоянного импеданса.
Рис. 13.5. Схема фильтра постоянного импеданса.
Рис. 13.6. Типичная схемная реализация фильтра постоянного импе-
данса.
нижних частот или полосовыми фильтрами и т. д. Одна
из этих схем представлена на рис. 13.6.
Итак, фильтр можно рассчитать по любому способу,
применяемому к фильтрам с одинаковыми оконечными
сопротивлениями, а компенсирующая цепь должна быть
дуальной к исходной цепи. Это простое решение дости-
210
Гается ценой увеличения потерь на 6 дб, на что указы-
вает множитель 2 в уравнении (13.17); прирост потерь
обусловлен введением в цепь дополнительных сопротив-
лений.
Этот способ имеет общее значение и его можно при-
менять не только для фильтра, но и для любой другой
цепи постоянного импеданса.
Можно применять приближенные способы, вводя
вместо компенсирующего фильтра аналогичную цепь бо-
лее низкой степени. Существуют различные способы,
эквивалентные рассмотренному выше.
Задачи
Задача 13.1. Докажите на основании уравнений (13.4), (13.5) и
(13.12), что любые два фильтра, рассчитанные на резистивные на-
грузки, могут при параллельном соединении иметь любую заданную
характеристику, если их затухание в полосе пропускания, а также
в переходной области находятся в заданных границах.
Задача 13.2. Напишите уравнение (13.3) в общем виде и дока-
жите, что при параллельном соединении фильтра нижних частот,
полосового фильтра и фильтра верхних частот с соответствующими
функциями усиления
1 „ 1 „ 1
S ‘2 — | ! Л+ ' S 12 - 2р2 ’ S' 12 — . 2,-2 ’
1 + -Г I ‘ + -22 1 + е2 3
предназначенных для подключения к источнику напряжения, посто-
янный входной импеданс будет достигнут в том случае, когда
п । 2 —2 । 2 г 2
2-2 2 + 1’1 + 22
:2Г2— 2г2 , 2,-2 ,
+ е2Р2“1
Задача 13.3. Входные пары зажимов двух фильтров соединены
последовательно, а на их выходы включены сопротивления 1 ом.
Определите, какова должна быть передаточная функция каждого
из фильтров, чтобы вся цепь имела постоянный входной импеданс.
Как нужно рассчитать фильтры, чтобы выполнить это требование?
Задача 13.4. Рассчитайте разветвленную цепь постоянного им-
педанса для разделения частот ниже 24 кгц и выше 30 кгц. Харак-
теристики в полосе пропускания должны быть максимально плоски-
ми, а затухание в полосе задерживания каждого фильтра, совпа-
дающей с полосой пропускания другого фильтра, должно быть не
меньше 30 дб. Затухание в переходной области равно 3 дб.
Задача 13.5. Рассчитайте фильтр нижних частот постоянного
импеданса с пульсацией характеристики в полосе пропускания не
больше 0,05 дб и затуханием в полосе задерживания не меньше
40 дб при условии, что полоса задерживания начинается на частоте,
равной 1,6 от частоты среза. Допускается внесение потерь 6 дб.
211
14 Параметрические фильтры
В этой последней главе рассматриваются параметрические
фильтры, уже упоминавшиеся в гл. 8. Дополнительные пара-
метры, вводимые в характеристическую функцию этих фильт-
ров, повышают свободу выбора при синтезе, позволяя проек-
тировщику: 1) свести к минимуму число необходимых индук-
тивностей, 2) синтезировать лестничные цепи с ветвями, со-
держащими импедансы третьей степени, и 3) согласовать
фильтр с любым оконечным импедансом, в том числе ком-
плексными и т. д.
14.1. Общие замечания
В гл. 10 мы рассмотрели, как нужно составить ха-
рактеристическое уравнение, чтобы получить равномер-
ную пульсацию в полосе пропускания при произвольном
наборе полюсов в полосе задерживания фильтра. Для
простоты, а также для облегчения и повышения точ-
ности вычислений эти характеристические уравнения
были составлены для плоскости z вместо плоскости р.
Преобразование частоты при переходе от одной пло-
скости к другой для фильтра нижних частот-было опре-
делено выражением
= (ИЛ)
Затем выражение характеристической функции
в плоскости z было составлено таким образом, чтобы
в числителе был полином четной степени, возведенный
в некоторую степень, так как лишь в этом случае при
обратном преобразовании в плоскость р получается реа-
лизуемая функция цели.
Хотя преобразование (14.1) приводит к аппроксима-
ции чебышевского типа в отношении характеристики
212
в полосе пропускания с максимальным числом пульса-
ций для данной степени производящей функции, этот
способ не всегда удовлетворяет проектировщика. Часто
предпочитают пожертвовать некоторым затуханием в по-
лосе задерживания в обмен на более удобную схему
цепи или для того, чтобы сократить какую-нибудь ин-
дуктивность, или чтобы получить некоторое соотноше-
ние между элементами и т. д.
