Г. И. CAPAHUEB
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ
ГЕОМЕТРИИ


Г. И. Саранцев
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ БАКАЛАВРИАТА
ВЫСШИХ УЧЕБНЫХ ЗАВЕДЕНИЙ ПО HAI ДАВЛЕНИЮ
«11ЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ» (профиль «Математика»)
Допущено
Учебно-методическим объединением
по направлениям педагогического образования
Министерства образования и науки РФ
в качестве учебного пособия дня студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлению 050200
Физико-математическое образование
Казань
Центр инновационных технологий
2011
УДК 37.02+5
ББК 74.202.4+22.1
С20
Рецензенты:
Т.А. Иванова, докт. пед. наук, проф.;
М.А. Родионов, докт. пед. наук, проф.
Саранцев, Г.И.
С20 Методика обучения геометрии: учеб пособие для студентов
вузов по направлению «Педагогическое образование» / Г.И. Саран-
цев. - Казань: Центр инновационных технологий, 2011. - 228 с.
ISBN 978-5-93962-493-0
В пособии в контексте методологии методики обучения математике,
современного методического мышления и новых образовательных идей
раскрываются вопросы обучения геометрии в средней школе в соответствии со
стандартами высшего профессионального образования.
Книга предназначена для студентов математических специальностей
педвузов и университетов, преподавателей мегодики обучения математике,
аспирантов и учителей математики.
Книга подготовлена при финансовой поддержке РГНФ
(грант Ne 10-06-0122la)
ISBN 978-5-93962-493-0
© Г.И. Саранцев, 2011
© Центр инновационных технологий, 2011
Подписано в печать 05.07.2011. Формат 60x84 1/16.
Бумага офсетная. Печать ризографическая.
Гарнитура «Times». Уел. печ. л 13,25.
Тираж 500 экз. Заказ 07-11/03-2.
Издательство «Центр инновационных технологий».
420108, г.Казань, ул Портовая, 25а
Тел./факс (843) 231-05-46, 231-05-61
E-mail: citlogos@mail.ru
www.logos-press.ru
ПРЕДИСЛОВИЕ
В последние 15-20 лет в педагогической науке обозначился ряд
важных идей (гуманизация, гуманитаризация, фундаментализация обра-
ювания, системный анализ, деятельностный подход), реализация кото-
рых предполагает серьезное обновление подготовки учителя математи-
ки. Ранее основное внимание в этой подготовке уделялось технологии
методической деятельности, овладению студентом различными рецеп-
тами по ее осуществлению. В основном эта деятельность охватывала
подготовку и проведение уроков и внеклассных мероприятий. Перед
высшим образованием ставилась задача профессионально вооружить
будущего учителя технологическими приемами, умениями их приме-
нять и развивать дальше. Эта задача успешно решалась. Учителя, рабо-
тающие лет двадцать назад, активно участвовали в совершенствовании
учебного процесса. Результатом их творческого поиска явились различ-
ные типы нестандартных уроков: урок-лекция, урок одной задачи, урок
бенефис, урок — эссе и т. д. Всей стране были известны имена
В. Ф. Шаталова, А А. Окунева, В. И. Рыжика и др. До сих пор остаются
«на слуху» такие способы организации учебной деятельности, как «мас-
терская» Окунева, «методика» Шаталова и т. д. Каждый регион страны
мог назвать своих новаторов, известных результатами их работы.
В 90-х годах прошлого столетия активизировалось внимание об-
щественности к педагогической науке и практике, были выдвинуты
идеи демократизации всей образовательной сферы, развития личности
обучаемого и личности учителя, гуманитаризации образования. Их реа-
шзация предполагает смещение акцента с подготовки узкоспециализи-
рованного учителя с хорошей технологической базой на подготовке
специалиста широкого общенаучного и общекультурного профиля, об-
ладающего прежде всего методологией научного поиска, культурой
системного анализа, технологиями принятия оптимальных решений,
> мением адаптироваться к различным изменениям, прогнозировать ход
развития той или иной ситуации и т. д.
Возникшие в ходе реализации этих идей требования к методической
науке резко подвигнули ее к важным исследованиям возникших проблем
3
методологии, теории и практики обучения. Их результаты позволили мето-
дике обучения математике трансформироваться из приложения дидактики
и психологии в самостоятельную научную область с собственным логиче-
ским аппаратом (объектом, предметом, методами исследования), концеп-
циями, теорией, приложениями и технологией обучения. Существенное ме-
сто в методологии методики обучения математике занимают системный
анализ и деятельностный подход. Усовершенствование методологии по-
зволило решить ряд важных проблем прежде всего методологического ха-
рактера: исследовать методическую систему обучения математике, выде-
лить ее внешнюю среду7, связи между средой и компонентами методиче-
ской системы, раскрыть содержание самих компонентов, определить со-
держание понятия гуманитаризации математического образования и т. д.
Деятельностный подход как одна из составляющих методологии позволил
более глубоко заглянуть в структуру формирования математических поня-
тий, работы с теоремой, обучения решению задач. Важные результаты по-
лучены в исследовании проблемы современного методического мышления:
раскрыто его содержание, выделены признаки, определены пути и средства
формирования.
Ясно, что все это должно учитываться при написании учебных по-
собий для студентов педвуза по методике обучения математике. В таком
ключе издана наша книга «Методика обучения математике в средней
школе» (Просвещение, 2002). Она охватывает программный материал
первого раздела соответствующего курса, изучаемого на математиче-
ских факультетах педвузов и университетов. Этот раздел традиционно
именуют «Общая методика обучения математике». Вопросы обучения
алгебре, геометрии, элементам математического анализа обсуждаются в
частных методиках: методике обучения алгебре, методике обучения
геометрии и методике обучения элементам математического анализа.
По отношению к общей методике они являются как бы приложениями
методологии и теории обучения математике. Например, методика фор-
мирования геометрических понятий базируется на основных положени-
ях методики формирования математических понятий, рассмотренных в
названном учебном пособии. Однако в некотором роле отдельные по-
ложения методики обучения геометрии (алгебре, элементом математи-
ческого анализа) имеют самостоятельное значение (цели обучения, пре-
емственность в изучении геометрии и т. д ).
4
Данная книга посвящена методике обучения геометрии в средней
школе. Она имеет ту же структуру, что и «Методика обучения матема-
тике». Работая над этой книгой, также как и над ранее изданной, автор
исходил из того, что студент должен не столько усваивать готовые фак-
ты. сколько принимать участие в их обосновании, формулировке. По-
этому в пособии большое внимание уделяется анализу различных точек
зрения на изучаемые явления, динамике их развития, становлению и со-
вершенствованию взглядов и представлений. Каждая глава содержит
задачи и список литературы. Задачи ориентированы на понимание, ов-
ладение умением оперировать учебным материалом, оценивать различ-
ные варианты его изложения. Решение многих задач способствует раз-
витию профессиональных умений будущих учителей, их познаватель-
ной самостоятельности, творческой активности. Список литературы по-
зволяет получить ответы на все вопросы, которые могут возникнуть при
изучении курса, и более глубоко освоить учебный материал.
В отличие от аналогичных пособии данное пособие лишено мето-
дических рекомендаций рецептурного характера, ориентированных на
конкретный школьный учебник. Учитель должен хорошо «просматри-
вать» всю изучаемую тему в целом, видеть ее структуру, возможные и
целесообразные варианты ее изложения, точно представлять себе, какие
умения следует формировать у учащихся при изучении данной темы
и т. д. В пособии анализируется изложение материала в учебниках
А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др., А. Д. Александрова и др., не
игнорируется и опыт обучения геометрии по ранее действовавшим
учебникам. При разработке методики изучения конкретных тем учиты-
вается научная трактовка изучаемых понятий и отношений, результаты
методических исследований и практика обучения. Широко отражена
концепция упражнения как способа организации учебно-
познавательной деятельности школьников, носителя действий, адекват-
ных содержанию обучения. Пособие содержит примеры систем упраж-
нений, ориентированных на усвоение различных понятий, теорем и т. д.
В последнее время все чаще и чаще раздаются голоса за совмест-
ное обучение планиметрии и стереометрии, т. е. за реализацию идеи фу -
зионизма в обучении геометрии в средней школе. Выскажем свою пози-
цию по данному вопросу. В ее основе лежат результаты выполненных
нами исследований по проблеме влияния красоты на обучение матема-
5
тике и обучения математике на формирование эстетического вкуса уча-
щихся. Напомним, что одной из составляющих содержания красоты яв-
ляется соответствие предъявляемого объекта его образу, созданному'
психикой учащегося, и оригинальности, выделяющей этот объект из
других объектов. Учитывая, что у ребенка с его взрослением развивают-
ся пространственные представления об окружающем мире, приобре-
тающие форму устойчивых образов реальных объектов, изучение эле-
ментов геометрии в V-VI классах естественно должно основываться на
идее фузионизма, однако эта идея не должна быть стержневой. В основ-
ной школе должен изучаться систематический курс планиметрии, а в
средней — курс стереометрии. Заканчивать изучение геометрии в школе
следует знакомством школьников с аксиоматическим методом не толь-
ко как методом организации математической теории, но и как эффек-
тивным эвристическим средством, а так же выходом в геометрию четы-
рехмерного пространства.
Построить единый курс планиметрии и стереометрии в основной
школе на достаточно строгом логическом уровне невозможно. Такой
курс будет представлять собой набор различных фактов, поэтому мера
порядка его организации будет невысокой, а потому будет низкой и ме-
ра привлекательности такого курса для учащихся, что несомненно будет
отражаться на их интересе к изучению курса, а. следовательно, и на их
знаниях, и умениях. Поэтому' методика обучения геометрии в данном
пособии излагается в двух разделах: 1) методика обучения планимет-
рии, 2) методика обучения стереометрии. Обучение элементам геомет-
рии в V-VI классах ведется на основе фузионизма. По возможности при
изучении планиметрии предполагается выход в пространство, а при
изучении стереометрии - возвращение к плоскости.
Данное пособие соответствует стандартам высшего профессио-
нального и среднего математического образования. Оно ориентировано
на студентов бакалавриата высших учебных заведений по направлению
«Педагогическое образование».
6
Часть I
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
Глава I
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА ГЕОМЕТРИИ
ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ
I.	Цели и задачи курса геометрии основной школы
2.	Содержание обучения геометрии в VII—IX классах
3.	Логические основы изложения геометрии в VII-IX классах
1.	Цели и задачи курса геометрии основной школы
В I-VI классах геометрия как отдельный учебный предмет не име-
ет места (геометрические сведения распределены по всему курсу мате-
матики), а с седьмого класса учащиеся начинают изучать систематиче-
ский курс геометрии. Этап обучения элементам геометрии в I-VI клас-
сах называют пропедевтическим или подготовительным. Основной его
целью является подготовка учащихся к изучению систематического
ку рса геометрии. Однако многие знания и умения, приобретаемые уча-
щимися при изучении элементов геометрии, имеют самостоятельное
шачение и находят применение не только в курсе математики, но и вне
его. В процессе обучения элементам геометрии происходит:
1)	формирование образов геометрических фигур и стандартов ло-
। ичсских рассуждений;
2)	знакомство с геометрическими понятиями, формирование уме-
ния распознавать и изображать геометрические фигуры;
3)	ознакомление учащихся с простейшими дедуктивными рассуж-
гениями;
4)	формирование навыков в выполнении измерений и построений
с помощью основных геометрических инструментов — циркуля, линей-
ки угольника, транспортира, формирование рациональных приемов по-
с (роений;
7
5)	обучение решению задач на нахождение дайн, площадей, объемов.
Прокомментируем перечисленные цели обучения элементам гео-
метрии в I—VI классах. Заметим, что курс методики обучения математи-
ке в I—IV классах традиционно рассматривается как самостоятельный
курс, поэтому основное внимание будет уделено обучению геометрии в
V-VI классах.
В качестве основной задачи, в процессе решения которой осуще-
ствляется подготовка учащихся к изучению систематического курса
планиметрии, является формирование образов геометрических фигур и
стандартов логических рассуждений. Это обусловлено рядом причин:
1.	Формирование геометрических понятий основывается на соз-
данном у учащихся блоке моделей геометрических фигур.
2.	Степень привлекательности объекта (понятия, теоремы, задачи)
зависит от наличия в голове ученика его образа: чем четче сформирован
образ объекта, тем привлекательнее он для ученика.
3.	Опыт, наблюдения убеждают в том, что учащиеся быстрее ос-
ваиваются с доказательствами в том случае, если у них сформирован
стандарт логических рассуждений.
Традиционная методика обучения доказательству рекомендует как
можно раньше приобщать школьников к самостоятельному открытию
фактов и способов их обоснования. Однако процесс самостояте льного
поиска доказательства основывается на ряде логических и эвристиче-
ских операций, владение которыми для учащихся совершенно необхо-
димо. Поэтому на уроках математики в V-VI классах следует знакомить
учащихся со структурой логического вывода, формировать у них уме-
ния извлекать информацию из условия и требования задачи, вычленять
отдельные элементы, комбинировать их, выводить следствия и т. д.
4.	Известно, что важная роль в овладении понятием принадлежит
умению распознавать объекты, принадлежащие ему. Формирование
этого умения во многом обусловлено запасом образов этих объектов.
5.	Важным средством формирования образов логических рассуж-
дений является анализ готовых доказательств. Поэтому обучение этому
анализу должно занимать важное место на уроках математики
в V-VI классах. Заметим, что согласно исследованию психологов, в
подростковом возрасте школьник скорее усваивает доказательства, чем
самостоятельно пользуется ими, и еще меньше - он создает их.
8
Выполненные исследования показали, что учащиеся V-VI классов
способны усваивать более разнообразный материал и в большем объе-
ме. чем считалось традиционно. В современных учебниках математики
широко представлены элементы планиметрии и стереометрии, реализуя
юн самым идею фузионизма. Более богатым является и набор задач,
среди которых задачи на разрезание, достраивание, конструирование
фигур и т. д., что способствует выполнению всех перечисленных задач
обучения элементам геометрии в V—VI классах. При их решении учите-
по важно правильно расставлять акценты в соответствии с целями обу-
чения.
Цель курса геометрии VII-IX классов - систематическое изучение
свойств геометрических фигур на плоскости, формирование простран-
с । венных представлений, развитие логического мышления и подготовка
аппарата, необходимого для изучения смежных предметов и стереомет-
рии в X-XI классах. При этом решаются следующие задачи: 1) приобре-
ение систематических сведений об основных фигурах на плоскости и
их важнейших свойствах; 2) формирование представления о равенстве и
подобии фигур, основных типах геометрических преобразований и их
применении в геометрии; 3) формирование навыков геометрических по-
строений. измерений и вычислений длин, углов и площадей; 4) озна-
комление с применением аналитического аппарата (алгебраические
преобразования и уравнения, элементы тригонометрии, аналитической
геометрии и векторной алгебры) для решения геометрических задач.
( гандарты среднего математического образования фиксируют совокуп-
ность умений, которые должны быть результатом решения перечислен-
ных задач: изображать геометрические фигуры, указанные в условиях
еорем и задач, и выделять известные фигуры на чертежах и моделях;
решать типовые задачи на доказательство, вычисление и построение:
вычислять значение геометрических величин: выполнять основные по-
гроения циркулем и линейкой и решать несложные комбинированные
ыдачи; применять аппарат алгебры и тригонометрии в ходе решения
I сометрических задач; использовать векторы и координаты для решения
щандартных задач. В методических пособиях для учителей указан пе-
речень знаний и навыков, которые должны быть сформированы у уча-
щихся при изучении каждой конкретной темы. Цели, задачи курса гео-
9
метрик VII-IX классов, требование к математической подготовке уча-
щихся определяют содержание этого курса
2. Содержание обучения геометрии в VII-IX классах
Поскольку изучение геометрии в VII-IX классах опирается на дос-
тигнутый уровень геометрической подготовки учащихся, то необходи-
мо очертить круг геометрических сведений, получаемых учащимися
I-VI классов. В I-IV классах предусмотрено распознавание геометриче-
ских фигур (линий, отрезков, многоугольников, круга) на окружающих
предметах и моделях; изображение фигур на бумаге; разрезание фигур
на части, составление новых фигур; измерение отрезков; измерение и
вычисление площади прямоугольника.
Программа V-VI классов фиксирует следующие разделы: Основ-
ные геометрические фигуры: отрезок, прямую, луч и т. д. Перпендику-
ляр к прямой. Прямой угол. Параллельные прямые. Величины: длина,
площадь, объем, градусная мера угла. Единицы измерения длин, пло-
щадей, объемов и углов. Площадь прямоугольника. Объем прямоуголь-
ного параллелепипеда. Инструменты: линейка, угольник, транспортир,
циркуль.
Отметим основные блоки содержания курса геометрии VII-IX
классов: геометрические фигуры и их свойства; геометрические преобра-
зования; геометрические величины; элементы тригонометрии; координа-
ты и векторы.
Рассмотрим особенности содержания ныне действующих учебни-
ков геометрии в основной школе. Наиболее важные из них. 1) отказ от
теоретико-множественного подхода к изучению геометрии, заключаю-
щийся не только в отказе от использования теоретико-множественных
моделей изучаемых понятий, но даже и от теоретико-множественного
языка и символики; 2) отказ от идеи геометрических преобразований
как основы школьного курса геометрии; 3) равенство треугольников -
основная линия в доказательстве теорем и решении шдач 4) коорди-
натный и векторный методы не являются самостоятельными объектами
изучения, предусматривается лишь ознакомление учащихся с примене-
нием этих методов к решению геометрических задач; 5) постепенное
ознакомление школьников с аксиоматическим методом как способом
организации знаний.
К)
Многолетний опыт показал, что испольювание теоретико-
множественных понятий в обучении математике имеет положительное
шачение. Использование теоретико-множественного языка позволяет
учащимся легче осмыслить такие темы, как «Уравнения», «Неравенст-
ва». «Системы уравнений и неравенств». Опыт изучения элементарных
понятий теории множеств в средней школе в 70-х годах убеждает в том,
ч го этот материал не только доступен школьникам, но и вызывает у них
/кивой интерес и при правильном подходе к его изложению не приводит
к перегрузке. Отметим и тот факт, что использование элементов теории
множеств способствует воспитанию у учащихся привычки к строгим
формам выражения мысли. Полный отказ от теоретико-множественных
। юнятий вряд ли целесообразен. Трудности, возникавшие при обучении
математике по старым учебникам, были обусловлены не столько ис-
пользованием теоретико-множественного языка, сколько применением
сложных для первоначального изучения теоретико-множественных мо-
телей математических понятий.
Одним из завоеваний проведенной в 70-х годах реформы школь-
ного математического образования является включение в программу
। сометрических преобразований, векторов и координат. Однако в дей-
ствовавших тогда учебных пособиях эти мощные методы не стали ра-
бочим инструментом школьников, что послужило неубедительным ос-
нованием для сомнений в возможности активного использования этих
методов в средней школе.
Большую трудность испытывали школьники, обучаясь по учебни-
ку «Геометрия 6-8» под ред. А. Н. Колмогорова / М., 1979 /, при изуче-
нии начала курса геометрии VI класса. Уже на первых уроках ученик
у шавал о неопределяемых понятиях, аксиомах, теоремах. Кроме этого,
страницы учебника содержали много сложных понятий и утверждений.
Изучение этого материала отнимало немало времени, сил, но. несмотря
па это. так и не удавалось добиться ясного понимания их содержания. К
тому же изучение этих понятий значительно отодвигало знакомство
школьников с доказательством теорем, т. е. с содержательной частью
геометрии. В действующих учебниках геометрии основное внимание на
первых уроках уделяется формированию умения доказывать теоремы и
постепенной подготовке школьников к пониманию необходимости оп-
ределений и их структуры.
Особенностью некоторых учебников геометрии является отказ от
традиционных определений угла, многоугольника. Углом считают фи-
гуру, образованную точкой и двумя лучами, исходящими из нее, тре-
угольником - фигуру, состоящую из трех точек, не лежащих на одной
прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков и т. д. Этот путь к
введению понятий угла, треугольника освобождает первые уроки гео-
метрии от необходимости изучения понятий внутренней области, внеш-
ней области, усвоение которых вызывало значительные трудности у
школьников. Указанные понятия вводятся в тех местах курса, где они
действительно необходимы. Например, необходимость в понятии внут-
ренней области возникает только при изложении площадей. В дальней-
шем под углом понимают не только два луча, исходящие из одной точ-
ки, но и ограниченную ими «часть плоскости». Аналогично рассматри-
вается и многоугольник. Такой подход реализуется в учебнике геомет-
рии А. В. Погорелова. В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. хотя
угол и вводится как фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходя-
щих из этой точки, однако тут же сообщается, что фигуру, состоящую
из угла и его внутренней области, также называют углом. Беседы с
учащимися показывают, что именно таким (без части плоскости) они
представляют себе треугольник. В этом случае воображаемая модель
треугольника соответствует его графической модели (изображению на
доске и бумаге). В учебнике геометрии А. Д. Александрова.
А. Л. Вернера и В. И. Рыжика угол, треугольник, многоугольник с само-
го начала рассматриваются как «часть плоскости».
Курсы геометрии А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др..
А. Д. Александрова и др. построены аксиоматически с умеренным
уровнем строгости, учитывающим возрастные особенности учащихся в
усвоении тех или иных понятий, и объем материала, подлежащего изу-
чению. Аксиоматика школьного курса геометрии выступает в них не
как основа строго формализованной теории, а как совокупность харак-
теристических свойств математической модели реального пространства.
В учебниках геометрии А. В. Погорелова, А. Д. Александрова и др. ак-
сиомы вводятся по мере надобности в них, и доказательства теорем
осуществляются со ссылками на используемые аксиомы и ранее дока-
занные теоремы. Система аксиом учебника геометрии Л. С. Атанасяна
и др. не содержится в самом учебнике. Образно говоря, данный учебник
12
нос । роси аксиоматически лишь для учителя, аксиоматика этого пособия
i крыш для учащихся. Объясняется это не только громоздкостью аксио-
...... учебного пособия Л. С. Атанасяна и др. Опыт обучения геомет-
рии показывает, что на первых уроках добиться понимания роли аксиом
нс представляется возможным, доказательства теорем со ссылками на
принятые без доказательства утверждения кажутся для учащихся неес-
нч । венными. Например, для ученика VII класса, доказывающего пер-
впп признак равенства треугольников по учебнику А. В. Погорелова,
ipcyтельник А1В2С2, равный треугольнику АВС, существует сам по се-
че безотносительно к аксиоме существования треугольника, равного
ушному.
Мы указали лишь блоки фактной составляющей содержания обу-
чения геометрии. Как известно, в содержание обучения следует вклю-
ч;пь совокупность действий, адекватных понятию, теореме, задаче,
способы деятельности и эвристики. Указанная составляющая рассмат-
ривается в рамках методики изучения конкретного материала.
3. Логические основы изложения геометрии в VII-IX классах
Учебник геометрии А. В. Погорелова
Неопределяемые понятия: точка, прямая, принадлежность точки
прямой, отношение трех точек «лежать между», длина отрезка, градус-
ная мера угла. Система аксиом планиметрии состоит из следующих
। ру пп аксиом.
I.	Аксиомы принадлежности.
I]	. Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие
> юй прямой, и точки, не принадлежащие ей.
Ь- Через любые две точки можно провести прямую, и только одну.
Из аксиомы 12 следует, что каждая прямая определяется заданием
тух ее точек. Это дает основание для обозначения прямой двумя точ-
ками. например, прямая АВ. Из аксиомы И следует также, что две раз-
нимые прямые либо не пересекаются, либо пересекаются только в од-
ной точке.
II.	Аксиомы порядка
II]	. Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между дву-
мя другими.
13
И2. Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы
какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не
пересекается с прямой. Если концы отрезка принадлежат разным полу-
плоскостям, то отрезок пересекается с прямой.
Аксиомы данной группы позволяют ввести понятия отрезка, луча,
треугольника. С помощью этих аксиом и аксиом III и IV групп можно
доказать, что точка А, лежащая на прямой а, разбивает эту прямую на
два луча и является начальной точкой для каждого из них. (Александ-
ров А. Д. О строгости изложения в учебном пособии А. В. Погорелова.
Математика в школе, 1985, № 5). Данное утверждение позволяет ввести
понятие дополнительного луча. Затем, используя понятия луча и допол-
нительного луча, можно ввести понятие угла и развернутого угла.
III.	Аксиомы измерения отрезков и углов
Ш|. Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.
Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой
его точкой.
Аксиома ИД позволяет ввести координаты на прямой, т е. сопос-
тавить каждой точке действительное число так, что если х (А) их (В) -
координаты точек А и В , то длина отрезка АВ равна |х {В) — х (Л)|. Одна-
ко для установления взаимно-однозначного соответствия между точка-
ми прямой и действительными числами нужна аксиома существования
отрезка данной длины.
Ш2 Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую
нуля. Развернутый угол равен 180°. Градусная мера угла равна сумме
градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, прохо-
дящим между его сторонами.
Используя понятия длины отрезка и градусной меры угла, можно
ввести понятия равных отрезков, равных углов и равных треугольников,
причем понятие равенства треугольников распространяется на ориенти-
рованные треугольники. Треугольники АВС и AjBjCj называются рав-
ными, если у них AA=AAi, АВ= АВ], АС= AC] АВ = AiBI} AC = А/С/ и
ВС = BjC/. При обозначении равенства треугольников важен порядок,
в котором записываются вершины треугольников. Равенство ДАВС =
AAiBiCi означает, что АА = Zt4; АВ = ZB; ZC = ZC/,... Равенство
А4ВС = AB]CtAi означает уже другое: АА = ZB;, АВ - ACt, АС = АА].
Отметим, что вопрос о существовании треугольника, равного данному в
14
in iiiiiiioM расположении относительно данной полуплоскости, в рамках
им ном первых трех групп остается открытым. Нужны новые группы
икс пом
IV.	Аксиомы откладывания отрезков и углов
I V|. На любой полупрямой от ее начальной точки можно отложить
о>рс ц>к заданной длины, итолько один.
Из аксиомы IV! следует, что введением координат на прямой ус-
ншив швается взаимно-однозначное соответствие между точками пря-
мой п юйствитсльными числами.
IV2. От любой полупрямой в заданную полуплоскость можно от-
южпгь угол с заданной градусной мерой, меньшей 180°, и только один.
V.	Аксиома существования треугольника, равного данному
Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треуголь-
ник в заданном расположении относительно данной полупрямой.
Используя аксиому V, можно доказать, что от данной полупрямой
и шину ю полуплоскость, определяемую этой полупрямой и ее продол-
жением. можно отложить угол, равный данному, и притом только один,
lit этого утверждения и аксиомы IVi следует утверждение, сформули-
рованное как аксиома IV2. Однако сложность доказательства теоремы о
сушествовании угла с данной градусной мерой побудила автора при-
нять это утверждение в качестве аксиомы. Отметим также, что аксиому
IV, можно было бы заменить более слабой аксиомой: каково бы ни бы-
ю тсйствительное число а > 0. существует отрезок длины а. Используя
ну аксиому и аксиому существования треугольника, равного данному',
можно доказать утверждение, принятое в качестве аксиомы IV] Однако
и июжение материалов от этого усложнилось бы.
VI.	Аксиома параллельных прямых
Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на
и юскости не более одной прямой, параллельной данной.
Учебник геометрии Л. С. Атанасяна и др.
Неопределяемые понятия: точка, прямая, отношение трех точек ле-
жа гь между', наложение (понятие принадлежности трактуется авторами
как теоретико-множественное, а потому не относится к числу неопреде-
1ЯСМЫХ понятий).
Система аксиом планиметрии включает следутощие группы аксиом.
I. Аксиомы принадлежности
15
11. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.
12.Имеются по крайней мере три точки, нс лежащие на одной прямой.
13.Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Аксиомы I) и 1г соответствуют первой аксиоме принадлежности
(какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой
прямой, и точки, не принадлежащие ей) учебника А. В. Погорелова.
Данная аксиома более сильная, что облегчает психологическое воспри-
ятие ее учащимися. Кстати, аксиомы I] и 12 в школьном изложении кур-
са геометрии Л. С. Атанасяна и др. отсутствуют.
II.	Аксиомы порядка
II]	Из трех точек прямой одна и только одна лежит между двумя дру-
гими.
И2 Каждая точка О прямой разделяет ее на две части, называемые
дополнительными лучами, так, что любые две точки одного и того же
луча лежат по одну сторону от точки О, а любые две точки разных лу-
чей лежат по разные стороны от точки О.
Шз Каждая прямая а разделяет плоскость на две части, называе-
мые полуплоскостями, так, что любые две точки одной и той же полу-
плоскости лежат по одну сторону' от прямой a , а любые две точки раз-
ных полуплоскостей лежат по разные стороны от прямой а.
Утверждение, сформулированное как аксиома П2, может быть до-
казано. Включение его в число аксиом объясняется методическими со-
ображениями: осуществляется единый подход к введению понятий луча
и полуплоскости, упрощается введение понятия дополнительных лучей.
III.	Аксиомы наложения
IIIj. При наложении каждая точка плоскости сопоставляется одной
определенной точке плоскости.
Ш2. Если при наложении совмещаются концы двух отрезков, то
совмещаются и сами отрезки.
Ш3. На любом луче от его начала можно отложить отрезок, рав-
ный данному', и притом только один.
Ш4. От любого луча в данную полуплоскость можно отложить
угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.
Ш5. Любой угол Ик можно совместить наложением с равным ему
углом hjkj двумя способами: 1) так, что луч h совместится с лучом Ль а
16
i\ ч А - с п чом к}: 2) так, что луч h совместится с лучом kt , а луч к - с
1\ ЧОМ II/
III	. Любая фигура равна сама себе.
11	1 Нели фигура Ф равна фигуре Ф! , то фигура Ф] равна фигуре Ф.
I	ll Исли фигура Ф1 равна фигуре Ф2, а фигура Ф2 равна фигуре
'!>( и» фшура Ф) равна фигуре Ф3.
Аксиомы третьей группы позволяют ввести понятие равенства фигур.
IV	Аксиомы измерения отрезков
IV). При выбранной единице измерения длина каждого отрезка
иырпжастся положительным числом.
IV Для любого положительного числа существует отрезок, длина
шпорою при выбранной единице измерения отрезков выражается этим
4IU IOM
Аксиомы первых четырех групп позволяют ввести координаты на
прямой и доказать взаимно однозначное соответствие между точками
примни и (сйствительными числами, а также обосновать измерение уг-
IOII
V Аксиома параллельных прямых
V| Через точку', не лежащую на данной прямой, проходит только
о in.) прямая, параллельная данной.
Учебник геометрии А. Д. Александрова. А. Л. Вернера и
В II Рыжика
Ку рс геометрии в данном учебнике опирается на оригинальную
им номитнку. существенным отличием которой от традиционных явля-
i ни использование отрезка, как неопределяемого понятия. Отсылая за
по |роопостями к соответствующим учебникам, приведем лишь плани-
MciptriecKHC аксиомы, используемые в школьных учебниках геометрии
\ Д Александрова и др.
I Каждые две точки можно соединить отрезком, и притом только
О II ШМ
11	Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов.
Аксиомы I—II позволяют ввести понятия лежать между, прямой,
юн 1учом называются фигура, получающаяся при неограниченном
про ю гжеиии отрезка за один из его концов. Прямой АВ называется фи-
 ч p.i ко io рая получается при неограниченном продолжении отрезка АВ
hi опа конца
17
III.	Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны друг
другу.
IV.	На каждом луче от его начала можно отложить отрезок, рав-
ный данному, и притом только один.
V.	От каждого данного луча по любую сторону от него можно от-
ложить угол, равный данному, и притом только один.
VI.	На всяком отрезке как на основании можно построить прямо-
угольник любой данной высоты.
VII.	Отрезки, составленные из соответственно равных отрезков,
равны.
VIII.	Равные отрезки имеют одну и ту же длину. У большего от-
резка длина больше.
IX.	Длина суммы отрезков равна сумме их длин.
X.	Равные углы имеют равные величины, величина большего угла
больше.
XI.	При сложении углов их величины складываются.
Многие утверждения, традиционно известные как аксиомы, в
учебнике А. Д. Александрова и др. доказываются. Например:
1. Через две различные точки проходит прямая, и притом только
одна.
2. Через точку вне данной прямой можно провести не более од-
ной прямой, параллельной данной.
Аксиоматика, используемая в учебнике геометрии
А. Д. Александрова и др., обладает рядом преим> щсств она естествен-
но опирается на опыт учащихся, компактна, наглядна форму лировки
аксиом просты. Она в большей мере, чем какая-либо другая, дает воз-
можность развивать изложение дедуктивно, доказывая псе гсоремы с
логической строгостью, исходя из аксиом, и вмссгс с icu зоступно для
учащихся VII класса.
Вопросы и задания
1	Охарактеризуйте цели и задачи курса геометрии a) V-VI клас-
сов, б) VII—IX классов, в) X-XI классов
2.	Проанализируйте учебники геометрии с позиции соответствия
их содержания целям обучения геометрии.
1К
3.	Раскройте компоненты содержания обучения геометрии. В ка-
кип мерс требования к содержанию обучения геометрии реализуется в
p.i < личных учебниках геометрии?
Указание. Обратите внимание на реализацию эвристической со-
<. юн 1яющей. наличие в содержании действий, адекватных учебному ма-
•ерпалу. способов деятельности и эвристик.
4.	Охарактеризуйте аксиоматику, лежащую в основе учебников
1сомсгрии авторов: а) Л. С. Атанасяна и др., б) А. В. Погорелова,
н) А. Д. Александрова и др., г) И. М. Смирновой и В. А. Смирнова. Ка-
кая и! аксиоматик, на ваш взгляд, наиболее «методична»?
5.	Постройте часть курса геометрии на основе первой группы ак-
сиом в рамках аксиоматик различных учебников геометрии. Сопоставь-
ц \ чебники геометрии и выделите тот из них, который отличается от
ЦП । их большей содержательностью.
(> Проследите по учебникам геометрии, как достигается цель фор-
мирования у учащихся V-VIJ классов образов фигур и стандартов логи-
•u chiix рассуждений.
Литература
I.	Учебники геометрии для средней школы и методические пособия
Vi я \ ч и геля, соответствующие учебникам
2.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная мето-
iiimi: Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А. Я. Блох,
It A I уссв. Г. В. Дорофеев и др. Сост. В. И. Мишин. М., 1987.
V Методика преподавания математики в средней школе. Частные ме-
||| 1НКИ Учеб, пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов/Ю. М. Коля-
। пи I . Л Луканкин, Е. Л. Мокрушин и др. М., 1977.
4.	Методика обучения геометрии: Учеб.пособие для студентов
Ki.ieiii учеб заведений7 В.А. Гусев, В.А. Орлов, В.А. Папчипшна и др.: Под
ред В.А. Гусева. М., 2004.
5	Саранцев Г.И. Методика обучения математике в средней школе:
\ чей пособие для студентов мат. спец, педвузов и университетов. М., 2002.
19
Глава II
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ МЕТОДИКИ ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ
1.	Методика обучения элементам геометрии в V-VI классах
2.	Методика изучения основных свойств простейших геомет-
рических фигур
3.	Методика формирования геометрических понятий
4.	Методика работы с теоремой
5.	Обучение решению задач на первых уроках геометрии
1. Методика обучения элементам геометрии в V-VI классах
Напомним, что в V-VI классах основная цель обучения геометрии
заключается в формировании образов основных геометрических фигур и
стандартов логических рассуждений. Достижение этой цели осуществля-
ется в рамках совместного изучения плоскостных фигур и пространствен-
ных тел, причем первые рассматриваются как элементы вторых. Однако в
дальнейшем плоскостные фигуры должны быть вынесены из тел и пред-
ставлены как самостоятельные объекты. Последнее обусловлено тем об-
стоятельством, что учащиеся, которые рассматривают фигуры только в
рамках геометрических тел, испытывают затруднения при работе с этими
фигурами как самостоятельными объектами.
Большое место в курсе математики V-V1 классов занимают уп-
ражнения на конструирование моделей фигу р, при выполнении которых
учащиеся выделяют существенные свойства понятия. Например, по-
средством перегибания листа бумаги, являющегося моделью плоскости
угла, так, чтобы его стороны совпали, учащиеся могут быть ознакомле-
ны с существенными свойствами биссектрисы у i ла. В процессе форми-
рования геометрических понятий важно обратить внимание на действия
распознавания объектов, принадлежащих понятию, выведения следст-
вий и конструирования объектов
Предпочтение следует отдать объектам с явными элементами эс-
тетических свойств во внешнем чувственном облике. Примером таких
объектов являются многогранники красивые рисунки задачи и т.п.
Следует выделить задачи с внешней привлекало ii.nocn.io их условий,
20
npouii 1яющейся в заданной ситуации, в занимательной фабуле, в краси-
вом оформлении чертежей. Эстетичность задачи будет усилена неожи-
i.iiuioii постановкой вопроса, способом ее преподнесения учителем и
opi аннзацией деятельности по ее решению.
Созданию эстетической мотивации способствует использование
у пражпсний на достраивание фигур, на разрезание заданных и конст-
р\ нрование новых фигур. Такие упражнения развивают пространствен-
ные представления, формируют образы фигур, способствуют развитию
югичсского мышления на наглядно-образной основе. При этом они яв-
ниогся средством эмоционально-образного развития ученика, способ-
ен мог воспитанию эстетических мотивов. Впечатляющая неожидан-
ное и. сложена в задачах на разрезание фигур и складывание из их час-
и и новых фигур, решение которых приводит к парадоксам. Объяснение
пара (иксов заставляет учащихся быть внимательными и аргументиро-
иаи. свои выводы, сделанные на основе наглядных представлений. При-
|| 1Ск.нельны для учащихся задачи на достраивание фигур с привлечени-
ем симметрии. Вызывают интерес задачи, связанные с изображением
прос1ранственных фигур на плоскости, различные головоломки на про-
С1рапсгвенное изображение, использование оригинальных фигурок
hi и Их некоторые примеры.
1. Из какой развертки, изображенной на рис. 1,6, в, г, можно полу-
чи н> фигуру (рис.1, а)?
Рис. 1
21
2. На рис. 2 изображены куб и его развертка. Обозначьте на раз-
вертке точки, соответствующие вершинам куба А, В, С, и квадраты, со-
ответствующие граням 1, 2, 3.
Рис. 2
V-VII классы являются ответственным этапом в обучении школь-
ников логическим рассуждениям, составляющим обобщенный стандарт
доказательства: умение осуществлять дедуктивные выводы, их после-
довательность, владение базовыми эвристиками. Самостоятельному до-
казательству следует предварить обучение учащихся анализу готовых
доказательств. Знакомство с учебниками математики приводит к выво-
ду о значительных возможностях использования учебного материала
для формирования стандартов рассуждений по правилам заключения и
отрицания. Они реализуются методикой формирования понятий, ис-
пользованием задач на разрезание, конструирование и т д. Напомним
читателю, что уже при выполнении упражнений на действия с дробями
имеется хорошая возможность формирования умения рассуждать по
правилам заключения и отрицания.
Для формирования умения рассуждать следует использовать зада-
чи на готовых чертежах. Эффективность таких задач будет тем выше,
чем эстетичнее для ученика является геометрическая конфигурация,
представленная рисунком.
ГТ	>	Э
Примеры.
1. Какие из углов, изображенных на рис. 3:
1) больше 90й; 2) меньше 90°?
Ученика следует приучать примерно к
такому рассуждению:	. ,,
Угол больше 90°, если прямой угол яв-
ляется его частью.	Рис. 3
Угол ЕОВ содержит прямой угол.
22
<11.1*111 г угол ЕОВ больше 90°.
2 Какие из углов, изображенных на рис. 4. являются смежными?
11<> и юс рассуждение при выполнении упражнения будет таким:
I ели у двух у г зов одна сторона общая, а две другие - дополни-
и и uric iy чп, то такие углы являются смежными.
V । п>| I и 2 (рис.4, а) имеют общую сторону, а две другие их сто-
pniii.i цнюлнительные лучи.
Рис. 4
У глы 1 и 2 смежные.
Учащихся следует постепенно подготавливать к пониманию такой
। хсмы рассуждения. Однако требовать точного ее воспроизведения от
у читка VI класса нет надобности, можно ограничиться следующим
обоснованием: Углы 1 и 2 являются смежными, потому что у них Одна
। тропа общая, а две другие являются дополнительными лучами. При-
нс капая выше более полная схема, отражающая структуру рассужде-
ния но правилу заключения, должна быть доступна ученику'.
2. Методика изучения основных свойств простейших
। сомегрических фигур
Рассмотрим методику изучения геометрии на первых уроках. Со-
ержание этих уроков составляет § 1 «Основные свойства простейших
23
геометрических фигур» учебника А. В. Погорелова и глава 1 «Началь-
ные геометрические сведения» учебника Л. С. Атанасяна и др.
Первые уроки геометрии в VII классе во многом определяют успех
в изучении геометрии, знакомят с понятиями и их свойствами, которые
являются базой для построения геометрии. Цель первых уроков заклю-
чается в том, чтобы добиться полного усвоения каждым учеником ос-
новных терминов, формулировок; свойств простейших геометрических
фигур; понимания необходимости и сути логического обоснования ут-
верждений. Несмотря на общность цели, содержание первых уроков
учебника геометрии А. В. Погорелова отличается от соответствующего
содержания учебника Л. С. Атанасяна и др. Поэтому целесообразно рас-
смотреть содержание первых уроков по учебникам А. В. Погорелова,
Л. С. Атанасяна и др. порознь.
Содержание первых уроков в рамках учебника А. В. Погорелова
составляют неопределяемые понятия (точка, прямая, принадлежность,
лежать на, длина отрезка, градусная мера угла); десять аксиом, которые
описывают основные свойства неопределяемых понятий и связи между
ними. Кроме неопределяемых, рассматриваются понятия пересекаться,
лежать по разные стороны, лежать по одну сторону, отрезка, полуплос-
кости, полупрямой, дополнительных полупрямых, расстояния, равных
отрезков, угла, равных углов, откладывания отрезков и угла, равных
треугольников и т. д.; доказательства, теоремы, аксиомы. Следует отме-
тить, что многие геометрические фигуры и их свойства, знакомы уча-
щимся, поэтому изучение геометрии на первых уроках в VII классе
должно носить характер систематизации и обобщений знаний и умений,
приобретенных учащимися в предыдущие годы обучения, и опираться
на их опыт восприятия реального пространственного окружения.
Аксиоматика учебника А. В. Погорелова позвотяе реализовать это
требование. Изучение геометрии начинается с выдси ения основных гео-
метрических фигур на плоскости: точки и прямой. Тут же указывается, что
на чертеж точки и прямые наносятся остро отточенным кара дашом. Для
построения прямых пользуются линейкой. Затем с помощью соответст-
вующих рисунков разъясняется смысл терминов: лежат на, принадлежат,
проходит, прямые пересекаются. Указывается, что выражения «точки ле-
жат на прямой», «точки принадлежат прямой», «прямая проходит через
точки» имеют один и тот же смысл. Овладение этой терминологией, пони-
24
мпппс ее смысла - важная конкретная учебная цель, достигаемая на первом
\ роы icoMcipiiH. Нанося точки и прямые на лист бумаги, учащиеся заме-
тши ‘по чсре г любые точки можно провести прямую, и только одну. Ав-
1141 uii(|x>Ko использует обращение кучащимися: «вы видите на рисунке»,
• ин пне. как строится» и т. д. Это обращение имеет несколько целей:
I н формировать у учащихся представление о простейших геометрических
фпи p.i\, 2) показать образцы изображения фигур на бумаге и выработать
\ м< инн и навыки школьников в построении этих фигур на бумаге с помо-
III in ппс 1 ру ментов.
Основа формирования геометрических понятий заключается в
|пк \ож 1СИПИ от чувственно-конкретного к абстрактному- и в переходе
hi ши ।раненых представлений к их конкретизации. Например, вначале
in ши । ни ючки и прямой ассоциируются с их изображениями на листе
мт и taicM в мышлении школьников осуществляется переход к иде-
11 ii.iii.im образам точки и прямой, не имеющим никаких физических
 Ullin in (Ьрезок воспринимается как часть данной прямой, а затем это
поспрниinc трансформируется в образ отрезка, обладающего основным
i попе том — иметь длину. Восприятие графической модели угла служит
in поной тля формирования представления об угле как геометрической
фп| \ ре. обладающей основным свойством — иметь меру. Выполняя изо-
бражения двух конкретных различных прямых, учащиеся замечают, что
пип moi ут либо не пересекаться, либо пересекаться только в одной точ-
м Чу ветвенное восприятие этого факта служит опорой для формули-
ровки свойства, выражающего взаимное расположение прямых. Точка
пересечения прямых в этом случае сознается как конкретный образ гео-
м( (рпчсской фигуры «точка». При этом в мышлении учащихся осуще-
• in 1ясгся переход от абстрактных представлений к их конкретизации.
Vi о । |рсугольника, внешний угол, смежные углы, вертикальные углы,
примой, острый, тупой углы и т. д. — конкретные образы геометрической
фшуры «угол». Таким же образом осуществляется изучение и других
। поныв изучаемых понятий. В качестве примера рассмотрим основные
с вопства откладывания отрезков и углов. Ученик должен посмотреть на
рису пок, где показано, как с помощью линейки на полу прямой от ее на-
чп п.пой точки можно отложить отрезок данной глины Имея образец
111 к ы гывания отрезка на полупрямой, учащиеся выполняют упражне-
ния па выполнение этого действия. Осуществляется переход от кон-
25
кретного к абстрактному. Учащиеся замечают свойство: на любой по-
лупрямой от ее начальной точки можно отложить отрезок заданной
длины, и только один. Аналогично: от любой полупрямой в заданную
полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой,
меньшей 180°, и только один.
Создание у учащихся представлений о системе абстрактных, иде-
альных образов фигур, находящихся в определенных отношениях, явля-
ется необходимой предпосылкой для мысленного выполнения логиче-
ских операций над ними, а следовательно, и развития у учащихся навы-
ков аргументированных рассуждений и доказательств теорем. После
каждой группы аксиом в учебнике приводится задача с решением, кото-
рое служит образцом аргументированного обоснования.
В учебнике геометрии А. В. Погорелова используются различные
виды определений понятий: 1) через ближайший род и видовое отличие.
2) конструктивные (генетические), 3) описательные. Для понятий, вво-
димых в начале учебника, характерны определения второго и третьего
видов. Вначале используются описательные определения, затем - конст-
руктивные, потом — определения «через ближайший род и видовое от-
личие».
К описательным относятся определения таких понятий, как: пере-
секающиеся прямые, отрезок, луч, лежат по разные стороны и т. д.
К конструктивным — определения понятий угла, треугольника, угла тре-
угольника. Определения равных отрезков, равных углов, равных тре-
угольников, смежных углов и т. д. - относятся к определениям «через
ближайший род и видовое отличие». Примеры:
1. Описательные определения.
«Точка В лежит на прямой b . Она не лежит на прямой а . Точка С
лежит на прямой а , и на прямой b . Прямые аиЬ пересекаются в точке
С. Точка С является точкой пересечения прямых а и b «.
В приведенных строках дается описание объекта, принадлежащего
к понятию пересекающихся прямых.
2. Конструктивные определения.
«Углом называется фигура, которая состоит из точки - вершины
угла - и двух различных полупрямых, исходящих из этой точки». Осо-
бенностью определений этого вида является то, что они указывают на
26
11|||>п< хож icinic объекта, принадлежащего понятию, на способ его по-
|||(>('||ц>|
I < )пре деления «через ближайший род н видовое отличие».
Ьпссскгрпсой угла называется луч, который исходит из его вер-
шины прохо цп между его сторонами и делит угол пополам»
Рн юное понятие биссектрисы угла — луч, видовые отличия: а) ис-
s(i ни и । першины угла, б) проходит между его сторонами, в) делит угол
iiniiii шм Снизь между существенными свойствами может быть разной.
И пире к leiiiiii биссектрисы угла эта связь конъюнктивная: для принад-
|< itiiui in объекта понятию необходимо выполнение всех трех сущест-
ш иных ciioiiciB. в случае невыполнения хотя бы одного из указанных
। шли in обьект не будет принадлежать понятию биссектрисы угла. Есть
пнр> ic кипя понятий, в которых связь между существенными свойст-
ntiMii пост in гыонктивный характер. В этом случае для решения во-
iipuiii о принадлежности объекта понятию достаточно убедиться в вы-
пи пи кин хотя бы одного существенного свойства понятия. Примером
с нс пшгпня существенных свойств понятия дизъюнктивной связью яв-
ки и и пире юление: два отличных от нуля вектора называются колли-
iu npiii.iMii если они лежат на одной прямой или на параллельных пря-
мых Д in ол несения векторов к коллинеарным векторам достаточно
' цц|,ся в выполнении одного из двух существенных свойств. Харак-
|< р опре ic гений подчеркивается в особенностях контрольных вопросов:
ишак отрезки называются равными? Какие углы называются равными?
• >iне । ы па эти вопросы предполагают воспроизведения определений
рикшах трезков. равных углов. Вместе с тем содержатся и такие вопро-
I I как чю такое отрезок с концами в данных точках? Что такое полу-
примам? Что такое треугольник? Ответы на указанные вопросы предпо-
1.П.ПО1 описание построения объекта, принадлежащего к указанному по-
ни НПО
Характер определения расставляет акценты в формировании поня-
IIIH 1''с m понятие вводится путем конструктивного определения, то ос-
iiouiioii акцент ставится на овладение способ' i построения объекта,
принц (лежащего понятию. Формирование понятия, определение кото-
рою построено по схеме «ближайший род и видовое отличие», предпо-
1.П ас I овладение его существенными свойствами, запох инание опреде-
leiiiiii. В обоих случаях важным является умение использовать понятие
27
в различных конкретных ситуациях. Так как конструктивное определе-
ние понятия указывает способ построения объектов, принадлежащих
понятию, то использование такого определения освобождает от необхо-
димости доказательства существования объектов, принадлежащих изу-
чаемому понятию.
В основе выбора методов обучения лежат следующие требования
автора учебного пособия: «Каждый ученик должен: а) практически убе-
диться в опытном происхождении основных свойств простейших фигур;
выполнить письменную работу с использованием инструментов и соот-
ветствующей терминологии: «принадлежит», «расположены между'»,
«по разные стороны», «разделяет», «измерить отрезок», «отложить
угол» и т. д.; б) сформулировать свойство и решить приведенную в тек-
сте учебника задачу; в) приблизиться к пониманию того, что доказывать
нужно основные геометрические утверждения, опираясь лишь на ак-
сиомы и ранее доказанные теоремы».
Рекомендуется следующий порядок изучения доказательств тео-
рем: сначала предложить учащимся сокращенное наглядное доказатель-
ство, опуская некоторые логические аргументы в тех случаях, когда их
смысл ясен из чертежа и наглядных соображений, - первый проход до-
казательства. Когда идея доказательства понята учащимися, доказатель-
ство повторяется, причем опущенные аргументы приводятся, и на них
акцентируется внимание, - второй проход доказательства. Наконец, в
третьем проходе доказательство воспроизводится полностью в том ви-
де, как оно приведено в учебнике.
Содержание главы 1 «Начальные геометрические сведения» в
учебнике Л. С. Атанасяна и др. составляют понятия: точка, прямая, ле-
жать на, пересекаться, отрезок, луч, дополнительные лучи, угол, внут-
ренняя и внешняя области угла, наложение, равенство фигур, биссек-
триса угла, длина отрезка, градусная мера угла и т. д. Кроме того, пер-
вая глава содержит понятия прямого, острого и тупого углов, смежных
и вертикальных углов, а также представления о простейших приборах -
астролябии, теодолите. К содержанию первой главы относятся также
следующие утверждения.
