КУРС
·1 •11,
МАТЕМАТИКИ
;;:;;,
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
влсть
п
~
.~
~-1
'
.,
~
.,
fi1'
h.
fi1'
~
~
~~
.~.,..,..~
rr
....
\
.,
..
...
1
....
fl'
1
...
j

КУРС МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
Часть 11
Под редакцией Н. М. MATBEEJ3A
Допущено Министерством
высшего и среднего специал~ного образования СССР
в качестве учебного пособия
для средних специальных учебнь1х заведений
ИЗДАТЕJIЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАIЩИЯ
ФИЗИl<О-МАТЕМАТИЧЕСl(ОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1976

517.2
К93
УДК 517.11
l(ОЛЛЕКТИВ АВТОРОВ:
В. Н. МАТВЕЕВ, А. А. МАТЮШКИН-ГЕРКЕ,
Н. В. БОГОМОЛОВ, С. М. КОЗЛОВСКИЙ
Книга представляет собой вторую часть «Курса математики для
техникумов» в двух частях, написанного группой ленинградских
авторов в соответствии с новой программой для техникумов, утверж­
денной в 1974 году.
Книга подготовлена по. предложению Научно-ме>тодичЕского ка­
бинета по среднему специальному образованию Министерства высше­
го и среднего специального образования СССР как эксперименталь •
ное учебное пособие.
Отзывы и замечания по данному учебному пособию Научно­
методический кабинет по среднему сп(•циалыюму образованию про­
сит направлять в его адрес: 111024, Москва, Е-24, 3-я Кабельная ул.,
ДОМ 1.
20203-140
М 053 (02)-76 25 •76
© Главная редак11ия
физико-математическо/1 литературы
иэдательства «Наука,., 1976

ОГЛАВЛЕНИЕ
Гл а в а 13. Неопределенный интеграл
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
9
§ 13.1 . Неопределенный интеrра., и его простейшие свойства 9
13.1.1 . Первообразная фун1щ11л. Неопределенный интеграл
(9 ). 13.1 .2 . Основные свойства неопределенного интеграла
(12). 13.1.3 . Таблица простейших неопределенных интег­
ралов (13). 13.1 .4 . Непосредственное интегрирование (14).
§ 13.2 . Простейшие приложения неопределенного интеграла 16
13.2.1 . Вычисление первообразнай функции по заданной ее
производной ИJIИ дифференциалу и частным значениям аргу­
мента и фу111щии (16). 13.2 .2 . Состамение уравнения ли-
нии, проходящей через данную точ·ку, по заданному угловому
коэффициенту касател-ы1uй (16). 13.2 .3 . Составление урав­
нения движения материальной точки (17).
§ 13.3 . Методы интегрирования
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
13.3.1 . Интегрирование методом ·замены переменной (спосо-·
С:ом подстановки) (19). 13.3 .2 . Метод интегрирования по
частям (29). 13.3 .3 . Интегрирование рационал1,ных дробей
(33 ). 13.3.4 . Понятие об интегралах, не выражающихся в
конечном виде через элементарные функции (36).
Вопросы для повтореIIия к rлаве 13 . .
37
Упражнениякrлаве13.... ......
38
Ответ-ы, указания и решения к главе 13
39
Гл а в а 14. Определенный интеграл и его приложения
42
§ 14.1 . Основные понятия
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
42
14.1.1 . Задачи, приводящие к понятию определенного интег­
ра.~а (4 2). 14.1.2 . Интегральная сумма и определенный
интеграл (44).
§ 14.2 . Свойства опреде.~енного интеграла
.
.
.
.
.
.
.
.
.
46
14.2 .1 . Свойства, выражаемые равенствами (46). 14.2.2 .
Свойства, выражаемые неравенствами (47). 14 .2 .3 . Теорема
о среднем (48).
§ 14.3 . Интеграл с переменным верхним преде.1ом
.
.
.
.
.
49
з

14.3.1 . Непрерывность интеграла с-переменным верхним пре­
делом (49). 14 .3 .2 . Производная от интеграла с пере­
менным верхним пределом (50). 14.3.3 . Формула Ньютона­
Лейбница (51).
§ 14.4 . Методы вычиСJJения определенных интегралов
.
.
,.
53
14.4.1 . Непосредственное интегрирование
"(53). 14 .4 .2 . За­
мена переменной (способ подстановки) (54). 14 .4 .3 . Интеr 0
рирование по частям (58). 14.4.4. Приб.'lиженные методы
вычисления определенных интегралов (59).
§ 14.5 . Несобственные интегралы
.
.
.
.
.
.
.
.
.
67
§ 14.6 . Вычисление площадей с помощью определенного ин-
теграла .......................
69
14.6 .1 . Две схемы применения определенного интеграла к
вычислению различных ве.пичин (69). 14 .6 .2 . Площади
П.'!ОСКИХ фигур (71).
§ 14.7 . Вычисление объемов
.
.
.
.
.
.
.
.
75
14.7.1 . Понятие объема, его основные свойства (75). 14 .7 .2 .
Объем прямоугольного и прямого параллелепипеда, прямой
призмы и цилиндра (76). 14 .7 .3 . Объем тела с заданными
площадями поперечных сечений (80). 14 .7 .4 . Объем наклон-
ной призмы (накJюнного цилиндра) (82). 14. 7 .5 . Объем
пирамиды и усеченной пирамиды (83). 14 .7 .6 . Объем тела
вращения (84). 14 . 7. 7. Объем конуса и усеченного конуса
(87). 14.7.8 . Объем шара и его частей (89).
§ 14.8 . Длина дуги и площадь поверхности вращения 92
14.8.1 . Длина дуги кривой. Дифференциал дуги (92).
14.8.2 . Площадь поверхности вращения (96). 14 .8 .3 . Пло­
щадь поверхности сферы, сферического пояса и сферического
сегмента (98).
§ 14.9 . Другие приложения определенного интеграла
100
14.9 .1 . Путь, пройденный телом (100). 14 .9 .2 . Работа пе­
ременной силы (101). 14 .9 .3 . Работа, совершаемая при под­
JIЯТИИ груза (103). 14 .9 .4 . Давление жидкости (104). 14 .9 .5 .
Статические моменты и центр тяжести кривой (108). 14 .9 .6 .
Статические моменты и центры тяжести плоских фигур (111),
14.9 .7 . Моменты инерции (113).
Вопросы для повторения к главе 14
114
Упражнения кглаве 14.. ..
115
Ответы, указания и решения к главе 14
117
Гл а в а 15. Понятие о векторнозиачных функциях и функ-
4
цияхнесколькихпере11-1енных...........
118
§ 15.1 . Обобщение понятия функции
.
.
.
.
.
.
.
.
118
15.1 .1 . Вводные замечания (118). 15.1 .2 . Основное опреде­
ление (118).
§ 15.2 . Векторнозначные функции скалярного аргумента
.
.
119
15.2 .1 . Вектор-функция, ее график и годограф (119).

15.2 .2 . Предел и непрерывность вектор-функции. Ее диффе­
ренцирование и интегрирование ( 121 ).
§ 15.3. Функции неско,ьких переменных
.
.
.
.
.
123
15.3.1. Функция двух переменных. Ее график. Частные про­
изводные (123). 15.3.2. Полный дифференциал функции двух
переменных (126). 15.3.3 . Обобщения на с.JJучай большего
числа переменных (127). 15.3.4. Производная сложной
функции (128). 15.3.5 . дифференцирование неявных функ-
ций (129).
§ 15.4. Кратные интегралы
.
.
.
.
.
•..
.
.
.
.
.
.
..
131
15.4 . 1. Основные понятия (131). 15.4.2 . .. Формула для вычи­
сления двойного интеграла (133). 15.4.3. Вычисление трой­
ного интеграла (135).
Вопросы для повторения к главе 15 . . •
, 135
Упражнения к rлаве 15
•..••.••••. 136
Ответы, указания и решения к главе 15 . •. • . 138
Гл а в а 16. Экстремальные задачи для функций нескольких
переменных........... ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
144
§ 16. 1. Jlинии и поверхности уровня. Производная по на­
правлению и градиент . . . ,
.
.
.
••.
.
.
.
.
.
.
..
144
16.1.1. Линии уровня функции двух переменных (144).
16.1.2. Производная по направлению (144). 16.1 .3 . Градиент
функции двух переменных (147). 16.1 .4 . Замечания для слу-
чая трех и большего числа переменных (14R).
§ 16.2. Экстремумы функций нескольких переменных. Клас­
сический подход к решению экстремальных задач ..... 149
16.2.1. Основные понятия (149). 16.2.2. Условия существо­
вания внутреннего экстремума для функции двух переменных
(150). 16.2.3. Классический способ отыскания экстремумов
(151). 16.2.4. Случай трех и /:ольшего числа переменных
(154).
§ 16.3 . Линейное программирование
.
•.••••
.
.
.
.
.
155
16.3.1. Предварительные примеры (155). 16.3.2. Задачи ли­
нейного программирования с ограничениями - неравенствами
(случай двух переменных) (158).
§ 16.4. Симплекс-метод решения задач линейного программи-
рования............... ,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
160
16.4 .1 . Основная идея симплекс-метода и его геометрическая
интерnр~ация (160). 16.4.2. Алгоритм симплекс-метода
(163). 16.4 .3 . Симплекс-таблицы и их использование (165).
§ 16.5. Случай трех и большего числа переменных. Понятие
онелинейныхэкстремальныхзадачах...........
16.5.1 . Задачи линейного программирования с произвольным
количеством переменных (169). 16.5.2. Заключительные
замечания об экстремальных задачах (170).
169
Воnросы для повторения к rлаве 16 . ,
Уnражнениякrлаве16
... ...
.
Ответы, указания и решения к главе 16,
, 171
• 172
, 174
5

r л а n а 17. Дифференциальные уравнения
.. ... ... ..
183
§ 17. 1 . Введение
.. ... ... ... ... ... ...• . 183
17.1.1 . Понятие о дифференциальном уравнении. Задачи,
приводящие к дифференциальным уравнениям (183). 17.1.2 . Ос­
новные понятия: порядок дифференциального уравнения,
начальные условия, общее и частное решения, граничные
условия (185).
§ 17.2 . Дифференциальные уравнения первого порядка
191
17.2 . 1 . Геометрическая интерпретация дифq:еренциальноrо
уравнения первого порядка (191). 17 .2 .2 . Простейшие типы
дифференциальных уравнений первого порядка: уравнения
с разделяющимися переменными, линейные уравнения (193).
§ 17.3 . Дифференциальные уравнения порядка выше первого 195
17.3 .1 . Линейные дифференциальные уравнения второго по­
рядка с постоянными коэффициентами (195). 17.3.2 . При­
меры решения дифференциальных уравнений высших поряд-
ков (198).
§ 17.4 . Метод Эйлера численного интегрирования дифферен­
циалыюrо уравнения первого порядка и ero геометрическая
интерпретация.............
.
202
Вопросы для повторения к rлаве 17 ..
.
205
.
205
.
207
Уnражнения к rлаве17 ...........
Ответы, указания и ре--шения к главе 17
Г JI а в а 18. Числовые и степенные ряды·
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
212
6
§ 18.1 . Числовые ряды
.................. 212
18.1 .1 . Числовой ряд и ero сумма (212). 18.1 .2 . Примеры
сходящихся и расходящихся рядов (213). 18;1.3 . Простейшие
свойства сходящихся рядов (215).
§ 18.2 . Признаки сходимости числовых рядов
....... 218
18.2.1 . Необходимый признак сходимости (219). 18.2.2 . При-
знак сравнения и его следствия. Абсолютная сходимость
(219). 18.2.3 . Признак ДаламЕера (222). 18.2.4 . Признак
Лейбница (224). 18.2 .5 . Интегральный признак сходимости
(226). 18.2.6 . Примеры исследования рядов на сходимость.
Оценки остаточных рядов (230).
§ 18.3 . Степенные ряды
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
232
18.3 .1 . Понятие о функциональных рядах (232). 18.3 .2 . Сте­
пенные ряды. Структура их областей сходимости (233).
18.3.3 . Простейшие свойства степенных рядов (235).
18.3.4 . Разложение в степенной ряд ln х и arctg х (236).
§18А.РядыТейлора..................239
18.4.1 . Единственность разложения функции в степенной
ряд (239). 18.4 .2 . Ряд Тейлора. Достаточные условия раз­
ложимости (241). 18.4 .3 . Ряды для sin х, cos х и еХ (242).
18.4 .4 . Решение дифференциальных уравнений с помощью
степенных рядов (244).

Вопросы для повтореIIия 1< rлаве 18 , .
Упражнеflия 1< rлаве 18
Ответы, указания и решения к rлаве 18
246
247
249
Глава 19. РядыФурье
.
253
§ 19.1 . Обобщенные полиномы и приближение функций «в
среднем».........................253
19.1 .1 . Различные способы оценки «близости» двух функций
(253). 19.1 .2 . Ортогональные и ортонормированные системы
функций (256). 19.1 .3 . Обобщенные полиномы наилучшего
приближения (258). 19.1 .4 . Обобщенные ряды Фурье (259).
§ 19.2. Тригонометрические ряды Фурье
.
.
.
.
.
.
.
.
.
261
19.2 .1 . Разложение в тригонометрический ряд Фурье
функции, заданной на конечном промежутке (261).
19.2 .2 . Разложение периодических функций (262). 19.2 .3 . Раз­
ложение в ряды только по синусам и только по косинусам
(263). 19.2 .4 . Примеры разложения функций в тригономет­
рические ряды Фурье (266).
Вопросы для повторения к главе 19 ..
Упражнения к главе 19 ......... .
Ответы, указания и решения к главе 19
.
268
268
269
Гл а в а 20. Элементы комбинаторики
.
.
.
.
.
.
.
272
§ 20.1 . Упорядоченные выборки. Перестановки и сочетания 272
20.1.1 . Вводные замечания (272). 20.1.2. Упорядоченные
выборки 11 перестановки (272). 20.1.3 . Сочетания (275).
§ 20.2 . Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
.
.
.
277
20.2 .1 . Формула разложения в сумму степени бинома (277).
20.2.2. Треугольник Паскаля (278).
Вопросы для повторения к главе 20
279
Упражнения к главе 20
Ответы, указания и решения к rлаве20
Гл а в а 21. Элементы теории вероятностей и математической
279
280
статистики .......................281
§ 21.1 . События, вероятности и действия над ними
.... 281
21.1 .1 . Введение (281). 21 .1.2 . События и операции нэд
ними (284). 21 .1 .3 . К:лассическое определение вероятности
(290). 21 .1 .4 . Условная вероятность. Формула полной ве­
роятности и формула Бс:йеса (293). 21.1.5 . Общее опреде­
ление вероятностной функции на конечной а.,гебре событий
(298).
•
§ 21.2 . Случайные величины и функции распределения
..
302
21.2.1. Дискретные cлytJaiiныe величины (302). 21 .2.2 . Би­
номиальный закон распределения (308). 21 .2 .3 . Случайные
величины (общий случай) (311 ).
§ 21.3 . Сводные числовые характеристики. Аппроксимация
распределений........... , ,
.....
,...320
7

21.3.1 . Сводные числовые характеристики выборочных и ,
теоретических распределений (320). ·21.3 .2 . Аппроксимация
законов распределения (328). 21.3.3. Понятие о законе
больших чисел (330).
§ 21.4 . Системы случайных величин
.......... 332
21.4 .1 . Совместные распределения случайных величин (332).
21.4 .2 . Регрессионные зависимости и сводные числовые ха­
рактеристики совместных распределений (337). 21 .4 .3 . Сов­
местные выборочные распределения и их сводные числовые
характеристики (342). 21 .4 .4 . Отыскание регрессионных
зависимостей методом наименьших квадратов (346).
Вопросы для повторения к главе 21
Упражнения к главе 21 ....... .
Ответы, указания и решения к главе 21
Пр ил о жен и е. Таблица значений функции
.
351
.
353
.
359
Ф0 (z)=
...........
366

ГЛАВА13
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 13.1 . Неопределенный интеграл и его простейшие
свойства
13. 1. 1. Первообразная функция. Неопределенный ин­
теграл. Одной из главных задач дифференциального
исчисления является задача нахождения скорости изме­
нения какой-либо функции, т. е. задача нахождения
производной (или дифференциала). На практике часто
приходится решать обратную задачу: зная скорость изме­
нения функции, найти эту функцию. Эта операция назы­
вается интегрированием.
По данному выражению
dF(х)= f(х)dx
или
F,()_dF(х)-f()
х-~-х'
где f (х)- известная функция, нужно найти функцию F (х).
Искомая функция F (х) называется первообразной
функцией по отношению к функции f (х).
Дадим определение первообразной функции.
Оп р еде л е н и е 13.1 . Первообразной функцией для
данной функции f (х) называется такая функция F (х),
производная которой равна f (х) (или, что то же самое,
дифференциал которой равен f (х) dx).
Например, первообразной функцией для функции Зх'
будет х3 , ибо (х 3)' = Зх2 • Но эта первообразная не един­
ственная, а только одна из многих, так как функции
х3 -3, х3 +2 и вообще х 3 +С, где С-постоянная, тоже
являются первообразными для f (х) = Зх2 , ибо
(х3 +С)'= Зх11 •
9

Действительно, если на некотором промежутке функ­
ция F (х) является первообразной для функции f (х), то
для этой последней будет первообразной и любая функция
вида
Ф(х)=F(х)+С,
(13.1)
где С-постоянная. Покажем, что этим выражением
исчерпывается все множество перво@бразных, т. е. что
любую первообразную для f (х) можно получить из равен­
ства ( 13. 1) при некотором значении С.
Пусть F (х) и Ф (х)- две функции, являющиеся перво­
образными для функции f (х) на некотором промежутке.
Тогда на этом промежутке
[Ф (x)-F (х)]' = Ф' (x)-F' (х) = f (x)-f (х)= О,
откуда Ф (x)-F (х)= С и тем самым
Ф(х)=F(х)+С.
Обращаясь к геометрической интерпретации только
что доказанного утверждения, мы можем сказать, что
графики всех первообразных для данной функции f (х)
представляют собой семейство таких кривых, которые
могут быть получены из любой из них путем ее сдвига
вдоль оси ординат.
Определение 13.2. Если F (х)-какая-либо перво­
образная функция для f (х), то выражение F (х) + С, где
С-произвольное постоянное, называется неопределенным
интегралом от функции f (х) и обозначается силшолом
~f(х)dx.
(13.2)
При этом функция f (х) называется подынтегральной
функцией, а выражение f (х) dx называется подынтеграль-
ным выражением, знак ~ называется зна,сом интеграла.
Согласно определению неопределенного интеграла
можно написать:
~f(х)dx=F (х)+С.
(13.3)
Операция нахождения первообразной по .данной функ­
ции называется интегрирсаанием.
1О

П р им ер 13.1 . Найти неопределенный интеграл от функции
у,=2х.
Р еше н и е. Для функции 2х одной из первообразных является
функция х2 • Поэтому
~ 2xdx=x2 +C.
Геометрически мы имеем семейство одинаковых парабол, сим­
метричных относительно оси Оу И· отличающихся друг от друга лишь
смещением вдоль оси Оу.
IIример 13.2. Найти ~6х5.dx.
Реше н и е. Необходимо найти такую функцию, производная
которой равна 6х5 • Так как 6х5.=(х6)', то
~ 6xSdx=x6 +C.
Пример 13.3. НайтиS~.
cos х
Ре ш е н и е. Находим функцию, производная которой равна
l/cos2 х:
Следовательно,
(tg х)' =-
1-2
-.
cos х
Sdx
- -2- =tg х+с.
cos х
Пример 13.4. НайтиSdxx.
Решен и е. Находим функцию, производная которой равна 1/х:
(ln х)' = 1/х
(где·О <х <+оо).
Следовательно, Sd: =ln х+С. Заметим, что (lп I х 1)' = 1.,х, следо•
вателыю,
S~=lnlxl+C,
гдехЕ(·- оо,
О) U(О, +оо).
Пр им е р 13.5 . Проверить дифференцированием равенство
\,~
_1_ J/3x4 +1+C.
"y'Зx4 -tl 6
Реше11ие.
d ...., .
Зх4+ 1+с =- •
____
• 12x•dx=-=== -
[1v-]1
1
xadx
6
6 2 у' 3Х'1+1
v·3х4-i-1
Мы получили nодынтегра.11,ное выражение, следовательно, исходное
равенство -верное.
11

13.1 .2. Основные свойства неопределенного интеграла.
I. Произв.одная неопределенного интеграла равна подын­
тегральной функции, а. дифференциал неопределенного
интеграла равен подынтегральному выражению
[~f(х)dx]'= f(х), •
d ~f(х)dx= f(х)dx.
(13.4)
(13.5)
Эrи свойства цепосредственно вытекают из определе­
ния неопределенного интеграла.
11. Неопределенный интеграл от дифференциала функ­
ции равен . этой функции плюс произвольная постоянная:
~dF(х)=F(х)+С.
(13.6)
Для доказательства воспользуемся определением не­
определенного интеграла
~f(х)dx=F(х)+с,
но dF (х)= f (х) dx, где f (х) = F'(x), тогда
~dF(х)=F(х)+с.
111. Постоянный множитель можно выносить за знак
неопределенного интеграла:
~af(х)dx=а~f(х)dx (а=,6О).
(13.7)
Доказательство. Пусть~ f(x)dx=F(x)+C, где
С-произвольная постоянная. Тогда правую часть (13.7)
можно записать так:
а(F(х)+С)=aF (х) +ас.
При а =r- О выражение аС тоже представляет собой про­
извольную постоянную. Производная же от aF (х) равна
подынтегральной функции из левой части доказываемого
равенства
[aF (х)]' = a• F' (х)= af (х).
Согласно определению неопределенного интеграла свой­
ство 111 доказано.
IV. Неопределенный интеграл от суммы двух непре­
рывных функций равен сумме неопределенных интегралов
от этих функций:
•
~[f1(х)+f2(х)]dx= ~f1(х)dx+~f2(х)dx.
(13. 8)
12

.Доказательство.
Пусть F 1 (х)-первообразная
для f1 (х), а F1 (х)- первообразная для f1 (х). Тогда правую
часть (13.8) можо записать в виде
F1(х) +F2 (х) +с1+с2,
·где С 1 и С2 -произвольные постоянные.
Так как С1 + С2 тоже будет произвольной постоянной,
а производная от F1 (х) + F 2 (х) равна подынтегральной
функции из _левой части (13.8)
[Fi(х)+F1(х)J' = F~(х)+F;(»)=f1(х)+f2(х),
то, согласно определению, свойство IV доказано.
13.1 .3 . Таблица простейших uеопределенных интегра­
лов. Пользуясь тем, 1iто интегрирование есть действие,
обратное дифференцированию, получим таблицу простей­
ших интегралов.
Учитывая, что если
dF(х)= f(х)dx,
то
~ f(x)dx=F (х)+С,
и обращая формулы дифференцирования, получим:
1. Так как d(x)=dx, то
~ dx=x+C.
II. d ( ::~) =xndx,
S xn+1
xndx ..:_ _ n+ 1 +С(п=р-1).
III.d(lnIх\)=~,
IV.d(е")=е"dx,
V. d ( 1:ха)=а"dx,
VI.d(sinх)= cosхdx,
VII. d (-cosx)= siпxdx,
dx
VIII.d(tgx)= cos•x,
IX. d (-ctgx) =.$ ._
sш2х'
sd:=In \xl +с.
~ exdx=ex+c.
Sа"dx = а" +С
!па ·'
гдеа-=/:l, а>О.
~ COS·Xdx=sinx+C.
~ sinxdx=-cosx+C.
S~о~~х =tgx+C.
S--4- = - ctgх+С.
S\П х·
13

1( d(arcsinх)= ..r dx
,
r1-х2sdx
x.l
dx
Vl х2
d (-arccosx) ~r - - ,
{arcsin х +С,
-
ai·ccosx + С.
r l-x2
{
d(arctgx)= 1 :х2 ,
XI.
dx
d(-arctgx)= i+x2 ,
Sdx
{ arctg х+С,
1+х2 =
-
arcctg х+С.
Sdx
Vх2+а =
dx
=lnlx+V x2 +al+c. а=,6=0.
XIV.d(Inltg;l)=s;tn\•
Ss1~\=1nltg;1+c.
XV.d(Inltg(;+;)\)=c::x' Sc::x=lnltg(;+~)l+c.
XVI. d (Vх2 +а) = yxdx
,
х2 +а
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, называются
табличными, и учащемуся их необходимо запомнить.
13.1.4 . Непосредственное интегрирование. Непосред­
ственным интегрированием принято называть вычисление
неопределенных интегралов путем приведения их к таб­
личным с применением основн~1х свойств 111 и IV. Здесь
могут представитьсfi следующие случаи:
1) данный интеграл берется непосредственно по фор­
муле соответствующего табличного интеграла;
2) данный интеграл после применения свойств 111 и IV
приводится к одному или нескольким табличным интег­
ралам;
3) данный интеграл после элементарных тождествен­
ных преобразований над подынтегральной функцией и
применением свойств 111 и IV приводится к одному или
нескольким таб.1шчным интеrраJ1ам.
Поясним сказанное примерами.
14

Пример 13.6. 54х2dx.
Реше ни е. Постоянный множитель по свойству II I выносим
за знак интеграла и, применив формулу I I, получим
Получили подынтеrралыше выражение, следовательно, интеграл
найден правильно.
Пр им ер 13.7. 55(x~ -2x+3)dx.
Решение. Применив свойства III и IV и формулы I и II,
получим
55(х2-:_2х+З)dх=5 5x2dx-10 ~ xdx+l5 5dx=
х3
х2
5
=-5 3 -10 • 2 +15.х+С=з х3-5х2 +15х+С.
Постоянная интегрирования С равна алгебраической сумме трех
постоянных интегрирования
С1 -С2 +С3 =С.
Пример 13.8. 55(3х2-1)2dx.
Решение. 55(3x2 -1)2dx=5 (45x4 -30x2 +5)dx=
=45 Sx4dx-30 Sx2dx+5 Sdx=45. ~ -30.
~
1
+sx+C=
=9х5 -\Ох3 +5х+с.
Sxsf4 + 2х2,1з + 3х1/2
Пример 13.9.
---'---'---dx.
х
Sхзf• + 2х2/з + 3х1/2
Решение.
•
dx=
х
=1х:-
1
dx+2 iх:-i +31 х·~ -
1
dx= ..\ х -+dx+2 iх-+dx+
1
1
1
\
--+1
-- +1
-- +1
I-тх4
х3
х2
+3хdx=
1+21
+31+с=
-т+1 -з+1 -2+1
=: ХЗ/& +2 • ~ Х2/З +3•2.t112 +С=: ХЗ/4 +зх~/З +6x1f 2 +с.
15

§ 13.2 . Простейшие приложения неопределенного­
интеграла
Отыскание функции по заданной производной или по
заданному дифференциалу-задача неопределенная, так
как ~ f (х) dx означает множество первообразных функций
вида у= F (х) + С, отличающихся друг от друга постоян­
ным слагаемым С; С может принимать любые числовые
значения, если на первообразную функцию не наложено
никаких начальных условий. Чтобы из множества перво­
образных функций выделить одну определенную функцию,
должны быть заданы начальные условия.
Под начальными условиями понимается задание
частных значений х и у для первообразной функции
у= F (х) +с, по которым находится вполне определенное
значение С, удовлетворяющее этим начальным условиям.
13.2 .1 . Вычисление первообразной функции по заданной
ее производной или дифференциалу и частным значениям
аргумента и функции. Разберем несколько примеров.
Пр им ер 13.10. Найти функцию, производная которой
у' =4х-3 и которая при х=2 принимает значение у=б.
Решение. у' =4х-3. Находим интеграл:
у=~ (4x-3)dx,
у=2х2 -Зх+С.
Найдем С по заданным значениям х=2 и у=б. Подставив в функ­
цию эти значения, получим 6=2-2 2 -3-2+С, откуда С=4. Функ­
ция, удовлетворяющая заданным начальным условиям, примет вид
у=2х2 -Зх+4.
Пр им ер 13.11 . Найти ~ (sin х+ cos х) dx, а затем ту перво­
образную, которая при х = n/2 равна 4.
Ре ш е н и е. Находим общий вид первообразной
~ (siп x+cos х) dx=- cos x+sin х+С=у.
Найдем С по заданным начальным условиям:
4=-COS; +sin ; +С,
откуда С=З, следовательно, искомая первообразная функция
У= siп x-cos х+з.
13.2 .2 . Составление уравнения линии, проходящей че­
рез данную точку, по заданному угловому коэффициенту
касательной. Как и в предыдущем пункте, покажем, как
решать эту задачу на конкретных примерах ..
16

Пр им ер 13,.12 . Найrи ура11нение кривой, проходящей через точ­
ку М (2; -4), если угловой l{Оэффициент касательной к кривой в
каждой ее точl{е равен 2х-6.
Решение. В условии задачи дано:
следовательно, :~ =2х-6. Интегрируем:
dy
k=2x-6, но k= dx'
у=~ (2х-6) dx,
Подставив начальные данные, нацдем С: -4=2 2 -6·2+С, С=4.
Следовательно, уравнение искомой кривой
у=х2 -6х+4.
Найденная кривая-парабола.
Пр им ер 13. 13. Найти уравнение кривой, проходящей через
точку (О; 1), у которой касательная в любой точке кривой имеет
угловой коэффициент, равный удвоенной ординате точки касания.
Решение. Поусловию
dy
dx1
k= dx =2у, откуда dy = 2у.
Будем считать х функцией, а у независимой переменной. Интегри­
руя это выражение, получим
1
х= 2 1п\у\+С',
или (так как начальным условиям удовлетворяет лишь кривая, у
которой у > О)
lп у=2х+с
(где С=-2С·, -произвольное постоя·нное). Из начальных условий
найдем С: ln 1 =2-о+с, С=О. Следовательно, уравнение кривой
lп у=2х или у=е2".
13.2.3. Составление уравнения движения материальной
точки.1°. Нахождение эакона движения мате­
риал ь ной точки по скорости ее движения
и по начальнымусловиям.
Пр им ер 13.14 . Скорость прямолинейного движения материаль­
ной точки v=3t2 +2. Найти закон движения этой точки, т. е.
s=f(/),еслизавремя t=2сточка прошлапуть40м.
Решен и е. Так как
ds
V= dt =3t2 +2.
ТО
s= ~ (3t2-f -2)dt,
По начальным условиям найдем С:
40=23 +2-2+с. С=28.
17

Закон движения точки будет име1ъ вид
S= t3+2t +28.
Пр им ер 13.15. Скорость прямолинейного движения точки за­
дана формулой v=4 cos /. Составить закон движения этой точки,
n
если в момент t = 6 с точка находилась на расстоянии s = 6 м от
начала отсчета.
ds
Решение. Так как v=2cost, тodt=2cost, откуда
S=2 sin t+C.
По начальным условиям найдем С:
6=2sin: +с,
Закон движения точки будет иметь вид
S=2 sin t+5.
2°. Нахождение закона движения матери­
альнойточки поее ускорению и по началь­
ным условиям.
П р им ер 13.16. Тело (рассматриваемое как материальная
точка) брошено вертикально вверх с начальной скоростью v0 • Найти
закон движения этого тела (сопротивлением воздуха пренебречь).
Решение. Примем направление по вертикали вверх за поло­
жительное, тогда ускорение силы тяжести, как направленное вниз,
dv
примем за отрицательное. Имеем а= dt =-g, откуда
V=-g ~ dt,
По начальным условиям t=O, v=v0 найдем С1:
r:ледовательно, скорость этого тела опреде.~яется по формуле
v=-gt+v0 •
Находим закон движения тела:
тогда
ds
V=dt'
rде v=-gt+vn;
ds
dt=-gt +vo.
Интегрируя :по выражение, получим
S
gt2
s= (-gt-t-t!0)dt=-
2 +t•0t-t-C2•
18

По начальным условиям t = О, s = О находим С2 :
g-0
0=-
2 +v0 -o+c2 ,
С2 =0.
Следовательно, закон движения тела будет
g/2
s=-
2 +v0t,
или
Пр им ер 13.17. Точка движется прямолинейно с ускорением
а= 6! + 12. В момент времени t = О (начало отсчета) начальная
скорость v0 = 6 м/с; расстояние от начала отсчета s0 = 8 м. Найти:
1) скорость и закон движения точки, 2) величину ускорения, ско­
рости и пути в момент t=2с.
dv
Решен и е. 1) Находим скорость движения точки: а= dt , но
dv
а= 6t + 12, тогда dt =6! + 12. Интегрируем:
V= ~ (6t-t-12)dt, V=3t 2 +12t+C1,
По начал1,ным условиям t =0, v0 =6 м/с найдем С0 : 6= З-0 2+12-о+с1 ,
С1 = 6. Следовательно, ·скорость движения точки v = 3/ 2 -1- 12t + 6.
'
ds
Находим закон движения точки: v = dt , но v = 3t2 + 12t + 6, тor-
ds
да dt =3t2-f-12t +6. Интегрируем:
s= ~(3t2+ 12t-j-6)dt, т. е. s=tЧ 6t2+6t+c2•
По начальным условиям t = О, s0 = 8 м найдем С2:
8=03 +6-02-j -6 -0-j-C2 ,
С2 =8.
Имеем закон движения точки: s= /3+612+6/ + 8. '
2)Найдема,vиsприt=2с:
а=6·2+ 12=24 м/с2 ,
v=З-22-j-12-2+ 6=42 м/с,
s=23+-6 -22 -f -6 ·2+8=52 м.
§ 13.3 . Методы интегрирования
13.3.1 . Интегрирование методом замены перемеuнной
(способом подстановки). Рассмотрим один из сильнеиших
приемов интегрирования функций-метод замены
переменнойили подстановки.Воснове его лежит
следующая теорема о замене переменной.
19

Теор ем а 13.1 . Если ~ f (u)du существует, а U=q> (х),
где f (и), q> (х) и <р' (х) непрерывны, то
~f(и)du= ~f[ер(х)]q>' (х)dx.
(13.9)
Доказательство. -Обозначим через F (и) какую­
нибудь первообразную для f (и). Тогда левая часть ра­
венства (13.9) может быть записана в виде F (и) +с.
Покажем, что F (и), рассматриваемая как функция от х,
является первообразной для f [ер (х)] ер' (х):
:Х F (и)= F' (и)• и~= f [<р (х)] <р' (х).
Следовательно, согласно определению неопределенного ин­
теграла, формула (13.9) доказана.
В полученном после интегрирования в правой части
(13.9) выражении надо перейти снова к аргументу и. Это
всегда можно сделать, сюли ДJIЯ функции и= <р (х) в рас­
сматриваемой области существует обратна я функция;
например, если функция и=<р(х) монотонная в рас­
сматриваемой области.
Часто для вычисления интеграла
~f(и)du
удобно в качестве нового аргумента х- взять некоторую
функцию переменного и, положив
'\j,(u)=X.
Рассмотрим примеры.
Пр им ер 13.18. Найти ~ (5х+З)5 dx.
Р е ш е н и е. Введем подстановку 5х +3 = и. Дифференциал этого
1
выражения 5dx = du, откуда dx = 5 du. Подставив вместо 5х +3 и
dx их значения в данный интеграл, получим
S(5x+3)5 dx={ Sи~dи= ~ . ~8 +с=3~ив+с._
Заменив и его выражением через х, имеем
S(5х+З)0 dх= 3~(5х+з)s+с.
Проверка.
d:[з~ (5х +З)8 +С] =з~ (5х+З)~ 5dх=(5х+З)• dx.
Интеграл найден правиль.но.
20

S x3dx
Пример 13.19. Наi!ти (бх4 +S)&'
1
Решение. Полагаем 6х4 +5=и, тогда 24х3 dx=du, х-"' dx= 24 du.
Следовательно,
Проверка.
d [- 96 <6)+s>•+c] =d [- 9~ (6x4+S>-•+c] =
-
4(64+5)-524эd-
x3dx
-96 Х
-
Х' Х- (6x4...j -5)0 •
Пример 13.20. Найти~ Y2cosx-l-sinxdx.
Решен и е. Полагаем 2 cos х-1 = и, тогда
-2sinхdx=du,
или sin xdx=- ~ du, поэтому
Sy'°2cosx-lsinxdx=-{ SVudи=-; Su 112 dи=
121
lI
l.r
=-
2 • 3и3 2+С=-3 и3 2 +С=- 3." (2cosx-1)3+C.
Пример 13.21. Найти S ~ .
SIП Х
Решен ие. Изтригонометрии известно, что sin х = sin ( 2• ; ) ,;=
2.х
х
= s1п2cos2,тогда
rs:':х=~r./х х •
J
Js1п2 cos2
Разделив и умножив знаменатель на cos(x/2), получим
rs1:х=-1⁄2rt х dx2 х '
J
Jg2cos2
1
1
dx
Положим tg (х/2) = и, тогда cos2 (х/2) • 2 dx = dи, или cos2 (х/2)
Имеем
Ss:'~\=S~=lпlиl+C=Iпjtg; j+c.
Пример13.22. НайтиSdx .
cosx
2dи.
21

Решение.Таккак\с::х=\ . (~+),то
J JSIП2Х
л
.
2 +x=tt и, следовательно, dx=dи, получим
Пример 13.?.3 .
РеUIение. Так
dx
ложив х/а=и, -=dи, находим интеграл
а
положив
,ТОПО•
Sdu
.
.
х
,r-- = аrсып и+C=arcs1n -+с.
" J-112
а
Пример 13.24. Найти r 2dx 2 (а:/= О).
jа+х
Sdx
15 dx
Решение. Так как а2 +х2 =а2 I+(x/a)2 ,
х/а = 11 и, следовательно, dx = а du, находим интеграл
то, положив
~
"dx
15dи 1
1
х
~+2 =-
-
1+ 2 =-arctgи+C=-arctg-+C.
ах
а
и
а
а
а
Во многих случаях оказывается удобным не вводить
явным образом обозначения для новой переменной интег­
рирования.
Пример13.25.
Slnx
s
ln2 x
xdx= lnx•d(lnx)=-
2 +с.
Пр им ер 13.26.
S
S
sin12x
sin 11 х cosxdx=.
sin 11 xd (sin х) =-1-2 -+с.
Пр им ер 13.27.
S...!!:___dx-Sd(ex+1)
е''+1 -
ех-1-1
ln(ex+1)+C.
22

Наиболее часто используются такие соотношения:
1°.
dx=d(x+b).
2°.
kdx=d(kx+b).
1
1
3°. xdx= 2 d(x2 ).
4°. xndx=n+I d(xn+ 1 )
50_ dx= d(lnх).
(п*-1).
1
6°. е"х dx = 7zd (ekx).
х
7°. cosx-dx= d (sin х).
9°.
--4- =d (tg х).
cos х
8°. siп х dx = -d (cosx).
10°.
_d~ = -d (ctg х).
sin х
Пр им ер 13.28.
5 ~=J_5d(Зx+5) 31 ln!Зx+Бl+C.
зх+Б з зх+Б
Пр им ер 13.29.
5х dx
1 5d (х2)
1
х4+1=2 (x2)2+J 2arctgx2+c.
Пример13.30.
5
cosxdx
1 1d(5sinx+2)
(5sinx+2)2 5 j (5sinx+2)2
Пример 13.31.
52
152
2
зх2
3х -xdx=-
зх ·d(x)=--+c
2
2ln3
•
Пример13.32.
S t xdx=Ssinxdx=-Sd(cosx)
g
cosx
cosx
lnIcosх1+С,
Пример 13.33.
5sin2 х
\
1
-- 4- dx= tg2xd (tg х)=-з tg3 х+с.
cos х
tl
k
.
1n
При помощи подстановок Х= и и k Х= и нетрудно
получить следующие результаты:
10. sekx +dx =-} ekx + С. 20. sakxdx =kalknxa + С.
3°. Ssinkxdx= -
~coskx+С.
4°. 5coslixdx= ;1siпkx+С.
5_0 Sco::kx= { tg kx + С. 60. 5 si::kx=- ~ ctg kx+C.
23

Sdx
\
.тх
7°.
-;::=c===;:=-=-al·csш-k +С.
Vk2-т2х2 т
80•sdx
1
t тх+С
k2+m2x2=kmarcgk •
Применение этих формул позволяет дать более корот­
кую запись решения.
П р и мер 13.34. Найти Ssin : xdx.
Решен и е. По формуле 3° получим
Ssin: xdx=-: cos: х+с.
Пр им ер 13.35. Найти S25 :~бх~
Реше н и е . По формуле 8° получим
Sdx
1
4
1
4
•
25 + lбх2 5_4 arctg5 x+C=20 arctg5 x+C.
В ряде случаев подстановки имеют более сложную
форму. Приведем примеры.
Пример 13.36. НайтиS~ .
x+l
Решение. Сделаем подстановку х=и2 , откуда dx=2udu.
Тогда
Sdx
sudu
Ух+1 =2 и+1·
К числителю прибавим и отнимем единицу и заменим интеграл сум­
мой интегралов, тогда
2sи_;ldu= 2sи~!f-~ 1du= 2sdu- 2sи~1.:_
=2и-2 In Iи+ 1 !+С=2 Yx-2 ln IУх+ l l+c.
Пр им ер 13.37. Найти Sх уа'=х d:,.
Реш е н и е. Положив Yii=x = и, или~ а-и2 и, следовательно,
dx = - 2и du, получим
Sх У а xdx=-2 S(а-и2) и2 dи= -2а Su2 du+2 Su4du=
=-2а~3 +2~0 +С=-~(Уа х) 3+~(Уа х)~+с.
24

Выполнив преобразования, получим
Sх Va="xdx=:5 (Зх2 -ах-2а2) Уа х+с.
При вычислении некоторых интегралов рекомендуется
конкретная подстановка, которая особенн_о удобна именно
в данном случае. К таким подстановкам относятся три­
гонометрические подстановки
1) X=asinu или x=acosu в интегралах, содержащих
va2-x2;
2) Х= а tg и или Х= а ctg х в интегралах, содержащих
Va2+x2;
а
а
3) х= -.-
или х = -- в интегралах, содержащих
SIП U
COSU
V х2-а2.
Пример13.38. Найти ~ Уа2-х2dx (а >О).
Решение. Так как -а..;;; х..;;; а, то воспользуемся подстанов­
кой х=а sin и, где -;r,/2..;;; и.;;;; n/2, откуда dx=a cos и dи: Тоrда
имеем
~ Уа2 x2 dx~~ Ya2 -a2 sin 2 uacosudи=
=а) Ya2 (1-sш 2 u)cosudи=a2 ~ cos 2 udu
(в указанных rраниuах изменения для и имеем Уcos 2 и= 1 cos и 1 =
1 + cos2u
= cos и. Из тригонометрии известно, что cos 2 u
2
; тогда
В этом выражении необходимо перейти к данному в условии аргу­
менту х. Из соотношения х = а sin и имеем sin и= х/а, тогда
и= arcsin (х/а),
sin2и=2sinиcosи, но cosи=У1-(х/а)2=
1 ,r--
•х 1 ,r-- 2х ,r--
= - , а2-х2 тогда sin 2и=2 -- , а2-х2=- , а2-х2• Окон-
а
'
аа
а~
чательно получим
SУ а2 x 2 dx=!!: (arcsin ~+..!._
2х Уа2 х2)+с=
2
а 2а2
а2
хх
=т arcsiп а+2 у а2 xz+c.
Пример13.39. НайтиSУdx
(а>О).
а2+х2
•
25

Решение. Эдесь хЕ (- оо, + оо ). Воспользуемся подстанов­
аdи
кой х=а tg и, где -п/2 <и< п/2, тогда dx=--
2 - и, следова­
соs и
тельно,
S~ aS соs2 и -V ~u+a2tg2 u =S cos2и-Vd~+tg2 u
=S
du
s....E!:.. 1)=1п Itg (~+~) l+c1
cos2и -Vl/cos2и cosи
24
(см. пример 13.22). Перейдем к данному в условии аргументу х:
.
и+и
SIП -
COS-
2
2 ( sin f+cos ]") ( cos f+sin ]")
и•и(и•и)(и+.и)
COS2-SIП"f
COS2-SIП2
COS"f SIП2
siп2f +2sin f cosf+cos2f 1+sin (2"f)
'Г cos2 ;-sin2 ;
cos(2;)
I+sinи l +t и
cosu
cosu
g•
110
следовательно,
Тогда
\
•
dx
..,
- V а2+х2
ln IV~+x1+C1=
= ln / Vа2+хЧ-х 1-ln а+С1 = ln 1-V а2+х2+х\+с,
где -lna+C1 =C.
Пример 13.40. НайтиsУdx (а >О).
х2-а2
1) Так как -п/2 <и< п/2, то Vcos2 U=I cos иl=соsи.
26

а
Реше II и е. Сделаем подстановку х=ё'оsи, где и Е (О, п/2) U
asin udu
U(n/2, n); тогда dx=
2
•
Следовательно,
cos и
а --==---
~ sin иdи
-./ ~-a2 -cos2 u
JI cos2u
r ~dtt
JVsin2 u
2
jcosи' cos и
5du
=
1cosu 1 ± ln Itg(; +:) 1+~1•
Так как (см. пример 13.22) в полученном выражении перед лога­
рифмом надо взять знак +, если и Е (О, п/2), и знак -
, если
а
1
и Е (п./2, п.), и так как cos и=-, то --2
-
= 1+tg2ии
х
cos u
tgи= ±-. /"-\- - 1=±-. ~=± _!_ Vx2 -a2 •
Vcosи
Vа2-1 а
Следовательно,
1
•
х 1 ,r::;;---::; 1( ,1--)
--+tgи=- ±
-
ух2-а2=-х±ух2-а2•
cosu
а
а
а
Тогда
Sdx
Ух2 а2 ±lnlx± ~ /+c1=lnl х+ ':~ l+c1 =
= lnlx+ Ух2 a2 1-lna+C1= ln/x+-Vi2-a2 l+c,
где C=- lna+c1. Здесь мы воспользовались тождеством
-
ln\ x-V~ \=l~I х-1- ~ 1·
.
а
В этом примере можно было применить и подстановку х=-.-
.
Предоставляем это проде.11ать учащемуся самостоятельно.
Пример 13.41 . Найти~ cos 4 xdx.
Решение.
5cos 4 х dx= 5(cos2 х)2 dx= 5(1+~os 2х) 2 dx=
S\П tt
= 1Sdx+; Scos2xdx+ 1Scos 2 2xdx.
1 +cos 4х
В последнем интеграле заменим cos 2 2х
2
, тогда
5cos'xdx= 1х + ~ sin 2x-t 1S(1 -j -cos 4х) dx=
= ~ х+ 1sin 2x-t 1x-t3~ siп 4х+С=
=}х+1sin 2х +3~-sin 4x-t-C.
27

ПриIIIер 13.42. Найти ~ tg2 xdx.
1
Ре.шение. Так как tg2 x=--
2--I, то
cos х
Stg2 xdx=5 (-\- -1) dx=S dx2 -Sdx=tgx-x+c.
cos х
cos х
Пр им ер 13.43. Найти 5tg4 х dx.
Решен и е. Воспользуемся тем же тождеством tg~ х=-I-2- -1;
cos.x
тогда
5 tg4 xdx=S tg2x (-1
-
2--1) dx=S tga x2 dx -5 tg2 xdx.
cos х
cos х
dx
Вычислим первый интеграл. Положим tg х=и, откуда cos 2 x=dи
и, следовательно,
S из tgзХ
и2 du= 3 +C=-
3 -+c.
Использовав решение примера 13.42, получим окончательно
S tgЗХ
tg4 xdx=-г-tgx+x+c.
Пример 13.44. Найти ~ sin3 хdx.
Решен не.
~sin3хdx= ~sin2хsinхdx= ~(1-cos2х)sinхdx=
= ~ sinхdx-~ cos2хsinхdx.
Вычислим второй интеграл. Положим cos х=и, тогда -sin xdx =
= du, следовательно,
S
Sиз
cos3x
cos 2 xsinxdx=-
и~dи=- 3 +С=--3 -+с.
Имеем
5.
cos3x
51nэ х dx= - cos х+-3-+с.
Пример13.45. Найти ~ sin~ хdx,
Решен не.
~.sin.ьxdx=~ sin 4 x.sinxdx=~ (sin 2 x) 2 sinxdx=
= ~(l-cos2x)2sini dx= ~(1-2cos2х+cos4х)sinхdx.
28

Положим -соsх=и, откуда -. sin xdx=du, тогда имеем
Ssin~xdx=- S(l-2и2 +и4)dи=-и+: и3 - ~ и•+С=
2
1
=-cosx+ 3 cos 3 x-5 cos~x+c.
При вычислении интегралов вида
~sinахcosЬхdx, ) sinахsinЬхdx и )cosахcosЬхdx
применяются формулы:
sin а cos~ = ; [sin (а-Р)+sin (а+~)].
sinasin~=; [cos(a- ~) -cos(a+~)].
1
•
cosacos~ = 2 [cos (а-Р) +cos (а +Р)].
Пр и мер 13.46. Найти ) sin 7х cos Зхdх.
Реш~ние.
Ssin 7х cos Зх dx=; 5(sin 4х+ sin lOx) dx=
=; Ssin 4xdx+; 5.sin lOxdx=- 1cos4x-io cos \Ох+с.
Пример 13.47 . Найти) sinxsinЗxdx.
Решение
Sбin х sin Зхdх=; S(cos 2x-cos 4х) dx = ~ sin 2х - 1sin 4х+С.
Пример 13.48. Найти ) cos5х cosЗхdx.
Решен не.
scos 5х cos Зх dx=; s(cos 2х+ cos Вх) dx =-1⁄4 sin 2х + /6 sin Вх+С.
13.3 .2 . Метод интегрирования по частям. Пусть и
и t1-дифференцируемые функции от х. Применив формулу
дифференциала произведения, получим
d(uv)= udv+vdu*UV=) udt1+ ~ vdu,
или
~ udt1= uv- ~ t1du.
(13.10)
Выражение (13.1 О) называется формулой интегрирования
по частям.
29

Из формулы (13. 10) следует, что интеграл ~ udv при­
водится к интегралу ~ v du, который может оказаться
более простым, чем данный, или даже табличным.
Рассмотрим примеры интегрирования по частям.
П р им ер 13.49. Наiiти ~ хеХ dx.
Реше н и е. В этом примере множителем, упрощающимся от
дифференцирования, является х. Положим и= х, dv = еХ dx, тогда
dи=dx, v= ~ еХ dx=ex. Когда применяют интегрирование по частям
и по dv находят v, то произвольной постояниоii не вводят, из мно­
жества первообразных функциii для v' берут какую-нибудь одну,
наиболее удобную. Подставив в формулу (13.10) наiiденные выраже­
ния, получим
~ xexdx=xeX- ~ exdx=xeX-eX+C.
Пример 13.50. Наiiти ~х2cosхdx.
Решение. Положим х2= и, cosхdx= dv; тогда 2хdx= du,
v = sin х. Подставив в формулу (13. 10) паiiденные выражения, по­
лучим
~ x2 cosxdx=x2 sin х-2 ~ xsinxdx.
Интеграл~ х sin х dx проще исходного, так как вместо множителя х2
появился множитель х. Снова применяем интегрирование по частям.
Положим х=и, sin xdx=dv, тогда dx=dи, v=-cos х, откуда имеем
~ xsinxdx=-xcosx+ ~ cosxdx=-xcosx+sinx+C1 •
Следовательно,
~х2cosхdx=x2 sinх-2(-хcosx+sinх)+с=
=х2 sin х+2х cos х-2 sin х+С.
Укажем несколько типов интегралов, вычислять кото­
рые удобно интегрированием по частям.
1) ~xnexdx, 2) ~xn sinхdx, 3) ~xncosxdx.
В этих интегралах за и принимаем xn, что приведет
к интегралу сходного типа, но уменьшит показатель сте­
пени х на единицу. После п-кратного применения этого
приема получим один из табличных интегралов:
30
~ехdx, ~ sinхdx и ~ cosхdx.
4) ~xnlnхdx, за и принимаем lnх,

.
5) ~ х" arctg xdx, за и принимаем arctg х,
6) ~ х" arcsin х dx, за и принимаем a1·csin х.
Пр и мер 13.51. Найти ~ х arctg х dx.
1
Решение. Положим и=arctgx, хdх=dи;тоrдаdи= l+x2 dx,
х2 +1
и=-
2-.
Подставив в формулу ( 13.10) найденные выражения,
получим
S
хЧ-1
1 sх2+1
х arctg xdx=-
2- зrctgх-2 х2+1dx=
х2 +1
х
= -2 - arctg х-т+с.
П р им ер 13.52. Найти ~ arc.tg х dx.
1
Решение. Положим и=arctgx, dx=dc,•; тогда dи= l+x2 dx,
fl=X . Подставив найденные выражения в формулу (13.10), получим
S
S xdx
arctg xdx=x arctg х- 1+х2 ,
но
следовательно,
S
1,
arctg xdx=xarctg х- 2 ln (1 +х2)+С.
Пр им ер 13.53. Найти ~ arcsin х dx.
dx
Решение. Положим11= arcsinх,dx= dv;тогдаdu
Yl -х2'
х=и. Подставив в формулу (13.10) найденные выражения, получим
S.d
•
s xdx
arcs1nx х=х arcs1nx- •
.r
,
у l-x2
но
S xdx =-_!_sd(J-x2) - Yl-x2-C,
J!J-x2
2 JtJ-x2
поэтому
~ arcsiп xdx=x arcsin х+ Yl-x2 -j -C .
Пример13.54. Найти ~еХ cosхdx;
31

Решение. Положи!I! и=ех, cosxdx=dv, тогда dи=exdx,
[•=sin х. Подставляя в формулу (13.10) найденные выражения, no·
лучим
~ехcos xdx=exsinх-~ех sinхdx.
Интеграл в правой части той же сложности, что и ис;комый. Когда
интегралы формулы ( 13.1 О) совпадают или «почти совпадают», как
в данном случае, то можно привести интеграл, как говорят, к са­
мому себе. Применим интегрирование по частям к интегралу
~ еХ sin х dx. Положим и= еХ, sin х dx=di•; тогда du = еХ dx, t•=- cosx,
следовательно,
~ехsin xdx=-ех cosх --j- ~ ех cos xdx.
Подставляя полученный результат в данный интеграл, получим
~ ех cos х dx=ex sin х-( -ех cos x--j- ~ ех cos xdx),
или
~ ех cos xdx=eX sin х+ех cosх- ~ еХ cos х dx--j-C1•
После переноса интеграла из правой части в левую, получим
2 ~ excosxdx=eX sinx--j-eXcosx--j-C1 ~
откуда
S
еХ
еХcosхdх=т(sinх+cosх)+с,
где С1/2=С.
Пр им ер 13.55 . Аналогично проводится и вычисление интег-
рала ~ ех sin xdx:
Sехsin хdx= -ех cosх+~ (sin x--j- cos x)--f-C=
= -ех cos х+; ех sin х+-}ех cos x--f-C=
=; eXsinx---; excosx--j-C=~ eX(,sinx-cosx)--j-C .
Пример 13.56 . Найти~ Yx2 --j-mdx_ (m:;i:O).
Решение. Положим и= Yx2 --j -m, dx=dv, тогда
2xdx
xdx
du 2Yx2--j-m = Yx2--j-m '
V=X .
Подставляя в формулу (13.10) найденные выражения, получим
5ух2+mdx = х у' х2+т-5 ;2 dx
•
х2 --j -m
32

Преобразуем интеграл правой части
dx
Х= 1'Х
m X-m
----
S x2dx
s(х2+т)-т d s''~+ d
s
Jfx2+m
Ух~ +m
Ух~+m •
Последний интеграл
Sdx
ln 1 -Vx2 +т+хl+с1
-Vx2 +m
(см. Х 111 или примеры 13.39 и 13.40). Тогда
S~ S-Vx2 +тdx-mln/Yx2 +m+xJ-C1m,
Подставив полученное выражение в данный интеграл, получим
~ -Vx2 +mdx=x-Vx2 +m-~ Yx2 +m+mln/x+ -Vx 2 +ml+c1m,
откуда
2 ~ Ух1+mdx=xYх2+rп+тln Iх+ Ух2+тl+C1m,
или
5ух2+mdx=-}x JI х2+т+; ln I х+ у х2+т J+c.
13.3.3. Интегрирование рациональных дробей. При
интегрировании рациональных функций вида
f() аохn+а1х"-1+ ••• +ап (т > п) (13.11)
х Ьохrп+Ь1хт-1+ ... +Ьт
или f (х) = i: ~) (где т и п означают степени соответ­
ствующих многочленов), дробь (13.11) представляют •в
виде суммы более простых дробей.
Например, так как
1-2х
х2 -5х+6
то
5l-2x dх-З5dx 55dx _
х2-5х+6 - х-2-
x-3-
=3 ln lx-21-5 ln lx-3 l+C=lп 1~; :~:\+с.
Чтобы такой прием удалось использовать при инте­
грировании, необходимо уметь произвести разложение
дроби на более простые дроби.
Не останавливаясь на решении этой задачи в общем
виде, рассмотрим ряд частных случаев.
2 Под ред. Н, М, Maiвeeua, 11, 11
33

S Зх-5
Пр им ер 13.57. Найти х2 _ 4х+З dx.
Реш е·н и е. Знаменатель раскладываем на множители:
х2 -4х+з =(х-1) (х-3);
тогда
Зх-5
х2 -4х+з
А+~
x-l х-з·
Освободив равенство от дробей, запишем
Зх-Б=А (х-З)+В (х-1)
или
Зх-5 =Ах-ЗА+ Вх-8 =(А+ 8) х-(ЗА + 8).
(13.12)
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях в оСеих частях
тождества, составим систему уравнений
{ А+8=З,
ЗА +8=5.
Решив эту систему, найдем А= l, 8=2. Подставив значения А и В
в выражение (13.12), получим
Зх-5
х2 -4х+з
+-2-
x-l х-З •
Следовательно,
5 Зх-5 dx=S~+2s~=
х 2 -4х+З
x-l
х-З
=lп I x-11+2 In lx-3 l+C=ln 1(х-1) (х-З) 2 l+С.
Пр им ер lЗ.58. Найти Jхз +2:;+ 2х •
Решен и е. Разложим знаменатель на множители
х3+Зх2 +2х=х (х2 +зх+2) =х (х+ 1) (х+2).
Представим рациональную дробь в виде суммы простейших дробей:
2
А8
С
х3+зх2+2х х+х+l+х+2•
(IЗ.IЗJ
Освободив равенство от дробей, запишем
2=А (х+ 1) (х+2)+Вх (х+2)+Сх(х+ 1)
или
2=А (х2 +Зх+2)+Вх2 +2Вх+Сх2-f-Сх,
2 =(А+ В +С) х2 +(ЗА+ 28 -!-С) х+ 2А.
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях
тождества, составим систему уравнений
З·l
f А+ В-1-С=О,
ЗА+2в+С=О,
2А=2,

Решив '!ЛУ систему, найдем A=I, В=-2, C=I. Подставив най­
денные значения А, В и С в выражение (13.(3), получим
2
12
1
хз+з.х2 +2х х х+ 1+~+2 •
Следовательно,
sхэ+1::+2х s~- 2 5 х:1+5 х:2=
=ln lxl-21n \х+ 11+ lnlx+2 l+C=ln/~~:~ ~} j+c.
5х3 -1
Пример 13.59. Найти х (x+l)3 dx.
Решение. Знаменатель· имеет кратные корни х1 =Х2 =х8 =-1
и простой корень х4 =0. В этом случае дробь представляют в виде
следующей суммы:
х8-1
А
В
С
D
х(х+ 1)3 x+l+(x+1)2+(x+l)з+7,
03-14)
откуда
или
х8 - 1 =(А +D) х8+(2А + B+3D)x2 + (А+в+с+3D) x+D.
Составим систему уравнений
fA+D=I,
2A+B+3D=0,
А+в+с+3D=0,
{ D=-1.
Решив систему, найдем А =2, В=- 1, С=2, D=-1 . Под­
ставив найденные значения А, В, С и D в выражение (13.14), по­
лучим
Следовательно,
-
·s dx
.Пример 13.60. Найти х(хз+з)·
1
Реше н и е. В этом случае ·дробь х (х2 +З) разлагается на сумму
следующим образом:
(13.15)
35

откуда
ипи
1 =А (х1 +ЗН-х(Вх+С),
1 =(А+В) x1 +Cx-j -3A .
Составим систему уравнений
{ А+В=О,
С=О,
ЗА=l.
Решив систему, найдем А=l(З, В=-1/3, С=О. Подставив значе­
ния А, В и С в выражение ( 3.15), попучим
1
1
х
х(хЧ-3) Зх 3(х2+3)•
Следовательно,
Sdx
х (х2 -t- -3)
_.!_Sdx- _!_S xdx =_!_lnIх1-_!_ln(x2-t--3)+с=
3х3x•-t--33
6
1[
•1
]
1
1
=з lnlx1- 2 In(x2 -t- -3) +с= 3 1п у~:+ 3 +с.
Можно было бы доказать, что если дробь (13.11) пра­
вильная (т.е. степень числителя меньше степени знаменате­
ля) и несократимая, то ее всегда можно представить в
виде суммы так называемых простейших дробей вида
А
А
вх+с
вх+с
х-а' (x-a)k' x2-j -px-t --q ' (x 2 -t --px+q)k '
причем коэффициенты такого разложения могут быть най­
дены таким же способом, как и в приведенных выше
примерах.
13.3 .4 . Понятие об интегралах, не выражающихся в
конечном виде через элементарные функции. Мы позна­
комились с некоторыми приемами интегрирования. Но да­
леко не для каждой элементарной функции можно найти
в множестве элементарных функций ее первообразную.
Так, например, никакой из приемов интегрирования не
позволяет найти в ·множестве элементарных функций ин-
5sinхd
теграл -х- х. Более того, можно утверждать, что
никакое дальнейшее развитие техники интегрирования
не позволит это сделать. В современной математике мы
располагаем некоторым запасом элементарных функций,
через которые и выражаются интегралы. Если мы гово­
рим, что интеграл «нельзя найти», то это означает, что
он не может быть выражен через конечное число эле­
ментарных функций.
36

Укажем некоторые не являющиеся элементарными,
«неберущиеся» интегралы:
sX•tg Xdx,
Scosxd
-х- х,
sгхdx
х•
S1:Хх•
Se-xadx,
Ssin x1 dx,
Sуxs+ 1dx,
sJ/sinxdx,
Sln sin xdx.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 13
1. Какое действие называется интегрированием?
2. Какая функция называется первообразной для данной функ­
ции f (х)?
3. Чем отличаются друг от друга различные первообразные
функции для данной функции / (х)?
4. Дайте определение неопределенного интеграла.
5. Дайте определение подынтегральной функции и подынтеграль­
ного выражения.
6. Какой геометрический образ соответствует неопределенному
интегралу Sf (х) dx?
7. Как проверяется результат интегрирования?
8. При каком условии справедливо равенство
sf (Х) dx=F (х)+С?
9. Чему равны производная и дифференциал неопределенного
интеграла?
10. Чему равен неопределенный интеграл от дифференциала
функции F (х)?
11. Сформулируйте основные свойства неопределенного интеграла.
12. Чему равен S(5х~-1)' dx?
13. Чему равен Sd (\n x~ - sin х)?
14. Найдите f(x), зная, что St<x)dx=x2 -3x+C.
15. Укажите при каком значении п формула
S xn+1
xndx=n +I+c
не имеет смысла (х > О)?
16. Какая формула применяется в том случае, когда п =-l
в Sxn dx?
17. Из функций, первообразных для функции f (х) = 5 sin Зх яай.
дите ту, которая при х=О обращается в нуль.
18. Найдите функцию, производная от которой у'= sin x-cos х
и которая при Х= л/2 принимает значение, равное 4.
19. Из семейства· кривых найдите функцию, угловой коэффициент
которой равен 4х и которая проходит через точку М (3; 5).
37

УПРАЖНЕНИЯ I< ГЛАВЕ 13
Найдите интегралы и проверьте результат дифференцированием:
1. ~ sin (ах+Ь.)dх.
2. ~ (4-Зcosx)dx.
3. ~ х2cosх3dx.
\
dx
5• J cos2 (1-x) •
1• Sv~-
9sЗdх
•
У16-9х2 •
11. s4.: -\2 -
13. sv:2.
15. s23d<pcp.
S cos xdx
l7. Зsiпх-1'
19. ~ ьиdи.
21. ~ е-зх• xdx.
Sdx
4• cos2 5x'
Sdx
6.
-:-;;-6.
s1n• х
8,
,r--·
S d<p
r 9-2<р 2
IO. 5З~;х2 •
12 • s2:зх2 •
14. 1с~ -;, + 4 ~ti)dt.
16. 5
x2 dx
х3 +1'
18. S
du
и2-25•
20. ~ 2х• xdx.
22. S
xdx
ух2_5.
23. f xdx
• УЗ-х2
24. Найдите уравнение кривой, проходящей через точку А (2; -1),
если угловой коэффициент касательной к кривой в каждой ее точке
равен 2х-4.
25. Найдите уравнение кривой, проходящей через· точку А (О; 1),
у которой касательная в любой точке кривой имеет угловой коэф­
фициент, равный ординате точки каса-ния у.
26. Скорость прямолинейного движения тела задана уравнением
v = 3t2 + 4. Найдите закон движения s, если за время t = 2 с тело
оказалось на расстоянии 20 м от начала отсчета.
27. Скорость прямолинейного движения точки задана формулой
v=2 cos t. Найдите закон движения, если в момент t =~с точка
находилась на расстоянии s = 4 м от начала отсчета.
28. Тело движется прямолинейно с ускорением а= 12t2 +6t.
111-aliдtt11'e зако•i движения тела, ее.ли в момент t = 1 с скорость тела
v=B м/с и путь s=6 м.
29. Точка движет~я прямолинейно с ускорением а= -6t + 18.
В момент времени t = О (начало отсчета времени) начальная скорость
v0 = 24 м/с, расст{)яние от начала отсчета s0 = 15 м. Найдите: а) ско­
рость движения и закон движения; б) величину ускорения, скорости
и пути в момент t=2 с; в) момент, когда скорость будет наибольшей.
38

•Найдите интегралы способом подстановки:
•
30. ~ V(4-Зх)2 dx.
•
32. ~ (х2 +3)6 xdx.
'31sdx
•
V(Зх-5)2 •
, 33. ~ 3 Jfх3-1х2dx.
Вычислите интегралы:
34. ~ У2siпх-1 cos xdx.
36. ~ У (х4-1)3х3dx.
38. Sctg ; dx.
40. ~ 3ъх2хdx.
42. ~ sin(t2- 1)tdt.
S xdx
44.
--2-2·
cos х
46. s
dz
•
2 Vt-lп2 z
Sx2 dx
48. 1 +хб.
50. ~ siп1хdx.
52. ~ cos•хdx.
54. ~ cos4хcosхdx.
56.~хsinхdx.
58. ~ Yx2 -a2 dx.
60• Sх/:_4 •
5(7х-З)dх
62• х3+2х2-Зх '
35. ~vex+1еХdx.
37. 5
cos xdx
2sinx+1·
39. \(' __!!:_ .
.
х
.JSIПЗ
41. ~ ex'+ 1 xdx.
43. j~ cos Vx dx.
Ух
Sdx
45.
.
21•
ХSIП ПХ
47 _ s sin xdx (a;t0).
а2+cos2х
49• 5х(1 ~xln2 х) •
БI. ~ ctg4 xdx.
53. ~ sin5хsinЗхdx.
55. ~ ,5fn 4хcosЗхdx.
57. sln ;/х.
59.~хcosxdx.
61 s(2х+ 1) dx
• - х2 -5х+4'
63 _ s(6х:._4) dx.
х3 -4х
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 13
1.
_
_!_соs(ах+·Ь)+С. 2. 4x-3sinx+c. 3 .
-
3
1 sinx3+C.
а
.
1
4. 5 tg5x+c. 5.
-tg(l-x)+C.
39

6 1t"--+с
7•1
•
2х +с
. -вс g\М,
•
• 2arcs1n ys .
8У2
.
v2+с9
•
з+с
.
-
2- arcв1n
-
3- ер
.
• arcsш4х
.
10• .As arctg (у: х)+с. 11. ~ arctg; +с.
12. / 6 arctg( J/:х)+с. 13. зVи+с.
3
v-
14. -у-4 Vt+6 12 +с. 15.
- 31nl2-q>!+C.
l
16. 3 ln I x=i+ 1 l+C. 17. ~ lnj3sinx-l l+G.
1 1и-51
18. 10 1n и+б +с.
ьи
2х1-1
19. ln Ь +с. 20. 1n2+c.
1
21. -ве-3х•+с. 22. fx2 -5+C. 23.
-
уз хЧ-С.
24. Так как по условию у' =2х-4, то
у= S(2x-4)dx= ~ S(2х-4) d (2х-4) = ~ (2х-4)1 +С.
Условие прохождения кривой через точку А дает возможность опре•
1
делить значение постоянной С: -1 = 4 (2,2-4)~+с, откуда С=-1
1
и у=4 (2х-4)2-1= (х-2)8-1.
Ответ. у=х2 -4х+з.
25. у=ех. 26. S = t8 +4t+4.
'2.1. S=2 siП t+3,
28. s= t4+t8+t+3.
29. а) t,=-3t2 + 18t+24, S=-tl!+9t 2 +24t+ 15.
б) ut= 2 =6 м/с2, Vt=s=48 м/с, s=91 м.
в) скорость имеет максимальное значение при t= З с, она
равна v=51 м/с.
40
1
1
30.
-
5 (4-Зx)li/3+C. 31. f/Зх=б+С. 32. 12 (х2 +3)8 +С.
33. ~ (x='- l)812+c. 34. ~ (2 sin x-lP~+c. 35. ~ (ex+t)31ЧG.
36. 1~(х1-1)612+С. 37. ~ ln 12 sin x+I l+C. 38 . 2 ln /sin; 1+с.
39. з ln Itg ~ l+c. 40. l~~:·з +с. 41. ~ ех2+1+с.
42.
-
~ cos (t2 -l)+C. 43. 2 sin Ух+С. 44. ~ tg х2+С.
.
1
cosx
45.
-ctg lnx+c. 46. arcs1n lnz+c. 47.
- -arctg--+c.
а
а

1
48. 3 arctg х8 +с. 49. arctg ln х+с.
50. Удобно использовать формулы sin1 а = (1-cos 2а)/2 и
cos1 а= (1 + cos 2а)/2, тогда
Ssin 4 xdx= 1S(l-cos2x)1 dx=
= 1Sdx- ~ 5cos2xdx+ ~ S(l+cos4x)dx,
Ответ. : х-1 sin2x+;2 sin4x+c.
51.
-
~ ctg3 x+ctgx+x+C.
52. sinх- ~ sin3x+ ~ sin~x+C.
153. Удобно использовать формулу
sin a•sin Р= ~ [cos (a-P)-cos (а+р)].
Ответ, 1sin2x- 1~siп8x+C.
54. { siп Эх+ 1~ sin 5х+с.
1
1
55.
- 2 cos х-14 cos 7х+с.
56. Удобно применить формулу «интегрирования по частям:t.
От в ет. -х cosx+siп х+С.
lnx 1
1 ,r-- а2 1 ,r--1
57. -7--;+С. 58. 2х , x2 -a2
-
2lnх+,х2+а2+с.
59, х sinx+cosx+C. 60. ln ~+С. 61. ln 1<: 13 j+c.
62 1 \Сх(х-1)1 63 1 \Сх(х-2)1
•n(х+З)~•
•n (х+2)2•

ГЛАВА14
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 14. 1. Основные понятия
t 4.1 . t . Задачи, приводящие к понятию определенного
интеграла. Рассмотрим несколько задач.
За да ч а 14.1. Вычислить площадь криволинейной тра­
пеции аАВЬ, ограниченной кривой У= f (х), где f (х) ~ О,
осью Ох и двумя прямыми
у
8 y=f(:cJ Х= а и х= Ь (рис. 14.1).
о
:с
Рис. 14.1 .
Решение. Как из-
вестно, в планиметрии нет
формул, с помощью кото­
рых можно было бы в об­
щем случае вычислять та­
кие площади.
Разобьем промежуток
[а, Ь] на п не обязательно
равных между собой ча­
стей. Пусть абсциссы то-
чек деления х1 , х2 ,
••• ,
Хп-~ удовлетворяют условию
а=Х0<Х1<Х2< ...< Xn-l< Хп=Ь.
В каждом из промежутков [х;_ 1 , х;] (1 ~ i ~ п) выберем
произвольным образом по точке с абсциссой s;. В каждой
точке s; восстановим перпендикуляр к оси Ох до пере­
сечения с кривой у= f (х). Каждой точке s; будет соот­
ветствовать на кривой точка с координатами (s;; f (s;)).
Через эти точки кривой (s;; f (s;)) проведем прямые, па­
раллельные оси Ох и построим п прямоугольников, каж-
42

дый из которых имеет основание Xt-x,_ 1 = Лх; (1 ~ i ~ п),
высоту f (s;) и площадь f (s1) х1• Сумма-
/ (s1)Лх1+f(ss)Лха+...+f(sп)Лхп,
которую мы будем обычно записывать в виде
п
~ f (s;) Лх;,
i=I
(14.1)
выражает площадь заштрихованной фигуры ступенчатого
вида (см. рис. 14.1 ).
Интуитивно ясно, что эта ступенчатая фигура будет
мало отличаться от исходной криволинейной трапеции
при условии, что ~сти, на которь1е мы разбили проме­
жуток [а, Ь], достаточно малы.
Предположим теперь, что мы рассматриваем не одно
какое-то разбиение исходного отрезка [а, Ь], а различные
последовательности таких разбиений. Будем считать, что
каждая такая последовательность характеризуется тем,
что наибольшая из длин частичных отрезков max Лх1
стремится к нулю. Если при этом окажется, что сумма
(14. l) будет стремиться к некоторому пределу S, не за­
висящему ни от способов дробления [а, Ь], ни от выбора
вспомогательных точек s;, то естественно это число S и
принять в качестве площади нашей криволинейной тра­
пеции:
п
s= lim ~f(s;)лх,.
maxЛх;-+Оi=1
3 ад а ч а 14.2. Вычисление пройденного точкой пути
по ее скорости. Вычислить путь L, пройденный точкой
М по прямой с переменной скоростью v = f (t) ~ О за про­
межуток времени от t=а до t.= Ь (а<Ь).
Решение. Разделим промежуток [а, Ь] точками t 0 =
=а< t1 < t1 < ... < tn = Ь на п частичных промежутков
(не обязательно равных между собой). В каждом из этих
промежутков [t,_ 1 , t 1] (1 ~ i ~ п) выберем произвольно
момент времени Т1 . Скорость v = f (t) за малый промежу­
ток времени [t,_ 1 , t;] (l~i ~n), равный Лt;=t;-t;-i
изменится мало, поэтому будем считать ее на протяжении
каждого промежутка времени [t1 _ 1 , t;] постоянной и равной
скорости f (Т;) точки М в момент времени Т1 . Мы допу­
стили, что точка М за промежуток времени от t = t 1_ 1
до t= t1 движется равномерно. Тогда путь, пройденный
43

точкой М за промежуток времени [t;-i:, tt], равен про­
изведению скорос-ти f (Тд на время Лt;:
f(ТдЛti (13⁄4t3⁄4п).
Весь путь, пройденный точкой М за время от t = а до
t = Ь, приближенно выразится суммой
п
~ f (Т;) лt,= f (Т1) Лti +, (Т1) м. + •••+f (Тп) Лtп.
i=1
Предположим, что существует
п
lim ~ f (Т;) Лt;,
max Ахг+ О l=I
не зависящий ни от способов дробления [а, Ь], ни от вы­
бора вспомогательных точек Т1. Величину этого предела
естественно и принять в качестве точного значения прой­
денного пути:
L= lim
~f (Т;) Лt1•
max лх1-О
14.1 .2 . Интегральная сумма и определенный интеграл.
Целый ряд геометрических, физических и других задач
сводится, подобно рассмотренным выше, к вычислению пре­
делов сумм вида
п
l~ I (S;) Лх;.
Непосредственное вычисление таких пределов сопря­
жено со значительными трудностями. Гораздо более
удобным является другой подход, к изложению которого
мы сейчас и приступаем. Пусть непрерывная функция f (х)
определена в промежутке- [а, Ь], где а< Ь. Выполним
следующие операции:
1) Разделим промежуток [а, Ь] на части точками
а=Х0<Х1<Х1<...<Хп-t<Хп=Ь.
Пусть X;-X;-i = Лх1 (1 3⁄4 i ~ п). Наибольшую из этих
разностей обозначим через max Лх;.
2) В каждом из промежутков [х1 _ 1 , х1] выберем про­
извольную точку s;:
X;-i<s;<х; (13⁄4i~п)
и вычислим f <М·
44

3) Составим произведение числа f (61) и Лх1 соответ­
ствующего промежутка: f (;i) Лх1 •
4) Составим сумму этих произведений:
п
Sп==~f(6дЛх,=f(~1)Лхi+f(~.)Лх.+...+f(6п)Лхп.
l-=1
Эту сумму будем называть интегральной суммой функ­
ции f (х) в промежутке [а, Ь].
5) Будем производить деление промежутка [а, Ь] на
части все более мелкие и мелкие так, чтобы величина
max Лх1 стремилась к нулю. Если при этом существует
предел
п
lim ~ f (si) лх,,
max дх1->-О1=1
который не зависит от способа разбиения промежутка [а, Ь]
и от выбора точек s, в промежутках [х;_ 1 , х1], то этот
предел называют определенным интегралом функции f (х),
взятым по промежутку [а, Ь], и обозначают символом
ь
ь
п
~f(х)dx, т. е. ~f(х)dx= lim ~f(s,)Лх1,
а
а
max дх1 ->- О 1=1
ь
Символ ~ f (х) dx читается: «интеграл от а до Ь f (х) dx».
а
Числа а и Ь соответственно называются нижним и верхним
пределами интегрирования, промежуток [а, Ь] называется
промежутком интегрирования, функция f (х) называется
интегрируемой функцией, х-переменной интегрирования.
Данное определение оказывается удобным расширить
так, чтобы оно охватывало и те случаи, когда а~ Ь.
Именно, для любой функции f (х), в область определения
которой входит точка а, будем считать
а
~ f(x)dx=O,
(14.2)
11
и для любой функции f (х), непрерывной на [Ь, а] (Ь < а),
положим
Ь
а
~f(х)dx= -
~f(х)dx.
(14.3)
а
Ь
45

В нашем курсе мы примем без доказательства, что
для любой функции f (х), непрерывной на промежутке [а, Ь],
ь
)f(х)dx
а
всегда существует.
Возвращаясь к рассмотренным в предыдущем пункте
задачам о площади и пройденном пути, мы видим, что
их решения с использованием только что введенного по•
нятия определенного интеграла можно записать так:
ь
ь
S=) f (х) dx,
L=)f(t)dt.
а
а
Ниже мы еще вернемся к задаче о площади и рас­
смотрим ее в более общей постановке, чем в п. 14.1.1.
§ 14.2 . Свойства определенного интеграла
В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства
определенного интеграла. Будем предполагать, что все
рассматриваемые функции непрерывны, откуда будет сле­
довать, что все интегралы от этих функций существуют.
14.2.1. Свойства, выражаемые равенствами. 1. Интеграл
от су1t1мы двух функций равен сумме интегралов от этих
функций:
ь
ь
ь
)U1(х)+f1(х)]dx=)f1(х)dx+~f1(х)dx.
(14.4)
а
а
а
2. Постоянный множитель можно выносить за знак
интеграла:
ь
ь
~kf(х)dx=k~f(x)dx,
(14.5)
а
а
где k- постоянное число.
Свойства 1 и 2 следуют из определения интеграла и
теорем о пределах.
3. Если промежуток интегрирования [а, Ь] разбит на
части [а, с] и [с, Ь], то интеграл в промежутке [а, Ь]
равен сумме интегралов в промежутках [а, с] и [с, Ь], т. е.
ь
с
ь
~f(х)dx= ~f(х)dx+~f(х)dx.
(14.6)
а
а
с
46

Доказательство не приводим. Отметим, что эта же
формула справедлива и в том случае, когда точка с на­
ходится вне отрезка [а, Ь].
14.2 .2 . Свойства, выражаемые неравенствами. 4. Если
функция f (х) сохраняет знак в промежутке [а, Ь], где
ь
а< Ь, то интеграл ~ f (х) dx имеет тот же знак, что и
а
иптегрируемая функция.
Доказательство. Пусть f(x)~O в промежутке
[а, Ь]. Тогда
п
~f(Si)Лх;~О,
i=l
так как f (s;) ~ О и Лх; > О и слагаемые интегральной
суммы неотрицательны. Следовательно, предел этой суммы
таI<же неотрицателен, т. е.
ь
п
~f(х)dx=
lirn ~f(~;)Лх;~О.
а
max Лх;-+ О 1=1
5. Оценка определенно r о ин те r р ал а. Если
т М - наименьшее и 1-tаuбольшее з1-tачения фу1-1кции f (х)
в промежутке [а, Ь], то при а< Ь
ь
т (Ь-а):::;;; ~ f (х) dx:::;;; М (l>-a).
(14.7)
а
До к аз ат ел ь ст в о. Из условия теоремы следует,
что для всех х из промежутка [а, Ь]
т:::;;; f (х):::;;; М.
Так как все Лх; ~ О, то для любой интегральной суммы
для функции f (х) будут иметь место неравенства
п
п
п
~ тЛх;:::;;; ~ f (s;) Лх;:::;;; ~ МЛх;.
i=l
1=1
1=1
Заметим, что
п
п
~тЛх;=т~ Лх;=m(Ь-а),
i=l
1=1
п
п
~ МЛх;= М ~· ЛХ;= М (Ь-а).
l=1
l=1
47

Поэтому для всех интегральных сумм получаем оценку
п
т(Ь-а)~~f($;)Лх;~М(Ь-а).
1=1
Переходя в этих неравенствах к пределу при max Лх; - О,
получим
ь
т (Ь-а)~ ~ f (x)dx~ М (Ь-а).
а
Свойство 5 можно пояснить геометрически (рис. 14.2).
Площадь криволинейной трапеции заключена между пло-
!/
т
о(1
6
щадями прямоугольников, осно­
вание которых есть [а, Ь], а
высотами будут т и М, если
m~f(x)~M .
14.2 .3. Теорема о среднем.
Если функция f (х) непрерЫ8на
в промежутке [а, Ь], то инте­
гралот f(х)впределахотадо
;, Ь равен произведению значения
Рис. 14.2 .
интегрируемой функции в неко­
торой точке с (с Е [а, Ь]) на
длину промежутка интегрирования Ь-а:
ь
~f(х)dx = f(с)·(Ь-а).
(14.8)
а
Доказательство. Функция f(х) в промежутке
[а, Ь] непрерывна, тогда она в этом промежутке имеет
наибольшее (М) и наименьшее (т) значения. По свой­
ству 5 (формула (14.7)) имеем
ь
т(Ь-а)~ ~ f(x)dx~M(b-a).
а
Разделив это неравенство на Ь-а, получим
ь
т~ь 1 aS f(x)dx~M.
а
(14.9)
Так как функция f (х) непрерывна, то она принимает все
значения, заключенные между т и М (см. п. 3.3.3), а,
аначит, в некоторой точке с Е [а, Ь] примет значение f (с),
48

совпадающее •с числом, заключенным между числами m
и М в неравенстве (14.9), т. е.
6
f(с)=ь 1 aS f(x)dx.
(14.10)
а
Умножив равенство (14.10) на
равенство ( 14.8).
С геометрической точки
зрения теорема о среднем
означает, что площадь кри­
волинейной трапеции A 1ABBt
будет равна площади прямо­
угольника А 1 А 2В2В1 , основа-
Ь-а, получим требуемое
!i
В y4(J:)
нием которого служит отре-
о11
с
зок [а, Ь] и высотой f (с), где
Рис. 14.3 .
/J J:
с Е: [а, Ь] (рис. 14.3). Отме-
тим, что значение f (с) обычно называют средним значе­
нием функции / (х) на отрезке [а, Ь].
§ 14.3 . Интеграл с переменным верхним пределом
Рассмотрим интеграл, у которого верхний предел есть
переменная величина, т. е.
х
S f (t)dt.
а
Величина этого интеграла есть функция от х. Обозначим
эту функцию через Ф(х):
х
Ф(х)= Sf(t)dt.
(14.11)
а
14.3 .1 . Непрерывность интеграла с переменным верх­
ним пределом. Интеграл с переменны.м верхним пределом
х
Ф(х)= Sf (t) dt есть непрерывна~ функция от х в проме-
а
жутке [а, Ь].
Доказательство. Пусть хЕ[а, Ь], дадим х прира­
щение Лх. Вычислим приращение функции Ф (х):
ЛФ(х)=Ф(х+Лх)-Ф(х)=
•
х+лх
х
х+лх
а
-
s f(t)dt-Sf(t)dt= s f(t)dt+Sf(t)dt.
а
а
а
49

По свойству 3 (см. формулу (14.6)), получим
х+лх
ЛФ(х)= ~ f(t)dt.
х
Пусть т - наименьшее, а М
-
наибольшее значения
функции f (t) в промежутке [а, Ь]. Тогда по свойству 5
(см. (14.7)), получим
х+Лх
тЛх~ ~ f(t)dt~MЛx,
х
или
тЛх~ЛФ(х)~МЛх.
Из последнего неравенства следует, что ЛФ (х)-+ О при
Лх->- О. Следовательно, функция Ф (х) непрерывна
в точке х. Но х-любая точка из [а, Ь], значит, функ­
ция Ф (х) непрерывна на всем промежутке [а, Ь].
14.3 .2 . Производная от интеграла с переменным верх­
ним пределом. Производная от интеграла с переменны.1,t
верхни.1,t пределом х по этому верхнему пределу равна подын­
тегральной функции, вычисленной при зн.ачепии t = х, т. е.
(!f(t)dt)' = f(х).
(14.12)
До к аз ат ель ст в о. Пусть функция f (х) непрерывна
в промежутке [а, Ь]. По определению для функции Ф(х)
производная
ф,() t· ЛФ(х)
Х= IШ --.
Лх-+ О Лх
Приращение ЛФ (х) можно записать в виде
х+Лх
ЛФ(х)= ~ f(t)dt.
х
На основании теоремы о среднем преобразуем этот
интеграл
х+лх
~ f (t)dt = f (с)-Лх,
х
50

где Лх=(х+Лх)-х, х<с<х+Лх, если Лх>О, или
х+Лх<с<х,еслиЛх<О,тогдаЛФ(х)=f(с)Лх,откуда
л~;х> = f (с).
Пусть Лх--+ О, тогда С-+ х. В силу непрерывности функ­
ции f (х) в точке х получим
lim ЛФЛ(х) = lim f(с)=f(х),
Лх➔О Х
с➔х
т. е. утверждение (14.12) доказано. Этот важный вы­
вод носит название теоремы
Барроу.
Мы пришли к выводу,
что интеграл с переменным
верхним пределом Ф (х) есть
одна из первообразных подын­
тегральной функции f (х).
Следствие 14.1. Произ­
водная Р' (х) от переменной
площади Р (х) криволинейной
трапеции, ограниченной кри­
вой у= f (х) осью Ох пря~юй
!/
fra1
а
о
о g_•f(WJ
f(:c}
f(Ы
:с
!J
f :r.
Рис. 14.4.
х= а и ординатой М 1 М, соответствующей переменной
абсциссе х, равна переменной ординате у= f (х) кривой,
ограничивающей эту площадь (рис. 14.4).
14.3 .3. Формула Ньютона-Лейбница. Пусть на про­
межутке [а, Ь]
х
Ф(х)=~f(х)dx,
а
а F (х)-какая-нибудь из первообразных для f (х) на
этом же промежутке. Так как Ф (х), согласно теореме
Барроу, тоже является первообразной для f (х), то на
[а, Ь] справедливо
Ф(х)=F(х)+С.
Воспользуемся этим последним равенством для получения
формулы, позволяющей выразить
ь
~f(х)dx
а
51

через значения F (х) в начальной и конечной точках про­
а
межутка интегрирования. Так как Ф (а) = ~ f (х) dx= О, то
а
ь
~ f (x)dx= Ф (Ь)-Ф (а)= [F (Ь) +C]-[F (а)+С]=
а
=F(b)-F(a).
Полученная формула
ь
~f(x)dx = F(b)-F (а)
(14.13)
а
носит название формулы Ныотона-Лейбница. При прак­
тическом применении этой формулы разность F (b)-F (а)
записывают в виде F (х) /~ .
Сформулируем правило для вычисления определенного
интеграла
ь
~ f (x)'dx.
а
1) Находим какую-нибудь первообразную функцию F(x)
для функции f (х).
_
2) Вычисляем значение этой первообразной функции
F(х) при Х=Ь, т. е. F(Ь).
3) Вычисляем значение F (х) при Х= а, т. е. F (а).
4) Из F (Ь) вычитаем F (а).
ь
5) Записываем полученный результат,
= F (b)-F (а).
~f(x)dx =
а
Пр им ер 14.1 . Вычислить, пользуясь формулой Ньютона-Лей­
бница, площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями:
у=х•, осью Ох и прямыми х=2 и х=З.
Реwение. Искомаяплощадь
3
Sх3IЗ1
19
р = х2 dх=з 2 =з (ЗS-29)=з (кв. ед.).
2
Пр им ер 14.2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница
n/6
интеграл ~ cos х dx,
52

Решение.
n/6
r
.,_
.
lп/6.n
.
о,о
,
'11 СОSХ.м=S\ПХ о =s1П6-s1n =2- =2·
§ 14.4 . Методы вычисления определенных интегралов
14.4 .1 . Непосредственное интегрирование. Для вычи­
ь
сления определенного интеграла ) f (х) dx нужно найти
а
первообразную функцию и затем применить формулу
Ньютона-Лейбница
ь
)f(х)dx= F(х)1: = F(b)-F(а),
а
При вычислении определенного интеграла применяются
следующие свойства определенного интеграла:
1) При. перестановке пределов интегрирования знак
определенного интеграла меняется на противоположный.
2) Постоянный множитель подынтегрального выраже-
ния можно выносить за знак определенного интеграла:
ь
ь
)kf(х)dx=k)f.(x)dx.
(14.14)
а
а
3) Определенный интеграл суммы функций равен сумме
определенных интегралов этих функций:
ь
ь
ь
) [f (х) t(J)(x)]dx=) f (x)dx+) (l)(x)dx. (14.15)
а
а
а
з
Пример 14.3. Вычислить ) (x3+1)dx.
-1
Решение.
3
s(хз+1)dх=(: +х)/~1=(34• +з)-[< 41)•+(-1)]=
-1
=(201 +з )-( 1-1) =24.
1$3.

