Библиотека «Педагогические измерения»
Основана в 2001 году
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Е.С. Петрова
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Учебно-методическое пособие
для студентов математических специальностей
В трех частях
Часть 3. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА:
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008
Глава 1. ПЛАНИМЕТРИЯ
1.1.	Элементы геометрии в 5 и 6 классах
С элементами геометрии ученики знакомятся ещё в начальной шко-
ле Так, им известны прямоугольник, формулы его площади и периметра;
прямоугольный треугольник, его стороны и площадь; оценка площади;
приближенное вычисление площадей; единицы площади: ар и гектар. В
программу трёхлетней начальной школы (5 ч в неделю, всего 162 ч) входят
также: измерение углов, транспортир, развёрнутый угол, смежные и верти-
кальные углы, исследование свойств геометрических фигур с помощью
измерения [3, с. 106]. В программу по математике для четырехлетней шко-
лы включено изучение следующих понятий: луча, отрезка (и их свойств),
прямого, тупого и острого углов, прямоугольника и квадрата (и их
свойств), многоугольников и их видов [3, с. 9]. Разбиение этих фигур и
составление новых фигур из полученных частей помогает школьнику уяс-
нить инвариантность площади, развивает комбинаторные способности.
Уже с первого класса учащиеся знакомятся с абстрактными понятиями,
имеющими топологический характер: область, граница, сеть линий. Авто-
ры программы объясняют это тем, что топологические представления о
геометрических объектах у детей развиваются раньше, чем аффинные и
метрические.
Изучение геометрического материала в начальной школе не только
способствует развитию пространственных представлений школьников и
формированию практических навыков, но и служит средством интерпрета-
ции изучаемых арифметических фактов (площадь прямоугольника - ум-
ножение чисел; объём прямоугольного параллелепипеда - сочетательное
свойство умножения). Учащимся начальной школы уже знакомы про-
странственные фигуры: куб, параллелепипед, цилиндр, шар, конус. Второ-
классники учатся вычислять площадь поверхности и объём параллелепи-
педа, делать развёртки этого тела по чертежу и складывать их в простран-
ственную фигуру [3, с. 12].
Весь геометрический материал математики 5-6 классов целесооб-
разно разбить на следующие разделы: «Геометрические фигуры», «Изме-
рение величин», «Геометрические построения. Работа с инструментами»,
«Системы координат».
4
К геометрическим фигурам, изучаемым в этих классах, относятся:
отрезок, угол, треугольник, четырёхугольник, многоугольник, прямая, луч,
окружность, круг, прямоугольник, квадрат, куб, прямоугольный паралле-
лепипед. Знакомство с новыми понятиями осуществляется чаще всего на
оперативном уровне, и строгих определений почти не даётся.
Так, понятие об отрезке даётся следующим образом: «Если к точкам
А и В приложить линейку и по ней провести от А к В линию, то получится
отрезок АВ [4, с. 12].
Или: «Установим ножку циркуля с иглой в точку О, а ножку циркуля
с грифелем будем вращать вокруг этой точки. Тогда грифель опишет замк-
нутую линию. Её называют окружностью» [4, с. 186].
Иногда вводятся наглядные описания понятия. Например: «Спичеч-
ный коробок, деревянный брусок, кирпич дают представление о прямо-
угольном параллелепипеде [4, с. 165]. Но здесь же представлено и строгое
определение: «Стороны граней называют рёбрами параллелепипеда, а
вершины граней - вершинами параллелепипеда» или « Куб — это прямо-
угольный параллелепипед, у которого все измерения равны» [4, с. 166].
Определение, близкое к строгому: «Отрезок АО, соединяющий центр
окружности О с точкой А этой окружности, называют радиусом окружно-
сти». Таким образом, большинство понятий вводится на наглядно-
интуитивном уровне. Именно поэтому учителю в 5 - 6 классах рекоменду-
ется шире использовать разнообразные средства наглядности: рисунки,
таблицы, плакаты, модели; в качестве средств наглядности использовать
подручный материал, находить геометрические фигуры среди окружаю-
щей обстановки.
Для усвоения учащимися новых геометрических понятий учителю
предлагается такая организация упражнений, при которой ученик:
•	формулирует определение понятия (если таковые имеются);
•	изображает геометрический объект на доске и в тетради;
•	учится распознавать новые понятия среди других геометрических
объектов;
•	называет основные элементы нового понятия (например, у тре-
угольника: стороны, вершины; у окружности: радиус, диаметр, дуга, полу-
окружность) и даёт им определения;
•	приводит примеры геометрических фигур;
•	даёт примеры частных случаев нового понятия (квадрат -
прямоугольник с равными сторонами; куб - прямоугольный параллелепи-
пед с равными измерениями);
•	называет объекты или отношения, связанные с данным понятием
(так, с понятием отрезка связано понятие конца отрезка, отрезки бывают
равными и неравными; можно сравнивать, какой из отрезков короче, а ка-
кой - длиннее; у всякого отрезка можно измерить его длину и т.д.).
5
Величины: длина отрезка, площадь прямоугольника, объём прямо-
угольного параллелепипеда в 5 - 6 классах не определяются.
Сообщается, что длину отрезка АВ называют расстоянием между
точками А и В, называются в указанной последовательности единицы дли-
ны: сантиметр, дециметр, метр, миллиметр, километр и соотношения меж-
ду ними. Учащимся предлагаются упражнения на перевод из одних единиц
измерения длины в другие.
Вывод правила вычисления площади прямоугольника и запись этого
правила в виде формулы близки к строгим рассуждениям. Рассматривается
конкретный прямоугольник, длины сторон которого выражены целыми
числами (а иных чисел учащиеся пока не знают) в одинаковых единицах
измерения. Прямоугольник разбивается на квадраты единичной площади и
подсчитывается сначала число таких квадратов в полосе разбиения (оно
будет для всех полос одинаковым), а затем результат умножается на число
таких полос. Обозначая площадь прямоугольника буквой S, а его длину -
буквой а и ширину - буквой Ь, записываем формулу площади прямоуголь-
ника: S-а-Ь.
Равные фигуры определяются как фигуры, совпадающие при нало-
жении.
Сообщаются без доказательства (как свойства площади) следующие
факты: «Площади равных фигур равны» и «Если фигура разбита на части,
то площадь всей фигуры равна сумме площадей ее частей». Таким обра-
зом, идёт подготовительная работа к введению определения понятия пло-
щади фигуры, которое даётся в 8 классе.
Небезынтересно отметить, что если два отрезка равны, то они имеют
равные длины. Справедливо и обратное: отрезки, имеющие равные длины,
равны. Для площадей обратное предложение - неверное. И если равные
фигуры имеют равные площади, то фигуры, имеющие равные площади, не
обязательно равны. Это подтверждается следующей иллюстрацией. Разо-
бьем прямоугольник ABCD диагональю АС на треугольники и будем при-
кладывать эти треугольники друг к другу так, чтобы у них совпадали по
очереди: меньшие катеты, большие катеты и гипотенуза и чтобы они не
накладывались друг на друга. Получаются 6 разных фигур, площади кото-
рых равны.
В 5 же классе строго доказывается тот факт, что площадь каждого
треугольника, на которые разбиваег прямоугольник его диагональ, вычис-
ляется по формуле S = ^ab, где а и b - стороны прямоугольника, и фор-
мула площади квадрата: S = о2, где а - сторона квадрата.
В порядке упражнения школьникам предлагается вычислить площа-
ди конкретных фигур (рис. 1).
Таким образом, идёт подготовительная работа к вычислению площа-
дей более сложных фигур
6
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по той же
схеме, которой следовали при вычислении площади прямоугольника; па-
раллелепипед разбивается плоскостями, параллельными его граням, на
единичные кубики и подсчитывается сначала число кубиков в одном ряду
слоя разбиения, затем - в слое разбиения и, умножая результат на число
слоёв, получаем объём всего прямоугольного параллелепипеда: выводится
формула V - abc, где a, b и с - соответственно его длина, ширина и высо-
та. Как следствие составляется формула объёма куба. Даются единицы из-
мерения объёмов.
В порядке выполнения упражнений выявляются свойства объёмов.
•	Равные пространственные фигуры имеют равные объёмы (обрат-
ное неверно, что подтверждается наглядно, если из одного и того же коли-
чества единичных кубиков, переставляя их, составлять неравные между
собой фигуры).
•	Если фигура разбита на части, то её объём равен сумме объёмов
частей разбиения.
Снова идёт подготовительная работа к формулировке определения
понятия объёма, которое вводится в 8 классе.
Сообщаются единицы измерения объёмов.
С понятием прямоугольника связано понятие его периметра, с поня-
тием прямоугольного параллелепипеда - понятие площади его поверх-
ности.
В процессе решения задач выясняется, что
•	если прямоугольник разбивается на две части отрезком, парал-
лельным одной из его сторон, то периметр прямоугольника не будет равен
сумме периметров прямоугольников разбиения;
•	если плоскостью, параллельной какой-либо грани прямоугольно-
го параллелепипеда, разбить его на две фигуры, то площадь поверхности
параллелепипеда не будет равна сумме площадей поверхностей частей его
разбиения.
Решается достаточно большое число текстовых задач практического
характера, связанных с вычислением объёмов и площадей поверхностей
прямоугольного параллелепипеда.
7
В 6 классе изучаются длина окружности и площадь круга. Измере-
нию этих величин школьники учатся в процессе выполнения лабораторных
работ. Длину окружности измеряют, проводя вдоль этой окружности шнур
или нитку, а затем, распрямляя её и измеряя длину соответствующего от-
резка. Опытным путём школьники находят отношение длины окружности
к её диаметру, после чего вводится понятие числа п. Предлагается мнемо-
ническое правило запоминания первых двенадцати цифр числа л.
Это я знаю и помню прекрасно
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
3,14159265358...
Составляются формулы, выражающие длину окружности через диа-
метр и радиус.
Формула площади круга строго не выводится.
В учебнике Н. Я. Виленкина и других [5, с. 142 - 143] это делается
так.
Изображается круг, описанный около него и вписанный в него квад-
раты. Вершины вписанного квадрата являются точками касания описанно-
го квадрата. Обозначая радиус круга через г, вычисляем площади постро-
енных квадратов; значение площади круга находится между ними, то есть
2г2 < S < 4г2. Примерно площадь круга равна Зг2. Сообщается без доказа-
тельства тот факт, что S = лг2.
Но такой «вывод формулы площади круга» представляется недоста-
точно убедительным. Поэтому более удобным будет вывод формулы с ис-
пользованием следующей модели.
Модель представляет собой круг, составленный из двух полукругов,
разбитых на равные секторы, например, круг разбит на 8 равных частей
(рис. 2, а).
Эти полукруги разъёмные; сектора прикрепляются к общему «полу-
обручу» (рис. 2, б). Первоначально полукруги связаны верёвочкой, обра-
зуя круг. Затем полукруги разъединяются, сектора располагаются так, что
концы ограничивающих их дуг лежат на одной прямой. Полученные фигу-
ры «вставляют» друг в друга так, как показано на рисунке 2, в при разбие-
нии круга на 12 равных частей. Получается фигура, близкая к прямоуголь-
нику, длина которого равна длине полуокружности, а ширина - радиусу
данного круга — модели. Чем на большее число равных между собой сек-
торов разбивается круг, тем новая фигура по форме ближе к прямоуголь-
нику, площадь которого вычисляется по известной формуле: S = nr-r.
иначе: S = nr2.
Такой вывод формулы, во-первых, представляется более убедитель-
ным ввиду его наглядности, а во-вторых, в неявной форме осуществляется
подготовка учащихся к усвоению понятия предельного перехода (круг раз-
бивается на всё более мелкие секторы, а в результате дуги сектора всё бо-
лее близки к отрезкам).
8
Поскольку аналогом круга в трёхмерном пространстве является шар,
вводится его понятие и понятия связанных с ним отрезков. Это даёт поло-
жительные результаты в двух направлениях. Во-первых, параллельно с
планиметрическим материалом изучаются вопросы стереометрии, что не*
обходимо для формирования пространственного воображения учащихся;
во-вторых, расширяется круг развивающих задач для учащихся. ШкольнИ-
ки вычисляют длину экватора и меридиана Земли, пользуясь глобусом;
длины диаметров, радиусов, экваторов планет Солнечной системы.
а	б	в
Рис. 2
Измерение углов вводят в 5 классе. Углом называют фигуру, образе'
ванную двумя лучами, выходящими из одной точки [4, с. 337]. Называются
элементы угла (вершина, стороны), даётся определение равных углов каК
углов, совпадающих друг с другом при наложении. Два дополнительных
друг другу луча образуют развёрнутый угол, а половина развёрнутого угла
называется прямым углом.
Строгих определений понятий «точка лежит внутри данного угла»,
«точка лежит вне данного угла», «точки лежат на сторонах угла» не даётся,
а показывается на рисунке, после чего школьникам предлагается в поряд-
ке выполнения другого чертежа определить, какая из точек на данном чер-
теже лежит внутри данного угла, какие из точек - вне его и какие - на сто-
ронах угла. Поэтому введение данных понятий далеко от научного. Если
угол - всего два луча с общим началом, то как можно говорить о точках, не
лежащих на сторонах угла, что они лежат внутри угла?
Поэтому правильным можно признать определение угла, данное
В. А. Гусевым: «Углом называется фигура, состоящая из двух различных
лучей с общим началом и ограниченной ими части плоскости» [6, с. 157].
Далее следует пояснение, что два луча, выходящие из одной точки, опре-
деляют два угла, что поясняется сопровождающим рисунком. Чтобы пока-
зать, какой из двух углов нас будет интересовать, следует обозначать его
на рисунке «дужкой».
Определения понятия «измерение углов» не даётся, хотя у В. А. Гу-
сева сказано, что подобно тому, как это делается при измерении отрезков,
угол сравнивают с углом, принятым за единицу измерения [6, с. 163]. Вво-
9
дится определение такой единицы измерения углов - градуса, равного
части развёрнутого угла. Вводится новый для школьников инструмент для
измерения углов, именуемый транспортиром. Этот термин записывается
на доске и в рабочих тетрадях учащихся. Здесь у школьников могут воз-
никнуть некоторые затруднения, если нумерация градусов на транспортире
идёт только в одном направлении (например, против часовой стрелки).
Может «оказаться», что явно острый угол содержит 110°, 140° и т. д. Что-
бы предупредить или устранить подобные ошибки, целесообразно рас-
сматривать различные положения данных углов на плоскости и научить
школьников правильно располагать транспортир относительно данного уг-
ла, чтобы измерить величину угла.
Устанавливается, что равные углы имеют равные градусные меры и,
наоборот, углы, имеющие равные градусные меры, равны.
Школьники строят углы данной величины с помощью транспортира
и проводят биссектрису угла - луч, делящий угол пополам. Для построе-
ния углов используются также линейка и чертёжный треугольник. Сооб-
щается о приборах для измерения углов: астролябии, теодолите, секстанте.
Изложение геометрического материала в 5 — 6 классах осуществля-
ется, в основном, на наглядно-интуитивном уровне, элементы строгих до-
казательств встречаются не часто. Иногда то, что представляется для пяти-
классников или шестиклассников строгим доказательством в силу возрас-
тных особенностей учащихся, - в основной школе оказывается доказатель-
ством, далёким от строгости (например, вывод формул вычисления пло-
щади прямоугольника, объёма прямоугольного параллелепипеда, длины
окружности, площади круга). Широко осуществляется взаимосвязь гео-
метрического, алгебраического и арифметического материалов. Так, при
сравнении дробей используется следующая геометрическая интерпрета-
ция: на равные части делятся прямоугольник, круг, полоска прямоугольной
формы; находит применение числовой луч. Геометрический материал ис-
пользуется при изучении правила умножения десятичных дробей, при
формулировке и решении текстовых задач. Ощутимо расширяется понятие
системы координат. В 5 классе при изучении натуральных чисел использу-
ется координатный луч, в 6 классе в связи с введением отрицательных чи-
сел вводится координатная прямая и, наконец, при изучении темы «Па-
раллельные прямые» в 6 классе рассматривается координатная плоскость,
что позволяет строить столбчатые диаграммы и графики (изменение роста
ученика в зависимости от его возраста; изменение расстояния, пройденно-
го поездом, идущим с постоянной скоростью, в зависимости от времени
его движения). Таким образом, идёт подготовительная работа к изучению
понятия графика функции в курсе алгебры 7 класса.
Положения, которые в основной школе уже именуются аксиомами, в
5-6 классах преподносятся ученикам как свойства геометрических объек-
тов или отношения между ними, которые излагаются на наглядно-
10
интуитивном уровне без строгих доказательств. Например, «Любые две
точки можно соединить только одним отрезком ... На рисунке изображён
отрезок КМ. Точка £ лежит на этом отрезке между точками К и М, а точки
О и Р на них не лежат» [4, с. 12]. «Через любые две точки проходит един-
ственная прямая. Прямая не имеет концов. Она неограниченно продолжа-
ется в обе стороны» [4, с. 21]. «Через каждую точку плоскости, не лежа-
щую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллель-
ную данной прямой» [5, с. 255]; «Любая прямая, лежащая в плоскости, раз-
бивает эту плоскость на две полуплоскости» [6, с. 27].
Большую роль при изучении геометрического материала в 5 - 6 клас-
сах играют построения, поскольку двигательные навыки способствуют бо-
лее прочному усвоению учебного материала. Школьники чертят отрезки,
лучи, углы, треугольники, прямоугольники, окружности, столбчатые и
круговые диаграммы. Они умеют строить биссектрису угла, перпендику-
ляр к прямой, проходящий через данную точку, лежащую на данной пря-
мой или вне её, умеют проводить прямую, параллельную данной, через
точку, не принадлежащую данной прямой. Последнее построение выпол-
няется с помощью линейки и угольника, вызывая затруднения шести-
классников. Иногда чертёжный треугольник оказывается «приложенным»
к линейке . . . одним из его углов и при движении треугольника вдоль ли-
нейки положение его не прочно, параллельных не получается. В таком
случае рекомендуется иметь соответствующий плакат с чертежом, когда
чертёжный треугольник прикладывается к линейке катетом или гипотену-
зой и перемещается без отрыва от линейки приложенной к ней стороны.
Тогда можно начертить две пары параллельных прямых (показывается, как
это сделать).
Особый интерес вызывают задачи на построение занимательного ха-
рактера, связанные с восстановлением чертежа или с обнаружением оши-
бок в чертеже или в записи, характеризующей чертёж. Например:
«Стёпа Смекалкин построил окружность и провёл её диаметр АВ, по-
том окружность стёр. На рисунке остался только отрезок АВ. Восстановить
окружность, которую стёр Стёпа» [7, задача № 106, с. 88].
«Витя Верхоглядкин начертил квадрат и нашёл его периметр и пло-
щадь. Получил: £ = 20 см, 5=36 см2. Верно ли он подсчитал? [7, задача
№113, с. 88].
В.А. Гусев в 5-6 классах предлагает одновременное изложение во-
просов планиметрии и стереометрии, поэтому он говорит об изображении
пространственных фигур [6. с. 62 - 64] и предлагает правша изображения
куба с учётом возрастных особенностей учащихся на наглядно-
интуитивном уровне. Например: «Если на модели куба отметить середины
рёбер, то и на рисунке их изображениями будут середины соответствую-
щих отрезков - рёбер». Или: «Отрезки всегда изображаются отрезками,
прямые - прямыми, плоскости - плоскостями». Тем самым идёт подгото-
вительная работа к построению учащимися изображений плоских и про-
11
страиственных фигур по законам параллельного проектирования, что изу-
чается в основной школе и в старших классах средней школы.
Тема «Осевая симметрия» [8, с. 66] помогает осуществить подгото-
вительную работу к изучению движений плоскости в основной школе.
Большую роль при изучении геометрического материала в 5 - 6 клас-
сах играют средства наглядности, широкое использование моделирования
плоских и пространственных фигур.
В дополнении к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
16,17, 18,19,20,21,22, 23,24,25, 26].
1.2. Логическое строение школьного курса геометрии.
Первые уроки систематического курса геометрии в 7 классе.
Доказательство первых теорем
Школьный курс геометрии, начиная с 7 класса, в настоящее время
представлен в аксиоматическом изложении. Все понятия курса строго де-
лятся на определяемые и неопределяемые. Неопределяемые понятия вво-
дятся в начале курса (планиметрии или стереометрии). Они называются
основными. Это: точка, прямая, плоскость - основные объекты, а также
лежать на или принадлежать, лежать между для точек одной прямой, -
основные отношения. Говорят, что они косвенно определяются через ак-
сиомы.
Все математические предложения делятся на предложения, прини-
маемые без доказательства как основные и первоначальные (аксиомы), и
предложения, подлежащие строгому доказательству на основании либо ак-
сиом, либо доказанных ранее предложений. Если математическое предло-
жение не входит в число аксиом - значит, оно должно быть строго логиче-
ски доказано как теорема. Система аксиом, лежащая в основе любого дан-
ного курса, должна подчиняться требованиям непротиворечивости, неза-
висимости и полноты.
Аксиомы школьного курса геометрии не всегда удовлетворяют
предъявляемым к ним требованиям. Система аксиом неполна. Некоторые
факты, входящие в формулировку аксиомы, могут быть доказаны само-
стоятельно. Так, в учебниках Л. С. Атанасяна с соавторами [27], А. В. По-
горелова [28] отсутствует целая группа аксиом, именуемая аксиомами не-
прерывности. В учебнике [27] признаки равенства треугольников доказы-
ваются с помощью наложения одного из данных треугольников на другой,
в то время как процесс «наложения» вообще не определяется. «Две гео-
метрические фигуры называются равными, если их можно совместить на-
ложением» [27, с. 11]. В учебнике А.В. Погорелова [28] при доказательстве
первого и второго признаков равенства треугольников ссылаются на гро-
моздкую по формулировке аксиому о существовании треугольника, равно-
го данному [28, с. 15]: «Каков бы ни был треугольник, существует равный
ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупря-
12
мой», но что означает это «заданное положение», — требует длительного
пояснения и выполнения достаточно большого числа дополнительных уп-
ражнений.
Аксиома параллельных прямых в учебнике [27] включает в себя по-
ложения, которые могут быть доказаны. Она формулируется так: «Через
точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, па-
раллельная данной». В строгом курсе геометрии Д. Гильберта эта аксиома
формулируется так: «Пусть а - произвольная прямая, А — точка, лежащая
вне её; в таком случае в плоскости, определяемой прямой а и точкой А,
существует не более одной прямой, проходящей через точку А, и не пере-
секающей прямую а» [29, с. 86]. «Не более» — это либо одна прямая, либо
- ни одной. Факт же единственности такой прямой может быть доказан и,
следовательно, он не нужен в формулировке аксиомы о параллельных
прямых. Но авторы учебника ввиду возрастных особенностей учащихся и с
целью нежелательной перегрузки школьников лишними фактами детали-
зации не выделяют подробности. В учебнике А.В. Погорелова это «не бо-
лее» есть, но акцентировать внимание на данном факте рекомендуется
только в работе с сильными по математике учащимися.
Возникает закономерный вопрос о том, нужно ли аксиоматическое
изложение школьного курса геометрии, если оно всё равно не является
строгим? Не лучше ли за счёт времени, освободившегося при «неаксиома-
тическом» построении геометрии, изложить больше фактов, которые при-
годятся ученикам в их дальнейшей практической деятельности, а показать
строго логическую цепочку доказательств теорем по некоторым темам на
отдельных фрагментах изложения геометрии? Именно такой точки зрения
придерживается Н.Х. Розов. «Отдельные разделы или темы допустить изу-
чать на описательном демонстрационном уровне, опуская формальные до-
казательства, добиваясь от учеников понимания сути дела без воспроизве-
дения ими (и даже без сообщения им) «строгих обоснований» и «логиче-
ских рассуждений»... Многие моменты школьного курса в принципе не-
возможно изложить школьникам абсолютно строго - приходится прибе-
гать к «убедительным эрзацам ... Наше образование по физике или химии
ни сколько не страдало оттого, что преподавание этих предметов не со-
держало всех исчерпывающих доказательств». [30, с. 60].
Тем не менее пока в наших действующих и наиболее используемых
учебниках геометрии даётся аксиоматическое изложение курса, студентам
необходимо ознакомиться с особенностями методики такого изложения.
