/
Tags: анализ
Text
A v ► «в ч •С«-~
ЕЛЕМЕНТИ
TEOPIT ФУНКЦИЙ
I
ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛ13У
A. M. КОЛМОГОРОВ, С. В. ФОМ1Н
к Go
ЕЛЕМЕНТИ
- ТЕОРН ФУНКЦ1Й
' I
ФУНК.ЦЮНАЛЬНОГО
АНАЛ13У
Допущено M/HicrepcTBOM вищоГ i середньо)’ спе-
циально)' осв/'ти СРСР як п/дручник для студент
матемагичних спещ'альностей ун|верситет
Б16л)отека ГгрногКльського
наЩонального педагог)чного
УЖверситету 1м. В. Гнатюии
миан
331640
Z' Л
k/вшу
Х7
ВИДАВНИЧе ОБ'вДНАННЯ «ВИЩА ШКОЛА»
ГОЛОВНЕ ВИДАВНИЦТВО
к и I В — 1 9 7 4
517.2
К60
УДК 517.5 (075.8)
Элементы теории функций и функционального анализа. А. Н. Кол-
могоров, С. В. Фомин. Издательское объединение «Вища
школа», 1974, 456 с. (на украинском языке).
Книга представляет собой учебник, соответствующий в основном той про-
грамме курса «Анализ III», которая принята в МГУ и ряде других
университетов. Предназначена, в первую очередь, для студентов меха-
нико-математических и физико-математических факультетов универси-
тетов. Для усвоения материала учебника необходимо владеть основами
математического анализа и линейной алгебры. Первая глава содержит
основные теоретико-множественные понятия. В главах II—IV изложена
теория линейных пространств, включающая элементы теории обобщен-
ных функций. Эти главы, а также примыкающая к ним глава X, по-
священная некоторым вопросам нелинейного функционального анали-
за, не предполагает ознакомления с понятием меры и лебеговой теорией
интегрирования. Теория меры, измеримые функций, интеграл Лебега,
а также лебегова теория дифференцирования и основные свойства
линейных пространств суммируемых функций излагаются в главах
7—VII. Глава 'III содержит ряды Фурье и интеграл Фурье. В главе
IX изложены основные факты из теории интегральных уравнений.
Помещенное в конце книги дополнение содержит краткое изложение
основных сведений о банаховых алгебрах и некоторых их применениях.
Ил. 24. Библиогр. 57.
Переклад з третьего переробленого роПйського видання («Наука»,
1972)
Редакц1я лИератури з математики 1 ф1зики
2£L03nz?£L 22_74
М211 (04)74
(С) Видавниче об’еднання «Вища школа», 1974.
3MICT
1з передмови до другого видания . . . . .................................... 8
Передмова до третьего видання............................................ 10
Р о з д i л I
Елементи теори множир ........... ........................ И
§ 1. Поняття множини. Onepauii над множинами.............................. 11
1. Основа! означения (11). 2. ОперацП над множинами (11).
§ 2. Воображения. Розбиття на класи....................................... 14
1. ЕИдображсння множин. Загальне поняття фуикцн (14). 2. Розбиття на класи.
ЕИдношення екв!валентност! (15).
§ 3. Екв1валентн!сть множин. Поняття потужност! множини................... 18
1. Ск1нченн! 1 нескшченш множини (18). 2. Зл!ченн1 множини (19). 3. Екв!валент-
н1сть множин (21). 4. Незл1ченн1сть множини д!йсних чисел (22). 5. Теорема Кан-
тора — Бернштейна (23). 6. Поняття потужност! множини (24).
§ 4. Упорядкован! множини. Трансфш1тш числа............................... 26
1. Частково упорядковаш множини (26). 2. Воображения, як! збер!гають поря-
док (27). 3. Порядков! типи. Упорядковаш множини (28). 4. Упорядкована су-
ма впорядкованих множин (29). 5- Ц!лком упорядковаш множини. Трансф!н!тн!
числа (29). 6. Пор!вняння двох порядкових чисел (31). 7. Аксюма вибору,
теорема Цермело i !нш! екв!валентш im твердження (33). 8. Трансф1н!тна !ндук-
ц1я (34). „
§ 5. Системи множин ...................................................... 35
1. Кольце множин (35). 2, П!вк!льце множин (37).- 3. К1льце, породжене твк!ль-
цем (38). 4. о-алгебри (39). 5. Системи множин I воображения (40).
Р О 3 Д 1 Л II
Метричн! i тополопчн! простори .......................................... 41
§ 1. Поняття метрйчного простору.......................................... 41
1. Означения I основе! приклади (41). 2. Неперервн! воображения метричних
просторов. 1зометр!я (47).
§ 2. Зб1жн!сть. В1дкрит1 i замкнут! множини............................... 49
1. Граничн! точки. Замикання (49)' 2. Зб!жн!сть (50). 3. Щ1льн! шдмножини (51).
4. В!дкрит! 1 замкнут! множини (52), 5. В!дкрит! 1 замкнут! множини на прям!й
(53).
§ 3. Повш метричн! простори.............................................. 57
1. Означения 1 приклади повних метричних просторов (57). 2. Теорема про вкла-
ден! кул! (60). 3. Теорема Бера (61). 4, Доповнення простору (61).
§ 4. Принцип стискаючих вщображень i його застосування ...... 64
1. Принцип стискаючих вщображень (64). 2. Найпрост1ш1 застосування принци-
пу стискаючих в!дображень (65). 3. Теореми !снування 1 единост! для диферен-
ц!альних р!внянь (67). 4. Застосування принципу стискаючих в!дображень до
!нтегральних р!внянь (70).
§ 5. Тополопчш простори....................................................... 72
1. Означения ! приклади тополопчних простор!в (72). 2. Пор!вняння тополопй
(74). 3. Визначальн! системи окол!в, База. Аксюми зл!ченност! (75). 4. Зб!жн!
посл!довпост! в Т (78). 5. Неперервн! вщображення. Гомеоморф!зм (79). 6. Аксю-
ми В1дд1льност1 (81). 7. Pi3Hi способи задания топологи в простор!. Метризов-
Н1сть (83).
§ 6. Компактнють . , » .......................................... У . . . 84
1. Поняття компактност! (84), 2. Неперервн! воображения компактних просто-
р!в (87), 3. Неперервн! 1 нашвнеперервш функци на компактних просторах (87).
4. Зл!ченна компактн!сть (89). 5. Передкомпактн! множили (91),
§ 7. Компактнють у метричних просторах ...................................... 92
1. Повна обмежешсть (92). 2. Компактность 1 повна обмежен!сть (93). 3. Передком-
пактн! множини в метричних просторах (95). 4. Теорема Арцела (95). 5. Теорема
Пеано (97). 6. Р!вном!рна неперервшсть. Неперервн! в!дображеаня метричних
компайт!в (99). 7. Узагальнена теорема Арцела (99).
§ 8, Неперервн! крив! в метричних просторах . , . *..................... . 101
Р о з д i л III
Нормоваш 1 тополопчн! лшшш простори...........................................104
§ 1. Л!н!ЙН1 простори ................,...................................4 104
1. Означения 1 приклади л!н!йних простор!в (104). 2. Л!н!йна залежн!сть (106).
3. П!дпростори (107). 4. Фактор-простори (108). б. Л!шйш функцюнали (109).
6. Геометричний смисл л!н!йного функционалу (ПО).
§ 2. Опукл! множини i опукл! функцюнали. Теорема Гана — Банаха ... 112
1. Опукл! множини i опукл! т!ла (112). 2. Однбр!дно-опукл1 функцюнали (114),
3. Функц'юнал Мшковського (115), 4. Теорема Гана— Банаха (116). 5. В!дд!ль-
пють опуклих множив у л!н!йному простор! (119).
§ 3. Нормован! простори .................................................... 119
1. Означения ! приклади нормованих просторов (120). 2. П1дпростори нормованого
простору (121).
§ 4. Евкл!дов! простори .............................................. . 122
1. Означения евклщових простор!в (122), 2. Приклади (124). 3. Гснування ортого-
нальних базис!в, ортогонал!зац!я (126). 4. Нер!вшсть Бесселя. Замкнут! ортого-
нальн! системи (128). 5, Повн! евкл!дов! простори. Теорема Pica — Ф1щера (131).
6. Пльбертовий просНр. Теорема про !зоморф!зм (133), 7. П1дпростори, ортого-
налыт! доповнення, пряма сума (135). 8. Характеристична властивють евкл!до-
вих просторов (139). 9, Комплексш евкл!дов! простори (141).
§ 5. Тополопчн! л!ншн! простори............................................. 143
1, Означения i приклади (ИЗ). 2. Локальна опуклють (146). 3. Злтченно-нормова-
н! простори (146).
Р о з д i л IV
Л1ншн1 функцюнали i л!шйш оператори......................................... 150
§ 1, Неперервн! лшшн! функцюнали ............................................ 150
1. Неперервн! лпн'йн! функцюнали в тополопчних л!н!йних просторах (150).
2. Л!шйн! функцюнали на нормованих просторах (151). 3. Теорема Гана—Бана-
ха в нормованому простор! (154). 4. Л!жйн! функцюнали в зл!ченно-нормовано-
му простор! (155).
§ 2. Спряжений простер .................................. . . 156
1. Означения спряженого простору (156). 2. Сильна тополопя в спряженому
простор! (156). 3. Приклади спряжених просторов (158). 4, Другий спряжений
прост!р (163).
§ 3. Слабка тополопя i слабка збЬкшсть....................................... 16&
1. Слабка тополог1я I слабка зб!жн!сть у липйному тополопчному простор! (165).
2. Слабка зб!жн!сть у нормованих просторах (166). 3. Слабка тополопя ! слабка
зб!жн!сть у спряженому простор! (169). 4. Обмежен! множини в спряженому
простор! (171).
§ 4. Узагальнеш функци ......................................................174
1. Розширення поняття функцп (174). 2. Проспр основних функц!й (175). 3. Уза-
гальнен! функцП (176). 4. Дп над узагальненими функциями (177). 5. Достатн1сть
запасу основних функц!й (180). 6. В!дновлення функц!! за пох!дною. Диференц!-
альш р1вняння в клас! узагальнених функц!й (181). 7. Деяк! узагальнення (184).
§ 5. Л1'й1'йн1 операторы ................................................... 187
1. Означения I приклади л!н!йннх оператор1в (187). 2. Неперервшсть ! обмеже-
н!сть (190). 3. Сума 1 добуток оператор!в (192). 4, Обернений оператор, оборот-
ность (193). 5. Спряжен! оператори (197). 6. Спряжений оператор в евкл!довому
простор!. Самоспряжен! оператори (199). 7. Спектр оператора. Резольвента (200).
§ 6. Компакты оператори .............................................. . . 202
1 Означения i приклади компактних операторов (202). 2. Основн! властивост!
компактних операторов (206). 3. Власн! значения компактного оператора (209),-
4. Компактт оператори в п'льбертовому -простор! (210). 5. Самоспряжен! ком-
пакты! оператори в Н (210).
Р о з д 1 л V
Mipa, BHMipni функци, штеграл . .............................................215
§ 1. Mipa плоских множив . .......................................215
1. Mipa елементарних множин (215). 2. Лебегова Mipa плоских ыножин (219).
3. Деяк! доповнення ! узагальнення (225).
§ 2. Загальне поняття М1'ри. Продовження м!ри з швюльця на юльце.
Адитивн1сть i а-адитивн!сть . s............................................. 227
1. Означения м!ри (227). 2. Продовження м!ри з п!вк!льця на породжене ним
к!льце (227). 3. о -адитивн!сть (229).
§ 3. Лебегове продовження м!ри............................................. 232
1. Лебегове продовження м1ри, визначено! на п1вк!льц! з одиницею (232),
2. Продовження м!ри, задано! на швк!льц1 без одиниц1 (235). 3. Розширення понят-
тя вим!рност! у випадку а-ск!нченно! м!ри (237). 4. Продовження м!ри за Жор-
даном (239), 5. Однозначшсть продовження м!ри (240).
§ 4. Вим1рн1 функш'Т .................................................» . 241
1. Означения ! основн! властивост! вим!рних функц!й (241). 2. Дп над вим!рни-
ми функциями (243). 3. Екв!валентн!сть (244). 4. Зб!жн!сть майже скр!зь (245).
5. Теорема Сгорова (246). 6. Зб!жн1сть за м1рою (247). 7. Теорема Лузина. С-влас-
тив!сть (249).
§ 5. 1нтеграл Лебега.................................................... 250
1. Прост! функци (250). 2. 1нтеграл Лебега для простих функций (251). 3. За-
гальне означения !нтеграла Лебега на множил! скшченно! м!ри (253). 4. сг-ади-
тившсть i абсолютна неперервшсть штеграла Лебега (255). 5. Граничний пере-
х!д шд знаком штеграла Лебега (259). 6. Тнтеграл Лебега по множин! неск!н-
ченно! м!ри (263). 7. Пор!вняння !нтеграла Лебега з штегралом Р!мана (264).
§ 6. Прям! добутки систем множин i Mip. Теорема Фубпп................... . 266
1. Добутки систем множин (266). 2, Добутки м!р (268). 3. Подання плоско! м!ри
через штеграл л!н!йно! м!ри перер!з!в I геометричне означения штеграла Лебе-
га (270). 4. Теорема Фуб!н! (272).
Р о з д 1 л VI
Невизначений штеграл Лебега. Teopifl диференщювання .........................276
§ 1. Монотонн! функцп. Диференцшовашсть штеграла по верхнш меж! . . 277
1. Основн! властивост! монотонних фуикцШ (277). 2. Диференц1йовн!сть моно-
тонно! функцп (280). 3. Пох!дна штеграла по верхшй меж! (286).
§ 2. Функцп з обмеженою змшою .............................................. 286
§ 3. Пох1дна невизначеного штеграла Лебега ................................ 290
§ 4. Вщновлення функцп за И похщною. Абсолютно неперервы функцп 292
§ 5. 1нтеграл Лебега як функщя мнобкини. Теорема Радона — Ншодима . 300
1. Заряди. Розклад Гана 1 розклад Жордана (300). 2. Основы! типи заряд!в
(303). 3. Абсолютно неперервн! заряди. Теорема Радона — Н1кодима (304).
§ 6. Тнтеград Спльтьеса .........................................................306
1. М1ри Ст!льтьеса (306). 2.. 1нтеграл Лебега — Спльтьеса (308). 3. Деяк! засто-
сування интеграла Лебега — Ст!льтьеса в теорП Ймов!рностей (ЗЮ). 4. 1нтеграл
Р1мана — Ст!льтьеса (311). 5. Граничный перех!д п!д знаком 1нтеграла Ст1льтьеса
(315). 6. Загальний вигляд л!н!йннх неперервних функц!онал!в у простор! непе-
рервних функщй (318).
Р о з д i л VII
Просторк сумовних функшй................................................ ... 321
§ 1. Прост!р Ц ...... ....................................................... 321
1. Означения 1 основы! властивост! простору Li (321). 2, Скр!зь щ!льн! множи-
ии в Li (323) 9
§ 2. Проспр L2.................................................................326
1. Означения 1 основы! властивост! (326). 2. Випадок неск!нченно‘1 м!ри (328).
3. Скр!зь щ!льн! множини в L%. Теорема про !зоморф!зм (330). 4. Комплексный
прост!р £2 (331). 5. Зб!жн!сть у середньому квадратичному 1 п зв’язок з шшими
типами зб!жност! функщональних послщовностей (331).
§ 3. Ортогональн! системи функшй у L2- Ряди по ортогональних системах 333
1. Тригонометрична система. Тригонометричний ряд Фур’е (333). 2. Тригономет-
ричн! системи на в!др!зку [О, л] (336). 3. Ряд Фур’е в комплексной форм! (336).-
4. Многочлены Лежандра (337). 5. Ортогональн! системи в добутках. Кратш ря-
ди Фур’е (339). 6. Многочлены, ортогональн! щодо дано! ваги (341). 7. Ортого-
нальний базис у простор! L2 (— со, со). Функцп Ерм1та (342). 8. Ортогональн!
многочлени з дискретною вагою (344). 9. Системи Хаара, Радемахера 1 Уолша
(346).
Р о з д ! л VIII
Тригонометричш ряди. Перетворення Фур’е .....................................348
§ 1. Умови зб!жносп ряду Фур’е............................................. 348
1. Достатн! умови зб!жност! ряду Фур’е в точц! (348). 2. Умови р!вном!рно1
зб!жност! ряду Фур’е (353).
§ 2. Теорема Фейера ................,........................................355
1. Теорема Фейера (355). 2. Повнота тригонометрично'1 системи. Теорема Вейерш-
трасса (358). 3. Теорема Фейера для простору Ц (359).
§ 3. 1нтеграл Фур’е..................................................... 4 359
1. Основна теорема (359). 2. 1нтеграл Фур’е в комплексной форм! (362).
§ 4. Перетворення Фур’е, властивост! i застосування . , .....................363
1. Перетворення Фур’е i формула обернення (363). 2. Основн! властивост! пере-
твореяня Фур’е (366). 3. Повнота функщй Ерм1та i Лагерра (369). 4. Перетво-
рення Фур’е швидко спадних неск!нченно диференц!йовних функщй (369),
5. Перетворення Фур’е ! згортка функщй (370). 6. Застосування перетворення
Фур’е до розв’язування р!вняння теплопров!дност! (371). 7. Перетворення Фур’е
функщй к!лькох зм1нних (373).
§ 5. Перетворення Ф^р’е в простор! £2 (—°°) ......... 375
1. Теорема Планшереля (375). 2. ФункцЙ Ерм1та (378).
§ 6. Перетворення Лапласа . ,........................................... 381
1. Означения i основн! властивост! перетворення Лапласа (381). 2, Застосування
перетворення Лапласа до розв’язування диференц1альних р!внянь (операторный
метод) (383).
§ 7. Перетворення Фур’е — Ст!льтьеса......................................384
1. Означения перетворення Фур’е—Спльтьеса (384). 2. Застосування перетворен-
ня Фур’е — Спльтьеса в теорП ймов!рностей (386).
§ 8. Перетворення Фур’е узагальнених функщй 388*
Р о з д i л IX
Л1шйн{ штегральш р!вняння ................................................391
§ 1. Основы! означения Деяк! задач!, що зводяться до штегральних р!внянь 39b
1. Типи !нтегральних р!внянь (391). 2. Приклади задач, що зводяться до 1нте-
гральних р1виянь (392).
§ 2, Тнтегр'альш р!вняыня Фредгольма.................................... 394
1. Хнтегральний оператор Фредгольма (394). 2. Р1вняння з симетричним ядром
(397). 3. Теореми Фредгольма. Випадок вироджених ядер (399). 4. Теореми
Фредголькпт для ршнянь з невиродженими ядрами (401). 5. Ргвняння Вольтерра
« (405). 6. Гнтегральш р!вняння першого роду 14051—д
§ 3. 1нтегральш р!вняння, що мають параметр. Метод Фредгольма . . . 406
1. Спектр компактного оператора в Н (406). 2. Знаходження розв’язку у вигля-
Д1 ряду за степенями Л. Детерминанты Фредгольма (407).’
Роздал X
Елеменги диференщального числения в лшшних просторах .....................412
§ 1. Диференщювания в лшшних просторах.................................. 412
1. Снльний диференщал (диференц1ал Фреше) (412). 2. Слабкий диференщал
(диференц!ал Гато) (414). 3. Формула скшченних приростов (414). 4. Зв’язок м!ж
слабкою i сильною диференцШовюстю (415). 5. ДиференцШовш функцюнали
(417). 6. Абстрактн! функцП (417). 7. 1нтеграл (417). 8. Пох!дн! вищих поряд-
К1В (420). 9. Диференщали вищих порядк!в (422). 10. Формула Тейлора (422).
§ 2. Екстремальн! задач!..................................................423
1. Необх!дна умова екстремуму (423). 2. Другий диференщал. 3. Достатн! умо-
ви екстремуму функционалу (427).
§ 3. Метод Ньютона t .....................................................429
Д о д а т о к
Банахов! алгебри , . . ............................................... 433
§ 1. Означения i приклади банахових алгебр................................433
1. Банахов! алгебри, !зоморф1зми банахових алгебр (433). 2. Приклади банахо-
вих алгебр (434). 3. Макснмальн! 1'деали (435).
§ 2. Спектр i резольвента ................................................436
1. Означения i приклади (436), 2. Властивост! спектра (437). 3. Теорема про
спектральний рад!ус (438).
§ 3. Деяк! допом!жш результата............................................439
1. Теорема про фактор-алгебру (439). 2. Три леми (440).
§ 4. Ochobhi теореми .....................................................441
1. Л1н!йн! неперервн! мультипл!кативн! функцюнали ! максимальн! 1деали (441).
2. Тополопя у множив! М. Основн! теореми (442). 3. Теорема В!нера; вправи
(444).
Лгтература . .............................................................447
Розпод!л л!тератури по роздмах..........................................448
Предметний покажчик.................................................... 449
13 ПЕРЕДМОВИ ДО ДРУГОГО ВИДАННЯ
Перше видання «ЕлеменНв теорп функшй i функционального
анализу» вийшло двома окремими випусками у 1954 i 1960 роках.
Поява цих випусюв була пов’язана з включениям наприкшщ 40-х
рок1в до програми мехашко-математичного факультету МДУ курсу
«Анал1з III», який об’еднував елементи reopi'i м!ри i теор!! функшй,
штегральш р!вняння, вщомост! з функцюнального анашзу, а шзшше
i вар1ащйне числения. Цей курс, який читав у МДУ спочатку
А. М. Колмогооов, а попм й innii лектори, у тому числ! С. В. Фомш,
увшшов пот1м до програми й шших ушверситепв.
У свш час замша в МДУ окремих курДв теорп функшй дшсно!
змшно"- штегральних р!внянь i вар!ашйного числения единим кур-
сом «Анал1з Ш» викликала велик! суперечки, Перед курсом було
поставлено завдання привчити студенты до подвшного зору: з одного
боку, стежити за внутр!шньою лопкою розвитку теорп множин,
загально" теорп неперервних в!дображень метричних i тополопч-
них лростор!в, лшшних простор!в i функшонал!в та оператор!в на
них, чисто’! теорп м!ри й штегрування в загальних «просторах з Mi-
рою», з другого — не випускати з поля зору проблематики класич-
ного i навит прикладного анал!зу, яка обслуговуеться цими б1льш
абстрактними галузями математики.
При розв’язуванш цього завдання ми надаемо перевагу абстракт-
ны л;ни побудови курсу Вщ загально! теорп множин (розд1л I)
можна перейти до метричних i тополоп’чних просторы i !х безперерв-
них вщображень (роздм II) або безпосередньо до простор!в з Mipoic
(без топологи) i штегруванню в них (розд!л V). У розд!лах III i IV
вивчаються лшшш простори i лшшш функшонали та оператори
в них. В1Д цих розд!л!в можливий прямий перехщ до роздшу X (не-
л!шйш диференшйовш оператори i функцюнали). У роздш! VII
вивчаються лшШш простори сумовних функшй. Т;льки в розддлах
VI i VIII увагу, по cyri, зосереджено на функщях дШсно! змшно!’.
Хоч у нашш книз! викладаються передуши загальш поняття
теорп функшй i функцюнального анал!зу, увагу до класично! проб-
лематики, яка прилягае сюди, читач може простежити майже в ycix
роздмах Включения в книгу воздйпв VI (теор!я диференшювання),
VIII (тригон ометричш ряди i штеграл Фур’е) i IX (лшшш штеграль-
н1 р!вняння) сприяло тому, що тепер книга охоплюе всю програму
прийнятого в Московському державному ушверситеп курсу «Анал1з
III^KpiM вар!ацшного числения. Ми не включили ней роздйл у книгу,
обмежившись лише викладом у розд!л! X найперщих уявлень про
нелшшний функщональний анал!з.
У новому виданн!, як i в попередньому, значке Micue займае за-
гальна теор!я м!ри. Останшм часом з’явилось досить багато викладш
теори штегрування, що грунтуеться на схем! Дашеля, в як!й не вико-
ристовуеться апарат м!ри. Однак ми вважаемо, що теор!я м!ри досить
важлива сама по co6i, незалежно вщ введения поняття штеграла,
i може бути включена до ушверситетського курсу.
Внаслщок включения нових розд!л!в помкно зб!льшився й обсяг
книги. Стар! розд!ли також !стотно перероблеш, в них вм!щено нов!
параграфи (наприклад, про порядков! типи !трансф!н!тн! числа, топо-
лопчш простори, узагальнен! функцп та !н.).
Проте, переробляючи нашу книгу i включаючи до не!’ нов! роздЬ
ли, ми намагалися зберегти той пор!вняно елементарний стиль викла-
ду, який було витримано, як нам здаеться, у першому виданн!. Ми
спод!ваемось, що вона знайде свое природне м!сце в ушверситет-
ському викладанш поряд з шшими пошбниками, зокрема з книгою
Г. €. Шилова «Математичний анал!з, спешальний курс», в якш
б!льше шдкреслено аналкичний б!к справи, а штерес до метричних
! тополопчних простор!в, м!р тощо як самостшних об’екпв культи-
вуеться менше.
А. Колмогоров
С. Фомщ
ПЕРЕДМОВА ДО ТРЕТЬОГО ВИДАННЯ
Готуючи нове видання, ми зберегли загальний план книги ! нама-
галися не збмьшувати 1Т обсягу. Разом з тим весь текст книги було
заново переглянуто i вщредаговано. Велику допомогу у шй робой
нам подав В. Ф. Широков. У роздып I i IV зроблено деяк! перемЬ
щення i змши, як! полегшують, на наш погляд, пепехщ в!д просйших
понять до складшших (наприклад, в!д банахових простор!в до б!лып
загальних у розд. IV). Досить !стотно неррроблено виклад теорп м!ри
(розд. V).
Останшм часом до курсу «Анал!з III» часто включають елемеити
Teopii банахових алгебр i спектрального анал!зу. Тому ми вважали
за дощльне включити до нашо'! книги написаний В. М.' Тихомировим
додаток, присвячений цим питаниям.
А. Колмогоров
С. Фом1н
Р О 3 д I л I
ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРП МНОЖИН
§ 1. ПОНЯТТЯ МНОЖИНИ. ОПЕРАЦ1Т НАД МНОЖИНАМИ
1. OcHOBHi означения. У математик! використовують найр!зно-
маштнши множини. Можна говорити про множину граней многокут-
ника, точок на прямш, множину натуральних чисел i т. д. Поняття
множини таке загальне, що важко дати йому яке-чебудь означения,
яке не зводилося б просто до замши слова «множина» його синошма-
ми: сукупшсть, Ha6ip елемент!в i т. п.
Роль, яку в!д!грае поняття множини в сучасшй математик*, ви-
значаеться не т!льки тим, що сама теор!я множин стала тепер досить
широкою i змктовною дисцишпною, а й головним чином, тим впли-
вом, який теор!я множин, що виникла наприкшц! минулого стол!т-
тя, мала i мае на всю математику в ц!лому. Не ставлячи сво!‘м завдан-
ням ск!льки-небудь повшше викласти цю теор!ю, ми тут введемо ли-
ше основн! позначення i початков! теоретико-множинш поняття,
як! використовуватимуться дал!.
Множини ми позначатимемо великими буквами А, В, а '!хн!
елементи — малими, а, Ь, ... Гвердження «елемент а належить мно-
жинг А» символ!чно записують так: а £ А або А Э а; запис а (£ А
(або А а) означав, що елемент а не належить А. Якщо вс! елементи,
з яких складаеться А, входять ! в В (причому випадок А = В не ви-
ключаеться), томи називаемо А тдмножиною множини В ! записуемо
A cz В. Наприклад, ц!л! числа утворюють шдмножину вс!х дшсних
чисел.
1нколи ми не знаемо наперед, чи мютить деяка множина (напри-
клад, множина корен!в невнсго р!вняння) хоча б один елемент. Тому
доц!льно ввести поняття порожным. множини, тобтомножини, яка не
м!стить жодного елемента. Ми позначатимемо I! символом 0. Будь-
яка множина мютить 0 як шдмножину.
2. Операцп над множинами. Нехай A i В -— дов!льш множини;
!х сумою, або об'еднанням С = A U В, називаеться множина, яка
складаеться з ycix елеменпв, що належать хоча б однш !з множин А
! В (рис. 1).
Аналошчно означаеться сума будь-якого (сличенного або
нескшченного) числа множин: якщо Аа — дов!льш множини, то !'х
сума (J Аа е сукупшсть елеменпв, кожний з яких належить хоча б
а
ОДНШ 3 МНОЖИН Аа-
Назвемо перетином С = А П В множин A i В множину, яка
складаеться з ycix елеменпв, що належать як А, так ! В (рис. 2).
Наприклад, перетин множини вс!х парних чисел i множини Bcix
чисел, як! дкпяться натри, складаеться з ycix шлих чисел, шо деять-
ся на писть. Перетином будь-якого (скшченного або нескшчен-
ного) числа множин Аа називаеться сукушпсть f'|/Ц елеменпв, яю
И
належать кожнш з множин Аа.
Операцн додавання i перетину множин за самим свош означениям
комутативш i асощативш, тобто
A U В = В U A, (A U В) U С = A U [В J С),
А П В = В П А, (А П В) П С = А П (В П Q.
с=див
Рис.- 1
с= длв
Рис. 2
Кр1м того, вони взаемно дистрибутивш:
(Л и В) Л С = (Д n Q и (В n Q, (1)
(Д П В) и С = (А и С) П {В и С). (2)
Справд!, перев!римо, наприклад, першу з них р!вностей г. Нехай
елемент х належить множин!, яка стоггь у л!в!й частит р!вност!
(1), тобто х £ (Д U В) Л С. Це означае, що х входить до С i, кр!м
того, принайми! в одну з множин А або В. Але тод! х належить хоча
б одшй з множин А Л С або В Л С, тобто входить до право! частини
розглядувано! р!вност!. Навпаки, нехай х £ (Д Л Q (J (В Л С).
Тод! х £ А Л С або х Q В Л С. Отже, х Q С !, кр!м того, х входить
в А або В тобто х £ A (J В. Таким чином, х £ (A (J В} Л С. Р!вн!сть
(!) доведено. Аналопчно перев!ряеться р!вшсть (2).
Означимо для множин операщю вщпмання. Називатимемо р1зни-
цею С = Д\В множини A i В сукупшсть тих елемеинв з Д, яких
немае в В (рис. 3). При цьому, взагал! кажучи, не припускаеться,
що А о В. Зам!сть Д\В шод! пишуть А — В.
1нод! (наприклад, у теори м!ри) зручно розглядати так звану
симетричну р1зницю двох множин А ! В, яка означаеться, як сума
р!зниць А \ В ! В \ А (рис. 4). Симетричну р!зницю С множин А
1 В ми позначатимемо символом А Л В. Отже, за означениям
А АВ = (Д\В) U (В\Д).
Вправе. Показати, що
А Д В = (Л U В)\(Л Л В).
1 Р1вн!сть двох множин А = В розумщмо як тотожну р1вшсть, гобто вона означае,
що кожний елемент множини А належить В, i навпаки. 1накше кажучи, р!вшсть
А = В равносильна тому, що виконан! обидва включения: АсВ i В CZ А.
Часто доводиться розглядати той або шший запас множин, як!
е шдмножинами деяко’1 основно! множини S, наприклад pisHi мно-
жини тонок на числовш прямш. У цьому раз! р!зницю S \ А нази-
вають доповненням множини A i позначають СА або А'.
У Teopii' множин i i'i застосуваннях досить важливу роль вщграе
так званий принцип дво! стост!, який грунтуеться на таких
двох стввщношеннях:
1. Доповнення суми дор1внюе перетину доповнень
s \ и Аа = n (S \ Аа). (3)
а а
2. Доповнення перетину дор1внюв сумл доповнень
5 \ П 4 = U (S \ Аа). (4)
А=Д\В ' ОАДВ
Рис. 3 Рис. 4
Принцип двоТстост! полягае в тому, що з будь-яко'! теореми, яка
стосуеться системи шдмножин фжсовано! множини S, ц i л к о м
автоматично можна дштати шшу двоТсту теорему, замшивши
Bci розглядуван! множини Тх доповненнями, суми множин — перети-
нами, а перетяни — сумами. Прикладом використання цього прин-
ципу може бути виведення теореми 3' !з теореми 3 § 2 розд. II.
Наведемо доведения сшввщношення (3).
Пехай х £ S \ (J Аа- Це означае, що х не входить до об’еднання
а
U Аа, тобто не входить в жодну з множин Аа- Стже, х належить
а
кожному з доповнень S \ Аа i тому х £ Г) (S \ Ла). Навпаки, нехай
а
х £ п (S \ Аа), тобто х входить до кожного S \ Аа; тод! х не вхо-
а
дить в жодну з множин Аа, тобто не належить Тх сум! (J Аа, а тод!
а
x g S \ (J Аа. PiBHicTb (3) доведено. Сшввщношенья (4) доводиться
а
аналопчно. (Доведйъ).
Назва «симетрична р!зниця» для операци .4 Л В не зовс!м вдала; ця операщя
багато в чому аналопчна сум! множин A J В. Слравд!, A IJ В означае, що ми
пов’язуемо невиключаючим «або» два твердження: «елемент належить Д» i «елемент
належить В», а А А В означае, що т! сам! два твердження пов’язуються виключеючим
«або»: елемент х належить А А В тод! i т!льки тод!, коли вш належить або тйь/а.
А, або пйльки В. Множину А А В можна було назвати «сумою за модулем два» мно-
жин A i В (береться об’еднання них двох множин, але елементи, як! при цьому зуст-
р!чаються дв!ч!> викидаються).
§ 2. В1ДОБРЛЖЕННЯ. РОЗБИПЯ НА КЛАСИ
1. В!дсбр?ження множин. Загальне поняття функцп. В анализ!
поняття функцп веодять так. Нехай X — деяка множина на числовой
прямш. Кажуть, що на цш множин! в и з н а ч е на ф у н к ц i л
f, якщо кожному числу х g X поставлено у вщповщшсть певне число
у — f (х). При цьому X називаеться областю визначення дане!' функци,
а У — сукупшсть ycix значень, яких набувае ця функщя,— и областю
значень.
Якщо ж замгсть числових розглядати множини будь-яко'! природи,
то ми прийдемо до найзагальшшого поняття функцп. Нехай М i N —
дв! дов!льш множили. Кажуть, що на М визначена функщя /, яка
набувае значень з N, якщо кожному елементу х g М поставлено у
вщповщшсть один i пльки один елемент у 3N. Для множин дов!льно1
поироди (як, м!ж 1ншим, i у випадку числових множин) замщть тер-
мшу «функщя» часто користуються термшом «вщображення», гово-
рячи про вщображення одше! -множини в шшу. При спещал!зацп
природи множин М i N виникають спещалып типи функцш, як!
мають особлив! назви «вектор-функщя», «Mipa», «функцюнал», «опе-
ратор» i т. д. Ми матимемо справу з ними дал!.
Для позначення функцп (вщображення) is М в N ми часто корис-
туватимемося записом f : М N.
Якщо а — елемент з М, то елемент b = f (а) з N, що вщповщае
йому, називаеться ‘його образом (при вщображенш f). Сукупшсть
ycix тих елеменпв а з М, образом яких е даний елемент b g N, нази-
вають прообразом (або, точшше повним прообразом) елемента b i
позначають « (&).
Нехай А —деяка множина з /VI; сукупшсть {f (a): a g Л} Bcix
елеменпв виду f (а), де a g А, називають образом A i позначають
f (А). У свою черту для кожно!' множини В з N означаеться його
(повний!) прообраз Д'1 (В), а саме: Д1 (В) е сукупшсть ycix тих
елеменпв з М, образи яких належать В. Може виявитись, що жодний
елемент b з В не мае непорожнього прообразу, тод! й прообраз Д1 (В)
буде порожньою множиною.
Тут ми обмежимося розглядом найзагальшших властивостей вщо-
бражень.
Введсмо таку термшолопю. Ми говоритимемо, цо f е вщображен-
ня множини М «на» множину N, якщо f (М) = N; таке вщображення
називають також сюр'екщею. У загальному випадку, тобто коли
f (М) cz N, кажуть, що f е вщображенням М «у» N.
Якщо для будь-яких двох р!зних елеменпв Xj i х2 з М ix образи
Ух = f (xi) ' У-> = f (х2> так сам0 pisni, то f називаеться 1н'екц1ею.
Встановимо основн! властивост! вщображень.
Теорема 1. Прообраз суми двох множин дор1внюе сум1 ix прообраз1в:
г1 (Л и В) = Г1 И) и Г1
Доведения, Нехай елемент х належить множин! f 1 (Л J В).
Це означае, що f(x) g А Ц 5, тобто f(x)Q А або f(x) g В. Але тод! х
належить принайми! одшй з множин f~l (Л) або f~l (В), тобто
х £ (Л) U Г1 (2 * * 5)- Навпаки, якщо х Q (Л) J /-1 (В), то х належить
хота б одшй з множин А чи В, отже, f (х) Q A J В, але тод!
х I nj (A U В).
Теорема 2. Прообраз перепишу двох. множин дор1внюе перетину
ix прообразов:
Г\А Л В) = г'(Л) Л FW
Доведения. Якщо х С (А Л В), то f (х) £ А Л В, тобто
Ж Л i f(x)QB,
отже, х Q f-1 (Л) i x Q f~’ (В), тобто x Q S-1 (Л) Л Г1 (B).
Навпаки, якщо x Q (Л) Л F* (В), тобто x g F* (Л) ! x Q f~‘ (B),
to f(x)QA i f(x)QB. 1накше кажучи, f(x)£4f| В Отже,
x И л в):
Теореми 1 ! 2 справджуються для суми i перетину будь-якого
(скшченного чи нескшченного) числа множин так само, як i така
теорема.
ТеоремаЗ. Образ суми двох множин дор1внюе cyMi 'ix образ1в:
/(Ли B) = f(A)\}fiE).
Доведения Якщо у £ f <А U В), то це означае, що у =
— f (х), де х належить принайми! сдн!й з множин А ! В. Отже, у —
f (х) Q f (Л) U f (В). Навпаки, якщоу Q f (Л) U f (В), то у = f (х),
де х належить принаймн1 одшй з множин A i В, тобто х g Л U В
i, отже, у = f (х) Q f (Л U В)
Зазначимо, що образ перетину двох множин, взаеам кажучи, не
зб1гаеться з перетином 'ix образов. Наприклад, нехай розглядуване
вщображення е проектуванням площини на в!сь х. Тод! в!др!зки
О х < 1, у == О,
О < х < 1, у == 1
не перетинаються, тод1 як Тх образи збиаються.
В п р а в а. Доведпь, що прообраз доповнення дор1внюе доповненню прооб-
разу. Чи правильне аналопчне твердження для образу доповнення?
2, Розбиття на :ласи. Вщношення екв1валентност!. У найртзно-
ман!тшших питаниях трапляються розбиття тих чи шших множин
на попарно неперетинш шдмножини. Наприклад, площину, яку
розглядають як множину тонок, можна розбити на прям!, паралельш
oci х; тривимюний прост!р можна подати як об'еднання концентрич-
них сфер р!зних рад!усш (починаючи з г = 0); жител!в певного м!ста
можна розбити на групи за ix роками народження тощо.
Щоразу, коли деяку множину М подано тим чи шшим способом
як суму cBoi'x попарно неперетинних шдмножин, ми говоримо про
розбиття множини М на класи.
Звичайно доводиться мати справу з розбиттями, побудованими
на основ! т!еТ чи шшо!' ознаки, за якою елементи множини М об’ед-
нуються в класи. Наприклад, множину вс!х трикутнишв на площин!
можна розбити на класи р!вних м!ж собою або на класи р!вновеликих
трикутник!в, ус! функци вщ х можна розбити на класи, збираючи в
один клас функци, як! набувають у данш точц! однакових значень,
i т. д.
Ознаки, за якими елементи множини розбиваються на класи, мо-
жуть бути р!зними. Але все ж така ознака не ц!лком довольна.
Припустимо, наприклад, що ми захопли б розбити зс! дшсш числа
на класи, включаючи число Ъ у той самий клас, що й число а, у тому
i т!льки в тому випадку, коли b > а. Зрозум!ло, що шякого розбит-
тя дшсних чисел на класи таким способом д!стати не можна, бо коли
b > а, тобто коли b треба включити в той самий клас, що й а, то Ь,
гобто числа а не можна включити в той самий клас, що й Ь. Кр!м того,
осюльки а не б!дьше, юж саме а, то а не повинно потрап'лти в один
клас з самим собою! Другий приклад. Спробуемо розбити точки
площини на класи, вщносячи дв! точки до одного класу в тому ! т!ль-
ки в тому випадку, коли вщстань м!ж ними менша вщ 1. Зрозуйло,
що домогтися цього не можна, бо коли вщстань вщ а до Ъ менша за
1 i вщстань вщ b до с менша за 1, то це зовс!м не означае, що вщстань
вщ а до с менша за 1. Отже, включаючи а в один клас з b, а b в один
клас з с, ми д!станемо, що в той самий клас можуть потрапити дв!
точки, вщстань м!ж якими б!льша за 1.
Наведен! приклади шдказують умови, при яких та або шша озна-
ка справд! дае можлив!сть розбити елементи деякоТ множини на класи.
Нехай М — деяка множина i нехай деяк! з пар (а, Ь) елемент!в
Mei множини «позначен!» \ Якщо (а, Ь) — «позначена» пара, то ми
говоритимемо, що «елемент а зв’язаний з Ъ вщношенням ср», i позна-
чимо його символом а ~ Ь. Наприклад, якщо маеться на уваз! роз-
ф
биття чрикутниюв на класи р!вновеликих, то а~Ь означае «трикут-
ч>
ник а мае ту саму площу, що й трикутник &». Це вщношення ср нази-
ваеться в1дношенням екв1валентност1, якщо воно мае так! властивост!:
1)рефлексивн!сть: а ~ b для будь-якого елемента
ф
a g М\
2) с и м е т р ич н i с т ь: якщо а ~ Ь, то b ~ а\
ф ф
3) транзитивн!сть: якщо а ~ b i ~ с, то а ~ с,
ф ф ф
Ц! умови необхщн! й дос^атю для того, щоб вщношення <р (озна-
1 При цьому елементи a i b беруться в певному порядку, тобто (a, b) i (b,a) —дв1,
взагал! кажучи, р!зн! пари.
ка!) давало змогу розбити множину М на класи. Спраьд!, б у д ь - я к е
розбиття uiei множини на класи визначае м!ж елементами niei мно-
жини деяке вщношення екв{валентности Справд!, якщо а ~ b озна-
ф
чае «й моститься в тому самому клас!, що й Ьъ, то вщношення <р буде,
як легко 11ерев!рити, рефлексивним, симетричним i транзитивним.
Навпаки, нехай <р — деяке вщношення екв!валентност! м!ж еле-
ментами множини М, нехай Ка — клас елеменпв х з М, екв!валент-
них даному елементу а: х ~ а. На основ! властивост! рефлексивност!
ф
елемент а сам належить класу К,а. Покажемо, що два класи Ка i Кь
або збшаються, або не перетинаються. Нехай якийсь елемент с нале-
жить одночасно i Ка > тобто с ~ а ! с ~ Ь.
ф ф
Тод! внаслщок симетричност! а ~ с i на основ! транзитивност!
ф
(1)
ф
Якщо тепер х — дов!льний елемент з Ка, тобто х ~ а, то на
ф
основ! (1) ! властивост! транзитивност! х ~ Ь, тобто х g Кь.
ф
Так само доводиться, що будь-який елемент у £ Kh входить до
Да. Отже, два класи Ка ! Кь, що мають хоча б один стльний елемент,
збшаються м!ж собою. Ми д!стали розбиття множини на класи за за-
даним вщношенням екв!валентност!.
Поняття розбиття множини на класи т!сно пов’язане з розгляну-
тим у попередньому пункт! понятиям вщображення.
Нехай f — вщображення множини А у множину В. 3!бравши
в один клас вс! т! елементи з А, образи яких у В збшаються. дютанемо,
очевидно, деяке розбиття множини А. Навпаки, розглянемо дов!льну
множину i деяке !! розбиття на класи. Нехай В — сукупн!сть тих кла-
с!в, на як! розбито множину А. Ставлячи у вщповщшсть кожному
елементу а £ А той клас (тобто той елемент з В), до якого а належить,
ми дктанемо вщображення множини А на множину В.
Приклади. 1. Спроектуемо площину ху на в!сь х. Преобрази
точок oci х—вертикальш прям!. Отже, цьому вщображенню вщ-
повщае розбиття площини на паралельн! прям!.
2. Роз!б’емо вс! точки тривим!рного простору на класи, об’еднав-
ши в один клас точки, р!внов!ддален! вщ початку координат. Кож-
ний клас £ сферою деякого paAiyca. Сукупшсть ycix цих клас!в
можна ототожнити з множиною вс!х точок, що лежать на промен!
[О, оо). Отже, розбиттю тривим!рного простору на концентричш
сфери вщповщае вщображення цього простору на швпряму.
3. Об’еднаемо в один клас ус! д!йсш числа з однаковою дробовою
частиною. Цьому розбиттю вщповщае вщображення прямо!' лш!!
на коло единично! довжини.
Поняття екв!валентност! е окремим випадком загалыишого поняття
б ! н а р и ог о вщношення. Нехай М — дов!льна множина.
Позначимо через М х М або М2 сукупшсть ycix упорядкованих пар
(а, Ь), де a, b £ М. Кажуть, що в М задано бшарне в1дношення <р,
якщо в А!2 вид!лено довыьну пщмножину R^. Точшше кажучи,
елемент а знаходиться у вщношенш <р до елемента b — позначення
ayb — тод! i т!льки тод!, коли пара (а, Ь) належить Прикладом
бшарного вщношення може бути вщношення тотожност! е, а саме,
aeb у тому i т!льки в тому випадку, якщо а = Ь; шакше кажучи,
це вщношення, що задаеться д!агоналлю А в М х М, тобто шдмножи-
ною пар виду (а, а). Зрозумыо, що всяке вщношення екв!валентност!
<р у якшсь множин! М е бшарне вщношення, пщпорядковане таким
умовам:
1) ц!агональ А належить R^ (рефлексившсть);
2) якщо (a, b) £ R^ то i (b, a) Q R,(. (симетричшсть);
3) якщо (а, 6) £ i (b, с) g R^, то! (а, с) £ Rv (транзитившсть).
Отже, екв!валентн!сть—це бшарне вщношення, яке задо-
вольняе умови рефлексивност!, транзитивност! i симетричност!.
У § 4 ми розглянемо другий важливий окремий випадок бшарного
вщношення — часткову впорядковашсть.
§ 3. ЕКВ1ВАЛЕНТН1СТЬ МНОЖИН.
ПОНЯТТЯ ПОТУЖНОСТ1 множини
1. Скшченш i нескшченш множини. Розглядаючи р!зн! множини,
ми пом!чаемо, що школи можна, якщо не фактично, то хоча б прин-
ципово, назвати число елементш у певшй множин!. Так!, наприклад,
множина вс!х вершин деякого многогранника; множина вс!х простих
чисел, як! не перевищують певного числа; множина вс!х молекул во-
ди . на Земл! i т. д. Кожна з цих множин мютить скшченне, хоча,
можливо, i невщоме нам число елеменпв. 3 другого боку, !снують
множини, як! складаються з нескшченного числа елеменпв. Так!,
наприклад, множина вс!х натуральних чисел; множина вс!х точок
на прямы, вс!х круг!в на площин!, вс!х многочлен!в з рацюнальними
коефщ!ентами тощо. При цьому, говорячи, що множина нескшченна,
ми маемо на уваз!, що з не'! можна вилучити один елемент, два еле-
менти i т. д., причому п!сля кожного такого кроку в цш множин! ще
залишаться елементи.
Дв! скшченш множини ми можемо пор!вняти за числом елемент!в
i побачити, однакове це число, чи в одшй з множин елеменпв б!льше,
н!ж у другш. Запитуеться, чи можна таким способом пор!внюзати
нескшченш множини? 1накше кажучи, чи мае смисл, наприклад,
питания про те,- чого б!льше: круг!в на площин! чи рацюнальних
точок на прямы; функщй, визначених на в!др!зку [0, 1], чи пря-
мих у простор! i т. д.?
Подивимось, як пор!внювати м!ж собою дв! скшченш множини.
Можна, наприклад, пщрахувати число елеменпв у кожнш з них !,
таким чином, ц! дв! множини пор!вняти. Але можна зробити й шак-
ше, а саме, спробувати встановити б1екц1ю, тобто взаемно однозначну
вщювщпсть Mix елементами цих множин, шакше кажучи, таку вщ-
повщшсть, при якш кожному елементу одше! множини в!дповщае
один i пльки один елемент шшо!, i навпаки. Зрозум!ло, що взаемно
однозначну вщповщшсть Mix двома скшченними мнохинами можна
встановити тод! i пльки тод!, коли число елемент!в у них однакове.
Наприклад, щоб перевюити, чи однакова шльюсть студентов у труп!
i спльщв в аудитор!!, можна, не перелщуючи н! тих, нг шших, лоса-
дити кожного студента на певний сплець. Якщо м!сць вистачить ус!м
i не залишиться жэдного зайвого спльця, тобто якщо буде встанов-
лено б!екцпо Mix цими двома множинами, то не й означатиме, що
число елеменпв у них однакове.
Заузажимо тепер, що коли перший спос!б (шдрахунок числа
елеменпв) придагний лише для пор!вняння спнченних мно-
жин, то другий (встановлення взаемно однозначно! вщловщност!)
придатний i для неспнченни х.
2. Зл!ченн1 множини. Найпроспшою серед нескщченних множин
е множина натуральних чисел. Назвемо злаченною множимою всяку
множину,' елементи яко! можна б!ективно зштавити з ус!ма нату-
ральними числами. 1накше кажучи, зл!ченна множина — це така
множина, елементи яко! можна занумерувати в нескшченну посл:-
довн)сть: alt а2, ..., ап, ... Наведемо приклади зл!ченних множин.
1. Множина ecix ц1лих чисел. Установимо вщповщшсть м!ж yci-
ма щлими i BciMa натуральними числами за такою схемою:
0—1 1 —22...,
1 2 3 45...,
взагал!, нев’д’емному числу п > 0 зютавимо непарне число 2/г + 1,
а вщ’емкому п < 0 — парне число 2 | п |:
п <-> 2п + 1 при п 0,
п <-> 21 п | при н<0.
2. Множина ecix парних додатних чисел. Вщповщшсть очевидна:
п 2п.
3. Множини 2, 4, 8, .... 2", ... степешв числа 2. Тут в!дповщн!сть
також очевидна. Кожному числу 2п зютавляеться число п.
4. Розглянемо складнппий приклад, а саме, иокажемо, що мно:
жина ecix ращонольних чисел зл!.ченна. Ксжне рацюнальне число
однозначно записуеться у вигляд! нескоротного дробу а = p/q,
7 > 0. Назвемо суму | р | + ? висотою рацюнального числа а. Зро-
зум!ло, що число дроб!в з даною висотою п скшченне. Наприклад,
висоту 1 мае Ильки число 0/1; висоту 2— числа 1/1 i— 1/1, висо-
ту 3 — числа 2/1, 1/2, — 2/1 i— 1/2 i т. д. Нумеруватимемо Bci
рацюнальн! числа за зростанням висоти, тобто спочатку випишемо
числа висоти 1, попм — числа висоти 2 i т. д. При цьому всяке panio-
нальне число дютане деяний номер, тобто буде встановлено взаемно
однозначну вщповщнють м!ж вс!ма натуральними i вс:ма рацюналь-
ними числами
Нескшченна множина, яка не е зл!ченною, називаеться незл1-
ченною множиною.
Установимо деяк! сшлыи властивост! зл!ченних множин.
1. Усяка тдмножина зл1ченно'1 множини скшченна або зл1ченна.
Доведения. Нехай А — зл!ченна множина, а В — Ti п!д-
множина. Занумеруемо елементи множини А : аг, а2, .... ап, ... Не-
хай аП1, аП1, ...— т! з них, як! входять у В. Якщо серед чисел пъ
п2, ... е найб!льше, то В скшченна, в противному раз! В зл!ченна,
бо и члени аП1, аП2, ... занумерован! числами 1, 2, ...
2. Сума будь-яко'1 скшченно! або зл1ченно1 множини зл1ченних
множин е знову зл1ченна множина.
Доведения. Нехай Alt А2, ... — зл!ченн! множини. Ми мо-
жемо вважати, що вони попарно не перетинаються, бо шакше ми
розглянули б зам!сть них множини Alt А2 \ А1г А3 \ U Л2), ...
... — кожна з яких не б!льш як зл!ченна,— що мають ту саму суму,
що й множинн Alt А2, ... Ус! елементи множин Лп Л2, ••• можна
записати у вигляд! тако!' нескшченно! таблиц!:
«11 «12 «13 «14 • • •
«21 «22 «23 «24 . . .
«31 а32 а33 • • •
«41 «42 «43 «44 • • • '
де в першому рядку стоять елементи множини Л1, у другому — еле-
менти множини Л2 i т. д. Занумеруемо тепер вс! щ елементи «по диа-
гоналях», тобто за перший елемент в!зьмемо аи, за другий а12, за
третш «21 i т. Д-, рухаючись так, як показано стошками на такш
таблиц!:
а11 - *,«12 «1з- * й14
«21 1 «22 «23 «24
V «31 «32 «33 «34
«41 «42 «43 «44
Зрозум!ло, що при цьому кожний елемент кожно! з множин д!стане
левний номер, тобто буде встановлено взаемно однозначну в!дпов!д
н!сть м!ж ус!ма елементами вс!х множин Ль Л2, ... i вс!ма натураль-
ними числами. Наше твердження доведено.
Вправи. 1. Довести, що множина bcix многочлешв э ращональними коеф!цЬ
ентами зл1ченна.
2. Число g називаеться алгебр at чним, якщо воно е коренем деякого многочлена
з ращональними коеф!щентами. Довести, що множина вс!х алгебраТчних чисел
зл!ченна.
3. Довести, що множина bcix рацюнальних 1нтеовал1в (тобто 1нтервал1в з ращо-
нальними инцями) на прям1й зл!ченна.
4. Довести, що множина Bcix точок площини, як1 мають ращональн! коорди-
нати, зл!ченна.
Вказ1вка. Скористатись властивктю 2.
3. 5удь-яка нескшченна множина м1стшпь зл1ченну тдмножину.
До веден н я. Нехай М — нескшченна множина. Виберемо
в нш дов!льний елемент Gv ОсюлькиМ нескшченна, у н!й знайдеться
елемент а2, вщмшний вщ а±, попм знайдеться елемент as, вщмшний
вщ аг i вщ а2, i т. д. Продовжуючи ней пронес (який не може o6ip-
ватись через «нестачу» елеменпв, бо М нескшченна), ми дштанемо
зл!ченну пщмножину
А = {tzj, а2, ап, ...}
множини М. Твердження доведено.
Це твердження показуе, що серед нескшченних множин зл!ченш
е «найменпп». Нижче ми з’ясуемо, чи !снують незл!ченн! нескшченш
множини.
3. Екв:валентгн!.сть множин. Пор!внюючи п чи шпи нескшченш
множини з натуральним рядом, ми прийшли до поняття зл!ченно!
множини. Зрозумьло, що множини можна пор!внюзати не пльки
з множинами натуральних чисел; встановлення взаемно однозначно!'
вщповщносп (б1екш!) дае змогу пор!внювати м!ж собою будь-як! дв!
множини. Введемо таке означения:
Означения. Дв! множини, М i N, називаються екыеалентни-
ми (позначення М ~ N), якщо м!ж Тхшми елементами можна вста-
новити взаемно однозначну вщповщшсть.
Поняття екв!валентност! застосовне до будь-яких множин, як
скшченних, так i нескшченних. Дв! скшченш множини екв!валентш
м!ж собою тод! (i пльки тод!), коли число елеменпв у них однакове.
Означения зл!ченно!' множини можна тепер сформулювати так: мно-
жина називаеггьсЯ зл1ченною, якщо вона екв1валентна множшй нату-
ральних чисел.
Зрозум!ло, що дв! множини, екв!валентш третш,' екв!валентн!
м!ж собою; зокрема, вс! зл!ченш множини екв!валентш м!ж собою.
Приклади. 1. Множини точок на будь-яких двох вщр!зках
[a, b] i [с, d] екв!валентш м!ж собою. 3 рис. 5 зрсзумЬло, як уста-
новив м!ж ними б!екц!ю. А саме, точки р i q вщповщають одна одшй,
якщо вони лежать на тому самому промен!, що виходить з точки О,
в*якш перетинаються прям! ас i bd.
2. Множина вс!х точок на розширешй комплексшй площин! еквн
валентна множин! Bcix точок на сфер!. Б!екц!ю а --> г можна встано-
вити, наприклад, за допомогою стереограф!чно!' проекцн (рис. 6).
3. Множина вс!х чисел в штервал! (О, 1) екв!валентна множин!
вс!х точок на прям!й. Вщповщшсть можна встановити, наприклад,
за допомогою функци
у = — arcts* + — •
Розглядаючи приклади, наведен? тут i в п. 2, можна пом!тити,
що шод! нескшченна множина бувае екв1в?лентною своТй дшснш
частиш. Наприклад, натуральних чисел кспльки ж», сюльки i Bcix
щлих або нав!ть уых ранюнальних; на штервал! (О, 1) «спльки ж»
точек, сюльки i на вс!й прямы, i т. д. Це явище характерне для не-
скшченних множин. Справд!, в п. 2 (властивють 3) ми показали, що
з усякоТ нескшченно! множини М можна вибрати зл!ченну шдмно-
жину; нехай А = {аь а2, .... ап, ...} така шдмножина. Роз1б’емо '!
на дв1 злЙщнш шдмножини
Лх = {«!, а3, аъ, ...} i А2 = (а2, а4, ав, ...}
i встановнмо м!ж A i At взаемно однозначну вщповщшеть. Цю вщ-
повщшеть можна попм продовжити до взаемно однозначно! вщпо-
вщност! м!ж множинами Л U (М \ Л) = 7И i Лх U (М \ Л) =
7И \ Л2, вщшеши кожному елементу з М \ Л сам цей елемент. Тим-
часом множина М \ Л2 не збшаеться з М, тобто е дшеною лщмно-
жияою для М. Отже, ми дютаемо таке твердження:
Всяка нескшченна множина екв{валентна деяк1й сво'ш д1йсн1й
тдмножшй.
Цю властив1сть можна взяти за означения нескшченно!' множини.
В п р а в а. Довести, що коли М —дов1льна нескшченна множина i А — зл1-
ченна, то М. ~ М. (J А.
4. Яезл1ченнкть множини д!йсних чисел. У п. 2 ми навели прик-
лади зл!ченних множин. Кдльюсть цих приклад1в можна було б зб!ль-
шити. KpiM того, як ми показали, сума скшченно! або зл!ченно! К1ль-
кост! зл!ченних множин знову е зл!ченна множина.
Природно виникае запитання: а чи юнують взагал! незлгченш
множини? Позитивну вщповщь на це запитання дае така теорема:
Теорема 1. Множина дшених чисел, замкнутая м1ж нулем i оди-
ницею, незл1ченна.
Доведения. Припустимо, що дане якусь зл!ченну множину
(вых чи пльки деяких) дшених чисел а, що лежать на в!др!зку [0, 1 ].
(Хх = 0, <Д1<2х2а13 • • • а1п • • • > *
И2 “ 0, ^21^'22^'23 • • • *^2п • • • 1
<х3 = 0, па1с!82<2зз ... aSn
<xrt — 0, aniafl2an3 .. . а,пп ... ,
Тут o-iR— k-a десяткова цифра а,. Побудуемо др!б
0 = 0, bxb2 ... ьп ...
д1агональною процедурою Кантора, а саме: за Ьх в13ьмемс дов!льну
цифру, яка не зб!гаеться з «ц, за Ъ2— дов!льну цифру, яка не зб!гаеться
з й22, i т. д., взагалц за Ьп в1зьмемо дов!льну цифру, яка не зб!гаеться
з апп. Цей десятковий др!б не можезб!гтися ш з одним дробом, що
м!ститься в перел)'ку (1). Справд{, вшос, др!б 0 вщр!зняеться принайм-
Hi першою цифрою, вщ а2 — другою цифрою i т. д., взагалц осклльки
Ьп^=апп для Bcix п, то др!б р вщмшний вщ будь-якого з дроб!в а,-,
що входять у перелж (1). Отже, н1яка зл!ченна множина дшсних
чисел, як! лежать на вщр!зку [0, 1 ], не вичерпуе цього вщр!зка.
Наведене доведения м1стить невеликий «обман». Справа в тому,
що деяк! числа (а саме, числа виду о/10б. 7) можна записати у вигляд!
десяткового дробу двома способами з неск! пленною «тльюстю нул!в
або з нескшченною к!льк!стю дев’яток; наприклад,
М? = А = 0,5000... = 0,4999...
Таким чином, незбш двох десяткових дроб!в ще не гарантуе в!д-
м1нност1 чисел, як! вони зображують.
Однак, якщо др!б 0 будувати обережшше, так, щоб в!н не мютив
н! нул!в, н! дев’яток, припускаючи, наприклад, що Ьп = 2, коли
апп = J, i bn = 1, коли апп =/= 1, "о доведения стае щлком корект-
ним.
В п р а в а. Показати, що числа, як! мають два р!зш десятков! розкладй, утво-
рюють зл!ченну множину.
Отже, вщр!зок [0,1]дае приклад незл!ченноТ множини. Наведемо
деяк! приклади множин, екв!валентних вщр!зку [0, 1]:
1. Множина вс!х точок будь-якого вщр}зка а, Ъ} або штервала
(а, Ь).
2, Множина вс1х точок на прямш.
3. Множина Bcix точок площини, простору, поверхш сфери,
точок, як! лежать всередиш сфери, i т. д.
4. Множина Bcix прямих на площинп
5. Множина Bcix неперервних функшй одше! чи юлькох змшних.
У випадках 1 i 2 доведения не становить трудношдв (див. приклади
1 i 3 п. 3). В шших випадках безпосередне доведения досить складне.
В п р а в а. Використовуючи результата цього пункту i зправу 2 п. 2, довести
1снування трансцендентных чисел, тобто чисел, як! не е алгебра1чними.
б. Теорема Кантора — Бернштейна. Одшею з основних у теорп
множин е така теорема:
Теорема2 (Кантора — Бернштейна). Нехай A i В —
del довиьш множини. Якщо 1снують езаемно однозначне в1дображення
f множини А на гидмножину Вг множини В I взаемно однозначне в1доб-
раження g множини В на nidмножину А! множини А, то А i В екв1-
валентш.
Доведения. Не эбмежуючи загальносп, можна вважати,
що A i В не перетинаються. Роз!б’емо елементи множин A i В на кла-
си таким способом. Елемент х з А (з В) називаеться попередником
елемента у з А (вщповщно з В) тод! i пльки тод!, коли у можна д!ста-
ти з х послщовним, однократним або багатократним, застосуванням
вщображень / i g (вщповщно g i /). Роз!б’емо тепер А на три множи-
ни: Ае, яка складаеться з елеменпв, загальна к!льк!сть попереднишв
кожного з яких парна, Ао — множина елеменпв з непарною к!льк!с-
тю попередник’в ! Л/— множина Bcix елеменпв, як! мають «нескш-
ченний хв!ст» попереднишв х.
Розбивши аналопчно множину В, лом!тимо, що f вщображае
Ае на Во i А/ на В/, a g~r вщображае Ао на Be- Отже, взаемно одно-,
значне вщображення ф, яке зб!гаеться з / на Ае (J Л/ з g~' на А о,
е взаемно однозначне вщображення Bciei Л на всю В. Теорему дове-
дено.
6. Поняття потужносп множини. Якщо екв!валентш дв! скш-
ченн! множини, то вони складаються з Tie!’ само! шлькост! елеменпв.
Якщо ж екв!валентш м!ж собою множини М i N дов!льш, то кажуть,
що М i N мають однакову потужшсть. Отже, потужн!сть — це те
сшльне, що е в ycix екв!валентних м!ж собою множин. Для скшчен-
них множин поняття потужнист! зб!гаеться is звичним поняттям к!ль-
кост! елеменпв множини. Потужи!сть множини натуральних чисел
(тобто будь-яко"! зл!ченно1 множини) позначають символом (чита-
еться: «алеф нуль»). Про множини, екв!валентн! множин! bcix дшсних
чисел вщр!зка [0, 1], кажуть, що вони мають потужшсть контину-
уму. Цю потужшсть позначають символом с (або символом К ).
Досить глибоке питания про (снування потужностей, пром!жних
м!ж i с, буде розглянуто нижче в §4. Як правило, нескшченш
множини, як! розглядаються в анал!з!, або зл!ченн!, або мають по-
тужшсть континууму.
Для потужностей скшченних множин, тобто для натуральних
чисел, у нас, кр!м поняття р!вносп, е також поняття «б!льше» i «менше».
Подивимось, як поширити ц! поняття на нескшченш потужносп.
Нехай Л I В — дв! дов!льш множини, а т (Л) i т (В) — 1’хш
потужносп.
Тод! лоНчно можлив! так! випадки:
1. Л екв!валентна деякш частин! множини В, а В екв!валентна
деякш частин! множини Л.
2. Л м!стить деяку частину, екв!валентну В, але в В немае час-
тини, екв!валентно!‘ Л.
1 При цьому млынсть р!зних попереднишв може бути i скшченпа: вони можуть
«зациклюватися», утворюючи несмнченну послщовшсть, яка мктить лише скшчен-
ну юльюсть попарно р!зних елеменпв.
3. В м1стить деяку частину, екв1валентну А, але в А немае час-
тики, екв1валентно1 В.
4. В жодшй з цих двох множин немае частини, екв!валентноТ
Друпй.
У першому випадку множини A i В на шдстав! теореми Кантора —
Бернштейна екв!валентн1 м!ж собою, тобто
tn (Л) = т (В).
У другому випадку природно вважати, що т (Л) > т (В), а в
третьему, що т (Л) •< т (В).
Haoenrri, у четвертому випадку нам довелося б вважати, що по-
тужносп множин Л i В чепор!внянш м!ж собою. Але насправд! цей
випадок неможливий! Це випливае з теореми Цермело, про яку мова
йтиме в § 4. Отже, будь-як1 del множини A I В або екелвалентн1 м1ж
гобою (i modi т (А) = т (В)), або задовольняють одне з двох cniB-
зщношень:
/й(Л)</и(В) або т(Л)>т(В),
' Ми зазначили вище, що зл!ченш множини —< це «найменшЬ з нес-
кшченних множин, а потчм показали, що юнують i нескшченш мно-
жини, нескшченшсть яких мае «вищий порядок»,— це множини по-
тужносп континууму. А чи icnyioTb нескшченш потужностц як!
перевищують потужшеть континууму? Взагалц чи ienye якась «най-
вища» потужшеть, чи Hi? Виявляеться, що справедлива така теорема:
Теорема 3. Нехай М — деяка множина i нехай Ж — множина,
елементами яко1 е вс1ляк1 п1дмножини множини М. Todi Ж мае потуж-
Hictnb бгльшу, н1ж потужшеть euxidnoi множини М.
Дсведення. Легко побачити, що потужшеть щ множини Ж
не може бути менша за потужшеть т вихщноТ множини М\ справдц
«одноелементш» шдмножини з М утворюють в Ж частину, екв1валент-
ну множин! М. Залишаеться довести, що потужност! m i т не зб!-
гаються. Нехай м!ж елементами а, Ь, ... множини М i якимись
елемен’.ами Л, В,,., множини Ж (тобто якимись шдмножинами
з М) установлено взаемно однозначну вщповщшсть:
а <—> Л, b > В, ...
Покажемо, щс вона напевне не вичерпуе Bciei’ Ж. А саме, сконстру-
юемо таку множину X с М, якш не вщповщае жодний елемент з
М. Нехай X — сукупшсть елеменпв з М, як! не входять у ri пщмно-
жини, як! !’м вщповщають. Докладшше: якщо а«-»Л i Л, то
елемент а ми не включаемо в X, а якщо а <-> Л i а Л, то ми вклю-
чаемо елемент а в X. Зрозуммо, що X е шдмножина множини М,
тобто деякий елемент з Ж. Покажемо, що шдмножиш X не може
вщповщати жодний елемент з М. Припустимо, що такий елемент
х <-> X !снуе; подивимось, чи мютитиметься вш в X чи Hi? Нехай
х ф X; але ж за означениям в X входить у с я к и й елемент,
що не м ютиться в шдмножиш, яка йому вщповщае, отже,
елемент л повинен бути включений в X. Навпаки, припустивши, що
х мктиться в X, ми дктанемо, що х не може мктитися в X,
бс в X включен! т!льки т! елементи, як! не входить у в!дпов!дн! Тм
тдмножини. Отже, елемент х, який в!дпов!дае шдмножин! X, повинен
одночасно i м!ститися, i не мктитися в Х.Звщси випливае, що такого
елемента взагал! не кнуе, тобтс що взаемно однозначно! в!дпов!д-
ност! м!ж елементами множини М ! вс!ма !"! шдмножинами встановити
не можна. Теорему доведено.
Отже, для будь-яко! потужност! ми справд! можемо побудувати
множину б!льшо! потужност!, пот!м щебьпьшо!’! т. д.; д!стаючи таким
чином не обмежену зверху шкалу потужностей.
Зауваження. Потужшсть множини ЭЛ позначають символом Чт, де т —
готужшсть М. (Читач легко зрозум!е смисл цього позначення, 'розглянувши випадок
сюнченного М.) Отже, попередню теорему можна записати нер!вшстю т < 2т.
Зокрема, при т = дктаемо нер!вшсть <_ 2^". Покажемо, що 2Ко —
тобто покажемо, що потужн1сть множини ecix гйдмножин натурального сяду dopie-
нюе континууму.
Роз!б’емо шдмножини натурального ряду на два класи 43 i S,— на и (клас 43),
в яких доповнення нескшченне, ! на т! (клас S), в яких воно сюнченне. До кла-
су S належить зокрема сам натуральний ряд, бо його доповнення — порожне.
Число шдмножин у клас! (5 зл!ченне (довести). Клас <5 не впливае на потужшсть
множини ЭЛ = 43 (J S.
М!ж шдмножинами класу 43 i д!йсними числами а з швсегмента [0, 1) можна
встановити взаемно однозначну в!дпов!дн!сть.
А саме, сшвставимо шдмножин! А £ 43 число а, 0 а < 1 з двшковим роз-
кладом
‘ а — В1 е° -I- - - - |. е” I
а 2 ~ 22 + 2" + ’
де ел — 1 або 0 залежно в!д того, чи належить п множин! А, чи Hi. Перев!рку до-
кладшших м!ркувань пропонуемо зробити читачев!.
В п р а в а. Довести, що сукупшсть ycix числових функщй (або взагал! функ-
щй, як! набувають значень у множин!, що м!стить не менш як два елементи), визна-
чених на деяшй множин! М, мае б!льшу потужшсть, н!ж потужшсть множини М.
Вказ1вка. Скористатися тим, що множина ecix indunamopie, тобто функщй на
М, як! набувають лише двох значень, 0 i 1, екв!валентна множин! вс!х шдмножин
з М.
§ 4. УПОРЯДКОВАШ МНОЖИНИ. ТРАНСФ1Н1ТН1 ЧИСЛА
У цьому параграф! викладено ряд понять, пов’язаних з щеею
впорядкованост! множин. Ми обмежимося тут початковими вщомос-
тями, бьлып докладшший виклад можна знайти в л!тератур!, зазна-
чен!й у к!нц! книги.
1 . Частково упорядкован! множини. Нехай М — дов!льна мно-
жина i <р — деяке бшарне вщношення в н!й (що визначаеться деякою
множиною g М х М). Ми назвемо це вщношення частковою
впорядковашстю, якщо воно задовольняе умови:
11 рефлексивность: «фа;
2) транзитивности: якщо aq>b i Ырс, то афс;
3) антисиметричноспй: якщо афЬ ! &фа, то а = Ь.
Часткову впорядковашсть позначають символом . Отже, запис Ъ
означае, що пара (а, Ь) належить вщповщшй множин! 7?ф. Про еле-
мент а при цьому кажуть, що в!н не перевищуе b або що в!н тдпоряд-
кований Ь. Множина, у як!й задано деяку часткову впорядковашсть,
називаеться частково упорядкоеаною.
Наведемо приклади частково впорядкованих множин.
1. У'сяку множину можна трив!ально розглядати як частково
упорядковану, • коли припустити, що а Ь, тод! i т!льки тод!, коли
а — Ь. 1накше кажучи, за часткову впорядковашсть завжди можна
взяти бшарне в!дношення тотожност! 8. Цей приклад, звичайно,
не становить великого штересу,
। 2. Нехай М— множина вс!х неперервних функцш на в!др!зку
[а, р ]. Припустивши, що f g тод! i Пльки тод!, коли f (/)<; g (/)
для Bcix t, а < t р, ми дютанемо, очевидно, часткову упорядко-
зашсть.
3. Множина вс!х шдмножин деякоТ фжсовано'! множини частко-
во впорядкована за включениям: М± М2, означае, що Л4х с Mz.
4. Множина вс!х натуральних чисел частково впорядкована,
якщо а С b означае «Ь д!литься без остач! на а».
Нехай М — довмьна, частково впорядкована множина. У випад-
ку, коли а < b i а Ь, ми користуватимемося символом <, тобто
писатимемо а < b i говоритимемо, що а менте b або що а строго
тдпорядкованс Ь. Поряд !з записом а < b ми користуватимемося
р!вносильним записом b >• а ! говоритимемо при цьому, що b не мен-
ше а (биьше а, якщо b а) або що b сл1дуе за а. Елемент а назива-
еться максимальним, якщо з а < b випливае, що b = а. Елемент а
називаеться яйшмальним, якщо з с а випливае, що с = а.
Частково впорядкована множина, для будь-яких двох точок а,
b яко!’ знайдеться точка с, яка сл!дуе за ними (а < с, b < с), нази-
ваеться напрямленою.
2. Вщображення, як! збершають порядок. Нехай 714 i М' —
дв! частково впорядковаш множини ! нехай f е вщображення М
в М'. Ми скажемо, що це вщображення збер1гае порядок, якщо з а
Ь, де a, b Q М, випливае, що f (а) < f (Ь) (в Мг). Вщображення
f називаеться 1зом(№ф1змом частково впорядкованих множин М i М',
якщо воно б!ектив.че, а сшввщношення f (а) < f (b) справджуеться
тод! i тлльки modi, коли а < Ь. Сам! множини М i М' називаються
при цьому 1зоморфними м!ж собою.
Нехай, наприклад, М. е множина натуральних чисел, частково
впорядкована за «под!льн!стю»-(див. приклад 4 п. 1), а ЛГ —-та сама
множина, але впорядкована природним способом, тобто так, що
& > а, якщо b — а — додатне число. Тод! вщображення М на М',
яке ставить у вщповщшсть кожному числу п його саме, збершае по-
рядок (але не е 1зоморф!змом).
Саме вщношення !зоморф!зму м!ж частково впорядкованими
множинами е, очевидно, вщношення екв!валентност! (воно симетрич-
не, транзитивне i рефлексивне). Отже, якщо в нас е якийсь запас 1
частково впорядкованих множин, то Bci ш множини можна розбити
на класи 1зоморфних м!ж собою. Зрозумшо, щоколи нас цшавить
не природа елеменпв множини, а лише часткова впорядковашсть,
що е в шй, то дв! {зоморфн! м!ж собою частково впорядковаш множини
можна розглядати просто як тотожш.
3. Порядков! типи. Упорядковая! множини. Про {зоморфш м1ж
собою частково впорядковаш множини ми говоритимемо, що вони
мають той самий порядковий тип. Отже, порядковий тип — це те
спiльне, що властиве BciM 1зоморфнйм М1ж собою частково упорядко-
ваним множинам, под!бно до того як потужшеть — це те сшльне,
що властиве bcim екв!валентним м!ж собою множинам (як( розгля-
дають незалежно вщ якого б то не було вщношення порядку в них).
Нехай a i b—елементи частково впорядковано! множини. Може
виявитися, що жодне is сшввщношень а <. b i b < а не маем!сця.
У цьому випадку елементи a i b називаються непор1внянними. Таким
чином, вщношення порядку визначено лише для деяких пар елеменпв,
тому ми й говоримо про часткову впорядковашсть. Якщо ж в част-
ково впорядковашй множин! М. непор^внянних елеменпв немае,
то множина М називаеться впорядкованою (мн1йно • впорядкованою,
ц1лком впорядкованою). Отже, множина М упорядкована, якщо вона
частково впорядкована i якщо для будь-яких двох р!зних елеменпв
a, b g М обов’язково або а < Ь, або b < а.
Множини, зазначеш в прикладах 1 — 4 п. 1, е лише частково
впорядкованими. Найпроспшими прикладами лшшновпорядкованих
множин можуть бути натуральш числа, сукупшсть ycix рацюналь-
них чисел, ycix дшсних чисел на вщр!зку [0, 1] тощо (з природними
вщношеннями «б!льше» i «менше», яш е в цих множинах).
Зрозумыо, що всяка пщмпожина впорядковано! множини сама
впорядкована.
Осшльки впорядковашсть е окремий випадок частково!' упоряд-
кованосп, то до впорядкованих множин застосовне поняття вщобра-
ження, яке збершае порядок, i, зокрема, поняття 1зоморф!зму.
Тому можна говорити про порядковий тип упорядковано! множини.
Ряд натуральних чисел 1, 2, 3, ... з природним вщношенням по-
рядку м!ж його елементами е найпроспшчм прикладом нескшченно!
впорядковано! множини. Його порядковий тип позначають символом со,
Якщо дв! частково впорядковаш множини !зоморфш м!ж собою,
то вони, звичайно, мають однакову потужшеть (1зоморф!зм це 6icK-
шя), тому можна говорити про потужшеть, яка вщповщае певному
порядковому типу (наприклад, типу со вщповщае потужшеть к0).
Однак обернене нев!рне; множина певно! потужносп може бути впо-
рядкована, взагал! кажучи, багатьма р!зними способами. Лише поряд-
ковий тип лшшно впорядковано! с к i н ч е н н о ! множини одно-
1 Ми утримуемося вщ понять на зразок «вес частково впорядковаш множини», бо
вони, як i поняття «множина Bcix множин», по суп, внутрешпьо суперечливц i не
можуть бути включен! в ч1тк! математичш концепщ!.
значно визначаеться числом п його елеменпв ( i позначаеться також
через п). Вже для зл!ченно'! множини натуральних чисел можливий,
наприклад, поряд з його «природним» типом го, такий тип:
1, 3, 5, ..., 2, 4, 6.
тобто такий, коли будь-яке парне число слщуе за будь-яким непар-
ним, а непарш i парш числа м!ж собою впорядковаш за зростанням.
Можна показати, що число р!зних порядкових типге, як! вщповщають
потужност! #0, нескшченне i нав!ть незл!ченне.
4. Упорядкована сума впорядкованих множин. Нехай Mi ! Л42 —
дв! неперетинн! впорядковаш множини з порядковими типами ©!
! 02. В об’еднанш Л1Х (J Л£2 множин ЛЦ i Л42 можна ввести порядок,
вважаючи, що два елементи з упорядковаш як в М1у два елементи
з М2 упорядковаш як в ТИ2 ! що всякий елемент з Мх п е р е д у е
всякому елементу з Л42. (Перев!рте, що це справд! лшшна впорядко-
вашсть!). Таку впорядковану множину ми називатимемовпорядкова-
ною сумою множин М1 ! Л42 i позначатимемо Мг + ТИ2. П!дкреслимо,
що тут важливий порядок доданюв: сума М2 + не !зоморфна,
взагал! кажучи, сум! + Л42.
Порядковий тип суми Мг + М2 ми називатимемо впорядкованою
сумою порядкових тишв ©! i 02 i позначатимемо ©J + 02.
Це означения легко поширюеться на дов!льне скшченне число
доданшв ©1, 02, ..., 0т.
Приклад. Розглянемо порядков! типи го ! п. Легко побачити,
що п + го = го; справд! якщо ми до натурального ряду 1, 2, 3, ...
..., k, ... припишемо зл!ва скшченне число члешв, то ми д!станемо
той самий порядковий тип го. Водночас порядковий тип го + п,
тобто порядковий тип множини
1, 2, 3, ..., k, ..., а1( а2, аПУ
не дор!вшое, очевидно, го.
5. Ц!лком упорядковаш множини. Трансфштп числа. Вище ми
ввели поняття частково'! впорядкованост! i впорядкованост!. Введемо
б!льш вузьке, але дуже важливе поняття п о в н о i впорядко-
ваност!.
Означения. Упорядкована множина називаеться щлком упо-
рядкованою, якщо кожна i'i непорожня шдмножина мае найменший
(тобто такий, що передуе вс!м елементам ц!е'1 тдмножини) елемент.
Якщо впорядкована множина скшченна, то вона, очевидно, ! шл-
ком упорядкована. Прикладом упорядковано’!, але не щлком упоряд-
ковано! множини може бути в!др!зок [0,1]. Саме ця множина мае най-
менший елемент — число 0, але и шдмножина, що складаеться з
додатних чисел, не мае найменшого елемента.
Зрозум!ло, що всяка (непорожня) п1дмножина щлком упорядкова-
Ho'i множини сама щлком упорядкована.
Порядковий тип ц!лком упорядкованоТ множини називають по-
рядковим числом (трансфшипним порядковим числом або, коротше,
трансф1н1том, коли хочуть шдкреслити, що йдеться про нескшченну
множину).
Натуральний ряд (з природним в!дношенням порядку) е множиною
не т!льки упорядкованою, а й ц!лком упорядкованою. Отже, и поряд-
ковий тип со е порядкове число (трансф1шт!). Порядковим числом
буде i со + k, тобто тип множини
1, 2, ... , п, ... , аъ а2, ... , ak.
Навпаки, множина
, — п, ... , —3, — 2, — 1 (1)
упорядкована, ~але не шлком упорядкована. Тут у кожшй непорожшй
шдмножин! е найб!льший елемент (тобто такий, що сл!дуе за вс!ма),
але, взагал! кажучи, не мае найменшого (наприклад, найменшого
елемента не мае в уст множин! (1)). Порядковий тип (якни не е поряд-
ковим числом!) множини (1) позначаеться символом со *.
Доведемо такий простий але важливий факт:
Лема 1. Упорядкована сума оконченного числа щлком упорядко-
ваних множин е щлком упорядкована множина.
Справдц нехай М — дов!льна шдмножина упорядковано! суми
Л1( + М2 + ... + Мп шлком упорядкованих множин; розглянемо
першу з множин Mk, що мае елементи з М. Порщя множини М, яка
припадке на Mk, е шдмножиною шлком упорядковано! множини
i, отже, мае перший елемент. Цей елемент буде першим елементом i
Bcie! М.
Н а с л i д о к. Упорядкована сума порядкових чисел е порядковим
числом.
Отже, ми можемо, на основ! деяко! сукупност! порядкових чисел,
будувати нов! порядков! числа. Наприклад, беручи натуральн! числа
(тобто скшченш порядков! числа) i порядкове число со, можна д!стати
порядков! числа
со -ф п, со -ф coSco -ф со -ф п, со -ф со -ф со i т. д.
Читач легко побудуе шлком упорядкован! множини, як! вщпов!-
дають ним трансфертам.
Поряд з упорядкованою сумою порядкових тип! в можна ввести упорядкований
добуток. Нехай Л41 i М2— множини, упорядкован! за типами 0, i 02. ЕИзьмемо
багато екземпляр!в множини — по одному на кожний елемент АД— ! зам!нимо
в множин! Л12 ш елементи цими екземплярами Мх. Знайдену множину називають
ипорядкованим добутком i M2 i позначають символом Мг М2. Формально
М1 • М2 будуеться як множина пар (а, Ь), де а ф /И, i b ф М2, причому (аг, bj) <
< (а2, Ь2), якщо bt < b2 (при будь-яких а,, а2). i («j, b) <_ (а2, 6). лкщо а(< а2.
Аналогично означають упорядкований добуток Зудь-якого сюнченного числа
сшвмножниюв М2 ... Мр. Порядковий тип 0 добутку Лф • М2 упорядкова-
них множин називають добутком порядкових тишв 0r ! 02:
0 = 0J • 02>
Як i впорядкована сума, упорядкований добуток не комутативний.
Лема 2. Упорядкований добуток двох Щлком упорядкованих множин в Щлком
упорядкована множина.
Доведения. Нехай М — деяка шдмножина добутку ЛфсИ.д множена М
е множина пар (а, Ь). Розглянемо вс! друг! елементи b пар, як! входять в М. Вони
У’ворюють деяку шдмножину в Л42. Внаслщок повно’1 впорядкованосп М2 пя шд-
множина мае перший елемент Позначимо його b0 i розглянемо eci пари виду (а, Ьо),
що входять в М. Ix nepmi елементи а утворюю,гь деяку шдмножину в Mt. Внасль
док повно'1 впорядкованост! серед них е перший елемент. Позначимо його а0.
Тод! пара (а0, Z»o), як легко побачити, i буде першим елементом М.
Н а с л i д о к . Упорядкований добуток порядкових чисел в порядковим числом.
Приклади. Легко побачити, що со + со = со 2, to-f-co-|-co=co-3.
Легко також побуцувати множини, упорядковаш за типами to • п, со2, со2 п, со3, ...
..., <ор, ... Ус! ш множини матимуть зл!ченну потужшеть.
Можна означити й 1нш1 дп над порядковими типами, наприклад шднесення до
степени, I ввести в розгляд так! порядков! числа, як, наприклад, со®, со® i т. д.
6. Пор1вняння двох порядкових чисел. Якщо i п2 — два скш-
ченш порядков! числа, то вони ябо зб!гаються, або однезних бълыне
за друге. Поширимо це вщношення порядку на трансфТЛтш порядков!
числа. Введемо для цього так! поняття. Усякий елемент а лшшно
упорядкэвано! множини М визначае початковий etdpisoK Р (сукуп-
nicTb елеменпв < a) i остачу Q (сукупшсть елеменпв а).
Нехай a i |3 — два порядков! числа, а М i N — множини вщповщ-
но типу a i [3. Ми скажемо, що а = Р, якщо множини М i N !зоморфш,
щоа < 6, якщо М !зоморфне якому-небудь початковому вщр!зку мно-
жини N, i що 7. > |3, якщо, навпаки, N !зоморфне початковому вщ-
р!зку множини М.
Теорема 1. Будь як1 два порядков^ числа a I (3 зв'язаш м1ж собою
одним I лише одним is ствв1дношень:
а = Р, а<Р або а>р.
Для доведения встановимо насамперед таку лему:
ЛемаЗ. Якщо f—(зоморфне в1дображення щлком упорядкова-
Hoi множини А на яку-небудь it шдмножину В, то f (а) а для
eeix a Q А.
Справд!, якби були так! елементи а £ А, що f («) < а, то серед
них був би перший (повна упорядковашеть!). Нехай пё елемент
Оо i нехай b0 = f (аф. Тод! Ьо < щ i, осшльки f — !зоморф!зм, р(ф0) <
< f (п0) = Ьо, тобто а0 не був би першим серед елеменпв !з ц!ею влас-
ТЙШСТЮ.
3 ixiei леми вщразу випливае, що шлком упорядкована множина
не може бути !зоморфна своему в!др!зку. Якби А була !зоморфна вщ-
р!зку, що визначаеться елементом а, то виконувалося б сшввщношен-
ня / (а) < а. Тому сшввщношення
а = Р i а<Р
не можуть мати м!сця одночасно. Аналоп’чно не може бути одночасно
а = Р i а > р. Так само несум!сш сшввщношення
а < Р i а > Р,
бо шакше ми дктали б (транзитившеть!), щоа <«, а це, як ми по-
бачили, не можливе. Отже, ми показали, що наявшеть одного з сшв-
вщношень а = р виключае два шип. Покажемо тепер, що одне з цих
сшввщношень з а в ж д и справджуеться, тобтощобудь-як!
два порядков! числа пор!внянш.
Спочатку для кожного порядкового числа а побудуемо множину
№(а), яка е його «стандартним представником». А саме, приймемо
за W (а) множину Bcix порядкових чисел, менших вщ а.
Числа, що входять в W (а), Bci пор!внянш м!ж собою, а сама
множина W (а,) (упорядкована за величиною порядкових чисел) мае
тип а. Справд!, якщо множина
А = {... , а, ... , Ь, ...}
мае тип а, то, за самим означениям, порядков! числа, менш! за а,
взаемно однозначно в!дпов!дають початковим в!др!зкам множини
А, а отже, i елементам niei множини. 1накше кажучи, елементй
множини, що мають тип а, можна перенумерувати, користуючись
порядковими числами, меншими в!д а:
А = (а0, alt .... ак, ...).
Нехай тепер a i 0 — два порядков! числа; тод! А = W (a) i В —
— W (0) — множини тишв в!дпов!дно a i 0. Дал!, нехай С —
= A f] В — перетин множин А 1 В, тобто сукупшсть порядкових
чисел менших вщ a i 0 одночасно. Множина С щлком упорядкована;
позначимо !"! тип у. Покажемо, що у < а. Справд!, якщо С = А,
то у = а, а якщо С А, то С е вщр!зок множини A i тод!
Справд!, при Bcix r)gA\C числа £ i г] пор!внянш, тобто
g гр Але сшввщношення т] с § < а неможливе, бо тод! т] £ С.
Отже, g < т], звщки й видно, що С е вщр!зок множини A i у < а
Кр!м того, у е перший елемент множини А \ С. Отже,
V < а ! аналопчно у < 0.
При цьому випадок у < ос, у < 0 неможливий, бо тод! ми мали б
у £ А \ С, у £ В\С,
тобто з одного боку, у '(£ С, з другого боку, у £ А П В = С. Отже,
можлив! лише випадки
у = а, у = 0, а — 0,
у = а, ?<0, »<0,
у<а, 7 = 0, а > 0>
тобто a i 0 пор!внянн!. Теорему доведено.
Кожному порядковому числу вщповщае певна потужн!сть, а з по-
р!внянност! порядкових чисел випливае, очевидно, ! пор!вняншсть
вщповщних потужностей. Тому:
ffitiup A i В — del циком упорядковаш. множини, то або вони
екв1валентн1 м1ж собою (р1внопотужш), або ж потужшсть oduiel з
них биьша за потужшсть друга! (тобто щлком упорядковаш множи-
ни не можуть мати непор!внянних потужностей).
Розглянемо сукупшсть ycix порядкових чисел, як! в!дпов!дають
ск in ченн i й або з л i ч е н н ! й потужносп. Вони утво-
рюють шлком упорядковану множину. Не важко впевнитись у тому,
що сама ця множина вже незл!ченна. Справдь позначимо,
зг!дно з загальноприйнятою символикою, через coj порядковий тип мно-
жини Bcix зл!ченних траьс(Ь!шт!в. Якби потужшсть, яка вщповщгла
б Тй, була зл!ченною, то зл!ченною була б ! множина, що мае поряд-
ковий тип ©! + 1. Водночас число a>i сл'щуе, очевидно, за вс!ма тран-
сфш!тами, як! в!дпов!дають скшченшй або зл!ченн!й потужносп.
Позначимо потужшсть, яка вщповщае порядковому трансф!шту
©1, символом ^i. Легко побачити, що шяких потужностей т, як!
задовольняють нер!вшсть
< т < #!,
немае. Справд!, якби така потужшсть т !снувала, то в множин!
W (coj) ycix порядкових трансфшгпв, як! передують coi, була б шд-
множина потужносп т. Ця шдмножина шлкомупорядкована i незл!чен-
на. Але тод! !'! порядковий тип а передував би о), ! водночас слщував
би за вс!ма зл!ченними трансфертами. Ми прийшли б до протир!ччя
з означениям иц.
7. Аксюма вибору, теорема Цермело i !нш! екв!валентш 1м тверд-
ження. Пор!вняншсть шлком упорядкованих множин за потужшстю
шдказуе таку постановку питания: чи не можна всяку множину яки-
мось чином шлком упорядкувати? Позитивна вщповщь означала б,
зокрема, що непор!внянних потужностей взагал! не icnye. Таку вщ-
пов!дь дав Цермело, дов!вши, що кожна множина може бути ц1лком
упорядкована Доведения шеТ теореми (ми не наводитимемо !Т тут,
див., наприклад, [2]) !стотно спираеться на так звану аксюму вибору,
яка полягае ось у чому,
Нехай А — деяка множина шдекс!в a i нехай для кожного а за-
дано деяку дов!льну множину А1а. Тод!, як твердить аксюма вибору,
можна побудувати функщю <р на А, що в1дносить кожному а £ А
деякий елемент та з eidnoeidHo'i множини М&. 1накше кажучи, можна
скластй деяку множину, вибравши з множини АЦ по одному i лише
одному елементу.
Теор!я множин у т!й форм!, в як!й ми !! викладаемо, бере ceift початок в!д Кан-
тора 1 Цермело i е «наТвною» Teopiero множин. Аксюма вибору, яку називають також
аксюмою Цермело, що виникла в межах на!вно! Teopii множин разом з !ншими питан-
иями, такими якконтинуум-нпотеза, тобто питания про зб!г потужносп
континуума з першою незл!ченною потужшстю привела до численних суперечок
i велико! cepi’f роб!т з математично! лонки i основ математики. Були побудоваш
аксюматичш Teopii множин Геделя — Бернайса i Цермело — Френкеля. У межах
цих теорий було встановлено несуперечлив!сть i незалежшсть аксюми вибору Ми
радимо читачев! ознайомитися 1з спещальними прйцями: А. Френкель и И. Бар-
Хиллел. Основания теории множеств. «Мир», 1966; П. Д ж. К о э н. Теория мно-
жеств и континуум-гипотеза. «Мир», 1969. Зазначимо, шо вщмовлення в!д аксюми
вибору дуже збцнюе теоретико-множинн! побудови.
Водночас критика на!’вно! Teopii множини i спроби об!йтися без акс1оми вибору
привели до створення таких видатних теор!й, як теор!й рекурсивних функци!, i
таких понять, як поняття обчислюваного числа.
Сформулюемо деяк! твердження, кожне з яких екв!валентне
aKcioMi вибору (тобто, кожне з них можна довести, якщо прийняти
акс!ому вибору, i навпаки, аксюму вибору можна довести, припустив-
ши справедливкть якого-небудь з цих тверджень). Насамперед зро-
зум!ло, що таким твердженням е сама теорема Цермело; Справд!,
якщо припустити, що кожна з множин Ма ц!лком упорядкована,
то для побудови функц!! <р, !снування яко! стверджуеться аксюмою
вибору, достатньо у кожшй Ма взяти перший елемент.
Для формулювання шших припущень, екв!валентних аксюм! ви-
бору, введемо так! поняття. Нехай М — частково упорядкована
множина. Усяка !! пщмножина А, в як!й будь-як! два елементи пор!в-
нянн! м!ж собою (в розумшш введено'! в М частково! впорядкованос-
т!), називатимемо ланцюгом. Ланцюг називають максимальном, якщо
його немае як справжньо’! шдмножини в жодному шшому ланцюгу,
що належить М. Дал!, назвемо в частково упорядкованш множин!
М елемент а верхньою гранню шдмножини М' cz М, якщо будь-який
елемент а' £ М' шдлягае а. *
Теорема Хаусдорфа. У частково впорядкованш множит всякий
ланцюг моститься в деякому його максимальному ланцюгу.
Наведене нижче твердження, мабуть, найзручшше з ycix форму-
лювань, екв!валентних аксюм! вибору.
Лема Цорна- Якщо всякий ланцюг у частково упорядкованш мно-
жит М. мае верхню грань, то всякий елемент з М тдлягае деякому
максимальному.
Доведения р!внозначност! Bcix наведених тверджень (аксюма ви-
бору, теорема Цермело, теорема Хаусдорфа, лема Цорна) е, наприк-
клад, в книжц! А . Г . К у р о ш. Лекции по общей алгебре. Физмат-
гиз, 1962; див. також [8}.
Якщо множина верхшх граней тдмножини А мае найменший елемент а, то а
називають точною верхньою гранню шдмножини А; аналогично означають тонну
нижню грань. Частково упорядковану множину, всяка непорожня скшченна, шд-
множина яко! мае точну верхню грань i точну нижню грань, називають рышткою,
або структурою.
8. Трансфшггна шдукщя. Дуже поширений метод доведения тих
чи шших тверджень — не метод математично! шдукцп. Як вщомо,
зм!ст його такий. Нехай е деяке твердження Р (п), яке формулюють
для кожного натурального числа п, i нехай вщомо, що:
1) твердження Р (1) справедливе;
2) з того, що Р (k) справедливе для Bcix k < п, випливае, що
Р (п + 1) справедливе.
То д! твердження Р (п) справедливе для Bcix п = 1, 2, ... Справд!,
в противному раз! серед тих п, для яких Р (и) нев!рне, знайшлося б
найменше число, наприклад щ. Очевидно, що щ > 1, тобто щ— 1
також натуральне число, i ми приходные до протир!ччя з умовою 2).
АналоНчний прийом можна використати з замшею натурального,
ряду будь-якою ц i л к о м упорядкованою множи-
ною. У цьому раз! в!н називаеться трансфертною ёндукцёею. Отже,
метод трансфшггно! шд-укца такий. Нехай дано деяка щ’лком упоряд-
кована множина А (якщо потр!бно, то !Т можна вважати множиною
Bcix порядкових трансфшшв, менших за деякий даний) i нехай
Р (а) — деяке твердження, яке формулюють для кожного а £ A i
таке, що Р (а) справедливе для першого елемента з A ! справедливо
для а, якщо воно справедливе для вш’х елеменпв, як! передують а.
Тод! Р (а) справедливе для вс!х a Q А. Справд!, якби юнували еле-
менти в А, для яких Р (а) не справджуються, то в множин! таких еле-
мент!в знайшовся б перший, наприклад a*, i ми прийшли б до про-
тир!ччя, оск!льки для вс!х а < а* твердження Р (а) було б пра-
вильно.
Осюльки, за теоремою Цермело, всяку множину можна шлком
упорядкувати, трансфпптну шдукц!ю можна, в принцип!, застосувати
до будь-яко! множини. Однак практично бувае зручшше користува-
тися лемою Цорна, яка '!! замшюе i яка спираеться лише на наяв-
нють частково’! упорядкованост! в розглядувашй множин!. А деяка
часткова упорядкован!сть розглядуваних об’ект!в у задачах, що
потребуют^ застосування леми Цоона, звичайно виникае природно
«сама собою».
§ 5. СИСТЕМИ МНОЖИН1
1. К1льце множин. Системою множин називають усяку множину,
елементи яко!’ сам! е якннебудь множини. Якщо не застережено суп-
ротивне, ми розглядатимемо системи таких множин, кожна з яких
е шдмножиною деяко'! фжсовано! множини X. Системи множин ми
позначатимемо великими готичними буквами. Нас шкавитимуть в
основному системи множин, як! задовольняють (щодо введених у
§ 1 операцш) деяк! певн! умови замкнутост!.
Означения 1 Непорожня система множин 91 називаеться.
кёльцем, якщо вона мае ту властив!сть, що з А £ Э? '• В £ Э? випли-
BaeJ.AP £ 9? ! А П BQ 9i.
Осюльки для будь-яких A i В
A U В = (А А В) А (А П В).
i
А \ В = А А (А П В),
TO3Ac9?!Bg9? випливае також приналежшсть до 91 множин
A J В i А \ В. Отже, к!льце множин е система множин, замкнута
по вщношенню до взяття суми ! перетину, втдшмання i утворення
Ч- >
1 Понятая, як! розглядаються в цьому параграф!, потр!бн! будуть нам у розд. V
при вивченш загально!' теор!! м!ри. Тому читання цього параграфа можна в!дкласть.
Читач, який вир!шив обмежитись при вивченн! теорб м!ри м!рою на площин! (§ 1,
розд. V), цей параграф може опустити зовс!м.
симетрично! pisHHiji. Очевидно, що кДьце замкнуте i по вщношенню
до утаорення будь-яких скшченних сум i перетишв. виду
с = и A, D= п Ak.
к =1 fc=I
Будь-яке к!льце мае порожню множину 0, бо завжди А \ А = 0
Система, яка складаеться пльки з порожньо! множини, е наймен-
шим можливим к1льцем множини.
Множина Е чазиваеться единицею системи множин g, якщо
вона належить g i якщо для будь-якого A Q Q справджуеться piB-
шеть
А П Е = А.
Отже, одиниця системи множин g е не що 1нше, як максимальна
множина Tie! системи, що мютить yci iHini множини, як! входять у g.
Кдльке множин з одиницею називаеться алгеброю множин.
Приклади. 1. Цля будь-яко! множини А система ЭЛ (д) yeix
!1 пщмножин е алгеброю множин з единицею Е = А.
2. Для будь-яко! непорожньо! множини А система {0, Л}, яка
складаеться з множини A i порожньоТ множини 0 утворюе алгебру
множин з единицею Е = А.
3. Система Bcix скшченних пщмножин дов!льно! множини А е
к!льцем множин. Це к!льце буде алгеброю тод! i пльки тод!, коли
множина А сама скшченна.
4. Система Bcix обмежених пщмножин числово!' прямо'! е к!ль-
цем множин, яке не мютить единиц!.
3 означения к!льця множин безпосередньо випливае таке тверд-
ження:
Теорема 1. Перегнан'!-: = f| 9Ка будь-яко'1 множини к1лецъ е кйль-
а
цем.
Установимо такий простий, але важливий для дальшого факт:
Теорема 2. Для будь-якоТ непорожньоь системи множин Q ienye
одне i пйльки одне киьце'Д (g), яке мйстшпь g i ластиться в будь-
якому к1льц1 У1, що м1стить g.
Доведения. Легко побачити, що к!льце 9? (g) визначаеться
системою g однозначно. Для доведения його юнування розглянемо
об’еднання X = U A yeix множин А, що входять yg, i к!льце ЭЛ (X)
yeix пщмножин множини X. Нехай У,— сукупшсть yeix к!лець
множин, що м!стяться в ЭЛ (X) i м!стять g.
Перетин
аз= Я Э*
yeix цих юлець I буде, очевидно, шуканим кмьцем SQ (g).
Справд!, яке б не було юльце 91*, що м!стить g, перетин ЭК =«
= ЭК * П Ж (X) буде к!льцем з 2 i, отже,
gcSKcSR*,
тобто © справд! задовольняе вимогу м!шмальност!. Це к!льце нази-
ваеться мйимальним гальцем над (5 або шльцем, породженим Р ! поз-
начаеться 91 (Q).
2. ГПвюльце множин. У ряд! питань, наприклад у Teopii м!ри,
поряд з поняттям к!льця важливу роль вшграе загальшше поняття
швк!льця множин.
Означения 2. Система множин р називаеться п!вк!льцем,
якщо вона м!стить порожни множину 0, замкнута вщносно утворення
перетин!в i мае ту властив!сть, що з належност! р до множин А !
п
А^А випливае можлив!сть подання А у вигляд! А = (J Ak, де
k=i
Ак — попарно неперетинш множини з р, перша з~ яких е задана
множина Л( .
У далыпому всякий наб!р множин Аъ А2, ..., Ап, як! попарно
не перетинаються, об’еднання яких е задана множина А, ми назива-
тимемо скшченним розкладом множини А.
Усике шльце множин 9?-е швюльцем, бо коли A i Лх с А входять
в 91, то мае м!сце роз клад
А = Ах J А2, де А2 = А \ /Ц g fR.
Прикладом швшльця, яке не е кьльцем множин, може бути сукуп-
н!сть ycix штервал!в (а, Ь), сегмент!в [a, b] ! швсегменпв [a, b) i
(а, Ь] на числов!й прям!й f Ще одним прикладом е сукупшсть ycix
«нашввщкритих» прямокутнишв a <Zx <. b, с < у < d на площин!
або сукупшсть ycix «нашвв!дкритих» паралелешпед!в у простор!.
Установимо так! властивост! швюлець множин.
Лема 1. Нехай множини A1J А2, ... , Ап, А належать плвклльцю
р, причому множини Ai попарно не перетинаються i eci ммтяться в
A. Todi Ha6ip множин At (i = 1, 2, ..., п) можна доповнити множи-
нами Лп+1, ..., Л5 £ g до скшченного розкладу
Л = U Л (s > п)
k=i
множини А.
Доведения проведет методом !ндукц!1| При п — 1 справедливого
твердження леми випливае з означения швшльця. Припустимо, що
це твердження справедливе для п = т i розглянемо т + 1 множину
Лх....Л,„, Лот-н, як! задовольняють умови леми. За зробленим при-
пущенням,
Л = A, U Л2 U • • U Ат U Si U В, U • • и вр,
де ус! множини Вя (q = 1, 2, ..., р) належать g. Припустимо, що
Bql = Лт+1 fl Bq.
За означениям п!вкыьця, е розклад
Bq = Bq\ J Bq2 (J • • • |J Bqr^,
1 При цьому в число 1нтервал1в включають, звичайно, «порожшй (нтервал» (а, а),
а в число сегменНв — сегмент, що м1стить одну точку [а, а].
де Bci B4j належать g. Легко побачити, що
р ( гч \
А = A, U ••• U Ат U Am+l U U U •
q=l \/=2 /
Отже, твердження леми доведено для п = т + 1, а отже, i взагал!
для Bcix п.
Лема 2. Яка б не бу ла скшченна система множин ..., Ап,
що належать п1вк1льцю g, знайдеться в Q така скшченна система
множин Blt ..., Bt, як1 попарно не перетинаються, шр кожну Ак
можна подати у вигляд1 суми
деяких з множин Bs.
Доведения. При п = 1 лема трив!альна, бо достатньо при-
пустити t = 1, Bt = А±. Припустимо, що вона справедлива для
п — т, i розглянемо в g деяку систему множин Лх, ..., Ат, Ат+ъ
Нехай Ви В2, ..., Bt — множини 3 g, яю задовольняють умови леми
вщносно Лг, А2, .... Ат. Припустимо, що
5si = Ат+1 Q Bs.
Внаслщок леми 1 мае Micne роз клад
Лт-1-I = U Bsl U (J Вр, Вр g g, (1)
s=l р=1
а внаслщок самого означения швюльця мае Micne розклад
Bs = BS1 U в! и • • • и Bsfs, Bsi | g.
Легко побачити, що
fs
Л = U U Bsi, k = 1, 2, .... /и,
seM* j=-.\
i що множини
s/> Bp
попарно не перетинаються. Отже, множини Bsf, Вр задовольняють
умови леми вщносно А± ,..., Ат, Ampi- Лему доведено.
3. Кдльце, породжене швюльцем. Ми вже побачили в п. 1,що для
кожно! системи множин g icnye едине мш!мальне кмьце, яке mic-
тить g. Однак для довмьнсй системи g фактична побудова к!льця
3?(g) по g досить складна. Вона стае шлком доступною для огляду
у тому важливому випадку, Konnge ш'вк1льцем. Ця побудова даеться
такою теоремою:
Теорема 3. ffKtupQ — п1вк1льце, то 31 (Q) зб1гаеться з систе-
мою 3 множин А, як1 допускають скшченш, розклади
А = U Ak
на множини Ак g g.
Доведения. Покажемо, що система 3 утворюе к!льце. Якщо
А В — дв1 довшьш множини з 3, то мають мкце розклади
п т
А = и л. S= U Bh At 6 G, в^ G-
1=1 /=1
Оск1льки (J — швшльце, то множини
С£/ = лг л В,
також входять у (J. Внаслщок леми 1 мають Miciie розклади
Г. S.
Лг = и Си и и Dik- В,- = и Clf и и Ен, (2)
j fe=l I 1=1
де Dik, Ец 3 р)вностей (2) випливае, що множини А Л В i
Л ДЕ допускають розклади
л с в = и clh
i.l
A&B=\)Dik\) U Ец
i,k j,l
', отже, входять у 3- Отже, 3 справд! е шльцем; його мшТмальшсть
серед yeix шлець, що мютять (J, очевидна.
4. о-алгебри. У р!зних питаниях, зокрема в теорЯ м1ри, дово-
диться розглядати суми i перетини не пльки скшченного, а й зл!чен-
ного числа множин. Тому дощльно, кр!м поняття ш'льця множин,
ввести ще так! поняття:
Означения 3. Юльце множин називаеться о-к1льцем, якщо
воно разом з кожною послщовшстю множин А3, Л2, ..., Ап, ... Mic-
тить суму.
S = U Л„.
п
Означения 4. Кольце множин називаеться 8-к1льцем, якщо
воно з кожною послщовшстю множин Лъ Л2, А„, ... MiCTHTb
перетин
О = П л,
п
Природно назвати су-алгеброю сг-шльце з одиницек i б-алгеброю
б-шлвце з одиницею. Однак легко побачити, що щ два поняття збь
гаються: кожна о-алгебра е водночас б-алгеброю, а кожна б-алгебра —
о-алгеброю. Це випливае з стввщношень
и Ап = Е \ Л (Е \ Л„),
п п
л Лп = Е\и (Е\Л„)
п п
(див. § 1).
Найпростшим прикладом с аглебри е сукупшсть yeix пщмножин
деяко!' множини А.
Якшо е деяка система множин (J, то завжди !снуе хоча б одна
о-алгебра, яка мютить цю систему. Справд!, припустимо
Х= U А
i розглянемо систему S3 ycix шдмножин множини X. Зрозум^ло,
що S3 е о-алгебра, що мдстить Q. Якщо SB — дов!льна о-алгебра, яка
мютить g i X — Ti одиниця, то кожна А £ Q мютиться в X, i отже
X = J Л с А'. Назвемо о-алгебру S3 незв1дною (вщносно системи
ле® ~
G), якщо X = U А. 1накше кажучи, незвщка о-алгебра —це о-ал-
ле®
гебра, яка не мютить точок, що не входять в жодну з Л ( g. Природ-
но в кожному випадку розглядом лише таких о-алгебр ! обмежуватися.
Для незвщних алгебр справджуеться теорема, аналопчна теорем!
2, доведены вище для юлець.
Теорема 4. Для будь-яксп непорожнып системи множин g icnye
незв1дна (йдносно ц1ег системи) о-алгебра S3 ((5), Щ° мйстить g t
моститься в будь-якш а-алгебр1, що мйотитъ g.
Цю теорему доводять точно тим самим методом, що й теорему
2. о-алгебра S3 (@ називаеться м1н1мальною о-алгеброю над систе-
мою g.
В анал!з! важливу роль вщшрають так зван! боремвсыи множини,
або В-множини — множини на числовы прямы, як! належать м!ш-
мальюй о-алгебр! над сукупшстю ycix сегмент!в [а, &].
5. Системи множин i вщображення. Спинимося на таких фактах,
як! нам будуть потр!бн! при вивченн! вим!рних функцы.
Нехай у = f (х) — функщя, яка визначена на множин! М i наби-
рае значень з множини N, i нехай ЭЛ — деяха система шдмножин
множини М. Позначимо через f (ЭЛ) систему ycix образ!в f (Л) мно-
жин, як! належать ЭЛ. Нехай, кр!м того, Si — деяка система множин,
що мютяться в N, i (Si) — система Bcix прообраз!в Т~1 (Л) мно-
жин, що входять у Si. Справедлив! так! твердження, перев!рити як!
пропонуемо читачевп
1) якщо Si е юльце, то й f~ (Si) е юльце;
2) якщо Si е алгебра, то е (Si) е алгебра;
3) якщо Si е о-алгебра, то (Si) е о-алгебра;
4) 3? (Г1 (Si)) = г1 (S (Si));
5) S3 (Г1 (Si)) = Г1 (S3 (Si)).
Чи будуть ц! твердження справедливими, якщо f 1 замшити на ),
a Si — на ЭЛ?
Р о з д i л II
МЕТРИЧН1 I ТОПОЛОГ1ЧН1 ПРОСТОРИ
$ 1. ПОНЯТТЯ МЕТРИЧНОГО ПРОСТОРУ
1. Означения i ochobhi’ приклади. Одн!ею з найважлив!ших опе-
рац!й анализу е граничний перехщ. В основ! nie’i onepan.ii лежить
той факт, шо на числовш прямш визначено вщстань вщ одше! точки
до шшоТ. Багато фундаментальних факп'в анал1зу не пов’язан! з алге-
брашною природою дшсних чисел (тобто з тим, що вони утворюють
поле), а спираються лише на поняття вщстан!. Узагальнюючи уяв-
лення про дшсш числа як про множину, в як!й введено вщстань м!ж
елементами, ми приходимо до поняття метричного прос-
тору— одного з найважливших понять сучасно’! математики
Нижче ми викладемо основн! факти теорИ метричних простор!в i ’ix
узагальнення — тополоп’чних простор!в. Матер!ал цього розд!лу
ютотний для всього далыпого викладу.
Означения. Метричним простором називаеться пара (X, р),
що складаеться з деяко! множини (простору) X елеменпйв (точок)
i eidcmani, тобю однозначно!’, невщ’емно!, дшсно! функци р (х, у),
визначено! для будь-яких х i у з X, i яка задовольняе таким трьом
аксюмам:
1) р (х, у) = 0 тод1 ! т!льки тод1, коли х = у,
2) (аксюма симетр!!): р (х, у) = р (у, х);
3) (аксюма трикутника): р (х, г) < р (х~, у) + р (у, г).
Сам метричний прост!р, тобто пару (х, р) ми позначатимемо, як
правило, одшею буквою:
R = (X, р).
У випадках, коли непорозумшня виключен!, ми часто позначати-
мемо метричний прост!р тим самим символом, що й сам «запас точок» X.
Наведемо приклади метричних простор!в. Деяк! з цих простор!в
в!д!грають в анал!з! дуже важливу роль.
1. Припустивши для елеменпв дов!льно! множини
О, якщо х = у,
1, якщо х=£ у,
ми дютанемо, очевидно, метричний прост!р, Його можна назвати
простором !зольованих точок.
2. Множина д!йсних чисел з вщстанню
р(х, у) = |х — у\
утворюе метричний npocrip R х.
Р (X, У) =
3. Множина упорядкованих труп з п дшених чисел
з вщетанню
X = (%1, х2, , хп)
(Уk~ xk)2
(1)
називаеться} п-вимлрним арифметичним евкмдовим простором R".
Справедливее аксюм 1) i 2) для R" очевидна. Покажемо, що в R"
виконана й аксюма трикутника.
Нехай х = (х1( хп), у = (^, уп) i z = (zlt z„); тод!
аксюму трикутника записуемо у вигляд!
1/ 2 — xk)1 2 < \ 2 <Ук — xkl2 + 1/2 (г* — ytf . (2)
’ /г=1 ' fe=l » к=1
Припускаючи ук — xk = ak, zk — yk = bk, дютаемо zk — xk =
= ak + bk, а нер!вн!сть (2) набувае при цьому вигляду
У 2 (ak + Ш < l/ 2 at + 1/ 2 bl (3)
’ * k=l a “ 7?=1
Але ця нер1вн1сть вщразу випливае з вщомо'! нер!вност! Komi —
Буняковського х:
(п \2 п п
2 akbk] < 2 a2k • 2 bk. !4!
k=\ / fe=i k=\
Справд!, внаслщок uiei нер!вност! маемо
п ' п п п
(а* + ьк)2 = 2 ai + 2 2 akbk + bk
Л=1 fe=l k=l
тим самим HepiBHicTb- (3), а отже, i (2) доведено.
4. Розглянемо ту саму множину впорядкованих труп з п дШсних
чисел х = (лу, ..., хп~), але вщетань визначимо в н!й формулою
п
Р1(м у)= 2 \xk — yk\-
|.=i
(5)
Справедливее аксюм 1) — 3) тут очевидна. Позначимо пей метрич-
НИИ npOCTlp СИМВОЛОМ R1 .
1 HepiBHicTb Komi — Буняковського випливае з тотожност!
п \ 2 п п ' . п п
2 akbk) е=2°й2ьл — т2 2 (aibi—bia№'
k=\ ! k=i k^i •= .1 /=1
яка перев!ряеться безпосередньо.
5. ЕИзьмемо знову ту саму множину, що й у прикладах 3 i 4, i
визначимо вщстань м!ж и елементами формулою
Ро(х, у) = max \yk — xft|. (6)
Справедлив 1сть аксюм 1) — 3) очевидна. Цей npocrip, який поз-
начимо Ro> у багатьох питаниях анализу не менш зручний, шж евк-
лИовий npocTip R".
Останю три приклади показують, що шод|' i наспоавд! важливо
мати pi3Hi позначення для самого метричного простору i для множи-
ни його точок, бо той самий запас точок можна по-р!зному метризу-
вати.
6. Множина С 1а, 6] ус>х неперервних дШсних функщй, визна-
чених на сегмент! [а, Ь], з-вщстанню
р(А g) = max |g(0 — /(01 (7)
також утворюе метричний npocrip. Аксюми 1) — 3) перев!ряемо
безпосередньо. Цей npocrip вщщрае дуже важливу роль в анал131.
Ми його позначатимемо тим самим символом С [а, &], що й множину
точок цього простору. Зам1сть С [0,1] ми писатимемо просто С.
7. Позначимо через 12 метричний npocrip, точками якого е pisni
послщовносН
X = (Хх, х2, . . • , х„, . , .)
дшсних чисел, що задовольняють умову
со
Х4 оо,
fe=i
а вщстань визначаеться формулою
Р (х, у) = |/" S (yk — хЦа.
3 елементарно'1 нер!вносп
I ± УцУ < 2 (х* + yl)
випливае, що функщя р (х, у) мае смисл для Bcix х, у g /2, тобто
ряд У (ук—xk)2 зб1гаеться, якщо
£=1
ОО ОО
У xl. < оо i У у2к <; оо.
k=l к—1
Покажемо тепер, що функщя (8) задовольняе аксюми метричного
простору. Аксюми 1 i 2 очевидш, а аксюма трикутника набирае тут
вигляду
оо /~ ОО f~ ОО
1/ 2 (г* — xky < 1/ 2 (zk — укУ + 1/ (yk — Xk)!. (9)
’ i=l ' Г 4=1
На шдстав! сказаного вище кожний з трьох написаних тут ряд1в
зб!гаеться. 3 другого боку, при кожному п справедлива нер!вн!сть
/ п Г п
I/ — — Ук)ъ + ]/ И(Уь — хк)2
я=1 г 6=1 • k=\
(див. приклад 4). Переходячи тут до границ! при /г->«Й дютаемо
(9), тобто нер1вн1сть трикутника в 1.2.
8. Розглянемо, як i в приклад! 6, сукупшсть ycix функцш, непе-
рервних на в1др1зку 1а, &], але вщстань визначимо шакше, а саме,
припустимо
/ь \1/г
р (%,//) = Н(х(0-//(/))2Л . (10)
Такий метричний простер ми позначатимемо С2 [а, (?] ! називати-
мемо простором неперервних функцШ з квадратичною метрикою.
Тут аксюми 1) ! 2) метричного простору знову-таки очевидш, а аксь
ома трикутника безпосередньо випливае з штегрально! форми нер!в-
ност! Komi — Буняковського * 1
,2 b b
IУ х (t) y(t)di, х2 (/) dt • j у2 (/) di.
'а а
9. Розглянемо множину Bcix обмежених послщовностей х = (х15
х2, ..., хп, ...) дшсних чисел. Припустивши, що
р(х, у) = sup|^ — xk\, (11)
k
ми д!станемо метричний npociip, який позначимо т. Справедливкть
аксюм 1) — 3) очевидна.
10. Множина упорядкованих труп по п дшсних чисел з вщстанню
/ п \1/Р
рР(*> у) = — - (12>
\А—1 /
де р — будь-яке фшсоване число > 1, е метричний прост!р, який
ми позначимо R". Справедлив!сть аксюм 1) i 2) тут знову-таки оче-
видна. Перев!римо аксюму 3). Нехай
X = (хъ ... , х„), у = (Z/x, . . . , уп), Z (гь .,, , zn)
— три точки з R" Припустимо, що
yk — xk = ak, zk — yk = bk,
тод! нер!вшсть
Рр (х, z) < рР (х, у) + рр (у, г),
1 Цю нер!вшсть можна д!стати, наприклад, з тотожност!, яку легко перев!рити
, b ,2b ь ь ь
\\Х^У d4 = J %а (0 dt У Уг (0 dt — -2- У У Iх (s) У (0 — У (s) х (OP ds dt-
'д / а а а а.
справедлив сть яко! ми повинн! встановити, набеое вигляду
п \Чр / о \1/р / п \1/р
2к + мр < . (13)
k=l / \fc=l / \Л—1 /
Це — так звана HepieHicmb М1нковського. При р = 1 нер1вшсть Мш-
ковського очевидна (модуль суми не перевищуе суми модул is), тому
вважатимемо, що р > 1 *
Доведения нер!вност! (13) при р > 1 грунтуеться на так званш
нер1вноспй Гельдера:
де числа р > 1 i q > 1 пов’язан! умовою
(14)
——— = 1, тобто q — —
Р Ч 7 р—1
Зазначимо, що нер!вн1сть (14) однорщна. Це
ознгчае, що коли вона виконана для яких-небудь
двох вектор1в
а = (ах, ... , ап) i b = (Ьг, , Ьп),
то вона виконана i для вектор!в Ка i р.&, де К
i р дов1льн! числа. Тому нер!вн!сть (14) досить
довести для випадку, коли
Отже, нехай виконана умова (16); доведемо, що
£ЬМ<1- (17)
k=i
Розглянемо на площин! (g, rj) криву, яка визначаеться р!внянням
Т) = gp-1 (g > 0), або, що те саме, р!внянням g= т]9-1 (рис. 7). 3 ри-
сунка зрозум!ло, що при будь-якому вибор! додатних значень a i b
буде Sx + S2 > ab. Обчислимо плошд Sx i S2:
a b
S1=jrt = ^, s2^yn9-1^ = 4-
о о 4
Отже, справедлива числова нер!вшсть
ab <----------------------------.
Р 1 q
“ При р < 1 HepiBHicTb Мшковського не мае м!сця. 1накше кажучи, якби ми захо-
Т1ли розглядати npocrip R” при р < 1, то в такому простор! не була б виконана
аксюма трикутника.
Замшивши тут а на | ak | i b на | bk | i шдсумовуючи по k вщ 1 до
и, дютанемб, ураховуючи (15) i (16),
k=i
HepiBHicTb (17), а отже, i загальна нер!вшсть (14) доведен!.
При р = 2 нер!вн!сть Гельдера (14) переходить у нер!вн!сть Komi —
Буняковського (4)
Перейдемо тепер до доведения нер!вност! Мшковського. Для цьо-
го розглянемо тотожшсть *
(И +\b\Y = (|а| + |&|)₽-1 |а| + (|а| + | Ь\)р~' |&|.
Замшюючи в записанш тотожносп а на ak i b на b* i шдсумову-
ючи no k в!д 1 до n, дютанемо
п п п
2 (I ak I +1 ьк |)р = 2 (I о* I + | bk |)р 11 ak | + 2 (I ak I +1 ьк l)p 11 bk |.
k=\ fe—1 fe=l
Застосовуючи тепер до кожно! з двох сум, що стоять справа, не-
pisHicTb Гельдера i враховуючи, що (р— 1) q = р, дютанемо
Подшивши обидв! частини niei нер!вност! на
/ « \ 1/<7
(5 (I ak I +1 bk l)p) >
\/г=1 /
д!станемо
звщки вщразу випливае нер!вшсть (13). Тим самим установлено ак-
cioMii трикутника в простор! Rp.
Розглянута в цьому приклад! метрика рр перетворюеться в евк-
лщову метрику (приклад 3) при р = 2 i в метрику прикладу 4 при
р = 1. Можна показати, що метрика
р0(х, у) = max \yk — xft|,
n
зведена в приклад! 5, е граничним випадком метрики рр (х, у), а саме:
/ « \i/p
РоU, У) = Нт 2 \Ук — хк\Р]
р-¥СЮ \/?=1 /
3 HepiBHOcri
установлено! вище, легко виводиться й 1нтегральна нер1вн1сть Гель-
фера
b / ь Л/р / b \\/q
а 'а ' /
справедлива для будь-яких функций х (i) i у (t), для яких штеграли,
що стоять справа, мають смисл. Звщси в свою чергу утвовюеться
штегшлъна нер1вн1сть Шнковського
11. Наведемо ще один шкавий приклад метричного простору.
Його елементи е р!зн1 послщовност! дшсних чисел
X = (хх, х2, ... , хп, , , ,),
так!, що
де р > 1 — деяке фшсоване число, а вщстань визначаеться форму-
лою
/ °° \>/Р
р(*> У) = 2\yk — . (18)
\А=1 /
Цей метричний просНр ми позначимо 1Р.
На шдстав! нер!вност! Мшкэвського (13) маемо при будь-якому п
(п \1/р / п \1/р / п \1/р
л \Уь~xklp) <(2lx/Jp) + 12 |£/aI₽) •
fe=l / \й=1 / \ft=l /
Эсюльки за припущенням ряди
зб!гаються, то, переходячи до границ! при п -> оо, д!станемо
(со \1/р /сю \1/р /сю \1/р
2 I Уь — xfelp) < 2 I xk 1₽) + (2 I Уп |р) <с (19)
Отже, доведено, що формула (18), яка визначае вщстань у 1Р, справд!
мае смисл для будь-яких х, у £ 1Р. Одночасно нер!вшсть (19) пока-
зуе, що в 1Р виконано акс!ому трикутника. Решта аксюм очевидна.
Необмежена к!льк!сть дальших приклад!в дае такий прийом. Не-
хай R = (X, р) — метричний проспр i М— будь-яка шдмножина
в X. Тод! М з Нею самою функц!ею р (х, у), яку ми вважаемо тепер
визначеною для х i у з М, також е метричним простором! вш нази-
ваеться nidnpocmopoM простору R.
2. Неперервн! вщображення метричних простор!в. 1зометр1я.
Нехай X 1 У—два метричн! простори i /—вщображення простору
X в Y. Отже, кожному х Q X ставиться у вщповщшсть деякий еле-
мент у = f (х) з У. Це вщображення називаеться неперервним у точщ
х0 G X, ‘якщо для кожного е > О icnye таке б > 0, що для Bcix х £ X
таких, що
Р (х, х0) < б,
виконуеться нер!вн1сть
PiVW- Л^о))<8
(тут р—вщстань в X, a рх— вщстань в У), Якщо вщображення f
неперервне в ycix точках простору X, то кажуть, що / неперервне
на X. Якщо X i У— числов! множини, тобто f— числова функщя,
визначена на деякш шдмножиш X числовоТ oci, то наведене означен-
ия неперервност! вщображення перетворюеться в добре вщоме з еле-
ментарного анал!зу означения неперервност! функци.
Аналопчно можна означити неперервну функщю (вщображення)
f вщ шлькох змшиих хг g Xlt ..., хп g X (де ..., Хп — метричш
простори) is значениями в метричному простор! Y.
Зазначимо, у цьому зв’язку, що сама вщстань р (х, у), якщо розгля-
дати и як функщю змшних х i у з X, неперервна. Це вщразу випли-
вае з HepiBHocii
IР (х, У) — р (х0, г/0)| < р (х0, х) + Р (z/o, У),
яку легко вивести з нер!вност! трикутника.
Якщо вщображення / : X У взаемно однозначне, то icnye обер-
нене вщображення х — (у) простору У на npocrip X. Якщо вщоб-
раження f взаемно однозначне i взаемно неперервне (тобто i f, i f~l —
неперервн! вщображення), то вочо називаеться гомеоморсрним вооб-
ражениям, або гомеоморф1змом, а сам! простори X ! У, м!ж якими
можна встановити гомеоморф!зм, називаються гомеоморфными м!ж
собою. Прикладом гомеоморфних метричних простор!в можуть бути
уся числова пряма (—оо, оо) ! штервал, наприклад, штервал (—1, 1).
У цьому випадку гомеоморф!зм визначаеться формулою
z/= -^arctgx.
Важливим окремим випадком гомеоморф!зму е так зване is омет-
ричне в i д об р а жен н я.
Кажуть, що б!екщя f м!ж метричними просторами Т? = (X, р)
i /?' = (У, р') е ъзометрнею, якщо
Р11, х2) = р' (/ (xj, f (х2))
для будь-яких xlt х2 С R. Простори 1? i R , м!ж якими можна
встановити !зометричну вщповщшсть, називаються !зометрич-
н и м и.
1зометр!я простор!в R i R' означае, що метричш зв’язки м!ж Тх
елементами т! сам!; р!зною може бути лише природа Тх елеменпв,
що з точки зору теорн метричних. простор!в нештатно. У дальшому
1зометричш м!ж собою простори ми розглядатимемо просто як тотожш.
Викладеш тут поняття (неперервшсть, гомеоморф!зм) будуть ще
розглядатися з б!лып загальноТ точки зору (в юнщ § 5 цьсго розд’лу).
§ 2. ЗЫЖШСТЬ. В1ДКРИТ1 I ЗАМКНУТ! МНОЖИНИ
1. Граничш точки. Замикання. Ми введемо тут деяк! поняття
reopii метричних простор!в. Ц! поняття ми неодноразово використо-
вуемо у дальшому.
В1дкритою кулею В (х0, г) у метричному простор! R ми називатиме-
мо сукупшсть точок х £ R, як! задовольняють умову
р(х, х0)<г.
Точка х0 називаеться центром uie’i кул!, а число г—ТТ padiycoM.
Замкнутою кулею В [х0, г] ми назвемо сукупшсть точок х Q R,
як! задовольняють умову
Р U, х0) < г.
Вщкриту кулю рад!уса е з центром х0 ми називатимемо також
е-околом точки х0 i позначатимемо символом О? (х0).
Вправе. Навести приклад метричного простору i таких двох куль В (х, pj,
В (у, р2) в ньому, що рх> э2, i до того ж В (х, р,) с В (у, р2).
Точка х £ R називаеться точкою дотику множини М с R, якщо
будь-який и ок!л м!стить хоча б одну точку з М. Сукупшсть yeix
точок дотику множини М позначаеться [М1 i називаеться замикан •
ням uiei множини. Отже, ми визначили для множин метричного
простору операцйо замикання — перех!д в!д множини М до його зами-
кання 1Д4 ].
Теорема 1. Операция замикання мае так1 властивост!:
1) М с= lM],
2) [[Л4]] = [М],
3) якщо Ml со М2, то [MJ с: [М2],
4) [Мх U М2] = U [А12]. .
Доведения. Перше твердження очевидне, бо всяка точка,
що належить М, е для М точкою дотику.
Доведемо друге. Нехай х Q [[М ]]. Тод! в будь-якому окол! ОЕ (х)
niei точки знайдеться точка xt £ IM ]. Припустимо, що е — р (х, xj =
= 8г i розглянемо кулю 0Ё[ (хх). Ця куля повшетю лежить всередиш
кул! 0е (х). Справд!, якщо г £ 0Bl (хх), то р (г, хх) < 8, i осюльки
р (х, хх), = е — 8Х, то за аксюмою трикутника
р (г, х) < 8Х + (8 — 8:) = 8,
тобто z £.Ое (х). Осюльки хх £ [М ], то в 0Е1 (х) знайдеться точка
х2 £ М. Але тод! х2 £ 0Е (х). Осшльки 0е (х) — дов!льний ок!л
точки х, то х £ [М]. Друге твердження доведено.
Третя властивють очевидна, х-
Доведемо, нарепт, четверту властив!сть. Якщо х £ [Л4Х (J Л12],
то х мютиться принайми! в одшй з множин [ЛД] або [Л42], тобто
[Mi и м2] с [MJ и [М2].
Оск!льки ЛД cz |j М2 i М2 а (J М2, то обернене включения
випливае з властивост! 3). Теорему доведено.
Точка х Q R називаеться граничною точкою множини М с. R,
якщо будь-який 1! ош MicTHTb нескшченно багато точок з М.
Гранична точка може належати, а може не належати М. Напри-
клад, якщо М — множина рацюнальних чисел з вщр!зка [0,1 ], то
кожна точка цього в!др!зка — гранична для М.
Точка х, яка належить М, називаеться 1золъованою точ-
кою uiei множини, якщо в досить малому !! окол! Ое (х) немае точок
з М. вщмпших вщ х. Пропонуемо читачев! довести як впразу таке
твердження:
Усяка точка дотику множини М. е або гранична, або 1зольована
точка uiei множини.
Звщси можна зробити висновок, що замикання [7И ] складаеться,
взагал! кажучи, з точок трьох тишв:
1) !зольован! точки множини М;
2) граничш точки множини М, як! належать М\
3) граничш точки множини М, Як! не належать М.
Отже, замикання [7И ] утворюеться приеднанням до М ycix його
граничних точок.
2. Зб1жшсть. Нехай хх, х2, ... — послщовшсть точок у метрич-
ному простор! R. Кажуть, що ця послщовшсть зб1гаеться в точцй х,
якщо кожний ошл Ое (х) точки х м1стить ус! точки хп, починаючи
з деяко!, тобто якщо для всякого е > 0 знайдеться таке число Ne,
що ОЕ (х) мютить yci точки хп з п > Ne. Точка х називаеться грани-
цею послщовност! {хД.
Це означения можна, очевидно, сформулювати ще й так: послщов-
шсть { хД зб!гаеться до х, якщо
lim р (х, хД = 0.
Безпосередньо з означения границ! випливае, що: 1) шяка посль
довюсть не може мати двох р!зних границь, i 2) якщо послщовшсть
{хД збиаеться дс точки х, то й усяка 'ii послщовшсть збшаетьсядо
Tie’i само!' точки.
Наступна теорема встановлюе т!сний зв’язок м!ж поняттями
точки дотику i границ!.
Теорема 2. Щоб точка х була точкою дотику множини М, необ-
х1дно I достатньо, щоб 1снувала посл1довни:ть {хД точок з М., яка
зб1гаеться до х.
Доведения. Умова необхщна, бо коли х — точка дотику
множини М, то в кожному 'ii окол! О1/п (х) е хоча б одна точка хп Q М.
Ц! точки утворюють послщовшсть, яка збДаеться до х. Достатшсть
очевидна.
Якщо х— гранична точка множини М, го точки хп £ О\/п (х) Q
П М, як! вщповщають р!зним п, можна вибрати попарно р!зними.
Отже, щоб точка х бу ла граничною для М, необх1дно, I достатньо,
щоб в М щнувала посл1довн1сть попарно р1зних точок, яка зб1гаеться
до х.
Поняття неперервност! вщображення метричного простору X
в метричний прост!р Y, введене в § 1, можна тепер сформулювати в
термшах зб'жност! поел давностей. А саме, вщображення у = f (х)
неперервне в точц! х0, якщо для всяко!' послдавност! {х„}, яка збь
гаеться до х0, послщовшсть {уп = f (хп)} збДаеться до у0 = f (х0).
Доведения р!вносильност! цього означения наведеному в § 1 н!чим
не в!др!зняеться ₽щ доведения р!вносильносп двох означень неперерв-
ност! («на мов! 8, 6» i «на мов! поел давностей») функшй числового
аргументу, i його може зробити читач.
3. Щ!льш шдмножини. Нехай А i В — дв! множини у метричному
простор! R. Множина А називаеться иульною в В, якщо [А] дэ В.
Зокрема, множина А називаеться скр1зь иульною (у простор! R),
якщо 1! замикання [A J зб!гаеться з ус!м простором R. Наприклад,
множина рацюнальних чисел скр!зь пильна на числовш прямш.
1Множина А називаеться Hide не иульною, якщо вона не шдльна в жод-
н!й кул!, тобто якщо в кожшй кул! В cz R е шша куля В', яка не
мае з А жодно! сильно! точки.
Приклади простор! в, що мають с к р i з ь
щ ! л ь н у з л i ченну множину. Простори, в яких е зд '
ченна скр!зь щ!льна множина, називають сепарабельними. Розгля-
немо з ц!е! точки зору приклади, як! були наведен! в § 1.
1. «Дискретний» 'трост!р, описаний у приклад! 1 § 1, м!стить зль
ченну скр!зь щдльну в ньому множину тод! i тальки тод!, коли вш
сам складаеться лише з зл!ченного числа точок. Справа в тому, що
замикання [ДА ] будь-яко! множини М в цьому простор! зб!гаеться
з М.
Ус! простори, наведен! у прикладах 2—8 §1, м!стять зл чеши
скр!зь щ!льн! множини. Визначимо в кожному з них по так!й множин!,
рекомендуючи читачев! провести докладн! доведения.
2. На дшенш oci R1 — рацюнальш точки.
3—5. В п-вим!рному евклдавому простор! R" i в просторах R",
Ro — сукупшсть вектор!в з рацюнальними координатами.
6. У простор! С [а, 6] — сукупшсть ycix многочлешв з рацюналь-
ними коефщ!ентами.
7. У простор! /2—сукупшсть послдавностей, у кожшй з яких
ус! члени рацюнальш ! лише скшченне (свое для кожно! послдав-
ност!) число цих члешв вщмшне вщ нуля.
8. У простор! С2 [а, Ь] — сукупшсть ycix многочлешв з ращо-
нальними коеф!щентами.
Разом з тим npocmip обмежених посл1довностей т (приклад 9.
§ 1) несеперабельний.
Спразд:, розглянемо вс!ляк! посл!довност!, що складаютъся з ну-
л!в i одиниць. Вони утворюють множину потужност! континууму
(осюльки м!ж ними i шдмножинами натурального ряду можна вста-
новити взаемно однозначну вщповщшсть). Вщстань м!ж двома
такими точками, що визначаеться формулою (11) § 1, дор!внюе 1. Оточи-
мо кожну з них точок вщкритою кулею рад!уса 1/2. Ц! кул! не перети-
наються. Якщо деяка множина скр!зь ццльна в т, то кожна з побудо-
ваних куль повинна мютити хоча б по одн!й точщ з ще! множини i,
отже, вона не може бути зл!ченною.
4. Вщкрит! i замкнут! множини. Розглянемо найважлив!ш! типи
множин у метричному простор!, а саме в!дкрит! i замкнут! множини.
Множина М, що лежить у метричному простор! R, називаеться
замкнутою, якщо вона збшаеться з сво!м замиканням: [Ml = М.
1накше кажучи, множина називаеться замкнутою, якщо вона мЯгить
вш‘ сво1 граничш точки.
Внаслщок теореми 1 замикання будь-яко! множини М е замкну-
та множина. 3 ще! само! теореми випливае, що [Л4 ] е найменша
замкнута множина, яка м!стить М. (Довед!ть це!)
Приклади. 1. Усякий сегмент [а, Ь] числово! прямо! е замкну-
та множина.
2. Замкнута куля е замкнута множина. Зокрема, у простор!
С [а, Ь] множина функщй f, як! задовольняють умову Ц (/) | < К,
замкнута.
3. Множина функщй в С [а, Ь], як! задовольняють умову |/ (01 <
< К (вщкрита куля), не замкнутаИ!! замикання е сукупшсть функ-
ц!й, як! задовольняють умову |/ Ц)| К..
4. Який би не був метричний npocrip R, порожня множина 0 i
Bci R замкнут!.
5. Усяка множина, що складаеться з скшченного числа точок,
замкнута.
Основн! властивост! замкнутих множин можна сформулювати у
вигляд! тако! теореми.
ТеоремаЗ. Перетинбудь-якого числа i сума будь-якого сынченного
числа замкнутих множин е замкнут! множини.
Доведения. Нехай F — |"| Fa — перетин замкнутих множин
Fa ! нехай х — гранична точка для F. Це означае, що будь-який !!
ок!л Ое (х) мае нескшченно багато точок з F. Але тод! тим б!лыпе
ОЕ (х) мае нескшченно багато точок з кожно! Fa !, отже, бо вс! Fa
замкнут!, точка х належить кожнш Fa; отже, х £ F = Q Fa, тобто
F замкнута.
Нехай тепер F—сума скшченного числа замкнутих множин:
п
F =* U Fit 1 нехай точка х не належить F. Покажемо, що х не може
1=1
бути граничною для F. Справд!, х не належить жодшй !з замкнутих
множин F., отже, не е граничною н! для жодно! з них. Тому для кож-
ного i можна знайти такий оюл Ое[ (х) точки х, яка мае не б!льш як
сюнченне число точок з F{. Взявши з окЯЕв 0е, ДО» ...» 0вп (х) най-
менший, дютанемо ок!л Ое (х) точки х, що м!стить не б!льш як ск!н-
ченне число точок з F.
Отже, якщо точка х не належить F, то вона не може бути гранич-
ною для F, тобто F замкнута. Теорему доведено.
Точка х називаеться внутршшьою точкою множини М, якщо ic-
нуе ок1л Ое (х) ще! точки, який щлком мютиться в М.
Множина, Bci точки яко!' внутршш, називаеться eidKpumoto.
Приклади. 6. 1нтервал (а, Ь) числово! прямо’1 7?1 е вщкрита
множина; справд!, якщо а < а < Ь, то ОЕ (а), де е — min (а — а,
b — а), повшстю мютиться в штервал! (а, Ъ).
7. Вщкрита куля В (а, г) в будь-якому метричному простор! R
е вщкрита множина. Справд!, якщо х £ В (а, г), то р (а, х) < г.
Припустимо, що е = г— р (а, х). Тод! В (х, е) с: В (а, г).
8. Множина неперервних функцш на [а, Ь], як! задовольняють
умову f (t) < g (7), де g (t) — деяка ф!ксована неперервна функщя,
е вщкрита швмножина простору С [a, &J.
Теорема 4. Щобмножина М булав1дкрита, необхддно i достатньо>
щоб и доповнення R \ М до всього простору R було замкнуте.
Доведения. Якщо М вщкрита, то кожна точка х з Л! мае
ок!л, який повн!стю належить М, тобто такий що не мае жодноТ сшль-
но1 точки з 7? \ М. Отже, жодна з точок, як! не належать 7? \ М,
не може бути точкою дотику для 7? \ М, тобто 7? \ М замкнуте.
Навпаки, якщо 7? \ М замкнуте, то будь-яка точка М мае ок!л,
який повшстю лежить в М, тобто 7И вщкрита.
Осюльки порожня множина i вс! 7?-замкнут! i водночас е доповнен-
нями одна одно!’, то порожня множина i eci R eidfcpumi.
3 теореми 3 i з принципу дво!'стост! (перетин доповнень дор!внюе
доповненню суми, сума доповнень дор!внюе доповненню перетину,
див. стор. 13) випливае така важлива теорема, дво!'ста теорем! 3:
Теорема 3'. Сума будь-якого (скшченного або неоконченного) числа
i перетин будь-якого скшченного числа в1дкритих множин в eidKpumi
множини.
