Беспилотные летательные аппараты: нагрузки и нагрев - Погорелов В.И.

Author: Погорелов В.И.

Tags: военная и военно-морская авиация маскировка воздушный транспорт авиация и воздушные соединения воздушные линии и аэропорты авиация летательные аппараты беспилотные летательные аппараты учебное пособие

ISBN: 978-5-534-10061-7

Year: 2020

Similar

Основы теплопередачи в авиационной и ракетно-космической технике

Русская центральная ракета

Жидкостные ракетные двигатели малой тяги

Аэродинамика ракет. Книга 1. Введение в аэродинамику ракет

Text

В. И.Погорелов

БЕСПИЛОТНЫЕ
ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ:
НАГРУЗКИ И НАГРЕВ

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СПО

2-е издание, исправленное и дополненное

Рекомендовано Учебно-методическим отделом среднего профессионального
образования в качествеучебного пособия для студентов образовательныхучреждений
среднего профессионального образования

Книга доступна
на образовательной платформе «Юрайт» urait.ru

Москва ■ Юрайт ■ 2020

УДК 623.746.4-519(075.32)
ББК 39.52я723
П43

Автор:
Погорелов Виктор Иванович — профессор, доктор технических наук, профессор кафедры ракетостроения факультета ракетно-космической техники
Балтийского государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» имени
Д. Ф. Устинова.

Рецензенты:

Марченко Б. И. — доктор технических наук, профессор Военно-морской академии имени Адмирала Н. Г. Кузнецова;
Санников В. А. — доктор технических наук, профессор Балтийского государственного технического университета «ВОЕНМЕХ» имени Д. Ф. Устинова.
Погорелов, В. И.

П43

Беспилотные летательные аппараты: нагрузки и нагрев : учебное пособие для
среднего профессионального образования / В. И. Погорелов. — 2-е изд., испр. и
доп. — Москва : Издательство Юрайт, 2020. — 191 с. — (Профессиональное
образование). — Текст : непосредственный.
ISBN 978-5-534-10061-7

В настоящем пособии излагаются основные методы расчета статических,
динамических и тепловых нагрузок, действующих на корпус летательного аппарата. Главное внимание уделяется практическим приложениям, для которых приводятся хорошо зарекомендовавшие себя расчетные соотношения, удобные в проектных расчетах.

Материал учебного пособия охватывает широкий круг вопросов, связанных
с определением силовых и тепловых нагрузок, действующих на корпус беспилотного летательного аппарата.

Соответствует актуальным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и профессиональным требованиям.
Учебное пособие предназначено студентам, образовательныхучреждений среднего профессионального образования, преподавателям и специалистам, а также
всем интересующимся.

УДК 623.746.4-519(075.32)
ББК 39.52я723

Все права защищены. Никакая часть данной книги не может быть воспроизведена
в какой бы то ни было форме без письменного разрешения владельцев авторских прав.

ISBN 978-5-534-10061-7

Содержание
Предисловие

1. Место и роль расчетов на прочность в общей задаче
проектирования ЛА

1.1. Связь с другими дисциплинами
1.2. Проектировочный и проверочный расчеты на прочность
1.3. Нормы прочности

9
12

1.4. Коэффициенты безопасности и запаса прочности
1.5. Расчетный случай
1.6. Классификация нагрузок
1.7. Расчет нагрузок на основе методов теории случайных функций

15
18
20
21

2. Массовые нагрузки
2.1. Силы инерции. Перегрузки
2.2. Перегрузки в связанной системе координат

24
24
25

2.3. Учет вращения ракеты при определении коэффициента перегрузки...28
2.4. Применение коэффициента перегрузки для составления
уравнения равновесия части ракеты

2.5. Уравнения равновесия бака, вложенного в корпус
2.6. Распределенные массовые нагрузки

3. Сосредоточенные силы

30
33

3.1. Тяга двигательной установки

3.2. Тяга конического сопла

3.3. Расчет тяги с отрывом потока в сопле
ЗА Реакции в узлах крепления грузов

40
43

4. Аэродинамические нагрузки
4.1. Погонная нагрузка

45
45

4.2. Аналитические соотношения для расчета аэродинамического
давления

4.3. Расчет осевой погонной нагрузки по известному
аэродинамическому коэффициенту
4.4. Расчет поперечной погонной нагрузки по известному
коэффициенту подъемной силы
4.5. Учет воздействия ветра при определении аэродинамических
нагрузок

5. Газодинамические нагрузки
5.1. Газодинамическая картина течения в струе
5.2. Геометрические размеры струи при истечении в неподвижную среду

56
58
60

64
64
69
3

5.3. Параметры струи на начальном участке
5.4. Геометрия недорасширенной струи в спутном потоке

72
79

5.5. Минимально допустимое расстояние между соплом и сферой

5.6. Схема Ньютона

5.7. Расчет давления при взаимодействии струи с корпусом

5.8. Донное давление многосопловой компоновки

6. Разделение ступеней
6.1. Схемы разделения ступеней
6.2. Давление в переходном отсеке при горячем разделении ступеней
6.3. Давление между головным отсеком и отделяемой ступенью

7. Осевые внутренние усилия в корпусе

97
97
100
105

108

7.1. Ракета на жидком топливе

108

7.2. Ракета на твердом топливе
7.3. Крылатая ракета со стартовым ускорителем
7.4. Определение расчетных случаев по осевой силе для БР

114
117
118

8. Перерезывающие силы и изгибающие моменты
8.1. Баллистическая ракета на жидком топливе
8.2. Ракета на твердом топливе
8.3. Перерезывающие силы и моменты маршевой ступени крылатой
ракеты
8.4. Правила построения эпюр по характерным точкам

9. Нагрузки, действующие на ракету при старте
9.1. Наземный старт
9.2. Нагрузки в период подготовки старта
9.3. Расчет нагрузок при опрокидывании ракеты
9.4. Нагрузки при старте из шахты или контейнера

124
125
130
131

136

137
137
138
140
142

10. Нагрузки при наземной эксплуатации

144

10.1. Подъем ракеты на пусковой стол
10.2. Транспортировка по железной дороге
10.3. Транспортировка по дороге

144
146
148

11. Ударное нагружение корпуса
11.1. Физические процессы в атмосфере при ядерном взрыве

150
150

11.2. Нагрузки на ракету в шахте при ядерном взрыве

152

12. Динамические нагрузки
12.1. Модель ракеты для расчета поперечных колебаний
12.2. Модель ракеты для расчета продольных колебаний

154
155
160

13. Нагрев корпуса в полете

164

13.1. Виды теплообмена

164

13.2. Связь между теплопередачей и трением
13.3. Аэродинамический нагрев на траектории

170
175

13.4. Распределение тепловых потоков вдоль образующей

177

13.5. Тепловые потоки в характерных точках

178

13.6. Расчет тепловых потоков к стенкам двигателя твердого топлива
183
13.7. Тепловое воздействие сверхзвуковой струи ракетного двигателя ....185

Библиографический список

188

Новые издания по дисциплине «Летательные аппараты»
и смежным дисциплинам

191

Предисловие
Одним из важнейших этапов проектирования беспилотного летательного аппарата (БПЛА) является расчет нагрузок, так как без них невозможно рассчитать его корпус и составные части на прочность, жест-

кость, устойчивость и назначить основные конструктивные размеры.
Сложность расчета БПЛА связана с тем, что из-за разнообразия
режимов и условий эксплуатации нагрузки и нагрев имеют различную
физическую природу, а следовательно, и собственные методы расчета,
которые во многих случаях не имеют между собой ничего общего,
но должны быть объединены в единую расчетную схему.
Для определения нагрузок необходимы сведения из таких дисциплин, как аэродинамика, газовая динамика, динамика полета, термодинамика и теплопередача, строительная механика и теория упругости.

Кроме того, появляются трудности, связанные со стыковкой различных
методов расчета.

В настоящем пособии излагаются основные методы расчета статических, динамических и тепловых нагрузок, действующих на корпус летательного аппарата (ЛА). Главное внимание уделяется практическим
приложениям, для которых приводятся хорошо зарекомендовавшие

себя расчетные соотношения, удобные в проектных расчетах.
В первых шести разделах подробно излагаются методы расчета
статических нагрузок: массовых нагрузок и сосредоточенных сил,

аэродинамических и газодинамических нагрузок от струй ракетных
двигателей. Подробно рассматривается применение коэффициентов
перегрузки для составления уравнений равновесия части ЛА. а также
расчет структуры и газодинамических параметров струй ракетных двигателей, необходимых при определении нагрузок на корпус и при горячем разделении ступеней.
В седьмом разделе рассматриваются методы расчета осевых внутрен-

них усилий в корпусе баллистической и крылатой ракеты на жидком
и твердом топливе, порядок определения расчетного случая в типовых

сечениях корпуса баллистической ракеты на жидком топливе с учетом
изменения массы топлива в ее баках.

В восьмом разделе излагаются порядок расчета и правила построе-

ния эпюр перерезывающих сил и изгибающих моментов в поперечных
сечениях корпуса баллистической и крылатой ракеты.
В девятом и десятом разделах на примере баллистической ракеты
излагаются особенности расчета нагрузок, действующих на ЛА в процессе предстартовой подготовки, при старте и наземной эксплуатации.
7

Одиннадцатый и двенадцатый разделы посвящены динамическим
нагрузкам, тринадцатый — нагреву корпуса ЛА в полете. Рассматриваются особенности расчета тепловых потоков с учетом конвективной
и лучистой составляющей при аэродинамическом нагреве баллистической ракеты, движущейся по траектории, приводятся расчетные соотношения для определения конвективных тепловых потоков к стенкам

двигателя твердого топлива. Раздел завершается методикой расчета
тепловых потоков к корпусу ракеты от сверхзвуковой струи ракетного
двигателя.

Материал учебного пособия охватывает широкий круг вопросов,
связанных с определением силовых и тепловых нагрузок, действующих на корпус БПЛА. Поэтому вне зависимости от того, используется

оно в учебном процессе полностью или только его отдельные разделы,
обучаемые получат специальные знания в рассматриваемой области,
а обширный библиографический список позволит расширить и углубить эти знания.

В результате изучения материалов пособия студент должен освоить:
трудовые действия
• владения методами анализа нарушения работоспособности летательных аппаратов и их силовых установок, поиска причин отказов их

и разработки мер по их устранению и предупреждению;
• методами оценки изменения основных данных летательных аппа-

ратов и авиадвигателей и их элементов в процессе длительной эксплуатации по результатам современных средств регистрации и обработки
полетной информации и по результатам наземных испытаний;
• методами расчета и построения контрольно-записывающей аппараты для регистрации параметров рабочего процесса авиадвигателей
и оценки их основных технико-экономических показателей;
необходимые умения
• анализировать особенности конструкции летательных аппаратов;
• проводить расчет основных систем летательных аппаратов, место
и назначение основных электромеханических и электрогидравлических агрегатов в этих системах;

необходимые знания

• основ газовой динамики и аэродинамики летательных аппаратов;
• принципов возникновения аэродинамических сил и моментов
и основных аэродинамических характеристик крыла и самолета;

• основных эксплуатационных ограничений режимов полета;
• основ условий эксплуатации и нагружения конструкций летательных аппаратов.

Автор надеется, что совокупность знаний, полученных в результате
изучения материала учебного пособия, а также овладение расчетными
методами, изложенными в нем, позволят читателю суметь применить

их для расчета нагрузок, действующих на конкретную проектируемую
конструкцию ракеты или другого беспилотного летательного аппарата.

1. Место и роль расчетов на прочность
в общей задаче проектирования ЛА
1.1. Связь с другими дисциплинами
Расчет на прочность невозможен без знания нагрузок, а во многих
случаях и нагрева конструкции. Причем их расчет не менее сложен,
чем расчет на прочность. Именно через внешние нагрузки осуществляется взаимосвязь расчетов на прочность с другими инженерными

дисциплинами. Эта междисциплинарная связь хорошо прослеживается
на схеме, изображенной на рис. 1.1.

После проектирования облика ракеты известны конфигурация,
габаритные размеры и массы основных ее частей и отсеков. На рисунке
этот этап проектирования отмечен цифрой 1. Далее переходят к расчету
траектории движения — этап 2, анализу внешнего аэродинамического
и внутреннего газодинамического течений — 3, расчету нагрева конструкции — 4, расчету аэродинамических характеристик ракеты — 5
и наконец, расчету конструкции на прочность и устойчивость — 6.
3
Расчет поля течения

в каждый момент
1

Форма ЛА

Траектория
—>

времени

,HV

5
>

•

Аэродинами-

Расчет

ческий коэффициент

нагрева

с'\л V
£——т

Е-—а

' ι

Расчет на "точность

Рис. 7.7

На приведенной схеме хорошо видно, что между различными дисциплинами отсутствует последовательная связь, отсутствуют этапы, сле-

дующие один за другим, и фактически для получения окончательной
9

конструкции приходится многократно повторять одни и те же шаги,

организуя итерационный процесс.
Схему этого процесса, на которой, в отличие от приведенной
на рис. 1.1, указаны моменты принятия решений, можно проследить
на рис. 1.2. На ней также хорошо прослеживаются этапы проектирования, на которых применяются проверочный и проектировочный расчеты. Из схемы очевидно, что проверочный расчет является последним
этапом проектирования конструкции и может иногда не включаться

в итерационный процесс, так как эти расчеты в большинстве случаев
настолько сложны и трудоемки, что включать их в итерации не имеет
смысла.

Аэродина-

Прототип
■*■
конструкции >и

Расчет

мический

расчет

Тяга

конструкции
1

Минимизация

Масса

нагрузок

1
Аэроупругость

Принятие реше ния о перепрое

Нет

/ Оптималь- \

Оптимиз ация

ционные

тировании

/нылиэксплуата- \

Дисплей

|Да
Проверочный

1
Целевая
установка

IVJJ-1СЦ

расчет

Рис. 1.2

Описанный итерационный процесс, включающий в себя расчеты
на прочность, более детально можно проследить на примере конкретного элемента конструкции ракеты — соплового блока двигателя
на твердом топливе. Схема основных этапов его проектирования может

быть представлена в виде рис. 1.3.
Обычно основные характеристики сопла известны после общего
проектирования двигателя ракеты и вместе с требованиями и ограничениями, поставленными заказчиком, служат отправной точкой для
начала проектирования.

Сначала проводится газодинамический расчет сопла, когда определяются площади проходных сечений и его геометрический контур.
Сопло разбивается на три участка: дозвуковой, область критического
сечения и сверхзвуковой. Каждый из участков профилируется в соответствии с имеющимися рекомендациями и методами расчета. Широко
используются нормативные материалы, графики и таблицы.
10

Результаты проектирования РДТТ
>'

Анализ конструкции

Требования и ограниче-

и выбор схемы

ния заказчика

Требования к конструкции
и ограничения

Газодинамический

Проектирование ТЗП
>

расчет

Проектировочный

Термогазодинамиче-

расчет на прочность

ский расчет
>'

Расчет размеров,

Проверочный

массы и т. п.

расчет на прочность

■

■'

Изготовление

Уточнение

И]-1СПЬ 1тания

конструкции

Рис. 1.3

После определения контура сопла начинается проектирование теплозащиты. На первой итерации толщина покрытия и эрозионностойких
вкладышей выбирается на основе существующего опыта и рекомендаций. При этом внутренний контур ТЗП должен соответствовать ранее
полученному контуру сопла.

Теперь можно приступить к проектированию силовой конструкции, полагая на первой итерации, что все нагрузки воспринимаются
силовыми элементами, а ТЗП защищает их от нагрева, не воспринимая
нагрузки. Размеры силовых элементов устанавливают на основе накопленного опыта и простейших расчетов на прочность.
По завершении проектирования силовой конструкции первый
вариант сопла создан и можно перейти к его уточнению с помощью
проверочных расчетов и полномасштабных испытаний. Прежде всего
проводится термогазодинамический расчет, в результате которого
определяется поле течения в сопле с целью уточнить силовые и тепло-

вые нагрузки, действующие на сопло. Одновременно вычисляют тяговые характеристики сопла.

На этом же этапе могут проводиться полномасштабные огневые
испытания, которые позволяют оценить работоспособность конструкции и правильность выбора материалов. При неудовлетворительных
11

результатах необходимо сделать внутреннюю итерацию и вернуться
к газодинамическому расчету, т. е. рассмотреть возможность измене-

ния профиля сопла, его теплозащиты и силовой конструкции.
После термогазодинамического расчета наступает этап проверочных
прочностных расчетов, когда определяется распределение напряжений
в силовой конструкции, возникающих от внутреннего давления, трения и системы управления вектором тяги. Здесь же вычисляют деформации и перемещения вследствие перепада температур и воздействия
силовых нагрузок. Расчет проводится по наиболее точным и хорошо
зарекомендовавшим себя математическим моделям, таким, например,
как метод конечного элемента.

Если результаты расчетов на прочность неудовлетворительны,
то проводится вторая внутренняя итерация с корректированием, при

необходимости, формы профиля, ТЗП и силовой конструкции. После
получения удовлетворительных результатов по прочности рассчитываются масса сопла, его размеры, инерционные характеристики и т. п.

Невыполнение одного из требований, наложенных на конструкцию,
заставляет провести внешнюю итерацию, которая возвращает конструктора к началу проектирования, так как не исключается возмож-

ность полной замены схемы сопла и создания конструкции, принципиально отличной от уже созданной.
Завершают процесс создания сопла наземные и летные натурные
испытания, в результате которых конструкция частично уточняется.

Приведенные схемы основных этапов проектирования конструкции
ЛА позволяют сделать следующие выводы.
1. Расчеты конструкций на прочность являются одной из важнейших составных частей процесса проектирования.

Для проведения расчетов на прочность необходимы данные

о нагрузках и нагреве конструкции, которые можно получить с помощью траекторных, аэродинамических и тепловых расчетов.

Остановимся теперь на последовательности, в которой следует проводить расчеты на прочность. Отметим здесь, что, говоря «расчеты
на прочность», мы имеем, конечно, в виду расчеты на прочность, устой-

чивость и жесткость. Более того, для корпуса ЛА в большинстве случаев
расчеты на устойчивость не менее важны, чем расчеты на прочность
(в чистом виде, а не в смысле терминологии).

1.2. Проектировочный и проверочный расчеты на прочность
При создании любого инженерного устройства и ЛА в частности приходится иметь дело с двумя видами расчетов: проектировочным и про-

верочным. Цель проектировочного расчета — определение основных

размеров конструкции по ее заданным габаритным размерам и внешним нагрузкам. В результате проектировочного расчета получают рас-

четные размеры, которые затем необходимо скорректировать в соот12

и других нормативных документах, используемых в проектных органи-

зациях. Нормативный метод расчета конструкций на прочность существенно сокращает время ее проектирования.

В нормах прочности обычно содержатся:
1) случаи эксплуатации конструкции, для которых необходимо
проводить расчеты на прочность;

математические модели для расчета нагрузок и напряжений

в конструкции;

3)
4)

коэффициенты безопасности по прочности и устойчивости;
объем экспериментальной отработки конструкции.

В качестве примера упомянем здесь такие нормативные документы,
как «Нормы прочности», «Нормы проектирования», используемые

в авиационной и ракетной технике, и «Таблицы Регистра» — в судостроении. Значение этих материалов трудно переоценить, так как
их наличие позволяет накопить и обобщить опыт теоретической и экспериментальной работы многих коллективов, а также скоординировать решение однотипных проектных задач.

Несмотря на огромные достоинства нормативного подхода к проек-

тированию конструкций, необходимо также указать и на его «слабые»
стороны:

1) стремление к нормированию всех этапов проектирования конструкции является своеобразным тормозом для ее совершенствования,
поиска новых конструктивно-силовых схем;

возможно произвольное толкование нормативных документов,

так как в них указываются вполне определенные случаи эксплуатации

и могут быть не учтены такие, когда конструкция будет разрушена.
По этим причинам все нормативные документы постоянно уточня-

ются и совершенствуются, т. е. фактически находятся в постоянном развитии. Важное место в них занимают рекомендации по выбору коэффициентов безопасности, а также случаев эксплуатации, для которых
необходимо вести проектировочные расчеты.

1.4. Коэффициенты безопасности и запаса прочности
В практике расчетов на прочность принято использовать два метода

оценки несущей способности конструкции: метод допускаемых напряжений и метод разрушающих нагрузок. Прежде чем рассмотреть особенности этих методов, введем некоторые определения для напряжений.

Предельные (или опасные) напряжения — это такие напряжения,
при которых происходит разрушение конструкции или возникают

пластические деформации. Допускаемые — наибольшие напряжения,
которые допустимы в конструкции с точки зрения ее надежной и безопасной работы. Расчетные — напряжения, возникающие в конструкции под действием приложенных к ней нагрузок.
15

Начнем с метода допускаемых напряжений, который широко используется в общем машиностроении, где требование минимальной массы
играет второстепенную роль по сравнению с требованием безопасной
и долговечной работы конструкции.
Допускаемые напряжения составляют долю от предела пропорцио-

нальности σy или предела текучести σ02> которые считаются предель-

ными (опасными) напряжениями, т. е. [σ] = σ0 2 ∕ η, где η — коэффициент запаса прочности для различных конструкций η = 1,5—5. На выбор
требуемого коэффициента запаса прочности влияют следующие факторы:

степень точности определения действующих нагрузок и приме-

няемых методов расчета;

2) степень однородности используемых материалов конструкции,
их чувствительность к механической обработке и уровень разброса
физико-механических свойств;
3)

ответственность детали.

Обычно коэффициент запаса прочности представляется в виде произведения частных коэффициентов запаса, учитывающих влияние различных факторов на надежность работы проектируемой конструкции.
Таким образом, при использовании метода допускаемых напряжений конструкция всегда работает в пределах упругих деформаций, при-

чем расчетные напряжения меньше допускаемых, т. е. σp ≤ [σ].
Так как пластические деформации в конструкции отсутствуют, то
в этом методе коэффициенты запаса прочности по нагрузкам и напряжениям будут одинаковыми. Как следует из диаграммы растяжения
стального образца, приведенной на рис. 1.4, это совпадение будет
соблюдаться на линейном участке кривой, вплоть до предела пропорциональности σr

ε = M/l

Метод допускаемых

Метод разрушающих

напряжений

нагрузок

Рис. 1.4

За пределом пропорциональности происходит перераспределение
напряжений и пропорциональность между напряжениями и нагрузкой
16

нарушается. Это означает, что на участке работы конструкции с пластическими деформациями запас прочности по напряжениям не позволяет судить о запасе прочности по ее нагрузкам. При проектировании

ракет фактор массы играет решающую роль, поэтому конструкция
проектируется так, чтобы прочностные свойства материала использовались полностью. Поэтому в качестве допускаемых напряжений
в ракетостроении принимают предел пропорциональности или предел

текучести (если остаточные деформации допустимы), а не часть их, как
в общем машиностроении.
Запасы прочности в этом случае перекрывают область, где коэффициенты запаса по напряжениям и нагрузкам будут различными, и поэтому расчет конструкции ведется по разрушающим нагрузкам, которые

в наибольшей степени характеризуют ее работоспособность.
Коэффициент запаса прочности в методе разрушающих нагрузок

равен: η = Л/разр ∕ [N], где [ΛΓJ — допускаемая нагрузка, т. е. обеспечивающая возникновение безопасных напряжений (в данном случае
предела пропорциональности).
Если ввести понятие расчетной нагрузки ΛL,, под которой сле-

дует понимать нагрузку, действующую на конструкцию, то Np ≤ [N] = Λlpa3p ∕ η. Однако установить разрушающую нагрузку Npa3p расчетным
путем, за исключением простейших случаев, не представляется возможным, поэтому в методе разрушающих нагрузок поступают следу-

ющим образом.
Принимают коэффициент запаса прочности η равным единице,
а требуемый запас вводят в расчетную нагрузку, которая теперь умножается на коэффициент безопасности/ Для того чтобы различать завышенную таким образом расчетную нагрузку и нагрузку, действующую
на конструкцию, последнюю называют эксплуатационной Ыэ, т. е.

теперь Np = /7V3. Эта нагрузка и используется при расчете конструкции
на прочность в методе разрушающих нагрузок. Что касается коэффициента запаса прочности, то в общем случае его можно определить экспе-

риментальным путем после вычисления Npa3p. Теперь η = Npa3p ∕ Λlp ≈ 1
(не менее 0,98), и роль его сводится к оценке степени совершенства
спроектированной конструкции.
Значение коэффициента безопасности установить теоретически
довольно трудно, так как невозможно выявить все факторы, влияющие
на его величину. В основном роль коэффициента безопасности сводится к компенсации:

1) несоответствия между детерминистским расчетным и фактическим случайным представлением внешних нагрузок, внутренних усилий и несущей способности конструкции;
2) отклонения расчетной схемы ЛА и расчетных условий его нагружения от действительных.

Это заставляет набирать статистические данные по коэффициентам
безопасности, чтобы использовать их в дальнейшем для проектирования новых конструкций.
17

В качестве примера рассмотрим типичные расчетные случаи, при-

меняемые при проектировании отсеков баллистических ракет.

1.5. Расчетный случай
Во время жизненного цикла ракета подвергается большому числу
самых разнообразных нагрузок. Однако в каждом из элементов конструкции лишь только в одном, характерном для него случае нагруже-

ния, возникнут напряжения и деформации, которые будут определять
его потребную несущую способность и жесткость.
Под расчетным случаем для рассматриваемой конструкции будем
понимать такой момент ее эксплуатации, при котором возможно появление наиболее опасной, с точки зрения прочности, комбинации нагрузок и нагрева. Введение расчетного случая позволяет существенно

сократить объем расчетов на прочность, так как отпадает надобность
в определении прочности конструкции во все время ее эксплуатации.

Для определения расчетного случая используют методы доминирую-

щей нагрузки и условной нагрузки. Наиболее правильным и достоверным
является метод условной нагрузки, в котором в качестве расчетного принимается случай эксплуатации, соответствующий максимальному значению некоторой условной (фиктивной) нагрузки. Величина этой нагрузки
определяется как эффектом комбинированного действия внешних сил,
так и зависимостью несущей способности конструкции от ее нагрева.
В методе доминирующей нагрузки расчетным считается такой случай
эксплуатации конструкции, когда на нее действует максимально возможная нагрузка. Этот метод используется в тех случаях, когда конструкция

слабо подвержена нагреву либо вообще не нагревается.
В практике расчетов на прочность широкое распространение получило использование нескольких расчетных случаев, определенных

методом доминирующей нагрузки, которые в совокупности включают
в себя основной расчетный случай, определенный методом условной
нагрузки. Так, для корпуса многоступенчатой баллистической ракеты
для расчета выбираются следующие случаи эксплуатации:
1) старт, активный участок траектории, включая его конец;

2) максимальные осевые пх1 и поперечные п^ перегрузки на активном участке траектории;

3) разделение ступеней;
4) начало и конец работы ступени;
5) сброс обтекателей (если они имеются);
6) отделение головного отсека от ракетной части.
Приведем в качестве примера некоторые расчетные случаи для отсеков корпуса баллистической ракеты.
Головной отсек (f= 1,5):

1) максимальные осевые перегрузки центра тяжести max n^ при
входе в атмосферу;
18

2) максимальные поперечные перегрузки max n°x при входе в атмосферу;

3) максимальные осевые перегрузки max п°г в конце активного
участка траектории;

4) воздействие факторов взрыва ядерного заряда антиракеты.
Если отсек не покрыт слоем ТЗП, то расчетный случай определяется
методом условной нагрузки для участка входа в атмосферу.
Приборные и переходные отсеки (f= 1,3—1,5). Расчетный случай
устанавливается по методу условной нагрузки, либо принимаются следующие случаи эксплуатации, относящиеся к активному участку траек-

тории, если головной отсек отделяется:

1) max п°г;
2) maxn°ι,
3) максимальный скоростной напор;
4) динамические нагрузки в осевом и поперечном направлениях.
Хвостовой отсек (f= 1,5):
1) воздействие силы веса и изгибающего момента от приземного
ветра при старте (f = 2);

2) максимальный изгибающий момент max Мизг, действующий
от стабилизаторов;

3) max n°! на активном участке;
4) для многоступенчатых ракет max n°x и max п°г предыдущих ступеней.

Баки (f= 1,75). Расчетный случай устанавливается по методу условной нагрузки, либо принимаются следующие случаи эксплуатации:

1) максимальное давление наддува в баке max рнад;
2) max n°! на активном участке траектории;
3) max п°г на активном участке;
4)
5)

максимальный скоростной напор на активном участке;
случай предстартовой подготовки, когда бак не наддут, но изде-

лие заправлено.

Несущую способность баков с вытеснительной системой подачи
топлива определяет внутреннее давление, и для Hπxf= 1,3—1,5.
Основным расчетным случаем для РДТТ является его нагружение
максимальным внутренним давлением (f= 1,3).
Заряд твердого топлива:
1) изменение температурных условий в процессе изготовления
и эксплуатации двигателя;

2) длительное хранение ракеты в горизонтальном и вертикальном
положении при постоянной температуре;
3) транспортировка ракеты;
4) максимальное внутреннее давление при работе двигателя.
Прочность корпуса ракеты определяют, за исключением частных
случаев, по нагрузкам в полете, однако отсеки ракеты просчитываются

также на все случаи наземной эксплуатации в рамках проверочного
расчета на прочность. Для иллюстрации приведем рекомендуемые зна19

ветствий с ГОСТ, отраслевыми нормалями или стандартами. Важно
отметить, что перед проектировочным расчетом известны только

общая конфигурация и габаритные размеры конструкции, полученные
на этапе синтеза ЛА. При проверочном расчете, напротив, используется

полностью готовая конструкция, имеющая конкретный облик, а размеры всех ее конструктивных элементов уже известны.

Цель проверочного расчета — оценка степени массового и конструктивного совершенства готовой конструкции. На этой стадии
определяются коэффициенты запаса прочности и устойчивости, которые служат количественными показателями степени совершенства

конструкции. И если на этапе проектировочного расчета для определения размеров конструкции широко применяются различные нормативные документы, инженерные методы и методики расчета, основанные

на предшествующем опыте проектирования, то проверочный расчет
ориентирован на самые современные и точные методы, используемые
в науке о прочности.

На этапе проектировочного расчета на прочность известна конструктивно-компоновочная схема конструкции, но размеры ее состав-

ных частей неизвестны или требуют дальнейшего уточнения в процессе итераций, поэтому расчет размеров этих элементов выполняется
в следующем порядке.

1. Анализируются условия эксплуатации конструкции и выбираются методы расчета нагрузок, а если это необходимо, то и методы расчета ее нагрева.

Выбираются расчетные случаи и определяются нагрузки, дей-

ствующие на конструкцию в этих расчетных случаях.

3. Анализируется характер нагружения конструкции, выбираются
или уточняются конструкционные материалы для ее частей.
4. Нормируются внешние нагрузки путем умножения их на коэффициенты безопасности.
5. Составляется расчетная схема, т. е. идеализированный вариант
конструкции, путем отбрасывания несущественных факторов и разделения сложной задачи на более простые.
Цель создания расчетной схемы — построение такой модели конструкции, для определения напряженно-деформированного состояния
которой можно было бы воспользоваться известными и хорошо апробированными методами расчета, допускающими многократное повторение при различных исходных данных. Составление расчетной схемы
можно представить в виде следующей последовательности шагов:
а) расчленение задачи на более мелкие и простые;
б) упрощение нагрузки (пренебрежение отдельными ее видами,
приведение различных нагрузок к эквивалентной, упрощение характера распределения нагрузки, замена распределенной нагрузки сосредоточенной и т. п.);
в) упрощение геометрической формы конструкции сведением
ее к брусу, балке, пластине, оболочке или их комбинации;
13

г) идеализация свойств материала (изотропность, независимость
свойств от температуры и т. п.).
6. По известным нагрузкам определяются размеры конструкции.
В сложных случаях внутри расчета на прочность организуются дополнительные итерации, когда сначала задаются размеры и конфигурация
конструкции, а затем определяется поле напряжений, которое сопоставляется с допускаемыми напряжениями. Поле напряжений с помощью теорий прочности сводится к одномерному напряженному состоянию, которое характеризуется эквивалентными напряжениями.

Полученные размеры конструктивных элементов округляются

до стандартных ближайших размеров толщин листа, размеров профиля, рекомендуемых типовых размеров и т. п.
В проверочном расчете на прочность, напротив, конструкция полностью спроектирована, вплоть до мельчайших деталей, известны
все ее размеры, выбранные в соответствии с требованиями нормалей
и стандартов. Основные этапы расчета несколько отличаются от приведенных выше и сводятся к следующему:

1) выбору расчетных случаев;
2) составлению расчетной схемы проверяемой конструкции;
3) нормированию внешних нагрузок с помощью коэффициентов
безопасности;
4) расчету поля напряжений в конструкции;
5) расчету коэффициентов запаса прочности и устойчивости.
В сложных случаях эти коэффициенты определяются экспериментальным путем.

Из рассмотрения этапов проверочного и проектировочного расчетов
очевидна важность достоверного определения внешних нагрузок, действующих на конструкцию. Рассмотрим теперь более подробно вопрос
о нормировании внешних нагрузок с помощью коэффициента безопасности и выбора расчетных случаев.

1.3. Нормы прочности
Даже общая характеристика условий эксплуатации конструкций
ЛА показывает, что на начальном этапе проектирования серьезные

затруднения вызывает выбор расчетных нагрузок, необходимых для
проведения расчетов на прочность и определения основных размеров

конструктивных элементов. Положение усугубляется еще и тем, что
многие факторы, от которых зависит работоспособность конструкции,
не поддаются теоретическому моделированию либо существующие
математические модели обладают невысокой точностью. Более того,
некоторые факторы носят случайный характер.
В этих условиях наиболее целесообразно воспользоваться накопленным опытом проектирования конструкций ЛА подобного класса. Этот
опыт обобщается в нормах прочности, отраслевых стандартах (ОСТ)
14

чения допустимых перегрузок при наземной транспортировке ракет:

по железной дороге n°j = ±0,25; п°х = 1,6; на грунтовой тележке п°г =
= 1,0; п°х = 2,0; подъем краном п°г = 2,0.
Конечно, перечисленные рекомендации не охватывают всех возможных случаев эксплуатации конкретных ракет, но позволяют указать

те из них, на которые следует обратить внимание в первую очередь при
определении расчетных случаев.

1.6. Классификация нагрузок
Для определения напряжений и деформаций, возникающих в отсеках ракеты и отдельных элементах ее конструкции, необходимо прежде всего определить нагрузки, которые на них действуют. Особенностью работы ракетной конструкции является возможность нагрева
ее силовых элементов при некоторых режимах, а иногда и в течение

всего периода эксплуатации. Поэтому для всякого расчета на прочность
исходными данными являются чертеж или эскиз конструкции, рас-

четные данные о нагрузках, данные о нагреве конструкции. За время
эксплуатации ракета подвергается воздействию самых разнообразных
внешних факторов, и проведение расчетов на прочность для каждого
из случаев потребовало бы большого объема вычислений. Однако
из всех режимов эксплуатации можно выделить только те, в которых

конструкция подвержена наибольшему внешнему воздействию, и для
них провести расчеты на прочность.

Прежде чем перейти к наиболее типичным методам определения
нагрузок, классифицируем их, объединив в группы, характеризующиеся общей природой нагрузки.
По моменту воздействия во время эксплуатации:
1) нагрузки в полете,
2) стартовые нагрузки,
3) нагрузки при наземной эксплуатации.
По характеру распределения:
1. Объемные или массовые, распределенные по всему объему
ракеты и пропорциональные плотности ее материала:

а)

вес;

б)
2.

силы инерции.
Поверхностные нагрузки, распределенные по поверхности кон-

струкции:

а) аэродинамические;
б) давление газов внутри отсеков;
в) давление жидкости при движении ракеты под водой;
г) давление наседающей массы ВВ на стенки оболочки БЧ;
д) силовое воздействие струй, истекающих из сопл ракетных двигателей;
е) давление газа внутри шахты, при движении ракеты внутри нее
и др.
20

3.
а)

Сосредоточенные силы — точечно приложенные нагрузки:
тяга ДУ;

б)

веса грузов, подвешенных к корпусу или находящихся внутри

него;

в) силы, передающиеся на корпус в узлах крепления аэродинамических поверхностей и соседних ступеней, и т. д.
По характеру изменения во времени:
1) статические,
2)

динамические.

К статическим принято относить нагрузки, время воздействия которых велико по сравнению с некоторым характерным для данной конструкции временем. Время приложения динамической нагрузки соизмеримо с характерным временем, в качестве которого для конструкций
ракет обычно принимают период собственных упругих колебаний.
Примером динамической нагрузки может служить сила тяги при запуске и выключении двигателя, хотя при маршевой работе его тяга является статической нагрузкой.
По степени знания закона изменения нагрузки по координате
и времени:

1) программные,
2) возмущающие.
Следует заметить, что одна и та же нагрузка может относиться к различным группам в приведенной классификации в зависимости от условий эксплуатации ракеты.

1.7. Расчет нагрузок на основе методов
теории случайных функций
Сделаем некоторые краткие замечания по поводу используемых

в дальнейшем методов расчета, рассмотрев более подробно характер
поведения нагрузок. Следует сразу же отметить, что в большинстве случаев нагрузки не являются детерминированными, т. е. принимающими

определенные значения для фиксированных физических координат
системы и времени.

Рассмотрим, например, тягу двигательной установки. На маршевом
(для определенности) участке работы двигателя принято считать, что
тяга определяется параметрами двигательной установки и временем
ее работы и может быть рассчитана по простейшим алгебраическим
зависимостям. Такое упрощение реального поведения тяги является

моделью действительно существующего процесса. В действительности,
тяга — это случайная функция времени, так как случайными являются
все геометрические и физические параметры двигательной установки.
В самом деле, диаметр критического сечения сопла, например, не может

быть изготовлен абсолютно точно. Он имеет заданный допуск, и отклонения от номинального значения подчиняются нормальному закону
21

распределения. Аналогичные явления наблюдаются и при определении
других нагрузок: массовых, аэродинамических, ветровых и т. д. Таким

образом, в большинстве случаев нагрузки являются случайными функциями координат и времени.