Авторы учебников геометрии [27, 28] не сразу вводят термины: «ак-
сиома», «теорема», разъясняя их. Первые аксиомы преподносятся учащим-
ся как свойства геометрических объектов. Учащиеся их обнаруживают са-
мостоятельно, производя соответствующие построения. Например, школь-
никам предлагается построить две произвольные точки и с помощью ли-
нейки провести через них прямую (Всегда ли это можно сделать? Сколько
разных прямых можно провести через две данные точки?). И лишь когда
13
школьники ознакомятся с достаточно большим числом таких свойств, им
сообщается, что эти математические предложения именуются аксиомами.
Такой методический приём вполне целесообразен и имеет следующее пси-
хологическое обоснование.
Если слабым учащимся сообщается, что отныне они будут изучать
логически строгую геометрическую систему, в основе которой лежат ак-
сиомы, с которых и начнётся знакомство с геометрией, то это подействует
морально крайне отрицательно, ибо заранее создаётся представление о
геометрии как о чрезвычайно сложной дисциплине с пугающим новым
термином «аксиома».
Основные этапы процесса изучения теоремы описывает Г.И. Саранцев:
1.	Мотивация изучения теоремы.
2.	Ознакомление с фактом, отражённым в теореме.
3.	Формулировка теоремы и выяснение смысла каждого слова в
формулировке теоремы.
4.	Ознакомление со способом доказательства.
5.	Доказательство теоремы.
6.	Применение теоремы.
7.	Установление связей теоремы с ранее изученными теоремами
[31, с. 70].
Отметим, что подобную последовательность этапов нельзя признать
строгой. Так, первый этап (мотивационный) может содержать материал о
применении теоремы. С фактом, отраженным в теореме, учащиеся могут
ознакомиться до мотивации её изучения на наглядно-интуитивном уровне.
Со способом доказательства теоремы можно предварительно учащихся
специально не знакомить, если теорему сформулировать в форме задачи на
доказательство, и тогда школьники самостоятельно выявят способ её дока-
зательства, а по ходу исследования будет уточняться формулировка теоре-
мы, станут выявляться частные случаи, делаться обобщения.
На доказательство первых теорем обращается особое внимание. Це-
лесообразнее данное математическое предложение сразу не именовать
теоремой, а факт, подлежащий доказательству, учащиеся устанавливают
самостоятельно, отвечая на систему вопросов, предложенных учителем.
Первые теоремы, с которыми знакомятся учащиеся, - теоремы о
смежных и вертикальных углах. При знакомстве с первой из них соблю-
дать все «ритуальные» требования оформления условия, заключения, чер-
тежа, доказательства теоремы выполнять в указанной последовательности
нецелесообразно, иначе может создаться впечатление о теореме, как о чем-
то громоздком в оформлении. Достаточно изобразить два смежных угла,
дать их определение и констатировать тот факт, что в сумме они образуют
развёрнутый угол, равный 180°. Теорему «Вертикальные углы равны»
можно преподнести как задачу.
На первых уроках геометрии в 7 классе школьники встречаются с
обилием новых понятий, для закрепления которых потребуется дополни-
14
тельно к имеющейся в учебнике система упражнений: на построение изо-
бражений изучаемых объектов, на их распознавание, на формирование
умений правильно формулировать определения.
Примеры упражнений на формирование понятия развёрнутого угла
1. Начертить прямую, отметить на ней точки А, В, С, D, Е, располо-
женные в последовательности слева направо. Назвать все изображения
развёрнутого угла на этом чертеже. Будут ли развёрнутыми углы: ВАС,
DAB, ЕАВ, АСЕ? Кстати, «угол называется развёрнутым, если обе его сто-
роны лежат на одной прямой» [27, с. 9]. Первые три из четырёх названных
углов не будут развёрнутыми (это нулевые углы), хотя обе стороны каждо-
го угла лежат на одной прямой.
2. На данной фигуре (изображён параллелограмм вместе с его диаго-
налями и точками, являющимися серединами его сторон) назвать развёр-
нутые углы и углы, не являющиеся развёрнутыми (идёт подготовительная
работа к ознакомлению с параллелограммом).
Весьма полезно ведение рабочей тетради-справочника ученика, где
записываются новые термины, определения, формулировки аксиом, тео-
рем, снабжаемые иллюстративным материалом.
Сильным по математике учащимся полезно предлагать задания, свя-
занные с изобретением ими новых конфигураций, с предложением конфи-
гурации, более сложной, чем рассматриваемые на уроке всеми остальными
учащимися, многие из которых пригодятся при изучении последующего
материала. Например, таковы две параллельные или пересекающиеся
прямые, пересечённые третьей, правильный многоугольник или трапеция
(стороны которых продолжены) вместе с диагоналями. Подобные рисунки
представляются почти универсальными для первых уроков геометрии в
7 классе, так как на них можно указывать развёрнутые, смежные, верти-
кальные углы, пользуясь ими, измерять углы, устанавливать понятие «ме-
жду» для точек, лежащих на одной прямой, сравнивать отрезки и углы,
выявлять прямые, тупые и острые углы и т. д.
Полезно широкое использование вариативности заданий. Например:
Даны четыре точки. Каково может быть их взаимное расположение? Воз-
можны варианты: точки лежат на одной прямой; три точки лежат на одной
прямой, которой не принадлежит четвёртая; через каждую пару точек про-
ходит прямая, не совпадающая ни с какой другой прямой, проходящей че-
рез пару точек, принадлежащих данной четвёрке [38, с. 6].
В настоящее время издаётся много книг, брошюр в помощь учителю,
содержащих дидактические материалы, планы-конспекты уроков, методи-
ческие рекомендации и т. д. Ими не следует пренебрегать, но относиться к
ним нужно критически, так как, во-первых, за последние годы издано оби-
лие «учебной макулатуры» — литературы, в которой встречаются много-
численные неточности в формулировках математических предложений,
опечатки, нерациональные или неверные решения задач. Во-вторых, учи-
15
тель должен свободно ориентироваться в учебном материале для школьни-
ков и в зависимости от данной конкретной ситуации, состава класса, со-
вместной работы с преподавателями других дисциплин и т. д., вовремя
уметь составлять собственные задачи. Хотя для творчески мыслящего учи-
теля «ляпы» в названных учебных пособиях могут послужить источником
составления собственных нестандартных задач или учебным материалом
для школьников, которым предлагается найти ошибку и сформулировать
данную задачу правильно.
Например, пусть дана задача, сформулированная неправильно.
«Две прямые АВ и СК пересекаются в точке М. Доказать, что точка
М будет лежать между точками А и В. Будет ли она лежать между точками
С и К?»
На самом деле точка М может лежать между точками А и В или меж-
ду С и К, а может и не лежать, так как по условию задачи пересекаются
прямые, а не отрезки.
Задачу можно переформулировать и варьировать: могут пересекать-
ся отрезки АВ и СК или отрезок АВ с прямой СК. Можно задать вопрос:
Будет ли точка М лежать между точками А и В? Тогда ответ неоднозначен.
Каков он может быть?
Заметим, что нельзя заранее утверждать, будто разного рода допол-
нительные пособия обязательно будут неудачными. Всё хорошее, что в
них может быть, полезно «взять на вооружение».
Например, в поурочных планах по учебнику Л. С. Атанасяна,
В. Ф. Бутузова, составленных М. Г. Гиляровой [33], полезными будут за-
дачи, в которых одни и те же объекты называются по-разному. Например:
«Могут ли совместиться наложением отрезок длиной 5 см и отрезок, длина
которого равна половине дециметра?» [33, с. 13].
В этом же пособии в целях сокращения записи понятие «точка В ле-
жит между точками О и А» обозначается так: О - В - А [33, с. 12]. И если
не совсем целесообразно учителю вводить свою символику, отличную от
содержащейся в учебнике, которым пользуются все учащиеся класса, то
сильные учащиеся могут пользоваться новой символикой, так как за счёт
освободившегося «от записей» времени можно предложить новые вариан-
ты условия или решения задач, ответить на большее число вопросов учи-
теля, придумать новые вопросы, задачи и т. д.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [7, 11, 13, 23, 34, 35, 36,
37, 38].
13. Методика изучения темы «Равенство фигур»
Подготовительная работа к изучению данной темы начинается с 5 -
6 классов, когда равные фигуры определяются как фигуры, совпадающие
при наложении. Физический процесс наложения при этом никак не опре-
деляется.
16
Изучение равенства фигур в 7 классе начинается с изучения понятий:
равные отрезки и равные углы. Два угла или два отрезка называются
равными, если они совместятся при наложении. Повторяется материал
5 — 6 классов: равные отрезки имеют равные длины; обратное предложение
также справедливо; равные углы имеют равные градусные меры.
Два треугольника называются равными, если они совмещаются на-
ложением. Если же наложение в силу каких-либо причин исключается, то
существует и другой способ установления равенства двух равных тре-
угольников: у них равны соответственные элементы. Для того чтобы убе-
диться, что некоторые два треугольника равны, нужно убедиться в спра-
ведливости целых шести равенств соответствующих сторон и соответст-
вующих углов в данных треугольниках. Не слишком ли много? Нельзя ли
найти более простой способ установления равенства или неравенства двух
треугольников? Например, нельзя ли сократить число «проверяемых» ра-
венств? Так начинается реализация идеи мотивации необходимости изуче-
ния признаков равенства треугольников.
В порядке подготовительного упражнения учащимся предлагается
построить два треугольника, у которых соответственно равны две стороны
и угол между ними. Треугольники визуально представляются равными, но
чтобы доказать, что они, действительно, равны, необходимо убедиться в
справедливости соответствующих равенств двух «остальных» углов тре-
угольников и в равенстве сторон, которые мы не строили непосредственно.
Измерение сравниваемых углов и отрезков подтверждает предположение,
что треугольники равны, но этот факт подлежит строгому доказательству.
Второй признак равенства треугольников школьники могут доказать
самостоятельно, если материал преподносится методом беседы.
Для обеспечения уровневой дифференциации обучения полезно
сильным учащимся предложить следующую задачу.
Верно ли, что если две стороны и угол, лежащий против одной из
них, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу,
лежащему против одной из них, другого треугольника, то такие треуголь-
ники равны?
А если верно, то почему не существует четвёртого признака равенст-
ва треугольников?
Рисунок 3 даёт соответствующий пример и контрпример.
В самом деле, в AJBC и Д.41В1 С с.
АС - AtCi;AB= AtB^, AC = ACt.
\4BC=MlBi Ct.
В A-IBC и ДА । B; Ci:
AC=AlCl;AB = AlB2; AC = АСХ.
\ABC± ЛА\В2 C[ (в первом угол В - острый, во втором — угол В2 -
тупой).
17
Та же задача может быть рассмотрена в других вариантах:
•	в теме «Построение фигур», когда выясняется окончательно:
сколькими элементами задаётся треугольник и какими элементами он мо-
жет быть задан, чтобы построить треугольник, равный данному;
•	в теме «Решение треугольников», когда неоднозначно решается
следующая задача. В треугольнике даны а. А, а . Найти его остальные эле-
менты (с, Р, у).
С темой «Треугольники. Признаки равенства треугольников» связа-
но введение понятий медианы, биссектрисы, высоты треугольника, поня-
тия равнобедренного треугольника и его свойств.
Учащиеся должны знать определения названных важных отрезков
треугольника, уметь строить их в остроугольном, прямоугольном, тупо-
угольном треугольнике. Они должны знать, что любой треугольник имеет
3 медианы, 3 биссектрисы и 3 высоты, все три отрезка любого из назван-
ных видов пересекаются в одной точке, хотя доказательства последних из
названных фактов будут предложены только в 8 классе.
Для умения различать равнобедренные треугольники полезно реко-
мендовать упражнения, предлагающие конфигурации, в число элементов
которых входят равнобедренные треугольники, в том числе и такие, осно-
вания которых расположены не всегда горизонтально. Это, например, пря-
моугольники и трапеции с их диагоналями, правильные многоугольники,
центр каждого из которых соединён с его вершинами.
Доказательство теоремы о равенстве углов при основании равнобед-
ренного треугольника проводится в учебнике Л. С. Атанасяна [27] более
просто, чем в учебнике А. В. Погорелова, так как в первом случае для до-
казательства используются первый признак равенства треугольников и
теорема о том, что в равных треугольниках против равных сторон лежат
равные углы. У А. В. Погорелова учащимся непонятно, почему один и тот
же треугольник ЛВС рассматривается как два разных треугольника в зави-
симости от порядка записи вершин в его обозначении.
Доказательство теоремы о том, что биссектриса, медиана и высота,
проведённые к основанию равнобедренного треугольника, совпадают, вы-
18
зывает затруднения у слабых по математике учащихся ввиду «многосту-
пенчатости» теоремы, наличия нескольких заключений, поэтому целесооб-
разно её варьирование с чётким выделением условий и заключений.
Возможны следующие варианты.
•	Дано: в равнобедренном треугольнике проведена биссектриса к
его основанию. Доказать, что она является и медианой, и высотой.
•	Дано: в равнобедренном треугольнике проведена медиана к его
основанию. Доказать, что она является и биссектрисой, и высотой.
•	Дано: в равнобедренном треугольнике проведена высота к его
основанию. Доказать, что она является и биссектрисой, и медианой.
Каждое из указанных предложений может быть разбито на два с од-
ним заключением.
Доказательство третьего признака равенства треугольников вызыва-
ет ощутимые затруднения школьников, прежде всего потому, что при до-
казательстве первых двух признаков равенства треугольников мы мыслен-
но накладываем один из данных треугольников на другой. Здесь же один
из данных треугольников прикладывается к другому так, чтобы они лежа-
ли в разных полуплоскостях относительно их общей стороны. Поэтому до-
казательству третьего признака равенства треугольников должна предше-
ствовать подготовительная работа, использующая конфигурации, нужные
для доказательства, с учётом всех возможных вариантов.
В учебнике А.В. Погорелова [28] доказывается эквивалентность двух
следующих определений равных треугольников.
«Два треугольника называются равными, если их соответствующие
стороны и соответствующие углы равны».
«Два треугольника называются равными, если существует движение,
при котором они совмещаются».
Таким образом, общая идея определения равенства фигур через дви-
жение ограничивается рассмотрением равных треугольников.
Заметим, что у Д. Гильберта всё гораздо проще: понятие равенства
(конгруэнтности) не определяется еообп/е. Она лишь косвенно определяет-
ся через аксиомы конгруэнтности [29]. Таким образом, в ныне действую-
щих школьных учебниках при определении понятия равенства фигур ещё
нарушаются требования, предъявляемые к аксиоматическому изложению.
Может быть, Н. X. Розов прав [30], и современная школьная геометрия не
должна быть построена аксиоматически?
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать следующую литературу [3, 7, 13, 23,
29, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,42. 43].
1.4. Параллельность прямых на плоскости
Изучение данной темы начинается с повторения определения парал-
лельных прямых и аксиомы параллельности. Типичной ошибкой, которую
учащиеся допускают при определении параллельных прямых в курсе пла-
19
ниметрии, является отсутствие в формулировке этого определения факта,
что определяемые прямые лежат в одной плоскости. Такое определение
годится и для скрещивающихся прямых. Ошибка устраняется приведением
контрпримера.
В правильную формулировку аксиомы о параллельности необходимо
включить слова «не более», но акцентировать внимание всех учащихся на
строгости формулировки нецелесообразно (п. 1.2), важно умение практи-
ческого применения этой аксиомы к решению задач и доказательству тео-
рем. В порядке экскурса в историю полезно сообщить ученикам, что если
предположить, что через точку, не принадлежащую данной прямой, можно
провести более одной прямой, не имеющей общих точек с данной, то по-
лучим аксиому, с которой начинается геометрия Лобачевского, реализуе-
мая на псевдосфере [13].
Теорему «Две прямые, параллельные третьей, параллельны между
собой» можно иллюстрировать по-разному (рис. 4).
•	Точка С, в которой по предположению пересекаются прямые а и
Ь, каждая из которых параллельна с по условию задачи, находится чётко
«на виду».
•	Прямые а и b пересекаются «где-то в бесконечности».
Рис. 4
В первом случае наглядно видно нарушение требования аксиомы па-
раллельности, но чертёж выглядит нелепо: зачем предполагать то, чего не
может быть? Во втором случае нужно ещё вообразить, что через точку,
лежащую вне данной прямой и находящейся где-то в бесконечности, про-
ходят две прямые, параллельные данной, что противоречит аксиоме парал-
лельности.
Одним из важных моментов при изучении данной темы является
умение быстро распознавать названия углов, образованных при пересече-
нии двух прямых третьей. Неплохой вариант объяснения представлен в
учебнике [44], когда углы нумеруются сверху вниз и по часовой стрелке,
начиная с левого верхнего угла. Тогда: накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
внутренние односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6; соответственные углы: I и 5,
4 и 8, 2 и 6, 3 и 7. Если накрест лежащих углов и односторонних углов по
две пары, то соответственных углов четыре пары.
20
Удобно предлагать упражнения на распознавание углов при различ-
ном расположении на плоскости данных прямых. Например, прямая с за-
нимает горизонтальное положение, а прямые а и Ь, её пересекающие, па-
раллельны между собой или все три прямые попарно пересекаются. Нужно
занумеровать углы, образованные при пересечении прямых а и Ь прямой с;
прямых а и с прямой Ь\ прямых Ь нс прямой а и назвать пары всех видов
углов, образованных при пересечении двух прямых третьей.
Удобны разные задания каждому ученику класса по карточкам при
использовании одного и того же рисунка, изображённого на доске или
на плакате многоразового
пользования. Например, на
рисунке представлен парал-
лелограмм вместе с его диа-
гоналями (рис. 5), стороны
которого, как и диагонали,
продолжаются, или анало-
гичное изображение друго-
го многоугольника вместе с
его диагоналями (рис. 6).
При этом интересующие нас
углы не нумеруются, а обо-
значаются тремя буквами.
Признаки параллельности прямых (формулировка и доказательство)
могут быть хорошо изучены только в том случае, если
•	учащиеся твёрдо усвоили наиме-
нования углов, образованных при пересе-
чении двух прямых третьей;
•	учащиеся поняли, в чём отличие
понятий «свойства» и «признаки»; уча-
щимся ясно, что для того чтобы выявить
признак какого-либо геометрического
объекта, нужно доказать прямую и обрат-
ную ей теорему;
•	учащиеся знают, что большинст-
во теорем о параллельных прямых доказы-
вается методом «от противного».
Признаки параллельности прямых
Прямые теоре мы
Если при пересечении двух прямых третьей
•	внутренние накрест лежащие углы равны;
•	соответственные углы равны;
•	сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые
параллельны.
21
Обратные теоремы
При пересечении двух параллельных прямых третьей
•	внутренние накрест лежащие углы равны;
•	соответственные углы равны;
•	сумма внутренних односторонних углов равна 180°.
Для слабоуспевающих по математике учащихся каждую из назван-
ных видов теорем целесообразнее представить как три различные теоремы,
ибо в противном случае им труднее будет выделить условие и заключение
теоремы (а что делать, если таких заключений целых три?!).
Признаки параллельности прямых учащимся потребуются, когда они
будут изучать свойства и признаки параллелограммов и их видов, трапе-
цию, признаки подобия треугольников, а также в стереометрии: призмы,
параллелепипеды, сечения многоугольников плоскостями и т. д. Но это
«дальний прицел», а ближайшее приложение признаков параллельности —
доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.
В порядке подготовительной работы учащимся предлагается дома
начертить треугольник (размером в полстраницу) или изготовить такой
треугольник из плотной бумаги. На уроке учащиеся с помощью транспор-
тира измеряют внутренние углы треугольника и находят их сумму.
Для доказательства удобно использовать традиционную плоскост-
ную модель следующего вида.
На плоскости изображены треугольник АВС и прямая МР, проходя-
щая через точку В и параллельная АС (рис. 7). Углы с вершиной в точке В
равны соответственно внутренним углам тре-
угольника. Обнаруживается, что углы 1, 5 и 4 в
сумме составят развёрнутый угол:
Z.4BC + ZPBC + ZMBA = 180°.
И поскольку существуют внутренние углы
треугольника, должны существовать и внешние
его углы. Даётся определение внешнего угла тре-
угольника, в ходе работы с которым выясняется, что при каждой вершине
треугольника существуют два внешних его угла, равных между собой.
Теорему о том, что внешний угол треугольника равен сумме двух
внутренних углов, не смежных с ним, сильные ученики могут доказать са-
мостоятельно, с остальными учениками класса удобен метод беседы.
Какой угол называется внешним углом греугольника при данной
вершине?
Как, исходя из этого определения, можно записать величину внеш-
него угла треугольника?
Как записать величину внутреннего угла треугольника, смежного с
этим внешним?
22
Как выразить внутренний угол треугольника, смежный с данным
внешним по-другому, пользуясь теоремой о сумме внутренних углов тре-
угольника?
Остаётся приравнять значения величин внутреннего угла данного
треугольника. Как это записать?
Тогда данную теорему удобно сформулировать в виде задачи: чему
равен внешний угол треугольника по отношению к его внутренним углам?
Следствие из этой теоремы учащимся также может быть представле-
но как задача: «Что больше: внешний угол треугольника или какой-либо из
его внутренних углов, с ним не смежных?»
Как нетрудно видеть, многие теоремы школьного курса геометрии
целесообразно представить учащимся как исследовательские задачи, так
как метод обучения через задачи способствует сознательности усвоения
нового материала.
Рекомендуется дать ответы на вопросы следующего вида [13,
с. 75, 76].
- Сколько внешних углов у каждого треугольника?
- Чему равен внешний угол равностороннего треугольника, равнобед-
ренного прямоугольного треугольника?
- Могут ли у треугольника быть два острых (прямых; тупых) угла?
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать [23, 32, 33, 34,35, 38,45,46].
1. 5. Методика изучения темы «Окружность и круг»
Данная тема проходит красной нитью через весь курс школьной ма-
тематики. Знакомство с ней начинается в 1 - 4 классах [3]. В учебнике для
5 класса даётся понятие окружности, круга, его центра, радиуса, диаметра
и дуги окружности. Сообщается, что диаметр делит круг на два полукруга,
а окружность - на две полуокружности [4, с. 185, 186]. Это первоначально
нужно для того, чтобы дать один из видов геометрической интерпретации
понятия дроби. В 6 классе изучаются формулы длины окружности и пло-
щади круга (п. 1.1), вводятся примитивные элементы доказательств, уделя-
ется внимание наглядности [8, с. 146; 64].
В учебнике И.И. Зубаревой и А.Г. Мордковича [8, с. 151, 152] пред-
лагаются задачи, решение которых позволяет установить число осей сим-
метрии фигур, составленных из окружностей равного радиуса; вводится
понятие правильного многоугольника и рассматриваются правильные мно-
гоугольники, вписанные в окружность. Таким образом, идёт подготови-
тельная работа к изучению многоугольников в 9 классе.
В.А. Гусев в учебнике геометрии для 5-6 классов даёт строгое оп-
ределение окружности как множества точек плоскости, находящихся на
данном расстоянии от данной точки этой плоскости [6, с. 119], хорды ок-
ружности, круга как множества точек плоскости, расстояние от каждой из
которых до данной точки от этой плоскости не больше данного расстоя-
23
ния, касательной к окружности. Далее автор исследует различные случаи
взаимного расположения прямой и окружности в зависимости от расстоя-
ния между центром окружности и прямой, взаимное расположение двух
окружностей. Параллельно изучаются другие круглые тела: сфера и шар с
широким использованием аксиом. На наглядных примерах разрезания ша-
ра В.А. Гусев показывает, что при пересечении поверхности сферы плос-
костью получается окружность, а шара - круг. Он вводит понятия мери-
дианов и параллелей, называет части круглых фигур: дуга окружности, по-
луокружность, круговой сектор, сегмент круга, полукруг, шаровой сег-
мент, сферический сегмент. Наглядно показывается (без каких-либо дока-
зательств) изображение сферы и шара на плоскости.
Для тех учащихся, для которых изучение геометрии как отдельной
дисциплины начинается с 7 класса, определение окружности как фигуры,
состоящей из всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки, да-
ётся в 7 классе. Вводится понятие хорды, диаметра окружности, окружно-
сти, описанной около данного треугольника и вписанной в данный тре-
угольник [44, с. 43, 181; 89].