В таких случаях выгодно использовать более общую
характеристическую функцию и отказаться от требова-
ния равномерной пульсации в полосе пропускания при
соблюдении, однако, условия, чтобы пульсация не пре-
вышала заданной величины при любом наборе полюсов
затухания.
14.2. Частные преобразования
При составлении более общей характеристической
функции параметрических фильтров для упрощения пре-
образования мнимая ось плоскости р преобразуется
в линейные отрезки в плоскости z. Это приводит к кон-
формному отображению Шварца-Кристофеля много-
угольной области в верхнюю часть комплексной пло-
скости.
Рассмотрим теперь некоторые частные преобразова-
ния этого рода и укажем их полезные свойства. Снача-
ла рассмотрим преобразование р—z функции фильтра
нижних частот при обобщенной форме выражения (14.1):
г2 = ^Щ- (14.2)
На рис. 14.1 показано соответствие между обеими
плоскостями, которые можно проверить путем подста-
новки характерных частот.
Составим теперь уравнение в плоскости z, как это
было сделано в гл. 10 для фильтров общего вида:
Р jh(z) П (г 4- т/)
~ II (г-/щ)
(14-3)
где согласно (14.2)
т2
213
Модуль выражения (14.3) равен единице при любом
мнимом значении z и равен бесконечности, если z дей-
ствительная величина, что соответствует любой из пре-
образованных частот полюсов. Следовательно, склады-
вая функцию (14.3) с обратной ей функцией, мы полу-
чим xaf актерпстику с равномерной пульсацией для всех
частот на мнимой осп плоскости z.
Рис. 14 1 Соответствие плоскостей риг при преобразовании:
+ 1
ръ — и1'
При обратном переходе к плоскости р подобная ха-
рактеристика охватывает часть мнимой и часть дейст-
вительной оси. Две функции с равномерной пульсацией
этого рода будут иметь вид
sin h (г)
еJ '*(z) —
2/
1 П (г + (г + 1) - П (г - (z - 1)
2/ II (z1 2 — т?) /г2 — 1
(И.4)
cos h (г) =
1 П (Z +тгу (г + 1) + П (г — irt)2 (г — 1)
2 П (г2 — nfy /г2 — 1 (14-ь)
Уравнения (14.4) и (14.5) удовлетворяют всем услови-
ям, установленным для характеристической функции
фильтра. Следует также отметить, что рассмотренное
преобразование приводит к характеристическим функ-
циям общего вида с нечетной и четной частью.
214
Вычисление элементов параметрических фильтров,
обеспечивающих максимум передаваемой мощности,
проводится на основании уравнения (8.12). Если око-
нечные сопротивления не соответствуют этому условию,
нужно применить способы, рассмотренные ранее.
Пример 14.1. Дана характеристическая функция
третьей степени в плоскости z\
1 (г + т)2 (z + 1) — (г — tri}2 (г—1)_ (1 -|- ’2т) г2 т2
2 (г2 — /и2) Vz2 — 1 — (г2 — т2) /г2 — 1
или после преобразования на плоскость р согласно (14.2)
(1 + т)2 р2 + 1 + 2т — т2а2 а2
(1 — т2) р2 + 1 +а2 /Г
Усиление соответствующей цепи равно
I ^>2 I р2 а2 (1 п)2 р2_|_ |_|_ - т2а2 р ’
1—е2~ 1 +<7.2 (1 — т2) р2+ 1 + а2 ]
где знаменатель содержит квадоаты четной и нечетной функ-
ций:
Д2 Г (1 + т)2 р2 + 1 + 2т — т2а.2 "I2
1 + 3-2 I 0 — т2) р2 1 + я2 J
И
а2 Г (1 4~ от)2 р~ 4-1 4-2?г — т2а.2 з2
1 4»! [ (1 — т2) р2 4- 1 4- а2 ]
Если функцию (14.6) надлежит реализовать в виде
схемы, подобной изображенной на рис. 14.2, то при оди-
наковых оконечных сопротивлениях
1 2т — т2а2 = 0
и
Синтез проводится на основе уоавнения (8.12). Таким
обпазом:
(___1'Р г тЛ -1-- 2е__________-____ t1 + тУ
( /,с1Р2 4-1 *—(1-/«2)/4 4-1+з2 ’
_ г п __ ~2е_________Р3 (! +'пГ
/1г,Р24-1 (1-м2)р24-14-«2 ’
215
откуда находим
1 — т
1 + т ’
licl = ms
h = C2
Izm
1— т'
т (1 — ту
2 (! + т)
Множитель и зависит от реактансов, включенных на
выходах фильтра. Индуктивности, входящие в фильгр,
можно сократить, чтобы цепь имела лишь конечные по-
люсы затухания. Во всех случаях число параметров
должно быть равно заданному числу степеней свободы
цепи.
Рис. 14.2. Конфигурация цепи в примере 14.1.