5. Вщкрит! i замкнут! множини на прямш. Структура вщкритих
! замкнутих множин у тому чи !ншому метричному простор! може бути
дуже складною. Це стосуеться вщкритих i замкнутих множин
нав!ть евклщового простору двох або блльшого числа вим!р!в. Проте
в одновим!рному випадку, тобто на прямш, описати вичерпно yci вщ-
крит i множини (а отже, i вс! замкнут!) неважно. Цей опис даеться
такою теоремою:
Теорема 5. Усяка в1дкрита множина на числовш прямил е сумою
скшченного або злаченного числа 1нтервал1в, як1 попарно не перетина-
ються х.
1 Множини виду (—оо, со), (а, оо) i (—со 0) при цьому ми також включаемо в число
1нтервал1в.
Доведения. Нехай G—вщкрита множина на прямш. Вве-
дем© для точок is G вщношення екв!валентносп, вважаючи, що х ~ у,
якщо 1снуе такий штервал (а, [!), що х, у £ (а, Р) cz G. Очевидно,
не вщношення рефлексивне i симетричне, воно й транзитивне, бо
коли х ~ у i у ~ г, то !снують таю' штервали (а, Р) i (у, б), що
х, у е (а, Р) с= G i у, г £ (у, б) G.
Але тод! у <_ р i штервал (а, у) повшстю лежить у G i micthtb точки
х i 2. Отже, G розпадаеться на класи /т екв(валентних м)ж собою то-
fl___________
fl__________
О_____
!/9 ?/9
2/3
^9
F.
Рис. 8
чок, як! не перетинаються:
G = U Д.
Доведено, що кожне /т е штервал (а,
Ь), де а = inf Д, b = sup Д. Включен-
ия Д ст (а, Ь) очевидне. 3 другого бо-
ку, якщо х, у £ Д, то за означениям
Д штервал (х, у) мютиться в Д. Як зав-
годно близько вщ а праворуч i як зав-
годно близько вщ b л!воруч е точки з
Д. Тому Д м!стить будь-який штервал
(а', Ь'), юнц! якого належать (а, Ь),
звщки Д = (а, Ь). Система таких ш-
терьал!в, яю не перетинаються, не бшьш шж зл1ченна; спрэвд!, ви-
бравщи в кожному з цих штервал iB дов!льно рацюнальну точку, ми
встановимо взаемно однозначну вщповщшсть м!ж цими штервалами
i деякою пщмножиною множини рацюнальних чисел. Теорему до-
ведено.
ОскГльки замкнут! множини — це доповнення вщкритих, то звщ-
си випливае, що всяка замкнута множина на прямШ утворюеться ви-
киданням з прямо!' скшченного або зл!ченного числа 1нтервал1в.
НайпросДпн приклади замкнутих множин — вщр!зки, вщокрем-
лен: точки i суми скшченного числа таких множин. Розглянемо склад-
ш'ший приклад замкнуто! множини на прямш — так звану канторову
множину.
Нехай Д—вщр1зок [0,1]. Викинемо з нього штервал (1/3,
2/3), а решту замкнуту множину позначимо Д. Попм викинемо з
штервали (1/9, 2/9) i (7/9, 8/9), а замкнуту множину, яка залишилася
(вона складаеться з чотирьох вщр!зшв), позначимо Д, у кожному
з цих чотирьох вщр1'зюв викинемо середнш штервал довжиною
(1 /З)3 । т. д.) (рис. 8). Продовжуючи цей процес, дютанемо спадну
послщовшсть замкнутих множин Fn. Припустимо, що
F—замкнута множина (як перетин замкнутих). Вона утворюеться з
вщр!зка [0,1] викиданням зл!ченного числа штервал!в.
Розглянемо структуру множини F. 1й належать, очевидно, точки
о 1 А А А А 2_ А (1)
— кшш !нтервал!в, як! викидають. Однак множина F не вичерпуе-
ться ними точками. Справд!, т! точки вщр!зка [0, 1], як! входять
у множину F, можна охарактеризувати так. Запишемо кожне з чисел
х, 0 х 1 в тр!йков!й систем!:
у _ I °2 I | °П I
3 З2 "г *" з" ”Г
де числа ан можуть набувати значень 0, 1 i 2. Як i у випадку десятко
вих дробйз, деяк! числа допускаюсь подвшний запис. Наприклад,
А-1шА_к ,Ащ -AAiAi ,А . .
3 “ 3 ' З2 " " ’ з" ' 3 "г З2 г З3 -1 т з'1 г
Легко перев!рити, що множин! F належать т! ! лише т! числа
х, 0 < х < 1, як! можна записали хоча б одним способом, у вигляд!
тршкового дробу так, щоб у послщовност! аъ а2, ..., ап, ... жодного
разу не зустр!лась одиниця. Отже, кожшй точц! х £ F можна поста-
вите у в!дпов!дн!сть посл!довн!сть
Oj, а2, ... , ап, ... , (2)
де ап дор!внюе 0 або 2. Сукупшсть таких поел давностей утворюе
множину потужност! континууму. У цьому можна впевнитись, поста-
вивши у вщповщшсть кожшй послщовност! (2) послщовшсть
th, b2, ..., Ьп„ .. , (2')
де Ьп = 0, якщо ап = 0 i bn = 1, якщо ап= 2. Послщовшсть (2)
можна розглядати як запис деякого дшеного числа у, 0 < у I,
у вигляд! двшкового дробу. Отже, ми д!стаемо вщображення множини
F на весь вщр!зок [0,1 ]. Звщси випливае, що F мае потужшсть конти-
нууму \ Осюльки множина точок (1) зл!ченна, то ц! точки не можуть
вичерпувати всю F.
В п р а ви. 1. Довести безпосередньо, що точка 1/4 належить множин! F, не
будучи к!нцем жодного з 1нтервал!в, як! викидають.
'!каз1вка. Точка 1/4 д!лить в!др!зок [0, 1] у вщношенш 1 : 3. В!др!зок [0 1/3],
який залишаеться теля першого викидання, вона д!лить також у вщношенш 1 : 3
i т. д.
Точки (1) називаються точками першого роду множини F, !нш! п точки назива-
ються точками другого роду.
2. Довести, що точки першого роду утворюють у F скр!зь ицльну множину.
3. Показати, що числа виду tv + /2> Де /ц 6 заповнюють весь в!др!зок
[0, 2].
1 Установлена вЩповщшсть м!ж F i в!др!зком [0, 1 ] однозначна, але не взаемно
однозначна (внаслщок того, шоте саме число !нод1 може зображатися р!зними дро-
бами). Зв1дси випливае, що F мае потужшсть не меншу, шж потужшсть континууму.
Але F — частина в!др!зка [0, 1], отже, його потужн!сть не може бути б!льшою за
потужшсть континууму.
Ми показали, що множина F мае потужшсть континууму, тобто
лчстить си'льки ж точок, сюльки i весь вщр!зок [0, 1].
3 цим фактом щкаво пор1вняти такий результат: сума довжин
1/3 + 2/9 4 ^/СП 4- ... ycix викинутих штервал!в становить точно
одиницю!
Д од ат к о в i з а у в а же н н я. (1) Нехай М — деяка множина в ме-рич-
ному простор! Rix — точка цього самого простору. В1дстанню в!д точки х до мно-
жини М називаеться число
р (х, М) = inf р (х, а).
aQM
Якщо xf /И, то р(х М) = 0, однак з того, що р (х, М) = 0, не випливае,
що х f М. 3 означения точки дотику безпосередньо Встаемо, що р (/И, х) = О,
тод! i ильки тод!, коли х — точка дотику множини М.
Отже, операщю замикання можна визначити як приеднання до множини ecix
тих гочок, вщстань яких до множини дор1внюе нулю.
(2) Аналогично означаеться вщстань м!ж двома множинами. Якщо А, В — дв!
множини в метричному простор! R, то
р (А, В) = inf р (а, Ь). £
а£А
bQB
Якщо Д П 0, тор (А, В) = 0; обернене твердження, взагал! кажучи, непра-
вильне.
(3) Нехай Мк — множина вс!х функщй f з С [а, 6], як! задовольняють умову
Лшшиця: для Bcix tlt t2£ [a, 6 J
де К — деяке ф!ксоване число. Множина Мк замкнута. Вона зб!гаеться з замикан-
ням множини вс!х диференщйованих на [а, 6] функщй таких, що | f (/)) С К.
(4) Множина М = (J Мк ycix функщй, кожна з яких задовольняе умову Л!п-
К
шнця при ткому-небудь К, не замкнута. И замикання е Bci С [а, &].
(5) Вщкрита множина G в л-вим!рному евклщовому простор! називаеться
зв’язною, якщо будь-як! дв! точки х, у f G можуть бути з’еднаш ламаною, яка пов-
шстю лежить у G. Наприклад, внутр!шшсть круга х2 + у2 < 1 — зв’язна
множина. Навпаки, сума двох.крупв
х2 4- У2 < 1 ! (х — 2)2 4- У2 < 1
— незв’язна множина (хоч у цих крупв е сшльна точка дотику!). Вщкрита твмно-
жина Н вщкрито! множини G називаеться компонентою множини G, якщо вона
зв’язна i не коститься н! в як!й б!лышй зв’язшй вщкрипй швмножиш G. Введемо
bG вщношення екв!залентност!: х~ у, якщо !снуе вщкрита зв’язна шдмножина И
з G, яка накривае х i у:
-s х; yGf/cG.
Як i у випадку прямо!, легко можна перев!рити транзитившсть, i тому G розпада-
еться на класи G = (J I, як! не перетинаються. Ц! класи — вщкрит! компоненти
G. 1х число не б!льш як зл!ченне.
У випадку я=1, тобто на прям!й, усяка зв’язна вщкрита множина е штервал
(в число штервал!в включають i нескшченш штервали (—оо ,а), (&, о-о) i (—оо.оа)).
Отже, теорема 5 про будову вщкритих множин на прямш складаеться з двох тверд-
жень: а) усяка вщкрита множина на прямш е сума скшченного або зл!ченного числа
компонент i б) зв’язна вщкрита множина на прямш е штервал. Перше з цих тверд-
жень правильне i для множин в п-вим!рних евклщових просторах (! допускае
дальше узагальнення), а друге стосуеться саме прямо!.
§ 3. '".OBHI МЕТРИЧШ ПРОСТОРИ
1. Озчачення i приклади повних метричних простор!в. 3 перших
крок1в вивчення математичного анал1зу ми побачили, яку важливу
роль вщ!грае в анал!з! властивкть повноти числовоТ прямо”, тобто
той факт, що всяка фундаментальна послщовшсть дшсних чисел зб!-
гаеться до деяко'Г границ!. Числова пряма е найпрост!шим прикладом
так званих повних метричних простор!в, основн! властивост! яких
ми розглянемо в цьому параграф!.
Послщовшсть {хп} точок. метпичного простору R ми називатимемо
фундаментальною, якщо вона задовольняе критерш Кош!, тобто
.якщо для будь-якого е > 0 !снуе таке число Ne, що р (хп-, хП") < в
для вс!х п’ > Ns, п" > Ne.
3 аксюми трикутника безносередньо випливае, що всяка зб!жна
послщовшсть фундаментальна. Справд!, якщо (хп| зб!гаеться до х,
то для даного s > 0 можна знайти таке число Ne, що р (хп, х) < е/2
для - Bcix п >Ng Тод! р (хп-, хП") < р (х«-, х) + р (хп^х) < е для будь-
яких п' > Ns i п" > NE.
Означения 1. Якщо в npocmopi R будь-яка фундаментальна
посл1довн1сть зб1гаеться, то цей проспир називаеться повним.
Приклади. Ус! простори, розглянут! в § 1, за винятком за-
значеного в приклад! 8, повш. Справд!:
1. У простор! !зольованих точок (приклад 1, § 1) фундаментальш
т!льки стацюнарш послщовност!, тобто так!, в яких, починаючи з
деякого номера, повторюеться весь час та сама точка. Звичайно,
що всяка така послщовшсть збшаеться, тобто цей npocrip повний.
2. Повнота евкл!дового простору R1 — сукупност! дшсних чи-
сел — вщома з анал!зу.
3. Повнота евклщового простору R" безпосередььо випливае з
повноти R1. Справд!, нехай {х(р)} — фундаментальна послщовшсть
точок з R"; це означае, що для кожного е > 0 знайдеться таке N =
= Ns, що
2 (4₽) — хН2 < е2
fc=l
при Bcix р, q, быыпих, шж N. Тут х(р) = {х,р>, .... х^}. Тод! для
кожного k= 1, 2, ..., п дютаемо вщповщну нер!вн!сть для коорди-
ната x{k :
|х!Р)-хЯ<е
для Bcix р, q~c>N, тобто {х*р)} — фундаментальна числова послщов-
шсть. Припустимо, що
xk = lim xlp) i х = (xv х2, .., , х„),
тод!, очевидно,
lim х<р’ = х.
Р->ОО
4—5. Повнота просторов Ro i R" доводиться щлком аналопчно.
6. Доведемо повноту простору С [а, &]. Нехай {х„ (/)}— деяка
фундаментальна послщовшсть у С [а, Ь]. Це означае, що для кож-
ного в > 0 1снуе таке N, що
I хп (/) — х,п (£)| < е
при п, т > N для bci'x t, а t b. Звщси випливае, що послщов-
шсть {хп (/)} р!вном!рно зб!гаеться. Як вщомо, в цьому раз! и межа
х (/) буде неперервною функщею. Нехай в попередшй нер!вност!
т прямуе до нескшченносН, тод! д!станемо
|х„(0 — хВ|<£
для bcix t i для Bcix п > N, а це Й означае, що {хп (/)} збДаеться до
х (t) в розумшн! метрики простору С [а, Ь].
7. Прост!р /2. Нехай {лг(гг|} — фундаментальна послщовшсть в
/2. Це означае, що для будь-якого 8 > 0 знайдеться таке N, що
р2 (x(rt)j = 2 В"’ _ И)2 Jg ПрИ J т > N.
/г—1
Тут
х = , х2 , ... , xk , ..
3 (1) випливае, що при будь-якому k
(х™ — Х'Г)2 < 8,
тобто при кожному k послщовшсть дшених чисел {%*"} фундамен-
тальна i тому зб:гаеться. Припустимо xk = lim х^. Позначимо через
х послщовшсть (%!, х2, xk, Треба показати, що
3) V 2^ . г,
2а Xk<Z°e, тобто х £ /2,
fe=i
б) lim р (\<п), х) = 0.
п-уао
Зробимо це. 3 HepiBHOCTi (1) випливае, що для будь-якого ф1'ксова-
ного М
м
2 (хГ-хП2<е-
^=1
У цш сум1 тепер пльки скшченне число доданшв, i ми можемо, заф!к-
сувавши п, перейти до границ! при т -> оо. Дктанемо
м
2 (xln) — Xft)2 < 8.
/г—1
Ця р!вн!сть правильна при будь-якому М. Вщновимо нескшченний
ряд, переходячи до границ! при М -> оодктаемо
2 (хГ’ — xft)2 < 8. (2)
k=i
ОО со
1з зб!жносН ряд1в 2 (*Г’)2 i У, (х!м— хк)2 випливае зб!жшсть ряду
4=1 4=1
СО
У xi (внаслщок елементарно! нер!вност! (а + Ь)2 2 (а2 Д Ь2)), тобто
4=1
твердження а) доведено, Дал!, осюльки е доь льно мале, то нер!в-
шсть (2) означав, що
у со
lim р (х<п\ х) = lim "у У (Дл) — хА)2 = О,
И->03 Л1->СО * £==!
тобто х(г1) -> х в метриц! /2. Твердження б) доведено.
8 Легко впевнитись у тому, що npocrip С2 [а, &] неповний. Роз-
глянемо, наприклад, послщовшсть неперервних функшй
фп (0 =
Вона фундаментальна в
1 1 1
— 1 при — 1 < / <-------—
, ' 1 ^у „ I
nt при--------t < — ,
1 при < t С 1.
С2 [—1, 1], бо
1 (Фп(0 —<pm(0)2^<—-V—г
J \ / тт\л mm (я, т)
Однак вона не збшаеться до жодноТ функци з С2 [— 1,11. Справд!,
нехай f — деяка функщя з С2 [— 1,11 i ф— розривна функщя, що
дор!внюе —1 при t < 0 ! Д 1 при t > 0.
На шдстав! штегрально! нер!вност1 Мшковського (справедливо!,
очевидно, i для кусочно-неперервних функщй) маемо:
(И0-фп(^))2^
\ 1/г
(Фп(о--ф(оМ •
Внаслщок неперервност! функци f штеграл у л!в!й частин! в!дм!нний
вщ нуля. Дал!, зрозум!ло, що
1
lim С (ф„ (/) — ф (/))2 dt = 0.
п-юо J21
Тому f (/(0—не може прямувати до нуля при ^->оо.
—1
В п р а в а. Довести, що прост!р ycix обмежених послщовностей (приклад 9,
§ 1) повний.
2. Теорема про вкладеш куль В анал!з! широко використовують
так звану лему про вкладен! в!др!зки. У Teopii метричних npocropiB
аналоНчну роль в!д!грае така теорема, яку називають теоремою про
вкладен! куль
Теорема 1. Щоб метричний npocmip R буе повним, необх1дно I
достатньо, щоб у ньому всяка посл!довн1сть вкладених одна в одну
замкнутих куль, padiycu яких прямують до нуля, мала непорожнШ
перетин.
Доведения. Н е об х i д н i с т ь. Нехай просНр R повний
i нехай В2, В3, ...— послщовшсть вкладених одна в одну замкну-
тих куль. Нехай гп—рад!ус, а хп—центр кул! Вп. Послщовшсть
центр!в {х„} фундаментальна, бо р (хп, хт) < гп при т > п, а гп -> 0
при п -> оо. Осшльки R повне, то lim хп icnye.
Припустимо, що
х — lim хп\
тод! х g f] Вп. Справд!, куля Вп мае вс! точки послщовност! {хД,
п
кр!м, можливо, точок xlt х2, ..., хп_ь Отже, х е точкою дотику
для кожно! кул! Вп. Але осшльки Вп — замкнута множина, то х £
£ Вп для вс!х п.
Достатнкть. Нехай {хп} — фундаментальна послщовшсть.
Доведемо, що вона мае границю. Внаслщок фундаментальност! ми мо-
жемо взяти таку точку х„ ше! послщовност!/ що р (х„, хП1) < г/2
при вс!х п щ. В!зьмемо точку х„, за центр замкнуто!' кул! рад!уса 1.
Позначимо цю кулю Вг. Виберемо поим хПг з {х„} так, щоб було
n2 > ni >Р (хп, Хп2) < 1 /22 при Bcix п п2. В!зьмемо точку х„2 за
центр кул! рад!уса 1/2 i позначимо цю кулю В2. Взагал!, якщо точки
хП1, хп,, ..., хп>г вже взят! (п1 < п2 < < «Д, т0 в!зьмемо точку
хП/;+1 так, щоб було «/i+i > nk i р (х„, xnfe+1) < 1/2,г+' при вс!х п пИ.1,
i оточимо ii замкнутою кулею Bk+l рад!уса l/2fr. Продовжуючи цю
побудову, д!станемо послщовшсть замкнутих куль Bk, вкладених
одна в одну, причому куля Bk мае рад!ус l/2ft_I. Ця послщовшсть
куль мае, за припущенням, сшльну точку; позначимо ii х. Зрозумгло,
що ця точка х е границею пщпослщовност! {хлД. Але якщо фундамен-
тальна послщовшсть мае пщпослщовшсть, яка зб!гаеться до х, то
рона сама збшаеться до fiei само!' границ!. Отже, х= lim х,,. Теорему
п-юо
доведено.
В п р а в и. 1. Довести, що перетин замкнутих вкладених куль у попередшй
теорем! зводиться до одшй’ точки.
2. Д!аметром множини М у метричному простор! називають число
d (/И) = sup р (х, у).
x.yQM
Довести, що в повчому метричному простор! всяка послщовшсть вктадених одна
в одну непорожшх замкнутих множин, д!аметри яких прямують до нуля, мае не-
порожшй перетин.
3. Навести приклад поеного метричного простору i посл1довнсст! вкладених
одна в одну замкнутих куль у ньому, що мае порожней перетин. .
4. Довести, шо шдпроспр повного метричного простору R повний тод! i ильки
тод!, коли в1н замкнутей в R.
3. Тесрема Тэера. У теори повних метричних простор!в фундамен-
тальну роль в!д!грае така теорема.
Теорема 2 (Бера). Повний метричний npocmip R не можна по-
дати у вигляд1 об’еднання сличенного числа Hide не щ1 льнах множин.
ОО
Доведения. Припустимо супротивне. Нехай R = J М„,
де кожна з множин МП нще не щ!льна. Нехай So — деяка замкнута
куля рад!уса 1. Осюльки множина Mlt будучи нще не пильною,
непильна в So, то !снуе замкнута куля Sr рад!уса менше 1/2, така,
що ст So i S, Q 0. Осюльки множина- М2 не шдльна в 5г,
то з Tie'i само!' причини в кул! е замкнута куля S3 рад!уса менше
вщ 1/3, для якого S2 П /И2 = 0 i т. д. Ми дютаемо послщовшсть
вкладених одна в одну замкнутих куль {Sn}, рад!уси яких прямують
до нуля, причому, Sn П Мп = 0. На пщстав! теореми 1 перетин
П Sn м!стить деяку точку х. Ця точка за побудовою не належить
п—1
жодшй з множин М,„ отже, х (£ (J Мп, тобто 7? (J Мп, щосупере-
чить припущеннкх п п
Зокрема, всякий повний метричний npocmip без isonboeanux точок
He3Ai4eHHUu. Справд!, в такому простор! кожна точка нще не ппльна.
4. Доповнення простору. Якщо npociip R не повний, то його
завжди можна включити деяким (! по сут!, единим) способом у повний
прост!р.
Оз начения 2. Нехай R — метричний просНр. Повний мет-
ричний просп'р //* називаеться доповненням простору /?, якщо:
1) R е пщпростором простору R*;
2) R скр!зь щ!льне в R* , тобто !/? 1 = R*.
(Тут 17? ] означае, природно, замикання простору R в R*).
Наприклад. прост!р yeix дшених чисел е доповненням простору
рацюнальних чисел.
Теорема 3. Кожний метричний npocmip R мае доповнення,
i це доповнення едине з точшетю до iooM.empii, яка залишае нерухомими
точки з R.
Доведения. Почнемо з единост!. Нам треба довести,
що коли R* i R** — два доповнення простору R, то' !снуе таке
взаемно однозначне вщображення <р простору R* на R**, що
1) ф (х) = х для вс!х х £ /?;
2) якщо х* х** i у* <-> у**, то pi (х*, )/*) = Ра(х*, у**), де рг —
вщетань в R*, а ра — вщетань в R**.
Вщображення ф означаемо так. Нехай х* — дов!льна точка з
R. Тод!, за означениям доповнення, !снуе послщовшсть {х„} точок
з R, яка збДаеться до х* . Точки {х„} входять i в Д**. Осюльки
R** повне то {хД збиаеться в /?** до деяко! точки х**. Зрозум!ло,
шо х** не залежить вщ вибору посл!довност! {хп}, яка збйаеться
вточц! х*. Припустимо, що ф (х*) = х**. Вщображення <р i е тука-
не !зометричне вщображення.
Справд!, за побудовою <р (х) = х для bcix к g R. Дал!, нехай
{х„)->х* в R* i {хД->х** в R**,
\Уп\-^У* в R* i {уД->*/** В /?**;
тод!, внаслщок неперервност! вщстан!,
Pi (х*, У*) = Hid pj (х„, уп) = lim р (х„, уп)
П-усо П-Ь'Х)
i, аналогично,
Ра (х**, у**) = lim р2 (х„, уп) = lim р (хп, уп).
n-w п-*&э
Отже,
Р1 (х*, у*) = р2(х**, у**}.
Доведемо тепер i с н у ван н я доповнення. 1дея цього доведен-
ия така сама, що й у канторовш теорп дшсних чисел. Положения тут
нав!ть проспше, юж у теорп дшсних чисел, бо там для об’екпв,
як! вводяться.— !ррацюнальних чисел — треба ще означити вс!
арифметичш операци.
Нехай R — дов!льний метричний просДр. Назвемо дв! фундамен-
тален! послщовност! {х„} i {хп} з R еквшалентними (означения
{хД ~ {хД), якщо lim р (х„, хД = 0. Назва — екв!валентн!сть —
И-+ОО
виправдана, бо це вщношення рефлексивне, симетричне i транзитивне.
Звщси випливае, що вш фундаментальн! послщовност!, як! можна
скласти з точок простору R, розпадаються на класи екв!валентних
м!ж собою послщозностей. Означимо тепер просДр /?*. За його точки
ми в!зьмемо вс!ляк! класи екв!валентних м!ж. собою (Ьундаментальних
послщовностей, а вщстань м!ж ними задамо так. Нехай х* ! у* —
два так! класи. В!зьмемо в кожному з цих клас!в по одному представ-
нику, тобто по деяк!й фундаментальна послщовност! (хД i \уп\.
Припустимо \ шо
Р « У*) = Ит р (хп, уп). (3)
П->,оо
Доведемо коректшсть иього означения вщстан!, тобто доведемо,
що граииця (3) !снуе ! не залежить вщ вибору представник!в {х„} С х*
> {Уп} € У*-
На пщстав! нер!вност!
I Р (хп, уп) — р (хт, ут)\ < р (х„, xj + р (уп, ут) (4)
д!стаемо, що для вс!х досить великих п i tn
IР (хп, уп) — р (хт, ут)\ < 8,
оск1льки послщовност! {хл} i [уп] фундаментальна
1 Щоб не ускладнювати запису, вщстань в R* ми позначаемо тим самим символом
р, що й вщстань у вихщному простор! R.
Отже, послщовшсть дшсних чисел sn — р (х„, уп) задовольняе
критерш Komi i, отже, мае границю.
Ця границя не залежить вщ вибору {хп} £ х* i {уп} £ у*. Справ-
дщ нехай
К}> {хд е х* i {уп} ^у*.
Викладка, аналопчна (4), дае
IР (хп, уп) — р (xk, у'п)\ < Р (х„, хп) + р (уп, уп).
Осшльки (х„) ~ {х'п] i {уп} ~ {у'п}, то
lim р (хп, уп) = lim р (хп, у'п).
П->оо
Доведемо тепер, що в /?* виконаш аксюми метричного простору.
Аксюма 1) безпосередньо випливае з означения екв!валентност1
фундаментальних послщовностей.
Аксюма 2) очевидна.
Перев1римо тепер аксюму трикутника. Осшльки у вихщному про-
стор! R аксюма трикутника виконана, то
Р (Хп, fn) < Р (Хп, Уп) + Р (У„, Zn).
Переходячи до границ! при п -> оо, дктаемо
lim р (х„, z„) < lim р (х„, уп) + l:m р (уп, zn),
П-+ОО П-Ь-СО
тобто
р (х*, г*)'^р (х*, у*) + р(г/*, г*).
Доведемо тепер, що R можна розглядати як пщпросгр просто-
ру R*.
Кожшй точц! х g R вщповщае деякий клас екв!валентних фунда-
ментальних послщовностей, а саме, .сукупшсть ycix послщовностей,
яш зб|'гаються до точки х. Цей клас непорожшй, бо вш мютить стацю-
нарну послщовшсть, вс! члени яко! дор!внюють х. При цьому, якщо
х = lim хп i у = lim у™ то р(х, у) = lim р(х„, уп).
Н~>СО Н-4-ОО
Отже, сшввщшсши кожшй точш х* g /? клас х* фундаментальних
послщовностей, яю збшаються до не!', ми 1зометрично вщобразимо R
у npocTip R*.
У дальшому ми можемо не розр!зняти сам проспр R i його образ
у R* i розглядати R як пщпроспр у R*.
Покажемо тепер, що R скр!зь щ1льний в R*. Справд!, нехай
х*—деяка точка з R* i к > 0 дов!льне. Виберемо в х* представ-
ника, тобто деяку фундаментальну послщовшсть |хп}. Нехай N таке,
що р (хп, хт) <_ в для Bcix п, т > N. Тод! маемо
р(хп, х*) = lim р(х„, хт)<е х .
/П-+оо
при п > (V, тобто довшьний ошл точки х* мае деяку точку з R.
Отже, замикання R в R* е весь R*.
Лишаеться довести повноту /?*. Зауважимо, насамперед, що за по-
будовою /?*, будь-яка фундаментальна послщовшсть
хь х2, ... хп, ... .
точок з R збшаеться в додеяко! точки, а саме, до точки х* £ R*,
яка визначаеться самою шею послщовшстю. Дал!, осшльки R щ!ль-
ний в R*, то для будь-якоТ фундаментально! послщовност! Xi,x^, ...
..., xtL, ... точок з R* можна побудувати екв!валентну !й послщов-
шсть Хь х2, ..., хп, ... ТОЧОК з R. Для цього досить за хп взяти будь-
яку точку з R, таку що р (хп, хп) < 1/п. Побудована послщовшсть
{х„} фундаментальна в R i, за означениям, збшаеться до деяко! точки
х* с R. Але тод! до х* зб!гаеться i послщовшсть {xrt}. Теорему
доведено.
§ 4. ПРИНЦИП СТИСКАЮЧИХ ВЩОБРАЖЕНЬ
I ЙОГО ЗАСТОСУВАННЯ
1. Принцип стискаючих вщображень. Ряд питань, пов’язаних
з !снуванням ! едишстю розв’язюв р!внянь того чи шшого типу (на-
приклад, диференц!альни.т р!внянь) можна сформулювати у вигляд!
питания про юнування I едишсть нерухомо! точки при деякому вщо-
браженш вщповщного метричного простору в себе. Серед р!зних кри-
терпв !снування ! единост! нерухомо! точки при таких воображен-
иях один з найпрост!ших i водночас найважливпних — так званий
принцип стискаючих в!дображень.
Нехай R — метричний прост!р. Вщображення А простору R в
себе називаеться стискаючим в!дображенням, або коротше, стискан-
ням, якщо !снуе таке число а< 1, що для будь-яких двох точок
х, у £ R виконуеться нер!вшсть
р(Ах, Ау)^ар(х, у). (1)
Усяке стискаюче вщображення неперервне. Справд!, якщо хп -> х,
то внаслщок (1) i Ахп -> Ах.
Точка х називаеться нерухомою точкою вщображення А, якщо
Ах = х. 1накше кажучи, нерухом! точки — це розв’язки р!вняння
Ах = х.
Теорема 1 (принцип стискаючих вообра-
жен ь). Усяке стискаюче в1дображення, визначене в поеному метрич-
ному простор! R, мае одну i тальку одну нерухому точку.
Доведения. Нехай х0— дов!льна точка в R. Припустимо,
що = Лх0, х2 = Ахг = А2х0 ! т. д.; взагал!, хп = Axn-i = Апх0.
Покажемо, що послщовшсть {х„} фундаментальна. Справд!, вва-
жаючи для означеност! m > п, маемо
Р (хп, хт) = р (А\, Атх0) < апр (х0, х„,_„) <
<ап {р (х0, хх) + р (хь х2) + • • + р (xm_n_i, xm_„)} Н
< апр (х0, .ф |1 + а - а2 + • • • + ,anp (х0, xj - .
Осюльки а < 1, то при досить великому п ця величина ск!льки зав-
годно мала. На пщстав! повноти R послщовн!сть {х„}, будучи фун-
даментальною, мае границю. Припустимо, що
х = lim хп.
П-+ОЭ
Тод! внаслщок неперервност! вщображення А
Ах = A lim хп — lim Ахп = lim xn+i = х.
П-усо П-^схз п-усо
Отже, i с н у в а н н я нерухомо!' точки доведено. Доведемо !! е д и -
н i с т ь. Якщо
Ах = х, Ау — у,
то HepiBiiicTb (1) набирае вигляду
Р (х, у) < ар (х, у);
оскмьки а < 1, звщеи випливае, що
Р (х, У) = О, тобто х = у.
В п р а в а. Показати на приклад!, що вщображення А, яке задовельняе умову
р (Ах, Ау) < р (х, у) для вс!х х #= у, може не мати жоднэ!' нерухомо!' точки.
2. Найпрост1ш1 застосування принципу стискаючих вщображень.
Принцип стискаючих вщображень можна застосовувати до доведения
теорем !снування i единост! розв’язюв для р!внянь р!зних тишв.
Кр!м доведения !снуваиня i единост! розв’язку р!вняння Ах = х,
принцип стискаючих вщображень дае i фактичний метод наближе-
ного знаходження цього розв’язку (метод посл!довних
н а б л и ж е н ь). Розглянемо так! прост! приклади:
1. Нехай f— функц!я, яка визначена на сегмент! [а, Ь], задоволь-
няе умову Лшшиця
I / (ХА — f (xx)i < К | х2 — Xi |
з константою К < 1 ! вщображае сегмент [а, Ь] в себе. Тод! f е сти-
скаюче вщображення i, згщно з доведеною теоремою, послщовшсть
х0, хх = f (х0), х2 = f (хх), ... збягаегься до единого кореня р!вняння
X = f (х).
Зокрема, умова стислост! виконана, якщо функщя мае на сегмент!
[а, Ь] похщну f (х), причому
I' (х)| </«!.
На рис. 9 i 10 зображено хщ послщовних наближень у випадку
О < /' (х) < 1 i у випадку — 1 < f (х) < 0.
Нехай тепер дано р!вняння виду F (х) = 0, причому /7(а)<0,
F(b)>0 i 0<К1 < F' (х) <К3 на [а, Ь]. Введемо функщю f(x) =
= х — KF (х) i шукатимемо розв’язок р!вняння х = /(х), р!вносиль-
ного р!внянню F (х) = 0. Осклльки f (х) — 1 — XF' (х), то 1 — к К2
</'(хХ 1 — 1 неважко пщ!брати число % так, щоб можна було
3 4—1039
даяти методом послщовних наближень. Це — поширений метод в!д-
шукання кореня.
2. Розглянемо вщображення А га-вим!рного простору в себе, який
задаеться системою л!вшних р^внянь
п
Ус ~ S aifXi -~bt (i = 1, 2, ... , га).
/=i
Якщо А е стискання, то ми можемо застосувати метсд послщов-
них наближень до розв’язання р!вняння х = Ах.
Рис. 9 Рис. 10
При яких саме умовах вщображення А буде стисканням? Вщпо-
вщь на це запитання залежить вщ вибору метрики в простор!. Розгля-
немо три вар!анти:
а) прост!р Ro, тобто о (%, у) — шах|х; — yj;
Р (у', У") = max | y’t — yt\ = max | 2 «;/ (xf~ х-) | <
, L L i
< max 21 ац IIх/ — xi I < max 21 ati I max \xi — xi I —
< i 1 i i
= (max 21 |) p (%', x").
t i
Звщси умова стислосп:
п
Ti | ац | < fx < 1, i = 1, ... , га;
/=|
п
б) npOCTlp Rb тобто р(х, у) = — Ус\‘>
P(/z. y") = ^\y'i — yi\ = 2 I z] (х/—
i i i
< I alt 11 x'i — x‘i I < (max 21 a(i |) p (x', x").
i j it
(2)
Зв!дси умова стислост!:
2К-1<ет<h /= t •••.«; (3)
с ___________
в) npocTip Rn, тобто p (x, у) = 1/ 2 (xi— У if'- На ш'дстав! нер!в-
’ f=i
hocti Komi—Буняковського маемо
Pa У") = 2 (3 ati (x'j^x'i)}2 < (2 5 ay] p2 (xl, x").
ШВ \ j ! V I j >
Зв!дси умова стислост!:
i i
Отже, якщо виконана хоча одна з умов 1 (2) — (4), то icnye одна
п
i т!льки одна точка (хп х2, ..., хп) така, що xt = 2^/Х/ Н причо-
/=1
му посл!довш наближення до цьогс розв’язку мають вигляд
х(0) = (х® .... 4°>),
41’, ..., хП
г(/г)
де
п
оЛ-"+|,
7=1
а за х® = (хи , х,®) можна взяти будь-яку точку з Rn.
Кожна з умов (2) — (4) д о с т а т н я для того, щоб в’дображення
у = Ах було стисканням. Вщносно умови (2) можна було б довести,
що вона ! необхщна для стислост! вщображення у = Ах
(в розумшш метрики а)).
Жодна з умов (2) — (4) не необх!дна для засюсовносп методу по-
слщовних наближень.
Якщо | ciij | <; 1/п, то вс! три умови (2)—(4) виконаш i метод
гослщовних наближень явно застосовний.
Якщо |aJ | > 1/п, то жодна з умов (2) — (4) не виконана.
3. Теореми :снувапня i единост! для диференц1альних р!внянь.
У попередньому пункт! було наведено два найпроспш! приклади
1 Зокрема. з будь-яко! з умов (2) —(4) випливае, що
а11 1 а12 • аш
а22 • • ^2/г
=£0.
ani
апп 1
аП2
3*
застосування принципу стискаючих вщображень в одновим!рному
в га-вим1рному просторах. Однак найбмып ктотними для анал!зу е
застосування цього принципу в нескшченновим!рних функцюналь-
них просторах. Тепер ми покажемо, як за його допомогою можна Д1-
стати теореми !снування i единост! розв’язку для деяких тишв дифе-
ренщальних та штегральних р!внянь.
1. Задача Komi. Нехай дано диференц!альне р!вняння
з початковою умовою
У (*«) — У О’
(5)
(6)
причому функц!я f визначена i неперервна в деякш плоскш облает!
G, що мае точку (х0, z/0), i задовольняе у ц!й облает! умову Лшшиця
за у:
I f (*. У1>—f g. у^ < м I у>—У* I-
Доведемо, що тод! на деякому сегмент! | х — хп | d !снуе, i
притому пльки один, розв’язок у = ср (х) р!вняння (5), який задо-
вольняе початкову умову (6) (теорема Пшара).
Р!вняння (5) разом з початковою умовою (6) екв!валентне !нте-
гральному р!внянню
X
ф(*)=3/о + 1ж Ф(ОИ- (7)
На пщстав! неперервност! функци f маемо | f (х, у)\ < К у деякш
облает! G' cz G, що мае точку (х0, у0). Пщберемо d > 0 так, щоб
виконувалися умови:
1) (*-*/)€$', якщо |х —x0|<d, \у —
2) Md < 1.
Позначимо через С* прост!р неперервних функцш ф, визначених
на сегмент! |х— x0|<d i таких, що |ф(х)— z/0|</(d, з метрикою
Р (Фь Фа) = max | фх (х) — ф2 (х) |.
X
Проспр С* повний, бо в!н е замкнутим простором повного просто-
ру ycix неперервних функцш на 1х0—d, х0-j-d ]. РозглянЯю вщобра-
ження ф = Лф, яке задано формулою
X
Ф W = У* + р (i, ф (0) dt,
^0
де |х — x0|<d. Це в!дображення переводить повний просюр С* у
себе i е в ньому стисканням. Справд!, нехай <р £ С*, |х — x0|<d.
Тод!
IФ (*) — У о I =
J7K, ф(0) dt
Хо
Kd
!, отже, А (С*) cz С* . Кр!м того,
I Ф1 (х) — Фг (*) I < J I f (t, <Pi (0) — / ф-2 (0) I dt <
< Md max | фг (лг) — ф2 (%) [.
X
Осшльки Md < 1, то А — стискання.
Звщси випливае, що р!вняння <р = Л<р, тобто р!вняння (7) мае
один ! пльки один розв’язок у простор! С*.
2. Задача Komi для системи р i в н я н н я.
Нехай дано систему диференщальних р!внянь
фДх) =/Дх, фх (х), ... , ф„ (х)), 1=1, 2, ...,п (8)
з початковими умовами
Ф£ W = Уа, i = 1, 2, . .. , п, (9)
причому функцп fi визначеш i неперервн! в деякш облает! G просто-
ру Rn+l, що мае точку (х0, у01, .... уОп), i задовольняють умову Л!п-
шиця
I fl (х, уР, .... у">) - f (х, у?\ у?) I < М max | уР - у? | .
п
Доведемс, що тощ на деякому сегмент! | х — х01 < d !снуе один
i пльки один розв’язок початково'! задач! (8), (9), тобто одна ! пльки
одна система функцш ф£, як! задовольняють р!внянням (8) ! початко-
вим умовам (9).
Система (8) разом з початковими умовами (9) екв!валентна систем!
штегральних р!внянь
ФД^) = г/ог-+ Ф1(0> ••• > Фп(0)^> г = 1, ...,га. (10)
Внаслщок неперервносп, функцп $ обмежен! в деякш облает!
G' cz G, що мае точку (х0, ут, . .. , г/0Д тобто !снуе таке стале чис-
ло К, що | ft (х, уг, ... , уп> | < К.
Пщберемо d 5> 0 так, щоб виконувалися умови:
1) (х, у1( уп) Е G', якщо |х — х0|<Д | yt — yQi | < Kd\ i =
= 1, га;
2) Mdc 1,
Розглянемо прост!р Сп, елементами якого е набори <р = (Ф1, ...,
..., ф„) з га функщй, визначених i неперервних при |х — х01 d, !
таких, що |фДх) — yQi \ ^Kd. Задамо метрику формулою
Р (ф, Ф) = max | (р£ (х) — фг (х) |.
Х,1
Введений проспр повний. Вщображення ф = Лф, яке задаеться
системою р!вностей
X *
Ф£ (Я = У* + j ft (.t, Ф1 (0> • • • > Ф» (0) dt,
х‘
е стискаюче вщображення повного простору Сп в себе.
Справд!,
(х) —фГ (х) =
= J lf< (i, Ф?’ (0> • • • , Ф^ (0) - л (Л ф52) (0, .... Ф® (0)1 dt
*0
i, отже,
max | ф,!1) (x) — ф*2) (x) | < Md max | <pP (x) — «pf9 (x) |.
хЛ хЛ
Вщображення A— стискаюче, осшльки Md < 1.
Звщси випливае, що операторне р!вняння <р = Лф мае один i пль-
ки один розв’язок у простор! Сп.
4. Застосування принципу стискаючих вщображень до штеграль-
них р»внянь.
1. Р!внянняФредгольма. Застосуемо тепер метод сти
скаючих вщображень для доведения юнування i единост! розв’язку
неоднор Оного л!н!йного !нтет рального р ! в н я н н я Фредголь-
м а другого роду, тобто р!вняння
ь
/(x) = kj/((x, г/)/(у)<й/ + ф(х), (И)
а
де К (так зване ядро) ! ф е дан! функци, f — шукана функщя, а к —
дов!льний параметр.
Ми побачимо, що наш метод застосовний лише при'досить малих
значениях параметра к,
Припустимо, що К (х, у) i <р (х) неперервш при а < х < Ь, а <
< у < b i, отже, | К (х, г/)'! М. Розглянемо вщображення g = Af
повного простору С [а, Ъ] в себе, яке задаеться формулою
ь
g(x) = kJ К (х, у) f (у) dy + <[> (X).
а
Маемо
Р (gi, gz) = max | gi (x) — g2 (x) | < | k | M (b — a) max | (x) — /2 (x) |.
Отже, при k <L aj вщображення A — стискаюче.
3 принципу стискаючих вщображень робимо висновок, що для
всякого к з |к|<;-^~ 1— р!вняння Фредгольма мае единий непе-
рервний розв’язок. Послщовш наближення до цього розв язку
/о, •••, fn> ••• мають вигляд
ь
fn (х) = k J к (х, у) fn-i (у) dy + q (X),
а
де за f0 (х) можна взяти будь-яку непереовну функщю.
2. Н е л i н i й н 1 !нтегральн! р i в н я н н я. Принцип
стискаючих вщображень можна застосувати i до нел!н!йного
1нтегрального р i в н я н н я виду
ь
/ (х) = 1 ( X (х, у- f (у)) dy + <р (х), (12)
а
де X i ф неперервн! i, кр!м того, ядро X задовольняе умову Лщшиця
за cboi'm «функцюнальним» аргументом:
i X (*> У, *1) — К (х, у; z2) | < М ] Zj — z21.
У цьому випадку для вщображення g = Af повного простору С [а, b ]
в себе, заданого формулою
ь
g (х) = X J X (х, у; f (у)) dy + ч (х), (13)
а
сп равджуеться нер iвн 1сть
mах I £1 (х) — g2 (х) I < I % IМ (b — a) max | Д (х) — /2 (х) |,
де g! = Af!, g2 = Afi. Отже, при I i < -^ _ з) вщображення А
буде стискаючим.
3. Р i в н я н н я Вольтерра. Розглянемо, нарешт!, ште-
гральне р!вняння типу -Вольтерра
X
f(x) = XjK(x, y)f(y)dy + (p(x). ' (14)
а
Тут, на вщмшу в!д р!внянь Фредгольма, верхня границя в штегра-
л!—зм1нна величина х. Формально це р!вняння можна розглядати
як окремий випадок р!вняння Фредгольма, доозначивши функцш X
р!вшстю
X (х, у) = 0 при у > х.
Однак у випадку интегрального р!вняння Фредгольма ми були
змушеш обмежитися малими значениями параметра К, а до р!внянь
Вольтерра принцип стискаючих вщображень (L метод лослщовних
наближень) застссовний при bcix значениях К. Точшше, мова йде
про таке узагальнення принципу стискаючих вщображень:
Нехай А — таке неперервне в1дображення повного метричного
простору R в себе, що деякий його ступень В = Ап е стисканням;
modi р1вняння
Ах — х
мае один i пйлъки один розв’язок.
Справд!, нехай х— нерухома точка вщображення В, тобто Вх =
= х. Маемо
Ах. — ABkx = BkAx^— Вкх0 -^х (/г -> оо),
бо внаслщок стискання воображения В послщовшсть Вхп, В2х0,
В3х0 ... для будь-якого х0 £ R збшаеться до нерухомэ"! точки х в!до-
браження В. Отже,
Ах = х.
Ця нерухома точка едина, бо всяка точка, нерухома вщносно А,
нерухома i вщносно стискаючого вщображення А11, для якого нерухо-
ма точка може бути лише одна.
Покажемо тепер, що деякий ступшь вщображення
Af(x) = К j R (х, у) [ (у) dy + <P (х)
а
е стисканчям. Нехай ! /2—дв! неперервн! функц!'! на в!др!зку
[а, Ь]. Тод!
I Afi (х) — Af2 (х) | = | к | J К (х, у) (у) — /2 (у)) dy
а
< I ZI 1М (х — a) max | Ц (х) — /2 (х) |.
Тут
М = max | Д’ (х, у) .
Зв Оси
| Л2Ц (X) - Л72 (X) I < I ZI2 АР -(х^а>2 - max | f. (х) - /2 (х) |
i, взагал!,
| АпК (х) - Лп/2 (х) | < | X \пМп (х~а)П-т^\К\пМпт {Ь ,
Де
т = max | Ц (х) — /2 (х) |.
При будь-якому значенш Д число п можна взяти таким,великим,
що
I X \пМп (& — а)п .
nl ' k
Тод! вОображення Ап буде стисканням. Отже, р!вняння Вольтерра
(14) при будь-якому Д мае розв’язок, i притому единий.
§ 5. ТОПОЛОПЧН1 ПРОСТОРИ
1. Означения i приклади тополончних простор!». Основн! поняття
теор!! метричних простор!в (гранична точка, точхй дотику, зами-
кання множини i т. д.) було введено на основ! поняття околу, або,
що, по сут!, те саме, на поняття вОкрито! множини. Ц! останш понят-
тя (ок!л, вщкрита множина), в свою чергу, означалися за допомогою
метрики, задано"! в розглядуваному простор!. Однак можна стати на
шший шлях i, не вводячи в дашй множин! R метрику, безпосередньо
означити в R систему вщкритих множин за допомогою аксюм. Цей
шлях, забезпечуючи значно б!лыпу свободу д!й, приводить нас
до /попологсчних npocmopie, вщносно яких метрики! простори е хоч i
дуже важливий, але дещо спещальний випадок.
Означения. Нехай1 X — деяка множина — прэст!р-нос!й.
Тополог1ею в X називаеться будь-яка система т !! шдмножин G, яка
задовольняе дв! вимоги:
1°. Сама множина X i порожня множина 0 належать т.
2°. Сума U Ga будь-якого (скшченного або нескшченного) i пере-
а
п
тин f| Gk будь-якого скшченного числа множин з т належать т.
а=1
Множина X !з задгною вшй тополопею т, тобто пара (X, т), нази-
ваеться тополог1чним простором.
Множини, як! належать систем!, називаються в1дкритилш. Так
само, як i метричний прост!р е сукупшсть множини точок — «нос! я»
i введено!' в ц!й множин! метрики, тополопчний npocrip е сукупшсть
множини точок ! введено! в н!й тополог!!. Отже, задати тополопчний
прост!р — це означае задати деяку множину X i задати в шй тополо-
пю т, тобто назвати т! шдмножини, як! вважаються в X вщкритими.
Зрозум!ло, що в т i й с а м i й множин! X можна вводите р!зн!
тополог!!, перетворюючи !! тим самим у р!зш топологии! простори.
I все-гаки тополопчний прост!р, тобто пару (X, т), ми познача-
тимемо одшею буквою, ска ж!мо, Т. Елементи тополопчного простору
ми називатимемо точками.
Множини Т \ G, додаткоы до вщкритих, називаються замкнути-
ми множинами тополопчного простору Т. 3 аксюм 1° i 2° внаслщок
сшввщношень дво!стост! (§ 1 розд!л 1) випливае, що:
1. Порожня множина 0 i вс! Т замкнут!.
2. Перетин будь-якого (скшченного або нескшченного) числа
i сума скшченного числа замкнутих множин замкнут!.
На основ! них означень природно вводиться в усякому тополопч-
ному простор! поняття околу, точки дотику, замикання множини
i т. д. А саме:
Сколом точки х С Т називаеться зсяка вщкрита множина G ст Т,
що мае точку х; точка х У Т' називаеться точкою дотику множини
М а Т, якщо кожний ок!л точки х мае хоча б одну точку з /И; х на-
зиваеться граничною точкою множини М, якщо кожний ок!л точки
х мае хоча б одну точку з М, вщмшну в!д х. Сукупшсть yeix точок
дотику множини М називаеться замиканням множини М ! позна-
чаеться символом [All. Легко довести (зроб!ть це), що замкнута мно-
жини (означен! нами вище як доповнення вщкритих) i тальки вони
задовольняють умову 1М ] = М. fix i у випадку метричного простору,
[М] е най мента замкнута множина, що Micmumb М.
В п р а в а. Довед!ть, що операщя замикання [Л4], означена за допомогою топо-
логи, мае властивост! 1) — 4), сформульоваш в теорем! 1, § 2.
Приклади. 1. На шдстав! теореми 3' § 2 вщкрнт! множи-
ни в усякому метричному простор! задовольняють аксюми 1° i 2°
означения тополопчного простору. Отже, усякий метричний проспр
е тополопчним простором.
2. Нехай Т—дов!льна множина. Бважатимемо вщкритими Bci
ii шдмножини. Акс!оми 1° i 2° при цьому, очевидно, виконан!, тобто
ми справд! дютаемо тополопчний лрост!р. У ньому bci множини одно-
часно i в’дкрит! i замкнут!, i, отже, кожна з них зб!гаеться з сво!м
замиканням. Таку трив.альну тополопю мае, наприклад, мет-
ричний прост!р, наведений у приклад! 1, § 1.
3. Як шший крайшй випадок, розглянемо в дов!льн!й множин!
X тополопю, що складаеться лише з двох множин: Bciei X ! порожным
множини 0. Тут замикання кожно! непорожньо'! множини е вся X.
Такий тополопчний прост!р можна назвати «простором злиплих
точок».
4. Нехай Т складаеться з двох точок a i b, причому вщкритими
мнржинами ми вважаемо вс! Т, порожню множину i множину, що скла-
даеться з одше! точки Ь. Аксюми 1° i 2° тут виконан!. У цьому просто-
pi (який часто називають зв’язною двоточкою) замкнут! так! шдмно-
жини: вся Т, порожня множина i точка а. Замикання одноточково!
множини {Ь} е вся Т.
В п р а в а. Побудуйте sci тополог!! в простор! X, що складаеться з двох, трьох,
чотирьох i п’яти тонок.
2. Пор!вняння тополопй. Нехай на тому самому нос!! X задано
дв! тополог!! тх i т2 (цим визначено два тополопчн! простсри: Дх =
= (X, тх) i Т2 — (X, т2)). Ми скажемо, що тополопя ту сильнииа або
пгонша за топслопю т2, якщо система множин т2 моститься в тх. Про
топслопю т2 при цьому кажуть, що вона слабша, або грубила, шж тх.
У сукупност! вс!х можливих тополопй множини X природно вво-
диться часткова упорядковашсть (тбполопя т2 передуе тх, якщо
вона слабша, шж тх). У ц!й сукупност! тополопй е максимальний
елемент-—тополопя, в як!й yci множини в!дкрип (приклад 2),—
! м!н!мальний тополог!я, в як!й вщкрит! пльки вс! X i 0 (при-
клад 3).
Тес рема 1. Перетин давиьно1 множини топологи! т = [~| та
а
в X е топология в X. Ця топология т слабила за будь-яку з тополо-
гш та.
Доведения. Зрозум!ло, що Я та м!стить X i 0. Дал!, з того,
а
що кожне та, замкнуте вщносно взяття будь-яких сум ! скшченних
перетишв, випливае, що цю властив!сть мае i т = ("]та.
а
Н а с л i д о к. Нехай SB — довиьний запас тдмножин множини
Х\ modi imye м1н1мальна тополоНя в X, яка млстить SB.
Справд!, тополог!!, що м!стять S3, !снують (наприклад та, в як!й
yci A cz X вщкрит!). Перетин ycix тополоНй, що мютять i е тука-
на. Ця м1н!мальна тополоНя називаеться тополопею, породженою
системою SB, i позначаеться т (SB).
Нехай X дов!льна множина i А — 'i'i пщмножина. Следом систе-
ми множин 93 на пщмножин! А називаеться система 95/, яка скла-
даеться з пщмножин виду А О В, В £ 93. Легко побачити, що слщ
(на А) тополог!'ix (задано!’ в X) е тополопею тА в А. Отже,
усяка шдмножина А будь-якого тополончного простору сама е топо-
лопчним простором. Тополопчний npocrip (Л, тд) називаеться nid-
простором вихщного тополопчного простору (X, т). Зрозуммо, що
дв! р!зн1 топологи тх i т2 в X можуть породжувати ту саму тополопю
в А с X. Тополопя та назизаеться в1дяосною тополог1ею в А.
3. Зизначгльн! системи окол!в. ' База. Аксюми злненностк Як
ми побачили, задати в просторi 7 топологно—це означав задати
в ньому систему вщкритих множин. Однак у конкретних задачах
бувае зручно задавати не всю тополопю, а лише деяку ii частину,
тобто деякий запас'вщкритих множин, за яким однозначно визначаеть-
ся сукупшсть ycix вщкритих пщмножин. Так, наприклад, у метрич-
ному npocTopi ми ввели спочатку поняття вщкритоТ кул! (е-околу),
а пот!м означили вщкрит! множини як так!, в яких кожна точка мь
ститься разом з деяким своТм кульовим околом. 1накше кажучи, в мет-
ричному простор! вщкрит! т! i т!льки т! множини, як! можна подати
як суми вщкритих куль (в сличенному або нескшченному числ!).
Зокрема, на прям!й вщкрит! множини, як! можна подати у вигляд!
сум !нтервал!в, ! ильки вони. Ц! м!ркування приводить нас дс важли-
вого поняття б а з и тополопчного простору
Означения. Сукупшсть g вщкритих пщмножин називае-
ться базою ТОПОЛОПЧНОГО простору Т, якщо всяку вщкриту множину
в Т можна подати як суму деякого числа (скшченного або ьескшчен-
ного) множин 3 g.
Так, наприклад, сукупшсть ycix вщкритих куль (з дов!льним
центром i рад!усом) утворюе базу в метричному простор!. Зокрема,
система Bcix штервал!в — база на прямш. Базу на прям!й утворюють
i одш лише штервали з рацюнальними кшцями, осюльки у вигляд!
суми таких штервал!в можна подати будь-який штервал, а отже,
i будь-яку вщкриту множину на прямш.
Отже, тополопю т простору Т можна задати. вказавши в цьому
простор! деяку Г! базу g. Ця тополопя т збшаеться з сукупшстю мно-
жив, як! можна подати як суми множин з g.
Усяка база g в тополопчному простор! Т = (X, т) мае так! дв!
властивост!:
1) будь-яка точка х £ X ластиться хоча б в однш G g g;
2) якщо х м1ститься в nepemuni двох множин Gv i G2 з g, то icHtje
така Gg g g, що
x f G3 с Л П G2.
Справд!, властив!сть I) означав, що вся X, будучи вщкритою,
повинна бути зображена як сума якихось множин 3 g, а 2) випли-
вае з того, що Gx f] G2 вщкрита !, отже, е сумою якихось елеменпв
бази.
Навпаки, нехай X — дов!льна множина ! —система шдмно-
жин в X, що мае властивост! 1) ! 2). Тод! сукупшсть множин, як!
можна подати як суми множин з g, утворюе в X тополопю (тобто за-
довольняе аксюми 1° i 2° означения тоиолопчиого простору).
Справд!, нехай т (g) — сукупшсть yeix множин з X, як! можна
подати як суми множин з <&. Тод! порожня множина1 ! вся X нале-
жать т (g) i сума будь-якого числа множин з т (g) також належить
т (g). Покажемо, що перетин будь-якого скшченного числа множин
з т (g) належить т (g). Досить перев!рити це для двох множин.
Нехай А = J Ga i В = U Gp, тод! А Г] В = U Г) G₽). 3 умови 2)
а р а,₽
випливае, що кожна Ga П Gp мщтиться в т (g). Але тод! й А П
П В Q т (g).
Отже, ми дютаемо такий результат:
Т еорема 2. Для того щоб система g тдмножин G множини X бу ла
базою деяко'1 топологи в X необхлдно i достатньо, щоб g мала влас-
тивост! 1) i 2).
Нехай тепер у простор! Т задано деяку ф!ксовану тополопю т.
Узявши в Т деяку систему g вщкритих множин, що мае властивост!
1) i 2), i взявши i"i за базу, ми очевидно д!стали в Т тополопю т (g),
яка або збшаеться з вихщною тополопею т, або слабша за не!'. Визна-
чимо умови, при яких & породжуе саме дану тополопю т.
ТеоремаЗ. Для того, щоб система^ ст т бу ла базою дано! топо-
логи т необхЛдна й достатня така умова:
3) для кож но! в1дкрито! множини G I кожно! точки х £ G 1снуе
така Gx £ %, що х Q Gx с G.
Доведения. Якщо умова 3) виконана, то всяку в!дкриту
множину G можна подати у вигляд!
G = U Gx,
тобто g е база топологи т. Навпаки, якщо g е базою топологи т,
то всяку G с т можна подати у вигляд! суми множин g, а тод! для
всяко! х g G знайдеться така Gx g g, що х б Gx cz G.
В п р а в a. Hexaiigj i g2— дв! бази в X (тобто дв! системи множин, як! за-
довольняють умови 1) i 2), стор. 75), а т, ! т2 — топологи, яю визначаються ними.
Доведиь, що ту щ т2 тод! i т!льки тод!, коли для будь-яко! Gj gt i будь-яко! точ-
ки х G Gi. ienye така G2 £ g2, що х f G2 с Gx.
За допомогою теореми 3 легко встановити, наприклад, що в уся-
кому метричному простор! сукупшсть yeix вщкритих куль утворюе
базу його топологи. Сукупшсть yeix куль з рациональными рад!у-
сами також е базою. На прям!й базою може бути, наприклад, сукуп-
шсть yeix рацюнальних штервал!в (тобто штервал!в з рацюнальними
кшцями).
Важливий клас тополопчних простор!в утворюють простори
i з з л i ч е н но ю базою, тобто так! простори, в яких !снуе
1 Вона утворюеться як сума порожньо!' множини елемент!в системи g.
хоча б одна база, що складаеться не б1льш як is зл!ченного числа
множин. Простори is Зл1ченною базою називають також просторами
з другою аксюмою зл1чё’яност1.
Якщо в топологтному npocmopi Т е злгченна база, то в ньому обов'яз-
ково е злгченна скрнзь щ1льна множина, тобто така зл1ченна множина,
замиканням яко‘1 е весь Т. Справд!, нехай {Gn}— така база. В1зь-
мемо в кожному з елеменТтв uiei бази дов!льну точку хп. Зл!ченна
множина X — {х„} скр1’зь щ!льна в Т, оскГльки в противному раз!
непорожня вщкрита множина G = 7’\[А'] не мютила б жодно'1 точки
з X, що неможливо, бо G е сума деяких множин з системи (G„), а
хп €
Тополопчш простори 13 зл!ченною скр!зь пульною множиною,
як i метричн!, називаються сепарабельными.
Для метричних простор]'в справедливе твердження, обернене Дль-
ки що доведеному:
Якщо метричний npocmip R сепарабельный, то в R е i зл1ченна
база. Справд!, таку базу утворюють, напрйклад, вщкрит! кул!
В (хп Ут), де {хя} — зл!ченна скр!зь щ!льна множина, а п i т
незалежно пробДають yci натуральш числа. Отже, справедлива така
теорема:
Теорема4. Метричний npocmip R мае зл1ченну базу modi i т1ль-
ки modi, коли вм сепарабельный.
Внаслщок uiei теореми вс: приклади сепарабельних метричних
простор1в можуть бути i прикладами метричних простор1в з другою
аксюмою зл!ченностп Несепарабельний npocrip обмежених послщов-
ностей (див. приклад 9, § 1) не мае i зл1'ченно’1 бази.
3 ау в аженн я. Теорема 4, взагал! кажучи, неправильна для дов!льних
(неметричпих) тополопчних простор!в: можна назвати приклади сепарабельних
простор1в без зл1ченноТ бази. Пояснимо явища, як! тут вщбуваються. Для кожно'1
точки х метричного простору R 1снуу з л i ч е н н а система И 'ii окол!в (наприклад,
система вщкритих- куль В (х, 1/л)), яка мае таку властив1сть: яка б не була в!дкрита
множина G, що мктить точку х, знайдеться оил з системи U, який щлком лежить
у G. Така система окол!в називаеться визначальною системою окол1в точки х.
Якщо точка х тополопчного простору Т мае зл!ченну визначаль-
ну систему оммпв, то кажуть, що в uifi точщ виконана перша аксюма
зл^ченнсат. Якщо це правильно для кожно'1 точки простору Т, то
npocrip Т називаеться простором з першою аксюмою зл1ченностт.
Усякий метричний npocrip, навДь i несепарабельний, автоматично
задовольняе першу аксюму зл1ченносп. Однак у довДьному тополо-
пчному простор! (навДь якщо Bin складаеться лише is зл!ченного
числа точок) перша аксюма зл’ченносп може не справджуватись.
Тому и м1ркування, за допомогою яких ми для метричного простору
вивели з наявносп зл!ченно1 скр!зь пульно!' множини Днування
в такому npocTopi зл!ченно!' бази, не переноситься на випадск дов!ль-
ного тополопчного простору. Але нав!ть i в сепарабельному тополо-
гшчому простор! з першою аксюмою зл1чеиносп зл!ченно'Г бази може
не бути.
Система множин {Л4а) називаеться покриттям множини X,
якщо U Л4а ZD X. Покриття тополопчного простору Т, що склада-
а
еться з вщкритих (замкнутих) множин, називаеться в1дкритим
(замкнутым) покриттям. Якщо деяка частина {Л4а1} покриття {Л4а}
сама утворюе покриття простору Т, то {Л4а1} називаеться гйдпокрит-
тям покриття {Л1а}.
Теорема 5. Якщо Т— тополог!чний npocmip is злаченною базою,
то з усякого його eidicpu/пого покриття можна вибрати скшченне
або зл1ченне nid покриття.
Доведения. Нехай {0а) — деяке покриття простору Т.
Тод! кожна точка х £ Т м!ститься в деякому 0а. Нехай {G„} — зл1-
ченна база в Т. Для кожного х g Т icnye такий елемент G„ (х) ц!е'£
бази, що х g Gn (х) cz Оа. Сукупшсть узятих таким способом множин
Gn (х) скшченна або зл!ченна ! покривае весь Т. Взявши для кожно!
Gn (х) одну з множин Оа, що и мютить, ми й дютанемо скшченне
або зл!ченне пщпокрчття покриття {ОД. Теорему доведено.
За означениям тополопчного простору порожня множина i весь
npocTip Т одночасно вщкрит! i замкнут!. Проспр, в якому немае
шяких шших множин, одночасно вщкритих i замкнутих, називаеться
зв’язним. Пряма л!н!я R1 — це один з найпрост!ших приклад!в зв’яз-
них простор!в. Якщо ж з R1 вилучити одну або к!лька точок, то про-
спр, який залишиться, вже не буде зв’язним.
4. Зб1‘жн! послщовност! в Т. На тополопчн! простори легко
переноситься знайоме нам у випадку метричних простор!в поняття
з б i ж н о i послщовност!. А саме, послщовшсть Xj, х2, ...,
..., хп, ... точок з Т називаеться збйюною до точки х, якщо будь-який
ок!л точки х мае вс! точки ц!еТ послщовност!, починаючи з деяко'!.
Однак у тополопчних просторах це поняття зб!жносп не вщДрае
Tie'! фундаментально'! рол!, яка йому належить у метричних просто-
рах. Справа в тому, що в метричному простор! R точка х е точка
дотику множини М cz R тод! ! пльки тод!, коли в М !снуе послщов-
шсть, яка зб!гаеться цо х, тод1 як у тополопчному простор!, це, вза-
гал! кажучи, не так. 3 того, що х е точка дотику для М (тобто нале-
жить [Ai J) у тополопчному простор! Т, не випливае кшування в М
послщовност!, яка зб!гаеться до х. В!зьмемо як приклад вщр!зок
[0,1 ] i назвемо. вщкритими п його шдмножини (поряд з порожньою
множиною), як! утворюються з нього викиданням будь-якого скш-
ченного або зл!ченного числа точок. Легко 'перев!рити, що вимоги
Г i 2° (стор. 73) при цьому будуть виконаш, тобто ми дштанемо
тополопчний проспр. У цьому простор! зб!жними будуть пльки ста-
цюнарш послщовност!, тобто так!, елементи яких, починаючи з де-
якого номера, збшаються: хп = xn+i = ... (довед!ть це). 3 другого
боку, якщо ми в!зьмемо, наприклад, за М швсегмент (0, 1 ], то точка
0 буде для нього точкою дотику (переш'рте!), але жодна послщовшсть-
точок з М не збшаеться до 0 у нашому простор!.
Зб!жш послщовност! «вщновлюються в CBoix правах», якщо ми
розглядаемо не дов!льш тополопчн! простори, а простори з першою
аксюмою зл!ченност!, тобто, якщо в кожно'! точки х простору Т ic-
нуе зл!ченна визначальна система окол!в. У цьому раз1' кожну точку
дотику х дзв!льно1 множини М cz Т можна подати як границю де
яко!' послщовносп точок з М. Справд1, нехай {<?„} — зл!ченна визна-
чальна система окол!в точки х. Можна вважати, що cz Оп (шак-
п
ше ми замшили б Оп на П Ок). Нехай xk — довмьна точка з М,
k=*\
яка м!ститься в 0k (k = 1, 2, ...). Зрозум!ло, що таке хк 1снуе, щак-
ше х не було б точкою дотику для М. Послщовшсть {xk}, очевидно,
збшаеться до х.
Першу аксюму зл!ченносп задовольняють, як ми зазначали,
Bci мегричн! простори. Саме тому ми й змогли Bci так! поняття, як за
микання, точка дотику ! т. д., сформулювати для метричних просто-
р!в у термшах зб!жност! послщовностей.
5. Неперервн! вщображення. Гомеоморф1’зм. Поняття неперерв-
ного вщображення, введене нами для метричних простор!в у § -1,
природно узагальнюеться на дов!льн!" тополопчн! простори.
Означения. Нехай X i У — два тополог!чн! простори. Вщоб-
раження f простору X у npocTip У називаеться неперервним у пгочц1
х0, якщо для будь-якого околу Uy<> точки у0 = f (х0) знайдеться та-
кий окм Vx„ точки х0, що f (1Д0) cz Uy0. Вщображення f : X У
називаеться неперервним, якщо воно неперервне в кожшй точш
х £ X. Зокрема, неперервне вщображення тополопчного простору
X у числову пряму називаеться неперервною фунрщвю на цьсму прос-
тор!.
Легко впевнитись, що для метричних простор !в це означения
справд! перетворюеться в те означения неперервносп вщображення
одного метричного простору в шший,.яке було подано в § 1.
Наведене нами означения мае «локальний» характер. Неперерв-
шсть вщображення f на всьому X визначаеться через неперервшсть
f у кожшй точш. Виявляеться, що поняття неперервносп вщобра
ження одного тополопчного простору в шший можна сформулювати
в термшах вщкритих множин, тобто в термшах топологи цих просто-
ра.
Теоремаб. Для того, щоб в1дображення f тополог1чного простору
X в тополог1чний npocmip У було неперервним, необх1дно I достатньо,
щоб прообраз Г = f-1 (С) усяко! eidKpumoi множини G с У був eid-
критий (в X).
Доведения. Н е о б х i д и i с т ь. Нехай вщображення f
неперервне ! нехай G — вщкрита множина в у. Дозедемо, що Г =
= f-1 (G) вщкрита. Нехай х—довьчьна точка множини Г i у =
»= f (х). Тод! G е окол'ом точки у. За означениям неперервносп знай-
цеться такий ок!л Vx точки х, що f (УД cz G, тобто Vx cz Г. 1накше
кажучи, якщо х £ Г, то щнуе ок!л Vx ц!е! точки, що м!ститься в Г.
Але це й означае, що Г вщкрита.
Достатн!сть. Нехай Г = f 1 (б) вщкрита, якщо G с У
вщкрита. Розглянемо дов!льну точку х (= X ! довщьний ок!л U точки
у = f (х). Осшльки у £ Uy, то точка х належить множин! /-I (Uy).
Ця вщкрита множина i е тим околом точки х, образ яко! мктиться
в Uy. Теорему доведено.
Зауваження. Нехай X i У — дов1льн! множини i f — воображения X в У.
Якщо в У задано деяку тополопю т (тобто систему множин, яка мктить 0 i У, i
замкнуту вщносно взяття будь-яких сум i скшченних перетишв), то прообраз топо-
логи (тобто сукупшсть ycix множин f~1 (G), де G £ т) буде тополопею в X.
Для доведения досить пригадати теорему про прообраз суми i перетину множин
(див. § 2, розд. I). Ми позначимо цю тополопю (т). Якщо тепер X i У — тополо-
пчш простори з топологиями хх i Ху, то теорему 6 можна сформулювати так: eidodpa-
мхкня f : X У неперервне modi i тиъки modi, коли топология хх сильшша за топо-
логйо f~l (Ху).
3 того, що прообраз доповнення е доповненням прообразу, випли-
вае теорема, двоТста до теореми 6.
Теорема 6'. Для того, щоб в!дображення f тополог!чного простору
X в тополог!чний npocmip Y було неперервне, необх1дно ! достатньо,
f (Q) щоб прообраз всяко! замкнуто! множи-
ни з Y був замкнутий (в X).
Легко впевнитись, що образ вщкри-
то1 (замкнуто!) множини при неперерв-
ному вщображенш не обов’язково вщ-
критий (замкнутий). Розглянемо, на-
прйклад, вщображення швштервала
X = [0, 1) на коло. Множина [1/2, 1),
замкнута в [0,1), переходить при цьому в незамкнуту множину на
кол! (рис. 11).
Для неперервних вщображень справедлива така теорема, аналопч-
на добре вщом!й з анал!зу теорем! про иеперервшсть складно’! функци:
Теорема 7. Нехай X, Y i Z—тополог!чн! простори i нехай
f ! ср неперервн! в!дображення X eY !Y в Z в!дпов!дно. Тод! в!дображен-
ня х -> ф (f (х)) простору X в Z неперервне.
Доведения ц!е! теореми вщразу випливае з теореми 6.
На тополопчн! простори поширюеться поняття гомеоморф!зму,
введене нами в § 1 для метричних простор!в, а саме, вщображення
тополопчного простору X на тополопчний npocrip Y називаеться
гомеоморф!змом, якщо воно взаемно однозначне ! взаемно неперервне,
простори X i Y при цьому називаються гомеоморфними. Гомеоморфы!
простори мають т! сам! тополопчн! властивост!, i з •’’ополопчно! точки
зору ix можна розглядати просто як два екземпляри того самого
простору. Тополог!! в двох гомеоморфних просторах е образами 1
прообразами одна одно'!. Вщношення гомеоморфност! рефлексивне,
симетричне ! транзитивне; тому сукупшсть уЛхтополончних просто-
р!в рознадаеться на неперетинш класи гомеоморфних м!ж собою
простор1в.
Зауваження. Треба матн на уваз!, що метричн! властивост! двох
гомеоморфних м!ж собою метричних простор!в можуть бути р!зн! 1 . Так, один з
них може бути повний, а др угий — н!. Наприклад, интервал (—л/2, л/2) гомеоморф-
ний числов!й прямш (в!дпов!дний гомеоморфам можна задати функшею х -> tg х),
але при цьому пряма — повний npocrip, а штервал — н1.
6. Аксюми в!дд1льност1. Хоч багато з основних понять Teopii
метричних простор1в легко переноситься на довгльш тополопчш про-
стори, все ж так! простори е об’ектом, дуже загальним з точки зору
задач анал!зу. Тут виникають ситуаци, як! ютотно в!др!зняються вщ
того, що може справджуватись у метричних просторах. Так, ми по-
бачили, що скшченна множина точок у тополопчному простор! може
бути не замкнутою (приклад 4, стор. 74) i т. д.
Серед тополопчних простор!в можна вщцлити простори, ближч!
за своТми властивостями до простор!в метричних. Для цього треба
до акс!ом 1° ! 2° тополопчного простору (стор. 73) приеднати ще т!
або !нш! додатков! умови. Такими умовами е, наприклад, аксюми зль
ченносп; вони дають змогу вивчати тополопю простору на основ!
поняття зб!жност!. Другий важливий тип додаткових умов становлять
вимоги шшо! природи — так зван! аксюми в1дд1льноат. Ми перель
чимо цю cepiro аксюм у порядку ix поступового шдсилення.
Аксюма 7\ (перша аксюма в1дд1льност1): для будь-яких двох pis-
них точок х i у простору Т !снують ок!л Ох точки х, який не мютить
точки у, i ош 0у точки у, який не мютить точки х.
Простори, як! задовольняють цю аксюму, називаються ^-просто-
рами. Прикладом тополопчного простору, що не е /^-простором, мо-
же бути зв’язна двоточка.
У 7\-простор! оудь-яка точка е замкнута множина. Справд!, якщо
х Ф у, то 1снуе ок!л Оу точки у, який немютить х, тобто у& [х]. Тому
[х] = х. Отже, в Tj-npocTopi замкнута i будь-яка скшченна множина
точок. Б!льше того, як легко перев!рити, аксюма Т\ р!вносильна
вимоз! замкнутост! Bcix таких множин.
Вище (стор. 73—74) ми означали граничну точку х множини М в то-
полопчному простор! Т, як таку точку, для яко'г перетин U Q М \{х);
непорожн!й. Тут U —дов!льний ок!л точки х.
У просторах, як! не задовольняють аксюму Tlt граничш точки
можуть мати нав!ть множини М, як! складаються лише з скшченного
числа точок. Нехай Т — зв’язна двоточка з тополопею, що склада-
еться з 0, {&} i {а, Ь). Тод! точка а е граничною для множини
М = {Ь} .
У ^-просторах таке явище вже не може справджуватись, а спра-
ведливе таке твердження:
Лема. Для того, щоб точка х була граничною для множини М в
Тrtipocmopi, необх1дно i достатньо, щоб будь-який ок1л U yiel точки
Micmue нескшченно багато точок з М.
* Метрика простору R однозначно визначае його тополопю, але це навпаки:
ту саму тополопю в R = (X, р) можна д!стати, задаючи в X р!зн! метрики.
До ст а тн i сть ще! умови очевидна. Дозедемо н е о б х i д -
н i с т ь. Нехай х — гранична точка для М\ припустимо, що !снуе та-
кий ок!л U точки х, який м ютить пльки скшченне число точок з М.
Нехай хп х2, ..., хп— ус! Hi точки, кр!м само! х (якщо така належить
2И). Тод! V — U — {хь .... х„) — ок!л х i V (\ М \ {х} = 0.
Усякий метричний npocrip явно е 7\-просторэм. Тому за означения
гранично! точки множини в метричному простер! i було взято власти-
в1сть, зазначену в лемТ
Пщсиленням першо! аксюми вцщльност! е аксюма Т2.
Аксюма Т2 (друга, або хаусдорфова, аксюма eiddUbHOcmi): будь-як!
дв! р!зн! точки х ! у тополопчного простору Т мають неперетинн! око-
ли 0х i Оу.
Простори, як! задовольняють цю аксюму, називаються Т2-про-
спгорами, або хаусдорфовыми просторами. Всякий хаусдорфовий прос-
т!р е 7\-прост!р, але не навпаки. Прикладом нехаусдорфового
^-простору може бути вщр!зок [0, 1], в якому вщкритими вважають-
ся порожня множина i вс! множини, що утворюються з в!др!зка ви-
киданням не б!льш як зл!ченного числа точок.
Аксюма Т3 (третя аксюма в!дд!льност!): будь-яка точка i замкну-
та множина, яка не м ютить !!, мають неперетинн! околи. При цьому
околом множини М в тополопчному простор! Т називаеться всяка
вщкрита множина U, що мютить М.
Цш аксюм! можна дати таке екв!валентне формулювання:
Будь-який ок!л U довшьно! точки х мютить менший ок!л Tie!
само'! точки, що входить у U разом з| сво!м замиканням.
Читач може довести це як вправу.
Осюльки в дов!льному тополопчному простор! точка може йе бути
замкнутою множиною, то третя аксюма вщд!льност! стосуеться пльки
простор!в, як! задовольняють аксюму Т±. Простори, як! задовольня-
ють обидв! аксюми Т\ i Т3, називаються регулярними.
Усякий регулярний npocrip, зрозумьло, хаусдорфовий. Прикладом
хаусдорфового простору, що не е регулярним, може бути в!др!зок
[О, 1 ], в якому околи Bcix точок, KpiM точки 0, означають звичайним спо-
собом, а околами нуля вважаються всмяю швштервали [0, а), в яких
викинуто точки виду l/n(n = 1, 2, ...). Це^—хаусдорфовий npocrip,
в ньому 0 i послщовшсть {VJ — неперетинн! замкнут! множини, але
вони невщдшьш одна вщ одно!' неперетинними околами.
Звичайно в анал!з! не доводиться зустр!чатися з просторами за-
гальнппими, шж регулярш. Б!льше того, як правило, ц!кав! з точки
зору анал!зу простори задовольняють i б!льш сильну вимогу, так
звану нормальноть простору:
Аксюма Т4 (аксюма нормальност!)'. 7\-прост!р називаеться нор-
мальным, якщо в ньому всяк! дв! неперетинн! замкнут! множини ма-
ють неперетинн! околи.
До нормальних npocropie належать, зокрема, вс! метричн! просто-
ри. Справдц нехай X i Y—дв! неперетинн! замкнут! множини в мет-
ричному простор! Л?. Кожна точка х £ X маеоюл 0х, неперетинний
з Y i, отже, лежить в!д Y на деяшй додатый вщстан! р*. Аналогично,
вщстань кожно1 точки у g Y вщ X е додатна величина ру. Розгляне-
мо вщкрит! множини 1
U= II в(х, i V= U В(у, ,
Кх \ 2 / yQY \ 2 /
що MicTHTb X i Y вщповщно, i покажемо, що i’x перетин порожнш.
Припустимо, що г Q U П V. Тод! в X 1снуе така точка х0, що
р (х0, г) < рХо/2, а в У — така точка у0, що р (г, у0) < PyJ^- Нехай
для визначеност! рХо р&0. Тод!
Р, р„
Р (х0> Уо) < Р Оо, 2) + р (Z, Хо) <-f- + -f-< рл,
тобто х0 Q В (у0, р,л), але це суперечить означению рУо. Твердження
доведено.
Усякий шдпрост!р метричного простору самеметричним простором
i тому завжди мае властивють нормальност!. Це, взагал! кажучи,
неправильно для довшьних нормальних простор!в: шдпростЩ нор-
мального простору не обов’язково буде нормальним. Отже, нормаль-
шсть простору нееспадковою властив!стю2.
Спадковою властивютю е так звана поена регуляршоть тополщчч-
них пристроив, яка е важливим пщсиленням властивост! регулярност!.
Тополопчний Tj-npocrip називаеться ц1лком регулярным, якщо для
кожно'1 замкнуто! множини F cz Т ! ркожноТ точки х0 £ T\F !снуе
неперервна на Т дшсна функщя f, яка дор!внюе нулю в точц! х0, еди-
ниц! — на F i задовольняе умову 0 < f (х) 1. Усякий нормальний
npocrip ц!лком регулярний 3, але не навпаки. Будь-який пщпроспр
шлком регулярного (зокрема, нормального) простору сам шлком ре-
гулярний. А. М. Тихонов, якому належить i саме поняття шлком
регулярного простору, показав, що клас шлком регулярних простор!в
зб!гаеться з класом ycix п!дпростор!в нормальних простор!в. 3 точки
зору анал!зу щлком регулярш простори важлив! тому, що на всяко-
му такому простор! е «досить багаю» неперервних функцш, а саме,
для будь-яких р!зних точок х, у ц!лком регулярного простору Т !снуе
визначена на Т неперервна дшсна функщя, яка набувае в цих точках
р!зних значень.
7. Pi3Hi способи задания топологи в просторь ж Метризовшсть.
Найкращий споПб задавания топологи в деякому простор! полягае
в тому, щоб безпосередньо показати т! множини, як! ми вважаемо
вщкритими. Ha6ip цих множин повинен задовольняти вимоги 1 i 2
(стор. 73). Р’вносильний цьому дво1стий спос!б — показати наб!р
1 Тут, як звичайно, В (х, г) •— вщкрита куля рад!уса г з центром х.
2 В ластив icTb Р називаеться спадковою, якщо з того, що !Т мае даний тополот ;чний
проспр Т, випливае, що и мають i bci його тдпростори.
3 Цей (зовс1м не очевидний) факт випливае з тако! теореми П. С. Урисона: якщо
Т — нормальний проспр i Flt F2—дв! його неперетинш замкнут! шдмножини, то
на Т icHye неперервна функщя f, 0 < f (х) С 1, яка дор!внюе нулю на Fr i одинищ
на F2. -
замкнутих множин. Очевидно, такий наб]р повинен задовольняти умо-
ви 1° i 2° (стор. 73). Однак фактично цей спос!б рщко можна застосу-
ватл. Так, наприклад, навив у випадку площини навряд чи можна
безпосередньо описати вс! вщкрит! пщмножини, як це вдаеться зро-
бити для прямо!’ (теорема 5, § 2).
Поширений cnoci6 задавания топологи полягае у вибор] деяко!
бази; саме так i вводиться тополопя в метричних просторах, де ми,
спираючись на метрику, задаемо базу — сукупшсть вщкритих куль.
Ще один з можливих способ!в задавания топологи в простор! —
це введения в ньому поняття зб]жность Однак за межами метричних
простор 1в такий cnoci6 не завжди зручний, осюльки, як ми вже за-
значаливп.4, не завжди перехщ вщ множини до и замикання можна
описати в термшах зб!жних послщовностей. Цей спош’б можна зробити
ушверсальним, узагальнивши вщповщно саме поняття зб]жно! посль
довносп ([29], розд. 2).
Можна ввести в простор] тополопю, означивши в ньому аксюма-
тично операцно замикання. А саме, кажуть, що в множит X задано
операцйо замикання, якщо кожному А сг X поставлено у вщповщ-
н]сть деяку множину [A] ст X, яка називаеться замиканням А, прц-
чому операщя переходу вщ А до [А ] мае властивост] 1) — 4), наведе-
н] в теорем] 1, § 2. Означивши теля цього замкнут] множини як так],
для яких [А] = А, легко показати, що цей клас множин задовольняе
умови 1 i 2 (стор. 73), тобто справд] визначае в X тополопю.
Задавания метрики — один з найважливших способов введения
топологи, хоч i далеко не ушверсальний. Як ми вже побачили, вся-
кий метричний npocrip нормальний i задовольняе першу аксюму
зл1ченност]. У простор], який не мае хоча б одше! з цих двох власти-
востей, тополопю не можна задати за допомогою яко! б то не було
метрики.
Означения. Тополопчний npocrip Т називаеться метри-
зовним, якщо його тополопю можна задати за допомогою яко!-небудь
метрики.
На пщстав] Ильки що сказаного нормальшеть простору i перша
аксюма зл!ченносп е н еоб х iдн им и умовами метризовност]
простору. Разом з тим, жодна з цих умов окремо, i навгть Тх сукуп-
шсть, не д о_с т а т н i для метризовност] простору. Однак справ-
джуеться така'теорема, яка належить П. С. Урисону:
Для того, щоб тополог1чний npocmip is злаченною базою був мет-
ризовним, необшдно i достатньо, щоб в!н був нормальним.
Необхщшсть ц1’е’Т умови зрозумша; доведения достатносп е, на-
приклад, в [2].
§ 6. КОМПАКТШСТЬ
1. Поняття компактност]. Фундаментальну роль в анал!з] вщГ
грае такий факт, вщомий пщ назвою леми Гейне — Бореля:
3 будь-якого покршптя сегмента [a, b] числовой прямо! штервалами
можна вибрати скшченне тдпокриття.
Це твердження буде справедливым,. якщо зам!сть штервал!в роз-
глядати будь-як! вщкрит! множини: з усякого в1дкритого покриття
сегмента [а, b ] можна eudimunu скшченне тдпокриття.
На основ! ц!е'1 властивост! сегмента числово! прямо!’, введемо
таке важливе поняття:
Означения, Тополопчний npocrip Т називаеться компактним,
якщо будь-яке його вщкрите покриття мае ск i н ч е н н е п ! д п о -
к р и т т я.
Компактний тополопчний npocrip, який задовольняе аксюму
вщд!льност! Хаусдорфа, називаеться компактом.
Як побачимо нижче, властив!сть компактност! поряд з сегментами
мають yci замкнут! обмежен! шдмножини евклщового простору будь-
яко!’ скшченно! розм!рност!. Навпаки, пряма, площина, тривим!рний
npocrip е найпросНнп приклади некомпактних npocropiB.
Назвемо деяку систему пщмножин {Л} множини Т центрованою,
п
якщо будь-який скшченний перетин (] Л£ члешв ще! системи непо-
г=1
рожшй. 1з сформульованого означения компактност! i сшввщношень
дво!’стост1 випливае така теорема:
Теорема 1. Для того, щоб тополог1чний npocmip Т бу в компактним,
необх1дно I достатньо, щоб в1н задовольняе умову:
(R.) кожна центрована система його замкнутих шдмножин мае
непорожнШ перетин.
Справд!, нехай {Fa} — центрована система замкнутих пщмножин
у Т i нехай Т компактний. Множини Ga = Т \ Fa вщкрит!, причо-
п
му з того факту, що шякий скшченний перетин Л Ft не порожнш,
1—1
випливае, що жодна скшченна система множин G£ = Т \ Ft не по-
кривае весь Т. Але тод! i вс! Ga не утворюють покриття (компакт-
н!сть!), а це означае, що ЛЛх Ф 0. Отже, якщо Т компактний, то
в ньому умова (К) виконана. Навпаки, нехай Т задовольняе умову
(7?) i (Ga} — вщкрите покриття простору Т. Припустивши, що Fa =
— Т \ Ga, дютанемо, що ЛЛх = 0, звщки випливае (умова (/?)), що
система {Га} не може бути центрованою, тобто юнують так! Flt ..., F,„
п
що Л Ft = 0- Але тод! вщповщн! G£ = Т \ Ц-утворюють скшченне
z=i
тдпокриття покриття {Ga}. Отже, умова (7?) р!вносильна компактност!.
Установимо деяк! основн! властивост! компактних простор!в.
Теорема 2. Дкщо Т — компактний npocmip, то кожна його не-
скшченна шдмножина мае хоча б одну граничну точку.
Доведения. Якщо Т м!стить пескшченну множину X, що
не мае жодно! гранично! точки, то в шй можна взяти зл!ченну множину,
Xi = (%х, х2, . . . ),
яка також не мае жодно! гранично! точки. Але тод! множини
А’,г = ,(xn, ...)
утворюють центровану систему замкнутих множин у Т, що мае по-
рожшй перетин, т’обто Т некомпактний.
Теорема 3. Замкнута тдмножина компактного простору ком-
пактна.
Доведения. Нехай F — замкнута шдмножина компактного
простору Т ! [Да]— довiльна центрована система замкнутих пщмножин
шдпростору F с.Т. Тод! кожна Fa замкнута i в Т, тобто {Fa}— цен-
трована система замкнутих множин у Т. Отже, И #= 0- Внаслщок
теореми 1, звщси випливае компактшсть F.
Осюльки шдпроспр хаусдорфового простору сам хаусдорфовий,
то маемо:
Н а с л i д о к. Замкнута п1дмножина компакту е компакт.
Теорема 4. Компакт замкнутий у будь-якому хаусдорфовому
npocmopi, який його Micmumb.
Доведения. Нехай X — компактна множина в хаусдорфо-
вому простор) Т i нехай у$ К- Тод! для будь-яко'! точки х Q К ic-
нують оюл U \ точки х i ок!л V х точки у так!, що
ЭЯЯ=0.
Околи U х утворюють вщкрите покриття множини К- Внаслщок ком-
пактност! К, з не!’ можна вщцлити скшченне шдпокриття UXl, Ux,,
..., Uxn. Припустимо, що
V = vXl n vX2 n ... 0 vX/i.
Тод! V — okui точки у, який не перетинаеться з UXl U UX1 [J ..,
••• U U*n К- Отже, у ft [Д'] i отже, К замкнута.
Теорему доведено.
Теореми 3 ! 4 показують, що в клас! хаусдорЛових простор!в ком-
пактшсть е внутр[шня властивють простору, тобто всякий компакт
залишаеться компактом, в який би ширший хаусдорфовий npocrip ми
його не включали.
Теорема 5. Усякий компакт— це нормалъний npocmip.
Доведения. Нехай X i Y — дв! неперетинш замкнут! пщ-
множини компакту К- Повторивши м!ркування, проведен! в доведенш
попередньо! теореми, легко вгевнитися в тому, що для кожно!’ точки
у g Y юнують такий Г! ок!л Uy i така ьщкрита множина 0у щ> X,
ЩО Uu f~| 0у = 0. Тим самим доведено, що всякий компакт регуляр-
ний. Нехай тепер у пробшае множину Y. В!зьмемо з покриття {Uy}
множини Y скшченне шдпокриття Uyi, Uyn. Тод! вщкрит! мно-
жини
о(1) = оУ1 П ... п 0Уп i о(2) = иУ1 и • • • и Uyn
задовольнятимуть умови
0(1) X, О(2) =э Y i 0(1) П 0(2) t* 0,
а не й означае нормальшсть.
2. Неперервн! вщображення компактних просторов. Неперервн!
вщображення компактних простор!в, зокрема компакпв, мають
ряд щкавих i важливих зластивостей.
Теорема 6. Неперервний образ компактного простору в компак-
тний npocmip.
Доведения. Нехай X — компактний проспр i f — його не-
перервне вОображення в тополопчний проспр У. Розтлянемо яке-
небудь покриття {Уа} образу f (X) вщкритими в f (X) множинами.
Припустимо, що Uа — (Уа). Множини Ua вщкрит! (як преобра-
зи вщкритих множин при неперервному вщображенн!) i утворюють
покриття простору X. 3 нього покриття можна взяти, на шдстав!
компактност! X, скшченне пщпокриття Ult U2, ..., Un. Тод! множини
Vj, V2, .... Ул, де У; = f (U(), покривають увесь образ f (X) просто-
ру *
Т ео рем а 7. Взаемно однозначне i неперервне вёдобпаження ф ком-
пакта X в хаусдорфовий npocmip У е гомеомопфёзм.
Доведения. Треба показати, що з умов теореми випливае
неперервшеть оберненого^ вщображення ф~ , Нехай F — замкнута
множина в X i Р = q> (F) — и образ в У. На шдстав! попередньо!
теореми Р — компакт !, отже, Р — замкнутий в У. Отже, прообраз
при вщображенн! ф-1 всяко'! замкнуто! множини F ei X замкнутий.
А це й означае неперервшеть вщображення ф-1.
3. Неперелвш i нашвнеперервн! функцп на компактних просторах.
У поперщньому пункт! мова йшла про неперервн! вщображення ком-
пакта в хаусдорфовий проспр. Окремим випадком таких вщображень
е вщображення компакпв у числову пряму, тобто числов! функци
на компактах. Для таких функщй збершаються основш властивосп фун-
кщй на в!др!зку, вщом! з анал!зу.
Теорема 8. Нехай Т — компактний npocmip if— неперервна на
ньому функщя. Todi f обмежена на Т ё досягав на Т верхньо'ё ё нижньо'ё
граней.
Доведения. Непереовна функц!я е непепервне вщображення
Т в числову пряму R1. Образ Т в R1 внаслщок загально'! теореми 6
компактний. Але, як читачев! вщомо з курсу анал!зу (див. також
п. 2, § 7), компактна шдмножина числово! прямо! замкнута i обмежена
й тому не пльки мае скшченш верхню ! нижню гран!, а й м!стить
ц! гран!. Теорему доведено.
В п р а е а. Нехай К — компактний метричний проспр i А — таке вщображення
К в себе, що р (Ах, Ау) < р (х, у) при х у. Довести, що вщображення А мае в
К едину нерухому точку.
Твердження останньо! теореми допускають уэагальнення i на
б!льш широкий клас функцп, а саме, на так зван! нашвнеперервн!
функцп.
Функщя f (л) називаеться натвнеперервною внизу (зверху) у точц!
х0, якщо для будь якого е > 0 !снуе такий ок!л точки х0, в якому
f (х) > f (х0) — е (вщповщно, f (х) < / (х0) + е).
Наприклад, функщя «шла частика вщ х», f (х) = Е (х) нашвпе-
рервна зверху. Якщо збшыпити (зменшити) значения f (х0) неперерв-
но1 функци в якш-небудь одшй точш х0, то ми д!станемо нашвнепе-
рервну зверху (знизу) функцно. Якщо f (х) нашвнеперервна зверху,
То'—f (х) нашвнеперервна знизу. Ц1 два зауваження дають можли-
BicTn вщразу побудувати велику юльшсть приклад1‘в нашвнеперерв-
них функщй.
При вивченш властивостей нашвнеперер вност! дшених функцш
зручно допускати для них нескшченш значения. Якщо f (х8) = — со,
то функцго f вважатимемо нашвнеперервною знизу в точш х0; якщо ж
для будь-якого h > 0 е ошл точки х,„ в якому f (х) < — h, то вважа-
тимемо, що функщя f нашвнеперервна i зверху в точш х0.
Якщо f (х0) = +°о, то функщю f вважатимемо нашвне-
перервною зверху в х0; якщо ж для будь-якого й >0 е ошл точки
х0, в якому f (х) > h, то вважатимемо, що функщя f нашвнеперервна
i знизу в точщ х0.
Нехай f (х) — д!йсна функщя на метричному простор! R. Верх-
ньою границею f (х0) функци f (х) в точщ х0 називаеться величина
(скшченна або нескшченна) lim [ sup их)]. Нижня границя f (х0)
е->-0 х.С_Б (х0,е)
означаеться аналопчно з замшою верхньо! гран! на нижню. Р1зни-
ця со/ (х0) = f (х0)— f (х0) (якщо вона мае смисл, тобто якщо числа
f (х0) i f (х0) не дор!внюють нескшченност! одного знака) називаеть-
ся поливаниям функци f (х) в точщ х0. Легко побачити, що для не-
перервност! f (х) в точщ х0, необх!дно ! достатньо, щоб со/ (х0) = 0,
тобто щоб — оо < f (х0) = f (х0) <’ оо.
Для будь-яко! функци f (х), задано’! на метричному простор!,
функщя J (х) нашвнеперервна зверху, а функщя f (х) нашвнеперервна
знизу. Це легко випливае з означения верхньо! i нижньо! граничь-
Розглянемо метричний npocrip М, елементами х якого е вс! дшсш
обмежен! функци ф (/), задан! на сегмент! [а, Ь]. Метрику в М задамо
р!вн ictjo
р(х, у) = р(ф, Ф) = SU]' I ф (!) — ф (!) |.
a^t^b
Функци на М називатимемо функционалами, щоб в!др!знити !х в!д
функщй ф (!) — елеменпв М.
' Розглянемо один важливий приклад нашвнеперервного функцю-
налу.
Означимо довжину криво! у — f (х) (о < х &), як функцюнал
^-а (f) = sup 2 У^Х£ — Х£-!)2 + (f (xt.) — f ®-l))2 ,
1 = 1
де верхня грань (яка може дор!внювати +оо) береться по всмяких
розбиттях сегмента [а, Ь]. Цей функцюнал визначений на всьому
простор! М. Для непеоервних функцш вш збшаеться !з значениям
границ!
lim 2 / (х, — Xf-j)2 + (f (х) — f (л-i))2 .
max | Xf-x^ | ->-0 г=1
Нарешт!, для функцш з неперервцою похщною його можна записати
у вигляд!
j V 1 + f'2 (х) dx.
а
Функцюнал Lba (f) нашвнеперервний знизу в М, що легко випли-
вае з його означения.
На нашвнеперервн! функцп узагальнюеться розглянута вище тео-
рема.
Теорема 8а. Нашвнеперервна знизу (зверху) скшченна функщя
на компактному T\-npocmopi Т обмежена знизу (зверху).
Справд!, припустимо, що inff(x) = —оо. Тод! !снуе така послцюв-
н!сть {х„}, що f (хп) — п. Осюльки npocrip Т компактний, то його
нескшченна шдмножина {хД мае (за теоремою 2) хоча б одну граничну
точку х0. За припущенням, функщя f скшченна i нашвнеперервна
знизу; тому знайдеться такий оюл U точки х0, що f (х) > f (х0) — 1
при х g U. Але тод! ок!л U може м!стити лише скшченне число точок
множини {х„}, а це суперечить тому, що точка х0 — гранична для
Bcie’i множини
Аналопчно доводиться теорема i для- випадку нашвнеперервно!
зверху функци.
Теорема 86. Нашвнеперервна знизу (зверху) скшченна функщя
на компактному T^npocmopi Т досягав свое! нижньо! (верхним) гран!.
Нехай функщя f (х) нашвнеперервна знизу. Тод! за теорцмою
8а вона мае скшченну нижню грань, i 1снуе така послщовшсть (хД,
що f (х?) < inf f (х) + 1/п.
Осюльки Т компактний, то множина {хД мае граничну точку х0.
Якби було f (х0) > inf f, то внаслщок нашвнеперервносг! функцп
f знизу, знайшовся б такий оюл U точки х0 i таке б > 0, що / (х) >
> inf f + б при х g U. Але тод! оюл U не Mir би м!стити жодно!
несюнченно! шдмножини множини {хД. Отже, f (х0) = inf /, що й
треба було довести.
4. Зл!ченна компактшсть. Введемо таке означения:
Означения, npocrip Т називаеться змченно-компактним, якщо
кожна цого нескшченна шдмножина мае хоча б одну граничну точку.
Доведена в п. 1 теорема 2 означав, що всякий компактний npocrip
зл!ченно-компактний. Обернене твердження, взагал! кажучи, непра-
вильно. Ось «традищйний» приклад зл!ченно-компактного, але не ком-
пактного простору. Гозглялемо множину X ycix порядкових чисел а,
менших вщ першого незл!ченного порядкового числа (ot. Назвемо
1нтервалом (а, 0) в X сукупшсть ycix порядкових чисел у,
як! задовольняють нер!вност! а < у •< В. Вщкритою множиною в X
назвемо об’еднання довольного числа !нтервал!в. Легко перев!рити,
що побудований простор зл!ченно-компактний, але не компактний.
Сшввщношення м!ж поняттями компактност! i зл!ченно!‘ компакт-
ност! стае зрозум!лим з тако! теореми:
Теорема 9. Для того, щоб тополопчний npocmip був зл1ченно-
компактний, необх1дна I достатня будь-яка з таких двох умов:
1) кожне зл1ченне в1дкрите покриття простору Т Micmumb скш-
ченне шдпокриття;
2) кожна зл1ченно центрована система замкнутих множин в Т мае
нетрожнш перетин.
Доведения. Р!вносильн!сть умов 1) i 2) безпосередньо випли-
вае !з сшввщношень двоктост!. Дал!, якщо Т незл!ченно компактний,
то, повторивши м!ркування, проведен! при доведенн! теореми 2, ми
дктанемо, що в Т !снуе зл!ченна центрована система замкнутих мно-
жин з порожним перетином. Тим самим достатшсть умови 2) (а отже
i 1)) доведено. Доведемо необхщшсть умови 2). Нехай Т зл!ченно-ком-
пактний i {Fn} — зл!ченна центрована система замкнутих множин
у Т. Покажемо, що И Fn Ф 0. Нехай
п 4
ф„ = П Fk.
*=i
Зрозунпло, що вс! Ф„ замкнут!, не порожн! (внаслщок центрованост!
{Fn}) i утворюють незростаючу систему
Oj Ф2 .. . ,
i що
П Ф„ = П Fn.
п п
Можлив! два випадки:
1) починаючи з деякого номера па
Фп„ = Ф«о+1 = . .. ,
тод!. очевидно, f) Ф„ = Ф„о =/= 0;
п
2) серед Ф„ е нескшченнр багато попарно р!зних. При цьому до-
сить розглянути випадок, коли вс! Ф„ р!знi м!ж собою. Нехай
хп € \ Фп-н •
Послщовшсть {хп} — це нескшченна множина р!зних точок з Г;
на шдстав! зл!ченно! компактност! Т, вона повинна мати хоча б одну
граничну точку, скаж!мо, х0. Осшльки Ф„ мктить yci точки хп, xn+i,
.... то ха— гранична точка для Фп ! внаслщок замкнутост! Фп, х0 £
С Ф„. Отже, П ФД х0, тобто Л Ф„ 0
п п
Таким чином, i компакта! ! зл!ченно-компактш простори характе-
ризуються «поведшкою» сво!х вщкритих покритп’в. I в першому, i
в другому випадку э вщкритого покриття можна виОргти скшченне,
але в першому випадку мова йде про будь-як! покриття, а в другому —
лише про зл!ченш.
Хоч у загальному випадку з зл!ченно! компактност! компактшсть
не випливае, справджуеться такий факт:
Теорема 10. Для npocmopie 1з злаченною базою поняття компакт-
ности i зл!ченнб! компактност! зб1гаються.
Справд!, з будь-якого вщкритого покриття простору Т, що мае
зл!ченну базу, можна взяти зл!ченне тдпокриття (теорема 5, § 5).
Якщо Т до того ж i зл!ченно-компактна, то з цього останнього можна
на шдстав! попередньо! теореми вибрати скшченне тдпокриття. Тим
самим установлюемо, що Т компактне.
Зауваження. Поняття зл!ченно! компактност! тополопчного простору
виявилось насправд! (на противагу компактност!) не дуже вдалим i природным.
Воно виникло так би мовити «з шершТ». Справа в тому, що для метричних простор!з
(як i для простор!в is зл!ченною базою), ц! два поняття зб!гаються (це буде показано
в наступному параграф!). При цьому для метричних простор!в поняття компакт-
ной! було спочатку подано саме як наявшсть у кожноТ нескшченно! тдмножини гра-
нично! точки, тобто як означения зл!ченпо! компактност!. «Автоматичне» перенесен
ня цього означения з метричного випадку на тополопчний i привело до поняття
зл!ченно-компактного тополопчного простору. 1нод! в л!тератур!, особливо б!лып ста-
р!й, терм!н «компактшсть» розум!ють як «зл!ченна компактшсть», а тополопчний
npocrip, компактный у наций термшологп, тобто такий, з кожного вщкритого покриг-
тя якого можна вид!лити скшченне тдпокриття, називають бйюмпактним. При
цьому компактний хаусдорфовий npocrip (тобто компакт) називають бикомпактом,
а термш «компакт» резервуеться для позначення метричного компактного
простору. Ми дотримуватимемося тих терм!шв (компактшсть, зл!ченна компактшсть),
як! введен! вище; при цьому ми! компактн! метричш простори також нази-
ватимемо компактами, а тод!, коли наявшсть метрики бажано спец!ально
тдкреслити,— «метричними компактами».
5. Передкомпактж множини. Якщо множина М, що лежить у дея-
кому хаусдорфовому noocropi Т, не замкнута в Т, то 7И не може бути
компактна. Наприклад, жодна з незамкнутих пщмножин числово!
прямо! не е компактом. Однак може виявитися, що замикання [М] та-
ко! множини М в Т вже мае властив!сть компактност!. Наприклад,
ню умову задовольняе будь-яка обмежена шдмножина
на числовш прямш або в п-вим!рному ппостор!. Зведемо таке
означения:
Означения. Множина М, що лежить у деякому тополопчному
простор! Т, називаеться передкомпактною (або компактною в1дносно Т),
якщо и замикання в Т компактне. Аналопчно, М називають зл!ченно-
передкомпактною в Т, якщо всяка нескшченна шдмножина А <= М
мае хоча б одну граничну точку (яка може належати, але може ! не на-
лежати /И).
Поняття передкомпактност! (на в!дм!ну вщ компактност!) пов’язане,
очевидно, з тим простором Т, в якому ми цю множину розглядаемо.
Наприклад, множина ращональних точок в штервал! (О, 1) передком-
пактна, якщо !! розглядати як шдмножину числово! поямо!, але вона
не буде передкомпактною як шдмножина простору вс!х ращональних
чисел.
Поняття передкомпактност! нашстотшше у випадку метричних
просторов, про який йтиме мова в наступному параграф!.
§ 7. КОМПАКТН1СТЬ У МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ
1. Повна обмежешсть. ОжТльки метричн! простори е окремим
випадком тополопчних, то на них пошиоюються т! означения i факти,
як! були викладен! в попередньому параграф!. У метричному випадку
компактнють т!сно пов’язана з поняттям п о в н о i обмеженос-
т яку ми зараз введемо.
Нехай /И — деяка множина в метричному простор! R i в — деяке
додатне число. Множина А з R називаеться ъ-сйпкою для М, якщо
для будь-яко!' точки х £ Л1 знайдеться хоча б одна точка a g А,
така, що
р (х, а) < в.
(Множина А не обов’язково повинна м!ститися в М, вона може нав!ть
не мати^з М жодноТ сшльноТ точки, однак, маючи для М деяку 8-с!тку
.4, можна побудувати 2в-с!тку В ст М).
Наприклад, щлочисельн! точки утворюють на площин! -с!тку.
Множина/И називаетьсящлкомобмеженою,якщо для не! прибудь-якому
е > 0 !снуе ск !нченна в-сйка. Зрозум!ло, що'шлком обмежена
множина обов’язково обмежена, як сума скшченного числа обмеже-
них множин. Обернене твердження, взагал! кажучи, неправильне,
як показуе наведений нижче приклад 2.
Часто бувае корисне таке очевидне зауваження: якщо множина
М щлком обмежена, mo it замикання [М ] також щлком обмежене.
3 означения повно! обмёженост! вщразу випливае, що коли мет-
ричний npocmip R щлком обмежений, то в1н сепар абельний. Справд!,
побудуемо для кожного п в R скшченну — -ш’тку. 1х сума за вс!ма п
е зл!ченною скр!зь пильною в R множиною Осшльки сепарабельний
метричний прост!р мае зл!ченну базу (теорема 4, § 5), то дгстаемо, що
всякий щлком обмежений метричний npocmip мае зл1ченну базу.
Приклади. 1. В я-вим!рному евклщовому простор! повна
обмежешсть зб!гаеться i з звичайноюобмежен!с-
т ю, тобто з можлив!стю заключите дану множину в досить великий
куб. Справд!, якщо такий куб розбити на кубики з ребром е, то вер-
_ . . У п
шини цих кубик1в утворюватимуть скшченну— е-атку у вихщному
куб!, а отже, i погот!в в будь-якш множин!, що лежите в середин!
цього куба.
2. Одинична сфера S в просторь/2 дае приклад обмежено'!, але не
шлком обмежено!' множини. Справд!, розглянемо в S точки виду
е± = (1, О, О, У. , О, 0, . . . ),
е2 = (0, 1, 0, ... , 0, 0, ...),
еп = (0, 0, 0,
• • , 1, 0, ...),
Вщстань М1Ж будь-якими двома такими точками еп i em (п =/= m)
дор!внюе |/2. Звщси видно, що з S не може бути скшченно! е-с!тки
при жодному В <; J/2/2.
3. Розглянемо в /2 множину П точок
х = (лу, х2, .. . , хп,
як! задовольняють умовам:
’ кк•••
Цю множину називають основным паралелетпедом («пльбертовою
цеглиною») простору /2. Вона е прикладом неск!нченно-вим1рно!
ц!лком обмежено! множини. Для доведения I! повно! обмеженосп
зробимо так.
Нехай 8 > 0 задане. В1зьмемо п так, щоб 1/2'1-1 < s/2. Кожшй
тонн!
х== (ху, х2, ... , хп, . . . ) (1)
з П з{ставимо точку
х* = (х1( х2, ... , х„, 0, 0, ... ) (2)
з Tie! само? множини. При цьому
Р(х, х*) = ‘[/г 2 •
k—n
Множина П* точок виду (2) з П шлком обмежена (як обмежена множи-
на в п-вшупрному простор!). В1зьмемо в П* скшченну -сИку. Зрозу-
м!ло, що вона буде водночас е-Дткою в ycift II.
2. Компактшсть i повна обмежешсть.
Теорема 1. Якщо метричний npocmip R зл1ченно-компактний,
то вш шлком обмежений.
Доведения. Припустимо, що R не шлком обмежений. Це озна-
чае, що при деякому е0 > 0 в R не 1снуе скшченно! е0-с!тки. В1зьмемо
в R довыьну точку Яр В R знайдеться хоча б одна така точка, скаж!мо,
а2, що р (ab а2) > е0 (шакше точка а була б е0-Дткою для R). Дал),
в R знайдеться така точка а3, що
р (ап й3) > 80 i р (а2, а3) > е0,
шакше пара точок at, а2 була б 80-сггкою. Якщо точки alt .... ak вже
фжсоваш, то в)зьмемо точку a^i g R так, що
р (а£, aA+i) > 80, i = 1, 2, ... , k.
Цей npocrip дае нескшченну послщовшсть alt а2, ..., яка немае жод-
iioi гранично! точки, бо р (а£, а7) > 80 при i /. Але тод! R не зл!чен-
ио-компактний, що й треба було довести.
Отже, ми показали, що для метричних простор!в зл!ченна компакт-
шсть обумовлюе повну обмежешсть, яка в свою черту тягне наявшсть
зл1ченно1 бази.
Внаслщок теореми 10, § 6 звщси д!стаемо такий важливий резуль-
тат:
Н а с л i д о к. Усякий з.йченно-компактний метричний npocmip
компактний.
Ми показали, що повна обмежешсть е необхщною умовою компак-
тност! метричного простору. Ця умова не достатня; наприклад,
сукупшсть ращональних точок вщр!зку [0, 1 ] !з ззичайним означен-
иям вщсташ м!ж ними е щлком обмежений, але не компактний прост!р:
послщовшсть точок цього простору
0; 0,4; 0,41; 0,414; 0,4142; .. . ,
тобто послщовшсть десяткових наближень числа ]/2— 1, не мае в ньо-
му гранично!’ точки. Проте справджуеться така теорема:
Теорема 2 Для того, щоб метричний npocmip R був компактом,
необхядно i достатньо, щоб вш був одночасно:
1) щлком обмеженим;
2) повним.
Доведения. Необхщшсть повно'! обмеженост! вже зазнача-
лась. Необхщшсть повноти очевидна: справд!, якщо {х„} — фунда-
ментальна послщовшсть в R, яка не мае границ!, то ця послщовшсть
не мае в R жодно! гранично! точки.
Покажемо тепер, що коли R щлком обмежений ! повний, то вш
компактний. За наслщком з теореми 1, для цього досить показати,
що R зл!ченно-компактний, тобто всяка послщовшсть {хп} точок
з R мае хоча б одну граничну точку,
Побудуемо навколо кожно! з точок, як! утворюють 1-с!тку в R,
замкнуту кулю рад!уса 1. Осюльки щ кул! покривають yci R, а !х
число скшченне, то принайми! одна з них, назвемо 1! Blt м!стить деяку
нескшченну пщпослщовшсть xj”, ..., х^, ... послщовност! (х„).
Дал!, в!зьмемо 1 /2-с!тцу в Bj i навколо кожно! з точок ще! сггки побу-
дуемо замкнуту кулю рад!уса 1/2. Принайми! одна з цих куль, назвемо
п В2, м!стить нескшченну послщовшсть xj2*, ..., х® , ... послщовнос-
т! {х*1’}. Дал!, знайдемо замкнуту кулю В3 з центром у В2 рад!уса
1/4, що мостить нескшченну пщпослщовшсть xf’, ..., х„3) , .... по-
слщовност! (xj ’ ! т. д. Розглянемо тепер порчд з кожною кулею Бп
замкнуту кулю Ап з тим самим центром, але в два рази б!лыпого ра-
д!уса. Легко побачити, що кул! Ап вкладеш одна в одну. Внаслщок
повноти простору R перетин f) Ап не порожнш i складаеться зодше!
/2=1
точки х0. Ця точка — гранична для вихщно! послщовност! {х„}, бо
кожний Г! ок!л м!стить деяку кулю Bk, а отже, i нескшченну пщпосл!-
ЦОВШСТЬ {Хп’} послщовност! {хп}.
3. Передкомпактн! множини в метоичних просторах. Поняття пе-
редкомпактност!, введене нами в попередньому параграф! для шд-
множин* дов!льного тополопчного простору, застосовне, зокрема, до
шдмножин метричного простору. Очевидно, при цьому поняття зл;-
ченноТ передкомпактност! зб!гаеться тут з поняттям передкомпактност!.
Наведемо такий простий, але важливий факт:
Теорема 3. Для того, щоб множина М, яка лежать у говному
метричному npocmopi R, була передкомпактною, необх1дно i достатнъо,
щоб вона була щлком обмеженою.
Доведения вщразу випливае з теореми 2 i того очевидного факту,
що замкнута шдмножина повного метричного простору сама повна.
Значения ц!е!‘ теореми полягае в тому, що, як правило, легше вста-
новити повну обмежешсть т!е¥ або шшо'1 множини, шж безпосередньо
довести и передкомпактн сть. Водночас для застосувань в анал!з!
важлива звичайна передкомпактшсть.
4. Теорема Арцела. Питания про компактшсть Tie! чи !ншэ7 мно-
жини в метричному простор!—досить поширена в анал!з! задача.
Тим часом, спроба безпосередньо застосувати теорему 2 викликае
певн! труднощ!. Тому для множин у конкрстних просторах корисно
дати спещальш критерп компактност! (або передкомпактност!), зруч-
шш! на практик!. - >
В п-вим!рному евклщовому простор! передкомпактшсть множини
р!вносильна, як ми побачили, Ti обмеженост!. Однак для загальшших
метричних простор !в це вже нев!рно.
Одним з найважлив!ших в анал!з1 метричних простор !в е прост!р
С [а, Ь]. Для його шдмножин важливим критер!ем передкомпактност!,
який часто використовуеться, е так звана теорема Арцела.
1Цоб п сформулювати, нам потр!бш будуть так! поняття:
С!м’я Ф функцш ф, визначених на деякому в!др!зку [а, Ь], нази-
ваеться pieaoMipHO обмеженою/якщо icnye таке число К, що
|ф(х)|<Д
для Bcix х g [а, Ы i ьс!х ф | Ф.
С!м’я Ф = {ф} називаеться р1вностетмево неперервною, якщо
для кожного е > 0 знайдеться таке 6 > 0, що
| Ф (%1) — ф (%2) ] <8
для вс!х х, i х2 з [а, й] таких, що р (хъ х2) < б, i для вс!х ф £ Ф.
Теорема 4 (Арцела). Для того, щоб с1м’я неперервних функ-
щй, обмежених на в1др1зку [а, й], була передкомпактною в С [a, й],^
необх1дно i достатнъо, щоб с1м’я була р1вном1рно обмежена i р1вно-
апепенево неперервна.
Доведения. Необх!дн!сть. Нехай с!м’я Ф передком-
пактпа в С [а, й]. Тод! за попередньою теоремою для кожного до-
датного е в с!м”1 Ф 1’снуе скшченна сггка <рь <р2, <pft. Кожна з
функцш ф! як неперервна функщя на в!др!зку, обмежена:
IФ; W I < Kt-
Припустимо, що К = гпахК£ ф- . За означениям - --с!тки для
всяко! <р £ Ф маемо, хоча б для одше!’ ф£)
р (ф, ф£) = шах | ф (х) — фг (х) | < .
X 6
Отже,
I ф w к I ф£ w | + 4 < + 4 < к.
Таким чином, Ф р!вном!рно обмежена.
Дал!, осюльки кожна з функшй ф£, як! утвоцюють -|--с!тку, не-
перервна, а отже, 1 р1вном1рно неперервна на [а, о], то для даного -у
!снуе таке б£, що
I ф! (*i) — Ф/ (*2) | < 4 -
ЯКЩО I Xj — х21 < б£.
Припустимо, що 6 = min6£. Для дов!льно! функци ф £ Ф в!зь-
мемо ф£ так, щоб р (ф, ф£) <Z If- ; тод! при I хг — х21 < 6 матимемо
| Ф (*1) — Ф (х2) | < | ф (Xi) — ф£ (х| I + I ф£ (Xi) — ф£ (Х2) I +
+1Ф/ (х2)—ф (х2) । < 4 + 4 + 4 =е-
Р!вностепеневу неперервшсть Ф також доведено.
Достатн ! сть. Нехай Ф — р!вном!рно обмежена ! р!вносте-
пенева неперервна с!м’я функшй. За теоремою 3 ми встановимо и
передкомпактшсть у С [а, Ь], коли покажемо, що при будь-якому
8 > 0 для не! в С [a, b] !снуе скшченна е-сижа. Нехай
|ф
для Bcix ф g Ф i нехай 6 > 0 узято так, що
|ф (Х1) — ф (х2) |<4 при |Xi —х2|<6
для вс!х ф Е Ф. Роз!б’емо в!др!зок [а, 6] на oci х точками х0 == аг <
< Xi < х2 < ...< хп — b на штервали довжини менше в!д б i прове-
демо через ц! точки вертикалыи прям!. В!др!зок [—К, Ю на ос! у
роз!б’емо точками у0 — — К < z/i < Z/з < •••< Ут = К на пром!жки
в .
завловжки менш як — 1 проведемо через точки под1лу горизонталью
прям!. Отже, прямокутник а<х<б, — К у К роз!б’еться на
ком!рки з горизонтальною стороною, меншою вщ б, i вертикальною
стороною, меншою за Нехай тепер кожнш функци <р g Ф вщповь
дае ламана ф (х) з вершинами в точках (xk, yt), тобто у вузлах побудо-
вано'1 с (тки, i така, що вщхиляеться в точках xk вщ функци ср (х)
менш як на Пснування тако! ламано! очевидно).
Оскмьки за побудовою
|ф(^)— Ф (xft) I .
I ф (х*+1) — Ф (х*+1) I < -|-
i
I ф — ф (w) .
то
IФ (*ft) — Ф (^+1) I < -у- •
Через те що м!ж точками xk i х^\ функщя ф (х) лпийна, то
| ф (хА) — ф (х) | < -у- для Bcix х £ [xk, xft+i].
Нехай тепер х — довмьна точка вщр1зка [a, bl i xk — найближча
до х зл!ва з узятих нами точок подщу. Тод!
| ф (х) — ф (X) I < | ф (х) — ф (хА) I +
+ I Ф — ф (Х*) I + I ф (xft) — Ф (X) | < 8.
Отже, ламаш ф (х) вщносно Ф утворюють 8-с1тку. Число ix очевидно,
скшченне; отже, Ф щлком обмежена. Теорему доведено.
5. Теорема Пеано. Покажемо, як застосовуюгь теорему Арцела на приклад!
тако!' теореми кнувания для звичайних диференц! альних р!внянь з неперервною
правою частиною.
Теорема 5 (Пеано). Нехай дано диферениральне р1вняння
' О)
Я кию функция f неперервна в деяк1й обмеженш замкнупий области G, то через кожну
внутршшю точку (ха, уа) piei области проходить хоча б одна 1нтегральна крива цьо-
го pieHHHHH.
Цоведення. Осшльки функщя f неперервна в обмежешй замкнупй обла-
ет!, то вона обмежена:
I f (х, у) | < М = const.
Проведено через точку (х0, у0) прям! з кутовими коеф!щентами М i — М. Дал!,
проведемо вертикалью прям! х = а i х — b так, щоб два трикутники з сильною вер-
шиною (х0, у0), як! ними вщтинаються, щлком лежали всередин! облает! О. Ця
пара трикутник!в утворюе замкнуту множину Д.
Побудуемо тепер для наведеного р!вняння так зван! ламан1 Ейлера: проведемо
з точки (х0, у0) приму з кутовим коефпшентом f (х0, у0). На шй прямш в!зьмемо дея-
ку точку (Xj, yj ! проведемо через не! пр яму з кутовим коеф!щентом f (xn yt). На щй
прям!й в!зьмемо точку (х2, z/2), проведемо через не! пряму з кутовим коеф!щентом
f (хг, i т. д. Розглянемо тепер послщовшсть ламаних Ейлера L1: L2..........Ln, ....
як! проходять через точку (х0, У,,) i таких, що довжина найб!лыпоТ з ланок л!н!1
Lk прямуе до нуля при k -+ оо. Нехай <pft — функщя, граф!к яко!' е л!шя Lk. Функ-
щ!' Ри Фз> •••• Фь ••• мають так! властивост!'
1) вони визначеш на тому самому в!др!зку [а, &];'
2) вони piBHOMipHO обмеженг
3) вони р!вностепенево неперервш.
На п!дстав! теореми Арцела з послщовност! pq'V можна взяти р!вном!рно зб!жну
послщовшсть. Нехай це буде шдпослщовшстьxp(1), о>(2', ..., ...
Припустимо, що q> (х) = lim <р(/г) (х) при k -> со. ?розум!ло, що Ф (х0) = у0
Залишаетося перев!рити, що ф задовольняе на в!др!зку [а, &] дане диференщальне
р!вняння. Для цього треба показати, що для будь-якого е > О
Ф (х") — ф (х') ,, , " , ,
——-----------------f(x . ф(х')) <е,
якщо т!льки величина \х" — х' | досить мала. Для доведения цього в свою черту
треба встановити, що при досить великих k
| - f (X', (X')) | < 8,
якщо Дльки р!зниця ха I— х' досить мала.
Осюльки f неперервна в облает! G, то для будь-якого & > 0 знайдеться таке
»] > 0. що
f (х', У') — е < f (х, у) < f (х', у’) + е (у’ = ф (х'))
при
|х —х'|<2т] i | у — у’ | < 4/14г|.
Сукупшсть точок (х, у) £ G, як! задовольняють щ дв! нер!вност!, е деякий пря-
мокутник Q Нехай тепер /С таке :елике, що для вс!х k > К
| ф (х) — ф(6) (х) | < 4г|
! вс! ланки ламано! Lk мають довжину, меншу вщ т]. Тод! при | х — х' | < 2т] ус!
ламан! Ейлера ф№), для яких k > К, шлком лежать всередиш Q.
Дал!, нехай (а0, &0), (ах, &х), .... (en_|_p — вершини ламано!’ L^, причому
__ ай < х' < aj < д3 < • • < ап < х" < ап+1
(ми для визначеност! вважаемо х® > х'; аналопчно розглядаемо випадок х® < х').
Тод! для вщповщноТ функци ф(й) маемо:
Ф(А) Ю — Ф(/г) (*') = f («о. Ьо) (<?! — х'),
Ф(А) (at-+1) — Ф(А) (^) = f (ас, b[) (af+1 — а{), i = 1, 2, . . . , п. — 1,
фЗ (х") — ф(/г) Ж = f {.ап, Ьп) (х" — ап).
Звщси при | х“ — х' | < Г] д!стаемо
[/ У') — е] («1 — х') < ф(/г) (ах) — Ф(А) (х') < [f (х', у') + е] (ах — х').
[/ (х', у') — s] (аг+1 — сц) < ф(/г) (af+)) — ф(й) (аг) <
<[f(x',/) + е](аг+1— at)-, i=\.........n —1,
If (x', У') — s] (x" — an) < ф(6) (x") — ф(/г) (an) < [f (x't у') + в] (x" — an).
Додаючи ui нер!вност!, знаходимо
If (x', y') — e] (x" — x') < ф(/г) (x") -г ф(/г) (x') < [f (x', y') + e] (x® — x')(
що й треба було довести.
Piaui тдпослщовносп ламаних Ейлера можуть зб1гатися до р1зннх розв’язюв
р1вняння (3). Тому розв’язок р!вняння у' = f (х, у), що проходить через точку (х0> уй)
взагал! кажучи не единий.
6. PieHOMipHa неперервш'сть. Неперервн! воображения метричних
компа:тв. Для вщображень метричного простору в метричний прос-
Tip, зокрема, для числових функщй на метричних просторах, поряд
з поняттям неперервност! важливе значения для анал!зу мае поняття
piBHOMipHo'f неперервност!: вОображення F метричного простору X
в метричний прэст!р Y називаеться р1вном1рно неперервним, якщо
для кожного е > 0 знайдеться таке 6 > 0, що р2 (F (хх), F (х2)) < е
як тОьки pi (хх, х2) < 6 (тут р-— вщстань з X, а р2 — вщстань в У),
причому 6 залежить лише вщ 8, але не вщ хх ! х2.
В п р а в а. Показати, що числова функщя F (х) = sup х (.Q р!вном!рно непе-
a<t<b
рервна на простор! С [а, 6].
Для неперервних вщображенн метричних компакт!в справджу-
еться така теорема, яка узагальнюе добре вщому з елементарного курсу
ацал!зу теорему про неперервн! функцп на в!др!зку:
Теорема 6. Неперервне воображения метричного компакта в
метричний npocmip р1вном1рно неперервне.
Доведения. Нехай вОображення F метричного компакта
К в метричний прост!р М неперервне, але не р!вном!рно неперервне.
Це означае, що для деякого е > 0 i кожного натурального п знайдуться
в К так! точки хп i хп, що
Pi О,г, х'п) < i водночас р2 (F (х,г), F (х„)) > 8
(рх— вщстань в X, р-2 — вщстань в АГ). 3 послщовност! {х„} внасл!-
док компактност! К можна взяти пщпослщовшсть {хп }, яка збшаеться
до деяко'Г точки х £ А. Тод-i i {х„А} збшаеться до х; але при цьому
для кожного k повинна бути виконана хоча б одна з нер!вностей
р2 Л И, F (x,lft)) > , р2 (F (х), F (Щ) - ,
що суперечить неперервност! вщображення F в точц! х.
7. Узагальнена теорема Арцела. Нехай X I Y — два метричн!
компакта ! нехай Cxy —- множина вс!х неперервних вщображенн f
компакта А' в Y. Введемо в Cxy вщстань за допомогою формули
P (A g) = sup р (f (х), g (х)).
xQX
Легко перев!рити, що таким способом Cxy перетворюеться в мет-
ричний npocrip.
Теорема 7 (узагальнена теорема Арцела). Для
передкомпактност^ множини D сп Cxy необх1дно i достатнъо^ щоб
функци f, як1 входять в D, були р1вном1рно неперервнС
Останне означае, що тля будь-якого е > 0 повинно юнувати таке
б > 0, що з
р (х', х") < б (4)
випливае
р(7и'), 7(х"))<е, (5)
як! б не були /з D i х Ч х" з X.
Доведения. Необхщшсть доводять так само, як i в теорем!
4. Доведемо достатшсть. Для цього вм!стимо Cxy у npocrip Mxy yeix
вщображень компакта X в компакт Y з т!ею самою метрикою
р(7. g) = supp(7(x), g W),
яку було введено в Cxy, i доведемо передкомпактшсть множини D
в Mxy- Осюльки Сху замкнуте в Мху1, то з передкомпактност! множини
D в Мху випливае и передкомпактшсть у Cxy--
Задамо е > 0 дов!льно i в!зьмемо б так, щоб з (4) випливало (5)
для Bcix f з D i Bcix x', x" з X. Легко побачити, що X можна подати
як суму скшченного числа неперетинних множин Et таких, що з х',
х' g Ej випливае р (х', х") < б. Справд!, для цього досить узяти
, б . v .
точки х1; х2, ..., х„так, щоО вони утворили -у-с1тку в X 1 припустити,
наприклад,
Е( = в[х(, -^\UB[xh А),
де В 1х0 -у’— куля рад1уса у з центром х{.
Розглянемо тепер у компакт! Y деяку скшченну Е-с!тку ylt у2,
..., ym, i нехай L — сукупшсть функщй g (х), як! набувають на мно-
жинах Ei значень у,. Число таких функщй, очевидно, скшченне.
Покажемо, що вони утворюють 2е с!тку вщносно D в Mxy- Справд!,
нехай f £ D. Для усяко! точки хг з хх, хп знайдеться така точка
У) з z/i, у..., ут, що
Р(7(^)> 2//)<е.
Нехай функщю g g L узято так, що g (xt) — у,. Тод!
Р (7 (*), g W) < Р (7 (х), 7 (*/)) + Р (7 (xz), g (х^) +
+ P(£(xz). EW)<2e,
якщо i узято так, що x g Et.
Звщси випливае, що скшченна множина Ь справд! е 2е-с!тка для
D I, отже, D передкомпактне в Мху, а отже, i в Сху,
1 Осыльки границя р!вном!рно зб!жноТ послщовност!-неперервних вщображень
е також неперервне вщображення. Це твепдження е безпосередюм узагальненням
вщомо! теореми анал!зу; його доводять так само як i цю теорему.
§ 8. НЕПЕРЕРВН1 КРИВ1 В МЕТРИЧНИХ ПРОСТОРАХ1
Нехай задано неперервне воображения
Р = ГУ)
в!др1зка а С t < в метричшй проспр R. Коли t «проб!гае» в!др1зок в!д а до Ь, то
в1дпов1дна точка Р «проб!гае» деяку «неперервну криву» в простор! R. Нам треба
дата точи означения, пов’язан! з викладеною тдеею. Порядок, в якому проходиться
точки криво! i'cTOTHi. Ту саму множину, зображену на рис. 12, яку проходить у на-
прямах, позначених на рис. 13 i 14, ми вважатимемо р i з н и м и кривими. Як дру-
Рис. 12 Рис. 13 Рис. 14
гий приклад розглянемо дтасну функщю, визначену на в!др1зку [0, 1], яка зображена
на рис. 15. Вона означае «криву», розм! щепу па в!др!зку [0,1] oci у, в!дм!нну в!д
цього в!др!зка, одноразово пройденого в!д точки 0 до точки 1, бо в!др1зок [А, В]
проходиться трич! (дв!ч! вгору i один раз униз).
Проте при однаковому порядку проходження точок простору ви-
6ip «параметра» t ми вважатимемо не!стотним. Наприклад, функцп, зображен! на
рис. 15 i 16, визначають ту саму «криву», розмвдену на oci у, хоч значения пара-
метра /, як! в!дпов!дають якта-небудь точщ криво:, у випадках рис. 15 1 16 можуть
бути р!зними. Наприклад, у випадку рис. 15 точщ А вщповщають на oci t дв! ;зо-
льоваш точки, а у випадку рис. 16 — одна 1зольована точка i в!др!зок, що лежить
на шй npaBiuie (коли t npo6irae цей в!др!зок, точка на криви! лишаеться на м!сц1).
Рис. 15 Рис. 16
(Допускати так! в!др!зки нерухомост! точки Р = f (f) буде зручно дал! при досл!-
дженн! компактност! систем кривих).
Перейдемо до формальних означень. Дв! неперервн! функци >.
Р = i P = m,
як! визначеш в!дпов!дно на в!др!зках
а' < t' < b' i а" < < Ь"
i набирають значения в метричному простор! R, назвемо екв1валентними, якщо
кнують дв! неперервн! неспадш функцп
t' = <р' (!) i Я = ф" (!),
як! визначеш на деякому в!др!зку
___________ а < t < b
1 Цей параграф не пов’язаний з дальшим викладом. При бажанш читач може
його опустити.
i мають властивост!
ф' (а) = а', ф' (Ь) = Ь',
Ф" (а) = а", ф" (6) = 6",
Иф' (01= ИГ (01
для bcix t £ [a, д].
Легко побачити, що так введене вщношенн" екв!валентиост! рефлексивне (J
екв!валентна /), симетричне (якщо f екв!валентна .то /" екв!валентна f). Можна
показати, що воно ! транзитивне (з екв!валентност! f i f i екз1 валентност! i
f" випливае екв!валентн!сть f i /'")• Тому yci неперервш функцп розглядуваного
типу розбивають на класи функщй, екв!валентних м!ж собою. Кожний такий клас
i визначае неперервну криву у простор! R.
Для будь-яко! функци Р — f'(t'), визначено? на якомусь в!др!зку [а', д'], знай-
деться екв!валентна 1й функщя, визначена на в!др!зку [а", д"] = [0, 1]. Справд!,
досить припустити И що
V = ф' (!) = (6' — a') t + a', f = ф" (!) = (.
Отже, можна припускати, що всяка крива задана параметрично за допомогою функ-
uii, визначено! на в!др!зку [0, 1 ].
Тому дощльно ввести в розгляд npocrip С7 неперервних вщображень f в!др!зка
I = [0,1] у npocrip R з метрикою
е (/> g) = sup р (/ (о g (t)).
Вважатимемо, що послщовшсть кривих Lt, L2, ..., Ln, ... зб!гаеться до криво'!
L, якщо крив! Ln можна параметрично подати у вигляд!
P = fn(t), 0<!<1,
а криву I. — у вигляд!
Р = 0<!<1,
так що р (/, fn) -> 0 при п -> со.
Застосовуючи узагальнену теорему Арцела (теорему 7, § 7), легко довести таку
теорему:
Теорема 1. Якщо посл1довн1сть кривих Я, Ь2,..., Ln, ..., як! лежать у компакт!
К, можна подати параметрично за допомогою р!вностепенево неперервних функций
на в!др!зку [0,1], то з не! можна видиити зб1жну п1дпосл!довн!сть.
Визначимо тепер довжину криво’!, задано! параметрично функщею
Р = f (!), а < I < о,
як верхню грань сум виду
3 Р (/ «ц), f (М),
i=i
де точки ti задовольняють лише умовам
Ц = !() !’ -С] • * ii tn = д.
Легко побачити, що довжина криво! не залежить в!д вибору !! параметричного
подання. Якщо обмсжитись параметричними поданнями за допомогою функщй,
заданих на в!др!зку [0,1], то легко довести, що довжина криво! е наш внеперервний
знизу функщонал в!д f (у простор! Ct R). Геометричною мовою цей результат можна
сформулювати у вигляд! тако! теореми про нашвнеперервшсть:
Теорема 2. Якщо посл!довн!сть кривих Ln эб1гавтьсг до криво'!, то довжина кри-
во! L не б1лыиа за нижню границю довжин кривих Ln. '
Розглянемо тепер спещально крив! ск! н ч е н н о ! довжин и. Нехай
крива визначена параметрично функщею
___________ Р = /И.
1 Ми вважаемо, що завжди а < д. Проте ми не виключатимемо «кривих», як!
складаються лише з едино! точки i утворюються, якщо на [a, i] функщя f (!) стала.
Це потр!бно буде в подальшому.
Функщя [, яку розглядають лише на в!др1зку [а, Г], де а Т < Ь, визначае
«початковий в!др!зок» криво! в!д точки
Ра = На)
ДО точки рт = f
Нехай з=<р(Г)
— його довжина. Легко вс^ановити, що
Р =g(s) = Иф-1 (s)]
е нове параметричне подання Tie! само! криво!. При цьому s проб!гае В1др1зок
0< s<S,
де S — довжина вс!е! розглядувано! криво!. Це подання задовольняе вимогу
Р (£ (Si). g(s2)) < |s2 — st |
(довжина дуги не менша за хорду).
Переходячи до в!др1зка [0,1], Д1станемо параметричне подання
Р = Р (Т) = g (s), т = ,
яке задовольняе умову Л!пшяця:
Р W ®>.f(т2)) < S | т, — т2 |.
Ми побачимо, отже, що для ecix кривих довжини
де М — деяка константа, можливе параметричне подання р1вноспгепенево неперерв-
ними функциями, заданими на eidpisKy [0, 1 ].
Отже, до них застосовна теорема 1.
Покажемо застосування знайдених загальних результате на приклад! дове-
дения такого важливого твердження:
Теорема 3. Якщо в компакта К де'. точки, A i В, можна сполучити неперерв-
ною кривою ск1нченно1 довжини, то серед таких кривих 1снуе крива найме ншш дов-
жини.
Справд!, нехай У е нижня грань довжин кривих, як! сполучають A i В в ком-
пакт! К,. Нехай довжини кривих Ьг, Ьг, .... Ln, ..., як! сполучають A i В, прямують
до У. 3 гоыпдовност! Ln за теоремою 1 можна вибрати зб!жну тдпосл!довн!сть.
Зе теоремою 2 гранична крива ще! шдпосл!довност! не може мати довж ину, б!льшу
за У.
Зазначимо, що навггь у випадку, коли /< е замкнутою гладенькою (належне число
раз!в диференц!йованою) поверхнею в евюйдовому тривим!рному простор!, ця тео-
рема не випливае безпосередньо з результапв, як! встановлюють у курс! диференщ-
ально! геометр!!, де обмежуються звичайно випадком досить близьких одна до од-
но! точок A i В.
Усе викладене вище було б щлком зрозум!лим, якби ми над!лили множину ecix
кривих заданого метричного простору R структурою метричного простору. Це мож-
на зробити, визначаючи в!дстань м!ж кривими Iq i С2 формулою
Р (i-i, Р2) = inf р (Zi, f2),=
де нижня грань беречься за вс!ма можливими парами параметричного подання криво!
С1 за допомогою функци
P=ft(.t),
i криво'! L,, за допомогою функци __
P = fi(t),
Доведения того, що ця в!дстань задовольняе звичайщ аксюми, дуже просте,
за винятком одного пункту:
довести, що з
Р (М> С2) == 0
випливае тотожщсть кривих i L2. Цей факт е безпосередшм наслщком Tie! обста-
вили, що нижня грань у формул!, якою ми визначили вщстань р Щ, С2], досягаеться
при надежному вибор! параметричного подання i f2 Але доведения цього тверджен-
ня також не дуже просте.
Р о з д i л 111
HOPMOBAHI I ТОПОЛОПЧН1 Л1Н1ЙН1 ПРОСТОРИ
§ 1. Л1Н1ЙН1 ПРОСТОРИ
Поняття лдайного простору належить до найосновшших у ма^ема-
тицк Воно вциграватиме важливу роль не пльки в цьому роздш,
айв усьому наступному виклад!.
1. Означения i приклади лЫйних простоо1в.
Означения 1. Непорожня множина L елеменпв х, у, г, ...
називаеться мншним, або векторным простором, якщо вона задоволь-
няе так! умови:
I. Для будь-яких двох елеменпв х, у £ L однозначно визначений
трепй елемент z £ L, який називаеться i'x сумою; його позначають
х + у, причому
1) х + у = у + х (комутатившсть);
2) х + (у + z) = (х + у) + г (асощатившсть);
3) в L :снуе такий елемент 0, що х + 0 = х для Bcix х ^'снування
нуля);
4) для кожного х g L 1снуе такий елемент — х, що х + (—х) = О
Пснування протилежного елемента).
II. Для будь-якого числа a i будь-якого елемента х £ L визначе-
ний елемент ах £ L (добуток елемелта х на число а), причому
1) а (Рх) = (аР) х,
2) 1 • х = х,
3) (а + Р) х = ах + Рх,
4) а (х 4- у) = ах + ау.
Залежно в!д того, яка множина чисел використовуеться (yci комплек-
CHi чи пльки дшсш), розр1зняють комплексш i д!йсн! лш!йш просто-
ри х. Скр!зь, де не застережено супротивне, викладеш побудови бу-
дуть справедлив! як для~ дшсних, так i для комплексних простор!в.
Зауважимо, що всякий комплексний лшшний проспр можна роз-
глядати як деякий дшсний проспр, якщо обмежитись у ньому множен-
ням вектор!в на д!йсн! числа.
Розглянемо деяк! приклади лшшних простор!в, падавши мож-
ливють читачев! перез!рити для кожного з них сформульован! више
аксюми.
1. Пряма лппя R1, тобто сукупшсть д!йсних чисел, !з звичайни-
ми арифметичними операДями додавання i множення, е лш!йний про-
спр.
1 Можна було б розглядати i л!н!йн! простори нал дов!льним полем.
2. Сукупшсть всыяких систем п дшсних чисел х == (хъ х2, .... хп),
Ле додавання i множення на число визначаються формулами.
(xlt х2, . .. , х„) -г- (у1г у2, ... , уп) = (хх + уъ х2 Ц- у2, ... , х„ + уп),
а (хх, х2, .. . , х„) — ах1г ах2, ... , ах„,
також е лшшним простором. Bin називаеться дШсним п-вшйрним1
арифметичним простором i позначаеться символом R". Аналог 1чно,
комплексний /г-вим1рний арифметичний npocrip С" означаеться як
сукупшсть систем п комплексних чисел (з множенням на будь-як!
комплексы числа).
3. Неперервн! (д!йсы або комплексы) функци на деякому вщр1'зку
la, b] i3 звичайними операщями додавання функщй i множення ’ix
на числа утворюють лшшний npocrip С [а, Ь], який е одним з найваж-
ливших для анал!зу.
4. Flpocrip 12, в якому елементами е послщовност! чисел (д!йсних
чи комплексних)
х = (Xi, х2, , хп,
яш задовольняють умову
2|х„|2<оо, (1)
п=1
з операщями
(%1, Х2, . . . , Хп, ...)-(- (Ух, у2 . . , Уп> • • • ) =
= + f/l> Х2 + У2,! > Хп 4- уп, . . . ),
а (хх, х2, ... , хп, ...) = (ахх, ах2, . .. , ахп, ... ),
е лшшним простором. Той факт, що сума двох послщовностей, як!