с
5~-
п р им.ер 14.4 . Вычислить
"
1
е
Решение. S~=ln xl: =lne-ln l=l-0=1.
1
n/4
Пр и мер 14.5 . Вычислить S (~- sin х) dx.
cos х
-n/4
Решение.
Vз12
Пр им ер 14.6 . Вычислить S
1/2
Решение.
dx
Yl-x2 •
Уз12
Sdx
Yl-x~
1/2
Пр им ер 14.7 . Вычислить
Решение.
Уsз dx
IJfз .r -
:n:
л :n:
l+x2 =arctgx 1 =arctg r 3-aictg1=3
-
4=12
.
1
14.4 .2 . Замена переменной (способ подстановки). Пусть
ь
дан определенный интеграл Sf (х) dx от непрерЫ8ной
а
функции у= f (х) в промежутке [а, Ь]. Введем новую пе­
ременную и подстановкой Х= (J) (и) и допустим, что вы­
полняются следующие условия:
1) Х= <р (и) имеет обратную;
2) tp (а)=а, tp(~)=Ь;
54

3) функции <р (и) и <р' (и) непрерывны в промежутке
[а, ~] изменения новой переменной и;
4) функция f [ер (и)] определена и непрерывна в проме­
жутке [а, Н
Тогда имеет место равенство
ь
/1
~f(х)dx = ~f[<р(и)]<р'(и)du.
(14.16)
а
а
До к аз ат ель ст в о. Пусть F (х)-какая-либо перво­
образная для функции f (х) на [а, Ь], т. е. F' (х) = f (х).
Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем
ь
~f(х)dx= F(b)-F(а).
(14.17)
а
Рассмотрим в промежутке [а, Р] (который в силу
условия 1) находится однозначно) функцию F [<р (и)] пе­
ременного и, определяемую соотношениями у= F (х) и
х= <р (и). Вычислим ее производную по правилу диффе­
ренцирования сложной функции:
(F [ ер (и)])'= F' [ ер (и)]• ер' (и)= f[ep (и)] ер' (и).
Отсюда следует, что функция F [ер (и)] является первооб­
разной для f [ер (и)] <р' (и) в промежутке [а, Р]; тогда по
формуле Ньютона-Лейбница, учитывая, что функция
f [<р (и)] <р' (и) непрерывна на [а, ~]. получим
/1
~f[<р(и)]<р'{и)du= F[<р(~)]-F[<р(а)].
а,
Но по условию 1) <р (а)= а и <р (Р)= Ь, поэтому предыду­
щее равенство перепишем так:
6
~ f[<p (и)] <р' (и) du = F (b)-F (а).
(14.18)
а,
Сравнив равенства (14.17) и (14.18), получим равенство
(14.16).
• Формула (14.1.6) позволяет вычисление интеграла
h
/1
~ f (х) dx свести к вычислению интеграла ~ f [<р (и)] <р' (u)du.
а
а
При применении формулы (14.16) следует функцию Х= (р (и)
55

выбирать так, чтобы новый интеграл был более простыt.1
для вычисления, чем первоначальный. •
При вычислении определенного ·интеграла по формуле
(14.16) отпадает надобность перехода к прежнему перемен-
•
~
ному х, так как вычисление интеграла) f [q> (и)] q>' (u)du
а;
ь
дает число, которому и будет равен интеграл ) f (х} dx.
а
3
Пр и м е р 14.8. Вычислить ) (2х-1)3 dx.
2
Решение. Введем подстановку 2х-1 =и, тогда 2dx=dи, от•
1
куда dx= 2 du. Вместо переменной х мы ввели новую переменную и,
которая связана с переменной х равенством подстановки. В связи
с этим границы изменения переменной и, т. е. пределы интегриро­
вания по переменной и, будут другие. Они находятся из форму­
лы подстановки заменой аргумента х его значениями 2 и 3. ДJiя
вычисления нижнего предела интегрирования подставляем в эту
формулу значение старого нижнего предела х = 2, получаем ин=
=2·2 -1 =3. Для вычисления верхнего предела интегрирования под­
ставляем в формулу 2х- 1 = и значение старого вер·хнеrо предела
х=3, получим и 8 =2·3-1 =5.
Заменив в данном интеграле 2х-1 и dx их выражениями через
новую переменную и и du и соответственно заменив старые пределы
интегрирования новыми, получим
3
5
S<2x-1)3 dx=; Sи3 dи=;. ~
4
,:=~ (54 -3')=68.
2
3
2n
Пр им ер 14.9. Вычислить ) У 1-cos х sin х dx.
Зn/2
Решение. Положим 1-соsх=и, тогда sinxdx=du. Вычи-
3n
сляем новые пределы интегрирования: и и= 1-cos 2 = 1, U8 =
= 1-cos 2л: =0. Находим интеграл
2n
___
О
)V1- cosх.sinхdx= )
ЗЦ/2
1
о
Уиdи = ) u'l•dи=
1
=: u'I•\~=: (0-1)=-: .
n/2
(' cos xdx
Пр им ер 14.10. Вычислить J 2 . .
0 +s1nх
56

Реwение. •Положим 2+.sinх=и, откуда cosхdx= du, ин=а
=2+sin0=2, u8 =2+sin ;=3. Находим интеграл
п./2
Scos х dx
2+,sinx
о
з
Сdu
lз
3
,J u=ln и 2 =ln 3-ln 2=1n 2 ~ 0,4055.
2
1
Пр им ер 14.12. Вычислить ~ t?" х dx.
о
1
Решен не. Положим х2 =и, откуда 2xdx=du, xdx= 2 du,
u8 = 02 = О, и8= 12= 1. Находим интеграл
1
1
Sех•хdx= ~ 5eU dи= ~ еи1: = ~ (el-eo)= ~ (е-1).
о
о
n/12
Пр им ер 14.12. Вычис;шть ~ cos Зх dx.
n/18
1
Решен и е. Положим Зх = и, откуда Зdх = du, dх=з du, ин =
:rt
:rt
:rt
:rt
= 3 •18=6 , ив=3•12=4 . Находим интеграл
n/12
n/4
5cosЗх dx=1⁄2 5cosиdи=~ sin и1:::=; (sin :-sin ~) =
n/18
n/6
=~ (~2
-
~ )= ~ (Y2-l).
n/12
Пр им ер 14.13. Вычислить 5 dx
0 sin2(~+х)•
:rt
.
:rt
:rt
Реu1 е ни е. Положим 6+х=и,dx=du, ин=6+о=б , tt8 =
:rt
:rt
:rt
=
6 +12 = 4 . Находим интеграл
n/12
sо
n/4
dx
5du
•
\n/4
( :rt
:rt)
-.-
2-=-ctgu
=- ctg-4
- ctg-6
=
SIП U
л./6
n/6
2Уз1з
Пр им ер 14.14. Вычислить 5
Уз/3
=-(1- УЗ)= УЗ-1,
dx
V4-Зх8 '
57

2 Vз;s
2 JiЗ/3
Решение.
5Vз;з
dx
15
У4-3х2 =2
Vз;з
dx
УЗх
2
узузl
Положим -2-=и, тогда dx= уз du, ии=-3 - • -
2-=
2,
2уз уз
Uв=- 3
-
•-
2-=1. Находим интеграл
2 У3/З
1
Jdx
-2•
.;3 sуdu
= .)_ arcsinи11 =
У4- Зх2
r
1-и2 r3
112
Vз1з
1/2
=
Jз (arcsin 1-arcsin ~)= Jз (;-;)=n rз.
3/2
Пр им ер 14.15. Вычислить 53 :~х2 •
1/2
3/2
3/2
Решен не. 5 dx
15
dx
112 3+ 4х2=3 1,2 1+(;;)2.
Положим
2х
уз
2
1уз
23
уз =и, тогда dx= -
2-du, и,.= уз• 2 =-
3-,Ив= уз •2 =
= уз. Находим интеграл:
3/2
_
Vз
_
_
5dx
lу3sdu
у3
IV3
3-1- 4х2- 3. 2
1-1- u2-
6 arctgu Vз;3-
1;2
Vз1з
уз ( ,r,;
УЗ) уз(n n) nуз
=-
6- arctg r 3-arcctg-3
-
=-
6-3
-
6=36-
•
14.4.3 . Интегрирование по частям. В предыдущей главе
нами была выведена для неопределенных интегралов
формула «интегрирования по частям»:
~и(х)dv(х)=и(х) v(х)-~ v(х)du(х).
Сейчас мы получим ее аналог для определенных ин­
тегралов. Пусть и (х), v (х), и' (х) и v' (х) непрерывны на
[а, Ь]. Так как u(x)•v(x) является одной из первообраз­
ных для функции и (х) v' (х) +v (х) и' (х), то по формуле
58

Ньютона-Лейбница имеем
ь
~[и(х)v' (х)+v(х)и'(х)]dx= и (х) v(х)1ь·.
а
а
Применяя к интегралу, стоящему в левой части,
свойство 1 (см. формулу (14.4)) и перенося второй из
полученных интегралов в правую часть, будем иметь
ь
ь
~и(х)v' (х)dx= и (х) v(x>I:- ~ v(х)и'(х)dx. (14.19)
а
а
Учитывая, что v' (х) dx= dv (х) и и' (х) dx = du (х), эту
формулу обычно записывают так:
ь
ь
~и(х)dv(х) =и(x)v(х)\:- ~ v(х)du (х). (14.20)
а
а
Ее называют формулой интегрирования по частям для
определенного интеграла.
е
Пр им ер 14.16. Вычислить ~ х \n х dx.
2
Решение. Положим и=lnx, dv=xdx, тuгд11 dи=dx/x
v =х2/2. Следовательно,
Sex\nxdx=.=:.lпxle _ _! _se х2 ·dx=
2
22
х
2
2
е2
1 х2le е2
1
=y-2ln 2-2.2 2=т-2lп 2-т(е2-4)=
е2
е2
1
=т-2ln2-т+1=4e2-2Jn2+1.
14.4 .4 . Приближенные методы вычисления определен­
ных интегралов. В практике вычислений часто прихо­
дится иметь дело с интегралами от функций, первообраз­
ные от которых не являются элементарными функциями,
т. е. не могут быть выражены в конечном виде, а также
с интегралами от функций, заданных табличным или
графическим способами. В этих случаях формула Нью­
тона-Лейбница не может быть применена и интеграл· вы­
числяется с помощью приближенных методов.
В связи с все развивающимся применением вычисли­
тельных машин приближенные методы вычисления опре­
деленных интегралов получили широ1<ое применекие:
59

Приближенным методом вычислений отдается предпоч­
тение и в тех случаях, когда функция имеет элементар­
ную первообразную, но вычисление ее по формуле Нью­
тона -Лейбница является громоздким и требует большой
вычислительной работы.
Наиболее универсальными методами приближенных
вычислений определенных интегралов являются методы
численного интегрирования, которые удобны и при ис­
пользовании вычислительных машин.
При помощи формул численного интегрирования на­
ходят приближенное значение определенного интеграла
по известным значениям функции в некоторых точках
промежутка интегрирования.
!}
О 0=:со JJ1 :Cz
:Cf-t :Cf
Рис. 14.5.
Для геометрической интерпретации некоторых наиболее
употребительных формул такого рода будем считать по­
дынтегральную функцию f (х) неотрицательной на проме­
жутке интегрирования [а, Ь].
ь
Пусть требуется вычислить ~ f (х) dx. Разобьем про•
а
межуток интегрирования [а, Ь] на п равных частей точ­
ками деления
а=Х0<Xi<Х2<,,,<Xn-l<Хп=Ь.
Обозначим значения функции f (х) в точках деления xi
через Yi:
(O:::;;;i:::;;;n).
Ь-а
Величина
,
равная длине частных промежутков
п
[xi-i• xi], называется шагом интегрирования.
Способ прям о угольник о в. В каждом из про­
ме~утков [x 1_i , xi] будем считать функцию f (х) постоян­
ной и равной ее значению либо на левом конце проме­
жутка Yi-t• либо на правом конце Yi (рис. 14.5).
60

Через точки х; ( 1 ~ i ~ п) проведем ординаты У;= f (х;)
и разобьем криволинейную трапецию на полосы. Каждую
полосу заменим прямоугольником с высотой У;- 1 (или yi)
и с основанием (х;_ 1 , х;). Сумма площадей таких прямо­
угольников приближенно равна площади криволинейной
трапеции.
Приняв за высоту каждого прямоугольника левую
ординату, получим
или
п
Ь-а~
Р ~ -п-f,;: Yi-1•
Таким образом,
ь
п
S
Ь-а~
Ь-а
f (х) dx~ -п-~ Yi-i = -п-(Уо +У1 + • • • +Уп- 1). (14.21)
а
i=I
Если за высоту каждого прямоугольника примем пра­
вую ординату, то формула примет вид
ь
п
St(x)dx~b п aLY;=b п а(У1+У2+•••+Уп)• (14.22)
а
i=I
Полученные формулы называют формулами прямоуголь­
ников.
С геометрической точки зрения при вычислении ин­
теграла по формулам прямоугольников график функции
у= f (х) заменяется приближенно одной из ступенчатых
ломаных и величина площади криволинейной трапеции,
ограниченной кривой у= f (х), приближенно принимается
равной площади, ограниченной этой ломаной, т. е. рав­
ной сумме площадей этих прямоуrоJ1ышков. При увели­
чении числа делений п правая часть каждой из формул
приближается к точному значению интеграла и в пределе
при п-+ оо равна ему.
Дадим оценку погрешности формулы прямоугольни­
ков. Пусть т; - наименьшее значение функции f (х),
а М;-наибольшее значение функции f (х) в промежутке
[х;_ 1 , х;] (1 ~ i ~ п). Тогда площадь i-ro прямоугольника
Ь-а
Ь-а
заключена между числами т; ~ и М; -п-. Поrреш-
61

ность S при замене криволинейной трапеции фигурой,
,состоящей из прямоугольников, будет удовлетворять
условию
п
п
S~
Ь-а Ь-а~
< k,,,/, (М;-т;)-п- = -n-k,,,/, (М;-т;). (14.23)
i=1
i=I
Предположим дополнительно, что на [а, Ь] существует
f' (х) и что на этом промежутке I f' (х) 1~ М, тогда
м
м
Ь-а
;-т; ~ -Лх; = М--- и формула (14.23) дает оценку
п
(14.24)
Способ т р а пе ц и й. Заменим полосы, на которые
разделена криволинейная трапеция, не прямоугольниками,
как в способе прямоугольников, а прямоуго.11ьными тра­
пециями (рис. 14.6). Приняв за приближенное значение
у
Yn-t !/п
0 U=J:o J:1
Xi-1 :Jij
Рис. 14.6 .
интеграла среднее арифметическое правых частей прибли­
женных формул (14.21) и (14.22), полученных в способе
прямоугольников, будем иметь
St(x)dx~b па (Уо 2 Уп+У1+У2+••. +Уп-1). (14.25)
Левая часть формулы (14.25) выражает площадь кри­
волинейной трапеции, ограниченной сверху кривой y=f (х).
Правая часть этой формулы, которую можно записать
и так:
Ь-а (Уо+У1+У1+У2+ +Уп-1+Уп)
п
2
2
•••
2
'
(14.26)
представляет собой сумму площадей прямолинейных тра­
Ь-а
пеций с основаниями У;-1 и У;(1~i~п) и высотой п
62

В этом: случае мы заменили площадь криволинейной
трапеции приближенно площадью фигуры, состоящей из
прямолинейных трапеций. При n-+ оо правая часть фор­
мулы трапеций имеет своим пределом точное значение
интеграла.
При одном и том же значении п формула трапеций
обычно дает лучшее приближение, чем формулы прямо­
угольников.
ПредпоJюжив дополнительно, что f" (х) существует н-а
[а, Ь] и удовлетворяет неравенству I f" (х) 1::::;;; М, можно
доказать, что
(14.27)
Мы здесь не будем проводить это доказательство.
Способ парабол (форм ул а С им пс он а). Вы­
ведем предварительно формулу для площади кривоJ11шей­
ной трапеции, образованной осью Ох, параболой у= ах2 +
+ Ьх + с и двумя ординатами, проведенными в точках О
и lz (при этом мы будем считать, что ах2 + Ьх +с~ О на
[О, h]). О.3означим ординаты точек параболы у= ах2 +
+ьх+с, проведенных из начала, середины и конца от­
резка [О, h], через у0 , У1/2 , у1 и соответствующие ю1 абс­
циссы через х0, Х1/2 и х1.
Вычислим точное значение площади Р этой трапеции:
h
Р=J(ах2+ьх+с)dx= (а;э+ь;2+сх) /: =
h
= 6 [2ah2 + ЗЬh + 6с]. (14.28)
Выразим площадь Р через значения ординат у0 , Yl/z,
1
у1, учитывая, что Х0=О, Х1;2 = 2 h, х1= h. Тогда
Уо=С,
h2
h
У112=а-4+Ь2 +с,
Сложим все три равенства, предварительно умножив вто­
рое равенство на 4:
Уо +4У1/2 +у1 = c+ah•+2bh+4c+ah2 +bh +с,
или
Уо +411112 +У1 = 2ah 2 +ЗЬh +бс,
(14.29)
63

Сравнивая формулы (14.28) и (14.29), получим
Р= : [Уо+4У1/1 +У1].
(14.30)
Эта формула называется малой формулой Симпсона.
Так как в формуле (14.30) участвуют только значе­
ния у в начальной, средней и конечной точках проме­
жутка, то она оказывается справедливой и для любого
отрезка [х0 , х0 +h]. Действительно, сделав в интеграле
x,+h
~ (ах•+ьх+с)dх
Хо
замену переменной по формуле t = х-х0 , мы получим
h
~ (at 2 +b't+c')dt,
о
где Ь' = Ь + 2ах0 , с'= с+ Ьх0 + axt. Значения же функции
z=at2+b't+с' в точках t=О, t=h/2 и t=h будут
совпадать со значениями функции у-== ах2 + Ьх + с в точ-
h
ках Х=Х0, Х=х0+2 и X=x0 +h.
Воспользуемся полученным выводом для вычисления
площади криволинейной трапеции. Разобьем промежуток
[а, Ь] на четное число равных
!/
y-ffmJ
частей (п= 2m) и построим
ординаты Yi = f (хд в точках
деления. Обозначим на дан­
ной кривой у= f (х) точку с
координатами (xi; Yi) через М1
(рис. 14.7). Заменим кривую
у= f (х) параболами, прове­
денными через каждые три
il/+f
Zf+Z 3J
Рис. 14.7.
соседние точки этой кривой.
Длину каждой пары участ­
ков обозначим через h, h =
Ь-а
=--.
На каждом участке
т
длины h мы получили пло­
щадь «параболической трапеции» вместо площади исход­
ной криволинейной трапеции. Складывая выражения для
этих площадей, получаем
Ь-а 1[
р ~ ,п. 6 (Уо+4У1 +и.)+ (у. +4Уз+У4) + •••
• • • + <Уп-2 +4Уп-1 + Уп}]• (14.31)
64

Вспоминая, что п = 2m (т = n/2), и сгруппировав сла­
гаемые, получим формулу для прибJ1ижеююго вычисле­
ния площади криволинейной трапеции
Ь-а [
Р ~Зп Уо+Уп+4(у1+Уа+ • • • +Уп-1) +
+2(у2+У4+ • • • +Уп-2)]. (14.32)
Эга формула называется формулой парабол (большой фор­
мулой Симпсопа).
Без доказательства отметим, что в предположении,
что f<IV> (х) существует на [а, Ь] и что IfOV> (х) 1~ М, где
М-наибольшее значение y1v = pv (х) в промежутке [а, Ь],
погрешность S этой формулы оценивается из неравенства
(Ь-а)Ъ
-
S< 180n4 М.
(14.33)
Заметим, что обычно при одном и том же выборе п
формула парабол дает более точный результат, чем фор-
мулы прямоугольников и трапеций.
·-
Отметим наконец, что условие f (х) ~ О отнюдь не яв­
ляется обязательным для применимости выведенных фор­
мул. Все эти формулы остаются в силе и в тех случаях,
когда f (х) в некоторых или даже во всех точках [а, Ь]
оказывается отрицательной. Мы здесь примем это утверж­
дение без доказательства.
П р и м е р 14.17. Вычислить точное и приближенное (по фор­
мулам прямоугольников, трапеций и ппрабоJiической формуле) зна­
чение интеrраJiа
4
~ (3х2 +2х-!-4) dx.
о
Решение. Находим точное значение интеграла по формуле
Ньютсна-Лейб11иц11
Разделим отрезок на четыре равные части; тогда
Ь-а 4-0
h=-= -=l.
п
4
Точки деления: Хо=а=О, X1=a-! -h=l, X2=a-r -2h=2, Ха=а+
+ 3h=3 и x4 =a--t -4h=4.
З Под ред. Н. М. Матвееnа, q, 11
65

Находим соответствующие значения функции
Уо =3-02+2-0 +4 =4,
У1 = 3-1 2+2-1 +4=9,
У2 =3- 22 +2-2+4=20,
Уз =3-32+ 2-3+ 4 =37,
у4=3-42 +2•4+4=60.
Вычислим приближенное значение интеграла по формулам пря•
моуrольников:
ь
S
Ь-а
f(х)dx ~ --(Уо+ у1+ у2+ ...+ Уп-1) (в данном случае с недо-
а
п
статком),
sь Ь-а
f (х) dx ~ -п- (у1+ у2 + ... + Уп) (в данном случае с избытком),
а
4
/ = ~ (3x2..j-2x+4) dx ~ 1-(4+9+20+37) =70 (с недостатком),
о
4
/ = ~ (3х2+2х+4) dx ~ 1,(9+20+37+ 60) = 126 (с избытком).
о
В каждом из вычислений допущена большая относительная поrреш•
ность:
/-/
96-70
S = точ;• приfi , 100% = -96 -100% ~ 27%,
'tОЧН
/-/
126-96
S- приб точи 1003⁄4 -
100% ~ 31%
-
/ точи
•
о-
~-
о~ о.
Чтобы повысить точность вычисления, надо промежуток [а, Ь] раз­
делить на большее число точек деления.
Вычислим приближенное значение интеграла по формуле тра­
пеций:
ь
S Ь-а (Уо+Уп
)
f(х)dx~-n-
--
2-+У1 +У2+ •• •+Уп-1
,
а
4
/ = S<3x2+2x+4)dx ~ l•( 4·t60+9+20+37)=98.
о
При вычислении допущена погрешность:
98-96
S= 96
-I00% ~ 2%,
66

Вычислим приближеннее значение интеграла по парасолической
формуле:
ь
~ f (х) dx;::::
а
Ь-а
;:::: - 3п [Уо+Уп+4 (У1 +Уз+ .. · + Yn-iH-2 (Y2-I- y4-I- . .. + Уп-2)],
4
S
4-0
1
I = (3x2 -j -2x-l- 4)dx;:::: з-:-;г [4-1 - 60 + 4 (9 -f -37) + 2-20] =з·288 = 96 .
о
Приближенное значение здесь совпадает с точным (график подынте­
гральной функции-парабола).
§ 14.5 . Несобственные интегралы
ь
В определении определенного интеграла ~ f (х) dx
а
пределы интегрирования считались конеч:ными и подын­
тегральная функция принималась ограниченной в проме­
жутке [а, Ь]. Если не будет выполняться хотя бы одно
из указанных условий (т. е. когда промежуток интегри­
рования бесконечен или подынтегральная функция не
ограничена в промежутке интегрирования), то приведен­
ное ранее определение интеграла теряет смысл. Однако,
исходя из теоретических и практических соображений,
необходимо обобщить понятие определенного интеграла
на случай, когда эти ограничения не выполняются.
Такие интегралы, в противоположность рассмотренным
(собственным) интегралам, называются несобственными.
Рассматриваются два основных типа несобственных инте­
гралов: интегралы от непрерывных функций по бесконеч­
ному промежутку и интегралы от неограниченных функ­
ций по конечному промежутку. Мы рассмотрим только
несобственный интеграл первого рода- несобственный
интеграл с бесконечными пределами.
Пусть функция f (х) задана в промежутке [а, + оо),
и интегрируема в любой его части I а, А], т. е. сущест­
А
ву~т определенный интеграл ~ f (х} dx при любом А > а.
а
Тогда, если существует конечный предел
А
lim ~f(x)dx= 1,
А➔"'а
з•
67

то его называют 1-1есобственным интеграло1,1 первого рода
или несобственны11t шtтегралом функции f (х) в промежутке
[а, + оо) и обозначают символом
+оо
/= ~ f(х)dx.
(14.34)
а
В этом случае говорят, что несобственный интеграл
существует или сходится. Если же предел не существует,
то говорят, что несобственный интеграл (14.34) не суще­
ствует или расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл от
функции f (х) по промежутку (-00 1 а]:
а
а
~ f(х)dx= lim ~f(х)dx.
-оо
А ➔ -ОО-А
(14.35)
Несобственный интеграл от функции f (х) по проме­
жутку (-оо, + оо) определяется так:
+оо
а
+оо
~ f(x)dx= ~ f(x)dx+ ~ f(x)dx,
(14.36)
-ао
-ао
а
где а-произвольное число.
Интеграл (14.36) в левой части считается сходящимся,
если сходятся оба интеграла в правой части; если какой­
либо из них расходится, то расходится и интеграл в ле-
!/
вой части. Сходимость интеграла
и его числовое значение не зави­
сят от выбора числа а.
Геометричес1ш несобствен-
+оо
ный интеграл ~ f (х) dx от не-
======"-'~
а
i11 прерывной
неотрицательной
Рис. 14.8.
функции f (х) есть площадь кри-
волинейной трапеции, оr·рани­
ченной графиком функции, осью абсцисс и прямой Х= а
и простирающейся в бесконечность (рис. 14.8). Если ин­
теграл сходится, то эта трапеция имеет конечную пло­
щадь, ес.1и расходится, то площадь бесконечна.
Для вычисления несобственных интегралов приме-
няется формула Ньютона-Лейбница. Если F (х)
68

первообразная д.т1я f (х) на промежутке [а, + оо), то
+оо
А
~ f(х)dx= lim ~f(х)dx = lim [F(A)-F(а)]=
а
А➔+ооа
А➔+оо
=F(+oo)-F(a)=F(x)j;"", (14.37)
где
F(+oo)= lim F(A).
А➔+оо
В этом случае «значение» F ( + оо) показыв-ает, сходится
или расходится данный интеграл.
Пример 14.18.
+оо
Sdx
1+оо •
n
n
n
1+х2 =arctg х 1 = }~~,:rctgx-arctg 1= 2--4=-г
1
Интеграл сходится и равен n/4.
Пример. 14.19.
+оо
А
Slx+dx ~ = Iim slx+dx а= lim [-21 ln (1 + х2)] /А=
Х А➔+оо
Х А➔+оо
)
1
1
•
=2
1 lim [ln(l+A 2)-Jn2J=+cio.
А-.+ CD
Интеграл расходится.
§ 14.6. Вычисление площадей с помощью
определенного интеграла
14. 6 .1 . Две схемы применения определенного интеграла
к вычислению различных величин. Определенный интеграл
широко применяется при вычис- у
лсннях различных геометриче­
ских и физических величин.
Существуют две схемы для вы­
числении не1<0торой величины и,
соответствующей некоторому
промежутку [а, Ь] изменения
независимой переменной х.
О d=:ca :ci-1 Zi :сп~ь :с
С х е м а 1. Представим вели­
чину и в виде ПJlОЩади, огра•
Рис. 14.9 .
ниченной осью Ох, кривой у= f (х), которая может быть
задана или найдена из условия задачи, и прямыми х = а
и х=Ь(а3⁄4Х3⁄4Ь) (рис. 14.9).
69

Вычисление и с помощью определенного интеграла
выполняется по следующей схеме (схема 1):
1) Разбиваем величину и на большое число п малых
слагаемых Лщ:
п
и= Ли1 +Ли2 + ... +Лип=~ Лщ.
i=I
2) Выражаем приближенно каждое слагаемое Лщ про­
Ь-а
изведением Лщ= f (хд Лх, где Лх = -п-.
3) Представляем приближенное значение и интеграль­
ной суммой
п
и=~ f (хд Лхi.
i=I
Если из условия задачи следует, что погрешность этого
приближенного равенства стремится к нулю при п- оо,
то искомая величина и будет выражаться определенным
интегралом
ь
ь
и= lim ~f(х)Лх=~f(х)dx.
Лх➔О а
а
С х е м а I I. Приведенная выше схема I может быть
заменена другой, более удобной для практического при­
у
и
0 ll=Xo
z=b
менения (схема II).
1) Пусть величина и полу­
чает приращение Ли~ f (х) Лх,
соответствующее изменению
х на малую величину Л:Х; f (х)
рассматривается как данная
или определяемая из условия
задачи функция от х (рис.
14.10).
Рис. 14.10.
2) Заменим приращение
Ли дифференциалом du (r лав­
пая часть приращения Ли) и Лх дифференциалом
dх(Лх= dx), получим
du= f(х)dx.
3) Интегрируя это равенство в пределах от х= а до
Х= Ь, получим
ь
и=~ f (x)dx.
а
70

Заметим, что схему I иногда называют методо,ч инте~
гральных сумм, а схему 11-методом дифференциала.
14.6.2. Площади плоских фигур. Пусть требуется
вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми
у=с:р 1 (х) и у=с:р2 (х), и прямыми х=а и х=Ь, где
а<Ь и с:р1 (х)3⁄4с:р2 (х) на [а, Ь] (рис. 14.11).
у
у
d y-d
а
(}
:с
с
g=c
(}
:с
Рис.
Рис. 14.12.
Пусть S (х)-та часть искомой площади, которая от­
вечает отрезку [а, х]. Придав х приращение dx и при­
ближенно рассматривая соответствующее приращение
S (х) как площадь прямоугольника с основанием dx и вы­
сотой (J) 2 (x)-(f)1 (х), получаем
dS (х) = [с:р 2 (х)- Ч'i (х)] dx.
Интегрируя это равенство по промежутку от а до Ь, мы
приходим к формуле
ь
S = ~ [с:р2 (x)-c:pi (х)] dx.
а
Меняя ролями х и у, мы получим формулу
d
S= ~ ['i'2(Y)-,P1(Y)]dy
с
(14.38)
(14.39)
для площади фигуры, ограниченной кривыми х = '\j) 1 (у)
иХ='lj,2(у) и прямыми у=с и у=d, гдес<dи1),1(v)3⁄4
3⁄4'i' 2 (у) на [с, d] (рис. 14.12).
71

Если <1'1 (~)==о, <v2 ~Х) = r (х) (рис. i4.13), то из (14.38)
мы получаем уже знакомую нам формулу
ь
S= ~f(х)dx.
(14.40)
а
Если <р1(х)= f(х), q>2 (х) =О (рис. 14.14), то
ь
S=- ~f(x)dx.
(14.41)
а
Аналогично д.'IЯ фигур такого вида, как на рис. 14.15
и 14.16, мы получаем соответственно
d
S= ~ g(y)dy,
(14.42)
с
d
S=-
~g(у)dy.
(14.43)
В большинстве встречающихся на практике случаев
лри решении задачи о нахождении площади данную фи­
гуру удается разбить на конечное множество таких частей,
к каждой из которых применима какая-нибудь из формул
(14.38)-(14.43).
В простейших случаях оказывается возможным сразу
применить одну из этих формул.
Пр им ер 14.20. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями
Х=-1 и Х=З.
Реш с ни е. Из условия задачи следует, что f (х) =Х2 -\- 1, a=-l,
Ь=З (рис. 14.17). Тогда
3
S=S(х2-1-l}dx=(~+х)1~1=13 ~ (кв.ед).
-1
Пр им ер 14.21 . Rычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями y=sin х, у=О, х=О и x=n.
Реше н и е. Искомая площадь ограничена полуволной синусоиды
и осью Ох (рис. 14.18}. Следовательно, f (x)=sin х, а=О, Ь=n, тогда
n
S=~ sinxdx=-cosxj: =-соsn+соs0=2(кв.ед.).
о
Пр им с р 14.22 . Вычислить площадь фигуры, оrраниченноii
линиями у=-х2, у=О, х=-1 и х=З (рис. 14.19).
72

Рис. 14.13.
Рис. 14.15.
J:
л: ::с
Рис. 14.18.
Рис. 14.14.
:с
Рис. 14.16.
Рис. 14.19
31
-
73

Решен и е. По формуле (14.41) имеем
3
S=- S - -x2 dx=9; (кв. ед.).
-1
Пр им ер 14.23. Вычислить площадь круга х2 +у2=,2.
Решение. Дан круг радиуса ,. Из уравнения окружности
имеем IJ=JIr2 х2 или у=-JIr2 х2•
Найдем одну четвертую часть площади круга, расположенную
в первом квадрате, тогда х:;;;;. О, у:;;;;. О, пределы интегрирования
(в этом случае) а=0, Ь = r:
r
~ S= sJI ,2 x2dx,
о
Применим подстановку х = r sin и, откуда dx = r cos и du. Вы­
числим новые пределы интегрирования
r=r sin Ив, sш Ив= 1, Uв=n/2,
следовательно,
r
n/2
~ Yr2 -x2 dx= ~ J/r2-r2 sin2 urcosudи=
о
о
n/2
n/2
n/2
=~
о
JI r2cos2и•rcosudи=r2 ~ cos2 u du =r2, S 1+c;s 2иdи=
о
о.
,2(
1. )1n/2,2(л; 1.)
n,2
=т и+2SIП2u О =2 2+2SIП1t =т,
тогда
х2 у2
Пр им ер 14.24. Вычислить площадь эллипса а2+Ь2 = 1.
Ь2 (а2-х2)
Ь--
Решение. у2 --'-се---'- u=+-Va2 -x2 или
а2
а
ь ,/'--
= -- r а2 -х2• Вычислим четвертую часть площади эллипса, рас­
а
положенную в первом квадранте, тогда х;;;::. О, у:;;;;. О, пределы ин­
тегрирования равны О и а. Следовательно,
а
1
ь5.,-
4S=а r a2-x2dx.
о
Производя вычисления, аналогичные вычис-!Jениям примера 14.23,
1
Ь na2 abn
ПОJlуЧИМ 4 S= а •т=4 , откуда
S = паЬ (кв. ед.).
74

Пр им ер 14.25. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
линиями у=х2 -2х+3 и у=3х-1.
Реше и и е. Для нахождения точек пересечения этих линий
решим систему
откуда х1= 1, у1=2 и х2= 4, у2= 11 (рис. 14.20). Находим теперь
искомую площадь S (см. формулу (14.38)).
4
S= ~ [(Зх-1)-(х2 -2х+З)] dx=
1
4
=~ ( -x2 +5x-4)dx=
1
(хз5х2)/4
=
-
3+2 -4х l =4,5 (l<B. ед.).
§ 14. 7. Вычисление объемов
g
11 ----- В
14.7.1 . Понятие объема, его ос-
:&z=-l/.
:с
новные свойства. Нам известно, что
окружающие нас тела занимают раз-
Рис. 14 .20 .
личные по величине части простран-
ства. Поэтому величину части пространства, занимаемого
некоторым геометрическим телом, можно характеризовать
числом. Очевидно, что каждому рассматриваемому телу
можно поставить в соответствие единственное положитель­
ное число. Эго число будем называть объемом тела.
Основные свойства измерения объемов тел.
1. Конгруэнтные тела имеют равные объемы.
2. Если тело разбить на части, то объем тела ра.вен
сумме объемов всех его частей.
3. Объем куба, длина ребра которого равна единице,
равен единице.
Объем тела будем обозначать буквой V.
На множестве всех многогранников существует функция
V (Т), для которой можно указать соответствие каждого
многогранника числу V такое, что будут выполняться
свойства измерения объемов 1-3 .
Следствие 14.2. Если тело Ti содержится внутри
тела Т, то V(Т1)~V(Т).
Следствие 14.3. Объем куба, ребро которого содер­
жит а единиц (а-целое), равен а3 (ед. 3 ). Объем куба
с ребром p/q (р и q-целые), равен (p/q) 3 (ед. 3).
,75

Тела, имеющие равные объемы, называются равнсвели­
кими. Если два тела ршзносоставлены, то они равновелики.
На рис. 14.21 изображен куб и равновеликая ему тре­
угольная призма, составленная из двух частей куба.
Равновеликость этих тел следует из свойств 1 и 2. Из этого
примера видно, что из равновеликости тел не следует их
конгруэнтность.
За основную единицу объема в метрической системе
мер принимают кубический метр (м 3)-объем куба, длина
ребра которого равна 1 м.
J..,,.,,.,,_,,,,,,,,,,,,
•
////.///
,.,,
1,,-
l/
1,,-
/
/
/
/
Рис. 14.21.
Рис. 14.22 .
14.7 .2. Объем прямоугольного и прямого параллеле­
пипеда, прямой призмы и цилиндра. Теорем а 14.1.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению
трех его измерений.
До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим три случая.
1. Измерениями прямоугольного параллелепипеда
являются целые числа а, Ь, с. Разобъем параллелепипед
на единичные кубы. Для этого проведем плоскости, парал­
лельные граням (как это показано на рис. 14.22). В одном
слое таких кубов будет аЬ, всех слоев будет с. По свойст­
вам 2 и 3 всех единичных кубов будет аЬс.
2. Измерениями являются рациональные числа а= p1 /q 1 ,
Ь= p2 /q 2 н с= p3 /q 3 • Приведем дроби I< общему знамена­
телю q1q2q:J:
Р1 = P1q2qз ,
ql q1q2qЗ
!!J.=P2q1qз,
q2 qlq2q3
Рз = Pзq1q2
q3
q1q2qЗ
Мы получили новую единину измерения, равную
qlq2qЗ
части прежней. Тогда в каждом ребре единичного перво­
начаJiьного куба будет содержаться q1q2q3 новых линейных
76

единиц и объем этого единичного куба будет равен на
основании доказанного в первом пункте
(q1q2qз) (q1q2qз) (q1q2qз) = (q1q2qз) 8.
Измерения параллелепипеда в новых линейных единицах
будут целыми числами p1q2q8 , p2q1q8 и p8q1q8 • Тогда (см.
случай 1) объем параллелепипеда будет равен произведе­
нию новых линейных единиц
(p1q2qз) (p2q1q3) (рзq1qв).
Первоначальных кубических единиц будет в (q 1q 2q3) 3 раз
меньше, т. е. объем параллелепипеда, измеренный в перво­
начальных единицах, будет
V = (p1q2qa) (p2q1qз) (pзq1q2) = Р1 • Р2 • Рз = аЬс.
(q1 q2q3) 3
qlq2q3
3. Среди измерений а, Ь, с пусть хотя бы одно из них
число иррациональное. В этом случае никакая доля еди­
ничного отрезка не уложится в соответствующем отрезке
целое число раз. Каждое измерение представим в виде
бесконечной десятичной дроби.
Пусть приближенные значения чисел а, Ь, с по недо-
статку с точностью ДО 1/l0n будут: ап, ьп, ёп и соответст-
+
++
веннно по избытку ап, Ьп, сп, тогда по следствию 14.2
имеем
(14.44)
где
+
+++
И Vп = апЬпСп•
Тогда неравенство (14.44) запишем в виде
---
+++
anbncll < V < anbr,cn.
(14.45)
По определению произведения положительных вещест­
венных чисел имеем
(14.46)
Из неравенств (14.45) и (14.46) следует, что прибли­
женные значения чисел V и аЬс, взятые с любой степенью
точности, равны, следовательно,
V=abc.
(14.47)
77

Следствие 14.4. Об·оем прямоугольного параллеле­
пипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Пусть аЬ= Q есть площадь основания параллелепипеда
и с= Н-его высота. Тогда
Объем
рема 14.2.
Et JJ,
А
V=abc= QH.
(14.48)
прямоrо параллелепипеда. Тео­
Объем прямого параллелепипеда равен произ­
ведению площади его основания на
высоту.
Доказательство. Пусть
Рис. 14.23.
дан прямой параллелепипед ACt
(рис. 14.23), основанием которого
служит параллелограмм ABCD.
Проведем через ребра AAi и ВВ 1
плоскости AEE1 At и BFF1 Bi, пер­
пендикулярные CD; тогда получим
прямоугольный параллелепипед
AF1 . Прямоугольник AEFB равновелик параллелограмму
ADCB. Докажем, что прямоугольный параллелепипед AF1
равновелик данному прямому параллелепипеду ACt. Пря­
мые треугольные призмы AEDAiE1Di и BFCB 1 F1Ci конrру-
-+-
энтны, так как вектор АВ отображает первую призму на
вторую. Следовательно, данный и
...
построенный параллелепипеды рав­
носоставлены, но тогда они равно­
велики. Объем прямоугольного парал­
лелепипеда равен SАвFвН, тогда и At,,. _. . .. .,._ _. i... .i.,,
объем прямого параллелепипеда ра-
,
1
вен SAEFвH = SАосвН= QH.
1
Объем прямой треуrоль-
:1
ной призмы. Теорема 14.3.
.o,L_J __ С
Объем прямой треугольной призмы
/ ',•-- --
равен произведению площади ее осно- "----i',
вания на высоту.
А
в
Док аз а тел ьс тво. Дана пря­
мая треугольная призма АВСА 1В1 С1
(рис. 14.24). Через середину стороны
Рис. 14.24.
основания АС и A1Ci проведем ось р (рJ_ (АВС)). Относи­
тельно оси р прямая призма ABCA1B 1Ci отображается на
прямую призму ADCA 1D1Ci. Объединение этих призм есть
прямой параллелепипед ABCDA 1B 1C1 Di. Симметричные
призмы конгруэнтны, а конгруэнтные многогранники имеют
78

равные объемы, поэтому объем V призмы ABCA 1 B1Ci равен
половине объема параллелепипеда ABCDA 1B1C1D10 т. е.
(14.49)
Объем многоугольной прямой призмы.
Теор ем а 14. 4 . Объем многоугольной прямой призмы равен
произведению площади ее основания на высоту.
До к аз ат ель ст в о. Дана п-угольная прямая призма
с высотой Н (рис. 14.25). Через одно из боковых ребер
призмы (АА 1) проведем диагональные плоскости, тогда
призма разобьется на п-2 треуголь-
.в,
ных прямых призм с той же высотой
,1
Н, площади оснований которых обо-
/:
значим через Q1, Q2 , ••• , Qn-2·
г,
,' J.
Объем данной прямой призмы V
,:.,. •
с,
равен сумме объемов всех прямых
I А1,
треугольных призм, т. е.
:Е:
f-
--
V=Q1H+Q2H+ ••. +Qп-2H=
/, ,'
н
н
,\
,
=(Qi+Q2+ ... +Qп-2)
=Q'r'\I
~ ,,'
где
А
Рис. 14.25.
Итак, объем прямой многоугольной призмы равен
V=QH.
(14.50)
Объем цилиндра. Теорема 14.5. Объем цилиндра
равен произведению площади его основания на высоту.
Пусть радиус основания цилиндра R, высота Н. Впи­
шем в цилиндр и опишем около него правильные призмы,
-
+
объемы которых пусть соответственно равны V п и V п•
Цилиндр содержит вписанную призму и сам содержится
в описанной призме, поэтому имеем
но
тогда
79

где Sп-площадь правильного вписанного в основание
+
цилиндра п-уrольника, а Sп-площадь правильного опи-
санного около основания цилиндра п-уrольника. Но, как
известно,
lim Sn= nR2 и
+
lim Sn= nR2 ,
n➔m
n➔m
Следовательно, обе части двойного неравенства имеют один
и тот же предел nR2 H, а это означает, что объе~ цилиндра
V= nR2H.
(14.51)
14.7.3 . Объем тела с заданными площадями попереч­
ных сечений. Рассуждения, на которых было основано
вычисление площади криволинейной трапеции, можно
применить и при вычислении объемов геометриче-
ских тел. Пусть геометри-
g
ческое тело Т заключе­
но между двумя парал­
лельными- плоскостями о:. и
~ (так, что эти плоско­
сти будут .. «зажимать» рас-
О
;с сматриваемое тело Т с двух
сторон). Выберем ось Ох
так, чтобы она была пер-
Рис. 14.26.
пендикулярна к плоско-
стямаи~-
Обозначим аб­
сциссы точек пересечения плоскостей а и ~ с осью Ох со­
ответственно через а и Ь (а< Ь) (рис. 14.26). Пусть пло­
скость у перпендикулярна к оси Ох и пересекает ось
в некоторой точке с абсциссой х (а~ х ~ Ь).
Предположим, что в сечении тела плоскостью у поJ1у­
чена фигура, которую будем называть поперечным сечение.лt,
площадь которой обозначим через q (х). Площадь попереч­
ного сечения q (х) или нам известна, или мы можем ее вы­
числить при любом значении х в промежутке [а, Ь]. Сле­
довательно, любому значению х из [а, Ь] соответствует
вполне определенная шющадь поперечного сечения q (х),
т. е. q (х) есть_ функция переменной х. Предположим, что
q (х) непрерывна на [а, Ь].
Приступим к вычислению объема данного тела Т. Для
решения этой задачи разделим промежуток [а, Ь] на п
равных или неравных частей. Пусть абсциссы точек деле-
80

пия а= х0 , х1 , х2 , ••• , Xn-i• Хп = Ь удовлетворя10т нера­
венствам
а=Х0<Х1<Х2<...<Xn-i<Хп=Ь.
В каждом из промежутков [xi-i• х;] (1 3⁄4 i 3⁄4 п) выберем
произвольно по точке с абсциссой s;, которая будет удов­
летворять условию Х;_ 1 3⁄4 Si 3⁄4Xi. Проведем через каждую
точку ~; плоскость, перпендикулярную к оси Ох до пере­
сечения с телом Т. Получим поперечное сечение, площадь
которого равна q (~;). Между плоскостями а и Р построим п
ци.rшндров (или призм, в зависимости от формы тела Т),
имеющих высоту, равную X;-Xi-i= Лх; (1 3⁄4 i 3⁄4 п), и пло­
щадь основания, равную q (s;). Объем такого цилиндра
(призмы) будет равен q (s;) Лх;. Объем тела, составленного
из п цилиндров (призм), будет выражаться интегральной
суммой
п
~q(~;)Лхi=q(s1)Лх1+q(s2)Лх2+...+q(sп)Лхп.
1=1
Это тело из п цилиндров (призм) отличается от тела Т
тем меньше, чем мельче промежутки [xi-i• х;] (1 3⁄4 i 3⁄4 п).
Предел интегральной суммы, который обозначим через V,
когда части, на которые мы разбиваем промежуток [а, Ь],
становятся сколь угодно малыми,
п
V= lim ~q(S;)Лхi
max Лх➔Оi=\
будем называть объелюJ.t тела Т.
Предел интегральной суммы при max Лх, стремящемсн
к нулю, обозначается символом
ь
~q(х) dx;
а
тогда
ь
V= ~ q(x)dx.
(14.52)
а
Эта формула позволяет вычислять объем тела по пло­
щади его поперечного сечения q (х).
Для тел призматических и цилиндрических (если за
ось х взять прямую, перпендикулярную к основанию)
функция q (х) будет величиной постоянной, равной
81

площади основания тела; для других тел (например, кони­
ческих) q (х) будет изменяться в зависимости от расстояния
сечения от основания. Поэтому для вычисления объема
тела по формуле (14.52) нужно прежде всего найти закон
зависимости величины площади сечения q (х) от рассто­
яния его х до одного из параллельных оснований тела,
причем основание тела может быть в частном случае
линией или точкой (в шаре).
14.7 .4 . Объем наклонной призмы (наклонного ци­
линдра). В случае наклонной призмы (цилиндра), площадь
основания которой Q и высота Н, имеем q (х) = Q (пло­
-----"""7!С, щадь сечения равна площади
основания). Тогда, пользуясь
выведенной формулой, имеем
н
Vнакл. призмы=~ Q dx=
о
= Qxl~1
= QH, (14.53)
т. е. объем наклонной призмы
(наклонного цилиндра) равен про­
изведению площади его основания
на высоту.
Рис. 14.27.
Необходимо отдельно рассмо-
треть другую теорему об объеме
наклонной призмы, полезную при решении ряда задач.
Теорема 14.6. Объем наклонной призмы равен про­
изведению площади перпендикулярного сечения на боковое
ребро.
Дан о: АВСА 1 В1Сi-наклонная призма (рис. 14.27),
А 1 А= [-боковое ребро, q-площадь перпендикулярного
сечения (аЬс).
Требуется доказать: V=ql.
До к аз ат ель ст в о. Объем наклонной призмы выра­
жается формулой
V=QH,
(14.54)
где Q-площадь основания призмы, Н-ее высота. Пусть
высота призмы А 1 O образует с боковым ребром А 1 А
угол а, тогда угол между плоскостями (АВС) и (аЬс)
также будет равен а.
Из треугольника АА 1 О имеем
Н= l cosa.
(14.55)
82

По теореме о площади проекции многоугольника на
плоскость получим q = Q cos а, откуда
(14.56)
Подставив в (14.54) Н и Q из (14.55) и (14.56), получим
V=_q_lcosct=ql.
cos Gt
•
т. е.
V=ql,
(14.37)
где q-площадь перпендикулярного сечения, l-боковое
ребро.
14.7 .5 . Объем пирамиды и усеченной пирамиды.
Объем пирамиды. Теорема 14.7 . Объем пирамиды
равен одной трети произведения площади ее основания на
высоту.
В пирамиде площади параллельных сечений и осно­
вания относятся как квадраты их расстояний от вершины
(за ось х принимаем прямую, перпен­
дикулярную к основанию, кроме того,
будем считать а= О, Ь = Н), т. е. имеет
место соотношение
откуда
т. е. площадь сечения есть функция
Рис. 14.28.
квадрата расстояния сечения от вершины пирамиды (рис.
14.28). Тогда объем пирамиды
н
н
S
Qs2
Q~111 1
V= q(x)dx=No х dx=--w:з O = 3 QH,
о
о
таким образом,
(14.58)
83

06.ъем усеченной пирамиды. Теорема 14.8 .
Объем усеченной пирамиды равен сумме объемов трех
пирамид, имеющих высоту, равную высоте усеченной пира­
миды, а основания.ми: одна-тшжнее основание усеченной
nupa1ttuды, другая-верхнее основание усеченной пирамиды
t
и третья-среднее пропорциональ-
/:1~\ .
ное обоих оснований усеченной пира-
,,,
'
д
,,,,
\
миы,т.е.
/
,,
\
,
1h1, ,
,'
,'~'.q
V = 1(Q +q+V Qq). (14.59)
,
Рис. 14.29.
объемом
полной,
Дана усеченная пирамида, пло­
щадь нижнего основания которой
равна Q, верхнего основания q и
высота Н (рис. 14.29). Объем усе­
ченной пирамиды равен разности
между объемом полной пирамиды и
пирамиды, дополняющей усеченную пирамиду до
(14.60)
где h-высота дополнительной пирамиды. Применяя
свойство параллельных сечений в пирамиде, выразим h
черезq,QиН:
Q (f/ +h)2
-=
h2
q
или
Применив свойство производной пропорции, получим
HJ!q
откуда h= V yq.
Q-q
Подставив значение h в равенство (14.60) и упростив,
поJ1учим
14.7 .6. Объем тела вращения. Пусть фигура, ограни­
ченная линиями у= f (х), х = а, х = Ь, у= О, вращается
вокруг оси Ох (рис. 14.30). Найдем объем V полученного
тела вращения Т.
84

Для получения формулы объема тела вращения ис­
пользуем формулу для вычисления объема тела по пло­
щади его поперечного сечения g
ь
V = ~ q(x)dx.
а
Сечение тела Т плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох в о
точке х, есть круг радиуса
У (у=f(х)), т. е. q(х)= ny2•
Тогда
(14.61)
а
Рис. 14.30.
Пр им ер 14.26. Вычислить объем тела, образованного вращt>­
нием вокруг оси Ох фигуры, ограничt>нной осью Ох и полувол1юii
синусоиды y=sinx (О,е;;;;хо;;;;:п:).
Решение. По формуле (14.61) получим
11
11
S.
r1-cos 2х
n[
sin 2х] 11 :i;2
V=n sin 2 xdx=n J
2
dx= 2 х--2- 0 = 2 (куб. ед.).
о
о
Пр им ер 14.27. Вычислить объем тела, образова,шого вра­
щением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями у2 =2х, х=О,
х=2 и у=О (рис. 14.31).
~r--"~
g'-2•
:с=О
Рис. 14.31 .
Решение. По формут.е (14.61) получим
2
Рис. 14.32 .
V=n ~ 2xdx=nx2 1~ =4n (1(уб. ед.).
о
Полученное тt>ло н,~зывгстся параболоидом вращения.
{С
Если фигура, ограниченная линиями х = f (у), у= а,
у= Ь и х = О (рис. 14.32), вращается вокруг оси Оу,
85

то объем V полученного тела вращения находится по
формуле
(14.62)
а
Пр им ер 14.28. Вычислить объем тела, образованного враще­
нием вокруг оси Оу фигуры, ограниченной линиями у=х2/2, у=2,
у=4 и х=О (рис. 14.33).
!/
-tl
Рис. 14.33 .
Рис. 14.34.
Реше кие. По формуле (14.62) получим
4
V=n ~ 2ydy=xty2 /; = 12n (куб. ед.).
2
11
iZ
Пр им ер 14.29. Вычислить объем тела, образованного враще­
х2 У~
пнем вокруг оси Ох площадки, ограниченной эллипсом а2+Ь2= 1
(рис. 14.34).
Решение. Тело вращения-эллипсоид. Эллипс пересекает
ось Ох в точ1<ах х1= -
а и х2 = а. Из уравнения эллипса имеем
ьz
у2 = 2 (а2 -х2). Эллипс симметричен относительно оси Оу, поэтому
а
пределы интегрирования можно взять от О до а:
и полученный результат удвоить, т. е.
2
4
V=2V1 =2, 3 nab 2 =3 nab 2 (куб. ед.).
П р им ер 14.30 . Вычислить объем тела, образованного враще-
х2 yz
нием вокруг оси ах площадки, ограниченной гиперболой а2-Ь2= 1
и прямыми у=О, х=а, х=2а.
86

Реше н и е. Тело вращения-гиперболоид. Из уравнения гипер-
ь2
,
болы имеем у2 = 2 (х2 -а2) (рис. 14.35). Тогда
а
2а
V= n S(Ь~2- ь2) dx = n (t;:_ь2х)1:а=
а
=л[(8~
2
-2аЬ2 )-( а:2 -аЬ2)] = 4л;Ь2 (куб. ед.).
Пр им ер 14.31. Вычислить объем тела, образованного враще­
нием вокруг оси Ох площадки, ограниченной линиями у2 =4х и у=х
(рис. 14.36).
11
=2cr,
о
Рис. 14.35.
Рис. 14.36 .
Решение. Решив систему у2 =4х и у=х, находим точки
пересечения параболы и прямой: О (О; О) и А (4; 4). Следовательно,
пределы интегрирования а=О и Ь=4. Объем тела вращения пред­
ставляет собой разность объемов параболоида, образованного вра­
щением кривой y2 =4x(V1), и конуса, образованного вращением
прямой у=х (V2). Тогда
откуда
4
V1 =n ~ 4xdx=n-2x2 I~ =32л,
о
64 32
V=V1 -V2 =32n- 3 л= 3 л (куб. ед.).
14.7.7 . Объем конуса и усеченного конуса. Объем
к он у с а. Теорем а 14.9 . Объем конуса равен одной
трети произведения площади его основания на высоту:
1
V=3 nR2H.
(14.63)
87

Дан конус с высотой Н и радиусом основания R.
Пусть конус получен от вращения прямоугольного тре­
угольника ОАВ вокруг оси Ох (рис. 14.37). Составим
уравнение образующей ОА:
R.
У= kx=xtg СХ.=71Х-
Применив формулу (14.61), получим
н
SR,2
:rr.R2хзlн nR.2НЗ 1 •
V=n нзx2dx-Н2 30= Н2 3=3nR"H,
о
т. е. объем конуса
Объем усеченного конуса. Теорема 14.10.
Объем усечгн1-юго конуса равен cyмJrte объе.мов трех кону­
сов, uJrteющux высоту, равную высоте усеченного ко1tуса, а
основаниями: один- нижнее основание усечешюго конуса,
g
А
3J
:с
Рис. 14.37.
Рис. 14.38 .
другой-верхнее основание усеченного конуса и третий­
среднее пропорциональное обоих оснований усеченного
конуса, т. е.
nH
V=3 (R2+г2+Rr).
(14.64)
Дан усеченный конус с высотой Н и с радиусами
оснований R и ,.
Пусть конус получен от вращения
прямоугольной трапеции ОАВС вокруг оси Ох (рис. 14.38).
Уравнение образующей усеченного конуса АВ имеет
вид у= kx +Ь, причем k и Ь соответственно равны
BD R-r
k=tgcx.=Av=-н-, b=r.
88

Тогда искомое уравнение образующей будет
R-r
Y=fГx+r.
По формуле (14.61) получим
н
V= n5(Rн'х+r)2dx.
о
п
R-r
R-r
•
оложим -g-x+r=u, тогда !Гdх=dи, откуда dx=
н
= R_,du. Находим новые пределы интегрирования
R-r
R-r
ин=-g- •О+r= r,
U8=-g-•Н+r=R.
Вычисляем интеграл с новыми пределами интегрирования
R
V=nSu2,_!!_du= nH . uзlR=
R.- r
R-r3r
r
=-
nfl (Rз- 3) = nH(R2+ 2+R)
-
3 (R-r)
r
3
r
r'
т. е. объем усеченного конуса
nH
V=3 (R2+r2+R.r).
14.7 .8 . Объем шара и его частей. Объем шар а.
Шар-тело вращения. Пусть образующей шара будет
окружность с центром в начале координат х2 + у2 = R 2 ,
тогдау2=R2
-x
2
(рис. 14.39). По формуле (14.61) получим
R
R
V= n 5(R2
-x
2
)
dx= 2n 5(R2
-x
2
)
dx=2n(R2x- ~)1:=
-R
о
т. е. объем шара
(14.65)
Заменив в формуле (14.65) R = D/2, получим формулу,
выражающую объем шара через его диаметр,
V= ~ лD3•
(14.66)
8()

Объем шарового сегмент а. Шаровой сегмент
мы получим, вращая половину кругового сегмента АВС
вокруг оси. Ох (рис. 14.40). Пусть высота шарового
!/
у
R iJJ
31
Рис. 14.39 .
Рис. 14.40.
сегмента BD = Н, а радиус шара R; тогда по формуле
(14.61) получим
R
V=n S (R 2 -x2 )dx=n (R2x-~) ,:_н=
R-li
=n [(Rз-~з)-(R2(R-H)
(R-;Н)з)]=
=n[R3-~
3
-R3 +R2H+ ~з -R2H+RH2 - ~
3
]=
=n(RH2 - ~
3
)=nH2 (R-1),
т. е. объем шарового сегмента
(14.67)
Итак, объем шарового сегмента равен объему цилиндра,
у которого радиус основания есть высота сегмента, а вы­
сота равна радиусу шара, уменьшенному на треть высоты
сегмента.
Объем шарового сектора. Шаровой сектор
(сектор 1-го рода) можно получить от вращения круго­
вого сектора ОВС вокруг оси Ох (рис. 14.41 ). Объем
шарового сектора равен сумме объемов конуса ОАС и ша­
рового сегмента АБС. Будем считать известными величи­
нами радиус шара R и высоту шарового сегмента Н.
Применив формулы (14.63) и (14.67), получим
1
( DB)
V= 3 n,DC2 ,0D+nDB2 _ов- 3 .
90

ТаккакОВ=R,DB=Н,тоOD=R-H.ИзЛОDС
имеем DC2 =R 2-(R-H) 2 =R 2-R 2 +2RH-H 2 =2RH-Н2.
Подставив эти значения в выражение объема шарового
се1пора, получим
V= ~ n(2RH-Н2) (R-H)+nNo (R- ~) =
=f[2R 2Н-2RН2-RН2+Н2+3RН2-Н3] =
=f 2R2H =; nR2H,
т. е. объем шарового сектора
V=; nR2H.
(14.68)
Объем шарового слоя. Шаровой слой получаем
от вращения фигуры MABN вокруг оси Ох (рис. 14.42),
у
g
8
;с
Рис. 14.41 .
Рис. 14.42.
где АВ -образующая шарового слоя-дуга окружности
х2 +у2 = R 2 с радиусом R и центром в начале координат.
Пусть AM=r1 , BN=r2 , OM=h и MN=H. Будемсчи­
тать известными величинами высоту шарового слоя Н
и радиусы оснований слоя , 1 и , 2 • По формуле (14.61),
учитывая, что у2 = R2 -x2, получим
H+h
V= n S(R2 -x2)dx= n(R2x-;)/н:ь=
h
= n [ R2 (H +h)-(H-;h>з R2h+ h;] =
= ~ [ЗR 2Н +ЗR2h-Н3-3Н2h-3Hh2-h3 -3R!h +hз] =
=; [ЗR2Н-НЭ-ЗН2h-ЗНh2] =nH[R 2-h2 -Нh-~No]•
91

Исключим неизвестные величины R и k Из ЛОАМ
имеемR2= h2+rf,аизЛОВN имеем R2= (Н+h)2+r2,
тогда h2 +ri=(H +h)2 +г~, или h2 +r:= Н2+2Hh+h 2 +r:,
ОТJ<уда
Hh = ,~-,:-н2.
2
Подставив значения R2 и Hh в выражение объема шаро­
вого слоя, получим
V= :тtН (h2 +r~-h2 - r~-r~-H
2
-
~Н2)=
=
~ nH (6rf-3r~+зr:+зNo-2f/2) =
1
•
= 6 nH (3r~+зг:+Н2),
т. е. объ~м шарового слоя
1
V= 6 nH (Зr~+Зг~+No).
Представим формулу (14.69) D таком виде:
V= ~ (nr~+nr~)H+ ~ nf/3.
(14.69)
(14. 70)
Объелt шарового слоя равен произведению полусуiltмы пло­
щадей его оснований на высоту плюс объе.1t шара, диа.м,етр
которого равен высоте слоя.
Следствие 14.5. Положив в фopiltyлe (14.69) r 2 =0,
получим фор1,щлу для вычисления объема uюрового сеглtента
1
V = 6 лП (Зг~+Н2),
(14. 71)
где r 1 - радиус основания сегмента, Н -высота ceгilte1·tma.
Следствие 14.6. Если положим в формуле (14.69)
, 1= О, r2= О, f/= 2R,тошаровойслойобратитсявпол­
ный шар, и л1ы noлyitиilt формулу объема шара.
В самом деле, объелt шара
1
1
4
V= ---n,2R (2R)2 =
-
nR-4R2 =-nR3 •
6
3
3
§ 14.8. Длина дуги и площадь поверхности вращения
14.8.1. Длина дуги кривой. Дифференциал дуги. Пусть
плоская кривая АВ (рис. 14.43) задана уравнениему= f (х),
а3⁄4 х 3⁄4 Ь, где f (х) и f' (х)-непрерывные функции в про­
межутке [а, Ь]. Установим понятие длины дуги кривой
92

АВ. Разобъем кривую АВ на п произвольных частей точ­
I{ами
А=Мо, Mi, М2,••· t Mi-i• Mj,,, . t Мп=В.
Соединив эти точки хордами, получим вписанную лома­
ную линию. Пусть периметр этой ломаной равен Рп•
Оп редел е н и е 14.1 . Если существует кон,ечный пре­
дел l периметра Рп• вписанной в кривую ломаной, когда
у
g-f(=J
Yi-f
g;
о(1
:Ci-f
:Ci
3J
Рис. 14.43.
длина наибольшего из ее звеньев л стремится к нулю, то
этот предел называется длиной дуги АВ:.
l= lim Рп.
~➔О
Кривую, длина которой существует, называют спрям­
ляемой.
Вычислим длину дуги кривой между ее точками А и В,
абсциссы которых соответственно равны а и Ь.
Пусть абсциссы точек кривой А= М 0 , М 1 , ••• , Mi-i•
Mi,••·, Мп=В будут
а=Х0<Х1<· • ·<Xi-i<xi<...<Хп=Ь (рис.14.43).
Возьмем точки Mi-i (xi_1; у;_ 1) и М; (х;; у;). Вычислим
длину одного звена li = М;_ 1М; по формуле расстояния
между двумя точками
li= V (х;-Х;-1? + (yi-Yi-1)2
(1::,;;;;,. i::,;;;;,. п).
По формуле Лагранжа
f (X;)-f (X;-i)= f' (s;) (Xj-X;-1),
где
93

Тогда
[,. = V (Лх;)2 + [f' (s;)]2 (Лх;)2.
Периметр всей ломаной линии АВ равен
п
п
Рп= ~ l; = ~V1 +[f' (sд]2 Лх{,
i=l
i=l
Мы получили интегральную сумму для непрерывной функ­
ции V 1 + [f' (х)]2 на промежутке [а, Ь]; предел этой суммы
существует, когда ')..
- +-0, следовательно,
п r-c----,,.--....,--:-
ь
l= lim рп = lim ~ V1+ [f'(sд]2 Лх;= ) V1+[f' (x)]2dx,
Л➔о
Л➔о 1=1
а
т. е,
ь
l=) Vl+[f'(х)]2dx.
.
а
Если кривая задана уравнением Х= f (у), то
ь
l= )V1+[f'(у)]2dy.
а
(14.72)
(14.73)
Пусть перемещающейся по кривой АВ точке М соот­
ветствует переменная абсцисса х, где х Е [а, Ь]. Тогда
длина дуги АМ будет функцией от х. Заменив в фор­
муле (14.72) верхний предел Ь определенного интеграла
переменной х, получим для длины дуги АМ формулу
х
l (х)= ~V1+[f' (t)]2 dt.
а
Подынтегральная функция непрерывна, тогда, дифферен­
цируя интеграл по переменному верхнему пределу, получим
: = Vl+U'(х)]2•
(14.74)
Отсюда получим формулу для дифференциала дуги
dl= -,11 + (:~у dx,
или
dl=Vdx2+dy2•
(14.75)
94

Дадим гео,1етrическое толкование дифференциала ду­
ги (рис.14.44). Дифференциал дуги dl численно равен длине
отрезка MN касательной к кривой в точке М, т. е. явля­
ется гипотенузой прямоугольного
y=f(:r:J
треугольника с катетами dx и dy. !J
Пр им ер 14.32. Найти длину ок­
ружности х2+у2= R2•
Р е ш е н н е. Дифференцируя урав­
нение окружности, найдем
dy
dy
х
2x+2y-d =0, т. е.
-d=--.
х
х
у
По формуле (14.72) вычислим длину дуги 0
четверти ,жружности, взяв пределы ин­
тегрирования от О до R
о
:с
. r+Li:c
:r:
Рис. 14.44 .
R
-Rs dx
-
YR2-x2
Rarcsin ; 1: =R (arcsin 1-arcsin О) =R·; ,
о
откуда длина окружности
nR
C=4l=4- 2
=2nR.
Пр им ер 14.33 . Вычислить длину дуги параболы у2 = 4х между
точками О (О; О) и А (5/4; У5).
Реше н и е. Для вычисления длины дуги применим формулу
(14.73), т. с. за аргумент примем переменную у; тогда х=у2/4,
dx1
-= -У, следовательно,
dy2
Yi ~---~
Ys
l= .f Ji.1+( ~ у у dy=1⁄2 sJ/4+y2 dy.
о
о
Для вычисления интеграла применим формулу из примера 13.56,
положив в ней m=a2 =4,
SУх2 +а2 dx= ~ хУ х2 +а~+ а; ln(x+ У х~+а•)+с.
Следовательно,
l= ~ [~ ууу2+4+ }tn(y+ Jl"y 2 -/ -4)] /V0i"=-
=: У5 +In 3 \У5 R:I 2,095 (ед.дл.).
95

Пр им ер 14.34. Найти длину цепной линии у= ; ( exfa _\-e -xfa)
между точками А (О; а) и В (а; а (е2 + 1)/2е).
Реше II и е. Из уравнения цепной линии находим
По формуле (14.72) получ~ем
а -----=~------:.::
а
l=sу 1+[; (exfa_ e -xfa) ] 2dx= Sу(~ е*+; е-х/аYdx=
о
о
а
=_!_ s(exfa+e-xfa) dx= .!.а (exfa- e-xfa) 'а=
\,2
2
о
о
а(е2-1)
2е (ед. дл.).
14.8.2. Площадь поверхности вращения. Пусть дуга АВ
кривой у= f (х) вращается вокруг оси Ох, описывая по­
верхность, ограниченную с боков плоскостями Х= а и Х= Ь
(рис. 14.45). Пусть функции f (х) и f' (х) непрерывны
/1
в промежутке [а, Ь].
Разобьем отрезок [а, Ь] на
п частей точками
а=Хо<Х1<Х2<•••
...
<xi-1<xi< ... <хп=Ьп.
О
:с, Проведем через точки деления
плоскости, перпендикулярные
к оси Ох. Эти плоскости пе­
ресекут кривую АВ в точках
А=М0, М1, М2, ••• ,
М;_1,
Рис. 14.45.
Mi,
... ,
Мп= В. На каждом
участке кривой [Mi-i• М;]
(1 ~ i ~ п) заменим дугу отрезком [М;_ 1 , М;] и рассмо­
трим поверхность, образованную при вращении ломаней
MoMi ... м,,_lмп вокруг оси Ох. Эта поверхность состоит
из усеченных I<оиусов (или ци.~шндров), площадь боковой
поверхности которых вычисляется по формуле
S-2nR1+R2l
-
2
(где R 1 и R 2 -радиусы сснований, а [-образующая).
96

Если число точек деления п будет неограниченно воз­
растать, и наибольший из Лхi= xi-xi-i будет стремиться
к_ нулю (мы ~го снова обозначим л), то. каждое звено
ломаной [M;-i М;] будет уменьшаться и площадь поверх­
ности, составленной из конусов, будет изменяться.
Оп ред еле ни е 14.2. Предел, к которому стремится
площадь поверхности, образованной вращением ломаной
M0Mi.. . Мп-iМп, вписанной в дугу АВ, при неограничен­
ном увеличении числа ее звеньев (и при неограниченном
уменьшении каждого ее звена), называется площадью по­
верхности, образованной вращением дуги АВ.
Вычислим площадь поверхности конуса, образованного
вращением звена [М;_ 1 М;] (1 ~ i ~ п),
S -2nf(xi-д+f(x;)IM• -М·/
-
2
1-1
1'
где IM;-i М; !-длина звена ломаной.
В п. 14.8 .1 при вычислении длины дуги кривой мы
установили, что
\M;-1M;l=Vl+[f'(s;)] 2 Лx;, где X;-i~Si~X;.
Запишем сумму длин звеньев ломаной M0 Mi ... Мп-~Мп
п
L 2nf (X;-i>2+ f (х;)V1+ [f' (s;)]2 Лх;.
l=1
(14.76)
Разности (s;-X;-1), (xi-s;) будем считать достаточно
малыми и, учитывая, что f (х) непрерывна на отрезке
[а, Ь], заменим f (Х;-1), f (х;) числом f (s;). Тогда сумму
(14. 76) запишем так:
п
.
~ 2nf (s;) Vr-:-1-+- -: -:[f=-=-,('""""'s;)c-:-: -]2 Лхi.
1=1
(14.77)
Эта сумма является интегральной суммой лля функции
2nf (х} Vl + [f' (х}] 2 на отрезке [а, Ь]. Предел суммы (14. 77)
существует при л - О, тогда площадь поверхности S будет
п
S= lim ~ 2nf (bl Vl +[f' (s;)]2 ЛХ;=
л➔Оi=1
ь
= ~ 2nf (х) V1+[f' (х)]2dx,
а
4 Под ред. Н. м. Матвеева, ч. 11
97

т. е.
ь
S=2n~f(х)VI+[f'(х)]2dx.
а
При вращении дуги АВ ~округ оси Оу имеем
ь
8=2n ~ f(у)V1+[f' (у)]2dy.
а
(14.78)
(14.79)
14.8 .3 . Площадь поверхности сферы, сферического
пояса и сферического сегмента. Площадь п о в е р х но­
ст и сферы. Пусть поверхность сферы образована вра­
щением окружности х2 + у2 = R 2 вокруг оси Ох. Диффе­
ренцируем уравнение окружности
dy
dy
х
2х+2уdx = О, dx=- У
Найдем дифференциал дуги (здесь у~ О):
dl= y1+(:~ydx= y1+(-;)2dx=
_
, /"у2+х2dx- Rdx
-r у2 -и·
Подставив значение дифференциала в формулу (14.78)
и взяв пределы интегрирования а= -R, Ь= R, получим
R
R
S=2n 5у R:x=2nR 5dx=2nRxj:R=4nR2,
-R
-R
т. е. поверхность сферы
(14.80)
Площадь
поверхности сферического
по я с а. Пусть сферический пояс высоты Н образован
при вращении окружности х2 + у2 = R 2 вокруг оси Ох.
d Rdx
Как и при вычислении поверхности сферы, имеем l = -
.
у
Пределы интегрирования возьмt;,м от адоа+Н (рис. 14.46).
По формуле (14. 78) получим
а+Н
а+Н
S Rdx
s
la+H
8=2n
y-y -=2nR
dx=2nRx а
=
а
а
= 2nR (а+Н-а) = 2nRH,

т. е. площадь сферического пояса
S=2nRH.
(14.81)
Площадь поверхности сферическоrо сег­
м е н та. Пусть сферический сегмент высоты Н образова~.
при вращении окружности х2 +у2 = R2 вокруг оси Ох.
Как и в предыдущих вычислениях, имеем dl = R dx •
у
!/
у
;с!
Рис. 14.46 .
Рис. 14.47.
Пределы интегрирования возьмем от R-H до R (рис.14.47).
По формуле (14. 78) получим
.
R
R
S=2n SуRdx = 2nR Sdx=2nRxIR = 2nRH,
У
R-H
R-H
R-H
т. е. площадь сферического сегмента
S=2nRH.
(14.82)
Пр им ер 14.35 . Вычислить площадь поверхности, образован­
ной вращением дуги параболы у2 = 4х вокруг оси Ох, ограниченной
точками О(О; О) иА(3; 2J/3).
Решен и· е. Из уравнения у2 = 4х имеем у= 2х 112 . Продиффе­
ренцировав, получим ·i =х- 112 • По формуле (14. 78) вычислим
3
S=2n ~ 2х112 V1+(x- 112) 2 dx.
о
Подведем х 112 под знак корня:
4"'
3
S=4n ~ Ух+ 1dx.
о
99

Положим x+l=z, тогда dx=dz, Z8 =l, Z8 =4, следовательно,
4
S/
2./1456Jt
S=4n _z1 2dz=4n-3 z8 2
1 =з (кв. ед.).
1
§ 14.9. Другие приложения определенного интеграла
14.9 .1 . Путь, пройденный телом. В этой главе
в п. 14.1.1 рассмотрена за-дача 14.2 о вычислении прой­
денного пути по его скорости. Мы нашли·, что длина
пути s, пройденного точкой, движущейся прямолинейно
со скоростью V= f (t) ~ О, сводится к задаче о .вычисле-
п
нии предела суммы ~ f (Т;) Лt; при max Лt;-0. Эrот
i=I
ь
предел есть определенный интеграл ~ f (t) dt.
а
Следовательно, длина пути s, пройденного точкой,
движущейся по прямой с переменной скоростью v = f (t) ~ О
за промежуток времени [а, Ь], вычисляется по формуле
ь
s= ~f(t)dt.
(14.83)
а
П р и м е р 14.36 . Скорость движения тела задана уравнением
u=(l2t-3t2) м/с. Найти путь, пройденный телом от JJачала его дви­
жения до остановки.
Решение. Скорость тела равна нулю в момент начала его
движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для этого
приравняем скорость к нулю и решим уравнение от.носительно t:
12t-3t2 =0, t(4-t)=O,· t 1 =0, t 8 =4 с.
По фор_муле (14.83) получим
4
s= ~(12t-3t2)dt= (6t~-t3)1:=32 м.
о
•
Пр им ер 14.37. Скорость падающего тела в пустоте с началь­
ной скоростью v0 вычисляется по формуле u=u0 +gt. Вычислить
длину пути s, пройденного этим телом за промежуток времени [О, Т\.
Решение. По формуле (14.83) получим
т
S
( gt2) IT
gT•
s= (u0 +gt)dt= u0 t+ 2
0 =uoT+2 .
о
gTs
Следоватещ,но, s=voT+ 2 .
100