Пример 14.2. В этом примере мы исследуем другое
важное свойство параметрических фильтров.
Мы увидим, что при перемножении двух характери-
стик с одинаковыми пульсациями (вместо того, чтобы
рассчитывать одиночную характеристику на заданную
полную степень) максимальная величина пульсации
остается неизменной, но затухание в полосе задержи-
вания будет меньше примерно на 6 дб, чем в случае
прямого расчета. Тем не менее, такой способ расчета
часто имеет смысл из-за большей свободы при синтезе.
Рис. 14.3. Конфигурация цепи в примере 14.2.
При расчете полосового фильтра, подобного изобра-
женному на рис. 14.3, содержащему в одной ветви экви-
валентную схему резонансного кварца, мы составляем
характеристическое уравнение в виде произведения ха-
рактеристической функции фильтра нижних частот, по-
лучающейся при обычном преобразовании (14.1), и ха-
216
рактеристической функции фильтра верхних частот,
получающейся при преобразовании (14.2). Постоянная
передача при одинаковых оконечных импедансах равна
К =-7j— При С! = с4 определяющее уравнение в плоскости
р можно написать в виде
(„ п Czhp2 + * 1 _______С212р2 4- 1______
\ 11 ’ Р (сг^СзРЧ-сг4-с3)’ р{с212с3р2 4- с2 4- с3)
0 (1 4- ту р2 4-1 4-2m (а2—1)л2р2 —2
- (1 _ От2) р2 + 1 л(14-“2)р
Пчиравнивая коэффициенты:
(С] 4-.2г1Сз) ^2^2 ~ (1 4- ту а (а2 — 1) _
дддд = 26 (Н^5)
С? 4- 2с, (с2 4- с3) — с212_2 (1 4-т)2 4-(1 4-2m) («2—1) я2 _
с2 4-с^ 6 а (1 4- а'2)
= а2,
1 . 1 4- 2m ____
с2 4- <~з 5 а (1 4- а2) а°’
и полагая произвольно /,<?, — 1, находим
1 — т2
С,=------
3 а„
с = а* + "о - Д*
1 т2
Условия
а 2 —л0 — а4 О
и
д2 4~ Др —
т2
4* Др д-з
т2
- 1 +а2+й0
должны быть выполнены путем соответствующего под-
бора параметров.
Такое преобразование относится к частному случаю,
по аналогичный метод может быть приложен к фильтру
любого типа. Для аппроксимации характеристики зату-
хания можно также применить графический метод рас-
чета с незначительными изменениями.
15—1469 217
Пример 14.3. Рассчитать два фильтра третьей сте-
пени, каждый с коэффициентом пульсаций е= —и пи-
ком затухания па частоте, равной 1,5 частоты среза.
Для составления характеристических функций приме-
нить преобразование
2 1 + Р2
г2= —-~—
р1
для первого фильтра и преобразование
z2 = 1 + р2,
умноженное на функцию первой степени от р, для вто-
рого фильтра.
о,ез5ог
Рис. 14.4. Схемная реализация в примере 14.3.
Решение. .Модули функций усиления определяют-
ся из уравнения
1 __ 1 (, Г (1 +m)V + (l +2и) V)
। sd2 4 и = р L -т2) р2+1 и ’
где т = 0,745356, и
где т'2 = 1,25.
Подставляя числа, находим
0,568581 (0,444444^2 + 1)
(р + 0,56963) (рг 4-0,316927р + 0,998159)
И
, 3,897114 (0,444444/?2 + 1)
8’2 (/? +2,471311) (/?2 + 0,73926/? + 1,57694)
Схемные реализации представлены на рис. 14.4.
218
14.3. Фильтры Ватанабе
Ватанабе [36, 37] предложил другой вид параметри-
ческих фильтров. Вместо параметра а, как в вышеопи-
санном преобразовании, он применяет аппроксимацию,
приводящую к появлению двух действительных корней
в характеристической функции. Затем, без увеличения
числа степеней свободы, один из полюсов затухания —
при нулевой или при бесконечной частоте — исключает-
ся, после чего фильтр можно синтезировать с минималь-
ным числом индуктивностей. Ватанабе установил сле-
дующие достаточные условия для реализации таких
фильтров:
1) характеристическая функция должна иметь два
нуля на действительной оси р (один положительный и
один отрицательный) и остальные нули в виде сопря-
женных пар на мнимой оси в плоскости р;
2) общее число полюсов на нулевой и бесконечной
частоте должно быть нечетным.