1. Через две любые точки можно провести прямую, и притом
только одну.
28
’ Дне прямые либо не имеют общих точек, либо имеют только
<1 1П\ IM ними точку.
1 11ыбрав единицу' измерения, можно измерить любой отрезок.
I Равные отрезки имеют равные длины.
Меньший отрезок имеет меньшую длину.
(• I с in точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка
piiniiu сумме длин этих отрезков.
/ Ранные углы имеют равные градусные меры.
К Меньший угол имеет меньшую градусную меру.
1> 11< ра ввернутый угол меньше 180°.
Iо I ели луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла
|||||нн| i \ ммс I радусных мер этих углов.
Мношс юометрические фигуры и их свойства, изучаемые на пер-
цы \роках геометрии VII класса (по учебному' пособию авторов
I < Апш.кяна и др.), учащимся известны из курса математики V-VI
к ин ( он по > тому их изучение в VII классе должно опираться на имею-
щий и oni.il школьников и основываться на систематизации и обобще-
нии их iii.imiii и умений. При формировании геометрических понятий
....инн внимание уделяется этапу', на котором осуществляется непо-
р< и нниное оперирование графическими моделями фигур. В процессе
। пни оперирования осуществляется переход к идеальным образам. Ме-
то шчк кап концепция формирования геометрических понятий, заклю-
ч in ниши и в восхождении от чувственно-конкретного к абстрактному и
iKioiiopni является основой формирования геометрических понятий и в
viuiiiiiKcJl (' Атанасяна и др.
II tv чепие геометрии начинается с выделения точки, прямой и от-
pi uni Vk.i ii.iiiaciCH. что для изображения прямых на чертеже пользуют-
। инк икни но при этом изображают лишь часть прямой, а всю пря-
|\in ирг к гав 1яют продолженной бесконечно в обе стороны. Затем с
iiiivKiiiii.iu рисунков разъясняется содержание понятий: точка лежит на
||||||ми|1 точна не лежит на прямой; прямая проходит через точку 06-
р шик н и внимание на известный учащимся факт: через любые две точ-
। и viii/hiio провести прямую, и притом только одну. Восприятие взаим-
iiiiiii pin по южения двух конкретных прямых служит опорой для фор-
। тропки свойства взаимного расположения прямых как идеальных
11 тон ipiriccKiix объектов: две прямые либо не имеют общих точек, либо
29
имеют только одну общую точку. Последняя осознается как конкретный
образ геометрической фигуры «точка» Отрезок воспринимается снача-
ла как часть данной прямой, ограниченной двумя точками, затем как
геометрическая фигура, состоящая из двух точек прямой и всех точек,
лежащих между ними. При изучении треугольников (многоугольников
и других фигур) стороны треугольника, его медиана, биссектриса и т. д.
выступают в качестве конкретных образов геометрической фигуры «от-
резок».
Аналогично формируются понятия луч, угол. Луч вначале воспри-
нимается как часть прямой, ограниченной точкой. Угол это геометриче-
ская фигура, состоящая из точки и двух лучей, исходящих из этой точ-
ки. Указывается, что любой угол разделяет плоскость на две части. Если
угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая
- внешней областью угла. Это указание поясняется рисунком. Отмеча-
ется, что фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также
называют углом. Такая двойственность в трактовке угла на первых уро-
ках вряд ли целесообразна. В учебнике А. В. Погорелова возможность
толкования угла как части плоскости (плоский угол) отмечается только
в конце курса планиметрии перед изучением площадей.
Представление о предметах, имеющих одинаковую форму и раз-
меры, лежит в основе формирования понятия равенства фигур. Сущест-
венное свойство этого понятия - совмещение наложением - возникает
как абстракция опыта, заключающегося в совмещении фигуры Ф] с фи-
гурой Ф2. Широко используя рисунки, выясняем содержание таких по-
нятий, как отрезок АС меньше отрезка АВ. середина отрезка, угол
меньше другого угла, биссектриса угла Изложение материала первой
главы осуществляется без использования терминов «определение», «до-
казательство», «теорема», многие факты не обосновываются, а разъяс-
няются. Например, с помощью рисунка делается вывод о том, что не-
развернутый угол составляет часть развернутого, меньшим считается
тот угол, который составляет часть другого, развернутый угол больше
любого неразвернутого угла. Два параграфа посвящены измерению от-
резков и углов. Принципиально важными моментами измерения отрез-
ков являются утверждения: 1) выбрав единицу измерения, можно изме-
рить любой отрезок, 2) равные отрезки имеют равные длины, 3) если
точка делит отрезок на два отрезка, то длина всего отрезка равна сумме
30
 ши ।nix отрезков. Смысл всех трех утверждений разъясняется на
HHiiKpi'iiii.ix примерах ирисунках.
I'iitx нок как средство усвоения материала используется при фор-
Miipiiiiniiiiii понятия градусной меры угла и изучении утверждений:
I) рапные углы имеют равные градусные меры; меньший угол
им> i । меньшую градусную меру; 2) неразвернутый угол меньше 180°;
1> । in и ч юлит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна
I Vмл|| । р i тусных мер этих углов. Следует иметь ввиду, что учащиеся
iiiK'|iiii.ie вс 1рсчаются с дедуктивным обоснованием утверждений:
11 г\ мма смежных углов равна 180°, 2) вертикальные углы равны. При
ни 'h пип указанных утверждений следует специально подчеркнуть эту
нс tiiK'iinocTb обоснования.
Как уже было отмечено, существенным средством изучения гео-
м ipinecKiix фигур и их свойств является рисунок. В учебнике
'I < AianacHHa и др. использование рисунков имеет ту особенность,
•ни инн снабжены «подстрочными» указаниями Например, для разъяс-
н> ппи смысла понятия «неразвернхтый угол СОВ составляет часть раз-
ih pin ioro угла АОВ», используется рисунок с соответствующим заме-
чанием Слово «определение» используется только в конце курса гео-
ук ipiiii VII класса. однако многие понятия, изучаемые в первой главе,
imp • ic пнотся. Большинство определений имеет структуру «через бли-
ihiiiiiiiiiii род и видовое отличие». К ним относятся определения допол-
ни ic н.ных лучей, развернутого угла, равенства геометрических фигур,
и ре пшы отрезка, биссектрисы угла градусной меры угла прямого.
|к 1|кно. тупого углов, смежных углов, вертикальных углов. Наряду с
пире ic юнием «через ближайший род и видовое отличие» используются
ниш ipy кгивные и описательные определения. К конструктивным отно-
I «пси определения отрезка, угла. К описательным — определения поня-
iiiii прямая проходит через точки пересекающиеся прямые, луч, вну’т-
р( IHIIIII и внешняя области угла, отрезок меньше другого отрезка и т. д.
Ви i определения должен учитываться при опросе учащихся. Если опре-
к к ипе понятия описательное, то нельзя требовать от учащихся заучи-
IUIIIIIH определения и ставить им вопрос: «что называется?». В этом слу-
•iiic с юдует предложить им объяснить, например, что такое луч, что оз-
начает отрезокЛС меньше отрезка АВ и т. д.
31
Важным средством целенаправленного формирования геометри-
ческих понятий и организации усвоения различных фактов по учебнику
Л. С. Атанасяна и др., в частности на первых уроках геометрии, являют-
ся практические задания, позволяющие усваивать геометрические фак-
ты в процессе оперирования моделями различных геометрических фи-
гур. Следует сказать, что многие упражнения этого учебника ориенти-
рованы на мотивацию введения понятий и утверждений, раскрытие их
содержания, целенаправленное формирование умений применять изу-
чаемые понятия и факты в различных ситуациях. Все это позволяет учи-
телю организовать учебную деятельность школьников так, чтобы сами
учащиеся принимали активное участие в «открытии» и обосновании
геометрических фактов. Осуществление такой учебной деятельности в
рамках учебника А. В. Погорелова намного труднее. Обусловлено это
трактовкой понятий, способами доказательства, ограниченной ролью
упражнений. (Обоснование этому тезису дается в последующих главах).
Содержание первых уроков геометрии по учебнику А. Д. Алексан-
дрова и др. составляет глава «Начала геометрии». Она включает ввод-
ную часть: о чем и зачем геометрия, понятия отрезка, угла, треугольни-
ка, четырехугольника, некоторые применения первых теорем о тре-
угольниках. Вопросы, связанные с измерением величин, отнесены во
вторую главу. Многие положения методики изучения геометрии на пер-
вых уроках (широкое использование опыта учащихся, систематизация и
обобщение знаний, полученных ими в V-VI классах, оперирование с
моделями фигур как средство раскрытия содержания изучаемых поня-
тий и фактов и т. д.) остаются справедливыми и при изучении геомет-
рии по учебнику А.Д.Александрова и др. Отметим характерное для это-
го учебника широкое использование практической мотивации изучения
геометрического материала, его связи с жизнью, техникой, практикой.
3. Методика формирования геометрических понятий
Общие вопросы формирования математических понятий (содер-
жание и объем понятия, логические варианты конструирования поня-
тий, виды определений, классификация понятий, методика формирова-
ния понятий) рассмотрены в учебном пособии «Методика обучения ма-
тематике в средней школе» (Просвещение, 2002). Изложенное в назван-
32
iii im nm oi mu является основой методики формирования геометрических
IIIIIIII I НИ
11 пн ( ню. ч ю изучение геометрии вызывает у школьников больше
i|i\ пни. к и чем изучение алгебры, хотя геометрические понятия, изу-
ин ни и школе, имеют реальные наглядные прообразы. Одна из при-
нт но шпкноиспия этих трудностей порождается отрывом изучения
।  им! । рич1ч koi о материала от его реального начала. Возьмем к примеру
пончик (рем ольннка. Источником становления этого понятия являют-
ц |к и иные обьекты. имеющие форму треугольника. Образ этих объек-
IHII и inn, (рическая фигура «треугольник», моделью которой является
и пн i nn.ni рисунок. Затем на базе изображений фигуры «треугольник»
<| । нк и » iioiiiii пс треугольника как формы мышления. Таким образом,
inni'iiin ipcy юльника является результатом двух абстракций реального
iih.i кт ipeyвольной формы. В процессе изучения понятия треугольни-
। и in от ико при решении задач, важно наличие его образа. Однако по-
п mi I moo |сряется по мере изучения геометрии, либо формирова-
iiiiih iHipaia просто не уделялось должного внимания. Мы же еще при
HiK »/к к ипп мегодики изучения геометрического материала в V-VJ
। пи nil у ка зыкали на важность формирования образов как понятий, так
к пн пческпх рассуждений. В развитии пространственных представле-
нии \ чшцпхея должны присутствовать этап формирования образов ре-
н ii.iii.is (hii.ckiob - геометрических фигур и оперирования ими и этап
фирмиринанпя образов геометрических фигур в форме геометрических
 >||И I 1111
( hip.iuiM внимание и на такой аспект. При переходе от реального
iiiu.i Kin вреу вольной формы к понятию треугольника затушевывается
и hi  и. нос гное начало понятия. Работа учащихся с понятием сводится к
ни нчсскпм операциям с ним, зачастую забывая о действиях, адекват-
ны ному процессу, способах деятельности и эвристиках. Поэтому
ироны с п (учения понятия должен включать наряду' с усвоением опре-
к и ин» понятия. классификации и овладение действиями и эвристика-
ми Во |ребование должно быть заложено в содержание обучения. Так.
к ц ч( пне равенства треугольников должно осуществляться с усвоением
mi io ы основанного на использовании признаков равенства трсутоль-
iiiiiioii и различных ситуациях.
33
Напомним основные методические требования к формированию
понятии. Они составляются мотивацией введения понятия; выявлением
существенных свойств понятия, составляющими его определение; ус-
воением определения понятия, применением понятия в конкретных си-
туациях; установлением связей понятия с другими понятиями, логиче-
скими операциями с понятием. Оперирование понятиями предполагает
владение действиями распознавания объектов, принадлежащих поня-
тию, выведения следствий из факта принадлежности объекта понятию,
конструирования объектов, обобщения и конкретизации понятия, со-
ставления родословной понятия и т. д. Специальные геометрические
методы составляются рядом специфических действий, о чем будет ска-
зано в разделах, посвященных этим методам. Для работы с понятиями
важны такие умения, как. преобразовывать требование задачи в равно-
сильное ему; конструировать модели различных ситуаций; соотносить с
условием и требованием задачи свои мыслительные действия с черте-
жом; переводить содержание задачи на язык специальной теории, оце-
нивать свои действия с точки зрения целесообразности; формулировать
производные задачи; вычленять элементы чертежа, комбинировать и
переосмысливать их в плане различных фигур, владеть методами науч-
ного познания. Проиллюстрируем сказанное на следующей задаче: «До-
казать, что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной
точке».
Пусть АВС - некоторый треугольник, AD и ВК - его высоты (кон-
струирование заданной ситуации). Обозначим точку пересечения этих
высот буквой О. Задача будет решена, если докажем, что прямая СО
перпендикулярна прямой АВ или высота СМ проходит через точку О
(переформулировка требования задачи). Каждое из указанных предло-
жений будет определять свое направление поиска решения. Докажем,
что прямая СО перпендикулярна прямой АВ (составление производной
задачи). Введем векторы: = а, ОВ = Ь, ОС = с*(осознание элементов
чертежа-отрезков как векторов), тогда АВ = Ь ~a.BC = Ь -с,АС = а-с
(осознание сторон треугольника - как разностей векторов). Новое тре-
бование задачи равносильно доказательству того, что ОС -АВ = 0 (задача в
векторном изложении). Так как ADLBC (выведение следствий), то
а(б-с )=0. Аналогично, £(3-с) = 0. Из указанных равенств получаем:
34
। A <> । и ч l> = Ь с, откуда а-с = Ь с или c(fc-й)= 0 Последнее означает
и |пп и шк\ шрность прямых ОС и АВ (распознавание объектов, при-
IIU । и ih.iiiiiix понятию перпендикулярных прямых). Овладение дейст-
UIIIIMII io izmio лежать в основе формирования понятий и усвоения тео-
|ц । I роме обобщенных умений, изучение каждого конкретного мате-
рии m m попивается на соответствующих ему’ действиях. К таким дейст-
। и гм и рассмотренном примере относились перевод геометрической за-
iii'iu пи n ti.iii векторов, представление вектора в виде суммы (разности)
||| l< llipilll и । д
11.1 io сказать, что ни авторы учебников геометрии, ни учителя не
tipnno пи необходимой работы по формированию действий и эвристик
linn не у чтсяя следуют изложению материала в учебнике, а оно запас-
• мн in у‘in।ывает этих действий. Например, в учебнике геометрии ав-
nipiiii И ( Атанасяна и др. учение о смежных и вертикальных углах
npi и inn u no так: дается определение смежных углов и доказывается,
ин их сумма равна 180°. затем приводится определение вертикальных
у । ion и обосновывается их равенство. Эти два понятия и две теоремы
(iiiuopu пс швываютих теоремами) содержатся в одном пункте, кроме
юипроц) и параграфе рассматриваются перпендикулярные прямые и
inn ipiu пне прямых углов на местности. Учителя обычно все о смежных
и iii'piiiici п.пых углах рассматривают на одном уроке. Поскольку в
чейппке о।су тствуют упражнения на распознавание смежных (верти-
। и ii.in.ix) у г.iob. на выведение следствий из факта принадлежности двух
у । ши к (rtii.CMy понятия смежных (вертикальных) углов, а учтено лишь
in к । роси нс этих углов, то многие учителя формирование указанных
и in iniiii in норируют. Урок строится по схеме: определение понятия -
поргма п ее доказательство - применение теоремы. Выполнение всех
। при/юн in и i учебника основано на использовании теорем о сумме
и иных п равенстве вертикальных углов.
11(>11яп1я, изучаемые в школьном курсе геометрии, составляют две
ipviinu неопределяемые и определяемые. Наиболее многочисленной
in inc ica । руппа понятий, определение которых конструируются по спо-
(П1ц «через ближайший род и видовое отличие». В учебниках геомет-
рии in no n>ty ются различные определения одних и тех же понятий. На-
ирпхи р параллелограмм в разных пособиях трактуется как: а) четырсх-
\ io П.ППК. у которого противоположные стороны попарно параллельны;
35
б)	пересечение двух полос с непараллельными краями; в) четырех-
угольник, имеющий центр симметрии и т.д.
Все эти определения неравноценны в том смысле, что они обла-
дают разной степенью наглядности, т. е. определяемый объект по-
разному просматривается через определения. Учитывая важность об-
разного компонента в процессе формирования понятия, мы должны за-
ключить, что в школьном учебнике геометрии желательны такие опре-
деления, которые позволяют воображению легко конструировать обра-
зы объектов, входящих в объем понятия. С точки зрения этого требова-
ния наиболее удачным является традиционное определение параллело-
грамма как четырехугольника, у которого противоположные стороны
попарно параллельны. Такой вывод согласуется с результатом психоло-
гических исследований: в свернутом виде распознавание может осуще-
ствляться по внешне выраженным, наглядным признакам используемых
объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществлялось на
уровне развернутого выполнения действия.
Начальным этапом процесса формирования понятия является мо-
тивация его введения. Сущность этого этапа заключается в побуждении
школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбужде-
нии интереса к изучению понятия. Важным средством мотивации явля-
ется выполнение упражнений, рассмотрение моделей фигур, в частно-
сти, готового рисунка. Примеры.
1.	Выполняется упражнение:
А АВС - равнобедренный (АВ = ВС), BD - биссектриса угла В. До-
казать, что AABD = tsCBD.
Внимание учащихся обращается на то. что отрезок BD соединяет
вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Это дает
возможность ввести понятие медианы треугольника.
2.	Понятия треугольника, четырехугольника можно ввести на ос-
нове рассмотрения предметов, имеющих соответствующую форму'.
3.	При рассмотрении моделей рахтичных фигур (куба, пирамиды
и т. д.), а также окружающих предметов (классная комната, железнодо-
рожные рельсы) можно ввести понятия параллельных прямых, пересе-
кающихся прямых.
Со многими геометрическими фигурами можно познакомить в
процессе выполнения упражнений на построение этих фигур. Напри-
36
мер. равнобедренный треугольник появляется в результате упражнения
на построение треугольника по трем сторонам, из которых две равны.
Мотивация введения отдельных понятий предусмотрена и в учебниках
। еомстрии. В учебнике А В. Погорелова широко используется готовый
рисунок, в учебнике Л.С.Атанасяна и др. — практические задания, в
г чебнике А. Д. Александрова и др. - практические ситуации. Следует
иметь в виду, что мотивацией изучения материала может служить необ-
ходимость расширения или углубления теории. Например, введение
векторов вызывает необходимость рассмотрения различных операций с
ними. Знакомству учащихся со смежными углами можно предпослать
обобщающую беседу. Учитель говорит о том, что изучение геометрии
мы начали с самых элементарных фигур: точки и прямой. Используя эта
понятия, сконструировали такие фигуры, как: луч. отрезок. Комбинируя
их. мы получили угол, треугольник. Теперь нам предстоит познако-
миться с комбинацией углов, которая носит название «смежные углы».
Стимулируют воображение. пробуждают эмоционально-
ютстические отношения, переносимые на математический объект, ху-
южественные произведения. Значительную роль следуют отвести экс-
ку рсам в историю математики, раскрывающим взаимосвязь математики
и искусства. Не следует упускать возможности включения в процесс
обу чения произведений искусства и архитектуры, несущих на себе от-
ношения симметрии, пропорции. Привлекательны для учащихся задачи,
связанные с изображением пространственных фигур на плоскости, раз-
шчные головоломки на пространственное воображение, использование
оригинальных фигу рок и т. п. Значительная роль в мотивации принад-
южит практическим задачам. Эти задачи моделируют различные ситуа-
ции. знакомые школьникам, а потому они привлекательны для них.
В каждом конкретном случае вопрос о мотивации введения поня-
шя решается учителем и в отдельных случаях этот этап может отсутст-
вовать. Это возможно при изучении понятий, мотивация введения кото-
рых сложна, либо понятий, с которыми ученики уже знакомы на уровне
наглядных представлений, а также понятий, которым отводится второ-
степенная роль
Необходимо выявить существенные свойства понятия, состав-
ляющие его определение, и на них акцентировать внимание учащихся.
Например, ознакомление с существенными свойствами понятия верти-
37
кальных углов в VII классе может быть осуществлено путем выполне-
ния упражнения: «Постройте произвольный угол, отличный от развер-
нутого. Продолжите его стороны за вершину угла. Охарактеризуйте об-
разовавшиеся пары углов». В результате построения образуется четыре
пары смежных углов, известных ученику, и две пары углов, стороны ко-
торых являются дополнительными лучами. Таким образом, выполняя
указанное упражнение, учащиеся «закрепляют» понятие смежных углов
и знакомятся с существенными свойствами вертикальных углов. По-
средством упражнений на построение объектов, удовлетворяющих оп-
ределенным свойствам, возможно ознакомление учащихся со многими
геометрическими понятиями.
Выделению существенных свойств понятий, особенно в V-V1
классах, способствуют упражнения на конструирование фигур, выпол-
няя которые учащиеся самостоятельно выделяют существенные свойст-
ва понятия. В частности, ознакомление с существенными свойствами
биссектрисы угла может быть осуществлено в процессе выполнения у п-
ражнений на перегибание листа бумаги так, чтобы его стороны совпали.
Выполняя различные построения, манипулируя с моделями объектов,
учащиеся активно участвуют в «рождении» понятия, что способствует
развитию интереса к его изучению. Данный этап подготавливает
школьников к формулировке определения понятия, создавая для этого
наглядно-образную базу. Логическая организация наглядных представ-
лений учащихся способствует развитию привлекательности учебного
материала. Доступность в его изучении обеспечивает трансформацию
ситуативной мотивации в надситуативную.
На следующем этапе синтезируются выделенные существенные
свойства понятия, формулируется его определение. Однако запомина-
ния определения пока требовать не следует Важно выявить, понятен ли
учащимся смысл каждого слова, используемого в определении. Непо-
нимание смысла отдельных слов затрудняет усвоение логической
структуры определения понятия. Понимание материала является важ-
нейшим условием его запоминания, а активная мыслительная деятель-
ность, направленная на углубленное понимание ма гериала. приводит к
быстрому запоминанию.
Важным этапом формирования понятия является усвоение логиче-
ской структуры его определения. На этом этапе ка> тое существенное
38
i mitic iBO понятия делается специал ным объектом усвоения. Достигает-
i к но овладением действиями распознавания объектов, принадлежащих
inniHiiifO, выведения следствий из принадлежности объекта понятию,
коне груирования объектов, относящихся к объему понятия, и их сово-
к\нпостью. На данном этапе получает дальнейшее развитие усвоение
икуйсгв объектов, составляющих объем понятия, и стандарта логиче-
ikiix рассуждений, осуществляется работа по формированию умения
' иорядочивать свойства понятия и применять их в различных конкрет-
ных ситуациях. Средством овладения указанными действиями являются
i нецпальные упражнения. Один из их типов составляют упражнения на
распознавание объектов, принадлежащих понятию. Пусть, например, aub -
i \ шественные свойства понятия А, соединенные конъюнктивной связкой.
()6ъскт х принадлежит понятию А тогда и только тогда, когда он удовле-
।порист условию: х е А <=> а /\ Ь. Условие непринадлежности к понятию
I имеет вид х & А <=> a v b. Зная эти нетрудно сконструировать упраж-
нения, формирующие действие распознавания. Это упражнения вида:
I) <i л Ь, 2) a f\b, 3) а л Ь(черта над буквой означает отсутствие соот-
нсгсгвуюшего признака у объекта, используемого в упражнении). Про-
п I.иострируем указанный прием конструирования упражнений на при-
мере распознавания параллелограмма. Логическая структура определе-
ния понятия параллелограмма такова:
(A BCD - параллелограмм) <=>
Исходя из логической структуры определения понятия параллело-
। рамма. осуществляется конструирование упражнении
1.	В четырехугольнике ABCD ABftCD, ВС AD. Является ли четы-
рехугольник ABCD параллелограммом?
2.	В четырехугольнике MNKL ML\\NK. MN\\KL. Является ли четы-
рехугольник MNKL параллелограммом?
3.	В четырехугольнике противоположные стороны попарно парал-
ельны. Является ли данный четырехугольник параллелограммом?
При формировании понятий удобно для упражнений на распозна-
нание объектов, принадлежащих изучаемому понятию, использован, ю-
ювые рисунки. При этом учащиеся овладевают действиями вычленения
на рисунках объектов, принадлежащих данному понятию, рассмотрения
1) АВ || CD,
.2) ВС 11 AD.
39
объекта в плане различных понятий. Пример: какие из углов отмечен-
ных на рис. 5, являются смежными?
Рис. 5
При выполнении упражнений на готовых рисунках нужно варьи-
ровать распознаваемые объекты Так, при распознавании смежных уг-
лов следует использовать различные ситуации их изображения на ри-
сунке. Наряду с заданиями, имеющими положительный или отрица-
тельный ответ, рекомендуется использовать задания с неопределенным
ответом. Например: являются ли два угла смежными, если у них одна
сторона общая? Однозначный ответ на данный вопрос отсутствует, ибо
нет никакой информации о других двух сторонах этих углов Усвоение
определения понятия предполагает овладение действием выведения
следствий. Для этого рекомендуются упражнения на отыскание свойств,
которыми обладает объект, принадлежащий понятию. Примеры.
1.	Четырехугольник KPDF параллелограмм. Какими свойствами
обладает он?
2.	Углы 1 и 2 - смежные. Что из этого следует?
На совокупности действий распознавания и выведения следствий
основывается выполнение упражнения:
40
3.	Известно, что одна сторона двух углов общая. Следует ли отсю-
ia. что эти углы смежные? Если нет, то измените условие так, чтобы из
пего вытекало, что данные углы смежные.
Возможно включение требования изменить условия в упражнения на
распознавание, рассмотренные выше, так чтобы указанный объект при-
надлежал понятию.
4.	В четырехугольнике ABCD ABtfCD, a BC^AD. Является ли че-
। ырехугольник ABCD параллелограммом?
Упражнение 4 можно дополнить требованием изменить условие
liiK, чтобы четырехугольник ABCD являлся параллелограммом.
Если определение понятия содержит несколько признаков, то ис-
пользование их при выполнении упражнений на распознавание вызыва-
с г у учащихся трудности, даже если распознаваемые объекты знакомы
им. Снижению трудностей способствует использование следующего
приема. Текст определения понятия разбивается на отдельные части,
соответствующие признакам (в тексте части отделяются одна от другой
иергикальной чертой).
Пример.
Два угла называются смежными, [если одна сторона у них общая,|
а две другие являются дополнительными лучами.
После подготовки текста определения к работе, один из учащихся
вызывается к доске, другой работает с текстом, остальные выполняют
\ пражнения в тетрадях. Учащиеся проверяют наличие признаков у за-
данных углов. Если признак отсутствует, то делается вывод, что задан-
ные углы не являются смежными: при наличии первого признака анало-
। очно осуществляется проверка второго. Как показывает опыт после
выполнения двух-трех упражнений на распознавание объектов, входя-
щих в объем изучаемого материала, 80—90% учащихся запоминают оп-
ределение этого понятия Объяснение этому простое: распознавание
объектов входит в содержание основной цели действия, учащиеся ак-
швно работают с признаками понятия, а потому в данном случае не-
произвольное запоминание оказывается более прочным, чем произволь-
ное. опирающееся на пассивные способы работы. По мере выработки
' мсния работать с определением надобность в такой организации вы-
полнения упражнений отпадает, учащиеся V11I-IX классов уже четко
оперируют существенными признаками понятия.
41
Следующие этапы процесса формирования понятия - применение
его в конкретных ситуациях и установление связи с ранее изученными
понятиями. На этих этапах осуществляется знакомство со свойствами и
признаками понятия, систематизация материала выяснение места дан-
ного понятия в системе других понятий, при этом учащиеся овладевают
умениями переходить от определения понятия к его различным сущест-
венным свойствам и обратно, усваивают связи изу чаемого понятия с ра-
нее изученными. Завершает процесс формирования понятия выполне-
ние с ним логических операций: обобщения, конкретизации, аналогии.
Данные этапы являются хорошим полигоном для развития творческой
активности учащихся. Этому' способствует использование блоков задач.
Эти блоки могут конструироваться следующими способами:
а) результаты решения предыдущей задачи используются в решении по-
следующей; б) результаты решения предыдущей задачи используются в
условии последующей; в) предыдущие задачи являются элементами по-
следующей; г) решение совокупности задач осуществляется одним и
тем же методом. Развивающий потенциал задачи можно у величить пу-
тем расширения требования задачи, установки на исследование задан-
ной ситуации и составление на ее основе новых задач, неопределенно-
сти требования задачи, предполагающего рассмотрения различных слу-
чаев, усиления таких эффектов, как неожиданность, простота, ориги-
нальность.
Возможность построения блоков заложена в учебниках геометрии.
В качестве примера приведем ряд задач из учебника геометрии авторов
Л. С. Атанасяна и др.
1.1. Отрезки АВ и СД пересекаются в середине О отрезка АВ, Х.ОАД
= ZOBC. Докажите, что /\СВО = ДДАО; найдите ВС и СО. если ОД = 26
см, АД= 15 см.
1.2. Отрезки АС и ВД пересекаются в точке О, являющейся середи-
ной отрезка А С, ZBCO = АДАО. Докажите, что ЛВОА = /\ДОС.
Задачи блока могут быть связаны друг с другом путем укрупнения
действий, составляющих их решения, либо трансформации их условий.
1.	В треугольнике АВС АВ= лДосД. ВС = бДсм, АС = 2 см. Найдите
длину медианы треугольника, проведенной из вершины В.
42
2.	В треугольнике АВС проведена медиана ВМ. Найдите величину
\ I ла АМВ. если АВ = л^Юсм. ВС = 6-jScM. АС = 2 см.
Систематизация понятий осуществляется посредством упражнений
и; составление родословной понятия, применение понятия в различных
ситуациях, установление связей между понятиями, обобщение и конкре-
1п ацию понятия. В результате операций объединения, пересечения,
обобщения, дополнения учащиеся знакомятся с новыми понятиями, свя-
и1нными с изученными
В школьном курсе геометрии есть ряд понятий, вводимых путем
он гсания. Процесс формирования этих понятий состоит из тех же эта-
нов, что и формирование понятий с указанием их определений, за ис-
ключением этапов формулировки определений и понимания смысла ка-
ждого слова в опреде. ении. Работа по формированию таких понятий
। робу ст особого внимания учителя: необходимо выделить свойства по-
нятия. разработать алгоритмы их применения, составить упражнения, в
которых существенные свойства явились бы предметом действий уча-
щихся.
Процесс формирования понятий является динамичным. В зависи-
мости от опыта учащихся, конкретного содержания понятия, внимание
к этапам формирования может быть различным. Например, понятие
«хорда окружности» можно ввести непосредственно определением,
опустив предварительное знакомство с существенными свойствами это-
го понятия. Вряд ли будет це. есообразным заниматься специально вы-
полнением упражнений на распознавание хорд окружности. Следует
иметь в виду и то. что длительность этого процесса может занимать как
несколько уроков, так и несколько лет обучения. Например, понятие
смежных углов может быть сформировано за пару уроков, а понятие
движения может быть усвоено за несколько лет.
4.	Методика работы с теоремой
Процесс изучения теоремы включает следующие этапы: 1) моти-
вация рассмотрения теоремы, 2) ознакомление с фактом, отраженным в
теореме. 3) формулировка теоремы и выяснение понимания смысла ка-
ждого слова в ней, 4) усвоение содержания теоремы, 5) запоминание
формулировки теоремы, 6) ознакомление со способом доказательства,
43
7)	доказательство теоремы, 8) применение теоремы, 9) установление
связей данной теоремы с ранее изученными теоремами.
Знакомство с теоремой рекомендуется осуществлять посредством
измерений с последующим обобщением результатов измерения, выпол-
нения цепочки взаимосвязанных упражнений, приводящей к открытию
теоремы, построений, решения задач, в которых рассматриваются част-
ные случаи, с последующим их обобщением, оперирования моделями
фигур, использования аналогии, анализа практических ситуаций. Заме-
тим, что каждый из указанных способов не только реализует непосред-
ственную цель, его применение формирует у учащегося чувство красо-
ты. Например, выполнение упражнений с последующим обобщением
приводит к неожиданному результату', акцентирует внимание учащихся
на гармонии частей исследуемого явления на их взаимосвязи. Выпол-
нение построений, оперирование моделями основано на актуализации
сложившихся образов математических объектов, их воспроизведении.
При этом реализуется не только чувственный уровень красоты, но и
уровень внутренней эстетики, обусловленный преобразованиями объек-
та, рассмотрением его в контексте различных отношений и связей. Эс-
тетичность работы с теоремой во многом усиливается за счет привлече-
ния различных эвристик. Проиллюстрируем сказанное примерами.
1.	Ознакомление с теоремой: «В любом треугольнике против
большей стороны лежит больший угол» осуществляется посредством
упражнений на построение треугольника, измерения его углов и сторон
и соотнесения между' собой зависимостей между’ сторонами и противо-
лежащими им углами.
2.	Теорема о средней линии трапеции может быть «открыта» учащи-
мися в процессе решения задачи: «MV - средняя линия трапеции АВСД (АД
и ВС - основания, М е АВ, N е СД). Докажите, что MN - средняя линия
треугольника ABIC где К- точка пересечения прямых АД и В№>. Решение
этой задачи подводит учащихся к фактам MN I I АД и MN = (АД+ВСу
К тому же само решение моделирует и доказательство теоремы о средней
линии трапеции.
3.	Теорема о произведении отрезков пересекающихся хорд окруж-
ности может быть введена через выполнение последовательности уп-
ражнений: а) Выделите на рис. 6 вписанные углы, б) Каково соотноше-
44
пне между ними?) в) Какой вывод можно сделать об отношении между
। рсутольниками АКС и ВКдТ?
О г) Запишите отношение между сторонами этих
треугольников. Отвечая на данные вопросы,
АК СК АС
D ученики приходят к выводу':
ИД гл ьд
Предлагаем учащимся записать первое равенство
отношений АК КД=СК.КВ в виде произведения
р11С &	АККВ-СККД. Читаем полученное равенство:
если две хорды окружности пересекаются, то
произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков дру-
1ОЙ хорды. Открытый школьниками факт вызовет интерес к его изуче-
нию. Предложенный им рисунок внесет сомнение в достоверности этого
факта, что усилит потребность в необходимости его обоснования.
Для у своения содержания теоремы можно использовать упражне-
ния на выделение условия и заключения теоремы, вычленение на ри-
су нках и моделях фигур, удовлетворяющих условию теоремы, выпол-
нение чертежа, моделирующего условие и заключение теоремы. В целях
облегчения запоминания громоздких формулировок целесообразно по-
> (сментное усвоение содержания теоремы. Для этого формулировка
 соремы разбивается на отдельные элементы, после чего каждый из
цементов используется при выполнении у пражнений.
Особое место в изучении теоремы занимает ознакомление уча-
щихся с методом доказательства и доказательство теоремы. Рассмотрим
реализацию этого этапа на примере теоремы о соотношении между сто-
ронами и углами треугольника. Доказательство этой теоремы опирается
на следующий прием: чтобы сравнить два утла, надо ввести в рассмот-
рение третий угол, связанный с ними. Поэтому желательно обратить
ниимание учащихся на указанный метод доказательства. Сделать это
можно путем использования специальных упражнений. При составле-
нии таких упражнений следует учитывать и те знания, которые необхо-
1нмы для доказательства теоремы. В данном случае используются свой-
С1ва равнобедренного треугольника и свойство внешнего угла гре-
\ голышка. Следует иметь в виду, что в процессе доказательства теоре-
мы неявно используются и такие очевидные факты, как: 1) если на от-
резке ВС от точки В отложить отрезок BD меньшей длины, то Д - внут-
45
ренняя точка отрезка ВС; 2) если луч, исходящий из вершины угла А,
пересекает отрезок ВС с концами на сторонах этого угла в некоторой
внутренней точке D, то ABAD < ABAC; 3) если ABAD < ABAC и ABAD
> АВС А, то ABAC > АВС А. Можно вспомнить необходимые для доказа-
тельства сведения перед доказательством теоремы. Есть и второй путь:
предложить упражнения, при решении которых использовались бы эти
знания. Примером упражнения, при решении которого аккумулирова-
лись бы восприятие идеи доказательства теоремы о соотношении между
сторонами и углами треугольника и знания, необходимые для доказа-
тельства, является следующее: AB=BD (рис.7). Доказать, что
ABAD > АС.
Важным является специальное
акцентирование внимания школьни-
ков на методе доказательства: срав-
нение двух углов (ABAD и АС) осу-
ществляется путем введения третье-
го угла (ABDA), связанного с дан-
ными двумя углами. Далее следует
подчеркнуть, что этот метод часто
используется при решении задач, в
при доказательстве рассматриваемой
теоремы. Как показывает опыт, доказательство теоремы при такой орга-
низации его изучения осуществ яется учениками почти самостоятельно.
Учитель лишь в отдельные моменты продвигает их действия в нужном
направлении.
Если учитель на уроке доказывает эту теорему для тех пар элемен-
тов треугольника, которые рассмотрены в учебнике го дома следует
предложить ученикам доказать эту теорему для других пар сторон и уг-
лов. В этом случае учащимся придется использовать новый рисунок и
оперировать с ним. Возможен и другой путь: на урокс рассмотреть пары
элементов, отличные от тех, которые рассмо грены в учебнике, а дома
предложить учащимся восстановить доказательство этой теоремы по
книге. Важно, чтобы домашняя работа учащихся нс сводилась к про-
стому воспроизведению классной. Необходимо, чтобы она требовала
переосмыслений изученного на уроке, формировала бы умение исполь-
частности, он будет использован
46
ювать знания в новых ситу ациях, т.с. чтобы она была не только репро-
iv ктивной. но и содержала бы элементы творческой деятельности.
Доказав прямую теорем}', следует предложить школьникам сфор-
м лировать обратную теорему: В треугольнике против большего угла
1сжит бол шая сторона. Записав условие и требование задачи, обратим
внимание учащихся на возможные соотношения между' величинами а и
/г либо а = Ь, либо а > Ь, либо а <Ь. Затем, записав возможные соотно-
шения между парой длин сторон (например, ВС=АВ. ВС<АВ. ВС > АВ),
рассмотрим первые два случая. Получив в каждом из них противоречие
с условием теоремы, придем к выводу, что имеет место третий случай.
В учебнике каждый абзац доказательства соотносится с каждым из двух
первых случаев. Здесь уместно организовать коллективную работу' с
у чебником: один ученик читает абзац, после чего учитель заостряет
внимание класса на основном. Приведем примерные вопросы учителя к
классу: какой случай соотношения между длинами сторон треугольника
мы рассматриваем? что следуют из этого соотношения? каково соотно-
шение между величинами углов этого треу гольника? что нам известно
об углах? Каков вывод следует из допущенного соотношения между
ринами сторон АВ и ВС? Следующий абзац может быть изучен школь-
никами самостоятельно с последующим ответом на вопросы учителя.
Как показывает опыт, доказательство теоремы с опорой на новый ри-
су нок вызывает трудности у многих учащихся. В этом случае можно ис-
пользовать специальные карточки. На карточке изображается таблица, со-
с гоящая из двух колонок. Одна колонка содержит утверждения, другая - их
обоснования, причем в колонках имеются пустые места, которые должен
.апотнить ученик. Запишем в виде таблицы (без пропусков) доказательство
гсоремы о соотношении между сторонами и углами треугольника (рис.8).
Один из вариантов карточки можно соста-
вилъ на основе данной таблицы, если сделать
в ней некоторые пропу ски. Например, можно
оставить пустыми клетки: II, 1; I, 2; II. 3-6; I,
7-8; II. 5-6 (Римская цифра озна гает номер
столбца в таблице, а следующие за ней араб-
ские цифры — номер строки в данном столб-
це).	Ц *“
Рис. 8
47
I УТВЕРЖДЕНИЯ	II ОБОСНОВАНИЯ
\.АВ>АС	По условию
2.AD--AC	По построению
3. D между А и В	Утверждения 1 и 2
4. ZC=Z1	Утверждение 3
5. Z 2 внешний угол тре- угольника BDC	По определению внешнего угла Треугольника
6. Z2 > Z5	Свойство внешнего угла треугольника
7. Zl = Z2	Свойство равнобедренного треугольника
8. АС>АВ	Утверждения 3, 5, 6.
Подобные карточки эффективны при самостоятельной работе
учащихся на уроке и при выполнении домашнего задания. Их можно
видоизменять с учетом индивидуальных возможностей учащихся. Ко-
личество пустых мест в карточке зависит от того, как ученик ориенти-
руется в материале. Если хорошо, то пустых мест в его карточке больше
(некоторые учащиеся доказывают теорему без карточек). Работа с дока-
зательством теоремы на первых уроках геометрии включает три этапа. На
первом определяется канва доказательства, второй включает изучение до-
казательства с помощью карточек и сопутствующих упражнений, на
третьем этапе осуществляется запись доказательства в тетрадях школьни-
ков и на классной доске. Остановимся на третьем этапе. Рассмотрим, на-
пример, доказательство теоремы о равенстве углов при основании равно-
бедренного треугольника. В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. оно
занимает семь строчек, но в них содержится четыре блока рассуждений.
I блок включает следствие из данных (рис. 9): АВ=АС (по опреде-
лению равнобедренного треугольника).
II блок содержит построение биссектрисы и следствие:
Х.ВАД=ЛСАД(АД- биссектриса угла А)
48
Ill блок связан с рассмотрением треугольников АВД и АСД :
АВ=АС, АВАД=АСАД. АД - общая сторона, следовательно МВД =
\АСД.
IV блок содержит следствие из равенства треугольников АВД и
АСД АВ = АС.
Результатом работы по выделению этих	д
блоков может быть следующая запись в тетра- "
(ях учащихся.	/ j \
АВС — равнобедренный треугольник,	/ i \
следовательно. АВ=А С.	i \
АД — биссектриса угла А. поэтому /	\	'.
/.ВАД=АСАД.	X	|	,д
АВ=АС, АВ АД=/.САД, АД — общая сто- в 9 С
рона. значит, МВД = МСД.	р,(С у
МВД= МСД. следовательно. АВ = ZC.
Изучение теоремы сопровождается выполнением упражнений на
се применение и выяснение связей с другими теоремами. Если оказыва-
ется возможным обобщение конкретизация ситуации, отраженной в
гсорсме. или построения ее аналога, то следует обратить внимание уча-
щихся на это. Вернемся к теореме о пересекающихся хордах окружно-
сти. Эта теорема позволяет ввести ученика в лабораторию исследовате-
ля. Ситуации, отражаемой этой теоремой, присущи хорошие возможно-
сти в ее обобщении, конкретизации, построении аналогов, что позволяет
систематизировать задачи учебника и наметить ряд проблем для вне-
классной работы.
Доказав данную теорему, можно обратить внимание учащихся на
то, что произведение отрезков хорды можно интерпретировать площа-
дью прямоугольника сторонами которого являются эти отрезки. В дан-
ной интерпретации теорема формулируется так: «Хорды АВ и СД ок-
ружности пересекаются в точке Р. Докажите, что площадь прямоуголь-
ника со сторонами ДР и РВ равна площади прямоугольника со сторона-
ми PC и РД». Далее можно поставить вопрос о справедливости у гвер-
ждения. обратного рассматриваемой теореме. Обобщение и конкрсгиза-
49
ция ситуации, отражаемой теоремой о пересечении хорд окружности,
приведет к ряду интересных результатов. Вот некоторые из них.
1.	Если из некоторой точки окружности опустить перпендикуляр
на диаметр, то квадрат перпендикуляра равен произведению отрезков
диаметра.
2.	Через точку Р вне окружности проведены две секущие, одна из
которых пересекает окружность в точках А и В, а вторая — в точках С и
Д. Докажите, что РА  РВ=РС  РД.
Рассмотрение предельного случая, который дает совпадение точек
Л и В либо С и Д, приводит к новым утверждениям.
3.	Через точку Р проведены касательная РА (А — точка касания) и
секущая, которая пересекает окружность в точках С и Д. Докажите, что
РА2=РС. РД.
4.	Из точки Р проведены две касательные РА и РВ к окружности
(А и С - точки касания). Докажите, что РА=РС.
Выдвигаем проблему: найти условие такого расположения двух
окружностей и хорд в них, чтобы точка пересечения хорд обладала тем
же свойством, что и точка пересечения хорд в теореме. Анализ этой си-
туации приводит к выводу о том, что данные окружности должны пере-
секаться, а точка пересечения хорд должна принадлежать общей хорде
этих окружностей. Таким образом приходим к утверждению.
5.	Две окружности пересекаются в двух точках. Хорда АВ первой
окружности пересекается с хордой СД второй в точке Р, принадлежа-
щей общей хорде этих окружностей. Докажите, что АР  РВ = СР  РД.
Обобщение и конкретизация ситуации утверждения 5 порождают
новую серию задач. Вот некоторые из них.
6.	Две окружности пересекаются в точках М и N. Через точку Р
прямой MN, отличную от точек Ми N, проведены секущие, пересекаю-
щие окружности в точках Л,В и СД. Докажите, что РА • РВ = PC  РД.
7.	Две окружности пересекаются в точках М и N. Через точку Р
прямой MN проведены касательные PC и РД к окружностям (С и Д -
точки касания). Докажите, что РС=РД.
50
8.	СД — общая касательная двух пересекающихся в точках М и N
окружностей. Докажите, что точка пересечения прямых СД и MN делит
отрезок СД пополам.
Исследование конфигурации, со-
стоящей из двух окружностей, может быть
распространено на конфигурацию, со-
Л\ if zg
стоящую из трех окружностей. Итак, пусть /	'""'Рр
окружности Si, S2.S3 попарно пересекаются	'<Д /S
в точках А,В.С иД. М - точка пересечения
прямой СДс окружностью S2 (рис. 10).	Р Ю
Выяснить, при каком расположении ок-
ружностей S), PC  РМ=АР  РВ = PC  РД, где Р — точка пересече-
ния прямых АВ и СД. Исследование этой проблемы приводит к новому
блоку задач. Их решение может быть предметом кружковых занятий.
5. Обучение решению задач на первых уроках геометрии
Успех в решении задач во многом определяется умением извле-
кать информацию из требования и условия задачи, вычленять отдель-
ные элементы, комбинировать их, переформулировать требование зада-
чи. выводить следствия, работать с чертежом. Поэтому формирование
этих умений должно быть особой заботой учителя математики и осуще-
ствляться им систематически и целенаправленно. Особое внимание
этому должно быть уделено на первых уроках геометрии в VII классе
при изучении первых разделов ку рса. так как успешное усвоение мате-
риала последующих разделов предполагает владение школьниками ука-
занными умениями.
При выполнении упражнений типа 1-6 перечисленные выше дей-
ствия еще не являются предметом специального формирования, однако,
выполняя такие упражнения, учащиеся приобретают первые навыки в
овладении этими действиями.
1.	Даны прямая и три точки А,В,С. не лежащие на этой прямой
Известно, что отрезок АВ пересекает прямую. При каком условии пере-
секает данную прямую отрезок ВС.
2.	Что нужно знать, чтобы утверждать, что концы отрезка принад-
лежат разным полу плоскостям, на которые разбивает плоскость прямая <./?
51
3.	На луче АВ отложен отрезок АС. При каком условии точка С
лежит между точками Л и В?
4.	Точки А,В,С принадлежат на одной прямой. При каком условии
точка С лежит между точками А и 1Д
5.	От вершины С равнобедренного треугольника АВС с основани-
ем АВ отложены отрезки: CAi - на стороне СА и СВ] - на стороне СВ.
Дополните условие так, чтобы из него следовало равенство треугольни-
ков САВу и СВА].
6.	Треугольники ABC, PQR и XYZ равны. Известно, что АВ = 5 см,
QR = б см. Длину какого отрезка надо знать, чтобы вычислить длины
остальных сторон каждого треугольника.
Выполнение упражнений типа 7-14 ориентировано на овладение
действием выведения следствий из данных условий. Суть его заключа-
ется в выделении утверждений, являющихся следствием данных. Оче-
видно, овладение этим действием обусловливает видение различных
связей между объектами, данными в условии задачи.
7.	Точка С лежит между точками А и В, а точка X- между' точками
А и С. Докажите, что точки Л,В,С и X лежат на одной прямой. Сформу-
лируйте все утверждения, полученные в процессе решения этой задачи.
8.	Точка А" принадлежит отрезку АВ и не совпадает ни с точкой А,
ни с точкой В. Что следует из этого?
9.	Назовите различные следствия из следующих данных: концы
отрезка АВ лежат на отрезке СД, но не совпадают с точками С и.Д.
10.	Даны окружность с центром в точке О и радиусом R и точка А.
Известно, что ОА> R. Что отсюда следует?
11.	Сторона АВ треугольника АВС является диаметром окружно-
сти, а сторона Л С - хордой. Что из этого следует?
12.	Известно, что АЛВС=ДЛ;В/С/, АВ=ВС, ЛЛ=40°. Что следует из
этого?
13.	В равнобедренном треугольнике АВС на основании ВС отме-
чены две точки М и N так, что BM=CN. Что следует из этого?
14.	Из точки А данной окружности с центром О проведены две
хорды АВ и ЛС, каждая из которых равна радиусу. Сформулируйте не-
сколько утверждений, вытекающих из данных.
Выполнение упражнений типа 15 способствует овладению прие-
мом переформулировки требования задачи, который играет большую
52
|к> п> в поиске решения задачи. Сущность этого приема заключается в
тмине требования задачи новым так, чтобы из него следовало первона-
•||| п.ное требование. Упражнения выполняются при изучении соответ-
11 in ющих разделов учебников.
15.	Решите задачи, заменив предварительно их требования новыми
пне чтобы из них вытекали первоначальные требования.
15.1.	Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на од-
нон прямой.
15.2.	Отрезки АВ и СД пересекаются в точке О. Докажите, что если
о । резки АС, СВ. ВД и АД равны, то прямые АВ и СД перпендикулярны.
15.3.	Два отрезка АВ и СД пересекаются в точке О, которая являет-
ся серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников АСД и
II (С.
15.4.	Докажите, что в равнобедренном треугольнике середина ос-
нования равноудалена от прямых, содержащих боковые стороны.
15.5.	Если две окружности с центрами Oi и О2 касаются друг друга
н точке М внешним образом, то OIM+MO2=OiO2- Докажите это.
Предполагаемые решения.
15.1.	Докажите, что угол между биссектрисами вертикальных уг-
юв - развернутый.
15.2.	Докажите, что луч АВ является биссектрисой угла САД, а луч
(' 7 - биссектрисой угла АСВ
15.3.	Докажите, что АС=ВДи ('В=АД
15.4.	Докажите, что перпендикуляры, проведенные из середины
основания равнобедренного треугольника к его боковым сторонам,
симметричны относительно прямой, проходящей через середину' осно-
вания и вершину треугольника.
15.5.	Докажите, что точки Ot, О2 нМ принадзежат одной прямой.
В процессе поиска решения задач часто приходится осуществлять
не только выведение следствий, замену требований задачи новым, из
которого следуют первоначальное, но и самостоятельно формулировать
промежуточную задачу. В упражнениях типа 16-19 учащимся предлага-
ется самостоятельно подобрать требование (вопрос) к имеющемуся на-
бору данных и решить полученную задачу'.
