/
Author: Матвеев Н.М.
Tags: анализ математика математический анализ математическая физика математическая логика высшая математика
Year: 1977
Text
·КУРС
МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
ЧАСТЬ
1-
.
.
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
1
'
1
1
1
11
------
КУРС МАТЕМАТИКИ
ДЛЯ ТЕХНИКУМОВ
Часть 1
Под редакцией Н. М. МАТВЕЕВА
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования CGCP
в качестве учебного пособия
для средних специальных учебных заведений
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Г JIABHA.Я РЕДАКЦИ,Я
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
.моск в а 1977
517.2
К93
УДК 517.11
КОЛЛЕКТИВ. АВТОРОВ:
В. Н. МА ТВЕЕВ, А. А. МА ТЮШКИН-ГЕРКЕ,
Н. В. БОГОМОЛОВ, С. М. КОЗЛОВСКИЙ
Книга представляет собой первую часть «Курса математики для
техникумов» в двух частях, написанного группой ленинградских
авторов в соответствии с новой программой для техникумов, утвер
жденной в 1974 году.
Книга подготовлена по предложению Научно-методического ка
бинета по среднему специальному образованию Министерства выс
шего и среднего специального образования СССР как эксперимен
тальное учебное пособие.
Отзывы и замечания по данному учебному пособию Научно-ме
тодический кабинет по среднему специальному образованию просит
направлять в его адрес: 111024, Москва, Е-24, 3-я Кабельная ул.,
ДОМ 1,
•
20203-114
К 053 (02)-77 - 24
-
75
© Главная редакция
физико-математической литературы
изд~те.nьства ~наука», 1976
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
11
Гл а в а 1. Числовые множества
13
§ 1.1 . Вещественные числа
13
1.1 .1 . Множество рациональных чисел (13). 1 .1.2 . Необхо
димость расширения множества рациональных чисел (17).
l.l.3 . Множество вещественных чисел (19). 1.1 .4. Рациональ-
ные и иррациональные числа, их представление при помощи
бесконечных десятичных дробей (21). l .l .5 . Абсолютная ве
личина вещественного числа (22).
§ 1.2 . Комплексные числа
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
••
22
1.2.l . Необходимость дальнейшего расширения понятия чис-
ла (22). 1 .2 .2 . Комплексные числа (23). l .2 .3 . Геометриче-
ское изображение комплексных чисел (27).
Вопросы для повторения к главе 1
29
Гл а в а 2. Множества и функции
.
.
30
§ 2.1. Множества
.
.
.
.
.
.
.
.
30
2.1 . l. Основные понятия и определения (30). 2 .1 .2 . Интер
валы (32). 2 .1 .3 . Объединение множеств (33). 2 .1.4 . Пе
ресечение множеств (33). 2 .1 .5 . Произведение множеств
(34). 2 .1 .6 . Разность множеств (35). 2 .1.7 . Взаимно одно
значное соответствие множеств. Эквивалентные множества.
Мощность (36). 2 .1 .8 . Счетные и несчетные множества (37).
2.1.9 . Границы множества вещественных чисел (37).
2.1.10. Понятие об в-окрестности (38).
§ 2.2. Функция
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
,,.......,
38
2.2.1 . Функция и отображение (38). 2 .2.2 . График функции
(39). 2 .2.3 . Основные характеристики числовых функций
(41)_.
2.2 .4 . Арифметические операции на множестве число-
вых функций (42). 2 .2 .5 . Понятие об образе и прообразе.
Классификация отображениii (43). 2 .2.6 . Понятие об обрат-
ной функции. Свойство биективной функции. Сужение функ-
ции (44). 2 .2 .7 . Понятие о суперпозиции функций (45).
3
2.2.8 . .Явные и неявные функции (46). 2 .2.9 . Параметри
ческое задание - функции (46). 2 .2 .10. Элементарные функ
ции. Классификация элементарных функций (47). 2 .2 .11 . По
казательная функция (48). 2 .2 .12 . Логарифмическая
. функ
ция. Связь с показательной функцией (49).
Вопросы для повторения к главе 2
51
•упражнения к главе 2. , ,
.
.
.
.
52
Гл а в а 3. Предел и непрерывность функции
54
§ 3.1. Предел числовой последовательности
54
З.1.1. Числовая последовательность как функция натураль-
ного аргумента (54). 3.1 ;2, Предел числовой последова
тельности,. геометрическое истолкование (55). 3 .,l .3. Тео
рема_ об единственности предела последовательности (60).
3.1.4. Монотонные последователь1:1ости (60). З._ 1.5 . Беско
нечно малые посл_едовательности (64). 3. 1.6. Бесконечно
большие псследовательности и их
последовательностями (67). 3.1 .7.
делов ~оследовательностей, (69).
§3.2. Пределфункции • . . . .
связь с бесконечно малыми
Некоторые свойства пре-
3.2. 1 . Понятие предела функции (76). 3 .2 .2 . Теоремы о
существовании предела функции (81). 3 .2 .3 . Замечательный
предел lim (1 +х) 1/х и его следствия (83). 3.2.4. Сравне-
х--,.о
ние бесконечно малых и бесконечно больших функций (85).
§ 3.3 . Непрерывность функции
3.3 .1 . Определение непрерывности функции в точке; прира
щение аргумента и функции, типы разрывов (88). 3 .3 .2 . Ус
ловие непрерывности сложной функции (91). 3.3 .3. Некото
рые свойства непрерывных функций (93).
Вопросы для повторения к главе 3 .. .
Упражнения к главе 3 ......... .
Ответы, указания и решения к главеЗ
Гл а в а 4. Производная. Дифференциал функции и ero прило
жения
4
§ 4.1 . Производная
4.1 .1 . Производная, ее геометрический и механический
смысл (103). 4 .1 .2 . Связь между существованием производ
ной и -непрерывностью функции (107). 4.1.З. Производная
постоянной величины ( 108). 4 .1 .4 . Производная степенной
функции ( 1С9). 4. 1 .5 . Производная суммы, разности, произ
ведения и частного двух функций (110). 4 .1 .6 . Производ-
76
88
94
94
97
103
103
ная сложной функции (111). 4 .1.7 . Производная обратной
функции- (113). 4 .1.8 . Производная показательной и лога
рифмической функций (113). 4 .1 .9 . Производная функции,
заданной параметрически (114). 4 .1.10. Производная неяв
ной функции ( 11-5). 4 .1 .11 . Производная .второго порядка,
ее механический смысл. Произв(,дные высших поряд
ков (116).
§ 4.2 . Диффереющал
...
,,....,•...•.,
.
, 117
4.2 .1 . Дифференциал функции ( 117). 4 .2.2 . Геометрический
смысл дифференциала (117). 4 .2 .3 . Вычисление· дифферен
циала (118).
§ 4.3 . Приложение дифференциала к приближенным вычис-
лениям ........·..........••.
.
.
.
.
•..119
4.3 .1 . Абсолютная и относительная погрешности (t 19).
4.3 .2 . Вычисление приближенного значения приращеннл
функции при помощи дифференциала (121). 4 .3.3 . Вычисле
ние приближенного числового зна11ения функции (121).
4.3 .4 . Вычисления по способу ·строгого учета погрешнос
тей (122). 4 .3.5 . Относительная погрешность ·произведе
ния (122). 4 .3 .6 . Относительная погрешность сrепени (123).
4.3.7 . Относи1елы1ая погрешность корня (124): 4.3 .8 . Отно
сительная погрешность частного (124) ..4 .3 .9 . Приближен
ное вычисление степеней (125). 4 .3 .10. , Приближенное
вы
числение · корне-й (125). 4 .3 .11 . Приближенное вычисление
обратных величин (125). 4 .3.12 . Приближенное вычисление:
синусов и тангенсов малых углов (126). 4 .3 .13. Вычислениr
табличных разностей десятичных лог·арифмов ('127). 4 .3 .14 . На
хождение относительной погрешности числа при вычисленю:
его по его десятичному логарифму (127).
Вопросы для повторенияк главе4.
·,
Упражнения к главе 4 ......... .
Ответы, указания и решения к главе 4
, 128
,,129
• 130
Гл а в а 5. Приложения производной к исследованию функций
ипостроениюграфиков.............. , ,
.
.
131
§ 5.1. Теоремы о среднем
.............
, ... 131
5.1.1. О наименьшем и наибольшем значениях функции (131).
5.1 .2 . Экстремумы функции
. (131). 5.1.З. Теорема Ферма
(132). 5.1.4. Теорема Ролля (133). 5 .1 .5 . Теорема Лагран-
жа (134).
§ 5.2. Применение производной для нахождения экстремумов
функции .
.
.. ..
135
5.2.1. Признаки постоянства, воэрастани11 и убывания
5
функции (135). 5.2.2. Достаточные условия существования
экстремума (136). 5.2.3. Нахождение наименьшего и наи
большего значений функции на замкнутом интервале (139).
§ 5.3 . Дальнейшее исследование поведения функций и по
строениеграфиков................•.
.
.
, 139
5.3.1. :поведение функции в точках разрыва и на концах
бесконечного интервала. Асимптоты (139). 5 .3.2 . Направле-
ние выnуклости графика функции; точки перегиба графика
функции (141). 5 .3.3 . Общая схема исследования функции
(144). 5.3.4. Задачи прикладного характера на нахождение
наибольших и наименьших значений функции (146).
Вопросы для повторения к главе 5
148
Упражнениякrлаве5.........
149
Ответы, указания и решения к rлаве 5
150
Гл а в а 6. Определители и системы линейных уравнений
151
§ 6.1 . Системы двух линейных уравнений с двумя неи:~вест-
ными
6.1.1. Линейные уравнения с двумя неизвестными (151).
6.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя неизвест
ными, геометрическая интерпретация (152). 6.1.3. Исследо
вание системы двух линейных уравнений с двумя неизвест
ными (153) ..
151
§ 6.2 . Определители второго порядка
.
.
.
.
.
.
.
.
155
6.2.1 . Основные определения. Формулы Крамера (155).
6.2.2 . Свойства определителей второго порядка (156).
§ 6.3 . Определители третьего и высших порядков и их при
ложения к системам линейных уравнений . . . . . . . . . 158
6.3.1 . Определители третьего порядка и формулы Крамера
для системы трех линейных уравнений с тремя неизвестны-
ми (158). 6.3.2. Разложение определителя третьего порядка
по элементам какой-либо его строки или столбца (160).
6.3.3 . Определители высших порядков (162). 6.3.4. Системы
п линейных уравнений с п неизвестными (162). 6.3 .5. Сис
темы однородных линейных уравнений (163).
§ 6.4 . Методы решения систем линейных уравнений
.
.
.
, 164
6.4.1. Метод Гаусса ( 164). 6.4.2. Метод простых итераций
(165). 6 .4.3 . Краткие указания по использованию вычис
лителыюй техники для решения систем линейных уравне-
ний (166).
Вопросы для повторения к главе 6
166
Упражнениякrлаве6... ...•·
.
167
Ответы, указания и решения к rлаве 6
169
6
Гл а в а 7. Матрицы и их приложения к системам линейных
уравнений........................175
§ 7 .1 . Матрицы и операции над ними
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
175
7.1 .1 . Основные определения (175). 7 .1 .2 . Своf~ства опера-
ции умножения матриц (177). 7 .1 .3 . Единичная матрица (179).
§ 7.2 . Квадратные матрицы
... ...... .......
179
7.2 .1 . Вводные замечания (179). 7 .2 .2 . Определитель квад
ратной матрицы (180). 7 .2 .3 . Обратная матрица (181).
7.2 .4 . Решение системы п линейных уравнений с п неизве
стными методом обратной матрицы (184).
§ 7.3 . Системы т линейных уравнений с п неизвестными 186
7.3 .1 . Предварительные примеры (186). 7 .3.2 . Ранr матри-
цы. У слови я разрешимости системы линейных уравнений с п
неизвестными (188).
Вопросы для повторения к главе 7
190
Упражнениякглаве7.........
191
Ответы, указания и решения к главе 7
192
Гл а в а 8. Прямые и плоскости в пространстве
.
.
196
§ 8.1 . Понятие о логической структуре евклидовой геомет-
рии.......................
196
8.1.1. Аксиоматический метод построения геометрии; основ
ные аксиомы стереометрии (196). 8 .1.2 . Некоторые следст
вия основных аксиом (199).
§ 8.2. Параллельность прямых и плоскостей
.
.
.
200
8.2.1 . Взаимное положение прямых и плоскостей (200).
8.2 .2. Признаки параллельности прямых и плоскостей (201).
§ 8.3 . Перпендикулярность прямых и плоскостей
.
.
203
8.3.1. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости
(203). 8.3.2. Перпендикуляр и наклонная к плоскости (205).
8.3.3. Проекция прямой на плоскость; угол между прямыми,
между прямой и плоскостью (206). 8 .3.4 . Теорема «о трех
перпендикулярах» (208).
§ 8.4. Взаимное положение плоскостей
.
.
.
.
209
8.4.1 . Угол между двумя плоскостями (209). 8 .4.2 . Признаки
перпендикулярности плоскостей (211 ).
§ 8.5 . Двугранные, трехгранные и многогранные углы
.
.
.
212
§ 8.6. Многогранники
... ..... ..... ..... 2 14
8.6 .1. Многогранник; элементы многогранника (214). 8 .6.2 .
Призма (215). 8 .6.3 . Пирамида (217). 8 .6.4 . Простейшие свой-
ства параллелепипеда (220). 8.6.5. Простейшие свойства пи
рамиды (221).
7
§ 8.7. Объемы геометриче~к~х тел·
8.7.1. Аксиомы объема (223). 8.7.2 .
ния объемов некоторых тел (224).
Формулы для вычисле-
223
ВQпро.сы .для повторе11ия к rл.аве .8
225
Упражнения к главе 8 •.•.......
226
Ответы, указания и Р-ешеиия,к rлаве 8
229
Г л а в а 9. Элементы векторной алгебры
._
.
.
.
..
234
§ 9.1 . Векторы и линейные операции над ними
234
9. Ц. Основн~е понятия (234). 9 .1.2 . Сложение и вычита-
ние векторов. Умножение вектора на число (236). 9 .1.3 . Про
екция вектора на ось. Разложение векrора по за11.анным
направлениям (238).
§ 9.2 . Векторы в декартовой rистеме координат
...... 242
9.2: 1; Декартова систем·а коорди11ат в пространстве. Коор
динаты вектора и их выражение через координаты его на
чала •и коюt·а (242). 9 .2 .2 . Линейные операции над векто
рами в координатной форме записи (244). 9 .2 .3 . Выражение
длины вектора через его координаты и чер.ез координаты его
начала и конца. Деление отрезка в заданном отношении (245).
9.2.4 . Векторы на декартовой координатной плоскости. По
нятие об т-мерных векторах (247).
§ 9,3. Дальнейшие операции над векторами
.
.
.
.
.
,..248
9.3 .1 . Скалярное умножение векторов (248). 9.3.2 . Вектор-
ное умножение векторов (251). 9 .3 .3 . Смешанное произве
дение векторов (254). 9 .3 .4 . Замечания о терминологии и
обозначениях (255).
Вопросы для повторения к главе 9
256
Упражнениякrлаве9.........
257
О·тветы, указаиия и решения к rлаве9
257
Глава 10. Тригонометрические функции
8
§ 10.1 . Тригонометрические функции числового аргумента и
их простейшие свойства
10.1 .1 . Радианное измерение дуг и углов (259). 10.1.2 . Обоб
щение понятия дуги (угла) (265). 10.1 .3 . Определение три
гонометрических функций числового аргумента (268).
10.1 .4 . Вычисление числовых значений тригонометрических
функций для некоторых значений аргумента (272). 10.1.5 . Из
менение тригонометрических функций при возрастании ар
гумента от О до 2n (274). 10.1.6 . Соотношения между три
rонометри 11ескими функциями одного и того же аргумента
259
259_
(279). 10.1.7 . Четность и нечетность тригонометрических
функций, их периодичность (282).
§ 10.2 . Формулы приведения
.
.
•
.
,· ......... 286
10.2 .1 . Свойство половины периода косинуса· к синуса (286).
10.2.2 . Тригонометрические функции взаимно дополнительных
аргументов (287). 10.2 .3 . Тригонометрические функции ap-
Jt
3:п:
гументов 2 +1Х, n ± IX, 2 ± а,, 2n~IX (289).
§ 10.3. Графики тригонометрических •функций
•...•
.
293
10.3.1 . Графики фунщий Y=~i~ х И.У=СОS х (293). J0.3.2. Гра
фики функций у= tg х и у= ctg х (295).
§ 10.4 . Обратные тригонометрические функции
... ... .
297
10.4.1 . Построение дуги (угла). по данным :;щачениям -синуса
и коси~уса. Функции arcsiri_x и arccos х _(297). 10.4.2 . По
строение дуги (угла) по данным _значе1Jиям _тангенса и котан
генса. Функции arctg х и arcctg х (301). 10.4.3 _.
Простейшие
тригонометрические уравнения. и_ неравенства_ (303).
§10.5.Формулысложенияиих,следс'!'вяя • . . . .. . • •
.
308
.
.
10.5.1 . Тригонометрические функции суммы и разности двух
аргументов (308). 10.5.2 . Тригонометрические функции уд
военного и половинного аргументов (311). 10.5 .3 .' Преобра
зование произведения тригонометрических функций в· сум
му (316). 10.5.4 . Преобразование алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение (318). 10.5.5 . Ре
шение примеров (327).
§ 10.6 . Непрерывность тригонометрических функций· и и:ю
производные.............•.
.
.
.
.
.
.
;.•.327
10.6.1. Неравенство Isin х / < /х/ < /tgх / и erQ следствия
(327). 10.6 .2 . Производные функции у= siп х, у= cos х.
у= tg х, у= ctg х (330). 10.6.3 . Производные обратных три
rонометри9еских функций (336).
§ 10.7. Тригонометрическая форма комплексного числа. По
каза,-ельная ·функция с комплексным показателем . . . . . 33"7
10.7: 1. Тригонометрическая форма комплексного числа (338).
10.7.2 . Показательная функция с комплексным показателем,
Формула Эйлера (342).
Вопросы для повторения к главе 10• . ,
Упражнения к r лаве 10 ......... .
Ответы, указания и решения к главе•10.
343
344
"354
9
Гл а в а 11. Прямые и плоскости в прямоуrольноlt системе ко-
ординат.........................359
§ 11.1 . Задание прямой линии на плоскости уравнениями в
векторнойикоординатнойформе.............359
11.1 .l . Уравнения прямой, проходящей через данную точку
в заданном направлении (359). 11.1 .2 . Общее уравнение
прямой (260). 11.1.3 . Специальные виды уравнения прямой
в предположении, что Bi=O (361). 11 .1 .4 . Угол между
двумя прямыми. Условия коллинеарности и перпендикуляр
ности (362). 11.1.5 . Примеры решения задач (364).
§ 11.2 . Задание плоскости уравнениями в векторной и коорди
натнойформе.......................365
11.2 .1 . Уравнения плоскости, проходящей через данную точку
в заданном направлении (365). 11.2.2 . Общее уравнение
плоскости (366). 11.2.3 . Примеры решения задач (367).
§ 11.3 . Задание прямой линии в пространстве
...
368
11.3 .1 . Векторно-параметрическое уравнение прямой и его
следствия (368). 11.3.2 . Примеры решения задач (369).
11.3 .3 . Задание прямой линии в пространстве как линии
пересечения двух плоскостей (371).
Вопросы для повторения к главе 11...
372
Упражнения к главе 11............
373
Ответы, указания и решения к главе 11.
374
Гл а в а 12. Кривые и поверхности второго порядка
.
.
375
§ 12. l. Кривые второго порядка
.
.
.
.
.
.
.
.
.
375
12. l. l. Окружность (375). 12.1.2 . Эллипс (375). 12 .1 .3 . Гипер
бола (377). 12 .1 .4 . Парабола (382). 12.1 .5 . Решение при
меров (383).
§ 12.2 . Поверхности второго порядка
.
.
.
.
.
.
.
383
12.2 .1 . Эллипсоид (383). 12.2 .2 . Гипер(олоиды (385). 12 .2 .3 .
Параболоиды (387). 12.2.4 . Конусы второго порядка (389).
12.2 .5 . Цилиндры второго порядка (390).
Вопросы для повторения к главе 12
391
Упражнениякrлаве12........
.
391
Ответы, указания и решения к главе 12
392
Пр ил ожени е. Таблицы некоторых элементарных функций , 393
ПРЕДИСЛОВИЕ
Дальнейшее развитие среднего специального образова
ния в нашей стране требует значительного улучшения и
совершенствования преподавания всех дисциплин. Его
содержание и методы должны соответствовать современ
ному уровню и перспективам развития науки и техники.
Это в значительной степени относится к преподаванию
математики.
Преподавание математики в техникумах должно быть
направлено на овладение учащимися математическими зна
ниями как средством решения технических задач. Наряду
с развитием математической культуры преподавание мате
матики имеет в виду развитие научного и логического
мышления у учащихся.
Предлагаемый «Курс математики для техникумов» пред
ставляет собой учебник, написанный в соответствии с новой
программой.
При написании учебника преследовались общие цели
обучения математике: овладение математическими мето
дами исследования; овладение языком математических
понятий; овладение определенным объемом математических
сведений. В связи-с изложенными целями одна из глав
ных задач, стоящих перед авторами, состояJiа в осущест
влении максимально компактного изложения програм
много материала. Решению этой задачи способствовало
основанное на школьной программе по математике свое
временное введение элементов теории множеств, матема
тической логики и векторного исчисления. Не поступаясь
логикой изложения и точностью определений и формули
ровок, удалось, как нам представляется, за счет рацио
нализации распределения материала и приемов изложения
существенно сократить физический объем учебника, не
уменьшая, а иногда и увеличивая количество информации
по сравнению с существующими учебниками и учебными
пособиями.
Одним из основных требований, предъявляемых к со
временному специалисту, является его способность само-
11
стоятельно пополнять свои знания, по мере необходимости
овладевать совершенно новыми разделами и дисциплинами.
Содержание . и методы обучения специалистов прежде
всего должны максимально подготавливать их к такого
рода деятельности.
Решение основных инженерно-технических задач сейчас,
как правило, проводится на высоком научном уровне,
с использованием достаточно продвинутого математиче
ского аппарата. Подавляющее большинство используемых
здесь математических моделей-это многомерные- модели.
Этим и обусловлено широкое использование в современной
технической литературе соответствующего математического
языка: векторов и функций от них, векторнозщ1чных
функций, матриц, и базирующихся на них понятий.
Исследование разнообразных технологических процес
сов показывает, что в ряде случаев детерминированные
модели оказываются слишком грубыми, что для достиже
ния нужной степени точности математического описания
требуется учет неконтролируемых флуктуаций большого
числа параметров. Отсюда возросшая роль теории веро
ятностей, математической статистики и смежных с ними
дисциплин.
Учитывая, что ход современного научно-технического
прогресса требует постоянного совершенствования и уси
ления математической подготовки специалистов, авторы.
наряду с разделами и темами, предусмотренными вводи
мой ныне в действие программой в качестве обязательной.
сочли целесообразным рассмотреть также и некоторые
вопросы, выходящие за рамки таковых, с тем, чтобы на
метить связи между этими вопросами и традиционной
частью курса, дать преподавателям возможность заблаго
временно подготовиться к их изложению.
В ~оответствии с программой в учебнике излагается
курс математики, рассчитанный на изучение в течение
двух лет, в объеме 380-4 ~0 учебных часов. Учебник
может быть также использован при прохождении курса
математики на базе десятилетнего обучения.
Учебник состоит из 21 главы. В каждой главе содер
жатся «Вопросы для повторения и упражнения», а также
«Решения, указания и ответы» к ним, что позволяет ис
пользовать учебник для организации всего учебного про
цесса по математике, не прибегая дополнительно к каким
либо сборникам задач.
ГЛАВА 1
ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 1.1. ~ещественные числа
1. i .1. Множество рациональных чисел. Одним из ос
новных понятий математики является понятие ч и с л а.
Эrо понятие прошло длительный путь развития, обога
щаясь новым содержанием. В этом параграфе будет дан
краткий обзор развития понятия числа.
Исторически первыми возникли в практике и были
введены в науку натур аль н ы е числ а. Натуральные
числа являются инструментом для счета количества от
дельных, как говорят в науке, дискретных предметов,
например количества людей в племени, количества паль
цев на руке.
Натуральные числа образуют бесконечное множ~ство,
которое принято обозначать буквой N:
N={1,2,3,4, ...}.
Пригодные для счета предметов натуральные числа
оказались недостаточными для других целей практики.
например для измерения длин отрезков и физических
величин. Возникла необходимость во введении долей еди
ницы и количества этих долей. Если, например, некоторая
величина разделена ·на п частей и взято т таких частей.
то вводят новое, так называемое дробное число ; . Заме
тим, что новое число является определенной комбинацией
пары (уже известных нам) натуральных чисел т и п.
Далее те же потребности измерения привели к необ
ходимости введения отри ц ат ел ь н ы х чисел, чтоuы
иметь возможность измерять величины, способные изме•
няться в двух пр от и в оп о ложных направлениях от
12
выбранной точки отсчета; например, если за начало от·
счета берется уровень моря, то для отметки положения
горы берется положительное число-высота горы,
а для отметки положения r лубины моря -от р и ц ат ел ь
н о е число. При изменении сил, действующих на пружину,
целесообразно силы, растягивающие пружину считать
пол о житель н ы ми, тогда силы, сжимающие пружину,
будут отрицательными.
Таким образом, каждому числу, натуральному или
дробному сопоставляется отрицателыюе число. Если число
(положительное) записать буквой а (или +а), то соответ
ствующее ему «противоположное» (отрицательное) число
записывается: -а.
Ко всем указанным числам присоединяется число О,
соответствующее начальной отметке при измерении (или
отсутствию предмета при счете).
Множество, состоящее из всевозможных положительных
и отрицательных целых и дробных чисел и числа О, на
зывается множеством рациональных чисел и обозначается
буквой Q.
Отрицательные числа, противоположные натуральным,
называются целыми отрицательными, и вместе с нату
ральными числами и числом О они образуют множество це
лых чисел, обозначаемое буквой Z.
Целые числа могут быть также записаны в виде дроби,
например:
-3
-З=-1.
Таким образом, всякое рациональное число предста
т
вимо в виде -
, где т-любое
целое число (m= О, +1,
п
+2, ... ), а п-натуральное число.
Очевидно, что N содержится в Z, а Z в Q
Nc.Zc.Q
(здесь с. -знак включения одного множества в другое:
Ас.В читается: множество А содержится в множестве В
или А есть подмножество множества В), так что Z есть
расширение множества N, а Q-расширение множества Z
и тем самым расширение множества N.
Обращаем особое внимание читателя на то, что поня
тие числа подразумевает не только ·его существование, но,
и это важнее всего, законы действий над числами и не-
14
которые отношения между ними. При этом основными
действиями являются «сложение» и «умножение» чисел, а
основным отношением между ними является сравнение
чисел, т. е. установление того, какое из двух чисел меньше
(больше), если такое сравнение-упорядоченность-воз
можно.
Действия сложения и умножения рациональных чисел
и соотношение сравнения для этих чисел удовлетворяют
следующим основным законам (свойствам):
1. а+Ь=Ь+а,
2. (а+Ь)+с=а+(Ь+с),
3. а+О=а,
4. а +(-а)= О,
5. а•Ь= Ь-а,
6. (а•Ь)-с= а-(Ь•с),
7. а-1 =а,
8. а,_!__=1 (a=i=0),
а
9. а(Ь+с)=а•Ь+а•с,
10. а<ЬиЬ<с⇒а<с,
11. а<Ь ⇒ а+с<Ь+с,
12. а<Ь⇒а-с<Ь•с(с>О) и а<Ь ⇒ а-с>Ь•с(с<О).
Здесь а, Ь, с-любые числа, если не оговорено про-
тивное; через О и 1 обозначены единственные числа нуль
и единица, обладающие соответственно с~ойствами 3 и 7
и (для любых а); единственное противоположное число (-а)
1
существует для любого а, а обратное число - (тоже един
а
ственное) существует для любого а =I= О.
Указанные свойства рациональных чисел дают возмож
ность обосновать известные арифметические операции над
рациональными числами.
Свойства 1.: .. _4
являются законами сложения; свой
ство 1 носит название переместительного или коммута
тивного закона; свойство 2 выражает сочетательный или
ассоциативный закон; аналогичны зако&ы умножения 5-6.
Свойство 9 связывает сложение с умножением и называется
распределительным или дистрибутивным законом умноже
ния относительно сложения; свойства 10-12 являются
свойствами упорядоченности (сравнения) чисел. При "'ТОМ
свойство 1О называется транзитивностью, а свойства 11
15
и 12 выражают правила сложения неравенств и умноже
ния их на число, отличное от нуля.
Из свойства 12 следуют известные правила знаков
для умножения рациональных чисел:
(+)(+)=+. (+)(-)=-,
(-)( -)=+.
если принять во внимание, что
а-0=0.
На множестве рациональных чисел разрешимы урав
нения вида
(br/= O).
Эта разрешимость обеспечена существованием противопо
ложного числа для любого данного числа Ь и обратного
числа для любого числа Ь =1= О.
В алгебре всякое множество чисел, действия над ко
торыми подчинены законам 1-9, называется полем.
Итак, множество рациональных чисел является полем.
При этом каждое рационаJ1ьное число называется элемен
том этого поля.
О множестве же, удовлетворяющем свойствам 1-12,
говорят как об упорядоченном поле.
Таким образом, множество рациональных чисел есть
упорядоченное поле чисел.
Отметим в заключение одно важное свойство множества
рациональных чисел, называемое свойством Архимеда. Оно
состоит в утверждении того, что для любого рациональ
ного числа а существует такое натуральное число п, что
п > а. Из этого свойства следует, что для любых двух
рациональных чисел а и Ь, где а > О, существует такое
натуральное число п, что па > Ь (почему? дайте геомет
рическое истолкование этого факта).
Из школьного курса математики известно, что любое
положительное рациональное число, кроме представления
т
в виде пары целых чисел, дроби -
, может
быть также
п
представлено в виде десятичной дроби; причем некоторые
числа могут быть записаны в виде конечной десятичной
3
дроби, например т= 0,75, а другие не могут быть запи-
саны так, что зависит от строения знаменателя, и тогда
возню{ает запись в виде бесконечной периодической дроби,
16
например
1
'
6 = О,1666... = О,1(6).
Итак, наряду с тем, что всякое рациональное число
может быть представлено в виде отношения целых чисел
!!!:.. , мы
можем дать равносильное определение: всякое
п
'
рациональное число может быть представлено бесконечной
периодической десятичной дробью.
3 а меч ан и е. Мы должны при этом писать
0,75= 0,75(0)
и число 0,74(9) можно считать равным 0,75(0).
1.1 .2 . Необходимость расширения множества рацио
нальных чисел. Потребности практики, а также внутрен
ние потребности самой математики, ее логического разви
тия, показали недостаточность множества рациональных
чисел для решения различных задач:.
Рассмотрим, например, задачу. Дан квадрат, сторона
которого в принятой для измерения единице равна числу l,
надо найти число х, выражающее длину диагонали этого
квадрата. В соответствии с теоремой Пифагора имеем
Х2=2, ИЛИ .Х=V2.
Таким образом, задача сводится к решению квадратного
уравнения, или, что одно и то же, к выражению символа
v2 посредством подходящего рационального числа (дру
гих чисел у нас пока нет!).
Однако среди целых чисел мы не найдем числа, квад-
рат которого равен 2, так как
•
l2<2, а 22>2,
следовательно, надо попытаться найти искомое число среди
дробей, т. е. положить
т
Х=
п
(разумеется числа т и п взаимно простые, иначе мы про
изведем сокращение).
Рассмотрение этого вопроса приводит к важной в прин
ципиальном отношении теореме.
Теорем а 1.1. Не существует рационального числа,
квадрат которого равен числу 2.
17
В самом деле, предположим, что имеет место равенство
где т и п взаимно просты. Тогда т 2 = 2п2, откуда сле
дует, что натуральное число т2 является четным, а в таком
случае и само число т-четное (почему?), так что
m=2p,
где р-натуральное число. Теперь имеем
4р2=2n2,
откуда следует, что n 2 = 2р2, т. е. что число п 2 четно, а
вместе с ним четно и число п.
Итак, мы пришли к тому, что числа т
ные, т. е. не являются взаимно простыми,
речит первоначальному предположению об
простоте. Теорема доказана.
ипобачет
что противо
их взаимной
Из этой теоремы вытекает, что диагонали нашего квад
рата н,ельзя сопоставить никакое число в качестве ее
длины, что противоречит нашему интуитивному представ
лению о том, что любой отрезок имеет длину.
Известно также, что часто встречающееся отношение
длины окружности к диаметру, обозначаемое л:, тоже не
может быть выражено рацио-
тт~-- А
нальным числом.
11·
1
Если изображать рацио-
,,~Arr
--"--с!''----'--11-'-'------''--~),► нальные числа точками на чи-
и12о
;r еловой оси, то каждому ра-
Рис. 1.1 .
циональному числу будет со
ответствовать одна и только
одна точка.
Построим теперь на отрезке числовой оси квадрат со
стороной, равной 1 (рис. 1.1 ).
Раствором циркуля, равным диагонали квадрата, от
метим точку на числовой оси. Так как мы показали, что
длина диагонали не выражается никаким рациональным
числом, то отмеченной точке оси не соответствует никакое
рациональное число. Следовательно, числовая ось не по
крывается рациональными числами.
Мы видим теперь, что множество рациональных чисел
далеко не удовлетворяет потребности практики, потреб
ности измерения геометрических величин и потребности
18
решений уравнения, например типа
xn=a,
где п и а-рациональные положительные числа.
(1.1)
1.1 .3 . Множество вещественных чисел. Задача преодо
ления недостаточности множества рациональных чисел
заключается, как видно теперь, в том, чтобы создать
новое множество чисел, расширенное, в котором для каж
дой точки числовой оси находилось бы числовое значение
в новом множестве чисел и в котором решалось бы, на
пример, любое уравнение вида ( 1.1 ).
Новое множество должно включать в себя как под
множество множество рациональных чисел Q, а также
допускать основные операции и отношения-сложение,
умножение, сравнение чисел. При этом законы действий
в новом множестве, будучи применимыми к множеству Q,
должны приводить к тем же результатам, которые :5ыли
установлены для этого множества чисел ранее (принцип
перманентности).
О п р ед е л е н и е 1.1. Вещественным числом называется
бесконечная десятичная дробь.
Пр ИМ ер 1.1 . Х1 =0,1212212221 ...
Здесь многоточие означает, что дробь бесконечна, а структура
записи показывает, что отсутствует повторение, т. е. периодичность
дроби.
Пр ИМ ер 1.2 . Х2 = 130,535353 ... = 130,(53).
Эта (':есконечная десятичная дробь периодична.
Пр имер 1.3. х3= V2= 1,41412...
Справа стоит непериодическая десятичная дробь.
Пр и мер 1.4 . х4 =л:=3,14159...
Чис.~о л: также представляется (':есконечной непериодической де
сятичной дробью.
Для множества положительных вещественных· чисел
устанавливаются следующие правила действий и сравнений.
1. Числа
а1=а,а1а2•••ak. . . и а2=Ь,Ь1Ь2•••bk . ..,
не содержащие девяток в периоде 1), равны тогда и только
тогда, когда
(k=1,2, ...).
1) Числа, содержащие девятку в периоде, заменяются (для срав
нения) равными им числами, с нулем в периоде (см., например,
Г. М. Ф и х те н r о л ь ц, Курс дифференциального и интеrральноrо
исчисления, М., Гостехиздат, т. 1, 1948, стр. 25--,26).
19
2. Число ai меньше числа а2 :
а1<а2,
тогда и только тогда, когда
а<.Ьилиа=Ь, а1= bi,а,=Ь2,••• , ak=bk, но ak+f<bk+i·
Если отбросить в положительном вещественном числе
все цифры после ak, то число
а:1,= а,а 1а2 ••• ak
...
с конечным числом знаков будет являться приближенным
значением числа а> О с недостатком, с точностью до 10-k.
Число
т. е.
или
Clk=а, а1а,...(ak-i+ })0, еСЛИ ak=9, а ak-l<9,ИТ.Д.
будет являться приблщж:енным значением числа а > Q с из
бытком.
Сумма а+ Р двух положительных вещественных чисел а
и р может быть определена как число, удовлетворяющее
неравенствам
ak+Pk < а+Р < ak+/fk
при всех k. (Мы не будем доказывать существование числа
а+Р, если а и Р существуют.)
Пример 1.5 . Для чисел а=О,1212212221 .. . и f:1=0,(53) имеем
0,1 + 0,5 < a+f:I < 0,2+0,6,
0,12 +о,53 < a+f:I < О,13+ О,54,
0,121 +о,535 < а-Н < 0,122+0,536,
Мы получаем сужающиеся границы для числа а+{:\.
Произведенuе а• р двух положительных вещественных
чисел а и р можно определить аналогично· как число,
удовлетворяющее неравенства_м
akpk <а~< a!,~k•
20
Пример1.6. Длятехжеа.и
~.
что и в предыдущем примере,
имеем
0,1 ·0,5 <а.-~< 0,2·0,6,
0,12-0,53 <а.-~< 0,13-0,54,
В случае произвольных вещественных чисел правила
действий и сравнений несколько сложнее, и мы их не
будем рассматривать.
Можно доказать 1), что множество вещественных чисел
обладает всеми указанными выше свойствами (1- 12) мно
жества рациональных чисе.11 Q. Поэтому множество ве
щественных чисел является упорядоченным полем. Мно
жество вещественных чисел обозначают буквой R. Множество
не от р и ц ат ел ь н ы х вещественных чисел обозначают
через R+, множество отрицательны~ вещественных
чисел обозначают через R--
Имеем
Qc::.R .
Множество вещественных чисел, так же как и мно
жество рациональных чисел, обл·адает свойством Архимеда.
Отметим, что множество вещественных чисел обладает
свойством не п ре рыв но ст и в смысле Кантора 2), кото
рым не обJ1адает множество рациональных чисел. Это
свойство непрерывности множества вещественных чисел
состоит в том, что для всякой системы вложенных отрезков
[а1, Ь1], [а2, Ь2], ••• ,
[а1" .Ьп], ... ,
где
(п;;;;:::2)
существует хоть одна точка, принадлежащая всем отрезкам.
1.1 .4 . Рациональные и иррациональные числа, их пред
ставление при помощи бесконечных десятичных дробеif.
Мы определили множество вещественных чисел как· мно
жество всех бесконечных десятичных дробей. Но среди
них, очевидно, имеются два подмножества-периодические
бесконечные и непериодические бесконечные др·оби.
Мы уже рассматривали бесконечные периодические
дроби,- они являются представлениями рациональных
чисел. Множество оставшихся вещественных чисел назовем
множеством иррациональных чисел.
1) См., например, Л. Д. К уд р я вц ев, Математический анализ,
т. 1, М., «Наука», 1970, гл. 1, § 1.
2 ) Более подробно см. об этом, например, в книге: Л. Д. К уд
р я вц ев, Математический анализ, т. 1, М., «Наука», 1970, стр. 17.
21
Следовательно, иррациональные числа-это множество
всех бесконечных десятичных непериодических дро
бей. Среди иррациональных чисел находятся такие, напри-
мер, как V2-корень уравнения Х2 =2\ как 2+VЗ
корень уравнения х2 -4х + 1= О, корни многих других
алгебраических уравнений, а также такие важные в мате
матике числа, как :тt, е и многие другие, не являющиеся
корнями алгебраических уравнений.
Теперь можно высказать следующее предложение о связи
между вещественными числами и точками числовой оси:
Между множеством вещественных чисел и точками чи
словой оси существует взаимно однозначное соответствие.
Это означает, что не только каждому вещественному
числу соответствует одна точка числовой оси, но и каж
дой точке числовой оси соответствует одно вещественное
число.
1. J.5. Абсолютная величина вещественного числа.
Согласно свойству 4, справедливому для всех веществен
ных чисел, каждому положительному вещественному числу а
соответствует отрицательное вещественное число -а.
Поэтому понятие абсолютная величина Iа I рационального
числа а, известное из школьного курса математики, обоб
щается на вещественные числа. По определению имеем
если а~ О,
если а< О.
Абсолютная величина вещественного числа обладает
следующими свойствами:
1. /а/~О, /-а/= /а/, а~\а/,
- a~la/.
2. la+~l~la/+1~1-
3. llal-l~ll~la+~l~[a\+1~1-
4. la•~l=\al•l~l-
5. 1; 1= \;: (~*О).
§ 1.2. Комплексные числа
1.2. 1. Необходимость дальнейшего расширения поня
тия числа. Дальнейшее развитие науки и практики по
казало недостаточность только что введенного множества
вещественных чисел.
22
Уже попытка решать такое простое по внешнему виду
уравнение, как
х2+1=О,
показывает необходимость дальнейшего расширения по
нятия числа. Кроме того, такие науки, как электротех
ника и различные разделы физики, рассматривают вели
чины сложной природы, которые не могут быть охвачены
понятием вещественных чисел.
В связи с этим возникла потребность нового расши
рения понятия числа.
1.2.2 . Комплексные числа. Мы будем определять комп
лексные числа и действия над ними аксиоматически,
используя известные нам вещественные числа.
Комплексным числом называется упорядоченная пара
вещественных чисел (а, Ь), т. е. если а ==I= Ь, то (а, b)==l=(b, а),
иесли(а,Ь)=(с,d),тоа=сиЬ=d.
Действия сложения и умножения для комплексных
чисел вводят определениями (аксиомами)
(а, Ь)+(с, d)=(a+c, Ь+d),
(а, Ь),(с, d)=(ac-bd, ad+bc).
Легко проверяется, что I<омплексные числа удовлетво
ряют всем требованиям поля 1-9 (см. 1.1 .1 ). Вместе с тем
оказалось невозможным ввести отношение меньше (больше)
между комплексными числами, с сохранением свойств
10-12 . Поэтому множество комплексных чисел есть
не упорядоченное поле. Оно обозначается буквой С.
Определим действия, обратные сложению и умножению.
1. Найти разность комплексных чисел (а, Ь) и (с, d).
Это по определению означает, что нужно найти такое
комплексное число (х, у), чтобы было
(с, d)+(х, у)= (а, Ь).
Имеем по ю<сиоме сложения
(с+х, d+y)= (а, Ь),
откуда по свойству упорядоченных пар имеем
с+х=а и d+y=b.
Следовательно,
Х=а-с и у=b-d.
Итак,
(а, Ь)-(с, d)= (а-с, b-d).
23
2. Найти частное комплексных чисел (а, Ь) и (с, d) =:/=
=:/= (О, О). Это по определению означает, что нужно найти
комплексн~е число (х, у) такое, что
(а, Ь)= (с, d)•(х, у).
По правилу умножения имеем·
(а, Ь)= (cx-dy, cy+dx),
откуда
а= cx-:::-dy и Ь= cy+dx.
Решая полученную систему; ·находим
.·
ac-f -bd
Ьс-аd
Х= cz+d:1 И У= cz+d2 •
Итак,
.(а,Ь)_(ас+bd ~)
(с,d)-
c2+d2 ' c2+d2 •
П р и м е р. 1.7. Даны два комплексных числа
21=(2, 7) И Zz=(3, -1).
Найти их сумму, разность, произведение, частное, вторую степень
первого из юiх.
Решение.
1. Z1-t-Z2=(2, 7)+(3, _: _1)=(5, &).
2. Z1-Z2=(2, 7)-(3, -1)=(-1, 8).
3. Z1·Z2=(2, 7)•(3, -))=(13, 19).
(•123)
4. Z1:Z2=.(2, 7):(3, -1)= -
10, l0
,
5. z1 = (2, 7)-(2, 7) = (-45~ 28).
В дальнейшем нам понадобится следующая форма за
писи комплексного числа (а, Ь):
(а, Ь)=(а, О)+(Ь, 0)-(0, 1).
(1.2)
В справедливости этой формулы легко убедиться, исполь
ауя правило умножения комплексных чисел. В самом
деле, мы имеем
(Ь, 0)-(0, 1)= (О, Ь).
(1.3)
Далее, пользуясь правилом сложения комплексных чисел,
найдем
(а, О)+(О, о)= (а, Ь),
что и доказывает справедливость (1.2).
24
Выделим теперь· из множества комплексных чисел те
из них, в которых вторые элементы пар равны нулю.
Пусть
z1 . (а, О) и z,=(b., О).
Произведем над ними действия сщ~жения, вычитания,
умножения и деления по правилам, установленным для
этих действий:
(а,·О)+(Ь, О)= (а+ь, О);
(а, 0)-(Ь, 0)- (а-Ь, О);·
(а, О)·(, О)=(аЬ, О);
(а, О):(Ь, 0)= (f, о) (Ь*О).
В то же время, если взять два вещественных числа а
и Ь, то их сумма, разность, произведение и частное будут
соответственно равны
•
•
а+ь, а-Ь, а•Ь и
а
7i
Итак, действия над парами вида (а, О) совпадают
с действиями над соответствующими вещественными чи
слами а.
Поэтому условимся пару вида (а, О) отождествлять
с соответствующим действительным числом а и будем пи
сать
(а, 0)= а.
(1.4)
Таким образом, множество вещественных чисел ока
зывается включенным во множество комплексных чисел:
Rc.C.
Теперь рассмотрим другое подмножество комплексных
чисел, имеющих нуль в качестве первого элемента пары,
т. е. числа вида (О, Ь) (Ь * О). Нас интересует квадрат
такого комплексного числа
Отсюда видим, что квадрат комплексного числа, в кото
ром первый элемент пары-нуль, равен комплексному
числу, в котором нулю уже равен второй элемент, причем
первый элемент есть отрицательное число; по соглашению
(1.4) пишем
25
Мы получили существенно новый факт: квадрат комплекс
ного числа определенного вида есть отрицательное веще
ственное число (что невозможно в - множестве веществен
ных чисел, где квадрат любого числа, отличного от нуля,
есть положительное число).
Введем для пары (О, 1) символ i,
(О, 1)= i.
Тогда имеем
i2 =-1.
Теперь любое комплексное число (а, Ь), пользуясь (1.2),
(1.3) и (1.4), можно записать в виде
(а, Ь)=а+Ьi.
Последняя форма называется алгебраической формой комп
лексного числа.
Комплексные числа а+ Ьi и а-Ьi называются взаимно
сопряженны.ми комплексными числами. Их сумма и про
изведение-вещественные числа:
(а+Ьi) +(а-Ьi)= 2а,
(а+Ьi)-(а-Ьi)= а2 +ь 2 •
Мы теперь можем решать любое квадратное уравнение
с вещественным и коэффициентами. При этом, если
корни комплексные, то они обязательно взаимно сопря
женные (почему?).
Например, для уравнения
х2 -4х+ 13= О
имеем корни
Xi= 2+3i и Х2= 2-Зi.
Заметим, что уравнение
х2+1=О
имеет (в множестве комплексных чисел) два решения
Алгебраическая форма комплексного числа позволяет
производить алгебраические действия сложения и умно
жения по следующему правилу: надо рассматривать вы
ражения вида а+ Ьi как многочлен и производить над
многочленами привычные алгебраические действия с по
следующей заменой i 2 на -1 . В частности, применяя это
26
правило к умножению взаимно сопряженных чисел, имеем
(а+Ы) (а-Ьi)= а2-Ь2 -i2 = а2 +ь2•
Пользуясь указанным правилом, деление комплексных
чисел можно производить так:
а+ Ьi = (а-1-Ьi) (c-di) ac+Ьd+(bc-ad),i = ас+Ьd + bc-ad ·i
c+di (c-f -di) (c-di)
c2 -f-d2
c2+d2
[,'2-f -d2 '
1.2.3. Геометрическое изображение комплексных чисел.
Как известно, вещественные числа могут изображаться
точками числовой оси. И вещественному числу а, как
элементу множества комплексных чисел а= (а, О), снова
соответствует точка числовой оси.
Для изображения любого комплексного числа (а, Ь) не
являющегося вещественным, очевидно, требуется точка
плоскости. Естественно комплексному числу (а, Ь) сопо
ставить точку плоскости (х, у) (рис. 1.2) с координатами
!J
ь
о
Рис. 1.2.
(1
:с
9
!/ _, ___ ____ ""1zcJ;+!ii
1
1
1
1
1
О123:с
:с
Рис. 1.3 .
х=а иу=Ь, т. е. точку М(а,Ь). Итак, мы установили
взаимно однозначное соответствие между множе
ством точек плоскости хОу и множеством комплексных
чисел.
Комплексное число (х, у) принято обозначать буквой z,
так что
Плоскость хОу, на которой изображаются комплексные
числа, называют комплексной плоскостыо z (рис. 1.3).
Точку М (а, Ь), изображающую комплексное число
а+Ы, отождествляют с самим числом, говоря что послед
нее расположено в точке М. Можно также говорить
-
о векторе ОМ (рис. 1.2), которому соответствует комп-
лексное число (а, Ь)=а+Ы.
27
Исторически сложилось так, что комплексные числа
вида (О,- Ь)= Ьi стали называть чисто мнимыми числами
и число i -мнимой единицей. Числа а и Ь называют со
Qтветственно вещественн_ой Re z и мнимой Im z 1 ) частями
комплексного числа z = а + Ьi. -
В соответствии с этим координатные оси числовой
комплексной плоскости называют вещественной и мнимой
!/
ь
о
-ь
Рис. 1.4 .
жение изображающей
скости.
;с
осями: на вещественной оси рас
положены вещественные числа,
а на мнимой оси - чисто мни
мые числа.
Взаимно сопряженные комп
лексные числа а+Ьi и а-Ьi
расположены симметрично от
носительно вещественной оси
(рис. 1.4).
Для комплексных чисел вво
дятся понятия модуля и аргу
мент~, которые вполне определя
ют комплексное число и поло
его точки на комплексной пло-
Модулем комплексного числа (а, Ь)=а+Ы = z (рис. 1.2)
называется вещественное число , = V а2 + Ь 2 ;;::, О; это число
равно расстоянию от начала координат до точки М (а,_ Ь),
-
изображающей комплексное число, или длине вектора ОМ.
Если рассматривать вещественное число а как частный
случай комплексного числа, то его модуль
Va2 +02 = lal
совпадает с абсолютной величиной числа а.
Модуль комплексного числа z = а+ Ы и моду ли его
вещественной и мнимой частей а и Ь связаны соотноше
ниями (см. рис. 1.2)
lal=IRezl<r, lbl=llmzl<r, 1z1::;;;;;1al+lь1.
Аргументом комплексного числа, отличного от нуля,
называется yroJI <р, на который надо повернуть положи
тельную часть вещественной оси до совпадения с векто-
---,..
ром ОМ. Этот угол-положительный, если поворот идет
1) Re и Im-начальные буквы французских слов Rcel и Imagi-
naire.
28
против часовой стрелки, и отрицательный в против1юм
случае. Например, аргументы чисел 1 + i и 1-i равны
соответственно ~ -
и - ; (почему?). Считают, что аргу
мент положительного вещественного числа равен нулю,
а аргумент отрицательного вещественного числа равен n.
Аргум.ент чисто мнимого числа Ы равен ; при Ь > О
:n:
и-2приЬ<О.
Модули взаимно сопряженных комплексных чисел
а+ Ьi и а-Ы равны, а •аргументы отличаются только
знаком (рис. 1.4).
Два комплексных числа равны тогда и только ·тогда,
когда их модули равны, а аргументы разнятся на число,
кратное 2n.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ
1. Какие числа называются рациональными?
2. Является ли множество· ·рациональных чисел полем, упорядо-
ченным полем?
•
3. Какое свойство множества рациональных чисел называется
свойством Архимеда?
4. Существует ли рациональное число, выражающее длину диа
гонали квадрата со стороной, равной 1?
5. Может ли быть выражено рациональным числом отношение
длины окружности к диаметру?
6. Как определяется множество вещественных чисе.11?
7. Как определяется сумма, произведение двух вещественных чнсел?