14.9.2. Работа переменной силы. Если на тело М (рас­
сматриваемое как материальная точка) действует посто­
янная сила F и оно перемещается по направлению этой
силы, то работа А силы F на отрезке пути l будет
A=Fl,
(14.84)
где F выражается в ньютонах (Н), l-в метрах (м), А­
в джоулях (дж).-
Пусть теперь тело М перемещается по оси Ох от
точки А (а) до точки В (Ь) (Ь > а) под действием перемен­
ной силы, направленной по оси Ох и являющейся функ­
цией от х: f= / (х), где / (х)-функция, непрерывная на
[а, Ь].
•
Вычислим работу А, произведенную силой F при пе­
ремещении тела от точки А (а) до точки В (Ь).
Ре ш е н и е. Разобьем._дромежуток [а, Ь] на п частей.
Пусть абсциссы точек деления а= х0 , xi, х1 , ••• , Хп-t,
Хп= Ь удовлетворяют условию
a=xo<xi<x2< ... <хп-1<Хп=Ь.
В каждом из промежутков [xi-i• х;] (1 ~ i ~ п) выбе­
рем произвольным образом по точке с абсциссой i;, при­
чем каждая из них должна удовлетворять условию X;-i ~
~ s; ~ Х;. Функция F = f (х), будучи непрерывной, почти
не изменяется на промежутке [xi-i, х;], длина которого
Лх; = x;-X;-i достаточно мала. Поэтому силу F на про­
межутке [х;_ 1 , х;] можно считать приблизительн·о посто­
янной и равной / (bl. Работа, совершаемая постоянной
силой f (bl, при перемещении тела М из точки Х;_ 1
в точку Х; равна 1 (s;) Лх;. Работа А, совершенная силой
F= f (х) на промежутке [а, Ь], приближенно выражается
интегральной суммой
п
А~~f(Si)Лх;=
i=I
(14.85)
Так как функция / (х) непрерывна на [а, Ь], то предел
суммы· (14.85) существует и равен определенному интег­
ралу при условии, .ч-то наибольший из промежутков л
(л = max Лх;) стремится к нулю:
п
ь
А=lim -~ /(s;)Лх;=~f(x)dx.
Л➔О1=1
а
_101

Следовательно, работа переменной силы F = f (х.) на про­
межутке [а, Ь] вычисляется по фор.муле
ь
А=~ f (х) dx.
(14.86)
а
Если направление силы F совпадает с направлением
движения тела М по оси Ох, то работа, -совершаемая
силой F, имеет положительный знак, в противном слу­
чае-отрицательный.
П р им ер 14.38 . Сжатие х винтовой пружины пропорционально
приложенной силе F. Вычислить работу силы F при сжатии пру­
жины на 0,04 м, если для сжатия ее на 0,01 м нужна сила 10 Н.
Решен и е. По закону Гука сила F пропорциональна растяже­
нию или сжатию пружины, т. е. F=kx, где х-величина растяже­
ния или сжатия ее, выраженная в м, а k-коэффициент пропор­
циональности. Чтобы найти значение k, подставим величины, дан­
ные в условии задачи, в формулу Гука: l0=k•0,01, откуда k= 1000.
Подставив значение k= 1000 (Н/м) в _формулу Гука, получим F =
= 1000х, т. е. f (х) = 1000х. По формуле (14.86), взяв пределы ин­
тегрирования от О до 0,04, вычислим работу
0,004
S
хЭ ,О,04
А=
1000xdx= 1000 2 0
=0,8 (дж).
о
П р им ер 14.39 . Силой в 80 Н пружина растягивается на 0,02 м.
Первоначальная длина пружины 0,15 м. Какую работу нужно со­
вершить, чтобы растянуть ее до 0,2 м">
Решение. По формуле F=kx н.аходим k: ВО=k•О,02, откуда
80
k=0
,
02 =4000 (Н/м). Подставив в формулу Гука значение k, полу-
чим F=4000x, т. е. f (х)=4000х. По формуле (14.86), взяв пределы
интегрирования от О до 0,05, так как 0,2-0, 15 = 0,05 (м), получим
O,Oi>
S
х2 ,О,05
А=
4000xdx=4000 2 0 -
=5 (дж).
о
П р им ер 14.40. Для растяжения пружины на 0,04 м необхо­
димо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть
пружину, совершив работу в 80 Дж?
Решение. По длине растяжения пружины на 0,04 м и совер­
шенной работе 20 Дж по формуле (14.86) находим k:
0,04
S х2 ,О,04
kxdx=k 2 0 =0,0008k, _
о
102 '

20
•
откуда k=0,0008
=25000 (Н/м), По k и А находим х1:
х,
А= 5kxdx,
о
где х1 -длина, на которую растянута пружина при совершенной
работе в 80 Дж, т. е.
Sx,
х2 ,х1
80= 25 000xdx=25 ООО 2 0 = 12 500х~,
о
откуда
2
80
4
Xi= 12 500=625'
т. е.
2
Х1=2S= 0,08М.
14.9 .3. Работа, совершаемая при поднятии груза. Ра­
бота, совершаемая при поднятии груза на некоторую
высоту, равна произведению си.~1ы тяжести, выраженной
в ньютонах (Н), на высоту подъема, выраженную в мет­
рах (м). Работа измеряется в джоулях (дж).
Пр им ер 14.41 . Цилиндрическая цистерна с радиусом основа­
ния 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, ко­
торую необходимо совершить, чтобы выкачать
воду из цистерны. .
•
Решение (по схеме 11). При вычислении
работы, совершенной при выкачивании воды из
цистерны, необходимо учесть, что вода подни­
мается не сразу вся, а .частями, т. е. высота
подъема воды будет переменной. На глубине х
выделим горизонтальный слой высоты dx (рис.
14.48). Работа А, совершаемая на поднятие слоя
воды весом Р, зависит от высоты ее подъема х,
,----- ..
т. е. А =Рх. Изменение глубины х на малую
величину dx вызовет изменение объема V на вели-
чину dV = :тtr 2 dx и изменение веса~ на величину
Рис. 1~ . 48.
dP = 9807,:тtr2dx, так как вес слоя воды dP в
ньютонах в объеме dV (при плотности воды 1000 кг/м3 вес воды
в объеме 1 м3 равен 9,807 • 1000 = 9807 Н) будет dP = 9807:тt, 2 dx.
При этом совершаемая работа А изменится на величину
dA =9807:тtr 2xdx.
Проинтегрировав это равенство при изменении хот О до Н, получим
А=59807:тtr2xdx=9807:тtr~ х; 1: =
о
= 4903:тtr 2H2 = 4903:тt•О,25,2 2 = 4903:тt (дж).
Пр им ер 14.42 . Вычислить работу, которую надо совершить,
чтобы выкачать воду из резервуара конической форны с вершиной,
103

обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус ос­
нования конуса R = 1 м, высота конуса 2 м.
Реше н и е (по схеме I I). На глубнне х выделим горизонталь­
ный слой высоты dx (рис. 14.49). Работа А, совершаемая на подня­
тие слоя воды весом Р, зависит от высоты его подъ<:'ма х. Измене­
ние глубины х на малую величину dx вызовет изменение объема V
на величину
(14.87)
(элементарный слой принимаем за цилиндр ввиду малости dx, r -
радиус слоя). Выразим , через переменную х и постоянные R и Н.
н
Рис. 14.49.
Из подобия треугольников АОС и АO1В
имеем
i откуда
R
R
r=н (Н-х)=R-н х.
Подставив знач<:'ние , из полу•1енноrо равен­
ства в выражение ( 14.87), получим
(R,2
ЛV=л: R-нх) dx.
Вес слоя воды ЛР в объеме ЛV (плотность воды 1000 кr/м 3) будет
( R)2·
ЛР=9807л: R-нх dx.
При изменении Р на величину ЛР совершаемая работа А изме­
нится на величину
dА=9807л: ( R-z х) 2 xdx.
Проинтегрировав зто равенство в пределах от О до Н, получим
А=s9~07n( R-z х )\dx= s9807л:R2 ( х- 2;2 +~) dx=
о
о
(х2 2хз х4)/н 9807
=9807л:R2 т- зн +4Н2 о =12 л:R2HI.
Подставив числовые значения R и Н, найдем
22
А =9807л:-1 2 ,l2=3269л: (Дж) .•
14.9 .4. Давление жидкости. Величина силы давления
жидкости Р на горизонтальную площадку зависит от r лу­
бины погружения х зтой площадки, т. е. от расстояния
площадки до поверхности жидкости .
.1U4

Сила давления в ньютонах на горизонтальную пло­
щадку вычисляется по формуле
Р= 9,8O7pSx,
(14.88)
где р-плотность жидкости в кr/м3 , S-площадь пло­
щадки в м2 , х-rлубина погружения площадки в м.
Если площадка, испытывающая давление жидкости,
не горизонтальна, то давление на нее будет различным
на разных глубинах, следовательно, сила давления на
площадку есть функция глубины ее погружения Р (х).
Допустим, что вертикальная площадка А 1 АВВ1 , имею­
щая форму криволинейной трапеции (рис. 14.50), погру­
о
жена в жидкость так, что сто­
рона А 1А этой площадки парал­
лельна свободной поверхности
жидкости, сторона А 1В1 верти- А1 а-----...А
кальна, а сторона В 1В парал-
:Ci-1
лельна А 1А.
~i
Систему координат выберем :J:i
так, чтобы ось Ох совпада-
ла со стороной А 1В1 и ось в,,_______,В
Оу была расположена на сво- :,:
бодной поверхности жидкос-
ти И' была параллельна AlA.
Рис. 14.50.
!/
Пусть сторона АВ площадки есть кривая у= f (х) и
точки А 1 и В1 имеют соответственно абсциссы а и Ь (а< Ь).
Вычислим силу давления жидкости на площадку А 1 АВВ 1 .
Решение. Мы установили, что горизонтальная пло­
щадка испытывает давление жидкости Р = 9,807pSx и
величина этого давления изменяется с изменением х.
По закону Паскаля давление в жидкости передается
одинаково во всех направлениях, в том числе и на вер­
тикальную площадку.
Разобьем промежуток [а, Ь] на п частей точками деле­
ния а= Х0, х1, Х2, ••• , Xn-t• Хп = Ь, которые удовлетво­
ряют условию
а=Хо<х1<х2< ... <хп-1<Хп_=Ь.
В каждом из промежутков [х;_ 1 , х;] (1 ~ i ~п) выбе­
рем произвольным образом по точке с абсциссой ~;. при­
чем каждая из них должна удовлетворять условию
Х;_1~~i~Х;.
•
На кривой АВ построим точки (~;; f (~;)) (1 ~ i ~ п)
11 через эти точки проведем прямые, параллельные оси Ох.
105

Построим п прямоугольников соответственно с основа­
нием f (sJ, высотой Лх;= X;-Xi -1 И площадью, равной
f (s;) Лх;.
На верхJiюю сторону прямоугольника с измерени­
ями f (s;), Лх; (1~ i ~ п) давление меньше, чем на его
нижнюю сторону, но, учитывая, что величина всех Лх;
достаточно мала (при больших n), будем считать давление
жидкости на этот прямоугольник по всей его поверхности
постоянным.
Прямоугольник, площадь которого равна f (s;) Лх;,
испытывает давление столба жидкости с высотой s;,
поэтому давление на этот прямоугольник будет равно
9,807psJ (s;) Лх; (1 ~ i ~ п).
Сила давления жидкости на всю площадку А 1 АВВ 1
приближенно выражается интегральной суммой
п
Р~ ~ 9,807ps;f (s;) Лх;= 9,807ps 1f (Si) Лх1 +
iac.l
+ 9,807s2f (s2) Лх2 + ... + 9,801sпf (sп) Лхп. (14.89)
Так как функция 9,807pxf (х) непрерывна на [а, Ь],
то предел суммы (14.89) существует и равен определен­
ному интегралу
ь
Р= ~ 9,807pxf (х) dx.
(14.90)
а
Это и есть искомая сила давления жидкости Р на вер­
тикальну_ю площадку.
Пр им ер 14.43. Определить давление воды на стенку шлюза,
дл·ина которой 20 м и высота 5 м. (Считать шлюз доверху запол-
ненным водой.)
.
Решение (по схеме 11). На глубине х выделим горизонталь­
ную полоску шириной dx (рис. 14.51). Сила давления воды Р на
стенку шлюза будет функцией от х. Изменение глубины х на малую
величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую вели­
чину др. Продифференцировав переменную Р, найдем приближенное
значение (главную часть) dP приращения дР. Приближенная вели­
чина силы давления воды на эту плоскость выразится формулой
др :::: dP = 9807 •20х dx.
Интегрируя dP при изменении х от О до 5, получим
5
106 У
Р=9807-20 ~ xdx= 9807-10x2 j~ =2,45 (МН).
о

Пр им ер 14.44. Треугольная пластинка с основанием 0 .2 м и
высотой 0,4 м погружена вертикально в воду так, что вершина ее
лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить
силу давления воды на пластинку.
Решение (по схеме 11). На глубине х выделим горизонтальную
полоску ширины dx (рис. 14.52). Изменение глубины х на малую
c.- -..- - -r
If-:i::d
__
zo-i,
О,.4н
о
Рис. 14.51.
Рис. 14.52.
величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую вели­
чину dP. Вычислим площадь полоски ЛS = у dx. Из подобия тре­
угольников АВС и DEC имеем
тогда
1
откуда у= 2 х,
1
ЛS= 2 xdx.
Элементарная сила давления в ньютонах будет
1
dP = 9,807рхЛS=9807х• 2 xdx= 4903,5x2dx.
Интегрируя dP при изменении х от О до 0,4, получим
Р=4903,5 °54 x2dx=4903,5• ~ 1~·
4
=1634,5-(0,4)3 ::::J 104,6 (Н).
о
Пр и мер 14.45. Цилиндрический стакан наполнен маслом.
Вычислить силу давления масла на боковую поверхность стакана,
если высота его h = 0,08 м и радиус основания r = 0,04 м. Плотность
масла 900 кг/м3•
Реше н и е (по схеме II). На глубине х выделим горизонталь­
ную круговую полоску ширины dx. Изменение глубины х на малую
величину dx вызовет изменение силы давления Р на малую вели­
чину dP. Вычислим площадь круговой полоски ЛS:
ЛS=2nrdx = 2n.0,04dx=0,08ndx.
Найдем элементарную силу давления 11 ньютонах на полоску ЛS:
ЛP=9,807-900-0,08nxdx ::::J 2220xdx.
107

Инте~;рируя dP при и'Зменении х от О до 0,08, nолучим
0,08
Р=2220 ~ xdx = ll!0x2 1~• 08 = lll0•0,0064=7,l (Н).
о
14.9 .5 . Статические моменты и центр тяжести. кривой.
Оп редел е н и е 14. 3 . Статическим моментом М мате­
9
i--..;;; .:r_ - o A(z;gJ
риальной точки А (х; у), в которой со­
средоточена масса т, относительно осей
Ох и Оу (рис. 14.53) называется про­
изведение массы т этой точки на соот-
у
ветствующую координату (расстояние
точки до оси, относительно которой
берется статический момент)
Мох= ту и М 011 = тх. (14.91)
О
J:
Если дана система п материаль-
Рис. 14.53.
ных точек А1 (х1; у1), А2 (х2; У2), ...
. . . , Ап (хп; Уп), в которых сосредоточены
массы т1, т2, ••• , тп, тостапщческим моментом этой си­
СtrU!мы будет
п
Мх= т1У1 +m2Y2 + · ·· +mпУп= ~ miy;,
i=J
п
Му= m1X1 +m2X2 +.,, +mп Хп = ~ m;X;.
i=I
(14.92)
(14.93)
Определение 14.4. Центр тяжести есть точка,
которая обладает тем свойством, что если всю массу
системы сосредоточить в sтой точке, то статический
момент этой точки относительно любой оси будет равен
статическому моменту всей системы относительно этой
же оси.
Обознач-им центр тяжести через С (хе; Ус), массу си-
п
стемы п точек ~ m;= т, тогда момент точки С относи­
i=J
тельно любой оси совпадет с моментом системы точек
относительно этой оси. Из равенств
108
п
Мх= ~т;у; = туе,
i=I
п
М11 = ~miX;=mXc
i=I
(14.94)
(14.95)

следует
(14.96)
(14.97)
Если мы имеем линию или плоскую. фигуру, то для
выражения их статических моментов и масс вместо сумм
применяются интегралы.
Статические моменты и центры тяжести
плоских кривых. Пусть уравнением !J=f(х) задана
материальная кривая АВ = l на промежутке [а, Ь]. Кривую
будем считать однородной, т. е. линейная плотность р рас­
пределения массы постоянна; положим р= 1. Тогда вели­
чина массы численно совпадает с длиной кривой. Если
р =/= 1, то полученные результаты умножают на р. Пусть
dl-элемент кривой, масса которого также выражается
числом dl. Считая элемент dl за материальную точку,
лежащую на расстоянии у от оси Ох, получим
dMx=ydl, dm=dl.
Так как линия АВ задана уравнением у= f (х), где
а~х~ь. то
dl = Vl +[f' (х)]2 dx
и, следовательно,
dMx= f(х)Vl +[f'(x)]2dx,
dMy= хVl +[f' (х)]2 dx,
dm= Vl +[f' (x)] 2 dx.
Отсюда, в свою очередь, мы получаем
ь
Мх=~f(х)Vl +[f'(x)]2dx,
а
ь
1\111 = ~ хVl +[f'(х)]2dx,
а
ь
m= ~Vt +[f'(x)]2dx.
а
(14.98)
(14.99)
(14.100)
109

Для нахождения Хе и Ус нам теперь достаточно вос-
пользоваться формулами (14.96) и (14.97):
ь
) х Vl+!f' (x)] 2,dx
а
Хе= ь
~ У l+lf' (x)]2dx
а
ь
)f(x) Yl+lf'(x)]2 dx
Ус= -'--а~ь-------
~ Уl+lf'(x)]2dx
а
(14. 101)
(14.102)
Пр и мер 14.46. Найти центр тяжести дуги окружности х2+
+у2 =а2, ограниченной точками М (а; О) и N (О; а) (в I координат­
ной четверти).
Решение. Пусть (х; у)- координаты центра тяжести дуги dl
(рис. 14.54). Известно, что дифференциал дуги выражается соотно­
шением
!I
N(O;d)
Дифференцируя уравнение окружности,
получим2х+2у:~ = О,
откуда :~ =
х
=--
; тоrда (так как у;;.. О)
H(d;O)
У
-0
--+ ---- ----~ --:& dl = J/,,....1_+~(--:-)-2 dx=
Рис. 14.54.
V-
y2+x2
а
=
-Гdх=у dx.
Статический момент относительно оси Ох найдем по формуле (14.98),
взяв за пределы интегрирования О и а:
а
Ь
Мх= Sу: dx=a Sdx=ax/:=a2.
о
а
Длина дуги равна четвертой части длины окружности, поэтому
l
па
l=42na=2
, тогда по формуле (14.102) найдем
Мха22а
Yc=-,-=na;2=-;:·
Аналогично, в силу симметричнос,·и фигуры, получим
Хс=2а 0 с(2а; ~) -
Л:
n
n
110

14.9 .6 . Статические моменты и центры тяжести пло­
ских фигур. Рассмотрим. криволинейную трапецию, огра­
ниченную линией у= f (х) (а~ х ~ Ь), осью х и прямыми
х = а, х= Ь, по площади которой F непрерывно распре­
делена масса с постоянной поверхностной плотностью р.
Можно принять р = 1; тогда масса любой части криво­
линейной трапеции измеря- 9
ется ее площадью.
Для вычисления статиче­
ских моментов Мх и Му
фигуры выделим элементар­
ную площадку в виде узкой
вертикальной
полоски -0~--J--Щd~~-6+--~
(рис. 14.55).
//
~
Масса этой полоски равна
Рис. 14.55.
ее площади dF = у dx. Сосре­
доточим массу полоски в ее центре тяжести (х; у/2); тогда
1
1
dMx=ydx, 2 y= 2 y2dx,
dMy=ydx•x=xydx.
Просуммировав эти элементарные статическ,ие моменты
по всей площади F, получим
ь
ь
Мх= 5; ydF= ~ 5y2dx,
а
а
ь
ь
Му= ~ xdF= ~ xydx.
а
а
По формулам (14.96) и (14.97), получим
ь
~ xydx
МуМуа
Хс=т=т=-ь--
~ ydx
а
(14.103)
(14.104)
(14.105)
(14.106)
Jll

Пример 14.47 . Найти центр тяжести полукруга х2 +у2 =а2,
расположенного над осью Ох (т. е. у~ О).
Реше н и е. Центр тяжести в силу симметричности фигуры лежит
на оси Оу, следовательно, хе= О (рис. 14.56). Разделим полукруг
на полоски, параллельные оси Оу. Элементарная площадь будет
dF=ydx, rде у-ордината точки окружности. Центр тяжести эле­
ментарной площади находится в точке (х; у/2). Статический момент
относительно оси Ох найдем по формуле (11,103)
1
Площадь полукруга F= 2 na2 • По формуле (14.106) найдем Ус=
2-аВ
Мх3
4а
Ус=у=-1--= Зn '
2:n;a2
Эту же задачу можно решить, разбив площадь на полоски,
параллельные оси Ох (рис. 14.57). Элементарная площадь dF будет
g
!/
с!/
rlg
о ,J:;
:с
о
iJ:
Рис. 14.56 .
Рис. 14.57.
dF = 2х dy, rде х- абсцисса точки окружности. Найдем статический
момент относительно оси Ох по формуле (14.103)
а
.
а
Мх=) y,2xdy =2) Ya~ -y2 ydy.
о
о
1
Положим d2 -y2 =z, тогда
- 2ydy=dz, ydy=-
2 dz. Находим
новые пределы интегрирования z11 =a~, z8 =0. Следовательно,
:n;a2
Площадь полукруга F = Т. По формуле (14.106) найдем координаты
112

центра тяжести
2-аз
Мх3
4а
Ус_=у= na2 =зn'
т
Пр и мер 14.48. Найти центр тяжести четверти площади эллипса
2
2
: 2 + ~2 = 1, •расположенного в первой четверти.
Ре ш е ни е. Вычислим статические моменты четверти эллипса
относительно осей Ох и Оу (рис. 14.58) по формулам ( 14.103) и (14.104)
аЬ2
а2Ь
Мх=3 и М11=3·
9
Площадь четвертой части эллипса
1
равна . F = 4 nab. По формулам
(14.105) и (14.106) найдем координаты
центра тяжести
М11 4а
Мх 4Ь
Xc=p=3n• Ус=р=зn'
с(::, :~)-
{/J
d•
Рис. 14.58.
14.9.7 . Моменты инерции. Определение 14.5.
Моментом инерции / материальной точки массы т отно­
сительно некоторой оси называется произведение массы на
квадрат расстояния точки до оси:
l=mr2 •
(14.107)
Момент инерции суммы п точек равен сумме моментов
инерции этих точек:
(14.108)
Будем считать, что масса равномерно распределена
по соответствующей длине, площади, объему. Положим,
что р= 1, т. е. на единицу длины, площади или объема
будет приходиться единица массы. В этих случаях для
выражения моментов инерции фигур вместо сумм приме­
няют интегралы. Для этого выбирают элемент массы dm,
находят его элементарный момент инерции dl = r 2dm
и затем интегрированием вычисляют момент инерции
всей массы
(14. 109)
113

Пр им ер 14.49. Найти момент инерции однородного прямоли­
нейного стержня длины l относительно перпендикулярной оси, про­
ходящей через его середину. Линейная плотность стержня (масса
единицы длины) равна р.
Реше н и е. Выберем систему осей координат так, чтобы стер­
жень был расположен по оси Ох, а ось Оу •проходила через его
9
о
-----11--.l---
Рис. 14.59.
середину (рис. 14.59). Элемент длины dx на расстоянии х от начала
координат имеет массу р dx. Момент инерции этого элемента
dl =х2р dx. Тогда момент инерции всего стержня
1/2
1/2
.
.
s
s хз 1112 рtз ml2
l=p
x2dx=2p x2dx0=2p3 0 =l2=l2'
-1/2
О
где m=pl-мacca стержня.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 14
1. Составьте интегральную сумму для вычисления площади кри­
волинейной трапеции.
4
3
'\."""""'
2
,~
1
2. Напишите суммы: 1) ~ хiЛх;, 2) ~ Xi Лхi в развернутом
i=I
i=I
виде.
3. Сформулируйте определение определенного интеграла.
4. Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
5. Чему равна производная от определенного интеграла с пере­
менным верхним пределом?
6. Чему равна производная от переменной площади криволи-
нейной трапеции?
~
•
7. Как вычисляе1ся определенный интеграл по формуле Нью­
тона-Лейбница?
8. Вычислите по· формуле Ньютона-Лейбница определенные
интеrраль1:
2
1) S(х-1)3 dx,
-2
2)
:rt/4
Stg xdx,
-:n/4
с
3) s~х.
1
9. Объясните сущность метода интегральных сумм и ыетода
дифференциала.
114

10. Сформулируйте основные свойства измерения объемов тел.
11. Как вычж:ляется объем тела с заданными площадями парал­
лельных сечений?
12. Как вычисляется объем тела вращения?
13. Что такое дифференциал дуги? Дайте его геометрическое
толкование.
14. Дайте определение площади· поверхности тела вращения.
УПРАЖНЕНИЯ: К ГЛАВЕ 14
Вычислите определенные интегралы:
2
1
1_
1. s2х:-;- l dx.' 2. 5х:2• 3. 5У:+ х dx.
1
О
О
n/4
n
5. Ssin4хdx. 6. Scos ; dx. 7.
о
о
n/3
Sdx
sin 2x·
n/4
3
4. Sе2" dx.
1
1
n/3
8s(-
1__
l)dx9.
•
cos 2 x sin2x
•
Уз/2
s
dx
, г,------::· • 1О.
1' J-. ,\2
s
dx
1+х2 •
n/б
-1
Уз/з
Уз
1
2
11. J9~хх2.
о
12. J(Зх~J)• • 13. S--v-=~=x~l.
О
1
5
14. JУ (2x-1)3 dx. 15.
1
xdx
n/2
16. 59YЗsinx+Jcosxdx. 17.
о
n/6
2
n/3
S sin xdx
• Э-соsх'
о
n/2
18. 5е510 xcos х dx. 19. S
Зх2 dx
20. { sin (2х-~) dx.
1+х3 '
о
1
n/4
4n/3
n/12
:t
21. scosТdx. 22. S
dx
23. S
~-
соs 2 зх·
•
2х
2:n/3
о
n/2 SIП 3
4
зУ2/2
Y2dx
з v-з/4
4dx
24.
Sу1:-х2 • 25.
s У9-2х2
26.
s з+16х2 •
2
З/2
3/4
У2/з
27.
Jdx
2+9х~ •
о
115

1
28. Вычислите среднее значение функции у= 1+xs на отрезке
[-1, \].
Выч.ислите опр.еделенные интегралы методом замены переменной:
6
9
п~
29. fУ36 x2dx. ЗО.f d~- • 31. ssinхcos1хdx.
.
,
1+х
О
4
О
Вычислите определенные интегралы, применяя метод интегриро­
вания по частям:
1
1
32. ~ xeXdx.
33. ~ arcsiп х dx.
.,
о
о
1
n/2
34. ~хarctgхdx.
35. ~ х2 sin xdx.
о
о
4
36. Вычислите ~ х~ dx по формуле прямоугольников при 11 = 10
о
с точностью до 0,001.
1/2
37. Вычислите sУ dx
по формуле трапеций при n=5 с
l-x~
о
ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,00\,
4/5
38. Вычислите ~ cos х dx по формуле парабол при 2n = 10.
о
Вычислите несобственные интегралы:
+ао
+ао
+ао
39. S xdx
.
40. S$in xdx.
У (х3 -3)~
•
2
О
41. S
dx
l+x~·
-<»
Вычислите площади плоских фигур, ограниченных линиями:
42. у=х1 -8х+ 16 и х+у-6=0.
43. у=-х2 +6х-5 и у=О;-
44. у=4-х~
и у=О.
45. у2 =х+2
и х=О,
Вычислите объемы тел вращения, образованных вращением во-
:круг оси Ох площадей, ограниченных линиями:
46. у2 -4х=0, х-2=0, х-4=0 и у=О,
47. у11 -х+ 1=0, х-2=0 и у=О,
48. у=-х~+2х
и у=О,
49. у!=2х,
х-2=0 и у=О,
116

Вычислите длину дуги плоской кривой, ограниченной данными
точками:
1
( 1 е1/2+е-1/2)
50, у=2(еХ+е-х),А(О; 1)иВ 2;
2
.
51. 9у2 =4х3, 0(0, О) и А (3; 2J13).
52. Вычислите площадь поверхности шарового пояса, образован­
ного вращением окружности х2 + у2 = 25 вокруг оси Ох 1:1 заключен­
ного между точками А (-3; 4) и В (4; 3).
53. Найдите путь, пройденный точк9й за четвертую секунду,
зная скорость ее прямолинейного движения v=312 -2t-3 (v в м/с).
54. Найдите путь, пройденный точкой от начала движения до
ее остановки, зная скорость ее прямолинейного движения v = 18t-6t2 •
55, Вычислите работу, совершенную при сжатии пружины на
О,1 м, если для сжатия ее 1Ja 0,04 м нужна сила F= 20 Н.
56. Вычислите работу, совершенную при сжатии пружины на
0,08 м, если для сжатия ее на 0,04 м была затрачена работа А= 32 Дж.
57. Вычислите работу, затраченную на выкачивание воды из
наполненного доверху котла, имеющего форму параболоида враще­
ния (с вершиной вниз). Глубина котла 2 м, радиус основания
R= УЗм(весводывобъеме Iм3~9807Н).
58. Вычислите силу давления воды на вертикальную площадку,
имеющую форму полукруга с диаметром 4 м. Диаметр полукруга
находится на поверхности воды.
59. Вычислите силу дав.~ения воды на вертикальную площадку,
имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями 1 м и 7 м
и высоtой 2 м. Меньшее основание находится на поверхности воды.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ. И РЕШЕНИЯ. 1( ГЛАВЕ 14
1. 3,5. 2. lп 1,5 ~ 0,4055. 3. 3. 4. (е6-е2)/2. 5. 0,5. 6. 2.
7. (3- у'з)/3. 8. О. 9. 5л/6. 10. n/12. 11. n/18. 12. 7/64. 13. 2.
14. 48,4. 15. 1/3. 16. 14. 17. ln 1,25 ~о.2231. 18. Ve-1 ~0,6481.
19. ln4,5~ 1,5041. 20. 0,5. 21 . 2-(JIЗ-1). 22. 1/3. 23. 2у'з.
24. n/3. 25. n/4. 26. n/36. 27. n У2/24.
29. Удобна подстановка х=6 sin и. 30. Удобна подстановка
Vx = и. 31. Удобна подстановка cos х = и. 39. 1 . 40. Интеграл рас­
ходится. 41. n . 42. Находим точки пересечения данных линий, де­
лаем чертеж. От в е т. S =а=4,5.
43. 32/3. 44. 32/3. 45. 8 J12/3. 46. 24л. 47. n/2. 48 . 16.тt/15.
49. 4n. 50. ; (e1l2 -e-1l2). 51. 14/3. 52. 70.тt. 53. 27 м. 54. 27 м.
55. 2,5 Дж. 56. 128 Дж. 57. 19614 Дж. 59. 98070Н.

ГЛАВА 15
ПОНЯТИЕ О ВЕКТОРНОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЯХ
И ФУНКЦИЯХ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 15.1 . Обобщение понятия функции
15.1 .1 . Вводные замечания. Рассмотренное в главе 3
понятие функции одной пер~менной обеспечило нас удоб­
ным языком и аппаратом для описания и изучения сред­
ствами математики зависимостей между двумя, как говорят,
скалярными величинами, т. е. такими, «значения» I{ОТорых
представляют собой вещественные числа. Нередко, однако,
приходится сталкиваться и с таким положением дел, когда
в одном и том же процессе оказываются связанными между
собой не две, а большее число (скалярных) величин. Так,
например, мы знаем, что зависимость между объемом V,
давлением р и температурой Т газа может быть выражена
формулой pV = СТ; при изучении того или иного закона
движения материальной точки в пространстве нам при­
ходится иметь дело с четырьмя взаимосвязанными вели­
чинами: временем t и тремя координатами х, у и z этой
точки. В ситуациях подобного рода обычное понятие функ­
ции одной переменной (скажем здесь: численнозначной
функции числовой переменной) оказывается уже недоста­
точным, и мы встаем перед необходимостью расширить
понятие функции.
t5. t .2. Основное определение. Оп редел е н и е 15.1 .
Пусть И и W-два множества (состоящие, каждое из эле­
ментов произвольной природы). Если тем или иным спо­
собом каждому элементу и Е И поставлен в соответствие
один (и только один) определенный элемент w = f (и) Е W,
то говорят, что на множестве И задана функция f со
значениями в множестве W.
118

При этом U наэьюается областью определения (или
областью задания) функции, элемент f (и)-значением
функции, отвечающим элементу и, а множество, состоя­
щее из всевозможных значений функции (Ьно обозначается
обычно f (U)),- множеством значений функции.
Кроме того (уже хорошо нам знакомого) случая, когда
как U, так и W суть числовые множества, наиболее часто
встречаются такие, когда одно из этих множеств по-преж­
нему числовое, а второе состоит из векторов 1). Если эле­
ментами U являются числа, а элементами W-векторы,
то говорят о векторнозначной функции числового (скаляр­
ного) аргумента. Если же, наоборот, U состоит из век­
торов, а W-из чисел, то мы получаем численнозначную
(скалярную) функцию векторного аргумента. Исторически
за этой последней закрепилось другое название: функция
нескольких переменных (численнозначная функция несколь­
ких числовых переменных). Под этими «несколькими пере­
менными» подразумевается, естественно, совокупность
координат вектора-аргумента. Именно эти два важных
случая мы и рассмотрим вкратце в ·настоящей главе.
§ 15.2 . Векторнозначные функции скалярного аргумента
15.2 .1 . Вектор-функция, ее график и годограф. (для
удобства интерпретации мы здесь будем использовать дру­
гие буквы по сравнению с обозначениями предыдущего
пункта.) Пусть под действием некоторых сил материаль­
ная точка М движется в некоторой плоскости, на которой
мы будем предполагать наличие декартовой координатной
системы хОу. Закон движения этой точки можно считать
для промежутка времени Т= [f 1, t 2] полностью известным,
если для каждого момента времени t Е [t 1 , t 2] мы можем
определенным образом указать соответствующее ему поло­
жение на плоскости точки М. Иными словами, каждому
значению t Е [t 1 , t 2] мы должны поставить в соответствие
упорядоченную пару чисел (координат соответствующей
точки плоскости) х (t) и у (t), т. е. вектор r (t)= (х (t); у (t)),
где х (t) и у (t)-известщ11е скалярные функции от t.
Изображая геометрически эту зависимость в системе
координат «пространство-время» (так как М движется в
1 ) Всюду в этой главе под (т-мерным) вектором V мы понимаем
упорядоченный набор т чисел (v1, v2 , ••• , vт), называемых коорди­
натами вектора (см. также гл. 9).
119

плоскости, то эта система координат будет трехмерной),
мы получим (рис. 15.1). неl(оторую пространственную ли­
нию, а именно,- множество тех и только тех точек (t, х, у),
координаты которых удовлетворяют соотношениям
{ X=X(t),
(15.1)
У= у (t).
Эга линия (на рис. 15.1 она
собой график вектор-функции
обозначена /) представляет
r=r(t),аеепроекцияна
плоскость хОу называется
годографо.лt этой функции
(на рис. 15.1-линия / /).
t
t ----------
,
I
1-- --------
Рис. 15.1.
I
В нашей интерпрета­
ции годограф представляет
со~ой траекторию точки М
и, разумеется, содержит в
Л !! себе уже не всю информа-
цию о соответствующем за­
коне движения. Имея дело
только с годографом, мы
не можем указать, как
именно проходило движе-
1ше на том или ином участке траектории (моменты начала
1t конца движения по этому участку, средняя скорость
11а нем и т. п. не могут быть восстановлены по годографу).
Изучая движение точки в трехмерном пространстве,
мы приходим к трехмерной вектор-функции r = r (t):
r(t)= (х(t), у(t), z(t)).
Ее график представляет собой «линию» в четырехмерном
пространстве и обычными способами наглядно изображен
быть не может. Годограф же будет представлять собой
обычную линию в трехмерном пространстве переменных
х,уиz.
Понятие годографа в случае произвольной векторно­
значной функции остается тем же самым (независимо от
того, интерпретируется ли она как закон движения не­
которой материальной точки или нет).
Оп р еде лен и е 15.2. Пусть r-эаданная на числовом
множестве Т вектор-функция со значениями в векторном
множестве W. Годографом вектор-функции r называется
.Аutожество всех ее значений r (Т).
При некоторых ограничениях (не очень обременитель­
ных с точки зрения практических приложений) годограф
120

вектор-функции представляет собой линию в обычном
смысле этого слова. Тогда соотношения
(15.2)
и (мы берем для определенности трехмерный случай)
{
Х=Х (t),
у= у (t),
Z=Z(t)
(15.3)
называют, соответственно, векторны.1,~ или скалярными
уравнениями этой линии. В главе· 11 мы уже сталкивались
с простейшими типами таких уравнений (для случая пря-
мой линии).·
..
15.2.2 . Предел и непрерывнt1сть вектор-функции. Ее
дифференцирование и интегрирование. Понятия предела,
непрерывности, производной дифференциала и интеграла
ДJ!Я вектор-функции вводятся способом, аналогичным тому,
который мы использовали для скалярных функций одной
переменной, с той лишь разницей, что вместо абсолютной
величины разности f (х)-А в определении предела здесь
надо брать длину вектора-разности r (t)- V.
Отметим (без доказательства), что все операции· пере­
хода к пределу, дифференцирования и интегрирования мо­
гут быть выполнены покоординатно; именно, если r (t)=
= (х(t); у(t)), то
lim r (t)=( lim х(t);- lim у(t)),
t➔t.
t➔t.
t➔t,
(15.4)
d
(d
d
)
dtr(t)= dtx(t); dtу(t) I
(15.5)
dr (t) = (dx (t); dy (t)),
(15.6)
~ r(t)dt)=(Ix(t)dt; iy(t)dt).
(15.7)
Нередко (имея в виду геометрическую интерпретацию зна­
чений вектор-функции в декартовой системе координат)
вместо записи r (t) = (х (t); у (t}} пишут
r(t)=iх(t)+jу(t)
(15.8)
(где под l и J понимаются, как обычно, орты координат­
ных осей). Для такого способа записи формулы (15.4) -
121

(15.7) принимают вид
lim r (t)=i limх(t)+Jlimу(t),
t➔t.
t➔t.
t➔t.
!!_ (t)= •dx(t)+J" dy(t)
dtr
Idt
dt'
dr(t)=idx(t)+Jdy(t),
r
r
r
~ r (t)dt= i ~ x(t)dt +J ~ y(t)dt.
r
r
r
(15.4')
(15.5')
(15.6')
(15. 7')
Физический смысл производной от вектор-функции состоит
в том, что если r= r (t) описывает (в том смысле, как
это сделано в начале пункта), закон движения некоторой
материальной точки, то вектор :i r (t) в каждый момент
времени представляет собой вектор мгновенной скорости
( в частности, i r (t) направлен по касательной к го-
дографу).
Если {1 = {1 (t) представляет собой мгновенную ско-
1"
•
рость (в момент времени t) движения, то вектор \ i1 (t) dt
i·
есть вектор-приращение пути r (t")-r (t') за время дви-
1·
жения от t' до t", а если а= а (/)-ускорение, то ~ а (t)dt
1'
есть соответствующее приращение вектора скорости
fl (t")- fl (t').
П р и м е р 15.1. Под действием некоторой системы сил аппарат
перемещается в плоскости хОу. В начальный момент времени t =0
радиус-вектор, определяющий его положение на этой плоскости,
r 0 =(10; 30), скорость v0 =(4; 5). Установленные приборы позволили
зарегистрировать полученные аппаратом ускорения на промежутке
времени О..;; t..;; 10. Определить положение и скорость· аппарата к
концу этого промежутка времени, зная, что а (t) = (4; бt).
Решен и е. Найдем сначала вектор скорости как функцию от
времени
1
t
t1(f)=Vo+~ a(t)dt=(1; 5)+~ (4; 6t)dt=(4; 5)+
о
о
+(f 4dt; 16tdt)=(4; 5)+(4t; 3t2)=(4+41; 5-j -3t2).
В частности, при t = 10 будет v (10) = (44; 305).
122

Интегрируя теперь v (t) по промежутку О...;; t...;; 10, мы получим
вектор-приращение пути
10
Лr= ~ (4+4t; s+зt2)dt= ( 2 (1 +t)2/~0; (St+ t3) /~0) =(240; 1050).
о
Значит,
r (IO)=ro+Лr=(I0; 30)+(240; 1050)=(250; 1080).
§ 15.3 . Функции нескольких переменных
15.3 .1 . Функция двух переменных. Ее график. Част­
ные производные. Если (см. определение 15.1) область
определения функции представляет собой множество, эле­
ментами которого служат двухмерные векторы U={(x; у)},
а ее значения f (х, у) суть вещественные числа, то такую
функцию обычно называют функцией двух переменных.
Чаще всего приходится иметь дело с такими функ­
циями двух переменных, область определения которых
геометрически может быть представлена множеством точек
декартовой координатной плоскости, ограниченным одной
или несколькими кусочно-гладкими линиями (совокуп­
ность этих линий называют границей области).
Ставя в соответствие каждой точке (х; у) области опре­
деления функции точку (х; у; f (х, у)) в декартовом трех­
мерном пространстве, и объединяя все эти вновь полу­
ченные точки, мы получаем множество Г • {(х; у; f (х, у))},
которое называется графиком нашей функции. Имея в
виду такие функции, которые обычно встречаются на
практике, можно сказать, что график функции двух пере­
менных х и у представляет собой поверхность, проекция
которой на плоскость хОу есть область определения функ­
ции, и такую, что аппликата каждой ее точки равна
соответствующему значению функции.
Определения предела и непрерывности для функции
двух переменных даются так же, как и в одномерном
случае, с той лишь разницей, что вместо абсолютной
величины разности х-х0 здесь надо брать расстояние
между точками М (х; у) и М0 (х0 ; у0) (т. е. длину вектора
'м-:М 1= V (Х-Хо)2 + (у~уо)2).
Определение 15.3. Пусть точки (х0 ; у0 ) и
(хо; Уо + Лу) обе принадлежат области определения функ­
ции f (х, у).
123

Разность Луf (хо, Уо) = f (х0, Уо +Лу)-f (х0, у0) назы­
вается частным приращением этой функции по аргументу у
в точке (х0; у0).
Если существует конечный предел
lim Лу/ (Хо, Уо) = lim f (хо, Уо+Лу)-/ (хо, Уо),
Лу➔О Лу
Лу➔О
Лу
то он называется частной производной от функции f (х, у)
по ее аргументу у и обозначается
дf (хо, Уо)
ду
или f~ (Хо, у0).
Частное .приращение и частная производная по аргу­
менту х определяются аналогично.
Разность Лf(хо, Yo)=f (хо+Лх, Уо+Лу)-f(хо, Уо) на­
зывается полным приращением функции f (х, у) в точке
(хо; Уо),
Рис. 15.2.
Нетрудно понять, что «закрепляя» (или, как еще го­
ворят, «фиксируя») значение одного из аргументов функ­
ции двух переменных, мы тем самым приходим к ее су-
лf(х,у)
жению до функции одной переменной. Отношение У Лу
(см. рис. 15.2) представляет собой тангенс угла наклона
к оси Оу секущей В 0 В, проведенной через точки
Во(хо; Уо; f(Хо,Уо)) И В(хо;Уо+ Лу; f(хо,Уо+Лу)). Пре­
дельным положением этой секущей при Лу--➔ О является
касательная АВ 0 , проведенная в точке В0 к линии PB0BQ
пересечения графика функции с плоскостью х = х0 • Сле-
1~4 ;

довательно, f~ (х0 , у0) представляет собой тангенс угла
наклона этой касательной к оси Оу.
•Если f (х, у) задана «конечным» (т. е. не включающим
в себя явнь1м или неявным образом операции предель­
ного перехода) арифметическим выражением относительно
элементарных функций, то для вычисления ее частных
производных можно пользоваться теми же приемами и
формулами, что и в одномерном случае.
Пример 15.2. Пусть f(х)=ХУ + arctg~.
Найти дf (х, у)
у
дх
дf (х, у)
иду
Вычисляя частную производную по х, мы обращаемся с у так,
как если бы она была величиной постоянной (говорят еще, что у
фиксируется на время взятия производной по х):
дf (х, y)=t ,хи-1+
l
• ..!_= ,хи-~+_У_
дх у l+(;)2 у у х2+у~·
Аналогично
дf (х, у)
l
(х)
-
х
-а--=хи•lпх+ ( )2 - 2 =хУ-lnx-~+9•
у
1+~
у
ху.
у
Производная от функции двух переменных сама пред­
ставляет собой функцию этих же переменных и в свою
очередь тоже может· иметь частные производные. По
отношению к исходной функции эти производные от про­
изводных называются частными производными второго
порядка:
-
частная производная второго порядка, взятая дважды
по аргументу х;
д lдf) д2f
ду\дх = дхду
-
«смешаная» частная производная второго порядка, взя­
тая сначала по аргументу х, а затем-по аргументу у
ит.д.
Для этих же производных употребляются и обозначе­
ниявидаf;,(х,у),f;u(х,у),ит. п.
Производные от частных производных второго порядка
называются частными производными третьего порядка.
J2S

Аналогично определяется понятие частных производных
любого порядка.
Отметим (без доказательства), что две непрерывны,е
частные производные одного и того же порядка, отличаю­
щиеся друг от друга лишь порJlдком выполнения операций
дифференцирования, но не количеством этих операций для
каждого из аргументов, будут равны между собой.
Например,
15.3 .2. Полный дифференциал функции двух перемен­
ных. Можно доказать, что если 1; (х, у) и 1; (х, у) обе
непрерывны, то полное приращение функции I (х, у) можно
представить в виде
ЛI(х,у)= I(х+ Лу; у+Лу)-I(х;у)=
=l;(x, у)-Лх+l;(х, у)-Лу+у•V,-(Л..,...х....,..)2,---+-(Л,.....у-)2, (15.9)
где у-+0 при Лх, Лу-+0.
Если 1; (х, у), .1; (х, у) =1= О, то при Лх, Лу-+ О «допол­
нительный член» формулы (15.9) у• У (Лх) 2 + (Лу) 2 будет
представлять собой бесконечно малую высшего порядка
малости по сравнению с 1; (х, у)• Лх + I; (х, у)-Лу, т. е.
при достаточно малых величинах приращений Лх и Лу
не только абсолютная, но и относительная погрешность
приближенного равенства
ЛI(х,у)~1;(х,у)Лх+I;(х,у)Лу
(15.10)
будет сколь угодно мала.
3 а меч ан и е 15.1. Формулу (15.9) можно также за­
писать в виде
где ai и а2 -+О при одновременном стремлении к нулю
Лх и Лу. Иногда именно такой способ записи оказывается
более удобным. Выражение, стоящее в правой части
(15.10), называют (при условии непрерывности 1; (х, у) и
l~(x, у)) полным дифференциалом функции I (х, у) и обо­
значают dl(х,у). При 1~(х,у) =1=О, 1~(х,у) =1=О и Лх,
Лу--+ О полный дифференциал представляет собой главную
часть полного прuращения функции, линейную относи­
тельно Лх и Лу.
126

Аналогично тому, как это делается для функций одной
переменной, вместо Лх и Лу в выражении для df (х, у)
пишут обычно dx и dy:
df(х,у)=f~(х,у)dx+f~(х,у)dy.
(15.11)
П р и м ер 15.3. Вычислить приближенно при помощи дифферен­
циала У 3,042+3,982, рассматривая это число как значение функции
f(х,у)= ух2+у2.
Решение. Пусть х0 =3, у0 =4. Тогда из х0 +Лх=3,04,
у0 +Лу=3,98 мы получаем Лх=О,04, Лу=-0,02.
Вычисляем f; (х, у), f~ (х, у) и их значения в точке (3; 4):
,
х
fх(х,у)= Jtx2+у2 '
,
у
fu(x, у)= У х2+у2 •
Далее
,
3
fx(3, 4)= ,г-- 0,6,
f 32+42
,; (3, 4)
4
0,8.
df (3, 4) = f; (3, 4)-Лх+ t; (3, 4)-Лу=О,6-0,04+0,8·(-!>,02) =0,008,
откуда
Jf3,042+3,982= f(3,04;3,98)=f(3,4)+Лf(3,4)~f(3,4)+df(3,4)=
= J132+42 +0,008=5,008.
15.3 .3 . Обобщения на случай большего числа перемен­
ных. Понятие функции трех и большего числа перемен­
ных вводится таким же образом, как это сделано нами
для случая двух переменных. Разумеется, даже в случае
трех аргументов график функции мы нарисовать уже не
сможем, ибо он будет представлять собой множество точек
четырехмерного пространства:
Г={(х;у; z;f(х,у,z))}.
Определения предела, непрерывности, частных произ­
водных даются в общем случае так же, как и для функ­
ции двух переменных. Если все частные производные
первого порядка непрерывны, то полное приращение
функции
Лf(х,у,..., t)=
= [:~лх+~лу+ ... +~м] +·
+v-V(Лх) 2 +(Лу) 2 + ... +(Лt)2, (15.12)
где у-О, при Лх, Лу, ... , Лt-0.
.127

Выражение, стоящее в квадратных скобках (при
условии непрерывности частных производных) называется
полным дифференциалом. Как и в случае двух перемен­
ных, абсолютная погрешность приближенного равенства
Лf(х,у,... , t)~df(х,у, ... , t) при условии:~, :: , ...
дf
... , д7.=F О
иприЛх,Лу,...,
Лt-+ О есть бесконечно
малая высшего порядка малости по сравнению с
V(Лх)2+(Лу)2 + ... +(Лt)2• Как и для случая двух пере­
менных, полное приращение функции (15: 12) можно за­
писать и так:
где ах, ау, ... , at-+ О при стремлении к О всех прира­
щений Лх, Лу, ... , Лt.
15.3 .4 . Производная сложной функции. Пусть
z=f(х,у),
(15.13')
а х и у в свою очередь являются функциями от одной
или 'нескольких других переменных. Для определенности
будем считать, что
(t)
(t)
(15.13")
Х=Х ,s, у=у
,s.
Формулы (15.13') и (15.13") задают z как функцию от
переменных t и s. Функцию, заданную подобным образом,
называют обычно сложной функцией или еще суперпози­
цией функции f(х,у) и функций х(t, s) и у(t, s).
Допустим, что _как функция f (х, у), так и функции
х (t, s) и у (t, s) имеют непрерывные частные производные
по каждому из своих аргументов. Пусть
Xo=X(fo,So), Yo=Y(fo,So),
Лtx=x(t 0 +Лt, So)-x(to, So),
Л1у=у(tо+Лt, So)-yo(to, So),
Обозначим через Л1 z приращение величины z, отвечаю­
щее изменению t от t0 до to + Лt (при фиксированном
значении s = s 0). Тогда по формуле (15.9')
Л1z=f (хо+Л1х, Уо+Л1у)-f (Хо, Уо)=
= f~(Xo, Уо) Лtх +f; (хо, Уо) Л1У +а1~1Х+а2Л1У· (15..14)
128

Поскольку при лt - О будут стремиться к О и Лtх и
ЛtУ(асталобыть,иа1иа2)итаккакприэтомже
условии
Лtх дх(t0, s0)
ы-дt'
ЛtУ ду(to, So)
лr- at
•
то, разделив обе части (15.14) на ·м и устремив затем
Лt к О, получим
дz(t0,
s
0
)
дf (хо, у0) дх (to, so) +дf (хо, Уо) ду (to, So )
(
15.15')
дt
дх
дt
ду
дt•
Аналогично для производной :: можно получить
дz=дfдх+дfду
(15.15")
дs дхдs дудs•
Формулы вида (15. 15') и ( 15. 15") называются формулами
для производных сложной функции. Существует много раз­
новидностей этих формул, соответствующих различным
комбинациям промежуточных аргументов и независимых
переменных. Например, если
z=f(x, у),
где x=x(t), y=y(t), (15.16)
то таким же образом, как (15.15'), получаем
dz дfdx дfdy
dt=дхdt+дуdt•
(15.17)
В частности, если х == t, т. е. если
z=f (х, у), где у=у(х),
(15.18)
то формула (15.17) дает
~=дf +дf dy
dx дх дуdх•
(15.19)
Эта последняя формула часто называется формулой для
полной производной.
15.3 .5 . Дифференцирование неявных функций. В заклю­
чение этого параграфа мы коротко рассмотрим круг
вопросов, связанных с понятием неявной функции (гово­
рят еще,-функции, заданной неявным образом).
Пусть дано соотношение
F(х,у)=О.
(15.20)
При фиксированном значении х (15.20) превращается в
уравнение относительно у. Допустим, что для каждого х
5 Под ред: Н. М, Матвеева, ч. 11
129

из некоторого множества Х это уравнение имеет (свое
для каждого х) единственное решение Ух· Тогда, ставя в
соответствие каждому х Е Х именно это значение Ух, мы
получаем некоторую функцию у= у (х). Про эту функцию
говорят, что она задается (неявным образом) соотноше­
нием (15.20).
Иногда для обеспечения единственности Ух к соотно­
шению (15.20) добавляют еще одно или несколько огра­
ничений. Так, например, соотношение х2 + у2 = R 2 каж­
дому xE(-R, R) ставит в соответствие два разли_чных
значения у:
Yi,x=VR 2 -x2 И Y2,x=-VR 2 -x2 •
При,:оединив к этому соотношению дополнительное усло­
вие у~ О, получаем
{x2+y2=R2; у~О} ~y=V R2-x2.
Пусть F (х, у) такова, что (15.20) определяет некоторую
неnрерывную функцию у= у (х), имеющую непрерывную
,
дF
дF
же производную Ух, и пусть дх и ду непрерывны (как
функции двух переменных). Положим z =- F (х, у(х)).
Тогда, с одной стороны, по формуле (15.19)
(15.21)
dz
С другой стороны, так как z (х) == О, то dx == О. Отсюда
и из (15.21) получаем
дF+дFdy=O
дх ду dx-
'
дF
откуда в свою очередь при Ту:::/=, О вытекает формула для
производной неявной функции
дF
dy
дх
dx= -
дF•
(15.22)
ду
П р им ер 15.4 . Пусть у как функция от х !tадается соотноше­
нием е2Х+зV=5ху+ 1. Найдите :~-
130
Перенося все члены в леву1Ь часть, получаем
e2x+sv-5xg- l =0.

Так как для F (х, у) =e1x+3y_5xy- l имеем
то
дF =2е2х+зи-5у дF =3е2х+зи-5х
дх
'
ду
'
dy
2е2х+зи-5у
dx= -зе2х+зу_5х·
Полученный результат можно еще упростить, заменяя в нем е2х+зу на
тождественно ему равное выrажение 5ху+ 1:
dy 10ху-5у+2
dx 15ху-5х+з·
§ 15.4. Кратные интегралы
15.4 .1 . Основные понятия. Допустим, что не\{оторая
область D координатной плоскости хОу накрытА мате­
риальной пластинкой, поверхностная плотность которой
в каждой точке может быть описана функцией μ = f (х, у).
Разобьем область D на достаточно мелкие частичные об­
ласти Di и выберем в каждой из таких частичных обла­
стей произвольно по одной точке (xi; Yi). Считая (поверх­
ностную) плотность в пределах каждой из частичных
областей Di приближенно равной плотности в отмеченной
точке (х;; у;), мы получаем для массы всей пластинки
приближенную формулу
(15.23)
где ·через ЛD; обозначена площадь частичной области D;.
Можно было бы строго доказать то интуитивно ·ясное
положение, что в случае непрерывной функции f (х, у),
в пределе при неограниченном «размельчении» дробления,
формула (15.23) из приближенной сделается точной
М=Iim~f(х;,У;)ЛD;.
(15.24)
:1. ...... 0 i
(Под ~ мы здесь принимаем так называемый «ранг (или
уровень) дробления» области D, т. е. наименьший из диа­
метров таких кругов, каждым из которых еще может быть
покрыта любая частичная область.)
Вне зависимости от того, будем ли мы интерпретиро­
вать. f (х, у) как плотность или нет, сумма, стоящая в пра­
вой части (15.23), называется интегральной суммой для
функции f (х, у) по области D, а ее предел при л--+- О -
131

двойным интегралом от f (х, у) по D:
и f (х, y)dxdy= lim ~f (xi, Yi) ЛDi.
D
"--> -0 i
(15.25)
Аналогично вводится и понятие тройного интеграла
~ и f (х, у, z) dxdydz= lim i f (xi, Yi, zi) ЛVi. (15.26)
V
,_, _..
О1
Здесь, разумеется, V представляет собой уже область
в трехмерном декартовом пространстве. Если f (х, у, z) -
плотность тела, занимающего область V (на этот раз уже
не поверхностная, а «объемная»), то интеграл (15.26) пред­
ставляет собой массу этого тела.
z
11
Рис. 15.3 .
Возвращаясь к двойному интегралу, отметим еще одну
его возможную интерпретацию, на этот раз геометриче­
скую. Если f (х, у), заданная в области D, неотрицатель-
ная непрерывная функция, то ~ ~ f (х, у) dxdy представляет
D
собой объем тела, ограниченного снизу областью D, сверху
графиком функции f (х, у) ~ О, а сбоку цилиндрической
поверхностью, образующая которой параллельна оси ап­
пликат, а направляющей служит граница области D.
Действительно (рис. 15.3), каждое слагаемое f (х;, У;) ЛDi
интегральной суммы представляет собой объем «цилинд­
рического столбика» (на рис. 15.3 АВСЕА' В'С' Е')
132

с основанием Di и высотой, равной значению функции
в точке (xi; у;). Поэтому для объема всего тела будет иметь
место приближенная формула •
V~~f(х;,yt)ЛDi.
(15.27)
i
Как и для случая нахождения массы пластинки, здесь
можно доказать, что в пределе при неограниченном раз­
мельчении дробления приближенное равенство (15.27)
переходит в точное равенство. Учитывая, что предел
правой части этого равенства есть двойной интеграл от
f (х, у) по области D, получаем
V= И.t(х, y)dxdy.
(15.28)
D
15.4.2 . Формула для вычисления двойного интеграла.
Если область D ограничена слева и справа прямыми
х= а и х= Ь, а сверху и снизу-графиками функций
z
:с
Рис. 15.4.
у= q, 2 (х) и у= q,i (х) соответственно (рис.' 15.4), то для
вычисления двойного интеграла можно воспользоваться
формулой
•
•
Ь [(1)1 (Х)
]
И f (x, y)dxdy.:. _
~ ~ f(x, y)dy dx.
D
а q,1 (х)
(15.29)
На рис. 15.4 фигура MN РQ-сечение тела плоскостью,
перпендикулярной к оси Ох; М' N' Р' Q' -проекция этого
сечения на плоскость yOz; N' Р' в этой плоскости
133

представляет собой график функции z = gx (у)= f (х, у) при
фиксированном х.
Мы не будем здесь приводить строго доказательства
формулы (15.29) и ограничимся лишь тем случаем, когда
f (х, у) непрерывна и неотрицательна в D, а форма тела,
заключенного между областью D и графиком f (х, у), удов­
летворяет условиям теоремы о вычисJ1ении объема тела
по площадям его поперечных сечений (см. гл. 14).
При каждом фиксированном значении х для. площади
соответствующего поперечного сечения, как нетрудно со­
образить, мы будем иметь
Ф• (Х)
S(х)= ) f(х,у)dy.
q,, (х)
Теперь для получения (15.29) остается лишь применить
формулу, выражающую объем тела через площади его
поперечных сечений.
Заметим, что формулу (15.29) пишут обычно в виде
Ь Фа(х)
И f (x, y)dxdy=) dx ) f (х, y)dy, (15.29')
D
а
q,, (Х)
вкладывая, разумеется, в запись правой ее части тот же
смысл, что и в (15.29). Прав)ОО часть (15.29')•называют
повторным интегралом, а саму
g
эту формулу-формулой, выра­
жающей двойной интеграл через
31
Рис. 15.5 .
повторный.
Пример 15.5. Вычислить
) ~.(х+2у) dxdy, где D ограничена
D
парабол~й у=х2 и прямой yz=x (рис.
15.5).
Решение. Изобразив область
D на чертеже, мы убеждаемся в при­
менимости формулы (15.29'):
.
1х
) ) (x+2y)dxdy=) dx ~ (y+2y)dy.
D
О
х'
(15.30)
Вычислим сначала «внутренний» интеграл
х
1g=x
) (x+2y)dy=(xy+y2)
=х2 +х2 -(хз+х4)=2х2 -хЗ-х4.
х•
g=x•
134

Подставляя это выражение в (15.30), получаем
1
SS(х+2у) dxdy= S(2х2-х3 -х4) dx~ (; х3 - ~
-
~
6
) 1~=
D
О
21113
=з-т-s=бо·
15. ~. 3. Вычисление тройного интеграла. Если область V
трехмерного декартова координатного пространства огра­
ничена сверху и снизу поверхностями z= ,i, 2 (х, у) и
z = ,i, 1 (х, у), а сбоку-цилин-
z
дрической поверхностью, обра­
зующая которой параллельна
Oz, то для вычисления тройного
интеграла можно воспользо­
ваться формулой (рис. 15.6)
~и f(x, у, z)dxdydz=
V
[,Р,(х, у)
]
=И ~ f(x,y,z)dz dxdy,
D ,Р,(х,у)
(15.31)
'Q
:с
1
1
•
'
1
где D представляет собой проек-
Рис. 15.6 .
цию V на плоскость хОу.
!I
Аналогично тому, как это делается в двухмерном слу­
чае, формулу (15.30) обычно записывают в виде
,Р, (Х, у)
~Иf(х,у, z)dxdydz=Иdxdy ~ f(x,y,z)dz. (15.31')
V
D
,Р1 (х, у)
После вычисления «внутреннего интеграла» мы получаем
в правой части ( 15.31) двойной интеграл от некоторой
функции аргументов х и у". Этот двойной интеграл в свою
очередь может быть вычислен по формуле (15.29) (если,
разумеется, область D такова, что допускает применение
этой формулы).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 15
J. Пусть U и W-два множества произвольной природы. Дайте
определение функции, ваданной на множестве U, со значениями
в множестве W.
135

2. Что называется векторнозначной функцией скалярного аргу­
мента? Что представляет собой график такой функции? Ее годо­
граф?
3. Как выполняется операция перехода к пределу для вектор­
функции? Операции дифференцирования и интегрирования таких
функций?
4. Какую механическую интерпретацию можно дать вектор­
функции, ее производной и интегралу?
5. Что называется функцией двух переменных? Что представляет
собой ее график?
6. Дайте определения частных производных от функции двух
переменных. Каков у них геометрический смысл? Как вычисляются
такие производные, если функция задана конечным выражением
относительно элементарных функций?
7. Что такое полное приращение и полный дифференциал функ­
ции двух переменных? В чем состоит связь между ними?
8. Как при помощи полного дифференциала можно находить
приближенные значения функции двух переменных?
9. Как обобщаются понятия частных производных и полного
дифференциала на случай функции трех и большего числа пере-
менных?
•
10. Запишите и объясните формулы для производной сложной
функции и для полной производной. Приведите примеры.
11. Что такое функция, заданная неявным образом? Напишите
и объясните формулу для вычисления ее производной. Приведите
пример.
12. Что такое двойной интеграл? Приведите определение и
дайте механическую и геометрическую интерпретацию этого по­
нятия.
13. Дайте определение тройного интеграла. Какую механическую
интерпретацию можно дать этому понятию?
14. Запишите и объясните формулу для вычисления двойного
интеграла. Приведите пример.
15. Приведите формулу для вычисления тройного интеграла и
объясните ее.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 15
В примерах 1-6 требуется построить график и годограф заданной
вектор-функции. Найдите и изобразите производную этой вектор­
функции при заданном значении t 0•
1. r(t)=(l-t)l+t 2j, O...;;t-. ;;;l, t 0 =0,5.
nt
.
nt
2. r (t)=i 2cos 2+Js1п 2 , О...;; t..;;;4, t0 =0,5.
nt
.
nt
3. r (t)=i 2cos 6+Js1п 6 , O..;;;t..;;;12, t0 =1,5.
4. r(t)=(l-\nt;t), l,;;;;;t- .; ; ;e, t 0 =1.
5. r(t)=(t; е1-1), O-.;;;t-.;;;l, t0=1.
:п;
п
6. r(t)=(cos3 t; sin 3 1), 0-.;; ;1- .;;;2, tо=т·
136

В примерах 7-10 нужно найти интеграл от вектор-функции и
изобразить его геометрически, взяв в качестве начала этого вектора
данную точку (х0 ; Уо):
2
7. ~ (l+2tj)dt, х0 =у0 =1.
о
n/2
8. ~ (l2cos t+J3sin t)dt, Х0 =2, y0-l .
о
.
2
9. ~(3t2; 4t)dt, х0=Уо =О.
1
1
10. ~ (1-t; e1)dt, х0 =2, у0 =1.
о
В задачах 11-12 дается за·кон движения на плоскост-и матери­
альной точки единичной массы. Требуется построить ее траекторию,
найти вектор скорости f1 (t) и равнодействующую сил F (t), действую­
щих на эту точку, после чего изобразить на том же чертеже v (t 0)
и F (t0). (Здесь t представляет собой время.)
t3
11. r(t)=2lt 1 +Jт, 0,s;;;;t,s;.;4, tо=З.
12. r(t)=(cos;; 2siп ;) , 0o;;;;;t..;;;4n, t 0 =n.
В задачах 13-14 дается зависимость ускорения движущейся на
плоскости материальной точки от времени t, ее положение и ско­
рость в момент времени t = О. Требуется найти зависимость от t
скорости этой точки и построить ее траекторию для промежутка
0,e;;;;t..;;t 0 :
13. a(t)=2l+6tj, r(0)=2l+J, v(0)=2l, t 0 =2 .
14. a(t)=(Зt;
- -1), r(0)=(0; 2), v(0)=(0; О), t 0 =l.
В примерах 15-18 требуется найти частные производные от
заданных функций по каждоА из независимых переменных и выра­
жение для полного дифференциала:
15. f (х, у) =x2 ln (l-x3y 5).
16. f (х, у)= Ух2-у2+arosin 1...
х
17. f (х, у)=а2х+зи+(2х-у)з+узх.
18. f (х, у, z)= fl-x2 -Зy2 -5zi.
В примерах 19-20 найдите все частные производные второго
порядка:
19. f (х, у)= fx2 +y2•
20. f (х, yf=х lп (х+ у).
д3f
21. f (х, у, z) =x3y5z7 + (l +х2)У arctg ху; дх ду дz =?,
137

22. Покажите, что функция z = V у2 -х2 удовлетворяет· соотно-
•
дz
дz
шению х дх +Уду =z.
dz
23. z = (1+Зх2)У, гдеу= tgх. Найдитеdx.
24. Z=(2+cos у)-х2, где У= Ух. Найдите:;.
В примерах 25 и 26 у представляет собой функцию от х, задан-
ную неявным образом. Требуется найти у;.
25. lп(x+y+l)=xy.
26. xarctg у=х2 +у2 •
В примерах 27 и 28 требуется составить уравнение касательной
к данной линии в точке (х0 ; у0).
27. х3 +у3 =3 (xy+l), Хо= 1, Уо=2.
28. ff -Y=xy, Х0 =у0 =1.
•
29. Найдите полный дифференцИl!Л функции f (х, у)= vxJy и
с его помощью вычислите приближенно У 16,02/3,95.
30. Найдите полный дифференциал функции f (х, у)= arctg (х/у)
и с его помощью вычислите приближенно arctg (0,99/1,03).
В примерах 31 и 32 требуется вычислить двойные интегралы по
заданной области.
31. ~ ~ xydxdy, где область D ограничена прямой х-у+2=0
D
и параболой у= х2 •
32. ~ ~ (х-2у) dx dy, где область D ограничена прямыми 2х -
D
-у-1=0, х-2у+1=0 И Х=2.
33. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями у=х,
х+у-2=0, х=О, z=0 и z=x2 +y2 •
34. Найдите объем тела, ограниченного поверхностями х=О,
у=О, х+и= 1, z=0 и Z=2-x2
-y2 •
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ: И РЕШЕНИЯ: К ГЛАВЕ 15
1. Для построения графика заданной вектор-функции составим
таблицу (см. табл. 15.1), в ю;>торой рядом со значениями независи­
мой переменной t будем записывать значения х (t) и у (t) проекций
вектора r (t) на оси Ох и Оу (соответственно):
ТАБЛИЦ А 15 .1
t
1
о
1
0,25
1
0,50
1
0,75
1
1
1
1
1
:,
1
1
х (t)
1
0,75
0,50
0,25
о
у(t) 1 о 1 0,0625
1
0,2500 1 0,5625 1 ; 1
138

Построим теперь в системе координат Oxyt полученные точки и со­
единим их (в порядке возрастания t) плавной линией. Эта линия
м1 м;м;м~м; (рис. 15.7) и будет представлять собой график r (t).
Для получения годографа (линия М1 М2М8 М4 М6 на рис."15.7) r (t)
нам надо построить проекцию этого графика на плоскость хОу. Для
у
.r
Рис. 15.7 .
этого мы можем воспользоваться той же табл. 15.1, взяв из нее соот­
ветствующие друг другу значения х (t) и у (t). Вычисляем производ­
d
ную dr r (t):
d
d
d
dr r (t)=ldt (1-t)+J dt (t2)=- l+2tj.
Подставляя теперь данное значение t = t 0 , получаем
dr (0,5) -l+J,
dt
после чего строим этот вектор, помещая его начало в точку М3 :
r (О,5) =0,5l+0,25J.
dr (0,5)
2• dt
.
dr(l,5)
З. dt
лr,+:n; r2jl).
Л r-21+ :n; :;2 jl),
1) Обратите внимание, что годографы различных вектор-функций
·из примеров 2 и 3, а также из примеров 4 и 5 совпадают. Это еще
раз должно напомнить нам о том, что годограф несет в себе лишь
часть информации о вектор-функции!
139

dr (1)
4. dl=(-1; 1). (Запись r(t)=(l-lпt; t) эквивалентна
записи r(t)=l(l-lnt)+Jt.)
5, drit~l)_(I; -1).
dr(п/4) (-ЗУ2 .ЗV2)
6• dt '""'
4'
4
'
2
2
2
7. ~ (l+2tj)dt=I ~ dt+ 2J ~ tdt=21+4J.
о
о
о
П./2
8. __ J(2lcos t+ЗJsin t)dt=;=2i+ЗJ.
2
9. ~(Зt2;4/)dt= (7; 6).
1
1
10. ~(1-t; е1)dt= (0,5; е-1).
о
11. Вектор скорости v (t) находим, как производную от радиус-
d
вектора движущейся точки: v (t) = dt r (t) = 4tl + t 1j. Подставляя
в 91'0 выражение значение t = 3, получим v (3) = 121 + 9J. При по­
строении этого вектора мы поместим его начало в конец радиус-
вектора r (3)= lBl+9J (т. е. в точку (18; 9)).
.
Дифференцируя v (t), мы получаем вектор ускорения а (t), ко­
торый в нашем случае (т == 1) численно совпадает с вектором F (t),
F(t)=a(t)=4l+2tj. При t=3 получаем F(3)=41+6J. При по­
строении этого вектора мы также помещаем его начало в ту же самую
(соответствующую t =3) точку (18; 9) годографа функции r (t).
12.v(t)=(-; sin~;cos;), v(n)=(-~;О),
F(t)=(-1 cos~;- ~sin~) ,F(n)=(О;--})•
При построении ве1<торов v (n) и F (n) начало каждого из них надо
поместить в соответствующую значению t = n точку (О; 2) годо­
графа r (t).
t
t
13. v (t)=v(0)+ ~ а (t)dt=21+ ~ (21+6tj)dt=
о
о
=21 +2tl+Зt2J=2 (1 + t) 1+3t9.J .
t
t
r(t)=r(0)+ ~ t,(t)dt=2l+J+ ~ [2(l+t)l+3t8j]dt=
о
о
=21+J+[(1+ t)2- 1)I+ t8J=(2+2t+ t2) i +(l+ t3)J.
(См. также разобранный в тексте главы 15 пример 15.1.)
140

14. v(t)=(: t2; -t), r(t>=( ~; 2- ~)-
дf
Зх4уъ дf
5х5у4
15.д-2хln(1х3у5) 1 35,д
--
1 30,
х
-хУ- у
-ху
(См. также пример 15.2 в тексте главы 15.)
16.дf=
1
.(х--У-) • дf =
1
(~-и)
дх ух2_ у2
1хI ду уxz_у2
х
•
17. f ~(x, y)=2a2X+ 3Ylna+6(2x-y) 2 +Зy3xJny,
f~ (х, у) =За2х+зу In а-3 (2x-y)2 +3xy3 x-i,
,
х
18. fx(x, у, z)=- У
,
1-х2 -Зу2 -5z2
,
Зу
fv(x, у, z)=- У l-x2-зy2-5z2'
,
5z
fz(х,у,z)= -
-:-;:::::=======::::;====·
У 1-х2 -Зу2 -5z 2
д2f
у2
д2f
ху
a2f
хз
19• дх2 (х2+у2)з/2 • дхду=- (х2+у2)з/2' дх2 (хz+уа)з/2 •
•
х+2у •
у
•
х
20. f х•(х, у)= (х+ у)2 , fху (х, у)= (х+у)а, fу•(х, У)=- (х+ у)2 •
~
щ
21. дх ду дz = 105x2y4 z8 • На первом шаге удобно вычислить дz.
(Напомним, что для непрерывных смешанных производных порядок
выполнения операций дифференцирования не влияет .на окончатель­
ный результат.)
22п
.
.
дz •дz
.
ри подстановке наиденных выражении для дх и ду данное
соотношение превращается в тождество.
• 23. Пусть f(x, у)=(l+Зх2)У. Тогда (см. формулу (15.19))
dz дf дfdy
1
dх =-д +а- dx=6xy (1 +зх2 )v-1+ (l+Зх 2)У In (1 +зх2)-2-=
х
у
oosx
=(1 +зх2)у l~+ln (1 +зх2)] =
1+ Зх2
cos2x
=(l+Зx2)tgx [6xtgx+ln(l+Зx2)].
1+зх2
cos2 х
dz
![
Х Yxsiny]
24. dx=(2+cosy)-x
- 2xln(2+cosy)+ 2 +cosy =
=(2-+cos Jlx)-x2 [-2xln(2+cos Ух)+х Yxsin:x,x].
2+cos.
х
141

25. Приводим данное соотношение к виду F (х, у)= ln (х+ и+ 1)-
дF дF
-- ху=Оивычисляемдхиду:
дF 1-ху-у2 -у
дF 1-х2 -ху-х
дх x+y+I
ду x+y+l
после чего применяем формулу (15.22):
дF
dy
дх l:_xy-rJ2-y
dx=- дF
х2 +ху+х-\ •
ду
26 dy=- (У2 -х2)·(\+У2). (п
числения дF удобно за-
•dx
х (х-2у-2уз)
осле вы
дх
менить в ее выражении arctg у через (х2+у2)/х.)
dy
.
27. Находим сначала dx, а затем, вычисляем ее значение в точке
(х0, у0), т. е. получаем значение углового коэффициента искомой
dy х2-у
1-2 1
касательной d-=--
2,kкас=-1 4
=-
3 . Теперь остается составить
х х-у
-
уравнение касательной как прямой, проходящей через точку (хо, Уо)
•
1
с найденным угловым коэффициентом: у-2= 3 (х-1), или, после
преобразований, х-3у+5=0.
28. kкас =0. Уравнение касательной: у= 1.
29. df(х,у)= f~(х,у)dx+f~(х,у)dy=
.~- dx-d2y "fl /
х.
2rxy
YVу
Нам требуется вычислить значение f (х,-у)= Ух/у в точке Х= 16,02;
у= 3,95. Ближайшей -к ней точкой, в которой значение f (х, у) удобно
вычислять, является точка х0 = 16; Уо =4. Тогда f (16; 4) = У 16/4=2.
Полагая Лх=х-х0 =0,02, Лу=у-у0 =-0,05, получаем
Лf (хо, Уо) ~ df (хо, Уо)
1dx
УХо dy=
2 УХоУо
2уо УУо
1
rю
= ,,- 0,02-
у (-О,05)=0,0137,
2r16,4
2.4. 4
откуда в свою очередь
У 16,02/3,95= f (х, у) =f (х0 , Уо)+Лf (х0, Уо) ~ 2+ 0,0137 =2,0137.
0,99
n
30. arctg 103 ~ arctg 1-0,02= 4 -О,02 ~ 0,765.
.
31. Изобразим область D на чертеже (рис. 15.8). (Перед построением
кривых удобно найти координаты их точек пересечения. Решая
систему
{ х-у+2=0,
У=Х2,
получаем точки А (-1; 1) и В (2; 4).) Видно, что область D допускает
применение формулы (15.29). Для этого надо лишь записать уравнение
142

прямой АВ в виде, разрешенном относительно у: у=х+2. Теперь
мы можем записать, что
2 х+2
И xydxdy= ~ dx ~ xydy.
D
-1
х•
Вычисляем сначала внутренний интеграл:
х+2
S \ 1и=х+2 хз
х6
xydy = 2 ху2 и=х• =2+2х2+2х-2,
х•
а тогда
2
SS xydxdy= S
D
-1
( х; +2х2+2х-х;) dx=
(х" 2хз х6)12
= в+з+х2- 12 -1 =5,625.
2 2х-1
32. ss (х~2у) dxdy= sdx s (х-2у) dy=-1,5.
D
I
х+\
-2-
33. Плоскости у=х, х+у-2=0их=0 образ;ютвпространстве
цилиндрическую поверхность, образующая которой параллельна осиОz
-f
!/
:/
,,
,,
4 ...---------
1J
3
О1
Рис. 15.8.
:с
z
о'
5
J
1
Рис. 15.9.
:с
(бесконечную «трубу» треуrольноrо сечения). Данное тело «вырезается»
из внутренности этой трубы плоскостью z =0 и параболоидом враще•
ния z =х'+ у2 (рис. 15.9). Формула (15.28) дает V = ~ ~ (х2 + y~)dxdy.
D
\ 2-х
Сводя этот интеграл к повторному, получим V = ~ dx ~ (х2 + у2) dy.
Вычислив ero. найдем, что V = 4/3.
34. ·v=5/6.
о
х

ГЛАВА16
ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
НЕСl(ОЛЬl(ИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 16.1 . Линии и поверхности уровня. Производная
по направлению и градиент
16.1 .1 . Линии уровня функций двух переменных. Пусть
f (х, у)-функция двух переменных, а Г-ее график в де­
картовом координатном пространстве Oxyz. Пересечем этот
график плоскостью z = С и спроектируем линию пересе­
чения на плоскость хОу (рис. 16. 1). Эта проекция L на
плоскости хОу имеет уравнение f (х, у)= С и представляет
собой множество всех тех (и только тех) точек области
определения функции, для которых соответствующее им
значение функции равно С. Такие линии называются
линиями уровня функции f (х, у). Проведя на плоскости хОу
несколько линий уровня, отвечающих различным значе­
ниям С, мы получим чертеж, позволяющий (с определен­
ной степенью точности, разумеется) представить себе вид
поверхности Г. На рис. 16.2 и 16.3 для двух различных
функций даны их графики (слева) и семейства линий
уровня (справа). (Заметим, что подобный способ плоского
изображения поверхностей не является для нас чем-то
принципиально новым; достаточно вспомнить «линии высот
и глубин» на географических и топографических картах.)
16.1 .2 . Произ\юдная по направлению. В главе 15 мы
ввели понятие частной производной от функции двух пе-
ременных. Так как отношение
•
Луf (хо, Уо)
Лу
представляет собой среднюю скорость возрастания функции
f (х, у) (по отношению к ее аргументу у) на отрезке от
144

z
:r
z
:с
z
1
1
1
1
1
6
1
1
1
0/'lq
о1
1
1
1
11
6'
tfq:
1
1
6
у
f/1
,,
1
r:
о
Рис. 16.1 .
g
Рис. 16.2 .
1
6!/
1
1
1
1,
Рис. 16.3 .
JJ'
с'-------,
о'
i&
у
D
D
145

(х0 ; у0) до (х0 ; Уо f Лу), то можно сказать, что дf (;~Уо) как
предел этого отношения, представляет собой скорость
возрастания функции в направлении оси Оу, вычисленную
в точке (х0 ; у0). Аналогично, дf (;: Уо) есть скорость воз­
растания функции в направлении оси Ох. Во многих слу­
чаях оказывается желательным иметь возможность нахо­
дить скорость возрастания функции в различных направ­
лениях, не обязательно совпадающих с направлением
одной из координатных осей. Для этого мы и обратимся
сейчас к понятию производной по направлению.
Определение 16.1 . Пусть l-некоторая ось на
плоскости хОу, проходящая через точку (х0 ; у0), Лl= Лх l +
+Луj-такой вектор, что точка (х0 +Лх; у0 +Лу)Еl,
а Л{-величина проекции Лl на l. Тогда разность
Л1f(х0, у0) = f(х0+ Лх, Уо + Лу)-f(х0, у0) называется при­
ращением функции f (х, у) в направлении l, а предел отно­
ше1-1ия Л 1f (х0 , у0) к Лl при Лl-+ О называется производной
от функции f (х, у) в направлении l:
1. Л1/ (хо, Уо) дf (хо, Уо)
1m
Лl=д
•
Al➔O
l
(16.1)
Так как отношение Л~/ (~'z' Уо) есть средняя скорость
возрастания функции на отрезке от точки (х0 ; у0) до точки
(х0 + Лх; у~+ Лу), то дf (~i Уо), как предел этого отношения
при стремлении второй из этих точек к первой, и представ­
ляет собой скорость возрастания f (х, у) в направлении l в
точке (х0; у0).
Направление l можно задать, указав углы сх и~. обра­
зованные этой осью с осями координат Ох и Оу. Тогда,
очевидно,
ЛХ-=Лlcosсх, Лу=Лlcos~.
1Лl 1= V(Лх)2+(Лу)2,
(16.2)
а единичный вектор l 0 оси l можно записать так:
l 0 =(coscx;cos~) . или: l 0 =lcosa+Jcos~. (16.3)
•
дf
Выведем формулу, позволяющую .находить al , зная
величины углов сх и р и частные производные :~ и :~.
146

По формуле (15.9') с учетом (16.2) пол)IЧаем
Лf(х у)=дf(хо,Уо)Лlcosа,+дf(хо,Уо)Лlcos~+
l
о•о
дх
ду
+а1 Лlcos а+а2 Лl cos ~-
Разделив обе части на Лl и переходя к пределу при Лl-+ О,
получаем (с учетом того, что а1 , а2 -+ О)
дf(~l Уо)=дf(~; Уо)cosа+дf(~~Уо)cos ~--
( 16.4)
Из рис. 16.4 можно усмотреть, что геометрически дf (~i Уо)
представляет собой (с точностью до знака) тангенс угла
Рис. 16.4 .
наклона к плоскости хОу касательной к сечению графика
функции вертикальной плоскостью, проведенной через ось l.
16.1.3 . Градиент функции двух переменных. Правую
часть (16.4) иногда бывает удобно представлять в виде
скалярного произведенця двух векторов: уже знакомого
нам единичного вектора l 0 = -i cos а + Jcos ~ и так назы­
ваемого градиента функции f (х, у):
gradf(х у)- дf(х,у)i +дf(х,y)J
(16.5)
'
-
дх
ду•
147

