Оглавление
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 2. Теория последовательностей
§ 3. Понятие функции
§ 4. Графическое изображение функции
§ 5. Предел функции
§ 6. О-символика
§ 7. Непрерывность функции
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически
§ 9. Равномерная непрерывность функции
§ 10. Функциональные уравнения
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
§ 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде
§ 3. Геометрический смысл производной
§ 4. Дифференциал функции
§ 5. Производные и дифференциалы высших порядков
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба
§ 9. Раскрытие неопределенностей
§ 10. Формула Тейлора
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 12. Построение графиков функций по характерным точкам
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
§ 15. Приближенное решение уравнений
Отдел III. Неопределенный интеграл
§ 2. Интегрирование рациональных функций
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных функций
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций
Отдел IV. Определенный интеграл
§ 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных
§ 3. Теоремы о среднем
§ 4. Несобственные интегралы
§ 5. Вычисление площадей
§ 6. Вычисление длин дуг
§ 7. Вычисление объемов
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести
§ 10. Задачи из механики и физики
§ 11. Приближенное вычисление определенных интегралов
Отдел V. Ряды
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных, рядов
§ 3. Действия над рядами
§ 4. Функциональные ряды
§ 5. Степенные ряды
§ 6. Ряды Фурье
§ 7. Суммирование рядов
§ 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов
§ 9. Бесконечные произведения
§ 10. Формула Стирлинга
§ 11. Приближение непрерывных функций многочленами
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
§ 3. Дифференцирование неявных функций
§ 4. Замена переменных
§ 5. Геометрические приложения
§ 6. Формула Тейлора
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость интегралов
§ 3. Дифференцирование и интегрирование несобственных интегралов под знаком интеграла
§ 4. Эйлеровы интегралы
§ 5. Интегральная формула Фурье
Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы
§ 2. Вычисление площадей
§ 3. Вычисление объемов
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
§ 6. Тройные интегралы
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
§ 10. Многократные интегралы
§ 11. Криволинейные интегралы
§ 12. Формула Грина
§ 13. Физические приложения криволинейных интегралов
§ 14. Поверхностные интегралы
§ 15. Формула Стокса
§ 16. Формула Остроградского
§ 17. Элементы теории поля
ОТВЕТЫ
Text
                    Б. П. ДЕМИДОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
ИЗДАНИЕ ДЕСЯТОЕ. ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Государстаенным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов физических
и механико-математических специальностей
высших учебных заведений
щ
МОСКВА €НАУКА*
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 9 0


ББК 22.161 дзо УДК 517 (075.8) Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по мате¬ матическому анализу: Учеб. пособие для вузов. — 10-е изд., испр. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1990. — 624 с. ISBN 5-02-014505-X В сборник включено свыше 4000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в ана¬ лиз, дифференциальное исчисление функций одной переменной, неопределенный и определенный интегралы, ряды, дифференци¬ альное исчисление функций нескольких переменных, интегралы, зависящие от параметра, кратные и криволинейные интегралы. Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении помещены таблицы. 9-е издание — 1977 г. Для студентов физических и механико-математических спе¬ циальностей высших учебных заведений. Переиздается по просьбе книготорговых организаций и институтов. Ил. 14. Учебное издание Демидович Борис Павлович СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ Заведующий редакцией А. П. Баева. Редактор J\. Mt Барыкина Технический редактор £. В. Морозова Корректор В. Я, Сорокина ИБ № 41134 Сдано в набор 05.05 89. Подписано к печати 20 02.90. Формат 84X108/32. Бумага тип №2* Гарнитура литературная. Печать высокая. Уел. печ« л 32.76. Уел кр.-отт. 32,97. Уч-изд. л 32,2. Тираж 170 000 экз« Заказ № 442. Цена 1 р. 40 к. Нчдательско производственное и книготорговое объединение «Наука» Главная редакция физико-математической литературы 117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15 Набрано в Ленинградской типографии Me 4 ордена Трудового Красного Зна¬ мени Ленинградского объединения «Техническая книга» им Евгении Со¬ коловой Государственного комитета СССР по печати. 191126, Ленинград, Социалистическая ул , 14 Отпечатано в Ленинградской типографии № 2 головном предприятии ордена Трудового Красного Знамени Ленинград¬ ского объединения «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Государст¬ венного комитета СССР по печати. 198052, г Ленинград, Л-52, Измайлов¬ ский проспект, 29. 1602070000—027 „ Д 053 (02)-90 50‘90 ISBN 5-02-014505-Х © «Наука». Физматлит, 1977; с исправлениями, 1990.
БОРИС ПАВЛОВИЧ ДЕМИДОВИЧ (1906-1977)
ОГЛАВЛЕНИЕ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Отдел I. Введение в анализ 7 § I. Вещественные числа 7 § 2. Теория последовательностей 12 § 3. Понятие функции 26 § 4. Графическое изображение функции .... 35 § 5. Предел функции 47 § 6. 0*символика 72 § 7. Непрерывность функции 77 § 8. Обратная функция. Функции, заданные пара¬ метрически 87 § 9. Равномерная непрерывность функции ... 90 § 10. Функциональные уравнения 94 Отдел II. Дифференциальное исчисление функций од¬ ной переменной 96 § I. Производная явной функции 96 § 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производ¬ ная функции, заданной в неявном виде . . . .114 § 3. Геометрический смысл производной 117 § 4. Дифференциал функции 120 § 5. Производные и дифференциалы высших поряд¬ ков 124 § 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши .... 134 § 7. Возрастание и убывание функции. Неравен¬ ства 140 § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144 § 9. Раскрытие неопределенностей 147 § 10. Формула Тейлора 151 § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наимень¬ шее значения функции 156 § 12. Построение графиков функций по характер¬ ным точкам 161 § 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164 § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167 § 15. Приближенное решение уравнений , . » • 170
ОГЛАВЛЕНИЕ 5 Отдел III. Неопределенный интеграл 172 § 1. Простейшие неопределенные интегралы . . . 172 § 2. Интегрирование рациональных функций ... 184 § 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций . . . 187 § 4. Интегрирование тригонометрических функций 192 § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 193 § 6. Разные примеры на интегрирование функций 201 Отдел IV. Определенный интеграл 204 § 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204 § 2. Вычисление определенных интегралов с по¬ мощью неопределенных 208 § 3. Теоремы о среднем 219 § 4. Несобственные интегралы 223 § 5. Вычисление площадей 230 § 6. Вычисление длин дуг 234 § 7. Вычисление объемов 236 § 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239 § 9. Вычисление моментов. Координаты центра тя¬ жести 240 § 10. Задачи из механики и физики 242 § II. Приближенное вычисление определенных инте¬ гралов 244 Отдел V. Ряды 246 § 1, Числовые ряды. Признаки сходимости знако¬ постоянных рядов 246 § 2. Признаки сходимости знакопеременных, рядов 259 § 3. Действия над рядами 267 § 4. Функциональные ряды 268 § 5. Степенные ряды 281 § 6. Ряды Фурье 294 § 7. Суммирование рядов 300 § 8. Нахождение определенных интегралов с по¬ мощью рядов 305 § 9. Бесконечные произведения 307 § 10. Формула Стирлинга 314 § 11. Приближение непрерывных функций много¬ членами 315 ЧАСТЬ вторая ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 318 § 1. Предел функции. Непрерывность 318 § 2. Частные производные. Дифференциал функ¬ ции 324 § 3. Дифференцирование неявных функций .... 338 § 4. Замена переменных 348 § 5. Геометрические приложения 361 § 6. Формула Тейлора 367 § 7. Экстремум функции нескольких переменных 370
ОГЛАВЛЕНИЕ Отдел VII. Интегралы, зависящие от параметра • , § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра § 2. Несобственные интегралы, зависящие от пара¬ метра. Равномерная сходимость интегралов § 3. Дифференцирование и интегрирование несоб¬ ственных интегралов под знаком интеграла , • § 4. Эйлеровы интегралы § 5. Интегральная формула Фурье •••••«• Отдел VIII. Кратные и криволинейные интегралы . § 1. Двойные интегралы § 2. Вычисление площадей § 3. Вычисление объемов § 4. Вычисление площадей поверхностей . . . . § 5. Приложения двойных интегралов к механике § 6. Тройные интегралы § 7. Вычисление объемов с помощью тройных инте¬ гралов § 8. Приложения тройных интегралов к механике § 9. Несобственные двойные и тройные интегралы § 10. Многократные интегралы § 11. Криволинейные интегралы § 12. Формула Грина § 13. Физические приложения криволинейных инте¬ гралов § 14. Поверхностные интегралы § 15. Формула Стокса § 16. Формула Остроградского § 17. Элементы теории поля 379 379 385 392 400 404 40(з 406 414 416 419 421 424 428 431 435 439 443 452 456 460 464 466 471 Ответы 480
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ § 1. Вещественные числа 1°. Метод математической индукции. Чтобы доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального числа л, достаточно доказать*. 1) что эта теорема справедлива для п = 1 и 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь натурального числа п, то она справедлива также и для следующе¬ го натурального числа п + 1. 2°. Сечение. Разбиение рациональных чисел на два клас¬ са А и В называется сечением, если выполнены следующие усло¬ вия: I) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число по¬ падает в один и только в один класс и 3) любое число, принадле¬ жащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа, принадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А!В опреде¬ ляет: а) рациональное число,если или нижний класс А имеет наи¬ большее число или же верхний класс В имеет наименьшее число, и б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего числа, а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и иррациональные носят название вещественных или действитель¬ ных *). 3°. Абсолютная величина. Если х — вещественное число, то абсолютной величиной\х \ называется неотрицательное число, определяемое следующими условиями: Для любых вещественных чисел х и у имеет место неравенство 4°. Верхняя и нижняя грани. Пусть X = {*} — ограниченное множество вещественных чисел. Число называется нижней гранью множества X, если: *) В дальнейшем под словом число мы будем понимать вещественное число, если не оговорено противное. — х, если х <0; х, если х ;>0. т — inf {*}
8 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1) каждое х£Х*) удовлетзоряет неравенству х^т\ 2) каково бы ни было е > 0, существует х'£ X такое, что х' < т + е. Аналогично число М = sup {х} называется верхней гранью множества X, если: J) каждое х£Х удовлетворяет неравенству х ^ М, 2) для любого е > 0 существует X такое, что х" > М — е. Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить, что inf (*) = — оо; если же множество X не ограничено сверху, то полагают sup {*} = + ОО. 5°. Абсолютная и относительная погреш¬ ности. Если а (а Ф 0) есть точное значение измеряемой вели¬ чины, а х — приближенное значение этой величины, то Д = | х — а | называется абсолютной погрешностью, а \а\ — относительной погрешностью измеряемой величины. Говорят, что число х имеет п верных знаков, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы раз¬ ряда, выражаемого я-й значащей цифрой. Применяя метод математической индукции, доказать, что для любого натурального числа п справедливы сле¬ дующие равенства: |. 1+2+ . . . +„=lili!i. *) Запись хеХ означает, что число х принадлежит множе* ству Х.|
§ I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА " 2. 12+22 + . . . Н-«2 = —2J^+Jli2fLdLi>—. 6 3. 13 + 23 + . . . + л3 = ( 1+2+ . . . +п)\ 4. 1 + 2 + 22 + . . . + 2n~l = 2" — 1. 5. Пусть а[/,1 = а (а — Л) . . . [а — (и — 1) h ] и rf°l = 1. Доказать, что (а + б)1"! = C'"aln~mJblm\ где С% — П1 =U число сочетаний из п элементов по т. Вывести отсюда формулу бинома Ньютона. 6. Доказать неравенство Бернулли: (1 + л:х)(1 + х2) . . . (1 + хп) > > I + Хх + Х2-\~ ш . . + xnt где хъ х2, . . хп — числа одного и того же знака, большие — 1. 7. Доказать, что если х >—1, то справедливо не¬ равенство (1 + х)п > 1 + пх (п > 1), причем знак равенства имеет место лишь при х = 0. 8. Доказать неравенство ПРИ Указание. Использовать неравенство / п + 2 V+1 f\ . 1 V+1 (тгг) "( +_^+г) >2 <«-••*•••>. 9. Доказать неравенство 21-4! . . . (2п)1>[(п +1)1]" при п>1. 10. Доказать неравенство 1 3 2л — 1 1 2 4 2я д/2я + 1 10.1. Доказать-неравенства: б) пп+‘ >(п+ I)" (п > 3);
10 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ в) sin( X хл) < £ sin ATft (0 < хк ^ я; | \fe=i /1 *=1 ^ = 1» 2, , « • | п)* г) (2л)! <22л (п!)2. 11. Пусть с— положительное число, не являющееся точным квадратом целого числа, и А/В — сечение, опре¬ деляющее вещественное число Vе* гДе в класс В входят все положительные рациональные числа Ь такие, что b2>ct а в класс А —все остальные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе В нет наименьшего числа. з — 12. Сечение А/В, определяющее число 2 , строится следующим образом: класс А содержит все рациональные числа а такие, что а3 < 2; класс В содержит все осталь¬ ные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а в классе В — наименьшего. 13. Построив соответствующие сечения, доказать ра¬ венства: а) л/2 +У8" = VT8-; б) лД л/Т = У6. 14. Построить сечение, определяющее число 2^". 15. Доказать, что всякое непустое числовое множе¬ ство, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое непустое числовое множество, ограниченное сверху, имеет верхнюю грань. 16. Показать, что множество всех правильных раци¬ ональных дробей m/n, где тип — натуральные числа и О < т < п, не имеет наименьшего и наибольшего эле¬ ментов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого мно¬ жества. 17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству г2< 2. 18. Пусть {—х} — множество чисел, противополож¬ ных числам Доказать, что a) inf { — х} = —sup{*}; б) sup{—х} =—inf {х}. 19. Пусть {х + у) есть множество всех сумм х + у, где х£ {х} и у £{у}.
? I ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 11 Доказать равенства: а) inf {х + у) = inf {*} + inf {«/}; б) sup {х + у} = sup {*} -Ь sup {у}. 20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху, где х£ {л:} и у 6{г/}, причем х > 0 и у > 0. Доказать равенства: а) inf {ху} = inf{*}-inf {у}; б) sup {ху} = sup{*}-sup {у}. 21. Доказать неравенства: а) |лг — у\ > ||дг| — |#||; б) | X + JCj + . . . + хп | > 22. |* + 1|<0,01. 23. \х—2|>Ю. 24. |jt|>|*+l |. 25. \2х—11<|*—11. 26. |* + 2| + |л:—2| < 12. 27. |х + 2|—|дс|>1. 28. ||л + 1|—\х—1||<1. 29. |х(1—х)|<0,05. 30. Доказать тождество 31. При измерении длины в 10 см абсолютная погреш¬ ность составляла 0,5 мм; при измерении расстояния в 500 км абсолютная погрешность была равна 200 м. Какое измерение точнее? 32. Определить, сколько верных знаков содержит число х = 2,3752, если относительная погрешность этого числа составляет 1 %? 33. Число х — 12,125 содержит 3 верных знака. Определить, какова относительная погрешность этого числа. 34. Стороны прямоугольника равны: х = 2,50 см ± 0,01 см, у = 4,00 см ± 0,02 см. В каких границах заключается площадь S этого прямо¬ угольника? Каковы абсолютная погрешность Д и относи¬ тельная погрешность б площади прямоугольника, если за стороны его принять средние значения? Решить неравенства:
12 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 35- Вес тела р = 12,59 гс ± 0,01 гс, а его объем v = 3,2 см3 ± 0,2 см3. Определить удельный вес тела и оценить абсолютную и относительную погрешности удельного веса, если за вес тела и объем его принять средние значения. 36. Радиус круга г = 7,2 м ± 0,1 м. С какой мини¬ мальной относительной погрешностью может быть опре¬ делена площадь круга, если принять я = 3,14? 37. Измерения прямоугольного параллелепипеда суть: х = 24,7 м ± 0,2 м, у = 6,5 м ± 0,1 м, z = 1,2 м± 0,1 м. В каких границах заключается объем v этого параллеле¬ пипеда? С какими абсолютной и относительной погреш¬ ностями может быть определен объем этого параллеле¬ пипеда, если за его измерения принять средние значения? 38. С какой абсолютной погрешностью следует изме¬ рить сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы иметь возможность определить площадь этого квадрата с точностью до 0,001 м2? 39. С какими абсолютными погрешностями Д доста¬ точно измерить стороны х и у прямоугольника, чтобы площадь его можно было вычислить с точностью до 0,01 м2, если ориентировочно стороны прямоугольника не превышают 10 м каждая? 40. Пусть 6 (х) и б (у) — относительные погрешности чисел х и у, б (ху) — относительная погрешность числа *у. Доказать, что б (ху) < б (х) + б (у) + б (х)6 (у). § 2. Теория последовательностей 1°. Понятие предела последовательно¬ сти. Говорят, что последовательность xlf х2, . * •. */», . • •» или иначе хп (п = 1, 2, . . .), имеет своим пределом число а (короче, сходится к а), т. е. lim Хп — а, Л-УОО если для любого е > 0 существует число N = N (в) такое, что | — се | < е при п> N.
§ 2. ТЕОРИЯ последовательностей 13 В частности, хп называется бесконечно малой, если lim хп =■ 0. л-^оо Последовательность, не имеющая предела, называется расходя щейся. 2°. Признаки существования предела. 1) Если Уп ^ хп ^ И lim i/n = lim zn = с, «-►ос п->оо ТО lim = с. Я-*ао 2) Монотонная н ограниченная последовательность имеет предел. 3) Критерий Коши. Для существования предела последовательности хп необходимо и достаточно, чтобы для лю¬ бого е >- 0 существовало число N = N (г) такое, что I %п Хп-Ь р I если только п > N и р > 0. 3°. Основные теоремы о пределах после¬ довательностей. Предполагая, что существуют lim хп и lim уПл П-*оа П-+оо имеем: 1) если хп^уп, то lim Jf^^lim уп; П->оо п-*ао 2) lim (хп ± у„) -- lim хп ± lim уп; П-+ оо П-*-оо п-уоо 3) lim (х„Уп) = lim хп lim уп; П—»-оо П—► ОО П-УОС lim хп 4) lim ——= — » если lim упф0. п-+оо уп Пт уп п->оо Я-*оо 4°. Число е. Последовательность (l + (я = 1, 2, . . .) имеет конечный предел lim fl + —V = е = 2.718 281 8284 . . * 0-* оо \ ft у
14 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 5°. Бесконечный предел. Символическая запись lim хп = оо я—►<» обозначает, что, каково бы ни было Е > 0, существует число N — N (Е) такое, что |хп|>Е при n>N. 6а. Предельная точка. Число g (или символ оо) называется частичным пределом (предельной точкой) данной последовательности хп (п = 1,2,...), если существует ео подпоследовательность xPv хР2, • « « , хРп% ♦ . * d^pi<p2<...) такая, что lim хРп = I П-*ЭО Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей мере один конечный частичный предел (принцип Больцано — Вей- ерштрасса). Если этот частичный предел единственный, то он же является конечным пределом данной последовательности. Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный) последовательности хп lim хп П-+ ЭО называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее lim хп П-*-оо называется верхним пределом этой последовательности. Равенство lim хп — lim хп является необходимым и достаточным условием существования предела (конечного или бесконечного) последовательности *д. 41. Пусть Хп = —-Jt— (Я = 1, 2,. . .). п+ 1 Доказать, что lim хп = 1, п-+оо определив для каждого е > 0 число N = N (е) такое, что \хп — 11 < е, если /г > N.
§ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Заполнить следующую таблицу: 15 0,1 0,01 0,001 0,0001 N 42. Доказать, что хп (п = 1,2, . . .) есть бесконечно малая (т. е. имеет предел, равный 0), указав для всякого е > 0 число N = N (е) такое, что | хп | < е при п> N, если (— i)n+i ^ 2 п a) Xfi ■ б) хп п3+ 1 * в) хп = —V; г) хп = ( 1)п • 0,999п. п\ Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу: е 0,1 0,001 0,0001 • • ♦ N 1 43, Доказать, что последовательности а) *„ = (—!)пп, б) хп = в) jc« = lg(lgn) (п>2) имеют бесконечный предел при п -> оо (т. е. являются бесконечно большими), определив для всякого Е >• 0 чиело N = N (Е) такое, что \хп \ > Е при п> N. Для каждого из этих случаев заполнить следующую таблицу: Е 10 100 1000 10 000 . . . N 44. Показать, что хп = п{~1)П (п = 1, 2, . . .) не ограничена, однако не является бесконечно большой при п -*■ оо.
16 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 45. Сформулировать с помощью неравенств следую¬ щие утверждения: a) limxn = оо; б) lim хп = —оо; в) lim хп= +<х>. П-*оо Л-+-00 Л-^оо Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел, определить значения следующих выражений: 46. lim ■ 10 Q(? — 47. lim (д/л+ 1 — -yjn ). ГТ-оо П2 + 1 * п—°° 48. lim 3/.^si.nral . 49. lim (-2>*+3— . Л-*оо fl + 1 n-со (-2)n+l+3"+i 50. lim ' + *+* + . • • + a". (|a|<i |6|<1). п-и» l + 6+ft* + . . . + bn Vl 1 n — l 51. lim Л-* 00 53. 56. lim П—*-оо l + b+62+ . . . + 1 1 2 1 n2 n2 1 Л _3 n n ’ l2 1 22 i- Л3 n* 1r • • • l2 1 32 -1 /I3 1 Я* 1 1 1 1 - 3 ! 5 , 2 ' 22 23 1 I 1-2 2-3 1 . . V2 > . • • П (« - l)a -l)a 1 у 54. Иш [-!L+-f+...+-enii2-l. л—>00 L n3 /г3 я3 J 55. limf—+ —+ —+ . ■ . +-2n~l-V -«Л 2 22 23 ^ k2n >/ —!—1. я(я+1) J Доказать следующие равенства: 58. lim —— =0. 59. lim -^-=0. rt—*00 2" n-+oo n I 60. lim -^=0 (a>l). 61. lim-^-=0. П-+00 Qn n-* 00 /»• 62. \imnqn = 0, если M<1. Л-*-оо 63. Iim^a=l (a>0). 64. lim —log°n-= 0 (a>l). Я-* 00 П-+00 fl 65. lim n = 1. 66. lim n = 0. П-+00 П-КХЗ -yf fi\
§ 2 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 17 67. Какое выражение больше при достаточно боль¬ ших п: а) 100« + 200 или 0,01/г2?; б) 2П или /г1000?; в) 1000" или /г!? 68. Доказать, что Urn С-1—2_.. ._2г^!_Л = 0. ГС-*-оо \ 2 4 2П ) Указание. См. пример 10. 69. Доказать, что последовательность *rt = (1+-r)n (п = 1, 2’ ■ * •} монотонно возрастает и ограничена сверху, а последо¬ вательность ^п=(1+-~)п+1 (п=1>2» • • •) монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести, что эти последовательности имеют общий предел lim (l+ ——^ =lim (н——Y+l = в. П->оо \ Я / Л->оо \ Я / Указание. Составить отношения —1 и восполь- хп Уп-г зоваться неравенством примера 7. 70. Доказать, что 0<e—(l ч—-Y< — (rt=l, 2, . . .). V п ) п При каких значениях показателя п выражение ^1 +——^ будет отличаться от числа е меньше чем на 0,001? 71. Пусть рп/(п =1, 2, . . .) — произвольная по¬ следовательность чисел, стремящаяся к +оо, и дп (п = = 1,2, . . .) — произвольная последовательность чисел, стремящаяся к —оо (pnt qn$ [—1, 0]). Доказать, что lim (1 +-L-Yn = lim (1 + —'Vя = е. П->оо \ Рп ) П-+оо \ Qn J / 1 \П 72. Зная, что lim (14 ) = е, доказать, что п^оо \ О / lim (1 • 1 ■ 1 • 1 ■ ' 1 '
18 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Вывести отсюда формулу e=2+^r+-r + --'+Jr+-T-’ <*> 21 3! п\ п\п где 0 < б„ < 1, и вычислить число е с точностью до 10-5. 73. Доказать, что число е иррационально. 74. Доказать неравенство 75. Доказать неравенства: а) —Т~Г<' *п О Ч——~ > ' п + 1 \ п J п где п — любое натуральное число; б) 1 + а < е“, где а — вещественное число, отличное от нуля. 76. Доказать, что lim п (ai/n — 1) = In а (а > 0J, а—►оо где In а есть логарифм числа а при основании 6=2,718 .. . Пользуясь теоремой о существовании предела моно¬ тонной и ограниченной последовательности, доказать сходимость следующих последовательностей: 77. xn = pa+-!±-+...+J±r (п= 1, 2, . . .), где pi (г = 0, 1,2,...) — целые неотрицательные чис¬ ла, не превышающие 9, начиная с pv 10 11 п + 9 78. хп ■■ 1 3 2п — 1 ж «-(‘--BO—В-О 80, I 2П Хп = -О+-г)0+зМ‘+тг-)- 81. Xi = д/2~, = *\]2 д/2™ , . , = у/^2 -f- 2 -f- . * . Ч~У2~ в • • • п корней Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость сле¬ дующих последовательностей:
* I. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 19 82. хп = а0 + <*1? + . . . +anqn, где |а*| < М (k = 0, 1, 2, . . .) и | q\ < 1. sin 1 . sin 2 . . sin. n 83. *„ = 84. x„ = 2 22 2" cos 1! , cos 21 , , cos rtl 85. xn — 1 4 1-2 2-3 я(п+1) 1,1, ,1 22 32 n* Указание. Воспользоваться неравенством ' 1 — (я = 2, 3, . . .). пг tl — 1 п 86. Говорят, что последовательность хп (п = 1, 2, . . .) имеет ограниченное изменение, если существует число С такое, что I *2 — *1 I + I *3 — *2 | + . . . + | — *«-1 I < С (п = 2, 3, . . .)• Доказать, что последовательность с ограниченным из¬ менением сходится. Построить пример сходящейся последовательности, не имеющей ограниченного изменения. 87. Сформулировать, что значит, что для данной по¬ следовательности не выполнен критерий Коши. 88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходи¬ мость последовательности 1 . 1 . 1 Г 1 1 *„ = 1+ —+ —+ ••• + — • 89. Доказать, что если последовательность хп (п = «= 1, 2, . . .) сходится, то любая ее подпоследователь¬ ность хРп также сходится и имеет тот же самый предел: lim х„ = lim хп. 1>Г1 11 П-^оо П-+оО 90. Доказать,, что монотонная последовательность будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпосле¬ довательность. 91. Доказать, что если lim хп = а, то П-+СЮ lim |*Я| = И-
20 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 92. Если хп -*■ а, то что можно сказать о пределе lim П-+00 Хп 93. Доказать, что сходящаяся числовая последова¬ тельность ограничена. 94. Доказать, что сходящаяся числовая последова¬ тельность достигает либо своей верхней грани, либо своей нижней грани, либо той и другой. Построить примеры по¬ следовательностей всех трех типов. 95. Доказать, что числовая последовательность хп (п = 1, 2, . . .)» стремящаяся к + оо, обязательно достигает своей нижней грани. Найти наибольший член последовательности хп (п = — 1,2, . . . ), если: 96. хп = — . 97. хп = —^ . 98. хя = —. " 2" “ 100+л л! Найти наименьший член последовательности хп (п =» = 1, 2, . . .), если: 99. лся = м2—9л—100. 100. хп = п + ■ . Для последовательности хп (п = 1,2, . . .) найти inf хп, sup хп, lim хп и lim хп , если: П-+оо П-*ао 101. хп = 1 101.1. хл = (-1)"-1^2 + -|-^. ,02. = + - '-Ч-—• п 2 4 /\О < . /I fljl 103. хп = 1 Ч cos п+ 1 2 П (П—1) 104. *„= 1 + 2(— 1)л+| + 3- (—1) 2 . 105. хп= п- cos . 106. *„ = ( —1)яп. п п+1 3 107. *„ = — п[2 + (—1)"]. 108. х„ = п<~1>п. 109, х„ = 1 + пsin --я—. 110. хп- 1 п -10,2
& 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 21 Найти lim хп и lim хп, если: п^°° 2 пп ■ COS . 111. 112. 113. *п 114. Хп 1 + п пп Хп “ (l + -^“У • (— 1)" + sin п . , sin2 я+ 1 ?/"! ! Z ! Гш «.г .. 2пп 1 ~ 3 Найти частичные пределы следующих последователь¬ ностей: 11в 1 1 1 Э I 7 1 1 Ю. ” » ~ ♦ » '» f ♦ • . • » ' 7~ I 2 2 4 4 8 8 2" 2я —I ♦ • • • 2" ш- '■ -г- |+-г* 4- '+4- v+-f’ _L, 1+J_, J- + -L, —ц—J 4 4 2 4 3 4 5 1 i,l 1,1 1 , 1 • • • » » а “| * — 1 » • • . * ; г • n n 2 n n — 1 n 1 • • • • n + 1 118. 112 12 3 1 2 ' 3* 3 ’ 4 * 4 * 4 5 2 3 4 5 ’ 5 5 ‘I 119. 120. хп = -±-[(а + Ь) + (-1Г(а-Ь)]. 121. Построить пример числовой последовательности, имеющей в качестве своих частичных пределов данные числа ^1» ^2» • • •» &р*
22 ОТДЕЛ Г ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 122. Построить пример числовой последовательности, для которой все члены данной числовой последователь¬ ности @1* ®2» • • •» • • • являются ее частичными пределами. Какие еще частич¬ ные пределы обязательно имеет построенная последова¬ тельность? 123. Построить пример последовательности: а) не имеющей конечных частичных пределов; б) имеющей единственный конечный частичный пре¬ дел, но не являющейся сходящейся; в) имеющей бесконечное множество частичных пре¬ делов; г) имеющей в качестве своего частичного предела каждое вещественное число. 124. Доказать, что последовательности хп и уп = = хпу п (п = 1,2,...) имеют одни и те же частичные пределы. 125. Доказать, что из ограниченной последователь¬ ности хп {п = 1, 2, . . .) всегда можно выделить сходя¬ щуюся подпоследовательность хр (п = 1, 2, . . .). 126. Доказать, что если последовательность хп (п = = 1, 2, . . .) не ограничена, то существует подпоследо¬ вательность хв такая, что lim х„ =оо. рп * рп П-+оо 127. Пусть последовательность хп (п = 1,2,.. .)’ сходится, а последовательность уп (п = 1, 2, . . .) рас¬ ходится. Что можно утверждать о сходимости последо¬ вательностей: а) хп + Уп\ б) хпуп? Привести соответствующие примеры. 128. Пусть последовательности хп и уп (п = 1, 2, . . .) расходятся. Можно ли утверждать, что последо¬ вательности а) я* + уп\ б) хпуп также расходятся? Привести соответствующие примеры. 129. Пусть lim хп = 0, и уп (п = 1, 2, . . .) — гг—►с» произвольная последовательность. Можно ли утвер¬ ждать, что lim хпуп = 0? Привести соответствующие «-►оо примеры.
$ 5 ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 23 130. Пусть lim хпуп = 0. П-юо Следует ли отсюда, что либо lim хп = 0, либо lim уп— 0? Л—*оо П-^оо | _1_ ( 1)П I / |)Л Рассмотреть пример: х„ = —— уп=- 5 — (п= 1, 2, . . . )• 131. Доказать, что а) lim хп + lim у„ < lim (хп + уп) < lim хп + lim у„ п-+ао п-юо п —►оо п-+оо П-+оо И б) lim хп + Пт у„ < Йт (х„ + уп) < Ш хп + Пт уп. П-+3с п^°° п~’"х п-юа п^"х> Построить примеры, когда в этих соотношениях имеют место строгие неравенства. 132. Пусть хп>0и уп > 0 (п=1, 2, . . .). Доказать, что а) \\тхпЛ\туп < lim (хпу„) < lim*„-lim уп П—*-оо п-+ оо п-юо Я—► оо tl-+oо И б) lim хп • lim уп < lim (хпуп) < lim хпЛ\т у„. п-+оо n-+oo П-юо п—оо П-*-оо Построить примеры, когда в эгих соотношениях имеют место строгие неравенства. 133. Доказать, что если lim хп существует, то, какова П-*оо бы ни была последовательность уп (я = 1, 2, . . .), имеем: а) Urn (хп + уп) = lim х„ + Пт уп П-+ СЮ 00 Г1—►ОО И б) Йт (х„уп) = Пт хп-Шуп (х„ >0). П-> оо tx—►ОО П-+00 134. Доказать, что если для некоторой последователь¬ ности хп (п~ 1, 2, . ..), какова бы ни была последователь¬ ность уп (п = 1, 2, . . .), имеет место по меньшей мере одно из равенств: a) lim (х„+ !/„) = ПпГ *,, +Пт ул
24 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ ИЛИ б) Пгп (х„уп) = ГТггГ X, ■ ПгтГуп (хп>% П-*-оо П—>сю П-*- оо то последовательность хп — сходящаяся, 135. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . .) и lim хп • lim —i— = 1, П—юо П—>оо Xfi то последовательность хп — сходящаяся. 136. Доказать, что если последовательность хп (п => = 1, 2, . . .) ограничена и lim (*„+1—х„) = 0, то ча- П-*> ОО стичные пределы этой последовательности расположены всюду плотно между ее нижним и верхним пределами: / = lim хп и L = lim хПУ то есть любое число из отрезка [/, L 1 является частич¬ ным пределом данной последовательности. 137. Пусть числовая последовательность х19 хъ . . ♦ . . . , хП9 . . . удовлетворяет условию 0 ^ Хщ+п ^ (^» Я = 1, 2, , . . ). Доказать, что lim —существует. П-> ОО fl 138. Доказать, что если последовательность хп (п = 1, 2, . . .) сходится, то последовательность средних ариф¬ метических Ел = (^i “Ь* %2 “Ь* • • • “1~ %п) (fi = 1, 2, , . , ) п также сходится и lim ?» + *»+••• +*п = lim ^ П-УОО tl п-+ оо Обратное утверждение неверно: построить пример. 139. Доказать, что если lim хп = -f оо, то П-> оо lim -.Xl.+ .X«+ ±.XJ2- = н- оо. «-►ОО fl 140. Доказать, что если последовательность х„ (п ^ = 1, 2, . . .) сходится и х„ >0, то lim yf хгх2 . . . хп — lim хп. П о
§ 2. ТЕОРИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ 25 141. Доказать, что если хп >0 {п = 1, 2, . . .), то lim хп = lim - *я+|-, П—юс Л—>oo Jf/j предполагая, что предел, стоящий в правой части по¬ следнего равенства, существует. 142. Доказать, что lim —- - е. п-*°° 143. Доказать теорему Штольца: если а) Уп+i > уп (« = 1. 2, . . .); *л+1 *л б) lim уп= + оо, в) существует lim ГС-*00 л->00 */л+1 i/л ТО lim - = lim ~п+х~Хп . п-+оо Уп п-+оо Уп+1 — Уп 144. Найти: a) lim ——(а>1); б) lim -lg п -. Л-^-}"00 °-П /1-*+оо И 145. Доказать, что если р — натуральное число, то a, |im.l>+2-+ ••■+.» j_. П~>оо пр +1 1 б» цт(-», + У+•••+-’ г—и-!-. л-*оо \ пР р -{- 1 / 2 В) птЛ+У+ • • • +Е"-Пр = 2Р П—►оо +1 P -{- 1 146. Доказать, что последовательность хп = 1 + Ч—““ + • • . Н—- In п (п ~ 1, 2, . . . ) о п сходится. Таким образом, имеет место формула 1+4-Н—1--\ Ь — = c + lnn + enf 2 3 л где С — 0,577216 ... — так называемая постоянная Эйлера и е„ -► 0 при п -»• оо. 147. Найти lim ( ? ] ? }- . . . J——V п->оо \ л -|“ 1 /i-j-2 2 я /
26 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 148. Последовательность чисел хп (п = 1, 2, . . .) определяется следующими формулами: х,=а, хг — Ь, ха = --п~(я = 3. 4,. . .). Найти lim п~*оо 149 (н). Пусть хп (п = 1, 2, . . .) — последователь¬ ность чисел, определяемая следующей формулой: Яо>0, xn+l = -j-(xn + -l—) (я = 0, 1, 2, . . .). Доказать, что limx„ = l. П-+СХ) 150. Доказать, что последовательности хп и уп (п = *= 1, 2, . . .), определяемые следующими формулами: Xi = a, yi = b, хп+1 = л/хпуп, y„+i= + имеют общий предел (л (a, fc) = lim дсп = Ьтуп «-►сю П-юо (<арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь). § 3. Понятие функции 1°. Понятие функции. Переменная у называется однозначной функцией / от переменной х в данной области из¬ менения X = (*}, если каждому значению х £ X ставится в соответствие одно определенное действительное значение У = / (*)« принадлежащее некоторому множеству У= {*/}. Множество X носит название области определения или об¬ ласти существования функции I (дс); Y называется множеством значений этой функции. В простейших случаях множество X представляет собой или открытый промежуток (интервал) ] а, 6 [ = (а, Ь) : а < х < 6 или полуоткрытые промежутки 1а, 6) = (а, 6): а < х < 6, [а, 6 [ = [а, Ъ): а < х < 6, или замкнутый промежуток (сегмент) [а, 61: а ^ х ^ 6, где а и b — некоторые вещественные числа или символы — оо и + оо (в последних случаях равенства исключаются). Если каж¬ дому значению х из X соответствует одно или несколько зна¬ чений у = f (х), то у называется многозначной функцией от х. 2°. Обратная функция. Если под х понимать любое значение, удовлетворяющее уравнению f (*) = у, где у — фиксированное число, принадлежащее множеству зна¬
§ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 27 чений Y функции f (*), то это соответствие определяет на мно¬ жестве У некоторую, вообще говоря, многозначную функцию * = 1~Чу), называемую обратной по отношению к функции fr (*), Если функция у = I (х) монотонна в строгом смысле, т. е. I (х2) >/ (*i) (или соответственно /, (х2) < jj (*,)) при х2 > xi% то обратная функция х = 1~х (у) является однозначной и монотонной в том же смысле. Определить области существования следующих функ¬ ций: 151. у = —. 152. у = УЗ*—*3 ". 153. у = (х—VaJ \ • 154. а) у = log (дс2 4); б) у = log(x + 2) -Ь log (ж—2). 155. 1/ = /\/5'п (У* ) . 156« у = л/cos х2 . 157. </ = lg('sin—V 158. у = -^±- . \ X ) У sin пх 2х 159. у = arcsin ——— 160. i/ = arccos (2 sin л:). 161. у = lg [cos (lg *)). 162(h). y — (x-\- |x|) ^/*sin2nje . 163. у — ctg nx -f- arccos (2*). 164. у = arcsin (1—x) + lg (Ig x). 165. y — (2x)l r 165.1. у = log2log3log4x. 165.2. у = у lg tg x . 165.3. y = '\Js\n2x -\/sin 3jc (0 < x < 2л). Определить области существования и множество значений следующих функций: 166. у = <\/2+х—хг . 167. y=lg(l—2 cos я). 168. и = arccos ——— . 169, у = arcsin (lg ——^. 1 + хг Vs 10 ) 170. * = (-!)*■ 171. В треугольник ABC (рис. 1), основание кото¬ рого АС = b и высота BD = А, вписан прямоугольник K.LMN, высота которого NM = х. Выразить периметр
2d ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Р пря^-оугольника KLMN и его площадь S как функ¬ ции ОТ X. Построить графики функций Р = Р (*) и S = S (х). Рис. 1 172. В треугольнике ABC сторона АВ = 6 см, сто¬ рона АС = 8 см и угол ВАС = х. Выразить ВС = а м площадь ABC = S как функции переменной х. По¬ строить графики функций а — а (х) и S = S (х). 173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2), основания которой AD = а и ВС = b (а >Ь), а высота НВ = h, проведена прямая MN |] ИВ и отстоящая от вершины А на расстоянии AM = х. Выразить пло* щадь S фигуры ABNMA как функцию переменной х. Построить график функции: 5 = S (*). 174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох равномер¬ но распределена масса, равная 2 г, а в точках этой оси х = 2 и х = 3 находятся сосредоточенные массы по 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение
§ 3 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 29 функции т = т (х) (— оо < х < + оо), численно равной массе, находящейся в интервале (—оо , *), и построить график этой функции. 175. Функция у = sgn х определяется следующим образом: ( —1, если дс<0; sgnx = 0, если х = 0; 1, если дс>0. Построить график этой функции. Показать, что | X I = X sgn X. 176. Функция у — [х] (целая часть числа х) опре¬ деляется следующим образом: если х = п + Л где п — целое число и 0 < г < 1, то 1х ] = п. Построить график этой функции. 177. Пусть у = л (х) (х > 0) обозначает число простых чисел, не превышающих числа х. Построить график этой функции для значений аргумента 0 < х < 20. На какое множество Еу отображает множество Ея функция у = / (лг), если: 178(h). у — х2, £, = {—К*<2}. 179. у= Igx, Ех = {10<дг< 1000}. 180. у = —— arctgх, Ех = {—оо<*< + оо}. Л 181. y = ctg-^-, £, = {0<И<1}. 4 182. // = |*1. ^={1 <|*|<2}. Переменная х пробегает интервал 0<*-<l. Ка- кое множество пробегает переменная у, если: 183* у = а-\-(Ь — а)х. 184. у = 1 — X 185. у = . 186. y = Jx~x2 . 2х — 1 у v 187. «/=ctgnx. 188. у = х-\-[2х\.
30 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 189. Найти / (0), / (1), / (2), / (3), / (4), если / (дс) = *= X*—6х3 + 11х2—6х. 190. Найти / (— 1), / (— 0,001), / (100), если / (дс) = = lg (х2). 191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если / (*) = 1 + [*]. 192. Найти /(—2), /(—I), /(0), /(1), /(2), если 193. Найти /(0), /(— *), /(*+1), /(*)+!, 194. Найти значения х, для которых: 1) / (дс) = 0j 2) / (х) > 0; 3) / (х) < 0, если: a) /(х) = дс—дс3; б) /(x) = sin—; X в) /(*) = (* + И)(1— *)• 195. Найти ф (х) = ~W , если: h а) / (*) = ах + Ь\ б) / (х) = х2; в) / (х) = а*. 196. Пусть / (дс) = ах2 + 6л + с. Показать, что / (х + 3) - 3/ (* + 2) + 3/ (* + 1) - / (х) s 0,- 197. Найти целую линейную функцию / (дс) = ах + Ь, если / (0) = — 2 и / (3) = 5. Чему равны / (1) и / (2) (линейная интерполяция)? 198. Найти целую рациональную функцию второй степени: / (дс) = ах2 + Ьх + с, если Чему равны / (— 1) и / (0,5) (квадратичная интерпо¬ ляция)? 199. Найти целую рациональную функцию третьей степени: если /(-!) = 0, / (0) = 2, / (1) = - 3, /(2) = 5. 1+дс при — оо<дс<0, 2х при 0<С*<; + оо. , если /(-2) = 0, /(0) = 1, /(1) = 5. / (х) = аде3 + Ьх2 -f- сх + d,
§ 3 ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 31 200. Найти функцию вида / (х) = а + Ьсх, если / (0) = 15, / (2) = 30. / (4) = 90. 201. Доказать, что если для линейной функции f (х) = ах + b значения аргумента х = хп (я = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие зна¬ чения функции уп = f (*п) (я = 1, 2, . . .) образуют также арифметическую прогрессию. 202. Доказать, что если для показательной функции значения аргумента х = х„ (я = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрессию, то соответствующие зна¬ чения функции уп = f (хп) [п = 1, 2, . . .) образуют геометрическую прогрессию). 203. Пусть функция / (и) определена при 0 < и <1. Найти области определения функций: f(x + y) + f(x-y) = 2f(x)f(yl 205. Пусть / (*) + / (у) = f (г). Определить г, если а) / (*) = ах', б) /(*) = — ; X в) /(дс) = arctgх (|*|<1); г) /(лг) = log j**-. Найти ф [ф (х) ], ij> Гф (х) ], ф [\|5 (х) ] и if {ф (*) I, / (*) = а* (а > 0) a) /(sin*); б) /(In*); в) )• 204. Пусть f(x) = (а*-\-а~х) (а>0). Пока¬ зать, что если: 206, ф (дс) = лга и -ф (*) = 2*. 207. ф (jc) = sgn дс и (*) = —5—. х й X 0 при*<0, —х2 прих>0.
32 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 209. Найти / [/ (х) ], / {/ I/ (.х) ]}, если 210. Пусть fn (х) = / (Д . . . / (*))). Найти fn (х), если п раз /(*) . . Vi + x* 211. Найти / (л), если / (х + 1) = х2—Здс + 2. 212. Найти /(*), если / (х + —!—= ха + —5— (I лс| > 2). \ X J X* 213. Найти f (х), если/^==Jt+Vl+JC* (-*>0). 213.1. Найти /(х), если / ^= хг. Доказать, что следующие функции являются моно¬ тонно возрастающими в указанных промежутках: 214. f(x) = x2 (0<дс< + оо). 215. f (х) = sin х ^ 216. f(x)= tgx 217. f(x) = 2x+sin x ( — oo<x< + oo). Доказать, что следующие функции являются моно¬ тонно убывающими в указанных промежутках: 218. f(x) = x2 (— оо<*<0). 219. f(x) = cosx (0 < х < л). 220. f{x) = ctgx (0<х<л). 221. Исследовать на монотонность следующие функ¬ ции: a) f (х) = ах + Ь\ б) / (х) = ах2 + Ьх+с\ в) f{x) = x*; г) f(x)= aXj~~; сх -f- а д) f(x) = a* (а>0).
§ 3. ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ 3S 222< Можно ли почленно логарифмировать нера¬ венство? 223. Пусть ф (я), ip (х) и f (х) — монотонно возрас¬ тающие функции. Доказать, что если Ф (*) < / (*) < Ч» (*)• то ф 1ф (*) ] < / I/ (Х) ] < 1(3 [т]з (х) ]. Определить обратную функцию х = ф (у) и ее об¬ ласть существования, если: 224. г/ = 2х+3 (— оо <х< + оо) 225. у — х2; а) —оо<zx < 0, б) 0 < х<С + ос. 226.^ = -!=^ (хф-1). \ + х 227. у = ^[—х2 ; а) — 1 < * < 0; б) 0 < х < 1. 228. у — sh х, где sh х = -i- (е* — е~х) (—oo<x< +оо). 229. у = th х, где th х = с* + е~х ( —оо<*< +00). 230. ' х, если —оо<а<1; х2, если 1 < х < 4, 2\ если 4<дг< -f оо. У = 231. Функция f (х), определенная в симметричном интервале (— /, /), называется четной, если / (— х) == f (х); и нечетной, если f (— х) = — f (х). Определить, какие из данных функций / (х) являются четными, а какие нечетными: a) f(x) = 3x—дс3; б) {(х) = У{\—х)* +^(1 -М)1'; 2 Б П Демидович
34 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ в) /(х) = а* + а~х (а>0); г) /(*) = In 1 ~ ; I ~Г X д) f(x) = ln (x + 's/l+x2). 232. Доказать, что всякую функцию / (*)’, опреде¬ ленную в симметричном интервале (— I, /), можно пред¬ ставить в виде суммы четной и нечетной функций. 233. Функция / (*), определенная на множестве Е, называется периодической, если существует число Т~> О (период функции — в широком смысле слова!) такое, что f (х ± Т) = f (х) при х £ Е. Выяснить, какие из данных функций являются пе¬ риодическими, и определить наименьший период их, если: а) / (х) = A cos кх + В sin Jir, б) f (х) = sin х-f- -1— sin 2x-\—— sin Здс; 2 3 в) / (x) = 2 tg —^ 3tg-^-; r)/(jc)=sin*r, д) f(x) = sin x2; e) f(x) = -\/tgx; ж) / (x) = tg *Jx; з) f (x) = sin x + sin (x VsT), 234. Доказать, что для функции Дирихле ( 1, если х рационально, X (*) — | 0' если х иррационально, периодом является любое рациональное число. 235. Доказать, что сумма и произведение двух пе¬ риодических функций, которые определены на общем множестве и периоды которых соизмеримы, есть функ¬ ции также периодические. 235.1. Функция /(х) называется антипериодической, если /(*+ Г) = -/(х) (Т > 0). Доказать, что / (дс) — периодическая с периодом 2Т. 236. Доказать, что если для функции f (х) (— оо ■< < * < + оо) выполнено равенство / (х 4- Т) = kf (х), где Л и Т — положительные постоянные, то f (ж) = = (х), где а — постоянная, а <р (х) — периодиче¬ ская функция с периодом Т.
§ 4 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 35 § 4. Графическое изображение функции 1Л. Для построения графика функции у = / (*) поступаю! следующим образом: 1) определяют область существования функции: X = {х}\ 2) выбирают достаточно густую сеть зна¬ чений аргумента хи *2, . . , , хп из X и составляют таблицу соответству ющих значений функции Уь = I (*i) (i = 1, 2, • • . , п)\ 3) наносят систему точек Mt (xlt yt) (i = 1, 2, . . . , я) на коор¬ динатную плоскость Оху и соединяют их линией, характер ко¬ торой учитывает положение промежуточных точек. 2°. Чтобы получить грамотный график функции, следует изучить общие свойства этой функции. В первую очередь нужно: 1) решив уравнение / (х) =■ О, определить точки пересечения графика функции с осью Ох (нули функции), 2) установить области изменения аргумента, где функция положительна или отрицательна, 3) если возможно, выяснить промежутки монотонности (возрастания или убы¬ вания) функции; 4) изучить поведение функции при неограни¬ ченном приближении аргумента к граничным точкам области существования функции. В этом параграфе предполагается, что свойства просгеиншх элементарных функций — степенной, показательной, тригоно¬ метрических ит п., известны читателю Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая боль¬ шой вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков многих функций. Другие графики иногда удается свести к ком¬ бинации (сумме или произведению и т. п) этих простейших графиков 237. Построить график линейной однородной функции У = ах при а = 0; 1/2; 1; 2; — I. 238. Построить график линейной функции у = х + Ь при 6 = 0, 1, 2, — 1. 239. Построить графики линейных функций: а) # = 2х+3; б) у = 2—0,1л:; у= 1 1. 240. Температурный коэффициент линейного расши- рения железа а = 1,2* 10"®. Построить в подходящем масштабе график функции I = f (D 40° < Т < 100°), где Т — температура в градусах и I — длина железного стержня при температуре Т, если / = 100 см при Т = 0°. 2*
ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 241. На числовой оси движутся две материальные точки. Первая в начальный момент времени t = 0 на¬ ходилась на 20 м влево от начала координат и имела скорость £>х = 10 м/с; вторая при t = 0 находилась на 30 м вправо от точки О и имела скорость = = — 20 м/с. Построить графики уравнений движений этих точек и найти время и место их встречи. 242. Построить графики целых рациональных функ¬ ций 2-й степени {параболы): а) у = ах2 при а— 1, 1/2, 2, <—1; б) у = (х—х0)2 при *0 = 0, 1, 2, —1; в) у = х2-\-с при с = 0, 1, 2, —1. 243. Построить график квадратного трехчлена у = ах2 + Ьс + с, приведя его к виду у = г/о + а (х—х0 )2. Рассмотреть примеры: а) у = &х— 2х2\ б) у = х2 — 3jc + 2; в) у= —х2 + 2х—1; r) y^~Yх2 + х+1. 244. Материальная точка брошена под углом а = 45° к плоскости горизонта с начальной скоростью v0 = = 600 м/с. Построить график траектории движения и найти наибольшую высоту подъема и дальность по¬ лета (приближенно считать g « 10 м/с2; сопротивле¬ нием воздуха пренебречь). Построить графики целых рациональных функций степени выше второй: 245. у = лс*+1. 246. у = {1— х2)(2 + х). 247. у = х2‘—х4. 248. у = х(а—х)2 {а + л;)3 (а>0). Построить графики дробно-линейных функций (ги¬ перболы): 249. у = ~. 250. y = -L-x-. У X У 1+х 251. Построить график дробно-линейной функции _ах±±_ {ad_bc¥:0) Сф0), cx-\-d
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 37 приведя ее к виду , т У = Уо Рассмотреть пример у = х — х0 Ъх+2 2х — 3 252. Газ при давлении pQ = 1 кгс/м2 занимает объем vQ = 12 м3. Построить график изменения объема v газа в зависимости от давления р, если температура газа остается постоянной {закон Бойля—Мариотта). Построить графики дробных рациональных функций: 253. у = х-{—— (гипербола). X 254. у = х2+—— (трезубец Ньютона). 255. у — х- X 1 Xй 256.- у — - (кривая Аньези). 1 + X2 2х 257. у = — (серпантин Ньютона). 258. // = . 259. у = I — X1 1 — X1 260. у =—- 1 261. // = 1 + X X I — X 1 2,1 262. у = 1 + X А'2 1 X (х 4- 1) (х — 2) (* — 1) (*+ 2) 263. Построить эскиз графика функции ах2 + Ьх + с t У = Z-TT («1=^0), aiX + Й1 приведя ее к виду у = kx + m- х — ха
38 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Рассмотреть пример 264. Построить график абсолютной величины силы притяжения F материальной точки, находящейся на расстоянии х от притягивающего центра, если F = = 10 кгс при х = 1 м (закон Ньютона). 265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем v ре¬ ального газа и его давление р при постоянной темпера¬ туре связаны соотношением Построить график функции р =р (v)', если а = 2 Ь = 0,1 и с = 10. Построить графики иррациональных функций: 2С6. у = ± V—х—^ (парабола). 2G7. у=±х'\/х (парабола Нейля). 268. у = ± 100—jea (эллипс). 269. у = ± У*2 — 1 (гипербола). 273. у = ± У(*а-П (9—ж*). 274. Построить график степенной функции у = & при: а) п = 1, 3, 5; б) п = 2, 4, 6. 275. Построить график степенной функции у — хп при: а) п = — 1, — 3; б) п — — 2, — 4. ffl /— - 276. Построить график радикала у — у х при: а) т — 2, 4; б) т = 3, 5. 277. Построить график радикала «/ = }/***, если: а) т = 2, k = 1; 6) т = 2, k = 3; в) т = 3, k => 1; г) т = 3, k = 2\ д) т = 3, k = 4; е) m = 4, k = 2; ж) т (циссоида).
§ 4 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 39 278. Построить график показательной функции у = а* при а = 1/2, 1, 2, е% 10. 279. Построить график сложной показательной функ¬ ции у = е1,\ если: а) уi = x2, б) f/i = — х2; в) iji = ~ г) &д) —^г; е) i/i = T!V• 280. Построить график логарифмической функции у — logaX при а = 1/2, 2, е, 10. 281. Построить графики функций: а) у = In (— х); б) у = — In х. 282. Построить график сложной логарифмической функции у = In ylt если: а) г/i = 1 + х2; б) уг = (х— 1) (х—2)2 (х—3)3; в) У\= ; г) y1 = -L; Д) '/i=l+ е*. 1 + X X1 283. Построить график функции у = logt2. 284. Построить график функции у = A sin х при А = 1, 10, — 2. 285. Построить график функции у = sin (к—л:0), если х0 = 0, я/4, я/2, Зя/4, я. 286. Построить график функции у = sin пх, если п = 1, 2, 3, 1/2, 1/3. 287. Построить график функции у = a cos * + b sin приведя ее к виду у = /4 sin (х—х0). Рассмотреть пример: у = 6 cos х + 8 sin х. Построить графики тригонометрических функций: 288. у = cos х. 289. у = tg х. 290. у — ctg х. 291. у — sec х. 292. у = csc х. 293. у = sin3 х. 294. у = sin3*. ■ 295. у — ctg2x. 296. у — sin дс-sin Зле. 297. у = ± л/tos х.
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Построить графики функций: 298. i/ = sinje2. 299. t/ = sin-J—. 300. у = cos-^-. 300.1. у = sin я. sin—!—. 301. y = tg-^-. X X 301.1. у = sec —— . 302. y= x ^2 +sin —— 303. у=±л/1—x2 sin-^—. 304. у = smg_ X X 305. y = e*cosx. 306. у = ± 2"* -\/sin nx • 307. y= co —-. 308. у = In (cos x). l + & J ' 309. у — cos (In x). 310. y = e]/sinx. Построить графики обратных круговых функций! 311. у = arcsin х. 312. у = arccos х. 313. у = arctg х. 314. у = arcctg х. 315. у= arcsin—!-. 316. у — arccos—^—. X X 317. у = arcctg —. 318. у = arcsin (sin х). х 319. у = arcsin (cos ж). 320. у = arccos (cos л:)'. 321. у = arctg (tg х). 322. у = arcsin (2 sin х). 323. Построить график функции у = arcsin уъ если: а) О в) Уу= \~х ; г) yi = ех. 1 + JC 324. Построить график функции у = arctg г/j, если:
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 41 324.1. Построить графики функций: а) у = х3—Зх + 2; б) У = — ** ; (I — х)(1 + д:^ Е) у = ~г~,—Г"; г) у = л/х(1~х2) ; I X I — 1 д) у = 3sin^—е) у — ctg пх l + x2 ' ж) у= • 1 _ 3) У = lg(*a—Зх + 2); и) //= arcsin sinx^; к) у = arctg (—!—+ —Ц-4._!__у V дс— 1 х — 2 д: — 3 / Л) у = logcos X sin X', м) t/ = (sin*)c,8 *. 325. Зная график функции у = / (*), построить гра¬ фики функций: a) y = —f М; б) у = / (— *); в) y = —f{— х). 326. Зная график функции у = / (х), построить гра¬ фики функций: а) У = f (х—*„); б) у = у о + f (х—х0); в) у = / (2х); г) у = / (&с + 6) (Л ф 0). 326.1. Пусть 1 — |дс| при |jc 1 < 1; 0 при |*|>1. Построить графики функций: У = [/ (*—0 +/ (* + 01 при / = 0, t = 1 и t = 2. 327. Построить графики функций: /<*) = { а) у = 2 + л/\ — х; б) г/ = 1 — егх\ в) г/ = In (1 Ч-лг); г) у = — arcsin (1 + х); д) у = 3 + 2 cos 3*.
42 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 328. Зная график функции у = / (х), построить гра¬ фики функций: а) у = 1/(*)|; б) y = -L.(\f(x)\+f(x)y, в) y=~Y(\f(x)\~f(x)). 329. Зная график функции у = / (х), построить гра¬ фики функций: а) У = /2 (*); б) у -= V/W"; в) у = 1п/(х); г) У = f(f (х)У, Д) У = sgn / (х); е) г/ = [/ (*)]. 329.1. Пусть / (х) = (х—а) (Ь—х) (а < Ь). Построить графики функций: a) y = f(x)\ б) у = Р (х); в) у = —; / М Г) У = VfW; Д) У = ^(лг); е) i/ = lg/ (х); ж) у = arcctg / (х). 329.2. Построить графики функций: а) у = arcsin [sin/ (х)[; б) у = arcsin [cos/ (дс)]; в) у — arccos[sin/(ж)]; г) у = arccos[cos /(дс)]; д) у = arctg [tg/ (*)], если: 1) / (х) = х2; 2) / (дг) = х3. 330. Зная графики функций у = / (<) и у = g (х), построить графики функций: а) У = /(*)+ g (*); б) у = / (*) 5 (х); ъ) у = f (g (дг)). Применяя правило сложения графиков, построить графики следующих функций: 331. у=1+х + е*. 332. t/H*+l)T2-Kx^-l)-2. 333. у — х-\- sin х. 334. у = х&rc.ig х. 335. y = cosx + — cos2x + —cos Зх. 2 3 336. f/ = sin jc — sin 3jc H—sin bx. 3 5
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 43 337. // = sin4 л: + cos4 л:. 338. у —11—х| -f| 1 + jc |. 339. у = \\ —х\ — | 1 +а:[. 340. Построить графики гиперболических функций: а) у — ch х, где ch х = (е* + е~х)\ б) y — shx, где sh jc = —(ех—е~х)\ в) у = th х, где th де = sh х ch х Применяя правило умножения графиков, построить графики функций: 341. y — xs'\nx. 342. у — х cosx. 343. y = x2sin2 дс. 344. у -- /(*) = { 1 + 345. у = e-*’ cos 2x. 346. у = xsgn (sin x). 247. y = [x]|sinjuc|. 348. // = cosA:-sgn(sinx). 349. Пусть 1—1*|, если |jc| < 1; О, если |дс|>1. Построить график функции У — f (x) f (a—*), если: a) a = 0; 6) a = 1; в) a = 2. 350. Построить график функции у = х + -у/х sgn (sin njfJ. Построить график функции у = —!—, если: / W 351. f (х) = ж1 (I—*1). 852. / (х) = х (1—х)\ 353. f (х) = sin1*. 854. / (х) — 1п х. 355. f (х) = e*sin х. 356. Построить график сложной фуннции у = / (и),
44 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 357. Пусть 1 ( X PI ф(*) = — (*+И) и ^М = ’ 2 [ х2, е Построить графики функций: а) У = Ф [ф (*) 1; б) у = ф [i|) (л:) ]} в) у = Ф [ф (*) ]; г) у = $ (х) ]. 358. Пусть Построить графики функций: а) у = ф 1ф (х) ]; б) у = ф [ijj (х) ]; в) у — ^ [ф (*) ]; г) у = г|з Ь|) (*) ]. 359. Функцию f (лг), определенную в положительной области х> 0, продолжить в отрицательную область х < 0 таким образом, чтобы полученная функция была: 1) четной; 2) нечетной, если: а) / (*) = 1—х\ 6)f(x) — 2x—л2; в) f (x) = -\fx\ г) f (х) = sin х; д) f (At) = ех; е) f (*) = 1п х. Построить соответствующие графики функций. 360. Определить, относительно каких вертикальных осей симметричны графики функций: если |х| < 1; если |х|>1, и 2—х2, если |*| <2; 2, если |х|>2. а) у = ах2 + Ьх+с; б) У = — + — X1 (1 — Х)г в) у — ^а-\-х —х (0<а<6); г) у = a + b cos х.
§ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 45 361. Определить, относительно каких центров сим¬ метричны графики функций: \ I L /гЛ О.Х -f~ Ь а) у = ах+Ь\ б) у = —X—; сх -j- (L в) у = ах'л + Ьх2 -\-cx-\- d\ д) у = 1 +Vх—2. 362. Построить графики периодических функций: а) у= | sin х|; б) у = sgn cos х; в) у = / (х), где / (ж) = А—- ^2 —у-), если 0 < х< 21 и / (х + 21) = 33 / (х); г) у = М-2[-|-]; Д) У — Wt где (л:) — расстояние от числа х до бли¬ жайшего к нему целого числа. 363. Доказать, что если график функции у = = f (х) (— оо < х < + оо) симметричен относительно двух вертикальных осей х = а и д; = 6 (& > а), то функция / (х) — периодическая. 364. Доказать, что если график функции у = = /(*)(— оо <; х < + оо) симметричен относительно двух точек А (а, г/0), и В (6, yj (6 > а), то функция f (х) есть сумма линейной функции и периодической функции. В частности, если у0 = ylt то функция / (х) — периодическая. 365. Доказать , что если график функции у — =/ {х) (— оо < х <С + оо) симметричен относитель¬ но точки А (а, у0) и прямой х = b (Ь Ф а), то функ¬ ция / (х) — периодическая. 366. Построить график функции у — / (*) (— оо < < х < + оо), если / (х + 1) = 2/ (jc) и / (х) = л (1—л) при 0 < х < 1. 367. Построить график функции у = f (х) (— оо < X < + оо), если / (х + я) = / (х) + sin х и / (х) = О при 0 < л < я.