8. Является ли множество вещественных чисел упорядоченным
полем?
9. В чем заключается свойство непрерывности множества веще
ственных чисел?
10. Возможно ли представление рационального числа бесконечной
непериодической десятичной дробью?
11. В чем заключается взаимно однозначное соответствие между
вещественными числами и точками числовой оси?
12. Является Jш множество комплексных чисел упорядоченным
полем?
13. Возможно ли установить взаимно однозначное соответствие
между множеством комплексных чисел и точками некоторой плоскости?
14. Как определяется алгебраическая форма комплексного числа?
15. Каково соотношение между вещественными и комплексными
числами?
16. Почему комплексные корни квадратного уравнения (с веще:
ственными коэффициентами) обязательно являются сопряженными
комплексными числами?
17. Определяется ли однозначuо комплексное число своим аргу
ментом и модулем?
18. Может ли аргумент (модуль) компле1<сноrо числа быть выра
жен вещественным отрицательным числом?
ГЛАВА 2
МНОЖЕСТВА И ФУНКЦИИ
§ 2.1 . Множества
2 .1 .1. Основные понятия и определения. С понятием
множества читатель познакомился еще в начальной школе.
Использование этого понятия дало возможность сущест
венно упростить изложение целого ряда вопросов школь
ной математики, установить более тесные связи между
различными разделами курса.
В настоящее время теория множеств представляЕот собой
обширную область математики. В нашем курсе, для кото
рого элементы теории множеств носят вспомогательный
характер, мы ограничимся кратким изложением тех по
нятий, которые образуют «язык», используемый в даль
нейшем изложении.
Понятие множества относится к первичным, не
определяемым понятиям. Множество считается заданным,
если относительно каждого объекта можно установить,
принадлежит он множеству или нет. При этом, если
какой-либо объект принадлежит множеству, то он назы
вается элементом этого множества.
Приведем примеры некоторых множеств:
1) Множество слов в данной книге.
2) Множество окружностей, имеющих центр в данной
точке.
3) Множество N (множество натуральных чисел).
4) Множество Z (множество целых чисел).
5) Множество Q (множество рациональных чисел).
6) Множество R (множество вещественных чисел).
7) Множество С (множесегво комплексных чисел).
8) Множество положительных четных чисел, не пре
вышающих 1О.
30
В приведенных примерах само название каждого мно
жества точно определяет, какие элементы включены
в данное множество.
Еслиа является элементоммножества А(принад
л еж и т А), то обозначается это так:
аЕА,
если а не являет с я элементом множества А (не при
надлежит А), то пишут:
аЕА или а~А.
Например:
;ЕQ.но v2°ЕQ•
Множество А, состоящее из одного элемента а, будем
обозначать так:
{а}.
Множество, не содержащее ни одного элемента, называется
пустым. Так, пустыми являются:
1) множество точек пересечения параллельных прямых,
2) множество вещественных корней уравнения х2 + 1=0.
Пустое множество обычно обозначается символом е;.
Множества А и В называются равными (А= В}, если
любой (V) элемент одного из них принадлежит другому.
Используя знаки ~ (тогда и только тогда, когда),
⇒ (следует), /\ (и), можно записать определение равен
ства множеств А и В так:
(т. е. множества А и В равны между собой тогда и только
тогда, когда они содержат одни и те же элементы).
Например, множества натуральных чисел от 1 до
10 равны между собой независимо от того, в каком по
рядке расположены эти числа.
Множество В называется подАtножеством множества А,
если любой элемент множества В принадлежит множеству А.
Это мы будем записывать так:
Вс:А (иногда В с:: А).
Таким образом,
(Вс:А)~ (VxEB ⇒ xE А).
31
Пустое множество и само множество А называются
несобственными подмножествами множества А:
.rocA, АсА.
Все другие подмножества А называются ero собственными
подмножествами.
Пример 2.1.
1) NcZ.
2) Qc.R .
3) .Множество точек, лежащих внутри данного треугольника,
есть подмножество множества точек, лежащих внутри окружности,
описанной вокруг этого треугольника.
Очевидно, что
((ВсА) /\ (АсВ)) ⇒ (А=В).
Часто, в зависимости от целей исследования, выделяют
из данного множества А подмножества, все элементы
которых обладают некоторым общим свойством, причем
этим свойством обладают не все элементы множества А.
Всякое такое подмножество записывают в виде
{хЕА: ... }.
Эта запись читается: множество всех х, принадлежащих
множеству А, которые обладают свойством « ... ». Напри
мер, множество В натуральных чисел, меньших 3, можно
записать так:
B={xEN: х<3}={1,2}.
Часто встречается запись
М= {х: ... }.
Эта запись равносильна следующей:
M={xER: ... },
т. е. М есть множество вещественных чисел таких,
что «... ». Например, множество рациональных чисел
Q можно определить так:
Q={x: х=;, mEZ, nEN}.
2.1.2. Интервалы. Напомним ·обозначения подмножеств
множества R всех вещественных чисел, называемых ин
тервалами, которые могут быть как замкнутым и, так
32
и открытыми с одного или с обоих концов, а также
бесконечными в одну или обе стороны:
[а, Ь]={х: а~х~Ь}-замкнутый интервал (отрезок),
[а, Ь)={х: а~х<Ь},}
(а, Ь]={х: а<х~Ь} -полуоткрытые интервалы,
(а, Ь)={х: а<х<Ь}-открытый интервал,
(-оо, Ь]= {х: х~ Ь},
(-оо, [;)={х: х<Ь},
[а, +оо)={х: х~а},
(а, +оо)={х: х>а},
(-оо, +оо)={х: -оо<х<+оо}
-
бесконечные
интервалы.
Рассмотрим основные операции над множествами.
2.1.3. Объединение множеств. Объединением множеств А
и В или их суммой называется множество, состоящее из
тех и только из тех элементов, которые принадлежат
хотя бы одному из множеств А или В. Объединение мно
жеств А и В обозначается
Аuв.
Таким образом, используя символ V (или), можно за
писать:
(хЕ(АUВ))~((хЕА)V(хЕВ)).
Множества А и В могут при этом иметь общие элементы
и не иметь таковых, например
AUA=A.
П р и мер 2.2 . Рассмотрим несколько объединений множеств.
1) NUZ=Z.
2) NUR=R.
3) R+ UR- =R.
2.1.4. Пересечение множеств. Пересечением множеств
А и В называется множество, состоящее из всех тех и
только тех элементов, которые принадлежат каждому из
множеств А и В. Пересечение множеств А и В обозна
чается
AnB.
Таким образом, можно записать
(хЕ(АnВ))~((хЕА)/\(хЕВ))
2 П/ред. Н. М. Матвеева
33
или
АПВ={х:(хЕА) Л (хЕВ)}.
Пример2.3. Имеем
NПZ=N.
Если два множества А и В не имеют общих элемен-
тов, то, очевидно,
АПВ=,еJ.
Приведем еще несколько примеров пересечений.
Пр им ер 2.4. Пусть А-множество прямоугольников, В-мно
жество ромбов, М -множество квадратов. Тогда А П В= М.
Пр им ер 2.5 . Пусть А-множество четных чисел, Z-множе
ство целых чисел. Тогда АПZ=А.
Пр им ер 2.6. Пусть А-множество четных чисел, В-множе
ство нечетных чисел. Тогда АПВ=.0'.
2.1 .5. Произведение множеств. Пусть даны множества
А и В. Возьмем любой элемент а из А и любой элемент Ь
из В. Составим из этих элементов пары (а, Ь), считая,
что
(ai, Ьд = (а2, Ь2)~(а1= а2,bi= Ь2),
т. е. будем считать пару (а, Ь) упорядоченной.
Множество всех упорядоченных пар (а, Ь), а Е А,
Ь ЕВ, называется произведением множеств А и В. Произ
ведение множеств А и В обозначается Ах В:
(хЕ(АхВ))~(х=(а,Ь); аЕА, ЬЕВ).
Аналогично определяется произведение любого конеч
ного числа множеств Ai, А2, ••• , Ап, которое обозна
чается
AixА2х...ХАп.
Если множества равны, то их произведение называ
ется степенью множества, так что
АхА=А 2 •
По определению полагают
An= An-1xА.
Возьмем для примера два множества вещественных
чисел R. и R и расположим их на взаимно перпендику
лярных числовых (координатных) осях. Тогда множество
R х R = R 2 будет представлять собой множество всех пар
чисел вида (х, у) или множество всех точек координат
ной плоскости хОу.
34
Заметим, что
С=1=R2
(С-множество комплексных чисел).
Если Х= [а, b]c:R, У= [с, d]c:R, то
Ф=ХХУ
есть прямоугольник, представляющий собой произведе
ние отрезков [а, Ь] и [с, d] (рис. 2.1).
!J
d
ф
с
о
а
ь -:с
Рис. 2.1 .
2.1.6. Разность множеств. Разностью множеств А и В
называется множество, состоящее из всех тех и только
тех элементов, которые принадлежат А и не принадле
жат В. При этом не предполагается, что Вс:А. Если
Вс:А, то разность множеств А и В называется до
полнением множества В до множества А.
Разность множеств А и В обозначается
А""-В.
Таким образом, можно записать:
(х Е (А""-В)) ~ ((х Е А)/\ (х ЕВ))
или
(А""-В)= {х: х Е А, хЕВ}.
Рассмотрим примеры разностей двух множеств.
Пример 2.7 . Пусть
Z"'=Z"- . _{O},
где Z множество всех целых чисел. Пусть далее А-множество не
четных чисел, В- множество четных чисел. Тогда
Z*'-, .A=B, Z"''--B=A;
В-дополнение А до Z"', А-дополнение В до z•. Имеем
z•=AUB, АПВ=.0',
2*
35
П р и м е р 2.8 . Множество иррациональных чисел R"-.. Q есть до
полнение множества рациональных чисел до множества вещественных
чисел R.
Пр им ер 2.9 . Пусть А-множество всех прямоугольников, В
множество квадратов, С-множество разносторонних прямоугольни-
ков. Тогда А"-8 =С и А"-._С=В.
•
Пример 2.10. Q"-. .R=PJ.
2.1. 7. Взаимно однозначное соответствие множеств.
Эквивалентные множества. Мощность. Пусть А и В -
два множества. Пос:rавим вопрос: одинаково или нет коли
чество элементов в этих множествах. Если множества
к о н е ч н ы е, то мы можем сосчитать элементы каждого
множества и сравнить результаты счета.
Однако можно провести указанное сравнение и дру
гим образом. Пусть, например, необходимо сравнить
число зрителей в театре и число мест в театре. Если
окажется, что к началу спектакля все места заняты, то
число элементов множества зрителей равно числу мест.
В случае, если некоторые места окажутся пустыми, или,
наоборот, некоторым зрителям не оказалось свободного
места, ответ на изучаемый вопрос очевиден.
Для последнего способа сравнения множеств харак
терно, что для каждого элемента одного множества ока
зывается один и только один соответствующийему
элемент другого множества и обратно.
Этот способ дает возможность сравнить бесконечные
множества. Например, если сравнить множество N нату-
м
I
u
ральных чисел и множество
чисел вида N , то второи
способ сравнения сразу убеждает нас в том, что «коли
чество» элементов в множествах М и N одинаково. Разу
меется слово «количество» для бесконечных множеств
имеет условный смысл.
Проведенные рассуждения позволяют дать следующие
определения.
Определение 2.1. Пусть А и В-множества. Пра
вило <р, которое соотносит каждому элементу а Е А один
и только один элемент Ь Е В, причем каждый элемент
Ь Е В оказывается соотнесенным одному и только одному
элементу а Е А, называется взаимно однозначным соот
ветствием между множествами А и В.
Определение 2.2. Если.между .множествами А и
В можно установить взаимно однозначное соответствие,
то говорят, что эти множества эквивалентны или что
они имеют одинаковую мощность.
36
Понятие мощности обобщает понятие одинаковой чис
ленности конечных множеств.
2.1.8. Счетные и несчетные множества. Пусть N -
множество натуральных чисел
N={l, 2, 3, ..., п, ...}.
Определение 2.3. Всякое множество А, эквива
лентное множеству N, называется счетным.
Например, счетными являются множества
{п2}={l,4,9, ...}, {2n}={2,4,6,
... }.
Множество, не эквивалентное множеству N, назы
вается несчетным.
Можно доказать, что множество всех рациональных
чисел Q является счетным множеством, _а множество всех
вещественных чисел R несчетное 1). При этом, так как
множество рациональных чисел счетно, то множество
иррациональных чисел R"-._ Q несчетно, так что ирра
циональных чисел несравненно больше, чем рациональ
ных. Если мы удалим из числовой прямой все рациональ
ные числа, то останется несчетное множество точек.
2.1 .9 . Границы множества вещественных чисел. Чита
телю известно, что о множествах вещественных чисел
принято говорить как о линейных точечных множествах,
а об элементах множества вещественных чисел- как
о точках прямой. Напомним ряд определений.
Оп редел е ни е 2.4. Вещественное число М есть
верхняя (нижняя) граница множества У, У s;; R, если
для любого уЕУ имеем у~М (у~М).
Определение 2.5. Точной верхней (нижней) гра
ницей множества У, Y=R, называется наименьшая верх
няя (наибольшая нижняя) граница.
Имеют место обозначения:
sup у-точная верхняя граница,
inf у -точная нижняя граница.
Можно доказать, что каждое непустое множество У
У= R, имеющее верхнюю (нижнюю) границу, имеет точ
ную верхнюю (нижнюю) границу.
Множество, имеющее верхнюю и нижнюю границы,
называется ограниченным.
1) См., например, Л. Д. К уд р я вц ев, Математический ана
лиз, т. I, М., «Наука», 1970.
37
2.1.10. Понятие об е-окрестности. Приведем известные
читателю определения в-окрестности.
Определение 2.6 . в-окрестностью точки а в мно
жестве действительных чисел называется любой откры
тый интервал вида (а-в, а+е), содержащий точку х=а
(рис. 2.2).
2t
~
а-е
а
а+&
Рис. 2.2.
Это определение может быть дано в следующем виде.
Оп ред еле ни е 2.7 . в-окрестностью точки а в мно
жестве действительных чисел называется множество всех
точек х таких, что
\х-а/ < е.
В дальнейшем открытый интервал, являющийся в-ок
рестности точки а, будем обозначать Re (а).
§ 2. Функция
2.2 .1 . Функция и отображение. Определение 2.8 .
Пусть даны два непустых множества Х и У. Если каж
дому элементу х из Х ставится в соответствие один и
только один элемент у из У
(\fxЕХ)---+уЕУ,
то говорят, что на множестве Х задана функция f (ото
бражение) со множеством значений в У:
f
х---+ У, или f: х---+ У.
Другими словами, Х отображается в У с по
мощью функции f (f •осуществляет ото~ражение Х в У).
Тот факт, что f отображает Х в У, можно записать
в виде
У= f (х),
где х-аргумент, f (х), или у-значение функции f. Мно
жества Х и f (Х), где
f(X)={yEY; 3хЕХ, y=f(x)}
(множество всех у из У, для которых существует х из
38
Х такой, что у= f (х)), называются соответственно мно
жеством задания функции и множеством значений функ
ции. Отметим, что множество значений функции f (Х)
может как совпадать с множеством У, так и быть его
частью.
В предложенном определении общего понятия функции
множества Х и У могут иметь любую природу. В даль
нейшем мы будем заниматься изучением функций
f
Х-+У, X=R, Y=R,
называемых числовыми.
П р и м е р 2.11.. Рассмотрим функцию у= х2• Здесь каждому
числу х ставится в соответствие квадрат этого числа. Таким обра
зом,дляфункции у=х2 имеем Х=Rиf(Х)=R+.
Пример2.12. Для функции у=
- V 1-х2 множество задания,
следуя понятию арифметического корня, определяется решением не
равенства 1-х 2 ~0. т. е. Х=(-1, 1]. Множество значений функ
ции, очевидно, f (Х) = [О, 1], являющееся частью множества У= [О,+ оо ).
Способы задания функции посредством формул назы
ваются ан ал и т и чес к им и. Заметим, что функция
может определяться различными формулами на разных
интервалах из множества R.
Пример2.13.
{ y=l,
у=х2 + 1,
хЕ(-оо, О],
хЕ[О, оо).
2.2.2. График функции. Пусть на множестве Х задана
функция f со значениями в множестве У. Рассмотрим
произведение множеств Х и У. Обозначим его через Ф:
ХхУ=Ф.
Элемент <р множества Ф есть пара (х, у):
(J)=(X, у)ЕФ.
Графиком функции f
называется подмножество множества Ф, определяе.+юе
соотношением
f={ер: <р =(х,у),у=f(х)}
(график функции f есть множество значений <р таких,
что ер есть пара (х, у), где у= f (х)).
39
Возьмем на координатных осях прямоугольной си_стемы
координат два отрезка, которые будут геометрически
изображать множества Х и У. Построим множество Ф -
прямоугольник со сторонами Х и У. Тогда элементами
!/
у
о
х
Рис. 2.3.
множества Ф являются точки с
координатами х, у.
График функции f будет пред
ставлять собой кривую (лежащую
в прямоугольнике Ф), все точки
которой имеют координаты х, у,
удовлетворяющие заданному соот
ношению У= f (х) (рис. 2.3).
:с
Заметим, что всякая прямая,
параллельная оси Оу, пересекает
график функции f не более чем
в одной точке.
В практике решения прикладных задач, связанных
с построением функций, используется графический способ
задания, при 1<0тором соответствие между множествами
Х и У устанавливается при помощи графика (например,
снимаемого в процессе физических экспериментов с осцил
лографа). Функцию задают графически в тех случаях,
когда аналитическое задание затруднительно и к а чес т
в е н н а я картина поведения функции хорошо п росматри
вается на графике.
!/
~ х~~
Рис. 2.4.
Рис. 2.5.
Рис. 2.6.
Рис. 2.7.
Заметим, что построение графика функции, заданной
аналитически, обычно возможно с любой заданной сте
пенью точности, например графики функций, рассмотрен
ных выше, имеют вид
40
1) у= х2 (рис. 2.4),
1
2) у= - (рис. 2.5),
х
3) {у=l,хЕ(-оо, О],
y=x2 +I, хЕ[О, +оо] (рис. 2.6),
4) У= Vl-x2 (рис. 2.7).
Обратная задача-аналитическое представление функ
ции, заданной графически, в неэлементарных случаях
является очень сложной.
2.2 .3. Основные характеристики числовых функций.
Напомним определения основных свойств числовых
функций.
Функция у= f (х) называется возрастающей на интер
вале (а, Ь), если для любых х1, х2, (х1, х2) =(а, Ь), имеет
место соотношение
Х2>Х1⇒f(х2)>f(х.).
Функция у= f (х) называется убывающей на интервале
(а, Ь), если для любых х1 , х2 , (х1 , х2 ) s::::; (а, Ь), имеет место
соотношение
Х1>Х1⇒f(Х2)<f(Х1).
Функция у= f (х) называется неубывающей (невозрас
тающей) на интервале (а, Ь), если для любых х1 , х2 ,
(х 1 , х2 ) = (а, Ь) имеет место соотношение
Функция у= f (х) называется ограниченной, если огра
ничено соответствующее множество f (Х) значений функ
ции (см. п. 2.1 .9).
Функция у= f (х) имеет в точке х0 максимум (мини
мум) f (х0 ), если существует Re (х0 )-окрестность точки х0
такая, что для
выполнено неравенство
f(х0)>f(х) (f(х0)<f(х)) (х=#=х0).
(2.1)
Если в точке х0 функция f (х) имеет максимум, то мы
будем кратко писать
maxf(х)=f(х0),
а если в точке х0 функция f (х) имеет минимум, то мы
будем писать
miпf(х)= f(х0).
Максимум и минимум функции называются экстрему
мами. В точке максимума (минимума) функция у= f (х)
изменяет характер поведения от возрастания на убывание
(от убывания на возрастание).
41
Наибольшим (наименьшим) значением функции на мно
жестве Х0 называется значение f (х0 ), х0 Е Х 0 такое, что
Vx =I= х0 , х Е Х0 , выполнено неравенство (2.1 ).
Функция у = f (х) называется четной (нечетной), если
выполняются соотношения
f (-х) =f (х) (f (-Х)= -f (х)).
Функция у= f (х) называется периодической с перио
дом Т, если выполняется соотношение
f(х+Т)=f(х).
Изучение описанных выше свойств дает возможность
проводить исследование поведения функции.
2.2.4. Арифметические операции на множестве число
вых функций. Рассмотрим понятия суммы, произведения
и частного двух функций.
Суммой двух функций f 1 и f 2 называется функция f,
которая каждому числу х ставит в соответствие число
f1 (х) +f2 (х).
Пусть функция f 1 определена на множестве Х 1 , а функ
ция f2 определена на множестве Х 2 ; тогда областью опре
деления функции f (f (х) = f 1 (х) + f 2 (х)) является множе
ство Х, являющееся пересечением множеств Х 1 и Х2 .
Пр им ер 2.14 . Рассмотрим функцию
f(x)= Yl-x2 + Ух2 -1,
f1 (x)=Yl-x2 ,
X1={xER, )х/,;;;;;1},
f 2 (x)=Yx2 -I, X 2 ={xER, /х/:;;:,,1}.
Область определения функции f (х)
Х=Х1 ПХ2 ={-1, 1}
-
две точки. В этих точках f (х) =0 (рис. 2.8).
42
о
+1
Рис. 2.8.
Аналогично для функций f1 и f2
хЕ Х1 сХ,
ХЕ Х2 сХ,
определяются произведение f (f (х)= f i (х) f 2 (х))
х !:~у с.х nx
,
Хёi
2,
и частное f (t (х) =~:~:о
f1
Х~У, xEX1 nX2, f 2 (x)=1=0.
2.2 .5. Понятие об образе и прообразе. Классификация
Qтображений. Пусть множество Х отображается в мно
жество У при помощи функции f:
f
х -У.
Пусть А - некоторое подмножество Х:
Ас:Х.
Тогда множество
B=f(A)={yEY: VxEA, y=f(x)}
называется образом множества А при отображении f, при
чем всегда Вс:У (рис. 2.9).
Пусть В-некоторое подмножество множества У. Тогда
множество
f-1 (В)= {х Е Х: VyЕВ, у=f(х)}, f-1 (В)с:Х
называется прообразом множества В. Множество 1- 1 (В)
есть та часть множества Х, которая отображается в В
при помощи функции f.
!/
о
А
Рис. 2.9 .
:с
!!
у
о
~
r
х
;с
Рис. 2.10.
Отображение такое, что У= f (Х), т. е. такое, что
образы точек множества Х заполняют все множество
У, называется сюръективным или отображением «на»
(рис. 2.1 О) и обозначается
f
x-v.
на
43
Заметим, что различные точки множества Х могут
при сюръективном отображении иметь один и тот же
образ из У.
Отображение такое, при котором каждому значению
х из Х соответствует одно значение у из У и, обратно,
прообразом у Е f (Х) является одно значение х, называ
ется инъективным или отображением «в» и обозначается
f
x-v.
в
При инъективном отображении множество Х может
отображаться не на все множество У, а в его часть.
Взаимно однозначное отображение «на», т. е. отобра
жение, являющееся одновременно инъективным или сюръ
ективным, называется биективным.
Отметим, что отображение
t
Х-+Х: f(Х)=Х
11а
•
называется тождественным преобразованием.
2.2.6. Понятие об обратной функции. Свойство биек
тивной функции. Сужение функции. Отметим прежде всего,
что понятие «обратная функция» вводится только для
инъективных функций.
Пусть множество Х отображается в У при помощи
некоторой инъективной функции f:
f
Х-,.У.
в
Пусть далее
т. е. У 0 -образ множества Х:
У 0 ={у: уЕУ, y=f(x)}.
Тогда, так как f инъективна, то для любого у Е УO суще
ствует и притом единственный (!) элемент х Е Х такой,
что у= f (х):
VyЕУо3! хЕХ, у=f(х).
Тем самым на множестве У O определена некоторая функ
ция. Эта функция называется обратной к функции f и
обозначается f- 1 :
,-,
у --+Х
ов
44
или
Х= ,-l(у).
Заметим,чтоеслифункция1-1 биективна, то функ
ция, обратная обратной, есть сама функция f:
a-1)-l=f.
П р и м е р 2 .15. Построим обратную функцию для функции
у= Vx. В области определения [О, +OQ) эта функция инъективна.
Перепишем функцию в виде
Х=У2, УЕ[О, +OQ).
Таким образом, обратной функцией для функции у= Ух будет
функция у=х 2, хЕ[О, +OQ).
Пусть задана функция f на множестве Х, так что
f
х-,. У.
в
Возьмем Х 0 -часть множества Х
Х0с::Х
и определим функцию
равенством
f0 (x)=f(x) при хЕХ0•
В таком случае функция fO называется сужением
функции f.
В рассмотренном выше примере функция у= х2
при х Е [О, +оо) является сужением функции у= х2 , где
х Е (-оо, +оо).
2.2.7. Понятие о суперпозиции функций. Пусть
(J)
х-,. У,
в
т. е.
VxEX-yEY, У= (f) (х).
Пусть далее
f
у -,.z,
в
т. е.
VyEY-zEZ, z = f (у).
Тогда, если существует 'Ф такая, что
1j)
x-z,
в
45
т. е.
то функция 'ljJ называется сложной и является суперпо
зицией функций f и qJ:
'\j,= f ((1)) ИЛИ Z= f ((1) (х)).
При этом аргумент х будем называть независимой
переменной, а аргумент у= qJ (х)-промежуточным аргу
ментом.
Например, функция z = lg (х + 1) является суперпози
цией линейной функции у= х+ 1 и логарифмической
функции Z= lgy.
2.2.8. Явные и неявные функции. Как показывалось
выше, функция f может быть задана уравнением, связы
вающим переменные х и у
У= f (х),
разрешенным относительно у. Такое задание функции
называется явным.
Например,
y=2x-f -1, у=Х 2 , у=2х, y=Igx.
Если функция f задана уравнением, связывающим
переменные х и у, неразрешенным относительно у, то
такое задание функции называется неявным.
Рассмотрим, например, функцию ху = 1, заданную
в неявном виде. В явном виде эта функция задается
уравнением у= 1/х, и каждому ненулевому значению х
ставит в соответствие обратное ему число у. Здесь, оче
видно,
X={xER, х~О}, Y={YER, у::1=0}.
Разрешив уравнение, которым задана неявная функция,
относительно у, мы переходим к явному заданию (прак
тически такое разрешение возможно далеко не всегда).
Уравнение, задающее неявную функцию, записывают
в виде_
F(х,у)=О.
2.2.9. Параметрическое задание функции. Рассмотрим
две функции
Х= (j) (t), У= 'ljJ (t),
(2.2)
46
и предположим, что в рассматриваемой области измене•
ния t функция Х= <р (t) инъективна. Тогда (см. п. 2.2 .6)
существует обратная функция
t= g(x).
(2.3)
Подставляя (2.3) во вторую из функций (2.2), получим
У= '1' (g(x)).
(2.4)
Таким образом, мы показали, что задание двух функ
ций (2.2) равносильно заданию функции (2.4). Это видно
и непосредственно из (2.2), ибо для каждого значения t
из (2.2) находится пара значений х и у, соответствующих
друг другу.
Задание функции в виде (2.2) называется параметри
ческим, t-параметр.
2 .2 .1 О. Элементарные функции. Классификация элемен
тарных функций. В этой книге мы рассматриваем, за
редким исключением, так называемые элемент а р н ы е
функции. Сюда относятся следующие классы функций:
1. у= с, где c=.const.
2. у=хμ-степенная функция.
Для степенной функции: μ Е R, Х= О допускается лишь
1
приμ>О,еслиμ-целоечисло,илиμ=2m+1 ,гдет-
1
целое число, то х Е R; если μ= 2m , где m-целое число,
или если ft-иррациональное число, то х Е R +·
3. у=ах, аЕ(О, 1)U(1, +оо), -
показательная
функция.
4. y=logax, хЕ(О, +оо), аЕ(О, l)U(l, +оо),-ло
гарифмичес1<ая функция.
•
(n
n
'
5 1). у= sшх; y=cosx;y=tgx,x Е - 2 +пл:, 2 +пл: )_;
у= ctg х, х Е (пл:, n + пл:), -тригонометрические функции.
6. y=arcsinx, хЕ[-1, 1]; y=arccosx, хЕ[-1, 1];
у= arctg х, у= arcctg х, - обратные тригонометрические
функции.
у= arcsin х-функция, обратная к сужению функции
•
[nn]
у=sшх на промежуток - 2 , 2 ;
1) Последующие функции подробно изучаются в главе 10 «Три
гонометрические функции». l(раткие сведения 9б этих функциях были
даны в средней школе.
47
У= аrссоsх-функция, обратная к сужению функции
у= cosx на промежуток [О, п];
у= аrсtgх-функция, обратная к сужению функции
у= tgx на промежуток (-;, ;) ;
у= arcctg х-функция, обратная к сужению функции
у= ctg х на промежуток (О, :rt).
Указанные классы функций будем называть пр о ст ей
ш им и кл а с с а ми элементарных функций. Если функ
ция f (х) принадлежит одному из этих классов или может
быть получена из таких функций при помощи четырех
арифметических действий и суперпозиций функций (опе
раций взятия функций от функции), последовательно при
мененных к он е ч но е число раз, то мы будем называть
ее элементарной функцией. Например, функции
1) У= Vа2-х2,
3) у=lgx2,
5) у= (х+ 1)2,
3.-.....L 3-х
2)у= ·2
4) у=Zx2,
6) у=х2+1
х
-
суть элементарные функции; функция у= 1х !-тоже
элементарная, ибо она может быть представлена в виде
и=v~2-
.
Функция, заданная формулой вида
р (х)= аохп +a1xn-l + • • • +ап-1х+ап,
где а0 , а1 , ••• , аn-постоянные вещественные числа, на
зывается целой рациональной функцией или многочленом
(полиномом) степени п.
•
Функция
(2.5)
где Р (х) и· Q (х)-многочлены, называется дробно-рацио
нальной функцией или рациональной дробью. Рациональ
ная дробь (2.5) называется правильной (неправильной),
если степень многочлена Р (х), стоящего в числителе,
меньше (больше или равна) степени многочлена Q (х),
стоящего в знаменателе.
2.2.11 . Показательная функция. Определение 2.9 .
Показательной функцией называется функция
у=ах, xER, аЕ(О, l)U(l, оо).
48
Напомним основные свойства показательной функции:
1) показательная функция инъективна;
2) при всеххЕRимеем ах>О;
3) при а Е ( 1, оо) функция неограниченно возрастает,
при а Е (О, 1) функция убывает, принимая значения, сколь
угодно близкие к нулю.
В соответствии с этими свойства
ми показателъной функции при а > 1
график ее обладает следующими свой
ствами (рис. 2.11 ).
1. Весь график расположен в
верхней полуплоскости, т. е. там, где
ординаты положительны.
2. Всякая прямая, параллельная
оси Оу, пересекает график и притом
только в одной точке.
!J
о
:с
Рис. 2.11 .
3. Из двух точек графика выше расположена та, ко
торая лежит правее, т. е. по мере продвижения слева
направо график поднимается вверх.
4. На графике имеются точки, лежащие выше любой
прямой, параллельной оси Ох. На графике имеются точки,
лежащие ниже любой прямой, проведенной в верхней
полуплоскости параллельно оси Ох.
В левой своей части график, если наблюдать за ним
справа налево, все ближе подходит к оси Ох, как бы
стремясь коснуться ее. Однако гра
фик нигде не касается оси Ох.
5. Всякая прямая, параллельная
оси Ох и лежащая в верхней полу
плоскости, пересекает график и при
том только в одной точке.
6. При всех а график проходит
через точку (О, 1). Это объясняется
тем, что при любом положительном а
а0=1.
!J
:с
Рис. 2.12 .
Если а< 1 график функции у= ах имеет вид, указан
ный на рис. 2.12.
2.2 .12. Логарифмическая функция. Связь с показатель
ной функцией. Напомним определение логарифма.
Определение 2.10. Логарифмом числа N по осно
ванию а называется показатель степени, в которую надо
возвести а, чтобы получить N, т. е.
N=alogaN.
49
Оп редел е ни е 2.11. Логарифмической функцией на
зывается функция
Y=logax, хЕ(О, оо), аЕ(О, l)U(l, оо).
В силу инъективности функции у= ах всякое поло
жительное число у при а Е (О, 1) U( 1, оо) имеет единст
венный логарифм
Х= logaY·
Таким образом, функции У= ах и у= lоgах-взаимо
связаны. Рассмотрим подробно связь между логарифми
ческой и показательной функцией.
Показательная функция дает описание изменения сте
пени числа а в зависимости от изменения показателя
степени; логарифмическая функция ·дает описание изме
нения показателя .степени в зависимости от изменения
степени числа а.
Иными словами, показательная функция дает описа
ние изменения числа в зависимости от изменения его
логарифма по основанию а; логарифмическая функция
дает описание изменения логарифма числа по основанию а
в зависимости от изменения числа.
Таблица значений показательной функции при данном
основании а является одновременно и таблицей значений
логарифмической функции при том же основании а.
График показательной функции у= ах является одно
временно и графиком логарифмической функции Х= logay
(см. рис. 2.11, 2.12), только в одном случае значения
независимого переменного отложены на горизонтальной
оси, а значения функции-на вертикальной; в другом
случае, наоборот, значения функции отложены на гори
зонтальной оси, а значения независимого переменного -
на вертикальной.
Показательная функция при основании а и логариф
мическая функция при том же основании представляют
пример двух обратных друг другу функций.
Обычно принято значения независимого переменного
обозначать буквой х и откладывать на горизонтальной
оси, а значения функции обозначать буквой у и откла
дывать на вертикальной оси.
Если придерживаться этого правила, то для функции
у= ах обратной будет функция у= loga х, а графиком
функции у= loga х будет служить кривая, получаемая из
50
графика функции у= ах (рис. 2.13) посредством преоб
разования симметрии относительно прямой у= х, т. е.
посредством переноса каждой точки М (а, Ь) в точку
М1 (Ь, а).
Если у логарифмической функции за основание при
нять число е= 2,718281828459045... (об этом числе см.
подробнее в пп. 3.1 .4 и
3.2.3), то для логарифми
ческой функции вводится
особое обозначение:
у= logeX= lnx,
и функция эта называет
ся натуральным логариф
мом х.
Очень часто от лога
рифмов
!f
ь
при основании а надо пе-
Рис. 2.13.
рейти к логарифмам при
другом основании. По определению логарифма (2.6)
можно переписать так:
X=aJI.
Беря от правой и левой частей логарифм при основании Ь,
получим
откуда
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К: ГЛАВЕ 2
1. Приведите примеры множеств.
2. Что такое подмножество множества?
3. Дайте определения основных операций над множествами.
4. У становите взаимно однозначное соответствие между двумя
(закрытыми) интервалами на числовой прямой.
5. Поставим в соответствие каждому человеку его имя. Является
ли это взаимно однозначным соответствием между множеством людей
и множеством имен?
6. Сколькими способами можно установить взаимно однозначное
соответствие между множествами {А, В, 1, 5} и {1, 2, 3, 4}?
7. Докажите следующие равенства:
1°. АПВ=ВПА.
~-~ПЩПС=АП~nq.
•
51
3°. AUB=BUA.
4°. (А UB)UC=A U(BUC).
5°. АП(ВUС)=(АПВ)U(АПС).
6°. AU(BПC)=(AUB)П(AUC).
7°. АПА=А.
8°. АUA=А.
9°. А U.0 =А.
8. Дайте определение функции (отображения).
9. Дайте определения основных характеристик числовых
функций.
10. Что называется образом (прообразом) множества при задан
ном отображении?
11. Что называется обратной функцией? Для каких функций
можно построить обратные функции?
12. Что называется суперпозицией функций (сложной функцией)?
13. Какие способы задания функции вам известны?
14. Перечислите элементарные функции; укажите их области
определения и области изменения; постройте графики.
15. Опишите свойства показательной и лоrарифмическо:1 <j;ункции.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2
1. Пусть f(х)=х2 -Зх+2. На_йти f(O), f(2), f(3).
2. Пусть f(x)=2x2 -4x+5. Уседитесь в том, что f(-l)=f(3).
Что больше: f (0) или f (\).
2
<р (3)- <р (2)
з. Пусть <р (и)= и • Вычислите <р (3) + <р (2).
4. Пусть f (х) =х2 + 1. f-!апишите выражение для f (х+2).
5. Пусть f (x)=x+l, <р(Х)=х-1. Напишите выражения для
а) f(х)+<р(х) б) f(х)+<р(у) в) f(х)+<р(у)
f (х)-с:р(х)'
/iX)q>(у) '
f (х•у) •
6. Дайте аналитическую запись о·братной функции (с указанием
области определения) для следующих функций:
1
а)у= 2 х-1, б)у=х6, в)у=Зх, r)y=Vl-x3 •
7. Даны функции у=(4-и) 2, и=2х+з. Выразите формулой
функцию у= у (х).
8. Даны функции f(x)= Vx 2 1, <р(х)=х-1. Каковы обJ1асти
определения функций:
а) f(<р(х)), б) <р(f(х)), в) f(f(х)), r) <р(<р(х))?
9. Паны функции f (и)= 1-и2 , <р (х) = \ -2х. Выразите форму
лой функцию 1· (<р (х)).
10. Найдите область определения и область изменения каждой
из следующих функций:
•
52
а)у=V\ х2,
в) у= Ух-1,
д)и=Vх2 4,
б)y=--
Vl-x:1'
r) У= vт=х.
е)У=VW
х
ж) У=х-2'
1
з) У=х11- \'
х
и)у=-2-1 •
х-
к) y=2x-V \ х2•
11. Найдите область определения и область изменения функций:
/
зх+ 3-х
а)у=3 1 Х,
б)у=2,
3х_ 3-х
в) У=
2•,
3х_3-х
г) у=3х+3-х·
12. Найдите область определения и область изменения функций:
а) y=lg(x2 -Зx+2),
б) y=lg(x2 +x+ I),
в) у= lg (-х2 +х-1).
13. Укажите, какие из перечисленных функций являются четными:
а) у=х2+ J х 1, б) у=х2-х, в) ус::хЧ-с,
k
г) y=kx,
д) у=х2 -х, е) У=х,
1
ж) у=-2--1·
х-
14. Укажите, какие из перечисленных функций являются нечет
нымю
а) y=xlxl, б) y~JJxJ-xl, в) y=lgJx/,
1
г)Y=llgxJ, д) У=х2+1,
х
зх+ 3-х
е)у=х2-1•ж)у= 2 •
15. Докажите, что функция у= f (х) +l (- х) является четной.
16. Докажите, что функция у= f (х)-1 (-х) является нечетной.
17. Представие любую функцию f (х), заданную в интервале,
симметричном относительно точки х = О, в виде суммы четной и не
четной функций.
18. Как по графику функции у= f (х) построить графики сле-
дующих функций:
а) y=f(x)+b, б) y=f(x-a), в) y=- f(x),
г) y=kf(x), д) y=f(-x), е) y=f(kx),
ж)у=kf(т(х-а))+Ь, э) Y=f(mx+n),
и) y=f(lxl), к) y=lf (x)I, л) y=lf (JxJ)J.
ГЛАВА 3
ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ
§ 3.1 . Предел числовой последовательности
3.1 .1. Числовая последовательность как функция на
турального аргумента. Множество N-множество натураль
ных· (целых положительных) чисел, как уже отмечалось,
обладает замечательным свойством, сформулированным
в виде закона (аксиомы) упорядоченности натуральных
чисел. Именно-для любых двух произвольных натураль
llЫХ чисел а и Ь (для Va, Ь Е N) справедливо утвержде
ние: либо а меньше или равно Ь, либо Ь меньше или
ра~но а. Указанное свойство множества N позволяет
нам производить «пересчет» осязаемых и абстрактных
объектов, связывая с последними тем или иным образом
элементы множества N.
Формализуя сказанное выше, определим на множе
стве N некоторую функцию (отображение)
f
N-+ А.
(3.1)
в
Отображение множества N в множество А называется
последовательностью элементов из А. При этом множе
ство А, очевидно, может содержать объекты произвольной
природы и задание последовательности элементов из А
состоит в том, что каждому элементу а' из некоторого
подмножества А' множества А сопоставляется определен
ный элемент п из множества N и наоборот: для Vn Е N
3 элемент а' Е А' с: А, ему соответствующий.
Отображение может быть не взаимно однозначным:
один и тот • же элемент из А может служить образом
многих различных чисел из N.
54
Будем обозначать значения функции (3.1) (элементы
последовательности) малыми буквами латинского алфа
вита, снабженными индексами, равными соответствующим
значениям аргумента
a1 =f(l), a2 =f(2), ... , ап=f(п), ...
или
(3.2)
При этом ап называется общим членом последователь
ности (3.2).
Отметим, что элементы последовательности (3.2) не
обязательно различны. Число различных элементов ко
нечно или счетно.
Таким образом, задать последовательность элементов
из некоторого множества А значит указать закон, по
которому любому фиксированному числу (Vn Е N) сопо
ставляется определенный элемент из А а «пересчет» объ
ектов множества А' состоит в том, что по заданному
элементу п Е N (номеру) мы можем указать объект а Е А',
соответствующий этому номеру.
Две последовательности
называются равными, если ап = Ьп для любого п из N
(для "ln Е N), т. е. последнее равенство является тож
деством.
3.1 .2 . Предел числовой последовательности, геометри
ческое истолкование. Интуитивное представление о пре
деле связано с представлением о некотором «движении».
Продвигаясь по упорядоченному множеству N, мы
наблюдаем за поведением членов последовательности {ап},
т. е. мы ожидаем, что с увеличением номера члены после
довательности должны все меньше и меньше отличаться
от некоторого числа а, называемого пределом данной
последовательности.
Несмотря на естественность данного представления,
строгая математическая формулировка требует обратить
процесс указанного рассуждения. Определим прежде всего
конечную цель, именно нам необходимо, чтобы члены
последовательности неограниченно приближались к неко
торому числу а. Следовательно, ставим вопрос: за счет
чего мы можем добиться требуемой близости?
55
Рассмотрим последовательность с общим членом
ап = 1/п:
1
1•2·3'т· ..., п'
(3.3)
При неограниченном возрастании п члены последователь
ности становятся все меньше и меньше, т. е. все меньше
и меньше отличаются от нуля. Действительно, начиная
с 10-го члена цоследовательности, все ·остальные члены
меньше О, 1 после 10000-го меньше 0,0001 и т. д.
Изобразим члены последователыtости (3.3) в виде точек
на числовой оси (рис. 3. 1). Легко видеть, что точки чис
ловой оси, соответствующие членам последовательности,
О...111
J7j 3
J_
2
Рис. 3.1.
1
сгущаются около точки О. Выберем на числовой оси
симметричный интервал Re (О), с центром в точке О
длины 2е (в-произвольное положительное число).
Если положить е= 2, то все члены нашей последователь
ности будут лежать внутри интервала R 2 (О). Если же мы
положим е = 0,2, то не сколь к о первых членов, именно
1111
1·2•3•4•5•
окажутся лежащими вне интервала R 0 • 2 (О) однако все
члены, начиная с а6 , именно
111
6'7'8' ...,
будут лежать внутр и интервала R 0 , 2 (О). Далее, выбрав
е существенно более малым, например е = 0,-0001, мы
можем заметить, что только первые 10000 членов не
попадут в интервал R0 , 0001 (0), тогда как бесконеч
ное количество членов, начиная с а10001 , о~ажется вну
три интервала R 0 , 0001 (О).
Очевидно, что приведенное
рассуждение справедливо для любого е, именно каким
бы ни было выбрано е, мы всегда можем указать число N
настолько большое, что все члены последовательноtти
(3.3), для которых п ~ N будут лежать внутри интер
вала Re (О) и только конечное число членов
ai, а2,
•••,aN-i
будет находиться вне этого интервала.
56
В приведенном рассуждении два существенных момента.
Первый: длина интервала Re (О) определяется произ
вольно. Второй: именно по длине интервала R 8 (О),
по числу е может быть подобрано число N такое, что
все члены последовательности с номерами, превосходя
щими N, находятся в интервале R8 (О).
Теперь мы можем сформулировать определение предела
последовательности.
Число а наэыва,ется пределом последовательности {ап},
если для любого положительного числа в найдется такое
положительное число N, зависящее от е, что для всех зна
чений п ~ N выполнено неравенство
lan-al < е.
Тот факт, что последовательность имеет предел а (стре
мится к числу а), выражается следующей символической
записью:
Таким образом 1),
(lim ап=а)~(Ve>О,3N=N(e):Vn~N,апЕRe(a)).
n➔rn
П р и м е р 3.1 . Найти предел последовательности (3.3) с общим
членом, равным 1/п.
Реше и и е. Имеем ап = 1/п. Требуется найти lim ап, Исходя
п➔"'
из приведенных выше рассуждений, мы можем предполагать, что
данный предел равен нулю. Необходимо, следуя определению, пока
зать, что наше предположение верно, т. е. по любому наперед задан
ному е > О нам необходимо найти такой номер N = N (е), чтобы для
всех п;;;;, N было выполнено неравенство 1 ~ -О 1 < е, или 1/п < е,
откуда п > I/е.
Тогда, положив N = [1/е]+ 1 2), получим, что, выбрав 'rte > О,
мы можем с уверенностью утверждать, что для всех п >-, N = [ 1/е] + 1
выполнено неравенство
1~-01<е,
т. е. мы указали такой номер N, начиная с которого все члены
последовательности (3.3) попадают в е-окрестность нуля, следова
тельно, число О есть предел последовательности { I/п}
J.
1
Шl -=0.
n➔а,n
1) Утверждение ап Е Re (а) имеет смысл тогда и только тогда,
когда выполнено неравенство I ап -а 1 < е.
2) [х]-наименьшее целое число, не превосходящее х.
57
Изучая поведение членов последовательности при
неограниченном возрастании их номеров, мы дали фор
мулировку того утверждения, что последовательность {ап}
стремится к какому-либо числу а. Но наряду с изучением
указанного утверждения, очевидно, также необходимо
выяснить содержание следующего: последовательность {ап}
не стремится к числу Ь. Символически это утверждение
будем обозначать так:
Легко видеть, что указанные утверждения являются про
тивоположными, поэтому, имея в руках точную формули
ровку первого, мы можем получить точную формулировку
второго простым отрицанием. Именно: число Ь не является
пределом последовательности {ап}, если существует такое
положительное число е, что для любого числа N найдется
такой номер п ~ N, что для этого номера п будет выпол
нено неравенство
или
( lim an-=1=b)~(3e>0:VN3n(n~N), anERe(b)).
n-+""
Пр им ер 3.2. Показать, что предел последовательности { 1/п}
не равен 1( lim (1/п)i= l).
n-+""
Реше н и е. Положив е = 1/2, получим, что для Vn > 2 выпол
нено неравенство
(3.4)
Следовательно, для VN мы можем выбрать п так, что будет выпол
нено неравенство (3.4), в частности, если N > 2, то достаточно
положить п = N.
Таким образом, необходимое число е найдено и действительно
lim _!_ :j:. l.
n-+wп
Если последовательность {ап} имеет конечный предел а,
то она называется сходящейся. Говорят также, что в этом
случае она сходится к числу а.
Легко убедиться, что если последовательность {ап}
имеет конечный предел а, то она ограничен а, т. е.
существует такое число М, что
(3.5)
58
В самом деле, это следует из того, что для любого
в> О лишь к он е ч но е число N (е)-1 членов последо
вательности {ап} лежит вне Re (а), так что все эти члены
не превосходят по абсолютной величине некоторого числа
Mi > О. Для всех остальных членов последовательности
{ап} мы имеем оценку
1ап-а 1 < в Vn-;;:: N (в).
Поэтому
lап 1= lа+ап-а 13⁄4 ja l+lan-al <1 aj +в Vп?;:: N (в),
так что
Vn-;;:: N (в).
Теперь достаточно взять
М= max (М1, 1а 1+в),
(3.6)
чтобы имела место оценка (3.5).
Не следует думать, что всякая последовательность
имеет предел. Напротив, даже ограниченная последова
тельность может не иметь предела.
Например, последовательность с общим членом
ап = (-l)n,
очевидно, ограничена (М= 1), но предела не имеет, при
нимая поочередно бесконечное число раз значения -1
и +1.
Выше мы предполагали, что предел а есть некоторое
к он е ч но е число. Дадим теперь понятие о несобствен
ных пределах + оо и - оо.
Будем говорить, что последовательность {ап} имеет
своим пределом несобственное число + оо (ап-+ + оо ), если
VE>О, 3N=N(E):Vn-;;::N, ап>Е.
Аналогично, если
VE>О, 3N=N(E):Vn>,N, ап<-Е,
то будем говорить, что последовательность {ап} имеет
своим пределом несобственное число - оо (ап - -оо ).
В качестве примера последовательности, имеющей своим
(несобственным) пределом + оо, можно взять последова
тельность с общим членом
ап= n2,
Б9
Действительно, пусть Е -любое положительное число.
Неравенство
п2>Е
будет выполнено для всех п;;;;: N = [V Е] + l.
Аналогично последовательность с общим членом
ап= -fi2
имеет своим пределом несобственное число - оо.
3.1 .3 . Теорема об единственности предела последова
тельности. В этом пункте, в предположении существования
предела последовательности, мы будем изучать вопрос
об его единственности, т. е. вопрос о том, может ли одна
и та же последо_вательность иметь два и более различных
пределов.
Теорем а 3.1 . Если последовательность 1ап} имеет
предел, то этот предел mолько один.
До к а за тел ь ст в о. Предположим обратное. Пусть
lim an=Xi и lim ап=Х2 (х1 =1=х2 ). (3.7)
Тогда, выбрав произвольное в > О, мы можем утверждать,
что
3N1= N1(е),
и
3N2 = N2 (e),
Далее, выбрав
N=max(N1 , N2 ),
будем иметь, что для Vn;;;::: N справедливо
lan-Xil<e и lan-x2 l<e,
откуда
lx1 -X2 I= l(х1 -ап) +(ап-Х2) 1~ IX1 -an 1+lan-X2 I< 2е.
Полагая
0<8< lx1-;x2I ,
получим противоречие.
Таким образом, мы пришли к противоречию, которое
и доказывает неверность предположения (3. 7). Теорема
доки.за на.
3.1 .4 . Монотонные последовательности. Рассматривая
определение последовательности, ее предела, мы нигде не
предполагали, что функция, определяющая последова-
60
тельность, должна обладать какими-либо специальными
свойствами. Рассмотрим, например, последовательность
12З
п
3'4'5' ···• n+2'
Каждый член этой последовательности больше предыду
щего. Действительно,
п+l
2•
2
п
ап+1= п+1+2=l- п+3>1- п+2=п+2=ап,
т. е.
Последовательности {an}, обладающие свойством
ап:;;;;; an+l Vn,
называются монотонно возрастающими (неубывающими).
Последовательности {ап}, для которых
ап < an+l Vп,
называются строго монотонно возрастающими.
Аналогично последовательности {а,,}, для которых
а,,~ an+l Vn,
называются монотонно убывающими (невозрастающи,ии).
Последовательности {а,,}, для которых
а,,> an+l Vn,
называются строго монотонно убывающими.
Например, последовательность
11
l,2•з• ···• п'
является строго .монотонно убывающей.
Монотонные последовательности могут приближаться
к своему пределу лишь с одной стороны: справа или
слева.
Отметим, что существуют колеблющиеся после
довательности, имеющие предел. Например,
-
1,1⁄2,-1⁄2,i,...,(-1)"~ , ...
Эта последовательность сходится к нулю, приближаясь
к нему с обеих сторон.
61
Монотонные последовательности обладают наиболее
простыми свойствами.
Теорем а 3.2. Монотонно возрастающая числовая
последовательность {ап}, ограниченная сверху, имеет конеч
ный предел, совпадающий с точной верхней границей мно
жества.
До к аз ат ель ст в о. Рассмотрим множество {ап}· Эrо
множество принадлежит R (R-множество всех вещест
венных чисел) и ограничено сверху, т. е.