задовольняють умову (1), також задовольняе цю умову, виплизав
з елементарно’1 нер!вност1
(йх ф- а2)2 < 2ai + 2а22 .
5. Зб!жш посл!довност1 х = (хь х2 ...) з покоординатними опера-
щями додавання i множення на числа утворюють лшшний npocrip.
Позначимо його с.
6. Послщовност!, як! збиаються до 0, з тими самими операщями
додавання i множення, також утворюють лшшний npocrip. Позначи-
мо його сп.
7. Сукупшсть т ycix обмежених числових послщовностей з тими
самими операщями додавання i множення на числа, що й у прикладах
4—6, також е лпийним простором.
8. Hapemri, сукупшсть R°° найр1зномаштн;ших числових посль
довностей з тими самими операщями додавання i множення на числа,
що й у прикладах 4—7, також е л!шйним простором.
1 Цей тершн буде пояснено даль
Осшльки властивосп лшшного простору — це властивосп опе-
рацш додавання елеменпв i множення ix на числа, природно ввести
таке означения.
Означения 2. Лпишп простори L i L* називаються изоморф-
ными, якщо м!ж i’x елементами можна встанов'ити взаемно однознач-
ну вщповщшсть, яка узгоджена з операциями в L i L*. Це означае,
що з
У^У*
(х, у g L, х*, у* £ L*) випливае
х + у<г+х* + у*
i
ах «-> ах*
(а — довiльне число),
1зоморфш простори можна розглядати як рisni реал!зацп того
самого простору. Прикладами !зоморфних лшшних простор1в
можуть бути арифметичний п-вим!рний прост ip (дшсний або комплек-
сний) i npocrip ycix многочлешв степени < п— 1 (вщповщно з дшс-
ними або комплексними косфштентами) !з звичайними операшями
додавання многочлешв i множення !х на числа (доведпъ !зомор-
фшсть!).
2. Лппйна залежшсть. Елементи х, у, .... w лшшного простору
L називаються лМйно залежними, якщо !снують так! числа а, |3, ...,
%, як! не вс! дор!внюють 0, що
ах + Ру 4- • • • + kw = 0. (2)
У противному paai ui елементи називаються лМйно незалежными.
1накше кажучи, елементи х, у, ..., w лшшно незалежш, якщо з р!в-
носп (2) випливае що
а = Р= ••• = % = 0.
Неск1нченна система елеменпв х, у, ... простору L називаеть-
ся лМйно незалежною, якщо будь-яка ii скшченна пщсистема лшшно
незалежна.
Якщо в простор! L можна знайти п лшшно незалежних елеменпв,
абудь-як! п + 1 елементи цього простор^лшшно залежш, то кажуть,
що проспр L мае розмлршсть п. Якщо в L можна назвати систему
з довшьного скшченного числа лшшно незалежних елеменпв, то ка-
жуть, що проспр L нескшченна вишрний. Базисом у п-вим!рному про-
стор! називаеться будь-яка система з п лшшно незалежних елеменпв.
Простори R" в дшсно'му випадку i С"’в комплексному мають, як легко
перев1рити, розм!ршсть п, виправдовуючи тим самим свою назву.
У курс! л!яшно’1 алгебри розглядаються лшшш простори скшчен-
но‘1 розм!рност}. Навпаки, ми, як правило, вивчатимемо простори
нескшченного числа BHMipiB, як! становлять основний штерес з точки
зору анал1зу. Надаемо можливють читачев! перев!рити, що кожний
з npocTOpiB, наведених у прикладах 3—8, мае нескшченну розм!рн!сть.
3. Шдпростори. Непорожня шдмножина L' лшшного простору
називаеться nidnpocmopoM, якщо вона утворюе лшшний npocrip вщ-
,. носно певних в L операцш додавання i множення на число.
Тнакые кажучи, L'c: L е шдпроспр, якщо з х С L', у С L' ви-
пливае, що ах + py g L' при будь-яких a i |3.
У всякому лшшному простор! L е шдпроспр, що складаеться з
одного нуля,— нульовий шдпроспр. 3 другого боку, весь L можна
розглядати як свш шдпроспр. Пщпроспр, який вщмшний вщ L !м!с-
тить хоча б один ненульовий елемент, називаеться власним.
Наведемо приклади власних пщпростор!в.
1. Нехай L—який-небудь лшшний npocrip i х— деякий його
ненульовий елемент. Сукупшсть елеменпв {Хх}, де X npo6irae Bci
числа (дшсн! або комплексш), утворюе, очевидно, одновим!рний шд-
проспр. Цей шдпроспр е власним, якщо розм!ршсть L бшьша за 1.
2. Розглянемо npocrip неперервних функщй С [а, Ы (приклад 3,
п. 1) i в ньому сукупшсть yeix многочлешв Р [а, Ь]. Зрозумьчо, що
многочлени утворюють в С [а, 6] шдпроспр (що мае, як i Bci С [а, Ь],
нескшченну розм!рн!сть) Водночас сам npocrip С [а, Ь] можна
розглядати як шдпроспр б!льш широкого простору Bcix, неперервних
i розривних, функщй на [я, Ь].
3. Hapenrri, розглянемо простори 12, с0, с, m i R00 (приклади 4 —
8, п. 1). Кожний з них е власним шдпростором наступного.
Нехай {х«} — довмьна непорожня множина елеменпв лшшного
простору L. Тод! в L ienye найменший шдпроспр (можливо такий,
що збшаеться з L), який мютить {ха}. Справд}, принайми! один шд-
проспр, що м!стить {ха}, в L ienye: це весь L. Дал! зрозум!ло, що
перетин будъ-яко1 множини {Lv} nidnpocmopie е знову nidnpocmip.
Справд!, якщо L* = Л Ly i х, у £ L*, то й ах + fiy £ L* при
v
вс!х а, р. В!зьмемо тепер yci шдпростори, що м!стять систему вектор!в
{х«} i розглянемо ix перетин. Це й буде найменший шдпроспр, що м!с-
тить систему {ха}. Такий мш!мальний шдпроспр ми назвемо nidnpoc-
тором, породженим множиною {%«} або лШйною оболонкою множини
{ха}- Ми позначатимемо цей шдпроспр L ({%«}).
В пр а ви. Лшшно незалежна система {ха} елеменпв лшшного простору L нази-
ваеться базисом Гамеля, якщо i’i липина оболонка збИаеться з L. Довести так! твер-
дження:
1пу кожному лшшному простор! 1снуе базис Гамеля.
Вказ1вка. Використати лему Цорна;
2) якщо (ад) —базис Гамеля в L, то кожний вектор х-L единим способом
можна подати у вигляд! скшченно! лшшно!' комбшацп деяких вектор!в системи
цд * *.
3) будь-як! два базиси Гамеля в лшшному простор! р!внопотужнГ; потужшсть
базису Гамеля лшшного простору шод! називають алгебрашною розм1рн1стю цього
простору;
4) л!н!йш простори !зоморфн! тод! i пльки тод!, коли вони мають однакову ал-
гебраТчну розм!ршсть.
4. Фактор-простори. Нехай L — лшшний npocrip, i L' — деякий
його шдпроспр. Скажемо, що два елементи х i у з L екывалентн!, якщо
ix po3MiDHicTB х — у належить L'. Це вщношення рефлексивне, симе-
тричне i транзитивне, тобто визначае розбиття Bcix х £ L на класи.
Клас екв!залентних елеменпв називаеться класом сум1жност1 (по шд-
простору L') .Сукупшсть ycix таких клас!в ми назвемо фактор-просто-
ром L по L’ i позначимо L/L'.
У будь-якому фактор-простор!, природно, вводяться операци
додавання ! множення ла числа. А саме, нехай g i ц — два класи, як!
е елементами з L/L’. ЕИзьмемо в кожному з цих клас!в по предстаз-
нику, наприклад, х i у вщповщно, ! назвемо сумою клас!в £ ! ц той
клас g, який м'стить елемент х + У, а добутком класу § на число а той
клас, який м!стить елемент ах. Легко перев!рити, щс результат не
змшиться вщ замши представниюв х ! у якими-небудь шшими пред-
ставниками х' ! у' тих самих клас!в g i тр Отже, ми означили лшшш
onepauii над елементом фактор-простору L/L'. Безпосередня переы’р-
ка показуе, що ц! операцп задовольняють yci вимоги, як! сформульо-
ваш в означенш лшшного простору (перев!рте!}. 1накше кажучи,
кожний фактор-npocmip L/L' (з тими операщями додавання i множен-
ня на числа, як! ми тепер в ньому означили) е лйийним. простором.
Якщо L — npocrip п вим1р1в, а його шдпроспр L' мае розм!рн!сть
k, то фактор-npocrip L/L' мае розм!ршсть п — k (доведйъ це).
Нехай L — довЕльний лшшний npocrip i L' — деякий його шд-
npocrip. Розм!ршсть фактор-шдпростору LIL' називаеться корозшр-
Hictruo шдпростору L' в простор! L.
Якщо шдпроспр L' cz L мае скшченну корозм!ршсть п, то в L
можна вибрати елементи И, х2, ..., хп так, що всякий елемент х g L
може бути (однозначно) поданий у вигляд!
х = а±хг + + апхп + у,
де ах, ..., ап — числа i у g L'. Справд!, нехай фактор-npocrip L/У
мае розм!рн!сть п. В!зьмемо в цьому фактор-простор! базис
51, • • • , К
i з кожного класу £ в!зьмемо по представнику xk. Нехай тепер х —
будь-який елемент з L i £ - - той клас в L/L', який м!стить х. Тод!
I = «151+ +«Х-
За означениям маемо, що кожний елемент з зокоема х, вщр!зняеться
лише на елемент з L' вщ тако! само! лш!йно! комбшащ! елеменпв
х1( .... хп, тобто
х = + • • • + апхп + у.
Однозначшсть такого запису надаемо можливють довести чита-
чевц «
5. ЛЫйн1 функцюнали. Числову функцпо f, визначену на деяко-
му лшШному простор! L, ми чазиватимемо функцюналом. Функцюнал
/ називаеться адитивним, якщо
f Iх + У) = f (*) + / («/) Для Bcix х, у 5 L;
вш називаеться однор1дним, якщо
f (ах) = af (х) (а — доз!льне число).
Функщэнал f визначений у комплексному лшшному про-
стор!, називаеться спряжено-однор1дним, якщо f (ах) = af (х), де а —
число, комплексно спряжене а.
Адитивний однорщний функцюнал називаеться лйййним функцио-
налом. Адитивний спряжено-однорщний функцюнал називаеться
спряжено-лшшним.
Наведемо приклади лшшних функцюнал!в.
1. Нехай R" е п-вим!рний арифметичний проспр з елементами х —
= (%!, ..., хп) i а = (ап ..., ап) — дов!льний наб!р зф!ксованих чисел.
Тод! п
1=1
'— лшшний функцюнал в Вираз
f W = 3 «Л
i=i
е спряжено-лшшним функцюналом у Сп.
2. Тнтеграли
ь ь _
I [х] = С х (t) dt i I [x] = J x (t) dt
a a
e вщповщно л!н!йним i спряжено-лшшним функцюналом у просто-
pi С [a, bl.
3. позглянемо загальшший приклад. Нехай уй — деяка ф!ксована
неперервна функщя на [а, Ы. Припустимо для будь-яко1 функпи
х g С [a, b 1
ь
Р (х) = \ ’с (i) Уо (0 dt.
а
Л!н1йн!сть цього функцюналу випливае з основних властивостей
операци штегрування. Функцюнал
ь
F(x) = |x(tjy0 (t) dt
a
буде спряжено-лшшним (у комплексному простор! С (а, й]).
4. Розглянемо в тому самому простор! С а, Ь] лппйний функцюнал
1ншого типу, а саме, припустимо, що
(х) J х (t0).
так що значения функиюналу У на функцпо х дор!внюе значению
ц!е! функци у фшсованш точц! t0.
Цей функцюнал'звичайно записують у вигляд!
ь
М*) =^x(t)tl(t-ta)dt,
а
розум!ючи шд 6 «функц!ю», яка дор!внюе нулю скр!зь, KpiM точки
t == 0, i штеграл вщ якоТ Дор!внюе единиц! (б-функщя Д!рака). Так!
«функпт дютали строге означения в межах теори узагальненихфунк-
ц!й, елементи яко! будуть викладеш в § 4 наступного розд!лу.
5. Наведемо приклад лш!йного функцюналу в простор! /2- Нехай
k — фшсоване щле додатне число. Для кожного
X = L, хп, ...)
з 12 припустимо, що
fk (*) = xk.
Лшшшсть такого функцюналу очевидна. Ц! функцюнали допуска-
ють «поширення» на !нш! простори послщовностей, наприклад, на
с0, с, т, R°° (приклади 5—8, п. 1).
6. Геометричний смисл лшшного функцюналу. Нехай f — деякий
вщмшний в!д тотожного нуля лшшний функцюнал на лшшному
простор! L. Сукупшсть тих елемент!в к з L, як! задовольняють умову
/(х) = 0,
е шдпроспр простору L — tiidnpocmip нул1в або ядро функцюналу
f. Справд!, якщо mix) = f (у) = 0, то
f (ах + Ру) = af (х) + р/ (у! = 0.
Цей npocrip позначають Ker f1.
Пщпроспр Ker f мае корозм!ршсть 1. Справд!, в!зьмемо який-не-
будь елемент х0, який не входить в КегД тобто такий що f (хи) 0.
Такий елемент знайдеться, бо f (х0) =/= 0. Без обмеження загальносп
можна вважати, що f (х0) = 1, бо в противному раз! ми замшили б х0
на "сД ’ (зрозум!ло, що / = М Для кожного елементах
припустимо, що у = х — f (х) х0; тод! /Цу) = f (х — f (х) х0) = 0,
тобто у £ Ker f. Зображення елемента х у вигляд!
х = ах0 + у, де у £ Цег f,
при фшсованому елемент! х0 едине. Справд!, нехай
х == axQ + у, у £ Ker f,
х = а'х0 + у', у' G Kerf
Тод!
(а — а') х0 =- у' — у.
1 В1д анппйського слова kernel — ядро.
Якщо тут а = а', то очевидно, що у' = у. Якщо ж а=/=а', то
х0 = _ Jj- Е Кег f, що суперечить вибору х0. /
Звщси випливае, що два елементи хг i х2 тод! i т!льки тод! належать
одному класу сум!жност1 по шдпростору Кег/, коли f (хх) = f (х2),
Справд!, з
Д = f (х2) • х0 + г/j,
х2 = f (х2) х0 + у2
випливае, що
*1 — *2 = (f (х^ — f (х2)) х0 + (уг — у2).
Звщси видно, що — х2 Е Ker f тод! ! т!льки тод!, коли коеф!ц!ент
при х0, тобто f (Xj) — f (х2) = 0.
Усякий клас £ по шдпростору Ker f визначаеться будь-яким !з
свои представниюв. За такого представника можна взяти елемент
виду ах0. Тод! матимемо, що шдпроспр L/Ker f справд! одновим!рний,
тобто Kerf мае корозм!ршсть 1.
Пщпроспр Ker f визначае лшшний функцюнал, який перетворю-
еться на ньому в нуль з точшстю до сталого множника.
Справд!, нехай функцюнали f i g мають одне й те саме ядро: Ker f =
= Кег g. В!зьмемо елемент х0 так, щоб f (х0) = 1. Ми твердимо, що
g (*о) ¥= 0. Справд!,
х = f(x}x0 + у, у Е Kerf = Kerg,
i
g W = f <x) g (x0) + g (y) = f (x) g (x0).
Якби значения g (xc) дор!внювало 0, то функцюнал £був би тотожним
нулем. 3 р!вност! g (х) = g (х0) f (х) ! випливае пропорцшшсть функ-
цюнал!в g i f.
Для всякого шдпростору L' корозм!рност! 1 можна назвати такий
функцюнал f, що Kerf = L'. Досить узяти довтльний елемент х0 £
gL' i подати кожний елемент х Е L у вигляд! х = ах0 + у. Таке
зображення едине. Припустивши, що f (х) = а, ми дютанемо лплй-
ний функцюнал f, для якого Ker f = L' (перев!рити це!).
Нехай L' — який-небудь.шдпроспр корозм!рносп 1 в лш!йному
простор! L; тод! всякий клас сум!жносп простору L по шдпростору
L' називаеться гьперплощиноЮу паралельною шдпростору L' (зокрема,
сам шдпроса ip L' е гшерплощиною, що мютить 0, тобто «що проходить
через початок координат»). 1накше кажучи, гшерплощина М', пара-
лельна шдпростору L',— це множина, яка утворюеться з L' паралель-
ним перенесениям (зсувом) на який-небудь вектор х0 £ L:
М’ = L' + х0 = {у \у = х’+ х0, xQL'}.
Зрозумшо, що коли х0 Е 1^', то М' = L'; якщо ж х0 L', то М' #=
у= L'. Якщо f—• нетрив!альний лшшний функцюнал на простор L,
то множина Mf = {х : f (х )= 1} е гшерплощиною, паралельною
шдпростору Kerf (справд!, фшсуючи який-небудь елемент х0, для
якого f (х0) = 1, ми можемо всякий вектор х Q М/ зобразити у вигляд!
х = х0 + У, де у G Кег /). 3 другого боку, якщо М' — яка-небудь
гшерплощина, паралельна шдпростору L' (корозм!рност! 1), що не
проходить через початок координат, то icnye е д и н и й лшшний
функцюнал f такий, що М' = {х : / (х) = 1}. Справд!, нехай М' =
== L' + х0, х0 £ Л; тод! всякий елемент х £ L однозначно можна
подати у вигляд! х = ах0 + У, де у £ L'. Припустивши, як i вище,
що f (х) = а, ми дютанемо шуканий лшшний функцюнал; едишсть
випливае з того, що коли g (х) == 1 при х g М', то g (у) == О при у £
G L', так що
g(ax0 + y) = a = f (ах0 + у).
Отже, установлено взаемно однозначну eidnoeidnicmb м1ж ус1ма
нетрив!альними лшшними функционалами, визначеними на L, i eci-
ма гтерплощинами в L, як1 не проходятъ через початок координат.
В п р а в а. Нехай f, flf ..., fn — гаю л!н!йш функщонали на л!н1йнсму прос-
тор! L, що з /j (х) = ... = fn (х) = 0 випливае f (х) = 0. Тдд! гснують таю стал!
п ,
eg, ..., ап, що f (х) = У, (х) для вс!х х g L. Довести це.
А=1
§ 2. ОПУКЛ1 МНОЖИНИ I ОПУКЛ1 ФУНКЦЮНАЛИ.
ТЕОРЕМА ГАНА—БАНАХА
1. Опукл! множини i опукл! т!ла. В основ! багатьох важливих
роздшв теорп' лшшних простор!в лежить поняття опуклоспй. Воно
спираеться на наочн! геометричш уявлення, але водночас допускае
i суто анал!тичне формулювання.
Нехай L— деякий лшшний д.! й с н и й npocrip i х, у — дв!
його точки. Назвемо замкнутым eidpiwoM у L, який сполучае точки
х i у, сукупшсть ycix елемент!в виду
ах + Ру, де а, Р > 0, а + Р = 1.
В!др!зок без кшцевих точок х ! у називаеться в1дкршгшм в1др1зком.
Множина М cz L називаеться опуклою, якщо вона разом з будь-
якими двома точками х i у мютить i в!др!зок, який !х сполучае.
Назвемо ядром J (Е) дов!льно! множини Е cz L сукупшсть таких
ii точок х, що для кожного у С Е знайдеться таке число е = 8 (у) >
> 0, що х + ty Е Е при 111 < 8.
Опукла множина, ядро яко! непорожне, називаеться опуклим
т1лом.
Приклади. 1. У тривим!рному евклщовому простор! куб,
куля, тетраедр, швпрост!р е опуклими т!лами. Вщр!зок, площина,
трикутник у тому ж простор! — опукл! множини, але не опукл!
т!ла.
2. Розглянемо в простор! неперервних функцш на в!др!зку [а, Ь]
множину функц!й, як! задовольняють умову
о)|Я-
Ця множина опукла; справд!, якщо
то при а + р=1,а, р>0
П(0+м)1<«®5 = 1-
В п р а в а. Перев1рити, чи е ця множина опуклим -плом.
3. Одинична куля в 12, тобтс сукупшсть таких точок х = (хъ
хп, ...), що < 1, е опукле тшо.
Його ядро складаеться з точок х, як! задоволоняють умову 1-
4. Основний паралелепшед П в 12 — опукла множина, але не опук-
що | х„ | < 1/2п-1 ДЛЯ
1/2, ..., 1/п, ...). Нехай
ле тшо. Справд!, нехай х £ П; це означае,
Bcix п = 1, 2, ... Припустимо, що у0 = (1,
х+^ЕП, тобто
Т°Д1
t
п
2п-1 2п-2
звщки t = 0, тобто ядро множини П порожне.
В п р а в а. Нехай Ф — сукупшсть точок х — (х1( ..., хп, ...) з 12, яю задо-
вольняють умову У, п2х^ С 1- Довести, що Ф — опукла множина, але не опукле
Т1Л0.
Якщо М — опукла множина, то ii ядро J (М) також опукле.
Справд), нехай х, у G J (М) ! г — ах + fiy, а, |3 > 0, а + р = 1.
Тод! для даного а £ L знайдуться так! e.j > 0 ! s2 > 0, що при | 4 | <
< 81, | | < 8а тонких + /i a i у + /2я належатьмножин! М, отже,
:й належить ! точка а (х + ta) + [3 {у + ta) = z -\-ta при 11 | < в =
= min (en е2), тобто z Р J (/И).
Доведемо таку властивють опуклих множин:
Теорема 1. Перетин будь-якого числа опуклих множин е опукла
множина.
Доведения. Нехай М — f] Ala i вс! А1а — опукл! множини.
а
Нехай, дал!, х ! у — дв! довьльш точки з /И; тод! вщр!зок, який спо-
лучае точки х i у, належить кожшй Ма, а отже, i М. Таким чином,
М справд! опукла.
Зауважимо, що перетин опуклих т!л (будучи опуклою множиною)
не е обов’язково опуклим т i л о м (наведДь приклад).
Для довмьно! множини Л в лшшному простор! L icnye. найменша
опукла множина, яка його м!стить; нею буде перетин yeix опуклих
множин, що мютять А (принайми! одна опукла множина, що м!стить
А юнуе—це весь L). Мш!мальну опуклу множину, яка м!стить Л,
ми назвемо опуклою оболонкою множини А.
Розглянемо один важливий приклад опукло'1 оболонки. Нехай
xlt х2... x„+i — точки деякого лшшного простору. Ми скажемо,
що ц! точки знаходяться в вагальному положены, якщо вектори
хг— xi, хз — xi, •••,хп+1 — xi лшшно незалежш. (Це р!вносильчо то-
«4-1 «+1
му, що з 2 ^ixt = 0i У, = 0 випливае, що Д = л2 = ... =
i=i i=i
= = 0). Опукла оболонка точок х1г х2, ..., xn-|-i, що знаходяться
в загальному положенш, називаеться п-вим1рним симплексом, а сам!
точки хъ х2, ..., х„+1— його вершинами. Нульвим1рний симплекс —
це одна точка. Одновим1рний симплекс — вщр!зок, двовшшрний —
трикутник, трившшрний — тетраедп.
Якщо точки xt, х2, .... Xrt-yi знаходяться в загальному положенш,
то (Тудь-як1 k 4- 1 з них (k <Z п) також- знаходяться у загальному
положенш i, отже, породжують деякий &-вим!рний симплекс, який
називаеться k-etiMipHoio гранню даного «-вим!рного симплексу. На-
приклад, тетраедр з вершинами elt е2, е3,е4мае чотири двовим!рш rpani,
як! визначаються вщповщно тршками вершин (е2, е3, е4), (е^ е3. е4),
(ei, е2, е4), (еь е2, е3), плеть одновим!рних граней ! чотири 0-вим!рних.
Теорема 2. Симплекс з вершинами х1г х2....хп+1 в сукупшсть
ycix точок, як1 можна зобразити у вигляд!
п4-1 М-1
* = йй>о, 2^ = ]. (1)
а=1 6=1
Доведения. Легко перев!рити, що сукупшсть 5 точок виду (1)
це—опукла множина, що м!стить точки хп х2, ..., xln+i. 3 другого
боку, всяка опукла множина, що м!стить ц! точки, повинна м!стити
i точки виду (1); отже, S е найменшою опуклою множиною, що м1стить
ТОЧКИ хЯ Х2, ..., Хга+1.
2. Сднор1'дно-опукл! функцюнали. 3 поняттям опуклоТ множини т!сно
пов’язане важливе поняття однор!дно-опуклого ф у н к -
ц ! о н а л у .
Означения. Функцюнал р, визначений на дшеному лшш-
ному простор! L, називаеться однорьдно-опуклим, якщо
1) р (х + у) < р (х) + р (у) для Bcix х, у £ Д
2) р (ах) = ар (х) для вс!х а>0.
Ми не припускаемо, що при вс!х х g L величина р (х) скшченна,
тобто допускаеться випадок, коли р (х) = + оо для деяких х g L.
Наведемо приклади однорщно-опуклих функц!онал!в.
1. Довжина вектора в /г-вим!рному евкл!довому простор! R".
Тут перша умова означае, що довжина суми двох вектор!в не переви-
щуе суми Тх довжин (нер!вшсть трикутника), а друга безпосередньо
випливае з означения довжини вектора в Rn.
2. Нехай М — npocrip обмежених функцш х на деякш множив!
S i s0 — фшеована точка в S. Тод!
pSo (х) = | х (s0) |
— однорщно-опуклий функцюнал.
3. Нехай т — npocrip обмежених числових послщовностей х =
= (х4, х2, ..., хп, ...). Функцюнал
р (х) = sup | хп I
п
'— однорщно-опуклий.
3. Функцюнал М1нковського. Розглянемо зв’язок м!ж опуклими
функцюналами ! опуклими множинами.
Теорема 3. Якщо р — опуклий функцюнал на лМйному npocmopi
L i k — додатне число, то множина
Е = [х-.р (х) k}
опукла. $кщр функцюнал р скр1зь скшченний, то Е — опукле гтло,
ядром якого в множина
{х: р (х) < Vj
(яка явно мютитъ точку 0).
Доведения. Якщо х, у £ Е i а + р = 1, а, р > 0, то
р (ах + Ру) < ар (х) + Р/? (у) < k,
тобто Е опукле. Нехай тепер функцюнал р скшченний, р (х) < k,
t > 0 i у g L; тод!
р (х ± ty) R Р (X) + 1р (± у).
] Якщо р (— у) = р (у) = 0, то х ± ty ( Е при Bcix t; якщо ж
хоча б одне з невщ’емних чисел р(у),р (— у) вщмшне вщ нуля, то х ±
± ly ( Е при
I < ___k — p(x)
^max(p(y) р (—у))
ЕИзьмемо деяке певне значения k, скаж!мо, k = 1. Тод! всякий ckih-
ченний опуклий функцюнал р однозначно визначае в L опукле Т1ло
Е = {х р (х) 1} таке, що 0 С J (Е)- Навпаки, нехай Е — опукле
т!ло, ядро якого м1стить точку 0. Тод!
р£(х) = inf g £, г > о| (2)
— скшченний опуклий функцюнал. Bin називаеться функцюналом
Млнковського для опуклого пла Е.
Перев1римо опуклють функцюналу Мшковського (2). Для всякого
х g L елемент х/r належить Е, якщо г — досить велике; тому величи-
на рЕ (х), яка зизначаеться р!вшстю (2), невщ’емна i скшченна. Якщо
t > 0 i у = tx, то
Рв(у) = inf |г>0:-у- € д| = inf fr>0: g Д| =>
= inf ‘г'> 0 = / inf |г'> 0 g £ 1 =/рв (х). (3)
Нехай тепер хх, х2 g L i е > 0 довмьш. В{зьмемо числа rt- (Z ==- 1, 2)
так, що рЕ (х,) < rt < рЕ \х^ 4- е; тод! х(/г( g Е.
Припустимо, що г = гх 4- г2; тод! Х1 + Хг — 4- належить
в!др!зку з кшцями x1/r1 i х21гл Внасл!док опуклост! Е цей в!др!-
зок, а отже, i точка %1 Хг належить Е, зв!дки
Ре 4- а:2)< г = гг 4- г2 < рЕ (хх) 4- рБ (х2) 4- 2е.
Осюльки б > 0 тут дов!льне, то
Ре(х1 + х2)^.ре(х1) +рь(х2). (4)
Сшввщношення (3) та (4) й означають опукл!сть функцюналу рЕ (х).
В п р а в а. Множина А в л!шйному простор! L називаеться поглинаючою,
якщо для всякого х f L 1снуе таке а > 0, що х £ А А для ecix А > а. Довести,
що опукла множина А —поглинаюча тод! i пльки тод!, якщо и функшонал М!н-
ковського синченний.
4. Теорема Гана—Банаха. Нехай L — дшсний лшшний npocrip
i Lo—деякий и шдпроспр. Дал!, нехай на шдпростор! Lo задано
деЯкий лпийний функцюнал/0. Лшшний функцюнал f, визначений на
всьому простор! L, називаеться продовжгнням функцюналу f0, якщс
f (*) = fo W Для Bcix х € Не-
задача про продовження лшшного функцюналу часто зустр!чаеться
в анал!з!. Основну роль у цих питаниях в!д!грае така теорема:
Z Теорема 4 (Гана — Банаха). Нехай р — скшченний опуклий
функцюнал, визначений на дшсному лшшному npocmopi L, I нехай
Lo—лшшний nidnpoctnip у L. Нкщо f0 — лшшний функцюнал на Lo,
тдлеглий на Ln функцюналу р (х), тобто якщо на Lo
foWOW- (5)
то f0 можна продовжити до лшшного функцюналу f на L, тдлеглого
р (х) на всьому L.
Доведения. Покажемо, що коли Lo¥= L, то функцюнал /0
можна продовжити з Lo на деякий больший шдпроспр L', !з збере-
_ женням умови (5). Справд!, нехай г — дов!льний елемент з L, який
не належить Lo, 1 нехай L'— шдпроспр, породжений Lo ! г. Кожний
елемент з L' мае вигляд
. tz + х, де х g Lo.
Якщо f' — шукане продовження функцюналу /0 на L', то
Г (tz + x) = tf (г) + /0(х),
або, якщо f' (г) = с, то
f (tz + х) = tc + f0 (х).
В!зьмемо с так, щоб зберегти на L' умову шдлеглост! (5), тобтс
так, що при Bcix х £ Lo i Bcix дшених t виконувалась нер!вшсть
fo (х) 4- tc < р (х + tz).
При t > 0 вона р!вносильна умов!
/о (-у) + с < Р ("т + г) , аб° с < Р (“Г + — fo j , (6)
а при t < 0 — умов!
+ —р(-----г-2) ’ аб° с>~ р(-----Т“2)--(7)
Покажемо, що завжди 1снуе число с, яке задовольняе ц! дв! умови.
Нехай у' i у" — дов!льн! елементи з Lo. Тод!
— /о' (У") + Р <У" + z)>—fa (у') — р (— у' — г).- (8)
Це випливае з нер!вносп
fo (У”) —foty'XP W — У") = Р ((У" + z) — {у' + г)) <
< Р (у” + г) + р (— у' — г).
Припустимо, шо
С" = inf (— /0 й") + Р (у" + г)), с = sup (— /0 (г/') — р (— у' — г)).
; № У'
3 (8) внаслщок довмьност! у' i у" випливае, що с" с'. Узявши с
так, що
ft . /
с >с>-с ,
визначимо функцюнал f на L' формулою
f (tz + х) = tc + f0 (х)
Цей функцюнал задовольняе умов} шдлеглосп (5). Отже, якщо функ-
цюнал f0 визначений на деякому пщпростор! Lo gz L {задовольняе на
Lo умову (5), то /0 можна продовжити is збереженням uiei’ умови на де-
який б!льший шдпроспр L'.
Якщо в L можна вибрати зл1ченну систему елеменпв х1( х2,
...,хп ..., яка породжуе весь Z,, тофункцюнал на L будуемо за шдук-
шею, розглядаючи зростаючий ланцюжок п!дпростор!в
Lw = {Lo, xj, L(2) = Ц(1), х2}, .. .
(тут {LP\ Х/Ц1} означав мшшальний лшшний шдпроспр в L, що
м1стить L(k} i x*4-i). Тод! кожний елемент х £ L увшде в деякий L<fe>
i, отже, функцюнал буде продовжений на весь L.
У загальному випадку (тобто коли зл!ченно!' множини, яка поро-
джуе L, не 1снуе) доведения закшчуеться застосуванням леми Цорна.
Сукупшсть $ найр!зноман!тшших продовжень функцюналу f0, як!
задовольняють умову шдпорядкування (5), частково упорядкована,
i кожна Ti лшшно упорядкована шдмножина мае верхню грань;
шею верхньою гранню е функцюнал, який визначений на об’еднанш
областей визначення (Ьункц!онал!в f g [у0 i збшаеться з кожним та-
ким на його облает! визначення. На пщстав! леми Цорна в усьому
$ !снуе максимальний елемент f. Цей максимальний елемент f i е
шуканим функцюналом. Справд!, вш е продовженням вихщного
функцюналу /0, задовольняе умову (5) на свош облает! визначення
i заданий на всьому L, бо шакше ми продовжили б його описаним вище
способом з того власного шдпростору, на якому в!н визначений, на
б!льший гчдпроспр, i f не був би максимальним. Теорему доведено.
Наведемо ще комплексний вар!ант теореми Гана — Банаха.
Невщ’емний Лункшонал р на комплексному лшшному
простор! L називаеться опуклим, якщо для Bcix х, у g L i Bcix
комплексних чисел X
Р (.х + У) < Р (х) + Р (У),
р (Хх) = | Х|р (х).
Теорема4а. Нехайр-— скшченнийопуклийфункцюналнакомплек-
сному лшшному простор! L, a f0 — лшшний функцюнал, визначений
на деякому л1н!йному nidnpocmopi Lt,c L i задовольняе, на ньому умову
|/oWI<pW. xQL0.
Todt icuye лшшний функцюнал f, який визначений на всьому L i за-
довольняе умови
|/(x)|B(x), xgL,
/(х)=/0(х), x^fa.
Доведения. Позначимо через LR i Дд простори L i Д, як!
розглядатимемо як д!йсн! л!н!йн! простори. Зрозумшо. що р — скш-
ченний опуклий функцюнал на LR, а /од (х) = Re/0 (х) — дшсний лй
н1йний функцюнал на Дд, що задовольняе умову
I /од Д) I <- Р (х)
i, тим б1лыие, умову
foR (х) <р(х}.
Внаслщок теореми 4 юнуе дшсний лшшний функцюнал fa, який ви-
значений на всьому Lr i задовольняе умови
/д(х)<р(х), xQLr(=L),
fa W = /од (x), х£Дд(=Д).
Зрозуммо, що — fa (х) = /д (—х) < р (—х) = р (х), так що
\fa(x)\^p(x), xfaLR(=L). (9)
Визначимо функцюнал / на L, припускаючи, що
/ Д) = fa fa) — ifa Wx)
(тут ми користуемося тим, що Т —-комплексний лпнйний npocTip,
так що в ньому означено множення на комплекса числа). Безпосеред-
ня перев!рка показуе, що / — комплексний лшшний функцюнал на L,
причому
/(х)=/о(х) при х£Д,
Re / (х) = fa (х) при х £ L.
Залишилось показати, що | / (х) | < р (х) для bcix х g L. Припус-
тимо супротивне; тод! для деякого х0 g L маемо | / (Хр) | > р (х0).
Зобразимо комплексне число / (х0) у вигляд! / (xj) = ре‘Ф:, де р > О
i припустимо, щоу0 = е-^х0. Тод! /д (r/0) = Re/ (z/0) = Re [е^'?/ (х0) ] =
=Р > Р (х0) = р (z/0), що суперечить умов! (9). Теорему доведено.
В п р а в а. Покаяйть, що умо'ву сюнченност! функщоналу р в теорем! Гапа —
Банаха можна опустите.
5. В!дд!льн!сть опуклих множин у лшшному простор!. Нехай
L — Д1йсний npocrip, а М i N — дв! його шдмножини. Кажуть, що
визначений на L л!шйний функцюнал f подмяв щ множини, якщо
icnye таке число С, що
f (х) С при х g М i f (х) < С при х g N.
Наведен! ннжче два твердження безпосередньс випливають з введе-
ного означения.
I) Лшшний функцюнал / подшяе множини М i N тод! ! пльки
тод!, коли вш под!ляе множини М — N ! {0} (тобто множину, що скла-
даеться з yeix елеменпв виду х— у, де х g М, у g N i точку 0).
2) Лшшний функцюнал f под!ляе множини М i N тод! i пльки то-
д!, коли при кожному х g L в!н под!ляе множини М — х i N — х.
3 теореми Гана— Банаха легко виходить така теорема про в!д-
д!льн!сть опуклих множин у л!н!йному простор!, що мае численш
застосування.
Теорвма5. Нехай М. i N — неперетинн! опукл! множини в дШсно-
му лшшному npocmopi L, причому хоча б одна з них, наприклад, М,
мае непорожне ядро (тобто е опуклим т!лом). Тод! !снуе ненульовий
лшшний функцюнал f на L, який подмяв М i N.
Доведения. Без обмеження загальносп можна вважати,
що точка 0 належить ядру множини М. (1накше ми розглянули б мно-
жини М — х0 i N — х0, де х0 — яка-небудь точка з ядра М) Нехай
у0 — деяка точка множини У; тод! точка у0 належить ядру множини
М—N, а 0 належить ядру множини К = М — N + у0. Осюльки
М i N не перетинаються, то 0 ф М — N ' уп К- Нехай р — функ-
шонал Мшковського для множини К- Тод! р (z/0) > I (бо у0 $ К).
Введемо лшшний функцюнал
fo (аУо) = аР (Уо)-
В!н визначений на одновим!рному шдпростор!, що складаеться з еле-
менпв виду ау0 ! задовольняе умову
fo (ау0) к р (ау0),
осюльки р (ау0) = ар (у0) при а > 0, i /0 (ау0) = af0 (z/0) < 0 < р (ау0)
при а < 0.
За теоремою Гана—• Банаха функцюнал /0 можна продовжити
до лшшного функцюналу f, визначеного на всьому L, i який задоволь-
няе на L умову f (у) <. р (у). Зв!дси випливае, що f (у) < 1 при у g
g К i водночас f (у0) I. Отже, f под!ляе множини К ! {у0}‘ а отже,
f под!ляе М — N i {0}; але тод! f под!ляе множини М i N. Теорему
доведено.
§ 3. HOPMOBAHI ПРОСТОРИ
У роздал! II ми вивчали тополопчн! i, зокрема, метричн! простори,
тобто множини, в яких введено, тим чи шшим способом, поняття
близькост! елеменпв, а в попередшх параграфах цього розд.лу ми
мали справу з лшшними просторами. Дос! кожнез цих понять ми вив-
чали окремо. Однак в анал!з! доводиться мати справу з простора-
ми, в яких введено як операцп додавання елеменпв i множення !х
на числа, так i деяку тополопю, тобто розглядати так зван! т о п о -
л or i ч н i л i н i й н i простори. Серед останшх важливий
клас утворюють нормован! простори. Теор!я цих просто-
р!в була розвинута в працях С. Банаха i ряду шших вчених.
1. Означения i приклади нормованих простор!в.
Означения 1. Нехай L -— лппйний проспр. Скшченний
опуклий функцюнал р, визначений на L, називаеться нормою, якщо
Bin задовольняе так! додатков! умови (кр!м опуклосп):
1) р (х) = 0 пльки при х — 0;
2) р (ах) = | а | р (х) для Bcix а.
Отже, пригадавши означения опуклосп, ми можемо сказати, щс
нормою в L иазиваеться скшченний функцюнал, який задовольняе
так! три умови:
1) Р (х) 0, причому р (х) = 0 пльки при х = 0;
2) р ( х + у) р (л) + р (у), х, ty е L;
3) р (а х) = | а| р (х), яке б не було число а. X
Означения 2. Лшшний проспр L, в якому задано деяку нор-
му, ми назвемо нормованим простором. Норму елемента х Q L ми по-
значатимемо символом || х ||.
Усякий нормований проспр стае метричним простором, якщо
ввести в ньому вщстань
р(Я у) = к—У\\-
Справедливють аксюм метричного простору вщразу ж випливае
з властивостей 1) —3) — норми. Отже, на нормоваш простори перено-
ситься вс! т! поняття i факти, як! були викладэн! з розд. II для мет-
ричних простор!в.
Повниц нормований npocrip називаеться банаховим простором,
або, коротше, В-прсстором.
Приклади нормованих простор! в. Багато з
простор!в, як! були розглянуп в розд. II як приклади метоичних
(а в § 1 цього ррзд!лу — лшшних) простощв, насправд! можуть бу-
ти над!леш природною структурою нормованого простору.
1. Пряма линя R1 стае нормованим простором, якщо для всякого
числа х Q R1 припустити, що || х || = | х |.
2. Якщо в дшсному /г-вим1рному простор! R" з елементами
X = (хх, х2, ... , хп)
припустити, що
hll = |/i*L U)
то вс!.аксюми норми будуть виконаш. Формула
р(х, z/) = ||x — z/|| = / 2 —
визначае з R" ту саму метрику, яку ми в цьому простор! вже розглядали-
У цьому ж л!н!йному простор! можна ввести норму
п
Iklli = У |xj (2)
fe=i
або норму
||х||0 = max. К|. (3)
Ц! норми визначають в R" метрики, як! ми розглядали в прикладах
4 i 5, п. 1, розд II. Перев!рка того, що в кожному з цих випадк!з
аксюми норми справджуються, не становить трудноппв.
У комплексному п-вим!рному простор! С" можна ввести норму
або будь-яку з норм (2) або (3).
3. У простор! С [а, Ь] неперервних функцш на в!др!зку [а, Ь]
визначимо ноцму формулою
„/11 =-max |й(/)|. (4)
a^t^b
Вщповщну вщстань вже розглядали в приклад! 6, п. 1, § 1, розд. II.
4. Нехай m — поост!р обмежених числових послщовностей
Припустимо, що
||х|| = sup | х„|. (5)
п
Умови 1) — 3) означения норми тут, очевидно, виконаш. Метрика,
яка шдукуеться в m щею нормою, зб!гаеться з т!ею, яку ми вже роз-
глядали (розд. II, § 1, п. 1, приклад 9).
2. Пщнрестори нормованого простору. Ми означили пщпроспр
лшшного простору L (який не мае якоТ-нзбудь топологи) як непорож-
ню множину Lo, яка мае ту властив!сть, що коли х, у Q Lo, то ах +
+ 0z/ £ Lo. У нопмованому простор! основний штерес становлять
замкнули. лшшн! пщпростори, тобто шдпростори, що мютять yci сво!
граничн! точки. У скшченновим!рному нормованому простор! всякий
пщпрост!р автоматично замкнутий (довед!ть це). У несч!нченновим!р-
ному випадку це не так. Наприклад, у простор! С [а, Ь] неперервних
функщй з нормою (4), многочлени утворюють шдпрост!р, але незамк-
нутой х.
1нший приклад: у простор! лг обмежених послщовностей послщов-
ност!, що м!стять лише скшченне число в!дм!чних вщ нуля члешв,
утворюють шдпросщр. Однак вш не замкнутий за нормою (5): у його
замиканш мютиться, наприклад, послщовшсть (1, 1/2, ..., 1/п, ...).
1 Внаслщок теореми Вейерштрасса, яка говорить, що всяка неперервна функщя
на вщр!зку е границя р!вном1рно зб1жно’’ послщовност! многочлешв, замикання
пщпростору многочлешв у С [а, Ь] е вес> С [а, Ь].
Як правило, ми розглядатимемо лише замкнут! шдпростори, то-
му природно змшити термшолопю, яку було встановлено в § 1. Пid-
простором нормованого простору ми називатимемо тепер пльки зам-
кну,тий шдпроспр; зокрема, шдпростором, породженим певною
системою елеменпв {ха}, називатимемо найменший замкнутий пщпрос-
пр, що м!стить {ха}. Ми говоритимемо про нього, як про мншне за-
микання системи (ха). Сукупшсть елеменпв (незамкнуту), що м!стить
разом з х ! у 'ix довшьну лшшну комбшашю ах + Ру, називатимемо
лшйною многостатшстю.
Систему елеменпв, яка лежить у нормованому простор! Е, ми на-
зиватимемо поеною, якщо породжений нею (замкнутий) шдпроспр
е весь Е. Наприклад, внаслщок теореми Вейерштрасса сукупшсть
ус!х.функц!й 1, t, t\ ..., tn, ... повна в простор! неперервних функшй
С 1а, Ь].
В п р а в и. 1. Нехай R — банаховий npocrip, BL дз В., щ ... щ Вг ... —
послщовшсть складених замкнутих куль у ньому. Доведдть що вона мае непорожжй
перетин (не передбачаеться, що рад!уси них куль прямують до 0; пор. з вправою 3
на фор. 61). Навед1ть приклад послщовност! вкладених непорожшх обмежених
замкнутих огь клих множин у деякому B-npocropi, що мають порожшй перетин.
g £ Нехай R — нескшченно зим!рний /З-npocrip; тод! його алгебра!чна . розм!р-
н!ст1ц(див. вправу 3 на стор. 107) незл!ченна.
3. J Дхай R — банаховий npocrip i М — його замкнутий шдпросДр. Розгляне-
мо фактор-npocrip Р — R/M i визначимо в ньому норму, припускаючи для кожного
класуЕсушжност! gp що .
П11 = inf И-
Довед!ть, що визначений так функцюнал справд! е нормою в Р, причому npocrip Р
повний за ц!ею нормою
4. Нехай R — лппйний нормований npocrip; довести справедливей таких
тверджень:
1) Ияка игшйна многбстатшсть шдпроспру в R замкнута;
2) якщЖ — замкнутий, a <V — ск!нченновим!рний шдпроспр в R, то 'ix сума
М -ф-N = {х: х = у + г, у £ М, z£ N]
— замкнутей лйшйний npocrip; навести приклад двох замкнутих л!шйних шдпро-
стор!в в I,, сума яких не замкнута;
3) нехай Q — вщкрита опукла множина в R ! нехай xog Q; тод! !снуе (замкнута)
пперплощнна, яка‘/|роходить через точку х0 i не перетинае Q.
5. Дв! нЛш, I) • Цлi ||2, у л!шйному простор! R називаються екмвалешпни-
ми, якщо !снують'Так! cfani а, b > 0, що а || x||i < || х ||2 С b || х ||г для вс!х х £ R.
Довестй, що коли npocrip R ск!нченновим!рний, то будь-як! дв! норми в ньому екв!-
вай'ён'тш.
§ 4. ЕВ:(Л1ДОВ1 ПРОСТОРИ
1. Означения евклщових npGCTOpie. Один з добре вщомих способ!в
введения Уорми в лппйному простор! — це задавания в ньому ска-
лярного‘.добутк:у?Нагадаемо, що скалярним добутком у дшсному л!шй
ному простор! R називаеться дшсна функщя (х, у), яка визначена для
кожно! пари -елемент!в х, у Q R i задовольняе так! умови:
1) У) = (У, х),
2) (хх + л-2, у) = (xlt у) 4- (х2, у),
3) (Ах, у)=- к(х, у),
4) (х, х) > 0, причому (х, х) = 0 т!льки при х = 0.
Лппйний npocTip з ф1ксованим у ньому скалярним добутком на-
зиваеться евкл;довим престаром. В евклщовому простор: R вводиться
норма за допомогою формули
Ik 11 = VV^x).
3 властивостей 1) — 4) скалярного добутку випливае, що Bci аксЬ
оми норми при цьому справджуються.
Справд], виконання аксюм 1) i 3) норми (п. 1, § 3) очевидно, а ви-
конання аксюми 2) (нер!вшсть трикутника) випливае з нер1вноспй
Rotui — Буняковського
Вакини (о
яку ми тепер доведемо.
Розглянемо квадратний тричлен вщ дшено! змшно! X, невщ’емний
при Bcix значениях А:
<р (А) = (Ах 4- у, Ах + //) = А2 (х, х) + 2А (х, у) + (у, у) —
= || х||2 А2 + 2 (х, p)A +|W-
Осюльки цей вираз е скалярним квадратом цеякого вектора, то зав-
жди ф (А) > 0. Отже, дискримшант цього тричлена менший або до-
р1внюе нулю.
Нер1вн!сть Konii—Буняковського (1) саме й виражае не що шше,
як недодатшеть дискримшанта цього квадратного тричлена ф (А).
Зазначимо, що в евклщовому простор! сума, добуток на число i ска-
лярний добуток неперервш, тобто, якщо х„ -> х, уп у (в розумшш
зб!жност: за нормою), А„ -> А (як числова послщовшсть), то
хп + Уп х + К
^пХп ~
(Хп, Уп) Г (X, У)-
Доведения цих фактов грунтуеться на використанш нер1’вносп
Konii—Буняковського (1); надаемо можливють читачев! довести Тх
як вправи.
Наявшсть в R скалярного добутку дае можлив!сть ввести в цьому
простор! не т1льки норму (тобто довжину). вектора, а й кут м!ж векто-
рами; саме, кут <р м!ж. векторами х i у визначаеться формулою
(х, у) /оч
cos ф = > (2)
При цьому з нер1вност1 Konii— Буняковського (1) випливае, що вираз,
який столь у (2) праворуч, за модулем не перевищуе 1 i, отже, формула
(2) справд! для будь-яких ненульових х i у визначае деякий кут ф,
0 < ф < л.
Якщо (х, у) = 0, то з (2) дютаемо, що ф = л/2; у цьому. раз! векто-
ри х i у називаються ортогональними.
Система ненульових в е кто р i в {ха} з R називаеться
ортогональною, якщо
(ха, Лф) = о при а=/=0.
Якщо вектори {ха} ортогональю, то вони лшшно незалежш. Справ-
д!, нехай
+ С1ч.хаг + ' ’ ’ + апхап = 0;
осюльки {ха} — ортогональна система, то маемо
(хар ^1ха, ~Ь ' ’ ' 4~ ^пха^) — (Хар Ха() ~
але (Ха(, ха) =0= 0 i, отже, л, = 0 для Bcix i = 1, 2, ..., п.
Якщо ортогональна система {ха} повна (тобто найменший замкну-
тий шдпрост!р, що м1стить Ti, е весь R), то вона називаеться ортого-
нальном базисом. Якщо при цьому норма кожного елемента дор!внюе
1, то система {ха} називаеться ортогональном нормованим базисом.
Взагал!, якщо система {ха} (повна або Hi) така, що
"ри
(1 при а = р,
то вона називаеться ортогональною нормованою (коротше ортонор-
мальною) системою. Зрозум!ло, що коли {ха} — ортогональна.система,
то | д-1 — ортогональна нормована система.
2. Приклади. Розглянемо деяк! приклади евклщових простор!в
! ортогональних базис!в у них.
1. п-вим!рний арифметичний прост!р Rn, елементами якого е сис-
теми дшсних чисел
х = (хп х2, ... , хп),
!з звичайними операщями додавання i множення та скалярним добут-
ком
(*. У) = 2 ЪУи (3)
i=i
е добре вщомий прйклад евклщового простору. Ортогональний нор-
мований базис у ньому (один з нескшченного числа можливих) утво-
рюють вектори
er = (1, 0, 0, ... , 0),
е2 = (0, 1, 0, ... , 0),
е„ = (0, 0, 0, ... , 1).
2. Прост!р /2 з елементами
00 2
х = (хь х2, ... , хп, ...), де 2 Xl < °°-
i=i
1 скалярним добутком
сю
Ст у) = 2 ^itjt
1=1
(4)
е евклщовий прост!р. Справд!, зб!жшсть ряду, що стоТть у (4) право-
руч, було вже доведено в розд. II, § 1. Властивосп 1) — 4) скалярного
добутку перев!ряемо безпосередньо. Найпроспший ортогональний
нормований базис у /2 утворюють вектори
er = (1, 0, 0, ... ),
а2 = (О, 1, 0, ... ),
е3 = (0, 0, 1, ... ).
(5)
Ортогональшсть ! нормовашсть ixiei системи зрозум!л!; водночас сис-
тема (5) повна: нехай х = (лу, х2, ..., хп, ...) — будь-який вектор
з /2 i х<-п) = х2, хп, 0, 0, ...). Тод! х(п) е л!н!йна комбшащя
вектор!в Я, .... еп !
|| х(п> — х||->0 при п-+оо.
3. Прост!р С2 [а, Ь], що складаеться з неперервних на [а, Ь] дш-
сних функщй, з скалярним добутком
= (6)
а
також е евклщовим. Серед р!зних эртогональних базис!в, як! можна
назвати в ньому, найважлив!шим е тригонометрична система, що скла-
даеться з функцш
1 2л/ • 2л/ / 1 ст \ /'тх
-т- , cos п -г-, sin п -г--- (/г = 1, 2, ... ). (7)
2 о — а b — а х ' 4 7
Ортогональшсть ще! системи перев!ряемо безпосередньо.
Якщо розглядати неперервн! функцп на вщр!зку довжини 2л,
наприклад, на [—л, л], то вщповщна тригонометрична система е
1/2, cos nt, sin nt, (n = 1, 2, ...).
Система (7) повна. Споавд!, за теоремою Вейерштрасса всяку
неперервну на вщр!зку [а, Ь] функщю <р, яка набувае в точках a i b
однакових значень, можна подати як границю р!вном!рно зб!жно1
послщовност! тригонометричних многочлешв, тобто лшшних комбь
нащй елеменпв системи (7). Така послщовшсть i подавно збшаеться
до ф за нормою простору С2 1а, Ь]. Якщо ж f— д о в i л ь н а функ-
щя з С2 [а, Ь], то ii можна подати як границю (за нормою простору
С2 [а, &] послщовност! функцш <р„, кожна з який збшаеться з f
на в!др!зку [а, b— 1/п], лппйна на [Ь— l/n, b] ! в точщ b набувае
те саме значения, що й у точщ а (рис. 17). Отже, кожний елемент
з С2 [а, 6] можна наблизити як завгодно точно (в метрищ цього просто-
ру) лппйними комбшащями елеменпв системи (7), а це й означае ii
повноту. >
3. кнування ортогонален их базиДв, ортогонализация. До кшця
цього параграфа ми розглядатимемо сепарабельш евклщов! простори
(тобто простори, що мктять зл!ченну скр!зь щ!льну множину). Кож-
ний з простор1в, розглянутих у попередньому пункт!, сепарабельний
(доведпь це). Приклад несепярабельного евклщового простору можна
побудувати так. Розглянемо на прямш найр!зномаштн!ш! функцп
х, для кожноТ з яких множина точок R, t2, •••> в яких вона вщмшна
в:д нуля, не б!льш як зл!ченна, асума^х2 (/), узята за вс!ма такими
точками, скшченна. Операцп додавання i множення на числах визна-
чимо в цьому простор! як звичайне
f Д x—s У|\ I додавання i множення функци, а
/ \ / । \ | скалярний добуток визначимо фор-
/ I 'I мулою
f I | (х, у) = %xR)y(f),
-j----------:----------Е де сума береться за множиною тих
• точок Я в яких х (t) у (/) 0. На-
Рис. 17 даемо можливкть читатев! довести,
що в цьому простор! немае зл!чен-
ноТ скр!зь щ!льноТ шдмножини. Зазначимо, що цей npocrip— повний.
Отже, нехай R— сепарабельний евклрдовий npocrip. Покажемс,
що в такому простор! всяка ортогональна система не б!лыи як зл!-
ценна.
Справдц без обмеження загальностц можна вважати ррзглядузану
систему {ф<х} не Нльки ортогональною, а й нормованою (шакше ми
замшили б и системою | j j . При цьому
II фа — Ф₽ II = V 2 > якщо “¥=₽•
Розглянемо сукупшсть куль В (<ра, 1/2). Ц! кул! не перетинаються.
Якщо зл!ченна множина {ф„} скр!зь шДльна в R, то в кожшй так!й
кул! е принайми! один елемент з {ф„}. Отже, число таких куль (а, отже,
! елемент!в <ра) не б!лып як зл!ченне.
У кожному з наведених вище приклад!в евклщових простор!в
ми назвали по ортогональному базису. Доведемо тепер таку загальну
теорему, аналопчну теорем! про кнування ортогонального базиса
в гг-вим!рному евклщовому простор!:
Теорема 1 (про о ртогон а л ! з а ц!ю). Нехай
/1, |....L • • • (8)
— л!н!йно незалежна система елеменпив в евкл!довому простор! R,
Тод! в R !снуе система елемент!в
Ф1. Фз> • • • > фЯ • < > , '9)
яка задовольняе так! умоет
1) система (9) ортогональна ! нормовант
2) кожний елемент фп е л1н1йна к.омб1нац1я елеменпйв fi, f2, fn:
Фп = a-nifi + • • * 4" annfn,
причому апп^= 0;
3) кожний елемент /„ зображаеться у вигляд1
fn = &п1Ф1 + • • • + bnnqn, причому Ьпп 0.
Кожний елемент системи (9) визначаеться умовами 1) — 3) одно-
значно з точшстю до множника ± 1.
Доведения. Елемент <рх шукаемо у вигляд!
Ф1 = «11Л;
при цьому ап визначаеться з умови
(ф1. qpj = <41 (fi, fi) = 1,
звщки
1 ± 1
ап = т— = —г— •
6и V(fi, h)
Зрозухпло, що <Р1 визначаеться ним однозначно (з точшстю до знака).
Нехай елементи <pk (k < ri), як задовольняють умови J) — 3), вже
побудоваш. Тод! fn можна записати у зигляд’
fn = ^П1ф1 + • • • + ^п.п—1фп—1 + hn,
де
(h.n, <pft) = 0 при й < л.
Справд!, вщпсвщн! коеф!ц!енти bnk, а отже, i елемент hn однсзначно
визначаемо з умов
(hn, фД = (fn — Wi-----—М-1Фп-ь Ф/г) = (/„, Фй) — bnk (<pft, фй) = 0.
Очевидно, що (hn, hn) >0 (припущення (hn, hn) = 0 суперечило б
л!н!йн!й незалежност! системи (8)). Припустимо, що
= hn
К (йл, hn)
3 шдуктивно! побудови зрозум!ло, що hn, а отже i ф„, виража-
ються через flt fn, тобто ф„ = anif-_ + ••• + annfn, Де апп =
= 61—,..;. 0. Кр!м того,
V (hn, hn)
(фп, фп) = 1, (ф„, Фй) = ° (k < п)
i
/«=(&-г1Ф1+ +Мрл (Ьпп = V (hn, hn) 0),
тобто ф„ задовольняе умови теореми.
Перехщ вщ системи (8) до системи (9), яка задовольняе умови
1) — 3), називаеться процесом ор.погонал1зацП.
Зрозум!ло, що шдпростори, породжен! системами (8) i (9), зб!га-
ються м!ж собою. Отже, ш системи повш або неповш одночасно.
Н а с л i д о к. У сепарабельному евкл1довому npocmopi R 1снуе
ортогональний нормований базис.
Справд!, нехай чрх, ф2, .... фп, ... — зл!ченна скр!зыщльнамножина
в R. Виберемо з неТ повну систему лшшно незалежних елеменпв {fn}.
Для цього досить з послщовност! {ф„} виключити Bci ri елементи
кожний з яких можна подати як лш!йну комбшащю ф, з i < k, За-
стосувавши до знайденоТ таким чином повноТ системи лшшно незалеж-
них елемент!в пронес ортогонал!зацп, ми й побудуемо ортогональний
нормований базис. ч
Вправи. 1. Навести приклад (несепарабельного) евклщового простору, в яко-
му немае жодного ортогонального базису. Довести, що в повному евклщовому просто-
pi (не обов’язоково сепарабельному) 1снуе ортогональний нормований базис.
2. Довести, що в повному евклщовому простор! (не обов’язково сепарабель-
ному) усяка посл1довн!сть непорожшх вкладених опуклих замкнутих обмежених
множин е непорожшй перетин (пор. з вправами на стор. 60—61 i 122).
4. Нер1вн1сть Бесселя. Замкнут! ортогональю системи. Вибрав
ши в п-вим1рному евклщовому простор! ортогональний нормований
базис е1г е2, ..., еп, можна кожний вектор х g Rra записати у вигляд!
x=^chek, (10)
k=i
де
ck=(X’ek)' (н)
З’ясуемо, як узагальнити розклад (10) на випадок евклщового нескш-
ченновим!рного простору. Нехай
Ф1, <р2, ... , <р„, ... (12)
— оотогональна нормована система в евклщовому простор! Rif —
дов!льний елемент з R. 3!ставимо елементу f g R послщовшсть чи-
сел
| = (A<Pfe). *=1,2,..., (13)
як! ми називатимемо координатами або коефиуентами Фур'е елемента
f за системою {<р*} i ряд (поки що формальний)
(14)
k
який ми назвемо рядом Фур'е елемента f за системою {ср„}.
Природно виникае запитання: чи збшаеться ряд (14), тобто чи пря-
муе послщовшсть його часткових сум (в розумшш метрики простору
Р) до якоТсь границ!, i якщо в!н збшаеться, то чи збшаеться його сума
з вихщним елементом /?
Щоб в!дпов!сти на ц! запитання, розглянемо спочатку таку задачу:
при заданому п п!д!брати коефщ!енти ak (* = 1, 2, ..., ri) так, щоб
вщстань м!ж f i сумою
Sn = 2 (15)
A-l
була мш!мальною. Обчислимо цю вщстань. Осшльки система (12)
ортогональна i нормована, то
|]/—II2 = (f — 2 f — 2 =
= (Л /) — 2 If, 2 2 ak<pft, 2 «/фЛ =
\ 4=1 / '4=1 /=1 /
= IIЛ13 - 2 2 + 2 “М Л2 - 2 + 2 К ~^)3-
4=1 4=1 4=1 4=1
Зрозуммо, що мпимум цього виразу досягаеться тод1, коли останшй
доданок дор1внюе 0, тобто при
«4 = сй (/г = 1, 2, ... , п). (16)
У Цпому pasi
ll/-5n||2 = ll/ll2-2^* <17>
4=1
Ми показали, що серед ycix сум виду (15) при заданому п найменше
вщхиляеться вщ f часткова сума ряду Фур’е елемента f. Геометрично
цей результат можна пояснити так. Елемент
f — 2 VE
4=1
ортогональний yciM лшшним комбшащям виду
2
4=1
тобто ортогональний шдпростору, породженому елементами ф±, <р31...
.... <р„ тод, i Т1льки тодц коли виконуеться умова (16) (перев!рте це).
Отже, знайдений нами результат е узагальненням вщомо! теореми
елементарно! геометрii: довжина перпендикуляра, опущеного з да-
но! точки на приму або площину, менша за довжину будь-яко! похи-
ло!, проведено! з Tie! само! точки.
Осшльки завжди II f — S„||2 0, то з piBHocTi (17) випливае, що
2 cUllfll2-
оо
Тут п довыьне, а права частина не залежить вщ п; отже, ряд 2 •*
4=1
збшаеться i
оо
2^<И/И2- й8)
4=1
Ця нер1вн1сть називаеться нер1внлстю Бесселя. Геометрично це означав,
що сума квадрат!в проекщй вектора f на взаемно ортогональш напрями
не перевищуе квадрата довжини самого вектора f.
Введемо таке важливе поняття:
5 4-1039
Означения 1. Ортогональна нормована система (12) називае-
ться замкнутою, якщо для будь-якого / £ R справедлива р!вшсть
ОО
2CM/F’ (19)
А=1
яка називаеться pieHicnuo Парсеваля.
3 тотожност! (17) випливае, що замкнутщть системи (12) р!вно-
ОО
сильна тому, що для кожного/ g R частков! суми ряду Фур’е У, са<рп
П=1
зб1гаються до f.
Поняття замкнутост! ортогонально'! нормовано! системи т!сно по-
в’язане з введении вище поняттям повноти системи.
Теорема 2. У сепарабельному евкмдовому npoctnopi R всяка поена
ортогональна нормована система е замкнутою i навпаки.
Доведения. Нехай система {<р„} замкнута; тод!, який би не
був елемент f £ R, послщовшсть часткових сум його ряду Фур’е
збщаеться до f. Це означае, що лшшн! комбшацп елеменпв системи
{%} скр!зь щ!льн! в R, тобто система {<р„} повна. Навпаки, нехай
система {%} повна, тобго будь-який елемент/ g R можна сюльки зав-
годно точно апроксимувати лпДйною комб!нац!ею
п
/г=1
елеменпв системи {<ра}; часткова сума
п
2 c^k
ряду Фур’е для f дае не менш точну апроксимащю. Отже ряд
оа
2
л=1
зб!гаеться до /, ! р!вн!сть Парсеваля справджуеться.
У попередньому пункт! ми довели !снування повних ортогональних
нормованих систем у сепарабельному евклщовому ппостор!. Осюльки
для ортогональних нормованих систем поняття замкнутост! i повноти
зб!гаються, то юнування замкнутих ортогональних систем у R не по-
требуе нового доведения, а наведен! в попередньому пункт! приклади
повних ортогональних нормованих систем е водночас прикладами
замкнутих систем.
Вище ми весь час передбачали, що розглядуваш ортогональн!
системи нормоваш. Можна переформулювати поняття коефщ!ент!в
Фур’е, ряду Фур’е i т. д. i для будь-яких ортогональних систем.
Нехай {<р„} — дов !льна ортогональна система. За нею можна побуду-
вати нормовану систему, що складаегься з елеменпв % — ..v ,
Для будь-якого f g R маемо
сп = (Л /Фп) = -у^у- (/> Фп)
i
оо оо оо
Ё СпФп = £ yyj Фп = £ «пФп.
п=1 П=1 п=1
де
Коефщенти ап, як! визначаються формулою (20) ми назвемо коефп-
ц1ентами Фур'е елемента/за ортогональною (ненормованою) системою
{<?„}. Поставивши в нер!вн!сть (18) зам!сть сп ix вирази сп = ап || <р„||
з (20), Д1стаемо
оо
Яфп|М<||И (21)
п=1
— нер1вн1сть Бесселя для довмьноТ оотогональноТ системи.
5. Повн! евклщов! простори Теорема Pica — Фшера. Починаючи
з п. 3, ми розглядали сепарабельш евклщов! простори; з цього
моменту ми припускатимемо, KpiM того, що розглядуваш простори
повн!.
Отже, нехай R — повний сепарабельний евклщовий npocrip
i {ф,,} — деяка ортогональна нормована система в ньому (не обов’яз
ково повна). 3 нер!вносп Бесселя випливае, що для того, щоб числа
clt с2, сп, ... були коеф!щентами Фур’е якого-небудь елемента f £
g R, н e о б х i д п о, щоб ряд
збшався. Виявляеться, що в повному простор! ця умова не пльки
необхщна, а й достатня. А саме, справедлива така теорема:
Теорема 3 (Pica— Ф i ш е р а). Нехай {©„} — дов1льна ортого-
нальна нормована система в повному евкшдовому npocmopi R, i нехай
числа
^1, С2, . . . , Сп, а «
такл, що ряд
' °° 2
2 (22)
Л=1
зб1гаеться Todi йгнуе такий елемент f g R, що
= (/. Ф^)
i
2 4 = (f,f) = || ff.
k=i
Доведения. Припустимо, що
м = 2 c^k-
k=\
Тод!
П-f-P 2
ll/м-р—Ml2 = kn+i<Pn+i + • • • + c„+p<p„+p||2 = 2 c* •
Оск!льки ряд (22) збшаеться, то звщси внасл(док повноти R випливае
зб!жн!сть послщовност! {fn] до деякого елемента / g R. Дал!
(/, Ф<) =(/„, Ф<)+ (/-/„, Ф£-), (23)
причому праворуч перший доданок при п > i дор!внюе cit а другий
прямуе до нуля при п -> оо, бо
К/ — fn, ФЭ I СII/ — МЫЫ1-
Л!ва частина р!вносп (23) вщ п не залежить; тому, переходячи
в н!й до границ! при п -> оо, д!стаемо, що
(/. Ф<) =
Оск!льки за означениям /
II/ — /п|| ->0 при П->ОО,
ТО
00 9
2с* = (/’
*=i
Справд!
/ " п \ п
{f-Ъ f-% <wh = (/./)-2 с^°
\ ь=| fc=l / fe=l
при п -> оо. Теорему доведено.
На закшчення доведемо таку корисну теорему:
Теорема 4. Для того, щоб ортогональна нормована система {ф„}
в поеному сепарабельному евкмдовому простор! була поена, необхлдно
i достатньо, щоб у R не 1снувало ненульового елемента, ортогонального
до ecix елеменнйв системи {ф„}.
Доведения. Нехай система {} повна !, отже, замкнута.
Якщо / ортогональний до Bcix елеменпв системи {<рп}, то яс! його
коефйиенти Фур’е дор!внюють нулю. Тод! з р!вност! Парсеваля д!-
стаемо
°° 9
(/> /) = 2 с* = °-
fe=i
тобто / = 0.
Навпаки, нехай система {ф„} не повна. Тод! в R !снуе такий елемент
g =# 0, що
00 2
(g, g)>yick (де cft = (g, ф^)).
fe=i
На шдстав! теореми Pica — Oimepa !снуе такий елемент / g Р, що
°° 2
(/. <pfe) = ск 1 Ь = 5 ы.
/?=]
Елемент f — g ортогональний до Bcix <pt-. 3 HepiBHOCTi
(A f) = s d < (g, g)
k=i
випливае, що f — g ¥= 0. Теорему доведено.
В п p а в и. 1. Нехай Н — повний евклщовий npocrip (не обов’язково сепара-
бельний); тод! в ньому !снуе повна ортогональна нормована система (<р( (див. вправу
1 на стор. 128). Довести, що для всякого вектора f £ Н справедлив! розклади
f=S(A<Pa)H 1И«2 = 2<А fJ2'
а а
де в сумах, що стоять праворуч, е не б!лып як зл!ченне число в!дм!нних в!д 0 до-
данюв.
2. Система [фа| вектор!в евкл!дового простору R називаеться тотальною, якшо
в R не !снуе вщмшних в!д 0 век~оо!в, ортогональних до ecix <ра. Теорема 4 означае,
що в повному евклщовому простор! тотальшсть системи вектор!в екв!валентна Г!
повноп. Показати, що в неповних просторах можуть !снувати тотальш, але не повн!
системи.
6. Пльбертовий npocrip. Теорема про »зоморф1зм. Продовжимо
розгляд повних евклщових простор1в. При цьому нас, як i дос!, ц!ка-
витимуть нескшченневим!рш простори, а не скшченновим!рш, як!
досить повно описан! в курсах лпийноТ алгебри. Як правило, ми як
i paniine припускатимемо наявшсть у розглядуваних просторах зль
ченно! скр!зь пцльноТ множини. Введемо таке означения:
Означения 2. Повний евклщовий npocrip нескшченного чис-
ла вим!рювань називаеться ггльбертовим простором \ /
Отже, пльбертовим простором називаеться сукупшсть Н елеменпв
f, g, ... довыгьно! природи, яка задовольняе так! умови (аксюми):
I. Н е евклщовий npocrip (тобто лшшний npocrip i3 заданим у
цьому скалярним добутком).
II. PpocTip //повний у розумшш метрики р (f, g) = II f — g ||.
III. Проспр И н e с к i н чен н о в и м i p ний, тобто в ньому
для будь-якого п можна знайти п лшшно незалежних елеменпв.
Найчаспше розглядаються сепарабельш пльбертов! простори,
тобто простори, як! задовольняють ще одну аксюму.
IV. Н сепарабельний, тобто в ньому !снуе зл!ченна
скр!зь пцльна множина.
Прикладом сепарабельного пльбертового простору може бути
дшсний npocrip /2.
1 За !м’ям видатного тмецького математика Д. Г!льберта (1862—1943),
який вв!в це поняття.
Надал! ми розглядатимемо лише сепапабельний випадок.
Нагадаемо, що два евклщов) простори, R i R*, називаються 1зо-
морфними, якщо м!ж ix елементами можна встановити взаемно одно-
значну вщповщшсть так, що коли
то
i
У++У*
(x,y^R- x*,y*QR*),
х + у+->х* + у*,
ах *-> ах*
(х, у) = (х*, у*).
Тнакше кажучи, 1зоморф1зм евклщових простор!в — це взаемно одно-
значна вщповщшсть, яка збершае як щшйш операцн, визначеш
в цих просторах, так i скалярний добуток.
Як вщомо, будь-яш два и-вим!рш евклщов! простори 1зоморфш
м1ж собою i, отже, кожний такий npocrip 1зоморфний арифметичному
простору R'1 (приклад 1, п. 2). Евклщов! простори несшнченного числа
вим!рювань не обов’язково 1зоморфш один одному. Наприклад, прос-
тори /2 i С2 [а, Ь] м!ж собою не 1зоморфш. Це видно, наприклад, з того,
що перший з них повний, а другий — ш
Однак, мае мюце такий факт:
Теорема 5. Будь-як1 два селарабельн! йльбертов! простори 1зо-
морфн! м1ж собою.
Доведения. Покажемо, що кожний пльбертовий npocrip
Н 1зоморфний простору /2. Тим самим буде доведено твердження тео-
реми. Виберемо в Н довмьну повну ортогональну нормовану систему
{(pj i поставимо у вщповщшсть елементу f £ Н сукупшсть с1г с2, ...
оо
..., сп, ... його коефщ!ент1в Фур’е за шею системою. Осшльки J с. <
< оо.'то послщовшсть (сх, с2, .... сп, ...) е деякий елемент з 12. Навпа-
ки, внаслщок теореми Pica — Фшера всякому елементу (сх, с2, ...
..., сп, ...) з /2 вщповщае деякий елемент f g И, що мае числа сх, с2, ...
..., сп, ... СВО1МИ коефщентами Фур’е. Установлена вщповщшсть м!ж
елементами з Н в /2 взаемно однозначна. Далц якщо
f *“* (С1> С2> • • • > Сп> • ' •)
i
g (^1, ^2, • • >, ,.),
то
f + g <-* (сх + di, c2-j- d2, ..., c„ + dn, ,,»)
i
af <-» (aclt ac2, ..., acn, .. ),
тобто сума переходить у суму, а добуток на число — у добуток в!д-
повщного елемента на це саме число. Hapeiirri, з р!вност! Парсеваля
випливае, що
(A£) = 2C^- <24)
п=1
Справд!, з того, що
ОО оо
(А /) = 2 cn, (g, g) = 2 d2
/г=1 n=l
i
V + g, f + g) = (A f) + 2 (A g) + (g, g) =
CO co CO OQ
= + d„)2 = 2 c2 + 2 v cndn + V dffi
n=\ rc=l n=l
випливае (24). Отже, установлена нами вйповщшсть м!ж елементами
простор!в Н ! /2 справд! е !зоморф!змом.
Доведена теорема означав,J що з точшстю до !зоморф!зму icnye
лише один (сепарабельний) пльбертовий проспр (тобто система ак-
cioM I—IV — повна) ! що npocrip /2 можна розглядати як його «коорди-
натну реал!зац!ю», под1бно до того, як м-вим!рний арифметичний прос-
п
Tip i3 скалярним добутком У xtz/t- е координатна реал!зац!я евклщо-
i=i
вого простору п вим!рювань, заданого аксюматично.
1ншу реал!зац!ю пльбертового простору можна д!стати, взявши
функцюнальний проспр С2 [a, b] i розглянувши його доповнення.
Справд!, легко перев!рити, що доповнення R* усякого евклшового
простору R (в тому розумшн!, як ми означили доповнення метричного
простору в § 3, розд. II) стае лпийним евклщовим простором, якщо
в ньому визначити лшшш onepauii ! скалярний добуток, продовжую-
чи ix за неперервшстю з простору R, тобто припускаючи, що
х 4- у = lim (х„ + у„), ах = lim ахп
i
(х, у) = lim (х„, г/„),
П->оо
де хп -> х i уп -> у, хп, уп £ R (шнування Bcix цих границь i ix неза-
лежшсть вщ вибору послщовностей {xj i {уп} можна легко встано-
вити). Тод! доповнення простору С2 [а, Ь] буде повним евклщовим
простором, очевидно, нескшченновим!рним i сепарабельним, тобто
пльбертовим простором. У розд. VI ми повернемося до цього питания
i покажемо, що п елементи, як! можна приеднати до С2 [a, bi щоб д!-
стати повний проспр, також можна подаги як функци, але пльки
вже не неперервш (а саме, як функци, квадрат яких пщсумовуеться
в розумшш Лебега).
7. П1дчростори, ортогональн! доповнення, пряма сума. У в!дпов!д-
ност! з загальними означениями § 3 мншною многогтатшстю в пль-
бертовому простор! Н ми назвемо таку сукупшсть L елеменпв з Н,
що коли /, g £ L, то af + Pg g L для будь-яких чисел a i р. 3 ай-
кну т а лппйна многостатшсть називаеться nidnpoctnopOM. Наведе-
мо деяк! приклади п!дпростор!в пльбертового простору.
1. Нехай h — дов!льний елемент з Н. Сукупшсть yeix елеменпв
f Q И, ортогональних до /г, утворюе в Н шдпроспр.
2. Нехай Н регл!зований як /2, тобто його елементи е так! посл!-
довносп (xlt х2, ..., хп, ...) чисел, що 2 *ft О Елементи, як! задо-
ft
вольняють умов! хг = х2, утворюють шдпроспр.
3. Нехай знову Н реал!зований як npocrip 12. Елементи х = (хг,
х2, ..., хп, ...), в яких хп — 0 при п — 2, 4, 6, ... (! хп дов!льш при
п = 1, 3, 5...) утворюють шдпроспр.
Рекомендуемо читачев! перев!рити, що наведен! в прикладах 1—3
сукупност! вектор!в справд! е шдпросторами.
Усякий шдпроспр пльбертового простору або е ск!нченновим!р-
ним евклщовим простором, або сам е пльбертовйм простором. Справ-
д!, справедлив!сть аксюм I—III для кожного такого шдпростору оче-
видна, а справедливють аксюми IV випливае з тако!' леми:
Лема. Будь-яка шдмножина R' сепарабельного метричного прос-
тору R сама сепарабельна.
Доведения. Нехай
L, ^2. • • • , U • • •
— зл!ченна скр!зь щ!льна множина в R i
ап = inf Р Л)-
Для будь-яких натуральних п i т знайдеться така точка £ R1,
що
р(£а, Цп.т) <ап+~ .
1 8
Нехай 8 > 0 i — для будь-якого n g R' знайдеться такеп, що
tn о
РЙп, ЛХ^
i, отже,
it- х ! 1 ИИ 6 । е 2е
рл».«)<^ + дг< — + — = —;
але тод! р (т], л«.т) < 8> тобто не б!льш н!ж зл!ченна множина
(п, т = 1, 2, ...) скр!зь щ!льла в R'.
Пщпростори г!льбертового простору мають деяк! спешальн! влас-
тивост! (як! не справджуються для простор!в дов!льного нормованого
простору). Ц! властивост! пов’язан! з наявшетю в гщьбертовомн прос-
тор! скалярного добутку i поняттям ортогональност!, що грунтуеться
на ньому.
Застосувавши провес ортогонал!заци дс якоьнебудь зл!ченно1
скр1зь Щ1льно1 послщовност! елеменпв довольного пщпростору г!ль-
бертового простору, д!стаемо таку теорему:
Теорема 6. У кожному nidnpocmopi М простору Н м!ститьсч орто-
гональна нормованасистема {уп\,л!н 1йнезамиканняякоIзб1гаеться з М.
Нехай М. — пщпроспр пльбертового простору Н. Позначимо
через
MJ- = HQM
множину елеменпв g g Н, ортогональних до Bcix елеменпв f У М,
i доведемо, що М1 також е пщпроспр простору Н. Лпийтсть М1
очевидна, бо з (glt f) = (g2, /) = 0 випливае (а^ + a2g2, f) = 0.
Для доведения замкнутост! припустимо, що елементи gn належать
М1- i зб!гаються до g. Тод! для будь-якого f £ М
(g, f) = lim (gn, f) = 0,
n-tco
i тому g також входить в M1.
Пщпроспр М1 називаеться ортогональным доповненням пщпросто-
ру М.
3 теореми 6 випливае така теорема:
Теорема 7.Якщо М —[замкнутий!) л!н!йний nidnpocmip простору
Н, то будь-який елемент f g Н единим способом може бути зображе-
ний у вигляд! f = h h'tjde h £ М i h,’ £ ML.
Доведения. Доведемо спочатку !снування такого розкладу.
Для цього знайдемо в М. повну ортогональну нормовану систему
(ф„) i припустимо, що
h = 2 С«Фп> Сп = (А Фп)-
п=1
сю
Оск!льки (за нер!вн!стю Бесселя) ряд 2 збДаеться, то елемент h
п=1
!снуе i належить М. Нехай
h’ — f — h.
Очевидно, що для Bcix п
(У, фп) = О
i, оск!льки дов!льний елемент £ з М може бути зображений у вигляд!
сю
С = 2 а«ф«’
то маемо
оо
(h', ф„)=0,
тобто h' £ Л41.
Припустимо тепер, що, кр!м побудованого нами розкладу f = h +
+ h', !снуе шший розклад:
/ — h-t £ M, h{ g M1,
Тод! при вс!х п
01, Фп) = (Л Ф«) S с„>
зв!дки випливае, що
hr — h, h\ = /г'.
3 теореми 7 дютаемо так! важлив! наслщки.
Н а с л ! д о к 1. Ортогональне доповнення до ортогонального
доповнення замкнутого л1н1йного nidnpocmopy М зб1гаеться з самим М.
Отже, можна говорити про взаемно доповняльш шдпростори
простору Н. Якщо М i М1 — два так! шдпростори, що доповнюють
один одного, i {<jp„}, {фп} — повн! (вщповщно в М i УИ1) ортогональю
системи, то сполучення систем {<р,г} i {ф„} дае повну ортогональну
систему в усьому простор! Н. Тому мае м!сце наслщок:
Н а с л ! д о к 2. Кожна ортогональна нормована система може
бути розширена до системи, поено! в Н.
Якщо система {фп} скшченна, то число елемент!в, що входять до
не!, дор!внюе розм!рност! шдпростору М, породженого {<р„}, i короз
м!рност! шдпростору М1. Отже, д!стаемо ще один наслщок:
Насл!докЗ. Ортогональне доповнення до простору скшченно!
розмлрност! п мае корозм!рн!сть п, I навпаки.
Якщо кожний вектор / g И може бути зображений у вигляд!
f = h + h', h Q М, h’ £ Мх (Л41 — ортогональне доповнення М),
то кажуть, що Н г пряма сума взаемно ортогональних шдпростор!в
М i АР i записують
Н = М © АР..
Зрозум!ло, що поняття прямо! суми можна безпосередньо узагальнити
на будь-яке скшченне або нав!ть зл!ченне число ш‘дпростор!в; а саме,
кажуть, що Н е пряма сума сво!х п!дпростор!в Afj, Л42, ..., Мп, ...
Н = А^ © М2 © . . . ф А!„ © . . .,
якщо
1) шдпростори Mi попарно ортогональю, тобто будь-який вектор
з М, ортогональний будь-якбму вектору з Mk при i Ф k;
2) кожний елемент / £ Н може бути зображений у вигляд!
f = hi + h-2 + • ‘ + h-n + • •, hn £ Mn,
причому якщо число шдпростор!в Мп нескшченне, то У || hn ||2 —
п
зб!жннй ряд. Легко перев!рити, що коли таке зображення елемента
f icnye, то воно едине i що
Ш2=-У11М2-
п
Поряд з прямою сумою шдпростор!в можна говорити про пряму суму
скшченного або зл!ченного числа дов!льних г!льбертових просторов.
А саме, якщо Hi i Н2 — два пльбертов! простори, то !х пряму суму
визначаемо так: елементи простору Н — це найр!зномаштшш! пари
(hi, h2), ж hi £ Hi, h2 g H2, а скалярний добуток двох таких пар до-
р!внюе
((hi, h2), (h\, h2)) = (hi, h[) © (h2, h’2).
Очевидно, у простор! H е взаемно ортогональн! шдпростори, що скла-
даються з пар виду (hi, 0) i (0, h2) вщповщно; перший з них можна при-
родно ототожнити з простором Hi, а другий — з простором Н2.
Аналопчно визначаемо суму будь-якого скшченного числа просто-
р!в. Суму Н = 2 © Hlt зл!ченного числа простор!в Hi, Н2, ..., Нп, ...
визначаемо так: елементи простору Н — пе найр!зноман!тн!ш! посль
довност! виду
ft — (^1, ^2> • • •, • • •) (^п € и)»
так!, що
211М2<°о-
п
Скалярний добуток (ft, g) елеменпв hi g з Н дор!внюе
2(Й gn)-
п
8. Характеристична властив!сть евклщоьих простор!в. Розгляне-
мо таке питания. Нехай И — нормований npocrip. Яку додаткову
умову повинна задовольняти норма, визначенг в R, щоб проспр R
був евклщовим, тобто щоб норма в ньому визначалась деяким ска-
лярним добутком. 1накше кажучи, як охарактеризувати евклщов!
простори в клас! вс!х нормованих простор!в Таку характеристику
дае теорема:
Теорема 8. Для того, щоб нормований npocmip R був евкл1довим,
необх1дно i достатньо, щоб для будь-яких двох елемештв, f i g, вико-
нувалась pienicmb
+ gf + ||f-g||2 = 2(Ш2 + И2). . (25)
Оск льки f + g i f— g— це д!агонал! паралелограма, побудова-
ного на сторонах f i g, то р!вшсть (25) виражае вщому властив!сть
паралелограма в евклщовому простор!: сума квадрапйв diazo налей
паралелограма дор(внюе сум1 Keadpamie yeix його cmopiH. Отже, необ-
х!дн!сть умови очевидна. Доведемо !"! достатшсть. Припустимо
(A g^^(U + gT-\\f-gf), (26)
i покажемо, що коли р!вшсть (25) виконана, тофункщя (26) задоволь-
няе вс! аксюми скалярного добутку. Осюльки при f = g маемо
(A (27)
це й буде той скалярний добуток, який породжуе в простор! R задану
там норму.
Насамперед, з (26) в!дразу видно, що
(/ g) = (ё, f),
тобто властив!сть 1) скалярного добутку виконана. Кр!м того, внасль
док (27) справджуеться i властив1сть 4). Для встановлення властивос-
Ti 2) розглянемо функшю трьох вектор!в
Ф(/, g. й) = 4[(/ + §, й)-(/, /i)-(g, Ж
Ф(/, g, h)=\\f + g + hf-\\f + g-hf-\\f + hf +
+ \\f-42-\\g + ^2 + \\g-42< (28)
i покажемо, що вона тотожно дор!внюе нулю. Внаслщок (25) маемо
||/ + g ± М2 = 21|/ ± h f + 2 ||g||* -1|/ ± h - gf.
Поставивши вщповщш випази в (28), дютанемо
Ф(/, g, h)^-lf + h-g\^ + \\f-h-gf +
+ II / + h ||2 -1| / - Я2 - || g + h ||2 +|| g - h ||2. (29)
Взявши швсуму (28) i (29), маемо
Ф(/, g, h) = -^(\\g + h + ff + ^ + h-f^-
-~^(\\g-h + ff+\\g-h-ff)-\\g + hr + lg-h^
На шдстав! (25) перший доданок дор!внюе
l|g + 42+ll/ll2.
а другий дор!внюе
-к-Я2-II/II2-
Отже,
Ф(/, g, /г)^0.
Hapenrri встановимо властивють (3) — однорщшсть скалярного
добутку. Розглянемо для цього при будь-яких фжсованих / i g функ-
шю
<Р (О = (с/, g) — с (/. g).
3 (26) вщразу випливае, що
ф(0) =4- (||g||2-||g||2) = 0 ,
i <р (—1) = 0, осшльки (—/, g) = —(/, g). Тому для будь-якого ц!ло-
(«/. g) = (sgnn(/+ ••• +/), g) =
= Sgnn[(/, g)+ ••• +(/. g)l = |n|sgnn(/, g)=n(f, g),
тобто <p (n) — 0. При шлих p, q i q =/= 0
(f /’ g]=~(hg)>
тобто <p (c) — 0 при Bcix рацюнальних с; осшльки функш’я ф непе-
рервна, то
<р (с) s 0.
Тим самим ми показали, що функщя (/, g) мае Bci властивост! скаляр-
ного добутку.
Приклади. 1. Розглянемо п-вим!рний npocrip Rp, в якому
норма визначеча формулою
/ п \ i/р
1И1р= £Ы₽ •
\я=1 /
При р > 1 ус! аксюми норми виконаш, однак евкл!довим простором
Rp буде пльки при р = 2. Спразд!, розглянемо в Rp два вектори:
/ = (1, 1, 0, 0, .... 0),
g=(l, -1, 0, 0, .... 0);
маемо
f + g = (2. 0, 0, ..., 0),
/-g = (0, 2, 0, .... 0),
звщки
ll/llp = kllp = 2i/p, ||/ + g||p=||/-^||p = 2,
так що тотожшсть паралелограма (25) при р #= 2 не виконуеться.
2. Розглянемо npocrip неперервних функщй на в!др!зку [0, л/2].
Припустимо, що
f (t) = cos t, g (?) = sin t.
Маемо
j 11/11 = kIKi
||/ + g|| = max I cos t + sin H = V2,
Ц/ — g||= max |cosi— sin/| = 1.
Звщси видно, що
y + g||2-HI/-^F^2(||/|p + ||g||2).
Отже, норму простору С [0, л/2] не можна задати за допомогою яко-
го б то не було скалярного добутку. Летао побачити, що й npocrip
неперервних функщй С [а, Ь] на будь-якому вщрюку [а, Ь] не е евкль
довим простором.
9. Комплекса евкл1дов1 простори. Поряд з д!йсним можна ввести
i комплексний евклщовий npocrip (тобто комплексний лшШний прос-
rip з скалярним добутком у ньому). Однак аксюми 1) —4), сформульо-
ваш на початку цього параграфа, не можуть бути в комплексному
простор! виконаш одночасно. Справд!, з 1) i 3) випливае
(Хх, Хх) = X2 (х, х),
звщки при X = i маемо
(ix, ix) = — (х, х),
тобто скалярш квадрата вектор is х i ix не можуть бути одночасно до-
датш. 1накше кажучи, аксюми 1) i 3) несум!сш з аксюмою 4), Тому
аксюми, за допомогою яких визначаеться скалярний добутск, у комп-
лексному випадку повинн! бути дещо змшеш пор!вняно з д!йсним. У
комплексному простор! скалярний добуток ми визначимо як числову
(комплекснозначну) функщю двох вектор!в, яка задовольняе так!
умови:
1) (-1 У) = (У, х),
2) (Ах, у) = Х(х, у),
3) (Xi + х2, у) = (хв у) + (х2, у),
4) (х, х) > 0. причому (х, х) > 0, "кщо х =/= 0. (Отже, ми внесли
поправку в першу аксюму, збершши три шш! без змш). 3 умов 1)
i 2) випливае, що (х, ку) = к (х, у). Справд!,
(х, ку) = (ку, х) = к (у, х) = к (х, у). ~~
Добре вщомий приклад комплексного евклщового простору п вимь
р!в — це л!шйний npocrip С" (§ 1, приклад 2), в якому скалярний добу-
ток елеменпв
х = (хх, х2, ,,,, хп) i у = (г/i, у2, уп)
визначаеться формулою
п _
(X, у) = ^xkyk.
fa=l
Як вщомо,' всякий комплексний евклщовий npocrip розм!рност£ п
!зоморфний цьому простору.
Прикладами нескшченновим!рних комплексних евклщових прос-
тор iB можуть бути:
1) комплексний npocrip /2, в якому елементи — це послщовност!
комплексних чисел
X = (Х^, х2, . . . , Xrt, . . .),
як! задовольняють умову
оо
2 I х„|2<оо,
п=1
а скалярний добуток визначаеться формулою
(х. у) = 2 Хпу~п-,
' п=1
2) npocrip С2 [а, Ь] комплекснозначних неперервних функщй на
вщр!зку [а, Ь} з скалярним добутком
(Л й =
а
У комплексному евклщовому простор! довжина (норма) вектора
визначаеться, як i в д!йсному випадку, формулою
Поняття кута м!ж векторами в комплексному випадку звичайно
L (X, У)
не вводить (бо величина — у взагал! кажучи, комплексна 1 може
не бути косинусом якого-небудь дШсного кута); однак поняття орто-
гональност! збер1гаеться: елементи х i у називаються взаемно ортого-
нальними, якщо (х, у) = 0.
Якщо (ф„|—яка-небудь ортогональна система в комплексному
евклщовому простор! R, i f— дов!льний елемент з R, то, як i в дуемо-
му випадку, числа
1Ш12 фп)
називаються коефщ1ентами Фур’е, а ряд
2 ФгЧп
п
— рядом Фур’е елемента f по ортогональшй систем! Справджуе-
ться нер!вн!сть Бесселя:
5>nli2KI2<(7, /)•
п
Зокрема, якщо система {<рп} ортогональна i нормована, то коеф!ц!ен-
ти Фур’е по такш систем! визначаються формулами
Бх = (7. Фп),
а нер!зшсть Бесселя мае вигляд
1Я<(7 /)•
п
Повний сепарабельний комплексний евклщовий прост!р неск!н-
ченно! розм!рност! називаеться комплексным гильбертовом простором.
На комплексний випадок переноситься теорема про !зоморф!зм г!ль-
бертових просторов:
Теорема 9. Будь-яшдва сепарабельш комплексы просторы 1зомор-
фн1 м1ж собою.
Найпроспшою реал!зац!ею комплексного г!льбер' рвого простору
е комплексний npocrip /2. 3 шшою, функциональною, реал!зац!ею
комплексного пльбертозого простору ми ознайомимося в розд. VI.
Надаемо читачев! можливють перев!рити, що вс! теореми, дове-
ден! вище для дшсних евклщових, зокрема, Нльбертових простор!в,
справедлив! (з незнаниями змшами, як! враховують комплексшсть
скалярного добутку) i для комплексних простор!в.
§ 5. ТОПОЛОГ1ЧН1 Л1Н1ЙН1 ПРОСТОРИ
1. Означения i приклади. Задания норми — лише один з мож-
ливих способ!в введения тополог!! в лшшному простор!. Розвиток
таких областей функционального анал!зу, як те о р i я узагаль-
нених ф у н к ц i й (про них буде сказано в наступному розд!л_)
показав, що в багатьох випадках кооисно розглядати лшшш простори
з тополопею, яку задають не за допомогою норми, а якимсь ншим
способом.
Означения 1. Множина Е називаеться тополойчним лтй-
ним простором, якщо
I. Е—лппйний npocrip (з множенням елеменпв на дШсш або
комплексш числа).
II. Е — топологччний npocrip.
III. Onepanii додавання i множення на числа в Енеперервн! вщнос-
но задано! в Е топологи. Докладюше остання умова означае таке:
1) якщо г0 = х0 + у0, то для кожного околу U точки г0 можна на-
звати таю околи V i W точок х0 i у0 вщповщно, що х + у £ U при х g
€ V yQW;
2) якщо аохо= Уо> то Для будь-якого околу U, точки у0 icnye такий
оюл V точки х0 i гаке число е > 0, що ах cz U при | а — а01 < 8
i х е V.
1з зв’язку, що icnye в лшшному тополопчному простор! м!ж алге-
бра!чними операщями i тополопею, випливае, що тополопя в такому
простор! щлком визначаеться заданиям системи окоте нуля. Справд!,
нехай х — точка лшюного тополопчного простору Е, i U — деякий
оНл нуля в Е. Тод! U + х — «зсув» цього околу на х — е оюл х;
очевидно, що будь-який ою'л будь-яко! точки х r- Е можна дютати так.
3 неперервност! операщй додавання i множення на числа в тополопч-
ному лшшному простор! Е безпосьредньо випливають так! твердження:
1. $кщо U, V — eidKpumi множини в Е, то й множина U + V
(тобто сукупшсть ycix елеменпв виду х + у, х g U, у g V) вьдкрита.
2. Якщо U в1дкрита, то й множинаК!) (тобто сукупшсть ycix еле-
менпв виду Ах, х Q U) при будь -якому А. #= 0 вСдкрита.
3. Я^що Е замкнута множина в Е, то й /.F замкнута при будь-яко-
му К.
Приклади. 1. До тополопчних лшШних простор!в належать
насамперед вс! нормован! простори Справд!, з • властивостей норми
вщразу випливае. шо onepanii додавання вектор!в i множення !х на
числа в нормованому простор! неперервш в Tift топологи, яка визна-
чаеться нормою.
2. Визначимо систему окол!в нуля в простор!' Rcc найр!зномашт-
шших числових послшовностей х = (хп х2, ..., х„, ...) так. Кожний
оюл U (klt ..., kr; в) визначаеться щлими числами klt ..., kr i числом
8 > 0 i складаеться з ycix тих х ( R°°, яю задовольняють умови:
I&J <8, i = 1, 2, .. ., г.
Легко перев!рити, що задания nie! системи окол!в перетворюе
R°° у лшШний тополопчний npocrip. (Поряд з R°° можна розглядати
проспр С°° ycix комплексних послщовностей).
3. Нехай К [а, Ь] — npocrip несюнченно диференщйовних 1функ-
Тобто таю, що мають похщш bcix порядив.
щй на вщр!зку [а, &]. топологпо в К [а, Ь] визначено за допомогою
тако! системи окол!в нуля. Кожний такий ошл Um,E визначаеться номе-
ром m i числом в > 0 i складаеться з yeix функщй <р, як! задовольняють
нершност!
| <р(Е) (х) | < 8, k — 0, 1, 2.т,
де ф(*) — похщна k-vo порядку вщ функцп <р.
Той факт, що в тополопчному лшшному простор! топология по-
в’язана з лшшними операщями, визначеними в ньому, накладае на
його тополопю досить жорстк! обмеження. А саме, у тополопчному
лшшному npocmopi Е точка х i замкнута множина, що не ммтить
'it, мають неперетинн, околи.
При доведенш цього твердження досить розглянути точку х = О
i будь-яку замкнуту множину F, що не м!стить Г!. Припустимо, що
U = E\F. На тдетав! неперервносп onepani'i вщшмання в Е знайдеть-.
ся такий ошл нуля IF, що W — W cz U. За W можна взяти перетин
окол!в нуля i W2 таких, що х— у g U, якщо х £ Wi i у £ W2.
Перев!римо, що замикання околу W м!ститься в U. Нехай у g [IF].
Tofli кожний ок!л точки у, зокрема у + W м!стить яку-небуць точку
2 з IF. Отже, г — у g W, тобто у £ W— WcU, що й стверджувалось.
При цьому W i Е \ [IF] — тукан! околи точки 0 i множини F вщпо-
вщно.
Лшшний тополопчний npocTip називаетьсяв1докремним, якщоBin
задовольняе аксюму вщд!льност! 7\, тобто якщо будь-яка його одноточ-
ва шдмножина замкнута; очевидно, що лшшний тополопчний npocTip
вщокремний тод! i т!льки тод!, коли перетин yeix окол!в нуля не мЯ-
тить ненульових елеменпв. Тополопчн! простори, яг i задовольняють
аксюми В1дд!льност! Т2 i Т3, ми назвали в розд. II регулярнимщ з до-
веденого в попередньому абзац! випливае, що вШокрсмний тополо-
г1чний лшшний npocmip регулярний.
У нормованих просторах важливу роль вщ!грае поняття обмежено‘1
множини. Хоч там це поняття вводиться за допомогою норми, його
можна природно сформулювати i для будь-яких лш!йних тополопч-
них простор!в.
Множину М, що лежить у тополопчному лш!йному простор! Е,
назвемо обмеженою, якщо для кожно! о околу нуля U !снуе таке п >
> 0. що W d М при Bcix | % | > п.
Зрозуммо, що для нормованих простор!в це поняття обмеженосп
зб!гаеться з обмежешетю за нормою (тобто з можливютю помютити
задану множину всередину деяко! кул! || х || < R). Проспр Е називае-
ться локально обмеженим, якщо в ньому ienye хоча б одна непорожня
вщкрита обмежена множина. Усякий нормований npocTip локально
обмежений. Прикладом простору, який не е локально обмеженим,
може бути прост!р R°°, наведений у приклад! 2 (доведпь це!)
Вправи. 1. Нехай Е — тополопчний лшшний npocrip; довед!ть справедли-
в!сть таких тверджено:
(а) множина МсЕ обмежена тод! i ильки тод!, коли для будь-яко! послщов-
ност! {хп} с М 1 будь-яко'! послщовност! додатних чисел {е„}, що прямуе до нуля,
послщовшсть &пхп прямуе до нуля;
(б) якщо {хп}^=1 С Е i хп -> х, то {хл} — обмежена множина;
(в) якщо Е локально обмежена, то в н!й виконуеться перша аксюма зл!ченност!.
Чи виконана перша аксюма зл!ченност! в простор! 2СО?
2. Ми скажемо, що множина М в тополопчному л!шйному простор! Е погли-
наеться околом нуля U, якщо !снуе таке п, що tiU рэ М. Довести, що в локально
обмеженому простор! !снуе фундаментальна система окол!в нуля, як! взаемно погли-
нають один одного. Що можна взяти за таку систему в нормованому простор!?
2. Локальна опукл!сть. ДовИьш тополопчн! л!н!йн! простори
можуть мати властивосп, надто далек! в!д звичних властивостей
евкл!дових чи нормованих простор!в. Важливий клас простор!в,
загальшших, н!ж нормоваш, але так!, що збер!гають багато власти-
востей останшх, утворюють так зван! локально опукл! простори.
Означения 2. Тополопчний лшшний прост!р називаеться
локально опуклим, якщо в ньому всяка непорожня вщкрита множина
м!стить непорожню опуклу вЯкриту пщмножину.
Зауважимо, що коли проспр Е локально опуклий, то для будь-
яко!' точки х g Е i будь-якого Г! околу U знайдеться такий опуклий
и ок!л V, що х £ V c=-U. Справд!, досить перев!рити справедливей
цього твердження для точки х = 0. Нехай U — який-небудь ок!л нуля.
Знайдеться такий ок!л нуля V, що V — V cU. Осшльки Е локально
опуклий, то знайдеться непорожня опукла вщкрита множина V' cz У;
нехай у g V', тод! V —у— опуклий ошл нуля, що мютиться в U.
Усякий нормований проспр локально опуклий. Справд!, в ньому
будь-яка непопожня вщкрита множина мае деяку кулю. Отже, уся-
кий нормований npocmip локально обмежений i локально опуклий.
Можна показати, що, по суп, нормованими просторами i вичерпуеться
клас простор!в, що мають обидв! ц! властивост!. А саме, назвемо
лшшний тополопчний проспр Е нормованим, якщо та тополопя,
яка е в Е може бути задана за допомогою деяко! норми. Справджуеться
така теорема: усякий в!докремний локально опуклий i локально обмеже-
ний лшшний тополог1чний npocmip нормований.
В п р а в и. 1. Довед!ть, що вщкрита множина U в тополопчному л!н!йному про-
стор! опукла тод! i т!льки тод!, коли U + U = 2U.
2. Нехай Е — лнпйний проспр: множина UcE називаетпся симетричною,
якщо з х f U випливае —х P\U- Нехай — с!м’я вс!х опуклнх симетричних шд-
множин простору Е, як! збюаються з cboiv ядром (див. § 2). Довести справедлив!сть
таких тверджень:
(а) с!м’я е визначальною с!м’ею окол!в нуля для деяко! локально опукло!
вщокремно! тополог!! в простор! Е (ця тополопя називаеться ядерно-опуклою)’,
(б) ядерно-опукла тополог!я е найсилыпшою з локально опуклих тополопй,
в яких л!н!йн! операци в Е неперервн!;
(в) усякий лпп'йний функцюнал на Е неперервний вщносно ядерно-опукло!
тополог!!.
3. Зл!ченно-нормован! простори. Дуже важливим для анал!зу
класом лшшних гополопчних простор!в е так зван! зл1ченно-нормо-
ваш простори. Щоб сформулювати вщпов!дне означения, нам потр!б-
но буде одне долом!жне поняття.
Нехай у Л1н1йному простор! Е задано дв1' норми || • ||i i || • ||2
Вони називаються зг1дними, якщо всяка послщовшсть {хп} з Е, фун-
даментальна по кожшй з цих норм i зб1жна до деяко! границ! х £ Е
по одшй з них, збшаеться до Tie! ж границ! х ! по другш норм!.
Кажуть, що норма || • ||, не слабша, н!ж || • ||2, якщо кнуе така стала с > О,
що || х ||, > с || х ||2 для вс1х х f Е.
Якщо перша норма не слабша за другу, а друга — не слабша за першу, то щ
дв! норми називаються еквьваленгпними. Дв! норми називаються пор1вняннилш,
якщо одна з них не слабша за другу.
Означения 3. Змченно-нормованим простором називаеться
лшшний npocrip Е, в якому задано зл!ченну систему попарно згщ-
них норм || • ||„. Усякий зл!ченно-нормований npocrip стае лшш-
ним тополопчним, якщо за визначальну систему окоп i в нуля взяти
сукупшсть множин Ur,e, кожна з яких визначаеться номером г i
додатним числом е та складаеться з ycix тих елемент!в х £ Е, як!
задовольняють умови
Д1<8............1К<8-
Надаемо можливють читачев! перев1'рити, що така система окол!в
нуля справд! визначае в Е тополопю, в якш операцп додавання еле-
менпв i множення !'х на числа неперервн!.
Зауважимо, що усякий зл!ченно-нормований npocrip задозольняе
першу аксюму зл1’ченносп, осюльки систему ошмив нуля Vr,e можна
замшити (не змшюючи тополог! !’) зл!ченною шдсистемою, в якш е
набувае лише значень I, 1/2, 1/3, ..., 1/п, .. Бшыпе того, тополопю
в зл!ченно-нормованому простор! можна задати за допомогою деяко!’
метрики, наприклад, тако!:
р(х, = S 2^1 + ||7-"р||п’
п=1
Пропонуемо читачев! перев!рити, що функшя р (х, у) задовольняе
вс! аксюми вщстан! ! швар!антна вщносно зсув!в (тобто р (х + г,
у + г) = р (х, у), х, у, z £ Е) i що поролжувана нею тополог!я збн
гаеться з вихщною. Отже, ми д!стаемо можливють говорити про пов-
ноту зл!ченно-нормованого простору, розум!ючи шд цим повноту
щодо введено! вище метрики. Зауважимо ще, що послщовшсть {х„}
фундаментальна вщносно метрики (1) тод! ! пльки тодц коли вона
фундаментальна щодо кожно! з норм || • ||n 1 збшаеться (у ц!й метрн-
ц!) до елемента х £ Е тод! ! пльки тод!, коли вона збшаеться до х
по кожшй з норм || • ||„. 1накше кажучи, повнота зл1ченно-нормова-
ного простору означае, що в ньому всяка послщовшсть, фундаменталь-
на по кожшй з норм || • ||„, збшаеться.
Приклади. 1. Важливим прикладом зл!ченно-нормованого
простору е розглянутий вище проспр /£ [о, Ь] нескшченио диферен-
цшовних функшй на вщр!зку, коли вважати, що норма || • ||т у цьо-
му простор! визначаеться формулою
ll/IU = ; 'Р l/(ft)(OI.
О^А^т
Очевидно, що bci ui норми узгоджеш м!ж собою i що вони визначають
в /< [а, Ь] ту саму тополопю, яку було описано вище.
2. Нехай S — npocTip yeix нескшченно ди&еренцшовних функшй
на прямш, що прямують на нескшченносп до нуля разом з ус!ма свс-
•• • 1 . . , -
ши пох1дними швидше, hi ж -щ- в будь-якому степей! (тобто таких,
що задовольняють умову (О 0 при | 1\ ->оопри будь-яких ф!К-
совачих k i q). У цьому простор! визначимо зл1ченну систему норм,
припустивши, що
I1/IL == sup |^w)(0|. m = 0, 1, 2, ...
k, q^-n
Неважно перев1рити, що ui норми узгоджеш м!ж собою. Отже, S —
зчисленно-нормований npocTip.
3. Важливий окремий випадок зл!ченно-нормованих простор!в—
так зван! зл!ченно-г!льбертов! простори. Нехай Н — л!н!йний npo-
cTip, в якому задано зл!ченну систему скалярних добутшв (ф, ф)„,
причому припустимо, що норми || <р ||„ = V(ф, ф)„, як! вщповщають
цим скалярним добуткам, узгоджеш м!ж собою. Якщо такий npocTip
повний, то вш називаеться зл1ченно-г1льбертовим простором.
4. Конкретним прикладом зл!ченно-пльбертового простору може
бути такий npocrip. Нехай Ф—сукупшсть yeix таких числових по-
'сл давностей (х,г|, для яких при кожному щлому /г > О ряд
збшаеться. Задамо в цьому простор! зл!ченну систему норм, припустив-
ши, що
к На = пкх«-
Неважко перев!рити, що ui норми узгоджеш м!ж собою i що Ф повне
в зазначеному вище розумшш. Зрозуммо, що кожну з норм || • ||А
можна задати за допомогою скалярного добутку
ею
(х, y)k = 5 nkxnyn,
n=l
тобто Ф е зл!ченно-пльбертовий npocTip. Bin називаеться простором
посл!довностей, як1 шеидко спад аю ть.
Якщо Е — зл!ченно-нормований npocrip, то задан! в ньому норми
|| • ||ft можна вважати такими, що задовольняють умову
1И1А<||.4 при /?</, (2)
бо !накше ми могли б норми ,| х ||А замшити нормами
||x||'A = sup(||x||i, Иг, •••, 1И1*),
як!, впзначають в Е ту саму тополопю, що й вих!дна система норм.
Доповнивши npocrip Е по кожн!й з норм || • ||А, ми дютанемо систему
повних нормованих простор1в Ek. При цьому з сшввщношення (2)
i погодженост! норм випливае, що е природы вкладення
’ id Et при /?< /.
Отже, кожному зл!ченно-нормованому простору Е можна зютавити
спадний ланцюжок повних нормованих просторов
со
ID Е2 id • • • => Ek =>...; n Ek E.
fe=l
Можна показати, що прост!р Е повний тод! i т!льки тод!, коли Е =
= П Е (доведать це!). Так, наприклад, прост!р К [а, Ы нескшченно
fe=i
диференшйовних функшй на вщр!зку 1а, й] е перетин повних нормо-
ваних просторов Dn (п = 0, 1, 2, ...), де npocrip Dn складаеться з функ-
шй, шо мають неперервн! похщн! до п-ro порядку включно, а норма
в ньому визначаеться формулою
||/||п- sup
O^k^n
У 30-роках, коли в основному в працях Банаха було побудовано теор!ю л!шй-
них нормованих простор1в, склалося враження, що цей клас простор1в досить вели-
кий для того, щоб обслуговувати sei конкретн! потреби анал!зу. Однак згодом з’ясу-
валося, що це не так. Виявилось, що в ряд! питань важлив! так! простори, як прос-
т!р нескшченно диференц!йовних функщй, npocrip ycix числових послщовностей
R°° та imni простори, в яких природну для них тоголог!ю не можна задати за допо-
могою яко'! б то не було норми. Таким чином, л!н!йш простори — тополопчш, але
не нормоваш — це зовс!м не обов’язоково «екзотика» або «патолопя». Навпаки,
деяк! з цих поостор!в — не менш природн! ! важлив! узагальнення сюнченнови-
м!рного евклщового простору, шж, скаж!мо, пльбеотовий прост!р.
Р о з д i л IV
Л1Н1ЙН1 ФУНКЦЮНАЛИ I Л1Н1ЙН1 ОПЕРАТОРИ
§ 1. НЕПЕРЕРВН! Л1Н1ЙН1 ФУНКЦЮНАЛИ
1. Неперервн! лшшш функцюнали в тополоп'чних лшШних про-
сторах. У § 1 розд. III ми вже розглядали функцюнали, визначеш
на лшшному простор!. Якщо йдеться про функцюнали, задан! на
тополопчному лшшному простор!, то основний штерес яв-
ляють неперервн! функцюнали; як звичайно, функцюнал /,
визначений на простор! Е, називаеться неперервним, якщо для вся-
кого 8 > 0 i всякого х0 £ Е !снуе такий ошл U елемента х0, що
1/в — /(*о)|<е прихЕ^. (1)
Це означения стосуеться, зокрема, i лшшних функцюнал!в.
Якщо Е — ск!нченновим!рний тополопчний лшшний
npocrip, то всякий лшшний функцюнал Е автоматично неперервний.
У загальному випадку з лшшност! функцюналу його неперервшеть
не випливае.
Наступне твердження ютотне для дальшого, хоч i майже очевидне.
Дкщо лшшний функцюнал f неперервний у якшсь однщ точщ х Е
Е Е, то вш неперервний i скр1зь на Е.
Справд!, нехай у — дов!льна точка в Е i нехай 8 > 0. В!зьмемо
ошл U точки хтак, щоб виконувалася умова (1). Тод! зеув цього околу
V = U + (У — х)
буде шуканим околом точки у, бо якщо г £ V, то г + х— у Е U i,
таким чином,
1/(2) — f(y) | = |/(г — у + х) — /(х)|<8.
Отже, перев!ряти неперервшеть лшшного функцюналу досигь
в одшй точц!, наприклад, в точц! 0.
Якщо Е— прост!р з першою аксюмою зл!ченност!, то неперерв-
шеть лшшного функцюналу на Е можна сформулювати в термшах
послщовностей: функцюнал / називаеться неперервним у точц! х Е Е,
якщо з х„ -> х випливае / (х„) -> / (х).' Перев!рити р!вносильшсть
цього означения неперервност! наведеному вище (при наявност! пер-
шо1 аксюми зл!ченност!) надаемо можлив!сть читачев!.
Теорема 1. Для того щоб лшшний функщонал f був неперепвний
на Е, aeo6xidHo i достатнъо, щоб генував такий ок1л нуля в Е, на якому
функщонал. f обмежений.
Доведения. Якщс функцюнал f неперервний у точш 0, то
для кожного е > 0 1снуе ок!л нуля, на якому
I f W | < е.
Навпаки, нехай U — такий ок! л нуля, що
| / (х) | < С при х £ U,
! нехай в > 0. Тод! U е той ошл нуля, на якому |/ (х) | < 8. Тим
самим доведено неперервшсть f в точш 0, а отже, i скр!зь.
В п р а в а. Нехай Е — тополопчний лппйпий npocrip; доведпь справедлив
в1сть таких тверджень:
(а) лшшний функцюнал f на Е неперервний тод! 1 т!льки тод!, коли 1снуе така
вщкрита множина U С Е i таке число I, що t f (I/), де f Ш) — множина значень
f на U\ .
(б) л1шйний функшонал / на Е неперервний тод! i т!льки тод!, коли його ядро
(я . f (х) = 0} замкнуте в Е;
(в) якщо усякий лшшний функщонал на Е неперервний, -о тополопя Е збюае-
ться з ядерно-опуклою тополопею (див. вправу 2 на стор. 146);
(г) якщо Е неск!нченновим!рний i нормований, то на ньому !снуе не неперерв-
ний лЫйний функщонал (скористайтесь !снуванням в Е базису Гамеля; див. вправу
на стор. 107);
(д) нехай в Е !снуе визначальна система окол!в нуля, потужшсть яко! не пере-
вищуе алгебраТчноТ розкпрност! простору Е (тобто потужност! базису Гамеля в Е;
див. вправу па стор. 107). Тод! на Е !снуе не неперервний лшшний функщонал;
(е) щоб л!шйний функщонал f був неперервний на Е, необхщно, а в раз! коли
Е задовольняе першу аксюму зл!ченност!, i достатньо, щоб в!н був обмежений на
кожшй обмежешй множин!.
2. Л!н!йн< функцючали на нормованих просторах. Нехай розгля-
дуваний npocrip Е нормований. За теоремою 1 усякий неперервний
лшшний функшонал f обмежений у деякому окол! нуля. Але в нор-
мованому простор! всякий ок!л нуля м!стить кулю !, отже, f обмеже
ний на деяк1й куль Внаслщок лшшност! функцюналу це р!вносильно
його обмеженост! на будь-якш кул!, зокрема, на одиничнш || х || < 1.
Навпаки, з обмеженост! функцюналу f на одиничнш кул! випливае,
на шдстав! Tie'i само! теореми 1, його. неперервшсть (або внутр!шшсть
ше! кул! е околом нуля).
Отже, в нормованому noocmopi лшшний функщонал неперервний
modi i тлльки modi, коли його значения на одиничнш кул1 обмежеш
в сукупностл.
Нехай /— неперервний лшшний функшонал у нормованому про-
стор! Е. Число
11/11= sup |/(х)|, (2)
Wk 1
тобто точну верхню грань значень | / (х) | на одиничнш кул! простору
Е ми назвемо нормою функцюналу / Наведемо так! майже очевидш
властивост! || /1|:
1)
це вщразу випливае з того, що для всякого х А 0
I / (х) | _ ( ! х \ I .
2) для будь-якого х g Е
1/(*)1<11Л-1И1- (3)
Справд!, якщо х =/= 0. то елемент уд- належить одиничнш кул!,
отже, за означениям норми функцюналу
I с ( х \ __IZ W I л с л
звщки випливае (3). Якщо х = 0, то в (3) справа ! зл!ва стоять нули .
В п р а в а. Нехай С > 0 — таке число, що
|/(х)|<С||х|| (4)
при будь-якому х. Довести, що || f [| = inf С, де inf береться по ecix С, я Ki задоволь-
няють nepiBnicTb (4).
Розглянемо приклади лшшних функцюнал!в у нормованих про-
сторах.
1. Нехай R" е п-вим!рний евклщовий npocrip i а — який-небудь
фжсований вектор у ньому. Скалярний добуток
/(х) = (х, а),
де х—пробДае Bci R'!, е, очевидно, лшшним функцюналом на Rn.
На пщстав! нерщност! Кош! — Буняковського
|/(х)| = | (х, а) | <||х|| • Hi (5)
отже, цей функцюнал обмежений, а отже, ! неперервчий на R". 3 не-
piBHocri (5) дктаемо, що
Оск!льки права частина ц!е‘! нер!вност! не залежить вщ х, то
suPlTTTl<llall’
тобто || f || < || а ||. Але, припустивши, що х = а, д!станемо
| f (а) | = (а, а) = || а ||2, тобто ЦМ1 = || а ||.
Тому
2. Тнтеграл
ь
7 (х) = j х (t) dt,
де х (!)— неперервна функщя на [а, Ь], е л!н!йним функцюналом
у простор! С [а, &]. Цей функцюнал обмежений, а його норма дор!внюе
b — а. Справд!
|Z(x)| = \x(t)dt <max|x(!)|(b — a) = ||x||(& — a),
причому при x Ц const буде p вшсть.
3. Розглянемо загальщший приклад. Нехай у0 (f) — ф!ксована
неперервна функщя на [а, Ь]. Припустимо для будь-яко! функцп
х (!) £ С [а, й]
ь
р (х) = J х (!) у0 (t) dt.
а
Цей функцюнал лшшний. Bin обмежений, бо
ь
IР (X) I = j х (!) у0 (!) dt
а
b
< k IIJ I уо (t)\dt.
а
(6)
На шдстав! лшшност! ! обмеженост! вш неперервний. 3 (6) випливае
ощнка його норми:
ь
IIЛ < ©МО\dt.
а
(Довед1ть, що насправд! тут е точна р!вшсть!).
4. Розглянемо в простор! С {а, Ь] лшшний функщонал
б/о (х) = x(t0),
який вже було згадано в п. 5, § 1, розд. III. Його значения на функци
х (!) визначаеться як значения х (!) у певнш точц! !0. Зрозум!ло, що
loi <hii,
причому для х =• const справджуеться р!вшсть. Звщси вщразу ви-
пливае, що норма функцюналу б<0 дор!внюе 1.
5. У будь-якому евклщовому простор! X можна визначити л!н!й-
ний функщонал так само, як ! в R", взявши деякий фжсований елемент
а £ X ! припустивши для будь-якого х £ X, що
F (х) — (х, а).
Як у випадку Rn, легко перев!рити, що при ньому
11Л = 1И
Надал! ми розглядатимемо пльки неперервн! щшйн! функцюнали,
а слово «неперервний» для скорочення опускатимемо.
Понятно норми лшшного функцюналу можна дати таку наочну
штерпретащю. Ми вже побачили (розд. Ill, § 1), що всякому лшш-
ному функцюналу можна зютавити гшерплощину L, яка визначаеться
р!внянням
/(х)= 1.
Знайдемо вщстань в!д d uie'i гшерплощини до точки 0. За означениям
d = inf Ц х 1|. На шдстав! оцшки
f(x) = 1
I/WI <||/|| -k||
на гшерплощиш / (х) = 1 матимемс || х || > -ру i, отже, d "ijyy •
3 шшого боку, впасл!док означения норми / для будь-якого 8 > О
знайдеться такий елемент хе, який задовольняе умов! / (хЕ) = 1, що
8 > 0
тому
‘, = Х|Х-||<ТЛАГ’
Осюльки в > 0 довшьне, то дютаемо
. _ 1
Г 11/11 ’
тобто норма лшшного функцюналу / обернена до eidcmaHi гйгерплощини
f (х) — 1 eid точки 0. ’
3. Теорема Гана — Банаха в нормованому простор!. У § 2, розд.
III ми довели загальну теорему Гана — Банаха, за якою всякий л!-
шйний функцюнал /0, визначений на деякому шдпростор! L лшшного
простору Е i який задовольняе умову
I /о (*) I < Р (*) (7)
(р—фшсований однор!дно-опуклий функцюнал на Е), може бути про-
довжений на весь Е !з збереженням niei умови. Стосовно до нормова-
них простор!в цю теорему можна сформулювати так:
Нехай Е — дшсний нормований npocmip, L — його nidnpocmip i f0 —
обмежений лшшний функщонал на L. Цей лшшний функщонал мож-
на продовжити до деякого лшшного функцюналу f на всьому простор!
Е без збЫьшення норми, тобто так, що
II /о Huai = || / ||на£-
Справд!, нехай
||/о ||на L = k.
Зрозум!ло, що k || х|| — однорщно-опуклий функцюнал. Узявши його
як р ! застосувавши загальну теорему Гана — Банаха, дютанемо потр!б-
ний результат.
Ця форма теореми Гана — Банаха допускав таку геометричну
штерпретащю. Р!вняння
/о(х) = 1 (8)
... . 1
визначае в шдпростор! L гшерплощину, що лежить на вщсташ в1д
нуля. Продовжуючи функцюнал /0 без зб!льшення норми до функцю-
налу на всьому Е, ми проводимо через цю часткову гшерплощину
«велику» гшерплощину в усьому £, причому «не дозволяемо» 1й на-
близитися до нуля.
Комплексний BapiaHT теореми Гана — Банаха (теорема 4а, § 2,
розд. III) дае нам комплексний аналог попередньо! теореми:
Нехай Е — комплексний нормова: шй npocmip, f0 — лшшний обме
жений функцюнал, визначений на nidnpoctnopi L ст Е. Todi 1снуе
лшшний обмежений функцюнал f, який визначений на всьому Е i ьадо-
вольняе умови
fix) = fQ(x), xQL,
ll/Цна Е = ||/о ||на L.
3 теореми Гана — Банаха для нормованих простор!в випливае
такий важливий факт.
Наслщок. Нехай Е — нормований npocmip. Для будь-яких
х-_ ^=>:гзЕ icuye неперервний лшшний функцюнал f, який сядокремлюв
ц1 точки, тобто такий, що f (х,) =^= f (х2).
Справд!, це твердження р!вносильне тому, що для кожного х0 О
зснуе функцюнал Д який вщокремлюе х0 вщ 0, тобто f (х0) ¥= 0. Щоб
побудувати шуканий функцюнал, розглянемо спочатку елементи виду
Их0 i визначимо на них функцюнал Д, припустивши що f (Хх0) = А,
а пошм продовжимо його (користуючись теоремою Гана— Банаха)
на весь Е. Внаслщок цього дютанемо лшшний неперервний функцюнал
Д який задовольняе умову / (х0) = 1 =/= 0.
4. Лшшш функцюнали в зл!ченно-нормованому простою'. Нехай
Е — зл!ченно-нормований npocrip з нормами || • j|A (k = 1, 2, ...);
не обмежуючи загальностД можна вважати (стор. 148), що для всякого
х С Е
1И11<1М2< ••• <11Ч<--- (9)
Нехай / — неперервний лшшний функцюнал на Е; тод! в Е icnye
ок!л нуля U, на який f обмежений. На пщстав! означения топологи
в зл!ченпо-нормованому простор! знайдуться таке натуральне k i таке
е > 0, що куля Bk,e = {х: || х ||А < е} шлком лежить в {/; тод! функцю-
нал f обмежений на шй кул! i тому обмежений 1 неперервний щодо
норми || • ||А, тобто !снуе таке С > 0, що
|/(х)|<С||х||А, х£Е.
3 другого боку, очевидно, що коли л!шйний функцюнал обмежений
по якш-небудь з норм || • ||п, то в!н неперервний на Е. Отже, якщо
Еп — запас ycix лшшних функцюнал!в на Е, неперервних вщносно
норми || • ||„, а Е* — запас ycix лшшних неперервних функцюна
л!в на Е, то
Е* = U Еп. (10)
М=1
Кр1м того, з умови (9) випливае, що
Ei <= Ei ст • • • ст Еп ст...
Якщо f—неперервний лшшний функцюнал на Е, тобто f £ Е*,
то його порядком називаеться найменше з чисел п, для яких f £ Е*,
на п'дстав! piBHOcri (10) кожний неперервний лшшний функцюнал
на Е мае скшченний порядок. .
В п р а в и. 1. Довести, що в зл!ченно-нормованому простор! для будь-яких
двох елеменДв х, у= х2 icnye неперервний л!н!йний функщонал, який вщокремлюе Тх.
2. Довести ге саме для будь-якого локального опуклого простору.
§ 1. СПРЯЖЕНИЙ ПРОСПР
1. Означения спряженого простору. Для лшшних функцюналш
можна означите операци додавання i множення Тх на числа. Нехай
A i А— два лш!йн! функцюнали на деякому лш!йному простор!
Е. 1х сумою А + А називаеться лшшний функцюнал
/(х) = А (х)+А (х), xQE.
Добутком аА лшшного функцюналу А на число а називаеться
функцюнал
/ (х) = ссД (х), х С Е.
Р1вност1, як! визначають А + A i “А, можна записати й так:
(fl + А) (*) = А (х) + A W- (®А) (х) = afi (х)-
Зрозумшо, що сума А + A i добуток «А е лшшними функцюнала-
ми. KpiM того, якщо npocrip Е тополопчний, то з неперервност! функ-
цюнал!в A i А випливае, що А + /а ’ “А також неперервн! на Е.
Легко перев!рити, що означен! так операцп додавання функцюна-
л!в : множення Тх на числа задовольняють ус! аксюми лшшного прос-
тору. 1накше кажучи, сукупшсть ycix неперервних лЫйних функцю-
нал!в, означених на деякому тополопчному лшШному простор! Е,
утворюе лшшний npocrip. Вш називаеться простором, спряжении
з Е\ його позначають Е*.
В п р а в а. Сукупшсть ycix лппйних функщонал1в на Е, не обов’язково не-
перервних, називаеться алгебрашно спряженим простором його i позначаеться Е#.
Навести приклад тополопчного векторного простору Е, такого, що
Е* ф Е#.
У спряженому npocropi Е* можна р!зними способами ввести топо-
лоню. Найважлив!ш! з них — це сильна i слабка топологи.
2. Сильна тополопя в спряженому простор!. Почнемо з того най-
прост-шого випадку, коли вихщний npocrip Е нормований. Для не-
перервних лппйних функцюнал!в, заданих на нормованому простор!,
ми ввели поняття норми, припустивши, що
ПЛ = sup'47F
X=£Q II Х II
Ця величина задовольняе Bci вимоги, як! м!стить означения нормоза-
ного простору. Справд!,
1) || /1| > 0 для будь-якого ненульового лшШного функцюналу А
2) ||af 11= |а| • ИЛ-
® ll/i+MI = s р 1Z1 (Х)||1~/3 <Х)'
х^О IIЧ .
< sun 1кЖ 1 SUD I Ь w I
INI Uli
= Ш + Ш1-
Таким чином, npocrip Е*, спряжений з нормованим, можна над!лити
природною структурою нормованого простору. Топология в £*, яка
вщповщае введешй нормц називаеться сильною тополог1еюъ Е*. Ба
жаючи шдкреслити, що Е* розглядаеться як нормований npocrip,
зам!сть£* писатимемо (Е*, || • II) .
Установимо гаку ьажливу властивють простору, спряженого до
нормованого.
Теорема 1. Спряжений npocmip (Е*, || • ||) повний.
Доведения. Нехай {fn} — фундаментальна послщовшсть
лшдйних функцюнал!в. Тсдд для кожного е > 0 знайдеться таке N,
Що || fn — fm || < е для Bcix п, т^> N. Звщси для будь-якого х £
g Е дютаемо
\fnM-fm(x)\^\\fn-fm\\-\\x\\<e\\x\\,
,гобто при будь-якому х g Е числова послщовшсть {/„ (х)} збюаеться.
Припустимо
/(х) = lim/n(x).
Перев1римо, що f — це неперервний л!шйний функцюнал. Лшшшсть
перев!римо безпосередньо:
/ (ах + £>«/) = lim fn (ах + рг/) = lim [аД (х) + (у)] = а/ (х) + ₽/ (у).
П->СЮ П.-+ОО
Для доведения неперервносп функцюналу f повернемося до нер!в-
аост, | fn (х) —fm (х) | <е || х || i перейдемо в шй до границ! при пг ->
-> оо; дютанемо
I/W— Д«1 < е[|х||.
Звщси випливае, що функцюнал f — fn обмежений. Але тод! обмеже-
ний, i отже, неперервний i функцюнал f = fn 4- (f— f,f)- KpiM того
звшси ж випливае, що || f— fn\\ < е для вс!х п N, тобто, що {fn}
збДаеться до /. Теорему доведено.
Пщкреслимо ще раз, що ця теорема справедлива незалежно вщ
того, повний чи Hi вихщний npocrip.
Зауваження. Якщо нормований npocmip Е не повний, а Ё — його допов-
нення, то простори Е* i (Е)* 1зоморфн1.
Справд!, якщо Е вкладено-в Е як скр!зь щ!льна шдмножина, то всякий л!шй-
ний неперервний на Е функщонал f продовжуеться внаслщок неперервност! з Е на
весь Ё. Позначимо це (едине!) продовження f. Зрозум!ло, що f f (Е)*, ]| /|| = || f ||,
i що всякий функщонал з (Е)* е продовженням деякого функщоналу з (Е)* (а са-
ме, свого звуження на Е). Отже, вщображення f f — це !зоморфне вщображення
простору Е* на весь npocTip (Ё)*.
Означимо тепер сильну пюпологйо в простор!, спряженому до до-
вшьного л!шйного тополопчного простору. У простор!, спряженому
до нормованого, ми означили ошл нуля як сукупшсть функщэнал!в,
що задовольняють умозу
1накше кажучи, за ошл нуля в простор! Е*, спряженому до нормаль-
ного, беруть сукупшсть функщонал!в, для яких Ц (х) | <е, коли к
npodirae в Е одиничну кулю ||х[] С 1. Беручи найр!зномаштшпп е,
дютанемо визначальну систему окол!в нуля. Якщо Е — ненормований,
а тополопчний лшшний простер, то замють единично! кул! в Е дощль
но взяти дов!льну обмежепу множину А. Ошл нуля Ub,a в Е* визна-
чаеться як сукупшсть лшшних функц!онал!в, що задовольняють умову
| f (х) | < е при вс!х х £ А.
Вар!юючи 8 ! А, дютанемо визначальну систему окол!в нуля в Е.
Отже, силона тополог1я в Е* задаетъся сукупшстю окол!в нуля,
як! залежать в!д додатного числа е i обмеженс! множини А с: Е.
Ми не перев!рятимемо тут, хоч це й нескладно (див., наприклад,
[9]), що така система окол!в справд! перетворюе Е* в л!шйний топо-
лопчний проспр.
Зрозум!ло, що в раз! нормованого простору Е, т!льки щэ описа-
на сильна тополопя в Е* збшаеться з т!ею, яка визначилась за допо-
могою норми.
Зауважимо, що сильна тополопя в Е* обоз’язково вщокремна
i локально опукла (незалежно.в!д того, якою була тополопя в £).
Справд!, якщо f0 Q Е* i f0 0, то знайдеться такий елемент х0 Q Е,
що /0(х0) ф 0; припустимо, що 8 = 4jr\fo (*о) I i = (х0), тод! f0 $
$ t/e, тобто Е* вщокремний. Для доведения локально! опуклост!
сильно! тополог!! в Е* досить зазначити, що для будь-якого 8 >• 0
! будь-якого обмеженого A cz Е ошл t/E,^ опуклий в Е. Сильну то-
полопю в Е* гозначимо символом Ь\ бажаючи шдкреслити, щс Е*
розглядаеться в сильшй тополог!!, ми писатимемо (Е*, Ь) замють Е*.
3. Приклади спряжених простор!в.
1. Нехай Е — п-вим!рний л!шйний npocrip (дшсний чи комплекс-
ний). В!зьмемо в ньому якийшебудь базис elt ..., еп; тод! всякий век-
п
тор х Е однозначно зобразимо у вигляд! х = 2 Якщо f —
лшшний функщонал на, Е, то зрозум!ло, що
/WEEVIL 0)
отже, лппйний функщонал однозначно визначаеться сво!ми значениями
на векторах базису elt ..., еа, причому щ значения можна задати до-
в!льно. Визначимо лшшн! функцюнали gr, ..., g„, припускаючи, що
1, якщо I = j,
О, якщо i =/= /.
gi (^) =
Очевидно, шо ц! функцюнали л!н!йно незалежш. Зрозум!ло, що
gj (х) = Xj, тому формулу (1) можна записати у вигляд!
/(*) =
;=i
Таким чином, функцюнали glt .... gn становлять базис у простор]
Е*, тобто Е* е п-вим!рний лшшний npocrip; базис glr ..., gn в Е*
називають двоитим щодо базису ег, еп в Е.
Р!зн! норми в простор! Е шдукують р!зн! норми в £*.Ось к!лька
прикладов пар норм в Е i Е*, як! вщповщають одна одшй (рекомендуе-
мо читачев! виконати вщповщн! доведения):
(а) м= йыТ2. ii/i;=(£iai2Y/s;
v=i / \i=l /
/ п \1/P ! п \l/q < i
> 11/11= 21Ш ; -f+ 4- = 1,1<р<оо;
\i=l / \f=J / F 4
(c) ||x||= sup|xJ
1 5 i § n b= 1
(ФН = 2М 11/11= w ffi
1=1
У цих формулах xlt xn — це координата вектора х £ Е в базис!
elt еп, a ft.....fn — координата функцюналу f С Е* в дво'/стому
базис! g!.....gn.
В п р а в а. Довести, що вс! наведен! норми визначають в п-вим!рному простор!
ту саму тополопю.
2. Розглянемо проспр с0 послщовностей х = (xlt х2, ..., хп,
як! збн’аються до нуля, з нормою ||х|| = sup | хп | ! покажемо, що
• "
спряжений до нього npocmip (со, || • ||) 1зоморфний простору lx ecix
абсолютно сумовних послгдовностей f — (j\, f2, ..., fn, ...) з нормою
со
II /II = 2 |/п I- Будь-яка послщовшсть f g визначае в простор! с0
П=1
л!н!йний обмежений функцюнал f за формулою
со
(2)
со со
зрозум!ло, що \f(x) I <||x|l2 |/„|. так що || / || < 5 |/„| < || / ||.
п=1 /1=1
Розглянемо в с0 вектори
е1 = (1, О, 0, ..., О, 0, ...),
е2 = (0, 1, 0, ..., О, 0, ...),
= (О, О, 0, .... 1, 0, . ..)
N fn
i припустимо, що x'N> = 2 ' i f "l en (якщо/,, — 0, то вважаемо, що
п=1 |/л|
-#т- = 0). ToAi x™ g c0, kW||<l i
I In I
7MM=£ ^/>j = £im,
rz=l ft=l
так що lim / (х(Л,)) = 2 | fn | = || /Ц. Отже, || /1| > 2 | fn |; пор!внюючи
/Vh-и n=l rz=l
це з доведеною вище протилежною нер1’вшстю, робимо висновок,
Що Il7ll = 2 I/„1 = 11/11-
п=1
Таким чином, ми побудували л i н i й н е i з ом е т р и ч н е воо-
бражения / -> / простору 1г в npocTip с0; залишаеться перевь
рити, що образ простору /j при цьому вщображеню збтаеться з yciM
Со, тобто, що всякий функщонал / Q Cq можна зобразити у вигляд!
СО
(2), де / = {/„} g lt. Для всякого х — {х„)С с0 маемо х = 2 хпеп,
п=1
причому ряд, що стоггь справа, збтаеться в с0 до елемента х, бо
N
|| х— >3 хпеп || = sup | хп | -> 0 при N -> оо. Осюльки функщонал
п 1 п>М
со
f Q Со неперервний, то f (%) == S xnf (еп); тому досить перев!рити,
П=\
~ N f (еп)
що 2 / <еп) I < 00• Припускаючи, що х(Л,) = 2 ~ еп * помДивши
:---1 п=1 И(еп)\
що x'N> £ с0, || x(W’|| < 1, маемо
У 1/ыi = y ж)=7ммсп/1
со
зв1дки на пщстав! дов;льносп N робимо висновок 2 | / (en) I < 00•
3. Легко довести, що npocrip 1\, спряжений до простору /г, iso-
морфний простору т, що складаеться з yeix обмежених посл(дов-
ностей х = {х„} з нормою ||х|| = sup | хп |.
п
4. Нехай р > 1 i 1Р — npocrip yeix послщовностей х = {%„},
для яких
/ оо \ 1/р
И = 12 Iх»Н <о°;
\п=1 /
можна довести, що спряжений до нього npocrip 1Р {зоморфний просто-
ру lq, -f- = 1. Загальний вигляд л!н!йного непергрвного фунд!о-
налу на 1Р:
f(x)=££fnxn-, х={хп}е|, /={Ж/9.
п=1
Доведения грунтуеться на застосуванн! нер!вност! Гьольдера.
5. З’ясуемо структуру простору, спряженого до пльбертового.
Теорема 2. Нехай Н — дшсний г1льбертовий npocmip. Для всякого
неперервного л1н1йного функцюналу f на Н 1снув единый елемент х0 Е
£ Н, такий, що
‘f (х) = (х, х0), х е Н, (3)
причому || f || = || х0||. Навпаки, якщо х0 Е Н, то формула (3) визна-
чае такий неперервний лшшний функцюнал f, що || f || = || х0||. Отже,
pieHicmb (3) визначае 1зоморф1зм f -> х0 м1ж просторами Н* i Н.
Доведения. Очевидно, що для всякого х0 Е Н формула (3)
визначае л!н!йний функцюнал на Н. Осшльки |/ (х) | = |(х, х0) | <
< || х|| ||х0||, то цей функцюнал неперервний, а осшльки f (х0)—
= || х01|2, то || f || — || х0||. Покажемо, що всякий неперервний л!н!й-
ний функцюнал / на Н можна подати у вигляд! (3), Якщо f = 0, то
припускаемо, що х0 = 0. Нехай тепер f 0 i Но = {х : f (х) = 0) —
ядро функцюналу /; осшльки f неперервний, то Но— замкнутий
лш!йний пщпроспр в Я. У п. 6, § 1, розд. III було показано,
що корозм!рн!сть ядра будь-якого лшшного функцюналу дор!внюе
1. Тому, ураховуючи висновок 3 теореми 7 з § 4, розд. III, робимо
висновок, що ортогональне доповнення Но до пщпростору Но однови-
м!рне тобто !снуе такий (ненульовий) вектор у0, ортогональний до
Но, що всякий вектор х Q Н однозначно зображуваний у вигляд!
х = у + Ау0, де у £ Но- Очевидно, можна вважати, що || у0 || = 1.
Припустимо, що х0 = f (у0) Уо- Тод! для будь-якого х Е Н маемо
х = у + Ху0, у Е Яо»
(х, х0) = А, (у0, х0) = X/ (у0) (у0, у0) = А/ (у0).
Таким чипом, f (х) = (х, х0) для вс!х х Е Я. Якщо f (х) = (х, Хо),
х Е Я, то (х, х0—хо) = 0, звщки, припускгючи х = х0 — хб, дютаемо,
що х0 = хо. Теорему доведено.
3 а у н а ж е н н я, 1. Нехай Е — н е п о в н г й евклщовий прост!р, а Н —
г1льбер1иний npocrip, який е. його доповненням Осюльки простори Е* i Н* 1зо-
морфш (дни зауваження на стор.157), а на Н* 1зоморфний Н, то справедливе таке
твердження: npocmip Е* , спряжений до неповного eeKAidoeoeo простору Е, 1зоморфний
доповненню II простору Е.
2. 1 орема 2 справедлива i для комплексного пльбертового простору (доведен-
ия точно i.'ine саме. 1з замшою лише х0= f (ув) у0 на х0 = f (</0) у„). €дина вщмш.Дегь
комплексного випадку вщ д1йсного в тому, що тепер вщображення Н в Н* яке
зктавляе елементу ха Q Н функщонал f (х) = (х, х0), е спряжено лЫйним 1зомор
ф1змом. lofiro елементу Ах0 вщповщае функщонал А/.
6 4-1039
(> У прикладах 1—5 розглядалися нормован! простори. Розгля-
iicmo тепер npocrip зл!ченно-нормований. Нехай Ф — д!йсний зл1чен-
и<>-пльбертовий npocrip, що складаеться з ycix послщовностей х =
(хл), для яких
= (2 < 00 ПРИ вс*х = 1> 2, ,,,
\,i=i )
Скалярн! добутки в Ф е
00 ь
Е £)* = ^пхпуп, й=1, 2, ,,,
,1=’,
flpocTip Ф з скалярним добутком (• , -)k е евклщовим; нехай Ф* —
його доповнення. Легко побачити, що Ф4 можна ототожнити з пль-
бертовим простором ycix послщовностей х — {хл}, в яких || х ||А < оо.