46 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 368. Построить график функции у = у (x)t если: а) х = у—у\ б) х = ~-уГ‘ 1 +I/2 в) к = у — In у\ г) дс® = sin гу. 369. Построить графики функций у = у (х), задан¬ ных параметрически, если: а) х = 1—/, у = 1—t-; б) х = / + -j-, у = t + ; в) х = 10 cos t, у = sin t (эллипс)’ г) х = ch t, у = sh t (гипербола); д) х = 5 cos2 t, у — 3 sin2/; е) x = 2 (t—sin t),y— 2 (1—cos /) (циклоида); ж) x = '"yT, у = {^i + 1, (t>0). 370. Построить графики неявных функций: а) х2—ху + у% — 1 (эллипс); б) я3 + г/3—Злгг/ = 0 (декартов лист); в) У* + л/у = 1 (парабола); г) х2/3 + у>л = 4 (астроида); д) sin х = sin г/; е) cos (лх2) = cos (лг/); ж) ху = у' (х > 0, у > 0); з) дс— | дс | = у—| г/1. 370.1. Построить графики неявных функций: a) min (х, у) = 1; б) шах (х, у) = 1; в) шах (|х|, |</|) = 1; r) min (лг3, у) = 1. 371. Построить графики функций г — г (ф) в поляр¬ ной системе координат (г, ф), если: а) г = ф (спираль Архимеда); б) г = — (гиперболическая спираль); <Р в) т ——(0<ф< + °°) ф + 1 г) г — 2ф/2п (логарифмическая спираль); д) г — 2 (1 + cos ф) (кардиоида);
§ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 47 е) г = 10 sin Зф (трехлепестковая роза); ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли); з) ф = —т— (r> 1); Т — 1 и) ф = 2л sin г. 371.1. Построить в полярных координатах г и ср графики следующих функций: а) ф = 4г—г2; б) ф - Пг ; в) г2 + ф2 = 100. 1 + г2 371.2. Построить в полярных координатах г и ф графики функций, заданных параметрически (/ > 0 —• параметр): а) ф = / cos21, г = / sin21, , б) ф = 1 —2~‘ sin , г = 1 —2~* cos . 2 372. Приближенно решить уравнение х3—Зх +1=0, Построив график функции у = х3—Зх + 1. Графически решить следующие уравнения: 373. х3—4х—1 = 0. 374. х*—4х +1=0. 375. х = 2~х. 376. lg х = 0,1 х. 377. 10* = х2. 378. lg дс = х (0 < х < 2л). Графически решить системы уравнений: 379. х + у% = 1, 16х4 + у = 4. 380. х2 + I/2 = 100, у = 10 (дс2—х—2). § 5. Предел функции 1°. Ограниченность функции. Функция / (*) называется ограниченной на данном промежутке (а, 6), если существуют некоторые числа ш и М такие, что т^Ця) при я £ (о, 6).
48 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Число т0 = inf {/(*)) = max m называется нижней b) гранью функции / (х), а число М0=* sup {/ (jc)} = min М на- х£(а, Ъ) зывается верхней гранью функции / (х) на данном промежутке (а, Ь). Разность Л10—т0 называется колебанием функции на про¬ межутке (а, Ь). 2°. П р е д е л функции в точке. Пусть функция I (х) определена на множестве X = {х}, имеющем точку сгу¬ щения а. Запись lim t(x) = A (1) х-уа обозначает, что для каждого числа е >■ 0 существует число 6=6 (е) > 0 такое, что для всех х, для которых f (х) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0<|х—а|<6, справед¬ ливо неравенство I fix) — А I < 8. Для существования предела функции (1) необходимо и до¬ статочно, чтобы для каждой последовательности хп а, хп Ф а (х„ £ X; п = 1, 2, . . .), было выполнено равенство lim / (xrt) =* А. П-+ эо Имеют место два замечательных предела: 1) lim = 1, 2) lim (1 + x)llx — е. х-+0 X х-^О Критерий Коши. Предел функции f (х) в точке а существует тогда и только тогда, если для каждого е > О най¬ дется 6=6 (е) > 0 такое, что I/(*')-/(О 1<е, как только 0 <|х' — а\ < 6 и 0 < |х" — а\ < 6, где х' и х" — любые точки из области определения функции f (х). 3°. Односторонние пределы. Число А* на¬ зывается пределом слева функции / (х) в точке а: А' = lim / (х) = / (а — 0)4 X-+CL—О если | А‘ — I (х) 1 < е при 0 < а—х < 6 (е). Аналогично, число А" называется пределом справа функции t (х) в точке а: Ап = lim / (х) = f (а + 0) если | А” —1(х)\<е при 0 < х—а < 6 (е).
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 49 Для существования предела функции [ (х) в точке а необ¬ ходимо и достаточно, чтобы f (я—0) = 1{а + 0), 4°. Бесконечный предел. Условная запись lim I (х) = оо о обозначает, что для любого Е > 0 справедливо неравенство: If (х) | > Е, если только 0 < \х—а\ < 6 (Е). 5°. Частичный предел. Если для некоторой по* следовательности хп а (хп Ф а) имеет место равенство lim I (лГд) = В, П~+оо то число (или символ оо) В называется частичным пределом. (соответственно конечным или бесконечным) функции f (х) в точке а. Наименьший и наибольший из этих частичных пределов обозначаются lim / (х) и lim f (х) x-t-a х-ю и называются соответственно нижним и верхним пределами функции / (х) в точке а. Равенство lim f (х) = lim f (х) х-+а х-+а необходимо и достаточно для существования предела (соответег* венно конечного или бесконечного) функции f (х) в точке с. 381. Показать, что функция, определяемая усло¬ виями: г / \ т f (х) = /г, если х = —, п где т и п — взаимно простые целые числа и п > 0 й / (х) = 0, если х иррационально, конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не ограничена в любой окрестности этой точки). 382. Если функция / (*) определена и локально огра¬ ничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то является ли эта функция ограниченной на данном ин¬ тервале или соответственно сегменте? Привести соответствующие примеры»
50 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1 х2 383. Показать, что функция /(*)=—jj—— ограни¬ чена в интервале — оо < х < + оо. 384. Показать, что функция f(x) = — cos — не ог- раничена в любой окрестности точки х = 0, однако не является бесконечно большой при х -> 0. 385. Исследовать на ограниченность функцию / (х) = In х- sin2 — х в интервале 0 < х < е. 386. Показать, что функция f (х) =—-— в области 1 + X 0 ^ х <. + оо имеет нижнюю грань т = 0 и верхнюю грань М = 1. 387. Функция f (х) определена и монотонно возра¬ стает на сегменте [а, Ь]. Чему равны ее нижняя и верх- няя грани на этом сегменте? Определить нижнюю и верхнюю грани функций; 388. f (х) = х2 на [— 2, 5). 389. /(*)=—L-. на ( —оо, + оо). 1 -у X 390. f(x) = -£— на (0, +оо). 1 + * 391. /(дг) = х + — на (0, + оо). х 392. / (jc) = sin х на (0, + оо ). 393. / (дс) = sin лс + cos х на [0, 2л I. 394. / (л:) = 2* на (— 1, 2). 395. / (х) — [х}: а) на (0, 2) и б) на [0, 2 ]. 396. / (х) = х — \х 1 на 10, 11. 397. Определить колебание функции / (*) = х% на интервалах: а) (1; 3); б) (1,9; 2,1); в) (1,99; 2,01); г) (1,999; 2,001).
% $ ПРСДЕЛ ФУНКЦИИ 51 398. Определить колебание функции f (х) = arctg-^- иа интервалах: а) (— 1; 1); б) (—0,1; 0,1); в) (—0,01; 0,01); г) (-0,001; 0,001). 399. Пусть т [/ ] и М [/1 — соответственно нижняя и верхняя грани функции / (лг) на промежутке (а, Ь). Доказать, что если /х (х) и /2 (*) — функции, опреде¬ ленные па (а, Ь), то т t/i + f2] > т l/jl + tn [/2] и м [ft + /2] < M [/J + М [ft]. Построить примеры функций (л) и /2 (дг), для ко¬ торых в последних соотношениях имеет место: а) случай равенства и б) случай неравенства. 400. Пусть функция f (х) определена в области [а, + оо) и ограничена на каждом сегменте [а, 6]с cz 1а, + оо). Положим: т (х) = inf /(£) и М(х)= sup /(£). Построить графики функций у = т (х) и у = М (х), если: а) / М = sin х и б) f (х) = cos х. 401. С помощью «е—6»-рассуждений доказать, что lim х2 = 4. *-►2 Заполнить следующую таблицу: 8 0,1 0,01 0,001 0,0001 1 t t 6 402. На языке «Е—б» доказать, что
52 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Заполнить следующую таблицу: Е 10 100 1000 10 000 • • • б 1 1 403. Сформулировать с помощью неравенств сле¬ дующие утверждения: a) lim f(x) = b; б) lim f(x) = b\ в) lim f(x) = b. x-*a x-+a—0 x-*a-\-0 Привести соответствующие примеры. Сформулировать с помощью неравенств следующие утверждения и привести соответствующие примеры: 404. a) lim f (х) = b; б) lim f(x) = b; Х-юо —оо в) lim / (ж) = b. 405. a) lim f (х) = оо; б) lim / (х) =—оо; х-+а х->а в) lim / (jc) = + оо; г) lim / (ж) = оо; х~+а х->а—0 д) lim f(x) = — оо; х-+а—0 е) lim /(лг)=+оо; ж) lim /(*) = оо; x-+a—Q лг-*а+0 з) lim / (х) =—оо; и) lim / (х) = + оо. x-*a+Q x^a-J-0 406. a) lim/(jc) = oo; б) lim / (х) =—оо; Х-*-оо Л-^ОО в) lim / (х) = + оо; г) lim / (х) = оо; дс-»-» X—>■—оо д) lim /(*) = — оо; е) lim /(*) = + оо; ж) lim / (*) = оо; з) lim /(*) =—оо; *-►4-00 *-»-f-00 и) lim / (jc) = + оо.
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 53 407. Пусть у = / (х). Сформулировать с помощью неравенств, что значит: а) у -*• Ь — 0 при х -> а; б) у -*■ Ъ—0 при х -*■ а—0; в) у Ь—0 при х -> а + 0; г) у -> Ъ + 0 при л; -*■ а; д) у -*■ Ь + 0 при х а—0; е) у~+ b + 0 при х -> а + 0; ж) у-у Ъ—0 при х-»- оо; а) у -> b—О при х -*■ — оо; и) У -*• Ъ—0 при х + оо; к) У -*■ Ь + 0 при х -> оо; л) у b + 0 при х -*■ — оо; м) у -*■ b + 0 при х -*■ + оо. Привести соответствующие примеры. 408. Пусть Р (х) — aQxn + alxn~l+ . . . + ап, где a, (t=0, п; п > 1,а0 Ф 0) — вещественные числа. Доказать, что lim | Р (лг) | = + оо. 409. Пусть R(х) = • а°хп + а1*п-1 +•• • + *" а0Ф 0 и bQ Ф 0. Доказать, что 60^ + Mm-l + . .. + Ь„ где lim /?(*) = 410. Пусть R (х) °0 О, Я(лс) если если п = т; если n<.tn. Q(x) где Р й и Q (ж) — многочлены от х и Р (а) = Q (а) = 0. Какие возможные значения имеет выражение lim Р (х)
54 ОТДЕЛ Г ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Найти значения следующих выражений: 411. a) lim—- ; б) lim * 1 х-*о 2х2 — х — 1 * х->1 2х2 — х — 1 * х2 — 1 в) lim дс->оо 2х2 — X — 1 412 ijm П + *)П + 2*) (1+34-1 х—>0 ^ 413. limJL+^L-O + S*).. ж-»о J:2 + 414. lim (* + — (1 + ял)—^ и п—наТуральные х-»0 х1 числа). 415 lim (*-!)(*-2) («-3)(х-4) (л-5) ' *-оо (5дс - I)5 4|в. „ш (аг-зри. + я- ^ ж-»-оо (2х 1 j**0 417. lim » + !><*+'> X—►«> п+[ Цпх)я + 1] 2 418. lim 419. lim~ ^ + 2 . *-з ж* — 8*+ 15 X-+I х*-4х+г ллл 1* х* — Зх+2 АП1 г х3 — 2х2— 4х + 8 420. lim —. 421, lim ——. Jt->1 х5 —4х+3 дс->2 х4 — 8ха+16 422. lim *3~2*~1 , 423. lim ~~2)” . *— I х» — 2х — 1 ж-2 (л3 — 12*+ 16)1и 424. Hm « + **+• х—> 1 X— 1 х100 — 2х+ 1 424.1. hm ——. х50 — 2х + 1 хт i 425. lim—-—р (т и п—натуральные числа). л*и» 1* (*л — art) — пап~г (х — а) , 426. lim — - —* — (п—натуральное х -+а (х — ау число). 1* -*Я+1 — (Л+1)Х+Л , ч 427. lim .—-—(л—натуральное число). *-►1 (* — I)2
§ 5 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ Б5 428‘ !5( 1-хт' ГГ^г) (т и "-натураль¬ ные числа). 429. lim —[(*+—) + (*+—)+.. . «-►оо п L\ п J \ п J 430. lim — \(х + —V + (х + —У + . . . /1-*оо п L\ « / \ п J Указание. См пример 2. 431. Цт-1,±3,+ п^оо 22+ 4г + . . .+ (2и)г I3 + 23 + . . . + я3 432. lim ( ►оо \ tl° Указание. См пример 3. т)- I3 4- 43 + 73 + . . . + (3« — 2)3 п-*со (1 + 4 + 7 + . . . (Зл — 2)|2 433. lim 434. Определить площадь криволинейного треуголь¬ ника ОАМ (рис. 3), ограниченного параболой у — = b (х/а)2, осью Ох и прямой х = а, рассматривая ее как предел суммы площадей вписанных прямо* угольников с основаниями aln, где л -> оо.
56 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Найти пределы: 435. lim _V*.+V* + V* ■‘■н-00 ух+, 436. lim V* + K*+}f_L *-ч-~ + l Vi + 2* -3 437. lim л:—► 4 438. lim ~-8 2+^J 439. lim x-»-j — a2 440. lim V^-^V»±L. at—►з x2 — 9 441. lim j/jLp±±±' Jt—►—2 x* + 8 442. lim -тЛ^~—. 443. lim .V9 + 2.1 ~ 5 *’>16 -y/x — 4 *-’-8 уЛс — 2 444. lim (n—целое число). x-*-0 x 445. lim - 0+^,. X —►О A? 446. lim >.F±1X~X> ~2 . jc-+o x + *2 447. lim /27±-* ~У27 ~ * . x~*° x + 2^/x* 448. lim ,VI+7.-yT^iL. *-*0 -j/" 1 -j- JC — •/1 — * 449. lim- V^+2 -3A“+M- a->? 1 VT+9 _2
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 57 450. lim *-*Q 451. lim • -Vi-f yi + 5x-(l+*) m / -—; n з— I- У 1 + ax yl+P^ / V 452. lim ——! -——— (m и n—целые числа). *-0 x yi + ouT^l + px -1 , 453. lim —*■—1:1 -—— (man — целые *-»o X шсла). 454. Пусть Р (*) = агх + а2хг + . . . + алхп и т — хелое число. .. /1+Р(х) — 1 Oi Доказать, что lim- . *->о * т Найти пределы: ггу- | 455. lim—!— (т и п—целые числа). 455.1. lim ( \ V *">1 \ 1 —л/х \ — уГХ) 456. lim (1 — Х)"'1 457. lim [д/(дс + а)(* + Ь) — х]. X->-foo 458. lim (V* +V*+v* — v*)- *-►4-00 459. lim x{-\Jx2-]-2x — 2^хг-\-х + *). m ,!!?,(Vt+Vt+VT- -VwwD-
58 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 461. lim (>^х3 + л:2 +1 — >^л:3—х2 +1 Y Jt—►оо 462. lim (]/ х* -f- Зле2—д/х2—2х\ Х-+-\-оо 463. lim л:1/3 [(* +1)2/3 — (х—1)2/3]. X—►оо 464. lim x3/2(V^+ 2—2^/jc+I -fV*)- *-►+00 465. lim \V(*—^i) . . . (x + Qn) —*1- X-»+oo L J лаа 1* (* — V*2 — 1 )* + л/x2 — 1 )Л у 466. lim - —— - —in—нату- *-+oo Xn ральное число). лап г ('V1 4- х2 + х)" — (V1 + х2 — х)П . 467. lim-^ ^ ——! — (л—нату- х -+Q X ральное число). 468. Изучить поведение корней хх и х2 квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, у которого коэффициент а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с постоянны, причем b Ф 0. 469. Найти постоянные а и Ь из условия lim ах—b \ — 0. х-+оо \ ■* + 1 ) 470. Найти постоянные at и bt (i = 1, 2) из условий: lim (V*2—*+1—atx—bi) = 0 Х-У—ОО И lim -yjx2—jc + 1—агх—&2) = 0. *-►+00 Найти пределы: Ant sin Ък лпск 4. sin* 471. lim . 472. lim . X —>0 X Х—*-эо X 473. lim-sin тх (т. и п—целые числа). x-t-я sin пх
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 59 474. lim T~cos*-. 474.1. lim-^. x->0 X2 x->0 л 474.2. Hmjectg3A:. *-►0 лпf? 1- tg * — S^n * л-?/? 1- sin 5*— sin 3x 475. lim—5 . 476. lim . x-*q sin3* *-*o sin* Ann cos x — cos 3# ,^o 1*— l + sin* — cos* 477. lim . 478. lim 1 • «->0 X2 X-+Q 1 -J- Sin pX — COS pX 479. lim tg2*tg(——xY 480, lim(l—x)tg х-*л/4 \ 4 J *-»l 48Ь Доказать равенства: a) lim sin x = sin a; 6) lim cos * = cos a; SIX ~ x-+a в) lim tg* = tga x-+a n = 0, ±1, ±2,. . .y Найти пределы: 482. lim -s-i-n-JC~5ine.. 483. lim ■cos*~cosa . x -+a x — a x-*a X — a 484. lim—e*~ tg485. lim . r-Ki x — a x-*Q x — a 486. lim *ec*~seca., 487. iim _«*«=*-cosec а * — Д * — a ^gg jjm sin (a + 2дс) — 2»sin (a + x) + sin a *-*o jkj 4gg Jjm cos (о + 2дс) — 2 cos (a + я) + cos a *4-0 490. lim <g(*+,2*)-2tg(a + *) + tg0> Jt-»0 Jta 4qj lim cte(a + 2*) — 2cig(a +jc) + ctga *-»o *2 492 lim *in + *)sin (Д -f 2«> — sin2a *-*o * 493. Hm + , Х+Я16 2slii2x — 3sin x -j-1
494. lim ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ I — cos х cos 2х cos Зл: х-*о 1 — cos х slnfx — —) 495. lim - —. 496. lim tg3*~3tg* ^„/3 1 2 cos x x-rn/3 C0S^x + Jlj 497. lim <§(* + *> tg x-+Q X2 498. lim '~ctg3jc . Х-+П/1 2—ctg ctg3 X 499. lim + + »"£_. X-»Q X3 500. lim- x~*° Vl + *sinjc—л/cosx 501. lim Vcos* ~3/c' x->o sin X 502. 503. lim ^-Vccx, ^ ,-*> 1-cos* „о j _ cos (i/x) 504i |im l — cos x Vcos 2x Vcos 3* x-►0 x1 505. lim (sin^x+l—sin^/x). / II V \ (I— V*)/(l — X) 506. a) lim [ ——j . *-*o \ 2+x J * 6) lim(^P) ; B) lim x->l\2x ) x^+<x>\2-\-xJ 507. lim ( x-+2 Y. 508. lim f —'~+ 1 Y^. ^-+■00 V 2jc — 1 / л~>м \ 2x~ -|- Л 4" 1 / 509. lim fsin"—-лп V П-+00 \ Зп -j- 1 / 610. lim rtg(^ + *Yf Jt-*.n/4+Q L v 8 J J itfi 2x
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 61 513. lim ( х\+-2х —■ V/x. 514. \\тУТ^2х. х-ис \ 2х2 — Зх — 2 / 515. Шп(-^±"Л‘. Х->оо \ X — CL / 516. lim (-'х~ М* (aL>0, аг>0). Jt-^+oo \ ^2Х Т / 517. lim (1 +x2)ctsl*. 518. lim (1 +sin я*)с‘еп*. *-►0 х—>1 5,9. lim f | + 1«« )ш"‘. х-+с\ 1 + sin л ) 519.1. Гт( ! + ‘8-* *-+oV 1 + sin х J 520. 521. limf-i^-'pK t-*A sin a J *-*o\ cos 2л J 522. lim (tgx)lg2*. 523. lim (sin x)^x. х-^л/4 Х-+Я/2 524- 11т.Кт-0Г*'^ 525. lim (sin — _|_cos —) . X*+oo \ X X / 526. lim J/^cos У* . x-> 0 527. lim (-nJr 1 У . 528. lim cos" —£=-. n-+oo \ tl — 1 / n-+oo 'у ^ 529. lim JiliLLfL. 530. Hm je[ln (x-f-1)—In*]. X—► 0 X x ►■{ oo 531. lim ,1п*-1пд (a>o). x-*a x — a 532. lim [sin In (* + 1)—sin In x). 533. lim ■ '-n (*1~*+ [) . ,^.+ccl ln(*w + x+l) 534. lim ftg -l0°-+ --~У x-+<»\ 1 + 100л:2 J 535. lim Ja£±gL. x-+-{-go In (3 -j- e2*) 536. lim Jllil + ViiLz5l. *-*+eo In (l + Vx + Vx)
62 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 537. lim -log {x + h)+ log ~ ~ 2 1о? * (x> Q). h-+ 0 h1 In cos ax lntg( ^+ax) 538. lim —. 539. lim *-►0 sin bx x-*o In cos toe 540. ]im(In «*+Vr=«gLV x-+Q \ x + Vl — x2 ) 540.1. lim + In (x + Vl — x-) 541. lim a ~ 1 (a>0). 542. lim a ~'*a- (a>-0)« x->Q X x~>a X — a 543. lim x*~a° (a>0). 544. lim (x + e*)'/*. a x — a x ->-0 545. limf-i+^Y"1. x-*-0 \ l + *-3* ) 545.1. limf-L+sinxcoso^Ytg3'. X-+Q V 1 + sin X COS P* ) 545.2. lim sm (jijc<X) . 545.3. rim _...sill~(n-2*) . sin (кх&) x-*i In [cos (я • 2х)! / тг i ч еах — е$х 546. limtg"( — + —]. 547. lim . п-+оа \4 п) x-+q sin ou—sin рлг 548. lim Х'1 ~(а>0). 549. lim 0 ■ (а>0). х-*а *р — ар х-*Ь X — Ь 550. lim (в>0). 551. lim <« + »)“• («+'->"■ , *-юо (х + a -f Ь)1х+а*Ь 552. limnCyfx — l) (*>0). п-юс ' 553. lim п2 (УТ—П4)/^Г) (х>0). П~+оо 554. lim ( а-] + УГь "} (а>0> ь>0). п->х, \ а / 555. lim ( "A + "/*-Y (а>о, &>0). п-юо \ 2 /
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 63 556. lim ^JL+JL+iiLy7* (а>0, Ь> О, О О). 557. + Г (а>0, 6>0, с>0). *-*о V а + Ь + с ) / X2 I кх2 \1/Jt 558. lim ( —7-7—7- ) (а>0, Ь>0). *->0\ ax+bx / 2 2 559* lim Т(а>0> ь>°)* *-*о (а* —6*)2 560. lim ——~ а — (а>0). ах — ха 561. a) lim б) Hm -M+^L. In (1 + 2*) *-+« In (1 + 2*) 562. lim ln(l+2*)lnA + —V *->+» \ x ) 563. lim (1 —x) log* 2. Х-И 564. Доказать, что lim = 0 (a>l, n>0). jt->+oo a* 565. Доказать, что lim (a> 1, e>0). X—► -f-oo X Найти пределы: 566. a) lim ln (** + **> ; б) lim x-*o In (**+e«) x-*+oo In (x4 + eix) 567. lim ln-(1 + ^ . 1п(* + У1 + ж2) 568. lim [(jc+2) In (jt+2)—2 (jc+ 1) In (дс+ l)-f-JC In ж]. *-►4-00 569. lim Г 1п(л1пд)«1п/—n— -VI П HJJ 570. lim (In_*±V*I±1_.(n-si+L'j, Л-++СО \ Л+ V*2 — 1 )
04 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 1* Л/i + xsmx — 1 571. lim v -- -— . *->о е*‘ — 1 572. Пт cosjx**)-«*(«-*) ^ х-*й х* 573. lim (2г*/(*+'> ■—1)(*1+1>/*. 574. lim (2—jt)sec(тиг/2). x~>Q х-*1 575. lim 1 — sina+px х-*п/2 ^/(i—sin«*)(l—sinPx) 576. a) lim-^-; 6) lim chx_1 (a>0, P>0). X-+0 X th x x->Q в) lim (см. пример 340). X-й) x 576.1. lim- shJ x (см. пример 340). 577. lim *-►+00 *-►0 In (ch 3*) sh V'2 + x — sh л/x2 — x ch x 577.1. a) lim s-^~sh.fl- ; 6) lim-c-h-x-ch^-. x~y a x — a 578. lim (x—Inch*). *-►+00 577.2. lim *-► a x — a In ch x X -*U In COS X 579. lim X-+ 0 580. lim П-+ oo ^sin 2x x Ihx ch-i- \“‘ cos 581. lim arcsin n J I — r 1 + * 582. lim arccos (У*2 + * —*)• JC^+oc 583. limarctg . 584. lim arctg «-2 (x — 2Уг — , s (x-2) VTT
ft б. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 1п-1 + х 586. lim 1~х х-+0 arctg (14-*)— arctg (1 — дс) 587. lim Гп arctg - tg" (— + -^-Yl, n-ooL 6 п(**+1) + дс 6 \А т 2л ЛГ 688. lim ж Г— arctg—-—V Х-ОО V 4 6 х+ 1 ) 589. lim х (——arcsin —- х Л. *•*+*’ \2 V*2+1 / [/ _ пя -|СОзес (я лЛ+л*) Л J 691. Нт——е-ч*. 592, ]1т*1пж. x-*Q *1М Jt-^-f-0 693. а) 11т (л/хг + х •—ж); б) Ит (Уж2 + х —) *-►—00 X-*- +00 694. a) lim (yi +* + ж2 *-yi—-ж + ж*); Х-+ — 00 б) lim (д/1 + ж-}-жа —yi —ж + ж*). 694,1 Найти А=> lim /(ж)— lim /(ж), если /(ж) = 1п *+V*+^ *+ V*2 + 695. a) lim arctg—-—; б) lim arctg—. JM-1-0 1— X *-И+0 1 —X т-а) б) Л5.Т+75- 607, a) lim _!2iL±i2-; в) lim -М-+£2., X-*—OD X Ов X 598, Доказать, что Qy а) -j-j- >-2+0 при x-> — oo; б) *-2—0 при x-*~ + oo, Б. П. Демидович
66 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 599. Доказать, что а) 2*-*1—0 при jc—► —0; б) 2х-* 1+0 при Х-+-+0. 600. Найти /(1), /(1-0). /<! +0), если / (х) = = х + Ua). 601. Найти/ (л), / (п—0),/ (п + 0) (п = 0, ± 1, .. .)» если / (*) = sgn (sin я*). Найти: 602. lim х у\ /cos — . 603. 11тжГ~1. я-*о V * л-+о L * J 604. lim sin (л V^+T). П—►оо 605. lim sin* (я *Jn* + n). Л—►оо 606. lim sin sin ... sin x. ~ 1 ^ п раз 607. Если lim <j> (x) = А и lim i|) (x) = В, то следует ж-*а Х-+Л ли отсюда, что lim тр («р (х)) = В? х-+а Рассмотреть пример: q> (х) = IIq при х = plq, где р и q — взаимно простые целые числа и <р (*) =* 0 при х — иррациональном; ф (*) = 1 при х Ф 0 и (х) = О при х = 0; причем х -*• 0. 608. Доказать теоремы Коши: если функция /(х) определена в интервале (а, +оо) и ограничена в каждом конечном интервале (а, Ь), то а) lim f = lim [/ (х +1)—/ (дс)]; Jf-^+oo X б) lim [/(*)]■" = lim Mi+Ч (/ (д) > С>0), предполагая, что пределы в правых частях равенств существуют. 609. Доказать, что если: а) функция / (ж) определена в области х > а; б) ограничена в каждой конечной об* ласти а < х < Ъ\ в) lim (/ (х + 1) — / (дг) J =* оо, то
I ». ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 67 610. Доказать, что если: 1) функция / (х) определена в области х > а; 2) ограничена в каждой конечной об¬ ласти а < дс < Ь; 3) для некоторого натурального п существует конечный или бесконечный предел Um j(«+ч-н«> Х~»+оо к* ТО lim Ш- = - ХЧ-+Ж п+ I 611. Доказать, что а) lim (1 + —Y = ех\ Л—►оо \ Л / б) Hm(l + *+^ п-*аа \ 21 п1 / 612. Доказать, что lim nsin(2nen\)— 2п. n-Mt Указание. Использовать формулу (*) примера 72. Построить график функций: 613. а) г/ = 1 —jc100; б) у= Um (1—1<*<1) Л-+-оо у1М ч . 614. а) у= (*>0)'. б) y = lim—-(х>0). 1 -f- «-»-£» 1 Т" ДС 615. </ = lim (х=/=0). И П-ос 5. jc= lim а /. «->00 V 616. ' -9 ■ 1 ТГ п j 617. у = Х\т. \х« (jc>0). «-►оо 618. у= lim |/Г1 + дг" + ('у-)П (-«>0). ~П+2 6ГО. у — lim — - (де ^ 0)1 П-*» ^2гп + 620. а) у = sin1049дс; б) у= lim sin2"*. 3»
68 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 621. у = lim + (*^0). fl—►оо ft 622. у = lim (х— 1) arctgхл. П-+ОС 623. у = lim V1 + е"<х+‘>. 624. у = lim П-+оо х + etx t-+±oc 1 + etx 625. у = lim —^—In— (x>0)t i^X t — x X 625.1. y — lim (jc>0). n_*'00 tg^i nx | j 625.2. y = lim jcsgn |sin*(/ilnx)|. 625.3. Построить кривую lim V\x\n + \y\n =1. n-> oo 626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f (х) называется прямая у = kx + b, для которой lim (/(*)■—{kx-\-b)\ =0. X—► оо Используя это уравнение, вывести необходимые и до¬ статочные условия существования асимптоты. 627. Найти асимптоты и построить следующие крн^ вые: а) У = —ГГ"—г; б) у= л/х*+х ; х2 + дс — 2 ?/-!л ГЗГ -ч *<?* в) «/= /л:2—*3 ; г) </ = д) ^=^(1+0; е) у = *-}-arccos-^-. Найти следующие пределы: 628. lim im Г- И-ао L Яг-*- ас I L(«+l)l (я+2)1 (2n)l J 629. lim ((1 -+ х)(1 -f х*)(1 +х*)... (1 +лсая)], если «-►00 |дс|<1.
§ 5. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 69 G30. lim (cos — cos — . . . cos ——^. n-ooV 2 4 2" / 631. Пусть lim =1, где t|) (x) > 0 и пусть х—v О 'Р (л) a,nnZt 0 (m — 1, 2, . . .) при п-+ оо, т. е. |ат„| < в при т = 1, 2, . . . и п > N (е). Доказать, что Пт [ф(а1л) + <р(а2я)+ . . . +ф(апЛ)] = п -*00 - Пт №(а1я) + \1)(а2я)+ . . . +1|>(а„Л)Ь (I) предполагая, что предел в правой части равенства (1) существует. Пользуясь предыдущей теоремой, найти: • miflA+T-1)- 632 t=i а 633. Игл У (sin—']. rt-*0О LmJ \ п? J k = l п 634. lim £ (а*/л1—1) (а>0). л-*оо k~l п 633. lira ПО+ -£“)• ft—► 00 k =1 ' * п ka 636. lim П cos /- • п-ooftii 637. Последовательность хп задана равенствами: Xl = V^, bWa + ja . *з= Va+V^TV^ • •• (а>0). Найти lim хп. П-+оа
70 ОТДЕЛ t ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 637.1. Последовательность хп задается следующим образом: *i = 0, ха = 1, Х% — — (^л-1 Ч"ха-г) (я =5 2, 3* . ■ ■ )■ Найти lim х„ П-мо 637.2. Последовательность */„ определяется с по¬ мощью последовательности хп соотношениями: Уо== *^о» Уп = хп а-«я-1 (л = 1» 2, . . .)| где 1<х 1 < 1. Найти lim х„, если lim у„ = Ь. П-+<х> П~+ао 637.3. Последовательность хп определяется следую¬ щим образом: хв — 1, хп = ■ ■ (п= 1, 2, . , , ). 1 + **-i Найти lim ха. П—►ОО Указание Рассмотреть разности между хя и корнями 1 уравнения х= . \ + х 638. Последовательность функций Уп=Уп(х) (0<ДС<1) определяется следующим образом: X X Уп— 1 / п л » Ух — • Уп ~ (л — 2, 3, . . . ). Найти lim у„. Л—►О© 639. Последовательность функций у„ = (дс) (0 < х < 1) определяется следующим образом: * х , Уп—1 . о о \ */! = — • = — + —(л = 2, 3, . . .). Найти lim уп. 639.1. Пусть х> 0 и уп = уя_! (2—J (п = I, ?, . . .). Доказать, что если у(> 0 (/ = 0, 1), то после¬ довательность уп сходится и lim уп — ——. X
| 1 ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ 71 Указание. Изучить разность 1 Уп* х 639.2. Для нахождения у= л/х, где дс>0, при¬ меняется следующий процесс: 0 — произвольно, Уп= ) (я=1, 2,« « .). 2 V Уп-1 / Доказать, что lim уп - V*. «-►оо Указание. Использовать формулу у (я>1). Уя+ V* \ Ул-1 + V* / 640. Для приближенного решения уравнения Кеплера х—esin* = m (0<е<1) (1) полагают хь = т, Afi^m-1-esinxe, . . . , хп = m + е sin xn.v . . . (метод последовательных приближений). Доказать, что существует £ = lim хп и число £ яв- Л-*оо ляется единственным корнем уравнения (I). 641. Если ©а (/] есть колебание функции f (х) на сегменте | х—£ | < h (h > 0), то число (о„ [/] = lim to* I/] h->0 называется колебанием функции f (х) в точке £■ Определить колебание функции f (х) в точке х — 0, если / (0) = 0 и при х Ф 0 имеем: a) /(*> = sin —; б) f(x) = -±-co&; X Хг X в) f(x)=x(2+sin—V г) f(*) = —arctg-^; Ж) /(*) = (* +1*1)'". 642. Пусть / (х) = sin -j-.
72 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ Доказать, что, каково бы ни было число а, удовлет¬ воряющее условию — 1 < а < 1, можно выбрать по¬ следовательность хп —*■ 0 (л=1, 2, . . .) такую, что lim / (х„) = а. Ц-*оо 643. Определить I = lim /(х) и L = lim/(*), jc-+0 Jt->0 если: а) /(*)=sin2 — + — arctg —; X n X б) /(*) = (2 — х2) cos -J-; В) /(*) = (l +COS5 <1/Д:). 644. Определить I — lim f {x) и L = lim / (x), Х-уоо ДГ-+ОО если: a) /(•*) = si п x", 6) f (x) = хг cos2 x\ в) f (x) = 2sin r) / (x) = — *,-■ (*>0). 1 + дс2 sina x § 6. О-символика 1°. Запись Ф (jc) = О (ф (ж)) при х £ X обозначает, что существует постоянная А такая, что 1ф(*)1<Л Ж*)1 Для х£Х. (1) Аналогично пишут Ф (*) = О (1J) (дс)) при х а, (2) если неравенство (1) выполнено в некоторой окрестности Ua точки а (х Ф а), В частности, если ур (*) Ф 0 при х £ Ua (хФ a) t то соотношение (2) заведомо имеет место, если существует ко- Ф (х) нечный Ит — =£0. В этом случае будем писать ф (х) = х-+а Ур (х) в О* 0|> (*)). Если Hm _2i£L.—kфо (р>о), х-+0 хр то (х) называется бесконечно малой порядка р относительно
§ б. О-СИМВОЛИКА 73 бесконечно малой х. Аналогично, если Пт =кфй (р > 0), Х-+ос ХР то г|э (*) называется бесконечно большой порядка р относительно бесконечно большой х 2°. Запись Ф (х) = о 01? (*)) при х а обозначает, что Ф (х) = а (х) У (X) (х £Ua, X Ф а), (3) где а (*) -* 0 при х -► а Если (*) ф 0 при х £ Ua, х Ф а, то равенство (3) эквивалентно утверждению фМ 0. называются эквивалентными lim г|? (х) 3°. Функции ф (х) и г|? (*) (ф U) ~ "ф (лс)) при х -►а, если Ф (*) — ф (*) = о (ф (х)) при х-+а. Если if (х) ф 0 при х £ Uа, х Ф а, то из (4) имеем <Р (*) (4) lim к-+а = 1. При х -+■ 0 справедливы соотношения эквивалентности] sin х ~ х\ tg х ~ дс; а* — 1 ~ х In а (а > 0); 1п(1-[-х)~х; 1 + х —1~— . п Вообще <Р (х) + о (<р (х)) ~ ф (дс). При нахождении предела отношения двух бесконечно ма¬ лых (или бесконечно больших) функция при х -+ а данные функции можно заме¬ нять эквивалентными. 645. Считая центральный угол АОВ = х (рис. 4) бесконечно малой 1-го порядка, определить порядки малости следующих величин: а) хорды АВ; б) стрелки CD; в) площади сек¬ тора АОВ; г) площади треугольника ABC; д) площади трапеции АВВ^А^, е) площади сегмента ABC. 646. Пусть о (f (х)) — произвольная функция, имею¬ щая при х а более низкий порядок роста, чем функ¬ ция / (х), и О Q (дс)) — любая функция, имеющая при
74 ОТДВЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ к —► о тот же порядок роста, что и функция f (х), где f(*)> 0. Показать, что i) о (о (f (х))) = o(f (*)); б) О (о (f(x))) = о (J (х)); в) о (0(f (*))) - о (} (ж)); г) 0(0Q Ш) ~ О (J (х)), Я) О (f (*)) + o(f(x)) = 0(f (х)). 647. Пусть х 0 и п > 0. Показать, что а) СО (Xя) = О (Xя) (С Ф 0 — постоянная); б) О (*") + О (хт) — О (Xя) (п<т); в) О (*") О (хт) = О (дя+т). 648. Пусть х + оо и п>0. Показать, что а) СО (х«) = О (Xя); б) О (Xя) + О (хт) = О (хя) (п > т); в) О (Xя) О (хт) = О (хп+т). 649. Показать, что символ ~ обладает свойствами: 1) рефлексивности: ф (х) ~ ф (х); 2) симметрии: если Ф (jc) ~ tp (at), то ф (х) ~ ф (jc); 3) транзитивности: если Ф (х) ~ (х) и -ф (jc) — X (лг), то ф (*) ~ X (jc). 650. Пусть х —*• 0. Доказать следующие равенства: а) 2х—х2 = О (х); б) x.sin -у/х = О (х372); в) *sin-L = 0(|*|); г) In (е>0); е) arctg — = 0(1); X ж) (1 + х)п = 1 + пх + о (х). 651. Пусть х-*■ + оо. Доказать следующие равен¬ ства: а) 2 ж*—Зх* +1 = 0 (ж3);
% 6. О СИМВОЛИКА ?5 в) * + ^sin* = 0(x*); г) -у^- = 0(-^-); д) In дс = о (дс*) (е>0); е) хре~х = о ; V■*+ V* + V* ~ <\[х\ з) jc* + дс1п10вдс ~ дс*. 652. Доказать, что при достаточно большом дс > О имеют место неравенства: а) *»-f IOjc + IOOcO.OOI*3; б) 1п100одс<д/]Г; в) дс1в£*<е2*. 652.1. Доказать асимптотическую формулу У*а+Р*+<7 = дс + -£- +0(^-) при дс —► -f" ОО, 653. Пусть х -> 0. Выделить главный член вида Сдс" (С — постоянная) и определить порядки малости относительно переменной х следующих функций: а) 2дс—Здс3+х5; б) -у/Т+х-—-\/1—дс; в) Y1—2дс —1 •—Зле; г) tg дс—sin х. 654. Пусть дс —► 0. Показать, что бесконечно малые а) Ж=-г—; б) f{x) = e-v* 1л X не сравнимы с бесконечно малой х* (п > 0), каково бы ни было п, т. е. ни при каком п не может иметь место f(x) равенство Нш - ' -- к, где к — конечная величина, *-►0 хп отличная от нуля. 655. Пусть дс —*■ 1. Выделить главный член вида С (дс—1)" и определить порядки малости относительно бесконечно малой х—1 следующих функций: а) дс3—Здс + 2; б) Vl — V3T; в) 1пдс; г) е*—е\ д) дс'—1.
76 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 656. Пусть х —► + оо. Выделить главный член вида Схп и определить порядки роста относительно бесконечно большой х следующих функций: a) Xs+100*+10000; б) *3 — Зх + 1 3 , в) у/х%—х +УГ. г) д/l + Vl + V^ • 657. Пусть дг + оо. Выделить главный член вида с(тУ и определить порядки малости относительно бесконечно малой — следующих функций: X а) б) У^+Т-V* I в) Ух+2—2Vx + 1 + д/х ; г) — sin —. х х 658. Пусть х —► 1. Выделить главный член вида и определить порядки роста относительно бесконечно большой —следующих функций: ч 1 ч In X Г) — ; д) sin лх (I — х)а 659. Пусть х -+• + оо и (х) = х" (п = 1, 2, . . .). Доказать, что 1) каждая из функций /„ (х) растет бы¬ стрее, чем предшествующая функция /„_х (х); 2) функ¬ ция ех растет быстрее, чем каждая из функций /„ (х) (я = 1, 2, . . .). 660. Пусть х -»■ + оо и fn(x)^=y/T (п = 1, 2, . . .). Доказать, что 1) каждая из функций /„ (х) растет медленнее, чем предшествующая функция fn.i (л)| 2) функция f (х) = In х растет медленнее, чем каждая из функций /„ (х) (/1=1, 2, . .
5 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 77 661. Доказать, что какова бы ни была последова¬ тельность функций fl М> /2 М. • • • . /я (*). • • • (*о < X < + оо), МОЖНО построить функцию / (X), которая при X + «> растет быстрее, чем каждая из функций /„ (я) (л = 1, 2, . . .). § 7. Непрерывность функции 1°. Непрерывность функции Функция / (х) называется непрерывной при к = х0 (или в точке х0), если Hm /(*)«/(*о) (1) *-►*<) т е. если функция / (лЛ определена при х = х0 и для каждого е > 0 существует 6 = о (е, х0) > 0 такое, что при | х—х0 | < 6 для всех значений I (х), имеющих смысл, выполнено неравенство I/ (*) — f, (х0) | < е. Функция / (х) называется непрерывной на данном множестве X = {jc} (интервале, сегменте и т. п ), если эта функция непре¬ рывна в каждой точке множества X Если при некотором значении х = х0, принадлежащем об¬ ласти определения X = {х} функции / (х) или являющемся предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено (т е или (а) не существует число f (х0), иными словами, функ¬ ция не определена в точке х = х0, или (б) не существует lim j[ (х), х-+х0 или (в) обе части формулы (1) имеют смысл, но равенство между ними не имеет места), то х0 называется точкой разрыва функции f (х) Различают: 1) точка х0 разрыва первого рода% для которых существуют конечные односторонние пределы: / (Xq — 0) =5 lim f(x) и /(х„ + 0) =• lim f (х) X-tXo—0 X-*-Xo+0 и 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность t (*о + 0) — I (х0—0) называется скачком функции в точке х0. Если выполнено равенство И*0 — 0) = I (*о + 0), то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей мере один из пределов / (х0 — 0) или J5 (х0 + 0) равен символу оо, то jc0 называется точкой бесконечного разрыва. Если выполнено равенство f (*о — 0) = f (*„) (или f(xt + 0) = t (хе)), то говорят, что функция f (х0) непрерывна слева (справа) в точке х0. Для непрерывности функции f (х) в точке хв необходимо и до¬ статочно равенство трех чисел*. Цх„ - 0) = I (*„ + 0) = t М-
78 ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ Б АНАЛИЗ 2е. Непрерывность элементарных функ¬ ций. Если функцни [ (х) н g (х) непрерывны при значении К xQt то функции a) I(*)±g (ху, 6) 1(х)е (ху, в) -Щ- (е МФО) е(х) также пепрерывны при к = х0. В частности: а) целая рациональная функция Р (ж) = Од + atx + . . . + непрерывна при любом значении х\ б) дробная рациональная функция д (Х) = д*+ **** + • - - +<*п** Ьо+Ьгх+ . . . + Ьтх™ непрерывка при веек значениях х, не обращающих знаменателя в нуль. Вообще основные элементарные функции: д", sin х, cos xt igx, aft logax, arcsin x, arccos x9 arctg *, . . . непрерывны во всех точках, где они определены. Более общий результат следующий: если функция f (*) непрерывна при х = х0 и функция g (у) непрерывна при у = — { (jc0). функция g (I (х)) непрерывна при х — х0. 3°. Основные теоремы о непрерывных функциях. Если функция / (х) непрерывна на конечном сегменте [a, ft], то: 1) / (х) ограничена на этом сегменте; 2) до¬ стигает на нем своей нижней грани т и верхней грани М (metь рема Вейерш трасса); 3) принимает на каждом интервале Р) с [а, 61 все промежуточные значения между f (а) и I (р) (теорема Коши). В частности, если Д(а) I (Р) < 0, то най¬ дется значение у (а < у < 0) такое, что { (у) = 0. 662. Дан график непрерывной функции у = / (х). Для данной точки а и числа в > 0 указать геометриче¬ ски число 5 > 0 такое, что | f (х) — f (а) | < в при \х—а \ < 5. 663. Требуется изготовить металлическую квадрат¬ ную пластинку, сторона которой хб = 10 см. В каких пределах допустимо изменять сторону х этой пластинки, если площадь ее у = хг может отличаться от проектной уь = 100 сма не больше чем а) на ± 1 см2; б) на ± 0,1 см2; в) на ± 0,01 см2; г) на ± е см2? 664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С ка¬ кой абсолютной погрешностью Д допустимо измерить ребро х этого куба, чтобы объем его у можно было вы¬ числить с абсолютной погрешностью, не превышающей е м®, если: а) в — 0,1 ма; б) е *= 0,01 м3; в) с = 0,001 м3? 665. В какой максимальной окрестности точки х0 3 100 ордината графика функции у = V* отли¬ чается от ординаты уй — 10 меньше чем на е = 10~п
1 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 79 (п > 0)? Определить размеры этой окрестности при п = 0, I, 2, 3. 666. С помощью «е—бэ рассуждений доказать, что функция / (х) — хг непрерывна при х = 5. Заполнить следующую таблицу: е 1 0J 0,01 0,001 • • • в 667. Пусть / (jc) — и 6 = 0,001. Для значений ха *= 0,1; 0,01; 0,001;. . . найти максимально большие положительные числа в « Л (е, х0) такие, чтобы из неравенства \х—Jt0| < б вытекало бы неравенство l/W-'/WK*' Можно ли для данного в = 0,001 выбрать такое б > 0, которое годилось бы для всех значений х0 из интервала (0,1), т. е. такое, что если |х—x0j<6, то |/ (дг) — / (*0) I < е, каково бы ни было значение * к (0.D? 668. Сформулировать на языке «е—.6» в положитель¬ ном смысле следующее утверждение: функция / (х), определенная в точке ж0, не является непрерывной в этой точке. 669. Пусть для некоторых чисел е > 0 можно найти соответствующие числа о =• 6 (е, х0) > 0 такие, что |/ (*) — / (х0) | < е, если только | х—х01 < 6. Можно ли утверждать, что функция / (ж) непрерывна в точке х0, если: а) числа е образуют конечное множество; б) числа е образую* бесконечное множество двоичных дробей е = (л=1, 2, . . .). 670. Пусть дана функция / (*) = лс + 0,001 \х ]. Показать, что для каждого в > 0,001 можно по¬ добрать б = в (в, *) > 0 такое, что | / (У) — / (jc) | < е, если только | х'—ж| < б, а для 0 < в < 0,001 для всех значений х этого сделать нельзя. В каких точках нарушается непрерывность этой функции? 671. Пусть для каждого достаточно малого числа б > 0 существует е = е (б, *„) > 0 такое, что если
80 ОТДЕЛ t ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ | х—х„ | < б, то выполнено неравенство | / (*) — / (ха) |<е. Следует ли отсюда, что функция f (дс) непрерывна при х = х0? Какое свойство функции f (х) описывается дан¬ ными неравенствами? 672. Пусть для каждого числа в > 0 существует число 6 = 6 (a, jc0) > 0 такое, что если | f (х) — / (х0) [<е, то | х—дс0|<6. Следует ли отсюда, что функция { (х) непрерывна при значении х — х0? Какое свойство функ¬ ции описывается этими неравенствами? 673. Пусть для каждого числа 6 > 0 существует число е = е (6, дс0) > 0 такое, что если if (х) — f(x0) |<е, ТО | X—ДСд | < 6. Следует ли отсюда, что функция / (дс) непрерывна при дс = дс0? Какое свойство функции / (дс) описывается данными неравенствами? Рассмотреть пример: ( arctg*, если х рационально, ( я — arctg дс, если х иррационально. 674. С помощью «е—6»-рассуждений доказать не¬ прерывность следующих функций: а) ах + Ь; б) дс*; в) дс8; г) V71 д) \/"х; е) sin дс; ж) cos х; з) arctg jc. Исследовать на непрерывность и изобразить графи¬ чески следующие функции: 675. f(x) = \x\. хг — 4 676. /(*) = . если дс^2; х — 2 А, если х=2. 677. /(*) = - . если дс^£= — 1 и f(—1)—про- (1 + *)4 извольно. sin х 678. а) М*) = 1*1 если хФО и (0) = 1; б) ft (дс) = JiEJL, если хфО и f2 (0) = 1. 1*1 679. f(x) = sin —, если хфО и /(0)—произвольно.
i 7. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 81 681. f(x) = e-l^t если хфО и f(0) = 0. 682. /(х) — 1 ■ , если хф\ и f( 1)—прпия- I + е ~ вольно. 683. / (х) =х In х\ если хфО и f (0) = а. 684. f (х) - sgn х. 685. f (х) = Ixl 686. f(jc)c=VJ—[V7|. Определить точки разрыва функций и исследовать характер этих точек, если: 687. у = 1—. 688. y=-l±!L, (1 + *)» у 1 + дс» 1 1 X — 1 * лП| д: спл / 1— cos я* 691. у — — . 692. у— Л — -—. sin х V 4 — х* 693. (/ = cos* —. 694. у = sgn ^sin - . я cos — 695. у— -—. 696. y = arctg—•. П X cos X 697. у = -yfx arctg —. 698. y=ex+l>*. у = ——. 700. у = -гг——. * In* 1 Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы графиков следующих функций: 701. у «= sgn (sin х). 702. у — х — 1х].
ОТДЕЛ 1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 709. £= J-^Jsgn^sin-y). 710. y = ctg~~. 711. у — sec* ——. 712. «, = (—! pi. 713. '-«Чт+ТГГ+тЬг)' 714. y== - . 715. у x^sin* jc sin(**) 716. у =\п . 717. у = е-'К 718. 0=1— e-'t*. 71». у= th ** \-х» Исследовать на непрерывность н построить графики следующих функций: 720. « = Иш—1-—(х>0). 721. t/ = lim "*7”"^. 9 J + *n V ' * «-к- Я* + П“* 722. y=lim уТ+л5". 723. у = lim cos!" х. П-*оо Л-^ОО 724. ы = Иш —- . я n-»« 1 + (2 sin ж)" 725. у=lira [х arctg (nctgx)]. IW-00 к + х*еп* т• ,+«■» - 727. !/= Um ■111 <' + «“> . *-►+00 In (1 ■+■ в*) 728. у— lim (1-fx)th/x. 729. Является ля непрерывной функция: [ 2х, если 0 <х<1, /(•*) —12—.*, если 1<х<2. 730. Пусть если х<0, если х>0. При каком выборе числа а функция / (х) будет непрерыв¬ ной?
« Г. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 83 731. Исследовать следующие функции на непрерыв¬ ность и выяснить характер точек разрыва, если: a) /(х) -(Г_ при 0<ж < 1, х при 1<х <2; «/(*»={'при|1|<,> 1 при |х|> I; в) /(*) = cos —-— при |jc|<1# Г) /Ч*) = {| [sir “> 'W-{o \х—1| при |х|>1; [ ctg* ях для нецелого х, [О для целого дг, [ sin ях для рационального х, для иррационального х. 732. Функция d = d (х) представляет собой крат¬ чайшее расстояние точки х числовой оси Ох от множества точек ее, состоящего из отрезков 0 < х < 1 и 2 < х <3. Найти аналитическое выражение функции d, построить ее график н исследовать на не¬ прерывность. 733. Фигура Е состоит из равнобедренного треугольника с основанием / и высотой 1 и двух прямоугольников с осно¬ ваниями 1 каждый и высотами, равными 2 и 3 (рис. 5). Функ¬ ция S = S (у) (0 < у < + оо) представляет собой площадь части фигуры Е, заключенной между параллелями Y **» 0 и Y — у; а функция b =* Ь (у) (О < У < + о*) есть длина сечения фигуры Е парал¬ лелью Y — у. Найти аналитические выражения функ¬ ций S и Ь, построить их графики и исследовать на не¬ прерывность. 734. Доказать, что функция Дирихле X (х) = lim |lim cos" (ят!х)1 \Я—►ОО / разрывна при каждом значении х.
84 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 735. Исследовать на непрерывность функцию / С*) = х% (х), где х (*) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу). Построить эскиз графика этой функции. 736. Доказать, что функция Римана f(x) = 1 т —, если х = , где тип взаимно п п простые числа; О, если х иррационально, разрывна при каждом рациональном значении х и не* прерывна при каждом иррациональном значении х. Построить эскиз графика этой функции. 737. Исследовать на непрерывность функцию / (х), заданную следующим образом: п+ 1 если х есть несократимая рациональная дробь — (п>1), и п f (х) = |*|, если х — иррациональное число. Построить эскиз гра¬ фика этой функции. 738. Функция / (х) = 1 ~ со? * определена для всех X2 значений аргумента х, кроме х = 0. Какое значение следует приписать функции / (х) в точке х = 0, чтобы эта функция была непрерывной при х = 0? 739. Показать, что при любом выборе числа /(1) функция f (*) = -j-i— будет разрывна при х = 1. 740. Функция / (х) теряет смысл при х = 0. Опреде¬ лить число / (0) так, чтобы / (*) была непрерывна при х = 0, если: а) /(л) = -У-1 + * ; 6) VT+7-1 * в) /(*) = sinjtsin-i-; г) / (дс) = (1 + д:)|/ж;
s 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 65 Д) f(x) = —■е-ч*\ е) / (х) = Xх (х > 0)j ж) / (х) = х 1падс. 741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке хл сумма двух функций f {х) + g (дс), если: а) функция f (дс) непрерывна, а функция g (дс) разрывна при х = x0i б) обе функции f (х) и g (дс) разрывны при х = дс0? По¬ строить соответствующие примеры. 742. Обязательно ли произведение двух функций f (х) g (*) терпит разрыв непрерывности в данной точке *0, если: а) функция / (дс) непрерывна, а функция g (дс)' разрывна в этой точке; б) обе функции /(дс) и g (дс) раз¬ рывны при х = jc0? Построить соответствующие при¬ меры. 743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной функции есть также разрывная функция? Построить пример всюду разрывной функции, квад¬ рат которой есть функция непрерывная. 744. Исследовать на непрерывность функции /[#(*)) и g If (*) 1, если: а) / (*) = sgn х и g (дс) = 1 + дса; б) / (дс) = sgn дс и g (дс) = дс (1—дс2); в) / (*) = sgn х и g (дс) = 1 + х — 1x1 745. Исследовать на непрерывность сложную функ¬ цию у = /(ы), где и = ф (дс), если {х при дс рациональном; О (0 < * < 1)'. 2—х при дс иррациональном 746. Доказать, что если / (дс) — непрерывная функ¬ ция, то F (х) = \ f (х) | есть также непрерывная функция. 747. Доказать, что если функция f (дс) непрерывна, то функция где с — любое положительное число, также непрерывна. и при 0<ы<1; 2—и при 1<ы<2 и ' <—с, если /(*)•< — с; fc (х)= f (дс), если | / (х) | < с; с, если f(x)>c,
86 ОТДЕЛ t. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 748. Доказать, что если функция } (х) непрерывна на сегменте la, b), то функции т(х)= Inf {f(l)) и УИ(х) = sup {/(I)) также непрерывны на 1а, Ь]. 749. Доказать, что если функции f (х) и g (х) непре¬ рывны, то функции Ф (х) = ш!п [/ (дс), g (х) ] и ф (х) = max [/ (х), g (х)) также непрерывны. 750. Пусть функция / (х) определена и ограничена на сегменте [в, Ь]. Доказать, что функции т{х) = inf и М (х) = sup {/(£)} непрерывны слева на сегменте [а, 6]. 751. Доказать, что если функция / (дс) непрерывна в промежутке а < х •< -Ь оо и существует конечный lim / (x), то эта функция ограничена в данном проме- Х-+ +00 жутке. 752. Пусть функция / (х) непрерывна и ограничена в интервале (х0, + °°). Доказать, что, каково бы ни было число Т, найдется последовательность хп -*■ + оо такая, что lim lf(xn + T)—f{xn)] = 0. n-voo 753. Пусть ф (х) и 1|з (х) — непрерывные периодиче¬ ские функции, определенные при — оо <; х <С + оо и lim [ф (х)—\|>(х)] = 0. X-v+oo Доказать, что ф (х) = ф (х). 754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной монотонной функции являются точками разрыва 1-го рода. 755. Доказать, что если функция f (х) обладает сле¬ дующими свойствами: I) определена и монотонна на сегменте la, b I; 2) в качестве своих значений принимает все числа между / (а) и / (Ь), то эта функция непрерывна на la, b]. 756. Показать, что функция /(х) = sin—-—.если х ф а и f (о) = 0, принимает на любом сегменте la, Ы
f в. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 87 все промежуточные значения между f (а) и f (Ь), однако не является непрерывной на la, b1. 757. Доказать, что если функция / (к) непрерывна на интервале (а, Ь) и хи хг х„ — любые значения из этого интервала, то между ними найдется число £ такое, что f (5) ——\f (*,) +/ (xj + ...+/ (xjl. Л 758. Пусть f (х) непрерывна в интервале (а, Ь) и I — limf (х) и L = lim/(jc). х-+а х+а Доказать, что, каково бы ни было число X, где / < Я. < L, существует последовательность х„-+- а (п = = I, 2, .. .) такая, что Нш/(хя)=Х. § 8. Обратная функция. Функции, заданные параметрически 1а. Существование и непрерывность об¬ ратной функции. Если функция у = £ (х) обладает следующими свойствами: 1) определена и непрерывна на интер¬ вале (а, 6); 2) монотонна в строгом смысле на этом интервале, то существует однозначная обратная функция х = f-1 (y)t опре¬ деленная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом смысле на интервале (Л, В), где А =*■ lim I (дс) и В *** hm / (*). *-►0+0 х-+Ь—О Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной функции данной непрерывной функции у = f (х) понимается любая однозначная непрерывная функция x~g(y), определенная в максимальной области ее существования и удовлетворяющая в этой области уравнению f \g (у) | = у 2°. Непрерывность функции, заданной Параметрически. Если функции <р (/) и я|> (А опреде- лены и непрерывны в интервале (а, р) и функция ф (/) строго монотонна на этом интервале, то система уравнений х = ф (О- У = (О определяет у как однозначную непрерывную функцию от хг у = (ф“‘ (*)). на интервале (а, 6), где а — lim ф (Q и 6 — lim ф (А
Во ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 759. Найти обратную функцию дробно-линейной функции У = аХ-^й. (ad—Ьсф 0). сх-\- d В каком случае обратная функция совпадает с данной? 760. Найти обратную функцию х = х (у), если у = X + I*]. 761. Показать, что существует единственная непре¬ рывная функция у = у (х) (— оо < х < + оо), удов¬ летворяющая уравнению Кеплера у — е sin у = х (0 < е •< 1). 762. Показать, что уравнение ctg х = kx для каж¬ дого вещественного k (— оо < k < + оо) имеет в ин¬ тервале 0 < х < я единственный непрерывный корень х — х (k). 763. Может ли немонотонная функция у = ~ f (х) (— оо < х < + оо) иметь однозначную обрат¬ ную функцию? Рассмотреть пример: _ I х, если х рационально; 1—х, если х иррационально. 764. В каком случае функция у = / (ж) и обратная функция х — f~l (у) представляют одну и ту же функ¬ цию? 765. Показать, что обратная функция разрывной функции у = (1 + х2) sgn х есть функция непрерыв¬ ная. 766. Доказать, что если функция f{x) определена и строго монотонна на сегменте 1а, 6] и lim / (х„) = / (а) (а < хп < Ь), П—>оо то lim хп — а. П-+аа Определить однозначные непрерывные ветви обрат¬ ных функций для следующих функций: 767. у — х1. 768. у = 2х—х\ 769.у=———. 1 + дс® 770. j/ = sin*. 771. у = cos х. 772. у = tgx.
s 8 ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 89 773. Показать, что множество значений непрерывной функции у = 1 + sin х, соответствующих интервалу (О < х <. 2я), есть сегмент. 774. Доказать равенство arcsin х + arccos х = —. 2 775. Доказать равенство arctg х + arctg — = -у sgn х (х=£ 0). 776. Доказать теорему сложения арктангенсов: arctg х + arctg у = arctg + ел, 1 — дсу где е = е (х, у) — функция, принимающая одно из трех значений: 0, 1, — 1. Для каких значений у при данном значении х возмо¬ жен разрыв функции е? Построить на плоскости Оху соответствующие области непрерывности функции в и определить значение этой функции в полученных областях. 777. Доказать теорему сложения арксинусов: arcsin х -f arcsin у = = (^1)е arcsin (ху л/1—х2 ) + ея (1*1 <1, где | 0, если ху < 0 или х2 + у2 < 1, I sgn х, если ху > 0 и х2 + у2 > 1. 778. Доказать теорему сложения арккосинусов: arccos х 4- arccos у = = (— 1) arccos (ху— д/l—х2 д/l— уг ) + 2яе (1*1 <1, Ы<1), где е _ f 0, если х + у > 0, 1, если х + у < 0. 779. Построить графики функций: а) у— arcsin х—arcsin д/1—л2; б) у = arcsin (2* д/1 — х2)—2 arcsin х.
