Text
                    ГЛэлл
АНАЛОГОВЫЕ
И ЦИФРОВЫЕ
ФИЛЬТРЫ
Расчет и реализация

ANALOG AND DIGITAL FILTERS: DESIGN AND REALIZATION Harry Y.-F. Lam Bell Telephone Laboratories, Inc. Formerly with University of California, Berkeley PRENTICE-HALL, INC,, ENGLEWOOD CLIFFS, NEW JERSEY 1979
ГЛэм АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Расчёт и реализация Перевод с английского В. Л. Левина, М. Н. Микшиса и И. Н. Теплюка под редакцией канд. техн. наук. и. Н. Теплюка Москва «Мир» 1982
УДК 621.372.54 В книге американского специалиста проф. Г. Лэма рассматриваются основы теории электрических цепей, принципы и схемы реализации анало- говых и цифровых фильтров Излагается методика составления программ их расчета на ЭВМ. Кинга является одним из лучших руководств по ъы- бору типов и параметров непрерывных и дискретных фильтров. Для специалистов, занимающихся проектированием фильтров, и сту» дентов. изучающих электро- и радиотехнику. л 138—82 ч. 1 2302010000 Редакция литературы по новой технике © 1979 by Prentice-Hall, Inc. © Перевод на русский язык, «Мир», 1982 Гарри Лэм АНАЛОГОВЫЕ И ЦИФРОВЫЕ ФИЛЬТРЫ Старший научный редактор Н. В. Серегина. Младший научный редактор Н. И. Сивилева Художник В. М. Прокофьев. Художественный редактор Л. Е. Безрученков Технический редактор Л. П. Бирюкова. Корректор К. Л. Водяиицкая ИБ № 2447 Сдано в набор 30.03.81. Подписано к печати 02.04.82. Формат бОХЭО’/ie. Бумага типограф- ская № I. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем бум. л. 18,50. Усл. печ. л. 37. Усл. кр.-отт 37. Уч.-изд. л. 33,25. Изд. № 20/0964. Тираж 8000 экз. Зак. ИЗО. Цена 3 р. 60 к. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> 129820, Москва, И-110, ГСП, 1-Й Рижский пер., 2. Ленинградская типографии Хе 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Зна- мени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении Соколовой Союз- полиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ Успехи технологии микроминиатюризации радиоэлектронных устройств обусловили смещение интересов разработчиков аппа- ратуры от обычных пассивных фильтров к активным и, наконец, к цифровым. Резкое возрастание интереса к цифровой фильтра- ции обусловлено возрастанием роли цифровых методов обра- ботки информации, которые, с одной стороны, обеспечивают большую точность и помехоустойчивость аппаратуры, а с дру- гой— позволяют реализовывать схемы цифровых фильтров на основе микропроцессоров и интегральных схем средней и боль- шой степени интеграции, что в конечном итоге позволяет дости- гать существенного выигрыша в объемно-массовых характери- стиках аппаратуры. При этом все разновидности фильтров соз- даются на основе классической теории электрических цепей с применением современных методов проектирования с помощью вычислительных машин. Предлагаемая вниманию читателей книга написана препо- давателем такого известного своими промышленными внедре- ниями учебного заведения, как Калифорнийский университет. Именно в этом университете в последнее время разработаны фильтры с коммутацией конденсаторов, занимающие промежу- точное положение между активными и цифровыми фильтрами. Такие фильтры могут изготовляться по технологии, аналогич- ной технологии цифровых фильтров, что привлекает к ним по- вышенное внимание. Данная книга является, пожалуй, первой- и довольно удачной попыткой рассмотрения в одной монографии пассивных, актив- ных и цифровых фильтров на основе общей теории электриче- ских цепей. Отличительная особенность книги состоит в том, что проблемы фильтрации не затеняются вопросами общей теории электрических цепей. Вместе с тем информацию по теории це- пей удобно использовать в качестве справочной. Четкая мето- дологическая последовательность изложения, простота исполь- зуемого математического аппарата, многочисленные рисунки существенно облегчают усвоение материала. Среди большого числа приведенных задач следует особенно отметить задания на составление программ расчетов иа ЭВМ, что отражает
6 Предисловие к переводу возрастающую тенденцию к использованию ЭВМ для ана- лиза и синтеза цепей. Обширная библиография, рекомендо- ванная по каждой теме, имеет четкую практическую направ- ленность. Книга предназначена для специалистов, занимающихся про- ектированием фильтров, и студентов, изучающих электро- и ра- диотехнику. Перевод книги выполнили Микшис М. Н. (предисловие, гл. 1—3, И—13), Левин В. Л. (гл. 4—9) и Теплюк И. Н. (гл. 10). Проф. И. А. Мизин
Посвящается моим родителям Квей-Чой Лэму и Бик-Кэм Лэм и моей жене Алисе ПРЕДИСЛОВИЕ Понятие фильтра было введено в 1915 г. независимо друг от друга Дж. Кэмпбеллом и К. Вагнером в связи с их иссле- дованиями в области линий передачи и колебательных систем. С тех пор теория и технология фильтров непрерывно развива- лись и продолжают совершенствоваться по настоящий день. Сегодня фильтры настолько глубоко проникли в электронную технику, что трудно представить себе сколько-нибудь сложную систему или прибор, в которых в той или иной форме не ис- пользовались бы фильтры. Эта книга написана на основе курса лекций по проектиро- ванию фильтров, организованного и прочитанного автором для студентов Калифорнийского университета в г. Беркли. Создание такого курса преследовало две цели. Одна из них состояла в том, чтобы ознакомить студентов с рядом основных понятий фильтрации, а также с методами расчета фильтров со скромной надеждой, что это подготовит их к самостоятельной работе по проектированию некоторых простых (аналоговых и цифровых) фильтров по окончании этого курса. Другой целью было обеспе- чить студентам твердые фундаментальные знания для после- дующего изучения более сложных курсов по аналоговым и циф- ровым фильтрам. При этом предполагалось, что студенты при- ступят к изучению этого курса после двухсеместрового курса по общей теории цепей в объеме книги Basic Circuit Theory, С. A. Desoer, Е. S. Kuh. Практическая направленность — основной принцип построе- ния этой книги; изложение материала ведется на достаточно простом уровне, хотя и позволяет выявить существо разбирае- мых вопросов. Для объяснения теории наряду с теоретически обо- снованными соображениями используются также интуитивные, а методы и процедуры расчета иллюстрируются многочисленными
8 Предисловие примерами. Книга шаг за шагом подводит студентов от элементарных тем к рассмотрению достаточно сложных во- просов. В тех случаях, когда материал по уровню сложности превосходит предполагаемые у студентов знания, автор дает ссылки на соответствующую литературу. В результате книга может быть одинаково полезной как учебное пособие по проек- тированию фильтров для студентов не только младших, но и старших курсов и как руководство для инженеров-разработчи- ков, желающих изучить основы этой области электротехники. Автор стремился к тому, чтобы материал книги мог быть легко усвоен читателем, прослушавшим в течение одного — двух се- местров курс теории электрических цепей. Материал книги тщательно подобран с таким расчетом, чтобы дать студентам и читателям максимальное количество по- лезных сведений по многим существенным темам в этой обла- сти. В гл. 1—4 автор излагает фундаментальные основы проек- тирования аналоговых фильтров. Глава 2 посвящена элемент- ной базе как пассивных, так и активных фильтров. Функции цепи и их свойства описаны в гл. 3, где рассмотрено примене- ние преобразования Гильберта, понятие минимально фазовых функций и различные процедуры построения функций цепи. Полиномы Гурвица и положительные вещественные функции, которые образуют математический аппарат для расчета пассив- ных цепей, приведены в гл. 4. В гл. 5—7 автор рассматривает задачу реализации пассив- ных схем. На основе положительных вещественных функций, описанных в гл. 4, автор в гл. 5 и 6 исследует свойства входных RC- и LC-функций. В гл. 7 эти функции применены для реали- зации различных классов передаточных функций. В частности, рассматриваются лестничные RC- и LC-схемы и схемы Дар- лингтона для синтеза передаточных функций фильтров нижних и верхних частот, а также полосовых фильтров; мостовые схе- мы используются для реализации всепропускающих передаточ- ных функций. В гл. 8 исследуется задача нахождения соответствующих передаточных функций. Подробно рассмотрены частотно-изби- рательные фильтры Баттерворта и Чебышева и фильтры Бес- селя для обеспечения групповой задержки сигналов. Для облег-
Предисловие 9 чения расчетов в качестве приложения приведены соответствую- щие графики и таблицы. В гл. 9 вводится понятие «чувстви- тельность». Активным фильтрам посвящена гл. 10, в которой рассма- триваются два основных метода их построения. Прямой метод включает реализацию пассивных /?С-двухполюсников и четы- рехполюсников, а косвенный связан главным образом с реали- зацией активных фильтров второго порядка. Рассмотрены прие- мы реализации на одном и нескольких усилителях и исследова- ны преимущества и недостатки каждого метода. В гл. 10 также рассмотрено влияние неидеальностей операционных усилителей на рабочие характеристики схемы. Наконец, введен класс ак- тивных схем, содержащих только операционные усилители и резисторы (их называют активными /^-схемами). Показано, что этот класс схем наиболее пригоден для использования на вы- соких частотах. Цифровые фильтры рассмотрены в гл. 11—13. В гл. 11 даются основные сведения по цифровым фильтрам, включая рассмотрение z-преобразования, обратных ^-преобразований, дискретного преобразования Фурье, частотных характеристик, теорем дискретизации и функциональных узлов цифровых филь- тров. Методы получения соответствующих цифровых передаточ- ных функций описаны в гл. 12 (для чтения которой необходимо хорошее усвоение материала гл. 8). Детально исследованы ме- тоды инвариантности импульсной характеристики и билиней- ного преобразования. В гл. 13 рассмотрена задача реализации цифровых фильтров, причем указан также способ исключения контуров без задержки. В конце каждой главы приведен полный набор задач, допол- няющих и расширяющих изложенный в тексте материал. Боль- шинство задач были проработаны на семинарских занятиях, и поэтому имеется уверенность, что они по уровню и степени сложности доступны для студентов. Чтобы избежать предложе- ния одних и тех же задач на протяжении ряда лет, каждое упражнение содержит варианты, которые отличаются числен- ными значениями параметров и другими несущественными де- талями,
10 Предисловие Автор хотел бы поблагодарить профессора Дж. Д. Мак-Фер- сона (J. D. McPherson) из Висконсинского университета, г. Ми- луоки, и К- А. Стромсмо (К- A. Stromsmoe) из Университета Альберта, прочитавших окончательный вариант рукописи, а также выразить признательность студентам, прослушавшим курс в 1974—1976 гг.; их заинтересованное участие в семинар- ских занятиях и полезные замечания дали автору неоценимую информацию для пересмотра и улучшения первоначальных вариантов книги. Автор с удовольствием выражает благодар- ность также профессорам Л. О. Чуа (L. О. Chua), К. А. Дезоеру (С. A. Desoer) и Е. С. Ку (Е. S. Kuh) из Калифорнийского уни- верситета, г. Беркли, и сотрудникам фирмы «Белл лэборэтриз», Северный Андовер, шт. Массачусетс, Ф. Дж. Витту (F. J. Witt), К. Ф. Керту (С. F. Kurth) и Р. П. Снайсеру (R. Р. Snicer) за интерес к этой работе, полезную критику и моральную под- держку. Я благодарен также Отделению электротехники и вы- числительной техники Калифорнийского университета, г. Берк- ли, за прекрасные условия, позволившие успешно завершить работу над книгой. Наконец, автор хотел бы выразить благодарность и призна- тельность своей жене Алисе, подготовившей машинописные ко- пии первых двух вариантов рукописи, которыми пользовались студенты, и поддерживавшей мир и согласие в нашем доме. Гарри И.-Ф. Лэм
Введение «Фильтр» в обобщеннном смысле слова представляет собой устройство (или систему), которое преобразует заданным об- разом проходящий через него входной сигнал. По существу фильтр преобразует входные сигналы в выходные таким обра- зом, что определенные полезные особенности входного сигнала сохраняются в выходном сигнале, а нежелательные свойства подавляются. Существует несколько типов фильтров; в этой книге рас- смотрены лишь некоторые примеры. Масляный фильтр в авто- мобилях удаляет посторонние частицы, взвешенные в проходя- щем через фильтр масле; воздушный фильтр пропускает воз- дух, но предотвращает попадание грязи и пыли в карбюратор, Цветное стекло можно использовать в качестве оптического фильтра для поглощения световых лучей определенных длин волн, таким образом преобразуя свет, попадающий на свето- чувствительную пленку в фото- или кинокамере. Электрический фильтр проектируется для выделения и про- пускания требуемого сигнала из смеси полезных и нежелатель- ных сигналов. Телевизионные и радиофильтры — типичные при- меры сложных электрических фильтров. Если говорить более определенно, то при настройке телевизионной аппаратуры на определенный канал, скажем канал 2, она пропускает те сиг- налы (звуковые и изображение), которые передаются каналом 2, и блокирует все другие сигналы. В более узком смысле фильтры — это основные электронные компоненты многих си- стем связи, таких, как телефония, телевидение, радиовещание, радио- и звуколокация. Электрические фильтры можно также найти в цепях преобразования мощности и системах питания. Фактически электрические фильтры так распространены в со- временной технике, что невозможно представить любой элек- тронный прибор средней сложности, в котором бы не использо- вался фильтр в том или ином виде. Электрические фильтры можно классифицировать, несколь- кими способами. Для обработки аналоговых или непрерывных во времени сигналов применяются аналоговые фильтры, а циф- ровые сигналы (сигналы дискретные во времени и квантован- ные по амплитуде) обрабатываются цифровыми фильтрами’). *) Цифровые фильтры рассматриваются в гл. 11. В дальнейшем будем иметь дело только с аналоговыми фильтрами и непрерывными системами.
12 1. Введение Аналоговые фильтры можно классифицировать как сосредото- ченные или распределенные в зависимости от частотного диапа- зона, для которого они проектируются1), и, наконец, как актив- ные и пассивные в зависимости от типа используемых при реа- лизации элементов. В более абстрактных выражениях фильтр — это система, ко- торая характеризуется набором пар функций типа вход-выход или возбуждение-отклик (рис. 1.1), где со у (/) = h (I — т) х (т) dx. о (1.D В выражении (1.1) предполагается, что рассматриваемый с од- ним входом и одним выходом аналоговый фильтр является Входной сигнал я cc(t) Система: аналоговый фильтр с импульсной характеристикой h(t) Выходной сигнал»y(t) Рис. 1.1. Фильтр — система с набором заданных характеристик типа вход выход. физически реализуемым, линейным, сосредоточенным и инва- риантным во времени, a h(t) — импульсная характеристика фильтра. Преобразование Лапласа уравнения (1.1) дает У($) = Я(а)Х($), (1.2) где У(«), Я($) и X(s) — соответственно преобразования Лапла- са функций y(t), h(f) и %(/). Здесь фильтр характеризуется функцией H(s) — передаточной функцией (или частотной ха- рактеристикой при s =/со) фильтра2). Поскольку или s или /со— комплексные переменные, то функция, Я (s) или Я (/со) яв- ляется комплексной величиной, т. е. функция H(ja) имеет ве- щественную часть Re [Я (/со)] и мнимую часть Im [Я (/со)] и Я (/со) = Re [Н (/со)] + / Im [Я (/со)]. (1.3) Используя экспоненциальную форму, можно записать Я (/со) = 1 Я (/со) | (1.4) ’) В этой книге рассматриваются исключительно сосредоточенные фильтры. а) Для гармонического анализа в установившемся режиме предполагается S »= /й).
1. Введение 13 где |//(/ш)| и ///(/со) обозначают соответственно модуль и фа- зовый угол опережения функции //(/со)1), а также IН (» р = {Re [Н (/со)]}2 + {Im [Н (/со)]}2 = Н (/со) Н (- >), (1.5) (t6) Re [Н (/со)] = | Н (/со) | cos ///(», (1.7) Im [// (/со)] = | Н (/со) | sin !Н №). (1.8) Следует отметить, что последнее равенство в уравнении (1.5) имеет силу, поскольку все коэффициенты функции H(s) пола- гаются вещественными числами. 1.1. Амплитудно-частотная характеристика Как было указано выше, основное назначение электрического фильтра — выделять и пропускать требуемый сигнал из смеси полезного и нежелательных сигналов. В случае радиоприемника поступающий на вход сигнал представляет собой сумму элек- трического шума и сигналов от всех радиостанций, включая и требуемую станцию. Настраивая радиоприемник на определен- ную частоту, мы отфильтровываем «все» сигналы от мешающих станций и пропускаем сигнал, переданный нужной станцией. Из-за присущих физически реализуемым системам ограничений мы никогда не сможем создать ни приемник, пропускающий одну определенную частоту сор и подавляющий все другие ча- стоты, ни передающую станцию, которая передает точно на частоте <ор. Следовательно, мы проектируем фильтр, который пропускает сигналы в интервале частот (coPi, <оР2), содержащем и частоту (ор, и подавляет все другие, где термины «пропуска- ние» и «подавление» используются скорее в относительном смысле, чем в абсолютном. Из соотношения (1.2) следует, что |Г(М)| = |//(/®)||Х(/«>)|, (1.9) /У (/«>) = ///(/«>) + /Х (/«>). (1.10) Выражение (1.9) показывает, что значение выходного сигнала представляет собой произведение величины входного сигнала на частотную характеристику фильтра. Это означает, что если амплитудно-частотная характеристика фильтра | Н(/<о) | равна нулю (или приблизительно равна нулю) для определенного ’) Применительно к фильтрам эти функции удобнее называть соответ- ственно амплитудно-частотной и фазочастотной характеристиками. Последнюю часто называют просто фазовой характеристикой. — Прим. ред.
14 1. Введение диапазона частот, скажем между и л и coS2, то выходной сигнал будет иметь нулевую величину (или приблизительно нулевую) при частоте входного сигнала в полосе частот ((osi, см). При этом диапазон частот (cc>si, см) называется полосой задержива- ния фильтра. Аналогично, если амплитудно-частотная характе- ристика |Я(/со) | больше или равна определенному, близкому к единице числу в диапазоне частот (copi, (оРг), то этот интервал частот (<вР1, (Орг) называется полосой пропускания фильтра1). Это название обусловлено тем, что если частота входного сиг- нала лежит в диапазоне частот (coPi, (орг), то выходной сигнал является усиленным или в худшем случае слегка ослабленным аналогом входного сигнала. Кроме того, определим переходную полосу как диапазон частот между полосой пропускания и по- лосой задерживания. Требования к амплитудно-частотной ха- рактеристике фильтра могут включать параметры полосы про- пускания, полосы задерживания, а также и переходной полосы. Исходя из соотношения (1.9), можно определить следующие основные типы частотно-избирательных фильтров: 1. Фильтр нижних частот — фильтр с полосой пропускания от 0 до некоторой частоты сор и полосой задерживания от неко- торой частоты (os до бесконечности, где сор < (os. 2. Фильтр верхних частот — фильтр с полосой пропускания от некоторой частоты сор до бесконечности и полосой задержива- ния от 0 до cos, где cos < сор. 3. Полосовой фильтр — фильтр с полосой пропускания от не- которой частоты (opi до другой частоты <ор2 и полосами задер- живания ОТ О ДО (Osl И ОТ (Os2 ДО ОО, ГДС (Osl < (Opl < (ОР2 < (0s2* 4. Заграждающий фильтр — фильтр с полосами пропускания от 0 до (opi и от соР2 до оо и полосой задерживания от (Osi до <0s2, где (Opl < (Osl < (Оз2 < (Ор2- 5. Всепропускающий фильтр — фильтр с единичной переда- чей для всех частот (т. е. с полосой пропускания от 0 до оо). Этот тип фильтра в основном используется для обеспечения фа- зовой коррекции и фазового сдвига. ' Характеристики этих пяти основных типов частотно-избира- тельных фильтров иллюстрируются на рис. 1.2. Конечно, име- ются фильтры, которые не принадлежат ни к одному из этих пяти типов. В большинстве же случаев требования к ампли- тудно-частотным характеристикам фильтров попадают в одну из этих категорий либо представляют собой комбинацию из этих пяти типов. Подходящим примером является фильтр с па- раметрами амплитудно-частотной характеристики (рис. 1.3, а). *) Здесь единица является нормированным относительно опорной вели- чины значением.
J, Введение 15 |Н(/ь>)| \ Нижних частот \ верхних частот WJoj)I | Пососовой [заграждающий j -J_____I——I_____—-Т „ ЫР, ^st ызг шРг | Всепропускающий | св Рис. 1 2. Пять основных типов частотно-избирательных фильтров. Этот фильтр можно рассматривать как комбинацию из фильтра нижних частот и четырех полосовых фильтров (рис. 1.3,6). Для иллюстрации некоторых применений этих типов филь- тров рассмотрим следующие два примера: 1. При передаче низкочастотного сигнала X0(i), типа рече- вого сообщения, на дальнее расстояние необходимо до пере- дачи промодулировать этим низкочастотным сигналом высоко-
16 1. Введение Рис. 1.3. Пример разложения фильтров.
/. Введение 17 частотную несущую. Имеется несколько методов модуляции сигнала. На рис. 1.4 приведена структурная схема двухполос- ной амплитудной модуляции. В приемнике переданный сигнал Xi(/) проходит через преобразователь частоты, где он умно- жается на сигнал модулированной частоты. Для восстановления исходного сигнала X0(t) выходной сигнал преобразователя ча- стоты X2(t) пропускается через фильтр нижних частот с поло- сой пропускания [0, coL] и полосой задерживания от (2cow — <о£) до бесконечности. Приемник Рис. 1.4. Структурная схема двухполосной амплитудной модуляции. 2. В дальней связи линейные несущие частоты многих сиг- налов передаются одновременно. Это достигается при использо- вании частотного разделения, т. е. каждый из низкочастотных входных сигналов переносится на различные центральные ча- стоты (рис. 1.5, а), где со,— центральная частота i-ro низкоча- стотного сигнала. На приемном конце переданный сигнал прохо- дит через набор параллельных полосовых фильтров соответ- ствующих приемников сообщений (рис. 1.5,6). Конечно, имеются случаи, которым эти пять основных типов фильтров не соответствуют. Подходящим характерным приме- ром является следующий. Рассмотрим трансатлантический подводный коаксиальный кабель длиной ~3200 км. Используемый частотный диапазон от 20 до 164 кГц1)- Эта полоса частот делится на 36 телефонных *) Для сокращения затрат в линии дальней связи желательно организо- вать максимальное число каналов. Однако потери сигнала увеличиваются с повышением его частоты, тем самым ограничивая возможное их число. По- этому, даже если частота сигнала со может принимать значения от 0 до °°, то для теле- и радиовещания выделяется ограниченная полоса частот (пред- ставляемая для каждой станции федеральной комиссией связи). Вне опреде- ленного частотного предела передача затруднена,
18 1. Введение t Низкочастотный сигнал 1 //изкмастоттыи сигнал п. б Рис. 1.5. Структурная схема частотного разделения. каналов, каждый с шириной полосы 4 кГц. Сигнал зату- хает из-за электрических потерь в кабеле. В самом высокоча- стотном канале потери в кабеле длиной -~3200 км составляют ~3200 дБ1), а в самом низкочастотном на том же самом рас- ’) Величина потерь (в дБ) А—20log |Я(/(о) | =—10 log |W(/w) |2. Ве- личина усиления (в дб) Д 20 log | И (До) | = 10 log ]й(/(о)|2.
1. Введение 19 стоянии 1100 дБ. Другими словами, если предположить, что уровень входного сигнала 1 В, то в конце 3200-км кабеля в наивысшем канале уровень напряжения составит 10-160 В, а в наинизшем канале 10-55 В. Очевидно, что необходимо усиле- ние. Поэтому через 65-км участки кабеля располагаются линей- ные усилители. Это означает, что каждый усилитель должен обеспечивать усиление 22 дБ для наинизшего канала и 64 дБ Коэффициент Uacmomtf Рис. 1.6. Пример амплитудно-частотной характеристики фильтра, которая ие является линейной комбинацией пяти основных типов характеристик частотно- избирательных фильтров. для наивысшего и среднее значение для промежуточных кана- лов. Каждый усилитель будет обладать формой частотной ха- рактеристики, подобной приведенной на рис. 1.6. 1.2. Характеристики фазочастотная и группового времени До сих пор рассматривалась только амплитудно-частотная характеристика, теперь же исследуем другую составную часть частотной характеристики фильтра, а именно ее фазочастотную характеристику (фазовый угол) ср (со) или, что эквивалентно, характеристику группового времени т(со), где1) Ф (со) А —/Я (/со), (1.11) т(о>)Д-^-ф(а>) = —(1-12) Для понимания физического смысла функций фазового угла или группового времени фильтра изучим следующие два случая. ') В основном под фазовым углом подразумевается фазовый угол запаз- дывания ф(со), а /называется фазовым углом опережения.
20 1. Введение Сначала рассмотрим фильтр с характеристикой вида #1(/®)=1 для — сос<со<ис ( = О ДЛЯ С0с < со < — (£>с, т. е. фильтр с нулевым фазовым углом и, следовательно, нуле- вым групповым временем для всех частот со. Его импульсная характеристика равна оо й1(/) = (1/2л) J //1(/со)е/“Ч<о = (1/2л) J ei^da = ~ас (1.14) = (1/«0 (1/2/) [ехр (/®е0 — ехр (— /®с/)] = = (1/л/) sin <&с1 = (сос/л) (sin 4//<V). Теперь рассмотрим второй фильтр, который характеризуется следующим соотношением: Я2(/«>) = 1ехр[—/(fcn<o/2«>c)] для — сос < со сос, (1.10) — О ДЛЯ С0с < СО < — С0с. Этот фильтр отличается от предыдущего именно фазовым углом в полосе пропускания, а его импульсная характеристика имеет вид Л2 (!) — (<йс/л) sin [®с/ — (^n/2)]/[®c/ — (Ал/2)]. (1.16) Из сравнения уравнений (1.14) и (1.16) следует, что последний фильтр имеет временную задержку (Ал)/(2®с) от предыдущего Рис. 1.7. Пример, иллюстрирующий влияние группового времени. (рис. 1.7). Следует отметить, что групповое время второго фильтра т (со) = (d/do>) (йл®/2®с) = (Ал/2®с) = Td (1.17) равно времени запаздывания его импульсной характеристики. Сравнение импульсных характеристик этих двух фильтров показывает, что существует прямое соотношение между группо- вым временем фильтра (или, что эквивалентно, фазовым углом
1. Введение 21 запаздывания) и временем запаздывания его импульсной ха- рактеристики. В действительности уравнение (1.17) верно для всех случаев. Далее, для большей определенности рассмотрим фильтр, ко- торый описывается следующей передаточной функцией: #(s) = JCe-s^. (1.18) Следовательно, характеристика группового времени фильтра равна т (со) = - (d/c/ffl) (- ®/0) = /0. (1.19) Если подать на этот фильтр входное возбуждение х(/) = «(/-Т0), (1.20) где и(0 — функция единичного скачка, то выходной сигнал y(t) будет определяться следующим образом: у (I) = Ки [/ - а0 + Го)]. (1.21) Это означает, что групповое время фильтра по существу равно /вых— tex, где tBx — время, при котором входной сигнал дости- гает своего установившегося значения, а /ВЫх — время установ- ления выходного режима. При использовании фильтров в системах радиолокации осо- бенно важно определить время прихода сигнала, поэтому фильтры, включенные в обработку отраженных сигналов, долж- ны обладать наиболее линейной фазочастотной характеристикой или, что эквивалентно, групповым временем, по возможности близким к постоянной величине. Отметим, что небольшие откло- нения фазочастотной характеристики от линейной внесут разно- образные искажения в импульсную характеристику и, следова- тельно, приведут к ошибкам в оценке времени прихода сиг- налов. Другая область, в которой находят применение фильтры с линейной фазой, — это обработка речи. Рассмотрим случай про- хождения речевого сигнала через фильтр с фазовой характери- стикой (рис. 1.8). В этом случае высокочастотные компоненты речевого сигнала пройдут через фильтр раньше низкочастот- ных и, следовательно, выходной сигнал будет сильно искажен- ным подобием входного. Очевидно, что такая ситуация нежела- тельна для многих применений обработки речевых сообщений. Хорошо известно, что аналоговые фильтры на сосредоточен- ных элементах не могут обеспечить совершенную линейную фа- зовую характеристику на всей оси со1). Следовательно, если *) Можно спроектировать цифровые фильтры с конечной импульсной ха- рактеристикой, обладающие линейной фазовой характеристикой для всех ча- стот.
22 1. Введение требуется фильтр с линейной фазовой характеристикой, то не- обходимо определить рабочий диапазон частот, а затем рассчи- Рис. 1.8. Пример, иллюстрирующий влияние фильтра с нелинейной фазочастот- ной характеристикой. тать фильтр, обладающий такой характеристикой в интересую- щей нас полосе частот. 1.3. Методика проектирования Описание фильтра полностью завершено, когда точно опре- делены его характеристики амплитудно-частотная и фазочастот- ная или группового времени. На практике для реализации фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям по обра- ботке сигнала, можно использовать методику расчета, подоб- ную методике, приведенной на рис. 1.9. Этап 1 (рис. 1.9) содержит технические характеристики тре- буемого фильтра. В него включаются требования к амплитуд- но-частотной характеристике в полосе пропускания и полосе задерживания, ширине переходной полосы, характеристике фа- зочастотной или группового времени, а также другие необходи- мые параметры, такие, как входное и выходное сопротивления, уровень сигнала, габариты, вес и стоимость. Этап 2 обусловли- вает задачу нахождения подходящей передаточной функции, ко- торая удовлетворяет предъявленным на этапе 1 требованиям. Выбор будет зависеть от рабочего частотного диапазона, чув- ствительности нулей и полюсов, уровней сопротивлений и т. д. Этап 3 связан со схемными реализациями передаточной функ- ции, полученной на этапе 2. Поскольку отсутствуют идеальные электрические элементы, необходимо исследовать допуски филь- тров, полученных на этапе 3, для определения их пригодности на практике, как указано в этапе 4. Если среди полученных на этапе 2 схем отсутствуют удовлетворительные, то необходимо возвратиться к этапу 2 либо следует снизить требования к ра- бочим характеристикам и таким образом пройти этап 4. Далее
1. Введение 23 Этап f Этап 2 ЭтапЭ Этап 4 ЭтаМ & Этап 7 Рис. 1.9. Методика проектирования. необходимо применить методику оптимизации по стоимости и рабочим характеристикам для нахождения из оставшихся после этапа 4 «лучшей» схемы, как показано на этапе 6. После этого можно конструировать и испытывать лабораторный образец в качестве прототипа для дальнейших исследований. В этой книге в основном рассматриваются задачи, введен- ные на этапах 2—4. ЛИТЕРАТУРА 1. Kuh Е. S., Pederson D. О., Principles of Circuit Synthesis, New York. McGraw-Hill, 1959. 2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., Krie- ger R. K, 1975.
1 24 1. Введение 3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs, N J. Prentice-Hall, Inc., 1970. 4. Temes G. C., Mitra S. K., Modern Filter Theory and Design, New York, Wi- ley-Interscience, 1973 [Имеется перевод: Современная теория фильтров и их проектирование. Пер. с англ./Под ред. Г. Темеша, С. Митра. — М.: Мир, 1977.] 5. Stover W. A. Circuit Design for Audio, AM/FM and TV, New York, McGraw- Hill, 1967. ЗАДАЧИ 1.1. Для каждой из следующих функций H(s) найти соответствующие Re[Z/(/co)], Im [Я (/«)], |Н(/со)|, /Н (/и), <р(<ю) и т(со). а) Н (s) = 1 s+ 1 ’ ж) И (з) Зз з2 + Зз + 3 ’ б) Н (з) = $ з+ 1 ’ з) Н (з) = з2 з2 + 3s + 3 ’ в) Н (s) = 1 и) Н (s) = 1 S2 + 3 + 1 s2 + -\/2 з -f- 1 М AZ — S И И - VT s S2 + S + 1 s2 + V2 s + 1 д) Я(з) = S2 л) Н (з)= S2 S2 + 3 + 1 s2 + V2 з + 1 е) Н (s) = 3 s2 + Зз + 3 ’ 1.2. Нарисовать амплитудно-частотные характеристики следующих функций //(з): а) Н (в) = 1 s+ 1 ’ г) Н (s) = $ З2 + s + 1 ’ б) Н (s) = S з+ 1 ’ д) Н (з) = S2 З2 + 3 + 1 • в) Н (s) = 1 З2 + 3 + 1 ’ 1.3. Нарисовать характеристики фазочастотную и группового времени сле- дующих функций H(s): а) 7/(з)=-1-; з+ 1 В) (з) “ з2 + 3s + 3 ’ г) #(з) = — ; s2 + V2 s + 1 д) ^^)-s2+;+-1- 1.4. Доказать справедливость следующих положений: a) Re [//(/со)] = Re [Н (- /со)]; б) Im [// (/со)] = - Im [// (- /со)]; в) |Я (/со) | = | Я (-/со) |; г) /77 (/со) = -///(-/со); Д) ср (со) = — ср (— со); е) т (со) = т (— со).
1. Введение 25 1.5. Для системы (рис. 1.4) найти соответствующий сигнал Xj(0, если ампли- тудно-частотная характеристика фильтра нижних частот задана на: а) рис. 3.1.5, а; б) рис. 3.1 5, б и в) рис. 3.1.5, б. 1ЖМ б Рис. 3.1.5. 1.6. Для схемы (рис. 3.1.6) найти установившиеся значения сигналов оД/) и МО, если a) vs(t) = cos 1030 б) vs(t) = cos 106f. Н s 10 кОм С=0,01мкФ i vf Рис. 3.1.6. я) Исходя из результатов, полученных в пп. а) и б), определить тип фильтра, заданный соотношениями Vi/Vs и VzIVs-
96 1. Введение 1.7. Для схемы (рис. 3.1.7) найти установившиеся значения сигналов Oi(/), Ог(0 и о3(/), если a) vs (/) = cos 100/; б) vs (t) = cos 105/; в) os (/) = cos 108/. г) Исходя из результатов, полученных в пп. а), б) и в), определить тип фильтра, заданного соотношениями Vi/Vs, Уг/V» и Уз/Vs. д) Найти передаточные функции H,(s) .A (VJVt), где i = 1, 2, 3. Рис. 3.1.7. е) Нарисовать амплитудно-частотные характеристики |Я|(/со) | для / == = 1, 2, 3. ж) Нарисовать фазочастотные характеристики <pi(w) функции Hi(s) для / — 1, 2, 3. 1.8. На рис. 3. 1.8 показаны частотные характеристики фильтра F. Найти уста- новившийся выходной сигнал y(i), если входной сигнал x(t) фильтра F имеет вид x(t) == cos 60/ + 10 cos 600/ + cos 3000/.
Элементная база Изображенный на рис. 2.1, а двухполюсник представляет такую пару зажимов, что подводимый к одному зажиму мгно- венный ток будет всегда равен мгновенному току, выходящему из другого зажима данного двухполюсника. Таким образом, а Рис. 2.1. а—двухполюсник; б—двухполюсник; в—четырехполюсник; г—элемент с тремя зажи- мами; б—рассмотрение элемента с тремя зажимами как четырехполюсника. »вх(0 = <вых(0 для всех значений t. Эти основополагающие обозначения двухполюсника и четырехполюсника приведены со- ответственно на рис. 2.1,6 и в. Следует отметить, что устройство с тремя зажимами можно рассматривать в виде четырехполюс- ника (рис. 2.1,г и 6), но не наоборот.
28 2. Элементная база 2.1. Математическое описание В этой книге рассматриваются исключительно линейные, сосредоточенные и инвариантные во времени элементы. Кроме того, предположим, что все двухполюсные и четырехполюсные устройства не содержат внутренних независимых источников, а все начальные условия — нулевые. Следовательно, двухполюс- ный элемент можно представить соотношением V = ZI, где Z Рис. 2.2. а—пример нерегулярного двухполюсника; б—пример нерегулярного четырехполюсника. называется полным сопротивлением двухполюсника, или соот- ношением / = YV, где Y называется его полной проводимо- стью1). Очевидно, что Y—l/Z, a Z=l/Y. В случае четырех- полюсника описание становится более сложным. Существует шесть основных математических описаний регулярных четырех- полюсников 2); а) Представление через матрицу полных сопротивлений [К 1 1 Г Z11 Z12 1 Г Л ”| ,, 71. ,п п „ = или V = ZI; (2.1) V 2 J L 2?21 г22 J L 12 J б) Представление через матрицу полных проводимостей или I = YV; (2.2) *) Имеются некоторые двухполюсные элементы, которые нельзя предста- вить соотношением V — ZI или I = YV. Например, такой элемент, как нул- латор, который изображен на рис. 2.2, а, характеризуется соотношениями V = 0 и I = 0. 2) Имеются вырожденные случаи, при которых четырехполюсник нельзя представить в виде матрицы 2X2, связанной с переменными на зажимах V;. V?, Ц и /2- Примером может служить четырехполюсник, содержащий два нул- латора (рнс. 2.2,6). Этот четырехполюсник характеризуется четырьмя уравне- ниями: И) = 0, V2 — 0, /1 = 0 и /2 = 0.
2. Элементная база 29 в) и г) Представления через смешанную матрицу (2.3) (2.4) д) И е) Представления через передаточную или цепную ма- трицы Очевидно, что Z = Y-1, Y = Z-1, Н = Н-1, H = H'*, С = С-1 и С = С-1. Четырехполюсник называется взаимным, если Z12 = Z21 или У12 = {/21- Все двухполюсники являются взаимными элементами по определению. Многополюсник, полученный на основе соеди- нения взаимных элементов, также взаимный. Для шестиполюсных устройств имеется большее разнообра- зие в математических описаниях. Поскольку здесь главным об- разом рассматриваются двухполюсные и четырехполюсные устройства, за исключением операционных усилителей (кото- рые, строго говоря, представляют собой шестиполюсные при- боры), задача представления шестиполюсных элементов не включается. 2.2. Элементы схем В связи с тем что рассматриваются только линейные, сосре- доточенные и инвариантные во времени элементы, созданные на основе соединения этих элементов, фильтры называются линейными, сосредоточенными и инвариантными во времени. (Для удобства при описании элемента или схемы определения «линейный», «сосредоточенный» и «инвариантный во времени» опускаются.) Эти элементы, используемые для построения та- кого типа фильтров, можно классифицировать двумя широкими категориями: основная элементная база и дополнительная эле- ментная база. Такая классификация основывается на том по- ложении, что каждый элемент категории дополнительной эле- ментной базы можно реализовать, соединяя элементы, принад-
30 2. Элементная база лежащие к категории основной элементной базы. Очевидно, что дополнительная элементная база не является основополагаю- щей; однако она полезна как концептуальный инструмент. 2.2.1. Основная элементная база К этой категории принадлежат: 1. Резисторы. Показанный на рис. 2.3, а резистор характери- зуется соотношением V = RI или I = GV, где G = 1/7?. 2. Конденсаторы. Показанный на рис. 2.3,6 конденсатор описывается соотношением I = sCV или V = (l/sC)7. Рис. 2.3. Основная элементная база. а—резистор; б—конденсатор; в — катушка индуктивности; а—операционный усилитель. 3. Катушки индуктивности. Катушка индуктивности (рис. 2.3,в) задается соотношением V = sLl или / = (1 /sL) V. 4. Операционные усилители (ОУ). На рис. 2.3,г показан операционный усилитель, который характеризуется: а) входным полным сопротивлением ZBx = °°, б) выходным полным сопро- тивлением /вых = 0, в) Квых = А (V2 — Vi) при А —оо, где V2 и Квых представляют собой соответственно напряжения меж- ду узлом 1 и землей, узлом 2 и землей и узлом 3 и землей. Это шестиполюсное устройство можно представить в следующем виде: 0 0 0 1 Г V1 о о 'о у2 (2.7) ’ /1 ‘ ^2 L^bhx-1 L-A A O-ILjBbIx J где А -> со. Обычно соединение ОУ с землей не изображается.
2. Элементная база 31 До того как перейти к дальнейшему рассмотрению, необхо- димо подчеркнуть, что эта основная элементная база содержит исключительно идеальные элементы; они являются изображе- нием на бумаге с помощью карандаша, а не реальными физи- ческими объектами. В общем случае электрические характери- стики реального физического элемента можно смоделировать с достаточной степенью точности на основе соединения этих идеальных элементов. Например, реальную катушку индуктив- ности в большинстве случаев можно точно смоделировать с по- мощью последовательного соединения идеального резистора и Рис. 2.4. Пример, иллюстрирующий применение принципа виртуального корот- кого замыкания. идеальной катушки индуктивности. В действительности рабочие характеристики многих элементов не отличаются значительно от их идеальных характеристик, особенно если они рассчитаны для функционирования в определенных для них рабочих пре- делах. Другой момент, который следует отметить, это то, что физический ОУ имеет характеристики, близкие к ранее опреде- ленным идеальным характеристикам при обеспечении должного смещения, фазовой коррекции и точной балансировки при усло- вии, что он работает в низко частотном диапазоне и при уровне его выходного напряжения ±Е В, где Е в основном составляет несколько вольт, которые зависят от источников питания. Для обеспечения некоторого сокращения в расчетах схем на ОУ заметим, что Л = /2 = 0, т. е. означает отсутствие тока через входные зажимы ОУ. Кроме того, применим принцип вир- туального короткого замыкания, который устанавливает сле- дующее. Принцип виртуального короткого замыкания1). Если вход- ные зажимы ОУ через узлы 1 и 2 не соединены непосредственно *) Принцип виртуального короткого замыкания имеет силу при предполо- жении, что ОУ работает в линейном режиме.
32 2. Элементная база с зажимами независимого или управляемого источника напря- жения, то Vi = V2. Для иллюстрации пользы этого принципа при вычислении проанализируем схему на рис. 2.4 двумя способами: с помощью принципа виртуального короткого замыкания и без него. Найдем теперь соотношение между УВЫх и Увх без примене- ния принципа виртуального короткого замыкания. Поскольку Ii = /2 = 0, узловое уравнение в узле 1 дает /л = /в- (2.8) Контурное уравнение по узлам 3413 устанавливает следующее: ^/в + /?л/л+^вых = 0. (2.9) Из другого контурного уравнения по узлам 414 получаем Vi + RaIa = V. (2.Ю) Кроме того, из характеристик ОУ следует, что ^ = 4(72-^) при Л->оо. (2.11) Для того чтобы найти соотношение между Увх = Vs и УВЫх, по- стараемся исключить все другие переменные в уравнениях (2.8) — (2.11). Уравнения (2.8) и (2.10) устанавливают, что /д = /в = -(У1//?а). (2.12) Подставляя соотношение (2.12) в уравнения (2.9) и (2.11), по- лучаем следующее выражение: D | п К.ых = -Ав -П = Л(У2-У1), (2.13) *А которое можно переписать в виде Z Р I р ч Д ARaB)Vi=AV2 ИЛИ Vl== А + [(/?л + RB)/RA] Vz' (2Л4) Подставляя выражение (2.14) в первую половину соотношения (2.13), получаем 17 'ВЫХ“ Поскольку А -* оо, Vb^[(Ra + Rb)/Ra]V2 или У.ыД.х = («л-Ш. (2-15) При использовании принципа виртуального короткого замыка- ния и проведении вычислений сначала видно, что эти вычисле- ния упрощаются: у, = v2=> — RAIA = Vbx или IA = - (VBX/RA). (2.16) а + [(*а + КВ)/*а])У2'
2. Элементная база 33 Контурное уравнение по узлам 3413 и узловое уравнение в узле 1 дают RbIb + RaIa + Vw = O, (2-17) Ia = Ib- (2-18) Используя соотношения (2.16) и (2.18), приведем уравнение (2.17) к виду Увых = ~ (Ra + RB) I а = [(/?Л + RbVRa] V„, (2.19) который является результатом, полученным в выражении (2.15) после многочисленных вычислений. Операционные усилители более подробно рассматриваются далее совместно с синтезом активных фильтров в гл. 10. 2.2.2. Дополнительная элементная база Поскольку технология интегральных схем постоянно совер- шенствуется, то в этой категории становится все больше и больше элементов. Ограничим наше исследование следующими восемью элементами. 1. Зависимые источники. а) Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) (рис. 2.5, а), характеризуется соотношением Ve = = kVA. Две реализации ИНУН приведены на рис. 2,5,6 и в. б) Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) (рис. 2.6, а), характеризуется соотношением 1в = §сУа- Две реа- лизации ИТУН приведены на рис. 2.6, б и в. На рис. 2.6, б по- казан конденсатор, который обычно используется для увеличе- ния скорости нарастания переходной характеристики. К тому же резисторы выбраны таким образом, что R\R$ — R2R4, и кро- ме других эффектов это дает высокое внутреннее полное сопро- тивление, и, следовательно, схема по функционированию будет наиболее близко приближаться к истинному источнику тока. Обычно для получения малых токов резисторы Ri и R2 выби- раются большими, тогда как резисторы R3 и Rt— малыми для уменьшения падения напряжения на них. в) Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) (рис. 2.7, а), характеризуется соотношением Vs = rd а- Из-за сложности измерения токов в ветвь, по которой протекает управляющий ток 1А, введено небольшое сопротивление для по- лучения падения напряжения Va (рис. 2.7,6). Тогда задача реализации ИНУТ сводится к задаче реализации ИНУН. г) Источник тока, управляемый током (ИТУТ) (рис. 2.8, а), характеризуется соотношением 1в = Ма. ИТУТ также реали- зуется подобно ИНУТ в приближенном виде (рис. 2.8,6). 2 Зак. ИЗО
34 2. Элементная б а:-а Рис 2 5 Источник напряжения, управляемый напряжением. а—условное обозначение ИНУН, Уд = £Уд; б—инвертирующий ИНУН, Ув = _(K2/^i)KAJ в —неинвертирующий ИНУН, Ув = [(Дд + Яв)/^д] Уд. Следует отметить, что все четыре типа зависимых источни- ков представляют собой невзаимные четырехполюсные элемен- ты. Обычно левая половина, или управляющая часть зависимого источника, подробно не показывается на графиках схем. 2. Гираторы. Изображенный на рис. 2.9, а гиратор пред- ставляет собой четырехполюсное устройство и характеризуется следующей матрицей полных проводимостей: Из соотношения (2.20) следует, что гиратор можно реализовать на основе двух ИНУТ (рис. 2.9,6). Реализация гиратора на основе ОУ при g\ — g% приведена на рис. 2.9, в. В большинстве случаев, представляющих практический интерес, имеем gi =* ~g2 = g, и изображение гиратора на рис. 2.9, а упрощается (рис. 2.9,г).
2. Элементная база 35 Рис. 2.6. Источник тока, управляемый напряжением. “-условное обозначение ИТУН, IB=gcVA- б—ИТУН с заземленной нагрузкой, R^ =^3^4' = в—ИТУН с незаземлеиной нагрузкой, /в = [(^2 + ^з)/^1^з]' Рис. 2.7. Источник напряжения, управляемый током. ^°гс1^А< Яд мало, 3*
36 2. Элементная база Рис. 2 8 Источник тока, управляемый током. gc=kll-A> “А мало- Для того чтобы показать, что на рис. 2.9, в изображен дей- ствительно гиратор, применим принцип виртуального короткого замыкания, который дает Ic = Vx/R. (2.21) Записывая контурные уравнения по контурам 32G3, 31(73, G543G, 6G346 и 6G56, получаем К£) = 2^/С = 2К1, (2.22) VD==-£/B+/1=>-/B==V1/tf, (2.23) - V2 - RId + VD = 0 => ID = (- V2 + 2VJ/R, (2.24) VB-Vp + 2IDR = 0=>VB + 2IDR = 2Vh (2.25) VE - V2 + Rip = 0. (2.26) Подстановка соотношений (2.24) и (2.26) в уравнение (2.25) дает V2 - RIP - 2V2 + 4V! = 2Vt => Ip = (27, - V2)/R. (2.27) Между узлами 1 и 5 имеем /д = (7,- V2)/R. (2.28) На основе соотношений (2.23), (2.27) и (2.28) Уравнения пер- вого закона Кирхгофа в узлах 1 и 5 дают /1 = Ia + IB = (Vi/R) - (У2/Я) - (V./R) == - (V2/R), (2.29) h = - I а + I г = ~ (W + (V2/Z?) + (27,//?) - (V.JR) = (у,//?). (2.30) Таким образом, соотношение описывает гиратор при g — —\/R.
2. Элементная база 37 Рис. 2.9. Гираторы. а —условное обозначение гиратора; В—гиратор, реализованный на двух ИТУН; в—гнра- тор, реализованный на ОУ при | gi 1=1 gn1 = 1//?; г—условное обозначение гиратора с активной проводимостью тирании g.
38 2. Элементная база ----------------------------X------------------------------- Z Рис. 2.10. Реализации катушек индуктивности комбинациями гиратор — кон- денсатор. а и б—искусственная заземленная катушка индуктивности; в и г—искусственная иеза- земленная катушка индуктивности. Одним из наиболее важных применений гираторов в области активных фильтров, как и в других областях, является реали- зация катушек индуктивности. Изображенная на рис. 2.10, а схема представляет собой схематическую реализацию катушки индуктивности. Вычисления проводятся на основе уравнения конденсатора'. I2 = — sCV2, (2.32) уравнений гиратора- l\ — gV2 п Iz = — gVi’ (2.33)
2. Элементная база 39 Комбинируя эти два уравнения, получаем соотношение - gV, = /2 = ~ sCV2 = — sC (1/g) Ц => ZBX = (VJK) = s (Cig* 2), (2.34) которое эквивалентно катушке индуктивности с индуктивностью C/g2T (рис. 2.10,6). Поскольку гираторы являются заземленными1), то схемой на рис. 2.10, а можно реализовывать исключительно заземлен- ные катушки индуктивности (т. е. один из зажимов такой ис- кусственной катушки индуктивности подсоединен к земле). Ти- пичная реализация незаземленной катушки индуктивности (т. е. оба зажима этой искусственной катушки индуктивности не соединены непосредственно с землей) приведена на рис. 2.10, в. Анализ осуществляется следующим образом: первое уравнение гиратора: Ix=gV и Ц = — gVb (2.35) где V=y1 = 72( второе уравнение гиратора: T2 = gV2 и I2 = — gV, (2.36) уравнение конденсатора: —Ц + (— /2) = sC]Z. (2.37) Первая половина соотношения (2.35) и вторая половина (2.36) в результате дают Л = -/2. (2.38) Подставляя соотношения (2.35) и (2.36) в уравнение ,(2:37), получаем - gV2 = sCV = sC (1/g) I^Vx-V2 = s (Cig2) Ц. (2.39) Совместно уравнения (2.38) и (2.39) описывают незаземленную катушку индуктивности с индуктивностью C/g2 Г (рис. 2.10, г). Реализация незаземленной катушки индуктивности .'(рис. 2.10, в) требует в целом применения четырех ОУ. Схемные-реа- лизации незаземленных катушек индуктивности с числом#' ОУ, меньшим четырех, приведены на рис. 2.11, а [3 ОУ] и рис. 2.11,6 и в [2 ОУ]2). 3. Конвертор отрицательного полного сопротивления (КОС). Изображенный на рис. 2.12, а КОС представляет собой *) Во всех существующих схемных реализациях четырехполюсных гирато- ров «нижние» зажимы обеих пар зажимов заземляются; соответствующий случай изображен на рис. 2 9, в. 2) См. [10, 11].
40 2. Элементная база Рис. 2.11. Реализации незаземленных катушек индуктивности, а—на трех ОУ; б и в—на двух ОУ.
2. Элементная база 41 Рис. 2.11. (Продолжение.) четырехполюсное устройство, точной матрицей1) г и11_ г1 L л J L о которое характеризуется переда- где k — положительное число. Простая реализация КОС на одном ОУ приведена на рис. 2.12,6. Для того чтобы показать, что изображенная на рис. 2.12,6 схема характеризуется соотношением (2.40), при- меним принцип виртуального короткого замыкания и получим VX = V2. (2.41) К тому же контурное уравнение по 31G23 дает - + v 1 - v2 + RbI2 = 0 =► Л = (Rb/Ra) 12. (2.42) Очевидно, что соотношения (2.41) и (2.42) можно привести к виду уравнения (2.40). Использование названия конвертор отрицательного полного сопротивления для обозначения приведенной на рис. 2.12, а схемы объясняется тем, что если подсоединить полное сопро- ‘) Если быть более точными, то соотношение (2.40) описывает конвертор отрицательного полного сопротивления по току, или КОСТ. Конвертор отри- цательного полного сопротивления по напряжению, или КОСН, характеризу- ется следующим образом: m=[-o“va
42 2. Элементная база тивление Z2 к паре зажимов 2 (рис. 2.12, в), то входное полное сопротивление Zi станет равно Zx = -(Z2lk). (2.43) Таким образом, входное полное сопротивление представляет собой отрицательное нагрузочное полное сопротивление, мас- штабированное с помощью постоянного множителя \/k. 6 Рис. 2 12. Конвертор отрицательного полного сопротивления. а—условное обозначение КОС; б—реализация КОС на одном операционном усилителе; в—пример, иллюстрирующий типовое применение КОС. 4. Обобщенный конвертор полного сопротивления (ОКС)1). Изображенный на рис. 2.13, а обобщенный конвертор полного сопротивления представляет собой четырехполюсное устройство, способное обеспечивать входное полное сопротивление со сто- роны одной из двух его пар зажимов в виде произведения пол- ного сопротивления, подключенного к его оставшейся паре за- жимов, на некоторые внутренние полные сопротивления. Он характеризуется цепной матрицей г V . 1 Г k О -1г к -. (2.44) *) В литературе он называется обобщенным конвертором полного сопро- тивления и проводимости, поскольку он применяется как для полных прово- димостей, так и для полных сопротивлений.
2. Элементная база 43 Ъ------* V, ока К а Рис. 2.13. Обобщенный конвертор полного сопротивления. Условное обозначение ОКС; б—схемная реализация OKG при А = 1 и ((s)=(ZiZt)/(Z3Zs); заземленная катушка индуктивности Г.
44 2. Элементная бала где f(s) называется функцией преобразования полного сопро- тивления, a k обычно нормировано к единице. Схемная реали- зация ОКС при fc = l и f(s) = Z2ZJZ3Z5 (2.45) приведена на рис. 2.13,6. В частном случае, если положить Z2 — R2, Z3 = R3, Z^-Ra и Z5=1/sC5, то четырехполюсник характеризуется следующим образом: Следует отметить, что если теперь подсоединить к паре зажи- мов 2 резистор Re (рис. 2.13,в), то получим функцию входного полного сопротивления ZBX Д (VJh) = (R2R.R3CM s. (2.47) Это означает, что результирующий двухполюсник эквивалентен заземленной катушке индуктивности в R2RiReCe/Ri Г. 5. Частотно-зависимое отрицательное сопротивление (ЧЗОС). ЧЗОС представляет собой двухполюсное устройство с полным сопротивлением, равным \/s2D, где D — положительное число и имеет размерность фарада в квадрате, или Ф2. Для установив- шихся синусоидальных режимов полное сопротивление ЧЗОС становится равным Z (/со) = — (l/co2D), (2.48) что эквивалентно резистору, отрицательное сопротивление кото- рого зависит от рабочей частоты. В этом заключается причина использования такого пространного названия. На рис. 2.14, а приведено условное схемное обозначение ЧЗОС. Схемную реализацию ЧЗОС можно получить, нагружая пару зажимов 1 КОС [соотношение (2.45)] конденсатором (рис. 2.14,6). Входное полное сопротивление результирующего двухполюсника равно Z^i/^iR^CfiJR3)]. (2.49) Известно, что катушки индуктивности крайне трудно изго- товить в виде интегральных схем. В настоящее время заземлен- ные катушки индуктивности можно проектировать на основе пар гиратор — конденсатор и при этом избежать многих проб- лем, но незаземленные катушки индуктивности при активной реализации (т. е. на основе гираторов, ОУ и КОС) получаются крайне нестабильными, чувствительными и непригодными для практического применения. Один из способов исключения из
2. Элементная база 45 1 + К =®фг а Рис. 2.14. Частотно-зависимое отрицательное сопротивление, а—условное обозначение ЧЗОС; 6—схемная реализация ЧЗОС. схем катушек индуктивности представляет собой технический прием переменного масштабирования полного сопротивления с помощью масштабного множителя 1/s. Этот метод определяется как следующий: задана передаточная функция в виде отноше- ния напряжений или токов; затем проектируем схему на RLC~ элементах, удовлетворяющую требуемой передаточной функции. Далее каждая катушка индуктивности в L Г заменяется на резистор в L Ом [т. е. ее полное сопротивление в ветви масшта- бируется от sL до (l/s)sZ. = L]; каждый резистор в 7? Ом заменяется на конденсатор в 1/7? Ф [т. е. его полное сопротив- ление в ветви масштабируется от 7? до (l/s)7?J; и каждый кон- денсатор в С Ф заменяется на ЧЗОС с полным сопротивле- нием l/(s2C) [т. е. его полное сопротивление в. ветви масш- табируется от 1/sC до (1/s) (1/sC)]. После завершения этого процесса получается новая схема без катушек индуктивности. Кроме того, как исходная схема, так и схема, полученная на основе переменного частотного масштабирования, обладают одной и той же передаточной функцией по напряжению или току.
46 2. Элементная база 6. Сумматор. Сумматор представляет собой многовходовый прибор, выходной сигнал которого состоит из алгебраически взвешенной суммы его входных сигналов. Схема простого сум- матора приведена на рис. 2.15; все обозначенные напряжения в узлах являются заданными. Рис. 2.15. Схема сумматора. пт г» где и *=]><>• 1-1 1=1 1=1 1=1 Для того чтобы показать, что на рис. 2.15 изображена схема сумматора, запишем уравнения первого закона Кирхгофа в уз- лах 1 и 2, а для контура 3G213 — уравнение второго закона Кирхгофа следующим образом: О, Д V -у V k fe=l * *=1 Л У»Ых-У + ^=о. При подстановке п т g=Y (1/rJ И G=E(1/7?a) fe=i ь-t (2.50) (2.51) (2.52) (2.53)
2. Элементная база 47 можно записать соотношения (2.51) и (2.50) в виде п г п 2 (ВД = Z (W = gv => V = Z (Ek/grk), (2.54) Ы A=1 fe=-l mm m Z (VM = I + Z <VIRk) = I + GV => I = z WM-GV. (2.55) fc=i fc=i fc-i Подставляя соотношение (2.54) в уравнение (2.55), получаем m п I = 2 Ш - Z (Qlgrk) Ek. (2.56) k=i k=\ Наконец, используя соотношения сать уравнение (2.52) в виде " Е fe=l к (2.54) и (2.56), можно запи- Рис. 2.16. Схема сумматора. Е“ E^Vt- (2.57) Если на рис. 2.15 Еп = 0 (т. е. если резистор гп подсоединен к земле, что является обычным в этом случае), то <2-“> А-1 k k=\ где G и g задаются, как и ранее, в уравнении (2.53). Конкретно схема на рис. 2.16 дает ^вых = - (Rf/Ri) Vt - (Rf/R2) V2 + [(1 + GRf)/gri] Elt где (2.59) g = (l/ri) + (l/r2) и G = (l//?1) + (l/7?2). (2.60) 7. Интегратор. Схемная реализация интегратора на ОУ при- ведена на рис. 2.17, где Увых = -(1ЛС/?) квх. (2.61)
48 2 Элементная база Если RC — 1, то соотношение инвертирующий интегратор. Увых = —(1/s) описывает тор. Рис. 2 18. Инвертирующий дифферен- циатор. 8. Дифференциатор. Схемная реализация дифференциатора на ОУ приведена на рис. 2.18, где ^вых = — sCRVBX. (2.62) Если RC — 1, то соотношение УВЫх = —sVBX описывает инвер- тирующий дифференциатор. ЛИТЕРАТУРА 1 Desoer С. A., Kuh Е. S.. Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill, 1969 2 . Graeme J. G., Tobey G. E , Huelsman L. P., Operational Amplifiers, Design and Application, New York, McGraw-Hill, 1971. [Имеется перевод: ГрэмД., Тоби Д, Хыолсмаи Л., Проектирование н применение операционных уси- лителей.— М.: Мир, 1974.] 3 Smith J. I, Modern Operational Circuit Design, New York, Wiley-Intersci- ence, 1971. 4 Wait J V., Huelsman L. P., Korn G. A., Introduction to Operational Ampli- fier Theory and Application, New York, McGraw-Hill, 1975. 5 Roberge J K., Operational Amplifiers, Theory and Practice, New York, Wi- ley, 1975. 6 Stout D. F., Kaufman M., Handbook of Operational Amplifier Circuit De- sign, New York, McGraw-Hill, 1976 7 Su K. L., Active Network Synthesis, New York, McGraw-Hill, 1965. 8 . Mitra S. K., Analysis and Synthesis of Linear Active Networks, New York, Wiley, 1968 9 . Mitra S. K., Active Inductorless Filters, New York, IEEE Press, 1971. 10 Deboo G J , Application of a Gyrator Type Circuit to Realize Ungrounded Inductors, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-14, 101-2 (May 1967). 11 The L. Q, Yanagisawa T, Some New Lossless Floating Inductance Cir- cuits, Proc. IEEE, 65, 1071-2 (1977).