Рассмотрим случайную функцию R(t), значение которой при любом t
является случайной величиной. Аргумент t (не обязательно время)
будем считать величиной неслучайной — детерминированной.
Пусть проведено п опытов для определения R(t) и в результате получено п кривых, ординаты которых для фиксированного аргумента tλ
не совпадают. Для этого значения аргумента можно определить п зна-

чений R{t{) и построить закон распределения ординат R{t{). Зная закон
распределения, нетрудно определить математическое ожидание —

среднее значение функции в момент tλ и дисперсию, характеризующую
отклонение случайной величины от ее среднего значения. Однако среднее значение и дисперсия вычислены для фиксированного аргумента
и поэтому не могут охарактеризовать поведение случайной функции
для всего рассматриваемого промежутка изменения аргумента.

Очевидно, необходимо взять еще несколько фиксированных значений аргумента и построить соответствующий многомерный закон
распределения случайной величины. Указанный способ не всегда удобен из-за своей громоздкости, поэтому в теории случайных функций
ограничиваются чаще всего расчетом параметров, которые характе-

ризует закон ее распределения. В качестве таких параметров обычно
принимают моменты случайной величины первого и второго порядка.
Момент первого порядка R(t) − M[R(t)~\ — математическое ожидание
ординаты случайной функции при произвольном значении аргумента t.
Функция R(t) уже не является случайной величиной.
Центральные моменты второго порядка:

D[R(t) = М{[R(t)−R(t)~\2} — дисперсия случайной величины R(t)·
K(t1,t2) = M{[R(t1)-RQ:1)][R(t2)-R(t2)]} — момент связи случайных

величин R(tj) и R(t2), называемый корреляционной функцией.
Если известен дифференциальный закон Дй ∕ t) распределения случайной величины R(t), то

D[R(t)] = J [R-R№№/t)dR;
—оо

оо

κ(.h,t2)= J Imh)-WιmR(h)-R(.tιKKRι,Rι/h,tι)dR^.
—оо—оо

Раздел теории случайных функций, в котором оперируют только
моментами первых двух порядков, носит название корреляционной
теории случайных функций.
Случайные функции принято разделять на следующие группы:
1) стационарные и нестационарные, их свойства зависят от момента
времени, с которого начинается отсчет;
22

с нормальным законом распределения для фиксированного зна-

чения аргумента и ненормальным;

3) марковские, для которых вероятностные свойства в последующий промежуток времени полностью определяются значением ординаты этой функции в заданный момент времени и не зависят от ее значений в предыдущие моменты времени, и не марковские.
На практике встречаются следующие типы задач, которые требуют
привлечения аппарата теории случайных функций.
1. По заданным свойствам случайных функций необходимо определить вероятностные характеристики процесса, например дисперсию

ординаты случайной функции. Примером такого рода задач может служить определение отклонения тяги от ее среднего значения или опре-

деление рассеивания точек падения головной части.
2. Ко второй группе относят задачи, в которых вероятностные
характеристики определяются по экспериментальным данным. Здесь
используются обычные способы обработки опытных данных, применяемые в теории случайных величин, с той лишь разницей, что учитывают зависимости между ординатами реализаций (опытов) случайных
функций.
3. Искомые случайные функции описываются дифференциальными зависимостями, и задачи обычно сводятся к определению вероятностных характеристик случайных функций, получаемых на «выходе»
системы, по вероятностным характеристикам случайных функций,
поступающих на ее «вход».

В любой из указанных задач поведение исследуемой величины
достаточно полно может быть охарактеризовано ее математическим
ожиданием, дисперсией и корреляционной функцией.
При дальнейшем изложении будет использован детерминированный подход к расчету нагрузок, в котором фактически определяется
лишь среднее значение нагрузки и не рассматриваются ее вероятност-

ные характеристики. Следует еще заметить, что вероятностный подход
на базе случайных функций может быть применен и к расчету напряженного состояния конструкции, когда соответствующие напряжения

и деформации считаются случайными функциями.

2. Массовые нагрузки
К массовым нагрузкам относятся силы инерции и сила веса, для расчета которых широко используются коэффициенты перегрузки. Сначала
рассмотрим особенности расчета перегрузок и примеры их использования для расчета нагрузок, когда силы являются равнодействующими
массовых сил.

2.1. Силы инерции. Перегрузки
При определении массовых нагрузок и сосредоточенных сил, действующих на ЛА в полете, широко используется понятие коэффициента
перегрузки.

Рассмотрим уравнения плоского движения центра масс ракеты в ско-

ростной системе координат. На рис. 2.1 указаны все внешние силы, приложенные к центру масс, которые изменяют траекторию его движения.

Согласно принципу Д'Аламбера тело, в данном случае ракета, находится
в равновесии, если ко всем внешним силам добавить силы инерции, которые всегда направлены в сторону, противоположную вектору ускорения.
У

w°
Y

Ма
mW°

v
m

.
о

П'х

θ-α

п°
иу

mm
у

Рис. 2.1

Проекции ускорения на оси х и у — W® и VV^, а соответствующие

им силы инерции — mW° и mW°. Тогда уравнения движения центра
масс в проекции на оси х и у принимают вид:

−mW° +Tcosa-X-Ypsina-Gsin(θ-a) = 0;

(2.1)

−mW°+Γsina + Y + YpCθsa-Gcos(θ-a) = O,

(2.2)

где m,G — масса и вес ракеты; Y, X — подъемная сила и сила лобового
сопротивления, приведенные к центру масс ракеты. Перепишем (2.1)
и (2.2), объединив в левой части тождества силы инерции и проекции
веса, а в правой — внешние силы:

mWj°+Gsin(θ-α) = Γcosα-X-YpSinα;
mW° + Gcos(θ - a) = Γsina + Y + Yp cosa,
и составим отношения:

n_Tcosa-X-Ypsina_mW3C°+Gsin(θ-a)ι

пх-

;

•JO

„

«у =

Γsina + Y + Yπcosa

τr−*

\.2-o)

.э

mW°+G cos (θ− a)

У r

−,

(2-4)

где G0 — сила веса, действующая на ракету, если бы с данной массой
она находилась у поверхности Земли.

Таким образом, перегрузки центра масс п° и п° представляют собой
отношение суммы проекций всех внешних поверхностных и сосредоточенных сил к весу, вычисляемому у поверхности Земли при текущей
массе.

Смысл введения коэффициента перегрузки станет ясен, если переписать уравнения (2.1) и (2.2) с помощью (2.3) и (2.4) в следующем
виде:

-n°G0 + Tcosa - X - Yp sina = 0;
−n° G0 + T sin a + Y + Yp cos a = 0.
Если известен коэффициент перегрузки, то расчет массовых сил сводится к простому перемножению перегрузки и веса, причем обычно
изменением ускорения свободного падения в зависимости от высоты
пренебрегают, принимая всегда g - 9,81 м/с.
В расчетах на прочность обычно используется система координат,
связанная с носком ракеты, причем ось хг направляется к хвостовому

отсеку, а осъуг — перпендикулярно ей, поэтому необходимо иметь формулы для расчета перегрузок в этой системе координат.

2.2. Перегрузки в связанной системе координат
Рассматривая плоское движение, направим оси скоростной системы
координат х, у с единичными ортами i,j по вектору скорости V и пер-

пендикулярно ему, ось xj и единичный орт ц связанной системы координат — от носка к хвостовому отсеку, ось уг с ортом ja — перпендикулярно оси хг. Взаимное положение осей координат показано на рис. 2.2.
25

У\_
к
У

ос

V
а

-1

« К

Рис. 2.2

Полный вектор перегрузки п, выраженный через его проекции
на оси скоростной и связанной систем координат, можно представить
как

п = -пхТ - n°J = <ii - n°!f!,

(2.5)

где значения проекции перегрузки в скоростной системе координат
определяются по формулам:

Tcosα-X-YpSinα
mg

Tsina + Y + Ypcosa
'

Знак «минус» в выражении (2.5) указывает на то, что проекция перегрузки направлена в отрицательную сторону соответствующей оси.
Для определения проекции перегрузки на ось х умножим (2.5)
на единичный вектор \:

nxi = С" · iι) = -пх cos(x, х{) - п° cos (у, х{)
или

nxi = π°cosa + n^sina,

(2.7)

так как

cos (х, хг) = cos (180° + a) = - cos a;
cos (у, x{) = cos(90° + a) = -sin a.
Перегрузка направлена по оси хъ т. е. к хвостовому отсеку ракеты.
Аналогично проекция перегрузки на ось^:

−n°! = (n • л) = -пх cos (90° + a) - n£ cos a,
26

или

п°г = −n° sinα + пу cosa.

(2.8)

Подставив в (2.7) и (2.8) выражения (2.6) для перегрузок в скоростной системе координат, получим для значения проекции перегрузок
в связанной системе координат

пх1 —

T-Xcosa + Ysina,',tivι—
0 Ycosa + Xsina + Yp
mg

κ^·y)

или с учетом того, что угол атаки а мал:

nxl ~

T-X + Ya

Xa + Y + YD

> nyl ~'

Сила лобового сопротивления в связанной системе координат Хг =
- Xcos a - Ysin a, а подъемная сила Уг - Ycos a + Xsin a, поэтому выражения (2.9) можно переписать так:

о _Т-Хг

nxl -

о _yι + γP

> nyl −

И наконец, получим выражения для перегрузок, записанные через
ускорения. В скоростной системе координат:

ng = WχQ+gsin(θ-a).

WQ+gcos(θ-a)

Подставляя (2.10) в (2.7) и в (2.8), получаем:

−|U

nxl

—

(W°cosa + W°sina)
+ gsinθ ·
J.
g

„

(2.11)

(W°cosa-W?sina) + gcosθ

". = —

Но так как ускорения в связанной системе координат

W& = W° cos a + W° sin a, W£ = W° cos a - W° sin a,
то (2.11) можно переписать так:

_W°1+gsinθ,

nx,-

W°,+gcosθ

«χi =

−g

Этими формулами удобно пользоваться, если известны ускорения
в связанной системе координат.
27

всей ракеты, которую обозначим Na. Проецируя все силы на ось хг,
получаем:

2πRδσ! +Na +mλW^ +mλg sin θ = 0,

(2.12)

где θ — угол тангажа; δ — толщина стенки; R — радиус сечения. Но

mι .?ι + rnxg sin θ = m1 (W°τ + g sin θ) = m1gnxl,
так как осевые перегрузки ракеты, выраженные через ускорения, в свя-

занной системе координат записываются как

_W°1+gsinθ
g

Теперь уравнение равновесия (2.12) можно переписать:

2-/τJ-tδσ! + Na + G-jι°^ = О,
откуда

_ Na+Gin°xl

σι —

2πRδ

Таким образом, коэффициент перегрузки позволяет существенно
упростить составление уравнений равновесия части ракеты. И вместо схемы сил, действующих на выделенную часть (рис. 2.4, б), удобнее воспользоваться схемой на рис. 2.4, в, в которой отсутствуют силы
инерции, а также сила веса. Сумма силы инерции и проекции силы
веса равна произведению веса выделенной части на коэффициент
перегрузки в рассматриваемом направлении. Покажем теперь на более
сложном примере, что при составлении уравнений равновесия выбор
части конструкции, верхней или нижней относительно рассматриваемого сечения, на конечный результат не влияет.

2.5. Уравнения равновесия бака, вложенного в корпус
На рис. 2.5 изображена схема БР на жидком топливе с баком, подвешенным внутри корпуса на двух опорах, причем верхняя опора вос-

принимает осевые и боковые силы, а нижняя — только боковые. Бак
наддут давлением рн, заполнен жидкостью и вместе со всей ракетой
испытывает осевые перегрузки пх1. Определим меридиональные напряжения в баке ση в сечениях I—I и II—П.
Рассмотрим сначала первое сечение и с этой целью разделим бак
на две части, как это показано на рис. 2.6. Уравнение равновесия верхней части в проекции на ось симметрии имеет вид (весом металла бака
пренебрегаем)

2πRδσx - phπR2 + Gλnxl = 0,
30

(2.13)

а осевая сила определяется только давлением наддува. Теперь убедимся
в том, что окончательное выражение (2.15) будет тем же самым, если
составить уравнение равновесия нижней части. В этом случае

2πRδσ1-phττR2 + G2nх1 + 2Ncosα = 0,

(2.16)

где N — реакция в узлах крепления бака; G2 — вес жидкости в нижней
части бака. Реакцию N определим из уравнения равновесия всего бака
(см. рис. 2.6):
(Ga + G2)nxl = 2Ncos a.

(2.17)

Подставив (2.17) в (2.16), получим

2τιRδσ1 -phπR2 + G-jι^ = 0,
т. е. мы пришли к уравнению равновесия (2.13), которое получено для
верхней части.
Теперь рассмотрим сечение II—II и опять возьмем сначала верхнюю

часть (рис. 2.7.) Имеем

2πRδσx -phlτtR2 + G3nxl - 2/Vcos a = 0,
или, с учетом (2.17), а также того, что

Phi=P* + P>*gnχihbGs = ιuPhιPχg>

(2-18)

2πRδσ1 - phπR2 - Gnxl = 0,

(2.19)

получаем

откуда

pHπR2-Gnxl
2πRδ

где G = G1 + G2 = G3 + G4 — вес жидкости в баке.
Уравнение равновесия для нижней части

2111180! -phlπR2 - GAnxl = 0,
или, с учетом выражений (2.18) дляри и G3,

г-цКЗа! - phπR2 - G3nxl - G4nxl = 0.
Отсюда получаем уравнение равновесия (2.19) и выражение для
напряжений (2.20).
Таким образом, при определении напряжений или внутренних усилий в сечении необходимо пользоваться следующими правилами, которые сокращают объем вычислений.
32

1. Уравнение равновесия следует составлять для той части, для
которой это проще сделать или ясно и очевидно, как это сделать.
2. Если сечение проходит по жидкости, то ее можно извлечь из выделенной части.

Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части

умножить на соответствующую перегрузку.

frι

G3πxl

σj

Phi

στ

σ1

Phi

σx

,"xl
Рис. 2.7

2.6. Распределенные массовые нагрузки
При построении эпюр внутренних усилий в сечениях корпуса,
а также в задачах динамики конструкций приходится иметь дело
с распределенной массовой нагрузкой. Расчет нагрузки начинается
с построения графика распределения погонной массы по длине ракеты.
Сначала внутри корпуса выделяются сосредоточенные грузы, которые
далее при расчете погонной нагрузки не учитываются (рис. 2.8). Затем
корпус разбивается по длине на ряд участков (обычно не более 50),
в пределах которых отсутствуют резкие скачки массы. Тогда средняя

погонная масса участка равна его массе mj, поделенной на длину ∆xj,
т. е. m,-(xj) = ττij ∕ ∆xj. Далее строится график погонной массы, который
используется при определении погонной массовой нагрузки. Для БР
график осевой массовой нагрузки подобен графику погонной массы,
так как осевая перегрузка постоянна по длине.

Если ракета вращается вокруг центра масс, то поперечная перегрузка изменяется линейно по длине ракеты и график поперечной массовой нагрузки не будет подобен графику погонной массы.
На рис. 2.9 построены примеры графиков погонной массы, поперечных перегрузок (ракета вращается вокруг центра масс), а также
33

погонной осевой qx −m(x^gn^ и поперечной qy = m(x)gπyl(x1) массовых нагрузок, которые дают представление о характере распределения
массы по длине ракеты, а также о характере нагружения корпуса массо-

выми нагрузками. Можно записать обобщенные выражения для погонных нагрузок, учитывающие сосредоточенные грузы, если воспользо-

ваться дельта-функцией Дирака, обладающей следующим свойством:

n(xι)

Чх

Рис. 2.9

Тогда осевая погонная нагрузка запишется так:

qx = m(xjgn°! + mfcΠ°!gδ(x! - хк),

(2.21)

где тк — масса fc-ro сосредоточенного груза. Поперечная массовая
нагрузка:

qy =m{x-i)gnyi(Xi) + mknyi(x^gδ(Xi -xk).
34

Для определения осевой массовой нагрузки в сечении корпуса, рас-

положенном на расстоянии хг от носка, необходимо проинтегрировать
выражение (2.21), т. е.
xl

М xi−

.−n(*ι) = gn°x\ J m(x)dx + nxlg∑ j mfcδ(x - xk)dx,
0

k=lo

где М — число сосредоточенных грузов левее рассматриваемого сече-

ния. Аналогично перерезывающая сила и изгибающий момент, создаваемые массовой нагрузкой в сечении с координатой х1г равны:
xl

М xl

Qm(.x1)^gjn°1(x)m(x)dx + g∑ j" n^(Xb)πibδ(x-Xb)dx;
О

k=l о

jcljcl

M •il"il

Mm(.χι) = g! jn°^x)m(x)dxdx + g∑ j J n°^x,Jmφ(x-x,,)dxdx.
oo

fc=ι о о

Приведенные выражения для N^x^), Qm(x-f и Mm (Xj) позволяют
определить их значения по всей длине ракеты. Однако если их нужно
знать лишь на границах участков, то вместо интегрирования можно воспользоваться суммированием, если в пределах участка считать погон-

ную массу постоянной. В этом случае (хг — правая граница участка):
г

WmOi) = gΠχl ∑ TΠj + Tlχlg ∑ TΠk,
j=l

fc=l

где m —j-ro участка; mk — масса сосредоточенного груза; К — количество грузов между носком ракеты и рассматриваемым сечением. Перерезывающая сила
i

Qm(Xi) = g∑ mpyi + §Σ mknyk,
i=Λ.

fc=ι

где n· tiyk — поперечные перегрузки в середине участка и центре масс

груза соответственно. Изгибающий момент
i

Мт(хд = g∑mj(Xj - хт])Пу) +g∑mk(Xi- xmfc)nyfc,
j=\

fc=ι

где хтр хтк — координаты центра масс участка и сосредоточенного
груза, отсчитываемые от носка ракеты.

Следует отметить, что приведенный способ учета сосредоточенных
грузов точен, если координата их центра масс совпадает с сечением

корпуса, в котором они закреплены. Для двухопорных грузов, а также
в тех случаях, когда центр масс груза не совпадает с местом его кре-

пления, целесообразно учесть воздействие грузов на корпус с помощью
реакций в местах его крепления, так как при этом получается более
точная эпюра усилий в этой области.
35

3. Сосредоточенные силы
3.1. Тяга двигательной установки
Сила тяги равна сумме реактивной силы, силы статического давле-

ния наружной атмосферы рн на всю наружную поверхность ракеты,
исключая площадь выходного сечения, и силы давления выхлопных

газов ра на площадь выходного сечения. Согласно закону сохранения
импульса реактивная сила ракетного двигателя равна секундному
расходу импульса через выходное сечение сопла, т. е. произведению
секундного расхода массы на скорость истечения, и направлена противоположно скорости истечения.

Тяга двигателя

(3.1)

T = τflUa+Fa(Pa-pJ,

где т — массовый расход из сопла; иа, ра — скорость истечения и давле-

ние в выходном сечении сопла; Fa — площадь выходного сечения; рн —
давление в среде на данной высоте. Так как массовый расход m = pαuαFα,
а paii 2 = кМ%ра> то выражение для тяги можно записать и так:

T=№i + l)F„Pa-PaPBНа участке запуска и выключения двигателя тяга будет динамической нагрузкой, и ее расчет фактически сводится к определению давления в камере сгорания. В этих случаях выражение для тяги удобнее
записать так:

J = KTFκpP,
где
fc-1

Г 2 ^
V/c2-l U+ιJ "f- [p)
1

К.Т

2fc +

f Ра

Р. Л

fc-1
fc-1

r__f
KPy

'Pa"
1V У J

Kτ — коэффициент тяги; F^ — площадь критического сечения сопла;
р — текущее давление в камере двигателя.

Для РДТТ давление в камере на участке выхода двигателя на режим

определяется по формуле [1]:
36

-(ι-v)α(fc)Λ/JθV

1-v

vPoy

Ро
fc+ι

где a(fc) = Jfc

'fc-ι
— константа; v — показатель в степенном законе

fc + 1

скорости горения топлива; f0 = RT0 — работоспособность топлива;
WA — объем камеры сгорания; рг — давление в камере при t = 0; р0 —
давление в камере на маршевом режиме.

В случае ЖРД можно воспользоваться зависимостью [2]
−z- = l-f*'\
Ро

IAWA

где τε = —

■Ркр/о

п/.--■£.=

постоянная времени камеры сгорания; ιΛ -

a(fc)√g

удельный импульс давления.
Падение давления в РДТТ после вскрытия отсечных сопл определяется по формуле
1
1-V

Р_

х -

Ро

где FΣ — суммарная площадь критических сечений основных и отсечных сопл; t — время, отсчитываемое от момента вскрытия отсечного
отверстия.

После прекращения горения в камере сгорания, когда начинается

процесс адиабатического опорожнения ее объема, для расчета давления можно воспользоваться формулой
2fc

Р_

11 a(fc)√foEκp k-\t
WΛ

Ро

' 2

fc-l

(3.2)

при изотермическом опорожнении камеры:

Р_

г a(/c)√foiy,.

Ро

Остановимся теперь на способах учета воздействия тяги на корпус
ракеты. В случае ЖРД камера сгорания находится внутри хвостового

отсека и тяга будет сосредоточенной силой, которая приложена в месте
крепления двигателя к корпусу. Корпус маршевого РДТТ является одно-

временно и корпусом ракеты, поэтому здесь тягу целесообразно разделить на отдельные составляющие.
37

По определению, тяга есть равнодействующая давления, действующего по внутренней поверхности двигателя, и невозмущенного давления в окружающей среде — по наружной, т. е. Т = Гвн + Гн — причем
^вн - -"""a + FaPa> а ^н = ~-^oPh· На переднее днище двигателя действует

сила Nm = Sm(p0 - рн), т. е. равная избыточному давлению в двигателе,
умноженному на площадь поперечного сечения (здесь взята площадь
миделя). В то же время на заднее днище вместе с сопловым блоком действует сила

Wa = Sm(Po-pJ-^ + -FβPH>
или

N3=Sm(p0 -pH)-(mua + Fa(pa −P()) = N^-T,
т. е. сила, действующая на заднее днище, равна разности силы, действующей на переднее днище, и тяги двигателя.
Деление тяги на составляющие удобно при определении осевых сил,
возникающих в сечениях корпуса ракеты с РДТТ.
3.2. Тяга конического сопла
Будем исходить из схемы радиального движения газа в сопле,
согласно которой траекториями газовых частиц в некотором удалении
от критического сечения считаются прямые, исходящие из вершины

выходного соплового конуса. Очевидно, что в этой схеме радиального
движения газа скорость и параметры газа р, р и Т постоянны на сферических поверхностях с центром в вершине конуса, причем направление

скорости совпадает с радиусом сферы.
Пусть в сечении х—х сопла (рис. 3.1) R — радиус сферы, нормальной
к конической поверхности сопла по их общей окружности пересечения;
а — угол между осью и образующей конуса сопла; S — площадь поверхности сферического сегмента радиусом R; F — площадь плоского сечения конуса; а — индекс выходного сечения; vα — радиальная скорость

на сферическом срезе сопла.
Из элементарной геометрии:
F = πR2sin2a;

(3.3)

S = 2πR2(l - cos a),
отсюда

f = sl+^sa

(34)

Уравнения установившегося движения при гипотезе радиального течения и в предположении, что величина скорости, давление и плотность

в каждой точке сферы S постоянны, запишутся следующим образом:
38

закон сохранения массы

(3.5)

Spv = const;
закон сохранения энергии

Spv

Л,2

рЛ

fc-1 р,

= const;

(3.6)

закон сохранения импульса в проекции на ось сопла

-^(pv2F) + F-^ = 0.
ах

(3.7)

ах

Вынося в последнем уравнении Spv за знак дифференцирования
F

в силу уравнения (3.4) и замечая, что -— = const, представим последнее
уравнение после сокращения на F в виде

pvdv + dp = 0.

(3.8)

Интегралом этого уравнения в сочетании с уравнением энергии

является адиабата Пуассона. Таким образом, система уравнений радиального течения может быть представлена в виде
Spv = const;

iV2

к р
fc-1 p

-+■

= const; — - const.

(3.9)

Pfc

Значения параметров газа и все другие величины, относящиеся

к выходному сечению сопла, будем обозначать индексом а. В схеме
радиального течения под скоростью истечения и целесообразно подразумевать среднее по поверхности сферы значение проекции скорости vα на ось сопла. При этом:
1 Sa
·^>a

1 + cosa

(3.10)

Ja 0

В реальных соплах из-за потерь энергии на трение, теплоотдачу
и возможные местные скачки уплотнения скорость и несколько меньше

ее теоретического значения vα. На практике с целью учета потерь вводится коэффициент скорости φx и расчетная формула для скорости
истечения принимается в виде
fc-l~

(Ра) '
"4ι^iRTo НтЧ'
к

причем q>! =

l + cosa

(3·n)

φ^,, где φ^ — коэффициент, учитывающий потери

на трение, на скачки уплотнения и т. д. Для сопл современных реак-

тивных двигателей φx = 0,97—0,99. Коэффициент φτp изменяется,
по-видимому, в узких пределах (0,99—0,995).
Введем еще поправку на неравномерность потока в критическом
сечении сопла, несколько уменьшающую массовый расход из сопла,
который с учетом этой поправки равен

a(fc)iL,Po

где ср2 = 0,95—0,98 — коэффициент расхода, часто трактуемый как
коэффициент сужения струи в критическом сечении. Он зависит от геометрии дозвуковой части сопла, а также от того, насколько равномерны
параметры газа во входном сечении сопла. Тогда выражение для тяги
через число Маха в выходном сечении можно записать в следующем
виде:

Т = 7ΛΛ(Φlφ2fcM2 +1) - FapH,

(3.12)

гдера=р0

1+—Ml

— давление в выходном сечении сопла.

3.3. Расчет тяги с отрывом потока в сопле
Наличие трения и пограничных слоев может существенно повлиять

на работу сопл при нерасчетных режимах истечения. Это происходит
из-за взаимодействия ударных волн с пограничным слоем на стенке
сопла. Когда сопло недорасширено, т. е. давление в его выходном сечении больше, чем в окружающей среде, в нем отсутствуют ударные
волны. Если же сопло перерасширено, когда давление в выходном сече-

нии меньше, чем в окружающей среде, то постепенное приспособление
давления будет происходить при помощи косого скачка уплотнения.
Течение в пограничном слое также должно преодолеть этот перепад
давлений, но так как оно обладает меньшим количеством движения,
то способно сделать это до определенного значения отношения дав40

лении, величина которого определялась теоретически и экспериментально.

Более надежные результаты дают эмпирические зависимости. Так,
в [3] давление в сечении сопла, где происходит отрыв газового потока
от стенок, предлагается определять по следующей формуле:
Рн
Рн

Nε-0,2

(3.13)

'vPoy

Нами предлагается зависимость, полученная в результате обработки
экспериментальных данных, опубликованных в литературе:
(

__ = _l_o,357
Ро

Ро

Рн

\0,83
(3.14)

,PoJ

здесь pi — давление в сечении сопла, где произошел отрыв потока; р0 —

давление торможения газа; рн — давление в окружающей среде; ра —
давление в выходном сечении сопла.

Если — > — или — > i-=a то поток в сопле отрывается, и в этом слуРн

Рн

Ро

чае необходимо определить сечение отрыва, его площадь и число Маха
в нем.

На рис. 3.2 приводится эволюция течения в сопле при увеличении
давления в окружающей среде, а на рис. 3.3 — физическая модель течения в области отрыва пограничного слоя и график распределения давления на стенке сопла. Увеличение толщины пограничного слоя происходит в точке с давлением рь которая выше по потоку от места отрыва

пограничного слоя, где давление равно ps. Давление в невязкой области
течения возрастает от р; до ря на косом скачке уплотнения, который
и отрывает пограничный слой. На стенке сопла давление плавно изменяется между этими значениями. Для построения этой плавной кривой в [3] вводится промежуточная точка, в которой давление составляет 0,95 от внешнего давления.

1. М<1

М>1

Волны

разрежения

4.М<1 M>l

М>1
2. M<l

M>l

M<1

М< 1

М>1
5. M<l

M<l

Ударная волна
М>\

3. М<1

м>1

6. М<1

М<1

Рис. 3.2
41

= 0,99

Косой скачок
Невязкий поток

Pi р

μ0: 95

Зона отрыва
Зона малых

скоростей

Давление

Отношение площадей

(ε)

Рис. 3.3

Относительная площадь сечения сопла в этой точке определяется
с помощью следующего эмпирического соотношения:
ε

—1

εo. =-Зщ +-^-г-,если εf <-Λ + 0,38
2,4

1,6

ε0,95 = εi + -^f-|1,
если εf > ^S−
+ 0,38,
1,45
1,6
F

где ε = —, F — площадь сечения сопла. Тогда вместо (3.1) тягу необхо■мср

димо определять по формуле
-Ч>,95

F0,95

T = mui+piFi + J pdF+ J pdF-pHFa.

(3.15)

В результате обработки экспериментальных данных в [3] получено
Д>,95

J pdF = 0,55(р- + р0;95) (%s - Ю,

Fi
42

(3.16)

а интеграл

$ pdF = 0,975pH(Fa-FQι95).

(3.17)

f0,95

Объединяя (3.15)—(3.17), получаем окончательно

Т = тщ +piFi + 0,55(pi + p0;95)(F0;95 -φ-pH(0,025Fα + 0,975%5). (3.18)
В этом случае
\ 0,83"
Pi=Po

q(M∂−

— 0,357

,Fι = F↔/q(M∂·

Тогда по аналогии с (3.12) выражение для тяги можно переписать
так:

T = PiFi(<hΨιkMi + 1) + 0,55(р- +p0,95)(Fo,95-FO-pH(0,025Fα+0,975F0j95).

(3.19)

Здесь учтено изменение давления на части сопла с оторвавшимся
от его стенок потоком. Более грубая формула получается в том случае,
когда принимается, что сопло за зоной отрыва не работает. В этом случае все площади сечений сопла принимаются одинаковыми, т. е. Fa = ^095 = pi·
Теперь рассмотрим пример определения сосредоточенных сил, когда
составление уравнений равновесия упрощается с помощью коэффициента перегрузки.

3.4. Реакции в узлах крепления грузов
Внутри корпуса БР всегда имеются сосредоточенные массы, такие,

например, как подвесные баки, ЖРД, контейнеры с приборами управления, грузы внутри головного отсека и т. п. В местах крепления этих
грузов возникают реакции, которые передаются на корпус в виде сосре-

доточенных сил и моментов. Рассмотрим порядок определения этих
реакций для двух случаев крепления груза.

На рис. 3.4 изображен ЖРД, который крепится к корпусу через ферму,
причем его центр масс не совпадает с плоскостью крепления опоры.

В месте крепления груза возникают две реакции и момент, которые

можно определить из условий равновесия этого груза, т. е. Rxl = GRnxl,

Ryl = GΛnyl, MR = GflnylZΛ, где перегрузки ПуХ определяются в сечении, проходящем в центре масс груза. На корпус действуют силы и момент, равные реакциям, но направленные в противоположную сторону.
43

*д

Ryi
MR

Gfl"y4
Рис. 3.4

В приведенном на рис. 3.5 случае крепления двухопорного груза возникают три реакции, для определения которых имеем следующие условия равновесия груза:

RX2 = G0n% Ry2 + Ryi = G0n°yl, Ry2(a + b) - G0nyla = 0.
Отсюда

Ry2 -~~L(~'φ.ybRyl -G0nyl -Ry2.

^l K*2
a

Ry2
G0n°xl

G0nyl
Рис. 3.5

Как и в предыдущем случае, на корпус действуют силы, равные
по величине реакциям, но противоположно им направленные.

4. Аэродинамические нагрузки
Аэродинамические нагрузки действуют на ракету лишь на участке
ее полета в плотных слоях атмосферы и являются результатом взаимодействия корпуса ракеты с окружающей средой.

4.1. Погонная нагрузка
Полную аэродинамическую нагрузку, отнесенную к единице пло-

щади, в каждой точке корпуса можно разложить на касательную
к поверхности (τ) и нормальную (∆pα) составляющие (рис. 4.1). В свою
очередь, касательную проекцию в общем случае можно разложить
на составляющие, направленные по касательной к меридиану и параллели. Последней, ввиду ее малости, обычно пренебрегают. Нормальная
составляющая есть не что иное, как давление. Она-то и представляет
наибольший интерес в расчетах на прочность. Полное давление, действующее на корпус ракеты в данной точке, равно: р - рн + ∆pa, где

рн — давление воздуха на высоте H; ∆pa — избыточное давление воздуха, возникающее вследствие взаимодействия его с ракетой.

«1
Рис. 4.1

При вычислении аэродинамических нагрузок учитывается лишь вто-

рая составляющая давления, т. е. ∆pa, так как первая учтена в формуле
для тяги, которая определяется как интеграл от сил давления по внутреннему и внешнему контуру ракеты в проекции на ее ось симметрии.

Причем под внешним давлением понимается давление в окружающей
среде.

Исходными для расчета аэродинамических нагрузок являются гра-

фики распределения давления ∆pa и сил трения τ на единицу площади
по корпусу ракеты.
45

где μ-m /m0 — относительная масса ракеты (т, т0 — текущее и стартовое значения массы),

μ = 0,8325 - (2 · l(h3 Ък2 - 0,19Wk + 6,82)10-6 · (521 - O,U−-.)2 - 0,5(3,9(0,17,) −i· -I/n0)2;
n0 — начальная тяговооруженность ступени; Jη — удельная тяга дви-

гателя на Земле; ка = 1,05—1,15 — коэффициент увеличения удельной
тяги в пустоте; θfc — угол наклона вектора скорости к плоскости горизонта в конце активного участка, в градусах.

Ч/Чтах
1,0

0,5

0,2

0,4

0,6

t=t/T

Рис. 4.3

Высота (км), на которой достигается максимальный скоростной
напор, равна

hα = Л2у0Ц - v02) [I + μ(ln μ - Z)] [9,66 · 10^(-θfc - 15)2 + 5j9] 10-5з
где v0 = 1 ∕ n0 — стартовая нагрузка на тягу.
Плотность воздуха р = 1,225ехр(-/г1 / 6,3).
Для определения числа Маха, которое требуется при расчете аэродинамических коэффициентов, сначала находят температуру воздуха
на высоте /г1 км. В соответствии с рекомендациями [5] атмосферный
участок траектории в диапазоне высот 0 < /г < 85 делится на участки,
в пределах которых температура аппроксимируется линейной функцией вида T=T* + bQιλ - К), где индекс * относится к нижней границе
рассматриваемого слоя, а значения коэффициента Ъ и температур
на границах слоев берутся из табл. 4.1. Тогда скорость звука (м/с)

а = 20,04√Γ, а число Маха на высоте hλ M = v ∕ а.
Таблица 4.1
Высота, км

Параметр

11,1

-6,5 х

Ю-3

xlθ-з
Г.

286,15

2,8 X

xlθ-з

216,65

216,68

228,65

270,65

-2,8 х

-2х

—

xlθ-з

270,65

214,65

186,65
47

Конечно, при проверочных расчетах на прочность значение Xmax
может быть определено по данным траекторных расчетов ракеты.
Выражения для элементарных аэродинамических сил, действующих
на кольцевой участок корпуса длиной сЬс1г изображенный на рис. 4.4,
запишем в виде:

(4.1)

дх1

<Hι=-r*-αqSndXb

(4.2)

дхг

где сх1 = сх1(а, М, х{), с«х = c^(α, M, хг).
1 1

*p*^\

∕

fZ
β

4
с)

dχ·j

Рис. 4.4

С другой стороны, на основании данных о распределении давления
и трения по корпусу эти же силы равны:
2π

dX-,=

2πr(x1)τ + r(x1) J ∆pa(xj;φ)tgβdφ

dxι,

(4.3)

2π

dYλ = −r(xΥ) J Apa{x1;φ)smφdφdx1.

(4.4)

В (4.4) отброшена поперечная составляющая, создаваемая силами
трения, ввиду ее малости по сравнению с составляющей, создаваемой
силами давления. Приравнивая (4.1) и (4.3), (4.2) и (4.4), получаем
2π

дс■χl

дхг

qSπ

дхг

2πr(x!)τ + r(jr·i) J ∆pa tgβdφ

(4.5)

aqSm J0

(4.6)

Таким образом, производные от аэродинамических коэффициентов
могут быть вычислены в каждом поперечном сечении ракеты по известному распределению Ара и τ.
48

Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части

умножить на соответствующую перегрузку.

frι

G3πxl

σj

Phi

στ

σ1

Phi

σx

,"xl
Рис. 2.7

Очевидно, эти производные зависят от координаты хь что иллюстрирует график одной из производных, построенный на рис. 4.5 для
ракеты «Европа-1».

dCyl/dx1
0,04

а = 6°

M∞=l,3

^^^^

0,02

х, м

dCyl ∕ dxλ

/ а = 6°

0,04 К

M∞=l,43

0,02

JC, М

^1
Рис. 4.5

По известным производным от аэродинамических коэффициентов
нетрудно определить и соответствующие аэродинамические нагрузки

в сечении, расположенном на расстоянии хг от носка ракеты. Осевая
аэродинамическая нагрузка

Na(Xl) = qSmXj^dx.

(4.7)

Перерезывающая сила и изгибающий момент:

Qα(x1) = αqSmJ—^dx;
(4.8)
xl

xlxlfca

Ma(xι) = J Qa(x)dx = aqSm J J -^−dxdx.
∂x
о о

Если аэродинамические нагрузки определяются на границах участ-

ков, на которые разбит корпус по длине, то

Na(*;) = ΣXj, №/) =∑Yj,
j=l

j=l

−a(x;)- ∑Yj(xj -xw•),
j=l

где Xj, Yj — сила лобового сопротивления (без донной составляющей)
и подъемная сила j-ro участка; xt — координата правой границы рас49

сматриваемого участка; хда- — координата центра давления j-ro участка,
измеряемая от носка ракеты.

Из приведенных зависимостей очевидно, что максимальное значение осевых аэродинамических нагрузок на активном участке дости-

гается при максимальном скоростном напоре. Полная сила лобового
сопротивления всей ракеты отличается от осевой аэродинамической
нагрузки у основания ракеты ΛL(O на величину силы донного сопро-

тивления, и поэтому^ = Nα(0 +ХД- Если подставить (4.5) и (4.6) для
производных от аэродинамических коэффициентов в (4.7) и (4.8), то
xl

2π

Na(xi) = 2π j" r(x)τdx + J r(x) J" ∆pα tgβdφdx;
0

*ι

2π

(4-9)

Qa(x{) = - { r(x) J ∆pa smφdφdx.
о

Следует заметить, что определение ∆pa и τ в общем случае представляет самостоятельную аэродинамическую задачу, которая в настоящее

время часто решается экспериментально, и лишь в отдельных простейших случаях можно получить аналитические зависимости или численные решения.

