/
Author: Рыжик В.И. Александров А.Д. Вернер А.Л.
Tags: геометрия топология математика стереометрия 9 класс
Year: 1981
Text
Библиотека учителя математики
ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
C
4
Библиотека учителя математики
А. Д. АЛЕКСАНДРОВ,
A. Л. ВЕРНЕР,
B. И. РЫЖИК
НАЧАЛА
СТЕРЕОМЕТРИИ,
9
ПРОБНЫЙ УЧЕБНИК
МАТЕРИАЛЫ ДЛЯ ОЗНАКОМЛЕНИЯ
МОСКВА. «ПРОСВЕЩЕНИЕ». 1981
ББК22.15ЕОя72
А 46
Рекомендован
Министерством просвещения СССР
Александров А. Д. и др.
А 46 Начала стереометрии: 9. Пробный учебник. Материалы
для ознакомления / А. Д. Александров, А. Л. Вернер,
В. И. Рыжик.— M.: Просвещение, 1981.— 224 с.— (Б-ка
учителя математики)
60501-807
103(03)-81
подписное
4306010400
ББК 22.151 .Оя72
513(075)
© Издательство «Просвещение» 1981
ПРЕДИСЛОВИЕ
'Эта книга представляет развернутое изложение первой, предназ-<
наченной для IX класса, части учебника геометрии для IX—X клас¬
сов средней школы, посвященного стереометрии. Учебник, как он
задуман и представлен в данной книге, имеет некоторые особенно¬
сти, связанные с принципиальными, взглядами на геометрию и зада¬
чами среднего образования.
Сущность геометрии в органическом соединении пространст¬
венных представлений со строгой логикой, в котором они взаимно
Проникают и организуют друг друга. А так как все, что ни есть,
находится в пространстве, то геометрия, как теория пространствен¬
ных форм и отношений, имеет всеобщее значение. Мы окружены
ее реальными воплощениями, она лежит в основе всей техники, по¬
являясь всюду, где требуется малейшая точность в определении
форм и размеров. Геометрия не существует без этих связей,—взятая
«в себе», она не будет тем, что она есть на самом деле.
Соответственно первая особенность предлагаемого учебника
состоит в том, что в нем уделено существенно большее внимание,
чем это делается обычно, связи вводимых понятий и доказываемых
теорем с реальными вещами, от повседневного обихода до техники
и законов физики.
Это представляется тем более важным для всеобщего среднего
образования, чтобы молодой человек воспринял науку в ее связи
с жизнью и тем обогатил свои возможности практической дея¬
тельности и понимания действительности. Иначе может оказаться,
что геометрия останется для него только учебным предметом, ко¬
торый надо выучить, сдать и забыть... Заметим, что даже для тех,
кто будет заниматься математикой, понимание ее связей с другими
науками и практикой также чрезвычайно важно.
Понимание целей всеобщего среднего образования определя¬
ет следующую — вторую особенность предполагаемого учебника.
Она заключается в том, что учебник состоит как бы из двух частей:
необходимого минимума и дополнительного материала, отмеченного
всюду знаком . Необходимый минимум — это материал, изучение
которого представляется обязательным для всех учащихся, а до¬
полнения должны дать возможность учителю и ученикам выйти
по желанию и по склонностям за пределы обязательного минимума.
3
Интересы, склонности, способности учащихся различны, и нужно
постараться учесть это в рамках всеобщего образования.^
Третья особенность предлагаемого учебника связана с логи¬
ческой структурой геометрии и с задачей‘развития у учащихся
логического мышления. Особенность эта состоит в том, что в учеб¬
нике соблюдена логическая строгость изложения без того, чтрбы
сколько-нибудь его усложнить. Изложение опирается на аксиомы,
особенность которых состоит в том, что в них плоскость фигурирует
не как «неопределенное понятие» или «новый геометрический образ»,
а как та самая плоскость, геометрию которой учащиеся изучали в
VI-VIII классах.
Соответственно изложение оснований стереометрии начинается
с определения плоскости как фигуры, на которой BbinOvTHHeTCH
планиметрия. Это позволяет ввести потом всего четыре аксиомы.
Дальше все теоремы, действительно доказываются на основе акси¬
ом (по крайней мере в пределах собственно элементарной геометрии,
т. е. до теоремы о границе и теоремы Эйлера, в которой кое-что
берется из интуиции без аксиом). Эта доказательность представляет
еще одну особенность предлагаемого учебника.
Логическая система, где все доказано, представляется важной
для воспитания элементов научного мировоззрения, которое тре¬
бует доказательств, а не ссылок на то, что «так сказано в учебнике».
Однако вовсе не имеется в виду, что учащиеся !должны знать
все доказательства; достаточно, если они разберутся в них, а бу¬
дут знать только некоторые, наиболее существенные. Развитие
логического мышления требует упражнения, а не запоминания
Г OTOEbIX выводов.
Наконец, особенность предлагаемого учебника состоит в том,
что он полностью посвящен самой геометрии, чтобы сосредоточить¬
ся на главном — на пространственных представлениях, логическом
мышлении и связях с реальными вещами. Параллельность и пер¬
пендикулярность излагаются вместе, соответственно их связи в
самой геометрии и в строительстве. За эуим следуют темы, касаю¬
щиеся тел, переставленные из курса X класса (конечно, без во¬
проса об объемах)? Это дает богатый материал развитию простран¬
ственных представлений, особенно в решении задач.
Мы ввели в курс совершенно элементарное понятие опорной
плоскости и некоторые вопросы, касающиеся Еыпуклых фигур. Эти
по существу элементарные, наглядные вещи принадлежат матема¬
тике XX в. и приобрели чрезвычайное значение и за пределами
геометрии.
Мы убеждены, что средней школе нужен курс именно нагляд¬
ной геометрии в возможно строгом изложении, в связях с реаль¬
ными вещами. Создание такого курса, добиваясь прежде всего
максимальной простоты без ущерба для точности,— дело нелег¬
кое, требующее испытания вариантов и отработки деталей. Мы
надеемся, что те, кто познакомится с кяигой и тем более будет ра¬
ботать с ней, помогут делу своей критикой и советами.
4
Вторая часть, соответствующая курсу X класса, будет состоять
из четырех разделов: «Координаты и векторы», «Углы», «Перемеще¬
ния», «Геометрические величины — объемы, площади, длины кри¬
вых». Тема «Координаты» имеет главной целью дать на мЛериале
системы прямоугольных координат содержательный материал для
повторения сведений о параллельности и перпендикулярности, по¬
лученных в IX классе. Повторение для повторения, вне примене¬
ний, представляется авторам педагогически неэффективным. Метод
координат только указан, и его возможные применения отнесены
в задачи (необязательные).
Тема «Векторы» излагается, включая скалярное произведение,
геометрически, с исходным более наглядным представлением о век¬
торе, чем о параллельном переносе, но в логическом согласии с ним.
Дальше векторы используются в определении углов в пространстве
и в изучении перемещений.
Тема «Углы» оказывается небольшой. Перемещениям уделено
внимание, большее, чем в других курсах. К этому побуждало по
крайней мере два обстоятельства. Во-первых, перемещения дают
хороший, наглядный материал, развивающий пространственные
представления, например при рассмотрении элементов симметрии
правильных многогранников. Во-вторых, геометрические перемеще¬
ния связаны с такими важнейшими «вещами», как механическое дви¬
жение и симметрия в природе и в искусстве. Эта тема должна по¬
этому служить общему развитию учащихся и насыщению курса гео¬
метрии живым материалом.
В тему о величинах включен короткий параграф о длине кри¬
вых, так как отсутствие в обычных курсах общего понятия длины
кривой при наличии площади поверхностей выглядит нелепо.
Вся тема излагается не традиционно, с опорой на наглядные пред¬
ставления и на интегральное исчисление.
К курсу X класса дано по традиции дополнение — «Историчес¬
кий обзор», составленный, однако, не традиционно. Его главная
задача — показать ученикам, хотя бы общими намеками, громадное
содержание современной геометрии, ее связь с естествознанием
и на ее примере — диалектический путь познания. Авторы убежде¬
ны, что общее образование должно включать хотя бы намеки на фун¬
даментальные идеи подлинной философии на материале точных наук.
ВВЕДЕНИЕ
Стереометрией называют геометрию в пространстве — от гре¬
ческих слов: «стереос» — телесный, пространственный, «метрео» —
измеряю.
ПРО ГЕОМЕТРИЮ
Геометрию можно коротко определить как науку о фигурах.
Каждый человек имеет наглядное понятие о пространстве, о
телах, о фигурах. Но в геометрии свойства фигур изучаются в
отвлеченном (абстрактном) виде и с логической строгостью.
Своеобразие геометрии, выделяющее ее среди других, разде¬
лов математики, да и всех наук вообще, и заключается в нераз¬
рывном органическом соединении живого воображения со строгой
логикой. Геометрия в своей сути и есть пространственное вообра¬
жение, пронизанное и организованное строгой логикой.
Во всяком подлинно геометрическом предложении, будь то
аксиома, теорема или определение, неразрывно присутствуют эти
два элемента: наглядная картина и строгая формулировка, стро¬
гий логический вывод. Там, где нет одной из этих двух сторон,
нет и подлинной .геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству,
строгая логика — привилегия науйи. Сухость точного вывода и
живость наглядной картины — «лед и пламень не столь различны
меж собой». Так геометрия соединяет в себе эти две противополож¬
ности. Так ее и надо изучать: соединяя живость воображения с
логикой, наглядные картины — со строгими формулировками и
доказательствами.
Поэтому .основное правило состоит в том, что, обращаясь к
определению, теореме или задаче, нужно прежде всего предста¬
вить и понять их содержание: представить наглядно, нарисовать
или, еще лучше, хотя и труднее, вообразить то, о чем идет речь,
и одновременно понять, как это точно выражается.
Приступая к изучению доказательства теоремы или к реше¬
нию задачи, следуйте такому принципу: старайтесь видеть — на¬
рисовать, вообразить — и одновременно следить за логикой рас¬
суждения; карандаш должен набрасывать или аккуратно рисовать
6
соответствующие картинки и тут же выписывать кратко в словах
и формулах основные ходы рассуждения.
Геометрия возникла из практических задач, ее предложения
выражают реальные факты и находят многочисленные применения.
В конечном счете в основе всей техники так или иначе лежит ге¬
ометрия, потому что она появляется повсюду, гДе нужна малей¬
шая точность в определении формы и размеров; и технику, и ин¬
женеру, и квалифицированному рабочему геометрическое вообра¬
жение необходимо, как и геометру или архитектору.
При всем реальном значении геометрии каждому понятно, что
ни в природе, ни в технике нет ни отрезков без всякой ширины,
ни бесконечных прямых, ни точек без всяких размеров. Идеальные
геометрические фигуры существуют только в нашем представлении.
Как же сложилось такое представление и зачем оно нужно?
Путь формирования геометрических представлений и понятий
был очень долгим; он длился тысячелетия и не завершен, поня¬
тия геометрии продолжают изменяться. Проследить даже в общих
чертах этот путь мы не можем. Сделаем только'самые общие
пояснения.
Можно указать две основные причины того, что сложились и
утвердились идеальные геометрические представления.
Первую причину легко понять из примера проведения отрезка.
Землемеры в Древнем Египте втыкали в землю два колышка и
протягивали между ними веревку. Но колышки можно взять по¬
тоньше, а вместо веревки — тонкую нить. И не видно, почему нель¬
зя уточнять это дальше.
Таким образом, первая причина состоит в том, что практика
и наглядное представление всегда показывали и показывают воз¬
можность сделать формы тел и геометрические, построения более
точными. Так же, представляя себе продолжение отрезка прямой,
мы не видим принципиальных ему границ, и возникает представ¬
ление о неограниченно продолженной прямой.
Неточности связаны с особенностями материала реальных тел*>
с теми или иными условиями. Но.все это является посторонним и
случайным по отношению к существу самих геометрических соот¬
ношений. Отвлекаясь от материала, можно мыслить тело идеально
точной формы и размеров. Возникает представление об идеальных
геометрических фигурах. Рассматривается, скажем, треуголь¬
ник — не деревянный, не железный, ни какой другой, а треугольник
вообще и значит — идеальный треугольник.
Геометрическая фигура в исходном смысле и есть не что иное,
как идеальный, отвлеченный от всякого материала образ реального
тела, реальной поверхности или линии.
Вторая причина того, что сложились и утвердились эти иде¬
альные геометрические представления, заложена в потребностях
практики. Для того чтобы точно решать практические задачи, нуж¬
ны точные правила, а точные правила требуют точных понятий.
Тем более точных понятий требует вывод одних правил из других.
7
Такие выводы, слагающиеся в логическую систему геометрии,
могут относиться только к идеальным фигурам. Например, теоре¬
ма Пифагора верна для идеальных треугольников, а к реальным
применима только приближенная.
Словом, вторая причина формирования идеальных понятий
геометрии состоит в том, что они нужны для точного решения задач
и для точных теоретических выводов. А точная теория сама нужна
в конечном счете для применения в науке и технике, как в точной
работе нужен точный, хорошо отточенный инструмент.
Математика, геометрия в частности, и представляет собой мо¬
гущественный инструмент познания природы и создания техники.
Подводим итог. Идеальные геометрические понятия возникают
в результате отвлечения от всего постороннего по отношению к
самим пространственным отношениям и формам, «как таковым» —
в их собственном виде. Это отвлечение закрепляется в выводах ге¬
ометрии, которой нужна прочная логическая структура, как нужна
прочная структура хорошей машине.
Как писал В. И. «Ленин: «Мышление, восходя от конкретного к
абстрактному, не отходит — если оно правильное...— от истины,
а подходит к ней... все научные (правильные, серьезные, не вздор¬
ные) абстракции отражают природу глубже, вернее, полнее»1.
1 Л е н ин В. И. Поли. собр. соч., т. 29, с. 152.
Глава I
ОСНОВАНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
§ 1. АКСИОМЫ СТЕРЕОМЕТРИИ
4.1. Основные объекты стереометрии
Обращаясь к геометрии в пространстве — к стереометрии, мы
будем предполагать, ‘что геометрия на плоскости — планимет¬
рия — нам в основном известна.
Каждый представляет наглядно, что такое плоскость или по
крайней мере конечный кусок плоскости, как плоскость стола,
доски и т. п. Но в планиметрии плоскость рассматривается сама
по себе, независимо от окружающего пространства. C такой точки
зрения плоскость — это просто фигура, на которой выполняется
планиметрия. Итак, дается следующее определение.
Определение. Плоскостью называется множество точек,
в котором выполняется планиметрия, т. е. выполняются аксиомы
планиметрии, а вместе с ними и-их следствия.'
Так же как в планиметрии, мы принимаем, что слова фигура
и множество точек означают одно и то же1.
Можно не помнить всех аксиом планиметрии; надо только по
нимать, что плоскость — это фигура, где определены расстояния и
прямые с их основными свойствами, а за ними и другие извест¬
ные фигуры: треугольники, окружности и т. д.
Однако, занимаясь геометрией на плоскости, мы всё же помним,
что плоскость расположена в пространстве и что в нем много пло¬
скостей. Вместе с плоскостями в пространстве содержатся и лежа¬
щие на них прямые. Точно так же между двумя любыми точками
в пространстве есть определеннбе расстояние — то же, что на пло¬
скостях, проходящих через эти две точки.
Таким образом, основные объекты стереометрии нам уже зна¬
комы: это точки, расстояния между ними, прямые и плоскости.
Только теперь это точки, прямые и расстояния не в одной пло¬
скости, а пространстве — на разных плоскостях. А плоскости —
это те, геометрию которых — планиметрию — мы уже знаем.
Как и в планиметрии, точки обозначают большими буквами ла¬
тинского алфавита: At Bt Ct . ,а прямые—малыми: а, Ь9 с . . .
1 Тоеже означает термин «геометрическое место точек», употребляемый в
курсах геометрии. Говорить о множествах удобнее, потому что «множество» —
это общематематический термин; в математике рассматривают множества чисел,
функций, преобразований, фигур и т. д.
9
Плоскости обычно обозначают малыми бук¬
вами греческого алфавита: а, 0, у,
Большинство формулируемых нами ут¬
верждений и доказательств иллюстрируются
рисунками. Отличие этих рисунков от тех,
которыми иллюстрировался курс планимет¬
рии, в том, что здесь мы на плоскости ри¬
сунка (в книге, в тетради, на доске) изоб¬
ражаем не только плоские, но и неплоские «фигуры. Основные пра¬
вила и приемы таких изображений известны из школьного курса
черчения. Прежде всего вспомним, что плоскости на рисунках изо¬
бражаю^ иногда в виде параллелограмма, но чаще в виде про¬
извольной области (рис. 1.1).
1.2. Аксиомы расстояния и плоскости
В геометрии свойства фигур изучаются в отвлеченном видз
и с логической строгостью. Поэтому сформулируем те положения,
исходя из которых можно получать выводы стереометрии путем
чисто логических рассуждений. Такие положения, или, другими
словами, утверждения, называются, как известно, аксиомами.
Стереометрия строится на их основе, а- потому говорят, что они
образуют основания стереометрии.
Аксиома 1 (аксиома расстояния). В пространстве каж¬
дым двум точкам соответствует определенная (един¬
ственная) величина, называемая расстоянием между
ними.
При этом подразумевается, что расстояния между разными точ¬
ками — это величины одного и того же рода; все они д^огут быть
измерены одной какой-нибудь единицей. Если каким-нибудь двум
точкам соотнести численное значение расстояния — единицу, то
каждым другим двум точкам уже будет соответствовать вполне опре¬
деленное численное значение расстояния.
Расстояние между точками А и В обозначается символом | AB |
или \ BA |. Расстояние соотносится двум точкам, так что порядок,
в котором мы их пишем или рассматриваем, не играет роли: по¬
этому обозначение |ЛВ| равносильно | BA J. Говоря «две точки»,
мы подразумеваем, что их действительно две, т. е. что они не совпа¬
дают. Так же понимаются дальше выражения: «две плоскости»,
«три точки»
Аксиома 2 (аксиома плоскости). В
пространстве существуют плоско¬
сти (хотя бы одна) и через каждые
три точки проходит плоскость
(рис. 1.2).
Вторую часть этой аксиомы выражают
еще так: через каждые три точки
можно провести плоскость. Это име-
ю
ет простой наглядный смысл. Например, плоский предмет можно
приложить к двум точкам и, поворачивая его, добиться того,
чтобы он уперся в третью данную точку. В связи с аксиомой
плоскости есть шуточный вопрос: «Три вороны сидели и поле¬
тели. При каких условиях они окажутся в одной плоскости?».
Человек нередко 'задумывается над ответом, хотя три точки
всегда лежат в одной плоскости.
Может возникнуть вопрос: зачем оговаривать в аксиоме, что
в пространстве есть плоскости? Ведь тут же говорится, что через
каждые три точки проходит плоскость, а значит, есть плоскости.
Однако это соображение верно только в том случае, если в простран¬
стве есть три точки. Поэтому можно не оговаривать существование
плоскости, только если потребовать, чтобы в пространстве существо¬
вали по крайней мере три точки.
Из аксиомы 2 легко вытекает, что плоскость можно про-
веста не только через каждые три точки, но и через
каждые две или одну точку. Действительно, поскольку
в пространстве есть хоть одна плоскость, то имеется бесконечное
множество ее точек. Поэтому если дана, скажем, одна точка А,
то к ней можно присоединить еще какие-то точки В, С, а через
три точки А, В, C проходит плоскость.
Но не. через всякие четыре точки проходит плос¬
кость. Это будет выведено из аксиомы 4.
На плоскости выполняется планиметрия, так как мы опреде¬
лили плоскость как фигуру, на которой выполняется планиметрия.
Поэтому аксиома плоскости означает в развернутом ввде следую¬
щее.
В пространстве существуют фигуры (множества
точек), на которых выполняется планиметрия. Для
каждых трех точек существует такая содержащая
их фигура. При этом расстояния на этих фигурах,
т. е. на плоскостях, те же, которые заданы в про¬
странстве по аксиоме 1. Так что если две точки лежат одно¬
временно на двух плоскостях, то расстояние между ними на
обеих плоскостях одно и то же (измеряется на них одинаково).
Так как на плоскостях выполняется планиметрия, то на них
есть прямые, отрезки, треугольники и другие плоские фигуры со
всеми известными из планиметрии свойствами. Вместе с каждой
плоскостью и все фигуры оказываются фигурами в пространстве.
О фигурах, содержащихся в плоскости, говорят, что они «лежат
на плоскости», например «прямая лежит на плоскости», «отрезок
лежит на плоскости» и т. п.
1.3. Аксиома пересечения плоскостей
Аксиома 3 (аксиома пересечения плоскостей). Если две
плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть
их общая прямая (рис. 1.3).
и
Наглядно это видно на массе примеров: пересечение двух стен
или стены и потолка и т. п. (хотя в большинстве случаев мы встре¬
чаемая а пересечением полуплоскостей по их общей, ограничиваю¬
щей их прямой, как например ребро угла комнаты).
Пояснение. То, что пересечение двух, плоскостей а и P
есть их общая прямая, означает, что множество их общих точек
является прямой и на одной и на другой плоскости, так что, на¬
пример, кратчайший путь между двумя их общими точками А
-и В на плоскости а такой же, как на р. Для других поверхностей
это может быть совсем не так. На рисунке 1.4 кратчайший путь от А
до В я идет на плоскости а по отрезку AB9 а на поверхности P —
по дуге АВ.
Определение. Две плоскости, имеющие общую прямую,
называются пересекающимися плоскостями.
Аксиому 3 тогда можно рассматривать как признак пересе¬
кающихся плоскостей: если две плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются.
1.4. Аксиома разбиения пространства плоскостью
Наглядно ясно, что всякая плоскость разбивает пространство,
гак стена, возведенная в койнате, делит ее на две части: надо только
представить себе бесконечно тонкую стену в безграничном про¬
странстве. Это представление и выражает на языке геометрии ак¬
сиома о разбиении пространства. Она аналогична аксиоме плани¬
метрии о том, что прямая разбивает плоскость (рис. 1.5, а). Если
в этой аксиоме планиметрий заменить плоскость пространством, а
прямую — плоскостью, то получим аксиому разбиения простран¬
ства. Формулировка обеих аксиом разбиения (и плоскости, и про¬
странства) использует понятие отрезка. Отрезком AB в стереомет¬
рии, как и в планиметрии, называется множество точек, состоящее
из точек Я и В — концов отрезка, и точек, лежащих между ними,—
внутренних точек отрезка. Теперь мы можем сс}юрмулировать ак¬
сиому разбиения пространства явно.
12
Рис. 1.5
Аксиома 4 (аксиома разбиения пространства плоскостью).
Для каждой плоскости множество не лежащих на ней
точек пространства распадается на два таких не¬
пустых множества, что если две точки лежат в разных
множествах, то отрезок с концами в этих точках
пересекает данную плоскость, если же они лежат
в одном множестве — то не пересекает (рис. 1.5, б).
Выражение «распадается на два множества» означает: «является
объединением двух множеств, не имеющих общих точек». Утвержде¬
ние, что отрезок пересекает плоскость, означает, что он имеет с ней
общую точку, но концы его ей не принадлежат.
Из аксиомы 4 следует, что для всякой плоскости есть не лежащие
на ней точки, так как множества, о которых идет речь в аксиоме 4,
не пусты. Объединение каждого из них с определяющей их плоско¬
стью -называется полупространством, ограниченным этой плоско¬
стью, а сама плоскость — граничной плоскостью этих полупрост¬
ранств, или их границей.
Таким образом, всякая плоскость разграничивает два полу¬
пространства — служит их общей границей (подобно тому, как
стена в квартире разграничивает две комнаты). Про точки прост¬
ранства, которые не лежат на его граничной плоскости, говорят,
что они лежат внутри него* Если две точки лежат внутри одного
полупространства, то говорят, что они лежат по одну сторону от
его граничной плоскости (точки A1 и B1 на рис. 1.5, б). Если же две
точки лежат внутри разных полупространств, имеющих общую гра¬
ничную плоскость, то говорят, что они лежат по разные стороны от
этой плоскости (точки A2 и B2 на рис. 1.5, б). Можно также гово¬
рить и о двух фигурах, лежащих с одной стороны от плоскости
или лежащих по разные стороны от плоскости.
1.5. Определение пространства
Теперь мы можем дать определение пространства подобно тому,
как была определена плоскость.
_ Определение. Пространством в элементарной геометрии
13
называется множество, в котором выполнены четыре сформулиро¬
ванные выше аксиомы стереометрии.
(Мы говорим о пространстве «в элементарной геометрии», по¬
тому что термин «пространство» употребляется также в других
смыслах.)
ЗАДАЧИ К § 1
1. Объясните, почему множество точек пространства бесконечно.
2. Объясните, почему множество прямых в пространстве беско¬
нечно.
3. Откуда следует, что через каждую точку в пространстве про¬
ходит прямая?
4. Откуда следует, что через каждые две точки пространства
проходит прямая?
5. Две плоскости имеют две общие точки А и В. Объясните,
почему общая прямая этих плоскостей проходит через А и В,
6. Могут ли две плоскости иметь ровно одну общую точку?
Ровно 1980 общих точек?
7. Нарисуйте две одинаковые поверхности в пространстве,
которые имеют: а) единственную общую точку; б) ровно п общих
точек; в) бесконечное множество общих точек, не лежащих на одной
прямой.
8. Приведите пример двух одинаковых неограниченных поверх¬
ностей, не являющихся плоскостями и имеющих единственную об¬
щую прямую.
9. Нарисуйте два треугольника, лежащих в разных плоскос¬
тях и имеющих: а) единственную общую точку; б) общий отрезок.
Решите такую же задачу для квадратов, для кругов. Нарисуйте
прямую, по которой пересекаются плоскости этих фигур.
10. Нарисуйте два квадрата, не лежащих в одной плоскости и
имеющих общую сторону.- Плоскость имеет с этой фигурой общую
точку. Что представляет собой сечение данной фигуры плоско¬
стью? (В задачах сечение фигуры плоскостью — это непустое мно¬
жество общих точек фигуры и плоскости.)
11. Какой фигурой может быть сечение прямоугольного па¬
раллелепипеда плоскостью, если она имеет с ним общую точку:
а) вершину; 6) внутреннюю точку ребра; в) внутреннюю точку
грани? (У прямоугольного параллелепипеда шесть граней, и все
они прямоугольники.)
12. Какой фигурой может быть сечение тетраэдра плоскостью,
е^ли она имеет с ним общую точку: а) вершину; б) внутреннюю
точку ребра; в) внутреннюю точку грани? (У тетраэдра четыре
грани, и все они треугольники.)
13. Откуда следует, что для каждой плоскости существует
точка, которая не лежит на ней?
14. Докажите, что через каждую точку плоскости проходит
плоскость, не совпадающая с данной.
14
15. Какой фигурой является непустое пересечение полупро¬
странства и: а) прямой; б) плоскости; в) треугольника; г) круга?
16. Докажите, что внутри каждого полупространства лежит
бесконечное множество точек.
17. Докажите, что внутри каждого полупространства лежит бе¬
сконечное множество прямых.
18. Вершины треугольника лежат внутри одного полупрост¬
ранства. Докажите, что он весь лежит внутри этого полупрост¬
ранства. Будет ли верно это утверждение, если вместо вершин
взять другие три точки треугольника? Будет ли верно это утвержде¬
ние, если взять вершины четырехугольника?
19. Нарисуйте поверхность, отличную от плоскости, и пояс¬
ните на рисунке, будет ли для нее выполняться свойство плоскости
из аксиомы 4.
20. Будем говорить, что фигура разделена плоскостью, если
у нее есть точки с разных сторон от данной плоскости. Если при
этом фигура имеет с плоскостью общие точки* то будем их относить
к каждой из полученных частей фигуры.
а) Сколько плоскостей разделяют отрезок?
б) Существует ли фигура, которую нельзя разделить плос¬
костью?
в) Существует ли фигура, которую можно разделить только
одной плоскостью?
г) Существует ли фигура, которую можно разделить ровно
двумя плоскостями?
д) Существует ли фигура, которая разделена некоторой плос¬
костью, но не имеет с ней общих точек?
21. Докажите, что ломаная, концы которой лежат с разных сто¬
рон от плоскости, пересекает эту плоскость.
§ 2. ПЕРВЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ
Здесь мы получим первые, самые простые следствия из при¬
нятых нами аксиом стереометрии, касающиеся прямых и плоскос¬
тей. Эти следствия очень важны, и их часто принимают за акси¬
омы. Их естественно тоже.отнести к основаниям стереометрии. Сами
по себе они достаточно очевидны. Доказательства их даются как
пример строгого вывода из аксиом со всеми необходимыми ссылками
на аксиомы и предыдущие теоремы. Это учит обоснованию выводов.
Когда на ваши утверждения вам задают вопрос: «Откуда это сле¬
дует?»— на него нужно уметь ответить. Это нужно не только в гео¬
метрии, но не меньше и в жизни: приучаться обосновывать свои
рассуждения и выводы.
2.1. Прямая в пространстве
То, что через две точки проходит прямая и притом только одна,
в планиметрии .является аксиомой. В стереометрии это утвержде¬
ние — теорема. Не для любых фигур утверждение, верное в пла-
ts
личная от а. Прямая
ниметрии, справедливо и в стереометрии.
Так, например, плоскости через две
данные точки N и S проходит лишь одна
окружность с диаметром NS, а в простран¬
стве таких окружностей бесконечное мно¬
жество — иллюстрацией могут. служить
все меридианы глобуса, проходящие через
Северный полюс N и Южный S (рис. 2.1).
Итак, докажем первую теорему.
Теорема 2.1. Через каждые две
точки в пространстве проходит
прямая и притом только одна.
Доказательство. Пусть даны
две точки Л и В. Через них проходит
некоторая плоскость а (как следует из
аксиомы 2). В этой плоскости через точки
Л и В проходит прямая. Значит, в про¬
странстве есть некоторая прямая а, про¬
ходящая через точки Л и В (рис. 2.2).
Убедимся, что такая прямая только од¬
на. Допустим, что, кроме прямой а, через
Л и В проходит некоторая прямая а', от-
а' лежит в некоторой плоскости, поскольку,
вводя прямые в стереометрии, мы ввели их как прямые в плоскостях.
В плоскости а прямая а' лежать не может, так как по аксиоме
планиметрии в плоскости а через точки Л и В проходит лишь одна
прямая — прямая а. Поэтому а' лежит в некоторой другой плоско¬
сти 0, отличной от а. Плоскости аир имеют общую точку (даже
две — Л и В). Поэтому они пересекаются по' прямой, проходящей
через точки Л и В. Эта прямая лежит в а, а потому совпадает с пря¬
мой а. Она также лежит в р, и потому совпадает с д'. Следователь¬
но, йрямые а к а' совпадают.
Итак, мы пришли к противоречию, предположив, что через
две точки Л и В могут проходить различные прямые д и д'. Следова¬
тельно, через Л и В проходит единственная прямая. Л1
Следствие. Две прямые имеют не более одной об¬
щей точки.
Определение. Если две прямые имеют единственную об¬
щую точку, то они называются пересекающимися прямыми.
Замечание 1. Доказав теорему 2.1, мы можем теперь гово¬
рить о прямых в пространстве, не обязательно рассматривая их
как прямые на проходящих через них плоскостях, а задавать пря¬
мую любой парой ее точек.
Прямая, проходящая через точки Л и В, обозначается символом
(ЛВ).
1 Знак Щ означает, что доказательство закончено.
16
Замечание 2. Теорему 2.1 можно формулировать разными
способами. Например:
1) Для каждых двух точек существует, и притом
единственная, содержащая их прямая.
2) Через каждые две точка можно провести одну
и только одну прямую.
Первая формулировка выдержана в отвлеченных понятиях,
вторая выражает наглядное представление о принципиальной воз¬
можности провести прямую. Возможны и-другие, хотя и не столь
различные, варианты формулировок; попробуйте дать еще какие-
нибудь. Формулировать одно и то же разными словами полезно.
Теорема 2.2. Если прямая проходит через две точки
данной плоскости, то она лежит в этой плоскости
(другими словами: если две точки данной прямой при¬
надлежат данной плоскости, то прямая содержится
в этой плоскости).
Доказ-ательст в.о. Пусть прямая а проходит через две
точки AnB плоскости а. Так как в плоскости а выполняется пла¬
ниметрия (по аксиоме 2), то по известной аксиоме планиметрии че¬
рез точки А п В в плоскости а проходит некоторая прямая а'. Так
как по предыдущей теореме прямая, проходящая через две данные
точки, только одна, то а' совпадает с а. Поэтому прямая а содержит¬
ся в плоскости «-В _
Следствие. Если прямая не лежит в данной плос¬
кости, то она имеет с ней не более одной общей точки.
Определение. Если прямая и плоскость имеют общую
единственную точку, то говорят, что они пересекаются.
Замечание. Свойством плоскости, выраженным в теоре¬
ме 2.2, практически пользуются, проверяя, является ли данная по¬
верхность плоской: к ней прикладывают линейку, край линейки,
прикасаясь к поверхности в двух точках, должен целиком лечь
на нее.
2.2 Три способа задания плоскости
.Теорема 2.3. Через три точки, не лежащие на одной
прямой, проходит плоскость и притом только одна.
Доказательство. Пусть точки А, В, C не лежат на
одной прямой. По аксиоме плоскости через всякие три точки про¬
ходит плоскость. Поэтому есть плоскость, проходящая через точки
А, В, С; обозначим .ее а (рис. 2.3). Убедим¬
ся, что она только одна.
Действительно, всякая другая пло¬
скость, в. которой лежит, скажем, точка
А, должна по аксиоме 3 пересекаться с пло¬
скостью а по прямой. Но тогда она не может
содержать все три точки А., В, С, раз они
не лежат на одной прямой. |
17
Рис. 2.4
Рис. 2.5
Плоскость, проходящую через три точки А, В, С, не лежащие
на одной прямой, обозначают (ЛВС).
Замечание. Теорему 2.3 иллюстрирует, например, стол на
трех ножках: его доска устойчиво лежит на трехножках. Но на
ножках, стоящих в один ряд, дбска не будет устойчивой. Если точки
лежат на одной прямой, то через них проходит бесконечно много
разных плоскостей. Это очевидно, но попробуйте это доказать из
наших аксиом (мы это сделаем дальше в п. 3.1).
Теорема 2.4. Через всякую прямую и не лежащую
на ней топку проходит плоскость и притом только
одна.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не лежащая на
ней точка А. Возьмем на прямой а две точки В, C (рис. 2.4). Точка А
не лежит с ними на одной прямой (так как через точки В, C по теоре¬
ме 2.1 проходит только одна прямая — это прямая а, а точка А не
лежит на ней по условию).
Через три точки А, В, С, не лежащие на одной прямой, проходит
по теореме 2.3 единственная плоскость (ЛВС). Прямая а имеет с
ней две общие точки В, C и, значит, по теореме 2.2, лежит на ней.
Таким образом, плоскость (ЛВС) и есть единственная плоскость,
проходящая через прямую а и точку Л. |
Теорема 2.5. Через две пересекающиеся прямые про¬
ходит плоскость и притом только одна.
Доказательство. Пусть прямые а, Ь пересекаются в
точке Л. Возьмем на прямой b другую точку В (рис. 2.5). По те¬
ореме 2.4 через прямую а и точку В проходит единственная пло¬
скость, а по теореме 2.2 прямая b лежит в этой плоскости, так как
имеет с ней две общие точки Л и В. |
Доказанные теоремы указывают три способа задания плоскос¬
ти: 1) тремя точками, не лежащими на одной прямой; 2) прямой
и не лежащей на ней точкой; 3) двумя пересекающимися прямыми.
Первый способ является основным, два других из него следуют,
как видно из доказательств теорем 2.4 и 2.5.
Замечание. Каждую из трех теорем 2.3, 2.4, 2.5 можно
формулировать по-разному, подобно тому как это было указано
для теоремы 2.1 о прямой, проходящей через две точки. Приве¬
дите такие формулировки.
IS
ЗАДАЧИ К §2
1. Может ли прямая иметь с плоскостью ровно: а) две общие
точки; 6) десять общих точек; в) одну общую точку?
2. Сколько общих точек могут иметь плоскость и: а) отрезок;
б) луч; в) дуга окружности; г) ломаная из п звеньев?
3. Приведите пример неплоской линии, которая имеет с неко¬
торой плоскостью: а) ровно одну общую точку; б) ровно две общие
точки; в) ровно п общих точек; г) бесконечное множество общих то¬
чек.
4. Приведите пример линии, которая не лежит ни в одной
плоскости. *
5. Приведите пример линии, которая ни с какой плоскостью
не имеет ровно одной общей точки.
6. Сколько прямых можно провести через: а) три точки; б) че¬
тыре точки, если каждая прямая проходит хотя бы через две из них?
7. Прямая имеет две общие точки с боковой поверхностью ци¬
линдра. Есть ли у этой прямой общий отрезок с этой поверхностью?
А если она имеет с ней три общие точки?
8. Нарисуйте поверхность, которая не содержится в плоскости,
но содержит бесконечное множество прямых.
9. Через середины сторон треугольника проведена плоскость.
Совпадает ли она с плоскостью треугольника?
10. Вершины параллелограмма лежат в данной плоскости. Ле¬
жит ли он сам в этой плоскости?
11. Три произвольные точки параллелограмма лежат в данной
плоскости. Лежит ли он в этой плоскости?
12. Через вершины А и C и середину диагонали BD параллело¬
грамма ABCD проведена плоскость. Совпадает ли она с плоско¬
стью параллелограмма?
13. Через вершину В и середину стороны CD квадрата ABCD
проведена-плоскость, не совпадающая* с плоскостью квадрата. Че¬
рез какую точку прямой AD она проходит?
14. Ученик нарисовал четырехугольник ABCD9 причем D C а.
Прямая AB пересекает плоскость а в точке К, прямая BC пересекает
ее в точке 1. Есть ли ошибка на рисунке 2.6?
Рис. 2.6 Рис. 2.7
19
Рис. 2.8
Рис. 2.9
15. Дано несколько (больше двух) прямых. Каждые две из них
пересекаются. «Лежат ли они все в одной плоскости?
‘16. Из тонкой проволоки сделана замкнутая ломаная в четыре
звена. Как проверить, является ли она плоской, имея под руками
только катушку с нитками?
17. Сколько общих точек могут иметь плоскость* и граница вы¬
пуклого многоугольника? Как изменится результат, если много¬
угольник не будет выпуклым?
18. Три-попарно пересекающиеся прямые пересекают плоскость.
Есть ли ошибка на рисунке 2.7?
19. Ученик-нарисовал сечение куба плоскостью. Есть ли ошибка
на рисунке 2.8? Есть ли ошибка на рисунке 2.9? (В кубе шесть гра¬
ней, и все они квадраты.) ш
20. Четырехугольник ABCD не имеет параллельных сторон.
Точка P не лежит в его плоскости. Нарисуйте прямую, по которой
пересекаются: а) (PAD) и (PBC); б) (РАС) и (PBD).
.21. Дана четырехугольная пирамида PABCD. (В ней одна
грань — четырехугольник ABCDt а остальные четыре грани —
треугольники с общей вершиной Р.) Точка К лежит внутри ребра
PBt точка L лежит внутри ребра PDt точка М. лежит на луче AD
вне отрезка AD. Ответьте на вопросы: а) лежат ли К, Lt M на одной
прямой; б) какая точка прямой CD лежит на прямой KL? Укажите
на рисунке точку пересечения (KL) и (АВС).
22. Дан' правильный тетраэдр PABC. (У него четыре грани,
и все они правильные треугольники.) Точка Q — центр грани ABCt
точка L — середина ребра АВ. Нарисуйте сечения тетраэдра пло¬
скостями APQ и PLQ; общий отрезок этих сечений.
§ 3. О РАСПОЛОЖЕНИИ ТОЧЕК, ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ
3.1. Четыре точки, не лежащие в одной плоскости
По аксиоме плоскости в пространстве существует хотя бы одна
плоскость. Ясно, что плоскостей в пространстве бесконечно много.
Но строго доказать это мы сможем, опираясь на аксиому 4, с по¬
мощью следующей теоремы.
20
Теорема 3.1. В пространстве *о
существуют четыре точки, не ле¬
жащие в одной плоскости. Для каж¬
дых двух точек можно подобрать
(существуют) еще две такие точ¬
ки, что все четыре не лежат в
одной плоскости.
Доказательство. Пусть даны две
точки Я и В. Проведем через них какую-ни- Рис. 3.1
будь плоскость айв ней возьмем точку С, не
лежащую с Л и В на одной прямой (рис. 3.1). По аксиоме 4 о разбие¬
нии пространства плоскостью существуют точки, не лежащие на
плоскости а. Возьмем какую-нибудь такую точку D. Четыре точки
А, В, С, D не лежат в одной плоскости. Действительно, в плоскости
а они He лежат по выбору точки D. Ни в какой другой плоскости
они тоже не лежат, так как через три точки А, В, С, не лежащие
на одной прямой, согласно теореме 2.3, проходит единственная
плоскость — это и есть плоскость а. Поэтому точки Л, В, C,'D
ни в какой другой плоскости не лежат. |
Выбирая, например, разные точки С, можно получить сколь
угодно много разных четверок точек, не лежащих в одной плоскости.
Замечание. Доказанная теорема совершенно очевидна.
Каждые четыре точки Л, В, С, D, не лежащие в одной плоскости,
представляют вершины тетраэдра (треугольной пирамиды) (рис. 3.2).
Но наша задача состоит в том, чтобы все вывести из аксиом. По ак¬
сиоме плоскости в пространстве существует хотя бы одна плоскость.
Но все точки могли бы лежать в одной плоскости. Наша теорема 3.1
устанавливает, что это Исключается благодаря аксиоме 4 о разбие¬
нии пространства плоскостью: без нее, из одних аксиом 1—3,-тео¬
рема 3.1 никак не следует.
Выведем из теоремы 3.1 некоторые следствия.
Следствие 1. Через каждую прямую в пространстве
проходит (можно провести) бесконечно много плос¬
костей.
Доказательство. Пусть дана прямая а. Возьмем на
ней две точки Л, В и, ссылаясь на теорему 3.1, присоединим к ним
Рис. 3.2
Ict
Рис. 3.3
21
еще две точки ChD так, чтобы все четыре не лежали в одной пло¬
скости. Через три точки В, С, D проводим плоскость. В этой пло¬
скости через точку В можно провести сколько угодно прямых
(рис. 3.3).
Через каждую такую прямую b и точку А можно провести пло¬
скость (согласно теореме 2.4). Такая плоскость 0 содержит точки
Л и В, а значит и прямую а (по теореме 2.2). Таким образом, через
прямую а проходит бесконечно много плоскостей, так как через раз¬
ные прямые b проходят разные плоскости (по теореме 2.5). |
3.2. Скрещивающиеся прямые
Следующее утверждение также является следствием теоремы
3.1.
Следствие 2. В пространстве существуют пары
прямых, не лежащих в одной плоскости.
Доказательство. Возьмем четыре точки А, В, С, Dt
не лежащие в одной плоскости. Тогда и прямые АВ, CD не лежат
в одной плоскости (так же, как не лежат в одной плоскости прямые
BD, AC и ВС, AD (рис. 3.2)). Ц
Определение. Две прямые, не лежащие в одной плоско¬
сти, называются скрещивающимися.
Скрещивающиеся прямые не рересекаются, потому
что если две прямые пересекаются, то, согласно теореме 2.5,
они лежат в одной плоскости. Существование скрещивающихся
прямых вытекает из следствия 2.
Примеры скрещивающихся прямых можно видеть на линиях пе¬
ресечения стен, пола и потолка (например, линии а и Ь на рис. 3.4),
в железнодорожных и шоссейных развязках, идущих на разных
уровнях, и на других линиях, изображенных на рисунке 3.5.
К следствию 2 о существовании скрещивающихся прямых мож¬
но добавить еще следствие.
22
а
D
Следствие 3. Для каждой прямой существуют скре¬
щивающиеся с ней прямые.
Доказательство. Пусть дана прямая а. Возьмем на
ней две точки Л и В и Присоединим к ним точки ChD так, чтобы все
четыре точки не лежали в одной плоскости. Тогда прямая CD скре¬
щивается с прямой а (рис. 3.2). |
Доказывая и следствие 2, и следствие 3, мы фактически пользо¬
вались следующим признаком скрещивающихся прямых:
Если две прямые содержат четыре точки, не лежа¬
щие в одной плоскости, то они скрещиваются.
Из него легко вытекает второй признак скрещивающихся пря¬
мых:
Прямая, пересекающая плоскость, скрещивается с
каждой прямой, которая лежит в этой плоскости, и
не проходит через точку пересечения заданных прямой
и плоскости.
Действительно, пусть прямая а пересекает плоскость а в точке А
и прямая b лежит в плоскости а и не проходит через точку А
(рис. 3.6). Возьмем на прямой b любые две точки В и С, а на прямой а
любую точку D, отличную от Л. Четыре точки Л, В, С, D не лежат
в одной плоскости, а потому ^прямые а и b скрещиваются.
Замечание. Если в пространстве заданы прямая а и не
лежащая на ней точка Л, то среди прямых, проходящих через точ¬
ку Л, прямых, скрещивающихся с а, в некотором смысле «бесконеч¬
но больше», чем лежащих с нею в одной плоскости. Действи¬
тельно, проведем через прямую а две плоскости: плоскость а,
в которой лежит точка Л, и плоскость 0, а которой точка Л не
лежит (рис. 3.7). Тогда каждая прямая ЛХ* проходящая через точку
Л и какую-нибудь точку X на плоскости 0, не лежащую на прямой а,
скрещивается с прямой а (по второму признаку). Таких прямых AX9
стало быть, бесконечно больше, чем прямых, пересекающих прямую
а, в том же смысле, в каком точек на плоскости бесконечно больше,
чем на прямой. Заметим еще, что прямые AX — это не все пря¬
мые, скрещивающиеся с а: есть еще прямые, не пересекающие
плоскость 0.
23
Если прямую AX или, вернее, исходящий из точки А луч пред¬
ставлять как'траекторию пули,’вылетающей из точки А, то можно
сказать, что проведение прямой, пересекающей данную прямую
а,— это попадание в мишень-прямую, а проведение скрещиваю¬
щейся прямой — это попадание в стену (плоскость 0), мимо такой
мишени-прямой. Стрелять мимо мишени проще, чем попасть в нее.
3.3. Параллельные прямые
Если две прямые лежат в одной плоскости, то они либо пере¬
секаются, либо не имеют общих точек. .В последнем случае дается,
как и-в планиметрии, следующее определение.
On ределение. Две прямые, лежащие в одной плоскости и
не имеющие общих точек, -называются параллельными-.
Параллельность прямых а и b обозначается, как и в планимет¬
рии: а H &.
Итак, для взаимного расположения двух прямых есть три воз¬
можности:
1. Две прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точ¬
ку — пересекающиеся прямые.
2. Две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общих
точек — параллельные прямые.
3. Две прямые не лежат в одной плоскости — скрещивающиеся
прямые.
Все три случая можно видеть на примере прямых, по которым
встречаются стены, пол и потолок комнаты, или на ребрах куба.
Сколько здесь у каждой прямой пересекающих ее прямых, парал¬
лельных ей и скрещивающихся с ней? Сколько пар прямых каж-7
дого вида?
Для параллельных прямых в пространстве так же, как на пло¬
скости,* выполняется следующее утверждение.
Теорема 3.2. Через каждую точку, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, параллельная данной
и притом только одна.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадле¬
жащая ей точка А. По теореме 2.4 через них проходит плоскость;
обозначим ее а (рис. 3.8). В этой плоскости а, согласно известным
выводам планиметрии, существует проходящая чёрез точку А
прямая 6, параллельная а.
Другой прямой, проходящей через точку А параллельно пря¬
мой а, нет. Действительно, прямая, проходящая через точку А
параллельно а, по определению параллель¬
ности, лежит с а в одной плоскости. Это и
есть плоскость а, так как по теореме 2.4
другой плоскости, содержащей точку А и
прямую а, быть не может.
В плоскости, а по аксиоме параллель,
ности есть только одна прямая, проходя.
24
щая через точку А параллельно прямой а. Следовательно, другой
такой прямой, отличной от Ь, нет.
Замечание. Теперь к трем способам задания плоскости,
полученным в теоремах 2.3—2.5, мы можем добавить еще один:
плоскость определяется двумя параллельными пря¬
мыми, лежащими в этой плоскости. Таким образом, плос¬
кость определяют две пересекающиеся прямые и две
параллельные прямые, а две скрещивающиеся прямые
не определяют плоскости.
ЗАДАЧИ К § 3
1. Можно ли провести плоскость через: а) окружность; б) па¬
раболу; в) ломаную линию? Если можно, то сколько?
2. Дана треугольная призма ABCAiBiCt. (В треугольной приз¬
ме две противоположные грани являются равными треугольниками,
а остальные три — параллелограммы.) Какими по форме будут
получаться сечения призмы, если они проходят через: а) прямую 5С;
б) прямую CCi?
3. PABC — тетраэдр. KL — средняя линия треугольника АВС.
Через (KL) проводятся разные плоскости. Какими по форме будут
получаться сечения тетраэдра?
4. ABCDA1BiCiDi- параллелепипед. (У него шесть граней,
и все они параллелограммы.) Точка К — середина ребра BiCif а
точка L — середина ребра CiD1. Через прямую KL проводятся
разные плоскости. Какими по форме будут получаться сечения па¬
раллелепипеда?
5. ЛхЛ2л. AnBiB2 . . . Bn— правильная дьугольная призма.
(У нее в основаниях два равных правильных многоугольника
Л1Л2 . . Лп и BiB2 .Bnf а остальные грани — прямоугольни¬
ки.) Через сторону основания проводятся разные плоскости. Ка¬
кими по форме будут Получаться сечения призмы? (Взять п=3, 4, 5,
6 и общий случай.)
6. Точка Л не лежит на прямой а. Через точку Л проводятся
всевозможные прямые, скрещивающиеся с прямой а. Заполняют
ли они все пространство? Если нет, то какое множество точек они
заполняют?
7. Прямая с пересекает две прямые а и Ь. Верно ли, что все
три прямые лежат в одной плоскости?
8. Две прямые пересекают третью. Как они расположены между
собой?
9. Две прямые параллельны. Как расположена третья прямая
по отношению к одной из них, если она: а) пересекает другую;
б) скрещивается с другой?
10. Две прямые а и b пересекаются. Третья прямая: а) парал¬
лельна прямой а; б) пересекается с прямой а; в) скрещивается о
прямой а.
Как она расположена по отношению к прямой Ь?
25
11. Две прямые а и b скрещиваются*
Третья прямая: а) параллельная прямой а>
б) пересекается с прямой а; в) скрещивает*
ся с прямой а.. Как она расположена по
отношению к прямой Ь?
12. Даны четыре точки: А, В, С, D. Про¬
верьте равносильность двух утверждений:
а) прямые AB и CD скрещиваются; б) пря¬
мые AC и BD скрещиваются. (Эту равно¬
сильность можно считать признаком скре-
Рис. 3.9 щивающихся прямых.)
13. Точки А, В, С, D не лежат в одной
плоскости. Сколько пар скрещивающихся
прямых можно провести через эти точки?
14. Плоскости аир пересекаются по прямой р. Точка А лежит
в плоскости а вне прямой р. Точка В лежит в плоскости P вне пря¬
мой р. Как расположены прямые AB и р?
15. Точка А лежит в плоскости а, точка В лежит в плоскости а,
точка C не лежит в плоскости а. Прямая а пересекает прямые AC
и ВС. Пересекает ли прямая а прямую АВ? Пересекаются ли пря¬
мая а и плоскость а? Если пересекаются, то нарисуйте точку их
пересечения.
16. РА, PB, PC (рис. 3.9) — три луча, не лежащие в одной
плоскости. Туго натянутая нить идет через точки 1, 2, 3, 4, 5, 1.
Есть ли у нее точки самопересечения? Сколько?
17. Дан правильный тетраэдр PABC. Точка К — середина ребра
РА, точка L —середина ребра PB, точка Л4 — середина ребра PC.
Можно ли провести плоскость через точки: а) А, P, К, L-, б) С, К,
L, М?
18. PABC — тетраэдр. Точка К — середина ребра РА; точка
L — середина ребра АВ; точка M — середина ребра ВС; точка N —
середина ребра PC; точка О лежит на ребре PB. Как располо¬
жены прямые : а) AP и ВС; б) KL и МО; в) KL и ВС; г) KN и LO;
д) АО и KL; е) KM и СО; ж) NO и LC; з) MO и BK?
19. Дан тетраэдр PABC. Как расположены прямые: а) PX и
CY, если точки X и У лежат на прямой АВ; б) PX и BZ, если точка
Z лежит на прямой АС; в) CX и AK, если точка К лежит на пря¬
мой PB?
20. Дан тетраэдр PABC. Нарисуйте прямую: а) проходящую
через точку А, скрещивающуюся с прямой PB и пересекающую ребро
тетраэдра внутри него; б) проходящую через точку А, скрещивающу¬
юся с прямой PB и параллельную хотя бы одному ребру тетраэдра;
в) проходящую через точку А и скрещивающуюся с прямыми, про¬
ходящими через три ребра тетраэдра; г) скрещивающуюся со все¬
ми прямыми, проходящими через ребра тетраэдра.
21. ABCDAiBiCiDi— куб. Точка Ki— середина ребра Д1В,,
точка K2— середина ребра B1Ci, точка K3— середина ребра BB1,
точка Ki— середина ребра CCi, точка K6— середина ребра DD1,
26
точка Ke— середина ребра ABt точка K7— середина ребра AD.
Как расположены прямые: а) KiKa и*КзК<; б) KiKa и в) KiKi
и K2K4; г) K3K4 и K2K7; д) KiK5 и K4Ke; е) B1D и K2K7?
22. A BCDA1B1C1D1— параллелепипед. Как расположены пря¬
мые: а) DC1 и AXt где X — переменная точка ломаной BB1Alt
б) DC1 и A1Yt где Y — переменная точка прямой CDlt в) /Ж и ALt
где К — переменная точка прямой BBlt а L — переменная точка
прямой CCi?
23. ABCDA1B1C1D1— параллелепипед. Нарисуйте прямую:
а) проходящую через точку At скрещивающуюся с прямой BC и
пересекающую ребро; б) проходящую через точку At скрещиваю¬
щуюся с прямой BC и параллельную ребру; в) проходящую через А
и скрещивающуюся с прямыми, проходящими через детальные реб¬
ра; г) скрещивающуюся со всеми прямыми, проходящими через реб¬
ра.
24. ABCDA1B1C1D1— параллелепипед. Через точку К —
центр симметрии грани A1B1C1D1 и переменную точку X прямой
BD проводится прямая. Как она расположена по отношению к пря¬
мой (AD1)?
25. Две прямые лежат в плоскости. Дана еще некоторая точка,
про которую надо узнать, лежит ли она в этой плоскости. Можно
задавать вопросы, не употребляя слова «плоскость». За сколько
вопросов вы сможете это сделать?
§ 4. РАССТОЯНИЕ. КОНГРУЭНТНОСТЬ. ПОДОБИЕ
4.1. Конгруэнтность и подобие
Первая из принятых нами аксиом говорит, что любым двум
точкам А и В в пространстве соответствует определенная величи¬
на — расстояние | ЛВ| между ними. В выводах § 2 и 3 мы этим не
воспользовались, но дальше расстояние будет играть важную роль.
Через него определяется равенство (конгруэнтность) и подобие
фигур в пространстве так же, как на плоскости.
Определение. Фигура F1 называется равной (конгруэнт¬
ной) фигуре Ft если существует отображение F на Flt сохраняющее
расстояния. При этом говорится, что отображение фигуры F на Ft
сохраняет расстояния, если она каждым двум точкам Xt Y фигуры
F сопоставляет точки Xf, Y1 фигуры F1 с тем же расстоянием:
IX1K1I = Ixri.
Для равенства (конгруэнтности) фигур F и F1 применяется
обозначение: F1^F.
Говорят, что фигура F1 подобна фигуре Ft если существует отоб¬
ражение фигуры F на Flt при котором все расстояния между точ¬
ками изменяются в одном и том же отношении, т. е. если существует
такое число Л>0, что для любых двух точек X, Y фигуры F и соот¬
ветствующих им точек XltY1 фигуры F1 имеет место равенство
IX1Y1^klXYi.
27
Очевидно, если k= 1, то F и Fi равны (конгруэнтны), т. е. ра¬
венство (конгруэнтность) есть частный случай подобия.
В стереометрии приходится сравнивать фигуры, лежащие в
разных плоскостях. Но по большей части нет надобности устраи¬
вать отображение одной фигуры на другую — это сложно. Проще-
сравнивать некоторые, нужные в данной задаче расстояния или
длины отрезков и величины углов (как, кстати, и делают на прак¬
тике, когда проверяют соответствие предмета стандарту). При этом
будем кратко говорить о равных отрезках или углах, подразумевая
их величины. Например, «если у двух треугольников стороны рав¬
ны, то и углы равны», так как углы, т. ё. величины углов, выража¬
ются (по теореме косинусов) через длины сторон. Это относится
к треугольникам как на одной, так и на разных плоскостях. Точно
так же «если у двух прямоугольных треугольников катеты равны,
то по теореме Пифагора их гипотенузы тоже равны», лежат ли тре¬
угольники на одной или на разных плоскостях.
4.2. Равенство фигур на практике и конгруэнтность
Примеров вокруг нас, иллюстрирующих понятие «конгруэнт¬
ные фигуры», более чем достаточно, только эти реальные предметы
мы называем не конгруэнтными, а одинаковыми или .реже равнйми.
Одинаковые столы и стулья в классе, одинаковые кирпичи, из-ко¬
торых сложены здания, и сами здания могут быть одинаковыми,
если построены по одинаковым проектам. Множество одинаковых
деталей и целых зданий изготовляется на станках или сходит с кон¬
вейеров; вся современная промышленность с ее массовым производ¬
ством основана на изготовлении больших серий одинаковых пред¬
метов: штамповка, конвейерная сборка, серийное строительство
зданий, огромные тиражи одинаковых^ книг, газет, журналов и
т. п. И очень важно, чтобы в каждой такой серии предметы были бы
равными, одинаковыми. Представьте себе, как могли бы работать
строители, у которых все кирпичи были бы различными, или что
произошло бы, если бы в автомашинах или станках мы не смогли
бы заменить испорченную деталь такой же, равной ей деталью.
Можно условно сказать, что замена в конструкции какой-нибудь
детали другой такой же деталью и есть отображение, устанавливаю¬
щее их конгруэнтность (в младших классах, поясняя понятие кон¬
груэнтных фигур, говорили о том, что их «можно наложить друг
на друга»).
В каждом государстве и во всем мире сейчас имеются специаль¬
ные службы стандартизации, которые, в частности, устанавливают
нормы‘и требования, предъявляемые к геометрическим размерам
изделий, выпускаемых промышленностью.
Проверяя, равны ли друг другу реальные предметы (например,
какие-нибудь детали), их сравнивают со стандартом, измеряя у
этих предметов лишь несколько основных размеров. Так и о ра¬
28
венстве (конгруэнтности) двух геометрических фигур определенной
формы тоже можно судить, зная, что у них равны расстояния лишь
для некоторого конечного множества пар соответствующих точек.
Например, для двух треугольников достаточно проверить равен¬
ство длин их соответствующих сторон.
В жизни и на производстве говорят об одинаковых или равных
предметах, слово «конгруэнтно» там неизвестно. В геометрии из¬
древле тоже говорили о равных фигурах (не считая некоторых спе¬
циальных сочинений). Поэтому мы обычно тоже будем говорить
о равных фигурах, понимая под этим, что они конгруэнтны. В ге¬
ометрии очень часто одно и то же понятие выражают разными сло¬
вами, как, например, «точка принадлежит прямой», «точка лежит
на прямой», «прямая проходит через точку». В том же духе мы будем
говорить, например, «отрезок AB равен отрезку СО», «треугольни¬
ки равны» и т. п.
4.3. Основные свойства расстояний
Основные свойства расстояний в пространстве те же, что на
плоскости — в планиметрии, как показывает следующая теорема.
Теорема 4.1. В пространстве, так же как на плос¬
кости, 1) расстояние между двумя топками положи¬
тельно; 2) для каждых трех точек А, В, C выполняется
неравенство | ЛВ|4-|ЯС|^| Л€|.
Д ок азательство. Через каждые две или три точки
проходит плоскость (по аксиоме 2), а на плоскости выполняется
планиметрия. Поэтому для этих точек верно то же, что в планимет¬
рии, т. е., в частности, имеют место основные свойства расстояния,
указанные в теореме. Ц
Так же как в планиметрии, о расстоянии между точками А
и В говорят: «расстояние от Л до В» или «от В до Л». По понятию
о расстоянии это одно и то же: как уже было сказано при форму¬
лировке аксиомы расстояния (аксиомы 1), расстояние соответствует
двум точкам Л, В, так что их порядок не играет роли, и в обозна¬
чениях | ЛSl — то же, что | ВЛ|, т. е. | ЛВ|=|ВЛ |.