2. Элементная база 49 ЗАДАЧИ 2.1. Эквивалентная схема полевого транзистора для малых сигналов приве- дена на рис. 3.2 1, где rgs = 10й Ом gis = 10~s мСм и гЛ, — 300 кОм. Выразить через матрицы полных проводимостей, полных сопротивлений и смешанную матрицу эквивалентную схему полевою транзистора для малых сигналов. 5 8 Рис. 3.2.1. 2.2. Эквивалентная схема транзистора для малых сигналЬв показана на рис. 3.2.2, где Сс = 200 пФ, Се — 20 пФ, гв = 25 Ом, г» = 120 Ом, гс — 1,25 мОм и а = 0,98. Выразить через матрицы полных проводимо- стей, полных сопротивлений и смешанную матрицу эквивалентную схему транзистора. Рис. 3.2.2. 2.3. а) Выразить через матрицы полных проводимостей и полных сопротив- лений симметричную мостовую четырехполюсную цепь N (рис. 3 2.3). б) Если к паре зажимов 2 цепи N подсоединено нагрузочное полное сопротивление Zl, найти входную функцию полного сопротивления „ ^bx(s). ‘•4- Рассмотреть изображенную на рис. 3.2 4 схему, где четырехполюсная цепь Vi описана матрицей полных сопротивлений вида V) = 1 + Zij/j. Уг — Z21A + 222^2. Найти входную функцию полного сопротивления Z(s). ‘•5. Рассмотреть схему (рис. 3 2.5), где четырехполюсная цепь Nz обладает следующей матрицей полных проводимостей: = 1/ltVl + У12 Vz> 1г — {/21^1 + УггУг- Найти входную функцию полной проводимости У(а).
50 2. Элементная база 2 6, Четырехполюсная цепь N на рис. 3. 2.6, а задана передаточной матрицей Рис. 3.2 4. Рис. 3 2 5. 2.7. Найти передаточную матрицу приведенной на рис. 3.2.7 схемы. 2.8 а) Найти передаточную матрицу схемы, показанной на рис. 3.2 8 б) Найти передаточную функцию H(s) = V2/Vi 2.9. Найти передаточную функцию трех схем, изображенных на рис. 3.2.9 2.10. Найти передаточные функции трех схем, изображенных на рис. 3.2.10 2.11. Выразить через смешанную матрицу (рис. 3.2.11) четырехполюсную цепь
2. Элементная база 51 Рис. 3.2 6, а. VSux б Рис. 3.2.6, б, в. 6 Рис. 3.2.7. Рис. 3,2,3»
a Рис. 3.2.10,a, б. Рис. 3.2.10, в.
2. Элементная база 53 2.12 а) Проверить, что на рис. 2 5, б показан инвертирующий ИНУН. б) Проверить, что на рис. 2 5, в показан неинвертирующий ИНУН. в) Схема рис. 3 2.12 представляет собой неинвертирующий ИНУН, где входное напряжение не обязательно подсоединено к земле. Найти уси- ление по напряжению этой схемы. 2.13. а) Показать, что схема на рис. 2.6, б представляет собой ИТУН с зазем- ленной нагрузкой. б) Показать, что схема иа рис. 2.6, в представляет собой ИТУН с неза- земленной нагрузкой Zl. 2.14. Показать, что схемы на рис. 2.11 представляют собой незаземлеиные катушки индуктивности. 2.15. а) Показать, что схема иа рис. 2.13,6 характеризуется смешанной мат- рицей, заданной соотношениями (2.44) и (2.45).
54 2. Элементная база б) Показать, что двухполюсная схема на рис. 2.13, в эквивалентна за- земленной катушке индуктивности. 2.16. Показать, что двухполюсная схема на рис. 3.2.16 эквивалентна катушке индуктивности. Рис. 3.2.17. 2.17. Показать, что двухполюсная схема на рис. 3.2 17 эквивалентна заземлен- ной катушке индуктивности. 2.18. Показать, что двухполюсные схемы на а) рис. 2.14, б) рис. 3.2 18, Я и в) рис. 3.2.18, б представляют собой заземленные ЧЗОСы. 2.19. Показать, что схема на рис. 3.2.19 представляет собой неивертирующпй интегратор.
2. Элементная база 55 Рис. 3.2.18,6
56 2. Элементная база 2.20. Рассмотреть схему на рис. 3.2 20. а) Найти передаточную функцию H(s)= УВЫх/РВх. б) Если RiCi = RC, показать, что эта схема является неннвертирующим интегратором. Рис. 3.2.19. Рис. 3.2.20. 2.21. Найти передаточные функции Рвых/Рвх Двух схем на рис. 3.2.21. 2.22. Найти передаточные функции Рвых/Рвх двух схем на рис. 3.2 22. Следует отметить, что эти схемы реализуют фильтр Баттерворта нижних частот второго порядка 2.23. Рассмотреть две схемы на рис 3.2.23, где схема б получается масштаби- рованием полного сопротивления каждого элемента в схеме а с по- Мощью масштабного множителя 1/s.
2. Элементная база 57 а) Найти передаточные функции W(s)= Рвых/Рвх и fl(s) = Рвых/Р, б) Найти входные функции полного сопротивления Z(s) и Z(s), Рис. 3.2 22. 2-24. Используя сумматоры, интеграторы н дифференциаторы, спроектировать схемы, подобные схеме на рис. 3. 2.24, которые дают а) Ивых = 2V, + Va- V»-, г) 7ВЬП = V, + sV2 + Г2; ®) ^вых = — V\ — 37а — Va; д) Рвых = + у Иг + ЗУi4-4sVi+5sV2. в) Vвых = ~l^i — ЗИг + дИз; $
58 2. Элементная база Рис. 3.2.23. Рис. 3.2.24. °v&* 5 2.25. Рассчитать схемы для имитации следующих дифференциальных урав- нений: »>+2 4t-+2»-’('>+4г t в) + 3(/ (/) + у (т) dx = х (0, где у (/) — выходной, а х (<) — вход- о ной сигналы.
Свойства функций цепи Функция цепи представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики и задается в виде отношения двух полиномов комплексной частоты s. До того как рассматривать свойства функций цепи, проведем обзор некоторых свойств по- линомов комплексной переменной s. 3.1. Полиномы комплексной переменной Полином p(s) называется четным, если он представляет со- бой сумму членов с четными степенями, и нечетным, если сте- пени нечетные. Например, полиномы pi(s) и p2(s) четные, в то время как полиномы p3(s) и p4(s) нечетные, когда Pi (s) = as6 + bs2 + с p3{s) = f^ + gs3 + hs Pi (s) = ds20 + e р^ (s) = ks7 + Is3 a a, b, c, d, e, f, g, ft, ft, I — постоянные числа. Следует отме- тить, что если M(s)— четный, a N (s)— нечетный полиномы1), то (3.1) ЛГ(з)-=-ЛГ(-а). (3.2) Рассмотрим полином р($) общего вида, заданный следующим соотношением: р ($) = а0 + + a2s2 + + a4s4 + a5s5 + .... Его всегда можно записать в виде суммы четного и нечетного полиномов р (s) = (а0 + a2s2 + + ...) + + (ajs + a3s3 + a5s5 + ...)&M (s) + JV (s), (3.3) где M (s) Д a0 + fys2 + a4s4 + ..., a N (s) Ap^s + a3s3 + a5s5 + ... называются соответственно четной и нечетной частями поли- нома p(s). Исходя из соотношений (3.1) и (3.2), получаем р (- а) = М (- а) + АГ (- s) = М (s) - АГ (s). (3.4) *) В этой главе, так же как и в гл. 4—8, M(s) п N(s) с индексом или без него обозначают соответственно четный и нечетный полином или рацио- нальную функцию.
60 3. Свойства функций цепи В этой книге коэффициенты всех рассматриваемых полино- мов являются вещественными числами. При этом введенном условии полиномы комплексной переменной з обладают сле- дующими свойствами 1. Если p(s)~ полином переменной, s, то p(s) = p(s), где а обозначает величину, комплексно-сопряженную с а На- пример, если р (s) = a^s2 ф- ais -ф а0. то p(.s) = ais2 -ф a,s -ф i = = a2s2 4- fljS -ф a0 = p (s). 2. Если M (s) — четный полином, то из соотношений (3.1) и (3.5) получаем М (/со) = Л/(7©) = М (— jar) = М (/со), (3 6) где первое и последнее равенства в уравнении получаются соответственно из соотношений (3.5) и (3.1). Из уравнения (3.6) следует, что полином веществен для всех значений частоты и. 3. Если #(з)—нечетный полином, то из соотношений (3.2) и (3.5) получаем #(/<») == /у (/®) = N(— ]<о) = (3.7) Таким образом, полином N(ja) имеет чисто мнимое значение и его можно выразить следующим образом: #(/<a) = /#(®), (3.8) где Х(ю) — вещественная функция вещественной переменной со. 4. Если Sk — корень полинома p(s), т. е. Р (з*) = М (sk) + N (sft) = 0, где Л1(з) и N(s) — соответственно четная и нечетная части полинома р(з), то (—з*) является корнем полинома р(—з) = = M(s)— #(з). Очевидно, что так же справедливо и обратное утверждение. Следовательно, имеем: Лемма 3.1. s* является корнем полинома [Л4(з)-ф#(3)1, если и только если (—з*) — корень полинома [Л4(з)— #(з)], где М (з) и N(з) — соответственно четный и нечетный по- линомы. 5. Квадрат модуля полинома p(s) = M(s) -ф #(з), где М(з) и N(s) — соответственно его четная и нечетная части, задается следующим соотношением: I Р О) Р = Р (s) Р (- s) ls_/M = {[Л! (s) -ф N (з)] [М (з) - N (s)]} |s_/a ~ (ЛР (з) - #2 (з)1 = М2 (» - № (J®). (3.9)
3. Свойства функций цепи 61 Поскольку М (/со)— вещественная, а AZ(/oj)— чисто мнимая ве- личина, то Л42(/со) и ДО2 (/со) имеют вещественные значения и М2(/со)>=0, а №(/со) 0 для всех частот со. Вследствие этого I р (/о) I2 О для всех со. . (3.10) Кроме того, можно показать, что |р(/со)|2 является полиномом переменной со2 или, что эквивалентно, |р(/со)|2— четный поли- Im[s] X -- X О С-ПЛОСНОСГПЬ 1--Г I I Ф-1 I > Reis] Рис. 3.1. Квадрантная симметрия корней функции Их) Д p(s)p(—s). X счетверенные комплексные корни; О пары вещественных корней; <8> сопряженные пары корней на мнимой оси четных кратностей. ном вещественной переменной со. Например, если p(s)=s2 + + л/2s + 1, то M(s) — s2+l и N{s) — '\/2 s, AI2(s)-^(s) = s4 + 2s2+1-2s2 = s4+1, |p(/»)P = [s4+l]LJW=l+®4. 6. Корни полинома f (s) Д [p (s) p (— s)] = Af2 (s) — N- (s) встре- чаются с квадрантной симметрией, которая означает сле- дующее: а) корни на вещественной оси s-плоскости встречаются па- рами в точках Oi и (—oi); б) корни на мнимой осп s-плоскости встречаются комплекс- но-сопряженными парами четной кратности [т. е. если /со] — корень полинома f(s), то как /<й], так и (—/coi) являются его
62 3. Свойства функций цепи двойными, или счетверенными, или 2/1-кратными ..., кор- нями] и в) комплексные корни встречаются в счетверенном виде [т. е. если щ +/«и— корень полинома р(з)р(—s), где oi #= О и (01=7^0, то oi — /'a»i, —(oi + /ап) и —(oi — /a>i) также яв- ляются его корнями]. Это свойство расположения корней полинома р(з)р(—«) ил- люстрируется на рис. 3.1. Свойства квадрантной симметрии в расположении полюсов полинома р(з)р(—«) можно доказать, используя лемму 3.1. Простой подходящий случай^ задается следующим соотноше- нием: p(s) = (s2+l)(s2+V2 « +l)(s+1). В этом случае по- лучаем, что p(s)p(—s) == (s2 + l)2(s44~ 1) (—s2+l). Таким об- разом, корни полинома p(s)p(—s) равны Sj = 1, S2 — — 1, S3 = S4 = j, S5 = Sg = j, s7 = (1/7D + / (1/yp, s8=(1/VF) - / (1/V2-), S9=_(i/7T) + /(i/72) и s10 = — (1/V2-) -/(1/VF). 3.2. Функция цепи Пусть F(s)— функция цепи, которая может быть входной функцией полного сопротивления или проводимости двухполюс- ника или передаточной функцией между входным и выходным зажимами четырехполюсника. Тогда F(s) представляет собой рациональную функцию переменной s с вещественными коэф- фициентами и может быть записана в виде отношения двух полиномов следующим образом: F (s) = A (s)/B (s) = Е а^/Е biS1 = = [М, (s) + N, (з)]/[ И2 (з) + У2 (s)]> (3.11) где A(s) и B(s) являются соответственно полиномами числи- теля и знаменателя функции ^(s); A4i(s) и Ni(s) — соответ- ственно четная и нечетная полинома Л(з); a M2(s) и N2(s) — четная и нечетная части полинома B(s). Умножая уравнение (3.11) на В(—s)/B(—s'), получаем р (s) — А в ~ — U B(s)B(-s) M2(s) — N%(s) _ Мг (s) М2 (s) - JV, (s) J\T2 (s) . Лг, (s) М2 (s) - N2 (s) Mt (s). ,g j2 M2 («) ~ A j (л) M2 (s) - A] (s)
3. Свойства функций цепи 63 Заметим, что первый член в выражении (3.12) является чет- .ной функцией М (s) Д [М1 (s) М2 (s) - У, (s) N2 (s)]/[A12* 2 * * * * (s) - Nl (s)] = = [Af, (- s) (- s) - (- s) N2 (- s)]/[M2 (- s) - V22 (- s)] = = M(—s), (3.13) а второй член — нечетной функцией N (s) А [У1 (s) M2 (s) - N2 (s) Afi (s)]/[M2 (s) - Nl (s)] = = [- M (- s) M2 (- s) + N2 (- s) M! (- s)]/|X (- «) ~ N22 (- s)]= = —JV(—s). (3.14) Впредь M(s) и N (s) будут соответственно называться четной и нечетной частями рациональной функции F(s), заданной уравнением (3.11). При подстановке s =/со из уравнений (3.13) и (3.14) следует, что ЛУ(/со)— вещественная, а Af(/co)— чисто мнимая величины. Поэтому М (ja) = Re [У7 (/со)] и У (/со) = /1т [У7 (/со)]. (3.15) Уравнение (3.15) устанавливает, что по заданной вещественной (мнимой) части функции F(s) можно найти ее четную (нечет- ную) часть и наоборот. 3.2.1. Преобразование Гильберта Соотношение между вещественной и мнимой частями функ- ции цепи (которая описывает физически реализуемую систему) может быть выражено через преобразование Гильберта, как показано в дальнейшем. Предположим, что функция цепи F(s) является аналитиче- ской в замкнутой правой половине1) (включая и мнимую ось) s-плоскости2). Запишем следующее соотношение: F(j(o) = R(a) + jX(.a), (3.16) где У? (со) и X (со) — соответственно вещественная и мнимая части функции F(/со). Если lim ^(/со) = R (оо) = конечной вещественной константе, (3.17) )->оо *) В последующем символ ПП используется для обозначения правой, а ЛП — для обозначения левой половины s-плоскости 2) Поскольку F(s)—рациональная функция, то фраза «F(s)—является 'алитической в замкнутой правой половине s-плоскости» означает, что она не имеет полюсов в правой половине s-плоскости, т. е. F(s)=£ оо для всех зна- чений s. Для применяемого здесь преобразования Гильберта достаточно по- требовать, чтобы рациональная функция 77(s) не содержала полюсов в правой половине s-плоскости и все ее полюсы, расположенные на мнимой оси, были простыми.
64 3. Свойства функций цепи то У? (со) и Х(со) связываются соотношениями вида1) 00 х (о) = - (1/п) J [/? (£)/(<» - £)] </£, (3.18) — оо оо /?(®) = (1/я) J [ЛГ (□/(<»-g)]dg+/?(oo). (3.19) — 00 Следует отметить, что между соотношениями (3.18) и (3.19) отсутствует симметрия. Это отсутствие симметрии следует из того факта, что рассматриваются только функции цепи, преоб- разования Лапласа которых являются вещественными времен- ными функциями. Если рассмотреть комплексные временные функции, то появится член Х(оо) в правой половине уравнения (3.18) и два уравнения, а именно (3.18) и (3.19), будут сим- метричны. С другой стороны, если импульсная характеристика /(/), которая представляет собой обратное преобразование Лап- ласа функции F(s) не содержит импульсной функции в точке t — 0, то /?(оо) = 0 и уравнение (3.19) упрощается и имеет сле- дующий вид2): сю R (со) = (1/л) J [X («/(со - g)] dt. (3.19') — оо На основе преобразования Гильберта, если удовлетворяются определенные условия (для физически реализуемых, устойчи- вых схем эти требуемые условия выполняются), то 1. Если задана мнимая часть Х(со), то можно получить ве- щественную часть /?(со) с помощью уравнения (3.19). На основе У? (со) и Х(со) можно сформировать функцию F(/co). Из свойства аналитической непрерывности [т. е. при замене со на s/j] получаем функцию F(s). 2. Если задана вещественная часть /?(со), то из уравнения (3.18) получаем Х(со), и на их основе можно снова сформиро- вать функцию F(/co). При подстановке со — s/j получаем F(s). Пример 3.1. Задана вещественная часть /?(со)в виде /?(со) = а/(а2 -|- со2). Найти соответствующую функцию цепи F(s) Решение. Мнимая часть X (со) из уравнения (3 18) определяется следую- щим образом: ОО X (со) = —- (1/л) J ]а/(а2 + £2) (со - £)) = - [со/(а2 + со2)]. — ОО *) Имеется много других эквивалентных выражений для преобразований Гильберта. См. [4]. 2) В последующем положим, что /?(оо)=0, и вместо ссылки на уравне- ния (3.19) или (3.19') будем давать ссылку только на уравнение (3.19).
3. Свойства функций цепи 65 Следовательно, F (ja>) = R (и) + jX (со) = (а — /со)/(а2 + ®2) = (а — /со)/[а2 — (/со)2] = 1/(<х +/со) и, таким образом, F(s) = l/(s + а). Заметим, что в основном оценка интегралов в соотношениях (3.18) и (3.19) затруднительна и часто требуется обращение к таблицам интегралов или к области математики, которая на- зывается комбинаторикой. Если теперь более подробно рассмотреть соотношения (3.18) и (3.19), то видно, что оба интеграла представляются в виде интеграла свертки со f(®)= $ г(ОА(®-О^Дя(®)*А(®), (3.20) — 00 где h(a)Д± 1/(лсо), а g(<n)— это либо /?(со) в соотношении (3.18), либо Х(со) в соотношении (3.19). Некоторое сокращение затрат при оценке соотношений (3.18) и (3.19) можно полу- чить, если использовать полезные свойства интегралов свертки. Вот некоторые из них: 1. Преобразование Лапласа функции /(со) задается в виде произведения преобразований Лапласа g(co) и h(со). Следует отметить, что в соотношениях (3.18) и (3.19) преобразования Лапласа в действительности будут производиться над функ- циями переменной со, а не над обычными временными функ- циями. 2. Уравнения (3.20) можно также записать в следующем виде: СО f(co)= \g(<»-$h®dl = gW*h(<»). (3.21) “00 3. f (со) = g (со) * h (со) = [/г-я производная от g(co)]*[fe-ft интеграл от А (со)] (3.22) = [й-й интеграл от £(ш)]*[&-я производная от h (со)]. (О Г ° 1 4. f (со') с/со' = g (со') с/со' * h (со) = — оо L—qq J = g (®) * J h (co') c/co' . (3.23) — oo -I 5- iH®) = [i g («>)] * h (®) = g (®) * [A.h (e>)]. (3 24) 3 Зак. 1130
66 5. Свойства функций цепи Было показано, что преобразование Гильберта можно ис- пользовать для нахождения вещественной части функции цепи, если задана ее мнимая часть, и наоборот. Следует отметить, что преобразование Гильберта представляет собой просто на- бор соотношений между вещественной и мнимой частями ком- плексной функции, которая является аналитической в правой половине s-плоскости. Если записать F (До) == е~“ (и) = g-[“ (®)+/фfail, (3.25) то в этом соотношении логарифмическую функцию а (св) А,— — In | F (До) | называют затуханием или функцией потерь, а <р (со) А —/Г (До)— фазой (или, более точно, фазовой за- держкой) фильтра. Логарифмируя выражения (3.25), полу- чаем у (/м)= — In F (/со) = — In е~[а (“)+/ф<“)1 = а (со) + /ср (а). (3.26) Заметим, что если функция y(s) является аналитической на правой половине s-плоскости, то а (со) и ср (со), которые яв- ляются вещественной и мнимой частями функции у (/со), бу- дут связаны между собой уравнениями преобразования Гиль- берта следующим образом: ОО <р (со) = - (1/л) J [a (g)/(co - £)] d£, (3.27) — ОО оо а (со) = (1/л) J [ф (£)/(со - £)] dg. (3.28) Пример 3.2. Фазовая характеристика требуемого фильтра задана в сле- дующем виде: <р (а) = — (/гл/2) для а С — сос = (/гл/2) (а/ас) для - а^а а£ (3.29) = (/гл/2) для в) в>с и показана на рис. 3.2, а. Найти соответствующее затухание, или функцию по- терь а (а) этого фильтра. Решение. Поскольку т(а) Adq>(a)/da (рис. 3.2, б) имеет более простую форму, чем <р(а), то, применяя свойство (3.24) к уравнению (3.28), получаем ОО da(a)/da = (l/n) J {[d<₽ (g)/dg]/(a - g)} dg. (3.30) — ОО Следовательно, “с da (а) 1 с kn 1 k а — а„ — —— \ --------------------= in ---------------—£_ . (3.31) da л J 2а. а — g 2а„ а 4- а. с с с
3. Свойства функций цепи 67 Интегрирование уравнения (3.31) дает (3.32) Идеально постоянное групповое время (рис. 3.2,6) в ин- тервале частот [—<ос, cod представляет значительный интерес Рис. 3.2. а—фильтр с линейной фазой; б—фильтр с постоянным групповым временем. при проектировании фильтров. Следовательно, соответствую- щая ему функция затухания при условии минимальной фазы') имеет большое практическое значение. Однако трудно оценить поведение функции в соотношении (3.22), за исключением край- них областей, а именно: 1. При со (Ос, применяя разложение уравнения (3.22) в ряд Тейлора, находим, что* 2 *) а(со)~(Л/2) [со/а>с]2. 2. При (0->оо, т. е. при а» (Ос, аппроксимация дает а (и) ~ (k/2) In [ro/(oj2 + (k/2) (®/wc) № + ®c)l ~ (k/2) In [co/coc]2 + k = k In | (o/(oc | -|- k. График функции a((o) изображен на рис. 3.3. Для того чтобы применить преобразование Гильберта к фазе и модулю функции цепи, было предъявлено требование аналитичности функции у (со) в правой половине s-плоскости. ’) Понятие минимальности фазы вводится в этой главе позже. 2) Заметим, что 1п(1-|-х) х при |х| <С 1. 3*
68 3. Свойства функций цепи Таким образом, требуется аналитичность не только функции F(s) в правой половине s-плоскости, но также и обратной ей функции 1/F(s). Поскольку у(«) = —lnF(s) = lnl/F(s) и если y(s)—аналитическая функция, то следует, что —y(s) = = In F(s). Следовательно, для применения соотношений (3.27) и (3.28) необходимо иметь уверенность в аналитичности функ- ций F(s) и 1/F(s) в правой половине «-плоскости, что в свою аМ Рис. 3.3. Функция затухания фильтра с постоянным групповым временем очередь означает отсутствие нуля или полюса функции F(s) в правой половине «-плоскости1). Такая функция называется минимально-фазовой. Причина введения понятия минимальности фазы состоит в том, что если имеются две функции цепи F(s) и F(s) с оди- наковыми модулями, т. е. 1) |F(»| = |?(/co)| для всех частот со, таких, что 2) F(s) имеет один или более нулей в правой половине «-плоскости, а 3) F(s) не содержит нуля в правой половине «-плоскости, то ф (со) ср (со) для всех со О, где ф (со) А,— /Г (/со), а ср (со) А — /F (/со)— соответственно фазы функций F(s) и F(s). Другими словами, функция цепи F(s), не обладающая нулем в правой половине «-плоскости, будет иметь меньший фазовый угол по сравнению с той функцией цепи F(s), которая содержит один или более нулей в правой по- ловине «-плоскости. Наиболее простые фильтры описываются минимально-фазо- выми функциями, даже если устойчивость системы не ограни- чивает расположение нулей функции цепи. В противном случае потребовались бы взаимные соединения, многократные пути 4) Точка называется нулем {полюсом} функции цепи F(s), если 7* 7(z4)=0 {F(pk) = оо). Из этого определения следует, что нуль {полюс} мо- жет быть или корнем полинома числителя {знаменателя} функции F(s), или точкой на бесконечности [т. е. г* = оо {р* = оо}] при степени полинома чис- лителя меньшей {большей} степени полинома знаменателя.
3. Свойства функций цепи 69 передачи между входным и выходным сигналами фильтра или их комбинациями. Всего этого желательно избежать на прак- тике, поскольку это приводит к увеличению сложности и чув- ствительности результирующей схемы фильтра. В примерах 3.1 и 3.2 было показано, что оценка интегралов в преобразованиях Гильберта в основном крайне затрудни- тельна. Значение преобразования Гильберта состоит в том, что оно используется скорее для объяснения, чем для расчета. На основе преобразования Гильберта: если определены веществен- ная или четная части {мнимая или нечетная части}, которые удовлетворяют определенным требованиям обработки сигнала, то соответствующий фильтр полностью описан. Аналогично, если известны или фаза, или модуль минимально-фазовой функ- ции фильтра, которые вычислены вдоль мнимой оси s-плоско- сти, то такой фильтр полностью охарактеризован. Другими словами, фильтр можно спроектировать для обеспечения тре- бований либо к фазе, либо к модулю, а не к обоим сразу. В этом смысле преобразование Гильберта устанавливает тео- ретические ограничения рабочих характеристик фильтра. 3.2.2. Четная и нечетная части Преобразование Гильберта дает средства для построения всей функции F(s) по заданной ее вещественной либо мнимой частям, которые определены вдоль мнимой оси s-плоскости, если обеспечена аналитичность функции F(s) в правой поло- вине s-плоскости. Если, кроме того, F(s) представляет собой минимально-фазовую функцию, то из преобразования Гиль- берта следует, что можно определить функцию F(s), если из- вестны ее модуль, фаза или групповое время. Однако трудно- сти, связанные с оценкой соответствующих интегралов Гиль- берта, приводят к тому, что преобразование Гильберта практически почти не используется. В этом разделе описы- ваются альтернативные методы построения функции цепи по заданным ее вещественной (четной) или мнимой (нечетной) частям. Другой случай, касающийся модуля и фазы, рассмат- ривается в следующем разделе. Напомним, что функцию цепи F(s) можно записать следую- щим образом: m п F (s)=A (s)/B (s)= Е atsl £ Ь^=[Мг (s)+^ (s)]/[M2 (s)+N2 (s)]= i-0 ' i=0 = M(s) + tf(s), где (3.33) M (s) = [Mi (s) M2 (s) - Nt (s) N2 (s)]/[M22 (s) - N22 (s)] и (3.34) N (s) = [Ni (s) M2 (s) - N2 (s) M, (s)]/[Mi (s) - Nl (s)]. (3.35)
70 3. Свойства функций цепи Положим, что четная часть M(s) функции цепи F(s) задана в виде *) M(s) = C(s)/D(s). (3.36) Без потери общности можно допустить, что D(s) является чет- ным полиномом с корнями квадратной симметрии* 2). Тогда D (s) = М2г (s) - Nl (s) = [М2 (s) + N2 (s)] [M2 (s) - W2 (s)] = = [M2 (s) + N2 (s)] [M2(- s) + tf2(- «)] = В (s) В (- s). (3.3 7) Следовательно, можно использовать мнимую ось s-плоскости в качестве границы раздела, т. е. полюсы из левой или из пра- вой половины приписываются полиному В (s'), а оставшаяся половина — полиному В(—s)3). Говоря математически, нет приоритета, по которому половина корней должна приписы- ваться полиному B(s). Однако как инженерам нам предпочти- тельнее работать с устойчивыми функциями цепи (которые не содержат полюсы в правой половине s-плоскости). Вследствие этого полюсы полинома D(s) из левой половины s-плоскости приписываются полиному B(s), а полюсы из правой половины будут автоматически принадлежать полиному В(—s). Таким образом, знаменатель D(s) заданной четной части M(s) был использован для нахождения знаменателя требуемой функции цепи F(s). Если известен полином B(s) = M2(s)-\- N2(s), то для со- здания функции F(s) допускается полином числителя m A(s) = У, а(81 с набором неизвестных коэффициентов а,, 1-0 ’) Если задана вещественная часть 7?(<о) функци F(s), то из соотноше- ния (3.15) можно сформировать M(s) следующим образом: М(s) = R(s/j). 2) Если корни заданного полинома D(s) не обладают квадрантной сим- метрией, то можно домножить полиномы C(s) и D(s) заданной четной части M(s) на полином k(s) таким образом, что результирующий знаменатель D (s) k (s) D (s) будет обладать корнями с квадрантной симметрией. В этом случае рассмотрим заданную функцию в виде M(s) = [C(s)/D(s)]^.k(s)CX X(s)M(s)O(s)- Простой (но необязательно лучший) выбор полинома k(s) осуществляется по условию ^(s) А. Д (— s). 3) Если мнимая ось s-плоскости выбрана в качестве линии раздела, то что произойдет с корнями на мнимой оси? Поскольку все корни на мнимой оси, скажем, в точке s& полинома D(s) должны встречаться с четной кратностью, например 21, можно приписать I корней в точке Sk полиному B(s), а оставшиеся I корней — полиному В(—s). Таким образом, корни полинома D(s) на мнимой оси делятся так, что поло- вина переходит в B(s), а другая половина в В(—s). В дальнейшем множи- тели левой половины будут включать половину корней на мнимой оси, так же как и множители правой половины.
3. Свойства функций цепи 71 i = О, 1, 2, ..., т, а именно m F (s) = Г а^/[М2 (s) + N2 (s)]. (3.38) i=O Из сравнения числителя четной части в выражении (3.38) и C(s)— числителя заданной функции M(s) получаем систему уравнений с (/п+1) неизвестными (включающими коэффи- циенты а,)1). Решение этой системы будет давать значения этих требуемых коэффициентов а(. Следовательно, функция F(s) полностью определена. Пример 3.3. Построить функцию F(s) по заданной четной части Л4(/а>) вида М (/ш) = <в2/(ш8 + 1). (3.39) Решение. Поскольку М (/со) = ш2/(ш8 + 1) = — (/ш)2/[— (/ш)’ + 1], получаем М (s) = - s2/(— s’ + 1) Д С (s)/D (s). (3.40) Следовательно, В (s) В (—s) = М22 (s') - N2 (s') = - s6 * + 1 = = (- s + 1) (s2 - s + 1) (s + 1) (s2 + s + 1). (3.41) Корни полинома D(s) в левой половине з-плоскости дают следующие сомно- жители: (з + 1) и (з2 + з + 1). Таким образом, В (з) = Мг (з) + N2 (з) = (з + 1) (з2 + з + 1) = з3 * * + 2з2 + 2з + 1, (3.42а) М2 (з) = 2з2 + 1, (3.426) Ni (з) = з3 + 2s. (3.42в) Из соотношений (3 34) и (3 40) числитель четной части функции F(s) равен Af, (з) Мг (з) - Nt (s) N3 (з) = - з2 А С (з). (3.43) Для M2(s) и Ni(s), заданных уравнением (3.42), можно выбрать Afi(s) и Ni(s) в виде полиномов соответственно второй и первой степеней2). Следо- ‘) Заметим, что система уравнений, являющаяся результатом этой про- цедуры, может содержать т + 1 уравнений или меньше в зависимости от ситуации. В любом случае, однако, существует по крайней мере один набор коэффициентов а,, который удовлетворяет этой упомянутой выше системе Уравнений. 2) При заданных условиях (3 42) существует много способов выбора по- линома А (з), который будет удовлетворять уравнению (3.43). В этом случае наиболее просто выбрать в качестве A (s) полином второй степени. Однако можно также предположить, что A (s) представляет собой полином степени п, где п — положительное четное целое число. Основным правилом при выборе является следующее: общий полином в левой части уравнения (3.43) должен иметь степень по крайней мере того Же порядка, что и степень полинома С(з).
3 Свойства функций цепи вательно, можно положить, что 2 Л(з) = У “^г = а0+ 0^ + a2s2 = Ml (s) + А\ (s). (3.44) i=o Таким образом, Afi(s) = <zo + ^s2, a Nl(s)=aiS. Вследствие этого из урав- нения (3.43) получаем (a2s2 + a0) (2s2 + 1) — (ais) (s3 4- 2s) = —s2, что в свою очередь означает следующее: (2^2 — щ) а4 (2ао + а2 — 2я,) з2 4" Uq = — з2. (3.45) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обоих частях урав- нения (3.45), получаем следующую систему, уравнений: а0 = 0 2ао а2 — 2a j = — 1 (3.46) 2ог — ai = 0. Решение системы уравнений (3.46) равно a0 = O, ai=2/3 и а2=1/3. (3.47) Таким образом, F (з) = [(2/3) з 4- (1/3) з2]/(з3 4- 2з2 4- 2з 4- 1). Если теперь задана нечетная часть ДГ($) функции цепи F(s), то при использовании соотношения (3.35) вместо (3.34) можно построить устойчивую функцию F(s) способом, подоб- ным предыдущему случаю, когда задана функция M(s). Те- перь можно сформулировать следующую процедуру построения: Процедура построения 3.1. 0. Пусть заданная функция будет нечетной {четной} частью /У($){/И($)} функции F(s), т. е. N(s) {M(s)} = C(s)/D(s), где предполагается, что полином D(s) обладает корнями с квад- рантной симметрией. 1. Найти корни M%(s) — Nl(s) путем перемножения самого полинома D(s). 2. Множители, определяемые корнями полинома D(s) в ле- вой половине s-плоскости, приписываются полиному В (s) = = A42(s)4- Nzfs). Перемножая вместе все эти сомножители, п получаем B(s)=^A;s;. Следовательно, определены M2(s) i“0 и /V2(s), которые являются соответственно четной и нечетной частями полинома B(s). m 3. Положим, что A (s) = У, аг$\ где сами коэффициенты ai 1=0 в этот момент — неизвестные величины. Сформировать Afi(s) и AMs), основываясь на этом введенном полиноме A(s). Заме- тим, что степень m определяется из сравнения полинома C(s), т. е. заданного числителя функции АГ (s) {Л4 (s)} и числителя в соотношении (3.35) {(3.34)}.
3. Свойства функций цепи 73 4. Сформировать полином \N\(s)M2(s)— N2 (s) М i (s) ] X X {[Mi(s)M2(s) — MfsJAMs)]}. Приравнять этот результирую- щий полином к полиному Cfs). Это приведет к системе из k уравнений с (тп-|-1) неизвестными, где 1 m + 1. Эти неизвестные представляют собой коэффициенты полинома A (s). 5. Решить систему уравнений, полученных на этапе 4, для щ, i = 0, 1, 2, ..., пг, и затем сформировать функцию f(s) = = 4(s)/B(s). Пример 3.4. Задана нечетная часть N (s) функции F(s) в виде Д' (/го) = — 7<о/(1 + со6). (3.48) Найти требуемую функцию цепи F(s). Решение Из уравнения (3.48) получаем N (s) = - s/(l - s') Л С (s)/O (s). (3.49) Таким образом, М% (s) — N22 (s) = 1 — s6 = D (s) и (3.50) Ni (s) M2 (s) - N2 (s) Af, (s) = - s = C (s). (3.51) Дальнейшие вычисления осуществим, следуя в соответствии с этапами, ука- занными в процедуре построения 3.1: 1. 1 _ se = (_ s + 1) (S2 _ з + !) (s + !) (s2 + s + 1), (3.52а) 2. В (s) = (s + 1) (ss + s + 1) = s3 + 2s2 + 2s + 1, (3.526) М2 (s) = 2s2 + 1, N2 (s) = s3 + 2s. (3.52b) 3. Для определения наименьшей степени полинома 4(s) рассмотрим уравнение в числителе нечетной части IVi (s) М2 (s) - N2 (s) М! (s) =. - s. (3.53) Поскольку M2(s) является полиномом второй степени, а полином N2(s) — третьей, то наиболее простой выбор заключается в следующем: положить степень полинома IVi(s) равной 1, а степень полинома Mi(s) равной нулю. [Другой наиболее простой выбор — предположить, что A (s) представляет со- бой полином третьей степени.] Если выбрать наиболее простой путь и поло- жить полином Д(з) равным A (s) — ats + а0, то (3.54а) М, (s) = а0, (3.546) IVi (s) = ats. (3.54в) 4. Подстановка уравнений (3.52) и (3.54) в соотношение (3.53) дает (<ца) (2s2 + 1) — (s3 + 2s) (а0) = — s или (2ai — а0) s3 + (cti — 2а0) s = — s. (3.55) Приравнивая коэффициенты в обеих частях уравнения (3.55), получаем си- стему из двух уравнений с двумя неизвестными следующего вида: 2а1 — ао = О 01 — 2ао = — 1. (3.56) 5. Решая систему (3.56), получаем Оо = 2/3 и ai=il/3. (3.57)
74 3. Свойства функций цепи Следовательно, 4(a) = (1/3) (а+ 2) и F (а) = (1/3) (а+ 2) _______________________ а3 + 2а2 + 2з + 1 За3 + 6а2 + 6а + 3 ' (3.58) (3.59) а + 2 3.2.3. Фаза и модуль Процедура построения, приведенная в предыдущем разделе, дает метод получения функции F(s) по заданным ее четной или нечетной части. В этом смысле она аналогична преобразо- ванию Гильберта, где имеют дело с вещественной и мнимой частями функции F(s). Поскольку преобразование Гильберта устанавливает также, что если заданы или фазовый угол, или функция потерь [доказав, конечно, что F(s)—минимально-фа- зовая функция], то сама функция F(s) полностью определена, и естественным является вопрос: задав фазу или модуль, можно создать единственным образом минимально-фазовую функцию цепи F(s), не обращаясь к интегралам Гильберта? Ответы на обе части этого вопроса являются утвердительными. Однако процедуры построения для этих двух задач совершенно различны. Найдем их решения поодиночке. Рассмотрим функцию цепи (3.33) — (3.35). С помощью соот- ношения (3.15), получаем <р (<о) — arctg Re (/ю)] — arctg -м — = -arctg . N№\Mv /Лт А (3.60) 6 у [Aft (уш) М2 (уш) — Ni (уш) N2 (уш)] = ' ' A — arctg •= ь Уфе («) ls=ym где фоШВДО)- AT2(s)Mi(s) и (3.61) Фе («) А (s) М2 (s) - AG (s) N2 (s). (3.62) Следует отметить, что фо(а) представляет собой нечетный по- лином, а фе($) — четный полином. Если сложить вместе ф0(а) и фе(а), то получим фо («) + Фе (s) = Mt (s) М2 (s) + Ni (s') M2 (s) — Ni (s) N2 (s) — - N2 (s) Mi (s) = [M! (a) + Ni (s)] [M2 (s) - N2 (s)] = A (s) В (- s). (3.63) Уравнение (3.63) является основным при построении функции F(s). Если предположить, что F(s) представляет собой мини- мально-фазовую функцию, то все ее нули и полюсы будут располагаться в левой половине s-плоскости. Таким образом:
3. Свойства функций цепи 75 1. Все корни полинома Л(«) будут располагаться в левой половине «-плоскости. 2. Все корни полинома B(s) будут располагаться в левой половине «-плоскости. Из леммы 3.1 следует, что все корни полинома В (—«) будут располагаться в правой половине «-плоскости. Следовательно, уравнение (3.63) описывает следующую про- цедуру построения функции F(s) [при условии, что F(s) яв- ляется минимально-фазовой функцией]: Процедура построения 3.2 1. Пусть р («) А Фо («) + фе («). Заметим, что раз задана ф(со), ТО МОЖНО получить функции ф0(«) и фе(«). 2. Разложить на множители р(«) или, что эквивалентно, расположить корни полинома p(s). 3. Множители, определяемые корнями полинома р(«) в ле- вой половине «-плоскости, приписываются полиному А(«), а множители, определяемые правой половиной s-плоскости полинома р(«), приписываются полиному В(—«). 4. Найти полином B(s) с помощью простой замены s на (—«) в выражении для В(—«), найденном на этапе 3. 5. Сформировать функцию F(s) = A (s)/В («). Эта процедура приведет к единственной минимально-фазо- вой функции цепи F(s). Если не разделять множители, как ре- комендовано в этапе 3, то некоторые корни полинома р(«) в правой половине «-плоскости будут принадлежать полиному А(«), и, следовательно, функция Г(«) уже не будет мини- мально-фазовой и процедура построения не будет приводить к единственной функции Г(«). Пример 3.5. Построить функцию F(s) на основе следующей фазовой ха- рактеристики: <р (<в) = — arctg [(— ш5 + 5ш3 — 2ш)/(2ш4 — <о2 + 5)]. (3.64) Решение. При подстановке ш = s/j получаем , , , — (/го)’ —5(/ш)’ —2/ш <р(Ш)_ arctg Н2 (/Ш)4 + (/<о)2 + 5] “ , — з5 — 5з3 — 2з [ Фо (s) I arctg j [2s4 + s2 + 5] arctg i<fe (s) Таким образом, ф0(з) =—s’ — 5s3 — 2s, a фе(з) = 2s4 + s2 + 5. Дальнейшие вычисления проведем согласно методике, приведенной в процедуре построе- ния 3.2. 1. р (s) = ф0 (з) + фе (s) = — з5 + 2з4 — 5з3 + з2 — 2з + 5. 2. р (з) = (- з + 1) (з2 + з + 1) (з2 - 2з + 5). 3. Положим, что з2 + з + 1 используется в качестве полинома А(з), а (—s + 1) (s2— 2s-f-5)—в качестве полинома В(—з). Таким образом, А (з) — з2 + з + 1, В (— s)-(-s+l) (з2-2з+5).
76 3. Свойства функций цепи 4. Следовательно, В (s) = (s + 1) (s2 + 2s + 5) = s3 + 3s2 + 7s + 5. 5. F (s) = (s2 + s + l)/(s3 + 3s2 + 7s + 5). (3.65) Перед тем как перейти к описанию процедуры построения минимально-фазовой функции цепи F (s') по заданному ее мо- дулю |Г(/со)|, рассмотрим важное свойство функции |Г(/со)|. Поскольку коэффициенты рациональной функции F(s) пред- ставляют собой вещественные числа, получаем IF (» Р = F (/со) FWj = F (/со) F (- /со) = F (s) F (- а) Ь./(В. (3.66) Если функция F(s) задана соотношением (3.33), то можно записать (3-67) Это означает, что и полюсы, и нули функции | F (/со) р = —F(s)F(— s) встречаются с квадрантной симметрией. Следова- тельно, уравнение (3.67) дает ключ к построению минимально- фазовой функции цепи F(s). Задав функцию |/*’(/©) |, можно получить следующую про- цедуру построения функции F(s): Процедура построения 3.3. Сформировать функцию | F (/со) р А , (3.68) где C(s) и D(s)— соответственно числитель и знаменатель функции | F (/со) р b.g/j. Из соотношения (3.67) очевидно, что C(s) = 4(s)X(-s), (3.69) D(s) = B(s)B(-s), (3.70) 2. Разложить на множители C(s). Приписать множители, определяемые нулями левой половины s-плоскости, поли- ному А (s). 3. Разложить на множители D(s). Приписать множители, определяемые полюсами левой половины s-плоскости, поли- ному B(s). 4. Сформировать минимально-фазовую функцию цепи F(s) = A(s)/B(s), где 4(s) и B(s) получены соответственно на этапах 2 и 3. Пример 3.6. Задана функция | У7 (/а) |2 = (4 + со2)/(1 + со3). (3.71) Найти минимально-фазовую функцию цепи F(s).
3. Свойства функций цепи Решение. Следуя этапам, указанным в процедуре построения 3.3, полу* чаем I I в t • \ 12 । 4 — s2 С (s) *' I F G®) I — j _ А > C(s)=4-s2 и £>(s) = l —s’. 2. C(s) = (2 + s) (2 — s)=>A (s)=24-& 3. D (s) = (s + 1) (s2 + s + 1) (1 - s) (s2 - s 4- 1), В (s) = (s + 1) (s2 + s + 1). 4. F(s) = 4(s)/B(3) = (s + 2)/(s+l)(32 + s+1). (3.72) Заметим, что, как устанавливает преобразование Гильберта, если заданы нечетная или четная часть функции F(s), можно найти функцию F(s) при условии, что она является аналити- ческой в правой половине s-плоскости [все полюсы функции F(s) находятся в замкнутой левой половине «-плоскости, а по- люсы на мнимой оси являются простыми]. Если, однако, за- даны или модуль, или фаза функции Е(«), то можно построить единственную функцию Е(«) только для минимально-фазовой функции F(s) [все нули и полюсы функции F(s) должны встре- чаться в замкнутой левой половине «-плоскости, а полюсы и нули на мнимой оси являются простыми]. ЛИТЕРАТУРА 1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., Krie- ger R E„ 1975. 2. Humphreys D S, The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs. N. Y, Prentice-Hall, Inc., 1970. 3. Leon B. J., Wintz P. A. Basic Linear Networks for Electrical and Electronics Engineers, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1970 4. Papoulis A., The Fourier Integral and Its Applications, New York, McGraw- Hill, 1962. ЗАДАЧИ 3.1, Найти четные части, нечетные части и квадраты модулей следующих полиномов: а) р (з) = з2 + 2s + 2; б) р (s) = s3 + Зз + 2; в) р (s) = 4s4 + Зз8 + 2s2 -Ь з + 2; г) Р (s) = s’ + 0,5s8 4- s; д) Р (s) = 6s’ 4- л/2 s2 4- s. 3-2. Найтн четные и нечетные части следующих рациональных функций: a) f (s) = l/(s 4-1) б) f (s) = 2s/(s 4-1); в) f (s) = s/(s2 4- 2s 4- 2)- 0 f (s) = l/(s2 4- 2S 4- 2); д) / (s) = s2/(s2 4-2s 4-2); e) f (s) = (s 4- 1 )/(s2 4- 2s 4- 2); Ж) f (s) = (s2 4- l)/(s2 4- 2s 4- 2); a) (Gs) = (s24-s4- l)/(s24-2s4-2); и) f (s) = s/(s24- 1); к) f (s) = (s2 4- l)/(s8 4- 3s).
78 3. Свойства функций цепи 3.3. Известно, что корни полинома f(s) = s4 + as2 + b встречаются с квад- рантной симметрией. Следовательно, полином /(з) можно представить в следующем виде: f(s)=p(s)p(—s), где p(s)—полином второго по- рядка. Показать, что полином p(s) равен p(s) = s2 + aoS + bo, где bo = '/b и a0 = V2bo — a., а а» и bo — вещественные числа. 3.4 Найти корни следующих полиномов; a)f(s) = s4+l; e)f(s) = s6—1; б) f (s) = s4 - 2s2 +1; ж) f (s) = з« + з4 + 7s2 - 9; в) f (s) = s4 + 9s2 + 25; з) f (s) =se - 3s4 + 3s2 - 1; r) f (s) = s4 + 5s2 + 9; и) f (з) = se — Зз4 — Зз2 — 4; д) f (з) = s4 - Юз2 + 9; к) Hs) = s8 — 734 + 21s2-36; л) f (s) = s’ — 2з4 + з2 — 36; Примечание: s = —1 является корнем в пп. е), ж) и з); s = —2 явля- ется корнем в пп. и), к) и л). Корни встречаются с квадрантной сим- метрией 3.5. Для каждой вещественной части 7? (а), приведенной далее, найти соот- ветствующую ей рациональную функцию F(з), такую, что /?(©) — = Re [F (/а)]. а) « (“) = г) * ((В) = а~^№~ - „ ,..ч - Ш4 + З©2 + 6 Ж) ©в + 2<о4 + ш2 + 36 • 3.6. Для каждой мнимой части Х(а), приведенной далее, найти соответ- ствующую ей рациональную функциюF(s), такую, что Х(ш) = Im [£(/©)]• o') У — а3 -+- © M X (({Л З©3 — ш ш4 — ш2 + 1 ’ г; л. — а® + Зш4 + з©2 + ! ’ б) X (©) = — 2©3 + © тИ X (аЛ — — Зш3 — © ©4 — ©2 + 1 ’ ©« + 2а4 + ©2 + 36 ’ X («Л - — ©а е) Х(©) = 2© — а3 ©4 — З©2 + 4 ’ 1 +©« ' 3.7. Задана нечетная часть Л^(з) функции цепи F(s) в следующем виде: JV(s) = (2s3 + 22s)/(s4 + s2 + 25). а) Найти функцию F(s) такую, что F(oo)= 1. 6) Найти функцию F(s) такую, что F(0)= 1. Если невозможно найти такую функцию F(s), то обосновать причины.
3. Свойства функций цепи 79 3.8. Для каждой из следующих фазовых функций <р(<£>) найти соответствую- щие им минимально-фазовые функции. в) ф (а) = - arctg 4 —и?-; г) ф (а) = - arctg _ 3ц)Г; . 2а3 — а . . . , —Зю3 — а б) Ф (а) = - arctg -j-pp; д) ф (а) = - arctg _ ю< , , . , 2а — а3 в) ф (а) --arctg _ , + 2g)2 ; 3-9. Для каждого модуля, приведенного далее, найти соответствующую ему минимально-фазовую функцию. _ч 1 u ,„ <0* — 5а3 + 9 а) I Н (/“) I — ш1 + 10ш2 + 9 ! 1 -L «г б)1я^)|2=^=да + 9 = а4 — 9а3 + 25 в) 1 Н (/а) | шб+зш4_зш2+4 • , . „ ,. . а4 + 10а3 + 9 г) I Н (/а) | — ffie + 7ш< + 21а3 + 36 ’ 1 +®6 = а6 + 2а4 + а3 + 36 ’ а4 + 2а3 + 1 а8—5а6+11а4—11а2+4‘ Д) I Н (jay) |3 е) | Н (jay) |3 3.10. Написать программу для ЭВМ, которая реализует: а) процедуру по- • строения 3.1; б) процедуру построения 3.2; в) процедуру построения 3.3.
Положительные вещественные функции и пассивность Пусть цепь т]—двухполюсник, не содержащий внутренних независимых источников. Положим, что все начальные усло- вия— нулевые, тогда т) можно характеризовать либо уравне- нием /(s) = У(з)V(s), либо уравнением V(s) — Z(s)/(s), где /(s) и V(s) — соответственно преобразования Лапласа для втекающего тока и напряжения на двухполюснике. Их назы- вают соответственно входными функциями полной проводимо- сти и сопротивления. В основе большинства способов синтеза цепей из элементов, имеющих только положительные значения параметров (резисторы, катушки индуктивности и конденса- торы1)), лежит концепция положительных вещественных функ- ций. Бруне [1] доказал, что любая входная функция двухпо- люсника, содержащего только пассивные элементы, положи- тельна и вещественна. Напротив, любая положительная вещественная функция может быть реализована как входная функция цепи, содержащей только пассивные элементы, такие, как положительные RLC-элементы, идеальные трансформаторы и обмотки связи, обладающие симметричными и положительно- определенными матрицами полных сопротивлений2). Функция F(s) называется положительной вещественной (ПВ), если она удовлетворяет следующим двум условиям: 1. F(s) вещественна при вещественном $. 2. Re[F(s)]^0 всегда, когда Re[s] 0. Выполнение первого условия легко проверяется, так как оно просто требует, чтобы все коэффициенты F(s) были веществен- ными. Второе условие означает, что комплексная функция F(-) преобразует правую половину и мнимую ось плоскости $ в пра- вую половину и мнимую ось плоскости F (рис. 4.1). Получив эти основные сведения, рассмотрим теперь основы синтеза пассивных схем. Теорема 4.1. Пусть цепь г]— двухполюсник, содержащий только пассивные элементы. Тогда его входные функции пол- *) Далее, если не оговорено обратное, повсеместно подразумевается, что все сопротивления, индуктивности и емкости имеют положительные значения. 2) Пассивными резисторами, катушками индуктивности и конденсато- рами (7?£С-элементы) называют такие, которые обладают соответственно по- ложительными сопротивлениями, индуктивностями и емкостями. О симметрич- ной матрице А размерностью п X п говорят, что она положительно опреде- лена, если х'Ах >• 0 для всех и-мерных векторов х 0.
4. Положительные вещественные функции и пассивность 81 ной проводимости и сопротивления — положительные веще- ственные. Доказательство. Чтобы упростить доказательство, предположим, что т) содержит только пассивные резисторы, катушки индуктивности и конденса- торы. При необходимости нетрудно распространить это упрощенное доказа- Рис. 4.1. Свойства ПВ-функций. тельство на общий случай. Кроме того, мы докажем теорему только для функции полного сопротивления. Для случая полной проводимости ее при желании можно будет доказать по принципу дуальности. Рис. 4.2. Двухполюсник, содержащий Ь — 1 пассивных /?ДС-элементов. Рассмотрим схему рис. 4.2, где двухполюсник т) содержит только пассив- ные резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы. Теорема Теллегена утверждает, что ь ^Vklk^O, (4-1) k=\ где Ik — величина, комплексно-сопряженная с Ik, и предпола- гается, что ч содержит b — 1 элементов, от 2 до Ь. Очевидно, (4.1) можно записать как _ ь _ _ _ _ - = Е vkik =Е vkik + Е vkik + Е vkik, (4.2) k-2 31 У
82 4. Положительные вещественные функции и пассивность где обозначают соответственно суммы всех со- Л -4 X противлений, емкостей и индуктивностей. Пусть ZBX(s)— вход- ное сопротивление т|, тогда (4.3а) При этом, если ветвь k содержит сопротивление Rk в омах, Vk — RkIk. (4.36) Если ветвь k содержит емкость Ск (в фарадах), то Vft = (l/sCA)Zft. (4.3в) Наконец, если ветвь k содержит индуктивность Lk (в генри), то Vk = sLkIk. (4.3г) Поскольку т) содержит только пассивные элементы, имеем Rk > 0, Lk > 0 и Ск > 0. (4.4) Подставив (4.3) в (4.2), получим Zbx (s) IЛ I2 = £ ।712 + £ ।I2 + Е sLk IIk I2 * Zbx (s) = л v se , у n I Zfe I2 , 1 Г 1 l^l2 , „у r, Ufel2 LRk ин2 + s L ск пн2 1ЛГ n <g se Положим s = a + ]<o. Тогда из (4.5) й «• JT (46) - i Ю У 1 I I2 4. za> V Lt, |/fe|2 /a2 + <o22uCfc IZH2 |A|2 • 4 st Следовательно, имеем Re[zBX(s)] = J^z?ft|-^|L+ст2 + ш2 £ + (4,7) Я % se Из (4 7) можем вывести, что если а 0, то Re[ZBX(s)] 0, т. е. Re[ZBX(sJ]^ 0 повсюду, где Refs]^ 0. Из (4.6), если <в = 0, то ZBX(s) вещественно. Следовательно, мы можем заключить также, что ZBX(s) вещественно, когда s веществен. Таким образом, ZBX(s) положительно и вещественно. Истинность теоремы, обратной 4.1, была доказана Бруне, Здесь мы только сформулируем результат1). *) Доказательство этой теоремы можно найти в [1, 2J.
4. Положительные вещественные функции и пассивность 83 Теорема 4.2. Пусть F(s)— положительная вещественная функция. Тогда F(s) можно реализовать как входную функцию полной проводимости или сопротивления для двухполюсника, содержащего только пассивные элементы. В свете обеих предшествующих теорем можно заключить: Следствие 4.3. F(s) является ПВ-функцией тогда и только тогда, когда таковой является 1/F(s). 4.1. Полином Гурвица В общем случае проверить, что для ПВ-функции удовлетво- ряется условие 2, очень трудно. Поэтому желательно найти иные, но эквивалентные условия положительности и веществен- ности функции. Один из способов для этого дает концепция полиномов Гурвица (основного и модифицированного). Говорят, что полином p(s) есть полином Гурвица, если все его корни лежат в левой полуплоскости s (исключая мнимую ось). Далее, полином называется модифицированным полино- мом Гурвица, если ни один из его корней не лежит в правой полуплоскости s, а все корни, лежащие на мнимой оси, про- стые (с кратностью I)1). Основываясь на определениях, введенных в предыдущем абзаце, нам необходимо найти распределение всех корней по- линома p(s), прежде чем мы сможем сказать, является ли полином p(s) полиномом Гурвица или модифицированным по- линомом Гурвица. Известно, что определение всех корней полинома — задача непростая. Следовательно, непосредственно пользоваться определениями полинома Гурвица или модифици- рованного полинома Гурвица нежелательно. В этом разделе мы опишем методы, пользуясь которыми можно определить, является ли данный полином полиномом Гурвица или модифи- цированным полиномом Гурвица, не находя его корней. Пусть p(s)—рассматриваемый полином. Предположим сперва, что мы не знаем, четна или нечетна степень p(s). Чтобы убедиться, является ли такой полином полиномом Гурвица, воспользуемся критерием Гурвица, согласно которому к членам нечетных и четных степеней прилагается (с некоторыми незна- чительными изменениями) алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего множителя. Конкретно, прежде всего разобьем p(s) на две группы членов — с четными и нечет- ными степенями, соответственно M(s) и AT(s); естественно, p(s) = M(s) + N(s). Образуем из Af(s) и AT(s) контрольное *) Ясно, что модифицированный полином Гурвица не обязательно яв- ляется полиномом Гурвица, но полином Гурвица всегда является также мо- дифицированным полиномом Гурвица.