Факты, касающиеся окружности и круга, разрознены, разбросаны по
всему учебнику геометрии 7 — 9, не объединены в отдельную главу (как,
например, учение о равенстве треугольников или о параллельных прямых
на плоскости). С одной стороны, это позволяет посмотреть на окружность
и круг с разных точек зрения (например, как на геометрическое место то-
чек; с позиций координатного метода; решать задачи на построение; гово-
рить о разного рода многоугольниках, вписанных в окружность или опи-
санных около окружности). С другой стороны, такое разрозненное распо-
ложение материала об окружности и круге в учебнике требует немедлен-
ной разработки методических рекомендаций и советов в помощь учителю.
Поэтому особенности изучения указанной темы требуют самого присталь-
ного внимания.
Следуя идее обучения через задачи, мы рекомендуем теоремы о цен-
трах окружности, описанной около треугольника, и окружности, вписан-
ной в треугольник, представить учащимся как исследовательские задачи.
Основные вехи доказательства теоремы о центре окружности, опи-
санной около треугольника.
1.	Центр окружности, описанной около треугольника, равноудалён
от всех его вершин.
2.	Геометрическим местом точек, равноудалённых от вершин А и В
данного треугольника, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ
(то же - о вершинах А и С и В и С).
3.	Центр искомой окружности - точка пересечения всех серединных
перпендикуляров.
4.	Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника
пересекаются в одной точке, но для построения центра окружности, опи-
24
санной около треугольника, достаточно построить два таких перпендику-
ляра.
Где по отношению к данному треугольнику АВС лежит центр опи-
санной около него окружности?
Ответ на последний вопрос находится учащимися самостоятельно
после выполнения следующей лабораторной работы.
Все учащиеся класса делятся на три группы (удобно распределение
на группы по рядам парт). Учащиеся одной группы строят центр окружно-
сти, описанной около остроугольного треугольника, другие - около тупо-
угольного, третьи — около прямоугольного. После обсуждения результатов
построения выясняется, что искомая точка лежит внутри остроугольного
треугольника, вне тупоугольного треугольника и совпадает с серединой
гипотенузы прямоугольного треугольника.
Для положения центра окружности, вписанной в треугольник, такого
разнообразия нет: её центр всегда лежит внутри треугольника.
С этой теоремой связаны вопросы о касании прямой окружности и
двух окружностей.
Исследуются все возможные случаи взаимного расположения пря-
мой и окружности: прямая пересекает окружность (то есть имеет с ней две
общие точки), касается окружности (имеет с ней одну общую точку') и не
имеет общих точек с окружностью. В первом случае расстояние от центра
окружности до прямой d меньше г — радиуса окружности; во втором случае
d равно г, в третьем случае d больше г.
Сложнее обстоит дело с взаимным расположением двух окружно-
стей разных радиусов. Учащимся предлагается начертить все возможные
случаи. Их будет пять:
•	окружности пересекаются;
•	окружности имеют внутреннее касание (центры окружностей ле-
жаг по одну сторону от их обшей касательной);
•	окружности имеют внешнее касание (центры окружностей лежат
по разные стороны от их общей касательной);
•	окружности не имеют общих точек и лежат одна вне другой;
•	окружности не имеют общих точек и лежат одна внутри другой.
Как частный случай полезно рассмотреть концентрические окружности.
Методику работы с теоремами о вписанном угле, о пересечении хорд
окружности описывает Г.И. Саранцев [37].
Доказательству первой теоремы предшествует введение понятия
вписанного угла и выполнение учащимися упражнений на распознавание
вписанных углов из десяти предлагаемых. Среди них угол, вершина кото-
рого лежит внутри круга, вне круга и угол, образованный касательной и
хордой окружности, проведённой из точки касания. Позднее доказывается,
что угол, образованный касательной и хордой, измеряется половиной дуги,
заключённой внутри него.
25
Г.И. Саранцев описывает доказательство предложений, связанных с
понятием вписанного угла, методом системы обучающих задач. На прак-
тических занятиях полезно составить такую систему задач и рассмотреть,
как она работает.
Доказательству теоремы о пересечении хорд окружности предшест-
вует серия упражнений по актуализации опорных знаний и умений. У
Г.И. Саранцева описывается организация выполнения упражнений и орга-
низация работы с доказательством теорем в контексте восходящего и нис-
ходящего анализа. Небезынтересно рассмотреть частный случай, когда
хорды перпендикулярны и одна из них является диаметром.
А. Г. Мордкович [47, беседа восемнадцатая] не только приводит
примеры решения «классических» задач об окружности и называет основ-
ные формулы темы, но и вносит существенные методические замечания о
целесообразности некоторых дополнительных построений, о построении
вспомогательной окружности.
•	Если две окружности касаются, то обязательно нужно провести
линию их центров.
•	В качестве дополнительных построений иногда полезен «вынос-
ной чертёж», представляющий собой фрагмент общего сложного чертежа
для дальнейшего акцентирования внимания на одном фрагменте.
•	Проведение вспомогательной окружности бывает полезным для
обнаружения соотношения между углами.
Авторы учебника [44] предлагают в 8 классе рассматривать совмест-
но вопрос о вписанной и описанной окружности по отношению не только к
треугольнику, но и к четырёхугольнику. Исследуется, что если во всякий
треугольник можно вписать окружность и около всякого треугольника
можно описать окружность, то как не во всякий четырёхугольник можно
вписать окружность, так и не около всякого четырёхугольника можно её
описать. Соответствующие примеры могут быть легко приведены.
Теорема о сумме противоположных углов вписанного в окружность
четырёхугольника и ей обратная могут быть доказаны учащимися само-
стоятельно с опорой на теорему о вписанном угле.
Учителю чрезвычайно важно из имеющегося в учебнике задачного
материала выявить задачи теоретического плана, то есть играющие роль
теорем для использования их при уровневом обучении математике. Такими
будут, например, задачи на доказательство, в какой из конкретных видов
четырёхугольников можно вписать окружность и около какого — описать
окружность, задачи о свойствах площади вписанного и описанного много-
угольника. Например:
1.	Докажите, что а) если около параллелограмма можно описать ок-
ружность, то этот параллелограмм — прямоугольник; б) если в параллело-
грамм можно вписать окружность, то этот параллелограмм - ромб.
2.	Доказать, что площадь описанного многоугольника равна поло-
вине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.
26
Материал об окружности является важным в решении задач на по-
строение, ибо в курсе геометрии основной школы рассматриваются по-
строения с помощью циркуля и линейки. Простейшие построения - эле-
ментарные (построение угла, равного данному; построение биссектрисы
угла; построение перпендикуляра к прямой; построение середины отрезка).
Это «азы». Далее следуют построение треугольника, равного данному; по-
строение касательной к окружности; построение окружности, вписанной в
треугольник, четырёхугольник, многоугольник или описанный около этих
фигур; позднее - построение правильных многоугольников.
При изучении темы «Длина окружности и плошадь круга» в 9 классе
важно обратить внимание учащихся на следующие методические моменты.
•	Изучение материала полезно начать с актуализации знаний уча-
щихся по основным вопросам этой темы из курса математики 5-6 классов
[4, 5].
•	Необходима мотивация тех фактов, что вывод известных ранее
формул длины окружности и площади круга осуществляется второй раз.
•	Материал служит подготовительной работой к изучению понятия
предела в курсе начал математического анализа в старших классах.
Формула для вычисления площади кругового сектора может быть
выведена учащимися самостоятельно или изложена методом беседы.
Вычисление площади кругового сегмента сильными по математике
учащимися тоже может быть осуществлено самостоятельно, если площадь
кругового сегмента рассматривается как разность площади соответствую-
щего ему кругового сектора и площади треугольника с вершинами в цен-
тре круга и в концах дуги, ограничивающей интересующий нас сегмент.
Следует помнить основные этапы решения задач на построение: ана-
лиз, построение, доказательство, исследование.
В системе углублённого изучения математики весьма полезными бу-
дут задачи на построение методом геометрических мест точек, связанные
со взаимным расположением окружностей и прямых.
Пример: Построить окружность, касающуюся данной окружности а
в данной точке А и прямой /, не проходящей через данную точку.
Наиболее интересным в таких задачах представляются возможные
варианты исследования. Так, при решении данной задачи удобно провести
вспомогательную прямую а, касающуюся данной окружности в точке .4.
Прямые а и / могут пересекаться или быть параллельными. В последнем
варианте могут быть рассмотрены частные случаи: прямые а и I располо-
жены по одну сторону от окружности а, по разные стороны. В частном
случае, если / симметрична а относительно точки О, — центр искомой ок-
ружности совпадает с центром данной. Здесь в исследовании важно, ис-
черпаны ли все возможные случаи взаимного расположения окружнос-
ти а, точки А и прямой /, удовлетворяющих условию задачи.
При углублённом изучении математики полезно решить задачу на
отыскание геометрического места точек, из которых данный отрезок виден
27
под данным углом. При её решении не следует забывать о частных случа-
ях: принадлежат ли искомому геометрическому месту точек концы от-
резка?
Об окружности и круге упоминается, когда речь идёт о координат-
ном методе решения задач: а) на отыскание геометрических мест точек и
б) на исследование взаимного расположения прямой и окружности или
двух окружностей. Поэтому не случайно первой из таких задач в учебнике
геометрии А. В Погорелова [28, с. 124, 125] является задача на составле-
ние уравнения окружности. В дальнейшем при работе с сильными по ма-
тематике учащимися эта задача служит своеобразным эталоном решения
задач на отыскание геометрических мест точек координатным методом.
Особое внимание обращается на то, что уравнение окружности значитель-
но упрощается, если её центр совместить с началом координат или распо-
ложить на одной из координатных осей. Поэтому, когда исследуется вза-
имное расположение окружности и прямой или двух окружностей, их сле-
дует расположить относительно системы координат так, чтобы их уравне-
ния были более простыми.
При углублённом изучении математики школьники решают сле-
дующие задачи, связанные с окружностью.
Задача 1
Даны две точки А и В. Найти множество всех точек, до каждой из ко-
торых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В [33,
задача№ 981].
Далее задача обобщается.
Задача 1,а
Найти множество точек, отношение расстояний которых до двух
данных точек А и В есть величина постоянная, равная данному положи-
ли 
тельному числу —#1. (Выясняется, почему предлагается последнее усло-
п
вие задачи.)
Так школьники знакомятся с окружностью Аполлония. Кстати, в ра-
боте с сильными по математике учащимися полезно решить эту задачу
геометрически. Очевидно, второй способ покажется сложнее, ибо учащим-
ся приходится актуализировать знания решения (доказательства) следую-
щих задач (теорем).
3-Т1. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противопо-
ложную его сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам
треугольника.
3-Т2. Пусть дан треугольник АВС. Угол FBC - его внешний угол;
ВК - биссектриса угла FBC. Тогда справедливо равенство
АК:СК = АВ:ВС.
Справедлива и обратная ей теорема.
З-ТЗ. Биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего углов
треугольника взаимно перпендикулярны.
28
3-Т4. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треуголь-
ника. равна половине гипотенузы.
Задача 2. Даны две точки А и В. Найти множество всех точек Л/, для
каждой из которых AM2 + ВМ2 = к2, где к - данное число [44, задача
№ 983].
Задача 3. Найти множество середин отрезка АВ, концы которого
скользят по сторонам данного прямого угла.
Решение последней задачи геометрически и координатным методом
по степени трудности и сложности, примерно, одинаковые.
В системе углублённого изучения математики известна также задача
Аполлония: Построить окружность, касающуюся трёх окружностей. Эф-
фект задачи в том, что за понятие «окружность» принимают не только ок-
ружность в обычном смысле этого слова, но и прямые как окружности
бесконечно большого радиуса, и точки как окружности нулевого радиуса.
Получается 10 различных случаев, из которых не все могут быть решены
учащимися средней школы.
Отметим, что в старших классах об окружности упоминается при
изображении круглых тел (основания цилиндра, конуса, параллели, мери-
дианы, экватор шара и сферы) [27]. Школьники должны знать, что эти изо-
бражения строятся по законам параллельного проектирования, при кото-
ром окружность с двумя её взаимно-перпендикулярными диаметрами изо-
бразится в виде эллипса с двумя сопряжёнными диаметрами.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать [7, 8, 9, 13, 21, 22, 32, 34, 35, 48, 49,
50, 51,52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60].
1.6.	Методика изучения геометрических построений в 7-9 классах
Задачей на построение будем называть такую задачу, в которой по
некоторым конструктивно заданным геометрическим объектам и другим
условиям требуется построить искомую геометрическую фигуру [61,
с. 104].
Подготовительная работа по данной теме начинается в 1 - 4 классах
и продолжается в 5 - 6 классах (п. 1.1). Если до 7 класса школьником ис-
пользовались разнообразные инструменты для построения (угольник, ли-
нейка, циркуль, транспортир, двусторонняя линейка для проведения па-
раллельных прямых, шаблоны различных фигур), то начиная с 7 класса все
задачи на построение решаются только с помощью циркуля и линейки.
Аксиомы циркуля и линейки здесь не упоминаются (ввиду возрастных
особенностей учащихся), поэтому построения лишены строгих обоснова-
ний (да этого и не требуется), хотя доказывается, что построенная данным
способом фигура является искомой, но о возможности и единственности
каждого такого построения вопрос не затрагивается.
Основные элементарные построения:
•	построение угла, равного данному;
29
•	построение биссектрисы угла;
•	построение перпендикулярных прямых;
•	построение середины отрезка.
Учебник геометрии Л. С. Атанасяна с соавторами [44] создаёт воз-
можность для развития творческих способностей учащихся, расширяя круг
построений, представленных в нём, дополнительными вопросами. Напри-
мер; На бумаге возможно построение угла, равного данному, а можно ли
это сделать на местности? Угол можно разделить пополам биссектрисой, а
можно ли его разделить на три, четыре равных угла? С помощью циркуля
и линейки можно построить прямую, перпендикулярную к данной и про-
ходящую через точку М, лежащую на данной прямой. А можно ли выпол-
нить такое же построение, если точка М данной прямой не принадлежит?
Когда речь идёт о практическом способе построения параллельных прямых
с помощью линейки и угольника, необходимо вспомнить о столярном ин-
струменте малке, использующим этот способ.
После изучения признаков равенства треугольников предлагаются
задачи на построение треугольника, равного данному, в соответствии с
этими признаками (построить треугольник по двум сторонам и углу между
ними; по стороне и двум прилежащим к ней углам; по трём его сторонам).
Здесь уже доказывается, является ли каждое из таких построений единст-
венным и всегда ли оно возможно.
Сильным по математике учащимся учитель может дать информацию
о том, что всякая задача на доказательство имеет свой аналог среди задач
на построение. Учащиеся могут сформулировать соответствующие задачи
и решил, их.
Постепенно происходит процесс укрупнения дидактических единиц,
и если первоначально учащиеся воспроизводят процесс выполнения каж-
дого из названных видов элементарных построений полностью, то в
9 классе уже непосредственно эти построения не выполняются, а при ре-
шении задач на построение просто называют конкретное элементарное по-
строение, которое нужно выполнить.
Среди задач на построение в 7 классе достаточно видное место за-
нимают задачи, связанные с понятием геометрического места точек (ГМТ).
И если в учебнике геометрии А. В. Погорелова [28] даётся определение
этому понятию, то в учебнике Л. С. Атанасяна с соавторами [44] оно вовсе
отсутствует. Но вместо него есть термин: «множество точек плоскости», и
задачи на ГМТ формулируются так: что представляет собой множество
всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной пря-
мой? [44, задача № 283, с. 87].
В процессе решения задач выявляется, что геометрическим местом
точек, равноудалённых от сторон угла, является биссектриса этого утла, а
ГМТ, равноудалённых от концов данного отрезка, является серединный
перпендикуляр к этому отрезку. Отсюда естественно вытекает постановка
30
и решение задач на построение творческого плана, организованного сле-
дующим образом.
— Множеством точек, удалённых от данной точки на данное расстоя-
ние является окружность.
- Что представляет собой множество всех точек, равноудалённых от
двух точек? (серединный перпендикуляр к отрезку с концами в данных
точках).
— А множество точек, равноудалённых от трёх данных точек?
Последний вопрос уже сложнее, потому что, во-первых, нужно рас-
смотреть все возможные случаи взаимного расположения трёх данных то-
чек (их два: три точки могут принадлежать или не принадлежать одной
прямой), а во-вторых, сначала нужно определить множества точек, равно-
удалённых от каждой пары данных точек. В первом случае получаем пус-
тое множество, а во втором - искомое множество, состоящее всего из од-
ной точки.
- Как она расположена по отношению к треугольнику, вершинами
которой являются данные точки?
Ответ: если треугольник - остроугольный, то внутри него, если пря-
моугольный, - то совпадает с серединой гипотенузы, если тупоугольный, -
вне треугольника.
Для самостоятельного ответа на последний вопрос удобнее органи-
зовать лабораторную работу.
Та же серия вопросов повторяется, когда речь идёт о трёх данных
прямых.
Что представляет собой множество точек, удаленных от данной пря-
мой на данное расстояние?
Ответ: Пара параллельных прямых, лежащих по разные стороны от
данной прямой на одинаковом расстоянии от неё.
- А множество точек, равноудалённых от двух данных прямых?
Это зависит от взаимного расположения данных прямых. На плоско-
сти они могут быть параллельными, либо пересекающимися. Совпадаю-
щие прямые исключаются. Выполняется соответствующее построение.
- А множество точек, равноудалённых от трёх данных прямых?
Здесь получается большее число вариантов взаимного расположения
данных прямых: все три прямые параллельны между собой; две парал-
лельные прямые пересечены третьей; прямые попарно пересекаются; все
три прямые пересекаются в одной точке.
Возможен вопрос: Существует ли вариант, когда две из данных пря-
мых пересекаются, а третья им параллельна?
Случай, когда данные прямые попарно пересекаются, образуя тре-
угольник, рассматривается сильными по математике учащимися. Ответом
будут четыре точки: центр окружности, вписанной в треугольник, и цен-
тры трёх вневписанных окружностей.
31
При изучении задач на построение учащиеся должны усвоить схему,
по которой обычно решают задачи такого вида, с выделением четырёх эта-
пов: анализа, построения, доказательства и исследования.
При анализе предполагается, что задача решена, искомая фигура по-
строена. Выполняется чертёж, соответствующий условию задачи, пользу-
ясь которым, ученики пытаются найти связь между её искомыми и дан-
ными.
Чтобы выделить данные, условия и вспомогательные построения,
удобно их изображать разным цветом, а при наличие одного цвета - выде-
лять жирной или штриховой линией необходимые элементы.
Типичной ошибкой учащихся при решении задач на построение яв-
ляется часто принятие желаемого за действительное, поэтому иногда уче-
нику кажется, что решение найдено, на самом же деле он принял искомый
элемент за данный. По этой причине, если в процессе анализа ход решения
задачи определён, то на очередном этапе (построение) чертёж следует де-
лать заново.
Данными задачи на построение в отличие от остальных геометриче-
ских задач обычно являются не числа, а геометрические объекты: точки,
прямые, углы, лучи, геометрические фигуры разного вида. Среди данных
бывают и числа. Например, коэффициент подобия, радиус окружности.
Данные задачи записываются не сразу после её прочтения, а после
анализа, копируя данные отрезки, углы, другие фигуры с чертежа анализа.
Если этого не делать, можно не заметить варианты условий, когда задача
неразрешима. Например, гипотенуза во вспомогательном треугольнике
может оказаться короче катета в этом же треугольнике.
Этап «доказательство» на уроке проводится не всегда, так как неред-
ко основную часть логических обоснований проводят на этапе «анализ»,
иногда же его проводят устно, экономя время на записи. Этап «исследова-
ние» может быть проведён с учётом уровня знаний учащихся класса. Сла-
бым школьникам достаточно одного решения, более сильным предлагается
ответить на вопросы: может ли задача не иметь решений? сколько реше-
ний она имеет и от чего зависит число решений? Наконец, более способ-
ным учащимся предлагается выявить все возможные частные случаи ре-
шения задачи, сделать обобщение или выдвинуть гипотезу о возможности
дальнейшего использования результата решения задачи или метода её ре-
шения.
В 8 - 9 классах в связи с изучением метрических соотношений в тре-
угольнике, подобия фигур, деления отрезка на пропорциональные части,
введения тригонометрических функций острого угла прямоугольного тре-
угольника обращается внимание учащихся на возможность построения от-
резка х по следующим формулам: х = а±Ь; х = ~; х = ха2 + Ь2 ;
и
32
/ 2 ,2 г ab а	.а
x = yja -b ; x = ylab; x =—; x = — ; или угла а, такого что sina = —;
c b	с
b к
cosa = —, где a, b, с - данные отрезки, а и - число частей, на которые тре-
с
буется разделить данный отрезок.
Дальнейшие геометрические построения на плоскости, выполняемые
на уроках в массовой школе, не представляют сложности. Это построение
точек по их координатам [18] и фигуры по её уравнению; построения, свя-
занные с геометрическими преобразованиями фигур на плоскости, с темой
«Векторы», построение некоторых правильных многоугольников.
Координатный метод, как известно, позволяет реализовать связи ме-
жду алгеброй и геометрией. Учащиеся на уроках геометрии строят окруж-
ность по её уравнению, а на уроках алгебры - параболу или гиперболу по
их уравнениям. В системе углублённого изучения математики школьники
умеют строить эллипс, гиперболу, параболу по их каноническим уравне-
ниям, решать задачи на отыскание геометрических мест точек координат-
ным методом, то есть составлять уравнение искомого ГМТ и по нему оп-
ределять вид геометрического места точек.
Решение задач на построение методом геометрических преобразова-
ний учащиеся выполняют только в системе углублённого изучения мате-
матики. По теме «Векторы» школьники должны уметь строить сумму, раз-
ность двух векторов, выполнять построения при решении задач по физике
с применением векторов.
На уроках учащиеся умеют строить правильные многоугольники,
вписанные в окружность и описанные около окружности. Вывод и исполь-
зование формул для вычисления сторон правильного, вписанного в окруж-
ность данного радиуса: восьмиугольника, двенадцатиугольника, пяти-
угольника, десятиугольника известны только учащимся, занимающимся
математикой углублённо.
Примеры интересных задач на построение приводит Е. С. Канин [61]
и М. Ю. Шуба [7]: задачи на пересечение и объединение фигур, на восста-
новление фигур, на построение с различными ограничениями.
Примеры
1.	Может ли пересечение двух треугольников быть: а) отрезком;
б) треугольником; в) четырёхугольником? Ответ аргументировать и иллю-
стрировать чертежом.
2.	Восстановить треугольник по трём точкам — серединам его
сторон.
3.	Построить серединный перпендикуляр к отрезку, расположенно-
му на самом краю листа (доски).
4.	Равносторонний треугольник частично стёрт. Осталась одна его
сторона и прилежащий к ней угол. Восстановить треугольник.
33
5.	Градусная мера угла АВС равна 56°. С помощью циркуля и ли-
нейки построить угол 28°, не проводя биссектрису данного угла.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [13, 19. 21, 33, 34, 35, 38,
55, 62,63].
1.	7. Методика изучения преобразований фигур
Данную тему можно считать одной из тем, неудачно представленных
программой и плохо изложенной в школьных учебниках. Она была одной
из ведущих в колмогоровских учебниках 70-х годов прошлого века, когда
вся геометрия базировалась на преобразованиях. Аналогом геометриче-
ских преобразований в алгебре были функции. После апробации колмого-
ровских учебников по геометрии было установлено, что данная тема не
должна быть ведущей. На её изучение отводится слишком много времени,
а после окончания школы учащимся она будет почти не нужна, а приго-
дится лишь будущим научным работникам, которые пойдут после оконча-
ния школы в университеты на математический факультет с преимущест-
венным изучением геометрии. Таких - единицы. Между тем чрезмерная
трата времени на названную тему привела к тому, что школьникам недос-
тавало времени на изучение таких практически важных тем, как, например,
построение сечений, решение задач по стереометрии с применением три-
гонометрии и других.