В планиметрии было принято, что расстояние от точки до нее
самой, или, другими .словами, расстояние между совпадающими
точками, равно нулю: |ЛЛ[=О. Это условие принимается и в сте¬
реометрии. Приняв его, мы можем формулировать теорему 4.1 не¬
сколько иначе.
В пространстве, так же как и на плоскости:
1) для любых точек А, В расстояние | ЛВ|> 0, если
Л#= В, и |ЛВ| = О, если A = B;
2) для любых точек А, В, C
|ЛВЦ-|ВС|^|ЛС|. (4.1)
29
ЗАДАЧИ К §4
1. В пространстве даны три точки и Известны расстояния между
ними. Как проверить, лежат ли они на одной прямой?
2. Если | XBI = I, | ВС\=2 и |СО|=3, то может ли | AD] рав¬
няться: а) 7; б) 6; в) 5? В каком из этих случаев все данные точки
необходимо лежат на одной прямой? В одной плоскости?
3. Пусть | АВ| = 1. Укажите, какой фигурой является множество
точек X пространства таких, что: а) | ХЛ| = IXBI =0,5; б) IXXI =
= IXBI = I; в) |ХХ| = |ХВ|=^>0‘; г) IXXI=2, IXBI = I; Для всех
ли случаев вы уже можете дать подробные доказательства?
4. | XBI=I BCI=I XCI =1. Какой фигурой является множество
точек пространства, таких, что: а) IXXI = IXBI = IXCI =0,5;
б) |ХХ| = 1, |ХВ|=2, |ХС|=3?
5. Пусть |ХВ| = |ВС|=|ХС| = 1, |ХХ|=|УВ| = |гС|=2 и IXBI =
= IyCI = IZXI = I. Докажите, что плоскости XBC и XYZ совпадают,
и определите вид треугольника XYZ.
6. В пространстве даны три точки, не лежащие'на одной пря¬
мой. Расстояния между ними известны. Как узнать, какой по виду
треугольник образован этими точками: остроугольный, прямоуголь¬
ный или тупоугольный?
7. Докажите, что для любой точки X найдется такая точка В,
что: а) |ХВ| = 1 ;*б) |ХВ|<1; в) |ХВ|>1. Сколько точек, удовлетворя¬
ющих поставленному условию, существует? Представьте себе и на¬
рисуйте фигуру, состоящую из всех таких точек.
8. PABC — правильный тетраэдр с ребром 1. Точка Q — центр
его основания, точка X — центр грани PAC9 точка L — центр
грайи PBC9 точка M — середина ребра PB9 точка N — середина
ребра ВС. Вычислите расстояния: а) |Р(?|; б) IQM); в) IQXI; г) |ХС|;
д) 1ХС|; е) |МХ|.
9. В призме XBCX1B1C1 все боковые грани — квадраты со сто¬
роной 1. В ней проведены два сечения плоскостями XB1C и CX1B.
Вычислите длину их общего отрезка.
10. Стороны правильного треугольника лежат на поверхности
куба. Как они расположены, если треугольник имеет наибольшую
площадь?
11. Ребра правильного тетраэдра лежат на поверхности куба.
Как они расположены, если этот тетраэдр имеет ребра наибольшей
длины?
12. На плоскости а лежит равносторонний треугольник ABC9
сторона которого равна 1. Точка X удалена от точек X и В на рас¬
стояние d. Можете ли вы найти расстояние XC?
13. Квадрат ABCD со стороной 1 вращается вокруг стороны
XB. Укажите самый длинный отрезок, соединяющий точки началь¬
ного и переменного квадрата. Какие значения принимает его
длина? Может ли она равняться 3?
14. Дан равносторонний треугольник со стороной 1. Плоскость
имеет с ним общую точку. Вычислите граничные (наибольшее и
30
наименьшее) значения длины их общего отрезка, если эта точка:
а) вершина треугольника; б) середина стороны треугольника;
в) центр треугольника.
15. Попытайтесь вычислить наибольшее расстояние между дву¬
мя точками: а) правильного тетраэдра с ребром 1; б) правильной
треугольной пирамиды со стороной основания 1 и боковым ребром 2;
в) правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 2
и боковым ребром 3; г) правильной треугольной призмы со стороной
основания 1 и боковым ребром d; д) куба с ребром 1; е) прямоуголь¬
ного параллелепипеда с ребрами 1, 2, 3. Во всех ли случаях вы
можете полностью обосновать полученный результат?
(В правильной пирамиде в основании правильный многоуголь¬
ник, а боковые ребра равны.)
§ 5. СУЩЕСТВОВАНИЕ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ. ПОСТРОЕНИЯ
5.1. Существование и единственнмость
Теорема 2.1 о прямой, проходящей через две точки, сос¬
тоит из двух частей — из двух теорем, которые можно формулиро¬
вать так:
1) для каждых двух точек существует содержа¬
щая их прямая;
2) такая прямая только одна.
Первая часть — это утверждение существования, вторая —
утверждение единственности.
Точно так же теорема 2.3 о задании плоскости тремя точками
состоит из утверждений существования и единственности:
1) для каждых трех точек, не лежащих на одной
прямой, существует содержащая их плоскость;
2) такая плоскость только одна.
Для того чтобы разделить эти два утверждения еще более
четко, \заменим первое из них аксиомой плоскости и сформули¬
руем их в таком виде:
Утверждение существования. Для каждых трех
точек существует содержащая их плоскость.
Утверждение единственности. Для каждых трех
точек, не лежащих на одной прямой, существует не
более одной содержащей их плоскости.
В первом утверждении нет условия, что точки не лежат на одной
прямой. Оно здесь не нужно. Если точки лежат на прямой, то через
них тоже проходит плоскость. Только она уже не будет единст¬
венной.
Такие утверждения, взятые по отдельности, называют теоре¬
мами (или аксиомами) существования и единственности.
Разделите так же теоремы 2.4, 2.5 и 3.2 на теоремы существо¬
вания и единственности.
31
Хотя существование и единственность постоянно связывают
вместе, как в теоремах 2.3—2.5, но на самом деле они не только
резко различаются, но и не зависят друг от друга. Существование
предмета не подразумевает его единственности. Если вы говорите,,
что у вас карандаш, то никак не подразумевается, что он только один:
их может быть несколько. Например, если заданы прямая а и точ¬
ка At лежащие вне этой прямой, то, как доказано в п. 3.2, существу¬
ет прямая Ь, проходящая через А и скрещивающаяся с а, но эта
прямая b не единственная — таких прямых бесконечное множество.
C другой стороны, утверждение единственности означает, что
не может существовать двух предметов, или, как обычно говорят,
существует не более одного предмета; так что если предмет сущест¬
вует, то он только один, но это не исключает, что его нет вовсе.
Так, через три точки проходит не более одной окружности. Но может
не проходить ни одной; так будет, если точки лежат на. одной
прямой.
Теоремы существования и единственности составляют важную
часть разных разделов математики, не только геометрии, но и ал¬
гебры, анализа и других областей математики.
Классический пример утверждений существования и един¬
ственности из планиметрии: через точку, не лежащую на
данной прямой, проходит прямая, ей параллельная, и
притом только одна. Существование параллельной прямой
доказывается: имеет место теорема существования параллельной
прямой. Единственность же составляет содержание аксиомы о
параллельных.
5.2. Построения в пространстве как теоремы
существования и единственности
Теорема 2.1 о прямой, проходящей через две точки, допускает
две формулировки, указанные в замечании 2 к этой теореме. В одной
говорится о существовании такой прямой, в другой — о возможности
ее провести. Первую формулировку мы разделили на две части:
утверждения существования и единственности. Соответственно мож¬
но разделить вторую формулировку.
1) Через каждые две точки можно провести прямую;
2) гЯакая прямая только одна, так что, каким спо¬
собом ее ни проводить, результат будет один и тот же.
Первое утверждение говорит о возможности провести или по¬
строить прямую, второе — о том, что эта прямая одна, так что по¬
строение осуществляется однозначно.
Таким образом, утверждения существования и единственности
можно также понимать как утверждения о возможности постро¬
ения и об однозначной определенности его результата. Так можно
толковать и три теоремы о задании плоскости, как говорящие о
возможности построить плоскость и об определенности результата
32
такого построения. Однако тут есть особенности в сравнении с по¬
строениями планиметрии.
Когда в планиметрии говорят: «построим отрезок* или «по¬
строим окружность», до мы представляем себе, что отрезок и окруж¬
ность можно начертить на самом деле. Геометрические построения
на плоскости — это построения, которые можно реально осущест¬
вить, скажем, на бумаге. Но инструмента для проведения плоско¬
сти в пространстве нет, поэтому мы только воображаем, что пло¬
скость может быть как-то проведена, а на ней могут осуществляться
нужные построения. Поэтому такие построений называются вообра¬
жаемыми. Для них принимаются следующие условия.
1) Можно задавать любые точки в пространстве, в частности
принадлежащие любой построенной фигуре или не принадлежа¬
щие ей.
2) Если даны две точки, то через них можно провести прямую
(в согласии с теоремой 2.1), иначе говоря, проходящая через них
прямая может считаться построенной.
3) Если даны три точки, не лежащие на одной прямой, то можно
считать построенной проходящую через них плоскость (согласно
теореме 2.3), и точно так же можно провести плоскость через пря¬
мую и точку и две пересекающиеся прямые. Мы как бы предпола¬
гаем существование инструментов для проведения плоскостей и
прямых в пространстве.
4) На каждой плоскости можно проводить любые построения
планиметрии и на разных плоскостях можно откладывать равные
отрезки и описывать окружности равных радиусов (поскольку на
плоскостях выполняется планиметрия и расстояния определены
одинаково на них всех).
5) Если построены две фигуры, то считается построенным их
пересечение (как, например, прямая в пересечении двух плоско¬
стей).
Воображаемые построения равносильны доказательствам тео¬
рем существования: указав построение фигуры, мы тем самым до¬
казываем ее существование. В воображаемых построениях мы
пользуемся пространственными представлениями, и это помогает
получить наглядные доказательства.
Проведенные уже нами доказательства теорем 2.3—2.5, а также
доказательства теорем и их следствий в §3 являются примерами
воображаемых построений в пространстве. Приведем еще один
пример, решив следующую задачу на построение.
Задача. Через данную точку пространства провести прямую,
пересекающую данную прямую и перпендикулярную этой прямой.
(Так как пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости,
то их перпендикулярность понимается так же, как в планиметрии.)
Решение. Пусть в пространстве заданы точка А и прямая
а. Возможны два-случая.
Случай 1. Точка А не лежит на прямой а (рис. 5.1).
Проведем (по теореме 2.4) через точку А и прямую а плоскость сс.
2 к 7В|4
33
По известной теореме планиметрии в плос¬
кости а через точку А можно провести
единственную прямую Ь, перпендикуляр->
ную прямой а. Итак, мы построили искомую
прямую Ь: она проходит через At пересекает
а и перпендикулярна а.
В рассматриваемом случае решение
Рис. 5.1
единственно: прямая, удовлетворяющая
условию задачи, лежит в единственной’
плоскости а, проходящей через А и а, и
потому совпадает с прямой Ь, так как в
плоскости можно через данную точку про¬
вести лишь одну прямую, перпендикуляр¬
ную данной прямой.
Случай 2. Точка А лежит на пря¬
мой а.
Тогда, согласно следствию 1 теоремы
3.1, через прямую .а проходит бесконечно
много плоскостей. В каждой из них через
точку А можно провести прямую, перпенди¬
кулярную прямой а (рис. 5.2). Итак, во
втором случае задача имеет бесконечное
множество решений. Ц
п. 7.3 будет доказано, что все эти прямые
Замечание. В
лежат в одной плоскости и заполняют ее.
5.3. Построения на чертежах пространственных фигур
и реальные построения в пространстве
Кроме задач на воображаемые построения, в стереометрии воз¬
можны еще два вида задач. Во-первых, задачи на рисунке или на
чертеже. Таковы задачи на сечения многогранников или других
тел. Мы не строим на с^мом деле само сечение, а только изображаем
его на рисунке или чертеже, который уже у нас есть. Такие построе¬
ния осуществляются как планиметрические с учетом аксиом и тео¬
рем стереометрии и правил изображений. Задачи такого типа по¬
стоянно решают в черчении и в конструкторской практике. Во-
вторых, задачи на построение на поверхностях тел. Задача — «по¬
строить точки на поверхности куба, удаленные от данной вершины
на данное расстояние» — решается с помощью циркуля (как?).
Задача — «построить точки на поверхности шара, удаленные от
данной точки на данное расстояние» — также решается с помощью
циркуля (как?). Задачи такого типа постоянно решает разметчик
на заводе, разумеется, с точностью, которой позволяют добиться
его инструменты.
34
ЗАДАЧИ К § 5
1. Постройте прямую, которая пересекает данную прямую.
2. Постройте прямую, которая не имеет с данной прямой об¬
щих точек.
3. Постройте прямую, пересекающую две скрещивающиеся пря¬
мые.
4. Постройте прямую, которая пересекает данную плоскость.
5. Постройте плоскость, которая пересекает данною плоскость.
6. Постройте плоскость, разделяющую: а) две данные точки;
б) отрезок* и точку, не лежащую на нем; в) два отрезка, не имею¬
щих общих точек.
7. Дано п точек, никакие четыре из которых не лежат в одной
плоскости. Постройте такую плоскость, чтобы в каждом полупро¬
странстве, определяемом этой плоскостью, находилось одинаковое
число точек. Решите эту задачу для: а) пяти'точек; б) шести точек;
в) в общем случае.
8. Точка А лежит в плоскости а. Постройте треугольник с вер¬
шиной в точке А: а) площадь которого делится плоскостью а попо¬
лам; б) периметр которого делится плоскостью а пополам.
9. Даны три круга. Постройте плоскость, которая разбивает
каждый из них пополам.
10. Постройте точку, которая не лежит в объединении: а) пря¬
мой и плоскости; б) двух плоскостей.
11. Постройте прямую, которая не проходит через данную
точку.
12. Постройте плоскость, которая не проходит через данную
точку.
13. Даны две точки. Постройте прямую, которая: а) проходит
только через одну из них; б) не проходит ни через одну из них.
14. Даны две точки. Постройте плоскость, которая; а) проходит
только через одну из них; б) не проходит ни через одну из них.
15. PABC—правильный тетраэдр. Нарисуйтеи а) прямую,
проходящую через точку P перпендикулярно прямой АС\ б) пря¬
мую, проходящую через точку C перпендикулярно прямой РВ\
в) прямую, проходящую через точку К — середину отрезка BC —
перпендикулярно прямой ВС.
16. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Нари¬
суйте прямую, проходящую: а) через точку P перпендикулярно
(Л С); б) через точку P перпендикулярно (BD)I в) через точку А
перпендикулярно (PD); г) через точку C перпендикулярно (РВ)\
д) через точку А перпендикулярно (PC); е) через точку В перпен¬
дикулярно (PD); ж) через точку Q — центр основания ABCD —
пер пен ди ку л яр но (P Q).
17. ABCDA1B1C1D1- куб. Нарисуйте прямую, проходящую:
а) через точку C перпендикулярно (CjD); б) через точку Ci перпен¬
дикулярно (BD); в) через точку B1 перпендикулярно (ЛС); г) через
точку В перпендикулярно (АВ).
31
2*
18. Докажите, что прямая^ проходящая через середины двух
противоположных ребер правильного тетраэдра, перпендикулярна
этим ребрам. Верно ли это утверждение для правильной треуголь¬
ной пирамиды?
* § 6. ОБ АКСИОМАХ
6.1. Определение основных понятий
Строго теоретическое изучение какого-либо предмета начина¬
ется с его'определения. Так, например, изучение окружности от¬
крывается ее определением, и на его основе устанавливаются даль¬
нейшие свойства окружности, выражаемые в теоремах. Именно
так мы начали изучение пространства, составляющее предмет
стереометрии: в § 1 было дано определение пространства: простран¬
ство — это множество, в иотором выполняются аксиомы стереомет¬
рии. Элементы этого множества называются точками.
Последняя фраза представляет собой не что иное, как опреде¬
ление точки в стереометрии. Далее можно дать определения и дру¬
гих основных объектов стереометрии.
Расстояниями называются величины, соответствующие каждым
двум точкам пространства так, что при таком соответствии выпол¬
няются аксиомы стереометрии.
Плоскостью в пространстве называется содержащееся в нем
множество, на котором выполнена планиметрия с расстояниями,
заданными в пространстве.
Прямой называется подмножество плоскости, для которого
вместе с другими такими подмножествами выполняются аксиомы
планиметрии.
Пояснение. В обоих случаях — ив стереометрии, и в пла¬
ниметрии — мы определили точку не саму по себе, а совместно с
другими точками, как элемент образуемого ими множества с его
структурой, описанной аксиомами. Такие определения встречаются
постоянно не только в математике. На вопрос: «Кто такой комсо¬
молец?» — можно ответить: член ВЛКСМ, т. ё. элемент множества
комсомольцев, объединенных уставом. Так и точка — это элемент
пространства с «уставам», выраженным в аксиомах.
Точно так же прямая или плоскость — это множество точек,
удовлетворяющее вместе с другими такими множествами перечис¬
ленным аксиомам. Так же как, скажем, класс — это множество
учащихся, входящее определенным образом в структуру школы.
Для всякой «организации» определения возможны только через
взаимные отношения ее элементов и частей —.в частности, для .та¬
кой «организации», как пространство.
Такие определения, когда какие-либо понятия определяются
не по отдельности, а через взаимные отношения, можно называть
соотносительными. На них обратил внимание К. Маркс в «Капита¬
36
ле»,-приводя такой пример: данный человек король лишь постоль¬
ку, поскольку есть люди, являющиеся его подданными. Король и
поданные определяются их взаимным отношением.
6.2. Роль аксиом
Мы видим, что совокупность аксиом, или, как принято гово¬
рить, система аксиом стереометрии, дает определение ее предме¬
та— пространства — и вместе с ним определения основных ее поня-.
тий. То же верно для планиметрии и для всякой математической
теории вообще. Система аксиом теории дает определение ее предмета
и основных понятий. Эти определения называются аксиоматиче¬
скими, чтобы отличить их от обычных определений.
В обычном определении используются только такие понятия,
которые заранее известны. В аксиоматическом же определении фигу¬
рируют такие понятия, которые только и определяются самими
же аксиомами, как, например, прямые — это такие множества, ко¬
торые удовлетворяют соответствующим аксиомам. (Конечно, в ак¬
сиомах фигурируют такие понятия, считающиеся заранее извест¬
ными, как, скажем, понятие множества, или такие понятия, как
кдва», «три», «существует» и др.)
6.3. Условность аксиом
Одному и тому же предмету можно давать разные определения,
беря за исходные разные его свойства; лишь бы они были равно¬
сильны.
Например, вместо обычного определения окружности можно
принять такое: окружность есть множество вершин прямоугольных
треугольников с общей гипотенузой, лежащих в одной плоскости.
Возможно еще много других определений. Выбор того или другого
зависит от того, какое ^определение проще, естественнее или лучше
ведет к дальнейшим выводам.
Совершенно так же в основании стереометрии, в определении
ее предмета, как и всякой другой теории, можно принимать раз¬
ные системы аксиом, лишь бы они были равносильны. Выбор тех
или иных, аксиом диктуется соображениями простоты и наглядно¬
сти, легкостью получения дальнейших выводов и др.
В начале § 2 уже было сказано, что каждая из пяти доказанных
там теорем фигурирует4в качестве аксиом при других изложениях
начал стереометрии.
Возьмем, например, утверждение: через каждые две пересе¬
кающиеся прямые проходит плоскость и притом только одна.
Само по себе это ни теорема, ни аксиома, а просто верное ут¬
верждение стереометрии; оно становится аксиомой или теоремой
в зависимости от сделанного выбора. У нас это теорема, в другом
изложении может быть аксиомой.
37
В общем, выбор аксиом — дело условия: одно и то же утверждение
теории может быть по выбору принято за аксиому, а может высту¬
пать в качестве теоремы, когда приняты другие аксиомы.
Само слово «аксиома» по происхождению греческое и означает
в переводе «достойное признания». В обычной речи аксиомой и на¬
зывают утверждение, достойное признания ввиду его очевидности,
несомненности и т. п. Словом, в обычном понимании аксиома —
это нечто безусловное. Но в математике аксиомы, как мы видим,
условны. Они «достойны признания» не сами по себе, а потому, что
на них строится достойная — содержательная, важная — теория.
При условности аксиом сама стереометрия— совокупность ее
утверждений с их логическими связями — не зависит от каких-
либо условий. Так, достопримечательности города с системой улиц
и сообщений между ними существуют независимо от выбора туриста.
Но турист может выбирать тот или иной исходный пункт, чтобы
пройти по всем достопримечательностям. Так и мы, выбрав исход¬
ный пункт — нашу систему аксиом, отправляемся по логическим
доказательствам, как по улицам, на ознакомление с достоприме¬
чательностями стереометрии. А в ней много примечательного и ин¬
тересного, хотя изучение ее и требует труда... Но ведь мало что
значительное оказывается легко доступным.
Подведем итог.
Аксиома — это утверждение, входящее в систему аксиом, т. е.
в совокупность утверждений, которые образуют определение пред¬
мета теории и ее основных понятий и из которых путем логических
выводов получаются другие утверждения теории — теоремы.
Основными называются понятия теории, которым не дается
предварительных определений, но определения которых даются
самими аксиомами (как даны выше определения точек, расстоя¬
ний и др.).
Всякая теория допускает разные системы аксиом и основных
понятий. При замене одной аксиомы другой первая превращается
в теорему, а заменившее ее утверждение становится из теоремы
аксиомой. Коротко говоря, аксиомы — это то, из чего выводятся
теоремы, а теоремы — то, что выводится из аксиом.
Глава Il
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ И ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ
§ 7. ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ
и плоскости.
7-1. Перпендикулярность прямой и плоскости
Представление о прямых или, вернее, отрезках, перпендикуляр¬
ных плоскости, дают вертикально стоящие телеграфные столбы —
они перпендикулярны плоскости земли; натянутый шнур, на кото¬
ром висит лампа, перпендикулярен потолку; ребро угла комнаты
перпендикулярно полу (рис. 7.1). Любая прямая, проведенная на
полу из угла, перпендикулярна его ребру. По этому свойству и
определяют перпендикулярность прямой и плоскости.
On ределение.. Прямая называется перпендикулярной дан¬
ной плоскости, если она пересекает эту плоскость в какой-то точке
и перпендикулярна ко всякой прямой, лежащей в этой плоскости
и проходящей через ту же точку ,(рис. 7.2).
Говорят также, что плоскость перпендикулярна прямой или что
они взаимно перпендикулярны. О луче или отрезке говорят, что он
перпендикулярен плоскости, если он содержится в прямой, перпен¬
дикулярной этой плоскости.
Для взаимно перпендикулярных прямой и плоскости применяют¬
ся обозначения: или а_1_а.
Однако нужно доказать, что перпендикулярные прямые и пло¬
скости существуют; наглядно это как будто ясно, но требуется
строгое доказательство — из аксиом. Оно основано на следующей
теореме, которая вообще играет основную роль в изучении перпен¬
дикулярности прямых и плоскостей.
Теорема 7.1. (признак перпендикулярности прямой и плос¬
кости). Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся
Рис. 7.1
39
прямым, лежащим в одной плоскости, перпендикулярна
этой плоскости.
Подробнее: если прямая а пересекает плоскость а в точке О
и перпендикулярна двум прямым, проходящим в плоскости а
через точку О, то она перпендикулярна плоскости а, т. е. перпён-
дикулярна ко всем прямым, лежащим в этой плоскости и проходя¬
щим через точку О (рис. 7.2).
Пояснение. Понятно значение этой теоремы: достаточно
установить (или обеспечить) перпендикулярность прямой только
двум прямым в данной плоскости, как она будет перпендикулярна
ко всем пересекающим ее прямым, лежащим в этой плоскости. Так,
ребро угла комнаты перпендикулярно двум линиям, где стены схо-
дятея с полом, и уже тем самым перпендикулярно всякой прямой,
проведенной на полу из угла (рис. 7.1). Или другой пример: ра¬
скройте книгу и поставьте ее на стол (рис. 7.3); корешок книги
перпендикулярен краям обложки, упирающимся в стол, и вместе
с тем он перпендикулярен нижним краям листов книги, и все они
тоже-лежат на столе (если листы срезаны вровень с обложкой).
Устанавливая вертикально мачту, достаточно сделать так, чтобы
она была -перпендикулярна двум прямым, проведенным через ее
основание — на палубе или на земле и т. п. Вертикаль перпендику¬
лярна горизонтальной плоскости.
Задачу — провести плоскость, перпендикулярную прямой, ре¬
шают, например, когда устанавливают горизонтальную платформу
на вертикальной мачте или столбе. К столбу а прикрепляют две
перпендикулярные ему балки b и Ct подп.ерев их раскосами AB и
ACt так что образуются прямоугольные треугольники, как на ри¬
сунке 7.4 (например, треугольник ОАВ)\ для большей прочности
делают еще раскосы A1B и ЛХС, как на рисунке 7.5. Плоскость —
платформа, положенная на такие балки, будет перпендикулярна
столбу, как утверждает теорема 7.1. Мы сейчас докажем ее как раз
с помощью раскосов.
Рис. 7.5
Рис. 7.3
Рис. 7.4
40
7.2. Доказательство признака
перпендикулярности прямой
и плоскости
Пусть прямая а перпендикулярна пря¬
мым Ь и с, проходящим В плоскости а, так
что все три прямые пересекаются в одной
точке О. Нужно доказать, что прямая а
перпендикулярна ко всякой прямой, про¬
ходящей через точку О в плоскости а.
Возьмем любую такую прямую d, отлич¬
ную от b и с (рис. 7.6).
Выберем на прямых Ь и с по точке В и
C так, чтобы отрезок BC пересекал прямую
d в какой-то точке D. На прямой а возь¬
мем две точки А и Л] на равном расстоянии
отО, т. е. |ОЛ| = |ОЛ11 (рис.7.7); они бе¬
рутся, конечно, отличными от О. Проведем
отрезки ABtAC9 A1B9 A1C (получим кар¬
тину, сходную с той, что изображена на
рисунке 7.5: к прямой а «прикреплены»
перпендикулярные прямые Ь и Ct «укреп¬
ленные» раскосами AB9 A1B и AC9. A1C).
В плоскости ABA1 прямая OB явля¬
ется серединным перпендикуляром к .от¬
резку AA1., Поэтому |ЛВ|=|Л1В|. Ана¬
логично |ЛС|=|Л1С|.
Теперь рассмотрим треугольники ABC
и A1BC. У них сторона BC общая, а | ABl =
= |Л,В| и | ЛС|=|Л1С|, так что у этих тре¬
угольников все стороны равны. Вспоми¬
ная, что было сказано в п. 4.1 о фигу¬
рах, лежащих в разных плоскостях, заключаем, что все эле¬
менты этих треугольников (углы, медианы и пр.) соответственно
равны. Отсюда ясно, что отрезки AD и A1D в этих треугольниках
равны: | ADI=| А 1О|.(
Например, заключаем так: у треугольников ABC и A1BC углы
ABC и A1BC равны. Поэтому у треугольников BDA и BDA1 равны
углы и заключающие их стороны: BD — общая, а | BA I=| BA J.
Поэтому равны и третьи стороны: |ЛР|=|Л1О|.
Так как | ADI~|Л^|, то точка D равноудалена от точек А и Ль
Точка О тоже равноудалена от них, поскольку |ЛО|=|Л1О|. По¬
этому прямая OD является серединным перпендикуляром отрезка
AAlt т. е. cLLa.
Итак, мы доказали, что прямая а перпендикулярна’любой пря¬
мой, проходящей в плоскости а через точку О. Следовательно, сог¬
ласно определению перпендикулярности прямой и плоскости,
а_1_а.
41
7.3. Плоскость перпендикуляров
к прямой
Теперь докажем сказанное в конце
п. 5.2 о перпендикулярах к прямой. •
Теорема 7.2. Все прямые, пере¬
секающие данную прямую в одной
точке и перпендикулярные ей, ле¬
жат в одной плоскости. Эта плос¬
кость перпендикулярна данной пря¬
мой.
Доказательство. Представим себе
всевозможные прямые, перпендикулярные
данной прямой а в какой-то ее точке О
(рис. 7.2). Возьмем две из них, и пусть а — проходящая через них
плоскость. По теореме 7.1 а\_а, т. е. всякая прямая, проходящая в
плоскости а через точку О, перпендикулярна прямой а. Докажем,
что других прямых, перпендикулярных прямой а в точке О, нет:
Допустим, есть такая прямая Ь. Проведем через нее и прямую а
плоскость р. Плоскость р пересечет плоскость а по какой-то пря¬
мой с (рис. 7.8). Так как а_[ а, то с_[_а. Но по предположению Ь_[_а.
Поэтому оказывается, что в плоскости р через точку О проходят две
прямые b и Ct перпендикулярные прямой а. По известной теореме
планиметрии это невозможно.
Значит, не существует прямой Ь, проходящей через точку О
перпендикулярно прямой а, но не лежащей в плоскости а. Итак,
все прямые, перпендикулярные прямой а в точке О, лежат в одной
плоскости а и заполняют ее. |
ЗАДАЧИ К § 7
1. Сколько пар взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей
можно насчитать в прямоугольном тетраэдре? (В прямоугольном
тетраэдре в одной из вершин сходятся три прямых угла.)
2. Сколько пар взаимно перпендикулярных прямых и плоско¬
стей можно насчитать: а) в кубе; б) в прямоугольном параллеле¬
пипеде? Попробуйте ответить на эти вопросы без рисунка.
3. Докажите, что каждое ребро прямоугольного параллелепи¬
педа перпендикулярно какой-нибудь диагонали его грани.
4. Прямая AB перпендикулярна прямой AC и прямой BD
(AE) И (BD). Верно ли, что (AB)Jl(ACE).
5. Два равнобедренных треугольника ABC и ADE имеют об¬
щую медиану AK и не лежат в одной плоскости. Докажите, что эта
медиана перпендикулярна плоскости, в которой лежат основания
этих треугольников. ,
6. Два равных круга имеют единственную общую точку At
через которую проходят диаметры AB и. AC этих кругов, не ле¬
жащие на одной прямой. Будет ли прямая пересечения плоскостей,
42
в которых лежат данные круги, перпендикулярна плоскости АВС?
Изменится ли результат, если круги не будут равными?
7. ABCD — параллелограмм. Точка К не лежит в его плоскости.
|ХЛ1=|ХС|, !/CBI=IKDI, точка О — центр симметрии паралле¬
лограмма. Докажите, что (KO)J.(АВС).
8. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны 1.
Вычислите ее высоту.
9. В основании пирамиды прямоугольник со сторонами, равны¬
ми d и Zd. .Боковые ребра этой пирамиды равны 1. Найдите ее высоту.
10. На плоскоЛи а лежит окружность с центром О и радиусом г.
Точка А не лежит в плоскости а и |Л0|=1. На окружности нашлись
две точки, которые удалены от А на 2. Что осталось выяснить, чтобы
проверить прямую АО и -плоскость а на перпендикулярность?
11. PABC—правильный тетраэдр. Точка О — центр его гра¬
ни АВС. Докажите, что (PO) и (ABC) взаимно перпендикулярны.
12. В правильном тетраэдре PABC точка Q— центр грани АВС.
Укажите на рисунке: а) точку X на ребре АС, такую, что (QPX)J.
J-(TIC); б) точку У на ребре АР, такую, что (BYC)J-(PA).
13. PABC — правильный тетраэдр. Точка Q — центр его ос¬
нования АВС. Точка К лежит внутри ребра PB. Нарисуйте его
сечение плоскостью, проходящей через К и перпендикулярной:
а) (ВС); б) (BP); в) (BQ).
14. В правильном тетраэдре PABC найдите точку X на ребре
PC такую, что площадь треугольника ABX: а) наибольшая; б) на¬
именьшая. Вычислите эти площади, если ребро тетраэдра равно 1.
15. Как проверить* перпендикулярность прямой и плоскости,
если измерять можно только расстояния?
16. Какую фигуру заполнят высоты равных треугольников,
опущенные на их общую сторону?
17. PABC—правильный тетраэдр. Нарисуйте плоскость пер¬
пендикуляров: а) проходящих через точку К — середину ребра
BC — к прямой ВС; б) проходящих через точку L — середину ребра
PA — к прямой РА: в) проходящих через точку Q — центр грани
ABC — к прямой PQ: г) проходящих через точку P к прямой PQ.
18. PABCD — правильная пирамида с ребром 1. Нарисуйте
плоскость перпендикуляров: а) к (PQ) в точке Q — центре основа¬
ния пирамиды; б) к (PQ) в точке Р; в) к (CD) в точке К — середине
ребра CD; г) к (ЛС) в точке Q; д) к (PA) в точке Р.
19. ABCD A1B1CjD1- куб. Нарисуйте плоскость перпендикуля¬
ров: а) к (AD) в точке Л; б) к ^1B1) в точке X на ребре Л1В1; в) к
(BD) в точке О — центре нижнего основания.
20. Шест надо установить вертикально. Для этого имеются:
а) три троса равной длины; б) два троса; в) один трос. В каждом
случае попробуйте решить задачу.
21. Три прямоугольных треугольника имеют общуй катет.
Всегда ли их не общие катеты лежат в одной плоскости?
43
§ 8. ПОСТРОЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ ПРЯМОЙ
И ПЛОСКОСТИ
8.1. Существование и единственность плоскости,
перпендикулярной данной прямой
Доказав теорему о плоскости перпендикуляров, мы установили
существование взаимно перпендикулярных прямой и плоскости
и можем решить следующую задачу на построение.
Задача 1. Через данную точку А на данюй прямой а про¬
вести плоскость, перпендикулярную этой прямой.
Решение. Через точку А проводим две прямые, перпендику¬
лярные прямой а, и проводим через них плоскость (рис. 8.1).
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости (теорема 7.1)
построенная плоскость перпендикулярна прямой а. (Построение
так и проводится на практике, как сказано выше в п. 7.1.)
Искомая плоскость — единственная: это плоскость перпенди¬
куляров к заданной прямой в точке А. ||
Решим теперь аналогичную задачу для случая, когда заданная
точка не лежит на данной прямой.
Задача. 2. Через данную точку А, не лежащую на данной
прямой а, провести плоскость, перпендикулярную этой прямой.
Решение. Через точку А проводим прямую'/?, перпендику¬
лярную прямой а и пересекающую эту прямую в некоторой точке В.
Через точку В проводим еще прямую с, перпендикулярную а
(рис. 8.2). Плоскость, проходящая через обе проведенные* прямые,
будет перпендикулярна а по признаку перпендикулярности (теоре¬
ма 7.1).
Снова построенная плоскость — единственная. Действительно,
другой плоскости, проходящей через А перпендикулярно прямой а,
нет. Такая плоскость должна содержать прямую Ь, перпендику¬
лярную а и проходящую через точку В. Но такая прямая только
одна. Значит, плоскость, проходящая через А и перпендикулярная
прямой а, должна содержать точку В. А такая плоскость, как уже
доказано при решении задачи 1, только одна. |
44
Итак, .решив эти задачи на построение и доказав единствен¬
ность их решений, мы доказали следующую важную теорему.
Теорема 8.1. Через каждую точку проходит плос¬
кость, перпендикулярная данной прямой, и притом
только одна.
8.2. Единственность прямой, перпендикулярной данной
плоскости и проходящей через данную точку
О том, как построить прямую, перпендикулярную.данной пло¬
скости и проходящую через данную точку, будет сказано позднее.
А сейчас мы докажем единственность такой прямой.
Теорема 8.2. Через каждую данную точку проходит
не более одной прямой, перпендикулярной данной плос¬
кости.
Доказательство. Допустим, что через точку А прохо¬
дят две прямые а и Ь, перпендикулярные одной плоскости а. Про¬
ведем через них плоскость P (рис. 8.3). ,Эта плоскость P пересекает
плоскость а по некоторой прямой с. Так как а±а и Ь_1_а, то обе
прямые anb перпендикулярны прямой с. Но в одной плоскости через
одну точку А не может проходить два перпендикуляра а и b к
одной прямой с. Значит, две прямые а и Ь, проходящие через -одну
и ту же точку, не могут быть перпендикулярны плоскости а. |
8.3. Прямая, перпендикулярная плоскости
Теор,ема8.3. Через каждую данную точку любой
данной плоскости можно провести прямую, ей перпен¬
дикулярную, и притом только одну.
Эта теорема опять объединяет теоремы существования и един¬
ственности. Единственность доказана в теореме 8.2. Существова¬
ние искомой прямой мы докажем, указав ее построение, т. е. ре¬
шив задачу:
Задача 3. Через данную точку на данной плоскости провести
прямую, перпендикулярную этой плоскости.
41
Решение. Пусть дана плоскость а и на ней точка А. Про¬
ведем в плоскости а через точку А какую-нибудь прямую а. Через
точку А проведем плоскость, перпендикулярную а; обозначим ее
р (рис. 8.4). (Эта плоскость проводится по решению задачи 1 в п. 8.1.)
Плоскость P пересечет плоскость а по некоторой прямой Ь.
Проведем в плоскости р через точку А прямую, перпендикуляр¬
ную Ь. Эта прямая с и будет перпендикулярна плоскости а в точке А.
В самом деле, по построению А так как по построению
саР и Р_]_я, то г_1_а. Итак, прямая с перпендикулярна двум пря¬
Ркс. 8.5
Рис. 8.7
мым а и о, лежащим в плоскости
а. Следовательно, по теореме
7.1 T-La. В
8.4. Восстановление
перпендикуляра на практике
Отрезок иЛи луч, проведен¬
ный перпендикулярно данной
плоскости из какой-либо ее точ¬
ки At называют перпендикуля¬
ром, восставленным к плоскости
в точке А. О его построении
говорят: восставить перпенди¬
куляр к данной плоскости в точ¬
ке А. Построение, описанное в
п. 8.3, можно толковать как ре¬
шение задачи — восставить пер¬
пендикуляр к плоскости в дан¬
ной ее точке. Это построение со¬
ответствует тому, как на самом
деле, например, устанавливают
вертикальную мачту.
На горизонтальной плоскости
а, например на земле, отмечают
точку О — то место, где должна
стать мачта. Через точку О про¬
водят прямую а и на ней отме¬
чают точки А и S на равных рас¬
стояниях от О. Мачту уклады¬
вают одним концом к точке О
перпендикулярно прямой а и
прикрепляют к ней в каком-то
месте P растяжки равной длины;
их свободные концы укрепляют
в точках А, В (рис. 8.5). Таким
образом, мы получаем:
|ОА|=|ОВ|, IPAi = IPBI.
46
Теперь можно поднять мачту на лю¬
бой угол (рис. 8.6); эти соотношения бу¬
дут сохраняться, так как растяжки за¬
креплены веточках A9 В. Поэтому пря¬
мая OP всегда будет серединным перпен¬
дикуляром к отрезку AB9 т. е. мачта
будет оставаться перпендикулярной пря¬
мой АВ. Значит, когда она поворачива¬
ется вокруг точки O9 она движется в пло¬
скости р, перпендикулярной прямой а.
(Этому и соответствует в изложенном
выше отвлеченном построении то, что
проводится плоскость PJ-а).
Теперь остается установить мачту
перпендикулярно прямой Ь9 проведенной
на горизрнтальной плоскости перпенди¬
кулярно а (рис. 8.7). Это можно сде¬
лать с помощью еще двух равных растя¬
жек, прикрепленных к мачте в точке Р.
Отмечают на прямой b точки C9 D на
равных расстояних от О. Конец одной
из растяжек закрепляют в точке С. и
поднимают мачту до тех пор, когда конец другой растяжки можно
будет дотянуть до точки D. Мачта установлена (рис. 8.8).
8.5. Три взаимно перпендикулярные прямые
На плоскости можно провести две взаимно перпендикулярные
прямые, но нельзя провести третью прямую, им перпендикулярную.
В пространстве же через каждую точку можно провести три взаимно
перпендикулярные прямые, т. е. прямые, попарно перпендикуляр¬
ные друг другу.
Возьмем произвольную точку О. Проведем через нее какую-
либо прямую а9 а через эту прямую — какую-нибудь плоскость а.
Теперь проведем через точку О прямую Ь^а в плоскости а и пря¬
мую C-La. Поскольку прямая с перпендикулярна плоскости а,
то она перпендикулярна лежащим в ней прямым а и b. А так как
эти прямые перпендикулярны друг другу, то значит, все три пря¬
мые* а9 Ь9 с взаимно перпендикулярны (рис. 8/9).
Построить еще одну перпендикулярную им всем прямую невоз¬
можно, так как прямая, перпендикулярная двумя прямым а и Ь9
перпендикулярна плоскости а. А такая прямая (проходящая через
точку О), как доказано в теореме 7.3, только одна. Значит, это
и есть прямая C9 другой нет.
Этот вывод можно сформулировать в виде теоремы.
Теорема 8.3. (о трех измерениях). Через каждую точку
пространства можно- провести три, ко нс более, вза-
47
C
UMHO перпендикулярные прямые (провести их можно, как
ясно из построения, бесконечным числом способов).
Мы назвали эту теорему теоремой о трех измерениях, потому
что говорят: пространство имеет три измерения, так как в нем
можно провезти три, и не больше, взаимно перепендикулярные пря¬
мые. Соответственно плоскость — двумерна, а прямая — одно¬
мерна.
Через каждые две из трех взаимно перпендикулярных прямых а,
Ь, с проходит плоскость: а — через прямые Ь, а; P — через с, а и у —
череде, Ь. Каждая из трех плоскостей перпендикулярна «третьей»
прямой: а_|_с, Vj-a^Pljc- 8.10).
ЗАДАЧИ К § 8
1. Даны две прямые а и Ь. Возьмите на прямой а точку А и по¬
стройте плоскость а, проходящую через А, перпендикулярную пря¬
мой Ь. Как расположены прямая а и плоскость а?
■2. Через точку А проведены плоскость а, перпендикулярная
прямой а, и прямая Ь, перпендикулярная той же прямой. Как рас¬
положены прямая b и плоскдсть а?
3. На прямой, перпендикулярной плоскости а, взяты две точки
А и В, не лежащие в плоскости а, а в плоскости а взяты две точки
XaY. Известно, что |ХЛ|>|ХВ|. Сравните |УЛ| и |УВ|.
4. На прямой, перпендикулярной плоскости а и пересекающей
ее в точке О, взяты две точки Л и В, такие, чта| ЛBl =5. На плоско¬
сти а взята такая точка X, что |ХЛ|=3, |ХВ|=4. Вычислите IXOI.
Решите ту же задачу, если |ЛВ|=б, | ЛВ1=7.
5. В правильном тетраэдре PABC точка К — середина ребра PC.
А) Докажите, что (AKB)^(PC). б) В этом же тетраэдре PABC на¬
рисуйте его сечение плоскостью, проходящей через Л и перпендику¬
лярной: 1) (ВС); 2) (PB). Нарисуйте пересечение этих двух сечений.
6. В правильном тетраэдре PABC точка К — середина ребра АС.
Нарисуйте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через:
а) К и перпендикулярной (PB); б) В и перпендикулярной (PK);
в) К и перпендикулярной (ВС).
Вычислите площадь каждого сечения, если ребро тетраэдра
равно 1.
48
7. PABCD — правильная пирамида, у которой каждое ребро
равно 1. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей через P
и перпендикулярной: а) (AD); б) (CD); в) (АС); г) (BD); е) (РА).
Вычислите площади и периметры сечений.
8. PABCD — правильная пирамида с ребром 1, точка Q — центр
ее основания, точка К — середина ребра РА. Нарисуйте ее сече-,
ние плоскостью, проходящей через К и перпендикулярной:
а) (46); б) (РА); в) (PQ); г) (BD).
9. ABCDAiBiCiDi— куб. Нарисуйте его сечение плоскостью,
проходящей через А и перпендикулярной: а) (ВС); б) (BD); в) (AC)I
г) (B1D); д) (4,0; е) (C1D); ж) (CD1).
10. Точка Д’ — середина ребра A1Bi куба ABCDA1B1C1D1.
Нарисуйте сечение куба плоскостью, проходящей через К и пер¬
пендикулярной: а) (DD1); б) (CD); в) (C1D); г) (CD1); д) (BD). Вы¬
числите площадь и периметр сечения, если ребро куба имеет длину 1.
11. Докажите, что множеством точек, равноудаленных от двух
данных точек А и В, является плоскость, перпендикулярная пря¬
мой AB и проходящая через середину отрезка АВ.
12. Какой фигурой, в пространстве является множество точек,
равноудаленных от вершин: а) правильного треугольника; б)' лю¬
бого треугольника; в) правильного многоугольника: г) прямо¬
угольника; д) ромба; е) правильного тетраэдра; ж) любого тетраэд¬
ра; з) куба; и) прямоугольного параллелепипеда?
13. Какой фигурой в пространстве является множество точек,
равноудаленных от всех точек; а) окружности; б) круга; в) двух раз¬
ных окружностей, имеющих общую точку?
14. ABCDA1B1C1D1— куб. Нарисуйте точки на его поверхности,
равноудаленные от: а) А и D; б) В и D; в) B1 и D; г) А, В и С; д) А,
4Х и B1; е) D1, А и В; ж) А, Bt C1 и D.
15. В кубе ABCD A1B1C1D1 с ребром 1 точка К — середина ребра
АВ. Точка X равноудалена от точек Bt Dt К, B1. К какой вершине
куба она ближе веего?
16. Прямые а и b пересекаются в точке Р. Через нее проводятся
две плоскости: одна перпендикулярна прямой а, другая перпен¬
дикулярна прямой Ь. Докажите, что прямая пересечения этих
плоскостей перпендикулярна плоскости, в которой лежат прямые а
и Ь.
17. В правильном треугольнике ABC точка О — центр. Точка
X — переменная точка прямой, перпендикулярной плоскости ABC
и проходящей, через точку О. ^Докажите, что: а) расстояния от X
до вершин треугольника равны; б) расстояния от X до сторон
треугольника равны; в) AXO=BXb=CXC); г) XAO=X^BO= XCO.
Попробуйте обобщить задачу. ’
18. Треугольник ABC—равнобедренный. Через вершину А
проводится прямая, перпендикулярная его плоскости. На ней
берется любая точка X, отличная от А. Сравните углы BXC и ВАС.
Как изменяется величина угла BXC при удалении точки X от А?
49
19. Докажите, что в правильной треугольной (четырехуголь¬
ной) пирамиде полный угол при вершине (сумма всех плоских углов)
меньше 360°. Верно ли это утверждение для других правильных
пирамид?
20. Через точку пересечения диагоналей прямоугольника про-
в ведена прямая, перпендикулярная его плоскости. На ней взята
некоторая точка Xt К какой вершине прямоугольника она ближе
всего?
21. ABCD — квадрат со стороной 1. Точка X — переменная
точка перпендикуляра к его плоскости, проведенного из точки В,
а) Докажите, что |ХЛ I = IXCI. б) Будет ли | XDI : |ХЛ I постоянно?
в) Пусть IXBI=J. Найдите |ХЛ|, |ХС|, IXDI. г) Пусть (XAI=Jt
Выразите IXDI как функцию от Jf.
22. Через центры двух граней правильного тетраэдра проведе¬
ны прямые, перпендикулярные этим граням. Определите взаимное
расположение этих прямых. Возьмите еще одну такую же прямую.
Как она расположена по отношению к первым двум? Изменится ли
что-нибудь в результатах задачи, если вместо правильного тетра¬
эдра взять правильную пирамиду, а центр грани заменить центром
описанной окружности?
23. Все ребра правильной четырехугольной пирамиды равны I.
Через'центры двух граней проведены прямые, перпендикулярные
этим граням. Определите взаимное расположение этих прямых.
Возьмите еще одну такую же прямую. Как она расположена по от¬
ношению к первым двум? Изменится ли что-нибудь в результатах
задачи, если взять произвольную правильную четырехугольную
пирамиду, а вместо центра боковой грани — центр описанной
окружности?
24. Постройте неплоскую замкнутую ломаную, у которой рав¬
ны все звенья и все углы между соседними звеньями, состоящую:
а) из четырех звеньев; б) из шести звеньев. Попробуйте обобщить
задачу.
25. Точка Л лежит в плоскости а. На этой плоскости взяли пря¬
мую а, не проходящую через Л, и провели к ней перпендикуляр ABt
Из точки В к прямой а провели перпендикулярную прямую Ъ в
плоскости 0, отличной от а. Из точки Л в плоскости P провели
(AC)-L(AB)t Докажите, что (АС)±а.
26. Дан куб. Нарисуйте три взаимно перпендикулярные пря¬
мые, проходящие: а) через внутреннюю точку ребра; б)через внутрен¬
нюю точку грани; в) через внутреннюю точку куба. Можете ли вы
полностью обосновать построение?
27. ABCA1B1C1— правильная треугольная призма. Нарисуйте
три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через: а) точ¬
ку Ci; б) точку — центр грани AA1C1C; в) через центр основа¬
ния.
28. Дан правильный тетраэдр PABCt Нарисуйте Три взаимно
перпендикулярные прямые, проходящие через: а) точку В; б) точку
К — центр грани Л PC; в) точку Р.
59
29. Дана правильная четырехугольная пирамида PABCD, На¬
рисуйте три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через:
а) точку Q — центр основания; б) точку С; в) точку Р; г) точку
— середину ребра ADt
§ 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ
9.1. Первый признак параллельности плоскостей
Для взаимного расположения двух плоскостей в пространстве
возможны два случая. . *
1. Две плоскости имеют хоть одну общую точку. Тогда по ак¬
сиоме пересечения плоскостей их пересечение есть прямая. Такие
плоскости называются пересекающимися.
2. Две плоскости не имеют общих точек (рис. 9.1). Для этого
случая дается следующее определение.
Определение. Две плоскости, не имеющие общих точек,
называются параллельными.
Для параллельных плоскостей аир применяется обозначение
а H р. Существование параллельных плоскостей легко вытекает
из следующего простого признака параллельности плоскостей.
Теорема 9.1. Две плоскости, перпендикулярные одной
прямой, параллельны.
Доказательст вж. Действительно, такие две плоскости
нё могут иметь общих точек, так как через каждую точку проходит
лишь одна плоскость, перпендикулярная данной прямой (теорема
8.1). Следовательно, эти плоскости параллельны. Л
Постройв теперь две плоскости, перпендикулярные одной пря¬
мой (задача 1 §8), мы получим параллельные плоскости (рис. 9.1).
Параллельные плоскости и их общие перпендикуляры мы наблю¬
даем постоянно на таких примерах, как пол и потолок, перпен¬
дикулярные ребру угла комнаты, и т. п. Плоскости, перпендику¬
лярные одной прямой, можно представить насаженными на нее, как
листы бумаги* на спину
51
Используя доказанный признак параллельности плоскостей,
мы теперь легко можем решить следующую задачу. -
Задача. Через данную точку провести плоскость, параллель¬
ную данной.
P е ш е н и е. Пусть даны плоскость а и точка А вне ее. Прове¬
дем любую прямую а, перпендикулярную плоскости а (это возмож¬
но сделать согласно теореме 8.2, и там же указано, как это сделать)..
Через точку А проведем плоскость р, перпендикулярную прямой а
(рис. 9.2). Это возможно в силу !еоремы 8.1. По теореме 9.1 пло¬
скости аир параллельны, t. е. P — искомая плоскость. Ц
9.2. Леммы о пересечении параллельных плоскостей
Леммой обычно называют такое предложение (теорему), которое
не имеет важного самостоятельного значения, но используется при
доказательствах других теорем.
Лемма 9.1 (о пересечении двух параллельных плоскостей тре¬
тьей плоскостью). Прямые, по которым две параллельные
плоскости пересекаются третьей плоскостью,* парал¬
лельны.
Доказательство. Пусть параллельные плоскости а и
P пересекаются плоскостью у по прямым а и b соответственно
(рис. 9.3). Прямые а и b лежат в одно& плоскости у. Они не имеют
общих точек, так как лежат в плоскостях а и р, не имеющих общих
точек. Поэтому прямые а и b параллельны. |
Ле м м а 9.2 (о пересечении-прямой с двумя параллельными пло¬
скостями). Если прямая пересекает одну из двух парал¬
лельных плоскостей, то она пересекает и другую из
них.
Доказательство. Пусть плоскости аир параллельны
и прямая с пересекает плоскость а в точке А (рис. 9.4). Возьмем
любую точку C в плоскости P и проведем плоскость у через прямую с
и точку С. Плоскость у пересекает плоскости а и Р, так как она имеет
с ними общие точки Л и C соответственно. По
лемме 9.1 прямые а и Ь, по которым у пересе¬
кает а и р, параллельны. Прямая с лежите
параллельными прямыми а и b в одной плос¬
кости у и пересекает прямую а в точке А. По
аксиоме параллельности прямая с пересекает
и прямую b в некоторой точке В. В этой точке
прямая с пересекает и плоскость р. Ц
Лемма 9.3. Если плоскость пересе¬
кает одну из двух параллельных пло¬
скостей, то она пересекает и другую
из них.
Доказательство. Пусть плоскости
аир параллельны и плоскость у пересекает
P в некоторой точке А (рис. 9.5). Покажем,
что плоскость у пересекает и плоскость а. Возьмем на плоскости у
точку Bi не принадлежащую плоскости 0. Тогда прямая AB лежит
в плоскости у и пересекает плоскость 0 в точке А. Значит, по лбМме
9.2 она пересекает и плоскость а, параллельную 0; Но так как
прямая AB лежит в плоскости у, то значит и плоскость у пересекает
а. ■ '
9.3. Основная теорема а параллельных плоскостях
Теорема 9.2 (основная теорема о параллельных плоскостях).
Через каждую точку, не лежащую на данной плоско¬
сти, проходит плоскость, параллельная данной, и при¬
том толька одна.
Доказательство. Существование такой плоскости до¬
казано в пункте 9.1. Единственность следует из леммы 9.3. Действи¬
тельно, допустим, что через некоторую точку А проходят две пло¬
скости 0 и у, параллельные плоскости се. Так как плоскость у пере¬
секает одну из параллельных плоскостей а и 0 — плоскость 0,
то у должна пересечь и плоскость а. Получили противоречие с тем,
что а И у. Единственность доказана. |
Следствие 1. Две плоскости, параллельные третьей,
параллельны.
Доказательство. Если две плоскости 0 и у параллель¬
ны плоскости а, то они не имеют оби&й точки, так как в противном
случае через эту точку проходят двё^плоскости, параллельные*а. Q
Замечание. Обратите внимание на аналогию с параллель-
.ными прямыми на плоскости: начиная с определения, всем доказан¬
ным здесь предложениям о параллельных плоскостях соответствуют
такие же предложения о параллельных прямых на плоскости; сфор¬
мулируйте их.
53
ЗАДАЧИ К § 9
1. Две точки А и В разделены плоскостью а, две точки В. и C
разделены плоскостью 0. Как расположены две точки А и C по
отношению к плоскости а, по отношению к плоскости 0?
2. На сколько частей могут разбить пространство две, три, четыре
плоскости?
3. Докажите, что противоположные грани прямоугольного па¬
раллелепипеда параллельны.
4. В прямой призме боковые грани — прямоугольники. Дока¬
жите,. что в прямой призме всегда есть две параллельные грани.
Может ли в такой призмр быть больше одной пары параллельных
граней?
5. AQCDA1B1C1D1— прямоугольный параллелепипед. Точ¬
ка P — центр симметрии грани A1B1C1D1, точка О — середина диа¬
гонали A1C, точка M — середина отрезка ОС. Нарисуйте сечения
параллелепипеда плоскостями: а) проходящими через 'P перпенди¬
кулярно прямым и A1D1; б) проходящими через О параллельно
(АВС); в) проходящими через M перпендикулярно (AD).
6; PABC—правильная треугольная пирамида. Точка Q —
центр ее основания' Нарисуйте ее сечение плоскостью, параллель¬
ной (ЛВС) и проходящей череЗ: а) вершину Р; б) точку К внутри
отрезка PQ; в) точку T внутри ребра PB; г) точку M внутри грани
РАС.
7. PABC—.правильная пирамида, точка P — вершина пира¬
миды, точка Q — центр ее основания ЛВС. Нарисуйте сечение пира¬
миды плоскостью, параллельной плоскости APQ и проходящей
через точку M внутри ребра PC.
8. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Нари¬
суйте ее сечение плоскостью, параллельной (APC) и проходящей
через точку /С внутри ребра PD. Нарисуйте ее сечение плоскостью,
параллельной (BPD) и проходящей через точку M внутри боковой
грани.
9. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Точка
Q — центр ее основания. Нарисуйте ее сечение плоскостью, парал¬
лельной (ABC) и проходящей через: а) точку К внутри ^отрезка
PQ; б) точку M внутри ребра РА; в) точку N внутри боковой грани.
10. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. На¬
рисуйте несколько ее ”
сечений, перпендикулярных: а) ребру осно¬
вания; б) боковому ребру.
11. Дана прямая треугольная приз¬
ма. Нарисуйте два параллельных ее
сечения, имеющих вид: а) треугольни¬
ка; б) четырехугольника. Какого вида
получились эти треугольники и четырех¬
угольники?
12. Глядя на рисунок 9.6, скажите,
как расположены плоскости 0 и у.
54
13. Глядя на рисунок 9.7, скажите, как
расположены прямые а и Ь, если известно,
что плоскости аир параллельны.
14. Плоскость у пересекла плоскости
а и р по параллельным прямым. Будут
ли параллельны плоскости а и р?
15. Нарисуйте сечение куба
ABCDA1B1C1D1 плоскостью KMN при
таком расположении точек /С, Mt Ni а) К
внутри ребра A1Dlt M внутри ребра A1B1 и
N внутри ребра АВ\ б) # внутри ребра
TliB1, M внутри ребра A1D1 и N внутри
ребра CD; в) К внутри ребра Tl1B1, M
внутри ребра A1D1 и N внутри ребра
DD1; г) N внутри ребра CBt M внутри
ребра DD1 и К внутри ребра Tl1Bi. Рис. 9.7
16. ’Как в сечении куба получить: а)
трапецию; б) прямоугольник (какой из - них имеет наибольшую
площадь); в) квадрат.
17. Три взаимно перпендикулярных ребра тетраэдра, исходя¬
щие из одной вершины, имеют длины 1, 2, 3. Проводятся перемен¬
ные сечения, параллельные его граням. Вычислите площадь наиболь¬
шего из них.
18. Точки К и L — середины ребер PA и BC правильного тетра¬
эдра PABC. Переменная плоскость движется параллельно (PBC)
от KvlL. Когда достигают граничных значений периметр и площадь
сечения тетраэдра этой плоскостью?
19. В правильной треугольной пирамиде PABC рассматривается
переменное сечение плоскостью, параллельной PAQt где точка
Q — центр основания. Какое из них имеет наибольшую площадь?
20. В правильной пирамиде PABCD проводятся сечения, парал¬
лельные (РАС). Какое из них имеет наибольшую площадь, наиболь¬
ший периметр, наименьший периметр, наименьшую площадь?
21. Имеется п плоскостей ап а2, ., ап. Любые две соседние
из них по номеру параллельны. Как вы докажете, что любые две
из них параллельны?
§ 10. ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
10.1. Классификация взаимного расположения прямой
и плоскости
Если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с нею
не более одной общей точки (согласно следствию теоремы 2.1).
Поэтому для взаимного расположения прямой и плоскости мыслимы
три случая.
SS
1. Прямая лежит (содержится) в плос¬
кости.
2. Прямая имеет с плоскостью только
одну общую точку. Тогда говорят, что она
пересекает плоскость. •'
3. Прямая не имеет с плоскостью об¬
щих точек (рис. Ю.1). Для этого случая
дается следующее определение.-
Определение. Если прямая и
плоскость не имеют общих точек, то они
называются параллельными.
Говорят также, что плоскость параллельна прямой или что
прямая параллельна плоскости. Для параллельности прямой а
и плоскости а применяется обозначение а||а или а||а.
Все три случая расположения прямой и плоскости можно виДеть
в комнате (рис. 3.4). Прямые, по которым сходятся доски пола, ле¬
жат в его плоскости, параллельны потолку и пересекаются со сте¬
ной. Однако, нужно доказать, что все три случая возможны (для
идеальных прямых и плоскостей). В первых двух случаях это оче¬
видно: прямая может лежать на плоскости или пересекать ее (см.
п. 2.1). О существовании прямых, параллельных плоскости, rodb-
рится в следующей теореме.
Теорема 10.1. Через каждую точку, не лежащую на
данной плоскости, проходят параллельные ей прямые —
это прямые, которые лежат в плоскости, проходящей
через данную точку параллельно данной плоскости.
Других прямых, параллельных данной плоскости и про¬
ходящих через данную точку, нет.
Доказательство. Первое утверждение теоремы очевидно,
по теореме 9.2 через данную точку А вне заданной плоскости а
проходит плоскость р, параллельная плоскости а (рис. 10.2).
Так как 0 не имеет с а общих точек, то тем более всякая лежащая^
P прямая их не имеет, т. е. такая прямая параллельна а.