84 4. Положительные вещественные функции и пассивность отношение T(s), в котором у числителя степень больше, чем у знаменателя. Пусть р(з)— полином степени d. Тогда T(s) = 2V(s)/M(s), (4.8а) если d нечетная, и 7’(s) = 44(s)/y(s), (4.86) если d четная. Далее, произведем разложение в непрерывную дробь отно- шения T(s), исключая каждый раз один полюс с помощью сла- гаемого qs, Т (s) = qis Н---------—j--------- <7г*Н---------------- <7з(з) + - (4.9) 1 4^. где qis — i-e слагаемое, qi — соответствующий коэффициент. Если имеется одно или несколько слагаемых с отрицатель- ными коэффициентами, значит, p(s) не является ни полиномом Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица. С другой стороны, если имеется d слагаемых (d = d) и каждое из них имеет положительный коэффициент, то р(з) есть полином Гур- вица. Наконец, если число слагаемых d <Z d, но у всех слагае- мых коэффициенты положительные, это означает, что у M(s) и ЛГ(з) есть общий сомножитель k(s). Следовательно, можно записать р (s) = k (s) [М (s) + $ (s)l = k (s) p (s), (4.10) где M (s) = k (s) M (s), N (s) — k (s) N (s) и p (s) = M (s) + N(s). Поскольку k(s) является общим сомножителем для двух полиномов (нечетной и четной степени), он сам должен быть либо полиномом нечетной степени, либо полиномом четной сте- пени. Рассмотрим сперва случай, когда k(s) — полином четной степени. Тогда можно записать k(s) = k(-s). (4.11) При этом подразумевается, что корни k(s) будут симмет- ричны относительно начала координат: sf есть корень k(s) тогда и только тогда, когда —з/ есть корень k(s). Заметим, что если в/ — не чисто мнимое число, k(s) будет содержать корень в правой полуплоскости з (поскольку если Sj лежит в левой полуплоскости, то —sj — в правой, и обратно). Следовательно,
4. Положительные вещественные функции и пассивность 85 fe(s) в крайнем случае есть модифицированный полином Гур- вица. Это будет справедливо только в том случае, если все корни k(s) (простые и чисто мнимые) лежат на мнимой оси плоскости s. Следовательно, p(s) не может быть полиномом Гурвица. Предположим теперь, что k(s) — полином нечетной степени. Поскольку такой полином может быть записан как произведе- ние $ на полином четной степени, k(s) есть в крайнем случае модифицированный полином Гурвица. Следовательно, р($) опять не может быть полиномом Гурвица. Поскольку все d слагаемых T(s) имеют положительные ко- эффициенты, полином fi(s) в (4.10) есть полином Гурвица. Та- ким образом, если k(s) есть модифицированный полином Гур- вица (т. е. если все корни k(s) простые и чисто мнимые), то p(s) есть модифицированный полином Гурвица. Ниже процедура определения, является ли k(s) модифици- рованным полиномом Гурвица, описывается для случая, когда заведомо известно, четна или нечетна степень p(s). Предположим теперь, что p(s) — полином четной или нечет- ной степени d. В этом случае p(s) — модифицированный поли- ном Гурвица тогда и только тогда, когда p(s) имеет только простые корни, лежащие на мнимой оси (включая начало ко- ординат). Чтобы определить, является ли p(s) модифицированным полиномом Гурвица, образуем контрольное отношение T(s) в виде f (s) - р (s)/(d/ds) p(s) = p (s)/pf (s) (4.12) и осуществим разложение в непрерывную дробь, как в (4.9). Тогда p(s)—модифицированный полином Гурвица тогда и только тогда, когда в разложении имеется d слагаемых и каждое из них имеет положительный коэффициент1). Последующие примеры иллюстрируют эти процедуры про- верки. Пример 4.1. Определить, является ли полиномом Гурвица выражение р (S) = s4 + 3s3 + 5s2 + 5s + 2. (4.13) Решение, р (s) = s4 + 3s3 + 5s2 + 5s + 2 = (s4 + 5s2 + 2) + (3s3 + 5s) = — M (s) + N (s). 4) В случае, когда p(s)—полином четной или нечетной степени и в раз- ложении T(s) в непрерывную дробь имеется один или несколько отрицатель- ных коэффициентов, p(s) имеет корень в правой полуплоскости s. В случае, если все коэффициенты положительные, но число слагаемых в разложении “ < d, все корни p(s) лежат на мнимой оси, но имеются непростые (крат- ные) корни. В обоих случаях p(s) не является модифицированным полиномом
86 4 Положительные вещественные функции и пассивность Поскольку d = 4 четное, контрольное отношение Т (s) А М (s)/N (s) = (s4 + 5s2 + 2)/(3s3 + 5s). (4.14) Очевидно, при s = oo, T(s)=oo (t. e. T(s) имеет полюс в бесконечно, сти). Выделяя этот полюс как слагаемое, получим Г (s) = (1/3) s + 1/Г1 (s), (4.15) где (l/3)s— первое слагаемое, 1/3 — коэффициент, a 1/Tt(s)= T(s) —(l/3)s = = [(10/3)s2 + 2]/(3s3 + 5s) —остаток. Следовательно, Ti (s) = (3s3 + 5s)/[(10/3) s2 + 2]. (4.16) Заметим, что Tj(oo)= oo. Таким образом, мы можем выделить из 7\(s) полюс в виде слагаемого, как мы это делали для T(s). В результате 7\(s) запишется как (s) = (9/10) s + 1/Т2 (s), (4.17) где (9/10)s — второе слагаемое, 9/10 — его коэффициент, a 1/T2(s)—второй остаток. Подставляя (4.17) в (4 11), имеем Г (s) = -j s + (9/10) s + , где (4.18) 1 ,.s 9 (16/5) s ^(s) =Г‘ 10S (10/3) s2 +2 ИЛИ т (Ю/З) s2 + 2 2() (16/5) s • (4Л ’ Очевидно, Т2(оо)= оо. Удалив из Гг($) полюс в бесконечности, получаем Т2 (s) = (25/24) s + 1/Т3 (s), (4.20) где (25/24) s — третье слагаемое, 25/24 — его коэффициент, а 1 26 о 1 ТГПГ = Ti (S) “ 24 S = (16/5) s = “(8/5) s (4‘21) — третий остаток. Подставляя (4.20) и (4.21) в (4.18), получаем разложение Т (s) при s = оо в виде T(s)«±s +--------------------!---j-----------, (4.22) (9/10) s +---------------,--- <25/24)s + W5)T Поскольку всего имеется четыре слагаемых и их коэффициенты положи- тельные (1/3, 9/10, 25/24 и 8/5), p(s) есть полином Гурвица. Предыдущий пример обрисовывает поэтапную процедуру разложения контрольного отношения T(s) в непрерывную дробь. Этот процесс позволяет показать, что фактически дает такое разложение, но его выполнение — громоздкое дело. По счастью, разложение рациональной функции в непрерывную дробь можно выполнить и более простыми средствами — мето-
4. Положительные вещественные функции и пассивность 87 дом последовательных делений. В качестве примера покажем разложение в непрерывную дробь T(s) из (4.12) при $ = оо: Здесь величины, обведенные кружками, — слагаемые. Имея эти слагаемые, можно сравнительно просто образовать (4.22). Фактически мы можем определить, является ли наш полином полиномом Гурвица, просто проверив коэффициенты этих ела» гаемых. Пример 4.2. Определить, является ли полином р (s) = s4 + s3 + 6s2 + 2s + 8 (4.23) полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица. Решение. Поскольку p(s) не содержит одни лишь члены четных или не- четных степеней, запишем его в виде p(s) = (s4 + 6s2-|-8) + (s3 + 2s)^.Af(s) + + N (s) и образуем контрольное отношение Т (s) = М (s)/N (s) = (s4 + 6s2 + 8)/(s3 + 2s). (4.24) Разложение T(s) в непрерывную дробь при s = оо дает r(s) = s+[l/(l/4)sl. (4.25) .Это показывает, что у М (s)As4 + 6s2 + 8 и N (s) Д s’ + 2s имеется об- щий сомножитель. Найти наибольший общий сомножитель (НОС) можно три- виальным путем—разложить M(s) и N(s) в непрерывную дробь методом
88 4. Положительные вещественные функции и пассивность последовательных делений; НОС — это делитель, который дает нулевой оста- ток. В нашем случае процесс последовательного деления даст г Р +2»)^ +6*4-8 1 4Р + 8 )Р + i Is + 2j О Следовательно, НОС четной и нечетной частей p(s) равен (4s2+ 8). Зна- чит, мы можем переписать p(s) в виде р (s) = (4s2 + 8) [(s2 + 4) + si ^.k Y X (s) P («) Поскольку все коэффициенты в (4.25) положительные, полином р (s) As2 + s + 4 есть полином Гурвица. Следовательно, если k (s) .Л 4s2 + 8— модифицированный полином Гурвица, то и p(s)—модифицированный поли- ном Гурвица. Чтобы проверить, является ли k(s) модифицированным полином Гурвица, образуем контрольное отношение f (s) = k (s)/(d/ds) k (s) = (4s2 + 8)/8s. (4.26) Разложение ?(s) в непрерывную дробь при s = оо дает Т (s) = (1/2) s + (1/s). • (4.27) Поскольку fe(s)—полином второй степени и имеет два слагаемых, причем у обоих коэффициенты положительные, fe(s) есть модифицированный поли- ном Гурвица. Следовательно, и p(s) в (4.23) есть модифицированный поли- ном Гурвица. Пример 4.3. Определить, является ли полином р (S) = s6 + s5 + 4s* + 2s3 + 5s2 + s + 2 (4.28) полиномом Гурвица или модифицированным полиномом Гурвица. Решение. Перепишем р (s) в виде р (s) = (s6 + 4s4 +.5s2 + 2) + + (s5 + 2s3 + s) ДМ (s) + N (s). При этом контрольное отношение T(s) будет Т (s) = (s6 + 4s4 + 5s2 + 2)/(s5 + 2s3 + s) = s + [l/(l/2) s], (4.29) Отсюда следует, что HOC k (s) числителя Л4 (s) ss + 4s4 + 5s2 + 2 и знаменателя N(s) — s5 + 2s3 + s ие является постоянной величиной: он равен k (s) = 2s4 + 4s2 + 2. (4.30) Чтобы проверить, является ли fe(s) модифицированным полиномом Гур- вица, образуем контрольное отношение f(s) в виде f (s) = k (s)/(d/ds) k (s) = (2s4 + 4s2 + 2)/(8s3 + 8s) (4.31) и разложим его в непрерывную дробь при s = оо Т (s) = (1/4) s + 1/(1/4) s. (4.32) Поскольку k(s)—полином четвертой степени и имеет в (4 32) всего два слагаемых, корни fe(s) многократные и лежат на мнимой оси. Действительно, s = ±/ суть двукратные корни fe(s). Следовательно, p(s) в (4 28) не является ни полиномом Гурвица, ни модифицированным полиномом Гурвица.
4. Положительные вещественные функции и пассивность 89 Пример 4.4. Определить, является ли выражение р (s) = ss + 2s3 + 2s (4.33) модифицированным полиномом Гурвица. Решение. Поскольку p(s) содержит только члены нечетных степеней, кон- трольное отношение равно f (s) = (s5 + 2s3 + 2s)/(5s4 + 6s2 + 2). (4.34) Частичное разложение T(s) в непрерывную дробь при s = оо дает f (s) = ± s + ------------!--:----------. (4.35) 5 ® + - 4s2 + 2 Поскольку третье слагаемое имеет отрицательный коэффициент, можно Прервать процесс разложения и заключить, что p(s) в (4.33) ие является модифицированным полиномом Гурвица. Действительно, p(s) имеет два кор- ня в правой полуплоскости s. Пример 4 5. Определить, является ли выражение р (s) = s6 + 6s4 + 1 Is2 + 6 (4.36) модифицированным полиномом Гурвица Решение. В соответствии с (4.12) контрольное отношение равно Г (s) = (s3 + 6s4 + Ils2 + 6)/(6ss + 24s3 + 22s). (4.37) Разложение T (s) в непрерывную дробь при s = оо дает f(s) = ±s + __________1_________ 3s +--------Ц------- 5+ДГ~-------i--- 5 S + 25 , 1 -S + — тг5 (4.38) Поскольку имеется шесть слагаемых, все с положительными коэффициен- тами, p(s) есть модифицированный полином Гурвица. Критерий Гурвица является испытанным орудием для мно- гих технических дисциплин, в особенности при исследовании устойчивости линейных систем. Для него было выведено много необходимых условий, которым должен удовлетворять полином, чтобы имело смысл проверять, является ли он полиномом Гур- вица. Два из этих необходимых условий следующие: 1. У полинома не должно быть пропущенных членов. (4.39а) 2. Все коэффициенты должны быть или положительными или отрицательными. (4.396) Например, полином p1(s) = s3 + s4*2 не является полино- мом Гурвица, так как у него есть пропущенный член — член
90 4 Положительные вещественные функции и пассивность второй степени. Полином p2(s) = $3 + s2— s+1 не является полиномом Гурвица, так как у него имеются как положитель- ные, так и отрицательные коэффициенты. Следует подчеркнуть, что условия (4.39) необходимые, но недостаточные. Например, полином р3 (s) = s4 + s3 + 6s2 + 26s + 20 (4.40) удовлетворяет обоим условиям (4.39), но р3($) в (4.40) не яв- ляется полиномом Гурвица, так как имеет пару комплексно- сопряженных корней 1 ± j3 в правой полуплоскости $. Иными словами, если полином р($) не удовлетворяет хотя бы одному из условий (4.39), то он не является полиномом Гурвица. Но если он удовлетворяет обоим этим условиям, это еще не зна- чит, что является полиномом Гурвица. В последнем случае к полиному еще надо приложить критерий Гурвица. Для про- стых случаев мы знаем еще некоторые достаточные условия, а именно: I. Полином первого или втооого порядка, не имеющий про- пущенных членов и содержащий все коэффициенты только одного знака, есть полином Гурвица. (4.41а) 2. Произведение полиномов Гурвица есть полином Гур- вица. (4.416) Оба эти условия, которые являются достаточными, можно эффективно использовать. Например, если сложный полином можно представить в виде произведения полиномов первого и второго порядков, т. е. Р (s) = Pi (s) р2 (s) . • • pq (s), (4.42) где каждый pt(s) (i=l, 2, ..., q) есть полином первой или второй степени, то проверка по критерию Гурвица сведется к проверке коэффициентов у каждого из сомножителей p,(s). Если все p((s)— полиномы Гурвица, то и p(s) — полином Гур- вица. С другой стороны, если хотя бы один из сомножителей, допустим pk(s), не является полиномом Гурвица, то и p(s) также не является полиномом Гурвица. Пример 4.6. Определить, является ли выражение р (s) = s5 + 6s4 + 16s3 + 27s2 + 22s + 12 (4.43) полиномом Гурвица. Решение. Ясно, что (4 43) удовлетворяет условиям (4 39). Можно сразу же приложить к p(s) критерий Гурвица или же воспользоваться достаточны- ми условиями (4.41), разложив (4.41) на множители: р (S) = (s2 + s + 1) (s2 + 2s + 4) (s + 3). (4 44)
4 Положительные вещественные функции и пассивность 91 Из первого достаточного условия следует, что все три сомножителя в (4 44) являются полиномами Гурвица, а из второго достаточного условия за- ключаем, что p(s) есть полином Гурвица. Отметим, что произведение одного полинома Гурвица и мо- дифицированных полиномов Гурвица не обязательно является модифицированным полиномом Гурвица. Рассмотрим для при- мера произведение полинома Гурвица и двух модифицирован- ных полиномов Гурвица р(5) = (з2 + з + 1)(53 + з)(з2+1). (4.45) Поскольку p(s) имеет сопряженные корни при s #= ±/, р($) не является модифицированным полиномом Гурвица. Однако произведение полиномов Гурвица и одного модифицированного полинома Гурвица всегда является модифицированным поли- номом Гурвица. В заключение сформулируем один результат, который при- годится нам впоследствии. Теорема 4.4. Пусть р (s) = М (s)N (s)— полином Гурвица, у которого М (s) и N (s) — части, содержащие соответственно члены только четных и только нечетных степеней. Тогда ра- циональные функции Fi(s)AM(s)/W и F2(s) AJV(s)/M(s) (4.46) можно реализовать как входные функции полного сопротивле- ния или полной проводимости для двухполюсников, содержа- щих только индуктивности и емкости. Обратно, сумма числителя и знаменателя у входной функ- ции идеального (без потерь) двухполюсника есть полином Гурвица. 4.2. Положительные вещественные функции Напомним, что ПВ-функция F(s) удовлетворяет двум усло- виям: она вещественна, когда веществен параметр s (это озна- чает, что коэффициенты полиномов, стоящих в числителе и знаменателе F(s), должны быть вещественны) и положи- тельна, когда вещественная часть Re[s]^0. В общем случае условие положительности проверить трудно. Ниже мы устано- вим некоторые иные, но эквивалентные условия. Теорема 4.5. F(s)A,A(s)/B(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям: 1. F(s) вещественна, когда веществен $. 2. B(s) есть полином Гурвица или модифицированный по- лином Гурвица.
92 4. Положительные вещественные функции и пассивность 3. Полюсы F(s), лежащие на мнимой оси, простые1) и имеют вещественные и положительные вычеты. 4. Re [F(/со) ] 0 для всех со. (4.47) Заметим, что вычет функции F(s) при простом полюсе st, обозначаемый определяется следующим образом: Ik = [(« - sJ F (s)] (s) |s=sfe если sk конечен, (4.48a) gft = lim 4-F(s), если Sk = °°, (4.486) S-»oo s здесь A(s) и B(s)— соответственно полиномы, стоящие в чис- лителе и знаменателе F(s). Из (4.48) видно, что вычет F(s) при вещественном полюсе есть вещественная величина и что вычеты F(s) при паре комплексно-сопряженных полюсов суть комплексно-сопряженные величины. Чтобы показать, как можно воспользоваться соотношениями (4.48), рассмотрим рациональную функцию р (с) —________4s+ 2 ___________4з_±_2_________ ,. 4дч W s3 + 7s2+ 17s+ 15 (s + 3)(s + 2 + /)(s + 2-/) * ' В данном случае F(s) имеет три простых полюса: $1 = —-3, s2 =—2 — / и s3 = —2 + j. Как показывает (4.48), вычет F(s) при $i можно вычислить двумя способами: 61 = [($ — S1) F (s)] |,_Л = (S1 + 2 + /) (S1 + 2 - /) = = (- 12 + 2)/(— 1 + /)(- 1 - /) = (- 10/2) = - 5 или f 4s + 2 1 4s + 2 I _ 61 — (d/ds) [s3 + 7s2 + 17s + 15] |s_si — 3s2 + 14s + 17 |S_S1=_3 = (- 12 + 2)/(27 - 42 + 17) = (— 10/2) = - 5. Вычеты F(s) при полюсах s2 и S3 даются следующими вы- ражениями: t 4s + 2 I 3 + 2/ 5 j Ь (s + 3>(s + 2-e 1 + i 2 ’ <4-5 ь- «+зУД+л I =4-*-- w-50’’ 1» + т + Jl ls=s,--2+1 *) В число полюсов F(s), лежащих на мнимой оси, входит полюс ПРИ s = оо (если он имеется). Поскольку условие 2 теоремы 4.5 заведомо гар2н" тирует, что конечные полюсы, лежащие на миимой оси, являются простыми, необходимо заботиться только о полюсе на бесконечности (если он есть)- Если степень 4(s) хотя бы на единицу больше степени B(s), то f(s) в край- нем случае имеет при s = 00 простой полюс.
4. Положительные вещественные функции и пассивность 93 Условия 2—4 теоремы 4.5 образуют семейство критериев положительности F(s), т. е. Re [F ($)] 0 повсюду, где Re[s]^0. (4.51) В отличие от (4.51) условие 4 теоремы 4.5 требует проверки Re[F(s)] только вдоль мнимой оси. Это, как правило, выпол- няется «в лоб» или прямыми вычислениями. В более сложных случаях для проверки, выполняется ли условие 4 теоремы 4.5, можно использовать метод Штурма [8]. Учитывая следствие 4.3 (о том, что обратная величина ПВ-функции также является ПВ-функцией) и условия, уста- новленные теоремой 4.5, укажем некоторые необходимые усло- вия того, что F(s) = A (s)/B(s) является ПВ-функцией: 1. Разность степеней полиномов Д(з) и B(s) не превышает единицы. (4.52а) (Причина в том, что полюсы ПВ-функции, лежащие на мни- мой оси, должны быть простыми, а полюсы в начале координат и бесконечности рассматриваются как полюсы, лежащие на мнимой оси. Следовательно, полюсы в начале координат и бес- конечности должны быть простыми.) 2. Разность между низшими степенями полиномов А ($) и B(s) не превышает единицы. (4.526) (Причина та же, что в условии 1.) 3. Все коэффициенты Л(з) и B(s) неотрицательные1). (4.52в) (Это необходимо для гарантии, что A (s) и В (s) являются по меньшей мере модифицированными полиномами Гурвица.) 4. На мнимой оси нет кратных полюсов или нулей. В пра- вой полуплоскости s нет никаких полюсов или нулей. Пример 4.7. 1. Ft(s) = (s4 + s’ + s2 + s + l)/(2s + 7) не является ПВ-функцией, так как разность между высшими степенями Л(з) и B(s) превышает единицу. 2. F2(s)= s2/(2s-]-7) не является ПВ-функцией, так как разность между низшими степенями Л(«) и B(s) превышает единицу. 3. F3(s) = (s2 + 4s — 3)/(s2 + 4s + 9) не является ПВ-функцией, так как Л(«) содержит отрицательный коэффициент 4. Fi(s) = (s2 + 4s -|- 3) /(—s2 + 4s + 9) не является ПВ-функцией, так как B(s) содержит отрицательный коэффициент. 5. Fs(s) = (s — 3)/(s-f-4) не является ПВ-функцией, так как имеет нул* в правой полуплоскости s. 6. Fe(s) = (s + 3)/(s — 4) не является ПВ-функцией, так как имеет полюс в правой полуплоскости s. *) Для Л(в) и B(s) допускаются нулевые коэффициенты, так как Л(в) и B(s) могут быть модифицированными полиномами Гурвица, a F(s) при этом остается ПВ-функцией. См. Fio(s) в примере 4.8.
94 4 Положительные вещественные функции и пассивность 7. F7(s) = (s3 + s2 + s + 2)/(s4 + 2s2 + 1) и F8(s) = (s + 3)/s2 не явля- ются ПВ-функциями, так как имеют кратные полюсы на мнимой оси. 8 F»(s)i = [s2(s + l)]/(s3 + 3s2 + 2s + 1) не является ПВ-функцией, так как имеет нули на мнимой оси Условия (4.52) являются необходимыми, но недостаточ- ными. Они служат для того, чтобы сразу отбросить функции, которые заведомо не являются положительными веществен- ными. Чтобы убедиться, что рациональная функция является положительной вещественной, необходимо приложить к ней теорему 4.5 или ее эквиваленты. Пример 4.8. Определить, является ли рациональная функция F10(s) = (s2 + s + 2)/(s2 + 2) (4 53) положительной вещественной Решение. Легко показать, что Fio(s) соответствует всем необходимым условиям (4.52). Это означает, что Fio(s), возможно, является ПВ-функцией. Приложим теперь к ней теорему 4 5. 1. Fto(s) вещественна, когда s веществен. 2. Знаменатель B(s) функции Fio(s) является модифицированным поли- номом Гурвица, имеющим полюсы на мнимой оси, при Sj = j и s2 = — — j . Оба полюса простые. 3. Пусть — вычет Fio(s) при полюсе s* Тогда __ s2 + s + 2 s + / V2- 1 = -g и g2 S—St—/ Уг" , s2 + s + 2 s — / V2 =2 S-S2--/V2" 2 т. е. и £г вещественные и положительные. 4. Re [F10 (/со)] = Re Г— И + /С>1 = -|------= 1 > 0 для всех со. Поскольку Fio(s) удовлетворяет всем четырем условиям теоремы ф5, она является ПВ-функцией. Пример 4.9. Определить, является ли ПВ-функцией функция F (s) = A (s)/B (s) = (s3 + 5s2 + 7s + 4)/(s3 + 2s2 + 6s + 5). (4.54) Решение. Следуем тем же путем, что в примере 4.8. 0. F(s) удовлетворяет всем условиям (4 52), так что, возможно, она яв- ляется ПВ-функцией. 1. Все коэффициенты F(s) вещественные; следовательно, F(s) веществен- на, когда s веществен. 2. Знаменатель F(s), В (s) — s3 -|- 2s2 + 6s + 5 является полиномом Гур- вица. В этом можно убедиться, приложив к B(s) критерий Гурвица. Следо- вательно, все полюсы F(s) [корни B(s)] лежат в левой полуплоскости s. 3. Полюсы, лежащие на мнимой оси, отсутствуют. 4. Из гл. 3 известно, что Re[F(s)] = M(s)—четная часть F(s). Следо- вательно, согласно (3.34), Re [F (/со)] = М (ja>) = Л (^)^2(^)-^(^)^2 (/«>),, (4.55) Л<2 (7®) — (/©) где Mi(s) и M2(s)—четные части соответственно <4(s) и B(s), a ЛЧ (s) и A^2(s)—нечетные части соответственно <4(s) и B(s). Поскольку | В (/со) I2 ==
4. Положительные вещественные функции и пассивность 95 =%М (/со)—|/V(/co) Одля всех а, заключаем что Re[F(/a)]^0 для всех а тогда и только тогда, когда Afi (/а) ЛГ2 (/а) — Д'/ (/со) N2 (/со) 0 для всех а. (4.56) В данном частном случае имеем Ah (s) = 5s2 + 4, A/) (s) = s3 + 7s, Af2 (s) = 2s2 + 5 и V2(s) = s3 + 6s. Следовательно, (4 56) становится Afi (/co) Af2 (/co) — Ni (/co) M2 (/’co) = a6 — 3a4 + 9a2 + 20 = = a2 (a2 —4- co2j + 20 0 для всех a. Из (4 56) заключаем, что Re[F(/a)] 0 для всех а Следовательно, все четыре условия теоремы 4.5 удовлетворяются. Это означает, что F(s) является ПВ-функцией. Как показывают примеры 4.8 и 4.9, проверка на положи- тельность и вещественность сравнительно легко осуществляется для простых рациональных функций, как Гю(з) из (4.53), но занимает много времени для более сложных функций, таких, как F(s) из (4.54). Если можно разложить сложную рацио- нальную функцию в сумму более простых функций, то можно с успехом воспользоваться следующим фактом: Сумма ПВ-функций есть ПВ-функция. (4.57) Приведем теперь еще несколько эквивалентных условий проверки ПВ-функций. Теорема 4.6. F(s) = А (з) /В (s) является ПВ-функцией тогда и только тогда, когда 1. F(s) вещественна, когда з веществен. 2. р (з) АД (з) + В (з) есть полином Гурвица. 3. Re [F (/©)]:> 0 для всех со. Заметим, что во многих случаях проверить выполнение усло- вий теоремы 4.6 проще, чем теоремы 4.5. Теорема 4.7. F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда: 1. F(s) вещественна, когда з веществен. 2. | /Г (s) | ^ [ /з | повсюду, где |/з|^л/2. Теорема 4.8. Пусть F (s) = A (s)/B (s) и G (s) A [F (s) - 1]/[F (s) + 1] = [Д (з) - В (з)]/[Д (з) + В (з)]. (4,58) Тогда F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда: 1. F(s) вещественна, когда s веществен. 2. | G(s) | 1 повсюду, где Re [з] 0.
96 4 Положительные вещественные функции и пассивность Теорема 4.9. Пусть G(s) определена выражением (4.58). Тогда F(s) есть ПВ-функция тогда и только тогда, когда: 1. F(s) вещественна, когда s веществен. 2. Л ($)+#(«) есть полином Гурвица. 3. | G(/co) | 1 для всех со. 4.3. Пассивность В заключение главы кратко рассмотрим понятие пассивно- сти и его связь с ПВ-функциями. Говорят, что двухполюсник пассивен, если напряжение v(t) И ток i(t) на его зажимах связаны следующим соотношением: t j v (т) i (т) dr + <£ (t0) 0 для всех t t0. (4.59) Здесь (to)— энергия, накопленная в цепи к моменту времени to. Двухполюсник называется начально релаксированным в мо- мент to, если в этот момент все начальные условия нулевые. Следовательно, <S (to) = 0. Тогда начально релаксированный двухполюсник (в наших рассуждениях о пассивности будем предполагать, что он именно такой) является пассивным, если t j v (т) i (т) 0 для всех t ta- (4.60) Выражение (4.60) отражает просто тот факт, что энергия, по- требляемая пассивным двухполюсником, больше или равна нулю. Если двухполюсник не пассивный, его называют ак- тивным. В терминах анализа в частотной области выражение (4.60) подразумевает, что входная функция двухполюсника — поло- жительная вещественная1). Это значит, что двухполюсник пас- сивен тогда и только тогда, когда его входные функции суть положительные вещественные. Основными пассивными элемен- тами являются /?АС-элементы и идеальные трансформаторы. Входная функция двухполюсника, содержащего только RLC- элементы и идеальные трансформаторы, есть положительная вещественная2). Отметим, что идеальные трансформаторы и LC-элементы являются элементами без потерь. Это специаль- ные случаи пассивных элементов. Заметим также, что хотя ги- раторы— это элементы без потерь (если постоянные гирации *) См., например, [9] или [10]. 2) В данной книге идеальные трансформаторы при реализации схем не используются.
4 Положительные вещественные функции и пассивность 97 равны), мы не включили их в список пассивных элементов, потому что в данной книге гираторы синтезируются на основе операционных усилителей, а они являются активными прибо- рами. Итак, термин «пассивный фильтр» обозначает фильтр, содержащий только /?АС-элементы и идеальные трансформа- торы. Термин «пассивная реализация» означает, что в про- цессе синтеза и проектирования фильтра используются только пассивные элементы. В этом случае реализованы могут быть только входные ПВ-функции. ЛИТЕРАТУРА 1. Brune О., Synthesis of a Finite Two-Terminal Network Whose Driving- Point Impedance Is a Piescribed Function of Frequency, J. Math. Phys., 10, 191—237 (1931). 2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krieger, 1975. 3. Desoer C. A., Kun E. S , Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill 1969. 4. Humphreys D. S, The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs, N J., Prentice-Hall, Inc., 1970. 5. Chen С. T,, Introduction to Linear System Theory, New York, Holt, Rinehart and Winston, 1970. 6. Zadeh L. A., Desoer C. A., Linear System Theory, New York, McGraw-Hill, 1963. 7. Anderson B. D. O., Vongpanitlerd S., Network Analysis and Synthesis, Englewood Cliffs, N. J, Prentice-Hall, Inc., 1973 8 Lal M., Singh H., Panwar R S., Sturm Test Algorithm for Digital Com- puter, IEEE Trans. Circuit and Systems CAS-22, 62—63 (1975). 9. Kuh E. S, Rohrer R. A., Theory of Linear Active Networks, San Francisco, CA, Holden-Day, 1967. 10. Newcomb R. W., Linear Multiport Synthesis, New York, McGraw-Hill, 1966. ЗАДАЧИ Определить, являются ли полиномами Гурвица или модифицированными полиномами Гурвица следующие выражения: а) р (s) = s4 + 2s3 + s2 -f- 7s + 1; 6) p (s) = s4 + s3 + 3s2 + s + 2; в) p (s) = s4 + 2s3 + 5s2 + 2s + 6; r) p (s) = 3s4 + 2s3 + 3s2 + 2s + 3; д) p (s) = s4 + 2s3 + 2s2 + 4s -J- 2; e) P (s) = s4 + 5s3 + 1 Is2 + 1 Is -J- 4; ж) p (s) = s5 + s4 + 4s3 + 2s2 + 2s + 1; з p (s) = 3s5 + 5s4 + 5s3 + 5s2 + 5s + 3; и) p (S) = s’ + s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + 2; к) Р (s) = s5 + s4 + 2s3 + 2s2 + s + 1; л) P ($) = s5 + 3s3 + s; m) p (s) = s4 + s2 + 1; h) p (s) = s’ + 5s3 + 4s; °) p («) = se + s2 + 1; п) P (s) = s’ + s4 -J- s2 + 1; p) p (s) = s’ + 2s4 + s2 + 3. 4.2. 4.3 4.4. Найти условия, при которых полином n-й степени (п = 1, 2, 3, 4) явля- ется полиномом Гурвица. Найти диапазон значений а, в котором полином р(s) = s‘ + 2ss + as2 -J- + 2s + 1 является полином Гурвица. Найти диапазон значений а, в котором полином p(s) = s3 + 2s2 -|- as -f- I является по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица. Л Зак ИЗО
98 4 Положительные вещественные функции и пассивность 4.5. 4.6. Для полинома p(s) = s3 + as2 + bs + 1 найти такие соотношения между а и Ь, при которых: a) p(s) является полиномом Гурвица; б) p(s) яв- ляется по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица. Для а, изменяющегося в пределах между 1 и 2, найти диапазон зна- чений й, в котором: в) p(s} является полиномом Гурвица; г) p(s) явля- ется по меньшей мере модифицированным полиномом Гурвица. Даны три рациональные функции: с . (®+ I)2 _ . . s2 + s+ 1 (s2+1)(s2 + s+1) - ^(S)- (s2+)){s+1) И p / <Л __________° ~ 1________ (s+ l)2(s2 + s4- 1) • Определить, какие из нижеследующих F(s) яваяются ПВ-функция- ми Обосновать свои выводы. a) F (s) = Ft (s) + F2 (s). д) F (s) = Ft (s) F2 (s); 6) F (s) = Ft (s) + F2 (s) - F3 (s); e) F (s) = Fj(s) F3 (s); в) F (s) = ; ж) F (s) = F2 (s) F3 (s); r) F(s) = -^; з) F(s) = F,(s)F2(s)F3(s). 4.7. Определить, какие из нижеследующих F(s) являются ПВ-функциями. Обосновать свои выводы. а) F (s) = s; 3) F(s) = s3 + 6s2 + 2s + 1 (s + I)2 б) F (s) = 1 и) F (s) = s3 + 2s2 + 3s + 1 s ’ s3 + 5s2+ Ils 4- 10’ в) F(s) = s + 2 s+l 1 к) F (s) s3 4- 6s2 + 2s 4- 1 s3 + 3s + 1 1 г) F (s) = s 4- 4 s2 + s + 15 ’ л) F (s) = (s 4- 2)2 (s + 1) . s4 4- 6s2 + 9 ’ д) F(s) = s2 4- s 4- 4 . s + 5 ’ m) F (s) = s4 4- s3 4- 2s2 4- 5 , 4s2 4- 2s 4-1 ’ е) F(s) = s2 + 9 _ s3 + 4s ’ н) E (s) = 3s3 4- s . s4 4- s3 4- 2s2 -J- s + 5 ’ w ж) F(s) = s3 + 9s _ s2 + 4 ’ o) F(s) = 10s4 4- 8s2 4-1 4s6 -|- 10s3 4- 4s 4.8. Для каждой из нижеследующих F(s) определить диапазон значений а, в котором F(s) является ПВ-функцией. a) 6) F(s) = F (s) = s2 4- as 4- 1 s2 4- 3s 4- 2 ’ s2 4- as 4-1 e) Ж) F(s) = P (qX (s2 + 2) (s 4- 1) . as2 4- s 4- 2 ’ s2 4- 4s 4- 2a 1 s2 4- 2 ’ (S 4-1)2 (s 4- 2) ’ в) F(s) = s2 + as 4- 1 s3 4- 2s ’ 3) F(s) = s s2 4- 3s 4- a ’ r) F — s4-2 И) F(s) = s2 4- 2s 4- 1 s2 + as 4- 1 ’ (s+ 1) (s2 + 3s + a) ’ Д) F (s) = s2 4- 3s 4- a (s4-2)2 ’ K) F(s) = (s + 1) (s2 4-1) . (s2 + 2s + a) (s2 + as 4- 1)
4. Положительные вещественные функции и пассивность 99 4 9. Дана нечетная часть A/^s) функции цепи F(s)- N (s) = (2s3 + 22s)/(s4 + s2 + 25). а) Найти такую F(s), чтобы она была ПВ и F(oo)= 1. б) Найти такую F(s), чтобы она была ПВ и F(0) = 1. 4.10. Показать что двухполюсники на рис. 3 4.10 пассивные. 4*
100 4. Положительные вещественные функции и пассивность Рис. 3.4.11,в, г
4. Положительные вещественные функции и пассивность 101 4.11. Определить, являются ли двухполюсники на рис. 3.4.11 пассивными. 4.12. (а) Найти функцию входного сопротивления двухполюсника N на рис. 3.4.12, удовлетворяющую следующим требованиям. (1) Если на вход N подается единичный скачок напряжения, ток /(/) = = bi + £>2 ехр(—4/). 4 V Рис. 3.4.12. (2) Если на вход N подается единичный скачок тока, напряжение v(t) =01 + ^2 ехр(—0. (3) Если на вход N подается напряжение постоянного тока 4 В, уста- новившееся значение тока равно 3 А. (б) Показать, что N может быть реализован на пассивных элементах. 4.13. Даны коэффициенты полинома p(s) = ро + PtS + pzs2 + ... + pnsn. На- писать машинную программу для определения, является ли p(s) поли- номом Гурвица, модифицированным полиномом Гурвица или полиномом иного вида. 4.14. Даны коэффициенты двух полиномов. A (s) = Л + ats + a2s2 + ... + amsm и В (з) = Ьй + bts + b2s2 + ... bnsn. Написать машинную программу для определения, является ли ра- циональная функция f(s) = A(s)/B(s) ПВ-функцней.
Свойства и реализации входных функций Элемент схемы называют элементом без потерь, если он не потребляет средней мощности. При установившемся состоянии, соответствующем синусоидальному сигналу, средняя мощность, выделяемая схемным элементом, равна т рср = 4’$ lVmcos(<rP —<₽,), (5.1) о где I (/) = Im cos (<о/ + <pz) и у (/)= И,„ cos + (p„) — соответ- ственно втекающий ток и напряжение на зажимах элемен- та, а Т = 2л/со. Поскольку абсолютное значение разности |фР — ф»| между фазовыми углами напряжения и тока у ка- тушки индуктивности или конденсатора всегда равно 90°, ясно, что катушки индуктивности и конденсаторы являются элемен- тами без потерь. В разд. 5.1 рассматриваются свойства вход- ных функций двухполюсников, содержащих только элементы без потерь1). В своей совокупности эти свойства определяют условия реализуемости входной функции на элементах без по- терь. В разд. 5.2 рассматриваются некоторые методы синтеза, позволяющие реализовать входные функции двухполюсников без потерь. Показывается, что каждая входная функция двух- полюсника без потерь может быть реализована с помощью двухполюсника, содержащего только катушки индуктивности и конденсаторы. Поэтому в дальнейшем мы будем называть входную функцию двухполюсника без потерь входной функцией £С-двухполюсника, а двухполюсник, содержащий только ка- тушки индуктивности и конденсаторы, — LC-двухполюсником. 5.1. Свойства входных функций Имеется шесть важнейших свойств, связанных с входной функцией двухполюсника без потерь. В своей совокупности эти шесть свойств определяют общую форму входных функций двухполюсников без потерь. *) Помимо катушек индуктивности и конденсаторов элементами без по- терь являются идеальные трансформаторы, связанные катушки индуктивности и гираторы.
5. Свойства и реализации входных функций 103 Свойство 1. Все полюсы и нули входной функции, помимо сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь, лежат на мнимой оси плоскости s. Доказательство. Предположим простоты ради, что двухпо- люсник без потерь т] содержит только катушки индуктивности и конденсаторы. Доказательство, учитывающее другие эле- менты без потерь, было бы простым в принципе, но громоздким. В гл. 4 было показано, что функция сопротивления ZBX(s) двухполюсника т], содержащего только катушки индуктивности и конденсаторы, выражается как ^вх{s) — s^Lk ।р + — |/• (5.2) x ч Заметим, что (5.2) получено из (4.5) при условии, что т] не содержит резисторов. Из (5.2) заключаем, что нули ZBX(s) удовлетворяют соотношению a$4-(l/s)p = 0 или as24-0 = 0, (5.3а) где «А X T77F> 0 " Z -ЕГТО- > °' Заметим, что а и 0 зависят от Ik и /1, которые являются функциями s. Следовательно, а и 0 зависят от s. Поскольку все решения (5.3а) должны удовлетворять также уравнению s2 = - (0/а) < 0, (5.36) можно заключить из (5.3), что нули ZBX(s) лежат на мнимой оси плоскости s. По принципу дуальности можно показать также, что входная функция полной проводимости Увх($) двух- полюсника т] определяется уравнением + (5.4) У X Следовательно, нули Увх(«) лежат только на мнимой оси пло- скости s. Поскольку Увх(«) = 1/^вх(з) И ZBX(s) = 1/Увх(з), (5.5) заключаем, что все полюсы и нули входной функции полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь лежат на мнимой оси плоскости s. Свойство 2. Входная функция полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь является не- четной рациональной функцией.
104 5. Свойства и реализации входных функций Доказательство. Хорошо известно, что в установившемся состоянии, соответствующем синусоидальному сигналу, средняя мощность, потребляемая двухполюсником без потерь г|, равна Re [Z (/®)] | / (/®) р = Re [У (/и)] | V (/®) |* = 0, (5.6) где Z и У — соответственно входные функции полного сопро- тивления и полной проводимости т]. Выражение (5.6) означает, что входные функции любого двухполюсника без потерь т] об- ладают одним фундаментальным свойством: Re[F4C(/®)] = 0, (5.7) где Fic(s) означает входную функцию полного сопротивления или полной проводимости двухполюсника без потерь1). Со- гласно (3.15) из гл. 3, выражение (5.7) подразумевает, что четная часть FLC(s) тождественно равна нулю. Следовательно, F£c(s)— нечетная рациональная функция от «.Таким образом, FLC(s) = N(s)/M(s) или Flc(s) = M(s)/N(s), (5.8) где 7V(s)— нечетный полином, a M(s) — четный полином. Свойство 3. Предположим, что входная функция двухполюс- ника без потерь соответствует (5.8). Пусть, далее, du и — степени полиномов JV(s) и М (s) соответственно. Тогда |dw dM | = 1. (5.9) Доказательство. Поскольку двухполюсник без потерь яв- ляется пассивным, FLc(s) есть ПВ-функция. Необходимое условие этого \dN — (5.Ю) Поскольку N(s) нечетный, a M(s) четный, \dN-dM\ (5.11) есть нечетное число. Очевидно, (5.10) и (5.11) совместно подразумевают (5.9). Свойство 4. Все полюсы и нули F£C(s) простые. Доказательство. Согласно свойству 1, все полюсы и нули Flc(s) лежат на мнимой оси плоскости s. Поскольку F£c(s) есть ПВ-функция, все ее полюсы и нули, лежащие на мнимой оси, простые. Что и требовалось доказать. Свойства 1 и 2 означают, что числитель и знамена- тель Fic(s) можно разложить на множители вида (s2 + ®^), ') В дальнейшем будем обозначать через Flc(s) входную функцию как полного сопротивления, так и полной проводимости
5. Свойства и реализации входных функций 105 исключая, разумеется член з, присутствующий в числителе или знаменателе. Следовательно, FLc(s) имеет одну из следующих форм: FIC(3) = ks (s2 + со|) (s2 4- W4) ... (s2 4- <n2?) (S2 + «2)(S2 + «2)-(s2 + “2r) (5.126) где r — нечетное целое, a q — четное целое. Свойство 3 пока- зывает, что <7 = г-|-1 или r = q-[-\, (5.13) а свойство 4 требует, чтобы повсюду, где i ф k — 1, 2......г, q или q, г. (5.14) Здесь мы сперва выводим Flc(s) только в виде (5.12а). Flc(s) в виде (5.126) можно вывести аналогичным образом. Свойство 5. Ftc(j<i>)/j есть монотонно возрастающая функ- ция и, исключающая точки полюсов Flc(s). Доказательство. Разделив (5.12а) на з и приняв р = з2, по- лучим Flc (з) _ (р + ®?) (р + ®з) • • • (р + <Л) з Р (р + «2) (Р + “!) • • • (р + ®2<7) ’ Разложение (5.15) на простые дроби дает - + У _— или i-четн Р "Ь ^С(з) = ^з + А+ X 5 г-^н 5 +0)2 Flc (з) s (5.15) (5.16) Заметим, что член kx присутствует в (5.16) только в чае, если в (5.12а) г = <?+1. Чтобы понять природу ных ki (i = 0, 2, 4, ' ----г том слу- постоян- q и оо), запишем (5.16) в виде я flc (s) = kO0s + -^- + У Г—----------1----21—1 (5 17) +/fi)/ S-/CO/J' >
106 5 Свойства и реализации входных функций где ai означает комплексно-сопряженные а,1). Поскольку двух- полюсники без потерь являются пассивными, Flc(s) есть ПВ-функция. Следовательно, постоянные k<x> [вычет Flc(s) при полюсе s=oo], ko [вычет Flc(s) при полюсе $ = 0], а также а, и а, [вычеты Flc(s) при полюсах —jai и /<о>] положительны и вещественны2). Таким образом, а, = а, положительна и ве- щественна. Объединив (5.16) и (5.17), получаем соотношение между и а,: kjS _ а; (s — /со,) + а, (s + /<oz) s2 + <о2 s2 + co2 2а,s , n (5.18) Каждая a( — вещественная и положительная постоянная, поэтому kt также положительная и вещественная постоянная. Следовательно, имеем ki — вещественная и положительная, (6.19) где i = 0, 2, 4...q и оо. Дифференцируя (5.16) по s, по- лучаем aFLC (s) _ . i V ki И ~ *2) ds K°° s2 + L (? + «2)2 i-четы x »/ При s = /со (5.20) дает O'm) , % ki + ®2) djC0 — "Г (О2 + L (ш2 ю2\2 * йчетн x * / (5.20) (5.21) Исключая случай, когда со — полюс F£C(s), каждый член левой части (5.21) положителен при всех со. Поэтому заклю- чаем, что dFIC(/®)//dco>O (5.22) для всех со, исключая полюсы F£c(s), что и требовалось до- казать. Некоторые типичные зависимости Flc(s) от со приведены на рис. 5.1, где разрывы имеют место при полюсах F£C(s). Заме- тим, что s = 0 является либо нулем, либо полюсом Flc(s); то же относится и к точке s = оо. Учитывая рис. 5.1 и свойство 5 [монотонное нарастание Flc(s)], ясно, что нули и полюсы *) Напомним, что (4 48а) подразумевает, что вычеты при паре комплекс- но-сопряженных полюсов комплексно-сопряжены друг с другом. 2) Строго говоря, постоянные й- и й0 вещественные и неотрицательные. Мы говорим, что йв> и йо вещественные и положительные, потому что по- всюду, где члены й»д н йо/s присутствуют в (5.17), й«> и й0 являются веще- ственными и положительными.
5. Свойства и реализации входных функций 107 Рис. 5.1. Некоторые типичные зависимости (1/j)Ftc(jw) от св. О нуль Flc (s); X полюс FLq (s). Flc(s) должны лежать на мнимой оси плоскости s чередуясь. Следовательно, имеем 0 со। СО2 СО3 .... (5.23) Это — еще одно важное свойство входной функции. Для удоб- ства последующих ссылок выделим его как Свойство 6. Точки s = О и s = 00 являются критическими частотами1) Flc(s). Кроме того, полюсы и нули Ftc(s) лежат на мнимой оси плоскости s чередуясь. 5.2. Реализация входных функций В этом разделе представлены четыре метода реализации входных функций без потерь, а именно первая и вторая формы Фостера и первая и вторая формы Кауэра. Критическая частота Ftc(s') соответствует ее полюсу или нулю.
108 5. Свойства и реализации входных функций 5.2.1. Методы реализации Фостера Приступая к рассмотрению общей задачи реализации вход- ных функций, перепишем (5.16) в виде ч Ле(5)-6.5 + 4+ Е----------------Ч------• <6-М> k, +^‘ где все kt и со,- — положительные и вещественные. Если Flc(s) — входная функция полного сопротивления, можем записать <7 । Flc (s) = Zlc (s) = ^oos + 7^7 + У*, Cts + (1/L/s) ’ (5.25) /•четн где Lx = kx, Co = l/k0, Ci = l/ki и Lt = ki/<azt. (5.26 Схемная реализация (5.25) приведена на рис. 5.2’). Урав- нения (5.25), (5.26) или рис. 5.2 представляют так называемую Рис. 5.2. Первая форма Фостера. первую форму Фостера. По принципу дуальности, если Flc(s)— входная функция полной проводимости, можно переписать 9 На всех принципиальных схемах данной книги символ “Z =”[“У =”] означает: «Входная функция полного сопротивления [полной проводимости], рассматриваемая со стороны входа двухполюсника, равна.»
Свойства и реализации входных функций 109 (5.24) в виде ч F^ = Y^ = C.s + -^+ £ (5.27) /•четы где Сте = kx, Lo = 1/А?0, Ц = 1/fc, и С( = kM- (5.28) Схемная реализация (5.27) показана на рис. 5.3. Уравнения (5.27), (5.28) или рис. 5.3 представляют так называемую вто- рую форму Фостера. Рис. 5 3. Вторая форма Фостера. Заметим, что в первой форме Фостера участвуют только входные функции полного сопротивления, а во второй форме Фостера — только входные функции полной проводимости. От- носительно этих двух форм мы можем сделать следующее за- ключение: Теорема 5.1. Все входные функции можно реализовать двух- полюсником, содержащим только катушки индуктивности и конденсаторы. Пример 5.1. Дана функция полного сопротивления Z(;)- (s2 + W + 9) {S> s (s2 + 4) (s2 + 16) ' J Найти схемные реализации (5 29) двумя методами Фостера. Решение. Проверим сперва, отвечает ли Z(s) всем свойствам входной функции1). Начнем с того, что Z(s)—нечетная рациональная функция, у ко- торой степень знаменателя на единицу больше степени числителя. Z(s) имеет ’) Мы должны убедиться в том, что заданная входная функция отвечает всем свойствам входных £С-функций раньше, чем начнем реализовать ее на элементах без потерь. Однако по очевидным причинам в последующих при- мерах этого делать не будем.
110 5. Свойства и реализации входных функций полюс при s = 0 и нуль при s = оо. Нули имеются при ±/1, ±/3 и оо, по люсы — при 0, ±/2 и ±/4, как показано на рис. 5 4. Очевидно, все полюсы и нули простые и чередуются на мнимой оси. Чтобы найти вычеты, положим р = sz и запишем Im (si S-плоскость Z (x) (s2 + 1) (s2 + 9) s s2 (s2 + 4) (s2 + 16) _ (p + 1) (p + 9) _ P2+10p + 9 p(p + 4)(p + 16) p(p + 4)(p + 16) = — + —+ Д2(р), (5.30) P p + 4 p + 16 — 2 k О где А, В и С— вычеты Z(p) при полюсах pi = = 0, р2 = —4 и рз = —16. Из (4.48) находим А = 9/64, В = 5/16 и С = 35/64. „ Z(s) 9/64 , 5/16 , 35/64 Поэтому —- = —+ + Re [s] „ ! X 9/64 или Z (s>=—-— (5/16)s (35/64)s s2 + 4 + s2 + 16 • О -2 k О -4 И (5.31) Таким образом, все вычеты Z(s) вещественные и положительные. Следовательно Z(s) отвечает всем свойствам входной функции ) и ее мож- но реализовать на элементах без потерь. Для реализации Z(s) запишем (5.31) в виде Z(s) 64 9 4 S Рис. 5.4. Диаграмма полю- сов и нулей Z(s) по (5.29). О нули; X полюсы. 1 16 , 1 vs+— 64 S 1 64 , 1 35 S+ 35 1024 S (5.32) Первая форма Фостера для (5.29) или, что эквивалентно, (5.32), показана на рис. 5.5, а. Еще одну реализацию (5 29) можно получить в виде второй формы Фо- стера. Поскольку K(s)= l/z(s), имеем s (s2 + 4) (s2 + 16) У(з) , 45/8 , 35/8 ( l (s2 + 1) (s2 + 9) ’ s s2+ 1 s2 + 9 • 4) Свойство 5 [(l//’)z(/®)—монотонно возрастающая функция, исключа5 точки полюсов Z(s)] удовлетворяется, так как полюсы и нули Z(s) лежат, чередуясь, на мнимой оси плоскости s, а точки s = 0 и s = <» являются кри- тическими частотами.
5. Свойства и реализации входных функций 111 45 m 8 35 gi 72 Z~Z(s)no(5.29) б Рис. 5 5 Реализации Z(s) по (5.29) первой формой Фостера (а) и второй формой Фостера (б). Следовательно y(s) = s (45/8)s s2+ 1 (35/8)5 , 1__________, s2 + 9 + 8 1 + 45 S + (45/8)s 1 8 , 1 35 S + (35/72)s (5.33) Реализация (5 29), (5.33) по второй форме Фостера показана на рис. 5 5,6. Отметим, что схемы рис. 5 5, а и 6 имеют одинаковые входные функции пол- ного сопротивления и полной проводимости. 5.2 2. Методы реализации Кауэра Формы Фостера — не единственно возможные схемные реа- лизации входных функций. Вообще говоря, если функция полного сопротивления Z(s) и полной проводимости У($) реа- лизуема, существует большое, а иногда даже бесконечно боль- шое число возможных схемных реализаций. В этом разделе мы рассмотрим методы реализации входных функций, предложен- ные Кауэром.
112 5 Свойства и реализации входных функций 5.2.2.1. Первая форма Кауэра. Согласно свойству 3, у вход- ной функции степени полиномов, стоящих в числителе и знаме- нателе, различаются в точности на единицу. Отсюда точка s = оо является либо полюсом, либо нулем Fic(s). Без потери общности можем предположить, что $ = оо является полюсом Flc(s)— Flc(°o')=o°, т. е. степень числителя FlC(s) на еди- ницу больше степени знаменателя. Обозначим через p(s) поли- ном, равный сумме числителя и знаменателя Flc(s). Согласно теореме 4.4, p(s) есть полином Гурвица. Следовательно, Flc(s), будучи контрольным отношением в критерии Гурвица, имеет разложение в непрерывную дробь при s = оо, так что Flc(S) = ^s +------------Ц--------- (5.34) fe2s + V—т---------- где п — степень числителя ЕдС(х), а коэффициенты k\, k2, ..., kn — вещественные и положительные постоянные. Чтобы исследовать эти постоянные, положим Flci (s) == Flc(s) и за- пишем flei (s) = +-тт—~ где (5.35а) Г£С2 ($) lim (l/s)FLci(s) (5.356) 5 -> oo есть вычет Flci(s) при полюсе s == оо ). Из (5.34) находим, что ^i.ci(°°)== lim kxs. (5.36) s -> оо Следовательно, остаточный член (5.35а) удовлетворяет уравнению 1/^lc2(oo)^0 или Flc2(°o) = 00• (5.37) Таким образом, можем осуществить на Flcz(s) процедуру выде- ления полюса, так что Flcl (s) ~ (®)]> (5.38а) где снова k2— lim (1/s) FLC2 (s) (5.386) 5 -> 00 есть вычет Гдсг(5) при полюсе s = оо. Если мы повторим про- цедуры (5.35) и (5.38) столько раз, сколько требуется, то *) См (4.486).
5. Свойства и реализации входных функций 113 постоянные kt будут вычетами Flci(s) при полюсе s = <х>, при- чем i=l, 2, ..., п. Если Flc(s) имеет в бесконечности не полюс, как мы пред- положили ранее, а нуль, положим Flci (s) = 1/Flc(s). Тогда Flci(s) имеет полюс в бесконечности. Теперь процедуру (5.34) z = fLc3(s) z=flc& y = fLCz(s) Z = FzcW Рис. 5 6. Реализация входной функции полного сопротивления первой формой Кауэра. или повторяющуюся процедуру (5.35) — (5.38) можно осуще- ствить, как для предыдущего случая. При этом результирую- щее разложение в непрерывную дробь будет F£С (S) = р (S) 1 ? LC1 klS +-----------------—г k2s + ь ; -12— «3« + (5.39) где п — степень знаменателя Flc(s). В дальнейшем мы рас- смотрим только (5.34); выражение (5.39) приводится лишь для справки. Если Flc(s) = Zlc(s) — функция полного сопротивления, то (5.35) имеет схемную интерпретацию (рис. 5.6, а). Анало- гично действие (5.38) показано на рис. 5.6,6, а следующий этап — на рис. 5.6, в. С другой стороны, если Flc(s)~ Ylc(s) — функция полной проводимости, то схемными интерпретациями (5.35) и (5.38) являются соответственно рис. 5.7, а и б,
114 5. Свойства и реализации входных функций а следующий этап показан на рис. 5.7, в. Заметим, что как на рис. 5.6, так и на рис. 5.7 разложение Flc(s) при s = оо соот- ветствует наращиванию схемной реализации цепочками после- довательных индуктивностей и параллельных емкостей. Это так называемая первая форма Кауэра. б Рис. 5.7. Реализация входной функции полной проводимости FLC(s) первой формой Кауэра. Пример 5.2. Реализовать первой формой Кауэра входную функцию пол ного сопротивления (s2+l)(s2 + 9) _ s4 + 10s2-4-9 v 1 s (s2 + 4) (s2 + 16) s5 + 20s3 + 64s ' v 1 Решение. Поскольку v Z(s) степень знаменателя выше, чем числителя, Z(s) имеет при s = со нуль. Поэтому осуществим разложение в непрерывную дробь при s = oo для соответствующей функции полной проводимости г (s) 4): 1 s5 + 20s3 + 64s У - Z (s) — s4 + 10s2 + 9 = « + --------------—j-------------- (5.41) 70 S + 35 9 S Реализация заданной функции полного сопротивления Z(s) (5 40) экви- валентна реализации функции полной проводимости У(в) (5.41). Поскольку *) По первой форме Кауэра требуется разлагать в непрерывную дробь при s = оо ту входную функцию, у которой степень числителя выше степени знаменателя.
5. Свойства и реализации входных функций 115 (5.42) (5.43) ¥ (s) можно записать в виде суммы двух членов Y (s) = s + 1/Z2 (s), где ^2 (s) = -jp- s + -go ~ j Vs + -9——Г" 70 S + 35 реализуем ¥(s), подсоединив конденсатор 1 Ф параллельно двухполюснику, имеющему входную функцию полного сопротивления Z2(s), заданную (5.43). Обнаруживаем, что Z2(s) в свою очередь является суммой двух членов Z2 (з) = (1/10) s + 1/Гз (s), где (5.44) v . . 20 , 1 («) э s + 9 I 70's + '35' ~s Следовательно, мы можем реализовать входную функцию полного сопротив- ления Z2(s), подключив индуктивность 0,1 Г последовательно с двухполюсни- ком, характеризующимся входной функцией полной проводимости Уз(з) (545). Очевидно, этот процесс можно повторять, пока мы не завершим реали- зацию У (s) (5.41). (5.45) I -1-Г I 'О _ 20 ср Т э S- г 70 35 ср 9 1 1 Y = y,(s) 2~^s)no(5.W) Z = Zz(s) ' Z = ZA(s) Рис. 5.8. Реализация Z(s) по (5.40) первой формой Кауэра. На рис 5 8 приведена схемная реализация входной функции полного со- противления Z(s) (5.40), осуществленная согласно процедуре, описанной в предыдущем абзаце. Функции Z>,(s) и ¥5(5) для рис. 5 8 следующие: Z< (з) = (9/10) s + 1/(35/9) s и (5.46а) У5 (S) = (35/9) s. (5.466) 5.2.2.2. Вторая форма Кауэра. Разрабатывая первую форму Кауэра, мы осуществляли разложение входной функции вокруг полюса при s = оо. Теперь рассмотрим случай, когда входная функция подвергается разложению вокруг полюса при s = 0. Рассмотрим входную функцию FLC(s). Не теряя общно- сти, положим, имея в виду (5.8), что знаменатель — полином
116 5. Свойства и реализации входных функций нечетной степени, а числитель — полином четной степени1). Тогда Flc(s) имеет полюс при $ = 0. Если положить Flci(s) = = Flc(s) и выделить полюс Flci(s) при s = 0, то получим Flc\(s) = k{/s + l/FLC2 (s), где (5.47a) (5.476) есть вычет Flci ($) при полюсе s = 0, а остаточный член [Flc2(s)]_ 1 имеет нуль при s = 0. Значит, FLC2(s) имеет полюс при s = 0. Следовательно, мы можем повторить предшествую- щую процедуру выделения полюса для Flc2(s) при $ = 0. Этот процесс дает Flcz («) = + I/FLC3 (s), где (5.48a) ^ = s/?La(s)lI.o (5.486) и Flcs(s) снова имеет полюс при s = 0. Подстановка (5.48) в (5.47) дает (»)—*- + . • (S.49) S FLC3 Повторяя эту процедуру столько раз, сколько требуется, в конечном итоге получим FLC^ = FLCI(S)^^- + ----------1—-----. (5.50) 4 /g2 I 1 С» S Если Flc(s) — функция полного сопротивления, то (5.47) и (5.48) иллюстрируется рис. 5.9, а и 5.9, б, а рис. 5.9, в пока- зывает третий этап процедуры. С Другой стороны, если Flc(s)— функция полной проводи- мости, схемные интерпретации (5.47) и (5.48) представляются рис. 5.10, а и б, а рис. 5.10, в иллюстрирует действие третьего этапа. *) Отметим, что, если Flc(s) имеет нечетный полином в числителе и чет- н1.' । в знаменателе, мы можем иметь дело вместо самой FLC(s) с [Bic ($)]”*• В том случае положим Ftcl(s) Д [f£C(s)]_|. Цель здесь в том, чтобы рабо- тать со входной функцией (это может быть как функция полного сопротив- ления, так и функция полной проводимости), имеющей в знаменателе полином нечетной степени, т. е. полюс при s = 0.