(Формула (16.5) и служит определением этого понятия.)
Тогда (16.4) можно переписать в виде
дf (хо, Уо) l
df( )
дl = о.gra Хо,Уо•
(16.6)
Так как при любом направлении l первый сомножитель
в (16.6) имеет единичную длину, а второй от этого на­
правления не зависит, то очевидно, что (для данной точки
(х0 ; у0)) производная :~ будет наибольшей, если направ­
ление оси l совпадает с направлением вектора grad f (х0 , у0).
Для такого направления l* будет
дf <;1~Уо) = 1grad f (х0, Уо) /.
(16~7)
Таким образом, градиент указывает направление, в котором
скорость возрастания функции (для данной точки) является
наибольшей, а длина градиента оказывается равной этой
наибольшей из скоростей роста.
Формула (15.22) позволяет нам найти угловой кqэффи­
циент касательной к линии уровня f (х, у)= С:
дf (хо, Уо)
k=-
дх
дf (хо, Уо) •
ду
Отсюда вытекает, что вектор
дf (хо, Уо) •
m=дуl
дf (Хо, Уо) j
дх
коллинеарен этой касательной. А так как скалярное про­
изведение векторов т и grad f равно нулю:
m-gradf·=дfдf + (-дf) дf =0
дхду
дхду '
то тем самым показано, что grad f (х, у) для любой точки
(х; у) направлен по нормали к линии уровня, проходящей
через эту точку.
16. t .4. Замечания для случая трех и большего числа
переменных. Для функции трех переменных f (х, у, z)
уравнения вида f (х, у, z)= С задают нам уже не линии,
а поверхности уровня. Градиент функции трех переменных
148

определяется формулой
дf дf•дf
gradf(х, у, z) =дхi+дуJ+дzk.
(16.5')
Аналогичная терминология сохраняется и для тех слу-
чаев, когда число аргументов у функции больше трех.
§ 16.2 . Экстремумы функций нескольких переменных.
Классический подход к решению экстремальных задач
16.2 .1 . Основные понятия. Множество V (М 0 , е), состоя-
щее из всех тех (и только тех) точек М, расстояние ко­
торых до точки М0 строго меньше заданного положитель­
ного чис,1а е, называют обычно в-окрестностью точки М0
(или просто окрестностью). Для случая двух переменных
в-окрестность представляет собой внутренность круга
с центром в точке М0 и с радиусом е, для трех перемен•
ных-внутренность сферы. Если точка М0 входит.в мно­
жество D вместе с некоторой своей окрес:гностью, то М0
называют внутренней точкой этого множества.
Определение 16.2. Если точку М0 (х0 ; у~) можно
окружить такой окрестностью V (М 0 , е), что значение
f (х0 , у0) будет наибольши.м из всех тех значений функции,
которые отвечают точкам ее области определения D, по­
падающим в эту окрестность (f (х0 , у0) ~ f (х, у) для любой
(х; у) Е V (М0, е) nD), то ?Оворят, что в точке М0 фуню{UЯ
f (х, у) имеет локальный максимум.
Если, кроме того, точка М 0 является внутренней по
отношению к D, то говорят, что в этой точке функция
имеет внутренний локальный максимум.
Если значение f (х0 , у0) является наибольшим среди всех
вообще значений f (х, у) в области ее определения D, то го­
ворят, что f (х, у) имеет в точке (х0 ; у0 ) абсолютный
максимум. (Точка (х0 ; у0) при этом может лежать как на
границе, так и внутри· области D.)
Аналогично определя~тся понятия локального, внутрен­
него локального и абсолютного минимума. Для максимумов
и минимумов употребляется, так же как и в случае функ­
ций одной переменной, объединяющий их термин эк­
стремум.
Рис. 16.5 иллюстрирует эти понятия. Функция z =
= f (х, у), заданная в области D= A_BCD, представлена
своими линиями уровня. В точке Af(x, у) имеет абсолютный
минимум, в точке F-внутренний локальный минимум,
149

в точках К и Н (гра,ничные) локальные минимумы.
В каждой из точек С, G, L-(граничные) локальные
макс;имумы, в точке Е - абсолютный максимум.
16.2 .2 . Условия существования внутреннего экстремума
для функции двух переменных. Теорем а 16.1 (не об хо­
д им ы е условия внутреннего экстремума).
Если функция f (х, у) во внутренней (по отношению к своей
с
н
с
/(
/,
о,__________________
:с.
Рис. 16.5 .
области определения D) точке М0 (х0 ; у0 ) имеет локальный
экстремум и если в этой же точке существуют частные
производные :: и :~ , то
дf(хо,Уо)_ О дf(хо,Уо)
_
О
дх-
'
ду-
•
(16.8)
До к аз а тел ьс т во. Пусть в точке М0 (х0; у0)функция
имеет максимум. Из определения внутреннего локального
экстремума следует, что существует такая целиком со­
держащаяся в области D окрестность V (М 0 , е) точка
М0 (х0; у0), что для любой точки М (х; у) из этой окрест­
ности будет f (х0 , у0);;;;,,:: f (х, у). В частности,
f<xo, Уо);;;;,,:: f (х, У0)
(16.9)
для каждой точки М' (х; у0) € V. Но (16.9) означает, что
функция одной переменной q> (х) = f (х, у0) имеет в точке х0
внутренний·максимум. Следовательно (см. гл. 5), q>' (х0)= О.
150

Атак как q,' (х) =дf(~~Уо) ,.тои дf<~:Уо) О.Точнота­
ким же образом доказывается и второе из равенств (16.8).
Случай, когда в точке М0 (х0 ; у0) функция имеет мини­
мум, рассматривается аналогично.
Замечание 16.1 . Условия (16.8) отнюдь не явля­
ются достаточными. Так, для функции, график которой
изображен на рис. 16.3, в точке М 0 обе ее частные про­
изводные обращаются в нуль, однако в этой точке нет
ни максимума, ни минимума.
Отметим без доказательства, что если в точке М0 (х0 ; у0 )
существуют и непрерывны все частные производные вто­
рого_ порядка и если в этой точке, кроме (16.8), выпол­
няется еще и неравенство
Л = д2f (Хо, Уо), д2/ (Хо, Уо) _ [д2f (хо, Уо)] 2 > О (16.10)
дх~
ду~
дх ду
'
то в этой точке f (х, у) имеет экстремум (минимум, если
д2f
д2f
дх2 и ду2 положительны, и максимум, если они обе отри-
цательны). Если Л < О, то экстремума в точке М0 (х0 ; у0)
нет, а если Л= О, то вопрос о наличии экстремума оста-
ется открытым.
_
16.2 .3 . Классический способ отыскания экстремумов.
В общем случае, независимо от наличия или отсутствия
локальных экстремумов, функция двух переменных не
обязательно имеет абсолютные минимум и максимум. Так,
функция z = х2 + у2 (рассматриваемая на всей плоскости
хОу) имеет абсолютный минимум z = О в точке (О; О), но,
будучи неограниченной сверху, не имеет абсолютного
максимума. Функция z = arctg (ху) хотя и ограничена
сверху и снизу числами + л/2 и - л/2 (соответственно),
тем не менее не имеет ни абсолютного минимума, ни абсо­
лютного максимума. Однако при выполнении некоторых
дополнительных условий существование абсолютных экстре­
мумов удается все же rар~нтировать. Одну из теорем
такого рода: мы здесь приведем, определив предварительно
необходимые для ее формулировки понятия.
Определение 16.3 . Множество D, состоящее из
точек декартовой координатной плоскости, называется
ограниченным, если его можно целиком заключить в неко­
торый круг с центром в начале координат.
Определен ие 16.4. Множество D точек координат­
ной плоскости, ограниченное одной или несколькими кусоч-
151

но-гладкими линиями и включающее в себя все эти линии,
мы будем называть замкнутой областью 1).
Теорема 16.2 (Вейерштрасс). Если функция
f (х, у) непрерывна в ограниченной и замкнутой области D,
то она имеет в этой област1:1, как абсолютный максимум,
так и абсолютный минимум.
Мы примем эту теорему без доказательства.
Если функция f (х, у) удовлетворяет условиям теоре­
мы Вейерштрасса и имеет всюду в этой области частные
производные :~ и :t ,то одним из способов отыскания
ее абсолютных экстремумов является следующий.
Решаем систему уравнений
дf
дf
ах=О, ду=О.
(16.11)
Ее решения дают нам все те внутренние точки (х1 ; у1),
(х2; у1),.•• ,
которые являются, образно говоря, «подо­
зрительными на экстремум» 2). (Согласно теореме 16.1 в
других внутренних точках локального, а тем более абсо­
лютного экстремума быть не может.)' Вычисляя значение
функции в каждой из этих точек, мы оставляем из них те,
которые дают для f (х, у) наибольшее f (х*, у*) (из этих
рассмотренных) ~ наименьшее f (х*, у*) значение
f (X,i,, у.)~ f (Xi, yi) ~ f (Х*, У*).
После этого, используя уравнения ограничивающих D
линий, мы выражаем одну из ш:ременных через другую
и, подставляя полученные выражения в выражение для
f (х, у), исследуем на экстремум получающиеся функции
теперь уже одной переменной. Из полученных для каж­
дого участка границы экстремальных зf:lачений отбирают
наибольшее и наименьшее и сравнивают их с отобран­
ными на первом этапе значениями f (х*' у.) и f (х*, у*).
Наибольшее из этих сравниваемых значений и дает нам
абсолютный максимум, а наименьшее-абсолютный мини­
мум функции f (х, у).
1) В более обстоятельных курсах понятие замкнутой области
трактуется обычно шире, чем мы здесь его определили, однако для
наших целей достаточно приведенного определения.
2) Мы ограничиваемся здесь тем случаем, когда множество реше­
ний (16.11) может быть записано в виде такой последовательности.
Если эта пос.r1едовательность бесконечна, то мы дополнительно пред­
полагаем, что среди чисел f (х1 , у1), f (х2 , у2)., ••• есть наибольшее
и наименьшее.
152

Этот способ отыскания абсолютных экстремумов мы
здесь будем называть «К,(!ассическим», имея в виду, что
он восходит к начальному периоду становления дифферен­
циального и интегрального исчисления. Проиллюстрируем
его следующим примером.
П р им ер 16.1. Найти абсолютные экстремумы для функции
f (х, у)= х3 + у3-3ху, заданной в замкнутой области D, ограничен­
ной осями координат и прямой
х+у,-3.
!/
Решен и е. Изобразим сначала
,оGласть D на чертеже (рис. 16.6). 3
Находим :~ и :~ и приравниваем
каждую из них к нулю
{ 3х2 -3у=0,
3у2 -3х=0.
(16. 12)
.Решая (16. 12), получаем две точки:
М1(О;О) иМ2(1;1).Перваяизних
не является внутренней для D, поэ­
тому мы ее на данном этапе исклю­
чаем из рассмотрения. Для второй
же точки вычисляем
J(l, 1)=13+13-3-1·1=-1. (16.13)
2
1
о
11.
f
'l
Рис. 16.6 .
Переходим теперь к исследованию f (х, у) на границе области. На
отрезке ОА имеем у=О, поэтому
с:р1(х)= f(х,О)=х3.
Очевидно, что наименьшее значение с:р1 (х), равное нулю, принима­
ется функцией в точке О (О; О), а наибольшее, равное 27,-в точке
А (3; О). Отрезок ОВ имеет уравнение х=О. Для него мы имеем
{pz(у) = f(О, у)=у3;
наибольшее значение, равное 27, эта функция принимает в точке
В (О; 3), наименьшее, равное нулю,-в точке О (О; О). Наконец, из
уравнения отрезка АВ:х+-у=3 получаем у=3-х. Подставляя
у=3-х в выражение для f (х, у), получаем
q, 3 (x)=f (х, 3-х)=х3 +(3-х)3 -3х (3-х)= 12х2 -36х+27.
Точка (х, 3-х) пробегает отрезок АВ при изменении х от О до 3.
Имеем
cra(О)=q>3(3)=27
(эти результаты относятся к точкам А и В). Далее находим q>; (х)
и приравниваем ее к нулю:
q>; (х) = 24х-36 = О,
откуда X=l,5. Вычисляем (J)3(1,5)=f(l,5; 1,5):
q>3 (1,5) = 12· 1,52 -36 -1,5+27 =0.
153

Сравнимя полученные результаты, заключаем, что абсолютный ми­
нимум f (х, у) равен-1 и достигается функцией в точке (1; 1),
а абсолютный максимум равен 27 и достигается в точках А (3; О)
и В(О;3).
16.2 .4 . Случай трех и большего числа переменных.
Определение 16.2 и теорема 16.1 почти без изменений
переносятся на случай функции большего чем два числа
переменных. Однако с ростом числа переменных класси­
ческий способ отыскания абсолютных экстремумов стано­
вится все более и более неудобным. И дело здесь не только
(и чаще всего не столько) в том, что число уравнений
и неизвестных в системе, описывающей необходимые усло­
вия внутреннего экстремума для f (х, у, ... , t),
дf
дf
дf
дх=О, ду =О,
•.• ,
ат= О (16.8')
растет вместе с числом аргументов этой функции, а и в том,
что нам приходится последовательно решать множество
z
задач на отыскание внутренних
11С
экстремальных точек как для
•самой функции, так и для раз­
личных ее сужений на те или
иные участки границы ее обла­
сти определения. Так, для функ­
ции трех переменных, заданной
8
в области, ограниченной коорди-
~ ----~ !!-~
1~ натными плоскостями и плос­
костью x+y+z= а (рис. 16.7),
нам пришлось бы сначала рас­
смотреть нашу функцию внутри
пирамиды ОАВС, затем - ее
су)Кения на каждый из четырех
треугольников ОАВ, ОАС, ОВС
Рис. 16.7 .
и АВС, затем-на
треугольников.
каждую из границ каждого из этих
Даже в таком сравнительно простом еще случае, когда
областью определения функции является п-мерный «пря­
моугольный параллелепипед»:
а1~Х1~Ь1, а2~Х2~Ь2, ••• '
ап~Хп~ьп
(вместо х, у, ... , t мы обозначаем здесь аргументы функ­
ции через х1 , х2 , ••• , Хп), нам потребовалось бы:
-
один раз искать «подозрительные на внутренний
экстремум» точки для функции п переменных;
154

-
2n раз (по числу «граней» нашего «параллелепипеда»)
решать такую же задачу для функций, каждая из кото­
рых зависит от (п-1) переменной;
-
2n•(2n-2) раз-для функций от п-2 переменных;
и т. д., т. е. всего·
1+2п +22n-(n- l) +23 •n• (n- l) •(n_:_2) + ... +2п.п!
задач\ Даже при некоторой модификациц этого способа
решения (где каждая из общих границ рассматривается
только один раз) количество отдельных задач остается
громадным даже при сравнительно небольших значениях п.
Даже в тех случаях, когда общее число необходимых для
решения ~лементарных операций само по себе позво.~1яло
бы рассчитывать на своевременное получение результата
с помощью быстродействующих ЭВМ, мы чаще всего не
сможем воспользоваться их услугами по той причине,
что классический метод решения экстремальных задач
плохо поддается программированию (программы получают­
ся очень громоздкими и их подготовка требует большого
количества времени). Единого пригодного «на все случаи
жизню> способа решения экстремальных задач для функ­
ций от большого числа переменных не существует. Однако
для многих важных частных классов таких задач удобные
для их решения методы разработаны достаточно полно.
О некоторых из этих методов и идет речь в следующих
пунктах этой главы.
•
§ 16.3. ,Линейное программирование
16.3. 1. Предварительные примеры. Нам здесь будет
удобно обозначать аргументы тех функций, которые мы
здесь собираемся рассматривать, одной и той же буквой,
снабженной индексами, т. е. вместо обозначений вида
х, у, z, ... , t будем писать х1, х2, х3,•••, Хп.
Определение 16.5. Линейной функцией перемен­
ных х1 , х2 , ••• , Хп 1:.tазьюается всякая функция вида
f(Х1,Х2,,., , Хп}=Л0+ Л1Х1+ Л2Х2+ ... + ЛпХп.
Линейными наэьюшотся уравнения и неравенства вида
fi (xi, Х1,.,, , Хп)= f 2 (xi, Х1,,., , Хп),
f1 (Х1, Х2,.,, , Хп)~f2(Х1, Х1,, •• , Хп)
иm. n., где f1(Х1, Х2,•• , , Хп) иf2(Х1, Х1,... , Хп)-линейные
функции.
155

Задачи, состоящие в отыскании абсолютного экстре-­
.мума линейной функции в области, которая задается
посредством системы линейных же уравнений и неравенств,
и называются задачами линейного программирования.
Мы начнем изучение этих задач с рассмотрения сле­
дующих примеров.
П р и м е р 16.2 . Найти абсолютный минимум функции
W=7-Xi-X2
в области D, з11данной системой неравенств
{
Зх1 +2х2 .;;; 15,
х1 + Зх2 ..;; 12,
Х1
;;..О,
Х2;;..О.
(16.14),
(16.15),
Решение. Известно, что прямая ах+Ьу+с=О делит коорди­
натную плоскость хОу на две части, в одной из которых выраже­
ние ах+ьу+с положительно, в другой-отрицательно. Поэтому для,
:&z
Рис. 16.8 .
построения области D мы поступим следующим образом (рис. 16.8) ..
Построим сначала прямую Зх1 +2х2 = 15. Затем в одной из полупло­
скостей, на которые эта прямая делит плоскость х1 0х2 , выберем
«пробную точку». В качестве таковой удобно взять точку (О; О).
В этой точке будет Зх1 +2х2 < 15. Значит, это же неравенство будет
справедливо и для всех тех точек, которые лежат по одну сторону
с точкой (О; О) от прямой Зх1 + 2х2 = 15. Аналогичным образом мы
находим ту полуплоскость, которая определяется неравенством
х1 + Зх2 ..;;;;; 12. Неравенство х1 :;;;;,, О выполняется, очевидно, в полу­
плоскости, лежащей вправо от оси Ох2 , а неравенство х2 :;;;. 0-в по­
луплоскости, лежащей выше оси Ох1 . Мы видим, что каждое из
неравенств (16.15) (взятое в отдельности) определяет собой некоторую
156

полуплоскость. Значит, решением этой системы н~равенств будет
общая часть (теоретико-множественное пересечение) этих полуплос­
костей.
Построим теперь в декартовой координатной системе Ox1x2w
график нашей функции (16.14), т. е. множество Г точек вида (х1 ; х2 ; w),
где (х1; x2)ED, а w=7-x1
-x
2 • Этот график будет представлять
собой лежащую над областью D часть плоскости, определяемой.
уравнением (16.14). На рис. 16.9 ОАВС-область D, О*А*В*С*-часть
графика w =7-х1 -х2 , отвечающая этой области. Плоскость H*E*F*
имеет уравнение w=5, плоскость R*K"L*: w=3,5; EF и КL-соответ­
ствующие им линии уровня. Пусть С-некоторая постоянная. Пере­
секая Г плоскостью, w=C и проектируя линию пересечения на пло­
скость х10х 2 мы получим линию уровня функции w, т. е. множество
всех тех (и только тех) точек области D,. в которых значение функции
О',
.,,
.,,
шt
iv
о*
w=J,5
Рис. 16.9 .
w равно С. Очевидно, что все такие линии уровня параллельны
между собой (это видно хотя бы из того, что их уравнения имеют
вид 7-х1 -х2 =С) и что значения уровня С убывают по мере уда­
ления от точки (О; О) (вдоль любого луча, исходящего из этой точки
.lf лежащего в первой координатной четверти). Самое низкое значе­
Jtие уровня, следовательно, будет соответствовать точке В (3; 3). Зна­
чит, именно в этой точке наша функция и достигает своего абсолют­
ного минимума. Нам остается только подсчитать это значение
Wmtn=W (3; 3)=7-3-3= 1.
Прямые О'О" и В' В" представляют собой так называемые опор­
ные прямые, т. е. «крайние» из числа тех прямых семейства
{7-х1 -х2 =С}, которые имеют общие точки с D. Одна из этих
прямых соответствует наибольшему, а другая- наименьшему из
значений, принимаемых w в области D (наибольшему и наимень­
шему из достигаемых значений уровня).
Щ7

П р и мер 16.З. Оставив неизменной минимизируемую функцию
(16. 4), вы6ерем другую (по сравнению <: предыдущим примером)
область D', а именно:
(16.16)
Построив область D' (рис. 16.10), мы видим, что она в данном
случае оказывается неограниченной. Опорной прямой, которая отве­
чала бы наименьшему значению уровня, не существует. В области
D' функция оказывается неограниченной снизу, следовательно, тем
Рис. 16.10.
самым не существует ее _абсолютного минимума в этой области.
(В то же время абсолютный максимум, равный 7, достигается
в точке (О; О), так что неограниченность области сама по себе еще
не означает автоматически отсутствия искомого абсолютного экстре­
мума. Так, функция w*=-7+x1 +x2 =-w, как легко сообразить,
в той же точке (О; О) имеет по отношению к области D' абсолют­
ный минимум.)
16.3.2. Задачи линейного программирования с огра­
ничениями- неравенствами (случай двух переменных).
Рассмотренные в примерах 16.2 и 16.3 задачи являются
частными представителями следующего класса задач.
Найти абсолютный минимум (максимум) функции
(16.17)
158

в области D, представляющей собой решение системы,
составленной из неравенств
анХ1 + а22Х2:::;;; Ь2,
(16.18)
{
а11Х1 + а12Х2 :::;;; Ь1,
........
ат1Хi + а,п2Х2:::;;; Ьт,
{ Xi~O,
(16.19)
Х2 ~0
(мы могли бы, конечно, включить неравенства (16.19)
в систему (16.18). Однако оказывается удобным выделять
их в отдельную поД<;истему. Это связано с тем, что эти
неравенства в процессе решения задачи играют несколько
иную роль по сравнению с неравенствами из (16. 18)).
Каждое из неравенств (16. 18) и (16._ 19) определяет
собой некоторую полуплоскость, а область D есть общая
часть (теоретико-множественное пересечение) этих полу­
плоскостей. Поэтому для каждой конкретной задачи из
этого класса соответствующая ей область может пред­
ставлять собой какое-нибудь из следующих множеств:
а) пустое множество,
б) точку,
в) многоугольник,
г) неограниченную область, расположенную в 1-й
координатной четверти, граница которой состоит из отрез­
ков прямых и из лучей. (Мы будем называть такую
область неограниченным многоугольником.)
Ясно, что в случаях в) и r) мы всегда будем иметь
дело с выпуклыми многоугольниками, т. е. с такими,
которые целиком лежат по одну сторону от прямой, про­
ходящей через любую из «сторон» этого многоугольника.
В случае а) наша задача, разумеется, вообще не имеет
решения, ибо нет ни одной точки, которая удовлетво­
ряла бы системе ограничений (16.18), (16.19) (в этом
случае иногда говорят еще, что система ограничений
противоречива).
Единственной точке, из которой состоит область в слу­
чае б) соответствует, естественно, одно определенное зна­
чение функции w, которое, следовательно, будет одновре­
менно и минимальным и максимальным..
В случае в), каковы бы ни были коэффициенты в выра­
жении для функции w (16:17), семейство прямых уровня
с0 +с1х1 +с2х1 = const
(16.20)
159

обязательно будет содержать в себе две опорные по отно­
шению к D прямые. В точках, общих для области D и
этих опорных прямых функция w и будет достигать своих
минимума и максимума. Опорная прямая может иметь
либо только одну общую точку с D (такой точкой всегда
будет одна из вершин этого многоугольника), либо бес­
конечное множество таких точек, представляющее собой
одну из сторон D. В этом последнем случае все значе­
ния функции w на этой стороне будут равны между
собой, и, значит, каждое из них будет минимальным
(максимальным) для области D.
В случае г) искомый экстремум может и не сущест­
вовать, но если он все же существует, то обязательно
достигается опять-таки на границе области D либо только
в одной из ее вершин, либо во всех точках одной из сторон.
При этом экстремум не будет существовать тогда и только
тогда, когда фующия w с соответствующей стороны не·
ограничена (например, минимум w не существует тогда
и только тогда, когда в области D функция w не огра­
ничена снизу). Для задач такого класса, как эта, нали­
чие всего двух переменных х1 и х2 позволяет применить
следующий геометрический способ их решения. Начертив
сначала на плоскости область D, намечают затем направ­
ление семейства линий уровня (16.20) функции w (для
этого достаточно, придав произвольной постоянной в пра­
вой части (16.20) любое значение, построить одну из
прямых этого семейства). После этого оказывается воз­
можным провести опорные прямые (или убедиться в от­
сутствии одной или обеих из них). Точки, общие для D и
опорных прямых, и будут давать нам искомое положение
экстремумов. Однако для задач с большим числом перемен•
ных такой способ применить уже не удается. Поэтому
мы в следующем пункте рассмотрим другой, аналитиче­
ский метод решения подобных задач, который может быть
легко перенесен на случай любого числа переменных.
§ 16.4 . Симплекс-метод решения задач
линейного программирования
16.4 .1 . Основная идея симплекс-метода и его геомет­
рическая интерпретация. Прежде чем приступить к изло­
жению этого метода, отметим, что из изложенного в§ 16.3
следует, в частности, что если для задачи типа (16.17) -
(16.19) экстремум существует, то он достигается по край-
160

ней мере в одной из вершин многоугольника D. Может
показаться поэтому, что наиболее удобный способ реше­
ния таких задач-это вычисление значений функции w
в каждой из вершин D и выбор той из этих вершин,
значение в ко'Горой оказывается наименьшим (наиболь­
ши:v~). Однако в общем случае, если количество пере­
менных и ограничений сколько-нибудь велико, то этот
способ оказывается неприемлемым из-за того, что общее
число «вершин» D становится столь большим, что их
полный перебор оказывается невозможным даже при
использовании самых совершенных ЭВМ. Поэтому при­
ходится обращаться к так называемым методам направ­
ленного перебора, . позволяющим резко сократитt, число
рассматриваемых вершин. Один из таких методов мы
здесь и рассмотрим. Его сущность заключается в. том,
что, выбрав одну какую-нибудь из вершин D, мы пере­
ходим из нее в такую из смежных с ней, чтобы значе­
ние w при этом переходе изменилось в нужном нам на­
правле1ши (уменьшилось, если мы ищем минимум, уве­
личилось, если ищем максимум). Для случая двух пере­
менных интуитивно ясно (строгого доказательства этому
мы здесь давать не будем), что если значение w в какой­
либо из вершин В многоугольника D не является мини­
мальным (максимальным), то хотя бы в одной из смеж­
ных с В вершин функция w принимает значение, мень­
шее (большее), чем в В. Отсюда следует, что последо­
вательный переход из одной вершины в другую, смеж­
ную с ней, в направлении убывания (возрастания) w
действительно должен в конце концов привести нас
в точку ее абсолютного минимума (максимума). Нам
остается лишь показать, каким образом такой переход
может быть осуществлен аналитическими методами. Рас­
смотрим сначала этот метод на уже знакомой нам задаче
из примера 16.2. Нам придется переписать эту задачу
в другой (равносильной исходной) форме.
Пр им е р 16.4 . Найти абсолютный минимум функции
(16.14)
в о'Jласти D, оп ределнемой системой ограничени•й, состоящей из
системы уравнений
и системы неравенств
х1;;,,О, х2;;,,О, х3;;,,О, х4;;,,О.
/
6 Под ред, Н, М, Ма1веева, о{, !1
(16.21)
(16.22)
.161

Мы видим, что по сравнению с примером 16.2 здесь появились
новые неотрицательные переменные- х3 и х4 , а первые два неравен­
ства системы (16.15) оказались замененными системой уравнений
(16.21). Однако значения этих новых переменных полностью опре­
деляются значениями переменных х1 и х2 по формулам (16.21), и, сле­
довательно, присоединяя к . (16.21)· условия (16.22), мы приходим
к системе (16.15).
Каждой точке плоскости х10х2 оказывается теперь постав­
ленным в соответствие упорядоченный набор из четырех чисел
~х1 , х2, х3 , х4 }, связанных между собой соотношениями (16.21).
В области D каждое из этих чисел неотрицательно, вне ее-хотя
бы одно является отрицательным. На каждой из сторон многоуголь­
ника D одна из этих переменных обращается в нуль (на ОА это
:с2
х2,наАВэтох3ит.д.),каж-
дая из вершин D характеризу­
ется нулевыми значениями двух
переменных (рис. 16. 11).
4
J
о1234
Сейчас у нас как миними­
зируемая функция, так и вновь
введенные переменные х3 и х4
все выражены через перемен­
ные х1 и х2 . Эти последние мы
будем называть свободными пе­
ременными, а те, которые ока­
за.~1ись выраженными через
них,-базисными.
Положим сначала свобод­
:с, ные переменные равными нулю.
Геометрически это будет озна­
чать (рис. 16.11), что мы нахо­
димся в точке О. При этом w примет значение 7, а х3 и х4 -значения
15 и 12 соответственно. Из выражения (16.14) для w видно, что если
мы теперь будем увеличивать значения какой-либо одной из пере­
менных, то значение w будет уменьшаться (это как раз нам и тре­
буетrя).
Остановим для определенности свой выбор на переменной х1 ,
сохраняя пока для х2 нулевое значt'ние. Увеличивая х1 , мы будем
тем самым, разумеется, не только уменьшать w, но и изменять
значения переменных Ха и х4 . Имея в виду условия (16.22), мы
должны следить, чтобы Ха и х4 не сделались отрицательными. Из
уравнения (16.21) видно .(напомним, что х 2 мы оставляем равным
нулю), что, желая сохранить ха неотрицательным, мы не можем
увеличивать х1 более чем до 5, а для неотрицательности х4 надо,
чтобы было х1 .;;;;; 12. Следовательно, мы имеем возможность увели­
чить х1 до значения, равного 5. При этом сделается равной нулю
переменная х3 • Геометрически такое изменение х1 (при х2 = О) озна­
чает переход из точки О в точку А.
Рис. 16.11 .
_Попробуем теперь «поменять ролями» переменные х1 и х3 (ту,
которая раньше равнялась нулю и затем была увеличена, и ту,
которая в результате этого увеличения оказалась равной нулю).
Для этого нам нужно из того уравнения системы (16.21), которое
связывает обе эти переменные, выразить х1 через х3 и х2, а затем,
используя этот результат, преобразовать и выражение для w, и
систему (16.21) так, чтобы w, х1 и х4 были выражены че­
резх8иXz,
J62

Имеем.
(16.23?
Подставляя (16.23) в (16.14) и во второе из уравнений (16.21) мьi
после упрощений получим (условия (16.22), конечно, останутся
неизменными)
1
1
w=2+3 xa-3 x2,
(16.24)
{
Х1=5- ~ Х3-: Х2,
1
7
х4=7+3х8-3х2.
(16.25)
В такой записи у нас уже переменные х8 и х2 оказываются свобод­
ными (через них выражены и остальные переменные и функция w),
а х1 и х1 - базисными.
Снова положим равными нулю свободные переменные. При этом
w будет равно 2, а х1 и х4 получат значения 5 и 7. Увеличение
переменной х3 для нас теперь невыгодно, ибо при этом w будет
возрастать (см. (16.24)). Увеличение же х2 приведет к уменьше­
нию w. Как и на предыдущем шаге, мы должны из соотношений
( 16.25) (оставляя х8 равным нулю) определить границу возможного
увеличения х2 • ·из первого уравнения видно, что для неотрицатель­
ности х1 должнь быть х2 .;;;;; 7,5, а из второго,- что для неотрицатель­
ности х4 требуется х2 ..;;; 3. Следовательно, максимально возможное
увеличение х2 ,- это придание ему значения 3. При этом х4 обра­
тится в нуль. Из рис. 16.11 видно, что мы при этом сделали пере­
ход из точки А в точку В.
Таким же способом, как и выше, _«поменяем ролями» х.1 и х2
(сделаем х4 свободной, а х2 -базисной). После всех упрощениii мы
получим
2
1
W=1+7хз+7х4,
(16.26)
{
3.2
Х1=3-тхз·+-rх4,
1
3
(16.27)
Х2=3+уха-тХ4.
В выражении (16.26) оба коэффициента при переменных х3 и х4
положительны. При х3 =х4 =0· будет W= \. Увеличение любой из
этих переменных будет приводить только к увеличению w. Так,
как увеличение х8 (при х4 =0) означает движение ·из точки В по ВА,
а увмичение х4 (при х3 =0) движение по ВС, то мы видим, что
значение, достигнутое w в этой точке, является абсолютным мини­
мумом. Итак, Wmin= 1 и достигается при х3= х4= О, х1= 3, х2= 3.
Отметим, что к рис. 16.11 мы обращались только лlltnь д.1п
обоснования и иллюстрации предложенного способа решения. Сами
выкладки мы могли бы проделать, и не обращаясь к чертежу.
16.4.2. Алгоритм симплекс-метода. Сформулируем сей­
час общие правила, по которым мы проводили эти вы­
числения, имея в виду теперь уже общий вид задачи
6*
.163

(см. (16.17)-(16.19)). Дополнительно мы будем пред­
полагать, что каждое из чисел Ь1 , Ь 2 , ••• , Ьт неотрица­
тельно. Для определенности будем считать, что ищется
минимум w.
П одг ото в и тельный этап. Вводя дополнитель­
ные неотрицательные переменные х3 , Х4 , ••• , Хнт, пре­
образуем нашу задачу к виду
w=c0+c1x1+с11х2 ,
(16.17)
{
х8 = Ь1 -а11х1 -а12х11 ,
Х4 = Ь11 -а21Х1 -а1111Х2,
(16.28)
;т:2 • Ьт-_·а~1х~_:_а~11~11:
Х1>,О, Х2>,О, Х8>,О,
... ,
Хтн >, О. (16.29)
Если коэффициенты с1 и с2 оба неотрицательны, то мини­
мум w= с0 достигается при х1=х2=О. Если же хотябы
один из этих коэффициентов отрицателен, то мы делаем
первый шаг симплекс-алгоритма. Прежде всего
мы выбираем из числа свободных переменных (сейчас
таковыми являются х1 и х11 ) такую, коэффициент при
которой в ( 16.17) отрицателен. Для определенности пред­
положим, что такой будет переменная х11 . Дальнейшее
содержание этого первого шага будет тогда следующим.
По каждому из уравнений (16.28) рассчитываем макси­
мально возможную величину приращения для х2 , при
которой соответствующая (стоящая в левой части) этому
уравнению базисная переменная остается еще неотрица­
тельной. Очевидно, что если в уравнении
Хkн = Ьk-аих1 -ak2x11
(16.30)
ak 23⁄4 О, то при любом увеличении х2 переменная xk+ 2
остается неотрицательной, если же ak2> О, то должно
быть
(16.31)
Выбирая из неравенств (16.31) наиболее сильное, мы и
получаем искомую величину приращения для х2 • Если
таким наиболее сильным. неравенством оказалось то, кото­
рое получилось из уравнения с номером k0, то, полагая
х2 = bk.f ak02 , мы получим х"0 +2 = О, а все остальные пере­
менные останутся неотрицательными. (Если все а" 2 3⁄4 О,
то х2 можно увеличивать неограничено. При этом будет
W-+ -oo, т. е. minw не. существует.)
164

Далее мы должны будем «обменя.:гь ролями» перемен­
ные х2 и xk0+2 , т. е. перевести х2 в число базисных,
а хk.н - в число свободных. Для этого потребуется выра­
зить х2 через х1 и хk.н из уравнения
(16.30')
и затем полученный результат подставить в остальные
уравнения (16: 28) и в выражение (16.17) для w.
Если во вновь полученном для w выражении оба
коэффициента (при х1 и при xk.+ 2) окажутся неотрица-
(:~~;:;~;;в;::::и~~:ч:н~~де~с~~~:~:;ь~iт ~f;е~~:Н::;+~ай~
дутся из преобразованной системы (16.28)). Если же
среди :1тих коэффициентов окажется хоть один отрица­
тельный, то мы проделаем второй шаг симплекс-алго­
ритма, отличающийся от первого только тем, что вместо
набора свободных переменных Х1. и х1 мы будем иметь
дело с набором х1 и хk.н•
Подобные шаги мы будем продолжать до тех пор,
пока не столкнемся с одним из следующих двух слу­
чаев.
Случай 1. После перехода к новой паре свободных
переменных оба коэффициента при этих переменных в вы­
ражении для w неотрицательны. Это означает, что мини­
мум w достигается при равенстве нулю каждой из этих
переменных.
Случай 2. На каком-то шаге мы не будем иметь ни
одного из неравенств типа (16.31) потому, что в (преоб­
разованной) системе ограничений все коэффициенты при
выбранной свободной переменной неотрицательны. Этот
случай свидетельствует о том, что функция w-не огра­
ничена снизу и, следовательно, минимума не имеет. -
16.4.3 . Симплекс-таблицы и их использование. Так
как выполняемые при каждом очередном шаге преобра­
зования носят ярко выраженный алгоритмический харак­
тер, то при «ручном» способе расчета их оказывается
удобным выполнять посредством заполнения специальных
расчетных таблиц (так называемые с и м пл е к с - та б­
лицы).
Проиллюстрируем один из вариантов такого расчета
на материале уже решенной нами задачи из примера 16.4 .
Сначала мы занесем в начальную табл. ·16.1 исходные
данные: систему (16.21) и выражение для функции w
(16.14).
165

ТАБЛИЦ А 16,1
Свободные переменные
Базисные
1
1
1 Ограничения
переменные
Свободные
члены
li,
х.
15
1
-3
-2
Ха
12
-1
.,__3
Х4
7
1
-1
-1
w
Далее мы выбираем из столбцов, отвечающих свобод­
ным переменным какой-нибудь такой, где в строке для w
стоит отрицательный коэффициент. Этот столбец (мы эдесь
выбрали тот, который отвечает х1) будем называть раз­
решающим. Теперь мы начинаем заполнять столбец «огра­
ничения». «Механизм» этого заполнения таков: если
в строке, .отвечающей какой-то из базисных переменных,
коэффициент из разрешающего столбца отрицателен, то
в соответствующей клетке столбца «ограничения» мы запи­
сываем взятое с • противоположным знаком отношение
свободного члена из обрабатываемой строки к упомяну­
тому коэффициенту из разрешающего столбца. Если же
этот коэффициент неотрицателен, то в клетке столбца
«ограничения» мы делаем прочерк. После того как все
клетки 9тоrо столбца, отвечающие базисным переменным,
будут заполнены, мы выбираем в таблице ту из строк,
котDрой отвечает наименьшее число в столбце «ограниче­
ния». Эта строка называется разрешающей, а элемент,
стоящий на пересечении разрешающих строки и столб­
ца,- разрешающим элементом. Результаты всех этих опе­
раций показаны в табл. 16.2 .
Записываем теперь в правом нижнем yrлу клетки
с разрешающим элементом число, ему обратное, а в пра­
вых нижних углах остальных клеток разрешающей стро­
ки-в~ятые с противоположным знаком произведения
этого обратного разрещающему элементу числа на числа
из левых верхних углов запол.няемых клеток. Получен-
166

ТА БЛИЦ А 16.2
Свободные веременные
Базисные
1
1
1 Ограничения
переменные
Свободные
х,
.х.
члены
15
-3
-2
Ха
::::
5
12
-)
-3
Х4
12
7
-1
-1
w
ные вновь в разрешающей строке числа мы «закрепляем».
(В табл. 16.3 это «закрепление» показано_ квадратиками).
Если мы теперъ мысленно поменяем местами в табл. 16.3
обозначения х1 и Х3 , то эти «закрепленные» числа будут
давать нам не что иное, как соотношение (16.23).
ТАБЛИЦА 16.3
Свободные переменные
Базисные
переменные
Свободные
1
1
1 Ограничения
члены
х,
.r,
1
15
-3
-2
=
Х3
8]8]5
ш'
'1
1
12
-1
-3
1
12
Х4
7
-1
-1
w
167

Приступим к заполнению правых нижних углов
в остальных строках таблицы, включая строку для w.
Туда мы будем записывать произведения соответствую­
щих «закрепленных» чисел из разрешающей строки на
число, стоящее на пересечении обрабатываемой строки
и разрешающего столбца. После этого мы сперва «закре­
пим» вновь полученные числа во всех клетках разре­
шающего столбца, а затем во всех тех клетках, где еще
нет закрепленных чисел, сложим числа, стоящие в левом
верхнем и правом нижнем углах, и «закрепим» получен­
ную сумму. После этого поменяем местами обозначения
переменных, отвечающих разрешающим строке и столбцу
(см. табл. 16.4).
ТА БЛИЦ А 16.4
Свободные переменные
Базисные
переме1шые
Свободные
1
1
1 Ограничения
члены
х,
х,
.
15
-3
-2
Z1
=
5
0 1-~1 В]
12
-1
-3
z,
[2]
1-~1
12
-5
[±]
2
3
7
-1
-1
w
0
8]
[±]
2
-5
3
Эrи операции, как нетрудно сообразить, отражают со­
бой подстановку (16.23) в (16.21) и (16.14). Полученная
табл. 16.4 соответствует нашей задаче, приведенной
к виду (16.24), (16.25).
168

Для продолжения решения мы составляем новую таб­
лицу, оставляя на своих местах обозначения переменных
(с учетом уже сделанной перестановки х1 и х3) и выпи­
сывая «закрепленные» в предыдущей таблице числа в левых
верхних углах новой (см. табл. 16.5).
ТАБЛИЦ А 16.5
Свободные переменные
Базисные
переменные
Свободные
1
1
1Ограничения
члены
Ха
х,
5
1
2
-3
-3
Х1
7
1
7
3
-3
Х4
2
1
1
3
-3
w
Далее с этой таблицей повторяется такой же цикл
преобразований до тех пор, пока либо в строке для w не
окажется отрицательных коэффициентов при свободных
переменных (это будет означать, что достигнут минимум),
либо при заполнении столбца ограничений в него будут
занесены только прочерки (в этом случае w будет неогра­
ниченной снизу, и тем самым min w существовать не будет).
§ 16.5 . Слу•1ай трех и большего числа переменных.
Понятие о нелинейных экстремальных задачах
16.5 .1 . Задачи линейного программирования с произ­
вольным количеством переменных. Здесь мы вместо задачи
(16.17)-(16.19) (см. § 16.3) рассмотрим задачу с тремя
переменными.
Найти абсолютный минимум (максимум) функции
(16.17')
·169

в области D, определяемой системой, составленной из
неравенств
{
ai1Xi +ааХ2 +а13Ха ~ bi,
а2_1х~ ~а.82~2 :~2~Хз. ~ ь_а,. (lб.lB')
am1Xi + ат2Х~ + атзХа ~ Ьт,
Х1~0, Х2~0, Х3~0.
(16. 19;)
В этом случае все сказанное выше останется справед­
ливым, с той лишь разницей, что область D будет уже
не ·многоугольником, а многогранником, а вместо прямых
линий уровня и опорных прямых появятся плоскости
уровня и опорные плоскости. Можно было бы показать,
что и в этом случае экстремум, если он существует, дости­
гается в одной из вершин многогранника D.
Если число независимых переменных в подобных за­
дачах сделать большим трех, то, разумеется, наглядной
геометрической интерпретации мы уже дать не сможем.
Однако рассмотренный в § 16.4 симплекс-метод останется
применимым. Этот метод (с определенными модификациями,
существо которых мы здесь рассматривать не будем) слу­
жит основой для ряда стандартных программ, позволяю­
щих решать на электронно-вычислительных машинах
задачи, содержащие сотни переменных и ограничений.
Существуют специальные частные разновидности задач
линейного программирования, для которых оказывается
более удобным применять специально для них разрабо­
танные методы. Мы здесь не будем касаться этого круга
вопросов.
16.5 .2 . Заключительные замечания об экстремальныХi
задачах. Следующим по возрастанию сложности за зада­
чами линейного программирования идут задачи так назы­
ваемого квадратичного программирования. Область D,
в которой требуется отыскать экстремум, задается здесь
так же, как и в линейном программировании, а сама
функция представляет собой полином второй степени от
переменных xi, х2 , ••• , Хт (требуется еще, чтобы коэф­
фициенты этого полинома удовлетворяли некоторым не
очень жестким требованиям).
Общих методов, позволяющих решать экстремальные
задачи произвольного вида, не существует, но для боль­
шло числа отдельных типов таких задач соответствующие
методы разработаны достаточно хорошо.
-
170

Задачи на нахождение экстремумов функций многих
переменных в настоящее время весьма актуальны. Осо­
бенно часто их приходится решать, занимаясь вопросами
планирования и управления народным хозяйством, отрас­
лями и пре~приятиями, разрабатывая и реализуя новые
способы производства, эксплуатируя ащоматизированные
системы управления. Как правило, эти задачи требуют
большого (порой-очень большого) количества вычисле­
ний, и чаще всего их решают с помощью ЭВМ. Однако
и это решение с помощью ЭВМ оказалось бы невозмож­
ным, если бы для этих задач не были разработаны до­
статочно «быстрые» методы их решения. Большой_ вклад
в рs.зработку таких методов внесли советские математики.
Так, еще в довоенные годы академик Л. В. Канторович
разрабатывал методы линейного программирования и при­
менял их к решению экономических задач. За рубежом
эти методы появились значительно позже, в конце соро­
ковых годов.
Отметим еще ту терминологию, которая все чаще и
чаще употребляется для экстремальных задач со многими
переменными. Функцию w, чей экстремум разыскивается,
называют целевой функцией или еще критерием. Если
ищут минимум w, то ее называют также функцией потерь,
а если максимум, то-функцией выгоды. Уравнения и не­
равенства, посредством которых задается область D, _на­
зываются обычно ограничениями. В экономических задачах
набор значений переменных {х1 , х2 , ••• , хп} называют
обычно планом (имея в виду, что переменные эти пред­
ста.вляют собой величины тех или иных материальных
или ·трудовых ресурсов, значения которых и надлежит
наилучшим образом спланировать). В приложениях экстре­
мальные задачи называют часто оптимизационными,
а процесс их решения-оптимизацией.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 16
1. Что такое линии уровня функции двух переменных? Поверх­
ности уровня функции трех переменных?
2. Что такое производная по направлению? В чем состоит ее
геометрический смысл для функции двух переменных?
3. Что называется градиентом функции двух переменных? .трех
переменных?· Как с помощью градиента можно вычислять производ­
ную по направлению? Как расположен градиент относительно линий
(поверхностей) уровня?
4. Дайте определения локального и абсолютного экстремума
функции нескольких переменных. В каком случае экстремум
171

называется ·внутренним? Проиллюстрируйте эти понятия на чер­
теже.
5. В чем состоят необходимые условия внутреннего экстремума
функции двух переменных? достаточные условия? Приведите пример.
6. В чем состоит классический способ отыскания абсолютных
экс1:ремумов? Дайте его обоснование для случая функции двух пере­
менных. Что можно сказать о применимости этого метода в случае
большого числа переменных?
7. Сформулируйте в общем виде задачу линейного программи­
рования с ограничениями-неравенствами для случая двух пере­
менных. Дайте геометрическую интерпретацию системы ограничений.
8. В чем заключается геометрический способ решения задач
пинейного программирования?
9. Дайте геометрическую интерпретацию основной идеи симп­
пекс-метода решения задач линейного программирования.
10. Опишите алгоритм симплекс-метода. Для определенности
будем считать, что в задаче требуется найти минимум целевой функ­
ции w. К:акой вывод можно сделать, если после некоторого шага
все коэффициенты в выражении w через свободные переменные
окажутся неотрицательными? Если какая-нибудь из свободных пере­
менных, входящая в выражение для w с отрицательным коэффи­
циентом, в каждом из ограничений имеет неотрицательный коэффи­
циент? К:ак геометрически интерпретируется каждый из этих случаев?
11. К:ак провести решение задачи линейного программирования
симплекс-методом с использованием таблиц? ПроилJ1юстрируйте при­
мером один шаг симплекс-алгоритма.
УПРАЖНЕНИ.Я К: ГЛАВЕ 16
В задачах 1-4 требуется:
а) Построить линии уровня данной функции (в соответствии
с указанными значениями уровня).
б) Найти и построить градиент этой функции в заданных точках.
в) Через каждую из этих точек провести ось в заданном на­
правлении и в каждой из них найти производную функции по этому
направлению. Проиллюстрировать полученный результат геометри-
чески.
•
1. f(x, у)=12-х2-2у2, М1 (2; 2), М2 (0; О); lo= ~(l+j).
Значения уровня: О; 3; 6; 10; 11; 12.
'
:п;
:п;
2. f(x,y)=xy-2(x+y)+4, М 1 (4;3), М2 (2;2), а= 3 , ~= 6 .
Значения уровня: О; ± 1; ±2; ±3.
l+2J
3. f(х, у)=у~-4(х+у), М1(2; 3), М2(4; 2), 10= УБ .Значе-
ния уровня: -20; -1 ); -8; -4; О.
:п;
:п;
4. f(x, у)=Зх+4у, М1 (1; 2), М2 (3; 1), а= 6 , ~=з· Значе-
ния уровня: О; 6; 11; 12; 13; 18; 24.
В задачах 5-8 надо найти (анали1:ическим способом) абсолют­
ные экстремумы функции в заданной обпасти D.
172

5. f (х, у)= 12-х2 -2у 2 • Область D задается системой нера­
венств х-.;;;2, у-.;;;2, х+у+2:;;,,,0.
6. f (х, у) = ху-2 (х + у)+ 4. Область D- прямоугольник О,.;;;
.,;;;х,;;;;;. 4, О -.;;; у-.;;; 3.
7. f (х, у)= у2 -4 (х+ у). Область D ограничена осями коорди­
нат и прямой х+у=6.
8. f (х, у)= Зх+ 4у. Область D задается системой неравенств
О,;;;;;.х,;;;;;.3, Оо;;;;;у..;;;3, х+у,;;;;;.5, х-2у-.;;; 1.
В каждом из упражнений 9-16 дается задача линейного про­
граммирования. Требуется:
а) Решить эту задачу геометрическим методом.
б) Провести решение задачи симплекс-методом и проиллюстри­
ровать ход решения на чертеже.
9. w=Зx1 +4x2 --,.max,
{
Х1 ,;;;;;.3,
х2 -.;;; 3,
Х1 + Х2.._;;;5,
Х1-2Х2< (,
10. w =20-x1 -x2
-- > -min,
{
х2 ,;;;;;.6,
х1 +3х2 ...;;20,
5Х1 + Х2,;;;;;; 30,
11. w =30-x1 -4x2 --> -min,
{
х2 ,;;;;;;6,
Х1 +3х2,;;;;;.20,
5х1 + x:i,;;;;;;30,
12. W =X2-X1--,. min,
{
2х1 - х2 ,;;;;;. 7,
Х1-2Х2 ,;;;;;.2 ,
-3х1 + х2 ,;;;;;.3,
13. w=IO-x1 -x2 --->-min,
{
2Х1- Х2,;;;;;. 7,
Х1-2Х2.,;;;2,
-3х1 + х2 .;;;;;;3,
14. w=x1 +х2 - max,
{ Х1 +4Х2,;;;;;. 16,
3х1 + х2 ,;;;;;; 15,
15. w = 10-х1 -х2 --+ min,
( Х1 + 2Х2 ,;;;;;. JO,
1 Х1 + Х2.,;;; 6,
~ Зх1 + х2 ,;;;;;; 12,
IG. w=2x1 +x2 -->-max,
{
Х1 - Х2,;;;;;. 2,
x1 -2x2 ,;;;;;. I,
-Х1 + х2 ,;;;;;;2,
-,2Х1 --j - Х2,;;;;;; 1,
173

17. Решите симплекс-методом следующую задачу линейного про-
граммирования: w= 12-3x1 -2x2 -x3 -->-miп,
{
х1 +х2 +х8 <;; 3,
Х1
..; ; ; 1, Х1;;;..О, Х2;;;..О,
Х2
о;;;;; 1,
Постройте многогранник, определяемый системами ограничений и
проиллюстрируйте геометрически ход решения.
18. Найдите абсолютный минимум функции w=60-3x1 -2x2 -
-
2х8 -х4 в области D, заданной следующей системой ограничений:
{
2х1 +2х2 -Зх3 +х4 с;;; 6,
-Х1+ Х2+2хз с;;;5, Х1, Х2, Ха, Х4~о.
х1
-
х3 +х4 ..;;2,
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ: И РЕШЕНИЯ: К ГЛАВЕ 16
1. Полагая в формуле 12-х2 -2у2 =С значение уровня С рав­
ным О, мы получаем отвечающую этому значению линию уровня
х2 +2у! = 12. Как видно, она представляет собой эллипс, канони­
ческим образом расположенный относительно координатных осей.
-5
6:с
Рис. 16.12 .
Длины полуосей этого эллипса равны соответственно 2 уз~ 3,46
и Vб ~ 2,45. Таким образом мы находим и остальные линии уровня
(из числа требуемых по условию задачи). Построив их (рис. 16.12),
мы видим, что в нашем случае линии уровня образуют семейство
174

концентрических подобных друг другу эллипсов, причем большему
значению уровня отвеч-ает эллипс, расположенный ближе к их об­
щему центру.
Находим общее выражение для градиента:
дf дf
grad f (х, у)= дх l +ау j = -2xl-4yj,
а затем-его значения в точках М1 и М2 :
grad f (х, у) !м, =-4l-Bj, grad f (х, у) !м, =0,
Второй из этих векторов оказался нулевым, первый же мы
строим, помещая его начало в точку М1 .
Проводим через точки М 1 и М2 оси в направлении вектора 10 .
Для вычисления производной по этому направлению мы можем
воспольюваться как формулой
дf дf
дf
7ff=ax cosа+ ду cos ~.
где а и ~-углы, составленные осью l с координатными осями, так
и формулой
•
дfдl=lo· grad f,
где 10 -единичный вектор направления l.
В нашем случае несколько более удобным оказывается второй
способ:
Геоме,:рически каждое из найденных значений представляет собой
величину проекции соответствующего (векторного!) значения гради­
-+
ента на ось l. На рис. 16.12 вектор М1Р представляет собой значе-
-+
ние grad f в точке М1; М1 Q-ero проекция на ось l. (Так как
угол PM1N тупой, то величина этой проекции отрицательна).
2. Выражение для f (х, у) удобно записать в виде
f (х, у)= (х-2) (у-2).
Линии уровня представляют собой равнобочные гиперболы, асимп­
тотами которых служат прямые Х=2 и у=2 (совокупность этих
двух прямых тоже является линией уровня для значения f (х, у) =0).
дf 1 ,r,,
ВточкеМ1(4; 3): gradf.= l+2J, ат=2+у3~2,23,
дf
В точке М 2 (2; 2): gradf=0; дl =0.
175

3, Семейство линий уровня состоит из конгруэнтных друг другу
парабол с осью у ::: 2 и значением параметра р = 2.
дf
В точке М1 (2; 3): grad f =-4l+2J, ат=О.
дf
4
В точке М2 (4; 2): gradf=4l, ж=- у'К~-1,79.
4. Линии уровня образуют семейство параллельных друг другу
прямых.
В точках М1 (1; 2) и М2 (3; 1) (как и в любой другой точке):
.
дf 3у'з
grad f=3i+4J, ат=-2 -+2 ~ 4,60.
5. Ищем сначала все те точки области D, в которых градиент
f (х, у) обращается в О. Для этого нам надQ_ решить систему уравнений
дf (х, у)
дх
о,
дf (х, у)
ду
о.
Подставляя сюда выражения для частных производных, мы видим,
что единственным решением этой системы является пара чисел х=О,
у =0. Соответствующая точка лежит внутри области D. Вычисляя
значение f (х, у) в этой точке, мы получаем / (О, О)= 12 (рис. 16.13).
!/
-7
(lJ
Рис. 16.13.
Исследуем теперь нашу функцию на границе области D. Отрезок АВ
имеет уравнение у=2. Поэтому i:p1 (x)=f(x, 2)=4-х2 . Отрезку АВ
отвечает промежуток изменения х от -4 до 2. Исследуя на этом
промежутке функцию q>1 (х), мы находим, что она имеет максимум
прих=О: i:p1(О)=/(О,2)=4.ДляточекАиВполучаем
f(х, у)[А=q>1(~4)= -12, f(х, у)lв=q>1(2)=О.
176

На отрезке ВС, который имеет уравнение х=2, получаем
(f2(Y)=f·(x, y)j =f(2, у)=8-2у2.
'
вс
Отрезку ВС отвечает промежуток изменения у от -4 до 2.
Функция (J)2 (у) имеет максимум при у= О: q,2 (О)= f (2; О)== В.
Вычисляем значения f (х, у) на концах отрезка ВС:
f (х, u)j8 =(J)2(2)=0, f(x, u)jc=q,2(-4)=-24.
Записав уравнение АС в виде у=-(х+2), мы получаем
(J)s(X)=f(x, y)Jлc=f(x, -(х+2))=4-8х-3х2,
Точка (х; - (x-t -2)) пробегает АС при изменении х от -4 до 2.
Рассматривая q, 3 (х) на этом промежутке, мы находим, что она имеет
максимум при Х=-4/3: q; 3(-4/3)=f (-4/3, -2/3)=28/3. Значения
же q;8 (х), отвечающие концам отрезка АС, у нас уже вычислены:
l"fз (-4)= f (-4, 2) =-12, q,3 (2) = f (2, -4) =-24. Сравнивая между
собой все найденные значения, мы приходим к выводу, что функция
f (х, у) (относительно области D) достигает абсолютного максимума
в точке О (О, О), а абсолютного минимума-в точке С (2; -4):
maxf(х,у)=f(О,О)=12, minf(х, у)=f(2, -4)= -24.
D
D
Полученные результаты хорошо иллюстрируются рис. 16.13. По
изображенным линиям уровня видно, что f(A)=-12, f(B)=0,
f(С)=-24, f(Е)=8, f(Р)=4, f(Н)=28/3.
6. maxf(х,у)=f(О, О)=4, minf(х,у)=f(4, О)= -4.
D
D
7. maxf(х,у)=f(О,6)=12, minf(х,у)=f(6,. О) =-24.
D
D
8. max f(х,у)=f(2,3)= 18, minf(х,у)=f(О,О)=О.
D
D
9. В отличие от рассмотренных в rлаве 16 примеров 16.2 и 16.4
(см. также п. 16.4 .3), мы здесь ищем не минимум, а максимум
функции. Поэтому выбор разрешающего столбца нам нужно будет
производить, ориентируясь уже не на отрицательные, а на положи­
тельные коэффициенты в этой строке симплекс-таблицы, которая
отвечает w. Все остальные операции с этими таблицами проводятся
так же, как и при отыскании минимума. Ниже приводится подроб­
ное решение примера.
Строим область D, определяемую данными системами неравенств
(«ограничениями-неравенствами»),- см. рис. 16.14, rде область D
представляет собой многоугольник OABCEF. Прямая F'F"-одна из
линий уровня функции w, Е' Е" и О'О" -опорные прямые.
Задавшись произвольно выбранным значением С, строим одну
из линий уровня функции w: Зх+4у=С. (На рис. 16.14 построена
прямая 3x-f-4y= 12.)
Параллельно этой линии проводим опорные к области D пря•
мые. Одна из них будет проходить через точку О (О; О), другая-че,
рез то•1ку Е (2; 3). В этих точках. w и достигает своих абсолютного
максимума и абсолютного минимума: Wmax = w (2, 3) = 18, Wmin =
= w (О, 0)=0.
177

Для решения задачи симплекс-методом мы, прежде всего, преоб­
разуем ее к виду
Xj?-0 (i=I, 2, ... , 6).
В такой записи переменные х1 и х2 являются свободными, а х8, х4,
х5 и х6 -базисными. Положив эти свободные переменные х1 и х2
:Cz
2-
1
о
'
5 .Cf
о"
Рис. 16.14 .
равными нулю, мы попадаем в точку О (О; О). (На рис. 16.15 стре.~~­
ками показаны переходы из точки О(х1= х2= О)вточку F(х1= х4= О)
i&
ИнзточкиfВточкуЕ(Х4=Х5 =О).
1.
Около каждой стороны многоуголь-
Jf-
[
ника OABCEF указано, какая из
переменных обращается в О на этой
·1J9-0
стороне.) Составляем теперь исход-
~~
ную симплекс-таблицу, записывая
С
в левых верхних углах коэффициен-
с::,
11
{i
в
ты исходной системы ограничений
и выражения для w (табл. 16.6).
Просматривая нижнюю строку
этой таблицы, мы выбираем в ка­
честве «разрешающего» такой стол-
1:ец, которому отвечает положи­
тельный коэффициент при свобод­
:Сt ' •ной переменной в выражении для w.
Рис. 16.15.
В нашем случае можно выбрать лю­
бой из столбцов, соответствующих
переменным х1 и х2 • Для определенности остановим свой выбор на
том, который связан с х2 • Выбрав разрешающий столбец, мы при•
ступаем к заполнению столбца «ограничения». Коэффициент, стоящий
178

ТА БЛИЦ А )6.6
Свободные nеременные
Баз11сные
nеременные
Свободные
1
1
1 Ограничения
члены
х,
х.•
3
-1
о
Х3
0в.
-
о
о
ш
3
о
-1
-
Х4
[о]
-
El3
ш
5
-1
-1
Ха
0в
5
-3
о
QJ
1
1-во 1' ~1I
Хе
0
-
6
1
о
1
3
4
w
@] [II
12
о
Е]
на пересечении разрешающего столбца со строкой для х3 , равен О.
Так как это число не является отрицательным, то в соответствую­
щей клетке столбца «ограничения» мы делаем прочерк. Спускаясь
по разрешающему столбцу строчкой ниже, мы видим, что стоящий
здесь коэффициент отрицателен. Деля свободный член строки для х4
на этот коэфф11циент и изменяя знак р~зультата на противополож-
3
ный, мы получаем число для записи в столбец «ограничения»:- _ 1
=3.
Точно таким же образом мы получаем в строке для х1 значение
«ограничения», равное 5, а в строке для х6 ставим в столбце «огра­
ничения» прочерк (коэффициент 2 в этой строке неотрицателен).
Строка для w в этом процессе не используется. Наименьшее из
179

чисел, полученных в столбце «ограничения», указывает, какую из
строк мы должны принять в качестве разрешающей. У нас такой
строкой оказывается строка для х4 . Элемент, стоящий на пересече­
нии разрешающих строки и столбца, называется разрешающим
(в табл. 16.6 он отмечен подчеркиванием.)
.После этого мы начинаем пересчет таблицы. Он начинается
с заполнения правых нижних углов в разрешающей строке. Прежде
всего мы записываем в клетке для разрешающего элемента число,
ему обратное, а в остальных клетках этой строки-взятые с проти­
воположным знаком произведения стоящих там чисел на это обрат­
ное разрешающему элементу число. Все вновь полученные в разре­
шающей строке числа мы «закрепляем» (в табл. 16.6 это «закрепление»
ТАБЛИЦА 16.7
Свободные переменные
Базисные
переменные
Свободные
1
1
1 Ограничения
члены
х,
х.
3
-1
о
Ха
QJ
в3
-2
Q] -1
..
3
о
-1
Х2
ш
в-
о
~о
2
-1
1
-
Х5
-
Q]2
0в
7
-1
-2
1
Ха
~
7
-2
QJ в_,_
12
3
-4
w
@]
в
6
в
3
180

показано квадратиками). Далее в правых нижних углах клеток всех
остальных строк мы записываем произведения элемента, стоящего
на пересечении обрабатываемой сtроки и разрешающего столбца, на
соответствующее «закрепленное» чис,!Jо из разрешающей строки.
После того, как эти расчеты для всех строк будут закончены, мы
сначала закрепим все вновь J)ассчитанные числа в разрешающем
столбце, а затем в тех клетках таблицы, где еще не окажется закреп­
ленных чисел, сложим стоящие там два числа и закрепим их сумму.
Этим завершаются расчеты для первой из наших т~блиц.
Составляем теперь следующую таблицу (табл. 16.7), которая
будет отличаться от исходной тем, что обозначения переменных х2 и х4 ,
отвечающих разрешающим столбцу и строке, меняются местами,
а в левых верхних углах ее ставятся те числа, которые оказались
в предыдущей таблице «закрепленными». С этой новой таблицей мы
производим такие же расчеты, как и с первой. Заметим, что здесь
уже в качестве «разрешающего» может быть выбран только столбец,
отвечающий х1 , ибо в другом столбце (для х4 ) коэффициент в
строке для w отрицательный.
ТА БЛИЦ А 16.8
Свободные переменные
Базисные
переменные
Свободные
1
1
1
члены
х.
х.
Ограничения
1
1
1
-1
Ха
··---
з
о
-1
Х9
-- --
2
-1
1
Х1
5
1
-3
Хе
1
18
-3
-1,
w
Закончив эти расчеты и перейдя к очередной таблице (табл. 16.8),
мы видим, что в ней выбор разрешающего столбца невозможен, ибо
в строке для w оба коэффициента как при х5 , так и при х4 отрица­
цате.льны. Это служит признаком того, что искомый максимум
достигнут. Положив свободные (свободные- на этом последнем шаге)
переменные равными О, мы получаем Wmax = 18 при х4 = Хъ = О,
181

х3 =1, х2 =3, х1 =2 IJ х8 =5. Переход от табл. 16.6 к табл. 16.7
геометрически соответствует переходу из точки О (О; О), отвечающей
нулевым значениям свободных переменных х1 и х2 , вдоль отрезка OF
в точку F (О; 3), которая отвечает нулевым значениям нового набора
свободных переменных х1 и х4 (двигаясь по OF, мы сохранили х1
равной О, а значение х2 увеличивали до значения 3 (оно стоит у нас
в столбце «ограничения» на его пересечении со строкой для х4 ) (см.
рис. 16.15). ТТ_ереход от табл. 16.7, к таqл. 16.8 геометрически соот­
ветствует движению по отрезку F Е из точки F в точку Е (при этом х4
сохраняется равным О, а х1 увеличивается до значения 2, которое
стоит у нас в табл. 16.7 на пересечении столбца «Qграничения» со
строкой для х6 ). Точка Е отвечает нулевым значениям ставших на
этом шаге свободными переменных х4 и х6 • Так как по табл. 16.8
мы убедились в невозможности дальнейшего увеличения w, то сле­
дует заключить, что эта точка Е и доставляет функции w искомый
максимум. (Если бы мы на первом шаге выбрали в качестве разре­
шающего столбец для х1 , то наш путь к максимуму проходил бы
через точки А, В и С, и нам потребовалось бы проводить пересчет
таблиц четыре раза. Попробуйте решить задачу также 1t этим путем.)
10. Wmin= 10 при х1=Х2=5.
_1 1. Wmin=4 при х1 =2, Х2 =6.
12. Хотя область D и неограничена, искомый минимум сущест­
вует и достигается в точке (4; 1): Wmtn =-3 при XJ = 4, х2 = 1. (При
использовании симплекс-таблиц мы здесь и «не почувствуем» неогра­
ниченности D.)
13. w не ограничена снизу, следовательно, искомый минимум не
существует (нет нужной нам опорной прямой). Решение при помощи
симплекс-таблиц заканчивается на том шаге, когда в столбце «огра­
ничения» во всех клетках будет поставлен прочерк (это и есть при­
знак неограниченности w в направлении поиска).
14. Wmax= 7 йли х1=4, х2=3. (В этом примере, как и в при­
мере 9, мы имеем дело с поиском максимума. Поэтому разрешаю­
щий столбец в симплекс-таблицах мы должны искать, ориентируясь
на положительные коэффициенты при свободных переменных в строке
для w.)
15. Wm!n = 4. Это значение w принимает в каждой точке отрезка,
соединяющего точки (2; 4) и (3, 3). Решение симплекс-методом закон­
чится по достижении какой-либо одной из этих точек. (При этом
один из коэффициентов в строке w будет равен О, а остальные -
неотрицательны.)
•
16. w не ограничена сверху. Искомого максимума не существует.
17. Wm1n=6 при х1 =Х2 =Хв= 1.
18. Wmin=l9 при х2 =Х4 =0, Х1=9, Хв=7,

ГЛАВА17
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЬIЕ УРАВНЕНИЯ
§ 17.1. Введение
17.1 .1. Понятие о дифференциальном уравнении. За­
дачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Функция от совокупности переменных и их производных
является дифференциальным выражением, а уравнение,
содержащее дифференциальное выражение, называется
дифференциальным уравнением.
Переменные, по которым дифференцируют, называются
независимыми переменными; те, от которых взяты произ­
водные,- их функциями или зависимыми переменными.·
Соотношение вида
F(
,
"
х,у,у'у'
у<п>) -0
... ,
-
'
(17.1)
где f-известная функция своих аргументов, заданная
в н~которой фиксированной области, х-независимая пе­
рем~нная, у-зависимая переменная, т. е. функция пере­
менной х, подлежащая определению, у', у", ... , у<п)_ее
производные, называется обыкновенным дифференциальным
уравнением.
В приложениях математики к техническим и физиче­
ским наукам дифференциальные уравнения встречаются
часто, так как многие физические законы проще всего
выражаются при помощи дифференциальных символов.
Рассмотрим некоторые задачи, сводящиеся к дифферен­
циальным уравнениям.
3 ад а ч а 17.1 . Найти уравнение, описывающее химическую
реакцию, подчиненную «закону действия масс», который утверждает,
что скорость, с которой вещества превращаются в соединения, про­
порциональна произведению количеств тех веществ, которые еще
не соединились.
183

Решен и е. Химические реа1щии не происходят моментально
после того, как реагенты приведены в соприкосновение. Пройдет
некоторое время прежде, чем вся масса одного вещества вступит
в реакцию с остальными веществами: Скорость образования соеди­
нения, однако, не постоянна, а изменяется вместе с количеством
веществ, которые способны вступить в соединение. Во многих про­
стых процессах скорость реакции подчиняется закону, известному
под названием «закон действия масс».
Пусть х есть число молекул соединения, образовавшихся к мо­
менту времени t, и пусть каждая молекула соединения содержит п
молекул одного вещества и т молекул другого. Допустим, каконец,
что в начале процесса было N молекул первого вещества и М вто­
рого. Тогда число не соединившихся молекул каждого вещества
равно соответственно N -пх и М -тх. Закон действия масс утверж-
dх
дает, что скорость образования новых. молекул соединения, т. е. dt,
пропорциональна произведению двух последних величин. Таким об­
разом, получаем дифференциальное уравнение
dx
dt=k(N-nx) (М-тх).
3 ад а ч а 17 .2. Предположим, что материальная точка движется
по прямой. Пусть направление движения совпадает с положитель­
ным направлением оси Ох; при этом в момент времени t точка зани­
мает положение х. Пусть непрерывная при всех рассматриваемых t
фу;кция времени f (/) определяет скорость движения точки. Найти
4ункциональную зависимость х от t, если известно, что в некото­
рый момент времени t0 точка занимает положение х0 .
Р еше н и е. Поскольку скорость движения рассматриваемой
точки. в момент времени t равна производной от х по t, то, оче­
видно, имеем
(17.2)
Равенство (17.2) есть дифференциальное уравнение движения рас­
сматриваемой точки. Это равенство опредеJ1яет закон движения
в дифференциальной форме. Интегрируя уравнение (17.2), найдем
интересующий нас закон в явном виде, т. е. в виде
Х=Х (f).
Процесс интегрирования (17.2) состоит в нахождении всех пер­
вообразных для функции f (t)
t
Х= ~ f (t)dt+C.
(17.3)
t.
Выделим из (17.3) интересующее нас движение (решение), в котором
Х=Хо при f=t0.
(17.4)
Имеем
t.
Хо=~ f(t)dt+C,
to
184

откуда С= х0 , и, следовательно, искомым движением (решением)
будет
t
Х= ~ f (t)dt+x0 •
(17.5)
to
Формула (17.5) дает искомый закон движения материальной точки
Других движений, определяемых дифференциальным уравнением
(17.2) и условием (17.4), нет.
В заключение пункта рас- ~
смотрим геометрическую зада­
чу, приводящую к построению
дифференциального уравнения.
•
3 ада ч а 17.3. Найти кривую
(рис. 17.1), ·длина. подкасательной
к которой постоянна. (Подкасатель­
ной к плоской кривой в точке
М (х, у)· называется направленный
отрезок, заключенный между точ­
кой пересечения касательной к
9
кривой в точке М с осью Ох, и проекцией
Р е ш е н и е. Длина подкасательной
Следовательно,
или
dx
PN=MN,ctga.=ydy.
dx
уdy=k,
dx=kdy•
у
откуда (интегрируя обе части равенства)
x+C=klny.
N :,;
Рис. 17.1 .
точки М на ось Ох.)
(17.6)
Если произвольную постоянную С положить равной k \n а, получим
y=aexfk,
17 .1.2. Основные понятия: порядок дифференциаль­
ного уравнения, начальные условия, общее и частное
решения, граничные условия. Порядком дифференциаль­
ного уравнения называется порядок старщей производ­
ной, входящий в него. Так, порядок уравнения
y"+p(x)y'+q(x)y=f(x)
(17.7)
равен двум. Порядок уравнений (17.2) и (17.6) равен
единице. Уравнение п-го порядка всегда можно записать
в виде (17, 1).
185

Наряду с уравнением (17.1) будем рассматривать
дифференциальное уравнение вида
y<n>=f(x,y,y', ... ,у<п-1>),
(17.1')
т. е. дифференциальное уравнение п-го порядка, разре­
шенное относительно старшей производной. Это уравне­
ние называется дифференциальным уравнением п-го порядка
в нормальной форме.
Всякая функция, связывающая переменные и обра­
щающая дифференциальное уравнение в верное равен­
ство, называется решением дифференциального уравнения.
Например, дифференциальное уравнение
(17.8)
имеет решение
(17.9)
Действительно, подставляя (17.9) в (17.8), получим тож­
дество
Функция (17.9) дает решение уравнения (17.8) в виде,
разрешенном относительно у, т. е. у есть явная функ­
ция от х. Кроме того, в этом случае у составлено из
известных элементарных функций аргумента х. Такая
форма решения не является необходимой. Действительно,
выражение
(17.10)
точно так же представляет решение уравнения ( 17,8),
хотя оно. не разрешено относительно у и представляет у
как неявную функцию х. Далее, очевидно, нельзя требо­
вать, чтобы у выражалось через элементарные функции
аргумента. Последнее может быть выяснено на следую­
щем примере.
Уравнение
dy
•
0
Xdx-SIПX=
(х =1= О)
(17.11)
равносильно следующему:
dy sinх
dx=-x -•
186

sinx
Откуда следует, что инт~грал от
есть решение, и
х
.
хотя это решение и может быть записано в виде, разре­
шенном относительно у:
5sinx d
У= -х- _х,
однако оно не может быть выражено в элементарн_ых
функциях.
График решения дифференциального уравнения назы­
вается интегральной кривой этого уравнения.
Процесс нахождения решений данного дифференциаль­
ного уравнения называется интегрированием этого урав­
нения. Если все решения, например (17.2), (17.6), удается
выразить в элементарных функциях, то говорят, что
уравнение проинтегрировано в элементарных функциях.
Если уравнение, не интегрируется в элемент ар н ы х
функциях, например (17.11), но его решения выражаются
через определенный • или неопределенный интеграл от
элементарных функций, то говорят, что уравнение про­
интеrриров~но в к в ад р ат ура х. Если удается проин­
тегрировать дифференциальное уравнение в элементарных
функциях или квадратурах, то говорят, что уравнение
интегрируемо в конечном виде.
Основная задача теории дифференциальных уравне­
ний состоит в нахождении всех решений данного урав­
нения и изучении свойств этих решений.
В задаче 17 .2 требовалось найти решение дифферен­
циального уравнения, принимающее заданное значение
при заданном значении независимой переменной. Такая
задача называется начальной задачей или задачей Коши.
В общем случае для уравнения первого порядка вида
у'=f(х,у)
(17.12)
начальная задача ставится так: требуется найти решение
У=У (х)
(17.13)
уравнения (17.2), удовлетворяющее начальному условию
У=Уо при Х=Х0•
(17.14)
При этом предполагаем, что правая часть дифференциаль­
ного уравнения (17.12) определена в некоторой окрестности
ТОЧКИ (х0 , у0).
•
187

Таким образом, мы определяем начальную задачу как
совокупность уравнения и начального условия. Решение
задачи (17.12), (17.14) будем записывать в виде
(17.15)
Для дифференциального уравнения n-ro порядка на­
чальная задача ставится аналогично: найти решение
(17.13) дифференциального уравнения (17.1), удовлетво­
ряющее условиям
У=У0, у'=у;, ... , g1п-i>=y~n-l>
при Х=Х0 1). (17.16)
При 9том решение задачи (17.1), (17.16) будем записы­
вать в виде
(
'
<n-1>)
У=У Х, Хо, Уо, Уо, •••• Уо
•
(17.17)
Определив начальную задачу (17.1), (17.16), естест­
венно поставить вопрос об ее единственности.
Будем говорить, что задача (17.1), (17.16) имеет един­
ственное решение, если существует такая окрестность
ТОЧКИ Х0 ,
(17.18)
в которой определено решение (-17 .17) и не существует
решения
определенного в той же окрестности (17.18), значения
которого не совпадают со значениями решения (17 .17)
хотя бы в одной точке окрестности (17.18), отличной от
ТОЧКИ Х0 •
Рассмотрим некоторую область D изменения перемен­
ных Х, У, у', ,,,, у<п-1).
Предположим, что в каждой точке области D имеет
место существование и единственность решения началь­
ной задачи.
Функция
(17.19)
определенная в некоторой области изменения перемен­
ных х, С1 , ••• , Сп и имеющая непрерывные частные
1) В этой записи у0, у;, ... , у~n- 1>-данные вещественные числа.
188

производные по х до порядка п включительно, называется
общим решением уравнения (17.l') в области D, если
l) Система уравнений
y=q>(X, С1~ •·,,Сп),
y'=q>'(x,C1 ,
••• ,.Сп),
(17.20)
разрешима в области D относительно произвольных по­
стоянных С1, ••• , Сп:
с.1,/
'
(n-11)
i= 't'i\.x, у, у'
...,у
(i= 1, ... , п). (17.21)
2) Функция (17.19) является решением уравнения (17. l ')
при всех значениях произвольных постоянных С1 , ...
. . . , Сп, доставляемых формулами (17.21), когда точка
(х, у, у', ... , y<n- 11 ) пробегает область D.
Общее решение, заданное неявно уравнением
F(х, у, Ci, ..., Сп)= О,
называется общим интегралом.
Общее решение (17.19) содержит в себе все решения
уравнения (17. l ') с начальными данными из области D:
каждое из этих решений получается из формулы (17.19)
при соответствующих значениях произвольных постоянw,~х.
В силу этого мы можем рассматривать обратную задачу -
задачу построения дифференциального уравнения по из­
вестному общему решению.
Пусть дано п-параметрическое семейство ( 17.19), удов­
летворяющее условию l) определения общеtо решения.
Чтобы восстановить дифференциальное уравнение этого
семейства, достаточно продифференцировать п раз урав­
нение ( 17 .19) по х и заменить в полученном уравнении Ci,
используя формулу (17.21). Из сказанного выше мы можем
заметить, что количество произвольных постоянных равно
порядку построенного дифференциального уравнения. Так,
однопараметрическое семейство есть общее решение диф­
ференциалы-юго уравнения первого порядка и т. д. Вос­
становление дифференциального уравнения, порождающего
заданное семейство, используется при решении некоторых
практических задач. Рассмотрим задачу о нахождении
ортогональных траекторий.
189

3 ад а ч а 17.4 . Найти ортогональные траектории семейства rи•
пербол
у= С/х.
(17.22)
• Решен и е. Ортогональной траекторией семейства кривых назы•
вается кривая, перпендикулярная всем кривым данного семейства 1).
Чтобы найти ортогональные траектории семейства кри·вых, надо
восстановить дифференциальное уравнение, порождающее это семей­
ство. Для этого дифференцируем (17.22) по х: у' =-С/х2 и исклю­
чаем параметр С, используя уравнение (17.22) в виде С= ух. Получим
у'=-у/х.
(17.23)
Возьмем на одной из кривых семейства (17.22), порождаемого диф­
ференциальным уравнением (17.23), произвольную точку М (х; у).
Уr лавой коэффициент касательной в этой точке k 1 =у', следователь­
но, угловой коэффициент прямой, проходящей через эту же точку,
но перпендикулярно касательной k2 =-1/k1 =-1/y'. Заменяя в ле­
вой части уравнения (17.23) у' на -1/у', мы и получим дифферен­
циальное уравнение семей­
ства ортqгональных кривых
:с
--=-..!!..
у'
х
или
xdx=ydy. (17.23')
Интегрируя это уравнение,
мы найдем, что уравнение
семейства ортогональных се­
мейству (17.22) кривых бу­
дет иметь вид (рис. 17.2)
х2-у2=С1
(на рис. 17 .2 произвольные
постоянные С и С1 положи­
тельны).
Решение у= у (х), в
каждой точке которого
сохраняется единствен­
ность решения начальной задачи, называется частным
решением. Решение, содержащееся в формуле общего
решения (17.19), т. е. получающееся из нее при фиксиро­
ванном числовом значении произвольной постоянной
(включая ±оо), является частным решением.
Наряду с начальной задачей рассматриваются так на­
зываемые граничные (краевые) задачи, в которых условия
задаются не в одной точке, как это имеет место в началь­
ной задаче, а на концах некоторого интервала [а, Ь] и
разыскивается решение, определенное внутри этого интер-
Рис. 17.2.
1) Угол между кривыми измеряется углом между касательными,
проведенными к этим кривым в точке их пересечения.
190

вала. Условия, задаваемьrе на концах интервала, назы­
ваются граничными (краевыми) условиями.
Необходимо отметить, что постановка граничной за­
дачи имеет смысл только для уравнений порядка выше
первого; при этом указанная задача не всегда имеет ре­
шение, а если имеет, то чаще всего не единственное.
Пр им ер 17.1 . Найти решение уравнения
у" =6х,
удовлетворяющее:
1) начальным условиям
у=О, у'= l при х=О;
2) граничным (краевым) условиям
и=О при Х=О,
y=I при X=I.
(17.24)
(17.25)
(17.26)
Решен и е..Интеrрируя последовательно уравнение (17.24), имеем
у"-Зх2 +С1,
у=х3 +С1х+С2 •
Подставляя в (17.27) начальные условия (17.25), будем иметь
l=З·О+Сн
О=О+С1 ·О+С2 ,
откуда
так, что искомым решением будет
и=хз+х.
(17.27)
Найдем частное решение, удовлетворяющее граничным условиям
(17.26). Имеем
О=О+С1 -о+С2 ,
1= 1+с1·1+cs.
Тогда С1 =0, С2 =0, и, следовательно, искомое частное решение будет
иметь вид
§ 17 .2. Дифференциальные уравнен11я первого порядка
17 .2.1 . Геометрическая интерпретация дифференциаль­
ного уравнения первого порядка. Известно, что всщюе
уравнение вида у= f (х) может быть графически изобра­
жено при помощи кривой линии на плоскости хОу. При
этом по заданному значению х это уравнение определяет
одно значение у, т. е. мы получаем одну точку на кривой.
Придавая х другие значения, мы получаем другие точки
кривой. Иными словами, уравнение у= f (х) определяет
191