Векторы определялись как параллельный перенос. Данная тема была
введена в школьный курс математики, чтобы её изучение помогло физи-
кам. Между тем при таком определении вектора, наоборот, физика разоб-
щалась с математикой. Школьникам казалось, что определение вектора в
математике и определение вектора в физике — определения совершенно
разных объектов, почему-то одинаково названных.
Названные «несоответствия» требовали отказаться от геометриче-
ских преобразований в качестве базовых понятий, поэтому первым из всех
математических учебников был заменён учебник геометрии на учебники за
авторством А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и других. Геометрические
преобразования оказались вообще «не у дел». В новых учебниках эта тема
начала излагаться отдельно от других. Она очень мало, где используется в
дальнейшем, проверочные работы показывают, что её ученики плохо ус-
воили. Студенты знают только определение движения, осевую и централь-
ную симметрию на чисто наглядном уровне. Они не помнят ни способов
задания разных видов движений, ни точки или прямые, переходящие сами
в себя при заданных видах движения. Они не умеют осуществить поворот
окружности, не говоря уже о более сложных фигурах.
В основном более подробное изучение темы «Методика преобразо-
ваний фигур» на плоскости и в пространстве предлагается в системе уг-
лублённого изучения математики: в специализированных математических
классах, на занятиях факультатива, при индивидуальной работе с сильны-
34
ми по математике учащимися в обычных классах, занимающихся по базо-
вой программе.
Определения отображения плоскости на себя [44] или преобразова-
ния фигур [28], предлагаемые учебниками, нельзя считать вполне удовле-
творительными. «Представим себе, что каждой точке плоскости сопостав-
ляется (ставится в соответствие) какая-то точка этой же плоскости, причём
любая точка плоскости оказывается сопоставленной некоторой точке. То-
гда говорят, что дано отображение плоскости на себя» [44, с. 293]. Здесь
много неопределённого. Во-первых, каждой точке плоскости сопоставля-
ется точка этой же плоскости, не «какая-то», а по определённому закону.
Например, названный закон формулируется так:
Пусть дана на плоскости прямая s, называемая осью симметрии. То-
гда каждой точке А плоскости поставлена в соответствие точка А1 такая,
что выполняются следующие два условия. 1) АА1 ± s; 2) если AAt n s = Ао,
то ААо = A<y4t. Такой строгости формулировки в учебнике [44] нет. Над оп-
ределением следует ещё поработать, показать рисунки с примерами и
контрпримерами и разъяснить, что если хотя бы одно из названных усло-
вий не выполняется, то данное отображение не будет осевой симметрией.
Во-вторых, требуется пояснить, что значит отображение и ото-
бражение плоскости на себя.
В-третьих, возникает вопрос, требующий контрпримера, а можно ли
каждой точке плоскости сопоставить некоторую точку той же плоскости,
но это сопоставление не будет отображением или не будет отображением
плоскости на себя?
Подобные же неясности мы встречаем в учебнике геометрии
А. В. Погорелова: «Если каждую точку данной фигуры сместить каким-
нибудь образом, то получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура полу-
чена преобразованием из данной» [28, с. 137]. Во-первых, точку надо сме-
стить не «каким-нибудь образом», а по определённому закону. Во-вторых,
в процессе смещения точки не выходят за пределы плоскости. В-третьих, а
можно ли сместить точки таким образом, что получится нечто, не являю-
щееся преобразованием?
Поэтому названные определения, мягко говоря, лишены строгости. И
чем создавать впечатление строго логического (аксиоматического) изло-
жения школьного курса геометрии, лучше предпочесть наглядно-
интуитивный путь.
Чтобы у школьников сложились чёткие представления о каждом из
видов движения, нужно установить закон, по которому совершается ото-
бражение плоскости на себя, сохраняющее расстояние между двумя точ-
ками.
Центральная симметрия задаётся точкой (О), называемой центром
симметрии. Тогда каждой точке А плоскости ставится в соответствие точ-
ка той же плоскости .Д по следующему закону: 1) точки А и Л1 лежат на
одной прямой по разные стороны от О; 2) ОА = О Л{. Достаточно одному
35
из названных условий не выполняться, как указанное соответствие уже не
будет именоваться центральной симметрией.
Итак, изучая каждый вид движения, учащиеся должны уметь пра-
вильно формулировать определение и знать основные способы задания то-
го или иного вида движения. Например, осевая симметрия задаётся осью,
но может быть задана и парой соответствующих точек, так как тогда мож-
но будет построить ось симметрии. Аналогично - о центральной симмет-
рии. Но с названными видами движений учащиеся были ранее более или
менее знакомы. Хуже усваивается поворот. Он задаётся точкой, величиной
угла поворота и направлением поворота (по или против часовой стрелки).
Иногда направление поворота не задаётся. Может ли поворот бьггь задан
двумя соответствующими точками? А двумя точками и центром поворота?
Центр поворота нельзя брать произвольно. Он должен быть расположен на
середине перпендикуляра к отрезку с концами в соответствующих точках.
Поворот является движением, он сохраняет расстояние между двумя точ-
ками. Центральная симметрия, более близкая учащимся, является частным
случаем поворота на угол 180°. Поворот является движением. В учебнике
Л. С. Атанасяна с соавторами это доказывается отдельной теоремой [44,
с. 301, 302], а в учебнике геометрии А. В. Погорелова это отражено в фор-
мулировке определения поворота [28, с. 143].
Учащиеся не только должны уметь строить образы точек в каждом
из названных видов движений, но и в порядке выполнения упражнений на-
ходить двойные точки, прямые, фигуры при данном движении, то есть
точки, прямые и фигуры, переходящие при данном движении в самих себя.
Так, в осевой симметрии такими точками будут все точки оси симметрии, а
двойные прямые существуют двух видов. Кроме оси симметрии переходит
сама в себя любая прямая, ей перпендикулярная, но каждая точка такой
прямой, кроме точки, лежащей на оси симметрии, сама в себя не пере-
ходит.
Точки окружности при повороте с центром, совпадающим с центром
этой окружности, на любой угол в любом направлении переходят в точки
той же окружности, а значит, вся окружность переходит сама в себя.
В условиях углублённого изучения математики открывается широ-
кий простор для дальнейшего изучения геометрических преобразований.
Для движений это:
•	построение образов простейших геометрических фигур;
•	выявление преобразований, обратных данным, и их свойств;
•	композиция движений;
•	координатное задание движений;
•	решение задач на построение и доказательство методом геомет-
рических преобразований.
Простейшим случаем композиции движений является композиция
двух осевых симметрий. Здесь далеко не безразлично взаимное располо-
жение осей симметрии. Если они взаимно-перпендикулярны, то компози-
36
цией двух осевых симметрий будет центральная симметрия. Если оси на-
клонены друг к другу под углом, отличным от прямого, композицией осе-
вых симметрий будет поворот. Наконец, если оси параллельны, результа-
тивным движением будет параллельный перенос.
Из формул элементарных движений наиболее сложными являются
формулы поворота в общем виде. Полезно рассматривать их упрощение,
если угол поворота равен 0°, 90°, 180°.
В системе углублённого изучения математики показывается метод
геометрических преобразований в решении задач на построение, что явля-
ется частью мотивации необходимости изучения данной темы. Названный
метод характеризуется так: данную фигуру или её часть подвергают опре-
делённому виду геометрического преобразования, после чего она занимает
новое положение на чертеже, позволяющее найти одну из «узловых» точек
искомой фигуры. Подобная характеристика метода слишком общая и не
отличается наглядностью, поэтому суть метода целесообразно показывать
на задачах, при решении которых используется движение конкретного
вида.
Примеры
1.	Дан острый угол АОВ и внутри него точка М. На сторонах угла
найти такие точки К и Р, чтобы периметр треугольника КРМ был наи-
меньшим (осевая симметрия).
2.	Построить трапецию по четырём её сторонам (параллельный пе-
ренос).
3.	Даны три параллельные прямые. Построить равносторонний тре-
угольник, вершины которого лежат на данных прямых (поворот).
При углублённом изучении математики устанавливается связь меж-
ду понятиями движение и равенство фигур. Из курса математики 5 класса
известно, что две фигуры называются равными, если их можно наложить
одну на другую. Понятие наложения не определено. В 9 классе можно до-
казать, что любое движение является наложением, и наоборот, любое на-
ложение является движением плоскости [44, с. 298].
«Гомотетия и подобие» - тема традиционная. Собственно, в «докол-
могоровских» учебниках существовала тема «Подобие».
Исследование преобразования подобия и его частного случая — гомо-
тетии можно осуществлять по схеме для движений, описанной выше. К
числу наиболее важных подтем данной темы относятся признаки подобия
треугольников. Учащиеся должны их правильно формулировать, доказы-
вать и использовать при решении задач. Полезны таблица сопоставления
признаков подобия и признаков равенства треугольников, выявление того
факта, что равные фигуры можно рассматривать как подобные с коэффи-
циентом подобия, равным 1.
Очень важными являются следующие задачи-теоремы о пересечении
окружности двумя пересекающимися прямыми.
37
Если точка пересечения данных прямых S находится внутри данной
окружности, а прямые пересекают окружность соответственно в точках А и
В,Си£>,то AS  BS = CS  DS.
Если из точки S, лежашей вне данной окружности, провести к этой
окружности две секущие SAB и SCD, где А и В, С и D - точки пересечения
секущей с окружностью, то произведение длин отрезков каждой секущей
равны, то есть AS  BS = CS- DS.
Наконец, если из точки S, лежащей вне данной окружности, провести
к этой окружности секущую SAB и касательную SC, то произведение длин
отрезков секущей равно квадрату длины отрезка касательной, то есть
SASB = SC2.
При работе с сильными по математике учащимися и в условии уг-
лублённого изучения математики целесообразно обобщение этих задач.
Методом подобия решаются два вида задач на построение. Решение
одной из них часто сводится к построению треугольника по двум его эле-
ментам и отношению двух других (последнее определяет коэффициент по-
добия при решении). В задачах второго вида в одну из данных фигур нуж-
но вписать другую.
Примеры
1. Построить ромб по отношению диагоналей т: и и высоте h.
2. В данный треугольник вписать квадрат так, чтобы две его верши-
ны находились на основании треугольника, а две другие - на его боковых
сторонах.
Решение первой из названных задач сводится к построению прямо-
угольного треугольника (четверти ромба), две стороны которого - полови-
ны диагоналей ромба, а третья - сторона ромба.
Особенность в решении задач на построение методом подобия (го-
мотетии) состоит в том, что одно из условий задачи временно отбрасыва-
ется и строится фигура, удовлетворяющая остальным условиям задачи. Та-
ких фигур, вообще говоря, можно построить, сколько угодно. Выбирается
одна из них.
При решении первой из названных задач отбрасывается условие: вы-
сота треугольника равна h и строится треугольник с отношением длин сто-
рон mtn. Во второй задаче строится квадрат, две вершины которого лежат
на основании данного треугольника, третья - лежит на его боковой сторо-
не, а четвёртая — где угодно.
Искомая фигура, то есть фигура, которую требуется построить, будет
подобна построенной вспомогательной фигуре. При её построении учиты-
вается отброшенное ранее условие задачи.
В старших классах изучаются преобразования фигур в пространстве.
При активном использовании аналогии с преобразованиями фигур на
плоскости целесообразно обратить внимание на следующее. Помимо ос-
новных геометрических объектов - точек и прямых - вводится плоскость.
Её появление вводит некоторые видоизменения в изучении названной те-
38
мы. Во-первых, существуют три вида симметрии в пространстве - симмет-
рия относительно: точки, прямой и плоскости. Разные виды симметрий бу-
дут полезными при изучении параллелепипеда и некоторых видов пра-
вильных многогранников. Во-вторых, при изучении каждого вида геомет-
рических преобразований в пространстве следует обратить внимание на
образы плоскостей при данных преобразованиях.
В условиях углублённого изучения математики могут быть изучены
растяжение, сжатие, инверсия на плоскости, аффинные преобразования
плоскости и продолжено исследование использования метода преобразо-
ваний в решении геометрических задач.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [13, 35, 36, 64, 65, 66, 67,
68,69, 70,71,72, 73,74].
1.8. Методика изучения темы «Многоугольники»
Понятие многоугольника в альтернативных школьных учебниках
вводится по-разному. Логично изучать треугольники, четырёхугольники, а
затем как обобщение этих фигур — п-угольники или многоугольники. По та-
кому пути идут авторы учебника [44]. В учебнике геометрии А.В. Погоре-
лова четырёхугольники изучаются в восьмом классе, а многоугольники -
в девятом. Многоугольник определяется как простая замкнутая ломаная,
никакие соседние звенья которой не лежат на одной прямой.
В учебнике геометрии [44] строгого определения многоугольника не
даётся, предварительно понятия ломаной не вводится. Но судя по описа-
нию, это фигура, составленная из отрезков, не лежащих на одной прямой и
взаиморасположенных так, что несмежные отрезки не имеют общих точек.
Многоугольник представляется сначала каркасной фигурой, разделяющей
плоскость на две части - внешнюю и внутреннюю. Строгого определения
этих областей не даётся, они показываются на рисунке. Каркасный много-
угольник вместе с его внутренней областью тоже именуется многоуголь-
ником.
Очевидно чтобы не давать одно и то же название несколько разным
понятиям, А В Погорелов вводит понятие плоского многоугольника. Это
конечная часть плоскости, ограниченная многоугольником.
В. А. Гусев понятие многоугольника вводит в учебное пособие по
геометрии для 5-6 классов сначала на наглядно-интуитивной основе, а за-
тем даёт строгое определение: «Объединение замкнутой ломаной и огра-
ниченной ею части плоскости называется многоугольником» [6, с. 197].
Автор названного пособия показывает различие внешней и внутренней об-
ласти многоугольника. Если точки лежат в одной области, то их можно со-
единить отрезком или ломаной, не пересекающей ломаную, ограничиваю-
щую многоугольник. Для точек разных областей такого сделать нельзя. Во
внешней области всегда найдётся прямая, которая целиком расположена в
этой области, то есть не пересекает границу многоугольника - замкнутую
39
ломаную. А во внутренней области такой прямой нет. Выясняется, какое
наименьшее число сторон может иметь многоугольник.
В.А. Гусев позволяет учащимся в размышлениях о понятии много-
угольника смело выйти за пределы плоскости (могут ли вершины много-
угольника находиться в разных плоскостях?), после чего опускает полёт
фантазии школьников снова на плоскость: многоугольник - плоская фигу-
ра. Другое обращение к стереометрии (трёхмерному пространству) у того
же автора - демонстрация многогранников, гранями которых являются
различные многоугольники. Позднее параллельно с понятием правильного
многоугольника В. А. Гусев вводит понятие правильного многогранника с
изображением пяти видов правильных многогранников, вводит понятие
многогранников и показывает развёртки простейших многогранников.
Тема «Многоугольники» изобилует определениями понятий разных
видов многоугольников. Таковы: многоугольник, простой многоугольник,
плоский многоугольник, выпуклый и невыпуклый многоугольник, правиль-
ный многоугольник, внутренняя и внешняя область многоугольника и т. д.
Поэтому названную тему сложно изложить проблемно. При работе над
формулировками многочисленных определений целесообразно приводить
примеры и контрпримеры, предлагать школьникам упражнения с рисунка-
ми на распознавание многоугольников определённого вида.
В теме «Четырёхугольники» изучаются параллелограмм, трапеция и
их частные виды: прямоугольник, ромб, квадрат, равнобокая (равнобочная,
равнобедренная) трапеция, прямоугольная трапеция и т. д.
Важно распознавать свойства и признаки названных фигур. Свойст-
ва фигур доказываются с помощью теорем. Например: «Если четырёх-
угольник - ромб, то его диагонали взаимно-перпендикулярны» или «Диа-
гонали параллелограмма, пересекаясь, делятся точкой пересечения попо-
лам». Если истинны прямая и обратная теорема о свойстве некоторого
объекта изучения, то это свойство является характеристическим свойст-
вом объекта изучения или его признаком [1, с. 25]. Так, свойство паралле-
лограмма о пересечении его диагоналей является его характеристическим
свойством, или признаком. Свойство же ромба о перпендикулярности его
диагоналей таковым не является, так как обратное предложение не верно, —
существуют четырёхугольники, не являющиеся ромбами, диагонали кото-
рых взаимно-перпендикулярны.
В порядке выполнения упражнений исследовательского характера
школьники последовательно выявляют свойства и признаки параллело-
грамма и его частных случаев: прямоугольника, ромба, квадрата.
В работе с сильными по математике учащимися полезно отметить,
что любой из признаков геометрической фигуры (вообще объекта изуче-
ния) может быть положен в основу определения этой фигуры. Тогда то её
свойство, которое раньше лежало в основе определения, можно доказать
как теорему. Например, параллелограмм можно определить как четырёх-
угольник, противоположные стороны которого равны, тогда параллель-
40
ность противоположных сторон параллелограмма становится его призна-
ком и может быть доказана как теорема.
Заметим, что при формулировании подобных определений учащиеся
могут делать ошибки, нарушая требования, предъявляемые к определени-
ям. Например, предложение - «Если диагонали четырёхугольника равны,
то такой четырёхугольник является прямоугольником» — неверно, так как
диагонали равны и в равнобедренной трапеции. Ошибка легко обнаружи-
вается приведением контрпримера. Причина ошибки в нарушении требо-
вания родовидового подчинения: указывая вид, следует назвать родовое
понятие, непосредственно следующее за этим видовым (параллелограмм).
«Если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм -
ромб», - это истинное предложение.
Следует помнить, что прямоугольник, являясь частным случаем па-
раллелограмма, обладает всеми свойствами параллелограмма. То же мож-
но утверждать о ромбе. Квадрат, являясь частным случаем и прямоуголь-
ника, и ромба, обладает всеми свойствами этих фигур.
Из четырёхугольников, не являющихся параллелограммами, специ-
альному изучению подлежит трапеция - четырёхугольник, у которого две
стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
Среди свойств трапеции особое место занимает теорема о средней
линии трапеции, перед доказательством которой актуализируются знания
школьников о средней линии треугольников.
Свойства равнобедренной трапеции изучаются в процессе решения
следующей многокомпонентной задачи.
Доказать, что в равнобедренной трапеции а) углы при каждом осно-
вании равны; б) диагонали равны.
Справедливо и обратное предложение: «Если в трапеции а) углы при
основаниях равны; б) диагонали равны, то такая трапеция является равно-
бедренной».
Наряду с задачами на доказательство, вычисление, исследование,
желательны задачи на построение, чтобы на одну и ту же тему посмот реть
с разных точек зрения. Среди геометрических задач названных видов
удобно находить аналоги.
Примеры
I. В равнобедренной трапеции АВСД длина основания АД равна
10 см, угол А равен 60°, а боковая сторона АВ равна 4 см. Вычислить вто-
рое основание трапеции и угол В.
2. Построить равнобедренную трапецию АВСД по основанию АД,
углу .4 и боковой стороне АВ.
Сильным по математике учащимся можно предложить придумать и
сформулировать аналоги задач каждого из названных видов. То же касает-
ся задач о параллелограммах и их частных видов.
41
Из «-угольников для изучения в общеобразовательной школе берут-
ся только выпуклые многоугольники. Практикуются два определения вы-
пуклых многоугольников.
Определение 1. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит
в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей его сторону.
Определение 2. Многоугольник называется выпуклым, если любые
две точки его внутренней области можно соединить отрезком, не пересе-
кающим стороны этого многоугольника.
Чаще в ныне действующих школьных учебниках встречается опре-
деление 1. Нетрудно убедиться в том, что все четырёхугольники, изучен-
ные школьниками, являются выпуклыми многоугольниками. В системе уг-
лублённого изучения математики можно рассмотреть невыпуклый четы-
рёхугольник и изучить его свойства.
Среди наиболее важных теорем рассматриваемой темы — теорема о
сумме внутренних углов выпуклого «-угольника и о сумме его внешних
углов. Первая из них может быть доказана двумя способами, каждый из
которых основан на разбиении «-угольника на треугольники. В первом
случае это разбиение производят, соединяя одну из вершин многоугольни-
ка с остальными, не смежными с ней вершинами (разбиение диагоналями).
Во втором случае произвольную точку, лежащую внутри многоугольника,
соединяем с каждой из его вершин. Далее — идея доказательства одинако-
вая для этих двух вариантов. Зная формулу суммы внутренних углов тре-
угольника, находят сумму всех внутренних углов треугольников разбиения
и вычитают величину суммы тех углов, которые не являются частью
внутренних углов данного многоугольника.
При формулировке определения внешнего угла «-угольника следует
помнить о том, что при каждой вершине многоугольника существуют два
внешних угла, являющихся вертикальными между собой. При доказатель-
стве теоремы о сумме внешних углов выпуклого «-угольника следует пом-
нить, что при каждой стороне данного многоугольника должен учитывать-
ся только один внешний угол многоугольника (рис. 8, а). При нарушении
этого требования формула будет неверной (рис. 8, б).
Верно
Рис 8
Неверно
42
Изучение вписанных в окружность и описанных около окружности
многоугольников начинается с треугольника. Около всякого треугольника
можно описать окружность и всякий треугольник может быть описан око-
ло окружности. Это предложение справедливо по отношению не ко всяко-
му четырёхугольнику. Например, из всех прямоугольников только в квад-
рат можно вписать окружность. Если сумма противоположных углов че-
тырёхугольника не равна 180°, то его нельзя вписать в окружность.
Выявляя условия возможности вписать в четырёхугольник окруж-
ность или описать около него окружность, школьники доказывают сле-
дующие пары взаимно-обратных утверждений:
•	в любом описанном четырёхугольнике суммы противоположных
сторон равны;
•	если суммы противоположных сторон выпуклого четырёхугольника
равны, то в него можно вписать окружность;
•	в любом вписанном четырёхугольнике сумма противоположных уг-
лов равна 180°;
•	если сумма противоположных углов четырёхугольника равна 180°,
то около него можно описать окружность.
В связи с необходимостью строгого вывода формул длины окружно-
сти и площади круга в 9 классе изучаются правильные п-угольники, впи-
санные в окружность или описанные около окружности. В связи с этим до-
казываются теоремы о возможности описать окружность около любого
правильного многоугольника и о возможности вписать окружность в лю-
бой правильный многоугольник. Выводятся формулы для радиусов впи-
санных и описанных окружностей правильных многоугольников в зависи-
мости от длины сторон этого многоугольника и формулы выражения длин
сторон правильного многоугольника через радиусы вписанной и описан-
ной окружностей. Решаются задачи на построение правильных много-
угольников с помощью циркуля и линейки, рассматриваются многоуголь-
ники, вписанные в окружность. Обычно ограничиваются правильным тре-
угольником, четырёхугольником (квадратом) и шестиугольником.
Пользуясь удвоением числа сторон правильного многоугольника,
можно построить правильные 8-угольник, 16-угольник, ..., 2*-угольник,
где к — целое число, большее двух.
С сильными по математике учащимися и в специализированных ма-
тематических классах можно вывести формулы для вычисления сторон
правильного 8-угольника, 12-угольника, 5-угольника, 10-угольника. Сооб-
щается информация о том, что не всякий правильный многоугольник мож-
но построить с помощью циркуля и линейки. Например, такое построение
невыполнимо для правильного 7-угольника [75]. Тем не менее правильный
17-угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки. Это от-
крытие сделал Гаусс [76, с. 132]. Знаменитый правильный 17-угольник был
построен на могиле великого математика.
43
При решении стереометрических задач о вписанных и описанных
многогранниках и круглых телах нередко удобно использовать планимет-
рический чертёж, содержащий изображение вписанного или описанного
многоугольника. Соответствующие задачи представлены в книгах
Т.Т. Фискович «Геометрия без репетитора» и «Геометрия для старше-
классников и абитуриентов».
Примеры
Задача 1. Около шара радиуса г описана правильная шестиугольная
призма. Определить её полную поверхность [58, задача 15, с. 114].
На чертеже представлен правильный шестиугольник, описанный
около окружности, с отрезком, соединяющим её центр с точкой касания
стороны шестиугольника.
Задача 2. Около шара описана произвольная четырёхугольная усе-
чённая пирамида, у которой стороны основания равны тип. Определить
отношение объёмов пирамиды и шара и расстояние между точками проти-
воположных граней [58, задача 16, с. 114].