5. Свойства и реализации входных функций 117 Выражение (5.50) и рис. 5.9 или 5.10 составляют вторую форму Кауэра. Отметим, что во второй форме Кауэра имеется только два типа схемных элементов — последовательные емко- сти и параллельные индуктивности. Поскольку на активных Рис. 5.9. Реализация входной функции полною сопротивления Flc(s) второй формой Кауэра. элементах легче всего реализовать заземленные индуктивности, а не индуктивности, находящиеся под некоторым потенциалом относительно земли, вторая форма Кауэра наиболее предпочти- Рис. 5.10. Реализация входной функции полной проводимости Flc(s) второй формой Кауэра. тельна для реализации входных функций в тех случаях, когда желательно, чтобы результирующий двухполюсник был зазем- лен. Однако, как мы увидим в последующих главах, метод, при- меняемый для реализации некоторой входной функции, зачас- тую диктуется другими факторами. Среди них — требования
118 5. Свойства и реализации входных функций к нулям передачи соответствующей передаточной функ- ции *). Как видим, (5.50) есть разложение Fic(s) в непрерывную дробь. Каждое ее слагаемое равно бесконечности в точке s = 0; поэтому говорят, что это разложение осуществлено при точке s = 0. Отметим также, что к (5.50) мы приходим через ряд операций деления и инверсии. Поэтому (5.50) можно полу- чить методом последовательных делений. Если полиномы чис- лителя и знаменателя Flc(s) расположены по убывающим сте- пеням s, при каждом делении будет исключаться член наи- меньшей степени. Например, разложение в непрерывную дробь при s = 0 для F(s) = (9 + 10s2 + s4)/(64s + 20s3 + s5) (5.51a) можно осуществить следующим образом: Заметим, что при каждой инверсии мы делим числитель и знаменатель на s. При этих слагаемых (обведенных на диа- грамме последовательных делений кружками) разложение в непрерывную дробь при s = 0 получается такое: — I . 0,1406 . 1 /с р (S) == -V" + W7-----------------------i------------• (5-52) s + 0,5821 1 s + 44,53 1 s + 0,2773 *) Подробнее см в гл. 7.
5. Свойства и реализации входных функций 119 Еще один метод разложения в непрерывную дробь при s = О можно вывести, представив (5.50) в виде Flc («) = Н------------—г--------, (5.53) + L , --------- «ЗР + где рДз-1. Отметим, что (5.34) и (5.53) идентичны, если за- менить з на р. Поэтому мы можем получить разложение в не- прерывную дробь при s = О, пользуясь следующей процедурой: 1. Предполагаем, что F(s) = M(s)/N(s), где M(s) — поли- ном четной степени dM, a N(s) — полином нечетной степени du. Пусть d = max{dy, 2. Умножаем числитель и знаменатель F(s) на s~d и на- ходим где p-s~'- <5-54) 3. Осуществляем разложение F(p) в непрерывную дробь при р = оо, как в (5.34). 4. Заменяем р на з-1. Результат — разложение F(s) в не- прерывную дробь при s — 0. Для иллюстрации этой процедуры рассмотрим функцию F(s) (5.51). Чтобы найти разложение F(s) при з = 0 в непре- рывную дробь, выполняем следующие операции: 1. Поскольку du = 5 и d^t = 4, d = 5. F _ s~519 + 10s2 + S<1 — 9P5 + 10P3 + P (5 Z. f \.p) — s_5 [64s + 20s3 + S5] 64p4-|-20p2 + 1 ’ ' 3. Разложение F(p) при p = oo: F (p) = 0,1406 p H------------------1-i------------. (5.56) 8,904 p 4----------------------- 0,5821 p 4-------------- 44,53 P + 0,2773 p 4. Заменив p на 1/s, получаем разложение F(s) в непре- рывную дробь при s = 0, как (5.52). Пример 5 3. Реализовать второй формой Кауэра функцию Z(s) = = (64s 4- 20s3 4- s5)/(9 4- 10s2 4- s4). Решение. Чтобы воспользоваться второй формой Кауэра, рассмотрим вы- ражение *) Ki (s) = 1/Z (s) = (9 4- 10s2 4- s4)/(64s + 20s3 -|- s5). (5.57) *) Напомним, что по второй форме Кауэра требуется рассматривать функцию, у которой знаменатель — нечетный полином, а числитель — четный полином.
120 5. Свойства и реализации входных функций Разложение Yt (s) в непрерывную дробь при s = 0 дает у (S) = .2.-14.06 _|------------------!------------------ (5.58) 1 ' ' s 8,904 1 ’ s + 0,5821 1 S + 44,53 1 s + 0,2773 3 Схемная реализация (5 57) или. что эквивалентно, (5.58) второй формой Кауэра показана на рис 5.11, где У6 (s) = 0,2773/s, Z4 (s) = (44,53/s) + [1/У5 (s)], Уз (s) = (0,5821/s) + [1/Z4 (s)] и Z2 (s) = (8,904/s) + [l/f3 (s)]. (5.59) В заключение этого раздела необходимо подчеркнуть, что реализацию входной функции можно начинать с любой из рас- смотренных выше четырех форм (две формы Фостера и две Y=Vfe) Z=Z„fo) Y=Y3(s) Z=Z4fc) Y*Y5(s) ПО (5.57) Рис. 5.11. Реализация Z(s) примера 5.3 второй формой Кауэра. формы Кауэра). Первоначальную процедуру реализации можно прервать на любом этапе и продолжить реализацию, пользуясь уже другой формой. При желании можно сколько угодно часто заменять методы реализации. В этом случае конечный резуль- тат, разумеется, не будет формой Фостера или Кауэра. Однако результирующая схема все же будет реализовать заданную входную функцию. Пример 5.4. Реализовать входную функцию полной проводимости У (S) = (S3 + 3s)/(s2 + 1)( (5.60) используя сначала вторую форму Кауэра, а затем первую форму Кауэра. Решение. Чтобы использовать вторую форму Кауэра, рассмотрим входную функцию с нечетным полиномом в знаменателе. Поэтому вместо заданной У(з) возьмем функцию полного сопротивления Z (s) = (s2 + l)/(s3 + Зз). (5.61) Первый этап разложения Z(s) в непрерывную дробь при s = 0 дает г«-^-+ЖА^+г'<(* <s-e2)
5. Свойства и реализации входных функций 121 Схемная реализация (5.62) показана на рис. 5.12, а. Как требуют условия за- дачи, перейдем к реализации ZR (s) = (2/3) s/(s2 + 3) (5.63) первой формой Кауэра. Поскольку последняя имеет дело с входной £С-функ- Рис 5.12. Решение примера 5 4. цией, у которой степень числителя выше степени знаменателя, мы должны работать с функцией полной проводимости (S) = (S2 + 3)/(2/3) s. (5.64) Разложение У«(5) в непрерывную дробь при s = оо дает Г^(з) = (3/2) s+l/(2/9)s. (5.65) Реализация Уя(з) (5.65) показана на рис. 5.12,6. Схемная реализация (5.60) приведена на рис. 5.12, в. 5.3. Выводы В этой главе мы описали основные свойства входных функ- ций двухполюсников. Эти свойства обусловливают реализуе- мость входных функций. Ниже кратко перечисляются эти условия. Условия реализуемости входных LC-функций 1. Все полюсы и нули /'lc(s) простые и лежат на мнимой оси плоскости s. 2. Полюсы и нули Flc(s) лежат на мнимой оси чередуясь. 3. Точки s = 0 и s = оо являются критическими частотами. 4. Flc(s) есть нечетная рациональная функция, у которой степени полиномов в числителе и знаменателе различаются в точности на единицу. 5. Все вычеты Flc(s) вещественные и положительные. В этой главе мы представили также четыре метода реали- зации входных функций. Первая форма Фостера приложима только к функциям полного сопротивления, а вторая форма Фостера — только к функциям полной проводимости. Обе формы Кауэра равно приложимы как к функциям полного
122 5. Свойства и реализации входных функций сопротивления, так и к функциям полной проводимости. Первая форма Кауэра относится к входной функции, у которой поли- ном в числителе имеет более высокую степень, чем полином в знаменателе, а вторая форма Кауэра — к входной функции, у которой знаменатель — полином нечетной степени. Формы Фостера относительно проще реализуются, но формы Кауэра более полезны, особенно при реализации передаточных функций, как рассказывается в гл. 7. Схемная структура пер- вой формы Фостера состоит из последовательно соединенных Рис. 5.13. Схемные структуры двух форм Фостера и двух форм Кауэра. а—первая форма Фостера; б—вторая форма Фостера; в—первая форма Кауэра; г—вто- рая форма Кауэра. параллельных АС-цепочек, второй формы Фостера — из парал- лельно соединенных последовательных АС-цепочек. Схемные конфигурации обеих форм Кауэра представляют собой лест- ничные схемы. Первая форма Кауэра состоит из последователь- ных индуктивностей и параллельных емкостей, создающих нули передачи1) при $ = оо, а вторая форма Кауэра — из последо- вательных емкостей и параллельных индуктивностей, создаю- щих нули передачи при s = 0. Основные схемные конфигура- ции форм Фостера и Кауэра приведены на рис. 5.13. ЛИТЕРАТУРА 1. Desoer С. A., Kuh Е. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill, 1969. 2. Foster R. M., A Reactance Theorem, Bell Syst. Tech. J., 3, 259—267 (1924). 3. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie- ger, 1975. 4. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters. Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1970. 5. Peikari В , Fundamentals of Network Analysis and Synthesis, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1974. *) Концепция нуля передачи вводится в гл. 7. Здесь достаточно сказать, что нули передачи схемы — это нули функции цепи, связанной с этой схемой.
5. Свойства и реализации входных функции 123 6. Budak A., Passave and Active Network Analysis and Synthesis, Boston, MA., Houghton Mifflin, 1974. 7. Anderson B. D. O., Vongpanitlerd S., Network Analysis and Synthesis, Engle- wood Cliffs, N. J, Prentice-Hali, Inc., 1973. ЗАДАЧИ 5.1. Определить, какая из нижеследующих функций F(s) реализуема как входная функция. Обосновать свои ответы. a) F(s) = s4 + 5s2 + 6 s4 + 3s2 + 2 ’ e) F (s) = s5 + 2s3 + s s4 + 3s2 + 2 ’ б) F(s) = s3 + 5s ж) F (s) = s5 + 3s3 + 2s s4 + 3s2 + 2 ’ s4 + 5,5s2 + 6 ’ в) F (s) = s3 + 1,5s s4 + 3s2 + 2 s4 + 3s2 + 2 ’ 3) Г \S) s5 + 5,5s3 + 6s ’ м р (с\ s3+ 1,5s И) F (s) = s4 4- 3s2 4- 2 г; г (S) s4 + 2s2 + 1 ’ s5 4- 5,5s3 4- 6 ’ я) F (s) = s3 + 1,5s к) F(s)=- s4 4- 3s2 4- 2 s2+ 1 ’ s« 4- 2s4 4- 6s2 4- 3 5.2. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3 5.2: а) Найти установившееся значение тока i(t), если v(t) = A cos at, и показать, что средняя рассеиваемая мощность равна нулю. V I Рис. 3 5.2. б) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s) и показать, что она отвечает свойствам входной функции. 5 3. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3.5 3- а) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s). о) Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной функции. в) Реализовать Z(s) первой формой Фостера. г) Реализовать Z(s) второй формой Фостера.
124 5. Свойства и реализации входных функций д) Реализовать Z(s) первой формой Кауэра. е) Реализовать Z(s) второй формой Кауэра. Примечание: входная функция полного сопротивления для цепи N равна Z (з) = (Юз* + 8s2 + l)/(4s5+ 10s3 + 4s). 5.4. Повторить задачу 5.3 для двухполюсника на рис. 3.5.4. 5.5. Для следующих функций F(s) найти диапазон значений а, в котором F(s) реализуема как входная функция: а) s-^+t3 + 2'; ч „ , ч s’ + 4s в) F (s) = —J—:-„ , k ; ' s4 + as2 + 2 ’ r) F (s) = д) /7(s) = 2,5s’ + 2s2 + a s5 + 2,5s3 + s ’ 2,5s4 + as2 + 0,25 s5 + 2,5s3 + s 5.6. Реализовать нижеследующие входные функции полного сопротивления обеими формами Фостера и обеими формами Кауэра. Если данная Z(s) нереализуема, обосновать причину. a) Z (s) = 5 a) Z (s) (s2 + , 6) z(s) — s(s2 + 4); s(s2 + 2) (s2 + 4) П z W (S2 + J) (S2 + 3) . д) (s2 + 2)(s2+4) Д) Z ( J “ s (s2 + 1) (s2 + 3) • в) Z (s) = (s2 + 1) (s2 + 3) , s (s2 + 2) ’ 5.7. Реализовать нижеследующие входные функции полной проводимое!в обеими формами Фостера и обеими формами Кауэра. Если данная У(з) нереализуема, обосновать причину. a) У(з) б) У(з) в) У (а) a (s2 + 2) . = (а2+1) ’ s2+3 = з (s2 + 4) ’ (s2+l)(s2 + 3). “ s (s2 + 2) г) У <21 - 5 (s2 + 2) (s> + 4) • ' ( (s2+W + 3) ’ д) Уб;)- + 2) (S2 + 4) Л> ( > з (s2 + 1) (s2 + 3) •
5. Свойства и реализации входных функций 125 5.8. Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) = = (s2 + 1) (s2 + 4)/s(s2 + 3) (s2 + 5) следующими способами: а) Начать с первой формы Кауэра (для двух элементов) и завершить реализацию второй формой Кауэра. б) Начать со второй формы Кауэра (для трех элементов) и завершить реализацию первой формой Кауэра. в) Начать с первой формы Кауэра (для одного элемента), затем пе- рейти на вторую форму Кауэра (для одного элемента) и завершить реализацию первой формой Фостера. 5.9. а) Реализовать входную функцию полной проводимости K(s) = = (4s3 + 6s)/(s‘ + 5s2 + 4) первой формой Кауэра. б) Убедиться, что входная функция полной проводимости, полученная в п. а), действительно соответствует K(s). 5.10. а) Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) = = (4s3 + 6s)I(s4 + 5s2 -j- 4) второй формой Кауэра. б) Убедиться, что входная функция полного сопротивления, полученная в п. а), действительно соответствует Z(s). 5.11. Даны коэффициенты полиномов A (s) = оо — ais + a2s2 + amsm и B(s) = bo + bis + bis2 + ... + bns". Написать машинную программу для определения, реализуема ли функ- ция F(s) = A (s)/B(s) в качестве входной функции. 5.12. Для заданной входной функции полного сопротивления [полной прово- димости] Z(s) [/(s)] написать машинную программу ее реализации: а) первой формой Фостера, б) второй формой Фостера, в) первой фор- мой Кауэра, г) второй формой Кауэра.
Свойства и реализации пассивных входных /?С-функций Для работы на низких частотах необходимы большие зна- чения индуктивности, а это обычно требует введения дискрет- ных катушек индуктивности, которые имеют большую массу, обладают значительными потерями, велики по размеру и дорого стоят. К тому же настоящие интегральные катушки индуктив- ности все еще не удается получить. Что же касается «синтези- рованных» индуктивностей, таких, как получаемые сочетанием гиратора и емкости, то они до сих пор создают многие практи- ческие затруднения. Преодолеть все эти затруднения позволяют хорошо разработанные в настоящее время пассивные и актив- ные /?С-схемы ]). В этой главе показывается, что у пассивного /?С-двухполюс- ника полюсы и нули функции полного сопротивления или пол- ной проводимости лежат на отрицательной вещественной полу- оси плоскости s* 2). Это означает, что полюсы передаточной функции пассивного четырехполюсника должны лежать на от- рицательной вещественной полуоси плоскости s. К счастью, с включением таких активных приборов, как операционные усилители и ИНУН, можно получить в плоскости s комплекс- ные полюсы. Следовательно, теоретически активные /?С-цепи способны выполнять все те же функции фильтрации, что и LC-цепи. Однако достижимые допуски схемных элементов и чувствительность их параметров к различным внешним влия- ниям зачастую ставят пределы, а то и вовсе исключают прак- тическую реализуемость /?С-фильтров на высоких частотах. Это в особенности справедливо для активных элементов. С другой стороны, на низких частотах, где вариации парамет- ров отдельных элементов не столь важны, активные 7?С-схемы фильтров полностью доминируют. Как мы увидим далее, реа- лизация входных функций с помощью резисторов и конденсато- ров играет важнейшую роль при проектировании активных RC-схем. *) Пассивные /?С-схемы содержат только резисторы и конденсаторы Активные /?С-схемы содержат как резисторы и конденсаторы, так и активные приборы. 2) В данной книге предполагается, что отрицательная вещественная полу- ось плоскости s включает начало координат s = 0 и точку s = оо,
6 Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 127 В этой главе мы исследуем основные свойства и методы реализации входных функций с помощью одних только резис- торов и конденсаторов. Этот класс входных функций назы- вается входными /?С-функциями. 6.1. Свойства входных RC-функций полного сопротивления Свойства и методы реализации входных /?С-функций легче всего установить путем параллельного сравнения с таковыми же для входных LC-функций. Это не самый строгий способ изложения, но он тем не менее приводит к точным результатам и позволяет глубже понять свойства двухэлементных функций полного сопротивления и полной проводимости. В гл. 5 было показано, что любую функцию полного сопро- тивления АС-двухполюсника без потерь можно описать урав- нением (5.25), которое для удобства приведем еще раз: п Zu{s)=La + -^ + ^ICts + (lM. (6.1) 1=1 Это означает, что любому АС-двухполюснику соответствует эквивалентная схема на рис. 5.2. Сопоставим заданному RС-двухполюснику АС-двухполюс- ник г]£с, полученный путем замены каждого сопротивления Rk (Ом) на индуктивность Rk (Г). Как следует из предыду- щего абзаца, двухполюснику г]£С соответствует эквивалентная схема fj lc на рис. 5.2. Если теперь мы получим двухполюсник fj rc путем замены каждой индуктивности Lk (Г) на сопротив- ление Lk (Ом), то, очевидно, fjrc будет эквивалентен t]Rc так же, как тис эквивалентен x\Lc- Для т)£с входная функция полного сопротивления опреде- ляется (6.1), a t)rc получается путем замены каждой ветви с полным сопротивлением sLk в т) Lc на сопротивление Rk = Lk. Поэтому для f)Rc функция полного сопротивления будет иметь вид п 2«c(s) = X ’ <6,2) i=l Положив ^ = l/RtCh k^ — R^ и Ао=1/Со, (6.3) получим вместо (6.2) п . ZSc<s) = 4„ + -H£t+V <6-4>
128 6 Свойства и реализации пассивных входных RC-функций где а; и kt (i= 1, 2, .... п), а также kn и kx положительны и вещественны. Поскольку и f]Rc — эквивалентные двухпо- люсники, для функция полного сопротивления также, оче- видно, задается (6.4). Отсюда мы заключаем, что функцию полного сопротивления для любого /?С-двухполюсника можно записать в виде (6.4). Перейдем теперь от этих предварительных соображений к рассмотрению некоторых общих свойств импедансных функ- ций полного сопротивления для двухполюсников. Свойство ZRC1. Все полюсы и нули функции полного со- противления /?С-двухполюсника лежат на отрицательной веще- ственной полуоси плоскости s. Доказательство. Из (4.5) входная функция полного сопро- тивления двухполюсника удовлетворяет следующему урав- нению: 2„«=Х«*-п7Е+тЕ-гг''п7Р- <6-5> я Далее, (6.5) показывает, что нули ZBx(s) должны удовлетво- рять уравнениям вида as + P = 0, где (6.6) Я V Хотя и а, и р являются функциями s, можно все же заключить, основываясь на (6.6), что нули функции полного сопротивления /?С-двухполюсника лежат на отрицательной вещественной по- луоси плоскости s. В силу дуальности можно заключить, что и нули функции полной проводимости /?С-двухполюсника должны лежать на отрицательной вещественной полуоси. Сле- довательно, и нули, и полюсы входной функции /?С-двухполюс- ника лежат на отрицательной вещественной полуоси плоско- сти s. Основываясь на общей форме (6.4) функции полного со- противления ZRc(s) /?С-двухполюсника, делаем еще следую- щие заключения: Свойство ZRC2. Вычеты ZRc(s) вещественны и положи- тельны. Доказательство. Из (6.4) вычетами Z^c(s) являются по- стоянные ki (i = 0, 1, 2, ..., п и оо). Эти вычеты вещественны и положительны, как показывает (6.3) *). *) Постоянные ko и kx вещественны и положительны повсюду, где они появляются в (6.4). Строго говоря, kt> и few — вещественные и неотрицатель- ные постоянные.
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 129 Свойство ZRC3. Zrc(s) не может иметь полюс при s = оо. Кроме того *), Zrc (°0) < Zrc (0). (6.7) Доказательство. Из (6.4) ZRc(°o) = &», а это — конечное не- отрицательное’число. Следовательно, s = оо не может быть полюсом ZRc(s). Кроме того, из (6.4) k Ji, k ^c(0) = fcTO + -^ + £-^. (6.8) i=l 1 Если k 0, to Zflc(s) имеет полюс при s = 0 и ZRc(0)=oo. Если ko = 0, то точка s — 0 не является полюсом ZRc(s). п k п k ZRC (0) = + У = ZRC (оо) + £ -L > ZRC (оо). (6.9) /—1 1 J—1 1 Тем самым свойство ZRC3 доказывается. Свойство ZRC4. ZRC(s) есть функция, монотонно падающая вдоль вещественной оси плоскости s, исключая точки полю- сов ZRC(s). Доказательство. Дифференцируя (6.4) по s, получаем lZ.Rc (1 = _ А _ V_______k‘ (6 10) da a2 Lls + atf’ К ’ i-1 v При s — a (6.10) переходит в dzRc И ko V kt da ~ а2 Ь(а + о,}2' ' ’ i-i ' u Поскольку, как указывает свойство ZRC2, ki положительны и вещественны, dZRC (a)/da < 0 (6.12) для всех а, исключая ст = —ст/, которые являются полюсами Zrc(s). Некоторые типичные зависимости ZRc(o) от ст показаны на рис. 6.1. Как следствие свойства ZRC4 имеем еще два свойства: Свойство ZRC5. Все полюсы и нули ZRC(s) простые и ле- жат на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чере- дуясь. Критической точкой, наиболее близкой к началу коор- ’) Отметим, что ZRC(—оо) = ZRC(oo). 6 Зак. ИЗО
130 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций Рис. 6.1. Типичные зависимости Zsc(ff) от о. айв: s=<x> не является нулем ZRq (s), биг: г=<» является нулем Zrq (s); а и б: s=0 не является полюсом Zrq (s); виг: s=0 является полюсом ZRc (s). О нуль; X полюс. динат, должен быть полюс (это может иметь место прямо в на- чале координат), а критической точкой, наиболее близкой к s = оо, является нуль (это также может иметь место прямо при $=оо), Включая точку s = оо, число полюсов Zkc(s) равно числу нулей (рис. 6.1). Свойство ZRC6. Если s = оо не является нулем ZrC(s), то Zrc(s) можно записать как ZRC (s) = ?-. где (6.13) ’ (s + О:) (s + Оз) ••• (s + ffr+1) 0 6j < a2 < 6.3 • • • <6?, (6.14)
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 131 а г — четное число. С другой стороны, если s = оо является нулем Zrc(s), последняя выражается как 7 1„\__ k (s + 62) (s + 64) • • • (s + &r) (a I e\ (5) - (s + di) (s + —s + df+i) . (b.lb) где r — четное число, и О < < о2 < ... < 6>+I. (6.16) Отметим, что (6.13) просто указывает, что конечных полю- сов столько же, сколько конечных нулей1). Следовательно, сте- пени полиномов, стоящих в числителе и знаменателе, одина- ковы. В (6.15) степень знаменателя на единицу больше степени числителя, из чего следует, что конечных полюсов больше, чем конечных нулей. Если Zrc(s) задана в виде отношеьия двух полиномов Zrc(s) = A(s)/B(s), где 4(s) и В ($)-- соответ- ственно полиномы степеней dA и de, то свойство ZRC6 подра- зумевает (6.17) Свойства ZRC5 и ZRC6 играют весьма важную роль при проек- тировании активных фильтров, рассматриваемом в гл. 10. Свойство ZRC7. Re[ZRc(/со)] монотонно падает с возраста- нием |<о|. Доказательство. Из (6.4) вещественная часть Zrc(}g)) равна п Я.О'.» Re [Z^ (/со)] = ^ + 7 2г ' . (6.18) (Ш -(TJ При возрастании |со| второй член правой части (6.18) умень- шается, а первый остается постоянным. Следовательно, наше заключение правильное. Свойство ZRC1 означает, что Re [Z^c(/со) ] достигает мини- мального значения при со = оо. Из (6.4) ZRc(joo') = Zrc(oo) — величина вещественная. Следовательно, имеем Z^c (00) = Re [ZRC (оо)] < Re [ZRC (/со)] для всех со. (6.19) Выражение (6.19) весьма полезно при синтезе входных функ- ций RC-двухполюсников, в особенности при первой форме Кауэра. Оно показывает, что ZRc(°o) — это наибольшая поло- жительная постоянная, какую можно извлечь из ZRc(s), при- чем остаточная функция полного сопротивления ZrC (s)A ZrcX. X(s) — ZRC (00) все еще будет ПВ-функцией, обладающей всеми 1) Точку si, называют конечным полюсом (нулем) рациональной функ- ции F(s), если Si, является полюсом (нулем) F(s) и ] s* ] =& оо. 5*
132 6 Свойства и реализации пассивных входных RC-функций свойствами входной ^С-функции полного сопротивления1). Этот факт используется при реализации входных ^С-функций первой формой Кауэра. Схемная реализация (6.2), полученная путем разложения (6.4) на простые дроби, приведена на рис. 6.2. Она называется Рис. 6.2. Схемная структура первой формы Фостера. первой формой Фостера. Отметим, что схема на рис. 6.2 такая же, как на рис. 5.2, только все индуктивности заменены сопро- тивлениями соответствующих номиналов. 6.2. Свойства входных RC-функций полной проводимости Основываясь не на (5.25), а на (5.27), можно показать, что входная функция полной проводимости 7?С-двухполюсника имеет следующую обобщенную форму: Yrc (s) — C^s + + X Rt + (1/Cjs) • <6,20) i=i Если положить k0=ljR0, kl = l/Rl, kx = C™ и <rt = l//?A, (6.21) то (6.20) можно переписать в виде Yrc (s) = k~s + ko + S kts/(s + <T/), (6.22) где kt и <r( (i = 1, 2.л), а также ko и kx— положительные и вещественные. ’) Подробнее см. в [1, 2].
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 133 После рассмотрения выражений (6.20) — (6.22) для входной /?С-функции полной проводимости K«c(s) можно утверждать следующее1): Свойство YRC1. Все полюсы и нули Yrc(s) лежат на отри- цательной вещественной полуоси плоскости s. Свойство YRC2. Вычеты Krc(s) при конечных отрицатель- ных вещественных полюсах вещественны и отрицательны. Вы- чет У«с(з) при полюсе s = оо положителен и веществен2 *). Доказательство. Из (6.22) вычет YRc(s) при s = оо равен Нт (1/з)Ум(«) = К>. (6.23) <S->oo Согласно (6.21), положителен и веществен. Вычет y«c(s) при конечном отрицательном вещественном полюсе $ = —Gj равен £/ = (5+<Т/)Уяс(з)и_0/. (6.24) Подставляя (6.22) в (6.24), получаем l1 = kjs\s = — (6.25) Из (6.21) и (6.25) следует, что отрицателен и веществен. Свойство YRC3. YRc(s) не может иметь полюс при s = оо. Кроме того, Yrc (0) < Y Rc (оо) = | YRC (- оо) I. (6.26) Заметим, что YRc(s) может иметь полюс при s = оо и (или) нуль при s = 0. Свойство YRC4. YRc(s) есть функция, монотонно нарастаю- щая вдоль вещественной оси плоскости s, исключая точки по- люсов YRc(s). Доказательство. Дифференцируя (6.22), получаем dYRc (o)/do = + S kiO^o + aj2. (6.27) i-1 Из (6.21) и (6.27) dYRC(o)ldo>G (6.28) для всех cr, исключая полюсы YRc(s). *) В случаях, когда свойство функции Krc(s) можно доказать по прин- ципу дуальности, параллельно с таким же свойством функции ограни- чиваемся формулированием этого свойства 2) Во всех случаях, когда в (6.22) появляется это вещественная и положительная постоянная.
134 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций Рис. 6.3. Типичные зависимости Укс(ст) от а. айв: в=0 не является нулем Уде (в); биг: г=0 является нулем Уде (s); а и б: г—оо является полюсом Yrc (г): виг: в=оо не является полюсом Yrq (s). О нули; X полюсы. Некоторые типичные зависимости Уде(ст) от ст приведены на рис. 6.3. Свойство YRC5. Все полюсы и нули Yrc(s) простые и лежат на отрицательной вещественной полуоси плоскости s чередуясь. Критической точкой, ближайшей к началу координат, должен быть нуль (он может находиться и в начале координат), а бли- жайшей к бесконечности — полюс (может быть полюс и при s==oo). Число полюсов Yrc(s), включая s = оо, равно числу нулей Yrc(s) (рис. 6.3). Свойство YRC6. Если s — оо не является полюсом Yrc(s), то Yrc(s) можно записать в виде у (s + ai) (s + а3) ... (s + дг) /г- ¥rc {s)---(s + d2) (s + d4) ... (s + &Г+1) ’
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 135 где г — нечетное число, а О < а2 < • • • < 6>+i- (6.30) В этом случае полиномы, стоящие в числителе и знаменателе, имеют одинаковую степень. С другой стороны, если s = оо есть полюс Yrc(s), последнюю можно записать как yrc (s) = . (6-31) RGV 7 (« +or2) (s + <т4) ... (S + Or-1) ’ где г — нечетное число, а 0 б] < <J2 < ... < бу. (6.32) Выражение (6.31) означает, что степень полинома, стоящего в числителе, больше степени полинома, стоящего в знаменателе. Свойство YPC7. Re [YRc (/со) //со] уменьшается с ростом | со |. Доказательство. Из (6.22) п Yrc (s)/s = kx + (kQ/s) + Z lkt/(s + a,)]. (6.33) c=i Заметим, что YRC(s)/s имеет форму входной RC-функции пол- ного сопротивления (6.4). Следовательно, согласно свойству ZRC7 входной функции полного сопротивления RC-двухполюс- ника заключаем, что Re [У«с (/со)//со] уменьшается с ростом | со |. Свойство YRC8. Re [Yrc (/со)] есть монотонно нарастающая функция |со]. Кроме того, Yrc (°) С Re [Улс (/<»)] для всех со. (6.34) Доказательство. Из (6.22) получаем п Г k ' ~\ п Re [Улс (/«)] = + £ Re = kQ + £ ^w2/(a2+co2). (6.35) c-i 1 i-i Очевидно, Re[y«c(0)] = йо — минимальное значение Re [У/?с(/co) ], так как второй член правой части (6.35) положи- телен для всех со =# 0. Из (6.35) видно, что Re[У/гс(/со)] — монотонно нарастающая функция |со|. График зависимости Re[У^с(/со)] от со приведен на рис. 6.4, где А = Re [Улс (оо)] = й0 + £ > Йо = Уде (0). (6.36) Видно, что У«с(0) — наибольшая постоянная, которую можно выделить из YRC(s) таким образом, чтобы остаток Yrc(s)A AYrc(s) — Уде (°) был бы еще ПВ-функцией, обладающей
136 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций всеми свойствами входной /?С-функции полной проводимости. Этот факт является основой для реализации входных /?С-функ- ций второй формой Кауэра. Рис. 6.4. Типичная зависимость Ре[У«с(/ш)] от со. Рис. 6.5. Схемная структура второй формы Фостера. Схемная реализация (6.22) или, что эквивалентно, (6.20), (6.21), приведенная на рис. 6.5, называется второй формой Фостера. 6.3. Пример методов реализации Фостера Пример 6.1. Реализовать двумя формами Фостера ZRC (s) == (s + 1) (s + 3)/s (s + 2) (s + 4). (6.37) Решение. Можно показать, что функция полного сопротивления (6.37) со- ответствует всем свойствам входной ЛС-функции полного сопротивления. Сле- довательно, для нее возможна реализация пассивной 7?С-схемой. Разложение функции (6.37) на простые дроби дает ZRC (s) - Л/s + B/(s + 2) 4- C/(s + 4), (6.38) г те А, В и С — вычеты ZRC(s) при полюсах si = 0, sa = —2 и Ss = —4 соответственно. Отсюда Л = (s) |s=o ~ 3/8> В = (5 + 2)2ДС(5) |s=_2=1/4, С«(а + 4)2лс(а)|,__4 = 3/8,
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 137 и (6.38) переписывается в виде 7 М З/8 4- 1/4 + 3/8 (6 39) ZRC --------— + Т+2 + Т+Т’ (6’39) Записав (6.39) в форме (6.2), получаем ZRC (s) = (8/3) s + 4s+ 8 + (8/3) s + (32/3) ' (6,40) Схемная реализация (6.37) или, что эквивалентно, (6.40) приведена на рис. 6.6, а. Рис. 6.6. Схемы реализации входной /?С-функции полного сопротивления (6.37). в—первой формой Фостера; б—второй формой Фостера. Для реализации (6 37) второй формой Фостера рассмотрим Yrc (s) = l/ZRC (s) = s (s + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3). (6.41) Произведя разложение YKC(s)/s на простые дроби, получим Yrc(s) (s + 2) (s + 4) s2 + 6s + 8 , 2s + 5 S ~ (s+l)(s + 3)'= s2 + 4s + 3 1 + (s + 1) (s + 3) -‘+7TT+7T?' rM <e-42) D-(s+D (s + d (s + 3) |s__! - 2 и £-(s + 3)(s+l)(s+3)|s»_ s 2' Следовательно, (6.42) переписывается в виде Глс(а) 3/2 , 1/2 s 1 "Г s+ 1 s + 3 Y z^. , (3/2LL I. W2) * . s . ____________1 J'rc(s) s+1 -t- s + 3+«+ 2 2 T + 3? ИЛИ Ц-. <e-43) 1-7 Схемная реализация (6 37) второй формой Фостера приведена на рис. 6.6, б. 6.4. Методы реализации Кауэра Как и в случае LC-двухполюсников, две формы Фостера — не единственные методы реализации входных /?С-функций пол- ного сопротивления или полной проводимости. В этом разделе мы рассмотрим еще два метода —две формы Кауэра. Первая форма Кауэра основывается на следующих двух фактах;
138 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций la. s = оо может быть полюсом yRc(s). 16. ZRC(oo)^ Re[ZRc(/co)] для всех co. Как следует из п. 16, остаточная функция полного сопротивле- ния ZrRc (s) A ZRa (s) — ZRC (°°) остается входной ПВ-функцией. Кроме того, ZRc(°o) = 0. Следовательно, YRc(s) имеет полюс при s = oo. Аналогичным образом, вторая форма Кауэра опре- деляется следующими двумя фактами: 2а. $ = 0 может быть полюсом ZRc(s). 26. KRc(O)^ Re [ Yrc (/co) ] для всех co. Следовательно, остаточная функция полной проводимости Yrc(s) & Yrc(s) — Уйс(0) остается ПВ-функцией, обладающей всеми свойствами входной функции полной проводимости RC-двухполюсника. Далее, Уяс(О) = О. Поэтому ZRc(s) имеет полюс при 5 = 0. 6.4-1. Первая форма Кауэра При первой форме Кауэра исследуется ZRc(s) или YRc(s) в точке s = оо. Имеется две возможности: либо Уяс(оо) ко- нечна, либо s = oo является полюсом Уяс(в). Предположим сперва, что s = оо является полюсом YRc(s). Тогда полюс можно выделить посредством подключения шунтирующего кон- денсатора. С математической точки зрения это эквивалентно тому, что yRC(s) записывается в виде Yrc (s) ~ Cos + У] (s), где (6.44а) Co = |rJ?c(s)|s-K> (6.446) есть вычет YRc(s) при полюсе з = оо, а остаточная функция У1(з) = Удс(з)...С05 (6.44в) при конечной величине УДоо) также является входной RC-функцией полной проводимости. Поскольку YRc(s) записана в (6.44) в виде суммы двух членов, можно реализовать YRc(s) посредством подключения конденсатора в параллель с RC-двух- полюсником, характеризующимся входной функцией полной проводимости У1(з) (рис. 6.7, а). Ясно, что У1(в) проще, чем У«с(з). Для реализации У1(я) рассмотрим другую возмож- ность: s = оо не является полюсом Уйс(з). В этом случае при- бегнем к инверсии У«с(з) и получим ZRc(s). Опираясь на усло- вие 16 или свойство ZRC7 для ZRc(s), можем выделить ZRc(°°) из ZRc(s), что соответствует последовательному резистору, при этом остаточная функция все еще остается входной RC-функ-
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 139 цией полного сопротивления. В математической форме это соот- ветствует тому, чтобы записать ZRC(s) как ZRC («) = + Zi (s), где (6.45a) R0 = Zrc(o°), (6.456) а остаточная функция 2i(s) является входной /?С-функцией полного сопротивления. Поскольку ZRc(s) в (6.45) записана в Рис. 6.7. Основная процедура реализации первой формой Кауэра. a) s»oo является полюсом Yrq (s); б) s=soo не является полюсом Zrq (s). б виде суммы двух членов, можно реализовать ZRc(s) посредст- вом включения резистора последовательно с ^С-двухполюсни- Рис. 6.8. Схемная структура первой формы Кауэра. a) s»oo не является полюсом Yrq(s); б) s==oo является полюсом Yrq(s}. ком, характеризующимся входной функцией полного сопротив- ления 2i (s). Это иллюстрируется рис. 6.7,6. Из (6.45) получаем Zj(oo) = 0. (6.46) Следовательно, s = оо есть полюс Pi(s). Для реализации ?i(s) вернемся к предыдущему случаю, когда s = оо есть полюс
140 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций входной ^С-функции полной проводимости. Эту процедуру можно повторять, и мы придем к первой форме Кауэра (рис. 6.8). Чтобы увидеть, какое влияние оказывает удаление Ro из Z/}c(s), проведенное в (6.45), рассмотрим типичное семейство зависимостей ZRc(a) от а при Z/?c(oo)¥=0 (рис. 6.9). Вычесть Рис. 6.9. Типичная зависимость ZRc(o) от а. X полюс, О «Уль Zrc(s)-, И полюс, □ нуль остаточной входной функции полного сопро- тивления Z^c (s) (s)—ZRC (оо). из Zrc(s) постоянную Ro = ZRC(°°)— это равносильно переносу оси абсцисс на высоту Ro, как показано штриховой горизонталь- ной прямой на рис. 6.9. Как видно из рисунка, расположение полюсов при этом остается прежним, полюсы и нули по-прежне- му чередуются друг с другом, но расположение нулей изменилось и, что самое важное, появился новый нуль при s = оо. Это озна- чает, что остаточная входная функция полного сопротивления имеет нуль при s= оо; связанная с ней входная функция пол- ной проводимости имеет полюс при s = оо. Пример 6 2. Реализовать первой формой Кауэра следующую входную функцию полного сопротивления 7?С-двухполюсника: Z (s) = (s’ + 4s + 3)/(s3 + 6s2 + 8s) = (s + 1) (s + 3)/s (s + 2) (s + 4). (6.47) Решение. Поскольку заданная функция полного сопротивления имеет нуль при s = оо, соответствующая ей функция полной проводимости у (s) -= (s3 + 6s2 + 8s)/(s2 + 4s + 3) (6.48) имеет полюс при s = ое. Вычет при этом полюсе равен goA(l/s)K(s)|s_00=l. Выделив этот полюс из (6.48), запишем Hs) = Ы + Л (*) = « +Л («). (6.49) где Ki(s)—остаточная функция, определяемая выражением Ki(s) = = F(s)—s = (2s2 4-5s)/(s2 4-4s 4-3). Схемная интерпретация этого этапа синтеза представлена на рис. 6.10, а. Поскольку Ki(oo)—конечная величина, инвертируем Ki(s) и получаем 2i (s) = (s2 4- 4s 4- 3)/(2s2 4- 5s). (6.50)
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 141 Y=Y(s) по (648) Z=Zt(s) по (6 so) а г Рис. 8.10. Реализация входной ЯС-функции полного сопротивления (6.47) пер- вой формой Кауэра. Теперь, продолжая, выделим Z!(oo) = 1/2 из Zi(s) Z, (з) - Л (s) - Zt (оо) = Zl (s) - (1/2) (6.51) Этот »тап иллюстрируется рис. 6.10,6. Очевидно, Z2(oo)=0. Рассмотрим у»(«) <6-52)
142 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций Yz(s) имеет полюс при s — оо Чтобы выделить этот полюс, необходимо най- ти вычет ^2 Уз(^) при полюсе s = оо: Ь = (1Л) М*)15=оо = 4/3. (6.53) Поэтому запишем У2 (s) = (4/3) s + Y3 (s), где (6.54) Уз (s) = Y2 (s) - (4/3) s = 2s/(3s + 6). (6.55) Этот этап показан на рис. 6.10, в. Поскольку Уз(°°)—конечная величина, рас- смотрим Z3 (s) = (3s + 6)/2s. (6.56) Выделяя из Zs(s) последовательный резистор /з(<*>)= 3/2 Ом, записываем Z3 (s) = (3/2) + Z4 (s), (6.57) где остаточная функция Z4 (s) = Z3 (s) - (3/2) = (3/s) = l/(l/3) s (6.58) представляет конденсатор 1/3 Ф Вся процедура реализации показана на рис. 6.10, г Заметим, что с помощью (6.58), (6.56), (6.52) и (6.50) можно записать У (s) из (6.48) в виде F(S) = s + y1(S) = S + y^==s + -r—------------------- 1() ~ + z2(s) Видно, что (6.59) имеет форму разложения в непрерывную дробь. Следовательно, (6.59) можно получить путем последова- тельных делений и инверсии в точке s = оо. Для этого необхо- димо при каждом делении исключать члены высшей степени. Для примера слагаемые разложения K(s) по (6.48) в непрерыв- ную дробь при s = оо путем процесса последовательных деле-
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 143 ний с инверсией обведены на рисунке кружками: При этом получаем такое же разложение, как в (6.59). 6.4-2. Вторая форма Кауэра Если теперь мы исследуем Krc(s) или Zrc(s) в точке s = О, а не в точке s = оо, то можем получить вторую форму Кауэра. В данном случае рассмотрим входную функцию полного сопро- тивления ZRC(s). Если s = 0 является полюсом ZRc(s), выделим полюс с помощью последовательного конденсатора. Это экви- валентно выражению ^c(s) = (W + ZI(S), где (6.60а) k0 = sZRC(s) Is-о (6.606) есть вычет ZRc(s) при полюсе $ = 0, a Zi(s)— остаточная функ- ция полного сопротивления. Как и в случае первой формы Кауэра, Zi (s) отвечает всем свойствам входной /?С-функции полного сопротивления. Кроме того, Z] (0) — конечная величина: s = 0 не является полюсом Zi(s). Поскольку ZRC(s) в (6.60) выражается в виде суммы двух членов, можно реализовать ZRc(s), включив конденсатор последовательно с /?С-двухполюс- ником, характеризующимся входной функцией полного сопро- тивления Zi(s) (рис. 6.11, а). Следовательно, задача реализа- ции Z^c(s) сводится к реализации более простой функции пол- ного сопротивления Zi(s). Чтобы реализовать Zi(s), рассмотрим случай, когда s = 0 не является полюсом ZRC(s). В этом слу- чае сначала получим YRC(s) путем инверсии ZRC(s). Согласно
144 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций условию 26 свойства YRC8 входной /?С-функции полной прово- димости, можно выделить У«с(0) с помощью параллельного ре- зистора, причем остаточная ПВ-функция все еще будет пред- ставлять входную /?С-функцию полной проводимости. Это озна- чает, что можно написать У rc (s) = So + fl (S). (6.61a) go = YRC(O), (6.616) a Pi(s) — остаточная входная /?С-функция полной проводимо- сти. Из (6.61) видно, что YRc(s) можно реализовать, включив Рис. 6.11. Основная процедура реализации второй формой Кауэра. a) s=0 является полюсом Zrq (s), б) $() не является полюсом Zrq (з). параллельно fi(s) резистор. Этот этап иллюстрируется рис. 6.11,6. Заметим, что (6.61) подразумевает У!(0) = 0. (6.62) Следовательно, $ = 0 является полюсом соответствующей вход- ной /?С-функции полного сопротивления 2i(s). Это означает, Рис. 6.12. Схемная структура второй формы Кауэра. а) не является полюсом Zrc (з); б) s=0 является полюсом Zrq (s). что можно повторять процесс выделения последовательных кон- денсаторов и параллельных резисторов до тех пор, пока не бу- дет завершена реализация схемы (рис. 6.12). Пример 6.3. Реализовать второй формой Кауэра входную 7?С-функциЮ ро того сопротивления Z (s) = (3 + 4s + s2)/(8s + 6s2 + s3). (6.63)
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 145 Решение. Поскольку Z(s) имеет полюс в точке s = О, выделим этот по- люс, найдя прежде всего его вычет Ео = sZ (s) |s=0 = 3/8, а затем записав Z(s) в виде Z (s) = (3/8s) 4- Z, (з), где (6.64) 7М 7 3 (7/4)+ (5/8)3 Z,(3) = Z(3)--^= 8 + 6s + s2-- (6-65) — остаточная функция. Заметим, что Zi(s)—ПВ-функция, отвечающая всем свойствам входной /?С-функции импеданса. Этап (6.64) показан на рис. 6.13, а. Рис. 6.13. Реализация входной /?С-функции полного сопротивления (6.63) вто- рой формой Кауэра. Поскольку Zi(0)—конечная величина, рассмотрим v , . 8 + 6s + S2 Yl (s) - (7/4) + (5/8) s’ ( • } Выделив нз У1(з) постоянную Yi(0) с помощью параллельного резистора, получим остаточную функцию Yz(s) в виде у. И - Г. (.) - г. (0) - Л ОТ - + - Этот этап иллюстрируется рис. 6.13,6. Повторив предыдущую процедуру, вы- разим Z2(s) = [ (7/4) + (5/8) s]/[ (22/7) s + s*] как Z2 (s) = (49/88s) + Z3 (s), (6.68) где 49/88 — вычет Z2(s) при полюсе s =0, a 7 /oi _ 7 49 З/44 Zs (s) Z2 (s) 88s _ (22/7) + . (6.69) Это дает Гз (s) = = Гз (0) + У4 (s) =~ + K4 (S), (6.70) где Г4 (s) = Y3 (s) — -^p-= или
146 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций Схемная реализация (6.63) второй формой Кауэра, как она изложена выше, показана на рис. 6.13, в. Заметим, что путем подстановки (6.71) в (6.70), затем в (6.68), затем в (6.67) и, наконец, в (6.64) получаем Z <’> = К + ЗТ---------Ч----------• (672> 7 + 49 I 1 88s + 968 1 21 + 3 44s Мы можем также получить (6.72) с помощью метода после- довательных делений, расположив оба полинома (делимое и делитель) по убывающим степеням s: Отметим, что (6.72) является разложением в непрерывную дробь для (6.63) в точке s = 0. Как и в случае LC-двухполюсников, при реализации вход- ных /?С-функций не требуется использовать на всех этапах этой процедуры какой-то один метод. Мы можем переходить от од- ной формы реализации к другой на любом этапе и как угодно часто. Иными словами, мы можем реализовать входную RC- функцию полного сопротивления или полной проводимости, со- четая формы Фостера и Кауэра. Пример 6.4. Реализовать входную /?С-функцию полного сопротивления Z (s) = (s 4- 1) (s + 3) (s + 5)/s (s + 2) (s + 4) (s + 6) (6.73) следующими способами:
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 147 1. Первой формой Кауэра с выделением двух конденсаторов. 2. Второй формой Кауэра с выделением одного конденсатора. 3. С реализацией остаточной функции второй формой Фостера. Решение. Для получения первой формы Кауэра нам необходимо исследо- вать функцию полной проводимости Y (s) = s (s + 2) (s + 4) (s + 6)/(s + 1) (s + 3) (s + 5) (6.74) в точке s = оо. Поскольку У(оо)=оо, осуществим частичное разложение У(s) в непрерывную дробь при s = оо; s4 + 12s3 + 44s2 + 48s , 1 MS)— S3 + 9s2 + 23s + 15 — s+ 1 1 3 у s + n(s) (6.75) где 3s2 + (21/2) s 11 ' 2s2 + 12s+ 15' (6.76) ₽ис.д)6.14. Схема реализации входной Л’С-функции полного сопротивления Этот этап реализован на рис. 6.14, а. Далее используем для частичной реа- лизации Ki(s) вторую форму Кауэра. Для этого надо исследовать z (sx 1______________15+ 12s + 2s2 14 ' Yt (s) (21/2) s + 3s2 (6.77) в точке s — 0 Поскольку s = 0 является полюсом Z|(s), осуществим частич- ное разложение Zi(s) в непрерывную дробь при s = О Z‘ (s)- 7Г + ТЙ^’ у _ 3s + (21/2) K2(s)-2s-+(54/7) • (6.78) где (6.79) Этот этап иллюстрируется рис. 6 14, б. Как требуют условия задачи, необхо- димо реализовать Уг($) второй формой Фостера. Чтобы выполнить это осу- ществим разложение на простые дроби Y2 (s) 3s + (21/2) s s [2s + (54/7)] (6.80)
148 6 Свойства и реализации пассивных входных RC-функций и получим Уа(з)_ 147/108 , 5/36 v ,, 147 , 1 s s + s + (27/7) Yi 108 + 36 972 ‘ (6’81) 5 + 35s Схемная реализация (6.73) согласно требованиям задачи —через (6.75), (6.78) и (6.81) — представлена на рис. 6.14,8. 6.5. Выводы В этой главе мы рассмотрели основные свойства входных RC-функций. Эти свойства сведены в табл. 6.1. Обобщенные формы входных .RC-функций полного сопротивления и полной проводимости различны — как и показывают (6.4) и (6.20); по- этому различны и основные свойства этих функций. Заметим, а Рис. 6.15. Основные схемные структуры форм Фостера и Кауэра. а — первая форма Фостера; б — вторая форма Фостера; в — первая форма Кауэра; г — вторая форма Кауэра что в табл. 6.1 пп. 2, 3 и 6 для ZRc(s) [K?c(s)] совместно опре- деляют условия реализуемости входной /?С-функции полного сопротивления (полной проводимости). Другие существенные условия реализуемости можно задать пп. 1 и 6 или п. 5 табл. 6.1. Мы рассмотрели также четыре метода реализации входных .RC-функций. Первая форма Фостера реализует входную функ- цию полного сопротивления, а вторая форма Фостера — вход- ную функцию полной проводимости. Вместе с тем обе формы Кауэра можно использовать для реализации как функции пол- ного сопротивления, так и функции полной проводимости. Кратко можно сказать, что формы Фостера требуют разло- жения на простые дроби, а формы Кауэра — разложения в не- прерывную дробь. Для первой формы Кауэра используется раз- ложение в точке s = оо. Если Yrc(°°)—oo, то при первой
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 149 Таблица 6.1 Свойства входных КС-функций J* п/п | ZrC W vr.c <») 1 w)-«.+v+E , - с,!+«7 -» +Л+у_Л_ °° s L-i з + о1 r/?c<s)=Coos+ R + i “ ° *‘ + c7 = k s + k + У 00 0 Z-J S + 2 Все полюсы и нули простые, от- рицательные, вещественные Все полюсы и нули простые, от- рицательные, вещественные 3 Полюсы и нули чередуются. Кри- тической частоте, ближайшей к на- чалу координат, соответствует по- люс, а ближайшей к бесконечно- сти — нуль Полюсы и нули чередуются. Кри- тической частоте, ближайшей к на- чалу координат, соответствует нуль, а ближайшей к бесконечности — по- люс 4 Если ZRC (s) == A (s)/B (s), то степень A (s) степени В ($). Мень- ше, если s»оо является нулем, и равна, если s = оо ие является нулем Если YRC (s) = A (s)/B (s), то сте- пень A (s) степени В ($). Больше, если s = оо является полюсом, н равна, если s = оо не является по- люсом 5 7 / х (s + Оз) (s + <Т4) ... RC ' ? (s + Oi) (s + Оз) • • • 0 < ff! < о2 < 03 < Оч ... у ,,ч __ (s + oj) (s + o3) ... RC 1 ' (S + ff2) (s + a4) ... 0 < at < or3 < a3 < o4 ... 6 Все вычеты положительные и ве- щественные Вычеты при полюсе в бесконеч- ности — положительные и веществен- ные Вычеты при конечных полюсах — отрицательные и вещественные 7 не может иметь полюс при s = оо. Если ZRC (оо) =# 0, то ZRC (0) — наибольшая постоянная, которую можно выделить, чтобы остаток [ZRC (s) — ZRC (оо)] оста- вался входной КС-функцией полного сопротивления YRc (s) не может иметь полюс при s = 0. Если УЛС (0) =/= 0, то KRC (0) — наибольшая постоянная, которую можно выделить, чтобы остаток [Уде (s)—YRC (0)] оставался входной КС-функцией полной про- водимости 8 Zpc (о) — монотонно падающая функция, исключая точки полюсов УЙС (о) — монотонно нарастаю- щая функция, исключая точки по- люсов
150 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций форме Кауэра работают с Yrc(s), а если У«с(°о) =/= °°> то — с Zrc(s)= 1/Уяс(з). Вторая форма Кауэра требует полного раз- ложения в непрерывную дробь в точке s = 0. Если Z«c(0) = оо, работают с Zrc(s), а если ZRC(0)=/=oo — с Укс(з) = l/Z/?c(s). Схемные структуры форм Фостера и Кауэра приведены на рис. 6.15. Отметим, что в первой форме Кауэра используются последовательные резисторы и параллельные конденсаторы, со- здающие нули передачи при s = оо, а во второй форме Кауэ- ра — последовательные конденсаторы и параллельные резисто- ры, создающие нули передачи при s = 0. В заключение этой главы мы хотели бы подчеркнуть, что методы реализации входных /?С-функций идентичны применяе- мым для реализации входных LC-функций. Единственная раз- ница та, что в первом случае используются резисторы, а во вто- ром — катушки индуктивности. ЛИТЕРАТУРА 1. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie- ger, 1975. 2. Humbhreys D. S, The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs, N. J., Pientice-Hall, Inc., 1970. 3 Peikari B., Fundamentals of Network Analysis and Synthesis, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc.. 1974. 4. Budak A., Passive and Active Network Analysis and Synthesis, Boston MA, Houghton Mifflin, 1974. ЗАДАЧИ 6.1. Определить, какие из нижеследующих функций реализуемы как вход- ные RC-функции полного сопротивления Z(s): a) Z(s) = s2 + 7s + 12 . s2 + 3s + 2 ’ e) Z (s) - s2 + 7s + 12 s3 + 3s2 + 3s + 1 ’ 61 7 fcl - s2 + 5s ж) Z (s) = s2 + 4s + 3,75 о; L. s4 + 3s + 2 ’ S3 + 6s2 + Ils + 6 ’ ni 7(а\ s + 5 з) Z (s) == s3 + 8s2 + 17s + 10 В) s2 + 3s + 2 * s3+ 11,5s2 + 39s+ 36 rl 7 fcl s+1,5 s2 + 3s + 2 г; ь \s) s2 + 2s + 1 ’ nJ £X.SJ s3 + 6s2 + 8,75s + 3 ’ ni 7 М — s2 + 3s + 2 . к) Z(s) = s3 + 6s2 + 8,75s + 3 AJ L, \Ъ) s+1,5 ’ s2 + 3s + 2 6.2. Определить, какие из нижеследующих функций реализуемы как входные RC-функции полной проводимости Y(s): a) s2 + 7s+12, a> r<s’“ s2'+3s + 2 ’ ,, „, , s2 + 5s 6) f(s)-s^+Ts + 2; ^=2^2.; о “[ О r) У(.)_ s2 + 3s+l . } ( } s + 1,5 ’
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 151 д) Г(з) = s+1,5 s2 + 2s + 1 ’ е) y(s) = _Jl±Z£±12_. ’ ( ’ s3 + 3s2 + 3s + 1 ’ ж) Y (s) = s3 + 6s2+ Us+ 6 s2 + 4s + 3,75 _ s3 + 8s2 + 17s + 10 . ’ s3 + 11,5s2 + 39s+ 36* и) r(j)- s2 + 3* + 2____________. ' S3 + 6s2 + 8 75s + 3 • _ s2 + 6s2 + 8,75s + 3 ' ' ’ s2 + 3s + 2 6.3. Рассмотреть двухполюсник W на рис. 3 6.3: а) Показать, что входная функция полного сопротивления двухполюс- ника N отвечает всем свойствам 7?С-функции полного сопротивления. б) Показать, что входная функция полной проводимости двухполюсни- ка N отвечает всем свойствам входной 7?С-функции полной проводимо- сти. Рис. 3.6.3. Рис. 3.6.4. 6.4. Рассмотреть двухполюсник N на рис. 3.6 4: а) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s). б) Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной 7?С-функции полного сопротивления. Рис. 3.6.5. в) Показать, что входная функция полной проводимости K(s) отвечает всем свойствам входной /?С-функции полной проводимости. г) Реализовать K(s) или Z(s) двумя формами Фостера. д) Реализовать K(s) илн Z(s) двумя формами Кауэра. 6.5. Повторить задачу 6.4 для двухполюсника на рис. 3.6.5.
1152 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 6.6. Для каждой из нижеследующих Z(s) найти диапазон значений а, в ко- тором Z(s) реализуема как входная 7?С-функция полного сопротив- ления: а) г(5)=з4ТА2> к\7 1„\ S2 + 4з + а . з2 + Зз + 2 ’ в) Z (з) — s2 + gg + 3 . } W з2 + Зз + 2 ’ r)Z(s) = 2i±5£+±. Г) Z W s2 + as + 2 ’ „ч ' з2 + 5з + 6 . д)7(з)- s2 + 3s + a , е) г(я)^ з2 + 3з + а з3 + 5з2 + 6з‘ 6.7. Для каждой из нижеследующих K(s) найти диапазон значений а, в ко- тором У(в) реализуема как входная 7?С-функция полной проводимости: a)K(s) = _ з2 + 5s + а s2 + 7s + 10 ’ r)K(s) = s2 + Юз + 16_. s2 + 12s 4 a ' б) Y (а) = _ s2 + as + 4 е з2 + 7s + 10 ’ Д) Y (s) = s3 + 7,5s2 + as + 5 s2 + 5s + 4 ’ в) Y (s) = s2+ 10s + 16 . s2 + as + 20 ’ e) Y (s) = s2 + as2 + 13,5s+ 5 s2 + 5s + 4 6.8. Реализовать нижеследующие входные /?С-функции полной проводимости двумя формами Фостера и двумя формами Кауэра: a) Y (s) (s+ l)(s + 3) s + 2 6) Y (s) _ s (s + 2) (s + 1) (s + 3) ’ в) Y (s)= (s+l)(s + 5). (s + 4) (s + 6)’ г) Y ( } _ s (s + 4) (s + 6) . Г) (s + 1) (з + 5) ’ л) у , > + 1) (s + 5) (з + 10) (з + 2) (з + 6) (з + 12)' 6.9. Для каждой из входных /?С-функций задачи 6 8 найти Z (s) =Y (s)/s. Показать, что Z(s) отвечает всем свойствам входной /?С-функции пол- ного сопротивления. Далее, реализовать 2(з) как входную /?С-функцию полного сопротивления двумя формами Фостера и двумя формами Кауэра. 6.10. Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) — = (s + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3) (s + 5) следующими способами: а) Начать с первой формы Кауэра (для двух конденсаторов) и завер- шить реализацию второй формой Кауэра. б) Начать со второй формы Кауэра (для двух конденсаторов) и завер- шить реализацию первой формой Кауэра. в) Начать с первой формы Кауэра (для одного конденсатора), далее перейти ко второй форме Кауэра (для одного конденсатора) и завер- шить реализацию второй формой Фостера. 6.11. а) Реализовать входную 7?С-функцию полного сопротивления Z(s) = = (s + 2)/(s+ 1) (s + 5) первой формой Кауэра. б) Убедиться, что двухполюсник, полученный в п. а), имеет входную функцию полного сопротивления Z(s). в) Реализовать Z(s) второй формой Кауэра г) Убедиться, что двухполюсник, полученный в п. в), имеет входную функцию полного сопротивления Z(s).