кривую на плоскости хОу, связывая друг с другом коор­
динаты ее точек.
Дифференциальное же уравнение не связывает непо­
средственно х с у. Процесс в этом случае совершенно
другой. •
Рассмотрим уравнение первого порядка (17. 12)
y'=f(x, у).
Подстановка некоторого определенного значения х в это
уравнение не приводит к значению у; зато когда х и у
оба получают заданные значения, определяется значение у',
!/
Рис. 17.3,
т. е. для выбранной
точки (х; у) уравнение
(17.12) определяет на­
правление, в котором
должна проходить инте­
гральная кривая через
точку (х; у), если она
вообще проходит через
эту точку.
Предположим, что
мы определили направ­
ления, соответствующие
большому числу точек
ill и отметили эти направ~
ления стрелками (рис.
17.3).
Посмотрев на рису~
нок, мы видим, что каж~
дая стрелка направлена
к стрелке, расположенной над ней таким образом, что
стрелки собираются в группы. Начиная с некоторой точки
А и связывая стрелки такой группы вместе, мы получим
кривую, имеющую в точках, отмеченных стрелками, тан­
генс угла наклона касательной, задаваемой уравнением
(17.12). Увеличивая неограниченно число стрелок, мы
приближаемся к предельной кривой, координаты и наклон
касательной которой удовлетворяют дифференциальному
уравнению уже в каждой точке. Эта предельная кривая
или, точнее, соотношение между у и х, которое она гра­
фически изображает, есть решение уравнения (17.12).
Таким образом, дифференциальное уравнение опреде­
ляет кривую, указы в а я направление, в к от о­
ромэта кривая проходитвкаждойееточке.
192

Эта геометрическая картина дает графический метод
решения дифференциального уравнения. Практически этот
метод дает не очень -точные результаты, но тем не менее
иногда пр·именяется, когда более т<;>чные методы оказы-
ваются слишком сложными.
•
17.2.2 . Простейшие типы дифференциальных уравне­
ний первого порядка: уравнt:ния с разделяющими перемен­
ными, линейные уравнения. Рассмотрим дифференциальное
уравнение первого порядка, представленное в виде (17.12),
:;=f (х; у).
Если f (х, у) оказывается произведением функции пе­
ременной х на функцию переменной у, то она может быть
записана в виде
f(x, У)= f1 (х) f2 (у).
В этом случае уравнение (17.12) принимает вид
dy
dx=f1(~)f2(y)
(17.28)
и называется уравнением с разделяющимися переменными.
Предположим, что f 2 (у) не обращается в нуль при рас­
сматриваемых значениях у. Разделив обе части уравне­
ния (17.28) на f2 (у) и умножив их на dx, будем иметь
dy
12 (у)= f1 (х) dx.
Инт.е~рируя полученное уравнение, найдем общий интеграл
уравнения ( 17 .28)
S12d~> = Sf1 (x)dx+c.
Описанный процесс известен как «решение дифференци­
ального уравнения при помощи разделения переменных».
П р и м е р 17 .2. Найти решения уравнения
::=x(I +у2).
Разделяя переменные, получим
dy
l+y2 =xdx.
Интегрируя, найдем
7 Под ред. Н. М, Матвеева, ч. 11
193

откуда общее ре~μение будет иметь вид
u=tg (~+с).
Если f2 (у) обращается в нуль при у= Ь, то прям а я
у=Ь является решением уравнения (17.28). Эrо решение
может не содержаться в общем интеграле (см., например,
упражнение 19).
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение пер­
вого порядка
i+р(х)у=q(х).
(17.29)
Сделав в уравнении (17.29) замену искомой функции у по
формуле
•
z=и(х)у,
где и (х)-пока неопределенная функция от х, получим
:;+(р(х)- ~ t)z=q(x)u(x).
(17.30)
Выберем функцию и (х) так, чтобы коэффициент при z
в уравнении (17.30) обратился в нуль
р(х)-_!._
ddu = О⇒и(х)
=
еfР(х)dx•
их
Тогда уравнение (17.30) примет вид
dz
()fp(x)dx
dx=qxe
,
откуда
z-: ~ q(х)efР<xl dx dx+С.
Возвращаясь к искомой функции у, получим общее реше-
ние уравнения (17.29) в виде
•
у=е-fР<х>dx (С+ ~ q(х)efР(х)dxdx) . (17.31)
Пр им ер 17.3 . Найти общее решение уравнения
dy
dx +хи=х.
Здесь
р(х)=Х, q(х)=Х.
194
(17.32)

Поэтому
-fр(х)dx
-
fхdx
- x•ti
е
=е
=е
,
r
rР (х) dx
r1/
1/
Jq(х)е
dx=J~2dx=е" •
(произвольные постоянные интегрирования опускаются). Подстановка
в формулу (17.31) дает
у=е-х•/2 (C+r"I•),
ИJIИ
§ 17.3. Дифференциальные уравнения порядка выше
первого
17 .3.1. Линейные дифференциальные уравнения вто­
рого порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим
уравнение второго порядка
y"+py'+qy· о,
(17.33)
где р и q-вещественные числа.
Наша задача состоит в том, чтобы найти веществен­
ные решения уравнения (17.33). Однако для нахождения
последних иногда используются к ом пл е к сны е решения.
Под комплексным решением уравнения (17.33) мы будем
понимать комплексную функцию вещественной перемен­
ной х вида
у= и(х) +iv(x)
(17.34)
(и (х) и v (х)- вещественные функции), обращающую урав­
нение (17.33) в тождество. При этом производные от функ­
ции (17.34) определяются так:
у'= и' (х) + iv' (х),
у"=и"(х)+iv"(х).
Нетрудно убедиться, что вещественная и мнимая части
комплексного решения '(17.34), т. е. функции и(х) и v(x)
являются решениями уравнения (17.33), так что имеют
место тождества
h"(х)+ри'(х)+qu(х) =О,
v"(х)+pv'(х)+qv(х) =О.
Будем разыскивать частное решение уравнения (17.33)
в виде
(17.35)
1•
. 195

1·де л-неизвестное число. Согласно определению решения
функция (17.35) будет решением, если'она обращает урав•
нение (17.33) в тождество, т. е., подставив (17.35) в (17:33),.
мы должны получить
л,2еАх +рлеАх +qeAx == 0,
или
где
Р(л)=л 2 +рл+q.
(17.36)
Из (17.36) следует, что интересующее нас тождество будет
выполнено тогда и только тогда, когда Р (л)= О, т. е. л
является корнем уравнения
л2 +рл+q=О.
(17.37)
Эrо уравнение называется характеристическим уравнением,
а его корни-характеристическими числами уравнения
(17.33).
Заметим, что характеристическое уравнение (17.37)
может быть составлено по данному дифференциальному
уравнению (17.33) заменой у", у' и у на л.2 , л и 1 соот­
ветственно, т. е. степень л совпадает с порядком произ­
водной, если условиться считать, что производная нуле­
вого порядка от функции есть сама функция.
Структура общего решения уравнения (17.33), очевидно,
зависит от вида корней характеристического уравнения
(17.37).
Рассмотрим сначала случай, когда корни различны.
Предположим, что они веществен н ы е. Обозначим их
через л1 и л1. Тогда, подставл~я в формулу (17.35) вместо л
числа л. 1 и л.2 , получим два частных решения уравнения
(17.33)
(17.38)
Общее решение уравнения (17.33) в этом случае будет
иметь вид
у= С1еА,х + С2еА1х,
(17.39)
Действительно, функция (17.39) удовлетворяет требо­
ваниям, налагаемым на общее решение, указанным в_
п. 17.1.2, так как сист~ма
у=С1еА,х+саеА,х, }
у'= С1л1еА,х + с.х.еА,ж
196

разрешима относitтельн,о С1 и С2 (ибо_л.1 :;Ьсл.2) и функция
(17;39) является р~шением уравнения (17.33) при всех
С1иС2.
Пр им ер 17.4 . Пусть .дано уравнение
y"-k2 y=0.
Имеем
'J..2-k2=0 ~'А.1 =k, 'A.2='-k ~ У1 =ekx, Y2=e-kx,
Общим решением будет
у =Ciekx +C2e-kx.
Предположим теперь, что корни характеристического
уравнения . к ом пл е к сны. Так как коэффициенты этого
уравнения вещественны, тЬ его комплексные корни явля­
ются сопряженным и: л1 = a+ib, л 2 = a-ib.
Подставляя корень л1 =а+ ib в формулу (17 ..35), по­
лучим комплексное решение
у= е(а+iЬ) х,
Но
е<а+ib) х= eaxeibx= еах (cosЬх+isinЬх)'
поэтому решение (17.39) можно записать так:
(17.40)
у= еах cos Ьх +ieax sin Ьх.
(17.40')
Отделяя в комплексном решении (17.40') веществен­
ную и мнимую части, получим два вещественных частных
решения
у1 =.== еах cos Ьх, у2= eax.sin Ьх.
(17.41)
Общее решение уравнения (17.34) в этом случае будет
иметь вид
У= еах (С1 cos Ьх +С2 sin Ьх).
(17.42)
Если корни л1 и л2 чисто мнfJмые, т.е. л1=ib,
л 2 = -ib (Ь =I= О), то им соответствуют частные решения
вида •
у1= cos Ьх,
у2=sinЬх.
Следовательно, общее решение будет иметь вид
у= С1 cos Ьх+С2 sin Ьх,
Пр им ер 17.5 . Решить уравнение ,
y"+k2 y=0.
Характеристическое уравнение
'J..Z+k2=0
(17.43)
197

имеет чисто мнимые корни '-,,а=± ik. Псiзтому, соrласнсi формуле
(17.43), общее решение будет иметь вид
у=С1 cos kx+C2 sin kx.
Предположим теперь, что характеристическое уравне­
ние (17.37) имеет равные корни л1 =Л 2 =m. Тогда
общее решение уравнения (17.33) будет иметь вид
y=em-"(Ci+C2x).
(17.44)
Пр им ер 17.6. Реll!ить уравнение
у•+2у'+у=О
и найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
у=2, у' =- 3 при х=О.
Решение. Характеристи 11еское уравнение
'-
2 +2'-+ 1=0
имеет равные корни '-1 =i..2 =-1. Поэтому, согласно (17.44), общее
решение будет иметь вид
у=е-х (С1 +с2х).
(17.45)
Выделим из общеrО" решения искомое частное. Для этого подставим
начальные данные в формулу общего решения
2=1·(С1 +С2 ·0),
откуда
С1 =2,
Дифференцируя (17А5), получим
у' =-е-х (С1 +С2х)+е--"-С2 =е-х (С2 -С1 -С2х).
Теперь, подставляя начальные данные в полученное выражение,
найдем, что
Таким образом, искомое частное решение будет иметь вид
у=е-х (2-х).
17.3.2. Примеры решения дифференциальных уравне­
ний высших порядков. Рассмотрим простейшее диффе­
ренциальное уравнение п-го порядка, разре­
шенное относительно старшей производной:
y!nl = f (х).
(17.46)
Интегрируя последовательно уравнение (17.46), получим
у= И ... ~ f (х) dxdx ...dх+С1хп- 1 + ... +сп_ 1х+Сп.
п раз
Это и есть общее решение уравнения (17.46).
198
(17047)

Пр им ер 17.7 . Наliти общее решение уравнения
у"' =Х&'
(17.48)
и выделить 11acmoe решен.не, удовлетворяющее начальным условиям
у=1, у' =0, у" =0 при х=О.
(17.49)
Ре ш е ни е. Интегрируя последовательно уравнение (17 .48), по­
лучим
у"=&<(х-1)+ С1,
у'=&< (х-2) + С1х +с2,
1
у=&' (х-3)+ 2 С1х2 +с2х+С3•
(17.50)
Найдем решение, удовлетворяющее поставленным начальным ус-
ловиям. Подставляя ·(17.49) в (17.50), имеем
0=-l+C1,
0=-2+С2,
1=-З+Сз,
откуда С,=1, С2 =2, С8 =4, так что искомым частным решением
будет
1
у=&' (х-3)+ 2 х• + 2х+4.
Рассмотрим дифференциальное уравнение
n-ro порядка, не .разрешенное относительно
производной, вида
f(x, у1п1)=0.
(17.fЩ
Если это уравнение можно разрешить в элементарных
функциях относительно у1п 1 , то мы получим одно или
несколько уравнений рассмотренного выше вида.
Пусть уравнение (17.51) неразрешимо относительно yl 0 ),
но допускает параметрическое представление
Х= (/J (/), y<nl= 'lj,{/).
В этом случае удается найти общее решение в параметри­
ческой форме
X=i:p(t), У='Фп(t, С1, С2, ••••Сп)•
Пр им ер 17.8 . Проинтегрировать урав11ение
х-еУ"+у"2 =0.
(17.52)
Это уравнение неразрешимо относительно у". Зато оно разре­
шимо относительно х,
Х=еУ"-у"1,
и поэтому, приняв у" за t, n·олучим параметрическое представление
уравнения (17.52) в виде
и·=t._
199

Далее
dy' =!/' dx,
dy' = t (e1-2t)'dt,
S
.
2
·у'= 1 (e 1 -2t) dl-+C1 =е1 (t-1)-:з t3 +C1 ,
dy=y'dx=(et(t-1)-: 1з+с1) (et-2t)dt.
Поэтому
11,;,, ( ~- : ) e2t_( ~- tэ-2t~2-c1)et+1~ t~-c1t2+c2•
Присоединяя сюда равенство x=et-t2 , полу1tаем общее решение
дифференциального уравнения (17.52) в параметрической форме.
Рассмотрим далее уравнение, не содержащее
независимой переменной.
Уравнение вида
f(y, у',
... , у<п>)=О
(17.53)
допускает понижение порядка на . единицу, если вместо
у ввести новую искомую функцию z по формуле
y'=z
и принять у за. новую независимую переменную, Z= z (у).
Пр им ер 17 .9. Проинтегрировать УР!!ВНение
2уу" =у'2+у2.
(17.54)
Решен и е. Полагая у'= z и принимая у за новую независимую
переменную, получим
•
dy' dz dzdy dz
у - dx -dx-dydx=dyz.
Уравнение (17.54) примет вид
dz
2у dyz=z•+y2 •
Полагаем z~ = и, тогда
Разделим обе части этого уравнения на у; при этом отметим, что
мы можем потерять решение у= О. Итак, имеем
du1
dу=уи+у (y;i:O?).
Интегрируя это выражение, получим
и=С111+у•.
Следовательно,
200

откуда
dy
=± dx.
YC1u+u 1
11нтегрируя, получим общий интегра.с уравнения (17.54)
tпlu+~1 + YC1u+u1 l=±x+Cz.
(17 .55)
Он содержит две произвольные постоянные. Разрешив (17.55) отно­
сительно у, мы получим общее решение дифференциального уравне­
ния (17.54). Легко видеть, что функция у=О не будет входить в фор­
мулу общего решения. Непосредственной подстановкой убеждаемся,
что у=О-решение уравнения (17.54).
Таким образом, общим решением дифференциального уравнения
(17.54) будет система, состоящая из разрешенноrо относительно у
выражения (17.55) и частного решения у;=О.
Уравнение
F(x, у, у', ... , ytnl)=O
(17.56)
однородное относительно у, у', ... , у<п 11 ), допускает
понижение порядка на единицу, если положить
у'= yz,
(17.57)
где z.--новая неизвестная функция, z= z (х).
Пример
уравнения
17.10. Найти общее решение дифференциального
хуу"-ху'!-уу' =,0
(17.58)
и выделить частное решение, удовлетворяющее граничным (краевым)
условиям
у=е при х=-1, }
y=l при х=О.
(17.59)
Решение. Полагая у'= yz, имеем у"= у (z 1 +z'). Подставляя
выражение для у' и у" в уравнение (17.58) и сокращая на yl, получим
x(z2 +z')-xz1 -z=0
или
xz'-z=O.
Интегрируем последнее уравнение
z=C1x.
Заменим z на у'/у:
1) Дифференциальное уравнение вида (17.56) называется однород­
ным, если его левая часть удовлетворяет условию
F(x, ky, ky', .. , . kgtn')=kmF(x, у, у•, .• . , y(nl),
201

Интегрируя еще раз, получим общее решение уравнения (17.58)
у=С2ес1 х•12.
Выделим из найденного общего решения частное решение, удов­
летворяющее граничным условиям (17.59). Подставляя (17.59) в фор­
мулу общего решения, найдем, что
е=С2ес•12, } ⇒ С2=1, }
1=С2• 1,
С1 =2.
Следовательно, искомым частным решением будет
у=гх2.
§ 17 .4. Метод Эйлера численного интегрирования
дифференциального уравнения первого порядка
и его геометрическая интерпретация.
Рассмотрим дифференциальное уравнение (17.12)
ix~f(х, у).
Пусть поставлено начальное условие (17 .14)
У=Уо при Х=Х0•
Предположим, что функция f (х, у) и начальные дан­
ные х0 , у0 таковы, что уравнение (17.12) имеет единст­
венное решение ( 17 .13)
У= У (х),
удовлетворяющее начальному условию (17.14). Вопрос
в том, как найти зто решение.
Если уравнение (17 .12) удается проинтегрировать
в конечном виде, то обычно решение начальной задачи
(17.12), (17.14) ищут при помощи формулы общего реше­
ния, выбирая соответствующее значение произвольной
постоянной. В случаях, когда уравнение (17.12) не ин­
тегрируется в конечном виде или полученное общее решение
слишком сложно, применяют приближенные методы.
Приближенное решение ищется на замкнутом интер­
.вале [х0 , Х], который обязательно должен содержаться
в интервале существования точного решения У=" у (х).
Рассмотрим численное приближенное решение началь­
ной задачи (17.12), (17.14).
Численным приближенным решением задачи (17.12),
(17.14) называется функция, заданная таблицей чисел
(табл. 17.1) при условии, что мы рассматриваем Yk как
приближенное значение точного решения у= у (х) при
х. х_,..
202

ТАБЛИцА \7J
Хп=Х
Уо
Ys
Yk
Yn
Табл. 17.1 строится обычно так, что числа х0 , х1 , ••• , xk,
х"+1, ... , xn отстоят друг от друга одинаково. При этом
•шсло· h определяется формулой
h= Х-хо
п
и называется шагом интегрирования. Численные методы
различаются способом вычисления последователь­
ных значений у1, у2, ••• ,
Yk• ••• , Yn· Отметим, что чис­
ленные методы в последнее время получили широкое при­
менение в связи с внедрением в практику быстродейст­
вующих вычислительных машин.
Рассмотрим один из приближенных численных мето­
дов-метод Эйлера.
Пусть требуется найти решение начальной задачи
(17.12), (17.14) на замкнутом интервале [х0 , Х]. Разделим
этот интервал на п равных частей точками х0 , Хн •• . , xk-i•
xk,
. .. , хп, причем
•
Х0<Х1<Х2<.,. <Xk-i<Xk<.,. <Xn-i<Xn= Х.
Проведем через начальную точку М 0 (х0 ; у0) прямую
(рис. 17.4) с угловым коэффициентом f (х0 , у0 ), равным
тангенсу угла наклона касательной к решению в этой
точке. На этой прямой возьмем точку М 1 (х1 ; у1 ) и через
нее проведем прямую с угловым коэффициентом, равным
f (х1 , у1). На последней прямой возьмем точку М2 (х2; у2)
и проведем через нее прямую с угловым коэффициен­
том f (х2 , у2) и т. д. В результате получим ломаную
МоМ1М2. • .Mk-lмk. • .мп, причем
•
Yk = Yk-1 +f (xk-1• Yk-1) •(xk-xk-1) (k = 1, ... , п),
или
(k= 1, ... , п). (17.60)
Функцию, заданную табл. 17.1, в которой Yk опреде­
ляется формулой (17.60), будем называть приближенным
203

реtш!нием начальной задачи ( 17. 12) ', (17 .14) по 1,1етоду
Эйлера.
у
о
1
1
1'-1 :11
1
1
1
1
1•
1
1
1
1
1
1
1
3lk-f :Ck
Рис. 17.4 .
'
:с•
Пр и мер 17.11 . Найти приближенное решение уравнения у'=у,
удовлетворяющее начальному условию у= 1 при х = О.
Решение. Будем искать приближенно решение на замкнутом
интервале [О; О, 1]. Возьмем п = 10, так что имеем
х0 =0, Уо= 1, h=O,O1.
Для вычисления Yk воспользуемся формулой (17.60), rде
f (X1i- · 1, Уk-д = Yk-1•
так что
Yk = Yk-1+Yk-1 h,
или
Yti= 1,01 •Yfi-1 •
В результате получим искомое приближенное решение в виде
табл. 17.2 .
ТАБЛИl(А 17.2
xk
1
llti
11
xk
1
11"
Хо=О,00
Уо= 1,000
х8 =O,06
.Ув=l,0615
Х1=O,O1
У1 = 1,0100
Х7 =O,O7
. у7 = 1,0721
Х2 =O,O2
У2= 1,0201
х8 =0,08
у8 = 1,0828
Xs=O,O3
у3 = 1,0303
Xg=O,O9
у9 = 1,0936
х4 =0,04
х, =0,05
у4= 1,0406
у6 = 1,0510
х10 =O,10
Yto=l,1O45
204

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ. 17
1. Что называется дифференциальным уравнением?
2. Что такое порядок дифференциального уравнения?
3. Что называется решением дифференциального уравнения?
4. В каком случае говорят, что дифференциальное уравнение
интегрируемо в конечном виде?
5. Как ставится начальная задача для уравнения первого по­
рядка? для уравнения n-ro порядка?
6. Какой геометрический смысл имеет начальная задача для
уравнения первого порядка?
7. Что такое общее решение? Как решается начальная задача
при помощи формулы общего решения?
8. Какой вид имеет линейное дифференциальное уравнение пер-
вого порядка и каково его общее решение?
•
9. Какое решение называется частцым?
10. Что такое граничная (краевая) задача? Чем она отличается
от начальной задачи?
11. Как понижается порядок ураьнения, не содержащего неза­
висимой переменной?
12. Какой подстановкой понижается порядок уравнения, одно­
родного относительно искомой функции и ее производных?
13. Что называется численным приближенным решением началь­
ной задачи?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 17
Составьте дифференциальное уравнение семейства кривых.
1. у= Ух+С.
2. у=(х+С)2 , х;э-С.
1
3. y=lnx+C.
4. у=- х+с·
Найдите ортогональные траектории семейства кривых. Сделайте
рисунок.
5. у=Сх2 • 6. (y-1)2+(x-J)2=C2.
Найдите общее решение дифференциального уравнения.
,
•
,
,
1
10,
2х
7.у =S1n8x. 8.у =x-11nx. 9.у=1+Ух.
,У=Хе·
11. y'=l+y8• 12. у'= у l у2• 13. у'=у. 14. у'=2 Vy.
Проинтегрируйте уравнение и выделите интегральную кривую,
проходящую через заданную точку М (х0; Уо).
15. у' =3х2,
М (l; 2).
18.у'=-;2 ,
M(I; 1), М(-1; -1), M(I; О),
17. у'= ух
,
1-х2
18. у'=1+у2,
19. у'=2 у'у,
20. у'=2-У,
М (О;. 1),
М (О; О).
М(-1; 1),
М (О; 0),
М (О; -1),
М (О; О).
М(О; 1).
М (!; О).
205

21. Найдите кривые, у которых тангенс угла между касательной
и положительным направлением оси Ох обратно пропорционален
абсциссе точки касания (коэффициент пропорциональности равен
единице).
22. Найдите кривые, у которых тангенс угла между касатель­
ной и положительным направлением оси Ох равен квадрату орди•
наты точки касания. Выделите кривую, проходящую через точку
М (О; 1).
23. Найдите кривые, у которых тангенс угла а между касатель­
ной и положительным направлением оси Ох равен абсциссе точки
касания. Выделите интегральную кривую, проходящую через начало
координат.
24. Найдите кривые, у которых тангенс угла между касательной
и положительным направлением оси Ох прямо пропорционален ор­
динате точки касания.
Найдите общий интеграл дифференциального уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными.
25. (xy-x)dx+(xy+x-y-l)dy=O.
26. y'=tgx-tgy. 27. х+у'(у+ху)=О.
cos y-sin у-1
28. у'
cosx-sinx+1·
Найдите общее решение дифференциального уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными.
'
'у-1
29. у' =-2ху.
30. у =--.
x+I
31. (l-x)dy-ydx=O. 32*. y'xtg y+ln cos у=О.
Найдите частное решение дифференциального уравнения первого
порядка с разделяющимися переменными, удовлетворяющее началь­
ному условию у=у 0 при Х=а=Х0 •
33. (l+x2 )dy+ydx=0, y=I при x=l.
34. xdy....:. ..ydx=O,
у=2 при x=I.
35. у'Уl- х2=1,
у=n/2 при х= 1.
36. у'=уcosх,
у= 1 при х=О.
Найдите частное решение линейного дифференциального уравне­
ния первого порядка, удовлетворяющее начальному условию у= у0
при Х=Х0 .
37. у' +i у=Зх,
х
38. ху'=х+у
39. у' cos2 х+ y=t,gх
40. y1--
1Y-=xlnx
хnx
y=l
y=-l
у=О
1
у=-е2
2
при х= 1.
при Х= 1.
при х=О.
при Х=е,
Найдите частное решение линейного дифференциального уравне­
ния второго порядка, удовлетворяющее начальным условиям у =-Уо,
1
,
У=УоприХ=Хо,
41. у"-у'-2у=0, у=О, у'=З при х=О.
42. у"-10у'+25у=0, у=О, y'=l при х=О.
~об

43. у"-2у' + IOy=0, у=О, у' =е1116 при X=n/6.
44. 9у"+у=0, у=2, у'=О при х=Зn/2.
45. у"+зу' =0, у=l, у' =2 при Х=О.
Найдите частное решение линейного дифференциального уравие•
ния второго порядка, удовлетворяющее краевым условиям.
46. у"-2у'=0, у=О при х=О, yr=-2 при Х=lп2.
47. у" +9у=0, у=О при х=О, у= l при x=n/4.
48. у"+у=О, y'=I при х=О, у'=О при x=n/3.
49. у"+ у=О, у= l при х=О, у= l при Х='Л.
50. у"+у=О, y=l при х=О, y'=l при x=n.
Найдите частное решение дифференциального уравнения, удов-
летворяющее начальным условиям.
51. у"=-6х,
у=О, у'=О при х=О.
52. у"' =е-х,
у=О, у' =0, у" =0 при х=О.
53. y 1V=cos 2 x, y=l/32, у'=О, y"=l/8, у"'=О при х=О.
54. Найдите общее решение уравнения у"' sin 2 х = sin 2х.
Проинтегрируйте уравнения.
55. у"у 3 =1.
56. у"+2у(у') 3 =0.
57. y"tgy=2(y')2 •
58. у"(2у+З)-2у' 2 =0.
59. yy"-y'2
=y2 lny.
,
Найдите общий интеграл дифференциальных уравнений:
60. 3у''=4уу"+у 2 •
61. х2уу"=(у-ху') 2 •
62. уу"-у'~= 1!![__
63. у'2 +уу"=уу'.
v1+x2
64. уу" - у'2=о.
Проинтегрируйте уравнение; определив его порядок, вид и метод
интегрирования.
65. sin3х+у"=2sinхcos2 х.
66. у" (1+у)=у'2+у'.
67. y'+cos(x+2y)=cos(x-2y). 68 . (1 +х2) у'+ у =arctg х.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 17
1. Решение. Дифференцируя обе части по х, получаем :; =
1
=
,r-
.
Это и есть дифференциальное уравнение семейства.
2rх
2. Решен и е. Дифференцируя обе части по х, получаем у' =
= 2 (х+С). Исключим произвольную постоянную С при помощи за-
данного уравнения кривых у=(х+С) 2 , х~-С. Имеем х+С= Уу.
Подставляя найденное значение х+С, получаем искомое дифферен-
циальное уравнение. От в е т. у'= 2 Jly.
3. Ответ. y'=l/x. 4 . Ответ. у'=у2 •
х2
5. См. задачу 17.4 . Ответ. 2 +у2 =С.
207

6. См. задачу 17..4. Ответ. y-l=C(x-1).
7. Ре ш е н и е. Интегрируем уравнение (см. п. 17 .3.2)
у=~sin3 xdx= ~. sin2 x si~ xdx,
Неопределенный интеграл правой части берется при помощи под­
становки cos х = t. Имеем
у=- s(J-t2)dt=- t+ ~ t 3 +C,
1
откуда у= -cos х+ 3 cos 3 х+С есть общ~ решение дифференциального
1
уравнения. Ответ. y=-cosx+3 cos 3 x+C.
1
8. ответ. У=2ln2х+с.
9. Ответ. y=2[Yx-ln(Jlx+l)]+c.
10. Вычислить неопределенный интеграл, применив формулу
интегрирования по частям. Ответ. у=ех(х2 -2х+2).
11. Решен и е. Наряду с дифференциальным уравнением вида
dy
dx=f(x, у)
(17.61)
мы можем рассматривать уравнение
dx
1
dy=f(x, у)'
(17.62)
причем общий интеграл уравнения (17.62) является общим интегралом
уравнения (17.61) и наоборот. Таким образом, при решении диффе­
ренциальных уравнений вида . у' = f (у) имеет смысл рассматривать
уравнение, общим интегралом которого будет
Х= sf(ly)dy+C.
(17.63)
Разрешив уравнение (17.63) относительно у, мы получим формулу
общего решения- дифференциального уравнения ( 17 .61 ).
Таким образом, чтобы проинтегрировать уравнение :~= 1+ у2,
dx
1
рассмотрим уравнение dy = \+ у2 • Интегрируя, получим х =
= arctg u+C1 . Разрешим полученное соотношение относительно у.
Имеем y=tg(x+C)(C1 =-C). Ответ. y=tg(x+C).
12. Ответ. y=sin (х+С). 13. Ответ. у=Сех.
14. От в ет. у=(х+С) 2 , х-;э-С.
15. Решение. Интегрируя дифференциальное уравнение, полу­
чим у=х3 +С. Подставляем в формулу общего решения начальные
значе11ия: 2 = 1+ С, откуда С= 1. Следовательно, частное решение,
удовлетворяющее поставленным начальным условиям, имеет вид
il=x3 +1. Ответ. у=х3 +С, y=x3 +l.
1
1
1
1
16. Ответ. у=-+С, у=-, у=-, y=- -l.
х
х
х
х
208

17. Ответ. у='-- V1-x2 +c,
.У=- Yt х1+2, У­
=- VI х2; у=_;, Vt''--x2 .
18. Решен и е. Общим решением рассматриваемого дифференци­
ального уравнения будет (см. упражнение 11) g=tg (х+С). Подстав­
ляя на!lальные значения, получим, что С= О. Следовательно, частное
решение, удовлет·воряющее • поставленным начальным условиям,
имеет виду=tgх. Ответ. y=tgx.
19. От в е т .. у=(х+С)2 (х;;э-С), •у=О; у= (х+2)2 (х;;э-2),
у=х2 (х~ О).
•
20. При решении этого упражнения можно ограничиться нахожде-
нием общего и частного решений
Ответ. 2У=хlп2+С, 2У=хlп2+1, 2Y=xln2+2.
21. Ответ. y'=l/x, y=lnlxl+C.
22. Ответ. у'=у2 , у=-1/(х+С), у=О, y=l/(1-x).
х2
х2
23. Ответ. у'=х, у=2+с, У=2.
24. Ответ. y'=ky, g=Cekx.
25. Решен и с. Разложив коэффициенты на множители, получим
x(y-l)dx+(x-l)(y+l)dy=O. Общим интегралом такого уравне-
sу+I sх
ния (см. n. 17.2 .2) будет y- l dy=-
_
1+х dx+C, откуда
S dy+2 sYdy 1=-S dx-S xdx 1+с.
Таким образом общий интеграл уравнения имеет вид
x+lnlx-I l+u+21nly-l l=C.
Ответ. x+y+In[lx-l l(y-1)2 ]=C.
26. Решен и е. Полагая у'=:~ и разделяя переменные, при­
ходим к уравнению ctg у dy = tg х dx. Интегрируем ~ ctg у dy =
= ~ tgxdx+C1 или lпIsinу1=- lnIcosх1+ lпIС1(здесь постоян­
ную интегрирования удобнее обозначать через lп I С 1=Ci). Отсюда
находим siny=_f _, или siпусоsх=С(общийинтеграл).
Ответ.
cosx
2
sinycosx=C. 27. Ответ. x+t =ln[Clx+IIJ-
28. Преобразовать в произведения числитель и знаменатель дроби
правой части.
Ответ.tgi°=С(tg t+1) (1:....tg ; ) •
29. Реше н и е. Разделяя переменные, получаем dy =- 2х dx
у
Отсюда lп lмl =-x2 +1n ICI, или, так как -x2 =1n е-х2, IYI = ICI е-х2,
у= ± Се-х 2; заменяя ± С на С, получим общее решение в виде
у=Се-х2 • Ответ. у=Се-х 2 •
30. Ответ. y=l-f-C(x+I). 31. Ответ. у=С/(х-1).
209

32. Ответ. y=arccos (еСх).
33. Решен и е. Преобразуем данное уравнение к виду dy =
у
dx
sdy
sdx
= - t+x2 • Интегрируя, получим
у=- 1+х•+с или \п \YI=
=-arctg х+С. Это и есть общий интеграл данного уравнения. Под­
ставим теперь начальные·условия н найдем произвольную постоянную
lп 1 =-. -arctg 1 +с, т. е. С=л/4. Следовательно, частный интеграл
дифференциального у;>авнения, удовлетворяющий начальному условию
• '!t
х= 1, у= 1, имеет вид ln _у=- arctg х+-;г. Разрешая это уравнение
относительно у, получаем искомое частное решение. От в е т.
!!__ arctg х
y=eC-arctgx, у=е4
34. Ответ. у=Сх, у=2х.
35. Ответ. y=arcsin х+С, y=arcsiп х.
36.Ответ. y=Ceslnх, у=esinх.
37. Решение. Согласно формуле (17.31) общее решение дан-
ного уравнения имеет вид у=е-~~ [с+з~хе~ ~xdx], т. е. у=
с
с
= х+х2 • Подставляем начальные условия Х= 1, и= 1: 1=т+ 1,
т. е. С=О. Искомое частное решение имеет вид u=x2 . Ответ.
с
и=--+х2, у=х•.
х
38. Указ ан и е. Привести данное уравнение к виду (17.29).
Ответ. y=-x+xlnlx\.
39. Ответ. y=tgx-l+e-tgx_
1
40. Ответ. у= 2 х2 1пх.
41. Решен и е. Характеристическое уравнение имеет вид
(см. (17.37)) л2 -л-2=0, его корни л1 =2, л2 =-1. Следовательно,
общее решение у =С1е2 Х + С 2е-х. Подстав.~яя начальные условия
в общее решение и его производную, получим систему уравнений
относительно С1 и С2:
{ О=С1 +С2,
3=2С1 -С2,
откуда С1 = 1, С2 = -1 . Следовательно, решением, удовлетворяющим
поставленным начальным условиям, будет y=e21 -e -t. Ответ.
y=e2t_e-t .
1
42. Ответ. у=хеБх, 43. Ответ. и=-зе"соsЗх .
.
х
1
44. Ответ. у=2S1Пз· 45. Ответ. У=3(5-2е- 8").
46. Решен и е. Характеристическое уравнение данного уравне­
ния имеет вид л2 -2л=0, его корни л1 =0, л2 =2. Следовательно,
общее решение имеет .вид у=С1 +С 2е2". Производная общего решения
у' =2С2е2". Подставляя граничные условия в найденное общее ре­
шение и его производную, получим систему двух уравнений с двумя
210

неизвестными С1 и С2:
откуда С2 = -1/4, С1 = 1/4. Искомое частное решение, удовлетворяю­
!
Щее ЗаДаННЫМ УСЛОВИЯМ, ИМееТ ВИД и=т (J -e2X). 0 ТВ е Т. У=
= (J-e2X)/4.
47. Ответ. у= y.2sin Зх. 48. Ответ. y=sinx+ Ja cosx.
49. Ответ. Решения нет. 50. Ответ. y=cosx-sinx..
х2
51. Ответ. у=-х8• 52. Ответ. y=-e -x+ 2 -x+l.
53. Ответ. у= 418 х4+ ~ x2 + ~cos2x.
54. От в ет. y=ln Isin xl+ ~ С1х2+саХ+С3•
55. См. пример 17.9. Ответ. С1у2 =1+(С 1х+С2)2•
56. Ответ. у3 +С1у+С2 =3х. 57. Ответ. ctgy=C2 +C1x.
1
58. От в е т. 2 ln (2у+З)=С1х+ С2•
59. Отв~т. lny=C1ex+czг-~.
60. Решение. Разделим обе части уравнения на у2: 3 -r -
-
(у')2
-4 (Jt...)=1. Введем замену L=z, откуда у" _y'2
2
=z', ил:у• =
у
у
у
у
у
= z' + z2 • Получим уравнение первого порядка с разделяющимися
dz
1
переменными 3z 2 -4z2 -4z'=I, -42'=!+22 или l+z2 =-
4 dx.
Отсюда, интегрируя, находим arcctg z = С1-1 х, или z=tg ( С1-:) .
Возвращаясь к переменной у, получаем ~ =tg ( С1 - : ) . Интегри­
руя посдеднее уравне_ние, находим ln Iу 1= 4 lп I cos ( С1- : ) 1+
+1п1с2 1." или y=C2 cos
4
(
С1 -:). Отвеr.у=С2 соs4 ( с1 -;).
61. Ответ. y=C2 xe-C ,Jx_
62. Ответ. lnlyl~G'i[x2 +x V1+х2 +1п(х+ }"Т+хi)]+с2•
63. Ответ. У2 =С1ех+с2 . 64. Ответ. у=С2ес,х.
•
65. Дифференциальное уравнение второго порядка вида (17.46).
От в е т. и=} sin 8 х+С1х+с2•
66. Дифференциальное уравнение первого порядка с -разделяю-
щимися переменны-ми (п. 17.2 .2). Ответ. 1nltgyl=4(C-cosx).
67. Дифференциальное уравнение второго порядка вида (17.53).
Ответ. lnlC1 (y+l)-1 l=C1(x+C2).
68. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого
порядка вида (17.29). Ответ. y=arctgx-1+ce-arctgx.

ГЛАВА18
ЧИСЛОВЫЕ И СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 18. 1. Числовые ряды
18.t .l . Числовой ряд и его сумма. При изучении темы
«предел и непрерывность функции» мы уже познакомились
с вводными понятиями теории числовых рядов. Здесь мы
продолжим рассмотрение этого круга вопросов.
Прежде всего напомним основные определения. Число­
вым рядом мы называем бесконечную последовательность
чисел, соединенных между собой символами+ :
а1 +а2 + ... +а11 +...
(18.1)
УсловимGя считать эк в и валентным и записи (18.1)
и записи такого вида:
00
00
00
~ап, ~ан~:, ~а;-2 ит.п.
(18.2)
n=I
k=O
i=З
Читается, например, первая из н11:х так: «с~ма по п от
единицы до бесконечности чисел ап»- Знак 2,; (видоизме­
ненная прописная греческая буква «сигма») называют
знаком суммы, символы п, k, i называют индексами, по
которым проводится суммирование, или, короче, индексами
суммированиfl. Числа а1 , а2 , ••• , ап, ... называются членами
ряда, а числа
S1 =ai,
S2 =81+а2=а1+а2,
S3 =S2+a3 =a1+a2+a3,
(18.3)
Sп=Sп-i +ап=а1 +а1 + .•• +а"
-
частичными суммами ряда. Последовательность, состав­
ленная из чисел S1, S2, ••• , Sn, ... может (как и вообще
212

произвольная числовая последовательность) быть сходя­
щейся или расходящейся. В тех случая,с., когда последо­
nательность частичных сумм ряда имеет к о не ч н ы й
п редел, мы условились называть этот предел суммой
ряда, а сам ряд-сходящимся. Если последовательность
S1 , S 1, .•. , Sn, ... не имеет предела, то соответствующий
ряд мы называем расходящимся. Для обозначения суммы
сходящегося ряда используются те же выражения (18.1)
и (18.2). Для каждой конкретной записи по контексту
всегда ясно, о чем идет речь: собственно о числовом ряде
или о его сумме.
Напомним сделанное нами в свое время замечание о том,
что логически неправомерно было бы пытаться определить
понятие суммы числового ряда как «сумму всех его чле­
нов». Ведь обычное понятие суммы имеет смысл лишь для
конечного множества слагаемых. Определяя суммы ряда
как предел последовательности S 1 , S 2 ,
••• ,
Sn, ..., мы
тем самым обобщаем понятие суммы и на некоторые (но
не все!) случаи бесконечного множества слагаемых. При
этом, как можно было бы показать, далеко не всегда
сохраняют силу свойства, имеющие место для «конечных
выражений». Так, например, в некоторых случаях сумма
ряда может измениться в результате перестановки его
членов.
В дальнейшем мы специально остановимся на подоб­
ного рода «опасных моментах», сейчас же мы этими пред­
варительными замечаниями хотим лишь подчеркнуть
необходимость как построения соответствующей теории,
так и «логической аккуратности» при ее изучении. Мы
имеем дело с новым понятием, и его созвучие и опре­
деленная смысловая общность с другим, ранее известным,
не должна вводить нас в заблуждение!
18.1.2 . Примеры сходящихся и расходящихся рядов.
Рассмотрим несколько примеров.
Пр им ер 18.1. Хорошо известное нам понятие беско­
нечно убывающей геометрической прогрессии представляет
собой, как теперь можно видеть, частный случай понятия
числового ряда.
• Члены этого ряда определяются формулой ап = аqп- 1 ,
где I q 1 < 1, его частичные суммы с помощью формулы
для суммы членов конечной геометрической прогрессии,
могут представлещ,1 в виде
S
·
a-aqn
• ,;- .: a+aq+aq2+ . .. +aqn-1=-1- ·-
.
-q
(18А)
213

Учитывая, что при I q 1 < l выражение aqn стремится к О
при неограниченном возрастании п, мы, совершая в (18.4)
предельный переход, получаем
S 1. a-aqn
а
=
Im ---= --.
n➔"' l-q l-q
(18.5)
Напомним, что именно как lim Sn и определялось в свое
n➔a'J ..
время понятие «суммы членов»· бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. (Мы видим, что этого специ­
ального определения можно бы и не давать, если бы мы
могли сразу рассматривать эти прогрессии как одни из
разновидностей числовых рядов.)
П р и мер 18.2. Рассмотрим ряд
а,
L. (п+ l)\п+2)"
n=O
(18.6)
Прежде всего запишем его в «развернутом виде». Для этого в вы-
•
1
ражение (п + 1) (п -1 - 2) (его называют еще выражением для общего
члена ряда) будем последовательно подставлять вместо п ч11сла О, 1,
2, ... , и получаемые результаты записывать, соединяя их знаками +:
(начальное значение п = О указано в (18.6) под знаком суммы; заметим,
1
что член (п+ I) (п+ 2) является по порядку (п+ 1)-м членом ряда!).
Выпишем теперь частичные суммы этого ряда и преобразуем их:
1
1
S1=t:2=1 -2,
S2 =S1+/3= ( 1--1⁄2-) +(1⁄2- ~) =1- ~,
(18.7)
S3 =S2 +-1
=(1-..!..)+(..!.._..!..)=1-..!..
3.4
3
34
4'
Нетрудно сообразить, что в общем случае мы будем иметь
1•
Sn= 1-n+ 1•
(18.8)
Действительно, как видно из (18.7), при n= 1 формула (18.8) верна.
Допустим же ее справедливость при всех (натуральных) п' меньших
некоторого п, мы получаем
8п= 811 -•+п(п~I) ( 1-~ )+(~ - n~1)= 1
-n~l"
214

Так как
\im Sn= \im (1- +I 1)=1,
n➔oo
n➔OD
n
то мы видим, что данный ряд сходится и что его сумма равна 1.
П р и мер 18.3 . Составим последовательность частичных сумм
для ряда
Это будет:
2
S1 =1пт=ln 2,
3
3
S2=S1+1n2 =1n2+ln2 =1n3,
4
4
S3 =S2 +1n 3 =1nЗ+ln з=ln 4,
Легко сообразить, что здесь
Sn=ln(n+I).
Так как
\im Sп= \im ln(n+l)=+oo,
n➔Ф
n➔ rю
то ряд (18.9) расходится.
Пример 18.4.Дляряда
0D
~ (-l)n= 1....:...1+1-1+ ...
n=O
(18.9)
(18. IO)
каждая его частичная сумма с четным номером равна О, в то время
как частичные суммы с нечетными номерами равны (каждая) 1:
Нетрудно видеть, что nоследовате-!1ьность этих частичных сумм
{S1,S2, S3, ~ ..}={1,О,1,О,1, ...}
не имеет предела. Значит, ряд (18.10) тоже расходится.
18. 1.3 . Простейшие свойства сходящихся рядов. Дока­
жем теперь некоторые простейшие свойства сходящихся
рядов.
Теорема 18.1 . Если ряды
"'
~ап
n=I
(18.11)
и
0D
~ьп
(18.12)
n=I
215

сходятся, то сходится и ряд, образованный почленным их
сложением, т. е. ряд
(18.13)
причем его сумма равна сумме сумм «слаг.аемых» •рядов
"'
"'
"'
~ (ап+Ьп)= ~ ап+ ~ Ьп.
(18.14)
n=I
n=I
n=I
До к а з ат ель ст в о. Обозначим частичные суммы
рядов (18.11), (18.12) и (18.13) через S~, s; и Sп соот­
ветственно, сумму ряда (18.11) через S' и сумму ряда
(18.12) через S". Тогда по определению суммы ряда, при­
мененному к (18.11) и (18.12), имеем
lim s;=S', lim S;=SN.
С другой стороны, частичные суммы наших ряцов свя­
заны соотношением
Sn=(а1+Ь1)+(а1+Ь2)+ ...+ (ап+Ьп)=
= (а1 +а2 + ... +а,,)+ (Ь1 +ь.+ ... +Ьп) = s; +s;.
(18.15)
(Здесь речь идет о конечных суммах, поэтому перегруппи­
ровка слагаемых в выражении Sn = (а1 + Ь1) + (а2 + Ь2) + ...
. . , + (ап + Ьп) безусловно законна.) Переходя в (18.15)
к пределу при п--+ оо, мы получим
lim Sп= lim s;+ lim S;=S'+S",
n➔Ф
n➔CID
чем и завершается доказательство теоремы. (Мы доказали
как существование lim Sn, так и его равенство сумме
n➔Ф
S' +S".)
Теорема 18.2 . Если ряд
(18.16)
сходится, а 'J..-некоторое вещественное число, то сходится
и ряд
(18.17)
216.

причем
..,
..
~ лап=л ~ ап.
(18.18)
n=I
n=I
До к а за тел ь ст в о. Обозначим частичные суммы
рядов (18;16) ·и (18.17) соответственно через Sn и s;,
а сумму ряда (18. J6) .., .,... через S'. Тогда имеем
S,;-, ~al + ла2+ •,, +лап= Л (а1 +а2 + •,, +ап)= лS~ .
.
Переходя в этом равенстве к пределу при n-+ оо, мы и
получаем требуемое
limSп=limлS~=лlimS~= лS'.
Следствие 18.1 . Если ряд (18.16) расходится, то
при л,#:0 расходится и ряд (18.17).
Следетвие 18.2. Если
-сходящиеся ряды, а л и μ-вещественные числа, то ряд
тоже сходится и суммы этих рядов связаны соотнош,ением
..
..
..
• ~ (лап+μЬп)= л ~ ап+μ ~ Ьп. (18.19)
n=I
n=I
n=I
Определение 18.1 . Ряд
полученный из ряда
(18.21)
отбрасыванием некоторого числа р первых его членов, на­
зывается остаточным рядом по отнош,ению к последнему.
Теорема 18.3. Числовой ряд и любой из его оста­
точных рядов сходятся или расходятся одновременно.
217

до к а э а тел ь ст в о. .Обозначая частичные суммы
ряда (18.21) через Sn, а ряда (18.20)-через О'п, мы при
тобом п>р+l имеем
s~ = Ql+а2+ •••+ap+ap+l+ •••+ап=
= (а1 + а2 + ..• +ар)+ (ap+i + ар+2 + ... +ap+ln-pi) =
= sр+О'п-р•
(18.22)
Заметим, что в (18.22) значение р фиксировано. Допустим
сначала, что сходится ряд (18.20), и обозначим его сумму
через о. Тогда из (18.22) предельным переходом при
п ~ оо получаем
•
lim Sп= lim (Sp-t-oп-p)=Sp+ lim оп-р=Sр+О'.
n-+«)
n-+Ф
n➔ш
Мы видим, что lim Sn существует, значит, ряд (18.21)
n➔,.,
тоже сходится. Пусть теперь сходится ряд (18.21). Пусть
его сумма равна S. Обозначим в (18.22) п-р через m:
Sp+m=Sp+O'm.
(18;22')
Перенося SP в другую часть этого равенства и переходя
к пределу при т- оо, мы получим
lim От= lim (Sp+m-Sp) = lim Sp+т-Sp = S-SP.
m-+Ф
m-+Ф
m-+a:,
Отсюда, в частности, видно, что lim От существует, т. е.
m➔Ф
что ряд (18.20) сходится. Формула
S= SP-t-o,
(18 23)
связывающая выражения для сумм этих рядов, нам еще
потребуется в дальнейшем.
Допуская расходимость одного из этих рядов, мы
(рассуждая от противного) сразу же приходим и к рас­
ходимости второго ряда.
§ 18.2. Признаки сходимости числовых рядов
Во многих случаях оказывается необходимым уста­
новить только, сходится или расходится тот или иной
ряд, не находя при этом точного значения его суммы.
Для решения такого рода вопросов существуют так назы­
ваемые «признаки сходимости», важнейшие из которых
мы сейчас и рассмотрим.
218

18.2.t. Необходимый признак сходимости. Тео­
рема 18.4 (необходимый признак сходимо-
оо
ст и). Если ряд ~ ап сходится, то при неограниченном
n=I
в'JЭрастании п его общий член стремится к О. (Итак; усло­
вие lim ап = О является необходимым для сходимости
n-+ оо
ряда. Если оно не выполнено, то ряд наверняка расходится.)
До к аз ат ел ь ст в о. Обозначим через S сумму ряда.
Тогда, имея в виду; что как частичная сумма с номе­
ром п, так и частичная сумма с номером п-1 при
неограниченном возрастании п стремятся к S:
limSn= lim Sn-l=S,
n➔«>
n-+ -ao
мы, переходя к пределу в равенстве ап = Sn-Sn-i•
получаем
lim aп=S-S= О.
n-+ 00
Теорема доказана.
3 а меч ан и е 18.1 . Отметим, что обратное заключе~
ние (для теоремы 18.4) неверно. Из стремления к О об­
щего члена ряда отнюдь еще не следует сходимость
последнего! Так, ряд (18.9) из примера 18.3 расходится,
и в то же время его общий член стремится к О:
limln n+1= lim ln(1+.!..) =ln1=О.
n-+oo
n
n-+oo
n
18.2.2. Признак сравнения и его следствия. Абсолют­
ная сходимость. Нам в дальнейшем нередко будет удобно
рассматривать отдельно такие ряды, все члены которых
неотрицательны. Условимся называть такие ряды поло­
жительными рядами.
Следующая теорема как раз и относится именно к та­
ким рядам.
Теорема 18.5 (признак сравнения для по­
ложительных рядов). Пусть
00
~ап
n=I
(18.24)
и
00
~Ьп
(18.25)
n=I
219

-
два положительных ряда. Пусть при каждом натураль­
ном п имеет место неравенство • •
(18.26)
Тогда, если ряд (18.25) сходится, то сходится и ряд
(18.24), причем
00
00
~ап~~Ьп,
(18.27)
n=I
n=I
если же ряд (18.24) расходится, то расходится и ряд
(18.25).
До к а за тел ь ст в о. Вудем обозначать частичные
суммы ряда (18.24) через s;, а ряда (18.25)-через s;.
Так как оба эти ряда положительные, то каждая из
по~ледовательностей. их частичных сумм будет возраста­
ющей (хотя бы в широком смысле слова) последователь­
ностью. Из (18.26) следует, что при любом п
s~~s;.
(18.28)
Мы знаем (см. гл. 3, теорема 3.2), что для существова­
ния предела у возрастающей последовательности необхо­
димо и достаточно, чтобы эта последовательность была
ограничена сверху. Сейчас мы и используем это свойство
для завершения доказательства.
Предположим сначала, что ряд (18.25) сходится.
По определению это означает, что сходится последова­
тельность {S;}, а тогда она будет и ограниченной сверху,
т. е. найдется такое число М, что
s;~м (n=1,2,3, ...).
Тем более тогда при каждом п будет
s;~м.
а это и означает ограниченность сверху последователь­
ности {S~}- Так как она, кроме того, является возра­
стающей, то отсюда и следует ее сходимость (т: е. схо­
димость ряда (18.24)). Для доказательства же неравенства
(18.27) нам достаточно теперь перейти к пределу в .не­
равенстве (18.28).
Пусть теперь ряд (18.24) расходится. Допустив, что
ряд (18.25) сходится, мы немедленно пришли бы к про­
тиворечию, ибо, по только что доказанному, из его схо­
димости вытекала бы и сходимость ряда (18.24). Теорема
доказана.
220

3амеча~и1:! 18.2.
.. Если
выполнение неравенства
(18.26) можно гарантировать лишь для всех п, .больших
некоторого n0 , то все равно из сходимости ряда (18.25)
будет следовать сходимость ряда (18.24), а из расходи­
мости (18.24)-рас:JСодимость (18.25). Действительно, из
сходимости (18.25) следует, по теореме 18.3, сходимость
его остаточного ряда
(18.25')
Из его сходимости, в свою очередь, по только что дока­
занной теореме 18.5 вытекает и сходимость ряда
(18.24')
Но ряд (18.24') является остаточным для (18.24), и, стало
быть, этот последний тоже сходится. Разумеется, нера­
венство (18.27) здесь может и не иметь места. Ведь (18.28)
теперь не обязано выполняться 1
Теорем а 18.6 . Если сходится ряд
(18.29)
составленный из абсолютных величин членов ря,да
00
~ ап,
(18.30)
n=I
то сходится и сам этот ряд (18.30), причем
1fап1= \а1+аа+,,.+ап+... 1~
n=I
00
~1а11+1аа1+ .. •+ 1ап\+•••= ~ 1а11\.
(18.31)
n=I
Доказательство. Положив
получим два положительных ряда
О, если а11~О,
-ап, если ап < о,
(18.32)
221

члены которых не превосходят соответствующих им по.
номерам членов ряда (18.29)
Ьп~lапl, Сп~lап/·
Следовательно, по теореме 18.5 каждый из этих рядов
сходится. Но тогда согласно следствию 18.2 ряд (18.30)
тоже сходится, ибо он представляет собой разность
рядов (18.32)
""
"'
"'
~ап=~Ьп-~Сп.
n=I
n=I
n=I
Действительно, если ап ~ О, то Ьп= ап, Сп= О, а если
ап<о,тоЬп=О,Сп=-ап, т.е. влюбомслучае
ап =Ьп-Сп.
По свойству абсолютных величин
\а1 +а2+ • • • +ап 1~ la1l+\a2I + •· •+lanl•
Переходя в этом неравенстве к пределу при п- оо, мы
получаем (18.31). Теорема доказана.
В дальнейшем мы покажем, что обратное по отноше­
нию к этой теореме заключение неверно. Из сходимости
ряда (18.30) еще не следует сходимость «ряда из абсо­
лютных величин» (18.29).
"'
Определение 18.2 . Ряд ~ ап называют абсолютно
n=\
"'
сходящимся, если сходится ряд ~ 1ап 1, составленный из
n=\
абсолютных величин его членов.
18.2.3 . Признак Да.ламбера. Лемма 18.1 (далам­
бе р а). Пусть
(18.33)
-
па,ложительный ряд. Тогда
l. Если при всех натуральных п справедливо неравенство
ап+1.~ q< 1
(18.34)
ап
(где q-некоторая постоянная), то ряд (18.33) сходится и
"'
(18.35)
222

11. Если же при всех п будет
(18.36)
то ряд (18.33) расходится и, более того, его общий член
не стремится к О при n-+ оо.
Док аз а тел ь ст во. Пусть сначала при всех п вы­
полняется (18.34). Тогда, как нетрудно видеть,
an+i ~ a 1qn.
(18.37)
Действительно, при п = l это неравенство непосредственно
получается из
а, допустив справедливость (18.37) для всех п' ~ п, мы
сразу же убеждаемся в его справедливости и для п' = п+ 1.
Для этого достаточно сопоставить неравенства
an ~ alqn-1 И an+l ~ апQ•
В правой части (18.37) стоит (п + 1)-й член ряда
представляющего собой бесконечно убывающую геометри­
ческую прогрессию с суммой a 1 /(l -q). Нам остается
лишь сослаться на теорему 18.5 с тем, чтобы сделать
заключение как о сходимости ряда (18.33), так и о спра­
ведливости неравенства (18.35).
Пусть теперь при всех п выполняется (18.36). Тогда
при всех п будет верно и неравенство
ап~а1,
а так как а1 > О, то отсюда вытекает, что ап не стре­
мится к О при n-+ оо. Лемма доказана.
Теорема 18.7 (признак сходимости Далам-
"'
бера). Пусть для некоторого ряда ~ ап существует
n=I
limIйn+I1=D,
n➔00 ап
(18.38)
тогда, если D < 1, то данный ряд абсолютно сходится,
если же D > 1, то ряд расходится, и, более того, его
223

общий член н_е стремится к О при неограниченном возра­
стании п.
Доказательство. Пусть сначала D< 1. Выберем
число q так, чтобы было D < q < 1. Поскольку
lim I an+_!_I =D < q,
n-+. .,
ап
то для всех п, больших некоторого ntt, будет выполнено
и неравенство
jа::11< q.
Применяя лемму Даламбера к ряду
"'
~ lanl,
"
n=nq+ 1 .
убеждаемся в ero сходимости. Но тогда сходится и ряд
а ero сходимость и означает абсолютную сходимость дан­
ного ряда. Пусть теперь D > 1. Тогда для всех п, боль­
ших некоторого п 1 , будет выполнено неравенство
1а~:11 ~ 1.
Отсюда по лемме Даламбера следует, что I ап 1~ О 1) при
n-+ оо. Но тогда и ап ~ О. Теорема доказана.
18.2 .4 . Признак _Лейбница. Определение 18.3.
ф
Ряд ~ ап называют знакочередующимся, если любые два
n=I
его соседних члена имеют противоположные знаки
anan+l<Q (n= 1, 2, 3, ...).
Теорема 18.8 (признак сходимости Лейб­
иица). Если:
1) ряд
(18.39)
-
знакочередующийся,
1) Запись вида Хп 7"" а озна'lает, что либо lim Хп не существует
n-+<ЖJ
вообще, либо lim Хп существует, но не равен а.
n-+a>
224

2) абсолютные величины его членов образуют убывающую
последовательность
(18.40)
3) общий его член стремится к О при неограниченном
возрастании п
(18.41)
то. этот ряд сходится, а его сумма имеет знак первого
члена ряда и не превосходит его по абсолютной величине:
signC~1 an)=signa1 1), li1 anl~la1 J. (18.42)
Доказательство. Ряд (18.39) может начинаться
как с положительного, так и с отрицательного члена. Для
определенности будем считать, что а1 > О. Обозначим I ап 1
через с,.. Тогда сп > О и
"'
~ ап=С1 -с2 +с8 -с,+ ...
n=I
Рассмотрим сначала последовательность тех частичных
сумм нашего ряда, которые имеют четные номера:
S2, S,, ... , S2m,
(18.43)
Записывая S2 m в виде
S2m = (С1-С2) + (Сз-с,) + •••+ (С2т-1-С2т),
мы получим, что
(18.44)
ибо выражение в каждой из круглых скобок положительно
(согласно (18.40)). Далее, так как
S21m+1)-S2m= С2т+1-С2т+2 > О,
то последовательность (18.43) возрастающая. С другой
стороны, записав выражение для S 2 m в виде
S2m = C1-(Cz-C3)- • • • -(С2т-2-С2 т-1)-С2т,
(-1, если х<О,
1)signх=~ О, если х==О,
t+1, если х>О.
8 ПоА РеА, Н. М. Матвеева, ч. 11
225

мы замечаем, что {S2m} ограничена сверху, действительно,
S2m < cl'
(18.45)
Будучи возрастающей и ограниченной сверху, последо­
вательность (18.43) имеет предел, который мы обозначим
через S,
lim S2m=S.
(18.46)
Покажем теперь, что это же число S является пределом
и для всей последовательности
(18.47)
частичных сумм ряда (18.39). Заметим, что из (18.46)
следует, что
'\'m=S 2 m-S-+0 при п-...оо.
(18.48)
Представив разность Sn-S в виде
{ '\'m,
если n= 2m,
S -S-
п - '\'т+а2т+~• если n=2m+l,
видим, что (в силу (18.41) и (18.48))
Sп-S-0 при n-+oo,
а это и означает, что
Неравенство же (18.42) получается из (18.45) предельным
переходом при m-+ оо. Теорема доказана. •
18.2 .5 . Интегральный признак сходимости. Оп ред е -
лен и е 18.4 . Функция f (х), заданная на [l; + оо), назы­
ва,ется производящей функцией для ряда
СХ>
~ап,
n=I
если при каждом натуральном п справедливо
ап= f (п).
Теорема 18.9 (интегральный признак схо­
димости положительных рядов). Пусть
СХ>
(18.49)
-
числовой ряд, f (х)-его прои~водящая функция, и пусть
226

1) f(x)~O на [1; +оо),
2) f(х) убывает на [1; + оо).
Тогда ряд ( 18. 49) и несобственный интеграл
+оо
~f(х)dx
(18.50)
1
сходятся или расходятся одновременно, причем в случае их
сходимости
СХ1
+ею
rii
~ап~\f(х)dx~~ап.
n=I
\
n=2
(18.51)
До.казательство. Так как f(х)-убывающая, то
для каждого х, заключенного между п и n + 1, имеем
f(n)~f(х)~f(п+1),
что можно переписать и в_ виде
ап ~ f (х) ~an+i•
Интегрируя каждое такое неравенство по своему проме­
жутку [ п; п + 1] и учитывая, что
получаем
2
n+I
~ an+i dx = an+l•
п
а1~ ~ f(x)dx~a2 ,
1
3
а2~~f(х)dx~а3,
2
4
а3~~f (x)dx~a4,
3
Сложим почленно первые n из этих неравенств:
n+I
Sn~ ~ f (x)dx~Sn+ 1 --a1•
1
(18.52)
(На рис. 18.1 дана геометрическая иллюстрация прове­
денных вычислений. На левом чертеже ступенчатая фи­
гура, объемлющая криволинейную трапецию ABCD,
227

составлена из прямоугольников, площади которых суть
числа а1=f(1), а2=f(2), ... , ап=f(п). На правом чер­
теже вписанная в эту же криволинейную трапецию сту­
пенчатая фигура составлена из прямоугольников с площа­
дями а2=f(2), а3=f(3), ... , an+i=f(п+1).)
ив
и
'
'
'
'',
'
'
о' ---~~
1234
•пn+frc
и,
__ JhьL
12"34
пп+1.:с
Рис. 18.1 .
Допустим теперь, что несобственный интеграл (18.50)
сходится, т. е.
+«>
А
~f(х)dx= lim ~f(х)dx= В,
1
А➔+«>1
где В-некоторое число. А так как f (х) ~ О, то при
А=п+ 1 имеем
п+1
+ао
~ f(х)dx<, ~ f(х)dx= В,
1
-
1
от~уда в силу правого из неравенств (18.52) получаем
n+I
Sn+i-a1 <, ~ f(x)dx<,B.
1
Отсюда для любого натурального п имеем Sn+i ~ В +ai,
т. е. частичные суммы S1, S2,
••• ,
Sn+i•
.
.
.
образуют
неубывающую ограниченную сверху последовательность.
С.,1едовательно, существует lim Sn+i = S, т. е. ряд (18.49)
n➔«>
сходится. При этом неравенство (18.51) получается из
(18.52) переходом к пределу при n-+ оо,
228

Пусть теперь несобственный интеграл (18.50) расхо­
дится. В силу того, что f (х) ~ О, это· означает, что
А
-
lim ~f(х)dx= +оо.
А➔+"'1
(18.53)
Равенство (18.53) означает, что, каково бы ни было М > О,
найдется такое значение N, что для всех значений А > N
будем иметь
А
~f(x)dx>М.
1
13озьмем п + l > N; тогда
n+I
~f(х)dx>М.
1
Согласно левому из неравенств (18.52) отсюда следует,
что для любого натурального п > N - l
Sп>М,
т. е.
sn-+ 00 при n-+ +оо.
Следовательно, ряд (18.49) тоже расходится. Теорема
доказана.
3 а меч ан и е 18.3 . Из формулы (18.51) следует удоб­
ная для оценки суммы остаточного ряда формула
"'
"'
"'
~ f (x)dx~ ~ ап~ ~ f(x)dx.
k+1
n=k+ 1
k
(18.51')
"'
Действительно, примен~я (18.51) к рядам ~ ап и
n=k
получим
"'
"'
"'
~ап~~f(х)dx~ ~ ап
n=k
k
n=k+1
и
"'
"'
"'
~ ап~ ~ f(x)dx~ ~ ап,
n=k+1
k+J
n=k+2
откуда и следует (18.51 ').
229

18.2 .6 . Примеры исследования рядов на сходимость.
Оценки остаточных рядов. Проиллюстрируем несколькими
пр·имерами применение ТЕ;орем предыдущего пункта.
Пр и м е р 18.5. Доказать сходимость ряда
"'
1: 2:·
n=l
Оценить разность между его суммой S и частной суммой S 10 .
Решен и е. Попробуем применить признак Даламбера. У нас
Следовательно,
lim йп+t = lim n+ 1 =_!_.
п-+ ао
йп п-+ао2n
2
Так как этот предел меньше 1, то данный ряд сходится (ап > О,
поэтому знаки абсолютной величины мы здесь опустили).
Для оценки разности S-S10 воспользуемся формулой (18.23)
при. р= 10
где u означает сумму остаточного ряда
QO
~ йп=йн +а12 +а18 + ...
n= 11
Применим к этому остаточному ряду лемму Даламбера. Так как
здесь п ;;;. 11, то
йп+ 1 _п+1_1 (l+l)~·I (l+l)-6•
ап
2n
2
п
2
11 11
ПервыА член остаточного ряда равен
11
aн=Fi•
значит, согласно лемме,
11
1
11 11
(J~Fi • --6-=2048·5=0,0118.•• ~ 0,012.
~-тт
Очевидно также, что u > О. Итак,
О< S-S10 ~0,012.
Вычисляя S10, получим
1234567
8
9
1О
810 - 2 +4+8+16+32+64+128+256+512+1024- 1•9883•
230

Стало быть, с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,012,
..
L 2~ ::::: 1.9sвз.
n=I
(Ниже мы увидим, что точное .гначение суммы этого ряда равно 2.
Можно было бы убедиться, что, взяв вместо S10 частную сумму S20,
мы получили бы уже значение S с погрешностью, меньшей 0,000022.)
Пр и мер i8.6 . Доказать сходимость ряда '
..
·~~ _!_
~ п2·
n=I
Сколько членов этого ряда надо взять, чтобы вычислить его сумму
С ТОЧНОСТЬЮ ДО 0,001?
Решен и е. Производящей функцией для данного ряда служит
1
f(Х)=х2•
Применяя интегральный признак сходимости, мы получаем
+оо
+00
5f(х)dx =
1
+00
Sdx =-_!_,+00 =l.
х2
х1
1
Интеграл ~ f (х) dx сходится,. значит, сходится и данный ряд. Оце­
о
ним теперь сумму остаточного ряда
00
00
5 d: ...;;;a..;;;S d: •
х
х.
p+I
Р
откуда
1
1
p+l <,а..;;;р.
Мы видим, что а..;;;О,001 тогда и только тогда, когда р~ 1000. Сле­
довательно, мы можем гарантировать достижение требуемой точности
при вычислении S лишь при условии, что будет вычисляться сумма
его первых 1000 членов (!). В таких случаях говорят, что ряд схо­
дится очень медленно.
Пр им ер 18.7. Будут ли сходящимися ряды
00
L ~ (гармонический ря_д)
n=I
(18.54)
231

и
(18.55)
Решение. Применяя интегральный признак сходи­
мости к ряду (18.54), получаем
+00
Stt;=lnx\; 00
= +оо.
1
Несобственный интеграл от производящей функции рас­
ходится, значит, расходится и сам ряд (18.54).
Ряд (18.55) удовлетворяет всем условиям теоремы 18.8
(признак сходимости Лейбница). Следовательно, этот ряд
сходится. Заметим, что его сходимость тоже медленная.
Действительно, записав остаточный ряд
CD
~ (-J)n _ ( -J)P+l (-J)P+2 (-l)P+3
~п-Р+1+Р+2+р+З+•••
n=p+I
и оценивая по формуле (18.42) его сумму, получаем
1
1
~ (-J)n 1
1
11/= ~ -п- ~"+Т·
n=p+I
р
Так как ряд, составленный из абсолютных величин члР­
нов ряда (18.55), совпадает с рядом (18.54), который, как
мы видели, расходится, то сходимость ряда (18.55) не
является абсолютной· (в смысле определения _18.2). В та­
ких случаях, когда сам ряд сходится, а ряд из абсолют­
ных величин· его членов расходится, говорят, что ряд
сходится неабсолютно (или: ряд сходится условно).
§ 18.3 . Степенные ряды
18.3 .1 . Понятие о функциональных рядах. Во многих
случаях оказывается удобным рассматривать ряды, члены
которых представляют собой уже не числа, а функции.
Дадим прежде всего соответствующее определение.
Определение 18.5. Ряд
(18.56)
232.

(члены которого суть фуню1ии одной и той же перемен­
ной х) называется функциональным рядом. Множе­
ство D*, состоящее из всех тех х, при которых определен
каждый из членов ряда (18.56), называется его областью
определения, а множество D, включающее в себя те и только
те значения х, при которых этот ряд оказывается схо­
дящимся, называется его областью сходимости.
Пр им ер 18.8 . Рассмотрим ряд
(18.57)
Областью определения каждого из членов этого ряда служит про­
межуток (О, + оо ), значит, и область определения самого ряда
D8 =(0, + оо). При каждом xED• (10.57) превращается в числовой
ряд, однако не при каждом таком х ряд будет сходиться. Заметив,
что (разумеется, при условии: х Е D8) ряд ( 18.57) представляет собой
бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем q = ln х,
видим, что необходимым и достаточным условием его сходимости
является выполнение 11еравенства
1lnxl < 1,
откуда следует, что областью его сходимости является интервал
При каждом xED по формуле для суммы бесконечно убывающей
геометрической прогрессии найнем
00
~п
lnx
~l1-1 х= 1-lnx·
n=I
18.3.2 . Степенные ряды. Структура их областей сходи­
мости. В этом и следующих пунктах настоящей главы
мы будем рассматривать так называемые степенные ряды,
представляющие собой важную частную разновидность
функциональных рядов.
О п р е де л е н и е 18.6. Степенным рядом называется
ряд вида
00
~сп(х-а)п,
(18.58)
' 1=0
гдеаиСп(n=O,1,2,
.. . )-постоянные.
Учитывая, что линейной заменой переменных Z= х-а
ряд (18.58) может быть приведен к виду
00
~ c"zn,
n=O
(18.59)
233

и наоборот, мы сначала будем рассматривать именно та­
кие ·ряды, как этоt последний. Степенные ряды обладают
целым рядом присущих только им важных свойств, к изу­
чению которых мы сейчас и приступаем.
Лемм а 18.2 (Абеля).· Если степенной ряд
(18.60)
сходится при некотором Х= х1 =t= О, то он абсолютно схо­
дится при всяком таком Х= х2 , для которого
\х2\ < lx1 \.
Доказательство. Пусть ряд
сходится. Тогда его общий член спх1 стремится к О при
п-,. оо (согласно необходимому признаку сходимости).
Отсюда следует, что последовательность
С0Х~, С1Х~, с2х:, ... , СпХ~, •••
ограничена, т. е. существует такое число М, что при всех
целых п ~ О будет
\сп~l~М.
Для общего члена ряда
(18.61)
запишем
(18.62)
Так как ряд
(18.63)
сходится ( как бесконечно убывающая геометрическая про­
грессия со зАаменателем q= 1:: 1< 1) , то в силу нера­
венства (18.62) мы можем сделать заключение и об абсо­
лютной сходимости ряда (18.61). Лемма доказана.
234

3 а меч ан и е 18.4 (к лемме Абеля). Так как сумма
ряда (18.63) равна
м
м
1-q= 1-1Х2/Х11 •
(18.64)
то, согласно теореме сравнения, для суммы ряда (18.61)
получаем
(18.65)
Следствие 18.3 (об области сходимости
степенно r о ряд а). Если ряд вида (18.60) сходится не
при всех значениях х Е (- оо; + оо), то существует такое
число R, что:
а) при всех х, для которых Iх 1< R, этот ряд абсо­
лютно сходится;
б) при всех х, для которых ~ х 1> R, этот ряд рас­
ходи.тся.
Действительно, как нетрудно видеть, таким числом R
служит точная верхняя граница множества всех тех х,
при которых ряд (18.60) сходится.
Это число R называют радиусом сходимости степенного,
ряда. Если же ряд сходится при всех хЕ (- оо; + оо),
то говорят, что его радиус сходимости равен бесконечности.
Заметим, что в следствии 18.3 ничего не говорится
о сходимости или расходимости ряда при тех х, для ко­
торых I х 1= R. Как мы увидим ниже, при этих значениях х
ряд может оказаться как сходящимся, так и расходящимся.
Если R-радиус сходимости ряда (18.60), то его область
сходимости является одним из промежутков вида
(-R; R), [-R; R], (- R; R] или [-R; R).
Независимо от того, какой именно из этих четырех слу­
чаев имеет место, интервал (- R, R) называют интерва­
лом сходимости ряда. (Таким образом, область сходимости
степенного ряда либо совпадает с его интервалом сходи­
мости, либо получается из этого интервала добавлением
к нему его одной или обеих граничных точек.)
18.3 .3 . Простейшие свойства степенных рядов. Даже
если все члены функционального ряда и являются непре­
рывными функциями в его области сходимости, его сумма
тем не менее может оказаться функцией разрывной.
235

Например, как легко проверить,
если О<х< 2,
если Х= О.
Почленное интегрирование и почленное дифференциро-­
вание функциональных рядов, т. е. справедливость формул
(18.66)
и
(18.67)
тоже далеко не всегда можно гарантировать, хотя бы все
необходимые производные и интегралы в отдельности
и существовали! (это не должно казаться удивительным,
если мы вспомним, что сумма ряда не является суммой
в обычном, «конечном» смысле этого слова!). Тем более
примечательно, что степенные ряды всеми только что
упомянутыми свойствами обладают. А именно, справедлива
Теорем а 18.1 О. Сумма степенного ряда представляет
собой функцию, непрерывную в его области сходимости.
Степенной ряд можно почленно интегрировать по лю­
бому промежутку, целиком входящему (вместе со своими
концами) в область сходимости
fС~оСпхп)dx= пtо Спfxn dx
(18.66')
и почленно дифференцировать в любой точке его интервала
сходимости
(18.67')
Мы примем эту теорему без доказательства.
18.3 .4 . Разложение в степенной ряд ln х и arctg х.
Выведем теперь несколько полезных формул.
Суммируя (при I t 1 < 1) бесконечно убывающую гео­
метрическую прогрессию 1-t ,+ t2 -t3 + ... , получим
l-t+t2-tз+ ... = l~t ·
236

Интегрируя почленно по промежутку [О, х], мы последо­
вательно будем иметь
х
х
х
}<,
х
s.ldt- stdt+st2dt- st3dt+... = s1: t,
о
о
о
о
о
или
(18.68)
для каждого х Е (-1, 1). При х= l в левой части мы по­
лучаем сходящийся ряд
111
1
l-2+з-т+ ••.·+(-l)п,п+1+ •• ·
(см. пример 18. 7). Значит, согласно теореме 18. 10, левая
·часть (18.68) непрерывна в точке Х= 1. Так как правая
часть этого равенства тоже непрерывна, то (18.68) тем
самым оказывается справедливым и при х = 1. Мы полу­
чили, таким образом, разложение функции ln (1 +х) в ряд
по степеням х. Полученную формулу можно было бы ис­
пользовать для вычисления натуральных логарифмов,
однако, наличие ограничения -1 < х 3⁄4 1 позволяет этсi
сделать не всегда. Поэтому мы сейчас выведем еще одну
формулу, с помощью которой эти логарифмы обычно и
вычисляются. Прежде всего, заменяя в (18.68) х на -х,
получим
х'хзх4
xn+i
-х-2- 3
-
4-
•,•-
п+ 1-
. • : = 1n (1-х). (18.69)
Для х Е (-1; 1) справедлива каждая из формул (18.68)
и (18.69). Вычитая почленно (18.69) из (18.68), получим
(при Iх 1< 1)
(18. 70)
Казалось бы, мы ничего не выиграли по сравнению
с (18.68). Однако здесь для любого положительного А
решение уравнен~я
дает заключщшое строго между -1 и +l значение х:
X=l-A~l'
(18.71)
237

Пр и м е р 18.9 . Попробуем вычислить lп 2 сначала -с помощью
формулы (18.68), а затем,-формулы (18.70), каждый раз ограничи­
ваясь четырьмя членами.
Подставляя в (18.68) х= 1, получаем
1111
lп2=1-2+3-4+-5
--...
(18.72)
Ряд в правой части знако·чередующийся, поэтому, согласно теореме
Лейбница, после отбрасывания всех членов, начиная с пятого, мы
получаем приближенное равенство
111
ln2~1-2+3-4
=0,583... ,
(18.72')
абсолютная погрешность которого оценивается величиной первого
отброшенного члена, т. е. величиной 1/5=0,2.
.
2
1
Для вычисления nо'формуле (18.70) мы полагаем x=l-2+ 1= 3
(СМ. (18.71)). Подставляя это значение в (18.70)', имеем
ln2=2[~+f(;)з+~(;)о+~(~)7+ ~(;у+...]=
=2[;+ ~ (1⁄2)3+ ~(1⁄2)&+ ~(;)7]+
+: (;)'+J1 (;)11+ ... +2n~I (1⁄2)2п+1+...
(18.73)
Полагая
[1 1(1)э 1(1)6 1(1·)1]
,
ln2~23+3 З +5 З +7 З =0,69,Н347..., (18.73)
мы допускаем погрешность, равную сумме остаточного ряда
2(1)9 2(1)11
2 (1\2n+1
9з+пз+...+2п+1 з)
+ ...
Для этого ряда
2 (1\2n+l
2 ( 1)2п+з
ап= 2n+I 3) ' апн= 2n+3 3
'
ап+1=2п+1(J..)2< _!_
ап 2п+3,3
9'
поэтому (см. лемму 18.1 (даламбера))
:(~у+121(;)11+ ...+ 2n~1(;)2n+1~
2(1)в 1
1
1
•
,;;;; 9 3 --1 -= 4.39 =18 732=0•0000127 ...
1-9
Формула ( 18. 73') дает более чем в 10 ООО раз лучшую точность, чем
(18.72') (точное значение ln 2=0,69314718 ...) . (Ряд (18.73) сходится
гораздо быстрее ряда (18. 72), хотя сумма у этих рядов одна и та
же: ln2.)
238

Действуя точно так же, как и при выводе формулы
(18.68), отправляясь от формулы
l-t2+t4- • • • +(-l)n•t2n+. • •= 1~til
и интегрируя ее по промежутку [О, х] (где I х 1< 1),
получим формулу
хз
х5
x2n-1
arctgx=x-3 +5 -
... +(-l)п-i 2n-l + ... ,
(18.74)
справедливую и при х = ± 1.
П р и м е р 18.10. Допустим, что нам требуется вычислить по
этой формуле arctg 0,5 с точностью до 0,001. Замечая, что ряд (18.74)
удовлетворяет всем условиям теоремы 18.9 (признак Лейбница), мы
заключаем, что погрешность, которая получится при отбрасывании
в ( 18. 74) всех членов, начиная с
x2n+l
(-l)n 2n+ 1 '
не будет превосходить абсолютной величины этого члена. Вычисляя
его значения при х=О,5, получаем
0,53 1
прип=1 3 =24,
0,511 1
при n=2 --т=шо·
n=З
0,57 1
при
1=896'
n=4
0,58 1
при
9=4608·
Последнее из полученных значений меньше 0,0005, поэтому мы мо­
жем отбросить в формуле (18.74) все члены, начиная с х9/9. Тогда
получим
t о5 о5 0,53+0,51i 0,57 495
arcg,=,_
-
3 5 --7-=О, .
§ 18.4 . Ряды Тейлора
18.4 .1 . Единственность разложения функции в степен­
ной ряд. Мы уже видели (см. примеры 18.9 и 18.10), что
представление той или иной функции в виде суммы сте­
пенного ряда (как говорят еще: разложение функции
в степенной ряд) может оказаться полезным хотя бьi с точки
зрения вычисления значений этой функции. Мы, однако,
пока еще не владеем сколько-нибудь общим методом
239

получения подобных разложений. Ведь формулы (18.68) и
(18.74) были выведены посредством весьма частного приема!
В зтом пункте мы и займемся изучением вопроса о воз­
можности и способах разложения произвольной функции
в степенной ряд.
Т е о р е м а 18. 11. Пусть на некотором промежутке
(а, Ь) таком, что а< О< Ь, справедливо равенство
"'
f(х)= ~спхп.
(18. 75)
n=O
Тогда
с0=f(0), С1=-fгf'(0), С2 = ~! f"(0),
-
1 f<п> (О)
••• ' Сп-пl
' •••
(18.76)
Можно сказать, что эта теорема дает необходимые
условия разложимости функции в степенной ряд. Дей­
ствительно, ее можно было бы сформулировать и так: если
функция вообще может быть представлена в виде суммы
некоторого степенного ряда (18.75), то коэффициенты зтоrо
ряда не могут быть иными, чем это дается· формулами
(18.76). .
Доказательство. Положив в (18.75) х=О, мы
сразу получаем, что f (О)= с0 • Продифференцируем теперь
почленно равенство (18. 75) (corласно теореме 18.1 О такая
операция законна)
"'
f' (х) = ~ ncnxn-i = С1 +2с2х+ 3С9Х2 + ... +ncnxn-i + ...
n=I
Подставляя в полученное равенство х = О, получаем
f' (О)= С1,
Двукратное дифференцирование (18. 75) даст нам
"'
f"(x)= ~ п(п-1)сп•хп- 2 = 2с2 +3-2с3х-t-4-Зс4х2 + ...
n=2
... +n (п-1) cnxn- 2 + ...
Подставляя сюда х = О, получаем
f" (О)= 2с2•
240

После трехкратноrо дифференцирования· (18.75) будем
иметь
ф
f'"(x)= ~ п(п-1)(п-2)спхп-s=З•2с3 +4•3•2с,х+
псЗ
-
+5-4-Зс0х2 + ... +n (п-1) (п-2) спхп- 3 + ...
и при х=О
f"' (О)= 3 •2с8 •
Продифференцировав (18.75) последовательно k раз, по­
лучим
ф
flkl (х) = ~ п (п-1) (п-2) ... (n-k + 1) cnxn-k=
n=k
= k (k-1) (k-2) ... 1с1, + (k + 1) k (k-1)... 2ck+ix+ ...
. . . +n(п-1)(п-2)...(n-k+1)cnxn-k+...,
откуда при х= О будем иметь
f1k 1 (О)= kl. ck.
Теорема доказана.
18.4 .2 . Ряд Тейлора. Достаточные условия разложи­
мости. Если бы относительно какой-либо функции f (х) нам
было только известно, что ее можно представить в виде
суммы какого-то степенного ряда (на некотором проме­
жутке, содержащем внутри себя точку О), то сам ряд мы
могли бы теперь составить, используя для этого лишь
значения самой функции· и ее производных в точке О.
Разумеется, разложить в степенной ряд можно далеко не
всякую функцию. Прежде всего, очевидно, что для этого
необходимо существование у разлагаемой функции произ­
воднрIХ всех порядков. Можно было бы на конкретных
примерах показать, что и это условие отнюдь еще не яв­
ляется достаточным, но мы здесь не будем этого делать.
Примем без доказательства следующую теорему.
Теорема 18.12. Пусть на промежутке (a-h, a+h)
функция имеет производньtе всех порядков. Тогда, если
существует такое ч11сло М, что для любого х Е (a-h, a+h)
и для любого п ~ О справедливо нерав'енство
lf1n1(x) J~ М,
то на (a-h, a.+h) имеет место разложение
f (х) = f (а)+ f'1<~) (х-а) + !"2<;> (х-а)2 + ...
fln) (а)
п
. .. +-п1 -(х-а) + ... (18.77)
241