16.	Известно, что ЛВ=8 см, ВС=4 см. АС=12 см. Составьте не-
сколько задач с данным условием.
53
Предполагаемые вопросы: 1) Принадлежат ли точки А,В,С одной
прямой? 2) Лежит ли точка В между точками А и С? 3) Лежит ли точка
А между точками Л и С?
17.	В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС прове-
дена медиана ВМ. На ней взята точка К Составьте несколько задач с
данным условием.
Предполагаемые требования: 1) Докажите, что треугольники АВК
и СВК равны. 2) Докажите, что треугольники АКМ и МСК равны. 3) До-
кажите, что АК=КС и т.д.
18.	Известно, что ААВС = ЛАД1С1. На сторонах АВ и АД] отмече-
ны точки О и О] так, что ОА=ОВ и A]Oi=OiBi. Сформулируйте требова-
ние и решите полученную задачу.
Предполагаемые требования: 1) Докажите, что ОС=О]С]. 2) Дока-
жите, что AAOC=hAiO]Ci. 3) Докажите, что ^ОВС=^О]В]С].
19.	На рис. 11 изображена конфигурация. Используя ее составьте
несколько задач.
Примеры задач.
а)	АВ=АС, Z1=Z2. Докажите,
что ВД=ДС.	,
б)	АВ=АС, Z1=Z2. Докажите,	/
что ДВДС равнобедренный.	 \
в)	АВ=АС, Z1=Z2. Докажите,	Д’*
что АД1ВС.	\ / \
г)	Докажите, что ДВ=ДС, где	• ...^ i /
Д — точка биссектрисы равнобед-	С "
ренного треугольника АВС (ВС -
&> iC 1 ?
основание).
д)	Треугольник А ВС равнобедренный, Д- точка биссектрисы АА.
Докажите, что ДЛЛ/С=ДСС/Л, где С/ - точка пересечения прямых СД и
АВ, aBi- точка пересечения прямых Л С и ВД.
Результат решения задачи (д) можно использовать для составления
новой задачи.
е)	На сторонах угла А отмечены точки С], В, В],С так, что
ACj=AB/; АВ=АС. Докажите, что точка Дпересечения прямых BBj и СС]
принадлежит биссектрисе угла Л.
54
Рис. 12
Решение последней задачи дает способ построения биссектрисы
угла с помощью циркуля и линейки.
20.	Охарактеризуйте конфигурацию, заданную рис. 12. Используя
се, составьте несколько задач.
Примеры задач.
а)	СЕ=ЕД, BE=EF. Докажите, что
\ВСЕ=ЕЕДЕ.
б)	ЕВСЕ=ЕГДЕ. Докажите, что а)
АСВЕ=АДЕЕ,
б)	ЛВСЕ=АЕДЕ.
в)	Используя результат предыду-
щей задачи, докажите, что ВСЦАД.
г)	Известно, что ВСЦАД и Х.ВКЕ=ДКАД. Докажите, что ЮДДД и
КЕ\\ВС. Запишите несколько следствий, вытекающих из доказанного.
д)	Используя рис. 13. объясните, как построить с помощью линей-
ки сумму' отрезков АД а ВС.
Составление задач по готовым гео-	,
метрическим конфигурациям имеет важ-	/"" ......\
ное значение в обучении решению задач.
Дело в том, что этот процесс предполага-	\
ет анализ ситуации, заданной рисунком
(выделение объектов, отношений	л
между ними, словесная формулировка за-	Рис. 13
данной ситуации, формулировка ряда требований, простое и сопостави-
мое вычленение фигур, представление фигуры в плане различных поня-
тий и т. д.). выведение следствий, из данных рисунка, формулировка
возможных заключений. Заметим и то, что решение задач в школьных
учебниках геометрии основано на трансформации словесной формули-
ровки задачи в рисунок, а использование обратной трансформации спе-
циально не предусмотрено, что ведет к перекосу в обучении школьни-
ков решать геометрические задачи, а в конечном счете к значительным
трудностям, испытываемым учащимися при решении геометрических
задач.
Какова методика работы с указанными группами упражнений?
Приведенные упражнения предлагаются у чащимися при изучении соот-
ветствующих фактов. Например, упражнение 3 - при изучении основ-
55
ных свойств откладывания отрезков, а упражнение 6 - при изучении ра-
венства треугольников В основном предлагаемые упражнения могут
выполняться устно. Акцент делается на их целевом назначении. Из пер-
вой группы упражнений (1-6) в качестве примера рассмотрим методику
работы с упражнением 3. Этап анализа содержания задачи включает
выяснение условия, заключения, вычерчивание рисунка. Дальше беседа
с учащимися может быть такой.
Учитель. Итак, нам известно, что отрезок АС отложен на луче АВ.
Как расположены точки Л,В и С?
Ученики. Либо точка С лежит между точками А кВ. либо В лежит
между точками Л и С.
Учитель. А что нам надо установить?
Ученики. Надо найти такое условие, которое вместе с данным по-
зволило бы сделать вывод: точка С лежит между точками Л и В.
Учитель. Что нужно еще знать, чтобы утверждать, что точка С
лежит между точками Л и В?
Ученики. Отрезок Л С меньше отрезка Л В.
Учитель. Какое же утверждение мы должны включить в условие?
Ученики. АС<АВ.
Оформление выполненного упражнения может быть таким: С ле-
жит между Л и В при условии: 1) СеЛВ, 2) АС<АВ.
При выполнении следующей группы упражнений внимание акцен-
тируется на выводимых следствиях, что прямо подчеркивается в требова-
нии задачи. Овладение этим действием обусловливает видение различных
связей между объектами, данными в условии задачи. Процедура выведения
следствий основана на правилах вывода, в основном используется правило
заключения. В этом аспекте прием выведения следствий является логиче-
ским приемом. Однако не каждое из полученных следствий может продви-
нуть решение задачи. Использование приема выведения следствий не га-
рантирует получения нужного результата, но может и привести к нему. В
этом аспекте данный прием обладает эвристичностью и может быть отне-
сен к эвристическим приемам.
Рассмотрим, например, упражнение 9. Из условия и определения
отрезка следует, что точки А и В лежат между точками С и Д. Из по-
следнего утверждения следует, что СА+АД=СД, СВ+ВД=СД, откуда по-
56
пчаем СА<СД. СВ<СД. Из условия и свойс тва принадлежности точек и
прямых на плоскости имеем, что прямые АВ и ('Д совпадают.
Запись выполнения упражнения может быть следующей:
I)	А и В между точками С и Д (определение отрезка);
2)	СА<СД (свойство величин);
3)	прямые АВ и СД совпадают (свойство принадлежности точек и
прямых).
При выполнении этой группы упражнений можно предлагать уча-
щимся составление задач, используя данные утверждения и их следствия.
11римером такой задачи может являться следующая: «Концы отрезка АВ
гсжат на отрезке СД. Докажите, что прямые АВ и СД совпадают».
Методику работы со следующей группой упражнений проиллюст-
рируем на примере 15.1. После выяснения условия и требования задачи,
вычерчивания рисунка, учитель акцентирует внимание учащихся на за-
мене требования задачи новым так чтобы из него следовало первона-
чальное.
Учитель. Откуда следует, что биссектрисы вертикальных углов
лежат на одной прямой? Каким предложением можно заменить требо-
вание задачи?
Ученики. Доказать, что угол между' биссектрисами вертикальных
углов развернутый.
Далее следует этап дальнейшего поиска решения задачи, который
оканчивается выяснением способа решения - доказательством того, что
ДМОД=180°, где лучи ОМ и ОД — биссектрисы вертикальных углов
АО В и СОД. с опорой на свойство смежных углов.
В последующей серии упражнений предусматривается формиро-
вание умения составлять задачи. Однако, прежде чем составить задачу,
учащиеся должны сами сформулировать требование, для чего необхо-
димо из данных получить некоторые сведения. Рассмотрим выше при-
веденное упражнение 15.4. Из условия задачи следует, что точка В ле-
жит между точками А и С, значит точка С не лежит между точками А и
В. Требуемые задачи могут быть следующими:
1) Известно, что Л В=8см. ВС=4см. А( -12см. Лежат ли точки А.В.С
на одной прямой?
2) Известно, что ЛВ=8см, ВС=4см, АС=4 см. Лежит ли точка В ме-
жду точками Л и С?
57
Остановимся еще на одном аспекте обучения решению геометри-
ческих задач, обусловленном влиянием красоты. В соответствии с тре-
бованием красоты объекта самостоятельному доказательству следует
предпослать анализ готовых суждений в процессе которого формирует-
ся у учащихся обобщенный стандарт доказательства. Однако в школь-
ных учебниках отсутствуют упражнения, в которых требовалось бы
проанализировать заданное решение
быть устранен посредством транс-
формации задач учебника. Возьмем к
примеру задачу № 19 из учебника
геометрии А. В. Погорелова: «Най-
дите угол между биссектрисами
смежных углов». Данная задача мо-
жет быть представлена учащимся в
такой форме: «Изучите решение за-
дачи 19 и ответьте на указанные ни-
же вопросы».
задачи. Этот недостаток может
Рис. 14
Решение.
1.	Углы СЛ£+2ЛВ - смежные по условию (рис. 14).
2.	ACAL+ABAL= 180° по теореме о сумме смежных углов.
3.	АСАД-АДАЦ так как АД- биссектриса угла CAL.
4.	AMAL=AMAB, так как AM- биссектриса угла BAL.
5.	АСАД+ AJPAL+AMAL+AMAB=\9>9() по утверждениям 2-4.
6.	2Z//4£-i2ZM4£=180° в силу утверждений 4 и 5.
7.	Следовательно, АДАМ=9^.
Вопросы:
Объясните, почему АС АД= АДАМ
Откуда следует, что ABAC - развернутый?
Приведите условия, из которых следует, что
АВАС=2 (AMAL + АДАМ).
Число вопросов определяет учитель.
Работа с учащимися в таком направлении будет снижать те труд-
ности, с которыми встречается ученик VII класса при изучении теорем.
58
Вопросы и задания.
1.	Охарактеризуйте основные этапы изучения геометрии в школе.
2	Проследите по учебникам геометрии, как решается задача подго-
товки учащихся к восприятию определений и пониманию необходимо-
сти доказательства.
3.	Рассмотрите вопрос о возможности формирования приемов ана-
логии, обобщения, конкретизации, наблюдения и опыта при изучении
геометрического материала в V-VI классах.
4.	Выполните сравнительный анализ изучения геометрического ма-
териала в V-VI классах,
5.	Охарактеризуйте содержание измерительных работ на местности
при изучении геометрического материала в V—VI классах. Составьте
план-конспект одного из уроков по данной тематике.
б.	Раскройте содержание обучения математике. Проследите по
учебникам, как реализуется в них: а) линия действий, адекватная учеб-
ном}’ материал}-, и способов деятельности; б) эвристическая состав-
ляющая Проиллюстрируйте свои наблюдения примерами.
7.	Проследите по учебникам, как осуществляется работа по подго-
товке учащихся к изучению систематического курса геометрии в плане
выработки у них: а) потребности в логическом обосновании утвержде-
ний; б) умения выделять существенные свойства изучаемых понятий;
в) умения проводить простейшие дедуктивные умозаключения; г) по-
нимания необходимости определений; д) понимания того факта, что из
одних предложений, пользуясь только одними рассуждениями, можно
выводить новые предложения; е) понимания структуры определения.
Все ли указанные компоненты формируются в процессе изучения гео-
метрического материала в V-VII классах. Проиллюстрируйте свой ответ
примерами.
8.	Существуют разные точки зрения на изучение геометрии: а) идея
фузионизма; б) раздельное изучение планиметрии и стереометрии. Объ-
ясните с позиции красоты, какая из них наиболее эффективна. На всех
ли этапах изучения геометрии целесообразно придерживаться одной из
них?
9	Разработайте методику обу чения доказательству в VI-VII классах
с учетом красоты математического объекта.
59
10.	Проследите по учебникам, как формируются умения доказывать
теоремы при изучении первого раздела геометрии. Сравните, как фор-
мируется понятие определения в различных пособиях по геометрии.
11.	Выделите упражнения в различных учебниках геометрии, кото-
рые раскрывают содержание понятия угла.
12.	Какие из задач первого раздела пособий по геометрии допуска-
ют обобщение, конкретизацию, аналогию? Какие приемы указанных
методов познания при этом используются?
13.	Разработайте методику изучения теоремы: «Если прямая, не
проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из
его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон» с уче-
том следующих рекомендаций: 1) постановка вопроса (создание про-
блемной ситуации); 2) обращение к опыту- учащихся; 3) высказывание
предположения; 4) поиск возможных путей решения; 5) доказательство
найденного факта; 6) проведение доказательства в максимально простой
форме; 7) установление зависимости доказанной теоремы от ранее из-
вестных.
14.	Выполните анализ подготовки учителя к доказательству теоремы.
Указание. Выделив понятия и суждения , с которыми учащиеся уже
знакомы и с которыми они встречаются впервые, выявите логические
связи между мини. Разбейте доказательство на отдельные шаги, выде-
лите понятия и суждения, играющие в доказательстве теоремы главную
и вспомогательную роль. Оцените материал, уже известный учащимся,
с точки зрения возможности его использования на предстоящем уроке;
разработайте методику ознакомления учащихся с теоремой; составьте
задачи, способствующие усвоению идеи и отдельных шагов доказатель-
ства теоремы; предусмотрите возможные ошибки учащихся и наметьте
пути их исправления; выберите метод изучения теоремы и средства
обучения, используемые при ее доказательстве, продумайте вопрос об
оформлении записи доказательства теоремы.
15.	В чем аналогичны следующие задачи, а) «В круге проведены
два радиуса. Постройте хорду, делящуюся этими радиусами на равные
части»; б) Вершина А параллелограмма ABCD соединена с серединами
сторон ВС и CD. Докажите, что эти прямые, пересекая диагональ BD,
делят ее на три равные части». Как можно использовать решение первой
60
задачи при решении второй? Составьте задачу, аналогичную данным и
решаемую тем же методом.
Указание. Через концы радиусов проведите прямую и отложите на
ней от концов радиусов два отрезка, равных отрезку, определяемому
концами радиусов.
16.	Составьте самостоятельные работы: одну обучающего, другую -
проверочного характера по теме: «Основные свойства взаимного распо-
ложения точек на прямой и на плоскости».
17.	Рассмотрите возможности сочетания коллективной, групповой и
индивидуальной работы с учащимися при изучении основных свойств
откладывания отрезков и углов.
18.	Формирование каких эвристических приемов поиска решения
предусмотрено системой задач по первой теме школьного курса геомет-
рии VII класса? Каким образом решается эта проблема в различных
учебниках геометрии?
19.	Разработайте систему упражнений на готовых чертежах по фор-
мированию выбранного вами понятия.
20.	Разработайте методику проведения урока обобщающего повто-
рения по теме. «Основные свойства простейших геометрических фи-
гур». Выделите основные вопросы, на которых, по вашему мнению,
следует заострить внимание.
21.	К различным разделам курса геометрии VII класса составьте
карточки, способствующие обучению решению задач.
Указание. Описание таких карточек содержится в §4 данной главы.
Литература
1.	Учебники геометрии для школы.
2.	Александров А. Д. О геометрии //Математика в школе. 1980. № 3.
3.	Александров А. Д. Диалектика геометрии // Математика в школе.
1986. №1.
4.	Варданян С. С. Задачи по планиметрии с практическим содержанием /
Подред. В. А. Гусева. -М.. 1989.
5.	Глейзер Г. Д. Каким быть школьному курсу геометрии //Математика в
школе. 1991. №4.
6.	Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике
М., 2003.
7.	Груденов Я. И Совершенствование методики работы учителя матема-
тики М. t990
61
8	Лабораторные и практические работы по методике преподавания мате-
матики: Учеб, пособие для студентов физ.-мат. спец, пед ин-тов / Е. И. Лященко,
К. В. Зобкова, Т Ф. Кириченко и др.: Подред. Е И. Лященко. -М.; 1988
9.	Левитас Г. Г. Фузионизм школьной геометрии // Математика в школе.
1995. №6.
10.	Методика обучения геометрии. Учеб пособие для студ. высш. пед.
учеб, заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчишина и др.; Под ред.
В. А. Гусева. М., 2004.
11.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная мето-
дика: Учеб, пособие для студентов пед. иннов по физ.-мат. спец. / Сост. В. И.
Мишин. М., 1987.
12.	Пойа Д. Математическое открытие. М., 1976.
13.	Саранцев Г. И. Методика обучения математике в средней школе:
Учеб, пособие для студентов мат. спец. пед. вузов и университетов. М., 2002.
14.	Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М_, 2005
62
Глани HI
РАВЕНСТВО ФИГУР
1.	Различные подходы к формированию понятия равенства
фигур
2.	Методика изучения равенства фигур
3.	Обучение решению задач с помощью признаков равенства
треугольников
1. Различные подходы к формированию понятия равенст-
ва фигур
В учебно-методической литературе изложены различные подходы
к введению понятия равенства фигур.
Вначале дается определение равных (конгруэнтных) фигур, затем
рассматривается равенство различных видов фигур (треугольников, че-
тырехугольников и т.д.). Известны различные модификации этого под-
хода.
1. Равенство фигур определяется через отображение фигуры на
фигуру либо через движение (перемещение) плоскости. Первый путь
реализован в учебнике геометрии восьмилетней школы под ред.
А. Н. Колмогорова, второй - в учебнике под ред. 3. А. Скопеца. Ото-
бражение. как правило, не определяется; содержание этого понятия рас-
крывается на конкретных примерах. Опыт работы по учебнику под ред.
А. Н. Колмогорова показал, что реализация этого пути встречает боль-
шие трудности, так как учащимся VI (VII) класса не доступно понима-
ние столь общих и абстрактных идей.
2. Равенство фигур определяется через наложение Причем иногда
содержание понятия наложения считают интуитивно ясным и не рас-
крывают его (Киселев А. П. Элементарная геометрия. - М., 1980). Ино-
гда понятие наложения относят к основным, а поэтому его содержание
и связь с другими основными понятиями описывают с помощью акси-
ом. Этот вариант реализуется в учебнике геометрии Л.С. Атанасяна и
ДР-
63
Определению равенства фигур предшествует введение равенства
отрезков, углов и треугольников. Два отрезка называются равными, ес-
ли они имеют одинаковую длину. Два угла называются равными, если
они имеют одинаковую угловую меру в градусах. Треугольники назы-
ваются равными, если у них соответствующие стороны равны и соот-
ветствующие углы равны. Равенство фигур определяется через движе-
ние: две фигуры называются равными, если они движением переводятся
одна в другую. Для записи равенства треугольников существенен поря-
док следования их вершин: соответствующие вершины равных тре-
угольников занимают одинаковые места. Так, если Л А ВС = &MNP, то
АА= Z.M, Z.B = ZA, ZC = ZP, АВ = MN, ВС = NP, АС = МР (учеб-
ник геометрии А. В. Погорелова).
Реализация этого подхода при всей его кажущейся естественности
вызывает ряд методических и психологических трудностей. В частности,
учащиеся VII класса не понимают необходимости настойчивого обра-
щения к аксиомам при обосновании первых утверждений, а опора вся-
кий раз на аксиомы затрудняет логический смысл и усвоение доказа-
тельств. Определенные трудности возникают и с необходимостью со-
блюдать порядок, в котором записываются вершины равных треуголь-
ников.
Оригинальный подход к изложению равенства фигур содержится в
учебнике А.Д. Александрова и др. Как и в учебнике А.В.Погорелова,
сначала рассматривается равенство отрезков, затем равенство углов,
треугольников, после чего равенство фигур. Однако в данном пособии
основу теории равенства углов и треугольников составляет равенство
отрезков: два угла с вершинами О и О} и сторонами а, b и а\, Ьь назы-
ваются равными, если на их сторонах найдутся такие точки Л. В и А/, В,,
что отрезки ОА, ОВ, АВ равны соответственно отрезкам OjA], OjBi,
AiBj, т.е. ОА = О/ А]. ОВ= OjBi, АВ = AiBt. Для доказательства равенст-
ва двух углов О и 01 надо на их сторонах взять две пары точек А, В иА/,
В] так, что О А = О/А; и OB = O;Bj и доказать равенство отрезков АВ =
A]Bi. Используя определение равенства углов, легко доказать, что, если
в треугольниках А ВС и A iBtCi АВ = A tBi, AC = AtC], ВС = B]Ct ,то Z А=
Z Ац Z.B = Z5/, ZC=ZC7. Этот факт позволяет определить равенство
треугольников только через равенство их соответственных сторон: тре-
угольники называются равными, если их соответственные стороны рав-
64
ны Ясно, что при таком подходе к районету треугольников вместо
обычно трех признаков равенства треугольников рассматриваются два,
доказательства которых несложные.
С появлением идей демократизации образовательной сферы стали
распространяться различные учебные пособия по геометрии. По сути
эти пособия не отличаются от традиционных, их особенности касаются
лишь методических характеристик. Остановимся, например, на книгах
«Геометрия. 5-6 классы» и Геометрия. 7 класс» В. А. Гусева. Поскольку
комплект учебных пособий В. А. Гусева еще окончательно не оформлен,
то давать оценку идеологии его учебников и ее реализации рано. По-
этому будем затрагивать их в части обсуждаемой темы.
Первое знакомство учащихся с равенством фигур осуществляется
в 5 классе. Изучение этой темы осуществляется в такой последователь-
ности: равенство отрезков - равенство углов — равенство треугольников.
Если равенство отрезков и равенство углов рассматривается в 5-6 клас-
сах, то равенство треугольников — в 7 классе. Автор данного учебного
пособия повидимому полагает, что систематический курс геометрии в
школе должен начинаться с 5 класса. Изложению равенства отрезков
предшествует определение равенства двух множеств: два множества
равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Затем дается оп-
ределение равных отрезков как отрезков с равными длинами. Автор
приводит еще одно определение: отрезки равны, если при наложении
друг на друга они совпадают. Аналогично рассматривается и равенство
углов. Вначале оно определяется через равенство градусных мер этих
углов, затем — через наложение. Надо сказать, что понятие наложения в
изложении материала не используется. Определение равенства тре-
угольников традиционно. Судя по изданным книгам, автор решил объ-
единить идею фузионизма, теоретико-множественный подход, идею
геометрических преобразований!, прием наложения, упоминание об ак-
сиоматическом методе с традиционным изложением.
2. Методика изучения равенс гва фигур
Рассмотрим методику изучения равенства фигур по действующим
учебникам А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др. Методические уста-
новки формирования понятий, органы ?ации работы с теоремой приме-
65
нимы и к изучению этой темы по другим учебным пособиям, в частно-
сти, по учебник) А. Д. Александрова и др.
Ввести понятие равных отрезков (углов), руководствуясь учебни-
ком А.В. Погорелова, можно следующим образом. Начертить на доске
несколько отрезков, среди которых должны быть и такие, которые име-
ют равные длины, измерить длины отрезков, отметить, что отрезки,
имеющие одинаковую длину, называются равными. Определение рав-
ных отрезков простое и поэтому не требуется большой! работы для его
усвоения. Для этого достаточно выполнить следующие упражнения.
1. Установить с помощью линейки, какие из изображенных на ри-
сунке (рисунок дан) отрезков равны.
2. Известно, что отрезок АВ равен отрезку' CD. В каком соотноше-
нии находятся их длины?
При введении понятия равных треугольников следует начертить
несколько треугольников, измерить их стороны и углы, выделить тре-
угольники с равными углами и сторонами, это - равные треугольники.
Предлагаем упражнения на усвоение существенных свойств понятия, в
частности, на усвоение записи равенства треугольников.
1.	Что нужно знать, чтобы утвер-
ждать равенство треугольников АВС и
DEK?
2.	На рис. 15 изображены два рав-
ных треугольника. Запишите равенство
этих треугольников, обозначив их вер-
шины.	'
3.	Если разносторонние треугольники АВС и DKM равны, то: а) АВ
= DK, АС = DM, Z В = Z /<; б) Z Л = Z М. АВ = DK, АС = Z D, в)
АВ = DK, АС - DM, ВС = АЖ, ЛЛ = AD, Z В= Z IC! Верны ли эти ут-
верждения?
4.	Известно, что А АВС - /\МРК. Запишите все соотношения меж-
ду сторонами и углами этих треугольников.
5.	Известно, что АА А К, АВ = Z L, АС = AM. АВ = KL, АС =
КМ, ВС = LM. Равенство каких треугольников следует из условия?
6.	А А = АР, А В = AL, АС= AM. Равны ли треугольники ЛЯС
и PIM? Дополнить условие так, чтобы из него следовало равенство тре-
угольников АВС и PLM.
66
Для обозначения вершин двух равных грсутольников следует ис-
пользовать в разных упражнениях различные буквы Обозначение вер-
шин равных треугольников одними и теми же буквами в записи равен-
ства приводит к снижению сознавания особенности занимать соответ-
ствующими вершинами треугольников одинаковые места. Многие уча-
щиеся начинают «сбиваться» на принятые в учебнике обозначения вер-
шин треугольников, хотя в предлагаемой им задаче вершины обозначе-
ны другими буквами.
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. понятие равных фигур вводится
через наложение. Для этого на листе бумаги изображаются две равные
фигуры Ф1 и Ф2, затем копируется фигура Ф] на кальку' и перемещением
кальки совмещается копия фигуры Ф] с фигурой Ф2. Если они совмес-
титься. то фигура Ф] равна фигуре Ф2. Согласно определению равенства
фигур два отрезка (угла, треугольника) равны, если их можно совмес-
тить наложением. Для усвоения этих понятия следует использовать уп-
ражнения на установление равенства заданных фигур с помощью каль-
ки. Таким же способом легко установить, что: а) равные отрезки имеют
равные длины и обратно, б) равные утлы имеют равные градусные меры
и обратно. Указанные утверждения используются для доказательства
равенства отрезков, углов. Целесообразно выполнить несколько упраж-
нений на доказательство равенства фигур с помощью наложения. Такие
упражнения будут способствовать усвоению метода доказательства, ко-
торый используется в учебнике.
Пример: Треугольник ЛВС равен треугольнику Л,В/С;. Докажите,
что медианы ВД и ВД] этих треугольников равны.
Так как \АВС = /\Л/В/С;, то при наложении треугольника ЛВС на
треугольник Л7В;С; вершины А, В, С совпадут соответственно с верши-
нами Л;, В/ .С;. Поскольку точки D и Di - середины совпавших сторон
АС и Л /С), то при указанном наложении они также совпадут, следова-
тельно, совпадут и отрезки BD и ВДД. Значит BD = ВД].
Центральное место в изучении равных треугольников занимают
признаки равенства треугольников. Ознакомление с ними можно осу-
ществить посредством упражнений. Например, перед введением при-
знака равенства треугольников по двум сторонам и углу между' ними
выполняется упражнение: Постройте два треугольника ЛВС и А/В/С], у
67
которых/В =А1В}= 6 см, АС = AiCf= 5 см, А А = Z Л2 = 50°. Равны ли
треугольники АВС и AiB/Cft»
Для того, чтобы ответить на вопрос задачи, учащиеся должны (в рам
ках учебника А.В. Погорелова) измерить стороны ВС и BjC/, и углы В, Вг,
С Cj и сравнить результаты. Упражнение приведет к выводу, что указанные
треугольники АВС и А/В/С) равны. Так как выполнение этого упражнения
требует проведения различных измерений, то его целесообразнее преду-
смотреть в домашнем задании, а на уроке обсудить результаты. Можно ис-
пользовать для ознакомления с признаком и специальные модели.
По учебнику Л. С. Атанасяна и др. введение признака равенства тре-
угольников можно осуществить другим способом. Взять две каркасные
модели треугольника, удовлетворяющие изучаемому признаку (равные
элементы желательно как-то выделить, например, окрасить одинаковым
цветом), и наложить одну из них на другую. В результате этой операции
треугольники совпадут, откуда и будет следовать их равенство. «Открыв»
с учащимися признак раве ства треуто. ьников, следует подчеркнуть
практическую значимость теоремы, которая позволяет делать вывод о ра-
венстве двух треугольников не по равенству шести элементов треуголь-
ника (трех сторон и трех углов), а по равенству трех элементов (двух сто-
рон и угла между ними; стороны и двух прилежащих к ней углов; трех
сторон). Следуют подчеркнуть и сущность понятия признака. Признак яв-
ления позволяет дать однозначный ответ на вопрос: принадлежит какой-
либо объект данному явлению или нет? Знание признаков явления позво-
ляет уверенно действовать в распознавании его.
После того, как сформулирован признак равенства треу гольников,
целесообразно выполнить несколько упражнений на распознавание тре-
угольников, удовлетворяющих этому' признаку.
Упражнения.
1. Укажите пары равных треугольников, изображенных на рис. 16.
Уис. 16
|:|||||||1|1|1||>||1||и.ипй|1| III 1111
2. Обозначьте вершины треугольников, изображенных на рис 17.
V кажите два равных треугольника и запишите их равенство.
Рис, 17
Формулировки признаков равенства треугольников громоздки, по-
। тому целесообразно поэлементное их усвоение (см. п. 4 предыдущей
। кавы).
Важным этапом в изучении теоремы является ее доказательство. В
учебнике Л. С. Атанасяна и др. доказательства первых двух признаков
равенства треугольников аналогичны и осуществляются посредством
наложения. Упражнения на доказательство равенства фигур с помощью
наложения, указанные выше, способствуют усвоению этого метода, от-
чего изучение первых двух признаков не вызывает затруднений у
школьников. Доказательство третьего признака равенства треугольни-
ков («по трем сторонам») не аналогично доказательству первых двух
признаков, кроме того, оно отличается и большей искусственностью.
Однако и в этом случае можно привлечь учащихся к его доказательству.
Их внимание обращается на то, что наложение треугольника АВС на
Iреугольник AjBiCi не приводит к успеху’ (ничего не известно об углах).
Подчеркнем, что речь идет о доказательстве признака в рамках учебни-
ка Л.С. Атанасяна и др. Поэтому нужно искать новый способ. Попробу-
ем как-то «сблизить» эти треугольники, для чего наложим треугольник
АВС на полуплоскость с границей AjBb не содержащую точку’ С/. Об-
легчить восприятие доказательства этой теоремы помогут у пражнения
являющиеся элементами этого доказательства. Например: «АВ =AD, ВС
= CD (рис. 18). Докажите, что ЛА ВС =А ADC».
69
Доказательства первых двух признаков в учебнике А. В. Погорелова ос-
новываются на аксиомах существования треугольника, равного данно-
му, откладывания отрезка и угла. В рамках этого учебника поиск дока-
зательства первого признака может быть начат такой беседой.
1.	Как будем доказывать равенство треугольников АВС и A iBtCi?
Может быть кто-то из учащихся
ответит, что нужно измерить стороны
ВС и BiCi и углы В, Bi, С, С/. В случае
равенства соответствующих сторон ВС
и BjCjh равенства углов С и С2, В и В1г
делаем вывод о равенстве самих тре-
угольников. Учителю следует заме-
тить, что таким способом мы можем
сделать заключение о равенстве кон-	рис
кретных треугольников, но приближен-
но, так как практические измерения не дают точных результатов.
Итак, нужно искать способ, который нс основан на измерениях, а
опирается на логические рассуждения.
2.	Нельзя ли ввести новый треугольник, который заменил бы тре-
угольник ЛВС и был бы связан с треугольником A/BiCj?
Известно, что существует треугольник ЛЛ;Й2С2 расположенный
так, что точка С2 принадлежит лучу A,Ct, а точка В2 лежит в одной по-
луплоскости с точкой В; относительно прямой AICi Теперь задача за-
ключается в доказательстве равенства треугольников A 1В& и А2В2С2.
3.	Что надо знать, чтобы утверждать равенство треу гольников
AiBiC/ пА2В2С2.
Надо установить их совпадение. Для утверждения того, что тре-
угольник A iBtCj совпал с треугольником A iB2C2, надо убедиться в сов-
падении вершин Bi и В2, С1 и С2.
4.	Из каких утверждений следует совпадение вершин В, и В2,С, и С2.
Ответ на данный вопрос дают свойства откладывания отрезка, от-
кладывания утла и условие теоремы. По мере поиска доказательства
осуществляется и формирование рисунка. После нахождения способа
доказательства признака равенства треугольников следует еще раз оста-
новиться на узловых моментах доказательства и оформить его (введе-
ние нового треугольника, равного данному, совмещение «нового» тре-
70
\ к> 1ьника с одним из данных, равенство данных треугольников). Запись
к издательства должна содержать все узловые моменты, по которым
можно было бы воспроизвести доказательство.
В качестве примера приведем запись доказательства первого при-
шака равенства треугольников.
Дано: \ABC,,\A]BIC1,AB=A,BI,AC = A1Cl, АА = AAh
Доказать. А АВС = KAjB^i.
Доказательство.
\ А1В2С2 = А АВС (свойство VIII);
С2 совпадает с С;(Л7 С, = АС2);
лучиЛ/ В2 и А/ В, совпадают(Д В7Л( Ct = Z В Ai С2у,
точки В? и Bi совпадают (А 7 В] = А; В2);
г реугольники A /BjCj и А 1В^.2 совпадают, а потому они равны.
Гак как A AtB2C2= A AjBiQ AAtB2C2= А АВС, то
\ tBC^bAjBjQ.
Такой вид имеет запись доказательства первого признака равенст-
пп фсугольников по учебнику А.В. Погорелова. По учебник)'
11 < Атанасяна и др. запись доказательства первого признака будет та-
ti они
Наложим А АВС на A AiBiCt так, чтобы точка А совпала с точкой
I л |уч АС с лучом Л/С/.
Тогда С совпадает с С. (АС = Л;С;), луч АВ с лучом AjBi
1 I АА /) и точка В с точкой Bt (АВ = А/В^.
Треугольники ABC wA)B}Ci совместятся, следовательно, они равны.
Использование признака равенства треугольников в конкретных
нп.щнях следует начинать с простейших примеров. Затем ситуации
in 1 ины усложняться и в конечном варианте возможно использование
lb ( ко н>ких признаков. Следует учитывать ситуации, в которых школь-
in'i.11 юлжны выбрать оптимальный для указанного случая признак.
3. Обучение решению задач с помощью признаков равен-
«<п11 |реутольников
< владение тем или иным методом предполагает усвоение всех его
к mu 1ЯЮЩИХ действий. Компонентами умения применять признаки
I пи in. 1 на треугольников в различных конкретных ситуациях являются;
11 \ мепне выделять на чертеже фигуры. 2) умение переосмысливать
71
элементы чертежа в плане различных понятий, 3) умение осу ществлять
сопоставимое вычленение фигур. 4) умение преобразовывать требова-
ние задачи в равносильное ему, 5) умение выводить следствия из дан-
ных условий, 6) умение выделять треугольники с заданными элемента-
ми, 7) умение строить треугольники с заданными элементами» 8) уме-
ние переходить от равенства треугольников к равенству их элементов.
9) умение переходить от равенства элементов треугольников к равенст-
ву самих треугольников, 10) умение выбирать из различных соотноше-
ний между сторонами и углами треугольников такие, которые наиболее
просто доказать в данной ситуации, 11) умение распознавать ситуации,
к которым применим признак равенства треугольников
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.
Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является
серединой каждого из них. Доказать равенство треугольников ACD и
BDC.
Выделим прежде всего треугольники ACD и BDC (умение выделять
на рисунке фигуры, переосмысливать элементы чертежа в плане различных
понятий). Сравним треугольники Л СО и BDC (умение осуществлять сопос-
тавимое вычленение фигур). Учитывая, что DC - общая сторона треуголь-
ников ADC и BDC, нужно доказать: 1) AD = ВС, DB = АО, либо 2) AD = ВС,
AADC= ABCD, либоЗ) AACD = ABDC, AADC = ABCD' 4) ADCA =
ACDB, AC = BD. Возможно доказательство и других отношений, напри-
мер: 5) AD = ВС, АС = ВД, АА -АВ (умение переходить от равенства тре-
угольников к равенству их элементов, умение преобразовывать требование
задачи). Важно выбрать из указанных соотношений такое, какое наиболее
просто доказать в данной ситуации. Подобным образом продолжите аналш
решения этой задачи.
Отметим, что умения преобразовывать требование задачи, форму -
лировать промежуточные задачи, выводить следствия из данных усло-
вий являются основой решения любых задач, они должны формиро-
ваться, в основном, на первых уроках геометрии. (Решению этой про-
блемы посвящен п. 4 главы II настоящего пособия). Остановимся лишь
на тех умениях, которые являются специфическими в составе умения
применять признаки равенства треугольников. В учебниках достаточно
упражнений на формирование умения переходить от равенства тре-
угольников к равенству их элементов, однако упражнения, формируго-
72
щис умение осуществлять переход от равенства соответственных эле-
ментов к равенству лреугольников, отсутствуют. Примеры таких уп-
ражнений приведены п. 2 настоящей главы.
Упражнения 1-14 предназначены
i bi усвоения действий 8)-l 1) и их сово-	ЛУ
В
ь милостей.
1.	Треугольники ВАС и CDB рав-	;
цы Напишите все соотношения, из ко-
н>рых следует равенство указанных	<
ipcv гольников.	;
А
2.	Известно, что OD = AO,
Рис 1Р
' ’< ВО (рис. 19). Какое из возможных
(>(> ношений между элементами треугольников АВС и BCD следует
и hi t ь. чтобы как можно проще доказать равенство этих треугольников.
3.	Известно, что две стороны одного треугольника равны двум
। тронам другого треугольника. Равны ли сами треугольники? Если нет,
in измените условие так, чтобы из него следовало равенство этих тре-
I 1(1 1Ы1ИК0В.
I. Известно, что АО = ОС (рис. 20). Что еще нужно знать, чтобы
у ни рждать. что A ABO = A CDO?
Л
\
\
/-.'С,'?	_?<?
S 11апишите соотношения между элементами треугольников АВС
и I/И ’ из которых следовало бы их равенство.
(>. Укажите на рис. 21 равные треугольники.
73
Рис. 22
7. АВ = AD, Z 1 = Z 2 (рис. 22.) Докажите, что /\АВС = Л ADC.
8. Луч АС - биссектриса угла BAD, Z1 = Z 2 (рис. 23). Докажите,
что А АВС = A ADC.
В
Выполнение приведенных упражнений значительно продвигает
учащихся в умении не только использовать признаки равенства тре-
угольников, но и работать с задачей.
Остановимся, например, на упражнении 4.
Его выполнение основано на умении применять признаки равен-
ства треугольников в конкретных ситуациях, анализировать эти ситуа-
ции, выбирать наиболее «экономный» в данных условиях признак. Дей-
ствительно, анализ условия (чертежа) показывает, что Z.AOB = Z COD
(вертикальные углы). Значит, для того, чтобы утверждать равенство
74
цюугольников ABO и С DO, достаточно знать, что ВО = OD. либо
Z ВАО = Z CDO.
Отметим, что решение задач с использованием признаков равенст-
ва треугольников позволяет формировать метод аналогии и умение его
применять в различных ситуациях.
Рассмотрим аналогию в доказательствах первого и второго При-
маков равенства треугольников.
1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника рав-
ны соответственно двум сторонам и углу между ними другого тре-
у гольника, то такие треугольники равны.
Доказательство:
Пусть у треугольников ABC iiAjBjCi АА - AAh АВ - AtBi, АС =
Л7С; (рис. 24). Докажем, что они равны.
Рис. 24
1) A AiB2C2 = А АВС по построению.
2) Точка В2 совпадает с точкой В;, так как АД] = А;В2.
3) Луч А]С2 совпадает с лучом AjCi, так как АВ^С, = ABiAiC2.
4) Вершина С2 совпадает с точкой С;, так как Л;С; = AjC^
5) А Л1В1С1 совпадает с A AiB2C2, значит, равен АЛ ВС.
I Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольни-
ка соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам дру-
гого треугольника, то такие треугольники равны
Доказател ьство:
Пусть у треугольников АВС и AjBiCi АА = AAt, АВ = ABi, АВ =
Л;В;(рис. 25). Докажем, что они равны.
75
Рис. 25
1)	ЛА 1В2С2 = ЛАВС по построению.
2)	Точка В2 совпадает с точкой Вг, так как А,В2 = A /В,
3)	Лучу4гС2 совпадает с лучом //С/, а луч BiC2 совпадает с лучом
BjCj, так как ZBIAIC2 = ZBjAjC^ ZAiBlC2 = ZAjBfii.
4)	Из утверждения 3) следует, что точка С2 совпадает с точкой С;.
5)	ЛАiBjCt совпадает с ЛАtB2C2, а значит, равен лАВС.
В данных теоремах конструкция «две стороны треугольника и
угол между ними» аналогична конструкции «два угла треугольника и
прилежащая к ним сторона». По отношению к треугольнику АВС (тео-
рема 1) и треугольнику АВС (теорема 1 ) эта аналогия конкретизируется
так: ZA->AB, AC-+ZA, AB-+ZB (до стрелок обозначены элементы
треугольника АВС (теорема 1), после стрелок - элементы треугольника
АВС (теорема 1 )). Если бы мы заменили элементы, указанные в теореме
1 их аналогами по теореме 1 в рассуждениях, составляющих доказа-
тельство теоремы 1, то получили бы доказательство теоремы 1 . Содер-
жание обучения геометрии представляет богатые возможности для
формирования методов научного познания и, в частности, аналогии
Вопросы и задания.
1.	Проследите этапы формирования понятия равенства фигур в
учебниках геометрии. Разработайте ролевую игру по формированию
данного понятия.
2.	Разработайте методику формирования понятия равенства тре-
угольников. Выделите действия, которыми должен овладеть школьник в
процессе изучения этого материала.
76
3.	Проследите, как в различных учебниках геометрии решается
вопрос о формировании метода решения задач, основанного на призна-
ках равенства треугольников.
4.	Проанализируйте задачи различных учебников геометрии, вы-
летите из них те. которые ориентированы на формирование метода, ос-
нову которого составляют признаки равенства треугольников.
5.	Составьте систему упражнений, обеспечивающую овладение
всеми действиями, составляющими метод равных треугольников.
6.	Выберите любую задачу и разработайте методику ее решения на
всех его этапах: 1) анализа задачи; 2) поиска способа решения и состав-
ления плана: 3) осуществления плана: 4) исследования.
7.	Выполните дидактический анализ выбранной вами задачи
(упр. 6). Подготовьте вопросы, указания, помогающие учащимся найти
решение, расчлените задачу на более простые, выделите материал, тре-
бующий повторения, подберите упражнения, подготавливающие уча-
щихся к решению данной задачи выясните вопрос о рациональных спо-
собах записи, выделите промежуточные и конечные выводы и факты, на
которых целесообразно остановиться, выберите метод и средства обу-
чения. Выполните исследование решения, выявив и оценив различные
его способы, а также возможности использования данной задачи и ме-
тода ее решения при решении и составлении других задач. Постройте
модель, иллюстрирующую содержание данной задачи.
8.	Рассмотрите вопрос об использовании графической модели по-
иска решения исследуемой задачи. Каким должно быть оформление ее
решения?
Указание. Используйте карточки с двумя колонками: утверждения
и обоснования.
9.	Проследите по учебникам геометрии, как используются при-
знаки равенства треугольников при изучении других тем курса геомет-
рии.
Литература
1.	Учебники геометрии для средней школы.
2.	Карнацевич Л. С., Грузин А. И. Изучение геометрии в 6 классах.
М„ 1983.
77
I
3.	Методика обучения геометрии: Учеб, пособие для студ. высш,
пед. учеб, заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов. В. А. Панчишина и др.; Под
ред. В. А. Гусева. М., 2004.
4.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная
методика: Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец, / Сост.
В. И. Мишин. М., 1987.
5.	Преподавание геометрии в 6-8 классах / Сост. В. А. Гусев. М.,
1979.
6.	Преподавание алгебры и геомегрии в школе. / Сост. О. А Боков-
нев.М., 1982.
7.	Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике., 2005 г.
8.	Тесленко И. Ф. О преподавании геометрии в средней школе. Кн. для
учителя. М., 1985.
78
Глава IV
МНОГОУГОЛЬНИКИ
I.	Различные подходы к изучению многоугольников
2.	Методика изучения четырехугольников
3.	Методика изучения правильных многоугольников
1. Различные подходы к изучению многоугольников
В учебно-методической литературе отражены различные подходы
к изложению теории многоугольников.
1 Дается общее понятие многоугольника, затем рассматриваются
его частные виды. Введению понятия многоугольника предшествует
изучение понятий ломаной, простой ломаной. Обычно реализация этой
системы связана с введением понятия области и рассмотрением того
факта, что простая замкнутая ломаная разбивает множество непринад-
лежащих ей точек плоскости на две области - внешнюю и внутреннюю.
Многоугольник определяется как объединение простой замкнутой ло-
маной и ее внутренней области. Такой подход реализуется, в частности,
в ранее действовавшем учебном пособии по геометрии
А. Н. Колмогорова и др.
Это определение многоугольника, замечает акад. А Д. Александров,
сужает его объем. К многоугольникам не относится, например, фигура,
изображенная на рисунке 26. Он предлагает рассматривать многоуголь-
ник как замкнутую область конечных размеров, граница которой состо-
ит из конечного числа отрезков Многоугольник называется простым,
если его граница представляет собой одну простую замкнутую линию.
(Александров А.Д. Что такое многогранник? И Математика в школе. -
1981. -№ 1,2).
2. Рассматриваются частные виды многоугольника — треугольник,
четырехугольник, затем вводится понятие многоугольника. Реализация
этого подхода связана с различными определениями многоугольника.
В учебниках геометрии А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др. реали-
зуется трактовка многоугольника как фигуры, образованной замкнутой
ломаной линией.
79
Реализация первого подхода сопряжена с большими трудностями,
они обусловлены усвоением таких понятий, как область, граница и т.д.
К тому же в курсе геометрии седьмого класса используется только по-
нятие треугольника. При первом подходе оказывается значительно
большим по времени этап, предшествующий изучению теорем.
Изучение многоугольников обычно распределено по всему курсу
планиметрии. В учебнике А. В. Погорелова основным предметом изу-
чения геометрии в VII классе являются треугольники. Четырехугольни-
ки, теорема Пифагора, соотношения между сторонами и углами в пря-
моугольном треугольнике, неравенство треугольника рассматриваются
в VIII классе. Выпуклые, правильные многоугольники, площади неко-
торых видов многоугольников входят в предмет курса геометрии
IX класса. Последовательность изучения многоугольников в учебнике
Л. С. Атанасяна и др. такова: VII класс - равенство треугольников, со-
отношения между сторонами и углами треугольника, сумма углов тре-
угольника, прямоугольные треугольники, VIII класс - многоугольники,
четырехугольники, площади многоугольников, подобные многоуголь-
ники, IX класс - соотношения между' сторонами и углами треугольника,
вписанные и описанные многоугольники, правильные многоугольники
В учебнике А. Д. Александрова и др. в VII классе рассматриваются тре-
угольники, четырехугольники, затем - ломаная, простой многоуголь-
ник, многоугольник, многоугольная фигура. В VIII классе вновь воз-
вращаются к четырехугольникам и рассматривают их свойства, связан-
ные с параллельностью.
Методика изучения равенства и подобия треугольников рассмот-
рена в разделах: «Равенство фигур», «Преобразование фигур». В главе
«Тригонометрические функции в курсе геометрии основной школы»
рассмотрены вопросы методики решения треугольников. В данной гла-
ве остановимся на методике изучения четырехугольников, правильных,
вписанных и описанных многоугольников.
2. Методика изучения четырехугольников
В учебниках А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и др. методика
введения понятия четырехугольника различна, хотя в названных учеб-
никах и одинакова трактовка четырехугольника. В учебнике
А. В. Погорелова понятие четырехугольника вводится непосредственно
80
его определением. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. введению этого по-
нятия предшествуют понятия многоугольника, его внутренней и внеш-
ней области, выпуклого многоугольника, а также теорема о сумме углов
выпуклого n-угольника. В учебнике А. В. Погорелова эти понятия и
факты рассматриваются позже.
Учащиеся знакомы с некоторыми видами четырехугольника, по-
этому учитель перед тем, как ввести понятие четырехугольника, может
предложить учащимся построить любой четырехугольник. Рассматри-
вая рисунки учащиеся замечают, что четырехугольник - фигура, образо-
ванная четырьмя точками и четырьмя отрезками, последовательно со-
единяющими эти точки. Затем можно предложить упражнения на рас-
познавание четырехугольников.
Какие из фигур, изображенных на рис. 27, являются четырехуголь-
ником?
Фигура, изображенная на рис. 27, в , образована четырьмя точками
и четырьмя отрезками, последовательно соединяющими их. но три точ-
ки А. В, С лежат на одной прямой. Фигуру (рис. 27, б) образуют четыре
точки А, В, С, D. никакие три из которых не лежат на одной прямой, и
четыре отрезка, но отрезки AD и ВС пересекаются. Учитель сообщает
ученикам, что такие фигуры, хотя и образованы четырьмя точками и че-
тырьмя отрезками, последовательно их соединяющими, не относят к че-
тырехугольникам. Так постепенно уточняется содержание понятия че-
тырехугольника. Затем вводятся понятия соседних и противолежащих
вершин, диагоналей четырехугольника, соседних и противолежащих
сторон.
Рис. 27
81
Возможен и иной подход к введению понятия четырехугольника:
учитель показывает учащимся заранее приготовленный им плакат с ри-
сунками различных фигур, на котором изображены треугольники, че-
тырехугольники, пятиугольники и т. д., и просит выделить фигуры, об-
разованные по одному7 и тому7 же признаку7. В процессе анализа группы
фигур, образованных четырьмя точками и четырьмя отрезками, после-
довательно соединяющими их, выделяется содержание понятия четы-
рехугольника. Конкретные подходы могут быть разными, однако для
каждого из них характерным является такая организация учебной дея-
тельности школьника, которая позволяет ему принимать активное уча-
стие в анализе содержания изучаемого понятия. Указанная методика
введения понятия четырехугольника может быть использована и в рам-
ках учебника А. Д. Александрова и др., однако надо иметь в виду, что
четырехугольник в данном пособии трактуется как часть плоскости. В
учебнике Л. С. Атанасяна и др. четырехугольник вводится как частный
случай многоугольника. Такой подход по сравнению с введением четы-
рехугольника в учебниках А. В. Погорелова, А. Д. Александрова и др.
представляется менее удачным. Дело в том, что общее понятие много-
угольника используется только в конце IX класса, использовать же это
понятие для введения четырехугольника вряд ли целесообразно, по-
скольку понятие четырехугольника проще понятия многоугольника.
Теорема о сумме углов выпуклого n-угольника может быть «от-
крыта» следующим образом. Выясним сначала, что сумма внешних
углов выпуклого n-угольника равна 380°. Сделать это можно так: пред-
положим, что ученик перемещается из вершины А многоугольника
ABCD в точку В вдоль отрезка АВ, затем поворачивается в направлении
часовой стрелки и продолжает пе-
ремещаться вдоль отрезка ВС в точ-	/
ку С. Продолжая таким образом об-	с
ход многоугольника по его контуру,	/	'- -К.,
он приходит в точку А и. повернув-	/	J '
шись, занимает исходное положение
(рис. 28). Сумма углов, на которые
он поворачивается при обходе мно-	,..„Х- ь-~ —  р
гоугольника по его контуру, равна	i
360°, и она равна сумме внешних	Рис. 28
82
углов многоугольника. Очевидно, сумма внутренних углов выпуклого
п-утольника равна 180° п-3600, т.е. 180°(п-2).