4.2. Аналитические соотношения
для расчета аэродинамического давления

Из формул (4.9) очевидно, что расчет аэродинамической нагрузки
в любом сечении, расположенном на расстоянии хь не составляет особых трудностей, исключая проблемы, связанные с численным интегрированием, если известно распределение давления и трения по корпусу
ракеты.

Приведем некоторые аналитические соотношения для расчета аэро-

динамического давления, опубликованные в литературе, которые
позволяют определить аэродинамические нагрузки. Запишем выраже-

ния (4.9) с помощью коэффициента давления ср = ∆pa ∕ q:
xl

2π

.ι(·*:ι) = 2π j r{x)τdx + qj r(x) j cp tgβdφdx:;
о

*ι

2π

(4.10)

Qaixι) = -qj r(x) J cp sinφd<φdx.
о

При нулевом угле атаки (a = 0) поперечная нагрузка Q<j(xΥ) = 0, а для

расчета ср можно воспользоваться следующими формулами.

1. Заостренный конус с° = (1,56 +1,96∕ M£)β^7, где βfc — угол полу-

раствора конуса, рад; M∞ — число Маха в набегающем потоке (1 < M∞ <
< 8). Давление по поверхности конуса в этом случае постоянное. Коэф50

фициент давления для 1,05 < M∞ < ∞ при обтекании конуса с присоединенным скачком уплотнения равен

= sin2βfc

γ + 1 J√
1+(γ+i)^+2l/
(γ-l)K2 + 2 V 2 + K*j

(4.11)

где K = (M2,-l)sin2βfc — обобщенный параметр подобия. Этими же
формулами можно пользоваться и для расчета давления на усеченном конусе, если пренебречь эффектами, связанными с перестройкой
потока при развороте его на конус.

Параболическое оживало (рис. 4.6)
с° =

1,43

(1. 14еп-1),

где n-\,2M∞——0,157,ffc) —уравнение образующей оживала,
.

dx!

Рис. 4.6

3. Полусферическое затупление (рис. 4.7). Эмпирическое соотношение, основанное на схеме Ньютона, для расчета коэффициента давления между точкой торможения и так называемой стыковочной точкой, имеет вид

с° = ср0[1-D(cosβ)<4],

(4.12)

где β — угол наклона касательной к оси симметрии; ср0 — коэффициент
давления в точке торможения. Параметры А и D являются функциями
числа Маха набегающего потока. Формулы для расчета, полученные
методом наименьших квадратов, имеют вид:

А = 2,6054749 -0,4659981M∞ + 0,09303905М2 -

- 0,00817329Мй +0,00026447Mi;
D = 1,570367-0,565058M∞+0,207Π67M2- 0,0341656MB, + 0,00210593Mi (для 1,5 < M∞ < 3,8);
D = l, 0081057-0,0132323M∞+0,00164959M£-0,00006797M3
(φm3,8<M∞<10).
51

Рис. 4.7

Диапазоны изменения коэффициентов: 1,72 < А < 2,09, 0,97 < D ≤
≤ 1,08. Если принять А - 2, a D - 1, то получится модифицированная
формула Ньютона:

. = Сро [1 - cos2 β] = Сро sin2 β.

Давление, необходимое для вычисления ср0 в точке торможения,

определяется по формуле Рэлея:
Ро_

γ+1

yΛv
γ-ι

2YM2_Y-1H
.-

со

γ+1

P·»

γ+1

и тогда

Lp0

2(p0-p∞)_ 2
γp∞M2
γM2

По формуле (4.12) вычисляется c%, а затем давление на теле

i_=i_ico+1
Poo

и число Маха, соответствующее этому давлению

н
Ь~Ч.IpJ
,

γ-ι

γ −ι

Полученное значение М сравнивается с Мт в стыковочной точке,
которое определяется из выражения

Мт =0,724667 + 0,373147M∞ -0,06498948М2 +
+ 0,00640026М2, -0,00025873 Mi (для 1,5< M∞ <IO).
Между стыковочной точкой и конусом давление определяется методом скачков расширения. В соответствии с этим методом тело разбивается на ряд участков, в пределах которых строятся касательные усе-

ченные конусы (рис. 4.8). Давление на первом конусе, касательном
52

к телу в стыковочной точке, принимается постоянным, а на следующем
за ним конусе определяется методами первого или второго порядка.

В методе первого порядка давление вдоль каждой конической поверхности также считается постоянным и вычисляется по известному углу

наклона образующей конуса с помощью следующих формул, описывающих расширение потока в течении Прандтля — Майера. Число Маха
находится по известному углу Прандтля — Майера — v(Λi):
М=

l+l,3604α + 0,0962α2 -0,5127α3
l-0,6722p-0,3278p2

где a = (v ∕ vmax) - , Vmax = -

γ+1

γ-1

— максимальный угол поворота

(vmax = 2,277 для M∞ → ∞ и γ = 1,4). В данном случае v = v(Mm) + ∆β, где

v(M) = 4 \^- arctg4 P^i(M2 -1) - arctg√(M2-l)
\γ-1

\γ-1

— функция Прандтля — Майера; ∆β — угол разворота потока от предыдущего конуса к последующему (разность углов наклона образующих).

Рис. 4.8

Давление определяется по изэнтропической формуле
_Р_

γ-1

М2

γ-l

Ро

где р0 — давление в точке торможения тела. Если конус имеет отрицательный угол наклона, давление на нем принимается равным давлению p∞ в набегающем потоке.
В методе скачков расширения давление на конусе принимается
не постоянным, а изменяющимся по экспоненте от р2, определяемом

течением Прандтля — Майера в точке соединения конусов, до давле53

Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части

умножить на соответствующую перегрузку.

frι

G3πxl

σj

Phi

στ

σ1

Phi

σx

,"xl
Рис. 2.7

ния рс, соответствующего давлению на заостренном конусе, определяе-

мому по формуле (4.П). Тогда
(4.13)

Р=Рс-(Рс-Р2)<гч,
где

η=

'др
х-х2
βsJ2(pc-p2)cosβ2

Градиент давления в точке пересечения конусов равен

v9sy

q(M2)
sinβ-sinβ2
q(Mι)

fZn\

B2 q(M2)
Bi q(Mx)

dp
∂s

где В = γpM2 ∕ l(M2 - 1); г — безразмерный радиус тела в калибрах

l + M2(γ-l)/2

γ+l
2(γ-l)

— функция расхода; s — коор(γ+l)/2
дината, отсчитываемая вдоль образующей конуса. На первом конусе,
миделя; q(M) = —
М

проходящем через стыковочную точку,

'∂p
Э5

постоянно на начальном конусе. Производная

-О, так как давление

Эр
∂s

в конце предыду-

щего конуса определяется численно с помощью формулы (4.13).
Описанная схема позволяет рассчитать давление на осесимметрич-

ных телах любой формы, состоящих из комбинации конусов и криволинейных тел. Единственным ограничением метода является то, что градиент давления

'∂pλ
-----

в точке пересечения конусов должен иметь такой

as ^

же знак, что и разность (рс - р2), так как в противном случае давление
на правой границе конуса не будет достигать рс.
Для расчета коэффициента давления за звуковой точкой можно
также воспользоваться эмпирической формулой Эндрюса:

c°=cp0sin2β +

0,78
М2-27

cos β sin β-

0,95cosβ
exp[2,235(M∞-l)

При несимметричном обтекании (α ≠ 0), кроме осевой, появляется
еще и поперечная Qa(x^ аэродинамическая нагрузка, а коэффициент
давления в этом случае определяется по формуле
са — с0 + Дс
Р

(4.14)

р'

Для заостренного конуса под углом атаки

Аср = sin2asin2βfc cosΦ + sin2 a cos2 βfc x

Vк■U
54

a-tg2βfc)-

2 + — sin2Φ
KiU

(4A5)

где Ф — круговой угол, равный нулю в наветренной плоскости и 180° —

в подветренной; Кг = √M2, -1; βfc — угол полураствора конуса.
Формулы (4.14) и (4.15) дают надежные результаты при M∞ > 1,5
и углах атаки α ≤ 15°.
Для тел вращения, в том числе тел, составленных из нескольких
конусов, коэффициент давления

c<* = c°(x) + sin2αcosΦΛ(x) + sin2 a[Γ(jc)cos2 Φ + ∆(x)sin2 Φ] ∕ 2,

(4.16)

где x — осевая координата (в калибрах миделя);

1 f∂p/p^

Λ(x) =

Γ(x) =

γM2У

да

jФ

,a-=O

2 (д2р/р«
yMl V

∆(x) =

"(Х

Уф=0,а=0

2 f∂2p/P< ^

V 9α2 ;φ=5,a=0
2

Весовые функции Λ(x), Γ(jc), ∆(x) аппроксимируются вдоль конусов
в методе скачков расширения аналогично давлению:

Л - Лс - (Лс - Λ2)e-i; Δ = ∆c - (∆c - ∆2)e-i; Г = Γe - СГС - Г2)еЛ
т. е. изменяются по экспоненте.

Значения производных от давления в весовых функциях с индексом «с»
определяются с помощью формул (4.14) и (4.15) для коэффициента давления на заостренном конусе. Что касается значений весовых функций
в начале конуса (индекс «2»), то их рекомендуется определять по следующим формулам [6]:

А2 = (λ2 ∕ λι)Aι,

Г2 = [Г2 + 2γp∞M2Λ2(F2 -Fi) ∕λj]λ2 ∕λι;
F = [ (γ + l)M4 ∕ 2 - 2M2 + 2] (M2 -1)3/2;
λ = 2γp ∕ sin 2μ; μ = arcsin M.
Здесь при вычислении весовых функций в конце предыдущего
конуса (индекс «1») используется формула для с° на заостренном конусе
(4.11). Что касается р2, то оно определяется из условия локального расширения потока в волне Прандтля — Майера в рассматриваемом меридиональном сечении.

При несимметричном обтекании формула (4.16) используется для
двух сечений, соответствующих Ф = 0 и π. Большим достоинством формулы является то, что весовые функции в заданной координате для
сечений вычисляются один раз.
55

Полученные значения давления можно затем использовать для аппрок-

симации профиля давления в окружном направлении: ∆pα = ∆pφ=π +
+ ∆pa, где ∆pφ=π — симметричная составляющая давления, определяемая на подветренной стороне; ∆pa = (∆pφ=0 − Δpφ=π)cos Φ — антисимметричная составляющая давления (рис. 4.9); Ф — угол, отсчитываемый
от направления, противоположного осиуг против часовой стрелки.

Рис. 4.9

4.3. Расчет осевой погонной нагрузки
по известному аэродинамическому коэффициенту
Корпус любой ракеты удобно представить в виде комбинации усеченных конусов, в пределах которых среднее аэродинамическое давле-

ние можно считать постоянным. В то же время для коэффициентов сх1
накоплен обширный экспериментальный и расчетный материал, который можно с большой эффективностью применить для расчета погонной аэродинамической нагрузки.
Если пренебречь трением, что допустимо без большой погрешности
при сверхзвуковых скоростях полета, то формулу (4.5) для погонной
аэродинамической нагрузки можно записать так:

qa=qSi-τf=r(ξ)J∆p,,tgβa.
σξ
о

(4.17)

Но для усеченного конуса (рис. 4.10)

tgβ=(r1-ri_1)/ii,

(4.18)

где rf, гг-1 — радиусы правого и левого оснований конуса; lt — длина
конуса по его оси. Тогда, принимая Ара = const в пределах конуса,
из (4.17) получаем
&
56

Cχl = r(ξ)2π∆pa tgβ = 2π∆pa tgβ(r^ + ξtgβ),

3ξ

(4.19)

где ξ — осевая координата, отсчитываемая от левого основания конуса
(см. рис. 4.10).

Рис. 4.10

Сила лобового сопротивления конуса

Xi = qSiJ%3-3ξ
= 2π∆pα tgβ(r^Z· -Дtgβ),
о dζ
2
или, после подстановки (4.18) для tgβ и преобразований:

X, = π∆pa(η2-^).

(4.20)

Выразим теперь ∆pa через сх1, коэффициент силы лобового сопротивления i-ro участка. Так как

Xi = c^qSi,

(4.21)

то, приравняв (4.20) и (4.21), получим
(4.22)

так как характерная площадь для усеченного конуса St − π(η2 − η^). Подставим теперь ∆pa из (4.22) в выражение (4.19) для погонной аэродинамической нагрузки и после преобразований получим
дс

qS· —f- = 2πcxlq

(.П-П-ι)2

. (Γ{-Ii-i)

Это выражение позволяет определить осевую погонную аэродина-

мическую нагрузку в любом сечении конуса, расположенном на расстоянии ξ от меньшего основания по известному коэффициенту силы
лобового сопротивления всего конуса.
Приведем несколько зависимостей для расчета сх1 при нулевом угле
атаки, которые могут быть полезны на стадии проектировочных расчетов на прочность.
57

При дозвуковых скоростях полета, когда М„ < 1, коэффициент силы
лобового сопротивления участка корпуса равен

_0,0315Re -146S6

Cχl~ √l + 0,2M£Sm

где Sm — площадь миделя; S6 — площадь боковой поверхности участка;

Re = pv∞d ∕ μ — число Рейнольдса; d = √4Sm ∕ π — диаметр миделя
ракеты; μ = 1,458 ■ l(H[T3- ∕ (Γ+ 110,4)] — вязкость воздуха.
При сверхзвуковых скоростях полета, когда можно пренебречь трением, аМ»1:

а) полусферический носок: сх1 = 2sin2φ0(l - i ∕ 2sin2φ0), где φ0 —
половина угла сектора полусферического затупления;
б) усеченный конус длиной if с левым диаметром dt_λ, а правым df >
> d^Cjc! = fcsin2 β, где fc = 3 при M∞ < 5; fc = 2 при M∞ > 5.
Более точные значения коэффициента сх1 можно получить, если

воспользоваться формулами для коэффициента давления с£, приведенными в параграфе 4.2.

4.4. Расчет поперечной погонной нагрузки
по известному коэффициенту подъемной силы
Пусть теперь известен коэффициент подъемной силы сх1 всего

конуса, изображенного на рис. 4.10, или производная с^. Отнесем эти
коэффициенты, в отличие от предыдущего случая, к площади миделя,
а выражение для погонной аэродинамической нагрузки будет таким:
9cα

2π

σξ

αqSm −rf− = −r(ξ) J ∆pα sinφdφ.

(4.23)

Вдоль образующей конуса давление будем считать постоянным,
а в окружном направлении антисимметричную часть его аппроксимируем зависимостью

∆pa = Δpmcos Ф = -∆pτsin φ.

(4.24)

Симметричная составляющая давления поперечной нагрузки не создает. Подставляя (4.24) в (4.23) и интегрируя, получаем

aqSm—f- = -r(ξ)Δpm-.
Но подъемная сила всего конуса

0
58

dξ

откуда

ΔPm =

CymSπι
У

^kOi+n-i) ^Wι + n-ι)

Подставим полученное выражение в (4.24):
Эс«.

αqs„

∂ξ

4myl Wi+n-O

или

_zl-.
9ξ

П-ιk
+ξ
кНп+п_о (n-n-J

JnzJL·λ

.1/2

(4.25)

Теперь по известному значению с^ всего конуса нетрудно определить его производную по осевой координате, а следовательно, и погонную поперечную нагрузку.

Рассмотрим практически важные случаи применения полученной
формулы.
Для головного отсека (r^ = 0, c°j = 3)

--6«.
Для прямого конуса (rf > г;-1)
г2_г2

ro. _qΓi

Cyl_J

Γi-1

r2
'i

после подстановки в (4.25)

Эс.

g(η-η-ι)2

3ξ

?rf

τ^+ ξ

Для обратного конуса (rf < г;-1)

φ=4>.7(r&-/?)//&,
тогда

Эс«.

·yi_

9ξ

0,14

(Π-Γ^)2

П-ιk

№

.fri-Π-ι)

+ξ

В последнем случае погонная нагрузка будет отрицательной.
Приведем еще формулу для коэффициента подъемной силы цилиндра длиной Z; и радиусом r{. c^λ - 0,75(ζ ∕η)α, а его производная по осевой координате

дс^/д^ = 0,07Ъ{а/гд.
59

Более точные значения аэродинамических коэффициентов и их производные можно получить, если определить давление по формулам,
приведенным в параграфе 4.2.

4.5. Учет воздействия ветра
при определении аэродинамических нагрузок

При полете ракеты в атмосфере на нее могут действовать дополнительные аэродинамические нагрузки, причиной которых является
ветер, всегда существующий в атмосфере. В расчетах на прочность
удобно ветровые движения разделить на следующие группы в зависимости от градиентов их скорости по ординатам и времени:

1) струйные течения — движения масс воздуха большой протяженности и относительно небольшой толщины;
2) местные порывы ветра, у которых скорость нарастает от нуля
и до максимального значения менее чем за 2 с на протяжении 300—500 м;

непрерывная атмосферная турбулентность, которую в расчетах

на прочность принято представлять в виде суммы однократных поры-

вов ветра, действующих на ракету один за другим.
Последнее условие позволяет учитывать лишь воздействие струйных
течений и порывы ветра. Наибольшую величину скорость ветра принимает на высотах 10—15 км.

Для определения скорости ветра w (м/с) на высоте h (км) можно
воспользоваться следующими аппроксимационными зависимостями:

w = 11,5ехр (0,195/г); 0 < h < 10,5;
w = 21exp[4,93 ■ 10 - 3(27-/ι)2]; 10,5 <h ≤ 27;
w = 21;h>27.

Конечно, скорость ветра зависит от многих факторов, таких как
место на поверхности Земли, над которым она измеряется, время суток,
года и т. п. На стадии проектных расчетов учесть их не представляется
возможным.

На рис. 4.11 приводится профиль скорости ветра Сиссенвайна, который относится к 30° северной широты на территории США в районе
мыса Кеннеди.

Рассмотрим влияние ветра на полные аэродинамические силы
и перегрузки центра масс всей ракеты. Ограничимся двумя экстремальными случаями, когда ветер направлен по вектору скорости центра масс

ракеты (встречный ветер) и перпендикулярно ему (поперечный ветер).
1. Встречный ветер (рис. 4.12). В этом случае

,∑ = cxlq-∑Sm; Y1∑ = c^αqΣSm,

где q∑ = ρv| ∕ 2,a v∑ = v∞ + w — суммарная скорость набегающего потока.
60

w, м/с

Рис. 4.11

Представим выражение для скоростного напора в виде

qΣ = p(v∞ + M/)2/2≡

pvi

1 + 2— =q 1 + 2—

где w = wc + wn; wc — скорость струйного ветра; wn — скорость порыва
ветра. Тогда

Рис. 4.12

Увеличение Хг и Yλ при учете встречного ветра обычно незначительно и не превышает (2—6)%.
2. Поперечный ветер (рис. 4.13). В этом случае изменяется сум-

марная скорость центра масс и угол атаки: v∑ =√v£+w2. Угол атаки
изменится на величину ∆α = w ∕ v∞ и суммарный угол атаки a∑ = a + ∆a.

К моменту воздействия ветра на ракету ее подъемная сила Yx = c^aqS^

В соответствии с принятой классификацией ветровое движение
можно разделить на струйное течение и порыв ветра. Установлено,
что органы управления баллистической ракеты успевают компенсировать лишь струйную составляющую ветра, а порыв заставляет поворачиваться ее вокруг центра масс. Вычислим поперечные перегрузки
центра масс и точек, не совпадающих с ним в этих условиях. Имеем
61

Yι∑=<yι*∑q∑Sm> гДе g∑=Pv∑/2· Кроме того, n°∑ = (Y1∑ + Yp)/mg, где
Yp — суммарная управляющая сила. Для ее определения воспользуемся
условием равенства аэродинамического и управляющего моментов:

Мр+Мс = О, откуда Мр = YpQp - xlm) или Yp = Mc/ (lp - xlm). Здесь Мс =
= m^q^^jZ — аэродинамический момент, вычисляемый с учетом лишь
только струйной составляющей ветра.

Рис. 4.13

Теперь определим перегрузки в точке, не совпадающей с центром
масс, имея в виду, что она вращается вокруг него в возмущенном дви-

жении, являющимся следствием воздействия порыва ветра. Имеем εz =
= dwz ∕ (dt) - ΔM„ ∕ Iz, где L — массовый момент инерции вокруг оси,
проходящей через центр масс, которая перпендикулярна плоскости

стрельбы; АМп = M∑ - Мс; M∑ = mz∑q∑S.J. — аэродинамический момент,
вычисляемый с учетом обеих составляющих ветра. Получаем

nyl = nyl∑ + ~;

(·*Lm ~·*l)·

В некоторых случаях необходимо знать лишь аэродинамическую
нагрузку, создаваемую порывом ветра. Подъемная сила, создаваемая
порывом, равна

ΔYiπ - ^i∑ − Y\c>

где Y1∑ = c«αΣqΣSm, Ylc = c«acqcSm.

Дополнительные перегрузки центра тяжести от порыва ∆n°x =
= AYln ∕ (τng), а перегрузки в произвольной точке ракеты, не совпадающей с центром масс,

∆nyl =—^
+ -^(x-b,
-Xι).
mg
Izg
62

Вычислим также погонную нагрузку, создаваемую порывом в поперечном направлении, представив ее в виде двух составляющих — мас-

совой и поверхностной:

qm(x{) = m(xJgAn^;

ча(*ι) = −j^-α∑q∑Sm − −zg−αcqcSm,

(4.26)

но

V
* oo

V
r oo

a∑ = a +—+—n- = ac+—
q∑ =

l + 2Wc + W"

pv≈
V

<Zc =

2 ρ·
pv;

1 + 2^

Если скорость ветра значительно меньше скорости центра тяжести

ракеты, т. е. w - (wc + wn) « v∞, то q∑ ≈ qc - q и выражение (4.26) принимает вид

qCxι) =

Эф w„
Эх--. v„

qSm-m(x1)gΔnyl,

а суммарная перерезывающая сила, создаваемая порывом ветра, равна

W„ г σcyl

jel

ΔQn(xj) = qSm — j −p-dx -g j m(x)Anyl(x)dx;
v∞ о °xι

изгибающий момент
xl

AMn(Xl)= j AQn(x)dx.
о

Таким образом, последнее соотношение позволяет замкнуть схему
вычисления воздействия ветра на ракету.

5. Газодинамические нагрузки
Источником возникновения газодинамических нагрузок (давления
на корпус ЛА и его нагрева) являются сверхзвуковые струи, истекающие из сопл ракетных двигателей.

5.1. Газодинамическая картина течения в струе
Газодинамическая картина течения в сверхзвуковой струе, вытекающей из плоского или осесимметричного сопла, зависит от нерасчетности струи п, равной отношению давления на выходе из сопла ра к давлению окружающей среды рн, от угла раствора сопла, от состояния среды
(скорости ее движения, плотности, температуры), в которую струя
вытекает, а также от значения параметров на выходе из сопла.

В перерасширенной струе нерасчетность истечения п = ра / рн < 1,
т. е. давление в выходном сечении сопла меньше, чем в окружающей
среде. Истечение с недорасширением имеет место при п > 1, т. е. при
ра/рн>1.
Сверхзвуковую газовую струю принято условно разбивать на три
участка: начальный (газодинамический), переходный и основной.
Течение на начальном участке определяется градиентами давлений,
влияние вязкости и теплопроводности сказывается лишь в тонком

пограничном слое. Основная структура потока на этом участке может
быть определена при рассмотрении задачи газовой динамики в рамках
идеальной жидкости. На основном участке давление в струе равно давлению в окружающей среде, а течение, определяемое вязкостью, имеет
характер источника, координаты центра которого заранее известны
и зависят от параметров на срезе сопла, из которого происходит исте-

чение газа. На основном участке осевая скорость становится максимальной по сечению, и для него справедливы основные соотношения

теории турбулентных струй. Между начальным и основным участками
заключен переходный участок, где существенно влияет турбулентность, но имеется ядро постоянной скорости и максимальная скорость
по сечению не лежит на оси струи. На переходном участке в общем
случае решение определяется и вязкостью, и градиентами давления,

поэтому можно приближенно считать, что давление здесь также равно
давлению в окружающей среде.
Можно выделить следующие газодинамические картины течений
на начальном участке газовых струй, истекающих из сопл основных,
управляющих или тормозных двигателей.
64

Истечение струи в полузамкнутый объем. Окружающая струю

среда имеет дозвуковые скорости. Давление в выходном сечении сопла

меньше, чем в окружающей среде, более того, струя может начинаться
внутри сопла, в котором произошел отрыв газового потока от его стенок.

На рис. 5.1 (1 — падающий скачок, 2 — отраженный скачок, 3 —
волна разрежения, 4 — внутренняя граница слоя смешения, 5 — внешняя граница слоя смешения, 6 — условная граница, 7 — центральный скачок, 8 — разделяющая линия тока) приводятся схемы течения
на начальном участке перерасширенной струи, истекающей в неподвижную окружающую среду.

Рис. 5.1

В перерасширенной струе повышение давления на кромке сопла
от ра до рн происходит в падающем скачке, перед которым течение

является продолжением течения в сопле. В зависимости от нерасчетное™ возможны три характерных режима течения:

а) при п ≤ nΥ < 1 отражение падающего скачка от оси симметрии
происходит регулярным образом (рис. 5.1, а);
б) при п < пг падающий скачок отражается нерегулярно (рис. 5.1, б)
с образованием маховского диска, за которым течение становится дозвуковым. Из тройной точки В выходит линия тока 8 (в идеальном газе
линия тангенциального разрыва), разделяющая течения за отраженным и центральным скачками. В реальном газе вдоль линии образуется
зона смешения. При взаимодействии отраженного скачка 2 с областью
постоянного давления образуется волна разрежения 3 и формируется
новая «бочка» струи;
в) при п. < пг из-за отрыва пограничного слоя на стенке сопла падающий скачок перемещается внутрь сопла (рис. 5.1, в).
2. Истечение струи в неподвижную окружающую среду или
в пустоту (на высотах, превышающих границу атмосферы, — свыше
80 км). Давление в выходном сечении сопла больше, чем в окружающей среде, поэтому струя истекает с недорасширением. Схема течения
65

на начальном участке недорасширенной струи, истекающей в неподвижную окружающую среду, приводится на рис. 5.2, а при истечении
в вакуум — на рис. 5.3.

Рис. 5.2

Рис. 5.3

В струе на рис. 5.2 на кромке сопла в точке А происходит расширение в центрированной волне разрежения 9. Ниже по потоку внутри

струи зарождается висячий скачок уплотнения 1, образование которого
можно объяснить следующим образом.
Условие постоянства давления вдоль границы расширяющейся
сверхзвуковой струи приводит к ее искривлению и образованию волн
сжатия, идущих внутрь струи. Пересечение волн сжатия формирует
висячий скачок, имеющий бочкообразную форму, который обычно
отражается от оси симметрии с образованием маховского диска 7,
за которым течение дозвуковое. Лишь при слабом недорасширении
(например, при п < 3 для Ма = 3, α = 0) возможно регулярное отражение.

Предельный случай недорасширенной струи — истечение в вакуум.
В этом случае в струе не возникают ударные волны. В рамках модели
идеального газа на кромке сопла происходит разворот потока газа

на предельно возможный при заданных Ма и а (угол полураствора
сопла) максимальный угол разворота -θmax (см. рис. 5.3).
66

сти и диффузии, протекающими ниже по течению от сопла в слое смешения.

Пограничный слой в сопле повышает энтропию в струйках тока,
протекающих вблизи границы струи, и тем самым уменьшает поперечный градиент энтропии в этой зоне по сравнению со случаем невязкого
течения. Пограничный слой на наружной поверхности обтекаемого
аппарата взаимодействует с истекающей из сопла струей. При истечении на режиме перерасширения или на режимах с небольшими недорасширениями (п < 10) и при острой выходной кромке сопла реализуется безотрывное взаимодействие (см. рис. 5.4).
С увеличением нерасчетности возникает отрыв наружного пограничного слоя и реализуется течение, схематически изображенное
на рис. 5.5 (1 — ударные волны; 2 — зона смешения). При этом перед
зоной отрыва (как на изломе образующей твердой стенки) образуется ударная волна, если спутный поток является сверхзвуковым.
При дальнейшем увеличении степени нерасчетности длина отрывной
зоны возрастает и оказывается равной длине аппарата (при ламинарном режиме течения можно считать, что это практически реализуется

всегда), и далее начинает увеличиваться угол отрывной зоны (рис. 5.6).
При этом последний всегда меньше, чем угол наклона границы струи
вблизи выходной кромки сопла, так что достижение предельного угла
отклонения внешнего потока в коническом скачке уплотнения здесь

затягивается по сравнению со случаем невязкого обтекания.
1

1
2

б
Рис. 5.5

Истечение струи навстречу сверхзвуковому потоку. Эта

картина течения возникает при работе тормозных двигателей отделяемой ступени, когда струи двигателей истекают в набегающий поток
с большими нерасчетностями, так как давление на высоте, где происходит разделение, мало. Струи тормозных двигателей взаимодействуют
между собой и корпусом РБ, образуя течение, направленное навстречу
набегающему потоку. В этих условиях систему одинаковых струй тормозных двигателей можно заменить одной эквивалентной по расходу
68

струей. Для некоторых, достаточно больших значений степени нерасчетности (п > 106) перед отрывной зоной, имеющей угол, больший
предельного, в спутном потоке образуется отошедшая ударная волна 3
(рис. 5.7).

Рис. 5.6

Рис. 5.7

В набегающем потоке и сверхзвуковой струе образуются отошедшие
ударные волны с дозвуковыми скоростями течения за ними. Между
ними располагается разделяющая поверхность, на которой давление
со стороны струи и внешнего потока одинаково. В частности, на оси

струи будут одинаковыми давления торможения за прямым скачком уплотнения. На рис. 5.7 изображена описанная модель течения,
на которой 1 — критическая точка, 2 — разделяющая поверхность,
3 — скачок уплотнения в набегающем потоке, 4 — центральный скачок, 5 — отраженный скачок уплотнения в струе.

5.2. Геометрические размеры струи
при истечении в неподвижную среду
В результате экспериментального исследования недорасширенных

струй подогретого воздуха в диапазоне нерасчетностей п = 1-5-4 • 104,
69

чисел Маха в выходном сечении сопла Ма - 1-4-6 и углов полураствора
конического сопла а = 0-н20° В. С. Авдуевским и др. [7] получены следующие эмпирические формулы для характерных продольных и поперечных размеров начального участка струи (рис. 5.8):

хс ∕ da = [0,8 + 0,085(Mα - 2,l)2]Ma(n - 0,5)4 Ма = 1н-3,6;

(5.1)

хс ∕ da = (2 + 0,435Ma)(π - 0,5)°·5, Ma = 3,6н-6;

(5.2)

х1/хс0,ЪЪ-Ътг2,п>А;

(5.3)

х2/хс0,9,п>6;

(5.4)

xB/xc = l+3 + 0,5rr3, n>l;

(5.5)

d−. ∕4 -(1,7M°-25 -1)(π - −l),n>n*;

(5.6)

d, ∕ d„ = 1, n ≤ n*, τu = [Ml ∕ (Afi - 0,59)]2;

(5.7)

dB ∕ d! = 1,15 + 1,5η-1, n > 2,5;

(5.8)

d2 ∕ da = 1,38 + 2η-1, n > 5;

(5.9)

dc/da = 0,65(n - - l)cos[π(Ma - 1,9) ∕ 4,6], Ma = 1н-4,2;

(5.10)

dc/da = 0,Ma>4,2.

(5.11)

В 7

^ι

c-s ^l*
5

χ,1 2
Рис. 5.8

Здесь dx — максимальный диаметр висячего скачка уплотнения;
d2 — максимальный диаметр струи; dB — диаметр струи в сечении, где
граница струи пересекается отраженным скачком уплотнения; х1} х2

и хв — расстояния от среза сопла до сечений, где диаметр висячего
скачка уплотнения и диаметр струи максимальны и граница струи

пересекается с отраженным скачком уплотнения. Поперечные раз-

меры d2 и dB относятся к границе струи, получающейся на теневых
фотографиях и соответствующей области наибольших градиентов
плотности газа.

Сравнение экспериментальных данных с результатами расчетов
для недорасширенных струй идеального газа дает удовлетворительное
совпадение характерных продольных размеров струи. Влияние вязкости приводит к некоторому уменьшению расстояния до маховского

диска хс по сравнению с расчетом. Отличие возрастает с ростом Ма.
Качественное согласование с результатами расчетов имеется и для
максимального диаметра висячего скачка уплотнения. Хорошее коли-

чественное согласие для п » 1 наблюдается при Ма = 3. В случае
Ма - 1 расчет дает завышение, а при Ма - 5 — занижение примерно
на 20—30% по сравнению с опытом.
Весьма существенное различие между экспериментальными данными и расчетом невязких струй обнаруживается в отношении диаметра центрального скачка уплотнения. Существенное уменьшение dc
в реальной струе по сравнению с идеальной связано с оттеснением
висячего скачка уплотнения к оси струи слоем смешения, развиваю-

щимся на границе. Оттеснение висячего скачка имеет место при всех

числах Ма, но проявляется тем сильнее, чем Ма больше.
Для расчета геометрии сверхзвуковой струи применима также
нестационарная аналогия (закон плоских сечений), в соответствии
с которой двумерное стационарное течение сводится к одномерному
нестационарному. Применимость метода определяется постоянством
продольной составляющей скорости газа в сжатом слое между висячим скачком уплотнения и границей струи и малыми углами наклона
модуля скорости газа к оси струи. В [8] получено следующее аналитическое соотношение для определения координат границы струи:

Ут

Уп

ξe1^,
г--]
Ут)

где ут — максимальный радиус границы струи; х2 — его осевая коор-

дината; ξ = х / х2. Там же приводятся следующие формулы для расчета
максимального радиуса границы струи ут и его осевой координаты х2:
У&=1 +

fc-1

mi;

!_n¥+Mι__.(Mαα)2
0,25

х2 - у/кпМа

fcM2

Для определения уравнения висячего скачка уплотнения запишем

сначала выражение для толщины сжатого слоя δ(ξ) между границей
струи и висячим скачком уплотнения:

δ(ξ) + ξei-ξ=Λ(ξ).
Тогда уравнение висячего скачка уплотнения можно записать так:

^ = ^-δ(ξ),
71

или

-^■− = —(l-ξe -O + f(ξ).
Здесь
0,5

Λ(ξ) = 2ξ-√2fc-^ξ2 1-0,5
U_

w„

1—

Ут)

fcM2

Для распределения статического давления по толщине сжатого слоя
в [8] предлагается следующая зависимость:

!__ = _.+

\_PL\ZzyL,

где

*L = l-I (l-J

Рн

2—

W„ V.

Ут;

1-^

0,5

Ут;

5.3. Параметры струи на начальном участке
Теперь рассмотрим, как можно определить параметры газового

потока в самой струе, необходимые для расчета газодинамических
нагрузок на корпус ЛА.
Течение вблизи среза сопла. Область течения ограничена выходным
сечением сопла и первой характеристикой АВ, сходящей с ее кромки
(рис. 5.9).

μι
π

1 · ctg а
K„
R

Рис. 5.9

Полагаем, что здесь реализуется течение от пространственного

источника, центр которого (точка 0) находится на пересечении с осью
72

струи луча, проходящего через кромку сопла и наклоненного под углом,

равным углу полураствора сопла в его выходном сечении. Тогда, если

через R обозначить расстояние от центра источника до данной точки М,
число Маха и другие параметры в ней определяются как
Л2

= q(M) = M

(fc+i)
2(fc-U

(fc+l)

2 + (fc-l)M2

(5.12)

скорость, отнесенная к скорости в критическом сечении сопла,
1

(fc + l)M2
2 + (fc-l)M2

а*

(5.13)

плотность
1

Г (fc+i) ]

Р _

k-l

_2 + (fc-l)M2.

р*

(5.14)

)

давление
к

1Г

Р*

p*α*2

(fc+i)

1 fc-1

2 + (fc-l)M2

(5.15)

где индексом * помечены соответствующие значения в критическом

сечении сопла. Если сопло профилированное, то за исходные необходимо принимать параметры потока на срезе сопла, а не в критическом

сечении, и тогда формула (5.12), например, примет вид
/C+I

Л2

^2 + (fc-l)M2~ 2№-1)
2 + (fc-l)M2

(5.16)

или

ДаГ= д(м)
RJ

q(Aia)'

(5.17)

Если все линейные размеры относить к радиусу выходного сечения
сопла, то из рассмотрения геометрии течения (см. рис. 5.9) следует, что
R=

x + ctga

(5.18)

cos a

Ra =

1_
sin a

(5.19)

Тогда для определения координаты хв, в которой первая характеристика, сходящая с кромки сопла (рис. 5.10), пересечет его ось, получается такая зависимость:

хв=^Ш--сЪа,

(5.20)

sιnα\q(MB)

где число Маха Мв в этой точке определяется равенством
v(MB)=v(Ma) + 2a.

(5.21)

Пограничный

Граница

] слой

Изобарическое
сечение

Рис. 5.10

При a = 0 характеристика АВ — прямая линия, наклоненная к продолжению сопла в точке А под углом:

μa=arcsin

Ма

(5.22)

В общем же случае, когда α ≠ 0, она изогнута, а способ построения
ее ясен из рис. 5.10.

При очень больших значениях числа Маха на срезе сопла значение v(Mg) может превышать максимальный угол поворота в волне
Прандтля — Майера vmax и первая характеристика не пересекает ось,
асимтотически приближаясь к одной из линий тока источника, наклоненной к оси под углом:

θ= α--^[vmax-v(Mα)].

(5.23)

Все линии тока внутри этого угла не подвержены воздействию разворота потока на кромке сопла, а течение от источника будет существовать на всей оси до бесконечности. Максимальный угол равен
fc+1
"max

fc-1

(5.24)

Распределение чисел Маха вдоль оси струи. На больших расстояниях от выходного сечения сопла в струе реализуется течение от источ-

ника с полюсом, расположенным в центре среза сопла, но с различной
интенсивностью на различных линиях тока.

