Дмитрий Письменный
КОНСПЕКТ
ЛЕКЦИЙ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
2 часть

Дмитрий Письменный
КОНСПЕКТ
ЛЕКЦИИ
ПО ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКЕ
2
часть
7-е издание
МОСКВА
АЙРИС ПРЕСС
2011

УДК 517(075.8)
ББК 22.1я73-2
П35
Все права защищены.
Никакая часть данной книги не может переиздаваться
или распространяться в любой форме и любыми средствами,
электронными или механическими, включая фотокопирование,
звукозапись, любые запоминающие устройства
и системы поиска информации,
без письменного разрешения правообладателя.
Серийное оформление А. М. Драговой
Письменный, Д. Т.
П35 Конспект лекций по высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 2 / Дмитрий Пись-
менный. — 7-е изд. — М.: Айрис-пресс, 2011. — 256 с: ил. — (Высшее
образование).
ISBN 978-5-8112-4125-5 (Ч. 2)
ISBN 978-5-8112-4000-5
Данный курс лекций адресован учащимся высших учебных заведений, изучающим
математику на различных отделениях.
Вторая часть содержит необходимый материал по девяти разделам курса высшей
математики: дифференциальные уравнения, двойные и тройные, криволинейные и по-
верхностные интегралы, числовые и степенные ряды, ряды Фурье, элементы теории поля
и теории функций комплексного переменного, элементы операционного исчисления.
Теория, изложенная в пособии, проиллюстрирована большим количеством примеров
и задач, что позволит студентам эффективно подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов.
УДК 517(075.8)
ББК22.1я73-2
ISBN 978-5-8112-4125-5 (Ч. 2) © ООО «Издательство
ISBN 978-5-8112-4000-5 «АЙРИС-пресс», 2002

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 9
1.1. Основные понятия 9
1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям ... 9
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 11
2.1. Основные понятия 11
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными 13
2.3. Однородные дифференциальные уравнения 15
2.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли 18
2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель 21
2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро 25
§ 3. Дифференциальные уравнения высших порядков 26
3.1. Основные понятия 26
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 28
3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших
порядков 31
3.4. Линейные однородные ДУ второго порядка 32
3.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка 34
§ 4. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами 36
4.1. Интегрирование Л ОДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами 36
4.2. Интегрирование Л ОДУ n-го порядка с постоянными
коэффициентами 38
§ 5. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения
(ЛНДУ) 39
5.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка 39
5.2. Метод вариации произвольных постоянных 40
5.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида 42
5.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2) с
постоянными коэффициентами и правой частью
специального вида 46
§ 6. Системы дифференциальных уравнений 47
6.1. Основные понятия 47
6.2. Интегрирование нормальных систем 49
6.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами .. 51
3

Глава II. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 7. Двойной интеграл 57
7.1. Основные понятия и определения 57
7.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла . 58
7.3. Основные свойства двойного интеграла 59
7.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых
координатах 60
7.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах . 63
7.6. Приложения двойного интеграла 65
§ 8. Тройной интеграл 67
8.1. Основные понятия 67
8.2. Вычисление тройного интеграла в декартовых
координатах 69
8.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах 71
8.4. Некоторые приложения тройного интеграла 74
Глава III. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
§ 9. Криволинейный интеграл I рода 77
9.1. Основные понятия 77
9.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода 79
9.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода. 80
§ 10. Криволинейный интеграл II рода 82
10.1. Основные понятия 82
10.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода 84
10.3. Формула Остроградского Грина 86
10.4. Условия независимости криволинейного интеграла
II рода от пути интегрирования 88
10.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода 91
§11. Поверхностный интеграл I рода 93
11.1. Основные понятия 93
11.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода 94
11.3.Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода.. 97
§ 12. Поверхностный интеграл II рода 99
12.1. Основные понятия 99
12.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода 101
12.3. Формула Остроградского-Гаусса 103
12.4. Формула Стокса 105
12.5.Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода. 107
Глава IV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
§ 13. Числовые ряды 109
13.1. Основные понятия 109
13.2. Ряд геометрической прогрессии 111
13.3. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Гармонический ряд ■. 112
4

§ 14. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов 114
14.1. Признаки сравнения рядов 114
14.2. Признак Даламбера 116
14.3.Радикальный признак Коши 117
14.4. Интегральный признак Коши. Обобщенный
гармонический ряд 118
§15. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды 121
15.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница 121
15.2. Общий достаточный признак сходимости
знакопеременных рядов 122
15.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов 123
Глава V. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 16. Функциональные ряды 125
16.1. Основные понятия 125
§ 17. Сходимость степенных рядов 126
17.1. Теорема Н. Абеля 126
17.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда 127
17.3. Свойства степенных рядов 129
§ 18. Разложение функций в степенные ряды 130
18.1. Ряды Тейлора и Маклорена 130
18.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд
Тейлора (Маклорена) 133
§19. Некоторые приложения степенных рядов 137
19.1. Приближенное вычисление значений функции 137
19.2. Приближенное вычисление определенных интегралов 139
19.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений 140
Глава VI. РЯДЫ ФУРЬЕ. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
§ 20. Ряды Фурье 144
20.1. Периодические функции. Периодические процессы 144
20.2. Тригонометрический ряд Фурье 145
§ 21. Разложение в ряд Фурье 27г-периодических функций 148
21.1. Теорема Дирихле 148
21.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций 150
21.3.Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода. 152
21.4. Представление непериодической функции рядом Фурье ... 154
21.5. Комплексная форма ряда Фурье 155
§ 22. Интеграл Фурье 158
Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
§ 23. Основные понятия теории поля 163
§ 24. Скалярное поле 165
24.1. Поверхности и линии уровня 165
24.2. Производная по направлению 165
5

24.3. Градиент скалярного поля и его свойства 167
§ 25. Векторное поле 169
25.1. Векторные линии поля 169
25.2. Поток поля : 170
25.3. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса 173
25.4. Циркуляция поля 175
25.5. Ротор поля. Формула Стокса 177
§ 26. Оператор Гамильтона 180
26.1.Векторные дифференциальные операции первого порядка. 180
26.2.Векторные дифференциальные операции второго порядка. 180
§27. Некоторые свойства основных классов векторных полей 181
27.1. Соленоидальное поле 181
27.2. Потенциальное поле 183
27.3. Гармоническое поле 185
Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 28. Функции комплексного переменного 186
28.1. Основные понятия 186
28.2. Предел и непрерывность функции комплексного
переменного 187
28.3. Основные элементарные функции комплексного
переменного 188
28.4. Дифференцирование функции комплексного
переменного. Условия Эйлера-Даламбера 192
28.5. Аналитическая функция. Дифференциал 195
28.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Понятие о конформном отображении 197
§ 29. Интегрирование функции комплексного переменного 199
29.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла.. 199
29.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный
интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 202
29.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши 206
§ 30. Ряды в комплексной плоскости 209
30.1. Числовые ряды 209
30.2. Степенные ряды 210
ЗО.З.Ряд Тейлора 212
30.4. Нули аналитической функции 214
30.5. Ряд Лорана 215
30.6. Классификация особых точек. Связь между нулем
и полюсом функции 219
§ 31. Вычет функции 223
31.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах 223
31.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении
интегралов 224
6

Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
§ 32. Преобразование Лапласа 227
32.1.Оригиналы и их изображения 227
32.2. Свойства преобразования Лапласа 230
32.3. Таблица оригиналов и изображений 241
§ 33. Обратное преобразование Лапласа 243
33.1. Теоремы разложения 243
33.2. Формула Римана-Меллина 245
§ 34. Операционный метод решения линейных дифференциальных
уравнений и их систем 247
Приложения 251

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящее пособие предназначено в первую очередь для студентов
инженерно-технических специальностей; может быть полезным для всех
категорий студентов, изучающих в том или ином объеме высшую матема-
тику. Оно представляет собой конспект лекций в 2 частях. Вторая часть
адресована в основном второкурсникам. Набор освещаемых вопросов хо-
рошо виден из оглавления.
Данный конспект содержит необходимый материал по 9 разделам кур-
са высшей математики и дополнительным главам, необходимым при
изучении специальных курсов. Изложение теоретического материала по
всем темам сопровождается рассмотрением большого количества приме-
ров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие может быть использовано студентами также для самостоя-
тельного изучения соответствующего материала, является базой для под-
готовки к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
Кроме того, книга должна помочь студенту и в тех случаях, когда он
что-то не успел записать на лекции, какие-то лекции были пропущены, в
чем-то трудно (или нет времени) разобраться по другим учебникам, когда
некоторые вопросы «слишком длинны» в его конспектах или много факти-
ческого материала, который следует изучить за ограниченное количество
времени.
Автор надеется, что данный курс лекций будет полезен и преподава-
телям, а использование данного пособия будет способствовать более глу-
бокому изучению студентами курса высшей математики и смежных дис-
циплин.
Список обозначений:
— начало и конец решения примера или задачи;
— начало и конец доказательства;
— важные определения
— «обратите особое внимание!»
В рамку заключены формулы, которые важно помнить.

Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Лекции 1-7 I
§1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЯХ
1.1. Основные понятия
При решении различных задач математики, физики, химии и других
наук часто пользуются математическими моделями в виде уравнений, свя-
зывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные.
Такие уравнения называются дифференциальными (термин принадле-
жит Г. Лейбницу, 1676 г.). Решением дифференциального уравнения на-
зывается функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в
тождество.
Так, решением уравнения у1 = f(x) является функция у = F(x) —
первообразная для функции f(x).
Рассмотрим некоторые общие сведения о дифференциальных уравне-
ниях (ДУ).
Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной,
то ДУ называют обыкновенным; в противном случае — ДУ в частных
производных. Далее будем рассматривать только обыкновенные ДУ.
Наивысший порядок производной, входящей в ДУ, называется поряд-
ком этого уравнения.
Например, уравнение у"1 — Зу" + 2у — 0 — обыкновенное ДУ третьего
порядка, а уравнение х2у' + Ъху = у2 — первого порядка; у • z'x = х • z'y —
ДУ в частных производных первого порядка.
Процесс отыскания решения ДУ называется его интегрированием, а
график решения ДУ — интегральной кривой.
Рассмотрим некоторые задачи, решение которых приводит к диффе-
ренциальным уравнениям.
1.2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Задача 1
Материальная точка массы га замедляет свое движение под действи-
ем силы сопротивления среды, пропорциональной квадрату скорости V.
Найти зависимость скорости от времени. Найти скорость точки через 3 с
после начала замедления, если V(0) = 100 м/с, а ^(1) = 50 м/с.
Q Решение: Примем за независимую переменную время t, отсчитываемое
от начала замедления движения материальной точки. Тогда скорость точ-
ки V будет функцией £, т. е. V = V{i). Для нахождения V{t) воспользу-
емся вторым законом Ньютона (основным законом механики): т • а — F,
где а = V'(t) — есть ускорение движущегося тела, F — результирующая
сила, действующая на тело в процессе движения.
9

В данном случае F = —kV2, к > 0 — коэффициент пропорционально-
сти (знак минус указывает на то, что скорость тела уменьшается). Сле-
довательно, функция V = V(t) является решением дифференциального
уравнения га • V = -к • V2 или V — — — V2. Здесь т — масса тела.
Как будет показано ниже (пример 2.5), V = -j , где с — const.
т
Найдя зависимость скорости от времени, легко найти скорость точки через
3 с после начала замедления.
Найдем сначала параметры — и с. Согласно условию задачи, име-
ем: V(0) = А = 100 и V(l) = —!— = 50. Отсюда с = ^, -^ = ^.
v ' с v y ±_i_c 100' га 100
m
Следовательно, скорость точки изменяется по закону V = , _?Ч . Поэтому
Vr(3) = 25 м/с. •
Найти кривую, проходящую через точку (4; 1), знал, что отрезок любой
касательной к ней, заключенный между осями координат, делится в точке
касания пополам.
Рис. 1.
Q Решение: Пусть М(х; у) — произвольная точка кри-
вой, уравнение которой у = f(x). Для определенности
предположим, что кривая расположена в первой четвер-
ти (см. рис. 1).
Для составления дифференциального уравнения
воспользуемся геометрическим смыслом первой произ-
водной: tga есть угловой коэффициент касательной; в
точке М(х;у) он равен у', т. е. у' = tga.
Из рисунка видно, что tg(ZMBC) = 4rfe"- Но
Другие задачи
Можно показать, что:
• закон изменения массы радия в зависимости от времени («радио-
активный распад») описывается дифференциальным уравнением
^Пк — — k-m, где к > 0 — коэффициент пропорциональности, m(t) —
масса радия в момент t;
Ю
Задача 2
МС = у. По условию задачи AM = MB, следовательно, ОС = СВ = х.
Таким образом, получаем — tga = ^ или у' = —У-. Решением получен-
ного дифференциального уравнения является функция у — — (гипербола).
Решение будет приведено в п. 2.2 (пример 2.4). •

• «закон охлаждения тел», т. е. закон изменения температуры тела в
зависимости от времени, описывается уравнением Щг — k(T — to), где
T(t) — температура тела в момент времени £, к — коэффициент про-
порциональности, to — температура воздуха (среды охлаждения);
• зависимость массы х вещества, вступившего в химическую реакцию,
от времени t во многих случаях описывается уравнением Щ = к • х,
где к — коэффициент пропорциональности;
• «закон размножения бактерий» (зависимость массы га бактерий от
времени t) описывается уравнением raj = к • га, где к > 0;
• закон изменения давления воздуха в зависимости от высоты над
уровнем моря описывается уравнением -М- = —кр, где p(h) — атмо-
сферное давление воздуха на высоте Л, к > 0.
Уже приведенные примеры указывают на исключительно важную
роль дифференциальных уравнений при решении самых разнообразных
задач.
§2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
2.1. Основные понятия
Дифференциальное уравнение первого порядка в общем случае можно
записать в виде
F(x;y;y')=0. (2.1)
Уравнение связывает независимую переменную х, искомую функцию у и
ее производную у'. Если уравнение (2.1) можно разрешить относительно
?/', то его записывают в виде
y' = f(x;y) (2.2)
и называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производ-
ной. Мы в основном будем рассматривать эту форму записи ДУ.
Уравнение (2.2) устанавливает связь (зависимость) между координата-
ми точки (х\у) и угловым коэффициентом у' касательной к интегральной
кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ у' = /(ж; у) дает
совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Оху. Таково
геометрическое истолкование ДУ первого порядка.
Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, назы-
вается изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного
построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить,
если положить у' = с, т. е. /(я; у) = с.
Пример 2.1. С помощью изоклин начертить вид интегральных кривых
уравнения у' = 2х.
и

О Решение: Уравнение изоклин этого ДУ
будет 2х = с, т. е. изоклинами здесь будут
прямые, параллельные оси Оу (х = ^). В
точках прямых проведем отрезки, образую-
щие с осью Ох один и тот же угол а, тангенс
которого равен с.
Так, при с = О имеем х = О, tga = О,
поэтому a = 0;
при с = 1 уравнение изоклины х = ^,
поэтому tg a = 1 и a = 45°;
при с = —1: х = —1 tga = —1, а = —45°;
при с = 2: а; = 1, tg a = 2, а = arctg 2 « 63°
и т. д. Рис. 2.
Построив четыре изоклины и отметив на
каждой из них ряд стрелочек, наклоненных
к оси Ох под определенным углом (см. рис. 2), по их направлениям строим
линии. Они, как видно, представляют собой семейство парабол. •
Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относи-
тельно производной, можно записать в дифференциальной форме:
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = 0,
(2.3)
где Р(х;у) и Q(x;y) — известные функции. Уравнение (2.3) удобно тем,
что переменные х и у в нем равноправны, т. е. любую из них можно рас-
сматривать как функцию другой. Отметим, что от одного вида записи ДУ
можно перейти к другому.
Интегрирование ДУ в общем случае приводит к бесконечному множе-
ству решений (отличающихся друг от друга постоянными величинами).
Легко догадаться, что решением уравнения у' = 2х является функция
у = ж2, а также у = х2 + 1, у = х2 — у/2 и вообще у — х2 + с, где с — const.
Чтобы решение ДУ приобрело конкретный смысл, его надо подчинить
некоторым дополнительным условиям.
Условие, что при х = хо функция у должна быть равна заданному
числу 2/о 5 т. е. у = уо называется начальным условием. Начальное условие
записывается в виде
y(x0) = 2/o или у I = у0.
(2.4)
Общим решением ДУ первого порядка называется функция у =
= <р(х;с), содержащая одну произвольную постоянную и удовлетворяю-
щая условиям:
1. Функция ip(x;c) является решением ДУ при каждом фиксированном
значении с.
2. Каково бы ни было начальное условие (2.4), можно найти такое зна-
чение постоянной с = Со, что функция у = ip(x; Co) удовлетворяет данному
начальному условию.
12

Частным решением ДУ первого порядка называется любая функ-
ция у = (f{x;co), полученная из общего решения у = (р(х;с) при конкрет-
ном значении постоянной с = Cq.
Если общее решение ДУ найдено в неявном виде, т. е. в виде уравне-
ния Ф(х;у;с) — О, то такое решение называется общим интегралом ДУ.
Уравнение Ф(х;у,со) = 0в этом случае называется частным интегралом
уравнения.
С геометрической точки зрения у = ц>(х; с) есть семейство интеграль-
ных кривых на плоскости Оху\ частное решение у — ip(x;co) — одна кри-
вая из этого семейства, проходящая через точку (хо;уо).
Задача отыскания решения ДУ первого порядка (2.3), удовлетворяю-
щего заданному начальному условию (2.4), называется задачей Когии.
Теорема 2.1 (существования и единственности решения задачи Коши). Если
в уравнении (2.2) функция f(x;y) и ее частная производная fy(x;y) непрерывны в
некоторой области D, содержащей точку (х*о;2/о). то существует единственное реше-
ние у = ip(x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию (2.4).
(Без доказательства).
Геометрический смысл теоремы состоит в том, что при выполнении ее
условий существует единственная интегральная кривая ДУ, проходящая
через точку (х0;у0).
Рассмотрим теперь методы интегрирования ДУ первого порядка опре-
деленного типа.
2.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Наиболее простым ДУ первого порядка является, уравнение вида
Р(х) • dx + Q(y) dy = 0. (2.5)
В нем одно слагаемое зависит только от ж, а другое — от у. Иногда такие
ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегриро-
вав почленно это уравнение, получаем:
fp(x)-dx + fQ(y)'dy = c
— его общий интеграл.
\
Пример 2.2. Найти общий интеграл уравнения х • dx + у • dy = 0.
О Решение: Данное уравнение есть ДУ с разделенными переменными.
Поэтому х • dx — у • dy = С\ или Щ Щ- = С\. Обозначим ^ = с\.
Тогда х1 — у1 — с — общий интеграл ДУ. О
Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися пере-
менными, которые имеют вид
Рг{х) • Qi(y) • dx + P2(x) • Q2(y) ■ dy = 0. (2.6)
13

Особенность уравнения (2.6) в том, что коэффициенты при dx и dy
представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых
зависит только от х, другая — только от у.
Уравнение (2.6) легко сводится к уравнению (2.5) путем почленного
деления его на Qi(y) • Лг(^) Ф 0. Получаем:
Р2{х) Qi(y) J Р2(х) J Qi{y)
— общий интеграл.
Замечания. 1. При проведении почленного деления ДУ на Q\{y) ^(я)
могут быть потеряны некоторые решения. Поэтому следует отдельно ре-
шить уравнение Q\ (у) • Р2{х) = 0 и установить те решения ДУ, которые не
могут быть получены из общего решения, — особые региенгля.
2. Уравнение у' = /i(x) • /2(2/) также сводится к уравнению с разделен-
ными переменными. Для этого достаточно положить у' = -Д и разделить
переменные.
3. Уравнение у' = f(ax + by + с), где а, Ь, с — числа, путем замены
ах + by + с = и сводится к ДУ с разделяющимися переменными. Диффе-
ренцируя по х, получаем:
du , dy du _ _, ч
—- = а + 6- —> т.е. — = a + b-f(u),
dx dx dx
откуда следует
du
;—77-7 = dx.
a + b- f(u)
Интегрируя это уравнение и заменяя и на ах + by + с, получим общий
интеграл исходного уравнения.
Пример 2.3. Решить уравнение (у + ху) • dx + (х — ху) • dy = 0.
О Решение: Преобразуем левую часть уравнения:
у • (1 + х) - dx + х • (1 — у) • dy = 0.
Оно имеет вид (2.6). Делим обе части уравнения на ху ф 0:
1 + ж , 1 — у ,
dx + dy = 0.
х ?/
Решением его является общий интеграл х + In \х\ + \n\y\ — у = с, т. е.
In \xy\ Л- х — у — с.
Здесь уравнение Qi(y) • Лг(^) = 0 имеет вид ху = 0. Его решения х = 0,
у = 0 являются решениями данного ДУ, но не входят в общий интеграл.
Значит, решения х = 0, у = 0 являются особыми. •
Пример 2.4- Решить уравнение у' = —У-, удовлетворяющее условию
2/(4) = 1.
14

О Решение: Этот пример представляет собой решение задачи 2 из п. 1.2.
Имеем: -Л- = — У- или -^ = — —. Проинтегрировав, получим:
\n\y\ = 1п|с| - 1п|яг|,
т. е. у = — — общее решение ДУ.
Оно представляет собой, геометрически, семейство равносторонних ги-
пербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подста-
вим х = 4иу = 1в общее решение уравнения: 1 = £, с = 4.
Получаем: у — — — частное решение уравнения у' = — ^. •
Пример 2.5. Найти общее решение ДУ га • V = — к • V2.
О Решение: Этот пример демонстрирует решение задачи 1 из п. 1.2.
Приведем данное уравнение к виду (2.5):
m ~ = -kV2, m-dV + kV2dt = 0, % + — dt = 0.
dt V m
Интегрируем: Г ^ + — /dt = -с, т. е. -у + — t + с = 0. Отсюда
V = -г общее решение уравнения. •
т
2.3. Однородные дифференциальные уравнения
К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные
ДУ первого порядка.
Функция f(x;y) называется однородной функцией п-го порядка (из-
мерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный
множитель Л вся функция умножится на Лп, т. ё.
f(X-x;X-y) = Xn-f(x;y).
Например, функция f(x;y) — х2 — 2ху есть однородная функция вто-
рого порядка, поскольку
/(А • х; А • у) = (Ах)2 - 2(Хх)(Ху) = А2 • (х2 - 2ху) = А2 • /(*; у).
Дифференциальное уравнение
y' = f(x;y) (2.7)
называется однородным, если функция f(x;y) есть однородная функция
нулевого порядка.
Покажем, что однородное ДУ (2.7) можно записать в виде
k=H!)-l (2-8)
15

Q Если f(x;y) — однородная функция нулевого порядка, то, по опреде-
лению, f(x;y) = f(\x;\y). Положив Л = —, получаем:
/<«»МИ)='М)=*(!)•
Однородное уравнение (2.8) преобразуется в уравнение с разделяющи-
мися переменными при помощи замены переменной (подстановки)
У
— = и
X
или, что то же самое,
у = и • х.
(2.9)
Действительно, подставив у — их и у' = и'х + и ъ уравнение (2.8),
получаем и'х + и = ip(u) или х • Щ. — ф(и) — и, т. е. уравнение с разделя-
ющимися переменными. Найдя его общее решение (иди общий интеграл),
следует заменить в нем и на, У-. Получим общее решение (интеграл) ис-
ходного уравнения.
Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме:
Р(х; y)-dx + Q(x; y).dy = 0.\ (2.10)
ДУ (2.10) будет однородным, если Р(х; у) и Q(x; у) — однородные функции
одинакового порядка.
Переписав уравнение (2.10) в виде -Л- = — ~S /ч и применив в правой
части рассмотренное выше преобразование, получим уравнение у'=<р( ^ J.
При интегрировании уравнений вида (2.10) нет необходимости предва-
рительно приводить их (но можно) к виду (2.8): подстановка (2.9) сразу
преобразует уравнение (2.10) в уравнение с разделяющимися переменны-
ми.
Пример 2.6. Найти общий интеграл уравнения
(х2 — у2) - dx + 2ху • dy = 0.
О Решение: Данное уравнение однородное, т. к. функции Р(х; у) — х2 —у2
и Q(x;y) = 2ху — однородные функции второго порядка.
Положим у — и • х. Тогда dy — х • du -f и • dx. Подставляем в исходное
уравнение:
(х2 — и2х2) • dx -f 2x • их • х • du + 2х • их • и • dx,
х2(1 - и2 + 2и2) • dx + 2их3 du = 0,
(1 + и2) - dx + 2их • du = 0,
последнее — уравнение с разделяющимися переменными. Делим перемен-
ные dx 2u
h ту -du = 0
х 1 + гГ
16

и интегрируем
ln|x|+ln(l + u2) =сь ln(|x| - (1 + u2)) =сь |x|(l+u2) = eCl.
Обозначим с = eCl, с > 0. Тогда
\x\ • (1 + u2) = c.
Заменяя ина % получаем: х2 + у2 — ex — общий интеграл исходного
уравнения.
Отметим, что данное уравнение можно было сначала привести к ви-
ДУ (2.8):
•2 2 dy dy y2-x2 . (5)2-1
Затем положить у = и • х, тогда у' = w'x + u и т. д. •
Замечание. Уравнение вида у' = f( —=-^—■ ), где а, Ь, с, а\, Ь\,
к * J \aix + biy + ci/' ' ' ' ' '
ci — числа, приводится к однородному или с разделяющимися перемен-
ными. Для этого вводят новые переменные и и v, положив х = и + а,
у = у + /3, где а и /3 — числа. Их подбирают так, чтобы уравнение стало
однородным.
Пример 2.7. Найти общий интеграл уравнения
(x + 2y + l)-dx-(2x + y-l)-dy = 0,
, х + 2у + 1
T-e-y/=2s + ii-r
О Решение: Положив х = и + а, у = v + 0, получаем:
dx = du, dy = dv;
, _ dy _ dv _ и + a + 2v + 2/3 + 1 _ w + 2v + (a + 2/3 + 1)
У ~ dx ~ da ~ 2u + 2a + v + fi-l ~ 2u + v + (2a + /3 - 1)'
Подберем a и /З так, чтобы
(a+ 2/3+ 1 = 0,
[2a+ /3-1 = 0.
Находим, что a = 1, /3 = — 1. Заданное уравнение примет вид
dv _ u + 2v
du 2u + v
и будет являться однородным. Его решение получается, как это было по-
казано выше, при помощи подстановки v = tu. Заметим, что, решив его,
следует заменить и и v соответственно на х- 1 и у + 1. В итоге получим
(у — х + 2)3 = с(х + у) — общий интеграл данного уравнения. •
17

2.4. Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Дифференциальное уравнение первого порядка называется линей-
ным, если его можно записать в виде
у'+р(х)-у = д(х), (2.11)
где р(х) и д(х) — заданные функции, в частности — постоянные.
Особенность ДУ (2.11): искомая функция у и ее производная у' входят
в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.
Рассмотрим два метода интегрирования ДУ (2.11) — метод И. Бернул-
ли и метод Лагранжа.
Метод И. Бернулли
Решение уравнения (2.11) ищется в виде произведения двух других
функций, т. е. с помощью подстановки у = uv, где и = и(х) и v = v(x) —
неизвестные функции от х, причем одна из них произвольна (но не равна
нулю — действительно любую функцию у(х) можно записать как
v(x}
у(х) = -г- • v(x) = и(х) • v(x),
v(x)
где v(x) ф 0). Тогда у' = и' • v + и • v'. Подставляя выражения у и у' в
уравнение (2.11), получаем: и' • v + и • г/ + р(х) • и • v = g(x) или
и' • v + и • (г/ + р(х) • v) = g(x). (2.12)
Подберем функцию v = v(x) так, чтобы выражение в скобках было рав-
но нулю, т. е. решим ДУ г/ + р(х) • v = 0. Итак, 4^ + р(х) • v = 0, т. е.
— = —р{х) • dx. Интегрируя, получаем:
In \v\ = - р(х) • dx + In |c|.
Ввиду свободы выбора функции v(x), можно принять с = 1. Отсюда
v = e-fp(x).dx
Подставляя найденную функцию v в уравнение (2.12), получаем
u''e-fpWdx=g(x).
Получено уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его:
^ . e-fp(x).dx = ^ du = д(х) . e+fp(*)-dxdx^
dx
u^ J g(x)-eS^x)dxdx + c.
Возвращаясь к переменной у, получаем решение
y = u-v= (fg(x)-efp^dxdx + cS\ .e~***>** (2.13)
исходного ДУ (2.11).
18

dv с
— = — р(х) • dx и \n\y\ = — р{х) • dx + In |ci |.
У J
Таким образом,
= e-fp(x)-dx^ T e
у = ±Cle~ f p{x)'dx или y = c-e-fp(<x)'dx, где с=±с1.
Метод вариации произвольной постоянной состоит в том, что посто-
янную с в полученном решении заменяем функцией с(х), т. е. полагаем
с = с(х). Решение уравнения (2.11) ищем в виде
y = c(x)-e-fp(x)dx. (2.14)
Находим производную1:
у' = с'(х)ехр( - p(x)dx) + с(х)ехр(- p(x)dx) • (—р(ж)).
Подставляем значения у и у' в уравнение (2.11):
с'(а;)ехр[- p(x)dx) - с(х)р(х) ехр(- p(x)dx) +
+ с(х)р(х) exp ( — p(x)dx) = g(x).
Второе и третье слагаемые взаимно уничтожаются, и уравнение примет
вид ( .
c'(x)expf— p(x)dx) = g(x).
Следовательно,
dc(x) = g(x) expf / p(x) dx) • dx.
!Для удобства записи пользуемся обозначением eF^ — exp(F(#)).
19
Пример 2.8. Проинтегрировать уравнение у' + 2ху = 2х.
О Решение: Полагаем у = и • v. Тогда и' • v + и • v' + 2х • uv = 2х, т. е.
и' - v + и • (v* + 2xv) — 2х. Сначала решаем уравнение v' + 2х • v = 0:
^ г» i 1 i i 2 -ж2
— = — 2х • ах, In |г;| = — х , и = е .
г;
2
Теперь решаем уравнение г/ • е~х + и -0 = 2х, т. е.
du т2 1 /" Л т2 i т2
— = 2ж • е , аи—\2хе • ах, и = е + с.
ах J
Итак, общее решение данного уравнения есть у = и • v = (ех + с) • е~х ,
_ 2 ^
т. е. у = 1 + с- е х . 9
Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)
Уравнение (2.11) интегрируется следующим образом.
Рассмотрим соответствующее уравнение без правой части, т. е. урав-
нение у1 + р(х) • у = 0. Оно называется линейным однородным ДУ первого
порядка. В этом уравнении переменные делятся:

Интегрируя, находим:
с(х) = / д(х) • expf / р(х) dx) - dx + с.
Подставляя выражение с(х) в равенство (2.14), получим общее решение
ДУ (2.11):
у — д(х) • exp( / р(х) dx) • dx + с • ехр( — / р(х) dx).
Естественно, та же формула была получена методом Бернулли (ср.
с (2.13)).
Пример 2.9. Решить пример 2.8 методом Лагранжа.
О Решение: Решаем уравнение у' + 2ху — 0. Имеем -^ = — 2х • dx, или
у = с-е~х . Заменяем с на с(х), т. е. решение ДУ у' + 2ху = 2х ищем в виде
2
2/ = с(х) • е~х . Имеем
у' = с'(х) • е~х2 + с(х) • е~х2 • (-2а;).
Тогда
с'(ж) • е~х - 2хс(х) • е~х + 2хс(х) • е-* = 2ж, т. е. с'(ж) • е~х = 2х,
или с(х) = / 2х - ех • с?х, или с(дг) = ех + с. Поэтому у = [ех + с) • е_а: ,
или у = 1 + с • е_х — общее решение данного уравнения. •
Замечание. Уравнение вида [х • Р(у) + Q(у)) • у' = R(y), где Р(у), Q(y),
R(y) ф 0 — заданные функции, можно свести к линейному, если х счи-
тать функцией, а у — аргументом: х = х(у). Тогда, пользуясь равенством
?/ - _L по™чярм x-p(y) + Q(y) - R(l,\ T p r/ _ ^Ы . r _ QM _
Ух ~ x'y> полУчаем ? " КУУ>> т' e' x R(y) x ~ R{y)
линейное относительно х уравнение. Его решение ищем в виде х = и • г;,
где и — и(у), v = v(y) — две неизвестные функции.
Пример 2.10. Найти общее решение уравнения (х + у) - у* = 1.
Q Решение: Учитывая, что у' = ^у, от исходного уравнения переходим к
линейному уравнению х' = х + у.
Применим подстановку х = и • v. Тогда х' = и' • v + и • v'. Получаем:
и' • v + и • v1 = и • v + 2/, или г/ • v + м(г/ — v) = у.
Находим функцию v: v' — v = 0, — = dy, v — ey.
Находим функцию и: и'-еу+и-0 = у, т. е. и' — у-еГу, или и = y-e~y-dy.
Интегрируя по частям, находим: и = —у - е~у — е~у + с.
Значит, общее решение данного уравнения:
х = и • v = (—у • е~у — е~у + с) • еу,
или х = —у — 1 -\- с - еу. •
20

Уравнение Я. Бернулли
Уравнение вида
у'+р(х)-у = д(х)-уп, пеШ, пфО, пф\ (2.15)
называется уравнением Бернулли. Покажем, что его можно привести
к линейному.
Если п = О, то ДУ (2.15) — линейное, а при п = 1 — с разделяющимися
переменными.
В общем случае, разделив уравнение (2.15) на уп ф 0, получим:
у-п-у'^р(х)'у-п^=д(х). (2.16)
Обозначим y~n+l = z. Тогда z' = 4^ = (1 — п) • у~п • у'. Отсюда находим
у-п . у/ _ _£_— Уравнение (2.16) принимает вид
z1 +р(х) • z = д(х).
1 — п
Последнее уравнение является линейным относительно z. Решение его
известно. Таким образом, подстановка z = y~n+l сводит уравнение (2.15)
к линейному. На практике ДУ (2.15) удобнее искать методом И. Бернулли
в виде у = и - v (не сводя его к линейному).
2.5. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий
множитель
Уравнение
P(x;y)dx + Q(x;y)dy = 0 (2.17)
называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая
часть есть полный дифференциал некоторой функции и(х;у), т. е.
Р(х; у) dx + Q(x; у) dy = du(x; у).
В этом случае ДУ (2.17) можно записать в виде du(x;y) = 0, а его
общий интеграл будет:
и(х;у)=с. (2.18)
Приведем условие, по которому можно судить, что выражение
Д = Р(х; у) dx + <2(х; у) dy
есть полный дифференциал.
Теорема 2.2. Для того чтобы выражение Д = Р(х; у) dx + Q(x; у) dy, где функции
Р(х; у) и Q(x] у) и их частные производные Ш- и -J*- непрерывны в некоторой обла-
сти D плоскости Оху, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно
выполнение условия л_ лл
21

А так как смешанные частные производные г? \ и rP ^ равны между
собой (см. Часть 1, п. 44.2), получаем (2.19).
Достаточность
Пусть в области D выполняется условие (2.19). Покажем, что суще-
ствует функция и(х; у) в области D такая, что
du(x; у) = Р(х; у) dx + Q(x; у) dy.
Найдем эту функцию. Искомая функция должна удовлетворять требова-
ниям:
^-=р(Х;у)И^=д(Х;у). (2.20)
Если в первом уравнении (2.20) зафиксировать у и проинтегрировать
его по х, то получим:
и(х- у) = J Р(х] у) dx + if (у). (2.21)
Здесь произвольная постоянная с = <р(у) зависит от у (либо является
числом). В решении (2.21) не известна лишь <р(у). Для ее нахождения
продифференцируем функцию (2.21) по у:
g = (/P(*;,)«fc);+ •(,)•
Используя второе равенство (2.20), можно записать:
Q{x;y)= (j P{x;y)dx)' +^Ы-
Отсюда
¥>'(») = Q&V) ~ (/P(x;y)dx)'. (2.22)
В равенстве (2.22) левая часть зависит от у. Покажем, что и правая часть
равенства зависит только от у.
22
Q Пусть А есть полный дифференциал, т. е.
Учитывая, что du(x; у) = Ф^ dx + Ф^ dy (см. Часть 1, п. 44.3), имеем:
Дифференцируя эти равенства по у и по х соответственно, получаем

Для этого продифференцируем правую часть по х и убедимся, что
производная равна нулю. Действительно,
Пример 2.11. Решить уравнение у' = 2 —\.
оу + х
О Решение: Запишем уравнение в дифференциальной форме:
(2ху - 5) dx + (Зу2 + х2) dy = 0.
Здесь Р(х;у) = 2ху — 5, Q(x;y) = Зу2 + х2. Проверяем выполнение уело-
вия (2.19): ^^ ^^ d_P = d_Q
ду дх ' ду дх
Следовательно, данное уравнение есть уравнение в полных дифференци-
алах. Условия (2.20) будут здесь выглядеть как
Отсюда имеем
uix\ У) = I (2ХУ -5)dx = x2y - Ъх + tp(y);
ди
— = (х2у - Ъх + (f(y)Yy = х2 + if1 (у).
Далее
Зу2 + х2 = х2 + ip'(у), ip'[у) = Зу2,
<Р(у) =У3 + сь и{х\у) = х2у-Ъх + у3 + сь
Общим интегралом является х2у — Ъх + у3 + с\ = С2, или х2у — Ъх + у3 — с,
где с = с2 - с\.
23
в силу условия (2.19).
Из равенства (2.22) находим <р(у):
Подставляя найденное значение для ср(у) в равенство (2.21), находим
функцию и(х] у) такую, что du{x\ у) = Р(х\ у) dx + Q(x; у) dy. Ш
Таким образом, при решении ДУ вида (2.17) сначала проверяем вы-
полнение условия (2.19). Затем, используя равенства (2.20), находим
функцию и(х\у). Решение записываем в виде (2.18).

24
Если условие (2.19) не выполняется, то ДУ (2.17) не является уравне-
нием в полных дифференциалах.
Однако это уравнение иногда можно привести к уравнению в полных
дифференциалах умножением его на некоторую функцию t(x;y), называ-
емую интегрирующим множителем.
Чтобы уравнение t(x; у) • Р(х; у) dx + t(x; у) • Q(x; у) dy = О было урав-
нением в полных дифференциалах, должно выполняться условие
Выполнив дифференцирование Ф- • Р + Ш- -t = Ф- • Q + -р?- • t и приведя
подобные слагаемые, получим
Для нахождения t(x;y) надо проинтегрировать полученное ДУ в част-
ных производных. Решение этой задачи не простое. Нахождение интегри-
рующего множителя может быть упрощено, если допустить существование
t как функции только одного аргумента х либо только у. Пусть, например,
t = t(x). Тогда уравнение (2.23) принимает вид
Отсюда
ЭР dQ
При этом выражение у —— должно зависеть только от х.
Аналогично получаем, что если t = t(y) (t не зависит от х), то
а подынтегральное выражение должно зависеть только от у.
Пример 2.12. Решить уравнение (х2 — у) • dx + (х2у2 + х) • dy = 0.
О Решение: Здесь ^ = -1; g = 2ху2 + 1, т. е. §£ ф |g. Однако
зависит только от х.
Следовательно, уравнение имеет интегрирующий множитель, завися-
щий только от х, выражение которого может быть получено при помощи
формулы (2.24). В нашем случае получим, что

Умножая исходное уравнение на t = -Ду, получаем:
х
(1-£)*+(,»+ 1)4, = о,
2.6. Уравнения Лагранжа и Клеро
Рассмотрим дифференциальные уравнения, неразрешенные относи-
тельно производной. К ним, в частности, относятся уравнения Лагранжа
и Клеро.
Уравнение Лагранжа
Уравнение вида
где ip и ф — известные функции от у' — -#, называется уравнением
Лагранэюа.
Введем вспомогательный параметр, положив у' = р. Тогда уравне-
ние (2.25) примет вид
у = х-<р(р)+ф(р). (2.26)
Дифференцируя по х, получим:
т.е.р- <р(р) = (х • ц>'(р) + ф'(р)) - ■£;, или
Исключая параметр р из уравнений (2.26) и (2.28), получаем общий инте-
грал уравнения (2.25) в виде у = ^(х^с).
Отметим, что, переходя к уравнению (2.27), мы делили на -Я. При этом
могли быть потеряны решения, для которых -&- = О, т. е. р = ро = const.
Это значение ро является корнем уравнения р — (р(р) = 0 (см. (2.27)).
Решение у = х • ip(po) + Ф(ро) является особым для уравнения (2.25)
(см. понятие особого решения в п. 2.2).
25
Уравнение (2.27) есть линейное уравнение относительно неизвестной
функции х — х{р). Решив его, найдем:
т. е. уравнение в полных дифференциалах! Решив его, найдем, что общий
интеграл заданного уравнения имеет вид

Уравнение Клеро
Рассмотрим частный случай уравнения Лагранжа при ф(у') = у'.
Уравнение (2.25) принимает вид
у = х-у' + ф(у') (2.29)
и называется уравнением Клеро.
Положив у' = р, получаем:
у = хр + ф(р). (2.30)
Дифференцируя по ж, имеем:
р = р + х • -j- + ф'(р) • -£, или (х + ф'(р)) ~ = 0-
ах ах ах
Если -^ = 0, то р — с. Поэтому, с учетом (2.30), ДУ (2.29) имеет общее
решение
у = хс + ф(с). (2.31)
Если х + ф'{р) = 0, то получаем частное решение уравнения в параме-
трической форме:
х = -ф'(р), у = хр + ф{р). (2.32)
Это решение — особое решение уравнения Клеро: оно не содержится в
формуле общего решения уравнения.
Пример 2.13. Решить уравнение Клеро у = ху' + у' .
О Решение: Общее решение, согласно формуле (2.31), имеет вид у — сх-\-с2.
Особое решение уравнения получаем согласно формулам (2.32) в виде
2 2 2
х — —2р, у = хр + р2. Отсюда следует: у = — ^-Н-^-,т. е. у — — ^-. •
§3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
3.1. Основные понятия
Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ
высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в
виде
F(x;y,y';y")=0 (3.1)
или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей про-
изводной:
у" = f(x;y,y'). (3.2)
Будем в основном рассматривать уравнение вида (3.2): от него всегда
можно перейти к (3.1).
Решением ДУ (3.2) называется всякая функция у — <р{х), которая
при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
26

Общим решением ДУ (3.2) называется функция у = <р(х; с\ш, С2), где
Ci и С2 — не зависящие от х произвольные постоянные, удовлетворяющая
условиям:
1. <р(х; с\; Сг) является решением ДУ для каждого фиксированного зна-
чения С\ И С2-
2. Каковы бы ни были начальные условия
существуют единственные значения постоянных с\ = cj и с2 = с^ такие,
что функция у = (р(х; с®; с®) является решением уравнения (3.2) и удовле-
творяет начальным условиям (3.3).
Всякое решение у = ч>{х\ с\\ (%) уравнения (3.2), получающееся из об-
щего решения у=(р(х; с\; сг) при конкретных значениях постоянных с\ =с?,
С2 = с®, называется частным решением.
Решения ДУ (3.2), записанные в виде <J>(#;2/;ci;c2)=0, Ф(аг;2/;с?;с2)=0,
называются общим и частным интегралом соответственно.
График всякого решения ДУ второго порядка называется интеграль-
ной кривой. Общее решение ДУ (3.2) представляет собой множество ин-
тегральных кривых; частное решение — одна интегральная кривая этого
множества, проходящая через точку (#o; Уо) и имеющая в ней касательную
с заданным угловым коэффициентом у'(хо) — у'.
Переписав ДУ (3.1) в виде
видим, что ДУ второго порядка устанавливает связь между координатами
точки (х; у) интегральной кривой, угловым коэффициентом к = у' каса-
тельной к ней и кривизной К — у л 0/0 в точке (х: г/). В этом состоит
(1 + 2/ )3/2
геометрическое истолкование ДУ второго порядка.
Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения ре-
шения ДУ (3.2), удовлетворяющего заданным начальным условиям (3.3),
называется задачей Коти.
Теорема 3.1 (существования и единственности задачи Коши). Если в уравне-
нии (3.2) функция f{x]y;y') и ее частные производные f'y и /', непрерывны в неко-
торой области D изменения переменных х, у и у', то для всякой точки (хо; уо\ y'0)€D
существует единственное решение у = (р(х) уравнения (3.2), удовлетворяющее на-
чальным условиям (3.3).
Примем теорему без доказательства.
Аналогичные понятия и определения имеют место для ДУ п-го поряд-
ка, которое в общем виде записывается как
F(x;y;y';y";...;y^)=0,
27

если его можно разрешить относительно старшей производной.
Начальные условия для ДУ (3.4) имеют вид
Общее решение ДУ n-го порядка является функцией вида
у = у>(ж;с1;с2;...;сп),
содержащей п произвольных, не зависящих от х постоянных.
Решение ДУ (3.4), получающееся из общего решения при конкретных
значениях постоянных с\ = с®, С2 = с®, ..., сп = с£, называется частным
решением.
Задача Коши для ДУ n-го порядка: найти решение ДУ (3.4), удовле-
творяющее начальным условиям (3.5).
Проинтегрировать (решить) ДУ п-го порядка означает следующее:
найти его общее или частное решение (интеграл) в зависимости от того,
заданы начальные условия или нет.
Задача нахождения решения ДУ n-го порядка сложнее, чем первого.
Поэтому рассмотрим лишь отдельные виды ДУ высших порядков.
3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является ме-
тод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью заме-
ны переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок
которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение
Порядок можно понизить, введя новую функцию р(х), положив у' = р(х).
Тогда у" = р'(х) и получаем ДУ первого порядка: р' — f(x). Решив его,
т. е. найдя функцию р = р(х), решим уравнение у' = р{х). Получим общее
решение заданного уравнения (3.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно
путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как у" = {у')' = -#-, уравнение (3.6) можно записать в виде
dy' = f(x)dx. Тогда, интегрируя уравнение у" = f(x), получаем: у' =
= / f(x) dx, или у' = (fi(x) + c\. Далее, интегрируя полученное уравнение
по х, находим: у = / {(fi(x) + c\)dx, т. е. у = <р2{х) + с\х + с? — общее
решение данного уравнения.
Если дано уравнение , ч
28
или