6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций 153 6.12. Для каждой из нижеследующих входных функций полного сопротивле- ния найти RLC-схемную реализацию: (s2 + 4) (s2 + 6) , s + 3 а> ( > s (s2 + 5) (s+ 1) (s + 5) ’ м 7М- * + 2 , s (з2 + 2) . ' W (s+1) (s + 4) (s2+1) (s2 + 4)’ B\ Z Ы - s(g2 + 4) 4-(5 + 2) (s + 5) • B)zW-(s2 + 3)(s2 + 6)-i- s(s + 4) > ri 7 - <s + 2) (s + 4) (s* + 3)(s* + 6) . ' ( ’ s (s 4- 3) + s (s2 4- 4) ’ . , _ s(s2 + 3) (s2 + 6) (s + 3) (s + 6) 7 w (s24-1)(s24-5) (s + 1) (s + 5)' 6.13. Для каждой из нижеследующих входных функций полной проводимости найти RLC-схемную реализацию: ач У _ (з2 + 1) (з2 + 5) , (з+1)(зЧ-5). 1 (S) s(s2 + 3) (S4-3) ’ 6\уМ_ s(s24-5) (s4-l)(« + 4)i J W“(s2ч- 4) (s24-6) + 7+2 ’ в) У ($) = s <s2 + 4) 4- s (s + 4) • (s2 + 3) (s3 + 6) (s + 2) (s + 5) ’ rl У (6 = s (s + 3) , (s2 + 3) (з2 + 6). (s + 2)(s + 4)+ s (s2 + 4) ’ д) У (si = (s+l)U + 3) , (s2 + l)(s2 + 3) . (s + 2) (s + 4) s (s2 + 2) (s2 + 4)’ el У ( 1 3s< + 9s’ + 24s’ + 28s W = (s+l)(s + 2)(s2 + 4) ‘ 6.14. Определить условия, при которых произведение двух входных RC-функ- ций полного сопротивления (полной проводимости) есть входная RC-функция полного сопротивления (полной проводимости). 6.15. Имеет место теорема, которая гласит: Пусть A(s) —произвольный поли- ном степени па, а В(з)—другой произвольный полином степени Пв, имеющий только раздельные отрицательные вещественные корни. Тогда F(s) = A(s)/B(s) можно записать в виде F (s) = 4ЙН (s) - (з), если ПА < пв = уяс (S) - yrc (s). если пА < пв + !. где н Z^c — входные RC-функции полного сопротивления, а У^ и У^ — входные RC-функции полной проводимости. Например, функцию полного сопротивления Z(s) = (4s + l)/(s2 + 5s + 41 можно выразить в виде Z(s) =5/(s + 4)— [1/(s + 1)]. ' С ледовательно, Z(*!, s = —5— и Z^}c s = —г-. до s + 4 з + 1
154 6. Свойства и реализации пассивных входных RC-функций Аналогичным образом функцию полной проводимости У (s) == = s(4s + l)/(s2 + 5s + 4) можно выразить в виде r(s)/s = 5/(s 4-4) •— — [l/(s+l)] или K(s) = 5s/(s + 4)—[s/(s + 1)]. Следовательно, Уде = и У#с = • а) Рассмотреть схему на рис 3 6.15, а, где четырехполюсник КОС харак- теризуется (2 40), при k — 1. Найти Zbz(s). а 6 Рис. 3.6.15. б) Найти входную функцию полного сопротивления Z(s), для схемы на рис. 3.6.15,6. в) Реализовать входную функцию полного сопротивления Z(s) = = (s4 4-4s3 + 7s2 + 22s + 24)/s(s ± 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4) в форме рис. 3.6.15, б. г) Найти входную функцию полной проводимости K(s) для схемы на рис. 3.6.15, а. д) Реализовать входную функцию полной проводимости У(s) = = (s4 + 4s34-7s2 + 22s + 24)/(s+l)(s + 2)(s + 3)(s4-4) в форме рис. 3.6.15, а. 6.16. Определим ЯС-схемы как схемы, содержащие положительные и отрица- тельные сопротивления и положительные емкости. Основываясь на (6.2) и (6.20), найти свойства: а) Входных функций полного сопротивления ±7?С-двухполюсников. б) Входных функций полной проводимости ±7?С-двухполюсинков. 6.17. Даны коэффициенты полиномов A (s) = а0 + ais + a2s2 4- ... + amsm, В (s) = bq -j- b^s 4“ b2s2 4- ... 4- bnSn. Написать машинную программу для определения того, реализуема ли функция F(s)= A(s)/B(s): а) как входная 7?С-функция полного споротивления, б) как входная 7?С-функция полной проводимости 6.18. Написать машинную программу реализации заданной входной ДС-функ- ции полного сопротивления Z(s) [полной проводимости y(s) ]: а) первой формой Фостера, б) второй формой Фостера, в) первой формой Кауэра, г) второй формой Кауэра
Пассивная реализация переда- точных функций За многие годы инженеры придумали немало методов реа- лизации различных передаточных функций на одних только пассивных элементах. Мы рассмотрим некоторые из этих мето- дов, в частности методы, при которых задача реализации пере- даточной функции сводится к задаче реализации входной функ- ции. Эти методы просты, до сих пор остаются весьма полезными и приложимы к весьма широкому классу практических задач. В этой главе рассматриваются три основные схемные струк- туры. Это лестничные схемы, мостовые схемы и схемы Дарлинг- тона. В разд. 7.1 обсуждаются основные свойства и методы реализации RC- и лестничных АС-схем. Показывается, что лест- ничные 7?С {АС}-схемы могут реализовать лишь такие переда- точные функции, у которых полюсы простые и все полюсы и нули лежат на отрицательной вещественной (мнимой) оси пло- скости s1). Мостовые схемы исследуются в разд. 7.2 в связи со всепропускающими передаточными функциями. Наконец, в разд. 7.3 рассматриваются схемы Дарлингтона. Процедуры реа- лизации для них сложнее, чем для схем обоих предшествующих типов, но зато схемы Дарлингтона позволяют реализовать более широкий класс передаточных функций. Прежде чем перейти к дальнейшему изложению, следует подчеркнуть одно обстоятельство, относящееся ко всем методам пассивного синтеза (синтеза с использованием только пассив- ных элементов): передаточную функцию можно реализовать только с точностью до постоянного множителя. Например, если нужна передаточная функция H(s), то ее схемная реализация фактически будет обладать передаточной функцией = = aH(s), где а — ненулевая постоянная2). 7.1. Лестничные схемы В этом разделе рассматриваются лестничные RC- и АС-схе- мы. Типичная структура такой схемы показана на рис. 7.1. Для исследования лестничных схем важна концепция нулей передачи. Нулем передачи называется комплексная частота s, ') Напомним, что отрицательная вещественная (мнимая) ось плоскости s включает начало координат s = 0 и точку s = оо. 2) В данной книге всегда, исключая специально оговоренные случаи, под- разумевается, что передаточная функция взята по напряжению.
156 7. Пассивная реализация передаючных функций при которой H(sk) = Q [Н(з)— передаточная функция цепи]. Для лестничных схем характерны два вида нулей передачи: это те комплексные частоты, при которых: 1. Функция полного сопротивления последовательной ветви равна бесконечности и 2. Функция полного сопротивления параллельной ветви рав- на нулю. Рис. 7.1. Структура лестничной схемы. В первом случае последовательная ветвь полностью разомк- нута и, значит, сигнал через нее не проходит на выход. Во вто- ром случае параллельная ветвь замкнута накоротко. При этом весь ток сигнала идет через эту короткозамкнутую цепь, а на выход ничего не попадает. В обоих случаях на выходе схемы тока сигнала нет. Следовательно, если входной сигнал содер- жит хотя бы одну из частот, соответствующих нулям передачи, в выходном сигнале (при установившемся состоянии схемы) эта частота будет отсутствовать1). 7.1.1. Лестничные RC-схемы Лестничную схему называют схемой 7?С-типа, если она со- держит только резисторы и конденсаторы. Поскольку полюсы и нули входной /?С-функции полного сопротивления лежат на отрицательной вещественной оси плоскости з, нули передачи лестничной /?С-схемы (будучи полюсами 7?С-функций полного сопротивления последовательных ветвей и нулями 7?С-функций полного сопротивления параллельных ветвей) могут лежать только на отрицательной вещественной оси плоскости з. Далее, если каждая ветвь лестничной /?С-схемы содержит только один элемент (резистор или конденсатор), то нуль передачи может иметь место только в двух точках: з = 0 и з = оо. Это так, ибо каждый последовательный конденсатор может порождать нуль передачи при з = 0, а каждый параллельный конденсатор — при з = оо. Напомним, что первая форма Кауэра состоит из параллельных конденсаторов и последовательных резисторов. *) Дальнейшие подробности относительно нулей передачи см. в [1].
7. Пассивная реализация передаточных функций 157 Значит, первая форма Кауэра, реализующая входные 7?С-функ- ции, порождает нули передачи при s — оо. С другой стороны, вторая форма Кауэра содержит параллельные резисторы и по- следовательные конденсаторы, так что у нее нули передачи по- рождаются при s = 0. Лестничные /?С-схемы обладают еще одним важным свойст- вом: полюсы передаточной функции у них тоже могут лежать только на отрицательной вещественной оси плоскости s. Чтобы Рис. 7 2 /?С-четырехполюсник. убедиться в этом, рассмотрим /?С-четырехполюсник (рис. 7.2). Пусть этот четырехполюсник характеризуется матрицей полных сопротивлений К, I Г Zu z2i I Г Ц V2 J L 221 z22 J L I2 (7.1) Тогда передаточная функция по напряжению H(s) равна Положим (7.2) (7.3а) (7.36) гДе nn(s), dii($), п2\ (s) и d2i(s)— полиномы от s. Тогда Переходит в И ( X _ ”21 (s) dn (s) ' '' d2i (s) (s) ’ (7.2) (7.4) Условие пассивности четырехполюсника заключается в том, что z2i($) не может иметь полюс, который не имелся бы у 2ц($) и г22(«). Коль скоро 7?С-четырехполюсник на рис. 7.2 пассивен, “ii(s) содержит все сомножители, имеющиеся у d2i(s). Если иметь это в виду, оказывается, что (7.4) подразумевает, что
158 7. Пассивная реализация передаточных функций полюсы H(s) фактически являются нулями zn(s). Поскольку хц (s)— это входная функция полного сопротивления по отно- шению к зажимам ВС-четырехполюсника, обозначенным ф, нули 2ц (з) простые, вещественные и отрицательные. Следова- тельно, полюсы H(s) также простые, вещественные и отрица- тельные. В результате имеем следующую теорему: Теорема 7.1. Нули передачи и полюсы передаточных функ- ций лестничных /?С-схем вещественные и отрицательные, при- чем полюсы простые. Кроме того, если каждая ветвь лестнич- ной 7?С-схемы содержит конденсатор или резистор, нули пере- дачи могут иметься только в точках з = О и з = оо. В этом случае передаточная функция выражается как „ , ч ksm __ ksm "W— S« + 6„_1S«-1+ ... + b0 — В (s)’ где 0 m п, а В(з)— полином n-й степени с простыми отри- цательными вещественными корнями1). Заметим, что при з->0, если m =# 0, (7.5) дает lim Н (s) ~ lim (k/b^ sm. (7.6а) s->0 s->0 Это значит, что /7(з) приближается к нулю со скоростью sm, когда s->0. С другой стороны, когда s->oo, если п =Н= пг, (7.5) дает lim Н (s) ~ lim(^sm/srt) = lim (Wrt-m)). (7.66) S->oo s->oo S->oo Это показывает, что при s->oo Н (з) приближается к нулю со скоростью m>. Следовательно, передаточная функция (7.5) имеет т нулей передачи при з = 0 и (п — т) нулей передачи при з — ОО. В этом разделе мы рассмотрим методы реализации трех классов передаточных 7?С-функций, соответствующих трем воз- можным для (7.5) случаям: Случай 1. т = 0: все нули передачи лежат при з = оо. Случай 2. т = п: все нули передачи лежат при з = 0. Случай 3. 0 <т< т: т нулей передачи лежат при з = 0, (п — т) нулей передачи — при з = оо. Все эти методы основываются на допущении, что параметры матрицы сопротивлений zn(s) и Z2i(s) четырехполюсника ре- зультирующей лестничной ВС-схемы имеют одинаковые знаме- *) Подразумевается, что в число отрицательных вещественных корней может входить также корень, располагающийся в точке начала координат. Иными словами, В (s) может иметь простой корень в точке s = 0.
7. Пассивная реализация передаточных функций 159 натели. То есть1) dH(s) = d21(s). (7.7) Подставляя (7.7) в (7.4), получаем ^(s) = /i2i(s)/nH(s). (7.8) Заметим, что из (7.8) следует, что знаменатель H(s) яв- ляется числителем входной 7?С-функции полного сопротивления 2ц($). Сравнивая (7.5) и (7.8), получаем nu(s) = B(s) и (7.9а) n21(s) = bm. (7.96) Таким образом, для реализации передаточной функции (7.5) необходимо реализовать соответствующим образом выбранную а Рис. 7.3. Схемные конфигурации, в которых могут существовать частные по- люсы. Примеры, когда могут существовать частные полюсы, приведены на рис. 7.3. На рис. 7.3, а, если между ZA [ZB] и А\ отсутствует сокращение по- люса, полюсы ZA[ZB] будут проявляться как полюсы Zn(s) [z^fs)], но не как полюсы z2|(s). Таким же образом полюсы Yc(s)[Ул(s)] будут проявляться как полюсы </ц (s) [^22(5)], но не как полюсы t/i2(s), если только между и УУ2 на рис. 7 3,6 отсутствует сокращение полюса. ') Все методы реализации, рассматриваемые в этой главе, приводят к схемам, удовлетворяющим условию (7.7). Заметим, что (7.7) означает, чго ^^-четырехполюсник не имеет частных полюсов. (Подробнее относительно частных полюсов см. в [3].)
160 7. Пассивная реализация передаточных функций входную /?С-функцию полного сопротивления 2ц(з), удовлетво- ряющую (7.9а) при соответствующем методе получения задан- ных нулей передачи, как показано в (7.5) и (7.96). Входная функция Zu(s) выбирается таким образом, чтобы она удовлетворяла (7.9) и свойствам /?С-функций полного со- противления, выведенным в гл. 61). Это достигается просто пу- тем выбора zu(s), удовлетворяющей следующим свойствам: RC1. Числитель Zn(s) задается В(з)— нули Zn(s) явля- ются полюсами H(s). RC2. Полюсы Zn(s) простые, вещественные, отрицательные и чередуются с заданными корнями B(s) таким образом, что критическая частота Zn(s), ближайшая к началу координат, яв- ляется полюсом, а критическая частота, ближайшая к з = оо, является нулем. RC3. Степень знаменателя полинома Zu (з) устанавливается равной п2 * * * * * * *). Если предположить, что выбрана надлежащая входная ВС-функция полного сопротивления Zn(s), то следующим эта- пом будет реализация этой 2ц(з) с помощью надлежащей про- цедуры, обеспечивающей выполнение заданных требований к нулям передачи. Случай 1. В этом случае все нули передачи передаточной ВС-функции лежат при s = оо. Передаточная функция задается (7.5) при пг = 0; здесь мы ее запишем в виде Н = sn + bn-isn~l + ... + 10) где B(s) имеет простые отрицательные вещественные корни. Напомним, что реализация входных 7?С-функций полного сопро- тивления первой формой Кауэра дает нули передачи при s = оо. Следовательно, реализация передаточной функции (7.10) достигается посредством реализации выбранной zn(s) первой формой Кауэра, а эта реализация включает разложение Zn(s) в непрерывную дробь при s = оо. *) Чтобы 2ц(<;) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления, Ilfs') может не иметь корень при з = 0. В разд. 7.1.3 будет введен дуальный метод преодоления этой трудности. 2) Напомним, что одно из свойств входной 7?С-функции полного сопро- тивления требует, чтобы степень полинома, стоящего в ее знаменателе, была равна или больше степени полинома, стоящего в числителе. Чтобы выбрать степень знаменателя 2ц(з) равной («+ 1), а не п, нам нужно иметь в ре- зультирующей схеме не n, а (п 1) динамических элементов. Поскольку это дополнительное усложнение не сулит явной выгоды, у нас нет причин услож- нять проблему. Поэтому мы просто задаем степень знаменателя zh(s) рав- ной п. К тому же в случае, когда все нули передачи лежат при з = оо, вы- полнение условия RC3 гарантирует, что первый элемент в реализации 2ц (s) по первой форме Кауэра всегда будет последовательным резистором и, сле- довательно, никогда не потребуется избыточный шунтирующий конденсатор.
7. Пассивная реализация передаточных функций 161 Пример 7.1. Синтезировать передаточную функцию н (S) = Квых/Квх = k/(s + 2) (s + 4) = k/(s2 + 6s + 8). (7.11) Решение. Из (7.2) известно, что Н (s) = z21 (s)/zn (s) = k/(s + 2) (s + 4). (7.12) На основе (7.12) можно выбрать разные zn(s). Ограничения лишь те, чтобы нули Zn(s) были при s = —2 и s = —4 и чтобы zn(s) удовлетворяла всем свойствам входной функции полного сопротивления с полиномом второго по- рядка в знаменателе. Проще всего принять Zu (s) = (s + 2) (s + 4)/(s + 1) (s + 3). (7.13) Ясно, что zii(s) no (7.13) удовлетворяет всем требованиям, оговоренным условиями RC1, RC2 и RC3. Из (7.12) и (7.13) выводим z2i(s) = */(s + l)(s + 3). (7.14) Для реализации передаточной функции (7.11) необходимо реализовать вход- ную функцию полного сопротивления (7.13), имея при этом уверенность, что Рнс. 7.4. Схема реализации Н(з) по (7.12). нули передачи результирующей лестничной 7?С-схемы все лежат при s = оо, как требует (7.11). Это можно выполнить в один этап, используя для реали- зации Zn(s) по (7.13) первую форму Кауэра. Замечая, что разложение zn(s) в непрерывную дробь при s = оо дается выражением «и («) s2 + 6s + 8 s2 + 4s + 3 1 1 . 1 2 ®+ 3 1 4 ‘ 3 ,1 TS+ £ 3 (7.15) получаем схемную реализацию Zn(s) через (7.15), показанную на рис. 7.4, где в процессе реализации выходное напряжение берется с последнего элемен- та1). Все нули передачи схемы рис. 7.4 лежат при s — оо, где сопротивления *) Если передаточная функция реализуется любым из методов построе- ния лестничных схем, выходное напряжение в процессе реализации всегда с последнего элемента. Это применимо как к разд. 7.1.1, так и к 6 Зак. изо
162 7. Пассивная реализация передаточных функций шунтирующих ветвей равны нулю. Следовательно, схема на рис. 7.4 реали- зует zu(s) по (7.13), Z2i(s) — по (7.14) и передаточную функцию (7.11) Рис. 7.5. Эквивалентная схема рис. 7.4, когда Vt = 1. одновременно. Чтобы убедиться в этом, достаточно показать, что когда Vox = 1, Увых равно , l'--(7+-2)T;+g- .=+!+» -"<»> W6) Когда Квх = 1 *), можно видоизменить схему на рис. 7.4, как показано на рис. 7.5. Уравнения узловых напряжений следующие: Согласно правилу Крамера 3 3 , , 18 ,24 s2 + 6s + 8 (s + 2) (s + 4) • _S2 + —s + _ Случай 2. Второй случай реализации передаточной функции по напряжению лестничной 7?С-схемой — это тот, когда все нули ’) Заметим, что в контексте сказанного выше КВх = 1 есть выражение, действующее в частотной области (преобразованное по Лапласу). Во времен- ной области оно эквивалентно условию, что иВх(0—единичная импульсная функция.
7. Пассивная реализация передаточных функций 163 передаточной функции лежат при s = 0. В этом случае переда- точные функции имеют форму Н (s) = д -----------------±2------------Д , (7 д 9) Vbx = s + Z>n-i« 1 + ... +Z>0 = B(s) где корни В (s) простые, отрицательные и вещественные. По- скольку реализация по второй форме Кауэра приводит к схе- мам, состоящим из параллельных резистивных ветвей и после- довательных емкостных ветвей, порождающих нули передачи только в точке s = 0, используем для реализации выбранной гц (s) и одновременно передаточной функции (7.19) вторую форму Кауэра. Пример 7.2. Реализовать функцию Н (s) = Увых/Увх = ks2l(s + 2) (s + 4). (7.20) Решение. Как и в случае примера (7.1), простой формой zu(s), удовле- творяющей условиям /?С1, RC2 и RC3, является Zi1(s) = (s + 2)(s + 4)/(s+l)(s + 3). (7.21 Следовательно, можем написать z21 ($) = ks2/(s + 1) (s + 3). (7.22) Чтобы одновременно реализовать Zn(s) по (7.21) и Z2i(s) по (7.22), приво- дящие к заданной передаточной функции (7 20), где все нули передачи лежат Рис. 7.6. Схема реализации H(s) по (7.20). в точке s = 0, используем для реализации Zn(s) вторую форму Кауэра. Этот процесс включает разложение Zn(s) в непрерывную дробь при s = 0: гп (s) 8 + 6s + з2__________________1_______________ 3 + 4s + s2 — 3_________________1____________ 8 + 32 1 7s + 49 1 88 + 968 1 21s + 3 44 (7.23) 6*
164 7. Пассивная реализация передаточных функций Схемная реализация передаточной функции (7.20) приведена на рис. 7.6, ко- торый представляет также реализацию zu(s) по (7.21) второй формой Кауэра. Рис. 7.7. Эквивалентная схема рис. 7.6, когда Vi = 1. Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.6 реализует передаточную функцию (7.20), положим УВх = 1 и вычислим УВЫх. Вывод будет справедлив, если Увых = Н (s) = fts2/(s2 + 6s + 8). При Увх = 1 схему на рис. 7.6 можно изобразить в виде рис. 7.7. Соответ- ствующая система узловых напряжений имеет вид Г 7® 32 21s 49 ' 968 + 88 21s 968 Согласно правилу Крамера, получаем 21s 7s 968 32 Ивых” , 931s 49 \ / 21s 3 \ 7 21s \2 — I 3972 + 88 Д 968 + 44 ) I 968 ) 147 2 968-32 ® 17 787s2 s2 “ 177 87 2 4851 147 “ 17 787sz+106 722s+142 296= s2+6s+8> 3 748 096 ® + 170 368 ®+ 3872 Следовательно, передаточная функция схемы на рис. 7.6 Н (s) = s2/(s2 + + 6s + 8) = s2/(s + 2) (s+4). Случай 3. Последний случай, который мы рассмотрим в этом разделе, это когда нули передачи имеются как при s = О, так и при s = оо. В этом случае выбранная входная 7?С-функ- ция полного сопротивления Zn(s) подвергается частичному раз- ложению в непрерывную дробь при $ = 0 и частичному разло- жению при s = оо, с тем чтобы получить заданные нули пере- дачи. Мы можем начать с разложения любой формы. Первое разложение прекращается, когда получены требуемые нули пе- редачи. Далее остаточная функция разлагается в другую форму Кауэра. Чтобы посмотреть, как это делается, рассмотрим при- мер 7.3.
7. Пассивная реализация передаточных функций 165 Пример 7.3. Реализовать передаточную функцию по напряжению Н (s) А Рвых/Vbx = ks](s + 2) (s + 4) (7.24) Решение. Передаточная функция (7.24) имеет нуль передачи при s = °о и еще один нуль передачи при s = 0. Чтобы начать процедуру реализации, выберем zh(s) в виде 211 (з) = (з + 2) (s + 4)/(з + 1) (з + 3) (7.25) и, следовательно, zal(s) = fe8/(s+l)(s + 3). (7.26) Здесь мы замечаем, что zn(s) по (7.25)— та же функция, что в примерах 7.1 и 7.2, a Z21 (s) — другая функция. Следовательно, (7.24) нельзя реализовать ни одной из форм Кауэра. Как и предполагалось, будем использовать комби- нацию этих двух форм. Прежде всего разложим zn(s) по (7.25) при s = оо, Рис. 7.8. Схема реализации H(s) по (7.24). в—промежуточный этап; б—окончательная схема* 1 + (s) 1 чтобы выделить нуль передачи при s = оо. Поскольку при s = оо имеется только один нуль передачи, мы прекратим разложение в непрерывную дробь при s = оо, как только выделим шунтирующий конденсатор. В ходе этой процедуры запишем zu(s) в виде _ s3 + 0s 4~ 8 . , 11 w = s2 + 4s + 3 = 1 + ~1 (3/2) s + 3 2 S + 2s + 5 Этот процесс иллюстрируется рис. 7.8, а. Остаточная функция полной димости , д (3/2) s + З 3 + (3/2) s yR(s>=—2Г+5----------5 + 2s " (7.27) прово- (7.28) раскладывается во вторую форму Кауэра VR (S) = "б + 50 , 1 3s + 3 20 (7.29) Следовательно, схема, реализующая одновременно zn(s) по (7.25) и zji(s) по (7 26), так что получается Н(s) по (7.24) с помощью выражений (7.27)— (7.29), соответствует рис. 7.8, б. Если мы не прекращаем разложение zn(s) по (7.25) первой формой Кауэра, как только выделим требуемое число конденсаторов, а прекращаем
166 7, Пассивная реализация передаточных функций его сразу же перед выделением следующего шунтирующего конденсатора, тогда гц(«) записывается в виде Zu (s) s2 + 6s + 8 s2 + 4s + 3 (7.30) где остаточная функция полной проводимости yR (s)^(3/2)s + 3 (7.31) раскладывается при s = 0: Схемная реализация этой процедуры представлена на рис. 7 9. Простой анализ схемы на рис. 7.9 показывает, что передаточная функция этой схемы выражается как1) VBUx/VBX = l/(s2 + 6s + 8), что не соответ- Рис. 7.9 Схема, не представляющая реализацию (7.24). ствует требуемой передаточной функции (7.24). Следовательно, абсолютно необходимо останавливать первый процесс реализации, как только выделено требуемое число конденсаторов. Еще одна реализация передаточной функции (7.24) достигается путем разложения Zn(s) по (7.25) сперва при s = 0 Разложение прекращается, как только выделен последовательный конденсатор — порождается нуль пере- дачи при s = 0. Тогда разложение остаточной функции осуществляется при s = оо. Чтобы выполнить эту процедуру, разложим Zu(s): Zu (s) s2 + 6s + 8 s2 + 4s + 3 — 3 8 + 32 1 1 , 22 _+2±т (7.33) *) См. пример 7.1.
7. Пассивная реализация передаточных функций 167 а остаточную функцию полного сопротивления запишем в виде s + (22/7) 8 , 1 Я(s) 5 7 5 + 175 . 1 • (7,34) 8 ® + 4 96 ® + 48 245 Схема, одновременно реализующая (7.25) и (7.26), так что обеспечивается H(s) по (7 24) через (7.33) и (7.34), приведена на рис. 7 10. Рис. 7.10 Схема реализации (7 24). Простой анализ показывает, что передаточная функция схемы на рис. 7.10 есть H(s) = (12/35)s/(s2 + 6s + 8). Следовательно, схема на рис. 7.10 действи- тельно представляет реализацию соотношения (7.24). Из примеров 7.1—7.3 видно, что даже если выбрать одну и ту же Zn(s), различные методы реализации входной функции дадут разные Zzi(s) и, следовательно, разные H(s). Заметим также, что, если даны два параметра, z2i(s) и Zn(s) матрицы сопротивлений 7?С-четырехполюсника, процедуры, описанные в этом разделе, можно использовать для реализации заданного четырехполюсника. 7.1.2. Лестничные АС-схемы Следуя тому же порядку изложения материала, который был принят в предшествующем разделе для случая лестничных лС-схем, сформулируем следующую теорему для лестничных АС-схем: Теорема 7.2. Все нули передачи и полюсы передаточных Функций лестничных LC-схем лежат на мнимой оси плоскости s. причем полюсы простые. Далее, если каждая ветвь лестнич- ной АС-схемы содержит только один элемент (катушку индук- ивности или конденсатор), расположение нулей передачи
168 7. Пассивная реализация передаточных функций ограничено точками s = 0 и $ = оо. В этом случае передаточная функция имеет вид _____________ksm__________д ksm sn+bn--\Sn *+ ... + 60 ““ В (s) (7.35) где B(s) — полином n-й степени с простыми корнями, лежащими на мнимой оси *), а 0 tn п. Однако в этом случае пг и п~ четные целые числа, что подразумевает, что передаточная функ- ция H(s) по (7.35) есть четная рациональная функция [т. е. и числитель и знаменатель H(s) — четные полиномы* 2)]. Л четырех-, полюсник + * Рис. 7.11. £С-четырехполюсник. Чтобы убедиться, что H(s)— четная рациональная функция, рассмотрим LC-четырехполюсник (рис. 7.11). Предположим, что этот четырехполюсник представлен матрицей сопротивлений V2 ztl zl2 z2l z22 ][£] (ТЛ6) где ?i2(s) = z2i(s)3). Тогда можно показать, что все «-параме- тры, а именно zn, z12 = z2I и z22 являются нечетными рацио- нальными функциями4). Поскольку передаточная функция 77(s)=-^i| (7.37) V вх 1/ав0 г11 представляет собой отношение двух нечетных рациональных функций, H(s) есть четная рациональная функция. *) Напомним, что мнимая ось включает точки s = 0 и s = оо. 2) На самом деле основное требование именно то, что H(s) является четной рациональной функцией. Этим подразумевается, что т и п — четные целые числа или что оба они нечетные целые. Поскольку B(s) имеет только чисто мнимые корни, B(s) является полиномом четной или нечетной сТ$п$ни. Тогда, если т нечетное, B(s)—нечетный полином, и исключение множителя s из числителя ksm и знаменателя B(s) функции H(s) сведет Н(з) к Я(«)“= = ksm~4BR(c), где B«(s)AB(s)/s — четный полином, а (т—1)—четное целое. Поэтому в данном разделе мы будем рассматривать только случай, когда т — четное целое, a B(s) —четный полином. 3) Это справедливо, поскольку ТС-четырехполюсник, подобно /?С-четырех- полюснику предыдущего раздела, является взаимным. 4) Подробнее см. в разд. 7.3.
7. Пассивная реализация передаточных функций 169 Как и в случае лестничных RC-схем, реализация передаточ- ной LC-функции (7.35) достигается путем реализации удобным образом выбранной входной LC-функции полного сопротивле- ния zn(s) с помощью соответствующей формы Кауэра или комбинаций двух форм Кауэра. При этом выбранная функция полного сопротивления zn(s) = B(S)/D(s) (7.38) должна удовлетворять следующим двум условиям: LC1. Корни D(s) простые, чисто мнимые и чередуются с корнями B(s) таким образом, что Zn(s) удовлетворяет всем свойствам входной LC-функции полного сопротивления, приве- денным в гл. 5. LC2. D(s)—нечетный полином степени nD = п—1. Этим гарантируется, что соответствующие формы Кауэра или их со- четания будут пригодны для реализации функции полного со- противления zn(s)* 1 2). В этом пункте мы разделим (7.35) на три случая. Случай 1. т = 0. Здесь все нули передачи лежат при $=оо. Для реализации £ц($) используется первая форма Кауэра. Причина в том, что структура первой формы Кауэра подразумевает последовательные индуктивности и параллель- ные емкости, а оба эти элемента приводят к нулям передачи при $ = оо. Следовательно, первая форма Кауэра сама по себе одновременно реализует зц($) и связанную с ней z2i(s), давая передаточную функцию (7.35) с т = 0. Случай 2. т = п. Здесь все нули передачи лежат при $ = 0; следовательно, необходимо использовать вторую форму Кауэра. Вторая форма Кауэра содержит ветви с последовательными емкостями и параллельными индуктивностями, что дает нули передачи при $ = 0. Следовательно, вторая форма Кауэра бу- дет реализовать 2ц($) и связанную с ней Z2i(s), давая пере- даточную функцию (7.35) с т = п. *) Это справедливо по следующим двум причинам: 1. Первой формой Кауэра реализуется входная LC-функция, у которой полином, стоящий в числителе, имеет более высокую степень, чем полином, стоящий в знаменателе. Поскольку D(s) имеет степень по < п, в реализации первой формой Кауэра будет участвовать zn(s'), а не l/zu(s). 2. Второй формой Кауэра реализуется входная LC-функция, у которой знаменатель — нечетный полином. Поскольку D(s) —нечетный полином, в реа- лизации второй формой Кауэра будет участвовать входная функция полного сопротивления zn(s). Однако главная причина для того, чтобы задать степень D(s) равной (п—1), вовсе не в том. чтобы гарантировать реализацию с помощью zu(s), а простая экономия Если мы положим по = л + 1, то для реализации гц($) потребуется (n-f-1) элементов. В случае же пд = п—1 для реализации ги($) потребуется только п элементов.
170 7. Пассивная реализация передаточных функций Случай 3. 0 <т < п. В этом случае нули передачи будут иметься как при s = О, так и при s = оо. Для реализации необ- ходимо использовать комбинацию обеих форм Кауэра. Можем сперва использовать первую [вторую] форму Кауэра для выде- ления (п — tri) [m] элементов из гц($), а остаточную входную LC-функцию реализовать второй [первой] формой Кауэра. Пример 7.4. Реализовать ^(s) = t-=W)TO)^W (7-39) Решение. Выберем zn (s) = + + (7.40) ' s (s2 + 4) s3 + 4s ' Из (7.37) имеем z2i (s) = k/s (s2 + 4). (7.41) Поскольку все нули передачи лежат при s = оо, используем для реализации первую форму Кауэра. С математической точки зрения это означает, что не- Рис. 7.12. Схема реализации H(s) по (7 39). обходимо провести разложение zti(s) в непрерывную дробь в точке s = °°- . . 1 ZH (s) = S + Y-----------j----. TS + "12 ; Г” (7.42) -5-s + — 18 S Схема, обеспечивающая реализацию одновременно zn(s) по (7 40) и Z2i(s) по (7.41) и дающая H(s) по (7.39) через (7 42), приведена на рис. 7 12. Анализ схемы на рис. 7.12 показывает, что передаточная функция по на- пряжению равна н (з) = Рвых/Рвх= 9/(s2 + 1) (s2 4- 3). Следовательно, рис. 7.12 действительно представляет схемную реализацию пе- редаточной функции (7.39). Пример 7.5. Реализовать передаточную функцию по напряжению Н («) = Ивых/Квх = fes»/(s2 + 1) (s2 4- 9)
7. Пассивная реализация передаточных функций 171 Решение. Выберем 1 (s) = (s2 + 1) (*2 + 9)/s (s2 + 4). (7.44) Эта Zn(s) удовлетворяет всем свойствам входных LC-функций полного сопро- тивления. Из (7.37) z21 (s) = ks'/s (s2 + 4). (7.45) Поскольку все нули передачи лежат при s = 0, используем для реализации гц(з) вторую форму Кауэра. Это означает разложение Zn(s) в непрерыв- ную дробь при s — 0. s4 + 10s2 + 9____9 , 1 11 s3 + 4s 4s + 16 1 31s + 961 1 (7.46) 60s + 15 31s Схемная реализация передаточной функции /7(s) по (7.43), полученная путем реализации входной LC-функции полного сопротивления zh(s) по (7.46) вто- рой формой Кауэра, показана на рис. 7.13. Рис. 7.13. Схема реализации H(s) по (7.43). Пример 7.6. Реализовать Н (s) = Квых/Квх = fts2/(s2 + 1) (s2 + 9). (7.47) Решение. Простую форму для zn(s) дает zi 1 (s) = (s2 + 1) (s2 + 9)/s (s2 + 4) (7.48) В данном случае имеем z21(s) = *s/(s2 + 4). (7.49) Передаточная функция (7.47) имеет два нуля передачи при s = 0 и еще два нУля передачи при s = оо. Чтобы одновременно реализовать эти нули пере- дачи и Zh(s), можем использовать первую форму Кауэра для выделения из *n(s) двух элементов, дающих два нуля передачи при s = оо, а далее реа- лизовать остаточную функцию второй формой Кауэра, которая даст еще два нуля передачи при s == 0. Для этого произведем следующее разложение: zU(s)g^+j2;+^ s3 + 4s 1 <5/2) s 6 S 6s2 + 9 As + i (s) (7.50) = s
172 7. Пассивная реализация передаточных функций где остаточная функция полной проводимости ye(s) раскладывается во вто рую форму Кауэра: г ,s}______1______6s2 + 9 9 + 6s2 18 1 yR(s) (5/2) s (5/2)s 5s (5/12s) ‘ V,O1J Схемная реализация этой процедуры показана на рис. 714, а. С другой стороны, мы можем сперва реализовать Zn(s) второй формой Кауэра для выделения из Zn(s) двух элементов, дающих два нуля передачи Рис. 7.14. Две схемы реализации ZZ(s) по (7.47). при s — 0, а затем реализовать остаточную функцию первой формой Кауэра Это требует следующего разложения Zn(s): _ ,.х ?+10s2 + s4 9 *11 (s) e ,—s— •= T~ ' 4s + s3 4s __________’__________Л 9 1 16 , (15/31)s =4sT 16 , ’ 31s + s2 + (31/4) 31s + yR (7.52) где остаточная функция гл(з) s2 + (31/4) (15/31)s 1 1/л(5) подвергается разложению при s = oo; 15 s+ (60/961)s‘ (7.53) (7.54) Схемная реализация (7.47) через (7.52) и (7.54) показана на рис. 7.14,6. 7.1.3. Другие возможности В предшествующих двух разделах мы рассматривали реали- зацию передаточных функций лестничных RC- и LC-схем по- средством представления четырехполюсника матрицей сопро- тивлений. В этом разделе мы исследуем проблему реализации передаточных функций через представление четырехполюсника матрицей полных проводимостей.
?. Пассивная реализация передаточных функций 17з Предположим, что /?С[ЛС] -четырехполюсник (рис. 7.15) представлен матрицей проводимостей ГЛ1 р, МГМ (7.55) L Z2 J L У21 У22 J L V2 J где {/и = 1/21. Тогда передаточная функция по напряжению со- • ответствует второму уравнению (7.55) при /2 = О1): Я(«)=-р-| = --^Ц±. (7.56) ' Vl |/2=0 </22 (s) Мы видим, что выражение (7.56) аналогично выражению (7.2), если заменить в последнем £ц и z2i соответственно на у22 и —t/2i. Рис. 7.15 ЯС [LC]-четырехполюсник. Уи(®)—входная функция полной проводимости при Vi=0. Следовательно, реализацию заданной передаточной функции, удовлетворяющей требованиям по структуре лестничной RC{LC}-схемы, содержащимся в теореме 7.1 {теореме 7.2}, можно обеспечить путем надлежащей реализации соответствую- щим образом выбранной входной RC{LC}-функции полной про- водимости z/22(s). Пусть заданная передаточная функция имеет форму H(s) = ksm/B(s), (7.57) где B(s) — полином n-й степени с простыми и отрицательными корнями, лежащими на вещественной {мнимой} оси. Тогда y22(s) = B(s)/D(s), (7.58) где D(s) выбирается таким образом, чтобы z/22(s) удовлетво- ряла всем требованиям к входной RC{LC}-функции полной про- водимости, представленным в гл. 6 {гл. 5}. Для простоты и *) Используя соотношения между матрицей сопротивлений и матрицей проводимостей взаимного четырехполюсника, можно показать, что ~(yzilyi2) = (zzi/zu)-, см. [1].
174 7. Пассивная реализация передаточных функций экономии выберем степень По полинома D(s) равной nD = n— 1’). (7.59) Подставляя (7.57) и (7.58) в (7.56), получаем y2i(s) = -[b"W)]. (7.60) Чтобы реализовать H(s) по (7.57), необходимо одновременно реализовать у22($) по (7.58) и y2i(s) по (7.60), с тем чтобы удовлетворить требованиям к нулям передачи H(s). Это озна- чает следующее: 1. Если m = 0 (случай, когда все нули передачи лежат при s = оо), используем для реализации y22(s) первую форму Кауэра. 2. Если m = п (случай, когда все нули передачи лежат при s = 0), используем для реализации 1/22(5) вторую форму Кауэра. 3. Если 0 < m < п, реализуем m нулей передачи при s = 0 второй формой Кауэра и (п — т) нулей передачи при s = оо первой формой Кауэра. Пример 7.7. Реализовать передаточную функцию по напряжению Н (s) = k/(s + 2) (з + 4). (7.61) Решение. Выберем Угг(з) как у22 (s) = (з _|_ 2) (з + 4)/(з + 3). (7.62) Ясно, что у22(з) удовлетворяет всем свойствам входной /?С-функции полной проводимости и У21(з) =W4-3). (7.63) Поскольку все нули передачи передаточной функции лежат при s = оо, ис- пользуем для реализации У2г(з} первую форму Кауэра. Это требует разложе- ния 1/22(3) в непрерывную дробь при s = 00; , . з2 + 6з + 8 1 . 1/2» (з)----s +'~3 =s + -----------i----• (7>64) з' 9®+ 1/24 (7.64) первой формой Кауэра с зажимов (2). а входной по- На рис. 7.16 показана реализация угг(з) по Когда выходной сигнал напряжения берется дается на зажимы (D, схема 7.16 обеспечивает также реализацию переда- точной функции (7.61). Действительно, простой анализ схемы на рис. 7.16 показывает, что передаточная функция по напряжению равна Н (s) = = Квых/Квх = 8/(s + 2) (s 4-4). *) Заметим, что (7.59) и RC3 разд. 7.1.1 различны, поскольку входные /?С-функции полного сопротивления и полной проводимости обладают раз- личными свойствами. В противоположность этому (7.59) и LC2 идентичны, поскольку входные LC-функции полного сопротивления и полной проводимо- сти обладают идентичными свойствами.
7. Пассивная реализация передаточных функций 176 Пример 7.8. Реализовать Н (s) = ks/(s + 2) (з + 4). (7.65) Решение. Положим //22(s) = (s + 2)(s + 4)/(s + 3). (7.66) Из (7.60) r/2i(s) = ks/(s + 3). Поскольку имеется нуль передачи при s = оо и еще один нуль передачи при з = О, используем для реализации 1/22(5) ком- бинацию обеих форм Кауэра. Сперва используем первую форму Кауэра для Рис. 7.16. Схема реализации Н(з) по (7.61). Рис. 7.17. Схема реализации (7.65). реализации нуля передачи при s = 00. Это требует частичного разложения Р22(з) в непрерывную дробь при s = оо; 1/22 (S) = S + (3s + 8)/(s 4- 3) A s + yR (s). (7.67) Отметим, что как только мы выделим необходимое число конденсаторов для обеспечения требуемых нулей передачи, этот процесс необходимо остановить. Остаточную функцию полной проводимости </«(s) следует реализовать второй формой Кауэра. Поскольку гд(О) = 1/г/д(О)¥=~, (7.68) Производим разложение Ук(з) в непрерывную дробь при s = 0: УК = З + s = У + 9 1 • <7,69) S + 1/3
176 7. Пассивная реализация передаточных функций Схемная реализация //22 (s) по (7.66) через (7.67) и (7.69) представлена на рнс. 7.17. При обычном способе подачи входного и выходного напряжений схема на рис. 7.17 обеспечивает реализацию Н(з) по (7.65). Действительно, переда- точная функция по напряжению для схемы на рис. 7.17 равна H(s) = Увых/Ивх “ (1/3) з/ (s + 2) (s Ц- 4). Пример 7.9. Реализовать Н (s) = fes2/(s2 + 2) (s2 + 4). (7.70) Решение. Положим Ум (з) = (з2 + 2) (s2 + 4)/s (s2 + 3). (7.71) Тогда f/21 (s) = —[ks/(s2 + 3)]. (7.72) Поскольку имеется два нуля передачи при s = 0 и два — при s = оо, нужно использовать комбинацию обеих форм Кауэра. Сперва используем для реали- Рис. 7.18. Схема реализации H(s) по (7 70). зации двух нулей передачи при s = оо первую форму Кауэра. Это требует частичного разложения угг(з) в непрерывную дробь при з = оо: Ум (з) = з + -j-----—j— Д s + -j----------!—j—. (7.73) ~з s+ 3s2 + 8 3’s + i7(5j’ (1/3) s Чтобы получить остальные два нуля передачи при з = 0, реализуем у я (s) второй формой Кауэра: yR (з) = (8 + 3s2)/(l/3) s = (24/s) + l/(l/9s). (7.74) Схемная реализация Zf(s) по (7.70), основанная на реализации 1/22(3) комби- нацией обеих форм Кауэра, как задано (7.73) и (7.74), показана на рис. 7.18. Пример 7.10. Реализовать Н (s) = £s4/(s2 + 2) (s2 + 4). (7.75) Решение: Положим Ум (s) = (s2 + 2) (s2 + 4)/s (s2 + 3). (7.76) Тогда J/2i(s) = fo3/(s2 + 3). (7.77)
7. Пассивная реализация передаточных функций 177 Поскольку все нули передачи лежат при s = 0, реализуем 1/22(5) второй фор- мой Кауэра: . . 8 + 6s2 + s4 8 3s + s3 3s + -g- Ц (7.78) 10s 1 100 1 3s 1 1 10s Схемная реализация H(s) по (7.75), основывающаяся на (7.78), показана на рис. 7.19. Рис. 7.19. Схема реализации H(s) по (7.75). 7.2. Мостовые схемы Мостовая схема имеет структуру, показанную на рис. 7.20, а. Если не имеется ограничений на число элементов, содержа- щихся в ветвях Zi, где i= 1, 2, 3 и 4, то мостовую структуру можно использовать для реализации почти всех передаточных Рис. 7.20. Общая мостовая схема (а); симметричная мостовая схема (б). функций. В этом разделе мы рассмотрим специальный класс мостовых схем (рис. 7.20, б), где z0 = Z! = z4 и z6 = z2 = z3. (7.79) Схемная структура рис. 7.20,6 известна как симметричная мо- стовая схема. Простой анализ симметричной мостовой схемы приводит к следующему представлению четырехполюсника через сопротив-
178 7. Пассивная реализация передаточных функций ление: z„ + z. z.—z И (7.80) Z. — z„ z„ + z. = ±/2. (7.8i) Если для синтеза передаточной функции по напряжению ис- пользуется симметричная мостовая схема, то , , Г, I z. — z„ (7-82) М 1/2=0 Zb‘Za Соотношение (7.82) дает путь к реализации всепропускающих передаточных функций. Всепропускающая цепь характеризуется передаточной функ- цией, имеющей форму Я(5) = р(-8)/р(8), (7.83) где p(s)— полином Гурвица. Записав р (s) = m (s) + п (s), (7.84) где m(s) и n(s)—соответственно четная и нечетная части p(s), получим вместо (7.83) и / х m (s) — я (s) _ [m (s)/n (s)] — 1 ' tn (s) + n (s) [m (s)/n (s)J + I __ 1 — [n (s)/m (s)] 1 + [« (s)/m (s)] (7.85a) (7.856) Поскольку p(s) есть полином Гурвица, можно заключить в соответствии с теоремой 4.4, что как m(s)/n(s), так и n(s)/m(s) можно реализовать в виде входной LC-функции полного сопро- тивления. Сравнивая (7.85а) [(7.846)] с (7.82), можем заклю- чить, что всегда можно реализовать всепропускающую переда- точную функцию по напряжению симметричной мостовой схе- мой рис. 7.206, где zb = m (s) /п (s) [za = n(s)/m(s)]—функция полного сопротивления двухполюсника, a Za[zb]— просто сопро- тивление 1 Ом. Следовательно, проблема всепропускающей пе- редаточной функции сведена теперь к проблеме реализации входной АС-функции полного сопротивления. Пример 7.11. Реализовать Н (s) = ГВЬ1Х/РВХ = (s2 - s + l)/(s2 + s + 1). (7.86) Решение. H(s} по (7.86) можно записать в виде гт I ,_ [(s2 + l)/s] — 1 /7 87) <7,87)
7. Пассивная реализация передаточных функций 179 Сравнение членов выражений (7 82) и (7.87) приводит к zb=(s2+ l)/s = s + (1/s) и za = 1. (7.88а) (7.886) Схемная реализация передаточной функции (7.86) сводится теперь к реали- зации входной LC-функции полного сопротивления zj,(s) по (7.88а). Конеч- Рис. 7.21. Две схемы реализации всепропускающей функции (7.86). Еще одну реализацию (7 86) можно получить, записав H(s) в виде ( 1 + [s/(s2 + 1)] ‘ (7'8Э) Сравнивая (7.89) с (7.82), получим S 1 Z„ = -я- = Г7ГГГ и zh = 1- (7.90) а S2 + 1 S + (1/s) ° ' ' Схемная реализация (7.90) приведена на рис. 7.21, б. 7.3. Методы Дарлингтона Дарлингтон решил общую задачу реализации передаточной функции с помощью четырехполюсника без потерь, у которого оконечными нагрузками являются активные сопротивления [4,5]. Все схемы такого рода (рис. 7.22) называются схемами Дар- лингтона. В этом разделе мы не будем обсуждать метод синтеза, пред- ложенный Дарлингтоном как таковой, а рассмотрим некоторые упрощенные процедуры синтеза по Дарлингтону для ограничен- ного, но весьма распространенного класса передаточных функ- ций. Прежде чем перейти к рассмотрению специальных случаев методов синтеза по Дарлингтону, рассмотрим некоторые важ- ные свойства z-параметров и //-параметров четырехполюсников без потерь, а также результирующих передаточных функций по напряжению.
180 7. Пассивная реализация передаточных функций (7.91а) Пусть четырехполюсник без потерь на рис. 7.22 имеет ма- трицу сопротивлений Г И1 _ Г гп г121 г л L У2 -1 1- 2-21 ^22 J L 72 или матрицу проводимостей Г Л I _ Г Уп Ум 1Г 71 L /2 J L У21 У22 J L 7г где 212 = Z21 и г/12 = угъ Поскольку 2ц и 212 {уп и У22} являются входными функциями полного сопротивления {полной проводи- (7.916) Ряс. 7.22. Схемные структуры Дарлингтона. а —четырехполюсник без потерь с резистором нагрузки; б—четырехполюсник без потерь с резистором источника сигнала; в—четырехполюсник без потерь с резисторамн источника сигнала и нагрузки. мости} LC-двухполюсников, это нечетные рациональные функ- ции с простыми и чередующимися полюсами и нулями, лежа- щими на мнимой оси плоскости s. Четырехполюсник без потерь является пассивным. Следовательно, матрица вычетов четырех- полюсника при полюсе Pj есть ./ I »ц ®12 § L& $22 (7.9-
7. Пассивная реализация передаточных функций 181 Эта матрица полуопределенная, вещественная и положитель- ная, и в ней Qlk— вычет zik {i/;fe} при полюсе р/ (г, k = 1, 2), а полюс четырехполюсника есть полюс любого из четырех z-па- раметров {//-параметров}. Если р, — полюс 212 {г/12}, но не £ц или z22 {«/и или У22}, то или Ц2 является нулем, а по (7.92) не является положительной полуопределенной матрицей. Следовательно, заключаем, что все полюсы Z12 {г/12} являются полюсами 2ц и Z22 {г/п и г/22} ')• Это означает, что частичное разложение Z\2 {г/12} в непрерывную дробь будет иметь такую же форму, как гц или Z22 {г/п или г/22}: ?(0) Л (s) <7-93’ Поэтому Z12 {г/12}, так же как гц или Z22 {г/п или г/22}, является нечетной рациональной функцией, т. е. Zi2(s) = m(s)/n(s) или n(s)/m(s) (7.94а) {г/12 (5) = пг (s)/n (s) или n(s)/m(s)}, (7.946) где m(s) и n(s) — соответственно четный и нечетный полиномы. Далее рассмотрим передаточные функции схем на рис. 7.22. Для рис. 7.22, а матрица сопротивлений четырехполюсника без потерь и выражение v2=----/?вых/2 (7.95) дают Н (S) А = -- -уя-—. (7.96) И ВХ U/А вых} у 22 Для рис. 7.22, б при h = 0 матрица сопротивлений четырехпо- люсника без потерь и выражение Ивх^вхЛ + И 7.97) приводят к Я(5)ДИвы#вх = 21ЖНг11). 7.98) Наконец, для рис. 7.22, а имеем я ($) А = ---------------Ц--- 'вх 1 t „ Г У79 У22 Явх ------------- I ~р-------F Ум АвЫХ ’) Заметим сами г1г {у12}. , что ие все полюсы или Z22 {уи или угг} являются полю-
182 7. Пассивная реализация передаточных функций Предположим, что для заданной передаточной функции H(s) мы можем найти соответствующий полином Р(з), такой, чтобы Я W В (s)/P (S) k ~D (s)'' (7Л0°) где k — постоянная, a C(s) и D(s) — нечетные рациональные функции. Если используется схема на рис. 7.22, а, то можем легко идентифицировать у12 и у22, сравнив (7.96) и (7.100). В этом случае задача сводится к одновременной реализации у и и «/22. Методы одновременной реализации у\2 и у22 обсуждались в разд. 7.1.3. Если используется схема на рис. 7.22,6, то можно идентифицировать zi2 и зц, сравнив (7.98) и (7.100). Задача реализации (7.100) в этом случае снова сводится к одновремен- ной реализации Zn(s) и zi2(s), рассмотренной в разд. 7.1.2. Этот процесс идентификации прекрасно выполняется для схем на рис. 7.22, а и 6. Однако для схемы на рис. 7.22, а ситуация совершенно другая, как это видно из сравнения (7.99) и (7.100). Поэтому мы отдельно рассмотрим случай одной оконечной на- грузки (рис. 7.22, а и 6) и случай двух оконечных нагрузок (рис. 7.22,а). 7.3.1. Схема без потерь с односторонней нагрузкой Положим для удобства, что /?Вых на рис. 7.22, а и /?вх на рис. 7.22, б равны 1 Ом. Если нужно другое значение У?вых и Ru, можно произвести денормирование по сопротивлению (рассма- триваемое в гл. 8) в результирующей схеме1). При таком удоб- ном упрощении (7.96) и (7.98) аналогичны, причем z\2 и ?ц соответствуют —у\2 и у22. Сперва детально рассмотрим случай рис. 7.22, а и (7.96), а затем в общих чертах обрисуем про- цедуру синтеза для случая рис. 7.22,6 и (7.98). При /?вых = 1 Ом (7.96) переходит в такую форму! Н (з) = V^Vm = - !/12/(1 + У22). (7.10D Поскольку у\2 и у22 — нечетные рациональные функции, имею- щие одинаковый знаменатель, можем написать 1/12 («) = «12(5)^22(5) и «/22(5) =«22(5)^22(5), (7.102) где «12(3) и n22(s) — нечетные полиномы, если d22(s)— четный полином, и, обратно, ti\2 (s) и /i22(s) — четные полиномы, если ^22(5) — нечетный полином. Подставив (7.102) в (7.101), по- лучим Н (s\ А А ==---------00 (7.103) B(s) n22 (s) + (s) ’ *) Отметим, что передаточные функции по напряжению у схемы с денор- мированными сопротивлениями и у исходной схемы одинаковы.
7. Пассивная реализация передаточных функций 183 Из этого выражения видно, что Д(«) — числитель уц и, следова- тельно, он либо нечетный, либо четный полином. Кроме того, B(s) представляет сумму полиномов, стоящих в числителе и знаменателе входной LC-функции полной проводимости z/22(s). Согласно теореме 4.4, B(s) — полином Гурвица. Это означает, что схемы на рис. 7.22, а и б могут реализовать только переда- точную функцию, у которой полином, стоящий в числителе, не- четный или четный, а в знаменателе стоит полином Гурвица, так что = Л'.МтТ или (7.Ю4) ' ' B(s) M2(s) + N2(s) .105) (7 Н (s) В (s) — М2 (s) + N2 (s) ’ где Mi(s) и M2(s)— четные полиномы, M(s) и N2(s)— нечет- ные полиномы, а В (s) = A42(s) + N2(s)—полином Гурвица. Рассмотрим сначала случай (7.104). Запишем H(s) как H(s) —__________________ ,7 Ю6) [М2 (s)/N2 (s)1 + 1 ’ 7 Сравнение (7.106) и (7.101) дает yi2(s) = -[Ml(s)/N2(s)] и (7.107) y22(s) = [M2(s)/N2(s)]. (7.108) Аналогично, если H(s) дается (7.105), H(s) можно записать как т_т ( \ Hi(s)/M2(s) 10СП Я(5)== 1 + №(S)/M2(s)]- (7Л09) Сравнивая (7.109) и (7.101), получаем t/i2(s) = -[M(s)/M2(s)] и (7.110) !/22(s) = AZ2(s)/A42(s). (7.111) Следовательно, проблема реализации передаточной функции по напряжению сводится к одновременной реализации y22(s) и Ь'1г(в)х). Если 4(s) равна A(s) = ksm, (7.112) ’) Согласно (7.56), задача одновременной реализации yi2(s) и y22(s) эквивалентна задаче реализации передаточной функции по напряжению F(s) Одного четырехполюсника без потерь, у которого F(S) = “1^j’ = TO)’ лля случая (7.104) и о F (s)=- =-^Г АЛЯ случая (7Л05)- ?ескиТ"ИМ’ ЧТ° тРебования к нулям передачи F(s) и H(s) идентичные. Физи- Толькр одни" ЭТ0Г0 в том’ что схемные реализации H(s) и F(s) различаются
184 7. Пассивная реализация передаточных функций то задача одновременной реализации 1/12(5) и 1/22(5) решается, как описано в разд. 7.1.2 и 7.1.3. Пример 7.12. Реализовать Я(з)АРвых/7вх=1/(з2 + з+1) (7.113) четырехполюсником без потерь с оконечной нагрузкой в виде активного ре- зистора 1 Ом. Решение. Поскольку числитель H(s) по (7.113)—четный полином, Я(з) имеет форму (7.104). Согласно (7.106) H(s) запишем как Н (s) “ s + (s2 + 1) 1 + [J+ l)/s] • (7J 14) Приравнивая соответствующие члены (7.101) и (7.114), получим Л12 = —(1/s) и 1/22 = (s2 + l)/s. (7.115) Все нули передачи H(s) лежат при s = оо; поэтому используем для реализа- ции угг первую форму Кауэра. Это подразумевает разложение 1/22 (s) в не- прерывную дробь при s = ОО. l/22(s) = (s2+ l)/s = s + (1/s). (7.116) Схемная реализация (7.113) через 1/22(5) по (7.116) показана на рис. 7.23. Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.23 дает передаточную функцию по на- Рис. 7.23. Схема реализации H(s) по (7.113). пряжению (7.113), используем уравнение делителя напряжения, с тем чтобы получить _ 1/(5 + 1) ИВЫХ [1/(5+1)] + 5 Следовательно, H(s)= l/(s94-s + 1), что и дает требуемую функцию (7.ПЗ)- Заметим, что, когда все нули передачи лежат при s = 00, для реализации угг (s) следует использовать первую форму Кауэра. Пример 7.13. Реализовать Н (5) А Квых/Квх = s2/(s2 + Зз + 1) (7-117) четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде актив* ного резистора 1 Ом.