Тогда характеристическую функцию можно задать
в виде
F(p) = (р2—ct2)F'(p)
и фильтр можно синтезировать с (N—2)/2 индуктивно-
стями. При этом квадрат характеристической функции
общего вида
е2 [П(г + ^)2±П(г-,щ)2]2
4№ [П (г2 — от2)]2
должен содержать два действительных нуля, создающих
еще два действительных нуля в числителе (один поло-
жительный и один отрицательный). Этого можно до-
биться, если в качестве точного решения при одной и
той же пульсации характеристики взять квадрат харак-
теристической функции, скажем для co_i=l, в виде
в2 [П (г + mtf (z + «>,) (g - 1) + П (г - mJ* (г- <о,) (г + I)]2
-И2 (гг _><в2) (г2 _ i) [ П (г2 — /п?) ]г
Представив
1Ш + т,)2=£ + 0
как сумму четного и нечетного полиномов, числитель
можно представить как
Е (z2—(oO+OXzfwi—1),
15*
219
где полином по критерию Штурма имеет один положи-
тельный и один отрицательный корень. Это нули коэф-
фициента передачи, один на бесконечной и один на ну-
левой частоте. Кроме того, имеется двойной максимум
в середине полосы пропускания.
Можно взять другой вариант характеристической
функции:
е [П (г 4- mt) (г 4- ац) (г — 1) + П (г — mi) (г — to,) (24- I)]2
_ _ (г2 _ щ2)(г _ j }
Вместо этой точной характеристики с равномерной пуль-
сацией можно осуществить приближенную, как предло-
жил Ватанабе [37]. Для границ полосы пропускания
можно написать
(z2 — <о]) (г2 — 1) ~ (г2 —а2)2,
1== !(22_ш2) (z2-1) (г2-to]) (г2-1) ’
Параметр а выбирается так, чтобы ошибка лежала в за-
данных границах, при ®_i= l<a<tt>i.
Характеристическую функцию для расчета можно
представить в виде квадрата модуля первоначальной ха-
рактеристической функции:
(П (г 4. mt)2 ± П (г - '”ЗТ . 4
4 К2 [П (г2—/п?)]2 (г2—ш])’(г2 — 1) 1 ’’
Выражение (г2 — т2) может также содержать полюсы и
нули на бесконечной частоте. В большинстве случаев
этот способ приводит к удовлетворительному-результа-
ту, так как ошибка в величине пульсации в полосе про-
пускания незначительна, но нужно ожидать увеличения
затухания примерно на 6 дб или соответствующего
уменьшения крутизны характеристики вблизи частоты
среза. Как точное, так и приближенное решения приво-
дят к симметричным фильтрам.
При рассмотренном выше способе в некоторых слу-
чаях нельзя применять симметричный фильтр (напри-
мер, если параллельно включен другой фильтр). В этих
случаях можно применить другой способ, приводящий
к асимметричной цепи и основанный па аппроксимации
220
или
Р2 р‘- — а1
о 2 ' о ~
р- — “ii р- - “I
Р2 <0—1 р-— а'2 .
— Р'1- 1 р2--Г~
При этом квадрат характеристической функции равен
е2 [П +wd + П(г~ »ц)]2
4№ [П(^-/И2)]2
(14.8)
г)
Рис. 14.5. Схемная реализация зигзагообразных фильтров:
а — фильтр 13-Й степени с 6 индуктивностями: б — эквивалентная схема для
цепи а; в — фильтр 10-й степени с 4 индуктивностями; г — эквивалентная схе-
ма для цепи в.
221
Как и ранее, выражение (z2 — /и2) может содержать полю-
сы и нули на бесконечной частоте.
При дальнейшем синтезе получаются схемные реали-
зации в виде зигзага или эквивалентные им схемы
(рис. 14.5). Нужно лишь знать степень фильтра и затем
распределить [(jV—2)/2] индуктивностей так, чтобы об-
разовать полюсы на конечных частотах и один полюс
в нуле или в бесконечности. Таким образом, будут осу-
ществлены цепи с минимальным числом катушек.
В заключение нужно заметить, что при проектирова-
нии фильтров общего вида по приближенным функциям
Ватанабе можно применять выведенные здесь общие
уравнения, которые соответственно заданной цепи запи-
сываются в виде
(— 1 /Уг 22!---z2nJG2) = A.(z),
е • (14.9)
(— 1, z„ уг----z2n, G2) = rt — F (z)
и т. д. Аналогичные рассуждения можно применить
к характеристической функции второго вида:
S2 [П (? + "Ц)±П(г—Wj)]4 (z2 —а2)2 ,. , .0,
16№ П(?2 —от?)2 (z2 —<I>2) (z2 —1) '
Задачи
Задача 14.1. Составить характеристическую функцию четвертой
и пятой степени для фильтров, имеющих полювы затухания в бес-
конечности, применив преобразование
т, Р2 + '
~ ~ р2 — а2'
Сравнить эти функции с соответствующими функциями чебы-
шевских фильтров. Найти крутизну кривой затухания на частоте
слеза.
Задача 14.2. Обсудить соответствие между плоскостью р и пло-
скостью z при следующих преобразованиях:
(р2+1)(р2_а2)
’ Р^ (Р + 1 - *20)
222
Задача 14.3. Дана функция усиления
№
I £1212 = ' : 77г ТТУ’
1 — е-Г"
где Fe — четная, a Fo — нечетная функция с равномерной пульса-
цией, обе функции с одинаковыми знаменателями.