то, проинтегрировав его последовательно п раз, найдем общее решение
/ \ ТП~1 ХП~2
уравнения: у = ipn(x) + с\ • , _ ^ + с2 • , _ ^\\ Н + сп-
Пример ЗА. Решить уравнение yIV = sin2x.
Q Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение,
получим
II. Пусть дано уравнение
we содержащее явно искомой функции у.
Обозначим у' — р, где р = р(х) — новая неизвестная функция. Тогда
у" = р' и уравнение (3.7) принимает вид р' = f(x;p). Пусть р = ip(x;ci) —
общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию р на
у', получаем ДУ: у' = ip(x',c\). Оно имеет вид (3.6). Для отыскания у
достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение урав-
нения (3.7) будет иметь вид у = ip(x; c\) dx + с2.
Частным случаем уравнения (3.7) является уравнение
У" = f(y'),\ (3.8)
не содержащее также и независимую переменную х. Оно интегрируется
тем же способом: у' = р(х), у" = р' = -Д. Получаем уравнение р' = f(p) с
разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида
F(x;j/(fc>;j/<fc+1>;...;j/(">) = 0,
(3.9)
которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок мож-
но понизить на к единиц, положив у(к) = р(х). Тогда у(к+х) — р'; ...;
у(п) _ р(п-к) и уравнение (3.9) примет вид F(x;p;p';... ;j/n~*)) = 0.
Частным случаем уравнения (3.9) является уравнение
ИЛИ
у(")=/(х;у("-1)).
С помощью замены у(п ^ = р(х), у^ = р' это уравнение сводится к ДУ
первого порядка.
29

которое не содержит явно независимой переменной х.
Для понижения порядка уравнения введем новую функцию р = р(у),
зависящую от переменной у, полагая у' = р. Дифференцируем это равен-
ство по х, учитывая, что р = р{у(х)):
,, = d(y') = dp(y) = dp(y) dy_ = dp(y)
dx dx dy dx dy
т. e. y" — p • -P-. Теперь уравнение (3.10) запишется в виде р-Р-= f(y,p)-
Пусть р = ф(у;с\) является общим решением этого ДУ первого порядка.
Заменяя функцию р(у) на у', получаем у' = y>(y;ci) — ДУ с разделяю-
щимися переменными. Интегрируя его, находим общий интеграл уравне-
ния (3.10):
Частным случаем уравнения (3.10) является ДУ
Такое уравнение решается при помощи аналогичной подстановки: у' =р(у),
«'=>■%■
Так же поступаем при решении уравнения F(yyyf;y";.. .;у^) = 0.
Его порядок можно понизить на единицу, положив у' = р, где р = р(у). По
правилу дифференцирования сложной функции находим у" = p-j- Затем
найдем у'" = £(р-р'у) = ^(Р'Ру) • % = Р«Ру)2 +Р-$У) и т.д.
Замечание. Уравнение (3.8) также можно решать, применяя подста-
новку у' = р, где р = р(у).
Пример 3.3. Найти частное решение уравнения у" — (у*)2 + у'(у — 1) =0,
удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 2, у'(0) = 2.
О Решение: Уравнение имеет вид (3.10). Положив у' = р(у), у" = р • -fi,
получаем:
О Решение: Полагаем у' = р, где р = р(х), у" = р'.
Тогда р' — V- =0. Это уравнение с разделяющимися переменными:
JL _ 2^ JL — йх_т Интегрируя, получим 1п|р| = 1п|я| +ln|ci|, In \p\ =
= In \c\x\, р = с\х. Возвращаясь к исходной переменной, получим у1 = с\х,
, = С1^ + С2-общее решение уравнения. •
III. Рассмотрим уравнение
30

Так как р ф О (иначе у' = О, что противоречит начальному условию
у' = 2), то -j — Р + У — 1 = 0 — получили линейное ДУ первого порядка.
Проведем решение полученного линейного ДУ методом Бернулли
(п. 2.4). Полагаем р = и • v. Имеем: u'v + uv' — uv + у — 1 = 0, или
u'v + u(v' — v) = 1 — у.
Подберем функцию v так, чтобы v' — v = 0. Тогда — = dy, v = еу.
Получаем:
и' • еу -Ь гг • 0 = 1 — у, т. е. du = (1 — у) • е-!/ dy.
Интегрируя это равенство, находим, что и = — (1 — у) • е~у + е-у + сь
Следовательно,
p — uv — ((—1 + t/)e-2/ + е_?/ + с\) • е+2/, или р = с\еу + у.
Заменяя р на у', получаем: у' — с\-еу Л-у. Подставляя у' = 2и|/ = 2в это
равенство, находим с\\
2 = ае2 + 2, ci =0.
Имеем t/' = t/. Отсюда у — с^ех. Находим с-2 из начальных условий:
2 = С2в°, С2 = 2. Таким образом, у = 2ех — частное решение данного
ДУ. •
3.3. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Многие задачи математики, механики, электротехники и других тех-
нических наук приводят к линейным дифференциальным уравнениям.
Уравнение вида
Ы*)2/(п) + bi(z)v(n-l) + • • • + Ьп(х)у = д(х), (3.11)
где Ьо(х) ф 0, Ь\(х),..., Ьп(х),д(х) — заданные функции (от х), называется
линейным ДУ п-го порядка.
Оно содержит искомую функцию у и все ее производные лишь в пер-
вой степени. Функции bo(x), &i(x),..., bn(x) называются коэффициентами
уравнения (3.11), а функция д(х) — его свободным членом.
Если свободный член д(х) = 0, то уравнение (3.11) называется ли-
нейным однородным уравнением; если д(х) Ф 0Г то уравнение (3.11)
называется неоднородным.
Разделив уравнение (3.11) на Ьо(х) ф 0 и обозначив
^=а1(«),...,^=«я(*),^ =/(*),
Ьо(х) Ьо(х) Ьо[х)
запишем уравнение (3.11) в виде приведенного:
»<"> + oill)»'"-" + »2(1)»'"-21 + • • • + «„(I)» = /(X). (3.12)
Далее будем рассматривать линейные ДУ вида (3.12) и считать, что ко-
эффициенты и свободный член уравнения (3.12) являются непрерывными
функциями (на некотором интервале (а;Ь)). При этих условиях справед-
лива теорема существования и единственности решения ДУ (3.12) (см. те-
орему. 3.1).
31

3.4. Линейные однородные ДУ второго порядка
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение
(ЛОДУ) второго порядка:
у" + а1(х)у1+а2(х)у = 0\ (3.13)
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 3.2. Если функции у\ = у\(х) и у2 = у2(х) являются частными решениями
уравнения (3.13), то решением этого уравнения является также функция
У = ciyi(x) + с2у2(х), (3.14)
где с\ и с2 — произвольные постоянные.
Q Подставим функцию у = с\у\ + с2у2 и ее производные в левую часть
ЛОДУ (3.13). Получаем:
(ciyi + с2у2)" + ах(х) • (cij/i + с2у2)' + а2(х) • (cxyi + с2у2) =
= сху" + с2у2 + аг(х) • (ciy[ + с2у2) + a2(x) • (cij/i + с2у2) =
= ci(j/" + o,i(x) • у[ + а2(ж) • у) + c2(j/2 + ai(s)!/2 + a2(x)y2) =
= ci • 0 + с2 • 0 = О,
так как функции у\ иу2 — решения уравнения (3.13) и, значит, выражения
в скобках тождественно равны нулю.
Таким образом, функция у = С\у\ + с2у2 также является решением
уравнения (3.13). В
Из теоремы 3.2, как следствие, вытекает, что если у\ и у2 — решения
уравнения (3.13), то решениями его будут также функции у = у\ + у2 и
У = с-уг.
Функция (3.14) содержит две произвольные постоянные и является ре-
шением уравнения (3.13). Может ли она являться общим решением урав-
нения (3.13)?
Для ответа на вопрос введем понятие линейной зависимости и линей-
ной независимости функций.
Функции у\ = у\{х) и у2 = у2(х) называются линейно независимы-
ми на интервале (а; &), если равенство
«i2/i +ot2y2 = 0, (3.15)
где а\, а2 Е К, выполняется тогда и только тогда, когда а\ = а2 = 0.
Если хотя бы одно из чисел ot\ или а2 отлично от нуля и выполняется
равенство (3.15), то функции у\ и у2 называются линейно зависимыми
на (а; Ь).
Очевидно, что функции у\ и у2 линейно зависимы тогда и только то-
гда, когда они пропорциональны, т. е. для всех х Е (а; Ь) выполняется
равенство ^ = А, или у\ = \у2, А = const.
32

Например, функции у\ = Зех и уч — ех линейно зависимы: ^ = 3 ■ =
= const; функции у\ и у% = е2х — линейно независимы: ^L — Щ- — Зе_ж ф
Ф const; функции у\ — sinx и у$ = cosx являются линейно независимыми:
равенство а\ sinx + oleosa; = 0 выполняется для всех х Е Ш лишь при
ах = а2 = 0 (или ^- = tgx ф const).
Средством изучения линейной зависимости системы функций явля-
ется так называемый определитель Вронского или вронскиан (Ю. Врон-
ский — польский математик).
Для двух дифференцируемых функций у\ — у\{х) и y<i — 2/2 (#) врон-
скиан имеет вид
W(x) =
2/1 2/2
У[ 1/2
Имеют место следующие теоремы.
Теорема 3.3. Если дифференцируемые функции у\(х) и 2/2(2?) линейно зависимы
на (а; Ъ), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.
Q Так как функции у\ и у2 линейно зависимы, то в равенстве (3.15) зна-
чение а\ или с*2 отлично от нуля. Пусть а\ ф 0, тогда у\ = — ^У2\ поэтому
для любого х G (а; Ь)
Теорема 3.4. Если функции у\(х) и j/2(^) — линейно независимые решения урав-
нения (3.13) на (a; b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обра-
щается в нуль.
а
Доказательство теоремы опустим.
Из теорем 3.3 и 3.4 следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной
точке интервала (а;Ь) тогда и только тогда, когда частные решения
линейно независимы.
Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (а; Ь)
частных решений yi (х) и t/2 (#) ЛОДУ второго порядка определяет фунда-
ментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное
решение может быть получено как комбинация у = а\у\{х) + 0:22/2(#)•
Пример 3.4- Частные решения у\ = sin х и уч — cosx, 2/3 = 2 sin x и
у\ — 5 cos а: (их бесчисленное множество!) уравнения у" + у = 0 образуют
фундаментальную систему решений; решения же уь = 0 и у§ = cosx — не
образуют.
33

Теперь можно сказать, при каких условиях функция (3.14) будет об-
щим решением уравнения (3.13).
Теорема 3.5 (структура общего решения ЛОДУ второго порядка). Если два
частных решения у\ = у\{х) и у2 = 2/2(#) ЛОДУ (3.13) образуют на интервале (а;Ь)
фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция
У = ciyi +C22/2,
где с\ и С2 — произвольные постоянные.
(3.16)
Q Согласно теореме 3.2, функция (3.16) является решением уравнения
(3.13). Остается доказать, что это решение общее, т. е. что из него мож-
но выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным
начальным условиям
(3.17)
Решение у = c{{yi{x)-\-c^iy2{x) является частным решением (единственным,
в силу теоремы единственности) уравнения (3.13), удовлетворяющим на-
чальным условиям (3.17). Теорема доказана. ■
Пример 3.5. На основании теоремы 3.5 общим решением уравнения
у" + у = 0 (см. пример 3.4) является функция у = с\ sin х + С2 cosx.
3.5. Линейные однородные ДУ n-го порядка
Полученные результаты можно распространить на линейные однород-
ные дифференциальные уравнения n-го порядка, имеющие вид
у^ + <ц(х) • у^"1) + а2(х) • 2/п"2) + • • • + ап(х) • у = 0. (3.18)
34
равен значению вронскиана W(x) при х = х$.
Так как решения у\(х) и 2/2 (я) образуют фундаментальную систему
решений на (а; Ь) и хо € (а; Ь), то, согласно теореме 3.4, W(xo) ф 0. Поэтому
система уравнений имеет единственное решение:
где у о = у(хо), у'0 = у'(хо), с неизвестными с\ и с%.
Определитель этой системы
где х0 е (а;Ь).
Подставив начальные условия (3.17) в решение (3.14), получим систе-
му уравнений е

1. Если функции у\ = 2/i(x), t/2 = Уч{х), • • • ,2/п = Уп{х) являются част-
ными решениями уравнения (3.18), то его решением является и функция
У = Ci2/i + с22/2 + • • • + спуп.
2. Функции 2/i, 2/2? • • • ? 2/п называются линейно независимыми на (а; 6),
если равенство а\у\ + <*22/2 + • • • + #п2/п = 0 выполняется лишь в случае,
когда все числа оц = О (г = 1,2, ...,п); в противном случае (если хотя
бы одно из чисел а\ не равно нулю) функции 2/1? 2/2? • • • ,2/п — линейно
зависимы.
3. Определитель Вронского имеет вид
W(x) =
4. Частные решения 2/i, 2/2, • • • , 2/n уравнения (3.18) образуют фундамен-
тальную систему решений на (а; 6), если ни в одной точке этого интер-
вала вронскиан не обращается в нуль, т. е. W(x) ф 0 для всех х Е (а; 6).
5. Общее решение ЛОДУ (3.18) имеет вид у — с\у\ + С22/2 + 1- СпУп,
где С{ (г = 1,... ,п) — произвольные постоянные, 2/г — частные решения
уравнения (3.18), образующие фундаментальную систему.
Пример 3.6. Показать, что функции 2/i = вх, 2/2 = х • ех, уз = х2 • ех
образуют фундаментальную систему решений некоторого ЛОДУ третьего
порядка (дополнительно: составить это уравнение).
Ясно, что W(x) ф 0 для всех х Е М. Следовательно, данные функции
образуют фундаментальную систему решений ЛОДУ третьего порядка. В
общем виде ЛОДУ третьего порядка выглядит так:
2лх
у = ае + С2хе + сзх е
35
Подставив функции 2/i, 2/2 > 2/з в это уравнение, получим систему из трех
уравнений относительно функций а\(х), а,2(х), а$(х). Решая ее, получим
ЛОДУ у'" — Зу" + Зу' - у = 0; его общее решение:

§4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
4.1. Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами
Частным случаем рассмотренных выше линейных однородных диффе-
ренциальных уравнений являются ЛОДУ с постоянными коэффициента-
ми.
Пусть дано ЛОДУ второго порядка
у" +p.y' + q-y = 0,\ (4.1)
где р и q постоянны.
Для нахождения общего решения уравнения (4.1) достаточно найти
два его частных решения, образующих фундаментальную систему (см. те-
орему 3.5).
Будем искать частные решения уравнения (4.1) в виде
У = екх,
где к — некоторое число (предложено Л. Эйлером). Дифференцируя эту
функцию два раза и подставляя выражения для у, у' и у" в уравне-
ние (4.1), получим: к2 • екх + р • к • екх + q • екх — О, т. е.
екх • (А:2 + рк + q) = 0, или к2 + рк + q = 0 (екх ф 0). (4.2)
Уравнение (4.2) называется характеристическим уравнением
ДУ (4.1) (для его составления достаточно в уравнении (4.1) заменить у",
у' и у соответственно на А:2, А: и 1).
При решении характеристического уравнения (4.2) возможны следую-
щие три случая.
Случай 1. Корни к\ и к2 уравнения (4.2) действительные и различные:
кхфк2 (D = ^-9>0).
В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функ-
ции у\ = eklX и у2 = ек2Х. Они образуют фундаментальную систему реше-
ний (линейно независимы), т. к. их вронскиан
W(x) =
кгек1Х к2ек2Х
= k2e{kl+k2)x-kle{kl+k2)x = е{к1+к2)х-(к2-кг) ф 0.
у = CieklX + с2ек2Х.
Пример 4-1- Решить уравнение у" — by' + 6у — 0.
О Решение: Составим характеристическое уравнение: А:2 — 5к + 6 = 0.
Решаем его: к\ — 2^к2 — 3. Записываем общее решение данного уравнения:
у — с\е2х + с2е3х, где с\ и с2 — произвольные постоянные (формула (4.3)).
36
Следовательно, общее решение уравнения (4.1), согласно формуле (3.16),
имеет вид I ,

Случай 2. Корни к\ и к2 характеристического уравнения (4.2) действи-
тельные и равные: к\—к2 lD = ^v-— q = 0, к\ = к2 = — ё).
В этом случае имеем лишь одно частное решение у\ = eklX.
Покажем, что наряду с у\ решением уравнения (4.1) будет и у2 = xeklX.
Действительно, подставим функцию у2 в уравнение (4.1). Имеем:
2/2 +РУ2 +ЯУ2 = (xek*x)"+p(xek*x)'+q(xek*x) =
= (2kieklX + xkfeklX) + p(eklX + xkxeklX) + q(xeklX) =
= eklX(2ki +к1х + р + рхкх + qx) = eklX(x(k\ + pkx + q) + (p + 2кг)).
Ho k( + pk\ 4- g = 0, т. к. к\ есть корень уравнения (4.2); p + 2k\ = 0,
т. к. по условию к\ = к2 = — U.
Поэтому 2/2 +Р2/2 + 92/2 = 0, т. е. функция 2/2 = xeklX является решением
уравнения (4.1).
Частные решения у\ = eklX и у2 = xeklX образуют фундаментальную
систему решений: W(x) = e2klX ф 0. Следовательно, в этом случае общее
решение ЛОДУ (4.1) имеет вид
у = CieklX + c2xeklX.
(4.4)
Случай 3. Корни к\ и к2 уравнения (4.2) комплексные: к\ — а + /?г,
к2 = а - (3i (D = £ - q < 0, а = -|, /3 = yjq-1^ > 0).
В этом случае частными решениями уравнения (4.1) являются функ-
ции 2/1 = е(а+г/3)х и 2/2 = е^а~г^х. По формулам Эйлера (см. Часть 1,
п. 27.3)
ег<р = cos ip + г sin <р, е~щ — cos ^ — г sin <p
имеем
2/! = еах • ei0x = eQX cos/Зх + ieax sin/?x,
2/2 = eax • e_i/3aj = eQX cos/fo - геа* sin/Jz.
Найдем два действительных частных решения уравнения (4.1). Для
этого составим две линейные комбинации решений 2/i и у2:
2/1+2/2 а* /о - 2/1-2/2 ах • /о
-——2_ = еах cosрх — у\ и = еа sin/Зх = у2.
2 2г
Функции i/i и 5/2 являются решениями уравнения (4.1), что следует из
свойств решений ЛОДУ второго порядка (см. теорему 3.2).Эти решения
2/1 и 2/2 образуют фундаментальную систему решений, так как W(x) ф 0
(убедитесь самостоятельно!). Поэтому общее решение уравнения (4.1) за-
пишется в виде у — с\еах cos/fa + c2eax sin/fa, или
у = eax(ci cos/Зх + c2sin(3x). (4.5)
37

Пример 4-2. Решить уравнение у" — 6у' + 25у = 0.
О Решение: Имеем: к2 — 6к + 25 = 0, к\ = 3 + 4г, к2 = 3 - 4г. По форму-
ле (4.5) получаем общее решение уравнения:
у = е3х (ci cos Ax + С2 sin 4x). •
Таким образом, нахождение общего решения ЛОДУ второго поряд-
ка с постоянными коэффициентами (4.1) сводится к нахождению корней
характеристического уравнения (4.2) и использованию формул (4.3)-(4.5)
общего решения уравнения (не прибегая к вычислению интегралов).
4.2. Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными
коэффициентами
Задача нахождения общего решения ЛОДУ п-го порядка (п > 2) с
постоянными коэффициентами
У(п) + Р1У{п~1) + Р2У{п~2) + • • • + РпУ = 0, (4.6)
где pi, г = 1,п, — числа, решается аналогично случаю уравнения второго
порядка с постоянными коэффициентами.
Сформулируем необходимые утверждения и рассмотрим примеры.
Частные решения уравнения (4.6) также ищем в виде у = ekx, где к —
постоянное число.
Характеристическим для уравнения (4.6) является алгебраическое
уравнение n-го порядка вида
кп +p1kn~1 +р2кп~2 + ••• +Pn-ik+pn = 0. (4.7)
Уравнение (4.7) имеет, как известно, п корней (в их числе могут быть и
комплексные). Обозначим их через к\, к2, .. •, кп.
Замечание. Не все из корней уравнения (4.7) обязаны быть различ-
ными. Так, в частности, уравнение (А: — З)2 = 0 имеет два равных корня:
к\ = fc2 = 3. В этом случае говорят, что корень один (к = 3) и имеет
кратность rrik = 2. Если кратность корня равна единице: т* = 1, его
называют простым.
Случай 1. Все корни уравнения (4.7) действительны и просты (различ-
ны). Тогда функции у\ = ehlX, у2 = ек2Х, ..., уп = екпХ являются част-
ными решениями уравнения (4.6) и образуют фундаментальную систему
решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения (4.6)
записывается в виде
= cie*1* + с2ек2Х + • • • + спекпХ.
Пример 4-3. Найти общее решение уравнения у'" — 2у" — y' + 2y = Q.
О Решение: Характеристическое уравнение А:3 — 2к2 — к + 2 = 0 имеет
корни fci = — 1, к2 = 1, fc3 = 2. Следовательно, у = с\е~х + с2ех + с^е2х —
общее решение данного уравнения. •
38

Случай 2. Все корни характеристического уравнения действительные,
но не все простые (есть корни, имеющие кратность т > 1). Тогда каждому
простому корню к соответствует одно частное решение вида екх, а каждо-
му корню к кратности га > 1 соответствует т частных решений: екх, хекх,
хЪекх хт-\екх
Пример 4-4- Решить уравнение yIV — у'" — Зу" + by' — 2y = 0.
О Решение: Характеристическое уравнение
к4 - к3 - ЗА:2 + 5fc - 2 = (к + 2)(к - I)3 = О
имеет корни к\ — —2, Аъ = 1, &з = 1» &4 = 1- Следовательно,
у = с\е~2х + с2е* + с3яех + с4я2ех
— общее решение уравнения. •
Случай 3. Среди корней уравнения (4.7) есть комплексно-сопряженные
корни. Тогда каждой паре a±(3i простых комплексно-сопряженных корней
соответствует два частных решения еах cos/fa и еах sin/Зх, а каждой паре
а ± /3i корней кратности т > 1 соответствуют 2га частных решений вида
еах cosf3x,x • еах cosfix, ...,xm~l • еах cos /Зх;
еах sin/3x,x • еах sin/to,... ,xm_1 • еах sin/to.
Эти решения, как можно доказать, образуют фундаментальную систему
решений.
Пример 4-5. Решить уравнение yv +yIV + 2y,n + 2у" + у1 + у = 0.
О Решение: Характеристическое уравнение
А:5 + к4 + 2А:3 + 2fc2 + * + 1 = (* + 1)(А:4 + 2к2 + 1) = 0
имеет корни к\ = — 1, к-2 = г, кз = —г, к± = г, к$ = —г. Следовательно,
у = с\е~х + С2 • cos# + Сз • sinx 4- с\Х • cosx + С52; • sin я
— общее решение уравнения. •
§5. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ (ЛНДУ)
5.1. Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка
у" + аг(х)у' + а2(х)у = /(х), (5.1)
где ai(x), u2(x), f(x) — заданные, непрерывные на (a; b) функции. Уравне-
ние
V" + ах(х)у'+ 02(х)у = 0, (5.2)
левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (5.1), называется
соответствующим ему однородным уравнением.
39

Теорема 5.1 (структура общего решения Л НДУ). Общим решением у уравнения
(5.1) является сумма его произвольного частного решения 2/* и общего решения
У = ci2/i -I- С2У2 соответствующего однородного уравнения (5.2), т. е.
У = У* +У- (5.3)
Q Убедимся, что функция (5.3) — решение уравнения (5.1). Так как у*
есть решение уравнения (5.1), а у — решение уравнения (5.2), то
(ym)"+al(x)(y*)' + a2(x)y*=f(x) и (у)" + а^х)®)' + а2(х)у = 0.
В таком случае имеем:
(У* + У)" + «1 (Х)(У* + УУ + «2(i)(y* + у) =
= ((У7'+а1(х)(2/7+а2(х)|/*) + ((у)/'+а1(х)(ЙЧа2(х)у) = /(з)+0 = /(ж).
Это означает, что функция (у* + у) является решением уравнения (5.1).
Покажем теперь, что функция
У = У* +ci2/i +с22/2 (5.4)
является общим решением уравнения (5.1). Для этого надо доказать, что
из решения (5.4) можно выделить единственное частное решение, удовле-
творяющее заданным начальным условиям
у(х0) = 2/о, у'(х0) = 2/о- (5-5)
Продифференцировав функцию (5.4) и подставив начальные условия
(5.5) в функцию (5.4) и ее производную, получим систему уравнений:
iciyi(x0) + С2У2Ы) = г/о - У*(хо),
\ciy[(x0) + с2у2(хо) =У'0- (у*У(х0),
где 2/о — у(хо), У о — 2/'(жо)> с неизвестными с\ и с2. Определителем этой
системы является определитель Вронского W(xq) для функции у\(х) и
2/2 (ж) в точке ж = хо- Функции 2/i(#) и 2/2 (#) линейно независимы (образу-
ют фундаментальную систему решений), т. е. W{xq) ф 0. Следовательно,
система имеет единственное решение: с\ — с\ и с2 — с\.
Решение у = у* + с\у\(х) + с^у2{х) является частным решением урав-
нения (5.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (5.5). Тео-
рема доказана. В
5.2. Метод вариации произвольных постоянных
Рассмотрим ЛНДУ (5.1). Его общим решением является функция (5.3),
т. е.
У = У* + У-
Частное решение у* уравнения (5.1) можно найти, если известно общее
решение у соответствующего однородного уравнения (5.2), методом ва-
риации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в сле-
дующем. Пусть у = С\у\(х) + С22/2(#) — общее решение уравнения (5.2).
40

Заменим в общем решении постоянные с\ и с2 неизвестными функциями
с\(х) и с2(х) и подберем их так, чтобы функция
2/* = а (х) • 2/i (х) + с2 (ж) • у2 (а?) (5.6)
была решением уравнения (5.1). Найдем производную
(У*У = c[(x)yi(x) +ci(x)y[(x) + с'2(х)у2(х) +с2(х)у'2(х).
Подберем функции с\(х) и с2(х) так, чтобы
с[(х) • уг(х) + с2(х) • у2(ж) = 0. (5.7)
Тогда
(у*)' = сг(х) -у[(х) + с2(х) -у2(х),
(у*)" = с[(х) • у[(х) + ci(x) • yi'(x) + с2(х) • у'2(х) + с2(х) • 2/2(*)-
Подставляя выражение для t/*, (у*)' и (у*)" в уравнение (5.1), получим:
с[(х) • j/i(aO + а(х) • 2/1'(ж) + с2(х) • у2(х) + с2(х) • 2/2 (х)+
+ ai(x)[ci(x)2/'1(x) + с2(х)2/2(х)] + а2(х) [ci(x)y1(x) -\-с2(х)у2(х)] = /(ж),
или
ci (а:) • [j/" (х) + ax (ж) • 2/i (х) + а2 (х) • 2/i (х)] +
+ c2(x)[yl2(x)+ai(x)y2(x)+a2(x)y2(x)] + ci(x)2/J(x) + с2(х)2/2(х) = /(х).
Поскольку у\(х) и t/2(х) — решения уравнения (5.2), то выражения в ква-
дратных скобках равны нулю, а потому
(5.8)
Таким образом, функция (5.6) будет частным решением у* уравнения
(5.1), если функции с\{х) и с2(х) удовлетворяют системе уравнений (5.7)
и (5.8):
(5.9)
Определитель системы
Ф 0, так как это определитель Вронс-
\у\{х) 2/2(х)I
|tfi(s) 2/2(*)|
кого для фундаментальной системы частных решений у\ (х) и 2/2 (х) уравне-
ния (5.2). Поэтому система (5.9) имеет единственное решение: с[ (х) = ipi (x)
и с2(х) = <р2{х), где ipi(x) и (р2(х) — некоторые функции от х. Интегрируя
эти функции, находим с\{х) и с2(х), а затем по формуле (5.6) составляем
частное решение уравнения (5.1).
Пример 5.1. Найти общее решение уравнения у" + у
= 1
cos ж'
О Решение: Найдем общее решение у соответствующего однородного
уравнения у" + у = 0. Имеем: к2 + 1 = 0, fci = г, к2 = —г. Следовательно,
у = с\ • cosx + с2 • sinx. Найдем теперь частное решение у* исходного
41

уравнения. Оно ищется в виде (5.6): у* = с\{х) • cosx + C2(x) • sinx. Для
нахождения С\[х) и с2(х) составляем систему уравнений вида (5.9):
Запишем частное решение данного уравнения: у* = In | cos x\ -cos x+x-sin х.
Следовательно, общее решение данного уравнения имеет вид
у = (у + у*) = а • cos х + С2 • sin ж + cos ж • In | cos x\ + х • sin х. •
При нахождении частных решений ЛНДУ может быть полезной сле-
дующая теорема.
Теорема 5.2 (о наложении решений). Если правая часть уравнения (5.1) пред-
ставляет собой сумму двух функций: /(х) = /i(x) + /2(х), а у* и у2 — частные
решения уравнений у" + ai(x) V + a2(x) у = /i(x) и у" H-ai(x) -у' + а2(х)у = f2(x)
соответственно, то функция у* = у{ + у2 является решением данного уравнения.
Q Действительно,
где р и q — некоторые числа.
Согласно теореме 5.1, общее решение уравнения (5.10) представляет
собой сумму общего решения у соответствующего однородного уравнения
42
Решаем ее:
5.3. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициента-
ми, т. е. уравнение

и частного решения у* неоднородного уравнения. Частное решение урав-
нения (5.10) может быть найдено методом вариации произвольных посто-
янных (п. 5.2).
Для уравнений с постоянными коэффициентами (5.10) существует бо-
лее простой способ нахождения у*, если правая часть f(x) уравнения (5.10)
имеет так называемый «специальный вид»:
I. f(x) = Pn(x)-ea*
ИЛИ
И. f(x) = еах • (Рп(х) • cos/?x + Qm{x) • sin/?x).
Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов,
состоит в следующем: по виду правой части f(x) уравнения (5.10) запи-
сывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэф-
фициентами, затем подставляют ее в уравнение (5.10) и из полученного
тождества находят значения коэффициентов.
Случай 1. Правая часть (5.10) имеет вид f(x) = Рп(х) • еах, где a Е Ш,
Рп(х) — многочлен степени п. Уравнение (5.10) запишется в виде
у"+р-у' + Я'У = Рп(х)-еах.\ (5.11)
В этом случае частное решение у* ищем в виде:
y*=xr-Qn(x)-eaxA (5.12)
где г — число, равное кратности а как корня характеристического уравне-
ния к2 +pk + q = 0 (т. е. г — число, показывающее, сколько раз а является
корнем уравнения к2 + рк + q = 0), a, Qn(x) = А0хп + A\xn~l H \- Ап —
многочлен степени п, записанный с неопределенными коэффициентами А{
(г = 1,2,...,п).
Q а) Пусть а не является корнем характеристического уравнения
43
т. е. а ф fcit2- Следовательно,
После подстановки функции у* и ее производных в уравнение (5.11), со-
кращения на еах, получим:
Слева — многочлен степени п с неопределенными коэффициентами, спра-
ва — многочлен степени п, нос известными коэффициентами. Приравни-
вая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему (п + 1)
алгебраических уравнений для определения коэффициентов Ао, А\,..., Ап.
б) Пусть а является однократным (простым) корнем характеристиче-
ского уравнения к2 + рк + q = 0, т. е. a = k\ ф к^>
В этом случае искать решение в форме у* = Qn(x)eax нельзя, т. к.
а2 + pa + q = 0, и уравнение (5.13) принимает вид

где Рп(х) и Qm(x) — многочлены степени пит соответственно, а и /3 —
действительные числа. Уравнение (5.10) запишется в виде
у"+ру' + ЯУ = еах • {Рп(х) • cos/За; + Qm{x) • sin/За).
(5.14)
Можно показать, что в этом случае частное решение у* уравнения (5.14)
следует искать в виде
у* = хг • еах • (Mt(x) • cos/За: + Nt(x) • sin/За:),
(5.15)
где г — число, равное кратности а + /Зг как корня характеристического
уравнения к2 -\-pk-\-q = 0, М;(х) и Ni(x) — многочлены степени I с неопре-
деленными коэффициентами, / — наивысшая степень многочленов Рп(х)
и Qm(x), т. е. / = max(n,m).
Замечания.
1. После подстановки функции (5.15) в (5.14) приравнивают много-
члены, стоящие перед одноименными тригонометрическими функциями в
левой и правой частях уравнения.
2. Форма (5.15) сохраняется и в случаях, когда Рп(а:)=0 или Qm(x)=0.
3. Если правая часть уравнения (5.10) есть сумма функций вида I или
II, то для нахождения у* следует использовать теорему 5.2 о наложении
решений.
Пример 5.2. Найти общее решение уравнения у" — 2у' + у = х — 4.
О Решение: Найдем общее решение у Л ОД У у" — 2у' + у = 0. Харак-
теристическое уравнение к2 — 2к + 1 = 0 имеет корень ki = 1 кратно-
сти 2. Значит, у = Ci - ех + С2 • х • ех. Находим частное решение исходного
уравнения. В нем правая часть х — 4 = (х - 4) • е°'х есть формула вида
Р\ (х)-е°'х, причем а = 0, не является корнем характеристического уравне-
ния: аф к\. Поэтому, согласно формуле (5.12), частное решение у* ищем в
виде у* = Qi(x)-e°'x, т. е. у* = Ах + В, где А и В — неопределенные коэф-
фициенты. Тогда (у*У = А, (у*)" = 0. Подставив у*, (у*)', (у*)" в исходное
44
(в равенстве (5.12) положить г = 2).
Случай 2. Правая часть (5.10) имеет вид
В левой части — многочлен степени (п — 1), в правой части — многочлен
степени п. Чтобы получить тождество многочленов в решении у*, нужно
иметь многочлен степени (п + 1). Поэтому частное решение у* следует
искать в виде у* = х • Qn(x)eax (в равенстве (5.12) положить г = 1).
в) Пусть а является двукратным корнем характеристического урав-
нения к2 + рк 4- q = 0, т. е. а = к\ = &2- В этом случае a2+pa + q = 0n
2а +р = 0, а поэтому уравнение (5.13) принимает вид Q'^x) = Рп(х).
Слева стоит многочлен степени п — 2. Понятно, чтобы иметь слева
многочлен степени п, частное решение у* следует искать в виде

уравнение, получим — 2А+Ах + В = х-4, или Ах+(—2А+В) = х — 4. При-
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему
уравнений:
\-2А + В = -4.
Отсюда А = 1, В = — 2. Поэтому частное решение данного уравнения
имеет вид у* — х — 2. Следовательно, у — (у + у*) = с\ех + С2хех + х — 2 —
искомое общее решение уравнения. •
Пример 5.3. Решить уравнение у" — 4у' + 13у = 40 • cos За;.
Q Решение: Общее решение ЛНДУ имеет вид у = у+у*. Находим решение
однородного уравнения у: у"—4у'+13у = 0. Характеристическое уравнение
к2 — 4к + 13 = 0 имеет корни fci = 2 + Зг, k<i — 2 — Зг. Следовательно,
у — е2х • (с\ • cos3x + С2 • sin3x).
Находим частное решение у*. Правая часть ЛНДУ в нашем случае
имеет вид f(x) = e0x-(40cos3x + 0-sin3x). Так как а = 0, /? = 3, а + /?г = Зг
не совпадает с корнем характеристического уравнения, то г = 0. Согласно
формуле (5.15), частное решение ищем в виде у* = A cos3x + i?sin3x. Под-
ставляем у* в исходное уравнение. Имеем: (у*)' = —ЗА sin За: + 3£cos3x,
{у*)" = —9Acos3x — 9i?sin3x. Получаем:
- 9Acos3x - 9£sin3x - 4(-3Asin3x + 3Bcos3x)+
+ 13( A cos Зх + В sin 3x) = 40 cos 3x,
или
(-9Л - 12B + 13A) cos3x + (-9B + 12A + 13B) sin3x = 40cos3x + 0 • sin3x.
Отсюда имеем:
Следовательно, А = 1, В = —3. Поэтому у* = cos За; — 3 sin За;. И наконец,
у = е2х {с\ • cos За; -h C2 • sin Зх) + cos Зх — 3 sin Зх — общее решение уравнения.
Пример 5.4- {Для самостоятельного решения.) Для предложенных
дифференциальных уравнений получить вид частного решения:
а) у" -Зу' + 2у = 5 + е*;
б) у" -2у' + у = 2;
в) у" + 4у = sin 2х + cos 7x;
г) У" + 2/ = 5 cos 2x - х sin 2x;
д) у" - Зу' — х2 - 1 + cosx.
Ответы: а) А+хВ-ех\ б) Л; в) x(Acos2x + i?sin2x) + Ccos7x + I}sin7x;
г) (Ах + Б) cos 2х + (Сх + D) sin 2х; д) х(Ах2 + £х + С) + D cos х + Е sin x.
45

5.4. Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п > 2) с постоянными
коэффициентами и правой частью специального вида
Рассмотрим линейное неоднородное ДУ n-го (п > 2) порядка
2/(п) + ai(x) • 2/(п_1) + а2(х) • 2/(п"2) + ■ • • + ап(ж) • у = f(x),
где ai(x),a2(x),..., ап(х), /(х) — заданные непрерывные функции на (а; Ь).
Соответствующее ему однородное уравнение имеет вид
</(п) + ах(х) • у{п-1] + • • • + оп(х) • 2/ = 0.
Теорема 5.3 (о структуре общего решения ЛНДУ n-го порядка). Общее ре-
шение у ЛНДУ n-го порядка равно сумме частного решения у* неоднородного урав-
нения и общего решения у соответствующего ему однородного уравнения, т. е.
У = 2/* + У-
Частное решение у* ЛНДУ n-го порядка может быть найдено, если
известно общее решение у однородного уравнения, методом вариации про-
извольных постоянных. Оно ищется в виде
2/* = ci{x) • j/i(ж) + с2(х) • у2(х) + • • • + Сп(х) • Уп(х),
где yi(x), г = 1,п, — частные решения, образующие фундаментальную
систему, однородного уравнения.
Система уравнений для нахождения неизвестных С{(х) имеет вид
fc[yi + с'2у2 + с'3у3 + • • • + с'пуп = 0,
с[у[ + 42/2 + 4</з + ' *' + с'пУп = 0,
АУх + 42/2 + 42/з + '' * + с'пУп = 0,
I / (п— 1) . / (П— 1) . / (п — 1) . . / (П— 1) г/ \
[с[у\ ;+с22/2 '+42/з +-" + <2/п - f(x).
Однако для ЛНДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами, пра-
вая часть которого имеет специальный вид, частное решение у* может
быть найдено методом неопределенных коэффициентов.
Метод подбора частного решения у* уравнения
У{п)+Р1У{п-1) + ---+РпУ = 1(х),
где pi — числа, а правая часть f(x) имеет специальный вид, описанный в
п. 5.3 для случая п = 2, переносится без всякого изменения и на случай
уравнения, имеющего порядок п > 2.
Пример 5.5. Решить уравнение yIV — у1 — 2х.
О Решение: Находим у:
к4 - *; = 0, к(к - 1) • (А:2 + к + 1) = 0, кг = 0, к2 = 1, кЗА = ~^± \^
х , -Ь/ л/3 , . д/З \
t/ = ci + С2е + е ^ I C3COS —-х + с± sin —-х\.
46

является общим решением уравнения. •
§6. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
6.1. Основные понятия
Для решения многих задач математики, физики, техники (задач ди-
намики криволинейного движения; задач электротехники для нескольких
электрических цепей; определения состава системы, в которой протекают
несколько последовательных химических реакций I порядка; отыскания
векторных линий поля и других) нередко требуется несколько функций.
Нахождение этих функций может привести к нескольким ДУ, образующим
систему.
Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых со-
держит независимую переменную, искомые функции и их производные.
Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей п искомых
функций 2/i, t/2, • • •, Уп, следующий:
Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производ-
ной, т. е. система вида
(6.1)
47
называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что
число уравнений равно числу искомых функций.
Замечание. Во многих случаях системы уравнений и уравнения выс-
ших порядков можно привести к нормальной системе вида (6.1).
Так, система трех ДУ второго порядка
Тогда —(2Ах + В) = 2х. Отсюда А = — 1, В = 0 и получаем у* = -х2.
Следовательно, функция
Находим
отсюда

описывающая движение точки в пространстве, путем введения новых пе-
ременных:
ДУ:
w, приводится к нормальной системе
Теорема 6.1 (Коши). Если в системе (6.1) все функции fi(x;yi;...,yn) непре-
рывны вместе со всеми своими частными производными по yi в некоторой области
D ((п + 1)-мерного пространства), то в каждой точке Mo(xo;2/i52/25 • • • 52/п) этои
области существует, и притом единственное, решение у\ — (р\(х), у2 = ц>2(х), •-,
уп = (рп(х) системы, удовлетворяющее начальным условиям (6.2).
48
Уравнение третьего порядка у'" = f(x;y;y';y") путем замены у' = р,
у" = р' — q сводится к нормальной системе ДУ
Из сказанного выше следует полезность изучения именно нормальных
систем.
Решением системы (6.1) называется совокупность из п функций
2/ьУ2, • • • тУп, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.
Начальные условия для системы (6.1) имеют вид
Задача Коти для системы (6.1) ставится следующим образом: найти
решение системы (6.1), удовлетворяющее начальным условиям (6.2).
Условия существования и единственности решения задачи Коши опи-
сывает следующая теорема, приводимая здесь без доказательства.
Меняя в области D точку Mq (т. е. начальные условия), получим бес-
численное множество решений, которое можно записать в виде решения,
зависящего от п произвольных постоянных:
Ух = <pi(a;;ci;c2;...;cn),...,2/n = <^n(^;ci;c2;... ;с„).
Это решение является общим, если по заданным начальным услови-
ям (6.2) можно однозначно определить постоянные с\, с-2,..., сп из системы
уравнений ,

Решение, получающееся из общего при конкретных значениях посто-
янных ci,C2,...,сп, называется частным решением системы (6.1).
6.2. Интегрирование нормальных систем
Одним из основных методов интегрирования нормальной системы ДУ
является метод сведения системы к одному ДУ высшего порядка. (Обрат-
нал задача — переход от ДУ к системе — рассмотрена выше на примере.)
Техника этого метода основана на следующих соображениях.
Пусть задана нормальная система (6.1). Продифференцируем по х лю-
бое, например первое, уравнение:
или, коротко,
Продифференцировав полученное равенство еще раз и заменив значения
производных -р^,..., -М21 из системы (6.1), получим
Продолжая этот процесс (дифференцируем — подставляем — получаем),
находим: m
49
Из первых (п — 1) уравнений системы (6.3) выразим функции у2, уз, • • • > Уп
через ж, функцию у\ и ее производные у[,у",... ,у[п~ • Получим:
Соберем полученные уравнения в систему:
Подставив в это равенство значения производных
стемы (6.1), получим
из си-

Найденные значения 2/2, 2/з> • • • ? Уп подставим в последнее уравнение систе-
мы (6.3). Получим одно ДУ га-го порядка относительно искомой функции
2/i: —у = Ф(ж; 2/i; 2/J;...; У\ )• Пусть его общее решение есть
2/i = <£i(#;ci;c2;...;cn).
Продифференцировав его (га — 1) раз и подставив значения производных
у[, 2/}',..., 2/i в уравнения системы (6.4), найдем функции 2/2,2/з, • • •, Уп-
2/2 = ^2(z;ci;c2;...;cn),...,2/n = <£n(z;ci;c2;... ;cn).
Пример 6.1. Решить систему уравнений
Таким образом, общее решение данной системы уравнений имеет вид
у = Схе~2х + с2е3ж, z = 2схе~2х + ±с2е3х. •
Замечание. Систему уравнений (6.1) можно решать методом интегри-
руемых комбинаций. Суть метода состоит в том, что посредством ариф-
метических операций из уравнений данной системы образуют так назы-
ваемые интегрируемые комбинации, т. е. легко интегрируемые уравнения
относительно новой неизвестной функции.
Проиллюстрируем технику этого метода на следующем примере.
50
т. е. у" — у' — 6у = 0. Получили одно ЛОДУ второго порядка. Решаем его:
к2 - к - б = 0, fci = -2, fc2 = 3 и у = с\е~2х + С2е3х — общее решение
уравнения. Находим функцию z. Значения у и у' = (с\е~2х + С2е3х)' =
= — 2с\е~2х + Зс2е3х подставляем в выражение z через у и у' (форму-
ла (6.5)). Получим:
Подставляем значение z во второе уравнение последней системы:
Из первого уравнения системы выражаем z через у и у':
О Решение: Продифференцируем первое уравнение: у" = 4у' — Sz'. Под-
ставляем z' = 2у — Зг в полученное равенство: у" = 4у' — 3(2у — 3z),
у" — 4у' + 6у — 9z. Составляем систему уравнений:

a
Пример 6.2. Решить систему уравнений:
О Решение: Сложим почленно данные уравнения: х' +у' — х + у + 2, или
(х + у)' = (х + у) + 2. Обозначим х + у = z. Тогда имеем z' = z + 2.
Решаем полученное уравнение: ^~ = dt, \n(z + 2) — lnci = t, z ~*~ = e*,
z + 2 = cief, или x -\-y — c\el — 2.
Получили так называемый первый интеграл системы. Из него можно
выразить одну из искомых функций через другую, тем самым уменьшить
на единицу число искомых функций. Например, у = с\ег — 2 — х. Тогда
первое уравнение системы примет вид
х' = с\ег - 2 — х + 1, т. е. х' + х = с\е1 — 1.
Найдя из него х (например, с помощью подстановки х = uv), найдем и у.
Замечание. Данная система «позволяет» образовать еще одну инте-
грируемую комбинацию: х' — у1 = у — х, т. е. (х — у)' = —(х — у). Положив
х — у = р, имеем: р' = —р, или -^ = — dt, lnp — 1псг = -£, р = с2е~ь, или
х — у — с2е~1. Имея два первых интеграла системы, т. е. х + у = с\е1 — 2 и
х — у = с2е~ь, легко найти (складывая и вычитая первые интегралы), что
х = icie* + \c2e~l - 1, у = ^схе1 - \с2е~1 - 1. •
6.3. Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы
уравнений (6.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных
однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т. е. систему вида
Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с
тремя неизвестными функциями yi, у2 и у%:
(б.б)
где все коэффициенты ац (i,j = 1,2,3) — постоянные.
Будем искать частное решение системы (6.6) в виде
51

или
52
где а, /?, 75 к — постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы
функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6).
Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель
екх ф q^ получим:
Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алге-
браических уравнений с тремя неизвестными а, /3, 7- Чтобы эта система
имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель
системы был равен нулю:
Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением систе-
мы (6.6). Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени от-
носительно к. Рассмотрим возможные случаи.
Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и раз-
личны: fci, &2, &з- Для каждого корня кг (г = 1,2,3) напишем систему (6.8)
и определим коэффициенты a;, ft, 7г (один из коэффициентов можно счи-
тать равным единице). Таким образом, получаем:
для корня к\ частное решение системы (6.6): у[ — a\eklX, у>2 =ftieklX,
(1) клх
Уз =Ъе '■ ;
для корня к2 — у[ = а2ек2Х, у2 = foe*2*, Уз = 72^к2Х;
для корня к3 — у[3) = а3екзХ, у{23) = /33екзХ, у^3) = j3ek3X.
Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему,
общее решение системы (6.6) записывается в виде
Пример 6.3. Решить систему уравнений:
О Решение: Характеристическое уравнение (6.9) данной системы имеет
ви* Н_и _i I

или 1 — 2к + к2 — 4 = 0, к2 — 2к — 3 = О, к\ = — 1, к2 = 3. Частные решения
данной системы ищем в виде у[ * = а\екхХ, 2/2 = PieklX и у}} = а:2е*2Х,
2/<2) = /?2е*2Х. Найдем а» и ft (г = 1,2).
При к\ = — 1 система (6.8) имеет вид
53
Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим а\ = 1,
тогда ft = 2. Получаем частные решения
При /^2 = 3 система (6.8) имеет вид
Положим а2 = 1, тогда ft = —2. Значит, корню к2 = 3 соответствуют
частные решения:
Общее решение исходной системы, согласно формуле (6.10), запишется
в виде: у\ - с\е~х + с2е3х, у2 = 2с\е~х - 2с2е3х. •
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди
них есть комплексные: к\ = а + ib, к2 = а — гб, к%. Вид частных решений в
этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их ли-
нейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в ре-
зультате получим два действительных решения, содержащих функции ви-
да еах • cos bx, eax • sin bx. Или, выделяя действительные и мнимые части
в найденных комплексных частных решениях, получим два действитель-
ных частных решения (можно показать, что они тоже являются решени-
ями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень
к2 = а — ib не даст новых линейно независимых действительных решений.
Пример 6.4- Найти частное решение системы
удовлетворяющее начальным условиям: yi(0) = 7, у2(0) = 2, у$(0) = 1.