1. Пассивная реализация передаточных функций 185 Решение. Как и в примере 7.12, задача сводится к одновременной реали- зации «/12 (S) = - (s2/3s) = - (s/З) И 1/22 (S) = (1 + s2)/3s. (7.118) Все нули передачи (7.117) лежат при s = 0; поэтому используем для реали- зации 1/22 по (7.118) вторую форму Кауэра. Схемная реализация (7.117) Рис. 7.24. Схема реализации H(s) по (7.117). представлена на рис. 7.24, где угг(s) разложена при s = 0: t/22 (s) = (l/3s) + [l/(3/s)]. (7.119) Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.24 реализует требуемую передаточ- ную функцию, возьмем уравнение делителя напряжения: 1 Г 3 Vbx 3s2 + 3 (3s + 1) Vbx! 1 "г e следовательно, H(s) = s2/(s + 3s + 1). Пример 7.14. Реализовать н (s) = Квых/Квх - s/(s3 + s2 + 3s + 1) (7.120) Гтырехполюсником без потерь, имеющим нагрузку в виде активного резистора Ом. Решение. В данном случае числитель H(s)—нечетный полином. Согласно (7.109)— (7.111), H(s) можно записать как s Н (S) = (s2 + 1) + (s3 + 3s) = s4-3s • (7,12I) + s2 + 1 Приравнивая соответствующие члены (7.101) н (7.121), получаем «/2 = s/(s2+1) И i/22 = (s3 + 3s)/(s2+1). (7.122) Теперь задача сводится к одновременной реализации у и и угг- Поскольку имеемся один нуль передачи при s = 0 и два нуля передачи при s = оо, сле- дует использовать комбинацию обеих форм Кауэра.
186 7 Пассивная реализация передаточных функций Вообще говоря, предпочтительно, прежде чем приступать к реализации нескольких нулей передачи, реализовать одиночный нуль передачи Поэтому реализуем сперва нуль передачи при s = 0. Для этого необходимо осуще- ствить частичное разложение //22(a) в непрерывную дробь при s = 0, пока не будет выделен конденсатор: 1/22 (S) = (а3 + 3s)/(s2 + 1) = l/(l/3s) + zR (s), (7.123) где остаточная функция полного сопротивления zR(s) подлежит реализации первой формой Кауэра, с тем чтобы получить нули передачи при (2/3) s2 (2/3) з s3 + 3s s2 + 3 Z/? (а) А 1 3 , 1 2 S + 2 9 S (7.124) Схемная реализация передаточной функции (7 120) посредством реализации //22(a), как указывается (7 123) и (7.124), приведена на рис. 7.25. Рис. 7.26. Схема реализации (7.120). Чтобы убедиться, что схема на рис. 7.25 реализует передаточную функ» цию (7.120), положим = 1 и осуществим анализ схемы методом узловых напряжений. Он дает [^+4s+3s-3s 1 ГМ L-Зз 1+ЗзЛувых] L0 J Следовательно, 27 27 у = ____________2________ вых /9 . 9 \ „ . о 2 9,9 , 27 , 9 Ua+ 27)(1+3S)-9S 2S + 2S + T+^ Поскольку VBX *= 1, передаточная функция 7?(s) данной схемы соответ- ствует (7.125). Из сравнения (7 125) с (7.120) видно, что Й(з)—постоянный Г7?оо1ТеЛЬ Ш8) п0 поэтому схема на рис. 7.25 реализует Я(а) ио
7. Пассивная реализация передаточных функций 187 Теперь кратко рассмотрим случай на рис. 7.22,6 и (7.98), который для удобства воспроизведен здесь, при 7?вх — ) qm: Н (s) = 7вых/УВх = z12 (s)/[l + Zu (*)]• (7.126) Пусть передаточная функция задана выражением или (7Л27) (7Л28> где Afi(s) и M2(s)— четные полиномы, iVi(s) и N2(s)—нечет- ные полиномы, a B(s) = Af2(s)-|- Ni(s) — полином Гурвица. Если заданная передаточная функция по напряжению имеет форму (7.127), то задача реализации (7.127) сводится к за- даче одновременной реализации 2ц (s) = М2 (s)/JV2 (s) и z12(s) = Ml(s)/N2(s). (7.129) Аналогично реализация H(s) по (7.128) сводится к одновре- менной реализации zn(s) = ^(s)/M2(s) и z12 (s) = Wi (s)/M2 (s). (7.130) Процедуры реализации такие же, как рассмотренные в разд. 7.1.2. Пример 7.15. Реализовать Я(8) = Гвых/Гвх=1/(^ + 5+1) (7.131) схемой, имеющей структуру схемы на рис. 7.22, б. Рис. 7.26. Схема реализации Н(з) по (7.131). Г71он\Шение- Поскольку числитель — четный полином, здесь 0.127) и (7.129). Следовательно, можем записать Н(s) как . 1 1/Д Н (S) = s + (а» + 1) = 1+Л1+1 ’ приложимы (7.132) 5
188 7. Пассивная реализация передаточных функций Приравнивая члены (7.126) и (7.132), получаем «и (s) =»(s2 + l)/s и z2i (s) = (1/s). (7.133) Поскольку все нули передачи лежат при s = оо, используем для реализации zu(s) первую форму Кауэра. Это означает, что zn(s) подвергается разложе- нию при s = оо: 2ц (s) = s + (1/s). (7.134) Следовательно, схемная реализация передаточной функции H(s) по (7.131) соответствует рис. 7.26. Пример 7.16. Реализовать Н (s) = Увых/Квх = s2/(s3 + s2 + 3s + 1) (7.135) Рис. 7.27. Схема реализации H(s) по (7.135). Решение. Поскольку числитель H(s)—четный полином, запишем H(s) в виде s2 s3 + 3s Приравнивая члены (7.126) и (7.136), получаем zn(s) = (s2+l)/(s3 + 3s). (7.137) Видим, что имеется два нуля передачи при s = 0 и одни нуль передачи при s = оо. Вообще говоря, предпочтительно сначала реализовать один нуль пере- дачи. Поэтому используем первую форму Кауэра для извлечения элемента из *u(s), чтобы получить одиночный нуль передачи при s = оо в виде «-<»>~то—то-' 17-13,) s+
7. Пассивная реализация передаточных функций 189 где остаточная функция полного сопротивление (s) = (s2 + l)/2s раскладывается второй формой Кауэра в виде <?2 _L 1 1 1 ZR^ = 2s~ = ~2s + 2/s ‘ (7.139) Результирующая схемная реализация H(s) по (7.135) показана на рис. 7.27. Пример 7.17. Реализовать схемой вида рис. 7.22, б функцию Н (s) = УВЫх/Ивх = s3/(s3 + s2 + 3s + 1). (7.140) Решение. Поскольку Н(з) имеет форму (7.128), здесь приложима (7.130). Поэтому запишем Н (s) в виде s3 оЗ о2 Д- 1 Я (S) = 7 2 ТГ з о ч--------------• (7.141) 7 (s2 + 1) + (s3 + 3s) s3 + 3s ' + s2 + 1 Приравнивая члены (7.126) и (7.141), получаем an (s) = (s3 + 3s)/(s2 + 1). Поскольку все нули передачи лежат при s = 0, используем для реализации 2ц (s) вторую форму Кауэра. Разлагая Zn(s) при s = 0, получаем 2Ц (S)-----j-----—-j------ (7.142) Is + _9_ . _1_ 2s + 2 3s Результирующая схемная реализация (7.140) показана на рис. 7.28. Рис. 7.28. Схема реализации #(s) по (7.140)
190 7. Пассивная реализация передаточных функций 7.3- 2. Четырехполюсник без потерь с двусторонними нагрузками В этом разделе рассматривается случай на рис. 7.22, в, кото- рый для удобства воспроизведен на рис. 7.29. Поскольку (7.99) и (7.100) не позволяют пр стым образом идентифицировать z-параметры или у-параметры четырехполюсника без потерь, мы примем совершенно иной подход. Рис. 7.29. Схемная структура Дарлингтона. Чтобы свести задачу реализации передаточной функции к реализации входной функции полного сопротивления ZBX(s) рис. 7.29, нужно ввести два коэффициента — коэффициент пе- редачи и коэффициент отражения. Коэффициент передачи опре- деляется как отношение выходной мощности РВЫх, выделяемой в Ri, к максимальной мощности Ра, поступающей от источника сигнала с внутренним сопротивлением Rs- Очевидно, Рвых(/®) = |ИВЫх(/®)|2/^ и (7.143) /’а(М) = |Ивх(/(о)|2Ж. (7.144) Следовательно, коэффициент передачи определяется выраже- нием 1т Нсл\ I2 _ ^*ВЬ1Х (/«>) __4Яв_ I Увых (/<*>) I2 _ 4Ra . „ ... .2 - р (/(й) - Rl увх(/о)|2 - R |Я(/®)Ь (7.145) где H(s) — передаточная функция по напряжению Я(«) = УВЫХ(5)/УВХ(«). (7.146) Поскольку мощность, подводимая на Ri от источника, должна быть меньше или равна максимальной мощности, поступающей от источника, имеем | т (/со) |2 < 1. (7-147) Коэффициент отражения определяется просто как дополнение коэффициента передачи: |р(/о)12 + |т(/со)|2= 1. (7.148)
7. Пассивная реализация передаточных функций 191 В случае синусоидального (в установившемся состоянии) сиг- нала мощность Рвх> подаваемая на пару зажимов ф четырех- полюсника без потерь, равна мощности РВЫх, подаваемой грузку, причем PBX = Re[ZBX(/co)]|/1(/(o)l2. Приравнивая (7.143) и (7.149), получаем Re [ZBX (/<о)] | It (/co) I2 = I Узых (/co) IWz > Pt Re [ZBX (/<o)] = | Ивых (/co) |71 It (/co) |2. Из рис. 7.29 имеем VBX//i = Rs + ZBX(s). Объединяя (7.150) и (7.151), получаем и /;{.\ |2 I Vвых (/®) I2 I Vвых (/со) I2 I /| (i®) I Wl - I VBx(/®) I ~l Л(/®) I I VBX(/<o) I _ Rt Re [ZBX (ya)] I Rs + ZBX (ya) |2 Подставляя (7.152) в (7.145), а результирующее выражение — в (7.148), получаем (/со) р (—/со) = 1 — т (/со) т < — /со) = 1-1 Н (/«) I2 = ___I __ Ri Re [ZBx (/co)] — Ri l/?s + 2flX(/(o)|2* Записав ZBX(co) в виде ZBX(/<o) = R(co) + /Z(co), на на- (7.149) или (7.150) (7.151) (7.152) (7.153) (7.154) получим р(/ю)р (—/©)=! (7.155) 4RSR (a) _ I Rs + R (a) + jX (a) |2 ___ , 4RSR (a) [Rs + R(co)]24-[X(a)]2~ _ [Rs - R (a)]2 + [X (a)]2 _ |ZBX (/a) - Rs |2 [Rs + R (a)]2 + [X (a)]2 ~ |ZBX (ya ) + Rs |2 ' Выражение (7.156) подразумевает, что p(s) = ±^.g-^ ^BX А$ 7 __ n 1 ± P («) Благодаря введению коэффициента передачи по (7145) и коэффициента отражения по (7.153) мы свели задачу реализации или что (7.156) (7.157) (7.158)
192 7. Пассивная реализация передаточных функций передаточной функции по напряжению H(s) (7.146) к реа- лизации входной функции полного сопротивления ZBX(s) по (7.158), принимая во внимание расположение нулей передачи H(s). Заметим здесь, что ZBx($) содержит только один резистор Ri, а остальными элементами являются конденсаторы и катуш- ки индуктивности, как показано на рис. 7.29. На основе изложенного можем теперь рассмотреть поэтап- ную процедуру реализации передаточных функций в форме1) H(s) = ksm/B(s) (7.159) в виде схемы Дарлингтона на рис. 7.29, где B(s)— полином Гур- вица или модифицированный полином Гурвица n-й степени, а 0 m п. Для упрощения алгебраических преобразований положим Rs = 1 Ом. Этап 1. Находим p(s). Из (7.153) имеем р (s) р (— s) = 1 — (4/7?,) Н (s) Н (- з). (7.160) Определение р(з)— самый важный этап этой процедуры реали- зации. Начнем с того, что (7.160) может не иметь решения. Допустим /Ч^ЛрфрЬз) Й (7.161) 0(з)Л l-(4/7?,)tf(s)tf(-s) (7.162) представляют соответственно левую и правую стороны (7.160). Ясно, что от полюсов и нулей F(s) требуется, чтобы они обла- дали квадрантной симметрией. На основе (7.162) можно за- ключить, что полюсы G(s) будут также обладать такой симме- трией, но это не обязательно относится к нулям. Это имеет ме- сто, поскольку числитель G(s) является только четным полино- мом, а не обязательно полиномом с зеркальной структурой — такой, при которой его можно записать в виде р(з)р(—s). Если нули G(s) не обладают квадрантной симметрией, мы не сумеем найти p(s) из (7.160) и описываемая нами процедура не при- ведет к схемной реализации для H(s). Предположим теперь, что нули G(s) обладают квадрантной симметрией2). В этом случае имеется больше чем один p(s), удовлетворяющий (7.160). Выберем в качестве решения (7.160) *) Причина, по которой мы ограничиваем числитель H(s) видом ksm, та, что у нас отсутствуют достаточные математические средства для рассмотре- ния общего случая, когда A (s) есть полином m-й степени с 0 ag т п. В гл. 8 мы увидим, что многие важные семейства фильтров имеют переда- точные функции вида (7 159) г) Нули G(s) будут удовлетворять требованиям квадрантной симметрии, если они не лежат на мнимой оси в плоскости s, за исключением, возможно, начала координат. Также, если B(s)—полином Гурвица, (7.160) будет иметь минимальное фазовое решение p(s).
7. Пассивная реализация передаточных функций 193 минимально-фазовую функцию р(з)1). В ином случае нам по- надобились бы для реализации результирующей входной функ- ции полного сопротивления ZBX(s) отрицательные индуктивно- сти и (или) емкости. Этап 2. Находим ZBX(s). После того как p(s) определен, (7.158) дает zBX = T~-W или z™ & = тттёг • (7-1 бз) Из (7.163) имеем две возможности выбора ZBX(s). Поскольку одна из них противоположна другой, можем ожидать, что одна ZBX(s) даст в качестве оконечного нагрузочного резистора /?/, а другая — 1/Ri. Если для Ri имеется желательное значение (например, в общей схеме Ri равно входному сопротивлению следующего каскада), требуемый результат получится только при одном варианте выбора ZBX(s). Если Ri = 1 Ом (или если значение Ri несущественно), тогда одинаково справедлив любой способ выбора ZBX(s). Чтобы определить значение оконечного резистора Ri при данном варианте выбора ZBX(s)_, имеем Ri = ZBX(0), (7.164) когда в (7.159) m = 0, и ^ = 2вх(оо), (7.165) когда в (7.159) тп = п, где Ri равно либо Rt, либо 1/Ri. Это имеет место по той при- чине, что, когда в (7.159) m = 0, передаточная функция обес- печивает пропускание только нижних частот и все нули пере- дачи лежат при з = оо. Поэтому используем первую форму Кауэра. Это означает, что ZBX(s) будет содержать последова- тельные катушки индуктивности и параллельные конденсаторы, а оконечной нагрузкой будет Ri. При з = О последовательные индуктивности дают короткое замыкание, а параллельные кон- денсаторы— холостой ход; следовательно, ZBX(0) содержит только величину оконечного сопротивления. Это иллюстри- руется рис. 7.30, а. Аналогично, когда m = п, передаточная функция обеспечивает пропускание только верхних частот и все нули передачи лежат при з = 0. Поэтому используется вторая форма Кауэра. Она дает последовательные конденсаторы и па- раллельные катушки индуктивности, а оконечной нагрузкой по- прежнему является Ri. При з = оо последовательные емкости дают короткое замыкание, а параллельные индуктивности — ) Если нули G(s) удовлетворяют требованиям квадрантной симметрии, то имеется одна и только одна минимально-фазовая функция, удовлетворяю- щая (7.160). Напомним, что полюсы и нули минимально фазовой функции не лежат в правой полуплоскости s. 7 Зак. цзо
194 7. Пассивная реализация передаточных функций холостой ход. Следовательно, ZBX(°o) = ^z (рис. 7.30,5). Нако- нец, для случая 0 < m < m в (7.159) передаточная функция обеспечивает пропускание сигнала в полосе частот. Имеется предельный метод для определения Ri по заданному ZBX(s). Од- нако процесс его осуществления сложен и требует большого количества вычислений. В данном случае фактически выгодней производить реализацию для любой из двух возможных ZBX(s) Рис. 7.30. Определение значения сопротивления нагрузки а) т = 0 в (7.159); б) т = п в (7 159). а и находить значение Ri. Если Ri = Ri, результирующая схема оптимальна; в обратном случае оптимальную схему даст второй вариант выбора ZBX(s) из (7.163). Этап 3. Реализация ZBx(s). Чтобы реализовать H(s) по (7.159), мы должны надлежащим способом реализовать ZBX(s), дабы удовлетворить требованиям к нулям передачи. Мы рас- смотрим три возможных случая (7.159), как это делалось в разд. 7.1. Случай 1. Если т = 0, используем первую форму Кауэра. Случай 2. Если т = п, используем вторую форму Кауэра. Случай 3. Если 0 < т <Z п, мы можем сперва использовать первую форму Кауэра для выделения (п — т) динамических элементов (конденсаторов и катушек индуктивности), а оста- точную функцию реализовать второй формой Кауэра, или же сначала использовать вторую форму Кауэра для выделения т динамических элементов, а остаточную функцию реализовать первой формой Кауэра.
7. Пассивная реализация передаточных функций 195 Здесь следует отметить, что, если мы используем для необ- ходимого разложения ZBX(s) в непрерывную дробь процедуру деления и инверсии, при каждом шаге деления будем находить два члена — самой высокой и самой низкой степени. Это одно- временное исключение двух членов будет продолжаться вплоть до выделения последнего динамического элемента. Пример 7.18. Реализовать Н (s) = k/(s2 + 1) (s + 1) (7.166) схемной структурой Дарлингтона по рис. 7 29 при Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом. Решение. Поскольку передаточная функция (7.166) типа фильтра нижних частот (все нули передачи лежат при s = oo), результирующая схема Дар- Рис. 7.31. Схема для определения значения k в (7 166). лингтона будет иметь форму, как на рис. 7.31, а При s = О схема на рис. 7.31, а сводится к схеме на рис. 7.31,6. Следовательно, имеем Н (0) = RtKRs + Ri). (7.167) Сравнивая (7.167) с (7.166) при s = 0, получаем k = Ri/(Rs+Ri) = 2/3. (7.168) Первый этап процедуры реализации — определение p(s). Из (7.160) имеем р (s) р (- s) = 1 - (4/R/) Я (s) Н (— s) = 1 — ~ (g2 + X V_______2/3------_-------— s6 ~ s* + s2 + (1/9)--= (7j 69) Х (s2+l)(-s+1) (s2+l)(s2+l)(s+l)(-s+1) ' ' _ (s + 0,83) (- s + 0,83) (s2 + 1,59) (s2 + 0,10) (s2+l)(s2+l)(s+l)(-s+1) Поскольку^ нули правой части выражения (7.169) не обладают квадрантной симметрией, мы не можем получить p(s) из (7.169); поэтому процедура, опи- С(7166) В данном Разделе- не может привести к схемной реализации H(s) по 7*
196 7 Пассивная реализация передаточных функций Пример 7.19. Реализовать Я (s) = fe/(s2 + 3s + 3) (7.170) четырехполюсником без потерь, имеющим оконечную нагрузку в виде актив- ного сопротивления Rs — 1 Ом и a) Ri = 1 Ом, б) Ri = 2 Ом. Решение. Как в примере 7.18, при s = О имеем Я(0) = й/3=/?г/(/?2 + ^). (7.171) Для случая а), когда Ri = 1 Ом, (7.171) дает k = 3/2. (7.172) Из (7.160) имеем . , 3/2 3/2 , 9 р р (. S) 4 s2 + 3s + 3 s2_3s + 3 (s2 + 3s + 3)(s2—3s+3) __________s4 - 3s2__________s (s + Уз ) (- s) (- s + Уз) (s2 + 3s + 3) (s2 - 3s + 3)_(s2 + 3s + 3) (s2 — 3s3) ’ 1 1 Ha основе (7.173) p(s) может быть любым из следующих: 01 лл- *(з + Уз) р* W s2 + 3s -ь 3 ’ . s (— s 4- Уз) Ps S2 4- 3s 4- 3 ’ „ /-•> - — s(—3 4- Уз) P»(s) S2 + 3S 4. з > . . — s (s4- Уз) pH®)- S2 + 3s + 3 и O, - ®(® +<3). / \ 5 (“ s + V3) P4{s> s2 — 3s4-з ’ . - (7.174) , * — s (— s 4* 'уЗ) Р» S2 _ 3s + 3 > — s (s 4- Уз-) Ps(s)— s2_3s + 3 • Заметим, что из восьми возможных решений (7.173), приведенных в (7.174), только pi(s) является минимально-фазовым решением. Пусть решение (7.173) будет p(s) = s(s + -^')/(s2 + 3s + 3). (7.175) Тогда две возможные входные функции полного сопротивления, задаваемые (7.163), суть 7 . f<?) — . 1 4- P (s) 2s2 4- (з 4- Уз) s 4- 3 w {1 176a) 1 w/ 1 — P (s) (3-y3)s4-3 7 - (q\ 1 — p (s) (з — Уз) s 4- з (7 1766) ZBX2 Vs! 1 + P (S) J 2s2 4- (з 4- Уз) s 4- 3 ' Поскольку Ri = 1 Ом, как 2Bxi(s), так и дадут схемные реализации H(s) с надлежащим оконечным нагрузочным сопротивлением. Возьмем сна- чала 2ВХ t(s). Все нули передачи H(s) лежат при s = оо; поэтому реализуем Zait(*) первой формой Кауэра. Это подразумевает разложение t(s) в
7. Пассивная реализация передаточных функций 197 непрерывную дробь при s = оо; 1,577s 1,268s+ 3) 2s2 + 4,732s+ 3 2s2 + 4,732s 0,423s 3) 1,268s + 3 1,268s 1 3) 3 3 0 или ZBX, (s) = 1,577s +-----------p (7.177) 0,423s + — Схемная реализация H(s) no (7.170), основывающаяся на реализации ZBXi(s) по (7.177) первой формой Кауэра, приведена на рис. 7.32, а. О Рис. 7.32. Две схемы реализации по Дарлингтону функции H(s) по (7.170) Далее рассмотрим ZBx2(s). Поскольку ZBx2(s) обратна ZBX1(s), получаем при R, = 1 Ом и Ri = 1 Ом. ZBX 2 (s) ------------?--j------. (7.178) 1,577s 4-------!----p 0,423s + y рисеМ7 32,ГЛИЗаЦИЯ H{S} "° (7170) Чере3 Z”2(s) по (7-178) показана на
198 7. Пассивная реализация передаточных функций Если желательное напряжение нагрузки Ri — 2 Ом, то (7.171) приводит к значению * = 3RZ/(RS + RZ)=2. (7.179) В этом случае (7.160) переходит в , . , _. 4 2 2 s4 - 3s2 + 1 PUP! s) 1 2 s2 + 3s + 3 s2 - 3s + 3 — (s2 + 3s + 3) (s2 - 3s + 3) = (s2 + V5 s 4- 1) (s2 - V5 s + 1) ~ (s2 + 3s + 3) (s2 - 3s + 3) Минимально-фазовое решение (7 180) задается соотношением р (s) = (s2 + s + 1 )/(s2 + 3s + 3). Из (7.163) получаем 7 i \ _ 1 + p (s) 2s2 + (3 + V5 ) S + 4 BX,() l-p(s) (3 - V^) s + 2 ’ 7 (Л - 1 - P (s) _ (3-V5)s + 2 ZeX2(S) l + p(s) 2s2 + (3 + V5) s + 4 • (7.181) (7.182a) (7.1826) Поскольку Ri = 2 Ом, только одна из двух входных функций полного сопро- тивления (7.182) будет правильной. Поскольку же все нули передачи H(s) + ps^ioM — 2, В/в Г R^-2 0м Г Zm(s)no(7. 184) + у wr Рис. 7.33. Схема реализации H(s) по (7.170) лежат при s = оо, мы знаем, что надлежащая входная функция полного со- противления Zbx(s) при s = 0 равна Ri. При s = 0 находим Zbxi(0) = 2 и ZBX 2 (0) = 1/2. (7.183) Следовательно, правильно выбрать т 7 i\ 2s2 + (3 + V5) s + 4 <,К1ЙС, 1 Z7ian Zbx ($) — ^вх i ($) —• / “ /—\ — 2,618s + -. (7.184) (3-V5)s + 2 1.191S + 4 Л Схемная реализация H(s) по (7.170) схемой Дарлингтона при Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом через (7.184) показана на рис. 7.33. Анализ схемы на рис. 7.33 дает H(s) = Vtm/V№ = 2/(s2 + 3s + 3). Пример 7 20. Реализовать Н (s) = ks2/(s2 + 3s + 3) (7.185) схемой Дарлингтона при Rt = I Ом и Ri = 2 Ом.
7. Пассивная реализация передаточных функций 199 Решение. Чтобы упростить вычисления, определим сначала значение k в (7.185). Поскольку передаточная функция типа фильтра верхних частот (все нули передачи лежат при k = 0), результирующая схема Дарлингтона будет Рис. 7 34. Схема для определения значения k в (7.185). иметь форму, показанную на рис. 7.34, а. При s = оо схема на рис. 7.31, а сводится к схеме рис. 7.34, б. Следовательно, при s = оо Из (7.160) имеем , . . . . 4 (2/3) s2 (2/3) s2 Р W Р ( 4) “ 1 g (s2 + 3s + 3) (s2 _ 3s £ 3) — (1/9) s4 - 3s2 + 9 [(l/3)s2 +V5 s + 3][(l/3)s2-VS’s + a] = (s2 + 3s 4- 3) (s2 — 3s + 3) (s2 + 3s + 3) (s2 - 3s + 3) Следовательно, _ (1/3) s2 + V5 s + 3 s2 + 3s + 3 Две возможные функции ZBX(s) даются выражением (7.163): 7 1 + P<s) (4/3) s2 + (3 + V5 ) s + 6 BX ‘ 1 ~ P («) = (2/3) s2 + (3 - д/б ) s ’ Z Is) - 1 ~P* * * (5) * 7 = (2/3) s2 + (3 - V5 ) s l + p(s) (4/3) s2 + (3 + V5 ) s + 6 ' Поскольку все нули передачи лежат при s = 0, имеем Zbx (°°) = Rl- Из (7.188) имеем Zbxi(oo)=2 и Zbxj (оо) = 1/2. (7.187) (7.188а) (7.1886) (7.189) (7.190)
200 7 Пассивная реализация передаточных функций Следовательно, чтобы сопротивление нагрузки равнялось 2 Ом, выбираем (7.191) формой -?вх (s) — ZBx 1 (s). Чтобы получить нули передачи при s = 0, реализуем Z8x(s) второй Кауэра: (7.192) , 6 + (3 + Уб ) s + (4/3) s2 7,845 BxU (3 — Уб") s + (2/3) s2 S 1 0,573 1 ’ S + 2 Рис. 7.35. Схема Дарлингтона, реализующая H(s) по (7.185). 7.4. Выводы В этой главе мы рассмотрели различные методы реализации передаточных функций, удовлетворяющих некоторым крите- риям. В данном разделе мы сведем воедино главные из полу- ченных результатов. I. Реализация лестничных RS-схем Критерии реализуемости-. H(s) = ksm/B(s), где B(s) — поли- ном n-й степени с простыми отрицательными вещественными корнями. Методы реализации: выбираем 2ц (s), удовлетворяющую условиям RC1, RC2 и RC3, сформулированным в разд. 7.1.1. Если /п = 0, используем для реализации Zn(s) первую форму Кауэра. Если m = п, используем для реализации zn(s) вторую форму Кауэра. Если 0 < m < п, имеем следующие возможно- сти выбора: 1) использовать первую форму Кауэра для выде- ления (п — пг) конденсаторов [реализацию первой формой Кауэра необходимо остановить, как только будет выделен (п — /и)-конденсатор], а остаточную функцию реализовать вто- рой формой Кауэра; 2) использовать вторую форму Кауэра для выделения т конденсаторов (реализацию второй формой Кауэ- ра необходимо прекратить, как только будет выделен tn-й кон-
7. Пассивная реализация передаточных функций 201 денсатор), а остаточную функцию реализовать первой формой Кауэра. Можем работать также с «/22(5) вместо zn(s). Принцип реализации: нули передачи Н (s) реализуются ме- тодами, используемыми при реализации zn(s), а полюсы H(s)— путем реализации RC входной функции полного сопро- тивления Zii(s). II. Реализация лестничных LC-схем Критерии реализуемости: H(s) = ksm/B(s), где B(s) — по лином n-й степени с простыми корнями на мнимой оси. Кроме того, H(s) должна быть четной рациональной функцией. Методы реализации: выбираем 2ц (s), удовлетворяющую усло- виям LC1, LC2, сформулированным в разд. 7.1.2. Если m = 0, ис- пользуем для реализации Zn(s) первую форму Кауэра. Если /п=п, для реализации Zn(s) используется вторая форма Кауэра. Если 0 < tn <Z п, имеем следующие возможности выбора: а) из- влечение п— m элементов из £ц(з) производится первой формой Кауэра, а остаточная функция реализуется второй формой Кауэ- ра; б) для извлечения m элементов из zn(s) используется вто- рая форма Кауэра, а остаточная функция реализуется первой формой Кауэра. Можем также работать с #22(3) вместо Хц(з). Принцип реализации: нули передачи Н (s) реализуются с по- мощью методов, используемых при реализации Zn(s), а полюса H(s) — путем реализации соответствующей Zu(s). III. Реализация всепропускающих функций мостовыми схемами Критерии реализуемости: передаточная функция задана в виде H(s) = p(—s)/p(s), где p(s)—полином Гурвица. Метод реализации: схемная структура показана на рис. 7.20, б; 2а представляет последовательные ветви, а гь — па- раллельные ветви. Принимаем p(s) = n(s), где m(s) и n(s) — соответственно четная и нечетная части p(s). 1. Записываем H(s) как и(<Л— т~п __ (*»/») — 1 П ' 1 т + п ~ (mln) + 1 Реализуем zb = т/п в виде LC-двухполюсника при za = = 1 Ом. 2. Записываем Н («) в виде Н ($) = от~я — 1 ~ («/я») т + п 1 + (n/m) • — ГомИЗуем Za = п^т в виде £С'двУхполюспика ПРИ =
202 7. Пассивная реализация передаточных функций IV. Ч етырехполюсник без потерь с односторонней нагрузкой Критерии реализации-, передаточная функция H(s) должна иметь форму либо //(s) = Л41/(Л42 + К2), либо H(s) = = К\/(М2 + К2), где Л4, и Kt обозначают соответственно чет- ный и нечетный полиномы; i= 1, 2. Кроме того, Мг + Кг — по- лином Гурвица, a Mi или Ki имеет форму ksm. Если предполо- жить, что ЛТ2 + К2 — полином n-й степени, то 0 m п. Методы реализации-, две возможные схемы приведены на рис. 7.22, а и б. Выражения, описывающие эти схемы, следую- щие: H(s) =----— на рис. 7.22, а, v ’ I Т" 1/22 1 И (s) = t ^12 на рис. 7.22, б. Если H(s) = М\/(Мг + К2), то записываем Н(з) как H(s) = ~ М\/Кг/[^-\-{Мг/Кг)\. Пусть y22 {zn} = М2/К2 и {zi2} = = М\/Кг. Тогда Н (s) реализуется путем одновременной реали- зации угг и —г/12 {гц и Zi2}, как описывается в разд. 7.1.3 {разд. 7.1.2}. Если Н (s) = Ki/(M2 + К2), записываем H(s) как Н(s) = Ki/M2/[1 + (ЛГ2/М2)]. Пусть t/22 {^ii} = К21М2 и — у\г {zi2}=Ki/M2. Тогда H(s) реализуется путем одновременной реализации —yi2 и y22 {zi2 и z22}. Принцип реализации-, числитель Н(s) реализуется метода- ми, используемыми для реализации z/22(s) {гц(з)}. Знаменатель H(s) реализуется путем реализации полученной y22\s) {zu(s)}. V. Четырехполюсник без потерь с двусторонними нагрузками1) Критерии реализации-. H(s) = ksm/B(s), где B(s)— полином Гурвица или модифицированный полином Гурвица n-й степени. Методы реализации: основная схемная конфигурация приве- дена на рис. 7.29. Используются следующие процедуры: Этап 1. Находим минимально-фазовое решение p(s) из р (з) р (- з) = I - (4A>S//?Z) Н (з) Н (- з). Этап 2. Образуем Zax(s) = [1 ± p(s)]/[l Т р(з)] и выби- раем Zbx(s) с требуемым сопротивлением оконечной нагрузки. Этап 3. Реализуем Zax(s). Если m = 0, используем первую форму Кауэра. Если m = п, используем вторую форму Кауэра. Если 0 < m < п, используем комбинацию обеих форм Кауэра. *) Анализ чувствительности схем IV и V можно найти в работе [8].
7. Пассивная реализация передаточных функций 203 Принцип реализации: нули передачи H(s) реализуются ме- тодами, используемыми при реализации ZBX(s), а полюсы H(s) — путем реализации полученной ZBX(s). ЛИТЕРАТУРА 1. Desoer С. A., Kuh Е. S., Basic Circuit Theory, New York, McGraw-Hill, 1969 2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie- ger, 1975. 3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs, N. J, Prentice-Hall, Inc., 1970. 4. Darlington S., Synthesis of Reactance 4-Poles, J. Math. Phys., 18, 257—353 (1939). 5. Hazony D., Two Extensions of the Darlington Synthesis Procedure, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-8, 284—88, 1961. 6 Heinlein W. E., Holmes W. H., Active Filters for Integrated Circuits, Funda- mentals and Design Methods, London, Prentice-Hall, 1974. [Имеется пере- вод: Хейнлейн В., Холмс В., Активные фильтры для интегральных схем. — М.: Связь, 1980.] 7. Balabanian N., Network Synthesis, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc., 1958. [Имеется перевод: Балабанян H., Синтез электрических цепей.— М.: Госэнергоиздат, 1961.] 8. Weyten L., Lower Bounds on the Summed Absolute and Squared Voltage Transfer Sensitivities in RLC Networks, IEEE Trans. Circuits and Systems, CAS-25, 70—73 (1978). ЗАДАЧИ 7.1. а) Для схемы, показанной на рис. 3.7.1, найти передаточную функцию Между Напряжениями Увых И Увх- б) Найти нули передачи схемы через передаточную функцию, получен- ную в п. а) и путем анализа. 7.2. Рассмотреть схему N при входном напряжении »вх(0 и выходном на- пряжении Увых (О- 1 . Если »вх(0 = A cos 2t или если оВх(0 = В cos 4t, то установившееся значение выходного напряжения оВых(0 = 0 для всех А и В. 2 Импульсная характеристика схемы имеет форму Увых(0 = «1 ехр(—t)cos(( + <pi) + аг exp(—2t)cos(5( + ф2). Найти передаточную функцию схемы.
204 7. Пассивная реализация передаточных функций 7.3. Синтезировать каждую из приведенных ниже передаточных функций двумя лестничными ЯС-схемами [через zH(s) и (fefs)]: ь h а> = е> =(ЛИ)-(з + 2)(з + з) = б) Я (з) = 7М_; ж) Я (s) = Ь £> В) Н (S) = (з + 1) (s-|-4) ’ 3) Н (s) = (s+l)(s + 2) (s + 3) ’ Ь с г) н (s) = (3+ l)(s + 4): И) Н (s) = (s + 1) (з + 2) (s + 3) : ks^ ks А) н (S) = (з + 1) (s + 4) : К) Н (s) = (s+ 1) (s + 2) (s + 3) (s + 4) - 7.4. а) Реализовать передаточную функцию И (з) = 3,5/ (s2 + 8s + 7) лест- ничной /?С-схемой. б) Доказать полученный результат. 7.5. а) Реализовать передаточную функцию Hi(s) = 5/(s2 + 7s 4- 10) лест- ничной /?С-схемой Д', показаной на рис. 3. 7.5, а. б Рис. 3.7.5. б) Если две идентичные схемы W соединены каскадно (рис. 3.75,6), найти общую передаточную функцию H(s). в) H(s) = /У1(з)Я1(5)? Приведите свои соображения. 7.6. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций двумя лестничными ДС-схемами [через zI4(s) и ya2(s)]: а) Я(з)—д) Я^^А^; Ь с2 Ь б) Н (s) = s2 + 2: е) Н = (s2 + 2) (s2 + 5) (s2 + 6): k ks% в) н (s) “ (s2 + 1) (s2 + 4) ’ ж) н = (S2 + 2) (s2 + 5) (s2 + 6) : г) н (s) “ (s2 + 1) (з2 + 4) : 3) н (S) = (з2 + 2) (s2 + 5) (s2 + 6)- 7.7. Показать, что представление четырехполюсника на рис. 7.20 матрицей полных проводимостей соответствует (7.80) и (7.81).
7. Пассивная реализация передаточных функций 205 7.8. Пусть p(s) = pa + ptS + pas2 + ... + pnsn — полином Гурвица. Показать что амплитудно-частотная характеристика функции H(s) = р(—s)/p(s) не зависит от частоты со. 7.9. Реализовать каждую из приводимых ниже всепропускающих передаточ- ных функций двумя способами (через га и г&): а) Н (s) = s2 — у2 s + 1 s2 + д/2 s + 1 ’ б) Н (s) = s2 - 3s + 3 . s2 + 3s + 3 ’ Н (с\ — — s3 + 2s2 — 2s + 1 В/ П \S) s3 4- 2s2 + 2s + 1 н ,. + 6а.,5,+ 15 s3 + 6s2 + 15s + 15 ч (s2-0,77s+l)(s2-l,85s+l). Д1 П W (s2+0,77s-|-l) (S2-|-1>85S4-1)’ s4-10s3+43s2-105s+105 е) " (S) s4+10s3+43s2+105s+105’ 7.10. Показать, что фазовая функция всепропускающей передаточной функции H(s) = р(—s)/p(s) равна удвоенной фазовой функции p(s) плюс по- стоянная. 7.11. Рассмотреть передаточную функцию „ - s3 + s2 - s + (3/8) 1 ’ s3 + s2 + s + (3/8) • а) Нарисовать для H(s) диаграмму полюсов и нулей H(s), т. е. раз- местить полюсы и нули H(s) на плоскости s. [Указание: (s 0,5) есть сомножитель многочлена s3 -|- s2 + s + (3/8)]. б) Найти | Н (/со) | для всех со. в) Нарисовать общий вид зависимости ср (со) = — [Н (f<a) для всех со. г) Реализовать H(s) двумя различными мостовыми схемами. Рис. 3.7.12. 7-12. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы- рехполюсником без потерь с односторонней оконечной нагрузкой (рис. 3.7.12): a) tf(s) = k s2 + 3s + 3 ’ з) H (s) = (s24-0,77s+l) (s2+l,85s4-l)’ б) //(s) = fes и) H (s) = fes3 s2 + V2 s + 1 (s+0,77s+l) (s2+l,85s+l) в) Н (s) = ks2 s2 + 4s + 4 ’ к) H (s) = fe s4 + 10s3 + 43s2+ 105s+105 ’ г) Н (s) = k fe s3 + 6s2+ 15s + 15 » Л) П \b) (s+ I)3 ’ Д) tf(s) = fes s34-6s2+ 15s + 15 ' ; ft) H(s) = fes (S + I)3 ’ е) Н (s) = ks2 s3 + 2s2 + 2s + 1 ’ h) H (s) = fes3 (S + I)4 ’ ж) Я (s) = fes3 s3'+ 2s2 + 2s + 1 ’ о) H (s) = fes4 (s + I)4 •
206 7. Пассивная реализация передаточных функций 7.13. Реализовать каждую из передаточных функций задачи 7.12 четырехпо- люсником без потерь, нагруженным только со стороны источника сигнала (рис. 3.7.13). Рис. 3.7.13. 7.14. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций че- тырехполюсником без потерь с двусторонней нагрузкой Rs = Ri = 1 Ом (рис. 3.7.14): a) tf(s) = k_ ; s2 + 3s + 3 ь 6) tf(s)« £ ; S2 + V2 3 + 1 k 4 B>"(S>-s2 + 3s + 3 = Г) tf(s) = . ; s2 + V2 s + 1 . „ i , fes2 . д) H s2 + 3s -J- Г . „ , . ks2 e) H (s) — -= ; S2 + VT S + 1 b ж) 77(s) = ; s3 + 2s2 + 2s + 1 k 3) H (s) S3 + 6s2 + 15s + 15 , . „ . . ks3 и) H (s) = ; s3 + 2s2 + 2s + 1 ks^ K) Z7(s) s3 + 6s2+15s+15 • Рис. 3.7.14. 7.15. Реализовать передаточную функцию H(s) = kl(s2 + 3s + 1) четырехпо- люсником без потерь, имеющим йз = 1 Ом и Ri, равное: а) 1 Ом. б) 2 Ом; в) 4 Ом: г) 0,5 Ом и д) 0,25 Ом. 7.16. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы- рехполюсником без потерь, с двусторонними нагрузками Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом: jfe ь a)H(s)=(7W: ^(S)=W £> о2 jl б) Н (s) = s2 + 3s + 3 ’ А) Н (s) = (s2+0,77s+l) (s2+l,85s+l) в) Н (з) = вз _|_ 6s2 _|_ 15s +15;
7. Пассивная реализация передаточных функций 207 7.17. Реализовать каждую из приводимых ниже передаточных функций четы- рехполюсником без потерь, с двусторонними нагрузками Rs = 1 Ом и Ri = 0,25 Ом, b Ь а) Н (s) = —---; г) Н (s) ---------------------------; s2 + д/2 s + 1 s3 + 4s2 + 6s + 3 b е2 b 6)77(5) = -^^; A)tf(s)=.— x r/r \ ks3 B) 77 (s) s3 + 2s2 + 2s + 1 ’ 7.18. Написать машинную программу: а) для определения, реализуема ли передаточная функция Н(s) лест- ничной RC- или LC-схемой; б) для реализации H(s), если ответ в п а) положительный. 7.19. Написать машинную программу для реализации всепропускающей пере- даточной функции H(s)= р(—s)lp(s) 7.20. Написать машинную программу: а) для определения, реализуема ли передаточная функция H(s) четырех- полюсником без потерь с двусторонней нагрузкой Rs и Ri, где Rs при- обретает значение 0 или 1 Ом, а 0 гС Ri б) для реализации Н (s) схемной конфигурацией Дарлингтона, если от- вет в п. а) положительный.
Аппроксимация характеристики фильтра В гл. 7 мы изложили методы реализации заданных переда- точных функций. В этой главе мы рассмотрим различные осо- бенности передаточных функций и перейдем к получению пере- даточных функций для некоторых известных семейств фильтров. Проектируя фильтр, инженер сталкивается с необходимо- стью согласовать требования к обработке сигнала с тем, что можно реализовать имеющимися схемными средствами. Неред- ко случается так, что введение в характеристики фильтра про- стейших ограничений, направленных на удовлетворение постав- ленных требований к обработке сигнала, приводит к тому, что такой фильтр оказывается физически нереализуемым. В каче- стве примера рассмотрим радио- или телевизионный приемник Передающая станция располагает полосой частот, называемой каналом, в пределах которой она должна передавать свой сиг- нал. В идеальном случае приемник должен принимать и подвер- гать обработке любой сигнал, попадающий в канал, который выделен данной станции, и полностью исключать из обработки сигналы других частот. Следовательно, простейшим образом сформулированные требования к квадрату модуля коэффициен- та передачи приемника имеют такой вид1): | Н ()&) |2 = А дляа^а^оз, ,g | Н (ja) |2 = 0 для всех остальных частот, где (Oi со аг — канал, в пределах которого должен прини- маться сигнал. Однако ни одна линейная схема на сосредото- ченных элементах не способна точно воспроизвести такую передаточную функцию2). Это объясняется двумя причинами: во-первых, любой линейный фильтр с сосредоточенными и неиз- менными во времени параметрами, который содержит R, L, С и активные элементы, описывается функцией передачи, являю- щейся рациональной функцией частоты, и, во-вторых, значение рациональной функции не может иметь постоянную величину в пределах какой-либо полосы частот, если оно не характери- *) Поскольку функция является четной, нам достаточно рассмо- треть только область значений со 0. г) Обратите внимание на то,что фильтр, определяемый выражением (8 1). является некаузальным и потому физически нереализуемым.
8 Аппроксимация характеристики фильтра 209 зуется постоянной величиной повсюду. Поскольку ни одна пере- даточная функция физически реализуемой схемы не может точно удовлетворить требования (8.1), остается лишь одна воз- можность— искать для (8 1) аппроксимацию в виде физически реализуемой передаточной функции. К счастью, в практических применениях к фильтрам не предъявляются столь строгие требования, как (8.1). Всегда воз- можны отклонения от идеальных характеристик, хотя иногда эти отклонения должны быть достаточно малыми. Так, напри- мер, в случае упомянутого выше радио-и телевизионного прием- ника прием можно считать удовлетворительным, если модуль коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания откло- няется от заданной величины А не более чем на ±5% и состав- ляет менее 1% от А, или величину, уровень которой на 40 дБ ниже для всех частот, которые удалены от краев полосы пропу- скания <й1 и ®2 более чем на 1/10 ширины полосы пропускания. Таким образом, 0,95А Н (/со) I2 1,05А для (8.2а) |Я(/®)Р<0,01А для со2 — со( 10 и для 0 | Н (]а) р 1,05А для и для ®>«2+-^5о^ сол < со < (Oj со2 < со < <о5. А®в, (8.26) (8.2в) СО < (Bj — Обратите внимание на то, что выражение (8.2а) представляет собой характеристику коэффициента передачи фильтра в полосе пропускания, выражение (8.26) определяет коэффициент пере- дачи в полосе задерживания, а выражение (8.2в) характеризует ширину переходной полосы. Если прибегнуть к графическому изображению, то значения | Н (/’св) |2 должны находиться в пре- делах заштрихованной области, изображенной на рис. 8.1. Осуществление реальной схемы, характеристики которой со- ответствуют характеристикам фильтра, заданного выражениями (8.2), как правило, выполняется с помощью следующей двух- этапной процедуры: Этап 1. Стадия проектирования: найти устойчивую и физи- чески реализуемую передаточную функцию, частот- ные характеристики которой соответствуют задан- ным характеристикам фильтра. Этап 2. Стадия реализации: реализовать практической схе- мой передаточную функцию, найденную на этапе 1. В этой главе мы будем заняты решением проблем, связан-’ ных со стадией проектирования. Различные стороны стадии реализации обсуждаются в этой главе, а также в гл. 7 (методы
210 8 Аппроксимация характеристики фильтра пассивной реализации), гл. 10 (методы активной реализации) и гл. 12 и 13 (методы цифровой реализации). В случае характеристик, описываемых выражением (8.2), первый этап также включает решение задачи аппроксимации — нахождения устойчивой и физически реализуемой передаточной функции, которая будет аппроксимировать идеальные характе- ристики, определяемые выражением (8.1) с учетом допусков, определяемых выражением (8.2). Существует множество тео- IHtjwlP Рис 8.1. Типичная характеристика фильтра. рем, таких, например, как теорема аппроксимации Вейерштрас- са, а также конструктивных алгоритмов, которые позволяют аппроксимировать заданную функцию с помощью других. Эти результаты могут быть использованы для решения наших задач по проектированию фильтров. Однако это требует ряда матема- тических методов, которыми не просто овладеть. Для решения весьма распространенной инженерной задачи, связанной с ра- счетом фильтра, коэффициент передачи которого должен иметь заданные характеристики в различных частотных диапазонах, имеются хорошо зарекомендовавшие себя методы проектирова- ния, которые довольно легко использовать. Эти методы опи- раются на ряд стандартных функциональных построений, кото- рые позволяют реализовать основные функции фильтров. Все, что требуется в случае их применения, — это надлежащий вы- бор или определение для конкретно решаемой задачи соответ- ствующих коэффициентов. Мы кратко обсудим ряд таких стан- дартных типов фильтров. Проектирование большинства этих стандартных типов филь- тров начинается с их аппроксимации в виде фильтра нижних частот с нормированной идеализированной характеристикой. Нормированный идеальный фильтр нижних частот имеет еди- ничный коэффициент передачи в полосе частот от 0 до 1 рад/с
6. Аппроксимация характеристики фильтра 211 1Н(|Ш)|2 и нулевой коэффициент передачи на всех частотах, больших 1 рад/с. Фазовый сдвиг для такого фильтра <р(со)А— представляет собой линейную функцию, которая имеет единич- ный тангенс угла наклона в полосе пропускания. Для частот, превышающих 1 рад/с, фазовый сдвиг не имеет значения, по- скольку на таких частотах фильтр все равно не пропускает сигнала. Таким образом, нормированный идеальный фильтр нижних частот определяется следующим образом: Я (jco) = £-/<>> дЛЯ Я (/«>) = О для |<о|> 1. (8,3) Модуль коэффициента передачи и фазовый сдвиг, определяе- мые выражениями (8.3), изображены на рис. 8.2. Как только получен фильтр нижних ча- стот с нормированной идеа- лизированной характери- стикой, сразу же можно при- менить подходящие частот- ные преобразования с помо- щью которых этот базовый фильтр нижних частот мо- жет быть превращен в фильтр верхних частот, по- лосовой, заграждающий и другие более сложные ча- стотно-избирательные филь- тры с несколькими полоса- ми пропускания и задержи- вания, а также иные филь- тры нижних частот1). Поскольку фильтрация сигналов представляет со- бой важную техническую проблему, ей было уделено серьезное внимание и най- дено, что ряд аппроксима- ций характеристик фильтра, определяемого выражениям! творительными качествами. Характеристики этих аппроксими- рующих выражений были табулированы. Ниже перечислены некоторые из распространенных типов фильтров2): *) Не существует частотных преобразований (в форме рациональных функций), способных преобразовать передаточную функцию фильтра нижних частот в функцию всепвопущ ающего фильтра. 2) Приводимые ниже характеристики относятся только к фильтрам ниж- них частот. нормированных идеальных фильтров нижних частот. а —амплитудно-частотная; б—фазочастотная. (8.3), отличаются особо удовле-
212 8. Аппроксимация характеристики фильтра 1. Фильтр Баттерворта с монотонно убывающей амплитудно- частотной характеристикой при со 0. 2. Фильтр Чебышева с равноволновой в полосе пропускания и монотонно убывающей в полосе задерживания амплитудно- частотной характеристикой. 3. Инверсный филыр Чебышева с монотонно убывающей в полосе пропускания и равноволновой в полосе задерживания амплитудно-частотной характеристикой. 4. Эллиптический фильтр (также известен как фильтр Кауэ- ра, или двойной фильтр Чебышева1)) с равноволновой как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания амплитудно- частотной характеристикой. 5. Фильтр Бесселя (также известный как фильтр с макси- мально плоской характеристикой группового времени замедле- ния), который построен на основе аппроксимации рядом Тей- лора вблизи s = 0 линейной фазочастотной характеристики. В этой главе мы рассмотрим некоторые особенности филь- тров Баттерворта, Чебышева и Бесселя. Вспомним, что на основе преобразования Гильберта в разд. 3.2.1 утверждается, что минимально-фазовая цепь полно- стью определяется либо функцией модуля, либо функцией фазы. Это означает, что передаточная функция не может одновремен- но аппроксимировать и амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот. Фильтры Баттерворта, Чебышева, инверсный Чебышева и эллиптический аппроксимируют амплитудно-ча- стотную, а фильтр Бесселя — фазочастотную характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот. Прежде чем мы приступим к обсуждению различных по амплитудно-частотной характеристике типов фильтров, рассмо- трим некоторые основные свойства соответствующей функции модуля передаточной функции. Квадрат модуля функции пере- дачи H(s) определяется следующим выражением2): (8.4) Поскольку коэффициенты функции H(s) являются веществен- ными, Н (/со) = Я (До) = Я (- /со). (8.5) Следовательно, |77(/'со)|2 может быть вычислена, исходя из . |Я(/со)р = Я(5)Я(-5)|5_/и. (8.6) *) А также как фильтр Золотарева — Кауэра. — Прим. ред. 2) Чтобы избежать извлечения квадратных корней, мы обычно оперируем квадратом модуля функции.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 213 Передаточная функция H(s) может быть всегда представлена в виде произведения сомножителей первой степени, содержа- щих полюсы и нули функции Н (S) = — . (8.7) ' ’ (S — Pl) (s — Р2) • • • ' Следовательно, функция Я(з)Я(—s) может быть записана в виде произведения таких групп сомножителей, как (s — z,)(— s — zl) = z2 — s2. (8.8) Когда s = /о», правая часть выражения (8.8) приобретает вид (zf + ffl2). Таким образом, квадрат модуля передаточной функ- ции Я(«) всегда может быть записан в следующей форме: ИНг-ЙГ> . *2(«>2+*D(°2+*!) 1 (/)Р (<в2 + р|) (<в2 + р2) ... ’ (8.9) Если все полюсы и нули H(s) являются вещественными, то из выражения (8.9) следует, что функция |/7(/со)|2 положительна и вещественна и, кроме того, является функцией от to2. Давайте теперь обратимся к случаю, когда некоторые или даже все по- люсы и нули функции Н (s) являются комплексными. Поскольку комплексные полюсы и нули любой передаточной функции должны встречаться в виде сопряженных пар1), давайте пред- положим Z2 = zi. Тогда сомножители, которые содержат Zi и Z2, можно сгруппировать совместно таким образом: (со2 + z2) (со2 + z2) = со< + со2 (z2 + z2) + z2?2. (8.10) Если мы запишем zi = al + jbl, (8.11а) где ai и bi являются вещественными числами, тогда z2 = al — jbt, (8.116) г^а^ + г/а^-б2, (8.11 в) z2 = а\ — 2/czlft1 — Ъ\. (8.11г) Подставляя выражения (8.11) в (8.10), получим (со2 + z2) (со2 + г2) = со4 + 2 (а2 - ft2) со2 + (а2 + ft2)2 = = (со2 — 6f)2 + af (2со2 + 2ft2 + а^) 0 для всех со. (8.12) *) Это случай, когда все коэффициенты передаточной функции являются вещественными. Поскольку коэффициент передаточной функции представляет собой суммы и произведения значений параметров схемных элементов, а зна- чения параметров схемных элементов всегда вещественны, коэффициенты передаточной функции любого пассивного и активного фильтров также всегда вещественны. Следовательно, их комплексные полюсы и нули всегда появ- ляются в виде сопряженных пар.
214 8. Аппроксимация характеристики фильтра Следовательно, (со2 + z2) (со2 + г|) при z2 = zl является зависи- мым от со2 полиномом с вещественными коэффициентами, при- чем значение этого полинома больше нуля для всех веществен- ных со1)- Объединяя совместно все сомножители, получаем: Теорема 8.1. Полиномы числителя и знаменателя квадрата модуля функции передачи представляют собой полиномы от со2 с вещественными коэффициентами, причем значения этих поли- номов больше нуля для всех вещественных значений со. Требования, выражаемые теоремой 8.1, должны удовлетво- ряться любой передаточной функцией. В процессе аппроксима- ции амплитудно-частотной характеристики нормированного идеализированного фильтра нижних частот мы должны обеспе- чить, чтобы результирующая функция отвечала требованиям, выражаемым теоремой 8.1. В противном случае аппроксими- рующая передаточная функция окажется бесполезной, по- скольку она будет физически нереализуемой. 8.1. Аппроксимация по Баттерворту Одной из часто используемых аппроксимаций нормирован- ного идеализированного фильтра нижних частот является ряд функций Баттерворта. Функция Баттерворта n-го порядка определяется в следующем виде: Вп(со) =1/(1+со2"), п=1, 2........... (8.13) Для любого значения п функция Баттерворта В„(со) характе- ризуется определенными ранее и сформулированными в тео- реме 8.1 свойствами квадрата модуля функции передачи: и числитель и знаменатель этой функции являются полиномами от со2 с вещественными коэффициентами, причем Вл(©)>0 для всех со. Следовательно, функция Баттерворта может представ- лять амплитудно-частотную характеристику физически реали- зуемой передаточной функции. Нормированный фильтр нижних частот Баттерворта n-го порядка характеризуется следующим выражением: | Н (/со) I2 = Вп (со) = 1/(1 + со2«). (8.14) График выражения (8.14) приведен на рис. 8.3. Обратите вни- мание на то, что при /г—>оо амплитудно-частотная характерис- тика Баттерворта приближается к идеализированной, которая была приведена на рис. 8.2, а. По мере возрастания порядка п ’) Здесь мы по существу хотим сказать, что значение полинома больше нуля для всех со, за исключением, возможно, конечного числа точек, в кото- рых значение полинома равно нулю. Именно так это понимается далее.
8 Аппроксимация характеристики фильтра 215 ы, рад /с Рнс. 8 3. Амплитудно-частотные характеристики фильтров Баттерворта. си, рад fa а Рис. 8.4. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики фильтров Ьаттерворта fl —затухание в полосе пропускания, б —затухание в полосе задерживания,
216 8. Аппроксимация характеристики фильтра фильтра Баттерворта коэффициент передачи в полосе пропус- кания все в большей степени приближается к единице, переход- ная область все в большей степени сужается, а в полосе задер- живания функция передачи все ближе и ближе подходит к нулю. Таким образом, п является параметром, выбор кото- рого позволяет удовлетворить заданный набор требований к фильтру в полосе пропускания и полосе задерживания. На рис. 8.4 приведен еще один график выражения (8.14), на кото- Рис. 8.5. Фазочастотные характеристики фильтров Баттерворта. ром по вертикальной шкале откладываются децибелы. При по- строении этого графика использовалось соотношение I Н (/со) | дБ A-101og|/7(/co)|2. (8.15) Фазочастотная характеристика Ф (со) А — /Н (/со) (8.16) нормированного фильтра нижних частот Баттерворта n-го по- рядка показана на рис. 8.5. Обратите внимание на то, что при очень малых значениях со фазовая характеристика изменяется почти линейно, особенно при малых значениях п. 8.1.1. Основные свойства Анализ выражения (8.14) и рис. 8.3 показывает, что норми- рованный фильтр нижних частот Баттерворта обладает сле- дующими основными свойствами;
8. Аппроксимация характеристики фильтра 21? Свойство 1 фильтра Баттерворта. При любом п справедливы такие соотношения: |H(/O)f=l, |Я(/1)Р = 0,5 и |Я(/оо)р = 0. (8.17) Отсюда вытекает, что усиление на постоянном токе (величина коэффициента передачи при со = 0) составляет 1, а частота среза по уровню 3 дБ равна 1 рад/с1)- Свойство 2 фильтра Баттерворта. Функции модуля передачи фильтров Баттерворта монотонно убывают при со 0. Следо- вательно, |Я (/со) | имеет максимальное значение при со = 0. Свойство 3 фильтра Баттерворта. Первые (2п—1) произ- водные амплитудно-частотной характеристики фильтра нижних частот Баттерворта n-го порядка равны нулю при со = 0. По этой причине фильтры Баттерворта также называются фильт- рами с максимально плоскими (гладкими) амплитудно-частот- ными характеристиками. Рис. 8.6. Крутизна амплитудно-частотной характеристики фильтра Баттер- ворта n-го порядка на высоких частотах. Свойство 4 фильтра Баттерворта. Крутизна амплитудно-час- тотной характеристики фильтра Баттерворта n-го порядка на высоких частотах составляет 20« дБ/декада (рис. 8.6). Очевидность свойства 1 следует из выражения (8.14). Чтобы показать справедливость свойства 2, продифференцируем выра- жение (8.14) и получим (8.18) *) Частота среза сос представляет собой частоту, на которой квадрат мо- дуля функции передачи равен 0,5. Из этого следует, что <вс можно вычислить из следующего выражения: |2= 0,5. Если перейти к децибелам, то со. является точкой, для которой величина ослабления: —10 logl//(/wc) I2 = “-Ю log(0,5) «3 дБ.