1) Найти максимальную величину пульсации.
2) Сравнить характеристику затухания с характеристиками за-
тухания для тех случаев, когда либо одна функция Fe, либо одна
функция Fo представляют собой характеристическую функцию с ко-
эффициентом пульсации е К 2 .
Литература
1. Belevitch. Recent Developments in Filter Theory. IRE
Trans, on CT., Dec. 1958.
2. В о d e H. W. Network Analysis and Feedback Amplifier De-
sign. D. Van Nostrand Co., Princton N. J., 1945.
См. также: Боде Г. Теория цепей и проектирование усили-
телей с обратной связью. ГНИЛ, 1948.
3. В о 11 R., D i f f i n R. J., Impedance Synthesis without use
of Transformers J. Appl. Phys., vol. 20, Aug. 4949, p. 816.
4. Brune O. Synthesis of a Finite Two-terminal Network Whose
Drivingpoint Impedance is a Prescribed Function of Frequency, J.
Math. Phys., vol. 10, Aug. 1931, p. 191—236.
5. Butterworth S. On the Theory of Filter Amplifiers. Wire-
less Engr., vol. 7, Oct. 1930, p. 536—541.
6. Cauer W. Vierpole. Elektr. Nachrichtentechn, vol. 6, № 7,
July 1929, p. 272—282.
7. Cauer W. Die Verwirklichung von Waechselstromwiderstaen-
den vorgeschriebener Frequenzabhaengigkeit. Arch Elektrotech., vol. 17,
№ 4, Dec. 4926, p. 355—388.
8. Cauer W. Ausgangsseitig leerlaufende Filter.-ENT, vol. 16,
№ 6, June 1939, p. 161—163.
9. Cauer W. Ein Reaktanztheorem. Sitzber. Preuss. Akad. Wiss.,
vol. 30—32, 1931, p. 673—681.
10. C a u e r W. Siebschaltungen. V. D. I. Verlag, G. m. b. H„
Berlin 1931.
11. Cauer W. Synthesis of Linear Communication Networks.
(Англ, перевод co второго немецкого издания). McGraw-Hill
Со., Inc., New York. 1958.
12. D a r 1 i n g t о n S. A Survey of Network Realization Tech-
niques. IRE Trans. PGCT, vol. CT-2, № 4, Dec. 1955, p. 291—297.
13. D a r 1 i n g t о n S. Synthesis of Reactance 4 Poles Which
Produce Prescribed Insertion Loss Characteristics. J. Math Phys.,
vol. 18, Sept. 1939, p. 257—353.
14. D e s о e r CH. A. Network Design by First Order Predistortion
Technique. IRE Trans, on CT, vol. CT-4, № 3, Sept. 1957, p. 167—170.
15. Desoer C. A. Notes Commenting on Darlington’s Design
Procedure for Networks Made of Uniformly Dissipative Coils (rfo + 6)
and Uniformly Dissipative Capacitors (d0—6). IRE Trans. PGCT,
vol. CT-6, № 4, Dec. 4959, p. 397—398.
16. Fialkow A., Ger st J. RLC Lattice Transfer Functions. Proc.
IRE, vol. 43, № 4, April 1955, p. 462—469.
17. Fujisawa T. Realizability Theorem for Mid-series or
Mid-shunt Lowpass Ladders without Mutual Induction. IRE Trans.
С. T„ Dec. 1955, p. 320—325.
18. Foster R. M. A Reactance Theorem. Bell Syst. Tech. J.,
vol. 3, April 1924, p. 259—267.
19. G a r d n e r M. F„ В a r n e s J. L. Transients in Linear Sys-
224
tems. John Wiley & Sons, New York, 1942 (vol. 1) См. также:
Гарднер M., Бернс Дж. Переходные процессы в линейных си-
стемах.
20. G 1 о w a t z k i Е. Sechsstellige Tafel der Cauer-Parameter.
Bayerische Akademie der Wissenschaften, Mtinchen, 1955.
21. Grossman A. J. Synthesis of Tchebycheff Parameter Sym-
metrial Filters. Proc. IRE, vol. 45, Sept. 1951, p. 147—210.
22. G u i 1 1 e m i n E. A. Synthesis of Passive Networks. John
Wiley & Sons., Inc., New York, 1957.
23. G u i 1 1 e m i n E. A. The Mathematics of Circuit Analysis. John
Wiley & Sons., Inc., New York, 1949.
24. Hurwitz A. Ucber die Bedingungen unter welchen eine
Gleichung nur Wurzeln mil negativen reellcn Thcilen besitzt. Math.
Ann., vol. 46, 1895, p. 273—284.
25. К о r n G., Korn T. H. Mathematical Handbook for Scien-
tists and Engineers. McGraw-Hill Book Co., Inc., New York, 1961.
26. Laurent T. Calcul General des affaiblissements de fil-
tres a 1’aide des transformations frequentielles. Ericsson Techniques,
№ 4, 1937.