54
\ Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Для к\ — 1 получаем:
(см. (6.8)). Отсюда находим: /3\ = О, ос\ = 1 (положили), 71 = — 1- Частное
(1) х (1) п (1) х
решение системы: у\ = е , у\ — О, у$ = —е .
Для &2 = 1 + 2г получаем (см. (6.8)):
Отсюда находим: с*2 = 1 (положили), /?2 = 2г, 72 = 3. Частное комплексное
решение системы: у^] = e(1+2i)*, yf] = 2ie(1+2i)x, y^2) = Зе<1+2*К
В найденных решениях выделим действительную (Re) и мнимую (Im)
части:
Как уже отмечено, корень &з = 1 — 2г приведет к этим же самым решениям.
Таким образом, общее решение системы имеет вид
Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях
получаем систему уравнений для определения постоянных с\, с<ь, сз:

Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень к кратности га
(га = 2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует
искать в виде:
а) если т = 2, то t/i = (А + Вх)екх, у2 = (С + Dx)ekx, у3 = (Е + Fz)e*x;
б) если m = 3, то уг = (А + Вх + Cx2)efcx, у2 = (D + Ex + Fx2)ekx,
2/з = (С + Ях + ЛГж2)е^.
Это решение зависит от т произвольных постоянных. Постоянные
А,В,С,... ,N определяются методом неопределенных коэффициентов.
Выразив все коэффициенты через т из них, полагаем поочередно один
из них равным единице, а остальные равными нулю. Получим т линейно
независимых частных решений системы (6.6).
Пример 6.5. Решить систему уравнений:
О Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение
1-к -1 1
1 1-fc -1
О -1 2-к
= 0,
(1 - к){2 - 2к - к + к2 - 1) - 1(-2 + к + 1) = 0, ** = 2, к2 = к3 = 1. Корню
A?i = 2 соответствует система (см. (6.8)):
Полагая 71 = 1, находим ot\ = 1. Получаем одно частное решение исходной
(1) 2х (1) п (1) 2х
системы: у\ ' — е , у^ — 0, у\ — е'х.
Двукратному корню к = к^ — кз = 1 (га = 2) соответствует реше-
ние вида у[2'3) = (А + Вх)ех, у?'3) = {С + Dx)ex, у^3) = (Е + Fx)ex.
Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:
55
Следовательно, искомое частное решение имеет вид

или, после сокращения на ех ф О и группировки,
Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда
Выразим все коэффициенты через два из них (ш = 2), например через А и
В. Из второго уравнения имеем F — В. Тогда, с учетом первого уравнения,
получаем D = В. Из четвертого уравнения находим Е = А — D, т. е.
Е = А — В. Из третьего уравнения: С = Е — В,т. е. С = А — В — В, или
С = А — 2В. Коэффициенты А и В — произвольные.
Полагая А = 1, В = 0, находим: С = 1, D = О, Е = 1, F = 0.
Полагая А = 0, В = 1, находим: С = -2, D = 1, Е = -1, F = 1.
Получаем два линейно независимых частных решения, соответствую-
щих двукратному корню к = 1:
Записываем общее решение исходной системы:

Глава II. ДВОЙНЫЕ И ТРОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекции 8-10 I
§7. ДВОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
7.1. Основные понятия и определения
Обобщением определенного интеграла на случай функций двух пере-
менных является так называемый двойной интеграл.
Пусть в замкнутой области D плоскости Оху задана непрерывная
функция z = f(x;y). Разобьем область D на п «элементарных областей»
Di (г — 1,п), площади которых обозначим через ASi, а диаметры (наи-
большее расстояние между точками области) — через
di (см. рис. 3).
В каждой области Di выберем произвольную точку
Mi(xi',yi), умножим значение f(xi',yi) функции в этой
точке на ASi и составим сумму всех таких произведе-
ний:
f{xi;yx)ASi + f(x2;y2)AS2 + • • - + f(xn]yn)ASn =
Рис. 3.
Эта сумма называется интегральной суммой функции
f(x;y) в области D.
Рассмотрим предел интегральной суммы (7.1), когда п стремится к
бесконечности таким образом, что maxdi —> 0- Если этот предел суще-
ствует и не зависит ни от способа разбиения области D на части, ни от
выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции
f(x;y) no области D и обозначается // f(x;y)dxdy (или // f(x;y)dS].
D D
Таким образом, двойной интеграл определяется равенством
В этом случае функция f{x;y) называется интегрируемой в области
D, D — область интегрирования, х и у — переменные интегри-
рования; dxdy (или dS) — элемент площади.
Для всякой ли функции f(x; у) существует двойной интеграл? На этот
вопрос отвечает следующая теорема, которую мы приведем здесь без до-
казательства.
Теорема 7.1 (достаточное условие интегрируемости функции). Если функция
z — /(х; у) непрерывна в замкнутой области D, то она интегрируема в этой области.
57

Замечания.
1. Далее будем рассматривать только
функции, непрерывные в области интегриро-
вания, хотя двойной интеграл может суще-
ствовать не только для непрерывных функ-
ций.
2. Из определения двойного интеграла
следует, что для интегрируемой в области D
функции предел интегральных сумм сущест-
вует и не зависит от способа разбиения облас-
ти. Таким образом, мы можем разбивать об-
ласть D на площадки прямыми, параллель-
ными координатным осям (см. рис. 4). При этом ASi = Axi • Ayi, равен-
ство (7.2) можно записать в виде
7.2. Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Рассмотрим две задачи, приводящие к двойному интегралу.
Объем цилиндрического тела
Рассмотрим тело, ограниченное сверху поверхностью z = f(x;y) ^ 0,
снизу — замкнутой областью D плоскости Оху, с боков — цилиндри-
ческой поверхностью, образующая которой параллель-
на оси Oz, а направляющей служит граница области
D (см. рис. 5). Такое тело называется цилиндрическим.
Найдем его объем V. Для этого разобьем область D
(проекция поверхности z = f(x;y) на плоскость Оху)
произвольным образом на п областей Di, площади ко-
торых равны ASi (i — l5w)- Рассмотрим цилиндриче-
ские столбики с основаниями Di, ограниченные сверху
кусками поверхности z = f(x; у) (на рис. 5 один из них
выделен). В своей совокупности они составляют тело V.
Обозначив объем столбика с основанием Di через AVi,
ПОЛУЧИМ
Рис. 5.
Возьмем на каждой площадке Di произвольную точку
Mi{xi',yi) и заменим каждый столбик прямым цилин-
дром с тем же основанием Di и высотой Zi = f(xi;yi).
Объем этого цилиндра приближенно равен объему AVi цилиндрического
столбика, т. е. AVi « f(xi',Vi) * ASi. Тогда получаем:
(7.3)
58

Итак, двойной интеграл от функции ^(х; у) численно равен массе пла-
стинки, если подынтегральную функцию у(х; у) считать плотностью этой
пластинки в точке (х;у). В этом состоит физический смысл двойного ин-
теграла.
7.3. Основные свойства двойного интеграла
Можно заметить, что процесс построения интеграла в области D до-
словно повторяет уже знакомую нам процедуру определения интеграла
функции одной переменной на отрезке (см. Часть 1, § 35). Аналогичны и
свойства этих интегралов и их доказательства (см. Часть 1, § 38). Поэтому
59
или, согласно равенству (7.2),
Точное значение массы получим как предел суммы (7.5) при условии
n-^оои max di -> 0:
Итак, величина двойного интеграла от неотрицательной функции рав-
на объему цилиндрического тела. В этом состоит геометрический смысл
двойного интеграла.
Масса плоской пластинки
Требуется найти массу га плоской пластинки D, зная, что ее поверх-
ностная плотность 7 = 7(^5 у) есть непрерывная функция координат точ-
ки (х;у). Разобьем пластинку D н& п элементарных частей Di (г = 1, rt),
площади которых обозначим через AS{. В каждой области Di возьмем
произвольную точку Mi{xi\yi) и вычислим плотность в ней: ^(х^у^.
Если области Di достаточно малы, то плотность в каждой точке
(ж;у) Е Di мало отличается от значения ^(x^yi). Считая приближенно
плотность в каждой точке области Di постоянной, равной 7(#г5 2/г)> можно
найти ее массу га*: rrii « ^{хи Vi)' A5j. Так как масса га всей пластинки D
п
равна т = ^га*, то для ее вычисления имеем приближенное равенство
4— 1
Это равенство тем точнее, чем больше число п и чем меньше размеры «эле-
ментарных областей» Di. Естественно принять предел суммы (7.3) при
условии, что число площадок Di неограниченно увеличивается (п —> сю),
а каждая площадка стягивается в точку (maxd; —> 0), за объем V цилин-
п
дрического тела, т. е. V = lim ^2f(xuVi)ASi, или, согласно равен-
ству (7.2), (тГх~1°^0) *=1

перечислим основные свойства двойного интеграла, считая подынтеграль-
ные функции интегрируемыми.
1. с- f(x;y)dxdy = с • // f(x;y)dxdy, с — const.
D D
2. JJ{fi(x;y) ±f2(x;y))dxdy = Jjf1(x;y)dxdy±Jjf2(x;y)dxdy.
D D D
3. Если область D разбить линией на две области D\ у^ ^^ч
и D2 такие, что D\ (J D2 = D, а пересечение D\ и D2 / тл / n \
состоит лишь из линии, их разделяющей (см. рис. 6), то ( /. /
[Г f(x;y)dxdy = II f(x;y)dxdy + [Г f(x;y)dxdy.
JJ l{ JD{ Рис. 6.
4. Если в области D имеет место неравенство f(x;y)^0, то и
// /(#; у) dx dy ^ 0. Если в области D функции f(x; у) и <р(х; у) удовлетво-
D
ряют неравенству f(x;y) ^ (р(х;у), той // f(x;y)dxdy ^ // (p(x;y)dxdy.
D D
5. // dS = 5, так как £ AS{ = S.
JJ i=1
6. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области Z), площадь
которой 5, то mS ^ // f{x;y)dxdy ^ MS, где m и М — соответственно
D
наименьшее и наибольшее значения подынтегральной функции в обла-
сти D.
7. Если функция f(x;y) непрерывна в замкнутой области D, пло-
щадь которой 5, то в этой области существует такая точка (#о;2/о)> что
[[ /(^; У) dx dy = /(яо; Уо) • S. Величину
D
называют средним значением функции f{x\y) в области D.
7.4. Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последова-
тельному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл f(x;y)dxdy, где
D
функция f(x;y) ^ 0 непрерывна в области D. Тогда, как это было по-
казано в п. 7.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического те-
60

ла, ограниченного сверху поверхностью z — f(x;y). Найдем
этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее
(см. Часть 1, (41.6)) было показано, что
где S(х) — площадь сечения плоскостью, перпендикуляр-
ной оси Ох, а, х = а, х = b — уравнения плоскостей, огра-
ничивающих данное тело.
Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную
трапецию, ограниченную прямыми х = аих = Ьи кривыми у = ^fi(x)
и у = Ц>2(х), причем функции (fi(x) и ^(х) непрерывны и таковы, что
tpi(x) ^ <р-2(х) для всех х £ [а; Ь] (см. рис. 7). Такая область называется
правильной в направлении оси Оу: любая прямая, параллельная оси Оу,
пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикуляр-
ной оси Ох: х = const, где х € [а; Ь].
В сечении получим криволинейную трапецию
ABCD, ограниченную линиями z = f(x;y), где
х = const, z = 0, у = ipi(x) и у = ф2{х) (см. рис. 8).
Площадь S(x) этой трапеции находим с помо-
щью определенного интеграла
Рис. 8.
С другой стороны, в п. 7.2 было доказано, что объем цилиндрическо-
го тела определяется как двойной интеграл от функции f(x;y) ^ 0 по
области D. Следовательно,
Это равенство обычно записывается в виде
(7.7)
61
Теперь, согласно методу параллельных сечений,
искомый объем цилиндрического тела может быть
найден так:
Рис. 7.

Формула (7.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла
в декартовых координатах. Правую часть формулы (7.7) называют дву-
кратным (или повторным) интегралом от функции /(х; у) по области D.
При этом / f{x\y)dy называется внутренним интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний ин-
теграл, считал х постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. резуль-
тат первого интегрирования интегрируем по х в пределах от а до Ь.
Если же область D ограничена прямыми y = cny = d(c<d), кривыми
х = ф\ (у) и х = гр2 (у), причем ф\ (у) ^ г/>2 Ы для всех у Е [с; d\, т. е. область
D — правильная в направлении оси Ох, то, рассекая тело плоскостью
у = const, аналогично получим:
(7.8)
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем у постоянным.
Замечания.
1. Формулы (7.7) и (7.8) справедливы и в случае, когда f(x;y) < О,
(х;у) eD.
2. Если область D правильная в обоих направлениях, то двойной ин-
теграл можно вычислять как по формуле (7.7), так и по формуле (7.8).
3. Если область D не является правильной ни «по х», ни «по у», то для
сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части,
правильные в направлении оси Ох или оси Оу.
4. Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле
всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример 7.1. Вычислить (x + 2y)dxdy,rRe
D
область D ограничена линиями у = х2, у = О,
х + у-2 = 0.
О Решение: На рисунке 9 изображена область
интегрирования D. Она правильная в направле-
нии оси Ох. Для вычисления данного двойного
интеграла воспользуемся формулой (7.8):
Рис. 9.
62

Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно вос-
пользоваться формулой (7.7). Но для этого область D следует разбить на
две области: D\ и Дг- Получаем:
Ответ, разумеется, один и тот же. •
7.5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Для упрощения вычисления двойного интеграла часто применяют ме-
тод подстановки (как это делалось и при вычислении определенного ин-
теграла), т. е. вводят новые переменные под знаком двойного интеграла.
Определим преобразование независимых переменных х и у (замену
переменных) как
63
Если функции (7.9) имеют в некоторой области D* плоскости Ouv не-
прерывные частные производные первого порядка и отличный от нуля
определитель
а функция f(x;y) непрерывна в области D, то справедлива формула за-
мены переменных в двойном интеграле:
Функциональный определитель (7.10) называется определителем Якоби
или якобианом (Г. Якоби — немецкий математик). Доказательство фор-
мулы (7.11) не приводим.

Рассмотрим частный случай замены переменных, часто используемый
при вычислении двойного интеграла, а именно замену декартовых коор-
динат х и у полярными координатами г и (р.
В качестве и и v возьмем полярные координаты г и ip. Они связа-
ны с декартовыми координатами формулами х = г cos ip, у = г simp (см.
Часть 1, п. 9.1).
Правые части в этих равенствах — непрерывно дифференцируемые
функции. Якобиан преобразования определяется из (7.10) как
(7.12)
64
Формула замены переменных (7.11) принимает вид:
где D* — область в полярной системе координат, соответствующая обла-
сти D в декартовой системе координат.
Для вычисления двойного интеграла в полярных ко-
ординатах применяют то же правило сведения его к дву-
кратному интегралу. Так, если область D* имеет вид,
изображенный на рисунке 10 (ограничена лучами у> — а
и ip = /?, где а < /?, и кривыми г = г\((р) и г — г 2(<р),
где г\(ф) ^ ?*2 (</?), т. е. область D* правильная: луч, вы-
ходящий из полюса, пересекает ее границу не более чем
в двух точках), то правую часть формулы (7.12) можно
записать в виде
Внутренний интеграл берется при постоянном ip.
Замечания.
1. Переход к полярным координатам полезен, когда подынтегральная
функция имеет вид f(x2 + у2); область D есть круг, кольцо или часть
таковых.
2. На практике переход к полярным координатам осуществляется пу-
тем замены х = rcosip, у = rsin^?, dxdy = rdrdtp; уравнения линий,
ограничивающих область D, также преобразуются к полярным координа-
там. Преобразование области D в область D* не выполняют, а, совместив
декартову и полярную системы координат, находят нужные пределы ин-
тегрирования по г и ip (исследуя закон изменения г и ip точки (г; ip) при
ее отождествлении с точкой {х\у) области D).
Пример 7.2. Вычислить

О Решение: Применив формулу (7.12), перейдем
к полярным координатам:
Рис. 11.
Область D в полярной системе координат оп-
ределяется неравенствами (см. рис. 11)0^(р^27г,0^г^3. Заметим:
область D — круг — преобразуется в область D* — прямоугольник. По-
этому, согласно формуле (7.13), имеем:
7.6. Приложения двойного интеграла
Приведем некоторые примеры применения двойного интеграла.
Объем тела
Как уже показано (п. 7.2), объем цилиндрического тела находится по
формуле
где z = f(x;y) — уравнение поверхности, ограничивающей тело сверху.
Площадь плоской фигуры
Если положить в формуле (7.4) f(x;y) = 1, то цилиндрическое тело
«превратится» в прямой цилиндр с высотой Н = 1. Объем такого цилин-
дра, как известно, численно равен площади S основания D. Получаем
формулу для вычисления площади S области D:
или, в полярных координатах,
65

Масса плоской фигуры
Как уже показано (п. 7.2), масса плоской пластинки D с переменной
плотностью 7 = 7(х5 у) находится по формуле
Момент инерции фигуры относительно начала координат — по формуле
М0 = Мх + Му.
Замечание. Приведенными примерами не исчерпывается применение
двойного интеграла. Далее мы встретим приложение двойного интеграла
к вычислению площадей поверхностей фигур (п. 11.3).
Ч
Пример 7.3. Найти объем тела, ограниченного
поверхностями х2-\-у2 — z + l=0 и x2+y2+3z — 7=0.
О Решение: Данное тело ограничено двумя пара-
болоидами (см. рис. 12). Решая систему
находим уравнение линии их пересечения:
х2 +у2 = 1, г = 2.
Искомый объем равен разности объемов двух
цилиндрических тел с одним основанием (круг
я2+У2 ^ 1) и ограниченных сверху соответственно
поверхностями z = ^(7 — х2 — у2) и z — 1 + х2 + у2.
Используя формулу (7.4), имеем
Рис. 12.
66
Моменты инерции плоской фигуры
Моментом инерции материальной точки массы т относительно оси
/ называется произведение массы га на квадрат расстояния d точки до оси,
т. е. Mi = га-ер. Моменты инерции плоской фигуры относительно осей Ох
и Оу могут быть вычислены по формулам:
Статические моменты и координаты центра тяжести плоской фигуры
Статические моменты фигуры D относительно осей Ох и Оу (см.
Часть 1, п. 41.6) могут быть вычислены по формулам
а координаты центра масс фигуры — по формулам

Пример 7.4- Найти массу, статические моменты Sx
и Sy и координаты центра тяжести фигуры, лежащей
2
в первой четверти, ограниченной эллипсом ^- + у2 = 1
и координатными осями (см. рис. 13). Поверхностная
плотность в каждой точке фигуры пропорциональна
произведению координат точки. рис 13.
О Решение: По формуле (7.6) находим массу пластинки. По условию,
^ = ^(ж; у) = к - ху, где к — коэффициент пропорциональности.
§8. ТРОЙНОЙ ИНТЕГРАЛ
8.1. Основные понятия
Обобщением определенного интеграла на случай функции трех пере-
менных является так называемый «тройной интеграл».
Теория тройного интеграла аналогична теории двойного интеграла.
Поэтому изложим ее в несколько сокращенном виде.
в7
Находим статические моменты пластинки:
Находим координаты центра тяжести пластинки, используя формулы
Хс " m И Ус " m ' Хс " 15' Ус " 15* w

Пусть в замкнутой области V пространства Oxyz задана непрерывная
функция и = f(x;y;z). Разбив область V сеткой поверхностей на п частей
V{ (г = 1,п) и выбрав в каждой из них произвольную точку МДа^;^;^),
п
составим интегральную сумму J^ f(xf, yf, Zi)AVi для функции /(х; у; z) по
г=1
области V (здесь AVi — объем элементарной области Vi).
Если предел интегральной суммы существует при неограниченном уве-
личении числа п таким образом, что каждая «элементарная область»
V{ стягивается в точку (т. е. диаметр области d{ стремится к нулю, т. е.
di —> 0), то его называют тройным интегралом от функции и = f(x; у; z)
по области V и обозначают
(8.1)
Здесь dv = dx dy dz — элемент объема.
Теорема 8.1 (существования). Если функция и — f(x\y;z) непрерывна в ограни-
ченной замкнутой области V, то предел интегральной суммы (8.1) при п —> оо и
maxdi -> 0 существует и не зависит ни от способа разбиения области V на части,
ни от выбора точек Mi{xi\yi\Zi) в них.
Тройной интеграл обладает теми же свойствами, что и двойной инте-
грал:
Таким образом, по определению, имеем:
= V\ (J Vb, а пересечение V\ и V-2 состоит из границы, их разделяющей.
4. /// f(x;y;z)dv ^ 0, если в области V функция f(x;y;z) ^ 0. Если
в области интегрирования f(x;y;z) ^ ip(x;y;z), то и f(x;y;z)dv ^
^ fffv(x>y>z)dv-
v
5. /// dv = V, так как в случае f(x;y;z) = 1 любая интегральная
V п
сумма имеет вид ^2 ^Vi = V и численно равна объему тела.
г=1

где V — объем тела.
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
В декартовых координатах вычисление тройного интеграла сводится
к последовательному вычислению трех определенных интегралов.
Пусть областью интегрирования V является тело, ограниченное снизу
поверхностью z = zi(x;y), сверху — поверхностью z = Z2(x;y), причем
zi(x;y) и z2(x;y) (z\(x\y) ^ z2(x\y)) — непрерывные
функции в замкнутой области D, являющейся проек-
цией тела на плоскость Оху (см. рис. 14). Будем счи-
тать область V — правильной в направлении оси Oz:
любая прямая, параллельная оси Oz, пересекает грани-
цу области не более чем в двух точках. Тогда для любой
непрерывной в области V функции f(x\y\z) имеет место
формула
сводящая вычисление тройного интеграла к вычисле-
нию двойного интеграла от однократного (доказатель-
ство формулы (8.2) не приводим). При этом сначала вы-
числяется внутренний интеграл по переменной z при по-
стоянных х и у в пределах изменения z. Нижней гра-
ницей интеграла является аппликата точки А —
точки входа прямой, параллельной оси Oz в
область V, т. е. z = z\(x',y); верхней границей —
аппликата точки В — точки выхода прямой из
области V, т. е. z = Z2(x;y). Результат вычисле-
ния этого интеграла есть функция двух перемен-
ных: х и у.
Если область D ограничена линиями х = а,
х = Ь (а < Ь), у = <pi(x) и у = ф2(х), где ч>\(х) и
<Р2{х) — непрерывные на отрезке [а,Ь] функции,
причем ф\(х) ^ Ц>2(х) (см. рис. 15), то, переходя
Рис. 14.
Рис. 15.
69
где га и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции
f(x;y;z) в области V.
7. Теорема о среднем значении: если функция f(x;y;z) непрерывна
в замкнутой области V, то в этой области существует такая точка
M0(x0;yo;z0), что
6. Оценка тройного интеграла:

от двойного интеграла по области D к повторному, получаем формулу
(8.3)
по которой вычисляется тройной интеграл в декартовых координатах.
Замечания.
1. Если область V более сложная, чем рассмотренная, то ее следу-
ет разбить на конечное число таких областей (правильных), к которым
можно применить формулу (8.3).
2. Порядок интегрирования в формуле (8.3),
при определенных условиях, может быть иным.
где V ограничена плоскостями x = 0,2/ = 0,2 = l,
x + y + z = 2 (рис. 16).
О Решение: Область V является правильной в
направлении оси Oz (как, заметим, и в напра-
влении осей Ох и Оу). Ее проекция на плоскость
Оху является правильной в направлении оси Оу
(и оси Ох). Согласно формуле (8.3), имеем:
Рис. 16.
70
Пример 8.1. Вычислить

Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление
тройного интеграла в цилиндрических и сферических
координатах
При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто применя-
ется метод подстановки, т. е. совершается преобразование переменных.
Пусть совершена подстановка х=ц>(щv;w), y=ip(u]v;w), z=x(u',v;w).
Если эти функции имеют в некоторой области V* пространства Ouvw
непрерывные частные производные и отличный от нуля определитель
Здесь 1(щ v; w) — определитель Якоби, или якобиан преобразования (при-
мем без доказательства).
Для вычисления тройного интеграла часто использу-
ют так называемые цилиндрические координаты.
Положение точки М(х; у; z) в пространстве Oxyz мож-
но определить заданием трех чисел г, у?, z, где г — дли-
на радиуса-вектора проекции точки М на плоскость Оху,
if — угол, образованный этим радиусом-вектором с осью
Ox, z — аппликата точки М (см. рис. 17).
Эти три числа (г, </?, z) называются цилиндрическими
координатами точки М.
Цилиндрические координаты точки связаны с ее де-
картовыми координатами следующими соотношениями:
Рис. 17.
Возьмем в качестве и, v, w цилиндрические координаты г, ip, z и вы-
числим якобиан преобразования:
71
Формула замены переменных (8.4) принимает вид
то справедлива формула замены переменных в тройном интеграле:

Таким образом, вычисление тройного интеграла приводится к интегриро-
ванию по г, по (р и по z аналогично тому, как это делается в декартовых
координатах.
Замечание. К цилиндрическим координатам бывает удобно перейти в
случае, если область интегрирования образована цилиндрической поверх-
ностью.
Пример 8.2. Вычислить / / / zdx dy dz, где V — область, ограниченная
v
верхней частью конуса х2 + у2 = z2 и плоскостью z = 1.
О Решение: На рис. 18 изображена область интегрирования V. Вычислим
интеграл путем перехода к цилиндрическим координатам: х = г • cos</?,
у = г • simp, z = z. Здесь dxdydz = r- drdtpdz. Уравнение конуса примет
вид г2 cos2 ip + r2 sin2 (p = z2, т. е. z = г. Уравнение окружности х2 + у2 = 1
(границы области D) запишется так: г = 1. Новые переменные изменяются
в следующих пределах: г — от 0 до 1, <р — от 0 до 27Г, a z — от г до 1
(прямая, параллельная оси Oz, пересекающая область D, входит в конус
z = г и выходит из него на высоте z = 1).
Таким образом, согласно формуле (8.5), получаем:
Рис. 18.
Заметим, что, не переходя к цилиндрическим коорди-
натам, получим:
Сферическими координатами точки M(x;y;z) прост-
ранства Oxyz называется тройка чисел р, ip, 0, где р —
длина радиуса-вектора точки М, ср — угол, образованный
проекцией радиуса-вектора ОМ на плоскость Оху и осью
Ох, в — угол отклонения радиуса-вектора ОМ от оси Oz
(см. рис. 19).
Сферические координаты р, ip, в связаны с декартовы-
ми координатами х, у, z соотношениями:
Рис. 19.
х = р cos (р • sin в, у = р sin ip • sin 0, z = р cos 0
(/О 0, 0 ^ ip ^ 2тг, 0 ^ 0 ^ тг).
72

В некоторых случаях вычисление тройного интеграла удобно произ-
водить, перейдя к сферическим координатам. Для этого нужно воспользо-
ваться формулой замены переменных в тройном интеграле (8.4). Так как
якобиан преобразования
TO
Замечание. Переходить к сферическим координатам удобно, когда об-
ласть интегрирования V есть шар (уравнение его границы х2 +у2 + z2 = R2
в сферических координатах имеет вид р = R) или его часть, а также если
подынтегральная функция имеет вид f(x2 + у2 + z2).
Пример 8.3. Вычислить
Q Решение: Вычислим интеграл путем перехода к сферическим коорди-
натам: х = pcosipsinO, у = psmipsinO, z = pcosO. Тогда
73
Граница области V — сфера и ее уравнение имеет вид /9=1, подынте-
гральная функция после замены переменных примет вид 2\з/2' т* е-
1 3 - Новые переменные изменяются в следующих пределах: р — от 0 до
1, if — от 0 до 27г,0 — от 0 до 7г. Таким образом, согласно формуле (8.6),

8.4. Некоторые приложения тройного интеграла
Объем тела
Объем области V выражается формулой V — dv или
74
в декартовых координатах,
- в цилиндрических координатах,
if d6 — в сферических координатах.
Масса тела
Масса тела т при заданной объемной плотности 7 вычисляется с по-
мощью тройного интеграла как
где 7(ж; У\ z) — объемная плотность распределения массы в точке М(х; у, z).
Статические моменты
Моменты Sxy, SXZy Syz тела относительно координатных плоскостей
Оху, Oxz, Oyz вычисляются по формулам
Центр тяжести тела
Координаты центра тяжести тела V находятся по формулам
Моменты инерции тела
Моменты инерции тела относительно координатных плоскостей вычи-
сляются по формулам

а моменты инерции относительно координатных осей:
Пример 8.4- Найти объем тела, ограниченного поверхностями z =
= х2 + у2 и z = 1.
О Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью z = 1, снизу —
параболоидом z = х2 + у2 (см. рис. 20). Объем тела находим, используя
цилиндрические координаты:
Рис. 20.
Рис. 21.
Пример 8.5. Найти массу шара x2-\-y2-\-z2 ^ 2Rz, если плотность в ка-
ждой точке шара обратно пропорциональна расстоянию от нее до начала
координат (дополнительно: найти координаты центра тяжести).
О Решение: Уравнение сферы х2 + у2 + z2 = 2Rz можно записать так:
х2 + у2 + (z — R)2 = R2. Центр шара расположен в точке Oi(0;0;i?)
(см. рис. 21). Пусть М(х; у; z) — произвольная точка шара. Тогда, по усло-
вию, плотность 7 определяется формулой j(x; y;z) = , , где
\Jx2 +у2 + z2
к — коэффициент пропорциональности, >Jx2 +у2 + z2 — расстояние от
точки М до начала координат.
75

Вычислять интеграл будем в сферических координатах. Уравнение
сферы х2 + у2 + z2 = 2Rz примет вид р2 = 2Rp • cos0, т. е. р — 2Rcos0. По-
этому сферические координаты будут изменяться в следующих пределах:
р — от 0 до 2i?cos0; в — от 0 до ^; (р — от 0 до 27г. Подынтегральная
функция примет вид —у= = —. Поэтому
VP2 р
Из соображений симметрии следует, что хс = 0, ус = 0; вычислив
интеграл — • /// z . dv, найдем zc = \R. Итак, координаты
ТП JJJ y/x2+y2 + z2 Ь
центра тяжести (0; 0; fiZ). •

Глава III. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ
ИНТЕГРАЛЫ
Лекции 11-14 I
Обобщением определенного интеграла на случай, когда область инте-
грирования есть некоторая кривая, является так называемый криволи-
нейный интеграл.
§9. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
9.1. Основные понятия
Пусть на плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) дли-
ны /. Рассмотрим непрерывную функцию f(x;y), определенную в точках
дуги АВ. Разобьем кривую АВ точками М0 = A, Mi, М2,..., Мп = В на
п произвольных дуг Mi-\Mi с длинами Д/; (г = 1,2,... ,тг)(см. рис. 22).
Выберем на каждой дуге M{-\Mi произвольную точку (5^;^) и составим
сумму
Рис. 22.
Ее называют интегральной суммой для функции f(x;y) no кривой
АВ.
наибольшая из длин дуг деления. Если при
А—»0 (тогда п—юо) существует конечный предел интегральных сумм (9.1),
то его называют криволинейным интегралом от функции f(x;y) no длине
кривой АВ (или I рода) и обозначают / f(x;y)dl (или / f(x;y)dl).
АВ
77

Таким образом, по определению,
(9.2)
Условие существования криволинейного интеграла I рода (существова-
ния предела интегральной суммы (9.1) при п —> оо (А -» 0)) представляет
следующая теорема, которую мы приводим здесь без доказательства.
Теорема 9.1. Если функция f(x\y) непрерывна в каждой точке гладкой кривой
(в каждой точке (х; у) Е L существует касательная к данной кривой и положение
ее непрерывно меняется при перемещении точки по кривой), то криволинейный
интеграл I рода существует и его величина не зависит ни от способа разбиения
кривой на части, ни от выбора точек в них.
Аналогичным образом вводится понятие криволинейного интеграла от
функции f(x; у; z) по пространственной кривой L.
Приведем основные свойства криволинейного интеграла по длине дуги
(I рода).
L разбит на части L\ и Z/2 такие, что L — L\ |J Ь% и L\ и L2 имеют един-
ственную общую точку.
5. Если для точек кривой L выполнено неравенство fi(x;y) ^ foixw),
78
длина кривой АВ.
7. Если функция f(x;y) непрерывна на кривой АВ, то на этой кривой
найдется точка (хс',ус) такая, что / f(x;y)dl = f(xc;yc) • I (теорема о
среднем). Ав
если путь интегрирования
т. е. криволинейный интеграл I рода
не зависит от направления пути интегрирования.

9.2. Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к
вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательства пра-
вила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая
L задана параметрическим, полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями х = x(t),
у = y(t), t G [а;/3], где x(t) и y(t) — непрерывно дифференцируемые функ-
ции параметра t, причем точке А соответствует t = а, точке В — значение
t = /?, то
79
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от
функции f(x;y; z) по пространственной кривой АВ, задаваемой уравнени-
ями х = x(t), у = y(t), z = z(t), a ^.t ^ /?:
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у = <р{х), х е [а;Ь], где ip(x) —
непрерывно дифференцируемая функция, то
Подынтегральное выражение в правой части формулы (9.5) получается
заменой в левой части у = <р(х) и dl = л/l + у%' dx (дифференциал дуги
кривой — см. Часть 1, п. 41.3).
Пример 9.1. Вычислить / ху2 dl, где L — отрезок прямой между точ-
L
ками О(0; 0) и Л(4;3).
О Решение: Уравнение прямой О А есть у = 4х, 0 ^ х ^ 4. Согласно
формуле (9.5), имеем:

Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в форму-
лах (9.3)-(9.6) должен быть меньше верхнего.
\\ I Пример 9.2. Вычислить (х + y)dl, где L — лепе-
сток лемнискаты г = \/sin 2<p, расположенной в I коор-
динатном углу.
Q Решение: Кривая интегрирования изображена на ри-
сунке 23. Воспользуемся формулой (9.6). Так как
то, заметив, что 0 ^ у? ^ 5, получаем:
9.3. Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл I рода имеет разнообразные приложения в
математике и механике.
Длина кривой
Длина / кривой АВ плоской или пространственной линии вычисляется
по формуле I — I dl.
АВ
Площадь цилиндрической поверхности
Если направляющей цилиндричес-
кой поверхности служит кривая АВ, ле-
жащая в плоскости Оху, а образующая
параллельна оси Oz (см. рис. 24), то пло-
щадь поверхности, задаваемой функци-
ей z — f(x;y), находится по формуле
Рис. 24.
80
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская кривая L задана уравнением г = г(</?), а ^ ip ^ /? в
полярных координатах, то dl = Jr2 + (r'^dip и

Масса кривой
Масса материальной кривой АВ (провод, цепь, трос, ...) определяется
формулой т = где 7 = l{M) = 7(#; у) — плотность кривой в
АВ
точке М.
Q Разобьем кривую АВ на п элементарных дуг Mi-\Mi (г = 1,го). Пусть
(xi'iVi) — произвольная точка дуги Mi-\Mi. Считая приближенно участок
дуги однородным, т. е. считал, что плотность в каждой точке дуги такая
же, как и в точке (a;,-:Si), найдем приближенное значение массы па дуги
81
Суммируя, находим приближенное значение массы ш:
За массу кривой АВ примем предел суммы (9.7) при условии, что
max A/j -» 0 (п ->> оо), т. е.
или, согласно формуле (9.2),
(Заметим, что предел существует, если кривая АВ гладкая, а плотность
задана непрерывной в каждой точке АВ функцией.) ■
Статические моменты, центр тяжести
Статические моменты относительно осей Ох и Оу и координаты центра
тяжести материальной кривой АВ определяются по формулам
Моменты инерции
Для материальной кривой АВ моменты Ix, Iy, Io инерции относитель-
но осей Ох, Оу и начала координат соответственно равны:
Пример 9.3. Найти центр тяжести полуокружности х2 + у2 = Д2,
лежащей в верхней полуплоскости. Плотность считать равной единице в
каждой точке кривой (7 = 1).

Q Решение: Из соображений симметрии ясно, что
центр тяжести находится на оси Оу (см. рис. 25).
Поэтому хс = 0. Ордината центра тяжести
Рис. 25.
Знаменатель дроби — длина полуокружности. По-
этому / d\ — nR.
ав
Для вычисления числителя воспользуемся параметрическими уравне-
ниями окружности х = Rcost, у — Rsint, 0 ^ t ^ тт. Имеем:
Следовательно, wc = ^Ц^ = ^^. Итак, хс = 0, yc = ^^. •
7Г/1 7Г 7Г
§10. КРИВОЛИНЕЙНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА
10.1. Основные понятия
Решение задачи о вычислении работы переменной силы при переме-
щении материальной точки вдоль некоторой кривой (и других) приводит
к понятию криволинейного интеграла II рода.
Криволинейный интеграл II рода определяется почти так же, как и
интеграл I рода.
Пусть в плоскости Оху задана непрерывная кривая АВ (или L) и
функция Р(х;у), определенная в каждой точке кривой. Разобьем кривую
АВ точками Mq = А, М\,..., Мп = В в направлении от точки А к точке
Внап дуг Mi-\M{ с длинами A/j (г = 1,2,... , п).
На каждой «элементарной дуге» М\-\М{ возьмем
В точку {xi\yi) и составим сумму вида
где Axi = Xi — Xi-i — проекция дуги M{-\Mi на ось
Ох (см. рис. 26).
Сумму (10.1) называют интегральной суммой для
функции Р(х;у) по переменной х. Таких сумм мож-
но составить бесчисленное множество. (Отличие сумм
(9.1) и (10.1) очевидно.)
Если при Л = max Ali —> 0 интегральная сумма (10.1) имеет конеч-
ный предел, не зависящий ни от способа разбиения кривой АВ, ни от вы-
бора точек (х{]уг), то его называют криволинейным интегралом по коор-
82

Аналогично вводится криволинейный интеграл от функции Q(x\y) по
координате у:
где Ayi — проекция дуги Mi-\Mi на ось Оу.
Криволинейный интеграл IIрода общего вида / Р(х; у) dx+Q(x; у) dy
АВ
определяется равенством
Криволинейный интеграл / Q(x;y; z) dx + Q(x;y; z) dy + R(x]y; z) dz no
пространственной кривой L определяется аналогично.
Теорема 10.1. Если кривая АВ гладкая, а функции Р(х;у) и Q(x,y) непрерывные
на кривой АВ, то криволинейный интеграл II рода существует.
Отметим лишь некоторые свойства криволинейного интеграла II рода.
1. При изменении направления пути интегрирования криволинейный
интеграл II рода изменяет свой знак на противоположный, т. е.
(проекция дуги Mi-\M{ на оси Ох и Оу меняют знаки с изменением на-
правления) .
2. Если кривая АВ точкой С разбита на две части АС и СВ, то инте-
грал по всей кривой равен сумме интегралов по ее частям, т. е.
83
динате х (или II рода) от функции Р(х\у) по кривой АВ и обозначают
/ Р{х\ у) dx или / Р(х; у) dx.
АВ L
Итак, , .
3. Если кривая АВ лежит в плоскости, перпендикулярной оси Ох, то

аналогично для кривой, лежащей в плоскости, перпендикулярной оси Оу:
т
Рис. 27.
10.2. Вычисление криволинейного интеграла II рода
Вычисление криволинейного интеграла II рода, как и I рода, может
быть сведено к вычислению определенного интеграла.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Пусть кривая А В задана параметрическими уравнениями х = x(t) и
у = y{t), где функции x(t) и y(t) непрерывны вместе со своими произ-
водными x'(t) и y'(t) на отрезке [а;/?], причем начальной точке А кривой
соответствует значение параметра t = а, а конечной точке В — значе-
ние t = /3. И пусть функция Р(х;у) непрерывна на кривой АВ. Тогда, по
определению,
4. Криволинейный интеграл по замкнутой кривой (обозначается <Ь 1
не зависит от выбора начальной точки (зависит только от направления
обхода кривой).
Qj Действительно,
(см. рис. 27). С другой стороны,
Таким образом,
Преобразуем интегральную сумму к переменной t. Так как
то по формуле Лагранжа (см. Часть 1, (25.2)) имеем: Axi = x'(ci)Ati, где
С{ Е (£i-l 5 ti), Д^г — U — ti-1 •
Выберем точку {х^уг) так, чтобы Х{ — x(c;), у% — y(ci). Тогда пре-
п
образованная интегральная сумма Yl P(x(ci)iy(ci)) ' x'(ci) ' ^U будет ин-
г=1
тегральной суммой для функции одной переменной P(x(t);y(t)) • x'(t) на
промежутке [а;/?]. Поэтому

вычисляется по формуле
Замечание, Криволинейные интегралы I и II рода связаны соотноше-
нием / Pdx + Qdy = / (Р cos a + Q cos /?) dl, где а и /? — углы, обра-
АВ АВ
зованные касательной к кривой АВ в точке М(х;у) с осями Ох и Оу
соответственно.
Пример 10.1. Вычислить / = (х — у)2 dx + (х + у)2 dy, L — ломаная
ОАВ, где О(0; 0), А(2;0), #(4; 2).
85
Если АВ — гладкая пространственная кривая, которая описывается
непрерывными на отрезке [а;/?] функциями х — x(t), у = y(t) и z = z(t),
то криволинейный интеграл
В частности,
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая АВ задана уравнением у = (^(х), х Е [а; ft], где функция
4>(х) и ее производная (f'(x) непрерывны на отрезке [а; 6], то из форму-
лы (10.4), приняв х за параметр, имеем параметрические уравнения кри-
вой АВ: х = #, у = ip(x), х е [a; ft], откуда получим:
Складывая почленно полученные равенства (10.2) и (10.3), получаем:
Аналогично получаем:

Q Решение: Так как L = ОАВ = О А + АВ (см.
рис. 28), то I = f = f + /" .
Уравнение отрезка О А есть у = О, 0 ^ х ^ 2;
уравнение отрезка ЛВ: у = х — 2, # Е [2; 4]. Согласно
формуле (10.5), имеем:
Пример 10.2. Вычислить I = у2 dx + (х2 + z) dy + (x + у + z2) dz, L —
L
отрезок прямой в пространстве от точки А(1;0;2) до точки В(3; 1;4).
О Решение: Составим уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
х ~ = Уг = z ~ или в параметрической форме: х = 2t + 1, у = £,
г = 2^ + 2. При перемещении от точки А к точке В параметр t меняется
от 0 до 1. По формуле (10.7) находим, что
10.3. Формула Остроградского-Грина
Связь между двойным интегралом по области Z) и криволинейным
интегралом по границе L этой области устанавливает формула Остроград-
ского-Грина, которая широко применяется в математическом анализе.
Пусть на плоскости Оху задана область D, ограниченная кривой, пе-
ресекающейся с прямыми, параллельными координатным осям не более
чем в двух точках, т. е. область D — правильная.
Теорема 10.2. Если функции Р(х;у) и Q{x\y) непрерывны вместе со своими част-
ными производными Щ- и -J*- в области D, то имеет место формула
Формула (10.8) называется формулой Остроградского-Грина.
86
где L — граница области D и интегрирование вдоль кривой L производится в поло-
жительном направлении (т.е. при движении вдоль кривой, область D остается слева).
Рис. 28.