На пщстав! теореми 2 прост!р ФА, спряжений до Фъ 1зоморфний
простору Ф^; при цьому !зоморф!зм! кожному неперервному л!шйному
функцюналу f £ Ф* зютавляеться така послщовшсть / = {/„}, що
\n=i /
оо
f (х) = (х, f)k = 2 nkxnfn, X = {х„} £ ФА,
п=1
i навпаки, кожна така послщовшсть визначае елемент з Ф*. Визначи-
мо тепер функцюнал f £ Ф* не послщовшстю {fn}, а послщовшстю
{<?«}. Де gn = nkfn. Тод!
00 / 00 ь
/(x) = 2^n i 11/11= (2ri g„) .
>г=1 \л=1 /
Отже, Ф;г можна ототожнити з щльбертовим простором послщовностей
{gj, як! задовольняють умову
— ft 2 ,
2 n gn<o°, (4)
n=I
! з скалярним добутком
^(1).
п=1
00 »
Осшльки Ф* = (J Фй, то Ф* — прост!р ycix послщовностей, для кож-
ft=i
но! з яких !снуе свое k, таке, що виконуеться умова (4).
Значения кожного такого функцюналу визначено на будь-якому
оо
елемент! х — £ Ф i дор!внюе У xtlgn.
П=1
Отже, якщо npocTip Ф е перетин спадного ланцюжка пль-
бертових простор1в
Ф = П ФА, Фг ZD Ф2 Z2 • • • Z) ФА Z3 . . . ,
~ fe=l
то Ф* е с у м а зростаючого ланцюжка пльбертових просторов
ф* и ф^ Ф1 с Фг с • • • с Фь cz ... -^г
fr=i
Зручно ввести позначення Ф* =.Ф_^. Якщо ще позначити прост!р
/2 через Фо, то ми дютанемо такий несюнченний в обидва боки лан-
цюжок пльбертових простор!в
... cz ФА cz ••• cz Ф, <z Фо cz Ф_! cz ••• cz®_/cz,,,,
в якому Ф* = Ф_д при кожному k = 0, ±1, ±2, ...
4. Другий спряжений npocTip. Осюльки неперервн! лш!йн! функ-
цюнали на л!н!йному тополопчному простор! Е сам! утворюють л!н!й-
ний тополопчний npocTip,— спряжений до Е простер (Е*, Ь),— то мсж-
на говорити про простер Е** неперервних л!н!йних фуккц!онал!в
на Е*, тобто про другий спряжений до Е i т. д.
Зауважимо, що всякий елемент х0 з Е визначае деякий л!н!йний
функцюнал на Е*. Справд!, припустимо, що
Фх0 (/) = Ж). (5)
де ха — ф!ксований елемент з Е, a f проб!гае весь Е*. Р!вшсть (5) ста-
вить у в!дпов!дн!сть кожному f деяке число фх„(/), тобто визначае
функцюнал на Е* Осюльки при цьому
Фх (a/i + Pfa) = а/1 (хо) + Р/г (хо) = аФх (fi) + (/2)»
то цей функшонал л ! н ! й н и й.
Дал!, всякий такий функцюнал неперервний на Е*. Справ-
д!, нехай е > 0 ! А — обмежена множина в Е, що м!стить х0. Розгля-
немо в Е* оюл нуля U (в, А). За означениям U (е. А) маемо
IL ’ (/) | •= | f Ж) | < в при f £ U (8, А).
Але це означае, що функцюнал фЖо неперервний у точц! 0, а отже
! на всьому простор! Е*
Таким чином, ми д!стали вщображення всього простору Е на де-
яку пщмножину простору Е** Це вщображення, очевидно, л!н!йне.
Таке вщображення Е в Е** називаеться природным в1дображенням
простору Е в другий спряжений. Позначимо його л. Якщо на Е е
досить багато лш!йних функц!онал!в (наприклад, якщо Е нормова-
ний або хоча б локально опуклий ! вщокремний, то це вщображення
взаемно однозначне, бо тод! для будь-яких двох р!зних х', х" £
£ Е !снуе такий функцюнал / £ Е*, що f (х') #= f (х"), тобто
! фх- — р!зн! функщонали на £*. Якщо до того ж л (£) = £**, то
6*
(в!дэкремно локально опуклий) npocrip Е називаеться тврефлек-
сивним. У простор! Е** (як спряженому до (£*, 6)) можна ввести
сильну тополопю, яку ми позначимо Ь*. Якщо npocrip Е шврефлек-
сивний ! вщображення л: £ —► Е** неперервне, то Е нази-
ваеться рефлексивном простором. Можна показати, що вщображення
я-1 завжди неперервне, тому якщо Е рефлексивной, то природне
в!дображення л : Е -> Е** е 1зоморф1змом м1ж лш1йними тополог1ч-
ними просторами Е i Е** — (Е**, Ь*).
Оск!льки ми можемо тепер кожний елемент з Е розглядати ще й
як елемент простору Е**, то зручно цля значень л!н!йного функцюна-
лу / £ £* замють запису f (х) ввести б1лын симетричне позначення:
/(х) = (/, х).
При фшсованому f £ Е* ми можемо розглядати (f, х) як (Ьункцюнал
на Е, а при фшсованому х— як функцюнал на Е* (причому вже х
виступае в рол! елемента з £**).
Якщо Е — нормований npocmip (отже, нормован! ! простори Е*,
Е** i т. д.), то природне в1дображення простору Е в Е** в 1зометр1я.
Справд!, нехай х— елемент з Е. Позначимо його норму в Е симво-
лом || х |, а норму його образу в £** — символом || х ||2 Покажемо, що
|| х II — I х ||2. Нехай f—дов1льний ненульовий елемент з Е*. Тод!
I (А х) | < ||f || • ||х||, тобто ||х|| > 1
i, оск!льки л!ва частина останньо! нер!вност! не залежить вщ f, то
k II > sup 1 1 - = ||х||2.
3 другого боку, на пщстав! теореми Гана—Банаха, для кожного
х0 а Е знайдеться такий ненульовий лппйний функцюнал f0, що
K/о- *о) 1 = 11/оII‘ИоII (7)
(для побудови такого функцюналу досить припустити, що f0 (х) =
= а у= 0 для елеменпв виду х = ах0! поим продовжити цей функцю-
нал !з збереженням норми на весь Е). 3 (7) випливае, що
1ЧЬ-^Р-177г->1к1-
тобто |] х || = || х ||2, що й треба було довести. Отже, нормований прос-
пр Е 1зометричний (взагал! кажучи, незамкнупй) л!шйн!й многостат-
яост! л (£) в £**; ототожнюючи Е з л (£) можна вважати, що Е cz £**.
3 !зометричносп природного вщображення л: Е -> Е** для нор-
мованих npocropiB випливае, що поняття п1врефлексивност1 I рефлек-
сивности для нормованих npocmopie зб1гаються.
Оскмьки проспр, спряжений до нормованого, повний, то всякий
рефлексивний нормований npocmip Е повний.
Ск1нченновим1рн1 евклщсв! простори i пльбертовий npocrip —
nafinpocTinii приклади рефлехсивних простор!в (для них нав!ть Е —
- £*). h
Простер с0 посл1'довностей, як! збнгаються до нуля,— приклад
повного нерефлексивного простору. Справд!, як ми показали вище
(приклад 2, § 2), спряженим до с0 е простер ycix абсолютно зб!жних
числових ряд!в, якому в свою чергу спряжений npocTip tn ecix обмеже-
них послщовностей.
Прост!р С [а, Ь] неперервних функшй на деякому в!др!зку [а, Ь]
також нер.ефлексивний. Однак доведения нього твердження 1 ми не
наводимо.
Прикладом рефлексивного простору, який не зб!гаеться з cboim
спряженим, може бути 1Р при 1 < р =Н= 2 (би l'p = lq, де -i- -ф -у — 1,
то /р* = L = 1Р).
В п р а в а. Довед1ть, що замкнутий шдпрост1р рефлексивного простору рефлек-
сивний.
§ 3. СЛАБКА ТОПОЛОПЯ I СЛАБКА ЗБ1ЖН1СТЬ
I. Слабка тополопя i слабка зб!жшсть у л!н1'йному тополопчному
простор!. Розглянемо лшшний тополопчний npocTip Е ! сукупшсть
ycix неперервних функцюнал!в на ньому Якщо 3 ..., — дов!льний
скшченний наб!р таких функцюнал!в i е — додатне число, то множина
{х: (х) | <е; i = 1, 2, .. ., п} (1)
вщкрита в Е i м!стить точку 0, тобто е деяким околом нуля. Перетин
двох таких околш завжди мае множину виду (1), i, отже, в Е можна
ввести тополопю, для яко! сукупшсть множин виду (1) буде визначаль-
ною системою околев нуля Вона називаеться сладкою тополог1ею
простору Е Слабка тополопя в Е — це найслабша з тополопй, в якш
неперервн, вс! лш!йн1 функцюнали, що неперервн! у вихщшй тополо-
rii цього простору.
Зрозум!ло, що всяка множина в Е, вщкрита в розумшш слабко'!
топологи, вщкрита ! у вихщшй топологи простору Е, однак обернене,
взагал! кажучи, нев!рне (множини виду (1) не обов’язково утво-
рюватимуть визначальну систему окол!в нуля у вихщшй топологи).
За термшолэпею, прийнятою нами в § 5 розд. II, це означае, що слабка
тополопя простору £ слабша, шж i'i вихщна тополопя. Тим са-
мим виправдовуеться прийнята для не!' назва.
Якщо в Е !снуе досить багато неперервних лш!йних функшона-
л!в (наприклад, якщо Е нормований), то слабка тополопя в Е задо-
вольняе аксюму вщокремност! Хаусдорфа. Легко також перев!рити,
1 Можна довести нав!ть так! сильшше твердження: не !снуе ж о д н о г о нормо-
ваного простору, для якого С [а, &] був би спряженим простором.
що операци додавання ! множення на числа, визначеш в Е, неперерв-
нщвщносно слабко'! топологи пього простору.
Нав|'ть у раз! нормованих простор!в слабка топология в Е може
не задовольняти першу акш’ому зл!ченност;. Отже, ця тополоНя, вза-
гал! кажучи, не описуеться мовою зб!жних поелдавностей. Проте
зб!жшсть в Е, яка визначаеться шею тополопею, е важливим понят-
тям. Вона називаеться слабкою зб1жн!стю. На вщхлну вщ не!', зб!ж-
н!сть, яка визначаеться вихщною тополопею простору Е (нормою,
якщо Е нормований), називають сильною зб1жн1стю.
Поняття слабко! зб!жност! можна сформулювати так: послщовшсть
{хД елемешпв в Е називаеться слабко зб!жною до х0 € якщо для
будь-якого неперервного лшшного функцюналу ср (х) на Е числова
послщовшсть {ср (х„)| збшаеться до ср (х0).
Справд!, вважаючи для спрощення, що х0 = 0, припустимо, що
ф CU 0 при всякому ф £ Е*. Тод! для всякого слабкого околу
U = {х; | <рг (х) | < 8, i=l, 2, ..., k]
точки 0, знайдеться таке N, що х„ £ U при вс!х п > N (для цього
досить взяти У, так, щоб | ср( (х„) | < е при и > jVz i пот!м припустите,
що N = max Навпаки, якщо для кожного слабкого околу нуля
U !снуе таке N, що х„ £ U для вс!х п N, то умова ср (х„) -> 0 при
п -> 0, очевидно, виконуеться для кожного фжсованого ср £ Е*.
3 того, що слабка тополог!я простору Е слабша в!д його сильно'! то-
пологи, випливае, що всяка сильна збьжна посл!довнЕ:пь зб1гаеться
i слабко. Обернене твердження, взагал! кажучи, нев!рне (див. прикла-
ди нижче).
2. Слабка зб!жшсть у нормованих просторах. Розглянемо доклад
н!ше понятая слабко'! зб!жност! стосовно нормованих простор!в.
Теорема 1. Якщо {х„} — слабко зб1жна посл1довн1сть у нормо-
ваному простор!, то 1снуе таке стале число С, що
К11<с.
1накше кажучи, всяка слабко збйжна посл1довн1сть у нормованому
npocmopi обмежена
Доведения. Якщо послщовшсть (хД обмежена на кул!
S [/0, 8], то вона обмежена i на кул! S [0, е] = {g:||g|| < t}, осюльки,
якщо g С 5 10, е J, то f0 + g б S [/0, е i (g, х.) = (/0 + g, х„) — (,f0. х„),
а числа (f0, х„) обмежен! внаслщок слабко'! зб!жност! послщовност! {хп}.
Але якщо | (g, хп) | < С для вс!х g £ S [0, е], го на пщетав! (зометрич-
ност! природного вщображення Е в Е**,
1Ш V-
тобто норми || хл || обмежен! в сукупност!. Отже, якщо послщовшсть
{х„} не обмежена, то вона не обмежена на будь-яюй кул! з Е*. В!зь-
мемо деяку кулю Во cz Е*. Знайдуться такий номер пг ! такий елемент
f g Во, що | (/, хп,) | > 1. Внаслщок неперервно'! залежност! (/, х) вщ
/ нер!вн!сть | (j, хп,) | > 1 буде виконана для вс!х f, що належать де-
яшй замкнутш кул! В± cz Во. Дал!, м!ркуючи аналогично, знайдемо
в BY замкнуту кулю В2 i такий номер п2, що для bcix f g Вг виконуе-
ться нер!вн1сть | (/, хПг) I > .2, i т. д.; взагал!, для кожного k знайдемо
такий номер nk ! таку кулю Bk cz Bk_\, що
I (Л xnk) | > k при f G Bk.
При цьому можна вважати, що рад!уси куль Bk прямують до нуля
при £-> оо. Осшльки прост!р Е* повний, то !снуе елемент /, який
належить ус!м Bk (теорема про вкладен! кул!!). Але тод!
• к).
для вс!х k, що суперечить слабш'й зб!жност! {х„}.
Зауваження. При доведенн! обмеженост! посл!довносп {хл) за нормою ми
скористалися лише тим, що числова послщовшсть (/, хп) обмежена при кожному
f Р Е*. Оже, якщо послщовшсть {хп] в Е така, що числова послщовшсть (/, хп)
обмежена при кожному f £ Е* то !снуе така стала С, що || хп || <1 С. Це тверджен-
ня можна узагальннти: усяка слабко обмежена (тобто обмежена в слабюй топологи)
п1дмножана Q нормованого простору Е сильно обмежена (тобто м!ститься в деяк!й
кул!). Справд!, припустимо, що знайдеться така послщовшсть {хп) С Q, що || хп || ->
-> схз при п -» оо. Осюльки Q слабко обмежена, то i множина {хл) слабко обмежена,
тобто поглинаеться будь-яким слабким околом нуля; зокрема, для будь-якого f £ Е*
знайдеться таке N, що {*„) с N {х: | (/, х) | < 1}, звщки | (/, х„) | < N для вс!х
п. Але це на пщстав! зробленого вище зауваження суперечить припущенню || х„
-> оо. Коли врахувати, що слабка обмежешсть множини Q означае, що на шй обме-
жений будь-який неперервний л!шйний функщонал, то ми приходимо до такого
важливого результату: для того, щоб шдмножина Q нормованого простору була
обмежена, необхлдно i достатнъо, щоб на Q був обмежений будь-який функщонал
f£E*.
Наступна теорема часто бувае корисною для фактично! перев!рки
слабко! зб!жност! Tie! чи !ншо! послщовност!.
Теорема 2. Пошдовшсть {х„} елеменпйв нормованого простору
Е слабко зб1гаеться до х £ Е, якщо:
1) || хп || обмеженг в сукупноспи деякою константою М.’,
2) f (хп) -* f (х) для всякого f £ А, Ф А — деяко множина, л1нШ-
на оболонка яко1 скр1зь щ1льна в Е*.
Доведения. 3 умови 2) i означения д!й над л!н!йними функ-
цюналами, випливае, що коли ср — л!шйна комбшащя елеменпв
з А, го
Ф(х„) -> ф(х).
Нехай тепер ф — дов!льний елемент з Е* ! — послщовшсть
л!н!йних комб!нац!й елеменпв з А, яка збДаеться до <р. Покажемо,
що <р (хп) -> <р (х). Нехай М така, що
.||х„||<М(/г = 1, 2, ...) i М.
Ошнимо р!зницю | <р (хл) — <р (х)|. Осшльки ф^, -+• ф, то для будь-яко-
го 8 > 0 !снуе таке X, що || ф — фй|| < е для вс!х й > X. Тому
I <Р (хп) — ф (х) |< I ф (хп) — фй (Х„) | + | Фй (Х„) — Фй (X) I +
+ ®>(х) — ф (х) I < еЛ4 + еЛ1 + I ф* (х„) — фй (х) |.
Але, за умовою, cpft (х„) -> <pft (х) при п -> оо. Отже, ф (хп) — ф (х) -*•
-> 0 при п -> оо для всякого ф £ Е*.
Приклади. Подивимося, який зм!ст мае поняття слабко!
зб!жност! в деяких конкретних просторах.
1. У скшченновишрному евкмдовому npocmopi Rn слабка зб!жн!сть
зб!гаеться з сильною. Справд!, нехай Я ..., еп— який-небудь орто-
гональний нормований базис в Rn i txj — послщовшсть в Rn, яка
слабко зб!гаеться до елемента х. Нехай
i
Тод!
xk = х(14вг + . • • + х(*п)еп
х = хй'ех + • • • + xwen.
х^ = (xft, ej -> (х, ej = х(1),
x{k = (xft, еп) -> (х, еп) J xw,
тобто послщовшсть {х„} покоординатно зб!гаеться до х. Але тод!
р(хк’ х)=
\/=1 /
тобто {х„} сильно збшаеться до х. Оскзльки з сильно!' зб!жност! зав-
жди випливае слабка, р!вносильшсть цих зб!жностей в Rn доведено.
2. Слабка зб1жн!сть в /2. Для слабко! зб!жносп об межсн о!
послщовност! {xfe} до х достатньо, щоб виконувались умови
(хА, ег) = x(k -> xw = (х, ez), i = 1, 2, ...,
де
= (I, О, 0, ...), е2 = (0, 1, 0, .. .), ...
Справд!, лшшш комбшаш! елеменпв е( скр!зь шдльш в простор!
/2 (що зб!гаеться, як ми побачили, з сво!м спряжении). Тому наше
твердження випливае з теореми 2.
Отже, слабка зб!жшсть обмежено! послщовност! {хД в /2 означае,
що числова послщовшсть xS,l) координат цих вектор!в зб!гаеться для
кожного i=l,2, ... 1накше кажучи, слабка зб!жшсть збшаеться з по-
координатною (при умов! обмеженост!). Неважко побачити, що в /2
слабка зб!жшсть не збшаеться з сильною. Справд!, покажемо, що по-
слщовшсть Si, е2, ..., еп, ... слабко збшаеться в 12 Д° нуля. Усякий
лшшний функцюнал f в /2 записуеться як скалярний добуток f (х) =
— (х, а) вектора х £ /2 на деякий фшсований вектор а = (alt а2, ...),
Тому
f (еп) = ап,
i осюльки ап -> 0 при п -> сю для всякого a g /2, д!стаемо
lim f (еп) = О
для кожного л!н!йного функшоналу в 12.
Воднсчас в сильному розумшш послщовшсть {еп} до жодно!
границ! не збшаеться.
В п р а в и. 1. Нехай послщовшсть {хп} елеменпв пльбертового простору Н
слабко зб!гаеться до елемента х, причому || хп || -> || х || при п -> оо. Довести, що
в цьому випадку послщовшсть {хп} сильно збЦаеться до х, тобто || хп—х || -> 0.
2. Довести, що твердження вправи 1 збережеться, якщо умову ||хп|| -> || х ||
замшити умовою || хп || < || х || для ecix п або умовою lim || хп ||< || х
П-ь-оа
3. Нехай И — (сепарабельний) пльбертовий проспр i Q — його обмежена шд-
множина. Тод! тополопя в Q, шдукована слабкою тополопею простору Н, може бути
задана деякою метрикою.
4. Довед!ть, що всяка замкнута опукла шдмножина пльбертового простору
замкнута в слабюй топологи (зокрема, всякий замкнутий лтшйний шдпроспр пль-
бертового простору слабко замкнутий). Наведиь приклад замкнуто!’ множини в пль-
бертовому простор!, який не е замкнутим.
3'. Слабка збёжнкть у npocmopi С [а, й] неперервних функщй.
Нехай {х„ (0}— послщовшсть функщй з С [а, й], яка слабко збь
гаеться до функц!! х (/). Послщовшсть {хп (/)} обмежена за нормою
С [а, й]. Серед функц!онал!в, визначених на С [а, й], е, зокрема,
функщонали б<0, кожний з яких е значения функц!! в деякш ф!ксова-
иш точш /0 (див. приклад 4, п. 2, § 1). Лля кожного такого функцюналу
умова
б 6 (хп) -> 6,„ (х)
означае, що
хп
Отже, якщо послщовшсть {хп (!)} слабко зб!гаеться, то зона:
1) р!вном1рно обмежена, тобто |х„ (0 С при bcix п = 1,2, ...
i а < t b;
2) збДаеться в кожшй точц!.
Можна показати, що сукупшсть цих двох умов не пльки необхщ-
па, айдостатня для слабко! зб!жносп послщовност! {хп (/)} в
С 1а, й]. 1накше кажучи, слабка зб!жшсть в С [а, й] збшаеться з по-
точковою (при умов! обмеженост!).
Зрозум!ло, що ця зб!жн!сть не збшаеться !з зб!жш?тю за нормою
С 1а, й], тобто р!вном!рною зб!жшстю неперервних функцш. (Наве-
д!ть вщповщний приклад).
3. Слабка тополопя i слабка зб!жн!сть у спряженому простор!.
У п. 4 попереднього параграфа ми ввели в спряженому простор! Е*
тфподаЖю, названу нами сильною, взявши за систему окол!в нуля
сукупшсть множин виду
Us.A = 7:|/(х)|<е, хЕ Л},
де Л —• дов!льна обмежена множина в Е, а е — дов!льне додатне чис-
ло. Якщо ми тут зам!сть yeix обмежених множин розглядатимемо вс!
к i н ч е н н i шдмножини Л cz Е, то ми д!станемо так звану
главку топологио в спряженому npocmopi Е*. Осюльки всяка ск!нчен-
т множина Л с Е обмежена (обернене, взагал! кажучи, нев!рне),
io зрозум!ло, що слабка тополопя простору Е* слабша, шж сильна
тополопя цього простору. Взагал! кажучи, ц! дв! топологи не зб!га-
ються.
Слабка тополопя, введена в Е*, визначае в цьому простор! деяку
зб!жшсть, яка називаеться слабкою зб!жн!стю функц!онал!в. Слабка
зб!жн!сть лшшних' функцюнал!в е важливим поняттям, яке вццграе
значку роль у багатьох питаниях функцюнального анал!зу, зокрема
в теори так званих узагальнених функцш, про як! йтиме мова в нас-
тупному параграф!.
Слабка зб!жн!сть послщовност! {фп} лшшних функцюнал!в е,
очевидно, зб!жшсть ц!е’( послщовност! на кожному фшсованому еле-
мент! з Е. 1накше кажучи, послщовшсть {срп} називаеться слабко
зб!жною до ф f Е*, якщо для кожного х g Е виконано сшвйщношен-
ня
<Рп (*)->Ф (х).
Зрозум!ло, що ! в спряженому простор! послщовшсть, яка збюаеться
в сильшй топологи, зб!гаеться i слабко (але не навпаки).
Нехай Е (а отже, i Е*) — банаховий прост!р. Слравджуеться така
теорема, аналоп’чна теорем! 1.
Теорема 1*. ^кщо {ДЙ — слабко зб!жна посл!довн!спгь лСншних
функц!онал!в на банаховому просторов!, то !снуе таке стале число С, що
\\fn\\<C, /1=1, 2, ...
1накше кажучи, усяка слабко зб1жна посл!довн!сть елеменпйв прос-
тору, спряженого до банахового простору, обмежена за нормою.
Доведения не вщр!зняеться вщ доведения теореми 1.
Наступна теорема ц!лком аналопчна теорем! 2.
Теорема 2*. Посл!довн1сть л!н!йних ерункцюнал!в (фп}з Е* слабко
зб!гаеться до гр б Е*, якщо:
1) ця посл!довн!сть обмежена, тобто
||ф„КС, /1 = 1,2,...;
2) сп!вв!дношення (срп, х) -> (ф, х) виконане для вс!х х, що нале-
жать деякш множин!, л!н!йн! комбшацГ! елеменпйв яко'! скр!зь щ!льн!
в Е.
Доведения те саме, що й у теорем! 2.
Розглянемо приклад. Нехай Е — це прост1р С [а, Ь] иепе-
рервних функцш1i
Ф (х) = х (О’),
тобто ф е 6-функщя (див. § 1, п. 2, приклад 4). Дал!, нехай {ф„(/)} —
послщовшсть неперервних функшй, як! задовольняють так! умови
1) Фп(() = 0 при Ф„(0>0;
2) (/)Л=1.
а
1 Ми вважаемо, що0£ [о, Ь]. Звичайно, можна було б зам!сть точки t == 0 взяти
будь яку 1ншу.
Тод] для будь-яко! неперервно! на [а, Ь] функци х (/) за допомогою
теореми про середне дютаемо
Ь 1/п
фл (!) х (!) dt = j фл (!) х (f) dt -> х (0) прин->оо.
а — \/п
Вираз
ъ
J <р„ (!) X (!) dt
а
е лш!йним функцюналом на С [а, 6]. Отже, 6-функщю можна зобра-
зити як границю, в розумшш слабко! зб!жност! лшшних функцюна-
л!в на С [а, Ь], послщовност! «звичайних» функщй. -
Зауваження. Простер Е* лшшних функц!онал!в на деякому простор! Е
ми можемо розглядати подвшно:-або як npocrip, спряжений до вих!дного простору
Е, або ж вважати сам Е* основним простором ! пов’язувати Я ним спряжений
до нього npocrip £**. Вщповщно до цього ми можемо в Е* вводити слабку тополо-
пю двома способами: або як у простор! функц!онал!в, визначаючи околи в £ за до-
помогою найр!зноман!тн!ших скшченних набор!в елеменпв з Е, або як в основному
простор!, за допомогою простору Е**. У випадку рефлексивного простору, це,
зрозум!ло, те саме. Якщо ж £ не рефлексивний, то це — дв! р!зн! тополог!! в £*.
Щоб уникнути Жожливо! плутанини, слабку тополопю, яка визначаеться в основ-
ному простор! (тобто тополопю в £*, яка визначаеться за допомогою £**) будемо
називати просто слабкою тополог1ею, а слабку тополопю в простор! функц!онал!в
(тобто тополопю в £*), яку визначають за допомогою £, називатимемо *-слабкою
тополог1вю. Очевидно, що *-слабка тополопя в £* слабша, н!ж слабка тополопя
простор £ (тобто в слабшй тополог!! не менше вщкритих множин, н!ж у *-слабк!й
топологи).
4. Обмежеш множини в спряженому простор!. У р!зних застосу-
ваннях поняття слабко! зб!жпост! лшшних функц!онал!в важливу
роль вщшрае така теорема:
Теорема 3. Якщо Ё — сепарабельний лшшний нормований npocmip,
то в будь-якш обмеженШ посл[довност1 неперервних лшшних функщо-
нал1в на Е в слабко збйжна шдпоа/йдовнйлпь.
Доведения. Виберемо в Е зл!ченну скр!зь щдльну множину
(%!, х,, ..., хп, Якщо {фД — обмежена (за нормою) послщовшсть
лшшних функц!онал!в на Е, то числова послщовшсть
Ф, Д1), <р2 (хД, .. . , ф„(х1), ...
обмежена. Тому з {фД можна так вибрати ищпослщовшсть
ФР, Ф^, .... Ф^>......
щоб числова послщовшсть
Ф11’ (Д)> Ф21’ (д)..фп’ (Д)> • • •
зб!галась. Дал!, з {ф^} можна так вибрати пщпослщовшсть
(2) (2) (2)
Ф1 , ф2 > • • . , фп , ...»
щоб збшалася послщовшсть
ф(12) (х2), ф® (Х2), .... Фп (Х2), . . .
Продовжуючи цей процес, д!станемо таку систему послщовностей
Ф?’, Ф?>......Ф^.......
Ф^, Ф?>, Ф^2)....
(кожна з яких мктиться в попереднш), що {ф^} збшаеться в течках
Xi, х2, хп. Тод!, взявши «д!агональ»
(1) (2) (м)
Ф1 , ф2 > • • • , фп , • • • ,
ми дштанемо таку пщпослщовшсть лшшних функщонал!в, що
Ф11’ М, ф5-2) (х„), ...
збшаеться для Bcix п. Але тод! (на пщстав! теореми 2*) послщовшсть
Ф11* (х),ф22) (х), ... збшаеться i для будь-яко!' х £ Е. Теорему дове-
дено.
Ця теорема разом з теоремою 1* означав, що в простор! Е*, спря-
женого до сепарабельного банахового простору, обмежен! шдмнежини,
i т!льки вони, е зл!ченно-передкомпактними в *-слабк!й тополог!’!.
Покажемо, що насправд! тут е передкомпактшеть, а не т!льки зль
ченна передкомпактшеть.
Доведемо насамперед таку теорему:
Теорема 4. Нехай S*— замкнута единична куля простору Е*,
спряженого до сепарабельного нормованого простору Е. Топологйо,
шдуковану в S* *-слабкою тополог1ею простору Е*, можна задати
за допомогою метрики
р(/. ^ = 22-«|(/-g, х„)|, (2)
де {хга} — деяка ф1ксована зл1ченна скрйзь щыьна множина в одиничнш
кул1 S простору Е.
Доведения. Зрозумьло, що функщя р (/, g) мае вс! властивос-
т! вщеташ; кр!м того, вона швар!антна вщносно зсув!в:
P(f + h, g + h) = p(f, g).
Тому досить перев!рити, що система окол!в нуля, яка визначаеться
в 8* слабкою тополошею простору Е*, екв!валентна систем! окол!в
нуля, що визначаеться в 8* вщетанню (2), тобто що: а)будь-яка «куля»
& = {/:р(А 0)<8}
м!стить перетин 8* з деяким слабким околом нуля в Е* ! що б) всякий
слабкий оюл нуля в Е* м!стить перетин 8* з деяким Qe.
В!зьмемо N так, що 2~N <g б/2 ! розглянемо слабкий оюл нуля
v = Vx,.....XN- е/2 = {/:!(/, Xft)|<-|-, /г=1, 2, .... /V}.
Тод!, якщо f £ S* Q И, то
N оо
Р(А 0) = 2 2"л1(/, *п)1+ 2-«|(Ах„)|<
П“1 п=ДГ-[“1
р N со
<-|-£2-«+ 2 2-” <8,
n=l n=W+l
тобто S* f) V cz Qe. Тим самим твердження а) доведено. Доведемо
гвердження б). Нехай
^ = *4,.ут;ь= {f:\if, /г = 1, 2, .... т}
- деякий *-слабкий ок!л нуля в Е*. Можна вважати, що || yk || < 1,
k = 1, 2, .... /п;-осюльки множина {х„} скр!зь щ!льна в S, то знай-
цуться так! номери .... пт, що || yk — <с 8/2, k = 1, 2, ...
Нехай М = max (пг, ...,|М i 8 = 2~w+1>6. Тод! при f £ 3* f| Qe
s нер!вностей
2 2-"|(А х„)|<8
П=1
д!стаемо, що |(/, х„)| < 2"е; зокрема,
|(/, s)|<2%<2"8-4.
Отже, для Bcix k = 1,2, ..., т д!стаемо
КА %)1<1(А + ^-^)l<4 + ll/lhhA-^||<6.
Отже, S* f| Qe cz U. Теорему доведено.
Зрозум!ло, що цей результат автоматично поширюеться на будь-яку
кулю, а отже, i на будь-яку обмежену шдмножину М cz Е*.
Ми показали (теорема 3), що з кожно! обмежено! послщовност! в Е*
можна вибрати *-слабко зб!жну пщпослщовшсть. 1накше кажучи,
и простор! Е*, який спряжений до сепарабельного л!шйного нормо-
ваного простору i мае *-слабку тополопю, кожна обмежена пщмножи-
иа М зл!ченно-передкомпактна. Але на пщстав! останньо! теореми
кожна така множина е метризовании тополопчним простором, а для
метричних простор!в компактшсть i зл!ченна компактшсть зб!гають-
( я. Отже, ми д!стаемо такий результат:
ТеоремаЗ*. Усяка обмежена множина М у npocmopi Е*, спряженому
бо сепарабельного нормованого простору, передкомпактна у розум1нн1
*-слабко1 топологи простору Е*.
Покажемо тепер, що коли Е — сепарабельний лшШний нормова-
iiin'i npocrip, то всяка замкнута куля в простор! (£*, Ь) замкнута в
слабк!й тополог!! простору Е*.
Осюльки зсув у простор! Е* переводить клас замкнутих в
(♦-слабкш тополог!!) множин у себе, то досить довести, що з *-слабюй
тополог!! замкнута всяка куляПвиду Sc =» {/ : ||/1| < с}. Нехай f0^
(JSf, За означениям норми функцюналу знайдеться такий вектор
х £ Е, що || х || = 1, f0 (х) = а > с. Тод! множина U / (х) >
буде *-слабким околом функцюналу f0, що не мютить жодного еле-
мента з кул! So; отже, куля Sc замкнута в *-слабк!й топологи.
3 доведеного твердження i теореми 3* випливае така теорема:
Теорема 5. Усяка замкнута куля в простор!, який спряжений
до сепарабельного нормованого простору, компактна в *-слабкЛй mono-
Aoeii.
Викладен! вище результата про обмежен! множини в спряжених просторах мож-
на перенести з нормованих простор!в на дов!льн! локально опукл!. Див. з цього при-
воду, наприклад, [42].
§ 4. УЗАГАЛЬНЕН! ФУНКЦП
1. Розширення поняття функцп. У р!зних питаниях анал!зу тер-
м!н «функщ'я» доводиться розум!ти з р!зним степеней загальности
1нод! розглядають неперервн! функцп, в !нших питаниях доводиться
припускати, що мова йде про функци, диференцшован! один або
к!лька раз!в i т. д. Однак у ряд! випадк!в класичне поняття функ-
цн, яке нав!ть трактуеться в найширшому розумшш, тобто як дов!ль-
не правило, що заставляв кожному значению х з облает! визначення
uie’i функц! 1 деяке число у = f (х), виявляеться недостатшм.
Ось два важлив! приклади.
1) Розпод!л мае уздовж прямо’! зручно задавати щ!льшстю цього
розпод!лу. Однак, якщо на прямш е точки, що несуть додатну масу,
то пцльшеть такого розпод!лу не можна наперед описати шякою «зви-
чайною» функщею.
2) Застосовуючи апарат математичного анал!зу до тих чи шших
зад?“, ми натрапляемо на нездШсненшсть деяких операцш; наприклад,
функцию, що не е похщною (у деяких точках або нав!ть скр!зь), не
можна диференш’ювати, якщо похщну розум!ти як «звичайну» функ-
цию Таких утруднень можна було б уникнути, обмежившись, напри-
клад, розглядом лише анал!тичних функц!й. Однак таке звуження запа-
су допустимих функц!й у багатьох випадках дуже небажане.
П.юте виявляеться, що так! утруднення можна подолати не зву-
жуючи, а !стотно розширюючи поняття функци, вв!вши так зван!
узагальнен!'функцп. Основою для введения в!дпов!дних означень нам
буде поняття спряженого простору, розглянуте вище.
ГИдкреслимо ще раз, що введения узагальиених функщй було ви-
кликано зовам не прагненням до якомога б!льшого розширення по-
нять анал!зу, а щлком конкретними задачами. По сут!, у ф!зиц! уза-
гальнеш функцИ використовували вже дуже давно, в усякому раз! ра-
шше, н!ж було побудовано точну математичну теорпо узагальиених
функщй.
Перш н!ж перейти до точних означень, розглянемо основну !дею
побудови.
Нехай f—ф!ксована функщя на прямш, штегровна на кожному
сличенному штервал!, i нехай ср — неперервна функщя, яка перетво-
рюеться в нуль поза деяким скшченним штервалом [так! функцп
ми надал! називатимемо фшйтшмм). Кожшй такш функци ср можна
за допомогою фшсовано'! функци f поставити у вщповщшсть число
оо
(Г» ф) ~ У /(х) ср (х) dx (1)
—со
(фактично, внаслщок фштност! <р (х) штеграл береться по деякому
скшченному штервалу). 1накше кажучи, функщю / можна розглядати
як функцюнал (лппйний, на пщстав! основних властивостей штегра-
ла) на деякому простор! фш!тних функщй Однак функцюналами виду
(1) не вичерпуються вс! функцюнали, як! можна ввести на такому
простор!; ставлячи у вщповщшсть, наприклад, кожшй функци и
значения в точц! х = 0, ми д!станемо лшшний функцюнал, не зобра-
жуваний у вигляд! (1). Таким чином, функцп [ (х) природне включа-
ються в деяку ширшу множину — сукупшсть ycix лшшних функцю-
пал!в на ф!н!тних функщях.
Запас функцш <р можна брати по-р!зному; наприклад, можна було
б узяти вс! неперервн! ф!н!тн! функци. Проте, як буде зрозум!ло
з дальшого, доидльно пщпорядкувати допустим! функцп ср, кр!м непе-
рервност! i фш!тност!, ще й досить жорстким умовам гладкост!.
2. npocTip основних функщй. Перейдемо тепер до точних означень.
Розглянемо на прямш сукупшсть К ycix фш!тних функщй ср, шо мають
неперервн! похщш вс!х порядшв1. Функцп, як! належать К, утво-
рюють л!шйний npocrip (!з звичайними операщями додавання функ-
цш i множення ix на числа). У Цоому простор! не можна ввести норму,
яка вщповщала б викладешй пижче теорп, однак в ньому природно
вводиться поняття зб!жпост!.
Послщовшсть {ср,,} елемепт!в з К називаеться зб1жною до функцП
<р g /(, якщо: 1) !снуе штервал, поза яким yci q>n дор!внюють нулю;
2) послщовшсть похщних 2 порядку kt'k = 0, 1, 2, ...) зб!гаеться
на цьому штервал! р!вном!рно до cpw. (Р!вном!ршсть зб!жност! за
р!зними k не передбачаеться).
Лшшний npocrip К з Tiero зб!жшстю, яку ми в ньому гизначили,
називатимемо основним простором, а його елементи — основними
функциями.
Неважно описати тополопю в К, якш тдпорядковуеться задана в К зб!жн!сть.
Така тополопя породжуеться системою окол!в нуля, кожна з яких задаеться сюн-
ченним набором у0, .... ут неперервних додатних функщй i складаеться з тих функ-
ц!й, що належать /С, яю при вс!х х задовольняють нер!вност!\
Ф I (х) I < То (х). • • •. I ф(т) (х) | < ут (х). \
Перев1рити те, що щй топологи справд! тдпорядковуеться описана вище зб!жшсть
у К, надаемо можлив!сть читачевй '
1 Штервал, поза яким функщя <р доргвнюе 0, може бути р!зним для р!зних <р £ К.
s П1д похщною нульового порядку розум!ють, як звичайно. саму функщю.
В п р а в а. Позначимо через Кт шдпроспр простору К, що складаеться з yeix
функщй ф £ К, як! дор!внюють 0 поза в!др!зком [—т, т]. У простор! Кт можна
ввести структуру зл!ченно-нормованого простору, припускаючи, що
Цф||п= sup , <p(fe) п = 0, 1,2, ...
О < k !g р
I x | $ in
Перев1рте, що тополопя (в!дпов1дно зб!жн!сть послщовностей) у простор! Кт, яка
породжуеться щею системою норм, зб!гаеться з тополопею (в!дпов!дно зб!жн!стю),
щдукованою в Кт описание вище тополопею (зб!жн!стю) в простор! /(. Зрозум!ло,
ОО
що /С; С Кг С ... Кт^—> причому К— (J Кт- Покаж!ть, що множина Q С К тод!
т=1
i пльки тод! обмежена в!дносно введено! в К тополог!!, коли !снуе таке т, що Q е
обмеженою шдмножиною зл!ченно-нормованого простору Кт- Нехай г — л!шй-
ний функщонал на простор! К', доведпь, що наведен! нижче чотири умови р!вно-
сильш: (а) функшонал Т неперервний вщчосно топологи простору К', (б) функшо-
нал Т обмежений на кожшй обмежешй множин! Q с К (ч) якщо Р К i <рп -> О
(в розумшн! введенно!' в К зб1жност1 поел давностей) то Т (ф„) -» 0; (г) для кожного
„1 звуження Тт функщоналу Т на шдпрост'р Кт С К е неперервний функщонал на
Кт-
3. Узагальнеш функци.
Сзначення 1. Узагальненою функщею (заданою на прякпй
— оо < х < оо) називаеться всякий неперервний функцюнал Т (<р)
на основному простор! К- При цьому неперервшсть функцюналу ро-
зум!ють так, що Т (<р„) -> Т (<р), якщо послщовшсть <р„ збюаеться до
ср в основному простор! К.
Насамперед зауважимо, що .всяка штегрована на будь-якому
сличенному штервал! функщя f (х) породжуе деяку узагальнену
функшю. Справд!, вираз
оо
= j f w <р wdx (2)
-ОО
e неперервний лш!йний функцюнал на К- Так! узагальнеш функци
ми називатимемо регулярными, а вс! !нш!, тобто так!, як! не можна
зобразити у вигляд! (2),— сингулярными.
Наведемо деяк! приклади сингулярних узагальнених функщй.
1. «6-функщя»:
Т (ф) = ср (0).
Це — неперервний лшшний функцюнал на /<, тобто, за введеною
вище термшолонею, узагальнена функщя. Цей функщонал звичайно
записують у вигляд!
J 6 (х) ф (х) dx, (3)
—оо
розум!ючи шд 6 (х) «функщю», яка дор!внюе нулю при вс!х х 0
! перетворюеться в точщ х = 0 у нескшченшсть так, що
j 6 (х) dx = 1,
— оо
Ми розглядали вже б-функц!ю в § 1 як функцюнал на простор! bcix
неперервних функщй, визначених на деякому вщр!зку. Однак розгляд
б-функцн як функцюналу на К мае певш переваги, наприклад, дае
можлив!сть ввести для не! поняття похщноТ.
2. «Змнцена 6-функщя». Нехай
Т (ф) = ф (а).
Цей функцюнал природно записати за аналогiero з пэзначенням (3)
у ВИГЛЯД!
► оо
С 6 (х — а) ф (х) dx. (4)
3. «Похщна 6-функщТ». Кожшй ф £ К ставиться у вщповщшсть
число— ф' (0). Трохи нижче ми з’ясуемо, чому цей функцюнал при-
родно вважати похщною функцюналу, розглянутого в першому при-
клад!.
4. Розглянемо функщю 1/х. Вона не штегровна на жодному штерва-
л!, що мае точку нуль. Однак для кожнс! ф g К штеграл
Ф (х) -л- dx
I
icnye i скшченний в розумшш головного значения. Справд!,
оо ь b ь
С ф (х) — dx = С ф (х) — dx — С У Ц) — Ф (°), dx + { ф (°) dx.
। X ]% l .X
—ос а а а
Тут (п, Ь) — штервал, поза яким ф перетворюеться в нуль. Перший
з штеграл!в, що стоять справа, icnye в звичайному розумшш (пщ
знаком штеграл! стоггь неперервна функщя), а другий штеграл icnye
в розумшш головного значения. Таким чином 1/х визначае деякий
функцюнал на К, тобто узагальнену функщю. Можна довести, що
жодна з узагальиених функцш, наведених у прикладах 1—4, не е ре-
гулярною, тобто не зображаеться у вигляд! (2) з жодною локально
штегрованою функщею /).
4. Дп над узагалыненими функщями. Для узагальиених функщй,
тобто неперервних лшшних функцюнал!в на К, означено onepauii
додавання i множення на числа. При цьому, очевидно, для регуляр-
них узагальиених функцш, тобто «звичайних» функцш на прямш, до-
давання ’ix як узагальиених функщй (тобто лшшних функцюнал!в)
збшаеться !з звичайною операщею додавання функщй. Те саме стосуе-
ться i до множення на числа.
Введемо в простор! узагальиених функщй операшю граничного
переходу. Ми скажемо, що послщовшсть узагальиених функщй {/„}
збшаеться до f, якш.о для кожного ф £ К виконане сшввщношення
(/п> ф)->(/. ф)-
1накше кажучи, зб!жшсть послщовност! узагальиених функщй ми
означаемо як i'i зб!жн!сть на кожному елемент! з Д'. Проспр узагаль-
нених функщй з шею зб!жшстю позначатимемо /(*.
Якщоа — нескшченно диференцшовна функщя, то природно визна-
чити добуток а на узагальнену функщю f формулою
(а/, <р) = (/, аф)
(вираз, що сто!'ть тут справа, мае смисл, бо аф Q К). Ус! щ операцп —
додавання, множення на числа 1 на нескшченно диференцшовш функ-
uiT — неперервн!. "
Добуток двох узагальиених функщй ми не вводимо. Можна пока-
зати, що такий добуток означити не можна, коли вимагати, щоб ця
операшя була неперервна, а для регулярних узагальиених функцш
збиалася б з звичайним множенням функщй.
Означимо тепер для узагальиених функцш операщю диференшю-
вання ! розглянемо п властивосп.
Нехай спочатку Т — функщонал на /ф, який визначаеться деякою
неперервно диференцшовною функщею /:
оо
т (ф) = j / (х) ф (х) dx.
— со
т“л • ' д. • АТ
Иого похщною природно назвати функщонал , якии визначаеться
формулою
dT Ср
— (ф) = j f (х) Ф (U dx.
—сю
1нтегруючи по частиках ! враховуючи, що кожна основна функщя
Ф перетворюю'пься в нуль поза деяким скшченним штервалом, маемо
4г (Ф) = J f W Ф W dx = — J / (х) ф' (xl dx;
— оо —со
d7’ • д, — г й
отже, мидштали для вираз, в якому похщна функцп /не б е р е
у ч а с т i. Щ м!ркування шдказують таке означения:
Означения 2. Походною узагальнено! функцн Т називае-
ться функцюнал, який визначаеться формулою
4г(ф) = -^(ф').
Зрозум!ло, що функщонал, який визначаеться шею формулою, лш!й-
ний i неперервний, тобто е узагальненою функщею. АналоПчно ви-
значають другу, третю i наступи! похщш.
> Позначивши узагальнену функщю символом /, ми позначатимемо
п похщну (яку розум!ють в розглянутому пльки що розумшш) зви-
чайно символом /',
Безпосередгьо з означения похщно! узагальнено! функцп випли-
вае справедливкть таких тверджень:
1. Усяка узагальнена функщя мае похщн! bcix порядк!в.
2. Якщо послщовн!сть узагальнених функщй {fn} зб!гаеться до
узагальнено! функцп f в розумшн! визначення зб!жност! узагальнених
функщй, то послщовщсть похщних {fn} збюаеться до похщно! f
гранично! функци. Те саме справедливо i для похщних будь-якого
порядку.
Це р!вносильно тому, що всякий зб!жний ряд, складений з уза-
гальнених функщй, можна диференщювати почленно в будь-яку к!ль-
К1сть раз!в.
Розглянемо деяк! приклади.
1. 1з сказаного'вище зрозум!ло, що коли f—регулярна (тобто
«справжня») функщя, похщна яко! !снуе ! неперервна (або кусково-
неперервна), то похщна вщ не!, як вщ узагальнено! функци, зШгаеть-
ся з и похщною в звичайному розумшн i.
2. Нехай
, . . (1 при х> О,
f (х) = J 1 (5)
(0 при х < О,
пя функщя, що називаеться функщею Xeeicailda, визначае лшшний
функцюнал
ОО
(/, Ф) = j ф (х) dx.
о
За означениям пох!дно! узагальнено! функц!! маемо
оо
(/'. Ф) = — (А ф') = — J ф' W dx = ф (0)
о
(оскьльки ф перетворюеться в 0 на нескшченност!). Отже, похщна
функци Хев!сайда (5) е б-функц!я.
3. 3 приклад!в 1 i 2 зрозумщэ, що коли f—функщя, що мае
в точках Xi, х2, ... стрибки, що дор!внюють hlt Я ... i диференщйов-
па (у звичайному розумшн!) в шших точках, то похщна вщ не! (як вщ
узагальнено! функци) е сумою звичайно! похщно! f (у тих точках,
де вона !снуе) ! виразу виду
У, hfi (х — х().
i
4. Застосувавши означения похщно! до 6-функци, д!станемо,
що ця похщна е функцюнал, який набувае для кожно! функц!! з К
значения — ф' (0). А це i е той самий функцюнал, який ми вже на-
звали «похщною» вщ 6-функц!!».
5. Розглянемо ряд
ОО
SS1R ПХ
П
гг==1
Його сумою е функщя, яка мае пер!од 2л i визначаеться на вщр!зку
[—л, л] формулами
Л —
2
при
/(*) =
2
0 при «•» О,
Узагальнена пох!дна в!д не! дор!внюе
1 00
----2~ + л У 8(х — 2£л).
/?=—00
(7)
Це — деяка узагальнена функщя (застосовуючи Ti до будь-яко! ф!'
штно! функци <р (х), ми завжди дютаватимемо лише скшченне число
вщмшних вщ нуля доданюв). 3 другого боку, диференщюючи ряд
оо
2
п=1
sin пх
п
почленно, ми д!стаемо розб!жний ряд
2 cosnx.
п=Г
Однак щодо зб!жност! узагальнених функщй цей ряд зб!гаеться, а
саме, до виразу (7). Таким чином, поняття узагальнено! функци да?
можлив1сть приписати деяке щлком певне значения сум! ряду, який
у звичайному розумшю розб1'жний. Те саме стосуеться i до багатьох
розб!жних штервал!в. 3 щею обставиною доводиться часто мати спра-
ву в квантов!й теори поля ! ряд! шших галузей теоретично! ф!зики.
Проте, така ситуащя виникае вже при розв’язуванш елементарних
задач математично! ф!зики за допомогою методу Фур’е. Наприклад,
, . . г)'1 и 2 д‘1и
при розв язуванщ ршняння коливань струни = а виникають
тригонометричю ряди, що мають друг! похщн! по х i по t п’льки в ро-
зумшш теори узагальнених функщй, а отже, так!, що задовольняють
це р!вняння також т!льки в розумшш ц!е! теори.
5. Достатшсть запасу основних функщй. Ми означили узагальнеш
функциях л!н!йн! функшонали на деякому простор! — простор! М фй
штних нескшченно диференцшовних функщй. Основний прост!р можна
було б взяти ! якось шакше. Розглянемо м!ркування, як! визначили
виб!р К як npocTip основних функцш. Вони застосовн! ! в шших ви-
падках. Наклавши на елементи з М жорстк! вимоги фпйтност! i нескш-
ченно! диференцшовност! ми д!стали, по-перше, великий запас уза-
гальнених функцш (звуження основного простору веде, очевидно,
до розширення спряженого простору), а, по-друге, велику в!льн!сть
у застосуваню до узагальнених функщй основних операцш анал!зу
(граничний перехщ, диференщювання). Але разом з тим просНр основ-
них функщй К е не дуже вузъким. У ньому досить багато елемент!в
для того, щоб з !х допомогою можна було розр!зняти неперервн! функ-
ц!Т Тэчнппе кажучи, нехай f\ i /2 — dei р1зш неперервш (а отже, i ло-
кально штегровнО функцП на прямш. Todi icnye така функщя я с Д,
що
оо со
J fl (X) <Р (х) dx =£ J f2 (х) ф (х) dx. (8)
— со —оо
Справд!, припустимо, що f (х) = /у (х) — f2 (х). Якщо f(x) О,
то 1снуе така точка х0, що f (х0) Ф 0- Тод! f (х) збершае знак у деякому
Штервал! (а, Р), що мае тоику х0. Розглянемо функщю
Ф(х) =
1
е (3—Х)(Х—оь)
при СС < X < Р,
О при шших х;
ця функц!я дор!внюе нулю поза (а, Р) ! додатна всередин! цього !нтер-
валу; кр!м того, вона мае похщн! ycix порядюв, так що <р £ К (пе-
рев'рте !снування похщних у точках х = a i х — р!). При цьому,
очевидно,
со [3
j f (х) ф (х) dx — j f (х) ф (х) dx =£ 0.
—оо . (X
Отже, ми показали, що прост!р Д достатшй для розр!знення будь-
який двох неперервних функщй \
6. Вщновлення функцп за похщною. Диференц!альн! р!вняння
в клас! узагальиених функцш. Диференщальш р!вняння—одна з
основних областей, де застосовують теор!ю узагальиених функц!й,
А саме, задач!, пов’язан! з р!вняннями, значною м!рою i стимулювали
розвиток nie’i теор!!’. В основному П застосовують до р!внянь в частин-
них похщних, яких ми тут'не розглядаемо. Проте ми торкнемося де-
яких найпроспших питань, що стосуються розв’язування (звичайних)
диференЩальних р!внянь з узагальненими функщями. Почнемо з най-
просНшого р!вняння виду
У' = f W
(/ W — узагальнена, або «звичайна», функщя), тобто з задач: про вщ-
новлення функцп за п похщною. В!зьмемо f (х) == 0.
Теорема 1. Т1льки константа е розв’язками (в клаа узагальнених
функщй) ргвняння
У' = 0. (9)
Доведения. Р!вняння (9) означае, що
(/, ф) = (У. — ф') = 0 (Ю)
1 Це твердження можна поширити й на функцп, як1 Ictotho 61льш загальн!, жж не-
перервн!, але для цього треба скористатися поняттям штегровност! за Лебегом, про
що йтиме мова в наступному розд!л!.
для будь-якоТ основноТ функци ф g /С Розглянемо сукупшсть /<(1)
тих основних функцш, кожну з яких можна подати як похщну якоТсь
основноТ функци. Очевидно, що /С(1’ е лшшний шдпроспр у /С Припус-
тимо, що <Pj (х) = — ф' (х); функщя фх npo6irae коли <р npodirae
К- PiBHicTb (10) визначае функцюнал у на К0’.
Зауважимо тепер, що основна функщя <р належить /С(1) тод! 1
пльки тод!, коли
С ср (х) dx = 0, (II)
СО
тобто /С(1) е ядрофункцюналу J ср (х) dx. Справд!, якщо ср (х) = ф' (х),’
—со
ТО
С Ф (х) dx = ф (х) =0. (12)
-оо
Навпаки, вираз
X
ф (х) = у ф (() dt (13)
—оо
е нескшченно диференщйовна функщя. Якщо (11) виконана, тоф (х)—
ф!н!тна функщя. ГТ похщна дор!внюе ср (х). Згщно з результатами
п. 6, § 1, розд. III будь-яку основну функщю ср g /< можна записати
у вигляд!
ф = Ф1 + «Ро (ф! б К(1)),
де фо — фшсована основна функщя, яка не належить /<(1) i задоволь-
няе умову
J Фо (х) dx = 1.
, —00
Для цього досить припустити, що
оо
с = у ср (х) с/х i ф! (х) = ф (х) — еф0 (х).
--ОО
Таким чином, якщо значения функцюналу у на основнш функци
Фо (х), то тим самим вш буде однозначно визначений на всьому /(.
Припустивши, що (у, фо) = а, д!станемо
(У, ф) = (У, Фс) + с (у, ф„) = a ф (х) dx = у аф (х) dx,
—оо -сс
тобто узагальнена функщя у е стала а, що й треба було довести.
Звщси випливае, що коли для двох узагальнених функцш f i g
виконана р!вшсть f = g', то f — g = const.
Розглянемо тепер р!вняння
y' = f(x), (14)
де f (х) — дов!льна узагальнена функщя.
Теорема 2. Р1вняння (14) при кожному f Q К* мае розв’язок, що
належить К*.
Цей розв’язок природно назвати первлсною узагальненою функш-
ею f.
Доведения. Р1вняння (14) означае, що
(«/'- ф) = (У, — <Р') = (А ф) й5)
для будь-яко! основно! функци <р £ К- Ця piBHicTb визначае значен-
ия функцюналу у на Bcix основних функщях <рх з /<(1):
(X \
А — J <Р1 (?) 4) •
—сю /
Використаемо тепер знайдене вище зображення
ф = <Pi + сср0,
апементш з К- Припустивши (у, ср0) — 0, ми довизначимо тим самим
функцюнал у на всьому /<; а саме,
(X \
А — • J <Pi (?) d? I •
— оо /
Як легко перевфити, цей функцюнал лшшний i неперервний. Кр!м
того, вш задовольняе р!вняння (14). Справд!, для всякого ср £ К
(X \
f, J ф' (?) ^? = (А ф)-
—/
Отже, для кожно! узагальнено! функц!! / (х) !снуе розв’язок р!вняння
У' = f (х),
тобто кожна узагальнена функц!я мае первшну. За теоремою 1 ця
первюна визначаеться функщею f (х) однозначно з точшстю до сталого
доданку.
Знайдеш результата легко перенести на системи лшшних р!внянь,
Обмежимось тут в!дпов!дними формулюваннями, випускаючи дове-
дения.
Розглянемо однорщну систему п лшшних диференщальних систем
з п невщомими функщями
п
aik(x)y^ i=l, 2, ..., п, (16)
ft=i
де aih— нескшченно диференцшовш функци. Така система мае де-
яку к!льк!сть «класичних» розв’язк!в (тобто розв’язюв, що е «звичай-
ними», причому нескшченно диференцшовними функщями). Можна
показати, що жодних нових оозв’язшв у клас!в узагальиених функ-
щй система (16) немае.
Для неоднородно! системи виду
Ui = У, а;ьУк + /о
де fi—узагальнеш, a aik— Нвичайш» нескшченно диференщйов-
hi функцп, розв’язок !снуе в клас! узагальиених функщй i визначае-
ться з точшстю до дов!льного розв’язку однорщно! системи (16).
Якщо в систем! (17) не т1льки alk, а й Д- — «звичайш»функцп, то вс!
розв’язки nie! системи, що !снують у К*, також е звичайними функ-
щями.
7. Деяк! узагальнення- Вище ми розглядали узагальнеш функцп
«одше! дшсно! змшно!», тобто узагальнен’ функц!! на прямш. На осно-
в! тих самих !дей можна ввести узагальнен! функц!! на обмеженш
множин!, наприклад, на вщр!зку або кол!, узагальнен! функцп к!ль-
кох змшних, узагальнен! функц!! комплексного аргументу i т. д. На-
решт!, i для узагальиених функцш на прямш те означения, яке було
дано вище,— далеко не едино можливе. Розглянемо коротко деяк! з
зазначених тишв узагальиених функцш.
а) Функци к1лькох змшних. Розглянемо в п-вим!рному простор!
сукупшсть Кп функцш ф (хх, х2, .... хп), що мають частинш пох!дш
вс!х порядюв по вс!х аргументах, ! таких, що кожна з цих функцш
дор!внюе нулю поза деяким паралелешпедом
<2, < х( Я bt, i = 1, 2, .. ., п.
Сукупшсть /<"—це лшшний npocrip (is звичайними операшями
додавання функцш i множення ix на числа), в якому можна ввести
зб!жшсть так: tpft -> ф, якщо icnye такий паралепепшед а,- < х,- <
i = 1, 2, ..., п, поза яким кожна з функцш ср* дос!внюе нулю,
а в цьому паралелепшед! мае мюце р!вном!рна зб!жшсть
<Усрь </ср /21 \
•-----------J-------х----У а,= г ,
dxf' дх^п ' dxf1 дх^п у
для кожного фшсованого набору шлих невщ’емних чисел ai, ..., ап
Узагальненою функщею п змшних називаеться будь-який неперерв-
ний лшшний функщонал на К.п. Усяка «звичайна» функщя п змшиих
f (х), штегровна в будь-якш обмеженш облает! п-виырного простору»
е водночас ! узагальнена функщя. Значения функцюналу, який вщ-
повщае ш, визначаються формулою
(/, ф) = j f (х) ф (х) dx (х = (xlt ..., хп), dx = dxt ••• dxn)-
Як i у випадку п = 1, р!зн! неперервн! функц!! визначають р!зш функ-
цюнали (тобто е р!зними узагФльненими функщями).
Для узагальиених функцш п змшних поняття граничного переходу,
пох!дно! i т. д. вводить за допомогою тих самих метод!в, що й у випад-
ку одше! змшно!', Наприклад, частинш похщш узагальнено!' функцп
вводять формулою
( д а > Ф w) = (- 1/ (f W. -а-/ф(1а ) • ’
\ охр • • • дх“п ] у dx,1 • • • дх^п /
Звщси видно, що кожна узагальнена функщя п змшних мае частинш
похщш bcix порядив.
б) Комплексы узагальнеш функци. ЕИзьмемо тепер як основн!
функцп нескшченно диференцшовш ййштн! функцп на прямш, що
набирають комплексних значень. Л1н!йн! функцюнали на простор!
К таких функщй природно назвати комплексними узагальненими
функщями. Нагадаемо, що в комплексному лш!йному простор! ic-
нують лшшш i спряжено лшшш функцюнали. Перш! задовольняють
умову (а — число)
(/, а<р) = а (/, ф),
а друг! — умову
(/, аср) = а(/, ф).
Якщо f (х) — звичайна комплекснозначна функщя на прям!й, то !'й
можна поставити у вщповщшсть лшшний функцюнал на Л двома спо-
собами:
со
(A <P)i= J /(х)ф(х)с!х (18J
—оо
1
со
(А Ф)2= f Hx)q(x)dx. (182)
—со
Ц!й самш функци f (х) вщповщатиме два спряжено лшшнi функцюна-
ли, а саме
оо
i(A ф) = У /(х)ф(х)йх (183)
—оо
I
со
г(А Ф) = j f W Ф W dx- (184)
—00
Виб!р одше! з цих чотирьох можливостей означае певний спос!б вкла-
дення простору «звичайних» функшй у npocrip узагальнених функцш.
Операцп над комплексними узагальненими функщями визначаються
аналопчно тому, як це було описано вище для дшсних функцш.
в) Узагальнеш функци на коли 1нод! корисно розглядати узагаль
пен! функц!’!, задан! на деякш обмежешй множин!. Як найпрослший
приклад розглянемо функц!! на кол!. За npocrip основних функщй
в!зьмемо сукупшсть ycix нескшченно диференцшовних функцш на
кол!, означивши для них операцп додавання i множення на числа
звичайним способом. Послщовшсть функщй {ср„ (х)} у цьому простор!
ми назвемо зб!жною, якщо для кожного k = 0, 1, 2, послщовшсть
похщних {фп* (х)} зб!гаеться на всьому кол! р!вном!рно. Осшльки
тут уся множина аргумент!в (коло) обмежена, умова ф!н!тност! основ-
них функщй автоматично вщпадае. Л!н!йн! функцюнали на цьому
простор! ми назвемо узагальненими функщями на кол!.
Усяку звичайну функщю на кол! можна розглядати як перюдичну
функщю, задану на всш прямш. Перешсши це м!ркування на уза
гальнеш функц!!', узагальнеш функц!! на кол! можна пов’язати з пе-
рюдичними узагальненими функщями. При цьому периодичною узагаль-
йеною функщею (з перюдом а) природно назвати функцюнал f, який
задовольняе умову
(f(x\ 4>(x — a)) = (f(x), ср(х))
для всяко! основно! функц!! ср. Прикладом перюдично! узагальнено!
функц!! може бути функщя
cos пх =---+ л №| 6 (х — 2^л),
П=1 k= — оо
яку вже ми розглядали вище.
г) 1нш1 основн! простори. Ми означили вище узагальнеш функци
на прямш як лшшш функцюнали на простор! К. нескшченно диферен-
щйовних ф!н!тних функцш. Проте такий виб!р основного простору
не едино можливий. Наприклад, зам!сть простору ф!н!тних функщй
К можна було б узяти ширший npocTip yeix йескшченно диференц!-
йовних функцш ср (х) на прямш, що спадають разом з сво!ми похщними
швидше, шж будь-який степшь 1 /| х |. Точшше кажучи, вважатимемо,
що ср (х) належить основному простору, який ми позначимо S^, якшо
для будь-яких фжсованих р, q = 0, 1, 2, ... !снуе така стала СР1Ч (яка
залежить в!д р, q ! ср), що
| х₽ср<” (х) | < Cp,q, —оо<х<оо. (19)
Зб!жшсть у S означаемо так: послщовшсть {срп} (х) називаеться зб!ж-
ною до ср (х), якщо для кожного <7 = 0, 1, ... послщовшсть (ср^х)}
зб!гаеться р!вном!рно на будь-якому сличенному штервал! ! якщо
в неравностях
| х₽ср^ (х) I < CP,Q
стал! Cp.q можна взяти такими, що не залежать вщ п.
При цьому сукупшсть узагальнених функцш буде трохи вужча,
шж у випадку простору К Наприклад, функщя
Я*)=||
— неперервний л!н!йний функщонал на К, але не на Soo. Виб!р
як основного поостору зручний, наприклад, при роз^ляд! перетво-
рення Фур’е узагальнених функщй.
Як показав розвиток теори узагальнених функщй, взагал! немае
потреби обмежуватися раз ! назавжди якимось певним вибсром основ-
ного простооу, а дошльно вар!ювати його залежно вщ розглядува-
ного кола задач. Однак, при цьому !стотна вимога полягае в тому,
щоб, з одного боку, основних функшй було «досить багато», «щоб
за Тх допомогою можна було розр!зняти «звичайш» функцн, а точн!-
ше, регулярн! функцюнали», а з другого, щоб ш основн! функци
мали достатню гладюсть.
В п р а в а. Перев1рте, що в простор! можна ввести структуру зл!ченно-нор-
мованого простору, припустивши, наприклад, що
Цф1|л= Б sup I (1 +1 х|г) <р(/) (х)|,
= П ~ ОО< X < ОО
О I р
о =S / « <7 v
1 що послщовшсть, яка збиаеться в SOT в означеному зище розумпип, збпаеться i
в топологи, яка визначаеться ними нормами.
§ 5. Л1Н1ЙН1 ОПЕРАТОРИ
1. Означения i приклади лЫйних оператор!в. Нехай Е i Et— два
линии! тополопчш простори. Лшшним оператором, що Д1'е з Е в Ех
називаеться вщображення
У= Ах (х£Е, у £ £г),
яке задовольняе умову
А (ах, + 0х2) = аАхг + 0Ах2.
Сукупшсть Da ycix тих х £ £, для яких вщображення А визначено,
називаеться областю визначення оператора А; взагал! кажучи, не пе-
редбачаеться, що Эд = Е, однак ми завжди вважатимемо, що DA е
л!н!йна многостатшсть, тобто якщо х, у Q DA, то i ах + $у Q DA
при bcix а, 0.
Оператор А називаеться неперервним у пгочщ х0 g DA, якщо для
будь-якого околу И точки у0 = Ах0 icHye такий оюл U точки х0, що
Ах £ V, як пльки х g U р Da. Оператор А називаеться неперервним,
якщо в1н неперервний в кожшй точц! х g DA.
Коли Е i Е} — нормоваш простори, то це означения р!вносильне
такому; оператор А називаеться неперервним, якщо для будь-якого
8 > 0 icnye таке 6 > 0, що з нер!вност!
||х' — х"||<6 (x',x"fDA)
випливае
|| Ах' — Ах" || < е.
Поняття лшшного функшоналу, введене на початку цього роздь
лу, е окремий випадок лшшного оператора. А саме, лш1йний функшо-
нал — це лшшний оператор, що переводить заданий npocrip Е у чис
лову пряму R1. Означения Л1н!йност1 i неперервност! оператора пере
ходять при Ei =RJ у вщповщн! означения, введен! рашше для
функцюнал!в.
Так само i ряд наступних понять i факпв, викладених нижче;
для лшшних операторie, е досить автоматичним узагальненням
результате, уже викладених у § 1 цього роздшу щодо лшшних функ-
ц!онал!в.
Приклади л i н i й н и х оператор! в, 1. Нехай Е —
лппйний тополопчний npocrip. Припустимо, що
Ах = х для ecix х £ Е.
Такий оператор, що переводить кожний елемент простору в себе,
називаеться единичным оператором.
2. Нехай Е i Ег — дов!льн! л!ишш тополог!чн! простори i нехай
Ох = 0 для Bcix х £ Е
(тут 0—нульовий елемент простору Ех). Тод! О називаеться нульо-
еим оператором. /
3. Загальний вигляд лшшного оператора, який переводить ск1н-
ченновим1рний npocmip у скшченновимлрний. Нехай А — лш!йний
оператор, який вщображае п-вим!рний npocTip Rn з базисом е1( ...
...,еп в т-вим!рний npocrip Rm з базисом flt ..,, fm. Якщо х — дов!льний
вектор з R", то
х = 2 ха,
'=1
i зИцно з лшшшетю оператора А
= 2 xiAei-
i==l
Отже, оператор А заданий, коли вщомо, у що вш переводить базис-
ni вектори elt .... еп. Розглянемо розклади вектор!в Aet за базисом
fi, .... fm- Маемо
tn
Ael = 2 aklfk‘
l'=l
Звiдсп зрозум!ло, що оператор А визначаеться матрицею коефщ!ент!в
|| ам ||. Образ простору R" в Rm — це лшшний шдпроспр, розм!ршсть
якого дор!внюе, очевидно, рангу матриц! || ак1 ||, тобто в усякому раз!
не перевищуе п. Зазначимо, що всякий лшшний оператор, заданий
у скшченновим!рному простор!, автоматично неперервний.
4. Розглянемо пльбертовий проспр Н i в ньому деякий шдпроспр
Hi. Розклавши Н в пряму суму шдпростору Нг i його ортогонального
доповнення, тобто зобразивши кожний елемент h g Н у вигляд!
/i = /гх € Elt h2 J_ -^i),
припустимо, що
Ph = /ip
Цей оператор Р природно назвати оператором ортогонального проекту-
зоння, або ортопроектором Н на Н1. ЛшШшсть i неперервн!сть можна
легко перев!рити.
5. Розглянемо в простор! неперервних функщй на в!др!зку [а, Ь]
оператор, який визначаеться формулою
ь
ф (s) = (s, t)<p(t)dt, (1)
а
де К (s, t) — деяка ф!ксована неперервна функщя двох змшних.
Функщя ф (/) неперервна для будь-яко!' неперервно!' функцп <р (s),
так що оператор (1) справд! переводить npocrip неперервних функщй
у себе. Його лшшшсть очевидна. Щоб говорити про його неперерв-
Н1'сть, необхщно спочатку показати, яка тополопя розглядаеться в
нашому простор! неперервних функщй. Пропонуемо читачев! довести
неперервшеть оператора у випадках, коли: а) розглядаеться npocrip
dla, b ], тобто npocrip неперервних функцш з нормою || Ф || = тах|ф (/)'
/Ь
б) коли розглядаеться С2 1а, Ь], тобто ||ф|| = u q>2(t)dt
\а
6. У тому самому простор! неперервних функщй розглянемо опе-
ратор
ФЩ = <ро(О <р(0,
де фо (/) — ф!ксована неперервна функщя. Лшшшсть цього оператора
очевидна. (Доведпь його неперервшеть при нормуваннях, зазначених
у попёредньому приклад!).
I» 7. Один з найважлив!ших для анал!зу поиклад!в лшшних опера-
TopiB — це оператор диференшювання. Його можна розглядати в рis-
них просторах.
а) Розглянемо npocrip неперервних функщй С [a, ft] i оператор
Df М = Г (С,
який д1'е в ньому. Цей оператор (який ми вважаемо таким, що д!е
з С [а, 6] знову ж в С [а, 6]) визначений, очевидно, не на всьому про-
стор! неперервних функщй, а лише на лшшшй многостатност! функцш,
що мають неперервну похщну. Оператор D л!н!йний, але не неперерв-
ний. Це видно, наприклад, з того, що послщовшсть
зб!гаеться до нуля (в матриц! С 1а, &]), а послщовшсть
Офп (0 = cos nt
не зблгаеться.
б) Оператор диференшювання можна розглядати як оператор,
що д!е з простору функцш, як! неперервно диференщюються на
[а, b ] з нормою
|| ф ||j = max | ф (() | + max | ф' (/) |,
у npocrip С 1а, Ь]. У цьому раз! оператор D лшшний i неперервний;
вш вщображае весь npocrip Dt на весь С [а, Ь].
в) Розглядати оператор диференшювання як оператор, що д!е
з £>i в С [а, 6], не зовам зручно, бо хоч при цьому ми й дютаемо непе-
рервний оператор, визначений на всьому npocropi, але не до будь-
яко! функци з О, можна застосувати цей оператор дв!чй Зручшше
розглядати оператор диференшювання в ще вужчому простор), шж
Dlt а саме, в npocrcpi ОУ: функцш, що нескшченно диференшюються
на вщр!зку [а, &], в якому тополопя задаеться зл!ченною системою
норм
II Ф L = sup (| ср (t) |, | <₽' (/) |, .. ., | ф'"> (!) |).
i
Оператор диференшювання переводить весь цей npocrip у себе, i,
як легко перев!рити, неперервний на ньому
г) Нескшченно диференцшовш функци утворюють дуже вузький
клас. Можливють розглядати оператор диференшювання в д о с и т ь
широкому простор i i водночас як неперервний
оператор дають узагальнен! функцп. У попередньому параграф!
ми вже говорили про те, як означаеться диференшювання узагальне-
них функшй. 3 сказаного там зрозум!ло, що диференшювання е лшш-
ний оператор у простор! узагальиених функшй, притому неперепвний
у тому розумшш, що is зб!жносп послщовностi узагальиених функ-
ций {К (0} Д° f (0 випливае зб!жшсть послщовност! Тх похщних до
похщноТ узагальнено! функци f (f).
2. Неперервшеть i обмежешсть. Лшшний оператор, який д!е
з Е в Е±, називаеться обмеженим, якщо в!н визначений на всьому
Е i кожну обмежену множину переводить в обмежену. М1'ж обмежешстю
i неперервн!стю лппйного оператора !снуе пений зв язок, а саме,
справедлив! так! твердження:
Усякий неперервний лМйний оператор обмежений.
-Спраьдц нехай /И с £ — обмежена множина, а множина AM с Ег
не обмежена. Тод! в Ех знайдеться такий ок!л нуля V, що жодна з мно-
жин АМ не м!ститься в V. Але тод! !снуе така послщовшсть хп £ М,
що жодний-з елеменпв Ахп не належить V, i ми дютаемо 1, що
хп -> 0 в Е, але послщовшсть не збшаеться до нуля в Ер,
п (nJ
це суперечить неперервност! оператора А.
(11. Якщо А — обмежений лшшний оператор, який die з Е в Elt
i в ripocmopi Е виконана перша аксюма зл1ченност1, то оператор А
неперервний.
Справд!, якщо А не неперервний, то знайдеться такий ок!л ну-
ля V в £) ! така визначальна система {Un} окол!в нуля в Е, що для кож-
ного п icnye такий елемент хп £ Un, що Ахп nV, Послщовшсть хп
г Див. вправу 1 в п. 1, § 5, розд. III.
в Е обмежена (i навпь прямуе до 0), а послщовшсть Ахп не обмежена
в Ei (осюльки вона не мютиться в жодшй з множин nV). Отже, якщо
оператор А не неперервний, а в Е справджуеться перша аксюма зль
ченносп, то A i не обмежений. Наше твердження доведено.
Таким чином, для оператора, заданого на npocmopi з першою atzcio-
мою зл1ченноспй (до яких, зокрема, належать yci нормоваш i зл1ченно-
нормоваш простори) обмежешсть р1вносильна неперервност.1.
Yci оператори, наведен! в прикладах 1—6 у попередньому пункт!
неперервш. Осюльки в yeix розглянутих там просторах виконано
першу аксюму зл!ченност!, то вс! наведен! там оператори обмежен!.
Якщо Е i Е1 — нормоваш простори, то умову обмеженост! опера-
тора А, який д!е з Е в Elt можна сформулювати так: оператор А нази-
ваеться обмеженим, якщо вш переводить усяку кулю в обмежену
множину. На тдетав! лшшност! А цю умову можна сформулювати
так: оператор А обмежений, якщо !снуе така стала С, що для всякого
f € Е
М/КСЦ/Ц.
Найменше з чисел С, як! задовольняють ню нер!вшсть, називаеться
нормою оператора A; Ti позначають || А ||.
Теорема 1. Для будь-якого обмеженого оператора А, який die з
нормованого простору в нормований,
|| Л || = sup || Лх || = р. (2)
||х||$1 *¥=0 IIх II
Доведения. Введемо позначення а = sup | Ах ||. На пщетав!
лшшност! Л справедлива р!вшсть
а= sup ||Лх|| = sup
Wk 1 *¥=о " х I'
Тому для будь-якого елемента х
Рх11 Щ
тобто
зв!дки випливае, що
|| Л || = inf С < а.
Далц для будь-якого & > 0 ienye такий елемент хе =£= 0, що
„ Р.гЕ||
а — е < Л----
або
Тому
а — s < inf С = || Л ||,
i, на пщстав! дов!льносп 8,
Отже, ||, А || = а.
3. Сума i добуток оператор!в.
Означения!. Нехай A i В — два лппйнЭ оператори, що дпоть
з лш1йного простору Е у прост1р Ех. Назвемо i'x сумою А + В опера-
тор С, який ставить у вщповщшсть елементу х g Е елемент
у — Ах 4- Вх £ Ех.
Bin визначений на bcix елементах, що належать перетину Da П Е>а
областей визначення оператор!в A i В.
Легко перев!рити, що С = А + В —> лшшний оператор, неперерв-
ний, якщо A i В неперервн!.
Якщо Е i Ех — нормоваш простори, а оператори A i В обмежеш,
то А + В також обмежений, причому
цл + вкцлц + цвц. (3)
Справд!, для всякого х
|| (А + В) х || = || Ах + Вх || < || А х || + || Вх ||< (IIА || +|| В ||) ||х ||,
звщси й випливае (3).
Означения 2. Нехай A i В — лшшш оператори, причому А
д!е з простору Е в Ех, а В д!е з Ех в Е2. Добутком ВА оператор!в А
i В називаеться оператор С, який ставить у вщповщшсть елементу
х Е Е елемент
z — В (Ах)
з Е2. Область визначення De оператора С = ВА складаеться з тих
х £ Da, для яких Ах £ DB. Зрозумшо, що оператор ВА лшшний,
В!н неперервний, якщо А ! В неперервн!.
В п р а в а. Довести, що Dc —л!н!йна многостатшсть, якщо DA i DB л!н!йн!
многостатност!.
Якщо А ! В — обмежеш оператори, що д!ють у нормованих просто-
рах, то й оператор ВА обмежений, причому
||ВЛ||<||В||.||Л||. (4)
Справд!
||В(Лх)||<||В||.||Лх||<||В||.||Л||.||х||, (5)
звщки випливае (4)
Сума i добуток трьох ! б!лыпе оператор !в означаються послщов-
но. Обидв! ш onepanii асошативш.
Добуток kA оператора Л на число k означаеться як оператор, який
елементу х ставить у вщповщшсть елемент kAx.
Сукупшсть (В, Ех) ycix неперервних лшшних оператор!в, яш
визначеш на всьому Е i вщображають Е в Ev (де Е i Ег — фшеоваш
л!н1йн! тополопчш простори) утворюе, щодо введених вище операшй
додавання i мпоження на числа, лшшний npocrip. Якщо Е i Ег —нор-
моваш простори, то (Е, Ер— нормований npocrip (з тим означен-
иям норми оператора, яке було наведено вище).
В п р а в а. Нехай Е — нормований, а Ег — повний нормований npocrip.
Довести, що а) нормований просп'р (£(Е, Ер повний: б) якщо Ak f (Е, Ер i
оо со
2 IMfe II < то Ряд 2 збкаеться до деякого оператора 4 £ ££ (Е, Er) i
*?==1 /г=1
iMii= 5 Ак <2 на (6)
II 4=1 || 4=1
4. Обернений оператор, оборотшсть. Нехай А — оператор, який
д!е з Е в E-i i Da — область визначення, a Ra — область значень цьо-
го оператора.
Означения 3. Оператор А називаеться оборотным, якщо
для будь-якого у £ Ra р1вняння
Ах = у
мае единий розв’язок.
Якщо А оборотний, то кожному у g Ra можна поставити у вщпо-
вщшсть единий елемент х g DА, який е розв’язком р!вняння Ах =
= у. Оператор, який здшснюе цю вьдповщшсть, називаеться оберне-
ним до А; його позначають А-1.
Теорема 2. Оператор А~', обернений лшшному оператору А,
також лиййний.
Доведения. Зазначимо насамперед, що область значень Ra
оператора А, тобто е лшшна многостатшсть. Нехай У1, у2 £
С Ra- Досить перев1'рити виконання р!вност!
А~' (^-1У1 + <х2у2) = + a24-‘t/2- (7)
Нехай Ах! = i Ax2 = y2. На п!дстав1 лшшност! А маемо
А (a^ + <х2х2) = aii/x + a2y2. (8)
За означениям оберненого оператора
А-1 = X1, A~'y2 = x2,
звщки, помноживши ui piBHOCTi на aj i a2 вщпошдно i додавши ix,
дктанемо
aiA-1z/i + a2A—xy2 = агх} + a2x.,.
3 другого боку, з (8) i з означения оберненого оператора випливае,
що
«Л + a2x2 = А-1 (а^ -f- a2z/2),
що разом з попередньою piBHicno дае
Я-1 («iZ/i + а2у2) = ajA-1^ Д а2Д-1г/2.
ТеоремаЗ (теорема Банаха про обернений оператор). Нехай А — л1-
н1йний обмежений оператор, який взаемно однозначно в1дображае
банаховий npocmip Е на банаховий npocmip Ег Todi обернений оператор
А~' обмежений.
Для доведения потр!бна така лема:
Лема. Нехай М — скр1зь щ1льна множина в банаховому простор!
Е. Todi будь-який ненульовий елемент у £ Е можна розкласти в ряд
У = Ут + У 2 + • * ’ + уп + • • •,
де yk £ М i || yk\\ < .
Дозедення. Елементи yk будуватимемо послщовно: z/i в!зь-
мемо так, щоб
(9)'
4
Це можливо, бо нер!вн!сть (9) визначае сферу рад!уса || у ||/2 з центром
у точц! у, всередиш яко'1 повинен знайтись елемент з М (М скр!зь
ццльна в Е). В!зьмемо у2 g /Итак, щоб|| у—'(Л— у}\\ < || у ||/4, z/3 —
так, шоб || у — уг — у2 — у3 || || у ||/8 i взагал! уп в!зьмемо так, щоб
II// — Ут — •••—//JI < ||///2\ Такий виб1р завжди можливий, бо
М скр!зь щ!льна в Е. На шдстав! вибору елеменпв yk
У //ft -*0 при
/г=1 ||
тобто ряд У yk збшаеться до у. Ошнимо норми елеменпв ух
fe=i
IIУ1II = II //) — У+ у II < II//1 — у II + IIУII < з II у ||/2,
IIУ г || = || У 2 + Ут — У + У — Ут II С || У — Ут — У г II + IIУ — УтII < 31| у ||/4.
Нареши,
1Ы1 = И//п+ /М-1 + ••• +У1 — У + У — У1— — Z/n-i||<
<11// — Ут— —Уп\\+\\У — У1~ ••• — //п-1||< - - •
Лему доведено.
Доведения теореми 3. У простор! Е{ розглянемо мно-
жину Mk— сукупшсть тих у, для яких виконуеться нер!вн!сть
I Л-1 У II < k II У II- Усякий елемент простору Ег потрапляе в деяку
множину Mk, тобто Ei = U Mk. За теоремою Бера про категорп
fe=i
(п.3, § 3, розд. II) хоча б одна з множин Mk, наприклад Мп, шдльна
в деякш кул! В. Всередиш кул! В в!зьмемо кульовий шар Р з центром
у точц! з Мп; шар Р — це сукупшсть точок г, для яких справедлива
нер!вн!сть 0 < || г — у0 || < а, де 0 < 0 < а, у0 £ Мп.
Перешсши шар Р так, шоб його центр потрапиву початок коорди-
нат, дютанемо кульовий шар Ро = {г : 0 < 0 < || г || < а}.
Покажемо, що в Ро щ!льна деяка множина Мы. Нехай г g Р f|
f| Мп; тод! z — у0 £ Ро !
II Л-1 (г - у0) || < || П-'г || + || А~1у01| < п (|| г || + || у01|) <
<п(||г — z/оН 2||г/0||) =п||г—г/0|ф
^иЦг-г/оф +^). (10)
Величина п + 2 не залежить вщ г. Припустимо *, що
/V = 1 +[n(l •
Тод! внаслщок (10) г— у0 £ MN, а з того, що Мп щ!льна в Р, випли-
вае, що Мы щ!льна в Ро.
Розглянемо дов!льний ненульовий елемент у з Ег, Завжди можна
пщбрати X так, щоб було |3 < || ку || < а, тобто ку £ Ра. Осшльки
Мы пцльна в Ро, то можна побудувати послщовшсть yk £ Мы, яка
збшаеться до ку. Тод! послщовшсть -у- ук зб!гаеться до у. Очевидно,
що коли yk g MN, то й £ Мы при будь-якому дшсному А =/= 0;
таким чином, мтшдльна в Ех / {0}, а тому i в Ех.
Розглянемо ненульовий елемент у f Еу, за доведеною лемою його
можна розкласти у ряд за елементами Мы',
У = УгА-Уг + ••• + Ук + ,
и и 3 ||z/||
причому II yk II < .
Розглянемо в простор! Е ряд, складений з прообраз!в елеменпв
yk, тобто елеменпв xk = А~! yk.
Цей ряд збшаеться до деякого елемента х, бо справджуеться нер!в-
н!сть
||хЛ=||А-‘№||<Л/||^||<^-Ц<;
при цьому
со оо
II#;SIWI<3®S ^Г = ЗЛ/||^.
fe=l
оо
На пщстав! зб!жност! ряду S хп i неперервност! оператора А можна
fe=i
застосувати почленно А до цього ряду. Д!станемо
Ах= Ах±+ Ах2+ = У1 + У2 + ’ • = У,
1 Дужки [ 1 означають щлу частину числа.
звщки х — А 1 у. KpiM того
i осюльки оц!нка в!рна для будь-якого у =И= 0, то оператор А обмеже-
ний. Теорему доведено.
В п р а в и. 1. Нехай Е, Е1 — нормован! простори; л!н!йний оператор А, який
д!е з Е в Е,, з областю визначення DA r~ Е, що е лшшного многостатшстю, назива-
еться замкнутом, якщо з умов хп £ DA< хп -> х, Ахп -> у випливае що х DA i
Ах = у. Перев!рте, що всякий обмежений оператор замкнутий.
2. Розглянемо прямий добуток Е X Е, npocropiB Е i Elt тобто лшшний нормо-
ваний npocrip що складаеться з найр!зноман!тн!ших пар [х, у], де х f Е, i/7A Ev
з нормою |||х, у]||= II X 11+ II у II, (Il-Il i || . ||j _ нор:'и в Е i Et в!дпов!дно).
Оператору А можна зктавити множину GA — {[х, у] : х £ DА, у = Ах} с Е X Е,,
яка називаеться його граф1ком. Перев1рте, що GA — лш!йна многостатшсть в Е X Е,,
замкнута тод! ! пльки тод!, коли оператор А замкнутий. Доведпь, що коли Е, Ег —
банахов1 простори, а оператор А визначений на всьому Е i замкнутий, то вш обме-
жений (теорема Банаха про замкнутий граф!к).
Вказ1вка. Застосуйте теорему 3 до оператора Р: [х, Ах} -» х, що д!е з GA в Е.
3. Нехай Е i Е1 — повн! зл!ченно-нормоваш простори. ДоведИъ, що коли А —
неперервний лшшний оператор, який взаемно однозначно в!дображае Е на Е,, то обер-
нений оператор Л-"1 неперервний. Сформулюйте i довед!ть теорему про замкнутий
граф!к для зл!ченно-нормованих простор!в.
Розглянемо множину (Е, ЕА обмежених лшшних оператор!в А,
яю вщображають банаховий npocrip Е у банаховий npocrip Ег. Це ба-
наховий npocrip. Видмимо в ньому множину (£, ЕА оператор!в,
як! вщображають Е на весь Er i мають обмежений обернений. Ця
множина вщкрита в (Е, ЕА- А саме, справедлива така теорема:
Теорема 4. Нехай Ао £ (£, ЕА I нехай ДА — довиьний опера-
тор з £ (Е, ЕА такий, що || ДА || < . Todi оператор (Ао + ДА)-1
II + II
icnye i обмежений, тобто А = Ао + ДА £ (Е, ЕА-
Доведения. Фшсуемо довшьний елемент у g Ег i розгля-
немо вщображення В простору Е в себе, яке визначаеться формулою
Вх/= Aq у----Ад ДАх.
3 умови || ДА || < || AcT'II-1 випливае, що вщображення В стис-
нене. ОщЖпьки Е повний, то icnye едина нерухома точка X вщобра-
ження В:
х = Вх = АГ'у — А^“1ДАх,
звщки
Ах = А„х + Л Ах = у.
Якщо Ах'= у, то х' — також нерухома точка вщображення 8,
бо х' = х. Отже, для всякого у (= Ег р!вняння Ах = у мае в Е единий
розв’язок, тобто оператор А мае обернений А-1, визначений на всьо-
му Ei. За теоремою 3 оператор А-1 обмежений, що й треба було до-
вести.
'орема 5. Нехай Е—банаховий npocmip, I — тотожний опе-
f>rniii)/> в Е, а А — такий обмежений лшшний оператор, який eido6-
раншв L у себе, щр\ A || < 1. Todi оператор (/— А)~1 1снуе, обмеже-
ний i жбражаеться у виглядI
(i-x)~' = ix (Н)
/?=0
Доведения. 1снування й обмежешсть оператора (/ — А)~1
шшливае з теореми 4 (вт!м це випливае також i з наведеного нижче
м ркування).
Оск!льки ||Д(|<1, то2 5м|Г<°°-Проспр Еповний
*=0 /г=0
оо оо
тому !з зб!жност1 ряду 2 II Ak || випливае, що сума ряду 2 <4*
й=0 fe=0
е обмеженим лшшним оператором. Для будь-якого п маемо
(/-Л) 2 = 2 Л‘(/-.4) = / - Ап+>;
/?=0 /?=0
псреходячи до границ! при п -> со i враховуючи, що || Ап+> || <
< || А ||п+1 -> 0, дютаемо
оо оо *
(Z — Л) 2 Ак = ^А\1 — А) = I,
k=Q k=0
ЗВЩКИ
(1 — Л)-' = 2 Ak,
fe=0
що й треба було довести.
В п р а в а. Нехай А — обмежений щшйний оператор, який вщображае банахо-
П1й прост! р Е на банаховий npocrip Е,. Доведггь, що icnye така стала а > 0, що коли
в б (А (Е^Ер i || А— В || < а. то В вщображае Е на весь 5, (Банах).
5. Спряжен! оператори. Розглянемо неперервний лшшний опера
тор у — Ах, який вщображае лшшний тополопчний прост!р Е в та-
кий самий прост!р Ел. Нехай g— лшшний функцюнал, визначений
па Et, тобто g £ Е*. Застосуймо функцюнал g до елемента у = Ах;
як легко перев!рити, g (Ах) е неперервний лшшний функцюнал, ви-
значений на Е; позначимо його /. Функцюнал f е, отже, елемент просто-
ру Е*. Кожному функцюналу g £ Е, ми поставили у вщповщшсть
функцюнал f £ Е*, тобто д!стали деякий оператор, який вщображае
Е| в Е*. Цей оператор називаеться спряженим до оператора А. Його
позначають А*.
Позначигши значения функцюналу f на елемент! х символом (/, х),
дютанемо, що (g, Ах) = (/, х), або
(g, Ах) = (A*g, х).
Це сшввщношення можна взяти за означения спряженого опера-
тора.
Приклад. Спряжений оператор у ск1нченновим1рному npocmopi.
Нехай дшсний швим]рний проспр R11 вщображаеться в npocrip Rm
(/п-вим]рний) оператором A i нехай ||а(/|| — матрица цього оператора.
Вщображення у — Ахможна записати увиглядiсистеми р]вностей
п
г/г = 2 ai/xh i = 1> 2, ..., т,
/=1
а функцюнал f (х) — у вигляд]
f(x) = Sf/X/.
/=1 15
3 р1вносп
т т п пт
f(x) = g (Ах) = S g{y{ = 22 = 2 2 gfly
fc=l 1=1 /=1 /=1 i=l
tn
дютанемо, що f, = 2 gflu. Оск1льки f = A*g, то оператор А* зада-
i=i
еться матрицею, транспонованою вщносно матриц] оператора А.
Наведен] нижче властивосп спряжених оператор]в випливають вщ-
разу з означения.
1. Оператор А* лпийний.
2. (Л + В)* = А* + В*.
3. Якщо k — число, то (kA)* — kA*.
Якщо А — неперервний оператор з Е в Elt то А* е неперервний
оператор з (Е*, Ь) в (Е*, Ь) (перев]рте це!). Якщо Е i Ех — банахов]
простори, то це твердження можна уточнити так:
Теорема 6. Якщо А — обмежений лшшний оператор, який eido6pa-
жае банаховий npocmip Е у банаховий npocmip Е1г то
И*11 = И||.
Доведения. На шдстав] властизостей норми оператора маемо
|И*£, X)| = |(g, ^x)|<||g|] || Л Ц • |]хЦ,
звщки ||Л*£|| < || Л || • || g ||; отже,
||Л*|К||Л||. (12)
Нехай х f Е i Ах #= 0; припустимо у0 = € Д1‘, очевидно,
Щс || #о || == 1- Згщно з висновком з теореми Гана—Банаха icnye
такий функцюнал g, що Цй'Ц =1 i (g, у0) = 1, тобто (g, Ах) =
= ||Лх||. 1з сшввщношень
|| Ах || = (g, Ах) = | (Л*£, х) | < || A*g || • И <
<М*ЫЫ-1М1 = 1|Л*|ЫИ|
дютаемо || Л || < || А* || , що разом з нер]вшстю (12) дае
Теорему доведено.
II прав а. Нехай £ i Е} — рефлексивн! банахов! простори i А f (£, EJ.
Ди1и*л1 гь, що А*г = А.
6. Спряжений оператор в евкл1довому простор!. Самоспряжен!
оператори. Розглянемо випадок, коли Д — обмежений оператор
у । ишбертовому простор! /У (д!йсному або комплексному). За теоремою
про загалышй вигляд лшшного неперервного функцюналу в пльбер
топому простор! вщображення т, що зютавляе кожному у £ Н лшшний
функцюнал
(тг/)(х) = (|, У),
с i 1оморф!зм (або спряжений !зоморф!зм, якщо Н комплексний) про-
тору Н иа весь спряжений noocrip Я*. Нехай А* — оператор, спряже-
ний оператору А Зрозумшо, що вщображення А* = т“'Д*т—це
обмежений лш!йний оператор, який д!е в Н] легко побачити, що для
будь-яких у с .Н
(Лх, у) = (х, А*у).
_ Осюльки || Д* || = || Д ||, а вщображення т i т-1 !зометричн!, то
Д*|| =? || Д ||.
Усе сказане справедливе, зрозум!ло, ! для ск!нченнови-
м i р н о г о евклщового простору, д!йсного чи комплексною.
Введемо таке означения. Якщо /? — евклщовий npocrip (скшчен-
поТ або нескшченно!' розм!рност!), то оператором, спряжении до опе-
ратора Д, що д!е в У?, ми назвемо означений вище оператор Д*, що д!е
в. тому самому простор! R.
Слщ пщкреслити, що це означения в1др1зня£ться вщ означения спря-
женого оператора в дов!льному банаховому простор! Е, згщно з яким
спряжений оператор Д* д!е в спряженому простор! Е*. 1нод! оператор
А*, на вщмшу вщ Д*, називають ермгтово-спояженим. Щоб не усклад-
нювати термшолог!!' ! позначень, ми зам!сть Д* писатимемо A* i гово-
ритимемо про спряжений оператор, однак, пам’ятаючи, що в евклщо-
вому випадку спряжений оператор з а в ж д и розум!ють так, як
сказано в цьому пункт!.
Зрозум!ло, що в евклщовому простор! R оператор, спряжений
до Д, можна означити як такий оператор, який при вс!х х, у g R
задовольняе р!вшсгь
(Ах, у) = (х, А*у).
Осюльки оператори A i Д* д!ють тепер в тому самому простор!, то
можлива р!вн!сть А = А*. Видалимо важливий клас оператор!в
у евклщовому (зокрема, пльбертовому) простор!.
Означения 4. Обмежений лшшний оператор Д, який д!е
в евклщовому простор! R називаеться самоспряженим, якшо А = Д*,
тобто коли
(Ах, у) = (х, Ау)
для вс!х х, у g R.
Зазначимо таку важливу властившть оператора А*, спряженого
до оператора А. ГПдпроспр Rr евклщового простору R називаеться
1нвар1антним в!дносно оператора А, якщо з х £ випливае Ах £
£ Ri. Якщэnidripocmip Ri 1нвар1антний щодо А, то його ортогональне
доповнення Ri 1нвар1антне в1дносно А*. Справд!, якщо у й Ri', то
для Bcix х Q Ri маемо
(л-, А*у) = (Ах, у) = 0,
бо Ах й Rt. Зокрема, якщо’Л — самоспряжений оператор, то орто-
гональне доповнення до будь-якого його !нвар!антного шдпростору
саме 1нвар!антне щодо А.
В п р а в а. Доведать, що коли A i В — обмежеш л1шйш оператори в евклщовому
простор!, то справедлив! р1вносп:
(аД + ₽В)*= аД* + рВ*,
(АВ)* = В* А*,
(А*)* = Д,
/* = I (I — одиничний оператор).
7. Спектр оператора. Резольвента Навряд чи можна назвати
важлив)ше поняття в теорп оператор!в, шж .поняття спектра.
Нагадаемо насамперед це поняття для скшченновим!рного випадку.
Нехай А — лшшний оператор у п-вим!рному простор! Сп. Число
А називаеться власним значениям оператора А, якщо р!вняння
Ах = Ах
мае ненульов! розв’язки. Сукупшсть ycix власних значень називаеться
спектром оператора A, a Bci mini значения А— регулярними. 1накше
кажучи, А е регулярна точка, якщо оператор А — А7 оборотний. При
цьому (Л — А/)-1 визначений на всьому Сп та, як i всякий оператор
у скшченновим!рному простор!, обмежений. Отже, у скшченнови-
м!рному простор! можлив! два випадки:
1) р!вняння Ах = Ах мае ненульовий розв’язок, тобто А е власне
значения для А; оператор (Л — А/)-1 при цьому не icnye;
2) icnye обмежений оператор (Л— А/)-1, визначений на всьому
простор!, тобто А е регулярна точка.
Але якщо Л — оператор, заданий у нескшченновим!рному просто-
pi Е, то е ще й третш випадок, а саме:
3) оператор (Л — А/)-1 1снуе, тобто р!вняння Ах = Ах мае лише
нульовий розв’язок, але цей оператор визначений не на всьому Е
(i, можливо, необмежений).
Введемо таку термшолопю. Число А ми назвемо регулярним для
оператора Л, який д!е в (комплексному) банаховому простор! Е,
якщо оператор А\ = (Л —А/)-1, що називаеться резольвентою
1 Скр1зь, де йдеться про спектр оператора, ми вважаемо, що оператор д!е в к о м п -
лексному простор!.
<>п< агора А, визначений на всьому Е I, отже (теорема 3), обмежений.
, куп меть ycix 1нших значень X називаеться спектром оператора А
< '.иск гру належать yci власш значения оператора А, бо коли (А— XZ) х
v = 0 при деякому х =£ 0, то (А — XZ)-1 не icnye. Ix сукупшсть
। । пшаеться точковим спектром. Решта спектра, тобто сукупшсть
тих, X для яких (А — XZ)- 'снуе, але визначений не на всьому Е, нази-
.к 'н.ся неперервним спектром. Отже, кожне значения е для оператора
X |бо регулярним, або власним значениям, або точкою неперервного
спектра. Можливють наявносп в оператора неперервного спектра —
onia вщмшшсть Teopii оператор!в у нескшченновим1рному прос-
iopi вщ скшченновим!рного випадку.
Пехай А — обмежений оператор, який Д1‘е в банаховому npocTopi
Якщо точка X регулярна, тобто оператор (А — XZ)~1 визначений
на всьому Е i обмежений, то при досить малому б оператор (Л — (X +
б) Z)-1 також визначений на всьому Е i обмежений (теорема 4),
тобто точка X + 6 також регулярна. Отже, регулярна точки утворюють
мбкриту множину. Таким чином, спектр, тобто доповнення nie'i
множини,— замкнута множина.
Теорема 7. Акшр А — обмежений лшшний оператор у банаховому
ipocmopi Е i | X | > || A [L то X — регулярна точка.
Доведения. Осшльки, очевидно,
л - х/ = — х (/— 4-л),
то
оо
fe=0 Л
При ||Л||< || X || цей ряд збпаеться i задае певний на всьому Е обме-
жений оператор (теорема 5). 1накше кажучи, спектр оператора А
ч/ститься в круз1 padiyca || А || з центром у нуль
Приклади. 1. У простор! С [а, Ь] розглянемо оператор А,
якни визначаеться формулою
Ax(t) = tx(f). (13)
Тод!
(Л —XZ)x(Z) = (/ —Х)х(гЯ
Оператор (13) оборотний при будь-якому X, бо з р1вност!
(t — X) х (t) = 0
випливае, що неперервна функщя х (Z) тотожно дор!внюе нулю.
Однак при X £ [а, б] обернений оператор, який задаеться формулою
(Л — XZ)-1x(Z) = -Л-^-хЩ,
визначений не на всьому С [а, б] 1 необмежений. (ДоведДь це!) Отже,
спектр оператора (13) — це вгдр1зок [а, б], причому власних значень
немае, тобто е лише неперервний спектр.
2. Розглянемо в простор! Za оператор А, який визначаеться так:
Л: (%!, х2, хг, х2, . . .)• (14)
Цей оператор не мае власних значень. (Доведпь це!) Оператор А~'
обмежений, але визначений в /2 лише на шдпцостор! x-j '= 0, тобто К =
= 0 е точка спектра оператора.
В п р а в а. Чи листать спектр оператора (14) яю-небудь точки, кр!м X = 0?
3 а у в а ж е н н я. (1) Усякий обмежений л1шйний спектр, визначений у комп-
лексному банаховому простор!, що мае хоча б один в!дм!нний в!д нуля елемент, мае
пепорожшй спектр. 1снують оператори, в яких спектр складаеться з едино! точки
(наприклад, оператор множення на число).
(2 ) Теорему 7 можна уточнити так. Нехай
г = lim р4 || Л” ||
(можна довести, що ця границя icnye для будь-я.сого обмеженого оператора Л). Тод!
спектр оператора А ц1лком лежишь в круз1 padiyca г з центром у нуле Вели-
чина г називаеться спектральным радиусом оператора А.
(3 ) Резольвентн! оператори R i R^ що в!дпов!дають точкам р. 1 переставш
м!ж собою i задовольняють сп!вв!дношення
— R:. = (И —
як! легко перев!рити, помноживши обидв! частини ц!еТ р!вност! на
(Л — V) (Л — ц/).
Звщси випливае, що коли Хо—регулярна точка для Л, то похщна вщ R^ по X при Л,=
= Хо, ~обто границя
lim ~ R^> t
АХ-»-о Д?.
icnye (в розуймнщ зб!жносп за операторною нормою) ! дор!внюе R- .
В п р а в а. Нехай Л — обмежений самоспряжений оператор у комплексному
пгьбертовому простор! И. ДоведИь, що його спектр е замкнута обмежена шдмножина
gificHo! oci.
§ 6. КОМПАКТЫ ОПЕРАТОРИ
1 °. Означения i приклади компактних оператор!в. На вщмшу в!д
лшшних оператор1в у скшченновим!рних просторах, для яких е ви-
черпний опис, вивчення довшьних лшшних оператор1'в у нескшчен-
новим!рних просторах становить дуже складне i, по суп, неоглядне
завдання. Однак деяк! важлив! класи таких оператор!в можна описати
повшстю. Серед них одн! з найважлив!ших утворюють так зван!
к о м п а к т н ! оператори. Ц! оператори, з одного боку, близьк!
за своТми властивостями до ск1нчечновим1рних (тобто обмежених опе-
ратор !в, як! переводять заданий проспр у скшченновим!рний) ! до-
пускають досить докладний опис, а з другого — вццграють важливу
роль у р!зних застосуваннях, в першу чергу в теорн штегральних
р!внянь, яким буде присвячений розд. IX.
Означения 1. Оператор А, який вщображае банаховий про-
спр Е у себе (або шший банаховий проспр Ег) називаеться компакт-
ним, або щлком неперервним, якщо вш кожну обмежену множину пе-
реводить у передкомпактну.
У ск!нченновим!рному нормованому простор! всякий л!н!йний
оператор компактний, бо в!н переводить будь-яку обмежену множину
и обмежену, а в скшченновим!рному простор! всяка обмежена множина
передкомпактна.
У нескшченновим!рному простор! компактшсть оператора е вимо-
га icTOTHO сильшша, шж просто його неперервшсть (тобто обмежешсть).
Наприклад, одиничний оператор у Нльбертовому простор! неперерв-
ihiii, але зовс!м не компактний. (Довед!ть це незалежно вщ розгля-
иутого нижче прикладу 1).
Розглянемо деяк! приклади.
1. Нехай I — одиничний оператор у банаховому ппостор! Е. Пока-
жемо, що коли Е неск!нченновим!рний, то оператор I не компактний.
Очевидно для цього досить показати, що единична куля в Е (яка, зро-
ум!ло, переводиться оператором / у себе) не передкомпактна. Це в свою
черту випливае з наведено! нижче леми, яка нам буде потр!бна дал!.
Лема1. Нехай х1г х2, ... лшшно незалежн: вектори в нормованому
npocmopi Е i нехай Еп — nidnpocmip, породжений векторами
х,, ..., хп. Todt icHye посл1довн1сть векторie уг. у2, ..., яка задовольняе
так: умови:
1) kh1! 2) ynQEn; 3) p(£/n, En-1)>-^-,
Де P (Ут En-i) — вщетань вектора ун в!д Еп~\, тобто
inf \\уп — х|[.
Доведения. Справд!, осюльки вектори xlf х2, ... л!н!йно
пезалежш, то хп g En-i i р (хп, En-i) = а > 0. Нехай х* — такий
вектор з En-i, Що || х„ — х* || < 2а. Тод!, осх!льки а = р (хп, En-i) =
•»= р (хп — х*, En-i), то вектор
Х/г — X*
|& *й
)адовольняе вс! умови 1) — 3/. За уг при цьому можна взяти .
Лему доведено.
Користуючись ц!ею лемою, в одиничшй кул! всякого нескшченно-
HHMipHoro нормованого простору можна побудувати послщовшсть
вектор!в {уп}, для яко! р (yn-i, Уп) > 1/2. Зрозуммо, що така посль
довшеть не може мютити жодно! зб!жно! пщлослщовност!. А це й
означае вщеутшеть передкомпактност!.
2. Нехай А — неперервний лшшний оператор, що переводить
банаховий npocTip Е в деякий його скшченновим!рний шдпроспр.
I акий оператор компактний, бо вш переводить усяку обмежену пщ-
множину М cz Е в обмежену пщмножину скшчэнновим!рного просто-
ру, тобто в передкомпактну множину.
Зокрема, в пльбертовому простор! оператор ортогонального про-
ектування на шдпроспр компактний тод! i т!льки тод!, якщо цей шд-
прост!р мае скшченну розм!рн!сть.
3. Розглянемо в простор! /2 оператор А визначений так: якщо х =
= (х1; х2, .... х„, ТО
Лх = -±-х2, . , ~^-хп, ...) . (1)
Цей оператор компактний. Справд!, оск!льки всяка обмежена множи-
на з Z2 мютиться в деякш кул! цього простору, то достатньо довести,
що образи куль передкомпактн!, а на пщстав! лшшност! оператора
достатньо перев!рити це для единично!’ кул!. Але оператор (1) перево-
дить одиничну кулю простору Z2 у множину точок, як! лежать
в основному паралелепшед! (див. розд. II, §7, п. 1). Таким чином,
ця множина шлком обмежена, а отже, i передкомпактна.
В п р а в а. Нехай Ах = (арщ а2 х2, ..., ап хп, ...); при яких умовах, накладених
на послщовшсть чисел (а„), цей оператор у 12 компактний?
4. У простор! неперервних функшй С la, bl важливий клас ком-
пактних оператор!в утворюють оператори, як! зображуються у ви-
гляд!
ь
Ах — у (s) = j К (s, t) х (Z) dt. (2)
a
Покажемо справедливють такого твердження: якщо функщя К (s, Z)
обмежена на квадрат! а <. s < b, а Z < b i eci ii точки розриву
лежать на скшченному числ1 кривих
t — <pft (s), k = 1, 2, . . ., п,
де <pft— неперервн! функци, то формула (2) визначав у простор!
С [а, Ь] компактний оператор.
Справд!, зауважимо, насамперед, що в зазначених умовах штеграл
(2) !снуе для будь-якого s з вщр!зка [а, Ы, тобто функщя у (з) визна-
чена. Дал!, нехай
М = sup | К (з, 1) |
a^s. t^b
! нехай G — множина тих точок (з, Z), для яких хоча б при одному
k = 1, 2, ..., п виконуеться нер!вшсть
Сл!дом G (з) nieT множини на кожшй прям!й s = const е об’еднання
штервал!в
°« = ,Ц WK-nfcr)-
Нехай F — доповкення множини G до квадрата а < s, t < b. Осшль-
ки F компактна, а функщя К (з, Z) неперервна на F, то 1'снуе таке
6 > 0, ЩО
ПКзД-
для будь-яких точок (s', f), (s', t") з F, як! задовольняють умову
| s' - s" I + 11' — t" I < 6. (3)
Оцшимо тепер р!зницю у (s') — у (s") у припущены!, що | s' — s" | <Z
< б. Маемо
ь
|//(s')-//(s")|< { |K(s', t)-K(s!', t)\\x(t)\dt-,
a
для ощнки штеграла, що стоить справа, роз!б’емо пром!жок штегру-
ваппя [а, б] на об’еднання !нтервал!в G (s') J G (s"), яке позначимо
Р, i решту в!др!зка [а, б], яку позначимо Q. Еом!тивши, що Р е об’ед-
е
папня 1нтервал1в, сумарна довжина яких не перевищуе дютаемо
t) — K(s", 1)\\хАЛ<&-\\х\\.
р
1нтеграл по Q допускав, очевидно, оцшку
J [o', /)-л(5", oiixv)i^<4-hll-
Q
Отже,
|z/(s') — y(s")i< 8IIXIV (4)
Нер!вн1сть (4) показуе, що функщя у (s) неперервна, тобто форму-
ла (2) справд! визначае оператор, який переводить npocrip С [а, Ь]
в себе. Дал!, з riei само! нер!вност! видно, що коли {х (t)] — обме-
жена множина в С [а, £>], то вщповщна множина одностайно неперер-
вна. Нарешт!, якщо ||х|| < С, то
ь
1Ы| = sup | у (s) | <sup J \K(s, t)\\x(t)\dt ^M(b — a)\\x\\.
a
Отже, оператор (2) переводить усяку обмежену множину з С [а, Ь\
у множину функцш, р!вном!рно обмежену i одностайно неперервну,
тобто передкомпактну.
4а. Розмодення точок розриву функц!!’ К (s, t) на скшченному
числ! кривих, як! перетинають прям! s = const лише в однш точщ,
icTOTHo. Нехай, наприклад,
( 1 при s< 1/2,
К (s, t) = . . ,
(0 при s 1/2;
оператор (2) з таким ядром, що заданий на квадрат! О < s, t < 1
i мае точками розриву весь вщр!зок s = 1/2,0 < / < 1, переводить
функщю х (/) es 1 у розривну функщю.
46. Коли припустити, що К (s, 0 = 0 при t < $, то оператор (2)
набувае вигляду
6
у (s) = j К (s, t)x(t) dt. (5)
a
Вважатимемо, що функщя К (s, t) неперервна при t < s; тод! з сказа-
ного в приклад! 4 випливае, що оператор (5) щлком неперервний в
С [а, Ь}.
Цей оператор називаеться оператором типу Вольтерра1.
Зауваження. При введеному нами означенн, компактного оператора може
трапитись, що образ'замкнуто! одинично! кул! некомпактний (хоч в!н передкомпакт-
ний) Справд!, розглянемо в простор! С [— 1,1] оператор !нтегрування
S
Jx (s) = J х (!) dt',
—1
за доведеним. вище, J — щлком неперервний оператор в С [—1, 1]. Припустимо, щэ
’ 0, якщо — 1 < t <0,
1
Хп (!) = nt, якщо 0 < t С , п 1, якщо < t < 1.
Тод! хп £ С [— 1, 1 ], || х„|| = 1 для bcix п i 0, якщо — 1 С? С 0,
Уп (0 — Jxn (t) — 1 1 — nt2, якщо 0 < ! С , 2 п 1 1 t , ЯКЩО < t С 1 * 2п п
Зрозум!ло, що посл!довн!сть уп зб!гаеться в С [—1, 1] до функц!!
у (0 = { 0, якщо — 1 < 0, !, якщо 0 С ! С 1,
яка не е образом (при вщображенн! J) жодно! функци з С [— 1, 1], бо функщя у' (f)
оозривна.
Проте можна довести, що коли прост!р рефлексивний (наприклад, пльбертовий),
то образ замкнуто! одинично! кул! при компактному л!шйному вщображенш ком-
пактний.
2. Оснэвн! властивост! компактних оператор]в.
Теорема 1. Якщо {Ап}— посл1доен1сть компактних onepamopie
у банахоеому npocmopi Е, що зб1гаеться за нормою до деякого оператора
А, то оператор А також компактний.
Доведения. Для встановлення компактност] оператора А
достатньо показати, що, яка б не була обмежена послщовщсть х1г
х2, ..., хп, ... елеменпв з Е, з послщовност! (Ахп} можна видмити
зб]жну щдпослщовщсть.
1 В!то Зольтерра — !тал!йський математик, автор ряду праць з функщонального
анал!зу та !нтегральних р!внянь.
Осшльки оператор Аг компактний, то з послщовност] {ДххЛ} мож-
на взяти зб1жну пщйослщовшсть. Нехай
„(1) V(D „(О
•Ч , Л2 , ♦ . ♦ , Лп , . . .
(6)
— така пщпослщовшсть, що {Д£ж| збшаеться. Розглянемо тепер по-
c. пдовшсть {Д2Хп,|. 3 не! знову-таки можна взяти зб!жну пщпослщов-
nicTb. Нехай
у(2) (2) (2)
X] , %2 > • • . , Хп , .
— така пщпослщовшсть, взята з (6), що {Д2х®} збшаеться. При цьо-
му, очевидно, {Д^п*} також збшаеться. АНркуючи аналопчно, в!зь-
мемо з послщовност! } таку пщпослщовшсть
v(3) „(3) (3)
X) , %2 , . . . , Хп . . . . ,
що | ДдХ,®} збщаеться i т. д. ЕИзьмемо поНм д!агональну послщовшсть
щц у(2) „(«)
Aj , Л% 9 » » • , Лц , . . . ,
Кожний з onepaTopiB А1г Д2, Ап,... переводить ii в зб!жну. Пока-
жемо, що й оператор А також переводить И у зб]жну. Тим самим ком-
пактшсть А буде встановлена. Осшльки прост ip Е повний, то досить
показати, що {Дхп’}—фундаментальна послщовшсть. Маемо
|) Дх„1 - ДхГ || < || Ах$ - Akxlnn) || +
+1| Д^’ - Akx™ || + || Akx™ - Ах™ ||. (7)
Нехай ||х„||<С; в!зьмемо спочатку k так, що || А — 'а
попм виберемо таке N, щоб при Bcix п> N i m > N виконувалась
nepiBHicTb
Lie можливо, бо послщовшсть {Д^Хп”’} збщаеться). При цих умовах
s (7) дщтаемо, що
ЦДх^-Дх<М|<е
для Bcix досить великих п i m.
Теорему доведено.
Легко перев!рити, що лшшна комбщащя компактних оператор]в
компактна. Отже, в простор! (Е, Е) ycix обмежених лшшних опера-
ropiB, визначених на Е, компакта! оператори утворюють замкнутий
лшшний пщпросНр.
Подивимось тепер, чи буде сукугплсть компактних оператор! з
пмкнутою щодо операцп множення oneparopiB. Насправд! тут спра-
педливе навпь ictotho сильшше твердження.
Теорема 2. Якщо А — компактний оператор, а В — обмежений,
то оператори АВ i В А компакты..
Доведения. Якщо множина М cz Е обмежена, то ВМ та-
кож обмежена. Отже, АВМ передкомпактна, а це й означав, що опера-
тор АВ компактний. Дал!, якщо М обмежена. то АМ передкомпактна,
а тод! внаслщок неперервност! В множина ВАМ також передкомпактна,
тобто оператор ВА компактний. Теорему доведено.
Наслщок. У нескшченновимрному npocmopi Е компактний
оператор не може мати обмеженого оберненого.
Справд!, шакше одиничний оператор I — А~1 А був би компакт-
ний в Е, що неможливо (див. приклад 1).
Зауваження. Теорема 2 показу';, що компакта! оператори утворюють
у шльш Bcix обмежених onepaTopiB {Е, Е) двоб)чний 1деал
ТеоремаЗ. Оператор, спряжений компактному, компактний.
Доведения. Нехай А — компактний оператор у банаховому
простор! Е. Покажемо, що спряжений оператор А*, який д!е в Е*,
переводить кожну обмежену шдмножину з Е* у передкомпактну.
Оск!льки всяка обмежена шдмножина нормованого простору мютиться
в деякш кул!, досить показати, що А* переводить кожну кулю в перед-
компактну множину. На пщстав! лшшност! оператора А* досить
показати, що образ А*3* замкнуто! единично! кул!3* cz Е* передком-
пактний.
Розглядатимемо елементи з Е* як функц!! не на всьому простор! Е,
а лише на компакт! AS — замиканш образу единично! кул! при вщо-
бражеяш А. При цьому множина Ф функц!й, як! вщповщають функ-
цюналам з S* буде р!вном!рно обмежена ! одностайно неперервна.
Справд!, якщо ||<р[| < 1, то
sup I ф (х) I = sup I ф (х) | || ф || sup || Ах || < IIАII
xgHS .г с AS xgS
| ф (%') — ф (х”) I < || ф II Ц х' — х" || < ||х' — х"£
Отже, ця множина Ф передкомпактна у простор! С [AS ] (на пщстав!
теореми Ар цела).
Але множина Ф з метрикою, шдукованою звичайною метрикою
простору неперервних функщй С [AS], !зометрична множин! A*S*
(з метрикою, шдукованою нормою простору £*). Справд!, якщо
€ 5*, то
|| — A*g21| = sup I (A*gi — A*g2, X) I =
= sup|(g1—g2, Ax)| =
= sup 1(1—g| z)| =
= Slip | (•<?! —^2 ?)| =P(£1. gi)-
_________ iPAS
Рдеалом (диоб!чним) у деякому к!льщ R називаеться таке передюльце U, що
коли а g U, / f R, то ar £ U i га g U.
Осюльки Ф передкомпактна, то вона щлком обмежена; отже, щлком
обмежена й !зометрична Тй множина Л*5*. Тому Д*5* передкомпактна
в Е*. Теорему доведено.
Зауваження. Неважко перев!рити, що множина Ф замкнута в С (Л, S)
так, що вона компактна, тому компактна й множина Л*5*, хоч (як це видно !з заува-
жепня на стор. 206) образ замкнуто!' одинично!' кул! пни довмьному щлком неперерв-
пому гщображенш може не бути компактом. Ситуащя в т!льки що доведен!?! теорем!
в!др!зняеться з!д загально'! тим, що замкнута одинична куля S* в Е* компактна
и *-слабюй тополог!!' простору Е' (див. теорему 3, § 3). Зв!дси й випливае компакт-
шсть (в метрищ простору £*) образу множини S* для будь-якого компактного опе-
ратора.
В п р а в и. 1. Нехай Л — обмежений л!н!йний оператор у банаховому простор!.
Довед!ть, що коли оператор Л* компактний, то й Л компактний.
2. Для тс-о щоб л!н!йнггй оператор Л у пльбертовому простор! Н був компакт-
пий, необх!дно й достатньо, щоб (ерм!товий) спряжений до нього оператор Л* був
компактний.
3. Власи! значения компактного оператора.
Тесрема4. Усякий компактний оператор А у банаховому npocmopi
Е мае при будь-якому 6 у> 0 лише скшченне число лшшно незплежних
власних векторов, що в1дпов1дають власним значениям, як1 за модулем
перевищують 6.
Доведения. Нехай Z2, ..., Х„, ... яка-небудь послщовшсть
власних значень оператора А (р!зних або з повторениями) таких,
що |Х„| > 6;х1( х2, ..., хп, ...— вщповщна Тм послщовшсть власних
вектор!в, i нехай ui вектори л!ншно незалежш.
Скористаемось лемою 1 (стор. 203) i побудуемо таку послщовшсть
Векторов ylt у2, ..., уп, ..., що
1) Уп^Е,б 2) \\У,А = К-3)р(уп,Еп^)^ inf \\уп — х||>-±- ,
xQ,En_y
де Еп— шдпроспр, породжений xly x2t хп,
Послщовшсть обмежена на пщстав! нер!вносп
Ми твердимо, що з послщовност! образ1В не можна вибрати
зб!жну. Справд!, нехай уп = g akxk; тод!
£=!
де
Тому для будь-яких р> q
—А fc) I + гр—+ г«) и=
= \\ур - Up + Л — гр)|] > -Ь .
бо Уд “Ь Zg Zp Q Ер—1.
Це суперечить компактност! оператора А.
3 доведено! теореми, зокрема, випливае, що число лшшно незалеж-
них власних вектор!в, як! вщповщають заданому власному значению
л =А= 0 компактного оператора А, скшченне.
3 uie! теореми випливае також, що число власних значень
компактного оператора А в зовшшшй частин! круга | л | > 5 > 0
завжди скшченне, i що вс! власн! значения оператора А можна пере-
нумерувати в порядку незростання модул!в: |li | > |Х2 | > ...
4. Компакта! оператори в пльбертовому простор!. Вище ми гово-
рили про компакта! оператори - в дов!льному банаховому простор!.
Тепер ми доповнимо ni вщомост! деякими фактами, що стосуються
компактних оператор!в у шльбертовому простор!.
Ми назвали оператор А компактним, якщо вш переводить усяку
обмежену множину в передкомпактну. Осшльки Н = Н*, тобто
Н е прост!р, спряжений до сепарабельного, то в ньому вс! обмежен!
множини (i т!льки вони) слабко передкомпактн!. Отже, в пльбертово-
му простор! компактний оператор можна означити як оператор, що
переводить всяку слабко передкомпактну множину в множину, перед-
компактну в сильнш топологи.
Нарешт!, у деяких внпадках зручне ще й таке означения компакт-
ност! оператора в пльбертовому простор!: оператор А називаеться
компактним в Н, якщо вш усяку слабко зб!жну послщовшсть перево-
дить у сильно зб!жну,. Справд!, нехай ця остачня умова виконана i не-
хай Ж — обмежена множина в Н. Кожна нескшченна шдмножина
множини М м!стить слабко зб!жну послщовшсть. Якщо вона перево-
диться в сильно зб!жну послщовшсть, то АМ передкомпактна. Нав-
паки, нехай А — компактний оператор, — слабко зб!жна посль
довшсть ! х— Ti слабка границя. Тод! {Ах„} м!стить пщпослщовшсть,
яка збшаеться сильно. Водночас {Ахп} збшаеться слабко, на шдстав!
неперервност! А до Ах, звщки випливае, що {Ахп} не може мати
б!льш як одну граничну точку. Отже, {Дхл} — зб!жна послщовшсть.
5. Самоспряжен! компакта! оператори в Я. Для самоспряжених
лшшних оператор!в у скшченновим!рному евклщовому простор!
вщома теорема про зведення матриц! такого оператора до д!агонально!
форми в деякому ортогональному нормованому базис!. У цьому пункт!
ми поширимо цю теорему на компакта! самоспряжен! оператори в пль-
бертовому простор!. Результата цього пункту справедлив! як для
д!йсного, так i для комплексного пльбертового простору. Для пев-
ноет! вважатимемо, що Н комплексний.
Установимо насамперед деяк! властивост! власних вектор!в . влас-
них значень самоспряжених oneparopie у Н, шлком аналопчш вщпо-
вщним властивостям ск!нченновим!рних самоспряжених оператор!в.
I. У ci власн1 значения самоспряженого оператора Ав Н дшсн1.
Справд!, нехай Ах = Кх, ||х|| =А= 0, тод!
X (х, х) — (Ах, х) = (х, Ах) = (х, Хх) = X (х, х),
зв1дки А = А.
II. Власн1 вектора самоспряженого оператора, як1 eidnoeidatomb
р1зним власним значениям, ортогональна.
Справд!, якщо Ах = Ах i Ay = р/д причому А =А= р, то
А (х, у) = (Ах, у) = (х, Ау) = (х, pi/) = р (х, у),
ЗВ1ДКИ (х, у) = 0.
Доведемо тепер таку фундаментальну теорему:
Теорема 5 (Г!льберта — Шм i д г а). Для будь-якого компакт-
ного самоспряженого лшшного оператора А у йльбертовому npocmopi Н
1снуе ортогональна нормована система {<рп} власних векторов, яга
eidnoeidatombвласнимзначениям [АД, Ап=^0, така, що кожнийелемент£ g
g Н записувться единим способом у вигляд1
? =
k
де вектор g Кег А, тобто задовольняе умову Аф — 0; при цьому
= S KCk^k
k
i якщо система {<р„} нескшченна, то
limAn = 0 (я->оо).
Для доведения pie! основноТ теореми нам потр!бн! будуть так!
допом!жн! твердження.
Лема 2. Якщо слабко зб1гаеться до | i лшшний оператор А
компактний, то
Q(^) = №, g) = Q(S).
Доведения Для всякого п
|ии ы-№ б)|Ul + I« 01-
Але
i -*
! оск!льки числа обмежеш, а |> А (1п_— £)|| -> 0, то
1№, 0RO,
що й треба було довести.
Лема 3. Якщо функцюнал
|$Й)| = 1№ Ц
де А — обмежений самоспряжений лшшний оператор, досягае на
одиничнш кул! максимуму в точц1 gu, то з
Йо, П) = О
випливае, що
№, п) = Йо, Лт]) = °-
Доведения. Очевидно, ||g0|| — 1- Припустимо, що
f _ &, + аП
S /1 + I а Г2 II1! II2 ’
де а — довмьне комплексно число. 3 ||g0|| = 1 випливае, що
Ш =!.
Осюльки
Q Й) = l + laHInP Йо) + 2Relfl Ипйо)1 + l«l2Q Ш
то при малих а
Q Й) = <2 (&>) + 2Re[a (Лп, g0)} + О (а2).
3 останньоТ р1вност1 зрозумщо, що коли 0go, т]) #= 0, то а можна взя-
ти так, що |Q Й) I > |Q Йо) |, а не суперечить умов! леми.
3 леми 3 безпосередньо випливае, що коли |Q й) I досягае макси-
муму при g = g0, то g0 — це власний вектор оператора.
Доведения теореми 5. Будуватимемо елементи <рл
за шдукщею, в порядку спадания абсолютних величин власних зна-
чень, як! вщповщають Тм:
|М|>|^|> >|М>
Щоб побудувати елемент <ръ розглянемо вираз | Q й) I = Mg, g)|
i доведемо, що вш на одиничнш кул! досягае максимуму. Нехай
S = sup 10g, g) |
i»i
i gi, g2, ...— така послщовшсть, що ||gn|| = 1 i
I MU Вп)|->5 при n->oo.
Осюльки единична куля в Н слабко компактна, то з {g„) можна взя-
ти пщпослщовшсть, яка слабко збшаеться до деякого елемента г].
При цьому || т] |] < 1 i внаслщок леми 2
I Мп, П) I = 5-
Елемент ц ми й в!зьмемо за <рг. Зрозум!ло, що |]г)|| точно дор!в-
нюе единиц!. (Справд!, нехай ||т]||< 1; припустимо ; тод!
Цт]! ||= 1 i | (Лт]!, т]|) | > 5,що суперечить означению S). Г ри цьому
Лф1 = XiCfi,
ЗВ1ДКИ
1^.1= WI-«-
Нехай тепер власн! вектори
Ф1> ф2, • • • > фп»
як1 вщповщають власним значениям
Zi, ?.2, . •. , Ж
вже побудовано. Нехай М (ф1т ф2, ..., Ф,.)— шдпроспр, натягнутий
на ф1( ф2, ..., фп. Розглянемо функцюнал
1№ Ю1
на сукупност! елеменпв, що належать
Л1п = Н Q М (ф1; фг, .... ф„)
(тобто ортогональних ф1т ф2, ..., Фп) ! задовольняють умову ||||| < 1.
Множина Мп — не пщпроспр, швар!антний щодо А (бо пщпроспр
М (ф1, Ф2, Фп) швар!антний i А самоспряжений). Застосовуючи
до Мп наведен! вищэ м!ркування, дютанемо, що в М„ знайдеться век-
тор (позначимо його фп+i) власний для оператора А.
Можлив! два вкладки: 1) теля скшченного числа кроив ми д!ста-
немо п!дпрост!р Мп0, г якому (Д£, g) s= 0; 2) (Л£, t) 0 на М„ при
вс!х п.
У першому випадку з леми 3 випливае, що Мп„ переводиться опера-
тором А в нуль, тобто шлком складаеться з власних вектор!в, як»
вщповщають К = 0. Система побудованих вектсив |ф,?| складаеться
з скшченного числа елеменпв.
У другому випадку д!стаемс послщовшсть {ф„} власних вектор!в,
для кожного з яких #= 0. Нехай Л -> 0. Послщовшсть {фп} (як
i всяка ортогональна нормована послщовшсть) слабко зб!гаеться до
нуля, тому елементи А<рп = Х„фга повинш зб!гатися до нуля за нормою,
звщки I Х„| = II Дф„ II -> 0/
Нехай
м1 = н е м (фП ф2, ..., фп,...) = л Мп1 =^о.
п
Якщо | g М1 i g #= 0, то (Hg, I) < || £ ||2 для вс!х п, тобто
(< Ю = 0.
Звщси на шдстав! леми 3 (при шах |(Л£, g)| =0), застосованоТ до М1,
д!стаемо А^ = 0, тобто пщпроспр М1 переводиться опеоатором А
у нуль.
3 побудови системи {ф„} зрозум!ло, що зсякий вектор можна за-
писали у вигляд!
I = + V- де А1' == 0,
звщси випливае, що
= S h^4>k-
Теорему доведено. Ця теорема вщдграе фундаментальну роль
R теорп штегральних р!знянь, про як! мова йтиме в розд. IX.
За у в а ж е н н я. Доведена теорема означав, що для всякого компактного са-
моспряжевого оператора А в Н 1свуе ортогональний базис простору Н, що склада-
еться з власних вектор!в цього оператора. Справд!, щоб д!стати такий базис, досить
цоповнити побудовапу вдоведенш теореми систему власних вектор!в (<рл) довьльним
эртогональним базисом пщпростору ТИ1, який переводиться оператором А у нуль.
1накше кажучи, тут д!стаемо результат, ц!лком аналог!чний георем! про зведення
матриц! ск!нчепновим!рного самоспряженого оператора до д!агонального виду в орто-
гонатьному базис!.
Для несамоспряжених оператор!в у п-вим!рному простор! таке зведення, взагал!
кажучи, неможливе, проте справедлива така теорема: усяке лшШне перетеорення
в п-вим.рному простор! мае хоча б один власний вектор. Неважко впевнитися, що це
твердження не переноситься на компакта! оператори в Н. Справд!, нехай оператор
А заданий в /2 формулою
Ах = А (х1; х2, = ^0, , - ДД" >•••)• (8)
Цей оператор компактний (перев!рте!), але не мае жодного власного вектора (дове-
д!ть це).
В п р а в а. Знайд!ть спектр оператора (8).
Р о з д i л V
MIPA, ВИМ1РН1 ФУНКЦП, 1НТЕГРАЛ
Поняття м!ри р, (Л) множини А е природним узагальненням по-
нять:
1) довжини I (Д) в!др!зка Д,
2) площ! S (F) плоско! ф1гури F,
3) об’ему V (G) просторово!' ф!гури G,
4) приросту ф (6)—ф (а) неспадно! функци ф (t) на швштервал! [а,Ь)г
5) штегралу в!д нев!д’емно! функцп, взятого по деякш лшшшй,
плоскш або просторовш облает!, i т. д.
Це поняття виникло в теорн функшй дшсно! змшноц а зв!дти
перейшло в Teopiro !мов!рностей, теорто динам!чних систем, функцю-
нальний ачал!з i багатс шших галузей математики.
У § 1 цього розд1лу ми викладемо Teopiio щрн для множин на пло-
щин!, виходячи з поняття площ! прямокутника. Загальну Teopiio Mi-
ри буде викладено в § 2 ! 3. Читач легко помйить, що Bci м!ркузання,
наведен! в § 1, мають загальний характер i в абстракта ifl Teopii повто-
рюються без icTOTHHX змш.
§ 1. MIPA ПЛОСКИХ МНОЖИН
1. Mips елементарних множин. Розглянемо систему (J множин
на плошиш (х, у), кожна з яких визначаеться одшею з нер!вностей
виду
a < b,
a<Zx ^b,
а < х <Ь,
а < х <Ж
! одшею з нер{вностей виду
с < £/ d,
с < у ^d,
c<y<d,
c<y<d,
де а, b, с i d — довйчьш числа. Множини, що належать шй систем!,
називатимемо прямокутниками. Замкнутий прямокутник, що визна-
чаеться нер!вностями
а С х < 6, с ^d,
е прямокутником у звичайному розумшш (разом з межею), якщо а < Ь
i с < d, в!др!зок (якщо а = b ! с < d або а < b ! с = d), точку (при
а — Ь, с = d) i, нарешт!, порожня множина (якщо а > Ь або с > d),
Вщкрит® прямокутник
х < b, c<.y<Zd
буде залежно вщ сшввщношення м!ж a, b, с i d прямокутником без
меж! або порожньою множиною. Кожний з прямокутниюв 1'нших
тишв (назвемо ix нашввщкритими), е справжшм прямокутником без
одшеТ, двох або трьох сторш, штервал, швштервал, або, нарешН,
порожня множина.
Клас yeix прямокутниюв на площиш позначимо
. Для кожного з прямокутниюв визначимо його Mipy, вщповщно
до вщомого з елементарно! геометрп поняття плопц. А саме:
a) Mipa порожным множини дор!впюе 0;
б) Mipa непорожнього прямокутника (замкнутого, вщкритого або
нашввщкритого), який визначаеться числами а, Ь, с i d, дор!внюе
(Ь— a) (d — с).
Отже, кожному прямокутнику Р з g поставлено у вщповщшеть
число т (Р) — його Mipa, при цьому виконаш так! умови:
1) Mipa т (Р) набувае дшених невщ’емних значень;
п
2) Mipa т (Р) адитивна, тобто якщо Р = (J Рi Д-П Pk = 0 при
/г=1
i k, то
т(Р) = 2 т (Ph).
/г=1
Наше завдання — поширити, зберДаючи властивост! 1) i 2), Mipy
т (Р), визначену поки для прямокутниюв, на ширший клас множин.
Спочатку ми поширимо Mipy на так зван! елементарш множини.
Назвемо плоску множину елементарною, якщо и можна записати хо-
ча б одним способом як об’еднання скшченного числа попарно непере-
тьнних прямокутниюв.
Для дальшого нам потр!бна буде така теорема:
Теорема 1. Об’еднання, перетин, р1зниця i симетрична р1зниця
двох елементарних множин також е елементарними множинами.
Отже, за термшолопею, введеною в § 5, розд. I, елементарш мно-
жини утворюють к i л ь ц е. ‘
Доведения. Зрозумшо, що перетин двох прямокутниюв
е знову прямокутник. Тому, якщо
А = I! Pk i В= U Qj
k i
— дв! елементарш множини, то Yx перетин
А Л В = и [Pk П Qi)
-— елементарна множина.
Р1зниця двох прямокутниюв е, як легко перев1‘рити, елементарна
множина. Отже, вщшмаючи вщ прямокутника деяку елементарну
множину, ми знову д!станемо елементарну множину (як перетин еле-
ментарннх). Нехай тепер множини A i В—елементарш. Очевидно,
знайдеться прямокутник Р, що мютить кожну з них. Тод! множина
A U В = Р\[(Р\Л) Л (^\ В)]
на пщстав! зазначеного вище буде елементарною. Звщси i з р!вностей
Л \ В = Л Л (Л \В)
та
ЛДВ = (Л и В) \ (Л Л В)
випливае, що р!зниця i симетрична щзниця елементарних множин
е елементарними множинами.
Теорему доведено.
Визначимо тепер Mipy т'(Л) для елементарних множин так: якщо>
Л = и
k
де Pk— попарно неперетинш прямокутники, то
т'(Л) =
к
Покажемо, що т' (Л) не залежить вщ способу розкладу Л в суму
скшченного числа прямокутник!в. Нехай
Л = U Pk = и Qi,
* i
де Pk i Q,- — прямокутники, i Pt f] Pk — 0, QI П Q* = 0 при
i k. Осюльки перетин Pk [J Q, двох прямокутниюв e прямокут-
ник, то на пщстав! адитивност! м!ри для прямокутник!в
2 т (Pk) = %m(Pk{] Qi) = % т (Qj).
л k.j /
Зокрема, для прямокутниюв Mipa т' збшаеться з вихщною Mipora т.
Легко побачити, що визначена так Mipa елементарних множин
певщ’емна i адитивна.
Установимо таку важливу властивкть м!ри елементарних множин.
Те^рема2. Якщо А — елементарна множина i {Лл) — скшченна
або зл1ченна система елементарних множин така, що
Леи Л„,
п
то
т' (Л)< 2m' (Л„). (1)
п
Доведения. Для будь-якого е > 0 i заданого А можна, оче-
видно знайти одну таку замкнуту елементарну множину А,
яка мщтиться в A i задовольняе умову
т'(Л)>т'(Л)-----.
(Достатньо кожен з k прямокутнишв Р(, що складають А, замшити
замкнутым прямокутником, що лежить всередиш нього, з площею,
бшьшою за m(Pl)-----j.
Дал!, для кожного Ап можна знайти в i д к р и т у елементарну
множину Ап, яка м!стить Ап i задовольняе умову
А т' (Л„) < tn' (Ап) 4- -пе-
Зрозуммо, що
п' / ‘Ъс’Ш
3 {Л„} можна (за лемою Гейне—Бореля) взяти скшченну систему
АП1, Ans, яка покривае А. Очевидно, при цьому
т' (Л) < ^т' (Ап)
t=i ‘
(осшльки шакше А була б покрита скшченним числом прямокутниклв,
сумарна площа яких менша за т (Л), що неможливо). Тому
т' (Л) т' (Л) 4- < V т' (Ап) 4- < j т' (Л„) +
1=1 п
< S гп' (Л„) 4- S -тДщ 4- = S т' + е,
п п п
ЗВ1ДКИ внаслщок дов!льносп е > 0 випливае (1).
Властившть м!ри т', яку встановлюе георема 2 (Mipa множини не
перевищуе суми м!р множин, як! покривають И, узятих у скшченному
або зл!ченному числр, називаетося твадитивн1стю. 3 не! випливае
властивк'ть так звано!’ змченноь адитивностл., або а-адигпивност1,
а саме, така.
Нехай елементарна множина Л зображена як сума зл!ченного
числа неперетинних елементарних множин Ап (п = 1, 2, .. ):
Л = U Л„;
п=]
тод!
со
т' (Л) = 2 т' (ЛД
П=1
(тобто Mipa суми зл!ченного числа неперетинних доданюв дор!вгюе
сум! Mip)
Справд!, внаслщок адитивносД при будь-якому N, маемо:
I n \
т'(А)^т'[ U Л„ = 2 т' (Л„).
\п=1 / П=1
Переходячи до границ! при N -> оо, д!стаемо
со
/п'(А)> 5/п'Ип)-
п—}
На шдстав! теореми 2 справджуеться i протилежна нер!вшсть. Отже,
п-адитившсть м!ри т' доведено.
Зауваження. У читача може скластися враження, що адитившсть м!ри
на площин! справджуеться автоматично з 1! адитившстю за допомогою граничного
переходу, Насправд! це не так (у наведены теорем! 2 ми, застосовуючи лему Гейне —
Бореля, використовували зв’язок м1ж метричними ! тополопчними властивостями
плоских множин). У § 2 при вивченн! м!р на довшьних абстрактних множинах ми по-
бачимо, що з адитивносп м!ри, взагал! кажучи, п <т-адитивн!сть не випливае.
2. Лебегова Mipa плоских множин. Елементарш множини не ви-
черпують ycix множин, як! зустр!чаються в геометр!! ! в кла-
сичному анал!з1. Тому природно зробити спробу поширити поняття
м!ри, !з збереженням !! основних властивостей, на клас множнн, шир-
ший, н!ж скшченш сполуки прямэкутниюв з сторонами, паралельни-
ми осям координат.
Розв’язав цю задачу, i до того ж остаточно, А. Лебег на початку
XX ст.
При виклад! теорп м!ри Лебега нам доведеться розглядати не т!ль-
ки скЖченш, а й нескшченш об’еднання прямокутники. Щоб при
цьому вщразу не мати справу з множинами «нескшченно! м!ри», об-
межимось спочатку множинами, як! шлком належать квадрату Е =
На сукупност! вс!х таких множин эзначимо функщю р* (Л) так:
Означения!. ЗовнЕиньою млрою множини А називаеться
число
р*(Л)= in! ^tn(Pk), (1)
AavPk *
де нижня грань береться по найр!зноман!тшших покрчттях множини
А скшченними або зл!ченними системами ирямокутниюв.
Зауваження. 1. Якби ми в означенн! зовшшньо! м!ри розглядали покрит-
тя, як! складаються не т!льки з прямокутниюв, а й з будь-яких елементарних мно-
жин (узятих у сличенному або зл!ченному) числ!, то ми д!стали б, очевидно, те саме
значения р' (Д), осильки всяка елементарна множина е сума скшченного числа пря-
мокутник!в.