27. R u b i n i R. Graphical Methods for Solving the Approximati-
on Problem in the Design of Electric Frequency Filters. Alta Frequen-
za, vol. 30, № 2, Feb. 1961, p. 136—55.
28. R u m p e 11 E. Schablonenverfahren fur den Entwurf elektri-
scher Wellenfiltcr auf der Grundlage der Wellenparameter. TFT 31,
203 1942
29. S a a 1 R., U 1 b r i c h E. On the Design of Filters by Synthe-
sis. IRE Trans. PGCT, vol. CT-5, № 4, Dec. 1958, p. 284—327.
.30 . S a a 1 R. Der Entwurf von Filtern mit Hilfe des Kataloges
normierter Tiefpaesse. Telefunken G. M. B. IL, Backnang Wiirtt,
1961.
31. Та капа si H. On the Ladder-type Filter Network with
Chebyshev Response. J. Inst. Elec. Commun. Engrs. Japan, vol. 34,
№ 2, Feb. 1951.
32. Truxal J. G. Automatic Feedback Control System Synthe-
sis. McGraw-Hill Book Co., Inc. New York, 1955.
33. T u 111 e D. F. Jr. Network Synthesis. John Wiley & Sons,
Inc., New York, 1958 (vol. 1).
34. Van Valkenburg M. E. Introduction to Modern Net-
work Synthesis. John Wiley & Sons, Inc., 1960.
35. W a t a n a b e H. Synthesis of Band-Pass Ladde Networks.
IRE Trans. PGCT, vol. CT-5, № 4, Dec. 1958.
36. W a t a n a b e H. On the Circuit with a Minimum Number
of Coils. IRE Trans. PGCT, vol. CT-7, № 1, March I960.
37. W a t a n a b e H. On the Network with the Minimum Number
of Coils. Nippon Elec. Co.,..Research and Dev., vol. 1, № 1, Oct. 1960.
38. Watanabe H. Approximation Theory for Filter-Networks.
Collected Papers on Circuit Theory and Techniques, NEC., Tokyo,
Japan I960.
39. W e i n b e r g L. Network Analysis and Synthesis. McGraw-
Hill Book Co., Inc., New York, 1962.
40. Yakamoto K. Fujimoto K-, Watanabe H. A Fre-
quency Transformation Programming in Filter Design. IRE Trans. CT,
Special issue of Spplications of Electronic Computer to Network De-
sign.
225
Отечественная литература
1. Атабеков Г. И. Теория линейных электрических цепей.
Изд-во «Советское радио», 1960.
2. Б о с ы й Н. Д. Электрические фильтры. ГИТТЛ, 1955.
3. 3 е л я х Э. В. Основы общей теории линейных электрических
цепей. Изд-во АН СССР, 1951.
4. Сумцов Г. М., Трахтенберг М. О. Электрические »
фильтры. Связьиздат, 1935.
5. А й з и и о в М. М. Анализ и синтез линейных радиотехничес-
ких цепей в переходном режиме. Изд-во «Энергия», 1968.
Г
Предметный указатель
А
Антиметричные цепи 53
— фильтры 136
Б
Баттерворта полиномы 78
— фильтры 72
---- компенсация потерь 192
---- сравнение с фильтром
Чебышева 83, 84
В
Ватанабе фильтры 219
Д
Денормирование 98, 103
3
Затухание отражения 64
— размещение полюсов 153
— эффективное 63
И
Иммитансные функции 8, 17
Импедансов преобразование
116
К
Кауэра канонические формы
30, 33
— фильтры 70
---- компенсация потерь 196
Кирхгофа уравнения 9
Классификация фильтров 68
Компенсация потерь в филь-
трах Баттерворта 192
----------Кауэра 196
----------общего вида 196
----------Чебышева 192
---- при преобразовании ча-
стоты 199
Коэффициент отражения 63
Крамера метод 9
Кумулянты 10
-— вычисление 12
— действия над ними 21
— применение для вычисления
параметров цепей 11, 15
------- — полиномов 25
Л
Лапласа преобразование 8
Лестничные цепи антиметрич-
ные 53
— — без потерь 54
-----симметричные 52
-----LC 38
------- с нагрузками на обо-
их концах 47, 60
------- с нагрузкой на одном
конце 38, 56, 59
М
Максимально плоская частот-
ная характеристика 72
Н
Нортона преобразование 116,
126
О
Общего вида фильтры 127
—------вычисление К 138
— ----- компенсация потерь
196
—------нечетной степени 135,
172, 180
--------- правила графического
расчета 162
-------размещение полюсов
затухания 153
-------четной степени 136,
175, 178
Отражения коэффициент 50, 63
— постоянная 64
— фазовый угол 64
П
Параллельное соединение филь-
тров 201
227
Параметрические фильтры 109
Передачи эффективная посто-
янная 63
— эффективный коэффициент
62
Положительные вещественные
функции 8
— — — реализуемость лест-
ничной цепью 54
Преобразование фильтра ниж-
них частот в фильтр верх-
них частот 99, 103
---------- в фильтр загради-
тельный 102, 103
—------— в фильтр полосо-
вой 99, 104
Преобразование частоты 95, 97,
99
Р
Равноволновая аппроксимация
79
Разветвленные цепи 204
Реактансные функции 28
---канонические формы 32
--- условия реализуемости 30
С
Симметричные цепи 52
У
Усиление напряжения 11
Усиления функция 52
Ф
Фильтры антиметричные 136
— Баттерворта 69, 72, 74
— Ватанабе 219
— Кауэра 70, 87
— классификация 68
— нечетной степени 135
— общего вида 127
— параметрические 109, 212
— преобразование импедансов
116
— симметричные 135
— с потерями '188
— типа А 89
— типа В 91, 136
— типа С 92, 139
— Чебышева 70, 79
— четной степени 136, 175, 180
— RLC 183
Фостера формы 33
X
Характеристика максимально
плоская 69, 72
— с равномерной пульсацией
70
Характеристическая постоян-
ная 64
— функция 66
нечетная 93
четная типа А 89
— типа В 91
— типа С 92
Характеристический коэффи-
циент 64
— фазовый угол 64
Ц
Цепи антиметричные 53
— постоянного импеданса 201
— разветвленные 204
-- симметричные 135
Ч
Чебышева полиномы 80
— фильтры 70, 79
---- компенсация потерь 192
— — полюсы функции усиле-
ния 81