□ Пусть у = ipi (x) — уравнение дуги АпВ, а у = ^(^) — уравнение дуги
АтВ (см. рис. 29). Найдем сначала // Щ- dxdy. По правилу вычисления
двойного интеграла, имеем:
Рис. 30.
87
Или, согласно формуле (10.6),
Аналогично доказывается, что
Если из равенства (10.10) вычесть равенство (10.9), то получим фор-
мулу (10.8). ■
Замечание. Формула (10.8) справедлива и для произвольной области,
которую можно разбить на конечное число правильных областей.
Пример 10.3. С помощью формулы Остроградского-Грина вычислить
где L — контур прямоугольника с вершинами Л(3;2), £(6; 2). С(6;4),
Л(3;4).
О Решение: На рисунке 30 изображен контур интегрирования. Посколь-

Теорема 10.3. Для того чтобы криволинейный интеграл I = Pdx + Qdy не зави-
L
сел от пути интегрирования в односвязной области D, в которой функции Р{х\у),
Q(x;y) непрерывны вместе со своими частными производными, необходимо и до-
статочно, чтобы в каждой точке этой области выполнялось условие
Q Докажем достаточность условия (10.12). Рассмотрим произвольный за-
мкнутый контур АтпВпА (или L) в области D (см. рис. 32). Для него име-
ет место формула Остроградского-Грина (10.8). В силу условия (10.12)
имеем:
Рис. 32.
88
вообще говоря, свое значение.
Если же его значения по всевозможным кривым АВ
одинаковы, то говорят, что интеграл / не зависит от
вида пути интегрирования. В этом случае для интегра-
ла / достаточно отметить лишь его начальную точку
А{х\',у\) и его конечную точку В{х2',У2) пути. Записы-
вают:
10.4. Условия независимости криволинейного интеграла II рода
от пути интегрирования
Пусть А{х\\у\) и В(х2',У2) — две произвольные точки односвязной
области D плоскости Оху (область D называется односвязной, если для
любого замкнутого контура, лежащего в этой области, ограниченная им
часть плоскости целиком принадлежит D (область без «дыр»)). Точки А
и В можно соединить различными линиями (на рис. 31 это Li, L2 и L3).
По каждой из этих кривых интеграл / = / Р(х\ у) dx + Q(x; у) dy имеет,
Каковы же условия, при которых криволинейный интеграл II рода не
зависел от вида пути интегрирования?

т. е.
Полученное равенство означает, что криволинейный интеграл не за-
висит от пути интегрирования. В
В ходе доказательства теоремы получено, что если выполняется усло-
вие Ш- — -J*-, то интеграл по замкнутому контуру равен нулю:
Верно и обратное утверждение.
Следствие 10.1. Если выполнено условие (10.12), то подынтегральное выраже-
ние P(x;y)dx + Q(x;y)dy является полным дифференциалом некоторой функции
и = и(х;у) (см. Часть 1, (44.5)), т. е.
Тогда (см. (10.11)):
Формула (10.14) называется обобщенной формулой Ньютона-Лейбни-
ца для криволинейного интеграла от полного дифференциала.
Следствие 10.2. Если подынтегральное выражение Pdx + Qdy есть полный диф-
ференциал и путь интегрирования L замкнутый, то ф Pdx + Qdy = 0.
Замечания.
1. Чтобы не спутать переменную интегрирования х с верхним пределом
х, переменную интегрирования обозначают другой буквой (например, £, £,
и т.д.).
2. Функцию U = U(x;y), удовлетворяющую условию (10.12), можно
найти, используя формулу
89

В качестве начальной точки (яо;2/о) обычно берут точку (0;0) — начало
координат (см. пример 10.5).
3. Аналогичные результаты справедливы для криволинейного инте-
грала
О Решение: Здесь Р = у, Q = х, Щ- = -р%- = 1. Согласно вышеприведен-
ной теореме, интеграл не зависит от пути интегрирования. В качестве пути
интегрирования можно взять отрезок прямой у = х, дугу параболы у = х2
и т. д. или воспользоваться формулой (10.14). Так как ydx + xdy = d(xy),
то
Пример 10.5. Убедиться, что выражение е~у dx — (2у -h xe~y) dy пред-
ставляет собой полный дифференциал некоторой функции U(x;y) и найти
ее.
О Решение: Для того чтобы указанное выражение являлось полным
дифференциалом, необходимо выполнение условий (10.12):
по пространственной кривой. Условие (10.12), равенство (10.13), формулы
(10.14) и (10.15) имеют соответственно вид:
(см. пример 27.1).
— условия выполнены, следовательно, е у dx — (2у + хе у) dy = dU(x; у).
А так как полный дифференциал имеет вид
90

Интегрируем по х первое из уравнений, считая у постоянным, при этом
вместо постоянной интегрирования следует поставить ip(y) — неизвестную
функцию, зависящую только от у:
10.5. Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Площадь плоской фигуры
Площадь S плоской фигуры, расположенной в плоскости Оху и огра-
ниченной замкнутой линией L, можно найти по формуле
(10.17)
при этом кривая L обходится против часовой стрелки.
Q Действительно, положив в формуле Остроградского-Грина (10.8)
Р(х\у) = 0, Q{x;y) = х, получим:
Аналогично, полагая Р = —у, Q = 0, найдем еще одну формулу для
вычисления площади фигуры с помощью криволинейного интеграла:
или
91
Таким образом, U(x; у) = хе у — у2 + с. (
Отметим, что функцию U проще найти, используя формулу (10.15):
Подставляя полученное выражение во второе из уравнений (10.16), найдем
(см. Часть 1, п. 44.3), то верны соотношения

Q Действительно, пусть материальная точка (х; у) под действием пере-
менной силы F перемещается в плоскости Оху по некоторой кривой АВ
(от точки А до точки В).
Разобьем кривую АВ точками М0 = А, М\, М2,...
...,МП = В на п «элементарных» дуг Mj_iMj дли-
ны Д/j и в каждой из них возьмем произвольную точ-
ку Ci(xi;yi)y г = 1;2;...;п (см. рис. 33). Заменим ка-
ждую дугу Mi-iMi вектором Mi-iMi = (Ax^Ayi),
а силу F будем считать постоянной на векторе пере-
мещения Mi-\Mi и равной заданной силе в точке С г
дуги М~[М{\ Fi = {P(xi;yi);Q(xi;yi)):
Тогда скалярное произведение F{ • M{-\Mi можно
рассматривать как приближенное значение работы Fi
вдоль дуги Mi-iMii
Рис. 33.
а
Пример 10.6. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой х =
= а • cos31, у = a- sin3 t.
92
Замечание. В случае пространственной кривой АВ имеем:
За точное значение работы А примем предел полученной суммы при А =
= max All -> 0 (тогда, очевидно, Ах{ -^Ои Ayi —» 0):
Приближенное значение работы А силы F на всей кривой составит вели-
ЧИНУ п п
Формула (10.17) используется чаще, чем формулы (10.18) и (10.19).
Работа переменной силы
Переменная сила F(P(x;y);Q(x;y)) на криволинейном участке АВ
производит работу, которая находится по формуле
Сложив почленно равенства (10.18) и (10.19) и разделив на два, полу-
чим: 1 .

Рис. 34.
Пример 10.7. Найти работу силы F = 4x6i + xyj вдоль кривой у = х3
от точки О(0; 0) до точки В(1; 1).
О Решение: По формуле (10.20) находим:
v.6
§11. ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ I РОДА
11.1. Основные понятия
Обобщением двойного интеграла является так называемый поверх-
ностный интеграл.
Пусть в точках некоторой поверхности 5, с пло-
щадью 5, пространства Oxyz определена непрерыв-
ная функция f(x;y;z). Разобьем поверхность 5 на
п частей 5j, площади которых обозначим через Д5*
(см. рис. 35), а диаметры — через di, г — 1;п.
В каждой части Si возьмем произвольную точку
Mi{xi',yi',Zi) и составим сумму
(11.1)
Рис. 35.
Она называется интегральной для функции
f(x;y;z) по поверхности S.
Если при Л = max di —> 0 интегральная сумма (11.1) имеет предел,
то он называется поверхностным интегралом I рода от функции
f(x;y;z) но поверхности S и обозначается // f(x;y;z)ds.
s
Таким образом, по определению,
(11.2)
93
О Решение: При обхождении астроиды в положительном напра-
влении параметр t изменяется от 0 до 2п (см. рис. 34).
Применяя формулы (10.17) и (10.4), получим:

3. Если поверхность 5 разбить на части Si и 52 такие, что 5 = S\ \J 52,
а пересечение S\ и 52 состоит лишь из границы, их разделяющей, то
4. Если на поверхности 5 выполнено неравенство f\ (x; у; z) ^f2(x; у; z),
то JJ fi(x;y;z)ds ^ J J f2(x;y;z)ds.
(теорема о среднем значении).
11.2. Вычисление поверхностного интеграла I рода
Вычисление поверхностного интеграла I рода сводится к вычислению
двойного интеграла по области D — проекции поверхности 5 на плос-
кость Оху.
Разобьем поверхность 5 на части 5;, г = 1;п. Обозначим через сг; про-
екцию Si на плоскость Оху. При этом область D окажется разбитой на п
частей (Ji, ег2, • ••> &п- Возьмем в Oi произвольную точку Р{{х%\у\) и вос-
становим перпендикуляр к плоскости Оху до пересечения с поверхностью
5. Получим точку Mi{xi\yi\Zi) на поверхности 5j. Проведем в точке Mi
касательную плоскость и рассмотрим ту ее часть 7^, которая на плоскость
94
5, где S — площадь поверхности S.
Отметим, что «если поверхность 5 гладкая (в каждой ее точке су-
ществует касательная плоскость, которая непрерывно меняется с переме-
щением точки по поверхности), а функция f(x;y;z) непрерывна на этой
поверхности, то поверхностный интеграл существует» (теорема существо-
вания).
Поверхностный интеграл I рода обладает следующими свойствами:
7. Если f(x; у; z) непрерывна на поверхности 5, то на этой поверхности
существует точка (xc;yc;zc) такая, что

Оху проектируется в область G{ (см. рис. 36). Площади элементарных ча-
стей Si, Ti и G\ обозначим как А5г-, АТ{ и Да* соответственно. Будем
приближенно считать, что
ATi • COS 7i = ДсГг
(11.4)
(область а г есть проекция Т* на плоскость Оху).
Если поверхность 5 задана уравнением z = z(x;y), то, как
известно (см. Часть 1, (45.2)), уравнение касательной плоскости
в точке Mi есть
z'x{xi\yi) • {x-Xi) + z'y(xi]yi) • {y-yi) - (z- Zi) = 0,
где z'x{xi',yi), zfy(xi',yi), —1 — координаты нормального векто-
ра к плоскости. Острый угол 7г есть угол между векторами
к = (0;0; 1) и щ = (-zx(xi]yi); -z'y{xi\yi)\ 1). Следовательно,
Рис. 36.
Равенство (11.4) принимает вид
В правой части формулы (11.2) заменим ASi (учитывая (11.3)) на полу-
ченное выражение для ДГ», a Z{ заменим на z(xi\yi). Поэтому, переходя
к пределу при стремлении к нулю наибольшего диаметра Si (а следова-
тельно, и а*), получаем формулу
выражающую интеграл по поверхности 5 через двойной интеграл по про-
екции 5 на плоскость Оху.
Отметим, что если поверхность S задана уравнениехМ вида у = y(x;z)
или х = х(у; z), то аналогично получим:
а
где D\ и Да — проекции поверхности S на координатные плоскости Oxz
и Oyz соответственно.
Пример 11.1. Вычислить I — 11 (х — Зу + 2z) ds, где S — часть плос-
5
кости Ах + Зу + 2z — 4 = 0, расположенной в I октанте (см. рис. 37).
95
и
Обозначив через 7г острый угол между осью Oz и нормалью
щ к поверхности в точке М*, получаем:

О Решение: Запишем уравнение плоскости в ви-
де z — 2 - 2х - ^у. Находим zx' = -2, zy' = -^.
По формуле (11.5) имеем:
Рис. 37.
Пример 11.2. Вычислить
где S — часть цилиндрической поверхности х = ^/1 — у2, отсеченной плос-
костями z = О, z = 2 (см. рис. 38).
О Решение: Воспользуемся формулой (11.6). Поскольку
ху = 7Г—?' х* = °' то
Рис. 38.
96
где D\ — прямоугольник АА\В\В.

11.3. Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
Приведем некоторые примеры применения поверхностного интеграла
I рода.
Площадь поверхности
Если поверхность S задана уравнением z — z(x;y), а ее проекция на
плоскость Оху есть область D, в которой z(x;y), zx'(x;y) и zy'(x;y) —
непрерывные функции, то ее площадь 5 вычисляется по формуле
Кроме того, поверхностный интеграл применяют для вычисления мас-
сы, координат центра масс, моментов инерции материальных поверхностей
с известной поверхностной плотностью распределения массы 7 = 7(^5 2/jz)-
Все эти величины определяются одним и тем же способом: данную область
разбивают на конечное число «мелких» частей, делая для каждой обла-
сти деления упрощающие задачу предположения; находят приближенное
значение искомой величины; переходят к пределу при неограниченном из-
мельчении области деления. Проиллюстрируем описанный способ на при-
мере определения массы материальной поверхности.
Масса поверхности
Пусть плотность распределения массы материальной поверхности есть
7 = j(x;y; z). Для нахождения массы поверхности:
1. Разбиваем поверхность S на п частей 5г, г — 1,2, ...,п, площадь
которой обозначим AS».
2. Берем произвольную точку M{(xi\ y%,Zi) в каждой области Si. Пред-
полагаем, что в пределах области S{ плотность постоянна и равна значе-
нию ее в точке Mi.
3. Масса ш^ области Si мало отличается от массы 7(хг5 2/i; Zi)ASi фик-
тивной однородной области с постоянной плотностью 7 = j(xf, У и Zi).
п
4. Суммируя rrii по всей области, получаем: т « ]Г ^(x^y^z^ASi.
г=1
5. За точное значение массы материальной поверхности 5 принимает-
ся предел, к которому стремится полученное приближенное значение при
стремлении к нулю диаметров областей Si, т. е.
т. е.
97

Моменты, центр тяжести поверхности
Статистические моменты, координаты центра тяжести, моменты инер-
ции материальной поверхности S находятся по соответствующим форму-
лам:
Пример 11.3. Найти массу полусферы радиуса R, если в каждой точке
поверхности плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса,
перпендикулярного основанию полусферы.
Переходим к полярным координатам:
m
Внутренний интеграл вычислен с помощью подстановки г = R sin t:
98
О Решение: На рисунке 39 изображена полусфера радиуса R. Ее уравне-
ние z = y/R2 — х2 —у2', 7 = Vх2 + У2 — поверхностная плотность полу-
сферы.
По формуле (11.7) находим:

ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ II РОДА
Основные понятия
Поверхностный интеграл II рода строится по образцу криволинейного
интеграла II рода, где направленную кривую разлагали на элементы и
проектировали их на координатные оси; знак брали в зависимости от того,
совпадало ли ее направление с направлением оси или нет.
Пусть задана двусторонняя поверхность (таковой является плос-
кость, эллипсоид, любая поверхность, задаваемая уравнением z — f(x;y),
где f(x;y), fxr и fy' — функции, непрерывные в некоторой области D
плоскости Оху и т. д.). После обхода такой поверхности, не пересекая ее
границы, направление нормали к ней не меняется. Примером односторон-
ней поверхности является так называемый лист Мебиуса, получающийся
при склеивании сторон АВ и CD прямоугольника ABCD так, что точка
А совмещается с точкой С, а, В — с D (см. рис. 40).
Рис. 40.
Далее, пусть в точках рассматриваемой двусторонней поверхности 5
в пространстве Oxyz определена непрерывная функция f(x; у; z). Выбран-
ную сторону поверхности (в таком случае говорят, что поверхность ори-
ентирована) разбиваем на части Si, где г = 1,2,... ,п, и проектируем их
на координатные плоскости. При этом площадь проекции Aaj берем со
знаком «плюс», если выбрана верхняя сторона поверхности, или, что то
же самое, если нормаль п к выбранной стороне поверхности составляет с
осью Oz острый угол (см. рис. 41, а), т. е. cos7i > 0; со знаком «минус»,
если выбрана нижняя сторона поверхности (или cos7i < 0) (см. рис. 41, б).
В этом случае интегральная сумма имеет вид
99
где A&i = (Si)oxy — площадь проекции Si на плоскость Оху. Ее отличие
от интегральной суммы (11.1) очевидно.
Предел интегральной суммы (12.1) при Л = max di —> 0, если он су-
ществует и не зависит от способа разбиения поверхности S на части Si и
от выбора точек Mi £ Si, называется поверхностным интегралом II рода
(по координатам) от функции f(x; у; z) по переменным х и у по выбранной
стороне поверхности и обозначается
Итак,

Рис. 41.
где Р, Q, R — непрерывные функции, определенные в точках двусторон-
ней поверхности S.
Отметим, что если S — замкнутая поверхность, то поверхностный ин-
теграл по внешней стороне ее обозначается о, по внутренней о .
S -S
Из определения поверхностного интеграла II рода вытекают следую-
щие его свойства:
1. Поверхностный интеграл II рода изменяет знак при перемене сторо-
ны поверхности.
2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхностного
интеграла.
3. Поверхностный интеграл от суммы функций равен сумме соответ-
ствующих интегралов от слагаемых.
4. Поверхностный интеграл II рода по всей поверхности S = S\ + S2
равен сумме интегралов по ее частям Si и 52 (аддитивное свойство), если
S\ и 52 пересекаются лишь по границе, их разделяющей.
5. Если Si, S2, S3 — цилиндрические поверхности с образующими,
параллельными соответственно осям Oz, Ох, Оу, то
100
Общим видом поверхностного интеграла II рода служит интеграл
Аналогично определяются поверхностные интегралы II рода по пере-
менным у и z и z и х:

12.2. Вычисление поверхностного интеграла II рода
Вычисление поверхностного интеграла II рода сводится к вычислению
двойного интегралу.
Пусть функция R(x;y;z) непрерывна во всех точках поверхности 5,
заданной уравнением z = z(x;y), где z(x;y) — непрерывная функция в
замкнутой области D (или Dxy) — проекции поверхности 5 на плоскость
Оху.
Выберем ту сторону поверхности 5, где нормаль к ней образует с осью
Oz острый угол. Тогда Дет* > 0 (г = 1,2,..., п).
Так как Z{ — z{x{\yi), то интегральная сумма (12.1) может быть запи-
сана в виде
101
Правая часть этого равенства есть интегральная сумма для функции
R(x;y;z(x;y)), непрерывной в области D. Переходя к пределу в равен-
стве (12.2) при Л —> 0, получаем формулу
выражающую поверхностный интеграл II рода по переменным х и у че-
рез двойной интеграл. Если выбрать вторую сторону, т. е. нижнюю, по-
верхности 5, то полученный двойной интеграл берут со знаком «минус».
Поэтому
Аналогично
где Dxz и Dyz — проекции поверхности 5 на плоскости Oxz и Oyz соот-
ветственно (замкнутые области).
В формуле (12.5) поверхность S задана уравнением у = у(х\ z), а в фор-
муле (12.6) — уравнением х = х(у; z). Знаки перед интегралами выбирают-
ся в зависимости от ориентации поверхности 5 (так, в формуле (12.5) бе-
рем знак «плюс», если нормаль к поверхности образует с осью Оу острый
угол, а знак «минус» — если тупой угол).
Для вычисления общего поверхностного интеграла II рода используют
формулы (12.4)-(12.б), проектируя поверхность S на все три координатные

плоскости:
102
Замечание. Можно показать справедливость равенств
dx dy = cos 7 • ds, dx dz = cos /3 • ds, dy dz = cos a • ds, (12.7)
где ds — элемент площади поверхности S; cos a, cos/?, cos 7 — направля-
ющие косинусы нормали п к выбранной стороне поверхности S.
Поверхностные интегралы I и II рода связаны соотношением
Пример 12.1. Вычислить
по верхней стороне части плоскости 2х — Зу + z = 6, лежащей в IV октанте.
О Решение: На рисунке 42 изображена заданная часть
плоскости. Нормаль п, соответствующая указанной сто-
роне поверхности, образует с осью Оу тупой угол, а с
осями Ох и Oz — острые. В этом можно убедиться,
найдя направляющие косинусы нормального вектора
п — (2; —3; 1) плоскости:
Поэтому перед двойными интегралами в формулах
(12.4) и (12.6) следует брать знак «плюс», а в форму-
ле (12.5) — знак «минус». Следовательно,

12.3. Формула Остроградского-Гаусса
Связь между поверхностным интегралом II рода по замкнутой поверх-
ности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью
устанавливает следующая теорема.
Теорема 12.1. Если функции P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) непрерывны вместе со
своими частными производными первого порядка в пространственной области V,
то имеет место формула
Формула (12.9) называется формулой Остроградского-Гаусса (являет-
ся аналогом формулы Остроградского-Грина (см. п. 10.3).
Q Пусть область V ограничена снизу поверхностью 5i, уравнение кото-
рой z — z\ {х\ у); сверху — поверхностью 52, уравнение которой z = z^{x\ у)
(функции z\{x;y) и Z2(x;y) непрерывны в замкнутой области D — проек-
ции V на плоскость Оху, z\(x;y) ^ £2(#5 2/)); сбоку — цилиндрической
поверхностью 5з, образующие которой параллельны оси Oz (см. рис. 43).
Рассмотрим тройной интеграл
Рис. 43.
Двойные интегралы в правой части равенства заменим
поверхностными интегралами II рода по внешней сто-
роне поверхностей S\ и 52 соответственно (см. (12.3)).
Получаем:
Добавляя равный нулю интеграл Rdxdy по внешней
стороне 5з (см. свойство 5 п. 12.1), получим:
103
где 5 — граница области V и интегрирование по S производится по ее внешней
стороне.

где 5 — поверхность, ограничивающая область V.
Аналогично доказываются формулы
(12.10)
(12.11)
(12.12)
104
Складывая почленно равенства (12.10), (12.11) и (12.12), получаем
формулу (12.9) Остроградского-Гаусса. И
Замечания.
1. Формула (12.9) остается справедливой для любой области V, кото-
рую можно разбить на конечное число областей рассмотренного вида.
2. Формулу Остроградского-Гаусса можно использовать для вычисле-
ния поверхностных интегралов II рода по замкнутым поверхностям.
внешняя сторона пирамиды, ограниченной плоскостями 2х — Зу + z = б,
х = 0, у = 0, z = 0.
О Решение: По формуле (12.9) находим:
Заметим, что интеграл 1\ (см. пример 12.1) можно вычислить
иначе:
где поверхности 52, 5з, 54 есть соответственно треугольники О АС,
АО В, СОВ (см. рис. 44).
Имеем:

12.4. Формула Стокса
Связь между поверхностными и криволинейными интегралами II рода
устанавливает следующая теорема.
Теорема 12.2. Если функции P(x;y;z), Q(x;y,z) и R(x;y;z) непрерывны вместе
со своими частными производными первого порядка в точках ориентированной по-
верхности 5, то имеет место формула
105
где L — граница поверхности 5 и интегрирование вдоль кривой L производится
в положительном направлении (т. е. при обходе границы L поверхность S должна
оставаться все время слева).
Формула (12.13) называется формулой Стокса (Д. Г. Стоке — англий-
ский математик, физик).
Q Пусть z = f(x; у) — уравнение поверхности 5, функции /(#; у), fx'(x; у),
fy'(x\y) непрерывны в замкнутой области D (проекции поверхности S на
плоскость Оху), L\ — граница области D (см. рис. 45). Будем считать,
что поверхность 5 пересекается с любой прямой, параллельной оси Ог,
не более чем в одной точке. Выберем верхнюю сторону поверхности S.
Рассмотрим сначала интеграл вида <Ь Р(х; у; z) dx.
Li
Значения функции Р(х; у; z) на L равны значениям
функции Р(х; у; z(x; у)) на L\. Интегральные суммы для
криволинейных интегралов II рода по контурам L и L\
совпадают. Поэтому
Применим к этому интегралу формулу Остроград-
ского-Грина (см. п. 10.3). Тогда получим:
Преобразуем полученный двойной интеграл в рав-
Рис. 45. ный ему поверхностный интеграл II рода (см. п. 12.2).
Для этого последнее равенство перепишем в виде

s
Следовательно,
Аналогично получаются при соответствующих условиях еще два ра-
венства:
Складывая почленно три последних равенства, получаем формулу Сток-
са (12.13). ■
Отметим, что формулу Стокса (12.13) можно применить и для поверх-
ностей более сложного вида (разбив ее на части рассмотренного выше ти-
па).
Формулу Стокса можно применять для вычисления криволинейного
интеграла по замкнутому контуру с помощью поверхностного интеграла.
Из формулы Стокса вытекает, что если выполняются условия
106
(см. п. 10.4), то криволинейный интеграл по произвольному простран-
ственному замкнутому контуру L равен нулю: <ь Р dx + Q dy + P dz = 0.
L
Следовательно, в данном случае криволинейный интеграл не зависит от
вида пути интегрирования.
Пример 12.3. Вычислить I = <t х2у3 dx + dy + zdz, где контур L —
L
окружность х2 +у2 = i?2; z = 0: а) непосредственно, б) используя формулу
Стокса, взяв в качестве поверхности полусферу z = + y/R2 — х2 —у2.
(см. 12.7) и используем уравнение нормали к поверхности 5 (см. Часть 1,
(45.3)). Так как выбрана верхняя сторона поверхности 5, т.е. cos7 > О
(7 — острый угол между нормалью п к поверхности 5 и осью Oz), то
нормаль п имеет проекции — ччр, — §р, 1. Направляющие косинусы про-
порциональны соответствующим проекциям:
Отсюда -& = ^^. Тогда
ду cos 7

О Решение: Поверхность интегрирования изображена на рисунке 46.
а) Запишем уравнение окружности в параметрической форме:
х = Rcost, у = Rsint, z = О, £Е'[0;27г].
По формуле (10.7) имеем:
б) По формуле Стокса (12.13) находим:
Переходя к полярным координатам, получаем:
12.5. Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода
С помощью поверхностного интеграла II рода можно найти объем тела,
ограниченного сверху поверхностью 52 {z = Z2(x;y)), снизу — поверхно-
стью S\ (z = zi(x;y)), сбоку — цилиндрической поверхностью 5з, образу-
ющие которой параллельны оси Oz:
где 5 = 5i + 5г + 53.
107
Рис. 46.

выражающую объем тела через поверхностный интеграл II рода.
Сложив почленно равенства (12.15)—(12.17) и разделив на три, полу-
чим формулу (12.14).
Другие применения поверхностного интеграла II рода рассмотрим в
главе VII «Элементы теории поля».
Наконец, положив Р = О, Q = О, R = г, по формуле (12.9) находим
третью формулу гг
Аналогично, полагая Р = О, Q = у, R = 0, находим еще одну формулу
для нахождения объема тела с помощью поверхностного интеграла II рода:
Действительно, положив в формуле Остроградского-Гаусса (12.9)
Р{х; у; z) = х, Q(x; t/; z) = 0, R(x; у; z) = 0, находим:

Глава IV. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лекции 15-16 I
Если существует конечный предел S = lim Sn последовательности ча-
п—>оо
стичных сумм ряда (13.1), то этот предел называют суммой ряда (13.1)
оо
и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = ^2 ип.
п=1
Если lim Sn не существует или lim Sn = оо, то ряд (13.1) называют
п—юо п—юо
расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.
Рассмотрим примеры.
1. Ряд 2 + 17 — 34 + 196 + ... нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5+
+8 + ... — можно: его общий член задается формулой ип = Sn — 1.
2. Ряд 0 + 0 + 0 + --- + 0 + ... сходится, его сумма равна 0.
3. Ряд 1 + 1 + 1 + Ь 1 + ... расходится, Sn = п -» оо при п -> оо.
4. Ряд 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — 1 + ... расходится, так как последовательность
частичных сумм 1,0,1,0,1,0,... (Si = 1,S2 = 0,S3 = 1,...) не имеет
предела.
5. Ряд ^2 ( 1Л\ сходится. Действительно,
109
где tii, 1/2,...,^п, • • • — действительные или комплексные числа, называ-
емые членами ряда, ип — общим членом ряда.
Ряд (13.1) считается заданным, если известен общий член ряда ип,
выраженный как функция его номера п: ип = f{n).
Сумма первых п членов ряда (13.1) называется n-й частичной сум-
мой ряда и обозначается через Ьп, т. е. Ьп — и\ + 112 + * * * + Wn-
Рассмотрим частичные суммы
§13. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
13.1. Основные понятия
Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследова-
ниях математического анализа, имеют разнообразные практические при-
менения.
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

по
Следовательно,
т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.
Рассмотрим некоторые важные свойства рядов.
Свойство 1. Если ряд (13.1) сходится и его сумма равна 5, то ряд
где с — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если
же ряд (13.1) расходится и с ф О, то и ряд (13.2) расходится.
Q Обозначим n-ю частичную сумму ряда (13.2)через Sn . Тогда
Следовательно,
т. е. ряд (13.2) сходится и имеет сумму cS.
Покажем теперь, что если ряд (13.1) расходится, с ф 0, то и ряд (13.2)
расходится. Допустим противное: ряд (13.2) сходится и имеет сумму S\.
Тогда , ч
Отсюда получаем:
т. е. ряд (13.1) сходится, что противоречит условию о расходимости ря-
да (13.1). ■
Свойство 2. Если сходится ряд (13.1) и сходится ряд
а их суммы равны S\ и 52 соответственно, то сходятся и ряды
причем сумма каждого равна соответственно S\ ± S-2-
□ Обозначим n-е частичные суммы рядов (13.1), (13.3) и (13.4) через Sn ,
Sn и Sn соответственно. Тогда
lim Sn = Hm {Snu) ± S{nv)) = lim Snu) ± lim Snv) = Sx ± 52,
n—>oo n—>-oo n—юо n—>-oo
т. е. каждый из рядов (13.4) сходится, и сумма его равна S\ ± 52 соответ-
ственно. И

Из свойства 2 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходя-
щегося рядов есть расходящийся ряд.
В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от про-
тивного.
Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть
как сходящимся, так и расходящимся рядом.
Свойство 3. Если к ряду (13.1) прибавить (или отбросить) конечное
число членов, то полученный ряд и ряд (13.1) сходятся или расходятся
одновременно.
Q Обозначим через 5 сумму отброшенных членов, через к — наибольший
из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов
ряда (13.1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили
нули. Тогда при п > к будет выполняться равенство Sn — S'n — 5, где S'n —
это п-я частичная сумма ряда, полученного из ряда (13.1) путем отбра-
сывания конечного числа членов. Поэтому lim Sn = S + lim 5'. Отсюда
п—юо п—юо
следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют
или не существуют, т. е. ряд (13.1) сходится (расходится) тогда и только
тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.
Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного чи-
сла членов. В
111
Ряд
называется n-м остатком ряда (13.1). Он получается из ряда (13.1) от-
брасыванием п первых его членов. Ряд (13.1) получается из остатка доба-
влением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (13.1)
и его остаток (13.5) одновременно сходятся или расходятся.
Из свойства 3 также следует, что если ряд (13.1) сходится, то его оста-
ток rn = S — Sn = un+i + un+2 + ... стремится к нулю при п —> оо, т. е.
lim rn = 0.
п—юо
13.2. Ряд геометрической прогрессии
Исследуем сходимость ряда
который называется рядом геометрической прогрессии. Ряд (13.6) часто
используется при исследовании рядов на сходимость.
Как известно, сумма первых п членов прогрессии находится по фор-
муле Sn = Ч _ ч чф1- Найдем предел этой суммы:

Рассмотрим следующие случаи в зависимости от величины q:
1. Если \q\ < 1, то qn —> 0 при п —> оо. Поэтому lim 5n = у-^—,
ряд (13.6) сходится, его сумма равна у-^—;
2. Если |qr| > 1, то qn -> оо при п —> оо. Поэтому lim 5n = оо, ряд (13.6)
расходится;
3. Если \q\ = 1, то при q = 1 ряд (13.6) принимает вид а + а + а + • • •
\-а-\ , для него Sn = п • а и lim Sn = оо, т. е. ряд (13.6) расходится;
П—¥00
при q = — 1 ряд (13.6) принимает вид а — а + а — а + ... — в этом случае
Sn = 0 при четном п и 5П = а при нечетном п. Следовательно, lim Sn не
п—>оо
существует, ряд (13.6) расходится.
Итак, ряд геометрической прогрессии сходится при \q\ < 1 и расходит-
ся при \q\ ^ 1.
Пример 13.1. Показать, что ряд 23 + 22 + 2+i + --- + —^
сходится.
+ ...
О Решение: Данный ряд можно переписать так:
23.i + 23.i + 23-l + --- + 23-i, + ...
Как видно, он представляет собой ряд геометрической прогрессии с а = 23
и q = ^ < 1. Этот ряд сходится согласно свойству 1 числовых рядов. •
13.3. Необходимый признак сходимости числового ряда.
Гармонический ряд
Нахождение n-й частичной суммы Sn и ее предела для произвольного
ряда во многих случаях является непростой задачей. Поэтому для выясне-
ния сходимости ряда устанавливают специальные признаки сходимости.
Первым из них, как правило, является необходимый признак сходимости.
Теорема 13.1. Если ряд (13.1) сходится, то его общий член ип стремится к нулю,
т. е. lim un = 0.
п—юо
Q Пусть ряд (13.1) сходится и lim Sn = S. Тогда и lim 5n_i = 5 (при
п—>оо п—>оо
п —> оо и (п — 1) —> оо). Учитывая, что ип = Sn — Sn-\ при п > 1, получаем:
lim ип = lim (Sn - Sn-i) = lim 5n - lim Sn-i = 5 - S = 0. ■
Следствие 13.1 (достаточное условие расходимости ряда). Если lim un ф 0
п—юо
или этот предел не существует, то ряд расходится.
Q Действительно, если бы ряд сходился, то (по теореме) lim un = 0. Но
п—юо
это противоречит условию. Значит, ряд расходится. ■
112

О Решение: Данный ряд расходится, т. к. lim un= lim (1 + -) =е/0. •
п—юо п—уоо \ TL /
Теорема 13.1 дает необходимое условие сходимости ряда, но не доста-
точное: из условия lim un = О не следует, что ряд сходится. Это означает,
п—юо
что существуют расходящиеся ряды, для которых lim un = 0.
п—юо
В качестве примера рассмотрим так называемый гармонический ряд
(13.7)
Очевидно, что lim un = 0. Однако ряд (13.7) расходится. Покажем
п—юо
ЭТО.
Q Как известно (см. Часть 1, (17.14)), lim (1 + — 1 —е. Отсюда следует,
что при любом п G N имеет место неравенство (1 + — 1 < е. Логарифми-
руя это неравенство по основанию е, получим:
113
т. е.
it ч и
Подставляя в полученное неравенство поочередно п = 1,2, ...,п — 1,п,
получим:
Сложив почленно эти неравенства, получим Sn > ln(n + 1). Поскольку
lim ln(n + 1) = оо, получаем lim Sn = oo, т. е. гармонический ряд (13.7)
п—юо п—уоо
расходится. ■
т. е. выполняется достаточное условие расходимости ряда.
Пример 13.3. Исследовать сходимость ряда
Пример 13.2. Исследовать сходимость ряда

В качестве второго примера можно взять ряд
§14. ДОСТАТОЧНЫЕ ПРИЗНАКИ СХОДИМОСТИ
ЗНАКОПОСТОЯННЫХ РЯДОВ
Необходимый признак сходимости не дает, вообще говоря, возможно-
сти судить о том, сходится ли данный ряд или нет. Сходимость и расхо-
димость ряда во многих случаях можно установить с помощью так назы-
ваемых достаточных признаков.
Рассмотрим некоторые из них для знакополоэюительных рядов,
т. е. рядов с неотрицательными членами (знакоотрицательный ряд пере-
ходит в знакоположительный путем умножения его на (—1), что, как из-
вестно, не влияет на сходимость ряда).
14.1. Признаки сравнения рядов
Сходимость или расходимость знакоположительного ряда часто уста-
навливается путем сравнения его с другим («эталонным») рядом, о ко-
тором известно, сходится он или нет. В основе такого сравнения лежат
следующие теоремы.
114
Здесь lim un = lim -4= = 0. Однако этот ряд расходится.
71—ЮО П—>00 у/71
Q Действительно,
т. е. Sn > у/п. Следовательно, Sn —>• оо при п -> оо, ряд расходится.
Теорема 14.1. Пусть даны два знакоположительных ряда
и
Если для всех п выполняется неравенство
то из сходимости ряда (14.2) следует сходимость ряда (14.1), из расходимости ря-
да (14.1) следует расходимость ряда (14.2).

Q Обозначим п-е частичные суммы рядов (14.1) и (14.2) соответственно
через Sn и Snv - Из неравенства (14.3) следует, что
S(nu) ^ 4U)- (14-4)
Пусть ряд (14.2) сходится и его сумма равна S2- Тогда lim Sn = S2-
п—юо
Члены ряда (14.2) положительны, поэтому Sn < S2 и, следовательно, с
учетом неравенства (14.4), Sn ^ 52. Таким образом, последовательность
S[u , S2 , Sn , ••• монотонно возрастает (ип > 0) и ограничена сверху
числом 5г- По признаку существования предела (см. Часть 1, теорема 15.3)
последовательность {Sn} имеет предел lim Sn = Si, т.е. ряд (14.1)
п—юс
СХОДИТСЯ.
Пусть теперь ряд (14.1) расходится. Так как члены ряда неотрицатель-
ны, в этом случае имеем lim Sn = 00. Тогда, с учетом неравенства (14.4),
п—>оо
получаем lim Sn = ос, т. е. ряд (14.2) расходится. В
п—>оо
Замечание. Теорема 14.1 справедлива и в том случае, когда неравен-
ство (14.3) выполняется не для всех членов рядов (14.1) и (14.2), а начи-
ная с некоторого номера N. Это вытекает из свойства 3 числовых рядов
(см. п. 13.1).
Теорема 14.2 (предельный признак сравнения). Пусть даны два знакоположи-
тельных ряда (14.1) и (14.2). Если существует конечный, отличный от 0, предел
lim ^ = А (0 < А < оо), то ряды (14.1) и (14.2) сходятся или расходятся одно-
п—>оо Vn
временно.
115
Q По определению предела последовательности (см. Часть 1, п. 15.2) для
всех п, кроме, возможно, конечного числа их, для любого е > 0 выполня-
ется неравенство ^ — А < £, или
Если ряд (14.1) сходится, то из левого неравенства (14.5) и теоре-
ос
мы 14.1 вытекает, что ряд ^ (A — e)vn также сходится. Но тогда, согласно
п=1
свойству 1 числовых рядов (см. п. 13.1), ряд (14.2) сходится.
Если ряд (14.1) расходится, то из правого неравенства (14.5), теоре-
мы 14.1, свойства 1 вытекает, что и ряд (14.2) расходится.
Аналогично, если ряд (14.2) сходится (расходится), то сходящимся
(расходящимся) будет и ряд (14.1). В
Пример ЦЛ. Исследовать на сходимость ряд
О Решение: Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии
00 1 1 11
^2 фт> который сходится (д = 4 < 1). Имеем ^ ^п < ф;. Следовательно,
данный ряд сходится. •

Пример 14 2. Исследовать сходимость ряда У] -^т=.
О Решение: Здесь ип = -37=. Возьмем ряд с общим членом vn = —, ко-
торый расходится (гармонический ряд). Имеем -Д= ^ —. Следовательно,
данный ряд расходится. •
оо
Пример Ц.З. Исследовать сходимость ряда J2 tg ^~-
п=1 ЬП
Q Решение: Применим предельный признак сравнения. Так как
lim —т^- = Ц- ф 0 (см. Часть 1, пример 17.7), то по теореме 14.2 ис-
п—юо — О
п
ходный ряд расходится, как сравнимый с гармоническим рядом. •
14.2. Признак Даламбера
В отличие от признаков сравнения, где все зависит от догадки и запаса
известных сходящихся и расходящихся рядов, признак Даламбера (1717-
1783, французский математик) позволяет часто решить вопрос о сходимо-
сти ряда, проделав лишь некоторые операции над самим рядом.
Теорема 14.3. Пусть дан ряд (13.1) с положительными членами и существует ко-
нечный или бесконечный предел lim n+1 = /.
п—юо Un
Тогда ряд сходится при / < 1 и расходится при / > 1.
Q Так как lim n+1 = /, то по определению предела для любого е > О
п—юо Un
найдется натуральное число N такое, что при п > N выполняется нера-
венство
<е или /-е<Нп±1 </ + е. (14.6)
Пусть / < 1. Можно подобрать £ так, что число / + е < 1. Обозна-
чим I + е = q, q < 1. Тогда из правой части неравенства (14.6) получаем
п^1 < q, или un+i < q - ип, п > N. В силу свойства 3 числовых рядов
можно считать, что un+i < q • ип для всех п = 1, 2,3,... Давая номеру п
эти значения, получим серию неравенств:
116

т. е. члены ряда 1x2 + Щ + и± + • • • + ип + ... меньше соответствующих
членов ряда qui + q2u\ + q3u\ + • • • + qn+1u\ + ..., который сходится как
ряд геометрической прогрессии со знаменателем 0 < q < 1. Но тогда,
на основании признака сравнения, сходится ряд и^ + щ + • • • + ип + ...,
следовательно, сходится и исходный ряд (13.1).
Пусть / > 1. В этом случае lim п+г = I > 1. Отсюда следует, что,
п—>оо 1ХП
начиная с некоторого номера N, выполняется неравенство n+1 > 1, или
tin+i > un, т. е. члены ряда возрастают с увеличением номера п. По-
этому lim un ф 0. На основании следствия из необходимого признака
п—юо
(см. п. 13.3) ряд (13.1) расходится. ■
Замечания.
1. Если / = 1, то ряд (13.1) может быть как сходящимся, так и расхо-
дящимся.
2. Признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член
ряда содержит выражение вида п\ или ап.
Так как / = 3 > 1, то данный ряд по признаку Даламбера расходится. •
Радикальный признак Коши
Иногда удобно пользоваться радикальным признаком Коши для иссле-
дования сходимости знакоположительного ряда. Этот признак во многом
схож с признаком Даламбера, о чем говорят его формулировка и доказа-
тельство.
117
Q Решение: Вычисляем
Пример 14-5. Исследовать сходимость ряда
Так как / = 0 < 1, то данный ряд по признаку Даламбера сходится.
Пример Ц-4- Исследовать на сходимость ряд
О Решение: Находим

Теорема 14.4. Пусть дан ряд (13.1) с положительными членами и существует ко-
нечный или бесконечный предел lim Ч/гГ^ = I.
п—юо
Тогда ряд сходится при / < 1 и расходится при / > 1.
Как и для признака Даламбера, в случае, когда / = 1, вопрос о схо-
димости ряда остается открытым. Доказательство теоремы аналогично
доказательству признака Даламбера. Поэтому опустим его.
Пример Ц-6. Исследовать на сходимость ряд ^2 тш ' [ —Ц~т ) •
п=1 ** \П + 1/
О Решение: Так как
Вычисляем
14.4. Интегральный признак Коши.
Обобщенный гармонический ряд
ОО
Теорема 14.5. Если члены знакоположительного ряда $^ ип могут быть Предста-
ть
в лены как числовые значения некоторой непрерывной монотонно убывающей на
промежутке [1; +оо) функции f(x) так, что и\ = /(1), г/2 = /(2),..., ип = /(п),
то:
+ оо
1) если / f(x)dx сходится, то сходится и ряд (13.1);
1
+ ОС
2) если / f(x)dx расходится, то расходится также и ряд (13.1).
О сходимости несобственных интегралов см. Часть 1, § 40.
118
сходится, а значит, сходится и исходный ряд, со-
гласно свойству 1 числовых рядов.
то применим радикальный признак Коши к ряду

Рис. 47.
Q Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную сверху графиком
функции у = /(ж), основанием которой служит отрезок оси Ох от х = 1
до х = п (см. рис. 47).
Построим входящие и выходящие прямоугольники, основаниями ко-
торых служат отрезки [1;2], [2;3], ... Учитывая геометрический смысл
определенного интеграла, запишем:
ИЛИ
или
/ f(x)dx = А. Поскольку / f(x)dx < / f(x)dx = А, то с учетом
1 1 1
неравенства (14.7) имеем: Sn — щ < А, т. е. Sn < щ -f А. Так как последо-
вательность частичных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху
(числом и\ + А), то, по признаку существования предела, имеет предел.
Следовательно, ряд (13.1) сходится.
+оо
Случай 2. Несобственный интеграл / f(x) dx расходится. Тогда
1
+оо п
/ f(x) dx = +оо и интегралы / f(x) dx неограниченно возрастают при
119
Случай 1. Несобственный интеграл

n
n -> oo. Учитывая, что Sn > f(x)dx + un (см. (14.7)), получаем, что
l
Sn —> oo при п —> oo. Следовательно, данный ряд (13.1) расходится. ■
+оо
Замечание. Вместо интеграла / f(x) dx можно брать интеграл
+оо J
/ f(x)dx, где к Е N, к > 1. Отбрасывание к первых членов ряда в
к
ряде (13.1), как известно, не влияет на сходимость (расходимость) ряда.
Значит, ряд с общим членом ип = —у—расходится.
Ряд
(14.8)
где р > 0 — действительное число, называется обобщенным гармониче-
ским рядом. Для исследования ряда (14.8) на сходимость применим инте-
гральный признак Коши (признаки Даламбера и Коши ответа о сходимо-
сти не дают).
Рассмотрим функцию f(x) = -^. Эта функция непрерывна, монотонно
убывает на промежутке [1; +оо) и f(n) = -^р = ип. При р ф 1 имеем:
При р — 1 имеем гармонический ряд ип = —, который расходится (второй
оо п
способ: Г &■ = оо). Итак, ряд (14.8) сходится при р > 1, расходится
1 111
при р ^ 1. В частности, ряд 1 + 7^ + т^ + -*- + ^5" + ... сходится (полезно
.
Рассмотренные признаки сходимости (есть и другие) знакоположи-
тельных рядов позволяют судить о сходимости практически любого по-
ложительного ряда. Необходимые навыки приобретаются на практике.
120
Пример Ц.1. Исследовать на сходимость ряд Yl —f—•
п=2 П ' 1П П
Q Решение: Воспользуемся интегральным признаком Коши. Функция
/(а?) = -J=— удовлетворяет условиям теоремы 14.5. Находим

§15. ЗНАКОЧЕРЕДУЮЩИЕСЯ И ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ
15.1. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Рассмотрим важный класс рядов, называемых знакочередующимися.
Знакочередующимся рядом называется ряд вида
Q Рассмотрим сначала частичную сумму четного числа (2га) членов ря-
да (15.1). Имеем
Легко видеть, что 52Ш < Щ- Таким образом, последовательность 52,54,
5б, •.., 52т, • • • возрастает и ограничена сверху. Следовательно, она имеет
предел lim 52m = 5, причем 0 < 5 < щ.
п—>оо
Рассмотрим теперь частичные суммы нечетного числа (2т +1) членов
ряда (15.1). Очевидно, что 52m+i = 52Ш + ^2m+i- Отсюда следует, что
121
Теорема 15.1 (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд (15.1) сходится,
если:
1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т. е.
и\ > и2 > и3 > • - • > ип > ...;
2. Общий член ряда стремится к нулю: lim ип — 0.
п—>оо
При этом сумма 5 ряда (15.1) удовлетворяет неравенствам
где ип > 0 для всех п Е N (т. е. ряд, положительные и отрицательные
члены которого следуют друг за другом поочередно).
Для знакочередующихся рядов имеет место достаточный признак
сходимости (установленный в 1714 г. Лейбницем в письме к И. Бернул-
ли).
т. к. lim U2m+i = 0 в силу второго условия теоремы. Итак, lim Sn = S
т—юо . п—юо
как при четном п, так и при нечетном п. Следовательно, ряд (15.1) схо-
дится, причем 0 < 5 < til. В
Выражение в каждой скобке, согласно первому условию теоремы, поло-
жительно. Следовательно, сумма 52т > 0 и возрастает с возрастанием
номера 2т.
С другой стороны, 52т можно переписать так:

Замечания.
1. Исследование знакочередующегося ряда вида
-щ + и2 - щ + г/4 - • • • (15.3)
(с отрицательным первым членом) сводится путем умножения всех его
членов на (—1) к исследованию ряда (15.1).
Ряды (15.1) и (15.3), для которых выполняются условия теоремы Лейб-
ница, называются лейбницевскими (или рядами Лейбница).
2. Соотношение (15.2) позволяет получить простую и удобную оценку
ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его ча-
стичной суммой Sn. Отброшенный ряд (остаток) представляет собой так-
же знакочередующийся ряд (—l)n+1(un+i — un+2 + ...), сумма которого
по модулю меньше первого члена этого ряда, т.е. Sn < un+i. Поэтому
ошибка меньше модуля первого из отброшенных членов.
Пример 15.1. Вычислить приблизительно сумму ряда
О Решение: Данный ряд лейбницевского типа. Он сходится. Можно запи-
сать: 1 — тгт + ттт- • • • = S. Взяв пять членов, т. е. заменив 5 на
15.2. Общий достаточный признак сходимости знакопеременных
рядов
Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременно-
оо
го ряда. Числовой ряд ]Г ип, содержащий бесконечное множество поло-
го 1
жительных и бесконечное множество отрицательных членов, называется
знакопеременным.
Для знакопеременных рядов имеет место следующий общий доста-
точный признак сходимости.
Теорема 15.2. Пусть дан знакопеременный ряд
Щ + и2 Н h ип + ... (15.4)
Если сходится ряд
Ы + \и2\ + --- + \ип\ + ..., (15.5)
составленный из модулей членов данного ряда, то сходится и сам знакопеременный
ряд (15.4).
122
сделаем ошибку, меньшую, чем -4- = дкака < 0,00003. Итак, 5 « 0,7834.