ап~М, где М<+оо.
Следовательно, оно имеет точную верхнюю границу
а= sup {ап}·
Покажем, что число а и является пределом последова
тельности {ап}•
Во-первых, а-верхняя граница, значит,
(3.8)
для всех п; во-вторых а есть точная верхняя граница.
Следовательно, Ve > О 3N такой, что
aN>a-e .
Тогда -в силу того, что
имеем, что Vn ~ N
и из (3.8) следует, что
ап < а+е.
Следовательно,
lan-al < е Vn~N,
т. е. мы показали, по определению, что lim ап= а. Тео-
рема доказана.
З а меч а н и е 3. 1. Отметим, что если последователь
ность {ап} монотонно возрастает и не ограничена сверху,
тогда, очевидно,
lim ап= + оо,
n➔<t>
где + со-несобственный предел последовательности {ап}•
Действительно,
VE>O aN,aN>E,
62
а в силу монотонности последовательности {ап} последнее
неравенство будет выполнено для всех п ~ N, а это и
означает, что
n-+"'
Аналогичные утверждения могут быть сформулированы
и доказаны для монотонно убывающих последователь
ностей.
Теорем а 3.3 . Если числовая последовательность {ап}
монотонно· убывает и ограничена снизу, т. е.
m>-oo,
то она всегда имеет конечный предел.
В случае, если последовательность монотонно убывает
и не ограничена снизу, ее несобственным пределом слу
жит -00 .
В приведенных теоремах замечательно то, что значение
предела не известно заранее. Теоремы 3.2 и 3.3 утвер
ждают, что предел последовательности или несобствен
ный предел в указанных случаях существует. Поэтому
эти теоремы носят название теорем существования предела
последовательности.
•
Рассмотрим один очень важный пример.
Пр им ер 3.3 . Пусть дана последовательность
(
1\n
ап= 1 +п-J
(n=1,2, ...).
(3.9)
Требуется определить, имеет ли данная последователь
ность предел.
Решение. Во-первых, убедимся в том, что эта после
довательность монотонно возрастает. Действительно, раз
ложив общий член последовательности по формуле бинома
Ньютона, получим
(l+.!.)n= I+п.2.+n(n-l)_l+ п(п-1)(п-2) _l + ...
п
п
1-2 п2
1-2 ·3
п3
... +п (п -1 ) ••• (n-k+l) -~+ ... +п(п-1) ••• (п-п+l) 1
l•2 ,,,k
п
l•2 ...п
пп
или
Так как
1
1
1---> 1--
п-t- 1
п'
(1-J..) (1-~) > (1--1 ) (1--
2)
п
п
n-t-1
п+1 '
откуда и следует, что
an+i > ап.
Во-вторых, покажем, что последовательность (3.9)
ограничена сверху. Имеем
1
1
1,
11
1
ап<2+21+зт+...+n1<2+2+22+...+2п-1<3•
Отсюда по теореме 1 следует, что последовательность
(3.9) имеет конечный предел, заключенный между 2 и 3.
Этот предел обычно обозначается буквой е
е= lim ( 1+J..)n·
n➔"'
п
Выпишем несколько первых знаков разложения числа е
в десятичную дробь
•
е = 2,718 281828 459045 ...
3. 1.5. Бесконечно малые последовательности. После
довательность {ап} называется бесконечно малой, если она
имеет предел, равный нулю.
Непосредственно из определения предела последова
тельности (см. п. 3.1 .2) следует, что последовательность
{ап} является бесконечно малой, если
Ve>O 3N=N(e): Vn~N, laпl<e.
Иными словами, последовательность {а,.} является беско
нечно малой, если, начиная с достаточно большого номера
все ее значения находятся в сколь угодно малой в-окрест
ности нуля.
Будем обозначать бесконечно малые последовательно
сти строчными начальными буквами греческого алфавита:
{ап}, {~п}, {Уп}·
Установим связь между значениями последовательно
сти {ап} и ее пределом а. Пусть
lim('п.а.
(3.10)
n➔a>
••
64
Тогда для Ve>О, 3N=N(е), что для Vn~N выпол•
няется неравеi1ство
т. е.
(3.11)
Следуя определению бесконечно малой последователь•
ности, мы можем теперь считать, что последовательность
{ап -а} есть бесконечно малая
{ап-а}= {ап}
и, следовательно,
(3.12)
т. е. вначение последовательности, имеющей конечный пре.
дел, отличается от предела на общий член бесконечно ма
лой последовательности. Равенство (3.12) и есть именно
то равенство, которое связывает значения последователь.•
ности {ап} и ее предел а.
Рассмотрим далее некоторые простейшие свойства бе<.1-
конечно малых последовательностей {а,,}, т. е. таких, что
lim ап= о.
n-+"'
Теорем а 3.4. Сумма конечного числа бесконечно ма
лых последовательностей есть последовательность беек.о•
нечно малая.
Очевидно, что для .доказательства теоремы достаточнQ
показать, что сумма двух бесконечно малых пос.JJедователь•
ностей есть бесконечно малая последовательность. Пусть.
апи~п (п=1,2, ...)
-
бесконечно малые последовательности. Нам необходимо
показать, что
(п=1,2, ...)
также бесконечно малая последовательность.
Выберем произвольное е > О, тогда, положив е1 = е/2,
найдем N1 и N1 такие, что
laпl < е1,
l~п 1< е1,
Далее, положив N = max (N 1 , N 1 ), мы можем утверждать.
что
3 П/ред. Н. м. Матвеева
6..'i
если только п ~ N, отсюда
/ап+~п/~/ап/+/~п/<Т+;=8 Vn~N•
Таким образом, Ve > О 3N = N (в) такое, что для
Vn ~ N выполнено неравенство
/ап+~п / < 8,
следовательно, {ап +~п} есть бесконечно малая последо
вательность. Теорема доказана.
Теорем а 3.5 . Произведение конечного числа беско
нечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
До к аз ат ель ст в о. Пусть {ап} и {~п}-бесконечно
малые последовательности. Покажем, что {а"р,,} также
бесконечно малая.
Выберем произвольные е >О.Тогда,. положив 8 1 = у·;,
найдемN1 и N2такие, что Iап1<81 Vn~N1и IРп1<
<81Vn~N2. Далее, положивN= max(N1, N2),мы можем
утверждать, что
/ап/<81 И IРп/<81 Vn~N,
откуда
/ап•Рпl=/ап/ • IPnl <-Ve-Ve=8 Vn~N .
Следовательно, {ап •Рп} есть бесконечно малая после
довательность. Теорема доказана.
Те о рем а 3. 6. Произведение ограниченной последова
тельности на бесконечно малую последовшпельность есть
бесконечно малая последовательность.
До к аз ат ель ст в о. Пусть {а,,}-ограниченная по
следовательность, т. е.
/а,,/~_м, м <+оо,
и {ап}-бесконечно малая последовательность. Нужно
показать, что {апап}-бесконечно малая последователь
ность.
Пусть 8 > О-произвольно и 81= 8/М; по 81 > О най
дем N=N(81) такое, что для Vn~N имеем
\ап /< 81,
тогда
66
если только п ~ N. Отсюда
lim (апап)= О.
Теорема доказана.
3.1 .6 . Бесконечно большие последовательности и их
связь с бесконечно малыми последовательностями. В пре
дыдущем пункте мы рассматривали бесконечно малые по
следовательности, т. е. последовательности, предел которых
равен нулю. Не менее важную роль в математическом
анализе и его приложениях играют последовательности,
члены которых по абсолютной величине неограниченно
возрастают.
Последовательность {ап} называется бесконечно боль
шой, если
lanl-++oo при n-+oo.
Это означает, что
VЕ>О 3N=N(Е): Vn~N,
Например, последовательность
{(- l)n п2}
(3.13)
(3.14)
является бесконечно большой, ибо последовательность
{ 1(- l)n n2 I}= {п2}
имеет своим пределом + оо.
Очевидно, что если последовательность {ап} имеет своим
пределом + оо или - оо, то она является бесконечно боль
шой последовательностью, ибо тогда имеет место (3.13).
Таковы, например, неограниченные монотонные последо
вательности, которые представляют собой часто встречаю
щиеся примеры бесконечно больших последовательностей.
Заметим, что последовательность (3.14), будучи беско
нечно большой, не имеет даже несобственного предела.
Из определения бесконечно большой последовательно
сти {ап} следует, что, начиная с достаточно больших
п (п ~ N), все значения такой последовательности лежат
вне В-окрестности нуля.
Заметим, что неограниченная последовательность не
обязательно является бесконечно большой. Действительно,
для бесконечно большой последовательности неравенство
lanl >Е,
где Е - произвольное положительное число, выполнено
для в с е х номеров п, начиная с некоторого номера
3*
67
N = N (Е). Для неограниченной последовательности это
неравенство может выполняться лишь для некоторых номе
ров п ~ N (е). Например, последовательность
1,О,3,О,5,О, ..., 2n+1,О, ...
не ограничена, но не является бесконечно большой.
Теперь, познакомив читателя с обеими исключитель
ными последовательностями-бесконечно малой и беско
нечно большой,- нам естественно установить связь между
этими последовательностями.
Т е о р е м а 3. 7. Если {ап} является бесконечно большой
последовательностью, то последовательность {ап}, опреде
ленная соотношением
l
а=
пйп
является бесконечно малой.
До к аз ат ел ьс тв о. Пусть {аn}-бесконечно боль
шая последовательность. Тогда V Е > О, 3N = N (Е) такой,
что для V п ~ N выполнено неравенство
/ап/>Е==1/е.
Следовательно,
1
1ап1=1ап1<е,
т. е. {an} есть бесконечно малая последовательность.
Теорема доказана.
Аналогично доказывается обратное утверждение.
Теорем а 3.8 . Если {ап} является бесконечно малой
последовательностью, то последовательность {ап}, опреде
ляемая соотношением
1
ап=-, ап;:/=-0 (n>no),
О:п
является бесконечно большой.
Таким образом, мы установили связь между б€сконечно
большими и бесконечно малыми последовательностями.
Опираясь на эту связь, легко можно сформулировать
и доказать свойства бесконечно больших последователь
ностей.
Рассмотрим один важный пример.
Пр им ер. 3.4. Доказать, что последовательность {qn}
является бесконечно малой при Iq 1< 1 и бесконечно боль
шой при Iq1> 1.
68
Решение. Пусть I q 1 < 1 и в-любое положительное
число. Покажем, что
Ve>O 3N=N(в): Vn~N, jqnl<в.
С этой целью рассмотрим неравенство
lqпl < в.
Разрешим его относительно п. Имеем
\
qn
\
<в=>1q ln
<8=>пIogaIq \<loga8(а>1)=>
loga в
I\l
=>п>1 11
(q<).
oga q
Следовательно, в качестве N = N (в) можно взять
N=[ loga8]+I.
loga Iq/ .
Таким образом, {qn}, 1q 1 < 1,-бесконечно малая.
Если Iq 1> 1, то положим
1
q. р'
где I р 1< 1. Тогда {рn}-бесконечно малая и, следова
тельно, {qn} - бесконечно большая (согласно теореме
о связи между бесконечно малой и бесконечно большой
последовательностями). Заметим, что при q > 1
lim qn=+ оо,
n➔ оо
а при q < -1 последовательность {qn~ предела не имеет.
В самом деле, будучи бесконечно большой, эта после
дователыюсть могла бы иметь_ лишь бесконечный предел,
но и этого нет, так как члены последовательности меняют
знак, а jqn\-++oo.
3.1. 7 . Некоторые свойства пределов последовательно
стей. В этом пункте мы рассмотрим простейшие свойства
пределов, необходимые для их фактического вычисления.
Теорем а 3.9 . Пусть последовательност~ {ап} схо
дится (т. е. имеет предел), причем lim ап = а.
n➔'°
Тогда сходится последовательность
{с•ап} (с= coпst);
и предел этой последовательности вычисляется по формуле
lim (с•ап)= с lim ап = С•а.
69
До к аз ат ель ст в о. Теорема будет доказана, если
будет доказана справедливость равенства
(3.15)
где {ап}-бесконечно малая пос~довательность. Имеем
ап=а+ап,
(3.16)
где {ап}-бесконечно малая последовательность. Умно
жим обе части (3.16) на постоянную с, получим
С•ап = С•а+сап,
при этом очевидно 1)
откуда следует справедливость равенства (3.15). Теорема
доказана.
Теорем а 3. 10. Пусть последовательности {ar,}, {Ьп}
сходятся, причем lim ап = а, lim Ьп = Ь.
n-+oo
n➔oo
Тогда сходятся последовательности
{ап + Ьп}
(3.17)
и пределы этих последовательностей вычисляются по фор
мулам
До к аз ат ель ст в-о. Теорема будет доказана, если
мы покажем, что
ап+Ьп=а±Ь+'Vп,
(3.18)
где {Уп}-бесконечно малая последовательность. По усло
вию теоремы имеем
ап=а+ап, Ьп=Ь+~п•
(3.19)
где {ап} и {~п}-бесконечно малые последовательности.
Складывая равенства (3.19) и учитывая, что сумма бес
конечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность, получим требуемое равенство (3.18).
Теорема доказана.
Теор ем а 3.11. Пусть последовательности {ап}, {Ьп}
сходятся, причем lim ап= а, lim Ьп= Ь. Тогда сходится
n-+ao
n-+r.tJ
последовательность
(3.20)
1) См. п. 3.1.5, стр. 64.
70
и предел этой последовательности вычислжтся по формуле
lim (ап•Ьп)= lim ап• lim Ьп=а-Ь.
До к аз ат ель ст в о. Теорема будет доказана, если
покажем, что
аЬ= ап•Ьп +Уп·
(3.21)
Действительно, имеем (см. (3.19)) а= ап-ап, Ь= Ьп-Рп•
Перемножая равенства (3.19), получим
а-Ь= ап •Ьп-ап•Рп-Ьп•ап +ап•Рп•
(3.22)
Последовательности {ап} и {Ьп} имеют пределы, следова
тельно, они ограничены 1), т. е. последовательности ап •Рт
Ьпап являются бесконечно малыми. Последовательность апРп
также является бесконечно малой. Таким образом,
-ап~п-Ьп •ап + ап •Рп = '\'п,
(3.23)
где {Уп}-бесконечно малая последовательность. Подстав
ляя (3.23) в (3.22), получим (3.21). Теорема доказана.
Теорем а 3.12. Пусть последовательности {ап}, {Ьп}
сходятся, причем Iim ап= а, lim Ьп =Ь, Ьп, Ь =f:, О. Тргда
n➔co
n➔rл
сходится последовательность
(3.24)
и предел этой последовательности вычисляется по формуле
lim ап
Iim .!!!.!. .
-
п-+ "'
а
n-+<» Ьп - lim Ьп =ь•
n➔Ф
До к аз ат ел ь ст в о. Итак необходимо показать, что
(3.25)
где {'Уп}-бесконечно малая последовательность. Подстав
ляя (3.19) в (3.25) и проводя дальнейшие преобразования
левой части равенства, будем иметь
а +ап_!:_= аЬ+апЬ-аЬ-а~п = ( Ь- А ) _! _ .
_!_
ь+~п Ь
Ь(Ь+~п)
а,п аl-'п Ь Ьп'
1) См. определение пре.11ела последовательности п. 3.1 .2, особенно
формулу (3.5).
71
Последовательность {апЬ-аРп} является бесконечно ма
лой последовательностью (почему?), последовательность
; • bln ограничена (почему?). Следовательно, последова
тельность
{(апЬ-аРп) ; •ь~}
также является бесконечно малой последовательностью.
Теорема доказана.
Нетрудно заметить, что в теоремах этого пункта мы
предполагали, что последовательности имеют пределы,
а в теореме 3.12 мы требовали, чтобы предел и члены по
следовательности, являющейся делителем, были отличны
от нуля. Очевидно, далее мы должны рассмотреть вопрос
о существовании и представлении пределов последователь
ностей (3.17), (3.20), (3.24), не вводя указанные предпо
ложения. В этом случае мы сталкиваемся с особым об
стоятельством, именно: пределы последовательностей (3.17),
(3.20), (3.24) в зависимости от за к он а изменения обеих
последовательностей могут быть рааличными и, более того,
даже не существовать.
Рассмотрим несколько примеров.
Пр им ер 3.5 . Пусть заданы две последовательности {хп} и {Уп},
и пусть несобственные пределы этих последовательностей соответст
венно равны
lim Хп =+ со,
n➔"'
lim Уп=-аз,
n➔ао
Выясним, чему может быть равен
lim (Хп +Уп),
n➔ао
Положим Хп= У n2 1, Уп= - п, тогда
lim (хп+Уп)= lim (Vn2 -l-n)= lim
n-+ao
n➔ao
n➔ao Уп2 1+·п
-1
Далее, если мы выберем Хп = п2, Уп = -
п, то
lim (хп+Уп)= lim (n 2 -n)= lim п2 (1- ..!..)=+ со.
n➔Ф
n➔Ф
n➔e1:1
-
n
Наконец, пусть Хп=(- l)n+п 2, Уп= -п 2 • Имеем
lim (хп+Уп)= lim [(- l)n+n2 -n2 1= lim (- l)n,
п~оо
n➔ao
n➔c»
последний, очевидно, не существует.
(3.26)
(3.27)
о.
Итак, мы видим, что при наличии несобственных пре
делов последовательностей (3.26) предел (3.27) может быть
72
равен нулю, быть несобственным пределом или вовсе· не
существовать, т. е. предел суммы последовательностей
может быть не равен сумме пределов.
Таким образом, в том случае, когда значение пре
дела (3.27) не определяется значениями несобственных
пределов (3.26), мы говорим, что имеет место ситуация
1-tеопределенноспiи. Рассмотренную неопределенность сим
волически мы будем обозначать так:
(+ оо)+(-оо).
(3.28)
Пр им ер 3.6. Пусть заданы две последовательности {хп} и {Уп},
и пусть
lim Хп= lim Уп= О.
(3.29)
n➔ao
n-+Ф
Поставим вопрос о существовании, а в случае существования и о зна
•~ениях
Пусть
1,
Xn
1m-
•
п-+- оо Уп
Хп= 1/п, Уп= l/n2,
тогда, подставляя (3.31) в (3.30), получим
1.
1/п 1.
+
1m-
112= 1111 n= оо.
fl➔oo n.
n➔co
Далее положим Хп = 1Jn 2, Уп = 1/п, тогда
1•Хпl'JQ
1m-=
1m-=
.
п-+-"' Уп п .... оо п
Наконец, если х,. = (- l)"/n 2 , у,.= 1/п. 2, то
lim Хп= lim (-J)n,
n-+-"' Уп
n➔"'
т. е. предел (3.30) в этом случае не существует.
(3.30)
(3.31)
Таким образом, как и в предыдущем примере, пре
дел (3.30) не определяется значениями пределов (3.29).
Мы имеем неопределенность вида
о
0.
(З.32)
П р и м е р 3. 7 . Пусть заданы две последовательности, несобст
венные пределы которых равны
lim Хп= lim Уп=+оо.
(3.33)
,...... 00
,. .... "'
73
Рассмотрим последовательность вида
{;:}-
(3.34)
Нетрудно заме.тить, что в этом случае мы имеем неопределенность
вида
+ао
+ао·
(3.35)
Предлагаем читателю проиллюстрировать последнее
.утв ерж ден ие
самостоятельБо, взяв в качестве последова
тельностей {хп} и {Уп} полиномы различных степеней.
Именно необходимо показать, .что если Хп = Р (п),
Уп= Q (п), то в случае если степень Р (п) больше сте
пени Q (п), то несобственный предел последовательно
сти (3.34) равен + оо, если степень Р (п) меньше сте
пени Q (п), то предел равен нулю, и, если степени поли
номов Р (п) и Q (п) равны, то предел равен отношению
коэффициентов при старших степенях п.
Пр им ер З.8. Пусть заданы последовательности {xn} и {у,.},
и пусть
lim Хп=О,
n➔ oo
тогда предел последовательности
limУп=+CIO,
{хп•Уп}
представляет собой неопределенность вида
Q. CIO.
(3.36)
Проиллюстрируем последнее утверждение двумя частными случа-
1
ями. Положим Хп=-, Уп=n~. тогда
п
lim (Хп•Уп) =lim (..!.. •п2)=+оо.
n➔ a,
n➔oo n
(- I)n
В случае, если Хп =-- , Уп = п, предел последовательности (3.36)
п
не существует (почему?).
Подводя итог рассмотренным примерам, мы можем
отметить, что, зная значения пределов (или несобствен
ные пределы) исходных последовательностей, мы не всегда
имеем возможность определить предел (или несобственный
предел) последовательности, образованной даже 9лемен
тарными алгебраическими операциями над исходными по
следовательностями, т. е. может иметь место ситуация
74
неопределенности.
(+оо)-(+оо),
о
о•
Для нахождения пределов этих последовательностей в каж
дом конкретном случае необходимо применять специал ь
ные приемы, основанные на ст р у кт у р е исходных по
следовательностей.
В заключение этого пункта рассмотрим еще одно
свойство предела последовательности, применяемое как
для доказательства существования предела последователь
ности, так и для его фактического вычисления.
Теорем а 3.13. Пусть последовательности {ап}, {Ьп}
сходятс.1,, причем lim ап = liш Ьп = с, и пусть при Vn ~ N
выполнено неравенство
ап:::;;; Сп:::;;; Ьп.
Тогда сходится последовательность {сп} и
/im Сп =С.
n➔oo
До к аз ат ел ь ст в о. Зададим некоторое ·произволь
ное е0 > О и покажем, что найдется такое N O (е0), что
при Vn~N 0
(3.37)
Действительно, по определению предела последова
теJ1ьности, по выбранному нами е0 мы можем найти такие
N1 =N1 (e0
)
иN2 =N2(e0
),
что
lап-с/<е0 Vn~N 1 И IЬп-с\<в0 Vn~Ng
или
С-80<ап<с+е0 Vn~Nf,
с-в0 <Ьп<с+е0 Vn~N 2•
Возьмем N0 =max{N, Ni, N 2 }. Тогда
т. е.
С-80<Сп<с+в0 Vn>N0,
откуда и следует выполнение неравенства (3.37). Теорема
доказана.
1) Обращаем внимание читателя на то, что указанные неопреде•
ленности не исчерпывают множества всех неопределенностей, а состав
пяют лишь незначительную его часть.
75
Пр им ер 3.9. Найти сумму членов бесконечно убы
вающей геометрической прогрессии:
гдеIq1<1.
а, aq,
Рассмотрим
тельности
сумму первых п членов этой последова-
1(ак известно,
a-aqn
а
а
S ---------•qn
п- l-q
-
l-q l-q
•
Следовательно,
\
а
а
п
Sп-1-q=-1-q•q.
Правая часть этого равенства состоит из постоянного
сомножителя - 1 а q и бесконечно малой последователь
а
ности qn (см. пример 3.4). Следовательно,
-
1_q qn есть
бесконечно малая последовательность, а это означает, что
разность
а
Sn-l-q
есть бесконечно малая последовательность, т. е.
1.
а
IШSn=-1 -.
n➔ r:JJ
-q
Итак, сумма s членов бесконечно убывающей геометри
ческой прогрессии
а
s---
-l -q"
§ 3.2 . Предел функции
3.2 .1 . Понятие предела функции. Рассмотрим теперь
функцию.
и=! (х),
определенную в некоторой окрестности точки а, за ис
ключением, быть может, самой точки а.
Будем говорить, что число А есть предел функции
f (х) в точке а (или при х-+ а), если для любого сколь
76
угодно малого числа г > О найдется такое число б = б (г) >0,
что
lf (х)-А 1< г
для всех значений х-=1=а, удовлетворяющих неравенству
lx-al < д.
Символически факт стремления функции f (х) к пре
делу А при х--+а будем обозначать так:
limf (х) = А.
X➔Q
Иначе говоря, число А есть предел функции f (х)
вточке а, еолиVs> О, 3д=д(в)>О,чтоf(х)€Re(А)
для х(Е {x\x-=l=a, x€R11(a)}, т. е. значения функции f(x)
лежат в сколь угодно малой окрестности числа А, если
значения аргумента х лежат в достаточно малой окрест
ности числа а, не будучи равными этому числу.
Пр и мер 3.10. Пусть f (х) =Х2, найдем lim f (х).
X➔l
Р е ш е н и е. Исходя ив таблицы значений функции, мы можем
предположить, что искомый предел равен 1. Для доказательства этого
утверждения нам необходимо показать, что, какое бы число в > О
ни взять, по нему найдется число б > О такое, что будет выполнено
неравенство
для тех х :/=- 1, для которых
\х-11 < б.
Представим неравенство (3.38) в виде
8
\х-11< х+1•
Рассмотрим только те х, для которых / x- l / < 1, тогда
lx+ll=\(x-1)+2/~lx-l \+2 <3,
откуда
.
8
8
1х+11 >з·
Выберем б > О так, чтобы
б<min{l, ;},
тогда
8
8
lx-l/<3<\x+ll
(3.38)
(3.39)
(3.40)
Следовательно, выполнено неравенство (3.40), т.. е. для произвольного
в> О мы J1ашли такое б > О, что для всех х, удовлетворяющих. не
равенству (3.39), выполнено неравенство (3.38), последнее и означает,
77
что действителы10
limх2=1.
X➔l
Отметим, что, кшс -и прежде, сначала задается в-ок
рестность точки А (в-точность, с которой значения
функции должны приближенно совпадать с А), а затем
находится б-окрестность точки а (б-точность, с кото
рой значение аргумент.а х приближенно совпадает с а).
Тот факт, что в определении предела функции б-ок
рестность точки а не обязана содержать точку а, обуслов
лен тем, что при изучении предела функции мы прежде
всего интересуемся заданием и поведением функции
«около» предельной точки а, в самой точке а функция
может быть н-е заданз.
Введенное нами определение предела функции, как
уже отмечалось, является точным выражением утвержде
ния: «Функция f (х) имеет предел А при стремлении аргу
мента х к значению а». Постараемся бук вал ь но фор
мализовать приведенное утверждение. Именно, определим
последовательность {хп} такую, что для Vn члены после
довательности принадлежат области определения функ
ции f(х) и
Iimxn=a,
тогда, если последовательность {Уп}, определяемая равен
ством
такова, что
limy;,=A,
(3.41)
то приведенная конструкция формализует утверждение:
«некоторая последовательность значений функции имеет
предел А».
Если же утверждение (3.41) справедливо при произ
вольно выбранной последовательности {хп}, то интуитивно
ясно, что в этом случае число А и будет искомым пре
делом функции f (х).
Таким образом, мы можем дать определение предела
функции, несколько отличное от приведенного выше.
Число А называется пределом функции f (х) при х,
стремящемся к а, если для любой последовательности
значений аргумента {хп}, для которой lim Хп = а, после-
78
довательность соответствующих значений фуюсции {f (хп)}
имеет предел, равный А.
Естественно, что для правомерности сосуществования
двух разных определений предела функции нам необхо
димо показать их эквивалентность, т. е. эквивалентность
определения предела на языке е, б-окрестностей и на
языке последовательностей.
Теорема 3.14. Для того чтобы
limf(х)=А,
(3.42)
Х➔й
необходимо и достаточно, чтобы для любой последова
тельности значений аргумента из множества опреде
ления f (х), сходящейся к а:
\imxп=a,
(3.43)
последовательность соответствующих значений функции
сходилась к А
(3.44)
Доказательство. Необходимость.Покажем,
что если имеет место (3.42), то, следовательно, для лю
бой последовательности {хп}, удовлетворяющей (3.43),
имеет место (3.44).
Из (3.42) следует, что Vв>О3б=б(в)>Отакое,что
для Vx, х =р а, удовлетворяющих неравенству
lx-al < б,
справедливо
lf(x)-A/<в.
(3.45)
Тогда для любой последовательности {хп} такой, что имеет
место (3.43), существует такой номер N = N (в), что для
Vn~N
/хп-аl < б.
Следовате-льно, для Vn ~ N
lf (хп)-А 1~ 8.
(3.46)
,
Достаточность. Мы должны показ-а.-ть, ч-то если
имеет место (3.43) и (3.44), то имеет место и (3.42).
Эту часть теоремы будем доказывать от противного.
Пусть для любой последовательности {хп} выполнено
(3.43) и (3.44), но функция f(x) не стремится к А при х,
79
стремящемся к а, х =1=, а. Это означает, что
3е0>О,Vб>О, 3х0=Х0(б),1х0-а1~б, /f(х0)-А1~80,
Тогда выберем последовательность {бп}, обладающую
свойством
(3.47)
n-+a>
и по этой последовательности мы можем построить по
следовательность Хп = Хп (бп), Хп =1=- а, такую, что
lхп-а/ ~ бп, 1f (хп)-А 1~ е0•
(3.48)
По построению
(3.49)
Вместе с тем {f (хп)} не стремится к А, т. е. мы пришли
к противоречию с предположением (3.44). Теорема дока
зана.
Нетрудно заметить, что приведенная теорема, очевидно,
позволяет распространить свойства предела последователь
ности на предел функции.
Сформулировать аналогичные определения предела
функции для случая неограниченного возрастания или
убывания аргумента или функции предлагаем читателю
в виде упражнения.
Далее мы можем наложить некоторые дополнительные
условия на стремление аргумента х к а, именно предпо
ложить, что
х-а>О или х-а<О.
Тогда мы получим предел функции при одностороннем
приближении аргумента к предельной точке.
Число А называется правосторонним пределом функ
ции f(x) в точке а
lim f(x)=A,
х-+а+О
если для Ve>0 36=б(е)>.О такое, что для Ух, х+а,
х-а<б
выполнено неравенство
80
lf(х)-А/<е.
Правосторонний предел обычно обозначают f (а+ О).
Аналогично определяется левосторонний предел.
Число А называется левосторонним пределом функ
цииf(х)вточкеа
lim· f(х)=А,
Х➔а-0
еслидляVв>О3б=б(в)>Отакое,что для Vx, х+а
а-х<б
выполнено неравенство
1f(х)-А 1< в.
Левосторонний предел обычно обозначают f (а-0).
Очевидно, что предел функции f (х) при х, стремя
щемся к а, существует тогда и только тогда, когда су
ществуют и равны между собой оба одноО'Горонних предела:
lim f(х)= limf(х).
Х➔а-0
Х➔а+О
3.2 .2. Теоремы о существовании предела функции.
Рассмотрев в предыдущем пункте определение предела
функции, естественно поставить вопрос: при каких усло
виях, накладываемых на функцию, мы можем гаранти
ровать существование указанного предела. Ответ на этот
вопрос в какой-то мере дают следующие теоремы.
Теорема 3.15. Пусть функция f(x) монотонно
возрастает в некоторой области Х, и пусть а-точка
сгущения для множества Х, т. е. VR8 (a)~x=l=a, хЕХ.
Тогда, если функция f (х) ограничена сверху
f(х)~М
(3.50)
для всех х Е Х, то при х, стремящемся к а, функция
имеет конечный предел.
До к аз ат ель ст в в. Из неравенства (3.50) следует,
что множество {f (х)}, определяемое как множество обра
зов функции f (х)
Х..!...У={f (х)},
ограничено сверху. Тогда для этого множества сущест
вует конечная точная верхняя граница А. Покажем, что
число А и будет искомым пределом.
Поскольку А есть точная верхняя граница, то Vв > О
3х0 такой, что f (х0) > А-е. Функция f (х) монотонна,
следовательно, для Vx > х0 будет выполнено неравенство
. f(х)>А-в.
81
Но функция f (х) ограничена, следовательно,
f (х)~ А,
откуда для Vв > О имеем
f(x) < А+в.
Таким образом, выбрав 6 = а---:Хо (a'=I= + оо) можем заклю
чить, что Vв 36 такое, что неравенство
lf(x)-AI <в
(3.51)
выполнено для
lx-al < 6.
Теорема доказана для случая а<+ оо. Если х ~ + оо,
то, положив 6 = х0 , мы можем утверждать, что Vв > О.
36 такое, что неравенство (3.51) выполнено для всех х > 6.
Теорема доказана.
3 а меч ан и е 3.2. Очевидно, аналогичное утверждение
справедливо и для монотонно убывающей функции. До-
казате.r~ьство этого утверждения предлагаем провести чи
тателю самостоятельно.
• Необходимо также отметить, что если функция f (х)
монотонна и не ограничена сверху, то Ve > О 3х0 , что
f(х0)>в; тогда, для Vx>х0 имеемf(х)>в, т.е. f(х)
в этом случае стремится к + оо.
Далее рассмотрим другую важную теорему, не пред
полагающую явно, что функция является ограниченной,
но предполагающую некоторую специальную структуру
изменения самой функции.
Теорема 3.16. Пусть для хЕ(а-6, a)U(a, а+о)
определены функции fi (х), f~ (х), f3 (х) и выполнено
f1 (х) ~ f11 (х).~ fз(х)
(3.52)
и
limf1(х)=limf3(х)=А.
Х➔а
Х➔О
Тогда функция fu (х) также имеет предел при Х->-а,
npuчe.tt
limf1(х)=А.
Х➔а -
Доказательство. Пусть е0>О произвольно, то
гда по определению функции 361 > О, что при Iх-а 1< 61 ,
имеет место
82
и Зб 2 > О такое, что при \х-а\ <б 2 выполнено
\ fз (х)-А 1< Ео-
Тоrда, выбрав
б0 = min {б, б1 (е0), б2 (в0)},
получим, что для I х-а 1 < с\ имеют место неравенства
А-вG < f1(x) < А+в0,
А-в0<fз(х)<А+в0•
Следовательно, в силу условия (3.52) теоремы
А-в0<f2(х)<А+в0
или
1f2 (х)-А 1< в0 при \х-а\ < б,
откуда и следует, что
limf2(х)=А.
Х➔а
Отметим, что точка а может как принадлежать, так
и не принадлежать области определения f1 (х), f2 (х), f3 (х),
в которой выполнено неравенство (3.52). Мы доказали
теорему, предполагая первое. Доказательство теоремы
в предположении, что точка а не принадлежит области,
дословно повторяет приведенные выше рассуждения.
Заметим также, что точка (точка сгущения функций
/ 1 , f 2 , fз) в равной мере может быть конечной или уда
ленной в бесконечность.
3.2.3. Замечательный предел lim (1 +х) 1 /х и его след-
х➔о
ствия. В этом пункте мы рассмотрим предел при х, стре
мящемся к О функции
у= (1 +x)lfx.
(3.53)
При непосредственной подстановке предельного значения
аргумента в исследуемую функцию мы получим неопре
деленность, символически записываемую в виде 1"'.
По
ставим перед собой задачу раскрыть эту неопределенность.
Для этого воспользуемся определением предела функции
в терминах последовательностей. Именно, выбрав произ
вольную бесконечно малую последовательность {хп}, мы
должны показать, что последовательность
(3.54)
83
имеет предел. Возьмем n качестве {хп} последовательность
{1/п}; тогда, как было показано в п. 3.1 .4
lim (1 +-1-)п=е,
(3.55)
n➔ (J)
п
Последнее равенство позволяет нам надеяться, что пре
дел (3.53) будет также равен числу е.
Выберем произвольную бесконечно малую последова
тельность {хп} такую, что О< Xn+i < Хп и
lim Хп= 0.
Тогда всегда найдется строго монотонно возрастающая
последовательность натуральных чисел {kп}, удовлетво
ряющая неравенству
1
kп~ -< kп+1,
Хп
откуда
1
1
k +1 <хп~k;
п
п
тогда
или
( 1+__! _,_)k,,+1 (1 +-l-) -1 < (1 +хп)~fхп <
kп+I
kп+ 1
<(1+klпyn(1+k!J •
Следовательно, в силу (3.55) и теоремы 3.13
lim (1 +xп)l/Xn=e.
n-+ao
Выбрав последовательность {хп} (хп < О) так, что
lim Хп=О,
/J➔<X>
и определив новую поQ-Jlедовательность равiнством
Уп= -Хп,
получим
(3.56)
lim (l+xп)l/Xn= lim(l-yп)- 11Yn:z:: lim (_!.__) 11Уп=
n-+ao
n-+<X>
n-+<X> 1 Уп
.1-Уп
= lim (1 +~)и;; (1 +~) = е-1.
n➔ao
1-Уп
•
1-Уп
84
Таким образом, мы получили, что предел последователь
ности (3.54) при любом выборе последовательности {хп}
равен числу е, т. е., следуя определению функции на
языке последовательностей, _мы можем утверждать, что
lim (1 +х)1'х= е.
(3.57)
Х➔О •
Легко видеть, что, положив в (3.57) у= 1/х, получим
lim (1 +.!.)У= е.
у➔ ±ОО
у
Аналогично вычисляется предел
lim ( 1+~)х = ет.
_Х➔ ±с»
)С
Действительно,
.
( m)"
.
( m)-= -•m
ltm 1+-
=
l1m 1+- т
=
Х➔ ±ао
)С
Ж➔±..
Х
={ lim ( 1+~)~}т=ет.
Х➔±а,
Х
Далее покажем, что
1. log4(1+х) I
1m -~--= og4е.
Х➔О
Х
Имеем
lim loga (1 +х) = lim .!. log4 (1 +х)=
Х➔О
Х
Х➔ОХ
= lim log4(1+х)Ф= log4е1).
Jt➔ O
И, наконец, убедимся в том, что
lim a"-'=lna.
Jl➔о )С
Действительно, обозначая ах - l =у, будем иметь
lim ax-J = lim
У =-· -'-= lna.
х➔О х
y➔0Iog4(1+y) log4 e
3.2.4 . Сравнение бесконечно M8JIЫX и бесконечно боль
ших функций. Обобщая понятие бесконечно малой после
довательности на случай произвольной функции, мы будем
1) Обоснс;)Вание последнего равенства в полной мере мы приве-
дем в последующих пунктах этой главы.
•
85
rоворкть" чт,о функци.я f (х) кавывается бесконечно малой
при х,. стремящемся, и. а, если,
limf(:t:) =О.
Соответственно функция f (х) называется бесконечно боль
шой при х, стремящемся к а, если
limf(х)=±оо.
Х➔а·
Бесконечно малые (бесконечно большие) функции обла
дают свойствами, аналогичными свойствам бесконечно ма
лых (бесконечно больших) последовательностей.
Рассмотрим две бесконечно малые при х, стремящемся
к а, функции f (х) и g (х), причем будем предполагать, что
g(x) =1=0.
Бесконечно малую функцию f (х) называют эквивалент
ной g (х) при х, стремящемся к а, если
liш f(x)=l.
(3.58)
Х➔йg(X)
Этот факт обозначают так:
f~g.
Бесконечно малые функции называются бесконечно ма
лыми одного порядка малости, если
lim f(х) =с (с=1=О, с =1=оо).
(3.59)
Х➔й g(X)
Бесконечно малая f (х) есть функция большего порядка
11юлости, чем g (х), при х, стремящемся к а, если
lirn f(x) =0.
(3.60)
х➔аg(х)
Для этогослучая используют обозначение
f(х)= о(g(х)).
Если в окрестности точки а выполнено неравенство
1f (х) 1~ А1 lg(x) 1,
(3.6 _1)
где А-постоянная, то говорят, что при х, стремящемся
к а, бесконечно малые f (х) и g (х) связаны соотношением
f(х)= О(g(х)).
86
В предыдущем пункте мы показали, что для бесконечно
малых х и ln ( 1 + х) при х, стремящемся к О, выполнено
соотношение (3.58), следовательно,
ln (1 +х),..., х.
Бесконечно малые ех-1 и х при х, стремящемся к О,
также являются эквивалентными
ех-1-х.
Бесконечно малые 4 (х-1) 2 и (х-1) 2 при х, стремя
щемся к 1, очевидно, являются бесконечно малыми одного
порядка малости, так как для них выполнено соотноше
ние (3.59).
Бесконечно малая 5х4 при х, стремящемся к О, является
бесконечно малой большего порядка малости, чем 3х2 ,
действительно,
.
5х4
•
5х2
l1m"э"2=l1m3 =О,
Jt-+0 Х
Х-+0
и, следовательно, выполнено соотношение (3.60), т. е.
5х4= о (3х2).
Далее рассмотрим критерий эквивалентности двух бес
конечно малых, позволяющих связать последние некото
рым равенством.
Теорема 3.17. Для того чтобы
f (х),..., g(x)
при х, стремящемся к а, и g (x)-=t-= 0 в некоторой окрест
ности точки а, необходимо и достаточно, чтобы
f(х)=g(х)+h(х),
(3.62)
где h(х)= о(g(х)).
До к аз а тел ьство. Необходимое т ь. Имеем
h(х)= f(x)-g(х),
тогда
limh(х)= limf(x)-g(х)= limf(х)- limg(х)=1-1= О.
x-+ag(x) х-+а g(x)
х-+а g(x) t-+ag(x)
Следовательно, выполнено соотношение (3.60) и действи
тельно
h(х)=о(g(х)).
87
Достаточность. Разделим обе части (3.62) на g(x)
f(х)=l+h(х)
g (х)
g (х)'
тогда
\im f((х)) = 1+\iш h((х)) = 1. ,
Х➔ОgХ
X➔OgХ
Следовательно, выполнено соотношение (3.58) и величины
f (х) и g (х) эквивалентны. Теорема доказана.
В точности так же сравниваются и бесконечно боль
шие функции. Например, если f (х) и g(х)-бесконечно
большие функции при х, стремящемся к а, то f (х)-бес
конечно большая большего по.рядка, чем g (х), если
1. g(x)
1m -1() =0.
Х➔а Х
При вычислении предела произведения функций можно
заменять множители эквивалентными величинами, но при
этом необходимо помнить, что свойством эквивалентности
величины обладают в окрестности вполне определенных
точек и существуют заведомо несравнимые пары беско
нечно малых и бесконечно больших.
§ 3.3. Непрерывность функции
3.3.1. Определение непрерывности функции в точке;
приращение аргумента и функции, типы разрывов. Рас
смотрим функцию f (х), заданную на некотором множе
стве Х. Функция f (х) называется непрерывной в точке
Х0 Е Х, если предел функции при х, стремящемся к х0 ,
существует и совпадает с f (х0):
limf(х=f(х0)=f(lim х),
Х-+Хо
Х-+Хо
т. е. для Ve > О 3б= б (е) такое, что для Ух, удовлетво
ряющих неравенству lx...:_x 0 1~ б, выполнено неравенство
1f (x)-f (хо) 1< е.
Используя определение предела функции на языке по
следовательностей, мы можем сказать, что функция f (х)
непрерывна в точке х0 тогда и только тогда, когда для лю
бой последовательности {хп}, сходящейся к х0 , имеет место
равенство
lim f (хп)= f (х0).
n➔a.
88
Для того чтобы проиллюстрирова1ъ геометрически при
веденное выше определение, свяжем определение непре
рывности функции с ее графиком у= f (х). Для этого
выберем некоторое в> О, и проведем полосу шириной 28
вдоль прямой у= f (х0 ). Тог-
2!
да, если функция непрерывна,
У
Н
то найдется такое б > О, что
J
1
вся часть графика, лежащая
11
внутри вертикальной полосы t1:r0J ===-= - .. : : :. . .- =i-
----]
шириной 2б вдоль прямой
I
Ze
.J. _____
х = х0 , содержится также и
1
в указанной горизонтальной --+ - -- -
1
полосе шириной 2в (рис. 3.2).
i
Если функция в точке х0
1
не обладает свойством непре-
о
:c0 -t11х0 1:c0 +tJ
:с
рывности, то,. как бы ни бы-
ла узка вертикальная полоса
Рис. 3.2.
вдоль Х= х0 , она всегда будет
содержать часть графика, лежащую вне горизонтальной
полосы шириной 2в вдоль прямой у= f (х0 ) (рис. 3.3).
Далее рассмотрим п р и ращение функции и неза
висимой переменной в некоторой фиксированной точке х0 •
о
Рис. 3.3 .
Рис. 3.4 .
Пусть Лх= х-х0 -приращение независимой переменной,
а Лу=J(х0 +Лх)-f(х0)-приращениефункции (рис. 3.4).
Теорем а 3.18. Если функция f (х) непрерывна в точке
Х0, то
lim Лу= О,
Лх➔О
89
или Лу= о (1) при х, стремящемся к нулю. Иными сло
вами: бесконечно малому приращению аргумента соответ
ствует бесконечно малое приращение функции.
Доказательство. Если f(х) непрерывна в точке
Х0, ТО
lim f(х)= f(хо)·
Х➔Хо
Тогда имеем
lim Лу = lim (f(х0+Лх)-f(х0))=
Лх➔ О
Х➔Х0
= lim (f (х0 +x-x0 )-f (~)) = lim (f (х) -f (х0))= О.
Х➔Хо
Х➔Хо
Теорема доказана.
Функция f (х) называется непрерывной на множестве
Х, если она непрерывна в каждой точке Х.
Пусть функция f (х) определена на [xi, х2]. Функция
f (х) называется непрерывной справа в точ,ке xi или непре
рывной слева в точке х2 , если соответственно
lim f(х)=f(х1)или lim f(х)=f(х2).
Х➔х,+О
-х-х,-0
Функция называется непрерывной на отрезке, если
эта функция непрерывна во внутренних точках отрезка,
справа на левом конце и слева на правом конце.
Можно доказать, что все элементарные функции непре
рывны при всех значениях х, при которых они существуют.
Любая арифметическая комбинация непрерывных функ
ций непрерывна в каждой точке, в которой эта комбина
ция имеет смысл. Например, если функции f (х) и g (х)
непрерывны в точке х0 и g (х0) =I= О, то функция h (х),
определенная как
h(Х)=f(х)
g(x) '
будет также непрерывна в точке х0 • Действительно,
Iim f (х)
lim /(х)=х~х•
= f(хо)=h(Хо)·
х➔х g(х) l1m g(х) g(х0)
О
X➔Xd
Будем говорить, что функция f (х), определенная в ок
рестности точки х0 , разрывна при х=х 0 , если нарушено
хотя бы одно из следующих требований:
90
1) существуют
lim f (х)= f (х0 +О);
пределы:
f(х) = f(х0-О),
Х➔Х0-0
lim
Х➔Х0+0
2) пределы f (х0 -О) и f (х0 +О) конечны;
3) f(x0 -0)=f(x0 +0);
4) f(х0-О)= f(Х0+О)=f(х0).
При нарушении этих требований точка х0 называется
соответственно точкой: 1) неопредеденности, 2) бесконеч
ного скачка, 3) скачка, 4) устранимого р{l,Зрыва. В последнем
случае изменение значения функции f (х) в единственной
точке х0 приводит к непрерывности f (х) в, точке Х= х0 •
Разрывы 3), 4) относят к первому роду, разрывы 1), 2)-
ко второму роду.
Предлагаем читателю показать самостоятельно, что
точка х= О является точкой бесконечного скачка для
у= l/x, конечного скачка для
{
, -1,еслих<О,
у= sigпx= О, если х=О,
1,еслих>О,
устранимого разрыва для функции f (х) + f (-:х), если f (х)
определяется равенством
{О,х<О,
f(x)= 1, х~ 1.
(3.63)
Фующию f (х) называют кусочно-непрерывной на мно
жестве Х, если f (х) имеет лишь конечное множество
точек разрыва на Х, причем все точки разрыва отно
сятся к первому роду. Примером кусочно-непрерывной
функции служит функция (3.63).
3.3 .2 Условие· непрерывности сложной функции. Как
уже отмечалось ранее 1), сложная функция определяется
как суперпозиция двух функций, определенных на соот
ветствующих множествах:
F(х)=g(f(х));
зде::ь
(Е с:: Х) ~ (Е' с:: у/.!~ (Е" с:: Z).
Теорем а 3.19. Пусть f (х) непрерывна в точке х0 ЕЕ,
а g (х) непрерывна в точке у0 ЕЕ', причем Уо = f (х0). Тогда
F (х) непрерывна в точке х0 •
1) См. п, 2.2.7, стр. 45-46.
91
До к аз ат ель ст в о. Воспо,1ьзуемся определением
предела функции на языке последовательностей. Тогда
нам необходимо показать, что для любой последователь
ности
(3.64)
n-+ оо
имеет место равенство
lim F(хп)=F(х0).
n-+ оо
Действительно, в силу непрерывности функции f для
любой последовательности {хп}, обладающей свойством
(3.64), имеем
n-+..,
тогда в силу непрерывности функции g (х) для любой
последовательности значений {Уп} такой, что
lim Уп =Уо,
n-+ оо
имеет место предел
(3.65)
n-+..,
Следовательно, равенство (3.65) будет справедливо, если
положить
Уп =f (Хп).
Таким образом, для любой последовательности {хп}
lim g(f(хп))=g(f(х0)),
n-+ «>
т. е.
lim F(х)=F(х0).
%➔Ха
Теорема доказана.
Теперь, возвращаясь к пределам, которые были рас
смотрены в п. 3.2 .3, мы можем полностью обосновать
приведенные там рассуждения:
lim loga (1 +х) = loga lim (1 +x)1/.v =-1 -.
х-+О х
х➔О
lna
Аналогично имеем
1. аУ-1 1
1m --= па.
у➔О у
92
Рассмотрим еще один преде.'1:
lim (l+x)m-\=Jim е11Iп(1+х>_1 .mln(l+x)=l•m=m,
х➔О х
х ➔ О mln{l+f)
х
т. е. мы показали, что бесконечно малые [(l +х)'"-1) и
х при Х--+ О являются величинами одного поряд1ш малости.
3.3.3. Некоторые свойства непрерывных функций.
Отметим без доказательства некоторые свойства непре
рывных на замкнутом интервале функций.
Теорема 3.20 (Вейерштрасса). Евли функция
у= f (х) определена и непрерывна на замкнутом интервале
[а, Ь], то на этом множестве [а, Ь] найдется по крайней
мере одна точка х = х1 такая, что значение функции f (х1 )
будет удовлетворять соотношению
На замкнутом интервале [а, Ь] найдется также по
крайней мере одна такая точка Х= х1 , что значение функ
ции f (х1 ) будет удовлетворять соотношению
f(х2)~f(х), Ухе[а, Ь].
Значение М = f (х1 ) будем называть наибольшим зна
чением функции у с::: f (х) на замкнутом интервале [а, Ь].
Значение m= f (х2 ) будем называть наименьши,.,,, значением
функции у= f (х) на замкнутом интервале [а, Ь].
Теорем а 3.21. Пусть функция у= f (х) определена
и непрерывна на множестве [ а, Ь] и в точках х1 , х1 Е [а, Ь]
принимает некоторые значения f (х1 )= А, f (х2 )= В. Тогда,
каково бы ни было число С, заключенное между А и В,
найдется по крайней мгре одна такая moЧJ!a с Е [а, Ь], что
f (с)= С.
Следствие 3.1. Если у=f(х) определена и непре
рывна на множестве [ а, Ь], то на этом множестве [ а, Ь],
она принимает по крайней мере один раз любое значение,
заключенное между ее наибольшими и наименьшими зна
чениями.
Следе тв и е 3.2. Если функция У= f (х) определена
и непрерывна на замкнутом отрезке [ а, Ь] и на концах
этого интервала принимает значения разных знаков
(f (а) f (Ь) < О), то внутри интервала (а, Ь) найдется по
крайней мере одна точка х= с, в которой функция
93
обращается в нуль
f(с)=О, сЕ(а,Ь).
Точку Х= с называют нулем (или корнем) функции
У= f (х).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
1. Что называется последовательностью?
2. Какие две последовательности называются равными?
З. Что называется в-окрестностью точки а?
4. Что называется пределом последовательности?
5. Что такое подпоследовательность?
6. Может ли сходящаяся - последовательность иметь два предела?
7. Имеет ли предел монотонно возрастающая ограниченная сверху
последовательность?
8. Име1ст ли предел монотонно убывающая последовательность,
ограниченная снизу?
9. Какая последовательность называется бесконечно малой (бес
конечно большой)?
10. Какова связь между бесконечно малыми и бесконечно боль
шими последовательностями?
11. В каком случае при вычислении предела имеет место ситуа-
ция неопределенности?