90 ОТДЕЛ I ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 780. Найти функцию у = у (дс), заданную уравне¬ ниями: х = arctg 1, у — arcctg t (— оо< t < + оо). В какой области определена эта функция? 781. Пусть х = ch tb у = sh / (—оо < t < + <»). В каких областях изменения параметра / неремен¬ ную у можно рассматривать как однозначную функцию от переменной х? Найти выражения у для различных областей. 782. Каковы необходимые и достаточные условия того, чтобы система уравнений х = ф (О* У ~ ^ (О (<* < t < р) определяла бы у как однозначную функ¬ цию от дг? Рассмотреть пример: х = sin*/, у — cos*/. 783. При каких условиях две системы уравнений *“ф(0. jf“tW (a<t<b) И х = Ф (X (т). у = Ф (х W) (а < т < Р) определяют одну и ту же функцию у = у (дг)? 784. Пусть функции ф (х) и я|з (*) определены и не¬ прерывны на интервале (а, Ь) и А = inf ф (х), В = a<x<bj =* sup ф (jc). В каком случае существует однозначная 0<Х<Ь функция f (х), определенная в интервале (А, В) и та¬ кая, что <р{х) = f (ф (*)) при а < х < Ь? § 0. Равномерная непрерывность функции 1°. Определение равномерной непрерыв¬ ности. Функция [ (х) называется равномерно непрерывной на данном множестве (интервале, сегменте и т. п.) X = если / (х) определена на X н для каждого е > 0 существует 6 = 6 (е) > 0 такое, что для любых значений х'9 х ' £ X из неравенства б следует неравенство 2°. Теорема Кантора. Функция t (jc), определен¬ ная и непрерывная на ограниченном сегменте [а, 6], равномерно непрерывна на «том сегменте.
i в РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 91 785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки, стороны которых дс могут принимать значения в преде¬ лах от 1 до 10 см. С каким допуском 6 можно обрабаты¬ вать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их длины (в указанных границах) площадь нх у отлича¬ лась от проектной меньше, чем на е? Произвести чис¬ ленный расчет, если: а) е = 1 см*; б) е = 0,01 см*; в) е = 0,0001 см1. 786. Цилиндрическая муфта, ширина которой в и длина б, надета на кривую у = \f~x и скользит по ней так, что ось муфты остается параллельной оси Ох. Чему должно быть равно б, чтобы эта муфта свободно прошла участок кривой, определяемый неравенством — 10 < х < 10, если: а) е = I; б) е =« 0,1; в) е = 0,01; г) е произвольно мало? 787. В положительном смысле сформулировать на языке «е—6» утверждение: функция / (дс) непрерывна на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.), но не является равномерно непрерывной на этом мно¬ жестве. 788. Показать, что функция / (дс) = 1/х непрерывна в интервале (0, 1), но не является равномерно непре¬ рывной в этом интервале. 789. Показать, что функция / (дс) = sin п/х непре¬ рывна и ограничена в интервале (0, 1), но не является равномерно непрерывной в этом интервале. 790. Показать, что функция / (дс) = sin х1 непрерывна и ограничена в бесконечном интервале — оо < дс <+оо, но не является равномерно непрерывной в этом интер¬ вале. 791. Доказать, что если функция / (дс) определена и непрерывна в области а < дс < + оо и существует конечный lim /(дс), <ае то / (дс) равномерно непрерывна в этой области. 792. Показать, что неограниченная функция / (дс) = дс + sin х равномерно непрерывна на всей оси — оо < дс < + оо. 793. Является ли равномерно непрерывной функция / (*) = *г на интервале а) (— /, /), где I — любое,
92 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ сколько угодно большое положительное число; б) на интервале (— оо, + оо)? Исследовать на равномерную непрерывность в за¬ данных областях следующие функции: (-1<дс<1). 796. /(jt) = lnx (0<х<1). 796. f (х) = (0<jc< л). X 797. f(x) = e* cos — (0<дс<1). X 798. f (дс) = arctg x (— oo <дс< -f oo). 799. f(x) = -y/x (l<x<-foo). 800. / (x) = лг sin дс (0<дс< + оо). 801. Показать, что функция f (x) = —-1- ** ■■ равно¬ мерно непрерывна на каждом интервале Л = (— 1 < х < 0) и Л - (0 < дс < 1) по отдельности, но не является равномерно непрерыв- вой на их сумме Ji + = {0<\х\<1}. 801.1. Доказать, что если функция f (х) равномерно непрерывна на каждом из сегментов [а, с] и [с, Ь], то зга функция является равномерно непрерывной на сум¬ марном сегменте [а, b ]. 802. Для е >> 0 найти в = 6 (е) (какое-нибудь!), удовлетворяющее условиям равномерной непрерывно» сги для функции f (дс) на данном промежутке, если: а) f (дс) = 5дс—3 (— оо <*< + оо)j б) f (дс) = дс2—2дС'—1 (—2 < х < 5). в) /(*) = — (0,1 < дс < 1); X г)/(дс) = Л/* (0 < дс< + оо); д) /(дс) = 2sin х—cos дс (—оо<дс< + оо); е) f (дс) = jf sin — (jc Ф 0) и / (0) = 0 (0 < х < и).
* 9. РАВНОМЕРНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ГЗ 803. На сколько равных между собой отрезков до¬ статочно разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание функции / (х) = х2 на каждом из этих отрезков было меньше 0,0001? 804. Доказать, что сумма и произведение ограни¬ ченного числа равномерно непрерывных на интервале (а, Ь) функций равномерно непрерывны на этом интер¬ вале. 805. Доказать, что если ограниченная монотонная функция f (х) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (а, Ь), то эта функция равномерно непрерывна на интервале (а, Ь). 806 (н). Доказать, что если функция / (х) равно¬ мерно непрерывна на конечном интервале (а, Ь), то существуют пределы А = lim / (х) и В — lim / (х). t-yfl+O x-*b—0 Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (а, 6)? 806.1. Доказать что для того, чтобы функцию f (х), определенную и непрерывную на конечном интервале (а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом на сегмент [а, b ], необходимо и достаточно, чтобы функ¬ ция / (х) была равномерно непрерывна на интервале (а, Ь). 807. Модулем непрерывности функции f (х) на про¬ межутке (а, Ь) называется функция <о, (б) = sup |/ (хх) — f (х2)|, где ху и хг — любые точки из (а, Ь), связанные условием l*i—*г\ < в. Доказать, что для равномерной непрерывности функции f (х) на промежутке (а, Ь) необходимо и доста¬ точно, чтобы lim (0/(6)=0. Й-.+0 808. Получить оценку модуля непрерывности о/ 6) (см. предыдущую задачу) вида <о, (6) < С6«, где С и а — константы, если: &)f(x) = x? (0 < х < 1); б) /(х) = л/х (0 < х < а) и (а<х< +оо), в) / (ж) = sin х + cos дс (0 < х ^ 2я).
94 ОТДЕЛ t. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ § 10. Функциональные уравнения 809. Доказать, что единственная непрерывная функ- ция f (х) (— со < х < + оо), удовлетворяющая для всех вещественных значений х и у уравнению f(* + 0) = /<*)+/<0. (О есть линейная однородная f (*) = ах, где а = f (1) — произвольная константа. 810. Доказать, что монотонная функция f (х), удов* летворяющая уравнению (I), есть линейная однородная. 811. Доказать, что функция f (х), удовлетворяющая уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом интервале (— е, г), есть линейная однородная. 812. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция f {х) (— оо < х < < + оо), удовлетворяющая для всех значений х и у уравнению f(* + y) = f(x)Hy), (2) есть показательная f (х) = ах, где а = f (1) — положи¬ тельная постоянная. 813. Доказать, что не равная нулю тождественно функция f (лс), ограниченная в интервале (0, е) и удов- летворяющая уравнению (2), есть показательная. 814. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х <+ оо), удовлетворяющая для всех положительных значений х и у уравнению f Ш = /(*)+/ (у), есть логарифмическая f (х) = loga х, где а — положи¬ тельная константа (а Ф 1). 815. Доказать, что единственная не равная нулю тождественно непрерывная функция f (л:) (0 < х < +<»), удовлетворяющая для всех положительных значений х и у уравнению f(xy) = f(x)f(y), (3) есть степенная f (х) = Xя, где а — постоянная. 816. Найти все непрерывные функции / (х) (— оо < С х < + оо), удовлетворяющие для всех веществен¬ ных значений х и у уравнению (3). 817. Показать, что разрывная функция / (дс) ** sgn х удовлетворяет уравнению (3).
« 10 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 95 818. Найти все йепрерывные функции / (х) (— оо < < х < + оо), удовлетворяющие для всех веществен¬ ных значений х н у уравнению f (х + у)+ f (х~у) = 2/ (х) / (у). 819. Найти все непрерывные ограниченные функции / (дс) и g (дс) (— оо < х < 4- °°)* удовлетворяющие для всех вещественных значений хну системе уравнений: / (х + у) =*= / (х) f (у) — g (дс) g (у), g(x + у) = f(x)g (у) -f / (у) g (дс), и, сверх того, условиям нормировки: / (0) - 1 и g (0) - 0. Указание. Рассмотреть функцию F (*) = 1* (х) + 8* (х). 820. Пусть Af (дс) «= / (дс -f Аде) — f (х) и А2/ (дс) = = А {А/ (дс)) суть конечные разности функции / (дс) соответственно первого и второго порядков. Доказать, что если функция / (х) (— оо ■< х С + со) непрерывная и А1/ (дс) = 0, то эта функция линейная, т. е. / (дс) = аде •+• Ь, где а и Ь — постоянные.
ОТДЕЛ If ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ § 1. Производная явной функции 1°. Определение производной. Если к и *1 = к + Ах — значения независимой переменной, то разность Ду = f (* + — / (*) называется приращением функции у = f (х) на сегменте [х, *il. Выражение g' = f'(x)= Urn (1) Д*-*0 Ах если оно имеет смысл, косит название производной, а сама функ« ция I (х) в этом случае называется дифференцируемой. Геометрически число [е (х) пред¬ ставляет собой угловой коэффици* ент касательной к графику функции у = [ (х) в точке его х (tga=t') (х) (рис. 6). 2.Основные правила нахождения производ¬ ной. Если с — постоянная вели¬ чина и функции и = и (х), у = i/(x), w = w (х) имеют производные, то 1) с9 = 0; 2) (сы)' = сы'; 3) (и + о — ш)' = и' + *>' — 4) (иа)' = «'11+ ы'и; 6) («")' = nurt“V (л •— постоянное число); 7) если функции у =» \ (и) и и = ф (х) имеют прокэводные* то Уж
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 37 3°. Основные формулы. Если х — независимая переменная, то I. (хпу = пхп~1 (п — постоянное число). II. (sinх)* = cosх. III. (cosx)f — —sin*. IV. (tg*)'=—l—. V. (ctg x)'= 1 cos2 * sin2 X 1 VI. (arcsinx)' = VII. (arccos x)' = Vi — x* VIII. (arctg X)' « —1—. IX. (arcctg x)' = 1 + x2 1 + x2 X. (a*)f = a* In a, («*)' = «*• XI. (logd x)' = —^— (a > 0); * In a (Inx)' = — (a>0, а Ф\\ *>0). x XII. (shx)' = chx. XIII. (chx)'=shx. XIV. (th x)' = —\ XV. (cth X)' = 1 ch2x sh2* 4°. Односторонние производные. Выраже¬ ния { {x)s= Iim _/(*+&*)-/(*) Ддс->—0 Ax tw- lim + Ax-+0 A* называются соответственно левой или правой производной функ* ции / (х) в точке х. Для существования производной £ (х) необходимо и до¬ статочно, чтобы Г- (*) = /+ (*)• а я п р о и з ! точке х и f(x+ bx)-f(x) 5°. Бесконечная производная. Если функ« ция I (х) непрерывна в точке х и lim д*-*о Ах то говорят, что в точке х функция / (х) имеет бесконечную произ¬ водную. В этом случае касательная к графику функции у = = f (х) в точке х перпендикулярна к оси Ох. 4 6. П. Демидович
98 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 821. Определить приращение Ах аргумента х и со¬ ответствующее приращение Ау функции у — \gx, если х изменяется от 1 до 1000. 822. Определить приращение Ах аргумента х и со¬ ответствующее приращение Ау функции у = Мх\ если х изменяется от 0,01 до 0,001. 823. Переменная х получает приращение А*. Опре¬ делить приращение А у, если: а) у = ах-\-Ь\ б) у = ах2 + Ьх-\-с, б) у — ах. 824. Доказать, что: а) А [/ (*) + g (х) ] — Af (х) + Ag (х); б) А [/ (х) £(*)]=£(* + Ах) А/ (х) + / (х) Ag (х). 825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Ах, 4 + А у) кривой у = х% проведена секущая АА'. Найти угловой коэффициент этой секущей, если: а) Ах = 1; б) Ал: = 0,1; в) Ах = 0,01; г) Ах произвольно мало. Чему равен угловой коэффициент касательной к дан¬ ной кривой в точке А? 826. Отрезок 1 < х < 1 + h оси Ох с помощью функции у = х3 отображается на ось Оу. Определить средний коэффициент растяжения и произвести числен¬ ный расчет, если: а) А = 0,1; б) h = 0,01; в) h = 0,001. Чему равен коэффициент растяжения при этом ото¬ бражении в точке х = 1? 827. Закон движения точки по оси Ох дается фор¬ мулой х = 10/ + 5/2, где / — время в секундах их — расстояние в метрах. Найти среднюю скорость движения за промежуток вре¬ мени 20 < / < 20 + At и произвести численный рас¬ чет, если: a) At — 1; б) At = 0,1; в) At = 0,01. Чему равна скорость движения в момент времени t = 20? 828. Исходя из определения производной, непо¬ средственно найти производные следующих функций: а) л2; б) х3; в) г) л/х\ д) у/Т; е) tg х; ж) ctg лг; в) arcsin х; и) arccos х; к) arctg х. 829. Найти /' (1), f (2) и /' (3), если / (*) = (ж—1) (х—2)2 (х—3)\ 830. Найти /' (2), если / (х) = x2sin (х—2).
§ !. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 831. Найти /' (1), если f (х) = х + (х—1) arcsin 99 832. Найти lim-^—U^L, если 832- Найти lim , если функция f (х) дифференцируема в точке а. 833. Доказать, что если функция / (х) дифференци¬ руема и п — натуральное число, то Обратно, если для функции / (я) существует предел (1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет производную? Рассмотреть пример функции Дирихле (см. отд. 1, задачу 734). Пользуясь таблицей производных, найти производ¬ ные следующих функций: 834. у = 2 + х—х2. Чему равно у' (0); у' у' (1); у' (— 10)? 835. у =—4-— 2х. v 3 2 При каких значениях х: а) у' (х) = 0; б) у’ (х) = = - 2; в) у' (х) = 10? 836. у = а5 + 5а3х2—хь. 837. у= —+Ь . а + b 838. у = (х—а)(х—Ь). 839. */ = (х+1)(х + 2)2(х + 3)3. 840. // = (xsina-f cos а) (х cos а—sin а). 841. у = (1 -f пхт) (1 + тхп). 842. «/ = (1—х) (1 —х2)2 (1—х3)3. 842.1. у = (5 -f 2л')1Л (3—4х)-°. S44. Доказать формулу
100 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Найти производные функций: о/i е 2дс 1 + х — X2 845. у = . 846. у = ’ 1 — а2 ^ 1 — л; + х* 847. у = £ . (1 — *)2(1 + *)3 848. у =$-*>)(*-*>) . (1-х)» 849. у = . 850. у= (1 + *)» 1 + * 851. у = х-\-'\/х -f лг. око 1 1,1 852. «/ = -- + V* 853. i/ = v/l5' 854. у = хл/\+~&' л/х 855. у = (1+х)л/2 + хъ /З + дс3. 856. y = m+^(l— *)m (1 + *)Л . 857. у =—-* —. •\/а2 — л:2 859. у= Ун-*2 U+Vi + **) 860. y = ^Jx-\-'\JxAr^x . 861. i/ = ]/l + 3/l + v/x . 862. г/ = cos 2*—2sinx. 863. г/ = (2—x2) cos л: + 2л: sin*. 864. у = sin (cos2 x)- cos (sin2 x). 865. у = sin" ж cos nx. 866. у = sin fsin (sin ж)]. ce_ sin** cro COS* 867. </ = ———. 868. у 869. y = —870. y = 2 sin2x sin x — x cos x cos" x cos x + * sin x
871. у 872. у 873. у 874. у 875. у 877. у 879. у 880. у 881. у 882. у 883. у 884. у 885. у 887. у 889. у 890. у 891. у 892. у 893. у 894. у § I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 101 . X 1 X = tgT-ctgT. = tgjc ~Ч3х+~г^к- 3 5 = а\/~ctg2* + y^ctg8x. = sec2 —+cosec2 —. a a = sin [cos2 (tg3x)|. 876. tj = e~x\ = 2lg '/*. 878. y = e*(x2—2x + 2). Г 1 — X2 (1 — JC)2 1 = sin x 1 — cos x e *. L 2 2 J = e*(l + ctg-^-). In 3‘Sin x + со sx = eax 3* a sin bx — b cos bx Va2+ b2 = -\-eee*. =(т)'(т);(тУ <“>»• = дс*2" + a*0 + a°x (a > 0). 886. </ = ig*JC8. = In (In (In jc)). 888. y= In (In2 (In3*)). = — In (1 + jc) — In (1 + x2) 2 ' 4 2(1 + *) —Lin *-■ Jt2-f 1 ! + -L 4 (1 + x*) 4 1 + ** 1 - in ^ VL- V2 In- 2 л/б * л/З + V2 I ]n 1 + * i V^~ ]n l + *-y/T 1 k 1 x 1 k j—* yj (0<л<1). — д/ x+Г In (l + ^ж +1 )*
ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИВ 895. 4=ln(* + yF+T)- 896. у = х In (л: -|- У1 + х2) —\J 1 -j-x2. 897. y = х\пг(х-\-л/\ + r*)— •—2^J\-{-xi In (дг + д/l +x2)+2x. 898. У — ~ У*2 + "b ~£~ In {x + У*2 + a* )• 899. y = L—- In Уа_4:.хУЛ- (a>o, 6>0). 2 л/аЬ a — x 'yj b 900. y=-lVI — *2 +31n 1 + ^ ~"2 • 901. y=lntg-^-. S02. y=lntg(^- + -J). 903. t/ = -^-ctg2Jc + lnsinJ;* 904. z/= In /\/ 1 ~sin* . V 1 + sinx лл- COS X . ! / 1 + COS X 905. у = — Hn Л / — 2 sin2* V sin* 906. u- In * + « «иx+ y^rfTsin« a + 6 COS * (0 <|a|<|ft|). 907. у — — (In3 * + 3 In2 л:+ 6 In л;+ 6). * 908. «/ = —!— In-! L_. A x* x 16jc4 909. y = — (l — |/^1+^2 )+3 In (l + + X2 )# 910. f/= In + In -f In “rjj* 911. у = jc [sin (In x)—cos (In x)]. 912. t/=lntg-^—cosx-ln tg*.
914. у 916. у 918. у 919. у 920. у 922. у 924. у 926. у 927. у 928. у 930. у 931. у 932. у 933. у 934. у 835. у 936. у § 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 103 — arccos -1 . 915. w = arctg-^—. = —L- arcctg • 917. у — л/х—arctgV** л/2 * = *4-дЛ—х2 • arccosх. = х arcsin /\J 1- arctg V* —V** = arccos —. 921. у = arcsin (sin x). X = arccos (cos2 x). 923. y = arcsin (sin x—cos x). = arccos л/l —x2 • 925. у = arctg ■1 * , 1 —x = arcctg r-sin-xtc.0SJLV V sin x — cos x / = - arctg (л/-a~- tg —1 V^T ^ V a+b S 2) 1 — дс2 non 1 = arcsin . 929. y = - 1 + x2 arccos2 (jc2) = arctg x + — arctg (x3) 3 = ln(l -f-sin2*)—2sinx-arctg (sinx). = In (arccos —?—^. I V*) — In -x + a—l~ arctg ~ ФФ 0). •vW&> b b = — л/а1 —x2 -f arcsin — (a>0j. 2 v 2 a = — In _C£±i)l_ + —— arctg *L=L, 6 x*-x+i y3- * ф i_ )n xhWI+i 4 д/2 x1 — x У 2 + 1 — arctg -Ti— 2 л/2 * — 1
104 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 937. t/= *(arcsinх)г +2д/1—х2 arcsin*—2х. 938. y = JISSSLL+±\nJ^AE^, X 2 1 + л/1_л2 939. у = arctg д/л:2 — 1 In X aJX2 — 1 940. и = - arcsinx 4-Lln-i^. ■\J \ — дс2 2 * + * <1/11 1 1„ *4—**+ 1 1 4- л/з 941. у In ! — arctg 12 (^+1)г 2л/3 2*2~1 942. у arcctg Jс6. 1 + х1г 943. у = In— 1 4-д/3 arctg —2У* . л/1 + У 7 + 3/f л/з 944. у = arctg 1 + д/1 — JC3 945. у = arcctg—-—-*— (а>0). 2 л/ах — у? 946. д/Т —2л:—х2 +2 arcsin д/2 1 , '/1 + Х* +Х 1 . Vl+X*' 947. у = — In ——! — arctg ——— . 4 4 у О у- 4 /l + х* —X 1 х 948. у = arctg (tg2 х). 949. // = д/1 —х? • In д/ | + Ч——In -■ -f yi—*2 -f- arcsin jc. 2 i + Vi — 950. t/ = x arctg x — In (1+ хг) — (arctg x)a. 2 2 951. у=1п(сл+д/Г+ё5Г).
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 105 952. у — arctg (я + ^Л+*2 )• . / sin a sin х \ 953. у = arcsin [ ). \ 1 — cos a cos х J 954. и=—i—ln-^qrr-^V? + 4-^3 л/x- + 2 + x V3 V2 , 1 , V*2+2 + arcts-2L_!_ 955. у = — arctg 2V2 ViT 1 J Vl + X* — x V2 4V2 Vi + j^+jcVs 956. „ _ -^21 L- arcctg -0=. 1 + * л/2 Vl— *2 957. у = arccos (sin x2—cos x2). 958. у = arcsin (sin jc2) + arccos (cos jc2). 959. у = em arcsin * [cos (m arcsin jc) -f- sin (m arcsin jc)J. 960. y= arctg e*— In y\J. 960.1. y = Vl+Vl+Vl+7" . 960.2. у = arcctg V' ct« — 960.3. «/= In2 (sec 2^* ). 961. y = x+xx + xx* (*>0). 962. у = x*^x?*ax* (a>0, *>-0). 963. y = \f x (*>0). 964. у = (sin x)cos x + (cos x)sin *. 965. у = (In x)* : xln *. 965.1. ty = \ —rCsin (fin2 x) -larct^ L arccos (cos2 x) J
J06 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 966. у = log, е. 967, у — In (ch х) -| . 2ch2* 968. v = — lnfcth—V sh2je V 2 ) 969. у = arctg ftg л:). 970. i/ = arccos f ^. (0 <\b\<a). 972. Найти производную функции у = In (cos2А' -г V1 + cos4 jc), вводя промежуточное переменное и = cos'2*. Приемом, указанным в примере 972, найти произ¬ водные функций: 973. у = (агсс os *)2 j^ln2 (arccos х)—In (arccos л:) + . 974. >j = arctg (>Л + х* ) + In ^l-+ x -~4~-1-, 2 4 Vt+f-i 675. „ = + ±in g_e-*\ л/l-e-w 2 m‘ y=irV-TT^arcctga'x‘ 977. Найти производные и построить графики функ¬ ций и их производных, если: а) у = |*|; б) у = дс|*|; в) у = In |*|. 978» Найти производные следующих функций: а) У = \(х—1)2(*+1)3|; б) */ = |sin3*1; в) у = arccos ——; г) у = [*] sin2 л*. 1*1
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 107 Найти производные и построить графики функций и их производных: 980. у = ( ^х~а^ (х~Ь)г ПРИ а < х < Ь' 1 0 вне отрезка [а, Ь]. «81.»-/ * при *<о; | 1п (1 + х) при X > 0. I arctgх при |*| < 1; п , х— 1 , , , — sgnjc4 — при |х|>1. ( х^е-*’ при | jc | < 1; 983. г/ = | 1 | — при |дс|>1. 984. Производная от логарифма данной функции у = f (х) называется логарифмической производной этой функции: Найти логарифмическую производную от функции у, если: в) У = (х—#i)a‘ (x—a2fl... (х—ап)\ г) у =(х + У1+*г)'\ 985. Пусть ф (лс) и ij) (jc) — дифференцируемые функ¬ ции от х. Найти производную от функции у, если: а) 1/ = Уф2(*) + г|)2(*); б) ^ = arctg в) у= V Ч> W (ф (*) ф0; ^(ж)>0); г) у = log,, (*) Ц (*) (Ф (х) > 0: t|> (х) > 0). (3 + *)’ 3-*
108 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 986. Найти у', если: a) y = f (*2); б) у = f (sin2 х) +/(cos2x); в) y=f(e*)-ef (Jr); г) у = /{/[/ (ж)]}, Где / (и) — дифференцируемая функция. 986.1. Найти /' (0), если / (дс) = х (х—1) (х—2) . . .(х—1000). 987. Доказать следующее правило дифференцирова¬ ния определителя я-го порядка: hi (*) fl2 (х) • ■ • fin (X) п fll (*) f 12 (x) . . . hn (x) fki (х) }кг (*) • ■ • fkn (X) -z f'ki (x) f'ki (*) • ' * • fkn M fill (х) {П2 (х) • • • fnn (■*' k=l • •••»»« ftll (X) ft12 (X) • • • • • • * Inn W 988. Найти F' (дс), если х — 1 1 2 F (х)= — 3 х 3 — 2 —3 х+1 989. Найти F’ (ж), если дс Xs х3 F(x)J [S у® 1 2х З*2 0 2 6* 990. Дан график функции. Приближенно построить график ее производной. 991. Показать, что функция I^sin — при хфО; х 0 при х = 0 имеет разрывную производную. 992. При каком условии функция f(x)=xnsin — (хфО) и /(0) = 0 а) непрерывна при х = 0; б) дифференцируема при дс = 0; в) имеет непрерывную производную при х = 0?
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 993. При каком условии функция 109 /(х) =1*1"sin—-!—(х=^0) и f(0) = 0 (m>0) \х\т имеет: а) ограниченную производную в окрестности на¬ чала координат; б) неограниченную производную в этой окрестности? 994. Найти f' (а), если где ф (х) — непрерывная функция и <р (а) Ф 0, не имеет производной в точке а. Чему равны односторонние производные /1 (а) и 996. Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной в данных точках: ах, а2, . . . , ап. 997. Показать, что функция имеет точки недифференцируемости в любой окрестно¬ сти точки х — 0, но дифференцируема в этой точке. Построить эскиз графика этой функции. 998. Показать, что функция имеет производную лишь при х = 0. 999. Исследовать на дифференцируемость следующие функции: а) У = \(х— !)(*—2)2(х—3)31; б) y = |cosx|; в) у — |л2—я21 sin* г, г) г/= arcsin (cos х)\ Для функции / (х) определить левую производную /1 (х) и правую производную /+ (х), если: 1000. f (х) = 1 дгI. 1001. / (х) = Ix] sin пх. f (х) = (х—а) ф (х), где функция ф (х) непрерывна при х = а. 995. Показать, что функция f (х) = | х Q |ф (х), Г+ (а)? /(х)=х2 cos— (х Ф 0) и / (0) = 0 * х2, если х рационально; 0, если х иррационально,
110 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1002. f(x) = x cos— (х^О), /(0) = 0. х 1003. f(x) = д/sin х2. 1004. f (x) (x Ф 0), / (0) = 0. It ' * 1+e 1005. f(x) = ^l—e~*‘. 1006. /Ч*) = Iin|*|| (*#0). 1007. f (x) — arcsin —-—. w 1 + X2 1008. /(*) = (*—2) arctg—^— (хф2), f (2) = 0. x — 2 x Ф 0 и / (0) = 0 непрерывна при * = 0, но не имеет в этой точке ни левой, ни правой производной. 1009.1. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода функ¬ ции / (*). Выражения называются обобщенными односторонними (соответст- ренно левой и правой) производными функции / (х) $ точке х0. Найти /1 (vo) и f+ (*0) в точках разрыва х0 функции / (*), если: 1009. Показать, что функция /(*) = * sin— при и в) /(*) = 1 + е 1010. Пусть Д*) = { х\ если *<х0; ах + b, еслих>х0.
§ I. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ Ш Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы функция / (х) была непрерывной и дифференцируемой в точке х = дг0? 1011. Пусть ^ ^ ( / (*), если х < дг0; (ах + Ь, если х>ха, где функция / (л-) дифференцируема слева при х = xQ. При каком выборе коэффициентов а и Ь функция F (лг) будет непрерывной и дифференцируемой в точке х0? 1012. На сегменте а < х < Ь построить сопряжение двух полупрямых у — (х—а) (— оо < х < а), у = k2 (x—b) (Ь < х < + оо) с помощью кубической параболы у = А (х—а) (х—Ъ) (х—с), (где параметры А и с подлежат определению). 1013. Часть кривой у = ■ от (|*|>с) дополнить I % | параболой у = а + Ьх2 (| х | < с) (где а и Ь — неизвестные параметры) так, чтобы полу¬ чилась гладкая кривая. 1014. Можно ли утверждать, что сумма F (я) — = /(*)+£ (х) не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция / (х) имеет производную в точке х0, а функция g (*) не имеет производной в этой точке; б) обе функции f (х) и g (х) не имеют производной в точке х0? 1015. Можно ли утверждать, что произведение F (х) = f (х) g (х) не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция / (х) имеет произиодную в точке х0, а функция g (х) не имеет производной в этой точке; б) обе функции / (дг) и g (х) не имеют производной в точке х0? Полагая х0 — 0, рассмотреть примеры: а) / (х) = х, 8 (х) = \х\; б) / (дг) = 1дг|, g (х) = \х\.
112 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИИ 1016. Что можно сказать о дифференцируемости функции f(x) = f (g (.к)) в данной точке х = х0, если: а) функция / (ж) имеет производную в точке х = g (jc0), а функция g (х) не имеет производной в точке х = лг0; б) функция f (л:) не имеет производной в точке х = g (х0), а функция g (х) имеет производную в точке х = х0; в) функция f (х) не имеет производной в точке х = g (х0) и функция g (х) не имеет производной в точке х = х0? Полагая л:0 = 0, рассмотреть примеры: a) f(x) = x\ g(x) = |*|. б) /(лг) = |л:|, g(x) = *®; в) f(x)--=2x + \x\, g(x) = -?-x— о «3 1017. В каких точках график функции у =» = х + Vsin л: имеет вертикальные касательные? Построить этот график. 1018. Может ли функция / (х) в точке ее разрыва иметь: а) конечную производную; б) бесконечную про¬ изводную? Рассмотреть пример: f (х) = sgn х. 1019. Если функция f (х) дифференцируема в огра¬ ниченном интервале (а, Ь) и lim / (х) = оо, то обяза* х-ьа тельно ли 1) lim /' (х) = оо; 2) lim |/' (х) | = + оо? х-*а х-*а Рассмотреть пример: fix) =• — + cos — при х-*■ 0. X X 1020. Если функцня / (х) дифференцируема в огра¬ ниченном интервале (а, Ь) и lim /' (х) = оо, то обяза- х~+а тельно ли lim f(х)= оо? х-+а Рассмотреть пример: f (х) = х при х -*• 0. 1021. Пусть функция f (х) дифференцируема в ин¬ тервале (х0, оо) и существует lim / (х). Следует ли х—►-|-оо отсюда, что существует lim f' (х)? Х->+оо Рассмотреть пример: / (х) = sin ^ .
§ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 113 1022. Пусть ограниченная функция / (х) дифферен¬ цируема в интервале (х0у + оо) и существует lim /' (дс); Х->оо следует ли отсюда, что существует lim / (х) конечный Х-*оо или бесконечный? Рассмотреть пример: f (.х) = cos (In х). 1023. Можно ли почленно дифференцировать нера¬ венство между функциями? 1024. Вывести формулы для сумм: Рп = 1 + 2х + Зх2 + . . . + пхп~х и Qn = 1? + 22х + 3V + . . . + «V-1. Указание. Рассмотреть (х + х2 + . . . + хп)\ 1025. Вывести формулы для сумм: Sn = sin х + sin 2* + . . . + sin nx Tn = cos x + 2 cos 2x + . . . -f n cos nx. 1025.1. Вывести формулу для суммы Sn = ch x + 2ch 2x + . . , + n ch nx. Указание. Sn = (sh x + sh 2x + . . . + sh nx)'. 1026. Пользуясь тождеством xx x sin x COS COS ... COS 2 4 2n nn . x 2n sin 2n вывести формулу для суммы s”=Tt*f+T,sf+--+i-t*i- 1027. Доказать, что производная четной дифферен* цируемой функции есть функция нечетная, а производ¬ ная нечетной дифференцируемой функции есть функция четная. Дать геометрическую интерпретацию этого факта. 1028. Доказать, что производная дифференцируемой периодической функции есть функция снова периодиче¬ ская с тем же периодом. 1029. С какой скоростью возрастает площадь круга в тот момент, когда ргдиус этого круга R — 10 см, если радиус круга растет равномерно со скоростью 2 см/с? 1030. С какой скоростью изменяются площадь и диа* гональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона
114 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ его х = 20 м, а другая сторона у = 15 м, если первая сторона прямоугольника уменьшается со скоростью 1 м/с, а вторая возрастает со скоростью 2 м/с? 1031. Из одного и того же порта одновременно вышли пароход А с направлением на север и пароход В с на¬ правлением на восток. С какой скоростью возрастает расстояние между ними, если скорость парохода А равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч? 1032. Пусть и S (х) — площадь, ограниченная кривой у = f (*)', осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точ¬ ке х (х > 0). Составить аналитическое выражение функции 5 (х), найти производную S' (х) и построить график функции 1033. Функция 5 (х) есть площадь, ограниченная дугой окружности у = д/°2—х2’ осью Ох и двумя перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках О и х (\х\ < а). Составить аналитическое выражение функции S (х), найти производную S' (х) и построить график этой про¬ изводной. § 2. Производная обратной функции. Производная функции, заданной параметрически. Производная функции, заданной в неявном виде 1°. Производная обратной функции. Диф¬ ференцируемая функция у = [ (х) (а < х < Ь) с производной // (*) Ф 0 имеет однозначную непрерывную обратную функцию х = 1г1 (</)■ причем обратная функция также дифференцируема и справедлива формула 2°. Производная функции, заданной па¬ раметрически. Система уравнений где ф (0 и г[> (I) — дифференцируемые функции и <р' (t) ф О, /(*) = { х, если 0 < х < 2; 2х—2, если 2<х<С-(-оо у = 5' (х). х, 'и Ух
§ 2. ПРОИЗВОДНАЯ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ 115 определяет у, в некоторой области, как однозначную дифферен¬ цируемую функцию от х\ у = Ф (ф-1 (X)), причем производная этой функции может быть найдена по фор* нуле у\ Ух=—Г• 3°. Производная функции, задан ной в неявном виде. Если дифференцируемая функция у= у (х) удовлетворяет уравнению F (х, у) = О, то производная у' = у' (*) этой неявной функции может быть найдена из уравнения -7- \F (*. «/)] - О, dx где F (я, у) рассматривается как сложная функция переменной х. (Более подробно о дифференцировании неявных функций см. ч II, отд. VI, § 3.) 1034. Показать, что существует однозначная функ- ция у = у (*), определяемая уравнением у3 + Зу = х, и найти ее производную у‘х. 1035. Показать, что существует однозначная функ¬ ция у — у (х), определяемая уравнением у — е sin у = х (0 < е < 1), и найти производную ух. 1036. Определить области существования обратных функций х = х (у) и найти их производные, если: а) у = х-\-\пх (х>0); б) у = х-\-ех\ в) у = sh х; г) у = th х. 1037. Выделить однозначные непрерывные ветви обратных функций х = х (у), найти их производные и построить графики, если: а) у = 2х2—х4; б) у — в) У = 2е'*—е“2*- 1038. Построить эскиз графика функции у = у (х) и найти производную ух, если: х = — 1 + 21—1~, у — 2—31 + /3. Чему равна ух (х) при х = 0 и при х — — 1? В какой точке М (х, у) производная Ух (х) = О?
116 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Найти производные у'х (параметры положительны) если: 1039. х = /" 1—л/t, у = д/1 — frt. 1040. х — sin21, y = cos2t. 1041. х = a cos t, у — b sin t. 1042. x = a ch /, у = b sh t. 1043. x — a cos3t, y = as\nzt. 1044. x=a(t — sin t), y=a(l—cost). 1045. x = e21 cos2t, у — e2t sin21. 1046. x = arcsin — - , у = arccos • 1 Vi + ^ Vi + <2 1047. Показать, что функция у — у (х), определяе¬ мая системой уравнений х = 2t + |/| , у = Ы2 + it\t\, дифференцируема при t = 0, однако ее производная в этой точке не может быть найдена по обычной формуле. Найти производные у'х от следующих функций, за¬ данных в неявном виде: 1048. х2 + 2ху—у2 = 2х. Чему равно у' при х = 2 и у = 4 и при х = 2 и у= 0? 1049. у2 = 2рх (парабола). 1050. —+ -^ = 1 (эллипс). а? Ь2 1051. y* + Vf/=Va (парабола). 1052. х2'3-f у2/3 = а2/3 (астроида). 1053. arctg — = In л/х2 + у2 (логарифмическая спи¬ раль). 1054. Найти у'х, если: а) г = a<f (спираль Архимеда); б) г = а (1 + cos ф) (кардиоида); в) г = ает<г> (логарифмическая спираль), где г — У*2 + У2 и ф = arctg —— полярные координаты.
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОМ 117 § 3. Геометрический смысл производной 1°. Уравнения касательной и нормали, Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику диффе¬ ренцируемой функции у = f (х) в точке его М (х, у) (рис. 7) соответственно имеют вид: у -у = У' (*-*) и У - у = - 4- <*-*>• у где X, У — текущие координаты касательной или нормали, а У' — F (х) — значение производной в точке касания. 2°. Отрезки касательной и нормали. Для отрезков касательной и нормали: РТ — подкасательная, PN — поднормаль, МТ — касательная, MN—нормаль (рис. 7); учитывая, что tg а = у\ получаем следующие значения: РТ = МТ = PN = \yy'\, Vl + У'2, MN = \у\л/\ + у'\ 3°. Угол между касательной и радиу¬ сом-вектором точки касания. Если г = / (<р) — уравнение кривой в полярной системе координат и 0 — угол, образованный касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки касания М (рис. 8), то *8 Р = ~ • г' 1055. Написать уравнения касательной и нормали к кривой У = (*+ 1) У^З—х в точках: а) А (— 1, 0); б) В (2, 3); в) С (3, 0).
118 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1056. В каких точках кривой у = 2 + х—х2 каса¬ тельная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна биссектрисе первого координатного угла? 1057. Доказать, что парабола 1058. На кривой у = 2 sin х (— л < х с п) опре¬ делить те участки ее, где «крутизна кривой» (т. е.| у'\) превышает 1. 1059. Функции у — х а ух = х + 0,01 sin 1 000 лх отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что можно сказать о максимальном значении разности производных этих функций? Построить соответствующие графики. 1060. Под каким углом кривая у — In х пересекает ось Ох? 1061. Под какими углами пересекаются кривые 1062. Под какими углами пересекаются кривые 1063. При каком выборе параметра п кривая пересекает ось Ох под углом, большим 89°? 1063.1. Показать, что кривая у — |х|а а) при 0 < а < 1 касается оси Оу; б) при 1 < а *< + оо касается оси Ох. 1063.2. Показать, что для графика функции предельное положение секущей, проходящей через точку А (0, 1), есть ось Оу. 1064. Определить угол между левой и правой каса¬ тельными к кривой: а) у — V1—е~а,*‘ в точке х = 0; у = а (х—хх) (х—х2) (а Ф 0, хх < х J пересекает ось Ох под углами а и р (0<ос<-^-, равными между собой. у = хг и х = г/2? у = sin х и у = cos х? у = arctg пх (п > 0) У = |х|“, если афО хф 0, 1, если х = 0, 2х б) у = arcsin в точке х— 1. У 1 _1_ V*
§ 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИИ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОП 119 1065. Показать, что касательная к логарифмической спирали г = ает<* (а и т — постоянные) образует по¬ стоянный угол с радиусом-вектором точки касания. 1066. Определив длину подкасательной к кривой у = ахп> дать способ построения касательной к этой кривой. 1087. Доказать, что у параболы у2 = 2рх а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки касания: б) поднормаль постоянна. Дать способ построения касательной к параболе. 1068. Доказать, что показательная кривая у — ах (а > 0) имеет постоянную подкасательную. Дать способ по¬ строения касательной к показательной кривой, 1069. Определить длину нормали к цепной линии ы = Gch — а в любой ее точке М (л*0, {/„). 1070. Доказать, что у астроиды дс2/3 + у'ъ — а2/3 (а >0) дл!!иа отрезка касательной, заключенного между осями координат, есть величина постоянная. 1071. При каком соотношении между коэффициен¬ тами а, b и с парабола у = ах2 Ьх *г с касается оси Ох? 1072. При каком условии кубическая парабола У = хг -г рх + q касается оси Ох? 1073. При каком значении параметра а парабола у = ах2 касается кривой у — In х? 1074. Доказать, что кривые У = / (-) (/ (•*) >0) и у = f (х) sin а к, где / (х) — дифференцируемая функция, каса.отся друг друга в общих точках. 1075. Показать, что семейства гипербот х2—у2 = а и ху = Ь образуют ортогональную сетку, т. е. кривые этих семейств пересекаются под прямыми углами.
120 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1076. Доказать, что семейства парабол у2 = 4а (а—х) (а > 0) и у2 — 4b (b + *) (Ь > 0) образуют ортогональную сетку. 1077. Написать уравнения касательной и нормали к кривой х = 2t—t2, у = 3t—t3 в точках: а) / = 0; б) / = 1. 1078. Написать уравнения касательной и нормали к кривой 2t + Р 2t — Р X = -1 , и — — 1 + Р * 1 + /3 в точках: a) t = 0, б) t = 1, в) t = оо. 1079. Написать уравнение касательной к циклоиде х — a (t—sin /), у = а (1—cos t) в произвольной точке t = t0. Дать способ построения касательной к циклоиде. 1080. Доказать, что трактриса х — a (In tg — + cos t), у = a sin t (a > 0, 0 < /<л) имеет отрезок касательной постоянной длины. Написать уравнения касательной и нормали в за¬ данных точках к следующим кривым: 1081. — + -£- = 1, М (6; 6, 4). 100 64 ' 1082. ху + \пу=1, Л4(1; 1). § 4. Дифференциал функции 1°. Дифференциал функции. Если прираще¬ ние функции у = I (лг) от независимой переменной х может быть представлено в виде Ау — А (*) dx+ о (dx), где dx = Д*т то линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции у: dy = А (х) dx. Для существования дифференциала функции у = / (*) необхо¬ димо и достаточно, чтобы существовала конечная производная У* = Г О*)» причем имеем: йу « У' ах. (1)
§ А. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 121 Формула (1) сохраняет свою силу и в том случае, если пе* ременная х является функцией от новой независимой перемен* ной (свойство инвариантности первого дифференциала). 2°. О ц е н к а малых приращений функции. Для подсчета малых приращений дифференцируемой функции I (х) можно пользоваться формулой / (х + А*) — I (X) » f/ (х) Ах, относительная погрешность которой сколь угодно мала при до¬ статочно малом |А*|, если /' (х) Ф 0. В частности, если независимая переменная х определяется с предельной абсолютной погрешностью, равной А*, то Ау и 6^ — предельные абсолютная и относительная погрешности функции у = I (*) — приближенно выражаются следующими формулами; Д, = 1Л Д, и 6„= I А*. 1083. Для функции / (*) = х3—2х + 1 определить: 1) А/ (1); 2) df (1) и сравнить их, если: a) Ajc = 1; б) Ах = 0,1; в) Ал: = 0,01. 1084. Уравнение движения дается формулой х = Ы\ где / измеряется в секундах и х — в метрах. Для момента времени / — 2с определить Ах — при¬ ращение пути и dx — дифференциал пути и сравнить их, если: a) At = 1 с; б) А/ = 0,1 с; в) At = 0,001 с. Найти дифференциал функции у, если: 1085. у =—. 1086. у = — arctg — (аф 0). х а а 1087. у = —— InI - 1. 1088. «= In|x4-Vjea + °I‘ 2а |*+а| 1089. у = arcsin — (аф 0). а
122 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1090. Найти: Пусть и, v, w — дифференцируемые функции от х. Найти дифференциал функции у, если: 1091. у = UVW. 1092. «= — . 1093. у = . -I —. а2 Уиа+за 1094. у = arctg —. 1095. у = In -\/и2 +V2. 1096. Найти: а) —-—(х3—2х®—ха)\ d(jc3) d ( sin* V djsinx) . . d(lgx) . ’ d(x2) V x J’ d(cos*) ’ d(ctgx) ’ ^ d (arcsin x) d (arccos x) 1097. В круговом секторе радиус R = 100 см и цен¬ тральный угол а = 60э. Насколько изменится площадь этого сектора, если: а) радиус его R увеличить на 1 см; б) угол а уменьшить на 30'? Дать точное и приближенное решения. 1098. Период колебания маятника (в секундах) оп* маятника в сантиметрах и g = 981 см/сг — ускорение силы тяжести. Насколько нужно изменить длину маятника / = = 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с? Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно следующие значения: редел яется по формуле 1099. 5^ 1,02. 1100. sin 29°. 1101. cos 151°. 1102. arctg 1,05. 1103. lg 11.
§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ 123 1104- Доказать приближенную формулу л/а2+хжа-\ (а>0), 2 а где | х | < а (соотношение А С В между положитель¬ ными А и В означает, что А весьма мало по сравне¬ нию с В). С помощью этой формулы приближенно вычислить: а) д/5; б) д/34; в) У120 и сравнить с табличными данными. 1104.1. Доказать формулу 's/a^+x = а + г (д>0, jc>0), где v2 0<Кт?. fia® 1105. Доказать приближенную формулу у/ ап + х та а — (а>0), г ' па’1-! 4 " где |*|<а. С помощью этой формулы приближенно вычислить: a) v^9; б) >/"80; в) у'ЮО; г) ^1000. 1106. Сторона квадрата х = 2,4 м ± 0,05 м. С ка* кими предельной абсолютной и относительной погреш¬ ностями можно вычислить площадь этого квадрата? 1107. С какой относительной погрешностью допу¬ стимо измерить радиус R шара, чтобы объем его можно было определить с точностью до 1 %? 1108. Для определения ускорения силы тяжести с помощью колебания маятника пользуются формулой g = 4л21/Т2, где / — длина маятника, Т — полный пе¬ риод колебаний маятника. Как отразится на значении g относительная погрешность 8 при измерении1, а) длины /; б) периода Т? 1109. Определить абсолютную погрешность десятич¬ ного логарифма числа х (х > 0), если относительная погрешность этого числа равна 6.
124 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1110. Доказать, что углы по логарифмической таб¬ лице тангенсов определяются точнее, чем по логарифми¬ ческой таблице синусов с тем же самым числом десятич¬ ных знаков. § 5. Производные и дифференциалы высших порядков 1°. Основные определения. Производные выс* тих порядков от функции у = f, (х) определяются последова¬ тельно соотношениями (предполагается, что соответствующие операции имеют смысл!): /<«>(*)« №п-Ч(х)}" (п = 2, 3, Если функция I (лг) имеет непрерывную производную /(л) (я) на интервале (а, Ь)у то кратко пишут: d (х) £ С^п) (а, Ь). В ча¬ стности, если 1(х) имеет непрерывные производные всех поряди ков на (а, b), то употребляется запись: f (х) £ С*00* (а, Ь). Дифференциалы высших порядков от функции у = Цх) по¬ следовательно определяются формулами dny = d(dn-'y) (л = 2, 3, где принято d1y = dy = y'dx. Если х — независимая переменная, то полагают: d2x — dzx = . . . = 0. В этом случае справедливы формулы dny = y(n)dxn и у(п): dny dxn 2е. Основные формулы: I. (ax)W = ах 1пл а (а £> 0); (ех)(п) « Л II. (sin х)<Л) = sin^jc+. III. (cos х)(п) = cos • IV. (:im)<n) = т (т — 1) . . . (т — п + 1) хт~пя V. Хп 3°. Формула Лейбница. Если функции и = (р (х) и v = ур (дг) имеют производные л-го порядка (я-кратно диффе¬ ренцируемы) то (uvуп) = ^ , t=0 где м^5=й, и С1п — число сочетаний из п эле¬ ментов по (.
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125 Аналогично для дифференциала dn (uv) получаем; п йп (uv) = ]Г С‘пс1п-‘и<1^, 1=0 где положено d°u = и и dnv = у. Найти у", если: 1111. г/^д/ГТ*5. 1112. у = ■ . V1 —х2 1113. у = е~х\ 1114. у = tg jc. 1115. у = (1 -f*2) arctg*. 1116. у=-ЩШ^=.. Vl — ** 1117. у = хIn*. 1118. г/ = In/(*). 1119. t/= *[sin(ln*)+cos(ln*)]. 1120. Найти у (0), у (0) и у (0), если у = esinjr cos (sin *). Пусть ы = <р (*) и v = i|) (*) — дважды дифферен¬ цируемые функции. Найти у”, если: 1121. у = и2. 1122. у = In -у. 1123. {/ = Ун2 + Л 1124. у = ы° (и>0). Пусть / (*) — трижды дифференцируемая функция. Найти у' и у'", если: 1125. у = /(*2). 1126. у = 1127. y = f(ex). 1128. у = [{\пх). 1129. у — f (<р (*)), где ф (*) — достаточное число раз дифференцируемая функция. ИЗО. Найти d2y для функции у = е* в двух случаях: а) * — независимая переменная; б) * — промежуточ* ный аргумент. Считая * независимой переменной, найти d%y, если: 1131. г/ = уГ+Л 1132.*/=—. 1133, у = х*. X
126 ОТДЕЛ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Пусть и и v — дважды дифференцируемые функции от переменной х. Найти d2y, если: 1134. y = uv. 1135. у = —. v 1136. у = umvn (т и п—постоянные). 1137. у = аи (а> 0). 1138. у = \n-\Ju2-\-v2. 1139. у = arctg —. v Найти производные у'х, y'j, у'х' от функции у = у (х), заданной параметрически, если: 1140. х = 2t—t\ y = 3t—t\ 1141. х = a cos t, y = asint. 1142. x = a(t—sinO. y — °( 1—cosO* 1143. x = efcost, y = els\nt. 1144. x = /'(/). у = if (t)—f (t). 1145. Пусть функция у = f (x) дифференцируема до¬ статочное число раз. Найти производные х’, х", х”', х™ обратной функции х = f"1 (у), предполагая, что эти производные существуют. Найти у'х, у*-., и у'х” от функции у = у (х), заданной неявно: 1146. х2 + у2 = 25. Чему равны у', у” и у”' в точке М (3, 4)? 1147. у2 = 2рх, 1148. х2—ху-\-у2 = I. Найти у'х и у'х', если; 1149. у2 + 2 In у = х4. 1150. =аеягс1еу!х (а> 0). 1151. Пусть функция / (х) определена и дважды диф¬ ференцируема при х < х0. Как следует подобрать ко¬ эффициенты а, Ь и с, чтобы функция / (х), если х < х0; а (х—x0)2 -f b (х—х0) + с, если х > х0 была дважды дифференцируема. F(x) = {
§ 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 127 1152. Точка движется прямолинейно по закону s = 10 + 20/ — 5Л Найти скорость и ускорение движения. Чему равны скорость и ускорение в момент времени t = 2> 1153. Точка М (х, у) равномерно движется пи окруж¬ ности х2 + у2 = а2, делая один оборот за Г с. Найти скорость v и ускорение / проекции точкм М на ось Ох, если при t = 0 точка занимала положение V4i (а, 0). 1154. Тяжелая материальная точка М (*, у) брошена в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости горизонта с начальной скоростью v0. Составить (прене¬ брегая сопротивлением воздуха) уравнения движения и определить величину скорости о и ускорения /, а также траекторию движения. Чему равны наибольшая высота поднятия точки и дальность полета? 1155. Уравнения движения точки х = 4 sin o)t — 3 cos со/, у = 3 sin со/ + 4 cos a>t (а> — постоянно). Определить траекторию движения и величину ско¬ рости и ускорения. Найти производные указанного порядка. 1156. t/ = *(2*~l)2(*+3)3; найти У(6> И у' 1157. а у=~^> найти у"'. 1158. у = л[х\ найти фЩ, 1159. X2 у = . ; 1 — X найти ут. 1160. \ + х у = /, ; VI —X найти </<100>. 1161. у = найти у(2°). 1162. у = —; X найти 1163. у = х In х; найти у<ь>. 1164. In X у = ; х найти у™. 1165. у = х2ъ\п2х\ найти 1166. cos Зх У = з у 1—3* найти у"'.
128 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1167. у = sin jesin 2л: sin Зл:; найти «/<10). 1168. t/ = *shjt; найти у<м) 1169. у = е* cos л:; найти у™. 1170. у = sin2 л: In х\ найти г/(в). В следующих примерах, считая х независимой пе¬ ременной, найти дифференциалы указанного порядка: 1171. у = дс8; найти d&y. 1172. у — 1/л/х’, найти d3y. 1173. y = xcos2x\ найти d10y. 1174. у = ех 1пл:; найти d*y. 1175. у = cos * • ch найти d6y. В следующих примерах найти дифференциалы ука¬ занного порядка, если и — функция от х, дифференци¬ руемая достаточное число раз: 1176. у = ы2; найти d10y. 1177. у = еи\ найти d4y. 1178. i/ = lnu; найти d3y. 1179. Найти d2y, d3y и dxy от функции у = / (лг), считая х функцией от некоторой независимой перемен¬ ной. 1180. Выразить производные у" и у'” от функции у — f (х) через последовательные дифференциалы пере¬ менных х и у, не предполагая х независимой переменной. 1181. Показать, что функция у = Cjcos х + CjSiri х, где С! и С2 — произвольные постоянные, удовлетво¬ ряет уравнению */" + </ = 0. 1182. Показать, что функция у = Cjch х + Cssh х, где Сг и С2 — произвольные постоянные, удовлетво¬ ряет уравнению у"-у = о. 1183. Показать, что функция у — Сге^х + Сге^‘х, где Cj и С2 — произвольные постоянные и — постоянные, удовлетворяет уравнению у”— (Ьх + Л.*) у' + к^гУ — 0.
§ 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 129 1184. Показать, что функция у = хп [Cjcos (In х) + C2sin (In x) ], где Cx и C2 — произвольные постоянные и n — по¬ стоянная, удовлетворяет уравнению х2у" + (1—2/i) ху' + (1 + /г2) у = 0. 1185. Показать, что функция у = cos + Са sin + + е-W2- (Сз cos ■+ С4 sin . где Clt С2, С3 и С( — произвольные постоянные, удов¬ летворяет уравнению + У = 0. 1186. Доказать, что если функция f (х) имеет произ¬ водную п-го порядка, то [/ (ад: 6)]<п> = ая/(Я) (ах+ &). 1187. Найти Р^п){х), если Р (jc) = аох" -f- в!*4-1 +. . . + ап. Найти ум, если 1188. у = 1190. у = 1188. у = . 1189. у = 1 cjc + d х (1 — jc) 1 *2 — 3*+2 Указание. Разложить функцию на простейшие дроби. 1191. у = 1192. у i VI — 2х У 1193. t/ = sin4Jc. 1194. у — cos2x. 1195. у = sin**. 1196. г/ = cos3 jc. 1197. у = sin ах sin bx. 1198. у = cos ах cos bx. 1199. у = sin ax cos bx. 1200. у = sin2 ах cos bx. 1201. t/ = sin4x-f cos4 X. 1202. у — xcos ax. 1203. у = x2 sin ax. 1204. у = (x4 + 2x-f 2)e“*. 1205. г/= e*/x. 1206. y = e?cosx. 1207. t/ = 6,*sinx. Б. П. Демндовнч
130 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1208. у = In ££2*.. а а—Ьх 1209. у = еахР(х), где Р(х)—многочлен. 1210. у = xshx. Найти dny, если: 1211. у = хпех. 1212. у = • 1213. Доказать равенства: 1) sin (bx+c)]<n> = S* (a2 + Ьг)п/2 sin (bx + с + /кр) и 2) cos (bx + c)](n) = (a2 -f 62)"/2 cos (bx+c + nqi), где 6 a sin <p = —=z=r и cos <p = —- . Va2+ b3 Vfl2 + b2 1214. Найти y(n> , если: а) у = ch ax cos bx; б) у = ch ax sin bx. 1215. Преобразовав функцию f (*) = sin2*\x:, где p — натуральное число, в тригонометрический многочлен р f(•*)”£ Л*cos 2kx, найти /(п) (дс). k=Q Указание. Положить sin х = (/ — /), где t ■= 2» = cos дс + i sin х и t = cos х — i sin *, и воспользоваться фор¬ мулой Муавра. 1216. Найти fw(x), если: а) f (х) = sinip+1 дс; б) / (х) = cos2p дс; в) /(х) — cos2p+1Jt, где р — целое положительное число (см. предыдущую задачу). Если / (*) = /i (*) + if 2 М. где t — мнимая единица и fx (х), /2 (дс) — действительные функции от действительной переменной дс, то по опре¬ делению принимаем: Г М = п (х) + т (х).
131 доказать, что sin[(n-f 1) arcctg*]. Указание. Применить формулу Муавра. 1218. Найти п-ю производную от функции / (*) = arctg х. Найти fM (0), если: 1220. a) f (х) — x2(fx\ б) f(x) = arctg х; в) f М = arcsin х. 1221. a) f (x)=cos (т arcsin х)\ б) f (х)=sin (ttt arcsin *). 1222. a) /(*) = (arctg*)2; 6) fix) = (arcsin*)2. 1223. Найти /(п> (а), если где функция cp (*) имеет непрерывную производную (п—1)-го порядка в окрестности точки а. 1224. Доказать, что функция (п — натуральное число) в точке * = 0 имеет произ¬ водные до л-го порядка включительно и не имеет произ¬ водной (п + 1 )-го порядка. 1225. Доказать, что функция ( е~1/х\ если хфО, /(*) = I [ 0, если * = 0 бесконечно дифференцируема при * = 0. Построить график этой функции. 6* / (х) = (*—с)"ф (*), f(x) = **"sin —, если хфО, к 0, если *=0
132 ОТДЕЛ Л. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1226. Доказать, что многочлены Чебышева Тт(х) = ^ ^ cos (т arccos х) (т= 1,2,...) удовлетворяют уравнению (1—дс2) Тт(х)—хТ'т(х) + т2Тт(х) = 0. 1227. Доказать, что многочлены Лежандра Рт(х) = —К*2— 1Л(Ж) (rn = о, 1, 2, ...) 2тот1 удовлетворяют уравнению (1 —х2) Pm (х)—2хРт (X) +т(т + 1) Рт (х) = 0. Указание. Продифференцировать т + I раз равен¬ ство (х®—1) и' = 2тхи, где и = (х2—1)т 1228. Многочлены Чебышева — Лагерра определяются формулой Lm (х) = е* (хТе-у^ (т = 0, 1, 2, .. .). Найти явное выражение для многочлена Lm (х). Доказать, что Lm (х) удовлетворяет уравнению xLm (х) + (1—х) Lm (х) + mL (х) = 0. Указание. Использовать равенство хи' + (х—т) и — 0, где и — хте~х. 1229. Пусть у = / (и) и и = <р (х), где / (и) и <p (jc) — л-кратно дифференцируемые функции. Доказать, что ~r=t Л* (*)/<*’(«), dxn k=\ где коэффициенты Ак (х) (k = 0, 1, . . . , п) не зависят от функции / (и). 1230. Доказать, что для л-й производной сложной функции у = / (х2) справедлива формула = (2х)" /<л> (ха) + 1} (2х)'1-а/(л-1,(х2) + dx^ 11 + п{п-1)(п-2)(п-3) р-а) + ^
$ в ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 133 1231. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются формулой нт (X) = (—If е? (ё~хУт) (т = 0, 1, 2, ...). Найти явное выражение многочленов Нт (х). Доказать, что Нт (х) удовлетворяет уравнению Нт (х)—2хН ш (*) + 2тНт (х) = 0. Указание. Использовать равенство и' + 2хы = 0, где и = 1232. Доказать равенство 4 ' xn+i Указание. Применить метод математической индук* ции. 1232.14 Доказать формулу ^(*"lnx)=n!^ln*+g {х>0). 1232.2, Доказать формулу d2n /ьтх\ (2п)\ dx™ (~г) ~ iSr[Сп №sin Xr~Sn №cos где Xй , , у iwi X™ Ся(х) = Ь—— + • • • +(—I)1 21 ' (2 п)\ 31 (2/t —1)1 :ть — dx цирования и 1233. Пусть — = D обозначает операцию дифферент dx f(D) = 'Z,Pk(x)Dk к=0 —символический дифференциальный многочлен, где р*(х) (k = 0, 1, ..., п) — некоторые непрерывные функции от х.
134 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Доказать, что f(D)[eXxu(x)} = ekxf(D + X)u(x), где X — постоянно. 1234* Доказать, что если в уравнении Ц akxky'*' = О ft=0 положить х — ё, где t — независимая переменная, чо это уравнение примет вид: X —1)... (D<—k + \)y =0, k=0 где D = —. dt § 6« Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши 1°. Теорема Ролля. Если: ]) функция / (дс) опреде¬ лена и непрерывна на сегменте [а, Ь]\ 2) I (х) имеет конечную производную // (дг) внутри этого сегмента; 3) / (л) = f (6), то существует по меньшей мере одно число с из интервала (а, Ь) такое, что Г (с) = 0. 2°. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция [ (х) определена и непрерывна на сегменте [а, Ь\\ 2)Цх) имеет конеч¬ ную производную I (х) на интервале (а, Ь), то / (Ь) — / (д) = (Ь—а) i (с), где а < с < Ь (формула конечных приращений). 3°. Теорема Коши. Если: 1) функции I (х) и g (,х) определены и непрерывны на сегменте [а, Ь]\ 2) / (*) и g (х) имеют конечные производные f# (дг) и g' (дг) на интервале (at Ь); 3) I'2 (х) + g’2 (*) Ф 0 при а < х < Ь\ 4) g (а) Ф g(b), то №)-/(«_ по g (6) — g (a) g'{c) 1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции / (*) = {х 1) (х—2) (х 3). з, 1236. Функция f (х) = 1— у х2 обращается в нуль при хг = — 1 и х2 = 1, но тем не менее }' (х) ф 0 при — 1 < х < 1. Объяснить кажущееся противоречие с тео¬ ремой Ролля.
< 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ 135 1237. Пусть функция / (дс) имеет конечную произ¬ водную /' (*) в каждой точке конечного или бесконеч¬ ного интервала (а, Ь) и lirn f(x) = lim /(дс). Jt—►a-f- 0 x-+b—0 Доказать, что f' (с) = 0, где с — некоторая точка интервала (а, Ь). 1238. Пусть: 1) функция f (х) определена и имеет не¬ прерывную производную (п—1)-го порядка fп_1) (дс) на сегменте U0, хп ]; 2) / (дс) имеет производную «-го порядка /(я) (дс) в интервале (дс0, хп) и 3) выполнены ра¬ венства / (-«о) = f (*i) = ... = / (дс„) (дс0 < *i < . . . < хп). Доказать, что в интервале (дс0, хп) существует по меньшей мере одна точка В такая, что /(п) (£) = 0. 1239. Пусть: 1) функция f (дс) определена и имеет непрерывную производную (р + ?)-го порядка (дс) на сегменте [а, Ь]\ 2) / (дс), имеет производную (р + q + 1)-го порядка /И’+'Н-к (jc) в интервале (а, Ь); 3) выполнены равенства f (а) = Г (а) = . . . = /<" (а) = 0 и /(&) = /'(&) = ...= fw (Ь) = 0. Доказать, что в таком случае /^+«+» (с) = 0, где с — некоторая точка интервала (а, Ь). 1240. Доказать, что если все корни многочлена Р„(х) = а0хГ + агл^*г4-.. . + ап (а0ф0) с действительными коэффициентами ак (k = 0, 1, . . . , п) вещественны, то его последовательные производные Р'„ (дс), Рп (*), . . . , РпП~1> (х) также имеют лишь ве¬ щественные корни. 1241. Доказать, что у многочлена Лежандра Рп (X) = —— — {(дс2— 1П ’ 2nnl dx" U ’ 1 все корни вещественные и заключены в интервале (- 1. 1).