— — расчет 83, 147
Э •
Эффективная постоянная пере-
дачи 63
Эффективное затухание 63
Эффективный коэффициент пе-
редачи 62
— фазовый угол 63
Элементов вычисление 107
228
Оглавление
Предисловие редактора перевода ......................... ''
Предисловие.............................................. 5
Глава 1. Вводные замечания............................... 7
1.1. Основные понятия......................... 7
1.2. Кумулянты................................... 9
1.3. Параметры лестничных цепей в символах кумулянтов 11
1.4. Вычисление кумулянтов.......................12
Примеры......................................15
Таблица 1.1. Иммитансные функции 16
Задачи.......................................20
Приложение 1.1. Действия над кумулянтами 21
Приложение 1.2. Вычисление полиномов . . 24
Приложение 1.3. Нормированные параметры . 26
Приложение 1.4. Децибел и непер .... 26
Приложение 1.5. Приставки для обозначения
множителей при единицах измерения............27
Глава 2. Синтез лестничных цепей.................28
2.1. Реактансные функции ........................28
2.2. Синтез лестничных цепей..........................30
2.3. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном конце;
общие соображения....................................38
2.4. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном конце;
синтез по заданному zt2..............................39
2.5. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном конце;
синтез по заданному zn...............................43
2.6. Лестничная цепь LC с нагрузкой на одном конце;
синтез по заданному |z12|2.................... . . 46
2.7 Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих концах; син-
тез по заданному |z12|...............................47
2.8. Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих концах;
синтез по заданному z14..............................48
2.9. Лестничная цепь’ДС с нагрузкой на обоих концах;
синтез по заданному |р[2 . 50
2.10. Лестничная цепь LC с нагрузкой на обоих концах;
синтез по заданному g42...............................52
2.11. Симметричные и антиметричные лестничные цепи 52
Задачи............................................53
Приложение 2.1. Реализуемость положительных
вещественных функций лестничной цепью без потерь
и без взаимных индуктивностей с нагрузкой на
одном конце.......................................54
229
Таблица 2.1 Канонические формы реактансноп
функции...........................................32
Таблица 2.2. Функции лестничных цепей LC с на-
грузкой на выходе..................................56
Таблица 2.3. Функции лестничных цепей LC с на-
грузкой на входе...................................58
Таблица 2.4. Функции лестничных цепей LC с на-
грузкой па входе и выходе..........................60
Глава 3. Введение в синтез фильтров.......................62
3.1. Общие замечания...................................62
3.2. Принцип расчета...................................65
3.3. Классификация фильтров............................68
Задачи.............................................71
Глава 4. Фильтры Баттерворта..............................72
4.1, Общие замечания...................................72
4.2. Синтез фильтров Баттерворта.......................74
Задачи.............................................77
Таблица 4.1, Коэффициенты полиномов Баттервор-
та .............................................. 78
Глава 5. Фильтры Чебышева.................................79
5.1, Общие замечания...................................79
5.2. Полином Чебышева ... 80
5.3. Полюсы функции усиления......................... 81
5.4. Расчет фильтров ... 83
Задачи........................................... 86
Глава 6. Фильтры Кауэра................................. 87
6.1. Общие замечания.................., . . . . 87
6.2. Функция /•'(и) четная (Тип А)....................89
6.3. Функция /•'(ш) четная (Тип В) . . . . . 91
6.4. Функция F(e>) четная (Тип С).....................92
6.5, Функция /•'(со) нечетная....................... 93
Задачи.............................................94
Приложение 6.1. Преобразование диапазона ча-
стот для фильтров типа В....................•. 95
Таблица 6.1. Фильтры Кауэра........................96
Приложение 6.2. Преобразование диапазона ча-
стот для фильтров типа С...........................97
Глава 7. Денормирование и преобразование полосы ча-
стот ................................................98
7.1. Денормирование . ......................... 98
7.2. Преобразование в фильтр верхних частот ... 99
7.3. Преобразование в полосовой фильтр............99
7.4. Преобразование в заградительный фильтр ... 101
Задачи.......................................102
Таблица 7.1. Деиормирование...................ЮЗ
Таблица 7 2. Преобразование фильтра нижних ча-
стот в фильтр верхних частот .... . - ЮЗ
230
Таблица 7.3. Преобразование фильтра нижних ча-
стот в полосовой фильтр .........................104
Таблица 7.4. Преобразование фильтра нижних ча-
стот в заградительный фильтр......................Ю5
Глава 8. Вычисление элементов.......................Ю?