Ряд, стоящий в правой части этой формулы, назы•
вается рядом Тейлора для функции f (х) по степеням раз­
ности х-а (или еще: рядом Тейлора в окрестности
точки х = а). В частном случае при а= О получаем
f(х)=f(О)+f'1<~) х+f"J1°> х2+...+/<:~о)xn+ ... (18.78)
Этот ряд называют обычно рядом Тейлора-Маклорена.
18.4.3 . Ряды для sin х, cos х и ех. Получим теперь
формулы для разложения в ряд Тейлора-Маклорена
функций sinx, cosx и е".
l. f (х) = sinx. Находим производные и вычисляем их
значения при х = О:
f (х) = sinx,
f (О)= О,
f'(х)= sin(х+;),
f' (О)= sin; = 1,
f"(х)=sin(х+2;), f"(О)=sinп=О,
f"' (х).= sin ( х+ 3;), f'" (О)= sin з; = -1,
f1v(х)=sin(х+4;), pv(О)=sin2n=О,
.
.
.
.
..
.
.
...
.
.
.......
.
Нетрудно убедиться, что любая из производных четного
порядка от нашей функции при х = О сама обращается в О
f<2т1(х)= sin (х+2m ; ) , f<2т1(О)=sinтп =О,
для производных же нечетного порядка имеем
/<4Н11(х)= sin_[x-t-(4k+1)f],
f<4H11 (О)= sin (4k 11) n = 1,
f<4k+~, (х) =sin[х+(4k+3);],
'
<4k+al(Q)
•
(4k+З)n 1
=SlП,2
=-,
или, окончательно, /( 2 т+ 11 (О)= (-l)m.
242

-Так как I f1n> (х) 1=:;;;;; 1 при любых пи х, то теорема 18.12
применима. Следовательно,
sinx=O+fix+O-x2 -
~
1 х3 +0·Х"+ ~! хъ+ ...
+о х2т+ (-J)m 2m+1+
"·
•
(2т+ 1)1 х
•••
Отбросив члены, тождественно равные О, получаем
•
-
х,З+хъ
+ (-l)m 2m+1+
SIПX-X-31 51-...
(2m+ !)! Х
,•,
(18.79)
или, в «свернутом виде»
"'
.
~
x2m+1
SIПX= ~ (-l)m (2m+l)t •
m=O
(18.79')
Эти формулы справедливы для всех х.Е (-оо, +оо).
11. f (х)= cosx. Проделав выкладки и рассуждения,
аналогичные приведенным в разделе 1, получим, что для
любого вещественного х
(18.80)
111. / (х) = ех. Здесь и сама функция и все ее произ­
водные при х= О принимают значение 1. Кроме того,
itaкoe бы х* мы ни выбрали, мы всегда можем найти
включающий это х• промежуток (-h, h). Для всех точек
этого промежутка
откуда следует разложимость нашей функции в ряд Тей­
лора-Маклорена на (-h, h), тем самым и .в точке Х=х•.
Значит, разложение будет справедливым для любого ве­
щественного х. Сама же формула имеет вид
(18.81)
Еще одним примером проиллюстрируем возможные при­
менения формул, дающих разложения функций в степен­
ные ряды.
243

Пр и мер 18.11 . Мы знаем, что функция е-х2 не может быть
св конечном виде» проинтегрирована ( т. е. что Sе-х1 dх-«неберу-
щиiiся» интеграл) . Покажем, что функция
х
F(х)=Se-t2dt
о
тем не менее может быть представлена достаточно удобным с вы 11и­
слительноit точки зрения рядом. Действительно, полагая в (18.81)
x= -t2 , получаем
1
tt
t2n
e-t =l-t2+ 21-
... +(-l)n n1+ ...
Интегрируя почленно по промежутку [О, х], будем иметь
х
\
ха х&
х1
x2n+1
l/ e-ttdt=X-·3+5.21 - 7.31+ • •• +(- l)n (2n+ l)•nl+ ... (18.82)
0,5
• Вычисляя теперь, например, S е-11 dt и полагая зто значiние
о
приближенно равным сумме первых трех членов ряда, получим
0,5
S.
0,5 3 0,5•
.
e-t dt ~ 0,5-3 +5_21
=0,4614...
о
Оценим погрешность этого результата, равную сумме остаточного
ряда
0,5 7 0,59 0,5 11
Л=- 7-31 +9.41-тг:sr+ ...
Так как этот ряд-знакочередующийся и удовлетворяет всем усло­
виям теоремы Лейбница, то
о57
1л 1< 7:31 ~ 0,0002
(взяв для вычислений не три, а пять первых членов, получили Еы
уже результате точностью до 0,0000004. Ряд (18.82) сходится быстро!).
18.4.4. Решение дифференциальных уравнений с по­
мощью степенных рядов. В этом небольшом пункте мы
покажем, как степенные ряды могут быть использованы
для решения дифференциальных уравнений.
Пусть сначала нам требуется решить задачу Коши,
т. е. найти решение дифференциального уравнения •
у' =f(x, у),
(18.83)
244

удовлетворяющее начальному условию
У (О) =Уо·
(18.84)
Пусть также из каких-либо соображений вытекает, что
искомое решение может быть представлено в виде суммы
степенного ряда. (В более обстоятельных, чем наш, курсах
рассматриваются специальные признаки, позволяющие
установигь разложимость решения в степенной ряд по­
виду самого уравнения.) Очевидно, что тогда ис~омое ре­
шение имеет вид
у(х)=у(О)+У'1~О) х+у"2\0> х2 + ... +y<n~l(O) xn+ ... (18.85)
Начальное условие (18.84) сразу дает нам--значение пер­
вого из коэффициентов, а подставляя в (18.83) значения
х=О и у=у0, мы находим и у'(О):
у'(О)=f(О,Уо).
Продифференцируем .т~перь (18.83) по х, считая что у
означает как раз искомое решение,
у"(х)=f;(х,у)+f~(х, у)у;.
(18.86)
Подставляя сюда х = О, у= у0 , и найденное значение
у' (О)= f (О, у0), • находим у" (О)
у"(О)=f;(О, Уо)+f~(О,Уо)f(О,Уо).
Продолжая подобным же образом, мы найдем у"' (О), y 1V (О)
и т. д., т. е. окажемся в состоянии получить любой началь­
ный отрезок ряда (18.85).
П р и м е р 18.12 . Пусть требуется найти пять первых членов
разложения в ряд Тейлора-Маклорена решения дифференциального
уравнения у' = х2 + у2 , удовлетворяющего начальному условию у (0)= 1.
Имеем
у' =х2+у2,
у•= 2х+ 2уу'.
у"' =2+2 (у' 1 + уу"),
ylV =2 (Зу'у" + уу"'),
Следовательно,
y'(0)=0+l=l,
у" (О) =0+2 =2,
у'"(О)=2+2(1+2)= 8,
yIV (0) =2 (6+8) =28.
1 -t-2 2+8з+284
1
2+4з 7..4
у= +х- 21х 31х 41х+...= +х+х 3х+6.,.-+ ...
Если вJi..1есто условия (18.84) дано условие
(18.84')
24Б

то решение мы должны будем искать в виде отрезка его
ряда Тейлора по степеням х-х0 :
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 18
1. Что такое числовой ряд, его члены, частичные суммы?
2. Какие числовые ряды называются сходящимися, а какие -
расходящимися? Что называется суммой числового ряда? Всякий ли
числовой ряд име,t_т сумму? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.
3. Сформули~,уйте теорему о почленном сложении сходящихся
рядов и о почленном умножении сходящегося ряда на число.
4. Что такое остаточный ряд? Как связана его сходимость со
сходимостью исходного ряда?
5. В чем состоит необходимый признак сходимости ряда? Какие
из приведенных ниже утверждений справедливы, а какие-нет?
Дайте обоснование своим ответам.
а) Если ряд сходится, то его общий член стремится к О.
б) Если общий член ряда ст.ремится к О, то ряд сходится.
в) Если ряд расходится, то его общий член не стремится к О.
r) Если общий член ряда не стремится к О, то ряд расходится.
6. В чем состоит признак сравнения для положительных рядов?
7. Какой ряд называют абсолютно сходящимся? Следует ли схо•
ж
"'
димость ряда ~ ап из сходим.ости ряда ~ -1 Un 1? Следует ли cxo-
n=I
n=I
"'
"'
димость ряда ~ 1ап I из сходимости ряда ~ ап? .
n=I
n=I
8. Сформулируйте лемму Даламбера. Какого числа не превос­
ходит сумма ряда, первый член которого равен 1, если при всех п
справедливо неравенство an+i,;;;;; 2
3?
ап.
9. В чем состоит признак сходимости Даламбера?
10. Какой ряд называется знакочередующимся? В чем состоит
признак Лейбница для установления сходимости таких рядов?
11. В чем состоит интеrращ,ный признак сходимости для поло­
жительных рядов?
12. Что такое функциональный ряд? Его область определения?
Область сходимости?
13. Какой ряд называется степенным? Что такое интервал и ра­
диус сходимости степенного ряда? Что представляет собой его об­
ласть сходимости?
14. Сформулируйте теорему о непрерывности· суммы степенного
ряда, его почленном дифференцировании и интегрировании.
15. Сформулируйте теорему о единственности разложения функ­
ции в степенной ряд. Всякая ли функция может быть представлена
в виде суммы степенного ряда? Сформулируйте условия, достаточные
246

для существования такого представления. Дайте определение ряда
Тейлора.
16. Напишите формулы для разложения· в степенные ряды функ­
ций ln (1 +х), arctg х, sin х, cos х и ех. При каких значениях х спра­
ведливы эти формулы?
17. Объясните, как ряды Тейлора могут быть использованы при
решеНИIJ задачи Коши для дифференциального уравнения у'= f (х, у).
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 18
В примерах 1-4 для каждого из данных рядов требуется найти
выражещ1е для Sn и с его помощью найти сумму ряда (или уста­
новить, что ряд расходится).
3
8
15
п2-1
2. Jп 4+1п9+1n 16+ ...+In112+ ...
ао
3. L С-Vп-Уп 1), 4. 22 ~1+321 1+4211+521 1+···
n=I
.
В примерах 5-20 требуется исследовать данные ряды на схо•
димость.
"'
5~ п+l
• ~ 1оооп+1·
n=I
"'
LпЪ
11.
(-l)n 5n'
n=I
"'
L (-l)n
14.
(п+ 1)•·
n=O
•
"'
17.
L п-l~п·
n=2
"'
19.
L п1~2п•
n=2
"'
12.
,
5п
(-l)n-,
....,.
п~
n=I
с,:,·
15.
:Е1
Yn+I
n=O
"'
18. L (-l)n_
n•lnn
n=2
00
20. L (-l)n •
п1п2п
n=2
16.
"'
~п!
10. ~ IQn.nlO •
n=I
00
13.
L <п~ 1,4•
n=O
"'
L (-l)n
J,'n+i.
n=O
В примерах 21-28 требуется оценить разность между суммой
ряда и суммой его первых десяти членов.
00
21. ,.,
I.
~ (п+ 1)·2n
n=O
"'
23. L .!..
n=.1 nl
247

С1)
С1)
ао
24. L
(-I)n.
25. L
_1__ 26. L (-J)n.
nl
па
пз
n=I
n=I
n=I
ао
..
27. L
28. L.
(-\)п
У (п +5)3
Jl(n+5)3
.
n=I
n=I
В примерах 29-38 нужно найти область сходимости степенного
ряда.
С1)
29.
~.,
xn
.
1:-4 3п (п+ \)
n=0
С1)
32. 1: 2п~­
it=l JI n
..
~~-
37. ,/:..,4
n=I• 9n.J'n
.33.
ао
~xn~оп
1:-4 -п-1- •
n=0
<Ж,
'\.--...
х"
31. ,/:..,4 ---, , .
n=0 (2n+ 1)2
С1)
34. L xnпl
n=0
Для функций из упражнений 39-42 тре~уется найти три первых
отличных от нуля члена их ряда Тейлора-Маклорена.
39. y=cos ( х+;). 40. y=tg х. 41. у=г-х•t2• 42. y=arcsin х.
Каждую из данных в упражнениях 43-48 величин требуется
вычислить приближенно, используя три первых ненулевых члена
разложения в степенной ряд, и . оценить погрешность полученного
результата.
43. sin 0,5. 44. ео-1• 45. ln З. 46. arctg 0,2.
0,5
41. 5e-x•i2 ilx.
о
0,1
48. s \n (\/Х) dX'.
о
В каждом из упражнений 49 и 50 дается некоторая задача
Коши. Требуется:
а) Найти три первых члена разложения решения этой .задачи
в ряд Тейлора.
б) Найти точное решение данной задачи.
в) Построить (по точкам) на одном чертеже графики полученных
точного и приближенного решений.
49. у'=2ху, y(l)=l,
248
50, у'= _}L, у (2) =2,
х

ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 18
1+1 1+2 1+22
1+2п-l
1, Sп=-1 -+-5-+-gг+ ... + 5п-1
(111•
1)(122z
•.
2п-1)
=
т+s+5a+• .. +5n-l + т+s+52+ ... +5n-l =
l-(1/5)n 1-(2/5)п
=-
1+
2
1-5
1-5
Так как (1/5)п и (2/5)n стремятся к О при п -+ао, то
.
1·-
1
35
l1m Sn =--
1 +--2
-=
12.
tl➔Ф
1-5 1-5
Следовательно, данный ряд сходится и сумма его равна 35/12.
n+l
•
2. Sn-t =ln 2n. Ряд сходится. Его сумма равна - lп 2.
3. Sn= Yn-oo при п-оо. Ряд расходится.
4. Удобно воспользоваться формулой
1
1(1
1)
х2 -1=2 x-l-x+l •
1(3 2n+l) 3
Sn= 2 2 -п(п+ l) - 4 при.n-СIО. Ряд сходится.
5. lim ап =0,00\ :f- О, следовательно, ряд расходится.
R-+CII
•
6. Члены данного ряда не превосходят соответствующих членов
"'
"'\"" 1
•
сходящегося ряда ~ 2n . Значит, данный ряд тоже сходится.
••
11=1
7. lim "п+t =-
3
1 < 1. Значит, данный ряд сходится.
tl➔Ф Qn
8. Ряд сходится. (Удобно применить признак сравнения.)
9. Ряд сходится. (Воспользоваться признаком ДаламС:ера.)
10. Ряд расходится.
11. Ряд абсолютно сходится.
12. Ряд расходится.
13. Ряд сходится. (Воспользоваться интегральным признаком)
14. Ряд абсолютно сходится.
15. Ряд расходится.
16. Ряд сходится, но не абсолютно (условно сходится).
17. Ряд расходится.
18. Ряд сходится, но не абсолютно.
19. Ряд сходится.
20. Ряд абсолютно сходится.
21. Остаточный (за вычетом первых десяти членов) ряд имеет вид
С1О
,~
1
1
~ (п + \) 2n • Его первый член равен 11 .210 , отношение же
n=IO
его
а+t
n+\
\
(n + 1)-ro члена к п-му ~п 2 (п +2) < 2 . Следовательно, по
249

лемме Даламбера
00
~
1
1
1
S-S10= ,"-, . (n+I)-2п < 11.210 ·--1 < 0,0002.
n=l0
1-2
22. Так как остаточный ряд-знакочередующийся и члены его
по абсолютной величине убывают, то его сумма имеет знак своего
перВQГО члена и не превосходит его по абсолютной величине
1
О< S-S10 < 11 _210 < 0,0001.
1
1
23. S -S10 < ТТГ--1- ~ 2,73-10- 8 • (Удобно применить лемму
1-12
Даламбера.)
1
24. О> S-S10 > -т ~ -2,51- 10-8
•
(Оценивать удобно с по-
мощью теоремы Лейбница.)
(К ряду
00
00
'\"" 1
~ ..,
1
,"-,. пз =
,"-,.
(т+IО)з мы
n=ll
m=l
,
применили
-
-
500
dt
s"' dx
5)
S<a1 + (t+I0)3 =a11 +
х3 ,см.(18.1).
1
11
Другой способ:
+ш
00
1
5dx.1
L пз < хз=2.102=0,005.
n=ll
10
(±:а=i: (k ;9)3 < s(z~\)~= s~~)·
n=ll
k=2
1
10
1
26. О> S-S10 > -Тfii ~ -0,00075.
~ 0,52, или
+оо
S-S10<s dx
.~ ~ 0,52.
У(х+5)3 r 15 ,
10
28. О> S-S10 >
1
=_ _!_~
- 0,016.
У(11+5)3 64
250
формулу
11
--1--:..:::
642

29. Применяем к данному ряду признак Даламбера
lim IUn+1 (х) 1= lim Iх (п+ 1) 1=~.
R➔OO Un (х) R➔OO 3(п+2)
3
Мы видим, что если Iх1/3< 1, то ряд сходится, если Iх1/3> 1,
то-расходится. При х= ±3 признак Даламбера не дае'F nозможно­
сти судить о сходимости или расходимости ряда, поэтому для этих
значеr~ий х требуется дополнительное исследование. При Х=3 ряд
00
'\.""""1 1
11
•
принимает вид~ n+l=1+2 + 3 + •.. Мы видели (см. пример
n=O
18.7), что этот ряд расходится. При х=-3 мы получаем ряд
00 (-l)R
L п + 1 . Этот ряд удовлетворяет всем условиям теоремы Лейб-
11= О
ница и, стало быть, сходится.
Окончательно получаем, что область сходимости нашего ряда
пrсдставляет собой промежуток [-3, 3).
30. Ряд сходится, если
-2<х<2.
31. Область сходимости [-1, l].
32. Область сходимости [-1/2, 1/2).
33. Ряд сходится при всех х.
34. Ряд сходится только при х = О.
35. Область сходимости [l, 5).
36. Обпасть сходимости [-8, 6].
37. Область сходимости (-3, 3).
38. Область сходимости [-2, 2).
39. 1-й сп о с.об. Рассчитываем последовательно значения дан­
ной функции и ее производных при х=О, после чего составляем
требуемый отрезок ряда Тейлора-Маклорена:
Y=COS ( x+-i),
•y(O)=COS: =
~•
,
• (+п)
'(О) •п JГ2
у=-S\ПХ -:f,
у
=-sш 4 =--2 ,
у"= -cos ( x+f), у"(О)== -cos: = -
~
2,
... ........ ........ ......
(
у' (О) у" (О)
V2(
х2
)
у=у(О)+-1-1 х+-2,х2+ ... =
- 2- 1-х-2+·· .
.
2-й способ. Разлагаем ros ( х+: ) по формуле косинуса
суммы и используем готовые формулы разложения в ряд для siп х
иcosх
(+п)
п
.
п.
v2
v2.
COS Х 4 =COS °4 COS Х-51П -:f SIП Х=-2- COS Х--г SIП Х=
У2( х2 х4
)У2(хзх0)
-
2 1-2,+41-· ··
-
2 х-3,+5,-··· -
У2(х2)
=-2
-
l-x-!2j'+··· .
251

х32
40. у=х+-з+-шх•+ ...
xi х4
41. у=1-2+8+...
42. у=х+ ~ _х3+:ох•+ ...
.
0 5 0 5 о,53+0,5' о,57+ с
43.s1n,=
,
-
31 51-""""71 . . . охраняя три первых
члена, получаем sin 0,5 ~ 0,479427. Так как отброшенный здесь
остаточный ряд- знакочередующийся и первый из отброшенных чле-:
нов- 0
7f7 ~ -0,00000155, то полученное нами для sin 0,5 значение
является его значением с избытком, а погрешность этого результата
не превосходит 0,0000016.
О13 1
44. &• 1 = 1,1050 (с недостатком), Л < ir--1 ~ 0,00017.
l-40
1+0,5 [
0,53 • 0,5• 0,57
]
.
45. ln3=1nI-0,5=2 0,5+3 +5 +7 + ...
,
откуда,
сохраняя три первых члена; получаем ln 3 ~ 1,0958 (с недостатком),
о57 1
а оценка погрешности дает Л <2 Т 1_ 0125 ~ 0,003.
46. arctg 0,2 ~ О, 197397 (с избытком); Л < 0,000002.
47. 'Раскладывая е-х•/ 2 в ряд и интегрируя ·почленно; получим
os5 e-x•12dx= о{ (1- ~2 +2(~2-31~е2з+ .. ·) dx=
.
о
о
=( х-;.2+5.:~\2 -7.:;2з+···) 1:·
5
=
0,53 0,5•.
0,57
-О, 5 -3.2 +5,21,22-7-3!23 + ... '
0,5
откуда, сохраняя три первых члена, ~ e-x•f2 dx ~ 0,47995 (с избыт­
u
ком), Л < 0,00003.
о,1
48. S ln(\+x) dx ~ 0,097611 (с избытком), Л < 0,000007.
о
49. Приближенное решение у=1+2(х-l)+З(х-1) 2 • Точное
решение у=ех2- 1•
1
50. Приближенное решение у=2-(х-2)+ 2 (х-2)2. Точное
решение у= 4/х,

ГЛАВА19
РЯДЫ ФУРЬЕ
§ 19.1 . Обобщенные полиномы
и приближение функций св среднем•
19.1.1. Различные способы оценки «близости- двух
функций. Мы начнем эту главу с нескольких замечаний
общего характера, относящихся к вопросам приближения,
или, как еще говорят, аппроксимации одних функций
другими, более «удобными» (с той или иной точки зре­
ния) в данной ситуации.
Рассмотренные в предыдущей главе ряды Тейлора
доставляют нам аппарат для приближения (бесконечно
дифференцируемых) функций многочленами. Именно, в
качестве такого аппроксимирующего многочлена мы брали
каждый раз некоторую частичную сумму ряда Тейлора,
порожденного приближаемой функцией; иными словами,
мы полагали
f(х)~sn(х),
(19.1)
где
Sn(х)=f(а)+
+ 1'1
~ a)(~ - a)+f~~a)(x-a)2 + ... +'1:~а) (х-а)п
-многочлен п-й степени.
Как правило, при фиксированном значении п точность
приближенного равенства (19.1) тем выше, чем ближе
точка х к центру сходимости а. Так, например, для
функции е" и частичной суммы ее ряда Тейлора-Макло-
хs
рена S 2 (x)=l+x+ 2 , при х=О,01, х=О,1, х=О,5 и
х= 1 мы соответственно получаем ( на рис. 19.1 кривая
253

/ - график функции у= е", кривая / / - график функции
y=l+x+~
2
)
e0 •01 -S2 (0,01) = 0,00000017,
e0 •1 -S2 (О; 1) = 0,00017,
e0 •6.-S2 (0,5) = 0,024,
e1 -S2 (1) = 0,22.
Имея в виду именно это резкое улучшение качества
аппроксимации при nереходе к точкам, близким к а,
!J
Рис. 19.1.
I
л
говорят, что частичные суммы рядов Тейлора представ­
ляют собой так называемый аппарат локального прибли­
жения.
S 2 (х) не является, конечно, единственным из много­
членов 2-й степени, который может быть использован для
аппроксимации е". Так, для приближенnого представле­
ния е" на промежутке [О, 1] нередко пользуются и мно-
1
rочленом Р2 (х) =m (114+ 96х+ 86х2). По сравнению с
S2 (х) многочлен Р 2 (х) совершенно иначе приближает е".
При значениях х, близких к О, S2 (х) оказывается гораздо
ближе к е", нежели Р 2 (х), однако для других значений
х наблюдается обратная картина. Так, при тех же
254

значениях х, что и выше, для разности ех-Р 2 (х)получим
'
е0 • 01 -Р2 (0,01) = -0,0074,
е0 • 1 -Р 2 (0,01) = +О,0029,
е0 •~-Р2 (0,5) = 0,0027,
е1 -Р 2 (1) =0,0103.
Приближение ех посредством многочлена Р2 (х) для
различных участков отрезка [О, 1] дает, как говорят,
величины погрешностей одного порядка. В масштабе
рис. 19.1 графики е" и Р2 (х)
были бы (над отрезком [О, 1]) f/
неразличимы. Максимальная
(«наихудшая») величина мо­
дуля разности ех- Р2 (х) в
двадцать с лишним раз мень-
ше, чем такой же максимум
для е" и S2 (х). В подобных
случаях говорят, что Р2 (х)
дает лучшее качество равно­
мерного приближения по
сравнению с S 2 (х).
Рассмотрим еще один при­
мер. На рис. 19.2 дан гра­
фик функции f (х) и двух ее
аппроксимаций g(x) и h(x).
Как видно из этого рисунка,
почти на всем отрезке [а, Ь] О
g (х) гораздо ближе к f (х),
чем h (х), однако из-за «пика»
z
Рис. 19.2.
f (х) в окрестности точки с max \ f (x)-g (х) \ оказывается
больше, чем max I f (x)-h (х) \. В таких случаях говорят,
что g (х) лучше, чем h (х) приб.1шжает f (х) «в среднем»
(в то время как лучшее равномерное приближение
дает h(x)).
Любой из упомянутых способов аппроксимации имеет
свои достоинства и недостатки, и в зависимости от ре­
шаемых задач в одних случаях нам приходится искать
хорошее локальное приближение, в других случаях -
равномерное, в третьих-приближение «в среднем». В этой
главе у нас пойдет речь об отыскании «наилучших»
(в определенном смысле, который мы уточним ниже)
приближений функции «в среднем». Мы будем выбирать
эту «наилучшую_ аппроксимацию» из числа так называемых
255

обобще_нных полиномов, т. е. функций вида
Qп (х) = A1(J)1(х) +A1(J)1(х) +.,. + лпq,п (х), (19.2)
где {q,1 (х), q, 2(х), ... , q,n (х), ... }-некоторая, заранее
заданная система функций. (В частности, если q, 1 (х) = 1,
(J)2(х) =Х, q:>3(х) =Х11, ••• ,
Ч'п (х) =xn-i, то Qn (х) будет
представлять собой обычный полином (п-1)-й степени;
если q,1(х) = 1, q,2(х) = sin (J)X, Ч'з (х) == cos (J)X, ... , (J)2n (х)=
=SiПn(J)X, (j)2n+1(X)=COSn(J)X, , .. , ТО Q 2n+ 1(x) будет так
называемым тригонометрическим полиномом п-й степени).
Определение 19.1. Пусть f(х)-некоторая функ­
ция, а Qп (х) = л1q,1 (х) + ... + лпq,п (х) - обобщенный
полином, построенный по заданной системе функций
{ср1 (х), Ч'2 (х), . , . , Ч'п (х), ...}. Величину
•
Л (f, Qп) = ·VЬ~а5[f (х)-Qп (x)] 2 dx (19.З)
а
мы будем н.азьюать средним Кf!{l_дратическим· отклонением
полинома Qп (х) от ф_ункции f (х) на отрезке [а, Ь].
Замечание 19.1. Здесь и далее в этой главе мы не
будем специально оговаривать условий, обеспечивающих
существование рассматриваемых интегралов. Все эти
интегралы наверняка существуют, например, если функ­
ции <р11 (х) непрерывны, а f (х) имеет на [а, Ь] разве лишь
конечное множество точек разрыва __ типа скачка (такие
функции называют часто «кусочно-непрерывными»). Тот
из обобщенных полиномов степени не выше п, для кото­
рого величина Л(f, Qп) является наименьшей, мы будем
называtь обобщенным полиномом, наименее уклоняющимся
в среднем от f (х) на отрезке [а, Ь] (среди всех обобщен­
ных полиномов степени не выше п). Эrот полином назы­
вают также полиномом наилучшего (в среднем) приближе­
ниякf(х).
19.1.2. Ортогональные и ортонормированные системы
функций. Чаще всего в качестве «базы» для построения
обобщенных полиJюмов рассматривают такие системы
функций {<р1 (х), (J)2(х), ... , <рп (х), ...}, которые на за­
данном ·отрезке [а, Ь] обладают так называемым свойсmво.Аt
ортогональности, а именно такие, что для любых, отлич­
ных друг от друга функций Ч'т (х) и q,11 (х)
ь
~ Ч'т(Х)(J)11(х)dх=О.
(19.4)
"
256

Если, кроме того, для каждой q,m (х)
ь
~ q,~(x)dx= 1,
а
то такую систему называют ортонормиров_анной.
(19.5)
Пр им ер 19.1. Рассмотрим так называемую тригоно­
метрическую систему
{1, slnrox, cosrox, sin2rox, cos2rox, ...
. . . , sinnrox, cosnrox, ...}.
Наименьшим общим периодом для всех функций этой
системы является число Т =2л/rо. Поэтому обычно ее
рассматривают либо на промежутке [-Т/2, Т/2], либо
на любом другом промежутке длины Т. Покажем, что эта
система является ортогональной. Для этого нам надо
проверить, что равен О каждый из интегралов
Т/2
~ 1 •sin krox dx,
-Т/2
и при m=t=k
Т/2
~ 1 •cos krox dx,
-Т/2
т
rn
Т/2
~ siп krox cos mrox dx
-Т/2
••
~ sinkroxsinmroxdx и ~ coskroxcosmroxdx.
-Т/2
-Т/2
Убедиться в этом можно прямым вычислением каждого
из перечисленных интегралов. Действительно, например,
Т/2
Т/2
5 sinkroxsinmroxdx=; 5 cos(k-m)roxdx-
-т12
-Т/2
Т/2
1s
1
•
IT/2
-
2
cos (k+ т) roxdx= 2 (k-m)ro sш (k-m)rox -Т/2 -
-Т/2
1
•
1Т/2
- 2 (k+m)rosш(k+m)rox -Т/2 =0,
ибо после выполнения двойной подстановки под знаком
синуса получим (с учетом равенства Т = 2л/rо) целые
кратные л: ±(k-m)ли +(k+т)л.
Эrа система, однако, не является ортонормальной, ибо
Т/2
s l,dx=T,
-Т/2
Т/2
Ssin2kroxdx= ~ ,
-Т/2
9 Вод ред. Н, М, Матвеева, ч, 11
Т/2
Scos2 kroxdx= ~ •
-т1 2
257

Поэтому, если мы обязательно хотим иметь дело с орто­
нормированной системой, нам надо каждую из составляю­
щих ее функций умножить на так называемый нормирую­
щий множитель. Полученная после этого система
{I ,/2.
-./"2
Гт, rтsшwx, rтcoswx,
у; sin2wx, у; cos2wx, ... } (19.6)
будет уже и ортонормированной. В общем случае
вместо множителей 11v·т и V21т нужно будет брать
1 / { f,pl(x)dx.
t 9.1.3. Обобщенные полиномы наилучшего приближе­
ния. Пусть {(1) 1 (х), (1) 2 (х), ... , (j)n (х), ... }-ортонормиро­
ванная на [а, Ь] система; Qп(х) = Л. 1(!)1 (х)+ ... + Л.пfl)п (х)­
обобщенный полином, а f (х)-заданная на [а, Ь] функция.
Займемся изучением стоящей под знаком радю<ала в фор­
муле (19.3) величины
ь
~ [f (х)- Qп (х)]2 dx.
а
Прежде всего заметим, что
[f (х)-Qп (х)]2 = [t (х) - ktl Л.k(/)fi (х)Т =
п
п
п
(19. 7)
= f2(x)-2 ~ л.kf (х) cpk (х) +~ ~ л;л"ср;(х) (j)k (х).
k=I
k=I i=I
Проинтегрируем теперь полученное равенство почленно,
учитывая при этом соотношения (19.4) и (19.5):
/1
~ [f (х)-Qп (х)]2dx =
а
Для удобства дальнейших выкладок введем обозначение
ь
ck= ~ f(x)ff!k(x)dx.
(19.9)
а
258

В правой части (19.8) добавим и вычтем выражение
п
~ с:; тогда получим
k=I
ь
ь
п
п
~ [f(x)-Q,.(x)]2 dx= ~ f2 (x)dx- ~с:+ ~с:-
а
а
k=I
k=I
п
п
ь
п
п
-2~ л.kck+~л:=~/2(х)-~ ct+~ (ck-лk)2•
k=I
k=I
а
k=I
k=I
Отсюда видно, что при фиксированном п наименьшее зна­
чение интегралу (19.7), а значит, и величине Л (f, Qп)
(см. (19.3)) доставляет обобщенный полином
Q;(x) =C1(J)i (х) +с2<р2 (х) + ... +с"<рп (х), (19.10)
где с1 , с2 , ••• , Сп определяются по формуле (19.9). При
этом
ь
ь
п
~[f(x)-Q~(x)]2dx= ~ /2(х)dx- ~ с:,
а
а
k=I
(19.11)
Л(/, Q;) ~ у, 1аи 1' (х)dx-t::]. (19.11')
Определение 19.2. Числа ck, задаваемые фор,1,~у­
лами (19.9), называются обобщенными коэффициентами
Фурье для функции f (х) относительно системы функций
{fJJ 1 (х), q:, 2 (х),
. .. }, а обобщенный полином Q~ (х) =
= C1(J) 1 (х) + ... +сп(J),. (х)-обобщенным полиномом Фурье
для f (х) относительно этой же системы функций. Если
"'
система {(J) 1 (х), (J) 2 (х), ... } бесконечна, то ряд ~ ck(j)k (х)
k=I
(независимо от того, сходится он или нет и совпадает ли в
случае сходимости его сум.ма с порождающей фующией
f (х)) называется обобщенным рядом Фурье для f (х).
19.1 .4 . Обобщенные ряды Фурье. Пусть система
{(J)i (х), (j) 2 (х), ... } бесконечна. Тогда мы можем соста­
вить для нашей функции f (х) ее обобщенный ряд Фурье
('J)
f (х) ,.._, ~ Ck(j)k (х).
k=I
(19.12)
259

Знак - мы ставим здесь потому, что в общем случае
мы не можем гарантировать не только равенства между
левой и правой частью (19.12), но даже и сходимости
ряда в обычном смысле этого слова.
Заметим, что частичные суммы этого ряда суть не
что иное, как полиномы Q~ (х) наилучшего (в среднем)
приближения к f (х). Из формул (19.11) и (19.11') видно,
что при увеличении п величина Л (f, Q~) убывает (оста­
ваясь при этом неотрицательной).
Определение 19.3 . Если
lim Л(f, Q~) =О,
(19.13)
n➔«>
то говорят, что обоб~ценный ряд Фурье для f (х) сходится
в среднем к порождающей его функции.
Из формулы (19.11) следует, что необходимым и доста­
точным условием такой сходимости в среднем является
справедливость равенства
(19.14)
(Это равенство называют равенством Парсеваля или еще­
уравнением замкнутости.)
Обычно рассматривают такие ортонорма.11ьные системы
функций {IPi(x), q> 2 (x), ... }, что равенство (19.14) имеет
место для каждой кусочно-непрерывной, т. е. имеющей
не более чем конечное множество разрывов типа скачка,
на [а, Ь] функции f (х). Тогда для каждой такой функ­
ции будет иметь место сходимость к ней в среднем по­
рожденного ей ряда Фурье. Примером такой системы
может служить тригонометрическая система ( 19. 6).
Заметим, что из сходимости в среднем никоим обра­
зом не следует сходимость в обычном смысле. Для обыч­
ной сходимости, как правило, требуется выполнение еще
некоторых дополнительных условий (применительно
к рядам по тригонометрической системе мы ниже сфор­
мулируем такие условия). Однако ряды Фурье (и их
частичные суммы-полиномы Фурье) с точки зре­
ния инженерно-технических приложений как раз и пред­
ставляют собой ценность, прежде всего, как аппарат
для приближения функций «в среднем»!
260

§ 19.2 . Тригонометрические ряды Фурье
19.2 .1 . Разложение в тригонометрический ряд Фурье
функции, заданной на конечном промежутке. Рассмотрим
уже встречавшуюся нам ортонормированную тригономет­
рическую систему (19.6). Общая формула (19.9) для
коэффициентов Фурье применительно к этой системе дает
Т/2
Т/2
с1= 5 f(x) Jт•l-dx= ;f 5f(x)dx,
-Т/2
-Т/2
Т/2
--.
/-
_
Т/2
c2k= Sf(х)V ; sinkroxdx= J/; 5f(х)sinkroxdx,
-m
-m
• Т/2
--.
/-
-.
/- Т/2
C2k+i = 5f(х) V ;coskroxdx= V ; \ f(х)coskroxdx.
-Т/2
- ~/2
Оказывается удобным ввести здесь вспомогательные обо­
значения
С учетом этих формул ряд Фурье по тригонометричес­
кой системе запишется следующим образом:
1
f(х),_, С1 Vт+
+ f [c2k (У; sin krox) +c2k+i (У; coskrox)] =-
k=I
00
=а2 + ~ (bksinkwx+akcoskrox), (19.16)
k=I
где
Т/2
Т/2
а0=; Sf(х)dx,
ak =; 5f (х) cos krox dx,
-Т/2
-Т/2
Т/2
bk=f Sf(х)sinkroxdx.
-Т/2
(19.17)
261

Заметим, что первую из этих формул мы можем рассмат­
ривать как частный случай второй (при k = О). Имен­
но поэтому в (19.16) свободный член и был записан в
виде а0 /2.
Как мы уже отмечали, рассматривая общий случай,
ряд (19.16), будучи всегда сходящимся к f (х) в среднем,
вовсе не обязан сходиться к этой функции в обычном
смысле. Однако если f (х) кусочно-дифференцируема, т. е.
если как f (х), так и f' (х) обе кусочно-непрерывны на
[- Т /2, Т /2], то в каждой такой внутренней точке этого
промежутка, где f (х) непрерывна, ее ряд Фурье будет
в обычном смысле сходиться к значению этой функции,
а в точках ее разрыва и на концах промежутка сумма
ряда будет соответственно равна
~[f(х-0)+ f(х+О)] и ~[t(-~+О)+ f(~+О)] •
(Мы здесь примем это утверждение без доказательства.)
19.2.2. Разложение периодических функций. Так как
все функции тригонометрической системы (19.6) имеют
число Т - своим периодом, то и сумма тригонометричес­
кого ряда Фурье (в том случае, разумеется, когда ряд
сходится) тоже будет Т-периодичной, хотя бы сам ряд
и был построен для функции, заданной только на
[- Т /2, Т /2]. Пусть теперь функция f (х) определена на
всей числовой оси и тоже является Т-периодичной.
Предположим, что «сужение» этой функции на промежуток
[- Т /2, Т /2] представляет собой функцию кусочно-диф­
ференцируемую. Разложив его в (сходящийся, как мы
теперь знаем, в обычном смысле этого слова) ряд Фурье,
мы тем самым получим формулу
f(х)=а;+~(bksinkrox+akcoskrox),
k=I
(19.18)
справедливую не только на [-Т/2, Т/2], но и для каж­
дой такой точки числовой оси, где f (х) непрерывна.
Если f (х) задана на промежутке [а, а+ Т], то, продол­
жая ее на всю числовую ось так, чтобы она оказалась
там Т-периодической, и разлагая эту «расширенную»
функцию в ряд Фурье по системе (19.6), мы тем самым
получаем и (действующее на [а, а+ Т]) разложение нашей
исходной функции.
Отметим еще, что для Т-периодической функции
в формулах (19.17) интегрирование можно проводить по
262

любому промежутку длиной Т. Из-за Т-периодичности
подынтегральных функций величины этих интегралов не
будут зависеть от выбора начальной точки промежутка
интегрирования. Если же f (х) первоначально задана на
[а, а+Т], то для получения ее коэффициентов Фурье
мы можем, не прибегая ни к каким Т-периодическим про­
должениям, сразу проводить интегрирование (в (19.17))
по этому промежутку.
Если Т-периодическая функция f (х) является на каком­
либо (а тем самым-и на любом) промежутке длиной Т
кусочно-дифференцируемой, то, как мы знаем, ее ряд
Фурье является сходящимся в обычном смысле (или, как
еще говорят, «поточечно» сходящимся). Однако эта схо­
димость может быть весьма медленной. Оказывается (мы
здесь примем соответствующие утверждения без доказа­
тельства), что скорость этой «поточечной» сходимости
зависит от дифференциальных свойств или, как еще
говорят, от степени гладкости разлагаемой функции.
А именно, если Т-периодическая функция f (х) непрерывна
и имеет непрерьюные же производш,tе до (т- 1)-го порядка
включительно, а гт> (х) кусочно-непрерывна на всяком про­
J.tежутке длиной Т, то разность между f (х) и п-й час­
тичной суммой ее ряда Фурье при п-+ оо убывает быст-
l
рее, чем Се ----~п=е, где в-сколь угодно малое положитель­
п
ное число, а Се-некоторая постоянная
1
•
1
се
f (х)- Qп (х) ::;;;-;;.-=в:.
п
В заключение этого пункта_ заметим, что формулы
(19 .17) могут быть формальным образом получены из
равенства (19.18) его почленным умножением соответ­
ственно на 1, cos kwx и sin krox с последующим интегри­
рованием по промежутку [- Т /2, Т /2]. Однако это заме­
чание здесь следует рассматривать лишь как возможный
прием для уяснения формальной стороны дела, ибо такое
почленное интегрирование далеко не всегда является
«законной» математической операцией. Кроме того, при
таком подходе мы прошли бы мимо важнейшего свойства
отрезков ряда Фурье-быть тригонометрическими поли­
номами наилучшего приближения в среднем!
19.2 .3 . Разложение в ряды только по синусам и только
по косинусам. Если Т-периодическая или заданная на
[-Т/2, Т/2] функция f (х) лвляется нечетной: f (-х) =
263

-
-
f (х), то f (х) cos krox представляет собой снова нечет­
ную функцию, а f (х) siпkrох-четную
f(-х)coskro (-х)= - f(х)coskrox,
f (- х) sin kro (-х)-= f (х) sin krox.
Уtштывая, что интеграл, взятый от нечетной функции
по симметричному относительно начала координат про­
межутку, равен О, а для такого же интеграла от четной
функции справедливо равенство
а
а
IФ(х)dx= 2Iф(х)dx,
мы можем переписать для этого случая формулы (19.17)
следующим образом:
Т/2
a0 =ak=O, Ь*=: Sf(x)sinkroxdx.
(19.17')
о
Аналогично для коэффициентов Фурье Т-периодичес­
кой или заданной на [- Т /2, Т/2] четной функции имеем
Т/2
Т/2
а0 =; Jf (х) dx, ak=; Jf (х) cos kroxdx, bk= О.
(19.17")
Таким образом, если Т-периодическая или заданная
на [- Т /2, Т /2] функция f (х) является нечетной, то ее
ряд Фурье будет содержать только члены с sin krox,
а если f (х)-четная, то этот ряд, кроме свободного
члена, будет включать в себя только члены с косинусами.
Пусть теперь f (х) задана только на промежутке
(О, Т /2]. Доопределяя ее на [- Т /2, О] по формуле
fи(х)= -
f (- х) и полагая f11 (О)= О, мы получим нечет­
ную функцию f и (х). Построим теперь для f и (х) тригоно­
метрический ряд Фурье. Он, очевидно, будет содержать
только члены с синусами. Если на [-Т/2, Т/2] будет
"'
fи(х)= ~bksinkrox,
k-=I
••
то, очевидно, на (О, Т /2), где fи (х) 2= f (х), получим и
"'
f(х)= ~bksinkrox,
(19.19')
k=I
264

т. е. f (х) окажется разложенной в ряд только по си­
нусам. Если же доопредедим f (х) на [- Т /2, О) «четным
образом»: fч(x)=f(-x), то таким же образом придем
1< разложению
.,
f (х) =а;+ 2:akcoskffiX.
(19.19")
k=I
Тю< как коэффициенты рядов из (19.19') и (19.19") могут
быть рассчитаны по формулам (19.17') и ( 19.17"), а в этих
последних фигурируют интегралы только по промежутку
[О, Т /2], то безразлично, будем ли мы здесь использовать
«продолженные» функции fн (х) и f ч (х), или же-непосред­
ственно исходную функцию f (х). Ведь на (О, Т /2] все
эти функции совпадают друг с другом!
Можно было бы и по-другому подойти к вопросу
о разложении функций, заданных на [О, Т /2], в ряды
только по синусам и только по косинусам. А именно,
система функций {sin rox, sin 2ffix, sin Зwх, ... } является
ортогональной на [О, Т /2], Действительно, при k =l=m
Т/2
5sinkwxsinmroxdx=
о
Т/2
=1⁄2 S[cos(k-m)wx-cos(k+m)rox]dx==
о
= [ 2 (k~m)ffi sin(k-m)rox-2 (k~ т) (J)sin(k+m)rox]\;12 = О,
ибо при выпо,1нении двойной подстановки (с учетом
равенства Т = 2n/ro) мы получаем под знаками синусов
целые кратные n. в связи с тем, что интегрирование
здесь проводится по промежутку [О, Т /2], нормирующий
множитель здесь, в от.1шчие от полной тригонометриче-
ской системы, будет равен 2/VT. Действительно,
Т/2
Т/2
S sln2 kшxdx={ S(l-cos2kюx)dx=:.
о
о
Получающаяся ортонормированная система
{ ;f sinrox, Jт sin2wx, Jт sinЗrox, ... } (19.20')
также обладает тем свойством, что уравнение замкну­
тости (19.14) оказывается выполненным для любой кусоч­
но-непрерывной на [О, Т /2] функции. Следовательно, и
265

эдесь, независимо от того, имеет или нет место «пото­
чечная сходимость», ряд обязательно будет сходиться
в· среднем к порождающей его функции.
Аналогичным образом обстоит дело и с раэложениями
в ряды по функциям системы
{J/}, /т cos rox, ;т cos 2rox, ... }
.
(19.20")
19.2.4. Примеры разложения функций в тригономет­
рические ряды Фурье.
П ·р им ер 19.2. Пусть функция f (х) такова, как это показано
на рис; 19:3. Ра~ложить ее в ряд Фурье .
. 'Jt'
.
."""""?
1'
1Е
9
,,
1;
•:
1:
1
11,
11
1
,·
1
,,
1'
1
1
1
1
1
1
1.-
~
-5
о
·.5
"
15''
21
:,;
Рис. 19.3.
Поскольку период ее равен 10, то для вычисления коэффици­
ентов Фурье достаточно будет выписать ее аналитическое выраже­
ние на каком-либо промежутке длины 10. Имеем T=lO, 0>=2:n:/10=
=:n:/5,
f(x)={ ·о, если хЕ(-5, О],
1, если хЕ(О, 5],
тогда (мы применяем формулы (19.17))
5
О
5
a0 =fo5 f(x)dx=-1⁄2 - S 0-dx+ ~ S 1-dx=l,
-5
-5
О
5
О
ak= 1
2
0St(x)cos(k~х)dx= ~50-cos (k~х)dx+
-5
-5
5
+~s1•cos (k~х)dx= ~k5iпk~x1:=О,
о
5
О
bk=io Sf(x)siп(k~х)dx= ~ S0-sin (k~х)dx+
-5
-5
5
+..!. _
r 1-siп (k !!:..х) dx=- .! ._ c os knx 15=.!. _ [1-(-l)kj,
5J
5
nk
5o:n:k
о
266

Мы видим, что bk с четными номерами все равны О, а для bi,
с нечетными номерами будет Ьk =2/nk. Поэтому
12.nx
2.Зnх2.5nx
f(x)=2 +1t SIПб+З:rt SJП 5 + 5'Jt SIП 5 +••• =
=2..+.! ,., _l_sin (2m-l):rtx.
2 n ~:'.т-1
.5
m=I
(Знак равенства между функцией и ее рядом -Фурье мы здесь ·имеем
право поставить потому, что наша функция являет~я кусочно-диф­
ференцируемой на [-5, 5]. Это равенство будет ·Йметь -место везде,
кроме точек вида x=5l, где l-целое.)
~---------'
-----------
'
'
-3
О
J
5
9
12 :с•
Рис. 19.4 .
Пр и мер 19.З. Построим ряд ·Фурье :для фующии, ,изображен­
ной на рис. 19.4 .
Ее период Т равен 6, следовательно, ro =.2:rt/6=-n/3 . .l(роме тооо,
эта функция является четной, следовательно, •ее ,ряд Фурье .будет
содержать только :свободный член и члены с .косин.усами, ш ,ко:tффи­
циенты ak мы можем ,искать .по формулам ('l9. l 7"). ·На ;промежутке
[О, 3] имеем f (х) =х/3, следовательно,
3
-4sх 2х21з
ао=6 3dx=92о=1,
о
3
3
4 5х k:rtx
2s(3•k:rtx) 2 3•
ak=6 3cos3 dx=9 xd kлsш3 =gx/щsш
о
о
•
3
_
2\.k:rtxd_2З.knx1з_2[(-f)k_i-
Зk:rt ,) sш з x-Зkn k:rt cos з .Jo-(k:rt)2
•J•
о
Есш1 k=2m, то ak=O, а при k=2m-l будет ak=-4/(kn)2 • Поэтому
14( nx_1_1
Зnх 1 .5nx
)_
f(х)- 2
-
:rt2 cos3 19cos3+25cos3+... -
"'
_
__!_
_
_!
~-,
1
(2m-l)nx
-
2 n2 ~ (2m-1)2cos
3
•
m=I
(И здесь в силу кусочиой дифференцируемости f (х) вместо знака
соответствия (~) мы можем писать знак равенства. Так ·как f (х)
всюду непрерывна, то это равенство будет справедливо при вс.ех х.)
267

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 19
1. Охарактеризуйте известные вам различные подходы к оценке
«меры близости» двух функций. Поясните свой ответ примерами.
2. Что наэывается обобщенным полиномом, построенным по за•
данной системе функций {(J) 1 (х), (J) 2 (х), QJз (х), ... }?
З. В каком случае систему функций {(J) 1 (х), (J) 2 (х), (J) 3 (х), ... }
называют ортогональной на отрезке [а, bj? ортонормированной на
этом отрезке? Приведите примеры.
4. Что такое обобщенный по.1Jином, наименее уклоняющийся
в среднем от заданной функции (на данном отрезке [а, Ь])? Как еще
называют такие полиномы?
5. Что такое обобщенные коэффициенты Фурье, обобщенный по­
лином Фурье, обобщенный ряд Фурье для заданной функции? В чем
состоит характеристическое свойство обобщенных полиномов Фурье?
6. Что значит, что обобщенный ряд Фурье сходится в среднем
к порождающей его функции? В чем состоит необходимое и достаточ­
ное условие такой сходимости? Следует ли из сходимости в среднем
обычная («поточечная») сходимо(;ть при каждом значении х?
7. Запишите в общем виде триrонометри<1еский ряд Фурье. По
каким формулам можно вычислять его коэффициенты? Приведите
пример.
8. По каким формулам можно находить коэффициенты Фурье
периодической функции и функции, заданной на промежутке [а, а--\-Т]?
9. При каких условиях тригонометрический ряд Фурье будет
сходиться в обычном смысле при каждом значении х? Чему при этом
будеt равна его сумма:
а) в такой точке из (-Т/2, Т/2), где порождающая ряд функция
непрерывна? б) в точке разрыва порождающей функции, если эта
точка лежит внутри промежутка (- Т/2, Т/2)? в) в точках ± Т/2?
10. Как зависит скорость «поточечной сходимости» тригонометри­
ческого р_яда Фурье от степени гладкости порождающей его функции?
11. Какие особенности имеют ряды Фурье для четных и нечетных
функций?
12. Каким образом осуществляется разложение функций в ряды
только по синусам и только по косинусам? Приведите примеры.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 19
В примерах 1-4 требуется проверить, будут ли данные функции
ортогональными друг другу на указанном отрезке.
1. (J)1 (х) =х+1, (J)2 (х) =Х2-х
на отрезке [-1, 1].
2. (J)i (х)-х+ 1, (J) 2 (х) =Х2 -х
на отрезке [О, 1].
е"-е-х
е"+е-х
8. (J)1(х)
2 , QJ2(х)= 2
на отрезке [-1, 1].
4. (J) 1 (x)=sinx, (J) 2 (x)=sin2x
на отрезке [-л:, л:].
5. Одним из примеров ортогональной на промежутке [-1, 1]
системы является система полиномов Лежандра {Рп (х)} (n = О, 1,
2, 3, ... ), где Рп (х)= 2}nl ::п [(х1 -1)п]. Найдите по этой формуле
Р 0 (х), Р1 (х) и Р2 (х) и непосредственным вычислением интегралов
убедитесь в их ортогональности. Покажите также, что эта система
не будет ортонормированной.
268

6. Покажите, что система функций 1, cos х, cos 2х, cos Зх, ...
будет ортогональной как на отрезке [О, nj, так и на отрезке [-n, n].
Подберите для этих функций множители μk и μk 'l'ак, чтобы система
μ~, μ~ cos х, μ; cos 2х, μ; cos Зх, ... оказалась ортонормированной на
[О, nj, а система μ~.
μ;cosх, μ;cos2х, /t;cosЗх, ...на[-n, n].
7. Разложите в тригонометрический ряд Фурье функцию, пред­
ставленную на рис. 19.5 .
g
!f
2
1
1
r-;
1
~~
+'
1
1
1
1
.:.2оl4581012х
1
2
:с
Рис. 19.5 .
Рис. 19.6 .
8. Разложите в тригонометрический ряд Фурье функцию, чей
график дан .на рис. 19.6 .
Каждую из функций, задаваемых в упражнениях 9-12, требуется
разложить в ряд Фурье на у1М1эанном промежутке, Построить гра­
фики данных функций и сумм их рядов Фурье.
9. f (х)=2-х на [-2, 2]. 10. f(x)=2-x на [О, 2].
'
{ 10, если
-10 ,;,;;;х < О,
11. (х)=
на (-10, 10).
10-х, если О ,r;;;; х .с;;; 10,
12. f(х)=1хIиа [-n, nJ.
В каждом из упражнений 13-15 дается функция и промежуток
вида [О, а]. Требуется:
а) разложить данную функцию в ряд только по синусам;
б) разложить данную функцию в ряд только по косинус_ам;
в) разложить данную функцию в ряд Фурье с периодом Т =а.
13. f(x)=5 на [О, 5). 14 . f(x)=x на (О, n]. 15. f(x)=4-x
на [О, 4).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ: И РЕШЕНИЯ: К ГЛАВЕ 19
1
1. Вычисляя ~ с:р1 (х) с:р2 (х) dx, мы убеждаемся, что он равен О.
-1
Значит, с:р1 (х) и с:р2 (х) ортогональны на отрезке (-1, !].
2. На отрезке (О, 1] данные функции не ортогональны.
3. Функции ортогональны.
4. Функции ортогональны.
5. РO(х) = 20~0! (x2-t)0 = 1 (напомним, что 01 полагают равным 1),
1d
ld2
1
Р1 (х) = 21. 11 dx [(х2- l)l]=x, Р2 (х)= 22.21 dx1 [(х~-1)2]=2 (Зх~-1).
269

1
1
1
Вычисляя ~ РO(х)Р1(х)dx, ~ РO(х)Р2(х) dx и ~ Р1(х)Р2(х)dx,
-1
-1
-1
убеждаемся, что функции Р 0 (х), Р1 (х) и Р2 (х) попарно ортогональны,
1
1
1
акаждыйиз~- Р~ (х)dx, ~ Р~(х)dxи ~ Р:(Х')dxотличен от1.Это
-1
-1
-1
означает, что данная система не является ортонормированной.
6. Для доказательства ортогональности системы на отрезке [О, :rt]
надо показать, что равен нулю каждый из интегралов
11
11
~ 1•cos тх dx,
о
~cosтхcosпхdx
о
(т, n=I, 2, 3, ... ; т:;!:п).
Аналогично для отрезка [- :rt, :rt] вычисления дают
,
1,,
у2- 1.,,
1
μо= ,r-, μ1=μ2= •.. =
-, μо= ,r-, μ1=μ2= ... = · ,г=
r :rt
:rt
r 2:rt
r:rt•
7. Как это легко- усматрwв,ается из чертежа, данная. функция
имеет период Т = В. Поэтому при нахождении коэффициентов ап и Ь"
мы можем проводить интеrриров.ание по любому промежутку, длина
которого равна 8. В качестве такого промежутка здесь удобно взять
отрезок (-2, 6]. Так как Т=В, то OO=:rt/4. Запишем аналитическое
выражение для данной функции на этом. промежутке
{ 2, если -2.,.:;;х < 2,
f(х)=
\, если 2~х<6,
после чего вычислим коэффициенты разложения
6
2
6
а0=: Sf (x)dx= 1S2dx+{ SI dх=З,
-2
-2
2
6
2
6
2s
k:rtX
\s
k:rtx
\s
kitx
ak=s
f(х)cos-Тdx=4 2cos,Гdx+4 1cos- 4
-
dx=
-2
-2
2
4 .kn+1(.Зk:rt
.
k:rt )
= knsm2
7m: sш-2--s1n 2 =
(о,
если k=2m,
=i
2
(-J)m-1 если k=2m-l,
~ (2т-1) n
'
6
2
6
bk= ~ Sf (х) sin k;x dx=-1⁄4 - S2 sin k;x dx+ 1S\sin k3; dx=O.
-2
-2
2
Так как данная функция является кусочно-дифференцируемой, то мы
270

можем поставить знак равенства между f (х) и суммой ее ряда Фурье
,,,
f ( ) =~+ ~ ~ (-l)m-I (2m-l):rtx
х 2 :rt~2т-1cos
4
•
m=I
При x=2-i -4l (l=0, ±1, ±2, ... ) сумма ряда равна 3/2.
,,,
8. f(х)=21+_!_L. kl sin2k:rtx. (При х=О, ±1, ±2, ±3, ...
:rt k=I
сумма ряда равна· 1/2.)
,,,
4 ~ (-l)k . k:rtx
.
9. f(x)=2+- k,,J, -,г-s1п-2-.(Прих=±2, ±6, ±10,±14, ...
:rt k=l
сумма ряда равна 2.)
,,,
10. f (х) = 1+.! L. k sin k:rtx. (При х=О, ±2, ±4, ±6, ... сумма
:rt k=l
ряда равна 1.)
,,,
11 '() _15+.!О~ {(1-(-l)k]
k:rtx_+(-l)k. k:rtx}
•
х-2
:rt ~
:rtk2
cos 10
kS\П10•
(При х= ± \О, ±30, ±50, ±70, ... сумма ряда равна 5.)
,,,
:rt 4~
1
12. f(х) =2
- n ~ (2m- l)2 cos (2т-1) х. При нахождении
m=I
разложения следует использ·овать четность функции I (х).
,,,
00
13 ) '( ) -.!О~ 1-(-l)k . k:rtx_20~
_1_.
(2т-l)лх
•а
х- :rt~
k
SIП 5 - :rt ~ 2т-1SIП
5
•
1<=1
m=I
(При х=О, ±5, ±10, ±15, ... сумма ряда равна О.) б) /(х)=5 (все
остальные коэффициенты равны О). в) /,/,.х) =5.
i, (-l)k+l
14. а) l(x)=2k,oj k sinkx. (При x=±:rt, ±3:rt, ±5л,
k=I
,,,
:rt 2 ~ (-l)k-1
± 7:rt, ... сумма ряда равна О.)
б)f(x)=2 +n~
1.2
cos kx=
/1=1
,,,
"'
:rt
4 ~.,,
1
л~1
=
2 -n ~ (2m-l)2 cos(2m-l)x. в) /(х)= 2 - ~,;sin2kx.
m=I
k=I
,,,
8~1.kлх
15. а) f(х)=-~k SIПт·
:rt k=I
,,,
16~
1
(2m-l):rtx
б) f (х) =2+:rt2 ~ (2т- l)2 cos
4
•
m=I
"'
4~1.l,:rtx
в)/ (х)=2+- 2., . k S\П т·
:rt k=I

ГЛАВА 20
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИК И
§ 20.1 . Упорядоченные выборки. Перестановки
и сочетания
20.1.1. Вводные замечания. При решении многих при­
кладных задач приходится сталкиваться с проблемами,
относящимися к совершению тех или иных операций,
установлению соотношений, группировке и т. п. над эле­
ментами тех или иных конечных множеств. Примерами
здесь могут служить планирование очередности выполне­
ния отдельных работ из некоторого их комплекса, рацио­
нальный выбор компонент и структуры той или иной си­
стемы, определение оптимальной последоватеJrьности по­
верочных (тестовых) испытаний для сложных технических
объектов и т. д. Несмотря на то, что объект исследованlfя
здесь конечен, многие из возникающих проблем и спосо­
бов их решения отнюдь не являются элементарными. Ветвь
математики, занимающуюся этим кругом вопросов, назы­
вают часто конечной математикой. Одним из разделов этой
ветви является комбинаторика, с начальными понятиями
которой мы и познакомимся в этой главе. Поскольку
здесь нам довольно часто придется указывать количество
элементов того или иного множества, мы условимся упо­
треблять термин п-множество для обозначения множества,
состоящего ровно из п элементов. Такие же обороты мы
будем употреблять и в тех случаях, когда речь будет идти
о подмножествах, конечных последовательностях и т. п.
В этом же смысле мы будем употреблять выражения типа:
«объем множества равен п». Эти соглашения помогут нам
избежать громоздких оборотов речи.
20. 1.2 . Упорядоченные выборки и перестановки.
Определение 20.1. Пусть Q-некоторое п-.мно­
жество, а W={q1, q2,
••• ,
qт}-т-последовательность,
272

составленная из элементов Q (не обязательно различных).
Тогда W называется упорядоченной т-выборкой из п-мно­
жества Q.
Если некоторый элемент q €: Q встречается в качестве
члена выборки W ровно k раз, то говорJ!,т, что кратность
q относительно W равна k.
Множество Q w, состоящее из тех (и только тех) элемен­
тов Q, кратность которых относительно W не меньше l,
будем называть элементной базой W.
Если кратность каждого из элементов Qw в точности
равна l, то выборка W называется т-перестановкой из
элементов Q.
Поясним только что введенные понятия на следую­
щем примере.
П р име р 20.1. Пусть Q состоит из десятичных цифр О, 1,
2, ... , 9. Так как общее число элементов Q равно 10, то мы можем
назвать Q !О-множеством или сказать, что объем Q равен 10.
ПР,имерами 7-выборок из Q могут служить последовательности
W1=i2,7,1,1,2,9,2}, W2={3,5,8,4,О,1,7}. Цифра7по
отношению к каждой из этих выборок имеет кратность 1 (в каждой
из них она встречается ровно один раз), кратность цифры 6 и в
том и в другом случае равна нулю (эта цифра не встречается ни в
W1 , ни в W2). Цифра 2 по отношению к W1 имеет кратность 3,
а по отношению к W 2 ее кратность равна О.
Элементная база W1 состоит из цифр 1, 2, 7, 9 (Qw,={1,2, 7, 9~).
элементная база W2 -из цифр О, 1, 3, 4, 5, 7, 8 (Qw.={0, 1, 3, 4, 5, 7, 8}).
Так как кратность относительно W2 каждого из элементов, сос­
тавляющих Qw.,
равна 1, то W2 мы вправе назвать 7-переста­
новкой из элементов Q. Выборка W1 не является перестановкой,
так как Qw, содержит элементы, кратность которых по отношению к
W1 больше 1.
Во многих случаях оказывается необходимым умение
найти общее число различных между собой выборок того
или иного типа, которые могут быть составлены из эле­
ментов данного множества. Ответ на некоторые из таких
вопросов дает следующая.
Теор ем а 20. 1. Количество различных упорядочен­
ных т-выборок из п-множества Q равно пт. Количество
различных т-перестановок из элементов такого множества
равно п (п- I)(n-2) ... (п-т + 1).
До к аз ат ель ст в о. Пусть Q-п-множество. Будем
обозначать множество всевозможных k-выборок из Q че­
рез Sk, а объем Sk-через V (п, k). Очевидно, что
V(п,l)=п.
(20.1)
273

Допустим, что формула
V(п,li)=пk
(20.2)
справедлива для каждого натурального k, строго мень­
шего, чем т, и покажем, что тогда она справедлива
и для k=m.
Действительно, разобьем Sm на классы, относя в каж­
дый из них такие выборки {q1 , q2, •••
,
qm-i• qт}, которые
отличаются друг от друга только своим последним членом.
Очевидно, что таких классов будет столько же, сколько
элементов в Sm-i• т. е. V(n, т-1). ·В то же время каж­
дый из этих классов будет состоять ровно из п элементов,
ибо ровно столько различных значений может прини­
мать qm. Так как, кроме того, одна и та же выборка
из Sm не может входить в два разных класса, то общее
число всех таких выборок будет равно V(n, т-l)-п.
Отсюда, учитывая, что по индуктивному предположению
V(n, т-l)=пт- 1 , мы и получаем V(n, т)=пт- 1п=пт.
Согласно принципу математической индукции мы заклю­
чаем, что формула (20.2) верна для любого ;натурального k.
Докажем теперь второе из утверждений теоремы. Заме­
тим предварительно, что здесь нам достаточно рассмотреть
те случаи, когда т ~ п, ибо для т > п это утверждение
очевидно. (На самом деле, если т > п, тоm•перестановок
из элементов п-множества составить нельзя, но в этом же
случае обращается в Ои произведениеп(п-1) ... (п-т+ 1),
ибо один из его сомножителей есть О.) Пусть Тk-мно­
жество всех k-перестано-вок из элементов п-множества Q.
Обозначим объем Tk через Р (п, k). Формула
Р(п,k)=п(п-1) ... (n-k+1)
(20.3)
при k= 1, как нетрудно видеть, верна. Предположим,
что она справедлива при всех k < т, и покажем, что из
этого предположения следует ее справедливость и для
k=m.
Так же, как и при доказательстве первой части тео­
ремы, разобьем Тт на классы, объединяя в каждом из
них все перестановки {q1 , q2 , •••
,
qm-i• qт}, отличающиеся
друг от друга только последним членом. Таких классов
будет ровно столько, сколько существует различных
(т-1)-перестановок, т. е. Р (п, т-1). В каждом из этих
классов будет теперь уже (п-т + 1) элементов, ибо
в качестве члена qm могут фигурировать только те из
элементов Q, которые еще не использованы в качестве
274

«значений» для q1 , q2 , ..•
, q,,,_ 1
.
Так как 1<аждая из пере­
становок входит в один и только один класс, то общее
их число представляет собой произведение коJшчества
классов на объем каждого из этих классов:
Р(п,т)= Р(п,m-l)(n-m+1).
Так как, согласно индуктивному предположению,
Р(п, m-l)=n(n-1) ... [n-(m.-1)+1]=
=n(n-1) ... (n-m-f -2),
то
Р(п, m)=n(n-1) ... (п-т+2)(п-т+l}.
Справед.'Iивость формулы (20.3) доказана.
Отметим еще, что, умножая и деля правую ее часть
(при k~n) на (n. ~ k)(n-k -1) ... 2•l=(n-k)!, мы мо­
жем записать ее и в виде
nl
р(п,k)= (n-k)I '
Если n= k, то формула (20.3) принимает вид
Р(п,п}= nl
(20.4)
(20.5)
Заметим, что в силу известного нам соглашения: счи­
тать О! равным 1, формула (20.4) остается справедливой
и при kс.~п.
20. 1 .3. Сочетания. Существует определенный круг во­
просов, где порядок следования членов выборки не играет
роли. В этих случаях естественно не делать различия
между двумя такими упорядоченными выборками, 1шждая
из которых может быть получена из другой посредством
перестановки ее членов. Очевидно, что для этого необхо­
димо и достаточно, чтобы у этих двух выборок не только
совпала элементная база, но и чтобы кратность каждого
из ее элементов относительно той и другой выборки была
одинаковой. Отождествляя упорядоченные выборки между
собой по этому признаку, мы приходим к понятию не у по­
р яд о ч е II ной выборки. Мы дальше будем рассмат­
ривать только такие неупорядоченные выборки, что крат­
ность любого из составляющих их элементов равна 1.
Такие выборки называются сочетаниями. Очевидно, что
всякое сочетание полностью определяется его элементной
базой. Поэтому понятие сочетания из элементов мно­
жества Q по существу не отличается от понятия подмно­
жества множества Q.
275

П р и м е r 20.2 . Пусть Q состоит из всех букв латинского алфа­
вита, и пусть W1 ={a, Ь, а}, Wa={a, а,Ь}, W3 ={a, Ь, Ь}. Рассмат­
ривая эти выборки с учетом порядка следования их элементов, мы
заключаем, что все они различны. Если же мы не будем учитывать
порядок, то W1 и W2 сделаются тождественными друг другу, однако
будут отличаться от W 3 , хотя все они имеют одина1(овую элементную
базу. Ни одна из этих выборок не представляет собой сочетания,
ибо в каждом случае у нас здесь оказывается элемент, кратность
которого больше 1.
Примерами сочетаний могут служить W4 = {а, Ь, с}, W5 = {Ь, с, а},
W0 =ia, Ь, d}, причем, если эти выборки рассматриваются как неупо­
рядоченные, то W4 = W5•
Теорема 20.2 . ·При О~ т:;;;;; 11, число различных m-co-
nl
четаний из элементов п-множества равно т! (п-m)!.
Док аз а тел ьс тв о. Пусть Q-некоторое п-множе­
ство. Обозначим через Мт множество асех его т-подмно­
жеств, а через С (п, т)-объем Мт. Составляя для каж­
дого из этих т-подмножеств всевозможные т-перестановки
из его элементов, мы получим тем самым множество всех
т-перестановок из элементов Q. Так как число различных
т-перестановок из элементов любого т-множества Q' Е Мт,
согласно формуле (20.б), равно т!, то для общего числа
различных т-перестановок получаем
Р(п, m)=C(n, т)т!.
Сопостаnляя эту формулу с формулой (20.4), получаем
nl
С(п,m) = m!(n-m)I
(20.6)
Сокращая правую часть (20.6) на (п-т)!, получим
С(п, 0)= 1, С(п, m)=n(n-l) ..~ ~ n-m-1-l) (О<m~п).
(20.7)
Аналогично, сокращая на т!, приходим к формуле
с( ) 1 с( ) п(п-1) ... (m-1-1)
п,n= '
п,т=
(п-т)I
(О~т < п).
(20.8)
Замечание об обозначениях и терм·ино­
л о г и и. При самостоятельной работе с литературой надо
иметь в виду, что иногда приходится встречаться с обо­
значениями и терминами, несколько отличными от тех,
которые мы здесь употребляем. Так, т-перестановки из
элементов п-множества называют при т < п размещениями
276

из п элементов по т, а при m = п- перестановками
из п элементов. В других случаях уnорядоченные и неупо­
рядоченные выборки, содержащие элементы с кр.атностью,
большей 1, называют соответственно перестановками и
сочетаниями с повторениями. Вместо использованного нами
обозначения Р (п, т) очень часто пишут A:f, а для
обозначения числа различных т-сочетаний из элементов
п-множества, наряду с обозначением С (п, т), более часто
употребляют символы C:f и (::i).
§ 20.2 . Бином Ньютона. Треугольник Паскаля
20.2.1. Формула разложения в сумму степени бинома.
Выведем сначала одно вспомогательное соотношение.
Пусть 1 ~ т =::;;;;; п, тогда
С(п, т-1) +С(п, т)= С (п + 1, т).
(20.9)
Действительно, согласно (20.6)
n!
п!
С(п, m-l)+C(n, т)= (m-l)J(n-m+I)I +ml(11-m)I=
nlm
nl (п-т+ 1)
nl
[
l]
ml (п-т+ 1)1 I т! (п-т+ 1)1 т! (n-m+l)t m+(n-m+ ) ==-
=
n!(n+I) =
(n+I)I
=
С(п+l т).
m!(n+l-m)I ml[(n+l)-m]I
'
Теорем а 20.3 . При любоJ;t натуральном п и любых
вещественных или комплексных а и Ь справедлива формула
(а+Ь)п= С(п, О)апьо+С(п, 1)ап-1Ь1+
+с (п, 2)ап-2ь2 + ... +с (п, п- l)а1ьп- 1 +с (п, п)а0Ьn=
п
= ~ С (п, т) ап-тьт. (20. 1О)
n=O
До к а за тел ь ст в о. Отметим прежде всего, что при
п = l формула (20.1 О) верна. Действительно, так как
C(l, О) =C(l, 1)= 1, то при n= 1 (20.10) п_ринимает вид
(а+Ь)1= l -a1b0 +1-а0Ь1•
Предположим теперь, что (20.10) справедлива для всех
натуральных показателей, не превосходящих п, и дока­
жем, что из этого предположения следует ее справедли­
вость и для показателя, равного п + 1. Умножим обе
части (20.1 О) на (а+ Ь). После приведения подобных
277

членов получим
(а+ b)n+l= с (п, О)ап+~ьо +
+[С(п, О)+С(п, 1)]апь 1 +[С(п, l)+C(n, 2)]ап- 1ь2 + ..•
. . . +[С(п, m-l)+C (п, т)]ап-т+~ьт+ ...
...
+[С(п, п-1)+С(п, п)]а1ьп+с(п, п)а0ьп+~_
Преобразуя теперь каждую из квадратных скобок по фор<
муле (20.9) и учитывая, что
,
С(п, 0)=C(n+l, 0)=1, C(n,n)=C(n+1, n+l)=l,
получаем
(a+b)n+ 1 =C(n+1, О)ап+ 1 ь0 +
+С(п+ 1, l)a(n+H-3⁄4b1 + ... +c~n+l,,m)a<n+ll-щьm+
...
. . . +С( п+ 1, п)а1ьп+С(п+ 1, n+ 1)a0 bn+l. (20.11)
Согласно принципу математической индукции теорема
доказана. Отметим, что формулу (20.1 О) обычно называ­
ют формулой бинома Ньютона, а числа С (п, т)-бино­
миальными коэффициентами.
Полагая в (20.1 О) а= Ь = 1, получаем
2n=C(n, О)+С(п, 1)+ ... +С(п, т)+ . ..
. .. +С(п,
п-1)+С(п, п). (20.12)
В правой части этой .формулы каждое из слагаемых
С (п, т) представляет собой число т-подмножеств п-мно­
жества. Следовательно, общее число всех подмножеств
п-множества (включая само это множество и его пустое
подмножество) равно 2п.
20.2.2. Треугольник Паскал·я. Иногда оказывается
удобным для нахождения биномиальных коэффициентов
использовать следующее построение, именуемое обычно
треугольником Паскаля:
278
1
14
1
2
3
6
1510
161520
172135
18285670
3
4
10
51
15
61
352171
562881
193684126126843691
(20.13)

Здесь первое и последнее из чисел каждой строки рав­
но 1, а остальные представляют собой сумму двух стоя­
щих над ними чисел предшествующей строки (так, на­
пример, число 6 в пятой строке есть сумма 3 + 3 стоящих
над ним слева и справа чисел четвертой строки). Числа,
составляющие (п + 1)-ю строку представляют собой набор
биномиальных коэффициентов С (п, О), С (п, 1), ...
. . . ,С(п,m), ..., С(п, п-1), С(п, п). Действительно, для
второй строки это видно непосредственно, а способ полу­
чения каждой из последующих строк полностью совпадает
с тем, который дается формулой (20.9).
ВОПРОСЫ дJJЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 20
1. Что называется упорядоченной m-выборкой из п-множества?
Что такое кратность элемента относительно выборки? Что называется
элементной базой выборки? Приведите примеры.
2. Что называется m-перестановкой из элементов п-множества?
Приведите примеры.
3. Напишите формулы для вычисления коJiичества различных
упорядоченных m-выборок- из п-м·ножества и количества различных
m-перестановок из злементов п-множества.
4. Что такое т-сочетание из элементов п-множества?
5. По каким формулам· можно вычислять количество различных
m-сочетаний из элементов- п--множеетва?
6. Запишите В' общем виде формулу «бинома Ньютона» и про­
иллюстрируйте ее конкретным примером.
7; Что представляет собой треуrольник: Паскаля? На каких со­
отношениях основано правило его построения?
8. Чему равно число всех подмножеств некоторого п-множества?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 20
В упражнениях 1-4 даны значения· п и т. Требуется найти:
а) Число V (п, m) различных· упорядоченных т-выборок из п-
множества.
б) Число Р (п, m) различных m-перестановок из элементов п­
множества.
в) Число С (п, m) =C:f различных m-сочетаний из элементов п-
множества.
1. n= 10, m=3. 2. n=B, m=B.
3. n=5, rn=7. 4. n= 10, m=7.
5. Сколько различных трехзначных чисел можно записать циф­
рами 1, 3, 5, 7 и 9? Сколько среди этих чисел будет таких, у ко­
торых все три составляющие их цифры различны между собой?
6. Из группы в 20 учащихся надо отобрать по одному человеку
для участия в одновременно проходящих соревнованиях по плава­
нию, легкой атлетике и стрельбе. Сколькими способами можно это
сделать?
279

Из это!i же группы надо иаправить по одному человеку на про­
ходящие в разное время олимпиады по математике, физике и эле)(Т­
ротехнике. Сколько здесь существует различных способов?
7. Из 10 рабо11их надо отобрать четырех для выполнения сроч­
ной работы. Сколы<Ими способами можно сделать такой отбор?
Из тех же 10 человек надо отобрать по однпму для выполнения
каждого из четырех различных заказов. Сколько здесь существует
различных способов?
8. На девяти карто11ках записаны цифры от 1 до 9. Сколько
ра:1личных четырехзначных чисел можно сложить из 3ТИХ карточек?
Сколько разли11ных комплектов по 4 карточки можно здесь со­
ставить?
В примерах 9 и 10 требуется разложить степень бинома по
формуле Ньютона.
9. (2-а)7• 10. (х-2у)10•
11. В разложении бинома ( ~ +х2 ) 8 найдите член, не содер­
жащий х.
12. Найдите те члены разложения бинома ( V2- V3)9 , ко­
торыt: не содержат радикалов.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 20
1. \i(10, 3)= 1000, Р(10, 3)=720; С(10, 3)= 120.
2. V(8,8)=16777216, Р(8,8)=40320, С(8,8)=1.
З. V(5, 7)=78125, Р (5, 7)=С(5, 7)=0.
4. V (10, 7) = 10000000, Р (10, 7) =604800, С (10, 7) = 120.
5. Различных трехзначных чисел здесь можно записать V (5, 3)=
==53 = 125. Таких иs них, у которых все цифры раэJ1ич11ы, будет
Р(5,3)=60. •
6. Так как (по условию) один учащийся не может участвовать
больше, чем в одном соревновании, то здесь число способов равно
Р (20, 3) = 6840.
•
В олимпиадах по двум или даже трем разным предметам может
принять участие один и тот же учащийсн. Поэтому здесь число спо­
собов равно V (20, 3) = 8000.
7. В первом случае число способов равно 210, во втором-5040.
8. Различных чисел можно составить Р (9, 4) = 3024. Количество
различных комплектов равно С (9, 4) = 126.
9. (2-а) 7 = 128-448а+672а 2 -560а3 +280а4 -84а 1 + 14а 8 -а 7 •
10. (х-2у) 10 =х10 -2Ох•у+ 180х8у2 -960х7у3 -!-3360х8х4 -
-8064х6у6+ 13440х4у8 - 15360х3у 7 +-11520х2у8 -5120ху 9 + 1024у 10 .
11. Общий член разложения бинома имеет вид С (9, m)-2•-mx3m-e.
При m= 3 показатеjJь степени у х обращается в нуль. Искомый член
равен С(9,3)-26 =5376.
12. с (9, 3) <r2>0( Vз)3 = 2016, с(9, 9> ( Vз)9=21.