136 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1242- Доказать, что у многочлена Чебышева—Ла- герра Ln (.х) = ex-f- (хпе~1С) dxn все корни положительные. 1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита Нп(х) = (-l)V’-^ (е~П dxn все корни вещественные. 1244. Найти на кривой у = х3 точку, касательная в которой параллельна хорде, соединяющей точки А (_ 1, _ 1) и В (2, 8). 1245. Верна ли формула конечных приращений для функции / (х) = Их на сегменте [а> 6], если аЬ < О? 1246. Найти функцию 0 = 0 (л:, Ах) такую, что / (х + Ах) - / (*) = Axf' (х+вАх) (0 < 0 < 1), если: а) /(х) = ах2 + bx+с (аф0); б) /(х) = *3; в) /(х) = 1/х; г)/(х) = е*. 1246.1. Пусть f (дг) 6 С*1' (—°°. + 00) и для лю¬ бых х и h справедливо тождество: / (X + А) - / (X) а А/' (X). Доказать, что / (дс) = ах + Ь, где а и Ь — постоян¬ ные. 1246.2. Пусть f (х) 6 С(2) (— оо, + оо) и для лю¬ бых х и Л справедливо тождество f(x + h)~-f(x) = hf' (х + ±у Доказать, что / (х) = ах2 + Ъх + с, где а, Ъ и с — постоянные. 1247. Доказать, что если х > 0, то где — < 6(Х) , 4 2 причем lim 0 (х) = 1/4, lim 0 (х) = 1/2. JC-H-oo
$ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ. ЛАГРАНЖА И КОШИ. 137 1248. Пусть f(x) = 3 * при 0 < х 1, 2 — при 1<*<+оо. Определить промежуточное значение с формулы конеч¬ ных приращений для функции / (х) на сегменте [0, 2]. 1249. Пусть f (х) — f (0) = xf (i (х)), где 0 < £(*)<*. Доказать, что если f (х) = х sin (In х) при х > 0 и / (0) = 0, то функция | = 1(*) разрывна в любом сколь угодно малом интервале (0, |), где е > 0. 1250. Пусть функция / (jc) имеет непрерывную про¬ изводную /' (я) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой точки | из (а, Ь) указать две другие точки jcx и х2 из этого интервала такие, что /(*,)-/(*i) =f/(S) (Xi<?<JCj)? хг — JCi Рассмотреть пример: f (х) = х3 (— 1 < х < 1), где £ = 0. 1251. Доказать неравенства: а) | sin jc—sin у\ < \ х— у |; б) ру"'1 (х—у) < хр — ур < рхр~х (х~у), если 0 <.у<.х и р> 1; в) |arctga — arctg | <\а—Ь|; \ о> *“ Ь -1 а а. •“ b л ^ 1 . г) < 1п — < , если 0 < b < а. а b Ъ 1252. Объяснить, почему не верна формула Коши для функций f (х) — х2 н g (х) = х3 на сегменте [— 1, 1 ]. 1253. Пусть функция / (*) дифференцируема на сег¬ менте U„ х2 ], причем jc1jc2 > 0. Доказать, что ' * *• I =f®-y'(t), Xl — X2 If (jfx) f (x2) I где jfj < I < x2. 1254. Доказать, что если функция / (jc) дифферен¬ цируема, но не ограничена на конечном интервале
138 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ^а, Ь), то ее производная /' (jc) также не ограничена на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна (по¬ строить пример). 1255. Доказать, что если функция f (jc) имеет в ко¬ нечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную производную /' (jc), то f (я) равномерно непрерывна на (а, Ь). 1256. Доказать, что если функция f (jc) дифференци¬ руема в бесконечном интервале (jc0, + оо) и lim /' (jc) = 0, то lim =0, т. е. / (jc) = о (х) при X—►-{-00 X X -*• + оо. 1257. Доказать, что если функция f (х) дифферен¬ цируема в бесконечном интервале (дс0, + оо) и f (х) — о (jc) при jc -*■ + оо, то lim \Г(х)\ = 0. Х->-{-оо В частности, если существует lim /' (х) = k, то k = 0. Х‘> { оо 1258. а) Доказать, что если: 1) функция f (х) опреде¬ лена и непрерывна на сегменте [jc0, X ]; 2) / (х) имеет конечную производную /' (jc) в интервале (x0f X); 3) су¬ ществует конечный или бесконечный предел lim /' (*) = *-►*0+0 Г (х0 + 0), то существует соответственно конечная или бесконечная односторонняя производная f'+ (*о)| и /+ (х0) = Г (х0 + 0). б) Показать, что для функции f (х) = arctg (хф1) и f( 1) = 0 существует конечный предел lim /' (jc), однако функция *-►1 f (jc) не имеет односторонних производных /1(1) и /+ (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта. Однако в этой точке существуют обобщенные одно¬ сторонние производные (см. 1009.1). 1259. Доказать, что если /' (jc) = 0 при а < jc < b, то f (jc) = const при а < jc < b. 1260. Доказать, что единственная функция / (х) (— оо < jc < + °°), имеющая постоянную произ¬
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ 139 водную Г (X) = к, есть линейная: f (дс) = kx + Ь. 1261. Что можно сказать о функции / (дс), если (дс) = О? 1261.1. Пусть f (х) 6 Cico) (— оо, + оо) и для каж¬ дого дс существует натуральное число пх (пх < п) такое, что f(nx) (Х) « о. Доказать, что функция / (дс) есть полином. 1262. Доказать, что единственная функция у = = у (дс) (— оо < дс < + оо), удовлетворяющая уравне¬ нию у’ = Ху (X = const), есть показательная; У = Сеи, где С — произвольная постоянная. Указание. Рассмотреть {уе~^У• 1263. Проверить, что функции f(x) = arctg и g(x) = arctg дс 1 —X имеют одинаковые производные в областях: 1) дс< 1 и 2) дс> 1. Вывести зависимость между этими функциями. 1264. Доказать тождества: 2Х а) 2 arctg дс + arcsin = л sgn х при | дс| > 1; 1 + JC3 б) 3 arccos х—arccos (Здс—4*3) = я при |дс| < 1265. Доказать, что если: 1) функция / (х) непре¬ рывна на сегменте [а, b ]; 2) имеет конечную производ¬ ную /' (дс) внутри него; 3) не является линейной, то
140 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в интервале (а, Ь) найдется по меньшей мере одна точка с такая, что t(b)-t (а) Ь — а IГ (С) 1> Дать геометрическую иллюстрацию этого факта. 1266. Длказать, что если: 1) функция f (х) имеет вторую производную /" (я) на сегменте [а, Ь] и 2) /' (а) = = /' (b) = 0, то в интервале (at b) существует по мень¬ шей мере одна точка с такая, что \Г(с)\>—А \f(b)-f(a)\. (Ь — ау 1267. Автомобиль, начав двигаться из некоторого начального пункта, закончил свой путь в / с, пройдя при этом расстояние s м. Доказать, что в некоторый момент времени абсолютная величина ускорения дви¬ жения автомобиля была не меньше 4s м Т2 § 7. Возрастание и убывание функции. Неравенства 1°. Возрастание и убывание функции. Функция f (х) называется возрастающей (убывающей) на сег¬ менте [а, Ь], если f (*2) > f (xi) при а хх < х2 < Ъ (или соответственно f (х2) < f (*i) при а ^ хх < х2 ^ Ь). Если дифференцируемая функция [ (х) возрастает (убывает) оа сегменте [а, b], то I* (х) > 0 при а < х Ь (или I' (х) < 0 при а < х ^ 6). 2°. Достаточный признак возрастания (убывания функции). Если функция I (х) непрерывна на сегменте [а, b] и внутри него имеет положительную (отрица¬ тельную) производную i (*), то функция I (х) возрастает (убы¬ вает) на [а, Ь]. Определить промежутки монотонности в строгом смысле (возрастания или убывания) следующих функ¬ ций:
§ 7 ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 141 1272. у = x + sin*. 1273. у = jc + |sin 2х|. 1274. у — cos —. 1275. у = — . х 2х 1276. у = xV* (п>0, х > 0). 1277. у = jc2 — In х2. 1278. /(х) = X{^\Jy+sinlnx^, если х>0 и /(0) = 0. 1279. Доказать, что при увеличении числа сторон п периметр рп правильного n-угольника, вписанного в ок¬ ружность, возрастает, а периметр Рп правильного л-угольника, описанного около этой окружности, убы¬ вает. Пользуясь этим, доказать, что рп и Рп имеют об¬ щий предел при п -*■ оо. 1280. Доказать, что функция (l + —^ возрастает на интервалах (— оо, — 1) и (0, + оо). 1281. Доказать, что целая рациональная функция Р М = а0 + + . . . + апхп (п > 1, апф 0) является монотонной (в строгом смысле!) в интервалах (— оо, — х0) и (х0, + оо), где х0 — достаточно большое положительное число. 1282. Доказать, что рациональная функция R (х) = J,?+-g?x+--+a»x" ■ (апЬт Ф0), *о+М+- • . + Ьтхт отличная от тождественной постоянной, монотонна (в строгом смысле!) в интервалах (—оо, —х0) и (jc0, + оо), где х0 — достаточно большое положительное число. 1283. Производная монотонной функции обязательно ли является монотонной? Рассмотреть пример: / (х) =* = х + sin х. 1284. Доказать, что если ф (jc) — монотонно возра¬ стающая дифференцируемая функция и I/' Ml < ф' М при х > х0, то I/ (х) — / W I < ф м — Ф (*о) при X > х0. Дать геометрическую интерпретацию этого факта. 1285. Пусть функция / (х) непрерывна в промежутке а < х < + оо и сверх того /' (х) > k > 0 при х > о, где k — постоянная.
143 ОТДЕЛ 1Г. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Доказать, что если f (а) < 0, то уравнение f (х) = О имеет один и только один действительный корень в ин¬ тервале (а, а —• 1286. Функция f (х) называется возрастающей в точке х0, если в некоторой окрестности | х—х01 < 6 знак приращения функции Д/ (*0) = / (х) — f (х0) сов¬ падает со знаком приращения аргумента Д*0 = х—х0. Доказать, что если функция f (х) (а < х < Ь) воз¬ растает в каждой точке некоторого конечного или бес¬ конечного интервала (а, Ь), то она является возрастаю¬ щей на этом интервале. 1287. Показать, что функция f (х) = х -Ь *2sin—, если х Ф 0 и / (0) = 0, X возрастает в точке х =* 0, но не является возрастающей ни в каком интервале (— е, е), окружающем эту точку, где е >- 0 произвольно мало. Построить эскиз графика функции. 1288. Доказать теорему: если 1) функции <р (ж) и 1)) (*) n-кратно дифференцируемы; 2) <p(fc) (#0) = (х0) (k = 0, 1, . . . , п—1); 3) (*) при х> х0, то имеет место неравенство Ф (*) > ^ (*) ПРИ х > х0. 1289. Доказать следующие неравенства: е)е*>1+х при хФ0; б) х—•< In (1 + *)<* при дс>0; в) х — sin jc<лс при х>0; г) tgдс>х+при 0<х<-£-; д) (ха уа)1/а> (д:р -}- #Р),/С1 при х>0, у>0 и 0 <а < р. Дать геометрическую иллюстрацию неравенств а) — г). 1290. Доказать неравенство — x<sinx<jc при я 2
§ 7. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ 143 1291. Доказать, что при 0 имеет место неравен¬ ство (,+т)'<£<(, + тГ- 1292. У арифметической и геометрической прогрес¬ сий число членов и крайние члены соответственно оди¬ наковы и все члены прогрессий положительны. Дока¬ зать, что у арифметической прогрессии сумма членов, больше, чем у геометрической. 1293. Исходя из неравенства £ (а**+ Ьк)2 > О, t=i где х, ab, bk (k — 1, . . , , п) вещественны, доказать неравенство Коши 1294. Доказать, что среднее арифметическое поло¬ жительных чисел не больше среднего квадратичного этих же чисел, т. е. 1295. Доказать, что среднее геометрическое положи¬ тельных чисел не больше среднего арифметического этих же чисел, т. е. Ухххг.. . х„ ^ —(*1 + *2 + * . . + *„). Я Указание. Применить метод математической индукции. 1296. Средней порядка s для двух положительных чисел а и b называется функция, определяемая равенст¬ вом A* (a, b) = , если s Ф О, в Д0 (а, b) — lim Д5 (а, Ь). s-*0 В частности, получаем: при s = — 1 среднее гармо¬ ническое; при 5 = 0 среднее геометрическое (доказать!);
144 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ при s = 1 срейнее арифметическое; при s = 2 среднее квадратичное. Доказать, что: 1) min (а, Ь) < Дs(a, b) < max (а, b); 2) функция Д5 (а, Ь) при аф b есть возрастающая функция переменной s; 8) lim Д5 (a, &) = min(a, 6); S—►—ОО lim A, (а, b) = max (а, 6). Указание. Рассмотреть —[In As (а, 6)1. ds 1297(h). Доказать неравенства: а) х? — 1>а(х— 1) при а > 2, х> 1; б) \Vx—Ya<Vх—Д. если л> 1, х>а> 0; в) 1+2 In Ж я2 при л;>0. § 8. Направление вогнутости. Точки перегиба 1°. Достаточные условия вогнутости. График дифференцируемой функции у = f{ (х) называется вог¬ нутым вверх или выпуклым вниз (вогнутым вниз или выпуклым вверх) на сегменте [a, 6], если отрезок кривой у = f (х) (а < X < Ъ) расположен выше (соответственно ниже) касательной, прове¬ денной в любой точке этого отрезка. Достаточным условием вогнутости графика вверх (вниз), в предположении существова¬ ния второй производной t" (*) ПРИ я ^ является выпол¬ нение неравенства //' (х) > 0 (i" (х) < 0) при а < х < Ь. 2°. Достаточное условие точки пере* р и б а. Точки, в которых меняется направление вогнутости графика функции, называются точками перегиба. Точка для которой либо //' (*0) = либо //' (*0) не существует, при¬ чем [/ (*0) имеет смысл, есть точка перегиба, если f" (дс) меняет свой знак при переходе через значение х0. 1298. Исследовать направление вогнутости кривой у = 1 +vrx р точках А (— 1, 0), В (1, 2) и С (0, 0).
5 в НАПРАВЛЕНИЕ ВОГНУТОСТИ J45 Найти промежутки вогнутости определенного знака и точки перегиба графиков следующих функций: 1299. у = Зхг—х3. 1300. у = ■ а\ (а > 0). у J а2+ jc* ' 1 1301. у = x + xs/i. 1302. y = ^/\+x\ 1303. (/ = x + sinA:. 1304. у = е~х\ 1305. у = In (1 +*s). 1306. ;/= jc sin (1п ж) (лс>0). 1307. y = Xх (Jt>0). 1308. Показать, что кривая y = -£±-L * **+1 имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой. Построить график этой функции. 1309. При каком выборе параметра h «кривая ве* роятности» y = JL-e-h'* (ft>0) л/п имеет точки перегиба х = ± а? 1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды х = a (t — sin t), у = а (1—cos t) (а > 0). 1311. Пусть функция / (дс) дважды дифференцируема в промежутке а < х < + оо, причем: 1) f (а) * А > 0; 2) f (а) < 0; 3) /" (лг) < 0 при х > а. Доказать, что уравнение / (jc) = 0 имеет один и только один действительный корень в интервале (а, + оо). 1312. Функция / (х) называется выпуклой снизу (сверху) на интервале (а, Ь), если для любых точек jtt и х2 из этого интервала и произвольных чисел и Kt (А,г> 0, Я2 >0, Я.х + A.J = 1) имеет место неравен¬ ство f <~« / fai) (-^г) (или соответственно противоположное неравенство / (^i^i *1” ^ / C^i) “Ь ^2/ С^г))* Доказать, что: 1) функция f (х) выпукла снизу на (а, Ь), если /" (х) >• 0, при а < х <. Ь; 2) f (jc) выпукла сверху на (а, Ь), если, /" (х) < 0, при а < х < Ь.
146 ОТДЕЛ ТТ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1313. Показать, что функции хп (п > 1), ех, х In х выпуклы снизу на интервале (0, +оо ), а функции хп (0 < п <Z 1), In х выпуклы сверху на интервале (0, 4- оо). 1314. Доказать неравенства и выяснить их геомет¬ рический смысл: a) +Уп)>(—^У (*>°. У>°. х=тьУ> п>1)'« ф£±*_>(,+ур (хфу). в) х\пх-\-у\г\у>(х-\-у)\п -, если дг>0 и у~>0. 1314.1. Пусть /" (*) > 0 при а <. х < Ь. Доказать, что f(j4r£)<YinXli+fix*>] при любых xlf х2 £ 1а, Ь]. 1315. Доказать, что ограниченная выпуклая функ¬ ция всюду непрерывна и имеет односторонние левую и правую производные. 1316. Пусть функция f (jc) дважды дифференцируема в интервале (с, Ь) и f" (5) Ф0, где а < £ < Ь. Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два значения д:х и х2 такие, что / (хг) — f (*i) j/ ^ Xj —*1 1317. Доказать, что если функция / (jc) дважды диф¬ ференцируема в бесконечном интервале (jc0, + оо) и lim / (*) = 0, lim f (х) = 0, х-+хо+0 дг->+оо то в интервале (jcq, + оо) имеется по меньшей мере одна точка | такая, что /" (£) = 0.
§ 9 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 147 § 9. Раскрытие неопределенностей 1-й случай правила Лопиталя (раскрытие О неопределенности вида —). Если: 1) функции / (х) и# (х) опреде¬ лены и непрерывны в некоторой окрестности 1/е *) точки а, где а — число или символ оо, и при х -+■ а обе стремятся к нулю: lim f(x) = limg(x) = 0; х-*а х->а 2) производные /' (х) и g' (х) существуют в окрестности Ue точки а, за исключением, быть может, самой точки а, причем одновре¬ менно не обращаются в нуль при х ф а\ 3) существует конечный или бесконечный предел .imilW , *-va g' (*) то имеем: х-»а g (х) х-*а g* (х) 2-й случай правила Лопиталя (раскрытие оо неопределенности вида —). Если: 1) функции [(х) и g (jc) при оо х а обе стремятся к бесконечности: lim / (х) = lim g(x) = оо, х^а х-+а где а — число или символ оо; 2) производные /' (х) и g' (х) существуют для всех xt при¬ надлежащих некоторой окрестности Ue точки а и отличных от а, причем f/Цх) + g'а (х) Ф 0 при х £ UE и х ф а; 3) существует конечный или бесконечный предел *-*“ S' (*) TO *-*■« 8 (*) *-*•<« g' (*) Аналогичные правила справедливы для односторонних преде¬ лов. Раскрытие неопределенностей видов 0-оо, оо — оо, 1°®, 0° и т. п. путем алгебраических преобразований и логарифмировав *) Под окрестностью £/* точки а понимается совокупность чисел х, удовлетворяющих неравенству: 1) 0 < | х—б|<б, если а — число, и 2) |х| > 1/е# если а — символ оо.
148 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ иия приводится к раскрытию неопределенностей двух основных типов: О оо —• и . О оо Определить значения следующих выражений: <010 1. sin а* Ю1Л 1- ch х — cos х 1318. lim . 1319. hm . х-+0 sin *_*o x2 1320. lim *3-—x . 1321. lim 3 tg 4x ~ 12 . x-+ox — s\nx x~+o 3sin 4x — 12sin x 1322. lim . 1323. lim *ctg*~ L . Jl tg X x^Q X2 1324. lim /tgx-T-i . 1325. lim * («* + >) - - II л 2sin2x — 1 *-►(> хл Х~*~Г ,326. lim . ,327. lim arcsin 2x ~ 2 a-rcsi^ *-*o Jt2sinx2 ж->о ,m Й 7w(^arctg VV^arctg д/f ) ■ 1329. lim a*-flSin* (Q>0). 1330. limf jk->0 *3 jc—>1 \ln X — X \) 1331. lim ln<sina*> . 1332. lim ■ln (cos ax)- . x-+o In (sin bx) x -*o In (cos bx) 1333. 1334. lim-i-Г-! 1-\ x-*Q x4 *->0*Vth* tgxy m5 ljm Arsh (sh x) Arsh (sin*) ^ где Arsh * = x-+o sh x—sin* = In {x + ^jl -f- JC2). 1336. lim —■ (e>0). 1337. lim— (а>0, л>0). 1338. lim €°x x-*0 -*1 1339. lim Л-0'01'. 1340. lim ln Jt-ln (1 — x). X—►-j-oo X—► 1—0 1341. limjtMn* (e>0). 1342. limjc*. X-»+0 1343. lim***-'. 1344. lim(x** — l). x-*0 ДГ—►O
§ 9 РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ 1345. limjK*/ll+,nx’. 1346. lim xm~x\ *-►-+-0 Jt—►! 1347. lim(2 —*)tgnjc/2. 1348. lim(tg *)tg2*. А-И Jl X-*T 1349. lim (ctgjc)sin\ 1350. lim Tin—Y. x-+0 x-»-fO\ x ) 1351. lim ft* -Si-V". 1352. Urn (HiX»™. x->oo V 2x i J r->a \ tg a J 1353. lim ( aX-x{t'a.\/x\ 1354. ljm(± L_Y x->o \ b* — x In b ) x-м) V •* e* — 1 / 1355. limf— J—V 1356. limfctgjc—-V х-й\1п* x — l J x-*-o V. */ x-I-o [ 1п(дс + V* + x2) bi (1 + x) ] * 1358. \im-X~x- (a>0). 1359. lim (1 + JC)1/x~g< x->o x — a t-*0 X 1360. lim (°+*>ж-аХ. (a>0). x-»0 X2 1361. lim (— arctgJcY. 1362. lim (thx)*. oo\ Л / X-^-j-OO ,363. limf-Sli-Y^. 1363.1. lim (iiLiY/x*. X J x-*0 \ X J 1363.2. limp^Y'*’ 1363.3. limp^Y'*. *->0 V x J jc->0 \ X ) 1363.4. lim (~rsh— Vм • где Arsh* = х-*0 \ x ) In (jC +д/l + *2). 1364. lim [ (1 ^—1 . 1365. limf— arccosxY/*. x-*0 L e J x-vO \ я / 1366. limf-^-Y^. 1367. lim lnch* i\ ch x J *+o4chx/ x-*o (1 jc \cthx „Injc —+ - ) • 1368.1. lim 2 ) 1369. lim Гу' JC® + лса -J- Jt -j-1—л/лс2 + *+1 • *n x-*+oo L x J
150 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1370. lim [(дс + а)1+<1/л!) — х1+Ых+а)\. Х-*+оо 1371. Найти lim —.если кривая у = f (х) входит Х-+0 X при х 0 в начале координат (0, 0) (lim f (х) = f (0)=0) х->0 под углом а. 1372. Доказать, что lim xf{x> = 1, если непрерывная кривая у = f (х) входит при х -> + 0 в начало коорди¬ нат (lim / (я) = 0) и при 0 <С х < е целиком остается х-*+0 внутри острого угла, образованного прямыми: у = = — kx и у = kx (k Ф оо). 1373. Доказать, что если для функции / (х) сущест¬ вует вторая производная f" (jc), to /"(х) = lim f(* + » + f(x-h)-V(x) . A-^o h2 1373.1. Исследовать на дифференцируемость в точке х = 0 функцию: 1 /(*) = ех— 1 1 2 ’ если хф0\ если х = 0. Ж1+* 1373.2. Найти асимптоту кривой у = (л:>0). 1374. Исследовать возможность применения правила Лопиталя к следующим примерам: * • 1 x2sm a) lim £- ; б) lim-~sin* ; *-►0 sin лг jc—>оо * + sin* \\ХП (cos л-|-2sin*) + е~*2 sin2* ^ x-*-\-oo erx (cos x + sin x) 9 r)lim , + ^±sinJCC^ sin X x-+oo (x + sin x cos x) e 1375. Найти предел отношения площади кругового сегмента, имеющего хорду Ь и стрелку А, к площади равнобедренного треугольника, вписанного в этот сег¬ мент, если дуга сегмента при неизменном радиусе R
§ 10. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 151 стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом, вывести приближенную формулу для площади сегмента: Stt-bh. 3 § 10. Формула Тейлора 1°. Локальная формула Тейлора. Если 1) функция I (*) определена в некоторой окрестности \х—х01 < е точки xQ\ 2) ^ (*) имеет в этой окрестности производные /' (*),... ..., f(n~l) (х) до (п—1)-го порядка включительно; 3) в точке х0 существует производная л-го порядка /(п) (дс0), то п f (х) = £ Як (х — Х0)к + о(х — х0)п, (1) fe=0 где ак = ^*>(*о) (ft = 0. I п). k\ В частности, при х0 = 0 имеем: (2) При указанных условиях представление (1) единственно. Если в точке х0 существует производная f(n+i) (*0)f то остаточный член в формуле (1) может быть взят в виде О* Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие пять важных разложений: I. в* = ! + *+-£+...+ *1 + о(*«). 21 п\ уЗ г2П-1 II. sin ж = * h . . . + (— I)"-1 — Ь о (**»). 3! (2л—1)! у2 ~2П III. COS X = 1 h...+(“ 1)п — н о (х*1*1). 2! (2л) I IV. (1 + Х)т = 1 + /ШГ+ m(m~ [) *» + . . . 21 п\ V. 1п(1+*)=ж--^- + . .. + (— I)"-1 — о (*"). 2 /г 2°. Формула Тейлора. Если 1) функция ((х) определена на сегменте [а, 6]; 2) J (дс) имеет на этом сегменте
152 ОТДЕЛ П. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ непрерывные производные /' (х), . . . , /(n-i) (х); 3) при а < х <С Ь существует конечная производная £<п) (*), то л—I *(*)==£ fnJa) <x-°)*+^nW (e<*<6). 4=0 *' где /?„ (ж) = /(П) (° +6 (дс ~ а)) (« - а)" (0 < 0 < 1) л! (остаточный член в форме Лагранжа), или Rn (*) = /(П) (а + 01 (Х ~ а)) (1 - б!)"-1 (ж - а)п <0<е1<31) (я — 1)1 (остаточный член в форме Коши). 1376. Многочлен />(*)=» 1 + 3* + 5х2 — 2х3 расположить по целым неотрицательным степеням дву¬ члена х + I. Написать разложения по целым неотрицательным степеням переменной х до членов указанного порядка включительно следующих функций: 1377. fix) = 1 до члена с лс4. Чему рав- 1 — X + X2 но /<4> (0)? 1378. (I + дс)100 до члена с х2' (1 — 2дг)40 (1 + 2*)«° 1379. у ат-\-х (а>0) до члена с х3 1380. д/1 — 2х + х? — у 1 — Зх + х до члена с я3. 1381. е2х~х’ до члена с х5. 1382. —-— до члена с х4. ^-1 1383. у sin л:3 до члена с х13. 1384. In cos х до члена с х*. 1385. sin (sin х) до члена с дс3 1386. tg*Ao члена с я5. 1387. In до члена с дс®.
5 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 153 1388. Найти три члена разложения функции f (х) = = л/х по целым неотрицательным степеням разности х—1. 1389. Функцию / (х) = хх —1 разложить по целым неотрицательным степеням бинома х—1 до члена с (А-1)3. 1390. Функцию у = a ch— (а > 0) в окрестности а точки х = 0 приближенно заменить параболой 2-го по¬ рядка. 1391. Функцию f М = д/\ + х2 — х (х > 0) раз¬ ложить по целым неотрицательным степеням дроби — до члена с —. х3 1392. Найти разложение функции f (Л) = In (х + Л) (х > 0) по целым неотрицательным степеням прираще¬ ния h до члена с hn (п — натуральное число). 1393. Пусть f(x + h) = f(x) + hf'(x) + . . . + ^/W(*+0A) ft 1 (0 < б < 1), причем /<п+>> (х) Ф 0. Доказать, что lim 0 = —-— . п-*-0 Л 1 1393.1. Пусть при х —► 0 имеем / М = 1 + kx + о (*)'. Доказать, что lim [/ (дс)11/дг = ек. 1393.2. Пусть f{x) £ С(2) 10, 1 ] и f (0) = f (1) = 0, причем | f" (jc) J < А при x £ (0, 1). Доказать, что I/' Ml < -j при 0 < x < 1. 1393.3. Пусть f (x) (— оо <x < + оо) — дважды дифференцируемая функция и = sup |/(ft> (*) I < + оо (k = 0, 1,2). 00<Jt<-|-00 Доказать неравенство M\ < 2M0Af2. 1394. Оценить абсолютную погрешность приближен¬ ных формул:
154 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ X® 1 б) sin х ж х — при | *| < —; в) tgjc«jc + -^ при |*| <0,1; г-) д/14-х1-1—^ — при0<*<1. 2 8 1395. Для каких * справедлива с точностью до 0,0001 X2 приближенная формула: cos* =1 — ? 1395.1. Доказать формулу 1^ап + х = а nan~L п— I (п > 2, а> 0, х>0), 0 <г< w 1396. С помощью формулы Тейлора приближенно вычислить: а) ^30; б) ул250; в) '^4000; г) VЯ Д) sin 1®°! е) 1° *>2; ж) arctg 0,8; з) arcsin 0,45; и) (1, I)1*2 и оценить погрешность. 1397. Вычислить: а) е с точностью до 10"9; б) sin 1° » » » Ю~8; в) cos 9° » » » 10"5; г) Уб » » » Ю-4; д) lgll » » » 10"5. Используя разложения I—V, найти следующие пре¬ делы: ,398. . 1399. lim JC-Й) X* jr-*0 1400. Hm*3/2(д/*+1+д/дс—1—2л/х). 1401. lim (у'х®+лс6 — у^х6— х6). оо X*
§ 10 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 155 1402. lim [(*•—дса + е1/х—\/*в + 1403. lim . аХ+ а~*.-2 (а > 0). *-»0 JC2 1404. lim|x—дс21п^1 + “")]• 1405. lim(— —Y 1406. lim-f-—ctgA X->Q\X Sltixj *_►{) X \ X J 1406.1. . X-+0 x§ 1406.2. lim —(cos-y)S‘1UC . 1406.3. lim sh(*g*>-* . x-*0 X3 x-*0 JC3 Для бесконечно малой при х -*■ 0 величины у опреде¬ лить главный член вида Сх" (С — постоянная), если 1407. у = tg (sin х) — sin (tg дс). 1408. у = (1 +хУ — 1. 1409. у = 1 П+«)'**. # е 1410. При каком подборе коэффициентов а и b ве¬ личина х — (а + b cos дс) sin х будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х? 1410.1. Подобрать коэффициенты А и В так, чтобы при дс -*■ 0 имело место асимптотическое равенство ctg* = ■1 ^ д*, + 0(А х + Вх3 1410.2. При каких коэффициентах А, В, С и D спра¬ ведлива при дс -> 0 асимптотическая формула е* = . ' + Л*+ + 0(х?). l + Cx + Dx* п v 1411. Считая |jt| малой величиной, вывести простые приближенные формулы для следующих выражений:
156 ОТДЕЛ И. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ в) Г) « . Л I ш) \ ,n(| + ir) 1412. Считая х малым по абсолютной величине, вы¬ вести приближенную формулу вида х = a sin х + р tg х с точностью до члена с х5. Применить эту формулу для приближенного спрям¬ ления дуг малой угловой величины. 1413. Оценить относительную погрешность следую¬ щего правила Чебышева: круговая дуга приближенно равна сумме боковых сторон равнобедренного треуголь¬ ника, построенного на хорде этой дуги и имеющего высотой л/ИЗ ее стрелки. § 11. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 1°. Необходимое условие экстремума. Говорят, что функция [ (*) имеет в точке х0 экстремум (макси* нум или минимум), если функция определена в двухсторонней окрестности точки х0 и для всех точек х некоторой области: 0< \х—х01 < 6, выполнено соответственно неравенство I (х) < I (*0) или I (х) > I (*о). В точке экстремума производная I* (х0) = 0, если она су¬ ществует. 2°. Достаточные условия экстремума. Первое правило. Если 1) функция f (х) определена и непре¬ рывна в некоторой окрестности | х—х0 | «< б точки х0 такой, что £' (х0) = 0 или не существует (критическая точка); 2) (х) имеет конечную производную (х) в области 0< \ х—х0\<: 6; 3) производная f' (*) сохраняет определенный знак слева от xQ и справа от х0, то поведение функции J5 (х) характеризуется следующей таблицей: Знак производной Вывод х < хй х> *0 I + + Экстремума нет II + — Максимум III — + Минимум IV Экстремума нет
$ 11 ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 157 Второе правило. Если функция / (дс) имеет вторую произ¬ водную I" (х) и в некоторой точке х0 выполнены условия Г (*о) = 0 и Г <*о) + О, то в этой точке функция / (х) имеет экстремум, а именно: максимум, когда /" (х0) <0, и минимум, когда Г <*о> > 0. Третье правило. Пусть функция / (х) имеет в некотором интервале | х—jc0 | < 6 производные /' (х), . . . , /л-1 (х) и в точке х0 производную /<П) (х0), причем Л*> (х0) =0 (ft = 1, . . п - 1), f<»> (х0) Ф 0. В таком случае: 1) если п — число четное, то в точке х0 функция I (х) имеет экстремум, а именно: максимум при fSn) (х0) <0иминимум при f(n) (х0) > 0; 2) если п — число нечетное, то в точке х<> функция I (х) экстремума не имеет. 3°. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наи¬ меньшее) значение на сегменте [а, Ь] непрерывной функции / (х) достигается или в критической точке этой функции (т. е. там, где производная /' (х) или равна нулю, или не существует), или в граничных точках а и Ь данного сегмента. Исследовать на экстремум следующие функции: 1414. у = 2 + л:2. 1415. у = (х— I)3. 1416. у = (х—I)4. 1417. у = хт (1—х)п (тип — целые положитель¬ ные числа). 1418. у = cos х “f- ch х. 1419. у — (х + I)10 е~х. 1420. у = (\ +х + — + . . . +—(п —нату- \ 21 п\ ) ральное число) 1421. у = |х|. 1422. у = *1/3(1 — х)т. 1423. Исследовать на экстремум в точке х = х0 функцию / (*) = (х—х0)п(р (х) (п — натуральное число), где функция <р (х) непрерывна при х = Xq и ф (*0) ф 0. 1424. Пусть / (х) = /' (х)= и дг0—ста- Q (х) Qt (х) ционарная точка функции f (х), т. е. Pi(x0) = 0, Q (х0) Ф 0. Доказать, что sgn /" (лСф) = sgn Р[ (*0).
158 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1425. Можно ли утверждать, что если функция / (х) в точке х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно малой окрестности этой точки слева от точки х0 функция / (jc) возрастает, а справа от нее убывает? Рассмотреть пример: /(*) = 2—х2 (2 + sin —^, если хфО и /(0) = 2. 1426 (н). Доказать, что функция /(х) = е~1/х\ если *=/=0, и / (0) = 0, имеет в точке jc = 0 минимум, а функция g (jc) = хе~>/х\ если хфО, и g (0) = 0 не имеет в точке jc = 0 экстремума, хотя Г (0) = о, ^ (0) = 0 (п = 1,2,...). Построить графики этих функций. 1427. Исследовать на экстремум функции: а) /(jc) = e-1/|x|(-\/2 + sin — ^ при хф0 и /(0) = 0; б) /(дс) = е_1/|д:1^2 + соз—^ при хфО и /(0) = 0. Построить графики этих функций. 1428. Исследовать на экстремум в точке jc = 0 функ¬ цию /(jc) = |jc|^2 + cos-^, если хфО и /(0) = 0. Построить график этой функции. Найти экстремумы следующих функций: 1429. у = jc3—6х2 +9х—4. 1430. у = 2jc2—jc4. 1431. у = *(jc—1)*(дс—2)3. 1432. у = х-\——. я 1433. у = - 2х—. 1434. у= **-3* + 2.. 1 + х* * *»+2х+1 1435. у = ^2jc—х2 1436. у = jc х— 1. 1437. у — хе~*. 1438. у = У* In дс.
§ 11. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 159 1439. у — -п -. 1440. у = cosх + — cos 2х. х 2 1441. у = — , 1442. г/ = arctgje-—-1п(1+х2). l + sin2* 2 1443. у — ех sin*. 1444. у = | jc| е-1*-11. Найти наименьшие и наибольшие значения следую¬ щих функций: 1445. / (*) = 2х на сегменте [— 1; 5]. 1446. f (х) = х2—4jc + 6 на сегменте [—3; 10]. 1447. f (х) — | jc2—3* + 2| на сегменте [— 10; 10]. 1448. f(x) — x + — на сегменте [0,01; 100]. х 1449. f(x) = д/5 —Ах на сегменте [ — 1; 1]. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup) следующих функций: 1450. / (дс) = хё~0,ш на интервале (0, + оо). 1451. /(jc)=(l+* + ле (0, +оо). 1452. /(jc) = -1 —* ■ на интервале (0, +оо). 1 + х* 1453. f (jc) = cos jc2 на интервале (— оо, +оо). 1454. Определить нижнюю и верхнюю грани функции f (£) = ^ ^ на интервале jc •< 1 < + оо. 3 + g* Построить графики функций М (jc) = sup f(t) и т (х) = inf f (5). *<£<+<» *<£<-foo 1454.1. Пусть Мл = sup || /<А) (х) ||, k = 0, 1, 2, ... X Найти М0, Mt и M2t если f (x) = e~x\ 1455. Определить наибольший член последователь¬ ности: _ а) = ^ 2' • * б> n+'lOOOO (Л=1, 2> * ’ ** в) Vn (п = 1, 2, ...). X Хп \ Y — + . .. Н—^)е на интервал
160 ОТДЕЛ It. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1456. Доказать неравенства: а) |Зле—лса|<2 при |*|<2; б) < х? + (1 —х)р < 1, если 0 < х < 1 и р> 1; в) хт (а—*)" < — ат+п при т> 0, п> 0 и ’ (т+п)т+п к 0 < х < а; г) х" +ап <х + а (*>0, а>0, n> 1); д) | а sin x + bcos*| < Vfl2 + ^ • 1456.1. Доказать неравенство 3 х2 + х + 1 при ОО < X < + оо. 1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена Р (х) = * (*—I)2 (х + 2) на сегменте I— 2, 1 ], т. е. найти £р= sup |Р(*)|. —2<лг<1 1458. При каком выборе коэффициента q многочлен Р(х) = х*+ q наименее отклоняется от нуля на сегменте I— 1, 1], т. е. ЕР = sup | Р (*) | = min. — !<дг<1 1459. Абсолютным отклонением двух функций / (*) и g (х) на сегменте [а, b ] называется число Д= sup | f (*) — £ (*) |- Определить абсолютное отклонение функций» / (х) = ха и g (х) = х* на сегменте [0, 1 ]. 1460. Функцию f (*) = хъ на сегменте *tl ПРИ' блаженно заменить линейной функцией g (х) = (*! + д:2)х+ Ь так, чтобы абсолютное отклонение функций / (лг) и g (х)
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 161 (см. предыдущую задачу) было наименьшим, и опреде¬ лить это наименьшее абсолютное отклонение. 1461. Определить минимум функции Определить число вещественных корней уравнения и отделить эти корни, если: 1462. х*—вх2 + 9л;— 10 = 0. 1463. х3—Зх2—9х + h = 0. 1464. Зх4—4л:3—6х2 + 12л;—20 = 0. 1465. х5—5х = а. 1466. In х = kx. 1467. в — ах2. 1468. sin3A>cos х = а при 0 ^ х ^ я. 1469. ch х = kx. 1470. При каком условии уравнение х3 + рх + q = 0 имеет: а) один вещественный корень; б) три веществен¬ ных корня. Изобразить соответствующие области на плоскости (р, д). Для построения графика функции у = f (х) нужно: I) оп¬ ределить область существования этой функции и исследовать поведение функции в граничных точках последней; 2) выяснить симметрию графика и периодичность; 3) найти точки разрыва функции и промежутки непрерывности; 4) определить нули функции и области постоянства знака; 5) найти точки экстре¬ мума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции; 6) определить точки перегиба и установить промежутки вогну¬ тости определенного знака графика функции; 7) найти асимп¬ тоты в случае существования их; 8) указать те или иные особен¬ ности графика. В частных случаях общая схема упрощается. В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба опреде¬ ляются приближенно. Построить графики следующих функций: / (я) = шах (21*1, 11 + *|}. § 12. Построение графиков функций по характерным точкам 1471. у = Зх—х3. 1472. у = \+х*--у. 1473. {/ = (*+!)(*—2)2. 1474*. 6 В. П. Демидович
162 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1479. у = -*1 (х ~ 1} . 1480. у = . (х+1)4 (I—л2)4 1481. у = (* + -1)3.t 1482*. у= -х*+--8-. а (ж-1)2 *s+l 1483. у = —f -f —!— . 1484. у = (х-3)л/х. \ + х Зх1 1 — х 1485. у = ± -J&X2— х*. 1485.1. у = —,*1Г2 V* + 1 1486. у = ± V(^—1) (а:—2) (л:—3). 1487*. у = \fх3—Xй—*+ 1. 1488. у —у'"х2 —х2 + 1. 1489. г/ = (* + 2)2'3 —(jc—2)2/3. 1490. у — (лг-f 1)2/3-|- (л:— 1)2/3. 1491. у = * . 1/1ПО *2У*2— 1 1 /IQQ И+^|3/2 1492. и = - . 1493. u — -—!—1—. 2*2 — 1 * У7 .494. ^1-,+ д/^. 1496*. у= aJ-£±А. 1497. у = sin jc + cos2 *. 1498. у = (7 + 2cosх)sinх. 1499. t/ = sinjc-|—^-sinЗд:. 3 1500. y = cosx—jCos2jj. 1501. у = sin4.*:-f cos4x. 1502. у = sin*-sin 3x. 1503. y— , П*+т) < га/I COS ^ i CA/i i sin X 1504. y= . 1504.1. y = . cos 2x 2 + cos x 1505. у = 2x — tg *. 1506. у = e2x~x\ 1507. у = (1 + x2) e~x‘. 1508. y = x+ e~x. 1509. у = хфе~\ 1509.1. у = e~2x sin2 х.
§ 12. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ 163 1510. у = —. 1511. у = л/\—е~х\ * 1 + х v 1512. у = -^г. 1513. у = lnOe + V**+T). V * 1514. у — У;с2 + 1- In (* + '\Д2 + 0- 1515. у = - . 1516. // = л: + arctg *. У l — х2 1517. у = -j + arcctgjc. 1518. y = xarctg*. 1519. y = arcsin ———. 1520. у = arccos -——. 1 + x2 1 + x2 1521. г/ = (дс + 2)е1/\ 1522. у ■= 2V?7r-V^. 1523*. y = ln-~3x+2 . x2+ 1 1524. у = a arcsin — -\/а2—x2 (a>0). a 1525. у = arccos ■1 ~ * . 1526. у = Xх. 1 — 2x 1527*. y = x'/x. 1528. у = (1 + *),/\ 1529*. y = x(\ +-^y (*>0). 1/1—JC* 1530*. у (без исследования вогнутости). 1 + х2 Построить кривые, заданные в параметрической форме: 1531. г- (/+1)2 А — > 4 / — 1 и г/ = -——. 17 4 1532. х = 21 —1\ y = 3t-t\ 1533* (а V — и- ‘ » Л —■ 1 /—1 v~ р-1 • 1534. t* X = , 1 -*2 1 У — 1 + <2 * 1535. x=t+e~\ г/ = 2/ + <Г2'. 1536. х = a cos 2/, i/ = acos3f (а>0).
164 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1537. х = cos41, у = sin41. 1538. x = t\nt, У = 1539. x = —« y = atg3t (a>0.) COSJ t 1540. x = a (sh t — t), y = a(cht— 1) (a>0). Представив уравнения кривых в параметрической форме, построить эти кривые, если 1541. х3 + у3 — Заху — 0 (а > 0). Указание. Положить у = tx. 1542. jc2 + у2 = х* + у4. 1543. х2у2 = jc3—г/3. 1544. хч = у* (х> 0, у > 0). 1545. Построить график кривой: ch2 х — ch2t/ = l. Построить графики функций, заданных в полярной системе кооодинат (ср, г) (г > 0): 1546. г - а + b cos <р (0 < а < Ь). 1547. r = asin3m (а>0). 1548. г — —(а>0). Vcos3<p 1549*. г = л —— . где ш> 1 (а>0). Ф- 1 1550*. m — arccos ——-. т г2 Построить графики семейств кривых (а — перемен¬ ный параметр): 1551. у = х2— 2jc-f-а. 1552. у — jc + —. х 1553. у = х ± д/а (1 —х2). 1554. y = JL + e-a\ 1555. у = Хе~х'а. § 13. Задачи на максимум и минимум функций 1556. Доказать, что если функция f (х) неотрица¬ тельна, то функция F (jc) = Cf2 (х) (С > 0) имеет в точности те же точки экстремума, что и функция f (jc). 1557. Доказать, что если функция ф (jc) — монотонно возрастающая в строгом смысле при — оо •< jc «< + оо,
§ 13 ЗАДАЧИ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИИ 165 то функции f (х) и ф (/ (х)) имеют одни и те же точки экстремума. 1558. Определить наибольшее значение произведе¬ ния т-й и га-й степеней (т > 0, га > 0) двух положи¬ тельных чисел, сумма которых постоянна и равна а. 1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и га-й степеней (т > 0, га > 0) двух положительных чисел, произведение которых постоянно и равно а. 1560. В каких системах логарифмов существуют числа, равные своему логарифму? 1561. Из всех прямоугольников данной площади 5 определить тот, периметр которого наименьший. 1562. Найти прямоугольный треугольник наиболь¬ шей площади, если сумма катета и гипотенузы его по¬ стоянна. 1563. При каких линейных размерах закрытая ци¬ линдрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность? 1564. В данный круговой сегмент, не превышающий полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей пло¬ щадью. 1565. В эллипс — + —=1 вписать прямоуголь- а2 ьг ник со сторонами, параллельными осям эллипса, пло¬ щадь которого наибольшая. 1566. В треугольник с основанием Ь н высотой h вписать прямоугольник с наибольшим периметром. Исследовать возможность решения этой задачи. 1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основа¬ ние которого равно Ь и высота Л. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если проч¬ ность ее пропорциональна bh2? 1568. В полушар радиуса R вписать прямоугольный параллелепипед с квадратным основанием наибольшего объема. 1569. В шар радиуса R вписать цилиндр наиболь¬ шего объема. 1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с наиболь¬ шей полной поверхностью. 1571. Около данного шара описать конус наимень¬ шего объема. 1572. Найти наибольший объем конуса с данной об¬ разующей /.
166 ОТДЕЛ II ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1573. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом сечении и радиусом основания R вписать цилиндр с наи¬ большей полной поверхностью. 1574. Найти кратчайшее расстояние точки М (р, р) от параболы у2 = 2рх> 1575. Найти кратчайшее н наибольшее расстояния точки А (2,0) от окружности х2 + у2 = 1. 1576. Найти наибольшую хорду эллипса “ + = = 1 (0 < b < а), проходящую через вершину В (0, — Ь). м2 1577. Через точку М (х, у) эллипса = 1 а.2 Ь2 провести касательную, образующую с осями координат треугольник, площадь которого наименьшая. 1578. Тело представляет собой прямой круговой цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких линейных размерах это тело будет иметь наименьшую полную поверхность, если объем его равен V. 1579. Поперечное сечение открытого канала имеет форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне <р боков '.мокрый периметр» сечения будет наименьшим, если площадь «живого сечения» воды в канале равна S, а уровень воды равен Л? 1530. «Извилистостью» замкнутого контура, ограни¬ чивающего площадь 5, называется отношение периметра этого контура к длине окружности, ограничивающей круг той же площади S. Какова форма равнобедренной трапеции ABCD (AD\\BC), обладающей наименьшей извилистостью, если (снование AD = 2а и острый угол BAD = а? 1581. Какой сектор следует вырезать из круга ра¬ диуса R, чтобы из оставшейся части можно было свер¬ нуть воронку наибольшей вместимости. 1582. Завод А отстоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город В, считая по кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом <р к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из А в В была наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути р р., по железной дороге q р. (р > q) и город В расположен на Ь км севернее завода Л? 1583. Два корабля плывут с постоянными скоро¬ стями и и v по прямым линиям, составляющим угол Э
§ 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 167 между собой. Определить наименьшее расстояние между кораблями, если в некоторый момент расстояния их от точки пересечения путей были соответственно равны а и Ь. 1584. В точках А и В находятся источники света соответственно силой и S2 свечей. На отрезке АВ = а найти наименее освещенную точку М. 1585. Светящаяся точка находится на линии центров двух непересекающихся шаров радиусов R и г (R > г) и расположена вне этих шаров. При каком положении точки сумма освещенных частей поверхностей шаров будет наибольшая? 1586. На какой высоте над центром круглого стола радиуса а следует поместить электрическую лампочку, чтобы освещенность края стола была наибольшей? Указание. Яркость освещения выражается формулой где <р — угол наклона лучей, г — расстояние источника света от освещаемой площадки, k — сила источника света. 1587. К реке шириной а м построен под прямым уг¬ лом канал шириной Ь м. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал? 1588. Суточные расходы при плавании судна состоят из двух частей: постоянной, равной а р, и переменной, возрастающей пропорционально кубу скорости. При ка¬ кой скорости v плавание судна будет наиболее эконо¬ мичным? 1589. Груз весом Я, лежащий на горизонтальной шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места при¬ ложенной силой. При каком наклоне этой силы к го¬ ризонту величина ее будет наименьшей, если коэффи¬ циент трения груза равен А? 1590. В чашку, имеющую форму полушара радиуса at опущен стержень длины / ;> 2а. Найти положение рав¬ новесия стержня. § 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 1°. Касание л-г о порядка. Говорят, что кривые у = ф (х) и у = \|> (х) имеют в точке х0 касание п-го порядка (в строгом смысле!), если Ф<*> (*о) = Wk> (Ч) (А * 0, 1, ...,/») и Ф<л+1>(*в) + Ч><л+1>(*о).
168 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В этом случае при х ха имеем: Ф (*) — (х) = О* [х — *о]/1+1« 2°. Круг кривизны Окружность (* - I)2 + (у—г)2) = R2, имеющая с даиноЛ кривой у = / (х) касание не ниже 2-го по¬ рядка, называется кругом кривизны в соответствующей точке* Радиус этого круга „ (1+»,!)^ 17Г~ называется радиусом кривизны, а величина k = — — кри* R визной. 3°. Э в о л ю т а. Геометрическое место центров (£, rtf кру« гов кривизны (центры кривизны) у'(\ + у'*) , 1 + у'г 1= х ^—i-g ' , л = L-^— </" У" называется эволютой данной кривой у = / (*). 1591. Подобрать параметры hub прямой у = kx + Ь так, чтобы она имела с кривой у = х3—Зх2 + 2 каса¬ ние порядка выше первого. 1592. При каком выборе коэффициентов а, Ь и с парабола у = ах2 + Ьх + с имеет в точке х = х0 касание 2-го порядка с кривой у = е*? 1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в точке х = 0 кривые: а) у = 1—cos г, б) i/ = tgjc—sin дг; в) У = в*—(! +* + y)‘ 1594. Доказать, что кривая у = е-‘/л;5 при л: О и г/ = 0 при х = 0 имеет в точке л = Ос осью Оде ка¬ сание бесконечно большого порядка. 1595. Найти радиус и центр кривизны гиперболы хи = 1 в точках: а) М (1, 1); б) N (100; 0,01). Определить радиусы кривизны следующих кривых: 1596. Параболы у2 = 2рх. 1597. Эллипса - + -4 = 1 (а>Ь>0). a* ft*
§ 14 КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 169 1598. Гиперболы — — = 1. аг Ь2 1599. Астроиды x2,i + у2/3 = а2/3. 1600. Эллипса х — й cos t, у — b sin t. 1601. Циклоиды х = а (/—sin/), у = а (1—cost). 1602. Эвольвенты круга х = a (cos t + t sin t), у = = a (sin t—t cos t). 1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го порядка у2 = 2рх—qx~ пропорционален кубу отрезка нормали. 1604. Написать формулу радиуса кривизны линии, заданной в полярных координатах. Определить радиусы кривизны кривых, заданных в полярных координатах (параметры положительны): 1605. Спирали Архимеда г — а<р. 1606. Логарифмической спирали г = аетЧ>. 1607. Кардиоиды г = а (1 + cos <р). 1608. Лемнискаты ra = a2cos 2<р. 1609. Ha кривой у — \п х найти точку, кривизна в которой наибольшая. 1610. Максимальная кривизна кубической параболы Ь 1 у (0 < х < + оо, k > 0) равна . Найти J 6 У 1000 точку х, в которой достигается эта максимальная кри¬ визна. Составить уравнения: 1611. Эволюты параболы г/2 = 2рх. д-2 у-» 1612. Эволюты эллипса 1- — = 1. а* Ь'1 1613. Эволюты астроиды а'2/3 + у2'3 = а2/3. 1614. Эволюты трактрисы •, а + л! и1 — уг / > ? х = a In—— д/а2—ул у 1615. Эволюты логарифмической спирали г = аетч>. 1616. Доказать, что эволюта циклоиды х — a (i — sin /), у = а (1 — cos /) есть также циклоида, отличающаяся от данной только положением.
170 ОТДЕЛ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 15. Приближенное решение уравнений Iе. Правило пропорциональных частей (метод хорд). Если функция [ (х) непрерывна на сегменте а, Ь] и / (а) / (Ь) < 0, причем I' (х) Ф 0 при а < х < 6, то уравнение /(*)*= 0 (1) имеет один и только один действительный корень £ в промежутке (а, 6). За первое приближение этого корня можно принять зна¬ чение *1 = а + бь где 6L = — f{a) (b — а). f(b) — f(a) Применяя далее этот способ к тому из промежутков (a, xL) или (xlf 6), на концах которого функция / (х) равнозначна, получим второе приближение хг корня § и т. д. Для оценки л-го приближения хп справедлива формула т где т= inf \ff (х) |, причем а<х<Ь lim хп = П~+оо 2°. Правило Ньютона (метод касатель- н ы х). Если /" (х) Ф 0 на сегменте [а, b] и / (a) f" (а) > 0, то за первое приближение h корня | уравнения (1) можно при¬ нять значение ь-« ж Г (а) Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню 6 последовательные приближения (п = 1, 2, . . .), точность которых оценивается, например, по формуле (2). Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок графика функции у = £ (х). Пользуясь методом пропорциональных частей, опре¬ делить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений: 1617. х3 — 6х + 2 = 0. 1618. х*—х—\ =0. 1619. х—0,1 sin л: = 2. 1620. cos* = Jt2. Пользуясь методом Ньютона, определить с указав ной точностью корни следующих уравнений:
§ IS. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ 171 1621. хг Н—— = 10л: (с точностью до 10_3). X2 1622. xlgjc=l (с точностью до 10"4). 1623. cos x-ch х = 1 (с точностью до 10_3) (для по¬ ложительного корня). 1624. х + ех = 0 (с точностью до 10"5). 1625. х th х — 1 (с точностью до 10“6). 1626. С точностью до 0,001 найти три первых поло* жительных корня уравнения tg х — х. 1627. С точностью до 10-3 найти два положительных . 1 X корня уравнения ctg* = —.
ОТДЕЛ III НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Простейшие неопределенные интегралы 1°. Понятие неопределенного интег¬ рала. Если функция I (х) определена и непрерывна на про¬ межутке (а, Ь) и F (х) — ее первообразная, т. е» Fu (*) = f (jc) при а < х < b, то J f,(x) dx = F (я) + С, а< х< b, где С — произвольная постоянная. 2°. Основные свойства неопределенного интеграла: a) d{$ t(x)dx]^f(x)dx-, б) J с/Ф (х) = Ф(х) + С; в) j Af (х) dx = A f f (х) dx (Л = const; А Ф 0); г) 11/ (х) + g(x)\dx — j I (х) dx + $ g (*) dx. 3°. Таблица простейших интегралов; Г хп+1 I. J x*dx = — + С (пф - 1). п+ 1 II. J-^- = ln|*|+ С (хфО). Ill [ dx — [ arctg х+ С, J 1 + х2 [ — arcctg х + С. IV. [——— = — In | —+— + С. J \—х1 2 11—* dx ( arcsin jc+ С, хг \ — arccos х + С. VI. Г —К = In | х 4- л/хг ± 1 | + С. ) V*2 ±1 VII. J a*dx = + С (а > 0. а Ф 1); j e*dx = е* + С. In а VIII. Jsinjtdx= — cos*4-C. IX. J cos x dx « sin x + C.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 173 X. Г ——— = — ctg х-\- С. J sin2x XI Г —^— = tg лгН- С. J COS2 X XII. J sh х dx сэ ch х + С. XIII. J ch x dx = sh x + C. Xiv. —ctb*+c. J sh2* XV. Г —— = th*+C. J Ch»* 4°. Основные методы интегрирования* а) Метод введения нового аргумента. Если j Их) dx = F (х) + С, то 11 (и) du = F (и) + С, где и = <р (х) — непрерывно дифференцируемая функция. б) Метод разложения. Если f (X) = h (•*) + U (*). то I t(x) dx = J U (х) dx + f f3 (x) dx. а) Метод подстановки. Если t (x) — непрерывна, то, по¬ лагая X = <Р (/). где Ф (/) непрерывна вместе со своей производной ф' (t), получим 11 (х) dx = $ f (ф (<)) <р' (0 dt. г) Метод интегрирования по частям. Если и и v — неко¬ торые дифференцируемые функции от х, то j* и dv = uv — J v du. Применяя таблицу простейших интегралов, найти следующие интегралы: 1628. S(3—x2)3dx. 1629. J*2(5—x)*dx. 1630. J (1 — x) (1 — 2x) (1 — 3*) dx. 163'• 1632. \(-Z-+-*L + -*L)dx. 1633. JW x* x* ) J y,
174 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1634. ГУу-2^+!-dx. V х 1635. I dx. Г (1 ~x)i ) 1636. j(l dx. 1637. ^ ('^2x ~ уЛ|* - dx‘ 1638. Г VW*~4+2_ 1639> f _*dx_ J x* J 1 + ** 1640. Г-—1641. f-x-±.3_ dx. J 1 — хг J x2 — 1 1642. fil+g+vr^ ldx. j V i — ** 1643. f -V-±i "У*2""-1 dx. J V — r 1644. j (2jr 4- 3A)2 doc. 1645. С dr. 1646.(^±i-<i*. J 10* J 1647. j (1 -f-sin,Y-5-cosjc)tfjc. 1648. J У1 — sin 2x dx (0 < * < я). 1649. Jctg2 Acdx. 1650. j tg2 x dx. 1651. | (a sh x +1 ch дс) dx. 1652. J th2 дс dx. 1653. j cth2 дс dx. 1654. Доказать, что если J/ (x)dx = F (x) + С, to J f (ax + b) dx = — F (ax b) + С (a^=0). Найти интегралы: 1655. j—. 1656. J(2x—3)10dx. 1657. J j/1 — 3* dx.
§ 1. простейшие неопределенные интегралы 175 1658. С —-х —. J V2 - 5лс 1659. [ — J (5х_ 2)5/2 1660. ( /1 -_?* + *2 . ^ J 1-х 1661. С — . 1662. [ — . J 2+3*2 J 2 — 3** 1663. Г 1 - Зх2 1664. Л С—-—. 3 л/Зх2 — 2 1665, J (е_* + е-2*) d*. 1666. J (sin 5л:—sm5a)djc, 1667. J dx 3. С - . 1669. С ± J 1 cos X J 1 — ( ). ( - . J 1 + sin x 1671. J [sh (2* + 1) -f ch (2x — 1)] dx. 1672. Г ———. 1673. P —— J ch2 — J sh4 — 2 2 Путем надлежащего преобразования подынтеграль¬ ного выражения найти следующие интегралы: 1674. Г xdx 3 VT^ 1675. Jx2^l+je3 dx. 1676. J -3 X~l^~ ■ 1677, J XdX 1678 . [-x?x- . 1679. [—— 3 4 + ДС4 ] i'¬ ll + xa)4 x3 dx
176 ОТДЕЛ III. неопределенный интеграл 1680. л йх (i + W* dx ■у/х Указание. — = 2d (У х ). 1681 dx 1682. 1683. 1685 1687 С • 1 dx jsinT-—• Г dx ) х-у/х3 + I С - . 1684. С J ху/хг—\ J . Г —— . 1686. f - J (*а-1)3/2 J dx (Х2+ 1)3/2 х2 dx (8*3 + 27)2/3 С— 1688. С— ■ J V* (! + •*) J V* (1 — •*) 1689. \xe~*dx. 1690. J 1691. j dx exdx 2 + e* 1692. dx 1693. V l+e“ ^-^~-dx. 1694. j dx x In X In (In x) 1695. j sin5 jc cos xdx. 1696. С sin* dx. ! cos3 X yc 1697. J tgxdx. 1698. J ctg x dx. 1699. I -sin< + cosx dx. sin x — cos x 1700. Г. slnJLcosA. dx. J ^a2 s\n2 xb2 cos2 x 1700.1. f —2*1—dx. 1700.2. \ —- dx. .1. f sin * dx. 1700.2. С J Vcos 2jc J Vcos 2* 1700.3. Г sh * dx. ) Vch 2*
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 177 dx 1701 •S- sin2 х Vctg х 1702. Г — . 1703. J sin2 х 2 cos2 х J sin x 1704. f—. 1705. 1706. J cos x J sh X J chj: 1707. Г shJCChJC— dx. 1708. f ■£_ J * J ch* x j/4h2 x 1709. С dx. J 1 + *2 1710. f — J (arcsin x)2 V1 — *2 1711. J /у/_M^±^I±ZL ix, 1712. f-** + — dx. J *<+l Указание. dx = d(x —^. 1713. [ -~~l dx. 1714. Г ***** ] *'+l J (x‘+l)* 1715. J *"/2d* Vl + хя+2 In- 1 —X 1716. jIn 1717 r cos*d* 1720. I л/2 + cos 2x 1718. f »»»««?* ^ ,719> f J sin4 x + cos4 x J 9r — 4* л/i+*2+V(i+*2)3 Применяя метод разложения, вычислить интегралы: 1721. j>(2 — 3x2)2dx. 1721.1. J*(l — х)10 dx. 1722. f-L±Ldx. 1723. f — J i-x J 1 + * dx.
178 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1724. Г —— dx. 1725. {-(1 + X)* dx. J 3+л: J 1 + *2 1726. Г -(2 ~ хГ~- dx. 1727. f - dx. J 2 — x* J (1-; -- ■ x)lM 1728. \ - —dx. c+l 1729 ‘ dx J * + S y*+1 + V*-i 1730. \xaJ2—5x dx. l 2 Указание, x = (2 — 5*) + —. 5 5 1731. Г xdx f X dX J ^1=1 ■ 3x 1732. |jc8v^1 + x2 dx. 1733. f J (*-!)< (* + 3) Указание 1 = —— [(* + 3) — (x — 1)]. 4 1734. Г — . 1735. Г- dx J x1 + x — 2 J 1736. Г dx J (**- <** + l)(*2+2) 2) (x2 + 3) xdx 1737. Г — . 1738. f- J (X + 2) (X + 3) J x*+3x2+2 1739. [ - (афЬ). J (x+a)*(x+b)* 1740. Г — (а2 Ф b2). J (x2 + a2) (** + b*) ^ 1741. J sin2* dx. 1742. J cos2 x dx. 1743. J sin x sin (л: -f- a) dx. 1744. J sin Зд:-sin 5xdx. 1745. [ cos — • cos — dx. J 2 з 1746. J sin (2*—^ cos ^3x + dx.