расходится (гармонический ряд). •
15.3. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если
ряд, составленный из модулей его членов, сходится.
Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если сам
он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Так, ряд, показанный в примере (15.2), условно сходящийся. Ряд
123
О Решение: Это знакочередующийся ряд, для которого выполнены усло-
вия признака Лейбница. Следовательно, указанный ряд сходится. Однако
ряд, составленный из модулей членов данного ряда, т. е. ряд
то, на основании свойства 2 числовых рядов, он (ряд (15.4)) сходится. ■
Отметим, что обратное утверждение несправедливо: если сходится ряд
(15.4), то это не означает, что будет сходиться ряд (15.5).
Пример 15.2. Исследовать сходимость ряда
оо
Очевидно, что 0 ^ ип + \ип\ ^ 2\ип\ для всех п Е N. Но ряд Y1 2|?х/г|
тг=1
сходится в силу условия теоремы и свойства 1 числовых рядов (п. 13.1) .
Следовательно, на основании признака сравнения (п. 13.3) сходится и ряд
оо
]Г (мп + |^п|)- Поскольку данный знакопеременный ряд (15.4) представля-
п=1
ет собой разность двух сходящихся рядов
Q Рассмотрим вспомогательный ряд, составленный из членов рядов
(15.4) и (15.5):
абсолютно сходится, т. к. ряд, составленный из модулей его членов, схо-
дится (см. пример 14.4).
Среди знакопеременных рядов абсолютно сходящиеся ряды занима-
ют особое место: на такие ряды переносятся основные свойства конечных
сумм (переместительность, сочетательность, распределительность).

Основные свойства абсолютно сходящихся рядов приводим без дока-
зательства.
1. Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму S, то ряд, полученный
из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму 5, что
и исходный ряд (теорема Дирихле).
2. Абсолютно сходящиеся ряды с суммами S\ и 5г можно почленно
складывать (вычитать). В результате получается абсолютно сходящийся
ряд, сумма которого равна Si + 5г (или соответственно Si —52).
3. Под произведением двух рядов щ + иъ + ... и vi + V2 + ... понимают
ряд вида
Сумма уменьшилась вдвое!
Более того, путем перестановки членов условно сходящегося ряда
можно получить сходящийся ряд с заранее заданной суммой или расхо-
дящийся ряд (теорема Римана).
Поэтому действия над рядами нельзя производить, не убедившись в
их абсолютной сходимости. Для установления абсолютной сходимости ис-
пользуют все признаки сходимости знакоположительных рядов, заменяя
всюду общий член ряда его модулем.
Произведение двух абсолютно сходящихся рядов с суммами Si и S2 есть
абсолютно сходящийся ряд, сумма которого равна Si • S2.
Таким образом, абсолютно сходящиеся ряды суммируются, вычита-
ются, перемножаются как обычные ряды. Суммы таких рядов не зависят
от порядка записи членов.
В случае условно сходящихся рядов соответствующие утверждения
(свойства), вообще говоря, не имеют места.
Так, переставляя члены условно сходящегося ряда, можно добиться
того, что сумма ряда изменится. Например, ряд 1 — А + i — т + • • условно
сходится по признаку Лейбница. Пусть его сумма равна S. Перепишем
его члены так, что после одного положительного члена будут идти два
отрицательных. Получим ряд

Глава V. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
Лекции 17-19 I
§16. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
16.1. Основные понятия
Ряд, членами которого являются функции от х, называется функцио-
нальным:
Ч
Пример 16.2. Исследовать сходимость функционального ряда
125
Придавая х определенное значение xq, мы получим числовой ряд
который может быть как сходящимся, так и расходящимся.
Если полученный числовой ряд сходится, то точка xq называется
точкой сходимости ряда (16.1); если же ряд расходится — точкой
расходимости функционального ряда.
Совокупность числовых значений аргумента х, при которых функци-
ональный ряд сходится, называется его областью сходимости.
В области сходимости функционального ряда его сумма является не-
которой функцией от х: S = S(x). Определяется она в области сходимости
равенством
частичная сумма ряда.
Пример 16.1. Найти область сходимости ряда
О Решение: Данный ряд является рядом геометрической прогрессии со
знаменателем q = х. Следовательно, этот ряд сходится при |х| < 1, т.е.
при всех х £ (—1; 1); сумма ряда равна y~z—•

О Решение: Составим ряд из абсолютных величин членов исходного ря-
да:
Так как при любом xGi имеет место соотношение
(16.2)
^ -^, а ряд
п
с общим членом -Аг сходится (обобщенный гармонический ряд, р = 2 > 1,
п
см. п. 14.4), то по признаку сравнения ряд (16.2) сходится при х € Е.
Следовательно, исходный ряд абсолютно сходится при всех х Е R =
= (-оо; +оо). •
Среди функциональных рядов в математике и ее приложениях особую
роль играет ряд, членами которого являются степенные функции аргу-
мента х, т.е. так называемый степенной ряд:
(16.3)
Действительные (или комплексные) числа ао, oi, а2,..., ап>... называют-
ся коэффициентами ряда (16.3), х € Е — действительная переменная.
Ряд (16.3) расположен по степеням х. Рассматривают также степенной
ряд, расположенный по степеням (х — жо), т. е. ряд вида
(16.4)
где хо — некоторое постоянное число.
Ряд (16.4) легко приводится к виду (16.3), если положить х — Хо = z.
Поэтому при изучении степенных рядов можем ограничиться степенными
рядами вида (16.3).
§17. СХОДИМОСТЬ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Выясним вопрос о сходимости степенного ряда (16.3).
Область сходимости степенного ряда (16.3) содержит по крайней мере
одну точку: х = 0 (ряд (16.4) сходится в точке х = Хо).
17.1. Теорема Н.Абеля
Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из сле-
дующей теоремы.
Теорема 17.1 (Абель). Если степенной ряд (16.3) сходится при х = хо ф 0, то он
абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству \х\ < \xq\-
126

Q По условию ряд J2 °п#о сходится. Следовательно, по необходимому
п=0
признаку сходимости lim апх^ = 0. Отсюда следует, что величина апхУ;
п—>оо
ограничена, т. е. найдется такое число М > 0, что для всех п выполняется
неравенство |ап#о I ^ М, п = 0,1,2,...
Пусть \х\ < |жо|, тогда величина q =
< 1 и, следовательно,
т. е. модуль каждого члена ряда (16.3) не превосходит соответствующего
члена сходящегося (q < 1) ряда геометрической прогрессии. Поэтому по
признаку сравнения при \х\ < \xq\ ряд (16.3) абсолютно сходящийся. ■
Следствие 17.1. Если ряд (16.3) расходится при х = х\, то он расходится и при
всех х, удовлетворяющих неравенству \х\ > \х\\.
Q Действительно, если допустить сходимость ряда в точке #2, для кото-
рой 1^21 > |ei|, то по теореме Абеля ряд сходится при всех х, для которых
\х\ < |х2|, и, в частности, в точке х\, что противоречит условию. В
17.2. Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Из теоремы Абеля следует, что если х$ ф 0 есть точка сходимости
степенного ряда, то интервал (—|#о|; |#о|) весь состоит из точек сходимо-
сти данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала ряд (16.3)
расходится.
127
Интервал (—|a?o|; |#о|) и называют интервалом сходимости сте-
пенного ряда. Положив |хо| = -R, интервал сходимости можно записать
в виде (—R;R). Число R называют радиусом сходимости степенного
ряда, т. е. R > 0 — это такое число, что при всех ж, для которых \х\ < R,
ряд (16.3) абсолютно сходится, а при \х\ > R ряд расходится (см. рис. 48).
В частности, когда ряд (16.3) сходится лишь в одной точке хо = 0, то
считаем, что R = 0. Если же ряд (16.3) сходится при всех значениях ^Gl
(т. е. во всех точках числовой оси), то считаем, что R — оо.
Отметим, что на концах интервала сходимости (т. е. при х = R и при
х = — R) сходимость ряда проверяется в каждом случае отдельно.
Для нахождения радиуса сходимости степенного ряда (16.3) можно
поступить следующим образом. Составим ряд из модулей членов данного
степенного ряда

и применим к нему признак Даламбера. Допустим, что существует предел
По признаку Даламбера ряд сходится, если |х| • lim
п-»ос
сходится при тех значениях х, для которых
< 1, т. е. ряд
ряд, составленный из модулей членов ряда (16.3), расходится при тех зна-
чениях х, для которых \х\ > lim
n—foe
радиус абсолютной сходимости
Таким образом, для ряда (16.3)
(17.1)
Аналогично, воспользовавшись радикальным признаком Коши, можно
установить, что
= 0, то можно убедиться, что ряд (16.3) абсолютно
Замечания.
1. Если lim ps±i
n—>oo| Q>n
сходится на всей числовой оси. В этом случае R = оо. Если lim
ту п п-»оо
то R = 0.
2. Интервал сходимости степенного ряда (16.4) находят из неравенства
\х — хо\ < R; имеет вид (хо — R; хо + R).
3. Если степенной ряд содержит не все степени х, т. е. задан неполный
степенной ряд, то интервал сходимости ряда находят без определения ра-
диуса сходимости (формулы (17.1) и (17.2)), а непосредственно применяя
признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей чле-
нов данного ряда.
Пример 17.1. Найти область сходимости ряда
О Решение: Воспользуемся формулой (17.1):
Следовательно, данный ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. •
128
Пример 17.2. Найти область сходимости ряда

О Решение: Заданный ряд неполный. Воспользуемся признаком Далам-
бера. Для данного ряда имеем:
Ряд абсолютно сходится, если х2 < 1 или — 1 < х < 1. Исследуем
поведение ряда на концах интервала сходимости.
При х = — 1 имеем ряд —1 + 4 — ■■? + = — ..., который сходится по
признаку Лейбница.
При х = 1 имеем ряд +1 — i + f — i + • • • — это тоже сходящийся
лейбницевский ряд. Следовательно, областью сходимости исходного ряда
является отрезок [—1; 1]. •
Пример 17.3. Найти область сходимости ряда
О Решение: Находим радиус сходимости ряда по формуле (17.1):
Следовательно, ряд сходится при — 2 < х + 2 < 2, т. е. при —4 < х < 0.
При х = — 4 имеем ряд
Следовательно, областью сходимости исходного ряда является полу-
отрезок [—4;0). •
17.3. Свойства степенных рядов
Сформулируем без доказательства основные свойства степенных ря-
дов.
UgM 1. Сумма S(x) степенного ряда (16.3) является непрерывной функцией
'—' в интервале сходимости (—R;R).
129
который сходится по признаку Лейбница.
При х = 0 имеем расходящийся ряд

oo oo
2. Степенные ряды ^ anxn и ^2 bnxn, имеющие радиусы сходимости
n=0 n=0
соответственно R\ и ifc, можно почленно складывать, вычитать и умно-
жать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не мень-
ше, чем меньшее из чисел R\ и i?2-
3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно диф-
ференцировать; при этом для ряда
/(п+1)(с)
где Rn(x) = т— Д| (х — £о) » с € (#(ь#)5 — остаточный член в форме
Лагранжа. Число с можно записать в виде с = хо+в(х — хо), где 0 < в < 1.
Формулу (18.1) кратко можно записать в виде
при —R<x<R выполняется равенство
4. Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке,
расположенном внутри интервала сходимости; при этом для ряда (17.3)
при —R<a<x<R выполняется равенство (см. замечание 1, с. 89)
Ряды (17.4) и (17.5) имеют тот же радиус сходимости, что и исходный
степенной ряд.
Перечисленные свойства 1-4 остаются справедливыми и для степен-
ных рядов вида (16.4).
Свойства степенных рядов широко используются в теоретических ис-
следованиях и в приближенных вычислениях.
§18. РАЗЛОЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ В СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
18.1. Ряды Тейлора и Маклорена
Для приложений важно уметь данную функцию f(x) разлагать в сте-
пенной ряд, т. е. функцию f(x) представлять в виде суммы степенного
ряда.
Как известно (см. Часть 1, теорема 26.1), для любой функции /(ж),
определенной в окрестности точки хо и имеющей в ней производные до
(п + 1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

где Рп(х) = f(x0) + * \*\х - хо) + • • • + * \Ж°\х - х0)п — многочлен
Тейлора.
Если функция f(x) имеет производные любых порядков (т. е. беско-
нечно дифференцируема) в окрестности точки хо и остаточный член Rn (ж)
стремится к нулю при п -+ ос ( lim Rn(x) = 0), то из формулы Тейлора
п—юо
получается разложение функции f(x) по степеням (х — хо), называемое
рядом Тейлора:
(18.2)
Если в ряде Тейлора положить хо — 0, то получим разложение функ-
ции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:
(18.3)
Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой
бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в
окрестности точки хо • Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к
данной функции /(х); он может оказаться расходящимся или сходиться,
но не к функции f(x). Так, например, функция
если х/0,
если х = О
имеет в точке х = О производные всех порядков, причем /(п)(0) = 0 при
всяком п (см. Часть 1, пример 19.5). Ряд Маклорена имеет вид
Он сходится, но его сумма S(x) в любой точке х равна нулю, а не /(#).
Пусть для функции f(x) составлен соответствующий ей ряд Тейлора.
Теорема 18.1. Для того чтобы ряд Тейлора (18.2) функции f(x) сходился к f(x)
в точке х, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы
Тейлора (18.1) стремился к нулю при п -> со, т. е. чтобы lim Rn{x) — 0.
Q Пусть ряд Тейлора (18.2) сходится к функции f(x) в некоторой окрест-
ности точки хо, т. е. f(x) = lim Sn(x). Так как n-я частичная сумма Sn(x)
п—юо
ряда (18.2) совпадает с многочленом Тейлора Рп(х), т. е. Sn(x) = Рп(х),
находим:
131

Замечание. Если ряд Тейлора (18.2) сходится к порождающей функ-
ции /(#), то остаточный член формулы Тейлора равен остатку ряда Тей-
лора, т. е. Rn(x) = тп(х). (Напомним, что Rn(x) = f(x) — Sn(x), a rn(x) =
= S(x) — 5n(x), где S(x) — сумма ряда Тейлора.)
Таким образом, задача разложения функции f(x) в степенной ряд све-
дена по существу к определению значений х, при которых Rn(x) —> 0 (при
п -» оо). Если сделать это не просто, то следует каким-нибудь иным спосо-
бом убедиться, что написанный ряд Тейлора сходится к данной функции.
На практике часто пользуются следующей теоремой, которая дает
простое достаточное условие разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 18.2. Если модули всех производных функций f(x) ограничены в окрест-
ности точки хо одним и тем же числом М > 0, то для любого х из этой окрестности
ряд Тейлора функции f(x) сходится к функции f(x), т. е. имеет место разложе-
ние (18.2).
£} Согласно теореме 18.1, достаточно показать, что lim Rn(x) = 0. По
п—>оо
условию теоремы 18.2 для любого п имеет место неравенство \f^(x)\ ^.M.
Тогда имеем:
то по признаку Даламбера этот ряд сходится на всей числовой оси. Но
тогда, в силу необходимого признака сходимости,
132
Обратно, пусть lim Rn(x) = 0. Тогда
п—юо
I (х — Х(\) I
Осталось показать, что lim р^-т—-т-уп— ~ 0- Для этого рассмотрим ряд
Следовательно,
Так как

18.2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд
Тейлора (Маклорена)
Для разложения функции f(x) в ряд Маклорена (18.3) нужно:
а) найти производные f'(x), f"{x),..., f^(x),...;
б) вычислить значения производных в точке Xq = 0;
в) написать ряд (18.3) для заданной функции и найти его интервал
сходимости;
г) найти интервал (—R;R), в котором остаточный член ряда Макло-
рена Rn(x) —> 0 при п —»• оо. Если такой интервал существует, то в нем
функция f(x) и сумма ряда Маклорена совпадают.
Замечание. В интервале сходимости степенного ряда остаточный член
стремится к нулю при п —> оо.
Приведем таблицу, содержащую разложения в ряд Маклорена неко-
торых элементарных функций (эти разложения следует запомнить):
133

Докажем формулу (18.4). Пусть f(x) = ех.
□ Имеем:
134
= lim (п +1) = оо, т. е. ряд сходится в интервале (—оо; оо);
г) для всех х 6 (—R;R) имеем |/(п)(х)| = ех < eR = М, т. е. все про-
изводные в этом интервале ограничены одним и тем же числом М = eR.
Следовательно, по теореме 18.2 lim Rn(x) = 0. Таким образом, ех =
n—voo
Докажем формулу (18.5). Пусть f(x) = sin ж.
Имеем:
в) sinх ~ х — =ф- + ih- h (-1) • /9 4- IV "*"••• Легко проверить, что
полученный ряд сходится на всей числовой оси, т. е. при всех х £ (—оо; оо);
г) любая производная функции f(x) = sin# по модулю не превосходит
единицы, |/<n>(a0| = |sin(x + n-|)| ^ 1. Следовательно, по теореме 18.2
имеет место разложение (18.5). I
Докажем формулу (18.6). Пусть f(x) = cosx.
Q Формулу (18.6) можно доказать так же, как и формулу (18.5). Однако
проще получить разложение функции cos x, воспользовавшись свойством 3
степенных рядов. Продифференцировав почленно ряд (18.5), получим:
Докажем формулы (18.13), (18.14). Пусть f(x) = спя (или f(x) =
= shx).
Q Заменив в формуле (18.4) х на —я, получим разложение функции е~х:
справедливое для всех х Е (—оо; оо).

Суммируя (и вычитая) почленно равенства (18.4) и (18.15), получим
разложение гиперболического косинуса (синуса):
= lim \n \ = 1, т. е. составленный для функции (1 + x)a ряд сходится
п—юо| ОС — Tl\
в интервале (—1; 1).
Можно показать, что и в данном случае, т.е. при х £ (—1; 1), остаточ-
ный член Rn(x) стремится к нулю при п —> оо. В
Ряд (18.7) называется биномиальным. Если а = п Е N, то все члены
ряда с (п + 1)-го номера равны 0, так как содержат множитель а — п =
= п — п = 0. В этом случае ряд (18.7) представляет собой известную
формулу бинома Ньютона:
Докажем формулу (18.8). Пусть f(x) =
Q Формула (18.8) может быть получена разными способами:
1) пользуясь правилом разложения функции в ряд;
2) рассматривая ряд 1+х+х2+а;3Н Ьхп + ... как ряд геометрической
прогрессии, первый член которой равен единице и знаменатель q = х\
известно (см. пример 16.1), что данный ряд сходится при х € (—1; 1) и его
сумма равна у-^—;
3) воспользовавшись формулой (18.7): положив в ней а = — 1 и заменив
х на —ж, получим формулу (18.8). В
Докажем формулу (18.9). Пусть f(x) = 1п(1 + х).
Формула (18.9) также может быть доказана разными способами. При-
ведем один из них.
135
Формулы (18.13) и (18.14) доказаны.
Докажем формулу (18.7). Пусть f(x) = (1 + х)а, где a G Е.
Q Имеем:

Q Рассмотрим равенство
или
136
справедливое для всех х Е (—1; 1). Используя свойство 4 степенных рядов,
проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;х], х Е (—1; 1):
или
Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1. ■
Докажем формулу (18.10). Пусть f(x) = arctga;.
Q Положив в формуле (18.7) а = — 1 и заменив х на х2, получим равен-
ство
Тогда
Можно показать, что равенство справедливо и при х = ±1, т. е. при всех
хЕ[-1;1]. ■
Докажем формулу (18.12). Пусть f(x) = arcsinx.
Q Положив в формуле (18.7) а = — к и заменив х на (—ж2), получим
равенство
Тогда
или
Можно показать, что полученное равенство справедливо при всех
ж€[-1;1]. ■
Ряды (18.4)-(18.14) в комбинации с правилами сложения, вычитания,
умножения, дифференцирования, интегрирования степенных рядов (см.
свойства степенных рядов) могут быть использованы при разложении (не-
которых) других функций в ряд Маклорена (Тейлора).
Пример 18.1. Разложить в ряд Маклорена функцию f(x) = 3х.

ч
О Решение: Так как 3х = е1пЗХ = еж1п3, то, заменяя а: на rein3 в разложе-
нии (18.4), получим:
Пример 18.2. Выписать ряд Маклорена функции f(x) = In(4 — ж),
О Решение: Так как
то, воспользовавшись формулой (18.9), в которой заменим х на (—?), по-
лучим:
то, заменив жна | в формуле (18.8), получим:
137
или
если
Пример 18.3. Разложить в ряд Маклорена функцию
О Решение: Воспользуемся формулой (18.8). Так как
или
§19. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
19.1. Приближенное вычисление значений функции
Пусть требуется вычислить значение функции f(x) при х = х\ с за-
данной точностью е > 0.
Если функцию f(x) в интервале (—R;R) можно разложить в степенной

138
и х\ Е (—R',R), то точное значение f{x\) равно сумме этого ряда при
ж = Ж1,т.е.
а приближенное — частичной сумме Sn(xi), т.е.
Точность этого равенства увеличивается с ростом п. Абсолютная погреш-
ность этого приближенного равенства равна модулю остатка ряда, т. е.
где
Таким образом, ошибку \f{x\) — Sn(xi)\ можно найти, оценив остаток
rn(xi) ряда.
Для рядов лейбницевского типа
(см. п. 15.1).
В остальных случаях (ряд знакопеременный или знакоположитель-
ный) составляют ряд из модулей членов ряда и для него стараются найти
(подобрать) положительный ряд с большими членами (обычно это сходя-
щийся ряд геометрической прогрессии), который легко бы суммировался.
И в качестве оценки |rn(xi)| берут величину остатка этого нового ряда.
Пример 19.1. Найти sin 1 с точностью до 0,001.
О Решение: Согласно формуле (18.5),
Стоящий справа ряд сходится абсолютно (проверить самостоятельно). Так
как i » 0,008(3) > 0,001, ai« 0,0002 < 0,001, то для нахождения sin 1 с
точностью до 0,001 достаточно первых трех слагаемых:
Допускаемая при этом ошибка меньше, чем первый отброшенный член
(т.е. меньше, чем 0,0002). Вычисленное микрокалькулятором значение
sin 1 примерно равно 0,84147. •
Пример 19.2. Вычислить число е с точностью до 0,001.
О Решение: Подставляя х = 1 в формулу (18.4), получим:

139
Справа стоит знакоположительный ряд. Возьмем п слагаемых и оценим
ошибку гп(х):
т.е. гп(х) < —р—. Остается подобрать наименьшее натуральное число п,
чтобы выполнялось неравенство —р— < 0,001.
Нетрудно вычислить, что это неравенство выполняется при п ^ 6.
Поэтому имеем:
Замечание. Оценку остатка ряда можно производить с помощью оста-
точного члена ряда Маклорена
где с находится между 0 и х\. В последнем примере i?n(l)
При п = 6 имеем:
19.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
Бесконечные ряды применяются также для приближенного вычисле-
ния неопределенных и определенных интегралов в случаях, когда перво-
образная не выражается в конечном виде через элементарные функции
(см. Часть 1, § 34) либо нахождение первообразной сложно.
Пусть требуется вычислить
dx с точностью до е > 0. Если по-
дынтегральную функцию f(x) можно разложить в ряд по степеням х и
интервал сходимости (—R]R) включит в себя отрезок [а;Ь], то для вычи-
сления заданного интеграла можно воспользоваться свойством почленно-
го интегрирования этого ряда. Ошибку вычислений определяют так же,
как и при вычислении значений функций.
Пример 19.3. Вычислить интеграл
dx с точностью до е — 0,001.

О Решение: Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, за-
меняя х на (—х2) в формуле (18.4):
Замечание. Первообразную F(x) для функции f(x)=e x легко найти
в виде степенного ряда, проинтегрировав равенство (19.1) в пределах от 0
до х:
140
Интегрируя обе части равенства (19.1) на отрезке 0; 4 , лежащем внутри
интервала сходимости (—оо; оо), получим:
Получили ряд лейбницевского типа. Так как ——"• 3 = 0,0052 ... > 0,001,
а ——* 5 < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем:
Функции
dt играют очень важную роль
в теории вероятностей. Первая — плотность стандартного распределе-
ния вероятностей, вторая — функция Лапласа ,
и
интеграл вероятностей). Мы получили, что функция Лапласа предста-
вляется рядом
который сходится на всей числовой оси.
19.3. Приближенное решение дифференциальных уравнений
Если решение дифференциального уравнения не выражается через
элементарные функции в конечном виде или способ его решения слишком

сложен, то для приближенного решения уравнения можно воспользовать-
ся рядом Тейлора.
Познакомимся с двумя способами решения дифференциальных урав-
нений с помощью степенных рядов.
Пусть, например, требуется решить уравнение
141
удовлетворяющее начальным условиям
Способ последовательного дифференцирования
Решение у = у(х) уравнения (19.2) ищем в виде ряда Тейлора:
при этом первые два коэффициента находим из начальных условий (19.3).
Подставив в уравнение (19.2) значения х = а?о, у = Уо, у' = у'0, находим
третий коэффициент: у"(х0) = /(^о;2/о; 2/о)- Значения 2/'"(я0),2/(4)(#о),...
находим путем последовательного дифференцирования уравнения (19.2)
по х и вычисления производных при х — xq. Найденные значения произ-
водных (коэффициентов) подставляем в равенство (19.4). Ряд (19.4) пред-
ставляет искомое частное решение уравнения (19.2) для тех значений ж,
при которых он сходится. Частичная сумма этого ряда будет приближен-
ным решением дифференциального уравнения (19.2).
Рассмотренный способ применим и для построения общего решения
уравнения (19.2), если уо и у'0 рассматривать как произвольные постоян-
ные.
Способ последовательного дифференцирования применим для реше-
ния дифференциальных уравнений любого порядка.
Пример 19.4- Методом последовательного дифференцирования най-
ти пять первых членов (отличных от нуля) разложения в ряд решения
уравнения у" = х2 + у2, у(-1) = 2, у'(-1) = 1.
Q Решение: Будем искать решение уравнения в виде
Здесь у(—1) = 2,у'(—1) = ^. Находим у"{—1), подставив х = — 1 в исход-
ное уравнение: у"{—1) = (—I)2 + 22 = 5. Для нахождения последующих
коэффициентов дифференцируем заданное дифференциальное уравнение:

используя метод неопределенных коэффициентов.
О Решение: Разложим коэффициенты уравнения в степенные ряды:
рг(х) =х,р2 = 1,
Ищем решение уравнения в виде ряда
142
с неопределенными коэффициентами.
Коэффициенты cq и с\ определяются при помощи начальных условий
со = 2/о, ci = у'0.
Для нахождения последующих коэффициентов дифференцируем ряд
(19.6) два раза (каков порядок уравнения) и подставляем выражения для
функции у и ее производных в уравнение (19.5), заменив в нем р\ (я), Р2(#),
f(x) их разложениями. В результате получаем тождество, из которого ме-
тодом неопределенных коэффициентов находим недостающие коэффици-
енты. Построенный ряд (19.6) сходится в том же интервале (хо — R; xq + R)
и служит решением уравнения (19.5).
Пример 19.5. Найти решение уравнения
с начальными условиями у(хо) = 2/о? у'{хо) — Уо-
Предполагая, что коэффициенты pi(x), P2(x) и свободный член f(x)
разлагаются в ряды по степеням х—Хо, сходящиеся в некотором интервале
(хо — R;xq + Д), искомое решение у = у{х) ищем в виде степенного ряда
Способ неопределенных коэффициентов
Этот способ приближенного решения наиболее удобен для интегриро-
вания линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффи-
циентами.
Пусть, например, требуется решить уравнение
Подставляя найденные значения производных в искомый ряд, получим:
При х = — 1 имеем:

Тогда
Таким
Отсюда находим, что съ—с±=cq = • • •=0, сз = -
образом, получаем решение уравнения в виде
т.е. у = sinх.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х:
Из начальных условий находим: с$ = 0, с\ = 1. Подставляем полученные
ряды в дифференциальное уравнение:

Глава VI. РЯДЫ ФУРЬЕ, ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Лекции 20-22 I
§20. РЯДЫ ФУРЬЕ
20.1. Периодические функции. Периодические процессы
При изучении разнообразных периодических процессов, т. е. процессов,
которые через определенный промежуток времени повторяются (встреча-
ются в радиотехнике, электронике, теории упругости, теории и практике
автоматического регулирования и т. д.), целесообразнее разлагать перио-
дические функции, описывающие эти процессы, не в степенной ряд, а в
так называемый тригонометрический ряд.
Напомним, что функция у = f(x), определенная на множестве D, на-
зывается периодической (см. Часть 1, п. 14.3) с периодом Т > 0, если при
каждом xED значение (x+T)€D и выполняется равенство f(x+T)=f(x).
Для построения графика периодической функции периода Т достаточ-
но построить его на любом отрезке длины Т и периодически продолжить
его во всю область определения.
Отметим основные свойства периодической функции.
1. Алгебраическая сумма периодических функций, имеющих один и
тот же период Т, есть периодическая функция с периодом Т.
2. Если функция f(x) имеет период Т, то функция f(ax) имеет период
—: действительно, /(а- (# + )) — f(ax + Т) = f(ax).
3. Если функция f(x) имеет период Т и интегрируема на отрезке
144
dx при любых а и b
Пусть, например, 0 < а < Ъ < Т, тогда
С другой стороны,
Но
(подстановка х = и + Т)
Подставляем полученный результат в (20.2) и, сравнивая с (20.1), имеем

145
В частности,
Простейшими периодическими функциями являются тригонометриче-
ские функции sinx и cosx. Период этих функций равен 27Г, т. е. Т = 2-к.
Простейшим периодическим процессом (движением) является простое
гармоническое колебание (движение), описываемое функцией
t ^ 0, где А — амплитуда колебания, и — частота, ц?о — начальная
фаза.
Функцию такого вида (и ее график) называют простой гармоникой.
Основным периодом функции (20.3) является Т — —, т. е. одно полное
колебание совершается за промежуток времени — (и показывает, сколько
колебаний совершает точка в течение 27г единиц времени).
Проведем преобразование функции (20.3):
где а = Asinc^o, b = Acostpo. Отсюда видно, что простое гармоническое
колебание описывается периодическими функциями smut и cosut.
Сложное гармоническое колебание, возникающее в результате нало-
жения конечного (или бесконечного) числа простых гармоник, также опи-
сывается функциями вида sincctf и cosut. Так, функция
или, что равносильно, функция <p(i) = Aq + ^ (ап cosnt + Ьпsinnt) задает
71=1
сложное гармоническое колебание. Так как период первой гармоники есть
Тх = 2тг, второй Г2 = Ц-, третьей Т3 = ?f, ..., тридцатой ^зо = §§,
а период функции у = Aq («нулевая гармоника») есть любое число, то
функция (f(t) имеет период, равный 2-к, т. е. Т = 27г.
Понятно, что при наложении простых гармоник получаем периодиче-
скую функцию, описывающую сложное периодическое колебание (перио-
дический процесс).
Возникает вопрос: всякую ли периодическую функцию, описывающую
периодический процесс, можно представить в виде суммы простых гармо-
ник вида (20.3) или (20.4)? Если да, то как найти неизвестные параметры
(коэффициенты) каждой из этих гармоник? Ответим сначала на второй
вопрос, а потом и на первый.
20.2. Тригонометрический ряд Фурье
С помощью так называемого тригонометрического ряда любую (прак-
тически) периодическую функцию можно представить в виде ряда, чле-
нами которого являются простые гармоники.

Тригонометрическим рядом называется функциональный ряд ви-
да
— + а\ cos х + 0i sin х + • • • + ап cos nx + bn sin nx + • • • =
Замечания.
1. Формулы (20.7)-(20.11) показывают, что семейство функций
I,coso:,sina:,cos2a:,sin2x,cos3x,sin3x,..., cos rax, sin nx,...
обладает свойством ортогональности: интеграл от произведения лю-
бых двух функций этого семейства на интервале, имеющем длину 27Г, ра-
вен нулю.
2. Формулы (20.7)-(20.11) справедливы и в случае, когда область ин-
тегрирования есть отрезок [0; 2п] (см. свойство 3 периодических функций,
п. 20.1).
146
где действительные числа ао, ап, Ьп (п = 1,2,...) называются коэффици-
ентами ряда.
Ряд (20.5) можно записать в виде
Действительно, положив ап = Ansmipn, bn = Ancostpn, получим:
ancosnx + bnsinтгх_=_Апsin(nx + (pn); ряд (20.5) принимает вид (20.6),
при этом Лп = yja\ + Ь\ и tgv?n = ?*.
Свободный член ряда записан в виде ^ для единообразия получаю-
щихся в дальнейшем формул.
Приведем формулы, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Считая тип целыми положительными, находим:

Интегралы от всех, кроме нулевого, членов ряда равны нулю в силу фор-
мул (20.7) и (20.8).
Отсюда
Умножив обе части равенства (20.12) на cosmx и проинтегрировав полу-
ченный ряд в пределах от — 7г до 7г, получим:
Отсюда
Аналогично, умножив равенство (20.12) на sinmx и проинтегрировав
почленно на отрезке [—7г; 7г], найдем:
(20.15)
147
В силу формул (20.7), (20.9) и (20.10) из последнего равенства при т = п
получаем: п
Так как функция f(x) (и сумма ряда) имеет период 27г, то ее можно
рассматривать в любом промежутке длины 27г. В качестве основного про-
межутка возьмем отрезок [—7г; 7г] (также удобно взять отрезок [0;27г]) и
предположим, что ряд (20.12) на этом отрезке можно почленно интегри-
ровать. Вычислим коэффициенты ап и Ьп. Для этого проинтегрируем обе
части равенства (20.12) в пределах от — 7г до 7г:
Пусть f(x) — произвольная периодическая функция с периодом 2п.
Предположим, что функция f(x) разлагается в тригонометрический ряд,
т. е. f(x) является суммой ряда (20.5):

и говорят: функции /(#) соответствует (поставлен в соответствие) ее ряд
Фурье. Если ряд Фурье сходится, то его сумму обозначим S(x).
§21. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ 2тг-ПЕРИОДИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
21.1. Теорема Дирихле
Выясним условия, при которых знак соответствия (~) можно заменить
знаком равенства (=), .т. е. условия, при которых ряд Фурье функции f(x)
сходится и имеет своей суммой как раз функцию /(#)•
Будем рассматривать функции /(#), имеющие период Т = 2тг. Такие
функции называют 27г-периодическими.
Сформулируем теорему, представляющую достаточное условие разло-
жимости функции в ряд Фурье.
Теорема 21.1 (Дирихле). Пусть 27г-периодическая функция f(x) на отрезке
[—7г; 7г] удовлетворяет двум условиям:
1. f(x) кусочно-непрерывна, т. е. непрерывна или имеет конечное число точек
разрыва I рода;
2. f(x) кусочно-монотонна, т. е. монотонна на всем отрезке, либо этот отрезок
можно разбить на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция
монотонна.
Тогда соответствующий функции f(x) ряд Фурье сходится на этом отрезке и при
этом:
1. В точках непрерывности функции сумма ряда S(x) совпадает с самой функ-
цией: S(x) = f(x);
2. В каждой точке хп разрыва функции сумма ряда равна
Таким образом, если функция f(x) удовлетворяет условиям 1 и 2
теоремы (условия Дирихле), то на отрезке [—7г; 7г] имеет место разложе-
148
т. е. равна среднему арифметическому пределов функции f{x) справа и слева;
3. В точках х = —7г и х = 7г (на концах отрезка) сумма ряда равна
Числа ао, ап, Ьп, определяемые по формулам (20.13)-(20.15), назы-
ваются коэффициентами Фурье функции /(х), а тригонометрический
ряд (20.5) с такими коэффициентами — рядом Фурье функции /(#).
Для интегрируемой на отрезке [—7г; 7г] функции f(x) записывают

149
ние (20.12):
причем коэффициенты вычисляются по формулам (20.13)-(20.15). Это ра-
венство может нарушиться только в точках разрыва функции f(x) и на
концах отрезка [—7г;7г].
В силу периодичности исходной функции и суммы ряда Фурье может
быть получено указанное разложение во всей области определения функ-
ции.
Замечания.
1. Если функция f(x) с периодом 27Г на отрезке [0;27г] удовлетворяет
условиям Дирихле, то для нее имеет место разложение (20.12), где коэф-
фициенты вычисляются по формулам
(Интегралы / f(x)dxn / f(x) dx равны в силу свойства 3 периодиче-
-7Г О
ской функции — см. п. 20.1.)
2. Условиям Дирихле удовлетворяют большинство функций, которые
встречаются в математике и ее приложениях. Существуют функции, не
удовлетворяющие условиям Дирихле, но при этом разложимые в ряд Фу-
рье, т. е. теорема Дирихле дает лишь достаточное условие разложимости,
но не необходимое.
Пример 21.1. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) периода 27Г, за-
данную на отрезке [—7г; 7г] формулой
При 0 ^ X ^ 7Г,
При — 7Г ^ X < 0.
О Решение: На рисунке 49 изображен график функции /(#). Эта функция
удовлетворяет условиям Дирихле, значит, она разложима в ряд Фурье.
Находим коэффициенты ряда:

y = f(x)
Рис. 49.
интегрируем по частям:
Функция /(я) непрерывна во всех внутренних точкой отрезка [—7г;7г], по-
этому, согласно теореме Дирихле, для всех этих точек имеем равенство
f(x) = 5(х), т. е.
В точках х = ±7г сумма 5(ж) ряда равна
Графики функций f(x) и S(x) показаны на рис. 49. •
21.2. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Если разлагаемая на отрезке [-7г; 7г] в ряд Фурье функция f(x) явля-
ется четной или нечетной, то это отражается на формулах коэффициентов
Фурье (вычисление их упрощается) и на виде самого ряда (он становится
так называемым неполным).
150
Аналогично находим
Исходной функции f(x) соответствует ряд Фурье

Если функция f(x) четная, то ее ряд Фурье имеет вид
где
Если функция f(x) нечетная, то ее ряд Фурье имеет вид
где
(21.1)
(21.2)
(21.3)
(21.4)
Q Как известно (см. Часть 1, п. 39.4), если функция f(x) интегрируема
на симметричном отрезке [—а; а], то
(21.5)
если f(x) — четная функция,
если f(x) — нечетная функция.
Если функция f(x) — четная, то f(x)cosnx — четная функция
(/(—х) cos(—их) = /(x)cosnx), a f(x)smnx — нечетная функция
(/(-x)sin(- пх) = —f(x)sinnx).
Если же f(x) — нечетная функция, то, очевидно, функция
f(x) cosnx — нечетная, a f(x) sinnx — четная.
С учетом формулы (21.5) из формул (20.13)-(20.15) получаем форму-
лы (21.1)-(21.4). ■
Ряды (21.1) и (21.3) называются неполными тригонометрическими
рядами, или рядами по косинусам и по синусам соответственно.
Пример 21.2. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = х, х £ (—7г;7г),
Т = 2тг.
Рис. 50.
151

О Решение: На рисунке 50 изображен график заданной функции. Усло-
виям Дирихле функция у — х удовлетворяет. Эта функция — нечетная.
Следовательно, ап = 0, п = 0,1,..., а
cos7m,
Ряд Фурье содержит только синусы:
При этом 5(±7г)
"^^ - 0 (см. рис. 50).
21.3. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
Разлагать в ряд Фурье можно и периодические функции с периодом,
ОТЛИЧНЫМ ОТ 27Г.
Пусть функция /(ж), определенная на отрезке [—/;/], имеет период 2/
(f(x + 21) = f(x), где / — произвольное положительное число) и удовле-
творяет на этом отрезке условиям Дирихле.
Сделав подстановку х — —t, данную функцию f(x) преобразуем в
функцию ip(t) = /(—£], которая определена на отрезке [—7г;7г] и имеет
период Т = 2тг.
Действительно, если t = — 7г, то х = — /, если t = 7г, то х = / и при
—7Г < t < 7г имеем —1<х< /;
где
Возвращаясь к переменной х и заметив, что t — ^j-,dt = jdx, получим
(21.6)
152
т.е. (p(t+ 2тг) = (p(t).
Разложение функции ^p(t) в ряд Фурье на отрезке [—7г;7г] имеет вид

где
(21.7)
Ряд (21.6) с коэффициентами, вычисляемыми по формулам (21.7), на-
зывается рядом Фурье для функции f(x) с периодом Т = 21.
Замечание. Все теоремы, имеющие место для рядов Фурье 27г-перио-
дических функций, остаются в силе и для рядов Фурье функций, период
которых Т = 21. В частности, если f(x) на отрезке [—/; I] четная, то ее ряд
Фурье имеет вид
I
где
где
(21.9)
(21.10)
(21.11)
Пример 21.3. Разложить функцию f(x) = х на интервале (—4; 4) в ряд
Фурье.
Q Решение: Данная функция нечетная, удовлетворяет условиям Дири-
хле. По формулам (21.10) и (21.11), при / = 4, имеем:
Вычисляем Ьп\
153
если f(x) — нечетная функция, то