Анализ опубликованных в литературе данных показывает, что линии
тока можно считать прямолинейными уже начиная с расстояний х > 10 радиусов выходного сечения сопла. В результате численных расчетов установлено, что интенсивность источника зависит также и от продольной
координаты R. Отношение плотности газа на оси симметрии к плотности
в выходном сечении сопла можно определять по формуле [9]:

-^ = B(R"2),

(5.25)

Ра
где
fc+ι

Ма

в=—Ч

fk+1 . cfc-i)

гЧгт—·

(5·26)

Для аппроксимации чисел Маха на оси симметрии можно также
пользоваться следующей зависимостью, в которой произведена сты-

ковка с числом Мв в точке пересечения первой характеристики (АВ
на рис. 5.10) с осью струи [10]:

x = xB+√φ(O) /■

q(M)

(5.27)

где

φ(O) =!^ΦiU,

(5-28)

где θmax — максимальный угол поворота потока при расширении
в пустоту, равный
"max

„

*-Γ1

−v(Mf),

(5.29)

а функция Прандтля — Маейера

V(M) =)ιfcιarct •∕t^ι(M'""° "arctg^(M2"1}·

(5·30)

На основании расчетов но методу характеристик в [11] предложена
зависимость

М(х) = Мв+—(х-хв)к,

(5.31)

где А - 3,35 - 4,5(0,426Mα - l)(0,834fc - 1), которой рекомендуется
пользоваться в диапазоне к = 1,2—1,4 и чисел Маха Ма > 2. В интервале
О < х < 20 в [12] предлагается пользоваться зависимостью:
М

= м _1+°Cχ-j^Γi+b)

(5.32)

-1 + с

в которой a = 3,56 + O,Ole · 7fc; b = 1 + 0,024e3· ; с = 1,7 + 0,019e · *.
Область свободного расширения. Эта область (см. рис. 5.10) ограничена висячим скачком уплотнения 2, первой характеристикой АВ,
сходящей с кромки сопла, и ее отражением от оси симметрии ВК.
Следуя Э. А. Ашратову, для определения значений чисел Маха в области свободного расширения запишем уравнения характеристик второго
семейства в переменных Элерса — Чушкина:

dy = ^cbc;

(5.33)

β+ξ

2β2(l + ξ2)
dξ+−
(fc + l)(l + β2)(l + fcβ2)

φ.ffi+S≥i.d
(ξβ-l)

(5.34)

где ξ = tg −θ; β = VM2-l; fc = ·^
; −θ — угол наклона вектора скорости
fc+1
к оси х, совпадающей с осью симметрии сопла.

Если принять, что характеристики, описываемые уравнениями
(5.33) и (5.34), прямолинейные, т. е.

βξ-1

(5.35)

— = -----5— = const,
dx β + ξ

то после дифференцирования обеих частей (5.35) получим

dξ = l + ξ2
dβ

(5.36)

1 + β2'

и тогда уравнение характеристик (5.34) преобразуется к виду

dy = βξ-l
У

2β2
(fc+l)(l + β2)(l + fcβ2)

(l + β2)

dβ.

(5.37)

Так как числа Маха в этой области велики и векторы скорости
потока имеют большой угол наклона к оси струи, то из (5.37) получим

^=β
У

2β2
(fc + l)(l + β2)(l + fcβ2)

(l + β2)

dβ.

(5.38)

Проинтегрировав (5.38), установим зависимость для определения
чисел Маха во всей области свободного расширения:

,= М„д(Мр).
Mq(M) '
76

(5.39)

x = Cy-l)Ctg(·∂o-μ•o),

(5-40)

где индексом «О» отмечены значения параметров у кромки сопла
.
1
на соответствующей характеристике; μ0 = arcsιn—;

М0

θ0 = v(M0)-v(Mα) + α.

(5.41)

Число Маха изменяется в диапазоне Ma≤M0≤ MH, причем М0, например, на первой характеристике, сходящей с кромки сопла, равно Ма.
Так как параметры потока определяются во всей области по числу
Маха (параметры заторможенного газа равны соответствующим значениям в камере), то нетрудно построить численно отражение ВК первой
характеристики от оси симметрии и тем самым построить одну из гра-

ниц области (рис. 5.И).
Порядок построения характеристики следующий. Задавшись рядом
значений -θof определим числа Маха Moi в точке А у кромки сопла по (5.41)
и соответствующие им значения углов ц^. Проводим из точки Л характеристики второго семейства под углами (θoi − μoi) к оси сопла. Из точки В
под углом μB к оси проводим элемент искомой характеристики второго
семейства, выходящей из точки Л. Определяем координаты у и х точки К
и число Маха в ней. В последнем случае используются уравнения (5.39)
и (5.40).
Характеристики

увторого семейства
Моз

μ3

K'"
К

μ3

μ2

К'

В'

В" В

μB

C*ftt-*o)

хв

-В-,

(х - xo)
Рис. 5.11

Изложенная схема вычислений повторяется до пересечения характеристики ЪК с висячим скачком уплотнения или по достижении задан-

ного сечения. Расчет удобно сопровождать графическими построениями.

Для расчета параметров в области свободного расширения можно
считать, что линии тока плоского течения Прандтля — Майера и осесимметричного совпадают, причем в распределении чисел Маха вдоль
линии тока вносится поправка на осесимметричность. Подробный
анализ этого допущения показал, что оно выполняется вблизи кромки
сопла и приводит к существенным расхождениям с расчетами по методу

характеристик вдали от сопла. При малых недорасширениях струи
77

(n < 10), когда область свободного расширения невелика, этот метод,
подробно описанный в [13], может быть также использован, и удобство
его в том, что он менее трудоемок.

На радиальных расстояниях от центра выходного сечения сопла R >

> (10—20)rα, на которых скорость газового потока близка к максимальной термодинамической скорости wmax, предлагается следующее аналитическое выражение для плотности в зависимости от R и его угла

наклона к оси симметрии Ф [14]:
P(θ)

α*

= Cπ

— I cosfc-ι

\wmaxJ

■9

(5.42)

2 &,

где звездочкой отмечены параметры в критическом сечении сопла

(г* — его радиус);

fc-1

и/тах

\fc + 1

; а константа С - 2π

fc-1

Л2

2θπ

-1

fc+1

Область разрежения. Область ограничена характеристикой ВК,
висячим скачком уплотнения 2 и маховским диском 1 (см. рис. 5.10).
В области разрежения, которая находится под характеристикой первого
семейства ВК, параметры газа изменяются при изменении угла 3. Здесь
скорость мало отличается от максимальной, а для аппроксимации плотности на сферах, центр которых находится на срезе сопла, предложено
несколько зависимостей, часть из которых приводится ниже.
Распределение интенсивности источника по углу ■& определяется так
[15]:

φ(θ) = φ(O)

Л2

k-\

(5.43)

V^max J

или

φ(Φ) = φ(O)cos* b,

(5.44)

причем на оси симметрии

φ(O) =
где fc = -

mi;

0,5fc
l-fc'

, λ — коэффициент скорости (λ2 =

(5.45)

(fc-l)M2

2 + (fc-l)M2'
Для дальней области струи, где скорость газа можно принять равной
максимальной, отношение плотностей равно

i- = -(R-2)cosfc θ,
Ра

rflefc = fc(/c-l)M2.
78

(5.46)

x3 ∕ da =AMjι°,s + A0; n > 1, Mα = 1-Й, M∞ > 2;

(5.51)

A = 1,5 ∕ (M∞ + 1)0.5, Д, = Mi5(l-4 ∕c^)∕Ma - 0,6;

x! /x3 =(0,92 +0,08MC) (0,42-0,0125M£.25> " > 10;

(5.52)

x2 /x3 = 0,8-1, n> 10;

(5.53)

xB ∕ x3 = 1,3 + 0,26M°-25, n > 10;

(5.54)

4/4=В(п. -1)(1,7°'25-1) + Во,п>М2,Ма=1+4,Мте>2; (5.55)
В = 0,9 ∕ M°A B0 = 0,8dm ∕ da - 1, dm ∕ da > 1,25; Б0 = 0, dm ∕ da ≤ 1,25;
d2/d1 = l,4 + 2/n,n>5;

(5.56)

d4 ∕ dx = 1Д5 + 1,5 ∕ n, n > 2,5;

(5.57)

dc/da = 0,M∞>2,n> 1, dm ∕da< 1,25.

(5.58)

Кроме рассмотренных определяющих параметров, на течение в реаль-

ной спутной недорасширенной струе влияет целый ряд других факторов. Эксперименты показывают, что, как и в случае затопленной струи,
отношение удельных теплоемкостей и конденсация газа относительно
слабо влияют на размеры начального участка. В спутном сверхзвуковом
потоке, однако, имеется особенность, обусловленная вырождением центрального скачка уплотнения. Эта особенность связана с тем, что расстояние до центрального скачка определяется формой висячего скачка
уплотнения, поэтому изменение поперечных размеров висячего скачка
при конденсации приводит к изменению расстояния до центрального

скачка, тогда как на затопленной струе оно практически не зависит

от конденсации. Аналогично увеличение dλ при уменьшении γ приводит
в спутной струе к увеличению х3, тогда как при истечении струи в затопленное пространство х3 уменьшается с уменьшением γ. В сходственных
сечениях струи, истекающей в спутный поток, так же как и в случае
струи в покоящейся среде, наблюдается автомодельность полей полных
напоров и избыточной тепературы торможения, если поперечную коор-

динату принять в виде у ∕ da √n или у ∕ dλ.

Воспользовавшись нестационарной аналогией [8], уравнение границы струи в спутном потоке можно описать следующей зависимостью:

Λ-.-L/
Ут

Ут

ι-j− К,

где Th =ξexp[2(l-√ξ)]. Уравнение присоединенной ударной волны,
образующейся в сверхзвуковом внешнем потоке перед границей струи:

_L = J_(1_ηι) + η4j
Ут

Ут

∕

где η4 = 3

5 L

\ -

Уравнение висячего скачка уплотне-

ния внутри струи:

У2

-(l-ηι) + η2,

.∕m

4„.ГЗ
^
где η2 =—ξ4 —ξ0,75 . Уравнение отраженной от оси части висячего
3

)

скачка уплотнения:

7Л

:- ξ−Ут

5^ 4

В приведенных соотношениях максимальный радиус границы струи
определяется по формуле

Ут= l + L2θ2-.-L.-,
V

9 √^K L'

где

L~5

(√γK2+40-√γK);K= M∞τ;

τ = −

M„

1 -+^(Mαα)2
fc(fc-1) 4

|0,5

l-fc

θ2=[(fc-l)(fcΛf2+2)]-1a-π fc ).

5.5. Минимально допустимое расстояние
между соплом и сферой
Рассмотрим натекание сверхзвуковой струи на сферическое днище,
установленное на малом расстоянии от выходного сечения сопла. Назовем это расстояние ε0 минимальным, если при перемещении днища

к соплу ударная волна, образующаяся перед ним, входит в сопло, взаимодействует с его стенками и уменьшает тягу двигателя.
Для определения этого расстояния положим, что образующая ударной волны представляет собой дугу окружности с радиусом (1 + ε0),
а центр ее находится в центре сферы. Сферическая преграда установлена по оси одиночного сопла, а ударная волна касается его выходного

сечения (рис. 5.13). Для удобства расчетов в полученных соотношениях
и граничных условиях скорость потока отнесем к максимальной термодинамической скорости wmax, плотность — к плотности в камере р0,
давление — к Ростах, а все линейные размеры — к радиусу сферы.
82

Точка ударной
волны

Звуковая точка
Рис. 5.13

Воспользовавшись уравнением сохранения массового расхода,

можно получить следующее алгебраически трансцендентное уравнение для определения минимально допустимого расстояния:

гп + 1 +

(pv)sι
(pv)ci

ε 2pαwα(l-cosftcl)rα2=(^
sin-^asins!(pv)(.!

(5.59)

где углы Фс1 и sx определяются из рассмотрения геометрии течения
тд

sinsτ(l + εo)

- arctg−

(5.60)

—−5— + (1 + ε0) (1 - cossi)
sιnα

(5.61)

sx = arctg−

(l + ε0) + —— (l-cosα)
sιna

Так как все линейные размеры нормированны по радиусу сферы,
то угол sa в радианах численно совпадает с длиной дуги sb отсчитываемой от точки торможения до звуковой точки.
Параметры течения в точках sx и ·≥ определим из условий на теле
и за ударной волной. Скорость в точке sx равна звуковой т. е.
fc-l

vA ='fc+l'

(5.62)

а плотность

P.ι=(φ,)·↔Cl-vδ)*.

(5.63)

где энтропийная функция
ι

(fc-i)
Ψs =

2fc

■M2 —

(fc + l) fc + 1

fc-1

fc+1

/C-l Ml;

(5.64)
83

5.6. Схема Ньютона

Во многих случаях, чтобы найти определения распределение давления по телам, находящимся внутри струи, можно использовать схему

Ньютона, согласно которой величина избыточного давления по отношению к давлению среды рг, в которую происходит истечение, опреде-

ляется как произведение плотности в струе в данной точке, помноженной на нормальную к поверхности тела составляющую скорости. Тогда
полное давление

p-Pι + ρv2cos2θ№

(5.68)

где v — скорость в струе в данной точке; QN — угол между нормалью
к поверхности в данной точке и вектором скорости в ней.
Выражение (5.68) можно также преобразовать к виду

2- = 1 + кМ2 cos2 Θjv = (1 + fcM2)cos2 ΘN + sin2 ΘN.
Pi

(5.69)

Параметры струи М ирг определяются методами, изложенными выше.
Для определения QN рассмотрим геометрию течения, изображенную
на рис. 5.14. Имеем

cos Эдг = cos γ cos Φ(cos θ sin Фг + sin Θ cos Фг cos Ф2) + sin γ(cos Θ cos Фг - sin Θ sin Фг cos Ф2) - sin Θ sin Φ sin Φ2 cos γ,

(5.70)

причем γ = 0 для цилиндра и плоской пластины, а Ф = 0 — для пластины. Обозначения остальных углов понятны из рис. 5.14.
Y
У
0

У Ф2
Z

0
м

Рис. 5.14
85

Для вычисления давлений можно воспользоваться также, кроме
(5.69), и модифицированной формулой Ньютона:

^. = ^£.cos2θAr + sin2θ№
Pi

где р0с — давление торможения за прямым скачком уплотнения в струе

в данной точке, или

P = (Poc-Pι)cos2θiv+Pι>
т. е. избыточное давление на преграду в данной точке равно избыточному давлению торможения за прямым скачком в той же точке, помноженному на cos2 ΘN.
При малых степенях нерасчетности истечения теория и эксперимент плохо совпадают. Увеличение же нерасчетности, начиная примерно со значения, когда ударная волна в месте пересечения идеаль-

ной границы струи с преградой становится отсоединенной, улучшает
это совпадение.

Формула (5.70) позволяет определить угол 9дг для преграды любой
формы при условии, что она осесимметричная, а плоскость симметрии
преграды совпадает с плоскостью симметрии струи.

Небольшая разница в определении давления на преграду будет при
истечении струи в вакуум, когда на больших расстояниях от среза
сопла и вблизи границы струи течение будет свободномолекулярным.
Критерием нарушения сплошности течения является число Кнудсена.
В случае полной термической аккомодации и в предположении, что
падающие молекулы имеют максимальную термодинамическую ско-

∕ 2fc „„

рость wmax = А-—RTq, где Т0 — температура торможения, a R — газовая постоянная, получим следующее выражение для определения величины давления на преграде:

P~Pι= ри&и cos2 Θn +■E^√2πRTs cosΘN,

(5.71)

где Ts — температура поверхности преграды. Первый член в (5.71)
представляет из себя континуальное давление, которое определяется
так же, как в предыдущем случае.

5.7. Расчет давления при взаимодействии струи с корпусом
Значительному давлению подвержены участки корпуса ракеты,

вблизи которых работают вспомогательные двигатели, из которых
истекают сверхзвуковые нерасчетные струи, взаимодействующие с корпусом. Для струй, истекающих в вакуум, хорошей аппроксимацией давления на примыкающих к ним поверхностях служит формула Ньютона
86

p = pv2sin2 φ , где р и v — плотность и скорость газа в струе в рассматриваемой точке, а φ — угол между вектором скорости газового потока
и касательной к поверхности.
На некотором удалении от сопла течение в струе аналогично радиальному источнику переменной интенсивности, скорость в котором
стремится к максимальной термодинамической, а плотность определяется по формуле Робертса:
_Р_

kfr^

Ра

\raJ

(cosθ)fc,

где k = k(k− l)M2; θ — угол между осью струи и радиальным лучом,
проведенным из центра выходного сечения сопла; г — расстояние вдоль

радиального луча; га — радиус выходного сечения сопла; ра, Ма — плотность и число Маха в выходном сечении сопла.

Если плоская поверхность перпендикулярна оси струи, то давление

на ней [17] определяется по формуле

0fc + 2^-v2
Рта

(cosθ)fc+4,

(5.72)

\raJ

где рга — давление торможения за прямым скачком уплотнения в выходном сечении сопла:

Рга

к+2

Ро

Л-2

(C0Sθ)fc .
V'αy

Выражением (5.72) рекомендуется пользоваться при

>2.

f(fc + 2)
Его можно также переписать в виде зависимости от радиальной координаты у, отсчитываемой от точки К пересечения оси струи и перпендикулярной ей плоскости (рис. 5.15):
fc+4

-±

^ = (COSθ) 2 =

≈exp-<

Рк

/c + 4

(5.73)

v j

Но так как

pra=Γ/fπr2),

(5J4)

где Т — тяга сопла, то, комбинируя (5.73) и (5.74), получаем
1

-ехр

к]г

^fc + 4 , ГуЛ

к + 2.
87

Рис. 5.15

При боковом взаимодействии сверхзвуковой струи и плоскости
(рис. 5.16) распределение давления в меридиональном сечении, перпендикулярном плоскости, определяется по формуле [18]:

-£*- = [1 -δθ°c]4 exp[δθ°θ° -0,5(δθ0)2],
Рт
в которой

C = θ+ctg[ΘΛΘ°-3α%0'5)];

θ+=arctg.'-ι-^·
N-0,5

∕ι - 1 +

Ш1 j

fc-i mi j

θ° =0,84 + 1,167! +l,8α°; a° =a/(3θ+/f'5);

J·n

Рис. 5.16
88

α — угол между осью струи и плоскостью;

δθ° = θ°-θ/θ+;

рт = sin<(θm − a°SΘJ°^)exp[-O,S(θ°,)2]
— максимальное давление на плоскости. Угол радиального луча струи,

соответствующий максимальному давлению, равен: θm = θ°jθ+.

5.8. Донное давление многосопловой компоновки
Как известно, давление за нижним торцем тела, перемещающегося
в среде, отличается от давления в окружающем потоке. В зависимости

от геометрической формы этого тела, а также от характера его взаимодействия с потоком это давление больше или меньше окружающего.
В связи с этим на тело действует дополнительная сила, которую принято учитывать через коэффициент донного давления, величина которого может быть определена, если известно распределение давления
по нижнему торцу тела. Особенно трудно установить донное давление
у летательного аппарата, который имеет сопловой блок, и, следовательно, величина донного давления определяется не только взаимо-

действием аппарата со средой, но и воздействием со средой и между
собой (если сопл несколько) струй, истекающих из него. В настоящем
параграфе приводится физическая картина течения в донной области,
а также способ расчета распределения давления по днищу летательного
аппарата, который имеет несколько симметрично расположенных одинаковых сопл.

Газодинамическая картина течения в донной области. На рис. 5.17
приведена геометрическая схема нижнего днища ЛА с многосопловой
компоновкой. В дальнейшем под выступанием сопл h будем понимать
расстояние от их среза до поверхности днища, а под разносом Dλ сопл —
диаметр окружности, на которой размещаются их центры.
h

г Струя

Рис. 5.17
89

При малых нерасчетностях или большом разносе сопл струи, истекающие из них, интерферируют друг с другом на больших расстояниях
от летательного аппарата. В этом случае струи оказывают эжектирую-

щее действие на область газа, расположенную между соплами. Из этой
области к струям непрерывно подтекает дополнительная масса газа,
эжектируемая из окружающей среды, и система струй вместе с данной
областью работает как эжектор. Увеличение нарасчетности или уменьшение разноса сопл (уплотнение компоновки) приводит к тому, что
точка К (см. рис. 5.17), в которой начинается взаимодействие струй,
перемещается по направлению к выходным сечениям сопл и угол, под

которым пересекаются границы струй, увеличивается. Такое смещение
точки К приводит к двум явлениям: во-первых, уменьшается поверх-

ность каждой из струй, которая отсасывает газ из донной области,
а во-вторых, угол пресечения границ струй может стать таким, что часть
газа из пограничного слоя будет разворачиваться в обратном направлении и течь в донную область. Наконец, возможен такой режим течения,
когда масса газа, текущего в обратном направлении, значительно превышает эжектируемую массу, которой можно практически пренебречь.
Если свободный объем между соплами мал, что бывает либо при
очень близком расположении их друг к другу, либо при больших нерасчетностях, то весь газ, поступающий в донную область, не успевает
вытекать из зазора, который образуют сопла и истекающие из них
струи. Давление в донной области возрастает до величины, когда
образуется критический перепад между этим давлением и давлением
в окружающей среде.
Наступает режим «запирания», при котором давление в донной области не зависит от давления в окружающей среде. При этом, конечно,
нерасчетность истечения будет переменной по окружности выходного
сечения сопла. В области, обращенной к днищу, она больше, чем в области, обращенной к окружающей среде.
Нужно отметить, что детальная картина течения в донной области довольно сложна, что вызвано трехмерным взаимодействием свободных пограничных слоев, которые образуются на границах струй,
и именно это взаимодействие определяет количество газа, которое
течет в обратном направлении.
Ниже приводится схема расчета, которая позволяет определить давле-

ние в центральной точке днища на режиме запирания, который реализуется при тесной компоновке сопл. Давление же по днищу в радиальном
направлении можно считать линейно изменяющимся от давления в центральной точке М днища (см. рис. 5.17) до критического давления в зазоре
между соплами, который в этом случае является критическим сечением.
Донное давление на режиме запирания. В соответствии с введенной
выше классификацией режимов течения в донной области под режимом запирания понимается такой, при котором давление в донной
области не зависит от давления в окружающей среде. При этом в зазоре
между соплами устанавливается звуковой режим истечения. Последнее
условие не является строгим, так как в зазоре между соплами профиль
90

числа Маха переменный. Это последнее упрощение действительной
модели истечения позволяет построить расчетную схему. В соответствии с описанной ранее физической моделью к дну пойдет часть газа
из пограничного слоя, образующегося на невязкой границе струи.
Поэтому сначала необходимо найти это количество газа, или, что
то же самое, найти линию тока d (рис. 5.18), которая разграничивает
доли пограничного слоя, текущего к днищу и от него.

Это количество газа на единицу дуги окружности, полученной пересечением струи плоскостью, перпендикулярной ее оси, равно
Уа

— = \pudy.
W

(5.75)

УJ

Здесь используется система координат, связанная с невязкой границей струи (см. рис. 5.18). Для полностью развитых профилей смешения
безразмерная координата может быть представлена в виде
(5.76)

η = σ—,
х

где σ = 12 + 2,758МН — параметр смешения [19]. Тогда уравнение расхода (5.75) можно переписать в виде
т

—
■=—
J pudη.
w
σ

(5.77)

■πj

Здесь неизвестны профиль скорости в пограничном слое, профиль
плотности и ширина слоя — w.

Н — невязкая граница

α d,
Косой скачок
уплотнения

d — разделяющая
линия

Рис. 5.18
91

Профиль скорости по толщине пограничного слоя в пренебрежении начальной толщиной его на срезе сопла может быть представлен в виде [20]

Φ = — = ^(l + erfη),

(5.78)

где ин — скорость газа на идеальной (невязкой) границе струи. Так как
давление по толщине пограничного слоя можно считать постоянным,

то из уравнения состояния следует, что отношение плотности в данной
точке пограничного слоя к плотности на границе струи равно обратной
величине отношения соответствующих температур:

-^= .-,

(5.79)

но температуру Тн на границе можно выразить через температуру тор-

можения на ней Гон и число Крокко Сн, соответствующее ей, в виде

^ = a-Ci),

(5.80)

■Oh

где Сн = −=^
= −|p-===.
Цпах V P он
Определим теперь профиль температур по толщине пограничного
слоя. Если принять число Pr = 1, то можно показать [21], что интеграл
уравнения энергии равен

Т0 = аи + Ъ,

(5.81)

где а и Ъ постоянные, а Т0 — температура торможения в данной точке
пограничного слоя. Соотношение (5.81) называется интегралом Крокко
по имени итальянского аэродинамика, впервые его получившего.

Определим а и Ъ из следующих условий:

1) и - 0; Т0 - Тд — температура в донной области;

2) u = uH,T0 = T0H,TR = b,a = ^^.
Тогда

Т0=ТД+(Т0Н-ТД)—,
"н

(5.82)

или, если разделить на Тон,
(

-г
Т

-Oh У

Кроме того,
Т

— = 1-С2,
т

(5.83)

или

Γ0

"н

-L = |κi-C2),

(5.84)

-г^-|^-Сн2Ф2.

(5.85)

где С2 = CI-??--—−, и тогда

-Oh

Разделив (5.85) на (5.80) и имея в виду (5.79), получим

рн=Л-С2Ф2
р

(5.86)

1-е2

Подставим (5.86) и (5.78) в уравнение (5.77):

m_uHpH(l-C2.
J;.Λ-C|Φ2
Ф^
w
σ
ηj

Интеграл в правой части (5.87) разобьем на два интеграла и обозначим

у
ф
,λ-c|φ2

7
ф
^л-с2ф2

Тогда

m = i^ft,Q-Ci)x
w

(588)

Уравнение (5.88) позволяет определить расход газа через каждое
из поперечных сечений пограничного слоя, расположенных на расстоянии х от кромки сопла по идеальной границе струи при условии,
если известна координата ηd линии тока, которая разграничивает

поток, текущий к дну в прямом направлении. Кроме того, должна быть
известна ширина слоя смешения w. Так как используется автомодель-

ный профиль скоростей в пограничном слое, то положим, что полюс
находится внутри сопла и заканчивается там, где струи касаются друг

друга по диаметрам (см. рис. 5.18), т. е.
x=B +E

(5.89)

Для определения длины В зоны смешения внутри сопла Гетерт предлагает следующую зависимость:

в
da

(

<L·

1,4 1---.

(5.90)

где dκp — диаметр критического сечения сопла.
93

Если принять, что на участке от кромки сопла до точки пересечения

струй образующая их представляет собой прямую линию, то

2sιnθα

где Фа — угол наклона границы струи к ее оси, а dm — диаметр струй
в точке их смыкания (см. рис. 5.18).
За ширину зоны смешения будем принимать расстояние по окружности струи между точками, в которых рассматриваемая струя сопри-

касается с двумя соседними струями. В общем случае ширина зоны
смешения будет различна для каждой из струй, но в том случае, когда
струи совершенно одинаковы и расположены симметрично на одной
окружности:

w = n4(m-a

(592)

2т

где т — число сопл в связке (например, если т - 4, то w - ——).
Теперь определим разделяющую линию тока, т. е. координату ηd.
Для этого воспользуемся гипотезой, согласно которой давление торможения на разделяющей линии тока равно статическому давлению
за косым скачком уплотнения, который образуется в точке взаимодействия идеальных границ струй:

^- = Щма<1).

(5.93)

Рд

Здесь
к

Pod = (.' 1+ fc-l,,,.-ι
Mj
Рд

■^ = l+-^-(M^sin^(^-l).
Рд

(5.94)

fc + 1

(5.95)

Из уравнений (5.94) и (5.95) можно определить число Маха на ней,
а следовательно, и ud, и ηd.

Масса газа, поворачивающая к дну, выходит из зазора между
соплами, т. е.

m = ξa(fc)-j===-,

(5.96)

где ξ = 0,5—1,0 — коэффициент расхода; Д, — площадь зазора между

соплами, ард — искомое донное давление. Приравнивая (5.88) и раз94

деленное на w (5.96), а также полагая λ = 1, после деления на массовый
расход сопла

rha=pauaFa = aQc)

PoF*кр

√gRTb'

получим

tJld-JljJ

2(l-q)g(MH) dU (fc-2)
77TT
j
j
x
σq(Mf)
4
fc

lA(l-√q(MJ)2sinθ„

4η

■^-•■^.

q(MA p0 Fα

-1

(5.97)

Уравнение (5.97) решается методом последовательных приближе-

ний относительно давления в донной области рд. Из геометрических
соображений можно записать dm=D1 sin

2т

, где Dλ — диаметр окруж-

ности, на которой размещены центры сопл; т — их число. Угол наклона
границы струи по формуле Прандтля — Майера равен

■&a = v(MH)-v(Mf) + a,

(5.98)

где a — угол полураствора сопла; v(M) — функция Прандтля — Майера.
Кроме того, для определения угла ωH нужно воспользоваться соотношением, устанавливающим связь между углами наклона ударной волны
и углом поворота на ней, т. е.
tgβH = 2ctgω„

M|sin-^cθjj-l

M2(fc + cos2ωH) + 2'

(5.99)

но

βl·l=fla

(5.100)

что является следствием предположения о прямолинейности образующей границы струи. Тогда если обозначить через h выступание сопл над
дном компоновки, то

Av=(dm-dJ

h+—LcosJL

(5.101)

Таким образом, в уравнении (5.97), которое решается численно
относительно донного давления в центральной точке днища, известны
все величины, кроме искомой.
На рис. 5.19, 5.20 приводятся в виде графиков значения интегра-

лов Jld и Jy, которые удобно использовать при проведении расчетов.
95

Ли

сн = 0,3 0,5

0,7 0,75 0,8

0,85
0,9
0,95

СП

Jld=ir-c*. dη
5

JId

Рис. 5.19

0,7

j«"lι^-

0,6
0,5
0,4

0,3

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Рис. 5.20

Следует иметь в виду, что описанная расчетная схема может быть
использована при таких размерах компоновки, которые обеспечивают
режим запирания в донной области. Так, подробное экспериментальное исследование, проведенное авторами работы [22] на воздухе, показало, что при l ∕ da = 1,24—1,77; h ∕ da = 0—1,0; α = 10°—20°; Ma =
= 1,0—4,0 режим запирания всегда наблюдался.

6. Разделение ступеней
6.1. Схемы разделения ступеней
Участок движения ЛА от момента подачи главной команды на выклю-

чение двигательной установки предыдущей ступени до момента, когда
отделяющаяся часть не может влиять на дальнейший полет следующей
ступени, называется участком разделения ступеней.
Система разделения ступеней предназначена для их надежного соединения во время эксплуатации РБ и при работе первой ступени. Для
разделения ступеней РБ используются две основные схемы.
Холодное разделение ступеней можно осуществить несколькими
способами.

А. Разделение торможением отделяемой ступени. В этой схеме
включение двигателя второй ступени осуществляется после того, как
первая ступень отведена от второй на безопасное расстояние, которое
исключает посадку ступеней и их соударение. Торможение отделяемой
ступени может выполняться следующими способами:
1) тормозными пороховыми двигателями;
2) тормозными соплами, устанавливаемыми на днище бака или
РДТТ отделяемой ступени;
3) управляющими двигателями отделяемой ступени;
4) аэродинамическими щитками или поверхностями, если разделение происходит в плотных слоях атмосферы.
В одной из возможных схем разделения торможением (рис. 6.1) двигатель отделяющейся (второй) ступени включается после приложения
к первой ступени тормозного импульса, достаточного для расхождения
ступеней на безопасное расстояние. В этой схеме реализуется такая
последовательность операций:
1) выключение основного двигателя отделяемой ступени;
2) разрыв соединительных болтов и запуск тормозных двигателей;
3) запуск основного двигателя второй ступени.
Управляющие двигатели второй ступени включаются до момента
запуска двигателей второй ступени, обеспечивая осевую перегрузку,
необходимую для обеспечения бескавитационной работы насосов
в ракетах на жидком топливе.

В этой схеме разделения осуществляются следующие операции:
1) выключение основного двигателя первой ступени;
2) разрыв соединяющих болтов и запуск тормозного двигателя.
97

Силы

■Pi

−>−

Рис. 6.1

Во время разделения ступеней вторая ступень управляется при
помощи управляющих двигателей, что исключает возможность ухудшения точности заданных параметров траектории в конце активного
участка.

Основные достоинства этой системы разделения:
1) разделение под действием небольших сил, обеспечивающих
плавное движение ступеней без значительных изгибных, продольных
и угловых колебаний;
2) небольшая масса самого узла разделения, включающая в себя
тормозные РДТТ с деталями крепления.
Из недостатков нужно прежде всего отметить довольно сложную
последовательность команд на выполнение операций разделения,

а также сравнительно большие потери дальности за счет гравитации
и отсутствие осевых перегрузок, если не работают управляющие двигатели второй ступени.

Б. Разделение расталкиванием ступеней. В этой схеме переходной
отсек между ступенями герметизируется перед стартом, а внутри него

создается давление одним из следующих способов:
1) наполнением отсека рабочим телом-газом перед стартом;
2) подачей газа наддува из бака с топливом или РДТТ;
3) созданием в момент разделения ступеней давления в отсеке при
помощи специального порохового аккумулятора давления.

В момент расстыковки ступеней возникает сила, которая и расталкивает их. Управление второй ступенью происходит в течение всего
процесса разделения, а для создания требуемых осевых перегрузок
для подачи компонентов в камеру сгорания ЖРД можно использовать
небольшие ускоряющие РДТТ.
Возможным вариантом этого способа может быть схема, в которой
плоскость разделения ступеней находится в месте соединения днища

бака или РДТТ с цилиндрической обечайкой. Днище бака отбрасываемой ступени используется затем в качестве днища хвостовой части второй ступени. Управление второй ступенью осуществляется при помощи
специальных ракетных двигателей, перерезание цилиндрической обечайки — при помощи детонирующего шнура с кумулятивной выемкой.
98

В. Разделениеускорением второй ступени. Для отведения на безопасное расстояние второй ступени от первой можно воспользоваться:
1) ускоряющими двигателями, установленными на второй ступени;
2) управляющими двигателями второй ступени.
Горячее разделение ступеней. Одна из возможных схем огневого
разделения ступеней РБ на жидком топливе изображена на рис. 6.2, где
основными командами являются:

1) дросселирование двигателя отделяемой ступени и переход его
на режим пониженной тяги;
2) запуск двигателя второй ступени;
3) выключение двигателя первой ступени;
4) разрыв соединительных болтов между ступенями.

Для того чтобы вывести газы из зазора между ступенями, последние
соединяются между собой при помощи фермы, изготовленной из труб,
которые подкрепляют стыковые шпангоуты. Сопло двигателя второй
ступени находится внутри фермы, являющейся переходником между
ступенями. Ферма остается на отделяющейся ступени.
Достоинства системы огневого разделения:

быстрота разделения, не дающая практически гравитационных

потерь скорости;

2)
3)

простая последовательность команд на разделение ступеней;
повышенная надежность запуска двигателя второй ступени,

поскольку при запуске возникают осевые перегрузки, создаваемые еще

работающим двигателем первой ступени и обеспечивающие устойчивую работу заборных устройств баков;
4) возможность ликвидировать вспомогательные РДТТ и уменьшить вес системы разделения.

Основные недостатки огневого разделения:

большие возмущения, получаемые второй ступенью при разде-

лении;

2) достартовый расход топлива на второй ступени, так как двигатель второй ступени запускается еще до потери связи между ступенями;
3) увеличение массы конструкции из-за слоя ТЗП, которым покрывается днище для защиты первой ступени от разрушения и возможного
взрыва гарантийных остатков топлива;
99

4) увеличение потерь на силу лобового сопротивления (особенно
резкое, когда диаметры ступеней разные) из-за применения фермыпереходника;

5) воздействие горячих газов, отраженных от днища первой ступени, на конструкцию второй ступени.
Последних двух недостатков можно избежать, если выполнить переходной отсек в виде глухого отсека с защитным экраном и окнами для
выхода газов. Окна закрываются сбрасываемыми в момент разделения
люками. Разделение ступеней осуществляется непосредственным запуском двигателя второй ступени. Горячие газы от струй ударяют в корпус отдельных частей ступени, а отраженные газы выходят через окна
в переходнике. Защитный экран исключает попадание горячих газов
на вторую ступень. Одновременно защитный экран в виде усеченного
конуса позволяет стабилизировать отделяющуюся ступень относительно
струи и тем самым исключает возможность соударения ступеней.
Разделение ступеней РБ с РДТТ имеет в отличие от РБ с ЖРД следующие особенности:
1) прохождение плотных слоев атмосферы с более высокими скоростями из-за большей тяговооруженности;
2) трудности с надежным выключения РДТТ перед разделением
ступеней;
3) более быстрый запуск и выключение двигателя (меньший
импульс последействия тяги);
4) большие продольные и поперечные перегрузки ракет.
Так как ракета с РДТТ имеет большую скорость в плотных слоях
атмосферы, то для отделения первой ступени можно использовать аэродинамические силы. Одновременно в период отделения первой ступени
полетом второй можно управлять с помощью воздушных рулей, так как
скоростной напор воздуха достаточно велик. Из-за трудностей выключения двигателя твердого топлива отделяемой ступени обычно допускают в нем полное выгорание топлива перед разделением ступеней.
При этом отсутствие осевой перегрузки не влияет на надежность запуска РДТТ последующей ступени. Быстрый запуск двигателя облегчает
задачу управления в период разделения и уменьшает потери дальности.

Разделение ступеней ракеты с РДТТ близко к схеме горячего разделения ступеней на жидком топливе, отличаясь от нее большей быстротой
процесса разделения, возможностью использования аэродинамических

сил для разделения и простотой выполнения команд.

6.2. Давление в переходном отсеке

при горячем разделении ступеней
При горячем разделении ступеней двигатель верхней ступени запускается до начала разделения ступеней и горячие газы, истекающие
из его сопл, заполняют переходной отсек, создавая внутри него переменное давление Q (рис. 6.3). По мере выхода двигателя на режим
100

давление Q возрастает, ступени начинают расходиться, образуя зазор,
а газы из отсека истекают через зазор и окна, расположенные на его

боковой поверхности. Когда приход газа из двигателя становится
меньше, чем расход из зазора и окон, давление в переходном отсеке
уменьшается.

Т2 m2S

Γι
"iιg
Рис. 6.3

Рассматривая плоское движение твердотопливной ракеты, для определения давления Q воспользуемся законом сохранения массы для
переходного отсека, в соответствии с которым изменение массы газа

в переходном отсеке равно разности прихода его из двигателя и расхода
через окна и зазор между ступенями, т. е.