§ I. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 179 1747. J sin3 дс dx. 1748. J cos3 x dx. 1749. |sin4jcdjt. 1750. J cos4 x dx. 1751. Jctg*xdx. 1752. Jtg3xdx. 1753. f sin2 3jc sin3 2x dx. 1754. f ^ . J sin2 x cos2 x Указание. 1= sin2* + cos2*. 1755. f - . 1756. Г - . J sin2 X'cos x J sin x cos3 x 1757. f ——dx. 1758. f ——. J sin x J cos4 x 1759. [——. 1760. [ + dx. J l + ex J l + «** 1761. J sh2 jcdx. 1762. ^cWxdx. 1763. J sh jc sh 2x dx. 1764. I chxch3xdx. 1765.C - . J J sh* дс ch® x Применяя подходящие подстановки, найти следую¬ щие интегралы: 1766. JV 3/Г^7 dx. 1767. Jx3(l—5х2)10 dx. 1768. С —— dx. 1769. С —■- dx. ) л/2-* J V1 — *2 1770. J jc5 (2 — 5*02/3<ta- 1771. J cos0 д: ■ -^/sin jc tfjc. 1772. f sin*cos3* dx. 1773. [-^-dx. J 1 + COS2 X J cos“ X 1774. 1775. 1776. 1777. S S In xdx x V1 + In л: dx e*/2 + ex dx Vl + e* arctg VJ ^ dx У* 1 + x
180 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Применяя тригонометрические подстановки х = = a sin ty х = a tg /, х = a sin2/ и т. п., найти следую¬ щие интегралы (параметры положительны): 1784. С— ±х- . . J л/(х — а) {Ь — х) Указание. Применить подстановку х— а = (b — а) sin2 U 1785. J У(*—а){Ь— х) dx. Применяя гиперболические подстановки х = a sh х = a ch / и т. п., найти следующие интегралы (пара¬ метры положительны): 1786. jVa2 + *2 dx. 1787. Г ** dx. ) л/а2 + х- 1790. \-yJ(x-ra){x + b) dx. Указание. Положить х + а = (6—a) sh2/. Применяя метод интегрирования по частям, найти следующие интегралы: 1791. fln*djc. 1792. $xnlnxdx (пф—1). 1793. ^ ^х' 1794. J л[х \n2xdx. 1795. \xe~xdx. 1796. Jx2e~2*dx. 1797, f x3e~*3dx. 1798. Jjtcos xdx. 1780. j" д/1 —x2 dx.
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 181 1799. Jх2sin 2хdx. 1800. Jjeshxd;e. 1801. J’r’chexdx. 1802. Jarctg;cdx. 1803. f arcsin xdx. 1804. J x arctg x dx. 1805. § x2 arccos xdx. 1806. ^ _a_rcs_‘n dx. 1807* j* In (x -j- д/1 -f- x2) dx. 1808. j* x In -■ —x- dx. 1809. J arctg л/х dx. 1810. J sin x • ln (tg jc) dx. Найти интегралы: 1811. Jjr^’djc. 1812. J (arcsin xfdx. 1813. J x (arctg x)2 dx. 1814. С x2 ln -l~ x dx. J l + x 1815. Г *ln>_+Vl+_,*») ^ Vi + X* 1816. f dx. 1817. [ . J (1 + *2)2 J (a2+*a)J 1818. J л/а2—x2 dx. 1819. J л/х2 + a dx. 1820. Ix2л/а2+ x2 dx. 1821. Jjcsin2jcd*. 1822. 1823. Jxsinл/xdx. frpaT — dx. 0 + *2)3/2 arctg x J _ 1825. С—-—-—dx. 1826. f sin {\nx)dx. J (l + <2)'i/2 1827. J cos (In x)dx. 1828. J eax cos bxdx. 1829. J e?-x sin bxdx. 1830. j e2x sin2 xdx. 1831. J(e* —cos x)2 dx. 1832. [ -arcct^ ^ dx. 1833. Г -in-(sin x) dx. J e* J sin2* 1834. [ ——1835. f———dx. J cos2* ) (x-fl)a Нахождение следующих интегралов основано на приведе¬ нии квадратного трехчлена к каноническому виду и примене-
182 нии формул: ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ I. ь dx ,2 _)_ х2 dx — arctg — + С (аф 0). а а п. Г_* J а2 — 1 III IV С х d ) а2 ± In х2 2 а dx 1 — = ± — 2 2 а + х С (аф 0). а — х In | а2 ± х21 + С. arcsin ——(-С (а> 0). V VI Sax 'у/ Л2 — X2 • С ~Х ~ In | х -{- л/х2 ± а2 | + С (а > 0). J л/х2 ± а2 Г xdx = ± J V'а“ =t *2 VII. J V^a — х1 dx — <\Jа1 — х1 + 2 arcsip 1-С (а> 0). 2 а VIII. | 'у/х1 ± a1 dx = л/х2 ± а2 ± 2 ± In | а; + V*“ ± а2 | + С (а£> 0). Найти интегралы: 1836' f —ГТТ ^ °)- |837- [ -Г* j д + г?*2 J х2 — 1839. х+2 1838. ( — . 1839. { — . J Зх2 — 2х — 1 J х* — 2х2 — 1 1840. {—(*~+ 1} dx. 1841. Г — J х2+х+\ J — 2х cos а+ 1 Г x?dx J jc4 — л:- J 3 sin2 jc — 1842 1844. 1845. [ J sin х 1846. f 3 V- :2+2 1843. Sxb dx дс6 — л:3 — ! dx 8 sin * cos jc + 5 cos2 x dx + 2 cos x + 3 dx + bx3 ФФ o).
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ах 1340. у .2 ' 183 . С — dx 1848. Г i J '\J\—2x — xt J V* С- ^ J •у/2лг2 — x + 2 1850. Доказать, что если у = ах2 + bx 4- с (а Ф 0)’, 1847 1849 + х3 С dx ) л! У In I -У— + у/ау +Ja 1 2 dx л/У V —а arcsin — у 1851 1853 1853.1. 1854 1855, 1856 1857. 1858. 1859 у/ й2 — 4ас -ЬС при а>0 С при а<0. х+1 Г *d* 1852 Г J Vh* — *2 J 'V^JC'i + Ч- !■ Г х dx J V1 — З*2 - 2л;4 Г cos х dx J Vl + s'n x + COS2 X Г x* dx j л]x* — 2x2 — 1 dx. V l + *2 — *4 dx 56. Г— J X V X2 + X + 1 Г dx J x2 V*2 + x — 1 Г dx ) (x + 1) V>+ • 'Se- s dx 1) V*2 — 2 dx (х+2)*Уха+2х-5 1861. Jy2 + *—я2 dx. 1862. J ^2-\-х + х2 dx.
184 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1863. $л/х* + 2х*— 1 xdx. 1864. С —dx. ,865. f *2+1 - dx. J дед/1 + x — x* ) хл!x* + 1 § 2. Интегрирование рациональных функций Применяя метод неопределенных коэффициентов, найти следующие интегралы: 1866. \ dx. J (х-2)(х+5) xdx 1867. I' (■* 4* 1) (•* + 2) (дс + 3) 1868. Г ■ х-Щх . 1869. С —Л±1 dx. J х2 + х — 2 J X3— 5ха + 6* 1870. [ - dx. 1871. [ ^ . J дс4 + 5лс2 + 4 ) х3 — 3*4-2 1872. С dx. J (дс-Ь I)2 (дс—1) 1873. [( Yd*. JV ж2 — 3*+ 2 ) 1874. j dx 1875. (*4- D(*4-2)2 (дс 4- З)3 dx хь + х* — 2хл — 2х2 + х + 1 dx 1876. f_*+5* + 4. dx. 1877. С J г* 4-5*-= 4-4 J (*4- l) l) 1878. f — . J (x- — Ax 4- 4) (x- — 4x 4- 5) 1879. { — . J (*- 1)*(*4 + 2х+2) 1880. f — . J x (l 4- x) (1 4- *4- x2) 1881. f ———. 1882. [-xdx . J *34-1 ) x3-\ 1883. ^ ~JX ] . 1884. J dx x*+ 1 1885. f ^ . 1886. dx J x*+ x2+ \ 1887. f - J (1 + *) (14- (14- *3) *r,4-1 dx
§ 2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЯ 185 1888. [ — J дс5— я4 + *3 — ; 1889. • дс2 + х — 1 хЧх ^+3^ + — *2+3* + 1 2 1890. При каком условии интеграл С ax*+bx + c.dx J х*(х— I)2 представляет собой рациональную функцию? Применяя метод Остроградского, найти интегралы: Г ^ . 1892. Г- J (*-l)2(*+I)3 J 1891. | —... . 1892. I 1893. [ — . 1894. f- *idx J (*2 + О3 J 1895. J dx (x*+2x+2)* (x*+ I)2 x* + 3x — 2 1) (x*+x+ l)2 1897. " 1896. Г * dx. J (x- * “ Г dx_ J (*4- l)3 Выделить алгебраическую часть следующих интег¬ ралов: 1898. [ dx. 1899. \ ?х , J (х* + х*+ I)2 J (х?+х+ I)3 1900. —21^!—dx, ■ 1)2 С 4xs — 1 J (х*+х+\ 1901. Найти интеграл С dx J х*+ 2х3+3х*+2х + 1 1902. При каком условии интеграл Г ах2+20*+у J (ах2 + 2Ьх + с)2 представляет собой рациональную функцию?
186 ОТДЕЛ Ш. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Применяя различные приемы, найти следующие ин¬ тегралы: 1903. Г dx. 1904. f J (х — l)100 J *“-1 1905. Г - **-dx—. 1906. Г -ili-— dx. J x*+3 J x»+l 1907. f dx. 1908. f — . J JC (JC® + Злг* -t- 2) J (x10—10)a Г x"dx 19Ю. f ^ . J x8 + 3*4 + 2 J (xt0 + 2X5 + 2)a 1909. f* «2rt"l f* уЗЯ”1 1911. \ — dx. 1912. \— dx. J xn+l J (х*п+1)' 1913. f — . 1914. [ ——- J x (x10 -f- 2) J x(xl«+l)4 1 — x7 x (1 + x7) 1915. ^ 1 " . dx. /» v4 1 1916. = dx. J x (x4 — 5) (дс5 — Г 1918. f ! dx. J ' ' Х' — * A~ ЮОЛ f *4+l 1917. [ —dx. J x*-t-x2+ 1 X2 — 1 1 + x* + X2 T x + 1 1919. С -*1—~dx. 1920. -~r—dx. J X8+l J Xе+1 1921. Вывести рекуррентную формулу для вычис¬ ления интеграла !" = \-пггт-т-jr J (ах2 + Ьх + с)п Пользуясь этой формулой, вычислить I Г dx 8 J (ха+ х + I)3 Указание. Использовать тождество 4а (ах2 + Ьх + с) = (2ах + Ь)2 + (4ас—Ь2)Ф 1922. Применить подстановку t = — для вы- х + ь числения интеграла (x + a)m (х+бр (тип — натуральные числа).
5 3 ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИИ 187 Пользуясь этой подстановкой, найти Г dx если Рп (х) есть многочлен степени п относительно х. Указание. Применить формулу Тейлора. 1924. Пусть R (*) = R* (jc2), где R* — рациональная функция. Какими особенностями обладает разложение функции R (дс) на рациональные дроби? 1925. Вычислить С помощью приведения подынтегральных функций к рациональным функциям найти следующие интегралы: (х — 2)2 (х + З)3 1923. Вычислить где п — целое положительное число. § 3. Интегрирование некоторых иррациональных функций 1927. dx * О + 2 V* + V*) 1931. J v. V£±j.-_V*-1 dx_ V*+1 + V*— i dx 1932. [ - ) \ 3/(*+l)2 (*-D4
Ш ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ X dx Ш3- ^ У/-, . ■ - - (а>0). -/ хл (а — х) dx aj^ (х —b)n~^ Р dx 1934. \ ^ (п—натуральное чис- J V(x —« ло). 1935. ' dK h + У* +Vi + * / иг — 1 V Указание. Положить х = I I . \ 2 и ) 1936. Доказать, что интеграл | R [х, (х—а)р>п(х—byi") dx, где R — рациональная функция и р, q, п — целые числа, является элементарной функцией, если р + q = ktt, где k — целое число. Найти интегралы от простейших квадратичных ирра¬ циональностей: 1937. С — *" - -dx. J У1 + *+*г 1938. С . J (x+l)V^+7+T 1939. С dx . J (1 — дс)2 д/1 — хг 1940. J У*а+2*+2, dx 1941. X х dx \ (l + x) Vl-*-*2 J' 1942. \ 1 -X.T-X1—fa, Vl+X—■ Применяя формулу f _p_n 1*1 dx - Qn_x (jc) у + Я f —, J У J у где у — л/ax'1 -f bx +c, Pn (jc) — многочлен степени n,
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 189 Qn-i (х) — многочлен степени п—I и К — число, найти следующие интегралы: xludx 1943. $. С —- - - dx. 1944. С —^ J Vl + 2*--** J V1 + X* 1945. jVya2—*2 dx. 1946. [ lx.-.6. dx. ^ д/*'- + 4* + 3 f dx J Xя ^\JX2 + 1 J JC4 д/х2 — 1 1949. f —■ —. J (*- l)3 v*2 + 3* + 1 1947. I ~x - . 1948. Г dx 1950. 1 dx (x+ 1)» л/ хг-\- 2x 1951. При каком условии интеграл Г __ai**+bix+c1 dx j Vajf2+ bx-\-c представляет собой алгебраическую функцию? Р(х) Найти \ —— - dx, где и = -уах2 + bx+с, раз- J Q(x) у лагая рациональную функцию 1 на простейшие дроби.
190 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ dx (*2+ 1) У*2 — 1 \ (1_*4)УГь 1959. ' dx I960. \ jVil±2_dx. >•$ х*+ 1 Приводя квадратные трехчлены к каноническому виду, вычислить следующие интегралы: dx 1961. S x2dx (дс2 + X 1) У хг + X — 1 1962. [ J (4-: 1963. Г (x+\)dx ■ 2х + х2) У2 + 2х — х2 (хг+х + 1) У*2+ JC+ 1 1964. С помощью дробно-линейной подстановки х = а+ В/ ~вычислить интеграл 1 +t С dx ) (х2 — х + 1) У л;2 + х + 1 1965. Найти г dx J (хг + 2) У2х2 — 2х + 5 Применяя подстановки Эйлера 1) л/ахг-\-Ьх + с = ± -\/ах + г,если а>0; 2) л/ах2 + Ьх+с =лг±Ус, если с>0; 3) 'y/a(x—x1)(x—xi) =z(x—*0. иайти следующие интегралы: dx 1966. х+ У*2+ * + 1 5т 19(?7. ■ i + У1 —2х — х* 1968. JjcV*2—2*+ 2 dx.
§ 3. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ 191 1969. ( Jf— * + V*2 + 3-С + 2 1970. 1 djc St + л/х (1 + x) Г Применяя различные методы, найти следующие ин¬ тегралы: ак 1971. 'у/ х1 + 1 — д/х2 — 1 (—! J (1-^> 1972 1 xdx ■ Xs) л/\—хг 1973. 1 dx 5. [ ) V2 + Vi—х + Vi+- 1974. у *+Vl + «+*_to f_i± J l + x + t/1 + x+x‘ 1975. ^ (* + 1>. 1976 V* + V*+ 1 (x!—\)dx ■ dx. 1978. 1979. (хг— 1) V*4+ 1 dx * л/x* + 2x‘ — 1 (x2+ 1 )dx X -\]Xх + x‘ + 1 1980. Доказать, что нахождение интеграла § R(x, л/ах-\-Ь, -y/cx + d)dx, где R — рациональная функция, сводится к интегриро¬ ванию рациональной функции. Интеграл от дифференциального бинома )' хт (а ч- bxn)p dx, где т, п и р — рациональные числа, может быть приведен к ин¬ тегрированию рациональных функций лишь в следующих трех случаях (теорема Чебышева): Случай 1. Пусть р — целое. Полагаем х = } где N — общий знаменатель дробей т и я.
192 ОТДЕЛ 111. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ttl | I Случай 2, Пусть — целое* Полагаем а + Ьхп =э п — 2^, где N — знаменатель дроби р. Случай 3. Пусть -т^ +р — целое. Применяем под- я становку ах~п + Ъ = 2N, где N — знаменатель дроби ре Если ft = 1, то эти случаи эквивалентны следующим; 1) р — целое; 2) т — целое; 3) т + р — целое» Найти следующие интегралы: 1981. J у*3 + л:4 <1*:. v; 1984. ' **dX С j Vi—■**" 1989. *3 djc> 1990. В каких случаях интеграл |У1+*т dx, где /я — рациональное число, представляет собой эле¬ ментарную функцию? § 4. Интегрирование тригонометрических функций Интегралы вида J slnmx cos'* х dx, где тип — целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или применением формул понижения.
§ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 193 Найти интегралы: 1991. f cos5jc<1jc. 1992. 1993. |cos'*xdx. 1994. J sin2*cos4xdx:. 1995. J sin4 xcos5 xdx. 1996. Jsin5xcos5*d*. 1997. f——dx. 1998. С _S25liLdx. J cos4x J sin3* 1999. [ ——. 2000. f dx J si sin3 x J cos3 x dx 2001. Г — . 2002. Г- J sin4 x cos4 x J J Sir sin3x cos5x dx 2003. . sin x cos4 x 2004. ] tg5 x dx. 2005. J ctg* x dx. 2006. ^ sin4* dx. 2007. 2008. COS6 X dx j д/sin3 x cos5 x С p . 2009. f—. J COSJtVsin2jc J Vtg* 2010. f —-—. J 3/t?T 2011. Вывести формулы понижения для интегралов. а) ln = \ s\nn xdx\ б) Кп = J cos" х dx (п>2) и с помощью их вычислить j sin* xdx и | cos® xdx. 2012, Вывести формулы понижения для интегралов: = б)КЯ = С_£_ («>2) J sin" X J COSn X и с помощью их вычислить dx f-^-и Г J Sin5 х J COS7 X Следующие интегралы вычисляются с помощью применения формул: 1. sin a sin р = [cos (ос — Р) — cos (а + Р)]. Т Б. П. Демидович
194 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ II. cos a cos р = -j- [cos (а — р) — cos (о + Р)]. III. sin а cos р = —[sin (а — Р) -f- sin (а + р)]. Найти интегралы: 2013. J sin5xcos xdx. 2014. J cos xcos 2xcos 3xdx. 2015. fsinjcsin — sin— dx. J 2 3 2016. JsinJcsin(jc + a)sin(A: + 6)(ix. 2017. J cos2 ax cos2 bx dx. 2018. |sin32x-cos2 Zxdx. Следующие интегралы вычисляются путем применения тож« иеств: sin (о — Р) = sin [(* + a) — (дс + Р)] и cos (a — Р) = cos [(jc + a) — (jc + p)l. Найти интегралы: dx 2019 •i sin (x + a) sin (x + b) 2020. J dx sin (x + a) cos (x + b) dx dx cos x + cos a 2021. \ J cos (x + a) cos (дс + b) 2022. Г - . 2023. J sin x — sin a 2024. J tg x tg (x + a) dx. Интегралы вида j R (sin x, cos x) dxt где R — рациональная функция, в общем случае приводятся к интегрированию рациональных функций с помощью подста* новки tg = t. а) Если выполнено равенство R (— sin xt cos jc) = — R (sin x, cos x) или R (sin xt — cos x) = — R (sin x, cos x), то выгодно применять подстановку cos дс = t или соответственно sin х — t. б) Если выполнено равенство R (— sin х, — cos х) R (sin х, cos х)9 то полезно применять подстановку tg х = t,
$ 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 195 Найти интегралы: 2025. j- dx 2 sin jc — cos jc + 5 2026. J dx (2 + cos дс) sin jc dx 2027. f dx. 2028. f- J sin д:+2 cos x J 1 + e cos jc a) 0<e< 1; 6) e>l. Г sufx—2030< f J 1 + sin2 x J cos2 x dx 2029. 2031. a* sin2 x + cos® x S' (a2 sin2 x + b* cos2 jc)a 2032. ,sin-*cos* dx. 2033. 2034. 2035. sin *+ cos * dx (a sin jc + b cos jc)2 sin x dx • — ■" ‘ ■ 1 - • sin3 x + cos3 jc dx sin1 jc + cos4 x sin2 jc cos2 x sin8 jc -f cose x 2036. jj—n-*Cos2x dx. 2037. f ■ dx. 2038. f JHLIS2UL dx. J sin4 x + cos4 jc J 1 + sin4 x 2039. f — . 2040. Г — . J sin6 x + cos6 jc J (sin2 jc + 2 cos2 jc)2 Sdx , приведя a sin x+ b cos jc знаменатель к логарифмическому виду. 2042. Доказать, что SfljSinJC+fci COSJC , Л.П11 • It « . ^ — = dx = Ax + В In | a sin x + b cos x | + C, a sin jc + b cos jc где Л, В, С — постоянные. Указание. Положить Cjsin jc + bjcos x — A (a sin x + b cos x) + В (a cos b sin x), где А и В — постоянные. Найти интегралы: 2043. [ —si—5.rr,CQS dx. 2043.1. [ ^ dx. J sin jc+ 2 cos x J sinjc — 3 cos д:
196 2044 •s ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ dx план f Ot sin x + bi cos x 2045. f a, si J (aisii sin x + b cos jc)2 dx. 3 + 5 tg * 2046. Доказать, что SOi sin x-\- bx cos x + CX , д , ni » • , — 1—1 !——dx = Ax + B ln|asmjc + a sin x + b cos x + с + bcoSX + c| + C f : j , J a sin x + b cos x + с где A, В, С — некоторые постоянные коэффициенты. Найти интегралы: 2 cos х — з 2047 2048 Ssin х + sin х — 2 cos х + j sin x •dx. dx. + sin x + cos x 2 sin x + cos x dx. 2049. . 3 sin x + 4 cos x — 2 2050. Доказать, что <2i sin5 x + 26| sin x cos x + C\ cos2 x a sin x + b cos x dx = A sin *4- + В cos x 4- С ( J a sir dx i sin дс+ b cos x где А, В, С — постоянные коэффициенты. Найти интегралы: 2051. J — 2052. J I2 х — 4 sin х cos х + 3 cos2 x sin x -f- cos x sin3 x — sin x cos x + 2 cos2 x dx. dx. sin jc + 2 cos x 2053. Доказать, что если (a—с)2 + Ъ2Ф 0, то ах sin jc+ b\ cos х a sin2 х + 26 sin х cos jc + с cos2 х = А dx — Г dui g С du2 j Vi + Xi j kA+ 2 + ^2 где А, В — неопределенные коэффициенты, Alf Aa— корни уравнения a — X b b с — X щ = (а—A/) sin x + bcosx и = = 0 (Ai Ф A2), 1 a — (I = 1. 2).
* 4. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 197 Найти интегралы: 2054 Г _2»lnx-co»*i.<tet J 3sin2 х + 4 cos2 * 2055 f (sin x + cos дс) dx \ 2 sin2 x — 4 sin x cos x + 5 cos2 x 2056. Г ЯП «-.2 cos J 1 + 4 sin x cos x 2057. Доказать, что dx (a sin x + b cos x)n A sin дс+ В cos x , n (* dx (a sin дс+ ft cos дс)”-1 J (a sin x + ft cos x)n где А, В, С — неопределенные коэффициенты. 2058. Найти Г dx J (sin 2 cos x)* 2059. Доказать, что dx Asmx . (a + b cos x)n (a + b cos x)n~l + b[- dx +C f y dx - (|a 1 # 1ЬI), J (a + b cos x)n~x J (a + b cos x)n 2 и определить коэффициенты Л, В и С, если п — нату¬ ральное число, большее единицы. Найти интегралы: sin х dx 2060. J cos X Vi + sin2 x 2061. f sin** dx. J cos2 x-yjigx 2062. 2063. sin xdx J ^2 + sin 2jc f . dX ,, (0<e<l). J (1 + e cos x)* cos'1-1 _£±£_ 2064, 2 cfje. sin"+i ——-
198 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ х+ а COS ! о Указание. Положить t = = sin X — CL 2065. Вывести формулу понижения для интеграла /„ = / . \я sin х + а sin V 2 dx J (п — натуральное число). § 5. Интегрирование различных трансцендентных функций 2066. Доказать, что если Р (*) — многочлен сте¬ пени пу то J Р (jc) e?xdx = Р(х) Р' <*) 2067. Доказать, что если Р (дс) — многочлен сте¬ пени п, то J Р (x)cos axdx= ^ sin ах Гр Р" (JC) a L аа PIV (х) Р1" (л) , РV (х) J Р (х) sin ах dx = COSO^r^ a L аа а4 РIV (jc) Р’" (х) . ру (х) a2 а* .]+ ... j|+ о .. J_|- .. ,^J+с. Найти интегралы: 2068. jx3e3xdx. 2069. $ (х*—2х + 2) е~х dx. 2070. J х5 sin 5* dx. 2071. J (1+x2)3 cos x dx.
$ В ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ ФУНКЦИИ 1S3 2072. j'x>e~x'dx. 2073. j xie/x dx. 2074. J e?x cos4 bx dx. 2075. J sin3 bx dx. 2076. J xe* sin x dx. 2077. J хгех cos x dx. 2078. j xe* sin2 xd*. 2079* J (x—sin x)3dx. 2080 . j cos2^/* dx. 2081. Доказать, что если R — рациональная функция и числа аи а2, . . . , а„ соизмеримы, то интеграл 0“,Х Jh.x 0а. есть элементарная функция. Найти следующие интегралы: 2082. 2084. 2085. [ — 2083. f ———dx. J 0 + **)2 J 1 + ** ы \- dx :+ех-2 dx + ^/2 + ех/3+ех/6 2087. С—^ J (1+<"•)’ J V**—I *■» j V-Stt*- 2089. + —1 dx. 2090. f dx J Vl + ^ + V1—e* 2091. Доказать, что интеграл J R (x) eax dx, где R — рациональная функция, знаменатель которой имеет лишь действительные корни, выражается через элементарные функции и трансцендентную функцию j-^-dx = \\{eax) + C, где In X
200 ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2092. В каком случае интеграл И где Р (—Wa<H——+...+-^7- wa0,alf • • • ,а„— \ X J X хп постоянны, представляет собой элементарную функцию? Найти интегралы: 2093. j*(l — e*dx. 2094. j’^1 — -j j e~*dx. 2095. Г — dx. 2096. f- J *2-3*+2 J xe , ■dx. (*H- l)2 —— dx. (x — 2)2 Найти интегралы, содержащие функции In f (x), arctg / (x), arcsin / (x), arccos / (x), где f (x) — алгебраи¬ ческая функция: 2098. j\nnxdx (л—натуральное число). 2099. J х3 In® х dx. 2100. j J dx. 2101. f In [(x + a)*+* (x + by+*\ • - . ■ f-■-■■■■-. J {x + a) (x + b) 2102. Jin2(x + ^/l+x2)dx. 2103. Jln(-\/l—x + Vl +x)dx. 2104. j* ^ _|_П *^3/а dx. 2105. J x arctg (x +1) dx. 2106. J л[х arctg -y/x dx. 2107. jjc arcsin (1—x)dx. 2108. J arcsin л/х dx. 2109. J x arccos — dx. 2110. ( arcsin .2^x dx. J l + * 2111. f- arccos* dx. 2112. Г * arccos-x-dx. J (1_ *2)3/2 J (1 _ X2)3/3 2113. Jx arctgjcln (1 + **) dx. 2114. f*ln-±±JLdx. 2115. [ JllMVI+Zkf-, J 1 — X J (1+*2)3/2
§ 6 ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ <ЬУНК1Ш* 201 Найти интегралы, содержащие гиперболические функ¬ ции: 2116. Jsh2jcch2xdx. 2117, Jch4jtdx. 2118. Hsh3xdx. 2119. f sh;tsh2jtsh3jedx. 2120. Jthjcd*. 2121. Jcth * xdx. 2122. $ л/thx dx. 2123. j- dx 2123.1. sh x + 2 ch x dx sh2 x — 4 sh * ch x + 9 ch2 x ch xdx 2123.2. f — . 2123.3. f- J 0,1 + chx J 3shx —4chx 2124. Jshaxsin bxdx. 2125. J sh ax cos bx dx. § 6. Разные примеры на интегрирование функций Найти интегралы: 2126. f — . 2127. Г - —. J Xе (1 + X2) J (1 — X2)3 2128. Г - . 2129. С ! J 1 + х^+хв J v__ 2)3 dx + V* 2130. ( хг д/—— dx. 2Ш* ( г J V 1-х J хгл/\-х* 2ш- dx. x^J х v-5 у С - Х^Х -. 2134. Г £ . J V1 + *а J Vx4i-x) . [ -dx ■ 2136. [ dx ) хл/\ + хл+ха )хл/х* — Чхг— 1 2137. С ■ 1 +-У-1 ~ f!_ dx. J 1 — V1 — JC2 2138. f - (1 + *)<*х 2139> Г ln0+ *+*») ^ J 1+V^Mr J (1 + x)a 2140. J (2jc + 3) arccos (2x—3) dx. 2141. J x In (4 + x4) dx. 2135
202 2142. 2143. 2144. 2145. 2146. 2148. 2149. 2150. 2151. 2152. 2154. 2155. 2157. 2158. 2159. 2161. 2163. 2164. 2166. 2169. 2170. ОТДЕЛ III. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ arcsin х 1 + хг -dx. xln(l+ Vl + Xa) Vl + X* + 1 \пл/хг — \ dx. X , X In- —j dx (2 + sin х)г dx -\/1 — X 2,47. j- dx. sin 4x sin8 x + cos8 x ■dx. sin x Vn- cos X ax2 + b x2 + 1 ax2 -f b arctg x dx. l x\nx In x — 1 \dx. dx. (1 + x2)2 m*ZJLdx. 2153 x3 arccos x Л sin 2x V1 + cos4 x ■dx. dx. л/\ — x2 ** ar<:le£- dx. 2156. [ *arcctg-*-dx. l + *2 J x In (x + V1 + X2 ) (1 + (1— dx. д/1—хг arcsin j;djc. jc (1 + xa) arcctgxd*. 2160. Ja:*(1 +ln x)dx. aTCsinf-dx. 2162. [■ ^..dx. ex J exil (\ + ex) dx (e*+1 + l)^-(e*-i + 1)2 Vth2jt+1 dx. 2165. j -J 1 + sin x • ex dx. + cos X \x\dx. 2167. $x\x\dx. 2168. j(x + [*\)*dx. {| 1 -Ьл:1 —11— x\}dx. e~^dx. 2171. Jmax(l, &)dx.
5 в ПРИМЕРЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЯ 203 2172. | ф (дс) dx, где <р (х) — расстояние числа х до ближайшего целого числа. 2173, { [х] | sin зхд; 1 й?лг (.х > 0). 1 —хг при |х|< 1; 2174. J/МЛ, где /(*) = , ,_м при 1х|>1_ 2175. \f{x)dx, где /(*) = 1, если —oo<x<0; jc+1, если 2х, если 1<*< + оо. 2176. Найти J xf" (jc) dx. 2177. Найти J /' (2х) dx. 2178. Найти f (х), если f' (х2) = — (х>0). 2179. Найти / (х), если /' (sin* jt) = cos2 х. 2180. Найти f (jc), если 1 при 0<* < 1; ^jc при 1<jc<+ оо и f (0) = 0. 2180.1. Пусть / (х) — монотонная непрерывная функ¬ ция и /“* (л;) — ее обратная функция. Доказать, что если lf(x)dx = F (jc) + С, ТО | Г1 (х) dx = xf-1 (х) — F if-1 (j:)) + С. Рассмотреть примеры: a) f (х) = хп (п > 0); б) / (х) = ех; в) f (х) = arcsin х; г) f (я) = Arth х.
ОТДЕЛ IV ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ § 1. Определенный интеграл как предел суммы 1°. Интеграл в смысле Римана, Если функ¬ ция t (х) определена на [а, Ь] н а = х0 < xt < х2 < . . . <хп = о Ь, то интегралом функции f (jc) на сегменте [а, Ь] называется число Ь п—1 U(x)dx= lim УНЪдЬхь 0) а тах|Д*. |-*0 ^ ГДе Xt < h < Xi+t И &Xi = Для существования предела (1) необходимо и достаточно, чтобы нижняя интегральная сумма rr—I £= £ т^н i=0 и верхняя интегральная сумма _ п—1 S= 2 Af, t=0 где mi = inf и sup f (x), имели общин предел при max | &xL | 0. Функции I (jc), для которых предел в правой части равенства О) существует, называются интегрируемыми (собственно) на соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная функция; б) ограниченная функция, имеющая конечное число точек разрыва; в) ограниченная монотонная функция,— инте¬ грируемы па любом конечном сегменте. Если функция I (х) не ограничена на сегменте [а, Ь], то она собственно неинтегрируема на [а, Ь]. 2°. Условие интегрируемости. Необходи¬ мым и достаточным условием интегрируемости на данном сег¬ менте [а, Ъ ] функции t (х) является выполнение равенства п— I
§ 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 205 где со,-= —mi — колебание функции f (jc) на сегменте U«. *f+il. 2181. Найти интегральную сумму Sn для функции f (х) = I + х на сегменте [— 1, 4], разбивая его на п равных проме¬ жутков и выбирая значения аргумента ^ (i — 0, 1, . . . . . . , п—1) в серединах этих промежутков. 2182. Для данных функций / (д:) найти нижнюю Sn и верхнюю Sn интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на п равных частей, если а) / (дс) = х3 [— 2 < х < 3J; б)f(x) = *J7 [0<*<1]; в) f (*) = 2х [0 < х < 10]. 2183* Найти нижнюю интегральную сумму для функции f (х) = х4 на сегменте [1, 2], разбивая этот сегмент на п частей, длины которых образуют геомет¬ рическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при п -*■ оо? 2184. Исходя из определения интеграла, найти т I (t'o +gt)dt, о где и0 и g — постоянны. Вычислить определенные интегралы, рассматривая их как пределы соответствующих интегральных сумм и производя разбиение промежутка интеграции надлежа¬ щим образом: 2 1 я/2 2185. J x*dx. 2186. faxdx (а>0). 2187. j sinxdx. -10 о * ь 2188. Jo**#. 2189. ^ (0 <a<b). a Указание. Положить (i — 0,1 n). b 2190. jxmdx (0<a<b; тф — I). Q Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их абсциссы xi образовывали геометрическую прогрессию.
206 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Ь 2191. j-y- (0<а<Ь). а 2192. Вычислить интеграл Пуассона Я | In (1—2а cos х + а4) dx при: а) |а| < 1} б) |а| > 1. Указание. Воспользоваться разложением многочлена а2п—1 на квадратичные множители. 2193. Пусть функции / (х) и ф (я) непрерывны на 1а, 6]. Доказать, что /х-1 ъ lim £ / (&) ф (0i) Axi = {/ (дс) <р(дс) dx, шах |Д►О i=Q а где xi < h < Х(+и х, < 0( < *,+1 (/ = 0, 1, . . . ,n— 1) и Axt = дс,+1 —дс,- (дс0 = а, хп = й). 2193.1. Пусть / (л;) ограничена и монотонна на [0, 1 ]. Доказать, что 0 4=1 2193.2. Пусть функция f (дс) ограничена и выпукла сверху (см. 1312) на сегменте 1а, Ь]. Доказать, что ф-а) Ж + т < lj(x)dx^ ф-a) f • 2193.3. Пусть / (jc) £ C(J) [1, + оо) и / (дс) > 0, /' (jc) > 0, f” (дс) < 0 при дс £ 11, + оо). Доказать, что if(k) = -±-f(n) + ]f(x)dx+0(l) k=\ 2 i при ft -v оо. 2193.4. Пусть / (л;) £ С(1) 1а, Ь] и An = ^f(x)dx— Ь~а а fe=l
5 1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ КАК ПРЕДЕЛ СУММЫ 207 Найти lim пАп. «-►оо 2194. Показать, что разрывная функция / (х) = sgn (sin интегрируема на промежутке [0, 11. 2195. Показать, что функция Римана (0, если х иррационально; J 0, если х иррацшм ф (*) — | если х _ т1П' где т и п (п > 1) — взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке. 2196. Показать, что функция f (х) = -^—[~^"]’ 601,111 и / (0) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1 ]. 2197. Доказать, что функция Дирихле |0, если х иррационально; %(х)— | j, если х рационально, не интегрируема на любом промежутке. 2198. Пусть функция / (х) интегрируема на [а, Ь ] и /„ (дс) = sup/(а:) при xi < jc<jci+1, где Xi = a + — (b—a) (i = 0, 1,. . . , я; я=1, 2,. . .), П Ь Ь Доказать, что lim J7„ (х) dx = |/ (х) dx. п—кх а а 2199. Доказать, что если функция / (х) интегрируема на [а, Ь ], то существует последовательность непрерыв¬ ных функций ф„ (х) (п — 1, 2, . . .) такая, что С С J f (х) dx — lim | q>„ (х) dx при а < с <; Ь. а л-юо а 2200. Доказать, что если ограниченная функция / (х) интегрируема на сегменте [a, b), то абсолютная величина ее |/ (х)| также интегрируема на la, b ], при¬ чем ь j'f(x)dx ь
/М = { -t 208 ОТДЕЛ IV ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2201. Пусть функция / (х) абсолютно интегрируема ь на сегменте [а, b ], т. е. интеграл J \f (x)\dx сущест- а вует. Является ли эта функция интегрируемой на la, b 1? Рассмотреть пример: 1, если х рационально; , если хиррационально. 2202. Пусть функция f (х) интегрируема на la, b ] и А < / (дс) < В при а < х < Ь, а функция ф (*) опре¬ делена и непрерывна на сегменте [А, В]. Доказать, что функция ф (/ (дс)) интегрируема на [а, Ь]. 2203. Если функции / (дс) и ф (л;) интегрируемы, то обязательно ли функция f (ф (дс)) также интегрируема? Рассмотреть пример: f 0, если х — 0\ fix) — | ^ если хфО, и ф (дс) — функция Римана (см. задачу 2195). 2204. Пусть функция f (х) интегрируема на сегменте 1А, В]. Доказать, что / (дс) обладает свойством интег- ь ральной непрерывности, т. е. limj\f (x + h)—f(x)]dx = 0, h.—►О a где [a, bi с. [A, B\. 2205. Пусть функция f (дс) интегрируема на сегменте ь la, Ь ]. Доказать, что равенство { /2 (дс) dx = 0 имеет а место тогда и только тогда, когда / (*) = 0 во всех точ¬ ках непрерывности функции / (л:), принадлежащих сег¬ менту [а, Ь). § 2. Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных 1°. Формула Ньютона-Лейбница. Если функция / (х) определена и непрерывна на сегменте [а, 6] и F (х) — ее первообразнаяр т, е. F' (х) = I (х), то ь ъ §f(x)dx*=F (Ь) —F(a) — F(x)\ . а а b Определенный интеграл J I (*) dx при / (*) > 0 геомет- а рически представляет собой площадь S криволинейной трапе¬
$ 2 ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 209 ции, ограниченной кривой у = / (х), осью Ох и двумя перпен¬ дикулярами к оси Ох: х = а и х = 6 (рис. 9). 2°. Формула интегрирования по частям. Если I (х), g (х) £ СС1) [а, Ь], то 3°. Замена переменной. Если: 1) функция / (дс) непрерывна на сегменте [я, Ь]\ 2) функция ф (0 непрерывна вместе со своей производной ф' (*) на сегменте [а, 0], где а = = ф (а), b = ф (р); 3) сложная функция JF (ф (/)) определена и непрерывна на [а, 0], то Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти сле¬ дующие определенные интегралы и нарисовать соот¬ ветствующие криволинейные площади: Рис. 9 ь ь ь I (*) е' (*) dx = f(x) g (х) | _ j g (x) J' (x) dx. af a a b |i I / (x) dx = J f (<p (/)) Ф' (0 dt. a a 8 3 — я 2206. J y^x dx. 2207. fsinjedx. -i о V3 1/2 1/V3 sh 2 sh 2 l/Vr —i/2 sh 1 1
210 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2л 2213. б 1 Z7I Г ——— (о<е<1). J l + ecosx v ' 2214. f dx J V(1 — 2ax + aP) (1 — 2bx + b2) (|a|<l. Ш<1, ab>0). Я/2 2215. [ , d\‘ . ■ (аЬф0). j a2 sin2 x + b2cos2 x 0 2216. Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если: 1 2л 1 «J-г- *$-£-(«* т)* -1 0 -1 2217. Найти j -I 100 Я 2218. Найти J У1 —cos 2* dje. С помощью определенных интегралов найти пределы следующих сумм: 2219. lim (-L + -Y+ • • • + JL=rLV rt—>оо Л2 П2 пг ) 2220. lim Г—!— + —-——V я-*-» \ л + 1 л+2 я + л / 2221. lim ( — + - + . . . +—2 V „-«oW+l2 л*+22 п*+п2) 2222. lim — (sin —-f sin-^-+. . . -f sin-~ П-+Со n \ n n n J 2223. lim 1-P-+2P+-,-,.i + n_ (p>0). 2224. lim J-fA/l + -L + A/l + ^- + . .. a->oo П \ V Я V Я ... +У>+-^).
5 г ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 211 Найти 2225. lim 2226. lim П->оо fl fl—►ОО Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти пределы следующих сумм: 2227. lim |Y 1 + -L'jsin — + (l + —Uin — + ... П-+3о L\ л / Я2 \ п ) rt2 •••+(' п 2228. lim sin — . V"* • 1 П-+ЭО ft J Л . kn 2+ cos k=\ n £ У(пл:+*)(„* + * + 1) 2229. lim — (*>0). n-+ oo ft2 / ol/л п2/д 0n/rt 2230. lim / — —- + . . . ■ 2 n+l . 1 1 ,i т "+v 2231. Найти: . b ь ь —— { sin x2dx, { sin x2dx, f sin x2dx. dx a da a db a 2232. Найти: в) "S-fvr+Fltti 6)-ff-— j j Vi + <4 0 xa COS X a в) j cos (nt2) dt. dx sin x 2233. Найти: X X f cos хЧх J (arctg x)2 dx a) lim ; 6) lim 0 , —; *-►0 X x-H-oo V*2+l
212 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ .4 G e**dx) в) lim Vo ' ДС->+оо * f dx 2233.1. Пусть / (х) ^ С [0, + оо 1 и / (*) -* А при х —*■ ~Ь оо. Найти lim $f(nx)dx. П-+оо О * 1 2234. Доказать, что [ ex’dx ~—ех1 при х->оо. о 2х sin х J VtgT dx 2235. Найти lim — . *^+о 1 \s\nx dx о 2236. Пусть / (jc) — непрерывная положительная ] tf(t)dt функция. Доказать, что функция <р(л;) = —- воз- \t(t)dt J растает при х > 0. 2237. Найти: 2Г [х2 при 0<Jt<l, a) J/Wii, сст,1М~\2_х пр„ 1<х<г. б) j f (*) dx, если /(*) = 2238. Вычислить и построить графики интегралов / = / (а), рассматривая их как функции параметра а, если:
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 213 л ч , | sin xdx в) / = 1=[— 1 ■ 2а cos х + а2 о Применяя формулу интегрирования по частям, найти следующие определенные интегралы: 1п 2 л 2239. { xe~xdx. 2240. Jx sin xdx. о о 2л е 2241. Г х2 cos xdx. 2242. f |lnx|dx. 0 1/e f 2243. J arccos x dx. 2244. f x arctg xdx. Применяя подходящую замену переменной, найти следующие определенные интегралы: 1 « 2245. С —xdx 2246. J х2 Уа2— ха dx. J Vs — 4дс 0 °.75 In 2 2249. [ dx. 2250. Вычислить интеграл J 1 t^ 4~ dx, полагая x — = t. x 2251. Объяснить, почему формальная замена х = = ф (0 приводит к неверным результатам, если: 1 1 a) J dx, где * = х2/3; б) \ - -. где * = —; — 1 J 1
3 у к о I 214 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3 2252. Можно ли в интеграле fxyfl — x2 dx поло¬ жить х = sin t? 2253* Можно ли в интеграле J д/l —х2 dx при за¬ мене переменной х = sin t в качестве новых пределов взять числа я и —? 2 2254. Доказать, что если / (х) непрерывна на Iа, b]f то ь 1 $f{x)dx = (Ь—а) |/ (а + (Ь—а) дс) Же. а О 2255. Доказать равенство J г5/ (ха) = xf (х) dx (а>0). о 2 о 2256. Пусть / (лг) — непрерывная функция на сег- менте [Л, 5] id [а, Ь\. Найти J/(х + у)dy при dx а \а—х, b—*] с 1А, В]. 2257. Доказать, что если / (дс) непрерывна на [0, 1 ], то я/2 я/2 а) J /(sin x)dx= | / (cos x) dx', о о Я Л б) \xf(s\nx)dx = — §f(s\nx)dx о 2 0 2258- Доказать, что для непрерывной на [— /, /1 i i функции / (х) имеем: 1) J f(x)dx = 2{ f(x)dx, если —I о / функция / (л:) четная, и 2) { f(x)dx= 0, если функция / (л:) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов. 2259. Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а всякая первообраз¬ ная нечетной функции есть функция четная. 2260. Вычислить интеграл 2 ^ + *—j-^e*+(,wdx, 1/2
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 215 введя новую переменную / = х -f- — • х 2 Я 2261. В интеграле | f(x)cosxdx выполнить замену переменного sin х — t. 2262. Вычислить интеграл I |[c“(inT)]h — 2я п е где п — натуральное число. я 2263. Найти Г *sin dx. J 1 + cos2 X о 3 2264. Найти интеграл Г ——dx, если F J. 1 + Р(х) /(*)=»■ 3, х3 (х — 2) 2265. Доказать, что если f (х) — непрерывная пе¬ риодическая функция, определенная при — оо < х < < + оо и имеющая период Т, то а+Т Т J f{x)dx = $f (х)dx, где а — любое число. 2266. Доказать, что при п нечетном функции X X F(x) = §sinnxdx и G(x) = J cos'* xdx о о периодические с периодом 2я; а при п четном каждая из этих функций есть сумма линейной функции и пе¬ риодической функции. х 2267. Доказать, что функция F (х) = $ f (jc) dx, х„ где f (*) — непрерывная периодическая функция с пе¬ риодом Т, в общем случае, есть сумма линейной функ¬ ции и периодической функции периода Т. —1 (*+1)М*-1)
216 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Вычислить интегралы: I 2268. ^x(2—x2)lidx. 2269. Г — . J х* + х+ 1 9 з. 2270. j(x \nx)*dx. 2271. fx/l— xdx. -i i 2272. [ . 2273. IV5У1+3Xй dx. —2 3 2274. ^ arcsin Vt 3 2л f 0 2n I 0 2Л 2275. C dx (2 + cos x) (3 + cos x) 0 2n 2276 C dx sin4 x + cos4 x 0 я/2 Я 2277, | sin jesin2jcsin3jtd*. 2278. f(jcsinac)arfjc. о о я In 2 2279. J e* cos2 х d*. 2280. | sh4jcdjc. С помощью формул понижения вычислить интегралы, зависящие от параметра п, принимающего целые по¬ ложительные значения: Я/2 Я/2 2281. /„= J sin"xdx. 2282. /„= j cosnxdx. 0 0 Я/4 1 2283. /„= j tg2n*djc. 2284. ln=U\—x2fdx. 0 0
§ 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 217 Я/4 2287. /л= Г ( sinx~.cosxYn+'dx. J V sin х + cos х J о Если f (дс) = fx (дс) + if2 (х) есть комплексная функция от действительной переменной х, где (дс) = Re f, (дс), f а (*) = = Im t (дс) и = — 1, то по определению полагают: I !(*) dx = J (x) dx + i J f2 (x) dx. Очевидно, что Re J H*) dx = J Re / (x) dx И Im j / (дс) dx = J Im f, (дс) d*. 2288. Пользуясь формулой Эйлера eix = cos x + i sin x, показать, что 2? ( 0, если тфп, I glnxg-imx dx={ 0 12л, если m—n (пит — целые). 2289. Показать, что ь Г eb{a НР) в(а+1'Р) 1 е(а +id)xdx= — — J a + Ф (аир — постоянные). Пользуясь формулами Эйлера: cos х = (eix + e~ix), sin x= (eix — erlx), вычислить интегралы (тип — целые положительные числа): Я/2 2290. j sin2m jc cos2rt л: о 2291. f dx. 2292. f JSZ&+.')*- dx. J sin дс J cos дс о 0 n n 2293. J cos" xcos nx dx. 2294. j sin" x sin /u dx.
218 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Найти интегралы (п—натуральное число): Я 2295. $ sin"-1 х cos (п + 1) х dx. о Я 2296. $cosn—1 jc sin (n+ 1) xdx. о 2 л 2297. $ er0* cos2rt x dx. о л/2 2298. $ In cos x • cos 2nx dx. о 2299. Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл Эйлера: В (т, п) = 1 ^ (1—x)n~ldx9 где т и п—целые положитель- о ные числа. 2300. Многочлен Лежандра Рп(х) определяется фор- той: Рп(х) = — Доказать, что —I 0, если тфп, 2 ■, если т = п, 2п+1 2301. Пусть функция f(x) собственно интегрируема на [а, Ь\ и F (jc) — функция такая, что F' (*) = f (х) всюду в [а, Ь], за исключением, быть может, конечного числа внутренних точек (i=l, . . . , р) и точек а и Ь, где функция F (х) терпит разрыв 1-го рода («обоб¬ щенная первообразная»). Доказать, что $ f (х) dx=F(b-0)-F(a+0)-t IF (c, + 0) -F (ct -0)] • a i =1 2302. Пусть функция f(x) собственно интегрируема на сегменте [а, Ь\ и F{x) = C + lf(& dl а —ее неопределенный интеграл. Доказать, что функция F(x) непрерывна и во всех точках непрерывности функции / (jc) имеет место
§ 3. ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ 219 равенство F'(x) = f{х). Что можно сказать о производной функции F (*)’ в точках разрыва функции / (я)? Рассмотреть примеры: а) 1 (п = ±1, ±2, . . . ) и /(jc) = 0 при хф —; п б) f (х) = sgn X. Найти неопределенные интегралы от ограниченных разрывных функций: 2303. J sgn х dx. 2304. J sgn (sin jc) dx. 2305. J [x] dx (jc>0). 2306. J x [jc] dx (x>0). 2307. J(_l)Wdx. r» . (1* если I jc|C/, 2308. где /W_{a ^ |xl>|_ Вычислить определенные интегралы от ограничен* ных разрывных функций: 3 2 2309. Г sgn (jc—jc3) dJt. 2310. f [e*]dx. о о 6 Я 2311. J [x] sin nx/6dx. 2312. J xsgn (cos jc)dx. о о nfl 2313. J ln [jc]djc, где a—натуральное число. ‘•Г 1 2314. f sgn [sin(lnjc)]djc. 0 2315. Найти J I cos jc ] д/sin jc dx, где E — множество E тех значений сегмента [0, 4л], для которых подынтег¬ ральное выражение имеет смысл. § 3. Теоремы о среднем 1°. С р е д н е е значение функции. Число М [/] = —J x)dx о —а а
220 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ называется средним значением функции f (jc) на промежутке Iа, Н Если функция f (jc) непрерывна на [a, b\t то найдется точка £ 6 W такая, что (с). 2°. Первая теорема о среднем. Если: 1) функ¬ ции 1(х) и ф (jc) ограничены и соответственно интегрируемы на сегменте [а, £> ]; 2) функция ф (х) не меняет знака при а < х < £>, то ъ ь J if (*) Ф (*) dx = ц J Ф (г) dx, а а где и т= inf f (jc), М = sup f(*);3) если, сверх того, функция I (л;) непрерывна на сегменте [a, 6], то |л = I (с), где а ^ с < 6. 3°. Вторая теорема о среднем. Если: 1) функ¬ ции j (х) и ф (jc) ограничены и собственно интегрируемы на сег¬ менте [а, Ь1; 2) функция ф (х) монотонна при а < х < 6, то Ь g * J f (*) Ф (*) <2* = Ф (а + 0) I / (х) dx + Ф (Ь — 0) j- / (х) dx, a a g где а ^ ? <; Ъ\ 3) если, сверх того, функция ф (jc) монотонно убывающая (в широком смысле!) и неотрицательная, то J f (ж) Ф (*) dx — ф (а + 0) J Kx) dx (а < 6 < 6); а а 3') если же функция ф (jc) монотонно возрастающая (в ши¬ роком смысле) и неотрицательная, то ь ь J / (х) ф (х) dx = Ф (Ь — 0) | / (х) dx . 2316. Определить знаки следующих определенных интегралов: 2л 2я a) [xsmxdx; б) Г —n *- dx\ о J х о 2 1 в) J xz2xdx\ г) J x2\nxdx. —2 1/2 2317. Какой интеграл больше: Я/2 п/2 а) | sin10 xdx или f sinaxdA:? о о ■ 1 б) или J е-^ dx*
§ 3. ТЕОРЕМЫ о СРЕДНЕМ 221 П 2Л в) f е~х' cos2 xdx или J е~х‘ cos2 х dx? О Я 2318. Определить средние значения данных функций в указанных промежутках: а) / (х) = х2 на (0, 11; б) 1(х)~л]х на [0, 100]; в) f (х) = Ю + 2 sin х + 3 cos х на [0, 2л ]; г) f (х) = sin х sin (д: + <р) на [0, 2л ]. 2319. Найти среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипса г = - р- (0<е<1). 1 — е cos <р 2320. Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна v^. 2321. Сила переменного тока меняется по закону . . / 2л t , \ i = i0 sin(-p-f q)J, где t0 — амплитуда, t — время, Т — период и <р — на¬ чальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока. 232Ы. Пусть / (*) £ С (0, + оо) и lim f (х) = А. оо Найти lim —jf(x) dx. оо X 0 Рассмотреть пример f (х) = arctg х. 2322. Пусть | / (t) dt = xf (9х). Найти 0, если: a) f (t) = tn (п > — 1); б) / (t) = In t; в) f (t) = e'. Чему равны lim 0 и lim 0? Jt—> —j-О jc—►-{■oo Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить ин¬ тегралы:
222 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 100 2325. f .-L.X~dx. J х+ 100 о 2326. Доказать равенства: С Xя a) lim I — dx = 0; б) lim J sin" xdx =0. n-*OQ J 1 X П-+ 00 0 0 2326.1, Найти: i a) Iim f —TZT; 6) lim f f M —. e-и» J ex*+l e-*+0.J x где a > 0, b> 0 и f (x) £ С [0, 1 ]. 2327. Пусть f (x) непрерывна на [a, b ] и <p (x) непре¬ рывна на la, b] и дифференцируема на (a, b), причем ф' (jc) > 0 при а < х < b. Доказать вторую теорему о среднем, применяя ин¬ тегрирование по частям и используя первую теорему о среднем. Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить ин¬ тегралы: 200л . 2328. f -^-dx. 100л х ь Г 2329. \ sin xdx (а > 0; 0<а<6). а Ъ 2330. Jsin^adx (0<а<6). а 2331. Пусть функции <р (лг) и if (лс) интегрируемы на промежутке [а, b] вместе со своими квадратами. Дока¬ зать неравенство Коши—Буняковского ГЬ \ 2 ь ъ <р (х) ф (л:) dx t < { фа (х) dx {i|)a (jc) dx. !!■ 2332. Пусть функция f (дг) непрерывно дифференци¬ руема на сегменте (а, b ] и f (а) = 0.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 223 Ь Доказать неравенство М2 < (6— a) $f'2(x)dx, где М= sup \f(x)\. 2333. Доказать равенство п+р lim Г JlHJLdx = 0 (р>0). «-►оо J X П § 4. Несобственные интегралы 1°. Несобственная интегрируемость функций. Если функция f (х) собственно интегрируема на каждом конечном сегменте [а, 6), то, по определению, полагают: +оо 6 f f(x)dx = lim f l(x)dx. (1) a &-»•+» a Если функция I (x) не ограничена в окрестности точки 6 и собственно интегрируема на каждом сегменте [д, b—е] (е > 0), то принимают; Ь Ь—е f f(x)dx= lim f t(x)dx. (2) a c-4-° a Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий интеграл называется сходящимся, в противном случае — рас- ходящимся (в элементарном смысле!). 2°. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число b = b (г) такое, что при любых b* > b и b" > Ь было бы выполнено неравенство Ь• [ (х) dx < е. Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла типа (2). 3°. Признаки абсолютной сходимости. Если |J!(*)I несобственно интегрируема, то соответствующий элементарный интеграл (1) или (2) от функции f (*) называется абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходя¬ щимся. Признак сравнения \. Пусть |f (х) | ^ F (х) при х ^ а. +оо -(-оо Если | F (х) dx сходится, то интеграл J £ (*) dx сходится а а абсолютно. Признак сравнения II. Если г|> (аг) > 0 и <р (*) = О* (*ф (*)) —|- оо —|-оо при х + оо, то интегралы J ф (л:) dx и j ^ (*) dx сходятся
224 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ или расходятся одновременно. В частности, это имеет место, если ф (*) ~ г|) (*) при х -► + оо. Признак сравнения III. а) Пусть f(x) = 0*(~r) при ж-v-t-oo. В таком случае интеграл (I) сходится, если р > 1, и расходится, если р ^ 1. б) Пусть f(*) = 0*f ! ^ при х-+Ь — 0. В таком случае интеграл (2) сходится, если р < 1 и расходится, если р ^ 1. 4°. Специальный признак сходимости. Если: 1) функция ф (*) монотонно стремится к нулю при х -* + оо и 2) функция I (*) имеет ограниченную первообразную F(x) = J7(IMS, а то интеграл I / (х) ф (х) dx а схолится, вообще говоря, не абсолютно. В частности, интегралы *-j-oo 4-00 С* cos х Г sin х . t . л. j —л" j —л (“>о> а а сходятся, если р > 0. 5°. Главное значение в смысле Коши, Если функция / (х) такова, что при любом е > 0 существуют собственные интегралы с—е ь | f (де) dx и f f (*) dx (а < с < 6), а с4-е то под главным значением в смысле Коши (о. р.) понимается число v. р,[f(x)dx^ lim Г 7 f(x)dx+ Г i е-,+0 Li с+е J Аналогично 4-оо а v- Р- \ l(x)dx=: lim f l(x)dx. t—OO fl-^4-00 _a Вычислить интегралы: 4-00 I 2334. j (a>0). 2335. J \nxdx.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 225 <4-00 1 2336. С —. 2337. [ — . ) ! + J л/T^J —оо —1 —j- оо 4-00 dx f — . 2339. Г J дс4 + х — 2 J 2338. . ' ‘ (*2+*+1)2 2340. Г - . 2341. Г -*-+- dx. J 1 + *3 J *4+1 0 о 1 2342. Г dx ) (2 _ х) УГ~ О 4-00 Г dx_ J X V1 + хъ о 4-00 2343 къ х10 1 -f оо -f ей 2344. Г ——п~ -dx. 2345. Г —8dx. J (1 + *У J (1 + *1)3/2 о о +~ 2346. J е~ак cos bx dx (а>0). о +с° 2347. j е~ах sinbxdx (а>0). о С помощью формул понижения вычислить следую¬ щие несобственные интегралы (п — натуральное число); +00 2348. /„= f xne~xdx. О 4-оо 2349. /л= Г d- (ac—b2>0). J (ax*+2bx + c)n ' —оо 2350. 1п= 1‘ — . J *(*+ 1) . . . (*+ л) I 2351. /„=Г '■i . Vo-*)(» + *) О 6 Б. П. Демидович
2354. Найти Г е~хП - *sin * C0SX—dx, где Е — мно- 226 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2352. /„= Г . J сЬя+1 X о л/2 Я/2 2353. a) J In sin хdx\ б) j In cos л:d*. па: — J 'y/sinx в жество тех значений х интервала (0, +<»), для которых подынтегральное выражег:'* имеет смысл. 2355. Доказать равенство -{-00 -{-оо J f ^ах + —^ dx = — j* / (д/х2 + 4аЬ) dx, о о где а 0 и b > 0, предполагая, что интеграл в левой части равенства имеет смысл. 2356. Средним значением функции f (х) на интервала 1 * (О, + оо) называется число М | f | = lim — f f (£) d\. x-»+oo X 0 Найти средние значения следующих функций: а) / (*) = sin2 х + cos2 (х ^/2); б) / (х) = arctg х; в) / (х) = -yfx sin х. 2357. Найти: I f VTT^ dt a) limx Г 005 1 dt‘, 6) lim : ; A—♦ 0 J i2 x-+oo Xa 4-o° J txe-ldt l в) lim— ; r) limx“ I x->G - 1 *->0 J In — X ML ^a+i dt. где a > 0 и / (/) — непрерывная функция на сегменте [О, 1].
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 227 Исследовать сходимость интегралов 2358. Г — . 2359. [ - . 1 xi-x*+l ) xW+T 2 «{-оо 2360. Г -4L-. 2361. Г xp~le~*dx. J In дс J о о I -{-00 2362. Г хр In'7 — dx. 2363. Г—-——dx (п > 0). J х J 1 + *п О о J —гс^—- dx (а ф 0). 2365. J —(]~x>dx. О О 2366. f — а—g— dx (п > 0). J 2+хп О 2367. j ™а*п- dx (п > 0). О Н-оо я/2 2368. [^-^-dx. 2369. Г — J х J sinp х cos? х о о 2370. Г хЧх . 2370.1. (—— J ^ V*3 "f * о v о v 2371. Г—-—. 2372. [ —1п х— dx. J х» + х<> ) \-х2 О о П/2 +зо dx 2373. Г ■—dx. 2374. Г о У In* * 2375. f — . J (In *)? (In In JC)J e Г +oo 2376. ■ап|рл r dx J \X— |Pl | ж — fl2|Pl... I* — < (fll ^я)* 8*
228 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Ц-оо 2376.1. 1 \&dx. О +оо 2377. ( Рт ^ dx, где Рт (х) и Рп (х) — взаимно J Рп М о простые многочлены соответственно степеней тип. Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие интегралы: 2378. J i!j^dx. о Указание. | sin х | ;> sin2*. +« *f°° 2379. f 238°- J *p sin (q=£0). 0 0 я/2 -f-oo 2380.1. | sin (sec x) dx. 2380.2, J x2 cos (<e*) <£*:. о о 2381. +f (q> 0). J 1 + X* 0 , 1 \ p Sin [ X ^ j +00 2382. \ — dx. 2383. f sin xdx, J *" J Pn(x) о 0 где Pm (x) и P„ (x) — целые многочлены и P„(x) > 0, если x > a > 0. H-OO 2384. Если | f (x) dx сходится, то обязательно ли a f (х) -*■ 0 при х —*■ -f- оо? Рассмотреть примеры: -|-оо -}-оо а) j sin (г8) dr, б) f (— l)fxrl dx. о о 2384.1. Пусть f(x)£C™[x0, + со), \f'(x)\<C Н-оо при х0 < х < + оо и J |/ (x)\dx сходится. Доказать, хс что / (х) -> 0 При X + ОО.