Таким образом,
для — 4 < х < 4.
Рис. 51.
21.4. Представление непериодической функции рядом Фурье
Пусть у = f(x) — непериодическая функция, заданная на всей число-
вой оси (-оо < х < оо).
Такая функция не может быть разложена в ряд Фурье, т. к. сумма
ряда Фурье есть функция периодическая и, следовательно, не может быть
равна f(x) для всех х.
Однако непериодическая функция f(x) может быть
представлена в виде ряда Фурье на любом конечном про-
межутке [а; Ь], на котором она удовлетворяет условиям
Дирихле. Для этого можно поместить начало координат
в середину отрезка [а; Ь] и построить функцию f\ (x) пе-
риода Т = 21 = \Ь — а\ такую, что f\{x) = f(x) при
—l^.x^l. На рисунке 51 приведена иллюстрация по-
строения функции /i (х).
Разлагаем функцию f\{x) в ряд Фурье. Сумма этого
ряда во всех точках отрезка [а; Ь] (кроме точек разрыва)
совпадает с заданной функцией /(#). Вне этого проме-
жутка сумма ряда и f(x) являются совершенно различными функциями.
Пусть теперь непериодическую функцию f(x) требуется разложить в
ряд Фурье на отрезке [0;/]. (Это частный случай: начало координат пе-
ренесено в точку х — а отрезка [а; Ь]; область определения функции f(x)
будет иметь вид [0; /], где I = \Ь — а\.)
Такую функцию можно произвольным
образом доопределить на отрезке [—/;0], а
затем осуществить ее периодическое про-
должение с периодом Т = 21. Разложив в
ряд Фурье на отрезке [—/;/] полученную та-
ким образом периодическую функцию
/i(x), получим искомый ряд для функции
f(x) при х € [0;/].
В частности, функцию f(x) можно до-
определить на отрезке [—/;0] четным образом (т.е.
чтобы при — / ^ х ^ 0 было f(x) = f(—x)) — см.
рис. 52. В этом случае функция f(x) разлагается в
ряд Фурье, который содержит только косинусы (см.
формулы (21.8) и (21.9)).
Если же функцию f(x) продолжить на отрезок
[—/;0] нечетным образом (см. рис. 53), то она разлага-
ется в ряд, состоящий только из синусов (см. форму-
лы (21.10) и (21.11)).
Рис. 52.
Рис. 53.
154

Ряд косинусов и ряд синусов для функции /(#), заданной на отрезке
[0; /], имеют одну и ту же сумму. Если xq — точка разрыва функции /(я),
то сумма как одного, так и другого ряда равна одному и тому же числу:
S(xo) = /(*o-0) + /(*o + 0).
Замечание. Все, что было сказано о разложении в ряд Фурье функции
f(x) на отрезке [0;/], переносится практически без изменения на случай,
когда функция задана на отрезке [0; 7г]; такую функцию можно разложить
как в ряд косинусов, так и в ряд синусов (формулы (21.1) и (21.3)).
Пример 21.4- Разложить в ряд косинусов
ФУНКЦИЮ f(x) = П ~ Ж, 0 < X < 7Г.
ф Решение: Продолжим функцию f(x) на
отрезок [—7г;0] четным образом (см. рис. 54).
Разлагаем в ряд функцию
Рис. 54.
(из формулы Эйлера ещ — cos ip + isimp и вытекающего из нее равенства
_• . . Р*Ч> I Р-Щ . pW _ p-W ч
е г* = coscp — г simp находим, что cosy? = -—-^ , sin у? = ^ ).
2г
155
с периодом Т = 27Г. Условиям теоремы Дирихле функция f\(x) удовлетво-
ряет. Используя формулы (21.1) и (21.2), находим:
Таким образом,
где 0 < х < 7г f при этом 5(0)
21.5. Комплексная форма ряда Фурье
Ряды Фурье часто применяются в комплексной форме записи. Пре-
образуем ряд (20.12) и его коэффициенты (20.13)-(20.15) к комплексной
форме. Для этого используем формулы Эйлера, выражающие косинус и
синус через показательную функцию:

где обозначено сп = а" 2 гЬ", c_n = ^L+_^a.
Найдем выражения для комплексных коэффициентов сп и с_п. Ис-
пользуя выражения для ап и 6П (формулы (20.14) и (20.15)), получим:
т. е.
Коэффициенты этого ряда, согласно формулам (21.13)—(21.15), можно за-
писать в виде
156
Подставив эти выражения в ряд (20.12), находим:
Таким образом, формулу (21.12) можно записать в виде

157
Равенство (21.16) называется комплексной формой ряда Фурье
функции f(x), а числа сп, найденные по формуле (21.17), — комплекс-
ными коэффициентами ряда Фурье.
Если функция f(x) задается на отрезке [—/;/], то комплексная форма
ее ряда Фурье имеет вид
\ w/
Как видим, комплексная форма ряда Фурье (и коэффициентов) более
компактна, чем обыкновенный ряд Фурье.
В электротехнике и радиотехнике члены ряда спе 1 называются гар-
мониками, коэффициенты сп — комплексными амплитудами гармоник,
а числа ип — Щ^ (п = 0, ±1,±2,...) — волновыми числами функции
Совокупность величин {ci, C2,..., сп,... } называется амплитудным
спектром.
Графически амплитудный спектр изображается в виде вертикальных
отрезков длиной сп, расположенных в точках ип = Щ^ числовой оси.
Пример 21.5. Построить ряд Фурье в
комплексной форме для 2-периодической
функции
О Решение: На рисунке 55 изображен гра-
фик функции /(#). По формулам (21.18) находим (I = 1):
Следовательно, для всех точек непрерывности функции f(x) справедливо
равенство
1, на графике S(x) не отмечена

§22. ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ
Как известно, всякую (периодическую или непериодическую) функ-
цию /(#), удовлетворяющую на отрезке [—/; /] условиям теоремы Дирихле,
можно разложить в ряд Фурье
(22.2)
Это разложение будет справедливым на всей числовой оси Ох в том
случае, когда f(x) — периодическая функция с периодом Т = 21.
Рассмотрим случай, когда f(x) — непериодическая функция, заданная
на бесконечном промежутке (—оо; оо) (т. е. I = +оо).
Будем предполагать, что на любом конечном промежутке [—/;/] функ-
ция f(x) удовлетворяет условиям теоремы Дирихле и что сходится сле-
дующий несобственный интеграл:
Говорят: f(x) абсолютно интегрируема на всей числовой оси.
Подставляя в ряд (22.1) значения коэффициентов ап и Ьп (22.2), полу-
чим:
158
Будем теперь неограниченно увеличивать I. Первое слагаемое в правой
части равенства (22.3) при / —> +оо стремится к нулю, т. к.
Рассмотрим второе слагаемое в равенстве (22.3). Величина иоп = Щ-
принимает значения и\ = у, Ш2 = *f-, и% = ^у-, .. •, образующие бесконеч-
ную арифметическую прогрессию с разностью Аип = у (Д^п = uin+i — o;n,

Формула (22.4) называется формулой Фурье, а интеграл в правой
части формулы — интегралом Фурье для функции f(x).
Формула Фурье имеет место в точках непрерывности функции f(x); в
точках разрыва данной функции интеграл Фурье равен среднему арифме-
тическому ее односторонних пределов:
Формулу (22.4) можно переписать в другом виде (в виде однократного
интеграла):
159
п = 0,1,2,...), при этом Аип —> О при / —> +оо. Итак,
Полученная сумма напоминает интегральную сумму для функции
(доказывается, что так оно и есть), поэтому, переходя в равенстве (22.3) к
пределу при I —У +оо, получаем
или

т. е.
где
(22.5)
Как видно, есть аналогия между рядом Фурье и интегралом Фурье:
в обоих случаях функция f(x) раскладывается на сумму гармонических
составляющих. Однако, ряд Фурье суммируется по индексу п, принимаю-
щему дискретные значения п = 1,2,3,...,в интеграле Фурье производится
интегрирование по непрерывной переменной и.
Некоторые сведения, связанные с интегралом Фурье, изложим в виде
замечаний.
Замечанья.
1. Если функция f(x) — четная, то формула Фурье (22.5) принимает
вид
в случае нечетной функции
(22.6)
(22.7)
2. Если функция f(x) задана лишь на промежутке (0; +оо), то ее можно
продолжить на промежуток (—оо;0) разными способами, в частности —
четным или нечетным образом: в первом случае она будет представлена
формулой (22.6), во втором — формулой (22.7).
3. Формулу Фурье (22.5) можно представить в симметричной фор-
ме записи, если положить в формулах (22.6) и (22.7) А(и) = * — А(и),
160
В случае четной функции
в случае нечетной функции

Функции А(и) и В(и) называются соответственно косинус-преобразо-
ванием и синус-преобразованием Фурье для функции f(x).
4. Интеграл Фурье (22.4) в комплексной форме имеет вид
где
Пример 22.1. Представить интегралом Фурье функцию
161
интеграл Фурье (22.5) имеет вид
где
или в симметричной форме записи
О Решение: Функция удовлетворяет условиям представимости интегра-
лом Фурье, абсолютно интегрируема на промежутке (—оо; +ос):
Функция нечетная, применим формулу (22.7):
Следовательно,

Замечание. Интересно отметить, что если х = 1, то
С другой стороны,
Таким образом,
Иными словами, при помощи представления функций интегралом Фурье
иногда можно вычислить величины несобственных интегралов.

Глава VII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Лекции 23-26
§23. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ПОЛЯ
Теория поля — крупный раздел физики, механики, математики, в ко-
тором изучаются скалярные, векторные, тензорные поля.
К рассмотрению скалярных и векторных полей приводят многие зада-
чи физики, электротехники, математики, механики и других технических
дисциплин. Изучение одних физических полей способствует изучению и
других. Так, например, силы всемирного тяготения, магнитные, электри-
ческие силы — все они изменяются обратно пропорционально квадрату
расстояния от своего источника; диффузия в растворах происходит по за-
конам, общим с распространением тепла в различных средах; вид силовых
магнитных линий напоминает картину обтекания препятствий жидкостью
и т. д.
Математическим ядром теории поля являются такие понятия, как гра-
диент, поток, потенциал, дивергенция, ротор, циркуляция и другие. Эти
понятия важны и в усвоении основных идей математического анализа
функций многих переменных.
Полем называется область V пространства, в каждой точке которой
определено значение некоторой величины. Если каждой точке М этой
области соответствует определенное число U = U(M), говорят, что в обла-
сти определено (задано) скалярное поле (или функция точки). Иначе
говоря, скалярное поле — это скалярная функция U(M) вместе с ее обла-
стью определения. Если же каждой точке М области пространства соот-
ветствует некоторый вектор а = а(М), то говорят, что задано векторное
поле (или векторная функция точки).
Примерами скалярных полей могут быть поля температуры (возду-
ха, тела, ...), атмосферного давления, плотности (массы, воздуха, ...),
электрического потенциала и т. д. Примерами векторных полей являют-
ся поле силы тяжести, поле скоростей частиц текущей жидкости (ветра),
магнитное поле, поле плотности электрического тока и т. д.
Если функция U(M) (а(М)) не зависит от времени, то скалярное (век-
торное) поле называется стационарным (или установившимся); поле, ко-
торое меняется с течением времени (меняется, например, скалярное поле
температуры при охлаждении тела), называется нестационарным (или
неустановившимся).
Далее будем рассматривать только стационарные поля.
Если V — область трехмерного пространства, то скалярное поле U
можно рассматривать как функцию трех переменных x,y,z (координат
точки М):
163
(Наряду с обозначениями U = U(M), U = U(x;y;z), используют запись
U = U(г), где f — радиус-вектор точки М.)

Если скалярная функция U(M) зависит только от двух переменных,
например х и у, то соответствующее скалярное поле U(x; у) называют
плоским.
Аналогично: вектор а = а(М), определяющий векторное поле, можно
рассматривать как векторную функцию трех скалярных аргументов х, у
и z: а = а(х; у; z) (или а = а(г)).
Вектор а = а(М) можно представить (разложив его по ортам коорди-
натных осей) в виде
164
где Р(х; у; z), Q(x; у; z), R(x; у; z) — проекции вектора а{М) на оси коорди-
нат. Если в выбранной системе координат Oxyz одна из проекций вектора
а = а(М) равна нулю, а две другие зависят только от двух переменных,
то векторное поле называется плоским. Например, а = P(x;y)i + Q{x;y)j.
Векторное поле называется однородным, если а(М) — постоянный век-
тор, т. е. Р, R и Q — постоянные величины. Таким полем является поле
тяжести. Здесь Р = О, Q — О, R = —mg, д — ускорение силы тяжести,
га — масса точки.
В дальнейшем будем предполагать, что скалярные функции
(U(x;y;z) — определяющая скалярное поле, P(x;y;z), Q(x;y;z) и
R(x; y\z) — задающие векторное поле) непрерывны вместе со своими част-
ными производными.
Пример 23.1. Функция U = у/1 — х2 — у2 — z2 определяет скалярное
поле в точках пространства, ограниченного сферой с центром в начале
координат и радиусом R = 1; скалярное поле U = —^—^ определено во
X ~г У
всем пространстве, за исключением точек оси Oz (на ней х2 + у2 = 0).
Пример 23.2. Найти поле линейной скорости
V материальной точки М, вращающейся против
часовой стрелки с угловой скоростью й вокруг
оси Oz (см. Часть 1, п. 7.4).
О Решение: Угловую скорость представим в ви-
де вектора cJ, лежащего на оси Oz, направленного
вверх. Имеем:
Построим радиус-вектор г = (x;y;z) точки М
(см. рис. 56).
Численное значение линейной скорости V (модуль), как известно из
курса физики, равно up, где р — расстояние вращающейся точки M(x;y;z)
от оси вращения (оси Oz). Но р = г simp (ip — угол между вектором г и
осью Oz). Следовательно, V = up = и • г • sintp, т. е. V = |cJ x f|.'
Вектор скорости V направлен в сторону вращения, совпадает с напра-
влением векторного произведения й х г (V ± г, V ± О, векторы cJ, f, V

образуют правую тройку). Следовательно, V = и х г, т. е.
Поле линейных скоростей V тела, вращающегося вокруг неподвижной
оси, есть плоское векторное поле. •
§24. СКАЛЯРНОЕ ПОЛЕ
24.1. Поверхности и линии уровня
Рассмотрим скалярное поле, задаваемое функцией U = U(x; у; z). Для
наглядного представления скалярного поля используют поверхности и ли-
нии уровня.
Поверхностью уровня скалярного поля называется геометрическое
место точек, в которых функция U(M) принимает постоянное значение,
165
Давая в уравнении (24.1) величине с различные значения, получим
различные поверхности уровня, которые в совокупности как бы расслаи-
вают поле. Через каждую точку поля проходит только одна поверхность
уровня. Ее уравнение можно найти путем подстановки координат точки в
уравнение (24.1).
Для скалярного поля, образованного функцией U = \/1 — х2 — у2 — г2,
поверхностями уровня является множество концентрических сфер с цен-
трами в начале координат: \/\ — х2 — у2 — z2 = с. В частности, при с = 1
получим х2 4- у2 + z2 = О, т. е. сфера стягивается в точку.
Для равномерно раскаленной нити поверхности уровня температурно-
го поля (изотермические поверхности) представляют собой круговые ци-
линдры, общей осью которых служит нить.
В случае плоского поля U = U(x;y) равенство U(x;y) = с представля-
ет собой уравнение линии уровня поля, т. е. линия уровня — это линия
на плоскости Оху, в точках которой функция U(x;y) сохраняет постоян-
ное значение.
В метеорологии, например, сети изобар и изотерм (линии одинаковых
средних давлений и одинаковых средних температур) являются линиями
уровня и представляют собой функции координат точек местности.
Линии уровня применяются в математике при исследовании поверх-
ностей методом сечений (см. Часть 1, п. 12.9).
24.2. Производная по направлению
Для характеристики скорости изменения поля U = U(M) в заданном
направлении введем понятие «производной по направлению».
Возьмем в пространстве, где задано поле U = U(x;y;z), некоторую
точку М и найдем скорость изменения функции U при движении точки

Рис. 57.
(24.2)
В случае плоского поля U = U(x\ у) имеем: cos /3 = cos ( ^ — а) = sin а,
cos 7 = 0. Формула (24.2) принимает вид:
166
М в произвольном направлении А. Пусть век-
тор Л имеет начало в точке М и направляющие
косинусы cos a, cos/?, cos 7-
Приращение функции [/, возникающее при
переходе от точки М к некоторой точке М\ в
направлении вектора Л определяется как
или
(см. рис. 57). Тогда
Производной от функции U = U(M) в точке М по направле-
нию А называется предел
Производная по направлению Л и характеризует скорость изменения
функции (поля) в точке М по этому направлению. Если ЯН > О, то функ-
ция U возрастает в направлении Л, если ЯН- < 0, то функция U в напра-
влении А убывает. Кроме того, величина \ЯН-\ представляет собой мгно-
венную скорость изменения функции U в направлении А в точке М: чем
I f)TJ I
больше \ЧН- , тем быстрее изменяется функция U. В этом состоит физи-
ческий смысл производной по направлению.
Выведем формулу для вычисления производной по направлению, счи-
тая, что функция U(x;y;z) дифференцируема в точке М. Тогда ее полное
приращение в этой точке М можно записать так:
где £1, &2> £з — бесконечно малые функции при
п. 44.3).
Переходя к пределу при ДА —> 0, получим формулу для вычисления про-
изводной по направлению:

Замечание. Понятие производной по направлению является обобщени-
ем понятия частных производных ЦУ-, Щ^-, Щ*-. Их можно рассматривать
как производные от функции и по направлению координатных осей Ох,
Оу и Oz. Так, если направление Л совпадает с положительным направле-
нием оси Ох, то, положив в формуле (24.2) а = О, /? = тт, 7 — |> получим
О Решение: Находим вектор ММ\ и его направляющие косинусы:
Находим частные производные функции и вычисляем их значения в точке
М:
Следовательно, по формуле (24.2) имеем:
Г\ТТ
Поскольку Щт- < 0, то заданная функция в данном направлении убывает.
24.3. Градиент скалярного поля и его свойства
В каком направлении Л производная Щт- имеет наибольшее значение?
Это направление указывает вектор, называемый градиентом скалярного
поля.
Можно заметить, что правая часть равенства (24.2) представляет со-
бой скалярное произведение единичного вектора ё = (cos a; cos /?;cos7) и
некоторого вектора g = (|^; |^; Щ^.
Вектор, координатами которого являются значения частных производ-
ных функции U(x;y;z) в точке M(x;y;z), называют градиентом функ-
ции и обозначают gradC/, т. е. gradf/ = (^р-; тр-; ТГ/' или
167
Пример 24-1- Найти производную функции U = х2 + у2 — 4yz в точке
М(0; 1; 2) в направлении от этой точки к точке Mi(2; 3; 3).

В этом состоит физический смысл градиента. На указанном свойстве
градиента основано его широкое применение в математике и других дис-
циплинах.
Приведем важные свойства градиента функции.
1. Градиент направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей
через данную точку.
Q Действительно, по любому направлению вдоль поверхности уровня
(С/ — с) Ш4- = 0. Но тогда из (24.3) следует, что cosip = 0, т. е. </? = Ц. Ш
168
Отметим, что gradC/ есть векторная величина. Говорят: скалярное по-
ле U порождает векторное поле градиента U. Теперь равенство (24.2) мож-
но записать в виде
или
где ср — угол между вектором gradt/ и направлением Л (см.
рис. 58).
Из формулы (24.3) сразу следует, что производная по направлению
достигает наибольшего значения, когда coscp = 1, т. е. при ip — 0. Таким
образом, направление градиента совпадает с направлением Л, вдоль ко-
торого функция (поле) меняется быстрее всего, т. е. градиент функции
указывает направление наибыстрейшего возрастания функции. Наиболь-
шая скорость изменения функции U в точке М равна
Q Доказываются эти свойства на основании определения градиента. До-
кажем, например, последнее свойство. Имеем:
Замечание. Приведенные свойства градиента функции остаются спра-
ведливыми и для плоского поля.

169
Пример 24-2. Найти наибольшую скорость возрастания функции
О Решение: Имеем:
Наибольшая скорость возрастания функции равна
Отметим, что функция U будет убывать с наибольшей скоростью
(2\/2), если точка А движется в направлении — grad{7(^) = —2г + 2к (ан-
тиградиентное направление). •
§25. ВЕКТОРНОЕ ПОЛЕ
25.1. Векторные линии поля
Рассмотрим векторное поле, задаваемое вектором а = а(М). Изучение
поля удобно начинать с понятия векторных линий; они являются простей-
шими геометрическими характеристиками поля.
Векторной линией поля а называется линия, касательная к кото-
рой в каждой ее точке М имеет направление соответствующего ей вектора
а(М).
Это понятие для конкретных полей имеет ясный физический смысл.
Например, в поле скоростей текущей жидкости векторными линиями бу-
дут линии, по которым движутся частицы жидкости (линии тока); для
магнитного поля векторными (силовыми) линиями будут линии, выходя-
щие из северного полюса и оканчивающиеся в южном.
Совокупность всех векторных линий поля, проходящих через некото-
рую замкнутую кривую, называется векторной трубкой.
Изучение векторного поля обычно начинают с из-
учения расположения его векторных линий. Векторные
линии поля
описываются системой дифференциальных уравнений
вида
Q Действительно, пусть PQ — векторная линия по-
ля, г — хг + yj + zk — ее радиус-вектор. Тогда вектор
dr — dx • г + dy • j + dz -k направлен по касательной к
линии PQ в точке М (см. рис. 59).
В силу коллинеарности векторов а и dr следует пропорциональность
их проекций, т. е. равенства (25.2). В

ч
Пример 25.1. Найти векторные линии поля линейных скоростей тела,
вращающегося с постоянной угловой скоростью Q вокруг оси Oz.
О Решение: Это поле определено вектором V = — ujyi + uxj (см. при-
мер 23.2). Согласно (25.2), имеем:
25.2. Поток поля
Рис. 60.
Пусть векторное поле образовано вектором (25.1). Для наглядности
будем считать а(М) вектором скорости некоторого потока жидкости, дви-
жущейся стационарно. Представим, что некоторая поверхность S находит-
ся в этом потоке и пропускает жидкость. Подсчитаем, какое количество
жидкости протекает через поверхность 5.
Выберем определенную сторону поверхности S. Пусть
п = (cosa;cos/?;cos7) — единичный вектор нормали к
рассматриваемой стороне поверхности S. Разобьем поверх-
ность на элементарные площадки S\, S2,..., Sn. Выберем в
каждой площадке точку М{ (г = 1,2,... , п) (см. рис. 60) и
вычислим значения вектора скорости а(М) в каждой точ-
ке: a(Afi), a(M2),...,a(Mn).
Будем приближенно считать каждую площадку плос-
кой, а вектор а постоянным по модулю и одинаково на-
правленным в каждой точке площадки. Тогда за единицу
времени через Si протекает количество жидкости, прибли-
женно равное Ki « Hi • Д5г, где ASi — площадь г-й площадки, Hi — высо-
та г-ro цилиндра с образующей а{Мг). Но Hi является проекцией вектора
а{Мг) на нормаль щ: Hi = npfj.a(Mi) = а(Мг) • щ, где щ — единичный
вектор нормали к поверхности в точке Mi. Следовательно, общее количе-
ство жидкости, протекающее через всю поверхность 5 за единицу времени,
найдем, вычислив сумму
170
I X -г V = С\
Интегрируя, получим: < т. е. векторные линии данного по-
[z = c2,
ля представляют собой окружности с центрами на оси Oz, лежащие в
плоскостях, перпендикулярных к этой оси. •
Точное значение искомого количества жидкости получим, взяв предел
найденной суммы при неограниченном увеличении числа элементарных
площадок и стремлении к нулю их размеров (диаметров di площадок):

Независимо от физического смысла поля а(М) полученный интеграл
называют потоком векторного поля.
Потоком вектора а через поверхность S называется интеграл
по поверхности от скалярного произведения вектора поля на единичный
вектор нормали к поверхности, т. е.
(см. Часть 1, (6.2)), то
(25.4)
где ап — проекция вектора а на направление нормали п, ds — дифферен-
циал (элемент) площади поверхности.
Иногда формулу (25.3) записывают в виде
где вектор ds направлен по нормали к поверхности, причем \ds\ = ds.
Так как п = (cosa;cos/?;cos7), а = (P;Q,R); где Р = P(x;y;z),
Q = Q(x;y;z), R = R(x;y;z) — проекции вектора а на соответствующие
координатные оси, то поток (25.3) вектора а, можно записать в виде
Используя взаимосвязь поверхностных интегралов I и II рода (см. фор-
мулу (12.8)), поток вектора можно записать как
(25.5)
Отметим, что поток К вектора а есть скалярная величина. Величина
К равна объему жидкости, которая протекает через поверхность S за еди-
ницу времени. В этом состоит физический смысл потока (независимо от
физического смысла поля).
Особый интерес представляет случай, когда
поверхность замкнута и ограничивает некоторый
объем V. Тогда поток вектора записывается в виде
Рис. 61.
171
В этом случае за направление вектора п обыч-
но берут направление внешней нормали и говорят о
потоке изнутри поверхности 5 (см. рис. 61).
Если векторное поле а = а(М) есть поле ско-
ростей текущей жидкости, то величина потока К
Рассмотрим различные формы записи потока вектора. Так как

через замкнутую поверхность дает разность между количеством жидко-
сти, вытекающей из области V (объема V) и втекающей в нее за единицу
времени (в точках поверхности 5, где векторные линии выходят из объ-
ема V, внешняя нормаль образует с вектором а острый угол и а • п > 0; в
точках, где векторные линии входят в объем, а • п < 0).
При этом если К > 0, то из области V вытекает больше жидкости, чем
в нее втекает. Это означает, что внутри области имеются дополнительные
источники.
Если К < 0, то внутри области V имеются стоки, поглощающие из-
быток жидкости.
Можно сказать, что источники — точки, откуда векторные линии на-
чинаются, а стоки — точки, где векторные линии кончаются. Так, в элек-
тростатическом поле источником является положительный заряд, сто-
ком — отрицательный заряд магнита (см. рис. 62).
Если К = 0, то из области V вытекает столько же жидкости, сколько
в нее втекает в единицу времени; внутри области либо нет ни источников,
ни стоков, либо они таковы, что их действие взаимно компенсируется.
Рис. 62.
Рис. 63.
Пример 25.2. Найти поток вектора а = z-i — x-j + yk через
верхнюю сторону треугольника, полученного при пересечении плоскости
Зх + 6у — 2z — 6 = 0 с координатными плоскостями (см. рис. 63).
О Решение: Поток найдем методом проектирования на три координатные
плоскости. Для этого воспользуемся формулой (25.5). В нашем случае
Р = z, Q = —х, R = у. Имеем:
Расчленим этот поверхностный интеграл на три слагаемых, затем све-
дем их вычисление к вычислению двойных интегралов. Нормаль к верхней
стороне треугольника образует с осью Ох тупой угол, с осью Оу — тупой,
а с осью Oz — острый угол. (Единичный вектор данной плоскости есть
п = ±( Tji + jj — ^k); на верхней стороне cos7 > 0, поэтому надо выбрать
знак «минус»; получим: cos а = — = , cos/9 = —%, cos 7 = 4.)
172

Итак, К = Кх + К2 + К3. Находим Ки К2, К3
1 О
Рис. 64.
Отметим некоторые свойства дивергенции.
1. Если а — постоянный вектор, то diva = 0.
2. div(c • а) — с • div а, где с = const.
3. div(a + Ь) = diva + div6, т. е. дивергенция суммы двух векторных
функций равна сумме дивергенции слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, a — вектор, то div([/-a) = U• diva+
+a gradt/.
173
В результате имеем: /
Пример 25.3. Найти поток радиус-вектора г через
внешнюю сторону поверхности прямого конуса, верши-
на которого совпадает с точкой О(0; 0; 0), если известны
радиус основания R и высота конуса Н (см. рис. 64).
О Решение:
Очевидно, что К\ = О, т. к. пр^г = 0;
т. к. прпГ = Н. Итак, К = 7гHR2. •
25.3. Дивергенция поля. Формула Остроградского-Гаусса
Важной характеристикой векторного поля (25.1) является так называ-
емая дивергенция, характеризующая распределение и интенсивность ис-
точников и стоков поля.
Дивергенцией (или расходимостью) векторного поля
в точке М называется скаляр вида
и обозначается символом
div а(М), т. е.

174
Эти свойства легко проверить, используя формулу (25.6). Докажем,
например, справедливость свойства 4.
□ Так как U • а = U • Р • г + U • Q • ] + U • R • А*, то
Используя понятия потока и дивергенции векторного поля, запишем
известную в анализе (см. (12.9)) формулу Остроградского-Гаусса
в так называемой векторной форме.
Рассматривая область V, ограниченную замкнутой поверхностью 5, в
векторном поле (25.1), можно утверждать, что левая часть формулы (25.7)
есть поток вектора а через поверхность 5; подынтегральная функция пра-
вой части формулы есть дивергенция вектора а. Следовательно, форму-
лу (25.7) можно записать в виде
(в котором она чаще всего и встречается).
Формула Остроградскога-Гаусса означает, что поток векторного поля
через замкнутую поверхность S (в направлении внешней нормали, т. е.
изнутри) равен тройному интегралу от дивергенции этого поля по объему
V, ограниченному данной поверхностью.
Используя формулу (25.8), можно дать другое определение диверген-
ции векторного поля а(М) в точке М (не связанное с выбором координат-
ных осей).
По теореме о среднем для тройного интеграла (см. п. 8.1) имеем:
где Mq — некоторая (средняя) точка области V. Тогда формулу (25.8)
можно переписать в виде о andS = V • div a(Mo). Отсюда
s
Пусть поверхность 5 стягивается в точку. Тогда V —> 0, Мо -> М, и
мы получаем выражение для div а(М) в точке М:

Дивергенцией векторного поля в точке М называется предел от-
ношения потока поля через (замкнутую) поверхность S, окружающую точ-
ку М, к объему тела, ограниченного этой поверхностью, при условии, что
вся поверхность стягивается в точку М (V —> 0).
Определение (25.9) дивергенции эквивалентно (можно показать) опре-
делению (25.6).
Как видно из определения, дивергенция векторного поля в точке явля-
ется скалярной величиной. Она образует скалярное поле в данном вектор-
ном поле.
Исходя из физического смысла потока (обычно условно считают, что
а(М) есть поле скоростей фиктивного стационарного потока несжимаемой
жидкости), можно сказать, что: при divа(М) > 0 точка М представляет
собой источник, откуда жидкость вытекает; при div а(М) < 0 точка М есть
сток, поглощающий жидкость. Как следует из равенства (25.9), величина
div а(М) характеризует мощность (интенсивность, плотность) источника
или стока в точке М. В этом состоит физический смысл дивергенции.
Понятно, что если в объеме У, ограниченном замкнутой поверхностью
5, нет ни источников, ни стоков, то div a = 0.
Векторное поле, в каждой точке которого дивергенция поля равна ну-
лю, т. е. div а(М) = 0, называется соленоидальным (или трубчатым).
Пример 25.4- Найти дивергенцию поля линейных скоростей V жидко-
сти, вращающейся как твердое тело вокруг неподвижной оси с постоянной
угловой скоростью cJ.
О Решение: Примем ось вращения жидкости за ось Oz. Тогда, как пока-
зано ранее (см. пример 23.2), V = —uyi + ojxj + 0 • к. Имеем:
Рис. 65.
;у;*)
25.4. Циркуляция поля
Пусть векторное поле образовано век-
тором (25.1). Возьмем в этом поле некото-
рую замкнутую кривую L и выберем на ней
определенное направление.
Пусть f = xi + yj + zk — радиус-вектор
точки М на контуре L. Известно, что вектор
dr = dx • г -f dy • j + dz -k направлен по каса-
тельной к кривой в направлении ее обхода
(см. рис. 65) и \dr\ = dl, где dl — дифферен-
циал дуги кривой (dl = y/(dx)2 + (dy)2 + (dz)2).
Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L от скалярного
произведения вектора а на вектор dr, касательный к контуру L, назы-
175
Поле V — соленоидальное.

вается циркуляцией вектора а вдоль L, т. е.
(25.10)
Рассмотрим различные формы записи циркуляции. Так как
а • dr — \dr| • npd-a = aT • dl = Pdx + Qdy + Rdz,
где ат — проекция вектора a на касательную т, проведенную в направле-
нии обхода кривой L, то равенство (25.10) можно записать в виде
(25.11)
(25.12)
Циркуляция С, записанная в виде (25.12) имеет простой физический
смысл: если кривая L расположена в силовом поле, то циркуляция — это
работа силы а(М) поля при перемещении материальной точки вдоль L
(п.10.5).
Отметим, что вдоль замкнутых векторных линий циркуляция отлична
от нуля, потому что в каждой точке векторной линии скалярное произ-
ведение adr сохраняет знак: положительный, если направление вектора а
совпадает с направлением обхода векторной линии; отрицательный — в
противном случае.
Пример 25.5. Найти циркуляцию вектора поля линейных скоростей
вращающегося тела (см. пример 23.2) V = — иоуг + ujxj вдоль замкнутой
кривой L, лежащей в плоскости а, перпендикулярной оси вращения.
О Решение: Будем считать, что направление нормали к плоскости а со-
впадает с направлением оси Oz. Согласно формуле (25.12), имеем:
176
где S — площадь поверхности, ограниченной кривой L (см. 10.17).
Заметим, что если нормаль к поверхности 5 образует угол 7 с осью
Oz, то циркуляция будет равна С = 2ио • S • cos 7; с изменением угла 7
величина С изменяется. •
Пример 25.6. Вычислить циркуляцию векторного поля
вдоль периметра треугольника с вершинами Л(1;0;0), В(0; 1;0), С(0;0; 1)
(см. рис. 66).
или

Рис. 66.
(25.13)
Формулу (25.13) можно записать с помощью символического опреде-
лителя в виде, удобном для запоминания:
Отметим некоторые свойства ротора.
1. Если а — постоянный вектор, то rota = 0.
2. rot(c • а) = с- rot а, где с = const.
3. rot(a + &) = rot a + rot 5, т. е. ротор суммы двух векторов равен сумме
роторов слагаемых.
4. Если U — скалярная функция, аа(М) — векторная, то
177
25.5. Ротор поля. Формула Стокса
Ротором (или вихрем) векторного поля
называется вектор, обозначаемый rot а(М) и определяемый формулой
Эти свойства легко проверить, используя формулу (25.13). Покажем,
например, справедливость свойства 3:
На отрезке С А: х + z = 1, у = 0, следовательно,
На отрезке ВС: у + z = 1, х = 0, следовательно,
На отрезке АВ: х + у = 1, z = 0, следовательно,
Решение: Согласно формуле (25.12), имеем:
Следовательно,

Используя понятия ротора и циркуляции, векторного поля, запишем
известную в математическом анализе (см. п. 12.4) формулу Стокса:
Такое представление формулы Стокса называют ее век-
торной формой. В этой формуле положительное направление
на контуре L и выбор стороны у поверхности 5 согласованы
между собой так же, как в теореме Стокса.
Формула (25.15) показывает, что циркуляция вектора а вдоль замкну-
того контура L равна потоку ротора этого вектора а через поверхность
S, лелсащую в поле вектора а и ограниченную контуром L (натянутую
на контур) (см. рис. 67).
Используя формулу (25.14), можно дать другое определение ротора
поля, эквивалентное первому и не зависящее от выбора координатной си-
стемы.
Для этого применим формулу Стокса (25.15) для достаточно малой
плоской площадки S с контуром L, содержащей точку М.
178
Левая часть формулы (25.14) представляет собой циркуляцию вектора а
по контуру L, т. е. <Ь Pdx + Qdy + Rdz = <b aTdl (см. (25.11)). Интеграл
L L
в правой части формулы (25.14) представляет собой поток вектора rota
через поверхность 5, ограниченную контуром L (см. (25.3)), т. е.
Следовательно, формулу Стокса можно записать в виде

По теореме о среднем для поверхностного интеграла (п. 11.1, свой-
ство 7) имеем:
Рис. 68.
Отсюда:
Пусть контур L стягивается в точку М. Тогда М$
S ->• 0. Перейдя к пределу, получаем:
М, а
Ротором вектора а в точке М называется вектор, проекция ко-
торого на каждое направление равна пределу отношения циркуляции век-
тора а по контуру L плоской площадки 5, перпендикулярной этому на-
правлению, к площади этой площадки.
Как видно из определения, ротор вектора а(М) есть векторная вели-
чина, образующая собственное векторное поле.
Дадим физическое истолкование понятия ротора векторного поля.
Найдем ротор поля линейных скоростей твердого тела, вращающегося во-
круг оси Oz с постоянной угловой скоростью (пример 23.2) О, т. е. ротор
вектора V = —и • у • г + и • х • j.
По определению ротора
Ротор этого поля направлен параллельно оси вращения, его модуль
равен удвоенной угловой скорости вращения.
С точностью до числового множителя ротор поля скоростей V пред-
ставляет собой угловую скорость вращения твердого тела. С этим связано
само название «ротор» (лат. «вращатель»).
Замечание. Из определения (25.13) ротора вытекает, что направление
ротора — это направление, вокруг которого циркуляция имеет наиболь-
шее значение (плотность) по сравнению с циркуляцией вокруг любого на-
правления, не совпадающего с нормалью к площадке S.
Так что связь между ротором и циркуляцией аналогична связи между
градиентом и производной по направлению (см. п. 24.3).
179
где Mq — некоторая (средняя) точка площадки 5 (см. рис. 68).
Тогда формулу (25.15) можно записать в виде

§26. ОПЕРАТОР ГАМИЛЬТОНА
26.1. Векторные дифференциальные операции первого порядка
Основными дифференциальными операциями (действиями) над ска-
лярным полем U и векторным полем а являются gradt/, diva, rota. Дей-
ствия взятия градиента, дивергенции и ротора называются векторными
операциями первого порядка (в них участвуют только первые производ-
ные).
Эти операции удобно записывать с помощью так называемого опера-
тора Гамильтона
Этот символический вектор называют также оператором V (читает-
ся «набла»); он приобретает определенный смысл лишь в комбинации со
скалярными или векторными функциями. Символическое «умножение»
вектора V на скаляр U или вектор а производится по обычным правилам
о о о
векторной алгебры, а «умножение» символов -£-, -£-, -8- на величины [/,
Р, Q, R понимают как взятие соответствующей частной производной от
этих величин.
Применяя оператор Гамильтона, получим дифференциальные опера-
ции первого порядка:
где е = (cos a; cos /?; cos 7) •
26.2. Векторные дифференциальные операции второго порядка
После применения оператора Гамильтона к скалярному или векторно-
му полю получается новое поле, к которому можно снова применить этот
оператор. В результате получаются дифференциальные операции второ-
го порядка. Нетрудно убедиться, что имеется лишь пять дифференциаль-
ных операций второго порядка: divgradf/, rotgradt/, graddiva, divrota,
rot rot a.
180
Оператор Гамильтона применяется для записи и других операций и
для вывода различных формул в теории поля. При действиях с ним надо
пользоваться правилами векторной алгебры и правилами дифференциро-
вания.
В частности, производная по направлению (24.2) может быть записана
в виде й__

181
(Понятно, что операция div div а, например, не имеет смысла: div a —
скаляр, говорить о дивергенции скаляра, т. е. о div div а, бессмысленно.)
Запишем явные выражения для дифференциальных операций второго
порядка, используя оператор Гамильтона. Заметим при этом, что опера-
тор действует только на множитель, расположенный непосредственно за
ОПРПЯТОППМ.
^V,~ V^ V~ - VW V£, V~
Правая часть этого равенства называется оператором Лапласа скалярной
функции U и обозначается AU. Таким образом,
Дифференциальное уравнение Лапласа АС/ = 0 играет важную роль в
различных разделах математической физики. Решениями уравнения Ла-
пласа являются так называемые гармонические функции.
Замечание. К равенству (26.1) можно прийти, введя в рассмотрение
скалярный оператор дельта:
(который тоже называют оператором Лапласа).
2. rot gradt/ = V х (Vt/) = (V х V)[/ = 0, так как векторное произведение
двух одинаковых векторов равно нулю (нуль-вектор). Это означает, что
поле градиента есть поле безвихревое.
3. graddiva =
4. div rot a = V • (V x a) = О, так как смешанное произведение трех
векторов, из которых два одинаковые, равно нулю. Это означает, что поле
вихря — соленоидальное.
5. rot rot a = V х (V х a) = V(V • a) - (V • V)a = graddiva - Да, так
как двойное векторное произведение обладает свойством
ax (b х с) — Ъ'а-с — cab.
Здесь Аа = АР г + AQ j + ARk — векторная величина, полученная в
результате применения оператора Лапласа к вектору а.
§27. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА ОСНОВНЫХ КЛАССОВ
ВЕКТОРНЫХ ПОЛЕЙ
27.1. Соленоидальное поле
Напомним, что векторное поле а называется соленоидальным, если во
всех точках его дивергенция поля равна нулю, т. е. div a = 0.

Примерами соленоидальных полей являются: поле линейных скоро-
стей вращающегося твердого тела (см. пример 25.4); магнитное поле, со-
здаваемое прямолинейным проводником, вдоль которого течет электриче-
ский ток, и другие.
Приведем некоторые свойства соленоидального поля.
1. В соленоидальном поле а поток вектора через любую замкнутую
поверхность равен нулю. Это свойство непосредственно вытекает из фор-
мулы (25.8). Таким образом, соленоидальное поле не имеет источников и
стоков.
2. Соленоидальное поле является полем ротора некоторого векторного
поля, т. е. если div а — О, то существует такое поле Ь, что а = rot b. Вектор
Ъ называется векторным потенциалом поля а.
Любое из свойств 1-2 можно было бы взять в качестве определения
соленоидального поля.
Доказывать свойство 2 не будем. Отметим лишь, что обратное утвер-
ждение — поле ротора векторного поля есть соленоидальное — нами до-
казано (выше мы показали, что div rot a = 0).
3. В соленоидальном поле а поток вектора через поперечное сечение
векторной трубки сохраняет постоянное значение (называемое интенсив-
ностью трубки).
Q Рассмотрим векторную трубку между двумя ее произвольными сечени-
ями S\ и S2) боковую поверхность трубки обозначим через S (см. рис. 69).
Поток вектора через замкнутую поверхность, состоящую из Si, S2 и S,
равен нулю. Следовательно,
Рис. 69.
Так как на боковой поверхности векторной трубки нормаль п перпен-
дикулярна к векторам поля, то ап ds = 0 и, следовательно,
182
где п — внешняя нормаль.

183
Переменив направление нормали на площадке S\, т. е. взяв внутрен-
нюю нормаль щ, получим:
В поле скоростей текущей жидкости полученный результат означает,
что количество жидкости, втекающей в трубку за единицу времени, равно
количеству жидкости, вытекающей из нее.
27.2. Потенциальное поле
Векторное поле а называется потенциальным (или безвихревым, или
градиентным), если во всех точках поля ротор равен нулю, т. е. rota = 0.
Примером потенциального поля является электрическое поле напряжен-
ности точечного заряда (и другие).
Приведем основные свойства потенциального поля.
Свойство 1. Циркуляция потенциального поля а по любому замкну-
тому контуру в этом поле равна нулю.
Q Это непосредственно вытекает из формулы (25.14). Следовательно,
В частности, для силового потенциального поля это означает, что ра-
бота силы по любому замкнутому контуру равна нулю; в поле скоростей
текущей жидкости равенство С = 0 означает, что в потоке нет замкнутых
струек, т. е. нет водоворотов.
Свойство 2. В потенциальном поле а криво-
линейный интеграл / Р dx + Q dy + Rdz вдоль
L
любой кривой L с началом в точке М\ и концом
в точке M<i зависит только от положения точек
М\ и Мъ и не зависит от формы кривой.
Q Это свойство вытекает из свойства 1. Действи-
тельно, взяв в поле две точки М\ и M<z, соединим
их двумя кривыми М\рМ.2 и M\qMz так, чтобы контур M\pM2qM\ лежал
внутри поля (см. рис. 70). Тогда, в силу свойства 1, имеем
Учитывая свойства криволинейного интеграла, получаем:

Свойство 3. Потенциальное поле является полем градиента некоторой
скалярной функции U(x;y;z), т. е. если rota = 0, то существует функция
U(x; у; z) такая, что а — grad U.
Q Из равенства rota = 0 вытекает, что Яр — -J*-, -£*- — Яр, Яр = Яр,
т. е. выражение Pdx + Qdy + Rdz является полным дифференциалом не-
которой функции U = U{x\y;z) (следствие 10.1). Эту функцию называют
потенциалом векторного поля а = Pi + Qj + Rk; dU = Pdx + Qdy + Rdz.
Отсюда: P = Яр, Q = Яр, R = Яр. Следовательно,
184
т. е. вектор поля а является градиентом скалярного поля. ■
Замечание. Из равенства rot grad U = 0 следует обратное утвержде-
ние — поле градиента скалярной функции U = U(x;y;z) является потен-
циальным.
Из равенства а — grad U следует, что потенциальное поле определяет-
ся заданием одной скалярной функции U = U(x-,y;z) — его потенциала.
Потенциал векторного поля может быть найден по формуле
где (#о; 2/о; ^о) — координаты фиксированной точки, (х; у; z) — координаты
произвольной точки. Потенциал определяется с точностью до произволь-
ного постоянного слагаемого (из-за того, что grad(C/ + а) = gradt/).
Произвольное же векторное поле требует задания трех скалярных
функций (P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) — проекции вектора поля на оси
координат).
Замечание. Определение потенциального поля может быть дано ина-
че — векторное поле а называется потенциальным, если оно является
градиентом некоторого скалярного поля, т. е. а = gradt/. (Иногда пишут
а — — gradC/; знак «минус» пишут для удобства, обычно векторные линии
направлены в сторону убывания U: поток жидкости направлен туда, где
давление меньше; теплота перемещается от более нагретого места к менее
нагретому и т. д.)
Пример 27.1. Установить потенциальность поля
и найти его потенциал.

О Решение: Имеем:
Следовательно, поле вектора а потенциальное.
Найдем потенциал U по формуле (27.1), выбирая в качестве фик-
сированной точки начало координат, т. е. хо = у о = zq = 0. Так как
Р{х\ 2/о; *о) = -2х, Q{x; у; z0) = -2y, R(x; у; z) = xy, то
27.3. Гармоническое поле
Векторное поле а называется гармоническим (или лапласовым), если
оно одновременно является потенциальным и соленоидальным, т. е. если
rot a = 0 и div a = 0.
Примером гармонического поля является поле линейных скоростей
стационарного безвихревого потока жидкости при отсутствии в нем ис-
точников и стоков.
Так как поле а потенциально, то его можно записать в виде а = grad C7,
где U = U(x',y\z) — потенциал поля.
Но так как поле одновременно и соленоидальное, то
или, что то же самое,
т. е. потенциальная функция U гармонического поля а является решением
дифференциального уравнения Лапласа. Такая функция называется, как
уже упоминали, гармонической.