12. Что такое предел функции на языке е,б-окрестностей?
13. Что такое пред-ел функции на языке последовательностей?
14. В каких случаях монотонная функция имеет предел?
15. Какие бесконечно .малые называются .эквивалентными одного
порядка малости?
16. В каком случае говорят, что одна бесконечная малая есть
функция большего порядка малости, чем другая?
17. Что такое непрерывность функции f (х) в точке х0?
18. Что такое точка разрыва функции f (х)?
19. Каково условие непрерывности сложной функции?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3
J
1. Покажите, что при п--,. со последовательность Хп = \ +-
п
имеет число 1 своим пределом.
2. Покажите, что при п--,. Ф
1
а) Хп=2+п+1,
пос.,1едовательности
1
б) Xn=2- --
n+1
имеют число 2 своим преде.~ом.
Найдите пределы последовательностей:
.
Зп+2
.
3п3+1
З. l1111 -+2 •
4.l1mз+~,
n➔oon
п➔оо n
5 1. 2n+1
61.п5
• п~..п2+1•
• п.:111"п+I •
.
4п11 +3
6п2
7• }!,~ 2п3+1•
8• п1~~ (Зп + l)(n-1) •
94
9 1. (n+l)(n-f--2)(п+3)
•
1m
3
•
n➔оо
п
Найдите пределы последовательностей, испо.1ьзуя замечательный
предел (см. п. 3.1.5):
lim (1+...!...)п = lim (1+...!...)п =е:
п-оо
п
n-•-oo
п
19. lim (1+!.)п.
20. lim (1--31)".
n➔ оо
n
n➔ оо
п
(, 4)п+з
(п)п
21. пl~т" 1+п
.
22. пl~т_. п+ I •
23. lim п {ln (п+3)-ln п}. 24. lim п {ln n-ln (n+2)}.
n➔ao
n➔ ao
25. * Докажите, что
,.1l~ (1+~п;;) =1,
и найдите N, соответствующее е = О, О 1.
Докажите на языке е,б-окрестностей:
26. lim(x-3)=1.
Х➔2
28. lim (2х-1)=5.
Х➔З
Найдите пределы:
.
5x+I
30. i1m3 +2.
Х➔2 Х
32. lim ( Ух+2- Ух-2).
Х➔2
34 1.
x+l
• imз3+2.
Х➔1Х- Х
Раскрытие неопределенностей вида
.
Зх2 +5х-1
36.l1m227+3.
X➔:!;OI> Х - Х
27. lim (3-2х-х 2)=4.
Х➔ -\
29. limх2=4.
Х➔2
31. lim (3-2х+х 2 +4х3).
Х➔ -\
.
х-6
3З.11m +в··
х➔-бх
2х-1
65. lim
2,
1
1х,х+
Х➔2
оОС)н·
0 и 00 . аидите пределы:
.
ХЗ-\
37. l1m 3+i•
Х➔:!;оо Х
95
96
.
Зх-l
38.11m ~+I.
Х➔-00 Х
40. lim Ух -бх
Х➔+«> 3х+1
.
х2 -9
42. l1m -2
--
3-.
Х-+3Х- Х
.
х2 -4
44. l1m -+2 •
Х➔-2 Х
46. lim
Х➔3
48. lim
9-х2
}/3х-3.
Jlx-+4-2
Х➔О
х
.
Vl +х- JII -х
50 !1m -~-----
••
• Х➔О
х
·-
51. Hm
х➔2
х2 -2х
.
5х4 -1
39. l1m ~
3.
.t-±a>х--гх .
7х3 +1
41. l1m 4 2-2
-
16.
X➔-IЖJ Х
Х
х2 -9
43. lim 2
3.
Х➔З Х -2Х-
•
х2 -х-2
45. l1m
3l.
Х➔-1 Х+
.
х3-х2-х+ 1
47. l1m 3
2
l.
X➔IХ+х-Х-
49. lim . У 4+х+х2-2
Х➔ -1
х+.1.
Раскрытие неопределенностей вида оо - оо. Найдите пределы:
52. liш ( У х2 +вх+3- ух2 +4х+з).
Х--++ оо
53. lim (-1
-
1-~
1)•
х-,.1 х-
х-
54. lim ( У х2 +3х-х).
Х➔±Ж
55. lim (Ух2+х+1-Ух2 х).
Х➔ +ОС:
р6. lim (х-- ух2-а2).
X➔ :l;a>
57. lim (_! _2 +~4 ).
Х➔-2,х+ Х-
58. lim -(_!_2
-- /!--8 ).
Х➔2 Х-
Х--
59. lim (ух2-Г-Ух2-4х).
Найдите пределы, используя замечательный предел lim (l+x) 11x=e:
-
Х➔О
61. lim (1 +2х) 11х.
Х➔О
63. lim ( 1+~)х•
X ➔ :l;IЖJ
Х
•
(х2 + 1)х'+ 1
65. l1m --
2-
•
X➔:l;a> Х
Найдите левосторонний и правосторонний пределы функции:
1
66. f (х)= х+ 2 l/(х-З) при Х-+З.
хз-х2
67. f(х)= 2Ix-ll при х-+l.
1
68. /(х)= 1 + 211х при Х-+0.
Докажите, что функция f (х) непрерывна:
69. f(х)= х3•
70. f(х)= 2-".
l
71. f(x)=x2+x+I.
Найдите точки
разрыва:
разрыва даю1ых функций и выясните характер
х
72. у=--4·
х-
74. у х3 -6х2 + llx-6
х2 -Зх+2
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 1( ГЛАВЕ 3
;
1
l. Решение. Имеем (см. п. 3.1.2) Хп = 1+-. Для доказа-
п
тельства выберем произвольное число е > О. Возьмем N настолько
большим, что для всех п > N выполнялось неравенство 1/п < е. Для
этого достаточно положить N = [ 1/е]. При таком выборе N получим.
что I Хп-1 1 < е для всех п > N. Следnвательно, по определению
предела последовательности lim Хп = l.
3. Решение. Выделим целую часть д~и
lim 3n+2= lim Зп+3-l
n-, .«> n+l п-,.«> n+l
-.
1,·m 3 (п+ l) l'n
1
31·
1
н -+1·=
-1m -+1·
n-+«>
n+
n-+«> п
n➔«> п
Можно доказать, что lim +l 1=0. Следовательно lim 3n-j+1
2=3.
n➔Ф n
n➔соп-
Этот же пример можно решить следующим образом. Выберем
старшую степень дискретной переменной п. В нашем примере это п~..
Разделим числитель и знаменатель дроби почленно на п, получим
~ +J..
lim п
п
n➔ex> ~+_!_
п
п
Используя свойства предела (см. п. 3.1 . 7), получим
lim (~+ _!_)
lim 3+ lim _!_
n➔ a:i
n
n
n➔cio
n➔oo n
lim (~+_!_) = lim 1+ lim _!_ '
п➔..,
пп
п ➔..,
n➔.., п
последовательность 1/n при п-+ оо является бесконечно малой (ка:11:
величина обратная бесконечно большой п при n-+ оо), поэтому
lim 3n+2=з+о=З.
п4.., n+I I+O
4 П/ред. Н, М, Маrвеева
97
Ответ. 3.
4. Ответ. З.
5. Решен и е. Здесь, в этом примере, старшая степень п равна 2;
делим числитель и знаменатель дроби почленно на п2
2nl
21
~+ п2
п+п2
lim
2
1=lim
п-,.оо ~+-
п,.... оо 1+ 1
п2 п2
п2
Числитель полученной дроби стремится к нулю, " знаменатель есть
1•2n+lОО
О
число постоянное, следовательно, 11n 2 + 1= .
твет. .
n➔oon
6.Ответ. оо.
7. Ответ. 2.
8. Ответ. 2 .
9. Ответ. 1.
10. Вы6ерем произвольное число 8 > О и рассмотрим I Хп-а 1 < 8
или1(а- 2
~) -а1=2
1n < 8, откуда
- 11 lg 2 < lg 8; следовательно,
lg в-1
п > Тg2 . Т:огда искомая зависимость 'N = N (8) будет иметь вид
[ lg е-1]
N= Тg2 . МынашлиN =N(1:)такое,чтодля'r/n>N выпол-
нено I Хп-а 1 < в, следовательно, п~~ (а- 2~) =а.
11. Выберем произвольное число в > О. Рассмотрим разность
1Хп-а /=1а+( п!)п-а/=/(п~)п /=; 2 ;
по оп:;еделению 1/п 2 должно быть меньше 8. Положив N = [ 1/ Jfe],
1
полу~шм, что для 'r/n > N / Хп -а 1="'2 < 8, а это и означает, что
п
lim (a+(-l)n) =а.
n-+ .oo
n2
15. Ответ. 2.
16. Ответ.
-6.
17. Ответ. 8.
18. От в е т. Предел не существует.
19. Решение. Введем новую переменную
2
п=т· тогда
п
m= 2 , n=2m при п-.... оо, т-.... оо, Следовательно, имеем
Hm 1+.....,..
= lim 1+-
= ·нm 1+-
.
(•2)п
(1)2m{
( 1)т}2
п-,.с,:,
n
m-+oo
т
m-+oo
т
Таким осразом, используя замечательный предел, по,1учим
( 2)п
lim 1+-
1,
=е2• Ответ. е2•
R➔Ж
"
98
20. Указание. Положите
- l/ 3n=l/m, m=-3n, n=-m/3,
т;__,_- оо, при n-++oo. Ответ. е- 1 !3 :
21. Решен и е. Полагаем 4/п = l/m, п = 4m, тогда
lim (1+_!__)4т+З =- lim (·1+...!...)4т • (1+...!...)'3=
m➔«>
т
m➔«>
т
т-
{·(
1J·m}"•
( 1)3
=
lim
1+--:
• Hm 1+--:
,
m_,,.rr>
т,
m➔аз
т..
.
или
( 4)п+з { ( 1)m}~
lim 1+~
=
lim 1+-
• =е4,
n➔«>
п
m➔«>
т
Ответ.е4•
22. Указание. Выделите целую часть. Ответ. е-1•
23. Решение. Преобр0зуе111-, выражение, стоящее- под, знаком
предела:
~.3
п {ln (п+З)-Iп n}=n ln n ; 3 =ln (п~з)п =ln(1+ ~) 3 •
Тогда, используя свойства предела, имеем
п
Iim ln (1+~)3 ·З =ln ( lim
n➔ ao
n
n➔«1
Ответ. 3.
24. Ответ. '- 2.
25. Указани е. Найти функцию N= N(в)и, положив в=0,01,
вычислите N. Ответ. N =50.
26. Следуя определению предела функции Ve > О, нам необхо•
димо найти 6 > О такое, что из выполнения I х-21 < 6. следует вы
полнение 1(х-3)-(-1) 1=/х-21 < в. Очевидно, что, положив
б = в, получим требуемое утверждение.
2.9 ... Р.ещея.ие .. Сдедуя олр~делецию предела.функции Ve> О,
нам.. необходимо. найт11, 6 = 6. (е) > О такое, _ чтобЬI из выполнения
1х-21 < 6 следовало бы. выполнение / х2 -4 / < в. Преобразовав по•
следнее неравенство с помощ,ью-- nepвor:o,: имеем.,
lx2 -4 l=I (х-2) (х+2) 1=
=1х-21 / х+2/ ·< ·6,jx-2+41 :< 6(/x,-2J+4) < 6 (6+4) < 11.
Таким образом, при 62 +46 < 11 второе нер!'венство
выполнении первого.,
Таким образом, мы доказали, чтоН-m х2 =4.
Х➔2
30. Решение. Так как х -+ .2, то числи:гель
к 5-2+1=11, а знаменатель к 3-2+2=8;
lim 5х+1_.!_! Отве т. 11/8.
Х➔2 3х+2- 8 •
31. Ответ.2.
32. Ответ. 2.
4*
справедливо пrи
дроби стремится
Следовательно,
99
33.Решение.Прих -
-
6 числитель дроби стремится к (-12),
знаменатель-к О. Следовательно,
1. х-6
121·
1
tm --=-
tm --.
х➔ -6 х+6
х->--6 х+6 •
где 1/(х+6) при х--6 есть величина, обратная бесконечно малой,
х-6
откуда lim +б=т оо. Ответ. ,= оо.
Х➔-6Х
34. Ответ. ± оо.
35. Ответ.О.
36. Р е tiJ е н и е. Числитель и знаменатель дроби безгранично
возрастают при х - ± оо. Принято говорить, что имеется неопре-
деленность вида 00 • Разделим числитель и знаменатель дроби на
00
старшую степень переменной х, получим
3х25хl
7+7+ х2
lim ~-,,---,---,,-
lim
х➔±ао 2х2 7х+ 3 х->-± ао
7-7 х2
3+..О..+..!..
хх2
73•
2--+ -
хх2
5
Так как прих- ±оо каждая из дробей -
,
х
7
3
х, х2 , х2 стремится
к нулю, то имеем
lim 3х2 +5х+ 1
Х➔ ± ао 2Х2 -7х+3
Ответ. 3/2.
37. Ответ. 1.
38. Ответ. О.
39. Ответ. +оо.
40. Ответ.
-2.
41, Ответ. -оо.
3+0+0
2-0+0
3
2•
42. Ре w е н и е. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся
к нулю при х - 3 (принято говорить, что при непосредственной
подстановке получаем неопределенность ~) . Так как
х2 -9 (х-3) (x-f-3) х+3
х2 -3х= х(х-3) =-х-•
х2 -9
х+3
х+з
еслих:р3,тоlim -2
-
3-=lim --.
Но при Х-+-3 дробь--
х➔Зх- х Х➔З х
х
3+3
.
х2 -9
стремится к числу - 3
-=2. Итак, ltm - 2
-
3-=2.Ответ2.
Х➔ЗХ- Х
43. Ответ. 3/2.
44. Ответ.
-4.
45. Ответ.
-1.
46. Ответ.
-1 2.
47. Ответ. О.
100
48. Решение. Здесь числитель и знаменатель дроби стремятся
к нулю при х--,. О (принято говорить, что при непосредственной
подстановке получаем неопределенность ~ ) .
Умножим числитель и знаменатель дроби на У х+4+2:
l. ("Vx+4-2)( У х+4+2) 1.
х+4-4
IIП
'
= IIП -,--===----,
х➔О
х(Ух+4+2)
х ➔ О х(Ух+4+2)
1.
1
1
=;~оУх+4+2 4•
У х+4-2 1
Таким образом, lirn ----- 4
.
Ответ. 1/4.
х"о
х
49. Ответ.
- 1/4.
50. Ответ. 1.
51. О тв е т: J,17/4.
52. Ре ui е ни е. Умножим и разделим рассматриваемое выраже-
ние на У х2 +вх+з+ У х2 +4х+З:
lirn (.у х2 +вх+з- У хЧ4х+з) ( У х2+вх+з+ у х2 +4х+з)
х" +о•
У хЧ-Вх+ з+ Ух2 +4х +з
1.
4х
=x~rr_: 00 Ух2 +вх+з+ ух2 +4х+з·
Разделим числитель и знаменатель полученной дроби на х (раскры
оо
ваем неопределенность вида 00 , разделив числитель и знаменатель
на старшую степень независимой переменной). Получим
lirn
4
:
2.
.< ➔ +оо "1 / 1+~+2-+ "1 / 1+.!+2-
J/
хх2Vхх2
Ответ. 2.
53. У к аз ан и е. Привести к общему знаменателю выражение,
стоящее под знаком предела. Вычислить предел. От в е т. 1/2.
54. Ответ. 1,5, если х--,.+оо; оо, если х--оо.
55. Ответ. 1.
56. Ответ. О, если х--,.+оо; -оо, если Х-+-оо,
57. Ответ.
- 1/4.
58. Ответ. 1/2.
59. Ответ.
-2;
у 1-х
60. Решение. Сделаем замену: -4х=у, Х=_ 4 ; -х-=
=.!. .- l=- .! _ - l=-(1+.!), у-О при х-+0. Тогда
х
у
у
lirn (l+y)- t-i = lirn [(1 +У); ]-
4
•[l +uJ-1 = lim [(1 +и) ~]-
4
U➔O
U➔O
g➔O
1-х
Следовательно, lim (l -4x) х =е- 4, От в е т, е-•.
Х➔О
101
·61. O-r вет. е2.
'62. У к а з а н и е. Выделите целую часть дроби:
2х-\ 2x+I-\-\
2
2
2х+ l = 2х+ 1 = \-2х+ 1' по.1ожите у=- 2х-\-1 •
Ответ. е- 2 .
63. Указ а ни е. Сделайте замену 3/х = у, х = 3/у, у-+ О пр11
Х-+ ± оо. Ответ. е3 •
1
64. Ответ.
.r-
erе
65. Ответ.е.
66. Решение. Если Х-+3-0, то 1/(х-3)---+-оо и
2 1/(х-З) О Сл
1
1Е
З+О
---+
•
едовательно, lim
\/( -з>=-3 . слих---+ ,
Х➔3-Ох+2 Х
то l/(x-3)---+-j -oo, 2 1,<x- 3>---+ -j-00 .
Ответ. lim у= 3
1, limу=О.
Х➔3-0
Х➔3+0
7о
•1·
11·
1
6. твет. 1m у=--2 , 1m У=-2 ,
Х➔1-0
Х➔1+0
Тогда lim
1\ -ЗJ =0.
х➔3+0x-J-2 х
68. Ответ. lim y=l, lim у=О.
Х->--0
Х->-+0
69. Решение. Следуя· определению непрерывности, нам необ
ходимо показать, что бесконечно малому приращению аргумента со
ответствует бесконечно малое приращение функции.
Вычислим приращение функции в некоторой точке х:
Лу=у (х-j-Лх)-у (х) = (х+Лх) 3 -х3 =х3-j-Зх 2Лх -j-ЗхЛ 2х + Л3х - х3 •
Тогда Лу=Лх (Зх2 -j-ЗхЛх+Л 2х). Переходя к пределу в последнем
равенстве, будем иметь lim Лу = О. Следовательно, функция у =х3 не-
дх->- О
прерывна на всем промежутке (- оо, + оо ).
72. Решение. Найдем левосторонний и правосторонний пре
делы функции:
1.
х
l'
х -j-
x-! ~o x-4=-oo, х-!~+ох-4-=
00•
Таким образом, функцин при х-+ 4 не имеет ни левостороннего, ни
правостороннего конечных пределов. Следовательно, х=4 является
точкой разрыва второго рода.
73. Решен и е. В точке х = 5 функция не определена, так как,
о
выполняя подстановку, приходим к неопределенности O . При х :;i: 5
х3-~ ~-~~+~
.
У·
5
5 =х+ 5. Легко видеть, что в таком случае
х-
x-
lim у= lim y=lO. Таким образом, при х=Б функция имеет
Х➔ &-0
Х➔Ъ+О
разрыв первого рода, причем этот разрыв может быть устранен, если
условиться, что у= \О при х=5.
74. От в е т. Х= \, х=2-точюi устранимого разрыва непрерыв
ности.
75.Ответ.х=- -2,х=-
3-точки разрыва второго рода,
х=-
l - точка устранимQrо разрыва.
ГЛАВА 4
ПРОИЗВОДНАЯ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ
И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 4. t. Производная
4. 1. 1. Производная, ее геометрический и механический
смысл. Рассмотрим функцию у= f (х), заданную на неко
тором интервале (а, Ь). Возьмем произвольную точку
х Е (а, Ь) и зададим в этой точке приращение Лх такое,
что х+Лх Е (а, Ь). При этом функция получит приращение
(см. стр. 84)
Лу=f(х+Лх),-f(х).
Рассмотрим отношение ~~.
Оп р еде л е н и е 4.1 . Если су~цествует предел отно
шения ~~ при Лх-+- О (Лх =/= О), то этот предел называют
производной функции f (х) в точке х и обозначают у; 1 ) или
f' (х), или : 2>. Таким образом,
у'= lim :и
дх➔О Х
(4.1)
или
f' (х) = lim f (х+Лх)-f (х)
Лх➔О
дх•
Рассматривая все значения х из (а, Ь):~ в которых. f' (х)
существует, увидим, что каждой точке х соответствует
определенное значение f~ (х). Таким образом, f' (х) есть
некоторая функция от х. которая определяется по исходной
1) Запись читается: «игрек штрих по икс».
2) Запись читается: «де игрек по де икс».
105
функции f применением формулы (4.1). При вычислении
производной мы всегда имеем дело с раскрытием неопре
о
деленности вида O .
Нахождение производной называется дифференцирова
нием функции.
Пример 4.1 . Рассмотрим функцию у=х2 • Вычислим произ
водную в точке х= 1/2. По определению производной
У= lim (х+Лх) 2 -х2 lim х2 +2хЛх-f-Лх 2 -х2
ЛХ➔О
Лх
Лх➔О
Лх
=
lim (2х+Лх)= 2х.
Лх➔О
Итак, в нашем примере у' =2х. Зная этот результат, легко вычислить
значение производной в любой точке. Например, при х = 1/2 поJtучим
y'=I.
Понятие производной позволяет, как мы увидим в даль
нейшем, характеризовать поведение функции, ввести ап
парат исследования функции.
Теперь обратимся к геометрическому значению произ
водной.
Введем понятие касательной к кривой. Пусть М 0 -
точка некоторой не прерывной кривой (графика не
прерывной функции). Проведем через нее секущую М 0М
(рис. 4.1) и будем устремлять точку М вдоль кривой по
Рис. 4.1 .
Рис. 4.2 .
направлению к М0 , тогда секущая М0М, поворачиваясь
вокруг точки М0 , займет некоторое предельное положение.
Оп редел е ни е 4.2 . Касательной к кривой в пwчке М 0
называется прямая, занимающая предельное положение се
кущей М 0 М, если при движении по любому закону вдоль
кривой точка М стремится занять положение М0 •
104
Заметим, что с точки зрения этого определения: а) ка
сательная может пересекать кривую, например ось Ох
является касательной к графику функции у= х3 (рис. 4.2);
б) касательная может иметь с кривой несколько общих
точек, например прямая у= 1 имеет бесчисленное множе
ство общих точек с кривой, график которой изображен
!/
Рис. 4.3.
на рис. 4.3; в) касательная может не существовать, на
пример на рис. 4.4 представлена кривая, не имеющая
касательной в точке М0 • Действительно, при стремлении М
к М0 слева секущая стремится занять положение LM0 , а
при стремлении М к М 0 справа-положение NM0•
Перенесем приведенные выше рассуждения на построе
ние касательной к графику функции у= f (х) в точке
!J
Рис. 4.4.
Рис. 4.5.
М 0 (х0 , у0 ) (рис. 4.5). Возьмем на графике другую точку
М (х0 +Лх, у0 +Лу), проведем секущую М0М. Пусть сх
уrол наклона М 0 М к оси Ох. Тогда при М--.М0 , или,
что то же самое при Лх--. О, Лу--. О, очевидно,
lim сх =(f),
Лх-+0
(4.2)
где q,-угол наклона касательной М0Т к оси Ох, или
lim tgсх=tglim сх=tgq,.
(4.3)
Лх-+О
Лх-+ О
'105
Лу
Из рис. 4.5 можно видеть, что tg а= дх (где Лх и Лу мо-
гут быть как положительными, так и отрицательными),
тогда (4.3) переписывается в виде
t
1. Лу
gQJ= 1m л,
Лх➔О Х
(4.4)
т. е. производная функции у= f (х) в точке М0 (х0 , у0) равна
тангенсу угла наклона касательной к графику в этой точке
с осью Ох.
Очевидной является связь знака тангенса угла наклона
касательной к графику функции с возрастанием (убыва
нием) функции. На рис. 4.6 представлен график возраста
ющей функции. Здесь tg QJ > О и, следовательно, у' > О.
На рис. 4.2 приведен график воз
растающей функции, у которой
Рис. 4.6.
!!
Рис. 4.7 .
f' (О) = О. Аналогично из рис. 4. 7 видно, что для убы
вающей функции у' < О.
Таким образом, мы получили необходимый при
знак возрастания (убывания) функции:
Если дифференцируемая функция возрастает (убьюает)
в некотором интервале, то производная этой функции не
отрицательна (не положительна) в этом интервале.
Действительно, выше (см. стр. 41) мы видели, что для
возрастающей функции знак Лх совпадает со знаком ду.
Но тог.да
'
1· д,, ......._ О
y=Im-д·P•
Лх➔О Х
Аналогично для убывающей функции при Лх > О имеем
Лу< Щ.т. е.
106
'
1·дуО
у=1m-л~
дх,➔о х
Пр им ер 4.2 . Найти тангенс угла наклона касательной к гра
фику функции у=х 2 в точке с абсциссой х=-1/2.
Мы видели выше (пример 4.1), что при х = 1/2 производная функ
ции у =Х2 равна 1. Следовательно, касательная к графику в этой
точке 19бразует с осью угол в 45Q
z
(рис. 4.8).
../JJ
LF:C
Рассмотрим теперь задачу
о скорости точки, движущейся
вдоль прямой линии. Очевидно,
что пройденный точкой путь S
есть некоторая функция време
ниt
S=f(t).
1(С
Предположим, что в момент
времени t точка находится в
Рис. 4.8 .
положении S (рис. 4.9). Через некоторое время Лt точка
окажется в положении S + ЛS, где ЛS-путь, пройденный
дs
точкой за время Лt. Отношение Лt называется средней
скоростью точки за время Лt, а предел этого отношения
s
s+лs
s
о
S=f(tJ
t t+4t
Рис. 4.9.
при Лt---,. О есть мгновенная скорость точки
_времени t. Но по определению производной
[•дSS'
~ты=/•
д/-,.О
t
в момент
(4.5)
Таким образом, с точки зрения механики производная
в точке пути по времени есть .мгновенная скорость в этой
точке.
4. 1.2 . Связь между существованием производной и не
.прерьавностью фу~,кции. В главе 3, п. 3.3.1 было введено
понятие непрерывности числовой функции. Наличие про
изводной (дифференцируемость) позволяет установить но
вые свойства функции, котqрыми непрерывная функция,
107
вообще говоря, не обладает. Установим - связь между
дифференцируемостью и непрерывностью функции в точке.
Отметим прежде всего, что н е люб а я непрерывная
функция дифференцируема. Для того чтобы иметь право
это утверждать, достаточно рассмотреть, например, функ
цию у= 1х 1· В точке х = О производная у' не существует,
ибо при х=О касательная не существует (рис. 4.5).
Докажем теорему.
Теорем а 4.1 . Если существует конечная производ
ная функции у= f (х) в точке х, то f (х) непрерывна в этой
точке.
По условию теоремы существует
у'= lim Лу
Лх ➔ ОЛх•
По определению предела (см. стр. 65) будем иметь
:~=у' +а или Лу=у'Лх+аЛх, (4.6)
где а= а (Лх)---+ О при Лх---+ О. Тогда
ду:._у'Лх+о(Лх),
(4.7)
1·де о (Лх)-бесконечно малая величина высшего порядка
по сравнению с Лх (см. стр. 86).
Из (4.7) r.ледует Лу---+0 при Лх---+0, следовательно,
у= f (х) непрерывна в точке х.
4.1.3. Производная постоянной величины. Рассмотрим
постоянную функцию у= с= const. Имеем Лу = О, поэтому
'
1· Лу
\'
О0
у= 1m-л= 1m-л= .
Лх-+0 Х Лх➔О Х
Следовательно,
с'=О.
Этот же результат следует из геометрических сообра
жений. Действительно, касательная к прямой у= с, па
раллельной оси Ох, совпадает с этой прямой (рис. 4.10).
у-с
..
(JJ
Р11с. 4.10.
Угол наклона касательной к оси Ох равен О, следовательно,
tga=O и у' =0.
108
4.1.4. Производная степенной функции. у= xJ.L (μ-лю
бое вещественное число, а область изменения х зависит
от μ (см. п. 2.2.10). По определению производной для
функции у= xJ.L имеем
но (см. п. 3.3.2)
( l+ЛххУ-1
lim
Лх
лх ..... о
х
Таким образом, для функции у= xu.
у' =μXJ.L-l .
μ.
(4.8)
Пр им ер 4.3 . Рассмотрим функцию у=х3. По формуле (4.8)
у' =3х2• Заметив, что у'> О при всех значениях х ::/= О и у' =0
при х=О, можно утверждать, что
функция у=х3 является возрастающей !J
(см. рис. 4.2).
•
П р им ер 4.4. Рассмотрим функцию
g= Ух. Переписав ее в виде у=х112 ,
1
получим
1
1 --1
1
у,_ -х2
-2
=2у:;·
Заметим, что ( Ух)' > О, т. е.
У= Ух-возрастающая функция.Функция
о
-1
Рис. 4.11 .
g= Ух определена в интервале [О, оо), поэтому при х=О мы можем
говорить лишь о производной справа. Так как
lim
,~- =+ оо,
Х-++02fХ
то ось ординат будет касательной к графику функции g = Ух
(рис. 4.1 \).
109
4.1 .5 . Производная суммы, разности, произведения и
частного двух функций. Пусть функции и (х) и v (х) диф
ференцируемы. Найдем производную от их. суммы и раз
ности
у=и(х)±v(х).
Возьмем точку х, зададим приращение Лх, вызываю
щее приращения Ли и Лv. Заметим, что в силу не
прерывности (и и v дифференцируемы/) функций и, vиу
имеем Ли->-0, Лv->- О, Лу-0 при Лх->- О. Приращенные
значения функций и и v будут соответственно и+ Ли и
v+Лv, тогда
Лу = [(и+Ли) + (v+Лv)]-(u + v) =Ли+ Лv.
Разделив обе части на Лх и переходя к пределу,
получим
или
1•Лу\'Ли
\' Лv
1m-
=
1m-
+1m-
Лх➔ОЛх Лх➔ОЛх - Лх➔ОЛх
(и.+ v)' =и'+ v'.
Пр им ер 4.5. Если у=х2 +х~, то у' =2х+5х4•
Если
у= U (х) ·V(X),
то, рассуждая аналогично, получим
(4.9)
Лу= (и+Ли)•(v+Лv)-и•v=v•Ли+и•Лv+Ли-Лv,
тогда
\• Лу
\' Ли+ \' Лv+\' Ли,Лv
1mЛх=v1mл и1mл.1m-л-.
дх➔о.
дх➔о х
дх➔,о Х дх➔о х
Учитывая, что Ли-Лv= о (Лх)-бесконечно малая высшего
порядка по сравнению с Лх, имеем
litn Ли•. Лт, = О.
Лх➔о Лх
Окончательно получим
1• Лу.
\'Ли+l'Лv
1m ....·=v 1mл::- и 1m -л
11.Х➔0'-"
дХ➔0 '-"
д➔ХOХ
110
или
(и•v)' = и' •v+и•v'.
, (А.10)
Как следствие этого правила для функции у= си,
с= const, получим
(си)'= с'и+си' =си',
т. е. постоянный множитель можно выносить -за знак
производной.
Обратимся теперь к правилу дифференцирования дроби
и (х)
У= V (х)'
v (х) ::;i=.O .
Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, будем
иметь
Л _ и+ли _.!:!:.__vли~илv
Y-v-t-Лv v - v(v+дv)
или, разделив на Лх,
Ли
Лv
v--и-
Лх
Лх
v (v+Лv)
Переходя к пределу и учитывая, что Лv- О при Лх- О,
получим
1. Ли
1. Лv
v1m--и1m-
·
Лу Лх-+ о Лх .дх-+0 Лх
!1ш -л=
v2
ЛХ-+О Х
ИJ1И
( .!:!:..)' = u'v-. •uv' •
V
v2
(4.11)
п
46н.
ф
2х+ 1
ример .. антипроизводную ункцииу= - 3
-.
Х·
По формуле (4.11) имеем
2х3 -(2х+ 1) Зх2 4х+З
Хб
=-~•
4.1.6. Производная сложной ,функции. Рассмотрим
сложную функцию (см. п. 2.2.7)
y=f (rp(x)).
(4.12)
ш
Вводя обозначение и= (J) (х), можно переписать (4.12)
в виде цепочки
У=f(и), U=(j)(Х)
(4.13)
или суперпозиции отображений
ф
'
х-и, и-У.
(4.14)
В предположении, что существуют конечные производ
ные (J); и f~.
имеет место следующее правило вычисления
производной сложной функции:
(4.15)
Действительно, по формуле (4. 7)
Лу = у~ Ли +о(Ли).
Разделив обе части этого равенства на Лх, получим
Лу ,Ли+о(Ли) Ли
лх =УиТх л,;- • лх•
(4.16)
где о (Ли)-бесконечно малая высшего порядка по срав
нению с Ли. Переходя к пределу, имеем
1.
Лу,1
.
Ли+ 1.
о(Ли) 1 .
Ли (4 17)
1m-=уи tm-
1m-- •
1m-
.
Лх-+ О Лх
Лх-+о Лх Л11-+О Ли Лх-+О Лх
(Ли - О при Лх- О вследствие непрерывности и= (J) (х)
в точке х). Окончательно получим
у;=у~•и:.
Пр им ер 4.7 . Вычислить производную функции у= Yl +х2•
Введем обозначения
У= Уи, и=l+х2•
По формуле (4.15)
,
( ,/'-)'
,
1
Ух= У и u•(l+x2 )x=----,2x
2Уи
или, с учетом введенного обозначения и=\ +х2,
,
1
2
х
у=----· х
2 Yl+x2
Yl+x2 '
Заметим, что в практике вычисления производных
совершенно не обязательно расчленять сложную функцию
на отдельные составляющие функции.
Пример 4.8. Наliдем производную функции у=(х2 +Зх+4)2•
у' =2•(х2 +Зх+4) (х2 +Зх+4)' =2 (х2 +зх+4) (2х+З)=
=4x3-f -18x2 +34x-t-24.
112
4.1.7. Производная обратной функции. Пусть для
ин ъе кт и в ной, дифференцируемой функции у= 1(х)
построена обратная (см. п. 2.2.6) функция х= 1- 1 (у).
В предположении, что функция х = 1- 1 (у) непрерывна и
у' (х) =I= О, докажем, что
х~ =-;-.
(4.18)
Ух
Действительно, так как
Лх
1
Лу= Лу
лх
и в силу непрерывности функций у= 1(х) и х = 1- 1 (у)
условия Лх---+ О, Лу- О равносильны, будем иметь
l. Лх
1
1m -=----
лu➔о Лу 1·
Лу'
1m-
Лх➔оЛх
что и требовалось доказать.
Пр им ер 4.9 . Найдем производную функции у= Ух.
хЕ(О,+ оо), используя полученную выше формулу (4.18). Обратной
к этой функции будет функция х=у2, УЕ(О, + ОС)). Вычисляя х;=2у
и применяя (4.18), получим
,
1
,
1
Ух=2у ИЛИ У=2Ух.
Приведенное решение, разумеется, весьма искусственно 1). Гораздо
проще найти производную функции у= Ух так, как это было сде
лано в примере 4.4 .
4.1.8. Производная показательной и логарифмической
функций. Рассмотрим функцию у = а" (а> О). По опреде
лению производной будем иметь
.
ах+Лх_ах
.
ах(аЛх_l)
у'= I1m ----= I1m --' --- --- --' -=
Лх➔О Лх
лх-,.0 Лх
=а" Iim
лх-,. о
алх_l
Лх =а"lnа.
Здесь мы воспользовались известным пределом (см. стр. 85)
аа. 1·
lim ~=lnа.
а,-,.О а
1) Выбор такой иллюстрации применения формулы (4.18) связан
с недостаточным набором обратных функций к моменту изучения
рассматриваемой темы.
113
Итак,
(а~")'-_ а" -ln а.
В частности, для функции .у= е" получим
(е")' = е".
(4.19)
Для показательной функции скорость возрастания
(при а> 1) пропорциональна ,значению самой функции.
Обратимся к производной логарифмической функции
у= loga х, х Е (О, + оо ). Используя формулу производной
обратной функции (4.18), будем иметь
х=аи, x~= .aYlna,
,
1
1
Ух= aYJna =х\па·
Итак,
(4.20)
В частности,
(ln х)' = _!_.
х
(4.21)
Скорость возрастания логарифмической функции (при
а> 1) обратно пропорциональна значению аргумента и
стремится к нулю при безграничном возрастании аргумента.
4.1 .9. Производная функции, заданной параметрически.
Пусть функция
Х~У
(4.22)
задана параметрическими уравнениями
X=ep(t), Y=1\J(t).
(4.23)
Производную от у по х можно вычислить, не пред
ставляя функцию (4.22) в явном виде.
Теорем а 4.2. Если в некотором интервале из,иенения
t функция х = ер (t) инъективна, функции х = ер (t) и у= 1\) (t)
дифференцируемы и ер' (t) =I= О, то производная от функ
ции у по х находится по формуле
,
'Ф' (t) Yt
Ух=q,' (t) =Xt •
(4.24)
До к аз а тел ь ст в о. В. силу инъективности функции
х= ер (t) и условия ер' (t) =I= О существует функция t = g (х),
114
обратная функции· ~= <р (t), причем
t; =2..
Xt
Перепишем (4.23) в виде
У= '\J (g(x)).
Испольауя правило. дифференцирования. сложной функ
ции (4.15); получим
,
y;='\J' (t)•g'(x)= У~ •
Xt
Пр им ер 4.10. Вычислить производную у; функции
Тогда
3t
3t2
X=1+t3'
У= l+t~ •
,
3(1-2/8)
Xt= (1+/3)2 '
,
3t (2- tз)
Yt = (I+~эр •
Далее по формуле (4.24) будем иметь
,
yt t(2-t3)
Ух=-, 1-2/3 •
Х/
4.1 .10. Производная неявной функции. Напомним, что
неявным заданием функции называется задание ее урав
нением
(4.25)
неразрешенным относительно у. Не всякое уравнение,
связывающее х и у, задает неявную функцию. Например,
уравнение
х2+у2 =-1'
не определяет никакой функции, ибо ему, не удовлетво
ряет ни одна пара вещественных чисел х и у.
Сформулируем правило дифференцирования неявной
функции.
Для того чтобы найти производную неявной функции у
по х, заданной уравнением (4.25),, дифференцируем по х
это равенство, считая у функцией от х; из полученного
равенства определяем искомую. производную у;.
П р им е р 4.11 . Найти производную неявной фун:кции·
x2·+y2=R2.
115
Дифференцируем обе части равенства, приче_м член g2 диффе
ренцируем как сложную функцию
2х+2и·и' ==0,
откуда
'
х
у=--.-.
у
4. t . t t . Производная ·второго порядка, ее механ.ический
смысл. Производные высших порядков. Пусть дана функ
ция у= f (х), имеющая производную у'. Отыскав произ
водную от функции у', мы получим втор у ю производную
от данной функции у= f (х), которая обозначается у".
Пример 4.12. Для функции у=х 3 первой производной будет
у'= 3х2 , второй производной
у"= (Зх2)' = 6х.
Производной функции у= f (х) третье r о порядка
называется производная от второй производной от данной
функции
у", = (у")' .
Вообще производной функции у= f (х) п-го порядка
называется производная от производной (п- I)-го порядка
от данной функции
(4.26)
Выясним механический смысл второй производной.
Выше (4.5) было показано, что s; есть мгновенная ско
рость точ1ш, движущейся по закону S = f (t). Пусть в не
который момент времени точка имеет скорость V. Если
движение неравномерное, то через некоторое время Лt
скорость точки изменится на· некоторую величину ЛV.
лv
Отношение лГ называется среднилt ускорением точки за
вре,ия Лt, а предел этого отношения при Лt-.. О есть
ускорение точки в момент t.
Итак,
[.лvV'
а=1m-=
t•
лt➔ОЛt
Так как V = S 1, можно записать
а= V1= (St)t = Si.
Таким образом, с точки зрения механики вторая про
изводная от пути по времени есть ускорение в этой точке.
116,
§ 4.2 . Дифференциал
4.2 .1 . Дифференциал функции. С понятием производной.
тесно связано понятие дифференциала функции, которое
играет важную роль как с теоретической, так и с при
кладной точки зрения.
Пусть у= f (х)-некоторая функция, дифференцируе
мая в данной точке. Приращение функции Лу в точке х
может быть представлено (см. стр. 108) в виде
Лу=у'Лх+о(Лх).
(4.27)
Величина у'Лх (при у'=i=О)-главная часть приращения
прямо пропорциональна первой степени приращения Лх,
поэтому она называется лин,ейн,ой частью приращения.
Оп редел е ни е. Дифференциалом функции у= f (х)
в точке х называется произведение производной у', •вычис
ленной в этой точке х, н,а произвольное приращение Лх.
Дифференциал функции обозначается символом dy
или df (х)
dу=у'Лх.
(4.28)
В силу (4.27) справедливо приближенное равенство
Лу~dу,
т. е. при малых Лх приращение функции с большой точ
ностью можно заменить ее дифференциалом.
Будем считать по определе-
нию, что
!/
Лх=dх,
dy=y' dx.
(4 29)
',
•
g+Лg --------- N
тогда
(4.30)
4.2.2 . Геометрический смысл
дифференциала. Рассмотрим гра
фик функции у= f (х) (рис. 4.12), __ .:;:....., ... .:i~---' -----'- ---
дифференцируемой в точке х.
.r+Л.t .r
Проведем касательную к кривой
в точке Мс абсциссой х. Зададим
Рис. 4. 12.
в точке х приращение Лх, отме-
тим на кривой точку N с абсциссой х+Лх. Проведем по
строение, у1<азаююе на рисунке. Из треугольника АВМ
получим АВ= tgа·Лх или АВ= у'dx=dy.
117
Таким образом, геометрически дифференциал представ
ляет собой приращение ординаты точки, движущейся по
касательной к кривой.
Заметим, что для кривой, изображенной на рис. 4.12,
dy < Лу. Это обстоятельство связано с направлением вы
!!
Рис. 4.13.
dx
4°. d(lпх)=х.
пуклости. Для кривой, изобра
женной на рис. 4.13, dу>Лу.
•
4.2.3. Вычисление дифферен
циала. Правила вычисления диф
ференциала следуют из его опре
деления. Действительно, в силу
(4.30) будем иметь, например:
1". d (с)= О.
2°. d (хп)= пх"- 1 dx.
3°. d(logax)= ~lx, а> О,
х. па
а:/= 1.
5°. d(ax)=axlnadx, а>О, а:/=1.
6°. d (ех)= ех dx.
Имеют место правила:
1°. d(и+v)=du+dv.
2°. d (uv) = и dv+vdu.
30_ d (~) = udv-;vdu.
\V
V
Выведем формулу для вычисления дифференциала слож
ной функции. Рассмотрим функцию
y=f(u), U=(j)(X).
По теореме о производной сложной функции имеем
у;= у;- и~.
Умножая обе части этого равенства на dx, получим
у; dx= у~ (и~ dx),
или, так как
y;dx= dy и u;dx= du,
dy=y;du.
(4;31)
Формула (4.31) по внешнему виду совпадает с форму
лой (4.30). ОднакQ между ними имеется принципиальное
118
различие. Если в формуле (4.30) х-независимая пере
менная и dx= Лх (по определению), то в формуле (4.31)
и являе"Dся функцией от переменной х, поэтому du -:::;6Ли.
Свойство независимости вида дифференциала от выбора
независимой mеременной (инвариантность дифференциала)
позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную диф
ференцированию (интегрирование).
§ 4.3 . Приложение дифференциала к приближенным
вычислениям
4.3.1. Абсолютная и относительная погрешности. Рас
смотрим функцию
у= f (х).
В дальнейшем для краткости изложения х и у будем
называть просто величинами. Пусть величина х получена
непосредственным измерением или в результате прибли
женного вычисления. При нахождении величины х может
быть доmущена не зависящая от нас некоторая погреш
ность Лх.
Пусть х + Лх-истинное значение величины х, Лх-абсо
лютная погрешность величины х (Лх может быть как
по~11ожи1iельным, так и отрицательным числом) и дх -
1'
относительная погрешность. величины х.
Если известно, что I Лх 1 :=:;;; S:" то Sx называется пре-
дельной абсолютной погрешностью, ~;1 - предельной от
носительной погрешностью.
Зная предельную абсолютную погрешность Sx, найдем
предельную абсолютную погрешность Sy величины у= f (х).
Приближенная величина х определяет приближенное
значение функции от нее f (х), а х + Лх определяет истин
ное ее значение f (х+ Лх}, откуда следует, что абс о
лютная поrрешность функции Луопределяется
равенством
IЛyl= 1Лf (х) 1= lf (х+Лх)-f (х) I•
При малых значениях Лх (близких к нулю) можно
величину Лу приближенно заменить ее дифференциа
лом dy:
Лу=f (х+Лх)-f (х).~[ 1 (xJlu=d{j.
119
Погрешность приближенного равенства Лу ~ dy очень
мала по сравнению с погрешностью Лх. Поэтому при
оценке погрешности Лу можно считать, что Лу = dy =
= f' (х) Лх. Выгода замены погрешности приращения
функции Лу ее дифференциалом dy состоит в том, что dy
зависит от Лх линейно, а Лу обычно представляет собой
более сложную зависимость от Лх.
Относительная поrрешность величины у оп-
ределяется как Idff I и обычно выражается в процентах.
Вычислим предельную относительную погрешность ве
личины у. Очевидно,
1Лу 1= 1f' (х) 1•1Лх 1~ 1f' (х) 1Sх•
откуда следует, что за предельную абсолютную
погрешность величины у можно принять Sy = 1f' (х) 1Sх·
Предельная относительная погрешность вычисляется
по формуле
Пр и м е р 4.13. Сравнить относительные погрешности при вы
числении п,ющади круга при r = 125 см, рассматривая: а) абсолют
ную погрешность, равную приращению площади круга; б) абсолют
ную погрешность, равную дифференциалу площади круга.
Решение. Вычислим приращение ЛS площади круга и отно
L\S
с11тельную погрешность S при вычислении площади круга S = :л:, 2•
Будем считать, что погрешность при измерении радиуса л, не
превышает ± 0,5 см.
ЛS=:л: (r+Лr) 2 -лr 2 =л [2, Лr+(Лr) 2 ]=
125,25л
Л:· 125i
=Л (2· 125-0,5+0,25) = 125,25л;
0,008016 ~ 0,8%.
Найдем дифференциал dS и относительную погрешность df при
вычислении площади круга
dS =2лr Лr =2л:, 125-О,5 = 125л;
dS _2nrЛr _2dг
S-
nr2 -
г•
Относительная погрешность при вычислении площади круга равна
удвоенной относительной погрешности, полученной при измерении
радиуса
dS 2dr 20,5О80
s= ,= ·125=•1⁄4.
Итак, видим, что во втором случае вычисление было значительно
проще и выполнено без ущерба для точности вычисления.
120
4.3 -.2 . Вычисление приближенного значения прираще
ния функции· при помощи дифференциала. Пусть дана
функция у= f (х); приращение этой функции
Лу= f (х + Лх)-f (х),
ее дифференциал dy= f' (х) dx. При достаточно малых
(близких к нулю) приращениях аргумента Лх примем
Лу~dу,
поэтому при вычислении приближенного значения при
ращения функции находим дифференциал функции и при
нимаем его равным приращению функции.
Пр им ер 4.14 . Найти приближенное значение приращения функ
ции у=2х3+5 при х=2 и Лх=О,001.
Решение. dy=6x2 dx=6-2 2 -0,001=0,024. Истинное значение
приращения
Лу=2 (х+Лх) 3 +5-2х 3 -5=6х 2 Лх+6х (Лх) 2 +2 (Лх)3=
= 6, 4, 0,001+6-2-0,000001 + 2 ·0,000000001 = 0,024012002.
Эти вычисления еще раз подтверждают целесообразность замены при
малых Лх громоздкого приращения Лу более простым и удобным
для вычислений дифференциалом dy.
Пр им ер 4. 15. Насколько увеличится при нагревании объем
шара радиуса r, если его радиус удлинился при нагревании на
величину Лr.
4
Решение. Объем шара вычисляется по формуле v= 3 лr 3 . Пола-
гая приращение аргумента r, равное Лr, малым, по.~ожим, <1то
Лr ::::: dr; тогда приращение объема заменим дифференциалом Лv :::i dv.
Следовательно, для вычисления приращения объема шара достаточно
найти дифференциал от функции v = : :n:r 9 :
dv=4лr 2 dr.
4.3 .3. Вычисление приближенного числового значения
функции. Пусть дана функция у= f (х); приращение этой
функции
Лу = f (х+ Лх)-f (х),
ее дифференциа,1
dy= f' (х) dx.
При достаточно малых Лх имеем Лу ~ dy. Заменив при
ращение функции ее дифференциалом, получим
f'(х)dx~f(х+Лх)-f(х),
121
откуда получаем формулу для вычисления приб;1шженноrо
числового значения функции
f(х+Лх)~f(x)+f'(х)dx.
Применение этой формулы дает значительное упрощение
вычисления числового значения функции; геометрически
это соответствует замене участ-ка кривой отрезком каса
тельной.
П р им е р 4.16. Haii:rи приб.~ижен1юе значение функции f (х) =
= 5х3 -2х+3 при Х=2,0-1.
Реше н и е. Примем х = 2 и Лх = 0,01. Для вышеприведенной
формулы найдем каждое слагаемое отдельно:
t(,ж;) = f.(2) =5-23 -2 -2 +3 =39,
f' (х) Лх = (5х3 -2х+3)' -Лх =(15х 2'-2) Лх =(15-22 -2)-0,01 =0,58.
Тогда приближенное значение функции будет
f (2,01) =39+0,58=39,58.
Найдем точное значение функции:
f (2,01) =5-(2,01)3-2 -2,01 +3=39,583005.
4.3 .4. Вычисления по способу строгого, учета погреш
ностей. При вычислении нередко возникает необходи
мость знать границы допущенной погрешности промежу
точных вычислений и окончательного результата. Такой
способ ведения приближенных вычислений называется
способом строгого учета погрешностей. Для этого необхо
димо знать, как вычисляются границы относительных
погрешностей (.предел-ьных относительных погрешностей)
алгебраической суммы, произведения, степени, корня и
частного.
4.3.5. Относительная погрешность произведения. Дока
зать, что относительная погрешность произведения не пре
вышает суммы относительных погре~ипостей ее сомножи
телей.
Доказательство. Пусть дана функция у=иv,
где и> О, v > О, и= f (х), и v= (j) (х). Прологарифмируем
ее и возьмем дифференциал
lny= lп и+ ln v,.
dy=du+du.
у
и
и
Но так как абс0лютная величина суммы не превышает
суммы абсолютных величин слагаемых
l~+~и1~1d:I+/~/,
122
то
Пр и мер 4.17 . При измерении прямоугольного поля нашли,
что длина его и= 60 м и ширина v = 23 м. Погрешность при изме
рении длины не превышает 0,3 м, а при измерении ширины 0,2 м.
В каких границах лежит погрешность, которую мы допускаем, при
нимая площадь прямоугольника равной 60-23 = 1380 м2 , и какова
относительная погрешность, допущенная при вычислении площади.
Решение. 1 du 1 ~ 0,3; 1 dv 1 ~ 0,2. При наихудших условиях
1du 1=0,3, 1dv 1=0,2. Найдем абсолютную погрешность произведения:
d (uv) =dи-v+dv•и=0,3-23+0,2-60= 18,9 ~ 19 м2•
Это будет наибольшая величина абсолютной погрешности, которую
мы можем допустить, принимая площадь участка равной 1380 м2 •
Округляя погрешность в сторону увеличения и принимая ее равной
20 м2 , найдем границы, в которых будет лежать погрешность при
вычислении площади. Она будет не е'олее 1380+20= 1400 (м2) и
не менее 1380-20= 1360 (м2).
Относительную погрешность вычислим по формуле
Suv=ld:1+1~1 •
Suv= 0
6; +~3
2= 2~0+2~0 ~ 0,014= 1,4%.
Относительная погрешность не превышает 1.4%.
4.3.6. Относительная погрешность степени. Доказать,
что относительная погрешность степени равна относи
тельной погрешности основания, умноженной на показа
тель степени.
До к аз а тел ь с тв о. Пусть данафункцияу=хп (х>О).