На чертеже представлено изображение равнобочной трапеции со
вписанной в неё окружностью, точки касания которой с боковыми сторо-
нами соединены отрезком и проведены радиусы в эти точки касания.
В системе углублённого изучения математики возможно ознакомле-
ние школьников с невыпуклыми многоугольниками, звездчатыми пра-
вильными многоугольниками.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [34, 67, 48, 12, 13, 35, 61,
77,23, 55, 56, 59, 78].
1.	9. Метод координат в школьном курсе математики
Системы координат, изучаемые в 5 — 6 классах: числовой луч, коор-
динатная прямая, декартова прямоугольная система координат.
Тема «Метод координат» не является традиционной. Она появляется
в колмогоровских учебниках в 70-х годах XX века, её роль в обучении
школьников математике чрезвычайно велика. Возможность решить гео-
метрическую задачу не только «синтетически», но и координатным мето-
дом позволяет учащимся на одни и те же факты посмотреть с разных точек
зрения, тем самым глубже понять сущность математики, почувствовать
тесную связь геометрии и алгебры. Правильнее эту тему назвать не «Ме-
тод координат», а «Декартовы координаты на плоскости», поскольку, во-
первых, школьники изучают только декартовы координаты, а во-вторых,
самим координатным методом они широко пользуются лишь при углуб-
ленном изучении математики.
Изучение темы начинается с решения двух простейших задач в ко-
ординатах: вывод формул координат середины отрезка и расстояния между
двумя точками.
44
В учебнике геометрии А. В. Погорелова [28] сначала изучается ме-
тод координат, а затем векторы, а в учебнике Л. С. Атанасяна с соавторами
[44] тема, предшествующая методу координат, «Векторы». Поэтому следу-
ет обращать особое внимание на подбор упражнений, взятых не из основ-
ного учебника. При их выполнении может быть ссылка на материал, с ко-
торым школьники ещё не знакомы.
Декартовы прямоугольные координаты используются при решении
задач:
•	на установление вида кривой (фигуры) путём составления её
уравнения;
•	на отыскание точек пересечения фигур путём совместного реше-
ния уравнений этих фигур.
Сущность метода координат хорошо показывается на примере реше-
ния задачи составления уравнения окружности, произвольно расположен-
ной относительно системы координат. Последовательность учебных дей-
ствий рекомендуется записать отдельно в рабочую тетрадь учащегося.
Дана окружность радиуса г с центром в точке С (а; Ь). Составить её
уравнение.
Ход решения
На фигуре, уравнение которой требуется составить, выбираем произ-
вольную точку М, координаты которой обозначаем (х; у). Составить урав-
нение фигуры — значит, записать условия, связывающие данные о фигуре и
координаты произвольной её точки. Радиус окружности г можно выразить
другим способом: г = -J(x-a)2 + (у-Ь)2 , поэтому
(х-а)2 +(у-Ь)2 =г2.	(♦)
Если точка М(х,у) лежит на окружности, то её координаты удовле-
творяют равенству (♦).
Будет ли равенство (♦) уравнением окружности? Утвердительный
ответ ошибочен, так как, может быть, помимо точек, лежащих на окружно-
сти, равенству (♦) могут удовлетворять и координаты некоторых точек, не
лежащих на окружности. Поэтому необходимо доказательство обратного
предложения:
Если координаты точки Р(хр',ур) удовлетворяют уравнению (*), то
эти точки лежат на окружности радиуса г с центром в точке С(а; Ь).
Докажем это.
Пусть координаты точки Р(хр;ур) удовлетворяют уравнению (♦), то
есть (хр - af + {у р -bf = г2, г- расстояние от точки Р до С, но это радиус
окружности. Предложение, обратное данному, доказано. Теперь можно ут-
верждать, что равенство (♦) - уравнение окружности с центром в точке
C(tz; b) и радиусом г. Отмечаем, что это уравнение второй степени.
45
Тот факт, что уравнение (*) можно упростить, если центр окружно-
сти расположить либо на одной из координатных осей, либо в начале ко-
ординат, учащиеся могут доказать самостоятельно в процессе выполнения
следующих упражнений теоретического характера.
Составить уравнение окружности радиуса г с центром в точке:
а) С(а; 0); б) D(0; b); с) 0(0; 0).
Уравнения записываются на плакате или в рабочих тетрадях уча-
щихся для запоминания.
Речь шла об упрощении уравнения окружности, а может ли оно быть
более сложным, чем уравнение (*)? Соответствующий пример показан в
учебнике [28, с. 125], его можно несколько упростить.
Какая геометрическая фигура задана уравнением
х2 + у2 + 2ах + 2Ьу + с = 0 ?
Преобразуем уравнение, выделив полный квадрат:
(х2 + 2ах + а2 )+(у2 + 2Ьу + Ь2)= а2 +Ь2 -с;
(х + а)2 + (у + b)2 = г2, где г = Уа2 + Ь2 - с .
Если а2 + Ь2 - с > 0, то получаем уравнение окружности с центром
в точке (а; Ь) и радиусом г.
Уравнение прямой ax + by + c = Q может быть составлено по рас-
смотренной ранее схеме (для окружности), если ввести некоторые допол-
нительные условия: эта прямая является серединным перпендикуляром к
отрезку АВ, если Л(х(; yt); Д(х2; у2) [44, п. 92] . Пусть М(х,у) - произволь-
ная точка данной прямой. Тогда, так как любая точка серединного перпен-
дикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка, то AM = МВ или
AM2 = МВ2, и, следовательно,
(х - Л,)2 + (у - у,)2 = (х - х2)2 + (у - у2)2.	(**)
Преобразовав уравнение (**), группируя члены, содержащие х, у и
свободные члены, и обозначив коэффициент при х как а, коэффициент при
у как Ь и свободный член с, получим: ах + by + с - 0.
Далее доказывается обратное предложение:
Если координаты некоторой точки Р(хр;ур) удовлетворяют уравне-
нию (**), то точка принадлежит прямой - серединному перпендикуляру к
отрезку АВ.
Итак, уравнение прямой в прямоугольной системе координат являет-
ся уравнением первой степени и в общем виде таково: ах + by + с = 0.
Далее рассматриваются частные случаи этого уравнения, когда оно
упрощается при особом расположении прямой относительно системы ко-
ординат:
а = 0; ct 0 (прямая параллельна оси абсцисс);
46
Ь = О;а*О;с*О (прямая параллельна оси ординат);
с = 0; а *0; Ь*о (прямая проходит через начало координат);
а = 0, с = 0; Ь*0 (прямая совпадает с осью абсцисс);
Ъ = 0; с = 0; а*0 (прямая совпадает с осью ординат);
а = 0; b = 0; с* 0 не годится, так как получается противоречие: с = 0.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом'. у-кх + Ь.
Частные случаи:
b = 0; к ф 0 (прямая проходит через начало координат);
к ~ 0; b ф 0 (прямая параллельна оси абсцисс);
к = 0; b = 0 (прямая совпадает с осью абсцисс).
Решая совместно уравнение прямой ах + Ьу + с = 0 по очереди с
уравнениями координатных осей, получаем координаты точек пересечения
прямой с координатными осями. Тогда можно определить длины отрезков,
отсекаемых прямой от координатных осей, и в зависимости от знаков, - в
какой части каждой оси состоится пересечение.
С уравнением прямой учащиеся знакомы из курса алгебры, поэтому
удобно осуществление актуализации знаний учащихся по данному вопросу
из курса алгебры.
Взаимное расположение двух прямых исследуется с помощью реше-
ния системы уравнений данных прямых.
Взаимное расположение окружности и прямой и двух окружностей
уже изучалось учащимися основной школы в курсе геометрии ранее. Те-
перь проводится соответствующее исследование с помощью координатно-
го метода: решением системы уравнений прямой и окружности или двух
окружностей. Если предлагать учащимся уравнения окружностей и прямой
в общем виде, то может получиться система уравнений, решение которой
будет предельно громоздким. Поэтому следует данные прямую и окруж-
ность расположить относительно системы координат так, чтобы их урав-
нения стали наиболее простыми. Например, решение упростится, если
центр данной окружности будет совпадать с началом координат, а данная
прямая будет параллельна оси ординат. Тогда система уравнений примет
вид
(2	2	2
JC + у =г ,
х = р.
Система уравнений первой и второй степени может иметь два реше-
ния, одно или ни одного. Соответственно прямая будет пересекать окруж-
ность, касаться её или не будет иметь общих точек с окружностью
Аналогично вопрос о взаимном расположении двух окружностей
решается с помощью системы двух уравнений второй степени. Желатель-
47
но. чтобы уравнения были наиболее простыми. Так получится, если, на-
пример, центр одной из данных окружностей совпадает с началом коорди-
нат, а центр другой лежит на оси абсцисс.
При углублённом изучении математики могут быть предложены сле-
дующие задачи для отыскания геометрических мест точек координатным
методом.
•	Найти множество точек, сумма квадратов расстояний которых до
двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная 2т1, где
тЛ — длина данного отрезка.
•	Найти множество точек, абсолютная величина разности квадра-
тов которых от двух данных точек А и В есть величина постоянная, равная
2т~.
Отсюда - естественный выход к решению задач на составление ка-
нонических уравнений эллипса, гиперболы, параболы.
•	Найти множество точек, сумма расстояний которых до двух дан-
ных точек F] и F2 есть величина постоянная, равная 2а.
•	Найти множество точек, абсолютная величина разности расстоя-
ний которых до двух данных точек F} и F2 есть величина постоянная, рав-
ная 2а.
•	Найти геометрическое место точек, равноудалённых от данной
точки F и данной прямой d(Fgd)
Некоторые задачи можно предложить для решения и геометриче-
ским, и координатным методом. Например:
•	Найти множество середин отрезка АВ, концы которого скользят
по сторонам данного прямого угла.
•	На плоскости расположены два квадрата: ABCD и BKLN так, что
точка К лежит на продолжении АВ за точку В; N лежит на луче ВС. Найти
угол между прямыми DL и AN. Доказать, что утверждение задачи остаётся
верным, если точки К и N не расположены на прямых АВ и ВС, достаточно
лишь совпадения вершин двух квадратов [60, задача № 17, с. 174].
Координатный метод позволяет составить формулы геометрических
преобразований: параллельного переноса, осевой и центральной симмет-
рии. Формулы поворота более сложные и могут быть рассмотрены в сис-
теме углублённого изучения математики. Можно говорить также о коор-
динатном задании гомотетии и подобия.
Декартовы координаты в трёхмерном пространстве изучают анало-
гично декартовым координатам на плоскости с той разницей, что прибав-
ляется третья координата: аппликата
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [13, 21, 22, 23, 34, 35, 61,
76, 79, 80,81,82].
48
1.10.	Векторы в школьном курсе математики
Данная тема не является традиционной. Она появляется в 70-х годах
XX века в связи с введением в школьный курс математики колмогоровских
программ и учебников. Цель введения векторов - оказание практической
помощи учителям физики.
Определение вектора в школьном курсе математики было представ-
лено в следующих вариантах:
•	Вектор - направленный отрезок.
•	Вектор — параллельный перенос.
•	Вектор — упорядоченная пара чисел (его координаты).
•	Вектор-упорядоченная пара точек.
Первое из названных определений даётся в курсе физики. Оно харак-
теризуется наглядностью, в чём и состоит главное его достоинство. Однако
при таком определении понятия вектора исчезает логическая строгость в
определениях операций над векторами, в частности, в определениях сло-
жения и вычитания. Правила треугольника и параллелограмма восприни-
маются как нечто догматическое, что категорически запрещают требова-
ния, предъявляемые к аксиоматическому изложению геометрии.
Определение вектора как параллельного переноса позволяет строго
обосновать операции над векторами. Тогда сложение векторов определяет-
ся как композиция параллельных переносов. Произведение ненулевого
вектора на (-1) определяется как вектор, противоположный данному.
Казалось бы, всё хорошо: наконец-то колмогоровские программы и
учебники сделали тему «Векторы» строгой. Но эта положительная сторона
изложения темы обращается в её противоположность: вектор перестаёт
работать в физике'. Учащиеся не видят прямой связи между определе-
ниями вектора как направленного отрезка и как параллельного переноса.
Эти понятия представляются им совершенно разными: «вот — вектор из
физики, а вот - нечто новое - вектор из математики». Такое «несоответст-
вие» определений одного и того же понятия ведёт к тому, что математика
не только не помогает физике, а наносит ей ощутимый вред. Именно по-
этому в «послеколмогоровских» учебниках А.В. Погорелова [28] или
Л.С. Атанасяна с соавторами вектор перестаёт быть параллельным перено-
сом [44].
Определение вектора как упорядоченной пары чисел представлено в
несколько неявной форме. Просто даётся понятие координат вектора и
операций над векторами, заданными координатами. С точки зрения чётко-
сти логического изложения темы здесь всё безупречно, но исчезает на-
глядность, столь нужная физикам. Операции над векторами превращаются
в операции над числами. Геометрический смысл векторов пропадает, а
вместе с ним и необходимость изучения векторов в школьном курсе гео-
метрии.
49
Наконец, последнее из представленных нами определений вектора
встречается в школьном курсе в неявной форме в ходе решения некоторых
задач. Например: Дан параллелограмм ABCD вместе с его диагоналями,
пересекающимися в точке О. Будут ли векторы АВ и CD; ОА и ОС, ОВ и
DO равными?
Ввиду вышеизложенного представляется целесообразным дать опре-
деление вектора в курсе школьной геометрии как направленного отрезка,
пожертвовав строгостью изложения.
Для закрепления правил операций над векторами целесообразно
предлагать учащимся большое число упражнений на построение вектора,
являющегося суммой двух или нескольких данных векторов, разности двух
данных векторов, произведением данного вектора на положительное, от-
рицательное, целое или дробное число. Особое внимание обращается на
операции над неколлинеарными векторами как сонаправленными, так и
противоположно направленными. Не следует забывать нулевого вектора.
При операции разложения вектора по двум данным неколлинеарным век-
торам следует учитывать случаи, когда в разложении вектора с = аа + pb
числа а и Р: а) оба положительные; б) оба отрицательные; в) одно поло-
жительное, второе отрицательное.
Подчиняются ли сложение векторов и умножение вектора на число
тем же законам, которым подчиняются соответствующие операции над
числами? Сложение векторов подчиняется переместительному и сочета-
тельному законам, закону' поглощения нуля. Эти правила учащиеся могут
вывести самостоятельно, актуализируя знания соответствующих законов
операций над числами. Аналогично переходим к законам операций умно-
жения вектора на число. Однако при изучении операций над векторами
следует учитывать тот факт, что вектор - величина, характеризующаяся
двумя своими параметрами: длиной (числом) и направлением. Поэтому
среди операций над векторами встречаются такие, эквивалентов которым
не находится среди операций над числами, или эти законы изменены. По-
этому, доказав справедливость переместительного закона умножения век-
тора на число, переходим к распределительному закону и выявляем, что он
справедлив, но таких законов два: речь идёт об умножении вектора на сум-
му чисел или об умножении числа на сумму векторов.
Сочетательный закон сражает своей принципиальной новизной. Мы
можем говорить об умножении вектора, на произведение чисел, и тогда
сочетательный закон будет справедливым. А что получится, если анало-
гично умножению чисел рассматривать умножение двух или трёх векто-
ров? Оказывается произведение двух векторов - новая, доселе неизвест-
ная величина, которая будет скаляром. Отметим, что речь идёт о скаляр-
ном произведении векторов, изучаемом по программе школьного курса
геометрии. Векторное же произведение векторов может быть изучено
лишь слушателями углублённого курса математики.
50
Скалярное произведение двух векторов в школьных учебниках опре-
деляется двумя способами: геометрически и через координаты векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется произведение
модулей этих векторов на косинус угла между ними.
Скалярным произведением двух векторов, заданных своими коорди-
натами, называется сумма произведений одноимённых координат пере-
множаемых векторов.
Первое из названных определений сопровождается раскрытием его
геометрического смысла.
Пусть некоторое тело перемещается по прямой в некотором направ-
лении на расстояние S под влиянием силы F, действующей на тело под уг-
лом а к направлению его перемещения. Тогда работа А, произведённая
этой силой, равна скалярному произведению F к S.
Свойства скалярного произведения векторов удобно выявлять мето-
дом эвристической беседы.
- Скалярное произведение - число. Какое оно по знаку: положитель-
ное, отрицательное? Может ли оно быть равным нулю?
- При каких условиях оно может быть равным нулю?
- Чему равно скалярное произведение вектора на самого себя?
- В чём отличие скалярного произведения векторов от скалярного
произведения чисел?
Интересно, что доказывать свойства скалярного произведения векто-
ров можно, используя как «геометрическое», так и «координатное» опре-
деление скалярного произведения векторов. Тем самым школьники учатся
разным способам доказательства.
Решение задач векторным методом не входит в программу общеоб-
разовательной массовой школы При разных формах углублённого изуче-
ния математики векторным методом решаются задачи следующего типа:
•	определение расстояния между двумя точками;
•	деление отрезка в данном отношении;
•	использование скалярного произведения векторов для вычисле-
ния углов между прямыми [83].
В системе углублённого изучения математики могут быть рассмот-
рены векторное и смешанное произведения векторов и их практические
приложения.
В старших классах изучаются векторы в трёхмерном пространстве
по аналогии с векторами на плоскости.
Вводится понятие компланарности векторов. Компланарными назы-
ваются векторы, которые, будучи отложенными от одной и той же точки,
лежат в одной плоскости. Аналогично разложению вектора на плоскости
по двум неколлинеарным векторам рассматривается разложение вектора
трёхмерного пространства по трём компланарным векторам и доказывает-
ся теорема о возможности и единственности такого разложения [27, с. 87].
51
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [36, 37, 48, 70, 77, 82, 84,
85, 86, 87, 88, 89].
Глава 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ
2.1.	Методика изучения систематического курса стереометрии.
Первые уроки курса
С какого возраста целесообразно начинать обучать школьников сте-
реометрии? Методисты-математики, педагоги, психологи утверждают, что
чем младше ученик, тем легче развить его пространственное воображение
[22, 90]. Более того, это необходимо для гармонического развития лично-
сти ученика. Недаром учебник С. И. Шохор-Троцкого «Геометрия на зада-
чах» включает в себя параллельно планиметрический и стереометрический
материал с широким использованием аналогии свойств фигур на плоско-
сти и в трёхмерном пространстве [91, 92], применение которой ведёт к ав-
томатическому самоукрупнению знаний учащихся [82].
Между тем, традиционно следуя структуре «Начал» Евклида (хотя
очевидно, что не следует путать научный труд великого учёного, жившего
до нашей эры, с современным школьным учебником), авторы школьных
учебников геометрии до сих пор строят их таким образом, что в основной
школе изучается планиметрия, а в старших классах стереометрия. Таков,
например, учебник геометрии А. В. Погорелова [28]. А в учебнике
Л. С. Атанасяна с соавторами для 7-9 классов [44] лишь последняя глава
посвящена начальным сведениям стереометрии (многогранники, тела и
поверхности вращения).
Подготовительная работа к изучению стереометрии должна начи-
наться уже на уроках математики в начальной школе и продолжаться в 5 -
6 классах. Пока такая работа ведётся достаточно робко.
В начальной школе по программе Л. Г. Петерсон [3] в третьем классе
изучается прямоугольный параллелепипед, вычисляется его объём. В
учебнике Н. Б. Истоминой для 3 класса встречаются упражнения на уста-
новление сходства и различия двух фигур, среди которых конус и цилиндр
с его сечениями [17, с. 199]. Таким образом, речь идёт о введении понятий
пространственных фигур на наглядно-интуитивном уровне.
В учебнике для 5 класса Н. Я. Виленкина с соавторами [4] рассмат-
риваются объёмы и вычисляется объём прямоугольного параллелепипеда.
В учебнике тех же авторов для 6 класса [5] и в учебнике И. И. Зубаревой и
А. Г. Мордковича [8] даётся понятие о шаре и сфере.
Тем не менее уже ведётся экспериментальная работа по обучению
стереометрии учащихся с возможно более раннего возраста, создаются
учебники и учебные пособия нового поколения (В.А. Гусев, Г.А. Клеков-
кин, Г.Г. Левитас, Н.С. Подходова и др.) [6, 11, 48, 87, 93,94, 95,96].
52
Среди учебников нового поколения учебник геометрии В.А. Гусева
[6] параллельно с планиметрическим материалом содержит вопросы сте-
реометрии наиболее полно по сравнению с пособиями, рассматриваемыми
ранее. Здесь вводятся: аксиома плоскости, аксиома прямой и плоскости,
правила изображения куба; сообщается о сфере и шаре и взаимном распо-
ложении сфер, о понятии многогранника, правильного многогранника и
развёртках многогранника. На рисунках иллюстративного характера пред-
ставлены и октаэдр, и звёздчатый многогранник, и многочисленные сече-
ния куба плоскостью, и конус с цилиндром, и шар, вписанный в куб. Разу-
меется, учитываются возрастные особенности учащихся. Так, хотя вводит-
ся понятие аксиомы (утверждение, принимаемое в геометрии без доказа-
тельства) и теоремы (утверждение, которое нужно доказать), изложение
курса геометрии В А. Гусева нельзя считать аксиоматическим. Хотя есть
разделы: «Как изображаются геометрические фигуры» и «Изображение
круглых фигур», - далеко не все пространственные фигуры учащиеся смо-
гут изобразить, а правила изображений и, в частности, правило изображе-
ния куба даются без теоретического обоснования. Действительно, они ос-
нованы на свойствах параллельного проектирования, которые ещё не мо-
гут постигнуть учащиеся 5-6 классов. Да это им и не нужно. Зато учебник
способствует развитию пространственного воображения учащихся и раз-
вивает их творческие способности (например, даны изображения фигур:
вид слева, справа, сзади спереди; представлены «загадочные несущест-
вующие конструкции»), широко используются межпредметные связи (с
географией, геодезией, астрономией, историей, архитектурой и другие).
Учебник геометрии Л.С. Атанасяна с соавторами [44] в последней
главе содержит начальные сведения по стереометрии: многогранники, тела
и поверхности вращения. Рассматриваются основные элементы простран-
ственных фигур, вводится понятие объёма тела по аналогии с введением
понятия плоской фигуры, объясняется суть принципа Кавальери. На кон-
кретном примере решения задачи о построении сечения параллелепипеда
плоскостью, проходящей через три данные точки на рёбрах параллелепи-
педа, показывается один из способов такого построения. Однако назван-
ный материал не может служить примером систематического изложения
курса стереометрии
Строго логическое, аксиоматическое построение такого курса начи-
нается лишь в старших классах средней школы. Сообщаются аксиомы сте-
реометрии; даётся информация о том, что все планиметрические аксиомы в
стереометрии выполняются; доказываются простейшие теоремы.
Чтобы абстрактность материала не вызывала восприятие учащимися
стереометрии как «чего-то сложного», рекомендуется иллюстрировать ак-
сиомы и теоремы стереометрии на моделях многогранников, где «точки» —
это вершины многогранника, «прямые» - его рёбра и «плоскости» - его
грани. Сознательности усвоения названной главы учебника способствуют
следующие вопросы.
53
•	Верно ли, что через три точки проходит единственная плоскость?
•	Могут ли две пересекающиеся плоскости иметь общую точку, не
принадлежащую линии пересечения этих плоскостей?
•	Всегда ли прямая, пересекающая каждую из двух пересекающих-
ся прямых, лежит в плоскости, проходящей через эти прямые?
•	Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провес-
ти третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости?
Ответы на подобные вопросы следует сопровождать доказательст-
вом, примерами, контрпримерами и иллюстрацией на моделях многогран-
ников.
И.М. Смирнова в «Методических рекомендациях по изучению гео-
метрии» для учащихся гуманитарных классов [97] предлагает составлять
таблицы, дающие характеристику аксиом стереометрии и следствий из
них, по следующей схеме: «Аксиома----> чертёж ----> запись», «След-
ствие --------------------------------------------> чертёж-> формулировка».
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [3, 4, 11, 23, 34, 35, 48,
70,90, 98,99, 100, 101].
2.2.	Изучение параллельности прямых и плоскостей
в старших классах средней школы
Изучение темы начинается с классификации возможных случаев вза-
имного расположения: а) двух прямых в пространстве; б) прямой и плос-
кости; в) двух плоскостей.