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 229 Указание. Рассмотреть интеграл +оо J t (X) f (*) dx. Хп 2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл I f{x)dx а от неограниченной функции f (х), определенной на [a, b 1, рассматривать как предел соответствующей интегральной Я—1 суммы £ / (£<) где *1 < & < xi+i и Ах( = xi+l—Xi? i—0 2386. Пусть ff(x)dx (1) а сходится и функция ф (х) ограничена. Обязательно ли сходится интеграл J f(x)y{x)dx? (2) а Привести соответствующий пример. Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если интеграл (1) сходится абсолютно? 2387. Доказать, что если J / (х) dx сходится и / (х) — а монотонная функция, то / (дг) = О 2388. Пусть функция / (х) монотонна в промежутке О < х < 1 и не ограничена в окрестности точки х = 0. 1 Доказать, что если существует J f (х) dxy то о 1 lim— у f (—} = {х) dx. fl-мо п \ п J J «=! О 2389. Доказать, что если функция f (х) монотонна и ограничена в интервале 0 < х < а и существует не- а собственный интеграл J хр f (х) dxt то о Гшиср+7 (х) = 0. *-►4-0
230 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2390. Показать, что: a)v. p. j^ = 0; в),. p. —I 0 +r°° в) v. p. J sin*djt = 0. *—oo 2391. Доказать, что при x > 0 существует X dl li x — v. p. ^ ln£ о Найти следующие интегралы: —оо 2 2392. v. p. [ 2393. v. p. J x2 — 3* + 2 J x In * 0 1/2 4" 00 _J-oo 2394. v. p. Г - ^-y dx. 2395. v. p. J arctg xdx. J 14“^ ‘—0° § 5. Вычисление площадей Г. Площадь в прямоугольных коорди¬ натах. Площадь S плоской фигуры АхА2ВгВх (рис. 10), ограниченной двумя непрерывными кривыми у = ух (дг) и У — У2 (*) (У2 (х) > Ух М) и двумя прямыми х = а и х = Ь (а < b)t равна 6 s = I [«/a (*) — £fi (*)] dx. а 2°. Площадь фигуры, ограниченной к р и « вой, заданной в параметрическом виде.
§ 5. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 231 Если х — х (/), у = у (/) [0 ^ t ^ Т] — параметрические уравнения кусочно гладкой простой замкнутой кривой С, пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей слева от себя фигуру с площадью S (рис. 11), то т т s *= — |г/ (О X' (/) dt = f х (t) у' (/) dt, или 1 т S = —\[x(t) у' (t)-x'(t)y(t)] Л. ^ о 3°. Площадь в полярных координатах. Площадь S сектора ОЛВ (рис. 12), ограниченного непрерывной кривой г = г (ф) и двумя полупрямыми ф = а и ф = р (а < р), равна 5 = r3(tp)d(p. ^ а 2396. Доказать, что площадь прямого параболиче¬ ского сегмента равна S = — Ыг, 3 где Ь — основание и /г — высота сегмента (рис. 13). Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬ данными в прямоугольных координатах *): 2397. ах = у2, ау = Xй. 2398. у = х2, х + у — 2. 2399. у — 2х—х2, х + у = 0. 2400. у = | lg jc |, у = 0, х — 0,1, х = 10. 2400.1. у = 2х, у = 2, х = 0. 2400.2. у = (* + 1)г, х = sin лу, у = 0 (0 < у < 1). *) Все параметры в этом и следующих параграфах отдела IV считаются положительными.
232 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2401. у = х; у — х + sin2jc (0 < х < я). 2402-^=-qЬ-’ у=°- 2403. — + -7 = 1. а2 62 2404. I/2 = х2 (а2—*2). 2405. у2 = 2рх, 27 ру2 = 8 (*—/>)3. 2406. Ах2 + 2Вхг/ + Су2 = 1 (Л > 1, Л С—В? > 0J. 2407. if = —-— (циссоида), х = 2а. 2а — х 2408. х = а In а + ^а TL^ ^а2—^/а, у = 0 (трак¬ триса). 2409. г/2 = - (х>0; л >—2). * (1 + л:'1+2)а ' ’ 2410. у = е-д: | sin л-1, у = 0 (*>0). 2411. В каком отношении парабола у2 = 2х делит площадь круга х2 + у2 = 8? 2112 (н). Выразить координаты точки М (х, у) ги¬ перболы х'2 — у2 = 1 как функции площади гипербо¬ лического сектора S = ОМ'М, ограниченного дугой гиперболы М'М и двумя лучами ОМ и ОМ', где М' (х, —у)—точка, симметричная М относительно осп Ох. Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬ данными параметрически: 2413. х = а (t—sin t), у — а (1 — cos /) (0 < / <2я) (циклоида) и у = 0. 2414. х = 2t—t2, у = 2t2—t3. 2415. х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t — t cos ^) (0 < / < 2я) (развертка круга) и х ~ а, у ==£ 0. 2416. х = а (2 cos t—cos 2/), у = а (2 sin t — sin 21). 2417. x = — cos31, y = — sin3 f (c2 = a2— b2) (эво- a b люта эллипса). «л-» ^ i flsin21 2417.1. x = acost, y = . u 2+sin/ Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за¬ данными в полярных координатах: 2418. r\ — a2 cos 2ср (лемниската).
5 5 ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ 232 2419. г = а (1 + cos <р) (кардиоида). 2420. г = a sin Зф (трилистник). 2421. г = - (парабола), ф = —, ф = —. 1— cos<p v к т 4 Y 2 2422. г = - (0<е<1) (эллипс). 1 + е cos ф 2422.1. г — 3 + 2 cos ф. 2422.2. г = —, г = —!— (0<ф < —V Ф sin ф V 2 у 2423. г = асозф, г = а(со8ф4-зтф) (м 0^65). 2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой Ф = г arctg г и двумя лучами ф = 0 и ф = -JL . 2424.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой г2 + Ф2 = 1. 2424.2. Найти площадь фигуры, ограниченной ле¬ пестком кривой Ф = sin (яг) (0 < г < 1). 2424.3. Найти площадь фигуры, ограниченной ли¬ ниями Ф = 4г—г3, ф = 0. 2424.4. Найти площадь фигуры, ограниченной ли* ниями Ф = г — sin г, ф = п. 2425. Найти площадь фигуры, ограниченной замкну» той кривой 2at nt 1 + /а Y I + * Перейдя к полярным координатам, найти площади фигур, ограниченных кривыми: 2426. х3 + у3 = 3аху (лист Декарта), 2427. дс4 + у1 = а2 (дс2 + у2). 2428. (jc2 + у2)2 = 2а2ху (лемниската). Приведя уравнения к параметрическому виду, найти площади фигур, ограниченных кривыми:
234 ОТДЕЛ IV. определенный интеграл 2429. х2/3 + у2/3 =* а2/3 (астроида). 2430. jc4 + у4 = ах2у. Указание. Положить у = /дс. § в. Вычисление длин дуг 1°. Длина дуги в прямоугольных коор¬ динатах. Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно диф¬ ференцируемой) кривой у = у(х) (а<*<6) равна ъ s = $ Vi + у'2 (*) dx. а 2°. Длина дуги кривой» заданной пара¬ метрически. Если кривая С задана уравнениями *=*</), y = y(t) где *(/), у (/) € СС1) [/0, Г], то длина дуги кривой С равна т s = $ V*,2(0+y,a(0 it. U 3°. Длина дуги в полярных координа¬ тах. Если Г = Г(ф) (01<<P<P), где г (ф) £ С(х) [а, 0], то длина дуги соответствующего отрезка кривой равна а s = $ V'2 (<Р) + г'2 (ф) dq>. а Длины дуг пространственных кривых см. в отд. VIII. Найти длины дуг следующих кривых: 2431. у = хш (0<*<4). 2432. у2 = 2рх (0 < jc < ха). 2433. «/ = ach —от точки А (0, а) до точки B(b, h). 2434. у = е* (0 < х < х0). 2435. х = — у2 —Inу (1 < у < е). 4 2 2436. у = а\п—t а г (0<х<&<а). 2437. у = In cos* fo < * < a<-yj.
§ б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЛИН ДУГ 235 2438. х = a In -а~ у л/а?—у2 (0<6<t/iga). 2439. у2 = ——— (О < х < — aV 2 а —х \ 3 J 2440. дс2/3 + г//3 = а2/3 (астроида). 2441. х — — cos3/, у = — sin3/, сг = a2—Ь2 (эволга- a ь та эллипса). 2442. х = cos4/, у = sin4/. 2443. х = a (t — sin /), у = а (1—cos /) (0 < /<2я). 2444. х = a (cos / + / sin /), у = a (sin /—/ cos /) при 0 < / < 2я (развертка окружности). 2445. х = a (sh /—/), у = a (ch /—1) (0 < / < Г). 2445.1. * = ch3/, t/ = sh3/ (0 < / < T). 2446. r = a<p (спираль Архимеда) при 0 < <p < 2я 2447. г = aem<p (m > 0) при 0 < г < a. 2448. г = a (1 + cos <p). 2449. r= p- (|<p|<—V 1 + cos <p v 2 / 2450. f — a sin3 —. 3 2451. r = ath -2- (0 < ф < 2я). 2452. ф = + (1<кЗ). 2452.1. ф = V'7 (0 < г < 5). 2452.3. г = 1+cos/, ф = /—*g-y- (0< f < Т<п). 2453. Доказать, что длина дуги эллипса х — <х cos t, у — b sin / равна длине одной волны синусоиды у = с sin -j-, где с = д/°2—^2- 2454. Парабола Аау = я2 катится по оси Ох. Дока¬ зать, что фокус параболы описывает цепную линию,
236 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2455. Найти отношение площади, ограниченной пет¬ лей кривой »= ±(-1—*)уг, к площади круга, длина окружности которого равна длине контура этой кривой. § 7. Вычисление объемов 1°. Объем тела по известным попереч¬ ным сечениям. Если объем V тела существует и S = S (jc) есть площадь сечения тела плоскостью, перпенди¬ кулярной к оси Ох в точке х, то 6 V = | S (х) dx. а 2°. Объем тела вращения. Объем тела, обра¬ зованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции a^x^bt 0 <«/<«/ (*), где у (х) — непрерывная однозначная функция, равен Ь = уЦх)йх а В более общем случае, объем кольца, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры д < х < 6, ух (*) < у ^ у2 (*), где У1 (*) и у2 (*) — непрерывные неотрицательные функции, равен ь v = Я1 [y\{x)—y\(x)\dx. а 2456. Найти объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами а и Ь, верхнее ребро равно с, а высота равна /г. 2457. Найти объем обелиска, параллельные основа¬ ния которого суть прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна h. 2458. Найти объем усеченного конуса, основания которого суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а вы¬ сота равна h. 2459. Найти объем параболоида вращения, основа¬ ние которого 5, а высота равна Н. 2460. Пусть для кубируемого тела площадь S = S (р) его поперечного сечения, перпендикулярного коси Ох, изменяется по квадратичному закону: S (х) = Ах2 + Вх + С [а С х < b 1, где А, В и С — постоянные.
§ 7. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 237 Доказать, что объем этого тела равен V = JL |s (а) + 4S + S (6)], где Н = Ъ—а (формула Симпсона). 2461. Тело представляет собой множество точек М (*♦ У г 2), где 0 < г < 1, причем 0 < х < 1, 0 < y<U если 2 рационально, и — 1 <*<0, — 1 < 0, если г иррационально. Доказать, что объем этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл 1 f S(z)dz = 1. о Найти объемы тел, ограниченных следующими по¬ верхностями: 2462. 4 + 4 = 1> г = °- а2 b2 а 2463. 4 + -fr + -4 = 1 (эллипсоид). а2 с2 у-2 <i2 2464. — — = 1, 2 = Q2 Ь2 С3 2465. д:2 + 21 = a2, #2 + 22 = с3. 2466. а2 + у2 + га = а2, х2 + у2 = а*. 2467. 2а = b (а—х), х2 + у2 = ах. 2468. -^l + -i£ = l (0 < 2 < а). а2 г2 2469. х + у + г2 = 1, я = 0, у = 0, 2 = 0. 2470. а:2 + г/2 + 22 + + */2 + z* = а2. 2471. Доказать, что объем тела, образованного вра¬ щением вокруг оси Оу плоской фигуры а < х < Ь, 0 < у < у (х), где у (х) — однозначная непрерывная функция, равен ь Vу = 2л j ху {х) dx. а Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий: 2472. у = Ь (~)2/3 (0 < х < а) вокруг оси Ох (ней- лоид). 2473. у = 2х—х2, у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
238 ОТДЕЛ IV. определенный интеграл 2474. у — sin х, у = 0 (0 < х < я): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. / % ч2 х 2475. у = Ъ f —J > У — b — : а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. 2476. у = е~х, у = 0 (0 < л: < + оо): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. 2477. х2 + (у—Ь)2 — а2 (0 < а < Ь) вокруг оси Ох. 2478. х2—ху + у2 = а2 вокруг оси Ол:. 2479. у = е~х Vs'n х (0 < х < + оо) вокруг оси Ох. 2480. х = а (t—sin t), у = а (1 — cos t) (0 < /<2я), у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = 2а. 2481. х = a sin3/, у = b cos3/ (0 < / < 2я): а) во¬ круг оси Ох; б) вокруг оси Оу. 2481.1. Найти объем тела, образованного вращением площади петли кривой х = 21—t2, у = 4/—t3 вокруг: а) оси Ох; б) оси Оу. 2482. Доказать, что объем тела, образованного вра¬ щением вокруг полярной оси плоской фигуры 0^а<ф<р<я, 0<г<г(ф) (ф и г — полярные координаты), равен V = “Т /г3 Sin ф Найти объемы тел, образованных вращением плоских фигур, заданных в полярных координатах: 2483. г = а (1 + cos ф) (0 < ф < 2я): а) вокруг полярной оси; б) вокруг прямой г cos ф = 2484. (х2 + у2)2 = а2 {х2—у2): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = х. Указание. Перейти к полярным координатам. 2484.1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полувнтком спирали Архимеда г = аф (а > 0; 0 < ф < я), вокруг полярной оси. 2484.2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: ф = л а3, ф = я, во¬ круг полярной оси. 2485. Найти объем тела, образованного вращением фигуры а < г <; а л/2 sin 2ф вокруг полярной оси.
$ 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 239 § 8. Вычисление площадей поверхностей вращения Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой А В вокруг оси Ох, равна В Р = 2я Г | у | ds, А где ds — дифференциал дуги. Найти площади поверхностей, образованных враще¬ нием следующих кривых: 2486. у = х y\J — (0 < х < а) вокруг оси Ох. 2487. у = аcos-^- (1*1 <&) вокруг оси 0хй 26 2488. у — tgx^O < х < вокруг оси Ох. 2489. у2 = 2рх (0 <s£ х < х0): а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу. 2490. 1 (0< 6<а); а) вокруг оси Одг; б) вокруг оси Оу. 2491. х2 + (#—Ъ)2 = а2 (6 > а) вокруг оси Ох. 2492. х2'3 + //3 = а2/3 вокруг оси Ох. 2493. г/ = ach — (| х | < &); а) вокруг оси Ох; б) во- а круг оси Оу. 2494. ± х = a In aJr ^а— л/а2 — у2 вокруг У оси Ох. 2495. х = a (t — sin t), у = а (1 — cos /) (0^ /<2я); а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой У = 2 а. 2496. х = a cos3/, у — a sin3/ вокруг прямой у =* х. 2497. а = а (1 + cos ф) вокруг полярной оси. 2498. г2 = a2 cos 2ф: а) вокруг полярной оси; б) во¬ круг оси ф = —; в) вокруг оси ф = —. 2 4 2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фи¬ гуры, ограниченной параболой ау = а2—х2 и осью Ох,
240 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Найти отношение поверхности тела вращения к поверх¬ ности равновеликого шара. 2500. Фигура, ограниченная параболой у2 = 2рх и прямой х = р/2, вращается вокруг прямой у = р. Найти объем и поверхность тела вращения. § 9. Вычисление моментов. Координаты центра тяжести 1°. Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотно* сти р = р {у) заполняет некоторый ограниченный континуум Q (линию, плоскую область) и со = со (у) — соответствующая мера (длина дуги, площадь) той части континуума Q, ординаты которой не превышают у, то k-м моментом массы М относительно оси Ох называется число п мк= lim Z Р Ю у?Дш 00 = f {у) (Ь = о, 1, 2. ...), шахДу^О 4__j д j-де Дyi = tji—yi-1 и Дш (yi) = to (уй — со Как частные случаи, получаем при к = 0 массу М, при k = 1 — статический момент, при k = 2 — момент инерции. Аналогично определяются моменты массы относительно координатных плоскостей. Если р — 1, то соответствующий момент называется гео¬ метрическим (момент линии, плоской фигуры, тела и т. д.). 2°. Ц е н т р тяжести. Координаты центра тяжести (x0f Vii) однородной плоской фигуры площади S определяются по формулам Ж}*' где М\у\ М — геометрические статические моменты фигуры относительно осей Оу и Ох. 2501. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса а относительно диаметра, проходящего через концы этой дуги. 2501.1. Найти статический момент дуги параболы у2 = 2рх (0 < х < р/2) относительно прямой х = р/2. 2502. Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием Ь и высотой h относительно основания (р = 1). 2502.1. Найти моменты инерции 1Х = М^] и Iy = М^ относительно осей Ох и Оу параболического сегмента,
§ 9. ВЫЧИСЛЕНИЕ МОМЕНТОВ 241 ограниченного кривыми ау = 2ах — х2 (а > 0) и у = 0. Чему равны радиусы инерции гх и ryt т. е. величины, определяемые соотношениями /.«Si, Iu = Srl, где S — площадь сегмента? 2503. Найти моменты инерции однородной эллипти¬ ческой пластинки с полуосями а и Ь относительно ее главных осей (р = 1). 2504. Найти статический момент и момент инерции однородного кругового конуса с радиусом основания г и высотой h относительно плоскости основания этого конуса (р = 1). 2504.1. Найти момент инерции однородного шара радиуса R и массы М относительно его диаметра. 2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь поверхности, образованной вращением плоской дуги С вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги С. 2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем тела, образованного вращением плоской фигуры S во¬ круг не пересекающей ее оси, расположенной в плоско¬ сти фигуры, равен произведению площади S на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фи¬ гуры. 2507. Определить координаты центра тяжести кру¬ говой дуги: х = a cos ф, у = a sin ф (| ф| < а *£ я). 2508. Определить координаты центра тяжести об¬ ласти, ограниченной параболами ах = у2, ау = = х2 (а > 0). 2509. Определить координаты центра тяжести об¬ ласти —+ — < 1 (0 < х < а, 0 < у < Ь). а* Ь* 2510. Определить центр тяжести однородного полу- шара радиуса а. 2511. Определить координаты центра тяжести С (Фо» /о) ДУГИ ОР логарифмической спирали г = = ает® (т > 0) от точки 0 (— оо, 0) до точки Р (ф, г). Какую кривую описывает точка С при движении точки Р? 2512. Определить координаты центра тяжести об¬ ласти, ограниченной кривой г = а (1 + cos ф).
£12 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 2513. Определить координаты центра тяжести об¬ ласти, ограниченной первой аркой циклоиды х = = а (/ — sin /), у = а (1 — cos /) (0 < / < 2л) и осью Ох. 2514. Определить координаты центра тяжести тела, образованного вращением площади 0 < х < а; у2 < 2рх вокруг оси Ох. 2515. Определить координаты центра тяжести по¬ лусферы х2 + у2 + г2 = а2 (г > 0). § 10. Задачи из механики и физики Составляя соответствующие интегральные суммы и на* ходя их пределы, решить следующие задачи: 2516. Определить массу стержня длины I — 10 м, если линейная плотность стержня меняется по закону 6 = 6 + 0,3* кг/м, где х — расстояние от одного из концов стержня. 2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту к> Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность? 2518. Какую работу надо затратить, чтобы растя¬ нуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс ра¬ стягивает эту пружину на 1 см? Указание. Использовать закон Гука. 2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен паром под давлением 10 кгс/см2. Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в два раза, счи¬ тая, что температура пара остается постоянной? 2520. Определить силу давления воды на вертикаль¬ ную стенку, имеющую форму полукруга радиуса а, диа¬ метр которого находится на поверхности воды. 2521. Определить силу давления воды на вертикаль¬ ную стенку, имеющую форму трапеции, ннжнее осно¬ вание которой а = 10 м, верхнее Ь = 6 м и высота h = 5 м, если уровень погружения нижнего основания с = 20 м. Составляя дифференциальные уравнения, решить сле¬ дующие задачи: 2522. Скорость точки меняется по закону: v — Уо + at.
§ 10. ЗАДАЧИ ИЗ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ 243 Какой путь пройдет эта точка за промежуток вре¬ мени Ю, Т ]? 2523. Однородный шар радиуса R и плотности в вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью со. Определить кинетическую энергию шара. 2524. С какой силой притягивает материальная бес¬ конечная прямая с постоянной лннейной плотностью fi0 материальную точку массы т, находящуюся на расстоя¬ нии а от этой прямой? 2525. Определить, с какой силой притягивает круг¬ лая пластинка радиуса а и постоянной поверхностной плотности 60 материальную точку Р массы т, находя¬ щуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки, про¬ ходящем через центр ее Q, на кратчайшем расстоянии PQ, равном Ь. 2526. Согласно закону Торичелли скорость истече¬ ния жидкости из сосуда равна v = с д/2 gh, где g ускорение силы тяжести, h — высота уровня жидкости над отверстием и с = 0,6 — опытный коэффициент. В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D = 1 м и высотой Я = 2 м через круглое отверстие в дне диа¬ метра d = 1 см? 2527. Какую форму должен иметь сосуд, представ¬ ляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня жидкости при истечении было равномерным? 2528. Скорость распада радия в каждый момент вре¬ мени пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада радия, если в начальный момент / = 0 имелось Q0 граммов радия, а через время Т = = 1600 лет его количество уменьшится в два раза. 2529. Для случая процесса второго порядка скорость химической реакции, переводящей вещество А в ве¬ щество В, пропорциональна произведению концентра¬ ции этих веществ. Какой процент вещества В будет содержаться в сосуде через t — 1ч., если при / = 0 мин. имелось 20 % вещества В, а при t = 15 мин. его стало 80 %? 2530. Согласно закону Гука относительное удлинение е стержня пропорционально напряжению силы 0 в со¬ ответствующем поперечном сечении, т. е. г = о!Е% где Е — модуль Юнга. Определить удлинение тяжелого стержня конической
244 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ формы, укрепленного основанием и обращенного вер¬ шиной вниз, если радиус основания равен R, высота конуса Н и удельный вес у. § 11. Приближенное вычисление определенных интегралов 1°. Формула прямоугольников. Если функ¬ ция у = у (х) непрерывна и дифференцируема достаточное число b — й раз на конечном сегменте [а, Ь\ и h = »*t- +ih (t=0, п 1, • • • , л). У{ = У М, то ь j у (дс) dx = А (i/o + (/!+... + «/„_!) + /?„, а где /?„=—■~2а)Л У' (I) (в<| <ft). 2°. Ф о р м у л а трапеций. При тех же обозначе¬ ниях имеем: а j у (*) dx= h -f ^ + Rn, где Яя =, (V) <«• 3°. Параболическая формула (формула Симпсона). Полагая я = 2/г, получим: г А j у (х) dx = — [((/о + Уг)д + 4 (Ух + Уз + . . . + </2*-i) + а 3 + 2 (у2 + У\ + . . . + Уък-ъЛ + где 2531. Применяя формулу прямоугольников (л = 12), приближенно вычислить 2я J xslnxdx о н результат сравнить с точным ответом. С помощью формулы трапеций вычислить интегралы и оценить их погрешности, если: 1 I 2532. j (п = 8). 2533. О о dx 1 + х3 (гг = 12).
§ И. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ 245 Я/2 2534. Г л/1 j- sin2 х dx (п = 6). о С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы: 9 2535. | л/х dx (я = 4). я 2536. J + cos х dx(n = 6). о я/2 2537. j -^y-dx (n = 10). О 1 2538. f —— {п = 6). J 1в(1 + *) О 2539. Принимая п = 10, вычислить константу Ка- талана 1 G = ^^-dx. о I 2540. Пользуясь формулой — = Г ———, вычис* 4 J I + х2 о лить число я с точностью до 10"5. I 2541. Вычислить J e^dx с точностью до 0,001. о 1 2542. Вычислить J (е* — 1) In — dx с точностью до 10-4. 2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл ве- роятностей J e~*‘dx. о 2544. Приближенно найти длину эллипса, полуссп которого а = 10 и b = 6. 2545. Построить по точкам график функции X y = \^T~dt и приняв Ах — я/3.
ОТДЕЛ V РЯДЫ § 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знакопостоянных рядов 1°. Общие понятия. Числовой ряд tfl + <*2 + • * • + ап + * • • = J] ап (1) п=1 называется сходящимся, если существует конечный предел lim Sn = S (сумма ряда), П-* оо где Sn ~ аг + а2 + . . . + ап. В противном случае ряд (I) называется расходящимся. 2°. Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) не¬ обходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовало число N =* N (г) такое, что при /1>УУир>0(ли р — нату¬ ральные числа) было выполнено неравенство п+р £ а*‘ <е. I $п+р — I — i=n+l В частности, если ряд сходится, то lim ап = 0. П-+ оо 3°. Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (I), имеем ряд Ь\ + Ь2 + . . . + Ьп + . . . (2) Если при п nQ выполнено неравенство О <ал<6д> то 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); 2) из расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2). В частности, если ап ~ Ьп при п -► оо, то ряды с знакопо¬ ложительными членами (I) и (2) сходятся или расходятся одно¬ временно.
§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 247 4°. Признак сравнения II. Если Ш'1’ то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р ^ 1 расходится. 5°. Признак Даламбера. Если ап > О (я* 1, 2, . . .) и lim _£n±i_ _ q< п~> ж> ап то а) при q < 1 ряд (I) сходится и б) при q > 1 расходится. 6°. Признак Коши. Если ап > 0 (п = 1, 2, . . . )и lim УаЦ = q, П-+ ОО то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q > 1 расходится. 7°. Признак Раабе. Если ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и lim п (—— Л — р, п-+эо \ an+i ) то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р < I расходится. 8°. Признак Гаусса. Если ап > 0 (п = 1,2,.. .) и ап 1 I И- I ®Г2 н ■*—НгГ* *п+! л Л + где | 0Л | < С и е > 0, то а) при X > 1 ряд (1) сходится и б) при X < I расходится; в) при X — 1 ряд (1) сходится, если р. > 1, и расходится, если ц ^ 1. 9°. Интегральный признак Коши. Если f (*) (х ^ 1) — неотрицательная невозрастающая непрерывная функция, то ряд оо Ем*) п—1 сходится или расходится одновременно с интегралом j f(x)dx. Доказать непосредственно сходимость следующих рядов и найти их суммы: 2547-(т+т)+(^+^)+--- *) Значение символа О* см. отдел I, § 6, 1°.
248 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2548.- + —+-^-+.. ' 2п~] 2 2* 23 2п 2549. -JL-H —+- ' ' 1 1-2 2-3 3-4 «(«+1) 2550. — + — + • • • Н ! + . . . 1-4 4-7 (Зл — 2) (Зл + 1) 2551. a) flsina + <72sin 2а + . . . + qn sin /га + . . . ; б) д cos а + q2 cos 2а +. . . + qn cos па + ... (19 К1). оо 2552. £ (УМ1^— 2 V«+T + V«). «= I оо 2553. Исследовать сходимость ряда sin л*. п=I Указание. Показать, что при jc Ф kn (k — целое) невоз¬ можно, чтобы sin пх 0 при гс -►оо! оо 2554. Доказать, что если ряд][]ая сходится, то ряд п=1 ос ^л+г^1 £ Л,„ где Л„ *= X a£ (Pi=l. Pi<Pi<> - п=I полученный в результате группировки членов данного ряда без нарушения порядка следования их, также сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; при¬ вести пример. оо 2555. Доказать, что если члены ряда X ап положи- п—1 оо тельны и ряд£ Ап, полученный в результате группи- П=1 ровки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также сходится. Исследовать сходимость рядов: 2556. 1 — 1 + 1 —1 + 1 —1 + . . . 2557. 0,001 +УШГ + >/(ЩГ + . .. 2558. ——I- ——(- ———}- , 1! 2! Э! я! ‘ 2559. l+-I- + -i- + J-+...+-^_^+... 3 5 7 2п — 1
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 249 2бб°* 1ооГ+ 2001 3001 + • * • + 1000л + 1 "**''1 2561. J+-L+-L+...+ 2562. 1+ — + 3s 52 ^ (2п — 1)г 2563. 1 1.1, V2 2л/з 3-1/4 . . . + 2564. — 1=- + Vl-3 V 3-5 л V<> + 1 • • • + 4* • • • V(2rt — 1) (2«+ 1) 2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам арифметической прогрессии, расходится. ОО 00 2566. Доказать, что если рядыХап(Л) и /)Л(В) /1=1 П—1 оо сходятся и ап<с„ (я=1, 2, ...), то ряд£с„ (С) также n=i сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (С), если ряды (А) и (В) расходятся? 2567. Пусть даны два расходящихся ряда оо оо 2 ап и £ Ьп с неотрицательными членами. П = 1 /2=1 Что можно сказать о сходимости рядов: оо оо а) 2 min (ап, Ьп) и б) £ шах (ап, Ь„)? /1 = 1 /1=1 00 2568. Доказать, что если ряд £ а„ (<з„ > 0) сходится, Л=1 ОО то ряд X ап также сходится. Обратное утверждение П= 1 неверно; привести примеры. оо оо 2569. Доказать, что если ряды£ а2п и £ Ь2п сходятся, /1 = 1 1 то сходятся также ряды I Л=1
£50 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2570. Доказать, что если lim пап = а Ф 0, то ряд П-+ЭО оо X ап расходится. П=1 2571. Доказать, что если ряд £ ап с иоложитель- п=1 ными и монотонно убывающими членами сходится, то lim nan = 0. fl—►оо 2572. Является ли сходящимся ряд ап, если П~\ lim (ап+1 + &п+ 2 • • • "f* +р) — 0 П-* оо при р = 1, 2, 3, . . .? Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость следующих рядов: ^-+ . . . + — 10 10" sin дг . sin 2л: , , sin па: 2574. .... 2 22 2я cos х — cos 2х . cos 2* — cos Здг 2575. 2 cos лх — cos (n + 1) * 2575.1. ... I2 22 n2 Указание. Использовать неравенство 1 . 1 1 I 0 ■ ^ " — — ■ (л — 2, 3, • * .). Л* ft(n— 1) fl — 1 fl Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость следующих рядов:
§ 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 251 Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или Коши, исследовать сходимость рядов: 0-_0 1000 . 1000* 10003 . 1000" , аО/О. ■' ~ -—• —J-* щ л в 11 21 1 31 п! 2579. J!lL + ^_+...+J2DL+... 21 4! (2л!) 1! , 2! ,3! /г! 2580. 2581. а) 1 22 З3 1 пп 2-11 , 22*21 , 23*31 . I 22 З3 2 Пп\ 3-11 . З2 ■ 21 , З3 • 31 о) > 1 * 22 З3 3я л! 2582. (1!)2 -l -(2!)- -l (302 _l _L (*02 2 24 2° 2п1 2583 1000 + 1000-1001 , 1000-1001-1002 , 1 1-3 1-3-5 ’ 2584. 4 ' 4'7 ’ 4‘7-10 ’ 2 2-6 2-6-10 2585. £ (Jl— Vf) , . . ... (л/2 -г"+Н). ОО 2585.1. £а„, П — 1 где (l/л, если м = т2, ап= { л/ , . 2 (т— натуральное число). п [1/м2, если пфт2 ' 1 2585 - ^ ™ sin"ka 5.2. 1 + х2 + cos2 ка п^= 1 k=\ 2586. V ■ 2587. V \ / 1 \л \ / , 1 V
252 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2588. V ^ 2589' У "”~1 -.ТВ- • L ушг к (2пг+я+1) + / п=2 2589.1. У 2589.2. Lt 2« + 3'1 Zj \ я+ 1 У 2590. V2+V2 —V2 + Л/2— л/2 + д/2" + + /\/ 2 — д /2 + 2 + . . ♦ / jy Указание. У 2 « 2 cos — • 4 2591. Доказать, что если lim а-»- оо ^ lim -^- = q (а„>0), то ап = о (q?), где qx > <7. 2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда ОО £ ап (ап > 0) выполнено неравенство 0=1 в'1*1 < р< 1 при п > л0. Доказать, что для остатка ряда = ^п+1 ^п+2 “Н ... имеет .место оценка г. Оп~п.,+1 Rn < a-i0 -1- . если п > п0. 1 —р оо 2591.2. Сколько членов ряда ^ , где [(2я)!!]2= п=1 = 2-4 ... 2л, достаточно взять, чтобы соответствую¬ щая частная сумма Sn отличалась от суммы ряда S меньше, чем на £ = 10“в? 2592. Доказать, что если ШтГ а>141 ■ =q<. 1 (а„>0), п-уоо йп то ряд 2 ап сходится.
§ !. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 25Э Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример — + —+ —Н—— + — + J—b .. . 2 3 2а За 2а З3 00 2593. Доказать, что если для ряда 2а«(ап>0) П— 1 существует J3/1+1 П—►оо то существует также lim —"+1- =<7, (А) п—►оо йп п п-+оо lim Уап =<?. (Б) Обратное утверждение неверно: если существует предел (Б), то предел (А) может и не существовать* Рассмотреть пример z 3+(-!)п 2л+1 Л=1 2594. Доказать, что если lim \^ап =q (а„ > 0), П-^-оо оо то а) при q < 1 ряд £ ап сходится; б) при q>\ этот п=Л ряд расходится {обобщенный признак Коши). Исследовать сходимость рядов: 2595. V ■2+(~1)/> . 2596. V a cos2 «я/3 Z_i 2я Zj 2я л—1 л=1 „з [У2 + ( - 1)"]" зп п—1 2597.1. у/- ! + Z-j \ 2 + cos я / п= 1 Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать сходимость следующих рядов: 2598- (тУ+(ттУ+(тйг)'+
254 ОТДЕЛ V. РЯДЫ а . а (а + d) . а (а + d) (Ь + 2d) 2599. Ъ (b + d) b(b + d)(b+ 2d) (а>О, Ь>0, d>0). 2600. / А ПП+Р л=1 I (2+ VO(2+ V2) . . . (2 +V») . у ^ (<7>о). Z-. </(<? + !).. .(?+п) 4=1 2602 «=1 Р (Р + 1) • • . (р + п — 1) 1 2603. У - Zj nl П.Я П = 1 2604. УГ ■-3-»- • У. -L. L 2-4*6 . . . (2л) J пЯ п—1 2605(h). VT.Pfr+l)- • -(Р + п-1) Т(р>о ?>о), w LA. «(9 +1) • • •(<?+«-1) J ; /1=1 2606 (н). Доказать, что если для знакоположитель- оо ного ряда Yi ап (°л > 0) ПРИ п 00 выполнено условие П=1 ^__i + i+„C±.y flrt+1 « \ п J а„=0(—!—V \ ЛР « / то где е > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то а„ | 0 при п ->• оо, т. е. а„ при п > п0. монотонно убы¬ вая, стремится к нулю, когда п-> оо. Определив порядок убывания общего члена ani ис- оо следовать сходимость ряда £ а„, если П=1
§ I. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 255 2607. an=-nP + ainP~1+ :••+**, Где + пЧ-\-Ь1п9-^+ . . . + &„ + I-f- . . . 4-£>9>0. 2608. а„=——sin —. пр п 2609. ап— (л/п+Т—JT)P In n~1- (n> 1). n + 1 2610. an = lnp ^sec —) . 2611. an = log^n ^1 + (°>°- b>°)- 2612. a„=[e-(^l + -i-yjp. 2613. an = ! . 2614. a„ = —. „l+ft/In n " nl+l/n 2614.1. Доказать признак Жамэ: знакоположитель- оо иый ряд Yj ап (ап > 0) сходится, если п=1 (l — уЧ,)—>р>1 при п>«0» 4 'In п и расходится, если (l — Van) ~r— < I ПРИ n>n0. 4 J In n oo 2615. Доказать, что ряд £ an(an>0) сходится, я=| in — если существует a > 0 такое, что —— >1+апри In п InJ- п > п0, и расходится, если — < 1 при п> п0 (ло- In я гарифмический признак). Исследовать сходимость рядов с общим членом! 2616. а„ = л1"х (х>0).
256 ОТДЕЛ V. РЯДЫ ГТоаьзуясь интегральным признаком Коши, иссле¬ довать сходимость рядов с общим членом: 2619. ап=—l— (n> 1). п \пр п 2620. ап= (п> 2). п (In п)Р (In In п)» ' 2620.1. Исследовать сходимость ряда In 2- In 3 . . . In (п 4- 1) 1° (2 + i n=I In 2- In 3 . . . In (n 4- 1) (o>0). In (2 -}- p) In (3 4 p) . • . In (/i 4* 1 "1" P) 2620.2. Исследовать сходимость ряда ^ , где Л=1 v (п) — число цифр числа п. 2620.3. Пусть А,„ (п =* 1, 2, , . .) — последователь¬ ные положительные корни уравнения tg х = х. оо Исследовать сходимость ряда £ XZ2- П*= 1 2621. Исследовать сходимость ряда ) — / J In п= 2 (п\) 2622. Доказать, что ряд £ ап с положительными П= I монотонно убывающими членами сходится или расхо- оо дится одновременно с рядом £ 2пагп. п=0 2623. Пусть f (х) — положительная монотонно не- возрастающая функция. оо Доказать, что если ряд 2 f (п) сходится, то для П =1 остатка его Rn= £ f(k) k=n+1 справедлива оценка f f(x)dx<Rn<f(n + \)+ j f(x)dx. n-H n+l
§ 1 ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 257 «о Пользуясь этим, найти сумму ряда У —— с точ- п® Л—1 иостью до 0,01. 2624. Доказать признак Ермакова: пусть f (х) — по¬ ложительная монотонно убывающая функция и lim «1.1 ДС-►ос [ (х) оа Ряд X! f (п) сходится, если Х<1, и расходится, П—1 если Я, >• 1. оо 2625. Доказать признак Лобачевского: ряд £ а„ с по- П—\ ложительными и монотонно стремящимися к нулю чле¬ нами сходится или расходится одновременно с рядом 00 £ рт2~т, где рт — наибольший номер членов ап, т=0 удовлетворяющих неравенству ^ 2 т (ti= 1, 2, , . * , рт). Исследовать сходимость следующих рядов! оо 2626. У V^+2-V^=Lt L-k л« л=2 оо 2627. £!(Уп+а—{/яа + /1 + й). Л=1 2628. f (ctg -Л2 sin -пк—). \ Ап — 2 2п+\ J П—1 ■ 10г-л/^¥)- п=I У ln(n!).t 2631. па n=l 2629 п=I ^ „ s 2630. П=1 2632. £ n*e_V" rz=l 9 Б. П. Демидович
258 ОТДЕЛ V РЯДЫ 2635 оо / 1 \ оо a In n-f & У ( п п1+‘ _ 1 ). 2634, £ е ‘ “> *+Г. гхЙ 4 ' я=1 оо . у^—-—. /1=1 2636. У (cos-2-)"’. n-=l ch — 2637. \ In ' I Л COS ■ п /2=3 2638. 4 п] л£,°л ^ "Тг" У —2639. У Zj nv,‘ Zj (In")'1 я=1 n=2 со 2640. W'1 + cl/n ) (a>0, 6>0, c>0), л =1 со 2641. £(>“—l). CO 2642. V [in — Infsin-i-YL Z-J L \ П» )\ n = I со 2643. X! a_ <s ,n n+<:lnl n) (a>0). « = 1 У Г (a>0. b>G), Lu (rt-\-a)n+b (n + b)n+a v ' /1=1 2645. y_J!i±W_. Z-i 21-41 . (2n)\ n = I со E «=1 2644. /1=1 n=i Исследовать сходимость рядов £ со следующими n=i общими членами:
уп _ >• — § 2. ПРИЗНАКИ сходимости. 259 1 /п 2646. о 2647. ип= 1- . п.А г j ■/ \ + л;4 dx о (rt-fl) я 2648. ий= j пя /И- I 264Э. u„= J е~Ых dx. П 71/П sin3 х 2G50. а,- \ ; + * о Г sir Мп= )Т- 1! + 2! + . • . + л' 2652. ип= 4-1 Ё ln2ft tla Заменив последовательности (/г = 1, 2, . . .) со¬ ответствующими рядами, исследовать сходимость их, если: 2653. хп= 1 + —1— + . . . +—1— — 2У/7. д/2 2654. xn=f-^ L* Ь 2 *=1 2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы иайти его сумму с точностью до 10-5, если а) V-L. б) В) V L Li п* ' Z-i (n+l)l La (2л- 1)1 § 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов I9. Абсолютная сходимость ряда. Ряд Е а» (1) 12=1 9*
260 ОТДЕЛ V РЯДЫ называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд ОО 1>л|- (?) /1=1 В этом случае ряд (I) также сходится. Сумма абсолютно сходя¬ щегося ряда не зависит от порядка слагаемых. Для определения абсолютной сходимости ряда (I) достаточно применить к ряду (2) известные признаки сходимости для знако¬ постоянных рядов. Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) на¬ зывается условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сде¬ лать равной любому числу (теорема Римана). 2°. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд *1-62+63-*4+ • • • +(-1)"-1*п+ • « • (Ьп^ 0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если а) Ьп > Ьп+г (п = 1, 2, . . .) и б) lim Ьп = 0. В этом случае П-+ ОО для остатка ряда Rn = (- 1)" ьп+1 + (- 1 )"«&„+, + . . . имеем оценку Rn = ( - 1)" Qnbn+1 (О<0„<1). 2°. Признак Абеля. Ряд £ (3) п=1 оо сходится, если: 1) ряд ап сходится; 2) числа Ьп(п = 1,2,...) п=\ образуют монотонную и ограниченную последовательность. 4°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если: п 1) частичные суммы Ап= ограничены в совокупности; t= I 2) Ьп монотонно стремится к нулю при п оо. 2656. Доказать, что члены не абсолютно сходяще¬ гося ряда можно без перестановки сгруппировать так, что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся. оо 2657. Доказать, что ряд является сходящимся, л=1 если выполнены условия: а) общий член этого ряда а„ оо стремится к нулю при п -> оо; б) ряд £/4п, получен- П = 1 ный в результате группировки членов данного ряда без нарушения их порядка, сходится; в) число слагав-
§ 2 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 261 рп+1”1 мых ait входящих в член Ап = £ я,- (l=Pi<P2<« • •)» i=Pn ограничено. 2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не из¬ менится, если члены этого ряда переставить так, что ни один из них не удаляется от своего прежнего положе¬ ния больше чем на т мест, где т — некоторое заранее заданное число. Доказать сходимость следующих рядов и найти их суммы: 2659. 1 - + - - + . . . 2 4 8 2 4 8 16 32 2661. 1 --f- L +J L+ . . . 2 3 4 o 6 Указание. Применить формулу 1 Ч—+ . . . Ч—“= *= С + In п + ел, где С — постоянная Эйлера и lim ей = 0. Я->оо оо 2662. Зная, что ^ —-~т~ ^ = 1п 2, найти суммы ря- П= 1 дов, полученных из данного в результате перестановки его членов: а) 1 -|— — __—[_ ___ —\- . . . а; 1 -j j f — - 3 2 5 7 4 И 2 4 3 6 8 пя+i ——±_— переста- Vп /1=1 вить так, чтобы он стал расходящимся. Исследовать сходимость знакопеременных рядов: 2664. f (-'>"<2^1. / j 2п
262 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2665. In + 100 V» *+i я= 1 2666. 1 + —+ - ! -Ь 2 3 4 5 6 7 2666.1. Пусть + —+ -1 . . . 8 9 Е (-!)"&„, (1) п=1 где Ьп > 0 и Ьп -+■ 0 при п -*■ оо. Следует ли отсюда, что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример %-г2±1=Х.. /1 = 1 2667. £ J^5_sl-n_2£L. 2668. — tel ос V (_1)« —. Lj п 4- 100 г,—\ у (- 0" Vл + (— tel П=1 2669. Л = | 2670. У — 1)" П~1 ОО 2671. £ sin (я Vn* +*2 ). П — I ОО /_ i\[V«l 2672 ' ( ' п п=1 I П=| 2673.1. V —— cos яп* In2 п п + 1 /1=2
§ 2. ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 263 2674. Доказать, что знакочередующийся ряд Ь\ — ^2 + ^3 — ^4 • ♦ • +(— сходится, если -r-=l + —+°(-L)’ Ьп+1 П \ п ) где р > 0 (см. 2606 (н)). Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную сходимость следующие ряды: 2675, оо 2677. п=2 ОО оо с» п=\ п~ 2 оо 2681. п=1 ОО ПК 2682, оо оо п — I оо 2685. л=1
264 ОТДЕЛ V. РЯДЫ Znn оо sin 1 у ^ —. 2687. V Inn L-t ii = l 11=2 оо •I 2686. П =2 11 пР Ч — \ / ППпя1 2688 * л 1 п=1 2689. V ( —1у—Г '-3-5- • ■»-" V. Zj L 2-4-6 . . .(2л) J а —1 2690. V .sin-^in“*-, 2691. £sinм2. / j П п=1 ч = I Указание. Доказать, что lim sin п2 0. п—>оо 2692. Пусть £ , V _ (ТрдеР + ai^-1 + • • • +Ор ЬахА + ЬгХ^~1 + . . . + bq •— рациональная функция, где а0 Ф 0, Ь0 Ф 0 и [Ь^х? + + bxxf>~1 + . . . + bq | > 0 при х > п0. Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд £ (-1 YR(n). п= По Исследовать сходимость рядов: 2693. -! 1--\— — —+ . . . \Р W ЗР 4« 5Р W 2694. 1 + 2695. 1 + 2696. 1 — J L4._L.4-J L + 3Р 2Р Ь» 7р 4 Р ir-ir+ir+-ir-ir+ir+ +-пг--^+ i-+-ir+ir-ir+ir+ +ir-i-+ir+
§ 2 ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ 265 2697. Доказать, что ряды sin 2* , sin3* 2 3 cos 2х . cos Зх а) sin х - б) cos х ■ i 6 не абсолютно сходятся в интервале (0, л). 2698. Для рядов оо оо Zcos пх V1 sin пх /Г\ ^ ^ \ п=1 п=1 определить для совокупности параметров (р, х): а) об¬ ласть абсолютной сходимости; б) область неабсолютной сходимости. 2698.1. Исследовать сходимость рядои а) V (—1)"У^Г , In п 1 б) I /1=2 оо ZsirYrt-l —^ ОО — .п.тпГ В) Z 7 п=1Л + 10 sin /г Г2=10 2699. Для ряда Пп-i (1 + P)(2+P) • • • (п+ р) nlno П—\ определить: а) область абсолютной сходимости; б) об¬ ласть условной сходимости. 2700. Исследовать сходимость ряда ОО 1C) где о- о = 1 m(rn — 1) . . . (т —/г+ 1) п\ 2701. Если ряд £ ап сходится и «—I lim — = 1, П—►оо йл
266 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 00 то можно ли утверждать, что ряд £ Ьп также схо- П=1 дится? Рассмотреть примеры у <-!!• и у +л-1 Z-i Vя L-! L V« ” J ’ /1=1 Я=1 сю 2702. Пусть 2 — не абсолютно сходящийся ряд и п=1 п РП = £_!£i!±£L, tfe = £J«L-« <=| i=i Доказать, что lim -^- = 1. П-* 00 Рп 2703. Доказать, что сумма ряда Г пР п=\ для каждого р > О лежит между у и 1, 2703.1. Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до е = 10'®, если: а) У J-»"1- , б) У.™£1. Lmk Vft2+ 1 LU V71 n=1 rt=I 2704. Доказать, что если члены ряда 1-1- + -!—!-+-!—... 2 3 4 5 переставить так, чтобы группу р последовательных по- ложительных членов сменяла группа q последователь¬ ных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет In 2 + — In —. 2 q 2705. Доказать, что гармонический ряд 1,1,1
§ 3. ДЕЙСТВИЯ НАД РЯДАМИ 267 останется расходящимся, если, не переставляя его чле¬ нов, изменить знаки их так, чтобы за р положитель¬ ными членами следовало бы q отрицательных (р ф q). Сходимость будет иметь место лишь при р = q. § 3. Действия над рядами Сумма и произведение рядов. По опреде¬ лению полагают: ОО оо оо а) а* ± X = ± Ьп)> Л —I Я = 1 /1= 1 оо оо оо б) ^ Я/i ^ bn в 2 сп% ГС=I П=1 /1 — 1 где + a2bn-\ + . . . + anbi. Раоенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда оо оо ап и £ Ьп сходятся, а равенство б) —если, сверх того, по n= I П=1 меньшей мере один из этих рядов сходится абсолютно. 2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из ко¬ торых а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба ряда расходятся? 2707. Найти сумму двух рядов: п—1 п~\ Найти суммы следующих рядов: /2 = 1 оо 2709. ^ 2 пл cos 2п п=\ л=0 2711. Показать, что ^ п\ п= 0 п=0 (-,)л =1.
268 ОТДЕЛ V. РЯДЫ (ОО Ч ■<* оо Ия") = £(л+1)<7п (1?1<1)* л=0 / п=О 2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда ^ л/п П=I есть ряд расходящийся. 2714. Доказать, что произведение двух сходящихся рядов yi^(et>o)„y-<^rL(p>o) п=1 п~1 есть ряд сходящийся, если а + р > 1, и расходящийся, если а + р < 1. 2715. Проверить, что произведение двух расходя¬ щихся рядов п=1 п=1 есть абсолютно сходящийся ряд. § 4. Функциональные ряды 1°. Область сходимости. Совокупность Х0 тех значений дс, для которых сходится функциональный ряд и\ (*) + ма М + • • • + ип(х) + . . . . (1) называется областью сходимости этого ряда, а функция S (*) = lim У щ (дс) (* е *о) пч-оо i=1 его суммой. 2°. Равномерная сходимость. Последова¬ тельность функций It М« /2 (X)t • • • » fn(X)t • • • называется равномерно сходящейся на множестве X, если: 1) существует предельная функция f (х) = lim fn (х) (х е Х)\ ft-* ос 2) для любого числа е > 0 можно указать число N = /V (ej такое, что \t W -fn МI < в при л > W и х £ X. В этом случае пишут: fn (x)z5J (*)•
I ^я+р (*) — sn (x) | — < e для всех x £ X. § 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 269 Функциональный ряд (1) называется равномерно сходя¬ щимся на множестве X, если равномерно сходится на этом мно¬ жестве последовательность его частичных сумм: £ = 1 3°. Критерий Коши. Для равномерной сходимости ряда (1) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для каждого е > 0 существовало число N = N (е) такое, что при п > N и р > 0 было выполнено неравенство л+р £ щ (X) i=n+1 4°. Признак Вейерштрасса. Ряд (1) сходится абсолютно и равномерно на множестве Xt если существует схо¬ дящийся числовой ряд С1 + С2 + • • • + сп + • • • (2) такой, что I (х) | < сп при х £ X (п = 1, 2, • . »). 5°. Признак Абеля. Ряд оо £ ап (*) Ьп (*) (3) п=1 00 сходится равномерно на множестве X, если: 1) ряд ^ ап (х) 1 сходится равномерно на множестве Х\ 2) функции bn (х) (п = J, 2, . . .) ограничены в совокупности и при каждом х образуют монотонную последовательность. 6°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится равио¬ ли мерно на множестве X, если: 1) частичные суммы ^ ап (х) в со- п= i вокупности ограничены; 2) последовательность Ьп (х) (я = 1, 2, . . .) монотонна для каждого х и равномерно на X стремится к нулю при п -> оо. 7°. Свойства функциональных рядов, а) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций есть функция непрерывная. б) Если функциональный ряд (1) сходится равномерно на каждом [а, 0] с: (с, Ь) и существуют конечные пределы lim ип (х) = Ап (п= 1,2,...). х->а оо то 1) ряд Ап сходится и 2) имеет место равенство 00 \ ОО £ «„(*)}= X / lim Un(x) 1. л=1 J / ГС=1 lim
270 ОТДЕЛ V. РЯДЫ в) Если члены сходящегося ряда (I) непрерывно днффс- ОО ренцируемы при а < х < Ь и ряд производных £ ип (х) схо- п =1 дится равномерно па интервале (а, Ь)у то — Г Е “п (*)] = £ и'„ (*) при х€(а, dx 1_л=1 J п=i Ь). г) Если члены ряда (1) непрерывны и этот ряд сходится равномерно на конечном сегменте [а} 6], то Ь ( оо \ оо Ь J | Е “« W\dx = £ J ип М dx. {'-) а 1п=1 J п=1 а b Вооб1де формула (4) верна, если f Rn (л;) dx -> 0 при п -> оо, о оо где Rn (*) = ^ и4 (*). Это последнее условие годится так лее 1=П-\-\ и для случая бесконечных пределов интеграции. Определить области сходимости (абсолютной и ус¬ ловной) следующих функциональных рядов: 2716. У^-. 2717. Lb хп 2л — 1 \ I х J П — 1 п=1 2718. V——( —Y. Li л+ 1 ^ 2х+ 1 ) я=1 2719. У-1.:3/ • •(2n~1) (—?£_Y. Lt 2-4 .. . (2п) ^ 1 + х* J Л = 1 2720. У Л^-хп(1 —х)\ 2721. V / -j 2л. / j 2722. I (-1)" . _ (х+п)<> П=1 2723. (Ч>0; 0<*<я). оо 2724. У ——— (ряд Ламберта). 1 — хп /1=1
§ 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 271 п=1 п=1 2727. (1 + X) (1 + дс*) . . . (1 + *») п= 1 □о оо 2728. £ яе-л*. 2729. Y* — 1 L Vn\ i+eM** * /1=1 оо 2730. £ (2—х) (2—X1/2) (2—д:'/3). . . (2—*>/«) (*>0). /1 = 1 2731. V -("-+-?)П-. 2732. V —(д:>0;г/>0). Zj л"+* Lt хп-\-уп у * ' п=1 М=1 00 <50 2733. V (у>0). 2734. £ ^|*Г+ |у|»\ Z-I «+ </п П=| П=1 2735. ^ ■1п(1 + д:П) (jg>0). 2736. £ ^"(*+"7)* гг=1 гс=1 +00 2737. Доказать, что если ряд Лорана £ апхп схо- П~—оо ДИТСЯ при X = Xt И при X = Х2 (|jCj| < |*21)> ТО этаГ ряд сходится также при Uil < |*1 < 1*2|- 2738. Определить область сходимости ряда Лорана + 0° Z^ и найти его сумму. 2739. Определить области сходимости (абсолютной и условной) рядов Ньютона: П=1 п=1 П—1 где лДО = х (х— 1) ... [х — (/i—l) 1.
272 ОТДЕЛ V. РЯДЫ оо 2740» Доказать, что если ряд Дирихле у схо* / i ПХ п—\ дится при х = х01 то этот ряд сходится также при х >х0. 2741. Доказать, что для равномерной сходимости на множестве X последовательности /„ (х) (п = 1,2, . . .) к предельной функции / (х) необходимо и достаточно, чтобы lim jsupr„ (x)J =0, где гп (х) = |(х)|. 2742. Что значит, что последовательность fn{x) (п = 1, 2, . . .): а) сходится на интервале (х0> + оо); б) сходится равномерно на каждом конечном интервале (а, Ь) а (х0, + оо); в) сходится равномерно на интервале (дсв, + оо)? 2743. Для последовательности /„(*) = хп (п = 1, 2, . . .) (0 < х < 1) определить наименьший номер члена N = N (е, х), на¬ чиная с которого отклонение членов последовательно¬ сти в данной точке х от предельной функции не превы¬ шает 0,001, если х = —, —-—, , ,. , —-—, .. . 10 У ю У ю Сходится ли эта последовательность равномерно на интервале (0, 1)? оо 2744. Сколько членов ряда V —?1П п*—следует взять, L-1 П (п + 1) Л = 1 чтобы частная сумма 5„ (х) отличалась при — оо < х <. < + оо от суммы ряда меньше чем на е? Произвести численный расчет при: а) е = 0,1; б) е = 0,01$ в) е = = 0,001. 2745. При каких п будет обеспечено выполнение неравенства -z-f 1=0 Исследовать последовательности на равномерную схо> димость в указанных промежутках:
у2 I 1 1 ’ § 4- ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 273 2746. fn(x) = хп\ а) 0 < X < -i-; б) 0 <х < 1. 2747. fn(x) = xn— лс"+1; О < jc < 1. 2748. /„ (jc) = лс« — *2n; 0 < jc < 1. 2749. /„ (*) = —!—; 0<x< + oo. X + Я 2750. /„(jc) = ■ "* ; 0 <x < 1. l + n+ * 2751. fn (x) = -■* ; a) 0 < x < 1 — e; 1 + xn 6) 1— в) 1+e -foo, гдее>0. 2752./„(*) = —^L_; а)0<*<1; 1 + n2 X2 6) l<JC< + 00. 2753. /„(*)= д/x 2754. fn(x) = n (д/*+~ У*)'. 0<дс< + св. 2755. a) /„ (jc) = ; - oo <*< + oo; n 6) fn(X) = sin —; — «<*<-j-oo. n 2756. a) fn(x) = arctg me; 0<*< + oo; 6) fn(x)=> = jc arctgплс; + 2757. fn(x) = <*«-»', 0<jc<1. 2758. fn(x) = e-'x-n?; a) —/<*</, где /—любое положительное число; б) — оо <Cjc<C + оо. 2759. fn (л:) = — 1п —; 0<*< 1. п п 2760. (дс) = ^1 + — у; а) на конечном интер* вале (а, Ь)\ б) на интервале (—оо, +оо). 2761. fn (х) = п (х1/п — 1); 1 < х < а. 2762. /„ (х) = У\~+х?\ 0 < х < 2.
274 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 1 2763. fn (х) = /Ас, если 0 < х < П пг(— jcY если— <*<—; \ п ) п п 2 О, если х >— п на сегменте 0 < х < 1. 2764. Пусть f (х) — произвольная функция, опреде¬ ленная на сегменте [а, 6], и /„ (х) = (,г= п = 1, 2, . . .)• Доказать, что /„ (х) / (я) (а < дс < 6) при /г -> оо. 2765. Пусть функция / (*) имеет непрерывную про¬ изводную /' (а:) в интервале (а, Ь) и fn (х) = п [/ (л: + —/ (jc)] • Доказать, что /„ (jc) /' (х) на сегменте а < дс < р, где а < а < р < Ь. /1—1 2766. Пусть /„ (jc) = ^ / (jc + , где / (х) — 1=0 непрерывная на (— оо, + оо) функция. Доказать, что последовательность /„ (jc) сходится равномерно на лю¬ бом конечном сегменте [а, b ]. Исследовать характер сходимости следующих рядов: 00 2767. Y, хп а) на интервале |*|<<7, где 0<1; п=О б) на интервале |дс|<1. оо ZXn — на сегменте — 1 < х < 1. л2 П=1 оо 2768. К V на интервале (0, +оо). п~О оо 2769. Yj (1 —*) хп на сегменте 0 < jc < 1. л=0
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 275 уП уП+1 2770. Z(v-^r> fi=1 оо 2771. V - ; 0<*<+оо. L Ц«-1)*+1](я*+1) П= I 00 2772. У ! ; 0<*< + оо. L (* + «)(*+я + 1) »=-| 2773. У — ; L (1 + ■*) (1 + 2дс) . . . (1 + лх) п=1 а) 0 < х < е, где е > 0; б) е < х < + оо. 2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость в указанных промежутках следующих функциональных рядов: оо а) У 2 ‘ —» — °°<Л:< + °°; / j X2 + п2 11=1 -2<*< + о°: п=1 оо в) + гг=1 Г> У , Г'ь+ 1 + и5*2 n=l оо Д) ^ (*"+*“»), -L < | д^| < 2; п = I оо Zxn . |*|<а, где а — произвольное [т} п—I положительное число;
276 ОТДЕЛ V. РЯДЫ ж) у «»«"* , |*|< + оо; /ШША -/tlA + я4 п=1 оо V Г1 COS ПХ 1.^1 3> W<+0°; гг—1 оо v sin пх | и) \ —, |x|<-foo; / i пуп п=\ K)iin(i+^r)' '*'<« п—2 Л) X *2£-л*. 0 < *< + оо; П=I м) У arctg ^ , |х|< + оо. X2 + п3 л=1 Исследовать на равномерную сходимость в указан¬ ных промежутках следующие функциональные ряды: оо л-_- sin ПХ ч . . п 2775. > а) на сегменте е < х < 2л — е, / I п П=I где е>0; б) на сегменте 0 < * < 2я. оо 2776. У 2" sin——; 0<х< + оо. Li 3"jc Л = 1 2777. У-(-—1)П-; 0<*< + оо. L-i х+п Я —1 Указание. Оценить остаток ряда* оо 2778. У 0< * < 2я. л+sin* я=2 оо П (П— 1) 2779. ) ! ; |лс| <10, La Vn г* + ех п=1
§ 4. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 277 2 пп Z2 пп cos *- + X2 2780. / —oo<jf< + oo. у п2 + .*2 Л=1 ■Е л/йТ JC 2782.N (z:1)tVn| : 0 < х< + оо. 1 'sjn (п + х) п—1 2783. Может ли последовательность разрывных функ¬ ций сходиться равномерно к непрерывной функции? Рассмотреть пример fn (х) = —1|) (*) (л = 1, 2, . ..), п где ф(*)—I**’ есЛИ * иРРационально> 1 1, если х рационально. оо 2784. Доказать, что если ряд | /„ (х) | сходится п=1 равномерно на 1а, Ь], то ряд X) fn(x) также сходится Л —I равномерно на [а, Ь]. оо 2785, Если рядХ/л (х) сходится абсолютно и равно* П=1 оо мерно на [а, Ь], то обязательно ли ряд£ l/nMI сх0* П = 1 дится равномерно на [а, Ь]7 00 Рассмотреть пример £ (— 1)" (1 —х) хп, где 0 < х < 1. п=О 2786. Доказать, что абсолютно и равномерно сходя¬ щийся ряд (р<х<1), Л=1 где f„(x) = О, если 0 < х < 2-<п+1>; — sin2(2/1+Injc), если 2-(л+1)<х<2_"; п О, если 2~п < х < 1,
278 ОТДЕЛ V. РЯДЫ нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с не¬ отрицательными членами. оо 2787. Доказать, что если ряд£ <рл(*), члены кото- Л = 1 рого суть монотонные функции на сегменте [а, Ь], схо¬ дится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сег¬ менте [а, Ь]. оо 2788. Доказать, что степенной ряд £ апхп сходится п—О абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком лежащем внутри его интервала сходимости. 2789. Пусть ап -> оо так, что ряд ^ j — п=I П сходится. Доказать, что ряд V* —-—сходится абсолютно и равнс- LJ х — ап /2 = 1 мерно на любом ограниченном замкнутом множестве, не содержащем точек ап (п = 1, 2, „ . .). оо 2790. Доказать, что если ряд £ ап сходится, то ряд л=| оо Дирихле ) -^-сходится равномерно при х > 0. / 1 ПХ п= I оо 2791. Пусть ряд £ ап сходится. Доказать, что ряд П=I оо апе~пх сходится равномерно в области х > 0. П=I оо 2792. Показать, что функция f(x)= У —in л-~ не- / J П3 п=\ прерывна и имеет непрерывную производную в области — оо < х <С + оо. 2793. Показать, что функция I П=—оо а) определена и непрерывна во всех точках, за исключе-
§ 4 ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 279 пнем целочисленных: х = 0, ±1, ± 2, . . . 5 б) перио* дическая с периодом, равным 1. оо 2794. Показать, что ряд2 [пхе~пх—(n — 1) хе-<п~1)*1 П=\ сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако его сумма есть функция, непрерывная на этом сегменте. 2795. Определить области существования функций / (я) и исследовать их на непрерывность, если /2 = 1 Л=1 з) / (х) = (1 + хг)п П=1 2796. Пусть rk (k = 1,2,...) — рациональные числа сегмента [0, 1 ]. Показать, что функция оо /w=ZJji^lL {0<х<1) /г=1 обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) диф¬ ференцируема в иррациональных точках и недифферен¬ цируема в рациональных. 2797. Доказать, что дзета-функция Римана ‘«-1т- л=1 непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области не¬ прерывные производные всех порядков. 2798. Доказать, что тэта-функция -f- 00 е (jc) = £ е-пп*х Л=—оо определена и бесконечно дифференцируема при х > 0. 2799. Определить область существования функции / (*) и исследовать ее на дифференцируемость, если: оо оо *1 /1=1 п=1
280 отдгл v ряды 2800. Показать, что последовательность L (*) = — arctg хп (п = 1, 2, . . .) П сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но [lim /„ (jc)!' Ф lim f'n (1). /1-+-00 х=\ П—юс 2801- Показать, что последовательность fn(x) = xl + -—smn(x+ сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но [ lim /„ (*)]' Ф lin f'n (х). Г2—>00 П~*-ао 2802. При каких значениях параметра а: а) после¬ довательность fn (х) = пахе—пх (1) (п = 1,2,...) сходится на сегменте [0, 1 ]; б) последо¬ вательность (1) сходится равномерно на [0, 1 ]; в) воз¬ можен предельный переход под знаком интеграла 1 lim J fn (х) dx? л—voc 0 2803. Показать, что последовательность fn (х) = пхе~пх‘ (п=1, 2, ...) сходится на сегменте [0, 1J, но I 1 J [lim fn (*)] dx ф lim J/„ (x)dx. 0 П->оо П-*-оо о 2804. Показать, что последовательность /„(*) = пх (1— х)п (п = 1, 2, . . .) сходится неравномерно на сегменте [0, 1 ], однако I 1 lim f fn (х) dx = f lim fn(x) dx. n->oo 0 0 n ->oo 2805. Законен ли переход к пределу под знаком интеграла в выражении пх dx? lim Г — П—*00 .! 1 • П-*оо ,) 1 + п2х* 6
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 281 Найти: 2806. lim V —%1—. jc-^i—о 2—/ л хп-\-[ л—1 оо 2807. lim £ (хп — хп+|). х-+\—0 п—I <*> ОО 2808. lim V ——. 2808.1. lim V -—. *-*+0 La 2nn* x^oo La 1 + Л2*2 /7=1 л=1 2809. Законно лн почленное дифференцирование ряда Xarctg п = 1 2810. Законно ли почленное интегрирование ряда Л=1 на сегменте [0, 11? 2811. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — бесконечно дифференцируемая функция и последовательность ее производных fM (х) (я = 1,2,...) сходится равномерно на каждом конечном интервале (а, Ь) к функции <р (дс). Доказать, что <р (х) = Сех, где С — постоянная вели¬ чина. Рассмотреть пример /п(х) = е-{х~п)‘, п= 1,2, 2811.1. Пусть функции fn(x), п=1, 2, ..., — опреде¬ лены и ограничены на (— оо, -f оо) и /„ (х) ф (х) на каждом сегменте (а, Ь]. Следует ли отсюда, что lim sup / (х) = sup ф (х)? П-*ао X X § 5. Степенные ряды 1°. Интервал сходимости. Для каждого сте¬ пенного ряда До + av (х—а) + . . . + ап(х—а)п + . . . существует замкнутый интервал сходимости: \х—а | ^ R, вну¬ три которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус
282 ОТДЕЛ V. РЯДЫ сходимости R определяется по формуле Коши — Адамара -4“= Пт У\ап f. R П-►оо Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле йп I R = lim м-*оо| ап+1 I если этот предел существует. 2°. Теорема Абеля. Бели степенной ряд S (х) = оо = апхп (| дс 1 <. R) сходится в концевой точке x—R интер- п=0 вала сходимости, то 5 (R) = lim S (*). x-+R— О 3°« Ряд Тейлора. Аналитическая в точке а функция f (дг) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степен¬ ной ряд /г=0 Остаточный член этого ряда Rn W = f (*) - }Ja)- ~ a)k /е=0 может быть представлен в виде (,) = /(я+1) (д + в (* — a)) (J[ _ в)Я+1 (0 < 0 < 1} (п+ 1)! (форма Лагранжа), или в виде Rn (х) = fl)) (1 - 0i)« (jc - o)n+1 (0 <0! < 1) n\ (форма Коши). Необходимо помнить следующие пять основных разложе¬ ний: I. e* = i+ 2! я1 ( — ОО < X < + оо). у<3 y2rt—1 II. sin х = х — ~ + ... +(-!)«-! 3! (2« — 1)! (_ оо <*< + оо), х2П , 21 (2л) 1 ( — ОО < X < + 00^
§ 8 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 283 IV. (1 + х)т = 1 + тх -Ь х2 + . . . 21 # § > + т(т—\). . . (/п —n+ 1) rt] у2 уЗ у/1 V. 1п(1 + х) «*--£. + -£ 2 3 п (— 1 <*<1), 4°. Действия со степенными рядами. Внутри общего интервала сходимости |*—а | < R имеем: а) £ (* — а)п ± £ Ь„ (х — а)п = £ (а„ ± 6„) (х — а)п; л=0 /1=0 м=0 б) £ вЛ(х-а)« £ Ьп(х-а)п= £ е„ (*-«)". л=0 л=0 где сп = a0bn + dibn_i + . . . -f- апЬ0\ в) “Т” 1 2 а« (* * а^1 = S <Я + °п*1 — ^"} Ln=0 J п=0 г) IIЁ - о)Т'■с+Z-^г(* - |_я=0 J л=0 5°, С т е п е н н ы е ряды комплексной обла¬ сти. Рассмотрим ряд /2=0 где = fl/t + ^/1» а = а + ф, г = х + «/, i2 = — 1. Для каждого такого ряда имеется замкнутый круг сходимости \г—a\^Rt внутри которого данный ряд сходится (и притом абсолютно), а вне расходится. Радиус сходимости R равен ра¬ диусу сходимости степенного ряда п=О в действительной области. Определить радиус и интервал сходимости и иссле¬ довать поведение в граничных точках интервала сходи¬ мости следующих степенных рядов: 2812. £ . 2813. £ Э" + (-2)" (je+ П—\ П=1 а)п+г.