ГЛАВА 21
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
§ 21.1 . События, вероятности и действия над ними
21.1 . 1. Введение. Все явления и процессы окружаю­
щего нас мира находятся между собой в более или ме­
нее тесной взаимосвязи. Не имея возможности учесть
при их изучении это практически бесконечное число свя­
зей, мы всегда вынуждены ограничивать себя, оставляя
в поле зрения лишь некоторое (как правило, небольшое)
число тех связей, которые нам представляются основными.
При этом, однако, возможны принципиально различные
ситуации, которые мы сейчас вкратце охарактеризуем.
В одних случаях выделенная для рассмотрения струк­
тура позволяет практически с полной определенностью
выносить суждения о «поведении» тех или иных ее со­
ставных частей в зависимости от состояния и способов
взаимодействия остальных. Так, например, мы уверенно
можем сказать, что, включив исправный радиоприемник
и настроив его на нужную волну, мы услышим интере­
сующую нас станцию. Отпуская поднятый на определен­
ную высоту предмет, мы знаем, что он упадет вниз,
точно так же, как придет в действие сложный механизм
после того, как будет проделана необходимая для этого
последовательность операций. В каждом из приведенных
примеров осуществление определенного комплекса усло­
вий влекло за собой вполне определенное следствие.
В других ситуациях, однако, подобная однозначность
уже не имеет места. Проде.71ЬIВая раз за разом одну и ту
же последовательность действий при обработке однотип­
ных деталей на станке, мы тем не менее наблюдаем опре­
деленный (пусть даже и малый) разброс в их размерах;
281

эксплуатируя одним и тем же способом два одина­
ковых прибора, мы убеждаемся, что один из них выходит
из строя заметно раньше другого; стреляя в цель, мы
один раз поражаем ее, а в другой раз-промахиваемся.
Конечно, было бы неправильно считать эту неоднознач­
ность возможного исхода беспричинной. Так, например,
отклонения в размерах деталей обусловливаются мелкими
различиями в структуре материала заготовок и времени
обработки, незначительными колебаниями скорости дви­
жения инструмента и т. д., и т. п. Все дело в том, что
все эти причины в данной ситуации оказываются такими,
которые мы не в состоянии контролировать, а тем самым
и предсказать, к какому исходу приведет их совместное
проявление.
События, состоящие в реализации того или иного из
возможных (при осуществлении данного комплекса усло­
вий) исходов, мы будем называть случайными событиями.
Для удобства речи мы вместо слов «осуществление комп­
лекса условий» будем здесь обычно говорить о «проведе­
нии испытания», «опыта». (Не следует поэтому стараться
здесь истолковывать эти термины буквально!)
Будучи не в состоянии однозначно предсказать, какие
именно события осуществлятся в результате данного кон­
кретного «испытания», мы тем не менее- нередко можем
дать определенную количественную характеристику «сте­
пени возможности» осуществления тех или иных из этих
событий. Этой количественной характеристикой служит
так называемая вероятность спбытия.
Прежде чем начать изложение строгой математической
теории, рассмотрим это понятие на интуитивном уровне.
Итак, что же такое представляет собой вероятность со­
бытия? Предположим, что мы изучаем процесс сборки
некоторых приборов. Пусть при этом иногда ОI<азывается,
что определенная деталь при ее установке выходит из
строя и тем самым возникает потребность в ее замене.
Обозначим это событие буквой А.
Допустим, что, проводя наблюдения за выполнением
этого процесса сборки в различные периоды разными ра­
бочими, мы получили такие результаты (буквой т обо­
значается общее количество наблюдений в серии, mл -
число тех из них, в которых имело место событие А,
v л -отношение mл к т; mл называют абсолютной час­
тотой события А в данной серии наблюдений, vл-его
относительной частотой).
282

1-я серия: m=300, mA=57, vA=0,190,
2-я серия: т =500, тА = 104, ТА= 0,208,
3-я серия: m=300, mA=65, vA=0,217,
4-я серия: m=400, mA=76, vA=0,190,
5-я серия: m=500, mA=98, vA=0,196.
Всего по всем сериям: т = 2000, тА = 400, v А= 0,200.
Мы видим, что относительные частоты v А• вычислен-
ные по отдельным сериям, незначительно отличаются
друг от друга и от относительной частоты, вычисленной
по всей совокупности наблюдений. В таких случаях гово­
рят, что изучаемое событие обладает свойством устойчи­
вости относительных частот.Предполагая, что это устойчи­
вость сохранится и в дальнейшем, мы можем приближен­
но оценить количество появлений события А при прове­
дении, скажем, 30 ООО таких сборочных операций. Именно,
принимая его относительную частоту приближенно рав­
ной 0,2, ПОЛУЧИМ mA ~ 0,2-30000 = 6000.
Число 0,2, которое мы использовали в этом расчете
в качестве приближенного значения неизвестной нам за­
ранее относительной частоты, и выступает здесь как раз
в роли вероятности события А. В данном случае мы
вероятность события приняли равной его относительной
частоте, вычисленной по результатам всех наших наблю­
дений.
Проведение большой серии предварительных испыта­
ний, конечно, далеко не вс~гда является необходимым.
Пусть, например, нам известно, что в партии из 10 из­
делий содержится 8 годных и 2 бракованных. Тогда мы
говорим, что вероятность при произвольном («случайном»)
выборе одного изделия из этой партии получить годное
изделие равно 8/10= О,8 1). Здесь мы вообще не прово­
дили никаких испытаний, а вероятность события опреде­
лили как отношение числа «шансов», благоприятствую­
щих его осуществлению (8), к общему числу всех шан­
сов (10).
Нетрудно понять, что если бы мы искусственным пу­
тем организовали многократное повторение подобной си­
туации и каждый раз регистрировали бы ее исход, то
относительная частота нашего события оказалась бы близ­
кой к этому числу 0,8. (Иными словами, в среднем из
каждых 10 испытаний 8 давали бы интересующий нас
1) Обычно это записывают так: Р (А)= 0,8, буква Р ведет свое
происхождение от слова «probabllity», что означает «вероятность».
283

исход.) Точно так же, зная, например, что в лотерее на
каждый миллион билетов приходится 50000 выигрышей,
мы оцениваем вероятность выигрыша на 1 билет в 0,05
( 0,05 = 1~::о). Подбрасывая игральную кость (кубик,
на гранях которого отмечено от одного до шести
очков), мы говорим, что вероятность получить при одно­
кратном бросании не менее 5 очков равна 2/6, имея в
виду, что из общего числа возможных «элементарных»
исходов, равного 6, ровно 2 («выпало 5 очков» и «выпало
6 очков») влекут за собой осуществление нашего события.
В отличие от «частотного подхода», здесь мы интерпре­
тировали вероятность как отношение числа «шансов»,
влекущих за собой рассматриваемое событие, к общему
числу возможных «шансов». Эти «шансы» (их называют
также элементарными исходами или элементарными собы­
тиями) предполагаются, во-первых, в за им о и с кл ю­
чающимии,во-вторых,«равновозможными»между
собой.
Если (!) выделенная нами система «элементарных ис­
ходов» действительно обладает такими свойствами, что
при многократном повторении испытаний мы убеждаемся
в том, что относительная частота появления нашего со­
бытия будет приблизительно равна соответствующему
«отношению шансов», т. е. определение вероятностей через
отношение шансов не противоречит «частотному подходу»
к их определению.
Заметим, наконец, что иногда вместо отношения «шан­
сов» в буквальном смысле слова за вероятность события
принимается близкое ему по смыслу отношение. Напри­
мер, если в сосуд емкостью 10 литров попала ровно одна
болезнетворная бактерия, то вероятность зачерпнуть ее
при наборе из этого сосуда стакана воды (200 см 3) мы
оценим в 0,02 ( 0,02 = 1~~~;;:i) •
21.1.2. События и операции над ними. В предыдущем
пункте мы на интуитивном уровне познакомились с по­
нятием вероятности. Мы увидели, что (нестрого говоря)
вероятность события представляет собой не что иное,
как «идеализированную» относительную частоту его появ­
ления в гипотетических сериях «испытаний». Такого
истолкования понятия «вероятность» мы придерживаемсf!
независимо от того, на основе каких соображений эта
вероятность была приписана данному событию: по резуль-
284

татам ли простейшего статистического эксперимента или.
же на базе логического анализа возможностей его осу­
ществления (посредством выделения системы «шансов» и
т. п.) Конечно, решать сколько-нибудь сложные задачи,
оставаясь на уровне интуитивных представлений, невоз­
можно, поэтому сейчас мы приступаем к построению
строгой математической теории. При этом построении
вероятность у нас, естественно, будет выступать уже в
роли абстрактного математического понятия. Однако,
имея в виду, что эту теорию мы строим не ради ее самой,
а собираемся использовать ее в интересах практики,
очень важно во время ее изучения не забывать о том,
как именно мы будем при этом интерпретировать (абст­
рактный!) термин «вероятность», каким конкретным со­
держанием мы будем его наполнять.
В этом и следующем пункте мы рассмотрим так на­
зываемый «классический подход» к построению этой тео­
рии, а в последующих-обобщим его.
В основе этого «классического подхода» лежит прежде
всего понятие так называемой полной системы попарно
несовместных элемеf1mарных событий. В п. 21.1 .1 мы, по
существу, сталкивались с прообразами таких систем. Так,
говоря о «шансах» в примере с извлечением изделия из
партии, состоящей из 8 годных и 2 бракованных изде­
лий, мы, собственно, и имели в виду те элементарные
события, которые заключаются в выборе того или иного
конкретного изделия. В примере с подбрасыванием иг­
ральной кости такая система условно может быть запи­
сана следующим образом:
E={<l>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6>},
(21.1)
где, например, <4> означает (элементарное) событие, со­
стоящее в том, что при бросании кубика выпадает
именно 4 очка.
Выделяя систему элементарных событий Е, мы должны
выбрать ее такой, чтобы, во-первых, она была полна
(т. е. чтобы в результате проведения испытания обяза­
тельно осуществилось какое-нибудь из составляющих Е
событий) и, во-вторых, чтобы составляющие Е события
были попарно несовместны (т. е. чтобы осуществление
сразу двух ИJIИ нескольких из этих элементарных собы­
тий было невозможным).
После того как система Е оказывается выделенной,
мы оставляем в поле нашего дальнейшего рассмотрения
285

только такие события, каждому из которых можно опре­
деленным образом поставить в соответствие то или иное
подмножество Е' системы Е. Именно, событию А мы ста­
вим в соответствие такое подмножество Ел, что А про­
исходит тогда и толь к о тогда, когда осуществляется
один из «элементарных исходов», составляющих Ел-
Например, если для примера с подбрасыванием иг­
ральной кости нами выделена такая система элементар­
ных исходов, как (21.1), то мы можем относительно этой
системы рассматривать, скажем, событие, состоящее в том,
что выпавшее число очков четно (или кратно трем), со­
бытие, состоящее в том, что выпавшее число очков мень­
ше 5, и т. п., но такое событие, как падение кубика
на левую или правую часть стола, мы здесь брать не
вправе. Для таких событий, как это последнее, надо было
бы совсем по-другому выбирать систему Е.
Отметим, наконец, что в классическом подходе эта
система предполагается к он е ч ной.
Условимся для всякого («допустимого» относительно Е)
события А через mл обозначать количество различных
элементарных событий в Ел (т. е. число всех тех эле­
ментарных исходов, осуществление которых влечет за
собой осуществление А). Через т будем обозначать общее
число составляющих Е элементарных событий.
Определение 21.1. Если mл=О (т.е. если Ел­
«пустое» множество), то событие А мы будем называть
невозможным. (Какой бы из элементарных исходов ни
осуществился в результате испытания, событие А при
этом не произойдет.) Условимся обозначать невозможное
событие си.мволом О.
Определение 21.2. Событие А такое, что mл=m
(т. е. Ел= Е), мы будем называть достоверным. (Какой
бы из элементарных исходов ни осуществился, событие А
обязательно произойдет.) Будем обозначать достоверное
событие символом 1.
Определение 21.3 . Мы будем говорить, что собы­
тие А влечет за собой событие В, если Ел целutсом содер­
жится в Е 8 . (Здесь в каждом из тех испытаний, в кото­
рых осуществляется А, будет осуществляться и В. Может
быть, В будет осуществляться и в некоторых из тех
случаев, когда А не будет происходить.) Будей в этом
же смысле употреблять выражения: «А есть часть В»,
«В включает в себя А», и записывать это отношение
так: А~В.
286

Оп р еде л е н и е 21 .4 . Событием, противоположным
событию А, будем называть такое событие А, что мно­
жество Ел, отвечающее событию А, получается удалением
из Е множества ЕА- (При любом исходе испытания осу­
ществляется одно и только одно из событий А и А. Не­
трудно сообразить, что событием, противоположным
событию А, будет исходное событие А.)
Определение 21.5 . События А и В мы будем на­
зывать несовместными, если множества Ел и Ев не .имеют
общих элементов (как говорят, «пересечение Ел и Ев пусто»).
Каков бы ни был исход испытания, события А и В од­
новременно осуществиться не могут. (В некоторых слу­
чаях будет происходить А, в других В, в третьих-ни
А, ни В не осуществятся.)
Определение 21.6. Если каждые два события Ai и
А,, (i =;Ьk) из системы {А 1, А 2 , ... , Ап} несовместны, то
события А 1 , А2 , ... , Ап называют попарно несовместными.
Если же про ату систему ,~южно лишь утверждать,
что нет ни одного такого элемента, который входил бы
в каждое из множеств Ел,, Ел,, ... , Елп (иными словами,
если пересечение всех этих множеств пусто), то события А, ,
А2, ... ,
Ап называют несовместными в совокупности. (Не­
совместность в совокупности означает невозможность
осуществления в одном и том же испытании сразу всех
собьипий А1, А2, ••• , Ап).
Определение 21.7 . Суммой двух событий А и В
мы будем 1-1,азывать такое событие А +В, которому отве­
чает м1-южество Ел+в• представляющее собой объединение
м1-1,ожеств (теоретитФ-множественную сумму) Ел и Ев :
Ел+в= Ел U Ея, (Событие А +в будет происходить тогда
и только тогда, когда произойдет хотя бы одно из со­
бытий А и В.)
Определение 21.8 . Произведением событий А иВ
называется такое собьипие А •В, что отвечаюш,ее ему мно­
жество Ел.в представляет собой пересечение множеств Ел
и Е 8 . (Иными словами, Ел.в состоит из тех и только
тех элементарных исходов, каждый из которых входит как
в Ел, так и в Ев); событие А •В произойдет тогда и
только тогда, когда произойдет каждое из событий А и В.
Определение 21.9 . Множество Q всех порождаемых
системой Е событий, в котором отношения между со­
ставляющими его алеме1-1,та,11,и и результаты операций над
ними задаются определениями 21.1. -2 1.8, будем называть
287

алгеброй событий, построенной на систе.ме Е (или еще­
порожденной системой Е).
Поясним примерами только что введенные понятия.
Пусть сначала речь идет опять об однократном бросании
игральной кости, и пусть при этом в качестве исходной
системы Е взята система (21.1). Невозможным в порож­
даемой сцстемой Е алгебре событий будет событие, состоя­
щее в том, что при бросании кости не выпа.'lа ни одна
из граней <1>-<6). Достоверным является событие, со­
стоящее в том, что при бросании выпадает какая-нибудь
из этих граней. Пусть событие А состоит в том, что
выпавшее число очков четно, а событие В- в том, что
выпавшее число очков кратно трем:
Ан {<2>, <4>, <6)}, В н {<3>, <6)}.
Тогда противоположное А событие А состоит в нечетнос­
ти выпавшего числа очков, а событие В, противополож­
ное В, заключается в выпадении какой-нибудь одной из
граней <1), (2), <4>, <5):
Ан {<1>, <3>, <5>}, Вн {<1>, <2>, <4), <5)}.
События А и В несравнимы друг с другом (т. е.
ни одно из них не является частью другого).
Это события совместны. Действительно, если при бро­
сании выпадет (6), то тем самым осуществляется и собы­
тие А, и событие В.
Суммой событий А и В •является событие А +В,
состоящее в выпадении одной из граней <2), <3>, (4), <6),
их произведением-событие, состоящее в выпадении <6):
А +в+-+ {<2>, <3>, <4>, <6)}, А-В+-+ {<6>}.
Пусть событие С состоит в выпадении какой-либо из
граней <2> или <4>
С+-+ {<2>, <4>}.
Тогда событие С будет являться по отношению к А его
частью: С~ А, а события В и С будут несовместны.
Те о р ем а 21.1. а) Для любого события А из алгебры,
порожденной Е, справедливо
А+О=А, А-0=0.
б) Для любсго события А
A-t-1=1,
288

в) Для того чтобы А являлось частью В, необходимо
и достаточно выполнения любого из соотношений
А+В=В
или
А-В=А.
г) А и В противоположны (В= А, А= В) тогда и
только тогда, когда выполняется каждое из соотношений
д) А и В несовместны тогда и только тогда, когда
А-В=О.
Доказате.11ьства всех этих утверждений достаточно
очевидны (основаны опи, разумеется, на определениях
21.1 -21 .8), поэтому мы не будем здесь на них останав­
ливаться.
Отметим еще некоторые важные свойства операций
сложения и умножения событий и перехода к противо­
положному событию.
Теорем а 21.2. Операции сложения и умножения обла­
дают свойствами:
а) коммутативности
А+В=В+А, А-В=В-А;
б) ассоциативности
(А +В) +С= А-\- (В +С),
(А· В)· С= А- (В -С);
в) дистрибутивности
(А +В)-С= А-С+В-С;
г) иде.мпотентности
А+А=А,
Кроме того,
д) сибытие, противоположное сум.ме некоторых собы­
тий, может быть представлено как произведение событий,
противоположных слагаемым
(А1+А2+•••+Ап) = А1·А2· • • •-Хп;
е) событие, противоположное произведению некоторых
событий, может быть представлено r,ак сумма событий,
10 Под ред. Н, М, МатвееDа, ч.. 11
289

противоположных сомножителям
(А1·А2· .•• ·Ап)=А1+А2+••· +Ап.
Мы приведем здесь только доказательство утверждения д).
Обозначим А1+А2+...+Ап через В, а А1•А2•••••Ап­
через С. Нам, следовательно, надо доказать, что В= С,
или, что то же самое, что Е8 . Ее.
Пусть некоторый элементарный исход е Е Е8, тогда
(по определению противоположного события) е i Е 8. Но
Eв=EA,UEA.u ... uEAn• значит, eiEAi для каждого i
от 1 до п. Тем самым для каждого такого i, е Е E:Ai• а сле­
довательно, и е Е E;;r1 n ЕА, n ... nЕл:п - Ее. Мы видим,
что всякое е, входящее в К8, входит и в Ее, т. е. Е8 = Ее.
Покажем теперь, что справедливо и обратное вклю­
чение -Ее= Е8 , откуда и будет следовать, что Е8 = Ее.
ПустьеЕЕе. Так какЕе=ЕхnЕхn...nE;;r , то
1
2
n
е Е Ед. для каждого i от 1 до п, значит, для каждого
1
такоrоiеd"Ел.• Но тогда ed"EAuEAu ... uEA =Ев,
"1=
L
~1
2
n
следовательно, е Е Е 8.
Можно было бы провест_и рассуждения и другим спо­
собом, а именно, событие А 1 + А 2 + ... +А" состоит в том,
что происходит хотя бы одно из событий Ai (i = 1, 2, ... п).
Значит, (А1 + А2+ ... + Ап) заключается в том, что ни
одно из Ai не осуществляется, или, что то же самое,
в том, что осуществляется каждое из Ai. Но это послед­
нее как раз и означает, что происходит событие
А1 -А~- ... -Ап.
21.1.3. Классическое определение вероятности. Пусть
Е-некоторая полная система попарно несовместных эле­
ментарных событий, а Q-множество всех событий, допу­
стимых относительно Е. В этом пункте мы будем считать
все эти элементарные события равновозможными по отно-
шению друг к другу.
.
Определение 21.10. Вероятностью события А Е Q
называется число
р (А)= тА,
т
где т-общее число элементарных событий («исходов»),
составляющих Е, а тА - количество элел~ентарных собы­
тий в Ел.
290

(Напомним, что под Ел мы понимаем подмножество
множества Е, составленное из таких и только таких эле­
ментарных событий, что осуществление любого из них
влечет за собой осуществление А). Само это определение
называют обычно классическим определением вероятности.
.М.ы видим, что по своей сути это определение выдер­
жано в том же духе, что и рассмотренный нами в п. 21 .1 .1
интуитивный подход к определению вероятностей через
отношение «шансов». Однако сейчас мы вводим это опре­
деление в рамках строгой математической теории, что
позволит нам получить более глубокие результаты по
сравнению с теми, которые были возможны на интуитив­
ном уровне.
Т е о р е м а 21 .3. Вероятности событий, заданные по­
средством классического определения, обладают следующи.ми
свойстваJ.ш:
а) Р(О)=О, P(t)=I;
б) Если А~В, то Р(А)~Р(В);
в) Р(А)= 1-Р(А);
г) Р(А +В)= Р(А) + Р (В)-Р (А ·В).
Мы приведем здесь доказательство утверждения г).
Пусть, как обычно, ЕА, Е 8 , Ел+в• ЕА.в суть подмноже­
ства Е, отвечающие соответственно событиям А, В, А+В
и А-В, а тА, тв, тА+в и mл.в -количества элементов
в этих подмножествах. Тогда, как нетрудно видеть,
mл+в= mл +тв-тл.в,
Разделив обе части этого равенства на m (общее число
элементарных событий в Е), получим
mл+в_ mл + тв_ mл.в
т-т
т
rn'
что, с учетом определения 21.10, и дает
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В).
Следствие 21.1 . Если А и В несовместны, то
Р (А +В)= Р (А)+ Р(В).
Действительно, в этом случае А· В= О, а тогда и
Р(А В)= О.
3 а меч ание 21.1. Для любогонабора {А1, А2,•••, А,.}
попарно несовместных событий
pct А;)= i~l р (Ai).
291

Вернемся к рассмотренному в п. 21. 1. 2 примеру с одно­
кратным бросанием игральной кости. Напомним, что
в качестве исходной системы Е мы брали там Е =
={(1), (2), (3), (4), (5), <6>} и рассматривали события
Ан {<2>, <4>, (6)}, В н {<3>, (6)} и «сконструированные»
из А и В события. Поскольку m=6, mл=3 и mв=2, то
р(А)=тА =21 , р(В)=тв = _!_.
т
т3
Вероятность события В мы теперь можем вычислить
двумя путями. Во-первых, зная, что множество Е 8 =
= {(1), (2), (4), (5)}, мы определяем m8 : m8 = 4, после
чего, применяя определение 21.10, получим
-
~2
р(В)=т=-з ·
Во-вторых, зная вероятность Р (В), мы можем восполь­
зоваться формулой в) теоремы 21.3
-
12
Р (В)= 1-Р(В)= 1-т=з·
Мы пока еще не умеем выражать вероятность произ­
ведения событий через вероятности перемножаемых собы­
тий (об этом реqь пойдет дальше). Поэтому сейчас для
нахождения, скажем, вероятности Р (А• В) мы можем вос­
пользоваться только определением, для чего нам, 1юнечно,
надо знать tnA,в, Мы видели, что ЕА,в состоит только из
одного «элементарного исхода» (6), значит, тА,в= 1 и
тАВ l
Р(А·В)=~=
6.
Вероятность Р (А + В) мы тоже можем найти двумя
способами. Так как ЕА+в={<2), (3), (4), <6>}, то тА+в=4,
и непосредственное применение определения 21.10 дает
р(А+В)=т';л+в= ; .
Второй способ состоит в применении формулы г) тео­
ремы 21.3
1112
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В)=2 +3 - 6 =3 ·
При решении практических задач, разумеется, нет
необходимости вычислять вероятно~ть одного и того же
события несколькими различными путями (как это было
292

нами только что сде.11а110). Однако нередко нахождение
вероятности непосредственно по определению 21.1.0 бывает­
затруднительным, тогда-то и оказывается полезной тео­
рема 21. 3, позволяющая вычислять вероятности одних
событий по известным уже вероятностям других.
.
21. 1.4 . Условная вероятность. Формула полной веро­
ятности и формула Байеса. Теперь мы перейдем к изуче­
нию понятия условной. вероятности. Это-важное, но
в то же время и трудное для первого восприятия понятие.
Поэтому (для того чтобы облегчить процесс его усвоения).
мы ненадолго отойдем от строгого изложения теории и
сначала рассмотрим соответствующий круг вопросов на
интуитивном уровне.
Образно выражаясь, до сих пор мы рассматривали
вероятности тех или иных событий «в замороженном виде»,
как бы раз и навсегда отнесенные к определенной «точке
отсчета»-до поступления каких-либо (!) сведений об
исходе «эксперимента» 1). Однако в нашей практической
деятельности, кроме этой «точки отсчета» и ей полярной,
т. е. такой, когда исход э1{сперимента стал уже пол­
ностью известен, неред1{0 представ.11яют интерес и различ­
ные «промежуточные» моменты, а именно такие, когда мы
обладаем лишь частичной информацией относительно
этого исхода.
Пусть при подбрасывании игральной кости нас инте­
ресует событие D, состоящее в том, что выпадает грань
с шестью очками: D н {<6> }. Очевидно, что до получения
каких-либо сведений о результатах бросания мы в состоя­
нии лишь оценить меру возможности осуществления D
его вероятностью Р (D) = 1/6, а после того как эти резуль­
таты будут нам сообщены, мы будем точно знать, осу­
ществилось D или нет.
Допустим теперь, что этот эксперимент организован
таким образом, что мы не сразу получаем полную инфор­
мацию о его исходе. Пусть, например, на некоторой про­
межуточной стадии нам удается лишь установить, что
выпавшее число очков является четным. Условимся это
последнее событие обозначать буквой А: А-н {<2>, <4>, <6)}.
Получение сведений о том, что А произошло, еще не
позволяет нам с полной определенностью заключить,
1) Мы понимаем здесь слово «эксперимент» в широком смысле:
как реализацию того или иного определенного компJ1екса услови!i,
в результате которого может произойти интереrующее нас событие•
. 293

произошло D или нет, однако служит основанием для
переоценки меры возможности его осуществления. Дейст­
вительно, из шести возможных до начала эксперимента
элементарных исходов три (<l>, (3) и <5>) оказались
заведомо не осуществившимися в проведенном испытании.
Из оставшихся трех исходов (<2>, <4> и <6>) по-прежнему
в точности один отвечает интересующему нас собыrию D.
Поэтому естественно после получения сообщения о том,
что А произошло, принять вероятность D равной уже
не 1/6, как раньше, а 1/3. Эта вновь рассчитанная веро­
ятность и называется условной вероятностыо D относи­
тельно А. Для того чтобы было удобно такие вероятности
отличать друг от друга и от исходной «безусловной»
вероятности), для них вводится специальное обозначение.
-Так, рассчитанная нами условная вероятность будет
обозначаться РА (D) 1). До на чада эксперимента (точнее -
до получения каких-либо сведений об его исходе) мы
оцениваем вероятность D как отношение mvfт числа mv
элементарных исходов, влекущих за собой осуществле­
ние D, т. е. количества элементов в Ev, к общему числу т
всевозможных исходов, которое представляет собой коли­
чество элементов в Е. Получение сведений о том, что
в результате эксперимента осуществилось событие А,
заставляет нас исключить из Е все те элементы, кото­
рые не входят в Е А ( «сузить» Е до Ел}, Очевидно, что
при этом могут оказаться исключенными и некоторые
элементы из Ev, останутся лишь те из них, которые
одновременно входят в Ел (Еv«сузится» до Еп n Ел=Ел.о),
Итак, при «переоценке» вероятности D, или, выражаясь
строже, при вычислении условной вероятности D отно­
сительно А мы, по сравнению с предыдущим, заменяем
Е на Ел и Еv-на Ел.о, Этим и оправдано следующее
Определение 21.11. Пусть тА =;i=О. Тогда услов­
ной вероятностыо события D относительно события А
называется число
mAD
р (D)=-·.
л
mл
Теорем а 21.4 . Справедлива формула
Р (A•D)
Рл (D) = Р(А)"
(21.2)
(21.3)
1) Иногда вместо Р л (D) пишут Р (DJA). Пр11 самостоятелыюй
работе с литературой это надо учитыват1,!
294

До к аз ат ель ст в о. Разделив в правой части (21.2)
числите.'lь и знаменатель на т, получим
mA,Dfm _ Р (A·D)
рА (D) = тА/т
-
Р(А)'
что и требовалось доказать.
Формулу (21.3) называют обычно формулой условной
вероятности.
В некоторых случаях может оказаться, что условная
вероятность равна «безусловной» РА (D) = Р (D). Пусть,
скажем, в том же примере с бросанием игральной кости
событие В состоит в том, что выпавшее число очков
кратно трем: В н {<3>, (6)}. Тогда, очевидно,
втв2l
Р( )=т=G=з·
Подсчитаем теперь условную вероятность В относи­
тельно А:
тАв
l
РА(В)=-·-=-
3 =Р(В).
mA
Оказывается, что если в этих случаях «поменять ролями»
события, то и при этой перестановке условная вероят­
ность опять окажется равной «безусловной». А именно,
справедлива.
Теорема 21.5 . Пусть P(A)=FO, P(B)=FO. Если
РА(В)=Р(В), то и Р8 (А)=Р(А).
До .к аз ат ель ст в о. Заменяя в формуле условной
вероятности
р (В)_ Р (А·В)
А
-
р (А)
условную вероятность Рл (В) равной ей «безусловной»
вероятностью Р (В) и умножая обе части на Р (А), получим
Р (А) Р (В)= Р (А-В).
Разде.т:им теперь обе части на Р (В):
р (А)- Р (А-В)
-
р(В) •
С другой стороны, по формуле (21.3)
Р(А·В)
Рв(А)=Р(В).
295

Сраnнивая два последних равенства, мы и получаем
требуемое.
Определение 21.12 . Если Рл(В)=Р(В), то собы­
тие В называют независимым 1) от события А.
3амечание 21.2. ЕслиВнезависимоотАи,кроме
того, Р (В) =рО, то, согласно теореме 21.5, и А будет
независимым от В. В этом случае А и В называют
взаимно независимыми.
Из формулы (21.3) очевидным образом следует
Р(A,D)=Р(А)Рл(D).
(21.4)
Эту формулу называют общей формулой умножения.
Если D не зависит от А, то эта формула принимает
более простой вид:
P(A,D)=P(A)P(D).
(21.5)
Формулу (21.5) называют формулой умножения для неза­
висимых событий.
Важным следствием теоремы 21.4 является
Теорема 21.6. Если В~А1+А2+ ... +Ап и если
А1, А,, ... , А" попарно несовместны, то
Р(В)=Р(А1)РА,(В)+Р(А2)РА,(В)-!- ••• + Р (А,,) РAn (В)
(21.6)
и (еслиещеР(В)=;6:О) для любого k (1~k~п)
Рв (Ak) =
Р (Ak) РAk (В)
-
Р (А1) РА, (В)+Р (А2) Рл,(В)-j- ...+Р (Ап) РА (В)' (2l ,7)
"
Первая из этих формул называется формулой полной
вероятности, а вторая-формулой Байеса (ее называют
еще формулой обратной вероят1юсти).
До к аз ат ель ст в о. Напомним, что попарная несов­
местность событий А1, А2, ••• ,
А" означает, что А;• Ak ~ О
для любой пары А;, Ak такой, что i =;6= k. Но тогда, если
i:;6:k, будет и
(А;·В) (Ak·B) = (A;-Ak) (В-В)= О-В= о,
т. е. события А1-В, А1-В, ... , А"-В
также попарно
несовместны.
1) «Независимыми•-в том (и только в том) смысле, как ука­
зано в этом определении, т. е. подразумевая под этим, что услов­
ная вероятность В относительно А равна безусловной вероятнщ·ти В!
296

С другой стороны, условие В~ А1+А2+ ... +Ап
означает, что В= (А 1 + А 2 + ... + Ап) В, откуда, раскры­
вая скоб1ш, получим В=А 1 -В+А 2 -В+ ... +Ап·В. Так
как слагаемые в правой части попарно несовместны, Т<'
Применяя теперь к каждому из слагаемых формулу (21.4),
мы и приходим к первой из доказываемых формул (21.6).
Для доказательства же второй формулы достаточно
подставить в правую часть равенства
р (А )-- р (Ak·B)
Вk-
р (В)
(см. формулу (21.3)) вместо P(Ak·B) равное ей выраже­
ние Р (Ak) Р Ak (В), а вместо Р (В)-ее выражение из
тоJ1ько что доказанной формулы (21.6).
Проиллюстрируем на примере применение формул пол­
ной вероятности и обратной вероятности.
В нашем распоряжении имеются 3 одинаковых по
внешнему виду непрозрачных сосуда, в первом из кото­
рых находится 5 белых и 5 черных шаров, во втором -
7 белых и 3 черных, в третьем-9 белых и 1 черный.
Случайным образом выбирается один из этих трех сосу•
дов, после чего из него (также случайным образом)
извлекается шар. Требуется определить вероятность того,
что этот шар окажется белым.
Будем считать сосуды занумерованными и обозначим
через Ai (i = 1, 2, 3) событие, состоящее в том, что выбран
сосуд с номером i. Через В обозначим событие, состоя­
щее в том, что извJ1еченный шар белый. Тогда, как не­
трудно видеть, Р(А1)= Р(А2)= Р(А3) = 1/3, РА (В)= 0,5,
РА,(В)=О,7, Рл.(В)=О,9, откуда по формуле 1(21.6)
Р(В)=Р(А1)РА,(В)+Р(А2)РА,(В)+Р(А3)РА. (В)=
1
1
1
= 3 •о,5+3-0,1+3-о,9=0,1.
Пусть теперь в результате подобного эксперимента
оказался извлеченным именно белый шар, и мы хотим
определить вероятность того, что он был взят из первого
сосуда. Для вычисления этой вероятности мы должны
297

применить формулу Байеса
Р (А1) РА (В)
Рв(Ai)= Р(А1)РА,(В)+Р(А2)Р~.(В) -t-Р <Аз) РАа(В) -
1
з·О,5
5
=
1
1
1
= 21 ~ 0,238•
3-о,5+3-о,7 +3-о,9
21.1.5. Общее определение вероятностной функции на
конечной алгебре событий. В пп. 21.1.2 и 21.1.3 мы рас­
сматривали конечные алгебры событий с вероятностями,
заданными на них посредством формулы
P(A)=rnA
т
(см. определение 21.10), ознакомились с основными поня­
тиями теории, простейшими свойствами и способами
вычисления вероятностей. Однако далеко не всякую
реальную ситуацию, явление или процесс можно удов­
летворительно описать посредством такой классической
модели. Вернемся к уже знакомому нам примеру с под­
брасыванием игральной ко::ти. Допустим теперь, что
с этой костью был проведен эксперимент, состоявший
в выполнении 1000 бросаний, и что результаты этого
эксперимента таковы (см. табл. 21.1).
ТАБЛИЦА 21.1.
Количе- С1<ОЛЬКО Относите.nьна я Количе- Сколько Относительная
ство
раз на-
частота
ство
раз на-
частота
очков
блюдалось
очков
блюдалось
1
99
0,099
4
150
о, 15)
2
148
0,148
5
149
О, 149
3
152
о, 152
6
302
0,3()2
Интуитивно чувствуется, что столь резкое отличие
друг от друга относительных частот вряд ли можно счи­
тать случайным. Скорее всего причина этому лежит либо
в неправильности формы кости, либо в смещенном относи­
тельно геометрического центра положении центра тяжести
и т. п. Результаты эксперимента достаточно убедительно
298

свидетельствуют о том, что в данном случае вряд ли
стоит считать равновозможными между собой события,
состоящие каждое в выпадении той или иной грани.
Но тогда, отказавшись от предположения о равновоз­
можности этих событий, мы оказываемся уже не вправе
использовать здесь ту классическую модель, которую
применяли ранее. Система
Е = {<1>, <2>, <3>, <4>, <5>, <6>}
по-прежнему, разумеется, будет пошюй, события, ее со­
ставляющие, останутся элементарными и попарно несов­
местными, однако они уже не будут равновозможными
по отношению друг к другу. Именно -это отсутствие рав­
новозi\южности и не дает нам оснований для вычисления
вероятностей через отношения типа rnл/m, застав.ТJяет
искать другие пути для построения модели. Пусть нас,
как и раньше, интересует вероятность события А, состоя­
щего в том, что выпавшее число очков яв.ТJяется четным.
Обозначим через Ek событие, состоящее в выпадении
грани достоинством в k очков (k = 1, 2, ... , 6); тогда
А= Е 2 + Е4 + EG, причем слагаемые, стоящие в правой
части, попарно несовместны. Естественно, по аналогии
с классическим случаем, положить здесь Р (А)= Р (Е 2)+
+Р (EJ) + Р (Еа), ибо при любых результатах наблюде­
ний относительная частота появления события А будет
равна сумме относите.1ьных частот событий Е 2 , Е4 и Е 6 •
Видно, что подобным же образом можно вероятность
любого события из алгебры, порожденной системой Е,
ВЫQазить через вероятности событий Е1 -Ев,
Остается решить вопрос о том, какие же значения
приписать этим вероятностям Р (Е1), Р (Е2), .•. , Р (Ее},
после чего окажется предопределенной вероятность любого
события из этой а.ТJrебры.
Это «назначение» вероятностей событиям, составляю­
щим систему Е, вообще говоря, может быть проведено
по-разному: как модель, в которой эти вероятности прини­
маются в точности равными их относительным частотам,
данным в табл. 21.1, так и модель, где эти вероятности та­
ковы, как указано в табл. 21.2, а также и другие «бт1зкие»
к ним модели-все они в достаточной степени являются
допустимыми, и лишь в результате дальнейшего глубо­
кого изучения процесса, постановки новых эксперимента~
и т. п. сможет выявиться преимущество той или иней
модели. С учетом этого замечания мы здесь зададим
299

вероятности событий, округлив до сотых долей значения
соответствующих относительных частот (см. табл. 21.2).
ТАБЛIIЦА 21.2
Событие
Вероятность
о. 10
О, 15
0,15 о, 15 о, 15 0,30
Теперь мы можем вычислить вероятность любого собы­
тия из алгебры, порожденной системой Е. Так, например,
Р(А)=Р(Е2)+ Р(Е4)+ Р(Ее)= 0,15+о,15+0,30 = 0,60.
В рассмотренном нами примере мы задали алгебру
событий как множество всех тех событий, которые могут
быть представлены в виде суммы элементов исходной
системе Е (мы добавили лишь к этому множеству еще
«невозможное событие» О), после чего вероятности всех
входящих в алгебру событий определили через вероят­
ности событий, составляющих Е. Разумеется, этот при­
мер мы можем рассматривать лишь как иллюстрацию
более общего, нежели классический, подхода к построе­
нию вероятностных моделей. Этот более общий способ
задания вероятностной функции па конечной алгебре
событий Q состоит в том, что ·аждому событию е из
числа . составляющих порождающую Q полную систему
попарно несовместных элементарных событий мы ставим
в соответствие его вероятность Р (е) так, чтобы с~мма
всех этих вероятностей оказалась равной 1:
~Р(е)=1,
ееЕ
после чего вероятность любого события А из Q опреде­
ляется по формуле
Р(А)= ~ Р(е),
ееЕА
т. е. представляет собой сумму вероятностей всех тех
(и только тех) элементарных исходов, которые состав­
ляют ЕА. Само это «назначение вероятностей» элемен­
тарным событиям формально должно лишь удовлетворять
условию
~Р(е)=1.
,еЕ
300

Однако если мы хотим, чтобы построенная модель была
пригодна для изучения той или иной реальной ситуа­
ции, мы должны при этом «назначении вероятностеii»
учесть всю имеющуюся у нас информацию об изучаемом
объекте, будь то относительные частоты, полученные
в результате наблюдений, те или иные соображения
о равновозможности каких-нибудь событий и т. п.
Отметим (не приводя соответствующего доказатель­
ства), что и при таком подходе сохраняются основные
свойства вероятностей, приведенные в тексте теоремы 21.3 .
Условной вероятностью события В относите,1ьно собы­
тия А в общем случае называется число .
• р (В)= Р(А·В)
А
р(А) •
(Нетрудно заметить, что мы использовали здесь фор­
мулу (21.3). Естественно, и тут предполагается, что
Р (А) =1= О.) Понятия независимости и взаимной незави­
симости событий определяются так же, как и в класси­
ческом случае. Сохраняют силу в общем случае и утверж­
дения теорем 21.5 и 21.6. (Более того, даже их доказа­
тельства дословно переносятся на этот общий случай.)
Рассмотрим наконец, имеющий большое практическое
значение один из вопросов, связанных с понятием неза­
висимости. По определению (ер. с определением 21.12)
событие В называется независимы.л.t от события А, если
рА (В)= р (В).
Допустим теперь, что нам нужно вычислить вероят­
ность события А• В и что мы хотим удостовериться в воз­
можности использовать для этого вместо общей формулы
умножения i.P(A-B)=P(A)PA(B) формулу Р(А-В)=
= Р (А) Р (В), справед,1ивую только в том случае, когда
В не зависит от А. Казалось бы, мы попадаем здесь
в порочный круг: для проверки независимости В от А
нам надо найти Р (В) и РА (В), а эта последняя для
своего вычисления по формуле (21.3) требует предвари­
тельного определения вероятности Р (А-В)! Оказывается,
однако (и в этом еще одно преимущество об,цеrо под­
хода), что при построении вероятностной модели мы
в необходимых случаях можем «заложить» в нее незави­
симость тех или иных событий, коль скоро эта незави­
симость действительно вытекает из рассмотрения той
конкретной ситуации, для описания которой мы создаем
модель. Например, если речь идет о подбрасывании
301

игральной кости два раза подряд, и если у нас имеются
достаточные основания считать, что результат, получен­
ный при первом бросании, никак не влияет на исход
второго, то соответствующую модель мы можем построить,
составив алгебру событий на базе всевозможных произ­
ведений вида D=D' -D", где D'-собы:гия, относящиеся
к первому подбрасыванию, а D" - ко второму, и поло­
жив(!) для каждого такого события D: Р (D) = P(D') P(D'').
Пусть, скажем, нам требуется по такой модели рас­
считать вероятность выпадения в сумме количества очков,
равного 10. Об@значая это событие через Н, через Ek и
Е;-события, состоящие соответственно в выпадении при
первом бросании /г очков и при втором бросании i очков,
мы можем записать
н = Е;-Е; +в;.в;+Е;-в;.
Отсюда, учитывая что слагаемые, стоящие в правой
части, попарно несовместны, получаем
Р(Н)=Р(Е; •Е;)+Р'(Е; ·Е;)+Р(Е~ •Е;).
Так как мы условились, что в нашей модели любые два
события, относящиеся соответственно к первому и ко
второму. бро~аниям, независимы, то для вычисления каж­
дой из вероятностей Р (Е;-Е;), Р (Е;- Е;) и Р (Е;- Е~) мы
можем во.с.пользоваться формулой (21.5)
Р (Е; •Е;) = Р (Е;) Р (Е;) = 0,30 •О, 15= 0,0450,
Р(Е;.Е;)= Р(Е;)Р(Е;) = О,15•О,15=0,0225,
Р (Е;-Е;)= Р (Е~) Р (Е;)= 0,15,0,30= 0,0450.
Окончательно
Р (Н) = 0,0450 + 0,0225 + 0,0450= О, 1125.
(Здесь мы. приняли вероятности событий Ek и E'i такими,
как в табл; 21.2.)
§ 21.2. Случайные величины и функции распределения
21.2. 1. Дискретные случайные величины. Во многих
случаях с каждым из элементарных событий системы Е,
составляющей, основу той или иной вероятностной модели,
оказывается связанным определенное число, представ­
ляющее собой ту или иную характеристику этого эле­
ментарного события. При этом, как правило, именно
сами эти числа и представлшот для нас основной интерес.
302

Иметь дело с числами и с числовыми множествами
во многих отношениях удобнее, чем с событиями произ­
вольного вида. Такие возможности представляет исполь­
зование понятий случайной величины и ее закона рас­
пределения, изучение которых мы и начинаем в этом
пункте. Прежде чем давать строгое определение этих
понятий, мы познакомимся с ними на конкретном при­
мере.
Пусть некоторый эксперимент состоит в двукратном
подбрасывании игральной кости. Будем сначала считать,
что (как для первого, так и для второго бросания) эле­
ментарные события, состоящие каждое в выпадении той
или иной грани, равновозможны между собой, и что
результаты второго бросания не зависят от того, какой
именно исход имел место при первом подбрасывании.
Нетрудно сообразить, что в этих условиях мы приходим
к классической алгебре событий Q, порождаемой полной
системой Е попарно несовместных и равновозможных по
отношению друг к другу событий
Е = H<l>, <1>), (<1>, (2)),
.. . , (<6>, <5>), (<6>, (6))}.
Здесь (<k>, <l>) означает событие, состоящее в том, что
при первом бросании выпало k очков, а при втором -
l очков (l~k~6; 1~1~6).
С каждым из событий, составляющих систему Е, свя­
жем число s= k + l-сумму очков, выпавших при первом
и втором бросаниях. Событию (<3>, (5)), например, будет
соответствовать число 8, каждому из событий (<1>, (6)) и
((4), <3>)-число 7 и т. д. Допустим теперь, что нас
пнтересует лишь полученное в результате эксперимента
число s, что нам безразлично, осуществление, какого
именно из событий, составляющих Е, приводит к тому,
что s принимает то или иное определенное значение.
В нашем примере возможные значения s суть: 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Для каждого такого значениях
мы можем вычислить вероятность того, что в результате
.испытания s окажется равной именно этому значению
(иными словами,- вероятность выполнения равенства
s=X).
Действительно, например, исходя из того, что s= 2
тогда и только тогда, когда осуществляется элементар­
ное событие (<1>, <1>), мы получаем
Р(s=2)=Р(<l>, <l>)= 1/36.

Раве11ство s= 3 выполняетсн тогда и только тогда, когда
осуществляется какое-нибудь из событий (<2>, <l>) или
(<1>, <2)). Учитывая еще, что эти события несовместны,
получаем
Р(s= 3) = Р[t<2>, <l>)+(<l), <2>)]=
111
= р(<2>, <l>)+P(<l>, <2>} = Зо+36= 18 •
Аналогично
P(s=4)=P(<3>, <l>)+P(<2>, <2>}-1 -P(<l>, <3>)=
1
1
=35·3 =12 и т. д.
Результаты всех этих расчетов сведем в таблицу (см.
табл. 21.3). Эта таблица представляет собой пример
ТАБЛИЦА 21.3
х
\2\з\4\5\6\1\в\gj10\11f12
р (s=x) 11/3611/1811/121 l/9, 5/3611/615/3611/91 \/12 / 1118 \ l/Зб
таблицы распределен и я вероятностей с л у­
чайной величины 6 по ее возможным значе­
ниям.
Составив эту таблицу, мы пришди к новой, более
удобной в нашем случае, вероятностной конструкции.
А именно, мы получили новую алгебру событий (J', кото­
рая порождается уже новой полной системой попарно
несовместных событий Е':
Е'={<s=2), <s=3), ..., <s=11), <s=12)}.
(Как видно из табл. 21.3, эти элементарные события не
являются равновозможными, так что эта наша модель
более общая, чем классическая. Зато общее количество
элементарных событий в Е' много меньше, чем в Е.)
Вероятность любого такого события, которое можно
представить как «попадание» в некоторое заранее задан­
ное числовое множество Х', можно теперь вычислить,
не обращаясь к исходной модели. Например, учитывая,
что событие (s ~ 4) представляет собой сумму попарно
304

несовместных событий {s = 2), (s = 3) и (s = 4), мы полу­
чаем
Р<t~4)=P<s=2)+P<s=з)+Р<s=1>=
1111
=35+ 1в+ 12=5 •
Попробуем коротко подытожить сделанное. Отправной
точкой для наших рассуждений явилась алгебра собы­
тий Q, заданная посредством порождающей ее системы Е.
Каждому из элементарных событий е, составляющих Е,
мы поставили в соответствие некоторое число s= f (е),
в результате чего нам удалось построить новую алгебру
событий Q', которое порождается уже системой Е', со­
стоящей из событий вида (s = х). Рассчитав вероятности
этих событий, мы записали полученные результаты в виде
таблицы распределения вероятностей. Тем самым на
алгебре Q' оказалась заданной своя вероятностная функ­
ция. Для решения целого ряда задач испоJ1ьзование
алгебры Q' оказывается гораздо более удобным по срав-.
нению с обращением к исходной алгебре Q. Дадим теперь
строгое определение.
Определение 21.13. Пусть Q-некоторая алгебра
событий, Е- порождающая ее (конечная) полная система
попарно несовместных эле,иентарных событий, вероятности
которых мы считаем .заданны.ми. Пусть также каждому
из элементарных событий е, составляющих Е, поставлено
в соответствие некоторое число s= f (е), иными словами,
пусть на Е задана некоторая «функцuЯ>) s= f (е). Эта
функция называется дискретной случайной величиной,
а закон, сопоставляющий каждому из возлюжных значе­
ний х этой функции вероятность события (s = х), назы­
вается законом распределения вероятностей по возможным
з1-t.ачениям случайной величины S·
Использованный в этом определении термин «дискрет­
ная» указывает на то обстоятельство, что набор возмож­
ных значений случайной величины в нашем CJiyчae состоит
из «изолированных» друг от друга чисел, таких, что
каждое из них можно окружить такой окрестностью
(x-h, х +h), в которой не будет содержаться ни одного
изостальных возможных значений. Это замечание потре­
буется нам в даJ1ьнейшем при рассмотрении случайных
величин более общего вида.
Закон распределения вероятностей дискретной случай­
ной величины геометрически можно проиллюстрировать
805

при помощи так называемой гистограммы (другое на­
звание-многоугольник вероятностей). Эта гистограмма
представляет собой фигуру, составленную из прямоуголь­
ников, нижние основания которых располагаются на оси
абсцисс. Каждому из возможных значений случайной
величины отвечает свой прямоугольник. Он строится так,
чтобы его площадь оказалась численно равной соответ­
ствующей вероятности. В простейших случаях эти воз­
можные значения служат центрами нижних оснований
р
6/Jб
5/35
ц/Jб
3/JB
2/36
1/36
0-~z....................4
....................
9'--'-''--'-'в.................10................1z~;,c
Рис. 21.1.
«своих» прямоугольников. Обычно прямоугольники строят
примыкающими друг к другу. Во всяком случае взаим­
ное налегание этих прямоугольников друг на друга не до­
пускается. На рис. 21.1 дана гистограмма для сJiучайной
величины, рассмотренной в начале этого пункта (см.
табл. 21.3). Заметим еще, что в случае необходимости
допускается выбор разных масштабов на и:оординатных
осях.
Во многих случаях наряду с таблицами такого типа,
как табл. 21.3, оказывается удобным иметь таблицы не­
сколько иного рода, сопоставляющие каждому из воз­
можных значений х случайной величины s вероятность
события (s ~ х). Так, для того же примера с двукратным
подбрасыванием игральной кости мы получаем следую­
щую таб.rшцу.
ТАБЛИЦА 21.4
х121з141516171819110j11j12

Пользуясь такой таблицей, мы можем находить вероят­
ности событий вида (а < s:::; Ь) просто как разности стоя­
щих в ней чисел. Действительно, так как (при а< Ь)
(s:::; а)+ (а < s:::; Ь) = (s:::; Ь),
и так как события, стоящие в левой части этой фор­
мулы, несовместны, то
Р (s:::;a) +Р (а< s:::; Ь) = Р (s :::;Ь),
откуда
(21.8)
Заметим, что здесь совсем не обязательно, чтобы а и Ь
представляли собой какие-то из возможных значений
случайной ве.rшчины.
Определение 21.14. Пусть s-некоторая случай­
ftаЯ величина. Функция, определенная на (-оо, +оо) фор­
мулой
F(х)=Р(s:::;х),
(21.9)
называется кумулятивной функцией распределения случай­
ной величины s (ее называют также функцией накоплен­
flЫХ вероятностей, интегралы-юй функцией распределения,
иногда-просто функцией распределения).
Для рассмотренной в качестве последнего примера
случайной величины функция накопленных вероятностей
(см. табл. 21.4) F (х) будет равна О для всех значений х,
меньших 2; для всех х, удовлетворяющих неравенству
2:::; х < 3, она будет равна 1/36; для х, удовлетворяю­
щих неравенству 33⁄4х<4, будет F(x)=l/12 и т. д.
Наконец, для каждого х, бодьшего или равного 12, будет
F (х) = 1. График этой функции дан на рис. 21.2.
Для таких случайных величин, у которых множество
возможных значений конечно 1), кумулятивная функция
распределения представляет собой кусочно-постоянную
(«ступенчатую») функцию. Она остается постоянной в про­
межутке между любыми двумя соседними возможными
значениями случайной величины, и изменяется (скачком)
лишь при переходе через точки, отвечающие этим воз­
можным значениям.
1) А только такие слу'lайные величины мы пока и рассмат­
ривали.
307

Отметим, наконец, что, используя понятие функции
накопленных вероятностей, мы можем переписать (21.8)
в виде
Р (а<~ ~Ь}= F (b}-F (а}.
(21.10)
Именно в этом виде она обычно и используется, если
мы имеем в своем распоряжении функцию F (х).
р
1 -----------------------------
-
-
о-+-
О,б
Q
2
581012z
Рис. 21.2.
21 .2.2 . Биномиальный закон распределения. Множе­
ство всевозможных законов распределения исключительно
разнообразно. Оказывается удобным выделить из него
и изучить более обстоятельно некоторые типы таких
законов, которые чаще всего встречаются при решении
практических задач. В этом пункте мы рассмотрим один
из таr<их типов-так называемые «биномиальные распре­
деления». Начнем это рассмотрение с конкретного при­
мера.
Пусть в непрозрачном сосуде находится десять оди­
наковых наощупь шаров, среди которых 7 белых и 3 чер­
ных. Естественно положить вероятность события, состоя­
щего в том, что извлеченный наугад шар окажется
белым, равной 0,7.
Предположим теперь, что мы повторяем такое извле­
чение четыре раза подряд, причем перед каждым после­
дующим извлечением мы возвращаем вынутый шар обратно
в сосуд и тщательно перемешиваем шары.
308

Выпишем все возможные при этом комбинации цветов
с учетом того порядка, в котором 9ТИ цвета были по­
лучены:
чччч
чччб
ччб.б чббб бббб
ччбч чбчб бчбб
чбчч чббч ббчб
бччч бччб бббч
бчбч
ббчч
Учитывая, что условия нашего эксперимента практически
обеспечивают_ независимость исхода очередного извлече­
ния от • результатов, имевших место при предыдущих
извлечениях, мы можем вычислить вероятности осущест­
вления каждой из перечисленных комбинаций. Для удоб­
ства записи условимся обозначать через Ai (i = 1, 2, З, 4)
событие, состоящее в том, что при i-м извлечении ока-
жется вынутым белый шар. (Тогда Ai означает, что при
i-м извлечении будет вынут черный шар). Очевидно, что
Р (Ад= 0,7, Р (Ад= 0,3. Вероятность осуществления пер­
вой из перечисленных комбинаций (ч ч ч ч) равна
Р(чччч)=Р(.4 1
•
А2 ·Аз· А4) =
= Р (А1) Р (А2) Р (Аз) Р {.44}= о,з« = o,oos1.
Вероятность осуществления каждой из комбинаций, сто­
ящих во втором столбце, равна 0,3 3 -0,7=0,0189. Дей­
ствительно,
Р(ч ч ч б)= Р(А1) Р{А2) Р(Аз) Р(А4) = 0,33 -0,7= 0,0189,
Р(ч чбч)=Р(А1)Р(.42) Р(А3)Р(.44) ~0,32-0,7-0,З=
= 0,0189,
и т. д. ТаI<им же образом мы получаем для вероятности
осуществления каждой из комбинаций третьего столбца
значение 0,3 2 • О, 72 = 0,0441, для вероятности осуществле­
ния каждой комбинации четвертого столбца 0,3-0,73 =
= О,1029 и, наконец, находим, что Р(б бб б)= О,74 =
= 0,2401.
Допустим теперь, что нас интересует случайная вели­
чина s, представляющая собой количество белых шаров
в полученной нами комбинации. (Тем самым порядок,
в котором наблюдались цвета извлекаемых шаров, нас
сам по себе не интересует.) Событие (s = О) происходит
309

тогда и только тогда, когда осуществляется комбинация
чччч.Поэтому
Р(s=О)= Р(ч ч ч ч)=0,0081.
Событие (s= 1) осуществляется тогда и ТОЛЫ<О тогда,
когда будет извлечена одна из комбинаций, перечислен­
ныхвовторомстолбце:чччб,ччбч,чбччили
б ч ч ч. Так как эти последние события попарно песов­
местны, то
Р(s=~ 1)=Р(чччб)+Р(ччбч)+
+Р(чбчч)+Р(бччч)= 4-0,0189°=0,0756.
Аналогично рассуждая, мы получаем
Р<s = 2)= 6-(0,12-о,32)=0,2646,
Р (s = 3) = 4-(0,73 -0,3) ~:= 0,4116,
P(s-=4)=0,74
=0,2401.
Итак мы рассчитали для нашей случайной величины ne~
роятности всевозможных событий вида s== х. Запишем таб­
лицу распределения вероятностей так (c:vi. табл. 21.5).
ТАБJlИЦА 2J.5
х
о
2
3
4
0,34 14-О,71-О,3316-0,72-0,32 14-О,73-О,31 1 0,7~
Рассмотрим теперь гораздо более общую ситуацию.
Пусть при единичном проведении некоторого испытанин
событию А соответствует вероятность р. Предположим,
что произв0дится сер'Шя, состоящая из п таких испы­
таний, причем исходы любого из испытаний не зависят
от результатов, имеющих место в других испытаниях.
Пусть нас опять-таки интересует лишь общее количество s
таких из наших п испытаний, в которых событие осуще­
ствится. Пусть О~х3⁄4п (х-целое). Тогда для любой
такой комбинации исходов испыта.иий нашей серии, в ко­
торой ровнG> х раз произ.ошJ.rо событие А (и, значит,
ровно (п-х) раз не произошло), вероятность ее осуще­
ствJ1ения будет равна px·(l-p)"-x,_ Так как общее число
310

таких комбинаций равно числу различных сочетаний
изппох,то
(21.11)
Этой же формулой могут быть описаны и многие другие
случайные величины.
Определение 21.15. Всякий mаК,Ой закон распре­
деления вероятностей по возможным значениям случайной
величины, который может быть описан формулой типа
(21.11) называется биномиальным законом распределения.
Про саму случайную величину говорят тогда, что она
«подчиняется биномиальному распределению» (иногда гово­
рят: «распределена по биномиальному закону»).
21.2.3. Случайные величины (общий случай). До сих
пор мы рассматривали только конечные алгебры событий.
Во многих случаях оказывается удобным использовать
вероятностные конструкции более общего вида, опираю­
щиеся на алгебры, состоящие из бесконечного множества
событий. Не углубляясь сколько-нибудь далеко в соот­
ветствующую теорию, отметим лишь, что в «бесконечном
случае» алгебра событий должна быть, как говорят,
«замкнутой» относительно операций сложения и умноже­
ния как любого конечного множества событий, так и бес­
конечной последовательности таких событий, а также -
относительно операции перехода к противоположному
событию 1). Заданная на такой алгебре вероятностная
функция, кроме уже привычных для нас свойств, должна
еще обладать так называемой счетной аддитивностью,
а именно, если события, составляющие бесконечную по­
следовательность А1, А2, А3, ... ,
попарно несовместны, то
должно быть
Весь этот круг вопросов будет интересовать нас в основ­
ном в приложении к случайным величинам. К их рас­
смотрению в общем виде мы сейчас и перейдем.
Напомним, что в «конечном» случае мы вводили по­
нятие случайной величины как функции ~ = f (е), задан­
ной на множестве всех элементарных событий некоторой
алгебры Q (см. определение 21.13), после чего, испоJiьзуя
заданную на Q вероятностную функцию, строиJiи новую
1) То есть результаты всех этих операций, произведенных над
элементами алгебры Q, сами должны быть элементами Q,
311

алгебру событий Q', принимая в качестве элементарных
события вида (~ = х). С того момента, ка}{ Q' оказывалась
построенной, а вероятностная функция на ней опре-де­
лена,, мы уже не обращались к исходной алгебре Q,
а рассматривали вновь построенную конструкцию: слу­
чайную величину ~ и ее закон распределения вероят­
ностей.
Если не считать некоторых в данный момент для нас
несущественных оговорок, то можно сказать, что общее
определение случайной величины дается в основном так
же, как это было сделано в конечном случае. Что же
касается задания закона распределения вероятностей, то
сделать это оказывается всегда возможным, указав веро­
ятности событий вида (s ~ х), иными словами, задав
функцию накопленных вероятностей F (х) = Р (~ ~ х).
Вообще говоря, функция F (х) может оказаться весьма
сложно «устроенной». Однако основной практит1еский ин­
терес представляют два (в некотором смысле слова «край­
них») класса случайных величин: величины, у которых
функция накопленных вероятностей F (х) «кусочно-посто­
янна» 1), и величины, у которых F (х) непрерывна на
всей числовой оси и всюду (за исключением, быть может,
некоторого множества изолированных друг от друга точек)
d
имеет непрерывную производную dx F (х). Величины пер-
вого из этих классов называются дискретны.ми случай­
ны.ми величинами, второrо-непрерыв11ыми. Только такие
случайные величины мы здесь и будем рассматривать.
Нетрудно показать, что 1юзможными значениями ди­
скретной случайной величины являются те и только те
значения х, которые представляют собой точки разрыва
функции F (х), причем значения вероятностей Р (s = х)
равны величинам скач1юв кумулятивной функции распре­
деления в соответствующих точках. Ничего существенно
нового по сравнению с тем, что мы видели ранее, переход
от конечного к бесконечному множеству возможных зна­
чений нам здесь не дает.
В качестве иллюстрации понятия дискретной случай­
ной величины с бесконечным множеством возможных зна­
чений рассмотрим следующий пример.
1 ) При этом F (х) обязательно окажется «непрерывной справа»,
т. е. везде, в том числе и в точках ее разрыва будет lim F (x--j-h) =
/i ➔ -f-0
=
F (х).·
812

Пусть, так же как и в примере из п. 21.2.2, мы
последовательно проводим испытания, в каждом из кото­
рых вероятность появления некоторого события А остается
равной некоторому постоянному значению р, независимо
от того, какими именно исходами завершились испыта­
ния, предшествующие текущему. Однако, в отличие от
того, как это делалось в упомянутом примере, здесь мы
будем продолжать нашу серию испытаний только до пер­
вого осуществления события А, а в качестве случайной
величины s возьмем общее количество проведенных испы­
таний. Очевидно, что множество возможных значений ;
совпадает с множеством всех натуральных чисел. Рассчи­
тываем вероятности событий (s = k) и (s 3⁄4 k), где k = l,
2, 3,
...
Как и раньше, условимся через Ai обозначить
событие, состоящее в том, что в i-м испытании осущест­
вилось событие А. Тогда событие (s = l) мы можем запи-
сать, как А1, событие (s = 2)-как А1•А2 и вообще собы­
тие (s = k)-как А1 -А2 • ••• • Х,,_ 1 • Ak. Следовательно,
Р(s= 1)=Р(А1)=р,
Р(s= 2)=Р(.41 •А2) =Р(А1)Р(А2)= (1-р)•Р,
Р(s= k)= Р(А1.х2 •...•xk-1Ak)=
= р (А1) р (А2) • ...•р(Ak-1)р(Ak)=(l-p)k-1р.
Из этих формул уже нетрудно получить и выражеiше
ДJ1Я вероятности событий вида (s 3⁄4 k)
Р(s:::;;k)=Р(s=1)+Р<s= 2)+...+Р<s=k-t)+
+Р<s= k)=Р+(I-p)Р+...+(I-p)k-2Р+
-\ -(1-p)k- 1 р = р 1-(l-p)k = 1-(1-p)k,
1-(1-р)
Если х- произвольное вещественное число, не меньшее 1,
то, заключив его между двумя соседними натуральными
числами k и k + 1 так, чтобы выполнялось неравенство
k3⁄4х<k-1-1, и учитывая, что sне может принимать
дробных значений, получим
Р (s3⁄4 х) = P(s 3⁄4 k)= 1-(1-р)11•
Обозначая через [х] целую часть числа х, это последнее
равенство можно переписать в виде
Р (s 3⁄4 х) = 1-(1-р)[х]_
Очевидно, что для х < 1 вероятность Р (s 3⁄4 х) = О.
313

Определение 21.16. Геометрическим законом рас­
пределения 1) (законом распределения типа геометрической
прогрессии) называется закон распределения всякой такой
случайной величины, для которой .лтожество ее воз1rtожных
значений совпадает с множеством всех натуральных чисел,
а вероятности для этих значений задаются формулой
P(s=k)=p(l-p)~- 1
.
(21.12)
Кумулятивная функция распределения этой случайной
величины
.
{О
если х<l,
F(x)= l-(l-p)lxJ, если х~ l. (21.13)
Гораздо больше новых моментов появляется у нас при
изучении непрерывных случайных величин. Прежде чем
11ерейти к рассмотрению конкретных примеров, мы введем
для таких величин одно новое понятие.
Определение 21.17. Пусть F (х)-куАtулятивная
функция распределения случайной величины 1;. Функцией
плотности вероятностей этой случайной величины назы­
вается функция
(21.14)
Так как F (х), согласно этому определению, представ­
ляет собой первообразную для f (х), то для любых а и Ь
ь
~f(х)dx= F(b)-F(а).
(21.15)
а
Сопоставляя эту формулу с формулой (21.10), мы по-
лучаем
h
Р(а<1;~Ь)=~f(х)dx2).
(21.16)
а
(Напомним, что интеграл, стоящий в правой части (21. l 6),
1 ) Употребление здесь термина «геометрический» связано с тем,
что правая часть формулы (21.12) представляет собой общий член
геометрической прогрессии со знамевателем, равным ( 1-р).
2) Так как для непрерывной случайной величины вероятности
событий вида (5=Х) равны нулю, ТО левую часть (21.16) MOЖIIO
записать в виде Р (а,.;;;; s < Ь), Р (а < s < Ь), Р (а,.;;;; 6,.;;;; Ь). Справед­
ливость формулы при этом не нарушится. Так же (для непрерывной
случайной величины!) можно трансформировать и формулу (21.10).
314

геометрически изображается площадью фигуры, заклю­
ченной между осью Ох, графиком f (х) и ординатами,
проведенными в точках х = а и х = Ь. См. также
рис. 21.3, на котором пло- f(:tJ
щадь заштрихованной фигуры
численно равна вероятности
Р(а < s3⁄4Ь).
Перепишем (21.15) в виде
х
F(x)-F(x')= ~ f(t)dt,
х'
оd.
Рис. 21.3.
н устремим х' к - оо. Так как при этом F(х')=
0= р(s3⁄4х')-~ о, то
х
F(х)=~ f(t)dt.
(21.17)
-
00
Сопоставление формул (21.14) и (21.17) позвоJiяет нам
за:-<J1ючить, что закон распреде.r~ения вероятностей для
непрерывной случайной величины мы можем описать как
при помощи ее куму.'lятивной функции распределения F (х),
так и посредством функции шютности вероятностей f (х).
(Любая из этих функций полностью определяет другую.)
Рассмотрим теперь несколько .примеров непрерыв­
ных случайных величин. Пусть относительно некоторой
случайной ве,1ичины s известно, что все ее возможные зна­
чения заключены между числами а и Ь и что для всякого
промежутка [а,~], целиком содержащегося в [а, Ь], веро­
ятность Р (а3⁄4 s3⁄4 ~) пропорциональна д.11ине этого про­
межутка (и тем· самым не зависит от положения, зани­
маемого [а,~] на [а, Ь]):
Р(а3⁄4G3⁄4~)=Ч~-а).
(21.18)
Полагая в (21.18) а=а и ~=Ь и учитывая, что по усло­
вию P(a3⁄4s3⁄4~)= 1, мы получаем, что л= 1/(Ь-а). Най­
дем теперь кумуш1тивную функцию распределения. Ясно,
что если х<а, то F(х)=О, а еслих>Ь, тоF(х)=1.
Рассмотрим с,1учай, когда а3⁄4Х3⁄4Ь, Так как для каж­
дого такого х событие (~ 3⁄4 х) можно представить в виде
суммы несовместных событий (s < а) 11 (а3⁄4 s 3⁄4Х), то
F(х)=Р(s~х)=Р(1;<а)+Р(а3⁄4s3⁄4х).
Но Р (s <а)= О, а Р (а3⁄4 s3⁄4 х) = (х-а)/(Ь-а) (согласно
315

(21.18). Поэтому окончательно получаем
{
о,
если х<а,
F(x)= ь 1а(х-а), если а 3⁄4с. х 3⁄4с.Ь,
1,
если х>Ь.
Дифференцируя (21.19), мы получаем для
f(:C)
1
Ь-11
о
11
Рис. 21.4 .
,~~
/l
-1
р-е~
О
1/р
f(:c;
11)
ь:с
1 ---------------------
о)
Рис. 21.5 .
...
.х
(21.19)
нашей
случайной величины функцию плотности вероятностей
f(х)= Ь-а'
{-1
-
если а<х<Ь,
О, если х<аилих>Ь
(21.20)
(рис. 21.4).
Определение 21.18. Если функция плотности ве­
роятностей случайной вели,шны ~ определяется формулой
316

(21.20), то говорят, что 6 подчиняется равномерному
закону распределения (закону равномерной плотности).
Кроме равномерного закона распределения, мы здесь
укажем еще два очень часто встречающихся в приложе­
ниях типовых закона: показательный и нормальный
(см. определения 21.19 и 21.20).
Определение 21.19. Говорят, что cлyчat"tliaя вели­
~tuна подчиняется показательному закону распределения,
если ее функция плотности вероятностей имеет вид
(рис. 21.5, и))
f О, если х<О,
f(x)=t μе-μх, если х>О.
(21.21)
Используя форму.rrу (21.17), мы можем получить и вы­
ражение для кумулятивной функции показатеJ1ьного рас­
пределения:
{ О, если х<О,
F(х)-
(21.22)
-
-
1-е-μх, если х;;;;::,о.
(рис. 21.5, 6)).
Определение 21.20. Говорят, что случайная вели­
~tина под1tиняется •нормальному закону распределения (с
f(:c)
t
ч
Рис. 21.6.
5
параметрами а и о), если функция плотности вероя­
тностей этой случайной величины имеет вид
(х-а)1
f (х) = ~ е----wг.
о -V2n
(21.23)
На рис. 21.6 даны графики функций при различных
значениях параметров а и о: для кривой/ а=О, О'= 1, для
кривой// а= 3,5, о= 1, для кривой/// а= 3,5, о= 0,5.
317

Кумулятивная функция нормального р~спределения
х (1-а)•
F(х)=
.~
Sе-~dt
(21.24)
оr2:rt
-оо
в конечном виде не выражается через элементарные функ­
ции. Для нахождения ее значений используются р_азлич-
1юго рода таблицы. Мы здесь будем применять таблицу
функции Ф0 (z) (см. приложение на стр. 366-367):
2
Фо (z) = /2:rt sе-и•12 du.
(21.25)
о
Произведя в интеграле из (21.24) замену переменной
по формуле и= (t-a)/o, получим
(х-а)/а
F(х)= _1_ sе-и•12du.
}12:rt
_.. ,
Разобьем получившийся интеграл на два
0
(X-a)iO
F(x)=--
е-и•1 2 dи+-=-
1s
1
У2л
}12:rt
е-"" 12 du. (21.26)
_. .,
Второй из этих интегралов, согласно (21.25), равен
Ф0 ( х·о а) и может быть вычислен по таблице. Что же
касается первого, то, заметив, что
+ех>
_1_ sе-и•12dи= 1
У2л _. .,
(ибо этот интеграл представляет собой вероятность досто­
верного события-попадания в промежуток (- оо, + оо)
случайной величины, подчиняющейся нормальному за1юtiу
распределения с параметрами а= О и о= 1), и что подынте­
гральная функция четная, мы приходим к выводу, что
о
/ 2:rt sе-и 12 dи= 0,5.
-а,
Теперь мы можем переписать (21.26) так:
(х-а)
F(х)=0,5+Ф0 - 0
-
•
(21 .27)
318

Эта формула дает возможность вычислять значения
F (х) для любого нормального распределения (с извест­
ными а и а) с помощью таблицы функции Ф 0 (z).
Можно показать, что при любых значениях парамет­
ров а и а д.т1я нормального распределения справедливы
формулы
Р(а-а~ s~а+а)= 0,6827,
Р (а-2а ~ s~а+ 2а) = 0,9545,
Р (а-За~ s~а+ За)= 0,9973.
(21.28)
Несколько огрубляя существо дела, можно сказать, что
при большом числе наблюдений над реализациями слу­
чайнойu величины, подчи- f(:c}
няющеися нормальному за-
кону распредеJiения, при­
мерно 68 % от общего числа
результатов окажутся уда­
ленными от точки а не
более чем на о, примерно
95%- не более чем на 2о
и только около 0,3 % ре­
зультатов выйдут за пре-
делы так называемого
«трехсигмового» интервала
(а-Зо, а-t-За). Во многих
практических задачах ве­
роятностью выхождения о
за пределы промежутка
(а-Зо, а+За), равной
Рис. 21.7 .
0,0027, можно пренебречь и тем самым считать событие
(1 s-a 1< Зсr) практически достоверным, а противополож­
ное ему событие (1 s-a 1;;;.: Зсr)-практически невозмож­
ным 1).
Рис. 21.7 иллюстрирует формулы (21.28) (на рис. 21.7
площадь A1B 1C1D1 = 0,6827, площадь A2B 2C2D 2 = 0,9545,
площадь A38 3C3D3 = 0,9973).
Решение многих практических задач приводит 1< необ­
ходимости по заданному значению вероятности р находить
такое значение Хр, чтобы для него было
1) Такой подход называ1от часто «практи•1еским правилом
трех сиrм».
319

или, что то же самое,
(21.29)
В связи с этим оказывается удобным понятие (р)-кван­
тuля распределения. Мы здесь дадим соответствующее
определение для непрерывных случайных величин.
Определение 21.21 . Пусть ~ -непрерывная слу­
чайная величина, F (х)-ее кумулятивная функция распре­
деления, а р- некоторое число, заключенное между О и 1;
(р)-квантиле,ч распределения ~ называется число хр,
определяемое формулой (21.29).
Для многих типовых законов распределения, кроме
таблиц, задающих их функции распределения, разработаны
еще и таблицы квантилей.
.
§ 21.3 . Сводные числовые характеристики.
Аппроксимация распределений
21.3.1. Сводные числовые характеристики выборочных
и теоретических распределений. Предположим, что в ре­
зультате проведения серии из п «испытаний» мы заре­
гистрировали последовательность
(21.30)
значений некоторой изучаемой нами величины ~ -
Есш1
мы имеем в виду для описания ~ использов;tть аппарат
с.1учайных величин и их законов распределения 1), то эти
полученные значения будем называть реализациями слу­
чайной величины. ~ .
а весь ряд чисел (21.30)-одномерной
выборкой, составленной из этих реализаций. Число п на­
зывается объемом этой выборки.
Распоj1агая числа х; в порядке их возрастания, полу­
чаем так называемый ранжированный ряд
(21.31)
В ранжированном ряде может оказаться немало по­
вторяющихся чисел. Записывая каждое из различных
значений, встречающихся в (21.31) только один раз, и
указывая рядом с ним количество его появлений в этом
ряду, мы приходим к следующей таблице (см. табл. 21.6),
1) То есть если мы априори полагаем, что~ может быть описана
с помощью такого рода моде,лей. (Говорят еще: если ~ подчиняется
некоторому, пусть и неиз·вестному нам, закону распределения.)
320

называемой обычно рядом а6солютньtХ частот (точнее:
дискf)f!mным рядом абсолюmНЬJ.Х частот; смысл этого заме~
чания станет нам ясен ниже). ,
ТАБЛИЦ.А 2).6
-
Значения ~
1
1
А
1
1
1
Х1
х.
...
Xm-1
х,,.
Абсолютные частоты
1
n1
1
n2
1
...
1
пт-1
1
п,,.
Заменяя в табл. 21.6 абсолютные частоты п1 на отно­
сительные частоты v1 = n1Jn, мы получаем ряд относитель­
ных частот (см. табл. 21.7).
ТА6ЛИЦЛ 21.7
Значения ~
1
1
1
1
~
1
~
Х1
Х21...
Xm-J
х,,.
1
1
1
1
1
1
--
Относительные частоты
V1
V2
...
Vm-1
V'tJI
Наконец, указывая рядом с каждым из значений х1 сумму
'Относительных частот, соответствующих всем не пре-
восходящим х1 значениям: Q1= v1 + v1 + ... + vi
(см. табл. 21.8), мы приходим к ряду, накопленных отно­
сительных частот (кумулятивному ряду относиml!льных
частопi).
ТА6JIИЦЛ21.8
Значения ~
1
~
1
1
А
А
х,
Х2
,..
Xm-1
Xm
Накопленные относитель-
ные частоты
Q1 Q.
...
Q,,._.
Q,,.
Очевидна аналогия между рядами относительных и на­
копленных относительных частот, с одной стороны, и
таблицами распределения вероятностей и накопленных
вероятностей для дискретной случайной величины-с дру­
гой. Способы геометрического изображения зтих рядов
11 Под ред. Н, М, Матвеева, ч, 11
821

такие же, как и для их теоретико-вероятностных анало­
гов, с той лишь разницей, что вместо вероятностей здесь
фигурируют относителllНые частоты.
Нередко оказывается целесообразным вместо дискрет­
ных рядов выборочных распределений строить интерваль­
ные ряды. В этих случаях мы, отправляясь от некоторого
промежутка (а, Ь], целиком содержащего в себе выборку
(21.30), дробим его на частичнЬiе промежtтки (х1 _ 1 , х1]
и сопоставляем каждому из них число п1 тех ~ленов
ряда (21.30), которые попадают в этот промежуток (п1 тоже
называется абсолютной частотой). Такой интервальный
ряд абсолютных частот представлен табл. 21.9 .
ТАБЛИЦА 2).9
Интегралы
1
(xu,x1J
1
(х1 ,i2J
1
...
l<xт-2,Xm0-1JI (Хт-1, XmJ
Абсолютные
-
-
-
-
частоты
n1
n2
...
nт-1
nт
Аналогично записываются интервальные ряды относи­
тельных и накопленных относительных частот. (Заметим,
что интервальные ряды можно записать и так, как это
сделано в табл. 21.6-21 .8, если под х1 понимать центр
соответствующего частичного промежутка.)
Выборочные ряды распределения, особенно в тех слу­
чаях, когда выборка имеет большой объем, как правило,
достаточно хорошо характеризуют изучаемую случайную
величину. Иногда (пример тому мьi видели в начале
п. 21.1 . 5) мы получаем вероятностные модели непосред­
ственно из выборочных рядов распределений, полагая
вероятности равными соответствующим относительным
частотам. Нередко, однако, возникает необходимость
в описании результатов наблюдений более компактным
образом, нежели тот, который дают нам таблицы типа
21.6 -21.9 . В этих случаях оказываются удобными так
называемые сводные числовые характеристики выборки.
Некоторые наиболее употребительные из таких характе­
ристик мы сейчас рассмотрим.
Определение 21.22 . Выборочным средним, рас­
считанным по выборке (21.30), называется среднее
322

арифметическое членов этой выборки
п
-
1~
Х=- ~Xi •
п €=1
(21 .32)
Среднее арифметическое квадратов отклонений выборочных
значений от i называется выборочной дисперсией:
п
Dв= 3⁄4L (xi-x)2 •
(21.33)
l=I
Величина 0 8 = VD 8 называется выборочным средним квад­
ратическим отклонением.
Величинах представляет собой в определенном смысле
центр выборочного распределения, а D 8 и 0 8 характери­
зуют собой степень «рассеяния» выборочных значений
вокруг этого центра. (Целесообразность рассмотрения
наряду с D8 еще и о8 объясняется тем, что о8 , в отли­
чие от D8 , имеет ту же «физиgескую» размерность, что
и изучаемая величина ~ - )
Очевидно, что, используя ряд абсолютных частот, мы
получаем для х и D 8 следующие выражения:
(21.32')
т
Dв= ~ L п,(х1-х)2•
f=I
(21.33')
Внося множитель 1/n под знак суммы и заменяя отно­
шение n1 /n на v1, будем иметь
(21.32")
т
Dв= ~ v1 (х~-х)2•
j=I
(21.33")
Аналогичные характеристики оказываются удобными и
для описания теоретических распределений. Дадим соот­
ветствующие определения сначала для дискретных, а затем
для непрерывных случайных величин.
Определение 21.23. Пусть ~-дискретная случай­
ная величина, xi, х2 , х8 , • •• -ее возможные значения,
11*
323

а Pt.= P(s =Х1), Р2 = P(s=X2), ••• -
соответствующие
этим значениям вероятности. Тогда величина
М (s) = ~Х;Р;
(21.34)
l
называется математическим ожиданием случайной вели­
чины s, а величины _
D(s)=~(Х;-М(s))2Pi
(21.35)
i
и
(21.36)
соответственно-ее дисперсией и средним квадрати 11еским
отклонением.
Правые части формул (21.34) и (21.35) отличаются от
правых частей формул (21.32") и (21.33") только тем, что
вместо относительных частот здесь использованы вероят-
ности, а вместо х взято М (s). Учитывая, что при доста­
точно большом количестве наблюдений относительные
частоты, как правило, близки к соответствующим веро­
ятностям: v; ~ Р;, мы можем сказать, .что математическое
ожидание характеризует собой центр распределения слу­
чайной величины, а дисперсия и среднее квадрат~ческое
отклонение являются «мерами рассеяния» возможных зна­
чений случайной величины относительно ее центра рас­
пределения.
Естественно, что в тех случаях, когда вероятностная
модель для описания какоrq-либо реального явления или
процесса выбрана удачно, при достаточно большом числе
наблюдений «выборочные» и «теоретические» характери­
стики будут близки друг к другу
х~M(s), Dв~D(s), Ов~о(s). (21.37)
Определение 21.24 . Пусть s-непрерывная слу­
чайная величина, а f (х)-ее функция плотности вероят­
ностей. Тогда математическим ожиданием s называется
число
+ас
М(s)= i xf(х)dx,
(21.38)
дисперсией s-число
+оо
D (s)= ~ [х-М (s)]2 f (x)dx,
(21.39)
-оо
а средним квадратическим отклонением-число cr(s) = V D(s).
324

Заменив приближенно несобственные интегралы по
бесконечному промежутку интегралами, взятыми в пре­
делах от -А до А (где А-некоторое достаточно большое
число), а эти последние-соответствующими им интеграль­
ными суммами, получим
м (s) ~ ~x;f (Х;) Лх;,
1
Учитывая, что произведение f (х;) Лх; (опять-таки прибли­
женно) представляет собой вероятность попадания слу­
чайной величины в i-й частичный промежуток, мы видим,
что и в «непрерывном случае» математическое ожидание
и дисперсия имеют смысл, аналогичный смыслу х и D8 .
Дадим (без вывода) сводку формул для математиче­
ского ожидания и дисперсии известных нам типовых за­
конов ·распределения (см. табл. 21.10).
ТАБЛИЦА 2\.JO
Наименование
1
Формулы описывающие закон
1
мшl DШ
распределения
распределения
Геометрическое
р (~ =Х) =Р (J-p)x-1,
1
1-р
X=I, 2, 3, ...
-
7
р
-
Биномиальное р (S =Х)=~рХ (1-p)n-x ,
Х=О, 1, 2, ..., п
пр np(l-p)
Равномерное
f(x)={ Ь~а' если а<х<Ь, а+ь (Ь-а)2
О, если х<а или х>Ь ~ -12-
Показательное '(~)= {
о,
еслих<О,
1
1
μ•e -l!X, Е'СЛИ Х > 0
-
μ2
μ
1
(Х-О)'
f(х)=
-20.-
Нормальное
О· )/2n
е
а
о2
325

Формулы такого рода получены (их можно найти
в справочниках) для большого числа типовых законов
распределения. Эго обстоятельство, наряду с наличием
приближенных ,равенств (21. 37), нередко используют при
построении вероятностных моделей по результатам на­
блюдений. Вместо того чтобы полагать «теоретические
вероятности» равными (точным или округленным) значе­
ниям относительных частот, в тех случаях, когда имеется
определенная уверенность в применимости для исследуе­
мого явленйя того или иного типового закона распреде­
ления, рассчитывают, пользуясь формулами (21.37), кон­
кретные значения параметров этого закона.
Пусть, например, в результате наблюдений над неко­
торой случайной величиной s мы получили такой ряд
абсолютных частот, как указано в табл. 21.11.
ТАБЛИЦА 21.11
Интервал
12-313-414 -515-616-717-818-919-10
Центр интервала 12,51 3,514,515,5 , 6,517 ,5 / 8,5 19,5
Абсолютные
частоты
24
7162821
12
10
Пусть также (по тем или иным основаниям) мы счи­
таем, что эта величина подчиняется нормальному закону
распределения с неизвестными заранее значениями пара­
метров а и а.
Рассчитывая по формулам (21.32') и (21.33') выбороч-
ное среднее х и выборочную дисперсию D8, мы получаем
(объем выборки в нашем примере равен 100):
-
1
Х= IO0 (2,5,2 + 3,5•4+ ... +8,5, 12 +9,5-10)= 6,75,
D8 = 1~0 (2,5-6,75)2·2+(3,5-6,75)2 •4+ ...
. . . + (9,5-6,75)2• 10 = 2,6475 ~ 2,65.
С другой стороны, М (s) = а, D (s) = 0 2 (см. табл. 21.10).
Приравнивая теперь (на основании 21.37) М (s) к х, а D (s)
326

к D8 , получаем
{ а= 6,75,
0'2 = 2,65,.
откуда О'= 1,63. Следовательно, искомая вероятностная
модель описывается функцией плотности вероятностей
1
_.(Х-8,7&) 1
f(x)=---===e 2-1.ез•.
1,вз V2n
На рис. 21.8 приведены гистограмма данной выборки и
график f (х).
11 f(:c}
Q,30
0,20
D,10
Q
:с
Рис. 21.8,
Такой подход к построению вероятностной модели
называется методом моментов, ибо математическое ожи­
дание и дисперсия представляют собой частные случаи
так называемых моментов распределения. А именно, для
дискретной случайной величины число
(21.40)
называется начальным моментом распределения порядка k,
а число
(21.41)
-
центральным моментом k-го порядка.
327

Для непрерывных случайных величин эти моменты
определяются так
+«>
ak= ~ xkf (х) dx,
(21.42)
_. .,
+,о
μk= ~ [x-M(s)] 2 f(x)dx.
(21 .43)
_.. ,
Видно, что М (s) представляет собой начальный момент
первого порядка, а D (s)-центральный момент второго
порядка.
•
Имеются формулы, позволяющие вычислять значения
центральных моментов по известным значениям начальных
и наоборот. В частности, нередко оказывается удобной
следующая формула для дисперсии:
D Ш = а.2-а~.
(21.44)
Выражения для выборочных моментов получаются из
формул (21.40) и (21.41) заменой в них Pi на V; и М (s)
на х. Формулы типа (21.44) справедливы и в этом случае.
Обычно · начальные выборочные моменты обозначают
через ak, а центральные-через mk.
21.3.2. Аппроксимация закщtов распределения. В про­
цессе изучения этой темы мы уже касались вопроса о том,
что для описания одного и того же реального явления
или процесса с достаточной для практических целей точно­
стью могут быть использованы различные вероятностные мо­
дели. В некоторых случая·х оказывается целесообразным
заменить уже построенную модель (адекватность котерой,
т. е. пригодность для описания соответствующей реальной
ситуации, тем или иным способом уже установлена) другой
моделью, более удобной с каких-либо точек зрения. Сам
по себе процесс проверки той или иной модели на ее
адекватность обычно достаточно сложен 1), поэтому при
переходе от одной уже проверенной модели к другой,
желательно для этой второй модели максимально упро­
стить соответствующую процедуру, использовав то обсто­
ятельство, что для первой из моделей адекватность уже
установлена.
1) Здесь мы не рассматриваем вопрос о том, как именно осуще­
ствляется такая про~ерка.
328