Возьмем теперь какую-нибудь прямую Ь, проходящую через
точку A9 но не лежащую в плоскости р (рис. 10.3). Она пересекает
56
плоскость Р, а значит, пересекает и парал¬
лельную ей плоскость а (в силу леммы
9.2). Поэтому b не параллельна плоскости
а. Итак, среди прямых, не лежащих в плос¬
кости р и проходящих через точку Af нет
прямых, параллельных плоскости а, как
и утверждает вторая часть теоремы. Ц
10.2. Признак параллельности прямой
и плоскости
Докажем сначала лемму, аналогичную
лемме 9.2.
Лемма 10.1 (о пересечении плоскостью параллельных прямых}.
Если плоскость пересекает одну из двух параллельных*
прямых, то она пересекает и другую из них.
Доказательство. Пусть прямые а и~b параллельны и
плоскость а пересекает прямую а (рис 10.4). Так как прямые а и b
параллельны, то они лежат в одной плоскости р. Эта плоскость P
имеет t плоскостью а общую точку — точку пересечения а и а.
Поэтому плоскости аир пересекаются по некоторой прямой с.
Прямая а пересекает эту прямую. Поэтому и параллельная ей пря¬
мая Ь9 лежащая в плоскости р, пересекает с9 а значит, b пересекается
с плоскостью а. Ц
Теорема 10.2 (признак параллельности прямой и плоскости).
Если прямая параллельна некоторой прямой, лежащей
в данной плоскости, но сама не содержится в ней, то
она параллельна этой плоскости.
Доказательство. Пусть прямая а параллельна пря¬
мой Ь, лежащей в плоскости'а, но не лежит в этой плоскости. Если
бы а пересекала плоскость а, то по лемме 10.1 и параллельная ей
прямая b должна была бы пересекать плоскость а. Но b не пересе¬
кает а, так как Ьса. Поэтому а не пересекает а, т. е. а||а. Ц
Замечание. Теорему 10.2 легко доказать и не ссылаясь на
лемму. Если 6||а, то эти прямые лежат в одной плоскости P и д=
=а П P- И так как а не пересекается с &, то а не пересекается с а.
10.3. Второй признак • параллельности
плоскостей
Теоремы 10.1 и 10.2 позволяют легко
доказать следующий часто употребляющий¬
ся признак параллельности плоскостей.
Теорема 10.3. Если.две пересе¬
кающиеся прямые, лежащие в одной
плоскости, соответственно парал¬
лельны двум прямым, лежащим в
другой плоскости, то эти плоско¬
сти параллельны.
Доказательство. Пусть даны две плоскости аир,
в плоскости а лежат прямые а и b, а в плоскости р лежат прямые
O1 и 61. Пусть, кроме того, а||аь Ь||Ь1 и <ц и bi пересекаются
в точке О (рис. 10.5). По теореме 10.2 прямые Oi и bi параллельны
плоскости а. А тогда по теореме 10.1 они определяют плоскость,
параллельную плоскости а. Поэтому р||а. |
Уадачи к § 10
1. Прямая а параллельна плоскости а. Установите взаимное
расположение другой прямой b и плоскости а, если: а) 6||а; б) b
пересекается с а; в) b скрещивается с а.
2. Прямая а пересекается с плоскостью а. Установите взаимное
расположение другой прямой b и плоскости а, если: а) 6||а; б) b
пересекается с а; в) b скрещивается с а.
3. Прямая а пересекает плоскость а, а прямая b параллельна
этой плоскости. Установите взаимное расположение прямых а и Ь.
4. Плоскости а и § параллельны, прямая а параллельна одной
из них. Как она расположена по отношению к другой плоскости?
♦ 5. Прямая а параллельна плоскости а и лежит в плоскости^.
Плоскости аир пересекаются по прямой Ь. Как расположены пря¬
мые а и 6?
6. Докажите, что в плоскости, параллельной данной прямой,
через каждую точку проходит единственная прямая, параллельная
данной.
7. Прямая а параллельна каждой из двух плоскостей аир,
которые пересекаются по прямой Ь. Как расположены прямые
а и 6?
8. Две плоскости проходят через две параллельные прямые и
пересекаются. Докажите, что прямая их пересечения параллельна
'данным прямым.
9. Установите расположение прямых а и Ь, если: а) каждая
плоскость, параллельная прямой а, параллельна и прямой b или
содержит ее; б) каждая плоскость, пересекающая прямую а, пере¬
секает и прямую Ь; в) каждая плоскость, пересекающая прямую а,
параллельна прямой b или содержит ее; г) каждая плоскость, па¬
раллельная прямой а, пересеКает прямую Ь. Все ли перечисленные
случаи возможны?
10. Постройте прямую, параллельную данной плоскости и пере¬
секающую: а) одну данную прямую; б) две данные прямые.
11. Какое из следующих утверждений верно: а) для любых
двух плоскостей существует прямая, которая их пересекает; б) для
любых двух плоскостей существует прямая, которая им параллель¬
на; в) для любых двух плоскостей существует прямая, которая
параллельна одной из них и пересекает другую?
12. Прямые а и b скрещиваются. Постройте плоскость а, такую,
что: а) а||6 и аса; б) а||а и а||6; в) а||а и а пересекает 6; г) а пере¬
»8
секает каждую из прямых. Постройте плоскость P такую, что
Plla, fecp. Как расположены плоскости а из пункта а) и плос¬
кость р?
13. Даны две точки А и В. Докажите или опровергните утверж¬
дение: «На каждой прямой в пространстве существует точка, равно¬
удаленная от данных точек».
14. Существуют ли такие три прямые, что никакая четвертая
их не пересекает?
15. Дан параллелограмм ABCD. Точка D лежит в плоскости а.
Прямая AC параллельна плоскости а. Нарисуйте пересечение:
а) прямой AB и плоскости а; б) прямой BC и плоскости а.
16. Плоскость параллельна одной из сторон правильного много¬
угольника., а) Как расположены относительно этой плоскости дру¬
гие его стороны? Его диагонали? б) Существует ли такой правиль¬
ный многоугольник, в котором только одна сторона параллельна
некоторой плоскости, а все другие стороны и диагонали ей не
параллельны?
17. На плоскости лежат три прямые, а расположение четвертой
прямой относительно этой плоскости неизвестно. Разрешается за¬
давать вопросы, не употребляя слова «плоскость»». За сколько
вопросов вы сможете установить расположение чётвертой прямой
относительно данной плоскости?
18. Докажите, что в параллелепипеде противоположные грани
параллельны.
_ 19. Рассматривается множество прямых, параллельных одной
и той же плоскости и пересекающих данную прямую. Какую фигуру
заполняют все такие прямые?
20. Какую фигуру заполняют всё прямые, проходящие через
одну и ту же точку и параллельные одной и той же плоскости?
21. В тетраэдрё PABC через точку К внутри ребра AB прове¬
дено сечение, параллельное (ЛС). Есть ли ошибка на рисунке 10.6?
22. В тетраэдре PABC через точку К внутри ребра PC прове¬
дено сечение, параллельное (PB). Есть ли ошибка в рисунке 10.7?
59
25.
23. Через центр основания
(точку Q) правильной треуголь¬
ной пирамиды проведена пло¬
скость, параллельная (AB) .и
(PC). Есть ли ошибка на рисун¬
ке 10.8?
24. В тетраэдре PA BC точка
К лежит внутри грани РАВ. а)
Нарисуйте отрезки, проходящие
через точку K1 лежащие на по¬
верхности тетраэдра и парал¬
лельные другим его граням, б)
Нарисуйте сечения тетраэдра,
проходящие через точку К и па¬
раллельные его ребрам.
В правильной четырехугольной пирамиде PABCD точ¬
ка Q—центр основания. Нарисуйте сечение пирамиды плоско¬
стью, проходящей через: а) точку . Q параллельно прямой AD;
б) прямую BD параллельно прямой РА; в) точку К — середину
ребра PA — параллельно (АВС); г) прямую CD параллельно пря-
мойЛВ; д) прямую KL параллельно (PBC)i где L — середцна
ребра PD.
PABCD — правильная четырехугольная пирамида с реб-
Нарисуйте четыре отрезка в пирамиде, проходящих через
основания параллельно грани РАВ. Какой из этих от-
наибольший? Какой наименьший?
PABCD—четырехугольная пирамида. Верно ли, что
параллельность прямых AD и BC равносильна параллельности
прямой AD и плоскости PBC?
28. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Нари¬
суйте прямую, по крторой пересекаются ее противоположные бо¬
26.
ром 1.
центр
резков
27.
ковые грани.
29. Точка X — переменная точка диагонали куба с ребром 1.
Через нее проводится прямая, параллельная: а) двум смежным гра¬
ням куба; б) диагональной плоскости куба. Нарисуйте отрезок
этой прямой, по которому она пересекает куб. Какие значения мо¬
жет принимать его длина?
30. В правильной призме ABCAaB1C1 точка X — переменная
точка ребра BB1. Нарисуйте ее сечение плоскостью, проходящей
через X, и параллельное (АС). Какое из этих сечений: а) парал¬
лельно (B1C); б) параллельно (B1 Л); в) имеет наибольшую площадь;
г) имеет наименьшую площадь?
31. Прямая b и плоскость а перпендикулярны прямой а. Как
они расположены между собой?
32. Прямые а и b пересекаются, и каждая из них параллельна
плоскости а. Через эти прямые проведена плоскость 0. Как распо¬
ложены между собой плоскости аир?
60
§ 11. ПЕРПЕНДИКУЛЯР, ОПУЩЕННЫЙ
НА ПЛОСКОСТЬ
11.1. Прямая, перпендикулярная двум
параллельным плоскостям
Первый признак перпендикулярности
прямой и плоскости (теорема 7.1) позволил
нам провести через любую точку плоскости
прямую, перпендикулярную этой плоско¬
сти, т. е. восставить перпендикуляр к
плоскости из данной на ней точки. Сейчас
мы докажем второй признак перпендику¬
лярности прямой и плоскости. Он позво-
а
Рис. 11.1
лит нам построить, прямую, перпендику¬
лярную данной плоскости и проходящую через данную точку, не
лежащую на этой плоскости, т. опустить перпендикуляр из точ¬
ки на плоскость.
Теорема 11.1. (второй признак перпендикулярности прямой
и плоскости). Если прямая перпендикулярна одной из
двух параллельных плоскостей, то она перпендику¬
лярна и другой из них.
Доказательство. Пусть плоскости аир параллельны
друг другу и прямая а перпендикулярна плоскости а (рис. 11.1).
Значит, а пересекает а в некоторой точке, а потому (по лемме 9.2)
пересекает и параллельную ей плоскость P в некоторой точке .А,
Через точку А проходит плоскость, перпендикулярная прямой
а; обозначим ее у. По теореме 9.1 она параллельна плоскости а.
Но плоскость р параллельна плоскости а по условию и тоже прохо¬
дит через точку А. Так как по теореме 9.3 через А проходит только
одна плоскость, параллельная плоскости а, то P й у совпадают.
И так как а_[_у, то аJlP. Ц
11.2. Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость
Определение. Перпендикуляром, опущенным из точки А
на плоскость а, не проходящую через Л, называется такой отрезок
АВ, что В ga и прямая AB перпендикулярна а (рис. 11.2).
Точка В называется основанием перпендикуляра АВ. О перпен¬
дикуляре AB говорят также, что он восставлен к плоскости а
в точке В.
Теорема 11.2. На любую плоскость из каждой не
лежащей на ней тонки можно опустить перпенди¬
куляр и притом только один.
Доказательство. Пусть а — некоторая плоскость и
А — точка вне её. Через точку А проходит плоскость р, параллель¬
ная плоскости а (рис. 11.3). Так как точка А лежит на плоскости р,
то по теореме 8.2 через нее можно провести прямую а, перпендику-
61
лярную р. Эта прямая перпендикулярна к плоскости а по теореме
11.1, поскольку JJ и а||0. Пересекая плоскостьP в точке At пря¬
мая а пересечет и параллельную ей плоскость а в некоторой точ¬
ке В (лемма 9.2). Отрезок AB прямой а й будет перпендикуляром,
опущенным из точки А на плоскость а.
Так как через любую точку проходит лишь одна прямая, Пер¬
пендикулярная данной плоскости, то можно опустить лишь один
перпендикуляр из точки А на плоскость а. |
Перпендикуляр ABt построенный в теореме 11.2,— это общий
перпендикуляр двух параллельных плоскостей а и р. Он восстав»
лен в точке А к плоскости P и опущен из точки А йа плоскость а.
Замечание. В доказательстве теоремы 11.2 содержится
решение задачи: опустить перпендикуляр из данной точки на дан¬
ную плоскость. Подробное ее решение можно получить, следуя
доказательству теоремы 11.2 и начав с построения плоскости р,
параллельной плоскости а.
На практике, например, когда нужно подпереть потолок или
перекрытие, упирают столб перпендикулярно полу, т. е. восстав¬
ляют перпендикуляр к полу и тем самым «опускают» $го на по¬
толок.
11.3. Основная теорема о прямой,
перпендикулярной плоскости
Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, представ¬
ляет собой отрезок прямой, перпендикулярной этой плоскости.
Поэтому теорему 11.2 можно сформулировать и так:
Теорема 11.2, а. Через всякую точку, не лежащую
на данной плоскости, можно провести прямую, перпен¬
дикулярную этой плоскости, и притом только одну.
Раньше была доказана* аналогичная теорема для случая, когда
точка лежит на данной плоскости (теорема 8.2). Соединив эти тео¬
ремы вместе, получим один из основных результатов стереометрии.
62
'Теорема 11.3. Через каждую
точку проходит прямая, перпенди¬
кулярная данной плоскости, и при¬
том только одна.
11.4. Перпендикуляр и наклонная
к плоскости
Определение. Наклонной к плос¬
кости а из точки А, не лежащей на а,
называется такой отрезок АС, что Cga и
прямая AC не перпендикулярна плоскости а
(рис. 11.4).
Ясно, что перпендикуляр АВ, опущенный из точки А на
кость а, короче любой наклонной АС, проведенной к этой
плос-
ПЛОС-
кости из той же точки А, так как в прямоугольном треугольнике
ABC отрезок AC—гипотенуза, а отрезок AB—катет, и потому
|ЛВ|<|ЛС|.
То, что перпендикуляр короче наклонной, можно выразить и
так.
Перпендикуляр, опущенный на плоскость,— это кратчайший из
всех отрезков, проведенных из данной точки до плоскости.
Обратное утверждение дает следующий простой признак пер-
пендикулярностй отрезка (а значит, и содержащей его прямой)
плоскости.
Теорема 11.4. Если отрезок из данной точки до
плоскости кратчайший, то он перпендикуляр к этой
плоскости.
Доказательство. Кратчайший отрезок не может быть
наклонной, так как в этом случае перпендикуляр из той же точки
был бы короче. Поэтому кратчайший отрезок — перпендикуляр. Ц
Эту же теорему можно выразить и так: основание перпенди¬
куляра, опущенного из точки А на плоскость а, и бли¬
жайшая к А точка плоскости а— это одна и та же
точка.
11.5. О значении перпендикуляра
Перпендикуляр к плоскости играет очень важную роль. Из
теоремы 11.4 следует, что он дает кратчайшее расстояние от точки
до Плоскостй (о чем подробнее будет сказано в § 14).
Положение плоскости в пространстве можно задавать, указы¬
вая перпендикулярную ей прямую и ту точку, в которой она пере¬
секает эту прямую (рис. 11.5).
Важнейшее свойство перпендикуляра состоит в том, что плос¬
кость расположена симметрично относительно него. Все лучи, ис¬
ходящие из основания перпендикуляра к плоскости, образуют с ним
43
Рис. 11.6
равные— прямые — углы, а для наклонной это не так (рис. 11.6).
При вращении вокруг перпендикуляра плоскость совмещается
сама с собою: колесо должно быть насажено на ось так, чтобы его
плоскость была перпендикулярна оси. Прямоугольник со стороной,
перпендикулярной плоскости, можно вращать вокруг этой стороны,
и другая сторона будет скользить по плоскости. Это хорошо видно
на правильно навешенной двери. Если ее край не вертикален, дверь
не открывается свободно и задевает пол.
Беря примеры из физики, можно отметить, что давление жид¬
кости- или газа -на стенку сосуда направлей'о по перпендикуляру
к стенке, так же как давление груза на опору направлено по пер¬
пендикуляру к ней (рис. 11.7, а и б).
Перпендикуляр к поверхности фигурирует в законах отражения
и преломления света. Так, закон отражения гласит: луч падающий
и луч отраженный расположены в одной плоскости с Перпендику¬
ляром, восставленным к поверхности зеркала в дочке падения,
и образуют с ним равные углы; «угол падения» и «угол отражения»—
это углы между указанным перпендикуляром и лучом падающим
и лучом отраженным (рис. 1Т.8).
Рис 11.7
•4
Hp главное значение перпендикуляра —
это его роль в технике и во всем нашем
обиходе. Мы, можно сказать, окружены
перпендикулярами: ножки стола перпенди¬
кулярны полу, край шкафа перпендикуля¬
рен стене и т. д. Вертикаль перпендику¬
лярна горизонтальной плоскости. Помимо
установки мачт,, столбов и пр., это играет
главную' роль в строительстве зданий:
междуэтажные перекрытия укладывают
перпендикулярно возведенным стенам или
столбам каркаса здания. Параллельность плоскостей связана о на¬
личием у них общих перпендикуляров (согласно теоремам 9.1, 11.1
Ir замечанию к теореме 11.2). Вообще перпендикулярность и парал¬
лельность прямых и плоскостей — это существенный элемент в
строительстве, так что учение о перпендикулярах и параллелях
можно назвать
1. Из точки
две наклонные
основами «строительной» геометрии.
ЗАДАЧИ К § 11
А проведены к плоскости а перпендикуляр AB и
AC и AD. Докажите, что:
а) АС|=|АД1фф|ВС|=ВД;
б) АС|>| А01ф>| ВС\> BD .
2. Какой фигурой на плоскости являются: а) основания наклон¬
ных, проведенных к этой плоскости из данной точки и имеющих
-длину, равную d', б) основания наклонных, проведенных к этой
плоскости из данной точки под одним и тем же углом к перпенди¬
куляру, проведенному из данной точки к этой же плоскости?
3. Точка А не лежит в плоскости а. а) Сколько наклонных
данной длины можно провести из этой точки к данной плоскости?
б) Сколько можно провести таких равных наклонных, что Каждые
две соседние из них образуют равные углы? в) Существует ли наи¬
меньшая наклонная среди всех наклонных, проведенных из точки
А к плоскости а?
4. Плоскости аир параллельны. Из точки А, лежащей в плос¬
кости а, проводится наклонная AB к плоскости р, а из точки В
проводится к плоскости а наклонная такой же длины, как и на¬
клонная АВ. а) Сколько таких наклонных из точки В к плоскости а
можно провести? б) Сколько из них образует с наклонной AB дан¬
ный угол?
5. Из точки А проведен перпендикуляр AB к плоскости а.
Какой фигурой является множество точек X плоскости а таких,
что: а) |ХА|=2|ХВ|; б) |ХА|>2|ХВ|; в) |ХА|<2|ХВ|; г) IXBI =
=|АВ|; д) |ХВ|<|АВ|; е) |ХВ|>|АВ|; ж) |АВ|<|ХВ|<^-|ХА|?
6. Из точки А проведена наклонная AB к плоскости а. Сущест¬
вует ли в плоскости а прямая, перпендикулярная (АВ)? Если су¬
ществует, то сколько таких прямых?
3 № 78!«
7. Прямая а параллельна плоскости а. На прямой а взяли
точку А и провели из нее две наклонные к плоскости а, каждая из
которых перпендикулярна прямой а. Равны ли эти наклонные?
8. Перпендикуляр PQ из точки P на плоскость а имеет длину,
равную 1, а две наклонные PA и PB к этой же плоскости имеют
длину, равную 2. Точка C — середина отрезка АВ. Определите
IQCI, если: а) ЛРВ=90°; б) АРВ=у.
9. BD — перпендикуляр из точки В на плоскость а длиной 1,
BA и BC — наклонные к этой же плоскости длиной 2, ЛВС=ф..
Найдите ADC.
10. АО — перпендикуляр из точки А на плоскость а длиной 1;
AB9 AC и AD — наклонные к этой же плоскости длиной 2. BAD=
I=DAC=CAB. Вычислите угол между наклонными.
11. PQ— перпендикуляр из точки P на плоскость а длиной d;
PA9 PB у PC — наклонные к плоскости а одной длины. Найдите
их длину, если любые две наклонные взаимно перпендикулярны.
12. PQ — перпендикуляр из точки P на плоскость а длиной 1;
PA9 PB9 PC и PD — наклонные к той же плоскости длиной d,
угол ,между каждой парой соседних наклонных один и тот же.
Найдите этот угол.
13. АО — перпендикуляр к плоскости а из точки А. Прямая AB
параллельна плоскости а. [ЛВ| = |ЛО| = 1. Из точки В проводится
наклонная BX к плоскости а. Вычислите граничные значения для
|ЛХ|, если | ВХ|=2.
14. Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный
из ее вершины на основание (или его длина). В треугольной пира¬
миде боковые ребра равны d. Найдите высоту пирамиды, если:
а) основанием является равносторонний треугольник со стороной 1;
б) основанием является прямоугольный треугольник с катетами
3, 4; в) основанием является равнобедренный треугольник с боко¬
вой стороной 1 и углом при вершине 120°, 135°, 150°; г) основанием
является треугольник со сторонами 4, 5, 6.
15. На плоскости а взяли прямую а. Из точки A9 не лежащей
в плоскости а, провели наклонную AB к плоскости а,, перпендику¬
лярную прямой а. Через точку В в плоскости а провели прямую BC9
перпендикулярную прямой а. Из точки А в плоскости ABC пре*
вели перпендикуляр на прямую ВС. Докажите, что он будет и
перпендикуляром к плоскости а.
16. В пирамиде PABC основанием является правильный тре¬
угольник со стороной 2, |РЛ| = |РС|=2. Нарисуйте высоту пира¬
миды и вычислите ее, если IPBI равно: а) 1; б) ]/б; в) 3; г) 10.
17. В тетраэдре PABC \РА\ = \РВ\=\РС\=29 |ЛС|=3, \АВ\ =2.
Нарисуйте и вычислите высоту пирамиды, если |ВС| равно: а) 2;
б) 3; в) 4.
18. В тетраэдре PЛBC |РЛ| = |РС|=2, |ВЛ|=|ВС| = 1. Нарисуй¬
те высоту. Хватает ли вам данных, чтобы вычислить ее?
66
19. В четырехугольной пирамиде все боковые ребра равны 2.
В основании лежит равнобедренная трапеция, у которой боковая
сторона, равная 1, образует с основанием, равным 2, угол:
а) 60°; б) 120°. Нарисуйте и вычислите высоту пирамиды.
20. Основанием четырехугольной пирамиды PABCD является
квадрат со стороной 2, IPCI = JPDI=2, |РЛ| = |РВ|=3. Нарисуйте
и вычислите высоту пирамиды.
21. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 в вершине А сходятся
три ромба со стороной 2 и острым углом при вершине Л, равным 60°
Нарисуйте и вычислите высоту параллелепипеда (за высоту паралле¬
лепипеда можно принять перпендикуляр, опущенный из какой-либо
точки верхнего основания на нижнее).
22. Основанием треугольной призмы ABCA1B1C1 является
равносторонний треугольник со стороной 2. A1AC=A1AB=W)0.
Нарисуйте и вычислите высоту призмы, если |Л411 равняется:
а) 1; б) 2; в) 3.
23. Четыре бутылки поставлены на столе так, что расстояния
между их горлышками равны. Бутылки одинаковы, высота их из¬
вестна. Можете ли вы найти расстояние между их горлышками?
24. OA — перпендикуляр к плоскости а, OB—перпендикуляр
к плоскости р. Как расположены плоскости а и ₽?
25. OA — перпендикуляр к плоскости а, OB — перпендикуляр
к плоскости р. а||р, |ОЛ I =Cllt |ОВ| =^2, |ЛВ|=б/3. Установите связь
между di, ^2, с13.
26. Можете ли вы определить длину перпендикуляра, опущен¬
ного на плоскость, если основание перпендикуляра недоступно?
27. Точки Л и В не лежат в плоскости а. Как узнать, будет ли
прямая AB перпендикулярна плоскости а, не продолжая отрезка
ЛВ?
28. Прямая а проходит мимо треугольника ЛВС. Как выяснить,
будет ли она перпендикулярна его плоскости, если нельзя выходить
за его границы?
§ 12. СВЯЗЬ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬЮ ПРЯМЫХ
И ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬЮ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
12.1. Параллельные отрезки между параллельными
плоскостями
Мы постоянно вйдим, что перпендикуляры к одной и той же
плоскости параллельны, а прямые, параллельные перпендикуляру
к данной плоскости, сами ей перпендикулярны. Например, верти¬
кальные линии параллельны друг другу й перпендикулярны гори¬
зонтальной плоскости. Эти линии могут представляться параллель¬
но стоящими столбами иля мачтами, стволами стройных сосен в
«корабельном» лесу, колонками зданий и т. д. (рис. 12.1—12.3).
Эта изящная геометрия выражается в теоремах, которые мы сей¬
час докажем.
5*
67
Рис. 12.1
Лемма 12.1. Отрезки
параллельных прямых, кон¬
цы которых лежат на двух
параллельных плоскостях,
равны.
Доказательство. Пусть
между параллельными плоско¬
стями аир лежат параллель¬
ные отрезки AB и CD (рис. 12.4),
концы которых А й C лежат в
плоскости а, а другие концы —
точки BaD — в плоскости 0.
Через параллельные прямые AB
и CD проведем плоскость у.
Она пересекает а и 0 по парал¬
лельным прямым AC а BD (по
лемме 9.1). Поэтому четырех¬
угольник ABDC — параллело¬
грамм. Его противоположные
стороны AB и CD равны. В
12.2. Прямые, перпендику¬
лярные одной плоскости
Теорема 12.1 (о паралле¬
ли к перпендикуляру). Если
одна из двух параллель¬
ных прямых перпендику¬
лярна плоскости, то и дру¬
гая перпендикулярна этой
плоскости.
Доказательство.
Пусть прямые а и b параллель¬
ны и прямая а перпендикуляр¬
на плоскости а (рис. 12.5). Пря¬
мая а пересекает а в некоторой
точке А, а потому (по лемме 10.1)
параллельная ей прямая b так¬
же пересекает а в какой-то точ¬
ке В. Покажем, что 6_]_а.
Рис. 12.3 Возьмем любую точку B1 € Ь,
отличную от В, и проведем через
нее плоскость 0||а. Так как прямые а и b параллельны и 0 пересекает
Ь, то (по лемме 10.1) 0 пересечет также прямую а в некоторой точ¬
ке A1.
На плоскости а возьмем произвольную точку X, отличную от
В, и проведем отрезок B1X. Из точки A1 проведем прямую, парал¬
лельную прямой B1X. Эта прямая пересечет плоскость а в некото-
«8
Рис. 12.4
рой точке Y (по лемме 9.2). По лемме 12.1 имеем:
IX1XI=IB1BI и IX1FI=IB1XI. (12.1)
Но так как отрезок X1X — перпендикуляр, опущенный из
точки X1 на плоскость а, а отрезок X1F — наклонная, то
IX1XKIX1FI. (12.2)
Из (12.1) и (12.2) следует, что IBB1KIB1XI. Так как точка' X
на плоскости а, отличная от точки В, была взята произвольно, то
это значит, что отрезок B1B короче всякого другого отрезка, иду¬
щего из Bi к плоскости а. Следовательно, по теореме 11.4 отрезок
B1B — перпендикуляр к плоскости а, т. е. Ь_]_а.И
Доказанная теорема дает еще один (уже четвертый) признак
перпендикулярности прямой и плоскости.
Теперь легко доказать обратную в известном смысле теорему.
Теорема 12.2 (о параллельности перпендикуляров). Две
прямые, перпендикулярные одной плоскости, парал¬
лельны.
Доказательство. Пусть две прямые а и b перпендику¬
лярны плоскости а и пересекают ее соответственно в точках X и В
(рис. 12.6). Покажем, что а||Ь.
Допустим противное. Проведем через точку X прямую с, парал¬
лельную прямой Ь. Так как Ь_]_а и с||Ь, то по предыдущей теореме
с_]_а. Но тогда через точку X проходят две прямые а и с, перпенди¬
кулярные плоскости а, что невозможно в силу теоремы 9.2 (или
теоремы 11.3). Итак, допущение, что а и b не параллельны, приводит
к противоречию. Поэтому а||Ь. Ц
Теоремы 12.1 и 12.2 позволяют установить другие важные ре¬
зультаты в этом и следующих параграфах.
12.3. Транзитивность параллельности прямых
Теорема 12.3. Две прямые, параллельные третьей,
параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и b параллельны
прямой с. Докажем, что они параллельны между, собой. Проведем
«9
любую плоскость а, перпендикулярную
прямой с (рис. 12.7). По теореме 12.1 а±а
и А тогда по теореме 12.2 а\\Ь. |
* Замечание. Строго говоря, теоре¬
ма 12.3 устанавливает транзитивность па¬
раллельности только при условии, что пря¬
мая считается параллельной сама себе.
Транзитивность означает, что если а\\Ь и
Ь\\с, то а||с. Но если а\\Ь, то Ь\\а и по транзи¬
тивности должно быть а\\а.
12.4. Опускание перпендикуляра
из точки на плоскость
Теорема 12.1 о параллели к пер¬
пендикуляру позволяет дать еще одно ре¬
шение следующей задачи: через точку,
не лежащую в•данной плоскости,
провести прямую, перпендикуляр¬
ную этой плоскости.
Пусть точка А не лежит в плоскости а.
Проведем через какую-либо точку этой пло¬
скости перпендикулярную ей прямую а
(рис. 12.8). Если а проходит через А, то
она искомая прямая. Вели это не так, то
проведем через точку А прямую Ь, парал¬
лельную прямой а. По теореме 12.1 т. е. — искомая пря¬
мая. |
Другое решение этой задачи было указано в п. 11.2.
ЗАДАЧИ К § 12
1. Одна из сторон правильного и-угольника перпендикулярна
плоскости а. Есть ли в нем другие стороны, перпендикулярные
этой плоскости? Есть ли в нем диагонали, перпендикулярные этой
плоскости? Решите задачу для п=3,- 4, 5, 6, 7.
2. Диагональ BD ромба ABCD перпендикулярна плоскости.
Как расположена по отношению к этой плоскости другая его диа¬
гональ? Нарисуйте перпендикуляры на эту плоскость из точек
А и С.
3. PABC—правильная треугольная пирамида. Через ее вер¬
шину проведена плоскость, параллельная основанию. Нарисуйте
перпендикуляры на эту плоскость из вершин А, В, С. Решите ана¬
логичную задачу для правильной четырехугольной пирамиды.
4. Диагональ B1D куба AbcdA1BiCiDi перпендикулярна плос¬
кости а, D € а. Нарисуйте перпендикуляры на плоскость а из точек
В, D1, A1, А.
5. В правильном тетраэдре PABC точка Q — центр его основа¬
ния, точка А — середина ребра РА. Нарисуйте перпендикуляр:
70
а) из P на (АВС); б) из Q на (APC); в) из К на (АВС); г) из К на
(BCP); д) из Q на (BKC).
6. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с ребром 1
точка Q — центр основания, точка К — середина ребра АВ. Нари¬
суйте перпендикуляр: а) из А на (BPD); б) из Q на (APB); в) из'D
на (BCP); г) из К на (APC); д) из К на (CPD).
7. ABCDA1BiC1D1— куб. Точка К — середина ребра BB1,
точка L — середина ребра CCi, точка M — середина отрезка A1B1,
точка C — середина отрезка BN. Нарисуйте перпендикуляр:
а) из А на (BB1D1); б) из A1 на (AKL); в) из D1 на (AB1C); г) из D1
на (DA1C1); д) из M на (АВС); е)из M на (CDCi);' ж) из M на (BDB1);
з) из N на (BDB1); и) из N на (ЛЛ1С1); к) из N на (DA1B1); л) из
N на (A1C1B); м) из A1 на (AB1D1).
8. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 вычислите длину перпенди¬
куляра, проведенного: а) из внутренней точки ребра на противо¬
положную грань; б) из А на (BB1D1); в) из C на (BDCi); г) из А
на (BCiD).
9. Из точки В провели на плоскость перпендикуляр BA длиной 1
и отрезок BC длиной 1, йараллельной этой плоскости. Из точки C
провели отрезок CD1 параллельный АВ, длиной d. Найдите |ХО|.
10. Из точки О — центра квадрата ABCD со стороной 1, про¬
вели перпендикуляр OOi длиной 2 к плоскости а. Через вершины
квадрата провели отрезки, параллельные (OOr) ДО плоскости а:
AA1, BB1, CC1, DD1. а) Могут ли все они быть равными? б) Пусть
длина трех из них известна. Можете ли вы найти длину четвер¬
того? в) Какие значения может принимать длина наибольшего из
них? Наименьшего из них?
11. Докажите, что все прямые, перпендикулярные данной плос¬
кости и пересекающие данную прямую, лежат в одной плоскости.
Изменится ли результат, если прямую заменить на другую линию?
12. Точки Xi и Bi лежат в. .плоскости а. AA1 и BB1 — перпен¬
дикуляры к этой плоскости с одной стороны от нее, причем |ХХ11 = 1,
|ВВ11=2. а) Вычислите |ХВ|, если |A(B11 = 1. б) Вычислите |XiBi I,
если |ХВ| = 1. в) Вычислите |ХгВ11, если |ХВ|=2. г) Вычислите
|Д1В11, если |ХВ|=4. д) Вычислите (XiBiI, если ]АВ1=Л.
13. Из точек А и В, лежащих с одной стороны от а, проведены
два перпендикуляра длины 1 к плоскости а и две наклонные длины 2
к той же плоскости. |ХВ|=б1. Найдите граничные значения расстоя¬
ния между концами наклонных, лежащих на плоскости а.
14. AA1—перпендикуляр длины 1, опущенный из точки А
на плоскость а. BBi — перпендикуляр к плоскости а длины 3 из
точки В. Ha нем взята точка X, такая, что|ХХ|=2. Вычислите
IXBiI, если |ХВ|=4.
15. К плоскости а из точек А, В, С, лежащих с одной стороны
от а, проведены три перпендикуляра: AA1 длиной 1, BB1 длиной 2,
CCi длиной 3. Их основания образуют на плоскости а равносторон¬
ний треугольник. Определите вид треугольника АВС.
16. Через медиану AK треугольника ABC провели плоскость,
71
4
1 >
отличную от (АВС). Из точек В
и C провели на нее- перпендику¬
ляры. Докажите, что они равны.
Будут ли они равны, если вместо
/(взять любую другую точку L
внутри отрезка BC и плоскость-
провести через отрезок AL?
17. В плоскости а лежит тре¬
угольник АВС. Из точек В и C с
одной скоростью стали одновре¬
менно двигаться точки X и У по
прямым, -перпендикулярным а. В какой момент времени отрезок
XY видйн из А под: а) наибольшим углом; б) наименьшим углом?
Решите задачу в двух случаях: 1) точки движутся в одну сторону;
2) точки движутся в разные стороны.
18. Докажите, что параллельность плоскостей равносильна
параллельности перпендикуляров к этим плоскостям.
19. а||Ь, 2>||с. Туго натянутая нить идет через точки 1, 2, 3, 4, 5,6,1
(рис. 12.9). Есть ли у нее точки самопересечения и сколько?
20. Дан параллелепипед, а) Докажите, что для каждого его
ребра есть три параллельных, б) Докажите, что для каждой диаго¬
нали его грани найдется параллельная ей диагональ в другой
грани, в) Докажите, что прямая, соединяющая центры его проти¬
воположных граней, параллельна его ребру, г) Докажите, что все
его диагонали имеют общую точку.
21. Дана правильная четырехугольная призма. Докажите, что
в ней: а) диагонали равны; б) прямая, проходящая через центры
противоположных граней, перпендикулярна этим граням.
22. Дан неплоский четырехугольник. Как расположены прямые,
проходящие через середины его противоположных сторон?
23. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противо¬
положных ребер тетраэдра, имеют общую точку.
24» а||Ь, 6||с. Эти прямые не лежат в одной плоскости. A C а,
В Zb, C € с, (ЛВ)_[_с, (BC) ± с. Как расположены прямые а, Ь, с по от¬
ношению к плоскости АВС?
25. Два равносторонних треугольника имеют две пары соот¬
ветственно параллельных сторон и лежат в параллельных плоскос¬
тях. Будут ли параллельны их третьи стороны?
26. Ct1IIaa, PiIlPa, aif) Pi=Q1 OCsD Ра=Ь. Как расположены прямые
а и Ь?
27. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 на про¬
должении ребра DD1 взята точка К, такая, что ID1XI=IDD1I. Через
нее и точку L — переменную точку отрезка B1D1— проводится
плоскость, параллельная ^1B1). Нарисуйте пересечение этой плос¬
кости с плоскостями граней параллелепипеда. Какой фигурой яв¬
ляется сечение параллелепипеда этой плоскостью? Когда оно имеет
•■наибольшую и наименьшую площади?
28. В правильной четырехугольной пирамиде со стороной осно-
72
вания 2 и углом при вершине <р через центр основания проведена
плоскость, параллельная боковой грани. Найдите периметр и пло¬
щадь полученного сечения. Исследуйте их в зависимости от изме¬
нения <р.
§ 13. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПЛОСКОСТЕЙ
13.1. Определение взаимно перпендикулярных плоскостей
Ясное представление а взаимно перпендикулярных плоскостях
дают стены, пол и потолок комнаты: вертикальные плоские стены
перпендикулярны горизонтальному полу (а также потолку). Когда
требуется проверить, вертикально ли установлена плоская по¬
верхность (стена, забор и т. п.), то это делают с помощью отвеса —
веревки с грузом: отвес всегда направлен вертикально. Стена будет
стоять вертикально, если в любом ее месте отвес расположен вдоль
нее, не отклоняясь.
На самом деле, для проверки вертикальности плоской поверх¬
ности нет надобности опускать отвес в каждой ее точке. Более того,
достаточно это проделать лишь в одной точке: если в ней отвес не
отклоняется от поверхности, то и вся
Итак, мы отметили два реальных
факта: 1) если стена стоит вертикально,
то в любом ее месте отвес идет вдоль
нее, не отклоняясь; 2) если отвес, опу¬
щенный из одной точки стены, идет вер¬
тикально, то и вся стена стоит верти¬
кальна.
Первый из них приводит нас к опре¬
делению взаимно перпендикулярных
плоскостей, а второй — к признаку
перпендикулярности плоскостей.
Определение. Две плоскости
называются взаимно перпендикуляр¬
ными, если в каждой из них через любую
точку проходит прямая, перпендикуляр¬
ная другой плоскости.
Другими словами: две плоскости
взаимно перпендикулярны, если каждая
из них покрыта перпендикулярами к дру¬
гой плоскости (рис. 13.1).
Если плоскости аир взаимно пер¬
пендикулярны, то пишут а_1_Р или P-La.
Взаимно перпендикулярные пло¬
скости пересекаются, так как каждая
из них содержит прямые, перпендику¬
лярные другой плоскости, а значит, и
пересекающие другую плоскость. Эти
прямые перпендикулярны как линии
она стоит вертикально.
73
к другой
пересечения взаимно перпендикулярных
плоскостей, так и друг другу (по^определе-
нию перпендикулярности прямой и пло¬
скости, рис. 13.2).
13.2. Признаки перпендикулярности
плоскостей
Практически проверить перпендикуляр¬
ность двух плоскостей, буквально следуя
определению, данному в предыдущем
пункте, невозможно, так как пришлось бы
проверять перпендикулярность бесконеч -
ного множества прямых, лежащих в одной
из них. Поэтому сформулируем и докажем
плоскости,
простые признаки перпендикулярности плоскостей и, пользуясь
ими, докажем существование взаимно перпендикулярных плоскос¬
тей. (Сравните эту ситуацию с аналогичной ей при определении
перпендикулярности прямой и плоскости в § 7.)
Подобно тому как на практике вертикальность плоской стены
проверяют, прикладывая к ней один раз отвес (т. е. проверяя, что
на ней лежит перпендикуляр к горизонтальной плоскости), так и
вообще перпендикулярность плоскостей устанавливают по при¬
знаку, данному следующей теоремой.
Теорема 13.1 (первый признак перпендикулярности пло¬
скостей). Если одна плоскость проходит через прямую,
перпендикулярную другой плоскости, то эти плоско¬
сти взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Пусть плоскость а содержит пря¬
мую а, перпендикулярную плоскости P (рис. 13.3). Сначала покажем,
что плоскость а покрыта перпендикулярами к плоскости р. Возь¬
мем любую точку А € а вне прямой а и проведем через нее в плос¬
кости а прямую а'\\а. Так как а J^B и а'\\а, то а'_1_Р (по теореме о
параллели к перпендикуляру). Итак, плоскость а покрыта перйен-
дикулярами к плоскости р.
Покажем теперь, что и плоскость P покрыта перпендикулярами
к плоскости а. Пусть В — точка, в которой прямая а пересекает Р,
ас — прямая, по которой пересекаются а и р. Через точку В про¬
ведем прямую b в плоскости р, перпендикулярную прямой с. Так
как а_|_Р, то &_[_а. Кроме того, по построению Поэтому Ь±_а по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости. Итак, в плос¬
кости р лежит прямая &, перпендикулярная плоскости а. Тогда, как
уже доказано в этой теореме, плоскость P покрыта перпендикуля¬
рами к плоскости а. Итак, плоскости аир взаимно перпендику¬
лярны. |
Уже говорилось, что этот признак имеет простой практический
смысл. Приведем еще примеры. Например, плоскость двери, на-
74
прямую (через любую
вешенной на перпендикулярный полу ко¬
сяк, перпендикулярна плоскости пола при
всех положениях двери (рис. 13.4). Рабо¬
чий, поднимающий ломом или другим ры¬
чагом какую-нибудь плиту и ставящий ее
вертикально, поднимает рычаг до тех пор,
пока он не встанет перпендикулярно полу
или земле, где лежала плита. Щит, уста¬
новленный перпендикулярно горизонталь¬
ной прямой, стоит перпендикулярно гори¬
зонтальной поверхности.
На основании первого признака легко до¬
казать существование взаимно перпендику¬
лярных плоскостей. Для этого возьмем плос¬
кость и проведем перпендикулярную ей
точку). Любая плоскость, проходящая через эту прямую, будет
перпендикулярна первой плоскости, согласно только что дока¬
занному признаку (рис. 13.5). Можно поступить и иначе: в первой
плоскости взять любую прямую и построить плоскость, перпендику¬
лярную этой прямой. Построенные плоскости тоже взаимно пер¬
пендикулярны (рис. 13.6).
Теорема 13.2. * (второй признак перпендикулярности пло¬
скостей). Две плоскости взаимно перпендикулярны, если
они, пересекаются так, что в них есть взаимно пер¬
пендикулярные прямые, перпендикулярные их общей
прямой.
Доказательство. Пусть плоскости а и P пересекаются
по прямой с. Пусть через точку А прямой с проведены две прямые
а_)_с и Ь_|_с, причем прямая а лежит в плоскости а, а прямая b —
в плоскости р. Допустим, что а_1_Ь (рис. 13.7). Тогда прямая а пер¬
пендикулярна двум прямым с и Ь, лежащим в плоскости р. Стало
быть, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости а_|_р.
А так как прямая а лежит в плоскости а, то а_]_р (по первому при¬
знаку перпендикулярности плоскостей). Ц
75
Этот признак перпендикулярности двух плоскостей также часто
используется на практике. Например, если мы хотим сделать
вертикальный разрез горизонтально лежащего предмета, который
имеет форму прямоугольного параллелепипеда (буханки хлеба,
доски, бруска), то будем следить за тем, чтобы следы разреза шли
перпендикулярно тому ребру, которое мы разрезаем (подумайте
почему). Или раскройте лежащую на столе книгу так, чтобы бли¬
жайшие к вам края обложки стали перпендикулярны друг другу:
тогда верхняя крышка переплета станет перпендикулярна нижней
(рис. 13.8).
13.3. Свойства взаимно перпендикулярных
плоскостей
Из определения взаимно перпендикулярных плоскостей и преды¬
дущих результатов этого параграфа непосредственно вытекают сле¬
дующие свойсхва взаимно перпендикулярных плоскостей.
CboiLctbо 1. Прямая, лежащая в одной из двух
взаимно перпендикулярных плоско¬
стей и перпендикулярная их общей
прямой, перпендикулярна другой
плоскости.
Свойство 2. Прямая, имегдщая
общую точку с одной из двух пер¬
пендикулярных плоскостей и пер¬
пендикулярная другой плоскости,
л$жит в первой из них.
Доказательство. Пусть пло¬
скости аир взаимно перпендикулярны,
прямая а_|_0 и а имеет с а общую точку
А (рис. 13.9). Так- как а JLP, то через точ¬
ку А в плоскости а проходит некоторая
прямая, перпендикулярная плоскости 0.
76
Поскольку в пространстве через каждую точку проходит лишь одна
прямая, перпендикулярная данной плоскости, то это и естьпря-
мая а, т. е. аса. В
Свойство 3. Если две плоскости взаимно перпенди¬
кулярны, то любые две прямые, проведенные в этих
плоскостях из любой их общей точки перпендикулярно
к их общей прямой, взаимно перпендикулярны.
Доказательство. По свойству 1 каждая из этих пря¬
мых лежит в одной из данных плоскостей и перпендикулярна дру¬
гой из них (рис. 13.7), а потому они взаимно перпендикулярны.В
Свойство 4. Если две плоскости, перпендикулярные
третьей плоскости, пересекаются,
то прямая их пересечения перпенди¬
кулярна третьей плоскости.
Доказательство. Пусть две
плоскости а и Р, пересекающиеся по
прямой с, перпендикулярны плоскости у
(рис. 13.10). Через любую точку прямой с
проведем прямую, перпендикулярную пло¬
скости у. Согласно свойству 2 эта Прямая
лежит и в плоскости а, и в плоскости р,
т. е. совпадает с прямой с. Итак, с_|_у. В
Рис. 13.10
$ 13.4. Построение прямой,
перпендикулярной плоскости•
Первый признак перпендикулярности
плоскостей позволяет дать общее решение
задачи: через данную точку А провести
перпендикуляр к данной плоскости а. Эта
задача была решена раньше отдельно для
случаев, когда A ga и когда Afya. Теперь
мы получим общее решени^.
.Пусть даны плоскость а и точка А.
Проведем в плоскости а какую-нибудь
прямую а и через точку А проведем плос¬
кость PJjj (на рис, 13.11, а A ^a1 на
рис. 13.11, б Afya). Пусть с — прямая, по
которой плоскость P пересекает пло¬
скость а.
Проведем в плоскости P через точку А
прямую b_|_с. Эта прямая b и будет иско¬
мой. Докажем это. M
Плоскость р проведена перпендикуляр¬
но прямой а, лежащей в плоскости а. По¬
этому по теореме 13.-2 а_[_р. По построению
прямая b лежит в плоскости P и перпен-_
дикулярна прямой с=аПР. Пусть В—’
а)
6)
Рис. 13.11
77
А
точка пересечения прямых b и с. Так как а_[_0, то через
каждую точку плоскости P и, в частности, через точку В проходит
прямая, лежащая ври перпендикулярная плоскости а. Такая
прямая перпендикулярна прямой с (так как с а: а). Поэтому она сов¬
падает с Ь. Тем самым, В
Если А € а, то можно провести прямую а через точку AiM тогда
изложенное построение совпадает с тем, которое было дано раньше
в §8 для случая А^а.
Дополнение. Рассмотрим случай, когда Л^а. Построе¬
ние начинается с того, что проводится прямая а в плоскости а и
потом через точку А плоскость Р_1_а. Такая плоскость строится сле¬
дующим образом. Через точку А проводится прямая, перпендику¬
лярная а, или, можно сказать, из точки А опускается перпендику¬
ляр на прямую а (рис. 13.12). Через его основание В в плоскости а
проводится еще прямая с,, перпендикулярная я (рис. 13.13). Плос¬
кость, проходящая через эту прямую с и прямую ABi и будет
В ней через точку А проводится прямая Ь_[_с, которая и есть искомая
прямая:
Проведение прямой b равносильно тому, что мы опускаем из
точки А перпендикуляр на прямую с. Если C — его основание, то
отрезок AC будет перпендикуляром, опущенным из данной точки А
на плоскость а. В частности, может случиться, что точка C совпа¬
дает с В. Но если это не так, то получаем
картину, изображенную на рисунке 13.13.
Фигура, изображенная на рисунке
13.13, состоящая из отрезков ACi BCi AB
и прямой а, представляет геометрический
образ реальной конструкции, которой ши¬
роко пользуются на практике, устанавли¬
вая перпендикуляр к плоскости: эта кон¬
струкция — кронштейн. Схематически крон¬
штейн и состоит из четырех стержней, скреп¬
ленных, как на рисунке 13.13. При этом
стержни AB и BC крепятся в точке В к стер¬
жню а, а стержень AC крепится в точке C
78
перпендикулярно СВ. Если стержни а и CB прикрепить к стене, то
стержень AC установится перпендикулярно ей. Это получается
согласно описанному построению.
Кронштейны, применяемые на практике, могут быть сделаны
несколько иначе, чем здесь схематически описано, но принципи¬
ально их конструкция именно такая. Стержень а— поперечина —
служит для устойчивости кронштейна, прикрепленного к стене.
Стержень AC служит опорой для предметов, опирающихся на крон¬
штейн, например поддерживает «стрелу> для подвески, скажем,
фонаря (рис. 13.14). Заметим, что плоскость полки, опирающейся
на кронштейн, перпендикулярна стене (из какой теоремы это сле¬
дует?).
ЗАДАЧИ К § 13
1. Сколько пар взаимно перпендикулярных граней можно на¬
считать: а) в прямоугольном параллелепипеде? б) в прямоугольном
тетраэдре?
2. В правильной четырехугольной пирамиде провели диагонали
основания. Сколько пар взаимно' перпендикулярных плоскостей
можно насчитать^на рисунке?
3. Докажите такие признаки перпендикулярности двух плос¬
костей: а) если плоскость параллельна перпендикуляру к другой
плоскости, то она перпендикулярна другой плоскости; б) если плос¬
кость перпендикулярна одной из параллельных плоскостей, то
она перпендикулярна и другой из них.
4. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте его сечение плоскостью,
которая: а) проходит через точку А и перпендикулярна одной из
граней; '6) проходит через точку А и перпендикулярна двум сосед¬
ним граням; в) проходит через точку А и перпендикулярна (BBiD);
г) проходит через точку А и перпендикулярна (AA1C); д) проходит
через точку А и перпендикулярна (CBiDi); е) проходит через (ACi)
и перпендикулярна (AiBiDi); ж)"проходит через (ACi) и перпенди¬
кулярна (CDCi); з) проходит через (ACi) и перпендикулярна
(BBiCi); и) проходит через (ADi) и перпендикулярна (CDDi);
к) проходит через’ (AD1) и перпендикулярна (AA1D); л) проходит
через (ADi) и перпендикулярна (AAiB).
5. PABC — правильная треугольная пирамида. Нарисуйте ее
сечение плоскостью, которая перпендикулярна основанию и прохо¬
дит через: а) точку А; б) середину ребра АС; в) некоторую точку
внутри боковой грани.
6. PABC — правильный тетраэдр. Нарисуйте: а) точку X на
ребре BC такую, что (AXP)J-(ABC); б) точку Y на грани ABC
такую, что (ВУР)_[_(АРС).
7. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Нари¬
суйте ее сечение плоскостью, проходящей через P и перпендику¬
лярной плоскости: а) (АВС); б) (APD); в) (ABP) и (CPD); г) (APC)
и (BPD).
79
8. В правильном тетраэдре PABC с ребром 1 через (PX), где
X — переменная точка ребра ВС, проводится плоскость, перпенди¬
кулярная основанию. Вычислите граничные значения площади се¬
чения тетраэдра этой плоскостью.
9. В правильной треугольной пирамиде рассматривается треу¬
гольное сечение плоскостью, проходящей через середину стороны
основания перпендикулярно к нему. Когда площадь такого сечения
принимает граничные значения?
10. В правильной четырехугольной пирамиде рассматриваются
треугольные сечения, перпендикулярные основанию. Какое из них
имеет наибольшую площадь? Чему равна площадь такого- сечения
в пирамиде, у которой все ребра равны 1?
11. Постройте плоскость, которая перпендикулярна данной
плоскости и проходит через данную прямую.
12. Две плоскости перпендикулярны третьей. Значит ли э.то,
что они параллельны? Что они пересекаются?
13. Можно ли через одну точку пространства провести три
плоскости, из которых каждые две взаимно перпендикулярны?
А четыре такие плоскости?
14. а) На сколько частей делят пространство три плоскости, из
которых каждые две взаимно перпендикулярны? б) К этим трем
•плоскостям пристроили четвертую плоскость, перпендикулярную
одной из них. На сколько частей теперь разделилось пространство?
в) На сколько частей разделится пространство, если к этим трем
плоскостям пристроить четвертую плоскость, перпендикулярную
двум из данных?
15. Плоскости а и § перпендикулярны и пересекаются по пря¬
мой а. Р$а, А$а, IPAI = I, 0. Вычислить граничные значения
для |АВ|,.если: а) IPBI = I; б) |РВ|=2.
16. Плоскости а и 0-взаимно перпендикулярны и пересекаются
по прямой р. Точка А лежит в плоскости а, точка В лежит в плос¬
кости 0, причем J ABI=2, А и В удалены от р на 1. Из^гочек А и В
проводятся всевозможные наклонные длины 2 AX и BY к плоскос¬
тям 0 и а соответственно. Вычислите граничные значения для
1ХУ1.
17. ABC и ADC — два равносторонних треугольника, лежащих
• перпендикулярных плоскостях. Вычислите |ВР|, если |АС| = 1.
18. аП 0=р, а_1_а, Ь_}_0, у||а, ?№. Докажите, что у_]_р.
19. В треугольной пирамиде есть грани, перпендикулярные ос¬
нованию. Нарисуйте высоту пирамиды на основание.
20. В четырехугольной пирамиде две грани перпендикулярны
основанию. Нарисуйте высоту пирамиды на основание, если осно¬
ванием является: а) квадрат; б) прямоугольник; в) ромб; г) равно¬
бедренная трапеция.
21. ABCD — прямоугольник. (PD)^(ABC). Докажите, что пря¬
мая пересечения плоскостей ABP и CDP перпендикулярна (APD).
22. Два равных прямоугольных треугольника ABC и ABD
имеют прямой угол в вершине В. Треугольник ABD вращается
80
вокруг (ЛВ). Сколько раз за время одного оборота прямая BD
будет перпендикулярна прямой ВС? Будет ли за это время так, что-
(AD)JL(AC)?
23. Из точки А провели перпендикуляр Л В на плоскость а.
Из точки В провели перпендикуляр BC на прямую а в плоскости а.
Из точки C провели перпендикуляр CD к прямой а. Докажите, что
De(ABC).
24. Две плоскости аир перпендикулярны и пересекаются по
прямой р. А ер, Вер. Через точку А в плоскости а и через точку В
в плоскости р проведены прямые AAi и BBi, перпендикулярные р.
Точка X лежит на (AAi), точка Y лежит на ,(BBi). Докажите, что:
а) (BBi)I(BX); б) (АА,)1(АУ).
25. Равнобедренный прямоугольный треугольник расположен
так, что его катеты лежат в двух перпендикулярных плоскостях.
Его гипотенуза равна 2, расстояние от одной из вершин до прямой
пересечения этих плоскостей равно 1. Можете ли вы вычислить рас¬
стояние от другой вершины до этой же прямой?
26. Три плоскости таковы, что каждые две из них взаимно пер¬
пендикулярны. Проводится четвертая плоскость, пересекающая все
три по различным прямым, причем к одной из данных плоско,стей
она перпендикулярна. Как расположены прямые, по которым она
пересекается с другими двумя плоскостями?
27. Ученик X сказал: «Если дце плоскости перпендикулярны
третьей и-проходят через параллельные прямые, то они параллель¬
ны». А ученик Y его опроверг. Как?
28. Имеется п плоскостей, пересекающихся по одной прямой.
К каждой из них из данной точки проводятся перпендикулярные
прямые. Докажите, что все они лежат в одной плоскости.
29. Имеется п плоскостей. Каждые две из них пересекаются,
причем прямые пересечения параллельны. Йз данной точки прово¬
дятся перпендикуляры к этим плоскостям. Докажите, что все они
лежат в одной плоскости.
30. Если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны
одной плоскости, то они-параллельны. Докажите.
Глава Ill
РАССТОЯНИЯ И ПРОЕКЦИИ
§ 14. БЛИЖАЙШИЕ ТОЧКИ И РАССТОЯНИЕ
ОТ ТОЧКИ ДО ФИГУРЫ
14.1. Ближайшие точки
Пусть в пространстве заданы какая-либо точка А и некоторая
фигура F. Точкой фигуры Ft ближайшей к данной точке At назы¬
вается такая точка В фигуры Ft что для
всех точек X фигуры F
|ЛВ|< | AXl (14.1)
(рис. 14.1). Иногда фигура может иметь
много точек, ближайших к некоторой точ¬
ке, а иногда их может и не быть вообще.
Например, все точки окружности — бли¬
жайшие к ее центру, а у'фигуры, получен¬
ной из плоскости исключением целого кру¬
га, нет точек, ближайших к его центру
(рис. 14.2).
Определение. Расстоянием от
точки А до фигуры F называется расстоя¬
ние от А до ближайшей к ней точки фигуры
F (если такая ближайшая к А точка фигуры
F существует).
Расстояние от А до F будём обозначать
так же, как расстояние между точками,
т. е. 1ЛВ1. Ясно, что в том случае, когда.
A^Ft расстояние |Л/7|=|ЛЛ 1=0. Поэтому
в дальнейшем, говоря о расстоянии от точки
до фигуры, мы подразумеваем, что точка не
принадлежит фигуре.
14.2. Расстояние от точки
до прямой
Перпендикуляром, опущенным из точки
А на прямую а, называется, как и в плани¬
метрии, такой отрезок ABt что В Саи пря¬
мая AB перпендикулярна а (рис. 14.3).
82
Из каждой точки А на любую прямую
а, которая не проходит через Af можно
опустить единственный перпендикуляр (по¬
тому что через точку А и прямую а про¬
ходит единственная плоскость, а в ней —
единственный перпендикуляр из точки А
на прямую а).
Наклонной к прямой а из точки Af не
лежащей на а, называется такой отрезок
ACf что C^a и прямая AC не перпенди¬
кулярна а (рис. 14.3).
Теорема 14.1 Перпендикуляр, опущенный из точки
на прямую, короче наклонной, проведенной из той же
точки к этой прямой. Расстояние от точки до прямой
равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки
на данную прямую.
Доказательство. Пусть заданы прямая а и не лежащая
на ней точка А (рис. 14.3). Через Лиа проходит плоскость а. Рас¬
стояния от А до точек прямой а в пространстве те же, что на плос¬
кости а. Из планиметрии известно, что в плоскости кратчайшим
расстоянием от точки до точек прямой является длина перпенди¬
куляра, опущенного из данной точки на прямую, т. е. что перпен¬
дикуляр короче наклонной. Расстояния от А до точек прямой а
в пространстве равны расстояниям от А до этих точек в плоскости а,
т. е. равны длинам перпендикуляров и наклонных, проведенных из
А в точки прямой а. Значит, в пространстве для расстояний от А до
точек прямой а верно все то же, что верно в планиметрии, т. е.
верна, в частности, и эта теорема 14.1. Ц
Сказанное в этой теореме выражают, когда говорят, например,
«иди прямо на дорогу — так короче». «Прямо на дорогу», напрямую,
и значит под прямым углом, т. е. перпендикулярно.
14.3. Расстояние до плоскости
Перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость, был опре¬
делён и построен в § 11. Там же была определена и наклонная
к плоскости и доказано, что перпендикуляр короче наклонной.
Поэтому аналогично теореме 14.1 о расстоянии до прямой выпол¬
няется следующая теорема.
Теорема 14.2. Перпендикуляр, опущенный из /почки
на плоскость, короче наклонной, проведенной к этой же
точке плоскости из той же точки. Расстояние от
точки до плоскости равно длине этого перпендикуляра.
Эту же теорему можно выразить и так: ^основание перпен¬
дикуляра, опущенного из точки А на плоскость а, и бли¬
жайшая к А точка плоскости а — это одна и та же
точка.
83
точка
точки
(14.2)
Следующая лемма часто используется
при решении задач и в доказательствах те¬
орем. В ней расстояния понимаются, как
их численные значения при какой-либо еди¬
нице измерения, так что |АХ| и т. д. в фор¬
муле — это числа (иначе смысл |АХ|* и т. д.
требовал бы особых пояснений).
Лемма 14.1. Если А — данная точ¬
ка и В—ближайшая к ней
плоскости а, то для всякой
X^a
| ЛХI2 = | ЛЯ I2-|-|ВХ I2.