Глава VIII. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Лекции 27-32 I
§28. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
28.1. Основные понятия
Пусть даны два множества D и Е, элементами которых являются ком-
плексные числа (см. Часть 1, гл. VI). Числа z — x + iy множества D будем
изображать точками комплексной плоскости z, а числа w = u + iv множе-
ства Е — точками комплексной плоскости w.
Если каждому числу (точке) z Е D по некоторому правилу поставлено
в соответствие определенное число (точка) w Е Е, то говорят, что на мно-
жестве определена однозначная функция комплексного переменно-
го w = f{z), отображающая множество D в множество Е (см. рис. 71).
Если каждому z Е D соответствует несколько значе-
ний w, то функция w = f(z) называется многозначной.
Множество D называется областью определения
функции w = f{z); множество Е\ всех значений w, кото-
рые f(z) принимает на Е, называется областью значе-
ний этой функции (если же каждая точка множества Е
является значением функции, то Е — область значений
функции; в этом случае функция / отображает D на Е).
Далее, как правило, будем рассматривать такие
функции w = f(z), для которых множества D и Е\ являются областями.
Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскос-
ти, обладающих свойствами открытости и связности (см. Часть 1, п. 43.1).
Функцию w = f(z) можно записать в виде
186
т. е.
где
Функцию и(х; у) при этом называют действительной частью функции
/(г), a v(x;y) — мнимой.
Таким образом, задание функции комплексного переменного равно-
сильно заданию двух функций двух действительных переменных.
Пример 28.1. Найти действительную и мнимую части функции w = z2.
О Решение: Функцию w = z2 можно записать в виде и + iv = (х + iy)2,
Отсюда следует:
т. е.

187
28.2. Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой ок-
рестности точки zo, исключая, может быть, саму точку zq. Под 5-окрест-
ностью точки zq комплексной плоскости понимают внутренность круга
радиуса 6 с центром в точке z$.
Число wo называется пределом функции w = f(z) в точке zq (или
при z -» zo), если для любого положительного е найдется такое поло-
жительное число 6, что для всех z ф z$, удовлетворяющих неравенству
\z — zo\ < 8, выполняется неравенство \f(z) — wo\ < е.
Записывают: lim f(z) = wq. Это определение коротко можно записать
так:
Из определения следует, что если предел wo существует, то существу-
ют и пределы
Верно и обратное утверждение.
Теоремы об арифметических свойствах пределов для функции одного
(или нескольких) действительного переменного остаются справедливыми
и для функции комплексного переменного. Так, если функции /i (z) и /2(2)
имеют пределы в точке zq E D, то
где с\, С2 — постоянные;
и
Пусть функция w = f(z) определена в точке z = zq и в некоторой ее
окрестности. Функция w = f(z) называется непрерывной в точке го,
если lim f(z) = f(z0).
z-+zo
Определение непрерывности можно сформулировать и так: функция
f(x) непрерывна в точке zo, если бесконечно малому приращению аргу-
мента соответствует бесконечно малое приращение функции:
Функция f(z) непрерывна в области D, если она непрерывна в каждой
точке этой области.
Модуль непрерывной функции комплексного переменного обладает те-
ми же свойствами, что и непрерывная функция действительного перемен-
ного (см. Часть 1, теорема 43.1).

28.3. Основные элементарные функции комплексного переменного
Определим основные элементарные функции комплексного перемен-
ного z = х + гу.
Показательная функция
выражение ez при z -> оо не имеет смысла.
Положив в равенстве (28.1) х = О, у = tp, получим классическую
формулу Эйлера ег(р = cos ip + i sin (р. С ее помощью, в частности, мож-
но представить тригонометрическую форму комплексного числа z =
= г • (cos (p+i sin ф) в более компактной форме z = г • егч> (= | z | • ег arg z), назы-
ваемой показательной формой комплексного числа (см. Часть 1, п. 27.3)
|/@\| Показательная функция комплексного переменного обладает и специ-
—' фическим свойством: она является периодической с мнимым основным
периодом 27гг.
Q Действительно,
188
Показательная функция w = ez определяется формулой
Положив в этом равенстве у = 0, устанавливаем, что для действитель-
ных значений z — х показательная функция ez совпадает с показательной
функцией действительного переменного: ez = ех.
Показательная функция i/; = ez обладает «известным» свойством:
ezi . е22 _ e^i+2;2 Действительно, по правилу умножения комплексных
чисел («модули перемножаются, а аргументы складываются», Часть 1,
п. 28.3), имеем:
Аналогично можно убедиться в справедливости свойств: eZl : е22 = eZl Z2,
(ez)n = enz (n e N).
Учитывая, что \ez\ = ex, a ex ф 0, утверждаем, что показательная
функция ez нигде в нуль не обращается, т. е. ez ф 0.
Исходя из определения (28.1), легко убедиться, что
т. е. е2+27гг = ez. Отметим, что ez не всегда больше нуля. Например,
е™ = -1<0. ■
Логарифмическая функция
Эта функция определяется как функция, обратная показательной: чи-
сло w называется логарифмом числа z ф 0, если ew = z, обозначается
w = Lnz. Так как значения показательной функции ew = z всегда отлич-
ны от нуля, то логарифмическая функция w = Lnz определена на всей

плоскости z, кроме точки z — О (стало быть, имеет смысл и выражение
Ln(-2)).
Положив z — г - el(pjW = и + iv, получим, согласно определению лога-
рифмической функции, euJrlv = г • ег</?, или еи • егу = г • ег(р. Отсюда имеем:
1^1 Пример 28.2. Вычислить Ln(—1) и ln(-l); 1п2г.
О Решение: Для числа z = — 1 имеем \z\ = l,argz = 7Г. Следовательно,
Ln(-l) = lnl + г(тг + 2for) = iir(2k + 1), ln(-l) = тгг (формулы (28.2)
и (28.3)); 1п2г = ln |2г| + zarg2z = In2 + г|. •
Степенная функция w = zn
Если п — натуральное число, то степенная функция определяется
равенством w — zn — rn (cos тыр + г sinnc/?). Функция ги = гп — однозначная.
189
Следовательно,
т.е. Ln2=ln |z|+z(arg2:+2A;7r) или, Lnz=\n\z\+i Argz, где Arg2=argz+2A;7r.
Формула (28.2) показывает, что логарифмическая функция ком-
плексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т. е.
w — Ln z — многозначная функция.
Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в фор-
мулу (28.2) определенное значение к. Положив к = 0, получим однознач-
ную функцию, которую называют главным значением логарифма Ln г и
обозначают символом In z:
Если z — действительное положительное число, то argz = 0 и \nz = In \z\,
т. е. главное значение логарифма действительного положительного числа
совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.
Формулу (28.2) можно переписать так: Lnz = lnz + 2km.
Из формулы (28.2) следует, что логарифмическая функция w = Ln z
обладает известными свойствами логарифма действительного переменно-
го:
Q Докажем, например, первое свойство:

Функция w = zQ — многозначная.
Степенная функция w = za с произвольным комплексным показате-
лем а = a + i(3 определяется равенством
Функция w = za определена для всех z ф 0, является многозначной функ-
цией. Так, i* = eiLni = егг(1+27Г^ = e"f-27rfc5 Где к = о,±1,±2,... При
_ 7Г
к = 0 имеем: il = е 2 .
Тригонометрические функции
Тригонометрические функции комплексного аргумента z = x+iy опре-
деляются равенствами
exz-e~lz elz+e~lz sin г cos z
smz = , cos2 = , tgz = , ctg2=-—.
2г 2 cos г sinz
При действительных z эти определения приводят к тригонометрическим
функциям действительного переменного. Так, при z = х (у = 0)
е%х _ e-ix ^ 1
sinz = — = — (cosx + isinx - (cosx — isinx)) = —-2i sinx = sinx.
2% 2% 2%
Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют
многие свойства тригонометрических функций действительного перемен-
ного. В частности,
sin2 z + cos2 z — 1,
sin 22 = 2 sin z cos 2,
cos(zi + Z2) = cos 21 cos 2:2 — sin z\ sin 22,
sin(2 + 27r) = sin 2,
COS(-2) = COS 2,
sin(—2) = —sin 2,
tg(2 + 7Г) = tg2,
7Г
cos 2 = 0 при 2 = — + ктг (к = 0, ±1, ±2,...),
190
Если п = - (q G N), то в этом случае
I
Здесь функция w = zq есть многозначная (g-значная) функция. Однознач-
ную ветвь этой функции можно получить, придав к определенное значе-
ние, например к = 0.
Если п = ^, где р, q £ N, то степенная функция определяется равен-
ством

и т.д. Докажем, например, первое свойство:
Отметим, что тригонометрические функции sin z и cos г в комплекс-
ной плоскости z неограничены: lim sin z — ос, lim cos г = oo. Так,
Im2->±oo Imz—>±oo
например, cos г = е + е— « 1,54 > 1, cos3i > 10.
Гиперболические функции
Эти функции определяются равенствами
191
Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрически-
ми функциями. Заменяя в указанных функциях z на, iz, получим:
(а также tgiz = itgz, ctgiz = —ictgz).
Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связыва-
ющих гиперболические функции. Так, заменяя в формуле sin2 2+cos2 z — \
тригонометрические функции гиперболическими, получим
или — sh iz + ch iz = 1. Так как здесь z — любое комплексное число, то
iz можно заменить на z\ получим формулу ch2 z — sh2 z — 1. Приведем еще
ряд формул:
и т.д.
Из определения гиперболических функций следует, что функции sh z
и chz периодические с периодом 27гг; функции th^ и cthz имеют период
7гг.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции
Число w называется арксинусом числа z, если sinu; = z, и обознача-
ется w — Arcsinz.
iw _ -iw
Используя определение синуса, имеем z = smw = тр , или
e2iw - 2izeiw -1 = 0. Отсюда eiw = iz + y/(iz)2 + 1, т. е. eiw = iz + \/l - z2
(перед корнем можно не писать знак ±, так как л/1 — г2 имеет два зна-
чения). Тогда iw = Ln(iz + %/l — z2\ или к; = К Ln(iz + \/1 - z2). Таким
образом, ,
если он существует, называется производной функции f(z) в точке z,
а функция f(z) называется дифференцируемой в точке z.
Подчеркнем, что в равенстве (28.4) Az любым образом
стремится к нулю, т. е. точка z + Az может приближаться
к точке z по любому из бесконечного множества различ-
ных направлений (см. рис. 72) (в аналогичной ситуации
для функции одного действительного переменного точка
х 4- Ах приближается к точке х лишь по двум направле-
ниям: слева и справа). Рис. 72.
192
Функция w = Arcsinz многозначна (бесконечнозначна). Аналогично опре-
деляются другие обратные тригонометрические функции. Можно пока-
зать, что
Функции, обратные гиперболическим, обозначаются соответственно
w = Arshz (ареасинус), w = Archz (ареакосинус), w — Arthz (ареатан-
генс), w = Aretha (ареакотангенс).
Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:
Все эти функции бесконечнозначны.
28.4. Дифференцирование функции комплексного переменного.
Условия Эйлера-Даламбера
Пусть однозначная функция w = f(z) определена в некоторой окрест-
ности точки z, включая и саму точку. Тогда предел

Из дифференцируемости функции f(z) в некоторой точке z следует ее
непрерывность в этой точке (отношение ^^ при Az —> 0 может стремить-
ся к конечному пределу f'{z) лишь при условии, что и Aw —> 0). Обратное
утверждение не имеет места.
При каких условиях функция w = f(z) будет дифференцируемой в
данной точке?
Равенства (28.5) называются условиями
Эйлера-Даламбера (или условиями Коши-Ри-
мапа).
□ Необходимость
Пусть функция f(z) дифференцируема в
точке г, тогда предел (28.4) существует и не за-
висит от пути, по которому Az — Ax + iAy —> 0.
Можно считать, что точка z + Az приближает-
ся к точке z по прямой, параллельной действи-
тельной оси (оси Ох), т. е. Az = Ах —> 0, Ау — 0
(рис. 73). Тогда
Рис. 73.
Если же точка z+Az приближается к точке z по прямой, параллельной
мнимой оси (оси Оу), то Az = г Ay —> 0, Дх = 0. В этом случае
.193
Теорема 28.1. Если функция w = u(x;y) + iv(x-,y) определена в некоторой окрест-
ности точки z = х + iy, причем в этой точке действительные функции и(х;у) и
v(x;y) дифференцируемы, то для дифференцируемости функции w = f(z) в точке
z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке выполнялись равенства
Сравнив найденные пределы, получим
Отсюда следует:

Правила дифференцирования функций действительного переменного
справедливы и для функций комплексного переменного, дифференцируе-
мых в точке z. Это означает, что если fi(z) и /2(2) дифференцируемы в
некоторой точке z комплексной плоскости, то верно следующее:
а аз — бесконечно малая высшего порядка относительно \Az\. Отсюда
следует, что lim ^М^ = f'(z) существует. При этом f'(z) = Ф^ +ijp-- И
Дг —>0 l^Z ОХ ОХ
С учетом условий Эйлера-Даламбера (28.5) производную дифферен-
цируемой функции f(z) можно находить по формулам
Заменяя в числителе правой части
виям (28.5), получаем:
, согласно усло-
Достаточность
Пусть теперь условия (28.5) выполняются. Докажем, что функция f(z)
дифференцируема.
Так как функции и(х\ у) и v(x\ у) дифференцируемы в точке z — хЛ-гу^
то их полные приращения можно представить (см. Часть 1, (44.4)) в виде
Аи = Ф^Ах + Ф±Ау + аь Av = ||Дя + |^A$/ + а2, гДе «1 и а2 -
бесконечно малые более высокого порядка, чем \Az\ = у/(Ах)2 + (Ау)2.
Тогда

4. Если cp(z) дифференцируема в точке 2, a f(w) дифференцируема в
точке w = <p(z), то (f((p(z)))' = /£(<р) • (p'z(z).
5. Если в некоторой точке z функция f(z) дифференцируема и су-
ществует функция f~1(w), дифференцируемая в точке w = f(z), причем
(/_1(w))' ф О, то f'(z) = , ,, где f~l(w) — функция, обратная
(/ И)
функции f(z).
Приведем без доказательства теорему о дифференцируемости
основных элементарных функций комплексного переменного:
функции w = ez, w = sin2, w = cosz, w = shz, w = chz, w = zn
(n G N) дифференцируемы в любой точке комплексной плоскости; функ-
ции w = tgznw = thz также дифференцируемы в любой точке плоскости,
кроме точек z = ^-\-7rknz= (S + 2nk j • i (k = О, ±1, ±2,...) соответ-
ственно; для функций w = Ln z, w = za в окрестности каждой точки z ф О
можно выделить однозначную ветвь, которая является дифференцируе-
мой в точке z функцией.
28.5. Аналитическая функция. Дифференциал
Фундаментальным понятием в теории функций комплексного перемен-
ного является понятие аналитической функции.
Однозначная функция f(z) называется аналитической (голоморф-
ной) в точке z, если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-
Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция f(z) называет-
ся аналитической в области Z), если она дифференцируема в каждой
точке z € D.
Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не
совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (пер-
вое условие — более сильное).
Точки плоскости z, в которых однозначная функция f(z) аналитич-
на, называются правильными точками f(z). Точки, в которых функ-
ция /(г) не является аналитической, называются особыми точками этой
функции.
Пусть функция w = f(z) аналитична в точке z. Тогда lim ^^■=f,(z).
Az->0 LXZ
Отсюда следует, что Ф^- = f'(z) + а, где а -» О при Az -> 0. Тогда
приращение функции можно записать так: Aw = f'{z)Az + aAz. Если
f'{z) Ф 0, то первое слагаемое f'(z)Az является при Az -> 0 бесконечно
малой того же порядка, что и Az; второе слагаемое aAz есть бесконечно
малая более высокого порядка, чем Az. Следовательно, первое слагаемое
составляет главную часть приращения функции w = f(z).
Дифференциалом dw аналитической функции w — f(z) в точке z на-
зывается главная часть ее приращения, т. е. dw=f'(z)Az, или dw=f'(z)dz
(так как при w = z будет dz=zfAz=Az). Отсюда следует, что f'(z) = ^-,
195

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к
дифференциалу независимого переменного.
Замечание. Если функция f(z) = и(х;у) + iv(x;y) аналитична в неко-
торой области D, то функции и(х; у) и v(x; у) удовлетворяют дифферен-
циальному уравнению Лапласа (тгт + тгт — 0> См- П- 26.2).
ох оу
Q Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбе-
ра по у, а второе по х, получаем:
откуда !% + £«=0. ■
ох оу
Функции и(х; у) и v(x; у) являются гармоническими функциями.
Пример 28.3. Проверить, является ли функция w — z2 аналитической.
Найти ее производную.
О Решение: Находим действительную Re w = и и мнимую Im w = v части
функции: 0 0
Пример 28.4- Найти аналитическую функцию w = u+iv no ее заданной
действительной части и = х3 — Зху2 + 2.
О Решение: Отметим, что функция и является гармонической функцией
(ихх — Ьх, и'уу = -6я, следовательно, и"х + и'у'у = 0).
196
Таким образом, и = х2 — у2, v = 2ху. Проверяем условия Эйлера-Далам-
бера (28.5):
Условия (28.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости z.
Функция w = z2 дифференцируема, следовательно, аналитична во всех
точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (28.6),
например по первой:
т. е. (z2Y = 2г.
Заметим, что производную функции w = z2 можно найти, воспользо-
вавшись определением производной (28.4):

Для определения мнимой части v воспользуемся условиями Эйлера-
Даламбера (28.5). Так как Ф± = (х3 - Зху2 + 2)'х = Зх2 - Зу2, то, согласно
первому условию, §р = Зх2 — Зу2. Отсюда, интегрируя по ?/, находим:
Рис. 74.
По определению производной f'(zo) = lim ^г^. Отсюда следует, что
\!'^\ = I &0 ^1 = Д^О 14?! = A, ^ ВбЛИЧИНа ^ = I* " *"
представляет собой расстояние между точками zq и zq + Дг, а |Дги| — рас-
стояние между точками wq и гио + Дги. Следовательно, l/'^o)! есть предел
197
Для определения функции (р(х) воспользуемся вторым условием Эйлера-
Даламбера. Так как
то -бху = -(бху + ip (х)). Отсюда (р (х) = 0 и (р(х) = С, где С = const.
Поэтому v = Зх2у — у3 + С. Находим функцию w = u + iv:
28.6. Геометрический смысл модуля и аргумента производной.
Понятие о конформном отображении
Пусть функция w = f(z) аналитична в точке Zq и f'(zo) ф 0. Выясним
геометрический смысл аргумента и модуля производной.
Функция w = f(z) отображает точку zq плоскости z в точку wq = f(zo)
плоскости w.
Пусть произвольная точка z = zq H- Az из окрестности точки z$ переме-
щается к точке zq по некоторой непрерывной кривой /. Тогда в плоскости
w соответствующая точка w = w$ + Aw будет перемещаться к точке и>о
по некоторой кривой L, являющейся отображением кривой / в плоскости
w (рис. 74).

отношения бесконечно малого расстояния между отображенными точками
wo и wo+Aw к бесконечно малому расстоянию между точками го и zq+Az.
Этот предел не зависит (f(z) аналитична в точке го) от выбора кривой /,
проходящей через точку zq. Следовательно, предел lim \А } = \f'(zo)\ в
точке zq постоянен, т. е. одинаков во всех направлениях.
Отсюда вытекает геометрический смысл модуля производной: вели-
чина l/'^o)! определяет коэффициент растяжения (подобия) в точке го
при отображении w = /(г). Величину l/'^o)! называют коэффициен-
том растяжения, если \f'{zo)\ > 1? или коэффициентом сэюатия,
если |/'(г0)| < 1.
Пример 28.5. Найти коэффициент растяжения (сжатия) для функции
w = 7}Z2 в точке 2о = 3 — 4г.
Q Решение: Функция w = А г2 аналитична в точке го = 3 - 4г, при этом
w' = z. Следовательно, |/'(го)| — \zo\ = |3 — 4г| = 5 > 1. Коэффициент
растяжения для функции w = А г2 в точке го равен 5 (плоскость растяги-
вается) . •
Для аргумента производной в точке zq имеем:
198
где а\ и с*2 — углы, которые образуют касательные к кривым I и L соот-
ветственно в точках го, и wq с положительными направлениями действи-
тельных осей на плоскостях z и w (см. рис. 74).
Отсюда а2 = ai + arg/'^o). Это означает, что aigf'(zo) — это угол,
на который нужно повернуть касательную к кривой I в точке zq для того,
чтобы получить направление касательной к кривой L в точке Wq. Другими
словами, arg/'^o) — это угол между отображенным и первоначальным
направлениями касательных к кривым I и L в точках zq и wq соответ-
ственно. В этом состоит геометрический смысл аргумента производной
arg/'Ы-
В силу аналитичности функции f(z) в точке zo (мы предположили, что
f(zo) ф 0) угол arg f'(zo) один и тот же для всех кривых, проходящих через
точку zq. Для другой пары кривых 1\ и L\ в тех же точках го и wq будем
иметь arg/'(го) = с*2 — &[ ={Р- Таким образом, arg/'(zo) = a2 — ol\ =a2 — &[,
т. е. если кривые / и 1\ образуют в точке го на плоскости z угол <^=arg /'(го),
то такой же угол ip = arg/'(го) будут образовывать в точке w$ кривые L и
L\, являющиеся отображениями кривых / и 1\ на плоскости w (см. рис. 75).
Это свойство отображения w — f(z) называется свойством сохранения
(консерватизма) углов в точке го-
Отображение w = /(г), обладающее свойством сохранения углов и по-
стоянством растяжений в точке го, называется конформным (т. е. ото-

о
Рис. 75.
бражением, сохраняющим форму). Если при этом сохраняется и напра-
вление отсчета углов, то такое отображение называется конформным
отображением 1-го рода; если направление отсчета углов изменяется
на противоположное — конформным отображением 2-го рода.
Таким образом, если функция f(z) является аналитической в неко-
торой точке zq комплексной плоскости г и в этой точке ее производная
отлична от нуля, то отображение w = f(z) конформно в этой точке.
Отображение w = f(z) называется конформным в области D, если оно
конформно в каждой точке этой области.
Справедливо следующее утверждение: если функция w = f(z) анали-
тична в области D, причем во всех точках области f'(z) ф О, то отобра-
жение конформно в D; если отображение w = f(z) конформно в области
Z), то функция w = f(z) аналитична в D и во всех точках этой области
/'(*) Ф о-
Пример 28.6. Выяснить геометрическую картину отображения, осу-
ществляемого функцией w — 2z.
О Решение: Отображение w — 2z конформно во всех точках плоскости z,
т.к. w' = 2ф0.
Коэффициент растяжения в любой точке плоскости z равен 2. Так
как argw/ = arg2 = 0, то направление при отображении не меняется.
Таким образом, отображение w — 2z есть преобразование гомотетии с
центром в нулевой точке (w — 0 при z — 0) и коэффициентом гомотетии,
равным 2. •
§29. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
29.1. Определение, свойства и правила вычисления интеграла
Пусть в каждой точке некоторой гладкой кривой L с началом в точке
zq и концом в точке Z определена непрерывная функция f(z).
Разобьем кривую L на п частей (элементарных дуг) в направлении от
zq к z точками z\, z^,..., zn-\ (см. рис. 76).
199

В каждой «элементарной дуге»
Zk-\Zk (к — 1> 2,..., п) выберем про-
извольную точку Ск и составим ин-
п
тегральную сумму £ f(Ck)Azk, где
k=i
Azk — Zk - Zk-1-
Предел такой интегральной сум-
мы при стремлении к нулю длины
наибольшей из элементарных дуг,
если он существует, называется ин-
тегралом от функции f(z) no кри-
вой (по контуру) L и обозначается
Рис. 76.
символом
Таким образом,
/
(29.1)
Обе суммы, находящиеся в правой части последнего равенства, явля-
ются интегральными суммами для соответствующих криволинейных ин-
тегралов (см. п. 10.1).
При сделанных предположениях о кривой L и функции f(z) пределы
этих сумм существуют. Поэтому после перехода к пределу (в последнем
равенстве) при тах|Д2д;| —> 0 получим:
(29.2)
Формула (29.2) показывает, что вычисление интеграла от функции
комплексного переменного сводится к вычислению криволинейных инте-
гралов от действительных функций действительных переменных.
200
Поэтому
Покажем, что если L — гладкая кривая, a f(z) — непрерывная и
однозначная функция, то интеграл (29.1) существует.
Действительно, пусть f(z) = и(х; у) + iv{x\ у), z = х + iy, С* = Xk + гук-
Тогда

по всему пути L равен сумме интегралов по его частям L\ и L2-
6. Оценка модуля интеграла. Если \f(z)\ ^ M во всех точках кривой
L, то / f(z) dz\ ^ М/, где / — длина кривой L.
//(*)
201
грирования интеграл изменяет свой знак на противоположный (в других
обозначениях кривой: / = — / ).
) dz, a — комплексное число.
) dz, т. е. при перемене направления пути инте-
Приведем основные свойства интеграла от функции комплексного пе-
ременного.
Q Действительно, считая z(t) непрерывной и дифференцируемой функ-
цией, получаем
Если х = x(t),y = y(t), где t\ ^ t ^ t^ — параметрические уравнения
кривой L, то z = z(t) = x(t)+iy(t) называют комплексным параметри-
ческим уравнением кривой L; формула (29.3) преобразуется в формулу
Формулу (29.2) можно записать в удобном для запоминания виде:

29.2. Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл.
Формула Ньютона-Лейбница
Теорема 29.1 (Коши). Если функция f(z) аналитична в односвязной области D,
то интеграл от этой функции по любому замкнутому контуру L, лежащему в области
D, равен нулю, т. е. <i> f(z)dz — 0.
L
В силу аналитичности f(z) — и + iv и непрерывности f'(z) в односвязной
области D, функции и — и(х;у) и v = v(x;y) непрерывны и дифферен-
202
Используя формулу (29.4), имеем (z — cos£ + zsin£):
Q Докажем теорему, предполагая непрерывность производной f'(z) (это
упрощает доказательство). По формуле (29.2) имеем:
где Yl \^zk\ — длина ломаной z$z\Z2 ... zn, вписанной в кривую L. Ш
к=1
Все приведенные свойства интеграла функции комплексного перемен-
ного непосредственно вытекают из его определения (29.1) и представле-
ния (29.2).
Пример 29.1. Вычислить I = / Im zdz, где L — полуокружность
О Решение: Используя формулу (29.3), имеем:
Действительно,

Теорема Коши допускает распространение на случай многосвязной
области.
Рассмотрим для определенности трехсвязную область D, ограничен-
ную внешним контуром L и внутренними контурами L\ и L2. Выберем
положительное направление обхода контуров: при обходе область D оста-
ется слева (см. рис. 78).
Пусть функция f(z) аналитична в области D и на контурах L, L\ и
Z/2 (т. е. в замкнутой области D; функция называется аналитической в
замкнутой области D, если она аналитична в некоторой области, содер-
жащей внутри себя область D и ее границу L).
Проведя два разреза (две дуги) 71 и 72 области D (см. рис. 78), получим
новую односвязную область D\, ограниченную замкнутым ориентирован-
ным контуром Г, состоящим из контуров L, Li, L2 и разрезов 71 и 72:
Г = L 4- 7i" + L\ + 72" + ^2 + 72~ + Ъ - По теореме Коши для односвязной
области ф f(z)dz = О, но
Рис. 79.
203
т. к. каждый из разрезов (дуг) 7i и 72 при интегриро-
вании проходится дважды в противоположных на-
правлениях. Поэтому получаем:
т. е. интеграл от аналитической в замкнутой многосвязной области D
функции f(z) по границе области jD, проходимой в положительном на-
правлении, равен нулю.
Замечание. Изменив направление обхода внутренних контуров L\ и
Z/2, будем иметь ф f(z)dz = ф f(z)dz + ф f(z)dz, где все контуры (L,
L\ и L2) обходятся в одном направлении: против часовой стрел-
ки (или по часовой стрелке). В частности, если f(z) аналитична
в двусвязной области, ограниченной контурами L и / и на са-
мих этих контурах (см. рис. 79), то ф f(z)dz = ф f(z)dz, т. е.
l i
«интеграл от функции f(z) по внешнему контуру L равен инте-
гралу от функции f(z) по внутреннему контуру /» (контуры L
и I обходят в одном направлении).
цируемы в этой области и удовлетворяют условиям Эйлера-Даламбера:
<% d(—v) Bv 811 r^
т^ = —^—L и Tj^ = %i£. Эти условия означают равенство нулю инте-
гралов ф udx — vdy и ф vdx + udy (см. теорему 10.3). Следовательно,

Следствие 29.1. Если f(z) — аналитическая функция в односвязной области D,
то интеграл от нее не зависит от формы пути интегрирования, а зависит лишь от
начальной точки zq и конечной точки z пути интегрирования.
Пусть функция F(z) = f(z) dz есть первообразная функция для
20
2
f(z). Следовательно, / f(z)dz = F(z) + С. Положив здесь z = zo, no-
20
лучим 0 = F(zo) + С (контур замкнется, интеграл равен нулю). Отсюда
204
Функция F(z) называется первообразной для функции f{z) в обла-
сти D, если F'(z) = f(z).
Можно показать, что если F(z) есть некоторая первообразная для
/(г), то совокупность всех первообразных f(z) определяется формулой
F(z) + С, где С — const.
Совокупность всех первообразных функций f(z) называется неоп-
ределенным интегралом от функции f(z) и обозначается символом
J f(z)dz, т. е.
^0 -
функцией от 2. Обозначим эту функцию через F(z): F(z) = / f(z)dz.
ZQ
Можно доказать, что если функция f(z) аналитична в односвязной обла-
сти D, то функция F(z) также аналитична в D, причем
В таких случаях, когда интеграл зависит только от на-
чальной точки и конечной точки пути интегрирования, поль-
г
зуются обозначением / f(z) dz — \ f(z) dz. Если здесь за-
фиксировать точку zq, а точку z изменять, то f(z)dz будет
Q Действительно, пусть L\ и L^ — две кривые в области D, соединяющие
ТОЧКИ Zq И Z (рИС. 80).
По теореме Коши I f{z)dz = О, т. е. Г f(z) dz+ f f(z) dz = О,

С = -F(zo), а значит,
Полученная формула называется формулой Ньютона-Лейбница.
Интегралы от элементарных функций комплексного переменного в
области их аналитичности вычисляются с помощью тех же формул и ме-
тодов, что и в действительном анализе.
т.д.
Пример 29.2. Вычислить интегралы: a) <b
L
б) Ф (z - zo)ndz (n ф — 1), где L есть окружность ради-
L
уса R с центром в точке 2о, обходимая против часовой
стрелки (см. рис. 81).
О Решение: а) Теорема Коши неприменима, т.к. функ- рис gj
ция —-— не аналитична в точке zq. Параметрические
Z — Zq
уравнения окружности L есть x=xo+Rcost, y=yo+Rsint, где 0^£^27г.
Следовательно,
z = x+iy = xo+Rcost+iyo+iRsint = (xo+iyo)+R(cost+isint) = zo+R-elt.
Таким образом, мы получили, что комплексно-параметрическое уравне-
ние данной окружности есть z = zq + R • elt, 0 ^ t ^ 27Г. Поэтому по
формуле (29.4) получим:
Итак,
205
б) При п ф — 1 имеем:

29.3. Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Теорема 29.2. Пусть функция f(z) аналитична в замкнутой односвязной области
D и L — граница области D. Тогда имеет место формула
(29.5)
где zq € D — любая точка внутри области D, а интегрирование по контуру L
производится в положительном направлении (т. е. против часовой стрелки).
Интеграл, находящийся в правой части равенства (29.5), называется
интегралом Коши, а сама эта формула называется интегральной
формулой Коши.
Формула Коши (29.5) является одной из важнейших в теории функций
комплексного переменного. Она позволяет находить значения аналитиче-
ской функции f(z) в любой точке zo, лежащей внутри области D через ее
значения на границе этой области.
Q Построим окружность /г с центром в точке zq, взяв радиус г столь ма-
лым, чтобы данная окружность была расположена внутри области (чтобы
/г не пересекала L).
Получим двусвязную область D\ (заштрихованную на
рис. 82), ограниченную контурами L и /г, в которой функция
J v ' аналитична.
z - z0
Тогда, согласно замечанию к теореме Коши (с. 203), имеем:
Рис. 82.
(29.6)
206
2iri (см. пример 29.2). Следовательно,

Оценим разность в левой части равенства (29.6). Так как аналитическая
функция f(z) непрерывна в точке zq € D, то для любого числа е > О
найдется число г > 0 такое, что при \z — zo\ ^ г (на окружности 1Г имеем
\z — zo\ — т) справедливо неравенство \f(z) — f(z0)\ < е.
Применяя свойство 6 об оценке модуля интеграла (п. 29.1), имеем:
откуда следует формула (29.5). В
Отметим, что интегральная формула Коши (29.5) справедлива и для
многосвязной области: каждый из контуров обходится так, чтобы область
D оставалась слева.
Применяя интегральную формулу Коши, можно доказать следующие
теоремы-следствия.
Теорема 29.3. Для всякой дифференцируемой в точке zq функции f(z) существуют
производные всех порядков, причем п-я производная имеет вид:
Теорема 29.4. В окрестности каждой точки zq, где существует производная f'(zo),
функция f(z) может быть представлена сходящимся рядом:
Таким образом, производная аналитической функции такэюе
является аналитической функцией.
Напомним, что из дифференцируемости действительной функции не
следует даже существования второй производной (функция у — у/х имеет
производную в точке х = 0, а производная этой функции ^ 3/— при х — О
не существует). ^х
207
Так как е может быть выбран сколь угодно малым, а левая часть послед-
него неравенства не зависит от е, то она равна нулю:

Ряд (29.8) называется рядом Тейлора функции f(z) в точке zq.
Ряд Тейлора дифференцируемой в точке zq функции существует и
сходится к самой функции. Ряд же Тейлора для действительной функции
f(x) может сходиться к другой функции или быть расходящимся.
Замечание. Формула п-й производной функции f(z) может быть полу-
чена из формулы Коши
(29.9)
(в формуле (29.5) заменено z на £, zq на z) путем последовательного диф-
ференцирования равенства (29.9) по z:
(29.10)
Формулы (29.5) и (29.7) можно использовать для вычисления интегра-
лов по замкнутым контурам.
Пример 29.3. Вычислить d> 2 , где a) L — окружность \z\ = 1, б)
L
L — окружность \z — i\ — 2.
О Решение: а) функция f(z) = % л является аналитической в области
\z\ ^ 1. В силу теоремы Коши имеем <Ь 2 л — О-
б) На рисунке 83 представлена область, ограниченная кон-
туром интегрирования.
В этой области \z — г\ ^ 2 находится точка z = 2г, в кото-
рой знаменатель подынтегральной функции равен нулю. Пере-
Рис. 83.
области. Применяя интегральную формулу Коши (29.5), нахо-
дим:
Пример 29.4- Вычислить I ^^§^dг.
О Решение: Внутри круга и на его границе \z\ = 1 функция f{z) = cosz
аналитична. Поэтому, в силу формулы (29.7), имеем
208
пишем интеграл в виде
Функция f(z) — —-Цр является аналитической в данной

§30. РЯДЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ
30.1. Числовые ряды
Ряд ™
Теорема 30.1 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд (30.1) схо-
дится, то его общий член ип при п —> оо стремится к нулю: lim un = 0.
п—юо
209
членами которого являются комплексные числа, называется числовым
рядом (в комплексной области). Ряд (30.1) с комплексными членами
ип = ап + ibn можно записать в виде
где ап и Ьп (п = 1,2,3,...) — действительные числа.
ряда (30.1) называется n-й частичной суммой ряда.
Если существует конечный предел S последовательности частичных
п п
сумм Sn ряда: S = lim Sn = lim ^ a* + г lim V 6jk, то ряд (30.1) на-
п—юо п—юо ^=1 п—юо ^=1
зывается сжо^лгцгллссл, a S — суммой ряда; если lim эп не существует, то
п—юо
ряд (30.1) называется расходящимся.
Очевидно, что ряд (30.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится
каждый из рядов
первых п членов
и
К—1
При этом 5 = Si + г5г, где S\ — сумма ряда (30.2), а 5г — сумма ря-
да (30.3). Это означает, что исследование сходимости ряда с комплексны-
ми членами сводится к исследованию сходимости рядов (30.2) и (30.3) с
действительными членами.
В теории рядов с комплексными членами основные определения, мно-
гие теоремы и их доказательства аналогичны соответствующим определе-
ниям и теоремам из теории рядов с действительными членами.
Приведем некоторые из них.
Остатком ряда (30.1) называется разность

Ряд (30.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
Теорема 30.2. Если сходится ряд (30.4), то абсолютно сходится ряд (30.1).
Q По условию ряд с общим членом |un| = у/а^ + 6^ сходится. Тогда в
силу очевидных неравенств \ап\ ^ \/а>п + ^п и IM ^ у/ап + ^п и на осн°-
оо оо
вании признака сравнения (теорема 14.1) сходятся ряды JZ 1ап| и 5Z |&п|-
п=1 п=1
Отсюда следует сходимость рядов (30.2) и (30.3), а значит, и абсолютная
сходимость ряда (30.1). В
Если ряд абсолютно сходится и имеет сумму 5, то ряд, полученный
из него перестановкой членов, также сходится и имеет ту же сумму 5, что
и исходный ряд.
Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать и перемно-
жать.
При исследовании на сходимость рядов с комплексными членами при-
менимы все известные из действительного анализа признаки сходимости
знакопостоянных рядов, в частности признак Даламбера: если существует
lim n+1 = /, то при / < 1 ряд (30.4) абсолютно сходится, а при / > 1 —
п—юс I Un |
расходится.
30.2. Степенные ряды
Степенным, рядом в комплексной области называют ряд вида
210
где сп — комплексные числа (коэффициенты ряда), z = х + iy — ком-
плексная переменная.
Рассматривают также и степенной ряд вида
который называют рядом по степеням разности z — z$, zq — комплексное
число. Подстановкой z — zq = t ряд (30.6) сводится к ряду (30.5).
Ряд (30.5) при одних значениях аргумента z может сходиться, при
других — расходиться.
Совокупность всех значений z, при которых ряд (30.5) сходится, назы-
вается областью сходимости этого ряда.
Основной теоремой теории степенных рядов является теорема Абеля,
устанавливающая область сходимости степенного ряда.

Теорема 30.3 (Абель). Если степенной ряд (30.5) сходится при z = zq ф 0 (в точке
zo), то он абсолютно сходится при всех значениях z, удовлетворяющих условию
\z\ < \zo\.
Доказательство теоремы аналогично доказательству теоремы Абеля в
действительном анализе (теорема 17.1).
Следствие 30.1. Если ряд (30.5) расходится при z = zo, то он расходится при
всех значениях z, удовлетворяющих условию \z\ > \zo\ (т. е. вне круга радиуса \zo\ с
центром в начале координат).
Из теоремы Абеля следует существование числа R = \zo\ такого, что
при всех значениях z, удовлетворяющих неравенству \z\ < R, степенной
ряд (30.5) абсолютно сходится. Неравенству \z\ < R удовлетворяют точки
комплексной области, лежащие внутри круга радиуса R с центром в точке
2=0.
Величина R называется радиусом сходимости ряда (30.5), а круг
\z0\ < R — кругом сходимости ряда. В круге \zo\ < R ряд (30.5) схо-
дится, вне этого круга — расходится; на окружности \zo\ = R могут рас-
полагаться как точки сходимости, так и точки расходимости ряда.
Принято считать, что R = 0, когда ряд (30.5) сходится в одной точке
z = 0; R = оо, когда ряд сходится на всей комплексной плоскости. Кругом
сходимости ряда (30.6) является круг \z — z§\ < R с центром в точке z = z$.
Радиус сходимости ряда (30.5) можно вычислить по формуле
R = lim Cfl (или R = . ), получаемой после применения
n->oo|Cn+il lim y|cn|
п—юо
признака Даламбера (или Коши) к ряду из модулей его членов исходного
ряда.
Приведем (без доказательств) некоторые свойства степенного ряда.
1. Сумма степенного ряда внутри круга его сходимости есть аналити-
ческая функция.
2. Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно диффе-
ренцировать и почленно интегрировать любое число раз. Полученный при
этом ряд имеет тот же радиус сходимости, что и исходный ряд.
\\\ Пример ЗОЛ. Найти область сходимости ряда
О Решение: Здесь сп = ^, cn+i = / + i)p
т. е. R = оо. Следовательно, областью сходимости является вся плоскость
Z.
211

\
[яГЧ Пример 30.2. Найти область сходимости ряда
О Решение: Здесь R = lim
п—юс
области \z — г\ < 2.
= 2. Данный ряд сходится в
Пример 30.3. Определить радиус сходимости ряда 5Z (—1) :S== и
n=0 V™
исследовать сходимость ряда в точках zi = 0, z<z = г, 2з = 3 — 2г.
О Решение: Воспользуемся признаком Даламбера. Здесь
Ряд сходится при всех г, удовлетворяющих неравенству \z\2 < 1, т. е.
\z\ < 1. Кругом сходимости является круг с центром в точке z = О и
радиусом 1.
Точка z\ = 0 лежит внутри круга сходимости, в этой точке ряд схо-
дится абсолютно. Точка z^ — г лежит на границе круга сходимости, в
этой точке ряд может сходиться (абсолютно или условно) и расходить-
ся. Подставляя значение z<i — г в выражение общего члена ряда, получим
(_l)n+iiiC. = (~1)П (-1Г = (-1)_п = —1 Числовой ряд с общим
y/n у/п у/п у/П
членом ип = -4= расходится согласно интегральному признаку Коши (те-
у/п
орема 14.5). Следовательно, в точке z-2 = г степенной ряд ^ (—1)п+1^=
расходится.
Точка 2з = 3 — 2г лежит вне круга сходимости, ряд в этой точке рас-
ходится. •
30.3. Ряд Тейлора
212
Теорема 30.4. Всякая аналитическая в круге |г —2о| < R функция f(z) может быть
единственным образом разложена в этом круге в степенной ряд
коэффициенты которого определяются формулами
где \т — произвольная окружность с центром в точке z0, лежащая внутри круга.

Степенной ряд (30.7) называется рядом Тейлора для функции
f(z) в рассматриваемом круге.
Q Возьмем произвольную точку z внутри данного круга и проведем
окружность с центром в точке zq и радиусом г < R так, чтобы точка
z находилась внутри круга \z — zq\ < г (см. рис. 84).
Так как функция f(z) аналитична в круге \z — zo\ < г и на его
границе /г, то ее значение в точке z можно найти по формуле Ко-
(29.9): f(z) = тЛ-т <£ / _ d£, где £ — точка на окружности 1Г. Имеем:
< 1, следовательно, выражение
Так как \z — zo\ < |£ — 2о|, то
i
— l°_z можно рассматривать как сумму членов бесконечно убываю-
щей геометрической прогрессии с первым членом -р-^— и знаменателем
%*-. Таким образом,
Умножим обе части этого равенства на величину тр-?/(0 и проинтегриру-
ем его почленно по контуру /г. Получим:
213
1г
чим представление коэффициентов ряда через n-е производные функции
Используя формулу (29.10), полу-
Таким образом, мы получили разложение функции f(z) в степенной
ряд (30.7), коэффициенты которого определяются по формулам (30.8).
Докажем единственность этого разложения.
Допустим, что функция f(z) в круге \z — zo\ < R представлена другим
степенным рядом

Последовательно дифференцируя почленно этот ряд бесконечное число
раз, будем иметь:
Полагая в этих равенствах, а также в исходном ряде z — zo, получа-
f"(z } f(n^(z )
ем: b0 = /(г0), h = /'(го), b2 = J ^,o;,..., bn = J ) °',... Сравнивая
найденные коэффициенты bn ряда с коэффициентами ряда (30.7), устана-
вливаем, что Ьп = сп (п = 0,1,2,...), а это означает, что указанные ряды
совпадают.
Функция f(z) разлагается в степенной ряд единственным образом. В
Приведем разложения некоторых элементарных функций в ряд Тей-
лора (Маклорена):
т. е. формулу Эйлера exz = cosz + г sin z.
30.4. Нули аналитической функции
Как показано выше, всякая функция /(г), аналитическая в окрест-
ности точки 2о, разлагается в этой окрестности в степенной ряд (30.7):
коэффициенты которого определяются по формулам (30.8).
214
Первые три разложения справедливы во всех точках комплексной
плоскости, последние два — в круге \z\ < 1.
Заменив z на iz в разложении функции е2, получим:

Точка zq называется нулем функции /(г), если f(zo) = 0. В этом
случае разложение функции f(z) в окрестности точки zq в степенной ряд
не содержит нулевого члена, т.к. со = f(zo) = 0. Если не только со = 0,
но и с\ = С2 = ... = cm_i — 0, а ст ^ 0, то разложение функции /(г) в
окрестности точки zq имеет вид
30.5. Ряд Лорана
Теорема 30.5. Всякая аналитическая в кольце г < |г — zq\ < R (0 ^ г < R ^ оо)
функция /(г) может быть разложена в этом кольце в ряд
коэффициенты которого определяются формулой
Ряд (30.11) называется рядом Лорана для функции /(г) в рассматри-
ваемом кольце.
Q| Возьмем произвольную точку г внутри кольца г < \z — zo\ < R и прове-
дем две окружности L\ и L^ с центрами в точке го так, чтобы точка г была
между ними и каждая окружность находилась внутри данного кольца (см.
рис. 85).
Функция /(г) аналитична в кольце между окружностями L\ и L<i и на
самих окружностях. Поэтому по формуле Коши для многосвязной области
215
а точка z$ называется нулем кратности т (или нулем т-го порядка).
Если т = 1, то zq называется простым нулем.
Из формул (30.8) для коэффициентов ряда Тейлора следует, что
если zo является нулем кратности т функции f(z), то f(zo) = f'(zo) = ...
... = /^т_1)(г0) = 0, но f^m\zo) Ф 0. В этом случае представление функ-
ции степенным рядом (30.9) можно переписать в виде f(z) = (z — zo)mip(z),
где
Для функции ip(z) точка z = zq уже не является нулем, так как <p(zo) =
= стф0.
Справедливо и обратное утверждение: если функция f(z) имеет вид
(30.10), где т — натуральное число, a ip(z) аналитична в точке zo, причем
ip(zo) ф 0, то точка zq есть нуль кратности т функции f(z).
где L — произвольная окружность с центром в точке zo, лежащая внутри данного
кольца.