2. Якщо А —елементарна множина, то р* (Д) = т' (Д). Справд! нехай Рг, ...
..., Рп — складов! А прямокутники. Тод!, за означениям,
(Д) =
i=l
п
Осюльки прямокутники Pj покривають Д, то р* (Д) < У, т (Рг) = т' (Д). Але
i=i
якщо {Q/} —дов!льна скшченна або зл!ченна система прямокутник!в, яка покрнвае
Д, то на шдстав! теореми 2 т'(Д)< m (Q,j, тому р* (Д) = т' (Д).
Теорема 3. Якщо
А <= U Ап,
п
де Ап — скшченна або зл1ченна система множин, то
р*(Л)<2ц*(4)- (2)
п
Зокрема, якщэ Ас В, то р* (4) < р* (В).
Доведения. За означениям зовн!шньо1 м!ри, для кожного
Ап знайдеться така система прямокутниюв скшченна або
зл!ченна, що Ап с (J Pnh !
k
^т(Рпк)^*(Ап) + -~ ,
де s > 0 взято дов!льно. Тод!
Лее и и Рпк
п k
i
Р* (Л) < 2 2 tn (Pnk) < Z Р* (An) + 8.
п k п
Осюльки е > 0 дов!льне, звщси випливае твердження теореми.
Через те що на елементарних множинах т' ! р* збшаються, то теорема
2 е окремиЙ,випадком теореми 3.
Означения 2. Множина А називаеться вим1рною (у розумшш
Лебега), якщо для будь-якого g > 0 знайдеться така елементарна
множина В, що
Р*(ЛДВ)<е. (3)
Функшя р*, яку розглядають лише на вим!рних множинах, нази-
ваеться лебеговою м1рою. Позначатимемо и через р.
Зауваження. Введене нами означения вим1рност! мае досить наочний зм1ст.
Воно означае, що множина вим!рна, якщо и можна «як завгодно точно наблизити»
елементарними множинами.
Отже, ми означили деякий клас SBg множин, як! називаються ви-
м!рними, i функщю р, Mipy Лебега, на цьому клас!. Доведемо тепер
так! твердження:
1. Сукупшсть Ci к вим1рних множин замкнута в1дносно операции
узяття скшченних або зл1ченних сум I перетишв (тобто е о-алгеброю,
див. означения в п. 4, § 5, розд. I).
2. Функщя р о-адитивна на SBg.
Наведен! нижче теореми е етапами доведения цих тверджень.
Теорема 4. Доповнення вим1рно1 множини euMipne.
Це вщразу випливае з р!вност!
(Е\Л) △ (Е\В) =4ДВ,
яку перев!ряемо безпосередньо.
Теорема 5. Сума i перетин скшченного числа вим1рних множин
в euMipHi множини.
Доведения Очевидно, достатньо провести доведения для
двох множин. Нехай Aj i А2 — вим!рн! множини. Це означае, що для
будь-якого s > 0 знайдуться таю елементарш множини i В2, що
н*(Адв?<И р*(АдМ<-|-.
Осшльки
(Aj U А2) Д (Bj U В3) (А △ Bj) U (А2 △ А),
то
Н* 1(Л1 U А) д U В2)1 < р* (А д А) + и* (А д в2) < 8.
Але Bi U В2 — елементарна множина, тому множина A J А2 вим1рна.
Вим1ршсть перетину двох вим!рних множин випливае з теореми 4 i
сшввщношення
4 П А = Е \ ((£ \ A) U (В \ А)]- (4)
Н а с л i до к. Р1зниця i симетрична ргзниця двох вим1рних
множин вим1рн1.
Це випливае з теореми 4 i 5 та р!вностей
А \ А = А П (£ \ А), А Д А = И, \ A) U (Аг \ А)-
Теорема 6. Якщо Alf ..., Ап — попарно неперетинн1 euMipHi мно-
жини, то
и А) = 2 и (Л (5)
\ *=1 4=1
Для доведения ц1е! теореми нам потр!бна буде така лема.
Лема. Для будь-яких двох множин A i В
| р* (А) - р* (В) | < р* (А Д В).
Доведения леми. Осюльки
A cz В (J (А Д В),
то на пщстав! теореми 3
Р*(А)<р*(В) + р*(АдВ).
Звщси випливае твердження леми у випадку р* (А) > р* (В). Якщо
р* (А) < р* (В), то твердження леми випливае з HepiBHocri
р* (В) Ар* (А) + р*(А А В),
яку встановлюють аналоНчно.
Доведения теореми 6. Як1в теорем! 5,досить розгля-
нути випадок двох множин. ЕИзьмемо довиьне 8 > 0 i таю елементарш
множини Bj i В2, що
р*(А1ДВ1)<8, (6)
р*(АДВ2)<8. (7)
Припустимо, що А = Ах Ц Д2 i В = В2 (J В2. Множина А вим!ряа
на шдстав! теореми 5. Осюльки множини Ar i Д2 не перетинаються, то
В. f] В2С (|х △ BJ и (А △ вг)
i, отже,
,п' (В1 П В2) < 2е. (8)
На шдстав! леми з (6) i (7) випливае, що
| m' (ВА — р* (Дх) | < 8, (9)
| щ'(В2) - р* (Д2) | < е. (10)
Осюльки на сукупносп елементарних множин Mipa адитивна, то з
(8) — (16) д!стаемо
т' (В) = т' (Вх) + т' (В2) — т' (В, (~| В2) > р* (Дх) + р* (Д2) — 4е.
Помкивши ще, що А А В cz (Ах А В A (J (Аг ДВ2) маемо, наренгп,
р* (А) > т' (В) — р* (А △ В) > т' (В) — 2е > р* (Ах) + р* (Аг) — бе.
Осюльки е > 0 можна взяти дов1льно малим, то
р* (А) > И* (4 + И* (А)-
Через те що протилежна нер1вшсть
Р* (А) < р* (Ах) + р* (Д2)
справедлива (на шдстав! теореми 3) завжди, остаточно дщтаемо
Р* (А) = р* (Ах) + р* (Д2);
осюльки Дх, Д2 i A BiiMipHi, то тут р* можна замшити на р.
Теорему доведено.
3 Hiei теореми, зокрема, випливае, що для всякого вим1рного А
р (Е \ А) = 1 — р (А).
Теорема?. Сума i перетин змченного числа вим1рних множин в
BUMipni множини.
Доведения. Нехай
Дх, А2, ..., А„, ...
— зл!ченна система вим!рних множин i А = (.] Ап. Припустимо
Я=1
Д,' = А„\ U Аа. Зрозумюо, що А = U А. причому множини А„
попарно не перетинаються. На шдстав! теореми 5 i наслщку з не!,
вс! множини Ап BHMipHi. На основ! геореми 6 i означения зовшш-
ньо! м!ри при будь-якому сюнченному п
2р(4) = р и 4ft)<p*(A),
\А=1 /
тому ряд
5 Н (Лп)
п=1
зб!гаеться !-<отже, для будь-якого е > 0 знайдеться таке N, що
2р(Л„)<-|-. (11)
N
Оск1льки множина С = J Ап вим1рна (як сума скшченного числа
п=1
вим!рних множин), то для не) знайдеться така елементарна множи-
на В, що
р*(СдВ)<-|-. (12)
Через те що
z4aBqz(CAB)U(U А'п),
n>N
то з (11) i (12) випливае
р* (Л А В) < е,
тобто А вим!рна.
Эсюльки доповнення вим!рних множин вим!рн1, то твердження
теореми щодо перетишв випливае з р!вност!
п Л„ = в\ и (В\4).
п п
Теорема 7 шдсилюе теорему 5. Наведена нижче теорема е анало- •
г!чним пщсиленням теореми 6.
Теорема 8. Якщо {Лл} — посл1довн1сть попарно неперетинних
вилйрних множин i А = U Ап, то
п
и(Л) = 2р(Лл).
п
/Доведения. На пщстав! теореми 6 при будь-якому N
/ N \ "
Н и Л„1 = 2 р (Лл) < р (Л).
\ rt=l / п=1
Переходник до границ! при N -> оо, дютаемо
оо
и(Л)> 2|1(Л„). (13)
п=.1
3 другого боку, за теоремою 3
р(Л)<2р(Лп). (14)
гг=1
3 (13) i (14) випливае твердження теореми.
Установлена в теорем! 8 властивють м!ри була названа п зла-
ченною адитившстю, або а-адитившстю. 3 о-адитивност! випливае
така властивють м!ри, яку називають неперервнйтю.
Теорема.9. Якщо Аг => А2 гэ ...— гихмдовшсть вкладених. одна
в одну вим1рних множин i А = f) Ап, то
п
р (Л) = lim р (Л„).
/г-» ос
Доведения. Досить розглянути випадок Д = 0; загальний
випадок зводиться до цього замшою А„ на А„ \ А. Маемо
А = (Л, \ а2) и (А \ A) U • • •
i
Ап = (Ап \ Д-р) U (Дп+i \ А-1-2) U •. •,
причому доданки на перетинаються. Тому, на шдстав! о-адитивносп р
оо
н (А) = 5 и(А\Аг+1) (15)
*=1
i
оо
иД) = 2 и (А \ А+1); (16)
k=n
осшльки ряд (15) збшаеться, то його залишок (16) прямуе до 0 при
п -> оо. Отже,
р(Дп)->0 при «->оо,
що й треба було довести.
Висновок. Якщо Дх cz Д2 cz ...— зростаюча посл1довн1сть
• eUMipHUX множин i
А = и А,
п
то
р (Л) = lim р (Д„).
И-»ОО
Для доведения досить перейти вщ множин Ап до Тх доповнень
i скористатися теоремою 9.
На закшчення наведемо ще одне очевидне, але важливе твер-
дження Усяка множина А, зовнииня м1ра яко1 дор1внюе 0, вим1рна.
Достатньо припустити В = 0; тод!
р* (Д А В) =•• р* (Д А 0) = р* (Д) = 0 < е.
Отже, ми поширилн Mipy з елементарних множин на ширший клас
SS£, замкнутий щодо операш’й узяття зл!ченних сум i перетишв,
тобто що являе собою о-алгебру. Побудована так Mipa о-адитивна на
цьому клас!. Установлен! вище теореми дають можливють скласти таке
уявлення про сукупшсть вим!рних за Лебегом множин.
Усяку вщкриту множину, що належить Е, можна подати як об’ед-
нання скшченного або зл!ченного числа вщкритих прямокутниюв,
'"обто вим1рних множин, i на шдстав! теореми 7 вс! вщкрит! множини
вим!рш. Замкнут! множини е доповненням вщкритих, отже, вони
також вим1рн!. За теоремою 7, вим!рними мають бути i вс! т! множини,
як! можна д!стати з вщкритих i замкнутих за допомогою скшченного
або зл!ченного числа операщй узяття зл!ченпих сум i перетишв. Проте
можна показати що цими множинами Bci вим!рш множини ще не ви-
черпуються.
3. Деяк! доповнення i узагальнення. Вище ми розглядали пльки
т! множини, як! мютяться в одиничному квадрат! £ = (0 < х, у < 1}.
Неважно зв!льнитися в!д цього обмеження, наприклад так. Зобразив-
11Ш всю площину, як суму нашввщкритих квадрапв Епт = < х <.
< п -ф 1, т < у т -ф 1} («• fn — ц!л!), ми говоритимемо, що плоска
множина А вим!рна, якщо !! перетин Апт = A f) Епт з кожним з
них квадрапв вим!рний. При цьому ми припустимо, за означениям,
ц(Л) =
п,т
Ряд, що стоить справа, або зб!гаеться до скшченного значения, або
розбшаеться до -фоо. Тому м!ра р може набувати ! нескшченних зна-
чень. Ус! властивост! м!ри i вйм!рних множин, установлен! вище, оче-
видно, переноситься i на цей випадок. Тоеба зазначити лише, що сума
зл!ченного числа вим!рних множин скшченно! м!ри може мати нес-
кшченну м!ру. Клас вим!рних множин на вс!й площиш позначимо 81.
Л4и виклали в цьому параграф! побудову м!ри Лебега для плоских
множин. Аналопчно можна побудувати лебегову м!ру на прямш,
у тривим!рному простор!, або взагал! в евклщовому простор! будь-яко'!
розм!рност! п. У кожному з цих випадк!в Mipy будують за тим самим
зразком: виходячи з м!ри, визначено! заздалегщь для деяко!' системи
найпроспших множин (прямокутниюв у випадку площини, штер-
вал!в (а, Ь), сегменпв [a, b] i швсегменпв (а, &], [а, Ь) у випадку пря-
мо! i т. д.), ми означаемо м!ру спочатку для скшченних об’еднань та-
ких множин, а попм поширюемо!! на значно ширший клас множин —
на множини, вим!рн! за Лебегом. Саме означения вим!рносп досл!в-
но переноситься на множини в простор! будь-яко! розм!рност!.
Вводили поняття м!ри Лебега, ми виходили !з звичайного означен-
ия площ!. Аналопчна побудова для одновим!рного випадку грунтуеть-
ся на поиятт! довжини штервалу (сегменту, швсегменту). Проте тут
можна внести поняття м!ри i шшим, загальним способом.
Hexaii I (t) — деяка неспадна, неперервна зл!ва функщя на пря-
мш. Припустимо
т (a, b) = F (Ь) — F (а + 0),
т [а, &] = F (Ь -ф 0) — F (а),
* т(а, b] = F (Ь -ф 0) — F (а -ф 0),
т [a, b) = F (Ь) — F (а).
Легко побачпти, що означена так функщя штервалу т невщ’емна i ади-
тивна. За< госовуючи до не! м!ркування, аналопчш проведении у цьо-
му параграф!, ми можемо побудувати деяку м!ру pF (Л). При цьому
сукупнн ri Ф/ множин, вим!рних щодозадано! м!ри, замкнута щодо опе-
ращЯузяття л!ченнихсум i перетишв, a Mipa pF будео-адитивна. Клас
21 f множин, вим!рних щодо pf , буде, взагал! кажучи, залежати вщ
вибору функци F. Однак при будь-якому вибор! К вщкрит! i замкнут!
множини, а отже, i вс! !’х зл!ченн! суми i перетини завщомо будуть
вим!рнй М!ри, як! ми д!стаемо за допомогою Tie'! чи шшо!’ функци
F називаються м!рами Лебега—Сггйлътьеса. Зокрема, функци F (t) =s
== t вщповщае звичайна м!ра Лебега на прямш.
Якщо Mipa pf така, що вона дор!внюе 0 для будь-яко!’ множини,
звичайна лебегова м!ра р яко!' дор!внюе 0, то Mipa pf називаеться
абсолютно неперервною (вщносно р). Якщо Mipa pf шлком зосереджена
на скшченнш або зл!ченнш множин! точок (це буде тод!, коли множи-
на значень функци F скшченна або зл!ченна), то вона називаеться
дискретною. Mipa pf називаеться сингулярною, якщо вона дор!внюе
О для будь-яко! одноточковоТ множини, але е така множина М лебего-
во!’ м!ри 0, що Mipa Pf и доповнення дор!внюе 0.
Можна показати, що всяку Mipy можна подати як суму абсолютно
неперервноТ, дискретно! i сингулярно'! м!р. До Mip Лебега — Спльтье-
са ми ще повернемося в насту иному розд!л!.
1снування невимгрних множин. Ми побачили, що клас вим!рних
за Лебегом множин дуже широкий. Природно запитати, чи юнують
взагал! невим!рн! множини? Покажемо, що де питания розв’язуеться
позитивно. Найпроспше невим!рн! множини будуються на кол . на
якому введено лшшну Mipy Лебега.
Нехай С — коло, довжина якого дор!внюе 1,' а а — деяке ippapio-
нальне число. Вщнесемо до одного класу ri точки кола С, як! можна
перевести одну в одну поворотом кола С на кут пал (п — ц!ле).
Кожний з цих клас!в, очевидно, складатиметься з зл!ченно! множини
точок. Вибеоемо з кожного такого класу по однш точщ. Покажемо,
що утворена так множина (позначимо !"! Фо) невим!рна. Позначимо
через Ф„ множину, яка утворюеться зФ0 поворотом на кут пал. Легко
побачити, що вс! множини Ф„ попарно не перетинаються i в сум!
утворюють все коло С. Якби множина Фо була вим!рна, то були б ви-
м!рнi ! конгруентн! ш множини Фп. Оскьчьки
03
с = и Ф„, ф„ п Фт = 0 при п ф т,
п=—оо
то на пщстав! о-адитивност! м!ри звщси випливало б, що
со
1= s Им- (17)
П=—со
Але конгруентн! множини повинш мати ту саму Mipy, так що коли
Фо вим!рне, то
В(фп) = И (Фо)-
Звщси видно, що р!вн!сть (17) неможлива, бо сума ряду, що стоТть
у Т! поав!й частин!, дор!внюе 0, коли р (Фо) дор!внюе 0, i нескшчен-
ност!, коли р (Фо) > 0, Отже, множина Фо (а отже, i кожна Ф„) неви-
м!рна.
§ 2. ЗАГАЛЬНЕ ПОНЯТТЯ М1РИ.
ПРОДОВЖЕННЯ М1РИ 3 П1ВК1ЛБЦЯ НА К1ЛЫДЕ.
АДИТИВН1СТЬ Iа -АДИТИВЫСТЬ ’
I. Означения м!ри. Ми будували м!ру плоских множин, виходячи
। Mipu (площ!) прямокутника ! пошиоення !! на ширший клас множин,
Для наших побудов Jctotho було зовс1м не конкретний вираз площ!,
и лише п загальш властивосп. Саме, при продовженш плоско!’ м:ри
। прямокутника на елементарн! множини ми корнстувалися лише тим,
цо площа — це невщ’емна адитивна функщя множини i тим, що су-
ку иметь прямокутниюв е п!вк!льцем. При побудов! лебегового про-
должения плоско! м!ри була, кр!м того, важлива !! о-адитившеть.
11а шдстав! пльки що сказаного конструкт!, викладешй у § 1
госовнодо плоских множин, можна надати щлком загальну абстракт-
пу форму. Тим самим !! застосовшсть буде !стотно розширена. Цьому
I нрисвячен! наступи! два параграфи.
11асамперед введемо таке основне означения.
Означения 1. Функщя множини ц (Л) називаеться марою,
якщо:
1) область визначення функц!! ц (Л) е п!вк!льцем множин,
2) значения функцп п (Л) д!йсн! i невщ’емш,
3) и, (Л) адитивна, тобто для будь-якого скшченного розкладу
Л = Л! U • • ид,
множини Л £ (5Н на (попарно неперетинш) множини ЛА £ (5ц вико-
иуеться р!вн!сть
п
И(Л) = 2н(ЛЦ.
6=1
Зауваження. 3 розкладу 0 = 0 'J 0 випливае, що [1 (0) == 2ц (0),
infiro ц (0) = 0.
2 , Продовження м!ри з швшльця на породжене ним шльце.
11рп побудов! м!ри плоских множин першим кроком було поширення
при з прямокутнишв на елементарш множини, тобто на скшченш
суми попарно неперетинних прямокутник!в. Тепер ми роз!лянемо
лбгграктний аналог ц!е! конструкци. Сформулюемо насамперед таке
) шачеиия:
Означения 2. Mipa р називаеться продовженням м!ри tn,
мио cz (5,ц i для кожного Л £ (5„, справджуеться р!вн!сть
р (Л) = m (Л).
Мета цього пункту полягае в доведенн! такого твердження.
Теорема 1. Для кожног Mipu гп (Л), задано! на деякому п1вк1лъц1
( I? одне i тальки одне продовження т' (Л), шр мае своею областю
• л ишчення к1льце Ж ((5.п) (тобто м!н!мальне шльце над (5^)-
ш »му параграф! i дал! ми систематично користуватимемося поняттями i фактами,
и ьтдепими в § 5, розд. I.
а*
Доведения. Для кожно'1 множини A g (Gm) !снуе розклад
Л=Й (BAEGm, Bk f] Bt=0 при (1)
£=1
(теорема 3, § 5, розд. I). Припустимо, за означениям
п
m'(A)= >]т(Вк). (2)
k=l
Легко побачити, що величина т' (Л), визначена р!вн!стю (2), не за-
лежить вщ вибору розкладу (1). Справд!, розглянемо два розклади:
Л = U В( = и ch Bt G gm, С,- € Gm.
l—l i~ I
Осюльки Bci перетини Bt f| C; належать Qm, то на пщстав! адитивност!
м!ри т
U m (Дг) = 2 Ут (В{ f| С,) = У\т (Cj),
=i z=i /=1 /=i
що й треба було довести.
Невщ’емшсть ! адитившсть функцп т' (Я), яка визначаеться р!в-
н!стю (2), очевидш. Отже, щнування продовження т.' м!ри т на юль-
це Ш (gm) доведено.
Для доведения його единост! зауважимо, що, за означениям про-
п
довження, якщо Л — IJ Bk, де Bk — неперетинн! множини з
k—\
то для будь-якого продовження т м!ри т на к!льце Эх (gm)
m (Л) = У, т (Bk) = 2 m (Bk) = т' (Л),
k k.
тобто Mipa т збщаеться з м!рою т', визначеною р!вн!стю (2).
Теорему доведено.
По сут!, ми повторили тут, в абстрактних термшах, прийом, яким
ми в § 1 продовжили м!ру з прямокутниюв на елементарн! множини.
Клас елементарних множин саме i е мпимальним к (льнем над швк!ль-
цем прямокутник!в.
3 адитивност! i невщ’емност! м!ри випливаютьтак! майже очевидиц
але важлив! властивост!.
Теорема 2. Нехай т — Mipa, задана на деякому к1льц1 dim, i мно-
жини А, Аг, ..., Ап належать Todt
I.
п
(J ЛА с: Л i Ai f| А, = 0 при i Ф j, то
k=i
п
2 m (Ak) < m (Л);
п
II, Якщо U Ak zd Л, то
п
5 m (Ak) tn (4);
6=1
,окрема, якщо А с: A' i A, A' g Э?, то т (А) < т (А'),
Справд!, якщо Alt ..., Ап попарно не перетинаються i ьпстяться
н А, то на шдстав! адитивност! м!ри
— т (Д) = zJ tn (4fe) + т (А \ [| Ак).
6=1 6=1
и
Осюльки т (Д\и АА 0, то звщси д!стаемо властивють I,
л=1
Дал!, для будь-яких Дп Д2 g 8lm маемо
т (Д1 U А) = tn (Др + т (Да) — т(Аг ["] Д2) < т (Дх) + т (Д2).
За шдукшею звщси дгстаемо, що
т ( U Д^ < 2 т (Дй).
\ / k=A
п
Нарешп, знову-таки на п!дстав! адитивност! м!ри зЛс U Ak випли-
6=1
вае, що
т (Л) - т I U Ak, — т ( (J Ак \ А] < т ( (J ДЛ ,
\б=1 / \6=i / \6=i /
з!дки на пщстав! попередньо!' нер!вност! й випливае властив!сть II.
Ми довели властивкть I i II для м!ри, задано! на юльц! множин.
Лле якщо м!ру спочатку було задано на твюльц!, то при продовженн!
!'! на к!льце м!ри множин, що належать вихщному швк!льцю, не зм!-
пюються. Тому властивост! I i II справедлив! й для м!р на швюльцях.
3. о-адитивн!сть. У р!зних питаниях анал!зу доводиться розгляда-
ти об’еднання не пльки сличенного, а й зл!ченного числа множин.
У зв’язку з цим умову адитивност!, яку наклали на м!ри (означения 1)
природно замшити силыпшою вимогою ст-а д и т и в и ост i.
Означения. 3. Mipa tn називаеться зл1ченно-адитивною,
ибо с-адитивною, якщо для будь-яких множин 4, Аг, А2..........Ап, ,,,,
як! належать II облает! визначення i задовольняють умови
А = (J Ап, Ai П А, = 0 при i ф j,
п=1
справджуеться р!вн!сть
т (4) = X т (4„),
П=1
Плоска м!ра Лебега, побудована нами в § 1, а-адитивна (теорема
8). Приклад о-адитивно'1 м1'ри зовс!м 1ншоТ природи можна побудувати
так. Нехай
X = {хъ х2, ...}
— довiльна зл!ченна множина ! числа рп > 0 так!, що
оо
5 Рп = 1-
П=1
Вщповщний клас вим!рних множин складаетьс?! з ycix пщмножин
множини X. Для кожно’1 А с X припустимо
щ (Л) == 2 рп-
хп$А
Легко перев!рити, що tn (Л) буде ст-адитивною м!рою, причому
m (X) = 1. Цей приклад природно виникае в зв’язку з багатьма пи-
таниями теори ймов!рностей.
Наведемо приклад м!ри адитивно!, але не сг-адитивноТ. Нехай X —
множина bcix рацюнальних точок вщр!зка [0, 1 ], a складаеться
з перетишв множини X з довюьними штервалами (а, Ь), сегментами
[а, 6] або швсегментами (а, &], [а, Ь) з [0, 1]. Легко побачити, що
твюльце. Для кожноТ тако! множини Ааь G припустимо
m (Ла6) = b — а.
Ця Mipa адитивна, проте вона не о-адитивна, бо tn (X) = 1,1 водно-
час X е сума зл!ченного числа точок, кожна з яких мае Mipy 0.
Припустимо, що м!ри, як! ми розглядатимемо тут ! в наступному
параграф!, ог-адитивш.
Теорема 3-Якщо Mipa tn, визначена на деякому твкйльщ
о-адитивна, то й Mipa р, яка утворюеться И продовженням на кольце
fR о-адитивна.
Доведения. Нехай
i « = 1,2,...
оо
л = и вп,
П=1
причому Bs П Вг — 0 при s Ф г. Тод! юнують таю множини Л;
i Вп1 з що
Л= U Лл Вп = U ВпС, п= 1, 2, ...,
/ >
причому множини в правих частинах кожно’1 з цих р!вностей попарно
не перетинаються, а суми по i i / сюнченн! (теорема 3, § 5, розд. I).
Нехай Ст, — Вт П Л7. Легко побачити що множини Слу попар-
но не перетинаються, i притому
Л/ = и и cnij,
п=\ i
&ni ~ U
Гому на шдстав: о-адитивност! м!ри m на маемо
m (Л/) = 5 2 m ^nij), (3)
п=1 i
m (Bnt) = (Спц), (4)
i
i па шдстав! означения м!ри p на Эх ((Jm)
И (Л) = 2 m (Af), (5)
I
li(Bn) = ^m(Bn{). (6)
i
co
3 (3) — (6) випливае, що p (Л) — У, p (BJ. (Суми по П по / тут скш-
n=l
ченш, ряди по п збДаються).
Доведемо тепер так! основш властивост! cr-адитивних м!р, що е уза-
.альненнями на зл!ченн’ суми властивостей, сформульованих у тесре-
м!.2. Осшльки, як ми встановили, о-адитившсть м!ри зберДаеться при
продовженш м!ри на шльце, можна з самого початку вважати, щом!ру
задано на деякому шльц! 81.
Теорема 4. Нехай м1ра т с-адитивна i множини А, Аъ Л2)...
належать кыьцю 81. Todi:
Io. Якщо (J Лй с Л ! Л, р Л, = 0 при i j, то
Л=1
оо
2 т (Л6) < т (Л);
оо
11а (змченна твадитивн1стъ). Якщо (J Ak о At то
^=1
2 т [А^^т{А).
fe=a
Доведения. Якщо вс! Ak не перетинаються i м!стятъся в Л,
.о, на шдстав! властивост1 I (теорема 2) при будь-якому п маемо
п
Г т (Л*) < т (Л).
*=1
1 |ррейшовши тут до границ! при оо, д!стаемо перше твердження
теореми.
Доведемо друге твердження. Осшльки fR е шльце, то множини
Вп = (Ап Л Л) \ "(J1 Ak
k=\
належать ЭЦ Осюльки
А = U Вп, Вп<= Ап
п=\
i множини Вп попарно не перетинаються, то
CQ ОО
m (Л) = У m (Вп) < У m (Л„).
П=-1 п = \
Зауваження. Твердження U т!льки що доведено!' теооеми очевидно не
грунтуеться на с-адитивност! розглядувано! м!ри; воно буде справедливим i для будь-
яких адитивних Mip. Навпаки, твердження IIq !стотно використовуе о-адитивн(сть
м!ри. Справд!, у наведеному вище приклад! адитивно!, але не а-адитивно! м!ри весь
npocTip X, що мае м!ру 1, покриваеться зл!ченною сумою одноточкових множин, кож-
на з яких мае м!ру 0. Б!льше того, не важко впевнитися, що властив!сть 11g насправд!
р!вносильна о-адитивност!. Сгравд!, нехай [1—деякам!ра, визначена на швмльц!
S, а множини А. Лр Л2, ..., Ап, ... належать *о,Л = (J i вс! Ак попарно не пере-
Л
тинаються. Тод! на шдстав! властивост! /а (яку, як ми побачили, мае будь-яка Mipa)
ОО
У, и И*) < и (Л).
Якщо р мае й властив!сть ПО1 то (оск/льки Ак в сукупност! покривають Л)
оо
У, И (Л/г) > р (Л),
fe=l
отже,
оо
У р (Аф = Р (Л).
k=i
Перев!рити зл!ченну швадитивюсть м!ри (властив!сть IIб) бувае прост!ше, шж безпо-
середньо встановити Г! о-адитившсть.
§ 3. ЛЕБЕГОВЕ ПРОДОВЖЕННЯ М1РИ
1. Лебегове продовження м1'ри, визначено! на п!вк!льц1" з единицею.
Якщо Mipa tn, задана на швюльщ Qm, мае лише властивють адитив-
ност! (але неа-адитивност!),тоТ! продовженням на 9? ((gm) вичерпують-
ся в основному Bci можливост! поширення тако! м!ри з вихщного шв'
юльця на ширший клас множин. Якщо розглядувана Mipa о - а д и т и в -
н а, то 'fi можна поширити з на клас множин значно ширший, шж
юльце 9( ((5m)> * в деякому розумшш максимальний, Це можна зробити
за допомогою так званого лебегового продовження. Опе-
чатку ми розглянемо лебегове продовження м!ри, задано! на швюль-
щ з единицею. Загальний випадок буде розглянуто в наступному
пункт!.
Нехай на деякому швюльщ множин з одиницею Е задано
о-адитивну Mipy m. Означимо на систем! 91 вс!х пщмножин множини
Е функщю р* (Д) — зовшшню м!ру так,
Означения!. Зовншшьою Mipoto множини A cz Е називаеться
число
ц*(Л) = inf (1)
п
л< пижню грань беруть по bcix покриттях множини А скшченними
або зл1ченними системами множин Вп £ Qm.
Основну роль в ус!й дальний побудов! вццграе така властив!сть
зовгишньо! м!ри.
Теорема 1 (з л i ченн а п i в а д итивн кть). Якщо
А <= и Ап,
п
<k {Л „} — скшченна або зл1ченна система множин, то
п
Доведения цього твердження зб1гаеться з доведениям теореми 3,
§ 1, i ми його не повторюватимемо.
Означения 2. Множина А називаеться вим1рною (за Лебегом),
якщо, яке б не було е > 0, знайдеться таке В g 31 ((5т), що
р* (Л А В) < 8.
Функщя р*, яку роз1лядають лише на вим!рних множинах, нази-
ваеться лебеговою м1рою (або просто м1рою)-, и позначають р. Зрозу-
м!ло, що вс! множини з (Jm i з9i(6J BHMipHi. При цьому, якщо Л g
Gm> то
р (Л) = т (Л).
1 (ю р1вн1сть доводить так само, як i !"! аналог для множин на площин!.
3 р!вчост!
А± А Л2 = (Е \ АА А (В \ Л2)
випливае, що коли А вим!рна, то и доповнення також вим!рне.
Устаноримо тепер основн! властивост! вим!рних множин i визна-
'K'lioi на них лебегово! м!ри.
Теорема 2. Система Ж ycix вим1рних множин е к1льце.
Доведения. Эсюльки завжди
А П Л = Л1\ (Лх \ Л2)
Л1 и Л2 = В\[(В\Л1) Л (В\Л2)],
।о досить показати таке. Якщо Лх g Ж, Л2 g ЯИ, то й А — \ Л2 $
И.
Нехай Лх ! Л2 вим!рщ. Тод! юнують Вг g 3! (gm) i Ва g (Gm)
гак!, що
р* (Лх А В,) <^- ! р* (Л2 А В2) .
Припустивши, що 3 = В± \ В2 g 8i (Qm) i користуючись сшввщно-
шснням
Л, \ Л2) △ (В, \ В2) cz (Л1 △ Bi) U (Л2 А В2),
дштаемо
р* (Л А В) < е.
На шдстав! дов!льност! е > 0 звщси випливае вим!ршсть множини А.
Зауваження. Очевидно, що Е е одиниця гальця ЭЛ, яке, отже, е а л г е б -
рою множин.
Теорема 3. Насистем1УЛвим1рнихмножин функщяу. (А) адити-
вна.
Доведения ц!е!' теореми — е досл!вне повторения доведения теоре-
ми 6, § 1.
Теорема 4. На системи ТА вим1рних множин функщя р (Л)
а-адитивна.
Доведения. Нехай
Л = U Ап, Л, Л,, Л2, .,, £ Ж, А/ (~| Л/ = 0 при i=^j.
И=1
На пщстав! теореми 1
р(Л)<1;'р(лп), (2)
а на пщстав! теореми 3 при будь-якому N
р (Л)>р( и л„) = Up(Л„),
\п=1 / П=1
ЗВЩКИ
Р И) > р (4Л).
п
3 (2) i (3).випливае твердження теореми.
У § 1, розглядаючи плюску Mipy Лебега, ми показали, що не т!ль-
ки скшченш, а й зл!ченш суми i перетини вим!рних множин також ви-
м!рн!. Це справедливо i в загальному випадку, тобто справедлива така
теорема:
Теоремаб. СистемаТА вим1рних за Лебегом множин е а-алгеброю
з единицею. Е.
Доведения. Оск!льки
П Л„ = £\ П (Д\Л„)
п п
i осюльки доповнення викпрно!’ множини вим1рне, то досить показати
таке. Якщо Л„ Л2, ..., Л„, ... належать Ж, то Л = U Л„ також нале-
п
жить Ж. Доведения цього твердження, наведене в теорем! 7, § 1 для
плоских множин, досл!вно збершаеться ! в загальному випадку.
Як ! у випадку плоско! м!ри Лебега, з о-адитивност! м!ри випливае
!”! неперервшсть, тобто якщо р е .а-адитивна .Mipa, визначена на
<> алгебр!, Лх сэ Л2 => ... гз Ап о ...— с п а д н и й ланцюжок BHMip-
пих множин i
А = Л Ап,
п
ТО
Н (Л) = lim р (Л„),
м-юо
1 якщо Л^ сд Л2 с ...од А„ с ...— зростаючий ланцюжок
ввм!рних множин i
А = U Ап,
п
ТО
|1Л = lim |Л (Л„).
Л->оо
Доведения, наведене в § 1 для плоско! м!ри (теорема 9), досл!вно
переноситься на загальний випадок.
Отже, ми встановили, що система Ж е о-ал1еброю, а визначена на
и iii функщя р (Л) мае Bci властивост! о-адитивно! м!ри. Тим самим
нпправдане таке означения:
Означения 3. Лебеговым продовженням р. = L (т) ьчри т
називаеться функщя р (Л), яка визначена на систем! вишрних множин
.'It i збшаеться на Ж !з зовшшньою м!рою р* (Л).
2. Продовження м!ри, задано! на швкйлИц без одинищ. Якщо п!в-
к !льце gm, на якому означено вихщну Mipy т, не мае единиц!, то побу-
ова лебегового продовження, викладеного в попередньому пункт!,
чазпае деяких, причому незначних змш. Означения 1 зовшшньо! м!ри
|бер!гаеться, але зовшшня Mipa р* буде означеною пльки на систем!
i.iKiix множин Л, для кожно! з яких !снуе покриття J Вп множинами
п
*'Q,n3 скшченною сумою Т] т(Вп). Означения вим!рност! збер!гаеться
п.
без уСЯКИХ ЗМ1'Н .
Теореми 2—4 ! заключив означения 3 також справджуються. При-
пущення про юнування одинищ було викорис^ано лише в доведенш
"<>реми 2. Щоб довести теорему 2 в загальному випадку, треба вста-
иовити незалежно, що з Лг Q Ж, Л2 £ Ж випливае Лх (J Л2 £ Ж.
Л ле це випливае з включения
Иг U А2) А (Вх U 62) с (Лт А Вх) (J (А2 А В2).
У випадку, коли не мае одинищ, теорему 5 замшюють такою тео-
ремою.
Теорема 6. При будь-якш вих1дн1й Mipi т система множи.н Ж,
со
пилйрних за Лебегом, е.Ь-киъцем; вим1рн1сть множини А = J Ап
п==1
при вим1рних Ап справджуеться modi i тальки modi коли Mipu
в ( и Ап\ обмежеш деякою константою, яка не заложить eid N. Це
июрдження пропонуемо довести читачев!.
Зауваження. Оск!льки тепер мова йде про м!ри, як! набувають лише сюн-
ченних значень, необхщшсть останньо! умови очевидна.
3 теореми 6 випливае такий факт:
Н ас л i док. Система Жд ycix множин В £ JR, як1 е тдчножи-
нами ф1ксовано1 множини А £ Ж, утворюе а-алгебру.
Наприклад, система Bcix вим!рних за Лебегом (в розумшш звичай-
но1 лебегово! м!ри на прямш) шдмножин будь-якого вщр1зка [а, 6]
е а-алгебра множин.
На закшчення згадаемо ще одну властив1С',ъ лебегових Mip.
О з ч а чен н я 4. Mipa ц називаеться повною, якщо з р, (Л) = О
i А' а Л випливае, що А' вим!рна.
Очевидно, що при цьому и, (Л') = 0. Легко довести, що лебегове
продовження будь-яко1 Mipu повне. Це випливае з того, що при Л' cz
cz Л i р (Л) = 0 неминуче ц* (Л') = 0, а будь-яка множина С, для
яко! р* (С) — 0, вим{рна, бо 0 £ SR ((gm) i
Р* (С й 0) = р* (С) = 0.
Усяку а-адитивну Mipy на а-алгебр! можна продовжити до повно!,
припустивши, що вона дор1внюе нулю для будь-яко! шдмножини кож-
но! множини нульово! м!ри.
У
Рис. 18
Додатков! зауваження. 1. Припущення про те, що вих!дну ьпру
задано на швюльш (а не на деяк!й довмьшй систем! множин), !стотне для однознач-
носп и продовження. Розглянемо в единичному квадрат! систему вертикальних i го-
ризонтальних прямокутниюв, тоб^о таких прямокутнишв,
в яких або довжина або ширина дор!внюе одинищ
(рис. 18), i припишемо кожному такому прямокутнику
Mipy, яка дор!внюе його площ!. На породжену цими пря-
мокутниками алгебру (а тим б!льше а-алгебру) таку м!ру
можна продовжити неоднозначно (наведпь хоча б два
р!вн! продовження).
2. Вкажемо на зв’язок м!ж процесом продовження
м!ри за Лебегом i процесом доповнення метричного прос-
тору, Зауважимо для цього, що т' (X Д В) можна взяти
за чдетань м!ж елементами A i В кмъця 5JJ (Gm). Тод!
SR(Gm) стае метричним (взагал! кажучи, неповним) просто-
ром i його доповнення складаеться саме з ycix викпрних
множин (при цьому, однак, з метрично! точки зору множини A i В нерозр!знеш,
якщо р (Л Д В) = 0).
В п р а в и: 1. Нехай Mipy т задано на швюльш (з единицею) (5т множин з X i
р* — верхня м!ра, яка !й в!дпов!дае. Довести, що множина А вим!рна (за Лебегом)
тод! i т!льки тод!, якщо вона мае таку властив!сть, що називаеться вилирнйтю за
Kanameodopi: для будь-яко! шдмножини Z с X справджуеться р!вн!сть
р* (Z) = р* (Z П Л) + р* (Z \ Л).
2. Нехай а-адитивну м!ру задано на к!льщ з единицею X i т (X) — 1. Введемо
для кожно! Л С X поряд з зовшшньою Mipoio р* внутр!шню м!ру р*, припустивши,
що
р,(Л) = 1-р* (Х\Л).
Легко побачити, що завжди р, (Л) < р* (Л). Довести, що
р* (Л) = р* (Л)
тод! ! пльки тод!, коли множина Л вим!рна (в розум1нш означения 2).
Якщо м!ру задано на юльш з одиницею, то р!вн1сть (*) часто беруть з а о з н а -
II и я вим1рност1‘ множини.
I. Розширення поняття вим!рност1 у випадку о-ск!нченноТ м1'ри.
Якщо вихщну Mipy т задано в простор! X на деякому швк!льш без
одни uni, то введене вище эзначенйя вим!рност! множини е дуже ву-
ькнм. Наприклад, якщо X — це площина, то таю' множини, як уся
площппа, смута, зовшшшсть круга i т. д., що мають нескшченну
члощу, при такому означенш не потрапляють до вим!рних. Природно
р ипирити поняття вим1'рност!, припускаючи для Mipn i нескшченш
значения, з тим, щоб сукупшсть вим!рних множин була, як i тод!,
коли вихщну Mipy задано на швюльщ з одиницею, о-алгеброю (а не
I ип.ки б-кщьцем).
Ми обмежимось при цьому практично найважлив!шим випадком
ГОК звано!’ а-скшченно! м!ри, хоч вщповщну побудову можна здшсни-
TII i в загальному випадку.
Нехай or-адитивну Mipy tn задано на деякому п!вк!льщ пщмно-
жип множини X. Ми скажемо, що ця Mipa а-ск1нченна, якщо весь X
можна подати як суму зл!ченного числа множин з (але не
нк суму скаченного числа множин з (Jm). Прикладом о-скш-
чепноТ м!ри може бути площа, визначена на Bcix прямокутниках
и площиш. Простий приклад не о-скшченно1 м!ри можна дютати так.
Нехай на вщр!зку [0, 1] задано деяку функщю f (х)- Для кожно!
скшченноТ пщмножини А = {%!, ..., хп} вщр!зка припустимо р (Л) =
» 2/ (м)- Якщо множина точок х, в яких / (х) 0, незл!ченна, то
така Mipa на [0, 1] не буде о-сюнченною.
Отже, нехай т е о-адитивна i о-скшченна м!ра в X, визначена на
п!вк!льц! Qm. Нехай X = (J Blt Bt £ Qm. Перейшовши вщ швюльця
;=1
k—।
(gL до породженого ним к!льця 9? (@m) ! замшивши Bk на Bk \ (J Bt,
(=1
можна вважати, що X подано як суму зл!ченного числа попарно
пеперетинних вим!рних множин, як! ми ж i рашше позначи-
мо Ви В2, ... Застосувавши до т описаний в попередньому пункт!
процес лебегового продовження, ми дютанемо Mipy р, визначену
на б-юльщ Ж. Нехай В б ЭЛ !ЖВ— система Bcix множин з да, що
м!титься в В:
Жв = {С:С£Ж, СсВ}.
од! Жв е о-алгебра з одиницею В (див. наслщок з теореми 1).
Розглянемо тепер сукупшсть 21 множин А, що мають вим!рш:й
перетин з кожним Вр
а п вдт в..
1 пакте кажучи, A g 21 означае, що А можна подати у вигляд!
А = ?' Alt де Л б - (4)
Система 2' — це ст-алгебра (перев)рте!), яку ми назвемо прямою симою
о-алгебр зЛв;. Множини (4), щог утворюють ст-алгебру 21, ми назвемо
вим1рними i означимо Mipy р кожно! тако! А так: якщо
А = U Д(., Ai g ЗЛВ„
4 = 1 1
ТО
ОО
р (Д) = 5 Н Mi)-
1=1
Осюльки Mipa всяко!' множини невщ’емна, то ряд, що стоить право-
руч, збДаеться до деякого невщ’емного значения або до +оо.
Теорема 7, У зроблених вище припущеннях справедлива тага твер-
дження:
1) о-алгебра 21 i Mipa р не залежить eid вибору системи неперетин-
них множин В^ззя, як1 задовольняють умову |J Е( = Х\
t=i
Г 2) Mipa р а-адитивна на 21;
3) сукупшсть множин A g'2l, для яких у (Д) < оо, збьгавться
з о-шльцем ЭЛ i на цьому б-Щльщ р = р.
Доведения. 1) Зауважимо насамперед, що A £ 21 тод! i т!ль-
ки тод!, коли А П С Q ЭЛ для будь-якого С g ЭЛ . Достатшсть
ще! умови зрозумша, осюльки вона означае, зокрема, що А П Bt £
£ ЭЛ (i = 1, 2, ...); перев!римо !! необхщшсть. Нехай А £ 21 i С£
g £Л. Припустимо, що Ср — С П Вр, тод!
со
A fl С= U (А П Q.
4=1
Осюльки при всякому N
ц( и (Л n Q)<h( и CJ
\!=1 / V=l /
то на тдСтав! теореми 6 множина A f] С вим!рна.
Нехай i {В,} — дв! системи неперетинних множин з ЭЛ,
так!, що U Bi = U Bj = X. Якщо А £ 21, то, осюльки Mipa р кож-
но! множини з ЭЛ невщ’емна, виконаш piBHocri
2р(Д Л в£) = 2р(Л Л Bi Л в*) = 2р(д л ^),
» i,i i
тобто визначаючи р (Д за системою {BJ або , ми дютанемо той
самий результат.
2) Нехай А<‘>, Д(2), ... g si, Д<*> Л А^ = 0, k^l i 4 = |J А^.
k
I од! на шдстав! <7-адитивност! м!ри р. = ЭЛ:
оо оо
н (Л) = 2 ц (Л п И(й) п в() L
t*=l м=1
ОФ / со \ со
= л b(-)i= ийЛ
k= \i^\ / *=1
|<>бто ix о-адитивна.
1 lapeinTi, твердження 3) безпосередньо випливае з теореми 6.
Зауваження. Описане вище розширення поняття вим!рност! (з допущен-
иям для Mipa несЛнченних значень) можливе i без припущення а-сшнченносп вихщ-
иги м!ри, наприклад, за такою схемою.
11ехай X — деякий npocrip i ЭЛ - якес1- j-гальце його шдмножин. МножинаА С X
шгшваться вишриою щодо ЭЛ, якщо A f] В £ ЭЛ для будь-якого В £ ЭЛ. Легко пере-
nipirrn, що система И вим!рних щодо ЭЛ множин е о-алгебра з единицею X, причо-
му, якщо саме ЭЛ е о-алгебра з Tiero самою единицею X, то И = ЭЛ.
Нехай тепер в X задано деяку о-яцитивну Mipy р, яку ми на шдстав! п. 2 можемо
ннажати вже продовженою на деяке 6-юльце ЭЛ i нехай IX — сукупшсть вим{рних
щодо ЭЛ множин з X. Множина А£ IX називаеться нуль-множиною, якщо р (А£В)=0
для будь-якого В £ ЭЛ. Тепер на U означаеться Mipa |х (яка набувае, взагал! кажучи,
1 нескшченних значень) так: якщо для заданого А £ IX icnye таке В £ ЭЛ, що А А В
пуль-множина, то припускаемо
Ц (А) = р (В).
Для Bcix шших А £11 припускаемо
р (А) = оо.
Легко перев!рити, що Mipa р а-адитивна i на ё-Лльщ ЭЛ G IX збшаеться з р.
4. Продовження м!ри за Жорданом. Розглядаючи в § 2 цього розд!лу Mipn, як!
.задовольняють лише умови адитивносД, ми показали, що кожну таку Mipy т можна
продовжити з швшльця Sm на мш!мальне шльце !R (Sm), породжене цим швюльцеч.
11роте можливе й поширеиня м!ри на деяке шльце, б!льш обширне, шж Эх (<5т). ЕИд-
||<)|йдна побудова називаеться продовження Mipu за Жорданом х. 1дею iiiei побудови,
яку застосовували в ряд! окремих випадюв ще математики стародавньо! Грец!, поли-
те в наближенш «вишрювано!» множини А множинами A' i А", яким Mipy вже при-
писано, зсередини i ззовш, тобто так, що
А'с Лс А".
11ехай т — м!ра. задана на деякому юльц! ЭХ.
Означения 5. Назив" гимемо множину А виларною за Жорданом, якщо
при будь-якому е > 0 у юльц! 1К е множини A' i А", як! задовольняють умови
А'с/сА', т (А" \ А') < е.
Снраведливе таке твердження: .
Теорема 8. Система ЭХ* вим1рних за Жорааном множин е кмьцем.
Нехай IX — система таких множин А, для яких icnye множина В А з ЭХ. Для
будь-яко!' А з Л припустимо, за означениям, _ __
р (А) = inf т (В),
ВЭА
р (А) •= sup т (В).
~ Всл
1 Кам1лл Жордан—^французький математик (1838—1922),
ФункщП р (A) i [х (А) називаються вщповщно «зовтшньою» t «внутрппньою» жор-
дановою Mipoio множини А.
Очевидно, що завжди
р (А) (А).
Теорема 9. Дульце Л* зб1гаепгься з системою тих множин A P U, для яких-
ц (А) = р (А).
Для множин з U справджуються так! теореми:
п п
Теорема 10. Якщи А с J Ал, то р (А) < V р (AJ.
^=1 "1
Теорема 11. Якщо Ад. с A (k — 1, 2, ...,) i Ад (1 А/ = 0, то
g (А) > 2 р (А)
ft=l
Визначимо тенео функщю р на облает!
е„ = *R*
И
як cniльне значения зовшшньси i внутр! шньо? mi ри:
Р (А) = р (А) = р (А).
3 теорем 10 i 11 i з Tie! очевидно! обставини, що для А £ Л
Р (А) = р (А) = т (А)
випливае таке твердження:
Теорема 12. Функщя р (А) е м1рою i продовженням м1ри т.
Викладена побудова застосована до будь-яко! м!ри т, визначено! на к!льц!
Зокрема, Г! можна застосувати до множин на площиш. При цьому за вихщне к! ль де
беруть сукупшсть елементарних множин (тобто скшченних сум прямокутниюв).
Кыьце елементарних множин залежить, очевидно, в!д вибору системи координат на
площиш (беруться прямокутники з сторонами, паралельними осям координат). При
переход! до плоско! м!ри Жордана ця зачежшеть в!д вибору системи координат зни-
кае: вщправляючись в!д будь-яко! системи координат {хх, х2}, пов’язано! з почат-
ковою системою {ху, х2) ортогональним перетворенням
х± = cos а • ху sin а • х2 ах,
х2 = — sin а • хх cos а • х2 + а2,
ми д!станемо ту саму Mipy Жордана. Цей факт випливае з тако'! загально'! теореми:
Теорема 13. Для того щоб жорданова продовження р, = / (mJ i р2 = j (т2) Mip
mr i т2, вазначених на клльцях SRj i К2, зб1галися, необх1дно i достатньо виконання
умов:
Kj С тх (А) = р2 (А) на Эг1(
К2 CZ Sp, , m2 (А) = Ц1 (А) на !R2.
Якщо вихщну Mipy m визначено не на юльщ, а на швкнтьц! <5т, то Г! жордановим
продовженням природно назвати Mipy
/ И) = j (г (m)),
яка утвооюеться внаслщок продовження т на юльце Л (Sm) i дальшого продовжен-
ня за Жорданом.
5. Однозначшсть продовження м!ри. Якщо множина А вим!рна за Жорданом
щодо м!ри [х, тобто належить !H* = !И* (Sm), то для будь-яко'! м!ри р., яка продовжуе
т i визначена на И *, значения р (А) збй'аеться i3 значениям J (А) жорданового
продовження J= j (m). Можна показати. що продовження м!ри т за меж! системи
й • множин, вим!рних за Жорданом, не буде однозначне. Точшше це означав таке.
11 вемо множину А множиною однозначност! для м!ри т, якщо:
I) !снуе м!ра, яка е продовженням м!ри т, визначена для множини А;
2) для будь-яких двох таких Mip pj ! р2
Pi (А) = р2 (А).
Справджуеться теорема: система множин однозначности для м1ри зб(гавться
:i системою множин, вим1рних за Жорданом щодо м1ри т, тобто з клльцем К*.
Однак, якщо розглядати лише а-адитивш м!ри i Тх продовження (а-адитивш),
то система множин однозначност! взагал! кажучи буде ширшою.
Оск!льки саме випадок о-адитивних Mip найважлив!ший, то введемо таке озна-
чения:
Означения 6. Множина А називаеться множиною а-однозначности для а-чди-
™вно1 м!ри т, якщо:
1) !снуе а-адитивне продовження К м!ри т, визначене для А (тобто таке, що А Р
е ‘ ,
2) для всяких двох» таких а-адитивних продовжень Xi i Х2 справедлива р!вшсть
(А) = Х2 (А).
Якщо А е множина а-однозначност! для о-адитивно! м!ри р, то на шдстав! нашого
означения iciiye едине можливе значения X (А) для а-адитивного продовження м!ри
р, визначеного на А.
Легко побачити, що кожна множина А, вим!рна за Жорданом, вим!рна i за Лебе-
гом (але не навпаки! Наведйъ приклад),.причому п жорданова! лебегова м!ри одна-
ков!. Звщси безпосередньо випливае, що жорданове продовження о-адитивно: м!ри
о-адитивне.
Кожна множина А, вим!рна за Лебегом, е множиною а-однозначност! для вих!д-
Ho’i м!ри т. Справд!, при будь-якому в > 0 для А !снуе таке В £ !И, що р* (А Д В) <
< в. Яким би не було визначене для А продовження X м!ри т,
X (В) =т' (В),
осюльки продовження т' м!ри т на К = К (Sm) однозначне. Дал!
X (А △ В)< р* (А △ В) < е
1, отже,
| X (А) — т' (В) | < в.
Таким чином, для будь-яких двох а-адитивних продовжень Хх ! Х2 м!ри т маемо
|Xi (А) — Х2 (А) \ < 2е,
зв!дки внаслщок довщьност! в > О
Xi (А) = Х2 (А).
Можна показати, що система множин, вим!рних за Лебегом, вичерпуе всю систему
множин а-однозначност! для вихщно'! м!ри т.
Нехай т — деяка а-адитивна м!ра.з областю визначення S ! ЭЛ = L (S) — область
визначеннч Г! лебегового продовження. Легко впевнитися в тому, що, яке б не було
швюльце ©1, що задовольняе умову
SgSic эл,
завжди
L(<3i)=L(S).
§ 4. ВИМ1РН1 ФУНКЦИ
1. Означения i основн! властивост! вилнрних функц!й. Нехай X
i Y — дв! довмьш множини i нехай у них вщцлено дв! системи п!в-
множин gxi (^ув!дпов!дно. Абстрактна функщя у = f (х) з областю
визначення X, яка набувае значень на У, називаеться (gx, (&у)-ви-
м1рною, якщо з Л с gy випливае, що (Л) g gx.
Наприклад, якщо i за X i за Y узяти числову пряму (тобто роз-
глядати дшсш функцп д!йсного змшного), a 3agx igy взяти систему
Bcix вщкритих (або Bcix замкнутих) швмножин з .^1, то сформульоване
озчачення вим!рност! зведеться до означения неперервност!. Узявшн
за6х igyсистему вс!х борел!вських множин, ми прийдемо до так зва-
них В-вим1рних (або вим1рних за Борелем) функшй.
Надал! ми щкавитимемось поняттям вим!рност! переважно з точки
зору Teopii' штегрування. У цьому план! основне значения мае поняття
вим1рност1 числових функцш, визначених на деякш множин! • X !з'
заданою на нш сг-адитивною м!рою р. При цьому за gx беруть сукуп-
шсть gy, ycix вим1рних вщносно ц множин зХ, а 3agy— сукупшсть
ycix В-множин на прямш. Осшльки всяку ст-адитивну Mipy можна про-
довжити на деяку ст-алгебру, природно з самого початку вважати,
що gy, е о-алгебра. Таким чином, для числових функшй ми приходимо
до такого означения вим!рностк
Означения 1. Нехай X — множина, в якш задано о адитив-
ну Mipy ц, визначену нао-алгебр gy. Дшсна функщя f (х) на X нази-
ваеться р-вим1рною, якщо для всяко'! борел!всько! множини А число-
во'! прямо!
г1 И) €
АналоНчно, комплексна функщя ср (х), визначена на X, називаеться
ц-вим!рною, якщо <р-1 (А) £ gy для всяко! борел!всько! шдмножини
комплексно! площини. Легко перев!рити, що це р!виосильно р-вим!р-
ност! дшсно! i уявно! частин ше! функци окремо.
Числова функщя, задана на прям!й, називаеться борел!вською
(або В-вим!рною), якщо прообраз кожно! борел!всько! множини е бо-
рел!вська множина.
Теорема 1. Нехай X,Y i Z— доелльнл множини з видыеними в нах
системами шдмножин gx,gy i Qz eidnoeidno i нехай визначена на X
функщя у = f (х) (gx, Qy)-euMipHa, а визначена на Y функц1я г =
= g (у) (!&y, Qz)-euMipHa. Todi функщя
z = ф (х) = g (/ (х))
(6х> QzYeuMipna.
Коротко: вим1рна функц1яв1д вим1рно1 функцН е вим1рною функщею.
Доведения. Якщо A £ gz, то на шдстав! (gy, gz)-BHMipH0CTi
функци g маемо: g~1 (А) = В g gy. У свою чергу на пщстав! (gx,
gy)-BHMipHocTi функци f множина /_| (В) належить gx, тобто
(<?“' (А)) = <р-'(А) g gx, тобто функщя ф (gx, gz)-BHMipHa.
Н а с л i д о к. Борел1вська функщя eid р-вим1рно1 числово! функ-
цП \:.-вим1рна. Зокрема, неперервна функщя eid р-euMipHo'i ц-вим1рна.
Надал!, у випадках, коли це не може викликати непорозумшь,
ми замють «ц-вим!рност!» писатимемо просто «вим!ршсть».
Теорема 2. Для того щоб дШсна функщя f (х) була вим1рна, tie-
обх1дно i достатньо, щоб при будь-якш дшснш с множина (х : f (х) <
; с} була вим1рна.
Доведения. Необхщшсть умови зрозум!ла, бо швпряма
(— оо, с) е борел!вська множина. Для доведения достатност! зазначимо
п лсамперед, що ст-алгебра, породжена системою 2 ycix швпрямих
(—оо, с), збиаеться з о-алгеброю Bcix борел!вських множин на прям!й.
Лле, згщно з п. 5, § 5, розд. I звщси випливае, що прообраз кожно'1
борел!всько!’ множини належить ст-алгебр!, породжешй прообразом
пашвпрямих, що належать 2- тобто вим!рний.
Доведену умову часто беруть за означения вим!рност!, тобто нази-
вають функщю f (х) вим!рнсю, якщо Bci множини
{х : f (х) < с] BHMipni.
2. Ди над вим1рними функщями. Покажемо, що сукупшсть ви-
м!рних функшй, заданих на деяюй множин!, замкнута щодо арифме-
тичних операщй.
Теорема 3. Сума, р1зниця t добуток двох вим1рних функщй вим1рн1.
Чистка двох вим1рних функщй, при умов1, що знаменник не перетво-
пюеться в нуль, також euMipHa.
Доведения ц!е! теореми виконаемо за юлька крошв.
1) Якщо f вим!рна, то, очевидно, вим!рш i функци kf i а + f при
будь-яких сталих k i а.
2) Дал!, якщо fig— вим!рш функци, то множина
{х:/(х) >g(x)}
вим!рна. Справд!,
{x:f (х) >g(x)} = U ({x:/(x)>rft} f) {*: g (x) < г*}),
k=\
де суму беруть по вс!х рацюнальних числах rk, занумерованих у будь-
якому порядку. Зв!дси д!стаемо, що
{x:f(x)>a — g(x)} = {x:f(x) + g(x)>a}
вим!рне, тобто сума вим!рних функшй вим!рна.
3) 3 1) ! 2) випливае вим!рн!сть р!знищ f— g.
4) Добуток вим!рних функщй вим!рний. Справд!, скористаемось
тотожшстю
fg = ^-l(f + gy~(f-g)2]-
Вираз, що стоиъ справа, е вим!рна функщя. Це випливае з 1) — 3)
। наслщку з теореми 1), на пщстав1’ якого квадрат вим!рно! функци
вим!рний.
5. Якщо f (х) вим!рна i f (х) =?^0, той -туувим!рна. Справд!, якщо
с > О, то
ЯКЩО с < О, то
{A':7W<cblx:0>/(x)>_r}’
а якщо с — 0, то
{х:-^у<ц} = {x:f(x)<c}.
Праворуч щоразу ми дютаемо вим1рну множину. 3 4) i 5) випливае
. , fix}
вим1рн1сть частки (при умов! g(x)=£0).
Отже, ми показали, що арифметичн! ди над вим!рними функщями
знову ведуть до вим!рних функцш.
Покажемо тепер, що сукупшсть вим!рних функщй замкнута не
пльки щодо арифметичних операщй, а й операщй граничного пере-
ходу.
Теорема 4. Границя збгжнсн при кожному х g X посмдовноат
euMtpHux функщй вим1рна.
Доведения. Нехай fn (х) -> f (х); тод!
{х:/(х)<с} = U U Г) (х:И(х)<с-----М. (1)
k п туп I к )
2
Справд!, якщо f (х) < с, то !снуе таке k, що f (х) < с-дал!,
при цьому k можна знайти таке велике п, що при т !> п виконана
нер!вн!сть
fm (х)<с—р
а це й означае, що х вв!йде в праву частину р1’вност! (1).
Навпаки, якщо х належить правш частию р!вност! (1), то icnye
таке k, що при Bcix досить великих т
fr: (Х)<С--
але тод! / (х) < с, тобто х входить у л!ву частину р!вност! (1).
Якщо функци fn (х) вим!рш, то множини
[x:fm(x)<c--U.
вим!рн!. Осюльки сукупшсть вим!рних множин е а-алгебрз, то на
шдстав! (1) множини
{x'.f(x)<c}
також BHMipHi, що й доводить вим!рн!сть f (х).
Як було вже зазначено, ст-адитивну м!ру, визначену на о-алгебр!
g шдмножин деяко! множини X, можна без обмеження загальност!
вважати повною, тобто вважати, що коли А — вим!рна множина Mipii
нуль, то всяка и шдмножина А' вим!рна (i, звичайно, р (Л') = 0).
Цю умову повноти м!ри ми скр!зь надал! вважатимемо виконаною.
3. Еюмвалентшсть. При вивченш вим!рних функщй часто можна
|цех'1увати !х значениями из множин! м!ри нуль. У зв’язку з цим
ииникае таке означения.
Означения 2. Дв! функц!! f i g, задан! на т!й сам! вим!рн!й
множин! Е, називаються екв1валентними (позначення: f ~ g)t якщо
р {х : f (х) g (х)} = 0.
Введемо ще таку термшологчю. Кажуть, що деяка властив!сть
виконана майже скр1зь на £, якщо вона виконана на Е скр!зь, кр!м,
можливо, точок, що утворюють множину м!ри нуль. Таким чином,
ди! функци називають екв!валентними, якщо вони зб!гаються майже
скр!зь.
Теорема 5. Функщя f (х), визначена на деякш вим1рн1й множит
I екв1валентна на тй деякШ вим1рнш функци g (х), також вим1рна.
Доведения. 3 означения екв!валентност! випливае, що мно-
жини
{х:/(х)<а} I {х: g-(х) < а}
можуть в!др!знятися одна в!д одно! т!льки на деяку множину м!ри
нуль, отже (осюльки м!ра вважаеться повною), якщо друга з них
впм!рна, то вим!рна й перша.
Зауваження. У класичному анал!з! поняття екв! валентност! функщй не
лiграе !стотно! рол!, бо там в основному розглядаються неперервн! функц! одного
або юлькох зм!нних, а для них екв!валентшсть р!вносильна тотожност!. Точшше,
якщо дв! функци f i g, неперервн! на деякому сегмент! Е, екв!валентш (щодо м!ри Лебе-
га), то вони зб!гаються. Справд!, якщо f (х0) =4= g (х0) у як!йсь точщ х0, то на шд-
став! неперервност! f i g знайдеться ок!л точки х0, у Bcix точках якого f (х) g (х)
Mipa такого околу додатна, тому неперервн! функцп не можуть бути екв!валентш,
якщо вони не зб!гаються.
Для дов!льних вим!рних функшй екв!валентшсть зовс!м не означае зб!гу. Напри-
клад, функщя на прям!й, що дор!внюе одинищ в ращональних точках i нулю з ippa-
ц!опальних, екв!валентна функци, яка тотожно дор!внюе нулю.
4. Зб!жн!сть майже скр!зь. Оск!льки в багатьох випадках поведш-
ка вим!рно! функц!! на т!й чи шшш множин! м!ри 0 для нас не!стотна,
природно ввести таке узагальнення звичайного поняття поточково!
зб!жност!:
Означения 3. Послщовшсть {fn (х)} функшй, визначених
па цеякому простор! X !з заданою на ньому м!рою, називаеться зб1ж-
ною майже скр1зъ до функц!! f (х), якщо
lim fn (х) = f (х) ‘ (2)
ZZ-+0O
для майже Bcix х g X (тобто множина тих точок х, в яких (2) не вико-
нуеться, мае м!ру нуль).
Приклад. Послщовшсть функцш fn (х) = (— х)п, визначених
па вщр!зку [0, 1], при п -> оо збшаеться до функци f (х) =0 майже
скр!зь (а саме, скр5зь, кр!м точки х = 1).
Теорема 4 допускае таке узагальнення:
Теорема 4'. Якщо посмдовшстъ вим1рних функщй fn(x) зб1гае-
ться до функци f (х) майже скр1зь на X, то f (х) також вим1рна.
Доведения. Нехай А — та множина, на якш
lim fn (х) = f (x).
n-¥<x>
За умовою, pt (X \ A) = 0. Функщя f (x) вим!рна на А, а осюльки
на множит м!ри нуль, очевидно, взагал! всяка функщя вим!рна, то
f (х) вим!рна на X \ Д, отже, вона вим!рна i на множит X.
В п р а в а. Нехай послщовшсть вим!рних функшй f„ (х) збшаеться майже
скр!зь до деяко! гранично! функцп / (х). Довести, що послщовшсть тп (х) збшаеться
майже скр!зь до g (х) тод! i т!льки тод!, коли g (х) екв!валентна f (х).
5, Теорема Егорова. У 1911 р Д. Ф. Егоров дов1з наведену нижче
важливу теорему, яка встановлюе зв’язок м!ж поняттями зб1жност!
майже скр!зь i р1вном1рно! зб!жносп.
Теорема 6. Нехай посмдовгаспи, вимрних функщй /п (х) збНаеться
на Е, р.(£)<оо, майже скр1зь до f (х). Todi для будь-якого 6 > 0 1снув
така вим1рна множина Ее се Е, що
]) р (Д6)>И(Д — б;
2 ) на множим Её посл1довмсть [п (х) зб1гаеться до f(x) р1вном1рно.
Доведения. За теоремою 4' функщя f (х) вим1рна. Припусти-
мо
Отже, Е'п при фжсованих т 1 п означае множину Bcix тих точок х,
для яких
при Bcix i > п. Нехай
Я L= J
п=1
3 означения множин Е™ зрозум!ло, що при фжсованому т
ЕТ с £? с . .. с= £^cz .. .
На щдстав! того, що ст-адитивна Mipa неперервна, для Зудь-якого
т i будь-якого б > 0 знайдеться таке п0 (т), що
ц (£ \ ЕПо(пф < •
Припустимо
Её == f] £п„(т),
т=1
i покажемо, що так побудована Её задовольняе вимоги теореми.
Доведемо спочатку, що на Ее послщовщсть {/, (х)} збДаеться pie-
ном!рчо до функщ! f (х). Це вщразу випливае з того, що колих £ Е6,
то для будь-якого т
I ft (х) — / (х) | < -у при i > п0 (т).
Ощнимо тепер Mipy множини Е \ Е^. Для цього зауважимо, що при
всякому т маемо р (Е \ Ет) = 0. Справд!, якщо х0 Q Е \ Ет, то
!снують як завгодно велик! значения !, при яких
|/,(х0)—/(х)|>^-,
ибто послщовшсть {/„ (х)} в точш х0 не збшаеться до f (х). Осюльки,
за умовою, {fn (х)} зб1гаеться до / (х) майже скр!зь, то
р(£\£т) = 0.
Звщси випливае, що
' p(£\^(m)) = p(£m\£^(m)X^-.
Тому
р (Е \ Е(,) — р (Е \ р £л,(/п)) = р ( L) ( ; \ Еп,<т)) j
\ т==1 / \т=1 /
оо со
< Sp(£\^.(m>)< 2-^ = 6.
т=1 «1=1 4
Теорему доведено.
6. Зб!жшсть за м!рою.
Означения 4. Кажуть, що послщовн.сть вим!рних функцш
fn (х) зб1гаетъся за лирою до Функци f (х), якщо для будь-якого ст > 0
lim р{х:|/„(х) —/(х)|>о) = 0.
П-tco
Наведен! нижче теореми 7 i 8 установлюють зв’язок м!ж поняття-
ми зб!жносп майже скр!зь i зб!жност! за м!рою. Як i в попередньому
пункт!, розглядувана Mipa вважаеться сюнченною.
Теорема 7. Якщо лосл1довн!сть вимйрних функщй- {fn (х)} зб1гаеться
майже скрлзь до деякоЧ функци f (х), то вона зб1гаеться до miei само1
гранично! функци f (х) за лирою.
Доведения. 3 теореми 4' випливае, що гранитна функщя
/ (х) вим1рна. Нехай А — та множина (м!ри нуль), на як!й fn (х)
не прямуе до f (х). Дал}, нехай,
Ek (а) = {x:|/ft(x)—f(x)|>o},
со
Rn(p)= U Ek(p),
k=n
Al = П Еп (о).
П=1
Зрозум!ло, що Bci ш множини вим1рш. Осюльки
/?! (ст) Т?2 (о)
то на шдстав! властивост! неперервносп м!ри
1* (1?л (J)) М- (А1) при п-у оо.
Перев!римо тепер, що
М с А. (3)
Справд!, якщо хЛ £ А, тобто коли
lim /„ (х0) = f (х0),
то для заданого ст > О знайдеться таке п, що
I fk (*о) — f (х0) I < Ст при fe>ra,
тобто х0 Rn (ст) !, тим б!лыпе, х0 М.
Але р (Л) = 0, тому з (3) випливае, що р (Л1) = 0 i, отже,
р (Я„ (°)) 0 при -п -> со;
осшльки Еп cz Rn (ст), то теорему доведено.
Легко впевнитись, що !з зб!жност! послщовност! функц!й за м!рою,
взагал! кажучи, не випливае !'! зб!жшсть майже скр!зь. Справд!,
визначимо для кожного натурального k на швсегмент! (О, 1 1 функци
так:
/Р (х) =
1 г' — 1 J i
1 При —---------- < X < -г- ,
/г к
О при !нших значениях х,
Пронумерувавши вс! ц! функци шдряд, ми д!станемо послщовшсть,
яка, як легко перев!рити, зёигаеться за м!пою до нуля, але водночас
не зб!гаеться в жодшй точц! (довед!ть це!).
В пр а в а. Нехай пос.шдовшсть вим!рних функшй {[п (х)} зб!гаеться за м!рою
до деяко!’ гранично! функцп f (х). Довести, що послщовшсть {fn (х)} збиатиметься
за м!рою до функцп g (х) тод! i ильки тод!, коли g (х) екв!валентна f (х)
Хоч наведений вище приклад показуе, що теорема 7 не може бути
обернена повною м!рою, проте справедлива така теорема:
Теорема 8. Нехай посл1довн1сть вимрних функцш {fn(x)( зб1гае-
ться за Mi рою до f (х). Todi з yiei посмдоеностй можна вибрати nid-
посл1довн1сть {fnk (х)}, яка зб1гаеться до f (х) майже скр1зь.
Доведения. Нехай e.lt е2, ... — деяка послщовшсть додатних
чисел, як! прямують до нуля,
lim е„ = О,
Л-►сю
i нехай додатш числа т]1( т]2, ..., i]„, ... так!, що ряд
+ Ла + ’ ’
зб!гаеться. Побудуемо послщовшсть шдекс!в
пг < п2 < • • •
таким чином: в!зьмемо так, щпб
И Я: I (Х) — f W I > е1} < П1
(гаке лх обов’язково 1снуе); дал! в!зьмемо п2> пх так, щоб
(-*)—/(*) |>е2} <т]2.
Взагал!, вгзьмемо nk > nft_i так, щоб
В {х:\fnl{ (х) — f (х) | > ek] < т]4.
Покажемо, що побудована послщовжсть зб!гаеться до f кс) май-
же скр1зь. Справд!, нехай
со со
#1= и {x-\fnk(x)—f(x)\^sk}, Q= П Rt.
k=i i=l
Осюльки
••• =>/?„=> •<«,
то на п: дета Ei неперервност! м!ри р (7?;) -> р (Q).
со
3 другого боку, зрозум!ло, що р (7?() < 1! T]fe, зв!дки р (/?г) -> О
при г —> оо, тобто р (Q) = 0. Залишаеться перев!рити, що у вс!х точ-
ках множини Е \ Q справджуеться зб!жшсть
fnk (х)-> Дх).
Нехай х0 g Е \ Q. Тод! знайдеться таке /0, що х0 RlQ. Це означае,
що для вс!х k > i0
х0 $ {x:\fnk(x)—f(x)\^.ek},
тобто
I fnk (Х0) — f (Хо) I < 8ft.
Оск!льки, за умовою, eft -> 0, то
lim /„ (х0) = f (х0).
Iеорему доведено.
7 . Теорема Лузша. С-властив!сть. Означения вим!рно! функц!!', наведене на
початку цього параграфа, стосуеться функшй на доильних множинах i в загальному
пнпадку шяк не пов’язане з поняттям неперервно! функц!’!. Однак, якщо мова йде
ijjo функцп на в!др!зку, то споавджуеться така важлива теорема, яку встановив
у 1913 р. М. М. Луз1н.
Теорема 9- Для того щоб функщя f (х), задана на eidpiwy [а, Ь], була вшшрна,
необхСдно i достатньо, щоб для будь-якого е > 0 1снувала така неперервна на [а, Ь]
Функщя ф (х), шо
р {х : f (х) ф (Ж < е.
1пакше кажучи, вим!рну функщю можна зробити непереревною на [а, Ь] за допомогою
и зм1ни на множин! як завгодно мало! м!ри. Про функщю на в!др!зку, яку можна
добита неперервною за допомогою тако! «мало! дефор маш!», кажуть, що вона мае
С' властившть (термш М. М. Луз!на) Як показуе теорема Лузша, для функщй числс-
ного аргументу С-властив1сть можна покласти в основу самого означения вим!рност1.
Теорему Лузша можна довести, скориставшись теоремою бгорова (доведИь!).
§ 5. ШТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Поняття штеграла Р!мана, в!доме з елементарного Kypcj анал!зу,
застосовне лише до таких функцш, як! або неперервн! або мають «не
дуже багато» точок розриву. Для вим(рних функщй, як! можуть бути
розривн! скр!зь, де вони визначеш (або ж взагал! можуть бути задан!
на абстрактшй множин!, так що для них поняття неперервност! прос-
то не мае смислу), р!мановська конструкщя штеграла стае непридатною.
Водночас для таких функцш е дуже досконале i гнучке поняття ште-
грала, введене Лебегом.
Основна !дея побудови штеграла Лебега полягае в тому, що тут,
на в!дмшу в!д штеграла Романа, точки х грунтуються не за ознакою
ix близькост! на oci х, а за ознакою близькост! значень функци в цих
точках. Це в!дразу ж дае змогу поширити поняття штеграла на дуже
широкий клас функщй.
Кр!м того, штеграл Лебега визначаеться щлком однаково для
функщй, заданих на будь-яких просторах з м!рою, тод! як штеграл
Р!мана вводиться спочатку для функщй одш’е! змшно!, а пот!м уже
з в!дпов!дними змшами переноситься на випадок юлькох змшних.
Для функщй на абстрактних просторах з м!рою штеграл Р!мана
взагал! не мае смислу.
Скр!зь, де не застережено суггротивне, розглядатимемо деяку повну
ст-адитивну Mipy р, визначену на а-алгебр! множин з единицею ".
Припускатимемо, що вс! розглядуваш множини A Q X вим!рш, афунк-
щ! f (х) визначеш для х £ X \ BiiMipni.
Нам зручно буде означити штеграл Лебега спочатку для так зва-
них простих ф у н к ц i й, а попм поширити його на !стотно
ширший клас функцш. Пункта 2—4 м!стять побудову штеграла
Лебега для випадку, коли Mipa всього простору скшченна. Випадок
нескшченно! м!ри буде розглянутий у п. 5 цього параграфу.
1. Прост! функци.
Означения 1. Функщя f (х), визначена на деякому простор!
X !з заданою на ньому м!рою, називаеться простою, якщо вона вим!р-
на i набувае не 61’льш як зл!ченне число значень.
Структура простих функцш характеризуеться такою теоремою'
Теорема 1. Функщя f (х), яка набувае не б1льш як змченне число
р1зних значень
Уъ Уъ> • • > Уп> • • • >
вимрна modi i пйльки modi, якщо eci множини
Ап= {x:f(x) = уп}
euMipni.
Доведения. Необхшшсть умови зрозум!ла, бо кожне А
е прообраз однотсчково! множини {уп}, а всяка одноточкова множина
е борел!вською. Достатшсть випливае з того, що в умовах теореми про-
образ f~' (В) будь-яко! борел!всько! множини об’еднання J Ап
УпЧ.в
не б!льш як зл!ченного числа вим!рних множин А„, тобто вим!рний.
' Використання прос'их функцш у побудов! 1'нтеграла Лебега буде
обгрунтовано на такш теорем!:
Теорема 2. Для вишрноспй функцИ f (х) неэбх1дно i достатньо,
щоб И можна було подати у виглядг границ1 р1вном1рно зб1жно1 по-
t/tidoeHOcmi простых вим1рних функщй.
Доведения. Достатшсть зрозумша з теореми 4 попереднього
п ваграфа. Для доведения необхщност! розглянемо довмьну вим!рну
функщю f (х) i припустимо fn (х) = , якщо < f (х) < т 1
(гут т—ц!л!, а п—ц!л! додатш). Зрозум!ло, що функци fn ( х)
прост!; при п -> <х> вони р!вном!рно збДаються до f (х), бо | f (х) —
-fn WI < 1/«.
2. 1нтеграл Лебега для простих функц!й. Ми введемо поняття ш-
теграла Лебега спочатку для функцш, назвдних вище простими, тобто
для вим!рних функщй, як! набувають скшченне або зл!ченне число
начень.
Нехай / — деяка проста функщя, яка набувае значения
У1,Уг, •••> у„ •••; Уг£у< при i=£j,
i нехай А — деяка вим!рна шдмножина X.
Природно визначити штеграл в!д функци f за множино А р!вн!стю
f/(x)Si = деЛ„={х;х£Л, /(x) = i/„}, (1)
А п
якщо ряд справа збшаеться. Ми приходимо до такого означения (в яко-
му з зрозум!лих причин заздалегщь постулюетося абсолютна зб!жшсть
ряду):
Означения 2. Проста функщя f називаеться штегровною-
або сумовною (за м!рою р) на множин! А, якщо ряд (1) абсолютно збй
гаеться. Якщо f штегровна, то сума ряду (1) називаеться штегралом
в!д f по множин! А.
В цьому означенш припущено, що вс! уп р!зш. Однак можна зна-
чения штеграла в!д просто’! функци подати у вигляд! суми добутюв
виду ck р (Bk) ! не припускаючи, що вс! ck р!знi. Це дае змогу зробити
гака лема:
Лема. Нехай А — (J Bk, В( Q В,- — 0 при i^= j i нехай на кож-
н1й множим Bk функщя f набувае лише одне значения ck\ modi
^f(x)dp = ^c^(Bk), (2)
A k
причому функщя f штегровна на A modi i тальки modi, коли ряд (2)
абсолютно зб1гаеться.
Доведения. Легко побачити, що кожна множина
Дп= {х:хе A, f (х) = уп]
е об’еднанням тих Вк, для яких ck = уп. Тому
2 У,№ (Л) = 2 Уп 2 И (Bfe) = 3 с>Х (Bk).
п п сК=^п
Осшльки Mipa невщ’емна, то
п п ckr=3Hnt'
тобто ряди У, упу (An) i У ckn (Bk) абсолютно зб!гаються або розб!га-
п k
ються одночасно. Лему доведено.
Установимо деяк! властивост! штеграла Лебега вщ простих функ-
ций:
A) f I/ (*) + gU)]dp = j f(x) dp + \g(x) dp,
A A A
причому з йжування штеграмв у правы частит pienocmi випливае
(снування штеграла в л1в1й.
Для доведения припустимо, що f набувае значень f( на множинах
Ft cz A, a g — значения g/ на множинах G, от А, так що
А = J f (х) dp = 2 f£n (F(), (3)
A i
j2 = J g W dp = 2 £f/p (G/). (4)
A /
Тод! на шдстав! леми
1= Jim+g«]dp = £ V(fi + £/7p(F£ n Gz); (5)
A i i
але
H (Л) = 2 H (ft n g! p (G,) = 2 p (F; n Gy),
/ ‘
так що з абсолютно!' зб!жност! ряд!в (3) i (4) випливае й абсолютна
зб!жшсть ряду (5); при цьому
J = А + J
Б) Для будь-якого сталого k
\ kf (x)dx = k^ f (х) dx,
А А
причому з 1снування штеграла в правы, частит випливае 1снування ш-
теграла в л1в1й частит. (Перев:г)яеться безпосередньо).
В) Обмежена на множит А проста функщя f штегровна на А,
причому, якщо | f (х) | < М на А, то
А
f (х) dp Л4р (А).
(Перев!ряеться безпосередньо).
3. Загальне означения штеграла Лебега на множим скшченноТ
м!ри.
Означения 3. Назвемо функщю f штегровною (с^мовною)
на множин! А, якщо icnye послщовшсть простих штегровних на А
функщй (fj, я ка зб i га етьс я р i в н о м i р н о до/. Границю
I = Ит J fn (х) dp (6)
П-*овл
позначимо
У / W dp
А
i назвемо штегралом срункцП f по множит А.
Це означения коректне, якщо виконаш так! умови:
1. Границя (6) для будь-яко!’ р!вном!рно зб!жно! послщовност!
простих штегровних на А функщй icnye.
2. Ця границя при задашй функцп / не залежить вщ вибору по-
ел щовэост! {fn}.
3. Для простих функщй означения штетровност! та штеграла
р!вносильне наведеному в п. 2.
Ус! щ умови справд! виконаш.
Для доведения першо!’ досить зауважити, що внаслщок властивостей
А), Б) ! В) штеграла вщ простих функщй,
$fn(x)dp — $ftf (x)dp < р (A) sup | fn (х) — fm(x)\. (7)
a a *eA
Для доведения.друго! умови треба розглянути дв! послщозностц
{fn} 1 {/п}> як! збшаються до f Якби границя (6) для цих двох послГ
довностей набувала р!зних значень, то для послщовност!, утворено!’
об’еднанням цих двох, границя (6) не (снувала б, що суперечить перплй
умов!. Hapemri, для доведения справедливост! третью! умови досить
розглянути послщовшсть, в яшй fn дор!внюе f для Bcix п.
Зауваження. Ми побачимо, що в побудов! штеграла Лебега е два icTomi
етапи. Перший — безпосередне означения штеграла (як суми ряду) для деякого
класу функшй (простих сумовних функщй), досить простого i водночас досить широ-
кого, другий — поширення означения штеграла на ictotho ширший клас функцш
за допомогою граничного переходу. По суп, поеднання цих прийом1в — безпосеред-
нього конструктивного, але вузького означения i наступного граничного переходу
е в будь-ямй побудов! штеграла.
Установимо основн! властивост! штеграла Лебега. Безпосередньо
з означения випливае, що:
I.
j 1 • dp = р (А). (8)
II. Для будь-якого сталого k
У nf (х) dp = fcj f (х) dp, (9)
А А
причому з 1снування штеграла в правил частит випливае 1внування
штеграла в л1вш.
Цю влатгив!сть выводимо за допомогою граничного переходу з
властивост! Б) для штеграла в1д простих функщй.
III. Адитивтсть.
+ УН?Ж + Уя(х) dy, (10)
X A A
причому з йяування штезрамв у правил частит випливае гснування
интеграла в л1вш.
Доведения здшснюють, використовуючи граничний nepexU з влас-
тивост! А) штеграла в!д простих функщй.
IV. Обмежена на множит А функщя f штегровна на А.
Доведения здШснюють граничним переходом з властивост! В)
штеграла в!д простих функщй, з використанням теореми 2.
V. Монотонтсть: якщо f (х) > 0, то
$f(x)dy>0 (11)
А
(у припущенш, що штеграл !сну’е).
Для простих функщй це твердження випливае безпосередиьоз
означения, а в загальному випадку його можна вивести, зауважив-
ши, що коли / вим!рна i невщ’емна, то знайдеться р!вкэм!рно зб!жна
до не! послщовшсть (див., теорему 2) н е в i д’ е м н и х простих
функщй.
3 останньо'1 властивост! в!дразу випливае, що коли f (х) >
> g W, то
j f (х) dy > У g (х) dp, (12)
А А
а тому, якщо т < f (х) < М для вс!х (або майже вс!х) х £ А, то
ту (А) / (х) dp < Aip (А). (13)
А
VI. ?кщо р (А) — 0, то У f (х) dp = 0.
А
VI'. Якщь f(x) = g (х) майже скр1зь, то
J f (х) dp = J g (х) gp,
А А
причому обиден штеграли 1снують або не гснують одночаа to.
Ц! два твердження безпосередиьо випливають з означения штегра-
ла Лебега.
VII . Якщо функщя ф штегровна на A i майже скр1зь |/ (х) | -Сф Ц),
.по f також штегровна на А.
Справд!, якщо / i ф— прост! функци, то вилучизши з множини А
деяку множину м!ри нуль, множину А', яка залишилася, можна пода-
ти як об еднання сличенного або зл!ченного числа множин, на кожному
> яких / i <р стал!: f (х) = ап, <р (х) = Ьп, причому |а„ | < Ьп. 3 ште-
гровност! ср випливае, що
У, Н | р. (Д„) < (Ап) = j ср (х) dp, = J ф (х) dp.
п п А' А
Тому / також штегровна, !
[Z(x)dp = $ f(x)gp = %an[i(A)n <
A
A'
n
< 21 an | p (Д„) = J | f (x) j dp < J cp (x) dp,
n A A
У. загальиому вигадку це твердження доводить граничним переходом
з використанням теореми 2.
VIII. 1нтеграли
К = /2 = f |f(x)|dp (14)
A A
1снують або не 1снують одночасно.
Справд!, з !снування штеграла/2 випливае !снування на прдстав!
властивост! VII.
Обернене для випадку просто! функци випливае з означенья !нте-
граса, а для загального випадку доводиться граничним переходом з ви-
користанням теореми 2; при цьому треба скористатися нер!вшстю
| a j—1&| <|а — Ь\.
4. о-адитквшсть i абсолютна неперервшеть штеграла Лебега.
У' попередььому пункт! було сформульовано властивост! штеграла
Лебега за ф!ксованою множиною Тепер ми установимо деяк! власти
вост! штеграла Лебега, розглядаючи вираз
F (А) — , f (х) dp
А
як функщю множини, визначену на сукупност! вим!рних множин.
Насамперед установимо таку властивють:
Теорема 3. Якщо А = J Аа; Д(- Q А/ = 0 при i у= /, то
п
С f (х) dpi = 2 $ f
” п Ап
(15)
причому з 1снува:1ня штеграла в nieiti частим випливае [снування.
мтеграл1в I абсолютна зб1жн1сть ряду в npaeiii частим.
Доведения. Спочатку перев!римо твердження теореми для
просто'! функцп /, яка набувае значень
У1, 1/21 • • , У 41 • • •
Нехай
Bk= {х:х£ A, f(x) = ук),
Bnk= {х:хе Ап, /(х) = yk}.
Тод!
j f (х) dll = 2 у& (Bk) = 2 yk s и =
A k k n
= S2wW = 2 \ (16)
n k n A
Оск>льки ряд 2 Vk H (#*) У припущены! штегровност! f на А абсолютно
зшгаеться, а м!ри Bcix множин невщ’емш, то зб!гаються абсолютно
i вс! !нш! ряди в ланцюжку р!вностей (16).
У раз! дов!льно1 функци f з Ti штегровност! на А випливае, що для
будь-якого е > О icnye проста штегровна на А функция g, яка задо-
вольняе умову
|/(х)— g(x)|<e. (17)
Для g маемо
Jg(x)dp = 2 $ S МФ, (18)
а п ап .
причому g штегровна на кожшй множин! Ап i ряд (18) абсолютно зб!-
гаеться. 3 uiei’ останньо!' обставини i з ошнки (17) випливае, що f та-
кож штегровна на кожшй Ап !
2 j f М — S S F)
<28^ (А>) = ф И),
п
(х) dp,—\ g (х) dp < ер (Л),
А
що разом з (18) приводить до абсолютно!' зб!жност! ряду
2j f U) du
n лп
i до ошнки
2 W М Ф — $ f (х) Ф < 2еН И)-
п А„
п,
А
Осюльки e > 0 довiльне то
2 У f W Ф = j f W Ф-
П A w
Н а с л i д о к. Якщо f штегровна на А, то f штегровна i на будь-
якш вим1рн1й множит A' cz А.
Ми показали, що з штегровност! функци f по множин! А випливае,
що коли А = J Ап i Ас П А/ 0, то f штегровна по кожшй Ап
i штеграл по А дор!внюе сум! !нтеграл!в по множинам Ап. Це тверджен-
ня можна подати ! в такому смисл!:
Теорема 4. Якщо А = (J А„, Л( f| А, = 0 при i =А= j ряд
п
у h f W Ин <19)
л П У
зб1гаеться, то функщя f штегровна на A i
^f(x)dp = ^ J / (л-) dp.
А п ап
Доведения. Новим пор!вняно з попередньою теоремою тут
е твердження, що 1з зб1жност1 ряду (19) випливае штегровшсть f на А.
Спочатку доведемо для випадку просто! функцп f, яка набувае
значень ft. Припустивши, що
В{ = [х: х Е A, f (х) = ft}, Ani = Ап П В;,
маемо
j Ani = Bt i j | f (х) | dp = 2 I ft I H (Л0-
-%
1з зб!жност1 ряду (19) випливае, що збДаються ряди
2 21Ш (ЛО = 2 |М ц (Вф
п I I
Зб1жшсть останнього ряду означае, що 1снуе штеграл
§f(x)dp = SfiP(B(). х
A i
У загальному випадку апроксимуемо / простою функщею f так, що
|/(х) —/(%)|<е. (20)
Тод!
i оск!льки ряд
2 И (^п) = И И)
п
зб!гаеться, 1з зб!жност1 ряду (19) випливае зб1жшсть ряду
п Лп
тобто за т!льки що доведеним, штегровшсть на А просто!’ функцп
f. тод) на шдстав! (20) вих!дна функшя f також штегровна на А.
Теорему доведено.
Н ер 1 вн 1сть Чебишова. Якщо ср (х) > 0 на A i с > 0,
то
р, [х: х £ А, ср (х) ;> с) < — р \Х) dp. (21)
А
9 4-1039
Справд!, нехай
А' = (х:х^А, ф(х)И>с).
Тод!
J ф (х) dp = j ф (х) dp -f- । ф (х) dp > j ф (х) dp > ср (А1).
Л А’ Л\Л' А’
Н а с л i до к. Якщо
J |/(x)|dp = О,
' А
mo f (х) = 0 майже скр1зь.
Справд!, на шдстав! нер!вност! Чебишова, маемо
р(х:хСЛ, |/(х)|>-^-)<м ‘ |/(x)|dp = O
1 > А
ДЛЯ вс!х п. Тому
р {хI х с A, f (х) Я= 0} < У, р (х: х £ А, | f (х) I > —, = 0.
п=1 1 п )
У попередньому пункт! було показано, що штеграл Лебега по мно-
жин! нульово’1 м!ри дор!внюе нулю для будь-яко’! функци f.
Це твердження можна розглядати як граничний випадок тако!
важливо! теореми:
Теорема 5. (абсолютна неперервнкть ’Инте-
грала Лебега). Якщо f (х) — сумовна на множит А функщя,
то для кожного е > 0 1снуе таке 6 >0, що
§f(x}dy
< е
для всякого вим1рного е cz А такого, що р (е) <6.
Доведения. Насамперед зауважимо, що наше твердження
очевидне, якщо f обмежена. Нехай тепер / -г- дов!льна сумовна на А
функщя. Припустимо, що
Ап = {х! х £ А, п < | / (х) | < п + 1}
!
Вх = U Cn = А \ BN.
/2=0
Тод! на шдстав! теореми 3
Виберемо N так, що
| | / (х) | dp = S ' I f(x) | dp.
A "=0
0°
У I f W I dy = J I f (x) I dy < ,
п=лЧ-1 cpj
1 нехай
0< б< 2(#+ 1) •
Якщо тепер р (е) < 6, то
У f И dp < j (х)| dp = j | f(x) | dp + j | f (x) | dp
е(\См
Перший з !нтеграл!в, що стоггь справа не перевищуе е/2 (властив!сть
V), а другий — не бшьший за штеграл, узятий по вс!й множин! См,
тобто також не перевищуе е/2; отже, д!стаемо
У И W | dp< в.
Установлен! властивост! штеграла як функц!!' множини ведуть до та-
кого результату:
Нехай / — неНд'емна функщя, сумовна на npocmopi X за Mipoto р.
Todi функщя
F (Д) = У / {х) dp
А
визначена для ecix вим1рних множин А ст X, невьд’емна i а-адитивна,
тобто задовольняе умову: якщо А = [J Ап i Ai f| А/ = 0, то
п
F (Л) = У, F (Дп). 1накше кажучи, штеграл eld нев1д’вмно1 функци
И
мае як функщя множини eci властивостл а-адитившп Mipu. Ця Mipa
визначена на т!й сам!й о-алгебр!, що й вихщна м!ра р, ! пов’язана
з р умовою: якщо р (Д) = 0, то й F (Д) = 0.
5. Граничний переход п!д знаком штеграла Лебега. Питания про
граничний перех!д шд знаком штеграла, або, що те саме, про почлён-
не штегрування зб!жного ряду, часто виникае в р!зних задачах.
У класичному анал!з! встановлено, що достатньою умовою можливос
т! такого граничного переходу е р!вном!рна зб!жи!сть в!дпов!дно!' по-
слщовност! (ряду). Тепер ми встановимо деяк! теореми про граничний
перехщ шд знаком штеграла Лебега, що являють собою широк! уза-
гальнення в!дпов!дних теорем класичного анал!зу
Теорема S (Лебега). Якщо посл1довн1сть {/„} на А зб^гаеться
до f i при ecix п
\fn W I < Ф (^>
де ср штегровна на А, то гранична функщя f штегровна на A i
9, p„Wdp-> j/(x)dp.
Доведения. 3 умови теореми випливае, що | f (х) | Ф (х) •
Тому, як ми зазначили в попередньому пункт! (властив!сть VII), f
штегровна. Нехай
Ak = {х : k ф (х) < k + 1), k = 0, 1, 2,
Bm = (J = {х:ф (х) > m], т = 0, 1, 2, ...
За теоремою 3
У <р (х) du, = 2 У ф (х) dp (22)
А k Ak
i ряд (22) збшаеться абсолютно. При цьому
<р (х) dp — У, ф (х) dp.
/г^т л
Ak
(з зб!жност! ряду (22) випливае {снування такого т, що
J ?(x)dp<-|-.
вт
На А \ Вт виконана нер!вн!сть ф (х) <_ т. За теоремою Егорова
А \В,„ можна подати у вигляд! А \ Вт = С (J D, де р (£))
а на множин! С послщовшсть {/„} р!вном!рно збшаеться до /.
В!зьмемо таке N, що при п > N на мнсжин! С
Тод!
JlL(x) — f(x)] dp — J f„(x)dn—^ f(x)dn +
tn tn
+ J fn(x)dp— J f (x) dp + J [/„ (x) — f (x) J dp.
D DC
Зв!дси
J I fn (x) — f (x) | dp < 5 — = e.
Теорему доведено.
H а с л i д о к. Якщо | fn (х) | М. = const i fn-+ f, то
J fn (& (x) dp.
a a
Зауваження. Оек!льки значения, як! набувае Функщя на «шожиш м!ри 0, не
впливаютб на величину штеграла, в теорем! 6 досить припустити, що {(п) зб!гаеться
до f майже скр!зь i щс кожна з нер!вностей | fn (х) <р (х) також виконуеться лише
майже скр!зь.
Теорема 7 (Б. Л е з i). Нехай на множит А
fx W < f 2 (х) < • • • < fn (х) < • • • ,
причому функцИ fn iHtnezpoeHi i ix штеграли обмежен1 в сукупноспй
J fn (х) dy < К.
Л
Todt майже скр1зь на А 1снуе (ск1нченна) граница
f(x) = Нт(х), (23)
П-юо
функщя f штегровна на А i
\\ fn (*) d!-i->\ f (х) dy.
А А
При цьому на множин!, на як!й граница (23) не !снуе, функщю
/ можна задати дов!льно, наприклад, припустивши на nift множин!
/' (х) = 0.
Доведения. Припускатимемо, що fr (х) > 0, бо загальний
випадок легко зводиться до цього за допомогою переходу до функцш
h = fn-K-
’озглянемо множину
й = {х: х £ A, fn (х) ->оо}.
Легко побачити, щ,о й == f] |J йлг), де
г п
й£’ = (х: х G A, fn (х) > г).
На шдстав! нер!вност! Чебишова (21)
fc)<4-
Осюльки Q|(r) cz Й2Г) cz • • • cz йл’ с: ... , то р f (J й(„' 'j Д/г;
\ п /
але при будь-якому г
й cz (J йлг),
п
тому р (й) /f/г. Внаслщок дов!льност! г зв!дси випливае, що
ц (й) = 0.
Тим самим доведено, що монотонна послщовшсть {fn (х)} майже скр!зь
на А мае скшченну границю f (х).
Позначимо через Аг множину тих точок х £ А, для яких
г — 1 < f (х) < г, г = 1, 2, ... ,
i припустимо, що <р (х) = г на Аг.
Якщо буде доведено штэгровюсть <р (х) на А, то твердження нашо!'
теореми буде безпосередшм наслщком теореми 6. Припустимо, що
Bs= U Аг.
Г=1
Осшльки на Bs функци fn i f обмежеш i завжди <р (х) < f (х) -|-
4- 1, то
1 Ф (х) dp < f f (х) dp + р (Л) = lim f fn (x) dp ф- p (Д) < К + p (Д).
в в «-*-00 в
S » Л
Але
f s
( Ф (x) dp = У гр (Лг).
bs '=>
Обмежешсть цих сум означав зб!жн1’сть ряду
2 гр (Дг) = J ф (х) dp.
г=1 А
Отже, штегровшсть ф на А доведено. Умову монотонного н е с п а -
д а и н я функшй fn (х) можна, очевидно, замшити в доведешй
теорем! умовою 'ix монотонного нез ростання.
В и с н о в о к. Якщо ф„ (х) > 0 i
2 W dp<oo,
DO
mo майже скр1зь на А ряд У, фп (х) зб1гаеться i
П=1
1(2% W) ^р = 2 J ф,, (х) dp.
Л \п=1 / п=1 /4
Теорема 8 (Фат у). Якщо посл1доен1сть вимгрних невгд’емних
функщй {f„} збсгаеться майже скр1зь на А до f i
J fn (x) dp < K,
A
mo f штегровна на A i
f (x) dp < /(.
A
Доведения. Припустимо, що
Ф„ (t) = ir.f Й (x);
Фп вим1рна, бо
{x: ф„ (x) <c} = (J {x :^(x) <c}.
k^.n.
Дал!, 0 фп (x) /„ (x), тому фч штегровш i
j Фп (x) ftl (x) dp <
Д
нарешт!»
<Р1 (X) < ф2 (x) < . • • < ф„ (X) < • • •
I
Um <p„ (х) = f (х)
H->OQ
м.шже скр1зь. Тому, застосовуючи попередню теорему до листае-
мо иотр1бний результат.
(>. 1нгеграл Лебега по множин! нескшченно! м1’ри. Дос1, говорили
про штеграл i його властивост?, ми вважали, що розглядаються функ-
IIH задан! на тш чи шип’й вим!ршй множин! скшченно! м!ри. Проте
• io доводиться мати справу з функц!ями, заданими на множин!,
!ра яко! нескшченна, наприклад, на прям!й з лебеговою м!рою на
и-! Тому важливо поширити поняття штеграла i на цей випадок.
11рп цьому обмежимось тим практично нашстотшшим випадком, коли
рочглядувану множину X можна зобразити як суму зл!ченчого числа
.1 иожин скшченно’! м!ри:
Х= U Н(Х„)<ео. (24)
п
Якщо npocTip X, в якому задано м!ру р, можна подати як суму
Яченного числа множин скшченно! м!ри, то м!ра р на X називаеться
кшченною (диь. п. 3, § 3). Прикладами о-скшченних м!р е м!ри
|'<)ега на прям!й площин!, в н-вим!рному простор!. Mipy, яка не за-
довольняе умову о-ск!нченност!, можна дютати, наприклад, прини-
кши кожшй точц! на прямш вагу 1. Тод! Bci тдмножини прямо!
можна вважати вим!рними, причому скшченн! множини матимуть
шченну м!ру, а шш! — нескшченну.
Назвемо вичерпною посл1довн1стю всяку монотонно зростаючу
послщовшсть {Хп\ вим!рних пщмножин множини X, яка задовольняе
умову (24). Введемо тепер таке означения:
Означения 4. Вим!рна функщя f, визначена на множин! X
и п-скшченною Mipoio р, називаеться сумовною на X, якщо вона су-
монпа на кожшй вим!рн!й пщмножин! A cz X скшченно! м!ри i якщо
чя кожно! вичерпно! послщовност! {границя
lim j f (х) dp (25)
y
лп
< и ye i не залежить вщ вибору ще! послщовност}.
11.1 границя називаеться штегралом eid f за множиною X; його
ишачають символом
J / W dp.
х
1рочум!ло, що коли функщя / дор!внюе нулю поза деякою множи-
ю скшченно! м1ри, то для не! пльки що сформульоване означения
hnиграла р!вносильне тому, яке було наведено в п. 3.
Зауваження. Означения штеграла в!д просто! функци наведене в п. 2,
*• окна досл|вно перенести на випадок нескшченно! м!ри. Зрозум!ло при цьому, що
дни сумовност! просто! функцн необхщно, щоб кожне в'дмшне в!д нуля значения
вона набувала лише на множив! скшченно'! м!ри. Означения сумовност!, наведеие
в п. 3, !стотно пов’язане з припущенням скшченност! Mipu множини X. Справд’, якщо
рГО = со, то 3 piBHOMipHOl зб!жнОСт! ПОСЛЩОВНОСТ! простих сумовних функщй
{фп} не випливае, взагал! кажучи, зб!жн!сть послщовност! ix !нтеграл!в (навед!ть
приклад!).
Результата, накладен' в пп. 3 i 4 для випадку скшченно!' м!ри, в основному пере-
носиться на !нтеграли за множиною нескшченно'! м!ри.
1стотна вщмшшсть полягае в тому, що у випадку ц (X) = оо обмежена вим!рна
функщя на X буде не обов’язково сумовною. Зокрема, якщо ц (X) = оо, то жодна
ыдмшна вщ нуля константа не штегровна на X.
Читач легко перев!рить, що теореми Лебега, Б. Лев!! Фату будуть справедливими
у випадку нескшченно! м!ри.
7. Пор!вняння штеграла Лебега _з штег ралом Романа. З’ясуемо
зв’язок м!ж штегралами Лебега i Р1мана. При цьому ми обмежимось
найпросДшим випадком лшшно1 м!ри Лебега на прямш.
Теорема 9. Якщо icnye 1нтеграл Р1мана
ь
I = (R)^f (х) dx,
а
то f штегровна на [а, b ] за Лебегом i
j /(x)dp = 7.
[а.Ь]
Доведения. Розглянемо розбиття в!др!зка [а, Ь} на 2п час-
тин точками
xk = a + ~(b — а)
i суми Дарбу, як! вщповщають цьому розбиттю;
. i 2"
2 /?=1
, 2п
о — а V1
®п — Хп тпЬ’
k=\
де Mnk — верхня грань f на вщр1зку
Xk-I < X < Xk,
a mnk — нижня грань f на тому самому вщр!зку. За означениям ште-
грала Р1’мана
I = lim йп = lim а>п.
п->оо
Припустимо, що
Д(х) = Mnk при Xk-\ <x<xk,
fn (х) = = mnk при Xk-\ <^.x<xk.
ro'iui х = Ь функцп fn i fn можна доозначити дотильно. Легко об-
числпти, що
j К (*) d[i = Q„,
[а.Ь]
у fn (*) djj. = (Я
[а,6]
< > пльки посл1довн1сть {/„} не зростае, а послщовшсть {fn} не спа-
” к', то майже скр1зь
7n (*) f Е > f (® fn W ->/(*)</ (*)•
теоремою Б. Лев!
j f (х) бф = lim Q„ = I = lim co„ = j f(x)dp.
[a,b] [o>]~’
i'smy
J IfW — /(x)|du = J (7W~7UW = 0
ГИ>] [Ж
I, <>гже, майже скр!зь
f(x)-/(x) = 0,
I <>610
/(х) = /(х) = /(х)
I
J f(x)d[x = I.
[a.b]
1еорему доведено.
Легко навести приклади обмежених функшй на деякому в>др!зку,
Imei poBHHX за Лебегом, але не штегровних за Р1маном (наприклад,
задана функщя Д1р1хле на вщр!зку [0, 1 ], яка дор!внюе 1 для ра-
пюнальних i 0 для 1рращональних х). Необмежеш функцп взагал!
можуть бути штегровш за Р1маном, але багато з них штегровн’ за
Небегом. Зокрема, будь-яка функщя f (х) > 0, для яко! штеграл Pi-
м.ша
ь
£ f(x)dx
а+е
1«:пуе при кожному 8 > 0 i мае скшченну границю / при е ->0, ште-
। ровна за Лебегом на [а, b ], причому
ь
f f (х) d[i = lim f f (x) dx.
[a.6] e-*-° «+•
Невластивий штеграл
ь
lim f f(x)dx
s->0 a_|_E
у випадку, коли
b
lim \ | f (x) | dx = oo,
E^° a+e
не icnye в дебетовому розумшш, бо, за зластив!стю VIII, п. 3 з су-
мовност! функци f (х) випливае, що й функшя \f (х)| також сумовп.
Наприклад, штеграл
С 1 • 1 л
\— sin — dx
J X X
о
icnye як (умовно зб!жний) невластивий штеграл Р!мана, але не icnyi
як штеграл Лебега.
Якщо розглядають функщю на вс!й прямш (або швпрям!и), •
штеграл Р!мана для тако’! функци може юнувати лише в невласш
розумшш. Знову ж, якщо такий штеграл збшаеться абсолютно, к>
в!дпов!дний лебеговий интеграл icnye i мае те саме значении ЯМ
ж цей штеграл збшаеться лише умовно, то в дебетовому розу п
функшя не штегровна. Наприклад, функшя
' sin х
х
не 1нтегровна за Лебегом на вс!й прямш, бо
со
jl sin х I ,
------- ах = оо,
I * |
Однак невласний штеграл
оо
i' sinx ,
——dx,
.! х
— оо
як вщомо, icnye, i дор!внюе л.
§ 6. ПРЯМ1 ДОБУТКИ СИСТЕМ МНОЖИН I MIP
ТЕОРЕМА ФУБ1Н1
В анал!з! важливу роль в!д!грають теореми про пн н
кого (або взагал! многократного) питдрали д<> inminpiiuiи
кратких !нтеграл!в Лебега основнпм резулы.нн ₽
м а Ф у б i н i, яку буде доведено напри к inn i in.< >i и иn|>«ti p#'|>s
ку ми встановимодеяк! допом!жш попя 1 im 1 <|u>nni, ш<
i самостшний штерес.
1. Добутки систем множин. Множив i
у), де х g X, у Q Y називаеться п/> imuh iinPi/nih я мннВм
I позначаеться X х Y. Аналопчно множина Z впорядкованих скш-
'ii'iiiiiix поел давностей (х1( х2, , хп), де xk £ X, називаеться прямим
утком множин Хь Х2, Хп i позначаеться
„ = |Х|ХА,
|'|<|1| чому випадку, коли
Х1 = Х2 =
Ui
in
wm I
in
'Ullin ( ,
. Ч. hi
К (null ж
•I
Н
. в I
I
= Х,
п i iiii.i z i- п-й степшь множини X:
Z = Xn.
11ппр|1к,/|.-|д, координатпий п-вим1рний
прямоГ /?'. Одиничний куб 1п,
'pjniii.i гачи, що задовольняють умов!
О < 1, k = 1, 2, .. . , n,
'пгпем одпцнчпого сегмента I1 = [0, 1].
npocTip Rn e п-й степшь
тобто множи а елемент iB
Ст.'- (5» системи п!дмножин множин Хп Х2,
4H (hi (b| X • • x Qn
\ Ili.'lMIIIHKIIH множини X = Гх1 Xk, зображуваних
И»
(^, то 91 е п-й степшь системи р:
И - Сэ -
пт 'in и R" е п-й степшь системи ви-
I , ($„ - п1вк1льця, то й 'St — |x|G*;
Шим Пп1к!льця треба перев1рити, що
‘I I ИМНО, К|ЙМ
1 при / У» / i
i J
11 I-I X (•;/.
; 11 ! (b i >
4 /<„ H, I
того, В с: А, то
С{ G 91 а = 1,
це означае, що
А2 Е (Jai
^2 € Qi •
ti) (-1-. п в2),
I 1 I I 4'i C (s>2,
'hi (ba-
m
A = U
i=.
2,
п).
II. Припустимо тепер додатково, що
Bj сз А1г В2 с: Л2;
осюльки Gi i G2— швк!льпя, то мають м!сце розклади:
А = в. и Bi1’ и • • • U в9
А = в2 и В? и • • и В^.
Але тод!
А = А х А2 = (Bj х В2) U (Bi X В^) U • • • U (А X В?) и
и (Bi1’ X В2) U (Bi1' х в^>) и • • • U (Bi11 х В?) и
U (В{*> X В2) U (B{k) X в?) и • • и (Bjft) X В(2°).
Першим членом цього розкладу е В± х В2 = В, а вс! члени на-
лежать систем! Gi X @а-
Теорему доведено. |
Проте з припущення, що системи Qk е к!льця (або о-алгебри),
ще не випливае, взагал! кажучи, що добуток |х| Ga буде к!льцем
А
(в!дпов!дно о-алгеброю).
2. Добутки м!р. Нехай на швк!льцях Gi- G^> Gn заДано м!ри
Pi (А)> Из (^2)» • ••> Рп (А), € Ga-
Визначимо на п!вк!лыи
^ = б!Хб2х ••• xGn (1)
Mipy
р = рх X р2 X • • • X р„ (2)
формулою
Р(А = Р1(А1)рг(А2) ... р„(А), (3)
де
А = Аг х А2 х • • • X Ап.
Треба ще довести, що р (А) — справд! м!ра, тобто, що ця функц!я
множини адитивна. Зробимо це для випадку п — 2. Нехай дано роз-
клад
А = А± х А2 = (J B{k}, Bw П В(/) = 0 при i=^i,
B{k} = B\k> X В{2}. '
На пщстав! леми 2, § 5, розд. I, юнують так! розклади
А, = и сГ, А2 = и ср,
що множини В{\} е об’еднаннями деяких Cjm), i множини Вг— об’ед-
панням деяких С^. Очевидно, що
н (Л) = И1 (Лх) р2 (4) = 2 S Hi (СГ) р2 (СГ), (4)
пт
и = И1 (в<?>) р2 (№) = 22^ (СГ) ih (С^), (5)
т п
причому в (5) справа сума береться по вНм С\т,сб B\h}\ В^\ а
в прав1й частиш р1вност) (4) стоять по одному разу Bci члени, яю
з’явилися в правих частинах р1вностей (5). Тому
.р(Л) = Зр(ВД
k
що й треба було довести.
Отже, зокрема, адитивюсть елементарних Mip у п-вим(рному евкль
довому простор! випливае з адитивносп лшшно!' м!ри на прямш.
Mipy (2), задану на швюльщ (1) формулою (3), ми називатимемо
добутком Mip рх, ..., рл.
Теорема 2. Якщо м1ри рп п2, ..., рл о-adumueni, то а-адитивна
i Mipa р = рх X р2 X ...^Ирл.
Доведения виконаемо для випадку п = 2. Позначимо через
лебегове продовження м!ри pj. Нехай С = (J Сп, причому множини
Н=1
С i Сп входять в Gi х Gsi тобто
С = Л х В, Л € в € 62.
= Ап X Вп, Л„ Р G1, Вп € Ga-
Нехай множини Л i Лп Л2, ... лежать у простор! X. Припустимо
для х б X
, _ % (В„), якщо х С Лл,
/nW |q, ЯКЩО Х^Лл.
Легко побачити, що для х Q А
2Д(Х)-Ц2(В),
п
тому на шдстав! теореми Б. Лев! (теорема 7, § 5)
2 J fn (X) = J р2 (В) (Л) • р2 (В) = И1 (Л) ц2 (В),
п А А
але
,f fn (х) dKj, = ц2 (Вл) • Pj (Лл) = р (Сл)
А
i, отже,
Лр(Сл) = Р(С).
п
Якщо рп ..., рл о-ади^ивн! м!ри, задан! вщповщно на a-алгеб-
рах Gi> G«> то 1Х добутком ми назвемо лебегове продовження
Невластивий штеграл
ь
lim 1 / (х) dx
е-о <4-8
у випадку, коли
lim \ \f(x)\dx — oo,
е-*° а+8
не icnye в дебетовому розумшш, бо, за властив!стю VIII, п, 3 з су-
MOBHOCTi функци f (х) випливае, що й функгчя \f (х)| також сумэвна.
Наприклад, штеграл
1 . 1 ,
— sm — dx
X X
о
icnye як (умовно зб!жний) невластивий штеграл Р1мана, але не icnye
як штеграл Лебега.
Якщо розглядають функщю на всш прямш (або швпрямИ), тс
штеграл Р1мана для тако!’ функци може юнувати лише в невласному
розумшш. Знову ж, якщо такий штеграл збшаеться абсолютно, то
вцщовщний лебеговий штеграл icnye i мае те саме значения, Якщо
ж цей штеграл збшаеться лише умовно то в лебедовому розумшш
функщя не штегровна. Наприклад, функщя
sin х
х
не штегровна за Лебегом на Bcift прямш, бо
оо
— оо
Однак невласний штеграл
со
Г sinx ,
•—— dx,
.) X
— co
як вщомо, icnye, i дор!внюе л.
§ 6. ПРЯМ1 ДОБУТКИ СИСТЕМ МНОЖИМ I MIP.
ТЕОРЕМА ФУБ1Н1
В анал!з{ важливу роль вццграють теореми про зведення поден-
ного (або взагал! многократного) штеграла до повторного. У теорп
кратних штеграл!в Лебега основним результатом е так звана теоре-
ма Ф у б i н i, яку буде доведено наприкшщ цього параграфа. Опечат-
ку ми встановимо деяю допом1'жш поняття i факти, що мають, проте,
i самостшний штерес.
1 Добутки систем множин. Множина. Z упорядкованих пар (х,
у), де х g X, у QY називаеться прямим добутком множин X i Y
I позначаеться X X У. Аналогично множина Z впорядкованих скш-
ченних поел давностей (х2, х2, , хп), де xh Q X, називаеться прямим
Обушком множин Х1( Х2, Хп i позначаеться
Z = XixX2x ••• xXn = |x|Xft.
В окремому випадку, коли
X, = Х2= =Х„ = Х,
множина Z е /г-й степшь множини X:
Z = Хп. —'
Наприклад, координатний п-вим1рний npocTip R'7 е п-й степшь
числовоТ прямо'! R1. Одиничний куб/", тобто множи а елеменпв
з R’1 з координатами, що задовольняють умов!
О <3 < 1, & = 1, 2, ..., П,
. п-м степеней единичного сегмента R = [0, 1 ].
Якщо (Jj, @2, .... (5п — системи шдмножин множин Хх, Х2, ...
.... Хп, то
позначае систему пщмножин множини X = fx| Xk, зображуваних
у вигляд!
А = Aj х А2 х • • • 0.Ап,
Де Ak Q Qk.
Якщо (5i = = ...= =- g, то SR e п-й степшь системи (Д:
9i =
Наприклад, система паралелешпед1в в Rn e п-й степшь системи в1д-
рНюв в R1.
Теорема 1. Якщо (52, ..., — п1вк1льця, mo й SR = |х
в п1вк1льце. 1 "-. J
Доведения. За означениям швюльця треба перев!рити, що
m
коли А, В £ SR, то A Q В Q SR, i якщо, крГм того, В а: А, то А = (J Cir
де Сл = В, С( П 'Cj = 0 при i =А= j i С,- £ SR (г = 1, 2, ..., n).
Доведемо для випадку п =' 2.
I. Нехай A g X (5г> € kS>i X Qz, не означае, що
А = Aj х А2, Ил Qi, А2 £ (5г,
в ~ вг х В2, вх g 2л, в2 g q2.
Тод!
А П В ~ (Ил П Вл) х (Н2 П В2),
i осюльки
Ил П Вл Е (51’ ^2 Г1 В2 <3 (52,
то
и п в $ (5л х (5з-
м’ри ,Х р2 X ...X рге- Позначатимемо його символом рх ® р2 ® ...
... ® рп або ® pfe
Зокрема, при
Hi = р2 — ••• = Рп = р
д!стаемо н-й стешнь м!ри р:
Н" == ® На, На = И-"
Наприклад, л-зим!рна Mipa Лебега р" е n-й стешнь лп-пйно! м!ри Ле-
бега р.
Зауважимо, що добуток м1р автоматично буде повним (навить ко-
ли м*ри pj, рп були неповш).
3. Подання плоскоТ м1'ри через штеграл лшшно!’ м!ри nepepiaie
i геометричне означения штеграла Лебега. Нехай область G на пло-
щиш (х, у) обмежена вертикалями х — a, у—Ь i кривими у — <р (х),
у = Ф (*)•
Як вщомо, площа облает! G визначаеться щгегралом
ь
V (G) = j {<р (х) — ф (х)} dx.
а
При цьому р!зниця <р (х0) — ip (хо) дор!внюе довжин! nepepisy
облает! G вертикаллю х — х0. Наш! завдання — перенести такий спо-
с!б вшшрювання площ на дов!льн! Mipn-добутки
Р = Р* ® Нг/-
Надал! припускатимемо, що м!ри рх i ру, визначен! на о-алгебрах,
о-адитивн! i мають властив!сть повноти (якщо В a A i р (Л) — О,
то В вшшрна), яку, як було сказано рашше, мають ус! лебегов! про-
довження.
Введемо позлачення:
Ах = {у: (х, у) £ А} (х фжсоване),
Ау = {х: (х, у) £ Л} (у фшеоване).
Якщо X i Y — числов! прям! (а X х У —. площина), то АХо е про-
екц!я на в!сь Y nepepisy множини Л вертикальною прямою х = х0,
Теорема 3 У наведених вище припущеннях для будь-яко! [i-вилйр-
но'1 множини1 А
Н И) = J Нг/ (4) ^Нл- = J Н* (4) ^Нг/-
X У
Доведения. Досить довести piBHicTb
” р (Л) = f фл (х) dp., де фл (х) = Ру (Лх), (6)
______ х
1 Зауважимо, що штегрування по X фактично зводиться до штегрування по множин!
J Ау с X, поза якою тдштегральна функщя дор!внюе нулю. Аналоично, f f
" Y
х
оск!льки друге твердження теореми щлком аналощчне першому.
Зауважимо, що теорема автоматично включае в себе твердження,
що при майже ecix г (в розумшш м!ри цД множини А, вим1рн1 вьднос-
но Mipu рй i що функция фи (х) вимрна в1дносно Mipu рх. Без цього
формула (6) не мала б смислу.
Mipa р — це лебегове продовження м!ри
« =Ъ X И»,
визначепо’! на систем! (gm множин виду
= X АХ/>.
Для таких множин р1вшсть (6) очевидна, бо для них
, ч (Р-рпри х £ АУо,
фл(М)-| 0 при х £ А1)а.
Р1вн1сть (6) легко переноситься i на множини зШ (@от)> як> розкла-
даються в скшченну суму попарно неперетинних множин з Qm.
Доведения р!вност) (6) в загальному випадку грунтуеться на та-
к!й лем!, яка мае й самостшнчй штерес для теир’л лебегових продов-
жень.
Лема. Для будь яко'1 \х-вимлрно1 множини А'1снуе множ ина В виду
В=1)Вп, • • • =3 Вп ±э .. . ,
п
Вп — (J Вnk, Вп\ сд Вп% cz • • • cz. Bnk cz . .. ,
k
де множини Bnk належать Дс (Gmb причому А cz В i
р(А) = р(В). (7)
Доведения. За означениям викйрност! при будь-якому п
множину А можна помктити у множину Сп = J Дпг — об’еднання
Г
множин Дпг з так, що
р(Сп)<р(Л) +-1- .
п
Припустимо, що В,. = П Ck i зауважимо, що мйожини Вп мають
е=.
вигляд Вп = (J 6ns, де 6ns належать Q>rn. Hapeum, припустивши, що
s
k
Bnk = U Bnk, ми д!станемо систему множин B,lk з потр1бними власти-
S=1
востями.
Лему доведено.
PiBHicTb (6) легко переноситься з множин Bnk Q (gm) на множи-
ни Вп i В за допомогою теореми Б. Лев! (теорема 7, § S';, бо
<рвл (х) = lim фВ„, (х), <рв < фв„2 < •.. ,
Й->оо
фв (х) = lim фвл (х), фВ1 > фв, > ...
На шдстав! неперервност! м!ри pi р1вност) спррвджуються в кожшй
точш’ х. Якщо р (Л) = 0, то р (В) = 0 i майже скр1зь
,фв(х) = ЩЖ) = о.
Осюльки Лх с Вх, то майже для Bcix х множина Ах вим!рна i
фл(х) = р^Л*) = О,
( <рл (х) dpx = 0 = р (Л).
Отже, для множин Л м!ри нуль формула (6) справедлива. В вагальному
випадку зибоазимо А у вигляд! В \ С, де на шдстав! (7)
р(С) = О.
Осюльки формула (6) справедлива для множин В i С, то легко поба-
чити, що вона справедлива й для само! множини А. Доведения теореми
3 закшчено.
Нехай тепер Y — числова пряма, р7— лшшна м!ра Лебега, а мно-
жина Л е множина точок (х, у) виду
{(*, уУ.х £ М, 0<t/</(x)}, (8)
де М — якась р^-вим!рна множина, a f (х) — штегровна невщ’емна
функшя. У цьому випадку
| f(x) при х Q М,
НД4) = | 0 прИх$Л1
i
рД4 = j” f И №„
м
Отже, доведено таку теорему
Тес рема 4. 1нтеграл Лебега Heeid’eMHo'i функци f (х) dopieHioe
Mipi р = рл х ру множини А, визначенсн сп1вв1дношенням (8).
Якщо X — числова пряма, множина М — вщр1зок, а срункшя
f (х) штегровна за Р1маном, то ця теорема вводиться до вщомого вира-
зу штеграла через площу, розмпцену шд графшом функци.
4. Теорема Фубпп. Розглянемо потршний добуток V = X X Y X
X Z; якщо на X, Y, Z задано м!ри рх, р(/, рг, то Mipy
= Их ® ®
можна визначити як
(Нх ® Ну) ® Иг,
або як
Их ® ® РЛ-
Насправд}, як легко перев!рити, ui означения р1вносильн1.
Наведена нижче теорема е основною в теори кратких штеграл)в.
Теорема 5 (Ф у б i н i). Нехай м1ри рх i р^ визначена на а-алгеб-
рах, G-adumueHi i повн1; дал1, нехай,
р = рд. р^
I финкц1я f (х, у) штегровна no Mipi р на множит
Л сХ х К (9)
I од! 1
УЖ у) d\i = f/ j f(x, y)dpy\ dp* ( /(х, g)dn\dny. (10)
А Х\л* / Г\Иу
Твердження теореми включае в себе !снування внутр!шшх 1нте-
грал!в у дужках при майже bcix значениях змшно!, по як!й беруть-
ся зовшшш штеграли.
Доведения. Доведемо спочатку для випадку f (х, у) 0.
для цього розглянемо потршний добуток
U = X х Ж
де треДй множник е числова пряма, i добуток м!р
X = р] ® ру ® р1 = р ® р1,
де р1 е л1н1йна лебегова м!ра.
В U визначимо шдмножину W умовою
(J у, г) £ W,
я кщо
(X, у) е А,
0<z^f(x, у).
На шдстав! теореми 4
А, (Г) = J Ж, у) dp. (11)
А
3 другого боку, за теоремою 3
M^J^Wdp*, <12)
X
де £ = р х р1 i Wx означав множину пар (у, z), для яких (х, у, г) Q
, 1F При цьому знову за теоремою 4
= У / (X, у) dpy. (13).
Пор1внявши (11), (12) i (13), д!стаемо
У / (х, у) dp = У I У f (х, у) d[iy У dyx,
А X \ Ах /
що й треба було довести.
1 Див. виноску на стор. 270.
Загальний випадок вводиться до розглянутого за допомогою р1в-
ностей
y) = f+(x, У) — Г(х, У\
f+(x у) = 1Жу)1+/(*,у) , Г(Х) у) = .
Зауваження. Як показують наведен! вище приклади, з кнування повтор-
них штегралis
П а^х' f П (14)
X \ЛХ / Y \Ау /
не випливають, взагал! кажучи, ui р!вност! (10), н! 1нтегровн1сть функци / (х, у) на
А. Однак, якщо icuye хоча б один з 1нтеграл1в
§ Н I f (х, р)| або j7 J | / (*> УМ <№/’ qg)
X \лх ) V \Л7 /
то {х, у) штегровна на A i справедлива pienocmi (10).
Справд!, нехай, наприклад, перший з !нтеграл!в (15) icnye i дор!внюе М. Функ-
щя fn (х, у) = min (| f (х, у)\, п] вим!рна, обмежена, а отже, 1 сумовна на А. За теоре-
мою Фуб1н1
J fn (х; у) dyi = J / f fn (х, у) фД фх < М. (16)
4 X \АХ ]
Функци fn утворюють монотонно неспадну послщовшсть, яка майже скр!зь зб!гае-
ться до \f (х, у) |. За теоремою Б. Лев! звщси i з р!вност! (16) випливае, що функ-
щя \f (?.-. г/)| сумовна на А. Але тод! 1 f (х, у) сумовна i для не! справедлива теорема
Фубнп. Звщси випливае наше твердження.
Ми довели теорему Фуб(ш в припущенш, що м!ри i piy (а отже,
i ц) скшпенш. Однак, вока залишаеться справедливою i у випадку
о-скшченних Mip (див., наприклад, [21], с. 208).
Наведемо приклади функщй, для яких 1сиують повтори! !нтеграли (14), але р!в-
н!сть (10) не справджуеться.
1. Нехай А = [— 1, I]2
i *У / (Ж. у} = 7VT—м (х2 + у2)2
Тод! 1 j / (х, у) dx — 0 —1
при у & 0 ! I ( f У) dy = 0
при х =£ 0. Тому
Лле штеграл в розумшш подвшного штеграла Лебега по квадрату не icnye, бо
11 1 2л 1
, ,, ,, , , f , (* | sin ср cos ср | С dr
|f (х, y)l dxdy > \ dr \ J—— dtp = 2 \ — =
0 0 о
2. Нехай А = [О, 1]{,
/ (х, У) =
— 22п+' при
1
2п+!
О в peuiTi випадшв.
Можна ш'драхувати, що
1 / ’ \
j I / (*. У) dy\dx=A.
о \о J
Р о з д i л VI
НЕВИЗНАЧЕНИЙ 1НТЕГРАЛ ЛЕБЕГА.
ТЕОР1Я ДИФЕРЕНЦ1ЮВАННЯ
У цьому роздш ми розглядатимемо штеграл Лебега в основному
для функцш на прямш, вважаючи, що Mipa, по якш цей штеграл
береться, е звичайна лшшна Mipa Лебега.
Якщо f — сумовна функщя, визначена на вшпрному простор! X
з м! рою р, то штеграл
icnye для кожно! вим!рно! А ,с X i при фшсованому f е функщею
множини, визначено! для ecix вим!рних пщмножин A cz X. Такий ш-
теграл називаеться невизначеним штегралом Лебега. Зокрема, про-
стором X може бути вщр!зок числово! прямо!. Якщо при цьому
А — також деякий в!др!зок, то й штеграл (*) буде функщею пари то-
чок— кшщв в!др!зка А. Вважатимемо, що в цьому pa3i Miporo р
е звичайна Mipa Лебега ! записуватимемо dt заметь dp. Зафшсувавши
один з кшщв проьпжка штегрування, наприклад, л!вий, ми можемо
X
вивчати властивост! штеграла J / (/) dt, узятого по в!др!зку [а, х],
а
як функц!! одше! змшно! х. Ця задача приведе нас до розгляду деяких
важливих клашв функцш на прямш. Загальному вивченню штеграла
Лебега в!д фшсовано! функц!! f як функци множини присвячено § 5.
3 елементарного курсу анал!зу вщом! так! основн! р!вност!, як!
дають зв’язок хпж операщями диференцповання та штегрування:
якщо f—неперервна функщя, a F—функщя, що мае неперервну
похщну, то
X
1)
а
Ь
2) ^F'(t)dt = F(b) — F (а),
a
Постае запитання: чи правильна р!вшсть 1) для функщй, сумовних
у розумшш Лебега? Який е клас функщй (можливо, ширший), для
якого виконуеться р!вшсть 2)?
Вщповйн на щ запитання дано в наступних параграфах.
§ 1, MOHOTOHHI ФУНКЦП.
ДИФЕРЕНЦ1ЙОВН1СТБ 1НТЕГРДЛА ПО ВЕРХН1Й МЕЖ1
1. Основы! властивост! монотонных функцш. Вивчати властивост!
1нтсграла Лебега
Ф(х)=ф(0^ (1>
а
нк функци верхньо! гранит ми розпочнемо з такого очевидного, але
н.тжливого зауваження: якщо функщя f невщ’емна, то Ф (х) — моно-
тонно нескладна функщя. Дал!, всяка сумовна функшя е р!зниця
лнох ьев!д’емних сумовних:
/(/) = /+(/)-/_(/). (2)
I ому штеграл (1) розкладаеться в р!зницю двох монотонно неспадних
функшй. Отже, вивчення !нтеграла Лебега як функцп верхньоТ гра-
ниц.! можна звести до вивчення монотонних функци того самого типу.
Мопотонн! функцп (незалежно в!д Тх походження) мають ряд простих
i важливих властивостей, як! ми нижче викладемо.
Нагадаемо деяк! поняття. Скр!зь, де не застережено супротивне,
розглядатимемо функци, задан! на деякому в!др!зку.
Функшя f називаеться монотонно неспадною, якщо з х2 ви-
пливае, що
/(^</Щ);
аналог!чно визначаються монотонно незростаюч! функци.
Нехай /— дов!льна функшя на прямш. Границя * 1
lim / (х0 + й)
Л-+0+
(якщо вона !снуе) називаеться границею справа функцп f у точц! х0;
! позначають f (xft 4- 0). Аналопчно визначаеться / (х0 — 0) — гра-
ница зл1ва функци f в точц! х0. Р!вшсть f (х0 + 0) = f (х0 — 0) озна-
чае, очевидно, що в точщ х0 функшя / або неперервна, або мае усувний
розрив. Точка, в як!й обидв! щ границ! !снують, але не р!внi м!ж со-
бою, називаеться точкою розриву периюго роду, а р!зниця / (х0 + 0) —
/ (х0 — Э) називаеться стрибком функцп / в ц!й точц!.
Якщо / (х0) = / (х0—0), то / називаеться неперервною зл1ва в точц!
v„, а якщо / (х0) = / (х0 + 0), то / неперервна справа в ц!й точц!.
Установимо основн! властивост! монотонних функщй. Для певност!
мн говоритимемо про монотонно неспадш функцп, хоч зрозум!ло, що
иге сказане нижче автоматично переноситься на функцп, як! монотон-
но не зростають.
1. Усяка монотонно неспадна на \а, b 1 срункщя f вимрна i обмежена,
а отже, сумовна.
Справд!, за означениям монотонност!
/(а) < /(х)< f(b) на [а, й].
Дал!, для будь-яко! стало!' с множина
{x'f(xXc}
1 Символ h -> 0 -|- означав, що h прямуе до нуля, набуваючи лише додатних значень.
е або в!др!зок, або швштервал (або порожня). Справд!, нехай точки,
в яких f (х) < с, !снують, i нехай d е точна верхня грань таких х.
Тод! Ас е або в!др!зок [a, d] або швштервал [a, d).
2. Монотонна функщя може мати розриви лише першого роду.
Справд!, нехай х0— дов!льна точка на [a, b] ! хп -> х0, причому
хп < х0. Тэд! послщовшсть {f (хп)} обмежена знизу ! звеоху (напри-
клад, величинами f (a) i f (b) ]. Отже, вона мае хоча б одну граничну точ-
ку. Але наявшсть в будь-якш такш послщовност! шлькох граничних
точок суперечило б, очевидно, монотонност! функц!'! f. Отже, f (х„ —
— 0) !снуе. Аналошчно встановлюють !снування f (х0 + 0).
Монотонна функщя не обов’язково буде неперервною. Однак,
справедливе таке твердження:
3. Множина точок розриву монотонно! функци не б!льш як зл1-
ченна.
Справд!, сума будь-якого скшченного числа стрибюв монотонно!
функц!! / на в!др!зку [а, Ь] не перевищуе f (Ь) — f (а). Отже, для кож-
ного п число стрибшв, величини яких б!лыш, шж 1/п, скшченна.
ГПдсумовуючи за вс!ма п = 1, 2, ..., дютаемо, що загальне число
стрибюв скшченне або зл!ченне.
Серед монотонних функщй найпрост!шими е так зван! функци
стрибк!в. Тх будують так. Нехай на в!др!зку [а, 6] задано скшченне
або зл!ченне число точок
^1» •^'2’ • • • ’ • • *
i нехай ' кожшй з них поставлено у вщповщшсть додатне число, при-
чому У hn с оо. Визначимо функщю f на [а, 6], припустивши, що
/(х)= J hn. (3)
X <х
п х
Зрозум!ло, що ця функщя монотонно неспадна. Кр!м того, вона
неперервна з л i в а 1 в кожшй точщ, а сукупшсть !"! точок розриву
зб!гаеться з множиною {хп}, причому стрибок у точщ хп дор!внюе
hn. Справд!,
f(x— 0) = 1!ш/(х — е) = lim 2 h,„
е->0+ е->04- х^<х—е
але осюльки кожне xnt яке задовольняе умову хп <Z х, задовольняе
й умову хп < х — е при досить малому е, то остання границя У hn =
Ж'
= f (х). Отже,
)(х-0) = /(х).
1 Якби ми визначили f за формулою
fix) = 2
хп^х
то д!стали 6 функщю, неперервну справа. Надал!, якщо не застережено супро-
тивне, то Bci розглядуваш монотонш функцп ми вважатимемо неперервними зл!ва
/1кщо точка х збИаеться з одшею з точок хп, наприклад х =
' то
f (х„„ + 0) = Hm f (хПа + е) == lim 2 hn = S
e->0+ E-+0+ хп<хЛо+е xn^xn°
тобто
f (ХП„ + J) — f (Xn0 — 0) = /ln0.
Hapenrri, якщо хне з 6 i га еть с я з жодною з точок хп, то
и нш функщя стрибшв неперервна (доведкь!).
На дал! шд функщею стрибюв ми розумттимемо будь-яку функщю,
яку можна зобразити за допомогою т!льки що описаного способу.
Найпроспший тип функцш стрибюв — схщчаст! функци, в яких
точки розриву можна розм!стити в монотонну послщовшсть
У загальному випадку функщя стримив може мати й складшшу
структуру, наприклад, якщо {х„} —множина yeix ращональних точок
на в!др!зку [a, b], ahn — 1/2", то формула (3) визначае функщю стриб-
к!в, розривну в ращональних точках i ненерервну в !ррацшнальних.
1нший тип монотонних функщй, в деякому розумшш протилежний
функщям стрибшв,— неперервн! монотонн! функци. Справджуеться
таке твердження:
4. Усяку монотонну функщю, неперервну зл1ва, можна подати
як суму неперервно'1 монотоншл функиП i функци. стрибйв (неперерв-
Ho'i зл1ва) i притому единим способом.
Справд!, нехай f—неспадна неперервна зл!ва функщя i xlf
х2, ••• — yci Ti точки розриву, a hlt h2, ... — ii стрибки в цих точках.
Припустимо, що
н (х) = 2 hn-
хп<х
Р13НИЦЯ
<р = /-я
е неспадна неперервна функщя. Для доведения розглянемо р!з-
ницю
Ф (х") - Ф (Е) = [/ (х") - f (х')1 - [Н (х") - Н (х')],
де х' < х". Тут справа сто'Тть р!зниця м!ж повним приростом функци
f на вщр!зку [х', х"] i сумою ii стрибшз на цьому вщртзку. Зрозуммо,
що ця величина невщ’емна, тобто ф — неспадна функщя. Дал:, для
довмыюТ’ точки х* маемо
ф(х*_0) =f(x* — 0) — Д(х* — 0) =/(х* — 0)— J] !in,
хп<х*
Ф(х* + О) =/(х* + 0)-Я(х* + 0) =/(х* + 0)~ 2 hn,
хп<х*
звщки
Ф (х* + 0) — ф (х* — 0) = f (х* + 0) — f (х* — 0) — h* = 0
(де h* — стрибок функци И у точц! х*). Звщси i з неперервност!
/ ! И зл!ва випливае, що <р справд! неперервна.
2. Диференц!йовн1сть монотонно!' функци. Перейдемо тепер до
питания про кшування похщно! в!д монотонно! функцп.
Теорема /(Лебег а). Монотонна функщя f, визначена на eid-
р1зку [а, b ], мае майже скр1зъ на цьому eidpisny скшченну пох1дну.
Насамперед введемо деяк! поняття, як! будуть потр!бн! для дове-
дения ц!е'! теореми.
Як вщомо, похщною функци f у точц! х0 називаеться границя
х — х0 '
при х -> х0. Звичайно, ця грани-
ця може й не юнувати, однак
завжди мають зм!ст так! чотири
величини (як! можуть набувати
й нескшченних значень):
Лпр — верхня границя вщно-
шення (4) при х, яке прямуе
до х0 справа (тобто так, що
х— х0 > 0). Ця величина нази-
ваеться верхнем правим noxid-
и ним числом.
х Хпр (нижне праве noxidne чис-
ло) — нижня границя вщношен-
ня (4) при х -> х0 справа.
Лл!в (верхне л1ве пох1дне число) — верхня границя вщношення (4)
при х -> х0 зл!ва.
^Л1в (нижне л1ве noxidne число) — нижня границя вщношення (4)
при х -> х0 зл!ва.
На рис. 19 подано прям! з кутовими коефщ!ентами Лпр, Хпр, ЛЛ|В,
%Л!в вщповщно. Зрозум!ло, що завжди
р Лпр ! Хтв Лл|в.
Якщо Лпр i Z„p скшченн! й однаков! м!ж собою, то це сгильне !х
значения е похщна функци f (х) в точц! х0 справа. Аналопчно, якщо
Лд|в - \л1в, то !х сшльне значения е похщна зл!ва. 1снування вщ f
в точц! х0скшченно1 похщно! р!вносильне тому, що в цш точц! вс!
похщн! числа функцп f скшченн! i р!вн! м!ж собою. Тому твердження
теореми Лебега можна сформулювати так: для монотонно! на 1а, Ь]
функци cnieeidHotueHHH
ОО ^Л1В ^пр “ ЛЛ1В = Лпр °°
виконан1 майже скр!зь на [а, Ь].
В п р а в а..Нехай f* (х) — — f (х). Як пов’язан! похЩн! числа /* з похщними
числами /?
Дайте вщповЩь на таке саме Ьапитаиня при переход! в!д / (х) до f (—х).
Доведения теореми Лебега грунтуеться на наведенш нижче лемь
якою ми користуватимемося i даль
Введемо таке означения. Нехай g (х) — неперервна функщя, зада-
на на вщр!зку а < х < Ь. Точку х0 цього в!др!зка ми назвемо точкою,
невидимою трава для функци g, якщо icnye така точка j (х0 < £ < Ь),
“Ю g(x„) < g (£) (рис. 20).
Лема (Ф. Р i с а). Для будь-якш неперервно! функци g множина
точок, невидимих справа, в1дкрита на в1др1зку [аД] I, отже, подаешь-
ся у вигляд1 суми скшченного або зл1ченного числа попарно неперетин-
них штервал1в (ak, bk) (i, можливо, п1вштервал1в, як1 включають к1нц1
eidpisKa). У кшцевих точках
цих штервал1в виконаш Kepie-
Hocmi
g^)JLg(bk). (5)
Доведения леми.
Якщо — точка, невидима
справа для g, то таку саму
властив!сть матиме, на пщстав!
аеперервност1' g, ! будь-яка точ-
множина таких точок вщкрита на
ка, достатньо близька до х0. Отже,
1а, &]. Нехай (ah, &fe) — один з !нтервал!в,
як! и утворюють. При-
пустимо, що
(6)
тод1 в штервал!' (afc, bk) знайдеться внутрппня точка х0, в як1й g (х0) >
> g (bk). Нехай х* — найправ!ша з ycix точок х на (aft, bk), в яких
g (х) = g (х0).
Осюльки х* g (ak, bk), то icnye така точка t > х*, що g (£) >
> g (**)• Точка | не може лежати на штервал! (ak, bk), бо х* — най-
прав1шатчка на цьому штепвал!, в як!й g (х) — g (х0), тод! як g(bk) <
< g (х0). 3 другого боку, HepiBHicTb також. неможлива, бо ми
мали б g (bft) < g (х0) < g (g), a bk не e точкою, невидимою справа.
Ця суперечшсть показуе, що нер!вн!сть (6) не справджуеться, тобто
g Дь) < g (^)> > лему доведено. Читач легко перев!рить, що фактично
g (ak) = g (bk), якщо тшьки aft а.