Рассмотрим методику' изучения параллелограмма. В различных учебни-
ках геометрии можно увидеть разные определения параллелограмма. С
точки зрения психологии наиболее удачным является определение па-
раллелограмма как четырехугольника, у которого противоположные
стороны попарно параллельны.
Такое определение позволяет воображению легко конструировать
образ определяемого объекта. Распознавание же на уровне свернутого
выполнения действия осуществляется по внешне выраженным, нагляд-
ным признакам распознаваемых объектов, к каким в данном случае от-
носится параллельность противоположных сторон. Введению понятия
можно предпослать упражнение на построение четырехугольника, у ко-
торого противоположные стороны попарно параллельны. Усвоение со-
тсржания этого понятия осуществляется в процессе выполнения упраж-
нений на распознавание объектов, принадлежащих понятию «паралле-
лограмм». Среди предлагаемых объектов должны быть четырехуголь-
ники, у которых одна пара, ни одной пары, две пары противоположных
параллельных сторон, в том числе - прямоугольник, ромб, квадрат. Же-
лательно использовать упражнения на распознавание параллелограмма
па «сложных» рисунках. Целесообразно использование упражнений на
построение четырехугольников и доказательство принадлежности их к
параллелограмму'. Пример: «Начертите четырехугольник ABCD, в ко-
тором АА 60°, Z В = 120°. АС = 60е, и выясните, является ли он па-
раллелограммом». Подобные упражнения содержатся в учебнике Л.С.
Атанасяна и др.
В учебной литературе используются различные варианты изложе-
ния свойств и признаков параллелограмма. В учебнике Л.С. Атанасяна
и др. излагаются свойства параллелограмма, затем его признаки. В дру-
гих учебниках признаки параллелограмма предшествуют изложению
ci о свойствам. Предлагается и вариант, в котором признаки чередуются
со свойствами (учебник А. В Погорелова). Свойства параллелограмма
могут быть сформулированы самими учащимися в процессе выполне-
ния упражнений. Например, свойство сторон параллелограмма может
быть выделено в результате выполнения следующего упражнения:
«ABCD - парачлелограмм. Докажите, что треугольники АВС и CDA
83
равны». Указанное упражнение способствует усвоению определения
параллелограмма (часто подобные упражнения в учебниках отсутству-
ют, в них обычно приводятся более сложные упражнения, выполнение
которых у многих учащихся вызывает трудности). После выполнения
приведенного упражнения учащиеся без труда формулируют свойство
сторон параллелограмма.
Изучению теоремы, выражающей свойство углов параллелограм-
ма, можно предпослать упражнение: «В параллелограмме ABCD
Z'A =60°. Вычислите все его углы». Выполнение этого упражнения ос-
новывается на определении параллелограмма и свойстве параллельных
прямых. Решив задачу, учащиеся замечают, что противоположные углы
параллелограмма равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне
параллелограмма, равна ]80°. Приведенное упражнение дает способ до-
казательства теоремы, отличный от способа, используемого в учебнике.
В учебнике Л.С. Атанасяна и др., а также и в учебнике А.В. Погорелова,
доказательство этой теоремы основывается на признаках равенства тре-
угольников. Между тем ее доказательство может быть таким:
/_А + АВ = 180°, АВ + ZC = 180° (по свойству внутренних односто-
ронних углов, образованных при пересечении параллельных прямых се-
кущей), отсюда АА = АС. Если изложение теории начинается со
свойств параллелограмма, то признаки будут выступать как утвержде-
ния, обратные изученным теоремам. При изучении признаков следует
обратить внимание на формирование умения видеть ситуации, в кото-
рых применима теорема. Обычно в учебниках сразу предлагают упраж-
нения, выполнение которых уже предполагает владение этим умением
Естественно, это вызывает трудности v многих учащихся. Данное уме
ние вначале должно формировать-
ся в простых ситуациях.
Пример.
Является ли четырехуголь-
ник ABCD, изображенный на
рис. 29, параллелограммом, если:
a) Al = А2 = АЗ = А4; б) А1 =
А 2, A2=Z4; в) А1 = 70°,
^3 = 11&, А2+ АЗ = 18(f?
Рис. 29
М
Следует подчеркнуть практическую значимость изучения призна-
ков параллелограмма. Их знание позволяет активнее решать различные
задачи, владеть критериями распознавания параллелограмма.
Ознакомление учащихся с частными видами параллелограмма
возможно через упражнения на их построение. Например, можно вы-
полнить упражнение на построение параллелограмма, у которого углы
прямые. Далее формулируется определение прямоугольника и выявля-
ется его специфическое свойство: диагонали прямоугольника равны.
Верно и обратное утверждение: если диагонали параллелограмма рав-
ны, то он - прямоугольник. Поэтому прямоугольник можно определить
и как параллелограмм, у которого диагонали равны. За таким определе-
нием было бы очень трудно видеть объекты, относящиеся к прямо-
угольнику, но познакомить учащихся с этим признаком полезно. Анало-
гично, при изучении ромба следует рассмотреть его признаки: I) если
диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является ромбом;
2) если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами его уг-
лов. то он - ромб. Если в учебнике отсу тствуют теоремы, выражающие
признаки прямоугольника и ромба, то знакомство учащихся с ними мо-
жет быть осуществлено через задачи.
Определения прямоугольника, ромба, квадрата, содержащиеся в
у чебнике, являются обычно избыточными, т. е. содержат лишние свой-
сгва. Например, прямоугольник определяется как параллелограмм, у
которого все углы прямые. Такое определение избыточное: можно было
бы ограничиться указанием одного пряного угла. Тогда, используя
свойства параллелограмма, легко доказать, что и другие три угла также
будут прямыми. Однако в целях простоты создания наглядного адек-
ватного образа параллелограмма используется указанное избыточное
определение.
Важно понимание учащимися субординации изучаемых понятий.
Усвоение ее осуществляется в процессе решения задач. Итогом может
с IV жить классификация параллелограммов
85
^^-цосторонам j
по углам
Параллелограмм,
не являющийся
прямоугольником
Параллелограмм,
не являющийся ромбом
Прямоугольник
При изучении параллелограмма можно обратить внимание уча-
щихся на четырехугольник, у которого только две противоположные
стороны параллельны. При изучении свойств трапеции центральное ме-
сто занимает теорема о средней линии. Однако в учебнике нет ни одно-
го упражнения на усвоение понятия средней линии трапеции. Подвести
учащихся к теореме можно, через упражнение: «Докажите, что сред-
няя линия треугольника АВЕ является средней линией трапеции ABCD
(рис.30).
Л .................О "it
Рис. 30
Указанное упражнение позволяет «открыть» теорему о средней
линии трапеции и способ ее доказательства. Следует иметь в виду, что
учащиеся часто привязывают доказательство теоремы к рисунку, по-
этому иллюстрировать доказательство теоремы следует на различных
рисунках. В частности, при изучении теоремы о средней линии трапе-
ции следует использовать рисунки, на которых вспомогательный тре-
угольник образуется при проведении прямой, соединяющей различные
вершины трапеции с различными концами ее средней линии. Не следу-
ет отвергать способы доказательства, предлагаемые учащимися. В част-
ности, учащиеся могут предложить разбиение трапеции ее диагональю
на два треугольника с последующим доказательством того, что отрезки,
86
заключенные между диагональю и боковыми сторонами трапеции, яв-
ляются средними линиями образуемых треугольников.
3. Методика изучения правильных многоугольников
Учащиеся знакомы с некоторыми правильными многоугольника-
ми, поэтому' введение понятия должно основываться на их опыте Вни-
мание учащихся акцентируется на равностороннем треугольнике, квад-
рате. подчеркивается, что указанные фигуры отличает то, что они вы-
пуклые, имеют равные стороны и равные углы. Равенство сторон тре-
угольника обусловливает равенство его углов, однако для четырех-
угольника такая связь не имеет места. Фигурами, иллюстрирующими
это утверждение, являются ромб и прямоугольник. Затем сообщается,
что выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы
равны, называется правильным. Определение правильного многоуголь-
ника построено по способу «через ближайший род и видовое отличие».
Родовым понятием является понятие выпуклого многоугольника, видо-
вые отличия - равенство сторон и равенство углов. Формирование поия-
1ия правильного многоугольника предполагает усвоение его сущест-
венных свойств, а для этого используются упражнения на распознава-
ние правильных многоугольников. Можно использовать задачи, в кото-
рых распознавание правильных многоугольников осуществляется с ис-
пользованием непосредственных измерений их углов и сторон, а также
v пражнения типа:
1.	Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник
является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является пра-
вильным?
2.	Какие из следующих утверждений верны: а) многоугольник яв-
1яется правильным, если он выпуклый и все его стороны равны; б) су-
ществует правильный четырехугольник, являющийся параллелограм-
мом, в) треугольник является правильным, если все его углы равны?
3.	Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиуголь-
ника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцати-
। нсстиу гольника?
Возникает вопрос: нельзя ли указать способ построения с помо-
щью циркуля и линейки некоторых правильных многоугольников? От-
вез ить на этот вопрос помогут свойства правильных многоугольников:
87
около любого правильного многоугольника можно описать окружность,
в любой правильный многоугольник можно вписать окружность. Уча-
щимся известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноуда-
лена от всех его вершин. Поэтом}' все вершины квадрата будут лежать
на окружности с центром в точке пересечения его диагоналей и радиу-
са, равного половине длины диагонали. Поскольку точка пересечения
диагоналей квадрата равноудалена от всех его сторон, то середины всех
его сторон лежат на окружности с центром в точке пересечения его диа-
гоналей радиуса, равного половине длины стороны этого квадрата. Ука-
занные свойства квадрата обусловливают вопросы: 1) можно ли описать
окружность около любого правильного многоугольника; 2) можно ли
вписать окружность в любой правильный многоугольник? Для ответа на
эти вопросы необходимо выяснить существование точки, равноудален-
ной от всех вершин правильного многоугольника, и точки, равноуда-
ленной от всех сторон правильного многоугольника.
Выясним, существует ли точка, равноудаленная от всех вершин
правильного многоугольника. Предположив, что некоторая точка обла-
дает этим свойством, получаем, что она является точкой пересечения
биссектрис его углов. Чтобы окончательно решить поставленную про-
блем}-, надо доказать, что биссектрисы углов правильного многоуголь-
ника пересекаются в одной точке. Таким образом может быть открыта
учащимися не только теорема, но и способ ее доказательства. Следует
обратить внимание учащихся на связь между радиусом описанной (впи-
санной) окружности, стороной правильного многоугольника и числом
его сторон. Полученные формулы обычно конкретизируются для пра-
вильного треугольника, квадрата и правильного шестиугольника. Связь
между стороной правильного шестиугольника и радиусом описанной
около него окружности (ай = R) прямо указывает на способ построения
правильного шестиугольника. Построив правильный шестиугольник,
легко построить правильный двенадцатиугольник. Указанный способ
позволяет с помощью циркуля и линейки построить целый ряд правиль-
ных многоугольников, если построен один из них. Например, построив
правильный четырехугольник, можно построить правильный восьми-
угольник, затем правильный шестнадцатиугольник и, вообще, правиль-
ный 2к -угольник, где к — любое число, большее двух.
88
Следует иметь в виду, что не все правильные многоугольники
можно построить с помощью циркуля и линейки. Например, нельзя по-
строить правильный семиугольник, однако можно построить правиль-
ный семнадцатиугольник. Теория построения правильных многоуголь-
ников может быть предметом кружковых занятии.
Вопросы и задания.
1.	Исследуйте структуру и тематический план изучения темы:
«Многоугольники». В чем дидактическая ценность этого материала?
2.	Докажите эквивалентность следующих определений параллело-
грамма: а) Четырехугольник, имеющий две пары параллельных сторон,
называется параллелограммом; б) Параллелограмм - пересечение двух
полос с непараллельными краями; в) Параллелограммом называется че-
гыреху гольник, имеющий центр симметрии. Отметьте методические
юстоинства и недостатки каждого из этих определений.
3.	Разработайте методику решения задачи: «Докажите, что биссек-
<рисы двух противоположных углов параллелограмма параллельны».
Исследуйте вопрос о целесообразности применения схем при поиске
решения задачи. Продумайте оформление решения.
4.	Из учебников по геометрии выберите задачи, которые знакомят
школьников с признаками прямоугольника, ромба и квадрата. Разрабо-
тайте методику решения этих задач (предусмотрите возможность ис-
пользования (контр-примеров)
5.	Разработайте методику изложения тем: «Прямоугольник»,
«Ромб», «Квадрат» с учетом того, что свойства частных видов паралле-
юграмма обусловливаются числом и расположением их осей симмет-
рии. Составьте план-конспект урока, на котором предусмотрена реали-
«щия такого подхода к изучению частных видов параллелограмма.
6.	Выполните логический анализ доказательства теоремы о площа-
(н параллелограмма. Какие свойства площадей используются при ее до-
казательстве? Каким образом, по вашему мнению, следует обратить
внимание учащихся на использование этих свойств?
7.	Какова методика ознакомления учащихся VII класса с проблемой
вшимосвязанности понятий равенства, равновеликости и равносостав-
(снности многоугольников? Подготовьте модели и таблицы, позволяю-
щие раскрывать взаимосвязь этих понятий.
89
8.	Разработайте методику изучения понятия трапеции с учетом всех
этапов формирования понятий.
Литература
1.	Учебники геометрии.
2.	Методика обучения геометрии: Учеб, пособие для студ. высш. пед.
учеб, заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В А. Панчишина и др.; под ред.
В. А. Гусева. М., 2004.
3.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная мето-
дика: Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост.
В. И. Мишин. М., 1987.
4.	Методика преподавания геометрии: Пособие для учителя / под ред.
А. И. Фетисова. М.,1967.
5.	Методика и технология обучения математике: Курс лекций: пособие
для вузов / под науч. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. М., 2005
6.	Шарыгин И. Ф., Ерганжиева Е. EL Наглядная геометрия. М., 1992.
90
Глава V
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
1.	Различные подходы к введению понятия преобразования
фигуры
2.	Основные вопросы методики изучения преобразования фи-
гур
3.	Обучение решению задач с помощью геометрических пре-
образований
Геометрические преобразования играют исключительно важную
роль в геометрии. Более того, известна трактовка геометрии как науки о
свойствах фигур, инвариантных (не изменяющихся) относительно груп-
пы геометрических преобразований. Использование их в школьном
курсе геометрии имеет большое методическое значение. Методы сим-
метрии, поворота, параллельного переноса, гомотетии позволяют ре-
шать большой класс задач на доказательство, построение и вычисление.
I сометрические преобразования являются связующим звеном .между'
ку рсами алгебры и геометрии. Они используются при построении гра-
фиков функций. Даже элементарные задачи на геометрические преобра-
ювания служат хорошим материалом для развития геометрического во-
ображения учащихся, способствуют формированию их диалектического
мировоззрения.
Действующая программа по геометрии средней школы не предпо-
шгает использовать идею геометрических преобразований в качестве
ргководящей идеи школьного курса геометрии, хотя предусматривает
шакомство с отдельными видами движений (осевой симметрией, пово-
ро го.м около точки и т.д.) и подобием. Более полно геометрические пре-
образования могут рассматриваться в качестве элективных курсов. В
кнству тощих учебниках геометрии раздел, посвященный им, не связан
i шложением основного содержания курса геометрии. В учебнике А.В.
Погорелова геометрические преобразования используются для опреде-
।‘ния равенства и подобия фигур. Учебник геометрии авторов
I (’ Атанасяна и др. рассматривает связь движения и наложения.
91
1. Различные подходы к введению понятия преобразова-
ния фигуры
Исходным понятием является понятие отображения, причем по-
следнее либо не определяется (содержание его разъясняется на конкрет-
ных примерах), либо определяется через понятие соответствия (отно-
шения). Например, в ранее действовавшем учебнике геометрии авторов
А. Н. Колмогорова и др. понятие отображения не определялось. Его со-
держание разъяснялось на примерах отображения отрезка на отрезок,
окружности на окружность и т. д. В различных пособиях для студентов
математических специальностей педагогических вузов понятие отобра-
жения обычно определялось через понятие соответствия. Отображением
f фигуры (множества) X в фигуру (множество) Y называется такое соот-
ветствие. при котором каждой точке фигуры X (каждому элементу х
множества X) соответствует единственная точка фигуры Y (единствен-
ный элементу множества У). Точку (элемент)у называют образом точки
(элемента) х при отображении f, а точку' (элемент) х - прообразом точки
(элемента) у. Если при отображении f каждый элемент у множества Y
является образом по крайней мере одного элемента х множества X. то
говорят, что множество X отображается на множество Y. Отображение f
множества X на множество Y, при котором каждый элемент у множества
Y является образом точно одного элемента х множества X, называется
обратимым (взаимно-однозначным) отображением множества X на
множество Y. Обратимое отображение множества на себя называется
преобразованием этого множества. В частности, если множеством явля-
ется плоскость, то обратимые отображения плоскости на себя называют
геометрическими преобразованиями.
Понятие «преобразование фигур» не определяется, а разъясня-
ется на примерах. Такой путь используется в учебнике геометрии А.В.
Погорелова.
После введения понятия преобразования обычно вводят понятие
движения и его частные виды.
2. Основные вопросы методики изучения преобразования
фигур
Учебник геометрии Л. С. Атанасяна и др. содержит следующие
сведения о преобразованиях: осевая и центральная симметрия (симмет-
92
ричные точки, симметричные фигуры), отображение плоскости на себя,
движение и его свойства, наложение и движение, параллельный перенос
и поворот. Структура соответствующего раздела учебника А.В. Погоре-
лова такова: преобразование фигуры, движение, его свойства, осевая и
центральная симметрии, поворот, параллельный перенос, равенство фи-
гур, преобразование подобия и его свойства, подобие фигур. Преобра-
зования рассматриваются как преобразования фигур, а не как преобра-
ювания плоскости.
В учебнике Л.С. Атанасяна и др. дается описание понятия ото-
бражения плоскости на себя, затем выясняется, что осевая и централь-
ная симметрии (эти понятия известны учащимся) представляют собой
отображения плоскости на себя. Причем интуитивно устанавливается и
поясняется, что эти отображения сохраняют расстояние между точками.
Методика рассмотрения этих вопросов может быть такой. Учащимся
предлагается отметить на плоскости несколько точек, зафиксировать
одну из них (точку О) и построить точки им симметричные относитель-
но точки О. Затем обращается внимание учащихся на то, что при цен-
тральной симметрии каждой точке плоскости сопоставляется некоторая
точка и любая точка плоскости оказывается сопоставленной точке этой
же плоскости. Точка О соответствует сама себе. Аналогичные рассуж-
юния проводятся на примере осевой симметрии, после чего делается
обобщение и вводится понятие отображения плоскости на себя. Оче-
видно, что осевая и центральная симметрии - отображение плоскости на
себя.
Содержание понятия преобразования фигур в учебнике А.В. По-
горелова раскрывается на конкретных примерах. В самом начале под-
черкивается, что если каждую точку' данной фигуры сместить каким-
нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура
получена преобразованием из данной. Далее появляется понятие дви-
жения.
Выполняя упражнения на построение точек, симметричных дан-
ным можно обратить внимание учащихся на то, что при осевой и цен-
щальной симметрии сохраняются расстояния между точками. Заметить
I гот факт можно либо визуально, либо выполняя непосредственные из-
мерения. Учебник Л. С. Атанасяна и др. предусматривает обоснование
кого факта в некоторых случаях расположения точек. Обобщая заме-
93
ченное, учитель формулирует определение понятия движения: отобра-
жение плоскости на себя называется движением, если оно сохраняет
расстояние между' точками.
В учебнике А. В. Погорелова соответствующая теорема (Преобра-
зование симметрии относительно точки является движением) доказыва-
ется с помощью признаков равенства треугольников, а теорема «Преоб-
разование симметрии относительно прямой является движением» - с
помощью координатного метода. Оно основывается на координатной
записи свойств симметрии относительно прямой и формулы расстояний
между двумя точками, заданными своими координатами. В связи с этим
доказательству теоремы целесообразно предпослать несколько упраж-
нений на построение точек, симметричных данным относительно осей
координат.
I.	Постройте точки, симметричные точкам А (2; -3), В (5; 0). С(0;
7) относительно: а) оси ОХ, б) оси OY. Запишите координаты построен-
ных точек. Каковы координаты точки, симметричной точке Д(сг, Ь) от-
носительно осей ОХ и OY?
Делаем вывод: если точка А имеет координаты (а; Ь), то точка, ей
симметричная относительно осн ОХ, имеет координаты а точка,
симметричная ей относительно оси OY, координаты (-а; Ь).
2.	Установите, относительно какой из координатных осей симмет-
ричны точки Л(7;2) и В(-7;2).
Решение данной задачи способствует усвоению следующего свой-
ства: точки Д(п; Ь) и /?(-«; Ь) являются симметричными относительно
оси OY, точки Л (о; Л) и С(щ -h) - симметричны относительно оси ОХ.
3.	Точки А(5,...) и В(...;2) симметричны относительно оси ОХ.
Укажите пропущенные координаты.
Заметим, что с помощью координатного метода можно доказать
теорему о том, что преобразование симметрии относительно точки яв-
ляется движением, и без использования координатного метода - теорему
о том, что преобразование симметрии относительно прямой является
движением.
Поворот около точки в учебнике А.В. Погорелова определяется
через понятие движения: поворотом около данной точки называется та-
кое движение, при котором каждый луч, исходящий из этой точки, по-
ворачивается на один и тот же угол в одном и том же направлении.
94
Подчеркнем, что речь идет о повороте плоскости, а не фигуры. Из опре-
деления следует, что поворот около точки О на угол « переводит лю-
бую точку X, отличную от точки О, в такую точку X, что: 1) ОХ - ОХ!.
2) АХОХ = а. Поворот около точки О оставляет ее на месте. Указанное
понятие в учебнике Л. С. Атанасяна и др. вводится как отображение
плоскости на себя и доказывается, что оно является движением. Парал-
лельный перенос, как в одном, так и в другом учебнике, рассматривает-
ся как отображение плоскости на себя. Причем в учебнике
А. В. Погорелова используется координатная модель определения па-
раллельного переноса, с помощью координат доказывается, что парал-
юльный перенос является движением. В учебнике Л.С. Атанасяна и др.
используется векторное обоснование этого факта.
Опыт показывает, что координатный подход труден для учащихся,
поэтому целесообразнее «выйти» на координатную модель параллельного
переноса, отправляясь от традиционного представления о нем, создавая
Юм самым у учащихся необходимый запас наглядных представлений.
Учитель вычерчивает на доске некоторую фигуру F и смещает точки этой
фигуры по параллельным прямым на одно и то же расстояние, т.е выпол-
няет параллельный перенос фигуры F, в результате чего возникает фигура
I . Затем можно предложить учащимся подобные упражнения на парал-
1сльный перенос фигур, в частности, упражнения на координатной плос-
кости.
1.	Выполните параллельный перенос точек А (2; 5), В(0; -7), С(3;0)
и направлении оси OX (QY) на 3 единицы. Запишите координаты по-
строенных точек.
При выполнении подобных упражнений обращается внимание на
го. что параллельный перенос в направлении оси ОХ на а единиц пере-
водит произвольную точку М(х, у) в точку Л</(х + о; v) (в направлении
। >си OY на Ь единиц - точку М (х~.у) в точку Л/ (х; у+Ь)).
2.	Параллельный перенос переводит точку 0(0.0) в точку М(2: 1).
Постройте точки, в которые указанный параллельный перенос переве-
ют точки Л (-3; 2), В(4; 1). С (0;-3). Напишите координаты построенных
точек.
Очевидно, что указанный параллельный перенос переведет произ-
|ц> «ьну ю точку М(х; у) в точку М(х + 2; у + 1).
3	Параллельный перенос переводит точку 0(0; 0) в точку О' (а. Ь).
95
В какие точки он переведет точкиЛ(3; 2), В(-3; 1). М(х; у)?
После выполнения упражнений предлагаем учащимся выяснить,
каким свойством обладает преобразование фигуры, при котором произ-
вольная ее точка М (х; у) переходит в точку Л/(х + а; у + Ь), где а и b -
некоторые числа. Итогом является определение параллельного переноса
как преобразования фигуры F, при котором произвольная ее точка (х; у)
переходит в точку (х + а; у + Ь), а и b - постоянные.
Такое определение позволяет легко доказать теорему: «Парал-
лельный перенос есть движение». Затем, используя координатный ме-
тод и признак параллелограмма, доказываем, что при параллельном пе-
реносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым
на одно и то же расстояние. То, что учащиеся знакомы с этим фактом,
не должно смущать. Весь этап работы до определения понятия парал-
лельного переноса имел целью несколько геометризировать определе-
ние, подготовить учащихся к его восприятию. После введения опреде-
ления начинается логическая организация фактов, полученных в резуль-
тате выполнения упражнений и наблюдений. Из доказанного следует,
что при параллельном переносе прямая переходят в параллельную ей
прямую или в себя.
Если же учитель в достаточно подготовленном классе сочтет воз-
можным сразу ввести координатное определение параллельного пере-
носа, то и в этом случае необходим подготовительный этап. Содержа-
ние его может быть определено следующими упражнениями.
1.	На координатной плоскости изобразите треугольник АВС с
вершинами И(0; 0), В(2; 5), С(4; 1). Постройте треугольник А В'С', в ко-
торый переведет треугольник АВС преобразование, смещающее произ-
вольную точку' 7И(х; у) в точку Л/ (х + 3, у).
Следует обратить внимание учащихся на то, что заданное преоб-
разование сместит каждую точку треугольника вдоль оси ОХ на 3 еди-
ницы.
2.	Произвольную точку М (х ; у) преобразование переводит в точку
Л/' (х; у +2). Построить треугольник А ВС1, в который это преобразова-
ние переведет треугольник АВС с вершинами Л(1: 2). В(-2; 3), С(4; 5).
Обратим внимание учащихся на то, что заданное преобразование
смещает любую точку' треугольника вдоль оси OYна 2 единицы.
3.	Произвольную точку М(х ;у) преобразование переводите точку
96
М(х + 3; у + 2). Постройте треугольник АВС, в который перейдет тре-
угольникЛВСс вершинами А(1: 2), В(-2; 3), С(4: 5).
Визуально или с помощью чертежных инструментов устанавлива-
ется, что точки треугольника смещаются по параллельным прямым на
одно и то же расстояние. Очевидно, этот вывод будет иметь место при
любом преобразовании треугольника, которое переводит произвольную
его точку (х; у) в точку (х + а, у + ft), где aub - некоторые числа. Далее
формулируется определение параллельного переноса, доказывается,
что. 1) параллельный перенос есть движение; 2) при параллельном пе-
реносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым
на одно и то же расстояние; 3) при «параллельном переносе прямая пе-
реходит в параллельную ей прямую (или в себя). Из первого свойства
следует, что параллельный перенос прямую переводит в прямую, полу-
прямую - в полупрямую, отрезок — в равный ему отрезок, угол - в рав-
ный ему угол.
Кроме этого, в учебнике А.В.Погорелова доказывается теорема о
существовании и единственности задания параллельного переноса двумя
гонками.
Центральное место в обосновании свойств движения принадлежит
геореме о сохранении отношения «лежать между».
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. ее интерпретацией является утвержде-
ние: «При движении отрезок отображается на отрезок», в учебнике
А. В. Погорелова - теорема «Точки, лежащие на прямой, при движении
переходят в точки, лежащие на прямой, и сохраняется порядок их вза-
имного расположения».
Из указанной теоремы следует, что при движении прямая перехо-
ды в прямую, луч - в луч; отрезок - в равный отрезок, угол - в равный
мол. Поскольку симметрия относительно точки, симметрия относи-
гсльно прямой, поворот - движения, то каждое из этих преобразования
переводит прямую в прямую, луч - в луч, отрезок - в равный ему огре-
той. угол - в равный ему угол. Указанное свойство позволяет выполнять
\ пражнения на построение фигур, в которые движение переводит за-
щнные фигуры.
В рамках учебника Л. С. Атанасяна и др для обоснования утвер-
ждения о том, что при движении любая фигура отображается на равную
ей фигуру, доказывается теорема; Любое движение есть наложение.
97
В учебнике А.В. Погорелова понятие движении использовано для
определения равенства фигур, а равенство отрезков, равенство углов,
равенство треугольников определено без использования этого понятия.
В этом случае необходимо доказать эквивалентность соответствующих
определений. В учебнике доказана эквивалентность различных опреде-
лений равенства треугольников, эквивалентность определений равен-
ства отрезков и равенства углов докажите самостоятельно.
Детальное обсуждение этой проблематики с учащимися не пред-
ставляется необходимым. Важно, чтобы учащиеся поняли общность оп-
ределения равенства фигур через их совмещение движением и то. что
«новое» толкование равенства отрезков, углов и треугольников и равенст-
во этих фигур, понимаемое до сих пор, выражают одно и то же. Эта идея
может быть объяснена учителем на примере доказательства эквивалент-
ности определений равенства треугольников. Однако желательно предпо-
слать ряд упражнений на преобразование одного из заданных отрезков
(углов) в другой отрезок (угол) путем последовательного использования
симметрий относительно прямой. Например, отрезки АВ и А/В, равны.
Надо перевести отрезок АВ в отрезок A,BjC помощью преобразований
симметрии относительно прямой. В результате выполнения упражнения
делается вывод: если АВ= А/В], то эти отрезки можно совместить движе-
нием. Пропедевтика облегчает учащимся понимание доказательства экви-
валентности определений равенства треугольников, которое на уроке
должен объяснить сам учитель. Рисунок, который используется при этом
доказательстве, рекомендуем подготовить заранее, так как выполнение
всех построений на уроке отнимает много времени, выполнение же их «на
глаз» обычно приводит к плохому’ качеству рисунка.
Существуют различные подходы к изложению теории преобразо-
вания подобия.
1.	Сначала вводится понятие гомотетии, рассматриваются свойст-
ва гомотетии, затем — понятие подобия, причем последнее определяется
либо как композиция гомотетии и движения, либо как преобразование,
сохраняющее отношение расстояний.
2.	Вводится понятие подобия, обосновываются свойства подобия.
Затем рассматривается гомотетия, доказывается, что гомотетия есть по-
добие.
В учебнике А.В. Погорелова аналогично введению движения вво-
дится преобразование подобия, рассматривается гомотетия с положи-
98
гельным коэффициентом, доказывается теорема о том, что гомотетия
есть преобразование подобия, рассматриваются свойства подобия и по-
добие фигур.
Перед введением понятия подобия следует вспомнить определе-
ние понятия движения, рассмотреть примеры подобного преобразова-
ния. Можно использовать изображения фигур, например, два плана ме-
стности. выполненные в разных масштабах. Одни и те же населенные
ну нктъг на этих планах желательно обозначить одним цветом. Рассмат-
ривая планы местности, учащиеся замечают, что каждому населенному
пункту' (каждой точке) одного плана (одной фигуре) соответствует
е. гинственный населенный пункт (точка) второго плана (второй фигуры)
н наоборот, причем расстояние между точками во втором плане измене-
но по отношению к расстоянию между соответствующими точками на
нервом плане в k-раз. (Число к вычисляется с помощью указанных мас-
штабов планов). Затем эта идея может быть проиллюстрирована на двух
подобных фигурах. В результате наблюдения делается вывод о том. что
рассматриваемое преобразование фигуры F в фигуру Г' изменяет рас-
стояние между' точками в одно и то же число раз. Вводится определение
преобразования подобия. Для закрепления определения можно предло-
жить учащимся упражнение на распознавание преобразования подобия,
причем распознавание может основываться и на визуальных ощущени-
ях. Желательно среди набора фигур предусмотреть равные и гомоте-
|нчные. Первое позволит обратить внимание на то, что при k = 1 преоб-
раювание подобия является движением, второе - гомотетия есть преоб-
раювание подобия.
Преобразование подобия переводит прямую в прямые, луч в луч,
«ирезок в отрезок, сохраняет углы между’ лучами. В обосновании
 гюнств важное место занимает утверждение о том, что при преобразо-
вании подобия три точки, лежащие на одной прямой, переходят в три
книги. также лежащие на одной прямой, и сохраняется порядок их вза-
имного расположения. Из определений преобразований движения и по-
гноил следуют, что гомотетия и движение, выполненные последователь-
но, дают подобие. Верно и обратное утверждение: «Каждое преобразо-
II.тис подобия есть композиция гомотетии и движения». На внекласс-
ных занятиях можно углубить сведения о подобии.
Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в
99
друга преобразованием подобия. Очевидно, равные фигуры являются
подобными (коэффициент подобия k = 1). Из свойств преобразования
подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а
соответствующие отрезки пропорциональны.
Введению понятия подобных фигур желательно предпослать вы-
полнение упражнений на преобразование фигур с помощью гомотетии и
движения. В процессе их выполнения будут использованы указанные
свойства подобных фигур, в частности подобных треугольников. Для
закрепления определения подобных фигур можно выполнить несколько
упражнений на доказательство того факта, что заданные фигуры подоб-
ны. Пример: доказать, что фигуры (рис. 31) подобны.
Рис. 31
Доказав, что данные треугольники АВС иА1В]С/ подобны, следует
обратить внимание учащихся на обобщенную ситуацию: треугольники
подобны, если две стороны одного пропорциональны двум сторонам
другого и углы, образованные этими сторонами, равны.
Так оказывается «открытым» один из признаков подобия тре-
угольников. Выполнение приведенного упражнения моделирует способ
доказательства этого и других признаков подобия треугольников. Учи-
тывая общность способа доказательства признаков, можно ограничить-
ся рассмотрением одного из них, два других могут быть изучены уча-
щимися самостоятельно. Однако в этом случае учащихся следует воо-
ружить планом доказательства: 1) подвергнуть треугольник А;В/С,
преобразованию гомотетии относительно любой точки О с коэффици-
АВ
ентом к=/?д ; 2) доказать равенство треугольника АВС и построенно-
го А2В2С2, 3) доказать, что треугольник А2В2С2 переводится в треуголь-
ник АВС движением; 4) сделать вывод о преобразовании треугольника
AjBiC, в треугольник ЛВС. План составляется учителем и учащимися в
процессе анализа доказательства одного из признаков подобия тре-
угольников. Возможны и другие вариации, например, составление пла-
100
на доказательства может быть одним из упражнений для учащихся.
Геометрическим преобразованиям уделяется внимание и в проб-
ных учебниках геометрии. Последовательность изложения различных
видов преобразований, введение понятий, их трактовка вписываются в
у казанные выше схемы, поэтому принципиального отличия методики
их изучения от рассмотренной нет. Однако некоторые особенности все-
гаки им присущи. Рассмотрим их.
Учебник геометрии В. А. Гусева. Геометрические преобразования
занимают большое место в курсе геометрии VII класса. Знакомство с ними
начинается с подобных фигур. После изучения признаков равенства тре-
угольников, автор предлагает рассмотреть отношение между двумя тре-
угольниками с равными соответствующими углами и называть их подоб-
ными. Первое знакомство учащихся с подобными фигурами заканчивается
выяснением связи между7 равными и подобными фигурами. Представляет-
ся, что такой выход за рамки равенства треугольников вполне разумен и
югичен. Он отвечает и основным положениям влияния красоты на обуче-
ние математике: случай с двумя фигурами одинаковой формы, но разных
размеров, выделяющий ряд фигур из ранее рассмотренных, усиливает при-
влекательность геометрических фигур.
Знакомство с преобразованиями получает развитие при изучении
поворота и вращения. Прежде всего обращает внимание хорошее «оме-
годичевание» изложения материала Так, например, к понятию поворота
вокруг точки автор подводит через вращение луча вокруг его начала.
Здесь же автор знакомит учащихся с вращением фигур вокруг оси, при
ном большое внимание уделяет мотивации введения этого понятия по-
гродством рассмотрения различных практических ситуаций. Обобщая
свойства изученных преобразований, автор подводит учащихся к пред-
с ।явлению о них как о функциях, заданных на множестве точек, и со-
общает, что такие «геометрические функции» называют геометриче-
скими преобразованиями. Используя понятие преобразования, даются
определения поворота вокруг точки, изометрии и рассматриваются их
свойства. Заканчивается тематика преобразований изучением симмет-
рий: центральной, осевой и симметрии относительно плоскости. При
раскрытии содержания этих понятий широко привлекаются практиче-
ские ситуации, изложение свойств данных видов преобразований под-
крепляется красочно оформленными рисунками. Геометрические пре-
101
образования в учебнике не являются «вещью в себе», они применяются
при доказательстве некоторых фактов и решении задач.
Учебник геометрии для основной школы авторов И.М. Смирновой
и В. А. Смирнова. В данном учебнике изложение геометрических пре-
образований ведется в традиционных рамках. Оно замкнуто на себя,
теория преобразований не используется в изложении основного учебно-
го материала. Знакомство учащихся с преобразованиями начинается с
понятия преобразования плоскости и его частного вида - движения. За-
тем рассматриваются понятия центральной симметрии, поворота вокруг
точки, осевой симметрии, параллельного переноса, доказывается, что
перечисленные виды преобразований являются движениями. Понятие
движения используется в определении равенства фигур. Изложение ве-
дется без привлечения практических ситуаций, примеров, попыток мо-
тивации введения понятий и рассмотрения их свойств.
3.	Обучение решению задач с помощью геометрических
преобразований
Анализ решения задач методом симметрии, поворота, параллель-
ного переноса и гомотетии позволил выделить умения, овладение кото-
рыми необходимо для использования движений и гомотетии в различ-
ных конкретных ситуациях. Учащиеся должны уметь:
а)	строить образы фигур, в которые переходят данные фигуры при
симметрии относительно точки, симметрии относительно прямой, по-
вороте около точки, параллельном переносе и гомотетии;
б)	видеть соответствующие при указанном преобразовании точки
на соответствующих (при том же преобразовании) фигурах;
в)	выделять элементы, определяющие преобразование: строить ось
(центр) симметрии, центр поворота, определять угол поворота, нахо-
дить направление параллельного переноса, его расстояние, находить
центр гомотетии, вычислять ее коэффициент;
г)	строить соответствующие при указанном преобразовании точки
на произвольных фигурах;
д)	использовать специфические свойства преобразования.
Проиллюстрируем сказанное на конкретной задаче.
Задача. Постройте равносторонний треугольник, у которого одна
вершина задана, а две другие лежат на двух данных прямых.
102
Пусть АЛОВ искомый. Тогда точки А и В находятся на равном рас-
стоянии от заданной точки О, принадлежат данным прямым а и Ь и «вид-
ны» из точки О под углом 60° (рис. 32). Следовательно, точки А и В явля-
ются соответствующими при повороте около точки О на 60° (умение видеть
поворот в конкретной ситуации, выделять его элементы).
Найдем на прямых а и b точки, соответ-
ствующие при указанном повороте (уме-
ние строить на заданных фигурах соот-
ветствующие при повороте точки). Так
как в точку В при данном повороте пере-
ходит точка А. то точка В принадлежит
прямой а', в которую переходит прямая а.
Кроме того, точка В по условию принад-
лежит прямой Ь. Следовательно, В - точка
пересечения прямых b и а. Для нахожде-
ния точки В выполним поворот около точ-
ja'
Рас. 32
ки О на 60° прямой а (умение выполнять преобразования фигур) и найдем
гонку В пересечения прямых b и а. На прямой а выделяем точку А, яв-
1яющуюся прообразом точки В в данном повороте (умение строить соот-
ветствующие точют на соответствующих фигурах).
Формирование указанных умений и будет готовить учащихся к
овладению методами геометрических преобразований. Характер выяв-
ленных умений позволяет систематизировать упражнения, выполнение
которых призвано обеспечить овладение методами геометрических пре-
образований. Исходя из этого, можно выделить следующие виды уп-
ражнений: I) на преобразование фигур; 2) на отыскание соответствую-
щих точек на соответствующих при преобразовании фигурах; 3) на вы-
кление элементов, определяющих преобразование; 4) на построение
соответствующих при преобразовании точек на заданных фигурах; 5) на
использование специфических свойств преобразований. Охарактеризу-
ем каждый вид упражнений.
1. Упражнения на преобразование фигур
В процессе их выполнения формируются понятия осевой симметрии,
поворота вокруг точки, центральной симметрии, параллельного переноса,
гомотетии; умение строить образы различных фигур при заданных пре-
образованиях. При выполнении упражнений обращается внимание на
юз
обоснование выполняемых построений, на их рационализацию. В сово-
купности упражнений следует предусмотреть все этапы формирований
гюнятий и теорем.
В качестве примера рассмотрим формирование понятия симмет-
ричных относительно прямой точек. Введение симметричных точек
может быть осуществлено в процессе выполнения упражнения: «От-
метьте на листе бумаги две точки. Перегните лист бумаги так, чтобы
отмеченные точки совпали. Как расположены эти точки относительно
линии сгиба?» Учащиеся устанавливают что отрезок концами которого
являются эти точки, делится линией сгиба пополам и перпендикулярен
ей. Учитель сообщает, что точки, обладающие таким свойством, назы-
ваются симметричными относительно прямой. После этого следует пе-
реходить к выполнению упражнений, целью которых является усвоение
существенных свойств симметричных относительно прямой точек.
1.	Отрезок АВ, перпендикулярный прямой /, пересекает ее в точке
О так, что АО Ф ОВ Симметричны ли точки А нВ относительно прямой /.
2.	Прямая / пересекает отрезок СО в его середине под углом, от-
личным от прямого. Симметричны ли точки С и D относительно прямой /?
3.	Точки Л и В расположены в разных полуплоскостях с границей
/ так, что отрезок АВ перпендикулярен прямой / и делится ею пополам.
Симметричны ли точки А и В относительно прямой /?
Учитывая, что логическая структура определения симметричных
относительно прямой точек содержит два свойства, а потому ис-
пользование их может вызвать затруднение, целесообразно организо-
вать выполнение упражнений так, чтобы определение использовалось
«по частям» (ученик читает одну часть определения, а другие исполь-
зуют ее, выполняя упражнение).
Необходимо предусмотреть упражнения, в процессе выполнения
которых учащиеся осуществляли бы переформулировку содержания за-
дачи, выведение следствий, оперируя при этом всем набором сущест-
венных свойств понятия. Например: «Точки Л и В лежат на одном и том
же перпендикуляре к прямой I. Можно ли считать эти точки симмет-
ричными относительно прямой 11 Если нет, то измените условие так,
чтобы из него следовала симметричность точек А и В относительно
прямой /».
Упражнения, формирующие понятия должны развивать про-
104
странственные представления школьников. Применительно к симмет-
ричным относительно прямой точкам к таким упражнениям можно от-
нести следующее: «Точки А(5,...) и В(...; 2) симметричны относительно
оси ОХ. Запишите их пропущенные координаты». Выполнение этого
упражнения требует мысленного оперирования образами, изменяя их
вваим ное расположение, а также использования определения симмет-
ричных относительно прямой точек.
Применение осевой симметрии, а также и других преобразова-
ний в конкретных ситуациях, предполагает умение мысленно строить
образы фигур. Например, при выполнении упражнения: «Через центр
квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые, не содер-
жащие вершин этого квадрата. Докажите, что отрезки этих прямых, за-
ключенные внутри квадрата, равны» нахождение образов вершин квад-
рата и концов указанных отрезков осуществляется без непосредствен-
ных построений. Данное умение формируется в процессе выполнения
упражнений на распознавание среди множества пар фигур тех, в кото-
рых она фигура получена из другой при помощи преобразования, на до-
страивание фигуры до образа данной фигуры, на сети правильных тре-
угольников или на клетчатой бумаге.
При выполнении упражнений на построение образов фигур при
некотором преобразовании следует варьировать ось симметрии, центр
поворота, центр гомотетии, сами фигуры. При обосновании свойств
различных преобразований используются упражнения, характерные для
различных этапов усвоения теорем: ознакомление с фактом, отражен-
ным в теореме, усвоение содержания теоремы и т. д. При построении
образов фигур следует обращать внимание на рационализацию по-
строений. Например, при построении образов углов при осевой сим-
метрии можно выполнить построение образа вершины этого угла и ис-
пользовать свойство оси симметрии. Достигается это посредством вы-
полнения упражнений. Пример. «Постройте углы, симметричные дан-
ным (рисунок дается) относительно прямой ш. Сделайте так, чтобы
число построений было возможно меньшим».
II. Упражнения на выделение соответственных при преобразова-
нии точек на соответственных при том же преобразовании фигурах.
Основное назначение упражнений этого вида заключается в фор-
мировании видения соответственных при некотором преобразовании
105
точек на соответственных при том же преобразовании фигурах. Реали-
зация этой цели предполагает формирование умения выделять соответ-
ственные точки на соответственных образах не только выполняя непо-
средственные построения, но и осуществляя их в уме. При разработке
этой группы упражнений следует учитывать необходимость формиро-
вания пространственных представлений и творческого мышления уча-
щихся. Поэтому содержание упражнений должно быть таким, чтобы
выполнение их опиралось не только на алгоритм построения соответст-
венных при некотором преобразовании точек, вытекающий из опреде-
ления этого вида преобразования, но и на некоторую изобретательность
в выборе нужных свойств и умение использовать их в конкретных си-
туациях. Достигается это путем ограничений на средства выполнения
упражнений, что приводит к необходимости использовать заданные со-
ответственные фигуры. Таким образом, при выполнении упражнений
этого типа реализуется идея единства усвоения свойств преобразований
и овладения их методом. Рассмотрим упражнение:
Отрезки АВ и А'В' симметричны относительно точки О. По-
стройте образ точки К (К принадлежит отрезку АВ).
Построение образа точки К обычным способом (на прямой КО
строим точку К' так, чтобы КО = ОК' и точка О лежала между точками
К и К ) малоэффективно, хотя и оно способству ет формированию виде-
ния соответственных точек на соответственных фигурах. Большую цен-
ность имеет упражнение, при выполнении которого используются за-
данные отрезки АВ иАВ'. Выполним построение образа точки К с по-
мощью: а) циркуля, б) линейки. Для того, чтобы построить образ точки
К с помощью циркуля, ученик должен использовать следу тощие свойст-
ва центральной симметрии: а) если К е АВ, то К' е А 'В' б) центральная
симметрия сохраняет расстояния. Для того, чтобы построить образ точ-
ки К с помощью линейки, ученик должен рассуждать так К' е ОК и К
g АВ, следовательно, К' - точка пересечения прямых ОК и АВ. Для по-
строения точки К' с помощью циркуля (линейки) недостаточно знания
алгоритма построения симметричных относительно центра точек, необ-
ходимо привлечение других свойств центральной симметрии.
На построение образа точки, не принадлежащей соответственным
при некотором преобразовании фигурам, следует использовать такое
упражнение: «Отрезки АВ и А’В’ симметричны относительно точки О.
106
Построить точку' М'. в которую переходит точка М (М&АВ. М £ А'В')
при симметрии с центром О с помощью: а) циркуля; б) транспортира и
линейки».
В процессе выполнения аналогичных упражнений формируется
умение вьделять соответственные при преобразовании точки на соот-
ветственных фигурах. Однако использование геометрических преобра-
зований в конкретных ситуациях предполагает видение соответствен-
ных точек на соответственных фигурах,
что достигается в процессе мысленных
построений. Пример: «О - точка пересе-
чения диагоналей квадрата ABCD. а) На
какие точки отобразятся вершины квад-
рата при повороте вокруг точки О на 90°
по часовой стрелке? б) Известно, что
AKOL = 90° (рис. 33). В какую точку пе- А	О
рейдет точка К при этом повороте?».	Рис. 33
III. Упражнения на выделение эле-
ментов, определяющих преобразование.
В процессе выполнения таких упражнений усваиваются свойства
оси симметрии, центра симметрии, центра поворота и т. д. Формирова-
ние умения выделять элементы, определяющие преобразование, осуще-
ствляется в два этапа. На первом этапе выполняются построения оси
симметрии, центра поворота, центра гомотетии, вычисляется значение
коэффициента гомотетии, находится угол поворота. На втором этапе
указанные действия выполняются мысленно.
1.	Известно, что отрезок А В' является образом отрезка АВ при неко-
тором повороте. Постройте центр поворота. Чему
равен угол поворота?
2.	Не выполняя никаких построений, ука-
жите центр поворота, при котором отрезок АВ
переводится в отрезок Л 'Я' (рис. 34).
Центр О поворота принадлежит оси симметрии то-
чек В и В', а АВОВ' = 90°. Однако таким свойст-
вом обладают две точки О; и О2.
Для того, чтобы указать из этих точек ту,
которая является центром поворота ученик
Рис. с 4
107
должен мысленно совершить поворот отрезка АВ вокруг каждой из этих
точек. Таким образом, приведенное упражнение ориентировано не
только на овладение умением выделять центр поворота, но и на форми-
рование творческого мышления и пространственных представлений
школьников.
3.	Постройте произвольный четырехугольник ABCD и отметьте
некоторую точку А' . Постройте четырехугольник, симметричный дан-
ному относительно некоторой прямой так, чтобы образом точки А была
точка А'.
IV.	Упражнения на построение соответственных при отображе-
нии точек на произвольных фигурах.
Целью упражнений указанного вида является формирование уме-
ния строить соответственные при заданном преобразовании точки на
произвольных фигурах.
Рассмотрим несколько упражнений этого вида.
1.	Дана прямая I и две окружности, принадлежащие различным
полуплоскостям с границей I. Постройте точки, симметричные относи-
тельно прямой I и принадлежащие данным окружностям.
2.	Найти на данных прямой и отрезке такие пары точек, что одна
из точек пары может быть отображена на другую поворотом вокруг
данной точки на 70°.
V.	Упражнения, выполняемые методами геометрических преобразований.
Рассмотренные выше упражнения формируют умения, являющиеся
компонентами умения применять геометрические преобразования в кон-
кретных ситуациях. Они образуют одну группу упражнений. Во вторую
отнесем задачи, решаемые методами геометрических преобразований. Их
систематизация обусловлена следующим принципом: сначала используют-
ся задачи, методы решения которых очевидны, затем задачи, условия ко-
торых не указывает на выбор метода. Поясним это на примерах.
1. Дана полоса с краями а и b и точка Р, принадлежащая этой по-
лосе (Р £ а, Р g 6). Найдите на ее краях а и b соответственно такие
точки Л нВ, что РА =РВ и ZAPB = 90°.
Анализ задачи сразу приводит к методу ее решения - методу по-
ворота.
2. На продолжении катета АС прямоугольного треугольника ВАС
отложен отрезок АЕ, равный другому катету АВ, так. что точки С и Е
108
лежат по разные стороны от точки А. а на продолжении катета АВ отло-
жен отрезок AD. равный катету АС. Докажите, что прямая, содержащая
медиану AM треугольника BA С, перпендикулярна отрезку DE.
Фигура, состоящая из двух треугольников ВАС и DAE симметрич-
на относительно прямой, которая содержит биссектрисы углов ВАЕ и
DАС. Но может ли дать что-либо метод симметрии? Непосредственно
ответить на этот вопрос нельзя. Датее замечаем, что точки В и Е нахо-
дятся на равных расстояниях от точки А и АВАЕ = 90°. Можем ли мы
быть уверены в целесообразности использования метода поворота? По-
ка мы не знаем, что использование поворота приведет нас к желаемому
результату, тем более очевидно, что при этом повороте прямая AM не
переходит в прямую DE.
Анализ условия этой задачи не приводит прямо к методу ее решения.