—-^ = m2-m0,
at

(6.1)

где mπ = pπw — масса газа в переходном отсеке; Q ∕ RTΠ = рп — плотность
газа в переходном отсеке; Тп = χ2T0 — температура газа в переходном
отсеке; χ2 = 0,34н-0,8 — коэффициент тепловых потерь в переходном
отсеке; Т0 — температура продуктов сгорания топлива в двигателе вто-

рой ступени; W-W0 + S^ — объем газа между разделяющимися ступенями; х — расстояние между ступенями; W∩ — свободный объем пере-

ходного отсека; m2 = φ2α(fc)F,φ 2p02 ∕ √XRΓ0 — массовый переход газа
из двигателя второй ступени; ср2 = 0,96-н 0,98 — коэффициент расхода;
I

a(fc) = \\k

fc+Γ

— константа; F^, 2 — площадь критического сечения
101

сопла двигателя второй ступени; р02 — переменное давление в двига-

теле второй ступени; χ = 0,96-^-0,98 — коэффициент тепловых потерь

в двигателе; то = φ0α(fc)FπQ ∕ √χ2RT0 — массовый расход газа из переходного отсека; ср0 = 0,5-н0,8 — коэффициент расхода; Fn = F0 + 2πRx —
суммарная площадь; F0 — площадь окон.
После подстановки соответствующих выражений в (6.1) и преобразований с учетом того, что температура Т0 в двигателе, газовая посто-

янная R, а также χ2 не зависят от времени, после преобразований получим

dQ
dt

Ар02 - [t*o + *)-8 + SmV]Q
w0+Smx

(6.2)

где x0 = F0 ∕ (2πR), А = φ2a(fc)Fκp.2√R7bχ2; В = 2πRφ0a(fc)√χ2RTo.
В (6.2) неизвестны p02{t), а также расстояние между ступенями х.
Для определения р02 запишем уравнение сохранения массы для двигателя второй ступени:

d_ 'Pθ2 ,√ = 5ЩР02Рт-™Ъ
ЯГг

(6.3)

где WΔ — свободный объем двигателя (не занятый в данный момент
топливом); S, pm — поверхность горения и плотность топлива; иь v —
константы в степенном законе скорости горения топлива.

Так как процесс разделения ступеней кратковременный, то объем
WtΔ можно считать постоянным, и тогда (6.3) после преобразований
принимает вид

Φθ2
dt

(6.4)

= <hPh~bιPm,

где ах = χfiT(βu1pm ∕ WA, ^ =φaa(fc)F^√^RTb/WΔ. Уравнение (6.4)
можно проинтегрировать от t = t0, когда р02 - р00, и получить следующее выражение:

l--tp(l-v)
t-tn=−

-In

bι(v-l)

!__.pa-v)
al

Осевое расстояние х между ступенями определим из уравнения
динамики относительного движения.

Уравнение движения первой ступени:

dvτ _T1-Γ-X1 -m^sinO
dt

(6.5)

где θ — угол тангажа; Тг — тяга первой ступени; Г = ξΓ2 — газодинамическая сила; Т2 — тяга второй ступени; ξ — коэффициент газоди102

намической силы; Хг — сила лобового сопротивления первой ступени;
т1 — масса отделяемой части первой ступени.
Уравнение движения второй ступени:

dv2 = Г2 - Х2 + (рд - P~) JSm - Fa2) − m2gsinO
dt

(6.6)

где X2 — сила лобового сопротивления отделяющейся второй ступени;
Fα2 — площадь выходного сечения сопл второй ступени; т2 — масса вто-

рой ступени; p∞—давление в атмосфере на высоте разделения; рд—давление на донную часть второй ступени. Вычитая (6.5) из (6.6), получаем

dv = T2-X2Hpa-p^{Sw - ■a·z),Γ
.
+ X-•.--Ti
dt

(6.7)

где v = v2-V\ — скорость относительного движения ступеней.

Расстояние между ступенями определяется из уравнения:
5_− = v.

(6.8)

При расчете относительного движения ступеней необходимо учесть
возможный отрыв потока в сопле двигателя второй ступени. Давление
в сечении отрыва:

_0_ -0,357 _0_

Pi
Pθ2

Pθ2

n0,83

Р02

Отрыв потока в сопле возникает при pλ / р02 > ра2 / р02. Ниже
по потоку от сечения отрыва сопло не работает, и поэтому в формуле
тяги необходимо принимать Ма2 = Mλ; pa2 = pλ; Fa2 = Fλ, причем Fλ =
k+l

= F_2 ∕ q(Λ·fi), где q(Mι) =

l·\
\k-\\

ная функция; Мг = <

fc+1 2(fc-i)

fc+1

Afι 1 +

fc-1

2(/c-i)

— расход-

k-l

Pθ2

л к

\Pι )

-1

— число Маха в сечении отрыва.

При расчете тяги двигателя первой ступени считаем, что твердое
топливо полностью сгорело и из его объема происходит адиабатическое истечение газа, поэтому изменение давления в камере находим

по формуле (3.2).
Коэффициент газодинамической силы ξ зависит от расстояния
между ступенями и определяется для следующих трех режимов течения
в переходном отсеке.

При малых расстояниях между ступенями происходит наддув

отсека и звуковое истечение газа через окна и зазор между ступенями.

В этом случае ξ = 1, т. е. газодинамическая сила Г равна тяге двигателя
второй ступени.
юз

2. Сопло двигателя второй ступени все еще находится в отсеке,
но газ истекает со звуковой скоростью из окон и зазора между кромкой сопла и стенкой переходного отсека. Режим начинается с момента,
когда площадь зазора между ступенями станет равной площади зазора
между соплом и стенкой отсека. Расстояние между ступенями в этот
момент равно x* = R / 2

!_|1_

Л2
где га2 — радиус выходного сечения

сопла двигателя второй ступени; R — радиус отсека.
3. Струйное истечение в отсек, когда на днище второй ступени
действует донное давление, определяемое взаимодействием струи
и внешнего потока. Сопло двигателя второй ступени полностью выходит из отсека. Этот режим начинается в тот момент, когда выходное
сечение сопла пересекает верхнюю кромку отсека и струя двигателя

второй ступени полностью раскрывается.

Из геометрических соображений можно найти расстояние хс, соответствующее этому моменту, как разницу между длиной отсека Z0 и расстоянием ε0 между соплом и днищем первой ступени до запуска двигателя, т. е. xc = l0- ε0. Таким образом, этот режим течения реализуется
при х > хс.
На втором режиме течения коэффициент газодинамической силы
определяется по формуле

ξ = l + (ξc-D

х-х*

где ξc = 1 + (1 - (F0 ∕ Sm))C3 — коэффициент газодинамической силы
в начале третьего режима течения;

miα2

С, — Со

c,=-•
/c-2Vfc + l

Ml2

lc-1
-+

(fc-l)M£2

fc = k(fc-l)M22.
Коэффициент газодинамической силы на третьем режиме
ξ = (l-yeι) +

Cs(l-Y<s),

1—
■>mj

где

Y= 1+

z = x-xc; ег = (fc + 2) /2;e2 = e1-2.
104

Подводя итог, остановимся на расчете давления в отсеке при рассмотренных режимах течения. Первый режим, реализующийся в диапазоне 0 < х ≤ x*, определяется в результате решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (6.2), (6.4), (6.7), (6.8), донное

давление второй ступени рд и давление в отсеке равно Q. На втором
режиме вместо (6.2) для расчета давления в отсеке и равного ему дон-

ного давления используется формула Q = Q*+ (p∞ - Q*)

Л*

−, где Q* —

давление в переходном отсеке, которое установится в нем на первом

режиме, когда расстояние между ступенями станет равным х*. После
раскрытия струи, истекающей из двигателя второй ступени на третьем
режиме течения, донное давление рд находится в результате решения

аэродинамической задачи о взаимодействии внешнего потока и сверхзвуковой струи, а давление в отсеке равно давлению торможения
за прямым скачком уплотнения, образующимся в струе перед отсеком.
Если воспользоваться аппроксимацией Робертса для распределения
плотности в струе, то это давление равно: Q =

-Т2. Уравнение сохра-

2πz2

нения массы здесь также не используется. В первом приближении донное давление можно принять равным давлению в окружающей среде.
Наглядное представление о характере изменения давления в отсеке

и коэффициента газодинамической силы дают графики, приведенные
на рис. 6.4, полученные для одного из вариантов ракеты.
105, Н/м2 -

A^QA^ξ ∕

X, M

0,1 - 1,2

од - 0,8

од - 0,4

∕

0,1

u^-

0,4

0,6

0,8

t, с

tk = 0,872 с
Рис. 6.4

6.3. Давление между головным отсеком
и отделяемой ступенью
При газодинамическом разделении ступеней и отделении головной
части от ракетной разведение блоков осуществляется давлением над105

дува между ними, которое создается газогенератором, или заполне-

нием газом герметичного объема между ними перед стартом ракеты.
Роль газогенератора может выполнить РДТТ, у которого в момент
разделения вскрывается отверстие на переднем днище и продукты сго-

рания топлива истекают в объем между двигателем и головной частью,
создавая необходимое давление Q. Для определения этого давления
составим уравнение сохранения массы в объеме (рис. 6.5) между разделяющимися телами:

dpnW _ φ20α(fc)p01F0

φ0a(fc)QFπ

√^RT^

√~RT[ '

где F0 — площадь отверстия на переднем днище; Fπ — площадь зазора
между разделяющимися частями. Ввиду быстрого падения давления Q
и малого расстояния х изменением объема W пренебрегаем. Учитывая
это, а также то, что рп = Q / (RTJ, получаем

dQ RΓj 920a(fc)Poι-Fo
dt~ W
√χRΓb

φ0a(k)QFn

(6.9)

√^RTi

где Т0 — температура торможения газов в камере и объеме соответственно. Полагая также, что истечение в объем изоэнтропическое,
имеем
Кс-1

Γi = Γo —

(6Л0)

\Poι)

и после подстановки (6.10) в (6.9) и преобразований получаем следующее уравнение для определения давления Q между разделяющимися
телами:

НО

—

——

-TV
- ■D(φ2Pofc1Q к *о - ФоРоТ Q 2к -Рп),
at

(6.П)

где D = √RT'a(fc)/W. Для определения давления в двигателе р01 запишем баланс масс для его объема WA, который также считаем постоянным:

c„nvn _ φ2a( .PoιFκp φ2oa(fc)PoιFo dPWA
или, после преобразований,

= BPθ!-Cpoι,

(6.12)

где

в = χRT0ulPmS. c = φ2a(fc)Fκp√χR7b
WA
106

1+<Р2_0
Ф2-Р»кр )

F°
R

™--£

Tι
*■ κp

Рис. 6.5

Расстояние х между разделяющимися частями определим из уравнений относительного движения:

dv (Q-pJSm-X2 Γ0+X1-Γ1+(Q-p∞)(5m-F0).dx
—=
+
'~Π = V' (o. 13.)
dt
m2
m!
at
где Xl5 X2 — силы лобового сопротивления разделяющихся частей;
Т1г Т0 — тяга основного сопла двигателя и отверстия на его переднем
днище. Решая систему обыкновенных дифференциальных уравнений
(6.11)—(6.13), находим давление между разделяющимися частями.

7. Осевые внутренние усилия в корпусе
7.1. Ракета на жидком топливе
Выше рассмотрены методы расчета нагрузок, действующих на ракету
в полете. Под действием этих нагрузок в корпусе возникают внутренние усилия, для определения которых необходимо составить уравнение
равновесия выделенной части.
Сначала мысленно проводят сечение в интересующем месте корпуса
ракеты и из двух частей выбирают одну, обычно ту, для которой проще
вычислить нагрузки и составить уравнение равновесия. К выделенной части прикладываются все внешние силы, а также искомая осевая
внутренняя сила, являющаяся результатом воздействия отброшенной
части на выделенную. Составив уравнение равновесия выделенной
части, определим искомую силу. Рассмотрим одноступенчатую баллистическую ракету на жидком топливе и составим уравнение равновесия

для трех ее характерных сечений (рис. 7.1): I—I проходит по верхней
части ракеты; II—II — по боковому отсеку; III—III — по хвостовому,
ниже сечения, в котором приложена тяга ЖРД.

III

Рис. 7.1

Рассматривая сечение I—I, расположенное на расстоянии хг от носка,
выделяем верхнюю часть ракеты, которая изображена на рис. 7.2. вместе
108

со всеми силами, действующими на нее. Внутренняя сила Л^х-) направлена в положительном направлении, т. е. от сечения I—I. На выделен-

ную часть действуют, кроме того, часть силы лобового сопротивления
Λlα(jtτ) всей ракеты, массовая сила Nm(pc{), а также давление p∞ по наружной поверхности корпуса и давление р0 внутри отсека, по которому проведено сечение.

W<x(xι)

Nm0cτ) = Gλnxl

N(*ι)
*ι
Рис. 7.2

Уравнение равновесия тогда можно записать так:

JVCxι) + Nm(xι) + Na&∂ - (Po -PJπR2 = 0,
откуда

N(*ι) = (Po −pJπR2 -Nα(*ι) -Nm(*ι)·

(7.1)

Из полученного выражения следует, что избыточное давление в отсеке
растягивает корпус, а аэродинамическая и массовая нагрузки сжимают

его. Если отсек негерметичный, когда р0 = рм первое слагаемое равно
нулю и корпус всегда сжат. Отметим еще, что массовая сила равна весу
выделенной части, помноженному на осевую перегрузку ракеты.
В сечении II—II (рис. 7.3), проходящем по баку, появляется жидкость
и уравнение равновесия принимает вид

N(x2) + Nm(x2) + Na(x2) -p∞πR2 +ph2πR2 = 0
или

Ж*2) = (Ph2 - PJπ−- - K(Xι) - Nm(x2).

(7.2)

Но так как давление жидкости в этом сечении ph2 = pH + Pκgnxιh2,
а вес выделенной части жидкости Gx = πR2h2Pτι<g>τo из уравнения равновесия можно получить следующее выражение для осевого внутреннего
усилия:

Ж*2) = (рн-РJπR2 - Na(x2) - [Nm(x2) - GAl].

(7.3)
109

-Чп(xl)

Рн

N„Cr-i)
■PjU

N(x2)
*2
Pi/c. 7.3

Избыточное давление наддува в баке растягивает его в осевом
направлении, как и в случае отсека без жидкости. Однако теперь
из полной массовой силы, равной весу выделенной части, умноженному на перегрузку G2nxl, необходимо вычесть вес жидкости, умноженной на осевую перегрузку.
Формулы (7.2) и (7.3) совершенно идентичны, однако во избежание
ошибок необходимо иметь в виду, что давление в баке берется всегда
избыточным, а при использовании формулы (7.3) массовая сила равна
весу выделенной части без веса выделенной части жидкости, помноженному на осевую перегрузку.

Особенность уравнения равновесия для сечения III—III в том, что
здесь для верхней части появляется сила тяги ЖРД (рис. 7.4):

N(*з) + Na(x3) + Nm(x3) - To - (р0 -pJπR2 = 0,
откуда

N(x3) = TQ + Na(x3) - Nm(x3) + (p0 - pJπR2,

(7.4)

т. е. тяга растягивает хвостовой отсек на полетном участке траектории.
Так как осевое внутреннее усилие относится только к корпусу хвосто-

вого отсека, а не ко всему сечению, то lVm(хз) вычисляется с учетом веса
двигательной установки. Кроме того, тяга двигателя, представляющая
собой равнодействующую давления, действующего по его наружной
и внутренней поверхности, должна вычисляться по формуле

T° = mua + Fa(pa-p0),
где р0 — давление внутри хвостового отсека. Если для сечения III—
III взять нижнюю часть, то уравнение равновесия для нее примет вид
(рис. 7.5):
110

откуда

N(x3) - .§(х3) + Хд + -*№з) + (Ро - P−) № - Fa) = О,

гдеХд — сила донного сопротивления ракеты; Л/£(х3), N°(λ:3) — массовая сила и сила сопротивления выделенной части хвостового отсека.

■AW
Na(x3)
*3
R

Ро

Λl^(xa)
Рис. 7.4

Ж*3)

Ро

К(*3)

F<*

-N°m(*s)

Рис. 7.5

Преобразуем (7.5) и получим из него выражение (7.4). Сила лобо-

вого сопротивления всей ракеты X = Na{x3) + N^{x3) + XR, а массовая
сила /Vm(x3) - Gnxl -Nm(x3), где G — вес всей ракеты. Тогда (7.5) можно
переписать так:

N(x3) =X-Na(b) + Gπ^ -Nm(x3) + (Ро −pJ(πR2 -FJ,
111

Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части

умножить на соответствующую перегрузку.

frι

G3πxl

σj

Phi

στ

σ1

Phi

σx

,"xl
Рис. 2.7

или, после подстановки выражения для перегрузок пх1 - (Т - X) ∕ G, где
Т = τhua + Fα(pα - Poo) — тяга ракета,
N(x3) = -Na(*з) + [m'ua + Fa(pa −pj] -Nm(x3) + (Po−pJ(πR2 -Fa),
откуда после приведения подобных членов придем к выражению (7.4).

В основании ракеты N% (x3) = 0, N^(,x3) = О, тогда N(x3) =Хд+(р0 −p,J x
х (πR2 - Fa). а для негерметичного отсека, когда р0 -p∞, N(x3) -Хд, причем
сила будет положительной, если возникает донное разрежение, и отрицательной, если давление в донной области больше, чем в окружающей
среде.

Построим эпюру осевых внутренних усилий в корпусе ракеты
(рис. 7.6), ограничившись минимальным количеством участков,
на которые ракета разбивается по длине. Примем за участки отсеки
ракеты, за исключением головного и приборного, в которых находятся
сосредоточенные грузы. Головной отсек разобьем на три участка: носовое затупление, участок конуса до груза и после него, а приборный —
на два с границей между ними, проходящей по грузу. Границы участков
пронумеруем от нуля в вершине ракеты до N = 13 в ее основании, тогда
номер участка совпадет с номером его нижней границы. Будем считать,
что геометрические и массовые характеристики ракеты, осевые пере-

грузки, а также параметры набегающего потока в рассматриваемом
расчетном случае известны.

∆pa

dx2

m(x{)gn^

m^nxl

N(xJ

Рис. 7.6

Осевое внутреннее усилие в сечении корпуса, проходящем по границам участков, находится в результате суммирования с учетом знаков

массовой силы, силы лобового сопротивления и сосредоточенных сил,
действующих выше рассматриваемого сечения.
112

В сечениях, содержащих сосредоточенный груз или силу, внутреннее
усилие имеет двойное значение, так как здесь возникает скачок непрерывности первого рода.

Сначала выделяем сосредоточенные грузы, к которым в рассматриваемом случае относятся грузы в головном и приборном отсеках, жидкостный ракетный двигатель, жидкое топливо в баках, действующее
в осевом направлении на стыке цилиндрической обечайки с нижним
днищем. Масса несгоревшего топлива, оставшегося в баке, определя-

ется по формуле тпс =m°[l-CL-μ)/μm], где μm — коэффициент запаса
топлива; μ = m / тп0 — коэффициент относительной массы ракеты
(т0 — стартовая, тп — текущая масса); тс, т° — текущая и полная
массы компонента в баке.

Сосредоточенной силой является тяга двигателя Г0 (по знаку положительная), определенная по давлению в хвостовом отсеке. Сосредоточенные силы при таком разбиении ракеты на участки всегда располагаются на границах участков, поэтому здесь возникает скачок осевой
силы. Грузы считаем одноопорными, поэтому их реакция на корпус
равна: Rk = -mkgnxl, где тк — масса сосредоточенного груза. Тогда для
нижнего сечения участка

.=- ΣXj + n,!g∑mj \+∑Rk,

(7.5)

где к — количество сосредоточенных сил между вершиной и рассма-

триваемым сечением; Xj, mj — сила лобового сопротивления и масса
участка.

Усилие в верхнем сечении участка (кроме z-\, где оно равно нулю)
равно его значению в нижнем сечении предыдущего участка плюс
сосредоточенная сила в этом сечении.

После определения сил лобового сопротивления участков откладываем на эпюре аэродинамической нагрузки соответствующие силы так,
что в основании ракеты должна получиться сила лобового сопротивления без донной ее составляющей, которая приложена к ее торцу. Характер кривой между промежуточными точками можно определить с помощью графика погонной аэродинамической нагрузки qS;(3cxl ∕∂x{).
По известной массе участков и осевой перегрузке можно найти массовую нагрузку на нижней границе участков, а промежуточные точки
соединить с помощью графика погонной массовой нагрузки m(x^gn^.
Объединяя эпюры аэродинамической и массовой нагрузки, а также
учитывая сосредоточенные силы в сечениях, строим эпюры осевых

внутренних усилий. На участке баков корпус частично разгружается
внутренним давлением наддува, а величина соответствующей силы
Rδ = (pH − p,JπR2. Эта сила создает на эпюре вырез, величина которого
зависит от давления в баке. Для ракет с турбонасосной системой подачи
топлива этот вырез невелик и обечайка бака может быть сжата в осевом
направлении, несмотря на разгружающее действие давления. Что касается баков ракет с вытеснительной системой подачи топлива, то они
113

всегда растянуты. Пример эпюры осевых внутренних усилий приведен
на рис. 7.6. Построение эпюры удобно проводить с помощью расчетной
табл. 7.1, образец которой приведен ниже. В строчку 2 таблицы внесено
еще среднее аэродинамическое давление участка Apai = Xt/ Sf.
Таблица 7.1
№п/п

Данные

<-xi

bPai

mgnΛ

l. ι (верхнее сечение)

Ni (нижнее сечение)

Номера участков
1

•

*д

7.2. Ракета на твердом топливе
Особенности в эпюре осевых внутренних усилий в корпусе ракеты
на твердом топливе по сравнению с ракетой на жидком топливе возникают по двум причинам: 1) корпус РДТТ одновременно является и корпусом самой ракеты; 2) заряд твердого топлива может быть вложен
в камеру сгорания или скреплен с ней.
Проанализируем сначала случай вложенного заряда, который может
рассматриваться как сосредоточенный груз. Реакция груза на корпус
передается в месте крепления заряда к корпусу и равна: R^ - -mmgnxl,
где тт — масса топлива в расчетном случае. Уравнение равновесия
на участке двигателя между днищами имеет такой же вид, как и в случае наддутого отсека, а осевое усилие (рис. 7.7):

■NC*ι) = (Ро −pJπR2 -Nα(*ι) -Nm(*ιV,
где р0 — давление в камере сгорания двигателя. Для сечения II—II, расположенного на стабилизирующей юбке, уравнение равновесия имеет
вид (рис. 7.8):

N(rΔ + Na(x2) + Nm(x2) - Λl^ + N3 + тдпх1 = 0;
где Nm — сила, действующая на переднее днище двигателя; N3 — сила,
действующая на заднее днище двигателя; тс — масса соплового блока.
Тогда N(x2) = T− Na(x2) - Nm(x2) − m.,gn.xl, причем при расчете массовой
силы Nm(x2) масса соплового блока не учитывается, так как он выступает в роли сосредоточенного груза.
114

tfmC*l)

T t

Po
R

−xl)
Рис. 7.7

Nα(xj)
R

JVm(*l)

iv(x2)
Рис. 7.8

К особенностям эпюры осевых внутренних усилий, возникающих
в корпусе в этом случае (рис. 7.9), следует отнести скачки внешних
сил в сечении, где крепится снаряд твердого топлива, на величину 1^,
а также за задним днищем в сечении, относящемся к стабилизирующей
115

юбке. Здесь скачок определяется суммой силы, действующей на заднее
днище, и реакции соплового блока на корпус.

Скрепленный

Gsnxl
N3

Рис. 7.9

Построение эпюры осевых внутренних усилий, когда заряд скреплен
со стенками камеры сгорания, мало чем отличается от только что рас-

смотренного случая, хотя казалось бы, что из-за заряда, закрывающего
стенку двигателя, необходимо внести изменения в расчет сил, действующих на днища. В действительности жесткость твердого топлива
настолько мала по сравнению с жесткостью конструкционной стенки
камеры, что при построении эпюры можно считать, что давление пол-

ностью воспринимается стенкой. Изменения коснутся лишь способа
учета массовой силы от топливного заряда. Теперь его необходимо
рассматривать как распределенную массу, которая составляет единое

целое со стенкой камеры сгорания. На рис. 7.9 построена вторая эпюра
осевых внутренних усилий, относящаяся к этому случаю, на которой
исчез скачок сил из-за заряда твердого топлива.

Анализируя построенные на рис. 7.9 эпюры, можно сделать следующие выводы.

Корпус ракеты, от носка и до работающего РДТТ, всегда сжат

в осевом направлении.

2. Корпус работающего двигателя всегда растянут в осевом направлении значительной силой, действующей на переднее днище.
3. Стабилизирующая юбка, закрывающая сопловой блок РДТТ,
растянута, если в донной области образуется разрежение, что является
типичным для малых высот полета.

4. Стабилизирующая юбка частично сжата на средних и больших
высотах, когда давление в донной области больше, чем в атмосфере
на данной высоте.
116

При определении расчетного случая для конкретного сечения представляет интерес не вся эпюра осевых внутренних усилий, а лишь только
одно значение осевой силы в зависимости от времени полета ракеты.

7.3. Крылатая ракета со стартовым ускорителем
Как для баллистической, так и для крылатой ракеты расчетные случаи
определяются в результате анализа ее траектории. Так, например, при

анализе траектории противокорабельной ракеты «Гарпун» (рис. 7.10)
можно установить, что наибольшие нагрузки в осевом направлении
возникают в конце работы стартового ускорителя. На этом рисунке
1 — корабль-носитель; 2 — стартовый участок; 3 — участок разворота;
4 — маршевый участок; 5 — поиск и захват цели; 6 — участок самонаведения; 7 — цель.
2

100

1—IB 1

«Ы

шА 7^ ■

15 м
,

Осевые перегрузки в расчетной точке траектории — в конце работы
стартового двигателя — равны

Γ-X!

nxi=-

где Т—тяга стартового ускорителя; Хг — сила лобового сопротивления
всей ракеты в этой точке траектории; тп1 — масса ракеты без выгоревшей массы топлива в стартовом ускорителе. Составляющая массовой
нагрузки, создаваемая участками, определяется как произведение веса

участка без сосредоточенного груза на осевую перегрузку. Реакция
сосредоточенного груза на корпус Rk = -mkgnxl, где тпк — масса сосредоточенного груза.

Сосредоточенные грузы всегда расположены на границе участков, поэтому здесь возникает скачок осевой силы, а при заполнении
таблицы результатов значение реакции относится к нижнему участку.
На корпус в осевом направлении действуют также сосредоточенные
силы Fk, которые, как и массовые силы от сосредоточенных грузов, создают скачок на эпюре осевых внутренних усилий в корпусе ракеты.
Тогда в нижнем сечении участка

.=- \∑Xj + nxlg∑mj + ∑Rk
[j=l

j=\

fc=l

117

Для того чтобы найти усилие в верхнем сечении участка, необходимо к его значению в нижнем сечении предыдущего участка добавить
реакцию груза и сосредоточенную силу на рассматриваемом участке.

На рис. 7.11 построена эпюра осевых внутренних усилий N _■_) в корпусе ракеты по ее длине в этом расчетном случае. Из эпюры следует,
что от носка ракеты в направлении стартового сила осевая сила сжи-

мающая, а в том сечении, где стартовый ускоритель крепится к корпусу маршевой ступени, эпюра имеет большой скачок на величину
силы, равной давлению в камере сгорания и умноженной на величину
площади поперечного сечения стартового ускорителя. Так как сила
давления на переднее днище двигателя и массовые силы имеют разные
знаки, то скачок имеет положительное направление.

lV(xι)

Рис. 7.11

В заключение рассмотрим примеры определения расчетных случаев
для БР на жидком топливе.

7.4. Определение расчетных случаев
по осевой силе для БР
Приборный отсек в верхней части ракеты. В верхней части ракеты
находятся отсеки, не содержащие расходуемых масс во время работы
двигательной установки. Это головной и следующий за ним приборный
отсеки, а также вообще верхние ступени на активных участках траектории нижних ступеней. Для определения расчетного случая на активном
участке траектории воспользуемся методом максимальной нагрузки,
для расчета которой необходимо представить формулу (7.1), относящуюся к сечению I—I на рис. 7.1, в виде зависимости от времени.
118

Рассматривая случай негерметичного отсека, когда р0 = p∞J перепишем (7.1):

j••••ι

j=1

или, так как т = т0(1 - βt), β = т / т0,
"о

(xi) = -∑xj-g-^-∑mj,

(7.6)

где принято, что разность (Γ-Xf) изменяется мало, поэтому отношение
(Т-Хх)

— можно заменить постоянным значением п0, которое здесь при-

нято равным начальному значению перегрузки.

Анализируя (7.6), убеждаемся, что второе слагаемое, определяющее
массовую нагрузку, растет по времени и достигает максимального зна-

чения в конце активного участка траектории ступени. Первое слагае-

мое сначала растет, а затем довольно быстро уменьшается, проходя
через экстремум. Для БР обычно второе слагаемое значительно больше
первого, что хорошо видно на графике изменения осевой силы Λl(xj),
приведенном на рис. 7.12 для одной из ракет. Таким образом, для верхних отсеков баллистической ракеты расчетным случаем является конец
активного участка траектории ступени.

N • 10, Н

<г *ч
80

С учетом хх

II—II

I—I

ΓI

п.

III

Ξ-"

III—III

≠

t, с

Рис. 7.12

Межбаковый отсек. Теперь рассмотрим случай, когда отсек расположен в средней части ракеты на жидком топливе и над ним находится один из баков, из которого расходуется компонент, так что теперь
массовая нагрузка меняется не только из-за увеличения перегрузки,

но и из-за уменьшения массы той части ракеты, которая находится над
рассматриваемым сечением.
119

В межбаковом отсеке, служащем для соединения баков между собой,
могут размещаться приборы управления ракетой, а также вспомогательное оборудование, относящееся к различным ее системам.
Сначала рассмотрим случай верхних ступеней ракеты, когда силой
лобового сопротивления можно пренебречь, а массу в выражении для
массовой нагрузки представим в виде суммы постоянной и переменной
составляющей:
i-l

ΛΓi(xa) = -

∑mj+(m°-mci:)

gKχb

...

или

7.-1

ty(*a) = -

∑mj+fc,-m<) (μτ-βt)
>1

{7.7)

r___

'Ci-βO'

где m° — полная масса компонента в баке; mc — расход компонента;
m? ∕ tπq = μτ — коэффициент запаса топлива; fc,. = m{? ∕ m? — доля компонента в общем запасе топлива; т0 — стартовая масса ступени. Характер
1-1

изменения силы зависит от соотношения постоянной ∑ mj и переменj=ι

ной масс. Если преобладает постоянная масса, то осевая сила растет,
в противном случае уменьшается.

Функция (7.7) не обладает экстремумом, однако можно найти условие, при котором она принимает постоянное значение во все время

полета по траектории. Найдем первую производную по времени и приравняем ее нулю:

= -ffk><

i-1
β
∑ πij
(l-βt> f=ι

+ k,τno (μτ - βt) -

U-ptJ

fccm0 ·=o,

откуда
i-l

∑ mj + /V-mo(μτ - βf) - Кщй - βt) = 0,
i=ι
i-l

∑mj
YUITΛK,.=1
mk

, где тк = т0(1 - μA — вес ракеты без топлива. Подставив

полученное выражение в (7.7), получим значение осевого внутреннего
усилия, которое остается постоянным во все время полета ракеты:

Л-7С*z) = −

"og

i-1

∑TΠj.

(7.8)

Граничное значение доли компонента, находящегося выше рассма-

триваемого сечения в общем запасе топлива, позволяет указать на возможные расчетные случаи.
120

i-\

При заданном fcc, если ∑mj∕rr\≥k,., нагрузка увеличивается или
j=ι

постоянна во времени и расчетным случаем будет конец активного
участка траектории, а осевое внутреннее усилие равно lvp(xf) опредег-1

ляется из формулы (7.8). Если ∑m;· / mfc < fc<., то расчетным будет случай
старта ракеты (ступени), когда двигатель полностью вышел на режим.
При t = 0 из (7.7):

(i-\

N^) = -g∩o ∑mj + m°
U'=ι

Первый из рассмотренных случаев реализуется обычно для нижних
ступеней ракеты, второй — для верхних.
Для одноступенчатых ракет и первых ступеней многоступенчатых,
когда при выборе расчетного случая межбакового отсека необходимо
учитывать силу лобового сопротивления, дополнительным расчетным
случаем будет момент нагружения ракеты, соответствующий скоростному максимальному напору.

Забаковый отсек. Теперь выше забакового отсека находятся оба
отсека с топливом, масса которых изменяется во времени (см. рис. 7.12).
Для сечений, расположенных выше плоскости крепления ЖРД,
в которой к корпусу приложена тяга, осевое внутреннее усилие можно
определить по формуле, аналогичной (7.7), но теперь коэффициент кс
всегда равен единице, поэтому

Ni(*a) =

g"o

∑mj + m0(μτ--βt)

(l-βt) >1

а условие постоянства осевого внутреннего усилия имеет вид

Xm√m·.=l,
i=ι

что никогда не может быть выполнено для отсека, расположенного сразу
же за баками, так как сухая масса ракеты тк всегда больше ее части
i

∑πij. Значит, для этого отсека нагрузка максимальна в момент старта
j'=ι

ракеты, когда t = 0, тогда
Г i

N^(.x3) = -gnQ ∑mj+тгц.
I.

При учете силы лобового сопротивления на первых ступенях ракет
добавляется еще один расчетный случай, соответствующий максимальному скоростному напору на активном участке траектории (см.
рис. 7.12).
121

Несущие баки. Стенка несущего бака является одновременно и стенкой корпуса ракеты. Рассматривая сечение ΓV—ΓV в верхнем баке (см.
рис. 7.12), выражение (7.3) для осевого внутреннего усилия, относящееся к цилиндрической обечайке, перепишем так:
ι

NM = PnπR*-∑Xj-g-\-∑mi,
j=ι
U ^^ PO j=ι

(7.9)

где под рн здесь и далее будем понимать избыточное (относительно
i

окружающей среды) давление наддува в баке; ∑ m· — масса выделен..

ной части ракеты без жидкости.
Выражение (7.9) аналогично (7.6), которое относится к отсекам
i

ракеты в верхней ее части. Различие их в том, что в (7.6) под ∑m−
j=ι

понимается полная масса выделенной части, а в (7.9) — масса выделен-

ной части без жидкости. Кроме того, в баках возникает разгружающая
сила, создаваемая давлением наддува. Если она постоянна и больше
двух других слагаемых в (7.9), то наибольшее значение осевого внутреннего усилия будет в начальный момент времени, когда t = 0.
Такой случай типичен для баков с вытеснительной системой подачи
топлива. В баках с турбонасосной системой осевое внутреннее усилие
чаще всего отрицательное, т. е. сжимающее, и поэтому максимум его

достигается в конце активного участка траектории. Для одноступенчатых ракет и нижних ступеней многоступенчатых максимальное осевое
усилие может также возникнуть в точке траектория с максимальной

силой лобового сопротивления.
Если бак нижний и над ним находится расходуемая масса второго
компонента, то выражение для осевого внутреннего усилия следует
записать так:

N·(*5) = PH7iR2-∑Xj-g (i-βt)
"°
J=l

∑mi-1-fc<.mo (μτ-βt)

(7.10)

где ∑ щ — масса выделенной части ракеты без топлива; k,. — доля комj'=ι

понента верхнего бака в общем запасе топлива. Для баков с вытеснительной системой подачи топлива первое слагаемое опять значительно
больше других и расчетным случаем опять будет начальный момент
времени. При отрицательном внутреннем усилии расчетный случай
всегда будет в начале работы ступени.
!

Исследуя (7.10), убеждаемся, что fc,. < ∑mj /mk, так как часть ∑mj
El

сухой массы ступени всегда меньше массы тк ступени без топлива.
В этом случае влияние переменной массы над постоянной преобладает,
122

Для учета силы инерции и веса следует вес выделенной части

умножить на соответствующую перегрузку.

frι

G3πxl

σj

Phi

στ

σ1

Phi

σx

,"xl
Рис. 2.7

поэтому наибольшее значение осевое внутреннее усилие принимает
при t = 0 и для верхних ступеней равно

NJx5) = pHπR2-gno

∑m--fm,. \,

U=i

где тс — полная масса компонента в верхнем баке.
Для нижних ступеней ракеты к этому расчетному случаю, как
обычно, добавляется случай максимальной силы лобового сопротивления.

8. Перерезывающие силы
и изгибающие моменты
Для получения наглядного представления о характере изменения
поперечных внутренних силовых факторов в корпусе ракета рассматривается в виде свободной балки, уравновешенной аэродинамическими
и массовыми силами. Перерезывающей силой в сечении ракеты называется равнодействующая касательных напряжений, численно равная
алгебраической сумме проекций внешних сил на перпендикулярную
оси ракеты ось у, приложенных слева от сечения, или сумме сил, при-

ложенных справа, взятой с обратным знаком.
Изгибающим моментом называется результирующий момент нормальных напряжений, возникающих в сечениях ракеты, взятый относительно нейтральной оси этого сечения. Численно момент равен
сумме моментов всех сил, приложенных слева от сечения или справа

с обратным знаком. Моменты вычисляются относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения и параллельной оси zl·
Перерезывающую силу и изгибающий момент по длине ракеты
аналитически можно представить в виде кусочно-гладких функций,
поэтому общее выражение суммарных функций получается громоздким и плохо обозримым. В практических расчетах строят графики этих
функций, которые называются эпюрами перерезывающих сил и изгибающих моментов. Эти эпюры позволяют выбрать способ расчета соответствующей части корпуса ракеты.

Рис. 8.1
124

Прежде чем перейти к построению эпюр, остановимся на правиле знаков для перерезывающих сил Q и изгибающих моментов М.
На рис. 8.1 изображен i-й участок корпуса, на границах которого
(в сечениях балки) указаны положительные направления изгибающего
момента и перерезывающей силы. Момент считается положительным,
если он прогибает участок выпуклостью вниз. В левом сечении положительная перерезывающая сила направлена вверх, а в правом вниз.

На этом же рисунке указаны подъемная сила У;, участка, приложенная
в его центре давления, и массовая сила Gj/ι· приложенная в центре
масс участка.