Прологарифмируем ее и найдем дифференциал
lny=n Iпх,
dy
dx
-=n-.
у
х
dx
ОтноситеJ1ьная погрешность будет Sxn = п -
.
х
-
dx
Частные случаи: 1) n=2, Sxz=2 7 ; 2) _n=З; Sx•=
=Зdх.х
Пр им ер 4.18. Найти относительную погрешность, допущен
ную при измерении объема куба, если его ребро равно 12,5 см.
Абсолютная погрешность Лх=О,05 сы.
Решение. Примем dx=0,05 см.
dx 0,05 15
Sx•-3 х -3·12,5-1250-0,012-1,2%.
123
4.3 .7 . Относительная погрешность корня. Доказать,
что относительная погрешность корня равна относитель
ной погрешности подкоренного числа, деленной на показа
тель степени корня.
Доказательство. Пусть дана функция у= {1/х,
х > О. Прологарифмируем ее и найдем дифференциал
1
dy1dx
lnу=nlnх, у=п·х ·
Относительная погрешность будет
Частные случаи:
Sп/-=_!_dx.
Vх пх
1dx
1) n=2, Svx=2x; 2) n= 3,
Пр им ер 4.19. Найти относительную погрешность, допускае
мую при вычислении стороны квадрата, если площадь квадрата равна
37,7 см 2 • Абсолютная погрешность dx=0,05.
Ре ш е II и е. Обозначив сторону квадрата через у и площадь
через х, получим у= Ух= у·37, 7, dx = 0,05;
s.,,- --J . .. o,os = 0 •05 ;:::; 0,000663;:::; 0,1 %.
37,7
2 37,7 75,4
4.3.8. Относительная погрешность частного. Доказать,
что относительная погрешность частного не превышает
суммы относительных погрешностей делимого и делителя.
Доказательство. Пусть дана функцияу=и/v, где
и= f (х) > О и V= ер (х) > О. Прологарифмировав функцию
у = u/v, найдем ее дифференциал
dy_du dv
\ny=lnu-\nv,
у
и
V
Но так как абсолютная величина разности не превышает
суммы абсолютных величин уменьшаемого и вычитаемого, то
Граница относительной погрешности частного
Su/v = 1duu 1+1d: \ •
Пр им ер 4.20. Для нахождения плотности тела определена
его масса m1 =484 r и масса вытесненной им воды 111 2 = 62 r. Абсо-
124
лютные погрешности Лт1 = 0,5 r и Лт 2 = 0,4 r: Найти относитель
ную погрешность при вычислении плотности тела.
Решен не. y=m1/m2,
1dy1= 1dm1 \+1dm2 I=О,5+О,4 ~
у
т1
т2 484 62
~ о,0010з+о,00645;=О,оо14s ~ о,7%.
4.3 .9. ПрибJJиженное вычисJJение степеней. Пусть
в функции f (х)= xn, аргумент х получает малое прира
щение Лх. Вычислим приближенное значение функции
f (х + Лх) = (х + Лх)п, применяя формулу для вычисления
приближенного значения функции
f(х+Лх)~f(х)+f'(х)Лх.
Имеем
f(х+Лх)= (х+Лх)п, f(х)= xn, f'(х)Лх=пхп-1Лх,
откуда
Пр им ер 4.21. Найти приближенное значение (4,012) 2 •
Решение. Положим х=4; Лх=О,012, тогда (4+0,012)2 ~
~ 42 +2-4 -0,012= 16,096 ~ 16,1 (точный ответ 16,096144).
4.3.10. ПрибJJиженное вычисJJение корней. Пусть
в функции f (х)= ;1/х аргумент х получает малое прира
щение Лх. Вычислим приближенное значение функции
f (х + Лх)= ;1/ х + Лх, применяя формулу для вычисления
приближенного значения функции
f(х+Лх)~f(х)+f'(х)Лх.
Имеем
f (х+ Лх) = ;1/х+ Лх, f (х)= ;1/х,
f'(х)=пy'~n -~ '
откуда
i1/Лn/-Лх
1
х+Х~уХ+-•v-•
п
xn-1
Пр им ер 4.22. Найти приближенное значение Vl ,006.
Решение. Положим х=1, Лх=0,006, тогда
.~
0,006
f 1,vv6= У 1+0,006 ~ 1+-2
-=1,003.
4.3.11. Приближенное вычисление обратных величин.
1
Пусть в функции f (х) = х аргумент х получает малое
125
прир,ащ~ние Лх. Вычислим приближенное значение функ-
1
.
ции f (х+ Лх)= х+лх применяя формулу вычисления при-
ближенного значения функции .. Имеем
откуда
f (х+ Лх)= +1л , f.(x)=1-,
f'(х) = -~,
.
~
х
х
х
Лх
х+лх.=х-х2·
Найдем; например, приближенное значение величины.
1
1,004.
1
Положим Лх= 0,004, тогда 1+о,оо4 ~ 1-0,004= 0,996.
4;3.12: Приближенное вычисление синусов и тангенсов
малых углов 1 ). 1°. Пусть для функции f(x)=sinx аргу
мент х = О получает малое приращение Лх. Вычислим
приближенное значение функции
f(х+Лх)= sin(х+Лх)= sin(О+Лх)=· sinЛх.
Применяя формулу д111я вы111мсления прибJiиже-нного зна•
чения- функции,. имеем
f(.к+Лк)= sin,Л~, f (х)= sinхIх=.о-= О,
f' (х)>= cosxlx=o= 1,
откуда
sinЛх~О+Лх или sinЛх~Лх.
Синус малого угла приближенно равен самому углу (угол
берется в радианной мере).
2°. Пусть для функции. f (х) = tg х, аргумент Х= О
получает малое приращение Лх. Вычислим приближенное
значение функции
f(х+Лх)= tg(х+Лх)= tg(О+Лх)= tgЛх.
Применяя формулу
f(х+Лх)~f(х)+f'(х)Лх,
имеем
f (х+Лх);:::: tg Лх, f (х) = tg х Iх=о.=0,
f'(х) = _1_2\
=
1,
COS Х Хо=О
J)•Эте1т пункт сле,Аует читать .песле изучения материала главы 10.
12& ,
откуда
tg Лх~ Лх.
Тангенс малого угла лриблйженно равен самому углу
(угол берется в радиан.ной мере).
Пример 4.23. Вычислить sin12'.
Решение. 12' соответствуют углу в 0,0035 радиана;
sin 0,0035 ~ 0,0035.
По таблице натурат,ных значений синуса имеем sin 12' = 0,0035.
4.3 .13. Вычисление табличных разностей десятичных
логарифмов. Табличной разностью Лу называется прира
щение десятичного логарифма lg х при увеличении -числа х
на единицу.
Пусть ДJlЯ функции у= lgx аргумент х получает малое
приращение Лх. Вычислим по формуле Лу ~ dy прибли
женное значение Лу. Имеем
d _ (l )'Л _ 0,4343-Лх
У-gx.Х-
х'
тогда
Лх
Лу= 0,4343--; -,
т. е. абсолютная погрешность логарифма вычисляется
по относительной погрешности числа х ( Л: -относитель-
ная погрешность) .
О 4343
Положим Лх= 1, тогда Лу ~ -·-х-. По этой формуле
можно вычислять табличные разности.
Пр им ер 4.24 . Найти табличную разность при вычислении
десятичного Jюrарифма числа 544.
РешеН·Ие. Лу~о;~43= 0
·~ ~:3 ~ 0,0008,
Проверим по таблице Брадиса
lg (544+ !) =lg 545 =2,7364;
lg 544 =2,7356.
Табличная разность логарифмов чисе.1 545 и 544 оказалась равной
0,0008.
4.3.14. Нахождение ·относительной погрешности числа
при вычислении его по его десятичному логарифму. Пусть
логарифм числа х был вычислен с погрешностью Лу.
Тогда при нахождении по нему -числа х -будет допущена
127
погрешность Лх. Относительная погрешность числа х
Лх
равна 7 . Абсолютная погрешность логарифма равна
Лу~0,4343 л: ,
откуда
Лх
Лу
7=0,4343·
Относительная погрешность числа х при вычислении его
по его логарифму не зависит от значения числа х, а зави
сит только от погрешности, с какой был найден лога
рифм числа х.
Пр им ер 4.25. Найти относительную погрешность точности
отсчета на логарифмической линейке со шкалой 250 мм.
Реше н и е. Допустим, что при установке визира или отсчета
со шкалы наибольшая погрешность будет составлять О, 1 мм.
Найдем абсолютную погрешность логарифма числа. Вся шкала
.,югарифмической линейки длиной в 250 мм соответствует числу,
логарифм которого равен единице (lg 10 = 1). Отсюда на О, 1 мм шка
лы абсолютная погрешность логарифма числа будет в 250 раз мень
ше, т. е.
Лу=~S~ = 0,004, но
Лх
Лу = 0,4343 -
,
х
тогда
Лх ~~-0,004 ~
~
_
0
х ~ 0,4343-0,4343 ~ 0,00092 ~ 0,001-0, 1 %,
Относительная погрешность точности отсчета составляет 0,1 % (в любой
части шкалы).
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
1. Что называется производной функции в данной точке?
2. Какова геометрическая интерпретация производной?
3. Что можно сказать о поведении функции, зная, что ее про
изводная положительна? неотрицательна? неположительна? отрица
тельна? Сделайте рисунки для этих случаев, приведите примеры
таких функций.
4. Сформулируйте теорему о связи ыежду существованиеы про
изводной и непрерывностью функции.
5. Чему равны производные суммы, разности и произведения
двух функций?
6. Выпишите вид производной частного двух функций.
7. Чеыу равна производная сложной функции? Выпишите форыулу
и приведите примеры.
8. Получите формулу производной логарифмической функции,
используя формулу производной обратной функции.
128
9. Сформулируйте теорему о производной функции, заданной
параметрически.
10. Чему равна производная неявной функции?'
11. Что называется производной функцией второго порядка от
данной функции? ,
12. Что называется дифференциалом функции в точке?
13. Какова, геометрическая интерпретация дифференциала
функции?
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4
Пользуясь только определением, найдите производные следу10-
щих функ1~ий:
1. у=(2х+ 1)2•
2.
1
у= х-з·
3. у=3х.
4.
хз
и=т·
5. у= У1+2х.
6. У= Yl+x2 •
7. у=х2,Ух+ 1.
8.
х
Y=l-4x·
Найдите производные следующих функций:
1+ Ух
x+I
9.у
,;-
.
10. у=-;:::=====-.
1-rх
-V1-x-x2
1
12.
3-х2
11. У= х- уа2+х2.
у=б Ух.
13. у=х2 -V 16-х2. 14. У=
Ух2 +4
х2
15.
уе2х+1
у=IП ~-
1в: y=ln V 1+е-х.
17. y=e2x_e -sxz.
18. у= ln (е-" +хе-х),
Найдите производные :~ следующих функций:
19. x2y2 +2 ln ху=4.
20. х +и=ех-у.
21. ln2x+xeY=0.
22. ху=е2х-е-3У.
{
х=t~-l•
24. fх=2~t•
23.
t
t-l
y=ln(2t+t2).
У=-1-·
5 П/рf'д. Н. М. Maтl!f'ena
129
ОТВЕТЫ, УК:АЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К: ГЛАВЕ 4
'
1. Решение, Из формул~ (4.1) § 4.1 для функции у= (2х+ 1) 2
следует, что
,
1. (2х+2лх+1) 2 -(2х+1) 2 1. 2-2Лх(2х+1)+4(Лх) 2
у= ,m
.;._...;...._.....:....~--'-"--''- =
tm ---' --' - ....:........;-' -' - ,
дх.➔о
Лх
дх.➔о
Лх
откуда
у'= lim f4(2x+1)+4Лx]=4(2x+l)+4 lim Лх
Лх.➔О
Лх.➔О
или
у' =4 (2х+ 1).
1
2. Решен и е. Найдем, чему равно Лу для функции у= --3
•
х-
Имеем
1
Ау=у(х+Лх)-у(х)= +л 3 --3 =
.
х
х-
х-
Таким образом,
х-3-(х+лх-3)
(х+лх-3) (х-3)
•• Лу
-1
-Лх
(х+лх-3) (х-3) •
у'= lim -= lim
дх. ➔ оЛх дх. ➔ о(х+лх-3)(х-3)
или, переходя от предела произведения к произведению пределов,
,
-1
,.
1
У=х-З •л11!:ох+Лх-3 •
1
Пользуясь непрерывностью· функции х-3 (х =!, 3), получим у'=
-1
=(х-3)2 •
3. Ответ.
4. Ответ.
5. Ответ,
6. Ответ.
7. Ответ.
8. Ответ.
у'=3.
у'=х2.
'
1
у= v1+2x •
5х2 +4х
2 J1'х+Т.
ГЛАВА 5
ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ
§ 5.1 . Теоремы о среднем
5.1.1. О наименьшем и наибольшем значениях функции.
Многие практические задачи сводятся к нахождению наи
большего и наименьшего значений той или иной функции.
Так, все развитие современной техники направлено на то,
чтобы при наименьшей затрате труда получить наиболь
шее количество продукции.
С точки зрения математики проблема отыскания наи
большего и наименьшего значений функции имеет большое
теоретическое значение. Однако, прежде чем приступить
к ее решению, в каждом конкретном случае следует
выяснить предварительно, существует ли наименьшее или
наибольшее значение. Ответ на этот вопрос дает одна и~
важнейших теорем 3.20, которую мы привели,без доказа
тельства в п. 3.3.3. Здесь дадим более краткую форму
лировку этой теоремы.
Теорем а 5.1 (Вей ерш трасс а). Если функция f (х)
непрерывна на замкнутом интервале [а, Ь], nw она прини
мает на этом интервале наименьшее и наибольшее значе
ния т и М, т. е. существуют такц,е х1, х2 Е [а, Ь], что
f (Х1)= т, f (Х2)= М.
Опираясь на эту теорему, мы в следующих пунктах
докажем ряд теорем, знание которых дает возможность.
находить наибольшее и наименьшее значения функции и,
кроме того, позволит полностью описать к а чес тв е н ну ю
картину поведения функции (в частности, строить график
функции).
5.1.2. Экстремумы функции. Выше (п. 2.2.3) было вве-
дено понятие экстремума. Следующие теоремы дают прак
тический метод нахождения экстремумов. При этом мы
5*
131
будем рассматрnвать как случаи, когда производная яв
ляется непрерывной функцией, так что касательная
к графику функции изменяет свое положение непрерывно
(рис. 5.1), так и случаи, в которых это не имеет места
(рис. 5.2).
!/
о
~л
.(
~-1
1
1
tl
ь:с
Рис. 5.1 .
о
ЛVl1
1
1
1
1
111
I
'
1.
'
'
а :&f :Cz
Рис. 5.2 .
5.1.3. Теорема Ферма. Те о рем а 5. 2. Если функция f (х)
имеет .экстремум в точке х0 • и дифференцируема в этой
точке, то f' (х0)= О.
.
Действительно, пусть для определенности функция f (х)
имеет в точке х0 максимум (рис. 5.3). Тогда по опреде
g
о
(Т\
1
I
1
1
I
1
:со
Рис. 5.3 .
лению максимума (см. п. 2.2.3)
f (х0 + Лх)<f (х0 ),(х0 + Лх)с: Re(X0 ).
Если Лх<О, то
f (хо+Лх)-f (хо)> О
Лх
'
(5.1)
:с аесли Лх>О,то
f (хо+л;:-f (хо)< О. (5.2)-
Так как по условию теоремы существует производная
f' (х~). то в пределе при Лх-0 (Лх < О) из неравенства (5.1)
получим f' (х0 ) ~ О, а из неравенства (5.2) при Лх--+ О
(Лх > О) получим f' (х0 ) 3⁄4 О, что возможно· лишь в том
случае, когда f' (х0)= О.
. Заметим,
что из того, что в какой-то точке х0 произ
водная равна нулю, не следует, что х0 -точка экстремума.
Например, для функции У= х3 имеем у'= 3х2 = О
в точке х = О. Но Х= О не точка экстремума этой функ
ции (рис. 5.4).
Будем называть стационарной точкой функции f (х)
точку х0, в которой f' (х0) = О.
132
Теорема Ферма формулирует необходимый признак
существования так называемого гладкого экстремума
в точке х0 , т. е. предполагает существование производ
ной. в точке х0• Однако функция может иметь экстре
мум (например, У= lxl) и в тех
точках, где производная не су•
ществует.
Рассмотрим вопрос о с у щ ест•
в о ван и и стационарных точек.
5.1.4 . Теорема Ролля. Те о ре•
м а 5.3 . Пусть функция f (х) удовле
творяет следующим условцям:
1. f (х) непреррюна на [а, ЬJ;
2. 3/'(х),хЕ(а,Ь).
3. f(а)=f(Ь).
//
IJ
Рис. 5.4.
Тогда существует точка с, с Е (а, Ь), такая, что f' (с)= О.
Действительно, пусть т и М-наименьшее и наибрль-
шее значение f (х) на [а, Ь] (существование т и М следует
из теоремы Вейерштрасса). Может оказаться, что т = М.
Эго означает, что f (х)= const, но тогда f' (х)= О при всех
х Е (а, Ь) и искомая точка с-любая, лежащая между а и Ь.
Пусть т=1=М. Тогда хотя бы одно из чисел ти Мне
равно f (а)= f (Ь). Пусть для определенности М =1= f (а)
и х0 -значение х такое, что
f (Хо)= М.
Так как f (а) =f (Ь), а f (х0) =1= f (а), то х0 расположена
междуточками аиЬ:а<х0<Ь.
Таким образом, х0 -в нутре н н я я· точка интервала
[а, Ь], в котором функция f (х) имеет максимум, тогда по
теореме Ферма
•
и
т. е. х0 и есть ~комая точка с.
Теорема Ролля имеет простой
геометрический смысл: на графике
непрерывной на интервале и диф-
ференцируемой внутри. интервала D 11 110
функции f (х) (рис. 5.5) с одина-
Рис. 5.5 .
ковыми ординатами на концах
интервала найдется хоть одна точка с с абсциссой
х0 Е (а, Ь), в которой касательная к кривой параллельна
оси Ох.
133
Требование дифференцируемости в условии теоремы
Ролля существенно. Действительно, функция, представ
ленная графиком на рис. 5. 6, не имеет производной
в точке с. Ни в одной точке кривой АВ касательная не
параллельна оси Ох.
Обратимся далее к центральной теореме дифференци
ального исчисления, применение которой в курсе матема
9
о
тического анализа чрезвычайно
широко.
r
5.1 .5 . Теорема Лагранжа. Те-
орем а 5.4. Если функция f (х)
:
непрерывна на интервале [а, Ь] и
--
---+---
---
дифференцируемана (а, Ь), тосуще-
:
1
1
ствует точка с, с€ (а, Ь), такая,
ь :: что верна формула
f' (с)= f (Ь;=~ (а),
а
с
Рис. 5.6.
(5.3)
которая называется формулой Лагранжа.
До к а з ат ел ь ст в о. Возьмем вспомогательную функ
цию
с:р (х)= f (х)-лх
(5.4)
и выберем число л так, чтобы функция с:р (х) удовлетворяла
условию с:р (а)= с:р (Ь), т. е.
-
отсюда
f (а)-ла= f (Ь)-лЬ;
л= f(Ь)-f(а)•
Ь-а •
(5.5)
Так как функция <р (х) удовлетворяет всем условиям
теоремы Ролля, то найдется точка се (а, Ь) такая, что
IJ
с:р' (с)= О. Из (5.4) получим
с:р' (с)= f' (с)-л= о,
т. е.
f' (с)= л.
Подставляя л= f' (с) в (5.5),
получим доказываемую формулу.
Обратимся к геометрической
Ь 3: интерпретации теоремы Лагранжа.
Рис. 5.7 .
Построим график некоторой функ
ции у= f (х) (рис. 5. 7), удовлетво
ряющей условиям теоремы. Очевидно,,
BC=f(b)-f(a}, АС=Ь-а,
134
и из треугольника АВС получим
ВС= tga,AC
или
f(b)-f (а)= tga-(b-a).
(5.6)
Проведем касательную к кривой у= f (х), параллельную
хорде АВ. Точка касания М имеет абсциссу с, причем
се (а, Ь). В силу параллельности касательной и хорды угол
наклона касательной к оси Ох равен а.
По геометрическому смыслу производной
f' (с)= tg а;
подставляя это значение tg а в (5.6), получим (5.3).
Таким образом, с геометрической точки зрения теорема
Лагранжа утверждает, что для функции у= f (х), удовлет
воряющей условиям теоремы, существует точка с, каса
тельная в которой к кривой у= f (х) параллельна хорде.
§ 5.2 ._ Примене ние
производной для нахождения
экстремумов функции
5.2.1. Признаки постоянства, возрастания и убывания
функции. Теорема Лагранжа дает возможность доказать
признаки постоянства, возрастания и убывания функций,
которые уже известны читателю (см. п. 2.2.3).
Теорем а 5.5 . Для того чтобы функция f (х), хе (а, Ь),
была постоянна на множестве задания, необходимо (см,
п. 4.1.3) и достаточно, чтобы
f'(х)=О, хЕ(а,Ь).
Доказывая до ст ат очно ст ь этого признака, заме
тим, что для постоянной функции при любых xi и х1
имеем f (х2)= f (х1) = coпst. По формуле Лагранжа получим
f' (х) = f (x2)-f (х1),
Х2-Х1
f'(х)=О~f(х2)=f(х1)
при любых xi и х2•
Следе тв и е 5.1 . Если две функции имеют равные
производные на некотором интервале, то они отличаются
друг от друга на постоянное слагаемое.
Действительно, если при хе (а, Ь)
f~(х)=f;(х),
135
то
и, следовательно,
f i (x)-fв (х)= С= const
для всех хЕ(а,Ь).
.
Теорем а 5.6 . Для того чтобы дифференцируемая
функция f (х), х Е (а, Ь), ~ыла неубывающей на множестве
эаiJания, необходимо (см. п. 4.1 .1) и достаточно, чтрбы
f'(х)~О, хЕ(а,Ь).
Докажем до ст ат очно ст ь этого признака. В самом
деле, пусть
f' (х) ~ О, Х1 < Хв, [х1, Xi]c:(a, Ь).
Применяя формулу Лагранжа к функции f (х) на интервале
[xi, х1], получим для с Е (xi, х2)
f' (с)=' (x2)-f (х1).
Х2-Х1
Из условия f' (с)~ О следует одинаковая значность
разностей х1 -х1 и f (x1)-f (х1), т. е. функция f (х) не убы
вает на всем интервале (а, Ь) в силу произвольности вы
бора интервала [xi, х2]с:(а, Ь).
Теорема 5.7 . Для того чтобы дифференцируемая
функция f (х), хе (а, Ь), была невозрастающей на множестве
эаiJания, необходимо и достаточно, чтобы
f'(х)~О, хЕ(а,Ь).
Доказательство аналогично доказательству предыдущей
теоремы.
11 р им е р 5.1. Найти интервалы возрастания и убывания фурк
ции у=х2 -3х+2.
Возьмем производную: у' =2х:-3. Решая 2х-3 < О, получим
х < 3/2. Таким образом, на интервале (-оо, 3/2) функция убывает.
АналоrИЧf!О получим интервал возрастания функции (3/2, оо ).
5.2 .2. Достаточные условия существования зкстремума.
Напомним (п. 2.2 .3), что точкой экстремума для функции
f (х) является точка, в которой поведение этой функции
изменяется от возрастания к убыванию (max) или от убы
вания к возрастанию (min). Необходимый признак
существования гладкого экстремума дифференцируемой
функции ·дает приведенная выше теорема Ферма. Естест-
136
венно предположить, что до ст ат очный.. признак сущест
вования экстремума должен описывать определение экстре
мума с использование~ производной и связан с изменением
ее знака.
Теорем а 5.8 . Если при переходе через точку х0 произ
водная дифференцируемой функции f (х), непрерывной
в точке х0 , меняет знак, то в точке х0 функция имегт
экстрему,#. Если в точке х0 знак производной меняется
с плюса на минус, то функция имеет максимум (max),
с минуса на плюс-минимум (min).
Действительно, предположим, для простоты доказа
тельства 1), что в точке х0 производная функции / (х)
существует и при переходе через точку х0 меняет знак
с плюса на минус. Запишем формулу Лагранжа
f (x)-f (х0)= f' (с) (х-х0).
(5. 7)
Если х<Х0, то х-х0<О и по условию /'(с)>О,
с Е (х, х0), следовательно, правая часть формулы (5. 7) отри
цательна. Если х > х0 , то х-х0 > О и по условию/' (с)< О,
с Е (х0 , х), следовательно, правая часть формулы (5. 7)
отрицательна. Таким образом, пр~ х Е R в (х0) значение
f (х0) > f (х), т. е. х0 -точка максимума функции / (х). Вто
рая часть теоремы доказц1вается анал~rично.
Например, функция у=х2 -Зх+2 в точке х=З/2
имеет минимум.
.
Итак, для того чтобы определить экстремумы функции,
достаточно исследовать знак ,производной_ этой функции
в окрестности стационарных точек и точек, в которых
производная не существует.
!I
g
о
IJJ
5)
О)
Рис. 5.8.
Так, функция у= х2 (рис. 5.8, а) имеет минимум в точке
х= О, и /"(О)= О; функция у= 1х 1 (рис. 5.8, б) имеет
1) Теорема может быть доказана и без этого предположения.
137
минимум в точке Х= О, а f' (О) не существует; функция
у= х 2! 3 (рис. 5.8, в) также имеет минимум в точке Х= О,
а f~ (0)= оо.
Рассмотрим до ст ат о ч н ы й признак существования
гладкого экстремума, использующий вторую производную.
Те о рем а 5. 9. Если в стационарной точке х0 диффе
ренцируемой функции f (х) существует отличная от нуля
вторая производная, то в точке х0 функция имеет э~стремум.
А именно, если в точке х0 вторая производная меньше нуля,
,по функция имеет максимум (max), если больше нуля,
то-минимум (min).
Доказательство. Пусть х0 -стационарная точка
и для определенности f" (х0 ) > О. По определению второй
производной имеем
f" (Хо)= lim f, (х)- f' (хо)
Х➔Хо Х-Хо
или, так как х0 -стационарная точка (f' (х0) = О), то
f" (Хо)= lim f' (х) .
Х➔Хо Х-Хо
Так как по предположению f" (х0 ) > О, то знак производ
ной f' (х) совпадает со знаком разности х-х0 , т. е. f' (х) < О
прих<х0иf'(х)>Оприх>х0,т.е.припереходечерез
стационарную точку f' (х) изменяет знак с минуса на плюс.
По предыдущему признаку это означает, что в точке х0
функция f (х) имеет минимум. В случае максимума дока
зательство аналогичIJо.
Пример 5.2. Найдем экстремумы функции у=х3-Зх2 +1.
Определяем стационарные точки: у' =3х2 -6х=Зх (х-2). Стаци
онарные точки: х1 .= О и х2 = 2. Далее, используя первый способ
определения экстремума, исследуем знак у' в окрестностях стационар
ных точек. В точке х=О производная у' меняет знак с «+ » на «- »,
а в точке Х=2-с «-»на«+». Таким образом, при х=О функция
у=х3 -Зх2 + 1 имеет максимум (у= 1), а при х=2
-
минимум
(у=-3).
Используя второй способ определения экстремума, получим
у•= 6х-6, и подставляя значения х1 = О, х2 = 2, будем иметь
у"(О)=-6 и у"(2)=6.
Таким образом·, в точке х = О производная у" < О, и следова
тельно, имеем максимум; в точке х=2 производная у"> О и,
следовательно, имеем минимум.
Следует обратить внимание на то, что в тех случаях,
когда в стационарных точках вторан производная равна
138
нулю, второй способ нахождения экстремума, использую
щий вторую производную, неприменим.
5.2.3. Нахождение наименьшего и наибольшего зна
чений функции на замкнутом интервале. Вернемся вновь
(см. п. 5.1.1) к вопросу об определении наименьшего
и наибольшего значений непрерывной функции на замкну
том интервале. Существование этих значений обеспечено
теоремой Вейерштрасса.
Будем называть критическими точками стационарные
точки и точки, в которых функция недифференцируема.
При разыскании наибольшего или наименьшего значе
ния функции на замкнутом интервале может оказаться,
что внутри этого интервала критических точек нет. Это
означает, что в рассматриваемом интервале функция мо
нотонна и, следовательно, достигает как наибольшего, так
и наименьшего значения на концах интервала.
Таким образом, для нахождения наименьшего и наи
большего значений непрерывной фуякции на замкнутом
интервале достаточно найти значения функции в крити•
ческих точках, а также значения функции на концах
интервала задания. Из найденных g
значений выбирается наименьшее
и наибольшее.
3амечание. Следует отме
тить, что этими указаниями не ис
черпываются методы определения
наибqльших и наименьших значе-
z.
Oall1t r.cz :i:3
и ll1
ний. Может случиться, например,
что в сколь угодно малых одно-
Рис. 5.9 .
сторонних окрестностях критиче-
ских точек производная функции меняет знак. В этом
и других случаях применяются другие методы исследо~
вания.
На рис. 5.9 представлен график функции у= f (х),
х Е: [а, Ь]. Наименьшее значение функция имеет в экстре
мальной точке Х= х1 , а наибольшее на конце Х= Ь.
§ 5.3. Дальнейшее исследование nоведе11ия функций
и построение графиков
5.3.1. Поведение функции I точках разрыва и на конца~
бесконечного интервала. Асимптоты. Выше (см. п. 3.3.1 )1
была дана классификация типов разрывов. Если кривая
y=f(x) при х-а (а-точка разрыва) неограниченно
139
приближается к прямой Х= а, то эта прямая называется
вертикальной асимптотой кривой у= f (х) (рис. 5.10).
Таким образом, прямая Х= а является вертикальной
асимптотой, если выполнено одно из условий:
1. limf(х)=±оо,
х➔а
2. lim f(х)=±оо,
Х➔й-0
3. •lim f(х)=±оо;
Х"+а+О
при этом во втором и третьем ~лучаях функция у= f (х)
может быть вообще не определена при х ~ а и при х ~ а
соответствеlhlо. Например, функция у= ln х, х Е (О, + оо ),
имеет вертикальную асимптоту х = О.
у
Рис. 5. 10.
Рис. 5.11 .
Рассмотрим теперь функцию у= f (х), х Е (- оо, + оо ),
график которой неограниченно приближается к некоторой
прямой у= kx+b при х--..-оо или при х--..+ оо
(рис. 5.11). Этот процесс может характеризоваться стрем
лением к нулю длины отрезка М N.
Определение. Прямаяу=kx+Ьназываетсяасимп
тотой кривой y=f(x) при х-+оо, если
lim (f (x)-kx-b)= О.
(5.8)
Для выяснения вопроса о существовании асимптот необ
ходимо иметь возможность вычислить конкретные значения
k и Ь. Предположим, что кривая у= f (х)·имеет асимптоту
у=kх+Ь при х--..+оо.
Тогда, разделив (5.8) на х, получим
1m
--k-- =0,
1• (f(х)
Ь)
Х➔+Ф Х
Х
или
lim f(x)=k.
Х➔+Ф Х
(5.9)
140
Подставляя найденное значение k в (5.8), получим 1)
Ь= llm (f (x)-kx).
(5.10)
Х➔+оо
Определение асимптоты при х--➔ - оо аналогично пре
дыдущему. Заметим, что возможны случаи существования
различных асимптот при х--➔ + оо и х--➔ - оо, а также
их совпадения. В тех случаях,
когда один из пределов (5.9),
(5.10) не существует, асимптот
нет.
Заметим также, что график
функции может и пересекать
асимптоту (рис. 5.12).
.
Выявление асимптот графика
!I
функции имеет большое при-
Рис. 5. 12
.
кладное значение, ибо позволяет
(в случае их наличия) существенно облегчить исследование
функции на бесконечности, заменяя движение по кривой
движением по ·прямой линии.
Пр и мер 5.3 . Выясним наличие асимптот графика функции
xz
IJ=x-l'
Вычисляя по формулам (5.9) и (5.10), получим
х
k= llm --1
=1,
Х➔:\:00 Х-
Ь=\im( ,e
2
1 -x)=t.
Х➔ :f:00 Х
х'
Таким образом, график функции у =--
1 имеет асимптоту у-х+ 1.
х-
Так как
!1
lim f (х)""' lim ~= ± оо,
Х-+ 1
Х-+1Х-
то прямая х = l является вертикальной асимптотой графика функции
,е2 •
Y=x-l'
5.3.2. Направление выnуКJiости графика функции; точки
перегиба графика функции. Для уточнения поведения
функции и формы графика функции рассмотрим некоторые
1) Можно доказать и обратное утверждение; а именно: если па
раметры k 11 Ь определяются формулами (5.9) и (5.10), то прямая
у= kx+ Ь есть асимптота графика функции f (х).
141
вопросы, связанные с понятием кр и виз н 11 кривой, а
именно понятие направления вып у кл о ст и.
Кривая называется выпуклой вниз на некотором интер
вале, если все ее . точки лежат выше касательной, про
веденной к этой кривой в люб ой точке этого интервала
(рис. 5.13).
Если же, наоборот (рис. 5.14), все точки кривой на
l!екотором интервале лежат ниже касательной, проведен
ной к этой кривой в люб ой точке этого интервала, то
кривая называется вьтуклой вверх на интервале.
!J
!!
оа
Рис. 5.13.
Рис. 5.14.
Докажем д ост ат очный признак, по которому можно
определить направление выпуклости кривой .(графика
функции) на интервале.
Теорема 5.10. Если на некотором интервале (а, Ь)
из области определения дважды дифференцируемой функции
у= f (х) вторая производная f" (х) положительна (отрица
тельна), то график функции на атом интервале выпукл
вниз (вверх).
Действительно, если, например, f" (х) > О, х Е (а, Ь), то
это означает, что первая производная функции f' (х) яв
ляется возрастающей функцией. Это значит (рис. 5.13),
что вместе с абсциссой х будет увеличиваться и угол а,
образованный касательной к кривой с осью Ох:
Но тогда кривая выпукла вниз. Доказательство второй
части теоремы аналогично. Теорема об р ат и м· а.
Если ·график меняет .направление выпуклости в области
определения функции, то точка М, разделяющая участки,
на которых кривая имеет различные направления выпук-
142
лости, называется т9чtсой перегиба при условии, что в этой
точке существует касательная к кривой (рис. 5.15).
Те о рем а 5.11. Если функция у= f (х) дважды диф
ференцируема на интервале (а, Ь) и х0 € (а, Ь) является
точкой перегиба, то f" (х0) = О.
Действительно, так как функция дважды дифферен
цируема, а справа и слева от точки перегиба вторая
производная должна иметь разные U
знаки, то в точке (х0; f (х0)) она
должна быть равна нулю.
Эта теорема необратима:
из того, что f" (х0 )= О, не следует,
что х0 -точка перегиба. Например,
для функции у= х4 имеем
у"=12х2 и у"=О приХ=О, о
но Х= О-не точка перегиба, ибо
Рис. 5.15.
в ней функция не меняет направ-
ления выпуклости (у"~ О при всех х, график выпукл
вниз).
Отметим также и другой факт: точки перегиба су~цест
вуют и там, где f" (х) не существует.
Например, для графика функции у= Vx, для которой
у"= V ,точка х0 = О является точкой перегиба, хотя
9х6
в ней вторая производная не существует (рис. 5.16).
~Г-" 1
JJ•v:C ,
!J
Рис. 5.16.
Однако и это утверждение необратимо. Например, для
функции у = Vх2 имеем у"= - ?- и у" не существует
9х4
при х= О, однако во всех других точках у"< О и график
выпукл вверх, следовательно, Х= О не точка перегиба
(см. рис. 5.8, в).
143
Итак, для того чтобы изучить характер выпуклости
графика функции у= f (х), nеобходимо исследовать знак
второй производной в окрестности точки х0 такой, что
f" (х0) = О или f" (х0) не существует.
Пр и мер 5.4 . Исследуем на выпуклость график функции у=х3.
Имеему"=6х, у"(О)=0.При х<Оимеему"<Оиприх>Оимеем
ч" > О. В точке х=О вторая производная меняет знак с «-»на«+».
Таким образом, в точке переrиба•х=О график функции переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз (см. рис. 5.4).
•
,
.
5.3 .3. Общая схема исследования функции. Как уже
говорилось выше (см. п. 2.2.2), график функцщ~:, задан
ной аналитически, строится для того, чтобы сделать на
глядной качественную картину характерных особенностей
функции. Приведем обзор некоторых возможных gсобен
ностей и методов их определения.
1. Область определения функции. В случаях,
когда строится график сложной функции и нет указании
относительно области определения,. необходимо построить
естественную об.11асть определения, решая соответствующие
неравенства и устанавливая интервалы непрерывности,
выясняя поведение (или значение) функции на ко1щах
интервала задания.
2. А с и м п тот ы. Выясняем наличие вертикальных
асимптот в точках разрыва, поведение функции в этих
точках; анализируем поведение функции на бесконечности.
3. Симметрия. Пер иоди ч ноет ь. Наличие свойств
четности и нечетности, периодичности существенно облег
чает исследование функции, позволяя ограничиться иссле
дованием лишь на части области определения.
4. Э к стрем ум ы. Находим первую и вторую про
изводные, отмечаем точки нарушения дифференцируемости.
Определяем критические .точки, располагаем их в порядке
возрастания. Находим экстремумы.
5. Точки переrиба. Находим точки, в которых
вторая производная равна нулю или не существует, выяс
няем направление выпуклости графика в окрестности этих
точек. Заметим, что точка перегиба всегда имеет место
между двумя соседними точками экстремума, если на
интервале между ними функция дважды дифференцируема.
6. Дополнительные характерные точки.
Для большей точности построения графика иногда бывает
полезно вычислить дополнительно точки пересечения гра
фика с осями координат, с осями симметрии и асимпто:гами.
144
7. Построение графика. На этом этапе, заклю
чительном, для обозримости результата исследования функ
ции строится график функции в системе координат.
х4
Пр им ер 5.5. Проведем исследование функции у= хз- 1 .
Область определения функции, очевидно,
Х=(-ао, l)U(l, ао).
Выясним, как ведет себя функция на концах интервалов задания.
Для этого вычислим четыре предела:
1•
х4
1·
х4+
1m -3--1 =-ао,
1m~
1= ао,
JC ➔ -a:,X-
х ➔ +сюХ-
.
xt
I1m -8
--
1=-ао,
JC➔ I-OX -
,.
х4 +'
,1m -3
--
1= ао.
JC➔ l+OX -
Таким образом, мы установили, что х= \-вертикальная асимп
тота.
Переходя к определению наклонных асимптот, будем иметь
•
х8
•
(х")
k= l1m
-
3--1
=1, Ь= l1m
-3--1 -х =0,
•
JC➔±a:> х -
JC➔:f:a, х -
откуда следует, что прямая у=х является наклонной асимптотой
графика функции при х➔- ао и при х➔+со.
Далее дЛЯ определения экстремумов находим
у' Х3 (Х8 -4)
(xs- 1)2 ;
"
6х2 (2 +х3)
у= (ХЗ-J)З •
Производная у' существует и конечна в области определения
функции, поэтому все критические точки определяем из условия
у' = О, которое дает две критические точки: х1 = О и х2 = V4.
Исследуя знак у' в в-окрестности точки х1 = О, получим: у' > О
при хЕ(-е, О) и у'< О при хЕ(О, е); таким образом, х1 =0 есть
точка максимума, у(О)=О-максимум функции. Одновременно мы
установили, что при хЕ(-ао, О) функция возрастает, а при хЕ(О, ))-
:убывает. Заметим, что исследовать функцию на экстремум в точке
х1 = О можно было лишь указанным способом, ибо точка х1 = О яв
ляется нулем второй производной.
В точке· Х2 = v4 МОЖНО провести исследование на экстремум
с помощью второй производной, а именно у"( V4) > О, т. е.
V-
v-
3_
4
4
х2 = 4-точка минимума функции, у ( V 4)=--3
- -- минимум
функции.
• Остается исследовать форму выпуклости
графика- функции. Из
условия у"= 0 HaXOДIIM Хэ = -V2 и, исследуя знак у" В е-окрест
НОСТИ этой точки. получаем: у" > О при х Е (-e -V2; -V2),
145
у•< о при хЕ(- v2. -V2+e), т. е. Ха=-V2-абсцис~а
точки {единственной) перегиба графика функции в направлении от
выпуклости вниз и выпуклости вверх; ордината точки перегиба
!/
-3
Рис. 5.17.
иc~V2)= - ~V2·
Исследование закончено,
х4
график функции У= хз _ 1
представлен на рис. 5.17.
5.3.4 . Задачи приклад
ного характера на нахож
дение наибольших и наи
меньших значений функ
ции. Покажем применение
изложенной теории для
решения задач конкретно
го характера.
3адача 5.1. Заготовлен
материал для изгороди длиной
l м. Необходимо этой изгородью
огородить прямоугольную nло-
щадку, имеющую наибольшую
меры этой площадки?
площадь. К.акими должны быть раз-
Решение. Пусть ширина прямоугольника хм. Тогда длина его
должна сыть равна ( ~ -х) м, и, значит, площадь S = (; -х )х.
Для решения задачи остается найт·и, при каком значении х функция
S (х) принимает наибольшее значение.
I)o смыслу задачи х изменяется на отрезке [О, l/2] 1). Применяя
вышеизложенную теорию, находим
(l
)'l
.
тх-х2 =2...:.2х,
l
Полагая 2 -2х = О, находим критическую точку х = l/4. Так как
S" (х) < О, то имеем максимум. Этот максимум-единственный экст
ремум, лежащий внутри [О, l/2). Подсчитаем значения функции S (х)
в точках х= О, х = l/4 и х= l/2 и выберем наибольшее
S(0)=0, S(l/4)=12/16, S(l/2)=0.
Итак, прямоугольником, имеющим наибольшую площадь, будет пря
моугольник со сторонами, равными l/4, т. е. квадрат.
3 ад а ч а 5.2 . Из квадратного листа железа со стороной а нужно
сделать открытый сверху ящик. Для этого по углам листа вырезают
равные квадраты и из получившейся крестовины сгибают ящик. К.акие
квадраты нужно вырезать по углам листа, чтобы получился ящик
1) Случаи х = О и х = l/2 являются случаями вырождения. Для
полноты исследования мы их не исключаем.
146
наибольшей вместимости (объем равен произведению площади осно
вания ящика на высоту).
Решен и е. Длиlfу стороны квадратов, вырезаемых по углам,
обозначим. через х. Дном ящика служит квадрат со стороной а-2х.
Отсюда объем ящика выражается функцией V = (а-2х) 2 х, где х
принимает значения из промежутка (О, а/2). Рассматривать случаи
Х=О и х=а/2 мы не будем, так как это случаи вырождения функ
ции (следует из условия задачи). Выясним, при каких значениях х
из хЕ(О, а/2) функция V принимает наибольшее значение. Очевидно,
что это должен быть наибольший из максимумов в промежутке (О, а/2).
Найдем V' и V".
V' = (а2х-4ах2 +4х3)' = 12х2 -8ах+а2,
V"=24x-8a. •
Из условия V' = О найдем критические точки
12х2 -8ах+а 2 =0,
откуда
х1 =(4а+2а)/12 =а/2,
х2 = (4а-2а)/12 =а/6,
а/2 i (О, а/2),
а/6 Е (О, а/2).
В точке х1 =а/2 функция вырождается, поэтому исследуем зн.ак вто
рой производной только в точке х2 =а/6, учитывая, что а > О и
a=coпst
V"(a/6)=24-: -8а=-4а < О.
Это значит, что функция V имеет в точке х=а/6 максимум, един
ственный в промежутке (О, а/2). Значение V (а/6) = 2а3/27 и будет
наибольшим.
З ад а ч а 5.3 . Быстрота сигнализации по подводному кабелю
пропорциональна выражению х2 lп (1/х), где х есть отношение радиуса
металлической сердцевины кабеля к толщине его изолирующей обо
лочки. Каким должно быть это отношение, чтобы быстрота сигнали
зации была наибольшей?
Реше ни е. В данном случае нам не требуется составлять функ
цию, которую надлежит исследовать на экстремум. Она уже задана
в условии задачи. Поэтому, если мы найдем в интервале (О, +со)
значение х, при котором функция f (х) =Х2 lп (1/х) = -x2 ln х имеет
наибольшее значение, задача будет решена. Функция f (х)-гладкая.
Находим
f' (х) =-2х ln х-х=-х (2 ln х+ 1).
Корнем производной, принадлежащим интервалу (О, +со), является
только значение х= ~ =е~ 112 • Если мы проследим поведение
производной при переходе через точку х = е- 1 / 2 , то увидим, что она
меняет знак с плюса на минус. Значит, в точке х=е- 1 !2 функция
f (х) имеет максимум, причем это единственный экстремум f (х) в
интервале (О, +со). Стало быть, искомое отношение должно быть
равно e-1l2•
3 ад а ч а 5.4. п гальванических элементов, из которых каждый
имеет внутреннее сопротивление r и электродвижущую силу Е, со
единены в х последовательных групп, причем каждая группа состоит
147
из у парал.~елыrо соединенных элементов (ху = п); R-сопротивление
внешней цепи. Каковы должны быть числа х и у, чтобы .сила тока /
была наибольшей?
Решен и е. Если т элементов соединены последовательно, то
по закону Ома сила тока в цепи будет
тЕ
Е
mr+-R=--R-,
r+m
если же k элементов соединены параллельно, то сила тока будет
Е
r +R.
k
Следовательно, сила тока всей батареи равна
/
из условия задачи видно, что х,.;;;; п,
функцию на интервале (О, п)
поэтому будем рассматривать
/,, Е R-axz
=
(ах2+ R)1 '
(ах2 -ЗR)
/"=2аЕ(axz+R)зх.
Производная /' (х) обращается в нуль только в одной точке интер
вала (О, п): х= ~= у ~п , которая может принадлежать
этому интервалу. Если R/r < n, то точка Х= У Rn/r принадлежит
интервалу (О, п). /" (х) в этой точке меньше нуля, значит, мы имеем
максимальное значение функции, если Х= у-~п, у= :-Yi .
ВОПРОСЫ ДЛ.Я ПОВТОРЕНИ.Я К ГЛАВЕ 5
1. Дайте формулировки теорем Ферма, Ролля, Лагранжа.
2. В чем состоит геометрический смысл этих теорем?
3. Что называется стационарной точкой?
4. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки воз
растания (убывания) функции.
5. Сформулируйте необходимый и достаточные признаки сущест
вования экстремума.
6. В чем состоит метод нахождения наибольших и наименьших
значений функции на замкнутом интервале?
7. Дайте определение и способ нахождения асимптот кривой.
8. Как определяется направление выпуклости кривой?
9. Сформулируйте необходимый и достаточный признаки сущест
вования точки перегиба.
10. Опишите общую_ схему исследования поведения функции,
148
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у= f (х)
на интервале [а, Ь].
1. y=2x2 -\nx,
2. у=х3 -3х2 -9х+ 14,
З. у=х-еХ,
4. У=~-2х2 -5,
х2
5. Y=x+I'
6. у=х2е-х,
[0,25; 1).
[-2, 3].
[-\, 2].
[-2, О].
[-0,5; 4).
(-1, 4].
Исследуйте методами дифференциального ис 11исления функцию
и постройте ее график:
х4
7. у= 1+2х2 -т.
3х
9. у=3х+9х2- 1•
11. y=(2x_;_З)tf(x+ 1)2 •
еХ
13. у=-.
х
х2 +в
15.У=х+1•
xYl-x
l7.y
1+х
1
l
19. У=х2- (x- l)2 •
Решите задачи:
хз
10. У=3х2 - 1.
12. y=x2 Ji'x+I.
х
14. у=-1-.
пх
(х-4) 3
16. У_~-
18. у
х2
21. Окно имеет форму прямоугольника, заRершенного nолукру~
гом. Каковы должны быть размеры этого окна, •1тобы при данном
его. периметре 2р оно пропускало наибольшее количество света?
22. Судно В, находящееся в данный момент на расстоянии 75 км
к востоку от судна А, идет на запад со скоростью 12 км в час;
судно же А идет на юг со скоростью 4 км в час. Через сколько ча
сов суда будут наиболее близки друг к другу?
23. Два источника света расположены в 30 м друг от друга.
На прямо:\, соединяющей их,· найти наименее освещенную точку,
если силы источников относятся, как 27:8.
х2
у2
24. Из всех прямоугольников, вписанных в эллипс "a2·+v=I,
найти тот, площадь которого наибольшая (предполагается, что сто
роны прямоугольника параллельны координатным осям).
25. От канала шириной 4 м под прямым углом к нему отходит
другой канал шириной 2 м. Kaкoli может быть длина бревна /, чтобы
его можно было сплаRить по этим каналам из одного в другой (тол
щину бревна можно не у'lитывать)?
26. Имеется гальванический элемент, внутреннее сопротивление
которого равно ,. При
каком внешнем сопротивлении R мощность
тока, получаемого от ·этого элемента во внешней цепи, будет наи
большей?
149
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К: ГЛАВЕ 5
21. Радиус полукруга должен быть •равен высоте прямоуголь
· ника.
5
22. 5 8 часа.
23. В 18 м от более сильного источника света.
aV2 ьv2
24. Стороны прямоугольника равны - 2
-
и~.
25. l ...;;2V 9+6У2 ~ 8,36 м.
26. R =r.
ГЛАВА 6
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
§ 6.1. Системы двух линейных уравнений с двумя
неизвестными
6.1 .1. Линейные уравнения с двумя неизвестными.
О п редел е н и е 6.1 . Линейным уравнением относитель
но х и у мы будем называть всякое соотношение вида
(6.1)
где хотя бы одно из чисел а и Ь отлично от нуля.
Всякая пара чисел х, у, при которых (6.1) представ
ляет собой верное равенство, называется решением этого
уравнения. (Говорят еще, что эта пара чисел удовлетворяет
уравнению (6.1).)
Так, например, решениями уравнения 2х-у = 3 яв
ляются следующие пары чисел: 1) х = 1, у= - 1, 2) х=2,
у= 1, 3) Х= УЗ/2, У= Vз-з и т. д. Примером пары
чисел, не удовлетворяющей этому уравнению, может слу
жить: Х= 10, у= 5.
Покажем, что множество всех решений линейного урав
нения геометрически изображается прямой линией на декар
товой координатной плоскости. Действительно, если Ь =1= О,
то, разделив обе части (6.1) на Ь и перенося член : х
в правую часть, мы получим эквивалентное (6.1) соотно
шение
(6.2)
Как известно, такое соотношение определяет у как ли
нейную функцию от х, а графиком этой линейной функции
151
служит прямая линия, пересекающая ось Og в точке
с ординаtой у0 = с/Ь, и составляющая с осью Ох уrол,
тангенс которого равен -а/Ь.
Если же Ь = О, то обязательно а=/= О (мы потребовали
в определении, чтобы хоть одно из этих чисел было от
лично от нуля). ,Тогда (6.1) можно переписать так:
с
Х=-.
а
(6.3)
Огсюда видно, что, для тоrо чтобы числа х и у удовлет
воряли этому соотношению, необходимо и достаточно,
чтобы х был равен . с/а, а у может быть любым вещест
венным числом. Множество всех таких пар геометрически
изображается прямой, проходящей параллельно оси Оу,
и пересекающей ось Ох в точке с абсциссой х = с/а.
6.1.2. Системы двух линейных уравнений с двумя не
известными, геометрическая интерпретация. Мы будем
сейчас рассматривать системы, составленные из двух линей
ных уравнений:
(6.4)
Определение 6.2 . Решением системьt (6.4) наЗЬl
ваются всяк,ие два числа х и у, которые удовлетворяют
каждому из составляющих эту систему уравнений.