Доказательство. Если точка А
лежит в плоскости а, то ближайшая к ней
точка В и есть она сама, т. е. A=B и |АВ1=0. Поэтому равенство
(14.2) верно.
Пусть теперь точка А не лежит в плоскости а; Тогда отрезок
AB — это перпендикуляр, опущенный из точки А на плоскость а.
Поэтому для любой точки X этой плоскости, отличнойот В, треуголь¬
ник ABX прямоугольный (рис. 14.4), а равенство (14.2) следует из
теоремы Пифагора. Если же X=B, то |ВХ|=0 и равенство (14.2)
тоже верно.
Таким образом, оно верно во всех случаях.^
ЗАДАЧИ К § 14
1. Фигура F лежит в плоскости а, точка А не лежит в этой плос¬
кости, точка В фигуры F является ближайшей к точке А. Следует ли
отсюда, что (AB)J-Ot?
2. Для некоторой фигуры F существует такая точка, к кото¬
рой являются ближайшими сразу все точки фигуры F. Приведите
пример такой фигуры: а) плоской; б) неплоской.
3. Для некоторой фигуры F существует такая точка, к которой
являются ближайшими ровно п точек фигуры F. Приведите пример
такой фигуры: а) плоской; б) неплоской.
4. Фигура F —‘выпуклая. Может ли у нее быть две точки, бли¬
жайшие к данной точке А; которая не принадлежит фигуре В?
5. Для всякой точки X фигуры F можно найти такую точку Y
фигуры F, что |АУ|<|АХ|, где А —данная точка. Существует ли
в фигуре F точка, ближайшая к А?
6. Нарисуйте фигуру, каждая точка которой удалена от данной
прямой- на расстояние: а) равное данному; б) меньшее данного;
в) большее данного.
7. Каждая точка неплоской линии, удалена от данной прямой
на данное расстояние. Нарисуйте такую линию. Сколько таких
линий существует?
8. Даны две прямые. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек,
>4
равноудаленных от этих прямых. (Рассмотрите случаи; когда дан¬
ные прямые: а) параллельны; б) пересекаются; в) скрещиваются,
причем одна из них перпендикулярна прямой, параллельной дру¬
гой.)
9. Две прямые параллельны. Нарисуйте фигуру, состоящую
из точек, удаленных от каждой из них на одно и то же расстояние.
10. Некоторая точка луча OA равноудалена от прямых OB
и ОС. а) Верно ли, что каждая точка луча OA равноудалена от этих
прямых? б) Верно ли это для каждой точки прямой OA?
11. Дан треугольник AQC и точка Xffc(ABC). Может ли рас¬
стояние, от X до (ABC) равняться: а) |ХА|; б) |ХА| и IXSjI; в) рас¬
стоянию от X до (АВ); г) расстоянию от X до (AB) и до (АС)?
12. IAaI=J1, ISaI=Cts (di^dt). Найдите IXaI, если: а) точка
X — середина отрезка АВ; б) точка В — середина отрезка АХ;
в) точка X лежит на отрезке AB1 причем |*4ДС| : IXBI = 2 : 1.
13. Расстояния от вершин треугольника ABC до плоскости а
различны и равны J1, Js, J,. Найдите расстояние от точки пересе¬
чения медиан этого треугольника до плоскости о,.
14. Треугольник ABC — равносторонний со стороной 1. Из
вершин этого треугольника в одном направлении по лучам, перпен¬
дикулярным плоскости треугольника, стали одновременно двига¬
ться точки со скоростями 1, 2, 4. C какой скоростью движется:
а) середина каждой стороны треугольника; б) точка пересечения
медиан треугольника?
15. Расстояния от трех вершин параллелограмма до плоскости
а различны и равны .J1, Cf2t-Ci3. Найдите расстояние от четвертой
вершины до плоскости а.
16. Треугольник ABC равносторонний со стороной 2. |Аа| = 1,
|Ва| =3; На каком расстоянии от а Может находиться вершина С?
Решите ту же задачу, если |Аа|=2.
17. В четырехугольнике ABCO(OA) I (АВ), (ОС)_\_(ВС), |ОА| =
=|0С|=4, |АВ|=х. PO—перпендикуляр к плоскости четырех¬
угольника длиной 1. Выразите как функцию от х: а) расстояние
от P до (АВ); б) расстояние от О до (PB); в) расстояние от О до (РА);
г) расстояние от О до (РАВ); д) расстояние от C до (РОВ).
18. В правильном тетраэдре с ребром 1 вычисЛите-расстояние от
середины ребра до плоскости противоположной'грани.
19. В правильном тетраэдре PABC точка К — переменная точка
ребра PB. Длина каждого ребра равна 1. |ВК1=х. Выразите как
функцию от х расстояние: а) от К до (АС); б) от К до (APC). Вы¬
числите граничные значения этих расстояний.
20. В правильной треугольной призме ABCA1BiCu все ребра
которой равны 1, проводятся сечения, перпендикулярные медиане
основания AK. Выразите площадь и периметр сечения как функ¬
цию от х, где х — расстояние от А до плоскости сечения. Вычислите
их граничные значения. -
21. Имеется правильная четырехугольная пирамида со стороной
основания d и высотой h. Ее положили на плоскость сначала осно-
SS
ванием, а потом боковой гранью, а) В каком случае она будет боль¬
ше возвышаться над плоскостью? б) Можно ли добиться еще боль¬
шего возвышения?
22. Прямая а и плоскость а: а) параллельны; б) перпендику¬
лярны. Нарисуйте фигуру, состоящую из точек, равноудаленных
от прямой и плоскости.
23. На некоторой высоте над Землей происходит взрыв. Его
видят и слышат наблюдатели, которые установили, на какой вы¬
соте он произошел. Сколько было наблюдателей?
24. Отрезок AB лежит на прямой а, прямая а лежит на плоскости
а, Расстояние от точки P до отрезка равно di, от нее же до
прямой равно ^2, от нее же до плоскости равно J3. Может ли быть,
что: а) эти три числа равны между собой; б) эти три числа различны;
в) два из них равны между собой и не равны третьему?
25. Фигура F1 находится внутри фигуры F2. Обе они лежат в
плоскости а, а точка А не лежит в^ней. AF1I=Cilt |ЛF2I =^2. Мо¬
жет ли быть, что: а) Ci1=Ci2; б) Cl1^d2; в) Cf1Cd2?
26. Через центр окружности проведен перпендикуляр к плос¬
кости,’в которой она лежит. Известно расстояние от некоторой
точки этого перпендикуляра до окружности. Можно ли найти рас¬
стояние от нее до границы правильного п-угольника: а) вписанного
в окружность; б) описанного около нее? в) А если он не является
правильным?
,27. Ученик X ищет расстояние до плоскости а от любой данной
точки следующим образом: проводит на этой плоскости прямую и
находит на ней точку At ближайшую к данной; затем через точку А
проводит прямую в плоскости а, перпендикулярную взятой, и на
этой прямой находит точку Bt ближайшую данной. По его мнению,
точка В — ближайшая к данной точке плоскости а. Можете ли вы
обосновать его действия? Можете ли вы придумать что-либо ана¬
логичное?
28. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Вычислите расстояние от
точки X до квадрата, если: а) |ХА| = |ХВ|=|ХС| = 1; б) |ХА| = 1,
1хв|=/з, |хг>|=Из7
* § 15. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ И ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ
15.1. Перпендикуляры между параллельными плоскостями
Колонны и столбы, поддерживающие крыши и междуэтажные
перекрытия, представляют реальное воплощение отрезков между
параллельными плоскостями (рис. 12.3). В начале § |2 об этих от¬
резках была доказана лемма 12.1: параллельные отрезки с концами
на двух параллельных плоскостях равны. Теперь мы рассмотрим
отрезки, перпендикулярные одной из плоскостей, и так как они
сходны с колоннами, воздвигнутыми на горизонтальном основании,
то и теорему о них можно было бы назвать «теоремой о колоннах»
или теоремой об общих перпендикулярах.
Теорема 15.1 (об общих перпенди¬
кулярах). Отрезки с концами на двух
параллельных плоскостях, перпен¬
дикулярные одной из них, парал¬
лельны, равны, а также перпендику¬
лярны другой из этих плоскостей.
Доказательство. Пусть отрез¬
ки AB и XiBi проведены из точек А и Af
плоскости.а перпендикулярно ей до парал¬
лельной ей плоскости 0 (рис. 15.1).
Прямые, перпендикулярные одной и той
же плоскости, параллельны (по теореме
12.2). Поэтому
(ЛВ)||(4А).
(15.1)
Так как параллельные отрезки между параллельными плоскос¬
тями равны (по лемме 12.1), то
IXBI=M1B1I. (15.2)
Всякая прямая, перпендикулярная одной из параллельных плос¬
костей, перпендикулярна и другой из них (теорема 12.1). Поэтому
перпендикуляры AB и A1B1 к плоскости а перпендикулярны также
плоскости Р:
(XB)Ip, (AB1)Ip. (15.3)
Точки X и X1 были взяты на плоскости а произвольно. Поэтому
соотношения (15.1), (15.2) и (15.3) выражают сказанное в теореме.(|
Длина перпендикуляра XX1, опущенного из любой точки Xga
на плоскость р||а, дает расстояние от этой точки до плоскости Р:
IXX1I=IXpI. И так как также" (ХX1JJjx, то IXX1I=IXiaI. Следо¬
вательно, мы приходим к такому следствию теоремы 15.1:
Следствие. Все точки каждой из двух параллель¬
ных плоскостей удалены от другой плоскости на одно
и то же расстояние.
Перпендикуляр короче наклонной. Поэтому общие перпенди¬
куляры двух параллельных плоскостей, о которых шла речь
в теореме 15.1,— самые короткие из всех отрезков, концы которых
лежат на тех же двух плоскостях (так что, например, самая корот¬
кая палка, упирающаяся концами в две параллельные стенки,
перпендикулярна им).
Длина общего перпендикуляра двух параллельных плоскостей
измеряет, Наглядно говоря, толщину слоя между этими плоскостями
в том месте, где эта прямая его протыкает. То, что все такие отрез¬
ки — перпендикуляры — равны, означает, следовательно, что слой
между параллельными плоскостями имеет везде одну и туже тол¬
щину.
Слой между двумя • параллельными плоскостями —это пересече¬
ние двух полупространств, каждое из которых ограничено одной из
данных параллельных плоскостей и содержит другую из них.
87
15.2. Постоянство расстояния и признаки параллельности
' Параллельные прямые и плоскости характеризуются тем, что
они не пересекаются на всем их бесконечном протяжений.. Но
реально мы имеем дело с конечными отрезками прямых-и конечными
кусками плоскостей, хотя бы и не идеальными, но прямыми и плос¬
кими с той или иной точностью. Параллельность противоположных
краев пола или доски, двух рельсов и т. п., так же как параллель¬
ность пола и потолка, двух противоположных стен или между¬
этажных перекрытий,— .все это определяется не тем, что полу¬
чается при их бесконечном продолжении. Никакой плотник не
продолжает краев доски до бесконечности, как строители, даже
мысленно, не продолжают ни междуэтажных перекрытий, ни стен
дома. Словом, на самом деле в параллельных прямых и плоскостях
важны и имеют реальный смысл те свойства, которые относятся
к их конечным отрезкам и кускам. По этим же свойствам произво¬
дится построение параллельных прямых и плоскостей, а в реаль¬
ности их конечных кусков.
Важнейшее свойство, характеризующее параллельные прямые
и плоскости,— это постоянство расстояния, т. е. равноудаленность
точек одной прямой или плоскости от другой. Его выражает следую¬
щая теорема.
Теорема 15.2. Множество точек, удаленных от дан¬
ной плоскости на данное положительное расстояние и
лежащих от нее с одной стороны, есть плоскость,
параллельная данной.
Предварительно докажем лемму о слое между плоскостями.
Лемма 15.1 (о слое между параллельными плоскостями).
Если из всех точек некоторой плоскости проведены
равные и параллельные друг другу отрезки, лежащие
с одной стороны от плоскости, то другие концы зтих
отрезков заполняют плоскость, параллельную данной,
а сами отрезки заполняют слой между этими плос¬
костями.
Доказательство. Пусть из точки А плоскости а про¬
веден не лежащий в ней отрезок АВ. Через точку В проведем плос¬
кость р||а (рис. 15.2). В слое U между плоскостями а и P возьмем
любую точку Z (случай, что Zg р, не исключается). Проведем че¬
рез Z прямую, параллельную прямой АВ. Эта прямая пересечет
слой по отрезку XY, концы которого лежат в плоскостях аир.
Отрезок XY параллелен отрезку AB (по построению) и равен ему
(по лемме 12.1). Итак, слой U между аир заполнен параллельными
и равными друг другу отрезками, а плоскость P состоит из концов
этих отрезков, не лежащих в а.
Покажем, что вне U нет точек рассматриваемых отрезков: Возь¬
мем любой отрезок MN, равный и параллельный отрезку АВ, один
конец которого — точка M — принадлежит а, а другой — точка
N — лежит с той же стороны от а, где лежит точка В. Покажем,
88
Рис. 15.2
IAfWI < IAfWiI = ИВ|
Рис. 15.3
JAfWl > IAfW2I= |ЛВ|
Рис.' 15.4
что отрезок MN лежит в слое U, а
его конец N лежит в плоскости р.
Действительно, если бы точка N
лежала между а и 0, то оказалось
бы, что |Л4ЛП<|АВ| (рис. 15.3). А
если бы N лежала вне U, то
оказалось бы, что |Л4ЛП>-|АВ|
(рис. 15.4). В обоих случаях при¬
ходим к противоречию. Итак, N € р
и отрезок MN лежит в слое U. И
Теперь теорема 15.2 доказы¬
вается совсем просто.
Доказательство тео¬
ремы 15.2, Точки, о которых
идет речь в теореме 15.2, являются
концами равных друг другу пер¬
пендикуляров, которые восставлены
из всех точек данной плоскости и
лежат с одной стороны от нее
(рис. 15.5). Такие перпендикуляры
•удовлетворяют условиям доказан¬
ной леммы о слое, так как они па¬
раллельны (по теореме 12.2) и
равны. Следовательно, их концы,
не лежащие в данной плоскости,
заполняют плоскость, параллель¬
ную данной. |
Из доказанной теоремы вытекает
следующий признак параллельно¬
сти плоскостей.
Следствие. Если плоско¬
сть проходит через три
точки» не лежащие на од¬
ной прямой и расположенные
Рис. 15.5
Рис. 15.6
89
В с одной стороны от данной плос¬
кости на одном расстоянци от нее,
то эта плоскость параллельна дан¬
ной.
Эту теорему можно было бы назвать «тео¬
ремой о столе на трех ножках»: она означа¬
ет, что крышка стола, стоящего на трех пер¬
пендикулярных ей равных ножках, парал¬
лельна полу. Так же в принципе устанавли¬
ваются параллельные междуэтажные пере¬
крытия, горизонтальные платформы, мосты и т. д.; они опираются на
вертикальные стены или столбы равной высоты. Верхние концы
этих столбов оказываются в плоскости, параллельной той, в кото-
рукГупираются их основания (рис. 15.6). Другой пример: на ста¬
каны или иные предметы равной высоты, стоящие на подносе, можно
положить сверху еще поднос. Еще пример: измеряя глубину с по¬
верхности воды, опускают на веревке груз: если длина ее, когда
груз достигает дна, всегда одна и та же, значит, дно горизонталь¬
но — параллельно поверхности воды.
Другой способ установить плоскость, параллельную данной,
основан на том, что плоскости с общим перпендикуляром парал¬
лельны. При этом важно, что для перпендикулярности прямой и
плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум
прямым в этой плоскости. А это уже можно обеспечить построением
и проверить конечным числом операций. Сопоставим признаки
параллельности, связанные с перпендикулярами.
1. Две прямые параллельны, если они перпендикулярны одной
плоскости (теорема 12.2).
2. Две плоскости параллельны, если они перпендикулярны одной
прямой (теорема 9.1).
3. Плоскость и прямая, не лежащая в ней, параллельны, если они
перпендикулярны одной прямой (задача №31 к § 10)\ они также
параллельны, если перпендикулярны одной плоскости (задача
№30 к § 13).
Проверить параллельность и строить параллели можно и не
пользуясь перпендикулярами. Например, отрезки AB и A1B1 пара¬
ллельны и равны, если отрезки AB1 и BA1 пересекаются в точке,
служащей серединой каждого из них (рис. 15.7). Здесь не нужно
требовать, чтобы отрезки AB и A1B1 лежали в одной плоскости:
это обеспечено тем, что отрезки AB1 и BA1 пересекаются. Пользуясь
параллельными отрезками, можно установить и параллельность
плоскостей, например по теореме 10.3.
15.3. Расстояние между фигурами
Рассмотрим две фигуры F1 и F2- Точки A ^F1 и B^F2 называ¬
ются ближайшими точками фигур F1 и F2, если для любых точек
90
X ^Fi и У C Fa выполняется неравенство
\АВ\^\ХУ\ (15.4)
(рис. 15.8).
Определение. Расстоянием между
двумя фигурами называется расстояние
между ближайшими точками этих фигур,
если такие точки существуют.
Сформулированное ранее определение
расстояния от точки до фигуры является
частным случаем определения для рассто¬
яний между фигурами, когда одна из фи¬
гур состоит из одной точки.
Расстояние между фигурами Fj и Fa
обозначается символом IFiF2L
Например, концы любого общего пер¬
пендикуляра двух параллельных плоско¬
стей являются их ближайшими точками.
Поэтому длина такого перпендикуляра яв¬
ляется расстоянием между этими плоско¬
стями, т. е. расстояние точек одной парал¬
лельной плоскости до другой является рас:
стоянием между самими плоскостями. В
этом смысле говорят, например, о расстоя¬
нии от пола до потолка или о высоте по¬
толка над полом.
Вообще же расстояние фигуры до ка¬
кой-нибудь плоскости, если они не име¬
ют общих точек, равно длине наименьшего
из перпендикуляров, опускаемых из точек
фигуры на эту плоскость (рис. 15.9). Так,
Рис. 15.9
если провод провисает, то его расстояние до земли нужно счи¬
тать от самой низкой его точки. Провод же, натянутый параллельно
земле, как прямая, параллельная плоскости, проходит на постоян¬
ном расстоянии от нее.
ЗАДАЧИ К § 15
1. а||р, HaI=Jb Iapi=J2. Найдите 1ЛР1.
2. IZlaI=J1, |ЛР1 =J2, а||р. Найдите |ар|.
3. Какой фигурой' является множество точек X таких, что:
а) IXaI=J; б) IXalCJ; в) IXa^J; г) J1ClXalCJ2?
4. Какой фигурой является множество точек X, таких, что
IXaI = IXpi? Рассмотрите случаи: а) а||р; б) плоскости аир пересе¬
каются.
5. В кубе ABCDAxBiCxDy с ребром 1 на (CD) взята точка Kt
такая, что вершина D является серединой отрезка КС. Вычислите
расстояние от нее до плоскости BCxD.
91
6. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 вычислите расстояние между
плоскостями AB1C и A1C1D.
7. PABC—правильный тетраэдр с ребром 1. Расстояния от
вершин А, В, C до плоскости а равны d. Найдите расстояние от вер¬
шины P до плоскости а.
8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 с ребром 2
проводится сечение плоскостью, параллельной одной из граней.
Выразите площадь этого сечения как функцию от х, где х — рас¬
стояние между плоскостью грани и плоскостью сечения.
9. В правильном тетраэдре с ребром 2 проводится сечение плос¬
костью, параллельной одной из граней. Выразите площадь этого
сечения как функцию от х, где х — расстояние между гранью и
плоскостью сечения.
10. В четырехугольной пирамиде PABCD в основании лежит
квадрат со стороной 2. Грань PAB перпендикулярна основанию.
|РЛ| = |РВ|=2. В этой пирамиде проводится сечение, параллельное
плоскости PCD. Выразите его площадь как функцию от х, где х —
расстояние между сечением й параллельной ему гранью. Можете ли
вы вычислить граничные значения площади этого сечения? Решите
такую же задачу, если плоскость сечения параллельна другой грани
пирамиды?
11. AA1, AAit BB1, BBs— равные наклонные к плоскости а.
Точки Л и В лежат в плоскости а. При каком расположении на¬
клонных точки Ль As, B1, Bs лежат в одной плоскости И эта плос¬
кость параллельна плоскости а?
12. Докажите, что прямая, все точки которой удалены от данной
плоскости на данное положительное расстояние, параллельна этой
плоскости.
13. Треугольник ABC равносторонний со стороной 2. Точки Л
и В удалены от плоскости а на 1 и лежат с одной стороны от данной
плоскости. На каком расстоянии от а может находиться точка С?
14. Две вершины параллелограмма лежат в плоскости а. Дока¬
жите, что две другие его вершины удалены QT плоскости а на оди»
наковое расстояние.
15. а||Ь, 6||с, |яс|=3, |Ьс|=4. Расстояние между прямыми а и b
принимает такие значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. В каждом случае вы¬
числите расстояние от с до плоскости, в которой лежат прямые
а и Ь.
16. В правильной пирамиде PABCD с ребром-1 проведено через
(AB) сечение, пересекающее грань PCD по отрезку KL. Выразите
расстояние от (KL) до (ABC) как функцию от х, где х — расстояние
от (KL) до (?Р).
17. AA1, AAs, BB1, BBs — равные наклонные к плоскости а.
А фа, В фа. При каком расположении наклонных (ЛВ)||а?
18. Любые ли две треноги можно поставить на земле так, что
перекладина, установленная на них, будет горизонтальна?
п
19. Некий самолет летел на одной и той же высоте. Вы распола¬
гаете двумя приборами; которые могут фиксировать время, когда
до них дойдет звук самолета. Можно ли с их помощью определить
высоту, на которой летит самолет? А его скорость?
20. а||Ь, Ь||с, |аЬ|=|Ьс|=|ас| =4. Вычислите расстояние от точки
X до прямой с, если X равноудалена от прямых а и Ь, причем:
а) |Ха|=|ХЬ|=2; б) IXaI=IXbI=3; в) |Ха1 = |ХЬ|=4; г) IXaI = IXbI =
=5.
21. а_]_Р» а Л Р=с, аса; ЬсВ, а||Ь, IacI=Ji, IbcI=J2. Найди¬
те |аЬ|.
22. Прямые а и b параллельны. Постройте прямую, удаленную от
прямой а на расстояние Jb а от прямой b на расстояние J2.
23. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 проведено сечение через
отрезок AD и параллельный ему отрезок верхнего основания. Вы¬
разите площадь сечения как функцию от х, где х — расстояние
между (AiDi) и отрезком верхнего основания. Вычислите ее гра¬
ничные значения.
24. В правильном тетраэдре PABC с ребром 1 проведено сечение
через среднюю линию основания и параллельный ей отрезок в бо¬
ковой грани. Выразите площадь сечения как функцию от х, где х —
расстояние от этого отрезка до параллельной ему стороны основа¬
ния. Можете ли вы найти ее граничные значения?
25. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD со. сто¬
роной основания J и высотой h проведено сечение через сторону ос¬
нования. Выразите его площадь как функцию от х, где х — расстоя¬
ние между (AB) и отрезком сечения в грани РАВ.
26. Докажите, что расстояние между скрещивающимися пря¬
мыми равно расстоянию между параллельными, плоскостями, в кото¬
рых они лежат, и расстоянию от одной из них до плоскости, ей па¬
раллельной и проходящей через другую прямую.
27. Прямые а и b лежат в плоскости а на расстоянии J1X)
между собой. Прямая с перпендикулярна этой плоскости. |ас| = J2.
Найдите Ьс\.
28. а_ЦР, а(1Р=а. Дан квадрат со стороной 1, одна сторона
которого лежит в плоскости а, а другая — в плоскости р. Каждая
из этих сторон удалена от прямой а на расстояние J. Найдите рас¬
стояние от диагонали квадрата до прямой а.
29. Дан куб ABCDAIBiC1D1 с ребром 1. Вычислите расстояния
между: а) (AB) и (DDi); б) (ADi) и (BiC); в) (A1C) и (AD); г) (A1C)
и (BD); д) (A1B) и (CB1); е) (A1B) и (B1D).
30. Все точки некоторой линии удалены от плоскости на одно
и то же расстояние; Является-ли эта линия прямой или ее частью?
Является, ли она плоской?
31. Все точки некоторой линии одинаково удалены от каждой
из двух плоскостей. Является ли эта линия прямой или ее частью?
Является ли она плоской?
32. Расстояние между фигурами Fi и F2 равно J1, расстояние
между фигурами F2 и F3 равно J2 (J^J1). Нарисуйте такие фигуры,
93
что: а) IFiFsI не существует; б) IFiFaI=O; в) IFiF8I=J^J2;
г) IFiFs^JiH-J2; д) IF1F3I=J2-di; е) AidFiFaKd2; ж) IFiF8I=Ji;
з) IFiFsKJi.
33. Дан куб ABCDAiBiCiDi с ребром 2. Нарисуйте множество
точек на его поверхности, удаленных на 1 от: а) передней грани;
б) хотя бы одной грани; в) (AiBDi); г) (AiBD); д) (AAx); е) (CiD);
ж) (AiC).-
34. Дан тетраэдр PABC с ребром 2. Нарисуйте множество то¬
чек на его поверхности, удаленных на 1 от: а) (АВС); б) (АРК),
где К — середина ребра ВС; в) (АР); г) (PQ), где Q — центр осно¬
вания.
35. Нарисуйте фигуру, состоящую из всех точек, удаленных от
данной фигуры F на расстояние 1, на расстояние, большее 1, на
расстояние, меньшее 1, если фигура F: а) прямая; б) отрезок; в) ок¬
ружность; г) треугольник; д) полоса; е) плоскость; ж) круг; з) квад¬
рат.
36. Представьте себе, что у вас в руках кубик. Как надо распо¬
ложить его относительно пола, чтобы все его вершины были удалены
от пола на разные расстояния?
37. На горизонтальной плоскости лежат пар'аллельно друг другу
два достаточно длинных прямоугольных параллелепипеда, и рас¬
стояние между ними равно 1. Наименьшие грани каждого из них
представляют собой квадрат со стороной 1. В просвет между ними,
упираясь в параллельные ребра этих параллелепипедов, положена
правильная треугольная призма, причем одна ее грань параллельна
данной плоскости. Ребро основания призмы равно 2. а) Какова
высота полученного сооружения? б) На каком расстоянии от дан¬
ной плоскости находится призма? в) Как изменятся полученные
результаты, если расстояние между параллелепипедами будет
равно J? г) А если ребро основания призмы будет равно J?
38. В кубе с ребром 5 расположены два шара радиуса 1. а) Вы¬
числите наибольшее расстояние между этими шарами, б) Помес¬
тится ли в кубе третий такой же шар? в) Если нет, то каково ребро
наименьшего куба, в котором он уместится?
§ 16. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ
16.1. Определение параллельного проектирования
Параллельным проектированием пользуются, например, при
изображении на плоскости (скажем, на бумаге) фигур, располо¬
женных в пространстве. Определяется оно так.
Пусть даны плоскость а и пересекающая ее прямая а. Возьмем
в пространстве произвольную точку X. В том случае, когда точка X
не лежит на а, через X проводим прямую а', параллельную пря¬
мой а (рис. 16.1). Прямая а' пересекает плоскость а в некоторой
точке X', Эта точка называется проекцией (на плоскость а) точки X
при проектировании параллельно прямой а, или, короче, парал-
и
лельной проекцией точки X. Если точка
X лежит на прямой а, то ее параллель¬
ной проекцией X' называется точка, в
которой а пересекает а. Заметим, что в
случае, когда X а, точка Xz совпадает
с точкой X.
Таким образом, если заданы пло¬
скость а и пересекающая ее прямая а,
то каждой точке X пространства можно
сопоставить единственную точку X' —
параллельную проекцию точки'Х на
плоскость а (при проектировании парал¬
лельно прямой а). Плоскость а назы¬
вается плоскостью проекций. О прямой а
говорят, что она задает направление
проектирования, потому что при замене
прямой а любой другой прямой, парал¬
лельной ей, в силу транзитивности па¬
раллельности прямых, результат проек¬
тирования не изменится. Все прямые,
параллельные прямой а, задают одно и то
же направление проектирования и на¬
зываются вместе с прямой а проекти-
Рис. 16.1
рующими прямыми. рис 16.2
Проекцией фигуры F называется мно¬
жество Ft проекций все^ ее точек. Отображение, сопоставляющее
каждой точке X фигуры F ее параллельную проекцию Xz ^F', на¬
зывается параллельным проектированием фигуры F (рис. 16.2).
Параллельную проекцию реальной фигуры представляет, на¬
пример, ее тень, падающая на плоскую поверхность при солнечном
освещении, поскольку солнечные лучи можно считать параллель¬
ными. Так что, глядя-на свою тень на земле или на стене, вы ви¬
дите свою параллельную проекцию. («Мещанин во дворянстве» в
комедии Мольера не знал, что всю жизнь говорил прозой; так и
тот, кто не учил геометрии, не знает, что постоянно наблюдает и
даже претерпевает параллельное проектирование.)
16.2. Основные свойства параллельного
проектирования
Теорема 16.1 (о параллельном проектировании). При па¬
раллельном проектировании для прямых, не параллель¬
ных направлению проектирования, и для лежащих на
них отрезков выполняются следующие свойства:
1) проекция прямой есть прямая, а проекция от¬
резка — отрезок;
2) проекции параллельных прямых параллельны или
совпадают;
95
3) отношение длин проекций отрезков, лежащих ял
одной прямой или на параллельных прямых, равно от¬
ношению длин самих отрезков.
Доказательство. Пусть а — плоскостьлроекций и пря¬
мая а задает направление проектирования.
1) . Рассмотрим .какую-либо прямую Ь, не параллельную а. Так
как прямую а можно заменить любой прямой, ей параллельной, то
можно-хчитать, что а пересекает Ь. Тогда через эти прямые а и Ь
проходит плоскость 0. Она пересекает плоскость а по некоторой
прямой Ь'=аЛ₽. Эта прямая b' и будет проекцией прямой Ь
(рис: 16.3).
В самом деле, проекция X' каждой точки X прямой b нахо¬
дится на прямой b' и каждая точка У' на прямой Ь' является про¬
екцией некоторой точки Y^b. Это потому, что все проектирующие
прямые, пересекающие b (У),.находятся в плоскости 0, а значит,
пересекают Ь'(Ь).
Теперь докажем, что проекцией отрезка является отрезок.
Пусть две точки А и В лежат на прямой Ь, а точки А' и В' —
их проекции. Тогда A'^b', B'^b', и проекцией отрезка AB пря¬
мой b является отрезок А'В' прямой b' (рис. 16.3). Действительно,
прямые b, b' лежат в одной плоскости 0, проектирующая прямая
ах, проходящая через любую внутреннюю точку X отрезка АВ,
идет между проектирующими прямыми, проходящими через А и В.
Поэтому и точка X’ на прямой U лежит между А', В', т. е. на от¬
резке А'В’. Когда X пробегает отрезок АВ, точка X1 пробегает
отрезок А'В'.
2) Если теперь даны две параллельные прямые b и с, то проходя¬
щие через них плоскости 0 и у, параллельные прямой а, совпадают
или параллельны (по теореме 10.3). На рисунке 16.4 изображен
второй случай. Поэтому и прямые Ь' и с’ совпадают или парал¬
лельны (по лемме 9.1). '
Итак, первые два пункта теоремы доказаны. Докажем третий.
3) Рассмотрим два отрезка: AB и CD, лежащие на одной прямой
Ь. Через эту прямую проведем плоскость 0, па.раллельную прямой а.
Рис. 16.4
Рис. 16.3
96
Рис. 16.5
Рис. 16.6
Она пересечет плоскость а по прямой. Ь', на которой лежат проек¬
ции A1B', CD' отрезков AB^ CD (рис. 16;5). Проектирующие пря¬
мые, проходящие через точки А, В, Cj D, параллельны прямой а
и, стало быть, параллельны друг другу (или совпадают). Кроме
того, они все лежат в плоскости P. По известной теореме планимет¬
рии параллельные прямые отсекают на двух прямых пропорцио¬
нальные отрезки. Значит,
|Л'В'|
ICD| ~ |С'Р' | •
Тем самым свойство 3 доказано для отрезков, лежащих на одной
прямой.
Пусть теперь отрезки AB и CD лежат на параллельных прямых b
и с (рис. 16.6). Прямые эти лежат в одной плоскости. Проведем *
• прямую AC и через точку В — прямую, ей параллельную. Она
пересечет прямую с в какой-то точке М. Получим параллелограмм
с противоположными сторонами Аб- и СМ.
Проекцией этого параллелограмма на плоскость а будет паралле¬
лограмм .(когда проекции параллельных прямых параллельны) или
отрезок (когда эти проекции совпадают). Мы рассмотрим более
сложный случай, когда A'B'M'C — параллелограмм (рассужде¬
ния для другого случая лишь упрощаются). Его противополож¬
ными сторонами являются отрезки А'В', CM'— проекции отрез¬
ков АВ, СМ. Так как те и другие — стороны параллелограммов,
то |ЛВ|=|СМШ4'ВТ=1С'М'|.
Отрезок Cm служит проекцией отрезка СМ, лежащего на од¬
ной прямой с отрезком CD. Поэтому по доказанному
|СМ| | см1 |
ICD | = Tc7S7T ’
4 № 7814
W
Отсюда и из предыдущих ра¬
венств следует, что
| CD | |С'Р-| ’
т. е. длины проекций параллель¬
ных отрезков пропорциональны
длинам самих отрезков. Ц
Отметим, что из доказанного,
в частности, вытекает следствие.
Следствие. При парал¬
лельном проектировании се¬
редина отрезка проектируется в середину его проекции.
4с 16.3. Параллельная проекция треугольника
Как доказано, при параллельном проектировании отношение
длин параллельных отрезков и отрезков на одной прямой сохра¬
няется. Если же отрезки не параллельны и не лежат на одной пря¬
мой, то отношение длин их проекций может оказаться каким угодно.
Это вытекает из следующего простого предложения.
Каждый треугольник можно параллельно спроекти¬
ровать так, что в проекции получится треугольник
любого вида, т. е. подобный любому другому заданному
треугольнику. *
Действительно, пусть даны два треугольника ABC и A1B1C1.
Проведем через прямую AB плоскость а, пересекающую плоскость
треугольника ЛВС. На ней построим треугольник ABC9 подобный
треугольнику A1B1C1 и прилегающий к треугольнику ABC по сто¬
роне AB (рис. 16.7). Тогда при проектировании на плоскость а
параллельно прямой CC треугольник ABC спроектируется на
треугольник ABC так, что его проекция будет подобна данному
треугольнику A1BxC1. |
В частности, всякий треугольник можно спроектировать так,
чтобы получился равносторонний треугольник.
16.4. Изображение разных фигур
Рисунки, иллюстрирующие предложения стереометрии и пред¬
ставляющие фигуры в пространстве, делают обычно в параллельной
проекции. Точнее, за изображение фигуры принимается фигура,
подобная какой-либо ее параллельной проекции: Фигура, подоб¬
ная параллельной проекции, очевидно, обладает теми же свойствами
проекции, какие указаны в теореме 16.1 о параллельной проекции.
Поэтому, делая рисунки (чертежи), нужно следить за тем, чтобы
на них выполнялись эти свойства.
В остальном изображение может быть произвольным, т. е. ни¬
какие другие условия не являются обязательными. Это видно из
98
Рис. 16.8
того, что углы и отношения длин непараллельных
отрезков могут изменяться произвольно. Остается
только естественное требование наглядности, чтобы
изображение «напоминало» фигуру — вызывало вер¬
ное представление о ней. Например, можно спроекти¬
ровать куб так, чтобы получилось такое его изо¬
бражение, как на рисунке 16.8. Но это не вызывает
представления о кубе, а скорее похоже на загадку:
«что здесь нарисовано?» с неожиданным ответом—«куб».
Рассмотрим изображения некоторых фигур. Случай, когда фи¬
гура лежит в плоскости, параллельной направлению проектиро¬
вания и, следовательно, проектируется в прямую, исключаем.
1. Треугольник. Как показано в п. 16.3, изображением данного
треугольника может служить любой треугольник.
2. Параллелограмм. Изображением параллелограмма может слу¬
жить любой параллелограмм. (Почему? Какая связь с изображе¬
нием треугольника?) В частности, любой параллелограмм можно
спроектировать так, чтобы получился квадрат.
* 3. Изображение плоской фигуры. Для изображения плоской фи¬
гуры можно поступить так. В данной фигуре выделяют какие-ни¬
будь три тачки, не лежащие на одцой прямой, и строят треуголь¬
ник с вершинами в этих точках; обозначим их At Bt С. Строят
изображение треугольника ABC в виде произвольного треуголь¬
ника. После того как построено это изображение, никакого произ¬
вола в изображении данной фигуры быть не может. Покажем это.
Пусть изображением треугольника ABC служит треугольник
А'В'С' (рис. 16.9). Пусть точка X лежит в плоскости ABC и Луч CX
пересекает отрезок AB во внутренней его точке D. Проекция точки
D — точка Df — находится на отрезке
AtB' (откуда это следует?) и, кроме
того,
| 4'0'| _ |Л0|
|О'В'| |ОВ|-
Следовательно, точку Dz на отрезке AtBf
можно построить на рисунке (как?). Да¬
лее, проводим луч CfDf и на нем отме¬
чаем такую точку Xft что
| CrX' | | CX |
| CrD' | “ | СО |
(объясните, как это сделать). Мы построи¬
ли на рисунке проекцию данной точки X
плоскости АВС. (Точка X может распо¬
лагаться и по-иному относительно тре¬
угольника ABCt но и тогда построе¬
ние будет аналогичным).
4*
99
Рис. 16.10
4. Эллипс. Параллельной проекцией
окружности является кривая, называемая
эллипсом (рис. 16.10). Эллипсы обладают
многими замечательными свойствами. По
эллипсам (эллиптическим орбитам) двига¬
ются планеты вокруг Солнца. Эллипс
имеет центр симметрии (как это вытекает
из его определения и свойств параллель¬
ного проектирования?). Солнце, однако,
находится не в центре эллиптической ор¬
биты планеты, а в точке, называемой
фокусом эллипса. У эллипса есть две
взаимно перпендикулярные оси .симмет¬
рии, которые называются большой и
* - > - *
малой осями эллипса. Окружность является частным случаем
эллипса.
ЗАДАЧИ К § 16
1. Нарисуйте равносторонний треугольник, а в нем радиус опи¬
санной окружности и радиус вписанной окружности.
2. Нарисуйте треугольник со сторонами 3, 4, 5, в нем высоту
на большую сторону, радиус описанйой окружности и радиус впи¬
санной окружности.
3. Нарисуйте параллелограмм (тремя способами).
4. Нарисуйте прямоугольник, а в нем оси симметрии.
5. Нарисуйте квадрат, а в нем радиус описанной окружности и
радиус вписанной окружности.
6. Нарисуйте равнобедренную трапецию, у которой одно осно¬
вание в два раза больше другого, а в ней ось симметрии.
7. Нарисуйте квадрат, вписанный в правильный треугольник.
8. Нарисуйте квадрат и равносторонний треугольник, имеющие
общую сторону.
9. Нарисуйте правильный: а) шестиугольник; б) пятиугольник.
10. Дан эллипс, являющийся изображением некоторой окруж¬
ности.
Нарисуйте: а) центр окружности; б) касательную к ней в неко¬
торой ее точке; в) вписанный в нее равносторонний треугольник;
г) описанный около нее равносторонний треугольник; д) вписан¬
ный в нее квадрат; е) описанный около нее квадрат; ж) касательную
к ней, проведенную из точки, изображение которой находится на
продолжении оси эллипса.
11. Верно ли, что длина параллельной проекции отрезка на
каждую из плоскостей, параллельных плоскости проекций, одна
и та же?
12. а) Может ли тетраэдр при некотором проектировании изобра¬
жаться треугольником? б) Существует ли тетраэдр, который при
любом проектировании изображается четырехугольником?
100
§ 17. ОРТОГОНАЛЬНОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
перпендику-
17.1. Проекция на плоскость
Важнейший случай параллельного про¬
ектирования — тот, когда оно происходит
вдоль прямой, перпендикулярной плоско¬
сти проекции. Так как прямые, перпенди¬
кулярные одной плоскости, параллельны,
то безразлично считать, вдоль какой из
них производится проектирование. Оно
определяется плоскостью проекции (по¬
скольку когда задана плоскость, то определены и
лярные ей прямые). Поэтому говорят просто о проектировании на
данную плоскость, подразумевая, что оно происходит по прямым,
перпендикулярным этой плоскости. Лишь когда нужно особо от¬
делить его от другого параллельного проектирования, его назы¬
вают ортогональным (что в переводе значит прямоугольным). Та¬
ким образом, можно формулировать определение.
Определение. Проекцией (ортогональной проекцией) точки А
на плоскость а называется точка пересечения плоскости а с проходя¬
щей через точку А прямой, перпендикулярной а. Иначе говоря, проек¬
ции точки А на плоскость а—это основание перпендикуляра, опущен¬
ного из А на плоскость а, или сама точка A9 если она лежит на
плоскости а (рис. 17Л).
Так как ортогональное проектирование — частный случай па¬
раллельного проектирования, то все выводы теоремы 16.1 сохра¬
няют силу.
На рисунке 17.1 точк^ Л' — проекция точки Л. (Капля, падая
с потолка, когда потолок протек, из точки Л на пол — в точку Л',
осуществляет проектирование Л на Л'1)
Ортогональное проектирование на одну, две, три плоскости
широко используется в черчении. Изображение предмета в проек¬
циях позволяет судить о его устройстве, без чего во многих случаях
невозможно ни конструирование предметов, ни их изготовление.
17.2. Проектирование на прямую
Если ортогональное проектирование на плоскость является
частным случаем параллельного проектирования, то, говоря о
проектировании на прямую, всегда имеют в виду ортогональное
проектирование. Оно определяется в пространстве буквально так
же, как на плоскости — в планиметрии.
Определение. Если точка не лежит на данной прямой, то
проекцией точки на прямую называется основание перпендикуляра,
опущенного из этой точки на данную прямую. Если точка лежит
на прямой, то она есть своя проекция на эту прямую (рис. 17.2).
101
Проекцией фигуры на прямую называется множество проекций
всех точек фигуры на эту прямую.
Полезен другой способ получения проекции на прямую, выражен¬
ный в следующем предложении.
Теорема 17.1. Проекцией точки А на прямую а явля¬
ется точка пересечения прямой а с плоскостью а, про¬
веденной через А перпендикулярно прямой а. Иначе
говоря, проектирование на прямую можно производить
по перпендикулярным ей плоскостям (вместо перпенди¬
кулярных прямых).
Доказательство. Плоскость а, проходящая через дан¬
ную точку А и перпендикулярная данной прямой ак всегда сущест¬
вует и единственна. Если A C а, то точка А' пересечения аса сов¬
падает с А, если Affca, то отрезок AA' — перпендикуляр, опущен¬
ный из Л на а (рис. 17.3). Поэтому точка Л' — проекция точки. Л
на прямую а. Ц
Теорема 17.2. Проекцией отрезка на прямую явля¬
ется отрезок, за исключением того случая, когда дан¬
ный отрезок лежит в плоскости, перпендикулярной
данной прямой,—в этом случае проекцией отрезка
является точка.
Доказательство. Пусть заданы прямая а и отрезок
АВ. Если он лежит в плоскости а, перпендикулярной прямой а,
то его проекцией на а является точка А'=а(]а (рис. 17.4).
Если же он не лежит в этой плоскости, то плоскости аир,
проходящие через точки Л, В перпендикулярно прямой а, не сов¬
падают и, значит, параллельны (рис. 17.5). Отрезок AB лежит
между этими параллельными плоскостями. Его проекцией на а
будет отрезок Л'В', где Л' =а Г) а и В' =а П P- Действительно, проек¬
тирование на а любой точки X отрезка Л В, отличной от Л и В,
производится плоскостью у, проходящей через X параллельноа и р.
Эта плоскость у проходит между плоскостями а и р, т. е. у содер¬
жится в слое между а и Р, который был определен в п. 15.1. Поэтому
проекция точки X, т. е. точка Х'=уПа, лежит между Л' и В',
102
а это значит, что точка X' лежит на отрезке A'В' И обратно, каж¬
дая внутренняя точка У' на отрезке A'В' является пересечением
плоскости, параллельной а и проходящей через некоторую точку Y
внутри отрезка АВ. |
ЗАДАЧИ К § 17
1. Проверьте равносильность утверждений: «Отрезок паралле¬
лен плоскости» и «Длина отрезка равна длине его проекции на эту
плоскость». !
2. Можно ли утверждать, что линия является прямой, если яв¬
ляется прямой ее проекция на: а) одну плоскость; б) каждую из
двух перпендикулярных плоскостей; в) каждую из двух пересе¬
кающихся плоскостей?
3. В плоскости а лежат две перпендикулярные прямые. Ойи
проектируются на плоскость 0, пересекающую плоскость а. Могут
ли быть перпендикулярны проекции этих прямых?
4. Нарисуйте проекцию диагонали куба на: а) его грани;
б) плоскость, параллельную его грани и проходящую через середину
его ребра; в) диагональную плоскость, в которой не лежит данная
диагональ; г) его ребра; д) диагональ efo грани; ё) другую диаго¬
наль куба.
5. Нарисуйте проекцию высоты правильного тетраэдра на: а) бо¬
ковую грань; б) боковое ребро; в) ребро основания.
6. Нарисуйте проекцию ребра правильного тетраэдра на: а) про¬
тивоположную грань; б) противоположное ребро.
7. Нарисуйте проекцию высоты правильной четырехугольной
пирамиды на: а) боковую грань; б) боковое ребро; г) ребро основа¬
ния.
8. Нарисуйте проекцию бокового ребра правильной четырех¬
угольной пирамиды с ребром 1 на: а) основание; б) боковую грань;
в) ребро основания; г) боковое ребро.
9. Нарисуйте проекцию диагонали боковой грани правильной
103
треугольной' призмы с ребром 1 на: -а) боковую грань; б) ее ребра;
в) диагональ другой грани.
’ 10. PABC — правильная пирамида. 1) Нарисуйте проекцию
одной боковой грани на основание. 2) Пусть в пирамиде сторона
основания равна 1, а высота равна 2. Точка X —,переменная точка
ребра PB. Когда достигает граничных значений площадь проекции
треугольника на: а) плоскость основания; б) плоскость каждой бо¬
ковой грани?
11. PABCD — правильная четырехугольная пирамида-. 1) Нари¬
суйте проекцию: а) треугольника BPD на (APC)-, б) одной боко¬
вой грани на плоскость другой боковой грани. 2) Пусть все ее
ребра равны 1. Когда достигает граничных значений площадь
проекции переменного сечения плоскостью ADX, где точка X ле¬
жит на ребре PB-, а) на плоскость основания; б) на плоскость APD-,
в) на плоскость BPC?
12. Плоскости аир перпендикулярны. Треугольник ABC —
равносторонний. Нарисуйте его проекции на данные плоскости,
если: а) MBQIIa; б) MBQHp; в) MBQHa1 (ЛВС)±р; г) (ЛВ)||а;
д) (ЛВ)||р; е) (ABC)Xa-, ж) MBQlp; з) (ЛВ)±а, (ЛВ)±р;
и) (ЛВ)-±а; к) (ЛВ)1Р; л) (AB)Ia, MQHp; .м) (AB)Ip; (AQIfa,
13. Плоскости аир перпендикулярны. ABCD — квадрат. На¬
рисуйте его проекции на эти плоскости, если: а) (ABQHa; б) (ЛBQH
HP; в) (ABQlP; г) (ABQlP; д) (ЛВ)||а, (ЛВ)||р; е) (ЛВ)||а;
ж) (ЛВ)ПР; з) (AB)Ia; и) (AB)Ip; к) (AB)Ia, (ЛВ)||р; л) (AQHa,
(ЛС)||р; м) (AQHa, (BD)Hp; н) (AQHp, (BD)Ia; о) MQla, (BD)Ip.
14. Плоскости аир перпендикулярны. Дан отрезок х длиной 1.
Вычислите длину его проекции на каждую плоскость, если: а)
Xla; б) х1Р; в) х||а; г) х||Р; д) х||а, х||р.
15. Придумайте фигуру, проекция которой на данную пря¬
мую является: а) объединением двух отрезков, не имеющих общих
точек; б) лучом; в) прямой.
16. Одна из скрещивающихся прямых прбектируется на другую.
Какая фигура будет ее проекцией?
17. Сохраняется ли порядок точек на прямой, если она проекти¬
руется на прямую?
|8. Два отрезка лежат на одной прямой. Сохраняется ли отно¬
шение их длин при проектировании на прямую?
19. Может ли длина отрезка равняться длине его проекции на
другую прямую, если он не параллелен этой прямой?
20. Точка проектируется сначала на плоскость а, а потом на
плоскость р. В другой раз порядок проектирования обратный. Мо¬
гут ли окончательные проекции совпадать? Сформулируйте и ре¬
шите аналогичную задачу для двух прямых.
21. Точка А проектируется на прямую съ, и получается точка Ai.
Точка Ax проектируется на прямую аг, и получается точка At.
Этот процесс повторяется несколько раз, в результате чего полу¬
чается точка An. Может ли точка An совпадать с точкой А?
22. Может ли быть проекцией, прямого угла на некоторую плос¬
104
кость: а) прямой угол; б); острый угол; в) тупой угол; г) луч;
д) прямая?
23. Может ли быть проекцией: а) равнобедренного треуголь¬
ника — равнобедренный треугольник; б) равностороннего треу¬
гольника— равносторонний треугольник; в) прямоугольного тре¬
угольника — прямоугольный треугольник; г) равнобедренного
прямоугольного треугольника — такой же; д) равностороннего
треугольника — прямоугольный треугольник; е) прямоугольного
треугольника — равносторонний треугольник; ж) остроугольного
треугольника — тупоугольный треугольник; з) остроугольного
треугольника — прямоугольный треугольник; и) прямоугольного
треугольника — остроугольный треугольник; к) прямоугольного
треугольника — тупоугольный треугольник? (Предполагается, что
плоскость проекций и плоскость данного треугольника не являются
параллельными.)
24. Может ли быть проекцией: а) ромба — ромб; б) прямоуголь¬
ника — прямоугольник; в) квадрата — квадрат; г) прямоуголь¬
ника — квадрат; д) квадрата — прямоугольник; е) ромба — квад¬
рат; ж) квадрата — ромб; з) прямоугольника — ромб; и) ромба —
прямоугольник? (Предполагается, что плоскость проекций и плос¬
кость данного многоугольника не являются параллельными.)
§ 18. БЛИЖАЙШИЕ ТОЧКИ И ПРОЕКЦИИ
18.1. Ближайшие точки
Пусть в пространстве заданы какая-либо точка А и некоторая
фигура F (рис. 18.1). Напомним, что ближайшей к точке А точкой
фигуры F называется такая ее точка В, что для всех точек X фи¬
гуры F
|ДВ|<|ЛХ|. (18.1)
Например, если F— прямая и точка А -йе лежит на этой прямой,
то ближайшая к точке А точка B^ F — это основание перпенди¬
куляра АВ, опущенного из А на эту прямую.
Аналогично если F — плоскость и точка А не лежит на ней,
то ближайшая к А точка B^F тоже основание
опущенного из А на эту плоскость. Основание
опущенного из точки А на прямую а или
на плоскость а — это проекция точки А
на прямую а,или на плоскость а, поэтому
проекция, точки и ближайшая к ней точ¬
ка на прямой или на плоскости — это
одно и то же.
О ближайших точках мы уже говорили
в § 14. Так же как и там, под рас¬
стояниями будем понимать их численные
значения при какой-либо единице изме-
перпендикуляра,
перпендикуляра,
IOS
рения. Это условие подразумевается всегда,
когда умножаются расстояния.
Для ближайших точек любой плоской
фигуры выполняется следующая теорема.
Теорема 18.1 (о ближайших точ-.
ках). У любой фигуры, лежащей в
плоскости, точки, ближайшие к ка¬
кой-либо данной точке, — те же,
что ближайшие к проекции этой
точки на плоскость, содержащую
эту фигуру. Другими словами, мно¬
жества точек, ближайших к данной
точке и к ее проекции, совпадают.
Доказательство. Пусть фигура
F лежйт в плоскости а и В — проекция А
на а (рис. 18.2, когда B^F).
Возьмем любую точку X фигуры F. Тогда (по лемме 14.1)
|ЛХ|2=(ЛВ|2+|ВХ|2.
(18.2)
Тем самым, квадраты расстояний |ЛХ|2 и |ВХ|2 отличаются на
постоянную величину |ЛВ|2. Поэтому когда одно расстояние |ЛХ|
или |ВХ I достигает наименьшего значения, то его достигает и дру¬
гое. А это значит, что точка X, ближайшая к Л, будет ближайшей
к В, и обратно.■
Проекция точки Л на плоскость а — это ближайшая к Л точка
этой плоскости. Поэтому теорема о ближайших точках заключает
следующее наглядное утверждение.
Рис. 18.4
IM
В точку фигуры, лежащей в плоскости
а, ближайшую к данной точке A9 можно
попасть так: из точки А — в ближайшую
точку плоскости а, а из этой точки — в
ближайшую к ней точку фигуры F.
Доказанную теорему иллюстрирует
следующий пример. Парашютист, которому
надо попасть в ближайшую точку какого-
либо участка земли, спустившись верти¬
кально вниз, идет к этой точке кратчай¬
шим путем (рис. 18.3). (Его спуск можцо
считать вертикальным.)
Или такой пример. Пожарнику надо попасть в окно горящего
дома. В его распоряжении пожарная лестница, которую естест¬
венно поставить настолько близко к окну, насколько позволяют
условия. Для этого ему достаточно установить основание лестницы
как можно ближе к вертикали, идущей по стене ддма из данного
окна (рис. 18.4).
18.2. Теорема о проекциях
В том случае, когда фигура в теореме о ближайших точках —
это прямая, эту теорему можно пересказать так.
Теорема 18.2 (о проекциях). Пусть А —данная точка,
а — прямая, лежащая в данной плоскости а, и В—проек¬
ция точки А на эту плоскость. Тогда проекции точек
А и В на прямую а совпадают — это одна и та же
точка (рис. 18.5).
Доказательство. Поставьте в теореме 18.1 о ближай¬
ших точках на местофигуры F прямую а и замените слово «ближай¬
шая точка» равнозначным словом «проекция», и вы получите тео¬
рему 18.2. В
Ту же теорему можно формулировать как «теорему о трех пер¬
пендикулярах».
Теорема 18.2, а (о трех перпендикулярах). Прямая,
лежащая в плоскости, перпендикулярна наклонной
к этой плоскости тогда и только тогда, когда она
перпендикулярна ее проекции.
Отрезки AC и BC одновременно оказываются перпендикуляр¬
ными прямой а (рис. 18.5): если один перпендикулярен ей, то и дру¬
гой тожё.
ЗАДАЧИ К § 18
L Через точку A9 лежащую в плоскости а, проведен перпенди¬
куляр AB к плоскости а. Укажите самую короткую и самую длин¬
ную наклонную BX9 где точка X принадлежит таким фигурам плос¬
кости а: а) прямой; б) окружности радиуса г; в) кругу радиуса г;
107
г) равностороннему треугольнику, центр которого находится в
точке Л; д) равнобедренному треугольнику, у которого вершина
’ находится в точке А; е) квадрату, центр которого находится в точке
А; ж) квадрату'; у которого точка А является серединой одной из
сторон; з) квадрату, у которого точка А одна из вершин; и) прямо¬
угольнику, у которого точка А —центр симметрии.
2. A BCDA ACiD1— куб. Укажите точку, ближайшую к вер¬
шине Ль а) в грани ABCD; б) в грани BCCiBi; в) в треугольнике
BCD; г) в сечении BBiDiD; д) в сечении BCiD; е) в сечении CBiDti.
3. PABC—тетраэдр. Укажите точку основания, ближайшую
к вершине, если: а) основанием является равносторонний треуголь¬
ник, а все боковые ребра равны; б) основанием является равносто¬
ронний треугольник со стороной 1, |РВ| = |РС| = 1, |РЛ|=КЗ:
в) |ЛВ| = |ВС| = 1, IPBI = I, |РЛ| = |РС|=/ЗГ г) основанием яв¬
ляется равносторонний треугольник, а грань PBC является равно¬
бедренным треугольником и перпендикулярна основанию; д) &=
=90°, а все боковые ребра равны; е) B=QOoj грань PBA перпенди¬
кулярна основанию и угол PBC тупой.
4. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Ука¬
жите точку, ближайшую к вершине Л в сечениях пирамиды:
а) PBD; б) PCD; в) плоскостью, параллельной основанию и разде-’
ляющей пирамиду на две части; г) BDX, где точка X лежит внутри
ребра PC.
5. ABCAiBiCi— наклонная призма, причем Л^АС=А^АВ. Ука¬
жите точку ,-ближайшую к вершине Л в сечениях призмы: а) ЛВС;
б) BCBiCi; в) ABiCi; г) BiAC,
6. Из центра окружности, вписанной в треугольник, проведен
перпендикуляр к его плоскости. По этому перпендикуляру от
плоскости движется точка, а) К какой стороне треугольника она
ближе (в зависимости от их длин)? б) К какой вершине треуголь¬
ника она ближе (в'зависимости от величин углов в этих вершинах)?
в) К чему она ближе: к вершинам или к сторонам?
7. Пусть F — фигура .в плоскости а, точка Л не лежит в плос¬
кости а, точка В — проекция точки Л на плоскость а. Докажите,
что |ЛР|» = |ЛВ|» + |ВГР.
8. Плоскости аир пересекаются по прямой р. Из точки О прове¬
дены перпендикуляр OA на плоскость а, перпендикуляр OB на
плоскость P и перпендикуляр ОС на прямую р. Как расположены
между собо.й прямые ОС и Л В?
9. Плоскости аир пересекаются по прямой р. Из точки X
проведен перпендикуляр XA на плоскость а и перпендикуляр
XB на плоскость р. Из точки Л проведен перпендикуляр ЛL на
прямую р, из точки В проведен перпендикуляр BM на прямую р.
Есть ли ошибка на рисунке 18.6?
10. Треугольник ABC равнобедренный. |ЛВ| = 1ВС|. (PKi)J.
1(ЛС), (PXi) 1 (ЛВ), (PK8)I(BC), (PO) ± (АВС). Есть ли
ошибка на рисунке 18.7?
10В
Рис. 18.6
11. а | а, b с а, (AB) _[_ b, (КС) I Ь. Есть ли ошибка на
рисунке 18.8?
12. ABCD —. квадрат. К его плоскости проведен перпендику¬
ляр BP. Проведены отрезки РА, PC, PD. Сколько пар перпен¬
дикулярных прямых изображено на рисунке?кЕсли сторона.квадрата
равна Г и длина перпендикуляра равна 1, то каково расстояние:
а) от P до сторон квадрата; б) до (Л С)?
13. Из центра О квадрата ABCD со стороной 1 проведен пер¬
пендикуляр OP к его плоскости. Нарисуйте перпендикуляры из
точки P к сторонам квадрата. Пусть длина одного из них равна
d. а) Чему равна длина остальных? б) Вычислите расстояние от
P до (АВС).
14. Треугольник ABC — прямоугольный. Точка К — середина
гипотенузы ВС, точка L лежит на перпендикуляре к плоскости АВС,
проведенном через К. Нарисуйте перпендикуляр из точки L на
(АС) и на (АВ). Пусть |ЛВ| = 1, |ДС| = 2, IKLI = d. Установите,
к какой вершине треугольника точка L ближе, от какой вершины
она дальше.
15. ABCD — квадрат. Точка К — середина стороны CD, (KL)X
X (ЛВС). HapHcyfiTenepneHflHKyaflpbiHaLHa все стороны квадрата,
на его диагонали. Пусть IKLI = х. Выразите расстояния от L
до сторон квадрата, до его диагоналей как функцию от х.
16. ABCD- прямоугольник. (PD) | (АВС), I ЛО|=2, |СО| = 1.
а) Вычислите расстояние от P до (АС), если | PDl = 1. б) Выра¬
зите его как функцию от х, где х = | РР|.
17. ABCD — прямоугольник со сторонами 2 и 1. Точка К —
середина большей стороны CD. (KL) I (АВС). Пусть IKLI = 1.
а) Вычислите расстояние от L до сторон прямоугольника, до его
диагоналей, б) Выразите их как функции от х, где х — расстояние
от L до (ЛВС). Пусть IKLI уменьшилось в два раза. Может ли
какое-либо из этих расстояний уменьшиться тоже в два раза?
18. ABCD — ромб, с острым углом 60°.- Нарисуйте перпенди¬
куляры из точки P на стороны и диагонали ромба, если: а) (PD) X
10»
_]_(АВС); б) (PA) | (АВС). В каждом случае вычислите расстоя¬
ния от P до сторон и диагоналей ромба, если сторона ромба рав¬
на 2, и длина перпендикуляра равна 2. Выразите расстояния как
функцию от х, где х — расстояние от P до (АВС).