Две прямые в пространстве могут лежать в одной плоскости или не
лежать в одной плоскости. В первом случае возможны два варианта: пря-
мые пересекаются (иначе: имеют одну общую точку) и прямые параллель-
ны (то есть не имеют общих точек). Во втором случае прямые называются
скрещивающимися.
Определение двух параллельных прямых в пространстве включает
два условия: «прямые лежат в одной плоскости» и «прямые не имеют об-
щих точек». Поэтому через любую точку пространства, не лежащую на
данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную дан-
ной, и сколько угодно прямых, скрещивающихся с ней.
Доказывается теорема о транзитивности параллельности прямых в
пространстве. В отличие от аналогичной плоскостной теоремы её доказа-
тельство состоит из двух частей. Нужно доказать, что: а) прямые лежат в
одной плоскости; б) прямые не имеют общих точек.
В целях обеспечения сознательного усвоения учащимися возможно-
стей взаимного расположения прямых в пространстве рекомендуется
предлагать учащимся такие вопросы.
• Даны три прямые в пространстве: а, b и с. Прямая а скрещивает-
ся с прямой Ь, прямая b скрещивается с прямой с. Скрещиваются ли а и с?
54
•	Рассмотреть все возможные случаи взаимного расположения трёх
прямых.
•	Дано: а || b. Точки А и С лежат на прямой а, точки В и D лежат на
прямой Ь. Будут ли расположенными в одной плоскости прямые АВ и CD?
Прямая и плоскость в пространстве могут быть взаиморасположе-
ны следующим образом.
1.	Прямая лежит в данной плоскости.
2.	Прямая и плоскость пересекаются.
3.	Прямая не имеет с плоскостью общих точек, то есть прямая па-
раллельна плоскости.
Признак параллельности прямой и плоскости
Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-
нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна и самой
плоскости.
(Почему эта теорема называется признаком^)
Образцы вопросов на степень сознательности усвоения понятия пря-
мой, параллельной плоскости.
•	Верно ли, что если одна из двух параллельных прямых парал-
лельна некоторой плоскости, то и вторая прямая параллельна этой плоско-
сти?
•	Верно ли, что две прямые, параллельные одной и той же плоско-
сти, параллельны между собой?
•	Можно ли через одну из двух данных скрещивающихся прямых
провести плоскость, параллельную другой прямой?
Ответы на вопросы следует сопровождать доказательством, приме-
рами или контрпримерами и иллюстрациями на моделях многогранников.
Наконец, две плоскости в пространстве могут либо пересекаться по
прямой, либо не иметь общих точек, и тогда они параллельны. Рассматри-
ваются только различные плоскости, поэтому случай, когда плоскости
совпадают, не учитывается.
Признак параллельности плоскостей
Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно
параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости парал-
лельны.
(Почему слово «пересекающиеся» не используется в формулировке
этой теоремы, когда речь идёт о прямых, лежащих в другой плоскости?)
Свойства параллельных плоскостей
1. Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то ли-
нии пересечения параллельны.
55
2. Отрезки параллельных прямых, заключённых между параллель-
ными плоскостями, равны.
Образцы вопросов для сознательного усвоения учащимися понятия
параллельных плоскостей.
•	Исследовать все возможные случаи взаимного расположения
трёх плоскостей в пространстве, если: а) две из них пересекаются; б) две из
них параллельны.
•	Верно ли, что если даны две параллельные плоскости и прямая,
параллельная одной из них, то эта прямая будет параллельна второй плос-
кости?
•	Верно ли, что две плоскости, параллельные одной и той же пря-
мой, будут параллельны между собой?
Важной подтемой темы о параллельности прямой и плоскости в про-
странстве является параллельное проектирование фигур и его свойства, так
как на нём основано правильное изображение пространственных фигур.
Пусть в пространстве дана
плоскость а, именуемая плоско-
стью проекций, и прямая /, ей не
параллельная (рис. 9). Тогда каждой
точке М пространства можно по-
ставить в соответствие точку Л/,
плоскости а следующим образом.
Через точку М проводится пря-
мая т, параллельная I, до пересечения с а в точке М,. Такое соответствие
точек пространства и точек плоскости будем называть параллельным про-
ектированием. Плоскость а называется плоскостью проекций, а прямая /
— направлением проектирования.
Свойства параллельного проектирования
1.	Прямая, не параллельная направлению проектирования, перехо-
дит в прямую; точки проектируются в точки; принадлежность точек и
прямых сохраняется.
2.	Параллельные отрезки проектируются в параллельные отрезки.
3.	Отношение отрезков одной прямой или параллельных прямых
сохраняется.
Благодаря названным свойствам параллельного проектирования воз-
можно правильное построение изображений плоских фигур. Так, тре-
угольник любого вида (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный,
равносторонний, разносторонний, равнобедренный) на чертеже изобража-
ется в виде произвольного треугольника, так как углы при параллельном
проектировании не сохраняются, и равные отрезки проектируются не в
равные отрезки, если они не лежат на одной прямой или на параллельных
прямых. Параллелограмм любого вида (ромб, прямоугольник, квадрат) при
56
параллельном проектировании отображается на плоскость в параллело-
грамм общего вида. Трапеция изобразится в виде трапеции с тем же отно-
шением длин оснований, что и у данной трапеции. Правильный шести-
угольник изобразится в виде шестиугольника, противоположные стороны
которого попарно параллельны и равны. Наконец, пара взаимно перпенди-
кулярных диаметров окружности изобразится в виде сопряжённых диа-
метров эллипса. Два диаметра называются сопряжёнными, если каждый из
них делит пополам хорду, параллельную второму диаметру.
Изображения многогранников и круглых тел, построение сечений
многогранников выполняются с помощью параллельного проектирования.
Для развития пространственного воображения учащихся рекомен-
дуются следующие типичные вопросы.
•	Могут ли две пересекающиеся прямые спроектироваться: а) в па-
раллельные прямые; б) в пересекающиеся прямые; в) в одну прямую; г) в
прямую и точку, лежащую на этой прямой; д) в прямую и точку, не лежа-
щую на этой прямой?
•	Верно ли, что параллельные прямые, не параллельные направле-
нию проектирования, проектируются в параллельные прямые?
•	В какую фигуру проектируется линия пересечения двух проекти-
рующих плоскостей?
•	Верно ли, что проекция прямой может быть параллельна самой
прямой, данной в пространстве?
Параллельное проектирование в направлении, перпендикулярном
плоскости проекций, называется ортогональным проектированием Метод
определения расстояний или угла между скрещивающимися прямыми
рассмотрен в [60]. Материал об ортогональном проектировании и о методе
Монжа представлен в учебнике [98].
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [11, 22, 23, 34, 35, 48, 63,
70, 73, 87, 94,97, 99. 102, 103, 104, 105].
2.3.	Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей
в старших классах
В процессе изучения данной темы рассматривается перпендикуляр-
ность: а) прямых в пространстве; б) прямой и плоскости: в) двух плос-
костей.
Две прямые называются перпендикулярными, если они пересекаются
под прямым углом. Такое определение можно дать прямым, лежащим
в одной плоскости. И такое определение даётся в учебнике геометрии
А.В. Погорелова [28, с. 252] для пространственных прямых. А если прямые
скрещиваются? Как установить, перпендикулярны ли они? Предваритель-
но следует определить угол между скрещивающимися прямыми. Он опре-
деляется так Пусть даны две скрещивающиеся прямые а и Ь. На одной из
них, например на а, выбираем произвольную точку V/ и через неё и другую
57
прямую проводим плоскость а. Такую плоскость всегда можно провести и
только одну. А в этой плоскости по аксиоме параллельности и теореме —
следствии из неё — можно провести единственную прямую с, параллель-
ную Ь. Тогда угол между прямыми а и с, определяющими единственную
плоскость р, и будет углом между скрещивающимися прямыми я и А. Ес-
ли этот угол прямой, то а±Ь.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпен-
дикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
В учебнике геометрии А.В. Погорелова к этому определению добав-
ляется условие: Прямая, перпендикулярная к плоскости, должна пересе-
кать эту плоскость [28, с. 253]. Нужно ли это условие? В учебнике
Л.С. Атанасяна, В.Ф. Бутузова, С.Б. Кадомцева и других доказывается, что
если прямая перпендикулярна плоскости, то она пересекает эту плоскость
[44, с. 351]. Следует подчеркнуть важность наличия слова «любой» в на-
званном определении. Но так как прямых в плоскости можно провести
бесконечное множество и полную проверку осуществить невозможно, то
необходимо доказательство признака перпендикулярности прямой и плос-
кости: Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, ле-
жащим в плоскости, то она перпендикулярна данной плоскости. Нагляд-
ной иллюстрацией является пример новогодней ёлки, установленной на
крестовине, расположенной в плоскости пола.
В процессе решения задач на вычисление с применением тригоно-
метрии, связанных с многогранниками, часто приходится выполнять до-
полнительное построение - проведение через данную точку пространства:
а) плоскости, перпендикулярной к данной прямой; б) прямой, перпендику-
лярной к данной плоскости. Для этого необходимы формулировка и реше-
ние соответствующих задач-теорем, решение каждой из которых состоит
из двух частей: а) доказательство существования и б) доказательство един-
ственности геометрического объекта, перпендикулярного к данному.
Широко используются две взаимно-обратные теоремы о прямых,
перпендикулярных данной плоскости.
Задача-теорема 1, Если одна из двух параллельных прямых перпен-
дикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плос-
кости.
Задача-теорема 2. Если две прямые перпендикулярны к плоскости,
то они параллельны.
В целях соблюдения дидактического принципа наглядности реко-
мендуется использовать пространственные складные модели, иллюстри-
рующие взаимное расположение точек, прямых и плоскостей, сооружае-
мые из прямоугольных кусков картона, спиц и пластилина. Такие модели
могут быть как лабораторными, так и демонстрационными. По-прежнему
используются иллюстрации на моделях многогранников.
58
Центральное место в данной теме занимает теорема о трёх перпен-
дикулярах:
Если прямая, проведённая к плоскости через основание наклонной,
перпендикулярна к её проекции, то она перпендикулярна наклонной.
Обратное предложение:
Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она пер-
пендикулярна и к её проекции.
В порядке предварительной подготовки к её доказательству вводятся
определения перпендикуляра, проведённого к плоскости из точки, лежа-
щей вне этой плоскости; основания перпендикуляра; наклонной и её осно-
вания, проекции точки на плоскость, проекции наклонной на плоскость,
угла между прямой и плоскостью. Сразу же после доказательства теоремы
о трёх перпендикулярах вводятся определения расстояния от точки до
плоскости; расстояния от прямой до параллельной ей плоскости; расстоя-
ния между параллельными плоскостями; расстояния между скрещиваю-
щимися прямыми.
Отметим важную теорему.
Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и при-
том только один. Он будет общим перпендикуляром к двум параллельным
плоскостям, проходящим через эти скрещивающиеся прямые.
В целях развития пространственного воображения учащихся и соз-
нательного усвоения ими учебного материала, предлагаемого в связи с изу-
чением данной темы, рекомендуются вопросы следующего характера.
•	Верно ли, что прямая, пересекающая параллелограмм в точке пе-
ресечения его диагоналей и перпендикулярная: а) к его диагонали; б) к
обеим его диагоналям перпендикулярна к плоскости параллелограмма?
•	Что можно сказать о расположении точек, находящихся на рав-
ных расстояниях от вершин некоторого данного прямоугольника?
•	Верно ли, что если прямая и плоскость параллельны, то: а) пря-
мая, перпендикулярная к данной плоскости, перпендикулярна и к данной
прямой; б) прямая, перпендикулярная к данной прямой, перпендикулярна
и к данной плоскости?
Прежде чем приступить к теме «Перпендикулярность плоскостей», в
школьном курсе геометрии вводится понятие двугранного угла, его линей-
ного угла, градусной меры двугранного угла
Отличным примером трёх попарно перпендикулярных плоскостей
являются координатные плоскости, которые пересекаются по координат-
ным осям декартовой прямоугольной системы координат в трёхмерном
пространстве.
Признак перпендикулярности двух плоскостей
Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендику-
лярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.
59
Следствие. Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пе-
ресекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих
плоскостей.
Иллюстрировать названные факты удобно на координатных плоско-
стях и координатных осях пространственной декартовой прямоугольной
системы координат.
Примеры упражнений, развивающих пространственное воображе-
ние, по данной теме.
•	Верно ли, что две плоскости, перпендикулярные к третьей, па-
раллельны между собой?
•	Сколько можно построить плоскостей, перпендикулярных к двум
данным пересекающимся плоскостям?
•	Сколько плоскостей, перпендикулярных к данной плоскости,
можно провести через данную прямую?
•	Верно ли, что прямая и плоскость, перпендикулярные к другой
плоскости, параллельны между собой?
«Многогранные углы» и «Зависимость между плоскими и двугран-
ными углами многогранных углов» излагаются в углублённом курсе мате-
матики [98, 28, 23].
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [22, 27, 34, 35, 48, 70, 87,
88,94,97,99, 100, 105].
2.4.	Задачи на построение в курсе стереометрии
Стереометрические задачи отличаются от планиметрических задач
названного рода тем, что в планиметрии построение выполняется непо-
средственно, причём указанными инструментами, например, в 7 - 9 клас-
сах циркулем и линейкой. В стереометрии непосредственно в пространстве
построение не выполняется, просто, ссылаясь на соответствующие аксио-
мы и теоремы, мы доказываем, что такое построение может быть выполне-
но. Поэтому в школьных учебниках нередко такие задачи формулируются
как задачи на доказательство.
Примеры
1а. Доказать, что через данную точку можно провести плоскость, па-
раллельную каждой из двух пересекающихся прямых, если эта точка не
лежит в плоскости, определяемой данными пересекающимися прямыми.
Та же задача может быть сформулирована как задача на построение.
16 Через данную точку провести плоскость, параллельную каждой из
двух пересекающихся прямых. Всегда ли это возможно?
2а. Доказать, что через данную точку прямой можно провести плос-
кость, перпендикулярную этой прямой. Сколько таких плоскостей можно
провести?
26. Через данную точку прямой провести плоскость, перпендикуляр-
ную этой прямой.
60
Все задачи на построение в курсе стереометрии, представленные в
школьных учебниках, мы предлагаем разбить на следующие категории.
•	Проведение в пространстве параллельных, перпендикулярных и
располагающихся друг относительно друга под определённым углом пря-
мых и плоскостей.
•	Построение изображений пространственных фигур.
•	Построение сечений многогранников.
•	Задачи на построение, связанные с построением геометрических
мест точек в пространстве.
Первые из названных видов задач могут быть сформулированы как
задачи об отдельных прямых и плоскостях, а могут формулироваться в
связи с соответствующими построениями многогранников и их элементов.
Построение многогранников и круглых тел, осуществляемое по законам
параллельного проектирования, обеспечивает правильность выполнения
чертежа.
Предполагается, что проектируемая фигура расположена где-то в
пространстве и проектируется на плоскость чертежа. Важно обратить вни-
мание учащихся на правильное изображение видимых и невидимых эле-
ментов фигуры. Видимые элементы изображаются сплошной жирной ли-
нией, невидимые - штриховой. Второе условие наглядности - такое распо-
ложение изображаемой фигуры относительно плоскости чертежа, чтобы
интересующие нас элементы фигуры «не потеряли своей формы», чтобы
не сливались видимые и невидимые линии, чтобы по изображению можно
было определить вид фигуры.
Изображение куба, представленное на рис. 10, не является нагляд-
ным, хотя оно и верное. В первом случае (рис. 10, а) четыре грани изобра-
жаемого куба расположены перпендикулярно, а
две грани - параллельно плоскости чертежа. В
результате толкование изображения фигуры не  
является однозначным. Это может быть, напри-
мер, прямоугольный параллелепипед, не яв-
ляющийся кубом, а может быть плоская фигура	"
квадрат. На рис. 10, б две противоположные  
грани куба перпендикулярны плоскости черте- а	б
жа, а рёбра, их соединяющие, параллельны	рис ю
плоскости чертежа.
Полезно указать учащимся типичные ошибки, допускаемые при изо-
бражении пирамиды и конуса. Так, если изображение усечённой пирамиды
начинать с изображения её оснований - подобных многоугольников, а за-
тем соединить попарно соответствующие вершины этих многоугольников,
то изображение будет неверным. Действительно, если продолжать отрезки,
изображающие боковые рёбра правильной усечённой пирамиды, то они
могут не пересечься в одной точке, то есть не будет изображения полной
пирамиды, из которой получилась эта усечённая пирамида (рис. 11). Зна-
61
Рис. И
чит, чертёж в данном случае следует начинать с изображения полной пи-
рамиды, а затем, проведя прямые, параллельные сторонам основания этой
пирамиды, изобразить верхнее основание усечённой пирамиды (рис. 11,6)
Изображение конуса следует начинать с построения его основания в
форме эллипса, заданного
парой сопряженных диа-
метров (в частном случае -
парой его осей), из центра
которого проводится верти-
кальный отрезок - высота,
один конец которой - в
центре эллипса, а другой -
вершина конуса.
Завершающий этап -
проведение касательной из
конца вертикального отрезка к эллипсу. Точки касания не должны быть
диаметрально противоположными (рис. 12).
На изображении сферы, произвольно расположенной относительно
плоскости чертежа, должны быть: абрис шара, изображение экваториаль-
ного сечения а виде эллипса с его осями или сопряжёнными диаметрами,
ось и полюсы. При этом если экваториальное сечение изображается в виде
эллипса, то точки, изображающие полюсы, находятся внутри абриса шара
(рис. 13), а не на нём.
Рис. 12
Рис 13
Если плоскость экваториального сечения шара перпендикулярна
плоскости чертежа, то она изобразится отрезком, а изображения полюсов
будут на абрисе шара (рис. 14, а).
Если ось шара перпендикулярна плоскости чертежа, то изображение
экватора - окружность, совпадающая с абрисом шара, а точки, изобра-
жающие полюсы и центр шара, совпадают (рис. 14, б).
62
Учащиеся должны уметь строить изображения пространственных
фигур: параллелепипеда, призмы, пирамиды, усечённой пирамиды, цилин-
дра, шара и его элементов, а также комбинации пространственных фигур.
Образцы задач
Построить изображение шара, описанного около данной правильной
шестиугольной пирамиды.
Построить изображение шара, вписанного в конус.
Однако чаше бывает более удобным не строить комбинации про-
странственных тел, а дать плоскостное изображение интересующих нас
элементов фигур. Например, на чертеже, иллюстрирующем *
вторую задачу, представить изображение окружности, впи- / \
санной в равнобедренный треугольник, и его высоту, прове- /	\
денную к основанию (рис. 15).	Л- Л
Целесообразен элективный курс «Построение изобра- /	\
жений пространственных фигур», который может быть рас- /\^ ^/\
ширен разделами: «Аксонометрические проекции» и «Метод р . ]5
Монжа».
Задачи на построение сечений многогранников представлены в
учебнике Л. С. Атанасяна с соавторами [44] примерами построения сече-
ний тетраэдра и параллелепипеда. Сообщается, что для построения сече-
ния достаточно построить точки пересечения секущей плоскости с рёбра-
ми тетраэдра (параллелепипеда), после чего остаётся провести отрезки, со-
единяющие каждые две построенные точки, лежащие в одной и той же
грани. Подобное предписание к решению задач на построение - весьма да-
лёкое от алгоритмического. Оно скорее напоминает легенду о скульпторе,
которого спросили, каким образом ему удаётся создавать такие шедевры
ваяния? Скульптор ответил, что всё очень просто: достаточно взять глыбу
мрамора и отсечь от неё всё лишнее.
В учебнике не отмечено, что плоскость, пересекающая многогран-
ник, может быть задана- а) тремя точками; б) прямой и точкой вне её;
в) парой параллельных прямых, то есть не указаны способы задания плос-
кости Данные точки могут лежать не обязательно на рёбрах многогранни-
63
ка. Они, например, могут находиться на гранях, диагоналях, в диагональ-
ных плоскостях многогранника или даже могут просто находиться вне его.
Пункт 26 учебника [44], не являющийся обязательным для изучения,
включает в себя лишь определение понятий секущей плоскости геометри-
ческого тела и сечения тела, лишённые всякой образности.
Подобный подход не развивает пространственные представления
учащихся. Им подобно древним египтянам, решающим на папирусах од-
нотипные задачи одну за другой как совершенно разные задачи, нс видно,
что дано неоднократное решение одной и той же задачи. И только очень
немногие ученики смогут подметить некоторые закономерности.
Поэтому в целях сознательного усвоения материала учащимися и
формирования устойчивых навыков построения сечений многогранников
целесообразно предлагать возможно большее количество разнообразных
упражнений, содержащих мотивацию усвоения материала: это задачи на
установление формы фигуры, на вычисление площадей фигур, получаю-
щихся в сечении, на вычисление объёмов тел, отсекаемых плоскостью от
данного тела, и т. д. При решении таких задач объяснение к построению
сечения многогранника является своеобразным анализом решения задачи.
Выявление необходимых и достаточных взаимосвязей между' данными и
искомыми фигурами часто указывает путь к решению задачи [67] .
Сильных по математике учащихся целесообразно ознакомить с ос-
новными методами построения сечений пространственных фигур, в част-
ности, многогранников, — методом следов, элементы которого представле-
ны в учебнике весьма нечетко, и методом внутреннего проектирования.
Наконец, среди задач разного вида на построение в курсе стереомет-
рии целесообразно выделить задачи, связанные с понятием геометриче-
ского места точек в пространстве, даже если термин непосредственно не
употребляется, а рассматривается множество точек пространства, обла-
дающих определённым свойством.
Во-первых, это задачи на отыскание геометрических мест точек
Образцы таких задач
•	Построить геометрическое место точек — оснований наклонных
данной длины, проведённых из данной точки, лежащей вне данной плос-
кости, к этой плоскости.
•	Точка .4 лежит вне плоскости а, X - произвольная точка плоско-
сти а . М — точка отрезка АХ, делящая его в отношении т:п. Построить
геометрическое место точек М.
Заметим, что непосредственного построения в пространстве здесь не
выполняется, но доказывается возможность каждого шага подобных по-
строений.
В ходе решения задач на вычисление по стереометрии с применени-
ем тригонометрии используются доказательства, аргументирующие обос-
нованность действий школьника, решающего задачу, при выполнении по-
строений.
64
Например, могут использоваться следующие построения:
•	множества всех точек пространства, равноудалённых от концоа
данного отрезка;
•	множества точек, равноудалённых от данной точки;
•	множества точек, удалённых от данной: а) прямой; б) плоскости
на данное расстояние;
•	множества точек, равноудалённых от двух данных прямых (пря-
мые пересекаются, параллельны, скрещиваются);
•	множества точек, равноудалённых от двух: а) пересекающихся;
б) параллельных плоскостей;
•	множества точек, равноудалённых от трёх данных точек, не ле-
жащих на одной прямой.
Подобные задачи ощутимо развивают пространственные представ-
ления школьника.
При построениях в стереометрии и варьировании условий задачи
важную роль играют анализ и исследование.
Пример
Дана правильная четырёхугольная пирамида, площадь диагонально-
го сечения которой равна S. В пирамиде проведена плоскость, перпендику-
лярная к стороне основания и делящая эту сторону в отношении 1: к . Най-
ти площадь сечения данной пирамиды этой плоскостью [106, с. 166].
Заметим, что в зависимости от к сечение пирамиды данной плоско-
стью имеет разную форму и поэтому задача имеет разные решения. При
к = 1 сечение — треугольник, и площадь его вычисляется легко. Если к - 3,
то это сечение - равнобедренная трапеция и при вычислении её площади
используется свойство средней линии треугольника. А при иных значениях
к в решении используются подобные треугольники.
В школьной стереометрии встречаются задачи на построение, свя-
занные с координатным методом или с геометрическими преобразования-
ми фигур в пространстве. Но построение многогранника по координатам
его вершин элементарно, как и построение фигуры, симметричной относи-
тельно точки, прямой, плоскости в пространстве.