8.1. Баллистическая ракета на жидком топливе
На рис. 8.2 изображена схема одноступенчатой баллистической
ракеты на жидком топливе, на примере которой рассмотрим порядок построения эпюр перерезывающей силы и изгибающего момента
в сечениях корпуса ракеты, представляемой в виде балки, переменной
по длине погонной массы и жесткости.
АУ„

Рис. 8.2

Сначала разделим ракету по длине на участки, границы которых
совпадают с границами отсеков. Затем поделим отсеки дополнительно
на участки по местам крепления сосредоточенных грузов и месту кре-

пления ЖРД. Баки также делим на участки с границей, проходящей
по жидкости. Текущая масса жидкости в баке равна

тс = m°(l - {τht ∕ m°)) = [1 - (1 - μ) ∕ μτ].
В отличие от случая осевого усилия здесь выделять затупленный
наконечник в виде отдельного участка не имеет смысла, так как он соз-

дает пренебрежимо малую подъемную и массовую силы.
К сосредоточенным грузам отнесем грузы внутри головного и приборного отсеков, днища головного отсека и баков, ЖРД с турбонасосным агрегатом и устройствами автоматики, расположенными на двига125

теле. Эти грузы создают реакции, которые передаются на корпус в виде

сосредоточенных сил. Сосредоточенную силу Yp создает также рулевой
привод. Момент и реакцию создает ЖРД в месте крепления к корпусу.
Пронумеруем границы участков от нуля в носке до N в основании
ракеты и составим уравнение равновесия типичного i-ro участка, изо-

браженного на рис. 8.1. Сумма проекций всех сил на осъу^. Qt_λ + Yf −

- Qi - G-βyi - О, откуда перерезывающая сила в правом сечении участка
равна

Qi = Qi-ι + ^-GjΠ•

(8.1)

где τiyi — поперечная перегрузка в центре масс участка, вычисляемая
с учетом вращения ракеты вокруг центра масс. Подставив в (8.1) последовательные выражения для перерезывающей силы на левой границе
участка, получим

Qi = ∑Yj-∑Gjiiyj,
J'=l

(8.2)

J=l

т. е. перерезывающая сила равна сумме подъемных сил участков (подъемной силе части ракеты, расположенной между носком и рассматриваемым сечением) минус сумма массовых сил участков.
Если на границах участков имеются сосредоточенные грузы, то здесь
возникают реакции Rk и тогда выражение (8.2) нужно записать так:

Qi = ∑Y}-∑Gjny, + ∑Ik,

(8.3)

где К — количество сосредоточенных грузов, расположенных между
носком ракеты и рассматриваемым сечением.

Реакции грузов на корпус определяются по формулам из параграфа 3.4. Так как они по условиям разбиения корпуса всегда действуют на границах участков и относятся к нижнему участку, то

перерезывающая сила Qt_λ в левом сечении i-ro участка равна перерезывающей силе в правом сечении (i − l)-ro участка, к которой добав-

лена реакция груза на корпус. Сосредоточенная сила, например Yp,
добавляется в правую часть (8.3), так же как и реакция груза на корпус.

Так как ракета самоуравновешенная, то в носке ее перерезывающая

сила равна нулю, а в основании Yp, создаваемой органом управления.
Действительно, здесь

Qn = ∑Yi-gn°y∑mj-εz∑mi(xm-xi)+ ∑ Rb
i=ι

;=ι

i=ι

fc-=l

(8.4)

где M — количество сосредоточенных грузов; хт — координата центра
масс ракеты. Так как реакция на корпус одноопорного груза, а также
сумма реакций двухопорного равны его весу, умноженному на пере-

грузку в его центре масс, то Rk = -mkgnyk и выражение (8.4) можно переписать так:

126

QN=Y-gn°y ∑mι + ∑rtib
i=l

i=l

-ε«

∑πii(Xm -xm∂+ Σ mk(xm -xmfc) , (8.5)
i=:ι

fc=:ι

где хтк — координата центра масс груза, измеряемая от носка ракеты.

Но так как выражение в первой квадратной скобке равно массе ракеты,
а во второй — статическому моменту массы, который равен нулю,

то из (8.5) получаем, что QN = -Yp.
Расчет перерезывающей силы в сечениях корпуса удобно проводить
с помощью табл. 8.1.
Таблица 8.1
№п/п

Данные

са-

ХД1

·*τni

Πyj

m-g/iyi

Он

10
11

Номера участков
1

Ми

•

Остановимся на некоторых деталях ее заполнения, относящихся
к строкам 1—8. Коэффициенты подъемной силы участков вычисляем по формулам из параграфа 4.4. Координата центра давления
i-ro участка, измеряемая от вершины ракеты, равна
•_;— xi-i + _ч>
где

2-d(l + d)

к=

^Γ-A-ι<di,

3(1 −d2)
0,5,

di-ι≥dil

х(_г — координата левого сечения участка; d = а\_х / а\ — отношение диаметров участка; \ — длина участка. Осевая координата центра давления всей ракеты определяется по формуле
N
Д1

х = ^-

127

Поперечные перегрузки в центре масс участков
Tlyi —Пу+

(.Хщ

Xmi h

где координата центра масс всей ракеты
N

ΣnhXmι + ΣτnkXmk
k=l
т

mf — масса i-ro участка без сосредоточенного груза; тк — масса сосредоточенного груза; xmi, xmk — координаты центра масс участков и сосредоточенного груза, измеряемые от вершины ракеты.

Угловое ускорение εz во вращательном движении вокруг центра масс
равно

Y(xm-xa) + Yp(xm-lp)

ε* =

где 1р — длина ракеты; Iz = ∑mi(.xm-xmi)2 + ∑тк(хт-xmfc)2 — массоi=ι

fc=ι

вый момент инерции ракеты относительно ее центра масс. После заполнения строк 1—8 табл. 8.1 можно перейти к определению изгибающих
моментов на границах участков. Из уравнения равновесия моментов,
взятых относительно правой границы участка (см. рис. 8.1):

Мг = М;_! + Q^i + Yfli - У - GιΠyi(ii - U.

(8.6)

где I • lmi — расстояние от левой границы до центра давления и центра
масс участка соответственно. Подставляя в (8.6) последовательные выражения для изгибающего момента и перерезывающей силы, получаем

Mt = ∑Yj

Zj -71
.

'Д1

~∑Gμyi
i=ι

2j ·n
.

τjy

или
i

Mi = ∑ Yj(*ι - ХдО - Σ GjΠyi(Xi - xmj).

(.8.7)

С учетом реакций и моментов от сосредоточенных грузов это выражение нужно записать так:
i

Mi = ∑ Yi(-Xi - Xr∂ - Σ m.jgriyj{.Xi - x,,·) + ∑ Mk + ∑ Rfc(xi - xτfc), (8.8)
j=\

j=l

jfc=l

fc=l

где I — количество грузов, создающих реактивные моменты; К — количество сосредоточенных грузов, находящихся левее рассматриваемого
сечения.

128

Реактивные моменты возникают только в том случае, когда центр
масс одноопорного груза не совпадает с плоскостью его крепления. Для

схемы ракеты, приведенной на рис. 8.2, таким грузом будет ЖРД, т. е.
I = 1. С помощью выражения (8.7) или (8.8) заполняются оставшиеся
строки 9—11 табл. 8.2, относящиеся к изгибающему моменту в сечениях.

Ракета в полете самоуравновешена, поэтому изгибающий момент
на ее краях равен нулю. Перед началом заполнения таблицы целесообразно убедиться в этом, определив изгибающий момент в основании
ракеты. Если условие равновесия ракеты по моменту не выполняется,

то необходимо проследить этапы вычисления момента по формулам
N

MN = ∑Yi(lp-Xti)-∑mignyι(.lp-xmi)i=ι

;=ι

-Σ mkgnykdp-Xmk) + MR-RR(lp -Xq),

(8.9)

k=l

где MR - СдИуд£д — реактивный момент, создаваемый ЖРД в месте его
крепления; Йд = Gflπyfl — реакция ЖРД на корпус в месте его крепления; 1Д — расстояние от центра масс ЖРД до места его крепления; х0 —
координата места крепления двигателя; пуд — перегрузки в центре масс
ЖРД. Подставляя в (8.9) выражение для перегрузки, получаем
(N

M*=YE-∑Y^-gn'

U=ι

i=ι
N

−ε,

∑mi + ∑πib - ∑miXmi + ∑m,cXmfc
k=i

)

. =ι

fc=i

∑Wi(ιp -χrm)(.xm~xmD+ Σ mkO-p ~xmk)(xm ~ xmk)

i=l

fc=i

+ 6япул1л-Сдпул(1р-х0),
или

MN = Y(lp - xj - gn°m(lp -xm)Г

N
Γjv

∑mi(.xm −x •)+ ∑ mfc(xm -xmfc)
i=l
N

fc=l
N

+ ∑mi(xm-χmi)2 + Σ Π*fc (*m ~xmk)2
i=l

k=l

Но n° =(Y + Yp)/τng, εzIz =Y(xm-хд)-Υp(l,-xm), в первой квадратной скобке стоит статический момент массы, равный нулю, а во второй — момент инерции ракеты, поэтому после преобразований получим MN = 0.
На рис. 8.3 построены эпюры перерезывавших сил и изгибающих
моментов, возникающих в корпусе ракеты на активном участке тра-

ектории. Так как внутренние силовые факторы определялись только
на границах участков, то расчетные точки на эпюре соединены плав129

ными кривыми, вид которых определялся с помощью эпюр погонных

нагрузок, в данном случае только и используемых для этих целей.
Ч

Πyl(xl)

∂(xJgΠy
дса

g"1 9x!
Q(xι)

m(xi)

Рис. 8.3

8.2. Ракета на твердом топливе
Порядок построения эпюр Q и М мало чем отличается от того, который используется для ракет с ЖРД. Остановимся лишь на особенностях,
обусловленных конструкцией двигателя.
К сосредоточенным грузам теперь необходимо отнести переднее
и заднее днища с сопловыми блоками, органами управления на них
и т. п., а также заряд твердого топлива, если он свободно вложен в камеру
сгорания. Причем днища рассматриваются как одноопорные грузы, которые могут передавать на корпус сосредоточенную силу и момент. Момент
следует учитывать для заднего днища, так как центр тяжести всей конструкции удален от плоскости, в которой она крепится к корпусу.
На рис. 8.4 показано направление реакций, действующих на корпус

со стороны заднего днища с сопловым блоком. Они равны по величине и противоположны по направлению реакциям корпуса на днище

в месте их крепления. Так, реакция йда = --G_Hny„, где G„H — вес заднего
130

днища с сопловым блоком; пуд — поперечные перегрузки в центре его
масс, а реактивный момент Мдн = GflHnyflZfl, где lR — расстояние от плоскости крепления днища до его центра масс. Вложенный заряд твердого
топлива рассматривается как двухопорный груз с двумя реакциями
в узлах крепления.

Мдн/"
\

Ц. т.
Rw

гдн

GmnyA

Рис. 8.4

Воспользовавшись формулами из параграфа 3.4 для реакций, получим следующие выражения:
а

R, - G3ny3, R2 - ——G3ny3,
a+b
где a,b — расстояния между центром масс заряда и местами его крепления; G3 — вес заряда. Если заряд скреплен со стенками камеры,
то реакции не возникают.

Расчеты перерезывающих сил и моментов проводятся с помощью

табл. 8.1, по заполнении которой строятся соответствующие эпюры.
На рис. 8.5 приводится пример построения эпюр Q и М для баллистической ракеты на твердом топливе, имеющей заряд, вложенный в камеру
сгорания. Расчетные значения соединены плавными кривыми, вид
которых определялся с помощью эпюр погонных нагрузок.

8.3. Перерезывающие силы и моменты
маршевой ступени крылатой ракеты
На неманевренном участке траектории ракеты, форма которой
заранее известна, поперечную перегрузку можно определить заранее.

Так, для прямолинейного участка траектории (рис. 8.6, α) пу =cosθ,
а на искривленной ее части, выполняемой по программе, поперечные
перегрузки центра масс ракеты пу находятся по известным радиусам

кривизны траектории (рис. 8.6, б).
131

nyl

m(xjgn

∂x1

Рис. 8.5

Рис. 8.6

Заметим здесь, что речь идет о перегрузках в скоростной системе
координат, когда вектор скорости направлен по касательной к траектории.

При маневре ракеты в формуле для поперечной перегрузки следует
учитывать не только подъемную силу, создаваемую корпусом, Y = Yαα,
но и силу, создаваемую органами управления, Y, = Υ·->δ, зависящую
от угла закладки рулей δ, а для точек ракеты, не совпадающих с центром масс, еще и вращательную составляющую перегрузки.
132

В скоростной системе координат, когда ось х направлена, как и вектор скорости, по касательной к траектории, поперечные перегрузки
равны

∩

(Yα + T)α + Yδδ

"у

Отсюда балансировочный угол атаки
n°G-Yδδ
a.

тах

= —

ya + -"Г

Входящая в Ya = c^qSjφ производная коэффициента подъемной силы
с£ всей ракеты определяется суммированием соответствующих производных для других аэродинамических поверхностей ракеты с пересчетом их на одну характерную площадь, например на площадь крыла SТогда для аэродинамической схемы с оперением, расположенным
за крылом, получаем

Γa-ra

У ~ У.

*-?

+ra

"и ι rn

укорп q

"оп ∩

τ *-yoπ -

V.-1

гаЛ1(

й J^τ>

где с^ф — производная коэффициента подъемной силы крыльев с учетом влияния корпуса; с^орп, с"оп — производные коэффициентов подъемных сил корпуса и изолированного оперения; Sm — площадь миделя
корпуса; Soπ — площадь оперения, к которой относится с"оп; εa — угол

скоса потока на градус угла атаки; к,. = — — коэффициент торможения.
ч

Производная коэффициента подъемной силы по углу отклонения руля
У

уоп р •Vr·
■−>κp

Подъемные силы крыльев, оперения и корпуса найдутся теперь
pV2
по формулам, в которых скоростной напор q = ——:

Yg=cfaaqS;
-мш — l£yoπ -.■!■^^ ε )"гСуопОпредJ^τH^oπ>
"кор — ^укор .i•-*m·

Аналогично могут быть вычислены и силы лобового сопротивления,
действующие на части летательного аппарата:
*i = c-qS;.

По известной подъемной силе и силе лобового сопротивления Yf, Xt
в скоростной системе координат можно перейти к их значениям в свя133

занной системе координат, которые необходимо знать при построении
эпюры перерезывающих сил и моментов:

Уг - Ycos α +Xsin а; Хг =Xcos а + Ysin а.
Для контроля правильности вычислений можно пользоваться уравнениями равновесия всей ракеты в связанной системе координат, которые записываются так:

∑Xu = T− nxlG; ∑ylf = nylG.
Подъемная сила всей ракеты
N

Yι = ∑Yu·
i=l

Осевая координата центра давления всей ракеты
N

2jY\ixpj.
х =i≡!
Yι

Поперечные перегрузки центра масс ракеты п° - Yx ∕ τng. Поперечные перегрузки в центре масс участков определяются по формуле

где εz — угловое ускорение; хт — координата центра масс ракеты:
N

∑m^mf + ∑mfcxm/·.
v

_j≡1

fc≡i
m

где mi — масса i-го участка без сосредоточенного груза; тк — масса
сосредоточенного груза; xmi, xmk — координаты центра масс участка

и сосредоточенного груза, измеряемые от носка ракеты; М — количество грузов; N — количество участков корпуса. Здесь принято, что
центры масс участков находятся в их середине и измеряются также
от носка ракеты.

Угловое ускорение находим из уравнения вращательного движения
ракеты вокруг центра масс, а массовый момент инерции ракеты относительно ее центра масс
JV

h = ∑mi(xm -Xmi)2 + Σ Щ^Хщ ~хтк)2 ■
i=ι

k=ι

В носке ракеты и у ее основания перерезывающая сила равна нулю,
так как здесь сосредоточенные силы на нее в поперечном направлении

не действуют.
134

Расчет перерезывающей силы в сечениях, совпадающих с границами участков, как и в случае БР, целесообразно начать с проверки
условия равновесия всей ракеты. Если перерезывающая сила в основании ракеты равна нулю, то расчет может быть продолжен, причем эта
сила в нижнем сечении участка равна алгебраической сумме подъемных сил, массовых сил и реакций грузов на корпус всех участков, расположенных между носком ракеты и рассматриваемым сечением, т. е.

Qi = ∑Yj-g∑mjΠyj + ∑Rb,
i=\

j=l

k=l

где К — число грузов, попадающих в выделенную часть ракеты.

Расчет изгибающего момента начинается также с проверки условия
равновесия всей ракеты по моменту. В нижнем сечении участка с координатой xt изгибающий момент
i

Mi = ∑ \Yt С*; - хдг) - mignyi (х; - xmi) ] + ∑ Rk (xf - xmfc ).
j=\

k=l

Изгибающий момент Ми1 в верхнем сечении участка определяется
в порядке, аналогичном перерезывающей силе, с учетом того, что скачок момента здесь не возникает.

На рис. 8.7 приводятся примеры построения эпюр перерезывающих

сил и изгибающих моментов в корпусе крылатой ракеты, которые отличаются от соответствующих эпюр БР только тем, что на них отражено
влияние сосредоточенных сил, передающихся на корпус от крыльев

и рулевых поверхностей.

GkΠyk

Рис. 8.7
135

8.4. Правила построения эпюр по характерным точкам
В табл. 8.1, которая заполняется в процессе расчета, содержатся
перерезывающие силы и моменты на границах участков. Для соедине-

ния расчетных значений силовых факторов во время построения эпюр
необходимо воспользоваться эпюрами аэродинамической и массовой
погонной нагрузки. Из формул параграфа 4.4 следует, что на конических участках корпуса эпюра погонной аэродинамической нагрузки
линейная, а на цилиндрических участках постоянная. Что касается
погонной массовой нагрузки, то на конусе она изменяется по параболе,
а на цилиндрических постоянная. Погонная массовая нагрузка, посто-

янная на цилиндрических участках, на конусе изменяется по параболе,
а на остальных участках ее зависимость линейная, если принять, что
погонная масса на конусах линейная, а на цилиндрах постоянная.
Имея графики погонных нагрузок, которые легко построить
по их значениям на границах участков, можно предсказать характер

изменения графиков аэродинамической Qα и массовой Qm составляющих перерезывающей силы в промежуточных точках между расчетными, а затем и эпюру суммарной перерезывающей силы и момента.
При этом следует пользоваться следующими правилами.
1. Если погонная нагрузка на участке постоянна, то эпюра Q линей-

ная, а М — парабола.
2. Если эпюра погонной нагрузки линейная, то эпюра Q — парабола, а М — парабола третьей степени.
3. На эпюре Q всегда имеется скачок первого рода в местах приложения сосредоточенной силы.
4. Если на эпюре Q > 0, то момент на эпюре возрастает, и наоборот.
5. В точке пересечения оси эпюрой Q на эпюре М имеется экстремум.

6.
7.

Скачку на эпюре Q соответствует излом кривой на эпюре М.
На эпюре М возникает скачок первого рода в местах приложе-

ния сосредоточенных моментов.

8. Парабола на эпюре изгибающих моментов направлена своей
выпуклостью навстречу погонной нагрузке.
9. В свободном полете перерезывающая сила и изгибающий
момент в носке ракеты всегда равны нулю, а в основании — нулю или

силе и шарнирному моменту (если он передается на корпус) соответственно, создаваемыми органом управления.

9. Нагрузки, действующие на ракету
при старте
По типу и месту старта существующие в настоящее время пусковые
установки можно разделить на следующие типы: стационарные (наземные, шахтные (подземные), подводные) и подвижные (самолетные,
корабельные, железнодорожные, на подводных лодках, автосамоходные, на гусеничном ходу).
Расчет нагрузок, действующих на ракету, для большинства из перечисленных типов старта представляет собой комплексную научнотехническую задачу, поэтому здесь мы ограничимся лишь описанием

возникающих процессов, которые иллюстрируют крут проблем, возникающих в этих случаях.

9.1. Наземный старт
При наземном старте ракета устанавливается на пусковой установке
в вертикальном положении (рис. 9.1). На поверхности Земли располагается отражатель, который разворачивает вдоль поверхности струи,
истекающие из сопл двигательной установки. Продукты истечения
из сопл, образующие струи, имеют высокую температуру и являются
интенсивным источником теплового излучения. При этом наибольшему лучистому нагреву подвергается днище первой ступени ракеты.
а) Запуск ДУ

б) Эжекция

Излучение

'д

в) Запирание
донной области

Излучение

Конвекция
Рис. 9.1

137

В момент старта струи ударяются об отражатель и разворачиваются
вдоль поверхности Земли. Часть газа, обтекающего отражатель, направляется к днищу ракеты и по поверхности растекается в атмосферу, увеличивая нагрев днища за счет конвективного теплообмена. На днище
образуется область повышенного, по сравнению с окружающей средой, давления с максимумом в центральной его точке. Когда ракета
поднимается над пусковым устройством на высоту в несколько диаметров сопла, характер взаимодействия струй с отражателем изменяется и отраженные газовые потоки уже не поступают к днищу. Обычно
давление в выходном сечении сопла меньше, чем давление окружаю-

щей среды у поверхности Земли, поэтому на начальном участке старта
струи взаимодействуют между собой на большом удалении от ракеты,
а в области днища ракеты эжектируют воздух из атмосферы, тем самым
создавая разрежение на днище, которое теперь подвержено лишь лучи-

стому нагреву. По мере дальнейшего увеличения высоты точка пересечения струй перемещается к соплу, так как нерасчетность струй, а следовательно, и их наибольший диаметр увеличиваются.
Наконец, наступает такой момент, когда струи начинают пересекаться на таком малом расстоянии от выходных сечений сопл, что взаимодействие их приводит к возникновению обратных токов к днищу
ракеты. Давление в донной области снова начинает возрастать,
и к днищу поступают не только лучистые, но и конвективные тепловые
потоки.

Процесс увеличения давления в донной области не может быть беспредельным, поэтому донное давление достигает некоторого стацио-

нарного значения, которое не зависит уже от давления в окружающей
среде. Говорят, что донное давление в этом случае вышло на режим запирания. Способ расчета этого давления подробно изложен в работе [32].

9.2. Нагрузки в период подготовки старта
Рассмотрим нагрузки на ракету, установленную вертикально

на пусковом столе в период предстартовой подготовки. В этом случае
она нагружена весом и усилиями, создаваемыми приземным ветром.

Наибольший интерес представляют нагрузки, действующие на хвостовой отсек, так как он подвержен сжатию практически всего веса ракеты.
Для хвостового отсека
k

мк>

k=io

N(k) = J qUι)d*! + ∑ J Gfcδ(x- xk)dx.
Очевидно, эта сила будет сжимающей, и хвостовой отсек работает
на устойчивость.
Теперь рассмотрим нагрузки, действующие на ракету в поперечном
направлении. Полная сила, действующая на корпус при обтекании

его приземным ветром, равна: Yλ = Cy-fiS^ где q = pw2 /2 — cκopocτ138

ной напор от ветра; с^ — коэффициент аэродинамической ветровой
нагрузки. Для баллистических ракет со стабилизаторами (рис. 9.2)

су1 = 11,6 при φ = π ∕ 4, когда плоскость стабилизаторов, обращенных
к ветру, повернута к вектору его скорости на угол 45°; су1 = 12,6 при
φ = π ∕ 2. Сила Ух приложена в центре давления — точке приложения
равнодействующей аэродинамических нагрузок.

\\\\\^^*\^w\\

Рис. 9.2

Определим скорость ветра, при которой произойдет опрокидывание ракеты. Составляя сумму моментов относительно линии осос (см.
рис. 9.2), получаем

Gob = Yi(Z-x^) = Cy!

pW2

SmQ-χiπ),

откуда

Wκp =

2G0b

cylρSm(l-xu)

Дня оценочных расчетов можно принимать х1д = xlm, т. е. считать,
что центр давления совпадает с центром тяжести ракеты. Если скорость

ветра w = wκp, то произойдет опрокидывание ракеты и необходимо установить штормовые крепления. Следует также отметить, что ветровая
нагрузка изгибает корпус ракеты и наибольший изгибающий момент

действует на хвостовой отсек, причем M(l0) = Yι(l0 − xlfl).
Таким образом, в рассматриваемом случае наибольшему нагружению подвержен хвостовой отсек, который сжимается весом заправленной ракеты и изгибается ветровой аэродинамической силой.
139

При скорости приземного ветра больше критической, когда возможно опрокидывание ракеты с пускового стола, необходимо поставить
дополнительные штормовые крепления. Определим усилия, возникающие в тросах-расчалках, которые удерживают ракету в вертикальном

положении (рис. 9.3).

^"5S"S"S·3"~"5S"~·3"~"5"~">"S^

Рис. 9.3

Уравнение моментов относительно оси АА в этом случае принимает

вид: Y! (Z - х1д) = G0b + lVp/pCos ψ, где Np — усилие в расчалке; Zp — расстояние от плоскости опоры ракеты до точки крепления расчалки. При-

нимая w = wmax = w,jp, получаем
2

СУ1^y^Sm(Z-*1д) = С0Ь + ΛLL, COSψ,
откуда

N = CylPwL·χSmО- - *1д) - 2G0b
р

2lp cosψ

Полученное выражение позволяет определить растягивающее усилие, возникающее в одном тросе.

9.3. Расчет нагрузок при опрокидывании ракеты
Рассмотрим схему расчета внутренних усилий в корпусе ракеты
в том случае, когда приземный ветер имеет такую скорость, что подъемная сила, создаваемая им, начинает опрокидывать ракету и она стоит

на одной опоре, однако направление опрокидывающего ветрового
момента и противодействующего ему момента, создаваемого весом,
противоположное. Весь вес ракеты в этом случае целесообразно разбить на ряд сосредоточенных грузов, которые создают сосредоточенные изгибающие моменты, приложенные в местах крепления грузов.
140

Далее необходимо построить эпюру перерезывающих сил и изгибающих моментов, возникающих в корпусе из-за ветрового воздействия.
Задача решается просто, если известны графики распределения давления по корпусу ракеты, обдуваемому ветром в поперечном направле-

нии. Тогда можно вычислить производную по xλ от су1, а затем и перерезывающую силу в любом сечении.

Если известно значение су1 для всей ракеты и отсутствуют графики
распределения давления, то можно воспользоваться следующей схе-

мой расчета. Пусть известно значение су1, вычисленное по площади
миделя Sm в качестве характерной. Примем в качестве характерной

площадь меридионального сечения Fk всей ракеты и пересчитаем су1:
.ι= .1 .−n/-^k)· Теперь предположим, что коэффициент подъемной
силы части корпуса ракеты пропорционален той площади меридионального сечения корпуса, которая соответствует этой части, т. е.

Суι(xι) —Су!

F(xι)

тогда

дс

дхг

Qa(x1) = cyl^-]—dx
= cLyl-pW
2 0 dx

F(*i);

Ma{x{) = cyl^-\—dx.
Эта схема определения нагрузок положена в основу построения
эпюры изгибающих моментов и перерезывающих сил, когда ракета
стоит на одной опоре и ветровой момент уравновешивается моментом,
создаваемым весом (рис. 9.4).

Рис. 9.4

Как следует из этих эпюр, наибольшее значение перерезывающей
силы, равное полной подъемной силе корпуса, достигается у основания
ракеты, а изгибающий момент здесь равен нулю.
141

В точках корпуса, где приложены сосредоточенные моменты, на эпюре
имеется скачок, соответствующий величине этого момента. Стрингерный отсек подвержен также и осевому сжатию. В наиболее неблагоприятных условиях находится лонжерон, расположенный над опорой.

9.4. Нагрузки при старте
из шахты или контейнера
Рассмотрим физические процессы, происходящие при старте ракеты
из шахты или контейнера, которые определяют величину нагрузок,
действующих на ракету.
На рис. 9.5 изображена схема ШПУ 1 с экранирующим стаканом 2,
внутри которого установлена ракета 3, стартующая при помощи тяги
основных двигателей. Характер нагружения ракеты в этом случае зависит от скорости нарастания тяги двигателя при его включении. Если
запуск двигателя «пушечный», т. е. выход тяги на режим осуществляется за десятые доли секунды, то в начальный момент времени первая
порция продуктов сгорания 4, истекающая из сопла, ударяется о непод-

вижный воздух, находящийся в шахте, что приводит к образованию
ударной волны 5, которая, отражаясь от дна шахты, распространяется
по ее каналам. Повышенное давление на ударной волне нагружает
корпус ракеты и стенки шахты (рис. 9.6). Далее эта ударная волна
отражается от верхней части шахты и движется навстречу продуктам
истечения из двигателя, которые заполняют объем шахты. Наиболее
опасным является нагружение ракеты при первом движении ударной
волны по неподвижному воздуху. В дальнейшем продукты истечения
из двигателя полностью заполняют шахтный объем и ракета нагружается стационарным давлением, устанавливающимся в шахте.

Рис. 9.5

Рис. 9.6

При «плавном» затянутом выходе двигателя на режим первая пусковая ударная волна вырождается в волну сжатия, а возникающее на кор-

пусе давление будет значительно меньше, чем при «пушечном» запуске. Если ракета установлена в контейнере — глухой трубе, то процесс
142

ее нагружения во многом аналогичен уже описанному, но здесь первая

ударная волна 1, распространяющаяся в неподвижном воздухе, воз-

действует только на подракетный объем контейнера и днище ракеты.
Так как подракетный объем замкнут, то давление, возникающее в нем
по мере поступления в него новых порций газа из двигателя, может
достигать больших значений, что недопустимо с точки зрения работы
конструкции на прочность (рис. 9.7). Во-первых, повышенное давление действует на днище ракеты, а во-вторых, осевые перегрузки при
движении ракеты в контейнере могут превзойти допустимые значения.
Для снижения давления в подракетном объеме можно сделать окна
для сброса избыточного газа в окружающую среду. Необходимо также
отметить, что все описанные физические процессы сопровождаются
нагревом корпуса ракеты и шахты горячими продуктами истечения
из камеры сгорания двигателя.

Рис. 9.7

Новые явления возникают при выходе ракеты из контейнера (рис. 9.8).
Процесс раскрытия контейнера, когда ракета выходит из него, сопровождается образованием ударной волны 1, которая распространяется по неподвижной окружающей среде. Повышенное давление на этой волне нагружает элементы стартового оборудования, находящегося вблизи места
старта. Когда ракета поднимается на расстояние в несколько диаметров
выходного сечения сопла, струя, истекающая из него, может отразиться

от контейнера и течь в направлении ракеты, подвергая ее дополнительному нагреву (рис. 9.9).

Рис. 9.8

Рис. 9.9
143

10. Нагрузки при наземной эксплуатации
При расчете ракеты на прочность определяющими являются
нагрузки в полете. Поэтому целями расчета нагрузок при старте
и наземной эксплуатации являются: 1) установление таких наземных
режимов эксплуатации, при которых нагрузки на ракету не превосхо-

дят полетных; 2) проверка рациональности конструкции транспортных
средств; 3) определение прочности узлов крепления ракеты к транспортному средству.

10.1. Подъем ракеты на пусковой стол
Для установки ракеты на пусковой стол применяются установщики
с подъемной стрелой (рис. 10.1). На раме установщика шарнирно
закрепляется стрела подъема, на которую укладывается ракета, удер-

живаемая в передней и задней части.

ZZZZZZ

777777

Рис. 10.1

Подъем ракеты в вертикальное положение осуществляется совместно
со стрелой с помощью механизма подъема. Затем она крепится к опорам пускового стола и освобождается от крепления к стреле, которая
отводится от ракеты на небольшой угол. Перед пуском стрела опускается в горизонтальное положение, а установщик отъезжает от пуско-

вого стола. Для ОТР используются самоходные установщики со стрелой,
144

которые одновременно служат и для транспортировки ракеты, причем

пусковой стоя переводится в пристыкованном к ракете состоянии.
Ракета, установленная на стреле, представляет собой балку на двух
опорах, которая нагружена массовыми силами и реакциями опор.

Определим эти реакции, составив условия равновесия для проекции

всех сил на осьуь и сумму моментов относительно точки Л (рис. 10.1):
г

R1+R2=jq(.x)nyldx;
о

г1

ΛΛTι ~h) = jq(x)nyl(k - x)dx - Jq(x)nyl(x-IJdx,
о

откуда

R-…-

{ q(x)riy]βy - x)dx - \ q(x)nyl(x - l{)dx
.о

г
г

Rι=jq(x)nyldx-R2.
о

Тогда перерезывающая сила
*1

2 XI

Qm(·*ι)= J q(x)nyl<3x + ∑ J Riδ(x-lj)dx,
0

i=lθ

а изгибающий момент

Mm(xι)=jQm(x)dx.
0

На рис. 10.2 построены эпюры перерезывающих сил и изгибающих
моментов, которые соответствуют рассматриваемому случаю нагружения ракеты.

Поперечные перегрузки произвольной точки ракеты равны

г л (dv
λ,
Πyi(*!) = l—+ gcosε l/g,
где v = ω(L - xη) — линейная скорость движения рассматриваемой
точки; ω — угловая скорость. Тогда
dv

— = ε(L-x!)
at

Пул-cosε + -(L-Xτ),

(10.1)

g
где ε — угол наклона стрелы относительно плоскости горизонта, в кото-

рой находится рама установщика.
145

l2
АЛ1.

Я•2

1У1

Πyj

q(xι)

Вгты

Q(xι)

■_
…·τr>.

·f

W=*-

M(x];

Рис. 10.2

Из (10.1) следует, что наибольшие поперечные перегрузки возникают в момент начала движения стрелы из горизонтального положе-

ния, когда ε = 0. Вдоль оси ракеты они меняются по линейному закону

и имеют наибольшее значение при хг = 0. По этой причине следует
в первую очередь обратить внимание на узел крепления головной части
к корпусу, так как болты или шпильки этого узла работают на срез.
Обычно поперечные перегрузки БР на активном участке траектории
не превышают ~ 1,5, поэтому угловое ускорение ε, возникающее при
вращении стрелы, должно быть таким, чтобы наибольшие поперечные перегрузки не превышали полетных значений. Подставляя в (10.1)

τiy-y - 1,5, ε = 0, х-у - 0, получаем, что допустимое угловое ускорение для
гипотетической ракеты длиной L = 9,8 м не должно превышать 0,5 1/с2.

10.2. Транспортировка по железной дороге
К месту старта ракета может также транспортироваться в специ-

ально оборудованном железнодорожном вагоне. В этом случае наибольшие продольные перегрузки возникают при резкой остановке
146

и трогании поезда или при спуске вагонов с горки в период формирования составов. Обычно такие маневры с составами, содержащими
ракеты, не допускаются. Однако расчет нагрузок для таких случаев экс-

плуатации следует проводить с целью оценить необходимость в ограничении режимов эксплуатаци. Что касается поперечных перегрузок,
то их величина зависит от искривленности железнодорожного полотна.

Статическая составляющая этой перегрузки обратно пропорциональна
радиусу кривизны поворота и равна

л2
"zV

3,6.

gR'

где vπ — скорость поезда, км/с; R — радиус закругления железной
дороги.

Рассмотрим инерционные нагрузки в плоскости, перпендикулярной
поверхности земли (рис. 10.3), считая, что ракета и вагон представляют собой жесткие тела, которые соединены с колесной тележкой при
помощи упругих элементов — рессор.
А

fyι

■-^κ^~L·.

−l·. J
'

\ *Ч~

~~Γ * )

тв

73 r^ x^

I • Ч—

ξ'
*

> ■*

Puc. 10.3

Источниками инерционных сил являются вибрация вагона, вызываемая толчками колес на стыках рельсов и стрелках, боковые удары
о рельсы, овальность и прогибы рельсов. Внешнее воздействие на вагоны со стороны железнодорожного полотна — случайная функция времени. Обычно принято это воздействие представлять приближенно
в виде суммы установившихся собственных частот обрессоренных
частей вагона с ракетой. Наибольшие амплитуды колебаний βaroHaf=

= vπ ∕ Lp наблюдаются при критических скоростях движения поезда,
когда частота собственных колебаний вагона равна частоте встречи

стыков рельс, где Lp — длина рельса между стыками. Таким образом,
определив частоту собственных колебаний обрессоренной части вагона
и приравняв ее κf, можно определить скорость поезда, при которой
инерционные нагрузки, действующие на вагон с ракетой, будут наибольшими.

Будем рассматривать колебания центра тяжести вагона (с ракетой)
около положения его равновесия и колебательное вращение вокруг
147

11. Ударное нагружение корпуса
Корпус ракеты на активном участке траектории или головной отсек
на участке входа в плотные слои атмосферы могут оказаться в зоне
облучения лазером или подрыва обычного и ядерного зарядов. Для
несущей способности конструкции наиболее опасен силовой и тепловой удар на ее поверхности.

11.1. Физические процессы в атмосфере при ядерном взрыве
При подрыве атомного заряда в атмосфере выделяется около 4 х
х 1015 Дж/Мт тротилового эквивалента [23]. На ранней стадии воздействия взрыва на корпус ракеты наибольший интерес представляют гаммалучи и нейтроны, возникающие в момент деления и синтеза ядерного
вещества. Так как выделение энергии происходит практически мгновенно
и в малом точечном объеме, то в области взрыва возникает температура в несколько миллионов градусов, а сами продукты взрыва образуют
высокотемпературную ионизированную плазму высокой плотности. Эта
плазма, которую называют ядерной 1 (рис. 11.1), содержит электроны,
совершающие быстрые колебания, что, в свою очередь, приводит к возбуждению электромагнитных импульсов в диапазоне радиоволн.
t - 10-8 с

t ~ 10-6 с

t ~ К.

t > ОД с

Рис. 11.1

Благодаря торможению колеблющихся электронов ядерная плазма
излучает также и рентгеновские лучи, которые проникают в окружаю-

щий зону взрыва воздух и ионизируют его, образуя плазму с низкими
150

центра тяжести, считая вагон с ракетой твердым упругим телом. Имеем
следующие уравнения колебательного движения:

(М + Мв _ = c(η +&--.) +c(η + -M-j);
(J, + TB.

- −c[(η + дШ + c[(η + Ш2)г2],

(10.2)
(10.3)

где Jz — массовый момент инерции ракеты вокруг оси, проходящей
через центр тяжести системы; JB — то же вагона; с — жесткость рес-

соры. Можно принимать JB = 0,08МВЦ (ZB — длина вагона в метрах).
При составлении уравнения (10.2) считалось, что правая опора
(рис. 10.3) опускается, а левая поднимается, а сам вагон поднимается
вверх. Решение уравнений (10.2) и (10.3) ищем в виде

η = η0eiwt; ft = &0еш.
После подстановки в исходные уравнения получаем

[(М + MB)ω2 - 2c]η0 - eft -12)% = 0,
[(J, + JB)ω2 + eft2 + Z|)]θo - (el, - d2)η0 - 0.
Определитель системы записывается в виде

∆=(M + MB)ω2-2c −cft-bf)
-(clι - cZ2)

(J, + JB)ω2 + eft2 + £)'

Так как система (10.4) однородна, то для существования ненулевого

решения η0 и -θ0 необходимо, чтобы Δ было равно нулю. Раскрыв определитель, получим уравнение четвертой степени относительно частоты
со, из которого получим два алгебраических корня со2 для вычисления
собственных частот колебаний вагона. Одной из этих частот будет
поступательная форма движения вагона — подпрыгивание, а другой — вращательная. Величина этих частот зависит от жесткости рессор с и инерционных характеристик ракеты и вагона.