19. Треугольник ABC равносторонний со стороной 1. Точка К
движется из точки В перпендикулярно (АВС). Выразите как функ¬
цию от х — |ВК1: а) расстояние от К до отрезка AC-, б) расстоя¬
ние от В до (AKC).
20. Треугольник ABC — правильный со стороной, равной d.
Точка О — его центр, точка X — переменная точка перпендикуляра
к его плоскости, проходящего через О. Установите зависимость
между di — расстоянием от X до (АВС), <1г — расстоянием от X
до вершин треугольника и J8 — расстоянием от X до сторон тре¬
угольника. Попробуйте обобщить задачу.
21. Дан треугольник ЛВС. Точка К удалена от всех его вершин
на 1, точка L удалена от всех его сторон на 1. Какая из этих точек
ближе к плоскости треугольника?
22. аса, А^а. Прямая х — переменная прямая, пересекающая
прямую а в точке А под прямым углом. Какой фигурой является
множество ортогональных проекций прямой х на данную плоскость?
23. Лучи OA и OB лежат в плоскости а. Луч ОС образует с ними
равные углы. Какое положение на плоскости а занимает ортого¬
нальная проекция луча ОС на эту плоскость?
24. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все грани — равные
ромбы. В вершине А сходятся их одинаковые углы. Докажите, что
плоскости AA1C1 и ABC взаимно перпендикулярны.
25. а р, аПР=а, А^а, |ЛВ|=41, bgp, &11а, |аМ = ^8. Най¬
дите |Л6|.
26. а | р, аП Р=л, Л б а, Bg р, | Л0| = I Bal = 2. Точка C —
середина отрезка АВ. а) Вычислите |Са|. б) Пусть |ЛР1 = |Ва| = х.
Выразите |Са| как функцию от х при условии, что |ЛВ| не меняется.
27. Имеются две прямые а и Ь. Точка X — переменная точка
прямой а. Как меняется |ХЫ при движении точки X в одном направ¬
лении по прямой а?
28. а_[_Р, апр=а, A g а, Bg р, |ЛВ|=2, |Др|=|Ва| = 1. Пере¬
менная точка К движется от А к В. Выразите |Ха| как функцию
от х, где х=|ХЛ|.
29. В правильной четырехугольной пирамиде все ребра равны 1.
Вычислите расстояние от середины -ребра основания до: а) плос¬
кости противоположной грани; б) противоположной грани.
30. Какой фигурой является множество точек, равноудаленных
от: а) сторон треугольника; б) сторон правильного многоуголь¬
ника?
31. В плоскости а лежит круг радиуса 1. Через точку Л^а
проведен перпендикуляр к плоскости а. Точка В движется пд нему
от плоскости а. Выразите расстояние от В до окружности и до круга
как функцию от х, где х=|Ва|, если: а) Л — центр данного круга;
б) Л — середина радиуса; в) А удалена от круга на 1.
по
32. Точка X движется по окружности, описанной около тре¬
угольника АВС. Через нее проходит перпендикуляр XY к плос¬
кости ABC одной и той же длины. Как изменяется расстояние от Y
до треугольника? Когда оно достигает граничных значений? Ре¬
шите задачу, если треугольник АВС: а) правильный; б) равнобед¬
ренный с углом 120° при вершине.
33. На плоскости а лежит полоса шириной d. Расстояние от
точки А до плоскости а равно 1, расстояния от нее же до краев
полосы равны: а) 2 и 3; б) 3 и 3. Найдите расстояние от А до
полосы.
34. Точка А не лежит в плоскости BCD. Рассмотрим четыре
перпендикулярности: (AB)-L(BD), (BC)-L(BD), (AC)-L(BC), (ЛС)
_]_(СР). Верно ли, что из любых трех из них следует четвертая?
35. Попытайтесь доказать теорему о трех перпендикулярах
как-нибудь иначе.
§ 19. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
19.1. Три формулировки теоремы Пифагора
Теореме Пифагора можно дать по крайней Mepez три формули¬
ровки:
1) в прямоугольном треугольнике квадрат длины
гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов;
2) квадрат длины диагонали прямоугольника равен
сумме квадратов длин его взаимно перпендикулярных
сторон;
3) квадрат длины любого отрезка равен сумме квад¬
ратов длин его проекций на любые две взаимно перпен¬
дикулярные прямые. (Имеется в виду, что отрезок и прямые
лежат в одной плоскости.)
Вторая формулировка известна и, очевидно, равносильна пер¬
вой, а вспомнив определение проекции, убедимся, что третья фор¬
мулировка равносильна второй. В самом деле, пусть дан отрезок ОС
(рис. 19.1) и через точку О проведены две взаимно перпендикуляр¬
ные прямые а и b (построение происходит в одной плоскости).
Если отрезок ОС не лежит ни на одной из
прямых а и Ь, то, опуская из точки C пер¬
пендикуляры CA и CB на эти прямые, по¬
лучим проекции OA и OB отрезка ОС и
вместе с тем прямоугольник с диагональю
ОС. Поэтому из теоремы Пифагора для пря¬
моугольника получаем:
|ОС|г=|ОЛ1Ч-|ОВ|а. (19.1)
Если отрезок ОС лежит на одной из пря¬
мых а и Ь, скажем на а, то |ОЛ1=|ОС|, а
|0В| =0 и равенство (19.1) выполняется. Так
111
что третья формулировка верна во всех случаях. Правда, мы вывели
это в предположении, что прямые а и* Ъ проходят через точку О.
Но если это не так, то проведем через О прямые, параллельные
данным. Длины проекций на параллельные прямые равны, так что
сумма их квадратов будет та же самая.
Пока мы занимались планиметрией — теоремой Пифагора на
плоскости, а теперь обратимся к стереометрии — к теореме Пифагора
в пространстве.
19.2. Пространственная теорема Пифагора для проекций
Теорема Пифагора для проекций обобщается на пространство
следующим образом.
Теорема 19.1 (пространственная теорема Пифагора),
Квадрат длины любого отрезка равен сумме квадратов
Орин его проекций на любые три взаимно перпендику¬
лярные прямые.
Сейчас мы докажем эту теорему в предположении, что один
из концов отрезка совпадает с точкой пересечения этих прямых.
Общее доказательство будет дано позднее.
Доказательство. Пусть в пространстве дан отрезок OD
и три взаимно перпендикулярные прямые а, 6, с. Предполагается,
что все эти прямые пересекаются в точке О (рис. 19.2). Кроме того,
сначала предположим, что отрезок OD не лежит ни на одной из,
трех плоскостей а, 0, у, проходящих через пары прямых (6, с),
(а, с), (а, Ь).
Пусть Л, B9 C — проекции точки D на прямые а, b, с, a К —
ее проекция на плоскость у. По теореме о проекциях точки А и В
являются проекциями точки К. Поэтому отрезки OA и OB — это
112
проекции отрезка ОК, так что по теореме Пифагора
|0К1‘=|041Ч-|0В|«. (19.2)
Отрезки KD и ОС перпендикулярны плоскости у, а потому парал¬
лельны. Следовательно, точки О, С,К, D лежат в одной плоскости.
Отрезки ОС и OK являются проекциями отрезка OD в плоскости
КОС на взаимно перпендикулярные прямые ОС.и ОК. Поэтому
по теореме Пифагора
|0О|*^|0К1»+|0С|*. (19.3)
Подставляя в (19.3) выражение для |0/С1а из (19.2), получаем
утверждение теоремы:
|0О|2=|0Д|2+|0В|«+|0СР. (19.4)
Мы предполагали, что отрезок не лежит ни в одной из трех плос¬
костей а, 0, у. Но если он лежит хотя бы в одной из них, то длина
одной или. двух из трех проекций OA, OB, ОС обращается в нуль и
доказываемое равенство (19.4) следует из обычной теоремы Пифаго¬
ра или очевидно. |
19.3. Другие формулировки пространственной
~ теоремы Пифагора
Вернемся снова к тому случаю, когда отрезок OD не лежит ни в
одной из плоскостей а, 0, у. Построим точки A9 B9 C —проекции
точки D на прямые а9 Ь9 с — так, как было об этом сказано в
п. 19.2, проводя через точку D плоскости 0'_[_Ь и у'_1_с.
Тогда шесть плоскостей а, 0, у, -а', 0', у' определят в пространстве
прямоугольный параллелепипед, грани которого лежат в этих
плоскостях (рис. 19.3). Отрезки OA9 OB и ОС будут его ребрами,
исходящими из вершины O9 отрезок OD — диагональю, идущей
из той же вершины. Поэтоглу теорема 19.4 получает формулировку,
аналогичную второй формулировке планиметрической ' теоремы
Пифагора.
Теорема 19.1, а. Квадрат длины диагонали прямо¬
угольного параллелепипеда равен сумме.квадратов длин
трех его ребер, исходящих из одной вершины.
Наконец, если рассмотреть в параллеле¬
пипеде трехзвенные ломаные, идущие- из
вершины О в вершину D по его ребрам, то
отрезок OD будет замыкающей таких лома¬
ных, а сами эти трехзвенные ломаные можно
назвать прямоугольными (рис. 19.4). Дли¬
ны звеньев этих ломаных равны длинам
проекций отрезка OD на прямые а9 Ь9 с.
Поэтому для ломаных можно дать форму¬
лировку теоремы 19.1, аналогичную обы¬
чной формулировке теоремы Пифагора.
Сделайте это самостоятельно.
113
19.4. О значении теоремы Пифагора
Теорема Пифагора — это главная и самая замечательная теорема
геометрии: прежде всего обычная «плоская» теорема Пифагора, так
как ее пространственное обобщение получается, как видно из его
вывода (в п. 19.2), на основе обычной теоремы Пифагора. Тео¬
рема Пифагора замечательна уж тем, что она вовсе не очевидна.
Если оглянуться на доказанные нами теоремы, то можно заметить,
что почти каждая из них становится довольно очевидной, если только
хорошо понять ее содержание, хотя точное доказательство может
быть не очень простым. Так, например, то, что перпендикуляр
короче наклонной, просто видно на черте¬
же. Но сколько ни смотри на прямоуголь¬
ный треугольник, нельзя увидеть, почему
между его # сторонами всегда есть такое
простое соотношение, хотя известны его
очень ясные доказательства. Одно из них вы
легко сможете усмотреть на рисунке 19.5.
Значение теоремы Пифагора состоит
прежде всего в том, что из нее или с ее
помощью можно выводить Bfe теоремы, каса¬
ющиеся длин отрезков и величин углов на
плоскости и в пространстве (не считая са¬
мых первичных теорем об углах; углы свя¬
зываются с длинами через тригонометриче¬
ские функции). Мы уже воспользовались
теоремой Пифагора в наших основных вы¬
водах — в теореме о ближайших точках,
в доказательстве пространственной теоре¬
мы Пифагора — и еще будем ею пользо¬
ваться. Кроме того, мы ссылались на то
свойство перпендикуляра к прямой, что он
короче наклонной; это, очевидно, может
быть выведено из теоремы Пифагора. Мы
также ссылались на свойства серединного
перпендикуляра к отрезку; их тоже можно
вывести из теоремы Пифагора. Из теоремы
Пифагора выводится «теорема косинусов»,
вернее, обобщенная теорема Пифагора, а
из нее можно вывести теорему синусов, при¬
знаки равенства (конгруэнтности) треуголь¬
ников и т. д.
Можно сказать, что теорема Пифагора —
основной закон связи расстояний на пло¬
скости, а в пространственном обобщении
и в пространстве. Если на плоскости
введены прямоугольные координаты х, у
(рис. 19.6), то расстояние между двумя
114
точками AiiXi, yi) и Л2(х2, у») выражается по теореме Пифагора
формулой
I AiA21 = /(X2 - X1)1 + (ZZ2-IZ1)1. (19.5)
Этим, как можно доказать, определяется геометрия на плоско¬
сти: обычная, «евклидова», планиметрия — это геометрия, в кото¬
рой положение точки задается двумя координатами х, у и расстоя¬
ние выражается формулой (19.5). Иначе говоря, это геометрия, в
которой выполняется теорема Пифагора. (Возможна и неевклидова
геометрия, в ней расстояния выражаются иначе.) Обычная геомет¬
рия называется евклидовой, потому что первое известное нам
систематическое ее изложение, включая и теорему Пифагора, было
дано Евклидом.
Важнейшие обобщения геометрии связаны с обобщением теоре¬
мы Пифагора. Математический аппарат главных теорий современ¬
ной физики — теории относительности и квантовой механики, мож¬
но сказать, основан на обобщениях теоремы Пифагора.
В более простых, чем теория относительности, разделах физики
теорема Пифагора тоже играет фундаментальную роль. Например,
кинетическая энергия — энергия движущегося тела — выража¬
ется через квадрат скорости: Е — ^- (т. — масса тела). Предмет,
лежащий в космическом корабле, летящем со скоростью O1, имеет
энергию
Допустим, его толкнули поперек, так что он приобрел ско¬
рость O2 в направлении, перпендикулярном движению корабля.
В направлении движения корабля работа силы равна нулю, а в
поперечном направлении она дает энергию . Суммарная энер¬
гия будет:
-2V+-2T-+t^-
проекции которого
Суммарная скорость будет векторной суммой скоростей O1 и о2,
т. е. изображается направленным отрезком,
как раз равны O1 и O2 (рис. 19.7). Поэтому
по теореме Пифагора квадрат скорости
(суммарной) будет O1=O1H-Of. Следователь¬
но, суммарная энергия будет:
= f H + Vl).
Энергии, складываясь, дают суммарную
энергию потому, что квадраты проекций
вектора, складываясь, дают квадрат длины
самого вектора. Такова внутренняя связь
основных законов механики с основными
свойствами пространства, выражаемого в
теореме Пифагора.
IlS
И еще замечание. Уже в Древнем Египте было известно, что
стороны прямоугольного треугольника могут иметь *длины 3, 4,
5(32+42==52). Стало быть, существуют Натуральные числа х, у9 Z9
связанные равенством х2+у*=г2.
Можно найти общее выражение для таких натуральных чисел.
А для каких натуральных п > 2 существуют натуральные числа,
связанные равенством хп+уп=гп? Вопрос этот составляет знаме¬
нитую проблему Ферма, до сих пор не решенную. Это уже не гео¬
метрия, но вопрос возник на почве тебремы Пифагора.
Из всего сказанного, хотя бы'только намеками, можно заклю¬
чить, что теорема Пифагора — это, в самом деле, главная и самая
замечательная теорема геометрии, как и было сказано вначале.
19.5. Из истории теоремы Пифагора
Пифагор был греком и ^кил в VI в. до н. э. (ок. 580—
500 гг. до и. э.). Тогда математика только складывалась у греков в
теоретическую науку, и Пифагор оказал на ее становление большое
влияние. Однако он вовсе не открыл теорему, носящую его имя.
Она была известна до него в Древнем Египте и Вавилоне, но, воз¬
можно, только как факт, выведенный из измерений. Наверное,
Пифагор знал это, но можно думать, что он нашел доказательство.
Взятый из измерений факт стал необходимым законом, потому что
раз доказано, то, значит, «оно не может быть иначе».
У греков не было алгебры, они излагали и выводили свои ре¬
зультаты чисто геометрически. Теорема Пифагора формулирова¬
лась так: квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме
квадратов, построенных на катетах («равновелик» — значит «имеет
ту же площадь»). Доказательство, известное из «Начал» Евклида,
хотя и отлично от проведенного на рисунке 19.5, но выдержано в том
же духе.
Название выражения а2— «а квадрат» происходит от того, что
рассматривался квадрат с данной стороной, так же как «а куб»
происходит от куба с ребром а. Сначала была геометрия, алгебра
появилась позже.
% 19.6. Доказательство пространственной теоремы Пифагора
в полном объеме
Мы доказали теорему 19.1 для проекций в предположении, что
один из концов отрезка совпадает с точкой пересечения прямых,
на которые проектируется отрезок. Теперь мы освободимся от этого
предположения. Для этого докажем две леммы.
Лемма 19.1. Проекции любого отрезка на параллель¬
ные прямые равны.
Доказательство. Согласно теореме 17.1, проекцию
отрезка AB на прямую O1 можно получить так. Через точки А и В
проводятся плоскости аир, перпендикулярные прямой Они
пересекают ее в некоторых точках'Ai и B1. Если плоскости а и В,
115
а значит и точки Ai и Bt, различ¬
ны, то отрезок AiBi и есть проек¬
ция отрезка AB на прямую at.
Если прямая O2IIai, то плос¬
кости а и P ей перпендикуляр¬
ны и проекцией на а2 будет от¬
резок А 2Вг с концами на тех же
плоскостях аир (рис. 19.8).
Так как а||0, то отрезки AiBi и
A2B2 равны (по теореме 15.1).
Если плоскости аир совпада¬
ют, то проекциями отрезка AB
на прямые съ и аг служат точки и, стало быть, проекции и в этом
случае равны. Ц
Лемма 19.2. Если две пересекающиеся прямые парал¬
лельны двум взаимно перпендикулярным прямым, то
они тоже взаимно перпендикулярны.
Доказательство. Пусть прямые а' и Ь‘ пересекаются
в какой-то точке О', прямые а и b пересекаются в точке О, а'||а,
и а (рис. 19.9). Проведем через точку О плоскость а, перпен¬
дикулярную прямой а. Так как Ь_[_а, то а содержит b (по теореме
7.2). Возможны два случая.
1) О' Ca (рис. 19.10). Тогда так как Ь'ЦЬ и О' C Ь', то Ь' лежит в
а. Поскольку а_|_а и а'||а, то а'_|_а (по теореме 13.2). Но тогда так
как Ь'аа и а'_|_а» то Ь’±а’, и в первом случае лемма доказана.
2) О' ^a (рис. 19.11). Тогда поскольку Ь'||6 й Ьса, то У||а
по признаку параллельности прямой и плоскости. Проведем через<
точку О' пяоекость а'||а. Так как b'||а, то Ь'са’ (по теореме 10.1).
Далее так как а_]_а и а'11а. то а_]_а' (по теореме 13.1). А так как
a'Ilа, то a'Xa' (по теореме 13.2). Прямая b' лежит в а'. Поэтому
а'Х&'-Й
Докажем теперь теорему 19.1 в общем случае, когда ни один из
концов отрезка не совпадает с точкой пересечения данных попарно
перпендикулярных прямых.
Доказатель'ство. Пусть дан отрезок OD и три взаимно
перпендикулярные прямые а, Ь, с. Проведем через точку О
прямые а', Ь', с’, им параллельные (или, если, скажем, а проходит
117
a' а
Рис. 19.11
через точку Ot то а' =а (рис. 19.12). По лемме 19.2 эти прямые будут
тоже взаимно перпендикулярны. Для проекций на них теорема
19. Г доказана. Но по лемме 19.1 эти проекции равны и проекциям
на прямые а, 6, с. Значит, и для этих проекций теорема 19.1 вы¬
полняется. В
ЗАДАЧИ К § 19
1. Найдите длину диагонали прямоугольного параллелепипеда,
у которого ребра равны: а) 1, 2, 3; б) d, 2(1, Sd.
2. Длина диагонали прямоугольного параллелепипеда равна 1.
Найдите зависимость между длинами диагоналей его граней, вы¬
ходящими из одной точки.
3. Отрезок проектируется на каждую из трех плоскостей, каж¬
дые две из которых перпендикулярны. Известны длины его проек¬
ций. Найдите длину отрезка.
4. Через одну точку проведены три прямые, каждые две из
которых перпендикулярны. Через каждые две из них проведена
плоскость. Известны расстояния от некоторой точки до каждой
из этих плоскостей. Сможете ли вы найти расстояния от нее до
данных прямых? До данной точки?
5. OcJLP, аПР=а, Д^а, |ЛВ| = 1, В^Р» |Ва|=2. Можете ли
вы найти |ЛВ|?
6. OtJ-P, аГ)Р=а, А^а. Можете ли вы вычислить |ЛВ|, если
известны длины проекций отрезка AB на данные плоскости и на
прямую их пересечения?
7. ссД_р, апР=а, A^at |Да| = 1, P^at Q^P, IQaI = I, |ЛР|=2,
IPQI =2. Вычислите I^QI.
8. а±р, аПР=а, Д^а, Р$ P, Qe Р, ]ЛР|=5, |ДВ|=3, |Ра|=4,
IPQI = I. Вычислите граничные значения IZlQI.
9. Внутри прямоугольного параллелепипеда дана точка. Тре¬
буется вычислить расстояния от нее до всех его граней, ребер,
вершин. Сколько данных вам для этого потребуется?
118
10. В кубе ABCDA1B1C1D1 ребро равно 2. К— середина реб'.
ра CD-, L — середина ребра CiBi; А — середина отрезка МВ>
N — середина отрезка AK. Вычислите: а) |А1/(|, б) IZfLh
в) ILMI, г) ILAZI.
11. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD с реб¬
ром 2 вычислите: а) IDZfI, где точка К — центр грани PBC;
б) ISTI, где 5 — середина ребра AD, T — середина ребра PC.,
12. Отрезок AB перпендикулярен отрезкам AA1 и BB1. |АВ| =
= 1, |АА11 = 1, |ВВ11=2. Отрезок AA1 вращается вокруг (АВ).
Вычислите граничные значения для IA1BiI.
13. Как найти расстояние между двумя мухами в комнате,
если они сидят: а) одна на стене, а другая на полу; б) на противо¬
положных стенах?
14. В двух перпендикулярных плоскостях находятся два круга,
радиуса К каждый. Каждый из них удален на расстояние а от пря¬
мой пересечения плоскостей. Как вы будете искать расстояние меж¬
ду ними?
15. Сможете ли вы, пользуясь только линейкой и ничего не
вычисляя, найти диагональ спичечного коробка?
Глава IV
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФИГУРЫ И ТЕЛА
§ 20. СФЕРА И ШАР
20.1. Понятие сферы и шара
Сфера и шар определяются в пространстве совершенно так же,
как Окружность и круг — на плоскости.
Определение. Сферой называется множество точек про¬
странства, удаленных от данной точки на заданное положительное
расстояние. При этом данная точка называется центром сферы, а
данное расстояние — ее радиусом.
Таким образом, сфера с центром в точке О и радиусом R есть
множество таких точек X в пространстве, для которых |ОХ|=7?.
Определение. Шаром называется множество точек про¬
странства, находящихся от данной точки на расстоянии, не боль¬
шем некоторого данного положительного расстояния. Указанная
точка называется центром шара, а указанное расстояние — радиу¬
сом шара.
Таким образом, шар с центром в точке О и радиусом R есть мно¬
жество всех точек X в пространстве, для которых |ОХ|^zR (рис. 20.1).
Шар есть объединение множества точек Xt для которых \ОХI=Rt
и множества точек X', для которых |ОХ'|</?.
Множество точек, для которых |ОХ| = /?,—это сфера; она на¬
зывается поверхностью шара; говорят также, что она ограничива¬
ет шар. Точки шара, для которых |ОХ'|< Rt называются его
внутренними точками. Про эти точки говорят также, что они
лежат внутри шара. Радиусом сферы и шара называют не только
расстояние, но также любой отрезок, соединяющий их центр с
точкой на сфере.
Диаметром шара и сферы называют как величину, равную уд¬
военному их радиусу, так и любой отрезок, по которому пересекает
UO
шар прямую, проходящую через его центр (рис. 20.2). Точки сферы,
являющиеся концами диаметра сферы, называются диаметрально
противоположными.
20.2. Пересечение шара и сферы с плоскостью
Теорема 20.1 (о пересечении шара и сферы с плоскостью).
1) Если расстояние от центра шара до данной пло¬
скости больше радиуса шара, то плоскость не имеет
с шаром общих точек (не пересекает шар) (рис. 20.3).
2) Если расстояние от центра шара до плоскости
равно радиусу шара, то плоскость имеет с шаром
и ограничивающей его сферой только одну общую точку
(рис. 20.4).
3) Если расстояние от центра шара до плоскости
меньше радиуса шара, то пересечение шара с плоскостью
представляет собою круг. Центр этого круга находит¬
ся в основании перпендикуляра, опущенного из центра
шара на данную плоскость, или в самом центре шара,
если плоскость проходит через центр. Пересечение
плоскости со сферой представляет окружность ука¬
занного круга (рис. 20.5);
Доказательство. Рассмотрим шар с центром О и радиу¬
сом /? и какую-либо плоскость а. Пусть А ее точка, ближайшая
к О, так что </=|0Д| есть расстояние от О до а. Согласно лемме
14.1, для каждой точки Xga
|0Х|»=|0ДР+|ДХР=^+|4Х|«. (20.1)
Точки данного шара — это те, для которых |ОХ I /?. Поэтому
шару принадлежат те и только те точки X плоскости а, для которых
|0Х| =C ₽, т. е. ввиду (20.1) </*-|-|ДХР< или
|ДХР</?«—d*. (20.2)
Отсюда следует сказанное в теореме.
1) Если d > R, то R2—d2 < 0. Но |ДХР 0. Поэтому неравен¬
ш
ство (20.2) невозможно ни для каких точек X, т. е. у плоскости и
шара нет общих точек.
2) Если Ci=Ri то R2—(I2=Ot и неравенство (20.2) возможно
лишь тогда, когда |АХ|=0, т. е. когда X=A. В этом случае плос¬
кость имеет с шаром только одну общую точку — ближайшую к
центру.
Для наглядности представим себе луч, исходящий из центра ша¬
ра, и «насаженную» на него перпендикулярную плоскость а. Пер¬
пендикуляр OA — это отрезок луча от центра до плоскости а, а
|0Л|=^. Когда d > /?, плоскость не пересекает шар. Надвигая ее
на шар, получим момент (I=R9 когда она в него упирается как раз
в точке А.
3) Пусть теперь (KR. Теперь R2 — d2 > О, и неравенство
(20.2) можно переписать так:
(20.3)
т. е. точки X, общие у плоскости и шара, это те и только те, для
которых выполнено это неравенство. Множество этих точек —
это круг в плоскости а с центром А и радиусом
(20.4)
Значит, пересечение шара с плоскостью и есть этот круг, как и
утверждается в теореме. Его точка А — ближайшая к центру шара
точка плоскости а — есть основание перпендикуляра, опущенного
на плоскость а из центра шара, или сам центр, когда плоскость
проходит через него.
Ясно, что пересечение плоскости со сферой будет окружностью
этого круга. Ц ч
Из формулы (20.4) видно, что радиус г будет наибольшим, когда
J=O, т. е. когда плоскость проходит через центр. Тогда S = R.
Поэтому такой круг, по которому шар пересекается плоскостью,
проходящей через центр, называется большим кругом, а его окруж¬
ность — большой окружностью.
Каждые две большие окружности пересекаются в двух диамет¬
рально противоположных точках (почему? как это доказать?).
На глобусе экватор представляет собой большую окружность.
Меридианы — это полуокружности больших окружностей с кон¬
цами в двух диаметрально противоположных точках, соответствую¬
щих Северному и Южному полюсам. Прямая, проходящая через
полюсы, перпендикулярна плоскости экватора. Через любые две
диаметрально противоположные точки сферы проходят большие
окружности, которые получаются при пересечении сферы с плоско¬
стями, проходящими через эти точки. А через любые две не диамет¬
рально противоположные точки сферы проходит единственная боль¬
шая окружность, которая получается при пересечении сферы с
плоскостью, проходящей через центр сферы и две данные ее точки.
Определение. Сечением какой-либо фигуры плоскостью
122
(или плоским сечением фигуры) называется пересечение этой фигу¬
ры с плоскостью при условии, что точки фигуры есть как на этой
плоскости, так и с разных сторон от нее. При этих условиях говорят,
что плоскость пересекает фигуру (как, например, плоскость пересе¬
кает прямую, отрезок или другую плоскость).
Используя данное определение, можно сформулировать пос¬
леднее утверждение теоремы о пересечении шара с плоскостью
короче: сечение шара, плоскостью есть круг; сечение
сферы плоскостью есть окружность.
20.3. Как выглядит шар и как его изображают
Шар выглядит как круг; вспомните хотя бы диск солнца или
полной луны. Это выражает следующая простая теорема.
Теорема 20.2. • Проекция шара, как и сферы, есть
круг того же радиуса (имеется, конечно, в виду ортогональ¬
ная проекция на плоскость).
Действительно, если плоскость проекции проходит через центр
шара, то его проекцией на эту плоскость является большой круг, по
которому плоскость пересекает шар (рис. 20.6). Если же плоскость
проекции а не проходит через центр Отданного шара, то проведем
через О плоскость 0||а. Она пересечет шар по большому кругу,
проекцией которого на а будет равный.ему большой круг (рис. 20.7).
Этот круг и есть проекция шара на а.
Подробное доказательство этой теоремы вы
легко проведете самостоятельно.
Согласно теореме 20.2, шар и сферу
изображают в виде круга. При этом, чтобы
отличить это изображение от изображения
круга, обычно рисуют еще проекцию ка¬
кой-нибудь большой окружности; проекция
эта будет, как. мы знаем, эллипсом. Центр
шара изобразится центром этого эллипса
(рис. 20.8). Если взятая большая окруж¬
ность принята за экватор, то можно отме¬
тить соответствующие полюсы N и S, помня,
что прямая, их соединяющая, перпендику¬
лярна плоскости экватора. Типичная ошиб¬
ка при изображении полюсов в том, что их
рисуют на окружности, ограничивающей
изображение шара, как например на рисунке
20.9. На самом же деле изображение точки N
должно лежать ниже, а точки S—выше, т. е.
так, как изображено на рисунке 20.8. Непро¬
сто нарисовать верное изображение меридиа¬
нов и параллелей. Постарайтесь не делать
при этом явных ошибок.
123
Рис. 20.8
N
S
Рис. 20.9
Замечание. О шарообразной или сферической форме
предмета мы судим прежде по тому, что он выглядит как круг,
хотя, конечно, мы не видим, что у него внутри. Например, круглый
мяч может быть литым или полым. Это выражается в следующей
теореме. *
Фигура, все проекции которой—круги, есть шар,
может быть без всей или части его внутренности.
Мы просто сообщаем эту теорему как точное выражение извест¬
ного наглядного факта. Строгое ее доказательство довольно сложно.
ЗАДАЧИ К § 20
1. Какой фигурой является множество точек X, таких, что:
а) 1<|ОХ|<2; б) 1С|0Х|<2; в) 1 <|ОХ|<2; г) 1<|ОХ|<2;
д)0<б/<|ОХ|<2(/; е) O^d^lOXI^d2? (Точка О — некоторая точка
пространства.)
2. На сфере даны две точки. Сколько можно провести через
них: а) больших окружностей; б) окружностей данного радиуса,
лежащих на сфере; в) произвольных окружностей, лежащих на
сфере?
3. Сколько общих точек имеют две большие окружности одной
сферы; две произвольные окружйости одной сферы?
4. Рассмотрим два круга одного шара. Сколько они могут иметь
общих точек? Как мо>кет быть расположена прямая пересечения
плоскостей, в которых лежат эти круги, по отношению к данному
шару?
5. На сколько частей разбивают сферу расположенные на ней:
а) две окружности; б) три окружности?
6. Внутри шара находятся: а) тетраэдр; б) треугольная приз¬
ма; в) четырехугольная призма. На сколько частей разбивают
сферу плоскости их граней?
7. Нарисуйте' такую фигуру в шаре, которая разбивает его
поверхность на: а) две части; б) три части.
8. Дан шар радиуса R. На каком расстоянии от центра нахо¬
дится его сечение с площадью в два раза меньшей, чем- площадь
большого круга?
124
9. Дан щар радиуса /?. Один из радиусов разделили на п рав¬
ных частей и через, каждую точку деления провели сечения., пер¬
пендикулярные радиусу. Как относятся площади полученных се¬
чений?
10. В шаре проведены два параллельных сечения с центрами
O1 и Os. Как расположен центр шара по отношению к прямой OiO2?
Как расположена прямая OiO2 по отношению к плоскостям сечений?
После получения результата сформулируйте обратные утверждения
и попробуйте их доказать.
11. В шаре радиуса 7? проведены два сечения на расстоянии
1 и 2 от центра, а) Найдите расстояние между сечениями, если
они параллельны, б) Найдите расстояние от центра шара до их
общего отрезка, если они перпендикулярны.
12. На сфере проведены две окружности, имеющие единственную
общую точку Л. а) Докажите, что центр сферы, центры обеих окруж¬
ностей и точка А лежат в одной плоскости, б) Пусть радиус сферы
равен 2, а радиусы данных окружностей равны 1. Вычислите рас¬
стояние между их центрами, в) Установите зависимость между
радиусом сферы и радиусами этих окружностей в общем случае.
13. Шар пересекает две перпендикулярные плоскости по кру¬
гам радиусами R1 и Rt. а) Можете ли вы найти радиус-шара, если
данные круги имеют единственную общую точку? б) Можете ли вы
найти радиус шара, если эти круги имеют общую хорду длиной </?
в) Можете ли вы найти радиус шара, если расстояние между этими
кругами равно d? „
14; Через данную точку проводятся сечения шара 1. Какое из
них будет иметь, наибольшее и наименьшее значение площади, если
данная точка находится: а) на сфере; б) внутри шара; в) вне шара?
15.. На сфере даны две точки. Через них проводятся всевозмож¬
ные сечения шара. Какое из них имеет наибольшую площадь? А
наименьшую площадь?
16. Точка А лежит на сфере радиуса 2 с центром О. Переменный
отрезок AX длиной 1 имеет с шаром единственную общую точку А.
Вычислить граничные значения для |0Х|.
17. Точки А и В лежат на сфере радиуса R с центром О. |А ВI =3.
Переменная точка X такова, что |ХА| = |ХВ|=2, причем отрезки
AX и BX имеют с шаром единственную общую точку (А и В).
Найти граничные значения для |0Х|.
18. Придумайте, как найти радиус модели шара.
19. Сколько общих точек могут иметь: а) сфера и прямая;
б) сфера и окружность?
20. Расстояние от центра шара до плоскости а равно d. Радиус •’
шара равен R. Найдите расстояние от шара до плоскости.
1 В задачах мы, как и раньше, считаем, что сечение фигуры может вырож¬
даться, например, в точку или в отрезок..
1»
21. Две сферы имеют единственную общую точку. Их радиусы
Ri и R2. Найдите расстояние между их центрами.
22. Две сферы имеют единственную общую точку. Расстояние
между их центрами равно d. а) Установите зависимость между их
радиусами, б) Является ли она линейной?
23. Какой фигурой является пересечение двух сфер? Двух ша¬
ров?
24. Нарисуйте две сферы радиусом Ri и R2i если расстояние
между их центрами равно 6, и: а) /?1=2, /?2=3; б) /?1=2, /?2=4;
в) /?1=2, /?2=5; г) Ri-2, Л2=8; д) /?1=2, 7?2=Ю»
25. Имеются две сферы радиусами Ri и R2. Расстояние между
их центрами равно d. Найдите граничные значения расстдяния
между их точками.
26. Даны две точки O1 и O2. IOiO2I=S. Нарисуйте фигуру, со¬
стоящую из всех таких точек Xi что: а) IO1XI =2, IO2XI =4;
б) IO1X 1^2, |О2Х|<4; в) \01Х\>2, |02Х|>4; г) IO1XI^, |02Х|<4.
27. Даны два шара. Всегда ли можно провести такую плоскость,
которая пересекает их по равным кругам?
28. Рассмотрим на сфере фиксированную сетку меридианов и па¬
раллелей. а) Сколько меридианов проходит через данную точку сфе¬
ры? б) Сколько параллелей проходит через данную точку сферы?
в) Сколько общих точек имеют два меридиана, меридиан и парал¬
лель? г) Через каждую ли точку на сфере проходит меридиан?
параллель? д) Как расположены плоскости двух меридианов?
двух параллелей? плоскость меридиана и параллели? е) Может ли
длина параллели равняться длине меридиана? быть больше, чем
длина меридиана? ж) Могут ли меридианы иметь разную длину?
з) Для каждой ли параллели есть параллель, у которой длина в
два раза меньше? к) Для каждой ли параллели есть параллель, у
которой длина в два раза больше? л) Для каждой ли параллели
есть параллель такой же длины? большей длины? меньшей длины?
29. Дана сфера радиуса R. Найдите длину: а) меридиана;
б) шестидесятой параллели; в) экватора.
30. Какие вам известны доказательства того, что Земля имеет
форму шара? На каком геометрическом свойстве шара основано это
доказательство?
§ 21. ОПОРНАЯ ПЛОСКОСТЬ
Шар, положенный на плоскость, опира¬
ется на нее в одной точке (рис. 21.1). По¬
этому такая плоскость называется опор¬
ной. Но, прежде чем дать точное опреде¬
ление опорной плоскости не только для
шара, но и для любой фигуры, определим
аналогичное понятие в планиметрии —
опорную прямую.
126
21.1. опорная прямая
Будем рассматривать фигуры, в частно¬
сти прямые, в какой-либо данной плос¬
кости.
Определение. Прямая называет-
ся опорной прямой данной фигуры, если
она имеет е фигурой хотя бы одну общую
точку и фигура содержится в одной полу¬
плоскости, ограниченной этой прямой.
Говорим еще так: «прямая, опорная к
фигуре в данной ее точке», например, на
рисунке 21.2 прямые а, b — опорные к
фигуре F в ее точках At В. Фигура F как
бы опирается на прямую, а отсюда назва¬
ние «опорная».
Касательная к окружности является ее
опорной прямой в точке касания, а также
опорной к кругу (рис. 21.3).
Прямая может быть опорной одновремен¬
но в разных точках фигуры, как на рисун¬
ке 21.4 и, например, на целом отрезке: так
прямая, содержащая сторону треугольника,
является для него опорной (рис. 21.4).
C другой стороны, может быть так, что в
одной трчке фигура имеет бесконечно много
опорных прямых; так, например, через вер¬
шину треугольника проходит бесконечно
много опорных прямых (они заполняют
два вертикальных угла, рис. 21.5).
Рис. 21.2
21.2. Опорная плоскость
Все сказанное об опорных прямых в
плоскости можно перенести на опорные
плоскости в пространстве.
Определение. Плоскость называ¬
ется опорной плоскостью данной фигуры,
если она имеет с фигурой хотя бы одну об¬
щую точку и фигура содержится в одном
полупространстве, ограниченном этой плос¬
костью.
Говорят еще так: «плоскость, опорная
к фигуре в данной ее точке». Например,
на рисунке 21.6 плоскости а, P — опор¬
ные к фигуре F в ее точках At В.
Мы постоянно встречаемся с опорными
плоскостями (насколько вообще можно ГО-
127
Рис. 21.8
ворить о реальных плоских по¬
верхностях как о плоскостях).
Плоскость стола является опор¬
ной для всех стоящих на нем
предметов; для предмета, упира¬
ющегося в пол и в стену, их по¬
верхности служат опорными
.плоскостями; для детали, обра¬
батываемой на шлифовальном
круге, поверхность этого круга
тоже служит опорной плоско¬
стью и т. д. и т. п.
Плоскость может быть опор¬
ной одновременно в разных то¬
чках фигуры, как на рисунке
‘21.7, и, например, на целой об¬
ласти: так плоскость основания
пирамиды являете^ ее опорной
плоскостью во всех точках ос¬
нования (рис. 21.8).
C другой стороны, может
быть так, что в одной точке фи-
, гура имеет бесконечно много опо¬
рных плоскостей, как это будет,
например, в вершине пирамиды
(рис. 21.8).
Таким образом, для любой
фигуры и плоскости могут быть
лишь три (исключающих друг
друга) случая их взаимного рас¬
положения: 1) плоскость и
фигура не имеют общих
точек; 2) плоскость явля¬
128
ется опорной к фигуре; 3) плоскость пересекает фигуру. Если фи¬
гура — шар, то эти три случая были рассмотрены в теореме о пе¬
ресечении шара плоскостью.
21.3. Опорная плоскость шара.
Теорема 21.1. (об опорной плоскости шара). Шар в каж¬
дой точке его поверхности имеет опорную плоскость.
Плоскость является опорной к шару в данной точке
его поверхности тогда, и только тогда, когда она про¬
ходит через эту точку и перпендикулярна проведен¬
ному в нее радиусу.
Доказательство, Пусть А — точка поверхности шара с
центром Оиа— проходящая через нее плоскость (рис. 21.9).
Тогда для этой плоскости верны два утверждения:
1) если плоскость а перпендикулярна радиусу OA. то она опор¬
ная к шару в точке А;
2) если плоскость а опорная к шару в точке А, то она перпенди¬
кулярна радиусу OA.
Докажем первое утверждение. Пусть плоскость а проходит через
точку А перпендикулярно радиусу OA. Тогда для всех ее точек X
|0Х|»0А| = /?, где R- радиус данного шара.
Если точка Y лежит в пространстве с той стороны от плоскости а,
где не лежит центр О, то отрезок OY пересекает плоскость а в ка¬
кой-то точке. X. Поэтому |0У| > |0Х|^ IOAI=R, т. е. |0У| > R,
и значит точка Y не принадлежит шару.
Следовательно, шар расположен целиком в том полупространст¬
ве, где лежит его центр. Тем самым, плоскость а — опорная.
Через каждую точку А, на поверхности шара можно провести
плоскость/ перпендикулярную радиусу OA. Как доказано, эта
плоскость будет опорной. Значит, через каждую точку поверхности
шара проходит его опорная плоскость, как и утверждалось в начале
теоремы.
Докажем теперь второе утверждение. Пусть плоскость а —
опорная к данному шару в точке А. Если бы радиус-OA не был
5 № 7814
129
перпендикулярен плоскости а, то в ней нашлась бы точка В более
близкая к О, т. е. такая, что,|0В1 < |0ЛI. А так как [OAI = /?,
то точка В лежала бы внутри шара и плоскость а не была бы опор¬
ной к шару, поскольку на радиусе, проходящем через точку В,
лежали бы точки шара X и Y по разные стороны от а (рис. 21.10).
Значит, (0А)_]_а.Ц
При определении опорной плоскости в п. 21.2 проводились при¬
меры, показывающие, что, вообще говоря, опорная плоскость мо¬
жет иметь с той фигурой, для которой она является опорной, не
одну общую точку. Но каждая опорная плоскость к шару имеете
ним лишь одну общую точку, и это свойство является характеристи¬
ческим для опорной плоскости шара. Это выражает следующая тео¬
рема.
Теорема 21.2. Плоскость является опорной к шару
в данной точке тогда и только тогда, когда она имеет
с шаром лишь одну эту общую точку.
Доказательство. Действительно, из теоремы о пересе¬
чении шара с плоскостью следует, что плоскость имеет с шаром един¬
ственную общую точку (лежащую на поверхности шара) тогда и
только тогда, когда радиус шара, проведенный в эту точку, перпен¬
дикулярен данной плоскости. А это, в свою-очередь, имеет место
тогда и только тогда, когда данная плоскость является опорной к
шару. ■ /
Заметим, что. плоскость, опорная к шару, является, очевидно,
опорной и к ограничивающей его сфере и обратно. Поэтому обе те¬
оремы, доказанные об опорной плоскости шара, могут быть отнесе¬
ны и к опорной плоскости сферы.
Эту же плоскость называют еще касательной к сфере, потому что
сфера гладко подходит к этой плоскости; не так, скажем, как
поверхность пирамиды подходит к опорной плоскости в ее вершине.
Общее определение касательной плоскости выходит за рамки
элементарной геометрии. Плоскость, имеющая с поверхностью толь¬
ко одну общую точку, может не быть касательной, подобно плоско-
/ сти, проходящей через вершину пирамиды.
ЗАДАЧИ К §21
1. Нарисуйте: а) плоскую фигуру, которая в каждой своей точ¬
ке имеет единственную опорную прямую; б) неплоскую фигуру,
которая в каждой своей точке имеет единственную опорную плос¬
кость.
2. Нарисуйте: а) плоскую фигуру, которая в каждой своей точ¬
ке, где имеется опорная прямая, имеет их бесконечное множество;
б) неплоскую фигуру, которая в каждой своей точке, где имеется
опорная плоскость, имеет их бесконечное множество.
3. Может ли опорная прямая иметь с плоской фигурой: а) ровне
одну общую точку; б) ровно две общие точки; в) ровно один общий
отрезок; г) ровно два общих отрезка?
4. Может ли опорная плоскость иметь с неплоской фигурой:
ПО
а) ровно одну общую точку; б) ровно две общие точки; в) ровно
1980 общих точек; г) ровно один общий отрезок; д) ровно 10 об¬
щих отрезков; е) ровно один общий многоугольник; ж) ровно два
общих многоугольника?
5. Может ли плоская фигура: а) не иметь опорных*прямых;
б) иметь только одну опорную прямую; в) не иметь опорной прямой
только в одной точке; г) иметь опорную прямую только в одной точ¬
ке? Сформулируйте и решите аналогичные задачи для неплоских
фигур и опорных плоскостей.
6. Могут ли две плоские фигуры: а) иметь только одну общую
опорную прямую; б) иметь ровно две общие опорные прямые;
в) иметь бесконечное множество общих опорных прямых; г)'не иметь
общих опорных прямых? Сформулируйте и решите аналогичные
задачи для неПлоских фигур и опорных пл едкостей.
7. Шар лежит на плоскости а. На расстоянии d от их общей
точки в плоскости а находится точка А. Радиус шара равен R. На
каком расстоянии от шара находится точка 4?
8. Шар радиуса R лежит на плоскости. Отрезок AB длиной d
одним концом А упирается в шар снаружи, а другим концом В
упирается в плоскость. Найдите граничные значения расстояния
между В и общей точкой шара и плоскости.
9. Прямая а лежит в плоскости а, которая является опорной
для шара с центром О. Точка А — их общая точка. |Оа| = 1, |Да|=й.
Найдите расстояние от прямой а до шара.
10. Шар радиуса R лежит на плоскости. Точка C— их общая1
точка. Точки А и В лежат в той же плоскости, причем | ACI =2,
|АВ| = 1. Найдите граничные значения для расстояния между от¬
резком AB и шаром.
И. К шару проведены две опорные плоскости, а) На каком рас¬
стоянии они находятся, если известно, что они параллельны?
б) На каком расстоянии от шара может находиться прямая пересе¬
чения этих плоскостей, если известно, что они пересекаются?
12. Футбольный мяч лежит: а) у стены; б) в углу. Уместится
ли в образовавшемся зазоре шарик от настольного тенниса?
13. На плоскости лежат два шара радиусов Ri и R2 Они име¬
ют единственную общую точку, а) На какой высоте над плоскостью
находится их общая точка? б) На каком расстоянии друг от друга
находятся Общие точки этих шаров и плоскости? в) Найдите радиус
наибольшей сферы, которая пройдет через зазор между данными
шарами и плоскостью.
14. Два непересекающихся шара радиусов Ri и R2 имеют об¬
щую опорную плоскость. Найдите граничные значения расстояния
между точками этих шаров, если расстояние между их центрами
равно d.
15. Три шара лежат на плоскости, и каждое два из них имеют
единственную общую точйу (касаются). Назовем эти точки At Bt Ct
|ЛВ|=3, |4С|=3, |ВС|=4. Какой из этих шаров наибольший?
Какой наименьший? А если ]АВ|=2, |АС|=3, |ВС|=4?
5Ф
131
16. Три шара одинакового радиуса/? лежат на плоскости, и каж¬
дые два из них касаются. Четвертый шар того же радиуса кладется
в ямку между ними. Какова высота полученного сооружения?
17. Постройте плоскость, опорную к данному шару и проходя¬
щую через: а) данную точку вне его; б) две данные точки вне его.
18. Постройте плоскость, опорную к двум данным шарам, к трем
данным шарам.
19. Дан шар. Могут ли опорные плоскости, проведенные к нему,
образовать: а)' куб; б) прямоугольный параллелепипед с разными
размерами; в) правильный тетраэдр; г) правильную четырехуголь¬
ную пирамиду; д) правильную треугольную призму; е) наклонный
параллелепипед?
20. Прямая являе’гся опорной к некоторому большому кругу
данного шара, а) Как она расположенач по отношению к другим
большим кругам этого шара? б) По отношению к самому шару?
в) Что изменится, если взять не опорную прямую, а прямую, кото¬
рая имеет с некоторым большим кругом шара единственную общую
точку?
21. Из точки Af взятой вне шара, нроводятся лучи, имеющие
с шаром единственную общую точку. Какой фигурой является
множество этих общих точек?
22. Шар радиуса 7? лежит на плоскости. Точка А — их общая
точка. В этой же плоскости взята точка Bf такая, что |ЛВ|=2.
Из нее проводятся лучи, имеющие с шаром единственную общую
точку. Вычислите граничные значения расстояния от этих общих
точек по данной плоскости.
23. Шар радиуса 7? лежит на плоскости а. Точка А — их об¬
щая точка. Прямая а параллельна а и имеет с шаром единствен¬
ную общую точку, а) Найдите 1Да|, если |аа|=й. б) Выразите
|аа| как функцию от х, где х=|Да].
24. Шар радиуса R лежит на плоскости а. Прямые а и b имеют
с шаром единственную общую точку,,параллельны между собой
и плоскости а. Iaal=^1, |ад|=б/2. Найдите |да|.
25. На столе лежат шарик и кубик. Можете ли вы вычислить
расстояние между ними?
26. Из каких, по-вашему, соображений, мяч делают в форме
шара?
* § 22. РАЗМЕРЫ ФИГУР. РАССТОЯНИЕ ДО ФИГУРЫ
22.1. Расстояния в шаре
Теорема 22.1. Расстояние между двумя точками
шара не больше его диаметра» причем оно равно диамет¬
ру только для диаметрально противоположных точек
шара.
Доказательство. Пусть точки Xf Y принадлежат шару
132
с центром О и радиусом г (рис. 22.1). Тогда:
|ОХ|^г, 10У|<г. (22.1)
Отсюда и- из неравенства треугольника
|0УК1Х01 + 10УКг+г=2г, (22.2)
т. е. расстояние |ХУ| всегда не больше ди¬
аметра. Вместе с тем из (22.1) и (22.2) сле¬
дует, что |ХУ|=2г только тогда, когда
|0Х1=г, |ОУ|=г и 1Х01 + 10У1 =2г = \ХУ\.
Первые два равенства означают, что точки
X, У лежат на сфере, а последнее — что тс
ними, т. е. отрезок XY соединяет две точки на сфере и проходит
через ее центрСледовательно, точки X и У диаметрально про¬
тивоположны. Ц
22.2. Ограниченные фигуры. Диаметр фигуры
Фигуру конечных размеров называют в математике ограничен¬
ной. Точнее, дается следующее определение.
Определен, и е. Фигуру называют ограниченной, если най¬
дется такое расстояние d, что расстояние между любыми двумя точ¬
ками фигуры не превосходит d. В противном случае фигуру называ¬
ют неограниченной.
В неограниченной фигуре есть точки, сколь угодно удаленные
друг от друга, и никакого наибольшего расстояния нет заведомо.
Но в. ограниченной фигуре могут существовать наиболее удаленные
друг от друга точки, или, другими словами, пары таких точек,
расстояние между которыми наибольшее. В шаре такими точками
являются пары диаметрально противоположных точек. ,(Но не во
всякой ограниченной фигуре есть наиболее удаленные друг от друга
точки; их нет, например, на отрезке, у которого исключены концы;
их нет и во внутренности шара. Приведите другие примеры.)
Определение. Расстояние между наиболее удаленными
друг от друга точками фигуры (если такие точки существуют) назы¬
вается диаметром фигуры. „
Другими словами, диаметр фигуры — это наибольшее расстоя¬
ние между ее точками. Отрезок, соединяющий наиболее удаленные
друг от друга точки фигуры, тоже можно назвать ее диаметром,
как это делается для шара.
22.3. Плоскости в концах диаметра
Вспомним теорему 21.1 об опорной плоскости шара. В ней со¬
держится следующее утверждение.
Плоскость, проходящая через конец диаметра шара
перпендикулярно этому диаметру, не имеет с шаром
других общих точек и служит его опорной плоскостью.
Оказывается, эта теорема дословно обобщается на произвольные
фигуры! Именно выполняется следующая теорема.
133
Теорема 22.2. Плоскость, проходящая через конец
диаметра, фигуры перпендикулярно этому диаметру,
не имеет с фигурой других общих точек и служит ее
опорной плоскостью.
Доказательство. Пусть отрезок AB — диаметр фи¬
гуры F (рис. 22.2). Проведем через его конец А плоскость а, ему
перпендикулярную. Если X — точка этой плоскости, отличная от
At то |ВХI >]ВЛ1, так как перпендикуляр BA короче наклон¬
ной BX.
По определению, диаметр — это наибольшее расстояние между
точками фигуры, так что для всех точек Y^F выполняется нера¬
венство |ВЛ| |ВЕ|. Следовательно, никакая точка Y фигуры F
не лежит на плоскости а, кроме самой точки Л.
Покажем, что вся фигура F (кроме точки Л) лежит с той стороны
от плоскости а, где лежит точка В. Действительно, если точки Z
и В лежат по разные стороны от а, то отрезок- BZ пересекает плос¬
кость а. Поэтому |В7|>|ВЛ| и точка Z не может быть точкой фигу¬
ры Л Итак, плоскость а — опорная плоскость фигуры F в
гочк* Л.|
Замечание 1. Вся фигура, кроме концов диаметра Л В,
расположена строго между плоскостями а и ₽, проходящими через
его концы Л и В перпендикулярно ему (рис. 22.3). Диаметр фигуры
или какого-нибудь предмета — это мера того, что называют линей¬
ными размерами или габаритами предмета. Всякий предмет можно
поместить в кубическую коробку с ребром, равным диаметру
предмета.
Замечание 2. Теорема 21.1 о шаре в значительной части
оказалась, как мы видим, только частным случаем теоремы 22.2,
относящейся к любым фигурам, лишь бы у них существовали наи¬
более отдаленные друг от друга точки. При этом доказательство тео¬
ремы 22.2 ничуть не сложнее. Это примечательно!
Один из моментов в развитии математики состоит в том, что ре¬
зультаты, которые прежде относились к более специальным фигу¬
рам, уравнениям, функциям или иным объектам математики, обоб¬
134
щаются позже на гораздо более общие объекты. Теорема 21.1 о
шаре восходит к древним грекам, а общее понятие опорной плос¬
кости и теорема 22.2 принадлежит геометрии XX в.
22.4. Об ограниченных фигурах
Из теоремы 22.1 о рас¬
стояниях в шаре очевидно, что
если фигура лежит внутри
некоторого шара, то рас¬
стояние между любыми ее
точками меньше диаметра
этого шара, так что фи¬
гура ограничена.
Верно также обратное ут¬
верждение: если фигура F
ограничена, та какова бы
ни была точка О, фигура
F лежит внутри некото¬
рого шара' с центром в то¬
чке О.
Действительно, поскольку F
ограничена, то найдется такое
расстояние dX), что IXVI-Cd
для любых точек X и Y фигу¬
ры F (рис. 22.4). Фиксируем не¬
которую точку А фигуры F и
пусть а=| OA |. Тогда F лежит
внутри шара U с центром в то¬
чке О и радиусом г=а+</. Дей¬
ствительно, для любой точки X
фигуры F расстояние ^XlCd,
а потому в силу неравенства
треугольника IOX К | OA I +
+|ДХ|<а-Н, т. е. Xet/- Поэ¬
тому FczU.
Таким образом, мы доказали,
что ограниченность фигуры рав¬
носильна возможности поместить
эту фигуру внутрь некоторого
tuaPa-BI
22.5. Шар и расстояние от
точки до фигуры
Представим себе какую-нибудь
фигуру F и точку А вне ее. До¬
пустим, в фигуре F есть точка В,
Рис. 22.5
135
ближайшая к точке Л. Опишем вокруг точки А шар радиусом
К=|ЛВ|. Точка В будет лежать на его поверхности (рис. 22.5). Но
внутри шара не будет точек фигуры F, потому что точки внутри
шара лежат ближе к центру Л, ай — ближайшая к точке А точ¬
ка фигуры F.
Значит, если точка В — ближайшая к А точка фигуры F1 то
она лежит на поверхности такого шара с центром Af внутри ко¬
торого нет точек фигуры F.
Верно также обратное: если точка' В фигуры F лежит на по¬
верхности такого ш^ра, с центром Af внутри которого нет точек
фигуры Ff то такая точка В — ближайшая к Л. (Это ясно, потому
что внутри шара лежат все точки, более близкие к центр у, чем лежа¬
щие на поверхности.)
Таким образом, мы приходит к следующему выводу. Точка В
фигуры Ff ближайшая к точке'Л (лежащей вне F),— это такая,
ее точка, которая лежит на поверхности такого шара с центром Л,
внутри которого нет точек фигуры F.
Расстояние |ЛBl от Л до ближайшей точки фигуры F есть, по
определению, расстояние ^FI от точки Л до фигуры F. Поэтому
сказанное равносильно следующему.
Теорема 22.3. Расстояние от тонки до фигуры рае?
но радиусу такого шара с центром в данной тонне,
внутри которого нет точек данной фигуры, но есть
хотя бы одна на его поверхности.
В связи с этим измерение расстояния от точки Л до фигуры F
можно представить себе таким образом. Из точки Л как из центра
раздувается шар или сфера, пока она не достигнет фигуры F. Ра¬
диус этой сферы и даст расстояние |Л^.
Этим пользуются, определяя расстояние до удаленных предметов
посредством эха. Короткий звук, прозвучавЩий в точке Af распро¬
страняется от нее в виде сферической волны, отражается от препят¬
ствия Ff едва его достигнув, и возвращается к точке Л. Время /,
через которое в точке Л получается этот отраженный звук,— это
время распространения волны от Л до F и обратно. Поэтому рас-,
стояние |ЛFl = ^v/, где V — скорость распространения волны.
Так определяют расстояния посредством радиолокации, т. е.
посредством электромагнитного эха. Из точки Л посылают не
звуковой, а электромагнитный сигнал, который также распростра¬
няется в виде сферической волны. Расстояние ^Fl=^/, где V —
скорость электромагнитных волн.
ЗАДАЧИ К § 22
1. Дана сфера. Какой фигурой является множество ее точек:
а) удаленных от данной точки сферы на данное расстояние; б) уда¬
ленных от двух данных точек сферы на данное расстояние; в) рав¬
ноудаленных от двух данных точек сферы; г) равноудаленных от
136
трех данных точек сферы? Как изменится результат, если вместо
сферы взять шар?
2. На сфере радиуса R лежат две точки А и В, расстояние
между которыми, равно 1. Найдите расстояние от центра сферы
до прямой, проходящей через.эти точки.
3. На сфере радиуса R лежат две точки Л и В, расстояние
между которыми равно 1. Точка X лежит "на сфере и равноудалена
от данных точек. Найдите граничные значения расстояния от X до
данных точек.
4. Три вершины прямоугольного треугольника лежат на сфере.
Какая из его сторон ближе к центру?
5. Л В — диаметр сферы радиуса R. Известны расстояния от
точки X сферы до его концов. Найдите расстояние от X до (АВ).
6. AB — диаметр сферы. IЛBl =6. Точка X такова, что |ХЛ I =3,
|ХВ|=5. Принадлежит ли она шару?
7. На сфере радиуса 2 лежат точки Л, В, С, образуя равносто¬
ронний треугольник со стороной 1. Точка X лежит на сфере, причем
|ХЛ| = |ХВ|. Вычислите граничные значения для [ХС|.
8. Треугольник ЛВС, в котором |ЛС|=3, |ЛВ|=4, |ВС|=5,
вписан в большой круг данного шара. Точка % лежит на сфере,
причем |ХЛ| = |ХВ|. Вычислите граничные значения для |ХС|.
9. Как расположить точки на данной сфере, чтобы расстояние
между ними было наибольшим, если: а) точек две; б) точек три.
и расстояния между ними равны; в) точек четыре и расстЬяния
между ними равны?
10. На модели шара укажите вершины: а) правильного тре¬
угольника; б) квадрата; в) правильного тетраэдра; г) куба.
11. На модели шара начерчена окружность. Отметки центра не
осталось. Можете ли вы найти ее радиус? (Радиус шара известен.)
12. На сфере радиуса R даны две окружности, радиуса г каждая.
Найдите наибольшее возможное значение расстояния между
ними.
13. Три равных окружности расположены на сфере радиуса R
так, что каждая имеет с другой общую касательную. Найдите наи¬
большее значение радиуса таких окружностей.
14. Прямоугольный параллелепипед лежит внутри шара радиу¬
са R. Найдите наибольшее значение длины его диагонали.
15. Правильный тетраэдр находится внутри шара радиуса R.
Найдите наибольшее означение его высоты.
16. Правильная четырехугольная пирамида с равными ребрами
находится внутри шара радиуса R. Найдите наибольшее значение
ее высоты.
17. Правильная треугольная призма с равными ребрами нахо¬
дится внутри шара радиуса R. Найдите наибольшее значение ее
ребра.
18. Имеются две сферы с общим центром и радиусами R1 и R4.
При каком условии существует прямоугольный параллелепипед,
лежащий в большем шаре и содержащий меньший шар?
137
19. Уместятся ли: а) три шара радиусом 1 в шаре радиусом 3;
б) три шара радиусом 1 в шаре радиусом 2; в) четыре шара радиусом
1 в шаре радиусом 3?