В этом случае будем считать, что метод решения задачи неочевиден.
При решении задач, методы решения которых видны из их усло-
вия. у учащихся вырабатываются критерии выбора нужного вида гео-
метрического преобразования для доказательства различных зависимо-
стей. для построения фигур и т.д. Доказать некоторое соотношение в
равнобедренном треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоуголь-
нике. ромбе часто удается с помощью осевой симметрии. Использова-
ние поворота эффективно при установлении зависимостей в равносто-
роннем треугольнике, квадрате, при доказательстве перпендикулярно-
сти прямых. Метод параллельного переноса дает желаемый результат
при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, трапе-
ции. а также при построении этих фигур. Преобразование гомотетии
эффективно, если рассматриваются два параллельных отрезка разной
длины, отрезок, разделенный в данном отношении, две окружности раз-
ных радиусов. Разумеется, никакие критерии не сообщаются ученику в
готовом вице, а учащиеся овладевают ими в процессе работы. Проил-
люстрируем сказанное на конкретном упражнении.
Докажите, что прямая, содержащая середины двух параллельных
хорд окружности, проходит через центр.
Поскольку в задаче идет речь об окружности и о ее параллельных
хордах, то естественно использование осевой симметрии.
Так как программа по геометрии не предусматривает обу юние ме-
тодам геометрических преобразований, то основная работа по изуче-
109
нию преобразований и применению их к решению задач должна осуще-
ствляться на внеклассных занятиях.
Вопросы и задания.
1.	Исследуйте этапы формирования понятия движения в различных
учебниках геометрии.
2.	Проанализируйте задачи учебника геометрии, выделив те из них,
которые способствуют раскрытию содержания понятия осевой симмет-
рии.
3.	Рассмотрите задачи по теме «Преобразования фигур» и выделите
те из них, которые способствуют усвоению метода геометрических пре-
образований.
4.	Среди умений, применять геометрические преобразования име-
ются взаимно обратные. Разработайте методику их формирования.
5.	Проанализируйте задачи по теме «Преобразование фигур» с точ-
ки зрения возможности их использования для формирования аналогии,
обобщения, конкретизации.
6.	Составьте классификацию частных видов движений по числу не-
подвижных элементов. Рассмотрите вопрос о возможности ознакомле-
ния с ней учащихся на занятиях математического кружка.
7.	Раскройте методику изучения движений, исходя из трактовки их
как композиции двух осевых симметрий.
8.	Разработайте систему изложения темы «Композиция движений
плоскости», основываясь на следующих положениях: 1. Если АВ = А'В',
ВС = В'С, АС = А С и точки А, В, С не принадлежат одной прямой, то
существует единственное движение, при котором А —> А', В —> В', С —> С;
2. Движение, при котором А —» А', В —> В', С —► С, является композици-
ей не более трех осевых симметрий; 3. Всякое движение либо осевая
симметрия, либо композиция двух осевых симметрий, либо композиция
трех осевых симметрий. Рассмотрите возможность введения понятия
скользящей симметрии.
8.	Разработайте методику ознакомления школьников с понятием
группы геометрических преобразований. Составьте план беседы на тему
«Геометрия и группы геометрических преобразований».
9.	Проанализируйте работу учителя по формированию понятия по-
добных фигур с учетом этапов формирования понятия.
НО
10.	Исследуйте возможность использования и местных учащимся
сведений о подобных фигурах в качестве средства создания проблемной
ситуации при введении понятия гомотетии.
11.	Исследуйте логическую структуру определения понятия гомоте-
тии. Подберите систему упражнений используемых на разных этапах
формирования этого понятия.
12.	Исследуйте вопрос о формировании умения применять гомоте-
тию в конкретных ситуациях по различным учебникам геометрии.
13.	Решение задач методом гомотетии, как и решение задач с по-
мощью движений, целесообразно осуществлять в соответствии со сле-
дующим принципом: сначала используются задачи, методы решения
которых очевидны, а затем уже более сложные задачи. Подберите не-
сколько задач как первой, так и второй категории.
14.	Рассмотрите признаки подобия треугольников Выделите общий
прием, позволяющий доказать каждый из этих признаков. Разработайте
методику7 ознакомления школьников с этим приемом.
15.	Выполните восходящий анализ доказательства одного из при-
знаков подобия треугольников. Выделите систему задач, используемую
при его доказательстве. Оформите доказательство в виде таблицы, на
основе которой составьте несколько карточек для индивидуальной ра-
боты с учащимися.
16.	Докажите следующие теоремы: а) Всякое подобие I-го рода
плоскости, отличное от параллельного переноса, является композицией
гомотетии и поворота, центры которых совпадают, б) Всякое подобие 2-
го рода плоскости, отличное от движения, является композицией гомо-
тетии и осевой симметрии, ось которой содержит центр гомотетии.
17.	Используя журнал «Математика в школе» и газету' «Математи-
ка», подберите материал по теме «Подобие», который может быть
предметом его изу чения на внеклассных занятиях.
Литература
1.	Учебники геометрии.
2.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная мето-
дика: Учеб, пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / Сост.
В. И. Мишин. М., 1987.
3.	Методика обучения геометрии: Учеб, пособие для студ. высш. пед.
учеб, заведений / В. А. Гусев В. В. Орлов, В. А. Панчишина и др.; Под ред.
В. А. Гусева. М., 2004.
111
4	Преподавание ivoMciputi в 6 - 8 классах / Сост. В. А. Гусев. М., 1979
5.	Методика и icxiio.iothh обучения математике: Курс лекций: пособие
для вузов / под науч |юд. 11. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. М.. 2005.
6.	Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. 2-е изд., дораб.
М.,2005.
7.	Саранцев Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования: По-
собие для учащихся. 2-е изд., доп. и нерераб. М.,1981.
8.	Саранцев I. И. Методика изучения отображений в курсе геометрии
восьмилетней школы. М.,1979.
I I I I II I II .............................................................................. II
112
Глава VI
ВЕКТОРЫ НА ПЛОСКОСТИ
1.	Различные подходы к введению понятия вектора
2.	Методика изучения векторов в основной школе
3.	Методика обучения решению задач с помощью векторов
1.	Различные подходы к введению понятия вектора
В математике под вектором понимают элемент векторного про-
странства. Последнее трактуется как множество объектов, на котором
введены операции сложения объектов и умножения объекта на действи-
тельное число так, что выполняются известные аксиомы.
Очевидно, что таким образом понятие вектора не может быть вве-
дено, по крайней мере, в основной школе. Возникает вопрос какая ин-
терпретация векторного пространства наиболее приемлема для курса
планиметрии? Чтобы ответить на него, необходимо рассмотреть наибо-
лее распространенные интерпретации.
1.	Множество направленных отрезков плоскости. Определим их
сложение следующим образом. Пусть -» и - два направленных отрез-
а Ъ
ка. Отметим произвольную точку А плоскости и отложим от нее на-
правленный отрезок	равный —> Затем от точки В отложим направ-
ленный отрезок равный Направленный отрезок называется
ВС	Ъ	КС
суммой направленных отрезков -» и Из учебных пособий по гео-
а Ъ
метрии известно, что введенное таким образом сложение направленных
отрезков удовлетворяет аксиомам сложения. Произведением ненулевого
направленного отрезка -> на число к называется такой направленный
а
отрезок длина которого равна |к| |-»| , причем отрезки -> и -* сона-
Ь	а	а b
правлены, если к > 0 и противоположно направлены, если к < 0. Произ-
ведением нулевого направленного отрезка на любое число считается
нулевой направленный отрезок. Под нулевым направленным отрезком
понимают направленный отрезок, начало и конец которого совпадают
(точку). Легко проверить, что при этом выполняются аксиомы умноже-
ния.
Множество направленных отрезков плоскости с определенными,
ИЗ
как указано выше, операциями сложения направленных отрезков и ум-
ножения направленного отрезка на число, является векторным про-
странством. В рамках этой интерпретации векторного пространства век-
тор может быть отождествлен с направленным отрезком. Такая трактов-
ка вектора используется в учебных пособиях по геометрии средней
школы автора А. В. Погорелова и авторов Л. С. Атанасяна и др.
2.	Множество классов направленных отрезков плоскости. Объекты
этого множества образуют не отдельные направленные отрезки, а клас-
сы. состоящие из сонаправленных отрезков, имеющих равные длины. В
качестве «нулевого» объекта выступает множество точек плоскости.
Операции сложения этих объектов и умножения объекта на действи-
тельное число сводятся к соответствующим операциям с представите-
лями классов, тес направленными отрезками, и определяются также,
как и в выше рассмотренной интерпретации, а потому они удовлетво-
ряют аксиомам векторного пространства. Таким образом, рассматри-
ваемое множество классов является интерпретацией векторного про-
странства. В рамках этой интерпретации векторы - классы сонаправ-
ленных отрезков равной длины. Этот подход реализуется в учебнике
В. Г. Болтянского. М. Б. Воловича и А. Д. Семушина.
3.	Множество параллельных переносов плоскости. Под суммой
параллельных переносов Т, и Т2 будем понимать их композицию. Про-
изведением параллельного переноса Т на число т назовем параллель-
ный перенос тТ, расстояние которого равно произведению расстояния,
на которое осуществляется параллельный перенос Т, и модуля числа т,
а направление совпадает с направлением параллельного переноса Т, ес-
ли т>0, и противоположно ему', если т < 0.
Можно доказать, что введенные указанным образом сложение па-
раллельных переносов и умножение параллельного переноса на число
удовлетворяют аксиомам сложения и умножения. Последнее дает осно-
вание для вывода: множество параллельных переносов плоскости явля-
ется интерпретацией векторного пространства, а потому можно отожде-
ствить понятия вектора и параллельного переноса. Отметим, что такая
трактовка вектора использовалась в ранее действовавшем учебном по-
собии А. Н. Колмогорова и др.
4.	Множество упорядоченных пар действительных чисел. Опреде-
лим сложение пар и умножение пары на число следующим образом:
114
суммой пар a = (Oi; п2) и 6= (Ьй Ь2) назовем пару Ъ + Ь = (а}+Ьх, а2+Ь2) а
произведением пары а = ( а,; а2) на число т - пару та = (то,: та2). Вы-
полнение аксиом векторного пространства очевидно. Отсюда заключа-
ем, что множество упорядоченных пар действительных чисел есть век-
торное пространство.
Отметим достоинства и недостатки рассмотренных подходов к
введению понятия вектора. Трактовка вектора как направленного отрез-
ка придает этим объектам и операциям над ними хорошую наглядность.
Это очень важно. Дело в том, что в процессе формирования понятия
большу ю роль играет образный компонент, вследствие чего желательны
такие определения, которые позволяют воображению легко конструи-
ровать образы определяемых объектов. Такой вывод согласуется с ре-
зультатами психологических исследований: в свернутом виде распозна-
вание может осуществляться по внешне выраженным, наглядным при-
знакам объектов, а не по тем признакам, по которым оно осуществля-
лось на уровне развернутого выполнения действия (или признакам, ис-
пользуемым в определении понятия). Трактовка вектора как направлен-
ного отрезка обычно используется в физике. Таким образом она наибо-
лее действенна в осуществлении межпредметных связей. Отметим и то,
что путь в применении векторов к решению геометрических задач «ле-
жит через направленный отрезок».
Наряду с у казанными достоинствами, рассматриваемой трактовке
вектора присущи и недостатки. Ее реализация связана с громоздкостью
доказательства свойств сложения векторов и умножения вектора на
число. Так, доказательство переместительного свойства сложения век-
торов предполагает рассмотрение двух случаев: а) векторы а и Ь кол-
линеарны; б) векторы а и b неколлинеарны, а доказательство свойства:
«Для любых Д / и вектора а (кГ) а = к(1 а) — четырех. Кроме того, реали-
зация трактовки вектора как направленного отрезка отличается непо-
следовательностью. Действительно, доказательство того, что сумма век-
торов не зависит от выбора «начальной» точки предполагает не разли-
чать равные векторы, т.е. понимать под вектором множество сонаправ-
ленных отрезков равной длины, хотя вектор определен как направлен-
ный отрезок. Очевидно, что отмеченную непоследовательность легко
можно исключить, если с самого начала век гор определить как множе-
ство сонаправленны.х отрезков равной длины, но в этом случае нагляд-
115
ность теряет свое качество.
Трактовка вектора как параллельного переноса наиболее абстракт-
на, лишена наглядности, неприемлема в физике. К ее достоинствам сле-
дует отнести отсутствие непоследовательностей в действиях с вектора-
ми, естественное введение сложения векторов и умножения вектора на
число, более простые доказательства основных законов векторной ал-
гебры. Ее реализация требует обширных знаний теории геометрических
преобразований, поэтому в учебнике, основу которого не составляют
геометрические преобразования, такой подход к введению понятия век-
тора неуместен.
Итак, рассмотрение различных интерпретаций векторного про-
странства приводит к выводу о том, что наиболее приемлемой в средней
школе является интерпретация вектора как направленного отрезка.
Заметим, что есть предложения отказаться в школьном курсе гео-
метрии от определения вектора. В этом случае вектор появляется как
термин, обозначающий векторные величины; направленный отрезок
выступает как изображение этой величины (вектора). Такой подход реа-
лизуется в учебнике геометрии А Д Александрова, А. Л Вернера.
В. И. Рыжика и в «Экспериментальных учебных материалах по матема-
тике» для ПТУ М. И. Башмакова.
2. Методика изучения векторов в основной школе
В учебнике геометрии А. В. Погорелова используется следующая
последовательность изучения векторных понятий: понятие вектора, аб-
солютная величина (модуль) вектора, равные векторы, ну левой вектор,
откладывание вектора от точки, координаты вектора, сложение векто-
ров, умножение вектора на число, коллинеарные векторы, скалярное
произведение векторов. В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др.
принята такая схема: понятие вектора, нулевой вектор, длина (модуль)
вектора, коллинеарные векторы, сонаправленные и противоположно
направленные векторы, равные векторы, откладывание вектора от точ-
ки, сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число, коор-
динаты вектора, скалярное произведение векторов.
Изложение теории векторов в учебнике А. В. Погорелова отлича-
ется от соответствующего изложения в учебнике Л. С. Атанасяна и др.
не только последовательностью, но и методом изложения. В основу из-
116
ложения векторов в учебнике А. В. Погорелова положен координатный
метод, вследствие чего в названном учебнике широко используются ко-
ординатные модели векторных понятий и доказательства теорем с ис-
пользованием координат вектора. В учебнике Л. С. Атанасяна и др , а
также в учебнике А. Д. Александрова и др., учебный материал излагает-
ся без использования координат. Это создает определенные трудности в
обосновании законов векторной алгебры, которые возникают, главным
образом, при рассмотрении частных случаев Так, доказательство не-
зависимости суммы векторов от выбранной точки требу ет рассмотре-
ния, кроме стандартного случая (точки А В. С, А\, С) не лежат на
одной прямой), который приведен в учебнике Л. С. Атанасяна и др.,
случая, при котором все точки Л. В, С, At, В^, расположены на одной
прямой. Доказательство переместительного свойства сложения векто-
ров, как уже было отмечено, предполагает рассмотрение двух частных
ситуаций, а доказательство сочетательного свойства умножения вектора
на число - четырех. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. большинство тео-
рем, связанных со свойствами векторов, сообщаются без доказательст-
ва. В учебнике А. Д. Александрова и др., напротив - все свойства обос-
новываются.
Тема «Векторы» в учебнике А. В. Погорелова, Л. С. Атанасяна и
др. является последней в курсе геометрии VIII класса. Это, очевидно,
отражает точку зрения авторов на функции векторов в изложении
геометрии: им отводится служебная роль: способствовать изучению фи-
зических векторных величин Об этом говорит и то. что векторы никак
не связаны с изучением основного содержания курса геометрии. В та-
ком стиле представлено учение о векторах и в учебнике геометрии
В. А. Смирнова и И. М. Смирновой.
В большинстве учебниках геометрии вектор трактуется как на-
правленный отрезок. При введении понятия вскгора следует обратить
внимание на понимание различия между отрезком и направленным от-
резком. Ученик должен усвоить, что отрезок АВ и отрезок ВА - один и
тот же объект, направленный отрезок ,4В и направленный отрезок ВА -
разные объекты. Для этого можно использовать у пражнения.
1. Сколько отрезков и сколько векторов определяют две (три) раз-
личные точки?
2. Начертите параллелограмм. Назовите все отрезки, концами ко-
117
торых являются вершины параллелограмма. Назовите все векторы, оп-
ределяемые вершинами параллелограмма.
Рассмотрим понятие равных векторов. В учебнике Л. С. Атанасяна
и др. используется следующее определение равенства векторов, векторы
называются равными, если они со направлены и их длины равны. Целе-
сообразность указанного определения мотивируется рассмотрением
движения тела, все точки которого перемещаются с одинаковой скоро-
стью. В учебнике А. В. Погорелова равенство векторов определяется
через параллельный перенос: два вектора называются равными, если
они совмещаются параллельным переносом. Из определения следует,
что равные векторы одинаково направлены и равны по абсолютной ве-
личине. Обратно, если векторы одинаково направлены и равны по абсо-
лютной величине, то они равны. Последнее утверждение дает новый
способ распознавания равных векторов.
Очевидно, что введению понятия равных векторов должно пред-
шествовать рассмотрение понятий сонаправленных и противоположно
направленных векторов, длины вектора. При иллюстрации сонаправ-
ленных (противоположно направленных) векторов следует использо-
вать наглядный (модели, схемы и т. д.) материал. Усвоению этих поня-
тий будет способствовать использование упражнений.
1.	Начертите равнобочную трапецию, а) Существуют ли равные по
длине векторы, определяемые вершинами трапеции б) Сколько пар со-
направленных векторов задают вершины трапеции?
2.	Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных)
векторов определяют вершины параллелограмма?
3.	Верны ли утверждения: если векторы AS и СО сонаправлены,
то: а) АВ = СО; б) АВ 11 СО, в) АВ 11 СО и АВ Ф CD?
Усвоение понятия равных векторов предполагает овладение
действием распознавания равных векторов и действием выведения
следствий из факта равенства векторов. Овладению указанными дейст-
виями будет способствовать выполнение специальных упражнений.
1.	Выделите на рис. 35 равные векторы.
2.	Начертите параллелограмм, обозначьте его вершины и запишите все
равные между собой векторы, началом и концом которых являются
вершины параллелограмма.
3.	Векторы а и Ь равны. Что следует из этого?
118
4.	Известно, что а || Ь . Следует ли отсюда, чго 4=6 ? Если нет, то из-
мените условие так чтобы из него следовало равенство векторов а и Ъ .
Упражнения типа 1-2 ориентированы на
усвоение действия распознавания равных век-
торов, типа 3 — на овладение действием выве-
дения следствий из равенства двух векторов.
Выполнение упражнения 4 основано на ис-
пользовании обоих указанных действий. В
рамках учебника А. В. Погорелова распозна-
вание равных векторов может осуществляться
как с помощью определения понятия равенст-
ва векторов, так и с использованием признака.
Одно из центральных мест в изложении
векторов в учебнике А. В. Погорелова занимает понятие координат век-
тора. Остановимся на методике его изучения. Прежде всего попытаемся
обосновать целесообразность вводимого определения: координатами
вектора с началом А(х\; jy) и концом В(х2; >'г) называются числа а\ = х2 -
X] и «2 =	— Уь Предлагаем учащимся выполнить следующие упражне-
ния.
На рис. 36 изображены равные векторы. Определите координаты
начала и конца каждого вектора. Найдите разность конца и начала век-
тора.
Рис. 36
Выполнив упражнение, учащиеся замечают, что разность абсцисс
конца и начала вектора для всех равных ему векторов постоянна Ана-
логичным свойством обладает и разность ординат конца и начала век-
тора. Числа, равные разностям соответствующих координат конца и на-
чала вектора, называют координатами вектора. Далее следует сказать,
что координаты вектора записывают рядом с буквенным его обозначе-
119
нием: л(<7ь гь). Очевидно, координаты вектора, исходящего из начала
координат, суть координаты его конца. Этот факт позволяет легко стро-
ить вектор по его координатам.
Приведенные упражнения позволяют учащимся самим формули-
ровать теоремы, выражающие свойство и признак равных векторов:
равные векторы имеют равные соответствующие координаты; векторы
равны, если равны их соответствующие координаты. Эти упражнения
моделируют и способы доказательства теорем. При их выполнении сле-
дует подчеркнуть, что вектор Ъ . равный вектору а, получается из векто-
ра а параллельным переносом. Доказательство обратной теоремы осно-
вывается на формулах параллельного переноса. (В учебнике
А. В. Погорелова введению вектора предшествует рассмотрение парал-
лельного переноса). В учебнике Л. С. Атанасяна и др. координаты век-
тора вводятся как коэффициенты разложения этого вектора по коорди-
натным векторам и используются для обоснования свойств скалярного
произведения векторов.
В учебнике А. В. Погорелова основу действий с векторами со-
ставляют координатные модели. Сумма векторов произведение вектора
на число, скалярное произведение векторов определяются через коор-
динаты этих векторов. Однако, вслед за координатным определением в
указанном учебнике доказывается теорема, вскрывающая геометриче-
скую суть векторного отношения.
J	—♦
Пример: суммой векторов a (aj; а2) и b (bi, b2) называется вектор
с (а, + bi, а2 + Ьг).
Из определения суммы векторов, признака равенства векторов и
свойств сложения действительных чисел следуют все свойства сложе-
ния векторов. Такое определение суммы векторов позволяет легко
обосновать свойства сложения векторов, но оно не указывает способа
построения суммы двух данных векторов. Один из таких способов дает
теорема: «Каковы бы ни были точки А, В, С имеет место равенство АВ
+ ВС = АС» («правило треугольника»). Переместительное свойство
сложения векторов обосновывает второй способ построения суммы
двух векторов по правилу параллелограмма, что. в свою очередь, по-
зволяет ввести понятие сложения нескольких векторов. Определение
произведения вектора на число может быть мотивировано следующим
120
образом. Пусть вектор а = ОА имеет координаты о, ио2- Что будем по-
нимать под произведением вектора а (аг, а2) на число 1? Естественно,
вектор с координатами Л/Z], Zn2. Затем следует выполнить упражнения
на построение произведения вектора на число.
1. Постройте произведение вектора ОА (4,5) на число: а) 2; б) -3;
в) 0: г) 5; д)-1,5.
Выполнение упражнения позволит учащимся заметить, что нача-
ло координат, конец вектора ОА и конец произведения вектора ОА на
число 1 лежат на одной прямой, причем направления векторов ОА и
лОА совпадают, если к> 0, и противоположны, если X < 0. Этот факт
поможет учащимся сформулировать теорему о свойстве произведения
вектора на число. Полезно использование упражнений на распознавание
среди множества векторов таких, которые являются произведением
данного вектора на некоторое число.
2. Среди векторов а (3;5): b (-2; -10): с (0; 1); d (-2;4); е (3; 6) на-
зовите такие, которые являются произведением вектора и (1; 2) на не-
которое число.
Координатное определение произведения вектора на число по-
$воляет легко обосновать все свойства умножения вектора на число.
Однако, оно не дает непосредственного способа построения произведе-
ния данного вектора на заданное число. Возникает проблема отыскания
такого способа. Выполненное ранее упражнение позволяет ознакомить
учащихся с тем, что длина вектора /,а равна |л ||2 I. Направление векто-
ра /.а при а ?- О совпадает с направлением вектора а. если Z > 0, и про-
тивоположно направлению вектора а, если X < 0. Упражнение будет
способствовать и «открытию» доказательства этой теоремы, которая, в
свою очередь, мотивирует введение понятия коллинеарных векторов.
В учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. сумма векторов оп-
ределяется так. Пусть а и b - два вектора. Отметим произвольную точ-
ку А и отложим от этой точки вектор АВ, равный а. Затем от точки В от-
ложим вектор ВС, равный Ь. Вектор АС называется суммой векторов а
и Ь. Такое определение суммы векторов обладает хорошей наглядно-
стью, легко может быть мотивировано рассмотрением примера на пере-
мещение материальной точки. Однако при этом громоздко обоснование
121

I
I I IIITI IIIIIII I I I
свойств сложения векторов и независимости суммы векторов от вы-
бранной точки. Вычитание векторов авторы определяют как действие,
обратное сложению. Важное место занимает теорема о том. что для лю-
бых векторов а и b справедливо соотношение а - b = а + (-Ь). Эта
теорема дает способ построения разности векторов. При использовании
его следует обратить внимание учащихся на то. что разность векторов а
и о можно найти, не прибегая к сложению векторов а и - Ь. Желатель-
но составить алгоритм нахождения разности векторов а и b : 1) отло-
жить векторы а и b от одной точки; 2) построить вектор, конец которо-
го совпадает с концом вектора а, а начало - с концом вектора Ь: 3) по-
строенный вектор - искомый. В рассматриваемом учебнике произведени-
ем ненулевого вектора а на число к называют такой вектор Ь, длина ко-
торого равна |к ||а |, причем векторы а и b сонаправлены при к > 0 и про-
тивоположно направлены при к < 0. Произведением нулевого вектора на
любое число считается нулевой вектор. Свойства умножения вектора на
число в названном учебнике нс доказываются.
При изучении сложения векторов, вычитания векторов и умноже-
ния вектора на число следует выполнять упражнения не только на на-
хождение суммы векторов, разности векторов и произведения вектора
на число, но и на представление вектора в виде: а) суммы нескольких
векторов; б) произведения вектора на число. Это важно при решении
задач. Приведем примеры упражнений, формирующих умение пред-
ставлять вектор в виде суммы (разности) векторов, произведения векто-
ра на число.
1.	Дан многоугольник ABCDE. Представьте AD в виде суммы: а)
двух: б) трех; в) четырех векторов, началом и концом каждого из кото-
рых служат вершины этого многоугольника.
2.	Дан ЕАВС. Представьте АС в виде разности векторов В А и ВС
3.	ABCD - трапеция. ВС || AD. Выразите CD через В А и разность
векторов AD и ВС.
4.	Отрезок АВ делится точкой М на две части в отношении 3:1.
Выразите МВ через МА.
Рассмотрим основные направления методики изучения скалярного
произведения векторов.
122
Обычно это понятие вводится как произве iciiiic длин этих векто-
ров на косинус утла между ними. При этом ipa тнционном подходе зна-
чительную трудность представляет доказательство распределительного
свойства скалярного умножения векторов Все известные доказательст-
ва этого свойства громоздки (см. например: Геометрия 9-10 / под ред.
3. А. Скопеца. — М.. 1982). Многие трудности удается обойти, если к
обоснованию свойств скалярного умножения векторов привлечь форму-
лу. выражающую скалярное произведение векторов в координатах
(учебник Д. С. Атанасяна и др.), или скалярное произведение векторов
определить как сумму произведений их соответствующих координат,
т.е. ab = а-,Ь\ + а2 Ь2 где (щ; п2) - координаты вектора а и (Ь\, Ь2) - коор-
динаты вектора b (учебник А. В. Погорелова). Из определения следует,
что для любых векторов а (а\, сь), b (йр /ъ) с (сг; с2) ( а + b ) с=а с +
э	-> 2	-»	-> 2
Ьс. Из доказанного следует, что |а + Ь | = |а\2 + 2 a b + |fe | Полу-
ченное соотношение является основанием для вывода о том. что ска-
лярное произведение векторов нс зависит от выбора системы координат.
Полезно обратить внимание учащихся на геометрическую интерпрета-
цию этого равенства: скалярное произведение векторов а и b есть по-
луразность между площадями квадратов, построенных на векторах а и
Ь. Указанное замечание усиливает наглядность скалярного произведе-
ния векторов, «геометричность» этого понятия, что несколько теряется
при рассматриваемом способе введения скалярного произведения век-
торов. С помощью полученного факта легко доказать, что скалярное
произведение векторов равно произведению их длин на косинус угла
между ними. Из доказанного следуют свойство и признак перпендику-
лярных векторов Заметим, что равенство ab=-(|a+fe| — |а|2—
.2
| ) можно было бы принять в качестве определения скалярного про-
изведения векторов.
3. Методика обучения решению задач с помощью векторов
Использовать векторный метод в конкретных ситуациях достаточ-
но сложно. Поэтому прежде всего важно выявить действия, составляю-
щие это умение. Анализ решений различных задач приводит к выводу о
том, что надо уметь: 1) переводить геометрические термины на язык
123
векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношения между фи-
гурами к соотношению между векторами и наоборот); 2) выполнять
операции над векторами (находить сумму', разность векторов, произве-
дение вектора на число); 3) представлять вектор в виде суммы, разности
векторов, 4) представлять вектор в виде произведения вектора на число;
5) преобразовывать векторные соотношения; в) переходить от соотно-
шения между' векторами к соотношению между их длинами и наоборот;
7) выражать длину' вектора через его скалярный квадрат; 8) выражать
величину угла между векторами через его скалярное произведение.
Проиллюстрируем сказанное на конкретной задаче.
Задача. На стороне AD и на диагонали АС параллелограмма ABCD
взяты точки М nN так. что AM = - AD и AN = - АС. Принадлежит ли
5	6
точка Nотрезку МВ1 Если да, в каком отношении она делит его?
Докажем прежде всего, что точки М, N и В принадлежат одной
прямой. Для этого надо доказать, что векторы MN и NB коллинеарны
(умение осуществлять переход от 'зависимостей между фигурами к за-
висимостям между векторами). MN = МА + AN (умение представлять
вектор в виде суммы других векторов), МА = DA (умение представ-
лять вектор в виде произведения вектора на число). AN = - ( АВ +
AD^.MN = |	DA+-	АВ -	-	DA	- — (5 АВ	+ DA), NB	=	NA	+АВ =
5	6	6	30
--* 1---» 1-------* 5-♦	1-*
АВ - - АВ - - AD = - АВ + - DA	(умения представлять вектор	в виде сум-
мы векторов, представлять вектор в виде произведения вектора на чис-
ло, выполнять преобразование векторных равенств). Получили NB =
(5 АВ + ПЛ), значит. NB = 5 MN. Следовательно, векторы NB и
MN коллинеарны. Точка N делит отрезок на две части 1:5 (умение осу-
ществить переход от соотношения между векторами к соотношению
между фигурами).
Перечисленные действия и их совокупности должны быть предме-
том специального формирования. В содержании обучения они реализу-
ются посредством специальных упражнений, выполнение которых
должно обеспечить овладение всеми этими действиями. Приведем при-
меры упражнений.
/. Упражнения на перевод геометрических терминов на язык век-
124
торов и наооорот.
1.	Отрезки АВ и CD параллельны Запишите это соотношение в
векторной форме.
2.	Точка С принадлежит отрезку АВ. причем АС: СВ = m : п. Что
означает это на векторном языке?
3.	Известно, что CD = а АВ. Каково геометрическое толкование
этого равенства?
4.	Известно, что АВ + ВС = О. Как расположены точки А, В. С?
Результаты решения задач, используемых для формирования
умения осуществлять перевод геометрических терминов на векторный
язык и наоборот, целесообразно оформить в виде таблицы, представ-
ляющей собой некий словарь перевода.
№ п/п	Геометрические соотношения	Те же геометрические соот- ношения на векторном языке
1	'J очка М принадлежи! прямой АВ	АМ = а АВ АМ = а АВ, 0<«<1
2.	Точка AI принадлежит о трезку АВ	
3.	Точка ill принадлежит лучу АВ	АМ' = а АВ, а >0
4-	АВ || CD	АВ = a CD
5.	АВ 1 CD	АВ CD=О
6	hl - середина отрезка АВ ит.д.	a)MA=- МВ, б) ОМ ( ОА + ОВ, где О - произвольная точка плоскости
Обращение к таблице полезно при решении различных задач с
использованием векторов
II.	Упражнения на операции с векторами.
5.	Дан вектор АВ. Постройте векторы: 2 АВ; - - АВ.
6.	ABCD - параллелограмм. О - точка пересечения его диагоналей АС
и ВД. Назовите векторы: АО + СВ; б) АО — DC; в) 0D + АВ; г) AD - ВС.
Упражнение 6 выполняется мысленно, нс осуществляя при этом
непосредственных построений. Такие упражнения важны, так как при-
менение векторов в конкретных ситуациях чаще требует именно этого.
III. Упражнения на представление вектора в виде суммы (разно-
125
сти векторов, произведения вектора на число.
7.	Дан многоугольник ABCDE. Представьте AD в виде суммы: а)
двух; б) трех; в) четырех векторов, заданных вершинами этого много-
угольника.
8.	Представьте вектор АВ в виде суммы векторов AC, DC, BD.
9.	Вектор СО коллинеарен вектору АВ и = к. Выразите один
вектор через другой.
IV. Упражнения на переход от соотношения между векторами к
соотношению между их длинами и наоборот.
10.	В каком случае |ОЛ — ОВ| = |ОЛ| - |О£?|?
11.	Может ли |ЛВ+ ВС| = |ЛВ- ВС|?
12.	Векторы BC.AD.MN коллинеарны. Каково соотношение меж-
ду длиной вектора MN и суммой длин векторов ВС и AD, если
MN = | (ВС + AD)?
V. Упражнения на преобразование векторных равенств.
13.	Упростите выражение: а) АВ + MN 4- ВС + СА + PQ + NM,
6)OP-EP + KD-KA.
14.	Упростите выражение (d+ b - с) (й — b + с ), (если вектор
b перпендикулярен вектору с.
15.	Четырехугольник ABCD - квадрат. Упростите выражение
(лв-зёс)2
VI Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла
между векторами
16.	Известно, что с = а + Ь, (й . fe)= 30°, |й| = 5 см., |Ь|= 3
см. Найдите |с|.
17.	Известно, что векторы й+2Ьи5й-4Ь взаимно перпендику-
лярны. Какой угол образуют векторы а и Ь, если |й| = |b|= 1 ?
В процессе выполнения этих упражнений вырабатываются крите-
рии использования векторов для доказательств различных зависимо-
стей, Векторы эффективны при доказательстве: а) параллельности пря-
мых и отрезков; б) принадлежности трех точек одной прямой; в) того
факта, что данная точка делит данный отрезок в данном отношении; г)
126
перпендикулярности прямых и отрезков; д) coo11lotuciiiiii между' длинами
отрезков и величинами углов фигур. Разумеется, никакие критерии не со-
общаются ученику в готовом виде. Учащиеся овладевают ими в процессе
выполнения упражнений.
Решение многих задач векторным методом основывается на не-
скольких векторных закономерностях. Так. часто используются следую-
щие факты.
1.	Если О - середина отрезка АВ и Р - любая точка плоскости, то
РО = | (РА + РВ).
2.	Если М - точка пересечения медиан треугольника АВС мР - любая
точка плоскости, то РМ = | (РЛ + РВ + PC).
3.	Для того, чтобы точка С делила отрезок ЛЯ в отношении АС.СВ =
л?:/?, необходимо и достаточно чтобы для произвольной точки Р плоско-
сти выполнялось равенство
—* н — т —
PC   РА + РВ
m 4-п	т 4- п
4.	Для лето, чтобы точки А, В. С принадлежали одной прямой, необ-
ходимо и достаточно, чтобы для произвольной точки Q плоскости выпол-
нялось равенство QC = pQA + gQB. где p+q=l.
Целесообразно специально рассмотреть эти опорные задачи.
Вопросы и задания.
1.	Проанализируйте различные трактовки понятия вектора. Какую
из них, по вашему мнению следу'ет признать наиболее целесообразной
для использования в школе?
Указание Учтите не только логические, но и дидактические тре-
бования. Оцените возможность обеспечения межпредметных связей, на-
глядности и т.п.
2.	Охарактеризу йте систему изложения теории векторов в школь-
ных учебниках геометрии.
3	Проанализируйте систему' упражнений по теме: «Сложение век-
торов». выделив упражнения, с помощью которых вводятся понятия,
раскрывается их содержание, осуществляется их закрепление. Какой
тип заданий на закрепление материала ггреду смотрен в пособии?
4.	Проанализируйте этапы подготовки учителя к изучению теоремы,
выражающий свойства и признаки коллинеарных векторов.
127
Указание. Выделите понятия и суждения, с которыми учащиеся уже
знакомы и с которыми они встречаются впервые, выявите логические
связи между ними. Разбейте доказательство на отдельные шаги, выде-
лите понятия и суждения, играющие в доказательстве теоремы главную
и вспомогательную роли. Оцените материал, уже известный учащимся,
с точки зрения возможности его использования на предстоящем уроке,
разработайте методику' ознакомления учащихся с теоремой, составьте
задачи, если это необходимо, способствующие усвоению идеи и отдель-
ных шагов доказательства теоремы, предусмотрите возможные ошибки
учащихся и наметьте пути их устранения, выберите метод изучения
теоремы и средства обучения, используемые при ее доказательстве,
продумайте вопрос об оформлении записи доказательства теоремы.
5.	Разработайте и экспериментально проверьте систему изложения
темы «Векторы», исходя из трактовки вектора как множества направ-
ленных отрезков, равных по длине и имеющих одинаковое направление.
7.	Проанализируйте раздел «Векторы» учебника геометрии с точки
зрения возможности формирования умений, составляющих векторный
метод.
8.	Разработайте методику формирования умения выполнять опера-
ции над векторами и представлять вектор в виде суммы векторов, про-
изведения вектора на число с учетом двух этапов: а) непосредственного
оперирования с векторами; б) оперирования с векторами в уме. Проана-
лизируйте с этой точки зрения различные учебники геометрии.
9.	Проанализируйте систему' изложения темы «Векторы» в курсе
стереометрии. Выясните вопрос о возможности использования аналогии
с векторами на плоскости. Разработайте деловую игру по данной про-
блеме
10.	Проанализируйте различные подходы к изучению скалярного
произведения векторов и распределительного закона.
11.	Разработайте методику изложения темы «Скалярное произведе-
ние векторов», положив в основу следующее определение. «Скалярным
произведением векторов а и Ь называется число, равное
12.	Разработайте методику ознакомления учащихся IX класса с по-
нятием векторного пространства.
128
Литература
1.	Учебники геометрии.
2.	Колмогоров А. II. О понятии вектора в ку|к:с маю-шп нки садней
школы // Математика в школе. 1981, №3.
3.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная мето-
дика: Учеб, пособие дая студентов пед. ин-тов по физ.-маг спец / Coci
В. И. Мишин. М„ 1987.
4.	Методика обучения геометрии: Учеб, пособие для сг\ д. высш. пед.
учеб, заведений / В. А. Гусев, В. В. Орлов, В. А. Панчи шипа и др.: Под ред.
В. А. Гусева. М., 2004.
5.	Методика и технология обучения математике: Курс лекций: пособие
для вузов / под науч. ред. Н. Л Стефановой, Н. С. Подходовой. М., 2005
6.	Преподавание геометрии в б - 8 классах / Сост. В. А. Гусев. М., 1979.
7.	Саранцев Г. И. Упражнения в обучении математике. М., 2005.
129
Глава VII
МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ
1.	Ролькоординатного метода
2.	Компоненты координатного метода
3.	Различные варианты изложения метода координат
4.	Методика изучения метода координат
1.	Роль координатного метода
Координатный метод является одним из эффективных инструментов
решения задач. Он позволяет решить геометрические задачи средствами
алгебры, сводить построения к вычислениям. Зачастую преобразования
формул ведут к цели более простым и коротким путем. Координатное ре-
шение позволяет охватить всевозможные частные случаи. Важно и то. что
для него не является характерным выполнение вспомогательных построе-
нии. Исполнение координатного метода способствует развитию вычисли-
тельных и графических навыков, пространственных представлений, гео-
метрической интуиции учащихся, так как его применение связано с выбо-
ром системы координат, вычислением координат точек, переводом языка
уравнений и неравенств на язык геометрии и наоборот.
В свою очередь координатный метод обогатил геометрической на-
глядностью алгебру, что позволило сделать очевидными в геометриче-
ском представлении многие ранее непонятные в аналитической форму ли-
ровке факты. Координатный метод позволяет представить в наглядных
геометрических образах течение различных процессов, свойства уравне-
ний, отсюда велика его мировоззренческая значимость.
Использование координатного метода при решении задач, так же
как и векторного, предполагает выполнение трех этапов. В геометрии эти
этапы таковы: 1) перевод задачи на координатный (аналитический) язык;
2) преобразование аналитического выражения; 3) перевод с координатно-
го языка на язык, в терминах которого сформу лирована задача. Примене-
ние координатного метода в алгебре связано с осуществлением перевода
аналитических соотношений, т.е. уравнений и неравенств, в геометриче-
ские. Проиллюстрируем это на конкретных примерах.
130
1. Найти множество точек, для каждой из которых расстояния от
двух данных точек равны
Обозначим данные точки через А и В Выберем систем)’ координат
так, чтобы ось Ох совпадала с прямой АВ. а началом координат служила
точка А. Положим, далее, АВ = а. тогда в выбранной системе координат
Л(0: 0), В(а\ 0). Точка М(х: у) принадлежит искомому множеству тогда и
только тогда, когда АМ=МВ или, что то же самое, AM2 = МВ2. Использу я
формулу расстояний от одной точки координатной плоскости до другой,
получаем: AM2 = х2 + у2, МВ2 = (х - о)" + у2. Тогда х2 + у2 =(х - а)2 + у2. Ра-
венство х2 +у2= (х - а) +у" и является алгебраической моделью ситуации,
данной в задаче. На этом заканчивается первый этап ее решения (перевод
задачи на координатный язык). На втором этапе осуществляется преобра-
зование полученного выражения, в результате которого получаем соот-
ношение х=у- На третьем этапе осуществляется перевод языка уравнения
на геометрический язык. Полученное уравнение является уравнением
прямой. параллельной оси Оу и отстоящей от точки А на расстояние rf=—,
т.е. серединного перпендикуляра к отрезку АВ.
2. Решите систему уравнений |х +
На геометрическом языке в данной задаче требуется найти коорди-
наты точек пересечения фигур. заданных данными уравнениями. Первое
из них является уравнением окружности с центром в начале координат и
радиусом, равным 1, второе - уравнением параболы (первый этап). На
втором этапе осуществляется построение окружности и параболы и нахо-
ждение координат их точек пересечения. На третьем этапе осу ществляется
перевод с геометрического языка на алгебраический: абсциссы точек пе-
ресечения окружности и параболы являются решением данной системы
уравнений. Как видим, применение координатного метода способствует
обучению школьников построению математических моделей изучаемых
процессов, изучению их и применению. В связи с усилением роли коор-
динатного метода в изучении геометрии, особенно актуальной становится
проблема его формирования. Координатный метод в геометрии особенно
эф(])ективен при обосновании зависимостей между элементами фигур и
нахождении множеств точек, удовлетворяющих определенным свойствам
131
Примером ситуации первого вида является следующая задача: «В тре-
угольнике АВС АВ=с, АС=в. ВС=а. ВД - меридиана. Докажите, что
2	4
Задача: «Найдите множество точек, для каждой из которых разность
квадратов расстояний от двух данных точек есть величина постоянная»
интерпретирует ситуацию второго вида. Для разработки методики форми-
рования умения применять координатный метод важно выявить действия,
адекватные деятельности использования координатного метода
2. Компоненты координатного метода
Проанализируем решения некоторых задач. В процессе этого
анализа выделим действия, адекватные координатному’ методу.
Задача. В треугольнике АВС АВ- с, АС=Ь. ВС = a, BD - медиа-
на. Докажите, что
2	4
Выберем систему координат так, чтобы точка А служила на галом
координат, а прямая А С - осью ОХ (умение выбирать такую систему коор-
динат, в которой наиболее просто находятся координаты заданных точек).
В выбранной системы координат точки А, С и D имеют следующие коор-
динаты: Л(0, 0), /)(-|; 0) и С(Ь; 0) (умение вычислять координаты заданных
точек). Обозначим координаты точки В через х и у. Тогда, используя фор-
мулу для нахождения расстояний между двумя точками заданными свои-
ми координатами, получаем
х2 + у2 = с2, (x-lrf+y1 = а2	(1)
(умение находить расстояние между двумя точками, заданными коорди-
натами).
По той же формуле BD2 = (х--|)2 +у' (умение находить расстояние
между двумя точками координатной плоскости Используя равенство (1),
132
, а2+сг b2 ,	-
получаем: BD = —-------(умение выполнять преооразование алгебраи-
ческих равенств).
Для решения задач на нахождение множеств точек, удовлетворяю-
щих определенным свойствам, кроме указанных умений, важно владеть
умениями составлять уравнения фигур и видеть за уравнением конкрет-
ный геометрический образ.
Выделенные у мения являются основой решении более сложных за-
дач. Убедитесь в этом сами, решив задачу: «Диагонали четырехугольника
ABCD перпендикулярны и равны. На его сторонах даны точки Р, Q. R, S
такие, что АР : PB=BQ QC = CR RD=DS: SA. Докажите перпендикуляр-
ность и равенство отрезков PR и OS»
Итак, компонентами умения применять координатный метод в кон-
кретных ситуациях являются следутощие умения: 1) переводить геометри-
ческий язык на аналитический и обратно: 2) строить точку по заданным
координатам; 3) находить координаты заданных точек, 4) вычислять рас-
стояния между точками, заданными координатами; 5) оптимально выби-
рать систему координат; 6) составлять уравнения заданных фигур; 7) ви-
деть за у равнением конкретный геометрический образ; 8) выполнять пре-
образование алгебраических соотношении.
3. Различные варианты изложения метода координат
Существуют различные подходы к изложению метода координат.
1. Вначале вводится понятие прямоугольного базиса как тройки (г,
д, к) либо пары (г, д) попарно перпендикулярных единичных векторов в
зависимости от того, идет ли речь о координатном методе в пространстве
или на плоскости. Затем вводятся координаты вектора а в базисе (?, д, к)
либо (г д). после чего - прямоугольная система координат и координаты
точки. Прямоугольная система координат определяется как совокупность
данной точки и прямоугольного базиса. Координаты вектора ОМ в базисе
(г, д,к) или (г. д) называют координатами точки Л/ в прямоугольной сис-
теме координат. Далее рассматривается теория координатного метода:
расстояние между' двумя точками на координатной плоскости (в коорди-
натном пространстве), уравнение фигуры и т.д.
133
Такой подход был реализован в учебнике «Геометрия 9-10» под. ред.
3. А. Скопеца (М.. 1982).
2. Вводится прямоугольная система координат как совокупность
двух взаимно перпендикулярных прямых, на каждой из которых выбрано
направление и выбрана единица измерения отрезков, затем - понятия на-
чала координат, положительной (отрицательной) полуоси, координат точ-
ки, уравнения фигуры и их применения при решении задач. Такое изло-
жение координатного метода используется в учебниках геометрии автора
А. В. Погорелова и авторов Л. С. Атанасяна и др. Принципиальное отли-
чие во введении координат заключается в том, что в первом подходе реа-
лизуется схема «от координат вектора - к координатам точки», во втором
наоборот. Эта схема реализуется и в большинстве пробных учебников
геометрии, в частности, учебнике В. А. Смирнова и И. М. Смирновой.
Можно встретить и объединение этих подходов. Например, в ранее
действовавших учебниках геометрии в VI-VII классах использовался вто-
рой подход, в IX-X классах - первый. Однако целесообразность смешения
обоих подходов в одном учебнике вряд ли можно объяснить. Из двух под-
ходов предпочтительнее второй: он не связан с теорией векторов, его ос-
новы заложены в учебниках математики IV-V классов и в курсе алгебры.
4. Методика изучения метода координат
В учебниках геометрии А. В. Погорелова’. Л. С. Атанасяна и др. ис-
пользуется один и тот же вариант изложения метода координат на плоско-
сти. Однако роль координатного метода в названных учебниках далеко не
одинакова. Если учебник Л.С.Атанасяна и др. ограничивается лишь не-
значительным использованием координат в изложении геометрии (опре-
деление тригонометрических функций, основное тригонометрическое то-
ждество, формулы приведения, теорема косинусов), то в учебнике
АВ.Погорелова координатный метод является инструментом изучения
геометрии. Он широко используется при доказательстве теорем и опреде-
лении понятий (с помощью координатного метода изложены теории пре-
образований и векторов). Схема изложения метода координат на плоско-
сти в учебнике А. В. Погорелова такова: введение координат, координаты
середины отрезка, расстояние между точками, уравнение окружности,
уравнение прямой, координаты вектора. В учебнике Л. С. Атанасяна и др.
метод координат излагается в такой последовательности: координаты век-
134
тора, простейшие задачи в координатах, уравнения окружности и прямой.
Незначительная вариация этих схем используется авторами пробных
у чсбников.
Учащиеся уже знакомы с прямоугольной системой координат, по-
этому введение этого понятия не вызывает трудностей. Основное внима-
ние должно быть обращено на усвоение соответствующей терминологии и
на формирование умений вычислять координаты заданной точки, строить
точку по се координатам, оптимально выбирать систему координат. Надо
сказать, что упражнений, формирующих умение выбирать систему' коор-
динат, в учебниках почти нет, Приведем их примеры.
1.	Известно что в некоторой системе координат: А(7; 2), В(-7, 2).
Восстановите систему координат.
2.	Длина отрезка АВ равна 5 см. а) Выберите систему координат, в
которой можно было бы наиболее просто определить координаты концов
отрезка, б) Выберите систему координат так, чтобы координаты концов
отрезка были бы: Л(-2,5; 0). 8(2.5; 0).
3.	Дан прямоугольник ABCD (АС= 2 см. ВС= 4 см). Как выбрать
систему координат, чтобы его вершины имели координаты И(-1; -2), В(-1;
2), С(1; 2). £>(1; -2)?
4.	Длины сторон треугольника АВС равны 3, 4 и 5 см. Выберите сис-
тему координат и определите в ней координаты вершин треугольника АВС.
Во всех учебниках содержатся задачи на нахождение координат сере-
дины отрезка и расстояния между двумя точками.
Зная соответствующую формулу, можно решать большой крут за-
дач. например доказать, что если две медианы треугольника равны, то
треугольник равнобедренный.
С уравнениями некоторых фигур учащиеся знакомы из курса алгеб-
ры. Так. учащимся известно, что у равнение у=х~ является х равнением па-
раболы. Поэтому ознакомление с понятием уравнения фигуры следует
осуществлять в процессе обобщения и систематизации знаний учащихся,
приобретенных ими в курсе алгебры В учебнике А. В. Погорелова урав-
нением фигуры на плоскости в декартовых координатах называется урав-
нение с двумя неизвестными х и у. которому удовлетворяют координаты
любой точки фигуры. И обратно, любые два числа, удовлетворяющие
этому' уравнению, являются координатами некоторой точки фигуры. Для
утверждения, что некоторое у равнение fix, у) = 0 является уравнением фи-
135
гуры F, нужно доказать, что: а) координаты любой точки фигуры F удов-
летворяют уравнению fix, у) — 0. б) иобые два числа, удовлетворяющие
уравнению fix, _у)=0. являются координатами некоторой точки фигуры F.
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. уравнение с двумя переменными х и у
называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют
координаты любой точки линии L и не удовлетворяют координаты ника-
кой точки, не лежащей на этой линии. Для утверждения, что некоторое
уравнение fix, у) = 0 является уравнением фигуры F, нужно доказать что:
а) координаты любой точки фигуры F удовлетворяют уравнению fix, у) =
0; б) если точка М не принадлежит фигуре F. то ее координаты (Х|, у,) не
удовлетворяют уравнению fix, у) =0, т.е. fix\, j'jpO. Таким образом, в
учебнике А. В. Погорелова логическая структура определения уравнения
фигуры является конъюнкцией прямого и обратного утверждений в учеб-
нике Л.С. Атанасяна и др. - конъюнкцией прямого и противоположного
ему утверждений. Логическая структура опреде. ения обтстовтиваст ха-
рактер пропедевтики. Так в рамках учебника А. В. Погорелова при повто-
рении и систематизации знаний, полученных в ку-рсе алгебры, следует
.акцентировать внимание учащихся на том. что, например уравнение у = х2
является уравнением параболы, так как координаты любой точки парабо-
лы удовлетворяют уравнению у = х2 и любые два числа, удовлетворяющие
уравнению у-х2, являются координатами некоторой точки параболы.