Решение же более сложных задач, например, задач на построение
методом геометрических преобразований или построение тела по его
уравнению в трёхмерном пространстве представляется учащимся в систе-
ме углублённого изучения математики, поэтому курс теории и методики
обучения математике в общеобразовательной школе оставляет названные
задачи за своими пределами.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [50, 58, 59, 62, 87, 88,
107, 108, 109, НО, 111, 112, 113].
65
2.5.	Изучение многогранников в школьной математике
Программно-методические материалы начальной школы [3. с. 12]
предполагают изучение куба и прямоугольного параллелепипеда ешё в на-
чальной школе, где учащиеся знакомятся с их элементами и учатся вычис-
лять их объёмы. Эти же многогранники являются предметом изучения в
5 классе по учебнику Н. Я. Виленкина с соавторами [4], по учебному посо-
бию для 5-6 классов В. А. Гусева [48]. Последний автор не ограничивает-
ся двумя названиями многогранников и к ним прибавляет пирамиду, изо-
бражения пяти правильных многогранников (но не даёт им названий), изо-
бражает призму (с. 206). Рассматриваются способы изображения куба, се-
чения куба плоскостями, диагонали куба и диагонали граней куба. Куб
изображается в разных ракурсах, из него «выпиливаются» причудливые
фигуры. Рассматриваются развёртки куба. Строгих доказательств нет.
Обеспечивается максимум наглядности, что необходимо для развития про-
странственного воображения учащихся.
Последняя глава учебника геометрии Л. С. Атанасяна с соавторами
[44, гл. X1Y], посвящённая начальным сведениям по стереометрии, начи-
нается с введения понятия многогранника, которому нс даётся строгого
математического определения, но проводится некоторая аналогия с опре-
делением понятия много1ранника [44, с. 304]. Даётся характеристика тет-
раэдра, октаэдра, призмы, называются их основные элементы. Продолжа-
ется изучение параллелограмма. Доказывается теорема о диагоналях па-
раллелепипеда, проводится аналогия с соответствующей теоремой о па-
раллелограмме. Доказывается аналог теоремы Пифагора для прямоуголь-
ного параллелепипеда. Предлагается формула вычисления объёма прямо-
угольного параллелепипеда, для доказательства справедливости которой
используется принцип Кавальери. Изучается пирамида, её элементы и её
частный случай - тетраэдр. Решение задач теоретического плана [44,
№ 1208, 1209, 1210] позволяет доказать справедливость формул объёмов
призмы и пирамиды и формулу вычисления площади сечения, параллель-
ного основанию пирамиды, через площадь основания и высоты данной и
отсечённой названной плоскостью пирамиды. Решения всех названных за-
дач представлены в учебнике.
Таким образом частично решена методическая проблема необходи-
мости введения элементов стереометрии в курс основной школы, касаю-
щихся изучения многогранников. Однако нельзя утверждать, что проблема
решена вполне удовлетворительно, так как между пятым и девятым клас-
сами существует пробел в гри года, когда элементы стереометрии не изу-
чаются, а их необходимо включить в школьный курс математики. С этой
точки зрения более удовлетворительной представляется программа, пред-
ложенная В.А. Гусевым, для изучения стереометрии в 5 - 11 классах об-
щеобразовательных учреждений [48]. Основной концепцией предлагаемо-
го курса является «я в пространстве», основная методическая линия кото-
рой - «взаимосвязанное изучение свойств плоских и пространственных
66
фигур. Плоские фигуры и их свойства изучаются не сами по себе, а как
части пространственных геометрических фигур» [48, с. 4 - 5]. В соответст-
вии с курсом В.А. Гусева многогранники начинают изучаться в 6 классе
(понятие многогранника, развёртки многогранников). В 7 классе изучают-
ся многогранные углы, пирамиды, правильные многогранники, в 8 классе —
призмы и в 11 классе - объёмы многогранников. Взаимное расположение
прямых и плоскостей в 9 классе показывается на примерах взаимного рас-
положения элементов многогранников.
Мотивация необходимости изучения темы «Многогранники» выте-
кает из её практической значимости. Это историческая необходимость вы-
числения объёмов и площадей поверхностей в связи с изготовлением сосу-
дов и возведением архитектурных сооружений, со строительством плотин,
каналов, оборонительных валов, пирамид и т. д. Общеизвестно использо-
вание теории многогранников в архитектуре и кристаллографии. Школь-
никам полезно сообщить подобную информацию, рассказать об исследо-
ваниях знаменитого кристаллографа Е.С. Фёдорова [114].
Определение понятия многогранника в современных учебниках и
учебных пособиях часто даётся недостаточно корректно. Так, в учебнике
геометрии А. В. Погорелова [28, с. 296], Л. С. Атанасяна с соавторами [44,
с. 305 - 310; 25, с. 57], книге для учащихся И. М. Смирновой «В мире мно-
гогранников» [114, с. 12] многогранником называется тело, поверхность
которого состоит из конечного числа плоских многоугольников, которые
называются гранями многогранника.
Такое определение не вполне корректно. Нужно ещё условие, чтобы
названные смежные многоугольники нс лежали в одной плоскости. Иначе
можно будет утверждать, что, например, гранями куба являются прямо-
угольные равнобедренные треугольники, если квадраты, из которых со-
стоит поверхность куба, разбить диагоналями на треугольники.
Кроме того, определение многогранников может быть трёх видов:
«каркасное», многогранника как поверхности и многогранника как по-
верхности вместе с частью трёхмерного пространства, заключённого внут-
ри него. В первом случае многоугольник как грань многогранника опреде-
ляется как простая замкнутая ломаная линия, во втором и третьем случае —
это плоская фигура: замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, кото-
рую она ограничивает. Если многограннику дано каркасное определение,
или определение его как поверхности, то мы не имеем права решать во-
просы, связанные с понятием объёма многогранника. При каркасном опре-
делении многогранника мы не можем говорить о вычислении площади его
поверхности. Поэтому в случае использования определения многогранни-
ка, которое не позволяет решить ту или иную задачу, в учебнике, учебном
пособии или при ответе учащихся учитель должен внести комментарии,
сопровождающиеся контрпримером в целях наглядности.
В действующих ныне школьных учебниках геометрии встречаются
неточности и недоговорённости другого рода. Так. в учебниках [44, с. 313;
67
89, с. 303] предлагается следующая теорема: Диагонали параллелепипеда
пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам. Одна-
ко определения понятия диагонали параллелепипеда не вводится. Есть ос-
нование диагональю параллелепипеда и вообще многогранника назвать
отрезок, соединяющий одну из вершин многогранника с несмежной с ней
вершиной и не лежащей в грани этого многогранника. Такое же определе-
ние может быть введено для диагоналей призмы.
В изучении темы «Многогранники» велика роль наглядности. Широ-
ко используются модели (каркасные, прозрачные, «сплошные», склеенные
из развёрток и т. д.), кодопозитивы с накладными кадрами (особенно при
изображении сечений многогранников), компьютерные чертежи, показы-
вающие многогранники в динамике, шаблоны и трафареты. В.Н. Литви-
ненко предлагает изготовление следующих лабораторных и демонстраци-
онных трафаретов [110, с. 120] для построения изображений пространст-
венных фигур:
•	куба;
•	параллелепипеда (прямого, прямоугольного, наклонного);
•	треугольной призмы (прямой и наклонной);
•	треугольной и четырёхугольной пирамиды, в частности правиль-
ных пирамид (прил. 3).
При изучении многогранников целесообразно постоянно обращаться
к аналогии с многоугольниками. Примерами могут служить определения
выпуклого многоугольника и выпуклого многогранника; свойства сторон и
диагоналей параллелограмма и граней и диагоналей параллелепипеда;
свойства диагоналей прямоугольника и прямоугольного параллелепипеда;
теорема Пифагора и её пространственный аналог.
Важным учебным действием является выделение опорных задач
[115], причём не по всей теме в целом, а в пределах её подтем. Например:
«Призма» (параллелепипед рассматривается как частный случай призмы),
«Пирамида» (в том числе усечённая пирамида), «Правильные многогран-
ники». Перечислим элементы призмы, которые фигурируют в задачах на
вычисление, доказательство и построение: высота призмы, линейный угол
двугранного угла, угол между основанием и диагональю призмы, угол ме-
жду диагональю и боковым ребром, угол между диагоналями призмы и
между диагоналями её грани, диагональное сечение призмы.
Назовём элементы пирамиды, определяемые в ходе решения задач на
построение, доказательство и исследование: линейные углы двугранных
углов, апофема правильной пирамиды, высота пирамиды, сё ребро, угол
между боковым ребром и основанием пирамиды, площадь поверхности
пирамиды.
Усечённая пирамида получается из пирамиды проведением её сече-
ния плоскостью, параллельной основанию. Она имеет два основания - по-
добные многоугольники. Её боковые грани - трапеции. Она имеет диаго-
нали - отрезки, концами которых являются точки, лежащие в разных осно-
68
ваниях и не лежащие в плоскости одной грани. Диагональное сечение тра-
пеции - это плоскость, определяемая парой пересекающихся диагоналей
усечённой пирамиды. Строгое определение последних понятий в учебнике
отсутствует, и учитель предлагает учащимся их сформулировать самостоя-
тельно по аналогии с определениями диагоналей параллелепипеда или
призмы, не являющейся треугольной. Небезынтересно установить, сколько
диагоналей имеет усечённая пирамида и сколько — усечённая призма.
Правильный многогранник в школьных учебниках определяется как
выпуклый многогранник, все грани которого — правильные многоугольни-
ки и в каждой вершине сходится одно и то же число рёбер.
После иллюстрации пяти типов правильных многогранников (моде-
лей и изображений) учителю предстоит провести работу по формулировке
определения правильного многогранника: обязательно ли должны выпол-
няться три названные условия, лежащие в основе определения? Приводят-
ся примеры многогранников, когда одно из названных условий определе-
ния не выполняется.
Последнее из указанных свойств правильного многогранника может
быть заменено любым из следующих:
•	в каждой вершине сходится одно и то же число граней;
•	все многогранные углы равны;
•	все двугранные углы равны.
Учащиеся самостоятельно выясняют, какого вида многоугольники
представляют собой грани каждого из пяти типов правильных многогран-
ников и какое число рёбер сходится в вершине каждого из них.
В учебнике геометрии [27] подробно рассматриваются симметрии
правильных многогранников. В процессе решения задач предлагается вы-
явить центр, оси и плоскости симметрии правильных многогранников, ес-
ли такие существуют.
В общеобразовательной школе не доказывается существование
именно пяти типов правильных многогранников, но в специализированных
математических классах, на элективных курсах, в индивидуальной работе с
сильными по математике учащимися этот факт доказывается с помощью
теоремы Эйлера [98, с. 232, 242].
Небезынтересны задачи на вычисление двугранных углов тетраэдра,
куба и октаэдра, длин диагоналей октаэдра, площади поверхности пра-
вильных многогранников по заданной длине ребра многогранника и ра-
диусов сфер, вписанной в правильный многогранник и описанной около
него, если длина ребра данного многогранника равна 1.
Особое внимание следует обратить на задачи, связанные с много-
гранниками, предлагаемые на Едином государственном экзамене (ЕГЭ).
Это обычно задачи на вычисление: а) расстояния или длины отрезка;
б) градусной меры угла, выраженной через тригонометрические функции
этого угла, в) площади плоской фигуры или площади поверхности тела;
г) объёма тела
69
Длина отрезка - это:
•	расстояние между двумя точками;
•	расстояние от точки до прямой;
•	расстояние от точки до плоскости;
•	расстояние между параллельными прямыми;
•	расстояние между скрещивающимися прямыми;
•	расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью;
•	расстояние между параллельными плоскостями;
•	высота многогранника;
•	длина ребра многогранника;
•	длина диагонали призмы [107; 108].
Величина угла — это:
•	угол между пересекающимися прямыми;
•	угол между скрещивающимися прямыми;
•	угол между прямой и плоскостью;
•	двугранный угол;
•	угол между двумя плоскостями.
Задачи, предлагаемые на ЕГЭ по стереометрии, - это задачи на вы-
числение, доказательство, построение, исследование, объединённые в од-
ной задаче.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [23, 34, 48, 76, 88, 104,
107, 108, 109, 116, 117,118,119, 120, 121, 122, 123].
2.6.	Круглые тела в школьном курсе математики
Круглые тела, изучаемые в старших классах средней школы, - ци-
линдр, конус и шар. Их определение может быть дано разными способами.
Один из них предлагается в учебнике Л. С. Атанасяна с соавтора-
ми [27].
Пусть даны две параллельные плоскости (а;0) и окружность /, рас-
положенная в одной из них (а). Если через каждую точку этой окружно-
сти провести прямую, перпендикулярную к другой плоскости (Р), то от-
резки таких прямых, заключённые между данными плоскостями, образует
цилиндрическую поверхность, которая пересечёт плоскость 0 по окруж-
ности Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кру-
гами с границами / и , называется цилиндром [27, с. 119,120 ].
В учебнике геометрии А.В. Погорелова [28] даётся определение кру-
гового цилиндра. Это тело, состоящее из двух кругов, не лежащих в одной
плоскости и совмещаемых параллельными переносами, и всех отрезков,
соединяющих соответствующие точки окружностей кругов, которые назы-
ваются образующими цилиндра. Круги называются основаниями цилиндра.
70
Если образующие перпендикулярны плоскости основания, то ци-
линдр называется прямым [28, с. 319, 320]. Конусу и цилиндру в [27] даёт-
ся генетическое определение.
Пусть даны окружность / с центром в точке О и отрезок ОР, перпен-
дикулярный к плоскости этой окружности. Если каждую точку окружности
/ соединить с точкой Р, то получим поверхность, называемую конической.
Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей /, на-
зывают конусом. Аналогичное по содержанию определение конуса даётся
в учебнике геометрии А.В. Погорелова [28]. В нём круглые тела изучаются
после многогранников и определяются как тела, полые внутри. Шар опре-
деляется как тело, имеющее внутреннюю область. Это тело, состоящее из
всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного,
от данной точки. Граница шара называется шаровой поверхностью, или
сферой.
Другой способ определения круглых тел как тел, образованных вра-
щением некоторой фигуры вокруг некоторого отрезка, принадлежащего
этой фигуре. Так, цилиндр — тело, образованное вращением прямоугольни-
ка вокруг одной из его сторон. Конус — тело, образованное вращением
прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, шар — тело,
образованное вращением полукруга вокруг его диаметра. Если вращаю-
щийся прямоугольник, прямоугольный треугольник, полукруг рассматри-
вать как фигуру вместе с её внутренней областью, то круглые тела - не
полые внутри. А их поверхности именуются соответственно цилиндриче-
ской, конической, шаровой, или сферой.
Учебник геометрии А. Д. Александрова с соавторами [98] предпочи-
тает излагать материал о круглых телах (тела вращения) до темы: «Много-
гранники». Первое из них - шар. Он определяется как геометрическое ме-
сто точек (точнее как множество точек, обладающих определёнными свой-
ствами). Цилиндр и конус определяются аналогично тому, как это делается
в [27], но сначала их основание - фигура произвольной формы. Потом из
тел вращения выделяются прямые круговые цилиндры и конусы. Выделя-
ются выпуклые цилиндры и конусы.
Цилиндр и конус изучаются по одной содержательной схеме. Снача-
ла рассматриваются определения и называются элементы тел с указанием
различий цилиндрической (конической) поверхности и цилиндра (конуса).
Выявляются оси, плоскости симметрии тел, вводится понятие касательной
плоскости к цилиндру и конусу, что нужно для решения задач о много-
гранниках, описанных около этих тел. Рассматривают два сечения каждого
из названных тел: осевое и перпендикулярное к оси. Вычисляются объёмы
цилиндра и конуса, площади их боковых поверхностей. Особый интерес
представляют задачи, связанные с развёртками конуса и цилиндра.
Выделяется усеченный конус, определяемый в учебнике [27] как одна
из частей конуса, получающихся после разбиения конуса секушей плоско-
стью, проведенной перпендикулярно к его оси. Вводится и другое опреде-
71
ленис: усеченный конус - пространственная фигура, полученная вращени-
ем прямоугольной трапеции вокруг её боковой стороны, перпендикуляр-
ной к основаниям. Формулу площади боковой поверхности усечённого ко-
нуса учащиеся могут вывести самостоятельно как разность площадей бо-
ковой поверхности конуса и конуса, отсечённого секущей плоскостью.
Полезно постоянно помнить о целесообразности проведения парал-
лели с изложением соответствующих вопросов в планиметрии. Так, опре-
деление прямой, касательной к окружности на плоскости соответствует
определению касательной плоскости к цилиндру, конусу, шару (сфере) в
трёхмерном пространстве. Уравнение сферы, взаимное расположение сфе-
ры и плоскости изучаются по аналогии с составлением уравнения окруж-
ности и исследованием взаимного расположения окружности и прямой на
плоскости. В уравнение сферы «добавляется» третья координата z, и как
прямая может пересекать окружность в двух точках, иметь с окружностью
одну общую точку (касаться её) или не иметь с окружностью общих точек,
- плоскость может пересекать сферу по окружности, касаться сферы
(иметь с ней одну общую точку) или нс иметь со сферой общих точек. Это
можно показать как геометрически (с использованием чертежей), так и ко-
ординатным методом. Когда центр сферы в целях удобства записи её урав-
нения располагается на оси OZ, а плоскость, взаимное расположение кото-
рой со сферой исследуется, - плоскость XOZ, рассматривается система
уравнений:
z = О и х2 + у2 +(z- d)2 = г2.
Иллюстрации к задачам на комбинации многогранников и круглых
тел удобнее давать в плоскостном варианте, например, рассматривать осе-
вые сечения цилиндров, конусов, шаров, в которые вписаны или около ко-
торых описаны соответствующие многогранники, или выделяя «плоский»
фрагмент пространственного чертежа. При изучении геометрических мест
точек в пространстве удобно проводить параллель с геометрическими мес-
тами точек на плоскости.
Так, геометрическое место точек, удалённых от данной точки на
данное расстояние, на плоскости - окружность, в пространстве - сфера.
Геометрическое место точек, удатённых от данной прямой на данное рас-
стояние, на плоскости - пара прямых, параллельных данной прямой и рас-
положенных в разных полуплоскостях от неё, а в пространстве - цилинд-
рическая поверхность с осью - данной прямой.
Кроме ГМТ в пространстве существует геометрическое место пря-
мых, окружностей или каких-либо других фигур. Так, геометрическое ме-
сто прямых, проходящих через данную точку, лежащую вне данной плос-
кости, наклонённых к этой плоскости под одним и тем же углом, есть ко-
ническая поверхность. Прямой круговой цилиндр можно рассматривать
как геометрическое место окружностей равного радиуса с центром на дан-
ной прямой, плоскости которых перпендикулярны этой прямой. Но это
72
уже область углублённого изучения математики. На элективных курсах в
работе с сильными по математике учащимися целесообразно также рас-
смотреть сечения конической поверхности плоскостями, изученные ещё
Аполлонием (эллипс, гипербола, парабола). Ещё одна тема элективных за-
нятий: «Построение сечений конуса и цилиндра плоскостями» с использо-
ванием двух методов: метода следов и метода внутреннего проектирова-
ния. Курс будет продолжать построение сечений многогранников плоско-
стями с той разницей, что для построения сечения многогранников доста-
точно найти «узловые точки» — точки пересечения секущей плоскости с
боковыми рёбрами или их продолжениями, а затем их попарно соединить
отрезками (для точек, лежащих в плоскости одной грани). Для построения
сечения конуса или цилиндра идея «узловых точек» не годится. Здесь
нужно построить достаточно большое число точек, принадлежащих сече-
нию, а затем их последовательно соединить плавной кривой.
Небезынтересно составление уравнений цилиндрических и кониче-
ских поверхностей. Например, полезно предложить учащимся составить
уравнения цилиндрических поверхностей, направляющими которых явля-
ются окружности, расположенные в плоскостях .YOK, XOZ, YOZ с центрами
в начале координат, а оси которых соответственно совпадают с осями OZ,
OY и ОХ, или составить уравнение конической поверхности, если известны
координаты её вершины, ось и угол между осью и образующей <р.
В дополнение к литературным источникам, указанным в тексте дан-
ного параграфа, можно рекомендовать источники [22, 23, 48, 50, 51, 52, 54,
58, 59, 60, 88, 100, 104, 119, 124].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.	Петрова Е.С Теория и методика обучения математике Учеб.-метод. посо-
бие для студентов мат спец В 3 ч Ч 1. Общая методика Саратов Изд-во Сарат ун-
та, 2004.
2.	Петрова Е С Теория и методика обучения математике: Учеб.-метод. посо-
бие для студентов мат. спец.: В 3 ч. Ч. 2. Частная методика: Алгебра и математический
анализ. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005.
3.	Программно-методические материалы. Математика. Начальная школа /
Сост. И. А. Петрова. М.: Издательский дом «Дрофа», 1998.
4.	Математика: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Вилен-
кин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 12-е изд. стереотип. М.: Мнемозина,
2003.
5.	Математика. Учебник для 6 кл. общеобразоват учреждений / Н.Я. Вилен-
кин, В.И. Жохов, А С Чесноков, С.И. Шварцбурд. 12-е изд стереотип М.: Мнемозииа,
2003.
6.	Гусев В.А. Геометрия, 5 - 6 классы: Учеб пособие М. ООО «ТИД «Русское
слово» РС», 2002.
7.	Шуба М.Ю Занимательные задания в обучении математике М : Просвеще-
ние, 1994.
8.	Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс: Учебник для общеобра-
зоват. учреждений 3-е изд., дораб. и испр. М.: Мнемозина, 2004.
9.	Багишова О.А. Измерение длин в ходе практических работ И Математика в
школе. 2005. № 4. С. 62 - 67.
10.	Виситаева М.Б. Об изучении пропедевтического курса геометрии в школах
Чеченской Республики И Математика в школе. 2007. № 5. С. 26 - 30.
11.	Гусев В.А. Каким должен быть курс школьной геометрии9 И Математика в
школе. 2002. №3. С. 4 - 8.
12.	Гусев В.А Психолого-педагогические основы обучения математике. М.:
ООО Изд-во «Вербуй М», ООО Издат. центр «Академия», 2003
13.	Гусев В.А. Сборник задач по геометрии, 5-9 класс. Учеб, пособие для об-
щеобразовательных учреждений М.: ООО Издат. дом «ОНИКС 21 век», ООО Изд-во
«Мир и образование», 2005.
14.	Зайкин М.И., Колосова В.А. Учимся на чужих ошибках. Тетрадь с разви-
вающими заданиями по математике: Учеб, пособие для 5 класса общеобразоват. учре-
ждений. М.: Русское слово, 1998.
15.	Знаменская Е.В. Непрерывное изучение геометрии (11 - IX классы) И Мате-
матика в школе. 2002. № 10. С. 50 - 53.
16.	Зубарева И.И., Милыитейн М.С. и др. Самостоятельные работы в V классе //
Математика в школе. 2005. Ns 4. С. 38 - 45.
74
17.	Истомина Н Б. Математика 3 класс: Учебник для начальных школ М.:
LINKA - PRESS,1995.
18.	Корбина Н Е. Задания по теме «Координатная плоскость» в YI классе И Ма-
тематика в школе. 2005. № 4. С. 57, 58
19.	Малиновская Н.В. Понятие угла в курсах математики и географии И Матема-
тика в школе 2005 № 4. С. 14-17.
20.	Математика: Учебник-собеседник для 5 класса общеобразоват. учреждений/
Л.Н Шеврин. А.Г Гейн, И.О. Коряков М.В. Волков. М.: Просвещение, 1995.
21.	Математика: Учебник-собеседник для 6 кл общеобразоват учреждений /
Л.Н. Шеврин, А Г. Гейн, И О Коряков, М.В. Волков 2-е изд М.: Просвещение, 1995.
22.	Методика обучения геометрии: Учеб пособие для студ высш. пед. учеб,
заведений / В.А. Гусев, В.В Орлов, В.А Панчишина и др.; Под ред В.А. Гусева. М.:
Издат. центр «Академия», 2004
23.	Программно-методические материалы: Математика. 5 - 11 кл. Тематическое
планирование / Сост Г М. Кузнецова М.: Дрофа. 1998.
24.	Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике М.: Просвещение, 1995.
25.	Харланова Ю.В. Практические задачи в школьном курсе геометрии И Мате-
матика в школе. 2004. № 3.С. 61 - 64.