218 8. Аппроксимация характеристики фильтра Обратим внимание на то, что -^|Я(/со)р = 2|Я(/со)|^-|Я(/со)|. (8.19) Подставляя выражения (8.14) и (8.18) в выражение (8.19), имеем 4-1 Н (/(£>) I = о|-„1.. н (/со) р = а® ' \j / । 2 | Н (j&) | d® 1 v /1 ___________1________gcico2»-1 _ _ TO2"4 ,я “ О Г 1 I12 И + ш2")2 ~~ [1 + <о2"]3/2 ’ 1 -М) L1 + J Поскольку эта производная отрицательная для всех со > О, |/7(/со) | является убывающей функцией от со при со 0. Спра- ведливость свойства 3 может быть показана путем разложения |Я(/со) |2 относительно со = 0 в биномиальный ряд или ряд Тейлора 1) | н (/со) р = 1 - со2" + со4" - .... (8.21) Из выражения (8.21) получаем Г-<|Я(/со)рЦ =0 (8.22) L J |м=0 для k= 1, 2, .... 2п—1. И наконец, для доказательства спра- ведливости свойства 4 мы можем воспользоваться, исходя из условия со 1, аппроксимацией = (8’23) Если перейти к децибелам, то выражение (8.23) приобретает такой вид: — 10 log | Н (/со) Р ~ — 10 log (1/со2") = 10 logco2" = 20п log со дБ. (8.24) 8.1.2. * Передаточная функция Метод получения минимально-фазовой функции для задан- ной функции модуля был изложен в гл. 3. Ради удобства при- ведем здесь эту процедуру еще раз. *) Разложение f(x) в ряд Тейлора относительно х = 0 имеет вид: f(x) = = f(0) + Л(0)х + 0,5["(0)х2 ... . Если f(x)= 1/(1-f-x), то разложение при- обретает вид: 1/(1 + х) — 1 — х 4- х2 — х3 + • • • Разлагая (8 14) в ряд Тей- лора вводим подстановку х = со21.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 219 Этап 0. По заданной функции модуля фильтра Баттерворта n-го порядка построим Л (S) А н (s) И (- s) = | Н f I..,,, - <8-25> Этап 1. Представить h(s) в виде произведения полиномов 1-го и 2-го порядков. Из (8.25) следует, что h(s) не имеет конечных нулей, а полюсы h(s) обладают квадратной симметрией. Таким образом, числитель H(s) равен 1. Этап 2. Воспользуйтесь для построения H(s) теми сомно- жителями, которые соответствуют полюсам, лежа- щим в левой s-полуплоскости. Произведение этих сомножителей образует знаменатель H(s). Пример 8.1. Найдите передаточную функцию для нормированного фильт- ра нижних частот Баттерворта 3-го порядка. Решение. Следуем этапам процедуры построения, изложенным ранее для п = 3. Этап 0. Построить Н (s) Н (- s) = | Н (&) |2 = 1/(1 - s«). Этап 1. Представить Н (s) Н (—s) в виде произведения Н («) ff (- s) = 1 (1 - s’) = l/(s + 1) (s2 + s + 1) (- s + 1) (s2 - s + 1). (8.26) В процессе представления в виде произведения окажется полезным восполь- зоваться особенностями расположения полюсов —s). Этап 2. Воспользуйтесь для построения сомножителями (s+1) и (s2 + « + 1), соответствующими полюсами левой «-полуплоскости, Н (s) = l/(s + 1) (s2 + s + 1). Перемножьте эти сомножители между собой, чтобы получить выражение Я (s) = l/(s3 + 2s2 + 2s + 1), (8.27) которое является передаточной функцией для нормированного фильтра ниж- них частот Баттерворта 3-го порядка. В основе этого процесса лежит представление H(s)H(—$) в виде произведения. Обратите внимание на то, что полюсы —$) являются решениями уравнения (-l)"s2n + 1 = 0. (8.28) Рассмотрим сначала случай, когда значение п четно. Тогда уравнение (8.28) сводится к виду $2« + 1 = О, = - i=e/<2fe-i)rtf (8.29)
220 8. Аппроксимация характеристики фильтра Im [,] 0) п нечетно, полюс расположен в s= —1, в данном случае п=5, 0=36°.
8 Аппроксимация характеристики фильтра 221 где ь — целое число. Следовательно, полюсами sk функции H{s)H{—s) являются sk = cos [(26 — l)/2n] n + j sin [(26 — 1 )/2n] n = = cos 0A + j sin 0A, k = 1, 2, ..2n, (8.30) где e = (26—1)л/2п и 6 = 1, 2......2n. (8.31) Положения этих полюсов показаны на рис. 8.7 для случаев п = 4 и п, = 5 соответственно. Обратите внимание на то, что полюсы занимают те же позиции, что и $*, где k'^2mn-\-k, (8.32) а пг — целое число. Поскольку отсчет угла 0* начинается с ве- щественной оси и ведется против часовой стрелки, маркировка Рис. 8 8 Иллюстрация направлений последовательного изменения 0* и 0fe. полюсов начинается с первого квадранта или с правой s-полу- плоскости (рис. 8.8). Однако нас прежде всего интересуют полюсы, расположенные в левой s-полуплоскости. С целью вы- явления одних только полюсов, лежащих в левой s-полуплоско- сти, введем обозначение 5*А^4+(п/2) и (8.33а) 0t&ekw-it/2. (8.336) Если теперь подставим в (8.33) 6=1, 2, ..., то найдем, что измерение угла 0* начинается с положительного направления мнимой оси s-плоскости и ведется, как показано на рис. 8.8, против часовой стрелки. Ввиду этого последовательное изме- нение 0ь вначале выявляет п полюсов, расположенных в левой s-полуплоскости. При выражении через 0* полюсы H{s)H{—$)
222 8. Аппроксимация характеристики фильтра из левой s-полуплоскости определяются следующим выраже- нием: Sk Д ^A+(n/2) = cos 04+(п/2) + / Sin 0ft+(n/2) = =cos [0* + (зт/2)] / sin [0А + (л/2)]=— sin 0А+/ cos 0Ъ где (8.34) 0Л == (2k — 1) п/2п, (8.35) a k = 1, 2......п. Обратите внимание на то, что полюсы s£*n, расположенные в правой s-полуплоскости, определяются вы- ражением s™ = sin 0ft + j cos Qk, (8.36) где Qk определяется выражением (8.35), а /г = -1, 2, ..., n. Ана- логично можно показать, что полюсы H(s)H(—s), расположен- ные в левой s-полуплоскости, также определяются выраже- ниями (8.34) и (8.35), где п — нечетное число в выражении (8.28). Следовательно, п п <8-37а> k k=l у Sk — (8.376) о* = — sin 0А, (8.37в) <оА = cos Qk, (8.37г) еА=-^±я, k = 1,2............п. (8.37д) Обратите внимание на то, что IS I2 = <т2 + = sin2 0Й + COS2 0ft = 1. (8.38) Следовательно, полюсы H(s) расположены на окружности еди- ничного круга1). Если sk — вещественный полюс, то 0* = л/2 и sk = —1. (8.39) С учетом (8.37д) выражение (8.39) может иметь место лишь тогда, когда п — нечетное число. С другой стороны, если s* — комплексный полюс, то s* (величина, комплексно-сопряженная с Sfe) также является комплексным полюсом, и произведение (s — sk) и (s — sk) будет равно (s — Sk) (s — sk) = (s—0k — i®k) (s — + j(i>k) = = s2 — 2a. s + n2 + co? = s2 + (2 sin 0.) s + 1. (8.40) fv К n x /S / *) Единичным кругом называется круг с радиусом, равным единице, н центром, расположенным в начале координат,
8. Аппроксимация характеристики фильтра 223 С учетом (8.39) и (8.40) можно записать выражение (8.37а) в виде п/2 = П > + (2s-ineJs+T' где п четно, и (8.41а) Л = 1 4 П ^+(2^ej7+1-’ где п нечетно, (8.416) a 0fe задается выражением (8.37д). Так, например, передаточ- ная функция нормированного фильтра нижних частот Баттер- ворта 2-го порядка определяется следующим выражением: Н ($) = --------?--------= -------, (8.42а) s2 + [2 sin (л/4)] s + 1 s2 + yjo.s + 1 а передаточная функция 3-го порядка выражением Н ~ (S+ 1)' s2 + [2 sin (n/6)]s+l = (s+ l)(s2 + s+ 1) • <8-426) С помощью выражения (8.38), согласно которому модули полюсов Баттерворта равняются единице, и выражения (8.37д), согласно которому фазовые углы полюсов распределены на плоскости с постоянным шагом, можно определить графически положения полюсов нормированного фильтра нижних частот Баттерворта n-го порядка следующим образом: 1. Построить на s-плоскости единичный круг. Пусть 0Дя/п. Отсчитывая углы против часовой стрелки от положительного направления мнимой оси, провести ра- диальные линии под углами 0/2; 30/2; 50/2, ... .... [(2/г- 1)/2]0. Точки пересечения этих радиальных линий с окружностью единичного круга дают положения полюсов H(s). См., на- пример, рис. 8.7, где это выполнено для случаев п = 4 и п = 5. Если п — нечетное число, то точка s = —1 яв- ляется полюсом H(s). Когда шкала частоты фильтра нижних частот выбирается с таким расчетом, что его частота среза составляет <в рад/с, а не 1 рад/с, полюсы перемещаются вдоль радиальных линий до соответствующих точек на окружности радиусом сос. Таким образом, нормирование частоты, которое будет обсуждаться позже, не изменяет характера диаграммы расположения полю- сов и нулей, если не считать изменения ее масштаба.
224 8. Аппроксимация характеристики фильтра 8Л.З. Схемная реализация a Рис. 8.9. Схемные конфигурации фильт- ров нижних частот Баттерворта. Как видно из выражения (8.41), передаточная функция фильтра нижних частот Баттерворта и-го порядка характери- зуется двумя важными свойствами: 1. Полином знаменателя представляет собой полином Гур- вица. 2. Все нули передачи располагаются в точках $ = оо. Сле- довательно, для реализации фильтров Баттерворта могут ис- пользоваться схемы Дар- лингтона, приведенные в разд. 7.3. В настоящем раз- деле мы остановимся на бо- лее эффективной схеме — че- тырехполюснике без потерь, нагруженном со стороны обоих входов на резисторы Rs = 1 Ом и Ri, как обсуж- далось в разд. 7.3.2. По- скольку все нули передачи располагаются в точках s= = оо, сопряженное ZBX(s) для этого четырехполюсни- ка без потерь реализуется первой формой Кау- эра — последовательными катушками индуктивности и параллельными конденсато- рами. Таким образом, на рис. 8.9 показаны схемы фильтров Баттерворта в виде пассивных делителей напряжения. Рис. 8.9, а относится к случаю Ri Rs = 1 Ом, рис. 8.9,6 — к случаю Ri Rs = = 1 Ом, а рис. 8.9, в — к случаю Ri = Rs = 1 Ом *). При выборе минимально-фазовых коэффициентов отражения и соответствующем выборе сопряженного ZBX(s) значения схем- ных элементов Ci, Е2, б3, Eit {Л, С2, £з, С4, ...,} опреде- ляются следующим набором рекуррентных формул: c2m_,f2m {Z2m_iC2m}=• (8,43а) C2nt+lL2m{L2m+lC2m} = 1а2Тр1Х4+^; где (8.436) *) Для простоты мы предположили, что Ra = 1 Ом. Чтобы получить R* любой заданной величины, можно воспользоваться механизмом нормирования по сопротивлению,
8. Аппроксимация характеристики фильтра 225 = [(Я/— 1)/№ + 1)]1/п для рис. 8.9, а, (8.44а) к = [(1 -/?;)/(! + wn для рис. 8.9, б, (8.446) = 2 sin (л//2п) и (8.44в) Р, = 2 cos (л,/2п) при (8.44г) Cl = al/[Rl(l — Л)] для рис. 8.9, а, (8.45а) Li — aiRil(\ — К) для рис. 8.9, б, (8.456) ( 1, 2....(п—— 1)/2, когда п нечетно, .. . т = \ , _ (8.45в) (. 1, 2....п/2 когда п четно. Чтобы начать рекурсивный процесс в соответствии с форму- лой (8.43) для т=1, 2........рассчитываем Ci для рис. 8.9, а {£1 для рис. 8.9,6} по формуле (8.45). При т= 1 выражение (8.43а) дает £2 {с2}, а выражение (8.436) — в свою очередь С3 {£3}. Повторяя вычисления по (8.43а) и (8.436) при т = 2, получаем £4 и 65 {£4 и £5}. Эту процедуру можно повторять до тех пор, пока не будут получены параметры всех необходи- мых схемных элементов. В случае когда Ri = Rs, применима любая из схем, приве- денных на рис. 8.9, а и б. В этом случае результирующая схема будет обладать некоторыми симметричными свойствами, кото- рые позволят записать параметры схемной структуры фильтра нижних частот Баттерворта, двигаясь слева направо, как пока- зано на рис. 8.9,в, где параметры схемных элементов опреде- ляются следующими формулами: Ст = 2 sin [(2m — 1)л/2п], т нечетно, и (8.46а) £m = 2 sin [(2m — 1) л/2п], т четно, (8.466) где m = 1, 2, .... п. Обратите внимание на то, что формулы (8.46) могут быть получены из выражений (8.43) путем подста- новки (8.45) при Ri= 1 Ом. Для удобства приведена табл. 8.1, в которой даны значения параметров схемных элементов для схемы рис. 8.9,в при Ri= 1 Ом и при n= 1, 2, ..., 9. Таблица 8.1 Значения элементов для схемы рис. 8.9, в Л Ci Li с, 2-4 С, Ьб с7 L, С, 1 2,0000 2 1,4142 1,4142 3 J.0000 2,0000 1,0000 4 0,7654 1,8478 1,8478 0,7654 5 0,6180 1,6180 2,0000 1,6180 0,6180 6 0,5176 1,4142 1,9319 1,9319 1,4142 0,5176 7 0,4450 1,2470 1,8019 2,0000 1,8019 1,2470 0,4450 8 0,3902 1,1111 1,6629 1,9616 1,9616 1,6629 1,1111 0,3902 9 0,3473 1,0000 1,5321 1,8794 2,0000 1,8794 1,5321 1,0000 0,3473 8 Зак. 113Q
226 8. Аппроксимация характеристики фильтра 8.1.4. Примеры Пример 8.2. Необходимо построить нормированный фильтр нижних ча- стот, который должен отвечать следующим условиям: 1) в полосе пропускания I Н (/0,5) |2 > 0,9; (8.47а) 2) в полосе задерживания | Н (/2) |2 < 0,01. (8.476) Спроектировать простейший фильтр Баттерворта при Rs = Ri = 1 Ом. Решение. Во-первых, определим порядок фильтра Баттерворта, который необходимо выбрать, чтобы удовлетворить условиям (8.47). Вспомним, что модуль функции передачи нормированного фильтра Баттерворта n-го порядка определяется выражением |Я(/а)|2=1/(1 + <в2П). (8.48) Следовательно, условие (8.47а) подразумевает, что ” 1/[1 + (О.б)2"] > 0,9 или п>2. (8.49а) Аналогично условие (8.476) подразумевает, что 1/(1 + 22п) < 0,01 или п > 4. (8.496) Чтобы удовлетворить условиям (8.47), необходим фильтр Баттерворта чет- вертого порядка. Используя выражение (8 34), можно определить, что по- Рис. 8.10. Схема реализации фильтра, заданного в примере 8.2. люсы в левой s-полуплоскости нормированного фильтра Баттерворта четвер- того порядка имеют следующие координаты: Si = — sin (я/8) + / cos (я/8) = — 0,3827 + /0,9239, (8.50а) s2 = — sin (Зя/8) + / cos (Зл/8) = — 0,9239 + /0,3827, (8.506) s3 = — sin (5л/8) + / cos (5л/8) = — 0,9 39 — /0,3827, (8.50в) s4 = - sin (7л/8) + / cos (7л/8) = - 0,3827 - /0,9239. (8.50г) Следовательно, передаточная функция заданного фильтра определяется таким выражением: Н (s) = l/(s — Si) (s — s2) (s — s3) (s — s4) = = l/[(s — Si) (s — s4)] [(s — s2) (s — s3)] = = l/(s2 + 0,7654s + 1) (s2 + 1,8478s + 1) = = l/(s4 + 2,6131s3 + 3,4142s2 + 2,6131s + 1). (8.51) *) Можно либо вычислить значение п, которое будет удовлетворять усло- виям (8.47), либо воспользоваться графиком на рис. 8.3.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 227 С помощью табл. 8.1 и рис. 8 9, о находим схемную реализацию требуемого фильтра, которая удовлетворяет условиям обработки сигнала (8.47). Эта схемная реализация показана на рис. 8.10. Пример 8.3. Предположим, что необходимо построить нормированный фильтр с максимально плоской характеристикой и ослаблением в полосе про- пускания менее 0,5 дБ при 0 ю 0,5 рад/с, а в полосе задерживания ме- нее 20 дБ вплоть до частоты ю 4 рад/с. Найдите требуемую схему фильтра, если a) Ri = 2RS, б) Ri = 0,5 Rs. Решение. Во-первых, определим порядок п фильтра Баттерворта, который необходимо выбрать, чтобы удовлетворить поставленным условиям. Характе- ристики в полосе пропускания и полосе задерживания подразумевают, что - 10 log {1/(1 + (0,5)2”]} < 0,5 и (8.52а) - 10 log [1/(1 + 42")] > 20. (8.526) После некоторых алгебраических преобразований выражений (8 52) или в ре- зультате обращения к графику на рис. 8.4 найдем, что при га 2 удовлетво- ряются условия (8 52). Следовательно, требуется фильтр Баттерворта второго порядка. Это означает, что требуемая передаточная функция определяется следующим выражением: Н (s) = l/(s2 + y/i s + 1). (8.53) Для случая а), при котором Ri = 2RS, мы воспользуемся схемой со струк- турой, приведенной на рис. 8 9, а, где Rs = 1 Ом и Ri = 2 Ом. Значения параметров схемных элементов и L2 определяются выражениями (8.43)— (8.45), которые в данном случае приобретают вид «1 Л, =____= J.sJlLW- = 1 67 Ф 1 Ri (1 - Л) 2(1- 0,58) f ___ «[«з 4 sin (л/4) sin (Зл/4) 1 2 = 1 - + Л2 ~ 1 - 0,58 [2 cos (л/2)] + (0,58)2 (8.54) (8,55а) 1,5; следовательно, Л2= 1,5/0/ = 0,90 Г. (8.556) Схема требуемого фильтра изображена на рис. 8.11, а. Когда Ri = 0,5Rs, воспользуемся схемой, структура которой изображена на рис. 8 9, б, где R, = 1 Ом и Ri = 0,5 Ом. В этом случае значения парамет- ров элементов и Сг могут быть получены из следующих выражений: Л = (0,5/1,5)1/2 = 0,58, (8.56) Ll = aiRiKX — Л) = 1,67 Г, (8.57а) С2 = 1,5/Zi = 0,90 Ф. (8.576) . Результирующая схема изображена на рис. 8.11, б1)- Обе схемы на рис 8.11 представляют собой физическую реализацию пере- даточной функции (8 53) н, следовательно, удовлетворяют условиям, задан- ным выражениями (8.52). ') Обратите внимание на диальными. то, что схемы на рис. 8.11, а и б являются 8*
228 8. Аппроксимация характеристики фильтра 10м 0,90 Г Узх а 1,67 Ф 2 0м +- '^вх 10м 1,67 Г Ц90Ф 0,50м I Узых 6 Рис. 8.11. Схема реализации фильтра, заданного в примере 8.3. Рис. 8.12 Амплитудно-частотные характеристики фильтров Чебышева, о) Л“5, 6) »=б.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 229 8.2. Аппроксимация по Чебышеву Фильтр, подобный фильтру Баттерворта, в котором все сте- пени свободы используются для получения амплитудно-частот- ной характеристики с плоским участком в начале координат, может оказаться не лучшим решением. Во многих случаях важнее иметь аппроксимацию, которая обладает равномерно хорошим качеством на протяжении всей полосы пропускания. Фильтр, имеющий подобные равномерные аппроксимирующие свойства, — это фильтр Чебышева. Коэффициент передачи фильтра Чебышева в полосе пропускания колеблется между двумя значениями (рис. 8.12). Число волн этих колебаний, ко- торые укладываются в полосе пропускания, зависит от по- рядка п фильтра. Амплитуда колебаний этого коэффициента передачи является свободным параметром. 8.2.1. Полиномы Чебышева В нескольких последующих разделах будет показано, что характеристики фильтров Чебышева определяются полиномами Чебышева. В этом разделе мы рассмотрим некоторые основные свойства полиномов Чебышева. Полином Чебышева n-го порядка определяется выражением Тп (®) A cos (п cos-1 со). (8.58) Чтобы доказать, что Тя(со) является полиномом, зависимым от со, введем промежуточную переменную хДсоэ-1®. (8.59) Тогда Тп (и) = cos пх. (8.60) При использовании наряду с (8.59) и (8.60) некоторых триго- нометрических тождеств, получим следующие выражения: То (®) = cos 0 = 1, (8.61а) Tj (со) = cos х = cos (cos-1 со) = со, (8.616) T2(co) = cos 2x = 2cos2x — 1 = 2со2— 1, (8.61в) Уз (®) = cos Зх = — 3 cos х + 4 cos3x = — Зи + 4о>3, (8.61г) Т4(й))= 1 — 8 cos2x + 8 cos4x = 1 — 8со2 + 8со4. (8.61д) Воспользовавшись рекуррентным тригонометрическим соотно- шением cos[(n+ l)x] = 2cosnxcosx — cos[(n — 1) х], (8.62) можно получить рекуррентную формулу полинома Чебышева Г„+1(со) = 2соГ„(<В)_Тп_1(со), „ = (8<
230 8. Аппроксимация характеристики фильтра Исходя из того что Го(со) = 1 и (®) = со, можно, многократно используя выражения (8.63), найти полиномы Чебышева более высоких порядков. Учитывая выражения (8.58) — (8.63), можно показать, что полином Чебышева n-го порядка обладает следующими свой- ствами: 1. Для всех значений п справедливо 0 ^|7п(®) 1^1 при 0 о 11 (8.64) и | Тп (со) | > 1 при |со|> 1. (8.65) 2. Тп(<й) монотонно возрастает при со 1 и при всех п. 3. Т„(со) является нечетным (четным) полиномом, зависи- мым от со, если п является нечетным (четным) числом. 4. |Г„(0)|=0, когда п нечетно, (8.66а) и • \Тп (0)|=1, когда п четно. (8.666) Для |со|^ 1 значение функции arccosco является веществен- ным углом. Следовательно, 7\(со) представляет собой косинус мст <“><Т (ы),Т »ы)сТ Рис. 8.13. Полиномы Чебышева. вещественного угла. Это означает, что значение Т'п(со) перио- дически изменяется в пределах от —1 до +1 при |со|^ 1- Для |®|>1 функция arccosco представляет собой мнимую ве- личину и cos (n arccosco) является гиперболическим косинусом вещественного угла. Поскольку гиперболический косинус изме-
8. Аппроксимация характеристики фильтра 231 няется в пределах от 1 до оо, то 1 < | Тя (со) | < оо для |со|> 1. Следовательно, свойство 1 действительно имеет место. Используя то обстоятельство, что и ch(-) и arcch(-) яв- ляются монотонно возрастающими функциями своих аргумен- тов, можно показать, что свойство 2 действительно имеет место. Свойства 3 и 4 истинны, если учесть выражения (8.63). Выра- жения (8.61) позволяют показать наличие этих свойств у кон- кретных примеров. В качестве отдельных иллюстраций на рис. 8.13 приведены графики функции Тя(со) от со для п==1, 2, 3 и 4. 8.2 2. Фильтры Чебышева В отличие от функций Баттерворта полиномы Чебышева не обладают всеми свойствами функции модуля, которые пере- числены в теореме 8.1. Однако их можно использовать для конструирования передаточных функций, которые аппроксими- руют амплитудно-частотные характеристики нормированных идеализированных фильтров нижних частот. Функция передачи для фильтра нижних частот должна стремиться к нулю при со->-оо. Таким образом, полиномы Чебышева должны быть одной из компонент полиномов знаменателя функции передачи фильтра. Подходящей функцией квадрата модуля функции пе- редачи фильтра будет (8-67> где е представляет собой свободный параметр, который уста- навливает величину неравномерности передачи (рис. 8.12). При использовании квадрата функции еТя(со) и числитель и знаменатель | Н (/со) |2 являются полиномами, зависимыми от со2, и имеют положительные значения. Следовательно, функция (8 67) удовлетворяет всем требованиям к функции модуля, ко- торые содержатся в теореме 8.1. Это означает, что из выраже- ния (8.67) может быть извлечена приемлемая функция пере- дачи. Так что далее мы будем называть фильтр, который имеет функцию квадрата модуля, соответствующую (8.67), нормиро- ванным фильтром нижних частот Чебышева (или, короче, фильтром Чебышева) n-го порядка. Исходя из выражения (8.67) и свойств полиномов Чебышева можно утверждать^ что нормированный фильтр нижних частот Чебышева n-го порядка обладает следующими основными свойствами: Свойство 1 Чебышева. Для |со|^1 значения функции |/7(/со)|2 колеблются между двумя пределами 1/(1 + е2) и 1. В общей сложности на интервале 0 со 1 имеется п кри- тических точек, в которых функция [Д(/<о)|2 достигает
232 8. Аппроксимация характеристики фильтра О 0,1 0,2 0.3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,0 0,9 1,0 __________________________I_________________________I--- О 0,5 1 а), рад/с Рис. 8 14. Равноволновое изменение передачи в полосе пропускания фильтров Чебышева. максимального значения, равного 1, или минимального значения, равного 1/(1 + е2). Это является причиной того, что фильтры Че- бышева также называются равноволновыми фильтрами. В ка- честве примеров на рис. 8.14 приведены графики функции \Н (/со) |2, определяемой выражением (8.67) на участке О^со^ 1. Обратите внимание на то, что ширина равноволно- вой полосы пропускания в нормированном случае составляет 1 рад/с. Если 1/(1 4* е2) > 0,5, что соответствует обычному слу- чаю, то частота среза по уровню 3 дБ сос для нормированного фильтра нижних частот Чебышева будет больше 1 рад/с.
8 Аппроксимация характеристики фильтра 233 Рис 8.15. Характеристики затухания фильтров Чебышева. а—неравномерность передачи в полосе пропускания 0,1 дБ; б—неравномерность передачи в полосе пропускания 0,2 дБ; в — неравномерность передачи в полосе пропускания 0,3 дБ; 9 — неравномерность передачи в полосе пропускания 0,5 дБ; д — неравномерность передачи в полосе пропускания 1 дБ; е — неравномерность передачи в полосе пропускания 1,5 дБ; яс —неравномерность передачи в полосе пропускания 2 дБ; з— неравномерность передачи в полосе пропускания 2,5 дБ; и—неравномерность передачи в полосе пропускания 3 дБ. Свойство 2 Чебышева. При со > 1 функция |Я(/со)|2 моно- тонно убывает и стремится к нулю. Крутизна спада на высоких частотах составляет 20/г дБ/декада.
234 8. Аппроксимация характеристики фильтра Свойство 3 Чебышева. Функция квадрата модуля фильтра Чебышева n-го порядка удовлетворяет следующим уравнениям: |Я(/1)|2-1/(1 4-е2), ' (8.68) |H(jO)f«l, если /г нечетно, (8.69а) и | Я (/0) р== 1/(1 4-е2), если» четно. (8.696) Если заданы характеристики полосы пропускания и полосы задерживания, то можно определить колебательный параметр &
8. Аппроксимация характеристики фильтра 235 ^ис. 8.15в. и порядок п фильтра Чебышева. Обычно вместо величины в задается выраженная в дБ максимальная величина относи- тельно затухания ДМакс в полосе пропускания, где ЛаксДБД- 10 log [1/(1 -h е2)] = lOlog (1 4-е2). (8.70) Следовательно, колебательный параметр е определяется как е = д/ю(лмакс/10)_ 1. (8.71)
236 8. Аппроксимация характеоистики фильтра Рис. 8.15г. Выбор порядка п фильтра Чебышева определяется на основе других критериев, таких, как крутизна спада на высоких час- тотах в децибелах, желательная частота среза, стоимость (до- пустимое число элементов) и другие факторы. На рис. 8.15 приведены графики функций затухания фильт- ров Чебышева для различных величин неравномерности пере- дачи в полосе пропускания; эти графики можно использовать при проектировании фильтров.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 237 Пример 8.4. Предположим, что нам необходимо спроектировать норми- рованный равноволновый фильтр нижних частот, отвечающий следующим требованиям: 1) Максимальное относительное затухание в полосе пропускания (нерав- номерность передачи) составляет 1 дБ. 2) Частота среза сос 1,2 рад/с. 3) Затухание в полосе задерживания равно по крайней мере 40 дБ при ш 4 рад/с. Найдите требуемую функцию модуля.
238 8. Аппроксимация характеристики фильтра Рис. 8.15е. е Решение. Используя выражение (8.71), имеем е =ь д/1О0,1 - 1 = 0,5088. ' (8.72) Чтобы определить порядок фильтра Чебышева, который необходим для удо влетворения заданных условий, можно воспользоваться либо выражением (8.67) и е, задаваемым выражением (8.72), либо можно использовать графики, приведенные на рис. 8.15, д. Выбирая последний вариант, находим, что усло- вие 2 подразумевает, что п > 2, тогда как условие 3 требует, чтобы п 3. Следовательно, фильтр Чебышева третьего порядка с 8, определяемым выра- жением (8,72), будет удовлетворять всем заданным требованиям.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 239 Ж Рис. 8.15ж. Исходя из (8 61), имеем Т3 (<£>) = — Зю + 4ю3. (8.73) Подставляя выражения (8 72) и (8.73) в формулу (8.67), получим требуемую функцию квадрата модуля передачи I я (/и) I»---------------------------!-------------- 1 + <гТ3 (со) 1 + 0,2589 (- Зю + 4ю3)I 2 _ 1 4,14юв - 6,21ю4 + 2,33ю2 + Г <874)
240 8. Аппроксимация характеристики фильтра 3 Рис. 8.15з. 8.2.3. Передаточная функция Как и в случае фильтра Баттерворта передаточная функция фильтра Чебышева имеет одни только полюсы — числитель ее представляет собой постоянную величину и, следовательно, не содержит нулей при конечных значениях частоты. Полюсы фильтра Чебышева располагаются на эллипсе, а не на окруж- ности, как это имеет место в случае фильтра Баттерворта.
Р ис. 8.15и. Большая ось этого эллипса проходит по мнимой оси s-плоско- сти, тогда как малая ось — вдоль вещественной оси. Совер- шенно очевидно, что чем уже эллипс, тем ближе располагаются полюсы к мнимой оси и, следовательно, тем более сильное влияние будет оказывать каждый полюс, т. е. тем заметнее будут колебания частотной характеристики. Таким образом, заданная величина неравномерности передачи окажет силь- ное влияние на расположение полюсов результирующей
242 8. Аппроксимация характеристики фильтра передаточной функции, причем чем больше неравномерность, тем уже будет выглядеть эллипс. Чтобы выявить расположение полюсов передаточной функ- ции фильтра Чебышева n-го порядка, придется вначале выпол- нить некоторую аналитическую работу. Подставляя выражение (8.58) в формулу (8.67), получим следующее выражение функ- ции модуля нормированного фильтра нижних частот Чебышева n-го порядка | н (/©) I2 =-----------------------------• (8.75) 1 + е2Т^ (а) 1 + в2 cos2 (п arccos й) Определим следующим образом комплексную переменную: g = а 4- /р A arccos (s/j), (8.76) где s = а 4- /а. Обращая соотношение (8.76), имеем (1//) [° 4" /®] = cos [а 4- /р] или $ = а 4- = j'cos а ch р 4* sin ash p. (8.77) Приравнивая друг другу вещественные и мнимые составляю- щие правой и левой частей выражения (8.77), получим со = cos a ch р, (8.78а) a=sinashp. (8.786) Подставляя выражение (8.76) в (8.75), найдем h (s) A Н (s) H(—s)—\H (ja) f ^.s// = __________J___________________1____ (8.79) 1 + e2 cos2 [n arccos (s//)] 1 + e2 cos2 (ng) ' ' Следовательно, полюсы h (s) являются корнями уравнения 1 4- e2 cos2 ng = О или (14-/8 cos ng) (1 — /8 cos ng) = 0. (8.80) Корни уравнения (8.80) совпадают с корнями l±/8cosng = 0. (8.81) Решение уравнения (8.81) эквивалентно решению * cos ng =* cos [na 4* /яр] “ cos na ch np — / sin na sh nP = ± (/7 е)- (8.82) Приравнивание друг другу вещественных и мнимых составляю- щих правой и левой частей уравнения (8.82) дает cos na ch nP = 0, (8.83а) Sin nash np = ± (1/в), (8.836)
8. Аппроксимация характеристики фильтра 243 что приводит к следующим решениям: ak = ± [(2fe — 1 )/2п] л, (8.84а) ₽*==±(l/n) Arsh(l/e), (8.846) где k — положительное целое число. Следовательно, с учетом выражения (8.78) полюсы передаточной функции Чебышева n-го порядка определяются таким выражением: $* = о*-J-/со*, где1) ok = — sh [(1/n) Arsh(l/e)] sin л, (8.85а) со* = ch [(1/n) Arsh (1/е)] cos 2feg~ - л (8.856) и k*=\, 2, ..., п. Используя тригонометрическое тождество sin2х + cos2х = 1, из выражений (8.85) получаем afe_______।________mfe = 1 (8.86) sh2 [(1/n) Arsh (1/е)] "г" sh2 [(1/n) Arsh (1/е)] Анализ выражения (8.86) позволяет заключить, что все полюсы Sk = Ok + /со* располагаются на эллипсе s-плоскости, у кото- рого малая ось = аДзЬ[(1/п) Arsh (1/е)], (8.87а) большая ось = Ь A ch [(1/n) Arsh (1/е)]. (8.876) Таким образом, если известны значения 8 и п, то можно опре- делить полюсы нормированного фильтра нижних частот Чебы- шева. На рис. 8.16 изображен такой эллипс, у которого вер- тикальная и горизонтальная полуоси обозначены как & и а со- ответственно, причем & и а можно также выразить и в следую- щем виде: 6 - т {[ ViH7"+тГ+[ лЛ+т+г] 1 ’} • <М8а> a=l{[V5^HF-[V:7F?+7] '”} (8-88б> Координаты полюсов на эллипсе можно геометрически связать с двумя баттервортовскими окружностями с радиусами а и Ъ. Вертикальные координаты полюсов фильтра Чебышева n-го по- рядка равны вертикальным координатам соответствующих полюсов фильтра Баттерворта n-го порядка, расположенных на окружности большего круга (радиусом Ь), тогда как горизон- ’) Это полюсы функции h(s) = s) распележенные > левой s-по- луплоскости. 4 г
244 8. Аппроксимация характеристики фильтра 9 = 45 Рис. 8 16. Графическое построение чебышевских полюсов. X чебышевские полюсы; □ баттервортовские полюсы на большей окружности; Д баттер* ворговские полюсы на меньшей окружности. тальные координаты чебышевских полюсов совпадают с соот- ветствующими координатами баттервортовских полюсов, рас- положенных на окружности меньшего круга (радиусом а). На рис. 8.16 показаны все необходимые линии построения, позво- ляющего найти координаты фильтра Чебышева. Если учесть связь между координатами баттервортовских и чебышевских полюсов, то фильтр Чебышева n-го порядка будет иметь отри- цательный вещественный полюс при s = —а, если п нечетное целое число. Чтобы найти передаточную функцию H(s) нормированного фильтра нижних частот Чебышева по заданной функции квад- рата модуля, определяемой (8.67), снова воспользуемся тремя следующими этапами: Этап 0. Образуем Н (s) Н{— s) = 1/[ 1 + &T2n (s/j)]. Этап 1. Находим полюсы —$). Это можно выполнить либо графически, строя фигуру, аналогичную построенной на
8 Аппроксимация характеристики фильтра 245 рис. 8.16, для набора заданных значений п и 8, или аналити- чески по выражению (8.85). Этап 2. Для построения Я(«) используются сомножители, связанные с полюсами, которые расположены в левой «-полу- плоскости. Таким образом, передаточная функция определяется выражением tf(s) = П (s-sj ’ (8.89) Полюсы в левой s-полу- плоскости где Sk при й = 1, 2, п определяется выражением (8.85). Пример 8.5. Найти передаточную функцию для фильтра Чебышева треть- его порядка с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1 дБ. Решение. Поскольку ЛмаКе = 1 дБ, выражение (8.71) дает е = 0,5088. (8.90) Из математических таблиц мы находим Arsh (1/8) = Arsh 1,9652 = 1,4280. Поскольку /1 = 3, (1/л) Arsh (1/е) = 1,4280/3 = 0,4760. (8.91) Снова из математических таблиц находим sh [(1/n) Arsh (1/е)] = 0,4942, (8.92а) ch [(1/л) Arsh (1/е)] == 1,1154. (8.926) Используя выражение (8.85), имеем ст, = - 0,4942 81п'(л/6) = - 0,2471, (8.93а) ®, = 1,1154 cos (я/6) =0,9660, (8.936) <т2 = - 0,4942 sin (л/2) = - 0,4942, (8.94а) <о2 = 1,1154 cos (л/2)= О, (8.946) Оз = - 0,4942 sin (5л/6) = - 0,2471, (8.95а) со3 = 1,1154 cos (5л/6) = - 0,9660. (8.956) Это означает, что полюсы имеют такие координаты: Sl = ai + /ш, = — 0,2471 + /0,9660, (8.96а) s2 = а2 + /ш2 = — 0,4942, (8.966) S3 = Оз + /а>з = — 0,2471 — /0,9660. (8.96в) Следовательно, требуемая передаточная функция определяется Н (s) = -----------------------------------------------*_____________________ (s — Si) (s — s2) (s — s3) (s + 0,4942) I(s + 0,2471 )2 +(0,9660/2j s3 4- 0,9883s2 + 1,2384s + 0,4913 '
246 8. Аппроксимация характеристики фильтра 8.2.4. Схемная реализация Согласно выражению (8.89), фильтр нижних частот Чебы- шева n-го порядка характеризуется передаточной функцией с одними полюсами, имеющей в знаменателе полином Гурвица. Это означает, что для реализации фильтра Чебышева можно использовать (упрощенную) процедуру синтеза Дарлингтона, которая приведена в разд. 7.3. В частности, поскольку все нули передачи расположены при s — оо, для реализации четырехпо- люсника без потерь используется первая форма Кауэра. Типич- ная конфигурация схемы, реализующей передаточную функцию Рис. 8.17. Схемная конфигурация фильтров нижних частот Чебышева. по напряжению фильтра Чебышева, изображена на рис. 8.17. Вводя следующие обозначения: a = 4.Ri/(Ri + I)2, когда п нечетно, (8.98а) и а — [4/?z/(Aj + I)2] [1 + е2] 1, когда п четно, (8.986) где Ri — произвольная величина, за исключением случая, когда п четно и Ri должно удовлетворять ограничению в виде нера- венства (8.986), и принимая az = 2 sin (л//2п), (8.99а) Рг = 2 cos (лг/2п), (8.996) v=[т+75+^1'” • (8-99в) (8-99г) х = у — (1/у) и (8.99д) г/ = д-(1/д), (8.99е) значения параметров схемных элементов рис. 8.17 можно найти из следующих рекуррентных соотношений: = (8Л00а) °2m—1 у) Г Т — 4g4m-i«4m+r /о 1006) С2т+1£2,„-
8. Аппроксимация характеристики фильтра 247 причем С1 — 2а1/(х — у), (8.100в) где функция bt (х, у) определяется как bi(x, у) Д х2 — ?>цху + у2 + ah и (8.100г) п = 1,2, .... (п — 1)/2, когда п нечетно, = 1,2, ...,(п/2), когда п четно. (8.100д) По заданным параметрам п и е фильтра Чебышева мы мо- жем рассчитать все зависимые переменные в уравнениях (8.99). С помощью выражения (8.100в) можно определить Cj. При известном значении Ci и m = 1 можно использовать (8.100а), чтобы найти Лг, а затем воспользоваться выражением (8.1006), чтобы найти Сз. Затем нужно взять m = 2 и повторить весь процесс с использованием формул (8.100а) и (8.1006). Этот процесс можно повторять каждый раз при увеличении на оче- редную единицу. Ради удобства в табл. 8.2 и 8.3 приведены Таблица 8.2 Значения схемных элементов в фильтрах Чебышева ПРИ Амакс “ °>1 «Б Я Kt Cl Zj С, c, Lt Ci L, c, 1 1,0 0,3052 2 0,5 1,5715 0,2880 3 1,0 1,0316 1,1474 1,0316 4 0,5 2,3545 0,7973 2,6600 0,362<f 5 1,0 1,1468 1,3712 1,9750 1,3712 1,1468 6 0,5 2,5561 0,8962 3,3962 0,8761 2,8071 o.'iiss 7 1,0 1,1812 1,4228 2,0967 1,5734 2,0967 1,4228 1,1812 8 0,5 2,6324 0,9285 3,5762 0,9619 3,5095 0,8950 2,8547 0,3843 9 1,0 1,1957 1,4426 2,1346 1,6167 2,2054 1,6167 2,1346 1,4426 1,1957 Таблица 8.3 Значения схемных элементов в фильтрах Чебышева ПРИ Амакс = 1 дБ Л Bl Ci l2 Ci Lt c, Lt c7 c, 1 1,00 1,0177 2 0,25 3,7779 0,3001 3 1,00 2,0236 0,9941 2,0236 4 0,25 4,5699 0,5428 5,3680 0,3406 5 1,00 2,1349 1,0911 3,0009 1,0911 2,1349 6 0,25 4,7366 2,1666 0,5716 6,0240 0,5764 5,5353 0,3486 7 1,00 1,1115 3,0936 1,1735 3,0936 1,1115 2,1666 8 0,25 4,7966 0,5803 6,1592 0,6005 6,1501 0,5836 5,5869 0,3515 9 1 00 2,1797 1,1192 3,1214 1,1897 3,1746 1,1897 3,1214 1,1192 2,1797
248 8. Аппроксимация характеристики фильтра значения параметров схемных элементов для рис. 8.17. Табл. 8.2 соответствует случаю, когда Лмакс = 0,1 дБ, а табл. 8.3 — слу- чаю, когда Лмакс = 1 дБ. 8-2.5. Примеры Пример 8.6. Спроектировать и найти схемную реализацию фильтра Чебы- шева, удовлетворяющего условиям примера 8.4. Решение. Из примера 8.4 известно, что заданным условиям удовлетворяет фильтр Чебышева третьего порядка с неравномерностью передачи в полосе пропускания 1 дБ. Из табл. 8 3 следует, что соответствующая схемная кон- фигурация дана на рис. 8.18. Действительно, анализ схемы на рис. 8.18 пока- + 1 Ом ЧЮСР 0,99 Г ^ех 2,02 Ф ? : 2,02 Ф=- Рис. 8.18. Схема реализации заданного в примере 8.6 фильтра. зывает, что схема имеет передаточную функцию Й (s) = 0,245/(s3-|-0,99s2 + + 1,24s + 0,49), которая представляет собой сомножитель с постоянным чис- лителем передаточной функции, полученной в примере 8.4. Пример 8.7. Предположим, что необходимо спроектировать равноволно- вый фильтр нижних частот со следующими характеристиками: 1) Неравномерность передачи в полосе пропускания составляет 0,1 дБ, а ширина полосы пропускания равна 1 рад/с. 2) Для со 6 рад/с коэффициент передачи по крайней мере на 20 дБ ниже. Найти схему фильтра. + 10м 0,29 Г 1,57 V Рис. 8 19. Схема реализации заданного в примере 8.7 фильтра. Решение. Сначала найдем порядок фильтра Чебышева, который будет удовлетворять заданным требованиям. Рассматривая расчетные графики на рис. 8 15, а, найдем, что все заданные требования будут удовлетворять филь- тру Чебышева второго порядка. Обращаясь к рис. 8 17 и табл. 8 2, найдем, что требуемая схема будет иметь конфигурацию, которая изображена на рис. 8.19.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 249 8.2.6. Эллиптические фильтры Фильтры Баттерворта и Чебышева имеют передаточные функции, которые по форме представляют собой постоянную, деленную на полином. Это означает, что все нули передачи рас- полагаются в s = оо. В некоторых случаях это не будет идеальным решением. Встречаются обстоятельства, когда жела- тельно иметь конечные нули передачи. В 1931 г. Кауэр показал, что можно получить гораздо лучшую аппроксимацию идеали- зированных амплитудно-частотных характеристик фильтров нижних частот, если использовать фильтр с конечными нулями передачи. Он нашел, что при надлежащем выборе нулей и по- люсов можно спроектировать фильтр с равноволновым зату- ханием как в полосе пропускания, так и в полосе задержива- ния. Поскольку координаты нулей в таких фильтрах опреде- ляются эллиптическими функциями классической теории поля, эти фильтры часто называют эллиптическими. Другое их название — фильтры Кауэра, поскольку впервые их описание появилось в работе Кауэра. Исходный момент проектирования эллиптических фильтров аналогичен процессу, с которого начинается расчет фильтров Чебышева. Функция передачи эллиптического фильтра опреде- ляется следующим выражением: [Н (/со)]2 = 1/[ 1 + в2/?2 (со)], (8.101) где рациональная функция /?п(со) имеет вид1) р ( со (со2-со2) (со2-со2)... (со2-со2) - (! _ Ю2Ш2) (1 _ ^2) .,. (1 — а2ю) > когда п нечетно, a k — (n—1)/2, и (со2-со2) (со2-со2) „.(со2-со2) [ J (1 - со2со2) (1 - со2со2) ... (1 - со2 со2) ’ когда п четно и k = п/2, где 0 < со/ < 1 для i = 1,2, .... k. (8.102а) (8.1026) (8.102в) Сопряженные пары критических частот общим числом 2k s = ±foi и s = ±/(l/coz) для i=l,2, ...,k (8.103) имеют два следующих свойства: |//(/®г)12=1 и (8.104а) "С 7^))' = °- (8.1046) *) Обратите внимание на то, что полюсы и нули функции R„ (s) являются симметричными относительно частоты среза сос = 1 рад/с.
250 8 Аппроксимация характеристики фильтра I H(jw)\, дб Рис. 8 20. Амплитудно-частотные характеристики эллиптических фильтров. а—аппроксимация идеализированных характеристик; б—пример эллиптического фильтра пятого порядка. Учитывая выражения (8.102в) и (8.1046), легко показать, что нули передачи нормированного эллиптического фильтра распо- лагаются на частотах, больших 1 рад/с, т. е. в полосе задер- живания. Расчетными параметрами эллиптических фильтров являются критические частоты где i = 1, 2, ..., k, и е. Эти параметры выбираются с таким расчетом, чтобы удовлетворялись требо- вания к функции передачи Л1 <|//(/©) 1 для |©|<©с1 и | Н (/©) р < А2 для | а |> ®с2, (8.105а) (8.1056) (рис. 8.20, а), где ©ci — граничная частота полосы пропускания, а ®с2 — граничная частота полосы задерживания и ©ci < 1 < ©й2, (8.106а) СОС1©с2= 1- (8.1066)
8. Аппроксимация характеристики фильтра 251 Сравнивая выражения (8.101) с выражением (8.105а), получим А1 = 1/(1+г2^), (8.107) где А является максимальным значением |/?п(со)[ для |со|^ сощ. Из выражения (8.102) имеем /?„(1/<о)= 1//?„(<о). (8.108) Это означает, что минимальное значение |/?п(со)| для |со|^ сос2 равно 1/Д. Следовательно, выражение (8.1056) требует, чтобы Л2= 1/[1 + (в2/А2)]. (8.109) Получение расчетных параметров со,, i= 1, 2, ..., k, и е, ко- торые удовлетворяют заданным условиям (8.107) и (8.109), является довольно сложной процедурой, и здесь мы ее не при- водим1). Пример эллиптического фильтра пятого порядка, ко- торый удовлетворяет условиям (8.105) при Ai = 0,9, Л2 = 0,1, ®С1 = 0,940 рад/с и сос2 = 1,064 рад/с, приведен на рис. 8.20,6. 8.3. Аппроксимация по Бесселю Фильтры Баттерворта, Чебышева и эллиптический аппрок- симируют функцию передачи идеализированного фильтра ниж- них частот. В ряде других ситуаций, с которыми приходится сталкиваться инженерам, более важно аппроксимировать фа- зочастотную характеристику, которая определена на рис. 8.2, б. Проще всего требования к линейности фазовой характеристики или постоянству группового времени замедления идеализиро- ванного фильтра можно связать с полиномами передаточной функции, записав передаточную функцию в полярной форме, t. е. Н (/со) = R (со) + 1Х (со) = | Н (/со) | ехр fj/Я (со)] = = ехр [—а (со) —/<р (со)], где (8.110) — а (со) Д In | Н (/со) | и (8.111) Ф (со) = — arctg [X (со)//? (со)] = — /Я (/со). (8.112) Обратите внимание на то, что с арктангенсом функции ф(со) в выражении (8.112) работать не легко. К счастью, функция *) Подробнее эта процедура рассмотрена в работах [1 2 9 101 прпр. численных в литературе к настоящей главе. ’ ’ *’ "
252 8. Аппроксимация характеристики фильтра группового времени т(со), которая выражается в такой форме: т (<в) = dq> (®)/d® = — (d/d®) arctg X (®)/R (<») = = , , *2(m) L Лг(®) J + R* (co) __ X (co) R'(a)-R (co) X' (co) , e---------nwp------------1 (8Л13) представляет собой рациональную функцию и легче поддается преобразованиям и манипуляциям; штрих в качестве верхнего индекса обозначает производную по со. Если потребуется по- строить фильтр с линейной фазовой характеристикой, то нужно получить фильтр, функция группового времени которого будет иметь постоянную величину. Вспомним, что /?(©) является четной функцией, а Х(со) — нечетной функцией и что производная четной функции сама является нечетной функцией, и наоборот. Кроме того, известно, что произведение как двух четных, так и двух нечетных функ- ций является четным. Таким образом, функция т(со) является четной. Далее, функция группового времени т(со) представляет собой отношение двух полиномов, зависимых от со2. Следова- тельно, задача нахождения функции т(со), которая аппроксими- рует постоянную, лишь немногим отличается от задачи нахож- дения функции |Я(» |2, которая представляет собой аппрок- симацию постоянной в пределах полосы пропускания. Прежде чем перейти к рассмотрению технических особенностей фильт- ров по обработке фазы сигналов, необходимо указать, что не все фазовые фильтры рассчитываются так, чтобы они обладали линейной фазовой характеристикой. Например, большинство фазоопережающих, фазозапаздывающих и нелинейных фазо- корректирующих схем не имеют линейной фазовой характе- ристики. 8.3.1. Передаточная функция Прямой подход к проектированию аппроксимирующего по- линома для фильтра нижних частот с максимально плоской характеристикой группового времени состоит в следующем. Предположим, что общий вид передаточной функции такого фильтра — это функция только с одними полюсами jj ( \ - _#о _ _ ___________до_______ ГДв ДО #18 4“ + • • • Ч" #П— ^8Л ЛТз (в) + ($) (8.114) ЛГ2 (s) — а0 + a2s2 + ... и (8.115а) (s) = flis + + ••• (8.1156)
8. Аппроксимация характеристики фильтра 253 являются четными и нечетными частями знаменателя H(s). Следовательно, Н(s) можно записать в таком виде: „ , ч __ До __ До [м2 (s) — Nt (s)] _ W M2(s) + N2(s) M22(s)-N2(s) -------a0M2 (s)---------— £0^2 (з)— = (s) -L Л/ (s) Al] (s) — JV2 (s) + M2(s)-N22(s) U+ U’ M(s) A —-2 a-Ma (s)2— и Al| (s) - AT2 (s) ^(s) A,-2~ = Al2(s)-lV2(s) являются соответственно четной и нечетной частями функции #(s). Таким образом, Я (со) A Re [Я (»] = , М2 (/со) — N2 (/ш) X (©) A Im [И О©)] = - ......------------- = 1 1 /[m2(/co)-/v2(/co)] _ .. а0/У2 (/'«>) 7 ai] (/<о) - а/2 (/<о) где (8.116) (8.117а) (8.1176) (8.118а) и (8.1186) (8.118в) Л1] (/со)-А/] (/со) Путем подстановки выражений (8.118) в выражение (8.113) результирующее выражение может быть упрощено и преобра- зовано к следующему виду: т / О = м2 (з) н'2 (S) - Аг2 (з) М2 (s) М7 M22(s)-N22(s) где штрих в качестве верхнего индекса обозначает производную по s. Используя выражение (8.115), перепишем выражение (8.119) в следующем виде: / $ \ аоа! + (Заоа3 — ДЩг) зг + (5ара3 — За^ + Да^з) з4 + ... (8.119) V 7 «0 + (2а0а2 — al) S2 + (2Д0“4 ~ 2а1“з + Д2) з4 + • • • (8.120) Рассмотрим теперь конкретный случай: в выражении (8.114)' п = 3, тогда выражение (8.120) принимает вид (_s_\__________aoai + (За0 — а^) s2 + g2s4_____ /7 “о + (2“0а2 — ai) *2 + (- 2а1 + з4 — З6 ’ (8.121)
254 8. Аппроксимация характеристики фильтра Предположим, что желательно рассчитать фильтр с единич- ным групповым временем замедления —т(0)=1. В этом слу- чае в соответствии с выражением (8.111) требуется, чтобы а0 = ai, так как x(O) = atiai/a2 = ai/ao. (8-122) Следовательно, оптимальная тейлоровская аппроксимация по- стоянного единичного группового времени замедления дости- гается путем приравнивания к нулю возможно большего числа производных функции ошибки е (s/j) Д т (s/j) — т (0) = т (s/i) — 1 = __ (3fli — 3aifl2 + ai) s2 + (а2 + 2ai ~ аг) s4 + s6 < „ох “ a2 + (2a{a2-a2/)s2 + (-2ai + a2')si-s6 ’ 1 ’ чтобы последняя исчезала при s = 0. Следуя другим путем, можно достичь того же, вынуждая функцию ошибки иметь воз- можно большее число нулей при s = 0. Это эквивалентно тому, что приравнять нулю все коэффициенты в полиноме числителя, за исключением коэффициента при члене со старшей степенью e(s/j). Последний подход позволяет получить систему урав- нений 3 — Зб/з == 0, (8.124а) а2 + 2а L— а2 = 0. (8.1246) Обратите внимание на то, что система (8.124) является системой нелинейных уравнений с двумя неизвестными а\ и а* Решение системы (8.124) дает аг = 6 и ao=ai=15. Таким образом, требуемая передаточная функция имеет вид Н ~ аа + ats + a2s2 + s3 = 15 + 15s + 6s2 + s3 ' (8-12®) Этот метод является оптимальным. Однако, когда порядок фильтра высок, очень трудно получить совокупный набор ре- 1 шений для системы нелинейных уравнений, подобных (8.124), которая неизбежным образом появляется в случае использова- ния этого метода. Приведенный выше метод решения не отличается строй- ностью, однако он иллюстрирует коренную процедуру, лежа- щую в его основе. На практике очень часто не бывает коротких и простых методов, способных заменить весьма громоздкие и требующие значительных затрат времени процедуры. К счастью, в данном случае был открыт весьма простой путь. Установив соответствие между знаменателем передаточной функции, имеющей только одни полюсы, и особым классом по- линомов Бесселя, удалось получить фильтр группового временя
8. Аппроксимация характеристики фильтра 255 с максимально плоской характеристикой. Фильтр такого типа называется фильтром Бесселя. Если говорить точнее, то фильтр нижних частот Бесселя n-го порядка характеризуется переда- точной функцией H(s) = k/Bn(s), (8.126) где Bn(s) представляет собой полином Бесселя n-й степени и АА5я(0). Зная полином Бесселя при п = 1 и п « 2 как Bj(s) = s4-1 И (8.127а) B2(s) = s24-3s4-3, (8.1276) полином Бесселя n-го порядка можно найти с помощью сле- дующей рекуррентной формулы: B„(s) = (2n-l)B„_1(s)4-s2B„_2(s). (8.128) Так, например, B3(s) = (6 - 1) В2 (s) + s2Bx (s) = 5 (s2 + 3s + 3) + s2 (s + 1) = = s3 + 6s2+ 15s + 15. (8.129) Подставляя выражение (8.129) в выражение (8.126), получим передаточную функцию (8.125). На рис. 8.21 приведены фазо- вые характеристики и характеристики группового времени для фильтров нижних частот Бесселя n-го порядка, от п = 1 до п = 10. Следует отметить, что в пределах между п = 0 и п == 1 рад/с все фильтры Бесселя порядка п 2 очень хо- рошо аппроксимируют линейную фазовую характеристику рис. 8.2,6. Обратите внимание на то, что фильтр Бесселя с передаточ- ной функцией (8 126) даст только единичное групповое время замедления т(0) = 1. (8.130) Если желательно иметь т (0) = т0 1, (8.131) необходимо выполнить преобразование') S T0S или СО 1—> т0со, (8.132а) (8.1326) где «I—»> означает знак замены s на то$ пли со на тосо. По су- ществу преобразование (8.132) сводится к изменению горизон- *) Символ «I—>» будет в последующих разделах использоваться доволь 0 часто, особенно в разд. 8.4 и в гл. 12.