284 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2814. У-Й12-Л L, <2">' 1 2815. 2 (0<а< 1). Л=1 ми. £(l + -!-)">. л=1 оо 2817. (а> 1). La л=1 2818. Vfi-35—О—'>.1У^1У, La L 2 4 6 . . . (2л) J V 2 ) п=I 2819. У,( —1)- L, L (2л +1)1 J П—1 2820. У .-у /; ... у»-^»т ./ х„ L-t п\ Я=1 т(т — 1). . .(т-гп + 1) 2821. п=I п=I £ (а>0'6>0)- 2822. П=1 оо 2823. V —(а>0) Z-i aV" П = 1 оо 0“ЛА* ГЛ 2824. 4 Г V«a+1 n=l (2 л)!! 2825. V —— х". L, (2я+1)И /1 = 1
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 285 2826. *"• Л=1 2827-|;(1+т+---+т)л П—1 2828. £ J3-+<.Z-»)T ^ Л=1 2829. У„(^11У A2my^L. / , In п L 2Л п—2 Z, __ п1л/« 1 — хп (ряд Принсгейма). п п=\ Z]0V{n) (1 —л:)лэ где v (п)— число цифр 2831 п~\ числа п. 2831.2. Lu \ sin п ) п=I 2832. Определить область сходимости гипергеомет- рического ряда l + JLL^+JLiEL+iIM+lL^ + ... 1 • Y b2-v(V+l) , а(а+ 1). . . (а+ n — 1) Р(Р+ 1). . .(Р+и-1)„я , • • « “I Л -р« • • 1-2. . , п • Y (V + 1). • .(Y + »“U Найти область сходимости обобщенных степенных рядов: у—!—2834- У —sin—. L> 2«+ 1 V. 1Л-Х ) Li Хл 2» 2833. /1=0 /1=1
286 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2835. ^ 2836. +-7) е~пх- оо п=I 2838. Функцию f (.к) = х3 разложить по целым неотрицательным степеням бинома х + 1. 2839. Функцию разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по сте- зать соответствующие области сходимости. 2840. Функцию / (х) = In х разложить по целым неотрицательным степеням разности х—1 и выяснить интервал сходимости разложения. Найти сумму ряда Написать разложения следующих функций по це¬ лым неотрицательным степеням переменной х и найти соответствующие интервалы сходимости: 2841. / (х) = sh х. 2842. f (х) — ch х. 2843. f (х) = sin2*. 2844. f (х) = ах (а > 0). 2845. f {х) = sin (ц arcsin х). 2846. / (х) = cos (fx arcsin jc). 2847. Написать три члена разложения функции f (jc) = хх по целым неотрицательным степеням разно¬ сти х—1. 2848. Написать три члена разложения функции f (jc) = (1 + x)Ux (хф 0) и f (0) = е по целым неотри¬ цательным степеням переменной х. 2849. Функции sin (х + h) и cos (дс + h) разложить по целым неотрицательным степеням переменной h. /(*) = (а Ф0) а — х пеням бинома х—Ь, где Ь Ф а; в) по степеням —. Ука- оо
§ J СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 287 2850. Определить интервал сходимости разложения в степенной ряд функции: /(*)’ х2 — 5ЛГ + 6 а) по степеням х; б) по степеням бинома х—5, не произ¬ водя самого разложения. 2850.1. Можно ли утверждать, что .V Zv2rt-1 ( —1)"~' (2П_ 1) l£sin* на ( —оо, 4-оо) л=1 при N-+cо? Пользуясь основными разложениями I—V, написать разложения в степенной ряд относительно х следую¬ щих функций: 2851. е~Л 2352. cos2 х. 2853. sin3x. 2854. - -~10 ■. 2855. ! . 2856. 1-* 0-*)а д/1 — 2х i57. 1п л / 1 . V 1 —X 1 -j- х — 2х* Указание. Разложить данную дробь на простейшие* 2859. —12—-5* . 2880. * 6 — 5х — (1— х)(\— х3) 2861. ! . 2862. 1 1 — X — X2 1 + X + X2 2862.1. /(*) = ! г. 1 + X + X2 + дс3 Чему равно /(1000) (0)? 2863. —хсоза-^ . 2864. *sin а 1 — 2х cos а + х2 1 — 2х cos а + х2 2865. — . 2866. 1 l-2xcha+x2 2867. ln(l+x + *a + *3). 2868. ^cosecos(xsma). Указание* Применить формулы Эйлера
288 ОТДЕЛ V. РЯДЫ Разложив предварительно производные, путем по¬ членного интегрирования получить разложения в сте¬ пенной ряд следующих функций: 00 2869. / (ж) = arctg х. Найти сумму ряда / 1^+1 . ^ 2n“1 2870. f (х) = arcsin 2871. / (х) = ln(x + JT+?). 2872. /(*) = In (1-2* cos « + **). 2873. Применяя различные методы, найти разложе¬ ния в степенной ряд следующих функций: а) / (х) = (1 + х) 1п (1 + х)\ б) f(x) = -^r ,n + — arctg х\ 4 1 — х 2 в) / (х) — arctg 2 — 1 + 4jc ’ 2* г) / (*) = arctg 2 — х2 д) f(x) = X arctgх— In Vl + *2; е) f (x) = arccos (1 — 2x2); ж) f(x) — x arcsin x + ^/1 —x2; з) / (лг) = jc In (jc -f- V1 + *2) — Vl + *2- 2874. Используя единственность разложения f(x + h)-f(x) = hf (x) +-%-Г (x) + . . . , найти производные п-го порядка от следующих функций: а) f(x) = ex\ б) f (х) = еа'х\ в) / (х) = arctg х. 2875. Функцию f (х) = In ! разложить по 2 + 2х Xs целым положительным степеням бинома х + 1. 2876. Функцию / (х) = —?— разложить в степей- 1 — х ной ряд по отрицательным степеням переменной х. 2877. Функцию f (*) = In х разложить в степенной X — 1 ряд по целым положительным степеням дроби —^ , 2878. Функцию / (ж) = —— разложить в сте- Vi+-«
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 289 пенной ряд по целым положительным степеням дроби к 1 + х оо 2879. Пусть f(x)=) -2—. Доказать непосредст- /-J П\ /1=0 венно, что f (х) / (у) = f (х + у). 2880. Пусть по определению ОО оо ZX2n + l *2/1 (— \)п И cosx= > ( — 1)я . v (2/1+1)1 Lk (2/i)l /х=0 n=0 Доказать, что a) sin х cos х = sin 2х\ б) sin2 * +cos2 я = 1. 2881. Написать несколько членов разложения в сте¬ пенной ряд функции Т-1 уП /(*) = 1Ш п—0 Производя соответствующие действия со степенными рядами, получить разложения в степенные ряды сле¬ дующих функций: 2882. f(x) = (l+x)e~x. 2883. /(*) = (!—*)2ch л/х. 2884. / (лг) = In2 (1 —дс). 2885. /(*) = ( 1 + *2) arctg *. 2886. f (jc) = ех cos jc. 2887. / (jc) = е* sin jc. 2888. f (x) = ~ln • 2889. f (x) = (arctg xf. 2890. /(jt) = (-^'-J, Написать три члена разложения (отличные от нуля) в степенной ряд по положительным степеням перемен¬ ной х следующих функций: 2891. f(x) = tgx. 2892. / (jc) = th jc. 2893. f (jc) = ctg x —. x 10 Б. П Демидович
290 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2894. Пусть разложение sec х записано в виде у2п sec л: = V -Еп - хт. L, (2/1)1 я=О Вывести рекуррентное соотношение для коэффици¬ ентов Еп (числа Эйлера). 2895. Разложить в степенной ряд функцию /(*)= ■ 1 — (И<1). V1 — 2 tx + х2 оо 2896. Пусть f (х) = апх*. Написать разложение п= О функции F (х) = j ^ . оо 2897. Если ряд £ °пХП имеет радиус сходимости Ru п=о оо а ряд 2 — радиус сходимости R2, то какой ра- п—О диус сходимости R имеют ряды 00 оо а) £ (ап ± Ьп) хп\ б) '£апЬпхп'? п—О п=О 2898. Пусть I = lim I - а" ■ I и L = ijm п->оо I art+i I п-+оо ап ап+1 Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда 00 X апхп удовлетворяет иеоасгнстзу п=0 I < R L. оо 280Э. Доказать, что ecin f (х) —Yja^n, пртсм n =0 |n\ on I <M (n= 1,2,., .), где Л! — посто"мчтя, то: 1) f (x) бзсчсчгчпэ длффз^п- цнруема в любои1 тол^г а; 2) справедливо разло^еши / (*) = У H11SL (х _а)п (| * | < + оо). Z-i и» «=о 2899.1. Пусть / (я) £ С<°°> (о, Ь) п |/,п)(х)| < с'1 (п =
§ 5 СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 291 = 0, 1,2,...) при х £ (а, Ь). Доказать, что функция / (х) разлагается в степенной ряд 00 f (х) = X ап (х —х0)п (дс0 £ (а, 6)), П=0 сходящийся в интервале (а, Ь). 2899.2. Пусть f (*) £ С<“> [— 1,1 ] и /"•> (х) > 0 (п = = 0, 1, 2, . . .) при х ^ I— 1,1 ]. Доказать, что в ин¬ тервале (— 1,1) функция f (х) разлагается в степенной ряд /(*) = Z йпхп. П= О Указание. Использ>я монотонность производных f(n> (х) для остаточного члена Rn(x) ряда Тейлора функции (*), получить оценку 1 Rn МК1*1л+1/0). 2990. Доказать, что если 1) ап> 0 и 2) существует оо оо lim 2 Ял *л = 5, то 2 Qn#n = S. д:——0 П=0 п= 0 Разложить в степенной ряд функции: Л =■ J V»-'4 д 2901. | e~rdt. 2992 I о х 2903. \ -^ii- dt. 2£Э4. Г —ct^-x dx С sin I J ~ и о f/ dt in (i /) (НЗШ!сать четыре члена). Применяя почленное дифференцирование, вычислить суммы следующих рядов: 2906. х + - + -£-л-. . . 3 5 \ 3 у5 2007. х —-J-- 3 5 290S. 1 + —— + -j- . . . 21 41 Ю*
292 ОТДЕЛ V. РЯДЫ х2 . лс3 . 2909. 1 2 2 3 3-4 2910. 1+— x-f--^-x*+-^-x3+ . .. 2 2-4 2-4.6 Указание. Производную ряда умножить на 1— х. Применяя почленное интегрирование, вычислить суммы рядов: 2911. х + 2л:2 -Ь Зл:3 + . . . 2912. х—4х2 + 9л:3—16л:4 + . . . 2913. 1 -2л: + 2-Зл:2 + 3-4л:3 + . . . ОО 2914. Показать, что ряд у = ^ ~(4~)Г УД°влетво‘ /1=0 ряет уравнению t/,v = у. оо ЕХП удовлетво- (л!)а п=0 ряет уравнению ху" + у'—у = 0. Определить радиус и круг сходимости степенных рядов в комплексной области (г = х + <</): 2916, У-!ir.'-О"., Li я-2* П —I 2917. Г (1-!- 0я гп (я-г !)(,*+ 2) п=I 2018. V — . (1 + 0 (1 + 20 . . . (1 + т) 11=1 2919. V — La л .a+i0 >1=1 2920. Z{z-eia)n я (l — eia)n n=l 2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, при*
§ 5. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 293 ближенно вычислить т/9 и оценить ошибку, которая получится, если взять три члена разложения. 2922. Приближенно вычислить: a) arctg 1,2; б) 1000; в)—L-; г) In 1,25 д/е и оценить соответствующие погрешности. Пользуясь соответствующими разложениями, вычис¬ лить с указанной степенью точности следующие значе¬ ния функций: 2923. sin 18° с точностью до 10-5. 2924. cos 1° с точностью до 10"®. 2925. tg 9° с точностью до 10-3. 2926. е с точностью до 10_6. 2927. In 1,2 с точностью до 10-4. 2928. Исходя из равенства я . 1 — =- arcsin —, 6 2 найти число я с точностью до 10'4. 2929. Пользуясь тождеством -Л. = arctg ~ + arctg -j-, вычислить число я с точностью до 0,001. 2930. Пользуясь тождеством = 4 arctg — arctg 1 4 5 239 определить число я с точностью до 10-9. 2931. Пользуясь формулой ln(n + l) = lnп + 2[ ! 1 -—- 1- . . .1, v L 2n+l 3(2п+i)s J найти In 2 и In 3 с точностью до 10“5. 2932. С помощью разложений подынтегральных функ¬ ций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие интегралы: 2 J i f sin * . a) J e-^dx] 6) J el/xdr, в) \ —-— 0 2 J
dx 1 + ж3 ’ C94 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 1 1 +оо г) ^ cos хЧх\ д) Ц ^ dx; е) ^ 0 0 3 1/3 1 МУлЬ-1 3> S'Vi+7 ; о о 100 10 1/2 1/2 I „) ( -2^-л Л) „) Jrtte. 0 0 о 2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной полуволны синусоиды у = sin х (0 < х < я). 2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса с полуосями а = 1 и b = 1/2. 2935. Провод, подвешенный на двух столбах, рас¬ стояние между которыми равно 21 = 20 м, имеет форму параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину про¬ вода, если стрелка прогиба h = 40 см. § 6. Ряды Фурье 1°. Теорема разложения. Если ф> нкцня JF (х) кусочно-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производ¬ ную {/ (х) в интервале (— I, I), причем ее точки разрыва !• регу¬ лярны (т. е. / (I) = ~ ff (1—0) +f. + 0)1), то функция [ (г) в этом интервале можег быть представлена рядом Фурье ОС oQ , V1 / пях пях \ t w=——+2, c°s —}— +Ьп sin —]— j * w n=i где !=“T Cn = —\ f (x) cos —~— d< (.'1=0, 1, 2, . . .) (2)
§ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 295 1 f , , v . ппх . bn = — UWs»п—-—dx (/1=1, 2, • . .)• (2') ~/ В частности: а) если функция JF (*) четная, то имеем: оо «, х 0в I V ппх /(*)=—£~ + > a„cos—-—, (3) П=1 где г - I , V V ППХ , в* = — \ f (х) cos —-— d* (л = 0, 1, 2, --Н о б) если функция £ (х) нечетная, то получаем; оо * у ППХ ) ЬПsin—j—» (4) П—1 где 2 Г Р , . ля* Ьп = — U(*)sm—j—dx (/1=1,2, , . О Функцию f (х), определенную в интервале (0, /) и обладаю* щую в нем приведенными выше свойствами непрерывности, можно в этом интервале представить как формулой (3), так и формулой (4). 2°. Условие полноты. Для всякой интегрируемой на отрезке [— /, /] вместе со своим квадратом функции f (г) формально построенный ряд (1) с коэффициентами (2), (2') удов¬ летворяет равенству Ляпунова О ПГ\ } 1 (4 + bn) = — J/ (*) dx 3°. Интегрирование рядов Фурье. Ряд Фурье (1), даже расходящийся, интегрируемой по Риману в ин¬ тервале (— I, I) функции I (х) можно интегрировать почленно в этом интервале. 2936. Функцию / (*) = sin4* разложить в ряд Фурье.
296 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2937. Каков будет ряд Фурье для тригонометриче¬ ского многочлена П Рп (х) — 2 («г cos ix -|- р< sin ix)? t =о 2938. Разложить в ряд Фурье функцию / (х) = sgn х (— я < х <С я). Нарисовать график функции и графики нескольких частных сумм ряда Фурье этой функции. Пользуясь разложением, найти сумму ряда Лейбница (- I)"-1 I П —I Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах следующие функции: ( А, если 0<х<^1: 2939. / (х) = А 10, если /<лс<2/, где А — постоянная, в интервале (0, 21). 2940. /(*) = * в интервале (— я, я). 2941. / (х) = л х - в интервале (0, 2я). 2942. f (х) = | д:| в интервале (—я, я). { ах, если —я<л:<0; 2943. /(*)= . ^ (ох, если 0<д:<я, где а н b — постоянные, в интервале (— я, я). 2944. / (х) = я2—х2 в интервале (— я, я). 2945. f (а) = cos ах в интервале (— я, я)’ (а — не целое). 2946. / (х) = sin ах в интервале (— я, я) (а — не целое). 2947. / (х) = sh ах в интервале (— я, я). 2948. / (л:) = еах в интервале (— h, h). 2949. f (х) — х в интервале (а, а + 21). 2950. f (х) = х sin х в интервале (— я, я). 2951. / (х) = х cos х в интервале ^ , -2-) . Разложить в ряды Фурье следующие периодические функции:
§ б ряды фурье 297 2952. / (х) = sgn (cos jc). 2953. f (jc) = arcsin (sin jc). 2954. / (x) = arcsin (cos jc). 2955. f (jc) = jc — [jcI. 2956. f (jc) = (jc) — расстояние jc до ближайшего це¬ лого числа. 2957. / (jc) = | sin jc|. 2958. / (jc) = |cos jc|. oo 2959. /(*)= Y an —in(|ct|<1). / , sin X n= 1 2960. Разложить в ряд Фурье функцию / (д:) = sec л: ^ 4~<'Л:<:~4“‘)' Указание. Вывести соотношение между коэффициен¬ тами ап и 2- 2961. Функцию f (х) = х2 разложить в ряд Фурье; а) в интервале (— эх, я) по косинусам кратных дуг; б) в интервале (0, л) по синусам кратных дуг; в) в ин¬ тервале (0, 2я). Нарисовать график функций и графики сумм рядов Фурье для случаев а), б) и в). Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов: ±-, V -L-. УН- „ f ! *" Li а2 L> (2n-i)2 fl —1 /1 = 1 /2—1 2C62. Исходя из разложения оо *-2 y(_i)«+i_ilILJ!fL_ (_я<*<я)| L4 « /1=1 почленным интегрированием получить разложения в ряд Фурье на интервале (— л, л) функций jc2, х3 и jc4. 2963. Написать равенство Ляпунова для функции т-1 1 при ,Jc|<a; '■ \0 при a<|jc|<n. Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
293 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2964. Разложить в ряд Фурье функцию х, если 0 < х < 1; /(*) = 1, если l<je<2; 3—х, если 2<х<3. Пользуясь формулами cos х = -L(t+l), siax = -L-(t—t), где t = е1х и t = e~ix, получить разложение в ряд Фурье следующих функций: 2965. cos2'" х (т — целое положительное число). 2966. 2967. 2968. q sin х 1 — 2q cos x + ф \-Ф 1 — 2q cos д: qi 1 — q cos x (I id). (Md). (Md). 1 — 2q cos x + q2 2969. In (1—2q cos x 4- q*) (I q I < 1)’. Разложить в ряд Фурье неограниченные периодиче¬ ские функции: X Т X sin - COS 2970. /(*) = ln 2971. /(*) = ln 2972. /(*) = In 2973. Разложить d ряд Фурье функцию , X tg— х /(JC)=Jln V|Ctg"2" dt (—зх^л:<я). 2974. Разложить в ряд Фурье функции х = х (s), у = у (s) (0 < s < 4а), дающие параметрическое представление контура квад¬ рата: 0 < х С а, 0 •< у < а, где s — длина дуги, от¬ считанная против хода часовой стрелки от точки О (0, 0].
$ 6. РЯДЫ ФУРЬЕ 299 2975. Как следует продолжить заданную в интер¬ вале (0, я/2) интегрируемую функцию / (х) в интервал (— я, я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид оо /(*)= 2 a„cos(2/i—1)х (—я<х<я)? Л=1 2976. Как следует продолжить заданную в интервале (О, я/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал (— я, я), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид оо /(*) = 2 sin(2/1—1)Х (— я<х<я)? /1=1 2977. Функцию *) разложить в интервале (0, я/2): а) по косинусам нечетных дуг; б) по синусам нечет¬ ных дуг. Нарисовать графики суммы рядов Фурье для слу¬ чаев а) и б). 2978. Функция / (х) антипериодична с периодом я, т. е. / (х + я) = — / (х). Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функ¬ ции в интервале (— я, л)? 2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье функ¬ ции / (х) в интервале (— я, я), если / (х + я) н= / (х)? 2980. Какими особенностями обладают коэффициенты Фурье ап, bn (п = 1, 2, . . .) функции у = / (х) периода 2я, если график функции: а) имеет центры симметрии в точках (0, 0), (± я/2, 0); б) имеет центр симметрии в начале координат и оси симметрии х = ± я/2? 2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье ап, Ьл и ап, р„ (/1 = 0, 1,2,.. .) функций <р (х) и Ц (х), если <р (—*) = ■ф м? 2832. Как связаны между собой коэффициенты Фурье аа, Ьп и ап, (а = 0, 1, 2, . . .) функций q> (->:) н у (х), если ср (— х) = — 41 (х)?
300 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 2983. Зная коэффициенты Фурье а,и Ьп (п = 0, 1, 2, . . .) интегрируемой функции / (х), имеющей период 2л, вычислить коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1, 2, . . .) «смещенной» функции / (х + h) (h = const). 2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (а = 0, I, 2, . . .) интегрируемой функции / (х) периода 2л, вы¬ числить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0, 1,2,...) функции Стеклова fh(X)=-±-Tfa)dt 2л 2985. Пусть / (х) — непрерывная функция с перио¬ дом 2л и а„, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты Фурье. Определить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0, 1, 2, . . .) свернутой функции F (*)=• — + П -Я Пользуясь полученным результатом, вывести ра¬ венство Ляпунова. § 7. Суммирование рядов 1°. Непосредственное суммирование. Если Ии = — Vn (п= I, 2, . . .) и lim vn = v<3ot TO 00 £ Un = V00 — »!. n—1 В частности, если 1 «л = > ДлЯл+i • • • ап+т где числа ai (i = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрес¬ сию со знаменателем d, то 1 1 t>/2 t= — • . та алДл+1 • • • Д«+т-1 Б некоторых случаях искомый ряд удается представить в виде линейной комбинации известных рядов:
£ § 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 301 (—lyi+l j — " Т. И. П— I ОО 2°. М е т о д Абеля. Если ряд^] ап сходится, то п=) оо оо £ в* “ Jim £ в«г-. п=0 х~* 1 “ 0 /1=0 оо Сумма степенного ряда ^ апхп в простейших примерах нахо« /1=0 дится с помощью почленного дифференцирования или интегри¬ рования. 3°. Суммирование тригонометрических рядов. Для нахождения сумм рядов оо оо £ ancosnx и ^ ans\r\nx п—0 п=1 их обычно рассматривают как действительную часть и соответст¬ венно как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда оо в комплексной области anzn, где г = е1Х, П—0 Здесь во многих случаях полезен ряд оо я=1 Л 1 — = 1п— — (|г| < 1). tl 1 “ 2 Найти суммы рядов: 2986. 1 ' 1 2987. 2988. 1-3 3-5 5-7 1,1, 1-2-3 2-3-4 3-4-5 _1 ! j I 1_ 1-2 2-3 3-4 4-5 2989. 2990. X (п+ 1)(я+2) (п+3) п=1 ! (от—натуральное число). п(п+т) Л=1
302 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 1,1,1 2991. 2992. 2994. 2996. 2998. 2999. 1-2-3 3-4-5 5-6-7 V 1 . 2993. V —2п— я*-1 п2 (п + 1)а /2=2 /1=1 оо оо У * . 2995. Y—- 1_А я(2я+1) «I /1 = 1 /1 = 1 У JgL(".±jL, 2997. У ? п\ £_t п4(л+1)4 /2=0 /2=1 сю 1-. ч2 (я + 1)а (я + 2)* (1=1 У . 3000. У ■ i~1)n L (2Я+1)! n2+rt-: п=0 /1=2 3001. Пусть Р (х) = а0 + агх + . . . + атхт. Найти сумму ряда I п\ /1=1 Найти суммы следующих рядов: 3002. У ”2+1- хп. 3003. У -1 —)Пя—хп. Z-i 2"nl Li («+1)! /1=0 /2=0 3004. У (~1)'1(2д2+ 0 ■ х-п. 3005. У - пЧ~. Zj (2n)l Zj(2«+1)1 /1=0 /2=0 С помощью почленного дифференцирования найти суммы рядов: y^L. 3007. У А=1УЧ1* П я (2п — 1) 3006. * - * ' ' * 1) /2=1 П=1
3008. 3009. оо I § 7. СУММИРОВАНИЕ РЯДОВ 303 xin+i Ап + 1 п=0 у а(а+<0. . .[д+(д-1)Л1 (d>0)> d-2d. . .nd 1 1 П= 1 Указание. Производную ряда умножить на 1—х. ЗОЮ. 1 * 14 / х Y I 147 f * У 1 3 2 3-6 \ 2 / 3-6-9 \ 2 / С помощью почленного интегрирования найти суммы рядов: 00 оо ЗОН. £ п2хп~\ 3012. £«(л + 2)хп. rt=1 Г2 —1 3013. " РМ-В** I /г! п=0 Используя метод Абеля, найти суммы следующих рядов: 3014. 1 —+ 1 1 ' 3015. 1 3016. 1 4 7 10 -J- + -! 3 5 7 1 , 1-3 1-3-5 2-4 2-4 б 3017. 1 + — L + _L'3 2 3 2-4 5 Найти суммы следующих тригонометрических рядов; О у Jjn_nx_ ^ 3019. У -CQS п- La 11 Lj 11 П=1 ОС I 3018. П = 1 П= 1 sin яа sin nx n r n=i
304 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 3021. 3022. ^ sin^ttsin^ £о«х<-|-). 1 = 1 сю I П = I sin (2п — 1) х 2ft — 1 П — 1 оо 3023. П.—2 оо I 3024 П.—2 cos (2п — 1) х (2п — I)2 п=1 3025. > (_l)n-i, 1\п-п.х- (п + 1) /1 = 1 Л = 1 оо I 3026. > -^-Пл: , nl п^О 3027. Построить кривую оо V» sin мх»sin пу = 0. / i «“ n=l Найти суммы следующих рядов: 3028. У t(n ~ 1)'-1- (2*)2л. 3029. Y (в|)*-a:". Lt (2n)l Zj (2л)! /1=1 /1=0 зозо. —+ ——+ * + 1 (X+ l)(*+2) 31 (x+ L) (x + 2) (х + 3) 3031. —— i — — h . • • при условии, at + x a2 + x a3 + x ОС wo x > 0, an > 0 (n = 1, 2, . . .) и ряд У — рас- L~k ал л=1 ходящийся.
§ 8. НАХОЖДЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 305 3032. — + —- + —- h . . . , если 1 __ *2 1 — JC4, 1 — а) |а:|<1; б) |*|>1. оо Zyrt+l f , если а)|х|<1; б)|*|>1. (1 — Xя) (1 — п = I § 8. Нахождение определенных интегралов с помощью рядов С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующие интегралы: * Ау, qhqc; С (х + V 1+*2_)_ 3034* \ In — dx. 3035. \ 111 ^ ^ v dXt J 1 — х J х о о 3036. jj -ln (1-+ >:) dx. 0 1 2037. {хР~1 In (1 —xQ) dx (р>0, q>0). 0 1 3038. f ln л: - ln (1 —>?)dx. о -|-oo -foo у dx 3039. , f 3040. f J -1 J e* + 1 о о 3041. Разложить по целым положительным степеням модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл 1-го рода Я/2 d(p F(k) = j -у/1 — k% sin* cp о 3042. Разложить по целым положительным степеням модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл 2 -го рода Л/2 E(k) = j л/l — fe2sin2<p d<p. о 3043. Выразить длину дуги эллипса х = a cos i, х — b sin t (0 < t < 2я)
306 ОТДЕЛ V. РЯДЫ с помощью ряда, расположенного по целым положитель¬ ным степеням эксцентриситета. Доказать равенства: 3044. f_^L==y,_L J Xх £j Пп 0 п=1 -foo 8045. I е~х> sin ах dx = — V ——— — а2п+1. J 2 U (2п+1)! n—Q 2я 8046. J ecos х cos (sin х) cos nxdx = -2- (n—0, 1, 2,...). 0 tl 1 Найти: 2Я 3047. j ea cos * cos (a sin x~ nx) dx (n—натуральное о число). Я „л.л С *sina j 3048. 1 dx. J 1 — 2a cos дс + a2 о Указание См. пример 2864. n 3049. J In (1 —2a cos x + a2) dx. о 3050. Доказать формулу * л + jc a a2 a3 ...+(-1)"-»—~1)!- +(-1)"-^, 0) or an 14 где a > 0 и 0 < 0„ < 1. С какой точностью выразится интеграл -foo f —?—dxp J 100 + x о если в формуле (1) взять два члена?
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 307 § 9. Бесконечные произведения 1°. Сходимость произоедения, Бесконечное произведение оо PlP2 • • • Рп • • • = Рл ^ Л = 1 называется сходящимся, если существует конечный п отличный от нуля предел п lim JJ pi = Иш Рп = Р. П-+ оо Л=оо Если Р = 0 и ни один из сомножителей рп не равен нул о, то произведение (1) называется расходящимся к нулю\ в против¬ ном случае произведение называется сходящимся к нут* Необходимым условием сходимости является lim рп = 1. п-*оо Сходимость произведения (1) равносильна сходимости ряда оо £ ,п Рп- (2) л—/га Если рп = 1 + ап (п = 1, 2, . , и ая не меняет знака, то для сходимости произведения (1) необходимо и достаточно, чтобы был сходящийся ряд Z «л = Z (Рл- 1). (3) «=1 л =I В общем случае, когда не сохраняет постоянного знака и ряд (3) сходится, произведение (1) будет сходиться или расхо* диться к нулю вместе с рядом оо оо £««=■£О»*-О2* п=I я=1 2°. Абсолютная сходимость. Произведение (!) называется абсолютно или условно (не абсолютно) годящимся в зависимости от того, абсолютно или условно сходится ряд (2). Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости произведения (1) является абсолютная сходимость ряда (3). 3°. Разложение функций в бесконечные произведения. При — оо < х < + оо имеют место раз¬ ложения
308 ОТДЕЛ V. РЯДЫ В частности, из первого при х = я/2 получаем формулу Валлиса Я тт 2/1 Т " II 2п — 2/i 2/t —, ... 1 2л+1 п=\ Доказать следующие равенства: 3051. П0-^г)=т- /1=2 л» — 1 П=2 '3+' 3 3053. /1=2 Ш1 »("+')] 3 ' ^•Щ'+СтГН п=0 3055. И cos ——— = —-. 11 2"+1 п П = 1 3056. П cos —= -^-. 1J, 2я л; П=I 3057. ffch-i- = -^LL. 11 2« х Л1—1 оо 3058. ТТ (l+jt2rt)=—!— (| х | < 1). Ыо 1~х 3059. — = ■ 2 2 2 3060. л/2 д/2 + л/2 д/2 + л/2 + л/2 Зп З/г 2я тт —^— И Зп 1 Зп+1 3л/3 Доказать сходимость и определить значения следую¬ щих бесконечных произведений: 3061. ТТ .в*г.1-. 3062. ПГц-—-—1. IILTn(n + 2)J
зобз. Д § 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 309 (2я + 1) (2в + 7) „=1 (2п + 3) (2л + 5) 3064. П а(-1)Л/п (а>0). П—1 3065. Следует ли из сходимости произведений п Ра П —\ и П Qn сходимость произведений: а) Ц (р„ + qn); /1=1 Я=1 б) П Р2П’ В) П РпЯп, Г) П —? П=I П=1 lij qn Исследовать сходимость следующих бесконечных про¬ изведений: 3066. П—• 3067. ТТ 11 а 11 п (п + 2) П—\ п— 1 го69- no-v)- Дс^тг)'- 00 2 у ^ 3071. ТТ n fll"+ &х , где n3-fan + &>0 при 11 п2-±-ап-\-Ь П=Па п> п0. 3072. ТТ v,("-«p) , где Ло>6, 11 (n — bi)(n — b^. . . (л — Ьр) /1==По (t'=l,2,. . . , р). 3073. П л/ П+1 . 3074. И ^ йо V «+2 И V^Tf 3075. Д УI + -L. 3076. П 3077. ДО -f “) е~х/п‘
310 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 3078. Д(1 __£_)««» где ОО. /7=1 3079. П (1 ~ П 3080. Д (1 + п=1 3081 -П л=1 (i+—Y 1+ 3082. 1 _ * Л exl*f" Л-*ПП' П=1 схэ 3084. Д 1 / . X \ Р ( sin \ п X п J оо 3085. IX У In (п + х) — In п . П—\ оо 3086. Доказать, что произведение Ц cos хп сходится, /1=1 оо если сходится ряд Ц х~п. П=1 оо 3087. Доказать, что произведение Д tg^ -^- + ая) ап | <сходится, если абсолютно сходится ряд £ ая. /1=1 Исследовать на абсолютную и условную сходимость следующие бесконечные пооизвелегшя:
§ 9 БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 311 3090 3092. Пз= д/я 3093. Пп(-»\ Л=1 л/л +(-1)я ЗС94. Д"/п<-чп . 3095> П[1+ (_1)„( '']• 309в-('+^)(,-^)С-^)х ч1+^)е-ж,+^)(,+^)х *Ы)Х'+*У' 3097. 3098. Показать, что произведение (1+^г+т)С-^г)( сходится, хотя ряд 1 + — IX V. ■ Г> *0-if) (^Г+^)+('vT)+(vf+^)+ +(~ vT) + '-' расходится. оо 309Э. Показать, что произведение Ц(1+оО> где п=1 1 л/k если п — 2k—1, 1,1,1 о*. ——+ —Ч —, если п = 2k, \ k * k л] k оо оо сходится, хотя оба ряда £али 2 ®л расходятся, /А—1 Д—I
3,2 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 3100. Пусть оо ‘«-Zv П = 1 (дзета-функция Римана) и рп (п = 1, 2, . . .) — после¬ довательные простые числа. Доказать, что ТТ (1 —^ * = £ (х). ДI *) ОО J 3101. Доказать, что произведение JJ ^1 —^ и оо ряд ) ,где/?,1(п= 1, 2, . . .)—последовательные про- Z-J Рп п=1 стые числа, расходятся (Эйлер). 3102. Пусть я„ > 0 (я = 1, 2, . . .) и Доказать, что 1 + — +0(—(е>0). /2 V м1+е / «■-0’(■£•)■ Указание, Рассмотреть lim П — —1 -|- —Y , п-+оо 1 1 ап \ п ) п=1 3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что 1-3-5 . . . (2n — 1) 1 2-4-6 . . . (2я) ~ ^ ' 3104. Доказать, что выражение п\еп Ои ' Пп+1/2 имеет отличный от нуля предел А при п -*■ оо. Вывести отсюда формулу Стирлинга п! = Arin+l/2e~n (1 -f е„), где Нт е„ = 0 А = У2л.
§ 9. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 313 Указание* Искомый предел представить в виде беско¬ нечного произведения оо А = lim а„ = аг ТТ ап+1/а„. «-*•“ а=1 Для определения константы А воспользоваться формулой Саллиса. 3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г (х) опреде* ляется следующей формулой: Г(х) = lim — . П—►оо X (* + 1) ♦ . . (X + П) Исходя из этой формулы: а) представить функцию Г (х) в виде бесконечного произведения; б) показать, что Г (х) имеет смысл для всех действительных хл не равных целому отрицательному числу; в) вывести свой¬ ство Г (х + 1) = хГ (х); г) получить значение Г (п) для п целого и положитель¬ ного. 3106, Пусть функция f (х) собственно интегрируема па сегменте [а, Ь] и Ьп=-^~, fin=f(a + ibn) (/ = 1,2,. . . ,/г). П Дока?ать, что ь U (x)dx lim ГГ (1 +б«Ап) =еа /2->оо i —0 3107. Доказать, что £ (Я+ ib) 1=0 где а > 0 и b > 0. 3108. Пусть /„ (*) (п = 1, 2, . . .) — непрерывные функции на интервале (а, Ь) и |/„ (х) | < cn (n = 1, оо 2, . . .), где ряд X Сп сходится. П=1
814 ОТДЕЛ V. РЯДЫ Доказать, что функция /Ч*) = П [1+/«(*)! (1Ы*)КП. п= 1 непрерывна на интервале (а, Ь). 3109. Найти выражение для производной функции оо f <*) = П [1+/»(*)]• л=1 Каковы достаточные условия существования Fl (.jc)? 3110. Доказать, что если 0 < х < у, то Нш *(*+»>• • • (*+£). — о, «-►оо У {у + 1) • • • (у + п) § 10. Формула Стирлинга Для вычисления п\ при больших значениях п полезна фор• мула Стирлинга п\ « д/2я«" ппе-п+вп/т (0 < 0„ < 1). Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вы- числить: 3111. lg 100! 3112. 1-3-5 . . . 1999. 3113. 13'5- • 3114. CiSo. 2-4-6 ... 100 3115. 1001 20! 30! 50! 1 2я 3116. f (1 — *2)50 dx. 3117. f sin200 xdx. о 0 3118. Вывести асимптотическую формулу для про¬ изведения (2/г—1)!1 = 1-3-5 .. . (2п—1). 3119. Приближенно вычислить Щп, если п велико. 3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти сле¬ дующие пределы: a) lim n\; б) lim —-—; П-+00 П—►ос J/'JJj в) lim—- n ; r) lim lnn! V(2n — 1)!1 1п""
§ И. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 315 § 11« Приближение непрерывных функций многочленами 1°. Интерполяционная форму ла Лаг* р а н ж а. Многочлен Лагранжа п р у* (х хр) » . . (х — (х — хи1) . . .(х — хп) п Zj (Xi — *o) • . • (Xi — Xi-1) (Xi — Xi+i) . . . (Xi — *„) 4 1=0 обладает свойством Pn (xt) = yi (i = 0, 1, . . . , л). 2°. Многочлены Бернштейна. Если / (jc) — непрерывная на сегменте [0, 1] функция, то многочлены Бернш¬ тейна п вп (X) = £ f су (1 - х)«-‘ 1=0 при п -*■ оо сходятся равномерно на сегменте [0, 1 ] к функции Их). 3121. Построить многочлен Рп(х) наименьшей сте¬ пени п, принимающий заданную систему значений: X -2 0 4 5 У 5 1 —3 1 Чему приближенно равны Рп(-1), Рп(1), Ря(6)? 3122. Написать уравнение параболы у = ах2 4- -г Ьх + с, проходящей через три точки: А (х0—h, у ), В (х0, у0), С (х0 + h, yt). 3123. Вывести формулу для приближенного извле¬ чения корней у = д/х (1 < х < 100), используя зна¬ чения х0 = 1, у0 = I; дсх = 25, yi = 5; хг = 100, «/* = ю. 3124. Вывести приближенную формулу вида sin х° « ах + bxs (0 < х < 90; х = arc я0), используя значения sin 0° = 0, sin 30° = — , sin 90° = 1. 2 Пользуясь этой формулой, приближенно найти: sin 20\ sin 405, sin 80°.
316 ОТДЕЛ V. РЯДЫ 3125. Построить для функции / (х) = (*j на сегменте 1 — 1, 1] интерполяционный многочлен Лагранжа, при¬ няв за узлы точки: х= 0, ±-^-, ± 1. 3126. Заменив функцию у (л:) многочленом Лагранжа, 2 приближенно вычислить f у (*) dx, где X 0 0,5 1 1,5 2 У(У) 5 4,5 3 2,5 5 3127. Составить многочлены Бернштейна Вп (х) для функций х, jc2, Xs на сегменте [0, 1 ]. 3128. Написать формулу многочленов Бернштейна Вп (jc) для функции / (jc), заданной на сегменте [а, b ]. I X I 1 ~~ X 3129. Приблизить функцию f (х) = — — на сег¬ менте [— 1, 1 ] многочленом Бернштейна В4 (х). Построить графики функций у = * и у = = Я4 (jc). 3130. Приблизить функцию / (jc) = |jc| при — 1 < х 1 многочленами Бернштейна четного по¬ рядка. 3131. Написать многочлен Бернштейна В„ (х) для функции f (*) = ekx (а < х < b). 3132. Вычислить многочлен Вп (х) для функции / (*) = cos jc на сегменте —— < х < —. 2 2 3133. Доказать, что |jc| = lim Рп (jc) на сегменте П-+оо [— 1, I ], где рп (х) = 1 —{—£— V ,! -з. • . (2t 3) (1 _х2у ' 2 2-4 . . . (20 V ' 1=2
§ II. ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГОЧЛЕНАМИ 317 3133.1. Пусть / (х) £ С [а, b ] и ь М/, = J xkf (х) dx = 0 (k = О, I, 2, . . . ). а Доказать, что / (х) = 0 при х £ [а, 6 ]. Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об аппроксимации непрерывной функции многочленами. 3134. Пусть f (х) — непрерывная 2я-периодическая функция и ап, Ьп (п = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены Фейера Л—1 ап (х) = -у- + ^ (l ^ (at cos ix -f sin ix) i=i равномерно сходятся к функции f (х) на отрезке [— я, я ]. 3135. Построить многочлен Фейера cr2rt-i (х) для функции f (х) = \х\ при — Я < X ^ я.
ЧАСТЬ ВТОРАЯ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ § 1. Предел функции. Непрерывность 1°. Предел функции. Пусть функция f (Р) = = f (х1% х~> хп) определена на множестве £, имеющем точку сгущения Р0 Говорят, что lim /(Р) = Л, Р-*Яо если для любого е > 0 существует 6=6 (е, Р0) > 0 таксе, что IMP) — i4 | < е, если только Р £ Е и 0 < р (Р, Р0) < б, где р (Р, Р0) — рас¬ стояние между точками Р и Р0. 2°. Непрерывность. Ф> нкция [ (Р) называется непрерывной в точке Р0, еслч lim l(P)=f (Ро). Р-+Р0 Функция f (Р) непрерывна в данной области, если она непре¬ рывна в каждой точке этой области. 3°. Равномерная непрерывность. Функция I (Р) называется равномерно непрерывной в области G, если для каждого е > 0 существует б > 0, зависящее только от е, та¬ кое, что для любых точек Р* и Р" из G имеет место неравенстг j 1НП-НП1<е, если только р (Р'. Я") < б. Функция, непрерывная в ограниченной и замкнутой сб> Ласти, равномерно непрерывна в этой области. Определить и изобразить области существования следующих функций: 3136. u = x+sjy. 3137. u=yi—•х* -f л/у^Т. 3138. и = л/1—х2—у2. 3139. и =— 1 —. y*4v-i
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 319 3140. и = У(*2 + у*— 1) (4 — х2—у2). 3141. и - л/ + V 2х — х2 — у* 3142. u = Vl — (^2 + г/)2. 3143. u = ln(—х—у). 3144. и = arcsin —. х 3145. u = arccos—-—. *+</ 3146. и= arcsin-^— + arcsin(1—у). У1 3147. а = д/sin (х2 + £/г). 3148. и = arccos —■ ■2- ■ . У*2 + у2 3149. u — \n(xyz). 3150. u = ln(—1—х2 — y2+z2). Построить линии уровня следующих функций: 3151. z = x + y. 3152. z = x2+y2. 3153. z = x2—y2. 3154. z = (x + y)2. 3155. z= —. 3155. z = - . x x2 + 2t/2 3157. z — -\jxy. 3153. 2 = | x | -f" У» 3159. z = \x\-fI//1 — \x-\-y\. 315J.1. z = min(A’I y). 3159.2. z = max(|*|, |г/|). 3159.3. z — min(x2, y). 3169. z = e2x/xl+yl. 3161. 2 = X? (x > Oj. 3262. z - x4~K (.v > 0).. 31G3. г=\п ц— (а>0). V (х + а)2 + У 31С1 2-crctg-~-аг—- (а>0). А + уг — О? 3!G5. 2 — sgn (sin х sin у). Найти nocepxt.'ccTii уроепя следующих функции: 3163. и = х + у + г. 3137. и = х2 + у2 + г2. 316S. и = х2 + у2 — г2. 3169. и = (х + у)2 + г2. 3170. и — sgn sin (.к2 + у2 -г г2).
820 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Исследовать характер поверхностей по данным их уравнениям: 3171. 2 = f (у—ах). 3172. г = / + у2). 3!73. 3,74« 2 = ^("7)* 3175. Построить график функции Р (0 — / (cos U sin *)> где ( 1, если y>x, ^ — ( 0, если усх. 3176. Найти f (1, —^, если / (х, у) = -2х9~- . \ х J x-+yi 3177. Найти / (аг), если л/х2+ у- е> (х>0). X J X 3178. Пусть _ 2 = V*/ + / (V* — О- Определить функции f и 2, если 2 = х при у = 1. 3179. Пусть 2 = х + у + f {х—у). Найти функции f иг, если г — хг при у = 0. 3180. Найти f (х, у), если f (х + у, = х2—уг. 3181. Показать, что для функции f(x, у) = х — у х+у имеем: lim (lim / (лс, t/)\ = l; lim (lim/(х, y)\=—i, X-*Q llZ-^0 j y-*Q \ JC-^0 / в то время как lim / (x, у) не существует. jk->0 у-» о 3182. Показать, что для функции f(x, у) = ■2..2 хлу *V + (,х — у)* имеем: lim (lim /(х, #)\ = lim (lim/ (х, t/)\ = 0, jc—►О ►О I у-+ 0 \ jc—►О J тем не менее lim / (х, у) не существует. х-+0 у-* о
§ 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ.. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 321 3183. Показать, что для функции /'(х, у) = (х-\- у) sin — sin — х у оба повторных предела lim Him / (дг, г/)1 и lim /lim f(x, #)\ x-+0 \^-*0 J |(f—^0 / не существуют, тем не менее существует lim / (дг, у) — 0. дс-*0 у-+ О 3183.1. Существует ли предел lim —2ху- ? *-*о ж* + у4 и-* о 3183.2. Чему равен предел функции Их, у) = х*е~{х'-у) вдоль любого луча х = / cos а, у = t sin а (0 < / < + оо) при / -*• + °о? Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой при х -> оо и у оо? 3184. Найти lim/lim/(jc, у)\ и lim/lim/(jc, y)l, x-+a \y~+b ) y-*b \*-*а J если: а) f(x, y) = - — yi- , a = oo, b = oo; x*+y* б) f(x, y) = ■ -, a=oo, b= +0; 1 + B) /(JC, y) = sin-■ -*■ a=oo, b = oo; 2*+ У r) /(jc, «/) = —tg—^—, fl = 0, 6 = oo; Д) f{x, 1/) = log*(* + */), a=l, t = 0. Найти следующие двойные пределы: 3185. lim . 3186. lim-i£±i£-. Х-* оо X* — ху + У2 ж-»оо ж4 + у4 оо у-+ оо 3187. lim -sin *y . 3188. lim (*2 + f/2) е^х+«К х->0 X *->+<*> 11 Б. П. Демидович
322 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3189. Игл (—-2L—Y. 3190. lim {х* + у*)*К Х-++00 \ х2+у2 J Х-+0 у~* ® 3191. lim (\ + -ЬГ'“+И Х-кзо \ X ) X-i у^а 3192. lim £а V*2+y2 3193. По каким направлениям ф существует конеч¬ ный предел: a) lim е*/(*г+у2>; б) lim е*г-у'' sin 2ху, Р-^+О р->+О0 если х = р cos ф и у = р sin <р? Найти точки разрыва следующих функций: ху х+У 3194. и = 1 3195. и = Vх3+ у* 3196. и= ■х + у 3197. u = sin —. х3 + ур ху 3198. и= ! . 3199. и = \п(\—х2—у2). sin л: sin у 3200. и — —-—. хуг 3201. и = In- л/ (ас — а)2 + (У — Ь)г + (г — с)4 3202. Показать, что функция п \ (“ёгТ’ если х2 + г/2#0, f (лг, у) •= | *2 + у1 [ 0, если х2 + г/а = 0, непрерывна по каждол перэченной х и у в отдельности (при фиксированной значении другой переменной), но не является непрерывной по совокупности этих пере¬ менных. 3203. Показать, что функция /(*. у) = х-у , если х2-\-у2Ф0; X4 + у* 0, если хг + уг = 0, п точке О (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча х — t cos а, у = t sin а (0 < t < + оо),
§ I ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ 323 проходящего через эту точку, т. е. существует lim /(/cos a, /sina) = /(0, 0); м однако эта функция не является непрерывной в точке (0, 0). 3203.1. Исследовать на равномерную непрерывность линейную функцию и = 2дс—3у + 5 в бесконечной пло¬ скости £2 = {|*| < + оо, |«/|< + оо}, 3203.2. Исследовать на равномерную непрерывность в плоскости £2 = {| jc| < + оо, |«/| •< + оо} функцию и = У*2 + у2. 3203.3. Будет ли равномерно непрерывной функция в области х2 + у2 < 1. 3203.4. Дана функция и = arcsin—. Является ли У эта функция непрерывной в своей области опреде- ления £? Будет ли функция и равномерно непрерывной в об¬ ласти £? 3204. Показать, что множество точек разрыва функ¬ ции / (*, у) = х sin—, если у Ф 0 и f (х, 0) = 0, не У является замкнутым. 3205. Доказать, что если функция f (х, у) в некото¬ рой области G непрерывна по переменной х и равно¬ мерно относительно х непрерывна по переменной у, то эта функция непрерывна в рассматриваемой области. 3206. Доказать, что если в некоторой области G функция f (дс, у) непрерывна по переменной х и удовлет¬ воряет условию Липшица по переменной у, т. е. I/ С*. */')-/(*, у") I < L\y'-y"\, где (jc, у') £ G, (х, у") £ G и L — постоянная, то зга функция непрерывна в данной области. 3207. Доказать, что если функция / (jc, у), где (х, у) £ Е, непрерывна по каждой переменной хну в отдельности и монотонна но одной из них, то эта функ¬ ция непрерывна по совокупности переменных в области Е {теорема Юнга). 3208. Пусть функция / (jc, у) непрерывна в области а < jc < Л, b < у < В, а последовательность функций 11*
324 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Ф„ (дс) (я = 1, 2, . . .) сходится равномерно на [а, А 1 и удовлетворяет условию b < <р„ (х) < В. Доказать, что последовательность функций Рп(х) = / (х, <рп(х)) (я = 1,2,...) также сходится равномерно на [а, А]. 3209. Пусть: 1) функция / (л:, у) непрерывна в области R(a<.x<ZA; b < у < В); 2) функция ф (х) непре¬ рывна в интервале (а, А) и имеет значения, принадле¬ жащие интервалу (b, В). Доказать, что функция F (х) = f (х, ф (*)) непрерывна в интервале (а, А). 3210. Пусть: 1) функция / (х, у) непрерывна в обла¬ сти R (а < х < А; b < у < В); 2) функции х = <р (и, v) и у = (и, v) непрерывны в области R' (а' < и < Л'; b'<.v<B') и имеют значения, принадлежащие со¬ ответственно интервалам (а, А) и (&, В). Доказать, что функция F (и, v) = f (ф (и, у), ф (г/, и)) непрерывна в области R'. § 2. Частные производные. Дифференциал функции 1°. Частные производные. Результат частного дифференцирования функции нескольких переменных не за¬ висит от порядка дифференцирования, если все производные, входящие в вычисление, непрерывны. 2°. Дифференциал функции. Если полное при¬ ращение функции I (дс, у, г) от независимых переменных х, у, г может быть представлено в виде Н (*. У. г) = А Ах + ВАу + CAz + о (р), где коэффициенты А, В, С не зависят от А*, Ау, Аг и р = = V(A*)2 + (Д^)2 + (Дг)2, то функция / (дс, у, г) называется дифференцируемой в точке (дс. //, z), а линейная часть приращения А Ах + В Ау + + С Дг, равная df (х, у, г) =--/*(*, у, г) dx-\-f'y (х, у, г) + /' (дс, </, z)dz, (1) где <2* = Ддс, dy = Дr/t dz = Аг, называется дифференциалом этой функции. Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда переменные дс, у, г являются некоторыми дифференцируемыми функциями от независимых переменных. Если я, г/, г — независимые переменные, и функция f У» 2) имеет непрерывные частные производные до я-го порядка включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет
Ч 2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 325 место символическая формула dnf( х, у, z) = (dx -2- + dy + dz -^-Y / (*, у, г). V дх ду dz J 3°. Производная сложной функции. Если ^ = И*. У» 2) дифференцируема и х = ф (гг, v), у = \р (и, v)t г= х (и, и), где функции ф, if, % дифференцируемы, то dw dw dx ^ dw dy ^ dw дг ди дх ди ду ди дг ди dw dw dx . dw dy . dw дг dv дх dv ду dv дг dv Для вычисления производных второго порядка функции w полезно пользоваться символическими формулами: d2w _ /у д , л d_^D _d V«._l dw диг \ дх dy dz ) du дх dQi dw j dRi dw du ду ди дг и d2w = ( Pt^ + <h-— + Ri-l-)(p»-l-+(h-§- + du dv V dx dy dz J\ dx dy d \ dPx dw dQx dw , dRi dw dv dx dv dy dv дг где P-— О - dy R - дг ГI — —, VI — —— > К1—“Т—> ди ди du Р О - ду R - дг ‘2 “ » V2 — "Г » А2 г—. dv dv dv 4°, Производная в данном направлении. Если направление I в пространстве Охуг характеризуется на¬ правляющими косинусами {cos a, cos р, cos Yl и функция м = = f, (х, у, г) дифференцируема, то npouseodnoR по направлению I вычисляется по формуле ди du . du 0 . du • = cos а -4 cos р cos 7. dl dx dy dz Скорость наибольшего роста функции в данной точке, по вели¬ чине и направлению, определяется вектором — градиентом функции: . ди 3 . ди f . ди . grad u^—-t+—~J+ — k, дх ду дг величина которого равна
325. ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ S211. Показать, что Гх(х, b) = JL[f{x> ь)]. ах 3212. Найти f'x(x, 1), если f(x, у)=х-\-(у—1) arcsin д/-^- • 3212.1. Найти /ИО, 0) и f'y (0, 0), если / (х, у) = \Псу. Является ли эта функция дифференцируемой в точке О {0, 0)? 3212.2. Является ли дифференцируемой в точке О (0, 0) функция f (х, у) = >/ х3 + у3? 3212.3. Исследовать на дифференцируемость в точке О (0, 0) функцию f (х, у) = e~i,x’+yl при *2+ у2>0 и / (0, 0) = 0. Найти частные производные первого и второго по¬ рядков от следующих функций: 3213. и = х?-}-у*—4дАД 3214. и = ху + -^~. 3215. ы = —. 3216. и — и* у V + г/2 3217. гг = xsin (а: + г/). 3218. и = -^- 3219. u = tg —. 3220. и = х«. У 3221. ы = In (дс + у2). 3222. и = arctg X 3223. и = arctg- xJr y~. 3224. u=arcsin- У х-+1/2 _1_ V*2 + ^ + 22 3227. и=хУ1\ 3228. u = 3229. Проверить равенство д2Ц дх ду дц дх 1
§ 2 ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 327 если а) и = х2—2ху—3у2; б) и = лУ; в) ы = arccos д/ — • 3230. Пусть t (х, у) =ху * .если х2 + у2 ф 0 дс2 + у2 и / (0, 0) = 0. Показать, что fXIJ (0, 0) ^ fyx (0, 0). 3230.1. Существует ли f'x'y(0, 0), если (< \ (“Т?Т при /(*, {/) = | *+(/2 ( 0 при х = у — 0. 3231. Пусть и = f (х, у, г) — однородная функция измерения п. Проверить теорему Эйлера об однородных функциях на следующих примерах: а) и = (х—2у+3г)2; б) и = — —* —: V х2 + уг+г1 *~(тГ- 3232. Доказать, что если дифференцируемая функ¬ ция и = f (х, у, г) удовлетворяет уравнению ди , ди , ди Х—+У— +2—— — пи, ах ду дг то она является однородной функцией измерения п. Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию F (/)= /«*. 'У< tz) 3233. Доказать, что если f (х, у, г) — дифференци¬ руемая однородная функция измерения п, то ее частные производные f'x (дг, у, г), f'y (лг, у, г), f'2 (х, у, г) — однород¬ ные функции измерения п—1. 3234. Пусть и — f (х, у, г) — дважды дифференци¬ руемая однородная функция измерения п. Доказать, что Найти дифференциалы первого и второго порядков от следующих функций (дг, у, г — независимые пере¬ менные): 3235. и — хтуп, 3236. ы = —. У
328 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3237. и = V*2 + Уг ■ 3238. « = 1пл/-?+?Г. 3239. и = еку. 3240. и = хууггх. 3241. и= - . ^ + у1 3242. Найти df (1, 1, 1) и d2f (1, 1, 1), если /(*. у, 2) = |/"“ • 3243. Показать, что если и = -\/хг + уг -4-г2, то d2u > 0. 3244. Предполагая, что х, у малы по абсолютной величине, вывести приближенные формулы для следую¬ щих выражений: а) (1 +jc)m (1 +у)п\ б) In (1 +*)• In (1 +!/); в) arctg * j у ■. 1 + ху 3245. Заменяя приращение функции дифференциа¬ лом, приближенно вычислить а) 1,002 • 2,0032 • 3,0043; б) 1,032 —: V0,98 УШ3” в) Vl.023+ 1,973; г) sin 29°• tg46°; д) 0,971-« 3246. На сколько изменятся диагональ и площадь прямоугольника со сторонами ^ = б м и I/ = 8 м, если первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона уменьшится на 5 мм? 3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился на Да = 1°. На сколько следует уменьшить радиус сек¬ тора = 20 см, чтобы площадь сектора осталась без изменения? 3248. Доказать, что относительная погрешность про¬ изведения приближенно равна сумме относительных по¬ грешностей сомножителей. 3249. При измерении радиуса основания R и вы¬ соты Н цилиндра были получены следующие результаты: R — 2,5 м dh 0,1 м; Н = 4,0 м ± 0,2 м. С какой абсолютной погрешностью Д и относительной погрешностью 6 может быть вычислен объем цилиндра? 3250. Стороны треугольника а = 200 м ±2 м, b = 300 м ± 5 м и угол между ними С = 60° ± 1°.