Зауваження. Назвемо точку хс невидимою зл1ва для неперервно!' функцп
§ О), якщо 1снуе таке g < х0, що g @ > g (х0).
Так! caMi м!ркування показують, що множина невидимих зл!ва точок
е сума сличенного або зл!ченного числа попарно неперетинних штер-
вал!в (ak, bk), причому
g (ak) g (bk).
Перейдемо тепер до доведения само! теореми Лебега. Доведемо
и спочатку в припущеннц що f—неперервна монотонна неспадна
функщя. Для доведения теореми досить встановити, що майже скр!зь
1) Апр<оо, 2) Хтйв ЛПр.
Справд!, якщо ми припустимо, що f* (х) = — [* (— х), то [*
також буде монотонно неспадною неперервною функщею, визначеною
на вщр!зку [—а, - Ь]. Якщо А,пр! ХдН—верхне праве i нижне л!ве
похщш числа для /*, то, як легко перев!рити (див. вправу на стор. 280),
похщш числа функщй f i /* у вщповщних точках пов'язаш р^вшстью
Апр = -А-Л1В, ^Л1В = ^пр-
Тому, застосувавши нер1вшсть (2) до f* (х), дютанемо
^-пр АЛ1в. (7)
Сполучивши знайдеш нер1вност! в один ланцюжок i використовуючи
означения похщних чисел, матимемо:
АПр ^л!в Ал1в ^пр АПр,
а це й означае, що
7л! в — ^пр = Ал1в = Апр.
Покажемо спочатку, що Апр < оо майже скр!зь. Якщо Апр = оо у
деякш точш х0, то для будь-яко! стало! С справа вщ точки х0 знайдеть-
ся така точка що
/ (£) — f (хп) о
£ — Хо '
тобто
/®->о)>С(^-хо)
або
f^-C^>f(x0)-Cxn.
1накше кажучи, точка х0 е точкою, невидимою справа для функци
g (х) = f (х) — Сх.
На шдстав! леми Ф. Pica множина таких точок вщкрита, i на кшцях
штервал1в (ak, bk), як! !! утворюють, виконаш нео!зносп
тобто
f(bk) — f(ak)i$ZC(bk — ak).
Подшивши на С i взявши суму знайдених нер!вностей по вс!х штер-
валах (ak, bk), дютанемо
2<S Ж)ёт) <
f k
Тут С можна було взяти як завгодно велике. Отже, множину тих
точок, в яких Апр'= ос, можна покрити штервалами, сума довжин
яких як завгодно мала. Отже, м!ра ще! множини дор!внюе 0.
Такий самий спос!б, пов’язаний з лемою Ф. Pica, дае змогу довести,
що майже скр!зь ХЛ!в Апр, але тепер цей cnoci6 доведеться застосу-
вати дв!чк Розглянемо пару ращональних чисел с i С, для яких 0 <
< с < С < оо i припустимо, що р = с/С. Позначимо через Ес,с
укупшсть тих х> для яких-Лпр > С, а лл;Г! < с. Якшо ми доведемо,
що = 0, то звщси випливатиме, що майже скр!зь %Л1в Апр,
бо множину тих точок, де ^Л|В < Лпр, очевидно, можна подати у вигля-
д! суми не б!лып як зл!ченного числа множин виду £с,с-
Установимо тепер основну нер!вшсть.
Для будь-якого интервалу (а, Р) cz [а, Ь\ маемо
ц(ЕС:С Г) (а, ₽)) < р(р — а).
Справд!, насамперед розглянемо множину тих х £ (а, р), для
яких Anju < с. Для всяко! тако! точки х знайдеться таке g < х, що
/< с, тобто f (g) — eg > f (x) — ex. Тому x невидима
зл!ва для функц!! f (х) — ex i за л^мою Ф. Pica (див. зауваження на
стор. 281) множину таких х можна подати у вигляд! суми не б!льш як
злаченного числа штервал!в (aft, РА) ст (а, р), причому 1 (aft) — >
> f (₽ft) — тобто
MPfe) — /Ю < c(Pft — ak). (8)
На кожному з !нтервал!в (aft, pA) розглянемо множину Gk тих x, для
яких Лпр > С. Знову застосовуючи лему Ф. Pica (тепер, як ! при до-
веденш нер!вносш Апр < со, для точок, невидимих справа), ми д!ста-
немо, що Gk можна подати у вигляд! суми не б(льш як зл!ченного чис-
ла неперетинних штервал !в (a*,-, Р^-) i
(9)
Зрозум!ло, що множина Ес,с П (а, Р) покриваеться системою ш-
тервал!в (aft/, Р*/), причому на шдстав! (8) i (9) маемо
2 (Р*/ - akj) < 2 I/ (Я - f (aki)] <
k.j c k.i
<4^1/ (pfe) -7 (M < 4 S (Pft - a4) < P (₽ - a),
O k k
i основну нер!вн!сть доведено.
Тепер легко довести, що р.£с,с = 0.
При цьому досить використати лише ту властивють множини Ес_с,
яка описуеться основною нер!вшстю.
Лема. Нехай вимлрна множина А на в1др1зку [а, Ь] така, що для
будь-яко^ штервала (a, р) cz [а, Ь] виконуеться нер1вн1сть р. (4 Г|
П (а. Р)) < р (Р—а), де 0 < р < 1. Todi цЛ =0.
Доведенн я. Нехай цЛ = t. Для будь-якого е > 0 кжуе
така вщкрита множина G, яка дор!внюе сум! зл!ченного числа штер-
вал !в (ат, Ьт), що Л ед G i У, (Ьт — «т) < t + &. Припустимо t„ =
т
= р[Л П (ят, bm)l. Зрозум!ло, що t = За умовою леми tm <
т
< Р — атд- Отже, t < р У, (Ьт — ат) < р (t + е) i осшльки в >
т
> 0 довщьне, то t < pt. Але 0 < р < 1 i тому t = 0,
Лему доведено, ! тим самим закшчено доведения теореми 1.
Отже, ми довели теорему 1 в припущенн! неперервност! функцп f,
Ti сам! м!ркування переноситься ! на випадок розривно! монотонно!
функц!!, якщо скористатися узагальненням леми Ф. Pica на функци
з розривами першого роду.
Нехай g— функщя на вщр!зку 1а, Я, що мае розриви лише пер-
шого роду. Назвемо точку х0 (£ [а, Ь] невидимою справа для g (л:),
якщо icnye таке % > х0, що
max [g (х0 — 0), g (х0), g (х0 + 0)] <g (g).
Тод!, як i у випадку неперервно! g, множина точок, невидимих справа
для g, в1дкрита, I в к1нцях 1нтервал1в (ak, bk), як! Г! утворюють, ви-
конуються нер!вност!
g Q) < S th)-
Хоч доведения теореми 1 досить довге, сама вона мае простий наси-
лий зм!ст. Пояснимо, наприклад, чому Апр (! АЛ1В) обов’язково буде
скшченним майже скр!зь. Вщношення це «коеф!ц!ент розтягу»
•вщр!зка [а, Ь] у певн!й точц! х при вщображенн! [. Оск!льки при цьо-
му вщображенн! скшченний вщр!зок 1а, Ь] перетворюеться в скш-
ченний вщр!зок [f (a), f (b)], то «розтяг» не може бути нескшченним
на множин! додатно! м!ри.
1нод! бувае корисна така теорема про почленне дифференц!юван-
ня ряду з монотонних функщй, яку називають шод! «малою теоремою
Фубш!».
Теорема 2 Скр1зь зб1жний ряд
сю
2 (х) = F (х), (10)
де Fn— монотонно неспадн! функцП на [а, &], майже скр1эь допускав
почленне диференщювання\
оо
2 F'n (х) = F’ (х).
п—\
Доведения. Замшивши Fn (х) на Fn (х) —Fn (а), можна
вважати, що вс! Fn (х) невщ’емн! i перетворюються в нуль при х =' а.
На пщстав! теореми 1 юнуе множина повно! м!ри Е с. [а, Ь], на
якш юнують ус! Fn (х) i F' (х). Нехай х g Е, a g g la, bj дов!льне.
Маемо • »
2
n=i _ _ — = Д ДгДД1
6 — X g — X
Осюльки g — х i F,t (g) — Fn (x) мають однаковий знак (монотон-
н!сть), то при будь-якому N
N
2 {Fn&-Fn(x)}
п=1 / F(1)-F(X)
I — х
Переходячи до границ!, при £ -> х, д!стаемо
2 F'n (х) < F' (х).
П=1
Оск1‘льки вс! Fn ( х) 0, звщси випливае, що
У ЛДхХ^Дх). (11)
n—i
Отже, ряд з похщних Fn (х) збшаеться скр!зь на Е. Покажемо,
що при майже Bcix х в (11) справджуеться знак р!вность Для кожно-
го х знайдеться така частинна сума Snk (х) ряду (10), що
Осюльки функщя F (х) — Sn (х) = У Fm (х) — неспадна, то при
m>nk
будь-якому X
0<F(x) — S,lk(x)<Z
звщки випливае, що ряд
2 [F(x)-Srtfc(x)], (12)
t=i
що складаеться з неспадних функцш, збшаеться (нав!ть р!вном!рно)
на всьому в!др!зку [а, Ь]. Тодф за вже доведении, ряд
у [F' (x)-S„ (х)].
fe=i а
(13)
знайдений з (12) почленним диференщюванням, збшаеться майже
скр!зь. Отже, загальний член ряду (13) майже скр1'зь прямуе до нуля,
тобто S„k(x) — F'(x) 0 майже скр!зь. Але якби в нер1вност! (11)
стояв знак <, то жодна послщовшсть часткових сум не могла б зб1-
гатися до F' (х). Отже,
У F„ (х) = F' (х)
П=1
майже скр!зь. Теорему доведено.
Н а с л i д о к. Функщя стрибк1в мае майже скр1зь пох1дну, яка
dopieHtoe нулю.
Справд!, така функщя е сума зб!жного ряду неспадних :<ступешв»:
Fn (х) =
0 при х < х„,
hn при х>х„,
кожна э яких мае майже скр!зь похщну, що дор!внюе нулю.
3. Похщна штеграла по верхшй меж!. Осшльки штеграл
j ф (Z) dt
а
вщ будь-яко! сумовно! функци можна подати у вигляд! р!зниц! двох
монотонних функщй, з теореми 1 в!дразу випливае такий результат:
Теорема 3. Для кожно'1 сумовно! функци ф похсдна
(14)
а
icnye при майже ecix х.
Сл!д шдкреслити, що хоч ми й установили юнування похщно! (14)
майже скр!зь, питания про р!вн!сть
X
dt == q (X)
а
поки не обговорювалось. Насправд! (див. § 3) ця р!вн!сть справедли-
ва майже скр!зь для будь-яко! сумовно! функц!! ф.
§ 2. ФУНКЦП 3 ОБМЕЖЕНОЮ ЗМ1НОЮ
Питания про диференщйовшсть штеграла Лебега по верхшй гра-
ниц! привело нас до розгляду класу функц!й, зображуваних у вигляд!
р!зпиць монотонних функшй. У цьому параграф! ми дамо для цих
функц!й !чший опис, який не грунтуеться на понятт! монотонност!,
i розглянемо основе! !х властивост!. Почнемо з необхщних означень.
Означения 1. Функц!я f, задана на в!др!зку [а, Ь], називае-
ться функщею з обмеженою змшою, якщо !снуе така стала С, що,
яке б не було розбиття в!др!зка [а, Ь] точками
а = х0 < хг < • • • < хп = Ь,
виконана нер!вшсть
п
(1)
л-=1
Усяка монотонна функшя мае обмежену змшу, бо для не! сума,
яка сто!ть в (1) зл!ва, не залежить в!д вибору розбиття i завжди до-
р!внюе —
Означения 2. Нехай f — функщя з обмеженою змшою. Точ-
на верхня грань сум (1) по р!зних скшченних розбиттях вщр!зка [а, Ь]
називаеться поеною змшою (або поеною eapiayieto) функц!! f на в!др 13-
ку la, bl i позначаеться [/1. Озже,
V*[f] = SUPJ \f(xk) — f(Xk-})\.
/г=1
Зауваження. Функщя f, задана на ecift прялпй, називаеться функщею
। обмеженою змшою, якщо величини
Vain
обмежеш в сукупносп. При цьому
lim Vba [/].
/2—>— ОО
називаеться повною зшною функцп f на прями”! — оо < х < оо i позначаеться
V”„ [/]•
Установимо основн! властивост! повно!' зм!ни функци,
1. Якщо а — стале число, то
Це вгдразу випливае з означения Va 1/1.
2. Якщо fig — функци з обмеженою зм1ною, то f + g також мае
обмежену змшу 1
V* [/' + £,< ^ 1Л+^[£Ь (2)
Справд!, для кожного розбиття в!др!зка [а, Ь] маемо
S 1 / (Xk) + g (Xk) — f (xfe_i) — g <
k
< 2 | / (Xk) — f (XA-l)l + 2 I g (xk) — g
k k
звщки, осюльки завжди
sup (Л -f- B)< sup A + sup B,
то д!стаемо потр!бну нер!вн!сть.
Р!вност! 1 i 2 означають, що л!н!йна комб!нац!я функшй з обмеже-
ною змшою (визначених на даному в!др!зку [а, О е функщя з обмеже-
ною зм!ною. Гнакше кажучи, функци э обмеженою змшою утворюють
лМйний npocmip (на в!дм!ну в!д множини монотонних функшй, як!
лшшного простору не утворюють).
3. Якщо а < b <2 с, то
УаШ + УИЛ =ГДД (3)
Справд!, розглянемо спочатку таке розбиття в!др!зка [а, с], в якому
b е одшею з точок под!лу, наприклад, хг — Ь. Тод!
п г
2 1 f Iх ki — f u*-i)l = 31 / — f (^-i)l +
k=l /2=1
+ Z \f(Xk)-f(xk^)\<ybalf] + VCblf]. (4)
A=v+I
ЕИзьмемо тепзр дов!льне розбиття вщр!зка 1а, с]. Зрозум!ло, що коли
до його точок прд!лу додати ще одну, саме точку Ь, то сума
п
7 1Ж)-Ж-,)|
t=l
вщ такого додання не зменшиться. Отже, нер!вшсть (4) виконана для
будь-якого розбиття вщр!зка [а, с], тому
ок 7; in + шл-
3 другого боку, для всякого в > О знайдуться так! розбиття в!др!зк!в
[a, б] ! [6, с], що
i
Сполучивши ui два розбиття,- ми дщтанемо розбиття в!др!зка [a, cJ,
для я кого
21 f (xk) — f (х/г_,)| = У( | f (xi) — f (л7-1)| 4-
1г i
+ 71/ (7) - / (0)1 > Vb [/] + V‘b [/] - e.
i
На пщстав! довгльносп в > 0 звщси випливае, що
Va{f}>Vba\f] + VCb\i\. (5)
3 (4) i (5) випливае (3).
Осюльки зм!на будь-яко! функци на будь-якому вщр!зку невщ’ем-
на, то з властивост! 3 вщразу випливае властив!сть 4.
4. Функшя
v(x) = Vxa{f\
монотонно неспадна.
5. Якщо f неперервна в точщ х* зл1ва, той о неперервна в ц1й точщ
зл1ва.
Справд!, нехай в > 0 задане. Виберемо 6 > 0 так, що | / (х*) —
— / (я) | < е/2, як т!льки х* — 3 < х < х*. Дал!, в!зьмемо розбиття
а = х0 <. Ху <; • • • << хп = х*
так, що
Ci/i-S |/{J-lxfe_1)|<^-. (6)
fe=i z
При цьому ми можемо вважати, що
X* — Хп-1 < б
(шакше ми додали ще одну точку розбиття, внаслщок чого р!зниця,
яка стоггь у (6) зл!ва могла б пльки зменшуватись), тому
|/(Х*) — / (х„_0| <-|-
i, отже,
vr [/] —
fe=l
Але тод! тим б!льше
V? [/] — УаП~' [/] < 8, ТОбТО V (X*) — V (Х„_1) < Е.
Осшльки v—монотонно неспадна функшя, то звщси випливае, що
v (х*) — v (х) < е для bcix к таких, що хп-\ <С х < х*. А це й озна-
чае неперервшеть функшй о в точш х* зл!ва.
Якщо f неперервна в х* справа, то, як показуютз аналопчш м!р-
кування, i v неперервна в цш точщ’ справа. Отже, якщо f неперервна
в деяк1й точщ (або на всьому вщр!зку [a, fe]), то неперервна й V.
Нехай f— дов!льна функшя на [a, fe] з обмеженою змшою i и —
и повна змша на [а, х]. Розглянемо р!зницю
Ф = к —/.
Ця р!зниця — монотонно неспадна функшя. Справд!, нехай х' <.
< х". Тод!
Ф (х") — ф (х') = [о (х") — о (х')] — I/ (х") — f (x')J. (7)
Але завжди
| f (х") - f (х')| < v (х") - v (х') = Vх*. [fl,
тому права, а отже, i л!ва частини р!вност! (7) невщ’емш.
Отже, осшльки
f = v — ф,
то ми д!стали такий результат:
Теорема 1. Усяку функщю з об.леженою змшою можна подати як
р1зницю двох монотонно неспадних функщй.
Обернене твердження очевидне: усяка функшя, яку можна подати у
вигляд! р!зниц! двох монотонних, мае обмежену змшу. Тому сукуп-
шсть функшй, як! можна подати у вигляд! р!знищ монотонних функ-
шй, розглянута нами ще в попередньому параграф!, це ! е сукупшсть
функшй з обмеженою змшою.
3 теореми 1 i встановлено!' в попередньому параграф! теореми Ле-
бега про (снування похщно'! в монотонно! функцп вщразу випливае,
що всяка функщя з обмеженою змшою мае майже скр1зь скшченну по-
xidny.
В п р а в и. 1. Якщо f мае. на [а, Ь] обмежену похщну (тобто /' (х) icnye скр!зь
1 \ f' «I < С), то f — функщя з обмеженою змшою, причому
Vba [f\<C(b-a).
2. Нехай !(х) = хз1п— . Показати, що зм1на функци f на [0, 1] нескшченна.
Стал!, ! пльки вони, являють собою функци, повна зм!на яких
дор1внюе 0. Припустимо, що
11/11 = ^[/].
Величина Vba [/] мае властивост! 2) i 3) норми (див. стор. 120), але не
властивють 1). Якщо розглянути пльки функци, як! задовольняють
додаткову умову / (а) = 0, то вони також утворюють л!н!йний проспр,
в якому величина Vb [/] мае вже вс! властивост! норми. Проспр
У® [а, Ы функцш з обмеженою змшою на [а, Ь], як! задовольняють
умову / (а) = 0 !з звичайними означениями додавання ! множення на
числа ! з нормою
11/11 = ^[/ь
називаеться простором функщй з обмеженою зм1ною. (Довел ггь повно-
ту цього простору).
§ 3. ПОХ1ДНА НЕВИЗНАЧЕНОГО ШТЕГРАЛА ЛЕБЕГА
У § 1 ми показали, що штеграл Лебега
j / (/) dt
а
як функщя в!д х мае майже скр!зь скшченну похщну. Проте ми поки
ще не з’ясували, як пов’язана ця похщна з шдштегральною функщею.
Тепер ми встановимо такий результат, згаданий в к!нц! § 1.
Теорема 1. Для всяко! сумовно! функци f майже скр!зь справджуе-
ться р1вн1сть
X
а
Доведения. Припустимо
Ф(х)= I
а
Покажемо спочатку, що майже скр!зь
Якщо / (х) < Ф' (х), то знайдуться так! рацюнальш числа а ! 0, що
/ (х) <а<0 < Ф'(х). (1)
Нехай £ар—множина тих точок, в яких виконана нер!вн!сть (1).
Вона вим!рна, бо / ! Ф' вим!рнТ Покажемо, що Mipa кожноТ з множин
ЕаА дор!внюе нулю. Осюльки число цих множин зл!ченне, то звщси
випливатиме, що
Н {х:/(х)<Ф' (х)} = 0.
Нехай е > 0 довгльне i нехай 6 > О таке, що
^f(i)dt <е,
е
як пльки р (е) < б (таке 6 icnye для будь-якого е внаслщок абсолют-
но! неперервност! (нтеграла). Виберемо тепер вщкриту множину G а
a [a, b ] так, що
G => Еар i р (G) < р (Еар) -р б.
Якщо х £ £а3, то
(2)
для Bcix £ > х, достатньо близьких до х. Записавши нер!вшсть (2)
у вигляд!
Ф @ > Ф (х) — ₽х,
д!стаемо, що точка х — невидима справа для функци Ф (х) — |3х
на будь-якому з !нтервал!в, як! утворюють множину G. Використо-
вуючи лему Ф. Pica, ми можемо тому вказати таку вщкриту множину
S = (J (ak, bk), що Еар <= S d G !
Ф (bj — R > ф'(а*) — $ak,
тобто
ф (bk) — Ф <flk) >₽(&*- ak),
або <
bk
ak
Пщсумовуючи так! нер!вност! no ecix штервалах (ak, b^, як!
утворюють S, д!стаемо
Ш)Б>|р(5). (3)
S
Водночас
J f(t)di+ j f(t)dtap (Fap) + s <
s £a|3
< ap (S) + 8 + I a I 6. (4)
Пор!внюючи (3) i (4), дютаемо
ap (S) + e 4-1 a 16 > pp (S),
тобто
s e +| a |6
‘ v |J — a
Отже, множину £ap можна пом!стити у вщкриту множину як зав-
годно мало! м!ри (ми можемо вважати, наприклад, що | а | б < 8), а
це й означав, що р (Еар) = 0. Отже, ми показали, що
/(х)>Ф'(х)
майже скр!зь. Замшивши f (х) на —f (х), ми таким самим способом
дютанемо, що майже скр!зь
-f(x) J-Ф' (х),
тобто
f (х) < Ф' (х)
i, отже, майже скр1зь
X
дх)=ф'(*) = 4-f
а
Теорему доведено.
§ 4. В1ДНОВЛЕННЯ ОУНКЦ1Т ЗА П ПОХ1ДНОЮ.
АБСОЛЮТНО НЕПЕРЕРВН! ФУНКЦП
Отже, ми розв’язали перше з поставлених на початку цього роздь
лу питань, установивши р1вшсть
X
j f и) dt = f (х) (майже скр!зь)
а
для будь-яко! сумовно! на [а, b ] функци f. Розглянемо тепер друге з
сформульованих там питань, тобто з’ясуемо, як узагальнюеться на
випадок штеграла Лебега формула Ньютона — Лейбшца
F(x) = F (а) + $ F' (t) dt, (1)
а
добре вщома у випадку неперервно диференцшовних функшй з еле-
ментарного анал!зу.
Природно обмежитися розглядом функшй F, явно диференцшов-
них майже скр1зь (шакше р1вшсть (1) просто не мае смислу). Як ми
вже знаемо, такими, зокрема, е функци з обмеженою змшою.
3 другого боку, штеграл, що стоТть в (1) справа, е функшя з обме-
женою змшою. Тому piBHicTb (1) не може бути справедлива для шир-
шого класу функцш. Осшльки всяка функшя з обмеженою змшою е
р!зниця двох монотонно неспадних, то саме монотонш функци и треба
розглядати в першу черту.
Проте для довкьних монотоннихфункцш р!вн!сть (1), взагал! ка-
жучи, не мае смислу. Водночас справедлива така теорема:
Теорема 1. FIoxidHaf монотонно неспадно! функцП f сумовна I
ь
I f (х) dx </(&)— f (а),
а
Доведения. За означениям похщна функци f в точш х е
границя вщношення 1
(2)
-Щоб вираз f (х + h) мав смисл при будь-якому xg [a, bj, можна вважати, що
f(x) = f (Я при х > b i f (x) = f (а) при x < a.
при h -> 0. 3 монотонност! f випливае ii сумовшсть, а отже, i сумов-
1псть кожно! з функпдй <рА. Тому р{вн1сть (2) можна проштегрувати.
Д^стаемо
b b ь
J фй (х) dx = -^-\ i(x + h) dx--^-^ f (X) dx =
a a a
b+h a+h.
= -/ j f (*) dx------p ) f И dx.
b a
Вираз, що стоить справа, при h -> + 0 прямуе до f (b) — f (а -|- 9),
Тому, застосувавши теорему Фату, ми дктаемо
ь ь
[' (х) dx < lim J <pft (x) dx = f (b) — f (a + 0) < f (b) — f (a)
a a
(саме щнування штеграла в 1д /' також забезпечуеться теоремою Фату).
Теорему доведено.
Неважно навести приклад монотонно! функци, для яко! справ-
джуеться строга нер 1вн 1сть
Досить припустити
Ь -
(х) dx <f(b) — f(a).
a
’о
f(x) =
n i
при 0 < x < ,
При -g- < X < 1,
1
[Дкаво, однак те, що юнують неперервн! монотонш функци,
для яких строга нер1вн1сть
X
^f'{t)dt<f(x)-f(a)
а
виконана при bcix х > а. Ось один з найпросДших приклад!в. Розгля-
немо на в{др1зку [0, 1 I канторову множину i визначимо f спочатку
на його сум!жних штервалах, припустивши, що
f (/) = , k = 1, 2, 3, ... , 2"-1
на ft-му сум!жному штервал! п-го рангу (включаючи i його кшщ),
(Гнтервали нумеруються зл1ва направо). Отже,
t ,А 1 1 . t , 2
/(0 = -^ при ,
/(0 = 4- ПРИ
= при
i т. д. (рис. 21). Отже, f визначена на в!др!зку [0, 1] скр!зь, кр!м то-
чок другого роду канторово! множини (тобто точок, як! не належать
Hi сум!жним штервалам, hi сукупносп !х кшщв). Доозначимо тепер f
у цих точках, як! залишилися, так. Нехай t* — одна з таких точок !
нехай {Ц— зб!жна до не1 зростаюча послщовшсть точок першого
роду (тобто кшщв сум1'жних штервал!в).
- Тод! !снуе границя
— lim/(/„); (3)
w П-+-СО
аналопчно, 1снуе й границя
lim/(4), (4)
П.-¥О<3
Рис. 21
якщо {tn} —спадна послщовшсть то-
чок першого роду, яка збшаеться до
I*, причому границ! (3) ! (4) однаков!
м!ж собою. Взявши це загальне значен-
ия за / (/*), ми д!станемо монотонну
функщю, визначену i неперервну на всьому в!др!зку [0, 1 ], яка на-
зиваеться «канторовими сходами». 11 похщна очевидно дор!внюе нулю
у кожшй точщ будь-якого сум!жного штервала, тобто майже скр!зь.
Отже, для ц!е! функци маемо
X
о =Jr (0 ^</(х)-/(0)=/(х)
о
при будь-якому х з швштервала 0 < х < 1.
ь
Водночас зазначимо, що в раз! монотонно! / (х) р!вшсть J f'(f) dt =
- а
х
— f (b) — f (а) тягне за собою р!вшсть J f (Z) dt = f (x) — f (а) при будь-
a
якому x з швштервала a < x < bt
Щоб описати клас функщй, для яких справджуеться р!вшсть
ь
№(t)dt = f(b)-f(a),
введемо таке означения:
Означения 1. Функщя f, задана на деякому в!др!зку [а, Я,
називаеться абсолютно неперервною на ньому, якщо для будь-якого
е > 0 знайдеться таке 6 > 0. що, якою б не була скшченна система
попарно неперетинних штервал!в
(ak< bk)> k = 1. 2> • • • > п
я сумою довжин, меншою за S,
п
2 (bk — ak) < б,
ft=i
виконуеться нер!вшсть
2|Ж)-/М<е-
Зрозум!ло, що всяка абсолютно неперервна функшя р!вном!рно непе-
рервна. Обернене, взагал! кажучи, не в!рне, наприклад: описана вище
функшя «канторов! сходи» неперервна (а о-тже, i р!вном!рно неперерв-
на) на в!др!зку [0, 1 ], однак вона не абсолютно неперервна. Справд!,
канторову множину можна покрити скшченною системою штервал!в
(ak, bk), k =1, 2, п, сума довжин яких як завгодно мала, Водночас
для кожно‘1 тако! системи !нтервал!в виконуеться, очевидно, р!вшсть
= 1-
t=i
Нанедемо основы властивост! абсолютно неперервних функшй.
1. Насамперед зауважимо, що в означены 1 можна замють будь-
яко! с к ! н ч е нн о ! системи !нтервал!в з сумою довжин, менше
6 розглядати будь-яку ск!нченну або з л ! ч е н н у систему
штервал!в, сума довжин яких менше 6, Справд!, нехай для заданого
8 > 0 ми взяли б > О так, що
п
k=;\
для будь-яко! скшченно’! системи !нтервал!в (ak, bk), яка задовольняе
умову
2 (bk — ak) < 6,
/г—i
i нехай (ak, bk) — зл!ченна система !нтеовал!в з сумою довжин, яка
не перевищуе 6. Тод! при будь-якому п маемо
21Ж)-Ж)1<е;
k=i
переходячи тут до границ! при п -х>, дютаемо
со '
5 I f (bk) — / (aft)| < 8.
2. Усяка абсолютно неперервна функщя мае обмежену змлну.
Справд!, абсолютна неперервшеть функцн f на вщр!зку [а,
означае, зокрема, що для кожного 8 > О можна б > 0 взяти так, що
повна змша функц!!/ на в!др!зку довжини, меншою за б, буде неб!ль-
ша, шж е. Осшльки в!др!зок [а, Ь] можна розбити на скшченнечисло
в!др!зк!в довжини меншою за 6, то й повна змша функци f на [а, 6|
скшченна.
3. Сума абсолютно неперервних функцш i добуток тако'1 функцИ
на число — абсолютно неперервн! функци.
Це вщразу випливае з означения абсолютно! неперервносп i влас-
тивостей модуля суми ix добутку.
Властивост! 2 i 3 означають, що абсолютно неперервш функци
в npocmopi ecix функщй з обмеженою змйною утворюють мнИМ мно-
гостатллсть.
4. У сяку абсолютно неперервну функщю можна подати як рСзницю
двох абсолютно неперервних неспадних функщй. '
Справд!, абсолютно неперервну функцш, як усяку функцш з
обмеженою змшою, можна подати у вигляд!
f = v — g,
не
V (Х) = V* [/] ! g (х) = V (x)—f(x)
— неспадн! функци. Покажемо, що кожна з цих двох функцш абсо-
лютно неперервна. Перев!римо це для v. Нехай 8 > 0 задана. В!зь-
мемо б > О для цього 8 так, як це диктуеться абсолютною неперерв-
н!стю функци/. В !зьмемо систему п штервал!в (ak, 1щ) з сумарною
довжиною меншою, н!ж б, i розглянемо суму
п
2 —п(§). (5)
4=1
Ця сума е точною верхньою гранню чисел
п
(6)
/г=1 /=1
по р!зних скшченних розбиттях
~ Xi о < Х|,| Х|,2 <С
= Х2,о < X2J Х‘2,2 <
— Хп.О <Р Хп, 1 <С Хп,2 * • *
— 61,
^2,т2 = 62,
штервалш (аъ 6Х), ..., (ап, Ьп). Осюльки сума довжин yeix !нтервал!в
(х&,/-1, Е'г.Й по яких береться сума (6), не перевищуе б > 0, то кож-
на ‘зюум (6) не б!льша, н!ж 8. Отже, i сума (5) — ix точна верхня
грань,— не б!льша, н!ж 8.
Наведен! нижче дв! теореми установлюють пений зв’язок м!ж по-
няттям абсолютно! неперервносп i невизначеним штегралом Лебега
Теорема 2. Функщя
X
Р(Х) = $ f (t) di.
и/ /; ненизначеним 1нтегралом сумовно! функци, абсолютно непе-
//< [16110.
Доведения. Якщо
IIIIHI1IX 1’нтервал!в, то
\|T(bfc)-F(aJ| = S
I I /г=1
{(ak, bk)} — яка-небудь система непере-
ak
f (0 dt
<Sj|/(/)|d/ = J \f(l)\dt-,
*=1 fl и^.ьр
пщстав! абсолютно!' неперервност! штеграла Лебега останщй ви-
I'.i । прямуе до нуля, якщо сумарна довжина штервал!в (ak, bk) прямуе
J.0 пуля.
Георема 3 (Лебега). Пох1дна f = F' абсолютно неперервно!
функци, задано! на в1др!зку [а, Ь], сумовна на цьому в!др!зку i для кож-
ного х (а < х < &)
f (i)di = F (х) — F (а).
а
Теореми 2 i 3 показують, що абсолютно неперервн! функци, i
итьки вони, вщновлюються з точщстю до сталого доданку за своею
похщною операц!ею штегрування.
Для доведения теореми 3 нам потр!бна така лема:
Лема. Якщо noxidna абсолютно неперервно! монотонно неспадно!
финкцП f дор!внюе 0 майже скр!зь, то ця функщя — стала.
Доведения. Осщльки f—неперервна монотонна функщя,
то Г! область значень е вщр!зок (( (a), f (&)]. Покажемо, що довжина
цього вщр!зка дор!внюе нулю, якщо f' (х) — 0 майже скр!зь. Тим са-
мим лему буде доведено. Роз!б’емо множину точок вщр!зка [а, б]
па два класи: множину Е тих точок, в яких f (х) = 0, i Z — Ti допов-
пення. За умовою леми и (Z) = 0. В!зьмемо деяке е > 0, знайдемо те
6 > 0, яке вщповщае цьому е на пщстав! абсолютно!’ неперервност!
функци /, ! пом!стимо Z у вщкриту множину, м!ра яко! менша за 6
(це можливо, бо р (Z) = 0). 1накше кажучи, Z покриваеться скшчен-
пою або зл!ченною системою штервал!в (ak, bfc), сума довжин яких
менша за 6. Згщно з вибором б дютаемо
2 I / (bk) — f (aft)| < е.
k
Отже, уся система штервал!в (ak, (а тим б!льше, i множина Z,
що е в !’х сум!) переводиться функщею f у множину, м!ра яко!’ менша
за е. Таким чином, ц (/ (Z)) = 0.
Розглянемо тепер множину Е = [a, b] \ Z. Нехай х0 £ Е. Тод!,
осюльки f (х0)= 0, то для ecix х, досить близьких до х0, виконана не-
р!вщ’сть
/ (х) — Z (х0) 7
х — х0
тобто (ми вважаемо для певност!, що х > х0)
f (Т> — f (^о) < 8 (х — х0)
або
е%0 — / (х0) < их — f (х);
отже, х0 е точка, невидима справа для функцп g (х) = ех—f (х).
Таким чином, за лемою Ф. Pica, множина Е м!ститься в скшченнш
або зл!ченн!й систем! штервалiB (ak, РА), на кшцях яких виконуються
умови
е₽й — f (₽*) > еаА — f (ak),
тобто
/ (Р*) — / («*) -С Е (₽Й — «*),
звщки
2 (/ Фа) — f (а*)) < 8 2 е Ф — й).
k Ь
1накше кажучи, множина Е вводиться функщею / до множини, яка
покриваеться системою штервал!в, сума довжин яких менша за
е (Ь— а). Через дов!льшсть е звщси випливае, що р (/ (£)) = 0.
Таким чином, i / (Е) i / (Z) мають Mipy нуль. Але в сум! щ дв! мно-
жини утворюють вщр!зок [/ (й), / (Ь) ]. Тим самим доведено, що довжина
цього вщр!зка е нуль, тобто що f (х) = const.
Тепер вже легко довести й саму теорему 3. Досить обмежитись
випадком, коли функц!я F (х) не спадае. У цьому випадку
X
®(x) = F(x)-$f(t)dt (7)
а
е функц!я, яка також монотонно не спадае. Справд!, якщо х" > х', то
х"
Ф (х") — Ф (х') = F (х") — F (х') — J f\t) dt > 0.
X'
Кр!м того, Ф абсолютно неперервна (як р!зниця двох абсолютно не-
перервних функшй) i Ф' (х) = 0 майже скр!зь (за теоремою 1, § 3).
Тому на шдстав! леми Ф е константа. Припустивши в (7), що х — а,
дютаемо, що ця константа дор!внюе F (а). Теорему доведено.
Ми бачили вище, що всяку функщю f з обмеженою змшою можна
записати як суму функцп стрибюв Н ! неперервно!’ функцп ср з обме-
женою змшою
f = Я + <р.
Розглянемо тепер неперервну, але не абсолютно неперервну функщю
з обмеженою змшою <р i припустимо, що
X
ф (х) = J ср' (0 dt,
а
Р13НИЦЯ
X = <р — ф
€ неперервною функщею з обмеженою змшою. При цьому
X
а
майже скр!зь.
Назвемо неперервну функщю з обмеженою змшою сингулярною,
якщо Ti похщна дор!внюе нулю майже скр!зь. Ми можемо тепер сфор
мулювати таке твердження:
усяку функщю з обмеженою змшою можна подати у виглядi суми
трьо-х[ компонентов
f — Нф-^ЩТ. (8)
— функци стрибкЧв, абсолютно неперервно'Ч функци I сингулярноЧ
функци.
Легко показати, щи кожний з доданюв у розклад! (8) визначаеться
самою функщею / однозначно з точшстю до константи. Якщо вс! функ-
ци, що входять до р!вност! (8), нормувати, поставивши вимогу перетво-
рення кожно!' з них у нуль в точщ х — а, то розклад (8) буде вже точ-
но единим. Продиференщювавши р!вшсть (8), ми дютаьемо, що май-
же скр1зь
f (х) = ф' (х)
(осюльки Н' i %' дор!внюють нулю майже скр!зь). Отже, при штегру-
ванш похщно! вщ функци з обмеженою змшою вщновлюеться не са-
ма ця функщя, а лише ТТ абсолютно неперервна компонента. Ус: шпп
компоненти (функщя стрибюв i сингулярна) при цьому «безслщно
зникають».
Дощльно пор!вняти результати цього параграфа з тим, що дае
теор!я узагальнених функщй. Як i в розд. IV, п!д узагальненою функ-
щею розумДимемо лшшний неперервний функцюнал над простором
К фшпгних нескшченно диференщйовних функцш. При цьому звичай-
н!й локально сумовшй функц!!’ / ставиться у в!дпов!дн!сть функцюнал,
со
який д!е на елементи <р g К за формулою (/, ср) = j / (х) ср (х) dx.
Узагальненою похщною вщ цьогофункцюналу ефункщонал, який ста-
со
вить у вщповщшсть елементу ср g К число (/', ср) = — j /(х) ср' (х) dx.
Осюльки в клас! узагальнених функщй р!вняння у' — 0 мае
лише звичайш розв’язки (константи,) то всяка узагальнена функщя
з точн!стю до константи вщновлюеться за своею похщною. Зокрема,
всяка локальна сумовна функщя f з точшстю до константи майже
скр!зь вщновлюеться за своею узагальненою по х i д ною
Припустимо тепер, що функщя f майже скр!зь мае похщш, напри-
клад, f—монотонна функщя. Позначимо через fi ~ звичайну
нох!дну функци f. (Ми вже бачили, що може дор!внювати 0 майже
скр!зь, хоч f (х) ^constl). Функшя е локально сумозною (ми при-
пускаемо, що f монотонна) i, отже, ми можемо поставите у вщповщшсть
шй функци функцюнал (узагальнену функцию) (Д <р)= , -^-ср (х) dx.
1стотний факт полягае в тому, що узагальнена функщя flt взагалг каж-
учи, не зб1гаеться з узагальненою функщею f, Наприклад, якщо
| 1 при х > 0,
/ (х) — | о при х < 0,
то /х = 0, а /' = 6 (див. приклад 1 на стор. 176).
Теорема 3, взагал! кажучи, й означае, що серед ycix функшй з
обмеженою зм!ною для абсолютно неперервних функшй (i т!льки
для них!) похщна, яку уявляемо в ззичайному розумшш, збюаеться
з узагальненою похщною Tie! само) функцп.
• Тут ми знову зустр!чаемось з тим положениям, про яке вже йшло-
ся в § 4, розд. IV: для здшсненносп основних операшй анал!зу (в цьо-
му раз! мова йде про вщновлення функци за ТТ похщною) треба або,
залишаючись у межах класичних означень, обмежитись досить вузь-
ким класом функшй (абсолютно неперервними), або ж, навпаки, до-
статньо розширити поняття функци (розширивши при цьому й озна-
чения похщно!).
В п р а в и. 1. Показати, щс означения абсолютно! неперервност!, сформульо-
ване вчще, р!вносильне такому: f абсолютно неперервна на [а, 6], якщо вона кожну
пда аожину м!ри нуль цього в!др!зка вводить до множини м!ри нуль.
2. Знайтн узагальнену похщну функпп «канторов! сходи».
3. Нехай f — функщя з обмеженою змгюю, f' — ii узагальнена похщна i —
функщонал (узагальнена функщя), який визначаеться «звичайною» похщною —
ах
функц!’( f. Довести:
а) якщо f абсолютно неперервна, то f =
б) якщс /' = то f (х) екв!валентна абсолютно неперервшй функц!’!, тобто зб!-
паетося з такою функщею майже скр!зь. Зокрема, якщо f' = i / неперервна, то вона
й абсолютно неперервна.
§ 5. 1НТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ЯК ФУНКЦ1Я МНОЖИНИ.
ТЕОРЕМА РАДОНА — Н1КОДИМА
1. Заряди. Рэзклгд Гана i розклад Жоздана. Поняття i факта,
викладеш в попередшх параграфах для функшй на пряшй, поширю-
ються значною М1’рою i на функцп, задан] на дов!льному простор! з
м!рою.
Нехай X — деякий npocrip з (скшченною) Miporo pi/— сумовна
по р функшя на X. При цьому / буде сумовна на кожшй BHMipnifi пщ-
множиш А множини X i, отже, штеграл
Ф(Л) = $/(х)ф (1)
А
фжсованою /) е функщею множини, визначеною 1 о-адитивною на
< ।-алгебр i ycix вим!рних множин простору X. Отже, для будь-якого
розкладу
U Ak
k
iniMipHOi множини А у скшченну або зл!ченну суму попарно непере-
ипних вим1рних множин виконуеться piBHicTb
ФИ) = 2Ф(4)-
к
1накше кажучи, функщя Ф, визначена piBiiicTro (1), мае Bci властивос-
.. cr-адитивноТ Mipu, за винятком, можливо, невщ’емностг (При не-
вщ’емшй / невщ’емна й Ф).
Означения L Довмьна (скшченна) о-адитивна функщя
множини Ф, визначена на деякш о-алгебр! пщмножин певного про-
стору X, називаеться знакозм1нною м1рою, або, коротше, зарядом.
Поняття заряду е природним узагальненням поняття о-адитивно'1
м!ри i, як ми побачимо нижче, зводиться в певному розумшш до цього
поняття.
В п р а в а. Довести, що для будь-якого (скшченного) заряду Ф, „аданого на
о-алгебр1 множин <5, icnye така константа с, що [Ф (4) | с при ecix А £ <5.
Якщо розглядають реальний електричний заряд, розмвдений, на-
приклад, на деякш поверхш, то цю поверхню можна подгчити на дв1
облает!: область, яка несе позитивний заряд (тобто таку, що будь-яка
1'1 частина заряджена позитивно), i область, яка несе негативний за-
ряд. Математичним екв1валентом цього факту е наведена нижче теоре-
ма 1.
Спочатку введемо таку термшолопю. Нехай Ф — заряд, визначе-
ний на о-алгебр) g пщмножин простору X. Множина Е б Q називае-
ться eid’eMHOfo вщносно Ф, якщо Ф (Е f| f) < 0 для будь-якого
F g g; аналоНчно Е називаеться додатною, якщо Ф (Е f|^)> 0 для
вш’х F £ g.
Теорема 1. Якщо Ф — заряд, визначений на X, то icnye така ви-
MipHa множина А~ cz X, що А~ eid’eMHa i А+ = X \ А~ додатна
(вщносно Ф).
Доведения. Припустимо, що
а = infO (Я),
де нижня грань береться по Bcix вщ’емних множинах А. Нехай {А„} —
така послщовшсть вщ’емних множин, що
lim Ф (Дл) = а.
Тод) А~ == (J Ап, як легко побачити, е така вщ’емна множина, що
п
Ф(А~) = а.
Покажемо, що Л i е шукана множина, тобто покажемо, що
Л+ = X \ А~
додатна. Нехай це не так, тобто нехай Л^ м!стить таку вим!рну п!д-
множину Со, що Ф (Со) < 0. При цьому множина Со не може бути
вщ’емною, бо шакше ми приеднали б ii до А~ i д!стали вщ’емну мно-
жину Л, для яко'Г
Ф (Л) < а,
що неможливо. Тому |снуе таке найменше ц!ле число klt для якого в
Со знайдеться шдмножина Съ яка задовольняе умову
Зрозум!ло, Сх =/= Со. Для множини Со \ С, можна повторите м!рку-
вання, проведене для Со; ми дщтанемо множину С2, яка задовольняе
умову
«2
i т. д. Нарешт!, припустимо, що
СО
^0 = ^п\ U
1=1
Множина Fo не порожня, бо Ф (Со) <0, а Ф (С;) > 0 при t > 1. 3 по-
будови випливае, що Fo вщ’емна. Тому, приеднавши идо А~, ми знову
приходимо до суперечносп з означениям 'а. Отже, для Bcix вшшрних
Е cz X \ А~ маемо
Ф (£) > 0,
тобто X \ А~ додатна. Теорему доведено.
Розбиття простору X на вщ’емну частину А~ ! додатну Л+ нази-
ваеться розкладом Гана.
Розклад Гана, взагал! кажучи, не единий, однак якщо
X = лг и < i X = ЛГ U #
— два так! розклади, то для всякого Е б Q
Ф(Е АТ) = Ф (Е ЛГ) ! Ф (Е 0 Л]*-) = Ф (£ Q Л^) (2)
Справд!,
£ П (ЛГ \ ЛГ) с £ П ЛГ, (3)
звщки випливае, що
Ф(£ П (ЛГ \ ЛГ))< 0.
Водночас
£ П (ЛГ \ ЛГ) сп £ П At, (4)
ЗВЩКИ
Ф (Е П (АГ\АГ))|>0.
()тже,
Ф (Е П (АГ \ АГ)) = 0.
Лналончно д!стаемо
Ф(£ П (АГ\А?)) = 0.
Звщси випливае, що
Ф (£ П А?) = Ф (Я П АГ).
Так само доводить ! другу з нер!вностей (2).
Этже, на g заряд Ф однозначно зизначае дв! невщ’емн! функцп
множини, а саме:
ф+ (£) = Ф (Е П А+)
i
ф-(£) = — ф(£ П Л-),
що в1дпов1дно називаеться верхньою eapiayieio i нижньою вар1ащею
заряду Ф. При цьому, очевидно,
1) ф = ф+ — ф-;
2) Ф+ i Ф~— невщ’емн! сг-адитивн! функцп множини, тобто м!ри.
Mipoio буде, очевидно, i функщя | Ф | — Ф"' + Ф-; и називають
повною eapiayieto заряду Ф, а зображення Ф у вигляд! р!зниц! верх-
пьо! i нижньо! вар!ацш називають розкладом Жордана цього заряду Ф.
Зауваження. Ми розглядали скшченш заряди, тобто таю функци Ф,
значения яких обмежеш як зверху, так i знизу. (див. вправу на стор. 301). При
цьому Ф +1 Ф~ — скшченш м!ри. Сказане вище можна узагальнити на заряди,
обмежеш лише з одного беку, тобто тага, для яких одна з величин sup Ф (Л) i inf
Ф (Я) сганченна.
2. Основн! типи зарядов. Нехай р — деяка о-адитивна Mipa, ви-
значена в просторi X та деякш сг-алгебр! g. Множини, що входять в
g, ми називатимемо вишрними. Введгмо так) поняття:
Ми скажемо, що заряд Ф, визначений на множинах Е g g, зосе-
реджений на. eiiMivHiii множим Ао, якщо Ф (£) = 0 для кожного Е со
сХ\А0. Множина Ао називаеться при цьому нос1вм заряду Ф.
Заряд Ф називаеться неперервним, якщо Ф (£) = 0 для будь-яко!'
одноточковоТ множини Е. Заряд Ф називаеться дискретном, якщо Bin
зосереджений на деякш скшченнш або злженнш множин!. 1накше ка-
жучи, дискретшсть заряду означав юнування тако!' скшченно! або
зл!ченно! множини точок с2, .... сп, .... що для кожно! Е cz X
Ф (£) = 2 ф (CJ.
Заряд Ф називаеться абсолютно неперервним (вщносно задано! м!ри
ц.), якщо Ф (А) = Оюля всяко! вим!рно! А, для яко! р (А) = 0.
Заряд Ф називаеться сингулярном (вщносно м!ри р), якщо вш
зосереджений на деякш множин! нульово! р-м!ри. Зрозум!ло, що коли
заряд одночасно абсолютно неперервний i сингулярний вщносно р,
то вш нульовий.
3. Абсолютно неперервн)’ заряди. Теорема Радона — Шкодима.
Прикладом заряду, абсолютно неперервного вщносно задано) Mipu,
може бути штеграл Лебега
Ф(Л)=ф(х) dp
А
вщ фшсовано! сумовно! функци f, який розглядають як функщ’ю мно
жини. Виявляеться, що цим ! вичерпуються вс! абсолютно неперервн!
заряди. 1накше кажучи, справедлива така теорема:
Теорема 2 (Радона — Н i ко д и м а). Нехай р — деяка
скшченна а-адитивна Mipa, визначена на с-алгебр1 шдмножин з X,
а Ф — заряд, визначений на miu сам1й а-алгебр) i абсолютно неперерв-
ний вьдносно р. Todi icnye така сумовна за р функщя f на X, що
ф И) = j" f (х) dp
А
для кожно1 вим1рно1 А. Ця функщя, що називаеться noxidHoto заряду Ф
за м1рою р визначаеться одночасно, з точшстю до р-екЦвалентноспй.
Доведения. Кожний заряд можна подати як р!зницю двох
невщ’емних (див. п. 2), при цьому абсолютно неперервний заряд зоб-
ражуеться як р!зниця абсолютно неперервних. Тому теорему досить
довести для невщ’емних зарядов, тобто для Mip. Отже, нехай Ф — Mi-
pa, абсолютно неперервна вщносно задано! м!ри р. Доведемо таку лему
Лема. Нехай Mipa Ф абсолютно неперервна eidnocHo р i не dopiemoe
нулю тотожно. Todi мнують таке п i така euMipHa множина В, що
р (В) >0 i В додатна eidnocHO заряду Ф----1— р.
Доведения. Нехай X = (J А*—розклад Гана, який
вщповщае заряду Ф-----i-p, п = 1, 2, ... i нехай
Ао = n Ап, < - и At.
п—l п=1
Тод!
Ф (ЛГ) < -ур р (Ло-) при Bcix п,
тобто Ф (Ло) = 0 i, отже, Ф (Ао") > 0, а отже, i р (Ло) > 0 (на пщ
став! абсолютно! неперервност! Ф по р). Тому знайдеться таке п, що
р (Д+) > 0. Це п i множина В — Л,Т задовольняють умови леми.
Перейдемо тепер безпосередньо до доведения теореми. Нехай К —
множина функцш f на X, що мають так! властивост!: f невщ’емш,
штегровн! по р i j/ (х) dp < Ф (Л) для всяко! вим!рно! А. Нехай
А
М — sup Л / (х) dp по вс!х f £ к
Н.п,мемо послщовшсть функцш {fn} з К таку, що
lim j" fn (х) dp = М.
n-+CQ X
I 1|>ипустимо,
gn W = maX f* • • • ’ fn W)-
1кжажемо, що gn g К, гобто, що для всяко! вим1'рно! Е
У gn (х) d}i < Ф (Е).
Е
п
Справд!, Е можна подати у вигляд! J Ek1 де Ek не перетинаються i
gn (X) = fk (х) на Ek; тому
J gn Я d[i — Jj J fk (х) djx < 2 Ф (Eft) = Ф (Е).
Е fe=l Ek k=2
Припустимо
f(x) = sup{/„ (х)}.
ЗрозуЯло, що при цьому f (х) = lim gn (х) i, отже, за теоремою Б, Лев!,
Я-юс
’ /(х) dp = lim gn (х) dp = М.
X X
Покажемо тепер, що
Ф (Е) — j / (х) d]i = 0.
Е
За побудовою, функщя множини
К (Е) — Ф (Е) — j" / (х) du
Е
невщ’емна i мае Bci властивост! м!ри. Кр!м того, вона абсолютно не-
перервна вщносно р,. Якщо X ф 0, то на шдстав! леми знайдуться
таке 8 > 0 ! таке В, ц (В) > 0, що
ер(Е пвхмепв)
для будь-яко! вим1рно! Е. Tofli, припустивши h (х) = f (х) + еХв (х),
деХв— шдикатор множини В, ми д!стали б для будь-яко! вим!рно!Е
j h (х) dfi — У/(х)с1ц + ец(Е П Е) < У /(x)dp, + Ф(Е Г1 В)<Ф(Е).
Е Е Е\В
Це означало б, що функшя h належить визначешй вище множин! Е.
Але водночас
У h, (х) d[i = У f (х) d[x 4- ер (В) > М,
х х
а це суперечить означению М. Отже, юнування тако'Г функци/, що
Ф(Л) = j/(x)dp,
А
доведено. Покажемо п едишсть. Якщо для Bcix A g g
Ф И) =И 1 (х) dy. = J /2 (х) dp,
А А
то при будь-якому п для множин
4 = |*:/2 W — Л W>4~}
р (Л„) < п J (А (х) — А (х)) dp = 0.
3m = — AW>4"} маемо
P(BJ = O.
{х: Д (х) =/= /2 (х)} = и 4, и и Вт,
п т
ТО
р (х :/j (х) #=/2(х)} = 0,
тобто Я (х) — А (х) майже скр]зь. Теорему доведено.
маемо
Аналопчно,
Осюльки
Зауваження. Теорема Радона — ГПкодима, очевидно, е природним уза-
гальненням /еореми Лебега про те, що абсолютно неперервна функщя е штеграл вщ
свое! noxiflHo'i. Однак, тод! як при розгляд! функщй на прямш у нас е ефективний
cnoci6 знаходження похщно! — обчислення границ! вщношення Д/ до Дх, теорема
. .. РФ ,
Радона — Н1кодима лише установлюе юнування похщно!-------------абсолютно неперерв-
ного заряду Ф за м!рою р, але не дае способу для Г! обчислення. Такий спос!б можна
показати, але ми на цьому не спинятимемось. У загальних рисах вш полягае в обчис-
Ф(Д)
лент гранит вщношення —за деякою системою множин, що «стягуються» в пев-
ному розумшш до задано! точки. Докладно щ питания розглянутц наприклад, в [53].
§ 6. 1НТЕГРАЛ спльтьесд
1. М!ри Спльтьеса. У § 1 попереднього розд1лу, говорячи про
побудову м]ри Лебега на прямш, ми вже згадували таку конструкцто.
Нехай на деякому сегмент] [а, Ь] задано монотонно спадну функщю
F, яку ми для певност] вважатимемо неперервною зл]ва. Визначимо
М1ри вс]х сегмеип'в, штервал1в i швсегменпв, що належать основному
сегменту [а, Ь}, р!вностями
т (а, |3) = F (Р) •— А (а + 0),
т [а, р] = А (р + 0) — А (а),
т (а, Р] = А (Р -|- 0) — А (а 0),
т [а, Р) = А (Р) — А (а),
(1)
мп можемо пот!м поширити цю Mipy за лебеговим методом, продовжен-
пя м!ри на деяку о-алгебру йр, що мютить yci вщкрит! i Bci замкнут!
। отже, i вс 5орел!вськ!) пщмножнни сегмента [а, &]. Mipy р,р, знай-
дену за допомогою тако! побудови, називають мгрою Лебега — Спйль-
tiibF.ca, яка вщповщае функцп F, а саму функщю F називають тв!рною
Функщею ще! М1ри.
Розглянемо деяк! окрем! випадки м!р Лебега — Спльтьеса.
1. Нехай F — функщя стрибюв, xlt х2, ...— !! точки розриву,
a /ilt h2, ... — величини !! стрибюв у цих точках. Тод! Mipa р,р, яка вщ-
новщае шй функц!!, побудована так: ус! пщмножини сегмента [а, Ь]
niiMipHi i Mipa множини А дор!внюе
Цл (Л) = 2 йе (2)
Справд!, з означения м!ри Лебега — Спльтьеса вщразу видно, що
Mipa кожно7 точки х( дор!внюе hb а м!ра доповнення множини {xJ/Li
дор!внюе нулю. Р!вшсть (2) для будь-яко! А с [а, Ь] випливае звщси
внаслщок о-адитивносп Mipnpp. Mipa Цр побудована за якою-небудь
функщею стрибюв, називаеться дискретною Miporo.
2. Нехай F—абсолютно неперервна неспадна функщя на [а, Ь]
i f = F' — Г! похщна. Тод! вщповщна Mipa Цр явно визначена на Bcix
вшшрних за Лебегом шдмножинах сегмента [а, Ь], причому для кожно!
тако! множини А
Не (А) = j /(х) dx. (3)
А
Справд!, на пщстав! теооеми Лебега для кожного штервалу (а, 0)
Р
В- (а, 0) = F (0) — F (а) = J f (х) dx.
а
Оск!льки лебегове продовження всяко! о-адитивно! м!ри однозначно
визначаеться сво ми значениями на вихщному швкиьщ, то звщси ви-
пливае р!вн!сть (3) для Bcix вим!рних за Лебегом A cz [а, Ь]. Mipa р.р,
яка вщповщае абсолютно неперервщй функци У7,називаеться абсолют-
но неперервною Miporo.
3. Якщо F — сингулярна неперервна функщя, то м!ра рр, яка
вщповщае !й, щлком зосереджена на т!й множин! лебегово! м!ри нуль,
на якш F' в!дм!нна в'!д нуля або не icnye. Сама м!ра рр називаеться-
при цьому сингулярною Miporo.
Зрозум!ло, що коли F = У7! + F2, то рр = рр, + рр2; тому з ооз-
кладання монотонно! функц!! в суму функци стрибк!в, абсолютно не-
перервно! i сингулярна! компонент випливае, що всяку wipy Лебега —
Сгшлыпьеса можна подати у виглядi суми дискретно!, абсолютно не-
перервне у сингулярно! компонент. Розклад монотонно! функц!! на
три складов! визначають з точшетю до сталих доданк!в. Тому розклад
кожно! м!ри Лебега — Спльтьеса на дискретну, абсолютно неперерв-
ну i сингулярну компоненти однозначний.
Сказане вище стосуеться Mip Лебега — Спльтьеса на в i д р i з -
к у. Якщо тепер F — обмежена (зверху i знизу) монотонно неспадна
функщя на Bcifi прямш, то, визначивши Mipy будь-якого сегмента, ш-
тервала i швсегмента на прямш за допомогою формул, аналоп’чних
(1), ми дютанемо скшченну Mipy на всйй прямш, яку ми також назива-
тимемо лирою Лебега — Спйлыпьеса. Зокрема, Mipa Bcie'i прямо!’ при
цьому дор (внюватиме
F (оо) — F (— <х>),
де
F (оо) = lim F (х), F(—оо) = lim /Дх)
х->со —оо
(кшування граничь випливае з монотонност! i обмеженост! F).
Поняття MipH Лебега — Спльтьеса насправд! вичерпуе вс! м1’ри
(тобто Bci скшченш о-адитивн! невщ’емш функци множин) на прямш.
Справд!, нехай ц — будь-яка з таких Mip. Припустивши
F (х) = ц (— оо, х),
ми дютанемо монотонну функщю, таку, що м!ра Лебега — Спльтье-
са, яка вщповщае !и, збшаеться з вихщною м!рою р. Отже, термш
«м!ри Лебега — Спльтьеса» насправд! не вщцляе якогось спещаль-
ного класу Mip на прямШ, а показуе лише на певний cnoci6 побудови
таких Mip — за заданою тв!рною функщею.
2. 1нтеграл Лебега — Спльтьеса. Нехай pF—Mipa на сегмент!
[а, Ь], породжена монотонною функщею F. Для ще!’ м!ри звичайним
способом визначають клас сумовних функщй i вводить поняття ш-
теграла Лебега
ь
У / (х) dpF,
а
Такий штеграл, узятий за Mipoio що вщповщае функци F, нази-
ваеться штегралом Лебега — Стишпьеса; його позначають символом
ь
^f(x)dF (х).
а
Розглянемо деяк! окрем! випадки.
1. Якщо F — функщя стрибщв (тобто, коли — дискретна Mipa),
то штеграл
ь
У / (х) dF (х)
а
вводиться, очевидно, до суми
i
де xt — точки розриву функци F, а — стрибки F в точках хг
2. Якщо F — абсолютно неперервна функщя, то штеграл Лебе-
га — Спльтьеса
ь
§f(x)dF(x)
а
дор 1внюе
ь
j / (х) F' (х) dx,
а
тобто штегралу вщ/Лх)/7' (х), узятому по звичайшй лебеговш Mipi.
Справд1, якщо f (х) = const, на деякому вим!рному 4с[а,М i
f(x) = 0 зовш А, то р1вн1сть
ь ъ
У f (х) dF (х) — У f (х) F' (х) dx (4)
а а
випливае з (3). Внаслщок о-адитивносп штеграл!в р1вшсть (4) поши-
рюеться i на прост! функци, сумовш по Mipi щ.-. Нехай тепер {fn} —
послщовшсть простих функцш, яка р1вном{рно збшаеться до f. При
цьому можна вважати, що послщовшсть {fn} — неспадна. Тод!
{/nW) — неспадна послщовщсть, яка майже скр!зь збиаеться до
f (х) F' (х), i на шдстав! теореми Б. Лев}, у р!вност!
ь ь
У fn (Ч dF (х) = J fn (х) F' (х) dx
а а
можна перейти до границ! при п -> оо.
1з сказаного зрозуммю, що коли F е сума функци стрибк!в i абсо-
лютно неперервно! функци, то штеграл Лебега — Спльтьеса по Mipi
(V зводиться до ряду (або скшченно! суми) i штегралу по звичайшй
Mipi Лебега. Якщо ж F м!стить i сингулярну компоненту, то
таке введения неможливе.
Поняття штеграла Лебега — Спльтьеса можна природно розши-
рити, перейшовши вщ монотонних функцш до довмьних функцш з
обмеженою змшою. Нехай Ф — така функщя. Запишемо и у вигляд!
р!зниц! двох монотонних функщй
Ф = v — g,
де v—повна змша функци Ф на в!др!зку [а, х]. Введемо тепер ш-
теграл Лебега — Спльтьеса по Ф, припустивши, за означениям,
ь ь ь
У f (х) d<£> (х) = У f (х) dv (х) — У f (x) dg (х).
а а а
Неважно перев!рити, що коли Ф подано яким-небудь шшим способом
як р{зницю двох монотонних функщй, наприклад,
Ф = ш — h,
ТО
b b b ь
У / (х) dv (х) - j / (х) dg (x) = ^f (х) dw (x) — ^f (x) dll (x),
a a a a
тобто для обчислення штеграла Лебега — Спльтьеса за даною функ-
щею Ф можна користуватися будь-яким зображенням uie'f функцп у
вигляд! р!зниц! двох монотонних.
3. Деяк! застосування штеграла Лебега — Спльтьеса в теорп
ймовфностей. 1нтеграл Лебега — Спльтьеса широко застосовують як
в анал!з!, так i в багатьох прикладних питаниях. Зокрема, це поняття
широко використовують у Teopii ймов1'рностей. Нагадаемо, шо функ-
щею розлодиу випадково! величини g називаеться функшя F, яку ви-
значають для кожного х р!вшстю
F(x) = P(g<x),
тобто F (х) е HMOBipnicTb того, що випадкова величина g набуде значен-
ия, меншого в!д х. Очевидно, кожна функшя розпод!лу монотонно не
спадае, неперервна зл!ва ! задовольняе умови
F (— оо) = 0, F (ф- оо) = 1.
Навпаки, кожну таку функщю можна вважати функщею розпод!лу
деяко! випадково! величини.
1стотними характеристиками випадково! величини е !! математичке
спод!вання
со
Mg = J xdF (х) (5)
i дисперс!я
со
Z)g = У (x-MtfdF(x).- (6)
—со
Серед випадкових величин ваддляють звичайно так зван! дискреты.
i Henepepeni випадков! величини. Випадкова величина називаеться
дискретною, якщо вона може набувати лише деякого скшченного або
зл1ченного числа значень
Х1, х2, . . . , хп, . . .
(наприклад, число виклиюв на телефиннш станцп за деякий промп
жок часу е дискретна випадкова величина).
Якщо р2, ..., рп, ... — iMOBipnocTi, з якими величина g набувае
значень xlt х2.... х„, ..., тофункщею розпод!лу g е, очевидно, функшя
стрибюв. Для не! innerрали (5) ! (6) зводяться вщповщно до сум
Ж = 2 xipi
i
i
ет=5(^-а)2А fa = Mg).
Випадкова величина g називаеться неперервною, якщо '!! функщя
розпод!лу абсолютно неперервна. Похщна F' uiei функцп розпод!лу
називаеться щ1льн1апю розпод1лу ймоепрностей випадковоТ величини g.
Зпдно з цим, у попередньому пункт! для неперервно'! випадково'!
величини ст1льтьесовськ1‘ штеграли, як! визначають Г! математичке
спод1вання i дисперсп, зводяться до штегралie по звичайнш лебего-
в1й Mipi:
оо
Mg = J хр (х) dx,
—оо
оо
Dg = j (х — af р (х) dx,
—со
де р = F' — шдльшсть розпод!лу ймов!рностей для g i а = Mg.
В елементарних курсах теорп ймов1рностей обмежуються, звичай-
но, розглядом дискретних i неперервних випадкових величин, як! в
основному застосовуються в прикладних питаниях. Проте, взагал!
кажучи, функщя розпод!лу випадково’’ величини може вмютити й
сингулярну компоненту, так що не всяку випадкову величину можна
подати як комбшащю дискретно’! i неперервно'!.
Нехай g — випадкова величина, F — и функщя розпод!лу i г] = ф (g) — !нша
випадкова величина, яка е борел!вською функщею в!д g. Математичке спод!вання
Мт\ величини т) можна, за означениям, записати як
ОО
У хйФ (х),
--ОС
де Ф — функщя розподму для т]. Однак Ictotho, що коли ср сумовна по Mipi, що по-
роджуеться на прящи функщею F, то математичне спод!вання величини т] можна за-
писати i через функщю розподшу F величини g, а саме:
СО
/И тр = Мф (§) = У ср (х) dF (х).
—оо
Справд!, функщя у = ср (х) визначае вщображення прямо!" (— оо < х < оо) i3 зада-
ною на шй Miporo piF (породженою F) в пряму (— оо < у < оо) з Miporo picl„ в ЯКУ
р-У? переводиться воображениям у — ср (х). Але з результате розд. V випливае," що
коли (X, р.) i (Г, v) — два простори з Miporo, ф — вщображення, яке збершае Mipy i
переводить (X, pi) у (Y, v), a f — сумовна функщя на (У, v), то
У f (У) dv = f (ф (х)) dpi
Y X
(замша змшних в штеграл! Лебега). Припустивши тут / (у) = у i pi = piF, v = р1ф,
ми й д!станемо потр!бну р!вшсть. Отже, для обчислення математичного спод!вання
(а також, звичайно, i дисперсп) функц! I вщ величини g досить знати лише функ-
щю розпод!лу само! величини g.
4, 1нтеграл Р1мана — Спльтьеса. Поряд з штегралом Лебега —
Спльтьеса, що був розглянутий вище i ефактично р!зницею лебегових
штеграл!в вщ дано! функци / по двох Mipax, заданих на прямш,
можна визначити ще й так званий штеграл Р!мана— Спльтьеса,
Bin вводиться як границя штегральних сум, аналошчних звичайним
штегральним сумам Р!мана.
Нехай знову Ф — деяка неперервна зл!ва функщя з обмеженою
змшою, задана на швсегменп [a, b) i f— дов!льна функщя на цьому ж
швсегменп *. Розглянемо деяке розбиття
а = хп <С Xj <С х2 <
швсегмента [а, Ь) на елементи [xf_i, х() i, взявши в кожному з них
дов iльну точку складемо суму
п
2/(^)[Ф(^)-Ф(^-1)]. (7)
(=1
Якщо при шах (хг — xe_t) -> 0 щ суми прямують до деяко! границ!
(яка не залежить н! вщ способу розбиття пром!жку [a, b), Hi вщ вибору
точок Э у кожному з елеменпв розбиття), то ця границя називаеться
штегралом Романа — Спйлыпьеса вщ функци f по функци Ф по [а, Ь);
його позначають символом
6
р(х)ЙФ(х). (8)
а
Теорема!. Якщофункщя f—неперервна на сегмент! [а, &], то
11 штеграл Ршана — Стлльтьеса (8) icnye i зб1гаеться з eidnoeidnuM
штегралом Лебега — Спильтъеса.
Доведения. Суму (7) можна розглядати як штеграл Лебе-
га — Спльтьеса вщ схщчасто! функци
fn (X) = f (£,-) При Xi-t < х < х^
При подр1бненш розбиття пром!жка (а, Ь] послщовщсть таких функ-
щй р1вном1рно збпаеться до /. Тому границя цих сум icnye i е штегра-
лом Лебега — Спльтьеса вщ гранично! функци / (теорема про гранич-
ний перехщ пщ знаком штеграла). Водночас саме цю границю ми й
назвали штегралом Романа — Спльтьеса (8). Теорему доведено.
Установимо деяк! елементарн! властивост! штеграла Р!мана —
Спльтьеса. Тут передбачено, що / скр!зь неперервна на всьому [а, &].
1. Справедлива ощнка (теорема про середне)
ь
J / (х) ЙФ (X)
а
<max|/(x)| Vba [Ф]
(9)
(УЬа (Ф1 — повна змша функци Ф на [а, Ь)).
Осюльки в штеграл! Спльтьеса окрем! точки можуть бути в1дм1нн1 вщ нуля,
то елементи розбиття не повинн! мати сшльну точку. Тому ми беремо тут швсег-
менти.
Справд!, при будь-якому розбитт! пром!жку [а, Ь) виконана нер!в-
шсть
2 Ш Ф(^)-Ф (%._,))
Г=1
2 I/O • ।ф(х;) — ф(xi_i)|
п
max | / (х)\ • 2 Iф (xt) — ф te-i) l<max | / (х)| Vba [Ф].
Перейшовши в ц!й нер!вност! до границ!, ми й д!станемо оцшку (9).
При Ф (х) = х, вона переходить у ввдому оцшку
ь
У f (х) dx
а
^(Ь — a) max | / (х)|
для штеграла Р!мана.
2. Якщо Ф — Фх + Ф2, то
b b - ь
j f (х) ЙФ (х) = J / (х) d<I\ (х) + j / (х) 6Ф2 (х).
а а а
Справд!, при всякому розбитт! пром!жку [а, Ь) в!дпов!дна р!вн!сть
виконана для штегральних сум, отже, вона збершаеться ! в границ!,
тобто для штеграл!в.
Ми означили штеграл Р!мана —Спльтьеса (8), вважаючи, що функ-
шя Ф (х) неперервна зл!ва. Однак означения цього штеграла як гра-
ниц! сум (7) збершае зм!ст i для будь-яко'! функци Ф (х) з обмеженою
змшою. При цьому мае м!сце така властив!сть:
3. Якщо Фх i Ф2 — dei функцИ з обмеженою змшою на 1а, Ь), яко
зб1гаються скр1зь, KpiM скшченного або зл1ченного числа внутрошшх
точок цього пром1жку, то
b ь
У / (X) (X) = J / (х) с?Ф2 (х)
а а
для будь-якоо неперервно! на \а, bl функци f.
Для доведения розглянемо спочатку випадок, коли Ф2 = 0, тобто
установимо справедливость такого твердження:
3'. Якщо^ — функщя з обмеженою змшою, в!дм!нна eid нуля лише
в оконченному або зл1ченному число точок, що лежать всередиш (а, Ь), то
ь
У f(x) аф (х) = О
а
для будь-якоо неперервноо на [а, й] функци f.
Справд!, це очевидно для функци, в!дм!нно! в!д нуля в однш точц!
х0 (якщо брата як завгодно др!бн! розбиття промо'жку (а, Ы, не вклю-
чаючи х0 до числа точок под!лу, то дютаватимемо штегральн! суми,
як! дор!внюють нулю), отже, за адитившстю це справедливо i для
будь-яко! функцп, вщмшно! вщ нуля в сличенному числ! точок,
Нехай тепер ф вщмшна вщ нуля в точках
гъ г2, .... гп, ...
i
У1> Уъ< • • • > Уп> • • •
— и значения в цих точках. Оскьпьки ф мае обмежену змшу, то
У | уп | <L оо. ЕИзьмемо номер N так, що У | уп | < е i запишемо и
п n>N
У ВИГЛЯД1’ суми
Ф = 'Iw + Ф,
де фм набувае значень уъ ум в точках гг, .... i дор!внюе 0 в ycix
шших, а ф вщмшна вщ 0 лише в точках BL.B Q/+2, ... На пщстав!
попередньо! властивост!
ь ь ь
$ f (х) йф (х) = J f (х) сгфдг (х) + j f (х) dq (х).
а а а
Перший з цих штеграл!в, за вже доведении, дор 1внюе нулю, а другий,
за властив!стю 1, допускае оцшку
ь
У / (X) i/ф (X)
а I
< max | f (х)| • 2е
(осюльки, очевидно, Vba [ф] — 2 У, | уп | < 2е). На шдстав! дов!льност!
& ззщси випливае наше твердження.
Тепер для доведения властивост! 3 розглянемо р!зницю ф — Фг —
— Ф2. Вона вщмшна вщ нуля лише в сличенному або зл!ченному чис-
л! точок, що належать (а, Ь). Залишаеться застосувати 2 ! 3'. Зокрема,
оск!льки функщя з обмеженою змшою мае не б!льш як зл!ченне число
точок розриву, дютаемо таку властив!сть:
4. Якщо функщя f неперервна, то интеграл Р i/лана — Спйльтъеса
ь
j f (х) dO (х) не залежить eid значень, яких набувае функц1я Ф у 'i'i
а
точках розриву, що лежать усередиш (а, Ь).
Оск!льки штеграл Р!мана — Спльтьеса вщ неперервно! функци
зб!гаеться з вщповщним штегралом Лебега — Спльтьеса, то для
штеграла Р!мана—Спльтьеса вщ неперервно! функци / (х) справедли-
в! piBHocTi:
ь
J / (х) ^Ф (х) = 2 / (^)
а 1
якщо Ф — функщя стрибк’в, !
b ь
/ (х) dC> (х) = j / (х) Ф' (х) dx, (10)
а а
якщо Ф — абсолютно неперервна функщя. Якщо при цьому Ф' ш-
тегровна за Р1маном, пщ штегралом в (10) справа можна розумгги
штеграл Р1мана.
Усе сказане про штеграл Р1мана — Спльтьеса по скшченному
пром!жку легко переноситься на випадок, коли штеграл беруть по
вс1й прям!й, або по швпрямш.
Зауваження. Ми означили штеграл Ст1льтьеса по швсегменту [а, Ь). Ана-
лопчно можна означити штеграл по (а, &], а також штеграли по [а, &] i (а, Ь). У ви-
падку штеграла Спльтьеса, на в!дм!ну в!д звичайного р!манового штеграла, значения
штеграла по штервалу (а, 6), сегменту [а, 6] : швсегментам (a, b] i [а, Ь), взагал!
кажучи, не збшаються м!ж собою. Наприклад якщо а — точка розриву функци Ф,
то штеграл по [а, Ь] дор!внюе штегралу, взятому по (а, 6] плюс член виду / (а) й,
де h = Ф (а 4- 0) — Ф (а).
5. Граничили перехщ пщ знаком штеграла Спльтьеса. У розд. V
ми довели ряд теорем про граничний перехщ пщ знаком штеграла
Лебега. При цьому питания ставилося так: дано послщовшсть функ-
щй {fn} i штеграли по них по деякш фжсованш Mipi; нас цшавить
можливють граничного переходу пщ знаком штеграла. Однак щодо
штеграла Спльтьеса цжава й шша постановка питания: дано послн
довшсть функцш з обмеженою змшою {Ф„}. При яких умовах для
ф!ксовано! функци / пщ знаком штеграла
ь
J / (X) йФп (х)
а
можливий граничний перехщ?
Тут мае мкце така теорема:
Теорема 2 (перша теорема Хелл!). Нехай функщ Ф,
з обмеженою змшою на eidpiwy [a, b 1 зб1гаються в кожн1й точц1 цього
eidpisKa до деяко! функци Ф, причому nocni змши функщй Фп обмежень
в сукупносгт:
У»[Ф„]<С (п=1, 2,...).
Todi гранична функщя Ф також мае обмежену змшу, I для будь-
яко’1 неперервно'1 функци f справедлива р1вн1сть
ь ь
lim f f (х) дФ„ (х) = ( / (х) йФ (х). (11)
«- ‘а а
Доведения. Насамперед покажемо, що повна змша гранич-
но)’ функци Ф не перевищуе Tie)’ само! константи С, якою обмежен!
вс! Vba [Ф„]. Справдц при будь-якому розбитп вщр!зка [а, Ь] точками
а = х0<х1< <хт = Ь
маемо
т т
2 | Ф (xj — Ф (х*_1)| = lim 2 I Ф„ (xft) — ф„ (Xfe-i)l < С,
/?=1 П-+со k=l
отже, У а [Ф] < с.
Покажемо тепер, що сшввщношення (11) виконуеться тод!, коли f
схщчаста функщя. Нехай f набувае значень hk на !нтервалах (x^i.
xk). Тод! i ь У f W W = 3 hk [ф« W — ф« a k b У f (*)(•*) = 2МФ (xk) — ф Ufe-i)]. a
Зрозум1'ло, що перший з цих вирае!в при п -> оо переходить у дру-
гий.
Нехай тепер f — неперервна функщя i е — дов!льне додатне число.
В!зьмемо схщчасту функщю fR так, що
|f (х)—/8 (х)| < .
Тод!
b b р(х)с!Ф(х)-р(х)ЙФп(х) < a a b b z §f(x) йФ (x) — j fe (x) лф (x) - a a
+ J Д (х) 4Ф (х) - J Д (х) ЙФ,г (х) + J Д (х) ЙФ„ (х) - J / (х) Ж, (х) .
На шдстав! теореми про середнедля штеграла Спльтьеса перший
i трепй доданки тут менпл, н!ж е/3, а другий менший е/3 при вс!х
досить великих п. Осшльки е > 0 дов!льне, звщси випливае твер-
дження теореми.
Зауваження. Ця теорема поширюеться 1 на той випадок, коли в !нтегралах
ь
J f (х) d&n (х)
а
одна або обидв! границ! нескшченш. Проте, при цьому функшя f повинна на неск!н-
ченност! прямувати до деяко'! скшченно! границ! (це дае змогу р!вном!рно апрокси-
мувати п на всьому неск!нченному пром!жку схщчастими функщями, як! набувають
лише скшченне число значень).
Якщо перша теорема Хелл! встановлюе умови, при яких в штегра-
л! Р!мана — Спльтьеса можна переходити до границ! по деяюй посл!-
довност! {Фп| функщй з обмеженою змшою, то друга з’ясовуе, коли
можна гарантувати саме !снування послщовност’, що задовольняе
умови першо!.
Теорема 3. (Друга теорема Хелл i). 3 усяко'1 нескшчен-
Ho'i множини М срункцШ Ф, як1 задам на деякому в1др1зку [a, b] i за-
довольняють умови
max | Ф (х)| < С, Уа[Ф]<Л, (12)
(С i К — стал!, т! сам! для Bcix Ф £ М), можна вибрати nidnocAi-
довмстъ, яка збьгаеться в кожмй точц1 в1др1зка 1а, Ь].
Доведения. Досить довести цю теорему для монотонних функ-
цш. Справд!, нехай
Ф = v — g,
де v (х) — повна змша функцп Ф на в!др!зку [а, х]. Тод! функци
и, як! вщповщають ус!м Ф g М, задовольняють нер!вност!
max | v (х)| < К, Vba [п] = Vba [Ф] < К,
тобто задовольняють умови теореми, i монотонн!. Вважаючи, що для
монотонних функцш теорему доведено, в!зьмемо послщовшсть {Фп}
з М так, щоб для не! vn збшалися до деяко'! границ! V. Дал!, функци
gn = vn — Ф„
також монотонн! i задовольняють умови теореми. Тому з {Фп} можна
взяти шдпослщовшсть {Ф„й) так, що gnk збшаються до деяко'! грани-
щ g. Але тод!
Ф„л (х) ->Ф (X) = V (X) — g (х).
Отже, наведемо доведения теореми для с!м”! М монотонних функцш.
Нехай
Гу, г2....гп, ...
— ус! рацюнальш точки в!др!зка [а, Ь]. На пщстав! (12) числа Ф(гх)
(де Ф проб!гае всю М) утворюють обмежену множину, тому знай-
деться послщовшсть (Ф^0}, яка зб!гаеться в точц! гх. Дал!, з не! можна
вибрати шдпослщовшсть {Ф®}, що збшаеться в точщ г2 (i, звичайно,
в гх). 3 {Ф„2)} в!зьмемо шдпослщовшсть, яка зб!гаеться в точщ г3,
i т. д. Д!агональна послщовшсть {Ф„п)}, очевидно, збюатиметься в
ycix рацюнальних точках вщр!зка [а, Ь]. Г! границя е несчадною
функщею Ф, визначеною поки що лише в точках гх, г2,..., гп До-
ознгчимо !”! в шших точках вщр!зка [а, 6], припустивши для !ррац!о-
нальних х Ф (х)= lim Ф (г) (г рацюнальш). Покажемо, що утворена
г^х—О
так неспадна функщя Ф в ycix точках неперервност! е границею посл!-
довност! Ф. Нехай х* — одна з таких точок. Тод! для заданогое >0
можна знайти таке б > 0, що
|Ф(х*) — Ф(х)|<е/6, як пльки |х* — х | < б. (13)
В!зьмемо рацюнальш точки г' i г" так, що г‘ < х* < г" i г' > х* —
— б, г" < х* + б. Нехай тепер п.о таке велике, що при п > п0 викона-
Hi HepiBHOCTi
|Ф„(г')-Ф(г')|<е/6 i | ФЛ")-Ф (г")!
(14)
3 (13) 1 (14) випливае, що
|Ф„ (г')-фп(г")|<4е-
Осшльки функшя Ф„ неспадна, то Ф„ (г') Ф„ (х*) < Ф„ (г"). Тому
| Ф (х*) - Ф„ (х*)| < | Ф (х*) - Ф (г')| + | Ф (г') - Фп (г')| +
+ I Ф„ (Г') - Ф„ (х*)| < + -f- 4- = 8,
а це й означав, що lim Ф„ (х'д — Ф (х*).
П-Юо
Отже, ми побудували послщовшсть функщй з (И, яка зб!гаеться
ДО Гранично’! функцп Ф СКр13Ь, KpiM, можливо, точок розриву функ-
цп Ф. Осшльки множина таких точок не бтльш як зл!ченна, то, засто-
сувавши знову д!агональний процес, можна з послщовност! {Ф„}
ввддлити пщпослщовшсть, яка збшаеться до Ф i в цих точках, тобто
скр!зь на [а, Ь].
6. Загальний вигляд лшшних неперервних функцюнал!в у просто-
pi неперервних функщй. Вище ми вже наводили деяк! застосування
штеграла Спльтьеса. Тепер ми розглянемо ще одну задачу, пов’язану
з цим поняттям, а саме, з’ясуемо загальний вигляд лшшного функцю-
налу в простор! С la, &J.
Теорема 4 (Ф. Pica). Усякий лшшний неперервний функщонал F
у простор! С [а, Ь] можна подати у вигляд!
ь
F(f) = $f(x)d®(x), (15)
а
де Ф — деяка функщя з обмеженою змшою \ При цьому
1ИИ = ЙЬ].
Доведения. Проспр С [a, b ] можна розглядати як пщпроспр
простору М [a, b] ycix обмежених функщй на цьому вщр!зку з пего
самою нормою
11/11= sup \f(x)\,
що й у С [а, Ь]. Нехай, F—неперервний лшшний функцюнал на
С [а, Ь]. За теоремою Гана — Банаха його можна продовжити is збе-
реженням норми зС[а, на всю М [а, Ь]. Зокрема, такий продви-
жений функцюнал буде визначений на Bcix функщях виду
(1 при х < т,
h&(x) =<ф hx (х) =
[О при х>т, якщо Т><2.
Припустимо
Ф(т) = Г(йт) (16)
i покажемо, що функщя Ф мае обмежену змшу на вщр!зку [а, 6],
Справд!, в!зьмемо дов!льне розбиття
а = х0 < Xj < • • • < хп — b
1 Тут маетьсг на уваз! штеграл по в!др!зку [а, &]
цього вщр!зка ! припустимо, що
«А = Sgll (Ф (xfe) — Ф(Хй-О) (k = 1, 2, ..п).
Тод!
2S Iф (<)—ф = 5 ®а (ф (<) — ф fe-0) =
А=1 fe=l
= 2^ (^xk — hxk—i) = F аА (^А — ^xk— 1) j
<|| Л - 2 «А (4-^-1) •
k—\
п
Але функщя 2 аА (^ “ ^*a-i) набувае лише значень ± 1 i О, отже,
fe=i
i"i норма дор!внюе 1. Таким чином,
2 1ф(о-ф(^-1)ь<и11-
&=1
Осюльки це справедливо для будь-якого розбиття в!др!зка [а, Ь], то
^[ф]<(|П
Отже, ми побудували за функцюналом F функщю Ф, яка мае обмежену
зм!ну, Покажемо, що саме за допомогою niei функщ! функщонал F
записуеться у вигляд! штеграла Спльтьеса (15). Нехай, f— дов!льна
неперервна функщя на [а, Ь]. Задамо додатне s i в!зьмемо б > О так,
що | f (х") — f (х') | < s при \х" — х' | < б. Роз!б’емо тепер вщ-
р!зок [a, b J точками xk на частики, довжина кожно! з яких менша за б,
i розглянемо схщчасту функщю fe:
fB (х) — f (xk) при Ха-1 < х < xk, k=\, 2, , п.
11, очевидно, можна записати у вигляд!
Д (х)Ь= 2 f (Ха) [hx (х) — hXk (х)],
А=1 к
де hx — функщя, визначена р!вн!стю (16). Зрозумшо, що | f (х) —
— /s W I < Е при Bcix х (а < х < Ь), тобто
II/(X)— /е(х)|]<8.
Знайдемо значения функцюналу F на елемент! fe. Внаслщок лшшнос-
т! цього функцюналу i означения функц!! /гт воно дор!внюе
Р (fe) = 2 f (^а) (М - F 2 f [Ф ~ Ф
тобто е штегральною сумою для штеграла
J/(x) аФ (х).
Тому при досить др!бному розбитп в!др!зка [а, bl
А.ле водночас
Отже,
ь
F (Д) — J f (х) сИ> (х)
а
ь
F(f)-^f(x) d®(x)
а
<8(1+И11)-
зв1дки на пщстав! довыьносп 8 д!стаемо piBHicTb
ь
F (Г) = f Дж)4/Ф(х).
а *
Ми показали, що повна змша функпп Ф, яка визначаеться формулою
(16), задовольняе нер!вшсть
Иа[Ф]<И||. (17)
3 другого боку, з теореми про середне для штеграла Р1мана — Спль-
тьеса вщразу випливае, що
ИЛ«Ж[Ф]- (18)
Пор1внюючи (17) i (18), д!стаемо р1вшсть
ИП = ^[Ф].
Теорему доведено.
Зауваження. Зрозум!ло, щи взявши дов!льну функщю з обмеженою зм1-
ною Ф на вщр!зку [a, i>] i припустивши, що
ь
= j f(x)d® w,
а
ми д!станемо л!н!йний функцюнал на npocropi С [а, Ь]. При цьому дв! функцп,
Ф, ! Ф2, як! зб!гаються на [а, 6] скр!зь, за винятком не б!льш як зл!ченно! множини
внутр!шн!х точок цього в!др!зку, визначають той самий л!шйний функцюнал; навпа-
ки, нехай Ф, ! Ф2 визначають той самий функцюнал на С [а 4>), тобто
b Ь
f W W = J / W Р®2 W
а а
для кожно! неперервно! функц!! f. Звщси випливае, що Ф( — Ф2 — const в ycix точках
неперервност! функц!! Ф, — Ф2) тобто скр!зь, кр!м, можливо, сюнченно'! або зл!ченно!
множини точок.
Якщо ми вщнесемо до одного класу дв! так! функцп з обмеженою зм!ною на [а, Ь\,
р!зниця яких в!др!зняеться в!д стало! не б!лыц як в зл!ченному числ! внутр!шшх
точок, то ми д! ста немо взаемно однозначну вщповщшсть м!ж такими класами ! л!шй-
ними функщоналами на С [а, &]. 1накше кажучи, кожний л!шйний функцюнал на
С [а; &] записуеться якютеграл по деякому заряду. Цей заряд може бути заданий
функд!ею з обмеженою зм!ною, але вщповщшсть м!ж зарядами i такими функщями
однозначна лише з точшстю наведено! вище екв!валентност!.
Для довмьно! функцп Ф з класу, що вщповщае заданому функцюналу Р, вико-
нуеться нер!вшсть
pieHOCTi тут може й не бути, проте, як видно з доведения теореми, в кожному такому
клас! е принайми! одна функщя, для яко! така р!вшсть справджуеться.
Р з д i л VII
ПРОСТОРИ СУМОВНИХ ФУНКЩЙ
*5
Один з найважлив1ших клас1в нормованих простор1в становлять
простори сумовних функщй, у першу черту npocrip ycix сумовних
функщй i npocrip L2 функщй з сумовним квадратом. Тепер ми
розглянемо ocHOBHi властивост! цих простор!в. Змют цього розд!лу
грунтуеться, з одного боку, назагальних влас.ивостях метричних i
лшШних нормованих простор!в, викладених у розд. II—IV, а з дру-
гого,— на введеному в розд. V понятш штеграла Лебега.
§ 1. ПРОСПР Z.J
1. Означения i основш властивосп’ простору £х. Нехай X— де-
який прост ip з MipoK) р; при цьому Mipa самого X може бути сличен-
ною або нескшченною. Вважатимемо Mipy р повною (тобто будь-яка
шдмножина будь-яко! множини м!ри нуль вим!рна). Розглянемо су- *
купшсть ycix функшй / сумовних на X, Осшльки лппйна комбшащя
сумовних функщй сумовна, ця сукупшсть is звичайними операщями
додавання функщй i множення ix на числа, утворюе лшшний npocrip.
Цей npocrip ми позначимо £х (X, р) або, коротше, просто £х, Введемо
в Lt норму, припустивши 1, що
II/II = f|l(х)\ du. (1)
При цьому
II «/11 = М • 11/11
НА + АII <11АII+ 11/4
Однак, для того, щоб виконувалась i остання властивють норми, а
саме,
U/Ц > 0, якщо /=#0,
треба вважати, щс функци, екв!валентш одна одшй на X, не розр{з-
няються, а вважаемо !х за той самий елемент простору Зокрема,
нульовий елемент в £х— це сукупшсть ycix функшй, що дор!внюють
нулю майже ско!зь. При цьому вираз (1) матиме Bci властивост! норми.
Отже, ми приходимо до такого означения:
Означения 1. Простором називаеться нормований про-
CTip, елементами якого е класи екв!валентних м!ж собою сумовних
1 Тут i дал! символ j означатиме штегрування по всьому простору X.
И 4-1039
функцШ; додавання елеменпв в L± ! множення ix на числа означаються
як звичайне додавання i множення функцш * 1, а норму задаемо фор-
мулою
11/11 =
В Lu як ! в усякому нормованому простор!, за допомогою формули
Р(/. g) = l!/ —£11
вводиться вщстань. Зб!жшсть послщовност! сумовних функщй у ро-
зумшш ще" вщстан! називають зб1жн1стю в середньому. Проспр
можна вважати таким, що складаеться з комплексних функщй (комп-
лексний Lj) або з одних лише д!йсних (дшсний Lr). Зм!ст цього парагра-
фа стосуеться обох таких випадк!в.
Дуже важливий для багатьох питань анал!зу такий факт:
Теорема 1. npocmip повний,
Доведения. Нехай {/„} — фундаментальна послщовшсть
y.L*, тобто
И/n — /т||->0 при п, т-^оо.
Тод! можна знайти таку зростаючу послщовщсть !ндекс!в {nk}, що
||/nfe /«fe+lll = J \fnk(x) frik+i (x)| .
3 ще! нер!вност! i теореми Б. Лев! випливае, що ряд
I fn, | + | fn, /«,!+•••
збшаеться майже скр!зь на X. Але тод! й ряд -
/«1 + (/п2 — fnf) +• • •
збшаеться майже скр!зь на X до деяко! функщ!
f(x) = lim /„ (х).
k -*сю
Отже, фундаментальна послщовшсть у Lr м!стить пщпослщовшсть,
яка зб!гаеться майже скр!зь.
Покажемо тепер, що пщпослщовшсть {/„J збшаеться до не!
само! функци / i в середньому. На пщетав! фундаментальност! посл!-
довност! {/„}, при будь-якому фшсованому в > 0 для вс!х досить ве-
ликих k i I маемо
Jl/ns W— fnt (*W<8.
За теоремою Фату в ц!й нер!вносп можна перейти до границ! пщ зна-
ком штеграла при I -> оо. Д!стаемо
J|/nft W —/Wl^Ce,
1 Точшше: кожний елемент в L, — це клас екв!валентних м!ж собою сумовних функ-
щй; щоб додати два таких класи, треба взяти з них по представнику i вважати сумою
клас, що М1стить суму цих представниыв. Зрозум!ло, що результат не залежить в!д
довЩьносп у внбор! представниюв. Аналопчно — i для множення елемента з Lp
на число.
звщки випливае, що f g Lx i що fnk -> /. Але з того, що фундаменталь-
на послщовшсть Mic'HTb пщпослщовшсть, яка зб!гаеться до пеяко!
границ!, випливае, що й сама вона збДаеться до Tie! само! границ!.
Теорему доведено.
2. Скр1зь щ1льш множини в Lr. Для всяко!' функци f, сумовно!' на
X, i будь-якого 8 > 0 icnye така проста сумовна функщя <р (х), що
J | f (х) — <р (х)| ф < F,
Дал!, осшльки для просто! сумовно!' функц!!', яка набувае значения
у1; у2, ,.4.*на множинах Е2, штеграл визначаеться як сума ряду
2 УпР
п=1
(при умоз! його абсолютно! зб!жност!), зрозум!ло, що всяку просту
сумовну функщю можна подати як границю (в середньому) послщов-
ност! простих функщй, як! набувають лише скшченного числа зна-
чень. Отже, у npocmopi скр1зь щ1льн1 функци, кожна з яких набувае
лише скшченного числа значень (тобто е скшченною л!н!йною комбЬ
нащею !ндикатор!в).
Нехай R — метричний npocrip з введеною в ньому м!рою, який
задовольняе таку умову (виконану для мфи Лебега в евклщовому
простор! i в багатьох шших практично щкавих випадках): yci eidKpumi
i eci замкнут! множини в R euMipHi i для будь-яко1 вим1рно1 множини
McR
и (Af) = inf и (G), (2)
мсб
де нижня грань береться по Bcix вщкритих множинах G, що мютять
М. Тод1‘ справедлива така теорема:
Теорема 2, Множина ecix неперервних функщй скр1зь ищльна в
U (R, с)
Доведения. На шдстав! сказаного вище досить довести, що
всяка проста функщя, яка набувае скшченного числа значень, е гра-
ницею, в розумшш зб!жност! в середньому, послщовност! неперервних
функщй. Дал!, осшльки всяка сумовна проста функщя, яка набувае
скшченного числа значень, елш!йна комбшашя шдикатор!в (х) ви-
м!рних множин ск!нченно!'м!ри, то досить доведения провести для цих
останшх. Нехай М — вим!рна множина в метричному простор!
/?!р(М)<оо Тод! з умови (2) вщразу випливае, що для будь-якого
е>0 знайдуться замкнута множина Fm ! вщкрита множина Gm так!, що
Fm cz М cz GM i р (Gm) — р (Ам) < 8.
Визначимо тепер функщю фе (х), припустивши \ що
, ,_________р (х, 7? \ G,-
фе W “ Р (х, R \ GM) + р (X, FM)
1 р (х, А) означае вщстань вщ точки х до множини А.
Ця функщя дор!внюе 0 при х £ R \ Gm ! дор!внюе 1 при х g FM>
Вона неперервна, бо кожна з функшй р (х, FM) i р (х, 7? \ Gm) неперерв-
на i ix сума нще не перетворюеться в 0. Функщя — Фе не переви-
щуе 1 на Gm\ Fm i дор!внюе 0 поза щею множиною. Отже,
f I Хм (*) — Ф= OOI < е>
звщки й випливае твердження теореми.
Зрозумкю, що прост1р L{ (X, р) залежить i вщ вибору простору
X, i вщ вибору М1ри р в ньому. Наприклад, якщо Mipa р зосереджена
в скшченному числ! точок, то (X, р) буде просто ск!нченновим!рним
простором. В анал!з! основну роль вщдграють простори Li нескшчен-
но!’ розм1рност1, але так!, що м!стять зл!ченну скр1зь щыьну шдмножи-
ну. Щоб охарактеризувати так! простори Llf введемо ще одне поняття,
яке стосуеться, власне кажучи, загально!’ теорп м!ри.
Означения 2. Mipa р називаеться Mipoto 1з зл1ченним бази-
сом, якщо icnye така зл!ченна система
Л = {Л„} (п= 1, 2, ...)
вим!рних пщмножин простору X (змченний базис м!ри р), що для
всяко!’ BHMipHoi М. с X i всякого е > 0 знайдеться така Ak £ Л, що
р (Л4 △ Лй) < е.
Зокрема, Mipa р мае зл!ченний базис, якщо ’!!’ можна подати як
лебегове продовження м!ри т, визначено!’ на деякому зл!ченному шв-
к!льш Q. Справд!, у цьому випадку к!льце 91 (Q) (очевидно, зл!ченне)
i е шуканим базисом. Звщси видно, наприклад, що зл!ченний базис
мае Mipa Лебега на вщр!зку, осюльки для не!’ за вихщне швшльце
можна взяти сукупшсть швсегменту з рацюнальними к!льцями.
Добуток р = Pi ® р2 двох Mip is зл!ченними базисами також мае
зл!ченний базис, бо скшченш суми добутку елеменпв з базису м!ри
Рд на елементи з базису м!ри р2 утворюють, як легко перев!рити, ба-
зис м!ри р = Pi 0 р2. Тому Mipa Лебега на площиш (а також ! в
тг-вим!рному простор!) мае зл!ченний базис.
Нехай
А1, Ла., ... , Лп, ... (3)
е зл!ченний базис м!ри р. Легко побачити, що, розширяючи систему
множин (3), можна утворити новий зл!ченний базис ще!’ м!ри
Лд, Л2, ... , Л„, ...
(4)
замкнутий щодо операщй в!дн!мання i взяття скшченних сум та пере-
тишв, тобто в!н е юльцем.
Теорема 3. Якщо Mipa р мае змченний базис,то eLr (X, р) 1снуе
зл1ченна ск.р1зь щ1льна множина функцш.
Доведения, Покажемо, що зл1ченна скр1зь щ1Лона множина
в Д (А, р) утворюе скшченш суми
5 Ckfk (*), (5)
sgp
де ck—ращональш числа, a fk шдикатори елеменпв зл1ченного
базиса м!ри р.
Зл1чен1лсть тако! множини очевидна; покажемо, що вона скр!зь
щ!льна в Lr (X, р). Як мп вже показали, множина схщчастих функ-
Hifi, як1 набувають лише скшченного числа значень, скр!зь шдльна
в Lx. Осюльки будь-яку таку функщю можна як завгодно близько
апроксимувати функщею того самого вигляду, але такого, що набувае
лише ращональних значень, досить показати, що будь-яку схщчасту
функщю f, яка набувае значень
Ук Уг, Ус (yci Ус рашональш)
па множинах
Ег, Е2, ,.., Еп[ U Et = X, Е{ П Ej= 0 при i =#/
\i= 1
можна як завгодно близько апроксимувати в розумшш метрики Lx
функщями виду (5). Згщно з цим зауваженням можна без обмеження
загальност! припускати, що базис м1ри р е юльпе.
За означениям зл!ченного базису м(ри р при будь-якому е> 0 у
ньому юнують так! множини ‘А2, Ап, що
р (Ek Д А*) < е.
Нехай
4 = АД и А = 1, 2, .,. , п)
t<k
Визначимо /*, припустивши, що
yk при х £ Ak,
f ix> ~ о при х Q Я \ U Ас.
Легко побачити, що при досить малому е Mipa
р {х: / (х) f (х)}
як завгодно мала i, отже, штеграл
f I f (*) — f* W| du < (2 max | yk |) p {x: f (x) #= f* (x)}
як завгодно малий при досить малому 8.
На шдстав! зроблених нами припущень щодо базису м!ри, функ-
щя f* е функщя виду (5). Теорему доведено.
Для випадку, коли X е сегмент числово! прямо!, ар— Mipa Лебе-
га, зл!ченну скр!зь [щльну множину в можна дютати й проспше,
наприклад, узявши множину Bcix многочлешв з ращональними
коефщ!ентами. Вона скр!зь нцльна (нав!ть в розумшн! р!вном!рно! зб1ж-
ност!) у множин! неперервних функцш, а ш останн! утворюють скр!зь
шдльну множину в L-i (X, р).
§ 2. ПРОСПР L2
1, Означения i основн! властивост!. Як ми побачили, прост!рЛг е
повний нормований (тобто банаховий) лшшний npocrip, Проте вш не
е евклщовим: означену в ньому норму не можна задати за допомогою
якого-небудь скалярного добутку. Це випливае з «теореми про парале-
лограм», установлено!' в п. 8, §4, розд. III. Наприклад, для штегров-
них на в!др!зку [0, 2 л] функцш f=l, g = sinx сшввщношення
11/ + ^й2 + Н-^112 = 2(||/||2+.«
в Lj не виконуеться.
Функцюнальний npocrip, не т!льки ноомований, а й евклщовий,
можна побудувати, взявши сукупшсть функцш з штегровним квад-
ратом. Введемо вщповщш означения. Спочатку розглядатимемо
дшсн! функц!!' /, визначеш на деякому простои! X, 13 заданою на ньому
м!рою р. Припускаемо, що вс! функцп вим!рн! ! визначеш на X майже
скр!зь. Екв!валентн! м!ж собою функцп не розр!зняються.
Означения 1. Функщя / називаеться функщею з штегров-
ним. квадратом на X, якщо штеграл
J72 (х)(1ц
icnye (скшченний). Сукупшсть ycix таких функцш ми позначимо
L2 (X, р) або, коротше, Ь2.
Установимо основн! властивост! функшй з штегровним квадратом.
1. Добуток двох функщй з штегровним квадратом е штегровною
функщею.
Це безпосередньо випливае з нер!вност!
i властивостей штеграла Лебега.
Н а с л i д о к. Усяка функщя. f з штегровним квадратом на про-
стор! з скшченною м1рою штегровна.
Справд!, достатньо припустити, що g(.t) = l, ! скористатися
властив!стю 1.
2 Сума двох функщй з L2 також належить L2,
Справд!,
(/ (х) + g (х))2 С /2 (х) + 21 / (х) g (х)[ + g* (х);
на п!дстав1 властивост! 1 кожна з трьох функцш, що стоТть праворуч,
штегровна.
3. Дкщо f б L2 i а — довиьне число, то af Q L2,
Справд!, якщо f g L2, то
J [а/ (х)]2 dp = а2 J /2 (х) dp < оо.
Властивост! 2 • 3 означають, що лпийш комбшацп функцш з К2знову
належать Ь2; при цьому, очевидно, додавання функцш з L2 i множення
'ix на числа задовольняють yci умови, перел!чеш в означенш лшшно-
•) простору (розд. 3, § 1). Отже, сукупшсть Я функцш з штегровним
квадратом е лшшний npocmip.
Визначимо тепер в L2 скалярний добуток, припустивши, що
(А £) = |7 W g U) Ф-
Тод! Bci вимоги, що входять в означения скалярного добутку
(див. §4, розд. III), а саме:
1) (f, g) = (g, А), *
2) (h + fz, g)=(k:, g) + (f2, g),
3) («А g) = а (/, g),
4) (f, f) > 0, якщо f =# 0,
при цьому виконаш. Зокрема, виконання умови 4) забезпечуеться
тим, що ми умовилися не розр'зняти екв!валентн1‘ м!ж собою функцп
(за нульовий елемент, таким чином, береться сукупшсть ycix функшй
па X, екв!валентних f = 0).
Отже, вв!вши для- функшй з штегровним квадратом операцп до-
давання i множення на число, а також скалярний добуток, ми при-
ходимо до такого остаточного означения:
Означения 2. Евктдовим простором Ь2 називаеться,л!шй-
пий npocrip, що складаеться з клас)в екв!валентних м!ж собою функ-
шй з штегровним квадратом, у якому скалярний добуток визначений
формулою
(А £) = I / W g W dy.
У L2, як i в усякому евклщовому простор!, виконаш нер!вшсть
Кош! — Буняковського i нер!вн!сть трикутника, як! в цьому раз! ма-
ють вигляд
О f W g (X) dyY < f f2 (х) dp У g2 (х) dp
i
КУ (/ (*) + g OO)2 dP < КУ f2 (x) dp + КУ g2 (x) du.
Зокрема, при p (X) <; oo i g (x) = 1 нер!вшсть Komi — Буняковсько-
го перетворюеться в таку оцшку:
(y/(x)dp)2<p(X)J’/2(x)dp. (1)
Норма в Ьг визначаеться формулою
li/ii 4 ко=куг^) %
а вщстань м!ж елементами fig— фопмулою
Р (A g) = II/ — 5II = КУ 7 (Х) — g (х))2 dp.
Величину
У(Ш — gW)2^ = l!/ — d2
називають також серед н1м квадрапшчним в1дхиленням функцш f 1
g одше! вщ одно!.
Зб!жн!сть функщонально! послщовност! в розумшш метрики про-
стору Ь2 називаеться зб1жшстю в середньому квадратичному. Якщо
немае небезпеки сплутати цю зб!жн!сть !з зб!жн!стю в визначенот
в попередньому параграф!, ми й тут користуватимемось коротшим тер-
м!ном «зб!жшсть у середньому».
Теорема 1. npocmip L2 (X, ц) при ц (X) < оо повний.
Доведения. Нехай {[п] —> фундаментальна посл!довн!сть в L2,
тобто
Wfn — А„||->0 при п, т->оа.
Тод! на шдстав! оцшки (1) д!стаемо
JI fn W - L И Ф (Х)]1/2 И (/„ W - fm « }1/2 < 8 (н (Х)],/!, (2)
тобто послщовшсть {/„} фундаментальна i в метриц! простооу Lt. По-
вторюючи м!ркування, як! були проведен! при доведенш повноти
простору Lu в!зьмемо з {/„} пщпослщовшсть {/„ }, яка зб!гаеться май.
же скр!зь до деяко! функц!! f. У нер!вност!
j (fnk (х) — fnt Д))2 dp < s’,
справедлив^ для члешв ц!ег пщпослщовност! при вс!х досить великих
k i I, можна, використовуючи теорему Фату, перейти до границ! при
Z -> oo. Д! ста немо
$(fnk (*)— /W)W<s,
звщки випливае, що f Q L2 i що -> Для завершения доведения
залишаеться, як ! в ^еорем! 1 § 1, скористатися тим, що коли фунда-
ментальна послщовшсть м!стить зб!жну, то й сама вона зб!гаеться до
Tie! само! границ!.
2. Випадок нескшченно! м!ри. Ми розглядали т!льки що функци
з штегрованим квадратом, визначеш на деякому простор! X ску-
ченно!' мтри. При цьому умову ц (X) < оо використовували досить
icTOTHo. А саме, спочатку ми вдавалися до не!, доводили, що всяка
функщя з сумовним квадратом сумовна i в портному степей!, а по-
тш — при виведенш нер!вност! (2), на якш грунтувалося доведения
повноти простору Ь2. Якщо розглядати функц!! на множил! нескшчен-
но! м!ри (наприклад, на всш прямш з лебеговою м!рою на шй), то не
всяка функщя з Ь2 м!ститиметься в Lr. Наприклад, функщя _ 1 - пе
у 1 + №
штегровна на вс!й прямш, а !! квадрат штегровний. Дал!, у випадку
р (X) < оо справджуеться нер!вшсть (1), яка означае, що !з зб!жност!
послщовност! функцш в Ь2 випливае !х зб!жн!сть в При р (X) =
~ оо це також нев!рно: наприклад, послщовнтсть функщй на прями'!
(х) =
1 11^
— при | X | < п,
О при | х | > п
зб!гаеться до 0 в простор! L2 (— оо, оо) функщй з сумовним квадратом
на прямш, але не збшаеться до жодноТ границ! в Lx (— оо, оо). Однак
теорема про повноту простору L2 справедлива й при р (X) = оо X
Доведемо це твердження. Як i в п. 6, § 5, розд. V, де ми ввели по-
няття штеграла по множин! нескшченно! м!ри, припускатимемо, що
весь npocrip X можна подати як зл!ченну суму множин скшченно7
м!ри. Нехай
X = U Х„, р(Х„)<оо, XjXm = 0 при п=£т
П=1
— таке зображення i нехай , {fn} — фундаментальна послщовшсть в
L2 (X, р). Отже, для кожного е > 0 !снуе таке X, що
J [fk (х) — f{ (х)]2 dp <; 8 для вс!х k,
Введемо позначення
ч ( Ф W при х £ Хп,
ф(«> (х) =
7 I 0 при рент х\
тод! на пщстав! властивост! сг-адитивност! штеграла Лебега маемо
J [fk (*) - h (Л1а dp = 2 J (x) - /Г’ (x)| dp < 8.
"=*
Для кожноТ скшченно1 M i погсшв
м
2 J [/l'!)(x)-/?)WJ2dp<8.
Сукупшсть функшй з штегровним квадратом на кожному Х„ е
повним простором. Припустивши, що
fw (х) = lim fp} (х)
/-►сю
(де зб!жшсть розумпоть як зб!жшсть у простор! L2 (Х„, р)), ми може-
мо перейти до границ! при I -> оо в нер!вност! (3). Ддстаемо
м
2 в.
п—1 хп
(д-шльки ця нер!вн!сть виконуеться для Bcix М, го в шй можна пере-
йти до границ! при М -е- оо. Отже, маемо
оо
«=‘х„
Припустивши, ЩО
/ (х) = /(п) (х) при X е х„,
1 1 l.oueденпя повноти простору Llt наведене в § 1, не залежитв, очевидно, вщ припу-
11П1111Я скшченност! м!ри простору X.
ми можемо останню нер!вшсть переписати у вигляд!
ПАЛ*) — / (%)]2 dp < 3.
Звщси випливае як належшсть f до L2 (X, р), так i зб!жн!сть послщов-
ност! {fk} до f.
В п р а в а. Визначимо Lp (X, у) як сукупшсть клас! в екв1валентних м!ж собою
функшй, для яких J |/ (x)pdp < оо, де 1 р < оо. Довести, що Lp (X, р) е бана-
ховим простором вщносно норми ||f ||= | f (xfdp)\/p.
3. Скр^зь Щ1льн1 множини в L2. Теооема“про 1зоморф1зм. Отже,
npocrip L2 (X, р) функшй з штегровним квадратом е повний евкл,-
довий npocTip. KpiM вироджених випадшв, розм!ршсть цього простору
нескшченна. 3 точки зору р!зних застосувань в анал!з важливо
з’ясувати, коли npocTip L2 (X, р) сепарабельний, тобто мае зл'ченну
скр!зь шдльну множину. В § 1 ми встановили, що для простору
Lx (X, р) сепарабельшсть випливае з юнування в Mipi р зл!ченного
базису. Не важко впевнитись, що ця умова гарантуе ! сепарабельшсть
L2 (X, р). Справд!, кожну функшю з L2 (X, р) можна наблизити, з
будь-якою точшстю, функшями, кожна з яких дор!внюе 0 поза деякою
множиною скшченно! М1'ри \ Дал!, т! сам! м!ркування, наведен! при
доведенш теореми 3, § 1, показують, що в сукупност! таких функцш
можна вибрати зл!ченну скр!зь шдльну множину.
Отже, якщо м!ра р мае зл!ченний базис, то npocrip L2 (X, р) е
повний сепарабельний евклщовий npocrip. 1накше кажучи, не роз-
глядаючи того випадку, коли Д (X, р) мае скшченну розм!ршсть, ми
д!стаемо такий результат: якщо Mipa р мае зл1ченний базис, mo L2 (X, р)
е сепарабельний гьльбертовий npocmip.
На шдстав! теореми про !зоморсЫзм щльбертових простор!в це
означае, що вс! так! L2 (X, р) юоморфш м!ж собою. Зокрема, кожний
такий L2 (X, р) !зоморфний простору 12 числових послщовностей !з
зб!жною сумою квадрашв. Останне можна розглядати як L2 (X, р),
коли X зл!ченна, а р визначена на Bcix i‘i шдмножинах ! дор'внюе 1
для кожно! точки. Нижче ми розглядатимемо лише L2 (X, р), як! eiO-
пов1дають мирам 1з зл1ченним базисом. У випадках, коли це не може
викликати непорозумшь, кожний такий npocrip ми позначатимемо
просто Ь2.
Осшльки npocrip L2 е, як ми з’ясували, реал!защею пльбертово-
го простору, то на Ь2 можна перенести вс! ri поняття i факти, як; були
встановлеш в § 4, розд. III для абстрактного пльбертового простору.
Зокрема, за теоремою Pica усякий лшшний функцюнал у пльбер-
товому простор! Н записуеться у вигляд! скалярного добутку
F (h) = (h, а),
ле а — фжсований вектор з Н. Тому всякий л1нййнйй функщонал у
Ь2 мае вигляд
(х) g (х) dp,
де g — фгксована функщя з {нтегрсвним квадратом на X.
1 Я ищи ц (X) < со, то цей крок вщпадае.
4. Комплексний npocrip L2. Ми розглядали д!йсний npocrip L2.
Викладен! результата легко перенести на комплексний випадок. Ком-
плексна функщя Д визначена на деякому простор! X 1з заданою на
ньому м!рою р називаеться функщею з штегровним квадратом, якщо
штеграл
J |/(x)|2dp
X
скшченний. Означивши додавання таких функщй i множення ix на
числа звичайним способом i чв!вши скалярний добуток за формулою
(Д g) = $f (x)g(x)dp,
X
ми д1станемо евклщовий npocrip, який називаеться комплексном про-
стором (При цьому, як i в дшсному випадку, ми вважаемо екв>-
валентш м!ж собою функци тим самим елементом простору). Цей
npocrip повний, а якщо Mipa р мае зл!ченний базис, то вш i сепарабель
пий. Таким чином (вщкидаючи ск!нченновим!рний випадок), ми д!ста-
емо, що комплексний npocmip L2, який eidnoeidae Mipi is зл1ченним
базисом, е комплексний сепарабель'ний гмьбертовий npocmip. Yci так!
простори !зоморфн! м!ж собою, i для них справедлив! результати,
викладен! в §4, розд. III.
5. Зб’жшсть у середньому квадратичному i И зв’язок з шшими
типами зб1жност1 функцюнальних послщовностей. Вв!вши в простор!
L2 норму, ми визначили тим самим для функцШ з штегровним квадра
том таке поняття зб!жносп:
якщо
lim J (/,.(*) — f(x)]2dp= 0.
Ми назвали таку Зб!жн!сть зб!жшстю в середньому квадратичному.
Подивимссь, як така зб!жн!сть пов’язана з шшими типами зб!жност!
функцюнальних послщовностей. Припустимо спочатку, що м!ра про-
стору-«нос!я» X скшченна.
1. Якщо посл1довшсть функщй з L2 (X, р) зб1гаеться в метрищ
(X, и), то вона зб1гаеться i в мгтрищ (X, р).
Справд!, на шдстав! нер!вност! (2) маемо
JI fn (X) - / Wl dp С [р (X) J (/„ (х) - f (х))2 dpf \
чвщки й випливае наше твердження.
2. Якщо посл1довн1сть {fn} зб1гаеться р1вном1рно, то вона збьга-
е/пься i в середньому квадратичному.
Справд!, при кожному 8 > 0 при вс!х досить великих п маемо
\fn W—Z(Bl<e
i, отже,
У Ifn И — f (X)]j ф < S2p (X),
звщки випливае наше твердження.
3. Якщо посмдовшстъ сумовних функщй {/„} збггавться в середньо-
му, /по вона зб1гаеться на X i по Mipi.
Це твердження вщразу випливае з нер!вност1' Чебишова (стор. 257),
Звщси i з теореми 8, § 4, розд. V випливае:
4. Якщо посмдовглсть [fn] зб1гаеться в середньому, то з не1
можна вибрати п1дпосл1довн1сть [fn. , яка зб1гаеться майже
екр1зь.
Зауважимо, що при доведенш теореми про повноту просто-
ру Lr, ми вже встановили цей факт, не використовуючи теореми 8, § 4,
розд. V.
Неважко впевнитися в тому, що is зб!жност1 деяко! послщовност}
в середньому (i нав’.ть у середньому квадратичному) не випливае,
взагал1 кажучи, Г! зб!жн!сть майже скр)зь. Справд!, послщовшсть
{/„}, побудована в п. 6, § 4, розд. V, збшаеться до / = 0 у середньому
(i нав1ть у середньому квадратичному), але при цьому, як ми побачпли
вона не збиаеться до 0 в жодшй точщ. Навпаки, послщовшсть
{fn} може зб1гатися майже скр1'зь (i навпъ скр1зь) i не збшатися при
цьому в середньому. Розглянемо, наприклад. на вщр!зку [0, 11 посль
довшсть функшй
(при х f (о, —,
/„(*)= "А п1
10 при 1'нших значениях х.
Очевидн_, fn (х) -> 0 при Bcix х £ [0, 11. Але водночас
1
J|/„(x)|dx= 1 при Bcix п.
о
Зв’язок м!ж р1зними типами зб1жност1 у випадку р. (X) < оо можна
подати такою схемою:
де пунктирна стрмка означав можливють вибору з послщовност!, яка
збшаеться по Mipi, пщг.ослщовност!, що зб;гаеться майже скр!зь
У випадку р (X) — оо (наприклад, для функшй
прялпй з м1рою Лебега на шй) установлен! вище
справджуються. Наприклад, послщовшсть
на вс!й числов!й
зв’язки вже не
fn W =
-Ш при |ф»,
О при | х | > п
збшаеться р1вном1рно на вс!й прямш до функци f == 0, однак вона не
збюаеться ш в середньому, ш в середньому квадратичному. Дал!,
при р (X) = оо, як ми вже зазначали, зб!жшсть у середньому квадра-
тичному (тобто в Ь2) не тягне за :сбою зб!жност! Tie! само!' послщовност!
в середньому (тобто в LJ.
На закшчення зазначимо, що, !з зб!жност! в середньому ш при
р (X) < оо, н! тим б1льше при р (X) = оо не випливае, взагал! ка-
жучи, зб!жшсть у середньому квадратичному.
§ 3. ОРТОГОН АЛЫ-II СИСТЕМИ ФУГКЦ1Й У L2.
РЯДИ ПО ОРТОГОНАЛЬНИХ СИСТЕМАХ
Загальш теореми, розглянут! в § 4, розд. III для евклщових про-
ctod!b, свщчать про те, що в Д е повн! ортогональю (зокрема, орто-
гональю i нормоваю) системи функшй. Так! системи можна дютати,
наприклад, застосовуючи процес ортогонал!заш'!, описаний там же,
до Tie! або шшо! повно! системи. Якщо в L2 взято деяку повну ортого-
нальну систему {<р„}, то, знову ж, вщповщно до загальних результа-
Дв § 4, розд. III, кожний елемент / £ L2 можна записати як суму ряду
оо
/ = 2
п=1
— ряду Фур’е функцп / по ортогональю! систем! {ф„}. При цьому
коефщ!енти сп — коефщ!енти Фур’е функци / по систем! <рп — визна-
чаються формулами
сп = J / W Ф„ (х) dp (|| Ф„ ||2 = У Ф„ (х) dp).
В цьому параграф! ми розглянемо найважливши приклади ортогопаль-
них систем у просторах i розклади, як! !м вщповщають.
1. Тригонометрична система. Тригонометричний ряд Фур’е. Роз-
глянемо npocrip L2 [— л, л] функшй з штегровним квадратом на вщ-
р!зку [— л, л] !з звичайною м!рою Лебега на цьому вщр!зку. У цьо-
му престол! функцп
1, cos их, sin их (и—1, 2, ...) (1)
утворюють повну ортогональну систему, яка називаеться тригоно-
летричною. Ортогональшсть легко перев!рити безпосередч!м обчис-
ленням, наприклад, при п^= т
Л л
cos их cos тх ах = - j J^cos — ‘ x 4- cos - x j dx = 0
“Л —Л
i т. д, Повнота системи (1) випливае з теореми Вейерштрасса про апро-
ксимащю будь-яко! неперервно! перюдично! функцп тригонометрич-
ними многочленами Ч Система (1) не нормована. В1дпов1дна нормова-
на система складаеться з функций
1 COS ПХ да’п ПХ , , с ,
-р=- , , ——(п=1, 2, ...).
У2я л фи
Нехай / — функция з L2 [—л, л ]; и коефщ1енти Фур’е, що в!дповь
дають функщям 1, cos пх, sin пх, позначають а0/2, ап i Ьп. Таким чином,
за загальними формулами для коеф1ц!ент1в Фур’е маемо
Л л
t=-4 J f^dx’т-е- °о=4- 5 f^dx
—л —л
i
л л
ап = -i- j f (х) cos пх dx, bn = -^- j f (x) sin nx dx.
•* —Л —Л
Вщповщний ряд Фур’е мае вигляд
оо
4- 2 dn COS пх 4~ bn sin пх
2 п=1
i для будь-яко! функцп f g L2 збпаеться в середньому квадратичному
саме дс не!. Якщо
п
Sn W = -щ- + 2 ak cos kx ф- bk sin kx
— часткова сума ряду Фур’е, то середне квадратичне в!дхилення Sn
вщ / можна знайти за формулою
/ „2 п X
II/ (х) - Sn (х)||2 = II/ ||2 - п 4L + 2 al + bl .
\ *=i J
Серед ycix тригэномегричних многочлен is
^п (^) = ~5°’ т 2 a* ccs kx 4- Ра sin kx
2 a=i
з даним- п часткова сума ряду Фур’е Sn дае найкращу (у метрищ L2)
апроксимащю функци /, Нер1вн1сть Бесселя для тригонометрично!
системи мае вигляд
оо л;
~ + 2 4-< -i- f /2 (х) dx,"
2 п=1 я EL
1 У § 2, розд. VIII ми доведемо теорему Фейера, яка е тдсиленням теореми Вейер-
штрасса. Тим самим Зуде дано й доведения повноти тригонометрично! системи (якч
не грунтуеться, звичайно, на викладених тут фактах).
але осюльки тригонометрична система повна, то насправд! для будь-
якоТ функцп з L2 справджуеться р1вн1сть Парсеваля
а2 ОО Я
Д»-+ + J
Z п—1 Л V
1 —л
Для будь-яко! функцп f g L-, квадрата ii коефщенпв Фур’е утворю-
ють зб!жний ряд. Навпаки, якщо числа а0, ап, bn(n — I, 2,...) так!,
со
ЩО ряд 2 Дп + Ьп зб1ГЗ€ТЬСЯ, то ряд
П=1
оо
-тг + 2 «и cos пх + sin пх
П=1
також збшаеться (в Л,), а його сума е функц!я, що мае а0, ап, Ь-г своь
ми косфпЦентами Фур’е.
Ус! щ твердження (як! безпосередиьо випливають з загальних
результат1^ §4, розд. III) легко перенести на функцп, задан! на вщ-
pi3Ky дов!льно! довжини, наприклад [—I, /]. Якщо f—функщя з
сумовним квадратом на [— /, /], то замша х = nt/l, тобто t — 1х/п,
I 1х \
переводить / (7) у функщю f* (х) = f I- - I на вщрйку [— л, л].
В1дпов1дно до цього
ап = § f (0 cos dt, п = 0, 1, ...
i
- i
bn = J f (t) sin dt, п = 1, 2, ...
—i
Ряд Фур’е для функцп /, задано! на в!др!зку довжини 21, мае вигляд
со
а„ , V nnt , , . nnt
-/ + 2j cos—J- + bnsm —— .
гг=1
3 ? у в а ж е н н я. 1. Тригонометричш ряди були використаш французьким ма-
тематиком Ш. Фур’е у його працях з математично! ф1зики, в першу чергу з теори
поширення-тепла. А вт!м, формули для коеф1шент1в о„ i Ьп зустр.'чаються вже в Ей-
лера. ГПзыше теор!ю тригонометричних ряд! в розвинули в сво!х працях Р1ман, flipix-
ле та in. Спочатку терм!ни «ряд Фур’е, «коефгшенти Фур’е» i т. д. пов’язували саме
з тригонометричною системою i лише значно тзшше почали вживати в загальному
розумшш, описаному в §4, розд. III (тобто стосовно до в! ль но! ортогональ-
но! системи вбудь-якому евклщовому простор!).
2. 3 повноти тригонометрично! системи i загальних теорем § 4, розд. Ш випли-
вае, що для будь-яко! f £ 7-2 Г! ряд Фур’е
°0
cos пх Н~ s*n пх
п=1
зб!гаеться до задано! функщ! f в середньому. Проте з точки зору конкретних задач
анал!зу важливо встановити умови, при яких цей ряд збиаеться до f в 1ншому розу-
мшш, наприклад, в кожшй точц!, або р:вном!рно. Це коло питань ми розглянемо
в наступному розщл!.
2. Тригонометричн! системи на в!др!зку [0, л1. Функцп
i
1, cosх, cos2х, ...
sin х, sin 2x, ..,
(2)
(3)
утворюють у сукупност) повну ортогональну систему на вщр!зку
[—л, л]. Покажемо, що кожна з двох систем (2) i (3) ортогональна
i повна на сегмент! [О, л]. Ортогональшсть перев!рено безпосередшм
шдрахунком.. Доведемо повноту системи (2). Нехай f— функщя з
штегровним квадратом на [0, л 1. Доозначимо ii на швсегменД [— л, 0)
формулою
/(-х) = /(х)
i розкладемо ii в ряд Фур’е за системою
1, cosnx, sinnx \п — 1, 2, ...).
Осшльки функшя f, визначена тепер на [—л, л),— парна, yci кое-
ф!щенти при синусах у не'1 дор!внюють нулю. Це вщразу видно з фор-
мули для коефщенпв: для парно!' функцп / при и > 1
л 0 л
j f(x) sin nxdx — j f (x) sinnxdx + J /(x) sin nxdx —
л —л 0
ST
= — У / (x) sin nx dx 4- j f (x) sin nxdx = 0.
о 0
Тнакше кажучи, цю функщю на [— л, л] (а тим 61'льше i на [0, л])
можна апроксимувати в середньому квадратичному з будь-якою точ-
шстю лшшними комбшащями елемента системи (2). Звщси випливае
повнота системи (2). Повноту системи (3) на [0, л] доводить аналопч-
но, способом непарного продовження функци/, задано! на !0, л],
на швсегмент [— л, 0) за формулою
/(—%) = —/(х).
Знайдена при такому продовженш функшя на [—л, л! непарна i
розкладаеться на цьому вщр}зку за одними синусами,
3. Ряд Фур’е в комплексшй форм!. Тригонометричний ряд можна
записати компактно, якщо скористатися формулами Ейлера
einx , „ -inx ginx g—inx
cos nx —---------- i sin nx —------------•
Ьносячи ш вирази в ряд Фур’е, дютанемо
-у—|- an cos nx + bn sin nx —
n=i
де с0 = а0/2 i при п > 1
„ ап — U>n
п~ 2
_ ап + ibn
с~п ~ 2“ '
Вираз
оо
2 cneinx
И=— ОО
(4)
називаеться пгригонометричним рядом Фур’е в комплексной форма.
Коефщ!енти <?„ цього ряду виражаються через ап i bn за допомогою
р!вностей (4); проте легко написати для них i прям! формули. Справд!,
як показуе безпосередне обчислення
Л
J einx e~imxdx =
—Л
О при п=^т,
2л при п = т.
Тому, помноживши pienicTb
оо
/(*) = 2 спе‘пх (5)
п=—сю
на е~'тх (т = 0, ± 1, ± 2, ,..) i проштегрувавши, дютанемо
Л
j f (х) e~tmxdx = 2лст,
—Л
тобто
л
(m = 0, ±1, ±2, (6)
—Л
»
Розклад (5) справджуеться i для комплексних функцш з штегров-
ним квадратом на в!др!зку [—л, л]. 1накше кажучи, функцп einx
утворюють базис у простор! L2 [— л, л 1 комплексних функц!й з ште-
гровним квадратом модуля на в!др!зку I—л, л]. При цьому вирази
(6) е скалярними добутками f на еСтх у цьому комплексному простор!.
. пл
1 —Гх
Замшивши функцп е1ПХ на е \ можна перенести все сказане на
npocrip La [— I, I] комплексних функщй на в!др!зку дов!льно1 довжи-
ни 21.
4. Многочлени Лежандра. Лшшш комбшаци функцш
1, х, х2, ... (7)
— це сукупшсть вс!х многочлешв. Отже, система (7) повна в простор!
L2 функцш на дов!льному в!др!зку \ Ортогонал!зуючи систему (7)
1 Повнота системи многочлешв у простор! Ьг [о, &] функщй з штегровним квадра-
том на дов1льному рщр!зку [а, випливае з теореми Вейерштоасса про р!вном1рну
апрокснмащю будь-якоТ неперервно!' функцп на в!др!зку многочленами. Див. п. 2,
§ 2, розд. VIII.
на в!др!зку [— !, 11 вщносно скаляоного добутку
(А £) “ $ f(x) g (х) dx>
—1
ми дютан^мо повну ортогональну систему
Qo W, Qi (х), Qi и), ...,
де Qn — многочлен n-го степени. Покажемо, що кожний з многочле-
шв Qn (х) збшаеться з точшстю до сталого множника з многочленами
dxn
Справд!, по-перше, система {Rn} ортогональна. Нехай п > tn,
Осюльки
при Bcix k = 0, 1, n — 1, то, штегруючи по частинах, д!стаемо
Rm(x)Rn(x)dx = -j
(Xs-1)" =
р jn+n
' 1 \ п - I u
— ’ J d^+n
(х2 — 1)” (ха — l)ndx.
(8)
Якщо т <. п, то тд знаком останнього штеграла стоить тотожний
нуль, звщки випливае ортогональность системи {/?„}.
По-друге, зрозум!ло. що многочлен 7?„ мае степшь п, тобто кожний
Rn лежить у шдпрос'т'ор!, породженому п + 1 першими елементами си-
стеми (7). Отже, як система {./?„}, так i система {Q„} мають так!
властивост!:
1) ортогональшеть,
2) п-й елемент системи належить шдпростору, породженому елемен-
тами 1, х,..., х®Ф.
Але ними двома властивостями кожний елемент системи визнача-
еться однозначно з точшстю до числового множника (теорема 1, §4,
розд. III).
Знайдемо тепер нормувальш множники для Rn (х). У випадку
п = т р!вн1сть (8) дае
d2n
Д L dx*1
(х2—1)" (х2 —
l)ndx =
(n I)2 22n+1
2n 4- 1
1 Останшй штеграл можна обчислити елементарно, за формулами редукц!Т, або ж
зведенням його до S-функци.
1накше кажучи, норма многочлена Rn дор!внюе п! 2'! у gn+l '
Отже, система многочлен 1в
не пльки ортогональна, а й нормована.
Звичайно розглядають не ц: нормоваш многочлени, а многочлени,
що визначаються формулою
1х називають многочленами Лежандра, а саму цю формулу — форму-
лою Podpiza. 3 наведених викладок випливае, що
1 г 0 при пфт,
( Рп (х) Р.п (х) dx = \ 2
Л [ 2МЛ при п = т-
Наведемо явш зирази п’яти перших многочлешв Лежандра:
Ро (х) = 1,
Pi (*) = х,
л w=4- х2—4-,
р’з S =-4х3—гх’
п ? \ 35 л 15 » . 3
Pi W = —х4 — — - X2 + -g- .
Розклад функци / на вщр1зку [— 1, 1 ] за многочленами Лежандра
мае вигляд
/ (х) = 2 спРп (х),
п=0
де
сп = J f (х) Рп (х) dx.
5. Ортогональю системи в добутках. Кратш ряди Фур’е. Нехай на
множинах X' i X" визначено м!ри р/ i ц". Вщповщш простори функ-
шй з штегровним квадратом позначатимемо L2 i Ь2. У добутку
X = X' X X”
розглянемо Mipy
р, = [V ® р,"
i позначимо через L2 вщповщний !й npocrip функшй з штегровним
квадоатом. Функцп з Ь2 записуватимемо як ф) нкщ1 двох змшних.
Теорема 1. %кщо {<pm} i {фп} — поен! ортонормальш системи eld-
пов!дно в L%i в Lz, то система ecix добутшв
fmn (х, у) = Фт (х) (у)
е повна ортонормальна система в Ь2.
Доведения. На пщстав! теореми Фуб1н!
У fmn (X, у) dp = J Ср™ (х) J J (у) dp" )dp' = 1.
‘ X X \Х" /
Якщо т mlt то на пщстав! Tie! само'! ^еореми
j fmn (Х, у) fmini (Х, у) dp =
X •
- j Фп (У) фпх (У) I У <рот (х) (fmi (х) dp' \ dp" = О,
X" \Х' ' /
осшльки функщя fmn (х, у) fm п (х. у) двох зм!нних сумовна на X =
= X' X X".
Якщо т. = тг, але п =£= п1( то
J fmn (X, у) fmini (х, у) dp = § qX (х) ( У (у) (у) dp") dp' = 0.
X X' \Х" /
Доведемо повноту системи {/mn}. Припустимо, що в L2 !снуе
функщя fl ортогональна до Bcix функщй fmn. Нехай
Fm (£) = У f (X, у) Ф,га (X) dp'.
X'
Легко побачити, що функщя Fm (у) мае штегровний квадрат. Тому
Fm (У) Фп (#) ПРИ будь-ячому п штегровна. Знову використовуючи
теорему Фубш!, дщтаемо
У Fт. (.У) Ф» (У) dp" =\f(x, у) fmn (х, у) dp = 0.
X" X
На пщстав! повноти системи {фп| звщси випливае, що майже для
вс!х у
Fm \У) = °-
Але тод! при майже кожному у справджуються р!вност!
J f (х- У) <pm W dy' = 0
X'
для Bcix т. На пщстав! повьоти системи {<рот} звщси виходить, що
при майже кожному у множина тих х, де
f (.х, у) 0,
мае Mipy нуль. За теоремою Фубш! це означае, що на X функщя
f (х, у) дэр!внюе 0 майже скр!зь. Теорему доведено.
Застосуемо цю теорему до деяких конкретних ортогональных си-
стем. У простор) функшй двох змшних
/ (х, У) (— я < х, у < л)
з штегровним квадратом повну ортогональну систему утворюють по-
пари! добутки елеменпв системи
1, cosmx, sinmx (m = 1, 2, ...)
i
1, cosny, sinny (ri — 1, 2, ...),
тобто функц!!
1, cosmx, sinmx, cosny, sinny, cosmxsinny,
cosmxcosny, sinmx sinny, sinmxcosny.
Вщповщний ряд Фур’е мае дещо гром!здкий вигляд, тому тут зруч-
шше скористатися показниковими функщями
gimx . elny = gi(mx+ny) ЯД m = Q, ± ], ±2, . .
Цьому базису вщ!ов!дае ряд Фур’е
f (х, у) = 5 стпеУтх+п^,
т,п——оо
де
стг L J J f (х, у) e~l{mx+ny)dxdy.
—Л —31
Многочлени Чежандра дають у простор! функцш, визначених на
квадрат! •
— 1 < х, у < 1,
повну ортогональну систему, яка складаеться з многочлен!в
о™ у) - 11 £<*’ - >” п - !)"•
mini 2Дх «г/
Усе сказане, очевидно, переноситься на функцп шлькох змшних,
Зокрема, тригонометричний ряд Фур’е для функцп k змшних мае
вигляд
сю
НМ .... хА)= 2 сП1...п^+---+п^,
п<..ПА=-М
де
J • • • J f (xlt ... , xk) е~1{пл+-' +n^dx1 ... dxk.
—п —л
6. Многочлени, ортогональю щодо дано! ваги. Ми прийшли до мно-
гочлешв Лежандра, ортогонал!зуючи функцп
1, х, х2, ... , х,!, ... (9)
вщносно скалярного добутку
1
f (х) g (х) dx,
—1
який вщповщае звичайн!й Mipi Лебега на в!др!зку [— 1, 1]. Якщ<
на цьому в!др!зку задати якусь шшу Mipy ц, таку, щс функци (9) ’
1
вщповщному простоп! L, з скалярним добутком У f'(х) g (х) dp. лпий
—1
но незалежш, то застосувавши до (9) процес ортогонал!заци, ми при
йдемо до деяко'1 системи многочлешв яка заложить, взагал! ка
жучи, вщ вибору м!ри р.. Припустимо, що Mipa р, визначена для вим!р
них за Лебегом пщмножин сегменту [— 1, 1] формулою
р (£) = J g (х) dx, (Ю
Е
де g—фжсована невщ’емяа сумовна функщя. Умоза ортонормаль
ноет!
{ 1 при m = п,
(Qm’ Qn) — | о При m n
у цьому pasi запистеться у вигляд!
р1 f 1 при m = п,
при (П
Функщя g, що визначае Mipy (10), називаеться вагою або ваговою <Ьунк
щею. Отже, про многочлени, як! задовольняють умову (11) кажуть, щ<
вони ортогональн! з вагою g. Виб!р Tie’! чи !ншо! ваги веде до р!зни:
систем многочлешв. Зокрема, припустивши, що
ми д!стаемо многочлени, як! зб!гаються з точшстю до сталого множни
ка з так званими многочленами Чебшиова, як! визначаються формулов
Тп (х) = cos п arccos х (п=1, 2, . ..)
i вциграють важливу роль у р!зних штерполяцшних задачах.
Ортогональн!сть цих многочлешв вщносно ваги 1/У1 — х2 можн,
легко перев!рити. Справд!, припустивши, що
х — cos 0, dx = — sin 0d0, V1 — x2 = sin 0,
дютаемо
1 n
C Tm (x) Т^Х) __ cos cos nQdQ _
J /1 — X2 J
-1 f 0
7. Ортогональний базис у простор! L2 (— оо, оо). Функцп Ермиа
Вище ми розглядали ортогональн! системи на вщрйзку, тобто на мно
жиш скшченно! м!ри. Розглянемо тепер випадок нес.к!нчен
при m = п,
0 при т^=п.
н о 1 м1ри, а саме, npocrip L2 (— оо, оо) функцш з штегровним квад-
ратом на вст числовш прямш. Ортогональну систему функцш у
ньому не можна побудувати Hi з многочлен !в, Hi з тригонометричних
функшй, бо Hi Ti, Hi mini не належать цьому простору. «Матер!ал»
для побудови базису в Ь2 (— оо, оо) природно шукатч серед функцш,
як{ досить швидко спадають на нескшченност!. Зокрема, такий ба-
зис можна побудувати ортогонал!зашею послщовносп
хпе~х2/2 (п = 0, 1, 2, ...).
Справд!, всяка функщя виду Р (х) е~х‘\ де Р — многочлен, належить,
очевидно, L2 (— оо, оо), а повноту системи (12) буде доведено в п. 3,
§ 4, розд. VIII).
Застосувавши до функцш хпе~х2/2 процес ортогонал!заг ii, ми д!ста-
немо систему функцш виду
<рп(х) = /7„(х)е-х2/2 ’(« = 0, 1, 2, ...), (12)
це Нп — многочлен степени п. Щ многочлени називаються многочле-
нами Ермёпга, а сам! функцп ср„ — функщями Ерммпа. Неважно
показати, що многочлени Ермгга збшаються з точшетю до сталого
множника з многочленами
„ х2
Нп{х) = {-\Уе^^Г-.
Справд!, многочлен./^ мае, очевидно, стешнь п, а сп!вв!дношення ор-
тогональност!
оо /
j Нт (х) Hn (х) e~x2dx = 0 (гп У= п)
—оо
легко знайти штегруванням по частинах. На пщстав! теореми про
ортогодал!зац!ю icnye лише одна, з точшетю до сталих множниюв,
система ортогональних функшй виду Рп (х) е~х‘/2, де Рп — много-
член ц-го степени.
Знайдений результат допусхае й таке тлумачення. Розглянемо на
прямш Mipy р, яка мае гщльшеть ё~х2, тобто таку, що
dp = е~> ‘dx.
Це — скшченна Mipa. У_простор! функшй, штегровних з квад-
ратом за шею м!рою, скалярний добуток мае вигляд
оо
(A g) = У f(x)g (х) e~x‘dx,
— оо
а многочлени Ермгга утворюють у ньому ортогональну систему.
Розглянемо, Hapemri, npocrip L2 (0, оо) функцш з штегровним
квадратом на п!впрям!й. Узявши в ньому систему функцш
(/г = 0, 1, 2, ...)
! застосувавши до них пронес ортогонал!зацп, ми дктаемо систему
функшй
lx) е~х,
як! називаються функщями Лагерра.
Вщповщш многочлени Ln називаються многочленами Лагерра.
Многочлени Лагерра можна розглядати як ортогональний базис у
простор! функшй, квадрат яких штегровний на швпрям!й (0, оо) по
Mipi
dp = e~xdx.
У п. 3, § 4, розд. VIII ми доведемо, що система функщй Лагерра повна
в Т2 (0, оо).
8. Ортогональю многочлени з дискретною вагою. Нехай п + 1
pisHift точш х0, ..., хп дшсно! прямо!’ приписан! як «вага» додатн!
числа ро, рг, рп, a Mipa р визначена формулою
и (£) = 2 Pk,
xkQ.E
тобто р (f) дор!внюе сум! ваги точок xk, що мктяться в Е. Вим!рни-
ми за шею «виродженою» м{рою е тут будь-яю множини i функц!!