Если речь идет о моделях, сформулированных на языке
случайных величин, то здесь во многих случаях оказы­
вается полезным сравнение соответствующих функций
распределения. Так, например, если мы собираемся решать
задачу определения вероятности попадания случайной
величины в тот или иной промежуток [х', х"], и есл-и для
соответствующей области Х изменения х справедливо
неравенство IF2 (х)-F1 (х) 1< е (здесь F1 (х) и F2 (х) куму­
лятивные функции распределения сравниваемых случай­
ных величин), то для любых х' и х" из Х имеем 1)
1Р2(х'<s3⁄4х")- Р1(х'<s3⁄4х")1=
= 1(F2 (x")-f2 (x'))-(f1 (x")-f1 (х')) 1=
= 1(f2 (x")-f1 (x"))-(f2 (x')-f1 (х')) 13⁄4
3⁄4 1F2 (x")-F1 (х") 1+ 1f 2 (x')-f1 {х') 1< 2е.
Иными словами, расхождение результатов, полученных
при использовании одной и второй модели, будет меньше
чем 2е. Заметим, что понятие «близости» двух моделей
отнюдь не является абсолютным. Здесь многое зависит
как от требуемой точности вычислений, так и от особен­
ностей тех задач, которы~ мы намереваемся решать.
Одним из наиболее часто встречающихся случаев такой
замены моделей является аппроксимация биномиального
закона нормальным распределением. При больших зна­
чениях п вычисление вероятностей по формуле (21.11)
становится очень неудобным. Тем более неудобным ока­
зывается вычисление вероятностей попадания sв тот или
иной промежуток.
Оказывается (мы здесь не будем этого доказывать),
что при достаточно больших п биномиальное распреде­
ление с параметрами п и р хорошо аппроксимируется
нормальным законом распределения, если значения пара­
метров последнего положить равными
а= пр, о= Vпр (l-p).
(21 А5)
(Происхождение этих формул легко установить, сравнив
между собой выражения для математического ожидания
и дисперсии биномиального и нормального распределе­
ний,- см. табл. 21.10. -Мы выбираем здесь параметры
аппроксимирующего закона таким образом, чтобы его
J) Индексы в выражениях Р2 (·) и Р{(·) указывают на то, какая
именно модель исnользуется для вычисления вероятностей, -
329

математическое ожидание и дисперсия совпали с соответ­
ствующими характеристиками аппроксимируемого распре­
деления.)
•
Мы не будем здесь давать какие-либо числовые оценки
качества приближения и заметим лишь, что для большин­
ства не требующих высокой точности практических задач
такая аппроксимация считается допустимой, если пара­
метры биномиального закона таковы, что пр (1-р) > 9 и
1
1
п+1<Р< 1 -1+п·
Обозначая через F6 (х) кумулятивную функцию бино­
миального распределения, а через F8 (х)-аппроксими­
рующего его нормального, получаем
Р(xi<s~х2)= F6-(x2 )-F6(х1)~F"(x2 )-Fн(х1). (21.46)
.
Формула (21.37) с учетом соотношений (21.45) дает
F11(х) =0,5+Ф0( у'х-пр ) ,
np(l-p) •
после чего (21.46) мы можем переписать в виде
р(t~)ф(X2-nP)ф(Х1-пр)
Х1<~--.::::Х2 ~ о y'np(l-p) - о y'np(l-p) '
(21.47)
которая оказывается удобной, если имеется в виду ис­
пользование таблиц Ф 0 (z). Эту формулу, согласно опре­
делению Ф0 (z) (см. (21.25)), можно записать и так:
(21.48)
где u1= уxi-пр и и2= у'х2-пр .Ееназываютобыч-
пр (1-р)
np(l-p)
но интегральной формулой Муавра-Лапласа.
21.3.3 . Понятие о законе больших чисел. Вернемся
теперь к рассмотренной нами в п. 21.2 .2 схеме повто­
рения испытаний. Мы видели, что при проведении серии
из n независимых испытаний, в каждом из которых
с вероятностью р может произойти событие А, количе­
ство s появлений этого события представляет собой слу­
чайную величину, подчиняющуюся биномиальному закону
распределения с параметрами п и р (см. также фор­
мулу (21.11 )). Сейчас мы, выбрав произвольно положи-
330

тельное число е, подсчитаем вероятность того, что абсо­
лютная величина разности между относительной часто­
той s/n появления А и его вероятностью р окажется
меньше е. Неравенство
1~-_Р\<е,
(21.49)
как нетрудно видеть, равносильно неравенству
~
-8<п-р<е,
а это последнее-неравенству
пр-пе<s<пр+пе.
Стало быть,
(21.50)
P(I !-р 1< е) =Р(пр-пе < s<np+ne).
Применим для вычисления этой вероятности интеграль­
ную формулу Муавра-Лапласа (21.48)
и.
Р (пр-пе< s< пр +пе)~ ~ Sе-и'l2 du, (21.51)
и,
где
<пр-пе)-пр
е -Vп
Ui= Ynp(J- ,- p) =- YP(l-p)'
_
(пр+пе)-пр _ е Jiiz
и.- Упр(1-р)
-
Ур(1-р) •
Подставляя (21.52) в (21.51), и записывая
часть ввиде Р(\~-р \<е), получаем
.v;,
Vp1l-p1
s е-и•12 dи.
еVп
-.,,.р()-р)
(21.52)
ее левую
(21.53)
Устремляя п к оо (при фиксированных р и е) в правой
части (21.53), получим интеграл
+оо
1 sе-и•12 du
J12n
-оо
131

который равен l, ибо он представляет собой вероятность
достоверного события: попадания в интервал (-оо, +оо)
случайной величины 'l'J, подчиняющейся нормальному
закону распределения с параметрами а= О и а= 1 (см.
определение 21.20). Следовательно,
(21.54)
Мы можем теперь сказать, что вероятность события (21.49)
при достаточно большом числе испытаний может быть
сделана сколь угодно близкой к 1. Следовательно, про­
тивоположное ему событие
при больших значениях п можно считать практически
невозможным (при условии, конечно, что испытания дейст­
вительно независимы и вероятность осуществления А
в каждом из них сохраняется равной р). Это утвержде­
ние называют обычно законом больших чисел в форме
Я. Бернулли.
§ 21.4 . Системы случайных величин
21.4 . 1. Совместные распределения случайных величин.
Пусть Q-алгебра событий (с заданной на ней вероят­
ностной функцией), порожденная системой элементарных
событий Е = {е}, и пусть на Е заданы две случайные
величины s= f (е) и 11 = g (е). Во многих случаях именно
совместное изучение этих величин и представляет для
нас интерес. Для этой цели мы можем, подобно тому
как это было сделано при изучении одной случайной
величины, рассмотреть новую алгебру событий Q', по­
строив ее на базе системы элементарных событий .Е',
составленной на этот раз из событий вида (s = х, 11 = у)
Е'=-{<s= х, 11=УН,
<21.Бs>
где парь~ чисел (х, у) представляют собой возможные
комбинации значений величин s и 'l'J. Вероятностная
функция на алгебре Q' может быть описана различными
способами. В тех случаях, когда sи 11 являются дискрет­
ными случайными величинами, используют обычно таб­
лицы или формулы, сопоставлflющие событиям вида
(s = х, '1') = у) их вероятности. В общем случае вероят-
зз2

ностная функция на Q' полностью определяется указа­
нием так называемой кумулятивной функции совместного
распределения
F(х, у)=Р(~~х,
·JJ ~у).
(21.56)
Если F (х, у) непрерывна и имеет непрерывную везде,
за исключением, может быть, изолированных точек и
линий, смешанную производную f (х, у)= 1~:У, то эта
последняя называется функцией плотности вероят~
стей совАtгстноги распределения вели 11ин ; и 11. (Сов­
местное распределение, 1
имеющее функцию плот­
ности вероятностей, на­
зывают обычно непре­
рывным.) Если ~ и ТJ
дискретны, то распреде­
ление вероятностей по
возможным комбина­
циям их значений гео­
метрически может быть
проиллюстрировано при
помощи так называемой
призмограммы. Призмо­
rрамма
представляет
собой тело, составлен-
к-------
.,.
/,.
/1
/1
/.1
,
1
0,20/ !
1
1
351
Рис. 21.9 .
ное из прямоугольных параллелепипедов, нижние осно­
вания которых располагаются на плоскости хОу так,
чтобы их центры совпадали с возможными комбинациями
значений s и ТJ. Объемы же этих параллелепипедов чис­
ленно равны соответствующим вероятностям. На рис. 21.9
в качестве примера приведена призмоrрамма совместного
распределения, задаваемого табл. 21.12. Можно было бы
показать, что в тех случаях, когда существует функция
ТА5ЛИцА 21.12
~1
15
1
25
135
20
0,06
0,10
0,20
30
0,08
0,12
0,16
40
0,14
0,06
0,08
333

плотности вероятностей совместного распределения вели­
чин s и ТJ, для любой области D на плоскости хОу спра­
ведлива формула
Р[(s, ТJ)ЕD]=Иf(х,у)dxdy.
(21.57)
D
Интеграл в правой части этой формулы (21.57) геомет­
рически представляет собой объем тела, ограниченного
снизу областью D, свер­
ху-графиком f (х, у), а
сбоку - цилиндрической
поверхностью, образую­
щая которой параллельна
оси аппликат (рис. 21.10).
z
о'
Рис. 21.10.
Отметим, что знание
закона совместного распре­
деления двух случайных
величин позволяет, в част­
ности, найти законы рас­
пределения каждой из них
в отдельности. Действи­
тельно, так как событие
(s 3⁄4 х). мы можем записать
в виде (s 3⁄4 х; ТJ < + оо), то для кумулятивной функции
распределения величины s справедливо
F,(x)=P(s3⁄4X)=P(s3⁄4X, ri<+oo)= lim F(x, у),
Y➔+<t>
где F (х, у)-кумуля:гивная функция совместного распре­
деления s и ТJ.
Если s и Т) дискретны, то значения вероятностей
р (s = х) получаются суммированием соответствующих
вероятностей Р (s = х, ТJ = у). Так, например, для сов­
местного распределения, заданного табл. 21.12, мы по­
лучаем
Р<s= 20>= Р<s= ·20, т~=15)+Р<s=20, ri=25)+
+Р (s= 20, ТJ=35) =0,06+0,10+0,20 =0,36
Аналогично
Р (s = 30) =0,08+0,12 +О,16=0,36,
Р <s = 40) =О,14+0,06+0,08 = 0,28.
Сведем эти результаты в табл. 21.13.
. 334

ТАБЛИЦА 21.13
х
20
30
40
0,36
0,36
0,28
Таким же образом может быть получено и распреде­
ление вероятностей для величины 'l'J (см. табл. 21.14).
ТАБЛИЦА 21.14
у
15
25
35
р (11=у)
0,28
0,28
0,44
Если же для s и 'l'J существует функция плотности
вероятностей их совместного распределения, то (ер.
с формулой (21.57))
F,(x)=P(s~x)= И f(x, y)dxdy,
(21.58)
DX
где Dx представляет собой часть плоскости хОу, лежа­
щую влево от прямой, проведенной через точку х на
оси Ох параллельно оси Оу (см. формулу (21.57)). Заме­
няя в '(21.58) двойной интеграл повторным, получаем
х
+ао
F,(х) = SdxSf(х,у)dy,
-ао
-со
откуда, дифференцируя по х, получаем для функции
плотности вероятностей величины s
+а,
f,(~) =:хF,(х) =Sf(х,у)dy.
(21.59)
-а,
Аналогично для плотности вероятностей величины Т)
+ао
fri (у)= Sf (х, у) dx.
(21.60)
-оо
335

Одной из основных задач, которые решают~;:я при из­
учении совместно распределенных случайных величин,
является отыскание законов распределения одной из них
при условии, что вторая принимает то или иное фикси­
рованное значение. Так, пользуясь формулой условной
вероятности
р (В)= Р (А·В)
А
р (А)
(см. п. 21.1 .4) для совместного распределения, заданного
табл. 21.12, получаем
р ( 15) Р<s=20.11=15> 0,06 1 01666
,=2° ТJ=
=
P(s=20) =о,36=6='
... ,
р
25) р(;=20,1J =25) о,10 5 О2777
~= 20 (ТJ=
=
Р(;=20) = 0,36=18=
'
"·•
р ( 35) Р(;=20,ТJ=35) 0,20 5 О5555
i= 20 ТJ=
=
Р(;=2О) = о,зв=g:= •
•••
Рассчитанные значения дают нам условное распределение
ТJ при s=2O (см. табл. 21.15).
ТАБЛИЦА 2).15
у
Р,=20 (ТJ = у) 11/615/1815/9
Аналогично могут быть рассчитаны и таблицы услов­
ных распределений ТJ при s=ЗО и s=4O (см. табл. 21.16
и 21.17).
ТАБЛИЦА 2JJ6
ТА БЛИЦ А 2).17
Заметим, что распределение одной из составляющих
систему случайных величин, рассчитанное без каких-ли,
бо предположений относительно второй величины, часто
называют безусловным распределением. (Так, например,
можно сказать, что табл. 21.13 описывает безусловное
336

распределение случайной величины s, а табл. 21.14 -
величины ТJ).
21.4.2. Регрессионные зависимости и сводные число­
вые характеристики совместных распределений. Задание
безусловного закона распределения одной из составля­
ющих систему случайных величин и отвечающих всем воз:
можным ее значениям условных распределений второй
величины позволяет в точности «восстановить» закон их
совместного распределения. Действительно, согласно об­
щей формуле умножения вероятностей
Р(А,В)=Р(А)Рл(В),
мы (в «дискретном случае») имеем
Р(s=х, ТJ=у)=Р(s=х)Р,=х
(Т\ = у), (21.61)
где первый сомножитель правой части дается нам безу­
словным распределением s, а второй-условным распре­
делением ТJ при s= х. (Для «непрерывного случая», т. е.
такого, когда совместное распределение может быть ·зада.но
своей функцией плотности вероятностей, мы не будем при­
водить доказателы::тва.) Образно выражаясь, можно ска­
зать, что справедлива· следующая «формула»:
Совместное
распределение
~и11
Безусловное
-
распределение, +
Всевозможные
условные
(при
~ =х) распределе­
ния 11
(21.62)
Второе «слагаемое» правой части этой «формулы» часто
оказывается очень громоздким. Действительно, ведь коли­
чество составляющих его условных распределений Т\ равно
количеству возможных значений случайной величины 6.
Заменив каждое из этих условных распределений неко­
торым набором его сводных числовых характеристик,
например математическим ожиданием М,=х (Т\) и средним
квадратическим откл~нением а~=х (Т\), мы получим кон­
струкцию
Безусловное
+
распределение~
Совокупность
{ Ms=x (11), 0;=х <11)}
сводных
числовых
характеристик услов­
ных распределений 11
(21.63)
337

которая, хотя и не позволяет уже (вообще говоря) пол­
ностью восстановить совместное распределение 6 и 'rJ, но
во многих случаях характеризует это совместное распре­
деление с достаточной степенью точности.
Каждая из сводных числовых характерис'_ГИК рассмат­
риваемых условных распределений rJ представляет собой
функцию от возможного значения х случайной вели­
чины s:
(21.64)
Зависимости такого рода носят название регрессионных.
Функция <р (х) в первой из формул (21.64) называется
функцией регрессии условных математических ожиданий
величины. rJ на величину ;, а функция 'Ф (х) из второй
формулы-функцией регрессии условных средних квадра­
тических отклонений.
Так, рассчитав 1) для каждого из условных распреде­
лений, описанных табл. 21.15-21.17, математическое
ожидание и среднее квадратическое_ отклонение и сведя
эти результаты в одну таблицу (см. табл. 21.18), получим
регрессионные зависимости сводных характеристик 'rJ от
значений s для совместного распределения этих величин,
заданного табл. 21.12. Если бы каждая из величин s и 'rJ
.ТАБЛИЦА 21.18
х
1
20
1
30
1
40
р (~=Х)
1
0,36
0,36
1
0,28
М6=Х (ТJ)
1
28,89
27,22
1
22,86
(J6=X (ТJ)
1
7,55
1
7,86
1
8,59
могла принимать 100 различных значений, то таблица,
аналогичная табл. 21.12, содержала бы 10 200 чисел, в то
время как для таблицы типа 21.18 потребовалось бы
всего 400 чисел. С увеличением количества возможных
значений у s и rJ разница в объеме таких таблиц сдела-
~ ) Выкладки, ввиду их очевидности, мы здесь не приводим.
338

лась бы еще более ощутимой. Для «непрерывного слу­
чая» переход от «полной вероятностной модели» к модели
регрессионной означает замену функнии двух перемен­
ных, какими является функция плотности вероятностей
или кумулятивная функция совместного распределения,
несколькими функциями одной переменной.
Еще более компактным (но зато, вообще говоря, ме­
нее точным) способом приближенного описания совмест­
ных распределений является использование сводных
числовых характеристик таких распределений. Наиболее
употребительными из этих характеристик являются так
называемые начальные ицентральные моменты
совместного распределения. Если ~ и 11 дискретны, то
моменты их совместного распределения определяются
формулами
ahl = ~ х;YkPik•
i, 1,
μh, i = i <х;-м <s))h <Уk-м <11))l Pik•
t,k
(21 .65)
Здесь аhl-начальный, а μhl-центральный момент по­
рядка h + 1, суммирование производится по всем возмож­
ным комбинациям (х;, Yk) значений s и 11, а Pik означает
вероятность Р (s = Х;, 11 = Yk>• В «непрерывном случае»
вместо (21.65) действуют формулы
+ао
+ао
ahl= ~ dx ~ xhyif(х,у)dy,
-ао
-оо
+<»
+ао
(21 .66)
μhz = ~ dx ~ [х-М (s)]h [у-М (11))1f (х, у)dy,
- CIO
-се
где f (х, у)- плотность вероятностей совместного распре­
деления s и 11· Можно показать, что моменты aho и μho
суть не что иное, как моменты безусловного распределе­
ния величины s, а а01 и μ01 -являются моментами без­
условного распределения 't'J. В частности,
aiо=м(s),
(1.01 = м (11),
μ2о=D(s),
μ02 = D (11),
(21.67)
Действительно, например,
al о=~ X]Y2P;k= ~~Х; Р (s=X;; 't'J=Yk)=
t,k
tk
= ~ (х; ~ р(s= Xi; Т)=Уk))= ~Xlр(~=Х;)=М(s).
t.
k
•
t
339

Эти моменты, стало бы_ть, характеризуют «поведение»
каждой из величин s и 11 в отдельности. Напротив, если
ни один из индексов h и l не равен нулю, то такой мо­
мент представляет собой одну из «характеристик связи»
между s и '11· Из этих «характеристик связи» наиболее
часто используется момент μ 11 = К (s, ТJ). Его называют
корреляционным моментом величин ~ и '1· ~ак именно
с его помощью можно охарактеризовать связь между
z
н
о
Рис. 21.11.
ь
!/
случайными величинами, мы скажем чуть позже: Отме­
тим, что и для «двумерных» распределений центральные
моменты могут быть выражены через начальные. В част­
ности,
(21.68)
Среди различных типов законов совместного распре­
деления двух случайных величин (как говорят, «двумер­
ных законов распределения») центральное место занимает
семейство так называемых нормальных распределений,
а именно, распределений, функция плотности вероятности
которых имеет вид·
\
_
А (.t, у)
f(x, у)=-----==== е 2 (t-r•) ,
-
2:n.OxOy Jll-r2
где
А ( ) _ (х-а)2 2 (х-а) (у-Ь) +(у-Ь)2
х, У ---2-- f -~~-~
--2-•
.ах
аха11
ау
На рис. 21.11 слева изображен график плотности вероят­
ности двумерного нормального распределения, справа -
340

графики функций плотности условных распредедений ТJ при
~=а и 6= х0 • Эти графики получаются из сечений, изо­
браженных на левом рисунке, таким растяжением (сжа­
тием) вдоль оси Oz, чтобы площадь под соответствующей
кривой была равна 1. Если известно, что какое-либо
совместное распределение относится к этому типу, то для
его полного определения достаточно знания моментов
а1о=М(6),ао1=М(Т\), •μ2о=D(6),μо2=D(Т\) Иμ11=
= К (s, rt) потому, что через эти моменты могут быть
выражены все параметры распределения (21.68)
а=М(6), b=M(ri),
Ox=VD(s), 011 =VD(тt),
(21.69)
r=
К(~.Т\_)_
VD(~)уD(Т\)•
(Мы принимаем эти формулы без доказательства.) Зави­
симость условных математических ожиданий y=M~==x('I)
от величины х дается для нормальных распределений
формулой
у-Ь
х-а
--=r--.
Uy
Ох
(21.70)
(На рис. 21. ll эта зависимость изображается прямой MN).
Величина r называется коэффициентом корреляции еду­
чайных величин s и 11· Для нее всегда справедливо нера­
венство
lrl~ 1.
r = О тогда и только тогда, когда вел_ичины 6 и '1 неза­
висимы (все условные распределения каждой из них
совпадают друг с другом и с соответствующим безуслов­
ным распределением). Чем теснее связь }',fежду s и .11,
темближеrк1.
Величину r, определяемую последней из формул (21.69),
используют часто в качестве характеристики «тесноты
связи» между s и Т\ и тогда; когда их совместное распре­
деление не является нормальным (в таких случаях за r
сохраняют назва.ние коэффициента корреляции). Однако
з,цесь следует иметь в виду, что чем больше закон сов­
местного распределения отличается от нормального, тем
менее надежными являются выводы о степени «тесноты
связи», полученные с помощью этой характеристики.
341

21.4 .3. Совместные выборочные распределения и их
сводные числовые характеристики. Пусть в результате
каждого из п «испытаний» мы регистрируем по одному
значению для изучаемых нами величин s и ТJ• Если
у нас имеются основания рассматривать s и ri в качестве
совместно распределенных случайных величин, то каж­
дую из полученных пар значений Х;, у1 (i-номер «испы­
тания» мы будем называть совместной реализацией случай­
ных величин s и ri, а составленную из таких пар таблицу
(21. 71)
-двумерной выборкой. Разумеется, как среди чисел х1 ,
х2, •••, Хп, так и среди чисел у1, у2, •••, Уп может ока-
~а~ъс~ много ?динаковых. Пусть х1 < х2 < ... < Хт и
У1 < У2 < ... < у1 -упорядоченные по возрастанию раз­
личные значения для первой и второй строк (21. 71) соот­
ветственно. Табл. 21.19, в каждой из внутренних клеток
которой. указано число n1k, равное количеству повторе­
ний (абсолютной частоте) пары (х1, Yk) в (21.71), назы­
вается корреляционной таблицей абсолютных частот.
ТАБЛИЦА 21.19
~\
-
1
-
1
1
~
У1
У2
....
Yt
-
1
1
1
1
Х1
n11
n12
.. ....
n11
~
•~
1
1
1
Х2
n21
n22
.....
n21
...
1
...
1
...
1·.....·1
...
~
1
1
1
.
. ...
1
Хт
nт1
nт2
nml
Заменив здесь каждую из • абсолютных частот пJk соот­
ветствующей ей относительной частотой v1k = n1k/n появ­
ления пары (х1, Yk) в (21.71), мы получим корреляционную
таблицу относительных частот. Эга корреляционная
таблица относительных частот представляет собой аналог
342

«теоретического» закона совместного распределения (ер.
с табл. 21.12). Если мы хотим по результатам наших наблю­
дений составить вероятностную модель для системы вели­
чин s и 1'], то мы можем использовать для этого (в качестве
одного из способов) как раз корреляционную таблицу от­
носительных частот, положив (точно или с округлением)
значения вероятностей Р (s • Х1, 1'] = Yk) равным относи­
тельным частотам vfk·
Так, например, для двумерной выборки, представленной
в табл. 21.20, корреляционные таблицы абсолютных и
.ТАБЛИЦА 21.20
Е:.
1х1 11
Е:.
1111
Е:.
1х1 11
Е:.
1х1 11!1х1
с
с
с
с
у
~
х
у
~
у
~
у
у
~
180,79 40,21780,82590)!3330,3
240,11040,31870,62670,43470,7
330,21190,81950,32760,73550,4
450,31260,52070,72850,4362о,1
580,51390,.72140,32980,63770,5
660,51450,42270,63060,43840,4
760,51560,42350,53180,73960,3
860,6161О1,02430,13270,64050,6
относительных частот будут выглядеть так, как это пока­
зано в табл. 21.21 и 21.22 (соответственно).
ТАБЛИЦА 21.21
1~/ 0,1 10,2 / о,з / о,4 / o,s Iо,6 / 0,1 Iо.в/ 0,911,0
2
1-
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1
11-
-
-
-
-
-
-
4
1
1
21-
-
-
-
-
-
5
-
-
2з11-
-
-
-
6
-
-
12311--
-
7
-
-
-
1132---
8
-
-
-
-
1121--
9
-
-
-
-
-
-
111-
1О
-
-
-
-
-
-
-
-
-
1
343

ТАБЛИЦА 21.22
~.1о,110,210,310,4 ,0,5 ,0,6 ,о,710,8 ,0,9 ,1,0
2
1
40
-
-
-
-
-
-
-
-
-
3
1
1
1
404040-
-
-
-
-
-
-
4
1
1
1
1
40402040-
-
-
-
-
-
5
1
3
11
-
-
20 40
-
40-
-
-
-
40
6
1
1
3
1
1
-
-
4020404040-
-
-
7
1
131
-
-
-
40404020---
8
1
1
1
1
-
-
-
-
40402040-
-
9
1
1
1
-
-
-
-
-
-
404040-
1О
1
-
-
-
-
-
-
-
-
-
40
Моменты совместного выборочного распределения опре­
деляются по формулам, аналогичным формулам (21.65).
с той лишь разницей, что здесь вместо вероятностей р1"
надо брать относительные частоты v1,., вместо математи-
ческих ожиданий М Ш и М (ч)- выборочные средние х
и у (для обозначения этих моментов обычно вместо аы
используют аы, а вместо μ 1,t используют ты)
njk
Учитывая, что v1,. = п, мы можем переписать эти
формулы в виде
(21.65")

Нетрудно сообразить, что значения ahl и ты можно
рассчитать и непосредственно по исходной выборке, не
обращ~сь к корреляционным таблицам (этот способ не­
редко оказывается удобным при использовании ЭВМ,
а также в тех случаях_, когда объем выборки весьма мал)
aht = ~ L х7у7, ты= ~ L (xi-x)h (Yi-y)z. (21.65'")
i
i
Формулы, позволяющие . находить вь1борочные цент­
ральные моменты по известным значениям начальных,
имеют такой же вид, как и д.r1я «теоретических» момен­
тов (ер. (21.68)), например
ПZ2о=а20-а~о• mo2=ao2-a:1,
т11= а11-а1оао1•
(21.68')
Для выборки, данной в табл. 21.20, применение фор-
мул (21.65"') дает
-
1
х=а\0=40(8+4+3+5+...+4+6+5)=6,
-
1
у= а01 = 40 (0,7 +0,1 +О,2 + ... +О,4+0,3+0,6)=0,49,
а2о=4~ (82 +42+32 +52 + ... +42 +62 +52) = 39,5,
ао 2 = 410 (0,72 +0,12 +0,22 + ... +0,42 +0,32 +0,62) =
=0,2865,
а11 ~ ; 0 (8-0,7 +4•0, 1+3·0,2 + ... +4-0,4 +6-0,3 +
+5-0,6) = 3,295.
(Разумеется, те же результаты мы получи.ли бы, про­
водя расчеты по формулам (21.65') или (21.65"). Реко­
мендуем учащемуся проделать эти выкладки самостоя­
тельно.)
Применяя теперь формулы (21.68'), получаем
т2 0 = 39,5-62 = 3,5, т0 2 = 0,2865-0,492 = 0,0464,
т11 = 3,295-6-0,49 = 0,355.
Если мы по тем или иным основаниям считаем, что
совместное распределение· ~ и ч следует строить на базе
того или иного типового закона (например, двумерного
нормального), то рассчитать конкретные значения пара­
метров этого закона мы можем таким же способом, как
это делалось в п. 21.3 .1, т. е. приравнивая выражения
345

для «теоретических» моментов к рассчитанным по резуль­
татам наблюдений соответствующим выборочным моментам.
21.4.4. Отыскание регрессионных зависимостей методом
наименьших квадратов, Нахождение регрессионных зави­
симостей мы тоже можем, разумеется, провести, обраба­
тывая выборочное распределение точно таким же образом,
как и распределение «теоретическое». Однако в тех слу­
чаях, когда кроме выборки мы имеем еще дополнительную
информацию о виде искомых регрессионных зависимостей,
целесообразно применять другие методы, позволяющие
учесть и эту информацию. В качестве важного примера
мы рассмотрим здесь так называемый мет од н а и мен ь­
ш их к в ад р ат о в для отыскания (приближенного)
уравнения регрессии условных математических ожиданий
(или, как еще говорят, условных средних).
Пусть из тех или иных соображений вытекает, что
для этих условных средних у • М;=х(ТJ) имеет место фор­
мула вида
у =ag(x) + bh (х),
(21.72)
где g(x) и h(х)-известные функции, а а и Ь-постоян­
ные коэффициенты, чьи неизвестные значения и требуется
определить так, чтобы эти значения «наилучшим образом
согласовывались» с результатами наблюдений. В методе
наименьших квадратов в качестве меры такого «сог ласо­
вания» принимается величина
п
W = ~ {y;-[ag(x;)+Ьh(x;)]}2,
i=I
(21.73)
представляющая собой сумму квадратов отклонений
наблюдавшихся значений У; величины ТJ от рассчитанных
по формуле (21. 72) (приближенных) значений условных
математических ожиданий ТJ, отвечающих соответствующим
значениям х; величины 6· Дело сводится, таким образом,
к нахождению таких значений а и Ь, которые доставляли
бы функции W абсолютный минимум.
Функция W определена при всех значениях своих
аргументов а и Ь. Следовательно, все ее экстремумы
дW
дW
являются внутренними. Так как Та и дЬ существуют
везде, то все возможные точки экстремума будут содер•
жаться среди решений системы уравнений
~: =0, дд: =0.
(21.74)
346

Найдем выражения для этих частных производных
дWп
•
да = L. 2 {Yi-[ag (xi) +bh (xi)]} [-g(xi)] =
(21.75)
=-2 {tyih(xд-a tg(xi)h(xд-b t. h2 (хд}·
Подставляя (21. 75) в (21. 74), мы после очевидных упро­
щений получим
Система (21. 76) представляет собой систему линейных
уравнений относительно неизвестных а и Ь. Определитель
этой системы
всегда неотрицателен и будет строго положительным во
всех случаях, за исключением того, когда одна из последо­
вательностей
g(x1), g(x2), ••• , g(хп),
h(Х1), h{Х2), , • ,, h(Хп)
(21. 78)
получается из другой умножением на некоторый постоян­
ный множитель
(21.79)
На пра1пике, как правило, оказывается Л > О. Тогда
система (21. 76) имеет единственное решение
(21.80)
347

д2Wд2W (a2w)2
Вычисляя да2 дЬ2 - дадЬ
,
мы приходим к тому же
самому выражению (21.77). Тогда (см. гл. 16), если Л > О,
a2w
то и да2 > О, а отсюда следует, что в точке (21.80) наша
функция имеет минимум. Можно показать (здесь мы не
будем этого делать), что этот минимум является абсо­
лютным.
Таким образом, с практической точки зрения для
определения «наилучших» коэффициентов в формуле (21. 72)'
нам достаточно составить и решить систем у (21. 76).
Совершенно аналогично проводятся действия и в том
случае, когда вместо (21. 72) мы имеем формулу более
общего вида
у=a1g1 (х) +a2g2 (х) + ...+ asgs (х).
(21.81)
Величина (21. 73) заменится здесь на
п
W = ~ {y;-[a1g 1 (Х;)+ .•• +asgs (Х;)]}2. -(21.82)
i=l
а система типа (21.74) будет содержать уже не два, а s
уравнений (по числу неизвестных коэ:рфициентов). Отме­
тим, что такие системы называют системами нормальных
уравнений.
Пусть, например, нам требуется составить уравнение
регрессии условных средних в виде
у=ах+Ь
(21.83)
по результатам наблюдений, приведенным в табл. 21.20.
Формула (21.83) получается из (21.72) при g(x) =Х
и h (х) = 1. Система нормальных уравнений (21. 76) в этом
случае запишется так:
{
а;~ xf+Ьi~ Х; =J;Х;У;,
40
40
(21.84)
а~ х;+Ь-40= ~ У;•
i=l
l=l
Действительно, у нас g 2 (х;) = х;, g (х;) h (хд = Х;, y;g (х;) =.
= х1у;, h2 (х;) = l, y;h (х;) = у;. Заметим, JTO систему (21.84)
мы могли бы получить и непосредственно, приравнивая
к нулю частные производные от функции
•
40
W = ~ [у;-(ах;+ Ь)] 2
i=l
•
(21.85)
348

по а и Ь. (Проделайте эти операции самостоятельно в
качестве упражнения.)
Вычислим коэффициенты при неизвестных в системе
{2_1 .84) (используем данные из табл. 21.20):
40
~х,=8+4+3+5+ ... +4+6+5=240,
1=1
40
~х~=82+42+32+ .52+ ...+42+62+52= 1580,
i=I
'
40
~у,=0,7 +0,1 +0,2+ ... +0,4+0,3+0,6= (21.86)
i=I
= 19,6,
◄О
~Х;У;= 8°0,7 + 4•0,1 +3-0,2+ ... + 4°0,4+
i='
+6-0,3+5-0,6= 131,8.
Подставляя эти значения в (21.84), получаем
{ 1580а+ 240Ь = 131,8,
24Оа+ 40Ь= 19,6.
Решая эту систему, находим
а=О,1014, Ь=-0,1186.
(21.87)
Следовательно, искомая регрессионная зависимость имеет
вид
у= О, 1014-х-О, 1186.
(21.88)
На рис. 21.12 изображена выборка, данная в табл. 21.20
(каждая пара Х;, у, представJ1ена кружочком на коорди;
натной плоскости хОу). Найденной нами зависимости
(21.88) соответствует прямая АВ, пуцктирная линия сое­
диняет точки с координатами (х1, у1), где у1 -(выбороч­
ное) условное среднее значение у при х=х1 (эти точки
отмечены крестиками).
Для некоторых наиболее часто встречающихся случаев
в результате проведения выкладок-в общем виде получены
готовые формулы, позволяющие обойти этап составления
и решения системы нормальных уравнений. Так, напри­
мер, если требуется получить линейное уравнение регрес­
сии, то мы можем использовать формулу
-
у-у
х-х
--=Г --
Ов(у) вОв(х)•
(21.89)
349

где х и у- выборочные средние, 0' 8 (х) и о 8 (у)- выбороч­
ные средние квадратические отклонения, а r 8 - выбороч­
ный коэффициент корреляции
r_
т11
_
а11-й1ойо1
в.-Vm20V то2 Vй20-а1g Vao2-a ~1
•
(21.90)
(Сравните эти формулы с (21.69) и (21.70).) Результат,
который даст нам применение (21.89), будет совпадать
с тем, который мы получили бы, отыскивая методом наи­
меньших квадратов коэффициенты а и Ь в формуле
и=ах+ь.
!J
1,0 ----г----г--- -,-- - -т- · - - , -- -- т ----г----r----г---='
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,✓1
-- --~ --- -+- -- -} -- - - ~----+----~----{.---- ~-----с}--.с- 8
1
1
1
1
1
1
1
1
,,,
t
0.8
----i----{----- :----: ----t----+----~----4---- ----➔
'
1
1
1
1
1
1
1
1
1
:
----~-- --+-----j--
-
- - :- - - -+---~----ф----
- -~-----,
1
1
I
I
1
1
1
. ...
,
1
:
а5 ----f----1-- --:-----:-----r --- -r-:;.,. ~ t-~ --:----:
-- --+ --- -i- --- -+-- --, - --- ~--- :9P"""'---9 - --- -c>------l . -- --"1
:
:
:
1
1 ,...
1
1
1
:
:
о,ч ----+-----1-----1-----~---
---Ф-----?-- --+-- - -t-- - - -:
:
:
:
1
I
1
::
:
1
1
----➔-----:-----~--- :, --<р:----4"----г----г----7----1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0,2 ----r----1-::; 1 ---r----:----:-----:----r----1----1
____ J ____1
""'-··-«>-----Q-----,1-----L----.:.----t----~----~
!
,А::::•1
:
1
:
о
1
zJ
5578•910::с
Рис. 21.12.
В конце п. 21.4.3 для нашей выборки мы получили
х=6,
у=О,49,
т20 = 3,5, т02 = 0,0464,
mli = 0,355,
Отсюда
08 (х>=Vз,5 = 1,8108,
0 8 w> = V0,0464 = 0,2154,
0,355
Гв = 1,8708,0,2154 = 0, 88 l0.
Подставляя эти значения в (21 .89), мы получаем
у-0,49
х-6
0,2154 = 0 •8810 ' 1,8708'
Преобразовав это уравнение к виду у=ах+Ь, мы опять
получим (21.88). (Проделайте выкладки самостоятельно.)
350

ВОПРОСЫ ДЛ.Я ПОВТОРЕНИ.Я К ГЛАВЕ 21
1. Опишите, как мы интерпретируем понятие «вероятность»
применительно к реальным событиям. Приведите примеры.
2. Что такое полная система попарно нес()вместных элементар­
ных событий? Каким образом на базе этой -системы _строится по­
рождаемая ею алгебра событий? (Какие события составляют эту
алгебру?). Проиллюстрируйте tвой ответ примерами.
·з. Что такое невозможное событие? достоверное событие? Что
называется событием, противоположным данному? Приведите
примеры.
4. Какие два события называются несовместными? Что означа1от
термины «попарная несовместность» и «несовместность в совокупно­
сти» применительно к системе событий? Приведите примеры.
5. Что означает выражение «событие А влечет за собой собы­
тие В»? Проиллюстрируйте свой ответ примерами.
6. Что называется суммой и произведением событий? Какими
свойствами обладают операции сложен_ия и умножения событий?
Приведите примеры.
7. Сформулируйте классическое определение вероятности. В чем
состоят условия его применимости?
8. Какими свойствами обладают вероятности, введенные класси­
ческим определением? (Чему равна вероятность невозможного собы­
тия? Достоверного события? По какой формуле можно вычислять
вероятность противоположного события? Суммы двух событий?
Вероятность суммы любого набора попарно несовместных событий?)
9. Что такое условна.я вероятность? По каким формулам ее
можно вычислять? Приведите примеры.
10. Что значит, что ссюытие В не зависит от события А? Какие
события называют взаимно независимыми? Приведите примеры.
11. Напишите и проиллюстрируйте примерами общую формулу
умножения и формулу умножения для независимых событий.
12. Запишите и объясните формулу полной вероятности и фор­
мулу Байеса. Проиллюстрируйте примерами их применение.
13. В чем состоит общий способ задания вероятностной функции
на конечной алгебре событий? Приведите примеры.
14. Что такое случайная величина и ее закон распределения
вероятностей? Что такое гистограмма распределения? Что называется
кумулятивной функцией распределения случайной величины? Как
с помощью этой функции можно вычислять вероятности выполнения
неравенств вида х1 < ; ,е.;;; х2 (здесь ~ -случайная величина, а х1 и
х2 -некоторые числа)?
15. Что такое биноминальный закон распределения? Приведите
примеры случайных величин, подчиняющихся этому закону.
• 16. Какие случайные величины называются дискретными, а ка­
кие-непрерывными? Что такое функция плотности вероятностей
непрерывной случайной величины? Как с помощью этой функции
можно вычислять вероятности выполнения неравенств вида х1 < ;ое.;;;х2
(и т. п.)?
17. Что такое геометрический закон распределения? Приведите
примеры случайных величин, подчиняющихся этому закону.
18. Что такое закон равномерной плотности? показатель­
ный закон распределения? Нарисуйте графики соответствующих
функций плотности вероятностей и кумулятивных функций рас­
пределения.
351

19. Что называется нормалЬt1ым законом распределения? Как
выглядят графики соответствующих функций плотности и кумуля­
тивной функции распределения? Как можно вычислять значения
этой кумулятивной функции распределения при помощи таб,nицы
функции Ф0 (z)? В чем состоит так называемое «правило трех сигм»?
20. Что называется квантилем распределения случайной вели•
чины? Приведите примеры.
21. Что такое ·одномерная выборка? ранжированный ряд? ряды
абсолютных и относительных частот? кумулятивный ряд относитель­
ных частот? Как геометрически изображаются ряд относительных
частот и кумулятивный ряд относительных частот? Что такое интер•
вальные ряды выборочных распределений?
22. Что такое выборочное среднее, выборочная дисперсия, выбо•
рочное среднее квадратическое отклонение? Как можно вычислить
эти сводные характеристики по ряду абсолютных частот? по ряду
относительных частот? Приведите примеры.
23. Что называется математическим ожиданием, дисперсией,
средним квадратнческим отклонением дискретноll случайноll вели­
чины? непрерывной случайной величины? Какой смысл имеют эти
сводные числовые характеристики?
,
24. Что такое моменты распределения случайной величины? В
чем состоит метод моментов при построении закона распределения
случайной вели·чины по результатам наблюдений? Приведите пример.
25. Запишите и объясните интегральную формулу Муавра-Лап­
ласа. Приведите пример.
28. В чем состоит закон больших чисел?
27. Какими способами можно описать закон совместного рас­
пределения вероятностей для системы двух случайных величин? Что
такое кумулятивная функция совместного распределения? Что такое
функция плотности совместного распределения? Всякое ли совмест­
ное распределение имеет функцию плотности?
28. Какими способами, зная закон совместного распределения
двух случайны,~ величин, можно найти законы распределения каж•
дoll из них в отдельности? Что такое условные законы распределе­
ния и как они могут быть получены, исходя из закона совместного
распределения? Приведите примеры.
29. Какие зависимости носят названия регрессионных? Про~,л­
люстрируйте свой ответ примерами.
30. Что такое моменты совместного распределения системы двух
случайных величин? Какие из них совпадают с моментами «без­
условных» распределений этих величин? Какой смысл имеют осталь­
ные моменты?
•
31. Что такое коэффициент корреляции двух случайных величин?
Каков его смысл, если совместное распределение нормально-;> Каков
его смысл в общем случае?
32. Что такое двумерная выборка? корреляционные таблицы
абсолютных и относительных частот? моменты совместного выбороч-
ного распределения-;> ,
33. В чем состоит метод наименьших квадратов для отыскания
уравнения выборочной регрессии условных средних?
•
.
34. Запишите формулу, позволяющую рассчитать линейное урав-
нение выборочной регрессии по известным в~:лнчинам выборочных
средних значений, средних квадратических отклонений и коэффи­
циента корреляции. Будет ли приводить к тому же уравнению метод
наименьших квадратов?
352

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 21
J. _При опытных стрельбах было проведено 400 выстрелов,
320 раз цель оказалась пораженной? Чему принять равной вероят•
ность поражения цели одиночным выстрелом? Сколько попаданий
в среднем следует ожидать от каждой серии в 20 выстрелов? .
2. ДJ1Я проверки на всхожесть было посеяно 200 семян, из ко­
торых 170 проросло. Чему принять равной вероятность прорастания
отдельного семени из этой партии? Сколько в среднем семян взойдет
из каждой тысячи посеянных?
3. Две грани кубика окрашены в желтый цвет, три-в красный
и один-в синий. Чему принять равной вероятность того, что под­
брошенный кубик упадет желтой гранью вверх? Предположим, что
подбрасывание кубика производится многократно сериями по 30 бро­
сков. Какого числа выпадений желтой грани (в среднем) следует
ожидать в каждой серии?
4. В центре круга укреплена свободно поворачивающаяся
стрелка. Она раскручивается и вращается до полной остановки.
Чему принять равной вероятность того, что стре.1ка остановится
в преде;'!ах заранее отмеченного центрального угла величиной в 45°?
Предположим, что такой эксперимент проводится многократно
сериями по 40 повторений. Какого количества остановок стрелки в
отмеченном секторе следует ожидать (в среднем) для каждой
серии?
.
5. Вероятность того, что размеры детали, выпускаемой станком­
автоматом, окажутся в пределах заданных допусков, равна 0,96.
Какое количество годных деталей будет (в среднем) содержаться
в I<аждой партии объемом в 500 штук?
•
6. Вероятность того, что электрическая лампочка из данной пар­
тии будет служить не менее 2000 часов, равна 0,9. Сколько лампо­
чек из каждой группы в 50 шту1< выйдет (в среднем) из строя за
меньший промежуток времени?
В каждом из упражнений 7-10 задаются события А, В и С.
Требуется:
-а) записать соответствующие А, В и С подмножества элемен­
тарных нсходов;
б) для каждого из событий А, В и С найти ему противополо­
жные;
в) проверить, влечет .11И событие В событие А, событие С-со­
бытие А, событие С- событие В;
г} найти А+В, А+С; А-В; А,С; А+В+С; А-В,С и события,
им противоположные.
Предполагая равновозможность друг другу элементарных исхо­
дов, подсчитайте вероятности событий, перечисленных в пп. а), б) и
г) непосредственно и с использованием теоремы 21.3.
В том же предположении найти условные вероятности Р А (8),
Рл(С) и Рс(А), пользуясь опредеJ1е11иеr.1 21.11. Те же условные ве­
роятности найти по формуле (21.3).
7. На 10 карточках записаны числа от 1 до 10. Произвольным
образом выбирается одна из этих к11рточск. Событие А состоит в том,
что извлеченное число-четное, событие В-в том, что это число
кратно трем, событие С-в том, что оно кратно четырем.
8. Три раза подряд производится подбрасывание монеты. Собы­
тие А состоит в том, что «решка» выпадает ровно один раз из трех,
12 Под ред, Н, М, Матвеева, ч. 11
353

событие В-в том, что все три раза выпадает «герб», событие с....;.
в том, что «герб» выпадает не менее двух раз.
9. Две грани кубика окрашены в красный, две-в желтый и
две- в синий цвет. Кубик бросают два раза. Событие А состоит
в том, что оба раза выпадает желтая грань, событие В-в том, что
в первый и во второй раз выпадают грани разных цветов, событие
С-в том, что красная грань не выпадает ни разу.
10. В непрозрачном сосуде находится поровну одинаковых на
ощупь черных и белых шаров. Три раза подряд производится извле­
чение шара. После очередного извлечения запоминается цвет вынутого
шара, затем он возвращается в сосуд и шары перемешиваются. За
появление белого шара при первом извлечении дается 4 очка, при
втором-2 очка, при третьем-! очко. За появление черного шара
очки не начисляются. Событие А состоит в том, что набранная сумма
очков окажется не меньше 3, событие В-в том, что будет набрано
не более 5 очков, событие С-в том, что будет набрано ровно
6 очков.
По заданным в упражениях 11-12 вероятностям требуется найти
Р (В), Рв (А1), Рв (А2), Рв (А3), если известно, что В-: А1 +А2 +А8
и что А1, А2 и А8 попарно несовместны.
11. Р (А1)= 0,2,
Р (А2)=0,3,
Р А, (В)=О,1, Р А, (В)=О,2,
12. Р(А 1)=0,1,
Р(А 2)=0,2,
РА, (В)=О,4, РА, (В)=О,2,
Р (А 8)=0,2,
РАа (В) =0,1.
Р (А3) =0,3,
РАа (В)= 0,4.
13. Для контроля за ходом некоторого технологического про­
цесса установлены два автоматических устройства, предназначенные
для подачи сигнала в случае возникновения ситуации, требующей
вмешательства оператора. Первое устройство срабатывает в 80%
необходимых случаев, второе-в 9а% случаев. Требуется опреде­
лить вероятности следующих событий:
А-сработают оба устройства (здесь и дальше имеется в виду-
при возникновении необходимой ситуации);
В-ни одно устройство не сработает;
С-сработает ровно одно устройство;
О-сработает хотя бы одно устройство;
Е -хотя бы одно устройство не сработает.
14. В цехе работают три автоматические линии. Вероятность
того, что в течение часа работы первая из них потребует подна­
ладки, равна 0,4, для второй линии такая вероятность равна 0,5,
для третьей-0,8. Требуется определить вероятности следующих
событий:
А-ни одна из линий в течение часа не потребует подна­
ладки;
В- первая из линий потребует подналадки, а вторая и третья нет;
С-первая и вторая линии потребуют подналадки (здесь «пове-
дение» третьей мы не учитываем);
D-первая и вторая линии потребуют подналадки, а третья нет;
Е-ровно одна из линий потребует подналадки;
F-хотя бы одна из линий потребует подналадки.
15. На искусственном спутнике Земли установлено три различ­
ных прибора для измерения одной и той же величины. Для первого
прибора вероятность его безотказной работы в течение месяца равна
354

0,9, для второrо-0,8, для третьеrо-0,7. Требуется определить ве­
роятности следующих событий:
А -все приборы выйдут из строя в течение месяца;
В-второй и третий приборы выйдут из строя, а первый нет;
С - первый и второй приборы не выйдут из строя (здесь «пове-
дение» третьего прибора мы не учитываем);
D-третий прибор выйдет из строя, а первый и второй нет;
Е - ровно два прибора выйдут из строя;
F-хотя бы один прибор не выйдет из строя.
16. Некоторое устройство состоит из трех основных узлов.
Вероятность того, что после года работы первый из этих узлов
потребует замены, равна 0,5, второй-0,4, третий-0,6. Требуется
определить вероятности следующих событий:
А-ни один из узлов не потребует замены;
В-первый узел потребует замены, а второй и третий нет.
С - первый и второй узлы потребуют замены (здесь мы не учи-
тываем третий узел);
D-первый и второй узлы потребуют замены, а третий нет;
Е - ровно один узел потребует замены;
F - хотя бы один узел потребует замены.
17. Рабочий прои_зводит обработку деталей одновременно на
трех станках. Вероятность того, что за определенный промежуток
времени закончится обработка детали на первом станке, равна 0,2,
на втором-0,5, на третьем-0,4. Требуется определить вероятности
следующих событий:
А-в течение данного промежутка времени ни на одном ш1
станков обработка очередной детали не будет закончена;
В-закончится обработка только на первом станке;
С-на первом и на втором станках обработка закончится (здесь
мы не учитываем третий станок).
D-на первом и втором станках обработка закончится, на
третьем нет;
Е-обработка детали за.кончится ровно на одном из станков;
F - хотя бы на одном из станков закончится обработка очеред­
ной детали.
18. Цель, появившаяся в определенном секторе, может быть
обнаружена 3 радиолокационными установками. Вероятность ее
обнаружения за промежуток времени ЛТ первой станцией равна
0,8, второй-0,7, третьей-0,5. Требуется определить вероятности
следующих событий:
А-ни одна из установок за промежуток времени ЛТ не обна­
ружит цели;
В-цель будет обнаружена только первой установкой;
С-первая и вторая установки обнаружат цель (здесь мы не
учитываем третью установку); •
D-первая и вторая установки обнаружат цель, а третья нет;
Е-ровно одна из установок обнаружит цель;
F - хотя бы одна из установок обнаружит цель.
В каждом из упражнений 19-20 даны таблицы распределения
вероятностей по возможным значениям случайной величины. Тре­
буется построить гистограмму, вычислить вероятности событий
а) s=З, б) s..;;;;5, в) s,;;;;;2,
r) 2 < s..;;;;5
и отметить каждую из этих вероятностей на чертеже.
12*
355

19.
х
2
3
4
5
6
7
8
P(s=x) 10,1010,1510,2210,1810,1210,1010,0810,05
20.
х
2
3
4
5
6
7
8
P(s=x) 10,0510,0810,1010,1210,1410,1610,1710,18
В упражнениях 21-22 даны таблицы накопленных вероятностей.
Требуется записать аналитическое выражение для кумулятивной
функции распределения и с его помощью найти вероятности событий
а) 0,27 < 6..;;; 0,54, б) 6 > 0,63.
Построить график этой функции, отметить найденные вероятно­
сти на чертеже. «Восстановить» таблицу распределения вероятностей,
построить гистограмму распределения и на ней тоже отметить эти
вероятности.
21.
х
1о,110,210,3 10,410,5 10,610,7 ,0,8
р (s<;x) 1 0,05 1 О, 151-0,30 1 0,50 1 0,651 0,80 1 0,90 1 1,00
22.
х
1 0,1 1 0,2 1 0,31 0,41 0,51 0,61 0,7 0,8
р (so;;;;;x) 10,1010,2510,4510,6010,7510,8510,951 1,00
23. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна
0,2. Всего производится 5 выстрелов. Составить таблицу распреде­
ления вероятностей для случайной величины 6• представляющей
собой количество попаданий. Найти с помощью этой таблицы ве­
роятности следующих событий:
356
А-ни одного попадания в цель;
В-ровно одно попадание;
С-хотя бы одно попадание;
D-число попа4аний больше одного.

Построить rистоrрамму распределения и указать на ней найден­
ные вероятности. То же-для графика кумулятивной функции рас-
пределения.
.
24. Вероятность того, что деталь, изготавливаемая станком-авто­
матом, будет иметь минусовый допуск, равна 0,5. Составить таблицу
распределения, вероятностей для случайной величины s, представ­
ляющей собой количество деталей с минусовым допуском из 6 ото­
бранных случайным образом деталей. Найти с помощью этой таб­
лицы вероятности следующих событий:
А-среди отобранных деталей не окажется ни одной с минусо-
вым допуском;
В-таких деталей окажется ровно одна;
С-среди отобранных окажется хотя бы одна такая деталь;
D-деталей с минусовым допуском будет (среди отобранных)
больше одной.
Указать эти вероятности на чертеже с rистограммой распределе­
ния и на чертеже с графиком кумулятивной функции распределения.
25. Работница обслуживает пять станков. Вероятность того, что
на протяжении промежутка времени ЛТ определенный станок
потребует ее внимания, равна 0,3 (для каждого из станков).
Составить таблицу распределения вероятностей для случайной ве­
личины s, представляющей собой количество станков, которые
потребуют внимания работницы за данный промежуток времени.
Найти с помощью этой таблицы вероятности следующих событий:
А-ни один из станков не потребовал внимания работницы;
В- ровно один станок потребовал внимания;
С-хотя бы один станок потребовал внимания;
D-количество станков, потребовавших внимания, больше одного.
26, Для повышения надежности контроля за ходом некотороrо
процесса, протекающего в сложных условиях, установлены пять
однотипных датчиков. Каждый из этих датчиков независимо от
остальных может выйти из строя с вероятностью 0,6. Составить
таблицу распределения вероятностей для случайной величины s,
представляющей собой количество не вышедших из строя датчиков.
Найти с помощью этой таблицы вероятность следующих событий:
А-все датчики выйдут из строя;
В- ровно один из датчиков не выйдет из строя;
С- хотя бы один из датчиков не выйдет из строя;
D-количество датчиков, не вышедших из строя, больше одного.
27. Вероятность попадания в цель не. меняется от выстрела к
выстрелу и равна 0,3. Стрельба ведется до первого попадания. Найти
вероятности следующих событий:
•
А-будет произведено ровно 4 выстрела;
В-число выстрелов не превзойдет 4;
С-число выстрелов будет больше 4.
28. В непрозрачном сосуде находится 10 одинаковых на ощупь
шаров, из которых 9 белых и 1 черный. Производится последова­
тельность извлечений до появления черного шара. После каждого
извлечения шар возвращается обратно и шары перемешиваются.
Найти вероятности следующих событий:
А-будет произведено ровно 4 извлечения;
В-число извлечений не превзойдет 4;
С-число извлечений будет больше 4.
29. Считая, что время безотказной работы некоторого устрой­
ства представляет собой случайную величину, подчиняющуюся
357

показательному закону распределения с параметром μ=0,1, найти
вероятность того, что в конкретном испытании зто время окажется
не менее 3 ед. Проиллюстрировать полученный результат геометри­
чески. Какую продолжительность работы можно гарантировать
с вероятностью 0,99?
30. Считая, что диаметр деталей, изготавливаемых станком-ав­
томатом, представляет собой случайную величину, распределенную
по нормальному закону с параметрами а= 10 и а=О,01, найти
вероятности следующих событий:
А-диаметр очередной детали будет отличаться от а не более
чем на 0,025.
В-диаметр детали отличается от Ь= 10,02 не более чем на 0,025.
Дать геометрическую иллюстрацию полученным результатам.
Найти h такое, чтобы для отдельной детали вероятность того, что
ее диаметр не выйдет за пределы промежутка (a-h; a+h), была
равной 0.98.
В упражнениях 31-32 даны результаты наблюдений над слу­
чайной величиной 6 в виде таблицы абсолютных частот и значения а
и~-
Для каждого из этих упражнений требуется:
а) рассчитать выборочное среднее, выборочную дисперсию и
выборочное среднее квадратическое отклонение;
б) аппроксимировать данное выборочное распределение нормаль­
ным, определив значения параметров методом моментов;
в) вычислить вероятность выполнения неравенства а < ~ о;;;;; Р
и сравнить ее с относительной частотой, отвечающей промежутку
(а; ~];
r) дать геометрическую иллюстрацию полученным в п. в) ре­
зультатам.
(х; означает центр i-ro интервала группировки. Так, первый
столбец таблицы из упражнения 31 отвечает интервалу (1,05; 1,15),
второй столбеu,-интервалу (1,15; 1,25) и т. д.).
31. t'X= 1,25,
~= !,65
Х/11,11 ,211,3 1,4 1,5 1,6 1,1 j1,8/1,9/2,o
16
19
20
15191412
32. а=3,3
~=3,9.
х; 1 3,213,41 3,61 3,8 4,0 4,2 4,4 4,6 14,815,0
п;16115121136
40
35
25
33. Для биномиального распределения с параметрами п = 100
и р=О,8 найти приб.11иженно, используя формулу Муавра-Лапласа,
следующие вероятности:
р (75 < s..;;; 82). р (74 < s.s;;;; 78), Р (88 < s..;;; 98).
358

34. В процессе сборки некоторая деталь _с вероятностью р=О,2
может быть повреждена и потребует своей замены. Используя аппрок.
симацию биномиального распределения нормальным, рассчитать
приближенно вероятность того, что в результате 400 таких сбороч­
ных операций количество поврежденных детал"Й будет заключено
в пределах от 70 до 100.
35. Результатом каждого из двух независимых испытаний яв­
ляется появление одного и только одного из чисел: 1, 2, 3 или 4;
причем все эти исходы равновозможны между собой.
Спучайная величина s представляет собой сумму появившихся
чисел, а ri-иx произведение. Составить таблицу совместного рас­
пределения вероятностей для s и fl· Найти их безусловные распре­
деления и всевозможные условные распределения f1 (при условиях
вида s=х). Найти условные математические ожидания м,=х (tJ) и
показать соответствующую регрессионную зависимость на чертеже.
Найти коэффициент корреляции величин s и tJ.
36. Для двумерной выборки, данной в табл. 21.23, построить
корреляционные таблицы абсолютных и относительных частот (зна­
чения s обозначены через х, значения r~-через у). Найти двумя
способами: по формуле (21.83) и методом наименьших квадратов
приближенное уравнение регрессии условных средних tJ на s в виде
у=ах+Ь. Рассчитать по этой формуле приближенные значения
м,-х (tJ) и сравнить их с теми, которые получаются прямым расчетом
по условным распределениям. Дать геометрическую иллюстрацию.
ТАБЛИЦА 21.23
х
1
у
11
х
1
у
11
х
1
у
11
х
1
11
11
х
1
у
9
3
7
3
9
3
3
2
3
4
5
2
5
2
11
3
7
3
5
3
7
3
3
3
11
2
3
1
5
2
9
4
7
1
7
3
7
4
11
3
11
2
7
4
5
3
5
3
7
3
11
4
5
2
9
4
9
3
11
4
7
2
9
4
7
5
9
5
5
4
3
1
11
2
5
1
3
3
3
1
9
3
7
3
9
2
7
3
9
4
5
3
3
2
7
3
11
2
7
2
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 21
1. Вероятность целесообразно принять равно~": относительной
320
частоте Р = 400 =0,8. Ожидаемое число попаданий в серии будет
равно произведению объема серии на эту вероятность m=20,0,8=16.
2. Р=О,85, m=850. 3. P=l/3, m=I0. 4. Р=О,125, m=5,
5. m=480. 6. m=5,
359

7. Элементарный исход, состоящий в том, что будет извлечена
карточка с числом К, будем обозначать через «К». Подмножества
элементарных исходов, соответствующие перечисленным в п.п. а),
б) и г) событиям, указаны в табл. 21.24. Там же даны и вероят­
ности этих событий.
ТАБЛИЦ А 21.24
Элементарные исходы
J<оли чества
События
«1»1«2•1 «3•1 •4•1 •5•1 «6»1 «7»1«8•1•9•1•10»
элементов
Вероят-
в подмиоже-
ности
стве
А
+
+
+
+
+
5
0,5
в
+
+
+
3
0,3
с
+
+
2
0,2
А+++++
5
0,5
в+++++++
7
0,7
с++++++++
8
0,8
А+В
+++
+
+++
7
0,7
(А+В) +
+
+
3
0,3
А+С
+
+
+
+
+
5
0,5
(А+С) + +
+
+
+
5
0,5
А,В
+
1
о,1
А·В+++++
++++
9
0,9
А,С
+
+
2
0,2
А,С
+++
+++
+
8
0,8
л+в+с +++
+
+++
7
0,7
(А+в+с> +
+
+
3
0,3
А,В,С
о
о
А-В·С++++++++++
10
1
Событие С влечет событие А (С~ А), события А и В, а также
В и С несравнимы друг с другом (никакое из них не влечет другого).
Кроме формулы Р (Х) = тх для нахождения вероятностей со-
т
бытий А, В, С, (А+В), (А+С), А-В, А-С, (А+В+С) и (А•В-С)
можно использовать формулу вероятности противоположного собы.
тия: Р (Х) = 1- Р (Х). Для нахождения вероятностей событий А+ В
и А +С-формулу для вероятности суммы двух событий Р (Х +У)=
360

=Р (Х)+Р (У)-Р (Х,У). Кроме того, из соотношения С~А следует,
что А+С=А, А+В+С=А+В, А·С=С, откуда Р (А+С)=Р (А).
Р (А+В+С)=Р (А+В) и Р (А·С)=Р (С). Р А (8)=0,2, Р А (С)=О,4,
Pc(A)=l.
8. Р(А)=3/8, P(B)=l/8, P(C)=l/2, Р(А)=Б/8, р(В)=7/8,
Р (С)= 1/2,
Р (А+В) = 1/2, Р (А +В)= 1/2,
Р (А+С)= 1/2,
P(A+C)=l/2, Р(А,8)=0, P(A•B)=l, Р(А·С)=3/8, Р(АС)=5/8,
Р (А+В+С)=1⁄2, Р (А+В+С)= 1/2 Р (А·В·С)=О, Р (А•В•С)= 1,
Р А (В)=О, Р А (С)= 1, Рс(А)=3/4.
9. Р (А)= 1/9, Р (В)= 2/3, Р (С)= 4/9, Р (А)= 8/9, Р (В)= 1/3,
Р (ё)=5/9, Р (А+В)=7/9, Р (А+В)=2/9, Р (А+С)=4/9,
Р(А+С)=5/9, Р(А·В)=О, P(A•B)=l, P(A·C)=l/9, Р(А·С)=8/9,
Р (А+В+С)=8/9, Р (А+В+С)= 1/9, Р (А·В·С)=О, Р (А,В,С)= 1,
РА(В)=О, PA(C)=I, Pc(A)=l/4.
-
10. Р (А)= 5/8, Р (А)= 3/8, Р (В)= 3/4, Р (В)= 1/4, Р (С)= 1/8,
Р (С)=7/8, Р (А+В)= 1, Р (А+В)=О, Р (А+С)=5/8, Р (А+С)=3/8,
Р (А-8)=3/8, Р {,4-8)=5/8,
Р (А,С)= 1/8,
Р (А·С)=7/8,
P(A+B+C)=I, Р(А+В+С)=О, Р(А·В·С)=О, P(A·B ·C)=l,
РА(В)=3/5, PA(C)=l/5, Рс(А)=!.
11. Р (В) =0,10, Рв (А1)= 0,20, Рв (А2)=0,60, Рв (А3)=0,20.
12. Р (В)=0,20, Рв (А1)= 0,20, Рв (А2)= 0,20, Рв (А3)= 0,60.
13. Обозначая через Н1 событие, состоящее в том, что первое
устройство сработает, а через Н 2 -в том, что второе устройство
сработает, приписываем (в соответствии с условием) им следующие
значения вероятностей: Р (Н1)=0,8, Р (Н2)=0,9. Так как в условии
не оговорено противное, будем считать Н1 и Н2 независимыми. Тогда
из А=Н1 ·Н 2 следует, что Р (А)=Р (Н 1) Р (Н2)=0,8·0,9=0,72. Из
В=Я1 ·Н2 следует, что P(B)=P(H1)P(fl2)=0,2,0,1=0,02. Так
как С=Н1 -Н2 +Н1 ·Н2 и так как слагаемые здесь несовместны, то
Р(С)=Р(Н1-Н2)+Р(Н1·Н2)= Р(Н1)Р(Н2)+Р(Я1)Р(Н2)=
=0,8,0,1 +о,2,0,9=0,26.
Вероятность Р (С) можно было Еы найти и другим способом, заме­
тив, что С=А+В, откуда
Р (С)= 1-Р (А+В)= 1-[Р (А)+Р (B)J= 1-(0,72+0,02)=0,26.
Так как D=B, то Р (D)= 1-Р (В)= 1-0,02=0,98. Аналогично
из Е=А следует, что Р (Е)= 1-Р (А)= 1-0,72=0,28.
14. Р (А)= 0,06, Р (В)= 0,04.
Р (С)= 0,20, Р (D) =0.04,
Р (Е)=О,34, Р (F)=0,94.
15. Р(А)=0,ОС6, Р(В)=О,054, Р(С)=О,720, P(D)=0,216,
Р (Е) = 0,092, Р (F) = 0,994.
16, Р (А)= О, 12,
Р (В)= О, 12,
Р (С)= 0,20,
Р (D) = 0,08,
Р(Е)=0,38, Р(F)=0,88.
361

Р (С) =0,10,
17. Р(А)=О,24, P(BJ=0,06,
Р (Е)=О,46, Р (F)=0,76.
Р (D)=0,06,
Р (D)=0,28,
Р <s ..;;;2)=0,25,
Р(6..;;;2)=о,13
18. Р (А)=О,03,
Р (В)=О,12, Р (С)=О,56,
Р (Е)=О,235, Р (F)=0,97.
19. Р (6=3)=0,22,
Р(2<6..;;;5)=0,52.
20. Р (6 =3)=0,10,
Р (2 < 6 ..;;;5)=0,36.
Р(6.,.;;;5)=0,49,
21. Р(О,27 <6,s;;;;0,54)=0,50, Р(6 > 0,63)=0,20.
22. Р (0,27 < 6.;;;;; 0,54) = 0,50, Р (6 > 0,63) = о.15.
23. Будем считать результаты каждого из выстрелов независи­
мыми друг от друга. При этом условии s подчиняется биномиаль­
ному распределению с параметрами п = 5 и р = 0,2. Используя
формулу P(s=k)=C(n, k)pk(l-p)'• - 11 , мы рассчитываем таблицу
распределения (табл. 21.25).
ТАБЛИЦА 21.25
х
о
3
4
5
р (6 =Х) 10,327681 0,40960 1 0,20480 1 0,05120 1 0,00640 1 0,00032
С помощью этой таблицы находим интересующие нас вероятности:
Р (А)=Р (6 =0)=0,32768, Р (В)=Р (s= 1)=0,40960,
Р (С)= 1-Р (А)= 0,67233, Р (D) = 1-Р (А)- Р (В)= 0,26272.
24. Р (А)= 0,015625,
Р (В)= 0,093750,
Р (С) =0,984375,
Р (D)=0,890625.
25. Р (А)=О,16807, Р (В)=О,36015, Р (С)=О,83193, Р (D)=0,47178.
26. Р (А)=О,07776, Р (В)=О,25920, Р (С)= 0,92224, Р (D)=0,66304.
27. Пусть s-количество произведенных выстрелов. Если счи­
тать результаты каждого из выстрелов не зависящими друг от друга,
то 6 окааывается распределеннои по геометрическому закону. Для
составления таблицы распределения следует использовать формулу
P(s=k)=p(l-p)k- 1
.
В нашем случае р=О,3. Р (А)=О,10.:29,
Р (В)=О,7599, Р (С)=О,2401.
28. Р (А)=О,0729, Р (В)=О,3439, Р (С)=О,6561.
29. Р<s:;;;:3)=1-Р(6 <3)=1-Р<s.;;;;;3)=1-F<3>=
= 1-(1-е- 0,1• 3) =е- 0,3 =0,7408.
Вероятность безотказной работы устройства на протяжении не
менее чем х единиц времени равна Р (s :;;;, х) = 1-Р (s < х) =
= 1-F (х) =е- 0•1•х. Полагая эту вероятность равной 0,99, находим
значение х из уравнения е- 0• 1•Х=0,99; x=-lOln0,99=0,1005 ед.
30. Р (9,975..;;;s..;; 10,025)=F (10,025)-F (9,975)=
( 10,025-10)
(9,975- 10)
=Фо 0,0l
-Фо U,0l
=2Ф0 (2,5)=2·0,4938=0,9876.
362

(Значение Ф0 (2,5) мы берем из таблицы, см. приложенпе.)
Р (9,995.;;;; ~ ,е;;; 10,045)=F (10,045)-F (9,995) =
=Ф -(10,045-10)-Ф (9,995-10) =Ф (4 5)+Ф (О 5)-
о
0,01
о
0,01
о,
о'
-
=0,5000+0, 1915 =0,6915
31. Рассчитываем выборочные начальные моменты первого и
второго порядков:
-
1
Х= а1 = IO0 • (1, l• 1+ 1,2•4+ .•• +2,0•2) = 1,551,
1
.
а2 = 100 (1,1 2 • 1+ 1,2 2 •4+ ... +2,02 ,2) =2,4413.
Отсюда
D8 =m2 =a2 -a~=2,4413- l,551 2 =0,0357, а8 = V0,0357, =0,189.
Приравнивая теперь параметры нормального распределения рассчи­
танным значениям х и а8, мы получаем следующую функцию плот­
ности вероятностей:
1
f(х)= 0,189 У2л е
2·0,1892 •
Вычисляем требуемую вероятность
р(l25 i:
l 65)=Ф ( 1,65-1,551 )-Ф ( 1,25-1,551) ===
'
<..,.о;;;;;'
0
0,189
°
0,189
·
= Ф0 (0,524) + Ф0 (1,593) = О, 1999 + 0,4444 = 0,6413.
Соответствующая относительная частота получается суммированием
абсолютных частот, отвечающих интервалам с 3-ro по 6-й, и деле­
нием этой суммы на объем выборки:
10+ 16+ 19+20
'V
l00
0,65.
В нашем случае сумма площадей прямоугольников гистограммы
с 3-го по 6-й оказывается почти в точности равной площади той
фигуры под графиком найденной выше функции плотности вероятно­
стей, которая отсекается ординатами, проведенными в точках х = 1,25
ИХ= 1,65,
32. х=3,9959, D8 =0,1833, а8 =0,3360,
1
_
(х-3,9959) 1
f(x)= 0,3360}'2n е
2·0 ,3360 •
Р (3,3 < ~,е;;:3,9)=0,3686, v=0,366.
33 , Р(75 <~,е;;; 82)~Фо( 82-100,0,8 )-Фо( 75-100-0,8 )=
V 100-0,8-0,2
V 100.0,8-0,2
= Ф0 (0,5)+ Ф0 (1,25) = О, 1915+0,3944 = 0,5859.
363

Аналогично получаем
Р (74 < ;о.;;;78):::::: 0,2417, Р (88 < ;,е,;;;;98):::::: 0,0228.
34. Используя формулу Муэвра-Лапласа, получаем
Р(7О < 6 ._ ; l00):::::: Ф ( 100-400-0,2)-Ф ( 70-400-0,2 )==
0 V400,0,2,08
° V400-0,2-0,8
= Ф0 (2(5)+Фо (1,25) =0,8882.
35. Каждой из следующих пар: (2, 1) (4, 4), (6, 9) и (8, 16)
соответствует вероятность, равная 1/16, а каждой из пар (3, 2), (4, 3),
(5,4), (5, 6), (6, 8) и (7, 12)- вероятность, равная 1/8. Безусловные
распределения 6 и Т) даются соответственно табл. 21.26 и 21.27 .
ТА БЛИЦ А 21.26
х
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
8
р (;-=Х)
1
1
1
1
3
1
1
1
3
1
1
1
1
168
164
168
16
ТАБЛИЦА 21.27
у
1
1
1
2
1
3
1
4
1
6
1
8
1
9
1
12j16
Р(Т)=У)I 1
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
1
11~
168
81688168
При !;=2, ; =3, ; =7 и !;= 8 условные распределения Т) оказы.
ваются вырожденными (при !;=2, например, с вероятностью, рав­
ной 1, будет Т)=l и т. д.). Условное распределение ТJ при s=4дано
в табл. 21.28.
ТАБЛИЦА 21.28
у
3
4
2/3 1/3
(Условные распределения Т) при !; =5 и при !;=6 мы здесь не при­
водим.) Зависимость условных математических ожиданий М,=х (ТJ)
от х дана в табл. 21.29.
ТАБЛИЦА 21.29
х
2
3
4
5
1
6
7
8
М,-х (ТJ)
2
3,333
5
1
8,333
12
16
364

Коэффициент корреляции величин ; и f1 мы вычиСJiяем по фор­
муле
,-
μ11
--
}'μ20μ02 •
где μi 1, 11.z O и μ 0 1 -центральные мом<!нты совместного распределения
этих величин. μ2 0 и μ0 2 представляют собой также дисперсии безу­
словных распределений ~ и Т\ (их можно найти по табл. 21.26 и 21.27).
Момент μ 11 удобно искать по формуле μ11 =c:t11 -c:ti oc:to 1. Здесь c:t1 0
и c:t 0 1 суть не что иное, как безусловные математические ожидания
величин ; и Т\, а c:t11 = ~ XfYtP (; =х1; Т\ = у;), Проделав все вык-
i
ладки, получаем
М (~) =c:t1 о=5, М (ТJ) =c:t0 1 =6,25,
D(s) =μ2 0 =2,5, D(ТJ)=μ0 2 = 17,1875,
Cl11 =37,5,
625
6•25
О9534 •
откудаμi1= ,
иr=
.
,
. Сра.внительно бли з-
У2,5 -17, 1875
кое к единице значение коэффициента корреляции указывает на до­
статочно тесную зависимость между ; и Т\·
36. Здесь приводится только корреляционная таблица абсолют­
ных частот (табл. 21.30).
ТАБЛИЦА 21.30
~1
1
121
3
1·
4
1
5
3
3
2
2
1
о
5
1
4
4
1
о
7
1
2
8
2
1
9
о
1
4
4
1
11
о
4
2
2
о
Относительные частоты могут быть получены делением абсолют­
ных частот на объем выборки, равный 50. Уравнение выборочной
линейной регрессии имеет вид y=0,ll9x+l,987. Значения у(х) и
условных выборочных средних величины Т\ даны в табл. 21.3_1 .
ТАБЛИЦА 21.31
х
1
3
1
5
1
7
1
9
1
11
у(х)
1
2,34
1
2,58
1
2,82
1
3,06 3,30
Условные выбороч-1 2, 12
1
2,50
1
3,00
1
3,50 2,75
ные средние

ПРИЛОЖЕНИЕ
z
Таблица значений функции Ф0 (z)= -
1-s e-"'1•du
У2п о
z
1
Фо (Z)
11
z
1
Фо (z)
11
z
1
Фо (Z)
11
z
1
Ф0 (2)
0,00 0,0000 0,29 О, 1141 0,58 0,2190 0,87 - 0,3078
0,01 .О,0040 0,30 о, 1179 0,59 0,2224 0,88 0,3106
0,02 0,0080 0,31 о, 1217 0,60 0,2257 0,89 0,3133
0,03 0,0120 0,32 О, 1255 0,61 0,2291 0,90 0,3159
0,04 0,0160 0,33 о, 1293 0,62 0,2324 0,91 0,3186
0,05 0,0199 0,34 о, 1331 0,63 0,2357 0,92 0,3212
0,06 0,0239 0,35 о, 1368 0,64 0,2389 0,93 0,3238
0,07 0,0279 0,36 О, 1406 0,65 0,2422 0,94 0,3264
0,08 0,0319 ·о,37 о, 1443 0,66 0,2454 0,95 0,3289
0,09 0,0359 0,38 о, 1480 0,67 0,2486 0,96 0,3315
о, 1О 0,0398 0,39 о, 1517 0,68 0,2517 0,97 0,3340
0,11 0,0438 0,40 о, 1554 0,69 0,2549 0,98 0,336q
О, 12 0,0478 0,41 О, 1591 0,70 0,2580 0,99 0,3389
о, 13 0,0517 0,42 О, 1628 0,71 0,2611 1,00 0,3413
о, 14 0,0557 0,43 О, 1664 0,72 0,2642 1.,01 0,3438
о, 15 0,0596 0,44 О, 1700 0,73 0,2673 1,02 0,3461
0,16 О,С636 0,45 0-,1736 0,74 0,2703 1,03 0,3485
О, 17 0,0675 0,46 О, 1772 0,75 0,2734 1,04 0,3508
о, 18 0,0714 0,47 о, 1808 0,76 0,2764 1,05 0,3531
0,19 0,0753 0,48 о, 1844 0,77 0,2794 1,06 0,3554
0,20 0,0793 0,49 о, 1879 0,78 0,2823 1,07 0,3577
0,21 0,0832 0,50 о, 1915 0,79 0,2852 1,08 0,3599
0,22 0,0871 0,51 О, 1950 0,80 0,2881 1,09 0,3621
0,23 0,09IO 0,52 о, 1985 0,81 0,29IO 1, 10 0,3643
0,24 0,0948 0,53 0,2019 0,82 0,2939 1,11 0,3665
0,25 0,0987 0,54 0,2054 0,83 0,2967 1, 12 0,3686
0,26 О, 1026 0,55 0,20,88 0,84 0,2995 '· 13
0,3708
0,27 о, 1064 0,56 0,2123 0,85 0,3023 1, 14 0,3729
0,28 о, 1103 0,57 0,2157 0,86 0,3051 1, 15 0,3749
366

П р ил о жен и е (продолже1111с)
z
1
Фо(Z)
11
2
1
Фо (Z)
11
z
1
Ф0 (2)
\\
2
1
Фо(Z)
1,16 0,3770 1,52 0,4357 1,88 0,4699 2;48 0,4934
1, 17 0,3790 1,53 0,4370 1,89 0,4706 2,50 0,4938
1,18 0,3810 1,54 0,4382 1,90 0,4713 2,52 0,4941
1,19 0,3830 1,55 0,4394 1,91 0,471!:1 2,54 0,4945
1,20 0,3849 1,56 0,4406 1,92 0,4726 2,56 0,4948
1,21 0,3869 1,57 0,4418 1,93 0,4732 2,58 0,4951
1,22 0,3883 1,58 0,4429 1,94 0,4738 2,60 0,4953
1,23 0,3907 1,59 0,4441 1,95 0,4744 2,62 0,4956
1,24 0,3925 1,60 0,4452 1,96 0,4750 2,64 0,4959
1,25 0,3944 1,61 0,4463 1,97 0,4756 2,66 0,4961
1,26 0,3962 1,62 0,4474 1,98 0,4761 2,68 0,4963
1,27 0,3980 1,63 0,4484 1,99 0,4767 2,70 0,4965
1,28 0,3997 1,64 0,4495 2,00 0,4772 2,72 0,4967
1,29 0,4015 1,65 0,4505 2,02 0,4783 2,74 0,4969
1,30 0,4032 1,66 0,4515 2,04 0,4793 2,76 0,4971
1,31 0,4049 1,67 0,4525 2,06 0,4803 2,78 0,4973
1,32 0,4066 1,68 0,4535 2,08 0,4812 2,80 0,4974
1,33 0,4082 1,69 0,4545 2, 10 0,4821 2,82 0,4976
1,.34 0,4099 1, 70 0,4554 2, 12 0,4830 2,84 0,4977
1,35 0,4115 1, 71 0,4564 2, 14 0,4838 2,86 0,4979
1,36 0,4131 1, 72 0,4573 2, 16 0,4846 2,88 0,4980
1,37 0,4147 1,73 0,4582 2, 18 0,4854 2,90 0,4981
1,38 0,4162 1,74 0,4591 2,20 0,4861 2,92 0,4982
1,39 0,4177 1,75 0,4599 2,22 0,4868 2,94 0,4984
1,40 0,4192 1, 76 0,4608 2,24 0,4875 2,96 0,4985
1,41 0,4207 1, 77 0,4616 2,26 0,4881 2,98 0,4986
1,42 0,4222 1, 78 0,4625 2,28 0,4887 3,00 0,49865
1,43 0,4236 1, 79 0,4633 2,30 0,4893 3,20 0,49931
1,44 0,4251 1,80 0,4641 2,32 0,4898 3,40 0,49966
1,45 0,4265 1,81 0,4649 2,34 0,4904 3,60 0,499841
1,46 0,4279 1,82 0,4656 2,36 0,4909 3,80 0,499928
1,47 0,4292 1,83 0,4664 2,38 0,4913 4,00 0,499968
1,48 0,4306 1,84 0,4671 2,40 0,4918 4,50 0,499997
1,49 0,4319 1,85 0,4678 2,42 0,4922 5,00 0,499997
1,50 0,4332 1,86 0,4686 2,44 0,4927
1,51 0,4345 1,87 0,4693 2,46 0,4931
Для z < О используется формула Ф0(z)=-Ф0(-z)

Виталий Николаевич Матвегв
Артур Алексан.дрович Матюшкин.-Герка
Николай Васильевич Богомолов
Семен. Моисеевич К.оэ,1овский
!<УРС МАТЕМАТИl<И
для техникумов, ч. 11
М., 1976 r" 368 стр. с илл.
РедакторА.Ф.Лапко
Техн. редакторы С. Я. Шкляр, Е. В. Морозова
l<орректор И. В. Хорош а ев а
Сдано в набор 08.06 . 1976 r. Подписано к печати 12 .10 . 1976 1'.
Бумага 84Х 1081 / 81 . Физ. печ. л. 11 ,5. Услови. печ. л. 19,32 .
Уч.-изд. л. 20,22 . Тираж 400 ООО экз. (2-11 завод 10& 001-400 ООО
екз.) Цена книги 65 коп. Заказ No 363
Издательство «Наука,
Главная редакция физико-ыатематическоll литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции
и ордена Трудового К.расного Знамени _
Первая Образцовая типография имени А. А. Жданова
Союзполиграфпрома при Гос у дарственном ком11тете
Совета Министров СССР по делам издательств,
полиграфии и 1<нижноll торговли
Москва, М-54, Валовая, 28

6.6 коn,