где обе окружности L\ и L<i обходятся против часовой стрелки.
Преобразуем слагаемые, стоящие в правой части равен-
ства (30.13), рассуждая, как и при выводе формулы Тейло-
ра.
На окружности L^ выполняется неравенство \z — zo\ <
< l£ " zo\i или \р ~_ Z°\ < 1- Поэтому дробь г _ можно
представить в виде
/*(n)(z0)
(здесь сп ^ ^—-, так как функция /(z), возможно, не аналитична в
точке zo)-
На окружности L\ имеем |£ — zq\ < \z — zq|, т. е.
Проинтегрируем это равенство по контуру L^'.
Значит,
имеем:
Тогда
Тогда

217
Проинтегрируем это равенство почленно по контуру L\\
Подставив разложения (30.14) и (30.15) в равенство (30.13), получим
Формулы для коэффициентов сп и с_п можно объединить, взяв вместо
контура Li и L2 любую окружность L с центром в точке zo, лежащую
в кольце между Li и L2 (следует из теоремы Коши для многосвязной
Можно доказать, что функция /(z), аналитическая в данном кольце
г < \z — zo\ < R, разлагается в ряд Лорана (30.11) единственным образом.
Ряд Лорана для функции
состоит из двух частей. Первая часть ряда Лорана, т. е. ряд
называется правильной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к
аналитической функции fi(z) внутри круга \z — zq\ < R. Вторая часть
ряда Лорана, т. е. ряд
называется главной частью ряда Лорана; этот ряд сходится к анали-
тической функции /2(2) вне круга \z — zq\ > г.

+oo
Внутри кольца г < \z — zq\ < R ряд ^Z cn(z — zo)n сходится к ана-
п= —оо
литической функции f(z) = fi(z) + /2(2).
В частности, если функция f(z) не имеет особых точек внутри круга
\z - zo\ < R, то ее разложение в ряд Лорана обращается в ряд Тейлора.
Замечание. На практике при разложении функции в ряд Лорана ис-
пользуют известные разложения основных элементарных функций; дробь
вида —-— разлагается в ряд, являющийся рядом геометрической про-
Z — Zq
грессии; дробь вида - -—-г, где к > 1 — целое, разлагается в ряд, ко-
(z - z0)K
торый получается из ряда геометрической прогрессии последовательным
дифференцированием (к — 1) раз; сложная дробь представляется в виде
суммы простейших дробей.
I
Пример 30.4- Разложить в ряд Лорана функцию f(z) — ez в окрест-
ности точки zq = 0.
О Решение: Воспользуемся известным разложением
Пример 30.5. Разложить в ряд Лорана функцию f(z) = —%— в
окрестности точки zq = 0.
О Решение: Функция имеет две особые точки: z\ = —2 и 22 = 3. Она
аналитична в областях: а) 0 ^ \z\ < 2; б) 2 < \z\ < 3; в) \z\ > 3.
Представим функцию f(z) в виде f(z) = 5(^3-3 ~ J+2J'
а) В круге \z\ < 2 (рис. 86) имеем:
здесь
<1, т.е. |z|<2V
ряд Лорана функции /(г) обращается в ряд Тейлора.
218
справедливым на всей комплексной плоскости. Положив и = -, получим
Следовательно,

Рис. 86.
Рис. 87.
Рис. 88.
Следовательно,
30.6. Классификация особых точек.
Связь между нулем и полюсом функции
Как уже знаем, особой точкой функции /(г) называется точка, в ко-
торой функция не является аналитической.
Особая точка z = zq функции f(z) называется изолированной, если
в некоторой окрестности ее функция f(z) не имеет других особых точек.
Если zq — изолированная особая точка функции /(г), то существу-
ет такое число R > 0, что в кольце 0 < \z — zq\ < R функция f(z) бу-
дет аналитической и, следовательно, разлагается в ряд Лорана (30.11):
219
б) В кольце 2 < \z\ < 3 (рис. 87) имеем:
в) В области \z\ > 3 (рис. 88) имеем:
Следовательно,

При этом возможны следующие случаи:
1) Ряд Лорана не содержит главной части, т. е. в ряде нет членов с от-
рицательными показателями. В этом случае точка zq называется устра-
нимой особой точкой функции f(z).
2) Разложение Лорана содержит в своей главной части конечное число
членов, т. е. в ряде есть конечное число членов с отрицательными пока-
зателями. В этом случае точка z$ называется полюсом функции f(z).
3) Разложение Лорана содержит в своей главной части бесконечное
множество членов, т. е. в ряде есть бесконечно много членов с отрицатель-
ными показателями. В этом случае точка z$ называется существенно
особой точкой функции f(z).
Укажем особенности поведения аналитической функции /(г) в окрест-
ности особой точки каждого типа.
Устранимые особые точки
Если zq — устранимая особая точка, то в окрестности точки zq разло-
оо
жение (30.11) имеет вид f(z) = ^ cn(z — zo)n. Это разложение справедли-
71=0
во во всех точках круга \z — zo\ < R, кроме точки z = z$. Если положить
f(zo) = со, где со = lim f(z) (т. е. определить функцию f(z) в точке zo), то
z—>zo
функция /(г) станет аналитической во всем круге \z — zo\ < R (включая
его центр z = zq)\ особенность точки zq устраняется, точка zq становится
правильной точкой функции f{z)).
Из равенства lim f(z) — с$ (со ф оо) следует, что в достаточно малой
z—tzo
окрестности устраняемой особой точки zq функция f(z) является ограни-
ченной.
Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая точ-
ка z = zo является устранимой, если существует конечный пре-
дел lim f(z) = A.
Если zo — полюс, то в окрестности точки zq разложение (30.11) имеет
ввд/(г)= Е cn(z-z0)n + -r=±- + , С~2 ,й +■..+ , C7V , где с_ш ф 0.
n=0 Z - Zq [z - Zo) \z - Zo)
В этом случае полюс zo называется полюсом т-го порядка функции f(z);
если га = 1, то полюс zo называется простым.
Запишем последнее равенство в виде
220

где g(z) — аналитическая функция, причем g(zo) = c_m ф 0. Отсюда
следует, что f(z) —> оо при z —> z$, т. е. в достаточно малой окрестности
полюса функция f(z) бесконечно велика.
Справедливо и обратное утверждение: изолированная особая точ-
ка z = zq является полюсом, если lim f(z) = оо.
z—>zo
Из равенства (30.16) имеем (z — zo)mf(z) = g(z). Отсюда получаем
удобный способ определения порядка полюса zn: если
Теорема 30.6. Если точка zo — нуль га-го порядка функции /(г), то zq являет-
ся полюсом га-го порядка функции А ч; если точка zq — полюс га-го порядка
J\z)
функции f(z), то zq является нулем га-го порядка функции Л <.
что
Q Докажем первую часть теоремы. Пусть z = Zq есть нуль га-го порядка
для функции f(z). Тогда имеет место равенство f(z) = (z — zo)m(p(z), где
ip{z) аналитична в точке го, причем (p(zo) ф 0. Тогда (z — zo)m Л ч = —т-г
и lim ((z - г0)тТгт) =' -тЦ ф О (Ф оо). Это означает (см. (30.17)),
для функции yyUr точка z — zq является полюсом га-го порядка. Вторая
часть теоремы (обратной) доказывается аналогично. В
Существенно особая точка
Если го — существенно особая точка, то, как доказывается (теоре-
ма Сохоцкого-Вейерштрасса), в достаточно малой окрестности точки zq
функция /(г) становится неопределенной. В такой точке аналитическая
функция не имеет ни конечного, ни бесконечного предела. Выбирая раз-
личные последовательности точек {zn}, сходящихся к существенно особой
точке го, можно получать различные последовательности соответствую-
щих значений функций, сходящиеся к различным пределам.
I
Пример 30.6. Определить тип особенности функции /(г) = ez в точке
2=0.
I
О Решение: Функция /(г) = ez в окрестности точки г = 0 имеет следую-
I ОО -J
щее лорановское разложение: ez = ^ f п (см. пример 30.4). Точка г = 0
п=0
является существенно особой точкой. Если г -> 0 вдоль положительной
I 1
части действительной оси, то lim ez — lim ex = +оо; если г —>- 0 вдоль
г-)>0 ж->-0+0
I i
отрицательной части действительной оси, то lim ez = lim ex = 0. •
221
то точка zq есть полюс ш-го порядка.
Имеется связь между нулем и полюсом функции.

Пример 30.8. Исследовать особенности функции f(z) = ——f^y——^.
z(z+2)(z — 1)
О Решение: Для данной функции точки z\ = 0 и ^2 = —2 — простые
полюсы, гз = 1 — полюс второго порядка. •
2
1 '_
Пример 30.9. Выяснить поведение функций f(z) = —Ц~, g(z) = ———j
Z — о 1 + z
в окрестности точки z = оо.
О Решение: Сделаем подстановку z = —. Тогда функция f(z) = —Цт
IV Z О
примет вид / ( — J = _^ . При условии |3ги| < 1 имеет место разложение
/(—) = w(l + 3w+ (Згу)2 + ...). Возвращаясь к старой переменной, имеем
222
Замечание. Классификацию изолированных особых точек можно рас-
пространить на случай, когда особой точкой функции f(z) является бес-
конечно удаленная точка, z = оо.
Окрестностью точки z = оо называют внешность какого-либо круга с
центром в точке z = 0 и достаточно большим радиусом R (чем больше Я,
тем меньше окрестность точки z = оо).
Точку z = оо называют изолированной особой точкой, если в некото-
рой окрестности ее нет других особых точек функции f(z).
Бесконечно удаленная изолированная особая точка может оказаться
устранимой особой точкой, полюсом порядка т или существенно особой
точкой. В первом случае лорановское разложение функции f(z) в окрест-
ности точки z = оо не имеет членов с положительными показателями, во
втором — имеет их лишь конечное число, в третьем случае в разложении
имеется бесконечно много членов с положительными показателями.
Изучение функции f(z) в окрестности точки z = оо можно свести пу-
тем подстановки z = — к изучению функции / f — J в окрестности точки
z = 0.
Пример 30.7. Найти особые точки функции f(z) = ^^-.
О Решение: Особой точкой функции f(z) является z = 0. Найдем пре-
дел функции при z -> 0: lim ^х^ = lim SHLi 1 = оо. Следовательно,
z->0 Z z->0 Z z
точка z = 0 является полюсом. Можно убедиться, что lim z2 Sll\z = оо,
z->0 Z
lim z3^^- = 1^0. Следовательно (см. (30.17)), точка z = 0 — полюс
третьего порядка. 0

Поэтому точка z = 00 является устранимой особой точкой (см. последнее
замечание).
Можно убедиться, что z = оо для функции g(z) = —^—? является
правильной точкой. •
§31. ВЫЧЕТ ФУНКЦИИ
31.1. Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Вычетом аналитической функции f(z) в изолированной особой
точке zq называется комплексное число, равное значению интеграла
л^-г Ф f(z) dz, взятого в положительном направлении по окружности L с
L
центром в точке zo, лежащей в области аналитичности функции f(z) (т. е.
в кольце 0 < \z - zo\ < R).
Обозначается вычет функции f(z) в изолированной особой точке zq
символом Res/(2o) или Res(/(z);zo)- Таким образом,
(31.1)
т. е. вычет функции f(z) относительно особой точки z$ равен коэффициен-
ту при первом члене с отрицательным показателем в разложении функции
f(z) в ряд Лорана (30.11).
Теорема 31.1 (Коши). Если функция f(z) является аналитической в замкнутой
области D, ограниченной контуром L, за исключением конечного числа особых
точек Zk (к = 1,2,... ,п), лежащих внутри области D, то
Q Вокруг каждой особой точки Zk опишем окружность /& так, чтобы она
целиком содержалась в области D, не содержала внутри других особых
точек и чтобы никакие две из этих окружностей не имели общих точек
(см. рис. 89).
Тогда на основании теоремы Коши для многосвязной области (см. за-
мечание на с. 203) имеем:
223
Если в формуле (30.12) положить п = — 1, то получим

где при интегрировании все контуры обходятся против часовой стрелки.
Но, согласно формуле (31.1), имеем:
Рис. 89.
Следовательно,
31.2. Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении
интегралов
Правильные или устранимые особые точки. Очевидно, если z = z$ есть
правильная или устранимая особая точка функции f(z), то Res/(2:o) = О
(в разложении Лорана (30.11) в этих случаях отсутствует главная часть,
поэтому с_1 =0).
Полюс. Пусть точка Zq является простым полюсом функции f(z). То-
гда ряд Лорана для функции f(z) в окрестности точки zq имеет вид
Отсюда
Поэтому, переходя в этом равенстве к пределу при z —>• zo, получаем
(31.3)
(31.4)
224
Замечание. Формуле (31.3) для вычисления вычета функции f(z) в
простом полюсе можно придать другой вид, если функция f(z) является
частным двух функций, аналитических в окрестностях точки zq.

(31.5)
Существенно особая точка. Если точка zo — существенно особая точ-
ка функции f(z), то для вычисления вычета функции в этой точке обычно
непосредственно определяют коэффициент c_i в разложении функции в
ряд Лорана.
Пример 31.1. Найти вычеты функции f(z) = 34 в ее особых точ-
z — z
ках.
Пусть точка zq является полюсом га-го порядка функции f(z). То-
гда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки zq имеет
Дифференцируя последнее равенство (га — 1) раз, получим:
Отсюда
Переходя здесь к пределу при z -> zq, получаем
О Решение: Особыми точками функции f(z) являются: z\ — \ — простой
полюс, Z2 = 0 — полюс третьего порядка (га = 3). Следовательно, по
формуле (31.4) имеем Res(/(s); 1) = |^24у = i-^-r = -3.
Используя формулу (31.5), находим:
Пример 31.2. Найти вычет функции f(z) = ez в особой точке z = 0.
Q Решение: Лорановское разложение данной функции в окрестности точ-
ки z — 0 было найдено в примере 30.4. Из него находим с-\ = 1, т. е.
Res(/(*);0) = 1, •
Теорема о вычетах часто используется для вычисления интеграла от
функции комплексного переменного по замкнутому контуру.

Рис. 90.
О Решение: Функция f(z) = 2 2—-г имеет в круге \z — 1 — i\ < у/2
(см. рис. 90) простой полюс z\ = i и полюс второго порядка Z2 = 1. При-
меняя формулы (31.2), (31.3) и (31.5), получаем:
Определенный интеграл вида / R(smx;cosx)dx с
о
помощью замены z = егх в некоторых случаях удает-
ся преобразовать в интеграл по замкнутому контуру
\z\ = 1 от функции комплексного переменного, к кото-
рому уже применима основная теорема о вычетах.
Пп1ш.р.п .9/ .1. Вычислить с. ттомотттью вьтчр.тгт инте-
О Решение: Произведем замену переменного, положив z = егх. Тогда
Ах | р — гх Z Н _2 I -|
dz = ielxdx = izdx, cosx = -—:*~ = ——— = о • При изменении
х от 0 до 27Г точка г опишет в положительном направлении окружность
\z\ = 1. Следовательно,
В круге \z\ < 1 функция f(z) = —7.—'k 7\7 имеет полюс второго поряд-
(Z + OZ + 1)
ка z\ — ~ "Г ^ . По формуле (31.5) находим
Следовательно,

Глава IX. ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
Лекции 33-35 I
Операционное исчисление играет важную роль при решении приклад-
ных задач, особенно в современной автоматике и телемеханике.
Операционное исчисление — один из методов математического анали-
за, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциаль-
ных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений,
содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраиче-
ских задач.
Методы операционного исчисления предполагают реализацию следу-
ющей условной схемы решения задачи.
1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям —
их изображениям.
2. Над изображениями производят операции, соответствующие задан-
ным операциям над самими функциями.
3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями,
возвращаются к самим функциям.
В качестве преобразования, позволяющего перейти от функции к их
изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.
§32. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
32.1. Оригиналы и их изображения
Основными первоначальными понятиями операционного исчисления
являются понятия функции-оригинала и функции-изображения.
Пусть f(t) — действительная функция действительного переменного
t (под t будем понимать время или координату).
Функция f(t) называется оригиналом, если она удовлетворяет сле-
дующим условиям:
1. f(t) = О при t < 0.
2. f(t) — кусочно-непрерывная при t ^ 0, т. е. она непрерывна или
имеет точки разрыва I рода, причем на каждом конечном промежутке оси
t таких точек лишь конечное число.
3. Существуют такие числа М > 0 и «о ^ 0> что Д^я всех t выпол-
няется неравенство \f(t)\ ^ М • eSot, т. е. при возрастании t функция f(t)
может возрастать не быстрее некоторой показательной функции. Число
s0 называется показателем роста f(t).
Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих
различные физические процессы.
Первое условие означает, что процесс начинается с некоторого момен-
та времени; удобнее считать, что в момент t = 0. Третьему условию удо-
влетворяют ограниченные функции (для них можно положить sq = 0),
227

степенные tn (n > 0) и другие (для функций вида f(t) = ае1 условие 3 не
выполняется). Не является оригиналом, например, функция f(t) = j (не
удовлетворяет второму условию).
Замечание. Функция f(t) может быть и комплексной функцией дей-
ствительно переменного, т. е. иметь вид f(t) = f\(t) + г/2(£); она считается
оригиналом, если действительные функции fi(t) и $2{£) являются ориги-
налами.
Изобраэюением оригинала f(t) называется функция F(p) комп-
лексного переменного р = s + гсг, определяемая интегралом
(32.1)
Операцию перехода от оригинала f(t) к изображению F(p) называ-
ют преобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналом f(t) и
изображением F(p) записывается в виде f(x) = F(p) или F(p) = f(x)
(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения —
соответствующими большими буквами).
Теорема 32.1 (существование изображения). Для всякого оригинала f(t) изо-
бражение F(p) существует (определено) в полуплоскости Rep = s > so, где so —
показатель роста функции f(t), причем функция F(p) является аналитической в
этой полуплоскости (s > sq).
Q Докажем первую часть теоремы. Пусть р — s + ia произволь-
ная точка полуплоскости Rep — s > sq (см. рис. 91). Учитывая,
что \f(t)\ ^ М • eSot, находим:
так как 5 - s0 > 0 и \е pt\ = \е st • е lat\ = е s* • |coscr£ - г sin erf | = е st.
Таким образом,
(32.2)
Отсюда вытекает абсолютная сходимость интеграла (32.1), т. е. изображе-
ние F(p) существует и однозначно в полуплоскости Rep = s > sq. Ш
Следствие 32.1 (необходимый признак существования изображения). Если
функция F(p) является изображением функции f(t), то
228

Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (32.2), ко-
гда Rep = s -> +00.
Так как F(p) — аналитическая функция в полуплоскости Rep > So,
то F(p) —> 0 при р —> оо по любому направлению. Отсюда, в частности,
следует, что функции F(p) = 5, F(p) = р2 не могут быть изображениями.
Отметим, что из аналитичности функции F(p) следует, что все ее осо-
бые точки должны лежать левее прямой Кер = s = so или на самой этой
прямой. Функция F(p), не удовлетворяющая этому условию, не является
изображением функции /(£). Не является изображением, например, функ-
ция F(p) = tgp (ее особые точки расположены на всей оси s).
Теорема 32.2 (о единственности оригинала). Если функция F(p) служит изо-
бражением двух оригиналов /i(£) и /2(0» т0 эти оригиналы совпадают друг с другом
во всех точках, в которых они непрерывны.
(Примем без доказательства.)
Пример 32.1. Найти изображение единичной
функции Хевисайда
229
(см. рис. 92).
О Решение: По формуле (32.1) при 5 = Rep > 0 (sq = 0) находим:
т. е. F(p) = -, или, в символической записи, l(t) = -, или 1 = -. •
Замечание. В дальнейшем функцию-оригинал будем кратко записы-
вать в виде /(£), подразумевая, что
Пример 32.2. Найти изображение функции f(t) = eat, где а — любое
число.
О Решение: Данная функция является оригиналом. По формуле (32.1)
имеем

если Re(p — а) > 0. Таким образом,
(32.3)
Пример 32.3. Найти изображение функции f(t) = t.
О Решение: В этом случае преобразование Лапласа имеет вид
(32.4)
Замечание. Функция F(p)
является аналитической не только
в полуплоскости Rep > Rea, где интеграл (32.1) сходится, а на всей ком-
плексной плоскости р, кроме точки р = а. Такая особенность наблюдается
и для многих других изображений. Далее для нас будет более важным,
как правило, само изображение функции, а не область, в которой оно вы-
ражается интегралом (32.1).
32.2. Свойства преобразования Лапласа
Находить изображения, пользуясь только определением изображения,
не всегда просто и удобно. Свойства преобразования Лапласа существен-
но облегчают задачу нахождения изображений для большого числа раз-
нообразных функций, а также задачу отыскания оригиналов по их изо-
бражениям.
Линейность
Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная
комбинация изображений, т. е. если fi(t) = Fi(p), /2(f) = i*2(p), с\ и С2 —
постоянные числа, то с\ • fi(t) + С2 • /2(2) = с\ • F\(p) + С2 • i^(p)-
Q Используя свойства интеграла, находим
230

Пример 32.4- Найти изображения функций smut, cosut (lj — любое
число), с (const), chut, shut.
О Решение: Пользуясь свойством линейности, формулой (32.3), находим:
Далее, с = с-1 = с-,т. е.
Наконец, chut
Аналогично получаем формулу
Подобие
Если f(t) = F(p), Л > 0, то f{Xt) = у F( Ч- ], т. е. умножение аргумента
оригинала на положительное число Л приводит к делению изображения и
его аргумента на это число.
□ По формуле (32.1) имеем
(так как безразлично, какой буквой обозначена переменная интегрирова-
ния). В
Например, пусть cos* = ^ „. Тогда cos art = — • % = -*-2—*■.
v J р2 + 1 w (£)2 + l P +^
231
т. е.
Аналогично получаем формулу

(Re(p- a) > so). ■
Благодаря этому свойству можно расширить таблицу соответствия ме-
жду оригиналами и их изображениями:
(32.9)
(32.10)
QJ Решение: Преобразуем данную дробь так, чтобы можно было восполь-
зоваться свойством смещения:
(См. формулы (32.9), (32.10) и свойство линейности.) •
Запаздывание
Если f(t) = F(p), r > 0, то f(t — т) = e~pTF(p), т. е. запаздывание
оригинала на положительную величину г приводит к умножению изобра-
жения оригинала без запаздывания на е~рт.
Q Положив t — т = t\, получим
232
Пример 32.5. Найти оригинал по его изображению
Смещение (затухание)
Если f(t) = F(p), a = const, то eat • f(t) = F(p - а), т. е. умножение
оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной р.
Q В силу формулы (32.1) имеем

Поясним термин «запаздывание». Графики функции f(t) и f(t — т)
имеют одинаковый вид, но график функции f(t — т) сдвинут на т единиц
вправо (см. рис. 93). Следовательно, функции f(t) и f(t — т) описывают
один и тот же процесс, но процесс, описываемый функцией /(£ — т), начи-
нается с опозданием на время т.
Рис. 93.
Рис. 94.
Свойство запаздывания удобно применять при отыскании изображе-
ния функций, которые на разных участках задаются различными анали-
тическими выражениями; функций, описывающих импульсные процессы.
Функция l(t — т) = < ^ называется обобщенной единичной
10 при t < т
функцией (см. рис 94).
Так как l(t) = 1, то 1(* - т) = А • е~рт.
Запаздывающую функцию
можно записать так: g(t) = f(t — т) • l(t — т).
Пример 32.6. Найти изображение f(t) = t — 1.
Q Решение: Для того чтобы быть оригиналом, функция f(t) должна удо-
влетворять условиям 1-3 (см. п. 32.1). В этом смысле исходную задачу
можно понимать двояко.
Если понимать функцию f(t) как
т. е. f(t) = (t — 1) • 1(f) (см. рис. 95, а), то, зная, что t = \ (см. форму-
Р
лу (32.4)), 1 = — и, используя свойство линейности, находим
233
Если же понимать функцию f(t) как

т. е. f(t) = (t — 1) • l(t - 1) (см. рис. 95, б), то, используя свойство запаз-
дывания, находим f(t) = (t - 1) • l(t — 1) = Л- • е~р = F(p). •
Р
Рис. 95.
Рис. 96.
Пример 32.7. Найти изображение функции
{О при t < О,
1 при 0 ^ ^ 3,
О при t > 3.
О Решение: Данная функция описывает единичный импульс (см. рис. 96),
который можно рассматривать как разность двух оригиналов: единич-
ной функции l(t) и обобщенной единичной функции 1(£ — 3). Поэтому
Пример 32.8. Найти изображение функ-
ции
Рис. 97.
234
О Решение: Функция-оригинал изображена
на рис. 97. Запишем ее одним аналитическим
выражением, используя функции Хевисайда
l(t) и l(i-r):
т.е.
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
Изображение функции f(t) будет равно

Замечания.
1. Изображение периодического оригинала с периодом, равным Т, есть
Qj По определению изображения находим
Итак, f'(t) = р • F(p) — /(0). Пользуясь полученным результатом, найдем
изображение второй производной f"(t):
АО = (/'(*))' = Р(Р ■ Fip) - /(0)) - /'(0) = р2 ■ F{p) - р ■ ДО) - /'(0).
Аналогично найдем изображение третьей производной f'"(t):
f"(t)=P(p*.F(p)-p-f(0)-f'(0))-f"(0)=p3-F(p)-p2-f(0)-p-f'(0)-f"(0).
Применяя формулу (32.11) (п - 1) раз, получим формулу (32.14). ■
Замечание. Формулы (32.11)-(32.14) просто выглядят при нулевых на-
чальных условиях: если /(0) = 0, то f'(t) = р • F(p); если /(0) = /'(0) = 0,
то /"(*) = р2 • F(p), и, наконец, если /(0) = /'(О) = ... = /(п"1)(0) = 0,
то f^(t) = рп - F(p), т. е. дифференцированию оригинала соответствует
умножение его изображения на р.
Рассмотренное свойство дифференцирования оригинала вместе со
свойством линейности широко используется при решении линейных диф-
ференциальных уравнений.
Пример 32.9. Найти изображение выражения
235
2. Свойство опережения f(t + т) = ерт yF(p) - / f(t)e pt dt\ применя-
o
ется значительно реже.
Дифференцирование оригинала
Если f(t) = F(p) и функции /'(£)> /"№» • • •> /^ W являются оригина-
лами, то

О Решение: Пусть x(t) = Х(р) = X. Тогда, согласно формулам (32.11)-
(32.13), имеем
т. е. дифференцированию изображения соответствует умножение его ори-
гинала на (—t).
Q Согласно теореме 32.1 существования изображения, F(p) является ана-
литической функцией в полуплоскости Rep — s > so- Следовательно, у
нее существует производная любого порядка. Дифференцируя интеграл
(32.1) по параметру р (обоснование законности этой операции опустим),
получим
Следовательно,
Дифференцирование изображения
Пример 32.10. Найти изображения функций tn (n E N), eat -£n, t-sinojt,
t - cosut, t - shout, t - chut, eat • t • sinut, eat • t • cosut.
О Решение: Так как 1 = -, то, в силу свойства дифференцирования изо-
бражения, имеем — t • 1 = — 4г, т. е.

С учетом свойства смещения получаем
\p-a)
Согласно формуле (32.5), smut = 2 и—у. Следовательно,
С учетом свойства смещения и формул (32.15) и (32.16), получаем
/г (Ы
/(т) dr = ——, т. е. интегрированию оригинала
о
от 0 до t соответствует деление его изображения на р.
t
Q Функция (p(t) = / f(r)dr является оригиналом (можно проверить).
о
Пусть <f(t) = Ф(р). Тогда по свойству дифференцирования оригинала име-
ем
<p(t)=p- Ф(р) - <р(0) = р • Ф(р)
(так как ц>(0) = 0). А так как
237
Интегрирование оригинала
то г(р) = р • Фур). Отсюда Ф(р) ■
Аналогично, используя формулы (32.6), (32.7) и (32.8), находим
Далее находим —t2 =
цирование, получим
Продолжая дифферен-

238
Интегрирование изображения
т. е. интегрированию изображения от р до оо соответствует деление его
оригинала на t.
Q Используя формулу (32.1) и изменяя порядок интегрирования (обосно-
вание законности этой операции опускаем), получаем
Пример 32.11. Найти изображение функции ^у^; найти изображение
t
интегрального синуса / sinr dr.
о
Умножение изображений
Q Можно показать, что функция / /i(r) • /г(£ — т) dr является оригина-
0
лом.
Используя преобразование Лапласа (32.1), можно записать

Рис. 98.
Интеграл в правой части формулы (32.17) называется сверткой
функции fi(t) и /г(£) и обозначается символом fi(t) * /2(0, т. е.
Можно убедиться (положив t — г = и), что свертывание обладает свой-
ством переместительности, т. е. /i(£) * /2 (t) = f2{t) * /i(£)-
Итак, умножение оригиналов равносильно их свертыванию, т. е.
F1{p)-F2{p) = f1(t)*f2(t).
Пример 32.12. Найти оригинал функций
Аналогично получаем
239
Область D интегрирования полученного двукратного интегра-
ла определяется условиями 0 ^ £ < оо, 0 ^т ^.t (см. рис. 98).
Изменяя порядок интегрирования и полагая t — т = t\, получим

Следствие 32.2. Если /i *fy = F\(p) -^(p) и f[(t) также является оригиналом, то
Формулу Дюамеля можно применять для определения оригиналов по
известным изображениям.
Пример 32.13. Найти оригинал, соответствующий изображению
О Решение: Так как
240
Формула (32.18) называется формулой Дюамеля.
На основании свойства переместительности свертки формулу Дюаме-
ля можно записать в виде
Первое слагаемое в правой части есть произведение изображений, соот-
ветствующих оригиналам f[(t) {f[(t) = p • F\(p) - /i(0)) и f2(t). Поэтому
на основании свойства умножения изображений и линейности можно за-
писать р • Fi(p) • F2(p) = f[(t) * h(t) + /i(0) • f2(t) или
или
Запишем ппоизведение v • Fi (v) • Fo(v) в виде
то на основании формулы Дюамеля (32.18) имеем

Умножение оригиналов
где путь интегрирования — вертикальная прямая
Rez = "у > so (см. рис. 99) (примем без доказа-
тельства).
Рис. 99.
Рассмотренные свойства преобразования Лапласа представляют со-
бой основные правила (аппарат) операционного исчисления. Для удобства
пользования перечислим эти свойства.
1. Линейность: сх • fx(t) + с2 • /2(£) = с\ • Fi(p) + с2 • F2(p).
2. Подобие: /(А*) = ± • f(Q, А >0.
3. Смещение: еа* • /(*) = F(p - а).
4. Запаздывание: /(£ - т) = е~рг • F(p),r > 0.
5. Дифференцирование оригинала:
/'(*) = р-^(р)-/(о),
/"(*)=P2-F(p)-p-/(0)-/'(0),
/'"(*) = Р3 • Пр) - р2 ■ /(0) - р ■ /'(0) - /"(0),
6. Дифференцирование изображения
32.3. Таблица оригиналов и изображений
Составим краткую таблицу, устанавливающую соответствие между не-
которыми оригиналами (часто встречающимися на практике) и их изобра-
жениями. Достаточно полная таблица оригиналов и изображений, позво-
241
7. Интегрирование оригинала:
8. Интегрирование изображения:
9. Умножение изображений:
10. Умножение оригиналов: /
Резюме

ляющая по заданному оригиналу находить изображение и наоборот, есть,
в частности, в книге «Справочник по операционному исчислению» (авто-
ры В. А.Диткин и П.И.Кузнецов).
Таблица оригиналов и изображений
242
jyk
1
2
з
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
Оригинал
f(t)
1
eat
t
sin ut
cos ut
shut
chut
eat • sin ut
eat • cos ut
eat -shut
eat -chut
tn (n — целое)
eat . tn
t • sin ut
t • cos ut
t • shut
t - chut
eat • t • sin ut
eat • t • coscjf
—^3- (sin a;£ — c»j£ cos ut)
LU
-^Ц- (u;£ ch ut — sh art)
2a;
sin(u;£ ± (/?)
cos(u;£ ± (f)
Изображение
oo
F(p)= f f(t)e-r4t
0
I
?
1
p — a
1
и
p + uz
P
p + or
и
~~S 2"
p -or
P
~2 5"
p - и
U
(p - a)'2 + u2
p-a
(p-af+u2
p — a
(p-o)2-a;a
n!
n!
(р-аГ+1
2up
p_ - ur
2up
р2+ц2
2a; (p- a)
((p-a)4urT
(7+pf
(7^77
a; cos w ± p sin y?
p*Tc?
p cos <p =F cj sin (p
P + cj2

§33. ОБРАТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА
33.1. Теоремы разложения
Рассмотрим две теоремы, называемые теоремами разложения, позво-
ляющие по заданному изображению F(p) находить соответствующий ему
оригинал f(t).
Теорема 33.1. Если функция F(p) в окрестности точки р = ос может быть пред-
ставлена в виде ряда Лорана
является оригиналом, имеющим изображение F(p), т. е.
243
то функция
Примем эту теорему без доказательства.
Пример 33.1. Найти оригинал f(t), если
О Решение: Имеем
1 / 1 /
Следовательно, на основании теоремы 33.1 f{t) = t — ^у% + ^[Ц" — • • ••>
t>0.
Запишем лорановское разложение функции F(p) = 2 в окрестно-
сти точки р = оо:

Теорема 33.2. Если F(p) = r>(( — правильная рациональная дробь, знаменатель
которой В(р) имеет лишь простые корни (нули) р\,р2, • • • ,рп, то функция
Q Отметим, что дробь „^ ( должна быть правильной (степень многочле-
на А(р) ниже степени многочлена В(р)); в противном случае не выпол-
няется необходимый признак существования изображения lim F(p) = О
р—>оо
(п. 32.1), т. е. F(p) = г>(1 не может быть изображением.
Разложим правильную рациональную дробь г>({ на простейшие:
Переходя в этом равенстве к пределу при р -» р\, получаем
Итак, с\ — г>'( \ • Аналогичным путем (умножая обе части равенства
А(р)
(33.2) на р - pi) найдем с\ - РЛ ч, г = 2,..., п.
& (Pi)
Подставляя найденные значения с\, с-2,..., сп в равенство (33.2), полу-
чим
244
является оригиналом, имеющим изображение F(p).
где Ck (к = 1,2,... ,п) — неопределенные коэффициенты. Для определе-
ния коэффициента С\ этого разложения умножим обе части этого равен-
ства почленно на р — р\:
то на основании свойства линейности имеем
Так как по формуле (32.3)

Замечание. Легко заметить, что коэффициенты с* (к — 1,2,...,п)
определяются как вычеты комплексной функции F(p) в простых полю-
сах (формула (31.4)): ск = в>?*\ = Res(5M;Pfc)'
Можно показать, что если F(p) = п({ — правильная дробь, но корни
(нули) р\ ,р2,... ,рп знаменателя В(р) имеют кратности т\, Ш2,..., гпп со-
ответственно, то в этом случае оригинал изображения F(p) определяется
формулой
A(v)
Теорема 33.3. Если изображение F(p) = „jг I является дробно-рациональной
функцией от р и pi,p2,...,pn — простые или кратные полюсы этой функции, то
оригинал f(t), соответствующий изображению F(p), определяется формулой
33.2. Формула Римана-Меллина
|/@\| Общий способ определения оригинала по изображению дает обратное
^—' преобразование Лапласа (формула обращения Римана-Меллина), имею-
TITPP ИИП
\
Замечание. На практике отыскание функции-оригинала обычно прово-
дят по следующему плану: прежде всего следует по таблице оригиналов и
изображений попытаться отыскать для заданного изображения F(p) соот-
ветствующий ему оригинал; второй путь состоит в том, что функцию F(p)
стараются представить в виде суммы простейших рациональных дробей, а
затем, пользуясь свойством линейности, найти оригинал; наконец, исполь-
зовать теоремы разложения, свойство умножения изображений, формулу
обращения и т.д.
Пример 33.2. Найти оригинал по его изображению F(p) = -^—г-
245
Теорему 33.2 можно сформулировать следующим образом:
где интеграл берется вдоль любой прямой Rep = 7 > So-
При определенных условиях интеграл (33.5) вычисляется по формуле

О Решение: Проще всего поступить так:
р +4 р +4 р +4 р +2 2 /г+ 2 2
(использовали свойство линейности и формулы (32.5) и (32.6)).
Если же использовать теорему 33.2 разложения, то будем иметь:
А(р) = р — 3, В(р) = р2 + 4, i?'(p) = 2р, корни знаменателя pi = 2г и
р2 = —2г и, согласно формуле (33.1),
Пример 33.3. Найти функцию-оригинал, если ее изображение задано
как F{p) = * Л лУ
О Решение: Здесь А(р) = 1, В(р) = р3(р - 1), В'(р) = 4р3 - Зр2, рх = 1 —
простой корень знаменателя, р2 = 0 — 3-кратный корень (т = 3). Исполь-
зуя формулы (33.1) и (33.3), имеем:
Приведем другой способ нахождения f(t). Разобьем дробь 3 ——
Р (Р ~ 1)
на сумму простейших дробей: F(p) = 3/ —77 = ~ т —7 "• ZTT-
Следовательно, f(t) = — 1 — t — V + е*.
Приведем третий способ нахождения /(£). Представим F(p) как произ-
ведение г>, —— = \—~г, и так как -4- = тг и —^г = е*, то, пользуясь
свойством умножения изображений, имеем:
246

§34. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
Пусть требуется найти частное решение линейного дифференциально-
го уравнения с постоянными коэффициентами
у(п)+а1у<п_1) + -.-+а»У = /(*), (34-1)
удовлетворяющее начальным условиям
t/(0) = со, у'(0)=си ..., y(n-1)(0) = cn_i,
где со, ci,..., сп-\ — заданные числа.
Будем считать, что искомая функция y(t) вместе с ее рассматривае-
мыми производными и функция f(t) являются оригиналами.
Пусть y(t) = Y(p) = Y и f(t) = F(p) = F. Пользуясь свойствами
дифференцирования оригинала и линейности, перейдем в уравнении (34.1)
от оригиналов к изображениям:
247
Полученное уравнение называют операторным (или уравнением в изо-
бражениях). Разрешим его относительно Y:
т. е. Y(p) • Qn(p) = F(p) + Rn-i(p), где Qn(p) и Rn-i(p) алгебраические
многочлены от р степени п и п — 1 соответственно.
Из последнего уравнения находим
Полученное равенство называют операторным решением дифферен-
циального уравнения (34.1). Оно имеет более простой вид, если все на-
чальные условия равны нулю, т. е. у(0) = у'(0) = ... = ?/',_1)(0) = 0. В
этом случае Y(p) = п ЧЧ .
Находя оригинал y{t), соответствующий найденному изображе-
нию (34.2), получаем, в силу теоремы единственности, частное решение
дифференциального уравнения (34.1).
Замечание. Полученное решение y(t) во многих случаях оказывается
справедливым при всех значениях t (а не только при t ^ 0).
Пример 34-1- Решить операционным методом дифференциальное
уравнение у" — Зу' + 2у = \2eZi при условиях у(0) — 2,?/(0) = 6.
Q Решение: Пусть y(t) = Y(p) = Y. Тогда

Подставляя эти выражения в дифференциальное уравнение, получаем
операторное уравнение: p2Y — 2р — 6 — 3(рУ — 2) + 2Y = 12 _ о. Отсюда
У(р) = т— К\(—_о\( —е\\' Находим y(t). Можно разбить дробь на сумму
ARC1
простейших (У(р) = _ -. Н ^Го "^ Z~^)' HO так как коРни знаменате-
ля (pi = 1, р2 — 2, рз — 3) простые, то удобно воспользоваться второй
теоремой разложения (формула (33.1)), в которой
Отсюда
Получаем:
Пример 34-2. Найти решение уравнения
при условии ?/(0) = 0, у'(0) = 0.
О Решение: График данной функции имеет Рис. 100.
вид, изображенный на рисунке 100. С помо-
щью единичной функции правую часть данного дифференциального урав-
нения можно записать одним аналитическим выражением:
Таким образом, имеем
Операторное уравнение, при нулевых начальных условиях имеет вид
248

Так как
то по теореме запаздывания находим:
249
Аналогично применяется операционный метод для решения систем ли-
нейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Покажем это на конкретном примере.
Пример 34-3. Решить систему дифференциальных уравнений
О Решение: Пусть
Находим, что
Система операторных уравнений принимает вид
Решая эту систему алгебраических уравнений, находим:
Переходя от изображений к оригиналам, получаем искомые решения:

С помощью операционного исчисления можно также находить решения
линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициента-
ми, уравнений в частных производных, уравнений в конечных разностях
(разностных уравнений); производить суммирование рядов; вычислять ин-
тегралы. При этом решение этих и других задач значительно упрощается.

ПРИЛОЖЕНИЯ
Таблица разложений в ряд Маклорена некоторых элементарных функций
251

Таблица оригиналов и изображений
JVo
Оригинал
Изображение
оо
F(p)= f f(t)e-"dt
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
1
eat
t
smut
cos ut
shut
chut
eat • sin ut
eat • cos cut
eat -shout
eat chut
n (n
e
t
t-
t
t
eat .
eat .
— целое)
at m j.n
smut
cos out
• shut
• chut
t - smut
t • cos ut
-r^r (sin ut — ut cos ut)
—^(utchut - shut)
2u
sin(ut ± if)
cos{ut ± ф)
I
P
1
p — a
1
7
a;
p2 + u2
p + w
~2 2~
p - CJ
P
~2 2~
p — и
U
(p - a)2 + u2
p — a
(p-a)2 +u2
(p _ a)2 - u2
p — a
n!
„n+1
(p-«)n+1
2o;p
2up
2 , 2
p + ^
2u(p — a)
{{p-af+ш2)2
(p-a)2-и2
((р-а)2+ш2)2
(p*+W
cj cos у ± р sin <p
pcosy? =Fcjsin(p
2 2"
p + U

По вопросам оптовых закупок обращаться:
тел./факс: (495)785-15-30, e-mail: trade@airis.ru
Адрес: Москва, пр. Мира, 104
Наш сайт: www.airis.ru
Вы можете приобрести наши книги с 1000 до 1730,
кроме субботы, воскресенья, в киоске по адресу:
Москва, пр. Мира, д. 104, 3 этаж, тел. (495) 785-15-30
Адрес редакции: 129626, Москва, а/я 66
Издательство «АЙРИС-пресс» приглашает к сотрудничеству
авторов образовательной и развивающей литературы.
По всем вопросам обращаться
по тел.: (495) 785-15-33, e-mail: editor@airis.ru
Учебное издание
Письменный Дмитрий Трофимович
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
2 часть
Ведущий редактор А. А. Лаврентьев
Редактор Л. В. Абламская
Оформление обложки А. М. Драговои
Иллюстрации А. Ю. Терская
Технический редактор В. А. Артемов
Компьютерная верстка К. Е. Панкратьев
Корректор Н. С. Калашникова
Подписано в печать 20.09.10. Бумага офсетная.
Формат 70x100 '/i6. Гарнитура «Тайме». Печать офсетная.
Печ. л. 16. Усл.-печ. л. 20,8. Тираж 10 000 экз. Заказ № 3764.
ООО «Издательство «АЙРИС-пресс»
129626, г. Москва, проспект Мира, д. 104.
Отпечатано в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
www.oaompk.ru, www.oaoMnK-рф тел.: (495) 745-84-28, (49638) 20-685

Переплет, 592 с.
Книги позволят студенту быстро и эффективно подготовиться
к экзаменационной сессии. Этому способствуют необходимые
теоретические пояснения ко всем разделам сборников, деталь-
но разобранные типовые задачи, большое количество заданий
различных уровней сложности для самостоятельного решения,
а также наличие контрольных работ, устных задач и «качествен-
ных» вопросов.
Сборники будут полезны студентам младших курсов и препо-
давателям вузов.
а ^/ издательство А
Айрис ш\

Высшее образование
В пособии в доступной форме изложены разделы, традиционно
изучаемые в курсе дискретной математики: элементы математи-
ческой логики, теории множеств, предикатов, графов, элементы
комбинаторики, кодирования и теории конечных автоматов, а так-
же введение в теории алгоритмов. Все разделы снабжены большим
количеством примеров и решенных задач, помогающих усвоить и
закрепить изучаемый материал.
Книга рассчитана на студентов нематематических вузов, поэтому
необходимая математическая подготовка ограничивается програм-
мой средней школы.
Пособие может быть также полезно преподавателям, которые на-
чинают читать курс дискретной математики.
А с/ издательство А
Айрист

Высшее образование
Первая часть книги содержит основные понятия и теоремы теории
вероятностей, такие как случайные события, вероятность, случайные
функции, корреляция, условная вероятность, закон больших чисел и
предельные теоремы. В отдельной главе приведены основные поня-
тия теории случайных процессов (стационарный процесс, марков-
ский процесс, теорема Винера-Хинчина).
Вторая часть книги посвящена математической статистике и содер-
жит основы выборочного метода, теории оценок и проверки гипотез.
Изложение теоретического материала сопровождается рассмотре-
нием большого количества примеров и задач.
Пособие предназначено для студентов экономических и техниче-
ских вузов.
А С/ издательство А
Айрис Ач\