Вопросы и задания.
1.	Раскройте роль координатного метода в обучении математике.
Проиллюстрируйте свои утверждения примерами.
2.	Охарактеризуйте пути изложения теории координат в различных
учебниках геометрии. Выберите из них тот, который, по вашему мнению,
наиболее целесообразен в курсе геометрии основной школы. Обоснуйте
свои выводы.
3.	Проследите, как в учебниках геометрии решается проблема
формирования умения использовать метод координат в решении задач.
4.	Составьте по нескольку задач ориентированных на формирова-
ние координатного метода.
5.	Отберите из журнала «Математика в школе» и газеты «Матема-
тика» задачи, решаемые координатным методом, и на их основе со-
ставьте программу изучения координат на внеклассных занятиях.
136
6.	Докажите, что нижеприведенные отображения плоскости на себя:
а) (х, у) -» (х, -у): б) (х, у)-> (-х, у): в) (х, у)-> (-х,-у):
г)(х, у) -> (х + а,у + fe); д) (х, у) -> (-у, х); е) (х, у) -> (у, -х)
являются соответственно: а) симметрией с осью Ох; б) симметрией с
осью Оу; в) центральной симметрией с центром в начале координат: г)
параллельным переносом: д) поворотом вокруг начала координат на 90°
против часовой стрелки; е) поворотом вокруг начала координат на 90°
по часовой стрелке.
7.	Выведите координатные формулы различных видов движений.
8.	Выведите координатные форму ты движений: а) 1-го рода, б) 2-го рода.
9.	Исследуйте возможность координатного подхода к изучению
движений на занятиях математического кружка. В каком классе это
во можно осуществить?
10.	Проанализируйте школьные учебники геометрии с точки зре-
ния возможности ознакомления учащихся с координатной записью го-
мотетии с центром в начале координат.
11.	Используя координатные формулы гомотетии, докажите, что:
а) гомотетия отображает прямую на параллельную ей прямую; б) ком-
позиция двух гомотетий, центры которых совпадают, есть гомотетия; в)
композиция двух гомотетий с общим центром обладает переместитель-
ным свойством. Приведите несколько упражнений на использование
этих свойств.
12.	Выведите координатные формулы подобия 1-го и 2-го рода.
Литература
1.	Учебники геометрии.
2.	Методика обучения геометрии: Учебное пособие для студентов
высш, учеб заведений / под ред. В.А. Гусева. М., 2004.
3.	Понтрягин Л.С. Знакомство с высшей математикой: Метод коорди-
нат. М.. 1977.
4.	Преподавание геометрии в 6-8 классах / Сост. В. А. Гусев. М.. 1979.
5.	Саранцев Г.И. Упражнения в обучении математике. М., 2005.
6.	Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г. Д. Глейзер. М.,
1990.
137
Глава VIII
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ В КУРСЕ
ПЛАНИМЕТРИИ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
1. Значение тригонометрических функций и различные подхо-
ды к их изложению
2. Методика изучения тригонометрических функций
1. Значение тригонометрических функций и различные
подходы к их изложению
Тригонометрические функции играют важную роль в математике
и ее приложениях. Они удобны для описания связи между сторонами и
углами треугольников. Использование тригонометрических функций в
курсе геометрии способствует утверждению взгляда на понятие функ-
ции как на важнейшее понятие математики, связывая тем самым курсы
алгебры и геометрии. Велико значение тригонометрических функций в
формировании диалектического мировоззрения: через их посредство
многие геометрические факты находят применение в непосредственно
практической деятельности, в частности, при проведении различных
измерительных работ на местности они являются моделью многих пе-
риодических процессов (биение сердца, зависимость напряжения в ме-
талле от нагрузки на него и т.д.).
В учебной литературе существуют различные системы изложения
тригонометрических функций.
1.	Ограничиваются рассмотрением тригонометрических функций
острого угла прямоугольного треугольника. Такой подход был реализо-
ван в учебнике геометрии А. П. Киселева (Киселев А. П. Элементарная
геометрия. - М„ 1980).
2.	Вначале вводят тригонометрические функции острого угла
прямоугольного треугольника, затем распространяют понятия григоно-
метрических функций на множество углов, изменяющихся от 0° до
180°, и рассматривают их различные приложения. Такая система изла-
гается в учебнике А. В. Погорелова. В учебнике А. Д. Александрова и
др. рассматриваются параллельно тригонометрические функции острого
и тупого углов.
138
3	Тригонометрические функции сразу рассматривают на множе-
стве углов, изменяющихся от 0° до 180°, затем следует частный случай—
тригонометрические функции острого угла. Такой подход реализуется в
учебнике Л. С. Атанасяна и др.
4.	Тригонометрические функции рассматриваются на множестве
углов а, где - -с< а < + <». Такая система изложения содержалась в учеб-
нике А.Н. Колмогорова и др.
Реализация последнего подхода, как показал опыт, встречает
большие трудности в силу высокого уровня абстрактности изложения.
Возможное объяснение целесообразности этого подхода подготовкой
учащихся к изучению тригонометрических функций в старших классах
средней шкоты не является убедительным. В курсе геометрии тригоно-
метрические функции на столь обширной области определения не нахо-
дят применения, для решения косоугольных трсу гольников достаточно
знания тригонометрических функций углов, не превосходящих 180°.
Поэтому наиболее оправданным является рассмотрение тригонометри-
ческих функций на множестве углов а. где 0°<а< 180°.
Возрастным возможностям учащихся VIII-IX классов более соот-
ветствует такая система изложения тригонометрических функций, при
которой вначале рассматриваются тригонометрические функции остро-
го угла, а затем уже осу ществляется расширение их области опреде-
ления. Указанная система изложения тригонометрических функций на-
глядна. она позволяет сразу же формировать практические навыки
школьников в использовании функций к решению прямоугольных тре-
угольников при ее реализации естественна мотивация расширения об-
ласти определения тригонометрических функций, обусловленная реше-
нием любых треугольников. Такой подход позволяет сразу же активно
использовать тригонометрические функции острого утла при дока-
зательстве многих фактов, что способствует форм1грованию представ-
ления учащихся о них, как о важном инструменте изучения геометрии.
2. Методика изучения тригонометрических функций
Поскольку в действующих учебниках используются различные
системы изложения тригонометрических функций, то представляется
целесообразным рассмотреть методику их изучения в отдельности.
139
В учебнике А.В.Погорелова структура изложения тригонометри-
ческих функций такова: косинус острого угла прямоугольного тре-
угольника; теорема о зависимости косинуса угла только от градусной
меры угла; использование косинуса угла для доказательства теоремы
Пифагора; синус, тангенс острого угла прямоугольного треугольника и
зависимость их только от величины угла; таблицы синусов, косинусов и
тангенсов; основные тригонометрические тождества; значения синуса,
косинуса и тангенса некоторых острых углов; изменение sin a, cos а и
tg о., при возрастании острого угла а,синус, косинус и тангенс любого
угла от 0° до 180°; использование косинуса угла при изучении скаляр-
ного произведения векторов; решение треугольников: использование
тригонометрических функций при изучении правильных треугольников
и площадей фигур. Мы намеренно подробно перечислили содержание
теории тригонометрических функций и ее применение, чтобы тем са-
мым подчеркнуть связь тригонометрических функций с изложением
геометрического материала.
Наиболее принципиальными вопросами методики изучения три-
гонометрических функций острого утла прямоугольного треугольника
является введение понятий косинуса, синуса и тангенса острого утла и
доказательство зависимости их только от градусной меры угла. Вве-
дению понятий косинуса, синуса угла желательно предпослать выпол-
нение упражнений на выделение катетов прямоугольных треугольни-
ков, прилежащих к углу, противолежащих углу7, на составление от-
ношений катетов к гипотенузе.
Дан прямоугольный треугольник АВС (/_в прямой. BD1АС).
а) Выделите прямоугольные треугольники и назовите их катеты, приле-
жащие к углу А. Напишите отношения катетов к соответствующим ги-
ВС Л /3 CD DC
потенузам. б) Какие из отношений —,—,—,—,— являются отно-
ВС АС АС ВС BD
шениями прилежащего катета к гипотенузе?
После выполнения упражнений вводится определение косинуса
острого утла прямоугольного треугольника. Очевидно, что косинус угла
не зависит от расположения треугольника. Интуитивно ясно, что коси-
нус угла зависит от градусной меры этого угла. После доказательства
теоремы и его обсуждения необходимо выполнить несколько упражне-
ний на построение угла по заданному косинусу этого угла. На следую-
140
щем уроке перед доказательством теоремы Пифагора можно в качестве
у пражнения рассмотреть элементы этого доказательства, в которых ис-
пользуется определение косинуса утла: «Докажите, что в прямоуголь-
ном треугольнике АВС (хС прямой) АС2 = AD  АВ. где D - основание
перпендику ляра CD». Можно подчеркнуть, что по аналогии АВ  BD =
ВС2. Желательно акцентировать внимание учащихся на полученной за-
висимости между катетом, гипотенузой и отрезком гипотенузы, приле-
жащим к этому катету (проекцией катета на гипотенузу). После выпол-
нения упражнения и формулировки указанного факта следует подчерк-
нуть, что в прямоугольном треугольнике катеты и гипотенуза связаны
зависимостью, известной под названием теоремы Пифагора. Ее доказа-
тельство уже может быть выполнено с активным участием учащихся,
чему способствует отмеченное упражнение. Из теоремы Пифагора вы-
текает, что для тюбо о острого угла a cos а < 1. Заметим, что теорема
Пифагора играет большую роль в изложении материала. Она является
центром блока, объединяющего широкий спектр геометрических знаний
и умений (зависимость между наклонными и их проекциями, зависи-
мость синуса и тангенса угла только от величины угла, основные триго-
нометрические тождества, значения синуса, косинуса и тангенса углов и
т.д.). При закреплении теоремы Пифагора следует предусмотреть про-
педевтику’ излагаемых с ее помощью фактов. В частности, целесообраз-
но выпо нить упражнение на нахождение гипотенузы прямоугольного
треугольника с острым углом 45° (60°) по данному катету, что будет
способствовать нахождению синуса, косину са и тангенса углов 45°, 60°.
Аналогично вводятся понятия синуса и тангенса угла, ставится
проблема обоснования независимости синуса и тангенса угла от разме-
ров треугольника. Доказательство этой теоремы может быть выполнено
при активном участии учащихся. Беседу учителя с классом при этом
можно организовать так.
Учитель. Нам надо доказать, что
(рис. 37). Как это сделать?
Равенство каких отношений в ука-
занных треу гольниках известно нам?
,, АВ АВ,
Ученик. — = —L
АС АС,
141
w u	вс	AB
Учитель. Нельзя ли отношение — выразить через отношение ——
АС	АС
? Какая теорема связывает стороны АС, ВС иАВ?
Ученик. Теорема Пифагора.
Учитель. Как из теоремы Пифагора получить зависимость между
интересующими нас отношениями?
Ученик. Разделить обе части равенства АВ2 + ВС2 =АС2 на АС2
Способ доказательства теоремы о том. что синус утла зависит
только от величины угла, найден. Остается лишь оформить запись дока-
зательства. Можно обратить внимание учащихся на вновь полученное
равенство sin2 a + cos2 a -1 Доказательство независимости тангенса ост-
рого утла от размеров треугольника следует из представления тангенса
утла через отношение синуса и косину'са этого угла.
Как уже было отмечено, с основным тригонометрическим тожде-
ством была возможность познакомить учащихся. Если учитель восполь-
зовался ею, то ему остается только подчеркнуть это тождество и его
обоснование. Если нет, то после объявления темы урока «Основные
тригонометрические тождества» следует указать учащимся, что синус и
косинус утла связаны между' собой равенством sin2a + cos2« = l. Можно
предложить учащимся упражнения, выполнение которых позволит им
самим почувствовать эту зависимость. Для этого нужно указать не-
..	. 2	2
сколько конкретных углов и предложить учащимся наити sin a. cos о.
и их сумму. Обоснование тождества sin2 a+cos2 a = 1 может быть осуще-
ствлено в процессе беседы:
Учитель. Как доказать это тождество?
Ученик. Заменим sin о и cos о их значениями sin «=-. cosa = -.
с'	с
Здесь а, Ь, с - катеты и гипотенуза некоторого прямоугольного тре-
угольника с острым углом а.
Учитель. Давайте выполним эту замену:	= Не напоминает
ли это равенство известную вам зависимость между сторонами прямо-
угольного треугольника?
Ученик Если умножим обе его части на с2, то получим, что
а2 + Ь2 = с2. Это равенство верно по теореме Пифагора.
Способ доказательства основного тригонометрического тождества
найден Теорема «Для любого острого угла a sin (90°- а) = cos а.
142
cos (90° - a) = sin a и ее доказательство могут быть отмечены самими уча-
щимися в результате выполнения с гсд\ ющего упражнения: «АВС - прямо-
угольный треугольник с острым углом а при вершине А. Напишите значе-
ния синуса и косинуса углов А и В. Сравните их и сделайте вывод».
Следующий важный момент в изучении тригонометрических
функций - введение cos a, sin а и tg а, где 0 < а < 180°. Мотивация рас-
ширения области определения тригонометрических функций может
быть осуществлена в процессе беседы учителя с учащимися. Учитель
напоминает о том. что учащимся известны некоторые зависимости ме-
жду сторонами треугольника: 1) в любом треугольнике каждая сторона
меньше суммы двух других сторон; 2) в прямоугольном треугольнике
квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов. Возникает во-
прос: нельзя ли также определенно выразить зависимость между' сторо-
нами любого треугольника? Такая зависимость существует. Однако для
ее выявления необходимо расширить понятие косинуса острого угла на
любой угол от 0° до 180°. Акцентируется внимание на том, что при из-
менении а от 0° до 180° каждому значению а соответствует единствен-
ное значение cos а и единственное значение sin а, при изменении а от 0°
до 90е (0° < а< 90°) и от 90° до 180° (90°< а< 180°) каждому значению
а соответствует единственное значение tg а. Таким образом, косинус и
синус являются функциями угла а, где 0° < а < 180° а тангенс - функци-
ей угла а, где 0°< а < 90е и 90°< а < 180°. Функции sin a. cos a, tg а на-
зываются тригонометрическими функциями.
Введенные определения косинуса, синуса и тангенса угла а следу-
ет закрепить путем упражнений.
1. Вычислить cos 120°, sin 120° и tg 120°.
Заметим, что учащиеся не знают пока форму л sin (180°- a) = sin a,
cos (180°- a) - - cos a tg (180 - a) = - tg a для a 90°. Выполнение уп-
ражнения осуществляется на основе определений синуса, косинуса и
тангенса угла а и подводит учащихся к указанным формулам. Необхо-
димо подчеркнуть практическую значимость теоремы: она позволяет
сводить вычисление синуса, косинуса любого утла a (0°<a<180°) и
тангенса угла а 90° к вычислению синуса, косинуса и тангенса остро-
го утла. Определив косинус угта а (0°< а< 180°), можно обсуждать за-
висимость между сторонами треугольника, даваемую теоремой косину-
сов. Знакомство с данной зависимостью можно осуществить посредст-
143
вом упражнения: «Найти зависимость между стороной ВС и сторонами
АВ и АС треугольника >1 ВС». Использование упражнения целесообразно
еще и потому', что оно закрепляет многие векторные понятия (разность
векторов, скалярное произведение векторов и т.д.). изучение которых
предшествовало теореме косинусов, а его выполнение есть доказатель-
ство этой теоремы. Полезно обратить внимание на то, что теорема
Пифагора является ее частным случаем.
При отборе и конструировании упражнений на у своение теоремы
косинусов следует использовать и упражнения, которые не содержат
условий для ее применения. Примером такого упражнения является
следующее: «Даны сторона и два утла треугольника. Найти вторую сто-
рону треугольника».
Пусть ВС = a, ZA = a, ZC = у. Найдем сторону АВ. Прямой воз-
можности выразить сторону АВ через ВС нет. В таком случае использу-
ем прием введения нового элемента, который находится в известных
связях с двумя данными. Очевидно, что таким элементом является вы-
сота BD : jBD = a siny и BD = AB-s'ma. Отсюда АВ sina = o-smyn
sina
Упражнение такого типа целесообразно перед изучением теоремы
„ АВ а
синусов. Ооращается внимание на равенство отношении -------= ——,
sin/ sm«
после чего сообщается теорема синусов. Выполнение упражнения мо-
делирует ее доказательство. При таком подходе мотивированы изучение
теоремы и способ ее доказательства.
При последующем изложении материала выясняется связь между
стороной правильного треугольника и радиусом описанной (вписанной)
окружности, площадью треугольника и произведением длин двух его
сторон. Тригонометрические функции используются также при выводе
формулы площади круга, формулы Герона.
В учебнике Л.С. Атанасяна и др. тригонометрическим функциям и
соотношениям между сторонами и углами треугольника посвящена от-
дельная глава. Структура ее такова: синус, косинус, тангенс угла a
(0°< a <180°); основное тригонометрическое тождество; формулы при-
ведения, таблицы тригонометрических функций; соотношения между'
144
сторонами и углами прямоугольного треугольника; теоремы синусов и
косинусов, решение треугольников.
Если в учебнике А.В.Погорелова изложение тригонометрических
функции осуществляется по схеме «от частного к общему», то в учеб-
нике Л.С. Атанасяна и др,- «от общего к частному», причем примене-
ние тригонометрических функций к обоснованию геометрических зави-
симостей во втором учебнике более ограничено, чем в первом. Синус
угла а (0°< а < 180°) вводится как ордината у точки М пересечения луча
h, образующего с положительной полуосью абсцисс угол а, и единич-
ной поту окружности; косину с угла - абсцисса х точки М. Следует иметь
в виду, что в учебнике в качестве определения выделено следу тощее по-
ложение: «Сину сом угла а называется ордината у точки М. косинусом
угла — абсцисса х точки М». Очевидно, что указанное предложение
нельзя отнести к определениям синуса и косинуса утла а оно подводит
итог разъяснения происхождения точки М. поэтому описание процеду-
ры получения точки М вместе с предложением, вводящим термин синус
(косинус) угла а является генетическим определением понятия синуса
(косинуса) утла а
При введении понятий синуса и косинуса угла а полезно использовать
модель, содержание которой адекватно рис. 38.
Используя модель, нетрудно разъяснить сущность факта, который
позволяет отнести sin а и cos а
(0°<а<а 180°) к функциям. Каж-
дому значению а из промежутка
0°<«<18() <а 180° соответствует
единственное значение sm а
(cos «) Поскольку синус и коси-
нус угла а определены соответ-
ственно как ордината и абсцисса
точки М единичной полуокруж-
ности, то координаты (х: у) лю-
бой точки М единичной полуок-
ружности удовлетворяют уравнению х“ + у2 = 1. Заменяя х и у соответ-
ственно cosor и sin«, получаем sin2a+ cos~a = 1 (0°<a<180°) - основ-
ное тригонометртеское тождество. Использование модели позволяет
наглядно проиллюстрировать изменение значений функций sin а и cos a
145
при возрастании а от 0° до 180°. Заметим, что в учебнике эта зависимость
формулируется на созерцательной основе.
При отборе упражнений следует руководствоваться не только ори-
ентацией их на усвоение изучаемых понятий, но и на подготовку к вве-
дению новых понятий и утверждений. Например, за параграфом “Си-
нус, косинус, тангенс” рассматриваются значения тригонометрических
функций для углов 30°, 45° и формулы приведения. При отборе практи-
ческих заданий следует учесть это. Так, целесообразно выполнение уп-
ражнений:
1.	С помощью транспортира построить угол в 45°. Провести необ-
ходимые построения и найти синус, косинус и тангенс угла.
2.	Построить острый угол, синус которого равен 0,5. Измерить его
транспортиром с точностью до 1 °.
3.	С помощью транспортира построить лучи так, чтобы углы меж-
ду ними и положительной полуосью абсцисс были равны: а) 21° и 159°;
б) 45° и 135°. По результатам измерений найдите синусы и косинусы
этих углов. Сравните значения синусов и косину сов данных пар углов.
Упражнение 3 позволит познакомить учащихся с утверждениями:
sin (180°—а) = кша, cos (180° «) = - cos«, упражнения 1 и 2 - со значе-
ниями тригонометрических функций углов 45° и 30°. нахождение кото-
рых в дальнейшем может быть выполнено как упражнение. Знакомство
с методами обоснования формул приведения можно осуществить по-
средством специальных упражнений. (Методика их использования опи-
сана выше).
Следующий этап в изучении тригонометрических функций заклю-
чается в обосновании соотношений между сторонами и углами прямо-
угольного треугольника. Напомним, что в учебнике Л.С. Атанасяна и
др. синус и косинус утла « (0°<а-<180°) определяется через координаты
точки пересечения луча, образуемого с положительной полуосью оси
абсцисс угол а. Из определения синуса и косинуса утла следует спра-
ведливость указанных соотношений для прямоугольного треугольника с
гипотенузой 1.
Как доказать эти соотношения для любого прямоугольного тре-
угольника?
Пусть в прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С АВ
=с, ВС = а, АС = Ь. Введем прямоугольную систему’ координат с нача-
146
лом в точке А так, чтобы луч АС совпал с положительной полуосью Ох.
Тогда координаты точки В равны (b, ci). Используя векторы, легко дока-
зать, что sin А = —, cos А = -. Полученные формулы позволяют найти
с	с
все стороны и острые углы прямоугольного треугольника, если извест-
ны две стороны или одна сторона и один острый угол.
Перед рассмотрением соотношений между сторонами и углами
треугольника целесообразно заострить внимание на важности изучения
этого материала. Учитель рассказывает о практическом применении
тригонометрических функций, в частности, при измерении высоты
предмета или расстояния до недоступной точки.
Понятие синуса угла используются в теореме о зависимости между
площадью треугольника и произведением двух его сторон. Ознакомить
учащихся с доказываемой зависимостью и способом ее обоснования
уместно посредством следующего, упражнения: «В треугольнике АВС а
= 15 см, b = 12 см. zC = 60°. Найти площадь треугольника АВС». Эта
зависимость используется при доказательстве теоремы синусов. В нача-
ле урока на котором будет изучаться теорема сину сов можно провести
самостоятельную работу, включив в нее упражнение «Напишите фор-
мулы, выражающие площадь треугольника через произведение его сто-
рон и синуса утла между ними. Укажите отношения, равенство которых
следует из этих формул». Обсуждение результатов этого упражнения
позволит ввести теорему сину сов и указать метод ее доказательства.
Теорема косинусов доказывается с помощью координатного мето-
да. Формула расстояний между двумя точками, используемая в доказа-
тельстве теоремы косину сов, не применялась учащимися на протяжении
многих уроков. Поэтому перед изу чением теоремы косинусов целесооб-
разно напомнить учащимся о координатном методе. С этой целью мож-
но выполнить упражнение: «Определить координаты вершин треуголь-
ника ОАВ, в котором О А = b, ОВ = а, / О = а Найти АВ и зависимость
между АВ , 04 и ОВ». Упражнение позволяет не только вспомнить ко-
ординатный метод, но и у видеть как саму зависимость, отраженную в
теореме, так и метод ее обоснования.
При выполнении подобных у пражнений у учащихся вырабатываются
критерии использования теорем синусов и косинусов. Теорема синусов
эффективна тогда, когда заданы два угла и сторона треугольника, теорема
147
косинусов удобна при задании двух сторон и угла между ними. По мерс
овладения критериями усложняются упражнения тем. что их выполнение
требует использования нс только теорем синусов и косинусов.
Пример: «В треугольнике MNP MN = р, Z.M = a, Z.N=p. Найти
биссектрисы треугольника».
Приведенное упражнение характерно тем, что анализ условия зада-
чи подсказывает метод ее решения. Действительно, анализ условия при-
водит прямо к целесообразности использования теоремы синусов для
нахождения биссектрис. Очевидно, что задание величины угла (или не-
скольких углов) уже наталкивает на использование тригонометрических
функций, а также теорем синусов и косинусов. Болес высокий уровень
применять тригонометрические функции в конкретных ситуациях ха-
рактеризуется умением использовать их при решении задач, условия ко-
торых не подсказывают метода решения. Примером такой задачи явля-
ется следующая: «Докажите, что площадь 5 выпуклого четырехуголь-
ника со сторонами а. Ь, с и d (последовательно) удовлетворяет неравен-
ству	5 < 1 {ab+cd)>y.
Площадь четырехугольника может быть вычислена разными спо-
собами. Одним из них является нахождение площадей треугольников,
на которые можно разбить данный четырехугольник. Правда, более
глубокий анализ требования задачи все-таки наводит на целесообраз-
ность использования формулы, выражающей площадь треугольника че-
рез произведение двух его сторон и синуса угла между ними.
В заключение остановимся на изложении тригонометрических
функций в учебнике А.Д. Александрова и др. Введению понятия синуса
острого угла предшествует рассмотрение отношения отрезков и теоре-
мы: “Если из точки, лежащей на одной стороне острого угла, опустить
перпендикуляр на другую его сторону, то отношение этого перпендику-
ляра к наклонной не зависит от выбора точки’’. Синус острого утла А
определяется как отношение перпендикуляра ВС, опущенного из точки
В одной стороны острого утла А на другую его сторону, к наклонной
ВА. Синусом тупого угла называют синус смежного с ним острого угла.
Затем рассматривается синус острого утла в прямоугольном треуголь-
нике, зависимость синуса утла от величины утла, решение прямоуголь-
ных треугольников, теорема синусов и ее приложения. Косинус острого
148
угла А определяется как отношение проекции АС какого-нибудь отрезка
АВ одной из сторон угла на другую его сторону' к этому отрезку АВ. Ко-
синус ту пого угла А определяется как отношение проекции АС какого-
нибудь отрезка АВ одной из сторон угла на продолжение другой его
стороны к отрезку АВ. взятому со знаком минус. Тангенс утла рассмат-
ривается как отношение синуса утла к его косинусу.
Вопросы и задания.
1.	Проанализируйте систему изложения тригонометрических
функций в курсе геометрии. Выделите основные этапы их изучения.
2.	Выполните логический и дидактический анализ темы «Синус и
косинус». Составьте диктант для проверки знаний по теме.
3.	Разработайте систему упражнений, ориентированных на изуче-
ние тригонометрических функций и на се основе ролевую игру..
4.	Изучите систему изложения тригонометрических функций в
различных учебниках геометрии. Какая из систем изложения, по ваше-
му мнению, наиболее целесообразна? Ответ обосну йте.
5.	Охарактеризуйте роль тригонометрических функций в матема-
тическом образовании учащихся. Свой ответ проиллюстрируйте приме-
рами
Литература
1	Учебники геометрии.
2.	Сарапцев Г.И. Методика преподавания геометрии в девятилетней
школе. Саранск, 1992.
3.	Крамор В.С., Михайлов П.Л. Тригонометрические функции. М.,
1979.
149
Глава IX
ПЛОЩАДИ ФИГУР
1.	Понятие площади
2.	Пропедевтика понятая площади в V-VI классах
3.	Понятие площади в VII-IX классах
1.	Понятие площади
Интуитивно площадь воспринимается как численная характери-
стика плоской фигуры, показывающая, как много места занимает эта
фигура на плоскости. Практические потребности привели к разработ-
ке теории измерения площади с многочисленными формулами ее вы-
числения задолго до того, как было дано строгое определение самого
понятия площади. Это стало возможным лишь после завершения теории
действительных чисел (вторая половина XIX в.).
Строгий математический подход к теории площади предполагает
выделение класса плоских фигур К (тех фигур, площади которых мы
намерены определить), причем от К требуется следующее: 1) все много-
угольники принадлежат К, 2) если фигуры Fb F2e Я и не имеют общих
внутренних точек (не перекрываются), то FijF2e 3) движение фигу-
ры из К приводит к фигуре из К. Числовая функция 5. определенная на
К, называется площадью, если она удовлетворяет следующим условиям
(аксиомам площади)
1)	S(F) > 0 для всех Fe К (положительность площади).
2)	если фигуры Fb F2e К и не перекрываются, то
S (Fi ijF2) = S (Fi) + S’ (F2) (аддитивность площади):
3)	если Fi e F, a F2 получена движением фигуры F,. то S (F)
= S' (F2) (инвариантность при движении);
4)	если Е - квадрат со стороной, равной единице измерения отрез-
ков (единичный квадрат), то S(E) = 1 (условие нормировки).
Таким образом, основные вопросы теории площади сводятся по
существу к следующим: а) выделение класса К со свойствами 1)-3), со-
держащего интересующие нас фигуры; б) доказательство су шествова-
ния и единственности площади S на классе К, в) нахождение практиче-
150
ски удобных методов и формул вычисления площадей интересующих
нас фигур из класса 7<‘
Наименьшим классом К, обладающим свойствами 1)-3), является
класс Р всех многоугольников и всех фигур, представленных в виде
объединения конечного числа неперекрывающихся многоугольников
(простых фигур). Такие фигуры допускают разбиение на треугольники,
благодаря чему их площадь умели вычислять уже в глубокой древности
В школьном курсе математики теория площадей также начинается с
вычисления площадей многоугольников (или более общим образом
простых фигур).
Развитие теории площади привело к выделению в некотором
смысле самого широкого класса ограниченных плоских фигур, для ко-
торого удается доказать существование и единственность площади -
класса Q квадрируемых (или измеримых по Жордану) фигур. А именно,
отнесем ограниченную фигуру F к классу Q. если для любого е > 0 гра-
ницу фигуры F можно покрыть конечным числом квадратов Сь С2,...,
Сп (эти квадраты могут и перекрываться) со сторонами длины di, d2,...,
dn и такими, что ^d < е. Интуитивно это означает, что эквивалентное
определение квадрируемой фигуры F таково: Ft Q если для любого е > О
найдутся простые фигуры Рь Р2 такие, что Pi t>F ^Р2 и S(P}) - 5(Р2) < е.
Последнее определение требует предварительного доказательства суще-
ствования и единственности площади на классе Р простых фигур. Ин-
туитивный его смысл состоите том, что квадрируемая фигура как «сни-
зу» так и «сверху» аппроксимируется многоугольниками. Основной
теоремой теории площади является следующая теорема Жордана: «На Q
существует, причем единственная функция S, обладающая свойствами
1) — 4)». Простейший путь доказать теорему Жордана - ввести на плос-
кости некоторую декартову прямоугольную систему координат и поло-
жить. S(F) = jjrfw/y. где [Jdxafy - двойной интеграл Римана.
Тогда свойства 1)—4) — частные свойства интеграла в то же время
единственность S вытекает из конструкции интеграла Римана и свойств
1)^1). Этот факт лежит в основе другого подхода к определению пло-
щади. при котором площадью плоской фигуры F называют число S(F) =
если интеграл имеет смысл. При этом оказывается, что квадри-
F
151
руемые фигуры F и только они имеют площадь S(F) и функция S(F) на
Q обладает свойствами 1)-4). Реализация этого (конструктивного) под-
хода без упоминания интеграла, но фактически сводящегося к его по-
строению, дана, например, в книге А. Лебега (Лебег А. Об измерении
величин. - М., 1960).
Площади определяют и оценивают путем сравнения с сетью Т, ко-
торая строится следующим образом. Пусть дан квадрат ABCD. Прове-
дем прямые параллельно АВ и AD на расстояниях, кратных стороне
квадрата ABCD. Мы покроем плоскость сеткой R. состоящей из квадра-
тов, равных ABCD, которые назовем квадратами И. Разделив стороны
этих квадратов на 10 равных частей, через точки деления проведем пря-
мые, параллельные АВ и AD-, мы получим сетку Rt, состоящую из квад-
ратов, которые мы назовем И\. Подобным образом переходим к сетке
Л2, состоящей из квадратов И2 и т.д. Совокупность всех сетей и образует
сеть Т. Воспользуемся этой сетью для определения площади.
Пусть имеется фигура D. Сосчитаем количество квадратов И,. це-
ликом состоящих из точек D. Пусть число их будет п;. Так как квадрат
И. содержит 100 квадратов Им, то
и, и, п,
100 1002 1003
Сосчитаем затем, сколько имеется квадратов И;, по крайней мере
одна точка которых принадлежит £>; пусть число их будет равно А,.
Очевидно, чтоМ>п;. Далее,
х М А, А,
N > - <	< —— <
100 1002 1003
Если эти две последовательности чисел являются неограниченно
сближающимися последовательностями, т.е., если стремятся к
нулю при неограниченно возрастающем i, то говорят, что число, опре-
деленное этими двумя последовательностями, есть площадь фигуры D,
выраженная в единицах площади И.
Практический прием нахождения площади фигуры, основанный
на идее указанного определения площади, дает применение палетки. Он
используется в начальной школе.
Отметим, что конструктивный подход в отличие от изложенного
перед ним аксиоматического лишь смещает акцент в определении пло-
щади' он непосредственно задает способ ее вычисления, в то время как
152
при аксиоматическом подходе площадь задается описанием ее основ-
ных свойств I)—4). При конструктивном подходе требуется доказывать,
что 5' обладает свойствами 1)^4), а при аксиоматическом подходе - тре-
буется доказать существование фу нкиии S со свойствами 1)-4). Единст-
венность площади нужно доказывать в обоих случаях.
2.	Пропедевтика понятия площади в V—VI классах
Какие основные идеи площади должен усвоить ученик V-VI кл.?
Очевидно, что школьник должен получить первоначальное прсдставле-
ние о площади как о количественной характеристике места, занимаемо-
го фигурой на плоскости. Такое представление о площади заменяет тео-
рему существования площади. Ученик, первоначально знакомясь с
площадью, должен быть убежден в том. что поверхность каждого из ок-
ружающих нас предметов имеет площадь. Площади различных фигур
мы можем иногда оценить на глаз. При первом знакомстве с площадями
необходимо как можно более сузить рассматриваемый класс квадри-
руемых фигур. В качестве такого класса целесообразно взять класс мно-
гоугольников, которые можно разрезать на конечное число квадратов,
равных единице измерения площадей. Кстати, этот класс квадрируемых
фигур рассматривается в начальной школе. Однако уже в начальной
школе не следует ограничиваться простым пересчетом квадратов, из ко-
торых состоит данная фигура. Необходимо, чтобы при подсчете числа
квадратов учащийся усваивал свойства площади, не формулируя их яв-
но, но ясно понимая, почему он именно так действует. Так. например,
вычисляя площадь прямоугольника, состоящего из двух квадратов, ка-
ждый из которых равен единице измерения площади, ученик должен
понимать, что площадь этого прямоугольника равна двум потому, что
прямоугольник можно мысленно разрезать на две части, каждая из ко-
торых есть единичный квадрат, значит каждая часть имеет площадь 1.
Так как прямоугольник складывается из двух таких частей, его
площадь равна сумме площадей частей, т.е. 1 + 1=2. Мы приведи пол-
ное описание мыслительной деятельности, в результате которой прихо-
дим к заключению, что площадь данного прямоугольника равна 2.
Разбивая фигуры на квадраты (площадь которых равна единице
измерения площади) различными способами, ученик приходит к выво-
153
ду, что площадь фигуры не зависит от способа разбиения Такой опыт и
соответствует теореме единственности площади.
Итак, первоначальное ознакомление с понятием площади как за-
менителем теоремы существования и вычисления площадей фигур, со-
ставленных из квадратов, площадью равных единице измерения площа-
ди, на основе свойств площади - вот те концепции, которые должны от-
ложиться в сознании учащихся при первичном ознакомлении с площа-
дью.
Напомним еще раз, что с понятием площади ученик знакомится в
начальной школе, здесь же ученику' сообщается и алгоритм нахождения
площади прямоугольника.
В V-VI классах обычно площадь прямоугольника используется
для иллюстрации законов арифметических действий с неотрицательны-
ми числами. Задача о вычислении площади прямоугольника служит
средством обоснования целесообразности определения умножения дро-
бей. Стандарт среднего математического образования предполагает зна-
комство учащихся и с формулой площади круга, тем самым расширяя
представление учащихся о квадрируемых фигурах. Разумеется, обосно-
вание формулы площади крута в VI классе невозможно, поскольку оно
предполагает знакомство с понятием предела или понятием точной
верхней (нижней) грани последовательности. Строгое изложение поня-
тия круга в силу сказанного невозможно и в систематическом курсе
геометрии основной школы.
3.	Понятие площади в VII-ГХ классах
В систематическом курсе геометрии обобщаются, систематизируются
и развиваются знания учащихся о площадях. Стандарт описывает следую-
щий крут вопросов: понятие площади, основные свойства площади. Пло-
щади прямоугольника, треугольника, параллелограмма, трапеции. Отно-
шение площадей подобных фигур. Площадь круга и его частей.
В различных учебниках геометрии используются разные методики
ознакомления учащихся со свойствами площади. В учебнике геометрии
А.В.Погорелова изложение вопроса о площадях начинается рассужде-
нием о посеве на двух участках земли: одного в форме квадрата, а дру-
гого произвольной формы. Это рассуждение резюмируется выводом о
существовании площади и ее свойствах: аддитивности и равенстве для
>54
равных фигур. Далее, исходя из существования площади и опираясь на
се свойства, строго выводятся формулы для вычисления площадей пря-
моу гольника. параллелограмма, треугольника, трапеции, круга и его
частей. При таком подходе наибольшая трудность возникает при выводе
формулы площади прямоугольника, так как при этом необходимо рас-
сматривать три случая, соответствующие тому, что стороны прямо-
угольника, измеренные одной и той же единицей, выражаются: а) це-
лыми числами, б) дробными числами, в) иррациональными числами
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. ограничиваются введением по-
нятия площади многоугольника, причем среди свойств площади содер-
жится следующее: площадь квадрата равна квадрату его стороны. Заме-
тим, что это свойство обычно формулируется в более слабой форме:
площадь квадрата со стороной 1 равна 1. Указанная в учебнике сово-
ку пность свойств 1—3 значительно у прощает вывод формулы площади
прямоугольника, которая основывается на дополнении прямоугольника
до квадрата. В данном учебнике указывается, что свойства площади мо-
гут быть доказаны, однако их доказательство выходит за рамки школь-
ной программы. Такое замечание свидетельствует о том. что в данном
учебнике Л.С. Атанасяна и др. неявно используется конструктивный
подход в определении площади. В у чебнике А. Д Александрова и др.
понятие площади многоугольной фигуры вводится аксиоматически.
Из свойств площади следует, что два равносоставленных много-
угольника (два многоугольника, которые могут быть разложены на
равные многоугольники, различающиеся только своим положением)
имеют одну и ту же площадь. Это положение используется для нахож-
дения площадей различных многоугольников. Например, параллело-
грамм равносоставлен с прямоугольником, основанием которого служит
большая сторона параллелограмма. Отсюда следует, что площадь па-
раллелограмма равна произведению его основания на высоту.
Тема «Площади фигур» дает хорошие возможности для привлече-
ния учащихся к открытию теорем, их доказательству. В качестве приме-
ра рассмотрим организацию учебной деятельности школьников при
изучении теоремы о площади трапеции. Как найти площадь трапеции?
Учащиеся могут предложить разные способы ее разбиения на фигуры,
площади которых они умеют находить Следуют остановиться на анали-
зе каждого способа. Так, использование разбиения на два прямоу голь-
155
ных треугольника и прямоугольник неудобно тем, что придется рас-
сматривать различные случаи: основание перпендикуляра, проведенно-
го через вершину' трапеции к основанию трапеции, лежит на этом осно-
вании; на его продолжении и т.д. В результате подучим несколько раз-
личных способов доказательства теоремы о площади трапеции.
Остановимся на изучении площади круга. Напомним, что крут от-
носится к классу квадрируемых фигур G и. следовательно: каково бы ни
было е > 0 найдется такая простая фигура G). содержащаяся в фигуре
G, и такая простая фигура G2, содержащая фигуру G, что S(G2) - S(G[) <
Е. В качестве фигуры G2 возьмем правильный п-угольник. описанный
около крута, а в качестве фигуры G\ — правильный «-угольник, вписан-
ный в круг. Можно доказать, что при безграничном удвоении числа сто-
рон правильных «-угольников разность между площадью правильного
описанного «-угольника и площадью соответствующего ему правильно-
го вписанного «-угольника неограниченно убывает. Этот факт и дока-
зывает существование площади крута. Эта площадь есть предел после-
довательности площадей правильных «-угольников, вписанных (опи-
санных) в крут (около круга) при «->«?.
В школьном курсе геометрии лишь выводится формула для вы-
числения площади крута; вопросы существования и единственности
площади круга не обсуждаются. Однако учитель для того, чтобы сде-
лать правильные акценты при изучении площадей, должен знать, какие
вопросы площади круга авторы рассматривают, а какие обходят молча-
нием.
Все задачи, связанные с площадями фигур, можно разделить на
следующие группы: 1) задачи, формирующие понятие площади; 2) за-
дачи на измерение площадей; 3) задачи на установление различных за-
висимостей фигур с помощью площади; 4) смешанные задачи.
Приведем примеры задач указанных групп.
В задачах первой группы предпочтение отдается решениям, не ис-
пользующим формулы для вычисления площадей.
1.	Доказать, что любой треугольник можно преобразовать в равно-
великий ему прямоугольник.
Если треугольник остроугольный, то построим любую его высоту,
если тупоугольный, то построим высоту из вершины тупого угла.
156
Пусть, например, дАВС остроугольный, a BD - одна из его
высот. Разделим высоту BD пополам и через середину М построим
прямую, параллельную стороне АС и пересекающую отрезки АВ и
ВС в точках К и L. Из точек А и С проводим АЕ ± АС и CF ± АС.
Тогда ьВКМ=лАКЕ. i\BLM= lCLF. Следовательно. SAefc = SABC
Приведенное решение основано на свойствах площади.
2.	Построить треугольник равновеликий данному’ четырехугольнику.
3.	Построить треугольник равновеликий данному шестиугольнику.
4.	Доказать, что всякий многоугольник можно преобразовать в
равновеликий ему треугольник.
5.	Построить треугольник, площадь которого была бы в два раза
больше площади данного треугольника, а основание осталось бы то же.
6.	Построить треугольник площадь которого была бы в три раза
больше площади данного треугольника, а основание осталось бы то же.
Решение приведенных задач основано на свойствах площади. Подоб-
ных задач мало в учебниках геометрии, хотя они полезны для развития
пространственных представлений шкотьни сов. Наиболее представитель-
ной в учебниках является вторая группа - задаш на измерение площадей.
Поэтому ограничимся лишь одним примером задач этого вида
7.	Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна ее боко-
вой стороне. Определить площадь трапеции, если ее диагональ и боко-
вая сторона соответственно равны 75 см и 5 см.
Приведем примеры 'задач третьей и четвертой групп.
8.	Построить треугольник по двум сторонам зная, что су мма соот-
ветствующих им высот равна третьей высоте.
9.	Внутри треугольника взята произвольная точка. Доказать, что
сумма отношений расстояний от этой точки до сторон треугольника к
длинам соответствующих высот равна 1
10.	Высота равнобедренной трапеции равна 11. площадь равна 1г.
Найти угол между' диагоналями трапеции.
В большей мере задачи на площади могут быть использованы на
кружковых занятиях.
Вопросы и задания
1.	Раскройте пути введения понятия плошади.
2.	Проанализируйте учебники геометрии с точки зрения исполь-
зования в них конкретных способов введения понятия площади
157
3.	Охарактеризуйте работу учителя по пропедевтике понятия
площади в V-VI классах.
4.	Выделите основные методические положения изучения площа-
ди в основной школе.
5.	Охарактеризуйте классы задач, используемых в процессе изу-
чения площадей фигур в VII-IX классах.
6.	Проанализируйте задачи учебников геометрии, сопоставив их с
различными классами задач на понятие площади.
7.	Проанализируйте геометрический материал учебников матема-
тики V-VI классов с точки зрения ознакомления учащихся со свойства-
ми площади фигуры. Разработайте соответствующие упражнения.
8.	Разработайте методику изучения свойств площадей в основной
школе.
9.	Исследуйте логическую структуру изложения темы «Площади
фигур». Разработайте методику проведения одной из практических ра-
бот по этой теме.
10.	Составьте план беседы с учащимися VII класса на тему «Вы-
числение площадей в древности». Подберите литературу для внекласс-
ного чтения по теме «Площади».
Литература
1.	Учебники геометрии, учебники математики для V-VI классов.
2.	Доктус А.А. Набор для проведения лабораторных работ на вычисление
площадей и объемов// Математика в школе. 1977. №3.
3.	Лебег А. Об измерении величин. М., 1960.
4.	Методика преподавания геометрии / под ред. А.И. Фетисова М, 1967.
158
Часть II
МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ
Глава I
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА СТЕРЕОМЕТРИИ
1	. Цели и задачи курса стереометрии
2	. Содержание обучения геометрии в X-XI классах
3	Логические основы курса стереометрии
4	Общие вопросы методики обучения стереометрии
1.	Цели и задачи курса стереометрии
В соответствии с требованиями к выпускнику средней школы в
современных условиях и традициями обучение геометрии в старших
классах имеет целью:
1.	Развитие пространственных представлений в единстве с разви-
тием логического мышления учащихся.
2.	Ознакомление учащихся с основами логического (аксиоматиче-
ского) построения геометрии трехмерного евклидова пространства.
3	Дальнейшее изучение элементов векторной алгебры и их при-
ложений к изучению свойств плоских и пространственных фигур.
4.	Ознакомление учащихся с простейшими геометрическими пре-
образованиями в пространстве.
По второму пункту заметим, что учащиеся, обучающиеся по про-
филю углубленного изучения математики, должны понимать аксиома-
тический метод не только как способ построения теории, но и как важ-
нейший метод познания, его интерпретации, их применение в конкрет-
ных ситуациях
Учитывая ограниченность учебного времени, приоритетной целью
изучения стереометрии следует считать развитие пространственных
представлений в единстве с развитием логического мышления. Усвое-
ние основных стереометрических фактов необходимо для успешной
159
деятельности в любой сфере производства, а также для продолжения
обучения в высших учебных заведениях. Геометрия предоставляет
большие возможности для развития логического мышления учащихся.
Доказательства теорем курса стереометрии и решение задач основаны
на построении достаточно длинной пепи умозаклклений. Причем ис-
пользование наглядных интерпретаций стереометрических фактов по-
зволяет их изучение сделать доступным для учащихся.
Попытки аксиоматического построения школьного курса геомет-
рии. которые неоднократно предпринимались, не увенчались успехом.
Однако знакомство учащихся с аксиоматическим методом следует осу-
ществлять систематически не только при изучении курса геометрии, но
даже и в процессе изучения элементов геометрии в V-VI классах. Для
этого необходимо исследовать структуру аксиоматического мышления,
выделить умения, необходимые для использования аксиоматического
метода и их место в содержании школьного курса геометрии. Этому бу-
дет посвящен специальный параграф. Школьный курс геометрии, по-
строенный аксиоматически с указанием всех аксиом, как показывает
опыт, недоступен ученику. Тем не менее учитель должен знать всю ак-
сиоматику курса, не внесенную на страницы учебника. Примером ак-
сиоматического построения школьного курса геометрии могут служить
учебники геометрии А. Н. Колмогорова и др.. 3. А. Скопеца и др. В
учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. аксиоматика приведена в
Приложении.
В учебниках геометрии VII-IX классов представлено учение о век-
торах, хотя объем векторных сведений в них различен. В курсе стерео-
метрии следует рассмотреть аналогичные сведения для пространствен-
ных геометрических фигур. Этому уделяется достаточное внимание в
учебниках стереометрии Л. С. Атанасяна и др., И. М. Смирновой и
В. А. Смирнова и др. В них представлены в значительном объеме коор-
динатный метод, элементы аналитической геометрии. Например, в
учебнике И. М. и В. А. Смирновых рассматриваются прямоугольная
система координат в пространстве, расстояние между' точками в про-
странстве, векторы в пространстве, координаты вектора, скалярное про-
изведения векторов, уравнения плоскости и прямой в пространстве, па-
раметрически заданные кривые на плоскости и в пространстве, анали-
тическое задание пространственных фигур, полярные координаты, кри-
160
вые. заданные уравнениями в полярных координатах, сферические ко-
ординаты в пространстве.
Применение аналитических методов имеет большое значение в
воспитании общей математической культуры учащихся, вооружает их
мощными методами доказательства теорем и решения задач. Понятие
векторного пространства является одним из основных понятий совре-
менной математики. Оно широко используется и в прикладных науках.
Обеднение материала об алгебраических методах, как это предусмотре-
но Стандартом, лишит учащихся представления об основных методах
современного геометрического исследования. Следует не забывать о
том. что методика обучения учащихся векторному' и координатному ме-
тодам разработана, накоплен опыт применения этих методов в различ-
ных конкретных ситуациях.
Одна из целей изучения геометрии предполагает ознакомление уча-
щихся с геометрическими преобразованиями в пространстве. Включение в
курс стереометрии геометрических преобразований значительно обогаща-
ет содержание курса геометрии, повышает его научную сторону', прибли-
жает учащихся к пониманию идей современной геометрии и математики в
целом. Идейное значении этого аспекта изучения геометрии трудно пере-
оценить. Однако ограниченность во времени нс позволяет авторам учебни-
ков стереометрии уделить должное внимание вопросам изучения геомет-
рических преобразований. Замечу, что и в курсе планиметрии им уделяют
мало места Не получает должного освещения метод геометрических пре-
образований, авторы ограничиваются лишь иллюстрациями применения
его к решению задач. З ак. в учебнике геометрии Л. С. Атанасяна и др. рас-
сматриваются лишь симметрии в пространстве и элементы симметрии пра-
вильных многогранников. Столь же ничтожное место занимают преобразо-
вания и в учебнике геометрии А. В. Погорелова, и в пробных учебниках,
например в учебнике И М. и В. А. Смирновых. Наиболее ярко геометри-
ческие преобразования в пространстве были отражены в учебнике геомет-
рии 3. А. Скопеца и др.
2. Содержание обучения геомет рии в X—XI классах
Геометрическая составляющая стандарта по математике представ-
лена разделами: «Геометрические фигуры и их свойства» и «Геометри-
ческие величины». Первая часть включает следующие блоки:
161
Основные понятия и аксиомы стереометрии, их связь с аксиомами
планиметрии. Следствия из аксиом стереометрии.
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Свойства
параллельности прямых.
Взаимное расположение прямой и плоскости Признак параллель-
ности прямой и плоскости. Перпендикулярность прямой и плоскости.
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Перпендикуляр и
наклонная к плоскости. Теорема о трех перпендикулярах. Теоремы о
параллельности прямых и плоскостей.
Взаимное расположение двух плоскостей. Признак параллельно-
сти двух плоскостей. Взаимосвязь параллельности прямых и плоско-
стей. Перпендикулярность плоскостей и ее свойства. Теоремы о парал-
лельности и перпендикулярности плоскостей.
Параллельное проектирование и его свойства. Изображение фигур
на плоскости.
Двугранные углы.
Понятие о многограннике. Сечения многогранников. Призма. Па-
раллелепипед. Пирамида. Понятие о правильных многогранниках.