26.	Шарыгин И.Ф. Нужна ли школе XXI века геометрия? И Математика в шко-
ле. 2004. № 4. С. 72 - 79.
27.	Геометрия 10 - 11: Учебник для общеобразовательных учреждений /
Л.С. Атанасян, В Ф Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 11-е изд М.: Просвещение. 2002.
28.	Погорелов А.В. Геометрия Учебник для 7-11 кл. сред шк 4-е изд. М.: Про-
свещение, 1993
29.	Гильберт Д Основания геометрии. М.; Л.: Гос изд-во техн.-теор. лит-ры.
1948.
30.	Розов Н.Х Проблема размещения новых понятий и объектов в школьном
курсе математики // Современный урок математики: Теория и практика Материалы
Всерос. науч.-практ конф. Н Новгород, 29 - 30 нояб. 2005 г / Отв. ред Т.А. Иванова.
Н Новгород: Изд-во Новгород пед ун-та, 2005.
31.	Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе: Учеб посо-
бие для студентов мат. спец. пед. вузов и ун-тов. М.: Просвещение, 2007.
32.	Цукарь А.Я. Дидактические материалы по геометрии с элементами исследо-
вания для 7 класса. М.: Просвещение, 1998.
33.	Гилярова М.Г. Геометрия. 7 класс. Поурочные планы по учебнику «Геомет-
рия» 7 класс (Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.). Волгоград: Изд-во «Учитель-АСТ»,
2003.
34.	Бусев В.М Методический отдел журнала за 1990	2003 годы. Часть YI.
Геометрия//Математика в школе 2005 №4 С. 67-71.
35.	Епишева О Б. Специальная методика обучения геометрии в средней школе:
Курс лекций: Учеб пособие для студентов физ.-мат. спец пед вуза Тобольск: Изд-во
Тобольск, пед ин-та, 2002
36.	Мищенко Т М.. Семёнов А.В Индивидуальные карточки по геометрии для
YII - IX классов // Математика в школе. 2002 № 2 С. 19 - 26.
37.	Саранцев Г.И. Обучение математическим доказательствам в школе: Книга
для учителя М : Просвещение, 2000
38.	Ткачёва М.В. Домашняя математика: Книга для учащихся 7 кл. общеобразо-
ват. учреждений. М : Просвещение. 1994.
39.	Владимирцева С.А. О разных подходах к введению математических понятий
// Математика в школе 2005 № 7. С. 46 - 52.
75
40.	Миганова ЕЮ. Обучение методам решения задач в теме «Треугольники» //
Математика в школе. 2002. № 3. С. 25 - 28.
41.	Мищенко Т.М. Признаки равенства треугольников по учебнику Л.С. Атана-
сяна и других И Математика в школе. 2004. № 10. С. 12-21.
42.	Сверчевская И.А. Устные задачи по теме: «Объемы многогранников» И Ма-
тематика в школе. 2004. № 8. С. 2 - 7.
43.	Сефибеков С.Р. Из опыта начального обучения решению геометрических
задач на доказательство И Математика в школе. 2007. № 6. С. 41 - 44.
44.	Геометрия 7-9: Учебник для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян,
В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 12-е изд. М.: Просвещение. 2002.
45.	Мищенко Т.М. Заключительное повторение курса планиметрии // Математи-
ка в школе. 2004. № 3. С. 19-33.
46.	Смирнова И.М., Смирнов В.А Что такое абсолютная геометрия // Математи-
ка в школе. 2002. № 8. С. 63 - 68.
47.	Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики Учеб.-метод. пособие. М.:
ООО Издат. дом «ОНИКС 21 век»; ООО Изд-во «Мир и образование», 2005.
48.	Гусев В.А. Программа курса «Геометрия» для 5-11 классов общеобразоват.
учреждений М : ООО «ТИД «Русское слово» - РС» 2002
49.	Канин Е С. Изучение касательной в курсе средней школы И Математика в
школе. 2008 № 8. С. 51 - 56.
50.	Петров В.А. К вопросу об изображении шара // Математика в школе 2004.
№8 С . 61-62
51.	Петрова М.А. Решаем задачи на тему: «Тела вращения» И Математика в
школе. 2005. № 7. С. 45 - 49.
52.	Писаревский Б.М. Задачи по стереометрии. Тела вращения И Математика в
школе. 2005. № 4. С. 21 - 24.
53.	Прокофьев А., Соколова Т. Окружность в задачах (на материалах вступи-
тельных экзаменов в МИЭТ) И Математика. 2005. № 24. С. 38 - 40.
54.	Саакян С.М., Бутузов В.Ф. Изучение темы: «Цилиндр, конус и шар» в
11 классе // Математика в школе. 2002. № 5. С. 25 - 33.
55.	Ткачёва М.В. Домашняя математика Книга для учащихся 8 кл. общеобразо-
ват учреждений. М.: Просвещение, 1996.
56.	Ткачёва М.В. Домашняя математика Книга для учащихся 9 кл. общеобразо-
ват учреждений / М.В. Ткачёва, Р.Г. Газарян Б.Н Кукушкин и др. М.: Просвещение,
1998
57.	Феоктистов И.Е. Задачи с параметрами в геометрии // Математика в шко-
ле 2002. №5. С. 63-67.
58.	Фискович Т.Т. Геометрия без репетитора. М : Издат отдел УНЦ ДО МГУ.
1998
59.	Фискович Т.Т. Геометрия для старшеклассников и абитуриентов. М.: Добро-
свет, 2000
60.	Шарыгин И.Ф. Математика. Для поступающих в вузы: Учеб пособие М :
Дрофа, 1997.
61.	Канин Е С. Учебные математические задачи. Киров: Изд-во Вят. ун-та, 2003
62.	Белошистая А.В. Задачи на построение в школьном курсе геометрии // Ма-
тематика в школе 2002. № 9. С. 47-51.
63.	Кучугурова НД. Сборник заданий по методике преподавания математики:
Учеб, пособие. Ставрополь: Изд-во Ставр. ун-та, 2001.
64.	Белобородова С.В. История математики на первых уроках тригонометрии И
Математика в школе. 2005. № 3. С. 59 - 64
76
65.	Бородина Н.А. Обобщающий урок по теме «Движение» // Математика в
школе. 2002 № 3. С. 28 - 30.
66.	Вовк В.Н. Знакомство с геодезией иа уроках геометрии // Математика в шко-
ле. 2004. №1. С. 6-9.
67.	Генкин Г.3. Три подхода к решению некоторых задач // Математика в школе.
2002. №3. С. 24-25.
68.	Иванов К.А. О пропорциональных отрезках в треугольнике И Математика в
школе. 2004. № 8. С. 20 - 25.
69.	Карпушина НМ. Любимые книги глазами математика И Математика в шко-
ле. 2004. №8. С. 19-20.
70.	Кучугурова ИД. Интенсивный курс методики преподавания математики.
Учеб пособие. Ставрополь: Изд-во Ставр ун-та, 2001.
71.	НедошивкинЕФ, Недошивкин Д.Е Исследование задач на преобразование
фигур // Математика в школе. 2006 № 3 С. 54 - 58
72.	Пантелеев В.П. Пропорциональные отрезки и то, что за ними // Математика
в школе. 2004. №8.0 25 - 31.
73.	Попов К.А. Исследование геометрических преобразований средствами ком-
пьютера // Математика в школе. 2007 № 8 С 43 - 48
74.	Смирнова И.М., Смирнов В А Экстремальные задачи по геометрии. М.:
Чистые пруды, 2007.
75.	Школьник А.Г. Задача деления круга. М.. Учпедгиз, 1961.
76.	Бородин А.И., Бугай А С. Биографический словарь деятелей в области мате-
матики Киев: Радянська шк., 1979.
77.	Прасолов В В. Задачи по планиметрии. Ч. 1. М.: Наука, 1986.
78.	Шубина Т В., Резник Н.А Новый подход к усвоению школьниками понятий
геометрии И Математика в школе. 2004. № 3. С. 55 - 59.
79.	Факультативный курс по математике: Учеб, пособие для 7 - 9 кл. сред. шк. /
Сост. И.Л. Никольская. М.: Просвещение, 1991.
80.	Шарыгин И.Ф Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб,
пособие для 10 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1989.
81.	Эрдниев П М., Эрдниев Б П Синтез геометрического и алгебраического как
средство достижения качественного математического знания И Математика в школе.
2000. №8. С. 32-33.
82.	Эрдниев П.МЭрдниев Б П Укрупнение дидактических единиц в обучении
математике: Книга для учителя. М Просвещение, 1986
83.	Болтянский В.Г., Яглом ИМ. Геометрия для IX классов средней школы:
Учеб, пособие. М.: Гос. учеб.-пед. изд-во Министерства просвещения РСФСР, 1963.
84.	Ассонова В.А., Ассонов Н В Еще один подход к решению некоторых задач И
Математика в школе. 2002. Ns 9. С. 57 - 59
85.	Беккер Б.М., Некрасов В Б Применение векторов для решения задач: Учеб,
пособие СПб.: КПО «Мир и семья - 95», 1997.
86.	Жуков А.В. Ассистирует векторное произведение И Математика для школь-
ников. 2006 № 1. 26-29.
87.	Левитас Г Г. Геометрия на плоскости и в пространстве. М.: 1996. Ч. 2.
88.	Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. М : Наука, 1989.
89.	Рыжик В.И. Если очень хочется, то можно? И Математика в школе. 2007.
№ ЕС. 77-78.
90.	Якиманская И.С. Развитие пространственного мышления школьника. М.:
Педагогика, 1980.
77
91.	Шохор-Троцкий СИ Геометрия на задачах Основной курс. Книга для уче-
ника. М.: Сьггин. 1913.
92.	Шохор-Троцкий СИ. Геометрия на задачах Основной курс Книга для учи-
теля. М.: Сытин 1913
93.	Клековкин Г.А Геометрия 5 класс М Русское слово. 2001
94	Левитас Г Г Геометрия на плоскости и в пространстве М 1996 Ч 1
95	Подходова НС. Геометрия в пространстве Знакомство с объемными фигу-
рами и симметрии 6 7-9классы СПб Готанд 1996
96.	Подходова Н С. Геометрия 5 класс Учеб, пособие. СПб Дидактика, 1995
97.	Смирнова ИМ Методические рекомендации по изучению геометрии И Газ.
Математика 2000 № 33. С 24
98.	Александров АД., Вернер А.Л., Рыжик ВИ Геометрия для 10-11 классов:
Учеб пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики
3-е изд., перераб М Просвещение, 1992
99.	Баранова Е В Тематический контроль усвоения начал стереометрии // Ма-
тематика в шкоте 2002 № 9 С 44 - 47
100	Смирнова И М, Смирнов В А Геометрия. Учебник для 10-11 классов об-
щеобразовательных учреждений М.: Просвещение 2001
101.	Ткачёва МВ Вращающиеся кубики // Математика в школе 2005 №5
С. 52 - 55
102.	Замбржицкий А И Параллельность прямой и плоскости Система уроков
М Чистые пруды. 2007
103.	Кожухов С.К.. Володин В К О некоторых способах вычисления расстояния
между скрещивающимися прямыми // Математика в школе. 2008 № 1. С 15 - 17.
104.	Шары ин И Ф. Голубев В И Факультативный курс по математике: Реше-
ние задач. Учеб пособие для 11 кл. сред щк. М Просвещение, 1991
105	Якиманская И.С. Психологические основы математического образования:
Учеб, пособие для студ. пед. вузов М Издательский центр «Академия» 2004
106	Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы: По-
собие для учителя М Просвещение, 1967.
107.	Варшавский И К., Ганашвили МЛ.. Глазков Ю.А Стереометрия на едином
государственном экзамене // Математика в школе 2006 № 4. С. 2 - 9.
108.	Варшавский И.К., Ганашвили МЯ., Глазков Ю.А Стереометрия на едином
государственном экзамене И Математика для школьников 2005 №4 С 3 - 12.
109.	Губин А В . Крайко М.А Задачи на сравнение объёмов многогранников //
Математика в школе 2005 № 5 С 55 - 63
110	Литвиненко ВИ. Задачи на развитие пространственных представлений
Книга для учителей М Просвещение, 1991
111.	Недошивкин Е Ф., Недошивкин Д Е Исследование в задачах по стереомет-
рии И Математика в школе 2002 № 3. С 20 - 24
112.	Потоскуев Е В. Ешё раз о необходимости корректной аргументации при
решении стереометрических задач И Математика в школе 2007 № 5. С 2 - 9.
113.	ХодотЛЮ Как сделать геометрическую иллюстрацию наглядной9 // Ма-
тематика в школе 2007 № 8 С. 21 - 26
114	Смирнова И М В мире многогранников Книга для учащихся М Просве-
щение, 1995
115.	Зильберберг Н И Урок математики Подготовка к проведению Книга для
учителя М Просвещение, 1996.
116.	Безверхняя И.С О некоторых свойствах куба // Математика в школе 2002
№ 9. С. 55 - 56.
78
117.	Боженкова Л.И. Обучение учащихся построению сечений многогранни-
ков: Учеб -метод, пособие М.; Калуга: Изд-во Калужск пед. ун-та. 2005
118.	Варшавский И.К.. Ганашвили М.Я, Глазков Ю.А Стереометрия на едином
государственном экзамене И Математика для школьников. 2006. № 1. С 3-12
119.	Вахрушев В В Устные тесты по стереометрии по темам: «Многогранники»
и «Тела вращения» // Математика в школе. 2005 № 6. С. 42 - 50
120.	Костицын В Ц Академик Фёдоров (к 150-летию со дня рождения) // Ма-
тематика в школе 2004 № 1. С. 72 - 77
121.	Писаревский Б М Задачи по стереометрии Правильная пирамида // Мате-
матика в школе 2005 № 3. С 11 - 15
122.	Сверчевская И.А Устные задачи по теме «Призма» И Математика в школе
2002 №9. С 54 - 55.
123.	Таранова МВ Этапы работы над задачей // Математика в школе 2004
№3. С. 64-67
124.	Земляков А Н Геометрия в 11 классе: Метод, рекомендации к преподава-
нию курса геометрии по учеб пособию А.В Погорелова Пособие для учителя. 2-е изд
дораб М.: Просвещение. 1991.
125.	Киселёв А П. Геометрия. Ч 1. Планиметрия Учебник для 6-9 классов се-
милстней и средней школы. М Гос учеб.-пед. изд-во Министерства просвещения
РСФСР, 1950
126.	Начала Евклида. Книги I - YI / Пер с греч и комментарии Д.Д. Мордухай-
Болтовского. М.; Л.. Гос. изд-во техн.-теор лит-ры. 1948
127.	Воронько ТА. Задачи исследовательского характера // Математика в школе.
2004 №8. С. 10-14.
128.	Галицкий М.Л., Гольдман А.М, Звавич Р.П. Курс геометрии 8 класса в за-
дачах (для классов с углублённым изучением математики, специализированных клас-
сов естественно-технического профиля) // Квантор 1991. №7
129.	Мищенко Т.М Пифагор и теорема Пифагора // Математика для школьни-
ков 2004 №2. С. 45-54.
130.	Нестерук О В, Остапенко М.В. Об изучении тригонометрии в курсе гео-
метрии И Математика в школе 2004 № 4 С 32 - 35.
131.	Окунев В.А. Спасибо за урок, дети!: О развитии творческих способностей
учащихся: Книга для учителя М.: Просвещение, 1989.
132.	Писаревский Б.М. Задачи по планимегрии // Математика в школе 2004.
№ 6. С. 55 - 59
133.	Прасолов В В Задачи по планиметрии. Ч. II. М Наука, 1986
134.	Филоненко НА. Тема «Решение треугольников» в IX классе // Математика
в школе. 2004 №1.0 4- 6.
135.	Готман Э.Г. Аналог формулы Герона в стереометрии // Математика в
школе. 2002 № 3. С. 63, 64
136.	Демидов АНДемидова И З Геометрия УШ класса в одной задаче // Ма-
тематика в школе 2004 № 3. С. 59 -61.
137.	Жуков А В Вездесущее число 7Г // Математика для школьников 2004
№ 1. С. 60 - 63: № 2. С. 55 - 60
138.	Мищенко Т.М. Рослова Л.О. Курс по выбору для IX класса «Избранные
вопросы математики» // Математика в школе. 2004 №4 С 20 - 25.
139	Саакян СМ. Бутузов В Ф Изучение темы «Объёмы тел» в XI классе //
Математика в школе. 2002 № 6. С. 11 - 22.
140	Салате зова Л С Ортогональное проекзирование и решение задач на объё-
мы многогранников // Математика в школе. 2007 № 10. С. 20-26
79
141.	Сверчевская И.А. Устные задачи по теме «Объёмы тел вращения Площадь
сферы» // Математика в школе. 2005 № 3. С. 5 - 11.
142.	Филипповский Г.Б. Вариации иа тему одной геометрической задачи И Ма-
тематика в школе 2002 № 8. С 78 - 79
143.	Филипповский Г.Б. Половина площади треугольника // Математика в шко-
ле. 2004. № 4. С. 26 - 27.
ПРИЛОЖЕНИЯ
В приложениях предлагается в форме опорных конспектов краткое изложение
некоторых тем курса теории и методики обучения математике (ТИМОМ), поскольку
получение соответствующей информации теоретического характера предполагается иа
практических занятиях.
Приложение 1
МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
Теорема Пифагора. Подготовительная работа
теоремы. Следствия.
Эвристическая схема доказательства (рис. П1):
лп лг	>
cos.4 = — = —=> AB-AD = ЛС2,(1)
АС АВ
co$B = ~ = — =>AB BD= ВС2 . (2)
ВС АВ
(1) + (2): АС2+ВС2 = AB(AD+DB]= АВ2.
Разные способы доказательства
Доказательство теоремы Пифагора, осно-
ванное на понятии равновеликости, включено в
учебник геометрии А П. Киселёва [125]. Такое из-
ложение (рис. П2) предлагается Евклидом в
«Началах» [126, книга первая, предложение 47,
с. 58-59].
Внеклассная работа. Различные способы
доказательства теоремы Пифагора (рис. ПЗ) Зада-
чи из истории математики, решаемые с помощью
теоремы Пифагора или ей обратной. Египетский
треугольник
Объяснение целесообразности изучения
теоремы косинусов и теоремы синусов Методика
доказательства этих теорем Эвристические схемы
Рис. ПЗ
81
Таблица: связь между названными теоремами.
Решение треугольников. Четыре задачи. Задача, допус-
ку \ кающая два решения (рис. П4).
\а	Измерительные работы на местности, связанные с мет-
/ а/ \ рическими соотношениями в треугольнике.
X а /____________А Библиография: [23. 27, 28, 34, 36. 44, 55, 56, 64, 66, 77,
„ п. 127, 128, 129, 130, 131. 132, 133, 134].
Рис. П4
Приложение 2
ДЛИНА, ПЛОЩАДЬ, ОБЪЁМ (7-11 классы)
Подготовительная работа в начальной школе, 5 и 6 классах, (п. 1.1).
Аналогия в изучении понятий площадей и объёмов:
•	Определение простой фигуры и простого многогранника.
•	Определение площади фигуры и объёма тела.
•	Площадь прямоугольника и объём прямоугольного параллелепипеда (для
чего нужно вторично вводить эти формулы?).
•	Площадь параллелограмма и объём произвольного наклонного паралле-
лепипеда.
•	Равновеликость и равносоставленность фигур в планиметрии и стерео-
метрии.
•	Отношение площадей двух подобных фигур н объёмов двух подобных
тел.
Различные способы вычисления площадей треугольника, прямоугольника, па-
раллелограмма. ромба, трапеции, правильных многоугольников, произвольных много-
угольников.
Формулы радиусов окружностей, вписанной в треугольник и описанной около
треугольника, выраженных через площадь треугольника.
Равновеликость и равносоставленность, разбиение фигуры на части в помощь
решению геометрических задач на площади.
Решение геометрических задач, в формулировке которых о понятии площади
не упоминается, на вычисление и доказательство с использованием формул площади
фигур.
Пример
Доказать, что сумма расстояний от точки, лежащей внутри равностороннего
треугольника, до сторон этого треугольника есть величина постоянная [77, задача 4.15,
с. 77].
Особенность строгого доказательства формул, выражающих длину окружности
и площадь круга через её радиус (использование понятия предела). Вывод формул для
вычисления а) длины / дуги окружности с градусной мерой а; б) площади S' кругового
сектора, ограниченного дутой с градусной мерой а. Вычисление площади кругового
сегмента.
Особенности выведения формул объёмов призмы, пирамиды, усеченной пира-
миды, цилиндра, конуса, усечённого конуса, шара и его частей.
Общая формула объёма тел вращения, и её конкретные приложения.
Методические особенности вычисления площадей боковых поверхностей ци-
линдра и конуса, плошали сферы. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла.
Обоснование целесообразности и выявление наиболее рациональных способов
составления таблиц: «Плошади фигур», «Объёмы тел» и «Площади поверхностей про-
странственных фигур».
82
Задачи ЕГЭ на длину, площадь, объём.
Экстремальные задачи по геометрии в системе углублённого изучения матема-
тики [74].
Библиография: [6, 7, 9, 12, 13, 23, 25, 27, 35, 42, 48, 51, 55, 56, 58, 59, 88, 98, 100,
109, 114, 115, 118, 124, 133, 135, 136, 137, 138. 139. 140. 141. 142, 143].
Приложение 3
ТРАФАРЕТЫ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ФИГУР
83
Рис. П7
Рнс П9
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение... ..............................................................   3
Глава 1. ПЛАНИМЕТРИЯ........................................................ 4
1.1.	Элементы геометрии в 5 и 6 классах............................   4
1.2.	Логическое строение школьного курса геометрии Первые уроки
систематического курса геометрии в 7 классе. Доказательство первых
теорем . ......................... ................................. 12
1.3.	Методика изучения темы «Равенство фигур»....................... 16
1	4. Параллельность прямых на плоскости............................ 19
1.5. Методика изучения темы «Окружность и круг» ....	....... 23
1.6. Методика изучения геометрических построений в 7 - 9 классах.	29
1.7. Методика изучения преобразований фигур...	34
1 8. Методика изучения темы «Многоугольники»........................ 39
1.9. Метод координат в школьном курсе математики..	44
1 10. Векторы в школьном курсе математики.	49
Глава 2. СТЕРЕОМЕТРИЯ....... .............................................. 52
2.1.	Методика изучения систематического курса стереометрии.
Первые уроки курса................................................   52
2.2.	Изучение параллельности прямых и плоскостей в старших классах
средней школы..	........................................... 54
2.3	Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей
в старших классах........................ .	57
2.4.	Задачи на построение в курсе стереометрии...................... 60
2.5.	Изучение многогранников в школьной математике.......	66
2.6.	Круглые тела в школьном курсе математики...	70
Библиографический список....... .........................................   74
ПРИЛОЖЕНИЯ.......... ...................................................... 81
Приложение 1. Метрические соотношения в треугольнике....................... 81
Приложение 2. Длина, площадь, объём (7-11 классы).........................  82
Приложение 3. Трафареты для построения изображений пространственных фигур.. 83
Учебное издание
Петрова Елена Степановна
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Учебно-методическое пособие
для студентов математических специальностей
В трех частях
Часть 3. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА:
ГЕОМЕТРИЯ
Библиотека «Педагогические измерения»
ВЫПУСК 6
Ответственный за выпуск О. Л. Багаева
Технический редактор Л.В. Агальцова
Корректор Е. Б. Крылова
Оригинал-макет подготовлено. Л. Багаевой
Подписано в печать 23.05 2008
Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная Гарнитура Таймс Печать офсетная
Усл. печ. л. 5,11(5,5). Уч.-изд. л. 4,7. Тираж 300 экз. Заказ 83
Издательство Саратовского университета.
410012, Саратов, Астраханская, 83.
Типография Издательства Саратовского университета.
410012, Саратов, Астраханская, 83

Библиотека «Педагогические измерения»
Основана в 2001 году
Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского
Е.С. Петрова
ТЕОРИЯ И МЕТОДИКА
ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ
Учебно-методическое пособие
для студентов математических специальностей
В трех частях
Часть 3. ЧАСТНАЯ МЕТОДИКА:
ГЕОМЕТРИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО САРАТОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2008