Так как множество всех решен~1й (6.4), очевидно, пред
став.11яет собой общую часть (теоретико-множественное пере
сечение) множеств, составленных соответственно из реше
ний первого и второго из уравнений этой системы, то,
исходя из геометрических соображеnий, ~ы заключаем,
что может иметь место один и только один из следующих
случаев:
1°. Прямые /1 и 12 , представляющие собой соответст
венно множества решений перво·го и второго из уравне
ний (6.4), имеют только одну общую точку М 0 • Ее коор
динаты (х0 ; у0 ) в этом случае будут представлять собой
единственное решение системы. (Действительно, любая
другая пара чисел х и у определяет на плоскости хОу
точку М, отличную от точки М 0 , и поэтому-не лежа
щую хотя бы на одной из прямых /1 и 12 • А ~то значит,
что такая пара чисел не удовлетворяет хотя бы одному
из уравt1ений (6.4).) Такой случай будет иметь место тогда
и только тогда, когда прямые 11 и / 2 составляют с осью Ох
разные углы.
152
2°. Прямые 11 и 11 параллельны друг другу. В этом
случае они, естественно, не имеют общих точек. Значит,
и система (6.4) не имеет ни одного решения.
• 3". Прямые 11 и l2 совпадают друг с другом. Тогда
любая их точка представляет собой решение нашей сис
темы. В этом случае, следовательно, система имеет бес
конечное множество решений.
6.1 .3 . Исследование системы двух линейных уравнений
с двумя неизвестными. Займемся теперь аналитическим
исследованием системы (6.4). Умножив первое из ее'урав
·нений: на Ь 1 , а второе-на -Ь1 , сложим их почленно. После
этого мы умножим первое из уравнений (6.4) на -а2 ,
второе-на а1 , и в11овь произведем почленное сложение.
В результате этих операций мы получим_
{ (а1Ь1 -а1Ь1)-х=·с1Ь1 -с1Ь1,
(а1Ь1 -а2Ь1) • у= а1с1 -а2с1•
(6.5)
Если а1Ь1 -а9Ь1 =1=- О,
то (6.5) представляет собой новую
систему уравнений относительно х и у. Видно, что един
ственным решением этой системы будет
•
С1Ь2-С2Ь1
О1С2-О2С1
(6.6)
Х=ЬЬ'У=ЬЬ'
01 1-01 1
01 2-02 1
Если же а1Ь2 -а1Ь1 = О, то (6.5) принимает вид
{ О= С1Ь1-С1Ьi,
О= a1c1 -a1cl'
.
.
(6.7)
Для правильного понимания дальнейших рассуждений
очень важным является следующее: в любом случае соот
ношения (6.5) представляют собой следствие соотноше
ний (6.4), т. е. если какие-либо числа х и у удовлетво
ряют системе (6.4), то при этих же х и у оказывае1ся
справедливым и каждое из соотношений (6.5).
Рассмотрим сначала случай, когда а1Ь2 -а1Ь1 =1=, 0. Тогда
на основании только что сделанного замечания можно
сказать, что всякое решение системы (6.4) является реше
нием и для системы (6.5). Но (6.5) при а1Ь2 -а2Ь1 =I= О
имеет, как мы видели, только одно решение, которое
дается формулами (6.6). Значит, система (6.4) не может
иметь никаких иных решений, кроме (6.6). Но удовлет
воряет ли и (6.6) этой системе? Из проделанных нами до
сих пор выкладок это отнюдь не следует. Получить ответ
на этот вопрос мы можем, непосредственно подставив (6.6)
в каждое. из уравнений (6.4).
153
Левая часть первого из этих уравнений после такой
подстановки примет вид
Q· • C1b2-C2bi +ь" й1С2-й2Сi _ й1С1Ь2-й1С2Ь1+а1С2Ьi-а2С1Ьi
_
1 а1Ь2 -а2Ь1 - 1 а1Ь2-а2Ь1 -
а1Ь2 -а2Ь1
-
_
а~_с1Ь2 -а2с1Ь1 _ с1 •(а1Ь2 -а2Ь1)
-
lй1Ь2-а2Ь1, - а1Ь2 -а2Ь1 ci,
откуда видно, что (6.6) удовлетворяет этому уравнению.
Точно так же можно убедиться и в том, что два числа (6.6)
удовлетворяют и второму из уравнений исходной сис
темы (6.4). Следовательно, мы вправе сделать заключение
о том, что если aib2 -a2bi ,=t= О, то система (6.4) имеет
единственное решение, и это решение дается формула-
ми (6.6).
..
.
Пусть теперь a1b2 -a2bi= О. Если мы допустим, что (6.4)
имеет хотя бы одно решение, то· отсюда будет следовать
и справедливость (6.7). Значит, если при a1b2 -a2bi = О
хотя бы одно из соотношений (6. 7) не выполнено, то сис
тема (6.4) не имеет ни одного решения.
Покажем, наконец, что если а1Ь2 -а2Ь1 = О и если
выполнены оба соотношения (6. 7), то система (6.4) имеет
бесконечное множество решений.
Предположим сначала, что bi ,=t= О. В этом случае и
Ь2 ,=t= О. Действительно, допустив противное, мы, исходя
из равенства a 1 b2 -a2 bi= О, получаем, что a2 bi = О, а отсюда
а2 = О. Но, согласно определению 6.1, одновременное обра
щение в нуль коэффициентов а2 и Ь2 невозможно. Мно
жество решений qepвoro из уравнений (6.4), как мы знаем,
состоит из всевозможных чисел х и у, где х-произволь
ное вещественное число, а соответствующее значение у
дается формулой (6.2). Подставляя такие числа х и
-
~ : х: + :: в левую часть второго уравнения (6.4), мы
получим
+ь ·(-~
+.Е!.)- а2Ь1 -а1Ь2 . + Ь2с1 _ГЬ2с1
й2Х 2
Ь1ХЬ1-
bi
ХЬ1-Ь1
•
ьс
Но из (6. 7) следует, что ~/ = с2 • Стало быть, каждое
из решений первого из наших уравнений удовлетворяет
и второму уравнению, а тем самым и всей системе (6.4).
Пусть теперь bi= О. Тогда, очевидно, а1 :=/= О и из
а1Ь2 -а2Ь1 =0 следует, что а1Ь2 =0, откуда Ь2 =0 и,
154
значит, а2 :;,l= О. Система (6.4) в этом случае принимает вид
(6.8)
Первому из этих уравнений удовлетворяют любые два
числах и у, где X=Ci/a1, а у-произвольное веществен
ное число. Но, так как из (6.7) следует, что с2 /а2 = c1 /ai,
то каждые такие два числа х и у будут представлять
собой решение и второго уравнения, а значит, и всей
системы (6.8).
§ 6.2 . Определите.ли второго порядка
6.2.1. Основные определения. Формулы Крамера. В пре
дыдущем пункте нам часто встречались выражения типа
а1Ь2 -а2Ь1 . С такого рода выражениями нередко прихо
дится сталкиваться в различных областях математики и ее
приложений. Поэтому оказалось целесообразным ввести
для них специальные названия и обозначения.
Определение 6.3 . Выражение ai1 a
21
-ai2 a
1
1 на,зы,
вЩ!mся определителем второго порядка (составленным из
чисел a1 i, ai2
,
a1 i и а21) и обозначается
la11 аа\
а21 а22 •
Здесь и далее первый индекс означает номер строки,
а второй индекс-номер столбца.
Пользуясь этим определением, мы можем теперь запи
сать, что
(6.9)
В тех случаях, когда определители (6.9) рассматри-·
вают в связи с системой (6.4), первый из них называют
определителем этой системы, второй - определителем не
известного х, третий-определителем у. Мы будем их обо
значать соответственно через Л, Лх и Лу. Отметим, что
выражение для Лх получается из определителя системы,
если в нем столбец, составленный из коэффициентов при х,
заменить столбцом из свободных членов. Аналогично Лу
получается из Л заменой. столбца коэффициентов при у
на столбец свободных членов.
155
С использованием этих терминов полученные нами
в конце п. 6.1 .3 выводы можно сформулировать так.
Теорем а 6.1. Для того чтобы система (6.4) имела
единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель был отличен от нуля
(6.10)
При этом условии таким единственным решением системы
являются следующие два числа:
Лх 1~: ::1
Лу 1:: ::1
х - - - ....: .....:: ... ----, =.. .,..
у- - - --'--"-----"..;-
(6.11)
-
Л- 1а1Ь11'
-
Л- 1а1Ь11
а2 Ь2
а2 Ь2
Формулы (6.11) носят название формул Крамера.
Если определитель системы ра.вен нулю, а хотя бы один
из определителей неизвестных отлиЧl!н от нуля; то система
не имеет решений.
Если же равны нулю как определитель системы, .так
и каждый из определителей неизвестных, то система имеет
бесконечное множество решений.
6.2 .2 . Свойства определителей второго порядка. Рас
смотрим теперь основные свойства определителей второго
порядка.
.
С в о й ст в о lO • Величина определителя не изменится,
если его строки поменять местами со столбцами (не на
рушая их порядка):
(6.12)
До к аз ат ель ст в о. Вычисляя в соответствии с опре
делением 6.3 левую и ·правую части (6.12), мы получаем
одно и т<>' же число ,
1
ан а121 = a11a22-a12a2i•
а21 а22
1ан U211
= а11а22 - 21аа.
а12 а22
С в о й с т в о 2°. Если в определителе поменять местами
две строки (или два столбца), то его абсолютная величина
сохранится, а знак изменится на противоположный.
Доказательство.
la21 a22j=a21 i2-a22a11=-(a11a2a-aaa21)=-laaд аа121.
ан а12
•
.
21
22
156
С в о й с тв о 3°. Если определи11И!ль содержит две оди
наковые строки (или два одинаковых столбца), то его вели
чина равна нулю.
До к аз ат ель ст в о. Поменяв в таком определителе
местами строки, мы фактически не изменим его. Однако,
согласно свойству 2°, знак его изменится на противопо
ложнЬJй:
Отсюда следует, что этот определитель равен нулю.
Свойство 4°. Если все элементы какой-либо строки
(или столбца) определU11И!ля содержат общий множи11И!ль,
то этот множитель можно вынести за знак определи11И!ля.
До к а за тел ь ст в о. Для определенности рассмотрим
случай, когда общий множитель имеют элементы второй
строки:
Свойство 5°.
Если элементы одной какой-нибудь
строки определителя равны соответсrпвующим элементам
другой строки, умноженным на один и тот же множи-
11И!ЛЬ, то такой определи11И!ль равен нулю (аналогично
для столбцов).
До к аз ат ел ь ст в о. Пусть, для определенности,
а21 = л.а11, а22 = л.а12• Тогда
(Мы воспользовались сначала свойством 4°, а зате}f свой
ством 3°.)
3амечание 6.1. Положив л =О,мывидим,чтоесли
все элементы одной из строк (столбцов) определителя
равны нулю, то ·равен нулю и сам определитель. (Разу
меется, это утверждение легко доказывается и непосред
ственно.)
G: в о й с т в о 6°. Если каждый из элементов какой-либо
строки определи11И!ля представляет собой сумму двух ела~
гаемых, то он равен сумме двух определителей, получакJ-
157
щихся из него заменой указанной строки на строки,
составленные соответственно из первых и вторых слагаемых
в отдельности. Например,
а;2+а;21 = 1а~1
U22
U21
(6.13)
Аналогичное утверждение справедливо и для столбцов.
Доказательство.
С в ой с т в о 7°. Величина определителя не изменится,
если к элементам какой-либо его строки прибавить умно
женные на одно и то же число элементы другой строки
(то же-для сrrwлбцов).
Доказательство.
(Мы применили сначала свойство 6°, а затем свой
ство 5° .)
..
§ 6.3 . Определители третьего и высших порядков
и их приложения к системам линейных уравнений
6.3.1. Определители третьего порядка и формулы Кра-
мера для системы трех линейных уравнений с тремя не
рзвестными. Пусть нам дана система у·равнений
{
а1х +Ь1у +c1z= di,
а2х+Ь2у +c2z= d2 ,
a3x+b8y+c3Z= d3 •
(6.14)
Уравнения такого типа тоже называются линейными. По
нятия решения отдельного . уравнения и
решения
системы определяются аналогично тому, как это· сделано
в§6.1.
Действуя таким же образом, как и в случае двух не
известных, можно было бы показать, что следствием этой
158
системы являются -соотношения
{
Л,х
=Лх,
Л-у = Лу,
Л•Z= Лz
где
Л =а1Ь2с3 -а1Ь3с2-а2Ь1с3 + а3Ь1с2 + а2Ь3с1 -а3Ь2сi,
Лх =d1b2c3-d1b3C2 -d2b1C3 +d3b1c2+d2b3c1 -d3b2c1 ,
Лу =a~d2c3 -a1d 3c2 -a2d 1c3 + a 3 d 1c2+a2d 8C1-a3d 2c1 ,
Лz = a1b2d3 -a1b3d_2
- a2b1d3 + a3b1d2 + a2b3d1 -a3b2di.
(6.15)
(6.16)
Выражения подобного рода, как мы это увидим из сле
дующего определения, тоже носят название определителей.
О п редел е ни е 6. 4 . Определителем третьего порядка
1::: ::: ::: 1
аа1 аа2 ааа
называется число а11а22а33 -а11а23а32 -а~ 2а21а33 + a 12a29aai+
+ а1аа21аз2-а1аа22аз1 ·
•
Если определители (6.16) рассматриваются в связи с
системой (6.14), то первый из них называется определи
телем этой системы, а каждый из остальных-определи
телем соответствующего неизвестного. Для системы (6.14)
имеет место теорема, аналогичная первой части теоремы 6.1 .
Теорем а 6.2. Для того чтобы система (6.14) имела
единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы ее
определитель был отличен от нуля. В этом случае упомя
нутое решение· дается формулами Крамера
Мы здесь не будем доказывать эту теорему.
Заметим, что, в отличие от случая двух переменных,
мы здесь уже не -можем утверждать, что система будет
иметь бесконечное множество решений, если Л= Лх= Лу =
=Лz=О.
Из (6.15) видно, разумеется, что если Л= О,
а хотя бы один из определителей неизвестных отличен от
нуля, то (6.14) не имеет решений вообще. Однако система
(6. i 4) может не иметь решений и в том случае, когда
Л= Лх= Лу= Лz= О. Верно лишь то, что при Л= О си
стема либо вообще не имеет решений, либо имеет их бес
конечно много.
159
В главе, посвященной аналитической геометрии в про
атранстве, доказывается, что множество решений всякого
ур11ьнения такого типа, как составляющие систему (6.14),
геометрически представляет собой множество всех точек
некоторой плоскости. Поэтому решения системы (6.14)
геометрически могут быть. истолкованы как точки, при
надлежащие одновременно каждой из трех плоскостей,
определяемых уравнениями, составляющими эту систему.
Определители третьего порядка обладают свойствами,
аналогичными свойствам 1°-7°, выведенным нами в§ 6.2
для определителей второго порядка. Мы эдесь примем
это утверждение без доказательства.
.
6.3.2. Разложение определителя третьего порядка по
элементам какой-либо его строки или столбца. Удобной
как для вычисления определителей, так и для других
целей, является следующая формула
Для ее доказательства преобразуем выражение для опре
дел~_теля, данное в определении 6.4:
.а11ая2ааа-а11а2ааз2-ааа21азз +а12аязаз1 +
+ а1за21dз2-а1ааа2аз1 = ~11 (а22а,а-а2заз2)-
-а12 (а21азs-а2ааз1) + а1з (а21аа2-а22аз1)-
Теперь остается только заметить, что выражения в круг
лых скобках как раз и представляют собой соответственно
определители из правой части (6.17). Эта формула назы
вается формулой разложения определителя третьего по
рядка по элементам первой строки, и позволяет свести
его вычисление к вычислению определителей второго
порядка.
Понятно, что свойства 1° и 2° позволяют обобщить
формулу (6.17) и разлагать определитель третьего поряд1<а
по элементам любой строки или столбца. Для записи этой
обобщенной формулы оказывается удобным использовать
понятие алгебраического дополнения.
Определение 6.5 . Алгебраическим дополнением
элемента aik определителя третьего порядка называется
число Aik• представляющее собой определитель второго
порядка, получающийся из исходного вычеркиванием тех
строки и столбца, на пересечении которых стоит эле-
ню
мент a1k, взятый со знаком +, если сумма номеров уда
ленных строки и столбца че_тная, и со знаком - в про-
тивном случае.
-
Так, например,
А-1Uzz Uzз\,
l1- U3z U39
Теперь мы можем следующим образом сформулировать
правило для соста_вления формул типа (6. 16).
•
.
Определитель •третьего порядка равен. сумме произведе
ний эмменпwв любой спiроки (столбца) на соответствую
щие им алгебраические дополнения.
Применяя •это правило, например, для разложения
определителя •по элементам второго столбца, мы получим
Формулы такого типа особенно удо~~ю пр»менять в том
случае, - когда равны--нулю все, кроме одного, элементы
строки (столбца), по которой производится разложение.
Используя сВQйство 7°, мы всегда можем привести опре
,.елитель. и- т~кому виду (если, разумеется, . не все его
элементы равны нулю).
Покажем это на конкретном примере. Пусть нам нужно
вычислить определитель _.
.
HJ -;-312 .
..
4
Прибавив к элементам ' второй строки умноженные на 2
соответствующие им элементы первой, мы получим
1
~
~ -11.
1-5 4
Теперь вычтем из элементов третьей строки соответствую
щие им элементы первой
1
12-31·
О5-4
О-7.7
Согласно свойству 7° все эти определители равны между
собой. Разлагая последний иэ них по элементам первого
6 П/Ред. Н. М. Ма1веева
IGI
столбца, мы получаем
1
1 2-3
1
15 _ 41 \2-зl
12-зl
о5-4=1-7 7-О·-7 7+О·5-4=
О-7 7
= 5,7-( -4)•(-7)= 7.
6.3 .3. Опредепитепи высших порядков. Оп редел е
н и е 6.6 . Определителем п-го порядка
ан а12 ••• а1п
а21 а22 ••• а2п
называется сумма всевозможных произведений его элемен
тов, взятых по одному из каждой строки и каждого
столбца и снабженных знаками по следующему правилу.
Если для восстановления естественного порядка в после
довательности номеров {k1 , k2 , ••• , kп} требуется произве
сти в ней четное число попарных перестановок ее членов,
то слагаемое a1k,a 2k, . .. апkп
берется со знаком +, в про
тивном случае со знаком -.
Можно доказать (мы эдесь не будем этого делать), что
для определителей n-ro по,рядка справедливы свойства,
аналогичные полученным нами в § 6.2 свойствам 1°-7°
определителей второго порядка, и формула разложения
по элементам любой из строк (или столбцов)
ан а12 ••• а1п
а21 t!22 ••• а2п
Для вычисления определ'ителей удобно комбинировать эту
формулу с применением свойства 7° таким же образом,
как это было показано на примере с определителем треть
его порядка.
Сейчас мы перейдем к рассмотрению систем линейных
уравнений с произвольным чис_лом неизвестных. Нам бу
дет удобно несколько отступить от ранее применявшихся
обозначений и использовать для записи неизвестных одну
и ту же букву х, снабженную индексом.
6.3.4. Системы п линейных уравнений с п неизвестными.
Определение 6.7 . Линейным уравнением относи
тельно неизвестных х1 , х2 , ••• , Хп будем называть всякое
162
соотношение вида
а1ц+а2"х2 +, .. +апХп =Ь,
(6.19)
где хотя бы один из коэффициентов а1 , а2 , ••• ,
ап отли
чен от нуля.
Всякая последовательность чисел {xi, х2 , ••• , хп}, при
которой (6.19) предстаJJляет собой верное равенство, назы
вается решением этого уравнения. (Говорят еще, что эта
последовательность удовлетворяеrrГуравнению.)
Такая последовательность называется решением систе
мы, составленной из нескольких линейных уравнений,
если она удовлетворяет каждому из них.
Определение 6.8. Пусть дана система, состоящая
из п линейных уравнений с п неизвестными:
( а11Х1 + а12Х2 + •••+ а1пХп = Ь1,
1~21:1 .+.а2:~~ ~ . ~ • .+.а2:х~ =ь_2,
l ап1Х1 +а,.,х2 + ... +аппХп -Ьп.
Определите:дь-
йп й12 ••• й1п
й21 й22 ••• О2п
Оп1 йп2·· ••• Опп
(составленный из коэффициентов при неизвестных) назы
вается определителем этоц системы, а определитель Л"k'
получающийся из него заменой столбца, составленного из
коэффициентов при ка,wм•нибудь из неизвестных xk, на
столбец свободнЫJС членое, называется определителем этого
неизвестного.
Теорема, аналогичная теореме 6.2, справедлива и для
системы п линейных уравнений с п неизвестными. И здесь
справедливы формулы Крамера
(k=1,2, ..., п)
(6.20)
6.3 .5. Системы однородных линейных уравнений. В за
ключение этого параграфа коснемся еще понятия системы
однородных линейных уравнений.
Определение 6.9. Линейное уравнение, свободный
член которого равен нулю:
а1Х1 +а2Х2 +,,, +апХп= 0,
называется однородным.
6*
163
Яснр, что любая система, составленная из однородных
уравнений; имеет по крайней мере одно решение, а именно,
х1 = х2 = :· .. = Хп = О. (Такое решение обычно называют
нулсвы,ч.) Поэтому мы можем сказать, что ес·ли опредrли
тель системы, состоящей из п линейных однородных урав
нений с п неизвестными, отличен от нуля, то такая си
стема имеет только нулевое реш~ние, если же Л=·о, то
множество ее решений б€сконечно (и, стало быть, она
имеет и решения,· отличные от нулевого).
§ 6.4. Методы решения систем линейных уравнений
6.4 .1. Метод Гаусса. Если определитель системы п
линейных уравнений с п неизвестными отличен от нуля,
то для ее решения, разумеется, мы можем воспользоваться
формулами Крамера (6.20). Однако этот способ .далеко не
всегда является самым подходящим. При сколько-нибудь
больших значениях п такой способ требует громадного
_количества вычислений, а· возможная здесь потеря точно
сти (за счет округления промежуточных результатов) мо
жет. привести к значительному расхождению между
истинными и вычисленными значениями неизвестн_ых.
Одним из наиболее употребительных методов решения
таких систем является метод Гаусса. Покажем его
сущность на примере системы трех уравнею1й с тремя не
известными:
{
а11х1 +а11х1-+а13х_э: Ь1,
а21Х1 + а11Х1 + а23Ха - Ь2,
а••х. + U3~1 +а~3Х3 •Ьа.
Пусть сначала ~11 =I= О. - Ра;д~пим на
первого уравнения
+ а12 +а13 Ь1
•Х1
а-х, а~Хв=а-' ..
11
11
11
(6;21)
a 1i все члены
(6.22)
и вьiчтем почленно из второго и третьего уравнений урав
нение (6.22), предварительно умножив соответственно на
а11 и а31 . Тем самым из этих ·уравнений ,мы исключим
неизвестное .х1 и придем к следующей подсистем~:
где
164
{а;,х,+~аХ3=Ь;,
а;2Х1 + а;зХа = Ь;,
(6.23)
~т.д.
Если же a 1i = -о, но среди коэффициентов при х10 в дру
гих уравнениях есть отличные от нуля, мы просто поме
няем местами какое-нибудь из зтих уравнений с первым,
а затем проделаем такие .:}!<е операции. Если же все эти
коэффициенты равны нулю, то зто означает, что равен
нулю определитель системы, а в _этом случае метод Гаусса
неприменим.
•
.
Действуя таким же методом, мы исключаем х2 из
последнего уравнения (6.23). (Если а;11 = О, то меняем
местами уравнения, если же и а;2 = О, то это означает,
что равен нулю определитель исходной системы.)
• В· результате этих операций мы преобразуем (6.21)
к так называемому треугольному виду -
{
Х1 + <Х11Х2 + а13Х3 = ~1,
Х1 + <Х2аХа = ~~•
Ха= ~а·
(6.24i
Теперь нам остается последовательно вычислить все не
известные, начиная с последнего уравнения.
• Хотя метод Гаусса (как и метод, заключающийся в
использовании формул Крамера) s1'вляется «теоретически
точным» (т. е. при условии, что все вычисления прово
дятся абсолютно точно, дает абсолютно точный результат),
при практическом его применении мы, как правило, из-за
ошибок округления rroJJyчaeм значения неизвестных с той
или иной погрешностью.
•
6.4.2. Метод простых итераций. В некоторых случаях
оказывается· более удобным использQвать для решения
системы так наз~ваем~ «приближенные методы». Мы
здесь кратко проилл!ЬСтрируем один .. из таких методов,
а именно, так называемый метод. простой итера
ции. Допустим, что наша система приведена к виду
{
X1-:--d1-C11~~~C1.X1-CiaXз,
Xs= d2-Cs1X1-C,2Xa-C2aXa,.
Ха • da-Ca1X1-CazXa-CaaXa.
(6.25)
(Это 1',!ОЖНО сделать, Например, .разрешая первое ИЗ урав
нений (6.21) относительно х1 , второе-относительно х2 ,
третье-относительно х8 • При этом, конечно, будет с11 =
=С22 = с88 = О. Однако к системе (6.25) нередко приходят
и другими путями.)
Выберем в качестве начального приближения какую
л ибо последовательность qисел {х~0>, х~0>, х~0>}. Подставив
165
ее в (6.25), мы, как правило, конечно не получим точ
ного равенства между ,r~евыми и правыми частями этих
уравнений. Значения правых частей, полученные при этой
подстановке, мы возьмем в качестве следующего прибли
жения и вообще на k-м шаге положим
{
x<k)- d ·-с ·x<k-t)-с· x<k-t)- с
-
x<k-t)
1-
1
111
122
133
1
xik) = d2 -c2ix~k -1) -C22X~k -1) - C2aX~k-1>'
x~k) = da -Caixfk-1) -Ca2X~k-1) -СазХ~k-1>.
(6.26)
Формулы (6.26) показывают, каким образом каждое после
дующее приближение получается из предыдущего. При
определенных условиях, формулировать которые мы здесь
не будем, эти последовательные приближения, как гово
рят, «сходятся» к точному решению системы x~k> 7 х;,
<k>
•
<k)
•
{••
*}
Т
х, 7х2, Ха ?Ха, где х1 , х2 , Х3 -точное решение. огда,
начиная с некоторого• шага, последовательные значения
xjk) и x?+i) практически перестают сколько-нибудь заметно
отличаться друг от друга. Это и служит обычно призна
ком того, что нужная степень точности достигнута.
6.4 .3. Краткие ука:Jания по использованию вычисли
тельной техники для решения систем линейных уравнений.
Для всех распространенных в настоящее время ЭВМ
(включая так называе~ые малые машины) разработаны
различные программы, позволяющие решать системы ли
нейных уравнений. Поэтому для практического решения
таких систем на ЭВМ учащийся отнюдь не должен само
стоятельно пр<tграммировать этот процесс. Здесь следует
ознакомиться с описанием имеющихся в лаборатории вы
числительной техники (или-:-на учебном вычислительном
центре) программ и затем воспользоваться . инструкцией
по их применению. Отдельные же системы до третьего
четвертого порядка включите.11ьно целесообразно в боль
шинстве случаев решать вручную с использованием кла
вишных машин.
ВОПРОСЫ ДЛ.Я ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 6
1. Что такое линейное уравнение относительно неизвестных х
и у? Приведите примеры.
2. Какие из приведенных ниже записей представляют собой JIИ
неiiные уравнения относительно х и у?
а) Зх-у= 1. б) 2х=5.
в) Ьу=с,
г) 2х-ху+у=3.
166
З. Что называется решением линейного относительно х и у урав.
нения? Сколько различных решений имеет линейное уравнение? Как
геометрически изображается множество таких решений?
4. Что называется решением системы, составленной из двух ли
нейных относительно неизвестных х и у уравнений? Сколько различ
ных решений может иметь такая система?
5.. Что называется определителем системы двух линейных урав
нений с двумя неизвестными? Что такое определитель неизвестногох?
Определитель неизвестного у? В каких случаях, зная определитель
такой системы ·и определитель каждого из неизвестных, мы можем
найти решение системы?
6. Как по величинам определителей системы двух уравнений с
двумя неизвестными и каждого из этих неизвестных можно судить
о множестве решений системы?
7. Перечислите и проиллюстрируйте примерами известные Вам
свойства определителей второго порядка.
8. Что такое определитель третьего порядка?
9. Каким образом при помощи определителей можно найти
решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?
Всегда ли это возможно?
10. Что можно сказать о множестве решений системы трех ли
нейных уравнен.ий с тремя неизвестными, определитель которой
равен нулю?
11. Запишите в общем виде формулу разложения определителя
по элементам его третьей строки и проиллюстрируйте ее на конкрет
ном примере.
12. Что называется опр_еделителем п-го порядка?
13. В каких случаях и как именно при помощи определителей
можно получить решение системы п липей:Ных уравнений с п неиз
вестными?
14. Какая система п линейных уравнений с п неизвестными
называется однородной? Как по величине определителя этой системы
можно судить о множестве ее решений-?
15. В чем состоит метод Гаусса решения системы п линейных
уравнений с п неизвестными? Проиллюстрируйте его на конкретном
примере.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6
В примерах 1-10 требуется исследовать данные системы уравне
ний при помощи теоремы 6.1 и дать геометрическую иллюстрацию
полученным результатам. В тех случаях, когда система имеет един
ственное решение, найдите его по формулам Крамера,
{ Зх+2у= 1,
2 {"' х+2у=5,
1•
х-3у=4. • 2х+4у= 15.
{ х+2у=5,
{ 2х-4у=0,
3• 2х+4у=10.
4• -х+2у=0.
{ 5х+Зу=-1,
{ 4x+7u=0,
5• зх+2у=-1, 6• 7х-4у=О.
?. {i+:=1,
8.{ ;+:=1,
tзх+2у= 1.
зх+2у=6,
167
.
9• { О,5х- у=О, 10 { 6х+· 5у=4,
•
-х+2у=О. • 3х+ IO!i=5.
В примерах 11-14 вычислите .определители 1·ретьего порядка
uвумя способами:
а) непосредственным раможением по элементам первой строки;
б) разложением по элементам какой-нибудь строки (или столбца)
с таким предварительным преобразованием определителя, чтобы все
мементы этой· строки (столбца), кроме одного, оказались равными
нулю.
11.
1
2131
725.
937
12.1~ : ~1-
312
13.15 4 -21
1-2 О.
3-57
14.1·- ~
-:
~1-
514
В примерах 15 и. 16 вычислите определитеJ1и четвертого порядка_,
15. 23-12
16.1234
1-1 23
2341
31.-2
2
3412
-2
1
2
4123
В примерах 17-22 даны системы линейных уравнений, которые
следует решить, используя формулы Крамера.
17.{х+и+z=4,
18. { 2x+y-2z= 1,
x+2u+Зz=7,
.
х-у+Зz=4,
х+ u+Бz=B.
_
зх+и+ z=4.
19. ·{ Зх-2у- z=O, ;20•. { х- у+Зz=-4,
x+3y-2z=0,
2х+ y-2z=5,
4х+ u+2z=O.
.
зх+зи+ z=6.
21. { х+ y....: . . . .2z~=0,
_n. { х+ y-'2z=,o,··
b- ~ +z=~
b- ~+z=~
2х-2у- z= 1.
2х-2у- z=O.
Системы уравнециij,· _данньiе в примерах 23-'26, решите методом
Гаусса.
•••
23.
{
2x+u+2z=:=l,. _
24. { x+2y_-z=2;
Зх-у+2z= 1,
2х+ у =3,
4х-у+Бz=-3.
~ .зх+ u+?=5.
25. { 2х+4У+ z= 1,
26. ( 2у+Зz=2,
{ зх+6у'-2z=-2,
х- y+2z= 1,
~ 2х+2У-::- z=-2 .
х+ 11+3z=2.
Системы, данные в примерах 27 и 28, требуется ~:~риближенно
решить методом простых итераций, взяв в качестве начального при
ближения Хо=Уо=О (сделать по пять итераций). Сравнить получен-
ный •результат с точным решением:.
•
27.{ х= lf O,lx+0,2y, 28, { x=2-0,3x+O,ly,
y=-1+0,2x-O,ly.
у= l+O,lx-0,Зy.
168
29.
нейных
Что можно сказать о количестве решений системы трех ли
уравнений с тремя неизвестными, если:
~Л=~=~=~
~~m
б) Л=Лх=Лу=Лz=О?
в) Л=О и известно, что система-однородная?
30. Что можно сказать про определитель однородной системы
трех линейных уравнений с тремя неизвестными, если эта система
имеет решение Х= 1, Y=Z=O?
31*. При решении методом простых итераций системы
f X1=~1-ci11•X1-cia•Xz-,,,-(X1п•Xп;
Х1 = ~1-ci21 •X1-ci22•X2- • • • -IХ2п•Хп,
1 .................. .
~ Хп=~п-ап1·Х1-Gtп2•Х2-,, .-ап,.•Хп
для каждого из приближенных значений xfk), x~k), . . . , x~k), неизвест
ных·; ·по.~у•1енных на k-м шаге, справедливы неравенства
где
1•
(k) /
/*
•(О)1"
Х1-Х1 ,;;;;; Х1-Х1 .( ,",
1х;-х~"' \,;;;;; 1х:-х~0> \·c '\k,
1•
(k) /
1• (О),•k
Хп-Хп ,;;;;; Хп-Хп ,{, ,
(..
.)
х1, Х2, ... , х,.
-точное решение,·
( (О)
(0) .
(01)
б
х1-,·Xz , ..., Хп
-начальное при лижение,
а б есть наибольшее из чисел 61 , с'\ 2 , ••• , c'ln, ,где
61=/Gt111 +! ci1a 1+ •••+1Gt1n /,
б,= /•ci2~ / +1 Gt1a l+ •••+! Gtzn 1,
6n='=/ctn11+1Gtn!/+ •••+!(Xnn/.
Считзя, что пр,и всех_ ;· от 1 до п выполнены неР.авенства
/xi-x~ 0
' \~1..
а c'l=0,5, nодсч_и:rать · количество итераций, необхuдимых для полу
чения решения системы с точностью до 0,000001.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ I< ГЛАВЕ 6
1. Вычислим определитель системы
Л=l 3 2 j=3·(-3)-2• l =-11.
1-3
Так как Л ~ О, то система имеет единственное решение. Для его
нахождения вычислим сперва определители Лх и Лу. Определитель
Лх nолу,iается из Л заменой в последнем столбца, составленного .из
коэффициентов при х, на столбец, составленный из свободных членов:
Лх=1~ ·
__: 1= 1·(-3)-2 -4;=.., --11,
169
Аналогично
Лу= 1~ 11= 3.4-1•1""' 11.
Теперь остается применить формулы l(рамера
•
Лх -11
Лу 11
Х=т=-11 = !, У=л= -11 =-l.
На рис. 6.1 прямая / отвечает первому из уравнений системы, пря
мая //-второму, а точка из пересечения М0 (1; ---!)-найденному
решению.
Рис. 6.1 .
2. Здесь определитель системы Л равен нулю:
Л=I; :1=1-4 -2,2=0,
Вычислим определитель Лх:
Лх=l !: :1~20-30=-10,
у
5
Рис. 6.2 .
Так как Лх :f. О, а Л=О, то (независимо от того, чему равен Лу)
мы заключаем, что система не имеет решений. Построив прямые
170
х+2у=5 и 2x+4u= 15 (рис. 6.2), мы видим. что они параллельны
между собой и, следовательно, не имеют общих точек.
3. В этом случае непосредственным вычислением определителей
Л, Лх и Лу мы убеждаемся, что
Л=Лх=Лу=О.
Значит, данная система имеет бесконечное множество решений. Пря
мые, изображающие первое и второе из уравнений, сливаются друг
с другом (рис. 6.3).
4. Здесь мы имеем дело с однородной системой линейных урав
нений (свободные члены все равны нулю). Такая система всегда
имеет хотя бы одно решение
(х=О, у=О). Вычисляя ее опреде- U
литель, мы видим, что он равен
5
нулю. Значит (не вычисляя Лх и
Лу), мы можем сказать, что си
стема имеет бесконечное множе
ство решений.
5. Л = 1; единственное реше
ние: х= 1, у=--'-2.
6. Л = -65; система однород
ная, единственное решение: х=О,
у=О.
7. Л=О, Л,:=5/3, Лу=-5/2;
система не имеет решений (несов
местна).
о
Рис. 6.3 .
8. Л = Лх = Лу = О; система имеет бесконечное множество ре
шений.
9. Л =0; система однородная; значит, она имеет бесконечное
множество решений.
10. Л=45; единственное решение Х= 1/3, у=2/5.
11.Первый способ:
!i !l=( -J)l+l,2.\; ;\+<-1)1+2.J.,; ;1+
+(-l)l+з,3.,; : 1=2 •(14-15)- 1,(49-45)+3,(21-18)=3,
Второй способ. Добавим кэлементам второйстроки опре
делителя соответствующие элементы первой, умноженные на (-2):
Теперь к элементам третьей строки получившегося определителя
добавим соответствующие элементы опять-таки первой строки, но
умноженные уже на (-3):
1
21
3О
93
3112
1
-1
=
3
О
7 • 9-2·3 3-1-3
3112131
-1
=
3О-1
.
7-3,3
3О-2
171
В nолучившемся оnределителе второй столбец содержит только одщ1
отличный от нуля элемент. Разлагая определитель по элементам
этоrо столбца, получаем
1
~
~ - ~l=( -1)1+2.J . 13 -li+(-1)2+2.Q . 12 3 1+
3 --2
3-2
3О-2
+(-1)3+2.Q .I ~
-~l=-.1: =~1=-(- -6+3)=3.
12. Л=-18.
13. Л=-100. (Удобно к элементам второго столбца прибавить
соответствующие им элементы первого, умноженные на 2.)
14_.
Л=О.
15. Последовательно добавляя: .к элементам первой строки эле
менты )!Торой, умноженн·ые • на- (-2); к элементам третьей строки -
элементы второй, умноженные на (-3); к элементам четвертой
строки-элементы второй, умноженные на 2, получим
2 3-1
·2
о 5-5
-4
1-1 23
1-123
3 1-22
о4-8
-7
-2
1
2
о-158
Раскладывая • полученный 011 ределител ь_ по элементам первого
столбца, nолучим
о 5-5
-4
=(-,-\)2+1. 1-1 :
-5
-41
1-123
о4-8
-7
-8
-7
о-158
-158
(остальные слагаемые р_азложения равю,1 нулю). Теперь для завер
шения вычислений остается вы9ис.пить 9ТОТ определитель третьего
nорядка, что мы уже умеем делать.· Окончательно мы nолучим, что
.цанный определитель равен -68 " .
16,Л=160.
.
;'
;
_.
17. Вычислим определитель системы:
,
'1
·r11-'11'2
2 3 = о 1 2 =•· о 41==1·(1-4-2-0)=4.
15
ОО4
Определители Лх, Лу и Лz получ-аются из определителя системы за
меной столбца, составленного из коэффициентов при каком-Jшбо из
неизвестных, столбцом, составленным из свободных членов:
141'1
Лх=723,
815
Вычисляя эти определители, мы получим
Л;,,:~8, Лу=-4,- Лг=4,
172
откуда
.
Лу
g=-=l,
л
18. Х= 1,5, У=-:-1, Z=0,5.
19. Так как данная система однородная, а ее определитель Л ,/; О,
то (не вычисляя л,., Лу и Лz) мы можем сказать, что ее единствен
ным решением является нулевое: х=О, g=O, z=O,
20. X='J./3, g=5/3, Z=-1 .
21. X=U=Z=-1 .
. 2 2, X=!f=Z=O.
23, Делим все коэффициенты и свободный член первого из урав-
нений на коэффициент при неизвестном х в этом уравнении:
( х+О,5у+ Z=0,5,
{ зх- u+2z= 1,
~ 4х- u+Бz.=-3.
Пос,,едовательно вычтем из второго уравнения первое, умноженное
на 3, а из третьего-первое, умноженное на 4:
{
x+0,&y+z=0,5,
- 2,5y-z=-0,5,
-Зу +z=-5 .
\еперь разделим второе уравнение на.· -2,5:
.{
х+О,5у+ z=::0,5,
и+ 0,4z =0,2,
.
-Зу+ Z=- 5
и вычтем из третьего уравнения это только что преобразованное
второе, умноженное на -3:
{
х+О,5у+ Z==0,5,
u+o,4z=0,2,
2,2Z=-4,4.
Мы получили так называемую
«снизу вверю~, мы получаем
«треугольную• систему. Решая ее
.
- 4,4
2
Z=~=-,
'
u+0,4•(---,2)=0,2,
откуда
y=l,
и, наконец;
х+О,5• 1+(-2) =0,5,
откуда
24. X=Y=Z= 1.
25. Х=-1, у=О,5, Z= 1 .
26. Х=у=О,25, Z=0,5.
27. Подставляя в правые части Х=Хо и У=Уо_, получаем
{ х1 = 1+0,1-0+0,2.0=1,
у1 =-1 +О,2-0-0,1·0=-1,
173
Эrи значения х1 и у1 вновь подставляем в правые части данной
системы, приходя тем самым к значени!_!м х2 и у2 :
{ Xz=
l+0,l•l+0,2,(-1)=0,9,
у2 =-1 +О,2, 1-О,1 ·( -1)=-0,7,
Продолжая таким же образом, мы получим
{ х8 = 1+0,1.о,9+0,2,(-0,7)=0,95,
Уз--1 +о,2,0,9-0, 1, (-0,7) =-0,75,
{ Х~= l+0,l,0,95+0,2,(-0,75)=0,945,
У,--1 +0,2.0,95-0,1,(-0,75)=-0,735,
{ х0 - 1+0,1.о,945+0.2-(-О,735)=0,9475, .
у0 =--l +О,2-0,945-0,1,(-0,735)=-0,7375,
Точное решение этой системы:
18
14
х- 19 =0,947368 ... ,
у=- 19 =-0,736842...
Следовательно, пятая итерация дает нам значения х5 и у6 , отличаю
щиеся от точного решения системы меньше чем на 0,001.
45
28, х1 -1,6112, у0 =0,8896. Точное решение: х= 28 =1,607142... ,
25
у= 28 = 0,892857 ...
29. а) Система не имеет рещений. б) Либо система не имеет ре
шений, либо имеет бесконечное множество решений. в) Система имеет
бесконечное множество решений.
30. Определитель системы равен нулю (в противном случае она
вмела бы единственное решение: х =у= z = О).
31. Требуется проделать 20 итераций (0,5 20 :>:J 0,9537, 10- 6 ),
ГЛАВА 7
МАТРИЦЫ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 1( СИСТЕМАМ
ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 7.1. Матрицы и операции над ними
7.1.1. Основные определения. Для описания многих
математических конструкций оказывается необходимым
использовать большое количество однотипных· величин.
Так, при записи системы линейных. уравнений мы имеем
набор из n2 коэффициентов при неизвестных и набор п
свободных членов:
а11,ai2• ••·, а1т
Ь1,
а21•а22, •• ·,
а2п• Ь2,
.
.....
.
..
Похожим образом могут быть записаны, например, и
результаты п последовательных наблюдений, в каждом из
которых регистрируются значения величин х, у и z,
1-е наблюдение: х1, у1, z1,
2-е _наблюдение: х2 , у2 , z2 ,
п-е наблюдение: Хп, Уп, Zn•
Число подобных примеров можно было бы значительно
увеличить. Нередко оказывается, что при различного
рода математических операциях числовые наборы такого
рода преобразуются, подчиняясь некоторым определенным
закономерностям, которые одинаково проявляют себя неза
висимо от того, с каким именно разделом математики мы
имеем дело. Удобно иметь для всех этих случаев единый
математический аппарат, Такой аппарат и дают нам
175
матрицы и правила действий с ними, к изучению кото-
рых мы сейчае приступаем.
•
•
Определение 7. . 1- .
Матрицей размера тхп ((т хп)
матрицей) называется прямоугольная таблица вида
А=(=;:_::: "·. :::.).
(7.1)
От1 °т2 ••• атп
Числа, составляющие эту таблицу, называются ее элемен
тами.
Если т = п (число строк равно числу • столбцов);· то
матрица назь1вае'fся ·квадратной. Число п называется по
рядком квадратной матрицы п х п.
Элементы a 1 i, а22 , ••• , ann ·образуют главную диагональ
матрицы.
•
•
1•
Если m = 1 (кG1111чество строк= 1), то матрицу назы
вают еще вектор 0строкюй, а если п = 1 (число столбцов= 1),
то-вектоп-столбцом• .••
Определение 7.2. Произведением матрицы А на
число л назьюается матрица лА, получающаяся из А ум
ножением на л каждого ее элемента:
(анаа•• , U1n ) (Ла11 М12 ,,,лаiп)
А,, U21 а22. "
•U2n=Ла~1М2а,"•М2п•••
........
.•
........ .
ат1 ата ••• Dmnl
М.т1 Мт2 •••• Мтп
(7.2)
Суммой двух .ж~триц А и В одинакового размера назы
вается матрица А + В, получаю_щаяся из А и В попарным
сложением их элеменiпов, стоящих на одинаковых местах:
.
.
•
'
:
.
.
•
.
(ан 012 • , , U1n) (.Ь11. Ь11 ·,. • .Ь1п.)
0~1
. О~а. ,' •• ~2п_ + Ь~;_Ь~•_-•: •. Ь:п.
~
ав,1 а·т2 ;•• Umn1
·ьт1 ·ьтt ••• Ьтп
•
·( ~11 +. '111
~11+Ь1а •••а1п+Ь~п)
= а~1 .+.Ь201 _а•.• :~z~ ,' •: .~2~ 7~•~ .
.
. ( 7'.З)
а,,,1·+ь;;,~ Ота+Ьт2 ... О~п+ 0Ьтп
Разностью двух -матриц одинакового размера А и 8
назшвается матрица А-В такая, что
(А-В)+В=А.
Из этого· определения следует, что ·ка~дый элемент
матрицы А-:В предста1:sляет собой. разность соответствую-
176
щих·-ему (по занимаемым,.ншr· местам)"элементов матриц
АиВ.
,
Произведение.м..(тхп)аматрицы А на (п Хl)-матрицу В
(в ука,ва,нном пор-яекеl) наэыв.ается (т х !)"матрица А·;В=С,
каждый· из элементов которой определяется по формуле
п
С;1,= а;1Ь1,,+ а;2Ь2,,+ ... + а;пЬпk = ~ a;qЬqk 1 ), (7.4)
.
q=I
т. е. преёJсmЩJляет собой сум,му парных произведений. эле
ментов i-й строки первого сомножителя на соответствую
щие. U)t по порядку следования элементы k-го столбца вто
рого· срмножителя (с;,, означает элемент, стоящий на пе
ресечении i-й строки и k-го столбца матрицы С).
3 а меч а н и_ е 7.1 . Важно помнить, что введенная
сейчас операция сложения определена только. для матриц
оди_накового размера, а о произведении матриц мы можем
говорить только. тогда, когда число столбцов первого
сомножителя равно числу строк второго;
Пример 7.1. Пусть
А-(13-2)
-
2О1'
(4~28)
В=7 6'0
'
Тогда, например, .
7 ,А=(7•1 7.3 7-( -2))=( 1 21 -14)
7-2 7-0 7.J
_\14 О
7'
А+В= (~t~. ~+:•:-~!~) = (~ ~ !) ;
А ·С= ( 1-3+3·(~2)+(~2),:5 1:2_+ ·3- . t +:(--: -2)-•4)· _: _ _ (-: -13 77'3.)
2·3+0·( -2)+1•5
2-2+0·1+1-4
\11Н•
(
3.1+2-2 3-3+2;0
3-( -2)+2-1) ( 1 9-4,
С-А= <-2)·1+1·2 (-2)-3,+l•0 -2•(-2)+1·1
=
• 0-6 51.
5-1+4•2 5-3+4•0
5•(--:- _2)+4•1
13 15-6,
Не имеют· здес1> смысла такие; например, выражения,
как А·В или А+С.
•
•
7.1 .2. Свойства операции умножения матриц. Введен
ные здесь операции мы в основном будем применять к
квадратным -матрицам и ма~рицам, представлnющим собой
вектор-столбцы. Поэтому мы сейчас. :не будем подробно
п
1) Символ ~ щqЬqk означает с ум~ у . значений
. выражений
q=I
•
•
:
a;qЬqk• _когда индекс ·q про§еr-ает все зна11ени,я- от 1•.до п.
177
рассматривать все свойства введенных операций, а огра•
ничимся лишь несколькими замечаниями, касающимися
операции умножения,
Прежде всего отметим, что эта операция не обладает
свойством коммутативности. Действительно, уже в при
мере 7.l мы видели, что А-С *С•А. Более того, мы можем
встретиться и с такой ситуацией, когда произведение
матриц, взятых в одном порядке имеет смысл, -а взятых
в обратном порядке-нет. Так, если А-(тхп)-матрица,
а В-(пхl)-матрица, причем m*l, то А-В имеет смысл,
а В. А - нет. Однако свойством ассоциативности операция
умножения матриц обладает.
Действительно, пусть А-(тхп)-матрица, В-(пх/)
матрица и С-(lхр)-матрица. Тогда, очевидно, А-В имеет
размер mxl, В-С-размер пхр, так что оба произведе
ния (А·В)·С и А-(В·С) имеют смысл и представляют
собой (т х р )-ма;грицы. Уславимся обозначать э..11ементы
матриц А, В и С через auv, Ьμv, Cμv соответственно; эле
менты А-В-через dμv, В-С-через fμv, (А·В)-С-через
gμv и А-(В·С)-через hμv, где, как обычно, μ--номер
строки, а v-номер столбца, на пересечении которых
находится элемент. Тогда, согласно определению произ
ведения матриц,
р
est= -~
dsjCjt•
/=1
откуда, учитывая, что
мы получаем
'рп
gst= ~ ~ as;b;jCjt•
/= 11=1
С дру,гой стороны, подставляя в формулу
выражение для fu
178
п
hst= ~ asifit
1=1
(7.5)
мы приходим к следующему выражению для hstl
п
р
hst = ~ ~ asibiJCJt•
(7.6)
i=l f=I
Выражения в правых частях формул (7 .5) и (7.6) состоят
из одних и тех же слагаемых и отличаются друг от друга
только порядком суммирования. Следовательно, gst= h81 ,
что и означает равенство матриц А• (В• С) и (А• В)· С.
7.1 .3. Единичная матрица. Сделаем еще одно важное
замечание, которое мы в дальнейшем часто будем исполь
зовать. Квадратная матрица порядка п, у которой каж
дый элемент eu, стоящий на ее главной диагонаJJи, ра
вен 1, а все остальные равны нулю, обладает тем свойством,
что для любой (п х р)-матрицы А вьшолняется равенство
Е·А =А,
(7.7)
а для любой (тхп)-матрицы В-равенство
В·Е=В.
(7.8)
Действительно, согласно определению 7 .2, для эле
мента ci!, матрицы Е •А мы имеем
п
cik= -~
е;1 aJk•
(7.9)
J=I
,но, так как е;1= О, если ,i-=/= j, то в .сумме, стоящей в
правой части (7 .9), все .слагаемые, кроме euauг, равны
нулю. Значит,
C;k =,eu .aik = aik·
Равенство (7 .8) доказывается аналогично. (Проделайте
это доказательство в качестве упражнения.)
Такие матрицы
•
(
1о...оо)
Е= о_ ~ :·:_о_~
ОО...1О
ОО...О1
называют единичными матрицами.
§ 7.2 . Квадратные матрицы
(7.10)
7.2.1. Вводные замечания. Пусть п-некоторое нату
ральное число. Рассмотрим множество Мп всех квадрат
ных матриц порядка п. Очевидно, что для входящих в
это множество матриц операции сложения и умножения,
179
введеню;1е определением 7 .2, всегда выполнимы. Непосред~
ственно из этого определения следует,· что операция сло
жения обладает свойствами ассоциативности и коммута
тивности:
(А+В)+С=А+ (В+С),
{7.11)
А+В=В+А.
(7.12)
Ассоциативность операции умножения матриц мы до
казали в п. 7.1.2:
(А-В),С= А,(В,С).