Понятие о телах и поверхностях вращения. Прямой круговой ци-
линдр. Сечения цилиндра. Прямой круговой конус. Сечения конуса. Сфе-
ра и шар. Сечения шара плоскостью. Касательная плоскость к сфере.
Раздел «Геометрические величины» составляют:
Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Рас-
стояние от точки до плоскости. Расстояние между' прямой и параллель-
ной ей плоскостью.
Угол между плоскостями. Линейный угол двугранного утла. Рас-
стояние между параллельными плоскостями.
Понятие об объеме, основные свойства объема. Объемы много-
гранников. Объемы тел вращения.
Площади боковых поверхностей призмы, пирамиды, цилиндра,
конуса, площадь сферы.
На содержание обучения геометрии в старших классах оказывает
влияние и профиль школы. Выше приведена программа для классов, в
которых на изучение математики отводится 5 часов. В классах гумани-
тарного профиля на изучение геометрии отводится еще меньшее число
часов. В классах с углубленным изучением математики число часов
162
возрастает. Однако базовое содержание обучения геометрии в X-XI
классах будет инвариантным относительно профиля, меняется лишь
объем материала и у ровень его изложения.
В классах с углубленным изучением математики должно быть
усилено внимание к методам: аксиоматическому, векторному, методу
координат и методу геометрических преобразований. Выпускник сред-
ней школы должен иметь четкое представление об аксиоматическом по-
строении курса геометрии, системе аксиом, неопределяемых понятиях,
интерпретациях аксиоматически построенной теории, геометрии Лоба-
чевского, этапах развития геометрии.
Ясно, сто содержание обучения геометрии включает и действия,
адекватные изучаемому' учебному' материалу', и способы деятельности, и
эвристики. Методика обучения геометрии учащихся старших классов
учитывает все действия, адекватные понятиям и теоремам, методам
геометрических преобразований, векторному и координатному, выде-
ленные в методике обучения планиметрии
3. Логические основы курса стереометрии
Курс стереометрии учебника Л. С. Атанасяна и др. начинается с
указания авторов на то, что система аксиом стереометрии состоит из
целого ряда аксиом. Большинство из них знакома учащимся по курсу
планиметрии. Полный список аксиом авторы приводят, как и ранее, в
приложении. В учебнике ссылаются лишь на три аксиомы о взаимном
расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве:
1.	Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит
плоскость, и притом только одна.
2.	Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой
лежат в этой плоскости.
3.	Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую
прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
В наиболее «аксиоматизированном» учебнике геометрии
А. В. Погорелова в разделе «Аксиомы стереометрии» помещена группа
аксиом, которая дополняет аксиомы планиметрии до системы аксиом
стереометрии. Эта группа содержит три аксиомы:
1.	Какова ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие
этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
163
2.	Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пе-
ресекаются по прямой, проходящей через эту точку
3.	Если две различные прямые имеют общую точку, то через них
можно провести плоскость, и притом только одну.
Автор обращает внимание на необходимость уточнения формули-
ровок некоторых аксиом планиметрии, переводя их в ранг аксиом сте-
реометрии. Например, аксиому «Прямая разбивает плоскость на две по-
луплоскости» следует сформулировать так: «Прямая, принадлежащая
плоскости, разбивает эту плоскость на две полу-плоскости».
Система аксиом стереометрии учебника А. Д. Александрова,
А. Л. Вернера и В. И. Рыжика содержит следующие аксиомы:
1.	В пространстве существуют плоскости. Через каждые три точки
пространства проходит плоскость.
2.	Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть
их общая прямая.
3.	Если прямая проходит через две точки данной плоскости, то она
лежит в этой плоскости.
4.	Расстояние между любыми двумя точками пространства не зави-
сит от того, на какой плоскости, содержащей эти точки, оно измеряется.
5.	Каждая плоскость разбивает пространство на два полупространства.
Аксиоматика, используемая в учебнике И.М. и В.А. Смирновых,
во многом напоминает аксиоматику курса геометрии Л. С. Атанасяна и
др. Отличие заключается в том, что вместо аксиом наложения исполь-
зуются аксиомы равенства отрезков и равенства углов. Изложение курса
стереометрии предваряется рядом аксиом:
1.	Через любые две точки пространства проходит единственная
прямая.
2.	Через любые зри точки пространства, не принадлежащие одной
прямой, проходит единственная плоскость.
3.	Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются
по прямой.
4.	Существует по крайней мере четыре точки, не принадлежащие
одной плоскости.
164
4. Общие вопросы методики обучения стереометрии
В старших классах возрастает объем материала, подлежащего изу-
чению. Вместе с этим повышается уровень его изложения, увеличивает-
ся количество логических «шагов» в доказательствах теорем и в реше-
нии задач. Учащиеся за время обучения в основной школе приобрели
опыт в доказательстве, работе с задачей, у них окрепло желание само-
стоятельно доказать теорему, повысилась мотивация к изучению гео-
метрии. Поэтому в обучении учащихся стереометрии эвристический ме-
тод следует потеснить. Если при обучении планиметрии этот метод до-
минировал, то в старших классах его роль должна быть несколько сни-
жена. Акцент должен быть сделан на самостоятельном добывании зна-
ний посредством использования методов познания: обобщения, конкре-
тизации, аналогии. С возрастанием объема и глубины изучения учебно-
го материала все большее значение в обучении приобретает объяснение
учителя в форме беседы, рассказа, лекции. При этом следует опираться
на известные учащимся факты из курса планиметрии, осуществляя их
повторение, развитие и уточнение; аналогию; моделирование новых по-
нятий и отношений; четку ю постановку проблемы и ясну ю идею ее ис-
следования. Конечно, объяснение учителя должно сопровождаться кон-
трольными вопросами к учащимся, но в минимально необходимом объ-
еме, не нарушающем логику' рассуждений. Не следует думать, что в
старших классах надо отказаться от всего того, о чем речь шла в первой
части. Например, в удобной ситуации и здесь можно как-бы «выта-
щить» некоторое утверждение из решения задачи. Приведем пример.
После определения понятия параллельности прямой и плоскости и
доказательства соответствующего признака учащимся можно предло-
жить следующее упражнение: «Известно, что прямая параллельна плос-
кости Параллельна ли она любой прямой, лежащей в этой плоскости?
Может ли она пересечь хотя бы одну из таких прямых?». Используя ре-
зультат выполненного упражнения, учитель может поставить перед
классом следующий вопрос, существует ли в плоскости хотя бы одна
прямая, параллельная данной? Наглядное рассмотрение факта может
натолкнуть учащихся на мысль о существовании такой прямой. Если
допустить, что прямая, параллельная данной существует, то как можно
ее провести9 Отвечая на поставленные вопросы, учащиеся не только
убеждаются в существовании в плоскости прямой, параллельной данной
165
прямой, но и устанавливают новое соотношение между прямыми и
плоскостями: «Если плоскость проходит через данную прямую парал-
тельную другой плоскости и пересекает ее. то линия пересечения плос-
костей параллельна данной прямой».
Опыт высшей школы и результаты ряда методических исследова-
ний показывают, что усвоение достаточно сложного материала более
успешно происходит при изложении материала крупными блоками, по-
зволяющими установить различные отношения новых понятий с из-
вестными. выделить основное и второстепенное в изучаемом материале.
Возрастание объема теоретического материала, изучаемого на уроке,
ведет к увеличению времени на решение задач по материалу блока, что
способствует разностороннему, сознательному и активному использо-
ванию новых понятий и фактов.
Обучение блоками (его называют и модульным) дает хороший ре-
зультат особенно в классах с углубленным изучением математики. Его
суть изложена в работах П. М. Эрдниева, учителей В. Ф. Шаталова,
А. А. Окунева и др. Модульное обучение предполагает широкое исполь-
зование таких форм, как лекция, мастерская и т.д. Ясно, что лекция в
старших классах средней школы не должна быть копией лекции в выс-
шей школе. Необходимо учитывать возрастные особенности учащихся и
значительно более неоднородный состав учащихся в школе по сравне-
нию с вузом. Лекция в школе должна быть короткой и чередоваться с
другими методами обучения, сопровождаться необходимым повторени-
ем узловых моментов рассуждения. Промежутки времени между' изуче-
нием теоретических фактов и их приложением должны быть значитель-
но меньше, чем в вузе. Контроль за усвоением знаний должен быть бо-
лее частым и разнообразным по форме, чем в вузе. Этому' способствует
использование тестов, получивших широкое распространение в обуче-
нии математике. Их использование широко освещается в журнале «Ма-
тематика в школе» и газете «Математика».
Способ организации деятельности учащихся под названием мас-
терская состоит из ряда заданий, которые направляют работу учащихся
в нужное русло, но внутри каждого задания школьники свободны. Важ-
ным признаком мастерской является необходимость выбора учеником
пути исследования средств для достижения цели, темпа работы и т.д.
Мастерская начинается с выявлений знаний каждого ученика по данно-
166
му вопросу, затем эти знания обогащаются знаниями соседа по парте.
На следующем этапе знания корректируются в разговоре с учащимися,
сидящими за другой партой, и только после этого точка зрения группы
объявляется классу. Знания еще не раз корректируются в результате со-
поставления своей позиции с позицией других групп. В частности, свою
позицию может высказать и учитель. О конкретных мастерских по раз-
личным темам можно прочесть в книге А. А. Окунева «Углубленное
изучение геометрии в 8 классе».
В старших классах особое внимание уделяется воспитанию спо-
собности к самостоятельному получению знаний, к работе с книгой
(учебником, задачником, справочником, различными пособиями для
учащихся). Формы самостоятельной работы с учебником могут быть
разными. Чтение по учебнику материала, изложенному учителем на
уроке; изучение нового материала по плану, предложенному учителем,
с ответом на заранее поставленные контрольные вопросы: полностью
самостоятельное изучение материала, когда учитель выступает лишь в
роти консультанта для наименее подготовленных учеников.
Большую роль при изучении стереометрии должны играть нагляд-
ные пособия (модели). Их использование является совершенно необхо-
димым при изучении различных отношений, которые могут существо-
вать в пространстве. Чувственное восприятие здесь играет не менее
важную роль, чем логическое развитие теории. По крайней мере, про-
странственное восприятие фигуры должно предшествовать логическому
обоснованию тех или иных фактов стереометрии. Роль наглядного вос-
приятия особенно возрастает в связи с широким применением аналити-
ческих методов, методов простых и мощных, но не развивающих про-
странственное воображение учащихся. Поэтому в обучении стереомет-
рии следует широко использовать различные модели как фабричного
производства, так и изготовленные из подсобных средств, окружающие
объекты, классную комнату- и т.п. Постепенно следуют ограничивать де-
монстрацию модели, заменяя ее изображением фигуры, а затем и изо-
бражение фигуры - ее мысленным представлением. Возможна и обрат-
ная последовательность: от мысленного представления фигуры перейти
к ее графическому изображению - чертежу' и модели. В конечном счете
чертеж, как изображение фигуры, должен стать для учащихся приемле-
мой заменой самой фигуры.
167
Вопросы и задания.
1.	Каковы цели и особенности изучения элементов стереометрии в
основной школе? Как эта проблема решается в различных учебниках
геометрии?
2.	Охарактеризуйте курс геометрии X—XI классов с учетом его на-
правленности на: а) развитие пространственных представлений и обще-
го логического мышления школьников; б) ознакомление учащихся с ос-
новами логического построения геометрии эвклидова трехмерного про-
странства; в) изучение элементов векторной алгебры и ее приложений к
исследованию пространственных фигур; г) ознакомление учащихся с
движениями пространства.
Какое из этих направлений, по вашему мнению, является наиболее
важным на данном этапе изучения школьного курса геометрии?
3.	Можно ли считать изложение геометрии в X-XI классах аксио-
матическим, если известно, что не все факты выводятся из аксиом и ра-
нее доказанных теорем?
4.	Разработайте методику решения следующей задачи; «Трапеция
ABCD и треугольник МВС лежат в разных плоскостях аир соответст-
венно. Через прямую AD и середину7 К стороны ВМ проведена плос-
кость у. Найдите длину отрезка линии пересечения плоскостей Р и у, за-
ключенного между сторонами треугольника, если ВС=5 см. Выделите
систему элементарных задач, являющихся компонентами данной.
5.	Разработайте методику изучения аксиом стереометрии. Что, по
вашему мнению, является наиболее существенным в изучении аксиом?
6.	Исследуйте вопрос о целесообразности использования моделей
(каркасных, сплошных, прозрачных и т. п.) при рассмотрении темы
«Изображение фигур в стереометрии». Какие технические средства
должны применяться при изучении данной темы?
7.	Рассмотрите вопрос об использовании средств наглядности при
изучении стереометрии. В каком сочетании их целесообразно использо-
вать (например, сначала модели, а потом чертеж или наоборот)? Одина-
кова ли роль одних и тех же средств наглядности на различных этапах
обучения?
Литература
1.	Учебники геометрии для X-XI классов
2.	Груденов Я. И. Совершенствование методики работы учителя математи-
ке. М., 1990.
168
3.	Левитас П. Г Фузионизм школьной геометрииУ/Математика в школе,
1995, №6.
4.	Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика:
Учеб, пособие для студентов пед. институтов по физ.-маг. спец / Сост.
В.И. Мишин. М.,1987.
5.	Методика обучения геометрии: Учеб, пособие для студентов высш, пед
учеб, заведений / Под ред. В.А, Гусева. М., 2004.
6.	Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для
ВУЗов/ под науч. ред. И Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. М. 2005.
7.	Методика и технология обучения математике в школе: Учеб, пособие для
студентов физ.-мат. спец. пед. вузов/ под ред. Т.А.Ивановой. Н.Новгород,
2009.
8.	Саранцев Г.И Упражнения в обучении математике. М., 2005.
169
Глава II
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМЬЕХ И ПЛОСКОСТЕЙ
В ПРОСТРАНСТВЕ
1.	Методика изучения темы «Параллельность прямых и
плоскостей»
2.	Методика изучения темы «Перпендикулярность прямых и
плоскостей»
1. Методика изучения темы «Параллельность прямых и
плоскостей»
Данная тема учебника Л. С. Атанасяна и др. включает взаимное
расположение прямых в пространстве, параллельность прямой и плос-
кости, параллельность плоскостей, тетраэдр и параллелепипед и задачи
на построение сечений. В учебнике А. В. Погорелова параллельность
прямых и плоскостей занимает один параграф, в котором отсутствуют
задачи на построение сечений в тетраэдре и параллелепипеде, но со-
держит материал об изображении пространственных фигур на плоско-
сти. Эти вопросы также компактно освещаются и в учебнике И. М. и
В. А. Смирновых.
Изучение темы «Параллельность в пространстве» имеет целью
обобщить имеющиеся знания учащихся из курса планиметрии, ввести
понятие скрещивающихся прямых, рассмотреть свойства и признаки
параллельности, а также их применение. Методика изучения понятий и
теорем, рассмотренная выше, используется и в изучении параллельно-
сти. Ее основу составляет этапность работы с понятием и теоремой.
Проиллюстрируем сказанное на примере изучения понятия параллель-
ности прямых в пространстве.
Учащиеся X класса владеют материалом о взаимном расположе-
нии прямых на плоскости. Поэтому урок следует начать с беседы учи-
теля с учащимися о изученном ранее материале и его продолжении в
пространство. На вопрос учителя: что вам известно о взаимном распо-
ложении прямых? — должен последовать ответ: две прямые могут быть
либо параллельными, либо пересекаться. Ответ учащихся следует со-
проводить рисунком, моделирующим эти два случая, и иллюстрацией
170
рассматриваемых ситуаций на других моделях. В частности, можно
воспользоваться классной комнатой. Учащиеся заметят, что в простран-
стве наряду с привычными им параллельными прямыми, пересекающи-
мися прямыми существуют еще и прямые, которые не пересекаются, но
не являются параллельными. Все замеченное позволит уточнить опре-
деление понятия параллельных прямых в пространстве и ввести понятие
скрещивающихся прямых.
В основе усвоения определения понятия параллельных прямых в
пространстве лежит овладение действиями подведения объекта под по-
нятие (распознавание объектов, принадлежащих понятию), выведение
следствий из принадлежности объекта понятию, конструирования объ-
ектов, принадлежащих понятию. Средством формирования этих дейст-
вий являются упражнения. Их примеры.
1.	Какие из прямых, содержащих ребра куба (рис. 39) являются
параллельными? Назовите пересекающиеся прямые. Назовите несколь-
ко скрещивающихся прямых.
2.	Прямые а к в параллельны в про-
странстве. Что следует из этого?	..............„С (
3.	Прямые п и в лежат в одной
плоскости. Параллельны ли они в
пространстве? Если нет, то измени-
те условие задачи так. чтобы пря-
мые айв были параллельны.
Используя различные модели,
можно разнообразить эти упражне-
ния. Далее следует вспомнить,
Рис. 39
сколько прямых, параллельных дан-
ной, можно провести через заданную точку плоскости, не лежащую на
данной прямой. Можно вспомнить соответствующую аксиому и спосо-
бы построения прямой, паралельной данной и проходящей через задан-
ную точку. Возникает вопрос: Сколько прямых можно провести через
данную точку' пространства, не лежащую на данной прямой, параллель-
но этой прямой? Проблема сформу лирована. Остается найти способ ее
решения. Обращение к изложению параллельности на плоскости позво-
ляет указать его. В заключении следует рассмотреть классификацию
171
понятия взаимного расположения двух прямых в пространстве. Она
представлена следующей схемой:
•секающиеся
прямые
в)
Скрешмвающ
прямые
Параллельные
прямые
Рис. 40
Содержание схемы можно отобразить в рисунок (рис 40).
Определение скрещивающихся прямых не позволяет быстро отве-
тить на вопрос: являются ли заданные прямые скрещивающимися? Нельзя
ли иметь такое утверждение, которое бы сразу позволило дать ответ на
указанный вопрос? Рассмотрение скрещивающихся прямых на моделях и
на рис. 40 в) приведет учащихся к гипотезе: две прямые скрещивающиеся,
если одна из них лежит в некоторой плоскости, а другая пересекает эту
плоскость в точке, не лежащей на первой прямой.
Важным обобщением понятия параллельности прямых в про-
странстве является параллельность прямой и плоскости. От взаимного
расположения прямых в пространстве естественен переход к взаимному
расположению прямой и плоскости. Наблюдения приводят учащихся к
выводу, что: 1) прямая лежит в плоскости; 2) прямая и плоскость имеют
общую точку, т. е. пересекаются; 3) прямая и плоскость не имеют общей
точки. В последнем случае прямая и плоскость параллельны Дается оп-
ределение параллельности прямой плоскости, вводится соответствуго-
172
щее обозначение. Далее опять-таки проводится та же идея: приведен-
ным определением пользоваться затруднительно, поэтому следует вы-
явить признак параллельности прямой и плоскости. Естественно, в при-
знаке параллельность прямой и плоскости следует свести к параллель-
ности прямых
После того, как введено понятие параллельности прямой и плос-
кости, можно предложить учащимся ряд упражнений на отыскание та-
ких объектов на различных моделях. Рассматривая их, можно выявить
следующий факт: если прямая параллельна плоскости, то в плоскости
можно указать прямую, параллельную данной прямой. Возникает во-
прос: верно ли обратное утверждение, которое и является признаком
параллельности прямой и плоскости. Путем несложного доказательства
убеждаемся в верности данного утверждения. В учебниках приводятся
разные доказательства признака параллельности прямой и плоскости.
Наиболее естественным и простым является классическое доказательст-
во, приведенное в учебниках А. П. Киселева, А. В. Погорелова, И. М. и
В. А. Смирновых. Приведем его.
Пусть а^р, о||&,	(рис.41). Докажем, что п||р.
Предположим, что прямая а пересекает плоскость р в точке С. Рассмот-
рим плоскость а, определяемую прямыми а и Ь. Точка С принадлежит
как плоскости Р, так и плоскости ос, т.е. принадлежит прямой Ь. Следо-
вательно, прямые а и b пересекаются, что противоречит условию. Таким
образом, а||р.
Рассматривая рисунок, учащихся можно подвигнуть к открытию утвер-
ждения: если плоскость проходит через прямую, параллельную другой
плоскости, и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей парал-
173
лельна данной прямой. Полученное утверждение дает еще один признак
параллельности двух прямых в пространстве, часто используемый при
решении задач. Взаимное расположение прямой и плоскости зафикси
ровано следующей схемой:
Заключает тему «Параллельность в пространстве» параллельность
плоскостей. Определение этого понятия аналогично определениям па-
раллельности двух прямых и параллельности прямой и плоскости.
Опять-таки рассмотрение различных моделей позволяет иллюстриро-
вать объекты, принадлежащие этому понятию. Определение параллель-
ности двух плоскостей затрудняет ответить на вопрос: параллельны ли
две заданные плоскости? В таком случае необходим поиск признака па-
раллельности плоскостей. Снова ставим проблему сведения параллель-
ности плоскостей к параллельности прямых. Легко установить, что на-
личие в каждой плоскости прямой, параллельной прямой, расположен-
ной в другой плоскости, не обеспечивает параллельность этих плоско-
стей. Теперь предполагаем, что две пересекающиеся прямые одной
плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоско-
сти. Оказывается, что данное предположение истинно. Открыт признак
параллельности двух плоскостей. Связь параллельности двух плоско-
стей с параллельностью двух прямых позволяет расширить количество
признаков параллельности прямых.
Новый признак обусловлен теоремой: «Если две параллельные
плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны».
Для доказательства параллельности прямых а и b следует отыскать две
параллельные плоскости аир, которые содержали бы соответственно
прямые а и Ь, и плоскость, которая пересекала бы плоскости а и р по
прямым а и Ь. В некоторых учебниках этот признак не рассматривается,
тогда как в других он содержится. Ясно, что чем большим числом при-
знаков владеет ученик, тем он увереннее решает задачи. В учебнике
А. В Погорелова рассматривается важный в логическом отношении во-
174
прос существования плоскости, параллельной данной плоскости. Зна-
комство учащихся с ним крайне важно для их логического развития. В
рамках приложения теории параллельности и ее практического приме-
нения возможно рассмотрение параллельного проектирования, парал-
лельных проекций плоских фигу р и изображения пространственных фи-
гур на плоскости. Без знания этого материала учащимся трудно ориен-
тироваться в рисунках учебников геометрии.
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве можно
представить следующей схемой:
2. Методика изучения темы «Перпендикулярность прямых и
плоскостей»
Данная тема составляется перпендикулярностью прямых в про-
странстве, перпендикулярностью прямой и плоскости, перпендикуляр-
ностью двух плоскостей.
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. изучение темы предваряется
обобщением перпендикулярности прямых на плоскости. Как известно, в
пространстве две прямые могут пересекаться, быть параллельными, ли-
бо скрещивающимися. Перпендикулярность прямых распространяется
на пересекающиеся и скрещивающиеся прямые. Две прямые в про-
странстве называются перпендикулярными, если угол между ними ра-
вен 90°. Далее вводится перпендикулярность прямой и плоскости через
перпендикулярность прямых прямая называется перпендикулярной к
плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в
плоскости. Затем формулируется проблема: отыскать тот минимум пря-
мых плоскости, перпендикулярность к которым данной прямой обеспе-
чивает ее перпендикулярность плоскости Предположение о том. что
перпендикулярность прямой плоскости обеспечивается перпендикуляр-
ностью этой прямой к одной прямой, лежащей в плоскости, опроверга-
ется сразу же приведением контрпримера. Учитывая, что плоскость мо-
175
жет оыть задана двумя пересекающимися прямыми, возникает предпо-
ложение о том, что для перпендикулярности прямой плоскости доста-
точно перпендикулярности прямой двум пересекающимся прямым, ле-
жащим в этой плоскости. Данное предположение оказывается истинным
и может служить в качестве признака перпендикулярности прямой и
плоскости.
Имея понятие перпендикуляра к плоскости, вводятся понятия рас-
стояния от точки до плоскости, наклонной, проведенной из заданной
точки к плоскости, основания наклонной, проекции наклонной на за-
данную плоскость. Затем доказывается ряд утверждений, связывающих
введенные понятия, в частности, теорема о трех перпендикулярах. Ис-
пользуя понятие проекции прямой на плоскость, вводится понятие угла
между прямой и плоскостью Говоря о методике обучения этим поняти-
ям и теоремам, заметим, что она полностью определяется методиками
формирования понятий и изучения теорем. Подчеркнем важность дей-
ствия распознавания объектов, принадлежащих понятию. Неоднократно
подчеркивалось, что. например, угол между прямой и плоскостью в
стандартных ситуациях большинство учащихся отмечает верно, а в не-
сколько измененной многие учащиеся затрудняются правильно указать
его. Так, если речь идет об угле между ребром правильной четырех-
угольной пирамиды и плоскостью основания, то для большинства уча-
щихся построение такого угла не вызывает трудностей. Однако задание
построить угол между высотой пирамиды и плоскостью боковой грани
не является простым для них. При конструировании упражнений на
распознавание объектов, принадлежащих понятию, следует предусмот-
реть не только наличие или отсутствие существенных свойств понятия,
но и вариативность расположения объектов, поскольку умение приме-
нять действие в одной ситуации не гарантирует успеха в его примене-
нии в другой, отличной от первой.
Заключает раздел, посвященный перпендику лярности в простран-
стве, перпендикулярность плоскостей. Ключевым его содержанием яв-
ляются определение понятия перпендикулярности плоскостей и признак
перпендикулярности двух плоскостей. Данное понятие обобщает пер-
пендикулярность прямых, прямой и плоскости, поэтому его введение
должно итожить изученное ранее. Оно аналогично определению пер-
пендикулярности двух прямых. На практике удобнее пользоваться не
176
определением понятия перпендикулярности двух плоскостей, а утвер-
ждением, которое сводило бы перпендикулярность двух плоское юн к
перпендикулярности прямой и плоскости и заменяло бы iByipaiiiii.ni
угол его линейным углом. Рассмотрение различных моделей'! организо-
ванное учителем, может подвигнуть учащихся к формулировке принт
ка перпендикулярности двух плоскостей.
Вопросы и задания.
1.	Разработайте методику изучения темы «Параллельное гь в про-
странстве». предусматривающую изложение материала крупными блоками
Сравните эффективность этой и традиционной методики изложения.
2.	По теме: «Параллельность прямой и плоскости» сопоставьте за-
дачи и теоретический материал, на котором основывается их решение
Все ти необходимые сведения содержатся в данной теме.
3.	Составьте план-конспект урока по теме «Параллельность пря-
мой и плоскости».
Указание. Обратите внимание на возможность использования мо-
делей.
4.	Составьте систему задач, позволяющих подвести учащихся к
формулировке признака параллельности прямой и плоскости.
5.	Предусмотрите возможность создания проблемной ситуации
при ознакомлении учащихся с теоремой о параллельных плоскостях.
6.	Исследуйте возможность использования аналогии с изучением
взаимного расположения прямой и плоскости при рассмотрении вопро-
са о взаимном расположении двух плоскостей.
7	Составьте карточки для самостоятельного изучения теоремы
«Через данную точку можно провести одну и только одну плоскость,
параллельную данной плоскости»
8.	Составьте план изучения свойств параллельного проектирова-
ния. предусматривающий различные формы самостоятельной работы
учащихся: а) чтение по учебнику материала, изложенного учителем на
у роке; б) изучение нового материала в соответствии с планом, предло-
женным учителем, подготовка ответов на заранее поставленные кон-
трольные вопросы: в) самостоятельное изу чение материала, когда учи-
тель выступает лишь в роли консультанта.
177
Литература
1.	Учебники геометрии для средней школы.
2.	Учебные пособия по методике обучения математике для студен-
тов педвузов.
3.	Виленкин Н.Я.. Шибасов Л.Г!.. Шибасова З.Ф. За страницами
учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия: Кн. Для уча-
щихся 10-11 кл. М., 1996.
4.	Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс гео-
метрии. М., 1992.
5.	Методические рекомендации к курсу геометрии 9-10 классов/
Под ред. Л.С. Атанасяна. М., 1988.
6.	Преподавание геометрии в 9-10 классах/ Сост. З.А. Скопец и др.
М.» 1980.
178
Глава III
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ МНОГОГРАННИКОВ
1.	Значение темы «Многогранники» в курсе геометрии
2.	Различные подходы к трактовке понятия многогранника
3.	Основные вопросы методики изучения многогранников
4.	Построение сечений в многогранниках
1.	Значение темы «Многогранники» в курсе геометрии
Тема «Многогранники» является центральной темой курса сте-
реометрии. Изучение параллельных и перпендикулярных прямых и
плоскостей, двугранных углов, векторов и координат в пространстве
следует рассматривать как подготовку средств дтя исследования более
содержательных объектов стереометрии - главным образом тел и по-
верхностей. А из всех геометрических тел особо выделяются много-
гранники. Чем же обусловлена их столь значительная роль?
а)	Они представляют чрезвычайно содержательный предмет ис-
следования, выделяясь среди всех тел многими интересными свойства-
ми. специально к ним относящимися теоремами и задачами (теорема
Эйлера о числе граней, ребер и вершин, симметрия правильных много-
гранников и т.д.);
б)	Результаты, относящиеся к другим темам, получаются исходя
из соответствующих результатов для многогранников. Например, опре-
деления объемов круглых тел и площадей поверхностей осуществляют-
ся путем предельного перехода от объемов и площадей поверхности
многогранников. Вообще, один из методов исследования тел и поверх-
ностей общего вида состоит в приближении их многогранниками
в)	Многогранники дают богатый материал для развития простран-
ственных представлений, для развития того соединения живого про-
странственного воображения со строгой логикой, которое, по мнению
А. Д. Александрова, составляет сущность геометрии. Понимание опре-
деления понятия многогранника требует сочетания наглядного пред-
ставления. рассмотрения реальных примеров и логической строгости
формулировок.
179
г)	Форму многогранника имеют многие строения, предметы быта и
детали машин, поэтому сведения о них имеют практические приложения.
2.	Различные подходы к трактовке понятия многогранника
В учебниках геометрии приводятся разные определения понятия
многогранника. В популярных у чебниках А. П. Киселева многогранник
определяется как «тело, ограниченное со всех сторон плоскостями». Та-
кое определение представляется неточным, но его, как указывает
А. Д. Александров, нетрудно довести до определения вполне строгого с
современной точки зрения. В частности, более точным будет определе-
ние многогранника как тела, поверхность которого состоит из много-
угольников (в конечном числе), или как часть пространства, ограничен-
ная конечным числом многоугольников.
А. В. Погорелов многоугольник определяет как тело, ограничен-
ное конечным числом плоскостей. В учебнике Л С. Атанасяна и др.
многогранником называют поверхность, составленную из многоуголь-
ников и ограничивающую некоторое геометрическое тело.
А. Д. Александров и др. в своем учебнике геометрии многогранник
трактуют как ограниченное тело, поверхность которого состоит из ко-
нечного числа многоугольников. В приведенных определениях много-
гранника используются понятия тела и его поверхности. Их содержание
не раскрывается в учебниках, оно основывается на наглядных представ-
лениях о них. Однако эти представления нетрудно оформить в логиче-
скую схему. Начнем с кратких предварительных определений.
Точка называется граничной точкой данной фигуры, если сколь
угодно близко от нее есть точки, как принадлежащие фигуре, так и не
принадлежащие ей. Точка фигуры, не являющаяся ее граничной точкой,
называется внутренней. Множество всех граничных точек фигуры на-
зывается ее границей, а множество всех ее внутренних точек - внутрен-
ностью. Замкнутой областью называется множество точек, обладаю-
щее следующими свойствами 1) оно содержит внутренние точки, и
внутренность его связна, т е. любые две точки этого множества можно
соединить ломаной (или отрезком) внутри его; 2) оно содержит свою
границу, и она совпадает с границей его внутренности. Замкнутая об-
ласть в пространстве называется отелам. (На плоскости - плоской замк-
нутой областью или просто - замкнутой областью). Можно замкнутую
180
область определить как множество точек, имеющее связную внутрен-
ность и состоящее из нее и ее границы. Например, граница фигуры «куб
с крылом» (рис. 42) включает «крыло», но «крыло» не содержится в
границе ее внутренности, т.е. граница фигуры «куб с крылом» не совпа-
дает с границей ее внутренности. Таким образом, указанная фигура нс
является телом. Граница тела всегда прилегает
к его внутренности. Граница тела называется
его поверхностью. В определении замкнутой
области нс требуется, чтобы она была ограни-
ченной - имела конечные размеры. Допуска-
ются и бесконечные области (полупространст- ; /.....	/
во. двугранный угол, пространство и др.). Час- /	/
то в понятие тела включают требование его ог-
раниченности. В данном контексте многогран-	•
ник - тело конечных размеров, граница кото-	<......у-4
рого состоит из конечного числа многоуголь-
ников. Многогранник можно определить и как о ~ ,
тело конечных размеров, граница которого со-
держится в конечном числе плоскостей (уточненное определение мно-
гогранника. содержащееся в учебнике геометрии А. П. Киселева).
Можно использовать конструктивное определение многогранника,
основанное на том. что фигура, составленная из многогранников, приле-
гающих друг к другу7 по граням или кускам граней, является многогран-
ником. Имеет место теорема: «Всякое тело составленное из тетраэдров,
является многогранником, и всякий многогранник можно составить из
тетраэдров». Не пользуясь понятием тела, эту теорему можно сформу-
лировать так: «Фигура является многогранником тогда и только тогда,
когда ее можно составить из конечного числа тетраэдров так, что:
1)	каждые два тетраэдра либо не имеют общих точек, либо имеют
только одну общую вершину', или одно общее ребро, или одну общую
грань;
2)	от каждого тетраэдра к каждому тетраэдру можно пройти по тетра-
эдрам, последовательно прилегающим один к другому по целым граням.
Учитывая эту теорему, многогранник можно определить как фигуру, со-
ставленную из тетраэдров так, что выполнены условия 1) и 2).
181
3.	Основные вопросы методики изучения многогранников
Схемы изучения многогранников по разным учебникам геометрии
сводятся в основном к следующей:
1.	Понятие многогранника.
2.	Призма. Прямая призма. Правильная призма.
3.	Пирамида. Правильная пирамида.
4.	Правильные многогранники.
В ряде учебников тема «Многогранники» отнесена к XI классу, в
некоторых - эта тема изучается в X классе. Учитывая важность и зна-
чимость ее в курсе геометрии, представляется оправданным как можно
раньше знакомить учащихся с понятием многогранника. В учебнике
Л. С. Атанасяна и др. это знакомство осуществляется уже в основной
школе, а в 10 классе изучению многогранников предшествует знакомст-
во учащихся с тетраэдром, параллелепипедом и задачами на построение
сечений в данных видах многогранников. Введение понятия многогран-
ника следует осуществлять с привлечением различных моделей, реаль-
ных предметов. Надо сказать, что с некоторыми видами многогранни-
ков учащиеся уже знакомы. Постепенно представления о многогранни-
ках у них надо расширять, привлекая разнообразные примеры из окру-
жающей обстановки (стол, шкафы, дома и т. д.). При этом следует соот-
носить наглядные представления с логикой и формулировку определе-
ния с представлениями и изображением многогранников. Этой цели
следуют упражнения на моделирование многогранников. Подобные уп-
ражнения содержатся во многих учебниках геометрии и пособиях для
учителей. Приведем лишь несколько их примеров.
1.	Какие из изображенных на рис. 43 фигур являются развертками
Рис. 43
182
2.	На рис. 44 найдите фигуры, которые являются развертками
призм.
Рис. 44
3.	Достройте изображенные на рис. 45 а), б) фигуры до куба, а на
рис. в), г) - до четырехугольной пирамиды.
Рис. 45
Рассмотрим частные виды многогранников. В учебнике
А. В. Погорелова призма определяется как многогранник, образован-
ный. заключенными между двумя параллельными плоскостями отрез-
ками всех параллельных прямых, которые пересекают плоский много-
угольник в одной из плоскостей. Такое определение требует доказатель-
ства того, что соответственные концы параллельных отрезков заполня-
ют во второй плоскости многоугольник, равный данному. В учебнике
Л. С. Атанасяна и др. призма определяется как многогранник, состоя-
щий из двух равных п-угольников А]А2...АП и В)В2...ВП и п параллело-
граммов (Описание такой конструкции дается ранее). В учебнике гео-
метрии под редакцией З.А. Скопеца призма рассматривается как много-
гранник. две грани которого одноименные многоугольники, лежащие в
параллельных плоскостях, и любые два ребра, не лежащие в этих плос-
костях, параллельны. Затем доказывается, что основания призмы равны,
183
а ее боковые грани параллелограммы. В учебнике А. П. Киселева дава-
лось следующее определение призмы: «Призмой называется много-
гранник, у которого две грани - равные многоугольники: с соответст-
венно параллельными сторонами, а все остальные — параллелограммы».
Данное определение является слишком широким: под него попадает,
например, многогранник, который можно получить, ставя одну на дру-
гую призмы с одинаковыми основаниями, но с разными наклонами ре-
бер. В учебнике А. Д. Александрова и др. призма определяется как ци-
линдр, основание которого многоугольник. В отличие от определений
призмы как многогранника, что является наиболее распространенным, в
названном учебнике родовым понятием призмы служит понятие цилин-
дра и доказывается, что призма является многогранником. Цилиндр по-
нимается как «объединение параллельных оэрезков. идущих из всех то-
чек некоторой плоской фигуры до плоскости, параллельной этой фигу-
ре». Указанные отрезки называются образующими цилиндра, а заданная
плоская фигура - его основанием.
Из различных определений призмы предпочтение должно быть
отдано такому определению, которое наиболее просто позволяет вооб-
ражению создавать образы объектов, принадлежащих этому понятию. С
этой точки зрения наиболее педагогически оправданным является под-
ход к введению понятия призмы, используемый в учебнике
Л. С. Атанасяна и др., хотя он и является наиболее громоздким.
Идеи авторов учебных пособий, касающихся введения различных
видов многогранников, реализуются ими и в определении пирамиды.
Л. С. Атанасян и др. в своем учебнике геометрии используют конструк-
тивный поход: «Рассмотрим многоугольник А^г... Ап, лежащий в плос-
кости а. и точку Р, не лежащую в этой плоскости. Соединив точку Р от-
резками с вершинами Аь А2,...,АП многоугольника, получим п тре-
угольников РА]А2, PA2A3,...PAn l А„ (1). Многогранник, составленный из
n-утольника А;А2.. . Ап и п треугольников (1). называется пирамидой».
А. В. Погорелов определяет пирамиду как многогранник, образованный
всеми отрезками, соединяющими данную точку - вершину’ пирамиды с
точками плоского многоугольника — основания пирамиды.
А. Д. Александров считает пирамидой конус, основание которого мно-
гоугольник.
184
Формирование различных понятий, связанных с многогранником
и их свойств, признаков осу щссшляется в coonierciniin со схемой, они
санной в главе II, т.е. предусматривается необходимое и. он ia тения pa i
личными действиями, составляющими содержание этанон формироиа
ния понятия и работы с теоремой При этом важное значение тонжпо
иметь моделирование многогранников и построение сечении в них 11рп
изучении различных многогранников и их элементов с тсду е i пспо и> ю
вать их модели, причем расположение моделей в пространстве толжно
быть различным. Так, например, изучая элементы пирамиды, учителя
часто ограничиваются лишь одной ситуацией: основание пирами ты
располагается в плоскости стола. Такое ограничение приводил к извест-
ной ошибке, заключающейся в том, что ученик называет основанием
пирамиды треугольник в случае соприкосновения со столом боковой
грани пирамиды, хотя основанием ее является фигура, отличная от тре-
угольника.
В учебнике Л. С. Атанасяна и др. тетраэдр и параллелепипед изу-
чаются ранее темы «Многогранники». Такая последовательность, оче-
видно, принята авторами из-за желания как можно раньше ввести зада-
чи на построение сечений. Дело в том. что изучение .многогранников
основывается на хорошо развитых пространственных представлениях
учащихся, а они и формируются в процессе решения задач на построе-
ние сечений. Поэтому важно найти возможность включения этих задач
в курс стереометрии до систематического изучения темы «Многогран-
ники». Такие задачи должны быть простыми и ориентированными на
формирование умения применять метод сечений. Естественно, что эти
задачи предлагаются на параллелепипеде, тетраэдре. С этой точки зре-
ния последовательность изучения темы «Многогранники» в учебнике
Л.С. Атанасяна и др. является наиболее оправданной. При изучении па-
раллелепипеда и тетраэдра следу ст опираться на аналогию с параллело-
граммом и треугольником. Так. многие свойства параллелепипеда могут
быть сформулированы по аналогии с соответствующими свойствами
параллелограмма.
Вообще метод аналогии должен быть отправным в процессе фор-
мирования стереометрических понятий и в изучении их свойств. В ча-
стности. по аналогии с выпуклым многоугольником может быть введе-
но понятие выпуклого многогранника. Для этого в определении выпук-
185
лого многоугольника используемые понятия заменяются их пространст-
венными аналогами. Определение выпуклого многоугольника таково:
«Многоугольник называется выпуклым, если он лежит в одной полу-
плоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону». Ана-
логами многоугольника, полуплоскости, прямой, стороны многоуголь-
ника являются соответственно многогранник, полупространство, плос-
кость, ребро многогранника. Используя аналоги, получаем следующее
определение выпуклого многогранника: «Многогранник называется вы-
пуклым. если он лежит в одном полупространстве относительно любой
плоскости, содержащей его грань». Или проще: «Многогранник называ-
ется выпуклым, если он расположен по одну' сторону' от плоскости каж-
дой его грани».
Завершает раздел о многогранниках понятие правильных много-
гранников и их свойства. В разных учебниках в качестве определения
правильного многогранника используются различные предложения.
Наиболее распространенным определением является следующее: вы-
пуклый многогранник называется правильным, если его гранями явля-
ются равные правильные многоугольники и в каждой вершине сходится
одинаковое число ребер. Однако определением понятия правильного
многогранника наиболее визу альным и аналогичным определению пра-
вильного многоугольника будет следующее: «Выпуклый многогранник
называется правильным, если у него все ребра равны и все углы (утлы
на гранях и двугранные углы) равны». Тема «Правильные многогранни-
ки» очень богата в содержательном отношении и потому не может быть
раскрыта на уроках геометрии. Ее детальное обсуждение должно быть
на дополнительных занятиях в качестве элективного курса.
4.	Построение сечений в многогранниках
Задачи на построение сечений многогранников занимают заметное
место в школьных учебниках геометрии для старших классов Решение
этого вида задач способствует усвоению аксиом стереометрии, следствий
из них, систематизации знаний и умений, развитию пространственных
представлений и конструктивных навыков школьников.
Известно, что обучение какому-либо методу предполагает овладение
всеми действиями, составляющими этот метод. Основными действиями,
составляющими метод построения сечений, являются нахождение точки
пересечения прямой с плоскостью, построение линии пересечения двух
186
плоскостей, построение прямой, параллельной плоскости, построение
прямой, перпендикулярной плоскости, метод следов, метод внутреннего
проектирования, комбинированный метод. Проиллюстрируем сказанное
на одной обычной задаче школьного курса
геометрии: построить сечение прямой приз-
мы.4ВС4>В?С,(рис. 46) плоскостью, прохо-
дящей через точки Р. Q hR (7? принадлежит
грани AAiC/C, Р -отрезку О- ребру АВ).
Все три точки Р, Q, R лежат в разных
гранях, поэтому построить линию пересече-
ния секущей плоскости с какой-либо гранью
призмы пока не можем. Замечаем, что точки
ВиR принадлежат секущей плоскости, сле-
Рис. 46
довательно, точка Л пересечения прямой/1/? с плоскостью
АВС будет
принадлежать секущей плоскости и плоскости АВС. (умения строить точ-
ку пересечения прямой и плоскости и линию пересечения двух плоско-
стей) Дтя построения точки Xзафиксируем плоскость PRP', где РР'А.ВС
(умения осуществлять проектирование прямой на плоскость). Эта плос-
кость пересечет плоскость АВС по прямой P'R'(RR'ВАС). X есть точка пе-
ресечения прямой/7? с прямой P'R'.a потому' X- точка пересечения прямой
PR с плоскостью/1ВС (умение строить точку пересечения прямой с
плоскостью). Тогда прямая XQ- линия пересечения секущей плоскости с
плоскостью ДВС(умение строить линию пересечения двух плоскостей).
Пусть прямая АО пересекает отрезок АС в точке К.тогда прямая KR
есть линия пересечения секущей плоскости с плоскостью грани Я.4/С.С,
а отрезок НЕ (E^KRflA/Ci) является линией пересечения секущей плос-
кости с этой гранью (умение строить пересечение плоскости с гранью
многогранника). Для построения искомого сечения найдем линию пере-
сечения секу щей плоскости с плоскостью грани AA,BiB Для этого найдем
точку пересечения прямой КЕ с плоскостью грани AAiBiB. Замечаем, что
прямая АЕ лежит в плоскости грани AA.C'iC, которая пересекается с
187
плоскостью грани BBtAjA по прямой А,А. Следовательно, точкой пересе-
чения прямой Л7 с плоскостью грани AA.iBiB является точка /пересече-
ния прямой КЕ с прямой A tA. Прямая QY есть линия пересечения се-
кущей плоскости с плоскостью АА /В/. Теперь находим точку F пересе-
чения секущей плоскости с ребром Многоугольник FPEKQ- иско-
мое сечение. (Если бы призма ЛВСЛ/В/С, не была прямой, тогда точки
Р', /{'получили бы как точки пересечения прямых, проходящих соответ-
ственно через заданные точки Pv.R и параллельных боковому ребру
призмы.)
Осуществляя формирование умений владеть перечисленными дей-
ствиями, следует иметь в виду, что в совокупности соответствующих уп-
ражнений должны быть предусмотрены все ситуации применения пере-
численных действий. Например, формируя умение строить точку7 пересе-
чения прямой с плоскостью, нужно рассмотреть случай расположения
точки в пределах чертежа, вне чертежа, нахождение точек пересечения
прямой с плоскостями различных граней тетраэдра, призмы. Необходи-
мые комментарии будут даны в соответствующих упражнениях. На пер-
вом этапе формирования действий следует использовать различные мо-
дели фигур. В частности, желательно использование моделей тетраэдра и
призм, сделанных из бумаги самими учащимися. На этом этапе выпол-
няются упражнения такого типа: «На ребрах тетраэдра отметьте две
точки М и N. Укажите точку пересечения пря-	д
мой с плоскостями всех граней тетраэдра».	X
Для выполнения этого упражнения можно ис- / V х,
— — U ——
пользовать подсобный материал в виде метал- А X. I \
лических спиц, карандашей, поверхности стола.	'
Например, отыскивая точку' X пересечения	ХУ
Рис. 47
188
прямой Л/N с плоскостью грани Л 2?С тетраэдра DABC (рис. 47), учащие-
ся прикладывают спицы к точкам Л/, Л', А, С и находят «точку» их пересе-
чения. Необходимо варьировать расположение точек. Причем точки шцо
отмечать и на гранях многогранников, а не только на их ребрах. Бумаж-
ную модель многогранника легко проткнуть металлической спицей, точ-
ка пересечения соответствующей прямой с плоскостями граней много-
гранника находится с помощью других спиц. Материализация действий
развивает пространственное видение учащихся, позволяет «открыть»
важные положения теории сечений. При этом действия со спицами и мо-
делями многогранников следует интерпретировать соответствующими
построениями на изображениях многогранников.
Примеры.
1. Анализируя выполнение приведенного выше упражнения, обраща-
ем внимание учащихся на то. что точка X пересечения прямой MNMNC
плоскостью АВС есть точка пересечения прямой уру с прямой АС яв-
ляющейся линией пересечения плоскостей /дЛТА и АВС1_
2. Операции со спицами позволяют установить, что точка пересече-
ния X прямой MN с плоскостью ХВС АВС
(рис. 48) должна принадлежать любой плоско-	В
сти, содержащей прямую и плоскости АВС	/Ж
Отсюда и построение: а) изображаем псресечс-	/ "Ч 1 \
ние АЕ плоскостей MDN на рисунке N W при- /	| К. \
надлежит грани CDB) и АВС; б) находим точ-
ку Xпересечения прямых АЕАЕ и	|
Выполняя подобные у пражнения. необхо-
димо обратить внимание на важный факт: точ-
ка пересечения прямой и плоскости не зависит
от выбора плоскости, содержащей данную прямую. Для Y LDUVnnn J ГО Г О
факта могут быть использованы специальные упражнения. Их примеры.
189
1.	На рис. 49 изображены прямая MN, плоскости «и £> (плоскость В
содержит прям\ ю прямая АВ - линия пересечения плоскостей и и
В, Постройте точку пересечения прямой MNс плоскостью и. (На рис. 49
искомой точкой является точка Л)
2.	Известно, что плоскость "/содержит прямую MX (рис. 50). Будет
ли являться линией пересечения плоскостей а и у прямая АВ? Будет
ли содержать линия пересечения плоскостей ант точку .V?
Рис.-50?
3.	Докажите, что линия пересечения плоскости АВС с плоскостями
A^VD, AMN, CMN.BMN содержит точку' X
(рис. 51).
Выполнение подобных упражнений способ-
ствует формированию навыка выбора такой
плоскости, содержащей заданную прямую, что-
бы проще построить (указать) линию пересече- д
ния ее с заданной плоскостью. Например, в си-
туации нахождения точки пересечения прямой
190
MN с плоскостью АВС (рис. 47) наиболее у добно взять плоскость ADC так
как она содержит прямую и линия ее пересечения с плоскостью АВС
уже обозначена (прямая АС) В ситуации на рис. 51 такой плоскостью явля-
ется плоскость ADK, поскольку линия пересечения ее с плоскостью АВС
легко может быть построена (прямая АК').
Затем выполняются упражнения на построение точки пересечения
прямой с плоскостью.
1.	Построить точки пересечения прямой MN (рис. 52) с плоскостями
граней тетраэдра DABC.
Примечание. На рис. 52, а - д приведены необходимые по-
строения. На рис. 52. в, г точка Мпринадлежит грани ADC, а точка Л'-
грани CDB. На рис. 52, в X - точка пересечения прямой MNc плоско-
стью 4£С.на рис. 52, г К- точка пересечения прямой Л-ftV с плоскостью
ADB. Кстати, для построения точки У можно было бы использовать плос-
кость MDN. Пусть эта плоскость пересекает плоскость ADB по прямой
DZ тогда Уесть точка пересечения прямых Л/Л и DZ (рис. 52, д). Одна-
ко проигрыш в этом слу чае очевиден.
Рис. 52
2 Построить точки пересечения прямой MN с плоскостями граней
призм (рис. 53).
191
Указание. Решение приведено на рис. 53.
На рис. 53, в точка М принадлежит грани АА;В В. а точка Л - гра-
ни .ABCD. Прямая MN пересекает грань АА/В/В в точке М грань ABCD в
точке?/, грань AiBiCiD, в точкеX, грань DDiCjCh точке У, грань ВВ/С/С
в точке Z
Существуют различные способы решения задач на построение се-
чений многогранников: а) метод следов, б) метод внутреннего проекти-
рования, в) комбинированный с составляющими а) и б).
От выполнения приведенных упражнений следует перейти к по-
строению сечений методом следов, постепенно усложняя задачи. Вна-
чале выполняются упражнения, когда две заданные точки принадлежат
ребрам одной грани, затем - ребрам различных граней и только после
этого граням. Проиллюстрируем указанную методику организации уп-
ражнений следующей цепочкой задач.