10.3. Транспортировка по дороге
Особенностью нагружения ракеты при транспортировке ее
по поверхности Земли является то, что на транспортный экипаж воздействуют неровности дороги, которые можно рассматривать как возмущающие силы.

Колебательные процессы, возникающие в транспортном средстве
и самой ракете, зависят от скорости передвижения и от качества дороги.
Возмущения, возникающие при транспортировке ракеты по грунтовым дорогам и пересеченной местности, являются случайными. Под
действием этих внешних возмущений ракета, закрепленная на опорах
транспортного средства, совершает поперечные колебания, которые
создают силы инерции, нагружающие ракету.
148

Для качественной и количественной характеристики колебательных
процессов, возникающих в ракете, необходимы прежде всего характеристики источника возмущений, которые зависят от профиля дороги
и скорости перемещения транспортного средства по ней. На различных
дорогах имеются неровности самой разнообразной формы и размеров,
причем чередования этих неровностей вряд ли подчиняются какойнибудь определенной закономерности. Это позволяет считать внешнее возмущение случайной функцией. Установлено, что эта функция
является стационарной, т. е. не зависящей от начала отсчета времени.
Таким образом, любой дорожный профиль может быть описан стационарной случайной функцией.
Если установить наиболее часто встречающиеся неровности, то для
расчета нагрузок на ракету можно воспользоваться детерминистской
теорией. Общие характеристики дороги в этих условиях могут быть
описаны математическим ожиданием и дисперсией высоты неровностей. В общей же постановке процесс колебаний транспортного экипажа с ракетой должен рассматриваться как стационарный случайный
процесс, протекающий под действием внешнего случайного возмущения. Колебательное воздействие особенно опасно для зарядов твердого топлива, которые получают «накопленную усталость», влияющую

на дальнейшую работу заряда на прочность.

температурами и плотностью, называемую рентгеновской плазмой 2
[18]. Огненный шар 6 с ядерной плазмой в середине и рентгеновской
по периферии продолжает увеличиваться в размерах, а температура
внутри него все время уменьшается, что приводит к сокращению длины

свободного пробега фотонов. И наконец, когда длина свободного пробега становится меньше размеров огненного шара, рост его за счет
переноса энергии излучением прекращается и дальнейшие процессы,
протекающие в зоне взрыва, определяются гидродинамическими явле-

ниями. Поскольку плотности и давления в ядерной и рентгеновской
плазме существенно различны, то процесс увеличения размеров огнен-

ного шара 6 за счет рентгеновского излучения сопровождается также
образованием ударной волны 3 в ядерной плазме. Эта ударная волна
движется по рентгеновской плазме, передавая ей часть своей энергии, и образует фронт радиации 4. После прекращения роста размеров
шара из-за излучения на его поверхности образуется внешняя ударная
волна 5, которая с большой скоростью распространяется по окружающему воздуху, вызывая его нагрев и свечение. Обычно к моменту отделения внешней ударной волны от огненного шара внутренняя ударная
волна 3 в ядерной плазме успевает слиться с ней в единое целое 7.
Если взрыв происходит на большой высоте, где отсутствует атмосфера, то внутренняя и внешняя ударные волны не возникают, а рентгеновское излучение распространяется на значительные расстояния без
образования плотной ядерной плазмы. Таким образом, на различных
этапах развития ядерного взрыва на корпус ракеты воздействуют следующие факторы: нейтронное или гамма-излучение, электромагнитный
импульс, рентгеновское и тепловое излучения, ударная волна (отсутствует на больших высотах).
Облучение конструкции нейтронами сопровождается изменением
структуры и свойств конструкционных материалов, из которых изготовлена ракета. Происходят изменение формы кристаллической решетки,
ионизация и возбуждение атомов, местный разогрев, что сопровождается увеличением электрического и теплового сопротивления, твер-

дости и прочности материалов. Наибольшее воздействие нейтроны
оказывают на полупроводниковые приборы, снижая их коэффициент
усиления, напряжение пробоя и т. п., так как малейшие изменения
содержащихся в них долей примесей веществ приводят к существенным изменениям их рабочих характеристик. При поглощении нейтронов ядрами возникают наведенные эффекты, связанные с излучением
вторичных гамма-лучей. Первичные и наведенные гамма-лучи ионизируют вещество, освобождая электроны, являющиеся источником
наведенных ложных сигналов и шумов в электрических цепях системы
автоматики ракеты.

Электромагнитный импульс генерирует в электрических цепях ложные сигналы, которые приводят к преждевременному срабатыванию
автоматики или выходу ее из строя. Кроме того, в элементах конструк151

ции и электрических цепях возникают значительные индукционные
токи, служащие источником дополнительного нагрева.

Рентгеновское и тепловое излучения нагревают конструкции.
Однако тепловая радиация приводит только к поверхностному нагреву
и оплавлению, а рентгеновские лучи могут проникнуть на значитель-

ную глубину. По толщине конструкция прогревается неравномерно,
что служит причиной возникновения нежелательных температурных
напряжений.
Воздействие ударной волны на ракету имеет импульсный характер
с большим перепадом давлений на ее фронте и наиболее опасно в том
случае, когда ракета воспринимает боковой взрыв.
Таким образом, в той или иной степени практически все факторы,
сопровождающие ядерный взрыв, могут уменьшить несущую способность ракеты. Более того, суммарное воздействие нескольких факторов
может вывести ракету из строя даже в том случае, когда ее конструкция

не теряет несущей способности при воздействии каждого из факторов
по отдельности. Рассмотрим сначала напряженное состояние конструкции корпуса при нагружении его импульсом давления. Параметры
ударной волны можно определить с помощью соотношений, приведенных в [24,25].

11.2. Нагрузки на ракету в шахте при ядерном взрыве
В шахтной пусковой установке ракета устанавливается на специальной системе амортизации, предназначенной для защиты от динамических нагрузок при взрыве ядерного заряда вблизи шахты (рис. 11.2).

■*- Ударная волна

Волна сжатия

Рис. 11.2

При подрыве ядерного заряда у поверхности Земли от его центра
вдоль поверхности распространяется мощная воздушная волна. Поверхность Земли под местом подрыва заряда подвергается воздействию
152

огромного давления, которое генерирует волны сжатия, распространя-

ющиеся по грунту. В свою очередь воздушная ударная волна, распро-

страняясь вдоль поверхности Земли, возбуждает в грунте поверхностные волны сжатия и разрежения. Так как скорость распространения
волны сжатия в грунте меньше, чем скорость распространения фронта
воздушной ударной волны, то в грунте возникают продольные и поперечные волны сжатия.

Образованная действием взрыва совокупность волн сжатия действует на шахту неодновременно и вызывает различные по амплитуде

и частоте колебания грунта и вместе с ним шахты, в которой установлена ракета. Воздействие указанных внешних возмущений приводит
к тому, что ракета совершает продольно-поперечные колебания, в процессе которых подвергается дополнительному нагружению от сил инерции.

12. Динамические нагрузки
В полете и при наземной эксплуатации на ракету действуют быстроменяющиеся распределенные и поверхностные силы, приводящие

к колебаниям корпуса и его частей. Такие колебания возникают, если
время воздействия силы соизмеримо с периодом собственных колебаний корпуса, который составляет величину порядка 0,2—0,025 с. В процессе колебаний возникают силы инерции, называемые динамическими нагрузками, которые можно охарактеризовать коэффициентом
Э2у

динамической перегрузки τuλ
- at2
f,/g; rω J

д2х

} ∕g, равным отноше-

at2

нию ускорения точек продольной оси корпуса в процессе колебаний
в поперечном и продольном направлениях соответственно к ускоре-

нию свободного падения. При расчетах нагрузок иногда используется
коэффициент динамичности

равный отношению суммарной нагрузки к статической, определенной
без учета колебаний конструкции. При упругих колебаниях выражение (12.1) можно переписать через перемещения и рассматриваемого
участка корпуса:

Пд=^.
"с

(12.2)

Последняя формула более удобна для практического применения,
так как уравнение колебаний конструкции решается обычно относительно перемещений. Таким образом, если известна статическая

нагрузка, то суммарная нагрузка N = r\J^c, а расчет коэффициента динамичности сводится к определению перемещений конструкции.
Рассмотрим простейший способ расчета, в котором колебания
реальной конструкции с бесконечным числом степеней свободы сводятся к анализу колебаний точки приведения с одной степенью свободы. Чтобы воспользоваться этим способом, необходимо знать заранее форму колебаний ракеты, а также приведенные массу, жесткость
и силу, действующую на конструкцию.
Уравнение колебаний точки приведения без учета демпфирования
имеет вид

m*4.
+k*u = P(,t),
at2
154

(12.3)

где m*, к* — приведенная масса и жесткость конструкции; P(f) — приведенная внешняя нагрузка.

Решение этого уравнения хорошо известно, и поэтому основные
трудности связаны с определением приведенных характеристик кон-

струкции. Тогда расчет коэффициента динамичности проводится в следующем порядке. Для статического значения нагрузки P(f) находится
соответствующее перемещение ис-Рс / к*, затем решается уравнение
колебаний (12.3) при динамической нагрузке P(f) и определяется мак-

симальное перемещение, которое обозначается uR. Теперь коэффициент динамичности г\д находится по формуле (12.2).
Для определения перемещений в сечениях корпуса, отличных
от сечения, проходящего через точку приведения, необходимо умно-

жить ис и ид на форму колебаний Дх) в этих точках. Частота собственных колебаний приведенной массы конструкции ω2 = к* / т.*. Рассмотрим теперь балочные модели корпуса ракеты, с помощью которых
можно определить приведенные характеристики.

12.1. Модель ракеты для расчета поперечных колебаний
Составление динамической модели ракеты рассмотрим на примере
баллистической ракеты на жидком топливе, содержащей подвижные
жидкие массы, колеблющиеся относительно стенок баков. На рис. 12.1
изображена возможная динамическая модель ракеты в виде балки переменной погонной массы и жесткости, внутри которой имеются сосре-

доточенные массы τtij 0 = 1, J), а также массы, подвешенные на пружинах, щ - {i - 1,1), которые имитируют жидкость.

Рис. 12.1

При расчете колебаний любой конструкции наибольшие трудности
вызывает расчет форм колебаний — функций, описывающих ее пространственную конфигурацию в процессе колебаний. В дальнейшем
155

речь будет идти только о форме колебаний первого тона, которая является определяющей с точки зрения расчета нагрузок, действующих
на конструкцию. Там же, на рис. 12.1, изображена форма колебаний
ракеты и указаны ее значения в местах крепления сосредоточенных

грузов fj жидкого топлива/";.
Методы расчета форм колебаний подробно рассматриваются в курсах теории колебаний, а здесь будем считать, что она известна и определяется как форма колебаний балки постоянной погонной массы
и жесткости. Для балки, находящейся в свободном полете, с точкой
приведения в ее вершине (хг = 0) форма колебаний и ее производные
записываются так:

f(ξ) = S(αξ)-^Γ(αξ);
"(a)
f'(ξ) = a[V(aξ)-CS(aξ)];

(12.4)

f"(ξ)-a2[U(aξ)-CV(aξ)].

Здесь С = T(a) ∕ C/(oc) — константа; ζ = xλ/l — безразмерная координата; a = 4,73 — константа, соответствующая форме колебаний первого
тона. Функции А. Н. Крылова определяются по следующим формулам:

S(aξ)= -|[Clι(aξ) +cos(aξ)];
Γ(aξ) =|[Sh(aξ)+sin(aξ)];
U(aξ) = i[Ch(aξ)-cos(aξ)];

Y(aξ) =^[Sh(aξ)-sin(aξ)].
Иногда форму колебаний аппроксимируют полиномами или тригонометрическими функциями.
Так как модель корпуса содержит сосредоточенные массы, а также
грузы на пружинках, то приведенная масса определяется по формуле

т* ^jm{x)fHx)dx + ∑mjβ + ∑rrii(fi + τ\if∂2,
0

J=l

(12.5)

i=l

где τrij — масса сосредоточенного груза; щ — приведенная масса жид-

кости в i-м баке; η; — коэффициент динамичности для жидкости, колеблющейся в баке; т(х) — погонная масса, вычисляемая без учета массы
грузов и приведенных масс жидкости.

Для случая поперечных колебаний корпуса, возбуждаемых гармонической силой, η;=1 / (1 - β2), где β=ωs ∕ сог—отношение частот; ωs—частота
внешней возбуждающей силы; шг =
156

1,84-nxlgth.fl,β·V^·5
R

частота

собственных колебании жидкости в баке; i;, R — длина цилиндрической
обечайки бака и ее радиус; пх1 — осевые перегрузки ракеты.
Точка крепления приведенной массы жидкости в баке щ - 0,4545πR3 x
х pth(l,84(Z; / Я)) находится на расстоянии xt

Л(0,92^ /К) от сво-

бодной поверхности жидкости. Приведенная жесткость при поперечных
колебаниях:

к* =JBMΓ'Kx)dx + ∑ki<j†J∂2,
о

i=ι

где B(x) = EJ(x) — жесткость балки на изгиб; J(x) — момент инерции

текущего сечения ракеты; Iq − ω^m· — приведенная жесткость жидкости
в баке при поперечных колебаниях.
Приведенная внешняя нагрузка определяется по формуле

P(t) = jP(x,t)f(x)dx,

(12.6)

где P(x, t) — внешняя погонная нагрузка.
Рассмотрим два наиболее часто встречающихся случая расчета приведенной нагрузки.
При циклическом порыве ветра

P(x!,jj=p(x!)sinω/,

(12.7)

где р _■) — погонная нагрузка от порыва ветра, определяемая по формулам из параграфа 4.5; ωs = π ∕ ∆ts — циклическая частота порыва
ветра; ∆ts = 2ΔH ∕ v — время прохождения ракетой зоны порыва ветра;
АН ~ (2—3)w — половина ширины слоя атмосферы, в пределах которого
распространяется порыв ветра; v, w — скорость ракеты и ветра соответ-

ственно. Для схемы ракеты, состоящей из конуса с цилиндром, статическую погонную нагрузку от порыва ветра p(x−) аппроксимируем так:
P(·*i) =

рк--Ч 0≤x1≤lκ,

Fκk

(12.8)

. .. k≤Xι≤U
где рк, рц — максимальные значения погонной нагрузки на конусе и ци-

линдре. Подставляя (12.8) в (12.7) и учитывая (12.6), получаем P(t) =
= P0sin ωst, где

■Ро = у11 - (*-*+Рц J Я*-*
■* о

гк

(12-9)

— эффективная внешняя нагрузка.
В качестве второго примера рассмотрим расчет приведенной
нагрузки при работе органа управления, который создает попереч-

ную силу Ур в точке оси ракеты с координатой х- В этом случае

Р(х1г t) = Ypδ(xj −xφ)sin ωst,
157

где δ(x! - xlp) — дельта-функция; cos — частота колебаний органа управления. Теперь
ι

Р0 = JYpδ(x! -x!p)f(x!)dx! = Ypf(Xlp),

(12.10)

а искомая приведенная внешняя нагрузка P(t) = Yp/(xlp)sin ωst, где
f(xlp) — значение формы колебаний в точке приложения силы, создаваемой органом управления.
Динамический изгибающий момент при воздействии циклической нагрузки. В этом случае уравнение колебаний точки приведения
можно записать как

q(t) + ω2q(t) = --%sinωst,

(12.11)

где о — собственная частота колебаний корпуса ракеты, а Р0 определяется по формуле (12.9) для циклического порыва ветра или (12.10) при
работе органа управления. Решение (12.11) имеет вид
Р

(l-β2)

q(,=ττ „ Q-Λ(sinωft + βsinωt), ω≠ωs;
(12.12)

q(t) = —^-(sin ωt-ωtcosωst),

ω = ωs,

где P - cos ∕ ω — отношение частот. Статическое перемещение в этом

случае равно: ис = Р0 ∕ k*, а динамическое растет по мере приближения
к β = 1 и убывает при β > 1. При фиксированном β коэффициент динамичности равен

"Пд =

I1--Г
—(sinωt-ωtcosωt),

β≠l,

β = l.

В резонансном случае ця имеет колебательный характер и возрастает с течением времени. На рис. 12.2 построен график изменения
коэффициента динамичности в зависимости от β в резонансном случае, а на рис. 12.3 — при фиксированном β в зависимости от времени.
Получим выражение для динамического изгибающего момента, воспользовавшись приведенным решением. Имеем

Мд(х1) = В(х1)^и(0.
dxf
Подставляя сюда выражение для формы колебаний балки постоянной массы и жесткости (12.4), а также решение (12.12), получаем
158

Мд(хО = B(xα)c-ΛU(αξ)- CV(aξ)]-^-x
x

(l-β2)

ωs≠ω,

[sinωst-βsinωt],

(12.13)

Mfl(x!) = B(x! )a2[U(aξ) - CV(aξ)] x
p

x —-^-[sincot-cotcos cot],

Лд =

Рис. 72.2

4,1

2π

3π/2
π

π/2
0

−π/2

ωt

t =—

2π

−π

3π/2
-2π

Рис. 12.3

Как и коэффициент динамичности, изгибающий момент резко возрастает в резонансном случае, когда частота ωs = со. Беря различные

значения Р0, получаем формулу для момента при воздействии циклического порыва ветра или работе органа управления.
159

решение имеет вид

Γ.C*!·r)

sinωt

fc*τ

q(t) =
к*

O<t<τ,

'sinωt^

l ωτ )

,Λ

cos ω(l - τ) +

(1-cosωτ) .

„

sιn ω(l - τ)

t>τ.

ωτ

Тяга на участке выключения двигателя. Аппроксимируем φ(t)

теперь так:

O≤t<τ,

φ(O =
О,

t>τ.

Решение:

sinωt

O<t<τ,

—+

q(t) =

к*

.(xιτ)

sιnωt

-cos ω(l - τ)

(1 - cos ωτ) sin ω(l - τ)

ωτ

t>τ.

ωτ

3. Давление в переходном отсеке при горячем разделении ступеней.
Динамической силой, действующей на нижнюю ступень, является газодинамическая сила, расчет которой изложен в параграфе 3.1, а на верхнюю — сила, определяемая давлением в переходном отсеке. В этом случае

-P(t) = TπzJ(Xy)φ(t), где T^ = (Qmax -Рн)(8т -F^) — максимальная осевая сила, действующая на донную часть второй ступени; Дх1д) — форма
колебаний в донной части ступени. Функция φ(t) определяется в результате решения задачи о горячем разделении ступеней с помощью профиля
давления Q в переходном отсеке. Можно воспользоваться также подходящей аппроксимацией для φ(t), такой как треугольник или синусоида.
Приведем здесь решение для импульсного воздействия, когда
φ(t) =

Ψ
гдет-

fl, O<t<τ,

[0, t>τ,

- время изменения давления Q в переходном отсеке. В этом случае

4^-0--cosωt),
q(t) =

ТтахД-Чц) sinωt

sin[(Jθ(t-τ) + φ0],

O<t<τ,

t>τ,

где

φo=arctg

(1-cosωτ)
sιnωτ

Аналогичные решения нетрудно получить и для других быстроменяющихся функций.
163

Отметим еще, что статический изгибающий момент от Yp и порыва
ветра равен нулю, так как под их действием ракета вращается вокруг
собственного центра масс.
Динамический изгибающий момент, выраженный через угол
наклона изогнутой оси ракеты. Простое выражение для динамического изгибающего момента можно получить, если известен угол
наклона оси ракеты в ее носке к оси симметрии. Исходное выражение
для изгибающего момента:

Мд(х1) = В(х1)^,
∂xf
щеу-y(x^, t) =/(x-•)u(t) — смещение оси ракеты от положения равновесия. Но угол наклона оси ракеты в точке приведения

ахг

откуда u(t) = Θjv /ДО), тогда

Эх,2

f'(O) °№

а динамический изгибающий момент определяется по формуле

которой удобно пользоваться, если известен угол θ№ определенный
из каких-нибудь других соображений. Данное выражение является
иной формой записи формул (12.13) для динамического изгибающего
момента.

12.2. Модель ракеты для расчета продольных колебаний
Как и в случае поперечных колебаний, представим ракету в виде
балки переменной погонной массы и жесткости, внутри которой находятся сосредоточенные грузы, закрепленные на жестких и упругих опо-

рах. На упругих опорах, изображенных на рис. 12.4 в виде пружинок,
закреплены масса жидкости в баках, а также жидкостный ракетный
двигатель. Приведенная масса определяется по формуле, аналогичной (12.5):

m^ = jm(x)fHx)dx + ∑ τπjff{xj) + ∑ m;∫f(l + β,)2,
0

J=l

i=l

где τrij — масса груза, жестко соединенного с корпусом; mi — масса

груза, соединенного с корпусом упругой связью; f, jj· — значения формы колебаний в местах крепления грузов.
160

f(xl)

fi + rigfi
тж

к
мд

Рис. 12.4

Коэффициент динамичности для жидкости [26]

btω2
ω;,r-ω2'

Pi=−

где ω — частота собственных колебаний корпуса; щ = √fcκ/mac —
частота собственных колебаний жидкости в баке; Ь£ — коэффициент,
зависящий от формы колебаний жидкости относительно шпангоута,
к которому присоединено нижнее днище бака; k^ — приведенная жесткость жидкости; тпж — приведенная масса жидкости. При вычислении

коэффициента динамичности для ЖРД необходимо принять b; = 1. Приведенная жесткость корпуса ракеты

fc* - \mχ)f'Hχ)dx + ∑fciβ?/?,
О

i=l

где F(x) — текущая площадь поперечного сечения корпуса; kt — жесткость упругой связи (жидкости или узла крепления ЖРД к корпусу).
Приведенная внешняя нагрузка
г

P(t) = JP(x!,t)f(x!)dx.

(12.14)

Уравнение продольных колебаний имеет такой же вид, что и (12.11).
Таким образом, прежде чем перейти к расчету осевых динамических
сил в сечениях корпуса ракеты, необходимо знать форму колебаний,
приведенные характеристики жидкости в баках, а также жесткость
упругой связи между ЖРД и корпусом.
161

Осевые динамические усилия. Если обозначить и(хь t) смещение
в направлении продольной оси стержня в процессе колебаний, то осевая динамическая сила в любом сечении равна

NA=EFMf'Wq(.0

(12.15)

и если представить u(xl31) в виде произведения двух функций, т. е. и(хъ

О −f(x{)q(t), то Л/д = EF(x)f'(x)q(,t). Формулой можно пользоваться в том
случае, если отсутствуют сосредоточенные силы инерции. В корпусе

ракеты имеются колеблющиеся массы, передающие на корпус сосредоточенные силы инерции, поэтому формулу (12.15) необходимо переписать так:
м

N.(x-l) = EF(x)f'x + ∑lqMl + Ю q{t),
i=l

где М — количество грузов, расположенных между носком и рассма-

триваемым сечением. Функция q(t) находится в результате решения
уравнения колебаний при заданной внешней нагрузке. Приведем без
вывода некоторые, наиболее часто встречающиеся решения этого уравнения.

Некоторые решения уравнения колебаний. Решение q(t) уравнения колебаний одномассовой системы, к которой приводится корпус
ракеты, зависит от вида правой части, т. е. от приведенной внешней
нагрузки. Рассмотрим некоторые случаи вычисления приведенной
нагрузки и решения уравнения, соответствующие им.

Обычно внешние нагрузки приложены в определенных сечениях
ракеты, поэтому зависимость их от координаты и времени выглядит
так:

Р(хь t) = Γδ(*! − x1Γ)φ(t),

(12.16)

где Т — амплитудное значение силы; φ(t) — функция, определяющая
зависимость силы от времени; 5{хг - х1т) — дельта-функция; х1Т —
координата сечения, в котором приложена сила. Подставив (12.16)
в выражение для приведенной внешней нагрузки (12.14), получим
г

P(t) = \TS(Xl -x!r)f(xi)ck!φ(t) = Γf(x1Γ)φ(t),
о

гдеДх1Г) — значение формы колебаний в сечении, где приложена сила.
1.

Тяга на участке выхода двигателя на режим. В этом случае Т —

тяга на маршевом режиме, а φ(t) определяется с помощью формул
из параграфа 3.1.
Для линейной аппроксимации
't

φ(O =

1,
162

O<t<τ,

t>τ

13. Нагрев корпуса в полете
13.1. Виды теплообмена
С явлениями теплообмена приходится иметь дело всякий раз, когда
между телами или их частями наблюдается перепад температур. Перетекание тепла от более нагретого тела к менее нагретому происходит до тех пор, пока их температура не станет одинаковой. Процесс
передачи тепла между телами в зависимости от конкретных условий
осуществляется одним из следующих способов: теплопроводностью,
вынужденной конвекцией, естественной конвекцией и излучением.
Рассмотрим сначала основные физические процессы, определяющие
механизм передачи тепла с помощью перечисленных способов.
Теплопроводность обычно наблюдается внутри сплошного тела или
на границе контакта двух тел (или сред), а само тепло перераспределяется на молекулярном уровне, когда молекулы тела с более высокой
температурой, а следовательно, и с большим запасом внутренней кинетической энергии ударяют по соседним молекулам, отдавая им часть
своей энергии и, значит, повышая их температуру. По прошествии
определенного времени энергия молекул тела выравнивается и во всем

его объеме температура становится одинаковой. Скорость передачи
тепла между молекулами тела, а следовательно, и его точками зависит

от коэффициента теплопроводности материала, из которого изготовлено само тело (λ). Нужно сказать, что передача тепла теплопроводностью имеет место всегда, однако доминирует только в твердых телах

и неподвижных жидкостях и газах, так как в иных случаях преобладают
другие способы передачи тепла.
Количественной мерой передаваемого тепла служит удельный тепловой поток, который в случае теплопроводности определяется с помощью гипотезы Фурье, состоящей в том, что величина теплового потока
пропорциональна градиенту температуры Т в данной точке и коэффициенту теплопроводности λ, т. е. qt = − λGradT, Вт/м2, где знак «минус»
указывает на то, что тепло распространяется в сторону уменьшения
температуры по направлению нормали к изотермическим поверхностям, проведенным внутри тела.

Если тепло передается от одной части тела к другой за счет движения внутри него скоплений молекул, т. е. макрочастиц, то передача тепла осуществляется главным образом при помощи конвекции.
Конвекция характерна для жидких и газообразных сред, причем если
причиной движения среды являются внешние источники энергии,
164

то конвекцию называют вынужденной. Так, например, тяга двигателя
является внешней силой, которая заставляет летательный аппарат двигаться относительно неподвижной окружающей среды, а перепад давлений по длине камеры сгорания вынуждает перемещаться газ внутри
нее. В случае ЖРД перепад давлений поддерживается системой подачи
топлива, а в РДТТ — зарядом твердого топлива, с горящей поверхности которого поступают все новые порции газа. При решении задач
о внешнем теплообмене удобно считать, что сам летательный аппарат
неподвижен, а движется относительно него воздушный поток, который,
обладая определенным запасом энергии, отдает часть ее обтекаемым
поверхностям в виде тепла. Эту часть тепла можно определить с помощью гипотезы Ньютона, в соответствии с которой удельный тепловой
поток, поступающий к стенке от газа, равен

qk = a(Tr-Tw),

(13.1)

где а — коэффициент теплоотдачи, Вт/м2град; Тг — температура газа
у стенки; Tw — температура поверхности стенки.
Несмотря на очевидную простоту формулы Ньютона расчет конвективных тепловых потоков вызывает определенные трудности, так как

коэффициент теплоотдачи зависит от такого обширного числа внешних
факторов, что выделить главные из них не всегда представляется возможным. По этой причине существует множество различных формул
для расчета коэффициента теплоотдачи, предлагаемых для каких-либо
конкретных условий теплообмена.
Температуру газа Тг у стенки можно также определить только после
решения задачи обтекания стенки внешним потоком. Многочисленные исследования показали, что эта температура в основном зависит
от температуры торможения газа у стенки, но отличается от нее.

Механизм возникновения конвективной передачи тепла от газового потока к стенке можно представить следующим образом. Внешний поток, обтекающий поверхность тела, тормозится вблизи нее
из-за трения так, что скорость газа на самой поверхности тела равна
нулю. Тонкая область газа вблизи поверхности, в пределах которой
скорость изменяется от нуля до значения во внешнем потоке, называ-

ется динамическим пограничным слоем, толщина которого обозначена
на рис. 13.1 δ(x). В лобовой точке обтекаемого тела толщина пограничного слоя равна нулю, но затем она возрастает, так как все большее
количество частиц газа тормозится из-за трения.

Сначала пограничный слой ламинарный и частицы газа движутся
по параллельным траекториям, не перемешиваясь между собой,
но затем течение теряет устойчивость и образуется турбулентный
пограничный слой, характеризующийся хаотическими колебаниями
частиц газа относительно траектории. В точке перехода ламинарного

режима течения в турбулентный толщина пограничного слоя резко
возрастает, однако и в турбулентном пограничном слое имеется ламинарный подслой, в котором частицы движутся по параллельным тра165

екториям (см. рис. 13.1). Вблизи поверхности тела образуется также
и температурный пограничный слой, в пределах которого температура
газа меняется от температуры на стенке Tw до температуры внешнего
потока T∞. В общем случае толщина δτ(x) температурного слоя не равна
толщине динамического δ(x) пограничного слоя. Профиль температуры
газа в тепловом пограничном слое зависит от скорости газа и соотношения температур газа и стенки.

Рис. 13.1

Полная энергия потока, обтекающего тело, состоит из суммы кинетической энергии, определяемой скоростью его движения, внутренней
энергии частиц, представляющей собой кинетическую энергию хаотического движения молекул газа, и потенциальной энергии давления.
Сумму внутренней энергии и потенциальной энергии давления потока
т

называют энтальпией i, равной: i- jcpaT, если удельная теплоемкость
о

при постоянном давлении ср зависит от температуры. Если скорости газа
умеренные и ср не зависит от температуры, то i − cpT. Тогда уравнение
энергии для струйки тока газа можно записать как (v£ / 2) + cpT∞ = cpT0,
откуда температура торможения газа Г0 = T∞ + v£ ∕ (2ср).
Из-за торможения газа в пограничном слое его кинетическая энергия переходит в энтальпию, т. е. температура газа возрастает. На первый взгляд кажется, что на стенке, где скорость газа равна нулю,
кинетическая энергия его тоже равна нулю и поэтому энтальпия и тем-

пература равны заторможенным значениям. Однако это совсем не так,
и температура газа на стенке равна некоторой величине Tw, которая
заранее не известна. Дело в том, что из-за перепада температур в пределах пограничного слоя часть тепла из-за теплопроводности уходит

от стенок внутрь и еще часть уходит в стенку, образуя тепловой поток,
определяемый (13.1). Температура газа и стенки Tw одинакова и будет
изменяться в процессе теплообмена до тех пор, пока не установится
тепловое равновесие между ними, т. е. тепловой поток в стенку ста166

нет равным нулю. На рис. 13.2 изображены профили температуры газа
в тепловом пограничном слое при различных случаях теплообмена.
На холодной стенке, т. е. нагреваемой газом, ∂T ∕ ∂y > 0, а на нагретой
стенке ∂T ∕ ∂y< О, потому что она отдает тепло газу.

< 0 (нагретая стенка)

δΓ00

Рис. 13.2

Таким образом, если мысленно представить себе существование
полностью изолированной от тепла стенки, то на ее поверхности все
равно не возникнет температура торможения, так как часть тепла ухо-

дит обратно внутрь пограничного слоя. Температуру, возникающую
на теплоизолированной стенке, называют температурой восстановления, и она всегда меньше температуры торможения. Температуру торможения определяют из зависимости

Тп=Т„

v-1

(13.2)

где γ — показатель адиабаты, а M∞ — число Маха внешнего потока
на границе пограничного слоя. Для определения температуры восстановления структуру зависимости (13.2) оставляют неизменной, вводя

так называемый коэффициент восстановления г, тогда
Т =Т

\ + г^—^М1

Характер зависимости коэффициента восстановления от параметров внешнего потока можно установить из следующих качественных

соображений. Газ, имеющий большую вязкость μ, образует толстый
пограничный слой, что затрудняет отвод тепла из зоны температурного
максимума. Утечки тепла тем меньше, чем больше коэффициент тепло-

емкости ср и меньше коэффициент теплопроводности. Таким образом,
167

можно считать, что коэффициент восстановления прямо пропорционален вязкости и теплоемкости газа и обратно пропорционален его

теплопроводности, т. е. г — μcp ∕ λ или r-(Tr- Γ∞) ∕ (Γ0 - T∞). Но комбинация из этих параметров образует критерий Прандтля. Коэффициент
восстановления при ламинарном режиме обтекания г = vPr, при турбу-

лентном г = -^Pr.
Так как в пределах пограничного слоя температура газа резко изме-

няется, то физические свойства среды, такие как вязкость, плотность,
теплопроводность, переменны и возникает вопрос о том, к какой температуре их необходимо относить при определении тепловых потоков
к стенке. Очень часто вводят понятие определяющей температуры,
зависящей от структуры пограничного слоя и числа Маха набегающего
потока. Для ламинарного пограничного слоя Г. Юнг и Э. Джанни предлагают в диапазоне чисел Маха от нуля до 5 следующую формулу:
T* = T∞ + 0,58(1-. - TJ + 0,19(Tr − ΓJ,

(13.3)

а для чисел Маха от 5 до 10

Г* = 0,7T∞ + 0,581- + 0,23TJW2.

(13.4)

Э. Эккерт показал, что этими же формулами можно пользоваться
и для турбулентного пограничного слоя.
Несмотря на хорошие результаты, получаемые при использовании

определяющей температуры, этот способ не всегда удобен, так как
необходимо заранее, еще до определения теплового состояния стенки,
знать температуру на ее поверхности. По этой причине расчет обычно
проводится методом последовательных приближений.
Кроме определяющей, используют также температуру стенки или
температуру газа во внешнем потоке, поэтому необходимо обратить
внимание на указания по температуре, к которой относятся физические характеристики газа.

Естественная конвекция возникает в неподвижной среде в том
случае, когда внутри нее наблюдаются градиенты температуры, а так
как плотность среды зависит от температуры, то массовые силы пере-

менны, а их перепад заставляет двигаться среду, образующую на стенках пограничный слой. Если известен перепад температур AT=T -T∞
между двумя точками среды, то плотности в них связаны зависимостью

Р = Роо / (1 + βΔT), где β — коэффициент объемного расширения среды.
Массовая сила, действующая на частицы с большей плотностью, заставляет их опускаться вниз. Если тело движется с ускорением, то массовая

сила представляет собой сумму силы веса и силу инерции.
Кроме массовой силы, на частицу действует и архимедова сила,
а подъемная сила частицы равна разности архимедовой и массовой
сил. Холодные частицы в теплом газе опускаются вниз, так как сумма

сила у них отрицательная. И наоборот, в холодном газе теплые частицы
поднимаются вверх. На рис. 13.3 показана горячая частица объемом Vr
168

излучение тепла в первоначально неподвижный газ, а также теплообмен за счет естественной конвекции. Значения тепловых потоков определяются конкретной конструкцией и условиями теплообмена.

13.2. Связь между теплопередачей и трением
Рассмотрим теперь вопрос о том, как связано трение потока, обтекающего твердую стенку, с количеством тепла, которое в нее посту-

пает. Ограничимся сначала модельным случаем несжимаемой жидкости с числом Прандтля Рг = 1. Направляя ось у от поверхности плоской
стенки, на основании гипотезы Фурье можем записать, что для нагреваемой стенки тепловой поток к ней равен
q=λ
..

где λ — теплопроводность газа, а индекс w указывает на то, что градиент температуры определяется на стенке. Для определения градиента
температуры воспользуемся следующим из теории пограничного слоя

выводом о том, что при Рг = 1 профили скорости и избыточной температуры в пограничном слое совпадают, а толщины динамического
и теплового пограничных слоев одинаковы, поэтому

Γ-I,,
Г
1г -Г
Ни- '

откуда

(Tr-TJ
V -

)

(13.5)
V -

Но градиент скорости на стенке можно определить из закона трения
Ньютона:

'Эил

= -=-, где μ — вязкость газа, а τw — трение на стенке,

которое выражается через коэффициент трения cj· и скоростной напор
в потоке, обтекающем стенку, следующим образом:

p∞u£

τw=Cf
Тогда

u∞

2μ

или, с учетом того, что Рг = μ ∕ λ = 1, и поэтому λ ∕ μ = cp:

q = -cfp∞ulcp(Tr-Tw).
170

(13.6)

В полученном выражении, связывающем тепловой поток q и коэф-

фициент трения Ср произведение cpp∞u∞ пропорционально количеству
тепла, которое газ переносит в направлении движения, а множитель

перед скобками пропорционален тепловой нагрузке, которая передается стенке. Этот множитель называют коэффициентом теплоотдачи,

т. е. a = 0,5cfp∞u∞cp.
Наглядной характеристикой количества тепловой энергии потока,
расходуемой на нагревание стенки, является критерий Стантона, который можно определить следующим образом. Если предположить, что
в направлении движения потока создан такой же температурный перепад, как и в поперечном направлении, то тогда продольный тепловой

поток составил бы p∞u∞cp(Γr - Tw), а в поперечном — q, как уже установ-

лено. Отношение этих тепловых потоков и представляет собой критерий Стантона, т. е.

st=

p∞u00c{,(Γr-Tw)

=-2-=V
p∞u∞cp

Для ламинарного пограничного слоя несжимаемого газа на пла-

стинке cj-= 0,664Re-°>5, а для турбулентного cj-= 0,0592Re-°-2.
Полученные результаты справедливы для несжимаемого погранич-

ного слоя с числом Рг = 1. Если Pr ≠ 1, т. е. толщины теплового (δτ)
и динамического (δ) пограничного слоев не совпадают, то в записанное выражение для коэффициента теплоотдачи вводится поправка,
предложенная Крокко, тогда

St = -cf Рг-2/3 и α = O,bCfp∞u∞Cp Рг"2/3.
Выражения для коэффициентов трения получены при умеренных
скоростях потока, когда температура стенки близка к температуре
восстановления, поэтому для реальных условий вводится температурная поправка в выражения для коэффициента трения и в ламинарном
потоке Cc= 0,664Re-0•5ψ-11, в турбулентном c<· = 0,0592Re~-

( 2 Λl'6
−==—

где ψ = Tw ∕ Tr. Таким образом, для дозвуковых потоков с М < 1 можно
окончательно записать

St = 0,332Re- − Pι-2/3ψ.π
для ламинарного режима течения и

St = 0,0292Re-2 Рг-2/3

г 2 V-*
√ψ+1

для турбулентного.
При М > 1 начинают проявляться эффекты сжимаемости газа, а температура стенки значительно отличается от температуры восстановле171

с плотностью рг, которая находится в холодном газе с p∞. Подъемная
сила частицы равна разности архимедовой и массовой сил: Y = A-G =
- V.(P∞ ^^ Рг) и направлена от холодного к теплому, так как плотность
холодного газа больше теплого.