20. Вычислите диаметр: а) квадрата со стороной 1; б) равно¬
стороннего треугольника со стороной 1; в) треугольника со сторо¬
нами 4, 5, 6; г) параллелограмма со сторонами 1 и 2 и острым
углом <р между ними (углу ф можно придавать удобные значения);
д) объединения равностороннего треугольника и квадрата, пересе¬
чением которых является их общая сторона, равная 1; е) централь¬
но симметричного креста, состоящего из двух прямоугольников
со сторонами 1 и 2.
21. Найдите диаметр: а) куба с ребром 1; б) прямоугольного
параллелепипеда с ребрами J2, Js; в) объединения куба с реб¬
ром 1 и прямоугольного параллелепипеда с ребрами 1,2, 3, причем
куб стоит на меньшей грани параллелепипеда так, что их пересече¬
нием является основание куба и центры оснований куба и паралле¬
лепипеда совпадают. Изменится ли диаметр объединения, если дви¬
гать куб параллельно самому себе, по меньшей грани, но так,
чтобы основание куба оставалось в основании параллелепипеда?
Изменится ли диаметр объединения, если расположить куб анало¬
гичным образом на других гранях параллелепипеда?
22. Имеется круглое отверстие радиуса 2. Пройдет ли в него:
а) куб с ребром 2; б) прямоугольный параллелепипед с ребрами 1,
2, 3; в) правильная треугольная призма, у которой все ребра
равны 2; г) правильный тетраэдр с ребром 3; д) правильная четы¬
рехугольная пирамида, у которой все ребра равны 2?
23. Можно ли разрезать шар: а) на две фигуры меньшего диа¬
метра; б) на четыре фигуры меньшего диаметра?
24. Две фигуры имеют общую точку. Их диаметры 1 и 2. Диа¬
метр их объединения обозначим Jf, а диаметр их пересечения обоз¬
начим J2. Может ли быть, что: а) J1X^; б) Jf=S; в) 2<б/1<3;
г Г б/1=2; д) 1<бЛ<2; е) Ji=I; ж) J1Cl; з) й2=2; и) 1<^2<2;
к) J2=I; л) J2Cl; м) J1=J2?
§ 23. ВЫПУКЛЫЕ ФИГУРЫ
Выпуклые фигуры определяются в стереометрии буквально так
же, как в планиметрии.
Определение. Фигура называется выпуклой, если вместе
с каждыми двумя своими точками она содержит и соединяющий их
отрезок.
Примерами выпуклых фигур могут служить отрезок, луч, плос¬
кость, прямая, треугольник, параллелограмм, круг, полупростран¬
ство, шар, все пространство.
Покажем, например, что шар — выпуклая фигура. Возьмем две
его точки XhY Проведем через них и через третью точку —
центр О — плоскость. Сечение шара такой плоскостью, согласно
138
Рис. 23.2
теореме 20.1, есть круг. Круг — выпуклая фигура. Значит, каждый
отрезок XY лежит в круге данного шара, а тогда и в самом шаре.
Тем самым мы доказали, что шар — выпуклая фигура.
Одна точка и пустое множество считаются выпуклыми фигу¬
рами.
Отметим .важное свойство выпуклых фигур.
Теорема 23.1. Пересечение любых двух выпуклых
фигур есть выпуклая фигура, и вообще, пересечение лю¬
бой совокупности выпуклых фигур есть выпуклая фи¬
гура.
Доказательство. Пусть F1 и F2 — две выпуклые фи¬
гуры и F их пересечение (рис. 23.1). Если две точки А и В принад¬
лежат Ft то значит, что они принадлежат и F1/ и F2. А тогда по
выпуклости фигуры F1 она содержит отрезок АВ. Совершенно так
ж? F2 содержит отрезок АВ. Поэтому он содержится в пересечении
F1 и F2, т. е. в F. Итак, отрезок, соединяющий любые две точки А
и В фигуры Ft содержится в F, т. е. F — выпуклая фигура.
В случае пересечения любой совокупности выпуклых фигур
доказательство то же1. Пусть фигура F является пересечением неко¬
торых выпуклых фигур. Если точки А и S принадлежат Ft то это
значит, что они принадлежат всем фигурам данной совокупности.
А тогда, по выпуклости этих фигур, отрезок AB содержится в каж¬
дой из них. Поэтому он содержится в общей части всех этих фигур —
в их пересечении, т. е. в фигуре F. Таким образом, фигура F вместе
с любыми двумя точками А и В содержит и соединяющий их отре¬
зок АВ. А это по определению означает, что фигура F выпукла. В -
Замечание 1. В частности, пересечение данных фигур мо¬
жет быть пустым или одноточечным множеством. Если бы пустое и
одноточечное множества не считались выпуклыми, то эти. случаи
надо было бы исключить из теоремы и ее нельзя было бы формули¬
ровать так, как это сделано.
1 Эта совокупность может быть совершенно произвольной. Рассмотрите,
например, совокупность всех полупространств, содержащих данный шар и ог¬
раниченных его опорными плоскостями.
1Э9
З а м е ч а н и е 2. Доказанная теорема позволяет получать
выпуклые фигуры путем пересечения каких-либо данных выпуклых
фигур. Например, имеют место следующие два утверждения.
Следствие 1. Пересечение выпуклой фигуры с пло¬
скостью есть выпуклая фигура (рис. 23.2).
Следствие 2. Каждая плоскость разбивает любую
выпуклую фигуру на две выпуклые фигуры. Каждая из
них есть пересечение исходной выпуклой фигуры с по¬
лупространством, ограниченным заданной плоскостью
(рис. 23.2). (Точки исходной фигуры, лежащие в этой плоскос¬
ти, относятся к каждой из полученных выпуклых фигур.)
Отметим еще следующее утверждение.
Теорема 23.2. Проекция выпуклой фигуры на пло¬
скость есть выпуклая фигура.
Доказательство. Пусть F — выпуклая фигура и F'
ее проекция на плоскость а. Возьмем любые две точки А' и В' фи¬
гуры F' Они являются проекциями некоторых точек А и В фигу¬
ры F (рис. 23.3). Так как отрезок A'В' — проекция отрезка AB и
отрезок ABeF, то отрезок А’B'с F' Итак, фигура F' выпукла. |
ЗчА Д А Ч И К § 23
,1'. Будут ли верны результаты, полученные в задачах 1—6 и
в § 22, если вместо произвольных фигур взять выпуклые?
2. Останется ли фигура выпуклой, если из нее удалить точку?
А если к ней добавить точку?
3. Рассматривается фигура Fw множество остальных точек про¬
странства — фигура F1. Исследуйте на выпуклость фигуру Fi,
если F: а) выпуклая; б) не является выпуклой.
4. Если выпуклая фигура содержит три точки, не лежащие на
одной прямой, .то она содержит треугольник с вершинами в этих
точках. Докажите это.
5. Докажите, что выпуклой фигурой является: а) треугольник;
б) круг; в) шар.
6. Нарисуйте выпуклую фигуру, являющуюся объединением:
а) двух треугольников; б) кругд и треугольника; в) двух квадра¬
тов; г) двух полос; д) двух параллелограммов; е) двух полуплос¬
костей; ж) полосы и треугольника; з) двух тетраэдров; и) двух
шаров; к) двух кубов; л) шара и куба; м) Двух выпуклых фигур;
н) двух невыпуклых фигур; о) одной выпуклой и одной невыпуклой
фигуры.
7. Может ли неплоская нёвыпуклая фигура: а) иметь сечение в
виде выпуклой фигуры? б) Может ли она иметь бесконечно много
выпуклых сечений? в) Может ли быть так, что каждое ее сечение —
выпуклая фигура?
8. Можно ли разделить плоскостью некоторую невыпуклую фигу¬
ру,, а) на две выпуклые фигуры; б) на две невыпуклые фигуры; в) на
одну выпуклую и одну невыпуклую? Можно ли все это проделать в од¬
ной и той же фигуре?
140
9. Может ли невыпуклая фигура иметь проекцией выпуклую
фигуру при проектировании: а) на данную плоскость; б) на каждую
плоскость?
10. Фигура F при проектировании на две перпендикулярные
плоскости дает на каждой из них выпуклую фигуру, а) Является
ли F выпуклой? б) А если то же. самое имеет место при проектиро¬
вании на три плоскости, из которых каждые две перпендикулярны?
11. Перед вами буханка хлеба. Можете ли вы, делая ножом
только плоские разрезы, получить невыпуклый кусок хлеба?
12. -Фигура F—неплоская и выпуклая. Точка А не лежит в
этой фигуре. Сколько в фигуре F может быть точек, ближайших к
А?
13. Фигуры F1 и F2 — выпуклые. Обязательно ли они имеют
ближайшие точки?
14. Докажите, что диаметром выпуклого многоугольника яв¬
ляется длина его стороны или диагонали.
15. Верно ли утверждение о том, что в каждой точке неплоская
выпуклая фигура имеет опорную плоскость? Верно ли утверждение
о том, что хотя бы в одной точке неплоская выпуклая фигура имеет
опорную плоскость? Верны ли эти утверждения для неплоских и не¬
выпуклых фигур?
§ 24. ЦИЛИНДРЫ
24.1. Определение цилиндра
В VIII классе при знакомстве с фигурами в пространстве ци¬
линдр определяли как фигуру, которую можно получить, вращая
прямоугольник вокруг одной из его сторон (рис. 24.1). Но это спе¬
циальный случай — цилиндр вращения, или,*как его еще называют,
прямой круговой цилиндр. Сейчас мы определим,. что называется
цилиндром вообще.
Пусть даны две параллельные плоскости а и а' и на плоскости
а задана некоторая фигура F (рис. 24.2). Будем проводить из всех
точек. X € F параллельные друг друТу отрезки до плоскости а'.
Рис. 24.3
Рис. 24.1
Рис. 24.2
141
Фигура, которую они заполнят, и называется цилиндром. Это выра¬
жает следующее определение.
Определение. Цилиндром называется объединение па¬
раллельных отрезков, идущих из всех точек некоторой плоской фи¬
гуры до плоскости, параллельной плоскости этой фигуры. Эти от¬
резки называются образующими цилиндра, а заданная плоская фи¬
гура — его основанием х.
Фигура, образованная концами отрезков на другой плоскости,
тоже называется основанием цилиндра.
Основные свойства цилиндра выражает следующая тебрёма.
Теорема 24.1. 1) Все образующие цилиндра не толь-
ко параллельны, но и равны друг другу.
2) Основания цилиндра равны (конгруэнтны), как и
все его сечения плоскостями, параллельными плоскос¬
ти основания. .
Доказательство. Параллельные отрезки между парал¬
лельными плоскостями равны (по лемме 12.1). Поэтому образующие
цилиндра равны.
Параллельные отрезки между параллельными плоскостями уста¬
навливают соответствие между точками этих плоскостей, сохранякг-
щее расстояние, так как концы двух таких отрезков являются вер¬
шинами параллелограмма (рис. 24.3). Поэтому основания и вообще
все сечения цилиндра плоскостями, параллельными плоскости ос¬
нования, конгруэнтны. Действительно, пусть X и У — точки на
одном основании Ft а отрезки XXr и YYr — идущие из этих точек
образующие. Поскольку отрезки XX' и YYr параллельны и равны,
то четырехугольник XXrYrY — параллелограмм, так что IXKI =
= |Х'У'|.
Аналогичное рассуждение можно повторить и для пересечения
цилиндра с плоскостью, проходящей через любую точку цилиндра
параллельно плоскостям его оснований. Ц
Дополнениё. Поскольку отрезки XY и X Yf являются
сторонами параллелограмма, то они не только равны, но и парал¬
лельны. Поэтому, сопоставляя друг другу концы образующих, полу¬
чаем такое отображение одного основания на другое, которое не
только сохраняет расстояние, но и каждую пару точек X, Y пере¬
водит в такую пару X', Yrt что (ХУ)Ц(Х'У').
О фигурах, между которыми можно установить такое отображе¬
ние, говорят, что они равны и параллельно расположены. Поэтому
утверждение 2 об основаниях цилиндра в теореме 24.1 можно заме¬
нить более сильным:
3) Основания цилиндра и все его параллельные им
сечения равны и параллельно расположены.
Перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основа¬
ния цилиндра на плоскость другого его основания, называется
1 Цилиндрами называют также фигуры, образованные параллельными
прямыми или лучами, но мы такие цилиндры не рассматриваем.
142
высотой цилиндра. Длина такого
перпендикуляра также называется
высотой цилиндра. Так как две
прямые, перпендикулярные одной
плоскости, параллельны, то все
высоты цилиндра параллельны, а
так как .высоты лежат между па¬
раллельными плоскостями, то та¬
кие высоты не только парал¬
лельны, но и равны друг
другу.
24.2. Другой подход к определению цилиндра
В предыдущем пункте цилиндр был определен (и построен) как
фигура, образованная параллельными отрезками, идущими из
всех точек некоторой плоской фигуры до плоскости, параллельной
плоскости этой фигуры. Как это было затем доказано, эти отрезки,
называемые образующими цилиндра, не только параллельны, но и
равны друг другу. И эти их свойства позволяют дать другой, рав¬
носильный первому, подход к определению цилиндра. Он основан
на лемме о слое (лемма 15.1).
Из определения цилиндра и этой леммы непосредственно выте¬
кает следующее утверждение:
Пусть в плоскости а задана некоторая фигура F и из точек этой
фигуры в одно полупространство, ограниченное а, проведены
равные друг другу и параллельные отрезки, не лежащие в плоско¬
сти а (рис. 24.4). Тогда эти отрезки образуют цилиндр, одним из
оснований которого является фигура Fi а другое основание состоит
из концов проведенных отрезков, не лежащих в а.
24.3. Прямой круговой цилиндр
Цилиндр называется прямым, если его образующие перпен¬
дикулярны основанию. Очевидно, любая образующая такого
цилиндра является его высотой.
Прямой цилиндр, основанием которого является круг, называ¬
ется прямым круговым цилиндром или цилиндром вращения. О та¬
ком цилиндре речь шла в VIII классе, и с напоминания о нем мы на¬
чали этот параграф (рис. 24.1).
Боковой поверхностью цилиндра вращения называется фигура,
состоящая из тех его образующих (т. е. являющаяся их объедине¬
нием), которые соединяют граничные точки оснований цилиндра
(т. е. точки двух окружностей, ограничивающих основания этого
цилиндра).
Из этого определения следует, что боковую поверхность цилиндра
вращения саму можно рассматривать как прямой цилиндр, основа¬
ние которого — окружность.
143
Рис. 24.6
Поверхностью цилиндра вращения называется объединение его
зснований и боковой поверхности. Поверхность цилиндра вращения
иногда также называют его полной поверхностью, подчеркивая этим,
ито она состоит из боковой поверхности и двух его оснований.
О точках цилиндра вращения, которые не лежат на его поверх-'
ности, говорят, что они лежат внутри цилиндра или что они являют-
:я его внутренними точками.
Из теоремы 24.1 следует такое свойство цилиндра вращения:
сечение цилиндра вращения плоскостью, параллельной
плоскости его основания, есть круг, а сечение его бо¬
ковой поверхности—окружность этого круга (рис. 24.5),
Прямой круговой цилиндр рисуют так. Сначала рисуют эллипс,
изображающий окружность .нижнего (или верхнего) основания.
Затем проводят к нему две параллельные касательные, для нагляд¬
ности чаще вертикальные (рис. 24.6). Их продолжают на равную
длину и пририсовывают касающийся их эллипс, равный и парал¬
лельно расположенный с первым (не забывайте о невидимых линиях).
Можно поступать и иначе. Находят центр О первого эллипса и
от точки О вертикально проводят отрезок 00' (вертикальность
обеспечивает большую наглядность рисунка).3атем-
строяттакой же эллипс с центром в (У, у которого
большой диаметр A'В' параллелен большому диа¬
метру AB нижнего основания. Проводят отрезки
AA' и BB'.
$ 24.4. Выпуклые цилиндры
Теорема 24.2. Цилиндр является вы¬
пуклым тогда а только тогда, когда ос¬
нование его выпукло.
Доказательство. Теорема содержит
два утверждения:
144
1) Если цилиндр — выпуклый, то его основания выпуклы.
2) Eели основание цилиндра выпукло, то и сам. цилиндр — вы¬
пуклый.
Первое утверждение непосредственно вытекает из того, что .се¬
чение плоскостью всякой выпуклой фигуры выпукло (следствие 1
теоремы 23.1), а овнования цилиндра являются пересечениями дан¬
ного цилиндра с плоскостями этих оснований.
Докажем второе утверждение. Пусть основание Q цилиндра V
выпукло (рис. .24.7). Возьмем в цилиндре V любые две точки А и
В и проведем через них образующие XX' и YY' Концы этих обра¬
зующих, лежащие в Q1— точки X и У — являются концами отрез¬
ка XY, лежащего в Q1 так как Q выпукло. Поэтому все отрезки
ZZ', исходящие из точек Z отрезка XY, параллельные и равные
отрезку XX', являются образующими цилиндра V, т. е. паралле¬
лограмм XYYrX' содержится в V. Так как отрезок AB содержится
в этом параллелограмме, то отрезок AB содержится в V. Итак, ци¬
линдр V выпуклый. |
ЗАДАЧИ K §24
1. Может ли объединение двух цилиндров быт!» цилиндром?
Может ли пересечение двух цилиндров быть цилиндром? Может ли
и то и другое быть цилиндром? Может ли ни то ни другое не быть
цилиндром?
2. В цилиндре вырезали сквозное цилиндрическое отверстие.
Будет ли оставшаяся часть цилиндром?
3. Даны два выпуклых цилиндра. Будет ли их объединение вы¬
пуклой фигурой? Выпуклым цилиндром? А если даны два невыпук
лых цилиндра?
В дальнейшем под цилиндром понимается прямой круговой ци¬
линдр.
4. Какой фигурой может быть ортогональная проекция цилин¬
дра?
5. Нарисуйте различные по форме сечения цилиндра.
6. На сколько частей можно разрезать цилиндр плоскими раз
резами, если' их: а) два; б) три?
7. > Дан цилиндр с радиусом 2 й высотой 1. Параллельно его
оси проводится сечение цилиндра на расстоянии 1 от его оси.
а) Найдите плошадь и периметр этого сечения, б) Выразите его пло¬
щадь и периметр как функцию от х, где х — расстояние от оси ци¬
линдра до сечения.
8. В цилиндре радиусом R и высотой H проведены два сечения,
параллельные между собой и параллельные оси. Их площади
S1 и S*. Можете ли вы найти расстояние между сечениями?
9. В цилиндре радиусом R и высотой H проведено сечение, парал¬
лельное оси. Его площадь равна S. Можно ли в нем провести сече¬
ние, параллельное данному, площадью: а) 2 S; б) ^S?
KS
10. Два цилиндра с радиусами '1 и 2 расположены так, что
основание меньшего находится на основании большего, а центры
этих оснований совпадают. Других общих точек у них нет. Их
высоты H1 и Hi соответственно. Параллельно оси одного из них
проводится сечение этой фигуры. Выразите его площадь как функ¬
цию от X9 где х — расстояние от оси до сечения.
11. Дан цилиндр. Какой фигурой является множество его то¬
чек: а) удаленных от двух точек одного из оснований на одинаковые
расстояния; б) от двух точек одной из образующих на одинаковые
расстояния; в) от всех точек окружности одного из оснований на
одинаковые расстояния; г) равноудаленных от окружностей обоих
оснований; д) равноудаленных от обоих оснований?
12. Дан цилиндр с радиусом R и высотой Н. Найдите расстоя¬
ние между: а) параллельными хордами длины d в разных основа¬
ниях цилиндра; б) прямыми, проходящими через непараллельные
хорды верхнего и нижнего оснований, в) Найдите граничные значе¬
ния расстояния между равными хордами длины d в верхнем и ниж¬
нем основании.
13. Какой фигурой является множество точек: а) равноудален¬
ных от двух данных параллельных прямых; б) лежащих на данной
плоскости и удаленных от данной прямой на данное расстояние;
в) удаленных от данной плоскости и данной прямой на данные рас¬
стояния?
14. Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2. Нарисуйте на поверх¬
ности куба множество точек, удаленных: а) от (ДД1) на 1; б) от
(AD) больше, чем на 2; в) от (BC) меньше, чем на 2, и больше, чем
на 1; г) от (OOi) на 1 (точки О и Oi — центры нижней и верхней
граней); д) от (OO1) больше, чем на 1; е) от (ДД1) на 1,5 и от (DD1)
на 1,5; ж) от (AB) на 1,5 и от (AD) н& 1,5; з) от (CD) на 1 и от
(OOi) на 1; и) от (BD) на 1 и от (A1C1) на 1; к) от (Д1С) на 1; л) от
двух параллельных граней и перпендикулярного к ним ребра на
одно и то же расстояние; м) от Д на 1,5 и от (DD1) на 1.
15. Нарисуйте опорную плоскость к цилиндру, проходящую че¬
рез: а) образующую; б) основание; в) ровно одну точку основания.
Может ли опорная к цилиндру плоскость проходить ровно через
одну внутреннюю точку его образующей?
16. Докажите, что плоскость, опорная к цилиндру, проходящая
через его образующую: а) перпендикулярна осевому сечению, про¬
ходящему через ту же образующую; б) проходит через прямую,
опорную к его основанию. Верно ли обратное?
17. Отрезок AX длиной 1 имеет с данным цилиндром радиуса R
и высотой H единственную общую точку А внутри образующей.
Найдите граничные значения расстояния от оси цилиндра до точ¬
ки X.
18. Цилиндр катится по плоскости так, что его ось остается
параллельной самой себе. Какая фигура получается от движения
оси?
146
19. Цилиндр радиуса /? имеет единственную общую образующую
с каждой из Двух перпендикулярных плоскостей. На каком расстоя¬
нии он находится от линии их пересечения?
20. Всегда ли два непересекающихся цилиндра имеют общую
опорную плоскость?
21. а) Сколько общих опорных плоскостей имеют два равных
цилиндра, имеющие общую образующую? б) Сколько из них имеют
с каждым из цилиндров общий отрезок?
22. Имеются два одинаковых цилиндра радиусом /? и высотой Н.
Как найти расстояние между ними, если: а) основания каждого
лежат в плоскости а; б) по одной образующей каждого лежат в
плоскости а; в) основание одного и одна образующая другого лежат
в плоскости а?
23. Два равных цилиндра радиусом R и высотой H лежат на
одной и той же плоскости. Они имеют единственную общую точку.
Можете ли вы найти расстояние между их осями? (Цилиндр лежит
на плоскости, если на ней находится его основание или ровно одна
образующая цилиндра.)
24. На одной и той же плоскости лежат цилиндр и шар. Как най¬
ти расстояние между ними? (Для простоты возьмите радиус шара
и цилиндра одинаковым.)
25. Цилиндр радиусом R и высотой H лежит на плоскости. Его
хотят накрыть полусферой. Каков наименьший радиус такой полу¬
сферы?
26. Основание цилиндрической бочки радиусом 0,6 м и высотой
1,6 м находится на полу в помещении высотой 1,9 м. Можно ли
выкатить бочку из этого помещения?
27. В шаре радиуса R находится цилиндр с наибольшим по
площади осевым сечением. Каковы размеры этого цилиндра?
28. Рассмотрим цилиндры с диагональю осевого сечения, рав¬
ной 1. Вычислите радиус наибольшего шара, содержащегося в
каком-нибудь таком цилиндре, и радиус наименьшего шара, со¬
держащего его.
29. В цилиндре, у которого H=ZR=Z, надо разместить два
одинаковых шарЯТ Каков наибольший радиус у этих шаров?
30. Как вычислить расстояние между двумя точками' на модели
цилиндра, если проводить измерения можно только на его поверх¬
ности?
31. Как можно найти радиус модели цилиндра, если к его осно¬
ваниям не подобраться, а измерения можно проводить только на его
поверхности?
32. Сможете ли вы расположить 3, 4, 5, 6 равных цилиндров
так, чтобы каждые два имели единственную общую точку?
33. Нарисуйте фигуру, получающуюся в пересечении двух ци¬
линдров равных радиусов, оси которых перпендикулярны. Явля¬
ется ли она выпуклой? Можете ли вы найти ее диаметр, если.радиус
цилиндров известен?
147
f 25. КОНУСЫ. УСЕЧЕННЫЕ КОНУСЫ
25.1. Определение конуса. Конус вращения
В VIIl классе при знакомстве с фигурами в пространстве конус
определили как фигуру, которую можно получить, вращая прямо¬
угольный треугольник вокруг одного из катетов (рис. 25.1). Но это
специальный случай — конус вращения, или, как его еще называ¬
ют, прямой круговой конус. Теперь мы определим, что называют
конусом‘вообще.
Пусть в некоторой плоскости задана какая-нибудь фигура Ft
а вне этой плоскости — точка О (рис. 25.2). Объединение всевоз¬
можных отрезков ОХ, соединяющих точку О с точками фигуры F9
называется конусом с вершиной О и основанием F.
Определение. Конусом называется объединение всех
отрезков, соединяющих точки некоторой плоской фигуры с данной
точкой, не лежащей в той же плоскости; эта точка называется
вершиной конуса, а заданная фигура — его основанием \ .Отрезки,
соединяющие вершину конуса с точками ёго основания, называются
образующими конуса.
Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вер¬
шины конуса на плоскость его основания (рис. 25.3), а также длина
этого перпендикуляра.
Конусом вращения, или прямым круговым конусом, называется
конус, основание которого — круг, а высота попадает в центр этого
круга, т. е. центр оказывается проекцией вершины конуса (рис. 25.1).
Фигура, состоящая из образующих конуса вращения, которые
соединяют его вершину с точками окружности основания, называет¬
ся боковой поверхностью этого конуса. Она сама является конусом
1 Конусами часто называют фигуры, образуемые лучами, исходящими из
одной точки, или прямыми, проходящими через одну точку. У таких конусов
образующие не отрезки, а лучи или прямые.
tlB
с той же вершиной; основанием ее служит окружность основания
конуса вращения.
Поверхностью конуса вращения называется объединение его ос¬
нования и его боковой поверхности. (Иногда поверхность конуса
называют его полной поверхностью.)
О точках конуса вращения, которые не лежат На его поверхно¬
сти, говорят, что они лежат внутри конуса или что они являются
внутренними точками конуса вращения.
Замечание. Основанием конуса, как и цилиндра, по опре¬
делению, может быть любая фигура, лежащая в плоскости, в част¬
ности, например, отрезок или одна точка. Цилиндр и конус с отрез¬
ком в основании — это соответственно параллелограмм и треуголь¬
ник, а цилиндр и конус с основаниеги — одной точкой — это отрезок.
Конечно, интерес представляют не такие конусы и цилиндры, но мы
указываем на них, чтобы лучше уяснить определение цилиндра и
конуса в их "общности.
25.2. Сечение конуса плоскостью, параллельной плоскости
его основания
Теорема 25.1 (о сечении конуса). Сечение конуса пло¬
скостью, параллельной плоскости основания конуса,
подобно основанию конуса. Коэффициент подобия равен
отношению расстояния от вершины конуса до плоско¬
сти сечения к высоте конуса.
Доказательство. Пусть О — вершина конуса, F —
его основание, Fr — его сечение плоскостью а', параллельной плос¬
кости основания а (рис. 25.4). Вершина О и основание F лежат
по разные стороны от плоскости а', так как иначе она не пересекала
бы конус.
Каждой трчке XgF сопоставим точку X', в которой отрезок OX
пересекает плоскость а'. Получим отоб-"
ражение основания F на сечение.Ff До¬
кажем, что это отображение является по¬
добием, т. е. что при этом отображений все
расстояния изменяются в одном и том же
отношении.
, Проведем' высоту OA конуса, и пусть
А' — точка, в которой высота OA пере¬
секает плоскость а'
Возьмем две точки X нГ Y основания
F, и пусть X' и Yr — точки пересечения
образующих OX и OY с плоскостью а'.
Рассмотрим треугольники OAX и OArXr.
Они подобны, так как отрезки AX и ArXr
параллельны (поскольку плоскость OXY
пересекает параллельные плоскости а и
а по параллельным прямым AX и ArXr). Рис. 25.4
149
Поэтому
|04'I _ IOX' I
104 I ~ OX
(25.1)
Аналогично, из подобия треугольников ,ОХУ и OXtY' имеем:
|0Х' | _ |-Х' Y' |
|0Х|— IXYI '
(25.2)
Из (25.1) и (25.2) вытекает, что
| XT'| _ |04'|
IХУ| |04| •
Так как это установлено для любых точек X и Y основания F,
I OAt I
то фигуры F' и F подобны с коэффициентом подобия k= • И
25.3. Усеченный конус
Усеченный конус можно получить, если отсечь от конуса мень¬
ший конус плоскостью, параллельной плоскости основания конуса
(рис. 25.5). Точнее, можно сказать так.
Определени е.^Усеченным конусом называется пересече¬
ние конуса с таким полупространством, ограниченным плоскостью,
параллельной плоскости основания конуса, которое содержит внутри
основание конуса и не содержит его вершины.
Усеченный конус имеет два основания: «нижнее» — основание
исходного конуса и «верхнее» — основание отсекаемого конуса;
оно является сечением исходного конуса плоскостью, параллельной
плоскости основания. Поэтому из теоремы о сечении конуса следу¬
ет, что основания усеченного конуса подобны друр другу.
Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, опущен¬
ный из любой точки одного из его оснований на плоскость другогс
Рис. 25.5
150
основания (рис. 25.6). Высотой называют также длину этого перпен¬
дикуляра. По теореме об общих перпендикулярах (теорема 15.1)
все такие перпендикуляры равны. (Чаще высоту опускают из точек
вгрхнего основания "на плоскость нижнего основания.)
Усеченный конус4 вращения получается из конуса вращения.
Оба его основания — круги (рис. 25.7). Боковая поверхность усе¬
ченного конуса вращения — это принадлежащая ему часть боковой
поверхности исходного конуса вращения.
Поверхность усеченного конуса вращения — это объединение его
оснований и боковой поверхности. (Иногда поверхность конуса
вращения называют его полной поверхностью.) Точки усеченного
конуса, не лежащие на поверхности, называются внутренними.
Отрезок, соединяющий центры оснований усеченного конуса
вращения, является его высотой.
Теорема 25.2. Конус (как и усеченный конус)—вы¬
пуклый тогда а только тогда, когда его основание вы¬
пукло.
Доказательство этой теоремы для конуса вполне аналогично до¬
казательству теоремы 24.2 о выпуклом цилиндре. Поэтому мы не
проводим его, а лишь иллюстрируем рисунком 25.8, из которого яс¬
но, как ведется доказательство.
Для усеченного конуса результат следует из выпуклости пере¬
сечения полупространства и выпуклой фигуры.
25.4. Изображение конуса и усеченного конуса
Прямой круговой конус рисуют так. Сначала рисуют эллипс,
изображающий окружность основания (рис. 25,9). Затем находят
его центр — точку P — и вертикально проводят отрезок PO, ко¬
торый изображает высоту 'конуса (вертикальность высоты — для
большей наглядности). Из точки О проводят к эллипсу касательные
(опорные) прямые (практически это делают на глаз, прикладывая
линейку) и выделяют отрезки OA и OB этих прямых от точки О
Рис. 25.9
<51
Рис. 25.12
Рис. 25.13
до точек касания А и В. Невидимые линии
рисуют штриховыми; отрезок OP часто не
рисуют, а лишь мысленно намечают, чтобы
изобразить вершину конуса О прямо над
центром основания — точкой Р.'
Изображая усеченный конус вращения,
удобно нарисовать сначала тот конус, из ко¬
торого получается усеченный конус (рис.
25.10). -
25.$. Цилиндры, конусы и усеченные
конусы в практике
Л
Примеры предметов, имеющих форму
цилиндра или мало сужающегося усеченного
конуса, представляют столбы, колонны и
фабричные трубы, довольно точную форму
имеют стержни (заготовки для изготовле¬
ния осей) и стальные трубы — прямые ци¬
линдры с тонким круговым кольцом в ос¬
новании (рис. 25.11, а). Но с предметами,
у которых есть части в форме цилиндра
или усеченного конуса, мы встречаемся
на каждом шагу.
Самый обыденный пример представляет
круглый прямой стакан; он состоит из двух
прямых цилиндров: один образует его
стенки, другой — его дно (оно, можно
считать, представляет прямой круговой
цилиндр с очень малой высотой по срав¬
нению с диаметром). Если стакан не пря¬
мой, то его стенки представляют усеченный
конус, так же как стенки у не¬
Рис. 25.14
152
которых чайных чашек и др. (рис. 25.11, б). Вообще, огляды¬
ваясь на посуду, цветочные горшки и гдругие предметы обихода,
вы у многих найдете части в виде цилиндров и усеченных конусов.
Вода, налитая в сосуд, получает соответствующую форму цилинд¬
ра или усеченного конуса. Так что, можно сказать, чай в стакане —
вот пример прямого кругового цилиндра!
Не реже предметы с цилиндрическими частями встречаются в
технике и играют в ней важнейшую роль. Оси автомобилей и ваго¬
нов, цилиндры и поршни двигателей, штоки и шатуны и т. д.— все
они имеют главные части в виде геометрических цилиудров. Цилиндр
двигателя имеет еще закрывающую его часть и потому весь в целом
не является цилиндром в смысле геометрии (рис. 25.12).
Вспомним еще контейнеры для перевозки цемента или муки в ви¬
де двух* усеченных конусов, буи— в форме конуса (рис. 25.13),
ракеты с их цилиндрическим' корпусом и конической насадкой
(рис. 25.14). Подыщите другие примеры.
$ 25.6. Конические сеченйя
Если боковую поверхность цилиндра вращения пересечь плос¬
костью так, чтобы эта плоскость не пересекала его оснований, то в
сечении получится эллипс (рис. 24.5). Это следует из определения
эллипса как проекции окружности на плоскость. Так же и сечение
боковой поверхности конуса вращения плоскостью, не пересекаю¬
щей его основания, является эллипсом (рис. 25.15). Итак, эллипс —
одно из конических сечений.
Но к коническим сечениям относятся и другие хорошо извест¬
ные кривые — гиперболы и* параболы. Их можно получить как плос¬
кие сечения неограниченного Конуса, образованного продолжением
боковой поверхности конуса вращения, т. е. такого конуса К, обра¬
зующие которого — лучи (рис. 25.16).
153
Если плоскость а пересекает все образующие конуса, то в сече¬
нии, как уже говорилось, получаем эллипс.
Поворачивая а; можно добиться того, чтобы она пересекала все
образующие /<, кроме одной (которой а параллельна). Тогда в се¬
чении Киа получим параболу (рис. 25.17)..
.Наконец, вращая а дальше, переведем ее в такое положение,
что а, пересекая часть образующих конуса К, не пересекает уже
бесконечное множество других его образующих (и параллельна
двум из них, рис. 25.18), тогда в сечении конуса К с плоскостью а
получаем кривую, называемую гиперболой (точнее, одну ее ветвь).
Та гипербола, которая является графиком функции У=^9 является
лишь частным случаем гиперболы — равнобочной гиперболой,
подобно тому, как окружность является частным случаем эллипса.
Любые гиперболы можно получить из равнобочных с помощью
параллельного проектирования аналогично тому, как эллипс
получается параллельным проектированием их окружности.
Чтобы получить обе ветви гиперболы, надо взять сечение конуса,
образованного не лучами, а прямыми, содержащими образующие
боковой поверхности конуса вращения (рис. 25.19).
Конические сечения изучали еще древнегреческие геометры,
и их теория была одной из вершин античной геометрии. Наиболее
полное исследование конических сечений в древности было прове¬
дено греческим геометром Аполлоцием Пергским, жившим около
200 г. до н. э.
Конические сечения играют важную роль в природе: например,
по эллиптическим, параболическим или гиперболическим орбитам
движутся тела в поле тяготения (вспомните законы Кеплера). Заме¬
чательные свойства конических сечений часто используются в науке
и технике. Например, при изготовлении некоторых оптических
приборов или прожекторов (поверхность зеркала в прожекторе по-
154
J
Рис. 25.20
Рис. 25.21
думается вращением дуги параболы вокруг оси параболы). Эллипсы
вы наблюдаете, наклонив стакан, в который налита вода (рис. 25.20).
Мы постоянно можем наблюдать конические сечения как границы те¬
ни от круглых абажуров (рис. 25.21). Тень на столе от наклонного
абажура настольной лампы — эллипс.
Имеется ряд важных свойств, объединяющих в один класс эллип¬
су, гиперболы и параболы. Например, ими исчерпываются «невы¬
рожденные», т. е. не сводящиеся к точке, прямой или паре прямых,
кривые второго порядка, т. е. такие фигуры, которые задаются на
плоскости в декартовых координатах уравнениями вида:
ах*+2Ьху+су2+с1х+еу+1=0.
ЗАДАЧИ К §25
1. Может ли объединение двух конусов быть конусом? Может
ли пересечение двух конусов быть конусом? Может ли и то и другое
быть конусом? Может ли и то и другое не быть конусом? Решите
аналогичную задачу для усеченных конусов.
2. В конусе сделали углубление конической формы. Будет ли
оставшаяся фигура конусом?
3. Даны два выпуклых конуса. Будет ли их объединение выпук¬
лой фигурой? Выпуклым конусом? А если даны два невыпуклых ко¬
нуса?
В дальнейшем под конусом понимается прямой круговой конус.
4. Какой фигурой может быть ортогональная проекция конуса?
Усеченного конуса?
5. Нарисуйте различные по форме сечения конуса, усеченного
конуса.
6. На сколько частей можно разрезать конус плоскими разреза¬
ми, если их: а) два; б) три?
7. В конусе проведено сечение, параллельное основанию, с пло¬
щадью в два раза меньшей, чем площадь основания. В каком отно¬
шении оно делит высоту конуса?
155
8. В конусе проведены два сечения, параллельные основанию.
Они делят высоту конуса на три равные части. Вычислите отноше¬
ние их. площадей.
9. В конусе радиусом и образующей L проведены сечения,
параллельные основанию, с площадями 1 и 2. Найдите расстояние
между ними.
10. Через середину высоты усеченного конуса провели сечение,
параллельное его основаниям. Были высказаны два предположения:
1) его площадь равна среднему арифметическому площадей основа¬
ний; 2) его площадь равна среднему геометрическому площадей ос¬
нований. Верны ли эти предположения?-
11. Из всех конусов с заданной-образующей L найдите радиус
того, у которого площадь осевого сечения наибольшая.
12. Дан конус с радиусом R и образующей 1. Через его верши¬
ну проводится сечение. Найдите граничные значения его пло¬
щади.
13. Осевое сечение конуса является равносторонним-треуголь-
ником со стороной 2. Какова длина хорды основания, если через
нее и через вершину конуса проходит сечение площадью в два раза
меньшей, чем площадь осевого сечения?
14. Рассматриваются сечения конуса, проходящие через его вер¬
шину. а) Всегда ли существует сечение площадью в два раза мень¬
шей, чем площадь осевого сечения? б) В два раза большей? Зафикси¬
руем одно из сечений, в) Всегда ли существует сечение пло¬
щадью в два раза меньшей, чем площадь данного сечения? г) А в два
раза большей?
15. В каждом ли конусе существует сечение, параллельное ос¬
нованию, по площади равное осевому сечению?
16. Про осевое сечение усеченного конуса были высказаны два
предположения: 1) его площадь всегда меньше, чем площадь боль¬
шего основания; 2) его площадь всегда больше, чем площадь меньше¬
го основания. Можете ли вы опровергнуть эти предположения?
17. В данном конусе, у которого R=H= 1, проводятся сечения
двух видов: параллельные основании) и через вершину. Выразите
как функции от х площади этих сечений, где х — расстояние от цент¬
ра основания до сечения.
18. Нарисуйте опорную плоскость к конусу, проходящую через:
а) образующую; б) основание; в) ровно одну точку основания;
г) вершину. Может ли плоскость, опорная к конусу, проходить
ровно через одну внутреннюю точку ‘его образующей?
19. Докажите,- что плоскость, опорная к конусу, проходящая
через его образующую: а) перпендикулярна осевому сечению, про¬
ходящему через ту же образующую; б) проходит через прямую,
опорную к его основанию. Верны ли обратные утверждения?
„ 20. Отрезок AX длиной 1 имеет с данным конусом, у которого
высота равна радиусу и равна 2, единственную общую точку А —
середину образующей. Вычислите граничные значения расстояния
от X до центра основания конуса.-
156
21. Закрепив вершину, конус покатили по плоскости. Какая
получается фигура от движения оси? Какой путь проделает центр
основания данного конуса за один оборот конуса? (Параметры ко¬
нуса можно считать известными.) Может ли конус, вернувшись в
исходное положение, сделать целое число оборотов?
22. Конус лежит на плоскости. (Это означает, что она является
для него опорной и проходит через основание или через образую¬
щую.) Плоскость расположена горизонтально. На какой высоте
над плоскостью находится самая высокая точка конуса, если раз¬
меры конуса таковы! а) /?=1,5, 1=2; б) /?=1,5, 1=3; в) /?=1,5,
1=4? Из всех конусов с площадью осевого сечения, равной 1, най¬
дите тот, у которого эта точка выше всего; ниже всего.
23. Всегда ли два непересекающиеся конуса имеют общую опор¬
ную плоскость?
•24. Сколько общих опорных плоскостей имеют два конуса, име¬
ющих: а) общую образующую; б) общую вершину и образующую;
в) сколько из них в случае б) имеют с каждым конусом общий
отрезок? х
25. Два конуса имеют общую вершину и образующую, а) Дока¬
жите, что их общая вершина, общая точка оснований и центры
оснований лежат в одной плоскости, б) Докажите, что через их об¬
щую образующую проходит общая опорная плоскость, в) Докажи¬
те, что их основания имеют общую опорную прямую.
26. Два конуса с общей вершиной имеют две общие образующие.
Докажите, что их общая вершина, середина общей хорды их основа¬
ний и центры их оснований лежат в одной плоскости.
27. В усеченном конусе радиусы оснований R1 и R2(R^R1)9
образующая равна 1. а) Найдите его высоту, б) Найдите граничные
значения расстояния между точками его разных оснований.
28. Два конуса имеют общую вершину и образующую. Их ради¬
усы равны. Найдите граничные значения расстояний между цент¬
рами их оснований, если их образующая имеет длину 1.
29. Два равных конуса лежат на плоскости и имеют общую об¬
разующую. Длина их радиуса равна R, длина образующей равна 1.
На каком расстоянии от плоскости находится общая точка их осно¬
ваний?
30. На плоскости лежат: а) шар и конус; б) цилиндр и конус;
в) два конуса; г) два усеченных конуса. Как вы будете искать рас¬
стояние между ними?
31. а) Может ли в конусе быть отрезок более длинный, чем диа¬
метр основания и образующая? б) Может ли в усеченном конусе
быть отрезок более длинный, чем диаметр большего основания и об¬
разующая?
32. Два выпуклых конуса имеют ровно одну общую точку —
вершину, а) Существует ли плоскость, которая их разделяет? б) А ес¬
ли они не являются выпуклыми?
33. В шаре радиуса 2 находится конус с наибольшим по пло¬
щади осевым сечением. Каковы размеры этого конуса?
157
34. Имеется конус с равносторонним осевым сечением, площадь
которого равна 1. а) Каков радиус наименьшего шара, содержащего
данный конус? б) Каков радиус наибольшего шара, который уме¬
щается в конусе?
35^ Конус, размеры которого известны, лежит на плоскости.
Его хотят накрыть полусферой. Каков наименьший радиус ее?
36. Сколько шаров радиуса 1 можно уместить в конусе* у кото¬
рого осевым сечением является равносторонний треугольник со
стороной 5?
37. Дана модель конуса. Как найти расстояние между двумя
точками на ней, если можно проводить измерения только на ее по¬
верхности?
38. Вершина конуса недоступна. Можете ли вы найти высоту
конуса, если можно делать измерения только на его поверхности?
39. 'Три равных конуса лежат на плоскости и каждые два имеют
общую образующую длины 1. Можно ли в образовавшееся углубле¬
ние между этими конусами вложить такой же конус?
§ 26. ТЕЛА
26.1. Наглядное понятие о теле
Основной предмет геометрии в пространстве составляют геомет¬
рические тела* или, как говорят короче, тела, а также их поверх¬
ности. Мы уже рассмотрели некоторые простейшие тела: шар. ци¬
линдр и конусы вращения. Теперь вопрос состоит в том, чтобы дать
общее определение геометрического тела.
По первоначальному представлению и понятию геометрическое
тело — это любое реальное физическое тело, только рассматривае¬
мое в отвлечении от всех его свойств, кроме пространственной про¬
тяженности. Это выражали, говоря, что геометрическим телом на¬
зывается часть пространства, занимаемая физическим телом
(рис. 26.1). Полезно понимать, что хотя мы занимаемся И геометрии
в первую очередь самыми простыми телами, но в принципе любое
реальное тело, какую бы сложную форму оно ни имело, может рас¬
сматриваться (в соответствующем отвлечении и, конечно, при¬
ближенно) как тело геометриче¬
ское.
Рис. 26.1
По наглядному представлению
всякое тело имеет внутренние
точки, отделенные от остального
пространства поверхностью, или,
как еще говорят, границей, те¬
ла. Так внутренность шара отде¬
лена от остального пространства
сферой, а внутренности цилинд¬
ров и конусов вращения — их
(полными) поверхностями.
158
% 26.2. Граница и внутренность фигуры
в пространстве
Дадим теперь общие определения гра¬
ницы и внутренности любой фигуры в про¬
странстве.
Определение. Точка называется
граничной для данной фигуры, если сколь
угодно близко от нее есть точки как при¬
надлежащие фигуре, так и не принадле¬
жащие ей. (Выражение «сколь угодно А - г^”чнагя ™чка р
близко» означает «на сколь угодно малом рис’ 2б*2
расстоянии», рис. 26.2.).
Множество всех граничных точек фигуры называется ее гра¬
ницей.
Определен и'е. Точка фигуры, не лежащая на ее границе,
т. е. не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней
точкой фигуры.
^Множество всех внутренних точек фигуры называется ее внут¬
ренностью.
Эти определения повторяют в общем виде то, что уже говорилось
о внутренности и границе (или поверхности) шара, цилиндра и
конуса вращения, и, вполне. отвечают обычным представлениям:
внутри — это значит не вне тела и не на границе, не на поверхности.
О точках пространства, которые не лежат ни внутри, ни на границе
фигуры, говорят, что они лежат вне фигуры, или являются ее
внешними точками.
Замечание 1. Для фигур общего вида не говорят об их
поверхности, потому что их граница может слишком мало походить
на то, как мы представляем себе поверхность.
Замечание 2. Надо понимать, что граничные точки фи¬
гуры могут ей и не принадлежать. Например, поверхность шара —
сфера — является границей не только самого шара, но и его вну¬
тренности; все точки сферы — граничные для внутренности шара,
но не принадлежат ей. Напротив, внутренние точки фигуры, по
определению, принадлежат ей. Но фигура может и не иметь вну¬
тренности, как не имеет ее, например; плоскость, сфера или поверх¬
ность цилиндра.
Замечание 3. Если же некоторая точка А принадлежит
фигуре Ft то, определяя, является ли точка А граничной точкой фи¬
гуры F или нет, достаточно выяснить, есть ли сколь угодно близко
к А точки, не принадлежащие Ft так как сколь угодно близко к А
точки, принадлежащие Ft заведомо есть — это сама точка А.
26.3. Определение тела
Из всех пространственных фигур тела выделяются следующими
свойствами внутренности и границы. 4
Всякое тело имеет внутренние точки, причем множество этих
159
не должна распадаться на отдельные
тела
точек — внутренность
части, т. е. любые две ее точки можно соединить в ней, т. е. во вну¬
тренности ломаной линией или отрезком (рис. 26.3). Поэтому, на¬
пример, два куба, имеющие лишь одну общую точку — общую
вершину — или только одно общее ребро, не считаются за одно тело
(рис. 26.4).
Всякое тело содержит все свои граничные точки — всю свою
границу; она называется его поверхностью. При этом поверхность
тела служит -также границей его внутренности, т. е. она сплошь
прилегает к внутренности и не имеет отростков, которые, так ска¬
зать, «не имели бы к внутренности никакого отношения». Поэтому
конус со шпилем, или конус, стоящий на плоском круге, как на ри¬
сунке 26.5, не считаются телами.
Наглядно можно представить себе тело в виде помидора или кар¬
тошки; кожура — это поверхность. Словом, в понятии геометри¬
ческого тела вьцйжаются наши обычные представления. Дадим те-
пёрь его точное определение; оно кратко повторяет то, что уже было
сказано о внутренности и границе тела.
Определение. Телом называется фигура в пространстве,
обладающая двумя свойствами:
1) у нее есть внутренние точки, и любые две из них можно сое¬
динить ломаной (или отрезком), которая целиком проходит внутри
фигуры, т. е. состоит из внутрен¬
них точек этой фигуры;
2) фигура содержит свою гра¬
ницу, и ее граница совпадает с
границей ее внутренности.
Определение. Граница те¬
ла называется его поверхностью.
ф 26.4. Теорема о границе
Поверхность отделяет внут¬
ренность тела от остального про¬
странства, так что нельзя выйти
160
изнутри тела, не пересекая его поверхности. Это очевидное двой¬
ство не включено явно в определение ни тела, ни границы, но оно
является прямым следствием общей теоремы о границе.
Теорема 26.1 (о границе). Какова бы ни была фи¬
гура, всякая ломаная, соединяющая какую-либо точку
фигуры с точкой, не принадлежащей фигуре, пересе¬
кает границу, т. еГ на ней есть хотя бы одна гранич¬
ная точка фигуры.
* 26.5. Граничные и внутренние точки плоских фигур.
Замкнутая область
Плоские фигуры, имеющие свойства, аналогичные свойствам тел
в пространстве, называются замкнутыми областями. Определение
замкнутой области дословно повторяет определение тела* с той лишь
разницей, что фигуры рассматриваются в плоскости, а не в про¬
странстве. Тем не менее мы напомним это определение, а также
предшествующие ему определения граничных и внутренних точек,
поясняя их более подробно.
Мы фиксируем некоторую плоскость айв этом пункте рассма¬
триваем фигуры только в этой плоскости, а на рисунках считаем
ее плоскостью рисунка (чертежа).
On ределение. Точка называется граничной точкой фи¬
гуры, если сколь угодно близко от этой точки есть точки, как при¬
надлежащие данной фигуре, так и не принадлежащие ей.
Это же определение граничной точки можно формулировать и
так: точка называется граничной для фигуры, если в любом круге
с центром в.этой точке имеются (найдутся) как точки данной фигуры,
так и точки, не принадлежащие этой фигуре (рис. 26.6).
Определение. Множество всех граничных точек фигуры
называется ее границей. *
Из данных определений вытекает, что границей полуплоскости
является ее граничная прямая, граница угла состоит из двух его
сторон, границей круга является окружность (рйс. 26.7).
Отрезок, а также ломаная на плоскости состоят только из гра¬
ничных точек и потому совпадают со своей границей (рис. 26.8).
Определение. Точка фигуры, не лежащая на ее границе,
т. е. не являющаяся ее граничной точкой, называется внутренней
точкой фигуры.
Поскольку внутренняя точка фигуры не лежит на границе, то
точки, не принадлежащие фигуре, уже не подходят к этой точке
сколь угодно близко: сколь угодно близко от нее есть только точ¬
ки самой фигуры. Поэтому для каждой внутренней точки X фигуры
F найдется такое расстояние гх>0, что все точки Y-, удаленные от X
не дальше чем,на гх, являются точками фигуры F. Следовательно,
каждая внутренняя точка фигуры F является центром некоторого
круга, который содержится в данной фигуре (рис. 26.9).
6 N8 7814
161
Рис. 26.6 Рис. 26.7
есть
Замечание 1. Укажем на одно ис¬
ключение: как и раньше, мы говорим, что
точка лежит внутри отрезка, если она ле¬
жит между его концами, хотя отрезок на
плоскости и не имеет внутренних точек.
Замечание 2. Обратим внимание
на относительность понятий внутренних и
граничных точек: они зависят от того, где
они определяются. Так, на плоскости сто¬
роны квадрата образуют его границу, а
остальные его точки — внутренние. Если
же квадрат рассматривать как фигуру в
пространстве, например как грань куба,
то он вовсе не имеет внутренних точек и
весь содержится в границе куба. Вообще
любая фигура, лежащая в некоторой плос¬
кости, в пространстве внутренних точек не
имеет; она состоит лишь из граничных то¬
чек, так как сколь угодно близко от любой
точки этой фигуры есть точки, ей не при¬
надлежащие (среди точек, которые не ле¬
жат в плоскости данной фигуры).
Поэтому в дальнейшем, говоря о внут¬
ренних и граничных точках плоских фигур,
мы всегда имеем в виду, что они определя¬
ются относительно плоскости данной фи¬
гуры.
Определение. Замкнутой обла¬
стью называется фигура на плоскости,
обладающая двумя свойствами:
внутренние точки, и любые две из них можно сое-
1) у нее
динить ломаной (или отрезком), которая лежит целиком внутри фи¬
гуры, т. е. эта ломаная (отрезок) состоит из внутренних точек фи-
гуры;
2) фигура содержит свою границу, и ее граница совпадает с гра¬
ницей ее внутренности.
162
Замечание 3. Напомним, что еще в VI классе областью
была названа фигура, у которой все ее точки — внутренние и у ко¬
торой* любые две ее точки можно соединить ломаной, лежащей в дан¬
ной фигуре. Сопоставляя эти два определения, мы видим, что вну¬
тренность замкнутой области является областью.
26.6. Примеры тел
Очевидно, что шар, цилиндр и конус вращения представляют
собою тела. Но, строго говоря, это надо доказать, т. е. проверить,
что, например, у шара есть все свойства, которыми, по определению,
обладает тело. Кроме того, вспомним, что, говоря о шаре в § 20,
мы определили уже его внутренность и поверхность. Но совпадают
ли определенные в § 20 поверхность и внутренность шара с его по¬
верхностью и внутренностью, которые он имеет согласно общему
определению, данному в этом параграфе? Совпадают. Но, строго
говоря, и это надо доказать. Аналогичное надо доказывать о вну¬
тренности и границе и для конуса вращения, и для цилиндра вра¬
щения. Мы сделаем это лишь для шара в следующем параграфе.
В общем шары, цилиндры и конусы вращения — это тела, а их
поверхности и внутренности — те самые, которые были определены
для них в § 20, 24, 25.
Из тел вообще особо выделяются выпуклые тела и многогранни¬
ки. О выпуклых телах речь пойдет в следующем параграфе, а о мно¬
гогранниках — в главе V.
Ясно, что конусы и цилиндры не всегда являются телами,
так как они, например, могут не иметь в пространстве внутрен¬
них точек (приведите примеры). Цилиндры и конусы (а так*
же усеченные конусы) будут телами, если их основа*
ниями являются ограниченные замкнутые области.
Так же как для цилиндров и конусов вращения, для цилиндри¬
ческих и конических тел удобно ввести понятия их боковых поверх¬
ностей.
Определение. Если цилиндр (а также конус или усечен¬
ный конус) является телом, то его боковой поверхностью называется
объединение его образующих, идущих из граничных точек его ос*
нования.
Поверхности цилиндрических или конических тел состоят из цх
боковых поверхностей и оснований.
ЗАДАЧИ К §26
1. Какой фигурой является граница для следующих множеств
в пространстве: а) прямая; б) отрезок; в) круг; г) плоскость; д) полу¬
пространство; е) пересечение двух полупространств; ж) объединение
двух полупространств?
2. Придумайте фигуру в пространстве, имеющую внутренние
точки, у которой границей является: а) одна точка; б) две точки;
в) ровно п точек; г) один треугольник; д) два треугольника; е) пятъ
квадратов; ж) объединение двух сфер.
б*
163
3. Верно ли, что: а) если точки AnB являются внутренним^
точками фигуры, то все точки отрезка AB являются внутренними:
для фигуры; б) если точка А — внутренняя для фигуры, а точка В
граничная для этой фигуры, то все точки отрезка АВ, кроме В,
являются внутренними для фигуры; в) если А — внутренняя точка
фигуры, а точка В — внешняя точка фигуры, то на отрезке AB есть
Ji другие внутренние и внешние точки данной фигуры?
.4. а) Можно ли утверждать, что граница объединения двух фигур
равна объединению границ этих фигур? б) Можно ли утверждать,
что граница пересечения двух фигур равна пересечению границ
этих фигур? в) Может ли граница объединения двух фигур совпа¬
дать с границей их пересечения?
5. Даны две фигуры Fi и Ft, причем FitzF3. а) Будет ли внутрен¬
няя точка Fi внутренней для F3? б) Может ли граничная точка для
Fi быть граничной для Ft? в) Будет ли внешняя точка для фигуры
F3 являться внешней точкой для фигуры Ft? г) Могут ли совпадать ;
внутренности F3 и F8? д) Могут ли совпадать границы Fi и
F8?
6. Является ли телом: а) пересечение двух тел; б) объединение
двух тел?
7. Тело разделено плоскостью на две части. При каком условии
каждая из них является телом?
8. Дан куб ABCDA1BiCiDi с ребром 2. Точка X такова, что
IXXI=IXdiI, IXCi=JXDI, |ХВг|=2,5. Какой по отношению к кубу
является эта точка: граничной, внутренней или внешней?
9. Дан прямоугольный тетраэдр. Какой по отношению к нему
является точка: а) равноудаленная от его вершин; б) равноудален¬
ная от его ребер?
10. Дана правильная -треугольная пирамида. Рассматривается
точка, равноудаленная от ее вершин. Найдите условия, связанные
с плоским углом при вершине, которые определяют ее положение
относительно пирамиды. Решите аналогичную задачу для правиль¬
ной четырехугольной пирамиды, для правильной п-угольной пи¬
рамиды.
11. PABC — правильный тетраэдр. Точка X такова, что IXyl I =
= IXCI, |ХР| = |ХВ|, JXdI=)/3|ХР|. Установите положение точки X
относительно тетраэдра.
12. PABCD — правильная четырехугольная пирамида. Точка
X такова, что IXPI=|ХС|, IXdI =2. Ребро пирамиды равно 3. Как
расположена точка X относительно пирамиды?
13. Нарисуйте тело, которое при проектировании на три плоско¬
сти, из которых каждые две перпендикулярны, дают такие фигуры:
а) равные квадраты; б) равные равносторонние треугольники; в) рав¬
ные круги.
Возьмите любую комбинацию из трех указанных здесь проекций
и нарисуйте тело, дающее такие проекции.
14. Дана фигура F. Является ли телом множество точек, таких,
что: а) IXFI^l; б) IClXFI^?
164
* § 27. ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА
27.1. Граничные и внутреннее точки выпуклых фигур
Сформулируем два простых утверждения о граничных и внутрен¬
них точках выпуклых фигур. Оба они одинаково формулируются и
аналогично доказываются для плоскости и для пространства, поэто¬
му мы докажем их лишь для случая плоскости.
Теорема 27.1." Множество внутренних точек вы¬
пуклой фигуры—выпукло, 'т. е. если концы отрезка
лежат внутри выпуклой, фигуры, то каждая точка
этого отрезка лежит внутри этой фигуры.,
Доказательство. Пусть точки Л и В лежат внутри вы¬
пуклой фигуры F (рис. 27.1).'Тогда найдётся такое расстояние г>0,
что два круга Qa и Qh с центрами в точках А и В и радиусом г со¬
держатся в F (г выбираем так: сначала находим для каждой точки А
и В радиусы гА и гн кругов, лежащих в F, а затем из них берем наи¬
меньшее). Так как F выпукло, то фигура Т, состоящая из точек,
которые лежат на отрезках с концами в кругах Qa и.Qb, лежит в F.
Для каждой точки 'X отрезка AB круг Qx с центром в точке X и
радиусом г содержится вТ, а значит и в F. Итак, отрезок AB лежит
внутри F. |
Теорема 27.2. Если один конец отрезка лежат
внутри выпуклой фигуры, а. другой его конец — на ее
границе, то все остальные точки этого отрезка лежат
внутри данной выпуклой фигуры.
Доказательство. Пусть О — внутренняя точка нА —
граничная точка выпуклой фигуры F (рис. 27.2). Найдется такое
расстояние OO, что круг Q с центром в точке О й радиусом г лежит
в F. Построим фигуру Т, соединив отрезками точку А со всеми точ¬
ками круга Q. Так как F — выпукло, то Tc F. Для каждой точки X
отрезка АВ, отличной от А, круг Qx с центром в точке X и радиусом
лежит в Т, а потому и в F, т. е. X — внутренняя точка
фигуры F. |
Следствие 1. Каждый луч, исходящий из внутрен¬
ней точки выпуклой фигуры, пересекает ее границу не
более чем в одной точке (рис. 27.3).
Рис. 27.1
Рис. 27.2
165
L
в
Следствие 2. Каждый отрезок, один конец кото-
рого лежит внутри выпуклой фигуры, а другой —вне
ее, пересекает границу этой фигуры ровно в одной
точке (рис. 27.4).