2.	Построить сечение пирамиды
DABC плоскостью, проходящей через точки
М A, Р (рис. 54).	&
Данная плоскость пересечет ребро DA
в точке М, а ребро DB- в точке А'.следова-
тельно, плоскость ADB она пересечет по прямой MX. Аналогично, плос-
192
кость DBC она пересечет по прямой NP. Одной из точек пересечения
данной плоскости и плоскости нижней грани является точка Р. По-
скольку прямая MN принадлежит секущей плоскости, то вторая искомая
точка может быть найдена как точка пересечения A£V с плоскостью АВС
Очевидно, что эта точка X пересечения прямых MV и АВ. Тогда прямая
ХР - пересечение секу'щей плоскости с плоскостью АВС. Прямую ХР на-
зь вают следом секущей плоскости на плоскости АВС. (Отсюда и назва-
ние метода построения сечения - метод сле-
дов.) Точка К находится без труда.
2. Построить сечение параллелепи-
педа ABC- DA.B'C/Di плоскостью, проходящей
через точки Л/, К, N (рис. 55).
Указание . Построение выполнено на
рис. 55.
3. Построить сечение пирамиды EABCD
плоскостью, проходящей через точки М, X и К
(рис. 56).
На рис. 56 выполнено построение тре-
буемого сечения. Прямая ХУ - след секущей
плоскости на птоскости АВС, прямая
след секущей плоскости на плоскости AED,
прямая MY- след секущей плоскости на
плоскости АВЕ, прямая XL- след секущей
плоскости на плоскости CED и прямая FK -
след секущей плоскости на плоскости ВЕС.
Метод следов неудобен, когда точка пересечения прямой с плоско-
стью не попадает на лист бумаги или построения
занимают большую часть листа бумаги. В этом
случае более удобен метод внутреннего (парал-
лельного или центрального) проектирования.
Разъясним эту', ситуацию с помощью рис. 57.
193
Для построения искомого сечения призмы АВСВА1В1С1Д1 плоскостью,
проходящей через точки М, N и К, нужно построить точку L пересечения
плоскости с ребром СС,. Использование метода следов для построе-
ния точки L затруднительно, так как следы секущей плоскости на плос-
костях оснований призмы не попадают на лист бумаги. Воспользуемся
методом параллельного проектирования. Пусть L- искомая точка ребра
СС/. Параллельной проекцией сечения MNKL на плоскость нижнего осно-
вания будет многоугольник DABC. проекцией отрезка МКявляется отре-
зок DB, а проекцией отрезка' LM -отрезок CD. (Направление проектиро-
вания параллельно боковому ребру призмы). При указанном проектиро-
вании точка G пересечения отрезков MR' и <VL перейдет в точку Gh пе-
ресечения отрезков BD и АС. Отсюда вытекает следующее построение:
проводим отрезки BD и А С. отмечаем точку ХК их пересечения, проводим
через точку С/ прямую, параллельную боковому ребру призмы, и отме-
чаем точку G ее пересечения с отрезком МК. Точка пересечения ребра
СС/ с прямой Д'С и является искомой точкой L. Построение точки Z
можно осуществить и другим способом. Отметим на отрезке МКпроиз-
вольную точку Р. Пусть ее проекцией будет точка Pi- Точка А', пересе-
чения прямых СР, и AD является проекцией точки
X2(XzcMN. Х/ХД DDt). Искомая точка Z-есть точка пересечения прямой
РХ2 и ребра С,С.
Рассмотрим задачу на построение сечения методом центрального
проектирования.
Задача. Построить сечение пирамиды
EABCD плоскостью, проходящей через точки
М К, N (рис. 58).
Примем за центр проектирования точку Е.
Тогда проекцией отрезка МК на плоскость ос-
нования пирамиды будет отрезок DB Пусть G, -
194
точка пересечения отрезков DB и АС Она является проекцией точки
G	//Искомая точка L найдется как пересечении прямой NG
с ребром ЕС. Четырехугольник MN KL- искомый.
Итак, сущность метода внутреннею проем upon;.я шк ноч.и ни и
нахождении по элементам сечения в многогранниках их проекции и о
ратно по проекциям элементов сечения самих онемей ion сечения
Проиллюстрируем действие этого метода па еле о ющих ta max
Задача!. Построить сечение призмы плоскостью. прохо описи
через точки Л' Р(рис. 59), где М принадлежит грани ЛЛ,С/Са Л’- ipa
т<АА,В/В, Р - ребру СВ.
Выполним решение методом параллельного проектирования Рас
смотрим проектирование в направлении бокового ребра призмы на плос-
кость ее нижнего основания. Проекцией отрез-
ка Л/Л' является отрезок М' Л"/ Отметим точку
X’ пересечения отрезков М' N' и АР и постро-
им точку/X, проекцией которой служит точка
X'. Очевидно, что проекцией прямой ХР явля-
ется прямая Х'Р Остается найти ту точку К
прямой А А |.. которая принадлежит плоскости
сечения, а проекцией ее является точка А. К
есть точка пересечения прямых АА,и РХ (Так как точка А лежит на пря-
мой РХ'иААр XX'. то прямая^//принадлежит плоскости РХ'Ху Четырех-
угольник KLPG - искомое сечение.
Задача?. Построить сечение пира-
миды DABC (рис. 60) плоскостью, прохо-
дящей через точки Л/ N, Р (М принадле-
жит грани С, Л’-грани, ADB ребру СВ).
Рассмотрим проектирование с цен-
тром D на плоскость нижнего основания.
Проекцией отрезка ММ является отрезок
Рис. 60
195
точках'- проекция точки X (X'= М’N'ПАР, X ^XINODX^ ). Ука-
занное проектирование переводит прямую РХв прямую РХ’. Точка Л' пе-
ресечения прямой РХ и ребра AD будет принадлежать искомому сече-
нию. Четырехугольник KEPL- искомое сечение.
Разумеется, применение метода внутреннего проектирования пред-
полагает владение умением находить те фигуры, в которые переходят
данные фигуры при заданном проектировании и обратно. Поэтому целе-
сообразно решению задач на построение сечений многогранников мето-
дом внутреннего проектирования редпослать выполнение упражнений
на формирование указанных умений.
При решении задач на построение сечений
многогранников зачастую наиболее простое
решение основывается на применении как ме-
тода следов, так и метода внутреннего проек-
тирования.
Рис. 61 иллюстрирует решение задачи: по-
строить сечение призмы ABCA\BtC\ плоскостью.
содержащей точки Л/, N и К, где точка М при-
надлежит ребру.И/С/,, точка У- грани BB/CiC,
в
Рис. 61
тсчкаК- грани АВС, - комбинированным < пособом. Искомая плоскость
пересечет плоскость основания, кроме точки К, в точкеX, которую легко
построить. Далее все построения выполнены методом следов.
Циклы задач на построение сечений многогранников можно за-
вершить задачами, в которых секущая
плоскость определяется не тремя заданными
точками, а более сложными условиями. В
качестве примера укажем следующую зада-
чу: построить сечение параллелепипеда
ABCDAfBiCiD.i плоскостью, проходящей
через точку7 К ребра СС, параллельно пря-
мым АВ/нА/С (рис. 62). Согласно признаку
параллельности прямой и плоскости, плос-
Рис. 62
196
кость искомого сечения должна содержать две прямые, проходящие че-
рез точку А’параллельно прямым .4В; и А,С. Построим эти прямые. Для
этого построим сечения призмы плоскостями, определяемыми соответст-
венно точками .4, В:, К и А;, С, к . Затем в каждой из этих плоскостей
проведем прямые KL u КС параллельные соответственно прямым ,4В, и
А/С. Искомая секущая плоскость пройдет через точки К, L, Р. На рис.
62.	выполнено построение сечения призмы плоскостью, проходящей че-
рез точки К, L. Р
Подобные задачи, в которых построение сечений многогранников
органически связано с использованием параллельности (перпендикуляр-
ности) прямых и плоскостей, весьма полезны на заключительном этапе
изучения геометрии, поскольку их решение предпозагает систематиза-
цию и обобщение изученного материала. Наборы таких задач читатель
найдет в кн. В.Н. Литвиненко Задача на развитие пространственных
представлений. Книга для учителя (Просвещение, 1991). Заметим, что та-
кие задачи могут быть и предметом внеклассных занятий.
Вопросы и задания.
1.	Проанализируйте логическую схему введения понятия много-
гранника, используя различные учебные пособия.
2.	Исследуйте схему' изложения материала темы «Многогран-
ник».
3.	Проанализируйте работу учителя при подготовке к уроку по
теме: «Призма».
Указание. Обратите внимание на расстановку акцентов при объяс-
нении нового материала: а) определение призмы; б) существование
призмы; в) теорема о равенстве оснований призмы.
4.	Разработайте методику решения следующей задачи: «Построй-
те сечение куба А В ДА A.BiCJP плоскостью, перпендикулярной котрез-
ку СД и проходящей через его середину» на этапах: а) анализа задачи;
б) поиска ее решения; в) осуществления его; г) на заключительном.
Продумайте вопрос об оформлении решения задачи.
5.	Строя по заданию учителя изображение сечения треугольной
(четырехугольной) призмы плоскостью, ученик выполнил следующие
197
построения: на ребрах призмы отметил произвольно три (четыре) точки,
а затем соединил их. Правильно ли пост}'пил ученик? Если нет. то как
вы исправите допущенную ошибку'?
6.	Некоторые задачи на построение связаны с измерением отрез-
ков и углов. Разработайте методику решения такого типа задач, в част-
ности и указанной: «Все ребра тетраэдра ABCD равны. Постройте сече-
ние тетраэдра, содержащее точку' М ребра AD и перпендику лярное это-
му' ребру, и вычислите площадь, зная, что длины ребер равны а и что
ЛМ.МР = 3:1.
7.	Выполните анализ доказательства теоремы об объеме пирами-
ды.
Указание. Выделите понятия и суждения, с которыми учащиеся
уже знакомы и с которыми они встречаются впервые, выявите логиче-
ские связи между ними. Разбейте доказательство на отдельные шаги,
выделите понятия и суждения, играющие в доказательстве теоремы
главную и вспомогательную роль. Оцените материал, уже известный
учащимся, с точки зрения возможности его использования на пред-
стоящем уроке, разработайте методику ознакомления учащихся с тео-
ремой; составьте задачи, если это необходимо, способствующие усвое-
нию идеи и отдельных шагов доказательства теоремы; предусмотрите
возможные ошибки учащихся и наметьте пути их устранения, выбери-
те метод изучения теоремы и средства обучения, используемые при се
доказательстве; продумайте вопрос об оформлении записи доказатель-
ства теоремы.
Литература
1.	Учебники геометрии для X-XI классов.
2.	Учебные пособия по методике обучения математике для сту-
дентов педагогических вузов.
3.	Александров А.Д. Что такое многогранник? //Математика в
школе. 1981. №1-2.
4.	Бескин Н.М. Изображение пространственных фигур. М., 1971.
5.	Веннинджер М. Модели многогранников. М., 1983.
6.	Изаак Д.Ф. О задачах на построение в стереомет-
рии//Матсматика в школе. 1978. №3.
198
7.	Изаак Д.Ф К мето шкс решения i.i 1.1ч па mu ipociiiu- сечении
призм и пирамид//Матемагика в школе 11,8/ №5
8.	Мостовой А.И. О построении сечении миокиринникпи 11 10 । ।
геометрии IX класса// Математика в школе Р> /(»	'
9.	Рабинович В. Я. Об изучении измерения oGi-cmou, Mhhmuihi i
в школе. 1974. №4.
10.	Рыжик М.И. Из опыта преподавания ciepeoMcipiin па imioin
аксиоматики Вейля// Математика в школе. 1974. №4.
11.	Смирнова И.М. В мире многогранников: Кн. для учащихся М
1995.
199
Гпива IV
МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ
1. Различные схемы изучения тел вращения
2. Основные вопросы методики изучения тел вращения
1. Различные схемы изучения тел вращения
В учебниках геометрии рассматриваются различные варианты
изучения тел вращения. В учебнике авторов Л. С. Атанасяна и др. эта
схема представлена так: цилиндр, конус сфера и шар. В заключитель-
ной главе учебника рассматриваются объемы цилиндра, конуса и шара.
В учебнике А. В. Погорелова тела вращения представлены двумя гла-
вами: «Тела вращения» и «Объемы и поверхности тел вращения». В
учебнике И. М. и В. А. Смирновых учение о телах вращения представ-
лено в такой последовательности: Сфера и шар Взаимное расположение
сферы и плоскости. Многогранники, вписанные (описанные) в (около)
сферу (сферы). Фигуры вращения. Цилиндр, конус и шар Сечения ци-
линдра. Объем цилиндра, конуса и шара. В учебнике авторов А. Д.
Александрова, А. Л. Вернера и В. И. Рыжика в IX классе предлагается
изучать сферу и шар, а в X классе - цилиндр и конус.
В учебниках геометрии Л. С. Атанасяна и др., А. Е>. Погорелова,
И. М. и В. А. Смирновых рассматриваются круговые цилиндр и конус.
В учебнике авторов Л. С. Атанасяна и др. используется тот же подход к
введению цилиндра и конуса, который был применен к введению приз-
мы и пирамиды. В начале изучения цилиндра рассматривается цилинд-
рическая поверхность, образуемая двумя окружностями, расположен-
ными в параллельных плоскостях, и отрезками, концы которых принад-
лежат этим окружностям, причем отрезки перпендикулярны плоско-
стям. Таким образом, предметом изучения цилиндра является прямой
круговой цилиндр. Аналогично вводится и понятие конической поверх-
ности. Цилиндр определяется как тело, ограниченное цилиндрической
поверхностью и двумя кругами, границами которых являются упоми-
наемые выше окружности. Аналогично определяется понятие конуса.
Сказанное свидетельствует о том, что цилиндр и конус в учебнике гео-
метрии Л. С. Атанасяна и др., также как и многогранник, рассматрива-
ются без «своих внутренностей» и вводятся посредством описания спо-
200
соба их получения. Ангоры у ка imii.iioi и ил н> чк> ин ищ гр мгымт <».nh
получен вращением прямот голышка noiqn г его cnrponi.i n koiivi up»
моугольного трсу голышка вокру г его luncni ( о к ptKiiiiin. iioiiuiiin нрн
щения фигуры в учебнике не ра >ын пяс к я
В учебнике Л. В. Погорелова пп ши >р > копы рц< < мп г । >nn>ii<> и и
как тела, которые образованы cooinuicnniohuimii попермнн гимн ii ну
внутренностями. В данном учебнике p.iccxtaipini.iio  и шш< niini.n в ни
линдр и описанные около цилиндра при гмы и иноке шик .hhii.u и гшш <
и описанные около конуса пирамиды. Носко н-ко inioii по ixo г прншп
авторами учебника геометрии И. М. и В. Л. (мпртшимп В пом учгГ.
нике прямой круговой цилиндр, прямой круговой конус г ферн и шар
рассматриваются как фигуры вращения. Опрстсле....о фшхры пранк
ния предваряется понятие поворота в пространстве вокруг примой Д.ш
ный подход к введению тел вращения более нагляден п компактен по
сравнению с ранее рассмотренным. В учебнике ИМ п
В. А. Смирновых раздел о телах вращения дополнен симметрией про
странственных фигу'р, природными многогранниками — кристаллами
сечениями цилиндра и конуса плоскостью и взаимосвязью сечении ци-
линдра и тригонометрических функций. Во всех учебниках геометрии
рассматриваются поверхность и объем тел вращения.
В учебнике геометрии А. Д. Александрова. А. В. Вернера и
В. И. Рыжика понятия цилиндра и конуса распространены на больший
объем фигур. Под цилиндром понимается фигура, образованная парал-
лельными отрезками, проходящими от всех точек какой-нибудь плоской
фигуры до параллельной ей плоскости. Такой фигурой может быть точ-
ка, отрезок, прямая, окру жность. любой многоу гольник и т.д. Под такое
определение цилиндра попадают отрезок, полоса, призма, цилиндр в
традиционном его понимании. В данном учебнике призмы определяют-
ся через понятие цитиндра. Призмой называется цилиндр, основание
которого - многоугольник. Аналогично вводится и понятие конуса. Ко-
нусом с вершиной Р и основанием F называется фигура, образуемая от-
резками соединяющими точку Р со всеми точками фигуры F (F - пло-
ская фигура, не лежащая с точкой Р в одной плоскости). Пирамида рас-
сматривается как частный случай конуса. Такой подход к изучению
многогранников и тел вращения противоречит наглядным и традицион-
ным представлениям о них - с одной стороны. С другой - он обобщает
201
представления о стереометрических фигурах и позволяет трактовать их
с единых позиций, что способствует пониманию взаимосвязи между
геометрическими телами. Изучение учебного материала «от общего к
частному» экономит время, необходимое для его усвоения. Однако та-
кой путь познания в школе дискуссионен и требует опытной проверки.
2. Основные вопросы методики изучения тел вращения
Методика обучения понятиям, работе с теоремой, решению задач
в своей основе является такой же. как и методика обучения любым ма-
тематическим понятиям и работе с любой теоремой. В процессе форми-
рования понятий тел вращения важным является введение понятия, ус-
воение его существенных свойств, овладение действиями, адекватными
определению понятия, применение понятия, понимание роли понятия в
системе изученных понятий, логические операции с понятием (обобще-
нии. конкретизации, аналогии). В изучении теорем внимание акценти-
руется на введении теоремы, мотивации се изучения, доказательстве,
применении теоремы, на установлении связей теоремы с дру гими тео-
ремами, на развитии теоремы (ее обобщение, конкретизация, аналогия).
Поскольку’ учащиеся старших классов хорошо знакомы с фигура-
ми вращения и имеют уже необходимый опыт в изучении теорем, то
учебный материал, относящийся к фигурам вращения, может быть изу-
чен лекционным методом, используя при этом известные учащимся
факты, аналогию, моделирование изучаемых понятий и отношений, по-
становку проблемы. Объяснение учителя должно сопровождаться кон-
трольными вопросами к учащимся, но в минимально необходимом объ-
еме, не нарушающем логику рассуждений. Например, при изучении
сферы и шара следует использовать аналогию с окружностью и крутом.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Радиусом сфе-
ры во всех учебниках называют расстояние от центра сферы до ее точ-
ки. В этом случае вызывает сомнение в правильности формулировки
теоремы: «Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоско-
сти, перпендикулярен к касательной плоскости». Из данной формули-
ровки явствует, что радиус сферы есть отрезок, ибо расстояние не мо-
жет быть перпендикулярным плоскости. В теореме речь и идет об от-
резке, расстояние между концами которого равно радиу су сферы. Дан-
ную теорему' можно сформулировать так: «Отрезок, одним концом ко-
202
торого является точка касания сферы и плоское i и. а цтпм цешр
этой сферы, перпендикулярен касательной плоскоеiи»
Наиболее сложным материалом является объем гс ш И и ном слу-
чае следует широко использовать опыт ученика и апа кмпю с поняшем
площади плоской фигуры. В младших классах у учащихся формируется
убежденность, в том, что окружающие их физические юла имени объем
Эта уверенность переносится и на геометрические тела. Учащиеся зна-
комятся с формулами объема куба и прямоугольного параллелепипеда.
Под объемом этих тел понимают число единичных кубов, составляющих
куб и прямоугольный параллелепипед (для случая целых измерений). В
старших классах ставится обшая задача нахождения объемов тел.
Существует два способа определения понятия объема: аксиомати-
ческий и конструктивный. В школьных учебниках геометрии принят
первый способ. Понятие объема распространяется на многогранники и
тела вращения, которые изучаются в курсе стереометрии. По аналогии с
понятием площади фигуры объем тела — величина, сопоставляющая те-
лу положительное действительное число. За единицу’ измерения объема
принимается куб, ребро которого равно соответственно 1 мм. 1 см или
1 м. Такой куб называется кубическим миллиметром, кубическим сан-
тиметром, кубическим метром соответственно. Число V, показывающее
сколько раз единица измерения объема укладывается в данном теле, на-
зывается объемом этого тела. Очевидно, что число V зависит от едини-
цы измерения. Аналогично основным свойством площадей имеют место
основные свойства объемов:
1.	Равные тела имеют равные объемы.
2.	Если тело составлено из нескольких тел, попарно не имеющих
общих внутренних точек, то его объем равен сумме объемов этих тел.
3.	Объем куба равен кубу его ребра.
Свойства 1-3 называются аксиомами объема. На их основе полу-
чают формулы для вычисления объемов параллелепипеда, призмы, пи-
рамиды. цилиндра, конуса и шара. Изучая объемы тел, следует иметь в
виду следующие вопросы: 1) на каком множестве тел рассматривается
понятие объема, 2) существует ли хотя бы одна величина W, ставящая в
соответствие телам неотрицательное число, удовлетворяющее свойст-
вам 1-3, и если существует, то единственно ли оно. Вопрос о множестве
тел достаточно сложный и в школьном курсе геометрии он не может
203
быть решен. В этом курсе в качестве такого множества взято множество
многогранников и множество, содержащее многогранники, цилиндры,
конусы, шары. Имеет место теорема: «При выбранном единичном кубе
каждому телу соответствует, и притом единственное, положительное
число - численное значение объема при данной единице».
При конструктивном способе введения понятия объема изложение
материала начинают с рассмотрения отображения множества тел на
множество положительных действительных чисел. В гаком случае
свойства 1—3 являются не аксиомами, а теоремами. Указанный подход
реализуется во многих книгах. Изложим кратко его суть с применением
кубической масштабной сетки, аналогичной палетке, использу емой для
измерения площадей плоских фигур. Рассмотрим в координатном про-
странстве Oxyz кубическую масштабную сетку, получениею путем про-
ведения плоскостей, параллельных координатным плоскостям и от-
стоящих от них на 0, 1, 2, .... п, ... единиц. Пусть произвольное тело Ф,
расположенное в пространстве Oxyz . содержит Vo единичных кубов
этой сетки. Обозначим через Wo число единичных кубов, пересечение
каждого из которых с телом Ф, не пусто. Тогда множество всех этих
кубов образует тело, содержащее тело Ф.
Resin каждую масштабную единицу на 10, 100, 1000. .... 10". ...
частей, получим сетку, состоящую из кубов с ребрами длиной
1 1
10’ 100’
1
"’10"
.. единицы. Пусть а„ - число кубов с ребром
1
10
со-
держащихся в Ф, а число кубов такого же размера, каждый из кото-
рых имеет хотя бы одну общую точку с телом Ф. Обозначим числа
_5_
103”
р
и через Р„ и 17 соответственно.
Если числовые последовательности
и’ 1’	2’	' л’ ’
имеют один и тот же предел V (lim Iz' = lim IF = V ), то тело Ф называют
кубируемым, а число V - объемом тела Ф. Недостатком такого подхода
применительно к школьному курсу геометрии являются большие труд-
ности в доказательстве выполнимости свойств 1-3, а также в организа-
204
ции наглядных демонстраций.
Обоснование формулы объема призмы не вызывает затруднений у
учащихся: применение моделей, диафильмов, четко выполненных ри-
сунков позволяет хорошо осознать идею доказательства всем группам
учащихся. Исключение составляет лишь случай иррациональных изме-
рений прямоугольного параллелепипеда. Однако этот случай доказа-
тельства программой не предусмотрен. Гораздо сложнее обстоит дело с
изучением объема пирамиды. Поскольку невозможно указать призму
равносоставленную с пирамидой, то при доказательстве объема пира-
миды неизбежен предельный переход. В ряде пособий он осуществляет-
ся путем применения интеграла. Например, в учебнике авторов
Л.С Атанасяна и др выводится перед рассмотрением объема формула
ь
для вычисления: Г = fS’(x) dx. Пользуясь этой формулой, вычисляют
а
объемы наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара. Объем цилиндра
вычисляется через предел, к которому стремится объем правильной
призмы, вписанной в цилиндр, когда число боковых граней этой призмы
неограниченно удваивается.
В некоторых учебниках обоснование формул для вычисления
объемов тел основывается на принципе Кавальери: тела имеют равные
объемы, если сечения их любой плоскостью, параллельной какой-либо
заданной плоскости, равновелики. Например, в учебнике И.М. и
В.А. Смирновых после введения понятия объема тел рассматриваются
объемы цилиндра, прямоугольного параллелепипеда, прямой призмы и
прямого кругового цилиндра. Затем вводится принцип Кавальери. На
его основе доказываются теоремы о объемах наклонного цилиндра, пи-
рамиды. конуса, шара и его частей. В качестве примера приведем дока-
зательство теоремы об объеме конуса из учебника И.М. и
В.А. Смирновых.
Теорема. Объем конуса выражается формулой
V=-Sh,
3 ’
где S' - площадь основания, h - высота конуса.
Доказательство. Для данного конуса с основанием площади S' и
высотой h рассмотрим какую-нибудь пирамиду с той же площадью ос-
нования и высотой. Расположим основания конуса и пирамиды в плос-
205
кости а так. чтобы сами конус и пирамида лежали по одну сторону от
этой плоскости (рис. 63). Используя принцип Кавальери, покажем, что
эти пирамида и конус имеют равные объемы. Проведем плоскость, па-
раллельную плоскости «, на расстоянии х от нее. 0<x</z Тогда фигу-
ры Fy и F2, получающиеся в сечениях пирамиды и конуса этой плоско-
стью, подобны основаниям и коэффициент подобия к равен . Сле-
11
доватсльно. площади S', и S2 фигур F2 и Д соответственно выражаются
формулами S2=k2S, S2 = k~S и, значит, равны. Согласно принципа Ка-
вальери равны и объемы рассматриваемых фигур Но для объема пира-
миды имеет место формула
V=-Sh.
3
Следовательно, она имеет место и для объема произвольного ко-
нуса.
Рис. 63
В изучении объемов тел наибольшую трудность имеем при обос-
новании формулы объема пирамиды. Ее снижению способствует ис-
пользование формулы Симпсона. В этом случае предполагается изучен-
ной формула объема прямой призмы. Доказывают, что площадь сечения
пирамиды плоскостью, параллельной плоскости основания, есть много-
член не выше второй степени, где аргумент- расстояние от вершины до
плоскости сечения.
206
Далее принимаем ио oi<p> * к ниц* *ио <>1>ы м iiiipimn.ii.i puu< и
предел}' последовательное।и (I ) <>(ч.смоп ioohu н пцшппи । и in iri i
тых фигур (рис. 64).
Рис. 64
Рис. 6 ’
После этого доказывают, что объем всякого mhoioi рапнпки и <>
щади параллельных сечений которого удовлетворяю! ус юппю
5(х) = ах2 +Ьх + с, может быть найден по формуле
Г=—(g +4С> । о)
где Qo и Q - площади оснований, площадь среднего сечения, Н - дли-
на высоты.
Применение формулы Симпсона к пирамиде (а также к наклонной
призме) не составляет труда. Для пирамиды
2о=0, Qcp=^Q, тогда
т. И
J =-----
6
fo+4-е+еЪ^-
4 J 3
Конус, усеченный конус, шар, шаровой сегмент обладают тем
свойством, что площади сечений этих тел плоскостью, параллельной
плоскости основания, являются квадратичными функциями расстояния
плоскости сечения от постоянной точки. Например, площадь сечения
полу шара (рис. 65) может быть выражена формулой S(x)= %x(2R-х).
Поэтому7 на перечисленные фигуры может быть распространена форму -
ла Симпсона. Так, для шара имеем:
а=С=0	0.,=^ H = 2R
Г =—(6+4лЯ2 +о) = — nRs.
6 V	7 3
Достоинством варианта использования формулы Симпсона для вы-
ведения формул объемов различных тел является общность се примене-
ния. Она может быть применена к пирамиде, наклонной призме, телам
207
вращения, некоторым нетрадиционным многогранникам. Немаловажным
является и ее простота. Недостатком является громоздкость се вывода,
который, кстати, может быть сообщен без доказательства.
Вопросы и задания.
1.	Исследуйте схемы изложения темы «Тела вращения». Рассмот-
рите вопрос о возможности использования аналитических методов и
аналогии при изучение этой темы.
2.	Составьте план-конспект урока по теме «Объем шара».
3.	Проследите линию изложения теории объема фигур в курсе
геометрии среднее школы Какую эволюцию претерпевают представле-
ния учащихся об объеме тел.
4.	Разработайте пропедевтические упражнения, позволяющие оз-
накомить учащихся с существованием и единственностью' объема мно-
гогранников в V классе.
5.	К каким понятиям (определениям или неопределениям) школь-
ного курса математики относится понятие объема фигуры?
Перечислите свойства объемов. Какова методика их изучения в XI
классе? Выполните логические анализ доказательства теоремы об объе-
ме прямой призмы Какие свойства объемов используются при доказа-
тельстве этой теоремы? Составьте план-конспект урока по этой теме.
6.	Охарактеризуйте особенности конструктивного способа по-
строения теории измерения объемов и рассмотрите вопрос о возможно-
сти его применения в школе.
Литература
1.	Учебники геометрии для X-XI классов
2.	Учебные пособия по методике обучения математике для студентов
педагогических вузов
3.	Лебеч А. Об измерении величин. М, I960
4.	Фетисов А. И Геометрия в задачах. М. 1977
5.	Методика преподавания геометрии / под ред А. И Фетисова. - М.
1967.
208
Глава V
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД В ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ
На уровне средней школы об аксиоматическом методе формирует-
ся представление как о способе построения математической теории Ос-
нову таким образом построенной теории составляют:
1)	понятия, принимаемые без определений, и основные отношения
между ними;
2)	основные утверждения, выражающие связи между основными
понятиями и отношениями;
3)	правила вывода одних у тверждений из других.
Все понятия теории, кроме основных, определяются через исход-
ные понятия и ранее введенные, а доказательства теорем осуществля-
ются через основные понятия и аксиомы, а также через ранее доказан-
ные теоремы. Система аксиом должна удовлетворять требованиям не-
противоречивости, полноты и независимости. Непротиворечивость сис-
темы аксиом заключается в том, что никакие выводы из нее не являются
взаимно исключающимися. Полнота системы выражается в том, что до-
бав тение к ней невыводимого из нее у тверждсния превращает эту сис-
тему аксиом в противоречивую Независимость системы аксиом пред-
полагает требование невыводимости любой аксиомы из других аксиом
системы.
Непротиворечивость системы аксиом устанавливается посредст-
вом построения модели этой системы. Полнота системы аксиом обеспе-
чивает возможность доказать в рамках данной теории всякое утвержде-
ние, сформулированное на языке данной теории. Для установления не-
зависимости какой-либо аксиомы от остальных аксиом системы доста-
точно построить непротиворечивую модель, в рамках которой выпол-
няются все аксиомы, кроме исследуемой. Доказав таким образом неза-
висимость каждой аксиомы системы, можно говорить о независимости
всей системы аксиом.
Аксиоматический метод наделяют рядом функций:
1.	Аксиоматический метод позволяет выделять общие идеи, часто
скрываемые отдельными деталями различных теорий.
2.	Аксиоматический метод дает экономию мысли. Исследователь,
установив, что изучаемые объекты удовлетворяют аксиомам опреде-
209

ленной структуры, использует весь арсенал положений, характеризую-
щих эту структуру.
3.	Аксиоматический метод развивает математическую интуицию
учащихся, позволяет увидеть проблему под новым углом, что способст-
вует появлению неожиданных мыслей.
Таким образом, аксиоматический метод является не только спосо-
бом выяснения логических связей, но и мощным средством математиче-
ского исследования и развития методического мышления.
В математике выделяют три уровня построения аксиоматической
теории:
1)	содержательная аксиоматическая теория, описывающая одну
конкретную структуру, в развертывании которой используется интуи-
тивная логика;
2)	полуформальная аксиоматическая теория, описывающая род
структур, в развитии которой используется также интуитивная логика;
3)	формальная аксиоматическая теория, строящаяся на базе опре-
деленной аксиоматизированной логической системы.
Ясно, что применение аксиоматического метода в школьном курсе
геометрии возможно лишь на первом уровне. А. А. Столяр предлагает
следующий путь знакомства учащихся с аксиоматическим методом:
1)	рассмотрение конкретных моделей одной и той же структуры и
обнаружение одинаковых свойств;
2)	абстрагирование этих свойств от конкретных моделей, принятие
их за характеристику рода структур и общую формулировку этих
свойств на логико-математическом языке;
3)	логическая организация полученной совокупности предложений,
т. е. вывод одних предложений из других, принятых за исходные с ис-
пользованием простейших правил вывода (выделение системы аксиом);
4)	реализация построенной теории в новых конкретных ситуациях,
построение новых, отличных от исходной, моделей.
Итак, в обучении учащихся аксиоматическому- методу можно вы-
делить два аспекта:
1) аксиоматический метод как способ организации учебного мате-
риала;
2) аксиоматический метод как метод эвристического познания
210
Формирование аксиоматического метода предполагает достаточно
высокое качество математической подготовки школьников. Ее основ)
составляет стру ктура геометрического развития. Психологами выделено
пять уровней развития. Первый уровень характеризуется тем, что гео-
метрические фигуры рассматриваются как целое и различаются только
по форме. На втором уровне выполняется анализ геометрических фигур,
в резу льтате чего выделяются их свойства, которые еще логически не
упорядочены. На третьем уровне выполняется логическое упорядочение
свойств фигур и самих фигур. На четвертом уровне достигается пони-
мание дедукции как способа построения геометрической теории. На
этом уровне учащиеся понимают роль и сущность аксиом, определений,
теорем, логической структуры доказательства. Пятый уровень соответ-
ствует пониманию аксиоматического метода как эвристического спосо-
ба познания. Его реализация предполагает знакомство учащихся с не-
большими аксиоматическими теориями и их интерпретациями.
Учет характеристики геометрического мышления и анализ дея-
тельности по аксиоматизации теории позволяют выделить структуру^
обучения аксиоматическому методу' в школе.
Ее составляют: 1) понимание необходимости обоснования различ-
ных фактов, стремление логически обосновывать правильность предло-
жений; 2) выделение существенных свойств изучаемых понятий: 3) вы-
полнение деду ктивных выводов; 4) выполнение цепочек логических ша-
гов; 5) понимание необходимости определений; 6) применение эвристи-
ческих приемов: 7) выделение идеи доказательства; 8) понимание
струкгу ры определения: 9) применение методов научного познания; 10)
понимание необходимости аксиоматической организации материала;
] 1) понимание содержательной аксиоматизации; 12) понимание полу-
формальной аксиоматизации; 13) понимание формальной аксиоматиза-
ции.
Первые составляющие обеспечиваются воспитанием потребности
в логических обоснованиях, умениями выполнять отдельные дедуктив-
ные выводы и строить цепочки логических шагов. В процессе формиро-
вания указанных умений у учащихся воспитывается понимание сущно-
сти определения понятия, учащиеся овладевают и первыми эвристиче-
скими приемами. Необходимые условия для выполнения такой работы
содержатся в геометрическом материале 5-6 классов и первых разделах
211
систематического курса геометрии. Заданный материал учебников со-
держит богатые возможности для формирования умения выполнять це-
почки дедуктивных выводов и выделять идею доказательства. Методика
работы по овладению этими умениями содержится в разделах, посвя-
щенных формированию понятий и обучению доказательству. Овладение
методами научного познания (аналогией, обобщением и т.д.) основыва-
ется на комплексном применении всех перечисленных выше действий.
Особое внимание следует обратить на формирование умения выделять
идею доказательства. Напомним о том. что на первых уроках геометрии
важное место должна занимать работа по усвоению готовых доказа-
тельств. Именно, в процессе этой работы учащиеся овладевают умением
анализировать готовые доказательства. Для этого используются упраж-
нения на карточках с двумя колонками, в которых указываются утвер-
ждения и обоснования, пр1ием в колонках имеются пролу щенные стро-
ки. При оформлении записи доказательства теоремы или решения зада-
чи следует использовать разбиение решения на блоки с обоснованием в
них каждого логического шага. В разделе, посвященном методике рабо-
ты с теоремой все эти рекомендации обоснованы и иллюстрированы
конкретными примерами.
При формировании понимания аксиоматизации материала можно
использовать упражнения на выведение следствий из определения по-
нятия. Например, из утверждения «АВСД - параллелограмм» по опре-
делению имеем:
л	( АВ=ДС,
а)	АВ || СД	I	I АД=ВС,
б)	АД || ВС	| ZA = ZC,
J	LZfl = ZB.
К разъяснению сути аскиоматического метода следует привлекать
и бытовые ситуации. Приведем пример такой ситуации, предложенный
3. Крыговской. В некотором доме по случаю праздника собираются
друзья и родственники хозяев. Между всеми гостями, сидящими за
праздничным столом, возникает отношение соседства (S). Пусть запись
вида xSy означает, что человек «х» является соседом сидящему за сто-
лом человеку «у». Пусть также запись вида xRy означает, что «х» и «у»
- родственники. Пусть L - множество гостей и хозяев.
212
Учащиеся должны записать следующие утверждения:
Каждый из гостей имеет соседа слева и справа. На символическом
языке эта запись будет такой: VxgL Зу, zeL| у az ZAxSyAxSz.
Далее учащимся предлагается раскрыть информацию о празднич-
ной встрече, представленную в виде следующей совокупности утвер-
ждений:
Vx, у gL : xSy=>ySx.
Vx,y g L : xRy=>yRx;
Vx.y, z g L : xRvavRz=>xRz.
Школьникам вновь предлагается записать требование: родствен-
ники не должны сидеть за столом рядом .оруг с другом.
(Vx.y g L : xSy=>(xRy).
Далее учащимся предлагается ответить на вопрос: как может оце-
нить указанную выше информацию человек, который нс знает ситуации
из которой она возникла? Учащиеся могут привести несколько вариан-
тов ответа на этот вопрос. В частности, указать на следующую возмож-
ность трактовки множества L и отношений S и R.
a)	L - множество рабочих - строителей; xSy означает, что «х» и
«у» работают в одной бригаде;
xRy означает, что рабочие «х» и «у» имеют одну и ту же специ-
альность.
б)	L — множество прямых плоскости.
xSy ->х ± у,
xRy -> х//у.
Рассмотрение подобного рода ситуаций подводит школьников к
мысли о том, что информация, заданная отношениями S и R и их свой-
ствами, является математической моделью различных конкретных си-
туаций.
Структуру обучения аксиоматическому методу в средней школе
можно представить следу ющей схемой:
213
X-XI классы
IX класс
VII—VIII классы
VI—VII классы
V-VI классы
Схема
214

Понимание полу формальной и формальной аксиоматизации не-
доступно учащимся общеобразовательной школы, хотя отдельные ее
элементы могу т быть предметом элективных курсов для учащихся X-XI
классов. Заметим, что понимание содержательной аксиоматизации мо-
жет быть достигнуто в процессе изучения тем «Площади фигур» и
«Объемы тел». Эти темы содержатся во всех учебниках геометрии
средней школы. Хорошие возможности ознакомления учашихся с по-
луформальной аксиоматизацией теории и ее интерпретациями заложены
в теме «Векторные пространства». Здесь есть возможность познакомить
учащихся с аксиоматическим изложением теории векторного простран-
ства, его интерпретациями в форме множества направленных отрезков,
параллельных переносов, упорядоченных пар действительных чисел,
множества направленных окружностей и т.д. Рассмотрение конкретных
интерпретаций убедит учащихся в больших эвристических возможно-
стях аксиоматического метода. Предложения аксиоматически построен-
ной теории имеют место в любой ее интерпретации. Доказав какое-либо
у тверждение в одной интерпретации, можно его переносить на анало-
гичное ему' утверждение в .любой другой интерпретации. Например, до-
казав, что композиция (сумма) двух параллельных переносов плоскости
обладает свойством коммунитативности. с полным правом можно ут-
верждать, что этим свойством обладает и сумма двух направленных от-
резков плоскости.
Как было отмечено выше, аксиоматический метод используется в
двух смыслах: 1) аксиоматический метод - способ организации учебно-
го материала, 2) аксиоматический метод — один из мощных эвристиче-
ских методов познания. В школьных учебниках геометрии реализуется
идея аксиоматического метода в первом смысле. Учебники геометрии
написаны на аксиоматической основе В некоторых учебниках аксиомы
вводятся постепенно по мере необходимости в них. в других использу-
ются лишь отдельные аксиомы, хотя в приложении приводится вся ак-
сиоматика. Примером первых учебников является учебник геометрии
А. В. Погорелова, вторых - учебник геометрии Л. С. Атанасяна и др. Во
всех учебниках содержится раздел, в котором разъясняется содержание
понятий аксиомы, теоремы, доказательства. В предыдущих главах посо-
бия при изложении методик изучения различных тем заострялось вни-
мание и на подготовке учащихся к пониманию аксиоматического мето-
да. В X-XI классах ранее усвоенные факты и действия должны быть
систематизированы и обобщены. Это можно осуществить посредством
либо отдельных лекций, либо элективного курса, содержание которого
215

может быть таким: 1. Возникновение и развитие геометрии. 2. Аксиома-
тический метод. Система аксиом. 3. Непротиворечивость аксиом. 4. Не-
зависимость аксиом. 5. Построение системы аксиом реальных ситуации.
6. «Начала» Эвклида. 7. Проблема пятого постулата Эвклида. 8. Эле-
менты геометрии Н. И. Лобачевского. 9. Неевклидовы геометрии.
Остановимся на некоторых темах элективного курса При знаком-
стве учащихся с сущностью аксиоматического метода и системой акси-
ом следует заострить их внимание на выводах из аксиом группы. Так,
взаимное расположение точек и прямых на плоскости в учебнике
Л. С. Атанасяна и др. описывается следующими аксиомами:
1.	Каждой прямой принадлежит по крайней мере две точки.
2.	Имеются по крайней мере три точки, не лежащие на одной прямой.
3.	Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Можно предложить учащимся упражнения на выведение следствии
из данных аксиом. Например, доказать, что существует по крайней мере
одна прямая, отличная от данной прямой. По аксиоме 2) существует неко-
торая точка Л, не принадлежащая данной прямой а. По аксиоме 1) прямой
а принадлежат по крайней мере две точки: В и С. По аксиоме 3) через точ-
ки Л и В проходит прямая с. Через точки Л и С проходит прямая в. Значит,
кроме данной прямой, существуют другие прямые (в и с).
Доказать существование еще хотя бы одной прямой или точки, ис-
пользуя данные аксиомы, нельзя.
Рассмотрим некоторые аспекты изучения темы: «Непротиворечи-
вость аксиом». Доказательство непротиворечивости системы сводят к
построению ее модели. Объекты такой модели выбираются из системы
знаний, свойства которых установлены многолетней практикой. В каче-
стве такой системы используют арифметику. Однако непротиворечи-
вость отдельной группы аксиом может быть установлена с помощью
специальных моделей. Так, непротиворечивость группы аксиом взаим-
ного расположения точек и прямых на плоскости подтверждает модель
из трех точек и трех прямых, о которой речь шла выше. В качестве уп-
ражнений можно исследовать вопрос непротиворечивости различных
систем нематематического содержания.
Пример Пусть неопределяемыми объектами некоторой теории
будут буквы, слоги и слова в обычном понимании, а основным отноше-
216
нием - принадлежность буквы или слога слову. Основными свойствами
отношения являются
1	В любом слове не больше четырех слогов.
2	. В любом слове есть хотя бы одна буква «а».
3	. В любом слове не меньше одной буквы <ш».
4	В любом стове ровно четыре буквы «я».
Для установления непротиворечивости системы нужно подобрать
такое слово, которое удовлетворяет всем условиям. Но такого слова нет.
Дело в том, что по условию 4 в этом слове должно быть четыре гласных
буквы «я», а по устовию 2 в нем должна быть хотя бы одна гласная бук-
ва «а», значит всего в этом слове гласных букв должно быть не менее
пяти, что противоречит условию 1. Построенная система аксиом не
имеет моделей, следовательно, она противоречива.
Если заменить условие 4 утверждением: «В любом слове не более
одной буквы «я», то моделью системы будет, например, слово «рама». В
этом слове два слога содержат букву ««» и одну букву «и». Последнее
условие предполагает, что в слове может быть либо одна, либо ни одной
буквы «я». Для данной модели это требование также выполнено, значит,
новая система аксиом непротиворечива.
Для установления независимости системы аксиом надо обосновать
независимость каждой аксиомы от других аксиом системы Предложе-
ние А является независимым от системы аксиом S, если оно не может
быть доказано или опровергнуто с помощью аксиом системы S. Обос-
нование независимости системы аксиом S проводится следующим обра-
зом: В систему аксиом вместо А вводят утверждение А. противополож-
ное А. Если полученная система S окажется непротиворечивой, то А —
независимое утверждение Таким образом, чтобы установить независи-
мость у тверждения А от аксиом системы S. надо установить непротиво-
речивость аксиоматической системы S'. в которой вместо А содержится
противоположное ему утверждение А .
Вопросы и задания.
L Охарактеризуйте роль аксиоматического метода в обучении
учащихся.
2.	Раскройте сущность аксиоматического метода как способа по-
строения теории.
217
3.	В чем суть аксиоматического метода как эвристического метода
познания?
4.	Раскройте содержание схемы обучения учащихся средней шко-
лы аксиоматическому методу.
5.	Охарактеризуйте требования к системе аксиом.
6.	Раскройте на конкретных примерах требования непротиворечи-
вости и независимости аксиом.
7.	Подготовьте исследовательский проект по отбору содержания
элективного курса «Аксиоматический метод в обучении учащихся».
Литература
1.	Учебники геометрии для X-XI классов и методические пособия для
учителей.
2.	Александров А. Д. О геометрии// Математика в школе. 1980. №3.
С.56-57.
3.	Бескин Н.М. Аксиоматический метод// Математика в школе. 1993 -
№3. С.25-29; №4. С. 48-54.
4	Глейзер Г.Д. Каким быть школьному' курсу геометрии// Математика
вшколе. 1991.-№4. С.68-71
5.	Мантуров О.В , Исаева М.А. Об аксиоматическом методе в школь-
ном курсе геометрии// Математика в школе. - 1983. - №3. - С. 38-41.
6.	Семенов Е.Е. Изучаем геометрию. - М., 1987.
7.	Сплин А.В., Шмакова Н.А. Открываем неевклидову геометрию. М.,
1988. - 126с.
8.	Тихомиров В.М. Геометрия в современной математике и математи-
ческом образовании//Математика в школе. - 1993. -№4 -С. 3-9
9	Шумилина Н.Г. Поиграем с аксиомами: учеб пособие для учашихся
и учителей. - Орел, 1996.
10.	Семенов Е.Е. Точка, прямая... - что это такое?// Квант. 1975. - №1. -
С. 173-175; №12. С.68-70.
218
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ.........................................................3
Часть I. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
В ОСНОВНОЙ ШКОЛЕ................................................... 7
Глава I. Общая характеристика курса геометрии
основной школы ..	... ............................7
1.	Цели и задачи курса геометрии основной школы ............7
2.	Содержание обучения геометрии в VII-IX классах .........10
3.	Логические основы изложения геометрии
в VII-IX классах ............................................13
Глава П. Общие вопросы методики обучения геометрии
в основной школе..................................................  20
1.	Методика обучения элементам геометрии
в V-VI классах.... . ....................................................	21
2.	Методика изучения основных свойств простейших
геометрических фигур....................................... 23
3.	Методика формирования геомегрических понятий .......... 32
4.	Методика работы с теоремой...........................   43
5.	Обучение решению задач на первых
уроках геометрии........................................... 51
Глава Ш. Равенство фигур...........................................63
1.	Различные подходы к формированию понятия
равенство фигур............................................ 63
2.	Методика изучения равенства фигур.....................  65
3.	Обучение решению задач с помощью
признаков равенсгва треу гольников..........................71
Глава IV. Многоугольники........	 79
1.	Различные подходы к изучению многоугольников ............79
2.	Методика изучения четырехугольников ....................80
3.	Методика изучения правильных многоугольников ...........87
Глава V. Преобразования на плоскости...............................91
1	Различные подходы к введению понятия
преобразования фигуры...................................... 92
2	. Основные вопросы методики изучения
преобразования фигур ..................................     92
3	Обучение решению задач с помощью
геометрических преобразований..............................102
219
Глава VI. Векторы на плоскости..............................113
1.	Различные подходы к введению понятая вектора......113
2.	Методика изучения векторов в основной школе.......116
3.	Методика обучения решению задач с помощью векторов..123
Глава VII. Метод координат на плоскости ................... 130
1.	Роль координатного метода.........................130
2.	Компоненты координатного метода решения задач.....132
3.	Различные варианты изложения метода координат.....133
4.	Методика изучения метода координат................134
Глава VIII. Тригонометрические функции в курсе
геометрии планиметрии и их применение.......................138
1. Значение тригонометрических функций и различные
подходы к их изложению...............................138
2 Методика изучения тригонометрических функций ......139
Глава IX. Площади фигур.................................... 150
1 Понятие площади ................................... 150
2. Пропедевтика понятия площади в V—V] классах     153
3 Понятие площади в VII-IX классах...................154
Часть II. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ СТЕРЕОМЕТРИИ....................159
Глава I. Общая характеристика курса стереометрии............159
1	Цели и задачи курса стереометрии..................159
2.	Содержание обучения геометрии в X-XI классах......161
3.	Логические основы курса стереометрии..............163
4.	Общие вопросы методики обучения стереометрии .....165
Глава П. Взаимное расположение прямых и плоскостей
в пространстве............................................. 170
1. Методика изучения темы «Параллельность
прямых и плоскостей»...............................  170
2. Методика изучения темы «Перпендикулярность
прямых и плоскостей».................................175
Глава III. Методика изучения многогранников.................179
1.	Значение темы «Многогранники в курсе геометрии....179
2.	Различные подходы к трактовке понятия многогранника.180
3	Основные вопросы методики изучения многогранников...182
4.	Построение сечений в многогранниках...............186
Глава IV. Методика изучения тел вращения....................200
1	Различные схемы изучения тел вращения.............200
2	. Основные вопросы методики изучения тел вращения...202
Глава V. Аксиоматический метод в обучении геометрии.........209
220

la
noco
ение
Ml tro MHUrJ
(шка-
.гт|й
[ичеч
нит. э Об' ченй
^нр- |Дока^ател!
дйк!и обучения м
Я9знф
пе^вузсп
ских Дис
МЙТ^1ЙТЛ
-ГсМИИ Ы'а
Ка (ьТуДеН
Саранцкв Геннадий Иванович
Заслуженный работник высшей школь!
Российской Федерации, член-корреспонден^
Российскр^ (Экадеми^ образован^ октор пе-
дё|гоги^ес|1<!их ЦШук, [профессор, зав! кафедрой
методики преподавания математику Мордов-
ского •' государственного педагогичеркогр ин
статута им. |^.Е. ^все'рь^а, Сформулирорал'и
обосновал] ^яд методолог |Ческих положений
еорир, и ме^ дики обучЖ^ ^уемати^ в
частности р ь [fi место : (стемного анализа
у деятельно ого рЙдход1^ обучруии мате-
матике,! разработал концепции формирования
Пате1уа]|ИЧ^с|<р^ понятий, Ъб'уч'ей^ ржаза!
эб ении математик^.
)й
ИедвУзе, .Ы!
тельстру,
развити,-.
буду 1
яния
|1 ДРф
мльнъста Mi
ПСк.6ЧЛ	KI yiK
еремснйых
«ЙЧемЬшкт. ЙИ1 ер^ЖНЫМ»,	I lj и
I Са^знцсй ll Й.1- р'+н^зтелй на/чной|ш
.Щ»1 try мн^гоЧисленние ученики -кз^шд;
н?.УЙ fbataiatf- £u	с
ра,.й сг онФ, акгив^р лгз'ив.’*	тДОи
аУин неуку;