(*3 р~
Т G
ZZZZZZZZZZZZZZZ

Горячая
Рис. 13.3

При излучении процесс передачи тепла происходит за счет энер-

гии электромагнитных волн в инфракрасном диапазоне. Излучение —
единственный способ передачи тепла, который может осуществляться
в пустоте.

Подводя итог качественному описанию способов передачи тепла,
рассмотрим схему нагрева конструкции корпуса ракеты, изображенную на рис. 13.4.

I
■К

Чг [

qk .
I

Конструкция

Рис. 13.4

На внешней поверхности стенки, соприкасающейся с газом, образуются динамический и тепловой пограничные слои. К стенке тепло
поступает за счет конвекции qk и излучения нагретого газа дл. Нагретая стенка также излучает тепловой поток qw обратно в газовый поток,
и тогда в стенку поступает суммарный тепловой поток: q - qk − qw + дл.
Внутри твердой стенки тепло распространяется за счет теплопроводности. Однако на внутренних поверхностях стенок корпуса возникает
169

ния, поэтому температурные поправки имеют другой вид: для ламинарного потока

St = 0,332Re-°-5pr2/3ψ-oJ1ψ.15j

(13J)

St = 03029Re -2Рг-2/здГ),

(13.8)

а для турбулентного

где f(T) определяется по формуле Кутателадзе

f(X) =

arctg,fψ!-1

√ψ+1

√ψι-1

ащ = Тг/Т«,.
При вычислении критерия Рейнольдса Re = p∞uji ∕ μR, где d —

характерный размер, а также числа Прандтля Pr = μcp ∕ λ все параметры
газа берутся при температуре внешнего потока Γ∞. Приведенные соотношения для расчета коэффициента трения на пластинке могут быть
применены и для тел иной формы, если воспользоваться формулами
В. С. Авдуевского для расчета характерного размера. Для ламинарного
пограничного слоя
х

jr2}p∞u∞dx
А

-О

r2)p∞u„
для турбулентного

jr^5jp∞u∞dχ
. о

где; = 0 в плоском течении и j = 1 — в осесимметричном; г — радиальное расстояние от оси тела до рассматриваемой точки; х — расстояние
от начала тела до точки, измеряемое по его поверхности вдоль мериди-

ана; p∞, u∞ — давление и скорость на внешней границе пограничного
слоя.

Суть указанного пересчета в том, что для тела подбирается пластинка, на которой характеристики пограничного слоя такие же, как
и на теле.

Другой способ вычисления характерного размера состоит в определении эффективной длины, которая позволяет согласовать характеристики пограничного слоя в местах излома образующей корпуса. Идею
этого метода рассмотрим на примере сопряжения конуса с цилиндром

(рис. 13.5).
Характерный размер на конусе отсчитывается от носка вплоть
до излома образующей. Теперь найдем такую длину!', чтобы характеристики пограничного слоя в точке излома со стороны конуса и цилин172

дра были одинаковыми. С этой целью воспользуемся равенством величины потери импульса с двух сторон:

(puaδ**)! = (puaδ**)a.

(13.9)

Рис. 13.5

Но для конуса при ламинарном пограничном слое

δΓ=0,384(Lμ1/p1u1)-,

(13.10)

δ2*=0,384(Lμ2/p2u2)-.

(13.11)

а для цилиндра

Подставляя (13.10) и (13.11) в (13.9), получаем
Л3
L' =

'v^ L.

3ρ2 и2) \V-2)
Для учета сжимаемости параметры газа вычисляются при опреде-

ляющей температуре, вычисленной по формулам (13.3) и (13.4). Для
других режимов течения эту формулу можно переписать так:
Λm

E-fcPι Ч^"
Р2

l…2

L,
.2

где константы пит приведены в табл. 13.1, а плотность и вязкость
вычисляются при определяющей температуре.
Таблица 13.1
Геометрии
Пластина + клин

Конус + цилиндр

Цилиндр + юбка

Ламинарный

Турбулентный

9/4

1/4

Ламинарный

1/3

Турбулентный

1/2

9/4

1/4

Ламинарный

Турбулентный

9/4

1/4

Режим течения

173

Теперь получим формулы для расчета тепловых потоков к стенкам

трубы, внутри которой движется газ, имеющий на оси скорость ит
и температуру Тт (рис. 13.6). Для градиента температуры на стенке
fir\

имеем выражение, аналогичное (13.5):
же, с учетом закона трения Ньютона,

ЭТ

iTm-Tw) Эй

ду

"т

, а так-

*—>

—*■

Vs.

→\/-Um
Р2

<—
<—

Pι

—>
—>■

<—

—>
^.

Рис. 13.6

Но теперь, в отличие от пластинки, для определения трения τw
на стенке воспользуемся условием баланса сил для участка трубы длиной I:

(P2-Pi)

πd2

■πdfr„

или

(P2-P1) = 4-τw,

(13.12)

а также выражением, определяющим падение давления по длине трубы
из-за трения:

(P2-Pι)-Cfj-.
Приравнивая (13.12) и (13.13), получаем

d 2

Vй"

откуда

τw=cf
174

d' 2 '

(13.13)

а соответствующее выражение для теплового потока на стенке

q = (c//8)(pumcp)(Γm-TM/),

где коэффициент трения cj· берется из экспериментальных данных
по трубам. Отсюда число Стантона

St = Cf∕ 8.
В интервале чисел Рейнольдса 104 < Re < 12 • 105 коэффициент трения

при полностью развитом турбулентном течении в трубе cj− = 0,184Re −2,
тогда

St = 0,023Re-°.2,
для числа Pr = 1, а с учетом поправки на него

St = 0,23Re-·. pr-0,6.
Чаще всего это выражение записывают через число Нуссельта Nu =
= StRePr, и в этом случае
Nu = — = 0,23Re- Pr • ,
λ

где α — коэффициент теплоотдачи; λ — теплопроводность газа. В качестве определяющей температуры берут обычно

Г* = 0,5(Γm − Tw) + 0,22PrV3(T0 − TJ,
где Т0 — температура торможения газа.

13.3. Аэродинамический нагрев
на траектории
Источником аэродинамического нагрева является трение корпуса

ракеты об окружающую среду. С увеличением температуры конструкционной стенки корпуса снижаются физико-механические свойства
материала, из которого она изготовлена, возникают температурные

напряжения. Чрезмерный нагрев может привести к разрушению конструкции, поэтому ее необходимо защитить с помощью теплозащитного покрытия. Нагрев корпуса БР при полете по траектории неодинаков, что проявляется в том, что температура его стенки переменна.

На рис. 13.7 изображена кривая изменения температуры стенки Tw корпуса БР в зависимости от времени ее полета, а также график скорости
центра масс и тепловых потоков.

На активном участке траектории температура стенки растет до тем-

пературы Twl, обычно 150—200°С, и слабо зависит от дальности полета
175

ракеты, так как участок набора скорости находится в разреженных
слоях атмосферы. Влияние температуры Twl проявляется в снижении
прочностных характеристик материала корпуса ракеты.

Hr-··r—»—

i~j

…

t
Рис. 13.7

На участке входа в атмосферу температура стенки резко возрастает
и достигает максимального значения Tw2. Уже при небольших дальностях она может составлять несколько тысяч градусов и превышать тем-

пературу плавления обычных конструкционных материалов.
Этот участок траектории и определяет обычно необходимость
покрытия корпуса теплозащитой. На активном участке траектории
и при входе в атмосферу графики конвективных и лучистых тепловых
потоков (см. рис. 13.7) имеют экстремумы. На активном участке доминирующим является конвективный тепловой поток, поэтому излучением газа можно пренебречь. В то же время излучение стенки qw растет до тех пор, пока конвективный поток не сравняется с лучистым, где
температура Twl имеет экстремум.
При входе в атмосферу лучистый поток от газа может составлять
10—15% от конвективного теплового потока, поэтому его следует
учесть. Экстремум температуры стенки Tw2 также возникает при равен-

стве суммарного потока к стенке (qκ + q") излучению от стенки (qw).
График температуры стенки корпуса на участке входа в атмосферу при
дальностях, превышающих 600 км, представляет лишь теоретический
интерес, так как свыше этой дальности головная часть обычно отделяется в конце активного участка траектории и летит в заданную точку

на поверхности Земли без ракетной части. Сама головная часть покрывается слоем теплозащитного покрытия, которое нагревается лишь

до температуры уноса Тр, которая остается неизменной на поверхности
покрытия, вплоть до того момента, когда преобладающим в теплообмене становится излучение от стенки. Соответствующий график температуры стенки показан на рис. 13.7 пунктиром.
176

13.4. Распределение тепловых потоков
вдоль образующей
Рассмотрим теперь характер распределения тепловых потоков вдоль

поверхности корпуса типичной баллистической ракеты со стабилизирующей юбкой. Способ их расчета зависит от аэродинамической картины
течения, которая в рассматриваемом случае может быть описана следующим образом. При сверхзвуковых скоростях полета перед затупленной головной частью образуется отошедшая ударная волна, за которой
газ тормозится до дозвуковой скорости. В критической точке (точка О
на рис. 13.8) скорость газа на стенке равна нулю, но затем возрастает
и становится равной скорости звука в звуковой точке К. За точкой К
поток сверхзвуковой.
г-Г

Рис. 13.8

Около критической точки О течение в пограничном слое ламинарное, наибольший тепловой поток возникает в самой критической
точке, а затем убывает по мере удаления от нее, вплоть до перехода
ламинарного режима течения в турбулентный.
Если переход происходит до точки К, то в звуковой точке возникает
второй максимум тепловых потоков, больший по величине, чем в критической. Этот случай встречается наиболее часто, и поэтому практически на всем корпусе ракеты в пограничном слое наблюдается турбулентный режим течения. Переход ламинарного течения в турбулентное
обычно наблюдается в диапазоне чисел Рейнольдса Re = (3—5)105.
За критической точкой скорость потока возрастает, плотность
уменьшается, а толщина пограничного слоя увеличивается. Тепловой поток к стенке уменьшается, вплоть до плоскости стыка цилиндра

и стабилизирующей юбки, где образуется зона отрыва потока, в которой тепловой поток также возрастает. На рис. 13.8 приведен типичный
характер изменения конвективных тепловых потоков вдоль корпуса

ракеты. В точке Т, расположенной между точками О и К на корпусе,
ламинарный режим течения переходит в турбулентный. Наиболее
сложна газодинамическая картина течения в донной области ракеты,
где струи, истекающие из многосоплового блока или связки двигателей, взаимодействуют между собой и с внешним потоком. Расчет донного давления в этой области можно провести по схеме Гетерта, описанной в параграфе 5.8.
177

13.5. Тепловые потоки в характерных точках
Конвективный тепловой поток в критической точке. В точке
торможения затупленного тела режим течения ламинарный, и при
сверхзвуковых скоростях полета, когда перед головным отсеком образуется отошедшая ударная волна, расчет теплового потока можно проводить в следующем порядке.

Сначала определяются параметры газа в критической точке
по известным параметрам в набегающем потоке (индекс °°). Давление
находим из формулы Рэлея:
Λ,-li

γ+1

y-i

2Y -Ml−
M2 Y-l>−1

j+\

Роо

γ + l,

температуру торможения — из одномерного уравнения энергии
/

7*0 — T∞

1+>_1М2 I

плотность — из уравнения состояния р0 = p 0 ∕ RT0, где газовая постоянная воздуха R = 287,1 Дж/(кг • К).
Число Прандтля можно определить по формуле Эйкина: Pr = 4γ ∕ (9γ −

- 5), тогда теплопроводность воздуха λ0 = μ0cp / Pr, а вязкость μ ∕ μ0 =
= (T0 ∕ T) - . До чисел Маха M∞ < 6 теплоемкость воздуха при постоян-

ном давлении постоянна и равна: ср = 1070 Дж/(кг • К). В этом случае
энтальпия газа i = cpT.
При М > 8 за ударной волной воздух диссоциирует на атомы кислорода и азота, что сопровождается поглощением значительного коли-

чества тепла. Одновременно у более холодной поверхности тела идут
процессы рекомбинации этих атомов с выделением тепла. Большая
часть траектории движения соответствует равновесному составу газа

за ударной волной. Параметры газа при соответствующей температуре
берутся из таблиц [27, 28].

При умеренных числах Маха, когда теплоемкость газа ср постоянна,
для определения теплового потока в критической точке можно воспользоваться формулой пластинки (13.6), которая при х = 0 после преобразований принимает вид

<b, =0,664(p0cpλ0β) • ψ- - i(Γo -Tw),
где градиент скорости в критической точке

β = v∞P-

( о
Г'5 1
^-1 —,

(13.14)

Ро

rH — радиус затупления носка.

При больших числах Маха широкое распространение нашла формула Фэя и Риддела:

qκ =l,2·10-3(pwμw) · (Poμ0. 4Р°'5Оо ~k,)·
178

(13-15)

Ею же можно пользоваться для определения теплового потока вдоль

образующей бесконечно длинного цилиндра, взяв коэффициент 0,85 • Ю-3
вместо 1,2 • 10.
Модель цилиндра дает удовлетворительные результаты для перед-

них кромок крыльев и стабилизаторов с учетом поправки на стреловидность:

g = (<iκ)χ=o(<-°sχ)1'1'
где χ — угол передней стреловидности крыла (между кромкой крыла

и линией, перпендикулярной оси ракеты). Конвективный поток (<Jκ)χ=0
определяется по формуле (13.15) с коэффициентом 0,85 ■ Ю-3, а под гн
понимается радиус скользящего цилиндра.

На линии растекания скользящего цилиндра, который моделирует
переднюю кромку крыла, может также возникнуть турбулентный
режим течения. В этом случае коэффициент определяется по [29]:
ad

= O,OSlPr1-

Ро

Л -

(sinχ)',0,6

\0,8

,∞sχj

cosχ

'βdΛ

|0,2

,μ~

где d — диаметр цилиндра, β определяется по формуле (13.14). Параметры воздуха на передней кромке крыла (индекс «О») определяются
здесь при числе Маха М = M∞cos χ. Более простые варианты формулы
предложены в [30]:
<Zκ

√^ = 1,1-108 _

rv Л3Д5
Vl

ip~hv

io-cp300K

а также в [31]:

qK^ = l,32-108 -Р-

тД

VP3 .7,93

где р3 = 1,23 кг/м — плотность воздуха у поверхности Земли; vλ - 7,93 км/с — первая космическая скорость. Формулы Фэя и Риддела
можно привести к виду

qκ√^ = 6,641 ·103√p\Γ(v,J3

Все формулы записаны в системе единиц СИ, поэтому тепловой
поток измеряется везде в ваттах на квадратный метр.
Лучистый поток в критической точке. Излучение от воздуха
к стенке необходимо учитывать только на участке входа головной части
в плотные слои атмосферы при значительных температурах газа между
стенкой и отошедшей ударной волной. Оценки показывают, что лишь
при температурах более 5000 К излучение создает тепловые потоки,
179

которые вносят заметный вклад в суммарный тепловой поток. Приведем три различные формулы для оценки этого потока:
-Л.

l)q„ = 4,96-104

\12,5

3050

\PsJ

Вт/м2.

Эта зависимость дает надежные результаты для температур, соответствующих условиям спуска космического летательного аппарата: 8000 К <
< Т0 < 12 000 К.
Н. Ф. Краснов [31] предлагает зависимость:
Λl·6 (

2)дл=3,67-106
Рз

дл=5,61-105

\8,5

v3050y

гп
V'5
Роо
чРз.

-ЛО

3050 J

В приведенных формулах скорость v∞ имеет размерность [м/с].
Отметим, что лучистый тепловой поток в звуковой точке затупленного
тела обычно принимается равным половине от теплового потока в критической точке.

Конвективный поток в звуковой точке. Так как рассматриваемая
точка находится на поверхности тела, то через нее проходит общая
с критической точкой линия тока. Тогда если число Маха М3 = 1, то температура воздуха

T3 = 2Γ0/(γ+l),
давление

Рз =

γ + lV-ι

Po>

а плотность

Рз:

γ + lVι Р0
RT,

RΓ∩

Скорость потока равна скорости звука: щ - а3 = √γ(p3/p3)» вязкость
газа μ3 = \ι0{T3 / Т0)°>7, а теплопроводность λ3 = μ3cp ∕ Pr. В звуковой

точке режим течения турбулентный, поэтому, воспользовавшись формулой для пластинки, получаем

qκ = St(p3u3cJ(Γr-ΓJ,
где
\.

St = 0,029 Re-- Pr -6
здесь ψ = Tw ∕ Tr; Re = p3u3d3 ∕ μ3.
180

λ/ψ+1.

Угловое положение точки максимума теплового потока на пластине
относительно оси сопла с хорошей точностью аппроксимируется зависимостью:

θm = θ+(0J + Lι + l,6cc°).
Тепловой поток на дуге окружности, проведенной на пластине
из точки с максимальным тепловым потоком:

qξ=qmexp[-0,5(ξ0)2],
где ξ° = ξ ∕ θ+, ξ — угол, определяющий положение рассматриваемой
точки на плоскости (см. рис. 13.12). Ниже и выше по течению от точки
экстремума значение теплового потока меньше и различно по харак-

теру убывания.

При определении числа Рейнольдса характерный размер d3 находим
с помощью поправки В. С. Авдуевского:
*3

J r125pUdχ
d,=-a
г1- p>u.
где x3 — расстояние от критической точки до звуковой; г — радиус

параллельного круга; 0 < и ≤ и3 — скорость газа на линии тока.
Координату звуковой точки можно определить, если предположить,
что линейный характер изменения скорости газа соблюдается между
критической и звуковой точками. В этом случае расстояние до звуко-

вой точки, измеряемое вдоль образующей затупления, равно х3 - u3β,
где градиент в критической точке определяется по формуле (13.14).
Можно воспользоваться также одной из следующих формул, рекомендуемых в [30] для турбулентного режима течения:
….

qκ=6,53·108

\ЗД8

Λ 0,8

^РзУ

х3

по формуле Хидальго и Детра

4t=l,2·KHv2f33pW

-0,2'

или по формуле Сибулкина

^ - 4,627 40-5 Pr-2/·3 p· u°'8(μb).(i3 - iω),
где сверху помечены параметры газа при определяющей температуре

f = T3 + 0,5(Tw-T3) + 0,22(Tr-T3), а Ь = (1,46/гJ(p0/Po)· Ламинарный
режим течения в звуковой точке никогда не возникает.
Боковые поверхности корпуса. Поверхность тела при отсутствии
зон отрыва потока и нулевом угле атаки является единой линией тока,
начинающейся в критической точке, поэтому для определения скорости газа в произвольной точке можно воспользоваться уравнением Бернулли.

Коэффициент давления ср на боковых поверхностях можно определить по формулам из параграфа 4.2. Тогда статическое давление

Р _-, , YM∞-

р„

2 Ср>

местное число Маха, соответствующее этому давлению:

lъ-А
·\\р)
(Ро)

М=>

γ-ι

γ -1
181

термодинамическая температура
(

Т = Тп 1 +

γ-1 М2

и плотность

p=p/(RT).

Теперь скорость газа в рассматриваемой точке тела и = M√γ(p/ρ).
На головной части тепловой поток при турбулентном режиме течения определяется по формуле
n0,8

<Zκ=2,5·l(^

0,2'
Vj X

Рз

где х—расстояние вдоль образующей, измеряемое от критической точки;
Ф — функция местного давления, график которой приведен на рис. 13.9.
На участках корпуса, значительно удаленных от точки торможения, для

определения тепловых потоков используются формулы (13.7), (13.8) для
пластинки в зависимости от режима течения.

0,4

0,6

Р/Ро

Рис. 13.9

Приведем еще формулу Маклафлина [29] для расчета тепловых
поверхностей на цилиндрах и боковых поверхностях крыльев, в которой используется температура Т* (см. (13.3) и (13.4)):
−|(l-n) г

St∞=(Re∞;JC)"=Λ

(1-21-0

Pr-2/3
UooPo,

в которой при ламинарном режиме течения п = 0,5; А = 0,332, а при тур-

булентном п = 0,2; А = 0,0296. Кроме того, с = (μ∕ f*) (Γ∞ ∕ μ∞), а знаком
<Г» отмечены величины, вычисляемые при определяющей температуре.
В качестве характерного размера при определении числа Рейнольдса
используется расстояние х, измеряемое от начала эквивалентной пластинки. На конусе тепловой поток возрастает, и поэтому при ламинарном течении А - 0,575, а при турбулентном А = 0,03481. Характерный
размер определяется по формулам, приведенным в параграфе 13.2.
182

13.6. Расчет тепловых потоков

к стенкам двигателя твердого топлива
Передача тепла к стенкам камеры сгорания РДГТ в зависимости
от режима движения газа осуществляется конвекцией и излучением.
Лучистый тепловой поток от нагретого тела определяется с помощью закона Стефана — Больцмана:
г ■

Qw − εw°o

λ4

100

где с0 = 5,673 Вт/м2 ■ град4) — постоянная излучения; εw — степень
черноты нагретого тела, которую можно принять равной 0,25. Степень
черноты — это отношение теплового потока, излучаемого стенкой,
к тепловому потоку, излучаемому абсолютно черным телом. Для увеличения qw и, следовательно, снижения количества тепла, нагреваю-

щего корпус ракеты, целесообразно применять хорошо излучающие
материалы, примером которых могут служить кварцевые теплозащит-

ные покрытия. Степень излучения зависит от температуры и состава

топлива. Так, для баллиститных топлив излучением можно пренебречь.
В двигателях, работающих на смесевом топливе, продукты сгорания
содержат твердые частицы и поэтому излучают электромагнитные

волны как в видимом, так и в инфракрасном диапазоне спектра. Лучистый тепловой поток, поступающий к стенке, определим по формуле
-Г \4
Qi − σoεv·/ ε∑

100

/„

n4^

100

где εw — степень черноты стенки (для теплозащитных покрытий εw =

- 0,8); ε∑ — эффективная степень черноты продуктов сгорания. Значение ε∑ можно определить так:

ε∑ =l-(l-εΓ)exp 0,6^-™—
'l-fc d pκ
где εΓ = 0,5-^-0,75 — степень черноты газовой фазы; к — массовая твердой фазы в продуктах сгорания; I — длина пути луча (I = Ю-3 м); d —
диаметр конденсированных частиц (d = 5—10 мкм); рг — плотность
газовой фазы продуктов сгорания топлива; рк — плотность вещества,
образующего конденсированную фазу. Излучение пренебрежимо мало
по сравнению с конвекцией в области соплового блока, и им здесь пренебрегают.
При расчете конвективных тепловых потоков можно выделить сле-

дующие характерные зоны двигателя, обозначенные соответствующими номерами на рис. 13.10: 1 — область переднего днища, 2 — зону
щелевого заряда, 3 — зону заднего днища, 4 — сопловой блок. В области переднего днища образуется застойная зона, в которой теплооб183

Для заднего днища и сопла коэффициент теплоотдачи можно определить по формулам пластинки, относя все физические характеристики
газа к термодинамической температуре газа в рассматриваемом сечении, а характерный размер вычисляя по формуле В. С. Авдуевского.
Получены также и специальные формулы для определения числа
Нуссельта в сопле. Так, по формуле Бартца

Nu = 0,026Reθ,8prθ,4(dκp ∕ rc) (Z ∕ σ);
здесь физические параметры газа отнесены к температуре тормо-

жения; dκp — диаметр критического сечения сопла; Rc — радиус его
0,5^

скругления, а σ =

γ-1 м2

0,068

+ 0,5

γ-1 М2

s0,12
— ко-

эффициент, учитывающий ускорение потока в сопле и сужение его
в критическом сечении. По формуле Лонга Nu = 0,024Re - (Т / Т0), где

LJ1+lzλ М2
Т0 {

, а по формуле Гринфилда Nu = 0,024Re-Pr. В послед-

них соотношениях физические параметры газа также отнесены к Г0,
т. е. к температуре торможения.

Если продукты сгорания содержат твердые частицы, то теплоотдача

к стенкам двигателя возрастает, а коэффициент теплоотдачи определяется по числу Нуссельта Nui5 учитывающему наличие частиц, т. е.
0,5

Рк

Nus =

•Nu,

где ск, ср — теплоемкость частиц и газа; рк, рг — плотность частиц

и газа; число Nu определяется по одной из вышеприведенных формул.

13.7. Тепловое воздействие сверхзвуковой струи
ракетного двигателя

Струи, истекающие из сопл ракетных двигателей, оказывают
не только силовое, но и тепловое воздействие на элементы конструкции, попадающие в зону истечения струи. При соосном расположении
струи с плоским торцем, расположенным на ее оси (рис. 13.11), конвективный тепловой поток в центре цилиндра равен

_0,5

•2т −~Γ~ <?FMj
к

.(γ-i)

где K= 0,5

(13.16)

pvRTTr(μrT0)_1 — параметр режима течения; p,v,T —

плотность, скорость, температура газа в струе; R — радиус цилиндра;

Tr, μr — температура восстановления и соответствующая ей вязкость
185

газа: qfM =0,5pv3

расчетная величина теплового

потока при свободномолекулярном режиме обтекания; J — механический эквивалент теплоты.

Рис. 13.11

Параметры газа на оси струи можно определить по формулам, приведенным в [32].

Режим течения в точке торможения ламинарный, а вблизи нее
тепловой поток в диапазоне углов 0 < θ < 63 между осью струи и лучом
сопла в точку на торце цилиндра подчиняется зависимости вида <jfc(θ) =
= qm(cos θ) - 5. Формулу (13.16) можно использовать также и для расчета максимального теплового потока при боковом взаимодействии
сверхзвуковой струи и плоскости (рис. 13.12), принимая в качестве
характерного размера величину

R = 0,75h(l -0,74α0)-1,

где h — расстояние от центра выходного сечения сопла до плоско-

сти, измеряемое по нормали к ней; α° = a/30tIι'5 — расчетный
комплекс; a — угол между осью сопла и поверхностью пластины;

θt = arctg

1—
4J

— характерный угловой размер; 1г = (1 + krW~2) x

-0,5

№-1)М2

параметр подобия струи; Ма, к — число Маха

и показатель адиабаты в выходном сечении сопла.

Рис. 13.12
186

мен происходит при помощи естественной конвекции, а коэффициент
теплоотдачи α = (D ∕ λ)Nu , где D — диаметр двигателя; λ — теплопроводность газа.

©Г©
Рис. 13.10

Теплофизические характеристики газа вычисляются при средней
температуре Т = (Т0 +Tw)/2, а число Нуссельта определяется по следующим формулам в зависимости от размеров двигателя:

а) для ракет малого калибра с D < (0,2—0,3) и Nu = \/Gr, где криW iD3 AT

терий Грасгофа Gr = —Ц-

; Wxl — осевое ускорение ракеты; ΔΓ =

v2
Г0
= T0-TW — перепад температур; v = μ / р — кинематическая вязкость
газа;

б) для ракет среднего и малого диаметра: Nu = 0,0192GrO,4(I :
: D)0,2, где L — длина объема, занимаемого передним днищем (высота
d-3

днища). Формула рекомендуется для L < 2,48-—-;
в) для ракет большого диаметра: Nu = 0,095(Pr Gr)Z/3.
Этими же формулами можно пользоваться для определения коэффициента теплоотдачи в застойных зонах, изменив только характерный
размер. Теперь под характерным размером следует понимать гидравлический диаметр D = ΛF / П, определяемый площадью канала F и его
периметром П. Так, например, для застойной зоны, образующейся
между вкладным зарядом и стенкой камеры сгорания, D = 2/г, т. е. удвоенной ширине зазора.
Для расчета теплоотдачи к стенке двигателя в области щелей можно
воспользоваться формулой пластинки с характерным размером, определяемым по формуле В. С. Авдуевского. В области щелей скорость
газового потока возрастает по линейному закону, т. е. U - φx, где φ =

umPm ∕ (Pofr) — градиент скорости; um, pm — скорость горения и плотность топлива; Ъ — ширина щели; х — расстояние от начала щели (см.
рис. 13.10).
При ламинарном и турбулентном режимах течения в плоском потоке

jφxdx
D_
= о_

φx:
184

~2'

Библиографический список
1. Шишков, А. А. Газодинамика пороховых ракетных двигателей /
А. А. Шишков. — М. : Машиностроение, 1974.

Мошкин, Н. Е. Нестационарные режимы работы ЖРД / Н. Е. Мош-

кин. — М. : Машиностроение, 1970.
3. Как, S. Conical nozzle performance under flow-separated condi-

tions / S. Kalt, D. L. Badal // J. of Spacecraft and Rockets. — 1965. —
V. 2. — № 3. — P. 447—449.

4. Разумеев, В. Ф. Основы проектирования баллистических ракет
на твердом топливе / В. Ф. Разумеев, Б. К. Ковалев. — М.: Машиностроение, 1976.
5. ГОСТ 4401—33. Атмосфера стандартная. Параметры. — М. :
Изд-во стандартов, 1983.
6. DeJarnette, F. R. Calculation of Pressures on Bodies at Low Angles
of Attack In Supersonic Flow / F. R. DeJarnette, С P. Ford // J. of Spacecraft
and Rockets. — 1980. — Vol. 17. — № 6. — P. 529—536.

7. Авдуевский, В. С. Течение в сверхзвуковой вязкой недорасширенной струе / В. С. Авдуевский // МЖГ. — 1970. — № 3.
8. Авдуевский, В. С. Газодинамика сверхзвуковых неизобарических
струй / В. С. Авдуевский, Э. А. Ашратов, У. Г. Пирумов. — М. : Машиностроение, 1989.
9. Сибулкин, М. Приближенный расчет поля течения на больших
расстояниях от сопла при истечении в вакуум / М. Сибулкин, Галлахер // РТК. — 1963. — № 6.
10. Аверенкова, Г. И. Истечение сверхзвуковой струи в вакуум /
Г. И. Аверенкова, Э. А. Ашратов // Вычислительные методы и программирование. — 1967. — № 7.
11. Емельянов, В. М. Расчет осесимметричной сверхзвуковой струи,
истекающей в спутный поток и покоящуюся среду / В. М. Емельянов //
Инж. журнал АН СССР. — 1965. — Т. 5. — № 2.
12. Дулов, В. Г. Газовая динамика процессов истечения / В. Г. Дулов,
Г. А. Лукьянов. — Новосибирск : Наука, 1984.
13. Гинзбург, И. П. Аэрогазодинамика / И. П. Гинзбург. — М. : Высшая школа, 1966.

14. Boynton, F. P. Exhaust plumes from nozzles with boundary layers /
F. P. Boynton // J. of Spacecraft and rockets. — 1968. — Vol. 5. — № 10. —
P. 1143.

15. Roberts // IAS Paper. — 1963. — № 63—50.
188

16. Авдуевский, В. С. Структура турбулентных недорасширенных
струй, вытекающих в затопленное пространство и спутный поток /
В. С. Авдуевский [и др.] // МЖГ. — 1972. — № 3. — С. 15—29.
17. Саут мл., Р. Замечания по поводу расчета поля выхлопной струи
и соударения с поверхностью / Р. Саут мл. // РТК. — 1964. — № 5.
18. Герасимов, Ю. И. Параметры подобия в задаче о взаимодействии
свободно расширяющейся струи с пластиной / Ю. И. Герасимов //
МЖГ. — 1981. — № 2. — С. 169—173.

19. Goethert, В. Н. Base Flow Characteristics of Missies with clusterRocket exhaust / В. Н. Goethert // Aerospace Engineering. —1961. — № 3.
20. Шлихтинг, Г. Теория пограничного слоя / Г. Шлихтинг. — М. :
Наука. 1969.
21. Корст, Г. Теория определения донного давления в околозвуковом и сверхзвуковом потоках / Г. Корст // Механика (сб. пер.). —
1957. — №5(45).

22. Гинзбург, И. П. Некоторые вопросы взаимодействия составных
струй / И. П. Гинзбург [и др.] // Газодинамика и теплообмен. — Л. :
Изд-во ЛГУ, 1970. — № 2.

23. Линендес. Воздействие ядерного взрыва на ракету / Линендес,
Сугуити // Вопросы ракетной техники. — 1968. — № 12.
24. Адушкин, В. В. Параметры ударной волны вблизи от заряда ВВ
при взрыве в воздухе / В. В. Адушкин, А. П. Короткое // ПМТФ. —
1961. — № 5.

25. Динамический расчет сооружений на специальные воздействия : справочник проектировщика. — М. : Стройиздат, 1981.
26. Колесников, К. С. Продольные колебания ракеты с жидкостным
ракетным двигателем / К. С. Колесников. — М. : Машиностроение,
1971.

27. Предводителев, А. С. Таблицы термодинамических функций воздуха / А. С. Предводителев [и др.]. — М. : ВЦ АН СССР, 1962.
28. Предводителев, А. С. Таблицы газодинамических и термодинамических величин потока воздуха за прямым скачком уплотнения /
А. С. Предводителев [и др.]. — М. : ВЦ АН СССР, 1962.
29. Аэродинамика ракет. В 2 кн. Кн. 2 / под ред. М. Хелина, Дж. Нилсена. — М. : Мир, 1989.
30. Балабух, Л. И. Основы строительной механики ракет : учеб.
пособие для студ. высш. учеб. заведений / Л. И. Балабух. — М.: Высшая
школа, 1969.
31. Краснов, Н. Ф. Аэродинамика тел вращения / Н. Ф. Краснов. —
М.: Машиностроение, 1964.
32. Погорелое, В. И. Инженерные методы расчета силового воздействия газовых струй на преграду / В. И. Погорелов, В. А. Тетерин. — Л.:
Ленингр. мех. ин-т, 1972.
33. Антохин, В. М. Тепловое воздействие свободно расширяющейся
струи газа на плоскую преграду / В. М. Антохин [и др.] // МЖГ. —
1981. — № 4. — С. 119—126.
189

34. Шишков, А. А. Рабочие процессы в ракетных двигателях твердого
топлива : справочник / А. А. Шишков. — М. : Машиностроение, 1988.
35. Балабух, Л. И. Строительная механика ракет: учебник для машиностроительных спец. вузов / Л. И. Балабух, Н. А. Алфутов, В. И. Усюкин. — М. : Высшая школа. 1984.

36. Пешков, Р. А. Анализ ударно-волновых нагрузок на ракету,
пусковую установку и контейнер в процессе старта / Р. А. Пешков,
Р. В. Сидельников // Вестник ЮУрГУ. — (Машиностроение). — 2015. —
Т. 15. — № 2. — С. 81—91.

37. Конюхов, С. Н. Минометный старт межконтинентальных баллистических ракет / С. Н. Конюхов, П. П. Логачев. — Днепропетровск :
НАН НКА Украины, Ин-т технической механики, 1997.
38. Колесников, К. С. Расчет и проектирование систем разделения
ступеней ракет / К. С. Колесников [и др.]. — М. : Изд-во МГТУ им.
Н. Э. Баумана, 2006.

39. Булычев, Л. А. Нагрузки на упругую ракету : учеб. пособие /
Л. А. Булычев. — М. : Изд-во МАИ, 2006.
40. Дмитриевский, А. А. Внешняя баллистика / А. А. Дмитриевский,
Л. Н. Лысенко. — 4-е изд., перераб. и доп. — М. : Машиностроение,
2005.

41. Кудинов, В. А. Техническая термодинамика и теплопередача :
учебник для академического бакалавриата / В. А. Кудинов, Э. М. Карташов, Е. В. Стефанюк. — 3-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство
Юрайт, 2016.

Новые издания по дисциплине

«Летательные аппараты»
и смежным дисциплинам
1. Аносов, А. П. Теория и устройство судна: циклическая прочность судовых конструкций : учеб. пособие для вузов / А. П. Аносов,
A. В. Славгородская. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: Издательство Юрайт,
2018.

2. Вожаков, В. Л. Механика деформируемого твердого тела : учеб.
пособие для бакалавриата и магистратуры / В. Л. Бажанов. — М.: Издательство Юрайт, 2018.
3. Волъмир, А. С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек :
учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры / А. С. Вольмир. —
2-е изд., стер. — М. : Издательство Юрайт, 2018.
4. Золоторевский, Н. Ю. Материаловедение. Фрагментация и текстурообразование при деформации металлических материалов : учеб.
пособие для вузов / Н. Ю. Золоторевский, В. В. Рыбин. — М.: Издательство Юрайт, 2018.
5. Малинин, Н. Н. Прочность турбомашин : учеб. пособие для бакалавриата и магистратуры / Н. Н. Малинин. — 2-е изд., испр. и доп. —
М. : Издательство Юрайт, 2018.
6. Никитенков, Н. Н. Технология конструкционных материалов.
Анализ поверхности методами атомной физики : учеб. пособие для

бакалавриата и магистратуры / Н. Н. Никитенков. — М. : Издательство
Юрайт, 2018.
7. Подружин, Е. Г. Конструирование и проектирование летательных аппаратов. Фюзеляж : учеб. пособие для вузов / Е. Г. Подружин,
B. М. Степанов, П. Е. Рябчиков. — 2-е изд. — М. : Издательство Юрайт,
2018.

8. Чаплыгин, С. А. Динамика полета. Избранные работы / С. А. Чаплыгин. — М.: Издательство Юрайт, 2018.
9. Шерышев, М. А. Прикладная механика: расчеты оборудования
для переработки пластмасс : учеб. пособие для вузов / М. А. Шерышев,
Н. Н. Лясникова. — 2-е изд., испр. и доп. — М. : Издательство Юрайт,
2018.