27.2. Выпуклые тела
В п. 6 § 26 мы уже указали условия, при которых цилиндры,
конусы и усеченные конусы являются телами. Сейчас мы решим
аналогичный вопрос для выпуклых фигур, т. е. выясним, когда вы¬
пуклая фигура является телом (а также когда замкнутая выпуклая
фигура является замкнутой выпуклой областью). Он решается очень
просто.
Если выпуклая фигура имеет внутренние точки, то в силу тео¬
ремы 27.1 для нее выполняется первое условие из определения тела
(или замкнутой области, если* речь идет о плоской выпуклой фи¬
гуре). Действительно*, по этой теореме любые две внутренние точки
выпуклой фигуры всегда соединяются простейшей из ломаных —
отрезком, все точки которого внутренние в этой фигуре (рис. 27.5).
Перейдем ко второму условию из определения тела: Оно состоит
из двух частей. В одной из них требуется, чтобы граница тела сов¬
падала с границей множества его внутренних точек. Это условье для
выпуклой фигуры, имеющей внутренние точки, всегда выполняется
в силу теоремы 27.2 и ее следствия 1. Действительно, сколь угодно
близко от каждой граничной точки А такой фигуры F всегда есть
и внутренние, и внешние точки этой фигуры — на луче, идущем из'
внутренней точки О фигуры F через точку Д. Поэтому точка А яв¬
ляется граничной для множества внутренних точек фигуры F. Сле¬
довательно, граница фигуры F совпадает с границей множества ее
внутренних точек.
Итак, из определения тела остается потребовать выполнения
лишь одной его части: чтобы фигура содержала свою границу, т. е.
была замкнутым множеством. Без этого требования обойтись нель¬
зя, как показывают простые примеры. Например, если с границы
шара удалить любое множество точек, то получившаяся фигура бу¬
166
дет выпуклой, но она не будет выпуклым телом, поскольку не со¬
держит своей границы.
В итоге рассуждений, проведенных в этом пункте, мы можем
сформулировать следующую теорему.
Теорема 27.3. Выпуклая фигура в пространстве
(на плоскости) является телом (замкнутой областью)
тогда и только тогда, когда она имеет внутренние
тонки и содержит свою границу.
Граница выпуклого тела называется выпуклой поверхностью.
Граница выпуклой замкнутой области называется выпуклой
кривой.
27.3. Разные подходы к понятию выпуклости
а) Начнем е рассмотрения плоских фигур. Легко видеть, что
каждая точка плоской фигуры, через которую проходит опорная
прямая, является граничной точкой этой фигуры (рио. 27.6). Но,
вообще говоря, фигура имеет опорные прямые не во всех точках гра¬
ницы. Опорные прямые есть в выступающих точках, как в точке А.
Но там, где есть вогнутость, там нет опорной прямой, как например
в точке В. Если же нет вогнутости, то фигура выпуклая; говоря
точно,, выполняется следующее утверждение:
Теорема 27.4. Замкнутая область является вы¬
пуклой тогда и только тогда, когда у нее есть опор¬
ные прямые во всех точках границы, т. е. выполняются
два утверждения:
1) у замкнутой выпуклой области через всякую
точку границы проходит опорная прямая;
2) если у замкнутой области через всякую точку
границы проходит опорная прямая, то она выпуклая.
б) Рассмотрим теперь фигуры в прострайстве. Снова отметим,
что та точка фигуры, через которую проходит опорная плоскость,
является граничной точкой фигуры. Обратное же утверждение всег¬
да верно лишь для выпуклых фигур. А
именно имеет место следующая теорема.
Теорема 27.5. Тело является
выпуклым тогда и только тогда,
когда в каждой его граничной точке
есть опорная плоскость или, дру¬
гими словами, когда через каждую
точку его поверхности можно про¬
вести опорную плоскость.
Это утверждение включает следующие
два:
1) если тело выпуклое, то в каждой
точке его поверхности есть опорная плос¬
кость; Рис. 27.6
167
2) если у тела в каждой точке поверхности есть опорная плос*
кость, то оно выпуклое.
Доказательство этих утверждений для многогранников анало-
гично доказательствам их для многоугольников (см. § 33). Доказа¬
тельство для общего случая мы не проводим.
Замечание. Практически сказанное означает, что выпуклое
тело характеризуется следующим свойством: к любой точке его по¬
верхности можно приложить плоский предмет. Поверхность выпук¬
лого предмета можно всюду обрабатывать на плоском шлифоваль¬
ном круге; выпуклый камень можно катать по столу так, чтобы он
коснулся стола каждой точкой своей поверхности. Но чтобы обра¬
батывать поверхность невыпуклой детали’, нужно «залезать» инстру¬
ментом в ее вогнутости, внутрь.
В обычном наглядном понимании выпуклость тела и состоим в
том, что его поверхность всюду выступает наружу или по крайней
мере не вдавливается внутрь, так что ее всюду можно коснуться
плоскостью. Но исходное определение выпуклости, когда требуется
возможность соединить «каждые две точки фигуры содержащимся
в ней отрезком, является более простым и более общим: в нем не
требуется, чтобы граница принадлежала фигуре (как это требуется
по определению тела). Поэтому это определение и принято в геомет¬
рии и вообще в математике.
в) Из описанного свойства выпуклых тел вытекает другое их
свойство:
Тело выпукло тогда и только тогда, когда оно яв¬
ляется пересечением полупространств, ограниченных
его опорными плоскостями.
Поясним это наглядно. Представим себе небольшой выпуклый
предмет, спрятанный внутри какого-то вещества (как, скажем,
драгоценный камень из детективного рассказа, спрятанный вором
в головке сыра). Прямые разрезы* разделяют всю массу на части,
как плоскости делят пространство на полупространства. Такими
разрезами выпуклый предмет можно вырезать целиком. Но если
предмет невыпуклый, то его еще придется очищать от вещества, по¬
павшего в его вогнутости.
Совершенно так же выпуклую плоскую область можно вырезать
из плоскости прямыми разрезами, а невыпуклую — нельзя.
27.4. О роли понятия выпуклости в современной
математике и его применениях
Понятие выпуклого тела и опорной плоскости, обобщенные на
многомерные пространства, приобрели в последние годы очень боль¬
шое значение за пределами геометрии. Одними из важнейших
задач математики и ее приложений в технике и экономике являются
задачи о наибольших и наименьших значениях тех или иных вели¬
чин, задачи оптимизации, т. е. нахождения наилучших по каким-
либо признакам решений, когда желательные величины должны
168
иметь наибольшие возможные значения, а,нежелательные наимень¬
шие. Примером может служить вопрос о наилучшем использовании
материала с наименьшими отходами или о наилучшем использова¬
нии данных станков с наибольшей производительностью.
Такого рода задачи приводятся к задачам о проведении опорных
плоскостей к некоторым телам в многомерных пространствах.
Таким образом, наш наглядный рассказ об опорных плоскостях
подводит к самым современным и чрезвычайно актуальным задачам
математики и ее приложений, в частности в вопросах оптимального
планирования и др.
Связь опорных прямых и плоскостей с задачами о наибольших
и наименьших значениях понять очень просто.
Представим себе график какой-нибудь функции (рис. 27.7).
Там, где функция достигает наибольшего (наименьшего) значения,
там график имеет «горизонтальную» (параллельную оси Ох) опор¬
ную прямую.
Совершенно так же поверхность в точке наибольшего удаления
от данной плоскости имеет параллельную ей опорную плоскость.
ЗАДАЧИ К §27
1. Из выпуклого тела удалили точку. Будет ли оставшаяся фи¬
гура выпуклым телом?
,2. Является ли выпуклым телом: а) пересечение двух шаров;
б)- объединение двух шаров; в) пересечение двух полупространств;
г) объединение двух полупространств; д) пересечение шара и полу¬
пространства; е) объединение шара и полупространства?
3. Является ли выпуклым телом: а) пересечение двух выпуклых
тел; б) объединение двух выпуклых тел?
4. Два выпуклых тела имеют общую внутреннюю точку. Дока¬
жите, что их пересечение является выпуклым телом»
169
5. Fi и Ft — два выпуклых тела. Рассматривается их. объедине¬
ние и пересечение. Может ли быть, что: а) оба этих множества —
выпуклые тела; б) только одно из них — выпуклое тело; в) ни одно
из них не является выпуклым телом? А если Ft и Fi тела, не являю¬
щиеся выпуклыми?
6. Докажите, что сечение выпуклого тела, проходящее через
внутренние его точки, является замкнутой выпуклой областью.
7. Приведите пример выпуклого тела, которое разделено одной
плоскостью на два выпуклых тела меньшего диаметра. Приведите
пример, когда этого не получается.
8. Выпуклое тело разделили плоскостью.* Докажите, что обе
получившиеся его части являются выпуклыми телами.
9. Дано ограниченное выпуклое тело и точка вне его. Сколько
опорных плоскостей можно провести к телу через эту точку?
10. Дано ограниченное выпуклое тело и прямая, не имеющая
« ним общих точек. Сколько опорных плоскостей можно провести
к данному телу через данную прямую?
11. Верно ли, что два ограниченных выпуклых тела, не имеющие
общих точек, имеют общую опорную плоскость? А три таких же тела?
12. F — выпуклое тело, и точка А не принадлежит ему. Дока¬
жите, что у F найдется точка, ближайшая к А. Изменится лй ре¬
зультат, если взять F невыпуклым телом?
13. Fi — выпуклое тело и Ft — шар, не имеющий с ним общих
точек. Докажите, что у Fi и Ft найдутся ближайшие точки. Изме¬
нится ли результат, если Ft — невыпуклое тело?
14. Fi — выпуклое тело и Ft — плоскость, не имеющая о ним
общих точек, а) Верно ли, что у Ff и F1 есть ближайшие точки?
б) Изменится ли результат, если Ff — невыпуклое тело?
15. Для выпуклых тел мы будем рассматривать такие характе¬
ристики: диаметр (D), ширину — наименьшее расстояние между
параллельными опорными плоскостями (d), радиус наименьшего
шара, содержащего данное тело (7?), и радиус наибольшего шара,
принадлежащего данному телу (г). Найдите эти характеристики для
таких выпуклых тел: а) цилиндра, у которого радиус равен 2, высо¬
та равна 1; б) конуса, у которого радиус равен 1, а образующая рав¬
на 3; в) усеченного конуса, у которого радиусы оснований равны 3
и 1, а образующая равна 4; г) объединения цилиндра и полушара,
имеющих общее основание, причем радиус полушара равен высоте
цилиндра и равен 2.
* § 28. ТЕОРЕМЫ О ТЕЛАХ
28.1. Шар — тело
Покажем, что шар — тело. Рассмотрим некоторый шар радиуса
R g центром в точке О. Граничными точками шара являются в про¬
странстве лишь те точки, которые удалены от О на расстояние R.
Действительно, такие точки сами принадлежат шару и сколь угодно
170
близко от них есть точки, не при¬
надлежащие шару,— те, которые
удалены от О дальше, чем на 7?.
Других граничных точек у шара
нет: вблизи тех точек, которые уда¬
лены от его центра дальше, чем на
Я, нет точек шара (рис. 28.1), а
вблизи точек, которые удалены от
центра шара меньше чем на /?,
наоборот, все точки являются точ¬
ками шара и нет точек, ему не при¬
надлежащих. Итак, и в смысле оп¬
ределений этого параграфа грани¬
цей шара является его сфера, а
внутренность шара состоит из то¬
чек, удаленных от его центра мень¬
ше чем на радиус.
Граница шара — его сфера —
принадлежит шару и, как уже по¬
яснялось в п. 27.2 для выпук¬
лых фигур, является границей так-
Рис. 28.1
же и внутренности шара.
Из условий, входящих в определение тела, нам осталось лишь
проверить, что любые две внутренние точки X и Y шара можно сое¬
динить доманой, лежащей внутри шара. Такой ломаной, очевидно,
является двузвенная ломаная XOY (а также и отрезок XY). Итак,
шар — тело.
«
28.2. Цилиндрические и конические тела
В этом пункте рассматриваются лишь те цилиндры, конусы и
усеченные конусы, основаниями которых являются замкнутые обла¬
сти. Поэтому дальше это специально не оговаривается. Покажем,
что такие фигуры являются телами. Их боковые поверхности уже
определены в п. 26.6, и мы пользуемся этим, понятием.
Ясно, что граница цилиндра (так же как и конуса и усеченного
конуса) состоит из его боковой поверхности и оснований. А тогда,
поскольку внутренние точки фигуры — это те ее точки, которые не
лежат на границе, то внутренность цилиндра (конуса, усеченного
конуса) составляют внутренние точки тех его образующих, которые
идут во внутренние точки оснований. Конечно, наглядно очевидное
утверждение о границе требует обоснования. Поэтому сформулиру¬
ем сказанное выше в виде теоремы и докажем ее.
Теорема 28.1. Граница цилиндра, конуса или усе¬
ченного .конуса является объединением его боковой по¬
верхности и оснований. Внутренность цилиндра, конуса
или усеченного конуса состоит из внутренних точек
171
тех его образующих, ко¬
торые идут во внутрен¬
ние точки оснований.
Доказательство. Вто¬
рое утверждение теоремы явля¬
ется следствием первого. Поэто¬
му докажем лишь первое утвер¬
ждение, например для конуса,
так как доказательство для ци¬
линдра и усеченного конуса
проводится аналогично.
Рассмотрим какой-нибудь ко¬
нус К с основанием F и верши¬
ной О. То, что точки, лежащие
на основании, граничные, оче¬
видно. Докажем это* о точках
боковой поверхности.
Возьмем какую-либо образую¬
щую OA с концом А на границе
основания. Это значит, что в плоскости основания а сколь угодно
близко к точке А есть как точки Xf9 принадлежащие основанию, так
и точки Yf9 не принадлежащие ему (рис. 28.2). Соответственно от¬
резки OX' и OY' будут образующими конуса или будут проходить
вне его (кроме точки О).
Но когда точки X' и Y' близки к Л, то и отрезки OX', OY' близки
к отрезку OA — к каждой его точке найдутся близкие точки на от¬
резках OX', OY'. Поэтому вблизи каждой его точки будут точки, как
принадлежащие конусу, так и не принадлежащие ему. Следова¬
тельно, все точки отрезка OA граничные.
Из таких отрезков составляется боковая поверхность конуса,
и значит, она входит в его границу.
Нужно еще доказать, что никакие другие точки, кроме точек
боковой поверхности и точек основания, не будут граничными.
Достаточно рассмотреть точки, лежащие между плоскостью осно¬
вания и параллельной плоскостью, проходящей через вершину.
Возьмем какую-либо такую точку В и проведем через нее отрезок
OA с концом на плоскости основания (рис. 28.2).
Если точка В — граничная, то сколь угодно близко к ней есть
точки X и Y9 принадлежащие и не принадлежащие конусу. Но тогда,
продолжая отрезки OX9 OY до пересечения с плоскостью основа¬
ния, получим на ней точки Xt9 Yf9 принадлежащие и не принадле¬
жащие основанию и близкие к точке А. Значит, точка А — 1ранич-
ная точка основания.
Таким образом, доказано, что точки боковой поверхности и ос¬
нования конуса, и только они, служат его граничными точ¬
ками. |
Теперь легко можно доказать основную теорему этого пункта.
Теорема 28.2. Цилиндр, конус или усеченный ко-
172
нус является телом, если
его основание — ограниченная
замкнутая область.
Доказательство. По¬
скольку доказательства во всех
случаях аналогичны, то снова рас¬
смотрим лишь конус Д’ с вершиной
в точке О, основание которого *—
замкнутая плоская область Q.
Так как Q имеет внутренние точ-1
ки, то К тоже имеет внутренние
точки — на образующих, идущих
во внутренние точки области Q.
Возьмем теперь любые две точки
А и В внутри # и покажем, что
их можно соединить ломаной, ле¬
жащей внутри К. Точки А и В ле¬
жат соответственно на образующих OX и OYt идущих во внутрен¬
ние точки XhY основания Q (рис. 28.3). Точки X и Y можно соеди¬
нить ломаной Lt лежащей внутри Q. Построим треугольники с об¬
щей вершиной О и основаниями на звеньях ломаной L. Эти тре¬
угольники, за исключением вершины О и оснований, лежащих на
Lt состоят из внутренних точек конуса К- Ясно, что начиная с точки
А и последовательно соединяя точки на боковых сторонах построен¬
ных треугольников, мы дойдем до точки В и построим искомую ло¬
маную. Итак, условия первой части определения тела проверены.
Проверим условия второй части. Так как все граничные точки
замкнутой области Q принадлежат ей, то отрезки, соединяющие
вершину О с этими точками, являются образующими конуса. Следо¬
вательно, боковая поверхность конуса К принадлежит ему. Так
как и основание Qcz Ki то конус К содержит всю свою границу. Оче¬
видно, у любой точки границы конуса К сколь угодно близко име¬
ются его внутренние точки, так как это верно для граничных точек
основания конуса. Поэтому граница конуса К является и границей
его внутренности. Итак, конус К — тело. Ц
28.3. Доказательство теоремы о границе
Пусть ломаная L соединяет точку фигуры F с точкой, не. принад¬
лежащей F. Если хотя бы одна из двух соединяемых точек.— гра¬
ничная, мы уже имеем нужный результат. Поэтому рассмотрим слу¬
чай, когда ломаная L соединяет внутреннюю точку фигуры F с ее
внешней точкой. Если среди вершин ломаной L есть граничная точ¬
ка фигуры Ft опять имеем требуемое. Если же такой точки нет, то
найдется отрезок AB — звено ломаной Lt один конец которого А
лежит внутри Ft а другой — В — вне F. Пусть I — длина отрезка
ABt выраженная в каких-либо единицах. Разделим отрезок AB
на 10 равных частей: длина каждой из них будет Может слу¬
173
читься, что одна из точек деления лежит на границе фигуры F9 так
что она и будет искомой. Если же это не так, то среди отрезков, на
которые разделили AB9 найдется такой A1Bi9 что его конец Лг
лежит внутри F9 а B1 — вне F.
Тогда разделим отрезок A1Bi снова на 10 частей и либо найдем
среди точек деления точку, лежащую на границе фигуры F9 либо
найдем отрезок A2B2 с Концом A2 внутри F и концом B2 вне F.
В последнем случае разделим отрезок A2B2 и т. д. В результате мы
либо найдем, наконец, среди точек ‘ деления точку, лежащую на
границе F9 т. е. получим нужный результат, либо получим последо¬
вательность отрезков, вложенных один в другой:
ABzd A1B1ZdA2B2Zd... ZDAnBnZD...
Так как каждый раз мы делили отрезок на 10 чаетей, то длины
отрезков AA19 A1A2 и т. д. будут составлять сколько-то десятых,
сотых и т. д. долей всей длины |ДВ|=I9 т. е.
и потому
II=.
При п -»--оо получаем бесконечную десятичную дробь, т. е. некото¬
рое число
По аксиоме планиметрии от точки А на луче AB можно отложить
отрезок AC с длиной к-1. Точки Л„ подходят сколь угодно близко
к точке С, так же как и точки Bn. Точки Ar. лежат внутри F1 а Bn —
вне F. Поэтому точка C будет граничной. Ц
Глава V
МНОГОГРАННИКИ
§ 29. МНОГОГРАННИК И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
29.1. Определение многогранника
Определение. Многогранником называется ограниченное
тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоуголь¬
ников. *
Обратите внимание, что многогранник — ограниченное тело.
Поэтому, например, куб — многогранник, а тело, которое состоит
из всех точек пространства, за исключением внутренних точек не¬
которого куба, многогранником не считается, хотя его<поверхность
и состоит из многоугольников.
Многогранники могут иметь разнообразное и очень сложное
строение (рис. 29.1). Различный постройки, например строящиеся
дома из кирпичей и бетонных блоков, представляют собой реальные
примеры многогранников. Другие примеры можно найти среди ме¬
бели, например стол с прямоугольной доской и прямоугольными
ножками (рис. 29.2). Но из всех многогранников мы рассмотрим
лишь наиболее простые.
Рис. 29.2
175
29.2. Обобщение понятия многоугольника.
Элементу многогранника
Ясно, что грань многогранника — это некоторый многоуголь¬
ник. Но достаточно простые примеры (например, многогранник,
изображенный на рисунке 29.3, построенный из двух приложенных
друг к другу различных кубов) показывают, что многогранники мо¬
гут иметь кольцеобразные и да$ке более сложно устроенные грани,
граница которых состоит из двух или нескольких замкнутых лома¬
ных. Такие фигуры не считались многоугольниками в планиметрии.
Согласно определению, данному в планиметрии, граница много¬
угольника должна представлять собой простую замкнутую лома¬
ную, ’т. е. ломаную, не имеющую самопересечений (рис. 29.4). Мы
дадим сейчас более общее определение многоугольника. Оно выде¬
ляет многоугольники из замкнутых областей подобно тому, на к мно¬
гогранники выделяются из всех тел.
Определение. Ограниченная замкнутая область, граница
которой состоит из конечного числа отрезков, называется много¬
угольником.
Согласно этому определению, граница многоугольника вовсе не
обязана быть простой замкнутой ломаной: в одной ее вершине мо¬
жет сходиться любое четное число сторон (рис. 29.5, почему обяза¬
тельно четное?). Точно так же многоугольник может быть ограни¬
чен несколькими замкнутыми ломаными. Многоугольник же, огра¬
ниченный одной простой замкнутой -ломаной, будем называть про¬
стым.
Замечание. В определении многогранника, данном в пре¬
дыдущем пункте, имелись в виду простые многоугольники. Теперь
же термин «многоугольник» в том определении можно понимать в
обобщенном смысле.
Обобщив понятие многоугольника, мы теперь легко можем опре¬
делить, что такое грань многоугольника.
Определение. Многоугольник, содержащийся в поверх¬
ности многогранника, называется его гранью, если он не содержится
ни в каком другом многоугольнике, содержащемся в поверхности
Рис 29.4
Рис. 29.5
176
многогранника (иначе он является лишь частью грани). Стороны
граней называются ребрами многогранника, а вершины граней —
вершинами многогранника.
ЗАДАЧИ К § 29
1. Всегда ли является" многоугольником:, а) пересечение двух
многоугольников; б) объединение двух многоугольников? А выпук¬
лых многоугольников?
2. Всегда ли является многогранником: а) пересечение двух
многогранников; б) объединение двух многогранников? А выпуклых
многогранников?
3. Многогранник ,разделили плоскостью на две части. Является
ли каждая из них многогранником? А е&пи многогранник был вы¬
пуклым?
4. Какое наименьшее число полупространств определяет много¬
гранник? *■
5. Нарисуйте многогранник, который является пересечени¬
ем п полупространств (п=5, 6, 7, 8). Сколько у него вершин, ребер,,
граней?
6. Через каждое ребро тетраэдра проводится плоскость, парал¬
лельная противоположному ребру. Какой многогранник ограничат
эти плоскости?
7. Через каждое ребро куба проводится плоскость, параллель¬
ная диагональной плоскости куба, которая параллельна взятому
ребру. Сколько вершин, ребер и граней в полученном многогран¬
нике^
8. Нарисуйте многогранник, у которого сечениями могут быть:
а) квадрат, прямоугольник, правильный шестиугольник; б) равно¬
сторонний треугольник, квадрат, трапеция; в) ромб, равнобедрен¬
ный треугольник, прямоугольник; г) объединение двух многоуголь¬
ников без общих внутренних точек.
9. Нарисуйте многогранник, про который известно, что некото¬
рая плоскость, двигаясь параллельно самой себе, пересекает его
по: а) квадрату; б) прямоугольнику; в) ромбу; г) параллелограмму;
д) равнобедренному прямоугольному треугольнику.
10. Изрисуйте многогранник, который при освещении парал¬
лельным пучком света дает тень в виде: а) квадрата; б) равнобедрен¬
ного треугольника; в) равностороннего треугольника; г) правиль¬
ного шестиугольника; д) равнобочной трапеции; е) прямоугольника;
ж) ромба. Попробуйте нарисовать многогранник, который дает тени
двух таких видов, трех таких видов.
11. Вращаясь вокруг одного из ребер многогранника, плоскость
дает такие его сечения: а) равнобедренный треугольник; б) прямо¬
угольник; в) параллелограмм; г) равнобедренную трапецию. На¬
рисуйте такой многогранник.
12. Нарисуйте многогранник: а) все грани которого треуголь¬
ники, но не тетраэдр; б) все грани которого квадраты, но не куб;
т
в) все грани которого прямоугольники, но не прямоугольный парал¬
лелепипед; г) все грани которого параллелограммы, но не паралле¬
лепипед; д) все грани которого параллелограммы и попарно парал¬
лельны, но не параллелепипед.
13. ABCD — квадрат со стьроной 1. На этом основании построе¬
ны две пирамиды P1ABCD и P2ABCD. причем (PiB) | (ABC)9
(P2C)Jl(ABC)9 IPiBI = IP2CI = 1, Pi и P2 находятся с одной стороны
от основания. Рассматривается сечение многогранника, являющего¬
ся объединением этих пирамид, плоскостью, параллельной основа¬
нию: Выразите его площадь как функцию от х, где х — расстояние
от плоскости сечения до плоскости (АВС).
14. ABC — правильный треугольник со стороной 1. На этом ос¬
па
ковании построены две пирамиды: PtABC и P2ABC9 причем (PfB)-L
у_(АВС), (P2C)JLHBC), |Р1В| = |Р2С|=2, Pi и P2 находятся с одной
стороны от основания. Многогранник, полученный объединением
этих пирамид, пересекается плоскостью, параллельной основанию.
Выразите площадь сечения как функцию от х, где х — расстояние
от сечения до P1.
15. Четырехугольная пирамида и куб имеют общее основание и
других общих точек не имеют. Сколько вершин, ребер и граней у
полученного многогранника?
16. Два тетраэдра имеют общую грань. Сколько вершин, ребер
и граней имеет полученный многогранник? Других общих точек у
них нет.
17. Два прямоугольны?: параллелепипеда приложены друг к
другу гранями и других общих точек не имеют. Сколько вершин,
ребер и граней в полученном многограннике?
18. Сколько вершин, ребер и граней в многогранниках, задан¬
ных своими проекциями на три попарно перпендикулярные плоско¬
сти (рис. 29.6)?
§ 30. ПИРАМИДЫ
30.1. Определения пирамиды и ее элементов
Определение. Пирамидой называется конус, основание
которого — многоугольник (рис. 30.1).
Докажем, что пирамида есть многогранник. Действительно,
поверхность (граница) любого конуса состоит из его основания
и боковой поверхности. В свою очередь, боковая поверхность кону¬
са является объединением отрезков (образующих), идущих из вер¬
шины конуса в граничные точки его основания. Так как основание
пирамиды — многоугольник, то граница ее основания состоит из
конечного числа отрезков — сторон основания. Объединение обра¬
зующих пирамиды, которые соединяют ее вершину с каждой сторо¬
Рис. 30.1
179
ной основания, даст треугольник, лежащий на боковой поверхности
пирамиды — боковую грань пирамиды.
Следовательно, боковая поверхность пирамиды состоит из ко¬
нечного числа треугольников. Боковые грани пирамиды имеют об¬
щую вершину — вершину пирамиды, а противоположные этой вер¬
шине стороны боковых граней являются сторонами основания пи¬
рамиды. Поэтому число боковых граней пирамиды равно числу сто¬
рон ее основания.
Итак, поверхность пирамиды состоит из ,многоугольников: осно¬
вания пирамиды и ее боковых граней — треугольников. Поэтому
пирамида (т. е. конус, в основании которого лежит многоугольник)
является многогранником (т. е. ограниченным телом, поверхность
которого состоит из конечного числа многоугольников).
Верно и обратное: конус, являющийся многогранником, есть
пирамида, так как основание такого конуса — многоугольник.
Ребра пирамиды, идущие из ее вершины, называются боковыми?
Как и для конуса, перпендикуляр, опущенный из вершины пи¬
рамиды на плоскость ее основания, а также длина этого перпендику¬
ляра называется высотой пирамиды.
Если основание пирамиды — простой п-угольник, то пирамиду,
называют п-угольной.
30.2. Правильная пирамида
Правильную пирамиду можно опреде¬
лить двумя равносильными способами.
Определение. Пирамида называ¬
ется правильной, если ее основание — пра¬
вильный многоугольник и вершина пира¬
миды проектируется в центр этого много¬
угольника (рис. 30.2).
Это определение позволяет легко стро¬
ить правильные пирамиды (т. е. доказать
существование таких пирамид). Для-тако¬
го построения достаточно взять любой пра-»
вильный п-угольник, из' его центра восста¬
вить перпендикуляр к плоскости много¬
угольника и соединить отрезками некото¬
рую (любую) точку перпендикуляра, от¬
личную от его основания, с точками взя¬
того многоугольника.
Но данное определение не позволяет
легко проверить, будет ли правильной дан¬
ная реальная пирамида (например, дере¬
вянная или металлическая). Возможность
такой проверки дает следующее определе¬
ние.
Определение. Пирамида назы¬
180
вается правильной, если ее основание — правильный многоуголь¬
ник, а ее боковые ребра равны.
Легко проверить равносильность этих определений.
Отметим два простых свойства правильных пирамид. При этом
,мы исходим из первого определения правильной пирамиды.
Свойство 1. Боковые ребра правильной пирамиды равны.
Свойство 1 вытекает из теоремы о равенстве прямоугольных
треугольников по двум катетам, примененной к треугольникам,
гипотенузами которых являются боковые ребра рассматриваемой
пирамиды. Эти треугольники имеют один общий катет — высоту
пирамиды и равные другие катеты — отрезки, соединяющие центр
основания пирамиды с его вершинами (рис. 30.2).
Свойство 2. Боковые грани правильной пирамиды — рав¬
ные друг другу равнобедренные треугольники.
Это свойство вытекает из свойства 1 и теоремы о равенстве тре¬
угольников по трем сторонам.
Правильную пирамиду рисуют так. Сначала рисуют изображе¬
ние правильного многоугольника, лежащего в ее основании, и его
центра О. Потом изображают высоту пирамиды, проводя вертикаль¬
ный отрезок OS (вертикальность отрезка обеспечивает большую
наглядность рисунка). Затем точку S соединяют со всеми вершинами
основания.
30.3. Тетраэдр
Простейшим многогранником является треугольная пирамида:
у нее наименьшее возможное число граней — всего четыре
(рис. 30.3). Ее называют обычно тетраэдром, что по-гречески и зна¬
чит «четырехгранник». Любая грань ее может считаться основанием
(этим она отличается от других пирамид).
Имеет место следующая теорема об изображении тетра¬
эдра:
Тетраэдр можно изобразить на плоскости проек¬
ции любым по форме четырехугольником с диагона¬
лями.
Чаще всего тетраэдр рисуют так, как
он изображен на рисунке 30.3 (штриховой
линией выделяется невидимое рёбро).
ф Эта теорема существенно используется
при изображении произвольной неплоской
фигуры (тела). Сначала выделяют в этом
теле (фигуре) какой-нибудь тетраэдр и
строят его изображение. После того как
построено изображение этого тетраэдра,
никакого произвола в изображении точек
данной фигуры быть не должно. Покажем
это.
181
Рис. 30.4 ч
Рис. 30.5
Пусть ABCD — выделенный тетраэдр, а AfBfCfD' — его изоб¬
ражение. Возьмем точку X данной фигуры, и пусть луч CX пересе¬
кает плоскость ABD в точке /< внутри треугольника ABb (рис. 30.4).
Изображение точки — точка /<' — лежит внутри треугольника
AfBfDf (откуда это следует?), причем она может быть построена (мы
показали это в п. 16.4). Но тогда изображение Xf точки X лежит на
\К'Х'\ | кх I . . ..
луче C X , причем (как вы это объясните?).
Точка X может располагаться по-иному относительно тетраэдра,
но и тогда рассуждение будет аналогичным.
30.4. Сечение пирамиды плоскостью,
параллельной плоскости ее основания
Сечение пирамиды плоскостью, параллельной плоскости ее ос¬
нования и проходящей через внутреннюю точку пирамиды/является
многоугольником, подобным основанию. Коэффициент подобия ра¬
вен отношению расстояния от вершины пирамиды до-плоскости се¬
чения к длине высоты пирамиды (рис. 30.5).
Высоту и боковые ребра пирамиды эта плоскость разбивает на
пропорциональные части.
Эти свойства вытекают из теоремы о сечении конуса плоскостью.
30.5. Усеченная пирамида
Усеченной пирамидой называется усеченный конус, основанием
которого является многоугольник. Поэтому для нее определения
верхнего и нижнего оснований, высоты, боковой поверхности, по¬
182
верхности те же, Hfo и для усе¬
ченного конуса. Основания усе¬
ченной пирамиды подобны (рис.
30.6).
Как и пирамида, усечен¬
ная пирамида является
многогранником. ^Поэтому у
нее есть вершины, ребра и гра¬
ни.
Наконец, усеченная пирами¬
да является частью пирамиды
(так же как усеченный конус
является частью конуса). По¬
этому у нее (как и у пирами¬
ды) есть боковые грани и боко¬
вые ребра.
Правильная усеченная пи¬
рамида является частью соот¬
ветствующей правильной пи¬
рамиды.
ЗАДАЧИ К §30
1. Сколько вершин, ребер и граней имеет: а) и-угольная пира¬
мида; б) п-угольная усеченная пирамида; в) объединение двух
п-угольных пирамид, пересечением которых является их общее
основание; г) объединение трех тетраэдров, причем второй имеет
с первым общую грань и не имеет оним общих внутренних точек,
а третий находится в таком же положении со вторым?
2. Докажите, что число ребер пирамиды делится на 2.
3. Докажите, что число плоских углов в л-угольной пирамиде
делится на 4.
4. В пирамиде площадь основания равна S. Высоту пирамиды
разделили на п равных частей, а через точки деления провели пло¬
скости, параллельные основанию. Найдите: а) площадь k-го сече¬
ния, считая от вершины; 6) /-го сечения, считая от основания,
в) Определите отношение Sa к S1, где Sa — площадь Л-го сечения
от вершины, а Sz — площадь /-го сечения от вершины, г) Может ли
• 5а=2?
5. В пирамиде площадь основания равна S, а высота равна Н.
В ней проведены два сечения, параллельные основанию, с площадя¬
ми Si и St. На каком расстоянии друг от друга они находятся?
6. В пирамиде с площадью основания S и высотой H проводятся
переменные сечения, параллельные основанию. Выразите прираще¬
ние площади сечения через приращение расстояния от него до вер¬
шины, если известно расстояние от вершины до начального поло¬
жения плоскости. Решите ту же задачу про периметр сечения.
183
Можно ли узнать, на сколько увеличится площадь сечения, если
его периметр увеличился на 1?
7. Докажите, что в правильной пирамиде проекция высоты на
боковую грань лежит на апофеме в этой грани. (Апофемой правиль¬
ной пирамиды называется высота ее боковой грани, проведенная из
вершины пирамиды.)
8. Центр основания правильной пирамиды проектируется на все
боковые грани. Какой фигурой является множество всех этих
проекций?
9. Докажите, что в правильной пирамиде существует точка,
равноудаленная от всех ее вершин. Как расположена эта точка
по отношению к пирамиде?
10. Докажите, что в правильной пирамиде существует точка,
равноудаленная от всех ее граней.
11. В правильной п-угольной пирамиде сторона основания рав¬
на 1, а плоский угол при вершине равен ср. Определите: а) высоту
пирамиды; б) апофему пирамиды; в) расстояние от центра основа¬
ния до боковой грани. (Задачу можно решать при п=3 или-п=4 и
угле ср, принимающем значения 30°, 45°, 60°.)
12. Вычислите в п-угольной правильной пирамиде апофему,
если ее .боковое ребро равно 2, а высота равна 1.
13. Докажите, что в правильной пирамиде каждая точка высо¬
ты: а) равноудалена от боковых ребер; б) равноудалена от вершин
основания; в) равноудалена от ребер основания; г) равноудалена
от боковых граней.
14. Постройте правильную треугольную пирамиду лю стороне
основания и боковому ребру.
15. а) Докажите, что. в правильной треугольной пирамиде вер¬
шины основания одинаково удалены от противоположных гра¬
ней. б) Вычислите это расстояние, если сторона основания пирами¬
ды равна 1, а боковое ребро равно 2.
16. Дана правильная треугольная пирамида. Какая точка рав¬
ноудалена: а) от ее вершин; б) от ее граней; в) от ее ребер?
17. В правильной треугольной пирамиде угол между боковыми
ребрами равен ср, а сторона основания равна 2. Определите; а) боко¬
вое ребро; б) апофему; в) высоту; г) расстояние от вершины основа¬
ния до противоположной боковой грани; д) расстояние между скре¬
щивающимися ребрами.
18. Нарисуйте разные по форме сечения правильной треуголь¬
ной пирамиды.
19. Может ли сечение правильной треугольной пирамиды быть:
а) остроугольным треугольником; б) прямоугольным треугольни¬
ком; в) тупоугольным треугольником; г} равнобедренным треуголь¬
ником; д) равносторонним треугольником; е) параллелограм¬
мом; ж) ромбом; з) прямоугольником; и) квадратом; к) пятиуголь¬
ником?
20. Является ли треугольная пирамида правильной, если у нее
в основании правильный треугольник и: а) плоские углы при верши¬
184
не равны; б) высоты из вершины боковых граней равны; в) высота из
вершины образует равные углы со всеми боковыми ребрами; г) бо¬
ковые грани равны; д) существует точка, равноудаленная от всех
вершин; е) существует точка, равноудаленная от всех граней;
ж) центр основания равноудален от боковых граней?
21. На поверхности правильной треугольной пирамиды нари¬
суйте множество точек, равноудаленных: а) от плоскости двух
боковых граней; б) от плоских трех боковых граней; в) от плоско¬
стей некоторой боковой грани и основания; г) от плоскостей'двух
боковых граней и основания; д) от вершины и основания; е) от двух
вершин основания; ж) -от трех вершин основания; з) от вершины
пирамиды и вершины основания; и) от вершины пирамиды и двух
вершин основания.
22. Постройте правильную четырехугольную пирамиду по сто¬
роне основания и боковому ребру.
23. а) Докажите, что в правильной четырехугольной пирамиде
каждая вершина основания удалена от плоскости грани, в которой
она не лежит, на одно и то же расстояние, б) Вычислите это расстоя¬
ние, если ребро основания пирамиды равно 1, а боковое ребро рав¬
но 2.
24. Дана правильная четырехугольная пирамида. Какая точка
равноудалена: а) от ее вершин; б) от ее граней; в) от ее ребер?
25. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
равна d, а высота равна h. Определите: а) боковое ребро; б) апофему;
в) плоский угол при вершине; г) расстояние от вершины рснования
до плоскости противоположной грани; д) расстояние между скре¬
щивающимися прямыми, одна из которых содержит ребро основания,
а другая — боковое ребро.
26. Нарисуйте разные по форме сечения правильной четырех¬
угольной пирамиды.
27. Ответьте на- вопросы, сформулированные в задаче 19, но
применительно к правильной четырехугольной пирамиде. Кроме
того, ответьте на вопросы: может ли быть сечение правильной четы¬
рехугольной пирамиды: л) равнобедренной трапецией; м) неравно¬
бедренной трапецией; н) шестиугольником?
28. Является ли правильной четырехугольная пирамида, если
у нее в основании правильный четырехугольник и выполнены усло¬
вия, сформулированные в задаче 20 применительно к треугольной
пирамиде?
29. На поверхности правильной четырехугольной пирамиды
нарисуйте* множество точек, удовлетворяющих условиям, сформу¬
лированным & задаче 21 применительно к треугольной пира¬
миде.
30. В правильной четырехугольной пирамиде PABCD каждое
ребро равно 1. Вычислите расстояния: а) от вершины до ребра осно¬
вания; б) от Л до (PD); в) от А до ребра РС\ г) от Q до апофемы, где
Q — центр основания; д) от Q до бокового ребра; е) от Q до боковой
грани; ж) от А до плоскости PCD.
185
31. На рисунке 30.7 изображена пирамида PABC. Есть ли
ошибка на этом рисунке, если (PH)X(ABC), (РК)Х(ВС), (TE)X
Х(РВС)?
32. Нарисуйте высоту в треугольной пирамиде, у которой
в основании прямоугольный треугольник, а все боковые ребра
равны.
33. В пирамиде PABC плоскости граней РАС и ABC взаимно
перпендикулярны, а треугольники APB и СРВ — равносторонние.
Нарисуйте перпендикуляры из P на (АВС), из В на (APC), из А
на (BPC), из C на (APB).
34. Дан прямоугольный тетраэдр PABC. В какую точку грани
ABC проектируется вершина Р?
35. Постройте пирамиду у которой все грани — прямоуголь¬
ные треугольники.
36. В пирамиде PABC боковые ребра РА, PB и PC равны, а
|4В|=2. Высота ее лежит в грани PAB и равна 1. Определите вид
основания и боковых граней.
37. Известны длины всех ребер треугольной пирамиды. Можете
ли вы определить ее высоту? Можете ли вы определить длину отрез¬
ка, соединяющего середины скрещивающихся ребер?
38. Ортогональные проекции треугольной пирамиды имеют вид,
изображенный на рисунке 30.8. Нарисуйте пирамиду и плоскрсть
проекции.
39. Боковые ребра четырехугольной пирамиды равны. Каким
свойством обладает четырехугольник в ее основании?
40. Нарисуйте высоту в пирамиде, у которой основанием яв¬
ляется равнобедренная трапеция,.а боковые ребра равны. Опреде¬
лите ее, если известны все ребра пирамиды.
41. В одном задачнике по геометрии было написано, что не су¬
ществует четырехугольной пирамиды, у которой противополож¬
ные грани перпендикулярны основанию. Опровергните это утверж¬
дение.
Ю 3)
Рис. 30.9
42. В основании пирамиды: а) прямоугольник; б) ромб. Высота
пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания.
Какие свойства этой пирамиды аналогичны свойствам правильной
пирамиды? А какие ее свойства отличны от свойств правильной
пирамиды?
43. В основании пирамиды квадрат. Вершина пирамиды проек¬
тируется в вершину основания. Два боковых ребра пирамиды равны
(I1 и б/2, причем Определите два других боковых ребра пи¬
рамиды.
44. Ортогональная проекция четырехугольной пирамиды име¬
ет вид, изображенный на рисуцке 30.9.Нарисуйте пирамиду и пло¬
скость проекции.
45. Нарисуйте правильную треугольную усеченную пирамиду.
46. Нарисуйте правильную четырехугольную усеченную пи¬
рамиду.
47. В правильной п-угольной усеченной пирамиде сторона
большего основания равна 3, сторона меньшего основания равна 1,
а боковое ребро равно 2. Вычислите высоту пирамиды. (Можно ре¬
шать для п=3 и п=4.)
48. В некоторой правильной усеченной пирамиде провели сече¬
ние, параллельное основанию. Его площадь оказалась: а) средним
арифметическим; б) средним геометрическим площадей оснований.
В каких пирамидах это возможно?
187
§ 31. ПРИЗМЫ
31.1. Определение призмы и ее свойства
Определение. Призмой называется цилиндр, основание
которого — многоугольник (рис. 31.1).
Призма является многогранником.
Действительно, во-первых, поскольку основание призмы —
многоугольник, то призма — тело, так как многоугольник является
замкнутой областью, а цилиндр, основание которого — замкнутая
область, является телом (теорема в27.2).
Во-вторых, призма, как и любой цилиндр, ограниченное тело.
Поэтому осталось проверить, что поверхность призмы состоит из
конечного числа многоугольников.
Так как основания любого цилиндра равны и параллельно рас¬
положены, то оба основания призмы — равные и параллельно рас¬
положенные многоугольники (рис. 31.2). Все отрезки, соединяющие
соответствующие точки оснований, равны и параллельны друг дру¬
гу. Такие отрезки, соединяющие *соответствующие точки соответст¬
вующих сторон оснований, образуют параллелограммы, число кото¬
рых равно числу сторон оснований призмы. Поэтому боковая по¬
верхность призмы состоит из конечного числа параллелограммов,
равного числу сторон основания призмы. Итак, призма является
многогранником.
Параллелограммы, составляющие боковую поверхность призмы,
называются боковыми гранями призмы, а их стороны, не лежащие
на основаниях, боковыми ребрами призмы.
Как уже показано выше, все боковые ребра призмы равйы и
параллельны друг другу.
Перпендикуляр из любой точки одного основания призмы на
плоскость другого ее основания называется высотой призмы. Дли¬
на такого перпендикуляра также’называется высотой призмы.
Призма называется /х-угольной, если ее основание — прос¬
той п-угольник.
188
I
I
I
I
I
А.,
I
I
I
I
Рис. 31.3 Рис. 31.4
Рис. 31.5
Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендику¬
лярны основанию (рис. 31.3).
Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками.
Это следует из определения перпендикулярности прямой и пло¬
скости.
Правильной призмой называется прямая призма, основание ко¬
торой — правильный многоугольник (рис. 31.4).
31.2. Параллелепипед
Призма, у которой основание — параллелограмм, называется
параллелепипедом (рис.^31.5). У ,параллелепипеда любые две про¬
тивоположные грани могут быть приняты за основания, так как
все шесть его граней — параллелограммы, причем противополож¬
ные грани равны (конгруэнтны) и параллельны.
Прямой параллелепипед, основание которого — прямоугольник,
называется прямоугольным параллелепипедом.
Все грани прямоугольного параллелепипеда — прямоуголь¬
ники.
Куб — это прямоугольный параллелепипед, все ребра которого
равны, т. е. все грани которого — равные (конгруэнтные) квад¬
раты.
ЗАДАЧИ К §31
1. Сколько вершин, ребер и граней имеет п-угольная призма?
Сколько у нее диагоналей?
2. Докажите, что число ребер призмы делится на 3.
3. Докажите, что число плоских углов при всех вершинах
призмы делится на 6.
4. В п-угольной призме проведены все диагональные сечения.
Докажите, что все получившиеся в их пересечении отрезки равны.
(Диагональное сечение призмы — это сечение,, проходящее через
боковое ребро и диагональ основания призмы.)
189
5. Сколько пар перпендикулярных граней имеет прямая
п-угольная призма?
6. Постройте наклонную призму, у которой высота лежит в од¬
ной из граней.
7. Существует ли призма, у которой: а) боковое ребро перпенди¬
кулярно ровно одному ребру в основании; б) ровно одна боковая
грань перпендикулярна основанию?
8. Докажите, что если хотя бы одна вершина одного из основа¬
ний призмы равноудалена от всех вершин другого основания приз¬
мы, то призма не является прямой.
9. Является ли призма правильной;-если у нее: а) все ребра
равны; б) все боковые грани квадраты; в) все боковые грани прямо¬
угольники?
10. Дана прямая призма ABCA1B1C1. Нарисуйте ее так, чтобы
были видимы: а) грани AA1B1B и АВС\ б) грани AA1B1B и A1B1Clt
в) чтобы была видима ровно одна грань, причем основание; г) ровно
одна грань, причем боковая; л) ровно четыре грани.
11. В наклонной треугольной призме ABCA1B1C1 в основании
равносторонний треугольник, одна боковая грань квадрат AA1C1Ct
две другие имеют в точках А и C острые углы. Нарисуйте высоты
призмы: а) из. вершин верхнего основания на нижнее; б) из C и Ci
на противоположную грань; в) из В и Bi на противоположную грань.
Нарисуйте перпендикулярное сечение через точки В, Blt К — се¬
редину ребра ВС, С. (Перпендикулярное сечение призмы обра¬
зуется в результате пересечения призмы "или ее продолжения и
плоскости, перпендикулярной боковому ребру.)
12. В основании призмы ABCA1B1C1 правильный треугольник.
A1AB=A1AC. Нарисуйте высоты призмы из вершин верхнего осно¬
вания. Какой фигурой является грань BB1C1C?
13. В треугольной призме ABCA1B1C1 основанием является рав¬
носторонний треугольник. Вершина A1 верхнего основания проек¬
тируется: а) в середину ребра ЛС; б) в середину ребра ВС; в) в центр
нижнего основания; г) в точку C-; д) в точку В. В каждом случае
нарисуйте проекции остальных вершин верхнего основания.
14. Докажите, что все перпендикулярные сечения треугольной
призмы имеют одинаковые периметры и. площади. Верно ли это ут¬
верждение для четырёхугольной призмы?
15. В наклонной треугольной призме перпендикулярное сечение
является равносторонним треугольником. Площадь одной ее боко¬
вой грани равна 1. Вычислите площади остальных ее боковых
граней. Можете ли вы вычислить расстояние от бокового ребра до
противоположной грани? Можете ли вы вычислить площадь осно¬
вания?
16. Проекция треугольной призмы, в основании которой нахо¬
дится равносторонний треугольник, имеет вид, изображенный на
рисунке 31.6. Нарисуйте призму и плоскость проекций.
190
17. Нарисуйте различные по форме сечения правильной тре¬
угольной призмы.
18. В правильной треугольной призме с ребром 1 проводится се¬
чение через: а) сторону основания; б) вершину основания парал¬
лельно противоположной стороне основания. В каждом случае
выразите площадь сечения как функцию от некоторого расстояния,
выбранного вами.
19. В треугольной призме ABCA1B1C1 грань AA1C1C— прямо¬
угольник, а другие две — ромбы с острым углом <р при вершйне B1.
|4С| =4, |ВС| =3. Вычислите периметр и площадь перпендикуляр*
ного сечения.
20. В призме ровно одна грань перпендикулярна основанию.
Может ли ее основание быть квадратом?
21. В основании наклонной призмы трапеция. Две ее грани
перпендикулярны основанию. Нарисуйте высоту призмы из каждой
вершины верхнего основания. Какие данные достаточны для ее
нахождения?
22. Докажите, что все диагональные сечения параллелепипеда
имеют общую точку.
23. В четырехугольной призме: , а) две диагонали пересеклись;
б) две диагонали пересеклись и* в точке пересечения разделились
пополам; в) четыре диагонали пересеклись.
Выясните в каждом случае, будет ли эта призма параллеле¬
пипедом.
24. Все грани параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 — равные ром¬
бы с острым углом при вершине А. Нарисуйте его высоты: а) из
точек Alt Blt C1 на нижнее основание; б) из точек Bt Dt C на верхнее
основание; в) из точек D9 C9 C1 на левую грань; г) из точки D1 на те
191
грани, где она не лежит. Каких данных достаточно для вычисления
этих высот?
25. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 все грани равные ромбы
с острым углом 60° при вершине А. Нарисуйте перпендикулярные
сечения к (ЛА), проходящие через «точки D и D1. Нарисуйте пер¬
пендикулярные сечения, проходящие через эти ж» точки к (AD)t
(АВ). Можете ли вы вычислить периметры и площади этих перпен¬
дикулярных сечений, если сторона ромба известна?
26. Является ли поверхность параллелепипеда «жесткой» фи¬
гурой?
27. В некотором параллелепипеде нет плоских прямых углов.
Найдется ли в нем такая вершина, в которой сходятся три тупых
или три острых угла?
28. Постройте параллелепипед, у которого одна вершина верх¬
него основания равноудалена от всех вершин нижнего основания.'
Какие данные достаточны для определения высоты из этой вершины
на основание?
29.. Постройте параллелепипед, у которого: а) ровно одна грань
,перпендикулярна основанию; б) ровно две гра^и перпендикулярны
основанию. Какие данные достаточны для вычисления высоты в та¬
ком параллелепипеде?
30. Постройте параллелепипед, у которого: а) ровно одна грань
является прямоугольником; б) ровно две грани являются прямо¬
угольниками. Достаточно ли знать размеры этих прямоугольников,
чтобы определить длины всех ребер параллелепипеда? А для того,
чтобы определить площади всех перпендикулярных сечений?
31. Сколько граней, являющихся прямоугольниками, может
быть в параллелепипеде?
32. Параллелепипед, в основании которого лежит квадрат, име¬
ет проекцию, изображенную на рисунке 31.7. Нарисуйте паралле¬
лепипед и плоскость проекций.
33. Установите вид параллелепипеда, если две его смежные
грани — квадраты. Пусть сторона этого квадрата равна 1. Вычис¬
лите наибольшую высоту параллелепипеда, площадь наибольшего
перпендикулярного сеченйя.
34. В параллелепипеде все диагональные сечения ромбы. Уста¬
новите его вид.
Рис. 31.7
б)
192
35. Нарисуйте различные по форме сечения прямоугольного па¬
раллелепипеда.
36. Постройте прямоугольный параллелепипед, если известны:
а) длины диагоналей граней, имеющих общую точку; б) площади
трех неравных граней.
37. В прямоугольном параллелепипеде через диагональ прове¬
дено сечение, параллельное диагонали основания. Определите его
вид. Как вы будете искать площадь этого сечения на модели?
38. В прямоугольном параллелепипеде через диагональ основа¬
ния провели сечение, параллельное его диагонали. Оно оказалось
равносторонним треугольником-. Большее ребро параллелепипеда
равно 1. Вычислите остальные.
39. Высота прямой призмы равна 3, в ее основании прямоуголь¬
ник со сторонами 1 я 2. Через сторону основания проведено сечение.
Вычислите граничные значения его площади.
40. Существует ли прямоугольный параллелепипед, у которого:
а) диагональ в два раза больше самого длинного ребра; б) диагональ
составляет с ребрами, выходящими из той же точки, равные углы;
в) диагональ составляет с ребрами, выходящими из той же точки,
три заданных угла; г) диагональ в два раза больше самой большой
диагонали грани; д) диагональ состарляет с диагоналями граней,
выходящими из той же точки, три заданных угла?
$ § 32. ДВА ПОДХОДА К ОПРЕДЕЛЕНИЮ МНОГОГРАННИКА
32.1. Триангуляция многоугольника
В этом параграфе мы сначала обсудим возможность двух под¬
ходов кпонятию многоугольника.
Напомним, что многоугольником в п. 29.2. мы назвали ограни¬
ченную замкнутую область, граница которой состоит из конечного
числа отрезков. Простейшим многоугольником является треуголь¬
ник. Оказывается, что любой многоугольник можно так разбить на
треугольники, что это разбиение удовлетворяет следующим усло¬
виям: каждые два треугольника этого разбиения либо не имеют об¬
щих точек, либо имеют только общую вершину, либо имеют только
общую целую сторону (рис. 32.1). Такое разбиение называется
триангуляцией многоугольника.
7 № 7814
193
Для выпуклых многоугольни¬
ков легко указать два(способа три¬
ангуляции — диагоналями, идущи¬
ми из любой вершины много¬
угольника (рис. 32.2), и отрезками,
соединяющими любую внутреннюю
точку многоугольника с его вер¬
шинами (рис. 32.3).
Для невыпуклых многоуголь¬
ников доказать возможность их
триангуляции сложнее. Укажем на
одну из возможностей триангуля-
Теорема32.1. Каждый мно¬
гоугольник триангулируем.
Доказательство. Сначала проведем все прямые, на
которых лежат стороны данного многоугольника. Они разобьют его
на выпуклые многоугольники. Эти многоугольники выпуклы, как
пересечения полуплоскостей. Разбивая теперь эти выпуклые много¬
угольники, мы получим триангуляцию исходного многоугольника
(рис. 32.4). И
Конечно, такая триангуляция не самая экономная, в ней число
треугольников не наименьшее для данного многоугольника. Число
треугольников в триангуляции будет минимальным, если ее осу¬
ществить с помощью диагоналей многоугольника. Доказать возмож¬
ность такой триангуляции для невыпуклого многоугольника не
очень просто. Но для каждого конкретного многоугольника любой
Рис. 32.4
2)
Рис. 32.5
194
из вас легко укажет, как ее можно осуществить, например, для мно¬
гоугольников, изображенных на рисунке 32.5.
Укажем еще одно важное свойство триангуляции многоуголь¬
ника. Поскольку любые две внутренние точки многоугольника
можно соединить ломаной, лежащей внутри многоугольника, то от
каждого треугольника можно перейти по цепочке треугольников,
в которой каждый последующий прилегает к предыдущему по це¬
лой стороне.
Исходя из свойств триангуляции, мы теперь можем дать другое,
равносильное первому определение многоугольника.
Многоугольник — это фигура на плоскости, являющаяся объе¬
динением конечного числа треугольников, для которых выполнены
следующие условия:
1) каждые два треугольника либо не имеют общих точек, либе
имеют только общую вершину, либо
имеют только общую сторону;
2) от каждого треугольника к другому
можно перейти по цепочке треугольников,
в которой каждый последующий приле¬
гает к предыдущему по целой стороне.
То, что фигура, удовлетворяющая
этим двум условиям, является много¬
угольником в смысле первоначального
определения, вы легко сможете прове¬
рить самостоятельно.
32.2. Триангуляция
многогранников
Сказанное в п. 32.1 можно с неболь¬
шими изменениями перенести с многоу¬
гольников на многогранники, заменяя
треугольники на простейшие многогран¬
ники— тетраэдры. Начнем с триангу¬
ляции многогранника.
Триангуляцией многогранника назы¬
вается такое его разбиение на тетраэдры,
при котором каждые два тетраэдра либо
не имеют общих точек, либо имеют толь¬
ко общую вершину, либо общее ребро,
либо целую общую грань.
Легко триангулировать выпуклую
пирамиду, триангулируя диагоналями
ее основание и проводя затем диаго¬
нальные сечения (рис. 32.6). Любой
выпуклый многогранник можно сначала
разбить на выпуклые пирамиды, общей
вершиной которых является некоторая
19$
(любая) внутренняя точка многогранника, а основаниями — грани
многогранника (рис. 32.7, чтобы не загромождать чертеж, на нем
показаны только видимые грани многогранника). Затем, триангули¬
руя диагональными сечениями полученные выпуклые пирамиды, мы
триангулируем выпуклый многогранник.
Наконец, любой многогранник сначала можно разбить на вы¬
пуклые многогранники, проведя плоскости всех граней многогран¬
ника. Затем, триангулируя указанным выше способом полученные
выпуклые многогранники, мы построим триангуляцию исходного
многогранника. Итак, доказана следующая теорема.
Теорема 32.2. Любой многогранник триангулируем.
Ясно, что цепочка треугольников, о которой шла речь в п. 32.1,
должна замениться цепочкой тетраэдров, прилегающих друг к дру¬
гу по целым граням.
Таким образом мы можем дать следующее, равносильное первому
определение многогранника.
Многогранник — это фигура, являющаяся объединением ко¬
нечного числа тетраэдров, для которых выполнены следующие
условия:
1) каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют
только общую вершину, либо только общее ребро, либо целую об¬
щую грань;
2) от каждого тетраэдра к другому можно перейти по цепочке тет¬
раэдров, в которой каждый последующий прилегает к предыдущему
по целой грани.
Как и для многоугольника, доказательство того, что фигура,
удовлетворяющая этим двум условиям, является многогранником
в смысле первого определения, вы сможете провести самостоя¬
тельно.
Далее, при изложении теоретического материала и при решении
задач можно пользоваться и тем и другим подходами к определению
многоугольника и многогранника, выбирая то, которое удобнее в
данном конкретном случае.
32.3. Об определениях
Данное в п. 29.1 определение многогранника состоит в описа¬
нии его характерных (или характеристических) свойств. Оно поз¬
воляет узнать, является ли данная фигура многогранником или
нет.
Такие определения, состоящие в описании или указании харак¬
терных свойств предмета, и называются описательными (иначе —
дискриптивными, что и значит по-русски «описательные»). Одна¬
ко такое определение не указывает способа строить предмет, не го¬
ворит о том, как его сделать. Более того, в таком определении не
заключается даже никаких указаний на существование предмета,
удовлетворяющего данному определению. Могло бы быть, что тако¬
го предмета нет вовсе.
196
Например, дадим следующие определения: мноюгрлнник, »ч*е
грани которого треугольники, назовем треугольным, а много¬
гранник с пятью гранями — пентаэдром (что и значит по-русски
«пятигранник»). «Рассмотрим треугольный пентаэдр...». Однако
такого многогранника не существует! Вы в этом легко убедитесь,
попытавшись сложить пять треугольников так, чтобы они ограничи¬
ли многогранник. (Вообще треугольногранный многогранник может
иметь только четное число граней; треугольногранных многогран¬
ников с нечетным числом граней не существует!)
Это замечание показывает, что описательное определение по мень¬
шей мере должно быть дополнено доказательством существования
определяемого предмета, лучше всего указанием способа его по¬
строения.
Но еще лучше, если описательное определение дополняется кон¬
структивным, т. е. таким, в котором дается способ построения
(конструирования) определяемого предмета.
Для цилиндра и конуса, а также для их частных случаев — для
пирамиды и призмы — были даны конструктивные определения,
т. е. ^акие, в которых дается способ построения (конструирования)
предмета. Они указывают, как строится любая пирамида и любая
призма.
Например, для построения пирамиды берем в некоторой плоско¬
сти многоугольник S и точку О вне этой плоскости. Отрезки, соеди¬
няющие точки из S с точкой O9 заполняют пирамиду.
Конечно, нельзя провести все эти отрезки фактически, поэтому
можно было бы возразить, что здесь не дается построение пирамиды.
Но это не так. Соединяя точку О с вершинами многоугольника S,
мы получаем боковые ребра пирамиды и вместе с ними — ясное на¬
глядное представление о ней. По ребрам грани уже «видны».