на прямш, причому будь-яка множина Е, яка не мктить точок IS (k —
= 0, 1,..., п), мае м!ру 0, Тим самим штеграл по всш дшснш прямш
вщ функци / дор!внюе
г
J / W Ф = 2 Pkf (xft),
_м k=0
а скалярний добуток записуеться формулою
(Л ё) = 2 Pkf (xk) g Ш
k—0
Очевидно, що функц!! / i g будуть екв!валентн! за м!рою р, якщо
f Я = g (xfc)
у Bcix точках х0, xlt.хп, i т!льки в цьому раз!.
Для цього виродженого випадку задача найкращо! апроксимац!!
в розумшш вщсташ в Т2 зводиться до визначення сум
СоФо + С1Ф1 + • • + СпЛпг,
як! перетворюють у м!н!мум вираз
2 S ,
k=0 I Z=1 j
тобто до задач! «штерполювання за методом найменших квадрат!в».
У зв’язку з задачею штерполювання за методом найменших квад-
раДв многочленами заданого степеня П. Л. Чебишов розвинув reopii
ортогональних многочлешв. Щоб век ласти результата Чебишоза,
згадаш тут, зауважимо, що система
1, х, х2, ... , хп (13)
при наций Mipi р лшшно незалежна, бо скалярний добуток (xr, Xs)
визначаеться формулою
(%S Xs) = 2 Pk-<rk+'
k=0
i детермшант Грамма системи (13) е (суми по k вщ 0 до п)
^Pk Zpkxk ^Pkxk ^Pkxl ^Pkxk • • • ^Pkxnk 2Pkxnk+l
^Pkxk sPkxT
Vpo VPi • • • Vpn 2 1 1 ... 1
WoXo VPlXi . Vpnxn Xo Xi ... xn
~ PoPl • • • Pn
Vp^Xq V PlXni Vpnxn V-n Yn Yn л0 Л1 • • • лп
Навпаки, хг при г > п л!шйно залежать вщ функщй системи (13),
бо в нашему випадку Ь2 мае розм!ршсть п + 1. Тому процес ортого-
нал1защ! веде до скшченно!' системи многочлешв
Р Р Р
ортогональних у тому розумшн!, що
5 PkPr Я Ps (xk) = 6rs
. ft=C
i кожна функщя f розкладаеться в скшченний ряд
п
f-^crpr,
г=0
де
Cr = 2 РьР' (Xk) f (XkP
У точках xk виконуеться р!вшсть
f (Xk) = X crpr (xk) (k=Q, 1, .... ti),
r=0
тобто повна сума ряду е просто штерполящйний многочлен Лагранжа.
Неповш суми
= (т<п)
г=0
е многочленами m-го степени, як1 наближають f у точках xh найкра-
щим способом у тому розумшш, що вираз
д=о
для Qm менший, шж для будь-якого шшого многочлена того самого
степеня т.
9. Системи Хааэа, Радемахера i Уолша. Хаар побудував такий приклад повно!
системи функшй на сегмент! [О, 1]. Ця система складаеться з функцп
Фо = 1
i cepift
Фор
фц.
ф21>
Ф12<
Ф221 Фгз> Фга>
ФпР Фп2’ • ' • ’ Фп2п1
(п-а сер!я мстить 2П функшй), де
Взагаль припустимо, що
(л = 0, 1, 2, .. . ; ! = 1, 2, . . . , 2П).
Легко побачити, що побудована система ортогональна. Доведемо п повноту.
Роз!б'емо сегмент [0, 1] на 2П+' р!вних штерващв Д,- i розглянемо множину
ycix функщй. що збериають стале значения на кожному з 1нтервал!в ДР Очевидно,
Мп+1 е л!шйний щдпросДр po3MipnocTi 2a+*. KpiM того, yci функци нащо'1 системи
до функщй n-I cepii включно ввшдуть в Осшльки щ функци на шдстав! орто-
нормальност! нашо'1 системи лппйно незалежш i осгальки !х число дор!внюе
1 + 2 = И+1>
fc=0
то функшя <р0 i функщя фАг- cepifl k = 0,1, ..., п утворюють у Мп_^ повну систему
лппйно незалежних вектор!в. Зв!дси, беручи до уваги, що будь-яка неперервна функ-
щя може бути якзавгодно близько апроксимована функщею з (при досить ве-
лико. iy ri), ми впевнюемось у повнот! чашо! системи.
Розглянемо ще один приклад ортогонально! системи функщй на сегмент! [0, 1],
що належить Радемахеру. Припустимо, що
<Pm = (—l)C2mjC]-
1накше кажучи, функщя <рт утворюеться так: сегмент [0, 1]д1лятьна 2т однакових
частин А;, причому на штервалах Д/ (г = 1, ..., 2т) функщя срт набувае перемпшо
значень 4-1 i —1.
Ортогональшсть системи
Фо. Ф1..........фл, • •
(К)
очевидна. Ця система не повна. Це випливае хоча б з того, що, наприклад, функщя
Ф12 — Ф1Ф2 —
1, якщо 0 < х < — або — < х < 1,
4 4
1 3
— 1, якщо ---< X <-----.
4 4
ортогональна до eeix функщй системи (14). Однак п можна розширити до повно!
ортогонально! системи, додавши до.не! функци виду
Ф/щ/Пг ... ' Ут, • ’
(0<т1Ст2< <mk). (15)
Очевидно, що розширена так система, яка називаеться системою Уолша, е орто-
нормальною. Кргм того, вона вже буде повною. Це доводить аналопчно доведению
повноти системи Хаара.
Р О 3 д г л VIII
ТРИГОНОМЕТРИЧН1 РЯДИ. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'€
§ 1. УМОВИ ЗБ1ЖНОСТ1 РЯДУ ФУР’е
1. Достатш умови зб1жност! ряду Фур’е в точщ. Розглянемо знову
npocrip L2 I— л, л ] функщй з сумовним квадратом на зщр1зку [— л, л 1
Як було показано в розд. VII,— це повний нескшченновим!рний евк-
лщовий npocrip, тобто пльбертовий проспр. Функци
1, cosnx, sinnx(n=l, 2, ...) (1)
утворюють у ньому повну ортогональну систему, тому для кожно!
функци f £ L2 [— л, л] ряд Фур’е
а 00
у + 2 й"cos пх + s*n пх’
де
Л
ап = / (х) cos пх dx,
f (х) sin пх dx,
(3)
збцаеться до / в середньому квадратичному, тобто в метриш простору
L2 [— л, л]. Одщак у зв’язку з застэсуванням ряд1в Фур’е до задач ма-
тематично! физики i шших питань буде ютотно встановити умови,
як! гарантують зб!жн!сть ряду Фур’е до f не пльки в середньому, а й
у задашй точщ, скр1зь, або навггь р!вном!рно. Ми встановимо тепер
умови, достатш для зб!жносп тригонометрйчного ряду в^адашй точ-
щ. Зробимо деяк! попередш зауваження.
Захисть функщй, заданих на в!др!зку [— л, nJ, ми можемо говоои-
ти про перюдичн! функцп з перюдом 2л на вс!й прям!й, осюльки кож-
ну функщю, задану на в1др;зку, можна периодично продовжити.
Дал!, функщ! як! утворюють тригонометричну систему, обмежен!,
тому формули (3), що визначаютг коеф!щенти Фур’е за шею системою,
мають смисл для будь-яко! с у м о в н о I функци 1 (а не пльки для функ-
щй з сумозним квадратом). Отже, кожшй функцп f £ I—л, л]
в!дповщають сукупшсть !! коеф1щенпв Фур’! ! п ряд Фур’е
*
+ 2 ап cos пх + bn sin пх.
п= 1
1 При цьому, .звнчайно, для дов1льно! сумовно! функщ! шяких тверджень про зб1ж-
шеть ряду (2) ми не робимо.
Перейдемо ''епер до питания про зб1жн{сть цього ряду в заданш
точщ х дс значения функцп f в ц!й точщ. Припустимо, що
а "
Зп (х) = + 2 аьcos + '°k sin kx- (4)
Перетворимо спочатку Sn (х), шдставивши в (4) замють коеф1'щенпв
ak i bk ix штегральщ вирази (3). Позначивши змшну штегрування
через t, ми дгстанемо
1 ? ( 1 п )
Sn (х) = f Ш ]— + 2 cos ;os kt + sin kx sin kt\ dt =
й-jt i k=i J
У cosfe (t — x)\dt.
k=i J
Скориставшись добре вщомою формулою1 2 * *
-g- 4- cos и -|- cos 2м + • • • -|- cos tin =
. 2n 4~ 1
sin----------и
2
и
2 sin —
2
матимемо
2n + 1
sir ---------(t — x)
------------------------dt.
„ . t — x
2 sin----------
2
(5)
(6)
Це зображення Sn (x) i pisni його модифшаци називаються штегралом
Д1р1хле.
Зробимо замшу, припустивши, що t— х — г. Осюльки щд штегра-
лом в (6) сто!ть перюдична функщя з перюдом 2л, штеграл вщ не!
по будь-якому вщр!зку довжини 2л мае ту саму величину. Тому i при
штегруванш по z ми можемо зберегти попередш границ! — л i л. Дь
стаемо
л . 2л 4~ i
п Sin ----- Z
Sn (*) = -.; / (х 4- z) -----~г----dz.
d 2 sin-
-л 2
Для виведепня uiei' формула досить просумувати [йвкост!
II 1 и
sin — = — • 2 sin — ,
2 2 2
3zz и и
sm---------sin — = cos и • 2 sin — ,
2 2 2
. 2n 4- 1 2n — I и
sin —2------“ — sin —2--------u ~ cos nti ' s'n ’
Функщя
Dn (г) =
in + 1
sm----5— z
1 z
2л z
sm —
2
називаеться ядром Д1р1хле. 3 р!вност1 (5) в!дразу видно, що при будь-
якому п
л
J Dn{z)dz = 1.
—Л
Викооистовуючи цю piBHicTb, запишемо р!зиицю Sn (х) — f (х) у ви-
гляд!
1 9
Sn(x) —/(х) = -^ [/(х + г)— /(х)]-----------------dz. (7)
v sir —
—л 2
Отже, ми звели питания про зб!жшсть Sn (х) до f (х) до питания про
прямування до нуля штеграла (7). Дослщження цього штеграла грун-
туеться на гакш лемк
Лема 1. Дкщо функщя ср сумовна на eidpiwy [а, Ь\, то
ь
lim Г ф (х) sin рх dx = 0.
р->оо J
а
Доведения. Якщо ф — неперервно диференцшовна функ-
шя, то за допомогою штегрування по частинах д!стаемо, що при оо
b ь
Ф (х) sin pxdx = — ф (х) cospx 6 + f фг (%) -cos р~- dx -Я 0. (8)
Р a J Р
а а
Нехай тепер ф — дов!льна сумовна на [а, 6] функшя. Оск!льки непе-
рервно диференщйовш функцп скр!зь щ!льн! в Д [а, 61, то для будь-
якого е > 0 знайдеться така неперервно диференцшовна фу нкщя
фе, ЩО
ь
j | Ф (х) — ф6 (х) | dx < . (9)
а
Дал! маемо
ь ъ ь '
§ Ф (х) sin рх dx I < | j [ф (х) — фе (х)] sin рх dx | + | фе (х) sin рх dx j.
а а а
Перший доданок справа менший, щж s/2, на шдстав! (9), а другий —
прямуе до нуля при ц -> оо, згщно з (8). Лему доведено.
Тепер ми легко можемо довести таку достатню ознаку зб!жност!
ряду Фур’е:
1 Р ( (х + г) — / (х) г
Теорема I. Якщо f — сумовна функщя imp а ф1ксованому х 1нте-
•л 6
/(х+О-/(х) \dt (10)
-6
з деяким 6 > 0 1снуе, то частково суми Sn ряду Фур’е функц1 i f зб1гають-
ся в щй точщ х до f (х).
Доведения. Перепишемо штеграл (7) у вигляд!
Л
. 2м -j- 1 j /1 1 \
sin——zdz. (11)
Якщо функщя
/ (X + 2) — f (х)
Z
штегровна (пс г) у межах в!д — 6 до 6, то вона штегровна i на всьому
в!др!зку [— л, я] (осюльки f g Z.1 [— л, я]). Але тод! штегровна i
функщя
/ (х + г) — ((х) . г .
Z 2 ’
2 sin-
2
тому до штеграла (11) можна застосувати лему 1, i ми д!станемо, що
цей штеграл прямуе до нуля, коли п -> оо. Теорему доведено.
Зауваження. 1. Зб!жн1сть Интеграла (10) називаеться умовою Дии, Вона,
зокрема, виконуеться, якщо в задашй точш х функщя f неперервна 1 мае сшнченну
похищу, або хоча б праву i л!ву пох!дн1.
М'.ркування, наведен! при доведенн! теореми 1, справджую^ься, якщо. зам!сть
умови Д!ш матимемо зб!жност1 таких двох штеграл!в:
о
f 2) — / (X — 0)
-6
(12)
де f (х — 0) i / (х -f-О) е л!ва 1 права границ! функци / в точц! х (припускаеться, що
х е точка розриву першого род1' для /). Справд!, р!зницю
Sra(x)_-L<T+o) + /^-o)..
можна подати у би глад!
о ’ 2n -j- 1
। л. sin---------2
— [/(* 4£г) — / (х — 0)]--------------& +
Л I 2
—л 2 sin —
р sin-----!----г
\ [)(х + г) - f(x + 0)] -----------?--------iz\
J 2
г> 2 sin —
2
при умов! !снування 1нтеграл!в (12), ц! вирази прямують до нуля, коли п -> оо.
е функщею, яка набувае в точщ г = 0
п ё швидко коливною (рис. 22). Тому
Звщси випливають достати! умови «глобально!» зб!жност! ряду Фур’е, як! зви-
чайно подають у курсах анал!зу:
Нехай f — обмежена функщя в периодом 2л, що мае розриви лише першого роду,
i нехай f мае в кожмй точц1 л1ву I праву noxidui Ч Todi i'i ряд Фур’е збкаеться скр1зь
i його сума dopieume f (х) у точках неперервност! i dopiewoe (f (х + 0) + f (х — 0))
у точках розриву.
2. Ядро Д!р1хле Dn (г), яке вщшравало основну ро'ль у наших м!ркуваннях,
2/г + 1 .
значения-------- 1 при великих значениях
2л
основний вклад в штеграл
л
j f (X + г) Dn (г) dz
~Л a
при великих п дае лише як завгодно ма-
лин оюл точки х. Дтя функщй, як! задо-
вольняють умову Дшц цей вклад прямуе
до f lx) при п -> сю. Можна сказати, що
ядра Д1р!хле Dn утворюють послщов-
н1сть функцюнал!в, яка збщаеться, в
деякому розумшш до б-функцн на множи-
Hi функщй f, що розкладаються в зб!жний
ряд Фур’е.
Зрозуммо, що в розумшш звичайно!
збйжност! послщовшсть (Ол) не прямуе
до ЖОДНО) гранищ, тому, дослщжуючи
штеграл (7), ми не могли застосувати
якйнебудь стандарта! теореми до гранич-
ного переходу шд знаком штеграла.
3. Умову Д!ш, яка забезпечуе зб!жшсть ряду Фур’е, можна замшити шшими
умовами, але просто вщкинути цв теорем! 1 не можна. Справд!, навиь серед не, е -
р е р в н и х 1снують функцп з рядом Фур’е, яю розбшаються в деяких точках. Серед
сумовних функщй кнують -аю, ряд Фур’е яких розбшаеться с к р i з ь
(А. М. Колмогоров). Ще в 1915 р. М. М. Лузта поставив таку проблему: чи (снують
в La функци, для яких ряд Фур’е розбДаеться на множин! додатно! м!ри? Як показав
Л. Карлсон у 1 66 р., таких функщй не icnye.
Той факт, що кнують неперервн! функци, для яких ряд Фур’е зб!гаеться не в
ycix точках, легко випливае is загальних теорем про слабку зб!жшсть функц!онал!в.
Зауважимо насамперед, що
л
У | Dn (г) | dz -> оо при п -> сю (13)
—л
Справд!, чисельник дробу
sin
I Dn (г) | =---
2л
2n+ 1
— -----г
2
г
sin —
2
1 У точщ розриву першого роду л!ву i праву похщш розум!емо вщповщно як
lim Z(x-/!)-/(x-0) . lim
й-»0+ —я h-i-O-f- Р
перетворюеться в 1 в точках, де
—- 2- — 2-= + -у-) л, fe = 0, 1............п. (14)
В1зьмемо б1ля кожно'1 з точок, яю визначаються умовою (14), штервал
2п 4- 1 2k + 1 л
2 г 2 л < ~ '
(15,
Довжина будь-якого з них дор!внюе, очевидно,
4л
ТТЛ?;-:—-—. У КОЖНОМУ 3 ЦИХ 1Н-
3 (2л +1) J
тервал!в
2
не менше н!ж 1/2. Оцшимо величину sin -у на й-му 1к-
2п + 1
sin----------Z
2
тервал! (Л = 0, 1, ..., л). Маемо
Тому штеграл в!д | Dn (z) |, узятий лише по пром!жках, яш визначаються умовою
(15), б!льший, шж сума
п п
S’ 1 1 4л 1 1
"2 k+ 1 ' T(2n'+ 1) ~ “ЗтГ 2л 1 ’
fe=o 2nd 1 п А’=°
Ця сума прямуе до оо при .г -> оо. Звщси випливае сшввЦношення (13). Воно озна-
чае, шо норми функц!онал1в Dn в простор! неперервних функщй не обмежеш в сукуп-
ност!. Але тод! на шдстав! теореми про слабку зФжшсть фупкщонал!в ця послщов-
н!сть не може бути слабко зб!жною на простор! неперервних функщй, тобто е неперерв-
н! функцп f для яких
л
lim I Dn (х) / (х) dx
—Л
не 1снуе.
2. Умови равномipHoi’ зб1'жност1* ряду Фур’е. Ми встановили умови,
достать для зб!жност! ряду Фур’е деяко! функци f в кожнш точц!.
Клас функшй, як! задовольняють ц! умови, дуже широкий, ! нав!ть
неперервшеть зовшм не потр!бна для зображення функци сумою три-
гонометричного ряду, який скр!зь збшаеться. Положения дещо змь
ниться, якщо ми цжавитимемося умовами р ibhom i рно* зб!ж-
ност! ряду Фур’е. Зрозум!ло, що коли функшя f (х) мае хоча б одни
розрив, то и ряд Фур’е не може зб!гатися до не! р!вном!рно, бо сума
р!вном!рно зб!жного ряду неперервних функцш завжди неперервна.
Отже, неперервшеть функци е н ео б х i д н а (але, звичайно, не
достатня) умова р!вном!рно! зб!жност1 !! ряду Фур’е.
Просту достатню умову даё така теорема:
Теорема 2. Якщо функщя f з периодом 2п абсолютно неперервна, а
'И пох1дна У належить Ь2 [— л, л], то ряд Фур’е функци f зб1гаеться
до не'1 pieHOMipHo на вс1й прямш.
Доведения. Позначимо через ап i b'n коеф!щенти Фур’е
функци f. Осшльки f абсолютно неперервна, то до штеграла
1 11
ап — — • j f (х) cosnx dx
—л
можна застосувати формулу штегрування по частинах. Д1стаемо j
ап = £ f (х) cos пх dx =
—Л
'Л к*
1 с , х sin ПХ Я 1 С е/ , \ J Л
— — f (х)--------------------\ f х sm пх dx — — ;
л ' 4 z n _я пл J 1 k . n 9
—Л
аналогично,
b„ = — C f (x) sin nx dx = —— .
n л J ' ' ' n
—Л
Отже,
^ + Vm + IM=4l + S-1vL + -1v]-- (,6>
n—\ n=l
Цей ряд зб!гаеться, бо
а 2 + ап2 <Z оо на шдстав} нер1впост1' Бесселя, Числовий ряд (16),
п=1
е, очевидно, мажорантою для ряду Фур’е функцп f. Але тодц за озна-
кою ВейерШтрасса, ряд Фур’е функцй' f piBHOMipno (i абсолютно) з(И
гаеться. Лишаеться показати, що сума цього ряду е Д Нехай ф — сума
ряду Фур’е функцп /. Тод1‘ ф мае Ti caMi коефппенти Фур’е, що й/,
Звщси на шдстав! неперервносп обох функщй дФтаемо, що f = ф.
Можна дати шшу умову р1вном1'рно! зСижнсст! ряду Фур’е, анало-
п'чну умов,' Д1'нщ а саме:
Теорема 3. Якщонадеякш множишЕ сс [—л, л] сумовнафункщя
f обмежена, а умова Д1н1 виконуеться на Е р1вном!рно, тобто для вся-
кого е > 0 1снуе таке 6 > 0, що
л
С ф<е
J и
-б
одночасно для ecix х Q Е, то ряд Фур’е функцП f зб1гаеться до yiel
функци р1вном1рно на Е.
Доведения ще! теореми грунтуеться на лемц яка е шдсиленням
леми 1 (див. стор. 350).
Лемя 2. Якщо В — передкомпактна в метрищ [— л, л] множи-
на сумовних функщй, то для всякого в > 0 знайдеться таке N =я
== Я (е), що
ь
I С f (t) sin Kt dt | < e
при К N (e) для ecix f n В одночасно,
Для доведения леми вгзьмемо в В скшченну ~ -щтку фх, <рА
1 в!зьмемо N так, щоб
I Р 18
Ц (О sin Kt dt | , i= 1, 2, ... , k при X > N.
Якщо тепер f — довшьна функщя з В, то при деякому i
11/-<М<уг
i, отже,
b b ь
[ j f (t) sin Kt dt | < j <pz (0 sin Kt dt | + I J (f — (fi) sin Kt dt\ < 8.
a a a
Тим самим лему доведено.
Застосування ще! леми до доведения 1еореми 3 грунтуеться нафак-
т!, який легко перев!рити, що множина функци
ф.(0=./(х+^)-7(х).
передкомпак' на (пропонуемо це зробити читачев!).
Дос! ми говорили про функци, задан! на в<др!зку [—‘ л, л]. Зрозу-
М1ло, що все сказане можна автоматично перенести на функцп, визна-
чеш на вщр!зку дов1льно1 довжини 21.
Для випадку к!лькох незалежних зЛнних також можна сфсрму-
лювати як умови, достатш для зб!жност! ряду Фур’е в кожшй точщ,
так 1 умови niBHOMipHoi зб!жност! ряду Фур’е. На цьому ми не спиня-
тимемось.
§ 2. ТЕОРЕМА ФЕЙСРА
1. Теорема Фейера. Нехай f— неперервна функщя з перюдом 2л
на прямей, Ця функщя визначаеться своТм рядом Фур’е
-у- + 2 ап C°S пх + bn sin пх (1)
71=1
однозначно. Справд!, якщо /у i /2 — дв! неперервн! функци, що мають
Ti сам! коефппенти Фур’е, то ft — f2 — неперервна функщя, яка до-
р1внюе нулю майже CKpisb, i, отже е тотожний нуль. Однак, оск!льки
ряд Фур’е неперервно!’ функци, взагал! кажучи, не обов’язково зб!-
гатиметься, то ми не можемо таку функщю f дiстати безпосередшм шд-
сумуванням !! ряду Фур’е. Спос!б вщновлення неперервно! функци за
!! рядом Фур’е дае викладена нижче теорема, яку дов!в у 1905 р, Фейер.
Нехай (*)
(*) = -у +5 ai cos jx + Ь/ sin jx (2)
/=1
— часткова сума ряду Фур’е функци f. Припустимо, що
So (х) + Sj (х) + • • • + Sn—1(х)
°U*) =--------------- * ~п----------------
(3)
Вирази о,— середш арифметики) сум Sk —» називаються сумами Фей-
ера Функци f.
Теорема 1. (Ф е й е р а), ^кщо f неперервнафункщя э периодом
2л., то посл1дов:йсть {стп} 'it сум Фейера зб1гаеться до f р1вном1рно на
вс1й числовой oci.
Доведения. Скористаемось знайденими в попередньому па-
раграф, штегральним зображениям часткових сум ряду Фур’е:
Sk(x) = / (* + г) ---------\-----dz.
J 2 sin —
—л 2
Поставивши це зображення в р)вн)сть (3), д)станемо:
f (х + г) dz.
Цей вираз за допомогою формули г
'О1 • /г»г- . i\ Sill2nz
5 sln(2/'+1)г =-ЫНГ"
k=0
можна подати у вигляд) так званого штеграла Фейера"
Л. / . с \
1 r/slnn~\
= “2^г -----~ П (х + dz"
3 \ sin — - /
—л \ 2 '
Вираз
/ • 2 \а
./ sin п- \
-----1- (5>
\ sm — /
\ 2 '
називаеться ядром Фейера. Формулу (4) можна записати у вигляд)
(^) = р & + г) (2) dz. (6)
1 Цю формулу легко знайти, тдсумувавши по k piBHOCTi
2 sin (2й + 1) z • sin г = cos 2kz cos 2 [k 4- 1) z.
Нам треба довести, що при п ос цей вираз р!вном!рно прямуе до
f (х). Наведемо опечатку так! властивост! ядра Фейера:
1) яФ«(г)>0,
2) уФ„(г)^=1,
—л
3) при будь-якому ф!ксованому б > 0 i и -> оо маемо
’ —б л ,
J Фп (г) dz = j Фп (г) dz = (5) -> 0.
—л б
Перша з цих властивостей очевидна, друга утворюеться. з р!вност!
(6), якщо взяти f (х) = 1 i врахувати, що для тако! Функцп ст„ (х) ==
= 1 при Bcix п; нарештц третя властивють вщразу випливае этого, що
z 26
коли 6<z<a, то sin —i, отже,
Ураховуючи ц1 властивост! ядра Фейера, легко довести теорему.
Осюльки функц1я f — неперервна ! периодична, го вона обмежена
i р1вном1рно неперервна на вс!й прямШ. 1накше кажучи, icnye така
стала /И, що для ecix х
\f(x)\<M (7)
! для кожного е > 0 знайдеться таке б > 0, що
(/(х")-/(х')|<Ж, . (8)
як пльки
I X" — х' | < б.
Для доведения теореми нам треба оц!нити р!зницю
f W — (.X) = J If U) — f U + г)] ф„ (г) dz,
-л
яку можна подати у вигляд! суми таких трьох !нтеграл!в:
•б
•/-= J {/W — /(х + г)}Ф„(г)&,
—л
А= j {/(*) — ZU + г)} Ф„(гЖ
<-б
J+ = J (^) — f (х + г)} Ф„ (г) dz.
в
3 (7) i (8) безпосередиьо випливають так! оцшки:
|/_!<2тИ11п(6),
|7+|<2Л1т]„(6),
б
141 <4- J -U
-6
Виберемо тепер п0 таким великим, щоб при п па i заданому 6 викону-
валась нер!вн!сть
2/Иг)^ (6) <.
Тод}
|/(*)—<Г„ (х)|<^-+-^+4- = 8,
звщки на шдстав! дов!льност! е i випливае твердження теореми.
Зауважимо, що при доведенн! ми використали лише властивост!
1) — 3) ядра Фейера. Це дае змогу д!ставати р!зш узагальнення тео-
реми 1. (Див., зокрема, п.З цього параграфа).
2. Повнота тригонометрично!системи. Теорема Вейерштрасса. 3 те-
ореми «Ьейера випливае повнота тригонометрично! системи в простор!
L2 I—л, л]. Справд!, на гидстав! ц!е! теореми будь-яка неперервна
функшя е границею р!вном!рно! (а отже, ! в середньому) зб!жно! по-
слщовност! тригонометричних многочлешв Залишаеться заува-
жити, що неперервш функци скр!зь шдльш в Ь2. Теорему Фейера мож-
на розглядати як шдсилення теореми Вейерштрасса про апроксима-
ц!ю неперервних функцш тригонометричними многочленами, за якою
всяка неперервна перюдична функшя е р!вном!рною границею я ko-
i' с ь послщовност! тригонометричних многочлешв, а теорема Фейера
визначае ц i л к о м певну послщовшсть, що мае цю властив!сть,—
послщовшсть сум Фейера (3). 3 теореми Вейерштрасса про р!вном!рну
апроксимашю неперервно! перюдично! функци тригонометричними
многочленами легко випливае ! друга теорема Вейерштрасса — про
апроксимашю алгебраТчними многочленами будь-яко! функци, непе-
рервно! на деякому вщр!зку {а, dj. Справд!, якщо f (х) — така функ-
, X — а t (Ь — а) ,
шя, то, припустивши, що t — ь л, тобто х — ——-—г а,
ми д!станемо функцпо <р Ц) вщ t, задану на в!др!зку [0, л]. Прсдовжи-
мо и спочатку на швсегмент [— л, 0], припустивши <р (— t) = f Ц),
а пот!м, внаслщок перюдичност!, на всю пряму. Побудуемо тепер три-
гонометричний многочлен Тп, який задовольняе умову
|Т„(0 —ф(01<-2- при Bcix t.
Дал!, усякий тригономегричний многочлен розкладаеться в ряд Тей-
лора, що зб!гаеться р!вном!рно на будь-якому сличенному штервалк
Нехай Рт — часткова сума ряду Тейлора для Тп, така, що
\Tn(t)~ PtnW\<-^- при
Тод!
|ф(Д — pm(/)|<8 при
Зробивши в Рт (0 обернену замшу t — —, ми д!станемо много-
член От (я), який задовольняе умову
l/W —QmWI<8 при
3. Теорема Фейера для простору Lv У теорем! Фейера досягнуто певно'1 симетрп
м!ж умовою i твердженням теореми. 3 того, що функшя / належить простору С [—л, л]
неперервних функшй, випливае, що суми Фейера, як! в!дпов!дають Тй, зб!гаються до
f в метрищ того самого простору С |—л л]. Аналог!чш теореми можна д! стати i для
!нших функцюнальних простор!в, зокрема, для простору Lj [—л, л]. Точшше кажучи,
справджуеться така теорема, яку природно назвати теоремою Фейера для сумовних
функц! й:
Якщо [ — сумовна на eidpisny |—л, л| функция, то 'ii суми Фейера зб1гаються
до не1 за нормою простору Lt [—л, л].
Доведения цього твердження можна д!стати за допомогою м!ркувань, близьких
до викладепих у п. 1. Ми не наводитимемо тут Тх, однак, зазначимо такий важливий
факт, що випливае з теореми Фейера для сумовних функщй:
Усяка сумовна (Нункщч однозначно (з точшстю до екв!валентност!) визначаеться
своими коефщ1ентами Фур’е.
Справд!, нехай I i £ — дв! сумовн! функцп, що мають однаков! коефшенти Фур-’е.
Тод! вс! коеф!шенти Фур’е функцп / —g дор!внюють 0. Отже тотожно дор!внюють
0 i вс! суми Фейера для f —g. Але год! i ix границя в Lit тобто функщя f — g, е нуль
майже скр!зь.
§ 3. ШТЕГРАЛ ФУР’е
1. Основна теорема. У § 1 було встановлено умови, при яких пе-
рюдичну функщю можна розкласти в зб!жний ряд Фур’е, тобто по-
дати як суперпозишю гармон !чних коливань. Спробуемо тепер перенес-
ти цей результат на непер!одичн! функцп. Ми побачимо, що
при досить загальних додаткових умовах таке зображення можливе,
алет!льки вже за допомогою не ряду, а штеграла, так званого i н т е -
грала Фур’е.
Почнемо з навщних м!ркувань. Нехай функц!я f на кожному скш-
ченному штервал! задовольняе умови, як! забезпечують можлив!сть п
розкладу в ряд Фур’е. 1накше кажучи, припустимо, що f сумовна на
будь-якому сличенному штервал! ! в кожшй точц! задовольняе умову
Дип. Розглядаючи f наприклад, на в!др!зку [— I, /], ми можемо на-
ппсати розклад ц!е'1 функцп в ряд Фур’е:
f W = -у- + 3 Ц cos х + sin "Т"х' (1>
Поставивши сюди замють ak i bk Тх вирази:
йо = 4- (7(0^. ak = -r (0 cos ~tdt,
—t —i.
bk = 4- j/(0sm— tdf,
—i
дютанемо
1 i “ । 1 . .
= J f (^)dt + 5^ — ” / (f) cos - -- xcos -y-1 dt +
-i k=i —i
+ 4~ p (0 sin ~ x sin ~ t dt = -A- j f (/) dt 4
—i ‘t-i
-К — У 1/(7) cos—j- x cos -y-1 + sin —— x sin —— t dt,
fe=i -z L
тобто
Z OO I
j/(Ocos^(Z-x)dT. (2)
—i a=i —i
Доповнимо припущення про функци / ще одним: нехай ця функщя
абсолютно штегровна на всш прямш, тобто
СО
J \f(t)\dt<vo.
--OQ
(3)
Перейдемо тепер (поки що сутс формально) у рТвност} (2) до границ!
при I -> оо. На пщстав! (3) перший доданок у правш частшп рыносп
(2) при I -> оо прямуе до нуля. Другий доданок можна розглядати як
штегральну суму (але тТльки поширену на нескшченний пром(жок)
для штеграла
J F (\) dK
о
в!д функци
i
F (%) = у / (Z) cos % (t — х) dt,
—i
якщо = ka/l i AX — n/l. Тому формальний граничний перехщ в
(2) при I оо веде до piBHocTi
/ (х) = -у- J d% у / (0 cos А (7 — х) dt.
(4)
о
Це ! е шукане зображення. Вв!вши позначення
ак =
Ьк =
J f (t) cos Kt dt,
—cx>
J f Ю sin M dt,
piBHiCTb (4) можна записати в такому вигляд!, аналопчному ряду
Фур’е:
f (ж) = J (дл cos Kx + th sin Kx) dK.
о
(5)
Ми д!стали за допомогою формального граничного переходу р!в-
шсть (4), яка називаеться формулою Фур’е. Можна було б обгрунтува-
ти справедлив !сть цього переходу (при зроблених вище припущеннях
про функщю /), однак npocrinie довести piBHicTb (4) безпосередиьо.
Отже, доведемо таку теорему:
Теорема 1. Дкщо функщя f абсолютно Штегровна на edit прямШ
i в точщ х задоволоняе умову Д1н1, то справджуетъся нер1вн1сть
f (х) = -А- у dK у f (/) cos K(t — х) dt.
О —оо
Доведения. Введемо позначення
J (X) = у dK у f (t) cos К (t — х) dt. (6)
О —оо
Нам треба довести, що lim J (A) !снуе i дор!внюе/(х). Осюльки/аб-
Ан-ОО
солютно штегровна, то внутршшш штеграл в (6) зб!гаеться, а подвш-
ний штеграл з5!гаеться абсолютно. Використовуючи теорему Фуб!н!,
змшимо в повторному штеграл! (6) порядок штегрування:
. оо А оо
7(Л) = — У dty(t)C0SK(t-x)dK = ^- у d/.
—оо 0 —оо
Замшою змшних t — х — z зведемо цей штеграл до вигляду
00
у f(x+2)-^-dz. (7)
Добре в!дома р!вн!сть
---00
дае змогу записати р!зницю J (Л) — f (х) у вигляд)
J I) — f (х) = тг J —LW_ sin Az dz> (8)
-ОО
Запишем© штеграл, що стоггь справа, у вигляд) суми трьох до-
данк)в:
J (Л) — f (%) = J (*+/) —П*) sjn dz _|_
. —N
J_ г 2(£^sin A2dz_m f J^d2.
л J 2 Я J 2
I z I > N | z ]', N
Другий i трепй члени спраза являють собою зб)жн) штеграли, i кож-
ний з них можна зробити меншим, шж е/3, якщо число N взяте досить
великим. Перший доданок справа (при фжсованому N) прямуе до нуля,
коли Л -> оо (на шдстав) леми 1, § 1 i умови Дни). Отже, дютаемо
lim (J (Л) —/(х)) — О,
Л-+оо
що й треба було довести.
2. !нтеграл Фур’е в комплекснш форм). В штегральшй формул)
Фур’е (4) внутр)шшй штеграл е парною функщею вщ А, що дае змо-
гу записати цю формулу у вигляд)
оо оо
f W = J dx J f (/) cos A (t — X) dt. (9)
—со —оо
Дал), з абсолютно!' штегровност) функцп f випливае, що штеграл
со
f f (t) sm A (t — x) dt icnye i являе собою непарну функшю вщ А. Тому
—“СО
оо оо
у dx у /(Z)sinA(Z — х) dt — 0 (10)
>—оо —оо
\
якщо штеграл по А розумйги як головне значения, тобто як Dm J
ДГ-^оо —Д7/
Додавши до (9) р1вшсть (10), помножену на — i, дютанемо
оо оо
/(x) = -Af J dA у f (0 e-^-^dt.
—со •—оо
Ию р1вн)сть називатимемо комплексною формулою Фур’е,
§ 4. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'С,
ВЛАСТИВОСТ! I ЗАСТОСУВАННЯ
1. Перетворення Фур’е i формула обернення. 1нтегральну формулу
Фур’е можна розчленити на дв1 piBHocri. Припустимо, що
g(X)= (1)
> -ФФ
Тод) *
= (2)
--ОО
Зауважимо, що формула (1) мае смисл для будь-яко! абсолютно ш-
тегровно! функци /. Отже, кожнш / £ Д (— оо, оо) ми за допомогою
формули Поставляемо певну функщю g задану на всш числовШ
прямш. Функщя g називаеться перетворенням Фуо'е вихщно! функци f.
Формула (2), яка визначае /через и перетворення Фур’е, називаеться
формулою обернення для перетворення Фур’е. Слщ звернути увагу на
схожють м1ж формулами (1) i (2). Друга з них вщр1зняеться вщ першо!’
1 . „
лише знаком у показнику 1 множником перед штегралом. Тут мож-
на було б досягти ще б1льшо! симетри, визначивши g формулою
g (>-) = -^=- f f W (Г)
У zJI v
—оо
Тод! формула обернення набула б вигляду
1 00
= f (20
у м
—оо
тобто вона вщр1знялася б лише знаком показника експоненти.
Однак при Bciii ix зовшшшй схожосп формули (1) i (2) по cyri
вщмшш: у першш з них штеграл icnye в звичайному розумшш (ос-
юльки f £ Lx (— оо, оо), а в другш, взагал! кажучи, лише в розумш-
ш головного значения. KpiM того, р1вшсть (1) — цеозна чення
функции, а р1вн1сть (2), яка е шшим записом штегрально! формули
Фур’е, м ютить твердження, що штеграл, який стоТть там спра-
ва, дор!внюе вихщшй функци /. Як ми бачиди вище, щоб ця р!вшсть
справджувалась, на / треба накласти, KpiM штегрованосп, ще додатко-
Bi умови, скаж!мо, умови Дни.
Зауваження. Ми означили перетворення Фур’е g для всяко! функци / з
Lr(—сю, оо) i показали, що функщя f, яка задовольняе умову Д1н! в кожшй точщ, ви-
ражаеться формулою обернення через свое перетворення Фур’е g. Тут все аналопчне
тому, що й для ряд!в Фур’е. Справд!, коеф1ц!енти Фур’е
1 "
С/1==~2п j / W
—Л
визначеш для всяко! f £ Lr [—л, л], однак зб!жн!сть ряду Фур’е
ОО
П=—ОО
(що в!д!грае тут роль формули обернення) можна гарантувати лише при ьевних
додаткових умовах (умова Д(т). Водночас для перетворення Фур’е (як i для ряду;
див. § 2), справджуеться таке: якщо дм функцП f G (—оо, оо)
оо
j f (х) e~axdx = О,
»-*.со
mo f (х) = 0 майже скр1зь.
Справд!, з написано! вище р!вност! випливае, по-перше, що для Bcix дшених
t ! %
J / (х + () e~axdx = 0.
__ »—оо
Припустимо тепер, що
<Р W = У f (.X + t) dt,
Г)
де g—дов1льне ф!ксоване д!йсне число. Застосовуючи теорему Фуб!н1 i умову,
накладену на функщю f, легко пом! тити, що функшя <р (яка, як i /, належить до
Lj (—оо, оо)) задовольняе ту саму умову, тобто
J ср (х) ё~lKxdx = 0
—СО
при Bcix дшених X. Але, як легко побачити, функшя ср абсолютно неперервна на
кожному скшченному в!др!зку i, отже, майже скр!зь мае скшченну пох!дну. Зокрема
ця функшя майже скр!зь задовольняе умову Д1ш Тому на шдстав! теореми 1, § 3
вона майже скр!зь перетворюеться в 0, бо и перетворення Фур’е е тотожним 0. Але
!<р неперервна, так що <р (х) = 0. 3 цього випливае, зокрема, що при Bcix дшених £
Е
j /(о^ = о
о
!, отже, f (х) = 0 майже скр!зь.
Розглянемо тепер деяк1 приклади.
1. Нехай f (х) — у > 0. Знайдемо перетворення Фур’е
ц1е’1 функцп. Маемо
g (X) = е~у 1 х 1 e~iXxdx = С е~у 1 х I (cos f.x — i sin Хх) dx =
—со —со
= 2 J е~ух cos Хх dx.
о
За допомогою дворазового штегрування частиками знаходимо
g № = 2' •
' X2 + у2
2, Нехай
Тод!
g (А) — j / (х) e~tKxdx = j ~iKxdx = —
/(%) =
1 при | x | < a,
О при |x|>a.
2 sin Xa
(Сл1’д звернути увагу на те, що функция gтут не належить (—оо, оо)).
3, Нехай / (х) = . Тод!
со
—со
(3)
Цей штеграл найпрост!ше обчислити за допомогою Teopii’ лишк!в.
Нехай спочатку А > 0. Доповнивши дшсну в!сь, по якш береться ш-
теграл (3), швколом нескшченно великого рад!уса, що лежить у ниж-
н!й швплощин! (тобто в т!й, де експонента ё~&х прямуе ди нуля),
дютанемо, що штеграл (3) дор!внюе сум! лишк!в шдштегрально! функ-
цп внижнш нап1вплощин!, помножеш’й на2л1. Унажшй швплощин!
функщя - *2 q2 мае один полюс першого порядку в точц! х = — ai.
Лишки в ц!й точц! визначаемо за вщомою формулою: якщо f (г) =
= -уут- i ср (a) #= 0, а ф (г) мае в точщ г = а нуль першого порядку,
то литок функци f у точц1адор1внюе
д!стаемо
. Тому в нашему випадку
g (К) = —2ш
= —е~а'‘-
а
при А>0.
При % < 0 аналопчно
замгсть нижньо!) маемо
Таким чином, остаточно
(розглядаючи пльки верхню швплощину
= ~ 1 а'^'(—оо<А<оо).
Проте, цей результат можна дютати вщразу за формулою обернен-
ня, використовуючи приклад 1 i теорему 1, §3.
4, Припустимо, що f (х) = е~ах\ Тод! матимемо
ОО
g (А.) = j е—^е—iudx.
—оо
(4)
Тут шд штегралом сто!’ть анал!тична функц!я, яка не мае особливостей
в кшцев!й частин! площини i прямуе до нуля вздовж кожноТ прямо!,
паралельно! дшсшй oci. Тому за теоремою Komi штеграл (4) незмй
нить свого значения, якщо його взяти не по дШсшй oci, а вздовж будь-
яко! прямо! г = х + iy (у — const), паралельшй шй oci. Таким чи-
ном,
g (А) = е~а • е—1?- <х+‘у> dx =
--ОО
ОО ОО
_ gay‘-{-Ky J g—ax‘—2aixy—lkxdx = g я (/“+?• 9 J g—ax‘—ix (2ay+X>dx.
-----------OQ -OO
Шзьмемо тепер стале значения у так, щоб у показнику шдштеграль-
но! експоненти зникла уявна частина, тобто припустимо, що у =*
-----If Тод!
д № ?? оо _ X»________
g (А) = е ia' 2а J e~ax‘dx = е~ 4а ]/ ,
осшльки
J e~ax'dx = "|Л -у-.
<—со
Зокрема, якщо а = 1/2, то ми дютанемо
/ (х) = е-х’/2, g (А) =
тобто функщя е~л'/2 переводиться перетворенням Фур’е сама в себе
(з точи;стю до сталого множника).
2. Основн! властивост! перетворення Фур’е. 3 формули (1), яка
визначае перетворення Фур’е, випливае ряд його властивостей. Розгля-
немо !х. Для скорочення запису перетворення Фур’е функци / позна-
чатимемо символом F [/]. 1накше кажучи, ми позначимо через F лшш-
ний оператор, який визначений на простор! /Ж— оо. оо) i ставить у
вщповщшсть кожшй функци з цього простору i’i перетворення Фур’е1.
1. Якщо посл1довн1сть {fn} функщй з (— оо, оо) зб[гаеться
в метрищ простору (— оо, оо), то посл1довн1сть 'ix перетворень
Фур’е gn — F [/„ 1 зб1гаеться равномерно на eciti прямй!-.
Це твердження вщразу випливае з очевидно! ощнки:
I ёп — ёт (М I < J \fn М — fm М | dx.
— сх>
2. Перетворення Фур’е g абсолютно штегровшй функци f е обмеже-
ною неперервною функщею, яка прямуе до нуля при | А | -> оо.
Справд!, обмежешсть функц!! g — Flf] вщразу видно з оцшки
оо •
J \fw\dx.
1 Взагал! кажучи, воно не належить Lt.
Дал!, якщо f— характеристична функшя штеграла (а Ь), то для не!
ь
g(K] = J e~i,iXdx
а
g—i'Ka _ e—ikb
IK
Очевидно, ця функция неперервна i прямуе до нуля при | % | -> оо,
Осюльки рперашя г переходу вщ / до g л!шйна, то звщси випливае,
що перетворення Фур’е будь яко! схщчасто! функци (тобто лшшно!'
комбшаш' шдикатор!в штервал!в) також неперервна функщя, яка пря-
муе до нуля при X -> ± оо. Hapenrri, схщчаст! функци скр!зь щ!льн! в
Li (— оо, оо), тому якщо f £ Llt то icnye послщовшсть {fn} схщча-
стих функщй, що збшагаться до f у (— оо. оо). Тод! на шдстав!
властивост! 1 послщовшсть функци gn = F [ДД збшаеться р!вном!рно
на всш прямш до функци g = F [Д. Але тод! гранична функшя g
також неперервна i прямуе до нуля при | к | -> оо.
В ii р а в и. 1. Довести, що перетворення Фур’е g абсолютно штегровно!' функцй
f piBHOMipHO неперервне на вай пряьйй.
2. Нехай В — проспр р!вном!рно неперервних на (—оо, оо) функщй, як! пря-
мують до нуля на нескшченност!. Показати, що перетворення Фур’е F е оператор з
Д ( —сю, сю) у В з нормою 1, який задовольняе умову Kef F = 0.
3 Якщо f абсолютно неперервна на кожному ск1нченному 1нтервал1
if £ (— оо, оо), то справджуеться р1вн1сть
F[f} = ikF\f].
Таким чином, диференщюванню функцп (при зазначених вище умо-
вах) вщповщае множення и перетворення Фур’е на г'л."
Справд!, абсолютно неперервну на кожному скшченному штерва-
л! функщю можна записати у вигляд!
/(д=/(0)+ [ f (о dt.
о
3 абсолютно!' !ятегоовносп f випливае, що вираз, який стогть справа,
при х -> оо i х -> — оо мае границю. Ця границя може бути пльки
нулем, бо шакше функшя f не була б штегрованою на вс!й прям!й.
Враховуючи не, дютаемо за допомогою штегрування частиками
FШ1W = j Г (х) dx =
©о
—оо
= f (х) e~iU
оо
+ ik J f (х) e-^xdx = ikF if] (Ь),
—оо
що й треба було довести.
Якщо функцш f така, що абсолютно неперервна на кожному
штервал! ! /, ..., (— оо, оо), то за допомогою таких самих м!р-
кувань дютанемо
дав=(<ш (5)
4. Зв'язок м1ж ступеней гладкост! функцп Гшвидкйтю спадання
на нескшченност! и перетворення Фур’е. Поддливши р!вн1сть (5) на
(iX)fe i беручи до уваги, що перетворення Фур е завжди прямуе до нуля
на нескшченност! (властив!сть 2), д]станемо, що коли /<*> абсолютно
штегровна, то
|F[/]| =
1 71 SV
тобто в цих умовах F [/] спадае на нескшченност] швидше, шж
1/| % |fe. Отже, чим бщыпе похщних в Ly мае /, тим швидше спадае на
нескшченност] п перетворення Фур’е.
5. ЯкщоГ 1снуе i належить (—оо, oo),toF l/Ч абсолютно 1нтег-
ровна.
Справд], при зазначених умовах F [/] обмежена i спадае на ческш-
ченносп швидше, шж 1/V. Звщси випливае штегровшсть.
Вище (властившть 4) ми показали, що чим больше похщних мае
функшя f, тим швидше спадае на нескшченност] !'! перетворення Фур’е.
Справедливе й двоТсте твердження, а саме, чим швидше спадае /, тим
бмыл гладким е и перетворення Фур’е. Точшше кажучи, справедли-
ве таке твердження:
6. Нехай функци f (х) й xf (х) абсолютно штегровн!. Todi функщя
g — F [f] диференцшовна i
g’ (ty = P I— ixf (x)]. (6)
\ Справд], продиференшювавши штеграл
J f (x) e~~i}-xdx,
—co
який визначае g, по параметру К, дштанемо штеграл
co
— i j xf (x) e~iKxdx,
—OO /
який (внаслщок штегровност! функцп xf (х)) збягаеться р]вном1пно
по X. Отже, похщна функцп g 1снуе i мае м)сце (6).
Якщо f така, що абсолютно штегровн] функци f (x),xf (х), ..., хр f (х),
то, як показують аналопчш м]ркування, функшя g мае похщш до
р-ro порядку включно, причому
g(fc) W = F [(— ix)kf (х)] (6 = 0, 1, :..., р).
7, Коли вважати, що функшя f спадае на нескшченност] ще швид-
ше, то g буде ще бтлып гладкою функшею. 3 припущення, що
xpf (х) ( К (— оо, оо) при вш'х р, випливае нескшченна диференщ-
йовшсть функцп g. Припустимо тепер, що ей 1 х 1 f (х) g (— оо, оо)
при деякому 6 > 0. Тод] g (%) поширюеться з дшсноТ oci X як анали-
тична функшя в смугу на площин] = X -|- ip комплексно! зм]нно!,
причому ширина nie! смуги тим бшыпа, чим бтлыпе 6. В усякому раз1
можна тзердити, що g буде аналогичною функщею при | р, [ < 6.
Справд!, штеграл
J f (х) e~ix^dx,
-OQ
очевидно, зб!гатиметься при | р | <р 6 i вчзначатиме неперервну функ-
цию, яка збшаеться з перетворенням Фур’е функцп f на дшсшй oci.
Той факт, що ця функщя диференщйовна при | и. | < 6 в розумшш
теорп апал!тичних функщй, можна довести так само, як i властивють 6.
3. Повнота функцш Ермгга i Лагерра. Викорйстовуючи м!ркуван-
ня, викладеш в попередньому пункт!, можна показати, що коли ви-
м1рна функц1я f майже скр1зь на штервал! (а, Ь), де — оо С & < оо,
вгдмшна eid 0 I задовольняе умову | f (х) | < Се-61*', де 6 > 0, то
система функщй {xnf (х)!, п = 0, 1, 2. ... повна в Т2 (а, Ь).
Звщси, зокрема, випливатиме, що функцп Ерм!та утворюють пов
ну систему в L2 (— оо, оо), а функцп Лагерра — в L2 (0, оо) (див. пп 7
i 8, § 3, розд. VII).
Доведемо сформульоване твердження про повноту.
Припустимо, що система {xnf (х)) не повна. Тод! на пщстав! тео-
реми Гана—Банаха знайдеться така ненульова функщя h g L2
(— оо, оо), що
xnf (х) h (х) dx = 0 иг = 0, 1, 2, ...).
—со
(Ми використали теорему про загальний вигляд лшшного неперерв-
ного функцюналу в пльбертовому простор!; якщо розглядають комп-
лексне Ь2 (а, Ь), то замють h (х) треба писати h (х)). Зрозум!ло, що
fh G Д (а, Ь), б!льше того, е6<1 х 1 fh Q Lv (а, b) при будь-якому <
< 6. Надал! зручно вважати, що f (х) i h (х) визначеш на вс!й прямш,.
продовжуючи ix, в раз! потреби, за (а, Ь) нулем. Нехай g— перетво-
рення Фур’е функцп fh, тобю
g (К) = j f (х) h (х) e~iKxdx.
—оо
3 сказаного вище випливае, що функщя g продовжуеться як аналогич-
на в смугу | 1m £ | < 6. 3 другого боку, за властивютю 6 вс! похщш
ц!е'1 функци при % — 0 перешорюються в 0, так що g (h) = 0. За власти-
в!стю единост!, доведений у п. 1, звщси випливае, що f (х) h (х) = 0
майже скр!зь, отже, h (х) = 0 майже скр!зь, бо f (х) майже скр!зь
вщмшна вщ 0. Але це суперечи'ь нашому припущенню про те, що
1г — ненульова функщя. Це протир!ччя i доводить повноту системи
{х'! f (х}}, '
4. Перетворення Фур’е швидко спадних нескшченно диференщ-
йовних функщй. Користуючись тим, що при переход! вщ функцп f
до 11 перетворення Фур’е g властивост! гладкост! функцп i спадания
и на неск)нченност) мшяються ролями, легко начвати природы! класи
функщй, як) перетворенням Фур’е переводяться сам) в себе
Нехай So,— сукупшсть нескшченно диференцшовних функщй
на прям)й, для кожно! з яких ienye Ha6ip сталих Cpq (що залежать в!д
само! функци f i чисел р, q) таких, що
\х^(х)\<СР9. (7)
Покажемо, що коли / £ £«,, то й g = F [f] £ S^. Насамперед з (7)
випливае абсолютна штегровшеть кожно! з функцш x”fw (х). Справ-
д), осюльки (7) виконуеться при ecix р i q, то
\Xpf^ (х) I < Cp+i,Qlx\
тобто функщя x?-2fw (х) спадае не повмыпше, н;ж 1/х2. Звщси в свою
черту випливае, що функшя F [^1 мае похщш Bcix порядив. Нарешт),
згщно з п. 2, з сумовност) fW (х), q = 1, 2, ..., випливае, що функшя
g = F [/] спадае на нескшченност) швидше, шж 1/|А. рч Розглянемо
тепер функци
(%) = V— i)oF [(xPf (х)) <?’];
кожна з них, як перетворення Фур’е штегровно! функцп, обмежена
деякою сталою Dpq. Отже, якщо f £ S^, то й g = F [/] g SM, Навда-
ки, нехай g Q SM; тод), за доведении, функшя
/* (х) = j g (К) e~iUdx
JK —СО
ВХОДИТЬ В Seo. Припустимо, ЩО f (х) = /* (—х). Тод) /£$«>. Вод-
ночас за формулою перетворення
g = "2-rt" j W eiKxdx = J / (х) e~iKxdx,
— OQ —СО
тобто g е перетворення Фур’е функцп / g Sco. Отже, перетворення
Фур’е переводить клас £«, знову у весь клас Scc. Зрозум)ло, що це вь
дображення взаемно однозначне.
со
В п р а в а. Нехай f f xPf (x) dx — 0 при bcix p > 0. Чи випливае звщ-
си, що f (х) н 0?
* .
5. Перетворення Фур’е i згортка функщй. Нехай /у i /2 — штегровш
на веш прямш функцп. Функщя
со
/W= У
називаеться i’x згорткою. Функшя f (х) визначена при майже Bcixxi ш-
тегровна. Справд!, подв!йний штеграл
сю оо
J j fM)№ — l)<$dx
— СЮ — оо
1снуе, бо icnye штеграл
оо сю
J J 1Л (В) Л (n) I
—сю —оо
(див. зауваження до теорема Фуб!ш на стор. 274). Отже, icnye й ин-
теграл
оо СЮ оо
J f (х) dx — рх j
.—сю ’—со —ео
Функшю f позначають символом fx*f2. Обчислимо перетворення Фур’е
згоптки двох функшй з ZLr. Застосовуючи теорему Фубш! i вважаючи,
що х — ? = Т1 д!стаемо
СЮ со со
j f(x)e-'^dx = р f Л(?)/2(*~ ?)</?p^dx =
= рИЮ) j =
= j fl (?) Ц f2 h) e-atl e-^i p d£ =
— СЮ —oo
= I /2 (n) dTi •
—00
тобто
ИЛ*/2]=ЛМ F[f2]-
Отже, перетворення Фур'е переводить операщю згортки в npocmi-
шу операщю — множення функщй. Цей факт мае важливе значения в
багатьох застосуваннях перетворення Фур’е.
6. Застосування перетворення Фур’е цэ розв’язування р!вняння
теплопроводность Застосування перетворення Фур’е до диференщ-
альних р^внянь грунтуеться на тому (див. п.З), що воно переводить
операшю диференшювання в операцию множення на незалежну змш-
ну. Отже, якщо в нас е лпийне диференшальне р!вняння з сталями
коеф!шентами
yw + + ••• + ап-\у' + апу = <р (х), (8)
то перетворення Фур’е переводить його в алгебра i ч н е р!внян-
ня виду
(iX)n г Щ аг (гХ)га-,г + • • • + an-d^z = (X), (9)
де z = F [у] i ф = F [<р]. Однак для звичайних диференщальних р!в-
нянь цей прийом не вщкривае яких-небудь !стотно нових перспектив,
бо розв’язування лшшних р1внянь з сталими коеф!ц!ентами не стано-
вить великих трудногщв. Кр!м того, перехщ вщ (8) до (9; можливий,
якщо невщома функщя у — у (х) штегровна на вс!й прямш, а для роз-
в’язщв л!н!йних р!внянь з сталими коеф!щентамице, взагал! кажучи,
не мае м!сця.
1стотн!шим е застосування перетворення Фур’е до р!знянь з частин-
ними похщними, де воно дае змогу за певних умов, звести розв’я-
зування такого р!вняння до розв’язування звичайного диференщаль-
ного р!вняння. Покажемо це на приклад! розв’язування задач! Кош!
для р!вняння теплопровщност!.
Знайдемо розв’язок р!вняння
ди (х, f) д2и (х, /) /1гл
й ~ Ж
при — оо <z х < оо i / 0, що перетворюеться при t = 0 в задану
функщю и0 (х). Ф!зичний зм!ст ц!е! задач! — знайти температуру
нескшченно теплопроводного стержня в будь-який момент часу t >
> 0, якщо в початковий момент t — 0 його температура в кожн!й точ-
щ е и0 (х).
Припустивши, що «0 (х), и0 (х) ! и0 (х) належать Ц (— оо, оо),
шукатимемо розв’язок поставлено'! задач! в клас! функцш и (х, t),
як! задовольняють так! умови:
1) функци и (х, /), их (х, ЭД ихх (х, t) абсолютно штегровн! по вс!й
oci х при будь-якому фжсованому / > 0;
2) функщя ut (х, /) мае в кожному сличенному штервал! 0 < t
< Т штегровну мажоранту f (х) (яка не залежить вщ ЭД
|ы< (х, 0|< f (х), f(x)dx<z<x>.
Виконаемо в р!внянш (10) перетворення Фур’е по х При цьому
справа ми д!станемо
F [ихх (х, ЭД = — №v (X, t), де v (к, t) = F[u (х, ЭД,
а зл!ва на пщстав! 2) маемо
F [«J — § ut (х, t) e~iKxdx = -jj-. J и (x, /) e-iKxdx = vt (X, t).
—oo —co
Таким чином, перетворення Фур’е переводить р!вняння (10) у
звичайне диференщальне р!вняння
vt (X, t) = — X2v (X, /),
для якого нам тепер треба знайти розв’язок, який при t = 0 перетво-
рюеться у функщю
со
v0 (X) = F [w0 (х)] = П и0 (х) e~iKxdx.
Таким розв’язком буде, очевидно,
v (Л, t) = e-%2Zw0 (X).
Тепер, щоб знайти розв’язок нашо! початково! задач!, треба знайти
ту функцию и (х, 0, перетворенням Фур’е яко! е функшя v (A., t).
Викор вставши приклад 4, п. 1, дютаемо
х‘
е~™ = F
-4^ е 41
2
Тому
v (%, t) = F
тобто
1
--7=^ е
2/л/
х2
4Г
—е
2}/nt
£2
и (х’ П = Q f е * 11 ° (х ~
2 \ nt J
—сю
• Л«о W1 = F
Ми достали так званий штеграл Пуассона для розв’язування р!внян-
ня теплопров!дност1'.
7. Перетворення Фур’е функцш кмькох змшних. Перетворення
Фур’е, розглянуте нами для функшй одше!" змшно!’, легко перенести
на функци юлькох змшних.
Нехай f (xjp х2, ..., хп) — функшя, штегровна по всьому п-вим!р-
ному простору Rn. Ii перетворенням Фур’е називають функшю
g (^i> ^2' • • • > —
СО СО
= J • • • у f (х1( х2, ... , хп) е~1 (х^+х^2 4 I- хпхп) . dxn.
—СО —со
Цей n-коатний штеграл, який напевно icnye, бо f (лу, х2,..., хп)
штегровна, можна записати, за теоремою Фуб!н1, у вчгляд! такого
повторного штеграла:
g (A-i, А.2, ... , А.п) =
со оо со
= Ц • • • у | У f (*1. х2, ... , хп) X
—сю —оо -—оо
X е~ix^dx2 .. .^e~iXn,'n dxn. (11)
1накше кажучи, можна перейти вщ функци п змшних до ii перетво-
рення Фур’е, послщовно виконавши перетворення по кожшй 1з змш-
них окремо (в будь-якому порядку). Перетворюючи послщовно кожну
з п операшй у правш частиш piBHocTi (11), дютанемо формулу
Ii можна переписати у вигляд! n-кратного штеграла
f(xlt х2, , хп) =
= f • • • ( g (Ч Ъ.............Ха) е‘ ^+х‘к‘+ • • • + d\... dkn,
(2Л) J J
—ОО —ОО
(12)
однак, осшльки функшя g (Хх, X2, •••> M> взагал! кажучи, не обов’яз-
ково буде сумовною по всьому R", треба вказати, в якому розумшш
треба розум!ти цей штеграл i т! умови на f (xlt х2,..., х„), за яких вона
подаеться штегралом (12).
Одну з можливих вщповщей на ш питания дае така теорема:
Теорема 1. Нехай функщя f (xt, х2, ,,,, х„) 1нтегровна по всьому
простору Rn I задовольняе умови'.
I f (•*! + ^2,
I f (хъ х2 + t2,
ХпУ — fiXu х2, , Х„) I с с I |а,
Хп) — f {ХЪ х2, хп)\^С (xj 1i2 |а,
\f(xlt х2, .... хп + tn)—f(X1, х2, хп) I <
< С (хх, х2, .... xn_]) I tn |а,
де
оо
О а < 1, J С (Xj) dX1<<*>, ...
00-
со со
.,, , J ... j* С (%x, х2, ... , xn_i) dxtdx2 ... dxn-i <. оо.
—оо —• оо
(13)
Todi формула перетворення (12) справедлива, якщо штеграл у н1й
розум1ти як
Nx Nn-\ Nn
lim С [... lim ( j lim f g (Лх, %2, .,. , A„) x
x elXn>'n d%n\ е‘Хп-^п~'дкп-1 .. eiXiKtdk.
Справд!, осшльки f (x(, x2, ..., xn) сумовна в Rn, тона шдстав! тео-
реми Фуб1н! вона сумовна по хТ при майже Bcix х2, ..., хп. Отже, icnye
функшя
со
/1 (^!> ^2» • » * » Хп) = f JC2, . . - 1 в dXi.
—оо
j /2(М В ••• , xn)eix^‘dk
—Х',
3 (13) випливае, що/ (х1,х2,..., хп), як функщя в!д ^задовольняе умову
теореми 1, § 3; тому / (х!,х2, ••• - хп) можна визначчти через /х за форму-
лою перетворення
f (Xj, х2, ... , х„) = lim ( Л (Я, х2, .... х„) e'^d^.
п л,
Дал1, якщо ми припустимо, що
/2 (%1( Х2, х8, ... , хп) = j /х (Д х2, ... , х„) e~ix^ dx2,
—со
то з умови (13) випливае, що для f\ справедлива формула перетво-
рення
/i (Xj, х2, .,. , х„) = lim
Л\->с>о
тобто
f (хг, х2, ... , хп) =
। Е г 1 1
= lim С ( lim f f2 EU Л2, х^ЛхЖ2
2я 2я Л J
Визначивши аналогично f3 (Л,1Э Л.2, К3, ..., кп) i т. д., ми прийдемо до фор-
мули (12).
Перетворення Фур’е функцш юлькох змшних широко використо-
вують у теорп р!внянь з частинними похщними. Розглянемо, напри-
клад, р!вняння
ди дги д2и ,.
dt дх1 "Т" ду‘1 ’ ( *
яке описуе процес поширення тепла в площин!. Нехай у момент t — О
температура задана:
и (0, х, у} = м0 (х, у).
Наклавши на шуканий розв’язок р!вняння (14) умови, аналопчн! тим,
як! наведено в п. 6, зробимо в р!внянн) (14) перетворення Фур’е за
змшними х i у. Тод! дктанемо звичайне р!вняння
^-=-(V + o^)a, (15)
Де v (t, А, сг) = j у и (t, х, у) e~l ^x+°^dx dy.
—оо —со
Розв’язавши р!вняння (15), можна пот!м за допомогою формули
перетворення знайти розв’язок вихщного р!вняння (14).
§ 5. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'О
В ПРОСТОР1 Z.2(—оо.оо)
1. Теорема Планшереля. Повернемось спочатку до тих результа-
ti’b, як! ми дютали для ряд!в Фур’е. Для бглыпо! аналоги з пепетворен-
ням Фур’е розглядатимемо ряд Фур’е в комплексшй форм!, тобто
в!зьмемо на вщр!зку [—л, л] повну ортогональну систему функцш
е1пх = 0, ± 1, ± 2, ... i кожшй сумовшй на вщр!зку Е— л, л] функцп
f ми поставимо у вщповщшсть послщовшсть ii' коеф!шенп'в Фур’е
1 ?
= "2л" J f(x)e~,nxd-x (п = О, ± 1, ±2, , .
—л
Якщо функшя f не пльки сумовна, а й мае сумовний квадрат, то
i’T коеф!ц!енти Фур’е задовольняють умову
П=-ОО
1накше кажучи, перехщ вщ сумовно!’ в квадрат! функцп до сукуп-
ност! ix коеф!ц!ент!в Фур’е е вщображення евклщового простору L2
на евклщв проспр Z2, причому це вщображення л!шйне i задоволь-
няе р!вн{сть Парсеваля:
2л V |Cn|2 = Г \f(x)\*dx (1)
П=-сю f 1 -Л
(тобто цей перехщ в!др!зняеться лише числовим множником вщ пе-
ретворення, яке збершае норму).
Розглянемо тепер перетворення Фур’е для функц!й, заданих на
вс1й прям!й, i подивимось, чи не можна це перетворення трактувати
як деякий лнийний оператор у комплексному простор! L2 (— оо,оо).
Основна трудшсть тут у тому, що функц!я з штегровним квадратом на
прямш не обов’язково буде належати Ц (— оо, оо), тобто перетворен-
ня Фур’е в розумшш, визначеному в § 4, для не'! може й не !сну-
вати. Однак для всяко; f Q L2 (— оо, оо) перетворення Фур’е можна
визначити шакше. При цьому матиме м!сце така теорема, яку можна
розглядати як аналог р!вност! Парсеваля (1).
Теорема (П л а н ш е р е л я). Для всяко'! функци / G L2 (— °о)
штеграл
N
gN (ty = J f (х) e~iKxdx
—N
при будь-якому N е функщя eid К, що належить Ь2(— со, оо). При N ->
-> оо функци g\ збДаються в метрищ простору Ь2 до деяко! грани-
ца g, причому
§ I g W |2 dk = 2л
— оо
Цю функщю g називають перетворенням Фур’е функци f g L2. Якщо
f належить також i Ц (— оо, оо), то eidnoeidna функщя g зб1гаеться
з перетворенням Фур’е функци f в звичайному розумшнй
Доведения. Основна щея доведения полягае в тому, що р!в-
шсть (2) встановлюють спочатку для вс!х функшй, як! належать кла-
(2)
су Soo нескшченно дифеоенщйовних швидко спадних функцш, як!
скр!зь щдльш в Т2 (— оо, оо), а пот!м поширюють за неперерзн!стю
на весь проспр L2 (— 00, °°)- Отже:
1) Нехай flt f2 g Sco. Позначимо через gx i g2 вщповщно i’x перетво-
рення Фур’е. Маемо
ОО со оо
f fl (х) /2 (х) dx = С 4- С [£1 W eaxdk] f2 (х) dx =
= — У [gfi (V У A W е-ахах1 dk= -d- J gj (A, (g2 (%) d%,
—co —co —co
причому змша порядку штегрування тут законна, бо функщя
gi (^) 1 (х) еЛх
абсолютно штегровна в площин! (х, X). Припустивши в знайденш
piBHOCTi fr = f2 = f i gy = g2 = g, д!станемо, що.формула (2) справед-
лива для будь-яко!" функц!! f £ Soo.
2) Нехай тепер f— дов!льна функщя з L2 (— оо, оо), яка перетво-
рюеться в нуль зовн! деякого штервалу (— а, а). Тод! f штегровна на
штервал! (— а, а) (тобто належить Lr (— а, а), а отже, i на вс!й пря-
м!й. Тому для не! визначене перетворення Фур’е
g (А) = у f (х) e~iKxdx.
. —оо
Нехай тепер {/„} — послщовшсть функщй з So,, як! перетворюють-
ся в нуль поза (— а, а) ! збТаються за нормою простору Т2 (— 00• °°)
до / Осшльки f i вс! fn вщм!нн! в!д нуля лише на сличенному штер-
вал!, то послщовшсть {/„} збшаеться до f i за нормою простору
(— оо, оо). Тому (див. п. 2, §4) послщовшсть {g„} збшаеться до
g piBHOMipno на всш прям!й. Кр!м то”о, послщовшсть {gj фунда-
ментальна в Т2 (— °®. оо). Справд!, gn— gm g Sco, тому на шдстав!
вже доведеного ^.И
ОО - оо
J \gnW~ gm(A) |2А = 2л J |/„(X) — /т(х)|2 dx,
—©о —со
звщки й випливае фундаментальюсть послщовност! {gn}. Отже, ця
послщовшсть збшаеться в Т2, причому до Tie! само! функц!! g, до яко!
вона збшаеться р!вном!рно. Тому в р!вносп
Ш12= 2ИЫ12
можна перейти до границ! при п -> оо. Таким чином, д!стаемо, що р1в-
Н1сть (2) справедлива для кожно! / £ Т2, яка перетворюеться в нуль
зовн! деякого штервалу.
3) Нехай, нарешт!, f — довшьна функщя з L2 *
”P“
1 0 при | х | > N.
Зрозум!ло, що
[|/ — fx ||->o при A->oo.
Функщя }n належить Lx (— оо, оо), отже, для не! icnye звичайне пе-
ретворення Фур’е. Воно дор!внюе
gN (М = J In (х) e~iKxdx = j / (х) e~iKx dx.
* —co —N *
Осюльки на пщстав! викладеного в пункт! 2) наших лпркувань
\\fN-fN^-^\\gN-gMr, '
то функци gN збшаються в Т2 до деяко! границ!, яку ми позначимо g.
Тому в piBHOcri
Ы1\==^1Ы12.
можна перейти до границ! при А ->оо, зв!дки д!стаемо сшввщношення
(2) для дов!льно’1' f £ L2 (— оо, оо). Першу частину теореми Планше-
реля доведено.
Якщо тепер функщя f належить як La (— °°)> так ’ (— °°,оо),
то для не! icnye перетворення Фур’е
g (А) = j f (х) e~iKxdx,
—оо
яке розум!ють у звичайному розумшн!. При цьому функщ! fN зб!га-
ються до f в (— оо оо) i, отже, Тх перетворення Фур’е gu зб'Таеть-
ся до g piBHOMipHO Але, кр!м того, як ми встановили, функци gu збй
гаються в метрищ ь2 (— оо, оо) до деяко! границ!, яку ми позначили
g. Звщси випливае, що §зб!гаеться з g. Теорему доведено
Н а с л i до к. 1з сп1вв1дношення (2) eidpaay випливае, що для
будь-яких f2 £A2 (— °°, оо) виконана р1вн1сть
j Л (х) f2 (х) dx =~ J gj (%) g2 (X) dX.
--OQ --OQ
Для доведения досить написати р!вн!сть (2) для функц!! -j- f2
i пот!м пор!вняти вирази справа i зл!ва. Якщо р!вшсть (2) означае
збереження норми в 12 ПРИ перетвореню Фур’е, то- остання р!вшсть
означае збереження скалярного добутку.
2. Функци Ерм!та. Теорема Планшереля, викладена в попередньо-
му пункт!, означае, що перетворення Фур’е можна розглядати як об-
межений лшшний оператор F, що вщображае проспр Ь2 (— оо, оо)
на себе. Якщо в цьому простор! взяти яку-небудь повну ортогональну
нормовану систему, то оператор F (як i будь-який шший лш!йний опе-
ратор) можна записати за допомогою нескшченно!’ матриц!. Вигляд
niei матриц! залежить, звичайно, вщ вибору базису. Матриця, яка вщ-
поьщае тому чи шшому оператору, мае найпроспший вигляд тод!,
коли в!дпов!дний базис складаеться з власних функцш певного операто-
ра: у цьому випадку матриця мге д!агональну форму. Подивимось,
чи !снуе такий базис для перетворення Фур’е А? пакте кажучи, по-
дивимось, як! функцп з Т2 (— °о, °°) е власними для перетворення
Фур’е? Для niei мети зазначимо, що р!вняння
-g—*7 = н/ (3)
переводиться перетворенням Фур’е в таке саме р)вняння 1 (оск|дьки
d2
операция переходить у множення на — X2, а множення — х2 —
d2 \
в операшю j. Тому природно шукати власн! функцп оператора F
як розв’язки р!вняння (3). Знайдемо розв’язки цього р!вняння, яке
мае вигляд
f = we~х2/2,
де w— многочлен. Поставивши цей вираз у (3), дютанемо для р!внян-
ня
да" — 2xw' = (р + 1) да.
Вважаючи, що
да = aQ + atx + • • • + апхп, (4)
д!станемо р!зн!сть
(2«2 + 3 • 2 « а3х + • • • + п (п — 1) апхп~2) —
— 2х (^ + 2а2х + • • j + папхп~1) =
= (Ц + 1) (ао + aix + • • + апхП).
Пор!внюючи в шй коеф!ц!енти при однакових степенях х зл!ва i спра-
ва, знаходимо, що
— 2пап = (р + 1) ап, — 2 (п — 1) vn-i = (р + 1) an-i,
i т. д., взагал!
k (k — 1) ak— 2 (k — 2) afe_2 = (P + 1) ак-2. (5)
Осюльки ми вважаемо, що старший коеф!ц!ен'. ап вщмшний вщ
нуля, то
р = — (2п 4- 1) i a„_i = О,
тобто р буде непарним ц!лим вщ’емним числом. Ус! коеф!ц!енти мно-
гочлена да визначаються сшввщношенням (5) з точшстю до сталого
1 Звичайно, вважають, що невщома функщя f задовольняе вщповщн! умови глад-
кост! i спадания на нескшченност!.
множника. При цьому т| коеф!ц!енти, паршсть шдексу яких вщмшна
вщ парносн числа п, тобто степени многочлена w, дор!внюют ь нулю.
Навпаки, вс! коефщенти з шдексами, що мають ту саму паршсть, що
й п, вщмшш вщ нуля. 1х знаходять за рекурентною формулою
k (k— 1)
2k-2n-4-^
(якщо значения ап задано). Таким чином, ми дютаемо формулу для w
wn (х) = ап (х" - п{п-Х} х-2 + ”("-1№~2) (»—3). х„_4 _ . . J .
Отже, ми побудували систему функцш виду
(х) = wn (х) е~хгн (п = Э, 1, 2, ...).
Зрозум!ло, що кожна з цих функцш належить L2 (— оо, оо) (завдя-
ки множнику е_*2/2). Кр!м того, щ функцп попарно ортогональна
Справд!, згщно з (3) маемо
ф" (х) — х2(Рп (х) = — (2« + 1) Ф.г (х),
Tm (*) — *2Фт F) = — (2m + 1) Фт (х).
Помноживши перше з цих р!внянь на фт, а друге — на ф„ i вщнявши
вщ першого р!вняння друге, дютанемо
ФЛ — Ф>п = 2 (п — гп) qnym
або
[ФЖ — ФтФ«1' = 2 (п — т) фпф
Якщо п Ф т, то проштегрувавши цю р!вшсть, матимемо
j Ф„ W Фт W dx = J ВпФ/n ~ ФтФ«Г dX =
!—ОО —оо
= —Щ^-т- [ФА - ФтФЛ-оо = °-
Отже, ортогональшсть доведено.
Кожний з елеменпв ф„ знайдено!' ортогонально'1' системи е много-
член степеня п, помножений на е~хг/2. Отже, ii елементи повинш з
точшстю до числових множниюв збшатися з функщями Ерм!та, як!
ми побудували в § 3, розд. VII ортогонал!зац!ею послщовност
е—xS/2, хе~х^2, .... хпе~хг!2, .,,
у простор! La (— оо, оо).
Покажемо тепер, що функцп {фп} е власними функщями пеоетво-
рення Фур’е:
Fqn = cnqn. (6)
Це випливае з таких факп’в:
1. Р!вняння (3) !нвар!антне щодо перетворення F.
2. Р!вняння (3) при кожному п мае, з точшетю до сталого множни-
ка, лише один розв’язок виду Рп (х) е~хгР, де Рп — многочлен степе-
ни п.
3. Перетворення Фур’е переводить хпе~х2/2 &- е~х'12 =
= Qn(x) е~х2/2, де Qn— многочлен степени п (останне тверцженпя лег-
ко перев!рити за шдукщею).
3 piBHOCTi (6) випливае, що при кожному ц!лому k
Tjk k
Фа = С„ф„.
Але перетворення Ф>р’е, застосоване чотири рази, переводить кожну
функцьо в себе, помножену на 4л2. Тому
сп " 4л2,
тобто сп може набувати лише значень ± j/2n i ± i У2л.
Отже, перетворення Фур’е F у npocmopi L2 (— оо, оо) е л1ншний
оператор, який у базшл, що складаеться з функщй Ерлшпа, записуеть-
ся як д1агональна матрица з елементами виду ± ]/^2л i ± i '/2п Т
§ 6. ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА
1. Означения i основн! властивост! перетворення Лапласа. Засто-
совашсть перетворення Фур’е до диференщальних р!внянь значною
Mipora обмежуеться тим, що це перетворення визначено лише для функ-
цш, сумовних на веш прямш. Зокрема, перетворення Фур’е не icnye
для функшй, як! зростають при х ->-оо або х оо, а так! функци
часто зустр!чаються при розв’язуванн! диференцшних р!внянь. Цю
трудн1сть можна подолати, поширивши перетворення Фур’е на уза-
гальнеш функцп; про це ми скажемо коротко в §8 цього розд!лу.
Другий можливий п!дх!д, який не виводить за меж! класичного
поняття функци ! класичних метод!в анал!зу, полягае в замш! пере-
гворення Фур’е так званим перетворенням Лапласа.
Нехай функщя f (взагал! кажучи, не штегровна на вс!й прямш)
стае штегровною, якщо и помножити на е~"х, де у — деяке дшене чис-
ло. Тод! штеграл
g (s) = J f (x) e~isxdx = j f (x) е-‘хКех^дх
—oo —co
1 Якщо перетворення Фур’е визначити формулою
ОО
—оо
(тобто формулою (1') § 4, а не формулою (1)), то його четвертий степень буде одинич-
ним оператором, i в базис!, що складаеться з функщй Ерм!та, ми дктаемо для Р д!а-
гональну матрицю з елементами ±1 i ±i.
буде зб1жним для деяких комплексних s = % 4- ip, зокрема, Bin зб1-
гаеться на прям!й ц = — у. На ц!й прямш вш е перетворенням Фур’е
функци f (х) ех11.
Найважливглий для застосування випадок, в якому наш! припу-
щення про !нтегровн!сть функци f (х) е~^* виконаш,— це тод!, Коли f
задовольняе так! умови:
\f(x) \<Ce^x при х> О,
f (х) = 0 при х < О J
(уо i С — стал!). 1нтеграл
g (s, = j / (х) e~isxdx = j / (х) e~isxdx (2)
—00 о
!снуе при Bcix s = X + zp, таких, 'що ц < — у0, тобто в швплощинь
эбмежешй прямою Im s = — у0, i е перетворення Фур’е функци
f (х) емх.
Цю функщю можна знайти з g за допомогою формули перетворен-
ня (ми вважаемо, що f задовольняе умови, за яких ця формула засто-
совна)
оо
f (х) = J g (S)
звщки
. щ+°о
f(x) = ~2n J g(s)eisxds = % + (3)
1Ц—ОО
Оск!льки функц!я f (х) е^ при р < — у0 спадае як експонента на
шдстав! (1), то и перетворення Фур’е g, а отже, ! g (s) eisx, е функшя,
анал!тийна в швплощиш Im s < — у0.
Зробимо тепер у формулах (2) i (3) замшу змшних, поклавши р =
= is i позначивши g (s) через Ф (р). Д!станемо
Ф (р) = j f (г) e^xdx (2')
о
!
. — ц±/оо —ц-t-fco
= = J (3')
—Ц—foe — ц,_^оо
Функщя Ф визначена й анал!тична в швплощиш Rep>y0; Ti
називають перетворенням Лапласа функцп f (яка задовольняе умо-
ви (1)).
Перетворення Лапласа за сво!ми властивостями мало в’др!зня-
еться вщ перетворення Фур’е. Однак клас функцш, для яких визна-
чено перетворення Лапласа, дуже вщмшний вщ класу Lr (— 00, со).
функщй, для яких !снуе перетворення Фур’е.
2. Застосування перетворення Лапласа до розв'язування диферен-
ц!альних р!внянь (операторний метод). Перетворення Лапласа можна
застосорувати до розв’язування диференщальних р!внянь. Нехай
дано лйпйне диференщальне р!вняння з сталими коеф!ц!ентами
У'п} + + • • • + апу = b (х), (4)
i нехай треба знайте його розв’язок, який задовольняе початков!
умови
У (0) = уа, у' (0) = ух, .... у^ (0) = 0„_ь • (5)
Застосуемо до р!вняння (4) перетворення Лапласа г, тобто помно-
жимо його на е~рх\ проштегруемо вщ 0 до оо. Нехай
У (р) = J у (х) e~pXdx
о
— перетворення Лапласа функци у. 1нтегруючи Частинами, ми знай-
демо перетворення Лапласа похщно! у-‘.
J у' (х) e~pxdx = у (х)е~рх -ф р j у (х) e~pxdx = pY (р) — yQ.
о оо
Застосувавши цю формулу посл!довно, матимемо
С (х) e~pxdx = р (рп~1У (р) — уп_2 — руп_ъ--------Рп~2Уо) — Уп-i =
п—1
= РпУ (р) —Уп-1 — РУ п-2 — • • • — рп~ху0 = рпУ (р) — 2 Pn~l-kyk-
k=0
Нехай, нареппч,
В (р) = j b (х) e~pxdx.
о
В результат! перетворення Лапласа переводить днференщальне р!в-
няння (4) [з урахуванням початкових умов [5)] в алгебраТчне р!вняння
Q (р) + /? (р) Y (р) = В (р),
де В — перетворення Лапласа функцп b, Q — многочлен в!д р степени
п— 1, що залежить в!д коеф!ц!ент!в р!вняння i вщ початкових даних.
Нарешт!,
R = 2 an-kpk, aQ = 1
4=0
— характеристичний многочлен р!вняння (4). 1з знайденсго р!вняння
д!станемо
Y (п' — £ (Р) — Q кР)
___________ (Р) R (Р)
1 Неважно показати законшсть його застосування до р!вняння (4), якщо | &(х)|
зростае не дуже швидко
Розв’язок знаходимо звщси за формулою перетворення
у (х) = f В ® (р) ePxdp.
v ' ' 2ш J R (р) г
—Ц—too
Цей штеграл звичайно обчислюють за допомогою лишк!в.
Для розв’язування лшшних диференшальних р!внянь з сталими
коеф!щентами icnye так званий операторы ий метод. Вш
полягае в тому, що в р!внянш
^«> + ^(«-1).+ ... -\-апу = Ь(х)
л!ву частину розглядають як результат застосування до невщомо!
функцп у оператора
& / d \ dri dn~l
A\^r^r + ai~d^+ +ап' (6)
а розв’язок р!вняння — як застосування до його право! частини опе-
ратора, оберненого до оператора (6). Результат застосування такого
оператора до деяких найпроспших функц!й — тригонометричних,
показникових, степеневих i !х комбшацш — неважно знайти за до-
помогою безпосередшх обпис’лень Де дае змогу автоматично випису-
вати розв’язок л!н!йного р!вняння з сталими коефщ!ентами, якщо його
права частика е кембшащею таких функшй. Зрозум!ло, що оператор-
ний метод це застосування, в неявшй форм!, перетворення Лапласа
(що встановлюе певну вщповщшсть -м!ж алгеброю диференщальних
опергтор!в виду (6) ! алгеброю многочлешв), яке саме й можна розгля-
дати як обгрунтування цього методу, що часто фшуруе в техшчнш
лператур! у вигляд! деякого «рецепту».
§ 7. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР'£-СТ1ЛЬТЬеСА
L Означения перетворення Фур’е — Спльтьеса. Повернемося зно-
ву до перетворення Фур’е в простор! Lx (— оо, оо):
g (Л) = j e~iUf (х) dx.
Цю формулу можна записати у вигляд! штеграла Р!мана —. Спльтьеса
g(F) = j e~iKxdF (х), (1)
-OQ
де
F (х) = j f (t) di (2)
—.oo
.^абсолютно неперервна функщя з обмеженою змшою на вс!й число-
оо
в!й ос! (що дор!внюе j | f (х) | dx). Однак р!вшсть (1) мае зм!ст не т!ль-
-^-со
ки для функшй виду (2), а й для будь-яких функшй з обмеженою
змшою на вс1й прям!й. 1нтеграл
g (X) = у e~axdF (х),
—оо
де F — довшьна функщя з обмеженою змшою на прям!й, називатиме-
мо перетворенням Фур’е — Стиьтьеса функци F. Для перетворення
Фур’е — Спльтьеса збершаеться ряд властивостей, установлених
нами рашше для звичайного перетворення Фур’е, наприклад, функшя
g, визначена штегралом (1), неперервна й обмежена на вс!й прямш.
Справд!,
N
I g (\i) — g I < j | e~n~lX — е^‘КгХ I dF (х) +
-,V
+ У I е~Л1Х — g—i^x | dF (х).
| х I >w
Другий доданок справа можна зробити як завгодно малим (вщразу
при будь-яких %! i Х2), узявши N досить великим, а перший при фшсо-
ваному N прямуе до нуля при — Х2 -> О-
Однак не вс! властивост! перетворення Фур’е переноситься на пе-
ретворення Фур’е — Спльтьеса. Так, воно не прямуе, взагал! кажучи,
до нуля при | X | -> оо. Нехай, наприклад,
. [О при х<0,
F (х) = ! г
( 1 при х>0.
Тод!
g (%) = J e~iKxdF (х) = 1.
—со
Аналопчно, перетворення Фур'е — Спльтьеса функцп, що дортвнюе
О при х х0 i 1 при х > х0, е е1х°к, тобто перюдична функшя вщ X.
Якщо F — функщя стрибшв, для яко! точки
n==0± 1, ±2, ...
е точками розриву, а числа
аЛ а0, av ... , ап, ... (де 2lanl<°°
\ л
*— величинами стрибкш у цих точках, то
С e~iKxdF (х) = 2 апе~СпК
J п
е перюдична функщя з перюдом 2л. Якщо ж F мае стрибки ап у точках
хга, то утворюють дов!льну послщовшсть чисел (взагал! кажучи,
i'a щи. кип
несум1рних), то !"! перетворення Фур’е — Спльтьеса мае вигляд
XI „ ‘АЛ
п
Функц!! такого типу належать до так званих майже перюдичних функ-
1ИЙ.
2. Застосування перетворення Фур’е — Спльтьеса в Teopii' ймов1р-
ностей. Для сумовних на (— оо, оо) функцш ми ввели в §4 поняття
згортки:
оо
f(x) = /i*/2(x)= J (3)
—оо
Припустимо, що
Р (*) = У / (0 dt, Ft (х) = у ft (!) dt и F2 (х) = ' /2 (t) dt,
--------ОО -ОО —со
Проштегрувавши р!вшсть (3), перепишемо !’! так:
F(x)= у f(t)dt= § df у =
ОО X ОО
= У { J J PAx-^dF,®
— ОО —ОО —оо
(змша порядку штегрування тут можлива на шдстав! теореми Фубь
Hi i абсолютно! штегровносп функцп /). Знайдене нами сшввщношен-
ня
со
Р(х) = у Ft(x-$dF^
-—оо
з!ставляе функциям Ft ! Д2 функщю F. Але штеграл, що спять тут спра-
ва, 1снуе як штеграл Лебега — Спльтьеса не пльки для абсолютно
неперервних функцш, а й для будь-яких двох функщй з обмеженою
змшою на всш прям!й. Назвемо вираз
оо
AU)= у Ft(x-^dFAl), (4)
—со
де Ft 1 F2 — дов!льш функци з обмеженою змшою на прям!й, згорткою
цих двох функщй i позначимо його Fi*F2. Покажемо, що вираз (4) —
це функщя, яка визначена при Bcix значениях х i мае обмежену змшу
на всш прям!й 1.
1 У книз! В. 1.Гливенка «Интеграл Стильтъееа», Гос^ехиздат, 1936 р. дано
елементарну конструкцию, яка дав змогу надати зм1ст формул! (4) без використання
м!ри.
Справд!, Ft — функщя з обмеженою змшою, отже, вона вим!рна
за Борелем, а тому штеграл (4) !снуе при Bcix х. Дал!,
со
| F (хт) - F (х2) | = | J (Л (Ж с) - F, (х2 - g)) clF2 ('Q | <
•—со
со
< J |Л(х-^)-Л(х2-^)^ (varF2(£)),
ЗВ1ДКИ
V [F] С V [FJ И [^2],
тобто F — функщя з обмеженою змшою.
Теорема 1. Якщо F — згортка функцш з обмеженою змшою Fr f
F2, а g, gi i gi — ix перетворення Фур’е — Стлльтьеса, то
g (ty = gi (М gi W-
Доведения. Нехай F = F1*F2 i
а — х0, хъ ... , хп = b
— деяке розбиття в!др!зка [а, &]. Тод! при кожному X
& п
С e-^xdF (х) = lim у е~Лхь (F (xk) — F (хк^)) =
J max Д*£->0
00 п
= Гт С уе~Л(х^ (FAXJ.-1)-F^x^i-^e-^dF,^
max Axft-»0 j.=j
тобто
у e~iKxdF (х) — j' | У e~iKxdF1 (x)j e~lK^dF2 (g).
а —со а—£
Перейшовши тут до границ! при а -> оо i b -> оо, дютанемо
у e~i}-xdF (х) = у e~iKxdF1(x') у e~i}^dF2CQ,
»—со •—оо —со
тобто
^(Л)=^ (М^2(%).
Теорему -про те, що перетворення Фур’е — Спльтьеса переводить
згортку функщй у множення широко використовують у теорп ймоыр-
ностей (метод характер и стичних функц! й). Я кщо
£ ! т] — дв! лезалежн! випадков! величини, а i F2 — ix функци
розпод!лу, то величин! £ + г] вщповшае функщя розпод!лу
F = T1*F2.
У Teopii ймов!рностей цуже часто розглядають суми незалежних
випадкових доданюв. Перехщ в!д функщй розпод!лу до i'x перетворен-
ня Фур’е — Спльтьеса,— так званих характеристичных функщй —
дае змогу замшити операнда згортки простатою ! зручшшою операць
ею множення.
В прав и 1. Довести, що перетворення Фур’е—Спльтьеса мае властив5сть
единосп: якщо функщя Р неперервна зл1ва, a п перетворення Фуп'е — Спльтьеса —
тотожний нуль, то F (х) = coast.
2. Довести, що операщя згортки функщй з обмеженою змшою комутативна i
асощативна.
§ 8. ПЕРЕТВОРЕННЯ ФУР’Е УЗАГАЛЬНЕНИХ ФУНКЦИИ
Ми вже говорили, що застосування перетворення Фур’е у звичай-
ному розумшш в диференщальних р!вняннях та шших питаниях,
значною м1рою обмежуеться тим, що це перетворення визначене лише
для функшй абсолютно штегровних на вс!й прямш. Застосовшсть
перетворення Фур’е можна ютотно розширити, вв!вши поняття пере-
творення Фур’е для узагальнених функшй. Опишемо основш ще!
та Koi’ побудови.
Розглянемо знову npocrip Soo функщй, як! нескшченно диференщ-
йовш на всш прямш ! спадають на нескшченносп разом з сво!ми по-
х!дними швидше, шж будь-який степшь 1/| (х) | (див. §4, розд. IV).
Вважаючи Soo простором основних функцш, розглянемо вщ-
повщний npocrip узагальнених функщй Sr=-
Означимо тепер у простор! Soo перетворення Фур’е. Для цього зга-
даемо насамперед, що npocrip SM переводиться перетворенням Фур’е
(у’звичайному розумшш) в себе: якщо ф g Soo, то F 1<р 1 g Soo, причому
F е взаемно однозначне вщображення Soo знову на весь npocrip Seo.
Виходячи з цього, введемо таке означения: Перетворенням Фур’е
узагальнено! функцП f g S» називаеться лшшний функщонал g g
g Soo, шр визначаеться формулою
(g, ф) = 2л (/, ф), де ф = F [ф]. (1)
Цю формулу можна переписати й так:
(Ff, ф) = 2л (/, ф) = 2л (/, Л-1ф),
тобто перетворення Фур’е функцюналу f g S« е функцюнал, який
на кожному елемент! ф g Soo набувае значения, що дор!внюе (помно-
женому на 2л) значению вихщного функцюналу / на елемент! ф =
= F~] ф, де F~ — обернене перетворення Фур’е.
Осюльки ф = F [ф] проб!гае весь Soo, коли ф пробшае Soo, то р!в-
н!ст> (1) справд! визначае функцюнал на всьому So=. Лшшшсть ! не-
перервшсть цього функцюналу перев!ряють безпосередиьо.
Серед елемент!в Soo е bci абсолютно штегровш функцп. Для них
Дльки що сформульоване означения перетворення Фур’е збДаеться
!з звичайним. Справд!, якщо f g Soo, Ф g g = F [/] i ф = F fcpj,
то за теоремою Планшереля дютаемо
2л (/, ф) = (g, ф). _ (2)
причому, при задашй f !снуе лише одна, з точшстю до екв!валентност!,
функц!я g, яка задовольняе цю pienicTb при Bcix <р £ SM. За допомогою
вщповщного- граничного переходу неважно показати, що р!вшсть
(2) справджуеться i для будь-яко! / £ (— оо, оо). Отже, перетво-
рення Фур’е узагальиених функшй—це поширення класичного пе-
ретворення на ширший клас об’екпв.
Приклади. 1. Нехай f (х) = с = const. Тод!
2п (/, ф) = 2л J сф (х) dx = 2лсф (0) (ф = F [ф]),
—оо
тобто перетворення Фур’е константа дор!внюе ц!й констант!, помно-
жешй на 2л ! на б-функцпо.
2. Нехай / (х) = eiax. Тод!
2л (/, ф) = 2л j e~lax<p (х) dx = 2л ф (— а),
»—оо
тобто перетворення Фур’е функци е1ах е зсунута б-функц!я б (х -J- а),
помножена на 2л.
3. Нехай f (х) = х2. Тод! з р!вност!
ф'| (X) = — J ;.'2ф (х) e~iKxdx,
—оо
припустивши, що в н!й х = 0, ! помноживши ii' на 2л, д!стаемо
2л (х2, ф (х)) = — 2лф" (0),
тобто перетворення Фур’е функци х2 е друга похщна вщ б-функци,
помножена на — 2л.
Зробимо к!лька заключних зауважень.
Ми означили перетворення Фур’е для узагальиених функшй над
Soo. Але можна було б узяти i будь-який шший основний npocrip, на-
приклад, npocrip К нескшченно диференцшовних фпитних функшй.
Для кожно! функци ф £ К перетворення Фур’е (у звичайному розу-
мшш) icnye i, як можна перев!цити, е шлою анал!тичною функщею
експоненшального зростання. Точшше кажучи, перетворення Фур’е
е лшшний оператор, що переводить npocrip К. у npocrip Z, елементами
якого е щл! аналпичш функцп ф, для кожно! з яких виконуються не-
piBHOcri
|sm(s)|<Ceea|T1 (<7=1, 2, ...),
де т = Im s, a Cq i а— стал!, як! залежать вщ функци ф. Осшльки в
простор! К було введено поняття зб!жност!, то вщображенням F, яке
переводить К в Z, шдукуеться деяке поняття зб!жност! в Z; послщов-
шсть {ф„} збшаеться в Z до ф, якщо сшввщношення ф„ф виконане
!/2+13 4- 1039
для в1’дпов5дних просбраз1в. А вт!м, це поняття зб1жност1 неважно
сформулювати i не користуючись простором К. \
Нехай тепер f — дов1льний елемент з К*. Поставимо йому у В1д-
повщшсть лшшний функцюнал g на Z, припустивши, що
(g, Ф) = 2л (/, Ф), де ф = F [ф}.
Цей функцюнал g назвемо перетворенням Фур’е функцюналу f.
Отже, перетворення Фур’е узагальнено! функци /над основним про-
стором К е узагальнена функщя над Z, тобто над тим простором, в
яке К пепеводиться перетворенням Фур’е (у звичайному розумшш).
Та сама побудова застосовна i для узагальнених функцш над яким-
чебудь шшим простором основних функцш. При цьому щоразу
внникатиме схема яка включае в себе чотирч простори: деякий ви-
хщний npocrip основних функцш, сукупшсть перетворень Фур’е
цих функщй (тобто другий npocrip основних функщй) i два спряжен!
простори.
Ця схема вводиться до двох просторов, якщо за основний npocrip
взяти Soo, осю'льки В1н переводиться перетворенням Фур’е сам у себе.
Поняття перетворзння Фур’е для узагальнених функщй широко
застосовуеться в .теорп диференщальних р!внянь з частинними по-
хщними. Читач може ознайомитися з цими питаниями, наприклад,
в книз! Г. €. Шилова [52].
1 А саме: фп -> 0 в Z, якщо при фшсованих Cq (q = 1, 2, ,..) i а виконуються нер1в-
НОСТ1
I (s) | <С т|--
i фл -> 0 р!вном!рно на скаченному штервал! фйсно! oci.
Р о з д i л IX
Л1Н1ЙН1 1НТЕГРАЛЬН1 Р1ВНЯННЯ
§ 1. ОСНОВН) ОЗНАЧЕННЯ.
ДЕЯК1 ЗАДАЧ), ЩО ЗВОДЯТЬСЯ ДО (НТЕГРАЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ
1. Типи штегральних р!внянь. 1нтегральним р1внянням назива-
еться р!вняння, яке мае невгдому функщю шд знаком штеграла. Та-
ке, наприклад, р!вняння
ь
Ф (s) = J /С(s, t) <р (0 dt + f (s), (1).
де f i К — вшом1 функцп, а ф — шукана. Змшш s i t проб!гають тут
деякий фшсований в!др!зок [а, Ь].
Характерна особливють р!вняння (1) — його лшШшсть: неведо-
ма функшя <р входить до нього лшшно. Ряд задач приводить i допе
лпийних штегральних р!внянь, наприклад, до р!внянь виду
ь
ф (8) = J К (S, о g (ф (о, О dt,
а
де К i g—заданё функцп Однак, надал! обмежимось лшшними piB-
няннями.
Окрем! штегральш р!вняння розглядалися ще на початку минуло-
го столггтя. Так, ще в 1823 р. Абель розглянув р!вняння
S
(0<а<1, /(0) = 0),
J (s — О
о
яке тепер називають його !м’ям. Тут f — задана функшя. а ф — шука-
на. Абель показав, що розв’язок цього р!вняння мае вигляд
I
Однак загальну теор!ю лшшних штегральних р1внянь було побудова-
но лише на меж! X IX i XX стол>ть, в основному в працях Вальтерра,
Фредгольма i Пльберта.
Р1вняння (1) називаеться ргвнянням Фредгольма другого роду (пор.
п. 4, §4, розд, II), а р!вняння
ь
J К(5,0ф(0^ + /(8) = 0 (2;
а
(в якому нев1дома функшя ф входить лише шд знак штеграла) —
р1вилнням Фредгольма першого роду.
Згадане вище р!вняння Абеля стосуеться так званих р1внянь Воль-
терра; загальний вигляд цих р!внянь такий:
jK(s, Оф(0dt = f(s)
а
(р!вняння Вольтерра першого роду), або
Ф (s) = j К (s, 0 ф (0 dt + f (s)
(3)
(4)
а
(р!вняння Вольтерра другого роду). Зрозум!ло, що р!вняння Вольтер-
ра можна розглядати як р!вняння Фредгольма, в якому функшя К
задовольняе умову
К (s, 0 = 0 при t > s.
Однак р!вняння вольтеррового типу
дощльно вщцлити в особливий клас, бо
вони мають ряд ютотних властивостей,
яких немае в дов!льних фредгольмових
р!вняннях.
Якщо в р!вняннях (1), (2) або (3) функшя f дор!внюе нулю, то таке
р!вняння називають однор1дним. У противному раз! р!вняння нази-
вають неоднор1дним.
2. Приклади задач, що зводяться до 1'нтегоальних р!внянь. У на-
ступних параграфах цього розд!лу ми розглянемо основш властивое-
т! лшшних штегральних р!внянь, але спочатку опишемо к!лька за-
дач, що зводяться до таких р!внянь.
1. Р1вновага навантажено'1 струни. Розглянемо струну, тобто пруж-
ну матер!альну нитку довжини I, яка може в!льно згинатися, але
чинить onip розтягу, пропорцшний величин! цього розтягу. Нехай
кшщ струни закршлен! в точках х — 0 i х = I. Тод! в положенш р!в-
новаги струна зб!гаеться з вщр!зком oci х, О
I. Припустимо
тепер, що в точц! х = | до струни прикладено вер-икальну силу Р =
= Р^. Щдд!ею ц!еТ сили струна вщхилиться вщ положения р!вноваги i
набуде, очевидно, форми ламаноТ, зображено! на рис. 23.
Знайдемо величину 6 вщхилення струни в точщ | пщ д!ею сили
Р$, прикладено) в щй точц!. Якщо сила Pg мала пор!вняно з натягом
ненавантажено'! струни То, то натяг назантажено! струни можна, як
i рашше вважати таким, що дор!внюе То. Тод з умови р!вноваги стру-
ни д!ставмо р!вшсть
6
1-1
ЗВЩКИ
То-у + То
я р
Тп1 -
Нехай тепер и (х) — прогин струни в деяк1й точщ х пщ д1ею сили
Pt. Тод1
и. (х) = PtG (х, Е),
де
т , при 0<х<£,
3 цих формул вщразу видно, зокрема, що G (х, F) — G (£, х). Припус-
тимо тепер, що на струну д5е сила, розподшена на шй неперервно,
з густиною р (£). Якщо ця сила мала, то дефсрмащя знову ж залежить
вщ сили лшшно, а форма навантажено! струни описуеться функщею
«(х) = J G (х, g) р (g) dg. (5)
о
Отже, якщо задано навантаження, яке.д!е на струну, то формула (5)
дае змогу знайти форму яко'Г-небудь струни пщ flieio цього наванта-
ження.
Розглянемо тепер обернену задачу: знайти той розподи наванта-
ження р, при якому струна набуде задано! форма и. Ми знайшли для
визначення функцп р за заданою и р!вняння, яке з точшетю до позна-
чень е р!вняння (2), тобто штегральне р1'вняння Фредгольма першо-
го роду
2. В1льн1 i вимушен! коливання струни. Припустимо тепер, що
струна здшенюе яюсь коливання. Нехай и (х, /) — положения в
момент t Tiei точки ..струни, яка мае абсцису х, i нехай р — лшшна
густина струни х. На елемент струни довжини dx flie сила шерци,
яка дор1внюе
52и (х, () . . ,Р, д-и (5, О
------^2—~ Р ^Х, звщки р (g) =--------р.
Пщставивши цей вираз замють р (g) у формулу (5), д!станемо
u(x,/) = -jG(x,g)p-^|^-dg, (6)
о
Припустимо, що струна зд1йснюе гармошчш коливання з цеякою фш-
сованою частотою и I амплитудою и (х), що залежить вщ х. 1накше ка-
жучи, нехай
и (х, t) = и (х) sin at,
Пщставивши цей вираз в (6) i скоротавши обидв! частини piBHOCTi
на sinco^, дютанемо для и таке штегральне р1вняння:
7
и (х) = рсо2 у G (х, и © d^. (7)
О
1 Ми припускаемо, що р = const, хоч це й не’1стотно для дальшого викладу.
Якщо струна зд!йснюе не в!льн! коливання, а вимушен!, п!д д!ею зов-
шшньо'! сили, то, як показують нескладш м!ркування, вщповщне
р1вняння гармошчних коливань струни матиме вигляд
i
и (х) = рю2 J G (х, ё) и (ё) d£,+f (х),
о
тобто буде неодноршним р!внянням Фредгольма другого роду.
3. Зведення диф°ренц1альних р1внянь до штегральних. 1нод! розв’я-
зування диференц!ального р!вняння дощльно зводити до розв’язуван-
ня штегрального. Наприклад, доводячи щнування i един!стьрозв’яз-
ку диференщального р!вняння
У‘ = f У)
з початковою умовою у (х0) = yQ, ми бачили (в розд. II), що його зруч-
но звести до штегрального р!вняння (нел!шйного)
У = У о + J f (В, У) dl
%п
Таке зведення можливе й для диференщальних р!внянь порядку ви-
ще першого. Розглянемо, наприклад, р!вняння другою порядку
/ + Й*) У = °-
Припустивши, що f (х) = р2 — о (х), де р = const, запишемо його так?
У"+ р2У = <У(х)у. (8)
Як в!домо, розв’язок Р1ВНЯННЯ
у" + p*y = g (х}
можна подати у вигляд!
у(х) = cos р (х — а) + — J sinp(x —ё)^(ё)^.
а
Тому знаходження розв’язку р!вняння (8) зводиться до розв’язання
штегрального р!вняння
У W — - ? । б О sin р (х — ё) У @ dl = cos р (х — а).
§ 2. 1НТЕГРАЛЬН1 Р1ВНЯННЯ ФРЕДГОЛЬМА
1. 1нтегральний оператор Фредгольма. У цьому параграф! розгля-
немо р!вняння Фредгольма другого роду, тобто р!вняння виду
ь
^=fK{s,t)^)dt + f(s). (1)
а
Yci функци, як! ми згадуватимемо тут i нижче, взагал! кажучи,
вважатимемо такими, що набувають к омплексних значень.
Щодо функци К, яку називають ядром цього р!вняння, ми припус-
тимо, що вона вим!рна i належить класу L2 на квадрат! а < s, t < b;
b b
- § J | К (s, t) I2 ds dt < oo. (2)
a a
В!льний член f р!вняяня (1) — це деяка задана функщя з Ь2 [а, &],
а <р — невщома функщя з 1а, Ь]. Ядра класу £а називають ядрами
Гиьберта —- Шм1дта. -
Зютавимо р1внянню (1) оператор А, який визначаеться так:
Аф = ф,
Це означае, що
ь
К (s, t) <р (t) dt = ф (s). (3)
а
Усякий оператор виду (3) називаеться оператором Фредгольма.
Якщо ж ядро К (s, t) задовольняе умову (2), то вш називаеться опера-
тором Пльберта—Шм1дта. Зрозуммо, що дослщження р!вняння
(1) зводяться до вивчення властивостей цього оператора.
Теорема 1. Р1вн1сть (3), де К (s,t) — функщя з штегровним квадра-
том, визначае в npocmopi L2 [а, b ] компактний лшШний оператор А,
норма якого задовольняе нер1вн1сть
*
(4)
а а
Доведения. Зауважимо насамперед, щс штеграл
ь
§ | /С (s, t) I2 dt
a
icnye, на шдстав! теореми Фубш! i умови (2), для майже Bcix s. 1накше
кажучи, К (s, t) як функцш вщ t при майже Bcix s належить L2 [а, &].
Осшльки добуток функщй з сумовним квадратом сумовний, то штег-
рал, що стоТть в (3) справа, icnye для майже Bcix s, тобто функщя ф,
визначена майже скр1зь. Покажемо, що ф £ Ь. Н На шдстав! не-
piBHOCTi Кош! — Бучяковського для майже Bcix s маемо
12 6 Ь
|ф(з)Г- '( К(з, ПфЩ^ |K(s, 0|МЬ ( |ф(012^ =
а а а
Ь
= ||ф|Г J\K(s,t)\*dt-
1нтегруючи по s ! замшюючи повторний штеграл вщ | К (s, f) j2 по-
дв!йним, акта немо нер!вшсть
b b ь
||Дф||а = f ^(s)|Ms<krf J l^(s, t)\2dsdt,
а а а
яка дае й штегровшсть | ф (s) |2, ! оценку (4) для норми оператора А.
Залишаеться показати, що оператор А компактний. Нехай (фп| —
повна ортогональна система в Ьг [а, Ь]. Тод!, р5зн! лопарн! добутки
фт (s) ф„ (t) утворюють повну систему в простор! Т2 ([а, b] х [а, £> ]) i,
отже,
со
/C(s, о = 2 (з)Ф„ (t).
m,n=l
Припустимо тепер, щс
л
/Сдг (S, t) = 2 amn$m (Sz фп (t),
m,n=\
i нехай Лд, — оператор, який визначаеться ядром Kn (s, 0* Цей опера-
тор компактний, осюльки вш переводить весь L2 [а, b ] у скшченнови-
м!рний npocrip (в розд. IV ми назвали таю оператори скшченновим!р-
ними). Справд!, якщо ф £ Л2 [а, Ь], то
р N %
ЛдУ = j Kn (s, t) <p (t) dt = У, amn^m (s) ( q> (t) % (t) dt =
a fn,n=l a
N N
ф = 2 (s) 2 amnbn’
• m=l n=l
де
ь
bn=^ ЧШпМ dt,
a
тобто кожний елемент <p £ L2 [а, Я переводиться оператором An в
елемент скшченновим!рного шдпростору, породженого векторами
Фаг. Дал! Kn (s, f) — не часткова сума ряду Фур’е функци
К (s, f), тому
ь ъ
(К(St)—Kn (s, t))2dsdt0 при V->oo.
a a
Звщси, застосувавши ош'нку (4) до оператора А — An, маемо
|| Л — Ля||->0 при At^-oo.
Скориставшись теоремою про те, що границя зб!жно! послщовност!
компактних оператор!в компактна, дктаемо компактшсть оператора
А. Теорему доведено.
Зауваження. 1. У пронес! доведения теореми 1 ми встановили, що всякий
оператор ильберта — Шмщта можна подати як границю (в розумшн! зб!жност! по
норм!) послщовност! ск!нченовим!рних штегралъних оператор!в.
2. Нехай At i А2 — два оператори виду (3) i /С, (s, t), Кг (s, 0 — ядра ик1 м1д
пов!дають Тм. Якщо оператори At i Аг однаков!, тобто Л3(р = Л2о> дли nelx
Ф £ L„ [а, 6], то Кг (s, t) = К2 (s> 0 майже скр!зь. Справд!, якщо
Ь
Лх<р — Л2<р = J (Ki (s, 0 - Кг (s, 0) Ф (0 dt = 0
а
для Bcix ф £ L2 [а, 6], то при майже bcix s £ [а, 6]
ь
J |Kx(s, t)-K2(s, Т)|МТ = О
а
i, отже,
b b ч
У у |/Cx(s, t)-K2(s, t)\2dsdt = 0,
а а
звщки й випливае наше твердження. Отже, якщо ми, як звичайно, не розр!знятимемо
екв1 валентн! м!ж собою сумарн! функцп, то можна сказати, що eidnoeidHictnt м1ж
штегральними операторами i ядрами взаемно однозначна.
Теорема 2. Нехай А — оператор Пльберта— Шладта, який ви-
значаеться ядром К (s, f). Todi спряжений йому оператор Л* визнача-
еться «.спряженим» ядром К (I, s).
хДоведення. Вйкористовуючи теорему ФубЫ, дЯгаемо
ь ь _
ИЛ g) = j {J К (s, 0 / (0 dt\ g И =
a a
b b ____
У J i)t(t)g(s')dtds =
a a
b b ____
У {У К (s, t)g(s) ds^ftt)
a a
dt =
ь ь __________________
У f (0 [y % (s, 0 g (s) ds 1 dt,
a 'a
зв1дки й випливае твердження теореми.
Зокрема, оператор .4 виду (3) самоспряжений в Я [а, Ь], тобто А* =
= А тод! i пльки тодЛ коли К (s, t) = К. (t, s). У випадку, коли роз-
глядають дШсний пльбертовий npocTip (i, отже, Яйсн! ядра) умовою
самоспряженосп е р1вн!сть Н (s, t) = К (t, s).
Зауваження. Ми розглянули штегральш оператори, яю д!ють у простор!
L.I [а, 6]. Однак, як усе сказане вище, так i викладеш нижче результати переносяться
без зм!н на той випадок. коли замкть в!др!зка [а, д] береться будь-який !нший про-
спр з м!рок>.
2. Р!вняння з симетричним ядром. Розглянемо штегральне р!внян-
ня Фредгольма другого роду
Ф (s) = J К (s, t) ф (/) dt + / (s), (5)
а
ядро якого задовольняе умови
b ь
1) J j | Л" (s, i) |2 ds dt<. ЭО,
2) "J /C(s, 0 = Or^-
Tani р1вняння ми називатимемо р1вняннями з симетричним ядром.
На шдстав! теорем 1 i 2 попереднього пункту в!дповщний оператор
Фпедгольма
ь
Лер = j К (s, t) ф (i) dt (6)
а
компактний i самоспряжений. Отже, для нього справедлива теорема
Пльберта — Шм!дта (п. 5, §6, розд. IV). Застосуемо цю теорему для
вщшукання розв’язшв р!вняння (5). Осшльки для нас мають значения
лише кэмпактшеть i самоспряжешсть оператора (6), а не його штег-
ральне зображення, природно писати р!вняння (5) в символ!чн!й
cpopMi
Ф = Лф + f. (7) '
За теоремою Пльберта — Шм!дта для Л icnye така ортонормальна
система власних функшй {ip,J, як! вщповщають ненульовим власним
значениям , що кожний елемент £ з Ь2 запишемо у вигляд;
£ = Ъ ап^п + V, Де А% = 0.
п
Припустимо, що
НШ + Г И/' = 0) (8)
И
i шукатимемо розв’язок ф р!вняння (7) у вигляд!
ф = 2 + ф' Иф' = 0)- (9)
п
Пщставивши розклади (8) i (9) у р!вняння (7), д!станемо
2 + ф' = 2 + 2 Ь,Ап +
п п п
Ця р1вн!сть задовольняеться тод! ! т!льки тод!, коли
Г = Ф'
1, 2,
тобто КОЛИ
f = ф'.
х„=—При%„=^1,
Ьп = 0 при — 1.
Остання piBHicrb дае необхщну i достатню умову розв’язност! р!внян-
ня (7). Координата хп, що в!дпов!дають тим п, для яких = 1, при
цьому дов!льш. Отже, ми дктаемо такий результат:
Теорема 3. Якщо 1 не в власним значениям оператора А, то р1внян-
ня (7) при будь-якому f мае один i тиьки один розв’язок. $кщо ж 1 е
зласне значения оператора А, то р1вняння (7) розе’ язуеться modi i пйль-
ки modi, коли выьний член f ортогональний усгм власним функциям
оператора А, що eidnoeidaiomb власному значению 1. Якщо ця остання
умова виконана. то р1вняння (7) мае нескмченну множину розв’язк1в.
3. Теореми Фредгольма. Випадок вироджених ядер. Ми перейдемо
тепер до розгляду р!внянь Фредгольма другого роду з ядрами, як!
задовольняють умов!
b ь
J J \K(s, iy\2dsdt<ОО
а а
(що забезпечуе компактшсть оператора), але без умови симетри.
Припустимо спочатку, що розглядаеться р!вняння
ь
<P(S) = у/С(з, 0ф(0^ + /(8), (10)
а
ядро якого вироджене, тобто мае вигляд
K(S, o = £P,(s)Q,(a оо
;=i
де Р;, Qi — функци з L2. Оператор з ядром вигляду (li) переводить
усяку функщю ф £ L2 в суму
п £
ХЛМ QiW^Qdt,
тобто в елемент ск!нченновим!рного шдпростору, породженого функ-
щями Р, = 1, 2... п. Зауважимо, щоу вираз! (11) функци Pt Рп
можна вважати такими, що л!н!йно не залежать одна вщ одно!. Справ-
д!, якщо це не так, то зобразивши кожну з функщй Pt як лшшну
комбшащю незалежних, ми дютанемо, що те саме ядро К (s, f) можна
записали у вигляд! суми меншого числа доданк!в вигляду Р,- (s) Q/ (0
так, шо функци Р/ лшшно незалежн!. Аналопчну редукщю можна
вйконати для функцп Q/. Як легко побачити, п!сля цих редукцы ут-
вориться ядро, в якому i Pt i будуть м!ж собою лшшно незалежнй
Отже, розв’яжемо р!вняння (10) з виродженим ядром (И), в якому
функщя РгРп (.як i Qi,..., Qn) лшшно незалежн!. Пщставивши в
р!вняння (10) зам!сть К (s, t) вщповщну суму, дютанемо
п %
Ф(8) = V Pt.(s)C Q£(i)T(0 dt + f(s). (12)
Вв!вши позначення
ь
i № (0 <р (!) di = q{,
а
перепишемо р!вняння (12) у вигляд!
Ф (s) = 2^1 («)+/(*)•
i=i
Пщставивши цей вираз для ф у р!вняння (10), дютанемо
м л Л Г ” 1
2 (s) + f (s> = 2 pi <s) J ® [2 ® + f w]dt + f <s)- (13>
Поклавши
ь ъ
J Qi (!) Pt (!) dt = aih J Qi (/) / (/) di В b{,
a a
запишемо р!вн!сть (13) так:
n п п
2 ?Л(^) = 2 р‘^ 2 a^i + bi .
i==il i=l _/=1
Функцп Pi за припущенням лшшно незалежн!, тому звщси випливае
piBHicTb в!дпов!дних коеф!щент!в:
qt = 2 Cli>qi +b--' /=1,2,..., л. (14)
/=1
Ми д!стали для коеф!ц!ент!в qt систему лш!йних р!внянь. Розв’язав-
ши и, знайдемо функщю
Ф (8) = 2 (s)+f(s).
1=1
Ця функщя задовольняе штегральне р!вняння (10), осюльки вс! ви-
кладки, за допомогою яких ми прийшли вщ р!вняння (10) до системи
(14), можна зробити в зворотному порядку.
Отже, розв’язування штегрального р1вняння з виродженим ядром
вводиться до розв’язування системи (14) лшшних алгебраьчних р1внянь,
яка йому eidnoeidae.
Для систем лшШних р!внянь добре вщом! умови !снування i еди-
ност! розв’язюв.
I. Система лш!йних алгебрашних р!внянь
Тх = у (Т = \\aik\\, х = (хъ ... , х„), у = (ylt .,. , уп})
розв’язна тод! i пльки тод!, коли вектор у ортогональний кожному
розв’язку спряжено! однорщно! системи
Т*г = 0 (Т* = И).
II. Якщо детермшант матриц! Т вщмшний в!д нуля, то р!вняння
Тх = у мае пои будь-якому у один i пльки один розв’язок. Якщо ж
детермшант матриц! Т дор!внюе нулю, то однорщне р!вняння Тх —
= 0 мае ненульов! розв’язки.
III. Осшльки матриця Т i спряжена матрица Т* мають той самий
ранг, то однорщн! системи Тх — 0 i Т*г — 0 мають ге саме число ль
н!йно незалежних розв’язшв.
На шдстав! зв’язку, що, як ми з’ясували, !снуе м!ж штегральними
р!вняннями з виродженими ядрами i системами лшшних алгебраТчних
р!внянь, ц! твердження можна розглядати як теореми, що стосуються
розв’язшв вироджених штегральних р!внянь. В наступному пункт!
ми покажемо, що по сут!, ц! сам! теореми справджуються !для р!внянь
з дов!льними (невиродженими) ядрами. Однак, осшльки для не-
вироджених штегральних оператор 1'в так! поняття, як ранг матриц! i
детермшант не мають смислу, то вщповщш теореми треба будесформу-
лювати так, шоб цих понять у них не було
4. Теореми Фредгольма для р!вкянь з невиродженими ядрами.
Знову розглядатимемо р!вняння
ь
Ф (s) = J к (s, t) ф (/) dt + f (s), (15)
а
але тепер на його ядро накладатимемо лише умову Пльберта —
Шм!дта
6 ь
(j | К (s, t) |2 ds di < oo
a a
(що забезпечуе компактнють оператора), але не вважатимемо, що це
ядро вироджене i симетричне. Нас щкавитимуть умови розв’язност!
р!вняння (15) i властивост! його розв’язшв. При цьому штатною для
нас буде лише властившть компактност! оператора, який в!дпов!дае
р!внянню (15), а не його штегральне зображення. Тому надал! вс! м!рку-
вання вестимемо для операторного р!вняння
\ ф = Лф + /, (16)
вважаючи, що Л — дов!льний компактний оператор, заданий у пль-
бертовому простор! И.
Припустивши, що Т — /—А (де I — одиничний оператор), р!в-
няння (16) запишемо у вигляд!
ТФ = /. (17)
Поряд з цим р!внянням розглядатимемо однорщне р!вняння
ТФо = 0 (18)
1 спряжен! р!вняння
7’*ф = £, (19)
Г*ф0 = 0 ' (20)
(Т* — I — Л*). Зв’язок м!ж властивостями розв’язюв цих чотирьох
р!внянь встановлюеться такими теоремами Фредгольма:
I. Неодяорёдне рёвняння Тер — f розв’язне при mux ё тёльки тих f,
якё ортогональнё кожному розв’язку спряженого однородного ровняння
T*i|;0 = 0.
II. {альтернатива Фредгольма). Або рёвняння Тер = f мае при будь-
якому f £ Н один ё тёльки один розв’язок, або однорёдне рёвняння
7\р0 = 0 мае ненульовий розв’язок.
III. Однорёднё рёвняння (18) ё (20) мають те саме, ё притому скён-
ченне, число лёнёйно незалежних розв’язкёв.
Перш шж приступити до доведения цих теорем, зауважимо, що
вони справедлив! (на шдстав! сказаного в п. 2) для р!внянь з симетрич-
ним ядром. При цьому внаслщок зб!гання A i А* теорема III стаетри-
в!альною
Кр!м того, якщо А. —- вироджений штегральний оператор, то в!д-
повщш р!вняння зводяться, як ми бачили вище, до систем лшшних
алгебрагчних р!внянь; при цьому теореми Фредгольма автоматично
переходить у теореми про л!н!йн! системи, наведен! в-попередньому
пункт!.
Осюльки всякий компактний оператор — це границя зб!жно! по-
слщовност’ вицоджених, тобто скшченновим!рних, оператор!в, ми мог-
ли б довести теорему Фредгольма за допомогою з!дпов!дного гранично-
го переходу (вщ вироджених ядер до невироджених). Сднак, ми дове-
демо ц! ,геореми шшим способом, не пов’язаним з розглядом виродже-
них р!впянь.
Доведения теорем Фредгольма. Нагадаемо, «що
Кег В е сукупшсть нул!в л!шйного неперервного оператора В, тобто
множина Bcix тих х £ Н, для яких Вх = 0. Зрозум!ло, що Кег В —
завюди замкнутий лшшний npocrip. Нехай Im В — область значень
оператора В, табто сукупшсть вектоо!в виду у = Вх. Множина Im В —
також л’шйна многостатшсть, однак, взагал! кажучи, не замкнена
Покажемо тепер, що для оператора Т = I — А мае мюцезамкнешеть
вщповщно! многостатност!.
Лема 1. Многостатнёсть Im Т замкнена.
Доведения Нехай уп f Im Т i уп-+ у. За припущенням,
юнують так! вектори хп € Н, що
Уп = Тхп = хп — Ахп. (21)
Можна вважати, що вектори хп ортогональн! до Ker Г, вщшмаючи,
в раз! потреби, вщ хп його проекц!ю на Ker Т. Дал!, можна вважати,
що || х„ || обмежен! в сукупност!, бо в противному раз!, переходячи
до послщовност!, ми мали б || х„ || —> оо !, под!ливши на || хп ]],
д!стали б з (21), що ------А — (|---->- 0. Але, осюльки оператор А
компактний, то, знову переходячи до послщовност!, можна вважа
ти послщовшсть, А— зб!жною. Тому й збшатиметься, на-
( II ХП II I II Хп II
приклад, до вектора z G Н. Зрозум!ло, що || г[| = I ! Тг = 0, тоб-
то г g Ker Т. Однак ми вважаемо вектори хп ортогональными до
Kei Т !, отже, вектор г повинен бути ортогональный до Кег Т. Це про-
тир!ччя i дае змогу вважати, що|| хп || обмежеш всукупност!. Водночас
у цьому випадку послщовшсть {Лхп} можна вважати зб!жною, а тод!,
як це випливае з (21), буде зб!жною i послщовшсть {%„}. Якщо через х
позначити границю ц!е! послщовност!, то з (21) випливае, що у =
= Тх. Лему доведено.
Лема 2. Проспйр И— прямо ортогональна сума замкнених nidnpo-
crnopie Ker Т i Im Г*, тобто
Кег Т ф Im Т* = Н, (22)
i, иналойчно,
Ker Т* © Im Т = Н. (23)
Доведения. Ми вже знаемо, що обидва шдпростори, як!
фйурують у л!в!й частин! р!вност! (22), замкнет. Кр!м того, вони
ортогональю, бо якщо h С Ker Т, то (/г, Т*х) = (Th, х) = 0 для вс!х
х £ Н. Залишаеться довести, що жодний ненульовий вектор не може
бути одночасно ортогональным до Ker Т i Im Т*. Але якщо вектор г
ортогональный до ImT*, то для будь-якого х (И маемо (Тг, х) —
— (г, Т*х) = 0, тобто г g Ker Т. Лему доведено.
3 леми 2 вщразу випливае перша теорема Фредгольма. Справд!,
\ I Кег тод! i т!лькитод!, коли /g Im Т, тобто, якщо !снуе таке q>,
що 7\р = f.
Дал!, для кожного шлого k покладемо Нк = Im (Т\ так що,
зокрема, Н1 = Im Т. Зрозумшо, що шдпростори Н“ утворюють лан-
цюжок вкладених п!дпростор!в
Н по Н1 о Л2 до ... , (24)
а на пщстав! леми 1 вс! ц! шдпростори замкнеш. При цьому Т (Нк) =
= Hk+i.
Лема 3.1снувтаке j, що Нк+1 = Нк при ecix k j.
Доведения. Якщо такого j не icnye, то, очевидно, вс! Н
pi3Hi, У цьому раз! можна побудувати таку ортонормовану послщов-
шсть {хА}, що xk £ Нк i ортогональне Нк+\ Нехай I > k. Тод!
Axt — Axk = — xk + (xt + Txk — Txt)
i, отже, || Ax.—Axft||>l, бо xt + Txk—TxtQHk+i. Тому з
послщовност! {Axk} не можна вибрати зб!жно! пщпосл.довност!,
що, однак, суперечить компактност! оператора А. Тим самим лему
доведено.
Лема 4. Якщо Ker Т = ,0}, то Im Т — Н.
Доведения. Якщо Ker Т = {0}, то оператор Т взаемно од-
нозначный i, отже, якщо при цьому Im Т И, то ланцюжок (24)
складаеться з р!зних п!дпростор!в, а це суперечить лем! 3. Тому Im Т =>
= Н» Аналог!чно Im Т* = Н, якщо Ker Т* = {0},
Лема 5. Якщо Im Т — Н, mo Ker Т = {0}.
Доведения, Осшльки Im Т — И, то за лемою 2 Ker Т* ==
= {□}, але тод! за лемою 4 Im Т* = Н, отже, за лемою 2 Ker Т =
= м-
Сукупшсть лем 4 i 5 i становить змют друю1 теореми (альтернати-
ви) Фредгольма. Тим самим цю теорему доведено.
Доведемо, нарешт!, третю теорему Фредгольма.
Припустимо, що пщпроспр Ker Т несшнченновим!рний. Тод! в
цьому шдпростор! знайдеться нескшченно ортонормована система
{xk}. При цьому Axk — xk !, отже, при k Ф I маемо || Axk—
— Ахг || = ]/2. Але тод! з послщовност! {Axk} не можна вибрати
зб1жны пщпослщовност!, що суперечить компактност! оператора А.
Нехай тепер р— розм!ршсть Ker Т i v—розм!ршсть Ker Т*.
Припустимо, що р < v. Нехай {фъ .... фи) — ортонормований базис в
Ker Т i {тЦ, ..., ipv} — ортонормований базис в Ker Т*.
Припустимо, що
и
Sx = Тх + J] (х, фУ) ф/.
/=1
Осшльки оператор S утворюегься з оператора Т додаванням скш-
ченновим!рного оператора, то вс! результати, доведен! вище для опе-
ратора Т, будуть в!рними i для оператора S,
Покажемо, що р!вн!сть Sx = 0 мае лише трив!альний розв’язок.
Справд!, припустимо, що
Тх + 2 (|ф/)Е=0. (25)
/=1
Осшльки вектори ф, на пщстав! леми 2 ортогональю до вс!хвектор!в
вигляду Тх, то з (25) випливае, що
Тх = 0
i
(х, фу) = 0 при 1 < / < р.
Тому, з одного боку, вектор х повинен бути л!н!йною комбшащею
вектор!в ф/, а з другого,— ортогональний до них. Отже, х = 0. Таким
чином, р!вняння Sx — 0 мае лише трив!альний розв’язок. Але тод!
за другою теоремою icnye такий вектор у, що
и
ту + 2 (^’ <₽/) 'Ф/ = %+ь
/=1
Помноживши цю р!вн{сть скалярно на фц+i, ми дютанемо справа 1,
а зл!ва 0, бо Ту g Im Т, a Im Т' I Ker Т*. Це протир!ччя виникло з
припущення, що р < v. Тому р v. Замшюючи тепер оператор Т
на Т*, ми д!станемо р < v i, отже, р = v. Теорему III доведено.
Зауваження. 1. У теоремах Фредгольма, по суть йдеться про оборотшсть
оператора А — I i ni теореми сзначають, що X = 1 — або регулярна точка для А,
,або власне значения скшченно! кратност!. Зрозуммо, все, що стверджуеться в цих
теоремах, буде справедливым ! для оператор!в А — U, якщо Л. =£ 0. Тому всяка eid-
м1нна eid 0 точка спектра компактного оператора в його власним значениям скшчен-
но! кратности,. KpiM того, ми знаемо, що множина таких власних значень не б1лып
як зл1ченна. До реч!, нагадаемо, що точка 0 з а в ж д и належить спектру компакт-
ного оператора в нескшченновим!рному простор!, але не обов’язково взагал! кажучи,
буде власним значениям. Компакты’ онератори, для яких 0 е единою точкою спектра,
називаються (абстрактными) операторами Вольтерра.
2. Ми довели теореми Фредгольма для ревняння виду ф = Аф Д- f, де Д — ком-
пактний оператор у пльбертовому простор!. Ц! теореми можна перенести без ictot-
них зм1н i на випадок довшьного банахового простору Е. Зрозуммо, що при цьому
спряжене р!вняння т|з = 4*ф + g буде р!внянням у простор! Е*, умову ортого-
нальност! (f, 'KJ — 0 треба розумки як перетворення в нуль на елемент’ f £ Е кож-
ного функцюналу з шдпростору Ker Т* с Е* розв’языв р!вняння Т* ф0 = 0 i
т. д. Теореми Фредгольма для шве янь у банаховому простор! викладеш, наприклад,
у книз! Л. А. Люстерника i В. I. Соболева «Елементи функшонального
аналЁзу».
5. Р1вчяння Вольтерра. Р1внянням Волыперра (другого роду)
називаеться штегральне р!вняння
Ф (s) = j К (s, I) <р (/) dt + / (s), (26)
а
де К (s, f) — обмежена вим!рна функшя: [ К (s, t) | < М. Осюльки
це р!вняння можна розглядати як окремий випадок р!вняння Фред-
гольма (з ядром, що дор!внюе нулю при t > s), то теореми Фредголь-
ма справедлив! i для р!вняння (26). Однак для р!вняння Вольтерра ui
теореми можна уточнити так
Р1вняння Вольтерра (26) при будь-як1й функци f б Ь2 мае один i
пйльки один розв’язок.
Справд!, досл!вно повторюючи м!ркування п. 4, §4, розд. II, ми
побачимо, що деякий степшь оператора
Д<р = J /С (s, t) ф (f) dt
а
е стискаючим оператором i, отже, однорщне ревняння мае единий
(трив!альний) розв’язок. Це твердження випливае звщси на пщстав!
теорем Фредгольма.
В п р а в а. Нехай на в!др!зку задано штегральне р!вняння Фредгольма другого
пяду з неперервним ядром. Довести для такого р!вняння теореми Фредгольма в npoc-
mopi неперервних функцШ. При цьому роль «спряженого р!вняння» в!д!грае !нтегра« ь-
не р!вняння з транспоьованим ядром, а ортогональн!сть розум!ють у розумшш L2.
6. 1нтегральн! р!вняння першого роду, Абстрактним р1внянням
Фредгельма першого роду називаеться р!вняння виду
| (27)
тобто, р!вняння, яке мае в соб! невщому функщю ф лише пщ знаком
компактного оператора.
Розв’язування такого рЗвняння — це задача, взагал! кажучи,
складшша, шж розв’язування р!вняння другого роду, i р!вняння
(27) не може мати розв’язюв при б у д ь - я к i й прав!й частин!.
Як найпростппий приклад розглянемо спочатку р!вняння
а
тобто р!вНЯННЯ з ядром
W)=(1 "Р” '<’
( 0 при t>s.
Воно мае очевидний розв’язок <р (s) = f (s), якщо f абсолютно неперерв-
на i п похщна належить L2, i воно нерозв’язне в противному раз!.
Покажемо, що ! в загальному випадку р!вняння (27) не може бути
розв’язне при довольному f Q Н. Справд!, юнування розв’язку р!в-
няння Аф = / при будь-якому f £ Н означало б, що цей оператор
вщображае Н знову на весь Н. Доведемо, що це неможливо. Весь Н
можна зобразити як суму зл!ченного числа куль Sn (наприклад, куль
рад!уса 1, 2, п, з центром в нул!). Кожна з цих куль переводиться
компактним оператором А у компактну множину. Отже, АН е сума
зл1ченного числа компакпв. Але в Н будь-який компакт н!де нещ!ль-
ний, водночас Н, як i будь-який повний метричний npocrip, не можна
зобразити як суму зл!ченного числа нще не щ!льних множин. Таким
чином, АН Ф Н; шакше кажучи, який би не був компактний опера-
тор А в Н,-р1вняння Аф — f не може бути розв’язне при ecix f £ Н.
1нший суттевий момент полягае в тому, що оператор, обернений ком-
пактному, не обмежений. Тому, якщо i f2 — два близью м!ж собою
елементи з Н i обидва р!вняння
Аф! = flt Дф2 = /2
рОЗВ’яЗШ, ТО ВЩПОВЩШ ООЗВ’яЗКИ ф! = А-1/! I ф2 = А“72 можуть
значно вщр!знятись один вщ одного. 1накше кажучи, як завгодно
мала похибка у вольному член! р!вняння може призвести до як завгод-
но велико'! помилки в розв’язку. Задач!, в яких мала змша вихщних
даних приводить до мало! зм!ни розв’язку (цю «мализну» в р!зних зада-
чах можна розум!ти по-р!зному), називаються коректними. Розв’я-
зування штегрального р!вняння першого роду (на вщмшу в!д р!внян-
ня другого роду) — некоректна задача. Останшм часом р!зн! некорект-
ш задач! i методи !х регуляризац!! (тобто зведення !х до задач!, в тому
чи шшому розумшш коректних) дуже розвинулись. Однак виклад цих
питань виходить за меж! ще! книги.
§ 3. 1НТЕГГАЛЬН1 Р1ВНЯННЯ, ЩО МАЮТЬ ПАРАМЕТР.
МЕТОД ФРЕДГОЛЬМА
1. Спектр компактного оператора в Н. Розглядатимемо р!вняння
Ф = ХАф + /,
або шакше
(Z —ЛА) Ф = /,
(1)
де Л — компактний оператор в пльбертовому простор i Н, а Л — чис-
ловий параметр.
На пщстав! альтернативи Фредгольма можлив.1 два i т!льки два
взаемовиключн! випадки:
1. Р1вняння (1) мае при заданому К один i пльки один розв’язок для
кожного f С Н.
2. Однорщне р!вняння <р = ХЛф мае ненульовий розв’язок.
У першому випадку оператор 7 — М вщображае, ! притому вза-
емно однозначно, Н на весь Н. Звщси випливае юнування обмеженого
эберненого оператора (7 — 2.ЛЦ1. Це равносильно тому, що оператор
(А — 4-Л визначений на всьому Н ! обмежений; шакше кажучи,
\ А/ /
в цьому випадку 1А не належить спектру оператора А.
Нехай тепер мае м!сце другий випадок, тобто icnye такий вщмшний
вщ нуля елемент <p^ G Я, що
= U(Pv аб° Л(Ц = ЦТ
тод! 1/А, е власне значения оператора А.
Ми дютаемо такий результат: кожне в1дм1нне eid нуля число ц =
= 1/А в власним значениям компактного оператора А або регулярне.
1накше кажучи, у компактного оператора або зовам немае неперерв-
ного спектра, або в!н складаеться з одно! точки р, = 0.
Об’еднавши пльки що сказане з теоремою 4, § 6, розд. IV, ми д!-
стаемо такий опис спектра компактного оператора в Я. Спектр будь-
якого компактного оператора А в Я складаеться з скшченного або
зл’ченного числа вщмшних вщ нуля власних значень рц, р2,..., р,„, ...,
кожне з яких мае скшченну кратшсть, ! точки нуль Ч Точка нуль —
едина можлива гранична точка для послщовност! {цп}. Сама точка
ц=0 може не бути власним значениям скшченно! чи нескшченно! крат-
ност!, а можливо й точкою множини власних значень. Як було показа-
но в п. 5, § 2 для р!вняння
Ф = ^Вф + /,
де В — штегральний оператор вольтеррового типу, завжди справд-
жуеться перший випадок альтернативи Фредгольма (розв’язшсть
при будь-якому f £ L2). 1накше кажучи, спектр штегрального операто-
ра типу Вольтерра складаеться з одше! точки ц — 0. Разом з тим в
кшц! п. 4, § 2 ми назвали абстоактним оператором Вольтерра компакт-
ний оператор, спектр якого звсдиться до точки 0. Тому можна сказа-
ти, що штегральний оператор Вольтерра е й абстрактним оператором
Вольтерра, i вся ця термшолопя виправдовуе себе.
2. Знаходження розв’язку у вигляд! ряду за степенями %, Детерми-
нанта Фредгольма. Формально розв’язок р!вняння
__________ (7 — М) ф = /
1 р. = 0 обов’язково належить спектру оператора А, осюльки Л-1 не може бути
обмежений в Н.
можна записати у вигляд!
Ф = (7-АЛ)“У. (2)
Ця формула справд! визначае розв’язок, якщо || КА || < 1, тобто
| X | < “рГр осюльки в цьому раз! оператор .(7—КА)~1 !снуе,
визначений на всьому Н ! обмежений (див. п.7, § 5, розд. IV). При цьо-
му оператор (7 — АЛ)-1 можна подати як суму степеневого ряду
(7_ЛЛ)-1 = 7 + %Л + ?Л42+ ... +ГЛ"+
зб!жшсть якого (по норм!) забезпечуеться умовою |^1<’ цдц Отже
розв’язок (2) нашого р!вняння (1) можна записати так:
Ф = /+АЛ/ + K2A2f + ... +ГЛ"/+ ••• (3)
Цей самий результат знайдемо, якщо шукати розв’язок р!вняння (1)
у вигляд! степеневого ряду
= Фо + ' + = ^"фп + • •
(де фп вщ К вже не залежить). Поставивши цей ряд зам!сть ф у праву i
л!ву частини р!вняння ф = АЛф + f i прир!внявши пот!м коефшден-
ти при однакових степенях К в обох частиках р!вност!, дютанемо
Фо = А Ф1 = Af, ... , ф„ = Лфп_! = Anf, ... ,
тобто ряд (3).
Покажемо, що коли Л — штегральний оператор Пльберта — Шм!д-
та, тобто оператор, який визначаеться квадратично штегровним яд-
ром К (s, 7), то оператор (7 — ХЛ)-1 при досить малих значениях К
можна записати як суму 7 + АГ (А) одиничного оператора 7 i деякого
штегрального оператора АГ (А) Пльберта — Шмщта з квадратично
штегрованим ядром, що залежить вщ параметра А. З’ясуемо спочатку,
як записуються ядра оператор!в Л2, Л3Л т. д. Розглянемо для цього
загальшше питания: нехай дано два штегральш оператори
ь ь
Лф = j 7< (s, 7) ф (7) dt, Вц> = j Q (s, 7) ф (7) dt,
а а
де
ь ь ь ь
У 17< (s, t) |2 ds dt — k2 < oo, j J | Q (s, 7) \2dsdt = q2 < oo.
a a a a
Знайдемо ядро оператора AB, Маемо
i- b
ABq = у J7C (s, и) у Q (u, 7) Ф (7) dt\ du =
a a
b b
»= у |y 7< (s, u) Q (u, t) du' ф (7) dt.
a a
Можлив1сть зм1'ни тут порядку штегрування випливае з теореми Фу-
б1ш, осшльки пщштегральна функщя
К (s, и) Q (и, f) <р (t)
сумовна по сукупност! змшних и i t як добуток двох функщй
К (s, «)<р(0 i Q (и, t),
квадрат кожно!' з яких сумовний,
Припустимо, що
ь
A? (s, t) = у к (S, Q (и, /) du; (4)
п
на пщстав! нер!вност1 Komi — Буняковського маемо
j ь
| R (s, /) |2 < j | К. (s, и) |2 du у | Q (и, t) |2 du,
а а
звщки
ь ь
У У |/?(s, t)\*dsdt^&q2.