256 8 Аппроксимация характеристики 'фильтра си,рад/с или TQai,pag 5 Рис. 8 21. Фазочастотные характеристики фильтров Бесселя (а); характери- стики группового времени фильтров Бесселя (б). тального масштаба фазовых характеристик фильтра Бесселя в 1/то раз при сохранении вертикального масштаба неизмен-' ным. Следовательно, тангенс угла наклона, равный 1, или Дф (со)/Дсо — 1, становится равным тангенсу угла наклона Дер (со) д5лГ = то- (8.133) (8,134) По этой причине мы обозначаем горизонтальную ось рис. 8.21 символом то<о рад помимо ее обозначения ® рад/с. Таким об* разом, передаточная функция фильтра нижних частот с лнней’
8. Аппроксимация характеристики 'фильтра • 257 ной фазовой характеристикой и групповым временем замедле- ния то имеет следующий вид: Я(5) = */Вя(т0$), * = Д,(0). (8.135) (8.136) Такая форма H(s) гарантирует, что результирующий фильтр будет иметь функцию передачи НЧ-типа. Степень знаменателя, входящего в выражение (8.135), зависит от требований, предъ- являемых к фильтру, и прочих соображений. Чем больше величина п, тем лучше результирующий фильтр будет аппрок- симировать групповое время величиной то единиц в пределах широкой полосы частот; это иллюстрирует рис. 8.21,6. Пример 8.8. Найти передаточную функцию фильтра нижних частот вто- рого порядка с максимально плоской характеристикой группового времени и т(0)=3. Решение, Мы решим эту задачу двумя путями. Первый метод опирается на процедуру приравнивания нулю коэффициентов при степенях s, тогда как второй использует полиномы Бесселя и процедуру изменения масштаба шкалы частот в соответствии с (8.132). Предположим, что передаточная функция Н (s) имеет такую форму: Я(5) = й/(з2+618 + 6о). (8.137) Согласно выражению (8.119), функция групповой задержки определяется сле- дующим выражением: _ (s\ _ (s2+6q)61-61s(2s) Ч/J ^ + bny-by Введем определение «(з) А т (|) - т (0) = т (у) - 3 = - 3s4 + (36? - 6, - 660) з2 + 60 (&! - 36О) (з2 + 60)2 - 62з2 (8.138) (8.139) Следовательно, необходимо положить 36?-61 -660 = ° и (8.140а) 6,-360 = 0. (8.1406) Решая систему уравнений (8140), получим 6, = 1 и Ь0=1/3. (8.141) Подставляя выражение (8.141) в выражение (8 137), получим требуемую пере- даточную функцию Н (з) в следующем виде: k 1 н= ^ + Г+(1/з) - з^ + зГ+f • <8Л42> 9 Зак изо
258 8. Аппроксимация характеристики фильтра Другой путь решения этой задачи основывается на использовании выражения (8.135) и приводит к получению такой же передаточной функции н (s) = — =-------------------------------------------------!-------- Вг (3s) (3s)2 + 3 (3s) + 3 9s2 + 9s + 3 3s2 + 3s + 1 8.3.2. Расчет и реализация Единственным расчетным параметром фильтров Бесселя является порядок п. Выбор п производится с таким расчетом, чтобы удовлетворить заданные требования как к фазовым ха- рактеристикам, так и к характеристикам затухания. Пример 8.9. Найти фильтр Бесселя низшего порядка, удовлетворяющий следующим требованиям: 1) т(0)= 1 с. 2) т(со) имеет менее чем 1%-ную ошибку при со 2 рад/с. 3) |Я(/со) |2 С 0,5 при со > 2 рад/с. Рис. 8.22. Характеристики затухания фильтров Бесселя.' Решение. Из рис. 8 21,6 найдем, что фильтр с п = 5 удовлетворяет усло- виям 1 и 2. Чтобы учесть условие 3, построим на рис 8 22 график характе- ристик затухания фильтров Бесселя. С помощью графиков на рис. 8,22 опре- деляем, что условие 3 может быть удовлетворено при п 8. Таким образом, заданным требованиям может удовлетворить фильтр Бесселя восьмого по- рядка. Пример 8.10. Найти фильтр Бесселя низшего порядка, удовлетворяющий следующим требованиям: 1) т(0)= 2 с. 2) т(со) имеет менее чем 1%-ную ошибку при со sg 2 рад/с. 3) | И (/со) |2 0,2 при со > 2 рад/с. й. Решение. На основе условия 1 видно, что условия 2 и 3 являются эки валентными условиям:
8. Аппроксимация характеристики фильтра 259 а) т(ы) имеет менее чем 1%-ную ошибку при Тою 4 рад. б) |//(/«) |2 si 0,2 при то<о Js 4 рад. Из рис. 8 21,6 следует, что условие а) удовлетворяется, когда п > 7, а условие б) требует, чтобы n Js 5 (рис. 8.22). Следовательно, необходим фильтр Бесселя седьмого порядка. Фильтры Бесселя в том аспекте, в каком они рассматри- ваются в настоящем разделе, представляют собой фильтры нижних частот с нулями передачи при s = оо. Следовательно, для реализации результирующей передаточной функции можно воспользоваться упрощенной процедурой синтеза Дарлингтона с первой формой Кауэра в том виде, как это рассматривалось + — fi's = 10м Lz 1 1 С/; с Сл; : =/Ом П Рис. 8.23. Основная схема фильтров нижних частот Бесселя. в разд. 7.3. Основная конфигурация схемы для этого случая дается на рис. 8.23. Для случая единичного группового вре- мени замедления при ® = 0, когда передаточная функция опре- деляется выражением (8.126), значения параметров схемных элементов приводятся в табл. 8.4. ' Таблица 8.4 Значения схемных элементов в фильтрах Бесселя Л Ct Li с, с5 Lt С, с9 1 2,0000 2 1,5774 0,4226 3 1,2550 0,5528 0,1922 4 1,0598 0,5116 0,3181 0,1104 5 0,9303 0,4577 0,3312 0,2090 0,0718 6 0,8377 0,4116 0,3158 0,2364 0,1480 0,0505 7 0,7677 0,3744 0,2944 0,2378 0,1778 0,1104 0,0375 8 0,7125 0,3446 0,2735 0,2297 0,1867 0,1387 0,0855 0,0289 9 0,6678 0,3203 0,2547 0,2184 0,1859 0,1506 0,1111 0,0682 0,0230 Пример 8.11. Предположим, что необходимо спроектировать фильтр Бес- селя второго порядка с единичным групповым временем замедления при 5 = 0. Спроектировать схему и проверить полученный результат. Решение. В соответствии с выражениями (8.126) и (8.127) передаточная ПиейВДЯ ФильтРа Бесселя второго порядка определяется следующей функ- Н (s) = k/(s2 + 3s -f- 3). (8.143) рис- 8-23 и табл. 8.4, найдем, что схемная реализация ч'ункции (8.143) приведена на рис. 8.24, а, 9*
260 8. Аппроксимация характеристики фильтра Чтобы показать, что схема на рис. 8.24, а является реализацией выраже- ния (8.143), примем = 1 и преобразуем результирующую схему к виду, в котором она показана на рис. 8 24, о. Анализ методом узловых напряжений дает (8.144а) где L = 0,4226 и С = 1, 5774. (8.1446) Юм Ц4226Г 1*1,5774 <Р Юм а Рис. 8.24. Схема реализации фильтра Бесселя второго порядка (а) и ее экви- валентная схема (б). Подставляя выражение (8.1446) в выражение (8.144а), получим Рвых = е= l,5/(s2 + 3s + 3), следовательно, передаточная функция будет иметь вид Н (s) = l,5/(s2 + 3s + 3), (8.145) и, таким образом, схема иа рис. 8 24,6 реализует фильтр Бесселя второго порядка. Фильтры Бесселя аппроксимируют максимально плоскую характеристику постоянного группового времени замедления. В этом отношении они аналогичны фильтрам Баттерворта, ко- торые аппроксимируют постоянную максимально плоскую ам- плитудно-частотную характеристику. Можно также аппрокси- мировать равноволновую характеристику группового времени замедления (аналогично фильтру Чебышева, аппроксимирую- щему равноволновую амплитудно-частотную характеристику). Однако здесь мы не будем обсуждать фазовые фильтры этого типа. 8.3.3. Переходные фильтры Хотя фильтр Бесселя дает фазовый сдвиг, который отли- чается значительно большей линейностью, чем у фильтров Бат- терворта и Чебышева, амплитудно-частотная характеристика передачи у фильтра Бесселя не имеет достаточно крутого
8. Аппроксимация характеристики фильтра 261 среза1)- Имеется один класс фильтров, которые обеспечивают промежуточное решение, имеющее лучшие амплитудно-частот- ные характеристики среза, чем фильтры Бесселя, и лучшие фазочастотные характеристики, чем фильтры Баттерворта. Этот компромисс достигается путем размещения полюсов фильтра между полюсами фильтров Баттерворта и Бесселя. В качестве примера рассмотрим фильтр Баттерворта вто- рого порядка с полюсами в —(l/V^ )±/(l/V2 )> как это определяется в выражении (8.42а). Фильтр Бесселя второго порядка имеет полюсы в — (3/2) ± /(V3/2 ) (см. пример 8.11). Фильтр Баттерворта нормируется таким образом, чтобы ра- диус-вектор его полюса равнялся бы 1. Прежде чем получить компромиссный фильтр, нормируем фильтр Бесселя таким об- разом, чтобы радиус-вектор его полюса был, так же как и у фильтра Баттерворта, равен 1. Это требует нормирования частоты путем деления ее на д/З- (Подробнее нормирование частоты мы рассмотрим позже.) Полученная в результате пе- редаточная функция нормированного фильтра Бесселя второго порядка будет определяться следующим выражением: Н (8.146) Переходный фильтр будет иметь полюсы между — ±/-^-полюсами фильтра Баттерворта л/з" 1 и----± полюсами фильтра Бесселя (8.42а) (8.146). Фильтр, полюсы которого расположены посередине между баттервортовскими и бесселевскими полюсами, имеет переда- точную функцию (.++, ' -^) = l/fs2 + 1,5731s + 0,9830). (8.147) Переходные фильтры с передаточной функцией, подобной (8.147), часто оказываются лучшими фильтрами для тональных ‘) Сравнивая характеристики на_ рис. 8.3 и 8.22, мы видим, что фильтры Баттерворта, имеющие тот же самый порядок п, что и фильтры Бесселя, от- личаются знач ?тельно ботее крутым срезом характеристики. Также известно и то, что фильтры Чебышева, имеющие тот же порядок п, что и фильтры ьаттерворта, отличаются более крутым срезом.
262 8. Аппроксимация характеристики фильтра посылок (в системах связи), поскольку хорошая фазовая харак- теристика ограничивает искажения низким уровнем. С другой стороны, выделение тональных посылок требует достаточно хо- рошей амплитудно-частотной характеристики. 8.4. Основные преобразования частот и схем Несмотря на то что большая часть наших обсуждений до настоящего момента концентрировалась на нормированных НЧ-структурах, это вовсе не означает, что именно они относятся к наиболее распространенному типу фильтров. В действитель- ности причины ограниченности наших обсуждений связаны со следующими обстоятельствами: 1) нормированные фильтры нижних частот относятся к фильтрам, которые легче реализо- вать, чем какие-либо другие фильтры; 2) большинство требо- ваний, предъявляемых к полосовым, заграждающим фильтрам и к фильтрам верхних частот, а также к другим фильтрам ниж- них частот, легче всего реализовать путем соответствующего преобразования нормированной НЧ-структуры. На рис. 8.25 показаны две процедуры проектирования фильтров, которые по своим характеристикам отличаются от нормированного НЧ-про- тотипа. 8.4.1. Преобразование НЧ—*• НЧ Этот процесс иногда называют масштабированием по час- тоте или денормированием по частоте. Все передаточные функ- ции, которые мы обсуждали до настоящего момента, относи- лись к фильтрам нижних частот с частотой среза, равной 1 рад/с. Материал, излагаемый в настоящей главе, окажется совершенно бесполезным, если не будет найден простой путь для преобразования частоты среза НЧ-прототипа, которая равна 1, в другие значения. К счастью, это довольно легко выполнить. Предположим, что нам необходимо получить час- тоту среза а>с рад/с. Все, что для этого необходимо сделать, это заменить каждый символ в передаточной функции НЧ-про- тотипа на со/сос- Результирующая передаточная функция НЧ будет иметь частоту среза сос. Так, например, фильтр нижних частот Баттерворта n-го порядка с единичной шириной полосы (частота среза равна 1) будет иметь передаточную функцию, квадрат модуля которой выражается в следующем виде1)'- I ^(/ffl) Р= 1/(1 + ®2”)- (8.148) *) N обозначает нормированный НЧ-прототип.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 263 Блок 1 Блок 2 Блок 3 Блок 4 Блок 5 Рнс. 8.25. Две процедуры проектирования фильтров.
264 в. Аппроксимация характеристики фильтра Фильтр нижних частот Баттерворта n-го порядка с шириной полосы ис будет иметь аналогичную функцию в такой форме: IяWf- + №.)» (8.149) Для того чтобы показать, что выражение (8.149) определяет фильтр с частотой среза ис, мы просто определим частоту и3дБ, на которой уровень передачи снижается на 3 дБ. В этой точке должно удовлетворяться следующее уравнение: й-150’ I V опорн/ I где ©опорн = 0 для фильтров нижних частот = оо для фильтров верхних частот (8.151) = 0 или оо для заграждающих фильтров =центральной частоте для полосовых фильтров После ряда алгебраических преобразований найдем, что ®з дб = ©с- (8.152) Следовательно, частота среза в точке 3 дБ равна ис. При час- тотном преобразовании si—>(з/ив) или (8.153а) <вн->(<в/<вв) (8.1536) конденсатор емкостью С Ф, используемый в схеме с единичной шириной полосы и имеющий сопротивление \/s С, преобра- зуется в ветвь схемы, имеющей полосу <ос и сопротивление —Г75*== —г*' (8.154а) (s/s (С[<о^) чему соответствует конденсатор с емкостью С/ие Ф. Катушка индуктивности в схеме с единичной шириной полосы имеет со- противление sL, а ее аналог в схеме с полосой сос имеет сопро- тивление (s/coc)L = s(L/toc) (8.1546) и, следовательно, представляет собой катушку индуктивности с индуктивностью £ Г. В случае преобразования частоты, опре- деляемого выражением (8.153), сопротивления резисторов и ре- зистивных элементов остаются без изменений1). *) Класс резистивных элементов включает гираторы, все четыре типа управляемых источников и операционные усилители. Параметры Этих элемен- тов остаются без изменений при всех видах частотных преобразований.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 265 Как и в случае преобразования (8.132), преобразование (8.153) представляет собой лишь изменение частотного мас- штаба; если х является точкой на оси частоты на нормирован- ной частотной шкале, то юсх является точкой на оси частоты после частотного преобразования или же изменения масштаба в соответствии с (8.153). Пример 8.12. Предположим, что нужно получить равноволновый фильтр, имеющий следующие характеристики: а) Ширина полосы составляет 1 крад/с. б) Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ. в) Минимальное затухание в полосе задерживания равно 40 дБ для о) > 6 крад/с. 1) Найти требуемую передаточную функцию. 2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра. Решение. В соответствии с уравнениями рис. 8.25, сначала произведем преобразование наших требований применительно к НЧ-прототипу: а') Ширина полосы составляет 1 рад/с. (Это означает, что впоследствии потребуется выполнить преобразование частоты со I—> <й/1 к или s i—> s/1 к.) б') Неравномерность передачи в полосе пропускания равна 0,1 дБ. в') Минимальное затухание в полосе задерживания составляет 40 дБ для ® > 6 рад/с. Обратившись к рис. 8.15, а, найдем.что условиям а'), б') и в') удовлетворяет значение п 3. Чтобы найти нормированную передаточную функцию, вос- пользуемся выражениями (8.71) и (8.85) и рассчитаем параметр в и коорди- наты трех полюсов: в = V Ю0,01 — 1 = 0,1526, Si = — 0,4847 + / 1,2062, Sj = — 0,9694, s3 = — 0,4847 — j 1,2062. Следовательно, н . ._________________________________1,6381_____________ nN<s>— s3 + 1,9388s2 + 2,6295s + 1,6381 ’ k ' В соответствии с выражениями (8.153) требуемая передаточная функция определяется следующим выражением: Я (si —Я ( s 'I 1,6381-109 V ’ N \ 103 ) s3 + (1,9388 • 103s2) + (2,6295 • 10es) + (1,6381 • 10е) * (8.156) На рис. 8.26, а изображена схема, реализующая нормированную конфигура- ЦИЮ яв17С00тветствии ,с (8.155), которая получена с помощью данных из рис. 8 17 н справочной табл. 8.2. В результате использования преобразований схемных элементов в соответствии с (8.154) получим схему (рис. 8.26,6), которая реализует требуемую передаточную функцию. Обратите внимание на т0’ ч1° п®Редаточная функция по напряжению схемы, которая приведена на рис. 8 2b, б, удовлетворяет заданным условиям а), б) ив). Пример 8.13. Предположим, что необходимо спроектировать фильтр с SrSo^b^ а) т(0) = 100 мкс = 10~‘с.
266 8. Аппроксимация характеристики фильтра б) т(со) характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для |«|< 20 крад/с. 1) Найти требуемую передаточную функцию. 2) Найти схемную реализацию требуемого фильтра. Решение. При использовании переменных вида Toto условие б) приобре- тает вид: б') т(<о) характеризуется менее чем 3%-ной ошибкой для |тосо| < 2 рад. /Д474Г : г 1,0316 ф 7,03/6 Ф 10и Увых + Юм /,7474мГ -~1р316мФ 1О31бмФ „ ’ / OmU в‘,х а б Рис. 8 26. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8.155) (о) и требуемой передаточной функции (8.156) (б). Обратившись к рис. 8 21,6, найдем, что условие б') удовлетворяет значению п «= 4. Если воспользоваться выражением (8.128), то передаточная функция нормированного фильтра Бесселя будет иметь вид 105 e + 10s3 + 45s2 + 105s -f- 105 ’ Чтобы получить тоебуемую перадаточную функцию, мы можем применить либо выражение (8.135) с т0 = 10-4, либо выражение (8.153) с <ос = 1041)- а б Рис. 8 27. Схемы реализации нормированной передаточной функции и требуемой передаточной функции (8.158) (б). (8 157) (я) В результате требуемая передаточная функция определится выражением: „ . . _ н ( s \_______________________________105 - 1010__________________ — N V ю4 J s4 + 105s3 + (45 • 108s2) + (105 • 1012s) + (105 • 10'°) ' (8.158) *) Обратите внимание на то, что, перейдя от условия б) к условию б )> мы по существу выполнили преобразование частоты —>10 KW.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 267 На рис. 8 27, а изображена схема, реализующая нормированную конфигу- рацию в соответствии с (8 157), которая получена с помощью данных, взятых из рис. 8.23 и справочной табл. 8 4. Произведя преобразования параметров схемных элементов в соответствии с (8.154), получим требуемую схемную реализацию фильтра, которая изображена на рис. 8 27, б. 8.4.2. Преобразование НЧ ►ПФ Частотное преобразование, которое превращает НЧ-прото- тип (с одной полосы пропускания, имеющей среднюю частоту со = 0) в полосовой фильтр (с двумя полосами пропускания со средними частотами ®о и —®о, каждая из которых характери- зуется шириной полосы В), безусловно не является линейным, как это имело место в случае преобразования НЧн->НЧ. Рас- смотрим явное преобразование «2 + о>о s ВГ~ (8.159) где ио является требуемой средней частотой, а В — ширина по- лосы частот в полосовом фильтре* 1). Преобразование частоты в соответствии с (8.159) имеет сле- дующие важные характеристики: 1. Точка ® = 0 отображается на средние частоты ®о и —®о- В общем случае точка х отображается на две точки ах и —а)х, за исключением случая, когда х — со. Точка, лежащая в беско- нечности, отображается на начало координат. 2. Положительная (отрицательная) мнимая ось отображает- ся на интервал (соо, сю) и (—сю, соо) [(0, ®о) и (—®о, 0)]. 3. Пусть ±<Da: и ±(О-х будут отображениями точек х и —х в случае преобразования (8.159), тогда ®2 = ©*©_*. (8.160) Вследствие выполнения условия (8.160) результирующие харак- теристики затухания (и фазовая) в полосе пропускания не бу- дут иметь арифметическую симметрию относительно ®о, а де- монстрируют геометрическую симметрию2). Если положим в выражении (8.160) х=1, то ®i и ®_i будут соответствовать ’) Ширина полосы частот полосового фильтра определяется как разность м ж ту двумя частотами среза по уровню 3 дБ (положительными) в виде •В si40 • — где и (Ос2 являются решениями относительно (£>с сле- дующего уравнения: — 10 log 3. I Я (/юс) |2 I Я (/to,,) |» = *) Подробнее относительно симметрией см. работу [14] с о расчета полосовых фильтров с арифметиче- в литературе к настоящей главе.
268 8. Аппроксимация характеристики фильтра краям полосы пропускания результирующего полосового филь- тра. Следовательно, имеем такие соотношения: В = ©! — ш_1 и (8.161а) ш2 = ®1®_1. (8.1616) Основные свойства преобразования (8.159) иллюстрируются рис. 8.28. Рис. 8.28. Основные свойства преобразования частоты фильтр нижних ча- стот — полосовой. В случае преобразования H4i—>ПФ (8.159) мы можем по- лучить передаточную функцию полосового фильтра H(s) из передаточной функции НЧ-прототипа HN(s) путем замены каж- дой буквы s в HN(s) на (s2 + ©q)/Bs. Чтобы получить требуе- мую схему полосового фильтра, мы можем реализовать резуль- тирующую передаточную функцию H(s), либо прибегая к различным методам реализации, либо просто используя преоб- разование цепи. Последний подход связан с осуществлением за- мены каждого элемента в схеме НЧ-прототипа соответствую-
8. Аппроксимация характепиаики фильтра 269 щим набором элементов требуемой полоснопропускающей схе- мы. Чтобы определить, чем заменяется катушка индуктивности величиной L Г НЧ-прототипа, укажем на то, что функция сопро- тивления sL с помощью выражения (8.159) отображается в функцию сопротивления + “о г L _ । 1 - IL s “Т" / » \ ♦ Bs / В [B/(&qL) s Это выражение по существу утверждает, что катушка индуктив- ности величиной L ГНЧ-прототипа преобразуется в последова- нижних _ п » частот -------Полосовой СФ 6 с в Рис. 8.29. Преобразование элементов фильтр нижних частот — полосовой. тельное соединение из катушки индуктивности и конденсатора, причем последние имеют величины (£/В)Г и (B/co^L) Ф (8.163) соответственно. Аналогично емкостная проводимость sC НЧ- прототипа преобразуется в функцию проводимости вида s2 + со2 \ С ------ С = —s-+ Bs J в 1 (B/®qC)s ’ (8.164) Следовательно, конденсатор емкостью С Ф НЧ-прототипа за- меняется параллельным соединением из конденсатора и ка- тушки индуктивности со следующими величинами: (С/В)Ф и (В/®2С)Г (8.165) соответственно. Цепи на рис. 8.29 служат иллюстрацией преоб- разования элементов схемы фильтра нижних частот в схему полосового фильтра. В случае применения преобразования (8.159) значения резисторов и резистивных элементов остаются б,ез изменения.
270 8. Аппроксимация характеристики фильтра Пример 8.14. Предположим, что мы должны спроектировать полосовой фильтр, который отвечает следующим требованиям: а) Средняя частота полосы пропускания равна со» = 100 крад/с. б) Ширина полосы пропускания по уровню 3 дВ равна 20 крад/с. в) Максимальное затухание, которое допускается в полосе пропускания в пределах от <ио = 100 крад/с до coi = 102,5 крад/с, составляет 0,05 дБ. г) Минимальное затухание в полосе задерживания должно составлять 10 дБ для со > о>2 = 120 крад/с. д) Для со «о требуется монотонно убывающая функция передачи. Рис. 8.30. Графическое изображение технических требований примера 8.14 к полосовому фильтру (а); к нормированному НЧ-прототипу (б). 1. Найти передаточную функцию для требуемого фильтра. 2. Найти схемную реализацию требуемого фильтра. Решение. Во-первых, найдем требуемую передаточную функцию. Условие д) требует выбора фильтра Баттерворта. Порядок фильтра будет опреде- ляться условиями а)—г) (рис. 8 30, а). В общем случае значительно проще определить порядок п фильтра Баттерворта в области, заданной для НЧ-про- тотипа. Но, чтобы воспользоваться этой возможностью, мы должны преобра- зовать условия а) — г) к виду, отвечающему НЧ-прототипу. Информация, содержащаяся в условиях а) и б), определяет преобразование частоты при переходе от НЧ-прототипа к требуемому полосовому фильтру. Эти условия не нужны для определения порядка п. Условия в) и г) после преобразования принимают вид: в') Максимальное затухание, допускаемое в полосе пропускания в преде- лах от со = 0 до со = 0,25 рад/с, составляет 0,05 дБ. г') Минимальное затухание, требуемое в полосе задерживания, равно 10 дБ для частот со > 2 рад/с.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 271 Условия в') и г') иллюстрируются графиками на рис. 8 30, б. Это условие подразумевает, что значение п должно быть выбрано с таким расчетом, чтобы удовлетворялись неравенства 10 1о2 | 1 + (0,25)2" 0,05 И - 101°g| тчЫ>10- (8166а) (8.1666) После выполнения некоторых простейших арифметических операций мы най- дем, что л > 2 будет удовлетворяеть оба условия (8 166). Следовательно, тре- V2? rl а Рис. 8.31. Схемы реализации нормированной передаточной функции (8.167) (а) и требуемой передаточной функции (8.168) (б). буемая передаточная функция нормированного фильтра нижних частот опре- деляется таким выражением: tf„(s) = l/(s2 + V27 +1). (8.167) При со» = 100 крад/с и ширине полосы по уровню 3 дБ, равной 20 крад/с, передаточная функция требуемого полосового фильтра будет определяться следующим выражением: и , , _ тг ( S- f 1U- X _ __________1_____________ —2 • 104s 7~/s2+10I0\2 /-р2+Ю10\ , j k 2 • 104s J k 2 • 104s J _________________________4 108s2___________________________= ~ (s2 + 1010) + д/2 (s2 + 10‘°) (2 • 104s) + (4 • 108s2) ~ _____________________________4 108s2______________________________ s4 + (2 д/2 • 104s3) + (2,04 • 10‘°s2) + (2 V2 • 1014s) + 102° ’ (8.168) Чтобы реализовать требуемый фильтр в соответствии с (8 168), вначале реализуем НЧ-прототип (рис. 8 31, а). Чтобы получить схему, приведенную на рис. 8 31,6, в схеме рис. 8 31, а выполнено преобразование элементов. Об- ратите внимание на то, что фильтр нижних частот второго порядка
272 8. Аппроксимация характеристики фильтра превращается в случае преобразования H4i—>ПФ в полосовой фильтр чет- вертого порядка. Амплитудно-частотные характеристики НЧ-прототипа с пе- редаточной функцией (8.167) и полосового фильтра с требуе- мой передаточной функцией (8.168) показаны на рис. 8.32. Обратите внимание на то, что крутизна характеристики поло- сового фильтра на частотах 0 <о 100 крад/с несколько Рис. 8.32. Характеристики нормированного фильтра нижних частот Баттервор- та второго порядка (а) и соответствующего полосового фильтра Баттерворта четвертого порядка (б). больше, чем на частотах <о 100 крад/с. Это положение ти- пично для полосовых фильтров, рассчитанных с помощью (8.159). [Нужно вспомнить, что преобразование (8.159) дает характеристики фильтров, которые имеют геометрическую, а не арифметическую симметрию.] Следовательно, если заданные условия требуют арифметической симметрии относительно сред- ней частоты (о0, тогда следует убедиться, что обеспечиваются заданные требования для частот <о coq.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 273 8.4.3. Преобразование НЧ—►ЗФ Как и в случае полосовых фильтров, часто оказывается удоб- ным начать с НЧ-прототипа и воспользоваться преобразованием частоты и(или) элементов с целью получения окончательной модели заграждающего фильтра. В этих случаях частотное преобразование является просто обратным (или инверсным) Рис. 8 33. Основные свойства частотного преобразования НЧ I—> ЗФ. преобразованию НЧн->ПФ. Это означает, что частотное преоб- разование для перехода от нормированного фильтра нижних частот к заграждающему фильтру определяется выражением: S'—*-52- или (8.169а) s +®о где соо является средней частотой полосы задерживания и В представляет собой ширину полосы задерживания. Основные свойства такого преобразования отражены на рис, 8.33,
274 8. Аппроксимация характеристики фильтра Что же касается схемных элементов, то здесь совершенно ясно, что НЧ-емкость величиной С Ф преобразуется в последо- вательное соединение из катушки индуктивности и емкости, зна- чения которых составляют (1/ВС)Г и (ВС/<о2)Ф, (8.170) как показано на рис. 8.34, а. Аналогично НЧ-катушка индуктив- ности величиной ЬГ заменяется параллельным соединением из катушки индуктивности и емкости с величинами (BL/®2) Г и (1/В£)Ф, (8.171) как отражено на рис. 8.34,6. И снова резисторы и резистивные элементы остаются без изменения. Нижних частот Рис. 8.34. Преобразование элементов НЧ I—> ЗФ. Пример 8.15. Предположим, что нам нужно спроектировать заграждаю- щий фильтр Баттерворта, который должен отвечать следующим требованиям: а) Средняя частота равна 1 крад/с. б) Ширина полосы задерживания по уровню 3 дБ составляет 100 рад/с. в) Минимальное затухание, требуемое для полосы задерживания, состав- ляет 40 дБ для 1 крад/с < <в < 1010 рад/с. г) Максимальное затухание, допускаемое в высокочастотной полосе про- пускания, составляет 0,1 дБ для и 1,2 крад/с. 1. Найти требуемую передаточную функцию. 2. Найти схему требуемого фильтра Решение. При со» = 10s и В = 102 заданные требования к заграждаю- щему фильтру преобразуются в соответствующие требования к НЧ-прототипу следующим образом: в') Минимальное затухание составляет 40 дБ для частотного диапазона В (1 к) В (1010) . 100(1010) - (1к)2 + соо — (1010)2 + coq (1010)2 - (1000)2 (8.172) г') Максимальное затухание составляет 0,1 дБ для диапазона ® < = .107120°)__ = 0,27. (8.173) (1,2 к)2 — cOq (1200)2 - (1000)2
8. Аппроксимация характеристики фильтра 275 Обращаясь к рио. 8.4, найдем, что из условия в') вытекает, что п 5s 3, а условие г') требует, чтобы п 2. Следовательно, в качестве прототипа может а Рис. 8 35. Схемы реализации примера 8 15 нормированного фильтра нижних частот Баттервота третьего порядка (а) и заграждающего фильтра шестою порядка (б). служить фильтр нижних частот Баттерворта третьего порядка. Нормирован- ная передаточная функция в соответствии с (8.426) имеет следующий вид: ^(s) = l/(s3 + 2s2 + 2s+l). (8.174) При использовании преобразования частоты (8.169) требуемая передаточная Функция приобретает такой вид: 1 = ( 100s \3 / 100s \2 / 100s \ I з2 + 10б * ) + I s2 + 10s J + I s2 + 10е / + s6 + (3 • 106s4) + (3 • 10I2 * *s2) + 1018 s8 * * * + 200s5 + (3,02 • 106s4) + (4,01 • 108s3) + + (3,02 • 1012s2) + (2 • 10us) + 1018. (8.175) Схемную реализацию выражения (8174) можно получить, обратившись к табл. 8 1 и рис. 8.9, в (рис. 8 35, а). Полученная таким путем схема показана на рис. 8.35, б. 8.4.4. Преобразование НЧ—”64 Поскольку характеристики фильтров нижних частот явля- ются по существу обратными характеристикам фильтров верх- них частот, частотное преобразование нормированной НЧ-пере- Даточном функции в передаточную функцию фильтра верхних
276 8. Аппроксимация характеристики фильтра частот с частотой среза ис определяется выражением si—или (8.176а) (8.1766) Предположим, что необходимо спроектировать фильтр верхних частот второго порядка с максимально плоской характеристи- кой и частотой среза &с, как показано на рис. 8.36. Мы начи- Рис. 8.36. Амплитудно-частотная характеристика фильтра верхних частот. наем процесс проектирования с нормированного прототипа фильтра нижних частот Баттерворта: (s) = 1/(^2 Ч-V2T + 0- (8-177) (8.176), получим требуе- Воспользовавшись преобразованием мую передаточную функцию <2 -2-----т=----------т. (8.178) s2 + V2 acs + со2 Если перейти к схемным элементам, то здесь емкость НЧ-про- тотипа величиной С Ф преобразуется в катушку индуктивности величиной 1/С®с Г фильтра верхних частот. Аналогично индук- тивность НЧ-прототипа величиной L Г преобразуется в емкость величиной 1/L(oc Ф. И снова резисторы и все резистивные эле- менты остаются без изменения. 8.4.4.1. Фильтры инверсные Чебышева. В этом подразделе мы воспользуемся частотным преобразованием НЧ<—>ВЧ для преобразования фильтра Чебышева в фильтр инверсный Чебы- шева. Пусть функция \HN(ja)\2 характеризует фильтр нижних частот Чебышева n-го порядка с частотой среза 1 рад/с. Харак- теристика такого фильтра пятого порядка показана на
8. Аппроксимация характеристики фильтра 277 рис. 8.37, а. Используя преобразование (8.176), получим функ- цию передачи фильтра верхних частот Чебышева n-го порядка с полосой пропускания от 1 рад/с до бесконечности, которая имеет вид I/ 1 \ 12 Мх)| “ -1в«ЙГ <8-179) На рис. 8.37,6 показана функция |7/вч(/м) |2 от не- зависимой переменной <о для случая п = 5. Если мы те- перь вычтем полученную функцию модуля фильтра верхних частот, определяе- мую выражением (8.179), из 1, результирующая функция будет иметь вид I «(/»)?= 1-|Явч(»|!- =>-1М'£)Г- <8-180) График на рис. 8.37, в ил- люстрирует поведение функ- ции |2 для случая п = 5. Обратите внимание на то, что результирующая функция характеризует фильтр нижних частот с мо- нотонно убывающим коэф- фициентом передачи в поло- се пропускания и равновол- новым затуханием в полосе Рис. 8 37. Получение инверсного фильтра нижних частот Чебышева пятого порядка из фильтра ниж- них частот Чебышева пятого по- рядка. задерживания, причем колебания затухания начинаются с ча- стоты 1 рад/с и распространяются вплоть до бесконечности. Фильтр этого типа называется инверсным Чебышева. Переда-
278 8. Аппроксимация характеристики фильтра точная функция для него может быть получена из (8.180), где Hn(s) является передаточной функцией нормированного филь- тра нижних частот Чебышева. 8.4.5. Нормирование по сопротивлению До настоящего момента во всех преобразованиях частоты значения сопротивлений резисторов оставались без изменений. Как показано на рис. 8.9, 8.17 и 8.23, в схемах НЧ-прототипа используются подключаемые к источнику сигнала резисторы величиной 1 Ом. Совершенно ясно, что на практике 1-омные ре- зисторы не являются идеальными элементами для работы. Сле- довательно, мы нуждаемся в некотором механизме для измене- ния значений параметров схемных элементов, который не будет в то же время изменять передаточную функцию спроектирован- ной схемы. Нормирование (денормирование) по сопротивлению ни в коей степени не окажет влияния на передаточную функцию1). Существенной целью этого нормирования является увеличение или уменьшение уровней сопротивлений всех элементов в схеме в определенное число раз для согласования их с другими ча- стями схемы или же придание схемным элементам таких вели- чин, при которых реализация схемы станет значительно легче. Так, например, в случае схем, приведенных на рис. 8.9, 8.17 и 8.23, может оказаться, что легче будет работать с резисто- рами, имеющими сопротивление А Ом. Тогда мы сможем уве- личить сопротивления всех схемных элементов в А раз. На- пример: 1. Резистор с сопротивлением Н Ом теперь увеличивается до AR Ом. 2. Катушка индуктивности с индуктивностью L Г, значение сопротивления которой составляет sL, теперь увеличивает его до sAL, чему уже соответствует катушка индуктивности вели1 чиной AL Г. 3. Конденсатор емкостью С Ф, который имеет сопротивление 1/$С, теперь повышает свое сопротивление до величины A/sC= = 1 / [s(С/А) ], чему соответствует конденсатор с емкостью С/А Ф. 4. ЧЗОС величиной D Ф2, которое имеет сопротивление ве- личиной l/s2Z>, теперь увеличивает его до величины A/s2D = = \/\s2(D/A)\, чему соответствует ЧЗОС величиной D/А Ф2. *) Это справедливо лишь для передаточных функций по напряжению и току. Необходимо помнить, что в этой книге мы рассматриваем только пере- даточные функции по напряжению.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 279 5. ИНУН и ИТУТ и идеализированные операционные уси- лители остаются без изменения *). Таблица 8.5 Преобразования частоты и элементов 'РреоИразования частоты 4Г £<р •. —в_ г в G ц> В табл. 8.5 приведена сводка всех преобразований частоты и элементов, котерые обсуждались в цазд. 8.4. Рис. 8 38. Решение примера 8.16. Пример 8.16. Найти схему фильтра с Rs = 1 кОм, которая будет удовле- творять всем условиям примера 8.15. *) Обратите внимание на то, что ИНУН и идеальный операционный уси- литель остаются без изменений при всех типах преобразований частоты и нормировании по сопротивлению Мы будем часто использовать это обстоя- тельство в гл. 10.
280 8. Аппроксимация характеристики фильтра Решение. Схема (рис. 8 35,6) удовлетворяет всем условиям примера 8.15 при Rs = 1 Ом. Следовательно, нам лишь остается изменить уровень сопро- тивления каждого элемента схемы на рис. 8 35, б в 1000 раз. Результирующая схема приведена на рис. 8 38. 8.4.6. Примеры Пример 8.17. Предположим, что нам необходим фильтр нижних частот, удовлетворяющий следующим требованиям: а) Частота среза по уровню 3 дБ равна 20 крад/с. б) Коэффициент передачи в полосе пропускания отклоняется от своего максимального значения для оэ 10 крад/с не более чем на 0,1 дБ. в) Затухание в полосе задерживания больше чем 40 дБ для со > 50 крад/с. г) Необходима монотонно убывающая функция передачи. Найти приемлемую схемную реализацию с сопротивлением резистора Rs в цепи источника сигнала 10 кОм. Решение Условие г) требует использования фильтра Баттерворта. Если перейти к НЧ-прототипу, частота среза автоматически принимает значение, равное 1, а условия б) и в) приобретают вид- б') Коэффициент передачи в полосе пропускания отклоняется от своего максимального значения не более чем на 0,1 дБ для всех со 0,5 рад/с. в') Затухание в полосе задерживания превышает 40 дБ для всех (О > 2,5 рад/с. Применительно НЧ-прототипу эти условия принимают следующий вид: — 10 log | Н (/со) |2 < 0,1 для со ^0,5, (8.181) — 10 log | Н (/со) |2 > 40 для со > 2,5. (8.182) Благодаря свойству монотонного убывания характеристик фильтров Баттер- ворта условие (8.181) требует, чтобы “ 10g | 1 + (0,5)2rt | °’01, Это означает, что условие б') будет удовлетворять п 3. В отношении же условия в') условие (8 182) требует, чтобы ~ 10 10g | 1 + (2,5)2П | > 40, Это означает, что условие в') будет удовлетворять п 6. Таким образом,, нам необходим фильтр Баттерворта шестого порядка. В справочной табл. 8 1 мы найдем схему, изображенную на рис. 8 39, а. Квадрат модуля функции передачи схемы рис. 8.39, б определяется следующим выражением: I Н (/«>) |2 = 1/(1 + со12) (8.183) с частотой среза, равной 1 рад/с. Воспользовавшись преобразованием элемен- тов для повышения частоты среза до 20 крад/с, мы получим схему (рис. 8.39,6), которая характеризуется выражением 1Я(/Ю)12 =------/ V2- <8-184) 1 + I 2 X 104 ) И наконец, денормирование по сопротивлению всех схемных элементов схе- мы 8.39,6, в результате которого резистор Rs увеличивается в 104 раза, по-
8. Аппроксимация характеристики фильтра 281 + 70,71 мкГ ' 25,88 мкФ ! 969бОмкГ ; 96,60мкф ; 25,88 МкГ б + Я..-/0 кОм Увх 2,5ввнФ 1«* CJ707/ Г $ 8,660нФ ; 0,9560 Г \ 7Р7!нФ 7 0,2588 Г ч 10 кОм 1 + б Рис. 8.39. Решение примера 8.17. зволяет повысить сопротивление этой величины до требуемого значения 10 кОм. Результирующая схема показана на рис. 8.39, в. Как можно показать, функция передачи схемы рис. 8 39, в определяется выражением (8.184). Со- вершенно ясно, что схема рис. 8 39, в является желаемым результатом. Пример 8.18. Предположим, что нам необходим фильтр нижних частот, удовлетворяющий условиям а), б) и в) примера 8.17. Найти реализацию Чебышева с сопротивлением резистора в цепи источника Rs, равным 1 кОм. Решение. Применительно к нормированному фильтру нижних частот Че- бышева условие б) просто означает, что неравномерность передачи в полосе пропускания составляет 0,1 дБ. Следовательно, Дмакс = 0,1 дБ, и в соответ- ствии с (8.71) е = 0,1526. Поскольку коэффициент передачи фильтра Чебы- шева монотонно убывает в полосе задерживания, условие в) требует выбора такого целого числа п, которое будет удовлетворять неравенству - 10 log ___________1__________ 1 + (0,1526)2Т2 (2,5) (8.185) где Тл((о) представляет собой полином Чебышева п-го порядка. Вычисление значения выражения (8.185) в общем случае является трудоемкой операцией. К счастью, в литературе опубликованы таблицы и графики, подобные графи- кам на рис. 8.15. Так, для случая неравномерности затухания 0,1 дБ рис. 8.15, а Дает п = 5, что позволяет удовлетворять условию (8 185). Следовательно, за- данные технические характеристики требуют использования фильтра Чебыше-
282 8. Аппроксимация характеристики фильтра + Rs = Юм 1,3712 Г - 1,3712 Г Vex' : 1,14бвФ • : 1,9750 е? : 11,1568е? 10м\ VBb!X 68,5бмкГ б 68,56мкГ 57,35мкФ ; -,98,75мкФ + ^вых Rs * I кОм 67,35нФ 66,56 мГ 98,75 нФ 66,56м Г 57,34н‘Р Ж 6 Рис. 8.40. Решение примера 8 18. ва пятого порядка. Обратившись к табл. 8,2, получим НЧ-прототип, схема которого изображена на рис 8 40, а. Чтобы перейти к частоте среза, равной 20 крад/с, выполним преобразование элементов схемы 8 40, а, в результате чего схема превращается в схему 8.40, б. И наконец, в схеме рис. 8.40, б про- изводится денормирование по сопротивлению, что позволяет получить конеч- ный результат — схему рис. 8 40, в. Схема 8.40, в удовлетворяет всем требова- ниям к фильтрации. Обратите внимание на то, что фильтр Чебышева пятого порядка может выполнять те же функции, что и фильтр Баттерворта ше- • стого порядка, о чем свидетельствуют примеры 8.17 и 8.18. 8.5. Всепропускающие фильтры Как было показано на рис. 8.2, одной из особенностей иде- альной частотной характеристики является наличие линейно- изменяющейся фазы и постоянство группового времени замед- ления в пределах полосы пропускания. Когда мы проектируем фильтр по амплитудно-частотной характеристике, то мы вводим искажения функции группового времени у краев полосы. Чтобы устранить эти искажения, необходимы фазовые корректоры. Наиболее распространенными фазовыми корректорами явля- ются всепропускающие (фазовые) фильтры.
8. Аппроксимация характеристики фильтра 283 Передаточная функция всепропускающего фильтра опреде- ляется следующим выражением: H(s) = p(— s)/p(s), (8.186) где p(s) является полиномом Гурвица. Если учесть выражение (8.186), то передаточная функция всепропускающего фильтра обладает следующими свойствами: 1. Для всех со имеем |Я(/со)р=1. (8.187) 4 Выражение (8.186) называется поэтому всепропускающей пе- редаточной функцией. 2. Если Sk является полюсом H(s), то —s* является нулем H(s). Поскольку все полюсы H(s) лежат в левой s-полуплоско- сти, все нули H(s) находятся в правой s-полуплоскости. Следо- вательно, передаточная функция всепропускающего фильтра не является минимально-фазовой функцией. 3. Фазовый угол ср (со) А— /H(ja>) передаточной функции всепропускающего фильтра определяется следующим выра- жением: ср (со) = 2/р (/и). (8.188) 4. За исключением точек разрыва, функция ср (со) является монотонно возрастающей функцией со. Рассмотрим передаточную функцию всепропускающего филь- тра первого порядка Z/1(s) = (_s + a)/(s + a), (8.189) где а — вещественно положительное число. Фазовая функция и функция группового времени определяются соответственно сле- дующими выражениями: <р (со) = 2 ctg (co/а) и (8.190а) <8-|Мб> Обратите внимание на то, что из выражения (8.190) вытекает ср (0) = 0 и (8.191а) <р(оо) = л. (8.1916) Поскольку т(со) представляет собой производную от ср (со), мы можем записать О ср (со) = т (со') с/со'. (8.192) oJ
284 8. Аппроксимация характеристики фильтра Таким образом, площадь под кривой т(ю), характеризуемой вы- ражением (8.1906) для 0 < со < оо, определяется как <р(оо) — <р(0) = л. (8.193) Аналогично площадь под кривой т(со) для 0 < со < оо равна ил, где п является степенью p(s) в выражении (8.186). Если некоторая функция группового времени т(со) определена от 0 до заданной частоты сод рад/с, то можно рассчитать область т(<о)(/сй и определить приблизительно минимальную степень о п, которая требуется для получения необходимой передаточной функции всепропускающего фильтра. Пассивная реализация передаточной функции по направлению всепропускающего фильтра, полученная в виде схемы с лестничной конфигурацией, описывается в разд. 7.2. ЛИТЕРАТУРА 1. Guillemin Е. A., Synthesis of Passive Networks, New York, Wiley, 1957. 2. Weinberg L., Network Analysis and Synthesis, Huntington, N. Y., R. E. Krie- ger, 1975. 3. Humphreys D. S., The Analysis, Design, and Synthesis of Electrical Filters, Englewood Cliffs, N. Y, Prentice-Hall, Inc., 1970. 4. Christian E., Eisenmann E., Filter Design, New York, Wiley, 1967. 5. Sverev A. I., Handbook of Filter Design, New York, Wiley, 1967. 6. Oppenheim A. V., Schafer R. W., Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N. J., Prentice-Hall, Inc. 1975. 7. Rabiner L. R., Gold B., Theory and Application of Digital Signal Processing, Englewood Cliffs, N J, Prentice-Hall, Inc., 1975. 8. Kawakami К, Nomographs for Butterworth and Chebyshev Filters, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-10, 288—289 (1963). 9. Johnson D.E., Introduction to Filter Theory, Englewood Cliffs, N. J., Pren- tice-Hall., Inc., 1976. 10. Daniels R. W., Approximation Methods for Electronic Filter Design, New York, McGraw-Hill, 1974 11. Krall H. L., Frink O. A New Class of Orthogonal Polynomials, The Bessel • Polynomials, Trans. Amer Math Soc., 65, 100—115 (1949). 12. Thomson W. E , Delay Network Having Maximally Flat Frequency Characte- ristics, Proc. I EE, 96, 487—490 (pt. 3. 1946). 13. Storch L., Synthesis of Constant-Time Delay Ladder Network Using Bessel Polymomials, Proc. IRE, 42, 1666—1675 (1954). 14. Szetirmay G., The Design of Arithmetically Symmetrical Band Pass Filter, IEEE Trans. Circuit Theory, CT-10, 367—375 (1963). ПРИЛОЖЕНИЕ В этом приложении приведены таблицы параметров филь- тров Баттерворта и Чебышева1)- Каждая таблица состоит из *) Некоторые таблицы в этом приложении любезно предоставлены Л. Уэйнбергом (L. Weinberg), Network Analysis and Synthesis, R. E. Krieger Publishing Co., 1975.
Таблица П8.1 Нормированные фильтры нижних частот Баттерворта & Координаты полюет Порядок п pi,я до.я-1 1 2 3 5 6 7 8 9 б Полиномы. Порядок п — 1,00000000 —0,70710678 ±/0,70710678 —0,50000000 ± j 0,86602540 -1,00000000 —0,38268343 ±у0,92387953 -0,92387953 ±/0,38268343 —0,30901699 ±>0,95105652 -0,80901699 ±>0,58778525 -1,00000000 —0,25881905 ±>0,96592583 -0,70710678 ±70,70710678 -0,96592583 ±>0,25881905 ' —0,22252093 ±>0,97492791 , -0,62348980 ±/0,78183148 —0,90096887 ±/0,43388374 -1,00000000 -0,19509032 ±/0,98078528 *-0,55557023 ±>0,83146961 -0,83146961 ±/0,55557023 -0,98078528 ±/0,1950903Z -0,17364818 ±/0,98480775 -0,50000000 ±/0,86602540 -0,76604444 ±/0,64278761 -0,93969262 ±/0,34202014 —1,00000000 знаменателя В(з) » г» + b„-i**-* + Ь»-гг"-в + ... + bo Ьо б» bi by bt b* bi bi bi 1 1,00000000 2 1,00000000 1,41421356 3 1,00000000 2,00000000 2,00000000 4 1,00000000 2,61312593 3,41421356 2,61312593 5 1,00000000 3,23606798 5,23606798 5,23606798 3,23606798 6 1,00000000 3,86370331 7,46410162 9,14162017 7,46410162 7 1,00000000 4,49395921 10,09783468 14,59179389 14,59179389 8 1,00000000 5,12583090 13,13707118 21,84615097 25,68835593 9 1,00000000 5,75877048 16,58171874 31,16343748 41^8638573 б Сомножители/юлинамалнамена-в^) - Л1(*)Л(г) Л(г) А(г)Л(г) Порядок п B(j) теля 3,86370331 10,09783468 21,84615097 41^8638573 4,49395921 13,13707118 31,16343748 5,12583090 16^8171874 5/75877048 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (s +1) (*« + 1,41421356г + 1) (*’ + * + 1) (f + 1) (j’+ 0,76536686г ± 1) (г1 + 1,84775907г + 1) (г» + 0,61803399г + 1) (г« + 1,61803399г +1) (г + 1) (г’ + О,517638О9г +1) <г« + 1,41421356г + 1) (г1 + 1,93185165г + 1) (г« + 0,44504187г+*1) (г» + 1,24697960г + 1) (г* + 1,80193774* + 1) (г ± 1) (г« + 0,39018064г + 1) (г« + 1,11114047г + 1) (г’+ 1,66293922г + 1) (г« + 1,96157056г + 1) (*’ + 0,34729636г ±1) (г* + г + 1) (г> + 1,53208889г ±1) (*» + 1,87938524г +1) (г + 1)
Таблица П8.2 Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,1 дБ а Координаты полюсов Порядок 71 pi,w ря.п-t Р<,*-я 1» 1 —6,55220322 2 —1,18617812 ±/1,38094842 .3 —0,48470285 ±/1,2061552» —1^96940571 4 —0,26415637 ±/1,12260981 —0,63372988 ±/0,46500021 5 —0,16653368 ±/1,08037201 —0,43599085 ±/0^66770662 —0,53891432 6 —0,11469337 ±/1,05651891 —0,31334811 ±/0,77342552 -0,42804148 ±/0Д8309339 7 —0,08384097 ±/1,04183333 —0,23491716 ±/0,83548546 -0,33946514 ±/0,46365945 —0,37677788 8 —0,06398012 ±/1,03218136 —0,18219998 ±/0,87504111 —0,27268154 ±/0,58468377 -0,32164981 ±/0,20531364 9 —0,05043805 ±/1,02550963 -0,14523059 ±/0^0181804 -0,22250617 ±/0,66935388 -0,27294423 ±/0,35615576 —0^9046118 8Полиномы знаменателя В(я) = »« ± б».»»»-’ + ±.., ± Ь» Порядок 71 Ьо bi bt Вз bt bs bs bi bs 1 €,55220322 2 Зр 1403708 2,37235625 1,938811'42 3 3,63805080 2,62949486 4 0,82850927 2,02550052 2,62679762 1,80377250 5 0,40951270 1,43555791 2,39695895 2,77070415 1,74396339 6 0^20712732 0,90176006 2,04784060 2,77905025 2,96575608 1,71216592 7 «,10237818 0,56178554 1,48293374 2,70514436 3,16924598 3,18350446 1,69322441 В 0,05178183 0^32643144 1,06662645 2,15924064 3,41845152 3,56476973 3,41291899 1,68102289 9 0,02559454 0,19176027 0,6№Ы23 1,73411961 23338729$ 4,19)61066 X96384487 3^64896144 1,6726992» ^Сомножители полинома энамена-вф м £,(») В^Ку Bz(r) B<(s)BsCsf Порядок п Ж.г) теля t V ±6,55220322) 2 <j» ± 2,372356251 ± 3,"314O3708), 3 <s’ ± 0,96940571» ± 1,68974743) (f ± 0,96940571) 4 (s’±0,52831273» ± 1,33003138) O' + 1,27545977» ± 0,62292460) 5 (s’± 0,33306737» ± 1,19493715) (»* ± 0,87198169» ± 0,63592015) (» ± 0,53891432) 6 O’±032938674» ± 1,12938678) (s’ ± 0,62669622» ± 0,69637408) (»’± 0,85608296» ± 0,26336138) 7 O’ ± 0,16768193» ± 1,09244600) O’ ± 0,46983433» ± 0,75322204) (s’ ± 0,67893028» ± 0,33021667) О ± 0,37677788) 8 O’± 0,12796025» ± 1,06949182) (»’ ± 0,36439996» ± 0,79889377) O’ ± 0,54536308» ± 0,41621034) (s’± 0,64329961» ± 0,14561229) 9 O’ ± 0,10087611» ± 1,05421400 O’± 0,29046118» ± 0,83436770) O* ± 0,44501235» ± 0,49754361) (s’± 0,54588846» + 0,20134548) (» ± 0,290461/8)
Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,2 дЦ G Координаты полюсов Порядок п pi.n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4,60636099 0,96354254 ±/1,19516283 0,40731707 ±>1,11701458 0,22481072 ± j 1,0715О42Т 0,14258371 ±/1,04741496 0,09852431 ±/1,03354455 0,07216630 ± / 1,02491707 0,05514327 ±/1,01921190 •0,04351082 ±/1,01525261 —0,81463413 -0,54274109 ±/0,44383158 -0,37328900 ±/0,64733805 -0,26917343 ±/0,75660712 -0,20220548 ±/0,82191968 -0,15703476 ±/0,86404612 -0,12528442 ±/0,89279816 5Полиномы знаменателя = Р + An-is”'1 + 6n-w"’2 3 4 5 6 7 8 9 ± ... ± Л> Порядок п bi bt Ьз —0,46141058 -0,36769774 ±/0^7693745 —0,29219539 ±/0,45612101 —0,23501912 ±/0,57733716 —0,19194687 ±/0,66265908 —0^32431242 -0,27722396 ±/0,20273385 -0^23545769 ±/0^5259353 —0,25056884 1 4,60636099 2 2,35682846 1,92708508 3 1,15159025 2,07725754 1,62926827 4 0,58920712 1,52213870 2,17827157 1,53510363 5 0^8789756 1,08234729 1,86493313 2,36475740 1,49315599 6 0,14730178 0,66110783 1,60289922 2,20817385 2,58161304 1,47079097 7 0,07197439 0,41573867 1,11759023 2,17449134 2,55386738 2,81207554 1,45744677 8 0,03682544 023654244 0,81273392 1,65937609 2,80404721 2,90162138 3,04957189 1,44884222 9 0,01799360 0,14052449 0,51438217 1,35164765 2^28779160 3/9411391 3/509J261 3,29107898 1,44296846 С Сомножители полинома знамена- B(s) = Bi(s) Bz(s') BiCi) Вз(& ОД;) Порядок п ^(,) теля 1 ($ ± 4,60636099) 2 ($* ± 1,92708508$ ± 2,35682846) 3 ($г ± 0,81463413$ ± 1,41362877) ($ ± 0,81463413) 4 ($« ± 0,44962144$ ± 1,19866114) ($2 ± 1,08548218$ ± 0,49155436) 5 ($*± 0,28516742$ ± 1,11740822) ($2 ± 0,74657799$ ± 0,55839122) ($±0,46141058) 6 ($« ± 0,19704863$ ± 1,07792137) ($2 ± 0,53834686$ ± 0,64490867) ($« ± 0,73539548$ ± 0,21189597) 7 ($’ ± 0,14433260? ± 1,05566298) ($г ± 0,40441097$ ± 0,71643901) ($« ± 0,58439078$ ± 0,29343364) ($±0,32431242) 8 ($« ± 0,11028655$ ± 1,04183367) ($г ± 0,31406951$ ± 0,77123562) ($« ± 0,47003824$ ± 0,38855219) ($* ± 0,55444791 $ ± 0,11795414) 9 ($» ± 0,08702165$ ± 1,03263106) ($2 ± 0,25056884$ ± 0,81278475) ($2 ± 0,38389374$ ± 0,47596066) ($2 ± 0,47091539$ ± 0,17976252) ($ ± 0,25056884)
Таблица ТТ8.4 Нормированные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе пропускания 0,3 дБ £1 Координат Порядок я w полюсов jn.—i 1 « П Ч *1 * г* * •» —3,73928318 —0,84715549 ±/1,ГОЭ48Г95 —0,36463866 ± J1,07186009 —0,20259811 ±/1,04536452 —0,12889998 ±/1,03048045 —0,08922267 ±/ 1,02170971 —0,06542149 ±/1,01618962 —0,05002353 ±/1,01231401 —0/13948957 ±/1,0099518» -0,72927732 -0,489115» ±/0,43300416 -0^3746452 ±/0,63687195 —0,24376086 ±/0,74794342 —0,18330693 ±/О,ОМ9208О -0,14245497 ±/0,85836793. -0,11370569 ±/0,88813679 -0,44712909 —0,33298353 ±/0,273766» —0,26488619 ±/0,45224693 -0,21319892 ±/0,57354341 —0,17420723 ±/0,65919928 -0,29400149 —0,25148528 ±/0,20140156 —0,21369680 ±/0,35075261 -одгмизк ЛПолиновК/ знаметипеля В(А — » +О»-!»*'1 + . + Ы Порядок з» Ъь >1 Ь 6» Ы 8» Ь» 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3,73928318 1,93534485 0,93482080 0,48383621 . 0,23370520 0,12095905 0,05842630 0/13023976 0,01460657 1,69431098 1,81369083 1,28205748 0,91976859 0,54930774 0,34948247 0,19528137 0,11745564 1,45855465 1,95693432 1,60098707 1,39260036 0,94285544. 0,69512887 0,42993878 V 1,3834264! 2,16105841 1,91754434 1/>1929792 1,41506833 1,17175288 1,34985808 238702424 2^23477563 23О4981ЭО 1,96663611 133193411 2,62282530 235297778 3,15157757 1,32123072 2JB6372563 2^87202098 1,31432540 3,10753913 1,30960997 б СоммЫЛем тттама зяамею-ЖА — ВМ ВМ ВМ ВМ ВМ Порядок Л(«) тмя м 1 О + 3,73928318) 2 0» + 1^9431098/ + 1,93534485) 3 + 0,72927732» + 1,28184542) (, + в,72927732) 4 0» + в,40519622» + 1,13383296) (»• + 0,98723020» + 0,426726(81 5 (»*+0,25779995» + 1,07850517) <»* +0,67492904»+ 0^51948818) (я + 0,41712909) (»« + 0,17844533» + 1,05185142) (»• + 0,48752172» + 0^1883871) (»• + 0,66596706» + 0,18582601) 7 (»* +0,13084297» + 1,03692131) («*+0,36661387» + 0,69769735) («• + ОД2977239» + 0Д7469198) (» + 0,29400149) 8 (s* + 0,10004706» + 1,02768697) (»• + 0,28490993» + ОД57О8892) (»• + 0,42639785» + 0,37440548) (»* + 0,50297056» + 0,10380743) 9 «’ +0,07897914»+ 1,02156225) («• + 0,227411381 + 0,80171594) (»• + 0,34841445» + 0,46489185) (»«+0,42739360» + 0,16869372) (» + 0,22741138)
Таблица П8.5 Ji обминов энные фильтры нижних частот Чебышева с неравномерностью передачи в полосе ппопускания 0,5 дБ Q Координаты полюсов Порядок n pi.„ P3,n i Pi, n-3 1 2 3 4 5 6 8 9 —2,86277516 —0,71281226 ± J1,00404249 —0,31322821 ±у1,02192749 -0,17535307 ±>1,01625289 —0,11196292 ±71,01155737 -0,07765003 ± 71,00846085 —0,05700319 ±71,00640854 — 0,04362008 ± 71.00500207 -0,03445272 ±/1,00400397 -0,526-^649 -0,42333976 ± 70,42094573 —0,29312273 ±,0,62517684 —0,212143с»5 ±/0,73824458 — 0,15971929 ±/0.80707698 -0,12421947 ±70,85199961 —0,09920264 ±70,38290628 -0,36231962 -0,28979403 ±J0,27021627 -0,23030120 ±7’0,44789394 - 0,25617001 -0,18590757 ± у 0,56928794 - 0,21929293 ± y’0,19990734 —0,15193727 ±yO,655317OS -0,18643993 ±y’0,34868692 -0,19840529 5Полиномы знаменателя Порядок 7i bo 3(5) = J" + bi bn-is*1'1 + Ля-u"-2 + ... + ba Ьз Ьз bi bs be bi be 1 2 3 4 5 б 7 8 9 2,86277516 1,51620^63 0,71569379 0,37905066 0,17892345 0,09476266 0,04473086 0,02369067 0,01118272 1,24562451 1,53489546 1,02545528 0,75251811 0,43236692 0,28207223 0,15254444 0.09411978 1,25291297 1,71686621 1,30957474 1,17186133 0,75565110 0,57356040 0,34081930 1,19738566 1,93736749 1,58976350 : 1,64790293 1,14858937 0,98361983 1,17249093 2,17184462 1,86940791 2,18401538 1,61138805 1,15917611 2,41255096 2,14921726 2,78149904 1,13121758 2,65674981 2,42932969 1,14608011 2,90273369 1,14257051 и Сам ^жители полинома Порядок п B(s) ' зни/ме- В(з) = нателя = Bi(s) A(s) B3(s) B4(s) Bs(s) 1 (s + 2,86277516) 2 (s3 + 1,42562451s ± 1,51620263) 3 (s’ + 0,62 45649s + 1,14244773) (s +0,62645649) 4 (s’+ 0,35070614s + 1,06351864) (s’+ O,84667952s + 0,35641186) 5 (s’ + O,22392584s + 1,03578401) (s’ + 0,58624547s + 0,47676701) (s + 0,36231952) 6 (s’ + 0,15530015s + 1,02302281) (s’ +