Аналогичное верно и для призмы. Проводя из вершин^заданного
ее основания S равные параллельные отрезки, мы получаем боковые
ребра, а концы их дают вершины другого основания, так что по¬
лучается ясное представление о заданной призме.
Но наряду с этими соображениями наглядности есть принципи¬
альное положение о построении и задании множества точек вообще,
будь то пирамиды, призмы или какие угодно другие.
«Построить» множество точек — значит указать способ строить
каждую его точку.
Способ строить любые точки пирамиды по данному основанию
S и вершине О дан, а1 значит, указано построение пирамиды.
Описательным определением пирамиды будет, например, такое
ее определение: пирамидой называется многогранник, у которого
одна грань есть какой-нибудь многоугольник, а все остальные гра¬
ни — треугольники, имеющие общую вершину.
Для многогранника теперь даны два определения. Первоначаль¬
ное определение в §-29 было описательным: оно указывает, какими
свойствами должна обладать фигура, называемая многогранником.
Второе определение, данное в этом параграфе, конструктивное:
197
оно указывает, как можно строить любой многогранник из тетраэд¬
ров, а как строится тетраэдр, известно. Тетраэдры играют роль
как бы простейших кирпичей, из которых можно складывать любые
многогранники.
ЗАДАЧИ К §32
1. Сколько получится тетраэдров при триангуляции:
а) п-угольной пирамиды; б) усеченной треугольной пирамиды;
в) п-угольной усеченной пирамиды; г) п-угольной призмы; д) прямо¬
угольного параллелепипеда?
2. Имеются такие многогранники: а) ABCDKL, в котором грань
ABCD — квадрат со стороной 2, грани AKB и CLD — равносторон¬
ние треугольники, (KL)W(AD), IKH = I; б) ABCDA1B1C1D1, в кото¬
ром ABCD — квадрат со стороной 2, грани AA1B1B и CC1D1D —
равнобедренные трапеции, плоскости которых перпендикулярны
(АВС), причем I^iB1I = ICiD1I = I, грань A1BiC1D1 — прямоуголь¬
ник, плоскость которого параллельна (ABC) и удалена от (ДВС)
на 3; в) ABCDA1B1C1D1, в котором грань ABCD — квадрат со сто¬
роной 2, грань A1B1C1D1— квадрат со стороной 1, (/MJJ-(XBC),
(BB1)J-(XBC)1 (X1BiC1)II(XBC), |ХХх| = 1. Сколько получится тет¬
раэдров при триангуляции этих многогранников? Попробуйте вы¬
числить метрические характеристики этих многогранников, указан¬
ные в задаче 15 из § 28.
3. Поверхность многогранника можно склеить из плоской фигу¬
ры, называемой разверткой многогранника. Нарисуйте многоуголь¬
ники, которые можно получить в качестве развертки: а) куба; б) пря¬
моугольного параллелепипеда; в) правильной треугольной призмы;
г) правильного тетраэдра.
4. Всякий ли треугольник может быть разверткой тетраэдра?
5. Кусок картона имеет форму квадрата. Можно ли из него сде¬
лать пирамиду, у которой все боковые грани прямоугольные тре¬
угольники? (Говоря «пирамиду», мы подразумеваем ее поверхность.)
6. Кусок картона имеет форму равнобедренного треугольника.
Можно ли из него сделать пирамиду, у которой все грани равные
равнобедренные треугольники?
7. В четырехугольной пирамиде PABCD основанием является
равнобедренная трапеция, |ЛВ| = |СО|, |РВ| = |РС|, |ВС| = 1, |ХВ| =
=2, &ВС+АВС= 180° Во сколько раз площадь основания больше
площади грани PBC?
8. В тетраэдре PABC сумма плоских углов при каждой из вер¬
шин А, В, C равна 180° Площадь треугольника ABC равна 1. Вы¬
числите площади остальных граней<
9. Разверткой тетраэдра является остроугольный треугольник,
в котором проведены средние линии. Какими свойствами обладает
такой тетраэдр?
10. На ребре тетраэдра с вершиной P взята точка X. Каков крат¬
198
чайший путь из X в X по поверхности тетраэдра через все ребра при
вершине Р?
И. Прямоугольный параллелепипед имеет размеры 1, 2, 3.
Вычислите кратчайший путь из центра наименьшей грани до се¬
редины ребра, равного 1, в противоположной грани.
12. ABCDAiB1CtDi — прямоугольный параллелепипед, в кото¬
ром |ЛО|=30, |ЛВ|=|ЛЛ11 = 12, точки К и L лежат на средних
линиях противоположных граней, причем расстояние от К до (ЛВС)
равно расстоянию от L до (Л1В1С1) и равно 1. Вычислите кратчайший
путь из К b L по поверхности параллелепипеда.
13. Ребро правильной треугольной призмы равно 1. Вычислите
кратчайший путь по поверхности из середины ребра верхнего осно¬
вания в противоположную вершину нижнего основания.
/ * § 33. ВЫПУКЛЫЕ МНОГОГРАННИКИ
33.1. Основное свойство выпуклых многогранников
Выпуклые многогранники обладают многими замечательными
свойствами. Здесь мы приведем некоторые касающиеся их общие
теоремы. Прежде всего мы докажем равносильность двух подходов
к понятию выпуклости, о которой применительно к общим телам
речь шла в п. 27.3. Эта равносильность вытекает из следующих двух
теорем.
Теорема 33.1. Выпуклый многогранник лежат по
одну сторону от плоскости каждой своей грани, т. е. каж¬
дая такая плоскость является опорной для выпуклого
многогранника.
Доказательство. Допустим, что выпуклый многогран¬
ник P не лежит-по одну сторону от плоскости а некоторой своей
грани Q. Тогда в P имеются точки Л и В, лежащие по разные сторо¬
ны от а (рис. 33.1). Тогда, соединяя Л и В со всеми точками грани Qt
мы получили бы многогранник Wt состоящий из двух пирамид с об-
щим основанием Q. Внутренние точки грани Q лежат внутри W.
Поскольку Wcz Р, то эти точки лежат внутри P', что невозможно,
так как грань Q лежит на границе P. Полученное противоречие до¬
казывает теорему. В
Теорема 33.1 наглядно может быть истолкована так: выпуклый
многогранник можно приложить к плоской поверхности (например,
к столу) каждой его гранью.
Прежде чем доказать теорему, обратную теореме 33.1, докажем
следующую лемму.
Лемма 33.1 (лемма об отделимости). Пусть многогран¬
ник лежит по одну сторону от плоскости каждой
своей грани. Тогда если точка А не принадлежит это¬
му многограннику, то у него найдется такая грань,
что А и все внутренние точки данного многогранника
лежат по разные стороны от плоскости этой грани.
199
4
Рис. 33.1
Рис. 33.2
т. е. такая плоскость отделяет А от данного много¬
гранника.
Доказательство. Пусть многогранник P лежит по одну
сторону от плоскости каждой своей грани и точка А не принадлежитР.
Отрезок, соединяющий точку А с любой точкой В, лежащей вну¬
три P1 пересекает поверхность многогранника P и тем самым имеет
общую точку хотя бы с одной гранью Q (рис. 33.2). Можно считать^
что отрезок AB пересекает Q во внутренней точке, так как этого
всегда можно добиться, чуть-чуть сместив точку В. Плоскость а
грани Q и отделяет А от Р, так как А и P лежат по разные стороны
от а. Ц
Теорема 33.2. Если многогранник лежит по одну
сторону от плоскости каждой своей грани, то он вы¬
пуклый.
2С0
Доказательство. Пусть многогранник P лежит по одну
сторону от плоскости каждой своей грани. Допустим, что он не¬
выпуклый. Тогда в P найдутся такие точки А и Bt что на отрезке AB
есть точка Ct не принадлежащая P (рис. 36.3). Эта точка C по лемма
об отделимости должна была бы отделяться от P плоскостью, кото¬
рая пересекала бы как отрезок ACt так и отрезок CBt что невозмож¬
но, так как плоскость может пересекать прямую лишь в одной точке.
Итак, P — выпуклый многогранник. Ц
Теперь легко может быть доказана следующая теорема.
Теорема 33.3. Выпуклый многогранник есть пересе¬
чение содержащих его 'полу пространств, ограниченных
плоскостями его граней.
Доказательство. Во-перв]ых, выпуклый многогранник,
согласно теореме 33.1, лежит по одну сторону от плоскости каждой
его грани, т. е. лежит всегда в одном из полупространств, определя¬
емых этой плоскостью. Поэтому он содержится в общей части всех
этих полупространств.
Во-вторых, по лемме об отделимости всякая точка вне много¬
гранника отделяется от него плоскостью какой-либо грани, т. е.
не попадает хотя бы в одно из рассматриваемых полупространств.
Поэтому общая часть этих полупространств содержит многогран¬
ник, но не содержит никаких лишних точек, т. е. совпадает с много¬
гранником. |
33.2. О выпуклых многоугольниках
Ясно, что предложения, аналогичные предложениям 33.1—33.3,
верны и для многоугольников. Не повторяя их доказательств, сфор¬
мулируем два из них.
Теорема 33.4. Многоугольник выпуклый тогда а
только тогда, когда он лежит по одну сторону от
каждой прямой, содержащей' сторону этого много¬
угольника. *
Теорема 33.5. Выпуклый ^многоугольник есть пересе¬
чение содержащих его полуплоскостей, ограниченных
прямыми, на которых лежат стороны многоугольника.
33.3. Грани и сечения выпуклого многогранника
Теорема 33.6. Каждая грань выпуклого многогран¬
ника является выпуклым многоугольником.
Доказательство. Пусть Q — грань выпуклого много¬
гранника Pt а а — плоскость грани Q. По теореме 33.1 она — опор¬
ная для многогранника Р. Поэтому пересечение содержится
в границе многогранника P и, значит, состоит из многоугольников.
Вместе с тем это пересечение P П а выпукло (по теореме 23.1). Следо¬
вательно, оно представляет собою один выпуклый многоугольник.
Он содержит грань Q, а значит, совпадает с ней (так как грань по
201
определению — это много¬
угольник на границе много¬
гранника, который уже не
содержится ни в каком дру¬
гом).
Таким образом грань Q
есть выпуклый многоуголь¬
ник. |
Теорема 33.7. Плос¬
кость, проходящая че¬
рез внутреннюю точку
выпуклого многогранни¬
ка, пересекает его по
выпуклому многоу голь-
нику.
Доказательство. Пусть X — внутренняя точка выпук¬
лого многогранника P и плоскость а содержит X. Тогда множество
U = P П а выпукло (рис. 33.4) и содержит внутренние точки (X —
внутренняя точка множества U в плоскости а). Кроме того, граница
множества U есть пересечение плоскости а с границей многогран¬
ника P и потому состоит из конечного числа отрезков. Поэтому
U — выпуклый многоугольник. Ц
В дополнение можно сказать: если плоскость не проходит через
внутренние точки, а опорная к выпуклому многограннику, то ее
пересечение с ним есть либо грань, либо ребро, либо вершина.
ЗАДАЧИ К J 33
1. а) Является ли выпуклым многогранником пересечение двух
выпуклых многогранников? б) А их объединение?
2. Пусть в выпуклом многограннике 6 ребер, 8 ребер. Нарисуй¬
те возможные многогранники. Попробуйте нарисовать выпуклый
многогранник, у которого 7 ребер.
3» Постройте выпуклый многогранник, у которого число ребер
любое число, большее, чем 7.
4. Нарисуйте выпуклый многогранник, у которого: а) вершин
столько же, сколько граней; б) вершин в два раз больше, чем гра¬
ней; в) вершин в два раз больше, чем ребер; г) граней столько же,
сколько ребер; д) вершин столько же, сколько ребер; е) треуголь¬
ных граней столько же, сколько четырехугольных, и никаких
других нет.
5. Установите связь между числом ребер и числом плоских уг¬
лов выпуклого многогранника. Может ли выпуклый многогранник
иметь нечетное число плоских углов?
6. В выпуклом многограннике известно число граней, причем
каждая грань имеет одно и то же известное число сторон. Можно ли
узнать по этим данным, сколько у него плоских углов? Сколько у
него ребер?
< 202
7. Существует ли выпуклый многогранник, у которого 13 гра¬
ней, а в каждой из них по 13 сторон? Попробуйте обобщить задачу.
8. В выпуклом многограннике известно число вершин, причем
к каждой из них подходит одно и то же известное число ребер. Мож¬
но ли узнать, сколько у него плоских углов? Сколько у него ребер?
Сколько у него граней?
9. Существует ли выпуклый многогранник, у которого: а) число
граней с нечетным числом сторон нечетно; б) число вершин, к кото¬
рым подходит нечетное число ребер, нечетно?
10. Существует ли выпуклый многогранник, у которого одна
грань—десятиугольник, вторая—девятиугольник, третья — восьми¬
угольник и так далее до последней по счету грани, которая является
треугольником?
11. Докажите, что у любого выпуклого многогранника найдутся
две грани с одинаковым числом сторон.
12. Докажите, что если выпуклый многогранник вписан в шар,
то каждая его грань вписана в окружность. ,Верно ли обратное
утверждение?
13. Нарисуйте выпуклый многогранник, который нельзя впи¬
сать в шар.
14. Нарисуйте выпуклый многогранник, в который нельзя впи¬
сать шар.
15. В выпуклом многограннике известно число вершин, граней
и ребер. Можете ли вы найти сумму всех плоских углов при его
вершинах?
16. Каждая грань выпуклого многогранника — параллело¬
грамм. Докажите, что число его граней четно.
17. Докажите, что каждая плоскость, проходящая через внут¬
реннюю точку выпуклого многогранника, разбивает его на два мно¬
гогранника.
18. Докажите, что если вершины одного выпуклого многогран¬
ника содержатся в другом выпуклом многограннике, то первый мно¬
гогранник содержатся во втором.
19. Докажите, что диаметром выпуклого многогранника являет¬
ся длина его ребра или диагонали.
20. Докажите, что в любом выпуклом многограннике сумма
длин всех ребер больше утроенного диаметра.'
21. Докажите, что для каждого невыпуклого многогранника
можно найти выпуклый с тем же диаметром.
22. Следующие многогранники попробуйте разбить на выпуклые
многогранники меньшего диаметра, чем данный. Постарайтесь при
этом сделать так, чтобы число получившихся многогранников было
как можно меньше. А даны такие многогранники: а) правильный
тетраэдр; б) куб; в) правильная треугольная призма; г) правильная
четырехугольная пирамида; д) параллелепипед; е) объединение двух
правильных тетраэдров с общей гранью; ж) объединение двух пра¬
вильных четырехугольных пирамид с общей гранью.
203
# $ 34. ТЕОРЕМА ЭЙЛЕРА
Рассмотрим любой выпуклый многогранник. Пусть в — число
его вершин, k — число его ребер, а f — число его граней. Эйлером 1
была доказана удивительная теорема:
Теорема Эйлера. Для любого выпуклого многогран¬
ника
2.
(34.1)
Проверьте это равенство на примерах и-угольной пирамиды,
п-угольной призмы или и-угольной усеченной пирамиды.
В этих примерах выпуклость многогранников не предполагается.
И действительно, теорема Эйлера справедлива не только для вы¬
пуклых многогранников, но и для любых таких многогранников,
которые могут быть получены из выпуклых с помощью непрерывной
деформации «без разрывов и склеиваний» (мы не даем точных опре¬
делений таким деформациям, но интуитивно ясно, о каких дефор¬
мациях идет речь). ,
Будем рассматривать поверхность выпуклого многогранника и
считать, что она изготовлена из пластичного материала. При де¬
формациях «без разрывов и склеиваний» этой поверхности вершины
исходного многогранника будут отмеченными точками на этой по¬
верхности (мы их и далее называем вершинами), а ребра станут
некоторыми дугами кривых (которые и далее называем ребрами),
которые соединяют вершины. Таким образом сеть ребер и вершин
многогранника перейдет в некоторую сеть кривых ребер и вершин
на деформируемой поверхности, которая будет разбита этой сетью
на «грани». Хорошее представление о такой сети дает, например,
покрышка футбольного мяча (рис. 34.1).
Теперь удалим одну из «граней» нашей поверхности, а оставшу¬
юся ее часть «растянем» на плоскость (рис. 34.2). Удаляя грань,
мы сохраняем ребра, принадлежащие другим граням. Получен¬
ную фигуру можно считать многоугольником и деформированную
сеть вершин и ребер также считать состоящей из точек и отрезков.
Итак, мы можем теперь рассматривать простой плоский много¬
угольник Q, разбитый некоторой сетью на более мелкие простые
плоские многоугольники (рис. 34.3). Число вершин в этой сети равно
числу вершин е многогранника Pt число ребер сети в Q также равно
числу ребер k многогранника P и лишь число f' многоугольников,
на которые разбит Qt на единицу меньше числа граней f многогран¬
ника Pt т. е. /'=/—1.
Если мы докажем, что
е~Ш' = 1,
(34.2)
1 Эйлер Леонард (1707—1783) — великий математик, физик и астроном;
швейцарец по рождению, он был членом Петербургской Академии наук и работал
в России в 1727—1741 и 1766—1783 гг
204
то, поскольку /'=/—1, мы докажем и ра¬
венство Эйлера
«—Zs-H/=2.
Среди простых многоугольников, на ко¬
торые разбит многоугольник Q, всегда най¬
дется такой многоугольник Ti, что, удалив
Ti из Q, мы снова получим один простой
многоугольник Q1 (рис. 34.4).
(Попробуйте точно обосновать суще¬
ствование такого многоугольника Tb)
Вообще говоря, не каждый из многоуголь¬
ников разбиения, выходящих за границу
многоугольника Q, обладает таким свой¬
ством. Например, им не обладает много¬
угольник Ti (на рис. 34.3). Удалив много¬
угольник T1 из, Q, мы удалим все его вну¬
тренние точки и только те его вершины и
ребра, которые не являются вершинами и
ребрами других многоугольников, входя¬
щих в разбиение Q. Поэтому если мы уда¬
лим часть границы многоугольника Q, ко¬
торая является ломаной, состоящей из т
ребер, то мы при этом удалили т—1 вер-
Рис. 34.2
шину. Итак, для разбиения многоуголь¬
ника Qi число его вершин в1=е—(т—1), число его ребер Iii==Ii—т,
а число многоугольников — /(=/'—1.
Следовательно,
ei- Л1+А=(е—/п+1)—(к—1)=е—k+^.
Таким образом, число е—/г+/ не изменяется при описанном удале¬
нии многоугольника разбиения. Продолжив такие операции п=/'—1
раз; мы придем к одному простому многоугольнику, для которого
число его вершин «„ равно числу его ребер Лп, а Й=1. Поскольку,
Рис. 3» .з
Рис. 34.4
MS
Рис. 34.5
очевидно, еп—А?п+/;=1, а е—k+{'=еп—
—+/л» то равенство (34.2), а тем самым
и (34.1), ^справедливо. ||
Замечание. Одним из главных мо¬
ментов проведенного доказательства.явля¬
ется возможность «распрямить и поло¬
жить на плоскость» поверхность много¬
гранника, после того как у него удалена
одна грань, которая является простым
многоугольником. Этого нельзя сделать,
например, для многогранников, изображен¬
ных на рисунке 34.5. Для них уже е—k+
+/=/=2.
Но для многогранников любого строения
и вообще для тел выполняется обобщенная
теорема Эйлера. Для всех сетей, какие мо¬
гут быть «нарисованы» на поверхности дан¬
ного тела или любого получаемого из него де¬
формацией без разрывов и склеиваний, чис¬
лом—А+/ одно и то же. Подразумевается, что «грани» (области) огра¬
ничиваются простыми замкнутыми ломаными (хотя бы и криволи¬
нейными).
ЗАДАЧИ К §34
1. Как изменяется число вершин, граней и ребер выпуклого мно¬
гогранника, если: а) к одной из его граней пристроить пирамиду,
основанием которой является эта грань? б) отсечь от него
такую пирамиду?
2. Внутри выпуклого многогранника взяли точку и разбили этот
многогранник на пирамиды, вершины которых находятся в этой
точке, а основанием которых являются грани данного многогранни¬
ка. Как изменится число вершин, граней и ребер, если из данного
многогранника удалить одну из таких пирамид? Изменится ли для
получившегося многогранника формула из теоремы Эйлера? Не воз¬
никает ли у вас идея еще одного доказательства теоремы Эйлера?
3. Докажите, что не существует выпуклого многогранника с
семью ребрами.
4. Гранями выпуклого многогранника являются только тре¬
угольники. Сколько у него вершин и граней, если у него: а) 12 ребер;
б) 15 ребер? Нарисуйте такие многогранники.
5. Из каждой вершины выпуклого многогранника исходит три
ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если у него: а) 12 ребер;
б) 15 ребер? Нарисуйте такие многогранники.
6. Выпуклый многогранник имеет своими гранями только четы¬
рехугольники. Сколько он имеет вершин и граней, если у него:
а) 12 ребер; б) 15 ребер? Нарисуйте такие многогранники.
7. Из каждой вершины выпуклого многогранника выходит че-
206
таре ребра. Сколько он имеет вершин и граней, если у него: а) 12 ре¬
бер; б) 20 ребер? Нарисуйте такие многогранники.
8. У выпуклого многогранника только треугольные, четырех¬
угольные и пятиугольные грани. Известно число каждых. Можно ли
вычислить число его ребер?
9. Докажите, что выпуклый многогранник имеет или треуголь¬
ную грань, или вершину, из которой выходит три ребра.
10. Существует ли выпуклый многогранник, у которого в каж¬
дой грани больше пяти сторон?
11. Для выпуклого многогранника постарайтесь оценить сверху
k
и снизу отношение J.
12. В выпуклом 300-граннике все грани пятиугольники, шести¬
угольники или семиугольники. В каждой вершине сходятся ровно
три грани. Пятиугольных граней сто. Можете ли вы вычислить,
сколько у него шестиугольных и семиугольных граней?
13. Докажите, что во всяком выпуклом многограннике выпол¬
няются такие неравенства:
1) 6/— 12>2*>3/>Л+6.
2) бе— 12>2/г>Зе>6+6.
§ 35. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ
Определение. Многогранник называется правильным,
если, во-первых, он выпуклый, во-вторых, все его грани — равные
друг другу правильные многоугольники и, в-третьих, в каждой его
вершине сходится одинаковое число граней.
Существует всего лишь пять типов правильных многогранников.
Вам хорошо известны два ,из них:
1) правильный тетраэдр, т. е. треугольная пирамида, все грани
которой правильные треугольники (рис. 35.1);
2) куб, т. е. параллелепипед, все грани которого квадраты
(рис. 35.2). (Проверьте, что они удовлетворяют всем условиям в
определении правильного многогранника.)
Перечислим остальные:
3) многогранник, у которого восемь правильных треугольных
граней и в каждой вершине которого сходятся по четыре грани; он
называется правильным октаэдром- (рис. 35.3, «октаэдр» — восьми-
Рис. 35.2
Рис. 35.3
207
Рис. 35
Рис. 35.5 Рис. 35^6
гранник). Его можно построить, сложив основаниями две пирамиды^,
в основании которых одинаковые квадраты, а боковые грани —
правильные треугольники. Ребра октаэдра можно получить, соеди¬
няя центры соседних граней куба (рис. 35.4).
Если же соединить центры соседних граней правильного окта¬
эдра, то мы получим ребра куба (рис. 35.5). Говорят, что куб и ок¬
таэдр двойственны друг другу;
4) многогранник, у которого двадцать правильных треугольных
граней и в каждой вершице которого сходятся по пять граней, на¬
зывается правильным икосаэдром (рис. 35.6, «икосаэдр» — двадца¬
тигранник);
5) правильным додекаэдром называется многогранник, у кото¬
рого двенадцать правильных пятиугольных граней, сходящихся
по три в вершине (рис. 35.7, «додекаэдр» — двенадцатигранник).
Правильные додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу
в том смысле, что, соединив отрезками центры соседних граней
икосаэдра, мы получим ребра додекаэдра (рис. 35.8), и наоборот
(рис. 35.9).
Правильный тетраэдр двойствен сам себе (рис. 35.10).
Все типы правильных многогранников были известны уже древ¬
негреческим геометрам.
Рис. 35.8
208
Рис. 35.9 Рис. 35.10
Доказать существование всех пяти типов правильных много¬
гранников можно, решая соответствующие задачи на построение
(простые для тетраэдра, куба и октаэдра и-более сложные для ико¬
саэдра и додекаэдра). Икосаэдр составляется из двух правильных
пятигранных пирамид, прилегающих основаниями к «закрученной
призме» с пятиугольными основаниями и с 10 боковыми треуголь¬
ными гранями. Когда икосаэдр построен, додекаэдр легко строится
(из двойственности).
Каждый из вас может склеить модели правильных многогран¬
ников.
Можно, доказать что, кроме перечисленных пяти типов правиль¬
ных многогранников, других быть не может.
$ Применяя теорему Эйлера, мы установим даже более сильный
результат. Назовем сеть (хотя бы криволинейных) ребер правиль¬
ной, если: в каждой вершине сходится одно и то же число ребер и
все «грани» имеют одинаковое число ребер.
Теорема 35.1 (о правильных сетях). Существует пять
и только пять правильных сетей, для которых выпол¬
няется правило Эйлера:
е—k+f=2.
Это сети такого строения, как сети ребер правиль¬
ных многогранников.
Доказательство. Правильную сеть, в которой из каж¬
дой вершины исходит т ребер и каждая грань имеет п ребер, будем
называть сетью типа (т, п). Очевидно, тип — натуральные числа,
причем
/п>3, п>3. (35.1)
'Возьмем правильный многогранник с сетью ребер типа (/и, и).
Через е обозначим число его вершин, через k — число его ребер и
через / —число его граней. Тогда по теореме Эйлера
е_*+/=2. (35.2)
209
Каждая грань многогранника имеет п ребер, всего / граней и каждое
ребро принадлежит двум граням. Поэтому
nf^k. (35.3)
Аналогично из каждой вершины многогранника исходит т ре¬
бер, всего вершин е и каждое ребро соединяет две вершины. Поэ¬
тому
те—2к. (35.4)
Выражая / и е из (35.3) и (35.4) и подставляя их в (35.2), полу¬
чаем:
-F-^ + ? = 1 2 3 4 *- (35.5)
Поэтому
^-+7“4+т>1- <35-6>
Учитывая, что и п^З, находим, что неравенству (35.6)
удовлетворяют лишь следующие пять пар (ти, и) натуральных чисел
т и п: 1) (3, 3); 2) (3, 4); 3) (3, 5); 4) (4, 3); 5) (5, 3). Они соответству-
ют пяти типам правильных многогранников.
Окончательные результаты, в которых даны также числа вер¬
шин, ребер и граней правильных многогранников, найденные из
равенств (35.5), (35.4) и (35.3), приведены в таблице:
Тип много¬
гранника
Число ребер
при вершине
Число
сторон грани
Число граней
Число ребер
Число вершин
Тетраэдр
3
3
4
6'
4
Куб
(гексаэдр)
3
4
6
12
8
Октаэдр
4
3
8
12
6
Додекаэдр
3
5
12
30
20
Икосаэдр
5
3
20
30
12
ЗАДАЧИ К §35
1. Докажите, что в кубе содержится правильный тетраэдр, вер¬
шины которого находятся в вершинах куба.
2. Постройте наибольший правильный октаэдр, содержащийся
в кубе.
3. Два правильных тетраэдра имеют общую грань. Является ли
образовавшийся многогранник правильным?
4. а) Существует ли внутри правильного тетраэдра точка, из ко¬
торой каждое ребро основания видно под прямым углом? б) А такая,
из которой каждое ребро видно под прямым углом?
210
5. Дан правильный тетраэдр PABC. Нарисуйте: а) проекцию
на основание произвольной точки бокового ребра; б) проекцию
на основание произвольной точки боковой грани; в)-проекцию на
(АРК), где К — середина ребра ВС, произвольной точки ребра;
г) проекцию на (APK) произвольной точки грани.
6. Ребро правильного тетраэдра равно 1. Вычислите-расстояния:
а) от вершины до ребра; б) от вершины до грани; в) между двумя реб¬
рами; г) от центра основания до ребра; д) от центра основания до
апофемы; е) от центра, основания до грани.
7. Дан правильный тетраэдр РА'ВС. Нарисуйте на его поверх¬
ности точки, равноудаленные от: а) P и А; б) P, А и С; в) P и (ВС);
г) Л и (PBC); д) (АС) и (PB)-, е) (РАС) и (ЛВС); ж) (РАС), (PBC),
(РАВ).
8. Дан правильный тетраэдр PABC. Нарисуйте точки на его
•поверхности, равноудаленные о,т: а) (APC) и (BPC)-, б) (ABC) и
(BKiKt); в) (APO) и (CBO), где О — центр основания, Ki — середи¬
на ребра PC Kt — середина ребра РА; г) (BKiA) и (CKiB);
ц) (BKtKt) и (PCKi), где Kt — середина ребра АС, В — середина
отрезка AKi.
9. Является ли правильным тетраэдром правильная треуголь¬
ная пирамида, у которой: а) равны периметры всех граней; б) равны
площади всех граней; в) равны все высоты; г) все высоты пересе¬
каются в одной точке; д) совпадают центры вписанного и описан¬
ного шаров?
10. Постройте куб с заданной длиной диагонали.
11. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте проекцию на (AB1D^
всех вершин куба. Какой многоугольник определяет эти проекции?
Нарисуйте проекции на (BBiDi) таких точек: а) Ki на ребре A1B1;
б) Ki на ребре AA1; в) Ki на отрезке A1C; г) Kt внутри грани
AA1D1D; д) Kt на отрезке C1D.
12. В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 взята точка К — середина
ребра AD. Вычислите расстояние от К до: а) (A1B); б) (Д1В1);
в) (BiC); г) отрезка DC1; л) (B1D1); е) (Л1С); ж) (AC1); з) (BCA1);
и) (AB1D1); к) (BA1C1); л) (CDA1); м) (B1AC).
13; Дана модель куба с ребром 3. Нарисуйте на его поверхности
точки, удаленные от центра куба на расстояние, равное 2, большее 2,
меньшее 2.
14. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 1. Вычислите расстояния:
а) от центра куба О до ребра, до грани; б) между параллельными реб¬
рами противоположных граней; в) от ребра до параллельной грани;
г) между параллельными гранями; д) между скрещивающимися реб¬
рами; е) между скрещивающимися диагоналями граней.
15. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Нарисуйте точки на' его поверх¬
ности, равноудаленные от: а) А и D; б) В и D; в) Ci и Di; г) Л, В и
С; д) А, Ль Bi, В; е) Db Л, В; ж) Л, В, CltD; з)от пяти его вершин;
и) (AD) и (ВС); к) (AD) и (B1C1); л) (AD) и (CD); м) (AD) и (BiD1);
н) (AD) и (CDi); о) (ЛВД1)и (DCCi); п) (AB1D) и (ABD); р) (ЛДЛ)
и (BB1D); с) (DA1B1) и (DCiBi); т) (A1BD) и (CDiBi).
211
16. В кубе ABCDAiBtClDi с ребром 2 через К — середину реб¬
ра CjDi проведена прямая, пересекающая (ЯЛ0 в точке L и (BC) в
точке М. Вычислите |^Л4|.
17. На двух диагоналях смежных граней куба, лежащих на скре¬
щивающихся прямых, найдите такие две точки К и L, что: а) (KL)
параллельна грани куба; б) (KL) параллельна диагонали куба.
18. Является ли прямоугольный параллелепипед кубом, если у
него: а) равны диагонали граней, выходящие из одной вершины;'
б) равны все диагонали; в) диагональ составляет равные углы с реб¬
рами, выходящими из той же вершины; г) диагональ составляет рав¬
ные углы с диагоналями граней, выходящими из той же. вершины;
д) равны углы между диагоналями граней, выходящими из одной
вершины; е) равны площади всех диагональных сечений?
. 49. Можно ли в сечении куба получить: а) равносторонний тре¬
угольник; б) прямоугольный треугольник; в) тупоугольный тре¬
угольник; г) параллелограмм (в общем случае); д) трапецию; е) пя¬
тиугольник; ж) правильный пятиугольник; з) шестиугольник?
20. Какие могут получиться сечения в правильном октаэдре?
21. PABCDQ. — правильный октаэдр с ребром 1. Вычислите
расстояния: а) от А до (PDC); б) от (AP) до (CQ); в) от (PD) до (AQ);
г) от ^DQ) до (BCP).
22. PABCDQ — правильный октаЗдр. Нарисуйте точки на его
поверхности, равноудаленные от: а) А и С; б) Л и В; в) P, C и D;
г) D и (PQ); д) (PB) и (DQ); е) Л и (PCD); ж) (AB) и (CDQ); з) (ADP)
и (BQC); и) (ADP) и (AQD); к) (APB) и (AQP).
(В задачах 21 и 22 ABCD — квадрат.)
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ
е§ 1. 6. а) Нет; б) нет,. 10. Могут быть: точка, отрезок, квадрат, два отрезка.
11. *а) Точка, отрезок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник; б) от¬
резок, треугольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник; в) тре¬
угольник, четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник. 12. а) Точка,
отрезок, треугольник; б) отрезок, треугольник, четырехугольник; в) треуголь¬
ник, четырехугольник. 15. а) Луч. или прямая; б) плоскость или полуплоскость;
в) точка, отрезок, треугольник, четырехугольник; г) точка, сегмент, круг.
20. а) Бесконечное множество; б) существует, например, точка; в) нет; г) нет;
д) да, например фигура, имеющая изолированную точку.
§ 2. 1. а) Нет; б) нет; в) да. 2. а) и б) Ни одной, одну или бесконечное
множество; в) ни одной, одну, две или бесконечное множество; г) ни одной,
одну, две и т. д. до п или бесконечное множество. 6. а) Одну или три; б) одну,
четыре или шесть. 9. Да. 10. Да. 11. Да, если эти точки не лежат на одной
прямой. 12. Может совпадать, а может не совпадать. 13. Через точку К. на
луче ADt такую, что | DK | = | AD |. 15. Могут лежать, а могут не лежать.
17. 0, 1,2, бесконечное множество. 21. а) Не лежат; б) никакая.
§ 3. 1. а) и б) Да, одну; в) не всегда, если можно, то одну. 2. а) Отрезок,
треугольник, четырехугольник; б) отрезок, четырехугольник. 3. Треугольник,
четырехугольник. 4. 3, 4, 5, 6-угольники. 5. В общем случае зависит от чет¬
ности или нечетности л. 6. Нет.[Йз всего пространства надо исключить плоскость,
определенную точкой А и прямой а. 7/Верно только в том случае, когда с
не проходит через точку пересечения прямых а и Ь. 8. Возможны все случаи
расположения прямых. 9. а) и б) Не параллельна. 10. а) Не параллельна;
б) и в) возможны BGe случаи расположения прямых. И. а) Не параллельна;
б) и в) возможны все случаи расположения прямых. 13. Три пары. 14. Скре¬
щиваются. 15. Не всегда. 16. Одна точка самопересечения. 17. а) Нет; б) нет.
18. а), б), в), г) Скрещиваются; д) пересекаются; е) скрещиваются, если 0 # В;
ж) скрещиваются, еслиО # Р; з) не скрещиваются. 19. а), б), в) Непараллельны.
21. а), б), в), г), д) Скрещиваются; е) пересекаются. 22. а) Вообще говоря,
скрещиваются, но возможна и параллельность; б) вообще говоря, скрещива¬
ются, но возможно и пересекаются; в) не параллельны. 24. Скрещиваются.
25. За один.
’ § 4. I1 Проверить выполнение неравенства треугольника. 2. а) Нет; б) и
в) да. В случае б) на одной прямой и в одной плоскости. 3. а) Середина
отрезка АВ; б) окружность; в) пустое множество, точка или окружность;
г) точка. 4. а) и б) Пустое множество. 5. Правильный треугольник. 8. а)
ляются диагоналями граней, имеющих общую вершину. 11; Ребра тетраэдра
являются диагоналями граней куба. 12. Можно, если d=-^-. 13. От У2 до
Кб. 14. а) 1 и б) 1 и в) и 1. 15. а) 1; б) 2; в) 3;
213
г) /S5TT; д) V3; е) /П.
§ 7. 1. Три. 2. а) и б) 16. 6. Может быть как перпендикулярной, так и
VF / 5 VF VF
не перпендикулярной. 8. . 9. у 1—— d2. 14. а) ; 6)-^—,
18. Круг или два круга. 21. Не всегда.
§ 8. 1. Пересекает плоскость; или лежит на ней. 2. Прямая лежит в плос
кости. 3. I YA I > I YB I. 4. 2,4; ; о. 6. а) Xy- ; б) ; в) X^.
7. а) ■ 1+/3; б) 2С1ГГ+/з; в) X; 2+ /$ г) X; 2+/2;
д) 0; 1. 10. а), б) 1; 4; в) ХСХ ; 2+ /Г; г) ид) ; 2+ У~2. 15. К вер-
шинам C и C1. 18. BXC < ВДС, BXC уменьшается. 20. От всех вершин она
удалена на одно расстояние. 21. б) Нет; в) |ХД [х= | XC | = Vl 4-d2, IXDJ=
= V 2+^2; г) [ XD | = Vl +d2. 22. Пересекаются. 23. Пересекаются.
§ 9. 1. Возможны все случаи. 2. а) Три или четыре части; б) 4, 6, 7,
8 частей; в) 5, 8, 9, 12, 14, 15 чЛтей. 14. Не всегда. 17. 3,5. 18. Наименьшее
значение достигается в точке X, а наибольшее в точке L. 19. Наибольшую
площадь имеет сечение плоскостью PAQ. 20. Наибольшие значения имеет
диагональное сечение, наименьшее значение равно 0.
§ 10. 1. а) Прямая не пересекает плоскость; б) прямая не лежит в плос¬
кости; в) возможны все случаи расположения. 2. а) Пересекаются; б) ъ) воз¬
можны все случаи расположения. 3. Прямые не параллельны. 4. Прямая не
пересекает плоскость. 5. Параллельны. 7. Параллельны. 9. а) Параллельны;
б) параллельны; в) такой случай невозможен; г) такой случай невозможен.
11. а) Верно; б) верно; в) неверно. 14. Существуют. 16. а) Существует.
19. Плоскость или все пространство, кроме данной плоскости. 20. Плоскость.
27. Верно. 29. а) 1; 6) от Одо V^ Не пересекаются. 32. Параллельны.
§ 11. 2. а) и б) Окружность. 3. а) Ни одной или бесконечное множество;
6) любое число; в) не существует. 4. а) Бесконечное множество; б) ни одной,
одна или две. 5. а) Окружность; б) внутренность круга; в) внешняя часть
круга; г) ,окружность; д) внутренность круга; е) внешняя часть круга, ж) пу¬
стое множество. 6. Существует единственная прямая. 7. Не всегда. 8. а) 1;
б) |/4с05*-|—1. 9. COSЛвд=4cos^-1. 10. Cosx=-X. 11. аУз\
12. Cosx=X. 13. /б—2/3 ; /б+2/З’. 14. ^-X ; б) J2-у ;
в) VfP-I, COS?67’30' ’ T ' COS? 75° ’
1^33
16. а) —g—; б) Va; в) 1,5; г) условие противоречивое. 17. Указание.
Вычислите радиус окружности, описанной около основания. 18. Данных недо¬
статочно. 19. Указание. Вычислите радиус окружности, описанной около
основания. 20. X /47. 21. X /б-. 22. а) -уХ ; б) 2 ; в) /б". 24. Воз-
можны все случаи расположения. 25. Указание. Рассмотрите все случаи
расположения точки О относительно аир.
§ 12. 1. Стороны, перпендикулярные плоскости, есть при п = 4, 6. Диа¬
гонали, перпендикулярные плоскости, есть при п = 5, 6, 7. 2. Не пересекает
плоскость, 8. а) 1; б) XCL ; в) ; г) . 9. /(4-1)?+1, /TRdTTj?.
214
К2
—2—, а длина
!/rT
ОТ 2 ' до 2. 12. а) /Г; б) /Г; в) 2/2;
10. а) Могут; в) длина наибольшего изменяется от 2 до 2-[
наименьшего изменяется
13. Наибольшее значение 44-2^3 или
Наименьшее значение | </—2 I или
14. 2. 15. Равнобедренный, больший угол треуголь¬
ника может быть любым по виду. 17. 1. Если точки движутся в одну сторону,
то: а)_в начальный момент; 6} такого момента нет. 2. Если точки движутся
в разные стороны, то: а) такого момента нет; б) в начальный момент. 22. Пере¬
секаются. 24. Перпендикулярны. 25. Да. 26. Не пересекаются. 28. Периметр
Ql2 3 ф
3 H —; площадь — ctg -%■.
sinT
§ 13. 1. а) 12; б) 3. 2. 3. 8. -pl, -р-. 12. Не значит. 13. Три можно,
четыре нельзя. 14. а) 8; б) 12, 14; в) 12. 15. а) 0, 2; б) 1; 3. 16. 2/3 + /2;
/5". 17. L /б". 22. Два раза. Необязательно. 26. Параллельны.
§ 14. 1. Не следует. 4. Нет. 5. Нет. 10. а) Да; б) да. 11. а) Да; б) нет;
в) да; г) да. 12. Указание. Рассмотрите разные случаи расположения
точек А и В относительно плоскости а. 13. Указание. Рассмотрите раз¬
ные случаи расположения вершин треугольника относительно плоскости а.
14. а) 1,5; 2,5; 3; б) 2-^-. 15. Указание. Рассмотрите различные положе-
О
ния вершин параллелограмма относительно плоскости а. 16. а) 2; б) 2,5—
д) ™ 18. >9- а) P"!
’ Ydi+2 /3 Г 4 2 2
б) (I-X)J^L. 0,1 /б. 20. Периметр -^r+2= 4; площадь °- >•
> 2 J 2
21. В первом случае, если d < h; во втором случае, если а >
б) можно. 23. Не меньше трех. 24. Может. 25. а) и б) Да; в) нет. 26. а) и
18.
19.
б) Да. 28. а) -р-; б) -р-;
§ 15. 1. ^1+^2 или Hi-^2J 2- ^1 + ^2 или 1^227^11’ Пл2^_кость;
б) две плоскости. 5. У^З. 6. -у рЗ. 7. или | ”з”—
.8. /3 или 4 (/3-х). 9. Hx)=/3-Ipl х + Ipl х».
T3
ю. (I-Lx2) /7; 0; /7; если а||(PCD). -р-(4—х2); 0; /3. если
а I (АВР). рЗ—х2); 0; 2, если а U(APD), если а.\\(ВРС). -1(/3 —х)*; 0;
215
4, если а Il (ЛВС). 13. От 0 до 1+ КЗ. 15. Указание. Проведите пло¬
де • Jly- 18. Любые.
2/3+/5"; в) 0 или 4/3;
23. Цх) = У 1+х2; 1; /Т
/3-2х> „ <1(УЮ + <Р-х)
J- 5‘ /4Я2 + й2 Х
скость, перпендикулярную прямой а.
20. а) 2/3; б) 2/3 —/3 ИЛИ
г) /2Т—2/3. 21. /<Й+<Й.
24 I1A2-AiClTIfl+
2 }/ 6 ^1бу2 ' /3
х хг + &— . 27. или Id1-</2 |. 28. !. 29. а) 1; б) 1;
, /2 , /3 . /2
В) —; Г) “б-1 Д) “г”'
1/3"
обязательно. 37. а) 1 + ;
16.
30. а) Не обязательно; б) да. 31. а) и б) Не
б) 1 38. а) З/З—2; б) да.
§ 16. 11. Да. 12. а) Да; б) нет.
§ 17. 2. а) б) и в) Нет. 3. Да. 14. а) 0 и 1; б) 1 и 0; в) 1, от 0 до I;
г) от 0 до 1; 1; д) 1 и 1. 16. Точка или прямая. 17. Да, если проекцией не
является точка. 18. Да, если их проекцией не является точка. 19. Нет.
20. Могут и в случае перпендикулярности плоскостей. 21. Может. 22. Может.
23. б) и г) Нет; а) и в), д) — к) да. 24. в) Нет; а), б) и г) —и) да.
§ 18. 6. а) Точка равноудалена от сторон; б) к вершине большего угла;
в) к сторонам. 8. Пересекаются. 12. а) 12; б) 1» ; в) Jz/ 13. а) d;
б) Jz/d2—14. Расстояния от точки до вершин треугольника одинаковы.
42 /
х2-|—, У X2-Hd2, у л2 H—§-, где d-длина стороны квадрата.
,6- aIvr= б) K2+А ,7-а) ’’ туг б) * х' ггр3,
]/х2+! 18. а) х, /I2+!. / х2+3; б) х, /хр+3, /х2+?-
19. а) }А2 + !; б) . 20. Sd^d2 = ^dS- 21. Точка К. 22. При-
мой. 23. Точка или биссектриса угла AOB или вертикального к нему угла.
25. Kdf-Hdt а) Vr К 2. 27. У к а з а н и е. Результат зависит
от взаимного расположения прямых. 28. J/ х2—х + 1. 29. а) и б) .
31. а) KHIi2tX; б) 2+1. х; в) /1 +х2. 33. а) 2, если d = /1— /3;
1, если d=/^+/3; б) 1, если d = 2K^8• 34. Верно.
§ 19. 2. Сумма квадратов их длин равна 2. 5. Не всегда. 7. КU или
/2. 8. 2/3, /34. 9. Три. 10. а) 3; б) /3; в) /21; г) у. И. а) 2;
б) /3. 12. /"2 и /То.
§ 20. 5. а) На три или четыре части; б) от 4 до 8 частей. 6. а) 14;
216
б) 20; в) 26. 8; R —11. а) 1 или 3; б) У 5. 12.6) У 3. 19. а) Две, одну
или ни одной; б) ни одной, одну, две или бесконечное множество. 20. 0 или
d-R. 21. R1-I-R2 или IR2-K1I- 22. б) Нет. 27. Нет. 29. б) л/?.
§ 21. 7. УR^tP-R. bd, yd^Rd^. У1+(Р-1.Л0. У ! + R*-Ri
У4-\- R2-R. 11. а) На расстоянии, равном диаметру шара; б) на любом
положительном. 13. а) ; б) 2/^Г^; в) • 11
— (^14-Я2);^4-(/?х4-/?2). 15. а) Наибольший шар содержит наибольший уре¬
зок, наименьший шар содержит наименьший отрезок. -16. 2/? (1 -|- -у .
19. Могут, кроме случая б). 21. Окружностью. 22. 0, . 23. а) 2 Rd',
б)'<*>Чй
§ 22. 2. -L у 4Кг—1. 3. V R iiR-У4К2— 1); К/? (2К + /4К2—1).
4. Гипотенуза. 5.5^.. | ЯХ |-| BX |. в. Да. 7.0, 4.8. К 5, 2 К 5. 12. 2/К2-л2.
^R
13. —К3. . 14. 2К. 15. у R- 1в. R. 17. 2К|/у. 18. Ri < R1KX 19. а)
19. а)
и в) Да; б) нет. 20. а) /~2; б) 1; в) 6; г) /5-|-2со8 <р; д) У2+2УЗ; е) У~5 .
21. а) КЗ; б) yd^d^dl-,^) -L/77. 22. а) —д) Да. 23. а) Нельзя;
б) можно. 24. а) Нет; б) — г) да; д) — и) нет; к), л) да; м) нет.
§ 23. 2. Не всегда. 7. в) Нет. 8. Да. 9. а), б) Да. 10. а), б) Не всегда.
11. Нет. 12. Не больше одной. 13. Нет. 15. Нет.
§ 24. 1. Да. 2. Не всегда. 3. Не всегда. 6. а) Три или четыре; б) от четырех
до восьми. 7. а) 2/3, 2(14-2/3); б) 2 /4 —х2, 2 (1 4-2/4^72).9. а) Не
всегда; б) можно. 10. 2(Ях/1—х24-Я2/4—х2), если х^ 1,2/72/4—х2,
если 1<х<2. 12. а) H или V 4/?2—424-Я2; б) Я; в)Н, /4Я2-424-Я2.
17. Наименьшего нет, 14-/?. 19. /?(/~2—1). 20. Всегда. 21. а) Бесконечное
множество; б) три. 25. //?24-Я2 или J/^/?2 4“ • 26. Нет. 27. Высота
/*2 1 у—
цилиндра равна диаметру основания. 28. , -у. 29. 2— у 2.
§ 25. 1. Да. 2. Не всегда. 3. Не' всегда. 6. а) Три или четыре; б) от
не верны. 11. L •—-—г 12. Наименьшее значение—0. Если угол при вершине
осевого сечения острый или прямой, то наибольшую площадь имеет осевое
сечение. Если угол’ при вершине осевого сечения тупой, то наибольшую
площадь имеет сечение с перпендикулярными между собой образующими.
13. 8—2/13. 14. а) Да; б) нет; в) да; г) нет. 15. Нет. 17. л(1—х)2,
уI■ 20- КЗ и 2У 2. 22. а) 4 К 7; б) 4 К 3; В) 4 /55.23. Да.
.24. а) Бесконечное ' множество; б) бесконечное множество; в) три.
27. а) УLi-(R2-Rj)2; б) /L2-(R2-R1)2, УL2-HR2R1- 28. Наимень-
шего значения нет, наибольшее L. 31. а) Нет; б) да. 32. а) Да; б) не всегда.
33. Образующая равна диаметру основания. 34. а) -|- р/27 ; б) -у р/ 3,
217
♦ § 26. 3. а) и б) Нет; в) да. 4. а) и б) Нет; в) да. 5. а) Да; 6) может;
в)—д) да. 6. Не всегда. 7. Если в каждой части есть внутренние точки и
общие точки плоскости и тела включены в каждую часть. 8. Внешней.
9. а) Внешней; б) внутренней. 10. Пусть ф—плоский угол при вершине.
Для треугольной пирамиды сравните ctg2- и . 11. Граничная. 12. Внеш¬
няя. 14. Не всегда.
§ 27. 1. Не всегда. 2. а)—е) Не всегда. 3. а), б) Не всегда. 5. а)—в)
Да. 9. Бесконечное множество. 10. Две. 11. Да. 14. а), б) Нет. 15. а) D= 1^17,
<1=1, R=^-, г=^> б> О = 3’ ^=0,45/10, /- = 0,25/10;
в) 0 = 4/3, 4 = 2/3, Я = 4, г=/3; г) 0 = 2/15, 4 = 4, Я = 2,5, г = 2.
§ 29. 1. а) и б) Не всегда. 2. а) и б) Не всегда. 3. Является. 4. 4.
6. Параллелепипед. 7. 18 вершин, 28 ребер, 12 граней. 13. Если х < -i-, то
1 1/"з
1—х; если -у^х^!, то 2(1—х)2. 14. Если х^1, то -~—(2—х2), если
х > 1, то (2—х)2. 15. 9 вершин, 16 ребер, 9 граней. 16. 5 вершин,
о
9 ребер, 6 граней. 17. Указание. Рассмотрите различные положения
совмещенных граней между собой.
§ 30. 1. а) Вершин л+1, граней п+1, ребер 2п; б) вершин 2п, граней
п +2, ребер Зп; в) вершин п+2, граней 2п, ребер Зп. 4. а) Sjt = -^-St9
б) 5;г) не может.5.а) ’Я.б.а) AS = ^2 (24А+Л2);
п2
р
&Р=—<Р, в) нельзя. 8. Вершинами правильного
п
а> н~~2 . <п глеб5* б> flsTctgT*
Sin*
п
15. б)-^-
б)
11.
12.
многоугольника.
.. H , 180’
в) 27^ —’
1
17. а)
— J б) ctgl;
slnT
/1 4
Z-. 19. а)— и) Может; к) не
sinsT
ляется; д) и е) не всегда. 23. б) ||. 25. а)
ф d _ч eIdh
может. 20. а) —г) и ж) Я в-
]/л2+^;б) ]/
в) tg-+=—-■ ; г) —■ 27. Не может только в случаях м)
’ 2 усР+_4Н» ' У 4* + 4Л2 _ _
и н). 30. а) ; б) ; в) 1; г) ; д) |• е) ; ж) )/у ,
34. В точку пересечения высот треугольника АВС. 36. Основание—прямо¬
угольный треугольник с гипотенузой ABt а боковые грани — равнобедренные
/180°
3— Ctg2 —.
§ 31. 1. Вершин 2п, ребер Зп, граней п + 2, диагоналей п (п—3). 5. Не
меньше чем 2п. 7. а) Да, б) да. 9. а), б), в) Не всегда.
12. Прямоугольником. 15. Площадь других боковых граней равна 1.
19. 4 + 6 sin ф, 2^9 Sin2 ф_ 4. 20. Нет. 23. а) и б) Не всегда; в) и г) будет.
218
27. Да. 31. 2, 4, 6. 33. Прямой, наибольшая высота и площадь рЗвны 1.
всегда.
-н-. 39. 2, 2)^10. 40. а) Нет; б) да; в) не всегда; г) нет; д) нэ
* •
§32. 4. Да. 5. Да. 6. Да. 7. В три раза. 8. 1. 10. Указание. Рас-
533. 1. а) и б) Не всегда. 5. Число ребер в два раза меньше числа
плоских углов. 6. Можно. 7. Нет. 8. Можно. 9. а), б) Не существует.
10. Такого многогранника не существует.
§ 34. 4. а) Вершин 6, граней 8; б) вершин 7, граней 10. 5. а) Вершин 8,
граней 6; б) вершин 10, граней 7. 6. а) Вершин 8, граней 6; б) такого не
существует. 7. а) Вершин 6, граней 8; б) вершин 10, граней 12. 8. Можно.
10. Не существует. 11. От 1,5 до 2,5. 12. Шестиугольных граней 112, а семи¬
угольных граней 88.
м) 14. а) у ; б) 1 и V 2; в) 1; г) 1; д) 1; е) . 16. 3.
18. а) Да; б) не всегда; в)—е) да. 19. в) и ж) Нельзя; в остальных случаях
можно. 21. a) -Дг; б) 1; в) —; г) —^=-
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аксиома 10
— пересечения плоскостей 11
— плоскости 10
— разбиения пространства плоскостью
13
— расстояния 10
Апофема правильной пирамиды 184
Ближайшие точки фигур 82
Боковая грань пирамиды 180
— — призмы 188
Боковая поверхность конуса 148
вращения 148
пирамиды-180
призмы 188
цилиндра 143
вращения 143
л усеченного конуса вращения-151
усеченной пирамиды 182
Боковое ребро пирамиды 180
— — призмы 188
— — усеченной пирамиды 183
Большой круг шара 122
Большая окружность сферы* 122
Вершина конуса 148
— многогранника 177
— пирамиды 1$0
Внутренность фигуры 159
Внутренняя точка фигуры 161
шара 120
Выпуклая кривая 167
— поверхность 167
— фигура 138
Высота конуса 148
— пирамиды 180
— призмы 188
— усеченного конуса 150
— 'усеченной пирамиды 182
— цилиндра 143
Гипербола 154
Граница фигуры 161
Граничная точка фигуры 159
Грань многогранника 176
Двойственные правильные многогран¬
ники 208 <
Дескриптивное (описательное) опре¬
деление 196
Диаметр сферы 120
— фигуры 133
— шара 120
Диаметрально противоположные точ ■
ки сферы 133
Додекаэдр 208
Замкнутая область 162
Икосаэдр 208
Касательная плоскость к сфере 130
Конгруэнтность 27
Конические сечения 153
Конструктивное определение 197
Конус 148
— вращения 148
— прямой круговой 148
Куб 207
220
Многогранник 175 9
— выпуклый 199
— правильный 207
Многоугольник 176
— простой 176
Наклонная к плоскости 63
— к прямой 83
Направление проектирования 95
Образующая конуса 148
— цилиндра 142
Ограниченная фигура 133
Октаэдр 207
Опорная плоскость 127
— прямая 127
Ортогональная проекция точки на
плоскость 101
Ортогональное проектирование IOl
Основание конуса 148
— пирамиды 179
— призмы 188
— усеченного конуса 150
— усеченной пирамиды 182
— цилиндра 142
Основные понятия теории 9
Отрезок 12
Парабола 154
Параллелепипед 189
— прямой 189
— прямоугольный 189
Параллельные плоскости 51
— прямая и плоскость 56
— прямые 24
Параллельная проекция точки на плос¬
кость 94
фигуры на плоскость 95
Параллельное проектирование 95
Пересекающиеся плоскости 12
— прямая и плоскость 17
— прямые 16
Перпендикуляр, восставленный к
плоскости 46
—, опущенный на плоскость 61
прямую 82
Перпендикулярное сечение призмы 190
Перпендикулярность плоскостей 73
— прямой (отрезка, луча) и плоскос¬
ти 39
Пирамида 179
— п-угольная 180
— правильная 180
Плоскость 9
— перпендикуляров к прямой 42
— проекций 95
Поверхность 160
— конуса вращения (полная) 149
— усеченного конуса вращения (пол¬
ная) 151
— цилиндра вращения (полная) 144
— шара 120
Подобие 27
Построения в пространстве (вообра¬
жаемые) 32
Призма 188
—- наклонная 189
— л-угольная 188
— правильная 189
— прямая 189
Проектирование на прямую 101
Проектирующие прямые 95
Проекция точки на прямую 101
Пространство 13
Прямая 15
Равенство фигур 27
Радиус шара (сферы) 120
Расстояние между точками 29
фигурами Il
— точки до фигуры 82
Ребро многогранника 177
Сечение фигуры плоскостью 122
Система* аксиом 37
Скрещивающиеся прямые 22
Сфера 120
Тело 160
Теорема 435
— о ближайших точках 106
— о трех перпендикулярах 107
221
— Пифагора Hl
— Эйлера 204
Тетраэдр 181
— правильный 207
Три измерения пространства 113
Триангуляция многогранника 195
— многоугольника 193
Усеченная пирамида 182
правильная 183
Усеченный конус 150
вращения 151
Утверждение единственности 31
— существования 31
Фигура 9
Центр шара (сферы) 120
Цилиндр 142
— вращения 143-
— прямой 143
круговой 143
Шар 120
Эллипс 154
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Про геометрию . . , , —
Глава I. Основания стереометрии
§ 1. Аксиомы стереометрии 9
§ 2. Первые следствия из аксиом 15
§ 3. О расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве ... 20
§ 4. Расстояние. Конгруэнтность. Подобие 27
§ 5. Существование и единственность. Построения 31
§ 6. OE аксиомах 36
Глава П. Перпендикулярность и параллельность прямых и плоскостей
§ 7. Признак перпендикулярности прямой и плоскости . . 39
§ 8. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости ... 44
§ 9. Параллельные плоскости . 51
§ 10. Параллельность прямой и плоскости 55
§11. Перпендикуляр, опущенный на плоскость 61
§ 12. Связь между параллельностью прямых и перпендикулярностью пря- ,
мой и плоскости - 67
§ 13. Перпендикулярность плоскостей 73
Глава III. Расстояния и проекции
§ 14. Ближайшие точки и расстояние от Точки до фигуры
§ 15. ^Параллельные плоскости и перпендикуляры
§ 16. Параллельное проектирование
§ 17. Ортогональное проектирование
§ 18. Ближайшие точки и проекции
§ 19. Пространственная теорема Пифагора
82
86
94
101
105
Ill
Глава IV. Пространственные фигуры и тела
§ 20. Сфера и шар 120
§ 21. Опорная плоскость 126
§ 22. Размеры фигур. Расстояние до фигуры 132
§ 23. Выпуклые фигуры 138
§ 24, Цилиндры , 141
223
§ 25. Конусы. Усеченные конусы 14Я&
§ 26. Тела . , \ 158^
§ 27. Выпуклые тела 16$
§ 28; Теоремы о телах 170
Глава V. Многогранники
§ 29. Многогранник и его элементы
§30. Пирамиды 1791
§ 31. Призмы 188
§ 32. Два подхода к определению многогранника КЗ
§ 33. Выпуклые многогранники КО
§ 34. Теорема Эйлера 204
§ 35. Правильные многогранники 207
Ответы 213
Предметный указатель ' 220
Александр Данилович Александров,
Алексей Леонидович Вернер,
Валерий Идельевич Рыжик
НАЧАЛА СТЕРЕОМЕТРИИ
Пробный учебник для 9 класса
Редактор Н. И. Никитина
Переплет художника Б. Л. Николаева
Художественный редактор Е. Н. Карасик
Технический редактор В. Ф. Коскина
Корректор Т, А. Кузнецова
. , ИБ № 6703
Сдано в набор 18.05.81. Г^доисано к печати 31.08.81. 60х90г/<в- Бумага тип. № 3. Гарнитура
«Литературная». Печать ьысокая. Печ. л. 14 + форзац 0,25. Усл. кр. отт. 14.69. Уч.-изд.
л. 14,76+форзац 0,36. Тираж 242 000 экз Заказ № 7814. Цена 55 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Просвещение» Государственного ко¬
митета РСФСР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва. 3-й про¬
езд Марьиной р^щи, 41.
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного
Знамени Первой Образцовой типографии имени'А. А. Жданова в областной типографии
управления издательств; полиграфии и книжной торговли Ивановского облисполкома,
153628, г. Иваново, ул. Типографская, 6.
ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