а а
Отже, добуток двох штегральних оператор!в типу Пльберта — Шмщ-
та е оператор того ж типу, з ядром, що визначаеться формулою (4),
Зокрема, поклавши А = В, дктаемо, що Л2 е штегральний оператор
з ядром
Т<2 (s, t) = у К (s, и) К (и, t) du,
а
яке задовольняе умову
Ь Ь г ь Ь
J У I ^2 (S. 012 dsdt < J у IК (s, t) I2 dsdt\ = /г4,
a a La a J
звщки ||Л2||< /г2, де
b ь
а а
Аналогично дктаемо, що кожний з операторie Л" визначаеться
ядром
ь
Кп (8> 0 = У Is- м) А" (и, t) du (п = 2, 3, ...),
а
яке задовольняе умову
b ь
J J .l'KnM \2d3dt^k2n. (б)
а b
У | /С (s, t) |2 ds dt.
Ядра Кп (s, f) називаються 1терированими ядрами.
При | X | < 1/k ряд
K(s,t) + Ms(s, t)+ ••• +r-1K„(s, 0-t- •••
зб!гаеться внаслщок оцшки (5) в простор! L2 (!а b] X. [а, 6])дояко!сь
функци Г (s, t\ X), квадрат яко! сумуемо по s i t при кожному | К | <
< \/k. 1нтегральний оператор Г (X), для якого функция Г (s, t; X) е
ядром — це сума зб!жного ряду
А + ХЛ2 + • + Х^’Л" + • • • (6)
компактних оператор!в !, отже, в!н компактний. Домноживши цю суму
на X i додавши до не! одиничний оператор 7, ми й дютанемо оператор
(7 — ХЛ)-1. Отже, справд!, при | X | < l/k оператор (7 — ХЛ)~! е сума
единичного оператора I ! компактного оператора ХГ(Х) з ядром
ХГ(з, t-, X) = 2 ^>n(s- О-
П=1
Умова | X | <_ Mk достатня для зб!жност! ряду (6), але зовс!м не
необхщна. У деяких випадках цей ряд може бути зб1жним нав!ть при
Bcix значениях X. Наприклад, якщо Л — оператор вольтеррового ти-
пу з ядром, яке задовольняе умову
IK(s,
то, лк показуе прямий шдрахунок, для штегревних ядер Кп (s, t)
справедлива ощнка:
1^(5, 01 <
Мп (Ь — а)п~1
(п - 1)!
звщки випливае зб1'жшсть ряду (6) при будь якому X.
Однак, взагал! кажучи, степеневий ряд (6) мае деякий скшченний
рад!ус зб!жностй Водночас р!вняння <р = ХЛ<р + f мае розв’язок
при Bcix X, кр!м скшченного або зл!ченного числа значень, саме таких,
що 1/Х евласне значения оператора А. Фредгольм показав, що Для ш-
тегрального оператора Л, який визначаеться обмеженшм i
неперервним ядром К (s, /), розв’язок р!вняння <р = ХЛ <р 4-
+ f можна знайти так. Введемо позначення • ,
, , (s^ ti) .,. Т’С (slt tn)
К I *1 • • • _
K(sn, 0) ... 7<(s„,/„)
i визначимо функци D (X) i D (s,. Z; X), як! називаються вщповщно де-
терминантом Фредгольма I м1нором Фредгольма, формулами:
D (X) = 1 - X С к R + А у J К [I1 Ч d^dl2 + ...
а \?1/ a a Vfel Ь2/
• •«+(-nn4rJ ••• У7< I1 Г И dL+ * (7)
а а \Ъ1 • • • бп/
D(s, t- k(S Ц^1 + _С ( КIs |\Ж-
w aJ v w 2 i i v Si w
- Ь & [ i— \
... +(-1)"-Ы ... | й 4 ’• 4^...^„+ ... (8)
i a V Bl • • > Bn/
Тод! для штегрального р!вняння
q> (s) = A j К (s, f) cp (0 dt + f (s)
a
резольвентне ядро подаеться формулою
г> / v 1 \ a £(«./; А)
Г (s, /;%) = %-
1 розв’язок записуеться у вигляд!
ь
Ф (S) = f (S) + X jf (t) dt (9)
a
для bcix значень X, таких, що 1/X не е власне значения штегрального
оператораЛ, яке вщповщае ядру К (s, t). ПрицьомуО (X) ID (s, t,K) —
це ц!лганал!тичн! функци параметра X i D (X) = 0 тод! !т!льки тод!,
коли 1Д е власне значения штегрального оператора А. Як показав у
1921 р. Т. Карлеман, формули (7), (8) i (9), назеден! Фредгольмом у
припущенн! неперерзност! ядра К. (s, t), справджуються ! для будь-
якого ядра з !нтегр.овним квадратом. Ми не наводити-
мемо тут виведення формули (9) i формул (7), (8) Я
1 Див. Т. С а г 1 е m a n, Zur Theorie der lntegral|leichungen, Math. Zeitschr.
9 (1921), 196—217, а також F. S m i t n i e s, The Fredholm theory of integral equa-
tions, Duke Math. Journal, 8 (1941), 107—130.
Виведення формул (7), (8) i (9) див у книгах [35] i [46].
Р о з д i л X
ЕЛЕМЕНТИ ДИФЕРЕНЦ1АЛЫ-ЮГО ЧИСЛЕННА
В Л1Н1ИНИХ ПРОСТОРАХ
У питаниях функцюнального анал!зу, як! ми вивчали в попередн!х
розд!лах, основну роль вщгравали поняття лшшного функцюналу
i лшШного оператора. Однак деяк! задач!, що виникають у функцю-
нальному анал!з!, мають ютотно нелшшний характер, для ix роз-
в’язання необхщно розвивати поряд з «лш!йним» i «нелш!йний»функ-
цюнальний анал!з, тобто вивчати нелшшш функцюнали ! нелшшш
оператори в нескшченновим!рних просторах. До нел!шйного функ-
цюнального анализу належить, по сут1, така класична галузь матема-
тики, як вар!ац!йне числения, основи якого були закладен! ще в XVII—
XVIII ст. у працях Бернуллц Ейлера, Лежандра. Однак у щлому
нелшшний функцюнальиий анал1’з — це пор!вняно нова область ма-
тематики, поки ще далека вщ свого закшчення. У цьому роздш ми
викладемо деяк! початков! поняття, що належать до нел!шйного функ-
цюнального анал!зу, в основному до теори диференшювання i деяк!
застосувачня цих понять.
§ 1. ДИФЕРЕНЦ1ЮВАННЯ В Л1Н1ИНИХ ПРОСТОРАХ
1. Сильний диференц!ал (диференщал Фреше). Нехай X ! У — два
нормоваш простори F — вщображення, яке д!е з X в У i визначене
на деяшй в!дкрит!й пщмножин! О простору X. Ми назвемо це вщобра-
ження диференщйовним у данш точц! х £ О, якщо !снуе такий обмеже-
ний лшшний оператор Lx g ££ (X, У), що
Fix-'-h)— F(x) = Lxh.~Fa(x, h), (1)
де
при ЦАЦ-^О. (2)
Вираз Lxh (е очевидно, при кожному h. £ X елемент простору У) на-
зивають сильном диференщалом (або диференщалом Фреше) вщобра-
ження F у точц! х. Сам л!шйний оператор Lx називаеться походною,
точшше, сильною пох1дною вщображення F у точц! х. Позначатимемо
цю похщну символом F' (х).
Якщо вщображення F диференцшовне в точц! х, то вщповщна по-
хщна визначаеться единим способом. Справд!, нехай
F (х + h) — F (х) — L(xh ф- (х, h) = L^h + а2 (х, /г);
тод!
i на шдстав! (2)
L?h — Lf'h — а2 (х, h) — аг (х, h)
\\I$h-L&h\\
И II
•>0 при ||й||->0.
(3)
Але якщо L(x ф Lx\ то для якого-неб^дь h
\]^h-L^h\\
IP 11
Але тод! i при всякому О
= % 0.
Il4'> (s/т) — Z£2> (s/i) ||
IP' ||
=А,
i сшввщношення (3) неможливе.
Установимо тепер деяк! елементарн! факта, як! безпосередньо
випливають з означения пох!дно’1
1. Якщо F (х) — у0 = const, mo F' (х) == 0 (тобто F’ (х) у цьому
випадку е нулевий оператор).
2. Пох1дна неперервного лшшного в1добразкення L е саме це вгдобра-
ження.
Спразд!, за означениям маемо
L (х + й) — L (х) = L (Ji).
Трохи менш очевидний такий важливий результат:
3. Шохлдна складно! функци). Нехай X, Y, Z — три нормоваш
простори, U (х0) — ок1л точки х0 £ X, F — неперервне в1дображення
цього околу в Y, у0 = F (х0), V (у0) — ок1л точки у0 Q Y i G— непе-
рервне вьдображення цього околу в Z. Todi, якщо в1дображення F диене
ренщйовне в точщ х0, a G диференщйовне в точщ у0, то в1дображення
Н — CF (яке визначене i неперервне в деякому окол! точки х0) ди-
ференщйовне в точщ х0 I
И' (х0) = Gr (у0) F' (х0). (4)
Справд!, на шдстав! зроблених припущень * 1
F (х0 + ?) = F (х0) + F’ (х0) | + oj (£)
G (у0 + п) = G (йо) + G' (Уо) П + °2 (П)-
Але F' (х0) i G' (у0) обмежеш л!н!йн! оператори. Тому
Н (х0 + g) = G (у0 + F’ (х0) + 01 = G (у0) + G' (у0) (F' (х0) | +
+ 01 ©) + о2 (F' (х0) g + 01 Д = G (г/0) + G' (у0) F' (х0) | + оа (g).
1 Тут i нижие вирази виду o(g) означають величини (з в!дпов1дного нормованого
простору, або числов!), яю задовольняють умову
0 при II g 11^0.
Якщо F, G 1 Н — числов! функщ’!, то формула (4) перетворюеться у
вщоме правило дифеоенщювання складно! функци:
4. Нехай FIG — два неперервн.1 в1дображення, як1 диоть з X в Y.
Якщо F i G диференщйовнл в точц1 ха, то й в1дображення F + G i aF
(а — число) також диференщйовш в цш точщ, ^'причому
(F 4 G)' (х0) = F'- (х0) + G’ (х0) (5)
i (aF)1 (х0) = aF’ (хй). (6)
Справд!, з визначення суми оператор!в i добутку оператора на число
вщразу дютаемо, що
(F 4- G) (х0 Щ h) = F (х0 -j- h) -|r G (x0 -4- h) =
== F (x0) 4 G (x0) 4- F' (x0) h Щ C (xg) /i-J-O], (h)
i
aF (x0 4-/1) = aF (x0) 4- aF! (x0) h 4- o2 (h),
ЗВЩКИ ВИПЛИВЭЮТЬ piBHOCTi (b) i (6),
2. Слабкий диференщал (диференщал Гато). Нехай знову F е вщоб-
раження, яке д!е з X в Y. Слабким диференщалом, або диференщалом
Гато, вщображення F у точщ х (при прирост! /i) називаеться границя
DF (х, h)^^F(x^ th) |(=о = lim + ,
де зб!жн!сть розум!емо як зб!жн!сть по норм! в простор! Y.
Слабкий диференц!ал DF (х, h) може й не бути л!н!йним по h.
Якщо ж така лш!йн!сть мае м!сце, тобто якщо
DF (х, h) =5 Fc (х) h,
де Fo (х) — обмежений л!н!йний оператор, то цей оператор назива-
еться елабкою пох1дною (або пхшдною Гато).
Зауважимо, що для слабких похщних теорема про диференщю-
вацня складно! функци, взагал! кажучи, неправильна. (Навед!ть
приклад!)
3. Формула скшченних приросте. Нехай О — вщкрита множина в
X i нехай вщр!зок [х0, х] шлком мютиться в О. Нехай, нарешт! F е
вщображення X в У, яке визначене на 0 ! мае слабку похищу Fc в
кожшй точщ вщр!зка [х0, х]. Припустивши, що Ах = х х0, ! взявши
дов!льний функщонал <р С У*, розглянемо числову функщю
/(/) == <p(F (х0 +/Ах)),
визначену при 0 < t < 1, Ця функщя диференщйовна по t Справд!
у вираз!
/ (1 4 Щ) — / (1) „ ( F (х0 4- t\x + М Дх) — F (х0 + 1Дх)'
Д^ ~ Ы }
можна перейти до границ! пщ знаком нзперервного л!н!йного функ-
цюналу ср. В результат! д!стаемо
(/) == <р (F‘c (х0 4- /Ах) Ах).
Застосувавши до функци f на вщр!зку [0, 1] формулу скшченних
приросте, дютанемо
/(1) =/(0) +/' (6). Де О<0< 1,
гобтэ
ср (F (х) — F (х0)) = ф (Fc (х0 + 9 Дх) Дх). (7)
Ця piBHicTb справджуеться для будь-якого функцюналу ф g Y*
(зрозумьло, що величина 9 залежить вщ ф). 3 (7) дютаемо
|ф(Г(х) — F(x0)) |<||фЦ • sup \\F'C (х0 + 9 Дх) || • ||Дх||. (8)
0<9$ I
Виберемо тепер ненульовий функцюнал ф так, що
Ф (F (х) — F (х0)) = || ф || • || F (х) — F (х0) ||
(такий функщонал ф icnye внаслщок теореми Гана— Банаха). При
цьому з (8) ддстаемо
||F(x)-^F(x0)||< sup. ЦFc(х0 + 9 Дх)J • || Дх||(Дх — х — х0). (9)
о>- ещ
Цю HepiBHicTb можна розглядати як аналог формули скшченних при-
рост для числових функшй.
Застосувавши формулу (9) до вщображення
х -> F (х) — Fc (х0) Дх,
д1станеме таку HepiBHicTb:
|| F (х) — F (х0) — Fc (х0) Дх || <
< sup || F'c (х0 + 9Дх) — Fc (х0) || • || Дх ||. (10)
4. Зв’язок м1ж слабкою i сильною диференцшовшстю. Сильна i
слабка диференцшовшсть— це pi3Hi поняття нав!ть у випадку скш-
ченновим!рних npocTcpiB. Справд!, з анализу добре вщомо, що для чис-
лово! функци
f(x) = /:(x1, х„)
при « > 2 з (снуваиня похщно!
_ 4г/(?+«>
при будь-якому фжсованому h = (hlt ..., hn) ще невипливае диф>ерен-
щйовшсть niei функцп, тобто можливють зобразити ii прирют f (х +
4 h) — f (х) у вигляд) суми лшшно'1 (по /г) частини i члена, вище пер-
шого порядку мализни щодо h.
Найпроспшим прикладом тут може бути функшя двох змшних
4 1 \ > якщо (Xj, х2) ф (0, 0),
, к + х;
/(Xi, х2) = (Н)
0, якщо (х1; х2) = (0, 0i
Ця функшя неперервна скр!зь на площин!, включаючи точку (0, 0).
У точщ (0, 0) и слабкий диференшал icnye i дор!внюе 0, осшльки
lim = lim Jo.
i->-o t /->-0 tlh\ +'i2/i|
Водночас ней диференшал не е головною лшШною частиною при-
росту функци (И) в точц! (0, 0). Справд!, якщо припустити, що h2 =
= .'ll, то
Ппл Щ)-Ц0. Q)
IlftlH-o II h II
/г? i
= lira --------------------- = - - Ф 0.
At-O 2/г| V /if + ftf 2
Однак якщо вщображення F мае сильну похщну, то воно мае й
слабку, причому сильна ! слабка похщн! зб!гаються. Справд!, для силь-
но диференцшовного вщображення маемо
F (х th) — F (х) = F' (х) (th) - о (th) => tF' (х) h о (th)
р (x + th)-F(x) = F, h ojh) h
З’ясуемо умови, за яких з слабко! диференцшовност! вщображення
F випливае його сильна диференц!йовн!сть.
Теорема 1. Якщо слабка noxidna Fc (х) в1дображення F 1снуе в дея-
кому окол1 U точки х0 I е в цьому окол1 (операторною) функщею eid х,
неперервною в х0, то в точщ х0 сильна noxidna F' (х0) icnye i збьгаеться
в слабкою.
Доведения. За умовою, вщображення F мае слабку похщну
тобто DF (х0, h) = F'c (х0) h. Взявши h так, що х0 + th £ U при вс!х
t € Ю, 11» розглянемо вираз
и (х0, h) = (F (х0 4- h) — F (х0) — F'c (х0) h. (12)
Якщо тепер у* —® дов!льний елемент простору Y*, спряженого до Y,
то з (12) д!стаемо
(со (х0, h), у*) Я (F (х0 + h) — F (х0), у*) — (F'c (х0) h, у*). (13)
Розглянемо (Ьункшю f (t) = (F (х0 + th), у*) числового аргументу’t
Ця функшя диференцшовна по t ! для не!
4- = Hm ^±th + ^-F(x. + th} = (zo (h) к
Тому, застосувавши до f формулу скшченних прироста, ми можемо
переписати р!вшсть (13) у вигляд!
(® (х0, /г), у*) = ([F' (х0 4- xh) — F'c (х0)] h, у*), (13')
де т в= деяке число, яке залежить вщ h, 0 < т < 1. Елемент у* g
Y* можна при фшсованэму h взяти так, щоб II у* || = 1 ! щоб
задовольнялась нер!вн!сть
| (со (х0, h), у*) | > -L ||® (ХО, h) || • || у*\\ == у || ® (х0, h) ||.
Звщси ! з р1вност1 (13') дютаемо ощнку
II ® (хо, 1г) || < 21| Fc (х0 + т/г) — F'c (х0) || < || h ||.
Але за умовою Fc (х) е неперервна в точщ х0 операторна функцгя в!д
х; тому
lira || F‘c (х0 + т/г) — FB (х0) || = О,
А-*-0
так що величина || со (х0, /г)|| мае порядок мализни вище першого
щодо || /г ||, тобто F'c (х0) /г еголовна частина р!знищ
F (х0 + /г) — F (х0). Тим самим доведено як юнування сильно! похщно!
F' (х0), так i !'! 36ir з слабкою похщною.
Надаль якщо не застережено супротивне, ми розглядатимемо так!
вщображення, як! дифепенцшовш в сильному, а отже, i в слабкому
розумшн!.
5. Диференцшовн! функцюнали. Ми ввели диференщал вщобра-
ження F, який д!е з одного нормованого простору X в шший нормова-
ний npocrip Я Похщна F' (х) такого вщображення при кожному
х— це лш!йний оператор з X в У, тобто елемент простору {X, У).
Зокрема, якщо У — числова пряма, то F — функщя', яка набувае чис-
лових значень на X, тобто функцюнал. При цьому похщна функцюналу
F у точщ х0 е лшшний функцюнал (що залежить вщ х0), тобто елемент
простору X*.
Приклад. Розглянемо в дШсному пльбертовому просторi Н
функцюнал F (х) = || х ||а. Тод!
||х + /г|Г-||х||2 = 2(х, /г)+||/г||2;-
величина 2 (х, /г) еголовною лшшною (по /г) частиною цього виразу, от-,
же F' (х) = Fc (х) = 2х.
В п р а в а. Знайти пох!дну функцюналу || х || в
пльбертовому простор!. (Bid-
noeidb:
при х 0; при х = 0 не !снуе).
6. Абстракты функцп. Припустимо тепер, що до числово! прямо!
вводиться прост!р аргумента X. Вщображення F (х), яке зютавляе
числу х елемент деякого банахового простору У, називаеться абстракт-
ною функщею. Похщна F' (х) абстрактно! функци (якщо вона icnye) —
це (при кожному х) елемент простору У— дотичний вектор до криво!
F (х). Для абстрактно! функц!! (функщ! одного числового аргумен-
ту) слабка диференцшовн!сть збшаеться з сильною.
7. 1нтеграл. Нехай F — абстрактна функщя дшсного аргументу
t !з значениям» банаховому простор! У. Якщо F задано на вщр!зку
[а, Ы, то можна визначити (нтеграл функщ!’ F по в!др!гку La, Ь]. Цей
штеграл розум!ють як границю штегральних сум
fe=0
що вщповщають розбиттям
a = t0 < ti < • • < tn = b, £ [t^, tA4-1],
при умов!, що max (4+i — !A) -> 0. Тнтеграл (що e, очевидно, елемент
з У) позначають символом
ъ
J F (!) dt.
а
М!ркування, значною м!рою аналопчш тим, що проводить для функ-
цш, як! набувають скалярних значень, показують, що штеграл в!д
функн!!, неперервно! на вщр!зку, icnye; при цьому вш мае властиврс-
т! звичайного р!манового штеграла. Серед цих властивостей розгля-
немо так!:
1. Якщо U — фшсоране лшшне неперервне вщображення простору
У у якийсь npocrip Z, то
b ь
" JJF (t)dt = U^F (t)dt.
а а
2. Якщо F (!) мае вигляд f (!) у0, де f (!) — числова функщя, а у0—
фшсоваиий елемент з У, то
jF(!)d! = i/0 J /(!)d/.
а а
3,
ь ь
||jF(/)d!|< ^\\F(t)\\dt.
а а
Нехай знову X i У — нормоваш простори, а ВС (X, У) *^л!н!йний
npocrip yeix неперервних обмежен их 1 вщображень X в У. У простор!
ЕС (X, У) можна ввести тополопю, беручи за околи нуля множини
Un,R = {F: sup ||F(x)||<e).
W||S
Ha пщпростор! ££(Х,У)сгВС(Х,У) yeix лшшних неперервних
вщображень X в У ця тополопя збшаеться is звичайною тополопею
в (X, У), яка задаеться операторною нормою. Нехай J = |х0,
х0 + Дх] —г який-небудь прямолшшний вщр!зок в X. Припустимо,
що задано неперервне вщображення цього в’др!зка в npocrip ВС (Х,У),
тобто, що кожшй точц! к £ J З1'ставлено деяке вщображення F (х) f
1 Вщображення F 1 X -> Y називаеться обмеженим, якщс для всяко! обмежено’
множини Q с X множина Р (Q) обмежена в У Нел1н!йне непеоервне вщоб-
раження не обов’язково обмежене.
С ВС (У ,У), яке неперервно заложить вш векторного параметрах £ f. То-
д! можна визначити штеграл вш У7 (х) по вшр!зку J, припускаючи, що
Хо-ГЛ* 1
j F (х) dx = Г F (х0 4- t&x) Ax dt (14)
Xq О
(тут F (х0 4- /Ах) Ах при кожному t £ [0, 1 ] е елемент простору У,
що е образом елемента Ах £ X при вщображенн! F (х0 4- /Ах)). Зро-
зум1ло, що штеграл, який стоггь у правш частин! формули (14), icnye
! е елементом простору У.
Застосуемо це поняття до вщновлення вщображення за його по-
хщною.
Розглянемо вщображення F, яке д!е з X в У ! мае на вщр!зку 1х0,
х0 4- Ах] сильну похщну F' (х), яка непеоервно залежить вщ х. Тод!
*0+Дх:
icnye штеграл j F' ,(х) dx. Доведемо, що справджуеться pienicTb
ха
хо+д*
§ F’- (х) dx = F (Хо 4- Ах) — F (х0), (15)
*0
яка узагальнюе формулу Ньютона — Лейбнща. Справд!, за означен-
иям
*о+Д* П-1
f Fe (х) dx == lim 2 Р! (х0 4- th д%) (Ах)(4+i — /А) =
~ (W0 fc=0
п~ 1
= lim 2 F’ (хА) (Axft),
б->0 k=Q
де
xk ~ хо 4- tk Axft (4+i — tk) Ах i б = max (4+1 — tk).
k
Але водночас при будь-якому розбитт! вщр!зка 0 < t < 1 маемо
П—4
Z7 (%о Ф Ах) — F Uo) 2 [-^ (*о "Ь Ал:) — F (х0 tk\x)] =;
/г=0
= S (М — F W].
/г=0
За формулою (10) д!стаемо
2 [f ы — F (xk) — F' (xk) AxJ
fe=0
< || Ax || 2 (4+i - 4) sup || Fl (xk + 0 Axfc) - Fl (xfe) ||. (16)
(e=0 0
Оскшьки похщна F’ (x) неперервна, а отже, i р!вном1рно неперервна
на вщр!зку [хо, x0 4- Ax], права частина нер!вност! (16) прямуе до нуля
при необмеженому подр!бненш розбиття вщр!зка [х0, х0 4- Ах], звщки
й випливае р1вн1сть (15).
8. Похщш зищих порядив. Нехай F — диференцшовне вщобра-
ження, яке д!е з X в Y. Його похщна F' (х) при кожному х К X е
елемент з ££ (X, У), тобто F' е вщображення простору X у простер
лнийних оператор1в £6 (X, У). Якщо це вщображення диференщйов-
не, то його похщна називаеться другою пох1дною вщображення К;
и позначають символом F". Стже, F" (х) е елемент простору ££ (X, £
(X, У)) лшшних оператор1в, як! д!ють з X в ^(Х, У). Покажемо, що
елементи цього простору допускають зручшшу ! наочшшу штерпрета-
цпо у вигляд! так званих бшшйних вщображень.
Ми кажемо, що задано бшншне в1дображення простору х у npocrip
У, якщо кожшй упорядковашй пар! елеменпв х, х' зХ поставлено у
вщповщшсть елемент у = В (х, х') £ У так, що виконано так! умови:
1) для будь-яких xlf х2, Xi, х2 з X i будь-яких чисел а, 0 справджу-
ються р!вност!:
В (axj + 0х2, xi) = аВ (хь Xj) 4- $В (х2, Xi),
В (хь ах! 4- Р-Ь) =’ аВ (х1( х!) 4- 0В (хь х'2);
2) !снуе таке додатне число М, що
|| В (х, хг) || < 44||х|| • ||хг || (17)
при Bcix х, х' £ X.
Перша з цих умов означае, що вщображення В л!н!йне по кожно-
му з двох CBoi’x аргуменпв; неважко показати, що друга умова р!вно-
сильна непереовност! В по суку'пност! аргументов.
Найменше з чисел М, яке задовольняе умову (17), називаеться
нормою бшшйного вщображення В i його позначають || В ||.
Л!н!йн! операцп над бшшйними воображениями визначаються
звичайним способом i мають звичайш властивост!. Опке, б!л!н!йн!
вщображення простору X у npocrip У сам! утворюють лппйний нормо-
ваний npocrip, який ми позначимо В (X2, У). При повнот! У повне i
В (X2, У).
Кожному елементу А з простору^ (X, (X, У) можна поставити у
вщповщшсть елемент з В (X2, У), припустивши, що
В (х, х1) = (Ах)х1. (18)
Очевидно, ця вщповщшсть лпийна. Покажемо, що вона також i iao-
метрична ! вщображае npocrip ££ (X, Ш (X. У) на весь npocrip В (X2, У),
Справд!, якщо у = В (х, х') = (Лх) х', то
UlKMbbk'-IKHbkbll^ll.
звщки
IIВII <|| А ||. (19)
3 другого боку, якщо задано б!л!н!йне вщображення В, то при ф!ксо-
ваному х £ X вщображення х' -> (Лх) х* = В (х, х') е л!шйне вщоб-
раження простору X в У.
Таким чином, кожному х g X ставлять у вщповщшсть елемент
Ах простору (X, Y); очевидно, що Ах лшшно залежить вщ х, тобто
бшшйне вщображення В визначае деякий елемент А простору (X,
зС (X, У)). При цьому зрозумйю, що вщображення В вщновлюеться по
А за допомогою Лормули (18) i
ЦЛх|| = sup || (Лх) х! || = sup || В (х, х?) || <|| ВЦ. ||х||,
звщки
МП <11 ВЦ. (20)
Зютавляючи (19) i (20), дютаемо || Л ||=|| В ||. Таким чином, вщ-
повщшсть м!ж В (X2, У) i £6 (X, (X, У)), яка визначаеться р!вн!стю
(18), лшшна i {зометрична, а отже, взаемно однозначна. При цьому
образ простору ^(Х, ££ (X, У)) е весь В (X2, У).
Ми з’ясували, що друга похщна F" (х) е елемент простору (X,
£(Х, У)).
У вщповщност! з пльки що сказании ми можемо вважати F" (х)
елементом простору В (X2, У).
Розглянемо елементарний приклад. Нехай X i У — скшченнови-
м!рн! евклщов! простори вщповщно розм1'рностей m i п. Тод! кожне
лшшне вщображення X в У можна задати деякою (п X т)-матрицею.
Отже, похщна F' (х) вщображення F, яке д!е з X в У, е (залежно вщ
х £ X) матриця. Якщо в х ! У взято базиси, наприклад,
еъ ..., е„, в X ! Д, ..., fn в У,
то
X = Х^ + ^2е2 + • • • + Xm.env У = У1?1 + Wz + • • • + ynfn-
Тод! вщображення у — F (х) можна записати у вигляд!
У1 = Fj, (Xi....xm),
Уп = Fn (Xi......xm),
i
(Sy. dyi . . . dy-j X
d*i дхг ' dxm 1
Syn dyn _ _ dyn j
dXi dx2 dxm /
Друга похщна F" (x) визначаеться в цьому випадку сукупнютю п X
X tn X т величин ak,n = Таку сукупшсть величин ак,у мож-
на розглядати як лш!йне вщображення простору X у npocTip
(X, У), що визначаеться формулою
т
^k,j ~ S
1=1
або як б!лш!йне воображения простору X в Y, що визначаеться фор-
мулою
m
yk = ^i ak,ii xcx'j.
‘.j=i
Таким самим способом можна ввести поняття третыи, четверто!
i взагал! п-i пох!дно’! вОображення F, яке д!е з X в У, означивши п-у
похОну як похОну -вО похщно! (п — 1)-го порядку. При цьому,
очевидно, п-а похОна е елементом простору (X, х (X,..., х (X, У))).
Повторюючи м!ркування, проведен! для друго!' похОно!, можна кож-
ному елементу цього простору природно поставите у вОпов!дн!сть еле-
мент простору N (Хп, У) я-лшшних зОображень X в У. При цьому
шд п-лшшним воображениям розум!ють таку вщповщшсть у=Ы (xz,
х(п) м!ж упорядкованими системами (х', х", х'пу) елементО
з X i елементами простору У, яка лш!йна по кожному з х при ф!ксо-
ваних шших елементах i задовольняе при деякому М > 0 умову
\\N(x', х", ...,х<л))||<МЦх'||. |x"||...h(,”||.
Отже, п-у похщну вщображення F можна вважати елементом простору
N(Xn, У).
9. Диференц!али вищих порядив. Ми визначили (сильний) .дифе-
реншал вщображення F як результат застосування до елемента h Q X
л!н!йного оператооа F' (х), тобто dF = F' (х) h. Диференшал другого
порядку визначаеться як d2F = F" (х) (A, h), тобто як к в а д р а -
тичний вираз, що вщповщае вщображенню F" (х) Е В (X2, У).
Аналопчно, диференшалом п-го порядку називаеться d * —
— Fw (х) (h, h,..., h), тобто той елемент простору У, в який елемент
(h,h,...,h)Q X хХх... X X = Хп переводиться вщображенням Fw (х).
10. Формула Тейлора. Сильна диференшйовшсть вщображення F
означае, що р!зницю F (х + h) — F (х) можна подати у вигляд! суми
лшшного члена i доданку, що мае вищий в!д першого порядок.вщ-
носно || h ||. Узагальненням цього факту е формула, аналопчна фор-
мул! Тейлора для числових функцш.
Теорема 2. Нехай F — в1дображення, яке die з X в У, визиачене в
деяк1й обласпй 0 cz X i таке, що Fw (х) icnye i е pieHOMipHO непе-
рервною функщею eid х в О. Todi справджуеться pien’cmb
F {x + h)-F(x) = F'(x)h+h)+
♦
... + -i-F(R) (x) (h, .... й) + ®(х, h), -(21)
de || co (x, й)Ц = о (||/i ||").
Доведения вестимемо за шдукшею. При п = 1 р!вн!сть
(21). трив!альна. ЕИзьмемо тепер довмьне фжсоване п ! припустимо,
що р!вн!сть, яка утворюеться з (21) замшою п на п— 1, вже доведено
для ecix в!дображень, що задовольняють умови теореми, в яких п
замшено на п — 1. Тод! для вщображення F' маемо
F' (х -h h) = F‘ (х) + F" (х) h 4 F"' (x) th, h) 4- ...
/l)> <22>
де || (x, h) U = о (Г h II'*-1). 1нтегруючи обидв! частини р!вност! (22)
по вщр!зку [х, х 4- h] i користуючись формулою Ньютона — Лейбшца
(15), ми Д1станемо
1 1
F (х ф- h) — F (х) = j F' (х + th) hdt = [ (х) |- tF" (х) h 4-
о 6
-4- 4- М (х) (Л, h) + -^--4 , tn~lFw (h, .,., /i)) hdt + Rn,
(23)
1
де Rn — У (Dj (x, th) h dt.
о
3 (23) дктаемо
F (x 4- h) — F (x) =
= F(x)/I4-^-F'(x)(/i, h)+ ... +_L-Fm(x)(h,
причому
1
J ^|| < УII®! (x, №) 11.11^11^ = 0 (||/гГ).
ft) +
Тим самим наше твердження доведено.
Формулу (21) називають формулою Тейлора для в1дображень.
§ 2. ЕКСТРЕМАЛЬН! ЗАДАЧ!
Один з найстаршшх ! найбЁльш розроблених розд!л!в нелшшного
функцюнального анал1зу — знаходження екстремум!в функц!онал!в.
Вивчення таких задач е зм!стом так званого вар!ац!йного
числения. Б1лышсть метод!в, як, 1снуютЕ у вар!ац!йному чис-
ленн!, пов’язано з спец!альним видом тих функцюнал1в, екстремальш
значения яких шукають. Однак деяк! загальш прийоми i результата
можуть бути сформульоваш i для б!льш або менш дов!льних функцю-
нал!в. Не ставлячи co6i ’тут завдання сюльки-небудь повно викласти
вар1ашйн1 методи, ми обмежимося коротким розглядом елеменпв за-
гально‘1 тесрп, як! лежать в основ! вар!ац!йного числения.
1. Необхщна умова екстремуму. Нехай F — деякий д!йсний функ-
цювал, визначений на банаховому простор! X. Кажуть, що функцю-
нал F досягае в точщ х0 миймуму, якщо для вс!х х, досить близьких
до х0 i таких, що F (х) визначено, виконана нер!вн!сть F (х) — F (х0) >
0. Аналопчно визначають максимум функцюналу. Якщо в певнш
точш х0 функщонал F досягае м!н!муму або максимуму, то ми говори-
тимемо, що в щй точц! функщонал F мае екстремум.
До знаходження екстремум!в тих чи шших функцюнал!в можна
звести багато ф!зичних i мехашчних задач.
Для функшй п змшних добре в!дома така необхщна умова екстрс-
муму: якщо функшя f диференщйовна в точц! х0 = (х?, х°, ..., х°)
i мае в ц!й точщ екстремум, то в щй точщ df = 0 або, що р!вносильно,
df _ df r ИГ df Q
dxt dx2 dxn
Цю умову легко перенести на функцюнали на дов!льному нормованому
простор!.
Теорема 1. Для того, щоб диференцшовний функцюнал F досягав
у точщ х0 екстремуму, необх1дно, щоб його диференщал у ц1й точщ
дор1внював нулю при ecix h:
F( (х0) h == 0.
Доведения. За означениям диференщйовност! маемо
F (х0 ф- h) — F(x0) = F’ (x0)h ф- o(h). (1)
Якщо F' (x0) й=ф0 для деякого h, то при досить малих д!йсних 1 знак усьо-
го виразу F' (х0) (Mi) 4- о (Mi) збшаеться !з знаком його головного чле-
на F' (х0) (Mi). Але F' (х0) — лшшний функщонал, тому F' (х0) (Mi) —
= V' (х0) h. Отже, якщо F’ (х0) й #= 0, то вираз (1) може нзбувати
при як завгодно малих h як додатних, так ! вщ’емних значень, тобто
екстремуму в точц! х0 бути не може,
Розглянемо деяк! приклади.
1. Нехай
ь
F(x)=$f(t, x(t))dt, (2)
а
де f— неперервно диференц!йовна функшя. Цей функщонал, який
розгллдають у простор! С [а, Ь] неперервних функшй на в!др!зку
[а, Ь], диференцшовний. Справд!,
F (х -4- й) — F (х) =
ь ь
j [/ (/, х f it, х)] dt = J fx (t, x) h (t) dt+o (h),
a a
ЗВЩКИ
b
dF = J Я (/, x (0) h (0 dlt
a
PiBHicTb нулю цього л!шйного функцюналу для вс!х h £ С [а, b]
означае, що f'x (t, х) = 0. Справд!, при всякому х (О С [а, Ы похщна
fx (I, х) е неперервна функшя вщ t. Якщо в яшйсь точш /0 вона вщ-
Minna вщ нуля, наприклад, fx (г0, х (/0)) > О, то ця нер!вшсть справд-
жушъся i в деякому окол! (а, Р) точки /0. Тод!, припустивши, що
h (t) =.
Д1стаемо
(t — а) (Р — t) при а < / < Р,
О при penrri t,
а
( fx (t, X) h (/) dt > 0.
ь
Це протир!ччя доводить наше твердження. Р!вняння fx (t, х) ~ 0
визначае, взагал! кажучи, деяку криву, на як!й функцюнал (2) може
досягти екстремуму.
2. Розглянемо на тому самому простор! С [а, Ь] функцюнал
b ь
Р(х)=Цк у х х (У d& dS
a a
(3)
де К (Jj1( E2) — неперервна функшя, яка задовольняе умову К (^, |2) =
= К (g2, ^). Неважко визначити, що диференшал цього функцюналу
дор!внюе
ь ь
dF = 2$ ЙК(^, ^x^h^d^d^.
□ а
Якщо при всякому h £ С [а, 6] цей вираз доршнюе нулю, то на шд-
став! м!ркувань, наведених у приклад! 1, маемо
&
$ к (?1> Ъ) X (gj) dh = 0 для Bcix ?2, а < |2 < Ь.
Один з розв’язшв цього р!вняння — функшя х zs= 0. Вщповщь на
питания про те, чи е в шй точш' екстремум i чи !снують !нпп точки,
в яких екстремум можливий, залежить в!д виду функци К (^, g2)
i потребуе додаткового дослщження.
3. Розглянемо функцюнал
ь
F (х) = j f (t, х (t),
a
xf (/)) dt,
(4>
визначений на простор! С1 [а, b] неперервно диференшйовнихЧфункшй
на вщр!зку [а, Ь]. Тут х' (f) = d^- , a f(t,x,x’) —дв!ч!диференц!-
йовна функшя CBoix аргумент!в. Функцюнал (4) вщграе основну роль
у багатьох питаниях вар!ацшного числення. Знайдемб його диферен-
шал. Користуючись формулою Тейлора, дютаемо
ь
F (х Н) — F (х) == j [f (/, х ф- h, х' + /i') --,f (t, x, x')] dt =;
a
b
a
де || h Ц — норма функци h як елемента простору С1 [a, b 1. Отже,
необхщна умова екстремуму для функцюналу (4) мае вигляд
।
dF = j (fxh + feh') dt = 0. (5)
В такш штегральнш форм! ця умова мало придатна для знаходження
Tiei функци х, на якш буде досягнуто екстремум. Перетворимо його до
зручшшого вигляду, проштегрувавши в (5) член f'X’ h' частиками х.
Дютанемо
ь ь ь
. J fx.h' dt = fx-h f*'dt.
a a a
Таким чином,
Ця р!вн!сть повинна виконуватись при Bcix h, у тому числ! й таких,
для яких h (а) = h (b) — 0. Отже,
ь
—5гЧ|Л<й = 0
при Bcix h, для яких h (а) — h (&) = 0, зв!дси, на шдстав! м!ркувань,
аналопчних наведении у приклад! 1, дютаемо
-0. (7)
Тому р!вн!сть (6) зводиться до
Д, /1|а = 0.
(8)
Якщо функцюнал (4) розглядають на вс!х неперервно диференш’йов-
1 Цю операщю треба додатково обгрунтувати, бо 1снування похщно!' що вхо-
дить у вираз/'х', не передбачено. Див. про це в будь-якому курс! вар!ац!йного
числення.
них функциях х, визначених на [а, Ы, то ми можемо взяти h так, що
h (а) = 0, h (b) 0, ! тод! з р!вност! (8) д!станемо
4- \t-b = о, (9)
а припустивши, що h (b) — 0, h (а) Ф 0, д!станемо
44=«=0. (Ю)
. Таким чином, з умови (6), тобто на п!дстав! того, що диференщал функ-
цюналу дор!внюе нулю (4), випливае, що функшя х, на як1й функцю-
нал (4) досягае екстремуму, повинна задовольняти диференшальне р!в-
няння (7) ! гранич’-ii умови (9), (10; на кшцях вщр!зка la, bi. Загаль-
ний розв’язок диференшального р!вняння другого порядку мае дв!
дов!льн! стал! i ми д!станемо саме те число граничних умов, яке по-
тр!бно для вщшукання цих сталих.
2. Другий диференщал. Достатш умови екстремуму функцюналу.
Повернемось знову до знаходження екстремуму функцп п змшних.
Нехай для функц! i f (х|хп) в точщ (х°, х“) виконана умова df =
= 0 Тод!, як вщомо, для розв’язання питания про те, чи справд! в
ц!й точц! е екстремум чи немае, слщ розглянути другий диференщал.
Саме справедлив! так! твердження:
1. Якщо функщя f (хг,..., хп) мае в точщ (х°, .... тс°) мйимум, то
в щй точщ d'-f 0. (Аналопчно, якщо в точц! х°) е максимум,
то в ц!й точц! d2f < 0.)
2. Якщо в точщ (х?, ...,х„) виконана умови
df = 0 i d2f = V —— dx{dxk > 0
i dxtdxk 1 h
(коли не вс! dx, = 0), то в щй точц! f (x) мае м'сшмум (аналопчно мак-
симум, якщо d2f < 0).
Кэротше кажучи, нев!д’емн!сть другого диференщала н е о б х i д •
на, а його долатна визначешсть достат ня для шшмуму.
Подивимось, якою Mi'poro ш факти переносяться на функцюнали,
задан! на банаховому простор!.
Теорема 2. Нехай F — дшсний функщонал, який заданий у бана-
ховому npocmopi X i мае в деякому дкол1 точки х0 неперервну другу по-
xidny. Якщо цей функщонал досягае в точщ х0 мМмуму, то d2F (XfJ^-O1.
Доведения. За формулою Тейлора д!стаемо
F (х0 + h) — F (х0) = F' (х0) h + ~ F" (х0) (Д, h) + о (|| h ||2).
Якщо в точц! х0 функшонал F мае мппмум, то F' (х0) = 0 i справджу-
еться р!вн!сть
F (х0 + h) - F (х0) = 4 Р" Ы (h, h) + о (|| h II2). (11)
1 Ця нер!вн!сть означае, що F'1 (х0) (h, й) > 0 для ecix h.
Якщо при.якому-небудь h виконуеться нер!вн!сть
В" (х0) (/i, й) < 0, (12)
i, осюльки F" (х0) (ей, ей) = z2F" (х0) (h, h), то юнують i як зав-
годно мал! за нормою елементи h, для яких виконуеться (12). Але при
досить малих || h || знак усього виразу (11) визначаеться знаком голов-
ного члена F" (х0) (h, й), ! ми дютаемо
F (х0 -г h) — F (х0) = -у F" (х0) (й, h) о (|| h ||2) < О,
тобто м!н!муму в х0 немае.
Аналопчну теорему можна сформулювати для максимуму.
Доведена теорема е пряме узагальнення вщповщно! теореми для
функщй скшченного числа змшних. 1накше сто!ть справа з достатньою
умовою. Згадала вище умова F" (х0) (h, h) > 0, достатня для мь
шмуму у випадку функц!! п змшних, не е достатньою для функшона-
л!в, визначених на банаховому простор! нескшченного числа вим!рю-
вань. Розглянемо простил приклад. Нехай в Нльбертовому простор!
задано функцюнал
OQ 2 00
F W = X "Э--'X х"-
П=1 П = 1
У точц! О перший диференщал цього функцюналу дор!внюе 0, а дру-
гий — ряду 2 X -xh тобто це додатно визначений функщонал. Од-*
п=1 п
нак у точщ 0 немае мппмуму, бо
F (0) = 0 i F (о, . .., 0, , 0, .. Л = J______!_ < 0.
У"--------' п In5 п*
п—1
Отже, у будь-як!й близькосп вщ точки 0 !снують точки, в яких F (х) <
< F (0).
Введемо таке поняття. Квадратичний функцюнал В називають
сильно додатним, якщо !снуе таке стале число с > 0, що В (х, х) >-
с || х ||2 для Bcix х.
Теорема 3. ftкщо функцюнал F, визначений у банаховому npocmopi
X, задовольняе умови
1) dF (х0) = 0,
2) d2F (х0) — сильно додатний квадратичний функцюнал, то F
мае в точц1 х0 мшлмум.
Доведения. В!зьмемо 8 > 0 таким малим, щоб при || h || < 8
величина о (\\h ||2) в р!вност! (П) задовольняла умову | о (|| h ||2) | <
<-fi|/i[|2- Тод!
В(хо + Л)-В(х0) = 4-В"(1 (й. h) + о (|| h ||2) > 4-1| h ||2 >
> 0 при || h || < в.
У ск!нченновим!рному простор! сильна додатн!сть квадратично!
форми екв!валентна !! додатшй визначеност!, тому (якщо перший ди-
ференщал дор!внюе нулю) додатна визначешсть диференщала достат-
ки для екстремуму функци. У неск!нченновим!рному випадку (як по-
казуе наведений вище приклад) сильна додатшсть е сильшшою умовою,
Н1ж додатна визначешсть.
Умова сильно! додатност! другого диференщала, яка гарантуе
мш!мум, зручна тим, що вона застосовна до будь-якого дв!ч! дифе-
ренщйовного функцюналу (незалежно вщ його конкретного вигляду)
в будь-якому банаховому простор!. Водночас ця умова звичайно
бувае уже груба ! !!' важко перев!рити в прак-
тично важливих випадках. У вар!ац!йному
числены! встановлюють тонш! достатш умо-
ви екстремуму (як! використовують конкретний
вигляд тих функшонал!в, що розглядаються у ва-
р!ащйних задачах); однак виклад цих питань не е
завданням дано! книги.
§ 3. МЕТОД НЬЮТОНА
Одним з добре вщомих метод!в розв’язування
р!внянь виду
/ (х) = 0 (1)
Рис. 24
(f — числова функщя числового аргументу, визначена на деякому
вщр!зку [а, Ь]) е так званий метод Ньютона, або метод дотичних.
Вш полягае в тому, що за рекурентною формулою
x„+i = хп — f (2)
визначають послщовю наближення до розв’язку. (За нульове набли-
ження х0 при цьому беруть дов!льну точку того вщр!зку, на якому f
визначена). Геометричний зм!ст цього методу !люструе рис. 24. Можна
показати, що коли х* — единий кор!нь р!вняння (1) на вщр!зку [а, & ] i
функщя f мае на цьому в!др!зку першу похщну, яка не перетворюеться
в нуль, i обмежену дцугу похщну, то icnye «область притягання коре-
ня х*», тобто такий ок!л точки х*, що при будь-якому вибор! точки х0
в цьому окол! послщовшсть (2) зб!гаеться до х*.
Метод Ньютона може бути перенесений на оператори! р!вняння.
Ми викладемо його для р!внянь у банахових просторах.
Розглянемо р!вняння
F (х) = 0, (3)
де F—вщображення банахового простору X у банах!в npocrip Y.
Припустимо, що вщображення F сильно диференщйовне в деяюй
кул! В (х0, г) рад!уса г (центр яко! х0 ми в!зьмемоза нульове наближен-
ня шуканого розв’язку). Замшюючи, як i в идновим!рному випадку,
вираз F (х0) — F (х) його головною лшшною частиною, тобто елементом
F' (х0) (х0— х), ми д!стаемо з (3) лш!йне р!вняння
F' (х0) (х0 — х) = F (х0),
розв’язок якого
хх = х0 — [F' (х0)]“ F (х0)
природно розглядати як таке наближення до точною розв’язку х
р1вняння (3) (тут, звичайно, припускаемо, що оператор НЧснуе).
Повторюючи Ti сам! м)ркування, ми дютаемо послщовшсть
х„+1 = хп — [Г' Иг1 (F (х„)) (4)
наближення розв’язшв р!вняння (3). У неск!нченновнм!рному випадку
знайти обернений оператор LF' (х„)]-1— дуже складне завдання. То-
му тут дошльно користуватися так званим модиф1кованим методом
Ньютона (див. [27, 28]). Модифжащя полягае в тому, що зам!сть по-
слщовност! (4) розглядають послщовшсть, яка визначаеться формулою
xn+i = хп — [Г (х0)]-1 (F (х„)), (5)
тобто обернений оператор [F' (х0) ]-1 беруть на кожному крон!' при тому
самому значенш аргументу х = х0. Хоч така модиф!кашя зменшуе
швидк!сть зб!жност!, вона часто е дошльною з обчислювально! точки
зору. Перейдемо тепер до формулщвання й доведения точного твер-
дження.
Теорема !• Нехай воображения F сильно диференщйовне в деякш
кул1 В (х0, г) з центром х0 i радиусом г, а похадна F (х) задовольняе в
щй кул1 умову Лтшиця’.
IIР' (*i) — Р' (Л) I) < L || Xi — х2||.
Нехай [F' (х0)]- Онуе i
М = || I/7' (х0)Г’ II, Ь = || [^' (*о)Г’ F (*о) II, h = MkL.
Todt, якщо h<z-^-> то в кул1 ||х.— х01| < kt0, де t0— менший
кор1нь ревняння ht2 — t + 1 = 0, р1вняння F (х) = 0 мае единий
розв'язокх* i посл1довн1сть {хп}, що визначаеться рекурентною фор-
мулою (5), зб1гаеться до цього розв'язку.
Доведения. Розглянемо в простор! X вщображення Ах —
— х— IF' (х0)]-1 F (х). Його сильна похщна дор!внюе 0 у точщ х0.
Це вщображення переводить кулю || х— х0 (| < kt0 в себе.
Справд!,
Ах — х0 = х — х0 — [7' (л'о)Ц1 F (х) =
= [^' (*о)Г’ {Р' (-^о) (* — xQ) — F (х) + F (х0)} — [F' (х0)Г‘ Р (*о)
Тому || Ах — х01| < || [F' (хо)Г-11| || F' (х0) (х — х0) — F (х) -ф F (х0)|| +
+ II (*о)Г1/? (-^о) ||, тобто
Их — х0||< M||F' (х0) (х — х0) — F (х) + F (х0) || -ф k. (6)
Розглянемо допом!жне вщображення Ф (х) = F (х) — F (х0) — .
F' (х0) (х — х0). Воно диференщйовне ! його похщна дор!внюе
Ф' (х) = F' (х) — F' (х0). Якщо || х — х01| < kt0, то' мае м!сце оцшка
|| Ф' (х) || = || F' (х) - F' (х0) || < L || х - х01| < Ltok.
Зв1дси за теоремою про середне (формула (9), § 1) дктаемо
IIФ (х) || = || Ф (X) - Ф (Хо) II < Ll^ || X - х01| < Lt20k2 (7)
Отже, якщо || х — х01| < tok, то з (6) i (7) дктаемо
II Лх — х01| < MLfok2 + k = k (MLtfa + 1) = k (htl + 1) = kt0,
а це й означае, що вщображення А переводить кулю || х — х01| < kt0
в себе. Покажемо тепер, що А — стискаюче вщображення uiei куль
При || х — х01| < kt0 маемо
А' (x) = I — [F' (х0)]-1 F’ (х) = [F' (х0)]-1 (Fe (х0) — F' (х)),
звщки || Л' (х) || И М || F' (х0) — F' (х) || < ML | х — х01| < MLkt0. Але t0 —
— менший кор1нь р!вняння hi2— t + 1 = 0, тобто t0 — —~ 4h •
Тому
А1 (X )||< MLkt. ^ht^h = q<l-,
(8)
звщки || Ахг — Ах31| < -1|хх — х21|, тобто А — стискаюче вщображення.
Отже, вщображення А мае в кулНЦх—х0|| < kt0 одну i пльки
одну нерухому точку х*. Для uiei точки
х* = х* — [Д' (х0)]-1 F (х*), тобто F (х*) = 0.
Водночас Ах„ = хп — [F' (х0)]-1 F (х„) — x„+i i на пщстав! теореми
про стискаюч! вщображення, послщовшсть {х„} збшаеться до х*.
3 HepiBKocTi (8) вщразу випливае така оцшка швидкост! зб!жност!
модиф!кованого методу Ньютона:
К - ЛК 7^- IIК (Яо)Г1 Г (Хо) II,. (9)
тобто похибка модиййкованого методу Ньютона зменшуеться як пео-
метрична прогрешя. Зазначимо для прр!вняння, що звичайний метод
Ньютона, в якому наближення визначаються формулою (4), а
не (5), збшаеться швидше, шж геометрична прогрешя: для цього
методу || х„ — х* || < -Кр- (2/i)2"-^.
Приклад. Розглянемо нелшшне штегральне р!вняння
ь
х (s) = j К (s, t, х (/)) dt, (10)
a
де К (s, t, и) — неперервна i неперепвно диференщйовна функшя
CBo’ix аргуменпв. Вв!вши вщображення у = F (х), яке визначаеться
ь
piBHicno у (s) = х (s) — j К (s, t, x (/)) dt, запишемо р!вняння (10)
a
у вигляд! F (х) = 0.
Нехай х0 — нульове наближення для розв’язку цього р!вняннц.
Тод! першу поправку Ах (s) = хт — х0 визначають з р1вняння
F' (х0) Ах = — F (х0). (11)
Якщо функщя К (s, t, и) i функцюнальний npocrip, в якому роз-
глядають р1вняння (10), так!, що пох!дну F' (х) вщображення F можна
обчислити «диференцпованням шд знаком штеграла», тобто якщо
z==f\ (х0) х
означае, що
ь
г ($) = х (s) — j Ки (s, I, х0 (/)) х (/) dt,
п
то р!вняння (11) набирав вигляду
ь
Ах (s) = j Ки (s, t, х0 (t)) Ax(t) dt + ф0 (s), (12)
а
b
де ф0 (s) — У К (s, t, х0 (/)) dt—x0(s). Аналоп'чно визначають i на-
а
ступн! поправки.
Отже, знаходження кожного наступного наближення зводиться
до розв’язування л i н ! й н о г о штегрального р!вняння. Якщс за-
стосовуютп модифшований метод Ньютона, то при цьому на кожному
кроц! доводиться розв’язувати лшйше р!вняння з тим самим ядром.
Докладыший виклад методу Ньютона i пов’язаних з ним питань
е в книз! [28], а також у с’-атт! Л. В. Канторовича [27], якому й на-
лежать основн! результати, що стосуються обгрунтування методу Нью-
тона для операторних р!внянь.
Додаток
БАНАХОВ! АЛГЕБРИ
В. М. ТИХОМИРОВ
4
У третьему розд!л! ц!еТ книги розглянуто л!шйн! простори. Там було вид!лено
важливий клас л!н!йних простор1в — банахов! простори. Тут, у цьому додатку опи-
сано банахов! алгебр и, тобто банахов! простори, в яких визначено множення
елемент!в. Наявшсть множення в поеднанш з л!н!йною i метричного структурою на-
д!ляе банахов! алгебри рядом важливих властивостей.
§ 1. ОЗНАЧЕНИЯ I ПРИКЛАДИ БАНАХОВИХ АЛГЕБР
1. Банахов! алгебри, !зоморф!зми банахових алгебр. Нагадаемо, що лМйним
простором називаеться непорожня множина елеменпв, в яюй введено дв! операцп —
додавання i множення на числа, що задовольняють в!с!м акс!ом, сформульованих
у § 1, розд. III.
Означения 1. Л!н!йний npocrip X називаеться алгеброю, якщо в ньому вве-
дено ще одну алгебраТчну операщю — множення, яке задовольняе таким аксюмам:
1. (ху) г — х (уг).
2. х (у + г) = ху + хг; (у — г) х = ух + гх.
3. а (ху) = (ах) у = х (ау).
4. Якщо !снуе елемечт “ f X такий, що ех — хе = х для вс!х х f X, то е нази-
ваеться единицею алгебри X, а сама алгебра називаеться алгеброю з единицею Ч
5. Якщо операшя множення комутативна, тобто якщо виконуеться аксюма:
ху = ух,
то алгебру X називають комутативна,о алгеброю.
Комутативн! алгебои з одиницею ! будуть в основному об’ектом нашого розгляду.
Скр’зь у цьому додатку числове поле, над яким розглядаються наш: алгебри,
це поле С комплексних чисел.
У § 3 розд. III було введене поняття нормованого простору, тобто л!н!йного прос-
тору, що иае норму |] х ||, яка задовольняе три аксюми, сформульоваш на стор. 120.
Означения 2. Нормований npocrip X називаеться нормованою алгеброю,
якщо в!н е алгеброю з одиницею i при цьому виконаш ще, дв! аксюми:
6. || н1 = 1-.
7- ||^|1<||х(| ||у||.
Якщо нормована алгебра X, кр!м того, повна (тобто е банаховим простором),
то вона називаеться банаховою алгеброю.
. Воображения F : X Y називають гомоморфизмом алгебри X в Y,
якщо задовольняються умови:
» F (х + у) = Fx + Fy, (1)
F (ах) — aFx, (2)
F (ху) = Fx Fy. (3)
Дв! алгебри, X i Y, називають (зоморфними, якщо !снуе взаемно одноз-
начне в!дображення F, яке задовольняе умови (1) — (3).
1 Одиниця в алгебр! завжди едина, бо коли б елемент е' також мав властивють 4, то
ми д!стали 6 ее' — е — е'.
Нормоваш простори X i У називають 'зометричними, якщо 1снуе взаемно од-
нозначне вщоораження F : X Y, для якого виконаш умови (1) i (2), i, кр!м того,
II Рх lly = IIх Вх •
Означения 3. Дв1 банахов! алгебри X i У ми назвемо 1зометричт 1зоморф-
ними, якшо icnye алгебра!'чний 1зоморф!зм Р : X У, що е 1зометр1ею X i Уяк нор-
мованих npocTopie.
2. Приклади ^анахових алгебр.
1. Поле С. Комплексш числа {г} е найпроспшим прикладом банахово! алгебри,
якщо ввести норму формулою:
II z || = | г | = У х2 + у2 (г = х + ip).
Комплексш числа утворюють поле С. УС для ecix елемешпв, кр!м нуля,
означено деления — операшя, обернена множенню. Дал! ми покажемо, що С —
едина нормована алгебра, яка е полем.
2. Алгебра Сг. Нехай Т — деякий компактний хаусдорф!в тололопчний
npocrip. Позначимо через Ст лшшний npocrip ycix неперервних комплексних функщй
х (/), заданих на Т i3 звичайними для функшй операщями додавання i множення на
число, в якому норма визначаеться р1вшстю
|| х || = шах | х(/)|.
Рашше, в розд. II i III, було розглянуто окремий випадок простору Ст, коли
Т = [а, о] е вщр1зок дшсно!' прямо!’. 1ншим важливим окремим випадком простору
Ст е npocrip С" = {(Zj, ..., г„)) /г-вим!рних комплексних вектор!в, тобто функшй
на простор! з п точок. Додавання, множення на числа i множення елеменДв Сп зд1йс-
нюють покоординатно, а норму визначають за формулою
|| г ||= шах | г/1.
Алгебра Ст — комутативна банахова алгебра. Одиницею в Ст е функщя е (t) =
= 1. Неважко перев!рити eci аксюми.
3. Алгебра^анал1тичнихфункц1йукруз1. Позначимо через jt
лшшний npocrip ycix функщй х (z) комплексно!' змшно! z, визначених i неперервних
у Kpysi К = {г : |г | С 1} i аналпични> всередиш цього круга. Означимо множен-
ня в jt, як звичайне множення функщй i задамо норму формулою
II» 11 = шах х (г) |.
1 2 |^1
Цим способом ми перетворимо' Jh в комутативну банахову алгебру з одиницею. Спра-
ведливють ycix аксюм i тут шлком очевидна.
4. А л г е б р а Позначимо через сукупшсть ycix двоб1.чних абсолютно
сумовних комплексних послщовностей х— (..., х_п, ..., х_р х0, хп .... хп ,...)
з нормою
ОО
II *11 = 2 1^1- (4>
k=—со
Добутком х • у двох таких послщовностей:
х= (..., х_„...х0, ..., х„, ...), !/=(..., у_п, .... 1/0, ..., уп, ...)
назвемо !х згортку г = х * у, тобто послщовшсть, члени яко! визначаються так:
ОО
гл=(х *</)„= X хп-ьУь- / (5>
/г=з—оо
Якщо кржн!й послщовност! х з lt зктавити тригонометричний ряд
СО
х (7) = 2 xkelkt’ 0 t < 2л, то послщовшсть, визначена формулою (5), вщповн
ft= —ОО
дае добутку функщй х (t) • у (7), побудованих за послщовнбстями х i у. Отже, алгебра
lx i алгебра W' функщй х (7) з абсолютно зб!жни„.и рядами Фур’е i нормою, яка визна-
чаеться (4), однаков1 Пзометрично !зоморфш). Внаслщок останньо! обставини аксю-
ми алгеб ш i нормованого простору для перев!рити легко. Перев!римо, наприклад,
эксюму 71 Маемо для г = х * у.
II z II = S I г« I “= 3 5 хп-кУь < । xn-k \\Vk К
n n k. n k
<2 I1^1-11*11 • Ш-
k \ n /
Алгебра W, очевидно, комутативна, отже, комутативна i алгебра /г Одиницею
в е nocj щоьшсть е, яка вщповщге функцп е (f) = 1 : у щй послщовност! вс! ком-
понента е ay.’ii, кр1м компонента з нульовим номером, яка дор!внюе оди..ид!.
5. Банахова алгебра обмежених операторИ Нехай X—
банах!в npocTip. Розглянемо npocrip (X, X) ycix лппйних неперервних oneparopiB,
як! перетворюють X у себе, is звичайними для операторов д!ями додавання, множен-
ня оператора на число i множення (див. розд. IV, § 5, пп. 1—3). Одиницею ££ (X, X)
е тотожний оператор. Перетворимо 7g (Х,Х) у банахову алгебру, визначдвши норму,
як i звичайно, сшввщношенням
. ||АЦ = sup ||Лх||.
Справд!, акс!ому 7 було вже перев!рено ран!ше (див. формулу (4) на стор. 192).
Довести ж повноту 7g (X, X) мав читач, виконуючи вправу, наведену на т!й сам!й сто-
р!нц!. Ал-ебра^ (X, X) — один з найважлив!ших приклад!в некомутативно7 бана-
хово! алгебри з одиницею.
3. Максималып щеали.
Означения 4. 1деалом I комутативно’! алгебри X називаеться пщпроспр
X, який мае ту властив!сть, що для всякого у f I i буд >-якого х з X добуток ух нале-
жить I. 1деал, що складаеться з одного нуля, а також щеал, що складаеться з усього <
X, ми називаемо трив1альними i в дальшому виключаемо з розгляду. Маклимальним
називаеться щеал, я кого немае в жодному !ншому нетрив!альному щеал!.
Введен! поняття розберемо на приклад! алгебри СТ.
Нехай А — непорожня шдмножина компакта Т. Множина Algf* = (х (7) £ Ст-
х(7) = 0, t£F], що складаеться з функшй, як! перетаорюютьсп в нули на утво-
рюе, як легко побачити, щеал в Сг. Максимальн! щеали в Ст допускають проСтий
опис, що е до того ж ключем до розумшня вс!е! Teopii комутативних банахових алгебр.
Лема. Максимальний 1деал алгебри Ст в сукупшсть ycix функций з Ст, що пере-
творюються в нуль у будь-якШ одшй фжсовашй точцС т0 множини Т.
Доведения; а) Нехай А1т0 = {х (7) £ Ст : х (т0) =0}. Тод! Мх0 е щеал.
Покажемо, що в!н максимальний. Справд!, нехай х0 (7) £ Мх0, тобто х0 (т0) 0.
Припустимо, що для будь-якого у (7) f Ст: г (7) = у (f) —У fa) хо (О , г _
(То)
= 0 i, отже, г (7) належить Afx0. Таким чином, додавання будь-якого елемента не з А4т0
приводить до того, що щеал, породжений MxQ j цим елементом, стаз трив!альним.
Отже, Л4х0 — максимальний.
б) Нехай навпаки, М — який-небудь максимальний щеал з Ст.
Покажемо, що вс! функци, що входять у цей щеал, перетворюються в нуль у
деяк!й точщ. Справд!, якщс це не так, що для кожно!' точки т £ Т знайдеться функ-
щя хх (7) £ Af така, що хх (т) =А 0. Внаслщок неперервност! хх (7) по 7 знайдеться
такий оюл Ьх точки т, що хх (t) 4= 0 в 17 . 3 вщкритого покриття Т с. (J Ux в!зь-
т
мемо сюнченне покриття (7т1, .... UXn,
Тод! на п!дстав! означения щеалу хс (t) = хт1 (!) • хх1(0+...+хт (!) -Хх (!) =
п
= Ij I xrt (ОI2 належить М.
k=\ k
Внаслщок того, що х, (!) > 0 скр1зь на Т, функщя 1/х0(!)буде неперервною.
Тому 1 = (1/х0 (!))• х0 (t) £ М. Але !деал, що м!стить одиницю алгебри, м!стить i
будь-який елемент алгебри, бо у (f) = у (f) 1. Тому М — трив!альний щеал, що су-
перечить припущенню про те, що М — максимальний, а отже, нетрив!альний щеал.
Таким чином, ми д!стали, що м!ж максимальними щеалама i точками з простору-
нос!я Т можна встановити взаемно однозначну вщповщшсть. Це дае змогу трактувати
функц!! на Т як «функщ! на простор! максимальних !деал!в».
Ми покажемо,— i в цьому мета викладено! нижче теор!! комутативних банахових
алгебр,— що всяка така алгебра X допускае реал!защю у вигляд! пщал-ебри алгебри
неперервних функщй на компактному хаусдорфовому тополопчному простор!, утворе-
ному ТТ максимальними щеглами.
§ 2. СПЕКТР I РЕЗОЛЬВЕНТА
У цьому паоаграф! алгебра X не-обов’язково комутативна, але мае одиницю.
Багато м!ркувань тут под!бн! до наведених у § 5, розд. IV.
1. Означения ! приклади.
Означения. Елемент х £ X називаеться оборотним, якщо в!н мае оберне-
ний, тобто якщо знайдеться такий елемент х~1> що
х х—1 = х-1 • х = е.
У противному раз! елемент х називаеться необоротним.
Спектром а (;) елемента х f X називаеться множина комплексних чисел X, для
яких елемент Хе — х необоротний. Якщо X $ о (х), то точку X називають регулярною.
Функщя
R-h : С\а (х) -> Ri х = х (X) = (Хе — х)~1 ,
визначена на множин! регуляторних точок елемента х, називаеться резольвентою
цього елемента.
Спектральним рад!усом г (х) елемента х £ X називаеться число
г(х) = sup |% |. (1)
ЧаР (х)
Введен! важлив! поняття про!люструемо на прикладах.
а) Якщо X = С, то обороти! вс! елементи, кр!м нуля;
б) Якщо X = Ст, то для оборотност.! х (!) необхщно i достатньо, щоб функщя
х (!) була скр!зь в!дм!нна вщ нуля. Спектр о (х) зб!гаеться з множиною зна-
чень х (!); резольвента R^ мае вигляд
=----------->
| X - х (!)
а
г (х) = || х || = max | х (!) |.
t
в) Якщо X = L (У, У) — алгебра обмежених оператор!в, то обороти! елементи —
це обороти! оператори, спектп i резольвента в цьопу випадку зб!гаються is спектром
i резольвентою оператора, як! були введен! в п. 7, § 5, розд. IV. Власне кажучи, в
цьому параграф! ми в загальному вигляд! дослщжуемо т! поняття, як! вводилися рань-
ше для банахово! алгебри обмежених лшшних оператор!в.
2. Властивост! спектра.
Теореми 1.1°. Для будь-якого лшшного функционалу f (х) 1з спряженого просто-
ру X* функщя f (х (k)) = Р (X) аналтична на С/о (х) i Р (X) -> 0 при | к | -> оо.
2“. Спектр а (х) елемента х банахова! алгебри X в непорожня компактна множина
в С. Справджуеться нер!вн!сть
г(х)<||х||. (2)
Перед доведениям теореми 1 розглянемо кшька лем.
Лема 1. (пор1вн. в теоремою 5, § 5, розд. IV). Нехай елемент х з банахово'! алгеб-
‘ ри X мае норму, меншу eld одшшц!. Todi елемент е — х оборотной i
(е — х)~’ — е + х + ••• 4-хп+ •••
Справд!, припустивши, що s„ = e+x + ...+хп> маемо:
II sn - sn+k |Мхп+1 + •. • + xn+k 11 < У, II x Ц"+г = h.^-IHI^ » 0.
i=i 1 — IIх II
Отже, послщовшсть sn фундаментальна. Осшльки X повний, то вона зб!гаеться до
деякого елемента s f Хв. При цьому
s (е — х) = lim sn (е — х) = lim (е — х”^*1) = е.
Г1-+СС П-+СС
Аналогично доводиться, що (е — x)s = в.
Н а с л ! д о к. Для всякого х £ X
(е— ix)-1 -> е при / -> 0.
Справд!,
(е — tx)~1 = lim (е + tx + • • • + (Zx)n) = е + О (t).
п->оо
Лема 2 (nopiBH. з теоремою 4, § 5, розд. IV.) Нехай х0 — оборотной елемент
i „ДхЦСЦх^Г1. |
Todi Xj = х0 + Дх — оборотний елемент i при цьому
xf1 = (е + х0-1Дх)_1х^'.
Справд!,
*1 = х0 + Дх = х0 (е + х^'Дх) = х0 (е -j- х^’Дх) = х0 (е — х), || х || = || — х^'Дх ||< 1.
Застосувавши лечу 1, ми матимемо, що xj-1 = (е— х^’х^1, що й треба було
«найти.
Нас л! до к 1. Множина оборотних елеменпйв банахово! алгебри eiditpuma
(в нормований топологИ банахово! алгебри). Множина необоротних елеменпйв
замкнута.
Н а сл i д о к 2. Резольвента х (к) — це неперервна функщя eid к на С\о (х).
Справд!, х (к. + ьХ) — (кое — х + ДХе)—1 = (е-f- ДХх (Х0))—1х (к^ хк0) зпдно
AZ.-t-OfcJl
з наел!дну з леми 1.
Лема 3. (nopiBH. з п. 7., § 5, розд. IV). Нехай к, р £ С \ о (х). Todi
а) • 7?нх = R^x R%x,
б) R Кх — RyX = (ц — к) RyX R^x (тотожнють Гиьберта)
Доведения, a) RKx R^x = (ке —х)—1 (ре —хр1 = [ (ре — х) X (Хе —х) ]—1 =
«= [ (Хе — х) (ре — х)]-1 — R^x R^x.
б) На пщстав! а) ! означения R^ i R^ маемо
/?хх = (ре — х) R%x R^x,
RpX = (Хе — х) Rfx R^x,
звщки R.x — R^x = (pie —Ле) R}x R^x — (pi — Л) R}x • R^x, що й треба було
знайти.
Н а с л i д о к. Якщо Ло £ С \ а (х)( то х' (Ло) = —х2 (Ло).
На шдстав! б) i насл!дку 2 леми 2 маемо:
х' (Ло) = lim = _ iim х (X,) . х (Хо) = — х2 (Ло).
Х-*0 Л* ~~ Aq K~^Kq
Тепер доведемо теорему 1.
1°. Нехай f (х) лшшний неперервний функщонал на х, ~обто f (х) £ X*. Припус-
тимо, що F (Л) = j (х (Л)) = f (RjX). На шдстав! наслщку з леми 3 для Ло £ о (х)
маемо
F' (Ло)
Г(Л)-Г(Л„)
1т ----т---т----
л Л-о
== lim f
А-->А-о
' X (Л) — X (Ло) \
, Л — Ло /
, Z ,. / Х(Л) — х (Ло) \\
= Н hm - ;--т------- = — / (*2 О-
\Х-*Хо \ Л л0 //
Таким чином, доведено аналНичшсть F (Л),
Дал!, при |Л| > || х|| на шдстав! леми 1 дгстанемо:
I F (Л) | С || f iix. II х (Л) j|x = || f ||х. || (Ле - х)*11| =
II Их*
|Л|
2°. а) Непорожне а спектрасг (х). Нехай о (х) = 0. Тод! на шдстав!
1° для в( якого елемента f Q X* F (Л) — щла функщя, яка прямуе до нуля при | Л | -+
_> ос. Отже, F (Л) = 0, тобто f (Ле — х)-1 — 0 для будь-якого f £ X*-, тод! на шдстав!
наслрдку з теореми Гана — Банаха (п, 3, § 1, розд. IV), х 1 — 0. чогс не може бути,
б) К о мп а кт н i ст ь спектра о (х). Якщо | Л | > || х ||, то на тдстав!
леми 1 елемент Ле — х = Л
оборотний, звщки випливае обмежен!сть о (х),
а водночас i нер!вшсть (2). Замкнешсть т(х) випливае вщразу з леми 2: якщо Ло
регулярне, то оюл | ДЛ | < || х (Ло) || складаеться з регулярных точок, бо (Ло -|-
+ ДЛ) е — х = Лое — х + ДЛе.
Подамо два наслщки з теореми 1.
Наел Цок 1. Банахова алгебра над полем С, яка в полем, !зометрично ieo-
моргЬна С.
Справд!, нехай X е «банахове поле» i х — дов!льний елемент з X. Знайдемо те
Л, для якого елемент Ле — х необоротьий i, отже, е нуль. Ми д!стачемо, що х = Ле.
Легко .зрозу мни, що в!дпов!дшсть хоЛе !зоморф!зм X i С Осюльки || е || = 1,
то || х ||= | Л |. Ми д!стали !зометр!ю X i С.
Наел док 2. Спектр будь-якого ненульового оператора А з L(X, X) не
порожни!.
Це твердження без доведения було сформульоване рашше (див. стор. 202).
3. Георема про -.пектральний рад!ус.
Теорема 2. Мае мйще така формула для спектрального padiyca:
г (X) = lim
Справд!, нехай / --будь-який елемент з X *. На шдстав! теореми
Р (Л) = f (х (Л)) анал!тична на С \ а (х). Зокрема, F (Л) аналпична
IM > ||х||.
У щй облает! на п!дстав! леми 1
. . -1 1 / х \-1 v хП
х(Л) = (Ле-х) =— е-— = S 1^“’
' ' п=0
(3)
1 функщя
в облает!
ЗВЩКИ
оо
F (%) = f (х (Л)) =
п=0
f(xn)
7.п+'
причому цей оозклад правилгний внаслщок леми 1 при | А ] > ||х||, повинен мати
Micue i при 111 > г (х) на шдстав) теореми единого для аналпичних функшй i,
отже,
sup
п
f (хп)
V!+>
Ми дктали, що множина вектор!в х'г/%"+1 е слабко обмеженою, а отже, вона
обмежена сильно. (Цей результат, який )нод) називають принципом р)вном)рноТ обме-
женост), або теоремою Банаха — Штейнгауза, був доведений в § 3, розд. IV; доклад-
шше про це див. у монографг [21], розд. II.) Таким чином, icnye числе с (А), яке
залежить вщ Л, таке, що, ч
?+1
звщки lim [| хп ||1/n < I % | для Bcix {А : | А | > г (х)}, тобто
«-►ОО
lim || хп Ц1/” < г (х).
«—►со
3 другого боку, якщо X н о (х), то V £ о (хп), бо елемент — хп, очевидно, дь
литься на Хе — х.
На шдстав! теореми 1, якщо и £ о (х), то | р. |< || х J.
Припустивши, що ц = з X £ а (х) випливае, що [А[ у ||хп ||, звщки
r(x) С Бш ц . Теорему доведено,
«-►со
§ 3. ДЕЯК1 ДОПОМ1ЖН1 РЕЗУЛЬТАТИ
У цьому короткому параграф! зосереджено ряд допом!жних тверджень, при дове-
денш яких використано стандарта! техшчш прийоми.
1. Теорема про фактор-алгебру Нехай X — комутативна банахова алгебра з
единицею, 7 — щеал в X.
Зазначимо, по. перше, що 7 складаеться лише з необоротних елементГв, бо якщо
г £ 1 оборотний, то для будь-якого х fX ми д!станемо, що (хг-1) г = х £ I, тобто
I трвв!альний, а цен випадок ми виключаемо. По-друге, на шдстав! леми 1, § 2 вщ-
стань в!д единиц! е до будь-якого необоротного елемента, а отже i до будь-якого щеалу,
не менше одинищ.
Розглянемо тепер фактор-проспр X/1 (див. § 1, розд. Ill) i означимо там операщю
множення, назвавши добутком двох клас!в £ ! т] з Х/I той клас S, який мае елемент
х • у, де х i у — представники клас!в g i т). (Перев!рте, що результат не зм!ниться,
якщо х ! у замшити будь-якими шшими пред ставни ками тих самих клас!в g i г), ! що
введена операщя «множення» задовольняе аксюми 1—5, § 1).
Отже, XII стае комутативною алгеброю. Назвемо П ф а к т о р - а л г е б р о ю X
по щеалу /.
Введемо в XII норму, припустивши, що
Uli “= inf || х + z/ ||,
№
де х — представник Е.
Мае м!сце така теорема:
Теорема 1. Якщо X е банахова алгебра, а I — замкнутий 1деал у шй, то факнюр-
алгебра XI1 також е банаховою алгеброю.
Ми повинн! довести, що : 1) функщонал || g|| задовольняе аксюми норми, 2) ХИ
е повним -щсстором вщносно uiei норми.
1) а) lit II = inf II х+ У II > 0 на пщстав! нев!д’емност! норми.
- yQi
Дал!, || 0 ||= inf || 0 + у ||=0. Нехай ||go||=O, тощ Inf || х0 + у || =
у&1 иЫ .
= 0, х0 £ g0. Це означае, що !снуе послщовшсть уп £ I, така, що || хл Н уп || -> 0,
або, шакше, —у„ -> х0. На шдстав! з.амкнутосп ) елемент х0 повинен належати /,
тоб~о § = 0.
Отже, || g || > 0 i || В || = 0 тод! i ильки тод!, коли g = 0.
б) ||Ц|| = inf ||U + p || = |А ] ,nf х+4-
y&J hW а
= | A. |||g || при A =;£= 0;
при К = 0
все очевидно.
В) II £ + n II = inf || X + у + г II = inf || х + и + у + и ||<
г£/
<inf||.x + M + inf[|p + n|| = |ll!l + llnll-
«е ©
Г) || gT) II = inf II ху + г II < :nf II (х + и)(у+ о) || <
г£/ u.vGI
< inf II к + и|| . inf [|у + о II = II g [| • ||Т]||-
Ug/ о£/
д) Е = е + 1, тобто Е2 = еа + / = е + I, отже, Е2 =Е, звщки || Е |[ = || Е2 ||
^g||£|| 2. Але елемент Е не екв!валентний нулю, бо ок!л точки е, як ми зазначили ви-
ще, не мае необоротних.елемечт!в, з яких складаеться I. Отже, 1 || Е ||. Але, з
другого боку, || Е || = inf || е + у ||, тобто || Е || 1. Таким чином, || Е || = 1.
у&
2) Доведемо повнот" Х/I. Нехай gj, ..., g„, ... фундаментальна послщовшсть,
тобто || g„_|_m — gn || < е при п > N (е), m > 1. Виберемо е/г = l/2ft ! номера п*
Маемо: || gn2 — grel || 1/2. Знайдемо представник!в хА £ gni i х2 f g„, так, щоб
|| х2 X, |] kJ 1.
Аналопчно побудуемо х3, ..., хь, ..., Xk £ gnjfeI так що [| xk — хк_, || < 1/2® .
Послщовшсть хк фундаментальна в X, а X повний за умовою. Отже, icnye границя
х0 — Пт хк. Роз"лянемо клас g0 — xQ + I, тод!
k -+ оо
II ink — So II = inf II xk — xa + у || < xk — x01| —- 0.
Отже, gn -> g0> тобто XII повний. Теорему доведено.
2. Три леми. Нам дал! потр!бн! будуть три леми: теоретике' множинна, алгебра“чна
i тополопчна.
Лема 1. Усякий нетрив1альний 1деал .'ее максимальному 1деал1.
Доведения ще! леми грунтуеться на лем! Цорна, сформульовашй на стор. 36.
Справд!, нехай ^} — множина Bcix щеал!в, що мають 1. Множпна частково впо-
рядкована вщносно вкладення: /-^ /2, якщо /, <= /s. Для всяко! л!шйно впорядко-
вано! множини {/„{ГЙ/об’еднаиня |J /а е нетрив!альний 1деал, що е верхньою гран-
ню для {1а}. Отже, на шдстав! леми Цорна / шдпорядкований максимальному еле-
менту, тобто максимальному щеалу.
Н а с л i д о к. Дкщо X не е поле, то в ньому е максимальний 1деал. Бмыие того,
кожний необоротний елемент, в!дм1нний aid нуля, е в деякому максимальному ideaci.
Справд!, в!зьмемо будь-який необоротний елемент х0 =/= 0 i розглянемо сукупшсть
ха X. Це е, звичайно, щеал. Bin мае х0 1 не мае е—одиниц! X, тобто не е трив!аль-
ним щеалом, отже, на шдстав! леми 1 метиться в максимальному !деал!.
Лема 2. Для того, щоб 1деал I шстивп в деякому нетривиальному ideajd Г С
С X, необх1дно й достатньо, щоб алгебр" XII . шла нетрив1альний 1деал.
Доведемо необхщшсть. Нелай I С. Г CZ X, I =4= Г, X 1'.
Розглянемо в клас! £ = х-f- I п!дклас тих для яких х' £ Г. Легко перев!ри-
ти, що дютанемо нетрив!альний !деал в' XII. Достатшсть доводить аналопчно.
Лема 3. Замикання 1деалу 1 е (нетрив!альний) 1деал.
Нетрив!альн1сть випливае з того, що I складаеться лише з сингулярних елемен-
пв, все !нше випливае з неперервност! алгебрагчних операщй.
Н а с л i д о к. Максимальний 1деал замкнутий,
§ 4. OCHOBHI ТЕОРЕМИ
У цьому параграф! X — комутативна банахова алгебра з одиницею.
’. Л1шйн!неперервн! мультиплжативн! функцюнали '• максимальш щеали.
Означения 1. Л!шйний неперервний функщонал f на банахов!й алгебр!
X називаеться мультипл1ка,пивним, якщо для будь-яких х i у
f (х у) = f(x) f(y). (1)
Сукупшсть ycix нетрив!альних л!ншних яеперервних мультишйкативних функщо-
нал!в ми позначимо через
Зауважимо, що лгшйний неперервний мультипл!кативний функщонал ми мог-
ли б визначити, як неперервний гомоморф!змХуЗ. j
Справд!, якщо f £ то
uwKhii, -(2)
бо коли для деякого х0, що за нормою дор!внюе одинищ,
I / Ы | = X > 1, го | f (xg) | = X" В оо,
тобто ми дктали б, що [ не неперервний.
Дал!,
f W = f (е2) = (/ (а))2.
зв!дки або / (е) = 0, тобто f трив!альний, або
нЯ=1- (3)
3 (2) i (3) випливае, що нетрив!альн! л1шйш неперервн! мультипл!кативн! функ-
щонали мають норму одиниця !, отже, %£е шдмножина единично’! сфери в спряженому
простор! X*.
Нульовий пщпроспр функцюналу f (тобто сукупшсть тих х £ X, для яких
f (х) = 0) позначимо Ker f i назвемо ядром }.
Лема 1. Ядро Кег * при f £ М 6 максимальний 1деал.
Справд!, з у £ I = Ker / i х £ X випливае, що
f (У х) = • f W = 0, -обто у • х G Кег /.
Отже, Кег f — щеал. Покажемо, що Ker f - - максимальний щеал Припустимо,
що ±е че так, тобто Ker f можна розширити дс щеалу I Щ X, що м!стать х,^ Кег f.
Але Кег / мае корозм!рн!сть 1 (див. розд. Ill, § 1, п. 6). Отже, елемент е можна зобра-
зити так:
е = Лх0 + у,
le/il Кег f, звщки випливае, що е £ 1. Отже, I — X. Протир;ччя й доводить лему.
Лема 2. За всяким максимальним идеалом М можна однозначно побудувати л1н1й-
ний неперервний мультшийкативний функцюнал f Q такий, що М = Ker f.
Справд!, на шдстав! наслщку з леми 3, § 3, М — замкнутий щеал. Застосувавши
теорему 1,8 3, д!станемо, що XIM е банахова алгебра. Але на шдстав! леми 2, § 3,
XIM не мае нетрив!альних щеал!в, тобто алгебра X!М не мае сингулярних елемент!в,
в!дм!нних в!д нуля (див. висновок з леми 1, § 3). Отже, Х/М е поле, яке е банаховою
алгеброю. -
На шдстав! наслщку 1 з теореми 1, § 2, поле Х/М гзоморфне С. Це, за означениям,
означав, що для будь-якого х (j X знайдеться однозначно число f (х) £ С таке, що
x = f(x}-e + u, и£М. (-4)
Покажемо, що / ё гемоморф!зм. Доведемо, наприклад, що f (х у) —
= f(x) • f (у). Маемо
х = / (х) е + и, и£М,
y = f (У) -e + v, v£ М,
зв1дки ху = f (х) f (у) е + w, w £ М.
Але це й означае, що f (х • у} — f (х) • f (у). Сшввщношення f (х + У) =
— f W + f (у) i f (М = V W доводиться аналопчно. KpiM того, якщо х f уЦ, то
з (4) випливае, що f (х) = 0, а якщо х — е, то / (х) = 1 Лему доведено.
Отже, ми д: стали, що м!ж максимальними !деалами {44) i функщоналами [зМ
!снуе взаемно однозначна вщповщшсть Тому умовимося позначати фуйкщонали
з через fM, а буквою М — максимальш щеали, яю 1м вщповщають. Для множини
Bcix максимальних !деал!в {44} використовуватимемо ту саму букву, що й для мно-
жини {fM}, яка !й вщповщае.
Нехай х — якийсь елемент з А'.
Розглянемо функщю х (44) на множин! Д1, задавши и формулою
х (44) =7^ (х). (5)
(Значения функцп х (44), побудовано! за елементом х, на максимальному щеал! 44
дор!внюе числу fM (х), тобто значению на елемент! х гомоморф!зму, що вщповщае
щеалу 44). Ми д!стали реал!зац!ю елеменпв алгебри X у вигляд! функщй на множин!
М, про яку йшлося в к!нщ § 1.
2. Тополопя в множин! уЦ. Основн! теореми. Нам залишилося довести, що уЦ
компактне в деяк!й топологи i що функщ! х (44) неперервн! в т!й самш топологи.
Ми вже зазначали, що уЦ е пщмножина одинично! кул!. 3 другого боку, в п. 4,
§ 3, розд. IV було роз^лянуто доведения для сепарабельного випадку такого твер-
дження:
единична куля простору X*, спряженого до банахового простору, компактна
в *-слабкш топологи.
Доведения ще! теореми в загальному випадку можна знайти, наприклад, в [21],
стор. 459.
Нагадаемо, що *-слабка тополог! я визначаеться системою окол!в
иХ1...Хт е (fo) = {f 6 X* ' \f(Xk)— fo (xk) | < 6, k = 1.m). (6)
Множину yff ми розглянемо саме в *-слабк!й топологи. Компактшсть уЦ випливае
з сформульованого вище результату ! тако! леми:
Лема 3. Множина е замкнута шдмножина одинично] кул] в X* Д функци
х (44) неперервн] на М.
Справд!, нехай функщонал f0 належить замиканнюуИ- Це означае, що “всередин!
будь-якого базисного околу вщображення fa знайдеться гомоморф!зм fM, породжений
максимальним щеалом 44. В!зьмемо околи Uxyx_^y 6 (f0). На пщстав! (6) i озна-
чения х (44) дктанемо
11м W - fo (х) I < б>
I fM (У) - fo (У) I < б.
(7)
11м (х + У) — fo (х + у) | < б.
Але f е гемоморф!зм, тобто fM (х + у) = fM (х) + fM (у). Тод! з (7) випливае, що
fo (я + у) = fo (X) + fo (У).
Аналог!чно доводить, що f0 (ax') = af0(x) i f„ (ху) — fQ (х) • /0 (//)• (Треба взяти
оКОЛИ (fo) ' ^х,у,ху.й
Отже, / е неперервний л!н!йний мультипл!кативний функщогал. Дал!, взявши
околи Ue в, Цо), дктанемо, що /0 (е) =1, тобто (0 петрив! альний. Отже, f0 й ЯЛ.’ тоб-
то Хдзамкнута. Покажемо, що функщя х0 (Af) = f0 (х) неперервна на Ц.
Нехай Мо f Л- Для в > 0 в!зьмемо омл Ux (Мф). Якщо Я1 £ UXofi, то на
шдстав) (6) матимемо
I ?м <*о) ~ ?М, (Хо) I = I *о (Af) — xQ (Af0) | < б.
Але не й означае неперервшеть функци x'J (М) у точщ Л40. Лему доведено.
Теорема 1. Шдображення х^х (Af) задав гомоморфизм алгебри Хе алгебру С
неперервних функций на компактному хаусдорфовому npocmopi Al максимальних ide-
ал1в алгебри X; при цьому
|| х (М) || = шах | х (Af) | С || х ||. (8)
На шдстав! сказаного вище в цьому параграф!, нам треба довести лише сп!вв!дно-
шення (8).
Зауважимо, що для всякого М елемент х -> fM (х) е за означениям fM (х) належить
идеалу М, тобто е необоротним. Тому (х) £ о (х). 3 другого боку, взявши будь-
яке число Ло = (х), ми виявляемо, що х — Л.пе необоротний i, отже, належить мак-
симальному !деалу М, звщки 0 = fM (х — ^е), тобто л0 = fM (х). Таким чином, образ
XI при вщображенн! х (Af) зб!гаеться з о (х). Отже, на п!дстав! твердження 2° теореми
1, § 2, дктаемо, що нер!вшсть (8) справедлива.
Нам треба уточнити лише теорему 1 при р!зних припущеннях про алгебру X.
Зведемо означения трьох понять.
Означения 2. Перетин R — Г) М вс!х максимальних !деал!в називаеться
м с М
радикалом X. Якщо 7? —- {0}, то кажуть, що X не мае радикала. Банахова алгебра
X називаеться регулярною, якщо || х2|| = || х ||2. Банахова алгебра X називаеться
симетричною, якщо для всяко-! функци х (М) знайдеться елемент у £ X такий, шо
у (М) = х (AI). (Риска означае комплексне спряжения).
Теорема 2. а) Якщо радикал алгебри X складаеться з одного нуля, то eido6pa-
ження х -> х (М) — взаемно однозначне.
б) Якщо алгебра X регулярна, то X (зометрично гзоморфназ ceo'iM образом eCj^,
зокрема, X не мае радикала.
в) Якщо алгебра X симетрична, то образ X при в1дображенн1 х -» х (М) скр1зь
ифльний в С j .
г) Якшр алгебра X мае властивосгт б) i в), то X 1зометрично 1зоморфна С.,ц.
Доведения. Спочатку виведено останне твердження з !нших. На шдстав!
б) взаемно однозначне вщображення хн(х (Af)) е !зометр!ёю: || х ||х = шах | г (Af)|.
м е At
На шдстав! в) {х (Af)} скр!зь щ!льне в Але X — повний npocTip. Отже, i {х (А1)}
’ внаслщок р!вност! норм в X i в С jyj повне, звщки {х (Af)} = С
Доведемо а). Нехай х0 0, а х0 (А1) = 0 на XI- Це означае, що /Д1 (х0) = 0 для
acix М, тобто х0 f Ker fM для вс!х М, отже, х0 f R. Але R = {0}, звщки х0 = 0.
Протир!ччя й доводить а); Для доведения б) зауважимо, що з р!вност! || х2 || = Ц х||2
вщразу випливае, що
О п____
lim /1| x2n || = || х ||.
П м
Застосувавши теорему про спектральний рад!ус (теорема 2, § 2), д!стаемо, що
г(х)=||х||. (9)
Тод! з (9), по-перше, випливае, що радикал складаеться лише з нуля, бо коли
припуститч, що 0 =4= х0 £ R, то звщси випливае, що для Bcix М вираз fM (х0) = 0,
тобто о (х) збшаеться лише з нулем, що суперечить тому, що г (х0) = || х0 || #= 0.
Даль з (9) виплива що вщображення х х (М), яке е 1зоморф!змом X i вщпо-
вщно!' пщалгебри {х (44)) в буде !зометр!ею, бо на пщстав! (8)
IIх Wile,, = max I * W I =/(*) = 11*11-
Л4 mqM
Для доведения в) треба використати одну з дуже щкавих теорем алгебри и ана-
л!зу — теорему Стоуна — Вейерштрасса, яка читаеться так:
Нехай А е тдалгебра банахово! алгебри СТ неперервних функций на компакт! Т
така, що:
1) одиниця (тобто функц1я е (!) == I) належить А;
2) алгебра А под!ляе точки Т (тобто для будь-яких !ф=!^ !снуе функщя х (!) £ А
така, що х (!() х (/2));
3) алгебра А !нвар!антна щодо комплексного спряжения (тобто з х (t) (й А
випливае, що х (I) f А).
Todi А скр!зь щ!льна в СТ.
Доведения теореми Стоуна — Вейерштрасса див. у [13], стор. 53—56; [21],
стор. 296—297; [26], стор. 20.
Доведемо тепер в). Нехай А = (х(41)} означае образ X при вщображенн!
хох (44).
3 (4) вщразу випливае, що е(М) = 1, тобто е (44) = 1 £ А. Нехай 44, 1 44 2
два р!зн! максимальш щеали. Це означае, що icnye елемент х0, що належить 441 1 не
належить 44 2 (або навпаки), звщки
(All) = fat, (*о) = 0, х0 (442) = /Л12 (х0) =£ 0,
тобто А подмяе точки Д,(. Дал!, за самим означениям, симетрична алгебра А шварь
антна щодо комплексного спряжения. Застосування теореми Стоуна — Вейерштрасса
пщводить нас до в). Теорему доведено.
3. Теорема Вшера; вправи. Застосування теорп банахових алгебр дуже р!зн1.
Нагадаемо ряд тверджень з алгебри i анал!зу, ям вже були розглянутк
Банахова алгебра над полем С, яка в полем, !зометрично изоморфна С.
Спектр будь-якого ненульового обмеженого оператора в банаховому простор! нё
порожни!.
Для будь-якого обмеженого оператора А в банаховому простор! X !снуе гра-
ниця lim у || А п || = г (Л), i спектр А повшетю лежить у круз! г (А).
Доведемо тег ер, використавши теор!ю комутативних банахових алгебр, таку
теорему Вшера:
Якщо функщя х (0) розкладаеться в абсолютно зб1жний ряд Фур'е х (0) =
ОО
= V. *&е'А0 I рде не перетворюеться в нуль, то й функщя у (0) = 1/х (0) також
оо
розкладаеться в абсолютно зб!жний ряд Фур’е.
Розглянемо алгебру абсолютно зб!жних ряд!в (див. приклад 4, п. 2, § 1). Знай-
демо npocrip для Легко зрозумИи що гомоморф!зм !1 в С досить задати на функ-
цп х0 (/) = elt i дал! в!н пошириться на однозначно. Припустимо, що (х0) =
= f/л (eli) £• ТоД’’ ?м (V/ = (е~1Ь = На пщстав! (2)
IИ = I fM (*«) । < Д = 1 ’ 1^1=1^ (V1) 1 = И V1 II = 1 .
звщки |£|= 1, тоб'.о ‘ = е*6- Ми д!стали, що Д[ перебувае у взаемно однозначшй
вщповщносп з колом | £ | = 1. Той факт, що функц!я х (0) xkel№ не перетворю-
k
еться в нуль Hi при яких —л <1 0 < л, означае, що послщовшсть х= (..., х_п, ...,
х0, ..., хл, ...) не належить жодному максимальному щеалу. Отже, на пщстав!
наслщку з леми 1, §3, ця чослщовн>сть оборотка в алгебр! ZP Припустимо, ще
У = Я”1 = (••> У-п> ’ Уо..Уп> •••)• Тода,
00 . 1 1
У (Л4) = fM (</) = 2 У^кв = f = -77^- =---------------S’
k=—оо
що й треба було знайти.
Два iHiui важлив! застосування теорп банахових алгебр — спектральиу теорему
для обмежених оператор!в ! теорему Стоуна — Чеха — ми сформулюемо нижче у
у вигляд! вправ (див. вправи 8 i 9). »
Вп р а в и. 1. а). Показати, що прост!р максимальних !деал!в алгебри фк (див.
приклад 3, п. 2, § 1) можна взаемно однозначно i неперервно з!ставити з точками еди-
ничного круга j z | 1.
б). Показати, що jt регулярна, симетрична ! не мае радикала.
2 Чому не можна стверджувати, що I, (див. приклад 4, п. 2, § 1) !зометрично
!зоморфна простору Cjj, тобто простору Bcix неперервних функщй на кол! |£| = 1?
3. Довести, що мае м!сце теорема:
СЮ со
Нехай х (г) — 2 хрзк , 2 | х^ | < оо, причому х (г) О при | z | <] 1. Todi
k=0 fc=0
1
* (Z)
функция у (г) =
розкладаеться в ряд Тейлора, який абсолютно зблгаеться при
4. Позначимо через Сп [а, 6] сукупшсть п раз неперервно диференц!йовних
на [а, Ь] функщй x(t).
а) Показати, що С" I a, fe] стае банаховою алгеброю щодо звичайних операщй
i норми, яка задаеться Формулою:
11*1 = У '7Г maxJ x(k) W ''
' б) Знайти максимальш щеали Cn [a, 6] (див. [13], стор. 19, 20).
в) Перев!рити, що Сп [а, Ь] е симетрична алгебра без радикала. Що дае в цьому
випадку застосування теореми 2? *
5. Нехай CBV [0, 1] означае алгебру неперервних комплексних функщй обмеже-
но1 вар!ацп на вщр!зку [0, 1] з нормою
II х || = sup | х (Z) | + Var (х, [0, 1]).
Osg 1
а) Показати, що CBV [0, 1] е банахова алгебра.
б) Знайти , максимальш щеали ц!е! алгебри.
6. Навести приклад банахово! алгебри, яка зб!гаеться з сво!м радикалом.
- 7. Описати вс! замкнут! щеали в алгебр! С [а, 6].
8. Нехай Т — щлком регулярнии тополопчний проспр (див. п. 6, §5, розд. II).
Позначимо через Вт множину вНх вйзпачених на Т обмежених комплексних функщй
!з звичайними операщями ' ! нормою || х || = sup | х (/)|.
<6 7
а) Перев!рити, що ВГ е регулярна симетрична алгебра без радикала.
б) Показати, що точки Т гомеоморфно вкладаються в проспрмаксимальних
щеал!в алгебри Вт, причому образ Т при цьому вкладенш е в Д скр!зь пильною шд-
множиною. »
в) Показати, що будь-яка обмежена комплексна функщя на образ! Т при цьому
вкладенш допускав едине неперервне продовження на
Ствердження б), доповнене тим, що М е компакт (ця остання обставина вщразу
випливае з а), якщо застосувати теореми 1 i 2, § 4, становить зм!ст вщомо!' теореми
Тихонова про б!компактне розширення). Твердження в) належить Стоуну i Чеху.
Б!компактне розшизення, що мае властив!стю в), називаеться максимальним. Тверд-
ження в) означае, що — максимальне б!компактне розширення (див. [22], стор. 23).
9. Нехай Н — пльберт!в npocTip. В алгебр! (Н, Н) розглянег.о комутативну
подалгебру В (Ло), пород „гну (тобто таку, що е замиканням лппйно’! оболонки степе-
н!в Ло) :амоспряженим оператором Ло.
а Показати, що В (Ло) регулярна i не мае радикала.
б) Показати, що В (Ло) симетрична, причому
х (44) = х* (М),
де х* — оператор, спряжений до оператора х £ В (Ло), х (М~) — вщображення, по-
будоване в § 4.
3 приводу б) див. також вправу 10 в).
Застосування теореми 2, § 4, до алгебри В (Ло) веде до так звано! спектрально!
теорема для самоспряжених оператор!в (див. [22], розд. X; [26], розд. II).
10. Кажуть, що банахова алгебра (необов’язково комутатйвна) е алгебра з !нво-
люц!ею, якщо е вщображення X X, яке мае властивост!:
(х + </)* = х* + у*, (ху)* = у* х*, (ах)* = ах*, (х*)* = х.
, Алгебра з !нволюц!ею називаеться В*-алгеброю, якщо, ’:р!м того, [| хх* [| = ]| х ||3.
'а) Показати, що алгебра»/. (Н, Н) — В*-алгебра (див. [22], с-ор. 26).
б) Показати, що комутатйвна В*-алгебра регулярна (див. [22], стор. 2('.
в) Показати, що В * -алгебра симетрична, б!льше того х (44) = х* (М) (див.
[22], стор. 27, лема Аренса).
3 твепдження б) i в) в поеднанн! з теоремою 2 випливае такий результат, який
належить Гельфанду i Неймарку ! який'йазивають !нод! основною теоремою теорц
комутативних банахових алгебр:
Комутатйвна В*-алгебра !зометрично изоморфна алгебр! С! при цьому 1зомор-
ф!зла х (М) = х* (44).
Отже, абстрактний алгебра'1'чний об’ект, описаний двадцятьма чотирма акс!омами
(13 акс!ом комутативно! алгебри,. 5 акс:ом, пов’язаних з нормою, аксюма повноти i
5 акс!ом 5*-алгебри), можна оеал!зувати у вигляд! алгебри вс!х неперервних функщй
на компактному хаусдорфовому тополопчному простор!.
Цей результат дае змогу розглянути з едино! точки зору так!, вдавалось би, дуже
далек! один в!д одного факта, як теорему В!нера про абсолютно зб!жн! твигономет-
ричн! ряди, теорему про осектральний позклад самоспояженого оператсра, тополо-
г!чн! теореми Тихонова, Стоуна i Чеха та ряд !нших.
Л1ТЕРАТУРА
1. А в е р б у х В. И., С м о л я н о в О. Г., I сория дифференцирования в линейных
топологических пространствах, УМЫ XXII, вып. 6 (138) (1967), 200—260.
2. А л е к с а н д р о в П. С., Введение в общую теорию множеств и функций,
Гостехиздат, 1948.
3. Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов^,
•Наука»;?! 966.
4. Банах С., Курс функц1онального анал!зу, «Радянська школа», Ки1в. 1948.
5. Березанский Ю. М., Разложение по собственным функциям самосопря-
женных'операторов, «Наукова думка», Киев, 1965.
6. Бохнер С., Лекции об интегралах Фурье, Физматгиз, 1962.
7. Бурбаки н., Общая топология Основные структуры, Физматгиз, 1958.
!. Бурбаки Н., Теория множеств, «Мир», 1965.
9. Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959.
10. Виленкин Н. Я. и др., Функциональный анализ (серия «Справочная
математическая библиотека»), «Наука», 1964.
11. Винер Н., Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Физматгиз, 1963.
12. Винер Н., Пэли Р., Преобразование Фурье в комплексной области
«Наука», 1964.
13. Гельфанд И. М., Райков Ц. А., Шилов Г. Е., Коммутативные норми-
рованные кольца, Физматгиз, 1960.
14. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 1;
Обобщенные функции и действия над ними, изд. 2, Физматгиз, 1959.
15. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 2;
Пространства основных й обобщенных функций, Физматгиз, 1958.
16. Г е л ь ф а и д И. М., Шилов Г. Е , Обобщенные функции, вып. 3;
Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз* 1958.
17. Г е л ь ф а н д И. М., Виленкин Н. Я-, Обобщенные функции, вып. 4;
Некоторые применения гармонического анализа. Оснащенные гильбертовы
пространства, Физматгиз, 1961.
18. Г о х б е р г И. Ц., Крейн М. Г., Введение в теорию линейных несамосопря-
женных операторов, «Наука», 1965.
19. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г., Теория вольтерровых операторов в гиль-
бертовом пространстве и ее приложения, «Наука», 1967.
20'. Вулих Б. 3., Теория полуупорядоченных пространств, Физматгиз, 1961.
21. Дандорф Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория,
ИЛ, 1962.
22. Данфорд Н., Шварц Дж. Т.. Линейные операторы. Спектральная теория,
«Мир» 1966.
23. Дэй М., Линейные нормированные пространства, ИЛ, 1961.
24. Дьедонне Ж., Основы современного анализа, «Мир», 1964.
25. 3 игмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1, 2, «Мир», 1965.
26. Иосида К., Функциональный анализ, «Мир»,.’967
il. К а.н т о р о в и ч Л. В., Функциональный анализ и прикладная матема-
тик! , УМН III, вш 6 (28) (1948), 8^-185.
28. К а к т о р о в и ч Л. Б., Акилов Г. П., Функциональный анализ в норми-
рованных пространствах, Физматгиз, 1959-
448 Jlimepamypa
29. Келли Дж. Л., Общая топология, «Наука», 1968.
30. Красносельский М. А’., Топологические методы в теории нелинейных
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, 1956.
1. Куратовский К., Топология, т. I, «Мир», 1966.
32. Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, ГТТИ, 1934.
33. Л о э в М., Теория вероятностей, ИЛ, 1962.
34. Л ю м и с Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, 1956.
•35. М и х л и н С. Г., Лекции по интегральным уравнениям, Физматгиз, 1959.
36. 1орен К., Методы 'ильбертоаа пространства, «Мир», 1965.
37. Най марк М. А., Нормированные кольца, изд. Ря/Наука», Т968
38. Н а й м а р к М. А., Линейные дифференциальные операторы, изд. 2, «Наука»,
1969.
39. Н а т а н с о н 1 П„ Теория функций вещественной переменной, изд. 2,
Гостехиздат, 1957.
40. Плеснер А. И., Спектральная теория линейных операторов, «Наука», 1965.
41. Рисе Ф., Надь Б. С., Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954. <
42. Робертсон А., Робертсон В., Топологические векторные пространства
«Мир», 1S37,
43. гудин У., Основы математического анализа, «Мир», 1966.
44. Сакс С., Теория интеграла, ИЛ, 1949
45. Титчмарш Е., Введение в теорию интетралов Фурье, Гостехиздат, 1948.
46. Трикоми Ф., Интегральные уравнения, ИЛ, 1960.
47. Френкель А., Бар-Хиллел И, Основания теории множеств, «Мир»,
966.
48. /. алмош П., Теория меры, ИЛ, 1953.
49. алмош П., Конечномерные векторные пространства, Физматгиз, 1963.
50. X а л м о ш П., Лекции по эргодической теории, ИЛ, 1959.
51. Хилле Е., Филипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, ИЛ, 1962
52. Шилов Г. Е., Математический анализ. Второй специальный курс, Физмат-
гиз, 1965.
53. Ш и л о в Г. Е., Гуревич Б. Л., Интеграл, мера и производная. Общая
теория, «Наука», 1967.
54. Ш и л о в Г. Е., Ф а н Дык Т и н ь, Интеграл, мера и производная на линей-
ных пространствах, «Наука», 196/.
55. Э д в а р д с Р., Функциональный анализ, «Мир», 1967
56. Schwa rztz L., Theorie des distributions, I, II, Act. Sci. Ind., 1091, 1122,
Paris, 1951.
57. Fraenkel A., Abstract Set Theory, Amsterdam, 1953.
РОЗПОД1Л Л1ТЕРАТУРИ ПО РОЗД1ЛАХ
Роздал I. 2; 8; 47; 56.
Розд1л 11. 2; 4; 7; 24; 29; 31.
Розд л III. 4; 9; 10; .3, 15; 17; 20; 21; 23; 24; 26—28; 34; 36; 37;
41; 42; 49; 5t; 55.
Роздал IV. 3—5; 13—19; 21—23; 26; 34; 36—38; 40; 52; 57.
Роздал V. 12; 21; 32; 33; 39; 41; 44; 48; 50; 53; 54.
Роздм VI. 21; 28.
Роздал VII. 32; 39; 41.' 44; 53.
Роздал VJIJ. 3; 11; Ю; 14—17; 25; 52.
Роздкл IX. 35; 46.
Роздал X. 1- 24; 28; 30; 43; 51.
Додаток. 13; 21; 22; 26.
ПРЕДМЕТНИЙ ПОКАЖЧИК
Абсолютна неперервшсть
— 1нтеграла Лебега 258,
— М1ри 226
Абстрактна функц!я 417
Абстрактне р!вняння Фредгольма першого
роду 405
Адитивний функщонал 108, 109
Аксюма вибору 33
— нормальност! 82
— Цермело 34
Аксюмэтична теор!я множин 33
Акс1ома вщд!льност! 81, 7j 81, Tz 82, Г3 82, Та
82
Аксюма зл!ченност1
— перща 76,
— друга 77
Алгебра 44
— аналпичних функщй у круз! 434,
— I, 434
— множин 35, 36
— з шволющею 446
Алгебра!чна розм!ршсть 108, 122
АлгебраУчно спряжений прост!р 156
Алгебра'1'чщ дп над вихпрними функщями
243
Алгебра‘1чне число 20
Антисиметричщсть 26
Вщкрита множина
— в метричному простор! 53
— в тополопчному простор! 73
В1дкрите покриття 78
В1дкрит!сть множин обортних елеменпв ба-
нахово’! алгебри 437
Вщкритий в!др1зок 112 /
Вщкрита куля 49
Вщносна тополопя 75
В!дношення екв!валентност! 16
Вщображення 14
— «у» 14
— «на» 14
— л1н!йного тополопчного простору у дру-
гий спряжений 163
— що збер!гае порядок 27
Вщокремш тополопчн! простори 145
Вщокремшсть сильно! топологи в Е* 158
Вщстань в метричному простор! 41
— м!ж двома множинами 56
— м!ж кривими 103
— вщ точки до множини 56
Власне значения 200
Властивост!
— !нтеграла Лебега 253
— зл!ченних множин 20
— повно! Bapian.il 287
База топологи 74
Базис у ск1нченновим1рному лЫЙному про-
стор! 106
— Гамеля 107, 151
Банахова алгебра 433,
— обмежених операторов 435,
— регулярна 443,
— симетрична 443
Банаховий npocTip 120
Б1екщя 18
Б1компакт 91
Бшомпактний тополопчний npocrip 91
Б1л!н!йне воображения 420
Б1нарне в!дношення 17
Борел^вська функщя 242
Борел 1вська множина 40
В*-алгебра 446
Будова класу множин, вим!рних за Лебегом
234
Вага 342
Вар!ащя заряду, верхня, нижня, повна 303
Векторний простер 104
Верхня границя функци в точц! 88
Верхня грань 34
Взаемно однозначна в!дпов1дн!сть м!ж л1-
н^йними функционалами 1 г!перплощинамн
112
Визначальна система окол!в 77
Виключаюче «або» 13
Вим1рна функщя 241, 242
Вим1рн1сть за Каратеодор! 236
Випадкова величина 310
Вщшмання множин 12
Геометричний смисл норм линйного функ-
цюналу 154
Пльбертова цеглина 93, 113
Пльберпв npocrip 133
— д1йсний 330,
— комплексний 331
Пперплощина 111
Гливепко В I. 386
Глобальна зб!жн!сть ряду Фур’е 352
Гомеоморф1зм
— метричних простор!в 48
— ТОПОЛОГ1ЧНИХ npOCTOpiB 80
Гомоморф!зм алгебр 433
Гранична точка множини
— в метричному простор! 50
— в тополопчному простор! 73
Граничний перехщ п!д знаком штеграла
Ст1льтъеса 315
Границя послщовност!
— в метричному простор! 50
— справа ! зл1ва 277
ДвоТстий базис 159
6-алгебра 39
6 кмьце 39
6-похщна 177
6-фуикщя ПО, 153, 169, 170, 176
Детермшант
— - Грамма 345
— Фредгольма 410
Дисперс1я 310
Диференщал
— Гато 414
— Фреше 413
Диференц!али вищих порядков воображения
442
Диференщальн! ровняйня в клас! узагальпе-
них функщй 181
Дигональна процедура Кантора 23, 24
Д!аметр множин 60
Добуток
— Mip 269
—• onepaTopiB 192
— порядкових чисел 30
<— функц!оналу на число 156
Довжина криво! в метричному простор! 102
Додавання оператора 156
Доповнення множин 13
Достатн! умови м!н!муму функцюналу 427
Друга аксюма эл!ченност! 77
Друга пох!дна воображения 420, 422
Евкл!д1в прост!р 123
Екв1валентшсть
— множин 21
— норм 122, 147
Екв!валентн! функци 245
Екстремум функцюналу 423
Елементарна множина на площин! 216
8-ок1л 49
8-сотка 92
Задача Кош! 68—70
— для р!вняння теплопров!дност! 372 (на
площин! 375)
Замкнута куля 49
Замкнута множина
— в метричному простор! 52
— в тополопчному простор! 73
Замикання множин
— в метричному простор! 49
— в тополопчному простор! 73, 84
Замкнута ортонормальна система 130
Замкнуте покриття 77, 78
Замкнутий
— вщрозок 112
— пщпроспр нормованого простору 121
Замкнутость
•— максимальних !деал!в 441
— множини необоротних елеменпв банахово!
алгебри 438
Заряд 301
— неперервний, дискретний, абсолютно непе-
рервний i сннгулярний 303
Зб!жн!сть послщовност!
— в метричному простор! 50
— в тополопчному простор! 78
Зб!жнють
— в простор! К 175
— в L, 331
— в S 186
— в середньому 322
— в середньому квадратичному 328 (зв’язок
з 1ншими посл!довностями 331)
— за м!рою 247, 332
— майже скр!зь 245, 332
Зв’язна двоточка 74, 81
Зв’яЗНОСТЬ водкрито! множини 56
’— тополопчного простору 78
Згортка 370
— функшй з обмеженою зм!ною 386
Зсув’ вщкрито! множини 144
Злоченна
— компактнють 89
— множина 19
Зл!ченний базис м!ри 324
Зл!ченн!сть
— множини рац1ональних чисел 19
— ортогональних систем в сепарабельному
евклщовому простор! 126
Зл!ченно*г!льбертовий прост!р 148
Зл!ченно-компактний тополог!чний прост!р 89
Зл!ченно-нормований проспр 146
Зл1ченно-передкомпактна множина 91
Тдеал
— в к!льц! 208
— комутативна!4 алгебри 435
Гзольована точка множини в метричному
простор! 50
1зометричн!сть вщображення нормованого
простору у друге спряжене 164
5зометр!я 48
Гзометрично !зоморфн! алгебри 434
1зоморф1зм
— алгебр 434
— лппйних простор!в 106
— м!ж пльбертовим простором i Йому спря-
жен им 159
— сепарабельних пльбертових простор!в 134
(комплексних 143)
— частково-впорядкованих множин 27
Хндпкатор 26
Гнтеграл
— абстрактно! функц!! 417—418
— Д!р!хле 349
— як о-адитивна функшя множини 259
Iнтеграл вщ просто! функц!! 251
— по множин! 253
— Пуассона 373
— 'Р!мана-----Спльтьеса 312
Тнтеграл Лебега 250
— невизначений 276
— невластивий 266
— по множим! нескшченно! м!ри 263
— основы! властивост! 253
[нтеграл Лебега — Стщьтьеса 308
по монотонн!й функц!!’ 308
— по функцп обмежено! варо'ацГ/ 309
Iнтеграл Фур’е 359 (в комплексна форм!
362) див Перетворення Фур’е
1нтегральна нер!вн!сть
— Гельдера 45
— Komi—Буняковського 44
— М!нковського 47
1нтегральне р!вняння 391
— Абеля 391
— Вольтерра 71, 392, 405
— Фредгольма 70 , 391, 198, 405
1нтервал у множин! порядкових чисел 89
1н’екщя 14
1нтериров^н! ядра 410
1снування зл!ченно! бази у щлком обмеже-
них метричних простор1’в 92
Канторова множина 54
— точки першого i другого роду 55
Канторов! сходи 294
К!льце множин 35
— елементарних 216
Класи сум!жност! по пщпростору 108
Коефоцоенти Фур’е 131, 143, 334, 349
— однозначность визначення функци 359
— по ортонормалыпй систем! 128
Компакт 85
Компактний оператор у г!льбертовому про-
стор! 210
Компактний тополог!чний проспр 85
Компактность
— замкнутих п!дмножин компактного про-
стору 94
— спектра елемента алгебри 438
— зл!ченно-компактного метричного простору
94
Комплексний
— евклщовий прост!р 141
— пльбертовий простор 143
Композиц!я
— борел!всько! функцп з вим1рною 242
— вим1рних функщй 242
Компонента в!дкрито! множини 56
Комутатйвна алгебра 434
Континуум-ппотеза 33
Контрприклад до теореми Фу б! и! 274
Координати вектора в евклщовому простор!
128
Коректна задача 406
Корозм1рн1сть 108
— ядра л1Н1йного функц!оналу НО
КритерШ бази топологи 75
Критерий BUMipHocri
— функци 249
— просто! функщ! 250
Критерий компактност!
— метричного простору 94
— тополопчного простору 85
Критер!й неперервност!
•— Л1Н1ЙНОГО функцюналу в лшШному про-
стор! 150
— лшШного функцюналу на нормованому
простор! 151
Критер!й повноти
— метричного простору 60
— ортогонально!’ нормованоГ системи 132
— зл1ченно-нормованого простору 148
КритерШ
—• граНичност! точки в ТУпросторах 81
— передкомпактност! множини в повному
метричному простор! 95
Критерий слабко! зб!жност!
— в нормованому простор! 167
— послщовност! функц!онал!в 170
Критер!й сумовност! -
— просто! функци 251
зл!ченно'1 компактност! тополопчного про-
стору 90
Критерий того, що система множин е бази-
сом дано! тополог!! 76
Кут м!ж векторами 123
Ламан! Ейлера 98
Лебегова Mipa 220, 233
Лебегове продовження м!рн 233, 235
— повнота 236
Лема
—* Аренса 446
— Гейне — Бореля 84
— про замкнутость Im (I — А) 402
— про побудову мультипликативного функ-
ционалу по максимальному идеалу 441
— про прямування до нуля коеф!щент!в
Фур’е сумовно! функц!! 350
— про обороппсть елеменпв, близьких до
единичного 437
— про р!вном!рне прямування до нуля кое-
ф!ц!ент!в Фур’е компактно! множини функ-
щй 354
— про розклад Нльбертового простору в
пряму суму Ker (I—A) i Im (1~А) * 403
— про ядро мультипликативного функциона-
лу 483
— Pica про множину невидимих точок 281
— Цорна 34
Л!н!йна впорядкована множина 28
Л!н!йна многост а тн!сть 122
*’• абсолютно неперервних функций 296
— в пльбертовому простор! 135
Л!н!йне замикання 122
Л!н!йний оператор 187
— граф!к 196
— замкнутий 196
-— неперервний 187
— обмежений 190, 191
— приклади 188
— самоспряжений 199
•— спряжений до даного 197
— ерм1тово спряжений 199
Л!н!йний проспр 104
ЛшШний функцюнал 108, 150
Локальна обмежен!сть нормовапого простору
146
Локальна опуклють
— иормованого простору 146
— сильно’! тополоп’!’ в Е* 158
Локально обмежений тополопчний лиййний
прост!р 145
Максимальный елемент 27
Максимальний !деал 435
— алгебри С? 435
Максимальний ланцюг 34
Максимум функцюналу 423
Математичке следования 310
Метод
— дотичних 428
— математично! !ндукцп 34
Метод Ньютона 429
— модиф!кований 430
— приклад 431
Метод поел!довних наближень 65
— характеристичних функщй 387
Метризовнпй npocrip 84
Метричний компакт 91
Метричний проспр 41
Мжшальна (Т-алгебра 40
Мппмальна тополопя, породжена системою
множин 74
М!н!мальне к!льце, породжене системою мно-
жин 37
М!н!мальний елемент 27
М!шмум функцюналу 423
М!нор Фредгольма 410
Mipa 216
— абсолютна неперервгпеть 226
— дискретна 226
— ia зл!ченним базисом 324
— на п!вк!льщ 227
— неперервна 223
*— повна 236
— 6-адитивна 229 (приклад 230)
— 6-скшченна 237
Mipa Лебега 220, 232
— неперервшсть 234
— повнота 236
— п-вим!рна 270
Mipa Лебега — Спльтьеса 226, 307
— абсолютно неперервна 307
— дискретна 307
— сингулярна 307,
—* TBipna функщй 307
Многочлени
— Ерм!та 343
— Лагерра 344
— Лежандра 337
— Чебишова 342
Множина 11
— ви м ip на 233, 237
— вим!рна по Жордану 239
— вим!рна щодо 6-к!льця 239
— додатна або в!д’емна щодо заряду 301
— одиозна чн!сть м!ри 241
— о'-однозначност! м!ри 241
Мультипл’шативний функцюнал 441
ц-вим!рна функщя 242
«На’Гвна» теор!я множин 33
Напрямлена множина 27
Невидима справа або зл!ва точка 280, 281
Невиключаюче «або» 13
Невим!рн1 множини 226
Незв!дн!сть <г «алгебри 40
Незл!ченн! множини 19
Незлёченшсть множини д!йсних чисел’ 22
Некомпактшсть единичного оператора в ба-
наховому простор! 203
Необоротний елемент алгебри 437
Необх!дна умова
— екстремуму функцюналу 424
— контрприклад 428
— м!н!муму функцюналу 427
Неперервна крива в метричному простор! 102
Неперервне в!дображення
— метричного простору 48
— тополопчного простору 79
Неперервний
— спектр 201
— функцюнал на лёнейному тополопчному
простор! 150
Неперервшсть м!ри 223
— зл!ва ! справа 277
Непор!внянш елементи 28
Непорожнеча спектра елемента алгебри 438
Нер!вн!сть Бесселя 128, 143
— для тригонометричних систем 334
Нер!вн!сть
— Гельдера 45
— Komi — Буняковського 42
— М!нковського 45, 123
— Чебишова 257
Нерухома точка вщображення 64
Неселарабельнёсть простору т 52
Нескёнченний лешйний прост!р 106
Нижня границя функцё? в точщ 88
Нижня Mipa 235
Н1де не ицльна множина в метричному про-
стор! 51
Нормальний простер 82
Нормована алгебра 434
Нормований npocrip 120
Нормованесть 146
— локально опуклих, локально обмежених л1-
шйних тополопчних просторов 146
Носёй заряду 303
Нуль-множина 239
n-вимёрний арифметичний
— де йений npocrip 105
евклщовий npocTip 42
— комплексний npocTip 42
n-вимёрний симплекс 114
гс-вимёрна грань 114
Нульовий оператор 188 „
Об’еднання множин 11
Обмежена множина в л!н!йному тополопч-
ному простор! 145
Обмежёнёсть слабко збежноё поел! довноси
функцёоналёв на банаховому простор! 170
Оборотний елемент алгебри 436
Однорщннй функщонал 109
Ошл
— множини 82
— точки 73
Оператор Вольтерра 206, 405
Оператор Пльберта — Шм!дта 395
— компактшсть 395
— спряжений оператор 397
Оператор 187
— компактний (повнёстю неперервний) 202
— обернений даному 193
— оборотний 193
— ортогонального проектування 189
Оператор Фредгольма 395
Операторний метод розв’язування диференцё-
альних р!внянь 383
Операция замикання
— в метричному простор! 49
— в тополопчному простор! 84
Опукла множина 112
Опукла оболонка 113
Опукле т!ло 112
Опуклий функцюнал 114
— на комплексному лппйному простор! 117
Ортогональна нормована система 124
Ортогональне доповнення 137
Ортогональний базис 124
— нормований 124
Ортогональн! множини з дискретною ва-
гою 344
Ортогональн! системи на добутку простор!в
340 4
Ортогональность векторов 123
— з вагою 342
'Ортопроектор 189
О'сновний паралелешпед Пльбертового про*
стору 93
Оста ч а у порядков а ноТ множини 31
Первёсна узагальненое функци 183
Передкомпактна множина 91
Перетворення Лапласа 382
Перетворення Фур’е 363
— в простор! La 375
— згортки 371
— однозначность означения функц!? 363
— основн! властивост! 366
— приклади 364
— узагальнених функщй 363
— формула перетворення 363
— функщ? п змённих 373
— функцюналу 390 ,
— швидко спадно? функц!? 370
Перетворення Фур’е — Спльтьеса 386
— згортки функщй з обмеженою змёною 387
Перетин
— множин 13
— системи подпросторов лшойного простору 107
Перша аксюма 77
Пёвкёльце 37
Пёвнеперервна функщя на метричному про-
стор! 87
Повнеперервность
— знизу (зверху) 87
— знизу довжини криво? в метричному про-
сторе 102 v 1
Пёврефлексивпий прост!р 164
Пёдпокриття 78
П!дпрост!р
— пльбертового простору 136
— л1н!йного простору 136
— метричного простору 47
— нулёв лёшйного функцюналу 110
Повна варёащя (зм!на) функци 286
— м!ра 236
— обмежешсть 92
— регулярнёсть тополопчного простору 83
— система елеменпв в нормованому простор!
122
Повний метричний простер 57
Повний прообраз 14
— системи множин 39
Повнота
— злёченно-нормованого простору 148
—« простору С[а, Ь\ 58, Ц 58
— рефлексивного нормованого простору 138
— спряженого до нормованого в сильней то-
пологе? 157
Подёл за допомогою л!н1йннх функц!оналёв
— точок 155
пёдмножин 119
Покриття 78
Порёвнянн! норми 147
Порёвняння тополог!й 74
Порядкове число 29
Порядковий тип 28
— со 28
— (01 33
Порядок функцёоналу на злёченно-нормова*
ному простор! 156
Потужшсть
— множини 24
—• континуума 24
— множини Bcix ni-дмножин натурального
ряду 26, 26
Пох!дна
— Гато 414
— заряду по м!р1 304
— л!н!йного вОображення 413
— складно! функци 413
— Фреше 412
Пох1дн1 вищих порядк!в
— в! добра жени я 422
>— числа 280
Початковий в1др!зок упорядковано! множи-
ни 31
Приклад
— адитивноТ, але не о -адитивно! м!ри 230
— не повшстю обмежено! множини 92
— функцп, диференщйовно! пльки слабко 416
Приклади
банахових алгебр 434
— зл!ченно-нормованих просторов 147
— лш1йних функцюнал1в 109
— л!н1йних функцюнал!в на нормованих про-
сторах 152
— нормованих простор1в 120
— ортогональних базис!в 124
— слабко зб!жних посл!довностей 168
— спряжении просторов 158
— ТОПОЛОГ1ЧНИХ Л!Н1ЙНИХ просторов 144
Принцип
— двоТстосп 13
•— piBHOMipHo'i обмеженост! 439
— стйскаючих в!дображень 64 (узагальнення
71)
Проблема М. М. Лузина Зэ2
Продовження м!ри 227
— за Жорданом 239
— за Лебегом 232, 253
Прообраз 14
— тополог!! 79
Проста функщя 250
— сумовна 251
Проспр
— злиплих точок 74
— 1зольованих точок 41
— нескшченно диференщйовних функций на
кол! 185
— спряжений прост’ф швидко спадних послГ
довностей функщй з обмеженою змшою 287,
289
Проспр - Сп 121, 142; С[а, *] 43, 105, 121, 153,
169 (слабка зб!жн!сть), 201; С2[а, 6] 44, 125,
142 (комплексний); С 434; с 105; Со 105,
159 (спряжений); Dn 149; К 175, 390; К* 390;
6] 144, 147; Кт 176; Кп 184 Ц 321, 322
(Щ1ЛЬН1СТЬ множини простих функщй), 323
(щ!льн!сть множини неперервних функщй);
h 160; L2 326, 327, 331 (комплексний); А 43,
105, 124, 142 (комплексний), 168, 204; ID 47,
160 (спряжений до Iр); т 44, 105, ^121;
Rn 120, 124, 152, 168; /?” 141; Rool05, 144; S 148,
146; Soo 370; 390
Процес ортогонал!зацц 127
Пряма сума 138
— злаченного числа шдпростору 139
— о-алгебр 238
Прямий добуток
— множин 226
— системи множин 267
Радикал банахово! алгебри 443
Регулярна банахова алгебра 444
— точка елемента алгебри 437
Регулярне значения 200
—“ тополопчного простору 82
Регулярн1сть в!докремних л!н1йних топо-
лопчних простор1в 145
Резольвента оператора 200
— елемента алгебри 437
Резольвентне ядро 410
Рефлексивний л!н1йний тополог!чний npocrip
164
Рефлексившсть 26
Репптка 34
Р1вн1сть Парсеваля 130
— для тригонометрично! системи 335
— порядкових чисел 31
PiBHOMipua неперервн!сть вОображення ме-
тричного простору 99
--обмежешсть с!м’Г функщй 95
Р1вностепенева неперервшеть cim’i функщй 95
Р!вняння
— Абеля 391
— Вольтерра 71 (першого роду 392, другого
роду 392, 405)
— коливання струни 393
— р!вноваги навантаженоГ струни 392 ,
— Фредгольма першого роду 392 (абстрактне
405)
— Фредгольма другого роду 65, 391 (з симе-
тричним ядром 397)
Р13НИЦЯ множин 12
Розбиття множини на класи 14
Розклад
•— Гана 302
— Жордана 303
— функци по многочленам Лежандра 339
Розм1рн1сть л!н!йного простору 106
Ряд Фур’е 128, 143, 348
— по ортонормальшй систем! 333
—? по трпгонометричшй систем! на довольно-
му вОр’зку 335
Сепарабельний npocrip
— метричний 51
— тополопчний 76
Сепарабельшсть п!дмножин сепарабельного
метричного простору 136
— простору Li 330
Середне квадратичне в!дхилення 328
Сильна
— зб1жн!сть у лп-пйному нормованому про-
стор! 166
— пох!дна в!дображення 412
— тополопя в простор!, спряженому до л1-
шйного тополопчного 157, до нормованого
157
Сильний диференщал 412
Сильно додатний квадратичний функщонал
428
Симетрична
— банахова алгебра 444
— множина в лнпйному простор! 146
— Р1зниця 12
Система множин 35
— окол!в нуля 144
— ортогональних вектор!в 124
Система
— Радемахера 347
— Уолша 347
— Ха ара 346
Скалярний добуток 122
— в комплексному випадку 142
— в Ь2 326
Скр!зь щОьна шдмножина 51
Слабка зб!жн!сть
— в лш!йному тополопчному простор!
— в нормованому простор! 166
•—‘ в Li 268
— функщонал!в 170
Слабка пох!дна воображения 414
Слабка тополопя в лпийному тополопчному
простор! 166
— в простор!, спряженому до нормованого
156, 169, 171
— *-слабка тополопя 171 '
Слабкий диференщал 414
Слабко обмежена шдмножина в нормовано-
му простор! 167
Спадкова властивють 83
Спадков!сть повноТ регулярност! 83
Спектр компактного оператора в пльберто-
вому простор! 407
— елемента алгебри 436
— оператора 201 2
Спектральна теорема для обмежених опера-
торов 446
Спектральный рад!ус 202
— елемента алгебри 438
Спряжений npocrip 157
Спряжено-л!н!йний !зоморф!зм 161
Спряжено-однорГдний функцюнал 109
Стешнь
— множини 267
— системи множин 267
Стискання (стискаюче в!дображення) метрич-
ного простору 64
Структура 34
Сума
— елемент!в векторного простору 104
— множин 11
— операторов 201
порядкових чисел 30
— функщонал!в 156 »
Суми
— Дар бу 264
— Фейера 356
Сюр’екщя 14
ст- адитивн!сть
— штеграла Лебега 271
— лебегово’! м!ри 220
о-длгебра 39
— .BHMipHHX множин 220
о-юльце 39
о-скшченна м!ра 237
Теорема
— Арцела 95—97 *
— Банаха про замкнутий граф!к 196
—• Банаха про обернений оператор 193
— Банаха — Штейнхауза 439
— Бера 61
— Вейерштрасса 121
— Вшера 444
— Гана — Банаха 116 (комплексний випа-
док 118)
— I ана — Банаха в нормованому простор! 15-1
(комплексний випадок 117)
— Гельфанда — Най марка 446
— Гьльберта — Шм!дта 211
— Сгорова 246 v
— Кантора — Бернштейна 23
— Карлсона 352
— Лебега про в!дновлення абсолютно непе-
рервно! функци за п походною 297
— Лебега про граничний переход 259
— Лебега про диференц!йовн!сть монотонно!
функци 280
— Лев! 260
— Луз! на 249
— Пеано 97
— Планшереля 376
— Радона — Н неодима 304
— Pica про загальний вид л!н!йного функцю-
налу на Lz 330.
— Pica про загальний вид функцюналу на
С[а, Ь\ 318, 320
— Pica — ФЬиера 131
— Стоуна — Вейерштрасса 444
— Стоуна — Чеха 446
— Тихонова 446
— Фату 262
— Фейера- 334, 355, 359 (для простору Lr)
— Фуб!н! 272
— Фубш! «мала» 284
— Хаусдорфа 34
— Хеллк перша 315, друга 316
— Цермело 33
Теорема
— про абсолютну ! р!вном!рну зб!жн!сть ря-
д!в Фур’е 353
— про абсолютну неперервшсть невизначеного
штеграла Лебега 297
— про анал!тичи!сть резольвенти елемента ал-
гебри 437
— про будову м!н!мального к!льця над п!в-
к!льцем 38
— про будову спектра компактного операто-
ра 209
— про виб!р зл!ченного шдпокриття в просто-
р! 1з зл!ченною базою 78
— про вндшення шдпосл!довност1, що зб!гае-
гься скр!зь, 1з посл!довност!, яка збюаеться
по м!р! 248
— про в!дд!льи1сть неперегинних опуклих п!д-
множин у Д1йсному л!н!йному простор! 119
— про в!дкрит!сть множини оборотних опера-
тор!в 196
— про гомеоморфы! сть неперервно!' б!екцН
компакта в хаусдорфовому простор! 87
— про диференц!йовшсть функци з обмеже-
ною змшою 289 »
— про диференщювапня штеграла по верх и! й
границ! 286, 290
— про досягнення нижньо! гран! твнеперер-
вно! функци 89
— про замкнутость компакта в хаусдорфовому
простор!, який його м1стить 86
— про замкнут!сть множини компактних опе-
ра тор! в 206
— про зб!г компактност! ! зл1ченно!’ компакт-
ност! для простор!в !з злаченною базою 91
— про зб!жн!сть методу Ньютона 430
— про зб!’жн!сть ряду Фур’е 351
— про зв’язок опуклих функц!онал1в 1 опук-
лих множин 115
— про зл!ченн!сть множини точок розриву
монотонно!’ функц!!’ 278
— про юяування базису шдпростору пльбер-
тового простору 137 .
— про !снувапня зл!ченно! бази у сепарабель-
ному метричному простор! 76
— про !снування криво! наййеншо! довжини
м!ж двома точками метричного компакту
103
— про !свування минимального к!льця 36
— про 1снування мЫмально! ст-алгебри 40
— про !снування сильно! похщно! 416
— про компактшсть замкнуто! кул! в Е* в
*-слабк!н тополог!’! 173
— про компактшсть оператора Пльберта ~-
Шшдта 395
— про компактшсть оператора, спряженого
компактному 208
— про компактшсть спектра елемента ал-
гебри 438
— про композищю вим!рннх функщй 242
— про метризовшеть одинично! кул! в про-
стор!. спряженому до сепарабельного нор-
мованого простору 172
— про неперервшсть образу компактного про-
стору 87
— про неперервшсть композици’ неперервних
в! добр а же нь 80
ч— про нормальность компакту 86
— про обертання оператора, близького до
единичного 197
— про обертання перетворення Фур’е 361 (для
функци п змin них 374)
— про обмежешеть знизу функщ!, швнепе-
рервно'1 на Л-простор! 90
— про обмежешсть спектра л!н!йного опера-
тора 201
— про передкомпактшсть обмежених множин
в Е* в розумшш *-слабко‘1 тополог!!’ 173
— про перетин к!лець 36
про перетин опуклих множин 113
— про перетин тополог! й 74
— про повноту добутку повних ортогопаль-
них систем 340
— про повноту простору Lz 322
— про повноту простору L2 328
— про повну обмежешсть зл!ченно-компакт-
ного метричного простору 93
— про пор!вняння штеграла Р1мана з ште-
гралом Лебега 264
— про пор!вняння порядкових чисел 31
— про потужшсть множини вс!х шдмножин
25
— про продовження м!ри з п!вк!льця на по-
роджене ним к!льце 227
•— про прообраз перетину 1 суми множин 14
— про прямий добуток швшлець 267
— про piBHicTb норм оператора i спряженого
до нього 198
— про р!вном!рну неперервн1сть неперервного
в!дображення метричного -компакту 99
— про розклад абсолютно неперервно!’ функ-
цп в р!зницю монотонних абсолютно непе-
рервних функщй 296
— про розклад воображения за формулою
Тейлора 422
—• про розклад пльбертового простору в при-
му суму шдпростору i його ортогонально-
го доповнення 137
— про розклад монотонно!’ функц!'! на функ-
ц!ю стрибюв I неперервну 279
•— про розклад функци з обмеженою змшою
в р!зницю монотонних 289
— про сепарабельность простору Ц 324
— про субадитившсть м'!ри, задано’! на коль-
цо 228
про сумовн!сть пох одно!’ монотонно!’ функ-
цн 292
— про фактор-алгебру 440
— про (Г-адитившсть прямого добутку Mip
269
Теореми Фредгольма для ровнянь
— з виродженим ядром 400, 401
— з невиродженнм ядром 402
Теория узагальнених функщй 143
Тополопчний npocrip 73
— !з зл очей ною базою 76
— л!шйний npocTip 144
Тополопя 73
— у множин! максимальних !деал!в 442
— у зл!ченно-яормованому простор! 147
Тотальна система векторов 133
Тотожшсть Пльберта 437
Точка дотику множини
•— в метричному простор! 49
— в тополопчному простор! 73
Точки загального положения в д-вим!рному
простор! 113
Точки розриву першого роду 277
Точковнй спектр 201
Точна верхня або нижня грань 34
Транзитивность 26
Трансфппт 29, о 28, c«i 33
Трансф!п!тна шдукц!я 35
Трансцендентне число 23
Тригонометрична система
— на в!др!зку [0, Л] 336
— на площин! 341
Тригонометричний ряд Фур’е 333
— в комплексшй форм! 336
— для функц! 1 л змшних 341
7'r-npocTip 81
Г2-прост!р 82
Узагальнена пох!дна 299
Узагальнена функц!я 174
— комплексна 185
— на кол! 185
— на простор! Кп 184
— перво сна 183
— походна 178
— регулярна 176
— сингулярна 176
Узагальнення принципу стискаючих вообра-
жен ь 71
Узгоджеш норми 147
Упорядкована сума 29
Упорядкована множина 28
Упорядкований добуток 30
Умова ДЬп 351, 354, 361
Умова стиснення 66, 67
Фактор-прост!р лЫйного простору 108
Формула
— для спектрального радоуса елемента ал-
гебри 438
— кшцевих приростов для воображения 414
— Родри га 339
— Тейлора для вОображення 422
— Фур’е 361
Фундаментальна посл!довн!сть точок в мет-
ричному простор! 57
Функци
— Ерм!та 343 (повнота 369)
— Лагерра 344 (повнота 369) як власн! функ-
цп перетворення Фур’е 378
Функцюнал 88, 108
— Мшковського 115
Функщя 14
— абсолютно неперервна 295, 296
— вагова 342
— внм!рна 242
— виморна за Борелем 242
— Д1р!хле 265
— з штегровним квадратом 326 (комплексна
331)
—. з обмеженою зм!ною 286
— проста 250
— розподолу 310
— сингулярна 299
— стрибюв 278
— сумовна 253
— фонотна 175
— Хев!сайда 179
Характеристична властив!сть евкл!дових про-
сторов 139
Хаусдорфова акс!ома в!дд1льност! 82
Хаусдорфов! простори 82
Центрована система множин 85
Цолком упорядкована множина 29
Ц!лком обмежена множина 92
Ц!лком обмежений регулярний тополопчний
простор 83
Часткова упорядковашсть 26
— топологШ 74
[Д’льна шдмножина в метричному простор!
51
Шдльнкть розпод!лу ймов!рностей 311
Ядерно-опукла тополог!я 146
Ядро
— Пльберта — Шм!дта 395
— Д!р!хле 349
— лшшного оператора 402
— лш!йного функцюналу ПО
— множини в лппйному простор! 112
— р!вняння Фредгольма 70, 395
— Фейера 356
Колмогоров. Андрей Николаевич
Фомин Сергей Васильевич
ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО
АНАЛИЗА
Учебник для студентов
математических специальностей
университетов
1
(на украинском языке)
Издательское объединение «Вица школа»
Головное издательство
Редактор Т роф, мчу к Г. П.
Обкладинка художника Муштенка 6. /,
Худой lift редактор Ойхман /. Р.
Техшчний редактор Стражник Л. А.
Коректор Г л и б ока Л. М.
Здано до набору 12.04, 1974 р. ГИдлисано до друку 5.08. 1974 р. Формат паперу
бОХЭО’Дв- Патр друк. № 2. Друк. арк. 28,5. Обл.-видавн. арк. 29,94. Тираж 3000.
Видавн. № 2076. Цша 1 крб. 29 коп, Зам. 4—1039.
Головне видавництво видавиичого об’еднання «Вища школа». 252054, КиКв,- 54. Го-
roaiBCbtca* 7* $
Головне шдприемство респу5л1канського виробнйч'ого об’еднання «Полшрафкнига»
Дсржкбмшадаву УРСР, м. КиУв, вул. Довженка, 3.