(7.13)
Отметим, что даж~ если мы ограничиваемся в выqоре
сомножителей множеством квадратных матриц Мп,. этц
операция умножения не будет коммутативной. Действи
тельно, например,
(: ~) •(~-
~) =(: ~) ' (1 1)---(1 0)-(2 1)_
01 11-11 ·
Операция сложения обладает свойством ';дистрибутив
ности по отношению к операции умножения:
(А+В),С= А-С+В·С,
С-(А + В)= С-А +с-в.
(Заметим, что. порядок сомножителей здесь существен!)
Действительно, обозначая через g 1k и _h;k соответственно
элементы левой и правой чар~й первого из равенств
(7.14) (как обычно, здесь i...:...номер строки, а k-номер
столбца, на пересечении которых находятся эти элементы
в своих матрицах), мы, в соответствии с определением 7,2,
имеем
п
gu,~ i (а;1 + biJ) cik•
· 1=1
•
п
п
hik =с-~ a;,-ejk+ ~ bijcjk•
J=I
/=1
откуда и видно, что g,k =h;k• Аналогично проверяется
справедливость второго из равенств (7.14).
7.2.2 . Определитель квадратной матрицы. Оп ред е
ле н и е 7 .3. Определителем квадратной матрицы •
А=(d;~ .::: ·: ·. _::;)
йп1 йпz ••• йпп
(7. 15)
180
называется определитель ,, det ,,А, составленнt,tй из эл_еменm()(J
этой матрицы (с сохранением их расположения):
•
а11 а12 •• ; а1п·
detА=а7_1.~22_ •:•.
~2~ •
(7.16)
Те о р е м а 7 .1 . Определитель произведения двух квад
ратных матриц равен произведению определителей сомно
жителей
det (А •В)= det А •det В.
(7 .17)
•Мы проведем здесь доказательство этой теоремы лишь
для случая n= 2. Пусть
Тогда
и
det (А· В)= (а11 Ь11 + а12Ь21) (а21Ь12 + il22Ь22)
- (a11H12 + а12Ь22) (а21Ь11 + а22Ь21) =
•---: - а11а2{Ь11Ь12 + a11a2ib11b22 +а12а21ЬаЬ21 + а12а22Ь21Ь22-
-а11а21Ь11Ь12 -а12а21Ьi1Ь22 -ана22Ь12Ь21- а12а22Ь21Ь2z =
= й11й2zЬ11Ь22 +a1~a21bl2b21 :....:а12а21Ь11Ьzz-'--а11а2zЬ12Ь21.
К этому же выраженик>' мы -приходим, перемножая det А
иdetВ:
•
..•
•
det A-det В= (а 11а22-ааа21) (Ь11 Ь22-Ь 12Ь21 ) =
= а11а22Ь11Ь22 + a12ll21b12b21 -,-а12а21Ь11Ь22-а11а22Ь12Ь2i.
Справедливость этой теоремы в_ общем случае мы при-
нимаем без доказательства.
•
7.2 .3 . Обратная матрица. Лемм а 7 .1 . Сумма произ
ведений элементов какой-либо стрсжи определителя на .ал
гебраические дополнения сооп:юетствующих элементов дру
гой строки равна нулю (аналогично для столбцов).
Доказательство. Пусть нам дана матрица А
(см. (7.15)). Через A;k будем обозначать алгебраическое
дополнение элементов a;k (в том смысле, как этот термин
был определен в главе 6 (см. определение 6.5)). Пусть
Таl{Же}~i,j~пИi"Fj.
181
Составим новую· матрицу А', заменяя в А элементы
j-й строки соответствующими им элементами i-й строки (тем
самым в А' будут одинаковыми i-я и j-я строки):
{ана12,.. а1п
'...
йii a;i ... йiп +- i-я строка,
А'= ....... .
aii Щ2 ••• а;п +- j-я строка.
Учитывая, что алгебраические дополнения к элементам
j-й строки для матриц А и А' одинаковы, мы можем
записать (см. (6.18)), что
п
det А'=~ a;pAJp•·
P=I
(7.18)
(Мы разложили det А' по элементам его 1-и строки.)
С другой стороны, det А'= О ибо этот определитель имеет
две одинаковые строки. Отсюда и из (7. 18) мы и полу
чаем
п
~ а;рА/р=О, если i=l=j,
(7.19)
p=I
.
Лемма 7 .1 доказана.
Определение 7.4 . Квадратная матрица В назы
вается обратной для квадратной матрицы А, если
А-В=Е и В-А=Е,
(7.20)
где Е -единичная матрица.
Замечание. Из этого определения следует, что,
если В является обратной для А, то и А будет обратной
для В. Однако мы пока еще не знаем, всякая ли матрица
имеет себе обратные (и сколько таких обратных матриц
может быть).
Теорем а 7.2 . Если определитель матрицы А (см ..
(7.15)) отличен от нуля, то матрица
Ан А21
Ап1
77
-Т
А1, А22
Ап2
77
-d-
(7 .21)
А1п А2п
Апп
\ТТ
7
182
где Аik-алгебраическое дополнение элемента aik матрицы
А, а d = det А является обратной для А.
Доказательство. Умножая А на матрицу (7.21),
мы получим, согласно определению 7.2, такую· матрицу,
элементы которой могут быть найдены по формуле
п
~ Akp
cik= ~ aip-d-.
P=I
Если i-::/=k, то по лемме 7.1 cik=0. Если же i=k, то
(с учетом формулы (6.18)) •
Следовательно,
{о,
ci·t= 1,
если i -::/=k,
если i= k,
но такие элементы как раз и образуют единичную мат
рицу (7.10). Аналогично проводится доказательство и для
того случая, когда матрица (7 .21) является первым сомно
жителем, а А-вторым.
Теорем а 7 .3. Если det А -::/= О, то существует един
ственная обратная для А матрица. Если det А= О, то
матрица А не имеет обратной.
Доказ·ательство. Пусть сначала detA-::/=0. Во
всяком случае одна обратная для А матрица существует.
Это следует из теоремы 7 .2. Допустим, что мы имеем две
матрицы В' и В", удовлетворяющие условиям (7.20):
А,В'=Е, В',А=Е,
(7.20')
А-В"=Е, В",А·=Е.
(7.20")
Умножим первое из равенств (7.20') слева на В":
В"·(А;В') =В"•Е,
Правая часть этого равенства представляет собой мат
рицу В" (см. (7.8)), в левой же части мы по другому
сгруппируем сомножители:
(В"·А)·В'=В".
(7.22)
Но В"• А =Е, а Е-В' = В' (см, (7.7)). Поэтому (7.22)
дает нам
В'=В",
183
Значит, если det A"FO, то k' имеет единственную обрат~
ную себе матр11:цу.
Пусть теперь det А =0. Допустив существование для
А обратной матрицы В, мы получили бы по теореме 7.1
что
detА-detВ=detЕ.
Однако такое равенство невозможно, ибо det А •det В= О;
а det Е = l. Теорема доказана.
Отметим, что обычно матрицу, обратную к А, обозна
чают через А- 1 , Если det А= О, то матрицу А называют
особенной, в противном с:лучае-неособенной. Используя
эти термины, мы можем так п~реформулировать теорему 7.3.
Всякая неособенная матрица имеет единственную обрат
ную себе матрицу. Для особенной матрицы обратная 1:1е
существует,
При практическом нахождении обратной матрицы (при
п > 3) непосредственное использование выражения (7.21)
оказывается обыч1:10 неудобным, ибо требует большого
количества вычислений. Поэтому чаще всего здесь при(е
гают к другим методам. Мы здесь ограничимся лишь
упоминанием этого обстоятельства.
7.2 .4. Решение системы п линейных уравнений с п
неизвестными методом обратной матрицы. Покажем те
перь, кающ образом мы, ~о~ем использовать матричный
аппарат для решения ,систе~. ЛJ'\Не_йных уравнений.
Пусть нам дана система
••
•
{
• а11Х1+ааХ1-1:- •••+а1пХп=Ь1,
а21Х1 + а22Х1 + ••• +а2пХп -Ь2,
•
••
• ··-
•
..
•• :! --.
••
:.
•
•
•
•••
•
ап1Х1 +ап2Х2 + •.· · +аппХп =Ьп,
(7.23)
определитель которой не равен нулю.
Обозначим ~латрицу, составленную из коэффициентов
этой системы, через А, вектор-столбец, составленный из
неизвестных, через Х, а вектор-столбец свободных членов,
через В:
(
•ан
а12 ••• а1п\
А= а~1 •а_22
•••a2n},
ап1 а"2 ••• annl
184
Очевидно,- что (cl\,f. определение 7.2) произведение А:Х
представляет собой вектор-столбец
(айХ1 +а12Х2 +,,, +а1пХп)
а11Х1 +а11Х1 +,,, +aznXn
............
ап1Х1 +ап2Х2+,,, +аппХп
Поэтому систему (7 .23) мы можем заменить равносиль
ным ей .матричным уравнениеt,1.
А-Х=В.
(7.24)
(Здесь уже в роли неизвестного выступает матрица Х.)
Допустим, что .мы на.юли обратную для А матрицу А- 1 •
Тогда, умножая обе части (7.24) слева на А- 1 , мы по
лучим
Но
А- 1 ,(А·Х):--(А- 1 ,А)·Х. Е·Х=Х,
поэтому (7.25) можно переписать так:
Х=А- 1 -В.
-·
(7.25)
_р.26)
Эта формула· и дает· ·нам решен11е. (7.24), а тем самым
и (7.23). •
.
_
Пример 7,.2 . Рещим.тQлько что р~сс~отренным мето-
дом следующую систему уравне~ий:. •
{ 2х1 +х1 =5,
Зх1 +2~1
••8.
Матрица коэффициентов здесь будет
(2 1)
А=з-2
·,
(7.27)
Алгебраические .дополнения в данном . c,iJyчae представ
ляют собой «определители первого порядка», т. е. просто
(взятые с учетом правила выбора знаков) «накрест лежа
щие» к своим элементам числа матрицы А:
.4 1~=2, А11 =-3, A11 =-l, А11 =2.
Corласно (7. 21) составляем матрицу А - 1
A-l
_
( 2 -:--1)
.
-
-32'
18i
Переписываем (7. 27) в виде
(~~) •(::)=(:)'
и умножаем это равенство слева на А- 1 1
(::) = (_~
-~) •(:).
(7.28)
Вычисляя произведение матриц, стоящих в правой части
(7.28),
( 2 -1), ·(5)- (2•5+(-1)·8)- (2)
-32
в - __:_3.5+2-в
-
1•
мы получаем
Т. е.Xi=2, Х2=1.
Разумеется, для системы (7.23) этот способ кажется
слишком громоздким, однако даже для систем с тремя -
четырьмя неизвестными такой способ решения оказывается
более удобным (при условии, конечно, что в нашем рас
поряжении имеется А- 1).
§ 7.3 . Системы т линейных уравнений
с п неизвестными
7.3 .1 . Предварительные примеры. Иногда приходится
встречаться с такими системами уравнений, в которых
число неизвестных не совпадает с числом уравнений. Рас
смотрим сначала несколько примеров таких систем.
Пр и мер 7.3,
{
2х1+Х2=5,
5х1 +2х2 = 12,
(7.29)
3х1 +х2 =7,
Здесь число неизвестных меньше числа уравнений. Однако не
трудно заметить, что третье из этих уравнений является следствием
первых двух (оно представляет собой разность между вторым и пер
вым уравнениями), Поэтому наша система (7.29) оказывается равно
сильной системе
(7.30)
Решив эту последнюю систему, мы тем самым получим и решение
исходной системы (7.29). Опуская очевидные выкладки, запишем сразу
окончательный результат:
(7.31)
186
Пр и мер 7.4.
{
2х1 +х2 =5,
5х1 +2х2 = 12,
3х1 +х2 = 10.
(7 .32)
Эта система отличается от системы (7 .29) лишь правой частью тре
тьего уравнения. Легко понять, что эта система вообще не имеет
решений. Действительно, если х1 = 2, х2 = 1, то не выполняется
третье уравнение, любая же другая пара значений х1 , х2 не удов
летворяет хотя бы одному из первых двух уравнений.
Пр им ер 7.5.
{ 3х1 +4х2 +х3 -2х4 =7,
5
(7.33)
2х1+3х2-х3+ Х4= .
Теперь уже число неизвестных оказалось больше, чем число
уравнений. Перенесем члены с х3 и х4 в правые части:
{ 3х1 +4х2 =7-х3 +2х4,
2х1+ 3х2 = 5+ Х3-Х4,
(7 .34)
Решая (7 .34) относительно х1 и х2 , мы получим
{ х1= 1-7х3+10х4,
Х2 = 1 +5х3-7Х4,
(7 .35)
Придавая неизвестным х3 и х4 произвольные значения и вычисляя
по формулам (7 .35) соответствующие значения х1 и х2 , мы каждый
раз будем получать одно из решений исходной системы (7.33).
Можно было бы разрешить систему (7.33) и относительно дру
гой пары неизвестных, наr.~ример
или
{ X3=-17+7x1+l0x2,
х4 =-12 +5х1 + 7х2,
{
Х1= ~
2- ; Х2+~Х4,
11
7
Х3= -5+5 Х2+S Х4,
(7.36)
(7 .37)
Как формулы (7.35), так и формулы (7.36) и (7.37) определяют
множество всевозможных решений исходной системы (7.33). Такое,
например, решение, как Х1 =4, х2 =-1, Х8 =1, k 4=l , получается
из (7.35), если там положить x8=Xf=1 , из (7.36)-при х1 =4,
Х2 =-1, из (7.37)-при Х2 =-1, Х4= 1.
Пр и мер 7.6.
( 3х.1 +х2 +х8 +2х4 =7,
1 х1 +2х2 -2х3 +х4 =2,
~ 2х1-х2+3х3+х4=10.
Вычитая второе уравнение из первого, мы получим
2х1 -х2 +3х3 +х4 =5.
(7 .38)
(7 .39)
Сравнивая третье уравнение системы с (7.39), мы видим, что их
левые части совпадают, а правые-нет. Следовательно, система (7.38)
вообще не имеет решений,
187
Действительно, любой набор значений х1 , х2 , х8 и х4 , удовлет
воряющий первым двум уравнениям зтой системы· будет решением и
(7 .39), а стало быть,. ие . будет удовлетворять третьему из уравне
ний (7.38).
7.3.2 . Ранг матрицы. Условия разрешимости систеl\fЫ
линейных уравнений с п неизвестными. Перейдем теперь
к рассмотрению вопроса в общем виде.
Определение 7.5 . Пусть А'-квадратнаяматрица
порядка l, получающаяся из (тхп)-матрицы А (см. (7.1))
вычеркиванием q=m-l ее строк и p=n-l столбцов
(О~ q < т, О~ р < п). Определитель det А' матрицы А'
называется минором порядка l матрицы А.
Наивысший из порядков. отличных от нуля миноров
матрицы А называется. рангом этой матрицы.
Следующая теорема (ее называют обычно теоремой
Кронекера-Капелли) дает необходимые. и дос та
точные условия разрешимости произвольной системы
линейных уравнений.,
Теорем а 7.4 . д_ля того чтобы система
{
а11х1 +а12х2 +,,.+а1пхп = btt
а2:х: ~ а_22~2 : .' •: : ~м~п. _ь2:
йт1Х1 ~ ат2Х2 + •~. +атпХп = Ьт
(7.40)
имела решения, необходимо и достаt1wчно, чтобы ранг r
матрицы коэффициенrrwв
А..(:::. :::_ ::: ::: ')
.
..........
.
•
. а;,11
а;,а .. •
а,,;п.
был равен рангу r так хазываемой расширенной матрицы
коэффициентов
А .. .r:a:m.:t.. ;:~ ::: ;:~ t: )•
\
От2 ••• Отп Ьт
Мы не будем здесь доказывать эту теорему, а лишь
несколько поясним и J1.ополним ее утверждение.
Пусть r = r, и пусть А' -одна из тех квадратных
(r х ,)-матриц, получаIQщихся из А .вычеркиванием неко
торых строк и столбцов, определитель которой det А' =,6 О.
Оказывается, что те уравнения системы (7.40), которые
188
соответствуют вычеркнутым строкам, представляют собой
следствия остальных, и поэтому· их удаление приведет
нас к системе, равносильной исходной. Тем неизвестным,
которые соответствуют вычеркнутым столбцам, можно при
давать произвольные значения, после чеrо все остальные
неизвестные определяются однозначно.
ll р им ер 7.7. Рассмотрим систему
( 2Х1+Х2+Х3-2Х4=3,
1 Х1+ Х2--'-2Х3+3х4= 4_
\ 4х1 +3х2 -3х3 +4х4 =11.
(7.41)
Можно убедиться (например, путем непосредственного вычисле
ния), что все ·миноры третьего порядка как для матрицы коэффи
циентов этой системы
так и для расширенной матрицы коэффициентов
(211-23)
А=11-2
•з4
43-3411
равны нулю. В ·то же- время определ~тель матрицы А', образован
ной первыми двумя строками. и первыми двумя столбцами матриц А
И А., ОТJIИЧеН ОТ НУЛЯ •
•
•
•
•
detA'· ~/i :1=2"J-1-1=1 #0.
_
Отсюда мы заключаем, что третье уравнение· является следствием
первых двух, и поэтому ,может быть исключено из системы. ПосJ1е
такого исключения мы получим систему, раr.носильную исходной:
{ 2х1 +х2+ Х3-2Х~=3,
х1 +х2 -2х3 +3х4 =4.
(7.42)
Столбцы, отвечающие неизвестным х3 и х4, не у.•1аствуют в образо
вании матрицы А'. Перенесем члены, содержащие· эп, неизвестные,
в правые части уравнений:
{ 2х1 +~~=3-.~3 +2х4,
(?.4З)
х1 +х9 =4+2х3 -Зх4.
Какие бы значения мы ни придали теперь неизвестным х3 и х4,
получающаяся при зтом из (7.43) система двух уравнений с двумя
неизвестными х1 и •х2 обязательно будет иметь и притом единствен
ное (свое для каждой пары значений х3 и х4) решение, так как ее
определитель det А'·-:/= О. Ее можно .решить и в общем виде. Восполь
зуемся для этого формулами l(рамера, вычислив определитель
189
откуда
Лх,
Х1 = у=-1-3х3 + 5х4,
Лх,
Х2=т=5+5х3-8Х4,
(7.44)
Формулы (7.44) представляют собой один из возможных вариан
тов записи множества решений исходной системы (7.41). Другие
варианты можно получить иными способами, выбирая отличный от
нуля минор матрицы А.
Очевидно, что, заменив свободный член третьего уравнения сис
темы (7.41) другим числом (например, приняв его равным 1), мьi
получим систему, не имеющую решений вообще (как говорят, несов
местную систему). Так как от такой замены матрица А, тем самым
и ее ранг, не изменяется, то остается заключить, что при этом дол
жен измениться ранг матрицы А. И действительно, вычеркивая из
«исправленной» А третий и четвертый столбцы, мы получим отлич
ный от нуля минор третьего порядка
1~ ~ :1=-10.
431
При сколько-нибудь большом числе уравнений и не
известных такой способ исследования и решения системы,
как использованный в примере 7. 7, оказывается слишком
громоздким. Здесь мы ограничимся лишь указанием на
существование других способов, более «экономных» с точки
зрения объема вычислений. Применяемые здесь преобра
зования сходны с теми, которые производятся при реше
нии методом Гаусса систем, в которых число неизвестных
равно числу уравнений (см. главу 6).
ВОПРОСЫ ДЛЯ: ПОВТОРЕНИЯ: К ГЛАВЕ 7
1. Что такое тхп-матрица? Что называется вектор-строкой?
вектор-столбцом?
2. Как определяется произведение матрицы на число? Сумма
двух матриц? Всякие ли две матрицы можно сложить?
3. Как определяется произведение двух матриц? Каким усло
виям должны удовлетворять числа т, п, р и q, чтобы произведение
А-В тхп-матрицы А на рхq-матрицу В имело смысл? Какой раз
мер будет иметь в этом случае матрица А• В?
190 1
4. Обладает ли операция умножения матриц свойством комму~
тативности? Свойством ассоциативности?
5. Что та1сое единичная матрица? Какими свойствами она обла-
дает?
.
6. Какие матрицы называются квадратными? Всегда ли выпол
нимы операции сложения и умножения для квадратных матриц
одного и того же порядка? Перечислите основные свойства этих
операций.
7. Что называется определителем квадратной матрицы? Как мож
но вычислить определитель произведения двух матриц, зная вели-
чины определителей к_аждого из сомножителей?
•
8. Что такое обратная матрица? Всякая ли матрица имеет об
ратную? Сколько различных обратных матриц_ может существовать
у одной и той же матрицы?
9. Как записыв11етсн в матричной форме система п линейных
уравнений с п неизвестными? Как ее можно решить, используя
матрицу, обратную к матрице коэффициентов? Всегда ли такое реше
ние возможно?
10. Что такое ранг матрицы? Поясните свой ответ примерами.
11. Сформулируйте условия разрешимости системы т линейных
уравнений с п неизвестными.
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛА~Е 7
В примерах 1-4 даются матрицы А, В и С. Требуется опреде
лить, какие из выражений А-В, В·А, А·С, С-А, В,С и С,В имеют
смысл, и вычислить их.
1. А=(_; -:} В=(-: ~),С=(-~ -~
:),
(3О1\
'-2)
2. А=
-1
1 2),В=( l ,С=(5
2-11
\3
-1).
з.А=(~ !i}В=О ii}
4А(241-2\8=(3
•
=
1-23 1)'
Для матриц, данных в примерах 5 и 6, найдите им обратные.
5. А=(! i~}
6. А=(!
_:
-~)-
-57
Системы, данные в упражнениях 7 и 8, нужно решить, исполь
s~ ·~
обратную матрицу.
7, ( х1+ х2+ х~=4, 8. ( 2х1- х2+х3=3,
~ х1 +2х2 +Зх3 =7,
{ х1 +2х2 -х8 =2,
~ Х1+ X2-J -5X3=8.
~ -xi+ х2+Хз=4.
• 191
Для каждой из-систем ура&11ений, данных в упражнениях 9-16,
.требуеNя-. цаiiти.
_ран1: ма-~р1111.ы коэффициентов и ранг расширенной·
матрицы. Указать, какие из эти.х систем имеют решения, ·и найти эти
решения.
9. { х1-3х2+2х9_=1,
2х1
+эха= 11.
11. { х1+ х2- 2х8= 1,
5х1 +5х2 -10х3 = 10.
13. { 3х1- х2=12,·
Х1-4Х2=-7,
2х1 +з~2 = 19.
13. { х1+ х2+ х3=4,
х1 +2х2 +3х3 =7,
х1+Зх2+5х3= 8.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 1( ГЛАВЕ 7
1. Для того что~ы выражение типа А, В имело смысл, нужно,
чтобы число столбцов первого сомножителя совпадало с числом
строк второго. Поэтому выражения В-А и С• В лишены смысла.
А· В представляет собой (3 Х2)-матрицу: • •
(
31)
( 3-(-2)+ 1, 4
-2
1.
.
.
.
.
2-4
•(42)_:_
2-( -2)·- t+-4),4
-15
-l •(-2)+5• 4
192
3-1-1-1 ·2)
2-1+(-4р =
(-1)· 1-i 5-2.
(-2 5)
= -;~
-:•
•
(-12)
-
4. ~-А-(11 2 18 -1), А.·С= 14
с-в-(~~ -:i).
15 25.
а. Вычислим сначала (выкладки опущены)
detA-1~ ~ :1=З.
937
Далее для каждого из влементов матрицы А вычисляем его алrебраи-
11еекое ,ttополнение:
А11-(-1)1+1.,2
.
з
A11=(-l) 1+•.1 ~
А11 = (-1)1+1· 1;
Аа1 =(-1)1+1., ~
~1=-4,
:1=2, ит. д.,
после чего составляем обратную .к А матрицу А- 1 по формуле (7.21)
Ali А21 Аа1
-r=~
2
1
777
3-3
А-1 - А1а Аа1 Аа2
13
11
7d7
-з3.
А1а А2а Ааа
-1
777
\
(В справедливости результата можно убедиться, умножая А на А-ж.
При этом должна получиться единичная матрица размера ЗхЗ.)
(
О, 14 О, 18 0,04\
6. А- 1 = 0,07 -0,41 0,02).
-0,01 -0,37 о, 14,
7. Запишем данную систему в матричной форме
(:~ ~)(::')=(;).
,;
1)5,Х3
\8
(7.45)
Найдем матрицу А - 1, обратную матрице коэффициентов А (выкладки
опущены):
А-1=..!_ -2 4
-2
,
(7-4I)
4-1О1
и умножим обе части (7.45) на ;4- 1 слева:
(::)=1(_;
-:
-~) .(;).
Ха
\-101
8
7 П/ред. Н. м. Матвеева
193
Теперь для получения решения нам остается тол·ько выполнить ум•
ножение в правой части последнего равенства:
(;:)=( ~)-
Х..з
\1
Этот же результат, конечно, можно записать и в «скалярной форме»:
х1 =2, х2 =Х3 =1.
8,А-1=~(~
_;
-~} Х=(~)-
9. Ранг r матрицы коэффициентов А
(1-32)
2О3
равен, как легко видеть, числу 2; достаточно взять ее минор, полу
чающийся из А вычеркивание·м третьего его столбца
\~
-~1=6~ о.
Здесь мы сразу можем заключить, что и ранг г расширенной мат
рицы А
(1-321)
2О311
тоже равен двум. Это видно и непосредственно, но можно было бы
~:~рийти к такому заключению, заметив, что всегда
r<;;r~min(m, п),
где т и п - число соответственно строк и столбцов матрицы А. У нас
r=2 и min (m; n)=2, откуда· и следует, что ;=2.
Для получения решения нашей системы оставим в левых частях
ее уравнений члены с теми неизвестными, которым отвечали столбцы
выбранного нами QПределителя, т. е. с неизвестными х1 и х2
{ х1-3х2= l-2x8,
2х1
= l 1-Зх3•
Решая эту систему относительно х1 и х2 , мы и получим
{
Х1=~- ; Х3,
3l
Х2=2+6хз,
Если бы мы остановили свой выбор на другом, отличном от нуля
миноре второго порядка
194
то, преобразовав предварительно исходную сисrему к виду
{ Х1 +2Х3= 1+3х2,
2х1 +зхз= 11,
мы получили бы иную запись для множества ее решений
{ Х1= 19-9Х2
Х3=-9+6х2,
10. Здесь r = r = 1 (ибо все миноры второго порядка равны нулю).
Остановим свой выбор на отличном от нуля миноре первого порядка,
отвечающем первой строке и первому столбцу матриц А и А; мы ОТе
брасываем второе из уравнений системы, так как его коэффицие~nъ1
не участвуют в ·образовании этого минора. Исходная састема буде·r
эквивалентна оставшемуся уравнен_ию
Х1+х2-2х3=1.
Перенося члены с х2 и х3 в правую часть, мы получаем следующую
формулу для множества решений данной системы:
х1 = 1-х2 +2х3.
tt. r = 1,; =2. Система не имеет решений.
12. r =r = 1. Бесконечное множество решений может быть задано
любой из формул:
а) x1 =0,5+0,5xi-2,5x3,
б) х2= - 1+2х1+5х3,
в) х3 =0,2-0,4х1 +0,2х2 •
13. r = r = 2. Единственное решение х1 =5, х2 -з.
14. r = 2, r =3. Система не имеет решений.
15. ,~2, ;=3. Система не имеет решений.
16. , =; = 2. Один из возможных способов записи бесконечного
множества решений:
{ х1= 1+хз,
Х2=3-2Х3,
ГЛАВА 8
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8.1. Понятие о логической структуре евклидовой
геометрии
8.1.1. Аксиоматический метод построения геометрии;
основные аксиомы стереометрии. В этой главе мы будем
рассматривать некоторые объекты, которые мы будем на
зывать точкой, прямой и _плоскостью, и соотношения между
ними.
Термины «точка», «прямая» и «плоскость» указывают
на то, что источниками образования этих понятий были
пространственные формы реальных тел. Так понятие точки
возникло в результате абстракции от размеров тела. Имен
но, если при изучении того или иного вопроса размеры
тела не играют роли, т. е. ими можно пренебречь, и если
условие задачи позволяет нам абстрагироваться от физи
ческих свойств данного тела (массы, температуры и т. д.),
то мы и придем к рассматриваемому в геометрии понятию
точки. Понятие прямой возникает в результате абстрак
ции от физических свойств предметов определенной про
странственной формы типа туго натянутой нити, светового
,------- ..
луча и т. д. Аналогично источником
~/
. понятия
плоскости служат простран-
6_
.
· ственные
формы предметов типа по-
.
верхности стола, туго натянутого
Рис. 8.1 .
листа бумаги. При этом отмечается,
что плоскость безгранична. Условно
плоскость изображают на чертеже в виде параллелограмма
и обозначают одной буквой, например плоскость Z
(рис. 8.1).
В природе тела, пространственные формь, которых
привели к образованию геометрических объектов, нахо-
196
дятся в определенных отношениях. Отвлtкаясь от физи
ческой природы этих отношений, рассмотрим только отно
шения между пространственными формами тел, при этом нам
необходимо выделить основные с в о й с тв а введенных
объектов таким образом, чтобы все другие соотношения
являлись бы следствием этих свойств.
Точка, прямая и плоскость как геометрические поня
тия характеризуются следующими свойствами.
1.1 . Какова бы ни была прямая, существуют точки,
принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.
1.2. Каковы бы ни были две точки, существует и при
том единственная прямая, проходящая через эти точки.
11.1. Из трех точек на прямой одна и только одна
лежит между двумя другими.
11.2. Точка, принадлежащая прямой, разбивает прямую
на две полупрямые. Точки одной полупрямой не разделя
ются точкой, производящей деление. Точки разных полу
прямых разделяются этой точкой.
11.3 . . Прямая, принадлежащая плоскости, разбивает
плоскость на полуплоскости. Если концы какого-нибудь
отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не
пересекается с прямой. Если концы отрезка принадле
жат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается
с прямой.
111.1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки,
принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадле
жащие ей.
111.2. Если две ра3лuчные плоскости имеют общую
точку, то они пересекаются по прямой.
II1.3. Через три точки, не лежащие на прямой, можно
провести плоскость и притом только одну.
Перечисленные свойства являются отправными свойст
вами в доказательстве других свойств. Эти свойства не
доказываются и называются аксиомами. Любое утвержде~
ние, которое в конечном итоге может быть получено ло
гическим выводом из аксиом, называется теоремой. Выбор
предложений-аксиом в широкой степени пр о из в о лен,
однако вся система аксиом должна быть, во-первых, сов
местной (непротиворечивой), т. е. никакие две теоремы,
которые из них могут быть выведены, не дол~ны содер
жать взаимных противоречий, во-вторых, полной в том
смысле, что всякая теорема, имеющая место в рассматри
ваемой области, может быть выведена из этих аксиом, и,
в-третьих, желательно, чтобы система аксиом была неза-
197
висимой, т. е. ни одна из них не была логически:м след
ствием остальных. Совокупность понятий и теорем, бази
рующихся на данной системе аксиом, принято называть
теорией, построенной на данной системе аксиом. Метод
построения таких теорий называется аксио,иатическим.
Множество всех точек, прямых и плоскостей, удовлет
воряющих системе аксиом 1, 11 и 111, будем называть
евклидовым пространством.
Впервые аксиоматическое построение геометрии было
предложено Евклидом (365-ок. 300 гг. до н. э.) в его
знаменитом труде «Начала». В течение двух тысяч лет
с момента появления «Начал» оно было единственным ру
ководством для изучающих геометрию. Общая тенденция
к строгости в математике, которой отмечены работы вто
рой половины девятнадцатого века и ставшая очевидной,
независимость системы аксиом Евклида, т. е. возможность
доказать одни аксиомы, используя другие, и ее неполнота
поставили перед геометрами задачу полного исследования
системы аксиом. Исследование аксиоматики евклидовой
геометрии было завершено Д. Гильбертом (1899 г.)·. Им
была построена система аксиом геометрии и дан исчер
пывающий анализ их взаимной независимости, их непро
тиворечивости и полноты. Однако свойства основных по
нятий, введенные аксиоматически Евклидом, сохраняются.
Поэтому сама геометрия, т. е. теория, построенная на
новой. системе аксиом, носит название евклидовой геометрии.
Отметим, что возможны и другие аксиоматические ме
тоды изучения объектов указанного вида. Так при изу
чении планиметрии, читатель, вероятно, ознакомился
с доказательством теоремы Пифагора, основанным на ак
сиомах плоскости. С другой стороны, можно показать,
что если на плоскости выполнена теорема Пифагора, то,
как следствие из нее могут быть получены утверждения,
принимаемые нами ·за аксиомы. Теорема Пифагора, как
мы увидим в дальнейшем, дает нам возможность вычислить
расстояние между любыми двумя точками плоскости. Та
ким образом, мы получим множество (точек· и прямых)
со введенной на нем метрикой
где х, у-координаты точек А и В. Как уже говорилось
ранее, множество с заданной на нем метрикой определяет
пространство, поэтому, рассматривая множество всех то-
198
.чек,
прямых и плоскостей, мы можем ввести такую метрику,
чтобы все аксиомы евклидовой геометрии в данном про
странстве имели место. Можно показать, что такой метрикой
является
где х, у и z-координаты точек А и В. Такое простран
ство также является евклидовым (см. определение), однако
метод его построения отличен от вышеуказанного.
В насто·ящей главе мы, используя систему аксиом I,
11, 111, рассмотрим несколько наиболее существенных
положений евклидовой геометрии в пространстве-стерео
метрии. Другими словами: стереометрия-раздел геомет
рии, изучающий пространственные тела и фигуры, а также
-взаимное положение линий, плоскостей, поверхно.стей и
тел в пространстве.
Все положения, доказанные в разделе планиметрии на
основе системы аксиом 1, 11, справедливы и в простран
стве, поэтому мы не будем их рассматривать снова, счи
тая эти положения и соответственно их доказательства
известными.
Геометрическую фигуру будем называть. пространст
венной, если не все ее точки лежат в одной плоскости.
Примером пространственной фигуры может служить гео
метрическое тело-часть пространства, занимаемая пред
метом. Геометрическое тело отделяется от окружающего
его пространства поверхностью.
В заключение приведем несколько непосредственных
следствий аксиом стереометрии, доказательство которых
не представляет большого труда.
8.1.2. Некоторые следствия основных аксиом. Теор е
м а 8.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно
провести плоскость и притом только одну.
Теор ем а 8.2 . Если две точки прямой принадлежат
плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Следствие 8.1. Плоскость и не лежащая на ней
прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной
точке.
Теорема 8.3. Если две различные прямые имеют об
щую точку, то через них можно провести плоскость и
притом только одну.
Следе тв ие 8.2. Через две параллельные прямые можно
провести плоскость и притом только одну.
199
§ 8.2 . Параллельность прямых и плоскостей
8.2. 1. Взаимное положение прям.ых II плоскостей. Две
прямые в пространстве могут иметь следующее располо
жение: две прямые лежат в одной плоскости, при этом
они могут иметь общую точку, т. е. пересекаться, или не
иметь общих точек, тогда их называют параллельными.
Две прямые не лежат в одной плоскости и, следователь
но, не имеют общих точек, тогда их называют скрещива-
ющимися.
•
Углом между двумя прямыми в случае, если эти пря
мые не являются скрещивающимися, мы будем называть
Рис. 8.2 .
угол между этими же
прямыми в плоскости,
проведенной через дан
ные прямые. Углом меж
ду двумя скрещивающи
мися прямыми принято
называть наименьший
угол, образованный дву-
мя лучами, выходящими
из одной точки и параллельными этим скрещивающимся
прямым (на рис. 8.2 угол <р есть угол между скрещива
ющимися прямыми а и Ь).
Расстояние от точкц до прямой измеряется длиной
перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.
Расстояние между двумя точками в пространстве мы,
как и в планиметрии, будем измерять длиной отрезка
прямой, соединяющей эти точки.
Прямая линия и плоскость в пространстве могут быть
расположены следующим образом: прямая и плоскость
имеют не менее двух общих точек, тогда (см. теорему 8.2)
прямая принадлежит плоскости; прямая и плоскость имеют
только одну общую точку, тогда прямая пересекает пло
скость (точка пересечения прямой с плоскостью назы
вается следом этой прямой на плоскости); прямая не имеет
общих точек с плоскостью, т. е. прямая параллельна
плоскости.
Две плоскости в пространстве могут быть расположены
следующими способами: две плоскости имеют одну общую
точку или две общие точк_и, или любое количество точек,
лежащих на одной прямой; тогда они пересекаются по
. прямой
(см. аксиому 111.2); две плоскости не имеют ни
одной общей точки, в таком случае говорят, что они па-
,200
раллельны; две плоскости· имеют не менее трех общих то
чек, не лежащих на одной прямой; тогда (см. аксиому 111.3)
эти плоскости совпадают.
• Из приведенных рассуждений мы можем выделить три
утверждения, которые будем принимать за определение
параллельности рассматриваемых объектов.
l. Две прямые а и Ь в пространстве называются парал
лельными, если они лежат в одной плоскости и не пеоесе-
каются (а 11 Ь).
•
2. Прямая а и плоскость Z называются параллельными,
если они не пересекаются (а /1 Z).
3. Две плоскости Z и Q называются параллелhными,
если они не пересекаются (Z II Q).
8.2.2. Признаки параллельности прямых и п.лоско
стей. Докажем несколько теорем.
Теорем а 8.4 . Плоскость и не лежащая в ней пря
мая параллельны, если в данной плоскости найдется прямая,
параллельная этой прямой.
До к аз а тел ьс тв о. Пусть Z-плоскость, ас-пря
мая, лежащая в Z и парал~11ельная а, лежащей вне пло
скости Z (рис. 8.3). Проведем плоскость Z1 через прямые
а и а1 . Плоскости Z1 и Z пересекаются по прямой а1 .
Если бы прямая а пересекала плоскость Z, то точка пе
ресечения принадJiежала бы прямой а1 . Но это невозможно,
так как прямые параллельны. Итак, прямая а не пере
секает плоскость Z, а значит, параллельна плоскости Z.
Теорема доказана.
Теорем а 8.5 . Если плоскость проходит через прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость,
то линия пересечения плоскостей
параллельна данной прямой.
Доказательство. Пусть
плоскость Z1 проходит через
прямую а, причем а 11 Z. Надо
показать, что прямая а1 (см.
рис. 8. 3.) пересечения плоско
стей Z и Z1 параллельна пря
мой а. Действительно, если бы
прямая а пересекалась бы с пря-
Рис. 8.3.
мой а1 , то она пересекала бы пло-
скость Z. что невозможно, так как а 1\ Z. Следователь
но, прямая а1 находится в одной плоскости с прямой
а, не пересекаясь с ней, а поэтому a 1 II а. Теорема до
казана.
• 201
С л ед ст в и е 8. 3 . Если прямая параллельна каждой
из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна
прямой их пересечения.
Рассмотрим далее несколько теорем, посвященных во
просам параллельности плоскостей.
Теорем а 8.6. Если две пересекающиеся прямш, ле
жащие на одной плоскости, соответственно параллельны
Рис. 8.4.
двум прямым, лежащим на другой
плоскости, то эти плоскости парал-
лельны.
•
•
Доказательство.
Пусть
а, Ьс. Z ·(прямые а и Ь принадлежат
плоскости Z) и- а1 , Ь1 Е Z1 , причем
а 1/ а1 , Ь 11 Ь1 (рис. 8.4); надо показать,
что Z 11 Zi. Действительно, так как
прямые а и Ь соответственно парал
лельны прямым ai и Ь1 , лежащим
в плоскости Z1 , то по теореме 1
этого пункта аIIZi и Ь11Z1. Если бы плоскости Z и Zt
имели общую точку, то они пересекались бы (см. аксио
му 111.2) по прямой М..N, проходящей через эту точку.
В силу теоремы 8.4 оказалось бы, что а 11 MN и Ь II MN,
т. е. через некоторую точку на плоскости Z проходили
бы две прямые, параллельные MN, что невозможно. Сле
Рис. 8.5.
довательно, плоскости Z и Z1 не
имеют общих точек, т. е. Z II Z1.
Теорема доказана.
Легко показать справедливость
следующей теоремы.
Теорем а 8-. 7. Через точку
вне плоскости можно провести и
притом только одну параллельную
ей плоскость.
Рассмотрим еще одну теорему
параллельности прямых и плоско
стей.
Теорем а 8.8 . Отрезки парал
лельных прямых между параллель
ными плоскостями равны.
Доказательство. Пусть Z1 IIZ2 , с1 Нс2 (рис. 8.5).
Точки Ai, А2, В1, В2-следы прямых с1 й с2 на плоско
стях Zi и Z2• Надо показать, что А1В1= А2В2•
Рассмотрим четырехугольник A 1 A 2B 2Bi. Стороны его
А 1 А 2 и В1В2 лежат в параллельных пло~костях, следо-
202
вате.льно, не имеют общих точек. Но они не скрещиваются,
так как лежат в одной плоскости, проведенной через па
раллельные (по условию) прямые A1 Bi и А 2В2 • Значит,
AiA2 II В1В2 • Таким образом, стороны •четырехугольника
попарно параллельны, следовательно, четырехугольник
параллелограмм. Отрезки A 1Bi и А 2В2 , как противопо
ложные стороны параллелограмма, равны. Теорема до~
казана.
§ 8.3. Перпендикулярность прямых и плоскостей
8.3 .1. Признаки перпендикулярности прямой и плоскости.
Обращаясь снова к п. 8.2 .1, отметим, что при пересече•
нии прямых, прямых и плоскостей, плоскостей имеет
смысл выделить важнейший частный случай: случай пер
пендикулярности объектов, а также необходимо устано
вить, что мы будем понимать под углом между прямой
и плоскостью, двумя плоскостями. К изучению этих во
просов мы сейчас приступим.
Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если
она перпендикулярна к любой пр!Jмой, лежащей в этой
плоскости.
-
Теорема 8.9 ,(признак -перпендикулярности прямой
и плоскости). Если прямая перпендикулярна к двум пере
секающимся прямым, лежащим в некоторой плоскости, rno
она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой
плоскости, т. е. эта прямая перпендикулярна к данной
плоскости.
Доказательство. Пусть пря,k!ые т, п, l принад
лежат плоскости Z(т,п,lЕZ)ир.1.т,р .1.п. Надо до
казать, что р J_ l, где l-произвольная прямая, принад
лежащая плоскости Z (рис. 8.6).
Обозначим след 1 ) прямой р на плоскости Z буквой В.
Проведем из точки В полупрямые т1 11 т, п1 11 п и 11 11 l;
при этом, очевидно, mi J_ р и п1 J_ р.
На прямой р по .обе стороны от следа В отложим
произвольной длины равные отрезки АВ и А 1В и на пря
мых т 1 и п1 - произвольные отрезки BD и ВС так, чтобы
прямая CD пересекла прямую 11 . Обозначим точку пере
сечения CD и 11 буквой М. Соединим прямыми точки С,
МиDсточкамиАиА1.
Ч То есть точку пересечения прямой р с плоскостью z.
203
ЛACD=ЛA1CD, так ~ак АС=А1С и AD=A1D
·как наклонные из точек С и D к прямой АА 1 , основания
которых А и А 1 одинаково удалены от оснований nерпен
дикуляров СВ и DB, и СD-общая сторона. Из равенства
этих треугольников следует, что L ADC--:- - L A1DC.
ЛАDМ = ЛА 1DМ, так как AD = A1D, LADM = LA1DM
р
А
Рис. 8.6.
и MD общая. Из равенства этих треугольников следует,
что АМ= А1М. ЛАВМ= ЛА1ВМ,.так как АВ= А1В,
АМ = А 1 М и ВМ-общая. Из равенства этих треуголь
ников следует, что L АВМ = L А1ВМ, а так как эти
углы смежные, то они прямые, т. е. прямая р перпенди
кулярна к прямой 11 , а следовательно, и к прямой l со
гласно определению угла между скрещивающимися пря
мымириl.
Следствие 8 .4 (признак перпендикулярности прямой
и плоскости). Прямая перпендикулярна к плоскости, если
она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, ле-·
жащим в этой плоскости.
Используя доказанную выше теорему и ее следствие,
не представляет трудности доказать следующие теоремы.
Т ео р·е м а 8.10. Через данную точку к данной прямой
можно провести и притом только одну перпендикулярную
ей плоскость .
. Т е о рем а 8 .11. Через данную точку к данной плоско
сти можно провести и притом только одну перпендику
лярную ·ей прямую.
204
8.3.2. Перпендикуляр и наклонная к плоскости. Пус:rь
Z- плоскость, А-точка, не лежащая в плоскости Z, В -
точка плоскости Z. Отрезок АВ называется перпендику
ляром, проведенным из точки А к плоскости Z, если
прямая АВ __L Z. Пусть точка СЕ: Z _и отлична от точки В.
Тогда отрезок АС мы будем называть наклонной, прове
денной из точки А к плоскости Z. След перпендикуляра
на плоскости называется основанием перпендикуляра, а след
наклонной-основанием наклонной. Отрезок ВС, принад
лежащий плоскости Z (почему?), соединяющий основания
перпендикуляра и наклонной называется проекцией на
клонной АС на плоскости Z (рис. 8.7).
Рис. 8.7.
Рис. 8.8 .
Теор е·м а 8.12. Если из некоторой точки А, лежащей
вне плоскости, провести к ней перпендикуляр и наклонные;
тогда:
1) перпендикуляр короче всякой наклонной;
2) наклонные, имеющие равные проекции, равны;
3) большая наклонная имеет большую проекцию.
Доказательство. Пусть АВJ_Z, АС1 и АС2-
наклонные, проведенные из точки А к плоскости Z (рис. 8.8).
1) t:,. АВС1 - прямоугольный (почему?), следовательно,
ACf= АВ 2 +вс~.
откудаАС~>АВ2, и так как АС1>О,АВ>О,тона
клонная АС1 больше перпендикуляра АВ.
2) Пусть ВС1 = ВС2 • Надо доказать, что ACi = АС1 •
Л АС1В и Л АС,В-прямоугольные, следовательно,
ACf= Ав 2 +вс~.
АС:= АВ 2 +вс:.
Вычтем из первого равенства второе, получим АС:-:
-
АС;= О или Aq= Ас:, АС 1 = АС2 (в силу положитель~
ности АС1 , АС,).
205
3) Пусть теперь АС1 > АС2 • Аналогичные рассуждения
приводят нас к неравенству ВС1 > ВС2 •
Теорема доказана.
Рассмотрим задачу на применение только что доказан
ной теоремы.
3 ад а ч а 8.1 . Из некоторой точки пространства проведены
к данной плоскости две наклонные, каждая из которых равна а;
угол между ними равен 60°, а угол между их проекциями на данную
плоскость-прямой. Найти:
_
а) расстояние между основаниями наклонных;
б) расстояние от данной точки• до плоскости;
в) угол между наклонными и плоскостью.
Решение. Пусть (рис. 8.9) АС1 =АС2 =а-две наклонные,
проведенные из точки А к плоскости Z, причем С1 и С2 -основания
Рис. 8.9 .
наклонных. Отрезок С1С2 есть
искомое расстояние. Для его
нахождения строим плоскость,
проходящую .через пересекаю
щиеся прямые С1А и АС2 . Тогда
по условию L. С1АС2 = 60°,
итак, Д АС1С2 - равнобедрен
ный с углом при вершине,
равным 60°,
следовательно,
Д АС1С2 - равносторонний и
С1С2 =а.
Далее расстояние от точки
до плоскости есть длина пер-
пендикуляра, опущенного из
этой точки на плоскость. Опустим из точки А перпендикуляр АВ и
соединим основание В перпендикуляра с основанием наклонных.
Рассмотрим 6,.С1ВС2 . Здесь iio условию L_C 1BC2 =90° и С1 В=С2В
(так как равным наклонным соответствуют равные проекции). Так
как С1С2 =а, то, обозначив С1 В =С2 В через х, мы можем составить
уравнение для нахождения неизвестной:
У2
2х2 =а2 или х=С1В=С2 В=-2-· а.
Снова используя теорему Пифагора, но уже для Д С1 ВА, находим ВА:
ВА= У(АС1)2-(С1В)2= уа2- ~ а2= У; а.
Наконец, L. АС1В = L. АС2В= 45°, так как Д АС1В = ДВС2А и
оба являются прямоугольными равнобедренными треугольниками, и
У2
С1В=ВА =ВС2= - 2
-
а.
8.3 .3 . Проекция прямой на плоскость; угол между
прямыми, между прямой и плоскостью. Точку В (след
прямой АВ) будем называть проекцией прямой АВ на
плоскости Z, если прямая АВ ..L Z. В общем случае
206
(когда АВ не перпендю{улярна плоскости Z) проекцией
прямой АВ на плоскость Z мы будем называть прямую,
построенную следующим образом (рис. 8.10): из любой
точки М прямой АВ опускаем перпендикуJJяр на пло
скость Z и проводим плоскость Q через пересекающиеся
прямые АВ и ММ1. Линию
пересечения плоскостей Q и
Z мы будем называть проекци
ей прямой АВ на плоскость Z.
То, что такая проекция -
единственна, несмотря на про
извольность выбора точки М,
легко доказать. ·действитель
но, возьмем на прямой АВ
произвольную точку N, от- -~-------7-"-__,......,.
личную от точки м, опу
стим перпендикуляр из этой
точки на плоскость Z и IJрове
дем плоскость Р через пере
сека·ющиеся прямые АВ и
N N 1 . Если мы теперь покажем,
Рис. 8.10.
что плоскости Р и Q совпадают, то, следовательно, про
екция прямой на плоскость определяется единственным
образом. Для доказательства построим плоскость F, про
ходящую через две параллельные прямые. N N 1 и ММ 1 .
ПрЯ.мая АВ принадлежит плоскости F, так как две ее
точки N и М принадлежат этой плоскости. Следовательно,
с одной стороны, плоскость F совпадает с плоскостью Р,
как плоскости, проходящие через пересекающиеся пря
мые АВ и N N 1 , а, с другой стороны, плоскость F совпа
дает с плоскостью Q, как плоскости, проходящие через
две пересекающиеся прямые ММ 1 и АВ. Следовательно,
плоскости Р и Q совпадают, а значит, предложенное
построение проекций данной прямой допускает единствен
ное решение.
Проекцией отрезка AD на плоскость Z называется отре
зок BD 1 , соединяющий основание перпендикуляра, опу
щенного из одного конца этого отрезка (из точки А) на
плоскость Z,.
с основанием перпендикуляра, опущен
ного из другого конца этого отрезка (из точки D) на пло
скость z.
Теперь, используя материал, изложенный выше, мы
можем определить некоторые расстояния между точками,
прямыми и плоскостями в пространстве, которые мы не
207
смогли сформулировать в § 8.2, и дать определение понятия
yrла между прямой и плоскостью.
Расстояние между двумя прямыми есть кратчайшее
р-асс·тояние между любыми двумя точками, принадлежа
щими зтим прямым. Очевидно, в таком случае имеет
смысл говорить о непересекающихся прямых, т. · е. о па
раллельных и скрещивающихся прямых. Расстояние между
двумя параллельными прямыми есть длина перпендикуляра,
опущенного из любой точки одной прямой на другую.
Расстоянием между двумя скрещивающимися прямыми на
зывается длина перпендикуляра, опущенного из точки,
лежащей на одной из прямых, на плоскость, проходящую
через другую прямую и параллельную первой.
Расстояние 'от точки А до плоскости Z есть наимень
шее из расстояний точки А до точек плоскости Z. Таким
образом, из приведенного определения и первого пункта
теоремы 8.12 мы можем сделать простой вывод: расстоя
ние от точки А до плоскости Z есть длина перпендику-·
ляра, проведенного из точки А к плоскости Z.
Углом между прямой и плоскостью называется острый
угол между этой прямой и ее проекцией на данную
плоскость. Легко показать, используя доказанную тео
рему 8.12, что этот угол наименьший из всех углов, ко
торые наклонная составляет с любой другой прямой
плоскости.