$ 2 ЧЛСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛ 329 С какой абсолютной погрешностью может быть вычис¬ лена третья сторона треугольника с? 3251. Показать, что функция / (X, у) = л/\ху\ непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке обе частные производные f'x (0, 0) и f'y(0, 0), однако не является диф¬ ференцируемой в точке (0, 0). Выяснить поведение производных f'x (х, у) и f'y (х, у) в окрестности точки (0, 0). 3252. Показать, что функция /(*> «/)=— . если х2 + угф0 л/ х2 + у2 f (0, 0) = о, в окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограни¬ ченные частные производные fx(x, у) и fy(x, у), однако эта функция недифференцируема в точке (0, 0). 3253. Показать, что функция f(x, у) = (х2 + у2)sin если хг + у*ф0 х2+ У2 f (0, 0) = о, имеет в окрестности точки (0, 0) частные производные f'x(x, у) и f'y(x, у), которые разрывны в точке (0, 0) и не- ограничены в любой окрестности ее; тем не менее зта функция дифференцируема в точке (0, 0). 3254. Доказать, что функция / (х, у), имеющая огра¬ ниченные частные производные f'x (х, у) и f'y (х, у) в не¬ которой выпуклой области £, равномерно непрерывна в этой области. 3255. Доказать, что если функция f (х, у) непрерывна по переменной х при каждом фиксированном значении у и имеет ограниченную производную f'y (х, у) по перемен¬ ной у> то эта функция непрерывна по совокупности пе¬ ременных х и у. Найти указанные частные производные в следующих задачах: оог/> <Э4// дАи д*и 3256. , , , если дхА дх*ду дх2ду2 и = х—у + х2 + 2 ху + у2 + х3—3 х2у—у3 + х4— — 4х2у2 + tf4.
330 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ д3и 3257. , если и = х\п(ху). дх2ду 3258. —-—t если ы = дг3 sin г/ + г/3 sin jc. дхгду* 3259. ———, если и = arctg х+ у+ г — хУг . дх ду дг 1 — ху — хг — уг 3260. —-—, если и = е*Уг. дх ду дг 3261. ——— , если и = In д*дуд%дл У^-ЙЧ-Ог-п)1 др+4п 3262. ——если и = (х—х0)е(у—у0)4. дхрду4 3263. JZ2L-, если и = ^~. дх^ду71 х — у 3264. ■ д™ ■, если и — (х2+у2) ex+'J. дхтдуп к fiP+q+ffj 3265. , если и = хуге*+У+г. дхРдуОдгГ 3266. Найти f%*n\0, 0), если / (х, у) = ех sin у. 3267. Показать, что если и = / (хуг), то дх ду дг F(t), где t = хуг, и найти функцию F. 3268. Найти diu, если и = х*—2х3у—2ху3 + у* + 4- х*—3х2у — 3ху2 + i/3 + 2х2—ху + 2у2 + х + у + 1. .. д*и д*и д*и Чему равны производные д*и д*и ~ и ? дх* дх3ду дх2ду2 дх ду* ду4 Найти полные дифференциалы указанного порядка в следующих примерах: 3269. d3u, если и = х3 + у3—3ху (х—у). 3270. d3u, если и = sin (х2 + у2). 3271. dl0u, если и = In (х + у). 3272. d°u, если и = cos х ch у. 3273. d3u, если и = хуг. 3274. dlu, если и = In (xxy'Jzz).
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 331 3275. dnu, если и = еах+Ьу. 3276. dnu, если и = X (х) Y (у). 3277. dnu, если и = / (х + у + 2), 3278. dnu, если и = еах+Ьу+С2. 3279. Пусть Рп{х, у, г) — однородный многочлен степени п. Доказать, что dnPn(x, у, z) = п\ Рп (dx, dy, dz). 3280. Пусть , ди , ди Аи = х— 1-у- дх ду Найти Аи и А2и = А (Аи), если а) ; б) и = \п -^х2 + у2. х2+у* 3281. Пусть (Ри , д2и А и ■■ дх" дуъ Найти Аи, если а) и = sin х ch у; б) и = In *Jx2 + у2‘. 3282. Пусть д2и , , д'и дх'1 ду2 ог: Найти A и А2ы, если а) и = х3 Jr г/3 + 23'—Зхуг; б) « = V*2 4 4 г2 Найти производные первого и второго порядков от следующих сложных функций: 3283. u=f(x2 + y2 + z*). 3284. u=f(x, 3285. u—f(x, ху, хцг). д2и 3286. Найти , если и = f (х + у, ху). дх ду тт „ А д2и . д2и . д2и 3287. Наити А« = —— 4-——-f, дкг ду2 дг1
332 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ если И = / (X + у + 2, *2 + у2 + г2). Найти полные дифференциалы первого и второго порядков от следующих сложных функций (х, у и 2 — независимые переменные): 3288. и = f (/), где / = х + у. 3289. и = f (f), где t = —. 3290. и — f (л/х2 +у2). X 3291. и = f (t), где t = хуг. 3292. и = f (х2 + у2-\-гг). 3293. и = f (i, г]), где I = ах, r\ — by. 3294. «=/(1, г)), где £ = х + у, т) = х—у. 3295. и — f (5, ri), где I — ху, г) = —. У 3296. и = / (х + у, г). 3297. и = f (х + у + г, х2' + у2 + г2). 3298. и=/(—, 3299. и = f (х, у, г), где х = t, у = t2, z = t3. 3300. и — f (1, rj, £), где I = ax, ц = by, £ = сг. 3301. и = f (£, rj, £), где t = x2 + у2, t| = x2—y2, & = 2xy. Найти £?"«, если: 3302. и = f (ax by + cz). 3303. и f (ax, by, cz). 3304. u = f (I, t), £), где i = ajJC + bxy + cxz, = atx + b2y + c2z, С — a^x + b3y + c32. 3305. Пусть и = f (г), где r = д/r2 + у2 + г2 и / — дважды дифференцируемая функция. Показать, что Ди = F (г), А д2и . д2и , д2и п где Ди 1 1 оператор Лапласа, и дх2 ду2 дг2 Найти функцию F. 3306. Пусть и и v — дважды дифференцируемые функции и Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305). Доказать, что Д (uv) = и Ду + v Ди + 2Д (и, v), где . , . ди dv , ди dv . ди dv Д (и, t>) = . ' ' дх дх ду ду дг дг 3307. Показать, что функция и = In л/(х—с)2 + (у—Ь)2-
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 333 (а п Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа д2и , д2и q дх2 ду2 3308. Доказать, что если функция и = и (х, у) удов¬ летворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то функция * У X2 + У2 9 х2-\- у2 также удовлетворяет этому уравнению. 3309. Показать, что функция (■х-Ь)а v = u^~ АаЧ 2а д/я/ (а и Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению тепло¬ проводности да о д2и — = а2 dt дх2 3310. Доказать, что если функция и = и (х, f) удов¬ летворяет уравнению теплопроводности (см. задачу 3309), то функция _-М (<>0) a«Jl аЧ> также удовлетворяет этому уравнению. 3311. Доказать, что функция 1 и = —, где г = л!(х—<а)2 + {у—й)2 + (г—с)2, удовлетворяет при г Ф 0 уравнению Лапласа л д‘2и д2и д2и п з== 1 1 = 0. дх2 ду2 dz2 3312. Доказать, что если функция и ~ и (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311), то функция 1 / k2X k2y k22 \ и=~иЫ' —у где к — постоянная и г — -у/х2 + у2 + г2, также удов¬ летворяет этому уравнению.
334 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 8313. Доказать, что функция C1g-ar+ сгеаг U — ■ где г = aJx2 + y2+z2 и Cv Сг — постоянные, удов¬ летворяет уравнению Гельмгольца д'2и . д2и д2и 2 а2 и. дхг дуъ дг2 3314. Пусть функции их = ut (х, у, г) и ы2 = н2 (дг, у, г) удовлетворяют уравнению Лапласа Ди =* 0. Доказать, что функция v = иг (х, у, г) + (х2 + у2 + z2) и2 (х, у, г) удовлетворяет бигармоническому уравнению Д (Ду) = 0. 3315. Пусть f (х, у, г) есть т раз дифференцируемая однородная функция измерения п. Доказать, что (x-t+!/-t+z-tTnx’ = n(n — l)... (n—m + l)f (х, у, z)' 3316. Упростить выражение дг , дг sec* ^sec у —, дх ду если г = sin у + / (sin х — sin у), где / — дифференци¬ руемая функция. 3317. Показать, что функция z = xnf ’ гДе / — произвольная дифференцируемая функция, удовлетво¬ ряет уравнению *1Г+2У-1Г = пг. дх ду 3318. Показать, что г = yf (x2—y2)f где / — произ- гольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению о дг , дг 0S7+XI>-S7-J- 3319. Упростить выражение + если —^гХ3(у + г) + -±- (У — х> 2— где / — дифференцируемая функция.
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 335 3320. Пусть хг = vw, у2 = uw, z2 = uv и f (X, у, 2) = F (и, v, w). Доказать, что xf'x + yfy + zfi = uF'u + vF'tt + wF‘w. Предполагая, что произвольные функции <p, i|j и т. п. дифференцируемы достаточное число раз, проверить следующие равенства: 3321. у— х = 0, если г = ф (х2+ у2). дх ду 3322. х2 ——ху-^- + иг — 0, если г = — + <$(ху). дх ду Зх 3323. (х2—у2) + ху = хуг, дх ду ( ъ?) если г = \уе J. ди . ди , а ди 3324. х {- ay f-6z — пи, дх ду дг если и — хпа> (-У— , —— ]# \ха ) S325. х-^-+у^-+г^- = и + J3L. дх ду дг г если «= 1п л:-{- jctp 3326. = еслии = ф(х—а0 + ^(* + а0* dt2 дх2 3327. — 2 ——Ь-^- = 0, дх2 дх ду ду* если м = л:ф(х + (/) + г/^(дс + {/). 3328. х*^ + 2ху^Г + у24ч-=Ь дх2 дх ду ду2 если и = ф ' 3329. x2-pL + 2xy-^-+y2-^- = n{n-\)u, дх2 дх ду ду2 если и = хпф^—^ + оооп <Ри ди 3% . . , , 3330. ____ = , если и = ф[* + ^(у)1. од: дх ду ду дх2.
336 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Путем последовательного дифференцирования исклю¬ чить произвольные функции <р и я|э: 3331. z = х -j- ф (ху)9 3332. у — хф ^^, 3333. z = q('\/x2 + y2). 3334. и = у(х—у, у — z). 3336. и = ф(—, 3336. z = ф (jc) -f-1|> (у). 3337. z = ф (х) t|j (у). 8338. z = ф (jc+у) 4- tp (jc—у). 3339. г = дсф ^ + yty . 3340. г = ф (jсу) -f- я)) ^. 3341. Найти производную функции г = хг—уг в точке М (1, 1), в направлении I, составляющем угол а = 60° с положительным направлением оси Ох. 3342. Найти производную функции г = jc2—ху + уг в точке М (1, 1) в направлении I, составляющем угол а с положительным направлением оси Ох. В каком на¬ правлении эта производная имеет: а) наибольшее зна¬ чение; б) наименьшее значение; в) равна 0. 3343. Найти производную функции z = In (jc2 + у2) в точке М (х0, г/0) в направлении, перпендикулярном к линии уровня, проходящей через эту точку. 3344. Найти производную функции г = 1 —^ в точке М (—по направлению внутренней W2 У2 ) нормали в этой точке к кривой: 3345. Найти производную функции и = хуг в точке М (1, 1, 1), в направлении / {cos a, cos р, cos у}. Чему равна величина градиента функции в этой точке? 3346. Найти величину и направление градиента функции 1 и = , т где г = д/У + уг- + г2, в точке М0 (jc0, уа, г0).
§ 2. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ 537 3347. Определить угол между градиентами функции и = х2 + у2—z2 в точках А (е, 0, 0) и В (0, е, 0). 3348. На сколько отличается в точке М (1,2, 2) ве¬ личина градиента функции и = х + у + гсгг величины градиента функции w = jc + # + z + 0,001 sin (10°я -у/х2 + у2 + z2)? 3349. Показать, что в точке М0 (х0, у0, z0) угол ме¬ жду градиентами функций и — ах2 + by2 + cz2 и v = ах2 + by2 -f cz2 + 2тх + 2пу + 2pz (а, Ъ, с, т, п, р — постоянны и а2 + Ь2 + с2 ф 0) стре¬ мится к нулю, если точка М0 удаляется в бесконечность. 3350. Пусть и — f (х, у, z) — дважды дифференци¬ руемая функция. Найти если cos а, cos Р, cos v — направляющие косинусы направления /. 3351. Пусть и = / (х, у, z)—дважды дифференци¬ руемая функция и /i {cos <xlt cos 0!, cos Yx}, /2 {cos a2, cos p2, cos v2}, l3 {cos a3, cos p3, cosva} — три взаимно перпендикулярных направления. Доказать, что: д2и , д2и , д2ч д2и , д2и , д2и б) dl\ dl\ d/j дх? ду1 <?г2 3352. Пусть и = и (х, у) — дифференцируемая функ¬ ция и при у = х2 имеем: и(х, у) = \ и дх Найти при у = хй. ду н * 3353. Пусть функция и = и (х, у) удовлетворяет уравнению дч а2и _ 0 дх3 ду4 ~
338 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ и, кроме того, следующим условиям: и (х, 2х) = х, их (я, 2х) = ха. Найти и’хх(х, 2х), Ыхц (.х, 2х), иУУ (х, 2х). Полагая г = г (х, у), решить следующие уравнения: 3354. = 3355. = 0. дх2 дх ду дпг л 3356. дуп 3357. Полагая и = и (х, у, г), решить уравнение аз“ =0. дх ду дг 3358. Найти решение г = г (х, у) уравнения -^-=х2 + 2у, ду удовлетворяющее условию: г (.к, х2) — 1. 3359. Найти решение z — г (х, у) уравнения ^- = 2. ду* удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = 1, zy(xt 0) = х. 3360. Найти решение г = г (х, у) уравнения д2г дх ду удовлетворяющее условияхм: г (х, 0) = jc, г (0, у) = у2. § 3. Дифференцирование неявных функций 1°. Теорема существования. Если: I) функ¬ ция F (х, у, г) обращается в нуль в некоторой точке А0 (х0, у0, 20); 2) F (х, yt 2)11 F' (х, yt г) определены и непрерывны в окрестности точки Л0; 3) (дс0, y0i г0)ФО, то в некоторой доста¬ точно малой окрестности точки А0 (x0t yt)) существует единствен¬ ная однозначная непрерывная функция г = I (х> у), (1) удовлетворяющая уравнению F (*, У> А = 0 п такая, что z0 = f (х0, yQ).
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 339 2°. Дифференцируемость неявной функ¬ ции. Если, сверх того, 4) функции F (х, у, г) диффе¬ ренцируема в окрестности точки А0 (х0, у0, г0), то функция (1) дифференцируема в окрестности точки А0 (х0, у^) и ее произ* дг дг водные и — могут быть найдены из уравнений дх ду ——\-IL~Jl. =о. « дх дг дх ду дг ду Если функция F (*, у, г) дифференцируема достаточное число раз, то последовательным дифференцированием равенств (2) вычисляются также производные высших порядков от функции ?• 3°. Неявные функции, определяемые си¬ стемой уравнений. Пусть функции Ft (xti . , , , хт\ У г» • • • » Уп) 0 — 1» 2, . в * # п) удовлетворяют следующим ус¬ ловиям: 1) обращаются в нуль в точке А0 (*ю. • • • # 010» • • • » Упо)> ^ 2) дифференцируемы в окрестности точки Л0; 3) функциональный определитель . ^ Ф 0 д (Уи . ... Уп) в точке Л0. В таком случае система уравнений Fi (х 1, • • хт\ Ух, , • 0п)=О (/=1,2,, • »| л), (3) однозначно определяет в некоторой окрестности точки Л0 (*хо» • . • , *то) систему дифференцируемых функций f (%1» • • • » хт) 0* ^ 1» 2, • * • » Л), удовлетворяющих уравнениям (3) и условиям fi (*10. • • • » Хтп) ~ (i ~ 1, 2л). Дифференциалы этих неявных функций могут быть най- дены из системы т п V др1 . V ^ / я -^/ + y'-fL^* = 0 L-i dxt Lu dyk /=i ft=i (i li 2, * § * j и)*), 3361. Показать, что разрывная в каждой точке функ* ция Дирихле J 1, если х рационально, 0, если дг иррационально, *) При формулировке большинства задач эторо раздела без оговорок предполагается, что выполнены условия существова¬ ния неявных функций и их соответствующих производных.
340 ОТДЕЛ VT ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ удовлетворяет уравнению у2—у = 0. 3362. Пусть функция / (х) определена в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение / (*) у = 0 имеет при а<.х<.Ь единственное непрерывное решение у - 0? 3363. Пусть функции / (х) и g (х) определены и не¬ прерывны в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение / (х) У =g (х) имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное ре¬ шение? 3364. Пусть дано уравнение + у2 = 1 (1) У = У(х) (— 1 < х < 1) (2) — однозначная функция, удовлетворяющая уравне¬ нию (1). 1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (0) = 1; б) у (I) = 0? 3365. Пусть дано уравнение х2 = у* (1) п У = У (*) (— 00 < х < + оо) (2) есть однозначная функция, удовлетворяющая уравне¬ нию (1). 1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 2) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 3) Сколько однозначных дифференцируемых функций (2) удовлетворяет уравнению (1)? 4) Сколько однозначных непрерывных функций (2) удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (1) = 1; б) у (0) = 0?
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИИ 341 5) Сколько однозначных непрерывных функций у = у (х) (1—б < х < 1 +6) удовлетворяет уравнению (1), если у (1) = 1 и 6 достаточно мало? 3366. Уравнение х* + у2 = х* + у* определяет у как многозначную функцию от х. В каких областях эта функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна, 4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой функции и ее однозначные непрерывные ветви. 3367. Найти точки ветвления и непрерывные одно¬ значные ветви у = у (х) (— 1 < х < 1) многозначной функции у, определяемой уравнением (я2 + у2)2 = = х2—у2. 3368. Пусть f (*) — непрерывна при а<. х <. b и Ф (у) — монотонно возрастает и непрерывна при с <Cy<.d. В каком случае уравнение <р (у) = / (дс) определяет одно¬ значную функцию у = ф-1 (/ (*))? Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х\ б) е~у = = — sin2*. 3369. Пусть * = у + ф (у), (О где ф (0) = 0 и | ф' (у) | < k < 1 при — а<. у < а. До¬ казать, что при — е «< х <. е существует единственная дифференцируемая функция у—у(х), удовлетворяю¬ щая уравнению (1), и такая, что у (0) = 0. 3370. Пусть у = у (х) — неявная функция, опреде¬ ляемая уравнением X — ky ф (у), где постоянная к Ф 0, и ф (у) — дифференцируемая периодическая функция периода о такая, что | ф' (у) | < <|£|. Доказать, что У = -7- + Ч>(*). к где (х) — периодическая функция с периодом \k\ <а. Найти у' и у" для функций у, определяемых следую¬ щими уравнениями; 3371. х2 + 2ху—у2 = а2. 3372. In л/х2- + у2 ^ = arctg —. X 3373. у — е sin у = х (0 < е < 1). 3374. ху = у* (х Ф у). 3375. у = 2х arctg—.
342 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3376. Доказать, что при 1 + ху — k (х—у), где k — постоянная величина, имеет место равенство dx _ dy 1 + ж2 1 + у» * 3377. Доказать, что если х2у2 + х2 +у2 — 1=0, то при ху> 0 имеет место равенство - dx + /у =0. Vl— X* Vl— У* 3378. Доказать, что уравнение (х2 + у2)2 = а2 (*2—г/2) (а Ф 0) в окрестности точки х = 0, у = 0 определяет две диф¬ ференцируемые функции: у = У\(х) а у = у2(х). Найти у[ (0) и у'2(0). 3379. Найти у' при х = 0 и у = О, если (*• + = За:2^—г/3. 3380. Найти у’, у” и у'", если х2 + ху + у2 = 3. 3381. Найти у', у" и у'" при х = 0, у = 1, если х2—ху + 2г/2 + х—у— 1 = 0. 3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка ах2 + 2 Ьху + су2 + 2dx + 2 еу + / = 0 справедливо равенство -£-[(у")~2/3 1=0. Для функции г = г (х, у) найти частные производные первого и второго порядков, если: 3383. х2 + у2 + z2 = а2. 3384. z*—3xyz = о3. 3385. х у z = е2. 3386. z = V^IIF-tg— 2 •\Z*a — у2 3387. л: + у + г = £—<*+» +2>. 3388. Пусть хг + у% + г2 — Ъхуг = 0 (1) и / (дг, г/, г) = xy2za.
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 343 Найти: a) f'x (1, 1, 1), если г — г (х, у) есть неявная функ¬ ция, определяемая уравнением (1); б) f'x (1, 1, 1), если у = у (х, г) есть неявная функция, определяемая урав¬ нением (1). Объяснить, почему эти производные раз¬ личны. 3389. Найти , ■ дг , -д — при х = 1, у — — 2, дх2 дхду ду* К 2=1, если х2 + 2у2 Ч- 3z2 + ху—г—9 = 0. Найти dz и d2z, если: v2 * i2 jr2 3390. —+ —+ — = 1. a* ft* ca 3391. xyz = jc + у + 2. 3392. —= In — +1. 3393. z = * + arctg —. г у г — х 3394. Найти du, если и3 — 3 (х + у) иг Ч- г3 = 0. 3395. Найти , если дх ду F(x + y + z, *2 + */2 + г2) = 0. 3396. Найти и если аде % F(x—y, y—z, z—х) = 0. 3397. Найти и -^4-, если дх ду дх2 F(x, x + y,x + y + z) = 0. 3398. Найти если F(xz,yz) — 0. ддс2 3399. Найти d?z, если: a) f (л: + 2, y + z)~0; б) *7*) = °‘ 3391.1. Пусть z — z (х, у)—та дифференцируемая функция, определяемая уравнением г3 — дег Ч- у = 0, которая при х = 3, у = — 2 принимает значение г = 2. Найти dz (3, — 2) и d%z (3, — 2). 3400. Пусть х = х (у, г), у = у (х, z), z = г (дс, у) — функции, определяемые уравнением F (дс, у, г) = 0. Доказать, что дх ду дг j ду dz дх
344 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕН И IL. 3401. Найти и если х + у -f г = 0, х2 + dz сг + у2 + г2 = 1. 3402. Найти и ири х = 1, dz dz dz2 а'г2 у = — 1, г = 2, если х2 + у2 = г2, jc + у + г = 2. 3403. Найти _*L и _*L если *1г—yV = о, йд: ду дх ду уи + XV = 1. 3403.1. Система уравнений xeu+v+ 2 uv= 1, yeu-v Ч— = 2х 1 + » определяет дифференцируемые функции и = и (х, у), и v = v (х, у) такие, что и (1, 2) = 0 и v (1, 2) = 0. Найти du (1, 2) и dv (1, 2). 3404. Найти du, dv, d2u и d2v, если sin и X u + v = x + y, — = —. sin V у 3405. Найти du, dv, d2und2v при x = 1, у = I, и = 0, Jl v = —, если 4 e'j/x cos — = —, eu/* sin — = - y У V2 y л/ 2 3406. Пусть x = t + Г1, у = t2 + Г2, 2 = t9 + Г3. тт « du dz d2y d2z Наити -2- , , —— II . dx dx dx2 d*2 3407. В какой области плоскости Оху система урав¬ нений х — и + v, у — и2 4- v2, г — и3 + v3, где параметры и и v принимают всевозможные вещест¬ венные значения, определяет г как функцию от пере¬ менных х и и? Найти производные и дх ду 3407.1. Найти и в точке и = 1, v = 1, если дх ду
§ 3 ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 345 X = и + In V, y^v — ln и, z = 2u-\-v. 3407.2. Найти в точке и = 2, v = 1, если дхду х = и + и2, у = ы2—Vs г = 2«у. 3408. Найти если дх2 * = cos ф cos ijj, t/ = cos ф sin ф, г = sin ф. оллп u « o2z д2г д~г 3409. Наити , и , если дх2 дх ду ду2 х — и cos v, у = и sin v, г = V. 3410. Пусть z — г (jc, у) функция определяется си¬ стемой уравнений: х = еи+г>, у = еи~°, г = uv (и и v — параметры). Найти dz и d2z, при и = 0 и v = 0. 3411. Найти и если г = х2 + у2, где и = dxdx* * » » = у (х) определяется из уравнения jc2 — ху + у2 = 1. 3412. Найти и если и , где 2 опре- дх ду у + г деляется из уравнения ге* = дсе* + уец. 3413. Пусть уравнения х = ф (ы, у), у = яр (ы, о), 2 — ОС (“» у) определяют г как функцию от х и у. Найти _*L„ Jf_. дх ду 3414. Пусть х = ф (и, и), у = гр (и, v). Найти част¬ ные производные первого и второго порядков от обрат¬ ных функций: и = и (jc, у) и v = v (х, у). и . ди ди dv dv 3415. Наити—, , , —, если дх ду дх ду а) х = и cos —, у = и sin —; и и б) jc = е“ + и sin v, у = еи — и cos v.
346 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3416. Функция и = и (х) определяется системой уравнений «=*/(*. у, г), g (х, у, г) = 0, h (.к, у, г) = 0. т f „ du d2u Наити и ——. dx dx2 3417. Функция и = и (х, у) определяется системой уравнений и = f (х, у, г, t), g (у, г, t) = 0, h (z, t) = 0. тт о ди ди Наити и . дх ду 3418. Пусть х — f (и, v, w), у — g (и, v, w), г = < / \ и и ди ди ди <= п (и, v, W). Наити , и . дх ду дг 3419. Пусть функция г — г (х, у) удовлетворяет системе уравнений / (х, у, z, t) = 0, g (х, у, z, t) = 0, где t — переменный параметр. Найти dz. 3420. Пусть и = / (г), где г — неявная функция от переменных х и у, определяемая уравнением г = •= х + у<р (г). Доказать формулу Лагранжа дуп дхп-1 V Л дх j Указание. Доказать формулу для п = 1 и применить метод математической индукции. 3421. Показать, что функция z = г (х, у), опреде¬ ляемая уравнением Ф (х — аг, у — Ьг) = 0, (1) где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функ¬ ция от переменных и и v (а и Ь — постоянные), являются решением уравнения дх ду Выяснить геометрические свойства поверхности (1). 3422. Показать, что функция z — z (х, у), определяе¬ мая уравнением ФГ——дг°-, .у~^Л=0, (2) \ г — г0 г — г0/ где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функ¬ ция от переменных и и v, удовлетворяет уравнению (* — Х0)-^-+ (у — уо) - =2 —20. дх ду
5 S. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ 347 Выяснить геометрические свойства поверхности (2). 3423. Показать, что функция г = г (*, у), определяе¬ мая уравнением ах + by + с2 — Ф (дс2 + у2 + г2), (3) где Ф (и) — произвольная дифференцируемая функция от переменной и и а, b и с — постоянные, удовлетворяет уравнению Осу— bz) + (аг—сх) -^- = Ьх —ау. дх ду Выяснить геометрические свойства поверхности (3)’. 3424. Функция г — г (х, у) задана уравнением x2 + y2 + z2 = yf(-j). Показать, что (х2—у2—г2) -f 2xi/ = 2хг. дх ду 3425. Функция г = г (х, у) задана уравнением F (х+гу-1, у+zх~1)=0. Показать, что дг . дг * -Г + У-т- = г—хУ- дх ду 3426. Показать, что функция г = г (х, у), опреде¬ ляемая системой уравнений: х cos ос + у sin а + In г = f (а), 1 — jesina-}-ycosa = /' (a), J где а = а (х, у) — переменный параметр и f (а) — про¬ извольная дифференцируемая функция, удовлетворяет уравнению (*У+(£У-Л 3427. Показать, что функция г = г (.х, у), заданная системой уравнений: г — cw -| -—f- f (ос), a О—jc—у- +/'(«). а- удовлетворяет уравнению дг дг ,
348 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3428. Показать, что функция г = г (х, у), заданная уравнениями [z—f (а)]* = х1 (у*—а2), [z—f (а)] f' (а) = <хх\ удовлетворяет уравнению дг дг ху, дх ду * 8429. Показать, что функция г = г (х9 у), заданная уравнениями г = а*+(/<р(а) + 1|)(а), 1 0 = х + уу' (а) + 1р' (а), J удовлетворяет уравнению д2г д*г / cPz у = q дх2 ду2 \ дх ду ) 3430. Показать, что неявная функция г = г (х, у), определяемая уравнением у = х<р (г) + ф (г), удовлетворяет уравнению / дг у д2г g &г дг д2г , / дг у d2z _ q V ду ) дх2 ддс cty dx &/ V 5л: ) дуъ § 4. Замена переменных 1°. Замена переменных в выражении, со* держащем обыкновенные производные- Пусть в дифференциальном выражении А = Ф (дс, у, ух, у"хх, . . .) требуется перейти к новым переменным: t — независимой пе- ременной и и — функции, связанным с прежними переменными Хну уравнениями Х = Щ, и), y = g(.t, и). (О Дифференцируя уравнения (1), будем иметь: dt ди * Ух = dt ди т Аналогично выражаются высшие производные уххЬ •« • В ре¬ зультате мы получаем: А = и, Цц% • •
§ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 349 2°. Замена независимых переменных в выражении, содержащем частные произ¬ водные. Если в дифференциальном выражении п г / dz dz д1г дгг д2г \ В = F [ х, у, г, , , , , , . . , I V дх ду дх2 дх ду ду2 / положить X — f(u, V), у = g (и, v), (2) где и п v — новые независимые переменные, то последователь- dz dz ные частные производные — > f . . определяются из еле- дх dy дующих уравнений* dz dz df i dz dg du dx du dy du dz dz */ dz dg dv dx dv 1 dy dv и т. п. 3°. Замена независимых переменных и функции в выражении, содержащем част¬ ные производные. В более общем случае, если имеем уравнения х = I (ut v, w), у = g (и, v, w), z—h (и, v, w)t (3) где ut v — новые независимые переменные и w = w (и, v) — dz dz новая функция, то для частных производных —» —- , , , • дх ду получаем такие уравнения: -Н-f+НгЧг-)+-£(- дх \ ди dw du у dy \ dz / df , df dw \ dz / dx v dv dw dv ) dy \ dg | i ds dw ' , du 1 dw du . dh г . dh dw dg i dg du dw y dw du dv dw dv j dh h . dh dw dv dw dv и т. n. В некоторых случаях замены переменных удобно пользо¬ ваться полными дифференциалами. 3431. Преобразовать уравнение у'у"' — 3у"г =х9 приняв у за новую независимую переменную. 3432. Таким же образом преобразовать уравнение y'hjIV — Wy"y'" + 15 у"3 = 0. 3433. Преобразовать уравнение у"+—у'+у=о, X
350 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ приняв х за функцию и t — ху — за независимое пере¬ менное. Вводя новые переменные, преобразовать следующие обыкновенные дифференциальные уравнения: 3434. х*у"- + ху' + у — 0, если х = е1. 3435. у"л = , если t — In | х |. 3436. (1— х2) у'1 — ху' + пгу — 0, если х = cos t. 3437. у"+у' th х 4 ^—у = 0, если *=lntg —. v а ch*x * 2 X —1/2 S P<5MS 3438. y"+p (x) y'+q (x) y=0, если y=ue * , где p (*) f Ol). 3439. x*y" + xyy' — 2</a = 0, если x — ё и у — ueztt где и = и (t). 3440. (1 + х2)*у”- = у, если х = tg t и у ■ , COS / где и = и (t). 3441. (1 —хУу" = —у, если х — th / и у = —-—, ch / где и — и (t). 3442. у"■ + (х + у) (1 + у')3 = 0, если х = и + t л у = и—t, где и = и (t). 3443. у1" — *У'' + ху1 — у = 0, если х = -j- и у =-у, где и = и (/). 3444. Преобразовать уравнение Стокса _ ау у (х — а)2 (х — Ь)2 ’ полагая и j * | х—а I и = —-—, <= 1п I х — Ь \ х — b I В принимая и за функцию переменной t. 3445. Показать, что если уравнение JpL + p(x)^L+q(x)y = 0 ах2 dx
$ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ! 351 преобразовать подстановкой х — ф (|) в уравнение -0- + P(i)-|-+Q(t)i/=o, то [2P(|)Q(|) + Q'a)l [Q(!)]-3/2 = = [2р (.к) q (jc) +q' (л:)] [q {x)\-W. 3446. В уравнении Ф (у, у', у") = 0, где Ф — од¬ нородная функция переменных у, ууположить У=е* S и dx 3447* В уравнении F (х2у", ху\ у) = 0, где F — однородная функция своих аргументов, положить у и = х — у 3448. Доказать, что уравнение У11 (1 + У,й) - зу'у"2 = о не меняет своего вида при томографическом преобразо¬ вании х= flis+fti'H + Ct _ + Ь2к\ + ^2 oi+by] + c 9 al+Ьц + с Указание. Данное преобразование представить в виде композиции простейших преобразовании: x=aX + $Y + y> у= У; 1 v- X = —, 7 = Хг в Х\ — Д? + Ьх\ + с, Y! = а2% + бгЛ + с2* 3449. Доказать, что шварииан sit/m - *"м 3 [*'(*) 1* не меняет своего значения при дробно-линейном преоб¬ разовании: <М-Ьс + % cx(t)-\-d Преобразовать к полярным координатам г и ф, по¬ лагая х = г cos ф, у = г sin ф, следующие уравнения;
352 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3450. ^Le-£±iL. dx х — у 3451. (ху'—у)2 = 2ху (1 + у'2). 3452. (лга + уУу" = (х + уу')\ 3453. Преобразовать к полярным координатам вы* * + чу' ражение — . ху —у 3454. Кривизну плоской кривой \у'хЛ К- выразить в полярных координатах г и ф. 3455. В системе уравнений ■¥- = y + kx(x* + y% JM-=-x + ky(x* + y*) at at перейти к полярным координатам. 3456. Преобразовать выражение лш d1у &гх W = х—z у , df * dt2 введя новые функции г ~ л/ х2 + у2, <р = arctg — • X 3457. В преобразовании Лежандра каждой точке (х, у) кривой у = у (а) сгавшся в соответствие точка (X, Y), где Х = у\ Y = ху'-у. Найти Y', Y" н Y"'. Вводя новые независимые переменные | и rj, решить следующие уравнения: 3458. = если Ъ — х + у и г\ = х—у. 3459. у— jc-^- = 0, если £=дс и д = х2 + #2. ох ду 3460. а = 1 (а^=0), если £ = х и т] = дх ду =у—Ьг. 3461. ху = г, если £=х и ч\=—. дх ду х
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 353 Принимая и и v за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения: 3462. х -^-+дЛ ~г У2 -^- = ху9 если и = 1пх и 0— дх ду = ln (y + V1 + '/2)- 3463. (х + у) ——(л;—у) -^- = 0, если и = дх ду = InУ-с2 + г/2 и u=arctg —. 3464. х +г/-^- = 2 + У*а + «2 + 22» если дх ду и — — и и = г + У*2 + г/2 + 22 . 3465. х + у = —» если ы = 2х —г* и дх * ду г v = —. 2 3466. (x+z)-^- + (y +2)-^-=де + г/+г, если <9* (?(/ U = X + 2 И V — y+Z. 3467. Преобразовать выражение (2 + e*)-^- + (z + еу) — (2а—е^), д* 5 г/ приняв за новые независимые переменные 1 = у + ге~х, ц = х + ге~У. 3468. Преобразовать выражение полагая X = UV, у = -~ (и2 — V2). 3469. В уравнении ди . ди . ди _ q дх ду дг положить 5 = X, Г) = у—X, £ = 2—X. 3470. Преобразовать уравнение 12 Б. П. Демидович
354 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ приняв х за функцию, а у и г — за независимые пере¬ менные. 3471. Преобразовать уравнение (и—z) ~~+(У+z)= О» дх ду приняв х за функцию, а и = у—г, v = у + г — за не¬ зависимые переменные. 3472. Преобразовать выражение приняв х за функцию п и — хг, v = уг — за независи¬ мые переменные. 3473. В уравнении (у + 2 + и) + {х + г + и) ——j- (* + г/ -f- и) —— = дх ду дг — х-\-у-\-г положить: е^ = х—и, ё* = у—и, ё* ~ г—и. Перейти к новым переменным и, v, w, где w =■ = w (и, v), в следующих уравнениях: 3474. у— х-^—=-(у—х)г, если дх ду U = X2 + (f, 1>=—+ —. Ш = 1П2— (х + у). * У 3475. + у2 — =22, если дх ду v== j i_ w==2 L * у х г х 3476. (ху + г)-^- + (\ — if)= х + уг, если дх ду и = уг—х, v = хг—у, w = ху—г. / дг \2 . / дг * дг дг 3477' (х ■-5Г) +(» *Г) ":* 17' 1Г’ есл" x = uew, у — vew, z = wew. 3478. Преобразовать выражение дг дг / дг дг \
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 355 полагая и = 1пУ х2 + у2, v = arctg г, w = х + у + 2, где w = о» («, у). 3479. Преобразовать выражение л дг . дг дх ду полагая и = хег, v = уег, w = гег, где w — w (и, v). 3480. В уравнении ди . да . ди , ху х \-у f-г = ыЧ—— <5х ду дг г положить: £ = —, л =—, t, = г, w =— , где sy => г г г = w (s, 11, 5). Преобразовать к полярным координатам г и <р, по¬ лагая х = г cos ф, у = г sin ф, следующие выражения: ди ди 0.0rt ди . dw 3481. !2i = jc у . 3482. ш = л: Ьу . ду J дх дх ду ди \а , / ди \2 олол д2и , д2и w ***■ *-(v) +(ir) • 3484- 0,0- п д2и , 0 д2и , « д2« 3485. w = х2 \- 2ху Ь У дх2 * дхду и ду2 олоа a d2z 0 д2г . 2 д2г 3486. w = у* — 2ху L v2 dx2 dt/2 d*2 дхду ду2 дг . дг 3487. В выражении J __ ди dv ди dv дх ду ду дх положить х = г cos ф, у = г sin ф. 3488, Решить уравнение = аг ~~~ > введя новые независимые переменные |= д;—at, tj = х + at. Приняв и и у за новые независимые переменные, преобразовать следующие уравнения: 12*
356 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3489. 2 -\ — + + = если дхг дх ду ду2 дх ду U = х + 2у + 2 и v=x—у—1. 3490. (l + x*) — + (\ + if)—+x—+y— = 0, ' дх2 v J ' ду* дх у ду если и = In (х + д/ 1 + х2) и и = In (у + д/ 1 + у2). 3491. ах2 - -+ 26лт/ —— 1- с*/2 = 0 (а, 6,с— дх2 дх ду ду2 постоянны), если w = In х и у = In у. олла дгг . д2г л 3492 . = 0, если дх2 ду2 х У и =— и v = ^. х2+у2 х2+у* 3493. + т2г = 0, если дх2 д//2 * = e“cos v> у = eusin v. о-1Л>1 д2г 1 dz , _ m зт- <!,>0>' ес',и ы = х—2 л/ у a v — х + 2 л[у. 3495. хtJLl—o2_££__ о еслн и = хи и v = —. дх* * ду* J у 3496. х2 —(х2 -j- У2) —“—\-уг-^- = 0, если дхг дх ду ду2 I 1 , 1 и = х+у И V = 1 . 3497. ху ^-<*.+Л-/2- + ч,-|£-+!,^ + дх2 дх ду дуг дх + х-—- = 0, если и = (х2 + у2) и v=xу. 3498. jc2-^—2jc sin у ———hsin2</ -^- = 0, если дх2 дх ду ду2 U = X tg — И У = X. S 2 3499. x-jl y_^L==o (jc>0, y>0), если дх2 at/2 л = (и + у)2 и у = (и—у)2.
§ 4. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 357 3500. —д2г— = (\ + , если дхду \ ду ) и = х и v — у + г. 3501. С помощью линейной замены £ = х + г\ = х + Ку преобразовать уравнение А J!fL + 2B^- + C^=0, (1) дх* дхду дуг где А, В и С — постоянные и АС—В2 С 0, к виду <?1дг\ Найти общий вид функции, удовлетворяющей урав¬ нению (1). 3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа A2sJ!l + J!l=0 дх2 ду2 не меняется при любой невырожденной замене перемен¬ ных X = <р (и, V), у = У (и, V), удовлетворяющей условиям: д<р _ дф _дф_ _ __дф_ ди dv до ди 3503. Преобразовать уравнения a) A« = -^- + -|fL = 0; б) Л (Аи) = 0, дх2 ду1 полагая и — f (г), где г = V*2 + У2* 3504. Какой вид принимает уравнение дЧо Л \-сш = 0, дхду если положить w = f (и), где и = (х—х0) (у—у о)? 3505. Преобразовать выражение - д2и . д2и . ди Л = х—— +у-г-—Ь —» дх2 д* ду дх полагая л + у = X, у = XY.
35S ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3506. Показать, что уравнение dh ' ■ 2ху2 — + 2 (у—у3) ~~ + х2у2г = 0 дх2 дх ду не меняет своего вида при преобразовании переменных 1 X = UV и у = —. V 3507. Показать, что уравнение л , 2 дгг , + _fg_=Q дх2 дх ду ду2 не меняет своего вида при замене переменных и = X + 2 И У = Г/ + 2. 3508. Преобразовать уравнение д2и , . д2а л ху h */z Ь *2 = 0, * * dt/cfc дхдг полагая * = Л?. У = is. г = In- 3609. Преобразовать уравнение д*г дгг , д2г , дЧ , а2: , д2г л *9*2 ’ <3^1 дх2 дхъ дх{ дх2 дх{ дх3 дх2дх3 полагая УI = X 2 “1“ У 2 *^1 ^3 ^2» #3 *^1 ™"^3* 3510. Преобразовать уравнение х2^+У2^ + г*^ + 2хУ-уЬ + 2х21ПГ + дх2 dtr dz2 дх дх + 21/г-^- = 0, дг полагая JL д: Указание. Записать уравнение в виде А2и—Аи=0, где Л 5 _l д L д А = * — + !/ — + г-— , ОХ оу 02 3511. Выражения ( ди у , / да \а . / ди \а
§ 4 ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННЫХ 359 И А д2и , д*и . д2и Ам 2 дх2 ду2 ^ дг2 преобразовать к сферическим координатам, полагая х = г sin 0 cos ф, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0. Указание. Замену переменных представить в виде ком* позиции двух частичных замен X = R cos ф, у = R Sin ф, 2=2 и R = г sin 0, Ф = Ф, г = г cos 0* 3512. В уравнении / дЧ . д2г \ ( дг \2 , / дг \2 Ч дх* ^ )“( дх ) +( ду ) ввести новую функцию w, полагая w = г2. Приняв и и v за новые независимые переменные и w = w (и, v) за новую функцию, преобразовать сле^ дующие уравнения: 3513. у-^г+ 2 — = — , если и = —, v = xt ду2 ду х у w — xz—y. 3514. — 2———\-—г =0, если u = x+yt дх4 а</г ^ —. х дс 3515. -H-L + 2 ——если и =х+у, дх* дхду ду3 п v = x—у, w = xy—Z. oeie d22 , д22 , 02 . Х+у 3516- “ГГ + Т^ + Т- = г> если —о ' дх2 дл% ддс 2 у = , СУ = 26^. d2z 0 d2z . /, , и \ д2г 3517. — 2 ———bfl + -М — =0, дх2 дхду V х J ду2 если и = х9 v = x + yy w=x+y +z. 3518. (1 А'2) ~~ Ь (1 У' дх2 если x = sinM, г/ = sin о, z — ew. 3518. (1_л-г)-^- + (1 — tf)J*- = x — + y — , ' ' дх2 ^у J ’ дуг дх * ду
360 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3519. (1— х-)— — 2х — -2 = 0 v дх2 ду2 дх 4 (|х|<1), если и = (у + arccos х), v = (у—агссоях), w = zyr 1 —X2 . дг дг 3520. = 2 - А У-дУ дх2 ду2 х2 — у2 —37?:И?г~<1х1>1у1)» если « = * + */. V = X—y, (.X2 — у2)2 г W = - V л:2 — f/2 3521. Доказать, что всякое уравнение д2г х дг , и дг . А '-а Ьяг = 0 дхдг/ д* ду (а, й, с — постоянные) путем замены z = где аир — постоянные величины и и = и (х, у)% можно привести к виду д*и ' - схи = 0 (q = const). d*dy азать меняет своего вида при замене переменных 3522. Показать, что уравнение = -^- не из- J г д*2 ду 1 х' = —, у'= и' = —^-е , У У *Jy где и' — функция переменных х' и «/'. 3523. В уравнении «<ич»-£-о+Р+*+ад»-^-+ + p(1 + p)-fr = 0’ ду1 дг дг , где р = и <7 , положить ы = jc + z, у = ах = I/ + 2, W = X + у + 2, считая, что о» = ш (ы, t>).
§ 5 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 361 3524. В уравнении д2и . о д2и . о д2и i/2JrТ- + 22- дх2 ду2 дг2 положить х = е%, у = еч, г = ее, и = е*®, где до =■ = а» (I , Л» £)• 3525. Показать, что вид уравнения д2г дЧ / д2г \2 дх1 дуг I дхду ) ~ не меняется при любом распределении ролей между переменными х, у иг. 3526. Решить уравнение / дг у д2г 2 дг дг д2г . / дг Ч2 д2г q V. ду ) дх2 дх ду дхду \ дх / ду2 ' приняв х за функцию от переменных у иг. 3527. Преобразовать уравнение \дх ду ) дх1 Г Ч дх ду ) дхду + С _*\-££_=0, \дх ду) ду3 * применяя преобразование Лежандра v дг ,7 дг г, дг , дг Х = —, У = —, Z = x— +у- г, дх ду д* ду где Z = Z (X, У), § 5. Геометрические приложения 1°. Касательная прямая и нормальная плоскость. Уравнение касательной прямой к кривой * = Ф (0. У = (0, * = X <0 в точке ее М (лг, у, 2) имеет вид X —х _ У —j/ ^ Z — z dx dy dz ~~dt ИГ ~7Г Уравнение нормальной плоскости в этой точке: Щ- (X - х) + л. (У _ у) + ±- (Z _ г) = о. dt dt ds
362 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 2°. Касательная плоскость и нормаль. Уравнение касательной плоскости к поверхности г = £ (х, у) в точке ее М (х, у, z) имеет вид Z~z=-^-(X-x) дх ду Уравнение нормали в точке М есть X Y-у __ Z — г дг дг — I дх ду Если уравнение поверхности задано в неявном виде F (*, yt г) = 0, то соответственно имеем: af (X-,) + 4L(r-9) + JL,Z-2,_o дх ду дг — уравнение касательной плоскости и X — х Y — у Z — 2 dF dF dF дх ду дг — уравнение нормали. 3°. Огибающая кривая семейства пло¬ ских кривых. Огибающая кривая однопараметрического семейства кривых ft (х, у, а) = 0 (а — параметр) удовлетворяет системе уравнений: I (дг, у, а) = 0, /а (х, у, а) = 0. 4°. Огибающая поверхность семейства поверхностей. Огибающая поверхность однопараметри¬ ческого семейства поверхностей F (х, у, 2, а) = 0 удовлетворяет системе уравнении: F (xt у, z, а) — 0, Fa(x, у, 2, а) = 0. В случае двупараметрического семейства поверхностей Ф (х, г/, г, а, р) = 0 огибающая поверхность удовлетворяет следующим уравнениям: Ф (дг, у, z, а, Р) = 0, Ф^(*, у, 2, а, Р) = 0, Фр(*, у, 2, а, Р) = 0. Написать уравнения касательных прямых и нор¬ мальных плоскостей в данных точках к следующим кривым: 3528. х = a cos a cos /, у = a sin a cos t9 z = a sin t; в точке / = /0. 3529. х = а sin2/, у = 6 sin t cos t, z = с cos2 в - л точке t = —, 4
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 363 3530. у = х, z = х2; в точке М (1, 1, 1). 3531. х2 + г2 = 10, у2 + г2 = 10; в точке М (1, 1,3). 3532. x2+y24-z2 = 6, x-\-y-\-z= 0; в точкеМ(1,—2,1), 3533. На кривой х = t, у — i2, z = t3 найти точку, касательная в которой параллельна плоскости х + 2у + z = 4. 3534. Доказать, что касательная к винтовой линии х = a cos t, у — asm t, z = bt образует постоянный угол с осью Oz. 3535. Доказать, что кривая x = ae‘cost, у = ае‘ sin t, z = ae‘ пересекает все образующие конуса х2 + у2 = z2 под одним и тем же углом. 3536. Доказать, что локсодрома tg = ek<f (k = const), где ф — долгота, ф — широта точки сферы, пересекает все меридианы сферы под постоянным углом. 3537. Найти тангенс угла, образованного касатель¬ ной в точке М0 (х0, у0) к кривой 2 = f(x, у), Х — Хд _ У — Уо cos a sin а где f — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху. 3538. Найти производную функции X V*2 + у- + г2 в точке М (1,2, — 2) в направлении касательной в этой точке к кривой х= t, у = 212, г = — 2t\ Написать уравнения касательной плоскости и нор» мали в указанных точках к следующим поверхностям: 3539. г = я2 -+• у2; в точке М0 (1, 2, 5). 3540. х2 + у2 + г2 = 169; в точке М0 (3, 4, 12). 3541.2 = arctg — ; в точке М0 ^1,1, . 3542. ах2 + by2 + cz2 = 1; в точке М0 (х0, уа, г0). 3543. z = у + In—; в точке М0 (1, 1, 1).
364 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3544. 2Х/2 + 2у/2 = 8; в точке М0 (2, 2, 1). 3545. х = a cos ij) cos ф, у = b cos sin ф, г — = с sin г|>; в точке М0 (ф0, ^0). 3546. х = г cos ф, у = г sin ф, г = г ctg а; в точке А*о (Фо, Го)- 3547. х — и cos v, у = и sin и, z — av; в точке М0 («о, »0). 3548. Найти предельное положение касательной плоскости к поверхности: X = U + V, у = U2 + V2, Z ~ U3 + V3, когда точка касания М (и, v) (и Ф v) неограниченно приближается к точке М0 (и0, ы0) линии края и = v поверхности. 3549. На поверхности х* + 2у2 + Зг2 + 2ху + + 2xz + 4yz = 8 найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям. 3550. В какой точке эллипсоида нормаль к нему образует равные углы с осями коорди¬ нат? 3551. К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 = 21 провести касательные плоскости, параллельные плоскости 3552. Доказать, что касательные плоскости к поверх¬ ности xyz — а3 {а > 0) образуют с плоскостями коор¬ динат тетраэдр постоянного объема. 3553. Доказать, что касательные плоскости к поверх¬ ности _ _ V^ + Vi/-t-V2=Va (а>0) отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна. 3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу проходят через его вершину. 3555. Доказать, что нормали к поверхности враще¬ ния х + Ay + 6z = 0. * = /(V*a + y4) <ГФ 0) пересекают ось вращения
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 365 3556. Найти проекции эллипсоида х2 + у2 + z2— ху = I на координатные плоскости. 3557. Квадрат {0 < * sg 1, 0 < # •< 1} разбит на конечное число частей а диаметра «£ б. Оценить сверху число б, если направления нормалей к поверхности 2 = 1—х2—у2 в любых точках Р (х, у) и Рг (xlt г/х), принадлежащих одной и той же части а, отличаются меньше чем на 1°. 3558. Пусть 2 = / (X, у), где (*, у) £ D, (1) — уравнение поверхности и ф (Pv Р) — угол между нормалями к поверхности (1) в точках Р (х, у) £ D И р 1 (*1> У i) 6 D• Доказать, что если область D ограничена и замкнута и функция / (xt у) имеет ограниченные производные 2-го порядка в области D, то справедливо неравенство Ля¬ пунова ф (Plt P)<Cp(Plt Р), (2) где С — постоянная и р (Z5Р) — расстояние между точками Р н Рг. 3559. Под каким углом пересекается цилиндр х2 + Уг = я2 с поверхностью bz = ху в общей точке М0 (*0, у§у 2q)? 3560. Показать, что координатные поверхности сфе¬ рических координат х2 + у2 + г2 = г2, у = х tg ср, х2 + у2 — z2 tg20 попарно ортогональны. 3561. Показать, что сферы х2 + у2 + г2 = 2ах, х2 + у2 + г2 = 2by, х2 + у2 + z2 = 2cz образуют три- ортогональную систему. 3562. Через каждую точку М (х, у, г) проходят при X = Х19 X = X2t X = Х3 три поверхности второго по¬ рядка: —— 1 —= —1 (а>Ь>с> 0). С2_Х2 Я* П С2— X,2 ' ' Доказать ортогональность этих поверхностей. 3563. Найти производную функции и = х + у + г в направлении внешней нормали сферы х -\-у + 2 = 1 в точке ее М0 (xQ, yQ, z0).
366 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В каких точках сферы нормальная производная функ¬ ции и имеет: а) наибольшее значение, б) наименьшее значение, в) равна нулю? 3564. Найти производную функции и = х2 + у2 + г2 X2 U2 в направлении внешней нормали эллипсоида —— + -+* Ч—— = 1 в точке его М0 (х0, у0, г0). С1 3565. Пусть и -у- нормальные производные функций и и v в точке поверхности F (лг, у, г) = 0. До- д , ч dv , ди казать, что (uv) = u \-v . дп дп дп Найти огибающие однопараметрических семейств пло¬ ских кривых. 3566. х cos а + у sin а ~ р {р = const). 3567. (х—а)2 + у2 = -j-. 3568. у — kx + (а = const). 3569. у2 =2рх +р2. 3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины /, концы которого скользят по осям координат. 3571. Найти огибающую эллипсов+ 1, имеющих постоянную площадь S. 3572. Найти огибающую траекторий снаряда, выпу¬ щенного в безвоздушном пространстве с начальной ско¬ ростью v0, при варьировании в вертикальной плоскости угла бросания а. 3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской кривой есть эволюта этой кривой. 3574. Исследовать характер дискриминантных кри¬ вых семейств следующих линий (с — переменный па¬ раметр): а) кубических парабол у = (х—с)3; б) полукубических парабол у2 = (х—с)3; в) парабол Нейл я у3 = (х—с)2; г) строфоид (у—с)2 = х2 а~*.. а + х 3575. Определить огибающую семейства шаров ра¬ диуса г, центпы которых расположены на окружности х = R cos t, у — R sin t, г — 0 (t — параметр, R > г).
§ в. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 367 3576. Найти огибающую семейства шаров (х—t cos а)2 + {у—t cos Р)2 + (2—t cos v)2 = 1. где cos2a + cos2§ + cos2y = 1 и t — переменный па¬ раметр. 3577. Определить огибающую семейства эллипсои- ^ дов 1- —— _L = 1, объем V которых постоянен. а2 b2 с2 3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р, центры которых расположены на поверхности конуса х2 + у2 = z2. 3579. Светящаяся точка находится в начале коорди¬ нат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром (х—х0)2 + (у—уо)2 + (г—20)2 < Я2, если х% + у\ + z20 > R2. 3580. Найти огибающую семейства плоскостей г—гй = р (х—х0) + q (у—уо), если параметры р и q связаны уравнением р2 + q2 = 1. § 6. Формула Тейлора Г. Формула Тейлора. Если функция {(х, у) имеет в некоторой окрестности точки (с, 6) непрерывные все частные производные до п + 1 порядка включительно, то в этой окрестности справедлива формула / (*, у) = / (а, 6) + П + £-Y [<* - а) + (у - Ь) -j-^t (a, b)+Rn (х, у), (1) i= I где Rn(x, у) = ' [(* — а)-^- + (У — &)х~Т+1Х (п +1)! L дх ду i Х/(а + 0я(л: — а), 6 + 0„(у — >)) (0 < 0„ < 1). 2°. P я д Тейлора. Если функция / (xt у) бесконечно дифференцируема и lim Rn(xt у) = 0, то эта функция допускает
368 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ представление в виде степенного ряда оо t (*. У) =f(a, Ь)+ У fW> (а, Ь) (х - а)1 (у - Ь)<. (2) t\j\ ху Частные случаи формул (1) и (2) при а = Ь = 0 соответст* венно носят названия формулы Маклорена и ряда Маклорена, Аналогичные формулы имеют месго для функции более чем двух переменных. 3°. Особые точки плоских кривых. Точка Mq (x0t i/o) дифференцируемой кривой F (.к, у) = 0 называется особой, если F (*0. г/о) = 0, F'^xо, у а) = 0, F'y(x0, у„) = 0. Пусть М0 (х0, i/q)—изолированная особая точка кривой класса С^Т) и числа А = рхх Уо) = 0, В = F‘x'y (xq, yQ)t С = F'y'y (x0i у0) не все равны нулю. Тогда, если 1) Л С—В2 > 0, то М0 — изолированная точка; 2) АС—В2 С 0, то М0 — двойная точка (узел); 3) АС—В2 = О, то УИ0 — точка возврата или изолирован¬ ная точка. В случае А = В = С = 0 возможны более сложные типы особых точек. У кривых, не принадлежащих классу гладкости С<2>, могут быть особенности более сложной природы: точки прекращения, угловые точки и др. 3581. Функцию f (*, у) = 2х2—ху—уг—бдс—3у + 5 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки А (1, -2). 3582. Функцию / (х, у, г) — дс8 + у3 + z8 — 3хуг разложить по формуле Тейлора в окрестности точки А (1, 1, 1). 3583. Найти приращение, получаемое функцией / (дс, у) = х2у + хуг — 2ху, при переходе от значений х = 1, у = — 1 к значениям хг— 1 + h, уг — — 1 +k. 3584. Разложить f (х + h, у + k, г + /) по целым положительным степеням величин h, k и /, если / (*. У, г) = = Лдса + By3 + Cz2 + 2Dxy + 2£*2+ 2F уг. 3585. В разложении функции f (х, у) — х? в окрест¬ ности точки А (1, 1) выписать члены до второго порядка включительно. 3686. Разложить по формуле Маклорена до членов четвертого порядка включительно функцию / {х, у) = V 1 —х2—у*.
§ б. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА 369 3587. Вывести приближенные формулы с точностью до членов второго порядка для выражений: ч COS ДС j 1 -j— X “{— у а) ; б) arctg -- cos у 1 — х+у если |*| и \у\ малы по сравнению с 1. 3588. Упростить выражение cos (* + у + z) — cos * cos у cos г, считая х, у, г малыми по абсолютной величине. 3589. Функцию F(x> y) = -j-lf(x + h> y) + f(x> y + h) + + f (x-h, y) + f (X, y-h) ] - f (X, y) разложить по степеням h с точностью до Л4. 3590. Пусть / (Р) = / (х, у) и Я, у с) (i = 1, 2, 3) — вершины правильного треугольника, вписанного в окружность с центром в точке Р (х, у) радиуса р, причем = х + р, Уу — у. Разложить по целым по¬ ложительным степеням р с точностью до р2 функцию f(p) = -jlf(Pi) + f(P*) + f(Ps)l 3591. Разложить по степеням h и k функцию Ьхя f (*• у) =*/(* + h> У + k) — f(x+h, у) — —f (х, у + k) + f (х, у). 3592. Разложить по степеням р функцию I 2,1 ^(р) =—J7(* + pcos<p, t/ + psin<p)cf<p. in о Разложить в ряд Маклорена следующие функции: 3593. f (х, у 3594. f (х, у 3595* / (х, у 3596. / (*, у 3597. / (х, у 3598. / (*, у 3599. f {x, у 3600. / (*, у = (1 + х)т (1 + у)п. = In (1 + х + у)• = е* sin у. = е* cos у. = sin * sh у. = cos х ch у. = sin (*2 + у2). = In (1 -Ь *) In (1 + у). 3601. Написать три члена разложения в ряд Макло- оена функции / (*, у) = J (1 + х)^ dt.
370 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 3602. Функцию в*+» разложить в степенной ряд по целым положительным степеням биномов х—I и у + 1. 3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции / (х, у) = —в окрестности точки М (1, 1). У 3604. Пусть г — та неявная функция от х и у, опре* деляемая уравнением г3—2хг 4- у = 0, которая при х = 1 и у = 1 принимает значение 2—1. Написать несколько членов разложения функции г по возрастающим степеням биномов х—1 и у—1. Изучить типы особых точек следующих кривых и примерно изобразить эти кривые: 3605. у2 = ах2 + *3. 3606. х3 + у3 — Зху = 0. 3607. *2 + у2 = х* + у*. 3608. х2 + у* = Xе. 3609. (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2). 3610. (у—х2)2 = Л 3611. (а + х) у2 = (а—х) х2. 3612. Изучить форму кривой у2 = (*—а) (х—Ь)Х X (х—с) в зависимости от значений параметров а, Ь, о (a b с). Исследовать особые точки трансцендентных кривых: 3613. у2=1 — е~*2. 3614. у2 = 1~е-*3. 3615. у=х\пх. 3617. у = arctg (—-—V 3818. у2 = sin — . \ sin х ) х 3619. г/2 = sin*2. 3620. i/2 = sin3x. § 7. Экстремум функции нескольких переменных 1°. Определение экстремума. Пусть функция / (Р) = / (*i, . . . , хп) определена в окрестности точки Р0. Если или I (Р0) > / (Р), или / (Р0) < / (Я) при 0 < р (Р0, Р) < < б, то говорят, что функция I (Р) имеет строгий экстремум (соответственно максимум или минимум) в точке Р0. 2°. Необходимое условие экстремума. Дифференцируемая функция /, (Р) может достигать экстремума лишь в стационарной точке Р0, т. е. такой, что df. (Р0) = 0. Следовательно, точки экстремума функции £ (Р) удовлетворяют системе уравнений ^.(*1» • • • • хп) = 0 (г = 1, . . . , п). 3°. Достаточное условие экстремума. Функция I (Р) в точке Р0 имеет: п а) максимум, если d[ (Р0) = 0, d2l (Р0) <0, при £ | dxi\Ф0, и
§ 7. ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ 371 п б) минимум, если df (Р0)— 0, d2f (Р0)> О при \dxi \ =^=0. i=i Исследование знака второго дифференциала d2f, (Р0) может быть проведено путем приведения соответствующей квадратич¬ ной формы к каноническому виду. В частности, для случая функции / (дс, у) двух независимых переменных х и у в стационарной точке (х0, у0) (df (xQt yQ) = 0) при условии, что D = АС — В2 Ф 0, где А = fxx(xQt у0), в = fxy (хо- Уо)< с = СЛхо> Уо) имеем: 1) минимуму если D > 0, А > 0 (С > 0); 2) максимум, если D > 0, А < 0 (С < 0); 3) отсутствие экстремума, если /) -< 0. 4°. У с л о в н ы й экстремум. Задача определения экстремума функции f (Pq) = f (xlt , . . , xпри наличии ряда соотношений Ф/(Р) = 0 (/ = 1, . . . , m; m <: л) сводится к на¬ хождению обычного экстремума для функции Лагранжа т L(P)=f(P)+ £ i=1 где (i = 1, . . . , /л) — постоянные множители. Вопрос о су¬ ществовании и характере условного экстремума в простейшем случае решается на основании исследования знака второго дифференциала d2L (Р0) в стационарной точке Р0 функции L (Р) при условии, что переменные dxlt , t , dxn связаны соотноше¬ ниями я дф, dx: = 0 (г = 1, . . ., /я). /=I dxi 5°. Абсолютный экстремум. Функция £ (Р), дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, до¬ стигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой об¬ ласти или в стационарной точке, или в граничной точке области* Исследовать на экстремум следующие функции не¬ скольких переменных: 3621. г = х2 + (у— 1)а. 3622. г = х2 — (у— 1)а. 3623. г = (х—у + 1)а. 3624. г = хг — ху + у2 — 2х + у. 3625. г = х2у3 (6—х—у). 3626. г = х3 + у3—Зху. 3627. г = х* + у* — х2 — 2ху—у2. 3627.1. 2 = 2х* + у* — х2 — 2у2. ^0 90 3628. г = ху+ — 4-— (*>0, у > 0). х у 3629. г=хул 1——--^1 (а > 0, &a