8.1. Общие замечания '............................. Ю7
8.2. Параметрические фильтры........................109
8.3. Численные расчеты..............................НО
8.4. Расчет по модулю функции усиления . . • Н2
Задачи..................................... 113
Глава 9. Преобразование импеданса......................116
9.1. Обобщенный синтез.............................116
9.2 Преобразование фильтров........................ИЗ
9.3. Преобразование фильтров, имеющих полюсы в беско-
нечности ...........................................120
9.4. Дополнительные замечания.......................121
Примеры.........................................122
Задачи..........................................126
Глава 10. фильтры общего вида..........................127
10.1. Общие замечания...............................127
10.2. Условия для равномерной пульсации характеристики
в полосе пропускания . . ................131
10.3. Расчетные уравнения.........................135
10.4. Вычисление У................................138
10.5. Фильтры типа С..............................139
10.6. Дополнительные функции с равномерной пульсацией 142
10.7. Применение к фильтрам Чебышева..............144
10.8. Замечания о вычислении па плоскости z . 146
10.9. Приложение теории к фильтрам различного типа . 150
10.10. Расположение полюсов затухания..............153
10.11. Распространение метода на полосовые фильтры , . 158
10.12. Правила графического расчета................162
Задачи......................................170
Приложение! 0.1.............................170
Таблица 10.1. Характеристика затухания в шкале у 171
Таблица 10.2. Фильтр нижних частот общего ви- •
да с нечетной характеристической функцией . . . 172
Таблица 10.3. Фильтр нижних частот общего вида
с четной характеристической функцией .... 175
Таблица 10.4. Фильтр нижних частот общего вида
с чётной характеристической функцией, тип С . , 178
Таблица 10.5. Фильтр нижних частот общего вида
пятой степени...................................180
Глава 11. Фильтры R.LC.................................183
11.1. Общие замечания...............................183
11.2. Синтез........................................184
Задачи..........................................187
231
Глава 12. Фильтры с потерями.............................188
12.1. Общий порядок расчета...........................189
Г2.2. Компенсация потерь в фильтрах Баттерворта и Че-
бышева ...........................................192
12.3. Компенсация потерь в фильтрах Кауэра и фильтрах
общего вида...........................................196
12.4. Компенсация потерь в преобразованных фильтрах . 199
Задачи..........................•.................199
Г л о в я 13. ПяряЛлсльнос соединение фильтров и цепи по~
стоянного импеданса.................................201
13.1. Общие замечания 201
13.2. Разветвленная цепь..............................204
13.3. Разветвленные цепи с нулевым коэффициентом отра-
жения . 207
13.4. Дополнительные замечания о фильтрах с постоянным
входным импедансом....................................209
Задачи............................................211
Глава 14. Параметрические фильтры........................212
14.1. Общие замечания.................................212
14.2. Частные преобразования..........................213
14.3. Фильтры Ватанабе................................219
Задачи............................................222
Литература...............................................224
Предметный указатель.....................................227
Д. Херреро, Г. Уиллонер
СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ
Под редакцией И. С. Гоиоровского
Редактор В. И. Шелухина
Художественный редактор 3. Е. Вендрова
Художник В. Е. Карпов
Технический редактор А. А. Белоус
Корректоры М. Ф. Белякова, Н. М. Давыдова
Сдано в набор 19/Х 1970 г. Подписано в печать 22/П 1971 г.
Формат 84Х 1O8'/S2 Бумага машиномелованная
Объем 12,IS усл. п. л. 10,550 уч изд л. Тираж 10 500 экз. Зак. 1469
Издательство .Советское радио*, Москва, Главпочтамт,
п/я 693. Цена 88 коп.
Московская типография № 10 Главполиграфпрсма Комитета
по печати прн Совете Министров СССР
Москва, Шлюзовая наб. д. 10.