Расстояние между прямой и плоскостью есть кратчай
шее расстояние между любой точкой прямой и любой
точкой плоскости. Очевидно, о расстоянии имеет смысл
говорить, когда плоскость и прямая не имеют обiцих
точек. Итак, расстоянием от прямой, параллельной пло
скости, до данной плоскости, называется длина перпен
дикуляра, опущенного из любой точки прямой на пло
скость.
Аналогично о расстоянии между двумя плоскостями
мы будем говорить в случае их параллельности. Оно опре
деляется длиной перпендикуляра, опущенного из любой
точки одной плоскости на другую.
8.3 .4 . Теорема «о трех перпендикулярах». Рассмотрим
очень важную, на наш взгляд, теорему, применение
которой можно найти во многих стереометрических за
дачах.
Теорем а 8.13. Прямая, проведенная на плоскости
перпендикулярно к наклонной, перпендикулярна к проекции
этой наклонной . .
208
Доказательство. Пусть СА-наклон.ная к пло-·
скости Z, СВ-ее проекция на эту плоскость 1-1 а _l _ СА.
Требуется доказать, что СВ _l_ а (рис. 8.11 ).
Действительно, проведем через наклонную АС и· ее
проекцию СВ плоскость Q. Прямая aj_ Q, так как она
перпендикулярна двум пересекаю
щимся прямым этой плоскости 1):
a_l_ -AC по условию теоремы, a_l _AB,
так . как АВ есть перпендикуляр
к плоскости Z, и следователь
но, АВ перпендикулярна любой
прямой, принадлежащей плоско
сти. Тогда по теореме 8.9 пря-
мая а перпендикулярна любой
Рис. 8.11.
прямой, лежащей в плоскости Q.
В частности, а J_ СВ, что и требовалось доказать.
Теорема 8.14 (обратная). Прямая, проведенная на
плоскости, перпендикулярно к проекции наклонной, пер
пендикулярна к самой наклонной.
Доказательство этой теоремы аналогично предыдущему.
Рассмотрим задачу на применение доказанной теоремы.
3 ад а ч а 8.2. Доказать, что если из вершины угла, лежащего на
плоскости, провести наклонную к плоскости так, чтобы она состав
ляла со сторонами yrла равные yrлы,
то проекция этой наклонной на плоскость
будет биссектрисой данного угла.
Решение. Пусть !,_ АСВ
лежит
в плоскости Z, наклонная DC образует
с его сторонами равные yrлы: !,_ACD =
= !,_DCB (рис. 8.12). Из точки D опу
стим перпендикуляр DO на плоскость Z
и проведем ОМ J_ АС и ON J_ СВ. Тогда
по теореме о трех перпендикулярах
DM J_ АС и DNJ_CB, откуда 6,. DCM =
Рис. 8.12 .
= ДDCN по общей гипотенузе и остро-
му углу (!,_ MCD = t.. DCN по условию задачи). Следовательно,
DM=DN, а тогда равны и их проекции MO=ON. Следовательно,
Д МОС = /'\ OCN (по катету и общей гипотенузе). Следовательно,
!,_MCO=!,_OCN, т. е. ОС-проекция наклонной СD-биссектри
са !,_ АСВ ..
§ 8.4. Взаимное положение плоскостей
8.4.1. Угол между двумя плоскостями. Введем понятие
угла между двумя плоскостями. Если плоскости парал
лельны или совпадают, мы полагаем, что угол между ними
1) См. следствие 8.4 .
209
равен нулю. Пусть плоскости Z1 и Z2 не совпадают и не
nараллельны. Тогда они пересекаются по некоторой пря
мой с. Проведем плоскость Q, перпендикулярную прямой с
(рис. 8.13). Она пересечет плоскости Z1 и Z1 по прямым
а и Ь. За угол между плоскостями Z1 и Z2 мы принимаем
уго"1, равный наименьшему углу между прямыми а и Ь.
Определяемый таким образом угол между плоскостями не
зависит от выбора секущей плоскости Q.
•
11
z
Рис. 8.13.
Рис. 8.14 .
Чтобы показать справедливость этого утверждения,
докажем теорему.
Теорема 8.15. Если две плоскости перпендикулярны
к одной и той же прямой, то они параллельны.
Пусть Р1 J_ АВ и Р 2 J_ АВ "(рис. 8.14). Надо показать,
что .Р1 11 Р2, т. е. шюскости Р1 и Р2 не имеют ни одной
общей точки.
Проведем доказательство методом «от противного».
Пусть· точка М-общая для плоскостей Р 1 и Р2 • Проведем
плоскость Z через прямую АВ и точку М. Тогда АМ и
ЕМ-линии пересечения плоскостей Р 1 и Р2 с этой пло
скостью Z. Прямая АВ, перпендикулярная к Р 1 и Р2 ,
должна быть перпендикулярна прямым АМ и ВМ
(см. п. ~.3.1-определение), т. е. из точки М на пря
мую АВ опущено два перпендикуляра. Полученное проти
воречие доказывает неверность предположения. Следова
тельно, Р 1 // Р 2 • Теорема доказана.
Вернемся к определению угла между плоскостями.
Покажем, что угол, построенный при помощи секущей
плоскости, не совпадающей с плоскостью Q, равен углу
·между прямыми а и Ь. Пусть Q' -плоскость, перпенди
кулярная прямой с и не совпадающая с Q (см. рис. 8.13).
Тогда шюскость _Q' пересекает плоскости Z1 и Z2 по пря-
210
мым а' и Ь', причем а' 11 а. Действительно, прямые а' и а
не пересекаются, так как по теореме 8.15 лежат в парал
лельных плоскостях, но они не скрещиваются, так как
лежат в одной плоскости _Zi. Аналогично Ь II Ь'. Следова
тельно,.угол между прямыми а и Ь равен углу, образо
ванному прямыми а' и Ь', как углы с соответственно
параллельными сторонами.
Легко показать, что угол между плоскостями равен
углу между_ двумя перпендикулярами, лежащими в этих
плоскостях, восставленными из некоторой точки прямой
пересечения этих плоскостей.
Плоскости, угол между которыми (т. е. угол меж
ду прямыми а и Ь) прямой, называются перпендику
лярными.
8.4.2. Признаки перпендикулярности плоскостей. Те о
рем а 8.16. Если плоскость проходит через перпендикуляр
к другой плоскости, то она перпендикулярна к этой пло
скости.
Доказательство. Пусть АВl_Z и АВ е Q
(рис. 8.15). Надо показать, что QJ_Z. ·
Действительно,
плоскость Q, имея общую точку
(В) с плоскостью Z, пересечется
с ней по не~оторой прямой CD,
проходящей через точку В. Восста
вим в плоскости Z из точки В пер
пендикуляр ВМ J_ CD. Так как
АВJ_Z,тоАВ _LВМиАВJ_CD
(по определению). Таким образом,
АВ и ВМ есть два перпендикуля-
ра, восставленные в плоскостях Q
Рис. в. 15.
и Z из некоторой точки В прямой
их пересечения, следовательно, угол между этими пря
мыми есть угол между ·плоскостями Z и Q. Но прямые
ABJ_BM, откуда и ZJ_Q . Теорема доказана.
Следствие 8.4 . Если две плоскости взаимно перпенс
дикулярны и из какой-нибудь точки одной из них опущен
перпендикуляр на другую, то этот перпендикуляр лежит
в первой плоскости.
Теорем а 8.17. Через прямую, не перпендикулярную
плоскости, можно провести и притом только одну пло
скость, перпендикулярную первой плоскости.
Доказательство этой теоремы было приведено в
п. 8.3.З при рассмотрении вопроса о проекции прямой на
плоскость.
211
3 ад а ч а 8.3. Через прямую, параллельную некоторой плоскости,
провести плоскость, образующую· с данной плоскостью заданный
8
угол а.
-=----..,.,---,
Решение. Пусть АВ II Z. Через
произвольную точку С этой прямой про•
ведем плоскость Р, перпендикулярную
этой прямой, которая пересечет плоскость
Z по прямой MN (рис. 8.16). В плоско'
сти Р построим L. CC 1 D =а. В плоско•
сти Z проведем прямую С1 В1 J_ MN; ко
торая по теореме о трех перпендикулярах
Рис. 8.16.
будет перпендикулярна к наклонной СС1 .
Через прямые А 1 81 и СС1 проводим пло
скость. Построенная плоскость искомая,
таК' как она составляет с плоскостью Z угол, равный а, и пря
мая АВ принадлежит этой плоскости, как прямая, параллельная
прямой А 1 В1 , лежащей в этой плоскости.
§ 8.5. Двугра~ные, трехгранные и многогранные углы
Двугранным углом называется геометрическая фигура,
состоящая из двух полуплоскостей, исходящих из одной
прямой (рис. 8.17). Прямая АВ называется ребром, а
полуплоскости Р и Q -сторонами или гранями двугран
ного угла.
Двугранный угол обозначают или двумя буквами,
поставленными у ребра например, АВ, или четырьмя
буквами QАВР, из которых две средние
в~ означают ребро, а крайние-грани.
0-
Линейным углом двугранного угла называ-
N р ется наименьший угол, образованный двумя
____
перпендикулярами, вQсставленнымц к ребру
А•Q
из произвольной его точки и лежащими на
гранях угла.
Рис. 8.17.
Два двугранных угла называются равны-
ми, если при вложении они совмещаются.
Если совместить по одной грани два неравных дву
гранных угла, то большим считается тот из них, между
гранями которого заключена вторая грань второго дву
гранного угла.
Следующая теорема, которая легко доказывается вло
жением двугранных углов, облегчит нам сравнение их.
Теорем а 8.18. Если два двугранных угла равны, то
их линейные углы равны. Если не равны двугранные углы, то
не равны и их линейные углы, причем большему двугран
ному углу соответств,ует и больший линейный угол
(рис. 8.18,.
212
Двугранный угол называется развернутым, если обе
его грани образуют одну плоскость.
Смежными двугранными углами называются двугран
ные углы, которые имеют одну общую грань, а две другие
грани составляют одну плоскость.
За единицу измерения двугранного угла принимают
двугранный угол, линейный угол которого содержит. еди
ницу измерения линейных углов. Иначе говоря, двугранный
угол измеряется его линейным углом.
з
Рис. 8.18.
Рис. 8.19.
Проведем из точки S три луча SA, SB и SC (рис. 8.19),
не лежащие в одной ·плоскости. Эти лучи образуют три
плоских угла LASB, LBSC, LCSA. Фигура, состав
ленная из этих трех углов,-называется трехгранным углом.
Точка S называется вершиной трехгранного угла, лучи
SA', SB и SС-ребрами, а сами плоские углы-плоскости
Z1 , Z2 , Z 3 -гранями, Двугранный угол Z1SAZ2 называется
двугранным углом трехгранного угла при ребре SA. Оче
видно, в трехгранном угле можно выделить три двугранных.
Трехгранный угол обозначается четырьмя буква
ми SABC, где S-вершина, а А, В и С-произвольные
точки, взятые на трех его ребрах.
Плоские углы трехгранного угла обладают следующими
свойствами.
•
1. В трехгранном угле любой плоский угол меньше
суммы двух других его плоских углов.
2. Любой плоский угол трехгранного угла больше раз
ности двух других его плоских углов.
Из точки S проведем теперь п лучей SA1 , SA2 ,
••• , SAn
таких, что никакие три из них не лежат в одной плоскости.
Эти лучи образуют п плоских углов: LA1 SA2 , LA2 SA 3 ,
•••
. . . , L An_ 1 SAn, LAnSA1 • Фигура (рис. 8.20), составленная
из этих п углов, называется .11тогогранным углом. Точка S
213
называется его вершиной, SAi, ... , SAn-ero ребрами,
плоские углы-плоскости Z1 ,
. . • , Zn-ero гранями, дву
гранный угол Z1SА 2Z2 -двугранным углом многогранного
угла при ребре SA1 • Очевидно, п-гранный угол имеет п
двугранных углов.
Многогранный угол будем обозначать буквами
SA 1 ••• Ап или одной буквой S.
(J)
о)
Рис. 8.20.
Рис. 8.21.
Многогранный угол называется выпуклым, если все его
грани лежат по одну сторону от каждой из остальных
граней, неограниченно продолженной. Так, на рис. 8.21, а
показан выпуклый шестигранный угол S 1 , а на рис. 8.21, б
невыпуклый пятигранный угол S 2 •
Плоские углы многогранного угла обладают следую
щим свойством.
Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла
меньше 4d.
§ 8.6. Многогранники
8.6.1. Многогранник; элементы мн·огоrранника. В п. 8.1 .1
мы определили смысл, который должны вкладывать· в по
нятие «геометрическое тело». Тело, граница которого
состоит из конечного числа многоугольников, называется
многогранником. Многоугольники, ограничивающие мно
гогранник, называются гранями многогранника. Ребрами
многогранника называются общие стороны смежных гра
ней. Вершинами многогранника называются вершины мно
гогранных углов, образованных его гранями, сходящимися
в одной точке. Диагональю многогранника называется
отрезок прямой, соединяющий две вершины многогранника,
не лежащие в одной грани. Диагональной плоскостью
214
многогранника называется плоскость_, проходящая через
три его вершины, не лежащие в одной грани. Сечение.м
многогранника цлоскостью называется часть этой плос
кости, ограниченная линией пересечения поверхности
многогранника с этой плоскостью.
Поверхностью многогранника называется сумма площа
дей всех его граней. Если некоторый многоугольник
можно . рассматривать как основание многогранника или
если многогранник имеет два Qдинаковых параллельных
многоугольника, которые с равным успехом можно при
нять за основание, то говорят о боковой поверхности
многогранника, выделяя из общей поверхности площади
оснований.
I(ак мы увидим далее, боковая поверхность призмы
есть сумма площадей параллелограммов, пирамиды-сумма
площадей треугольников и т. д. Многогранник называется
выпуклым, если он целиком лежит по одну_ сторону от
плоскости каждой его грани. Гранями выпуклого много
гранника, очевидно, могут быть только выпуклые много
угольники.
В последующих пунк:гах этой r лавы мы рассмотрим
простейшие многогранники-призмы и пирамиды.
8.6.2 . Призма. Призмой называется многогранник, две
грани . которого параллельны (основания), а остальные
грани пересекаются по параллельным прямьJм (боковые
грани) (рис. 8.22). Оче
видно, что многоуголь
ники основания могут
быть произвольными.
Однако • боковые грани
обязательно
должны
быть параллелограмма
ми. Действительно, бо
ковая rрань-ч.етырех
уrольник, две стороны
которого параллельны
(по условию) и равны
как отрезки параллель
ных прямых, заключен
ных между двумя пло
с_костями (теорема 8.8).
13'
Рис. 8.22 .
Высотой призмы называется длина отрезка, перпенди
кулярного к плоскостям ее оснований и заключенного
между ними (НН' на рис. 8.22).
215
Призма называется треугольной, четырехугольной и т. д.
в зависимости от того;· какой многоугольник служит осно
ванием призмы.
Для того чтобы определить, чему равна боковая по
верхность призмы, введем еще одно определение.
Перпендикулярным сечением призмы называется много
угольник, полученный от пересечения призмы плоскостью,
перпендикулярной к ее ребрам.
Теорем а 8.19. Боковая поверхность призмы равна
произведению длины ее бокового ребра на периметр '!ерпен
дикулярного сечения.
Доказательство. В призме ABCDEA'B'C'D'E'
или, короче, АЕ' проведено перпендикулярное сечение
LKFN М. Рассмотрим, чему равна площадь параллелограм
ма АА' Е' Е. Очевидно,
SAA'E'E= АА' -LM,
здесь сторону АА' параллелограмма мы приняли за ее
основание, а отрезок, перпендикулярный к прямой, заклю
ченный между основанием и параллельной ему стороной.
за высоту. Так как все боковые ребра призмы одинаковы,
то имеет смысл обозначить их длину, например, через l.
Тогда
Аналогично
SAA'B'B = l-LK и т. д.
Боковая поверхность призмы есть сумма всех площадей
параллелограммов, поэтому
S=l-LM+l•LK +l•KF+~•FN +l-NM.
Вынося l за скобку и рассматривая оставшуюся в скобках·
сумму, мы увидим, что это есть перим~тр перпендикуляр
ного сечения. Теорема доказана.
Призма называется прямой, если ее боковые ребра
перпендикулярны к плоскостям ее оснований. В прямой
призме, очевидно, все боковые грани являются прямо
угольниками; высота равна боковому ребру. В противном
случае призма называется наклонной.
Следствие 8. 6. Боковая поверхность прямоугольной
призмы равна произведению периметра - ее основания на
высоту.
Прямая призма, основанием которой служат правиль
ные многоугольники, называется правильной призмой.
216
Рассмотрим некоторые важные частные случаи четырех-
угольной призмы:
•
Параллелепипедом называется призма, основанием ко
торой служит параллелограмм. Параллелепипед может
быть как прямым, так и наклонным.
Прямоугольным параллелепипедом называется прямая
призма, основание которой-прямоугольник. Длины трех
ребер прямоугольного параллелепипеда, сходящихся в од
ной вершине, называются его измерениями.
_Кубом называется прямоугольный параллелепипед, все
три измерения которого равны между собой.
В п. 8.6.4 подробно изучим параллелепипед и выясним
некоторые свойства его элементов. Сейчас мы перейдем
к рассмотрению двух других видов многогранника-пира
миды и усеченной пирамиды.
8.. 6 .3 . Пирамида. Пирамидой называется многогранник,
ограниченный гранями многогранного угла и плоскостью,
пересекающей все его rpaHJi.
Основанием пирамиды называется многоугольник, по
лученный в секущей плоскости (ABCDE на рис. 8.23).
В зависимости от числа сторон основа-
ния пирамиды могут быть треугольны-
ми, четырехугольными и т. д. Треуголь-
ная пирамида обладает той особенно
стью, что каждую грань можно принять
за основание пирамиды. Боковыми гра
нями пирамиды, очевидно, являются
треугольники с общей вершиной S. Вы- А
сотой пирамиды называется длина пер
пендикуляра, _о_пущенного из вершины
на плоскость основания.
. Правильной
пирамидой называется
D
в
Рис. 8.23 .
пирамида, основанием которой служит правильный много
угольник и высота которой проходит через центр этого
многоугольника. Все боковые ребра правильной пирамиды
-равны (как наклонные, основания которых равноудалены
от основания перпендикуляра), все боковые грани-рав
нобедренные треугольники. Апофемой правильной пирами
ды называется высота боковой грани, опущенная из вер
шины пирамиды.
Теорем а 8.20. Боковая поверхность правильной пи
рамиды равна произведению половины периметра ее осно
вания на апофему.
217
До к аз ат ель ст в о. Пусть дана п-угольная правиль
ная пирамида, сторона которой АВ = а, апофема SC= :l
(рис. 8.24). f?ассмотрим, чему равна площадь одной боко
в
Рис. 8.24.
вой грани. В Л ASB АВ-сторона основа
ния, SС-высота
S a,l
д=т·
Вся боковая поверхность пирамиды равна
сумме площадей боковых граней, т. е. рав
--
набедренных треугольников, поэтому
a,l
Sбок. пов= т•n,
Но а-п-периметр основания. Теорема до
казана.
Любая треугольная пирамида называется тетраэдром.
Из всего разнообразного множества пирамид можно
выделить один наиболее интересный случай. Правильная
треугольная пирамида, боковое ребро которой равно стороне
основания, носит название правильного тетраэдра.
Усеченной пирамидой называется часть пирамиды,
заключенная между ее основанием и секущей плоскостью,
параллельной основанию (рис. 8.25).
Основаниями усеченной пирамиды называются ее парал
лельные грани. Нижним основанием называется основание
А
8
исходной пирамиды, верхним основа
Рис. 8.25.
нием называется многоугольник, ле
жащий на секущей плоскости. Боко
вые грани усеченной п·ирамиды-тра
пеции. Высотой усеченной пирамиды
называется перпендикуляр, опущен
ный из какой-нибудь точки верхнего
основания на нижнее.
Правильной усеченной пирамидой
называется такая усеченная пирамида,
исходной для которой была пра_sиль
ная пирамида, т. е. основание пра
вильной усечщшой пирамиды- пра
вильные многоугольники и прямая,
соединяющая центры оснрваний, пер
пендикулярна к плоскости оснований.
Апофемой правильной усеченной пирамиды называется
высота равнобочной трапеции боковой грани.
218
Теорема 8.21. Боковая поверхность правильной усе•
ченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров
ее оснований на апофему.
Доказательство. Пусть длина стороны нижнего
основания· правильной• п-угольной усеченной пирамиды
равна а, верхнеrо-Ь, апофема-[. Тогда, рассматривая
площадь боковой грани-равнобочной трапеции, получим,
что она равна
а+ь .[
2•
Боковая поверхность СОС:ОИТ из п таких трапеций, следа,.
вательно,
а+ь
па+пь
Sбок. ус. nиp=-2-•l• n=--2 -l.
Учитывая, что па-периметр нижнего основания, пЬ
периметр верхнего, .мы получим формулу, указанную
в формулировке теоремы. Теорема доказана.
В заключение этого пункта рассмотрим стереометри
ческую задачу часто встречающегося типа-задачу на
вписанные и описанные многогранники.
3 ад а ч а 8.4 . В правильную четырехугольную пирамиду вписан
куб так, что четыре его вершины находятся на боковых ребрах пира
миды, а остальные четыре- в плоскости ее основания. Определить ребра
куба, если в пирамиде сторона основания равна а, а высота равна h.
8
А
Рис. 8.26.
Решение. Обозначим искомое ребро куба через х, т. е.
(рис. 8.26) положим MN = ММ' = х. Из подобия Д OSLJ ел Д SO' N'
(OD 11 О' N') имеем
SO' O'N'
SO=OD'
.2 19
Учитывая, что SO=h, SO'=h-x, O'N'=xlJ/'2. ОD=а/у"Т,
получим
откуда
h-x х
- h-=a•
ah
Х=--,
a+h
8.6 .4 . ПростеАшие свойства параЛJJелепипеда. Те о
рем а 8.22. В параллелепипеде противолежащие грани
(т. е. грани параллелепипеда, не имеющие общих вершин)
равны и параллельны.
Доказательство. Пусть А 1 А;-параллелепипед
(рис. 8.27). Для доказательства теоремы достаточно пока
зать, что любые две противоположные грани, например
А1А;А;А2 и А 4А;А;А 3 параллельны и равны.
А2
Рис. 8.27 .
А3
Рис. 8.28.
Действительно, так как все шесть граней параллеле
пипеда-параллелограммы, то А1А~= А4А~. А1А2= А4А8
и А1А~ 11 А4А; ·и A1A2 II А4А3• Следовательно, грани
А 1 А;А;А 2 и А 4 А;А;А 3 параллельны в силу того, что две
пересекающиеся прямые одной плоскости (А 1 А; и А 1 А 2 )
параллельны двум пересекающимся прямым другой плос
кости (А4А; и А4А3). Эти грани и равны как два парал
лелограмма, у которых, кроме указанного равенства
сторон, равны углы: L А~А1А2= L А;А4А3 (как углы
с соответственно параЛJ1ельными и одинаково направлен-
ными сторонами). Теорема доказана. •
Теорема 8.23. Диагонали параллелепипеда пересека
ются в одной точке и делятся в ней пополам.
Доказательство. В параллелепипеде А 1 А; прове
дем диагонали А1А;, А2А;, А4А; и А;А3 (рис. 8.28). Соеди
ним А 1 с А; и А 1 с А;; Полученная фигура-параллело-
220
грамм, так как А1А1 = А;А; и А1А2 11 А;А; (см. теорему 8.22).
Диагонали А 1 А~ и А 1 А;- параллелепипеда являются
диагоналями полученного параллелограмма, а значит,
в точке пересечения О делятся пополам. Аналогично, взяв
одну из этих диагоналей (например, А 2 А;) и третью диа
гональ параллелепипеда (например, А 3 А~), легко показать,
что они являются диагоналями па-
,
с'.
раллелограмма А 2 А~А;А 3 , и значит,
DA- _.... .... ..... ... _
делятся ·в точке п~ресечения попо
лам. Следовательно, диагональ
А 1 А~ проходит через ту же точку
О-середину д1щгонали А 2 А;. До
казательство, что и последняя ди
агональ проходит через ту же точ
ку О, делясь пополам, уже не пред
ставляется трудным. Теорема до
казана.
Теорем а 8.24 (свойство диа
А
8
Рис. 8.29.
гоналей прямоугольного параллелепипеда). Квадрат ди
агонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квад
ратов трех его измерений.
До к аз ат ель ст в о. Из прямоугольного ЛАС'С
(рис. 8.29) по теореме Пифагора получаем
АС'2= лс2+сс'2•
Из прямоугqльного Л АСВ
АС2= АВ2 +вс2•
Отсюда
АС'2= сс'2+Ав2+вс2•
Но АВ = DC, поэтому
АС' 2 = СС' 2 +DС2-+вс2,
где СС', DC и ВС-три ребра параллелепипеда, исходя
щие из одной вершины. Теорема доказана.
8.6 .5. Простейшие ·свойства пирамиды. Теорем а 8.25
(свойства сечений пирамиды плоскостью, параллельной
основанию). Если пересечь пирамиду плоскостью, парал
лельной основанию, то:
l) боковые_ребра и высота пирамиды разделятся на про
порциональные части;
2) в сечении получится многогранник, который подобен
основанию;
221
3) площади сечения и основания будут относиться, как
квадраты их расстояний от вершины пирамиды.
До к а за тел ь ст в о. Не умаляя общности, рассмот
рим треугольную пирамиду (рис. 8.30). S0-ee высота,
s
А
в
плоскость А' В'С' параллельНi!
плоскости основания.
1) A'B'II-AB, как прямые, ле
жащие в параллельных плоскостях
и поэтому не .имеющие точек пе
ресечения, не являются скрещи-
Рис. 8.30.
с вающимися, так как принадлежат
одной плоскости Л ASB. Ана
логично В'С' 11 ВС, А'С' 11 АС.
Следовательно, из подобия тре
угольников
имеем
SA' SB'
SB' SC'
SC' SA'
А'А=В'В' _В'в=с'С' С'С=А'А"
Рассмотрев Л AOS,..., Л A'O'S и введя соотношения
SA' SO'
А'А=О'О'
(8.2):
получим
2) Соотношения (8. 1) дают •нам пропорциональность
всех сторон многоугольников основания и сечения, следо
вательно,
Л АБС,..., Л А'В'С'.
3) Площади подобных фигур, как известно, относятся,
как квадраты сходственных сторон, т. е.
St::,.A'B'C'
St::,.ABC
(А'В') 2
(АВ)2 '
то из соотношения подобий (8.1) и из (8.2) получим
А'В' SA' SO'
АВ =s.i{"= SO'
222
т. е.
S6.A 'B'C ' (S0') 2
SдАВС = (S0)2 •
Теорема доказана.
Теорема 8.26. Если две пирамиды с равными высо
тами пересечь плоскостями, параллельными основаниям на
одинаковом расс_тоянии от вершины, то площади сечений
будут пропорциональны площадям оснований.
Доказательс·тво.ПустьвысотыпирамидS101иS101
равны. Обозначим эту высоту через Н. Пересечем эти
А
Рис. 8.31.
пирамиды плоскостями, параллельными основанию на рас
стояnии h от вершин (рис. 8.31). В силу предыдущей
теоремы
SA'B 'C 'D'
h2
-----
и
SABCD - Н2
Таким образом
SA'B 'C'D'
SABCD
Теорема доказана.
SM'N'K' h2 -
SMNK = н2·
Следствие 8.6. Если у двух пирамид сравными вы
с9тами основания равновелики, то равновелики и сечения,
равноотстоящие от вершин.
§ В. 7. Объемы геометрических тел
8.7 .1 . Аксиомы объема. Прежде всего, используя акси
оматический подход, определим, какой смысл вкладывается
в понятие объема геометрического тела. Число, характе
ризующее величину внутренней области геометрического
223
тела, будем называть его объемом. Ограничимся рассмот
рением объемов sлементарных тел.
Объем как геометрическое понятие определяется тремя
следующими аксиомами.
1. Каждое геометрическое me.//0 имеет (определенный,
неотриtfательный) объем.
2. РШJНШ геометрические тела имеют ра8НШ объ,мь,~
3. Объем геометрического тела равен сgмме объемо,
составляющих его частей.
Процесс нахождения объема есть процесс измерения,
т. е. сравнение данного объема с ~талонными. Единицей
измерения объема является одна ку·бическая единица,
равная объему куба со стороной, равной линейной единице,
В заключение отметим, что, проводя вычисления объема,
мы сопоставляем данной геометрической фигуре вполне
определенное число, т. е. на множестве геометрических
фигур мы определяем функцию, как видно иа аксиом объема, ;
неотрицательную, однозначную, аддитивную. Так же, как
и длину, объем можно рассматривать как м е р у множества, :
считая геометрическое тело множеством точек, его обра•
зующих.
8.7.2 . Формулы д.ля вычисления объемов некоторыХI
тел. В настоящем пункте мы приведем несколько формул
для вычисления объемов элементарных тел, вывод которьпt
будет дан в последующих главах.
Объем призмы равен произведению площади основания
на высоту
V=Q·H.
Пусть а, Ь и с-измерения прямоугольного паралле
пепипеда. Тогда, очевидно, его объем
V=abc.
Объем пирамиды равен одной трети произведения пло
щади основания на высоту
1
V=3 Q-H.
Объем усеченной пирамиды можно вычислить по формуле
V= ~ (Q+q+VQq)-H,
где q, Q-площади верхнего. и нижнего оснований соот
ветственно, Н - высота пирамиды.
224
Рассмотрим задачу на вычисление объема.
3 ад а ч а 8.5. В наклонной треугольной призме площадь одной
из боковых граней равна m2 , а расстояние ее от противолежащего
ребра равно 2а. Найти объем призмы.
Решение. Пусть SABB'A' =m2 (рис. 8.32), МZ-перпендикуляр,
опущенный из произвольной точки М ребра СС' на плоскость АВВ' А•,
По определению расстояния между
прямой и плоскостью (п. 8.3 .3)
А,
cr
MZ = 2а. Проведем в . плоскости
АА 'В' В через точку Z перпендику
ляр Р N к параллельным прямым
АА' и ВВ'. Тогда (PN-BB')=
=SABB'A'= т2• Рассекая призму
перпендикулярным сечением, про
ходящим через пересекающиеся
прямые MZ и Р М и совмещая полу- А
ченные многогранники равными
гранями АВС и А' В'С', можно
получить прямую призму (плоско
сти оснований перпендикулярны
ребрам), основанием коrорой слу-
В
жит перпендикулярное сечение, .
Рис. 8.32.
равновеликое исходному, следова-
тельно, V=BB 1 ·SpмN или
V = ~ PN-MZ• ВВ'= ~ (PN-BB')•MZ= ~ m2 , 2a=ma2 •
Из рассуждений, приведенных в данной задаче, мы
сможем сделать важный практический вывод: объем призмы
равен произведению площади перпендикулярного сечения на
.боковое ребро.
ВОПРОСЫ ДЛ.Я ПОВТОРЕНИ.Я К ГЛАВЕ 8
1. Что такое аксиома? Что такое теорема?
2. Назовите основные геометрические понятия.
3. Сформулируйте аксиомы стереометрии.
4. Какие прямые называются скрещивающимися? Чем отличаются
параллельны~ прямые от скрещивающихся?
5. Как в пространстве могут быть расположены прямая и плос
кость, две плоскости?
6. Перечислите признаки параллельности прямой и плоскости,
двух плоскостей.
7. Дайте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.
8. Сформулируйте признак перпендикулярности прямой и плос
кости.
9. Что называется перпендикуляром, наклонной, проекцией
наклонной?
10. Докажите, что перпендикуляр короче всякой наклонной.
11. Что называется проекцией прямой на плоскость?
12. Что называется проекцией отрезка на плоскость?
8 П/ред. Н, М, Матвеева
225
13. Что называется расстоянием между двумя прямыми, рассто-
янием от точки до плоскости, между двумя плоскостями?
14. Дайте определение угла между прямой и плоскостью.
15. Сформулируйте теорему о трех перпендикулярах.
16. Что называется углом между плоскостями?
17. Сформулируйте признак перпендикулярности плоскостей.
18. Что называется двугранным углом?
•
19. Что называется линейным углом двугранного угла?
20. Перечислите свойства плоских углов трехгранного угла.
21. Какой многогранный угол называется выпуклым?
22. Что называется многогранником?
23. Что называется ребром, гранью, диагональю многогранника?
24. Что называется призмой?
25. Чему равна боковая поверхность призмы?
26. Какие вы знаете частные случаи призмы?
27. Какая призма называется правильной?
28. Что называется пирамидой?
29. Какая пирамида называется правильной?
30. Чему равна боковая поверхность правильной пирамиды?
31. Что такое тетраэдр? Что такое правильный тетраэдр?
32. Что называется усеченной пирамидой?
33, Чему равна боковая поверхность правильной усеченноlt
пирамиды?
34. Докажите, что диагонали параллелограмма пересекаются
в одной точке.
35. Сформулируйте свойства сечений пирамиды плоскостью,
параллельной основанию.
36. <;:формулируйте аксиомы объема.
УПРАЖНЕНИЯ: К ГЛАВЕ 8
1. Из точки М, отстоящей от плоскости Р на расстоянии МО =4,
проведены к этой плоскости наклонные МА, МВ и МС под углами
в 30°, 45° и 60° к прямой МО. Определить длину наклонных.
2. Данный оtрезок имеет концы на двух взаимно перпендику
лярных плоскостях и составляет с одной из них угол· в 45°, а с дру
гой-в 30°; длина этого отрезка равна а. Определить часть линии
пересечения плоскостей, заключенной между перпендикулярами,
опущенными на нее из концов данного отрезка.
3. Правильный треугольник спроектирован на плоскость Р;
верюины треугольника отстоят от этой плоскости на 10 см, 15 см
и 17 см. Найти расстояние от центра треугольника до плоскости Р.
4. Через одну из сторон ромба проведена плоскость на расстоя
нии 4 см от противолежащей стороны. Проекции диагоналей ромба
на эту плоскость равны 8 см и 2 см. Найти проекции сторон ромба
ми эту п'лоскость.
5. Отрезки двух прямых, заключенных между двумя параллель
ными плоскостями, равны 51 см и 53 см, а их проекции на одну из
этих плоскостей относятся как 6:7. Определить длину этих проекций
и расстояние между плоскостями.
6. Между двумя параллельными плоскостями Р и Q проведены
отрезки АС и BD (точки А и В лежат в плоскости Р); АС= 13 см,
BD = 15 см, сумма длин проекций АС и BD на одну из данных
плоскостей равна 14 см. Найти длины этих проекций ·и расстояние
между данными плоскостями.
226
7. Через данную точку провести плоскость; параллельную дан
ной ·JIJIOCKOCTИ,
8. Через данную точку провести прямую, параJiлельную данной.
9. Через данную прямую провести плоскость, перпендикуляр
ную к данной плоскости.
10. Через данную точку провести плоскость, перпендикулярную
к двум данным плоскостям.
11. В трехгранном углу два плоских угла по 45°, двугранный
yroJI между ними прямой. Найти третий плоский угол.
12. Каждый плоский угол трехгранного угла ранен р0°, на одном
из ребер отложен от вершины отрезок, равный 3, и из конца его
опущен перпендикуляр на противолежащую грань. Найти длину
этого nерпендику ляра.
13. В наклонной треугольной призме боковые ребра содержат
по 8 см, стороны перпендикулярного сечения относятся как 9: 10: 17,
а его площадь равна 144 см 2• Определить боковую поверхность этой
призмы.
14*. Определить объем прямоугольного параллелепипеда
по
площадям его rpai1eй Q1
,
Q2иQ3
.
15. Ребро куба равно а. Найти кратчайшее расстояние от диаго
нали куба до непересекающего его ребра.
16. Ребро куба равно а. Найти величину кратчайшего расстоя
ния между непересекающимися диагоналями двух смежных граней.
17. Площадь диагональной плоскости куба равна S. Вычислить
ребро куба, диагональ основания, диагональ куба, его полную
поверхность и объем.
18. Доказать, что две плоскости, проходящие через концы двух
троек ребер куба, сходящихся в концах одной диагонали, рассекают
эту диагона.1ь на три равные части.
,
19. В кубе ABCDA'B'C'D' с ребром а проведено сечение через
середины ребер AD и В'С' и вершины А' и С. Найти его площадь.
20. Основанием прямой призмы служит прямоугольный треуголь
ник с катетами а и Ь. Боковые грани призмы пересечены плоскостью
так, что в сечении получился правильный треугольник. Найти его
сторону.
21. Можно ли пересечь плоскостью параллелепипед таким обра
зом, чтобы в сечении получился правильный пятиугольник?
22. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно а.
Через сторону основания и середину высоты, опущенной из центра
треугольника основания, проведена плоскость. Найти площадь этого
сечения.
23. Основанием пирамиды служит квадрат, ее высота проходит
через одну из вершин основания. Определить боковую поверхность
этой пирамиды, если сторона основания равна 20 см, а высота 21 см.
24. Найти объем правильного тетраэдра, высота которого равна Н.
25. Найти высоту правильного тетраэдра, объем которого
равен V.
26. Стороны основания треугольной пирамиды равны а, Ь и с.
Все плоские углы при верщине прямые. Вычислить объем пирамиды.
27. Высота треугольной пирамиды ABCS, опущенная из вер
шины S, проходит через точку пересечения высот треугольника
АВС. Кроме того, известно, что SB=b, SC=c н L. BSC=90°.
Наiiти отношение площадей граней ASB и ASC.
28. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна
а, а высота, опущенная из какой-либо вершины основания на противо-
r
~
положн-ую ей -боковую грань, равна Ь. Определить объем пира.
МIJдЫ.
29. Вычислить объем правильной четырехугольной пирамиды-,
высота которой равна а, а площадь диагонального сечения равна Q ..
30. В треугольной пирамиде три- грани взаимно перпендикулярны
и их площади равны S1 , S2 и S3 . Найти площадь четвертой грани.
31. Существует . ли такая треугольная пирамида, у которой·
к каждому ребру прилегает хотя бы один тупой угол?
32. Существует ли восьмиугольная пирамида, у которой все
ребра равны? Для каких п существует правильная п-уrольная пира
мида, у которой все ребра равны?
33. Ребро правильного тетраэдра равно а. Через середины сто
рон АВ и ВС проведена плоскость параллельно ребру BS. Опреде
лить площадь сечения.
34. Угол между боковым ребром и основанием правильной
четырехугольной пирамиды равен 60°, высота равна h. Через точку
на высоте, отстоящую на h/3 от вершины, проведена плоскость
перпендикулярно к одному из боковых ребер. Найти площадь
сечения.
35. Угол между боковым ребром и основанием правильной
четырехугольной пирамиды равен 60°, боковое ребро равно а. Через
середину одного из ребер церпендику.~ярно к нему проведена пло
скость. Найти площадь сечения.
36. Через одно из ребер основания правильной треугольной
пирамиды со стороной основания а проведена п.~оскость, перпенди
кулярная· к противоположному боковому ребру и делящая это ребро
в отношении m:n, считая от вершины. Определить полную поверх
ность пирамиды.
37. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна а, высота пирамиды h. Через сторону основания пирами.11tы
и середину скрещивающегося с ней бокового ребра проведено сече
ние. Определить расстояние от вершины пирамиды до плоскости
этого сечения.
38. Основанием пирамиды является ромб с диагоналями АС=а
и BD =Ь. Боковое· ребро SA перпендикулярно к плоскости основа
ния и равно q. Через точку А и середину ребра SC проведена пло
скость, параллельная диагонаJIи основания BD. Определить площадь
сечения.
39. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде стороны
оснований равны 5 см и 11 см, а диагональ пирамиды-12 см.
Определить боковую поверхность.
40. Определить объем правильной треугольной усеченной пира
миды, у которой стороны основания 30 м и 20 м, а боковая поверх-.
ность равна сумме площадей оснований.
41. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания
3 дм, а высота 2 дм. Найти боковую поверхность усеченной пира
миды, отсекаемой от данной пJюскостыо, параллельной ее основа
нию, и отстоящей от нее на 5 см.
42. В усеченной пирамиде площади оснований равны S 1 и S2 •
Найти площадь сечения, проведенного через середины боковых ребер.
43. Определить объем полной пирамиды, если площади основа
ний усеченной пирамиды S1 и S2 , а объем V.
44. Площади оснований усеченной пирамиды равны а 2 и Ь 2 •
Найти площадь сечения, параллельного плоскостям оснований усе
ченной пирамиды и делящего ее объем пополам.
228
45. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды
равна 5 V2, ребро ее равно 13. Вычислить сторону куба, вписан
ного в эту пирамиду так, что четыре его вершины находятся на
ребрах пирамиды.
46. В правильную четырехугольную пирамиду вписан куб так,
что четыре вершины находятся на апофемах пирамиды и четыре -
в плоскости основания; все ребра пирамиды равны между собой и
каждое из них равно а. вы·числить полную поверхность и объем
куба.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 8
1. См. задачу п. 8.3 .1. Ответ. МА - 8 уз
-
3'
МС=8.
2. Ответ. а/2.
3. Реше II и е. Точки А1 , В1, С1 (рис. 8.33) являются прямо
угольными проекциями вершин А, В, С данного треугольника АВС
на плоскость Р. По условию АА 1 =
~~10см, BBi=15см,СС1=17см.
На перпендикулярах к плоскости
отложим от их основания отрезки
B 1 M=C1 N=AA 1 =10 см. Тогда
МВ=5см, а NC=7 см. Центр О
данного правильного треугольника
есть точка пересечения его медиан.
·медиана AD треугольника точкой О
делится в отношении A0:0D =2: 1.
Из точки D опустим на плоскость
Р перпендикуляр DD 2 , который
разделит пополам сторону N М тре
уrоJ1ьника ANM:ND2 =D2 M, т. е.
АD2 -медиана треугольника ANМ.
Рис. 8.33 .
DD2 как средняя линия трапе-
ции MBCN будет равна (ВМ +CN)/2 =6 см. Тогда из подобия тре
угольников А00 2 и ADD2 находим 002 :DD2 =A0:AD или 002 :6=2:3,
002= 4 см; учитывая, что 0201=АА1=10 см, находим 001 =
=002 +020 1 =14 см. Ответ. 14 см.
4.Ответ.5сми3см.
5.Ответ.24см,28сми45см.
6.Ответ.5см,9сми12см.
7. Решение. Пусть дана точка А и плоскость Р. Требуется
провеет~, через точку А плоскость Q, параллельную плоскости Р
(рис. 8.34).
В плоскости Р проводим две произвольные пересекающиеся пря
мые ОЕ и 0D и через эти прямые и заданную точку А проводим
плоскости.Ми N, которые пересекаются по прямой ОА. В плоскости
М проводим прямую ABII0E, а в плоскости N-прямую ACIIOD.
Прямые АВ и АС определяют плоскость Q, которая проходит через
точку А и параллельна данной плос1<0сти Р.
11. В трехгранном угле 0MNP L_M0N=f..N0P=45°, дву
гранн_ый угол между ними прямой. Найти третий плоский угол
229
МОР =а (рис. 8.3.5). Из произвольной точки С ребра ON строим
линейный угол АСВ двугранного угла - MNOP; тогда по условию
задачи L. АСВ=90°; так как углы L. АОС= L. ВОС=45°, то АС=
= ОС=СВ и прямоугольные треугольники АСО, АСВ и ВСО равны
между собой, тогда АВ =АО= ВО и искомый угол L. АОВ = 60°.
Ответ. 60°.
о
Рис. 8.34.
р
Рис. 8.35.
12. У к а з а н и е. Из основания перпендикуляра опустить пер
пендикуляр на ребра угла. От в е т. J/6.
13. Решение. Пусть дана призма АС1; АА1 = В81 =СС1 = 8 см;
А 2В1С2 -перпендикулярное сечение призмы, причем А 2 В2 : В2С2 :С2А 2 =
= 9: !О: 17 и SА,в,с,= 144 см 2 (рис. 8.36). Очевидно; S~nк =
= (А2В2 +В2С2 +С2А2)-АА1• Обозначим А2В11 =9х, В2С2 = I0x и
С2 А 2 = 17х. Тогда по формуле Геро-
_______с,
на площадь перпендикулярного се-
в
Рис. 8.36.
Рис. 8.37.
чения равна Yl8x-x•8x,9x=36x2 , а по условию она равна 144см 2 ,
следовательно, х=2 см. Ответ.· Sбок.=576 см2 •
14. Ответ. V= JIQ 1Q2Q3 куб. ед.
15. Решение. Прямые АА 1 и BD1 -скрещивающиеся прямые
(рис. 8.37). Расстояние между ними равно расстоянию от одной из
скрещивающихся прямых до плоскости, параллельной этой прямой
и проведенной через вторую из скрещивающихся прямых (см. п. 8.3.3).
В рассматриваемом случае это расстояние равно расстоянию между
J1юбой точкой ребра АА 1 до плоскости, проведенной через две пря-
230 1
мые DD1 11 АА 1 и В81 11 АА 1 , содержащей вторую из скрещивающихся
прямых. Следовательно, АО-перпендикуляр, опущенный из точки А
ребра АА 1 на плоскость BB1 D1D, можно рассматривать как искомое
расстояние. Очевидно, АО=а v·212. Ответ. а V2/2.
16. Ответ. аVЗ/3.
17. Указ ан и е. Диагональным называется любое сечение· куба,
проведенное через две пересекающиеся диагонали. Например, на
рис. 8.37 В8 1D1 D-диагональное сечение.
Ответ.~, v·sv2,
~·
3SV2,
~Vsзv2.
18. Указ ан и е. См. рис. 8.38.
19. Ответ. а2 VЗ/2,
20. от в е т. у "';_(_а_2_+_ь_2_+_v__а_4 ___а_2_ь_2+-ь-4) •
21. Реше н и е. Для того чтобы в сечении получился пяти
угольник, секущая плоскость должна пересечь пять граней. Так как
Рис. 8.38.
Рис. 8.39.
в параллелепипеде 6 граней, то из пяти граней две обязательно
параллел_ьны. Секущая плоскость пересечет эти две грани по парал
лельным прямым, Но в пятиугольнике (правильном) нет параллель
ных сторон. Следовательно, такое построение 11евозможно.
4а2 Уз
22. Ответ. S= 9
.
23. Решение. Боковая поверхность пирамиды (рис. 8.39)
равна сумме площа,rr~й боковых граней Sбoк=Sлsv+Svsc+
+Scsв+Sвsл• Треугольники ADS и СDS-прямоугольные и рав-
1
ные, Sлsv=Scvs= 2 • 20-21 =210 см 2• Из этих треугольников по
теореме Пифагора находим AS=SC= J,"20 2 +212=29 см. Так как
по теореме о трех перпендикулярах SC .l С!3 и SA .l АВ (DC .l СВ
и DA _lAB), то треугольники SAB и SСВ. прямоугольные и равные:
1
Sлsв= Scsв= 2 20,29=290 см2• От в ет. Sбок = 1000 см2•
231
СР
А
24о
V- узнз
.
твет.
-
8
.
25. Ответ. H=~v8 ~ 3 V_
26. Указ ан и е. Принять за основание боковую грань.
Ответ. V=1
~ V; (a2+L2-c2) (а2 +с2 -ь2) (Ь2 +с2-а2).
27. Решение. Пусть О-точка пересечения высот АМ, BN,
треугольника АВС; по условию высота SO перпендикулярна
с
8
Рис. 8.40.
к плоскости АВС (рис. 8.40). Так как
СР J_ АВ по построению, а СО является
проекцией ребра CS на плоскость АВС,
то по теореме . о трех перпендикулярах
(см. п. 8.3.4.), CS .l АВ. Так как, кро
ме того, CS J_ 8S (по условию), то, ис
пользуя признак перпендикулярности
(см. п. 8.3 .1), заключаем, что CS перпен
дикулярно к плоскости ASB, откуда сле
дует, что CSJ_AS, т. е. ~CSA=90°.
Аналогично f. ASB = 90 . Поэтому
1.
SAsR 2 AS-SB Ь
-
8-- 1
=-с. От в ет. Ь/с.
ASC
2 AS-SC
пересекает боковую
грани. Ответ.
28. Указание. Доказать,чтопро
веденная из вершины основания высота
грань в точке, принадлежащей высоте боковой
а~ь
V = -:-: -:: -;:::;::::::;==;;:;;
12 у' 3а2-4Ь2
2Q2
V=за·
29. Ответ.
30. ответ. Vs~+s~+s:-
31. Не существует. Доказать самостоятельно.
32. Р е ш е II и е. Все боковые грани по условию равносторонние
треугольники, следовательно, все плоские углы при вершине равны
60°. Но известно, что сумма углов выпуклого многогранного угла
меньше 360° .. Поэтому п,;;;;;5, т. е. n=3, 4, 5.
33. Ответ. Sсеч=+а2•
34. Ответ. Sсеч=~h2•
350
S
Vз2
•
твет. сеч=-6
-
а•
a2 V4 3 (l+, /3(2тп+п)).
36. Ответ.
у
37. Решение. Очевидно, что четырехугольник сечения АЕFD
равнобочная трапеция (рис. 8.41). Пусть то•1ки G и Н -середины
ее оснований. Опустим из то•1ки Н перпендикулнр НК на основание
232
пирамиды. Так как
h
а
Н-середина SN, то НК= 2 , KN= 4
,
За
GK= 4
.
Определим далее длины отрезков QO и QS. Так как
i~=~• то QO=i ·;•з~=~,
откуда QS= ~ h, GQ~
= у(;)2+(i)2
•
Опустим из точки S перпендикуляр SM на
SM GO
GH. Тогда из подобия треугольников SMQ и GOQ имеем QS = GQ,
и, следовательно, искомое рассто-
GО
2а11
яние SM=QЭ·GQ ,r
..
r 9a2 +4h2
2ah
Ответ.
Y9a2-j-4h 2
о S Ь,r2+2
38. твст. ссч=6 r q а·
39. Ответ. Sбок =160см2• А
40.Ответ. V=1900м 3 •
41. Ответ. 656,25 см 2 •
42. Ответ. {(Vs1+ Vs2) 2•
s
с
Рис. 8.41 .
43. Решение. Пусть S 1 > 8 2 • Обозначим объем полной пира
миды через V1 , а объем пирамиды, дополняющей данную усеченную
пирамиду до полной через V 2 . Нетрудно доказать, что квадраты
объемов подобных многогранников относятся как кубы сходственных
v: s:
V2 s~•
граней. Тогда -
или Vi = sз/z . Используя свойство проп·ор-
V~ s~
1
V1-V2 s:12_s:12
ции, получим ---т,--
1 =-----. Учитывая V1 -V2=V, имеем
s:12
v s:;2- s:;2
vs~I•
илиV1=sз/2-sз/2 •
sз/2
1
1
1
v(аз+ьз)2
44. См. решение задачи 43. От в е т. Sсеч =
-
2-
60(6 У2-5)
45. См. решение задачи п. 8.6.3 . От в е т.
47
ГЛАВА 9
ЭЛЕМЕНТЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ
§ 9.1 . Векторы и линейные операции над ними
9.1 .1. Основные понятия. Пусть АВ-некоторый отре
зок прямой. Условившись считать одну из его граничных
точек, например А, начальной, а другую-конечной, мы
тем самым преобразуем АВ в так называемый направлен-
---, .
ный отрезок АВ. Если только отрезок не «вырождается
в точку», т. е. если точки А и В не совпадают, то направ-
---+
---+
ленные отрезки АВ и ВА считаются различными, несмотря
на то, что они построены на базе одного и того же от
резка прямой. При геометрическом изображении направ
ленного отрезка его конец обычно отмечается стрелкой
(рис. _9.1). Направленные отрезки обычно называют также
8 еще и векторами. Этот тер~шн требует, од-
/
на~о, нек_оторых пояснении, к которым мы
, сеичас и переходим.
А
В зависимости от существа решаемых
задач в одних случаях оказывается уд9б
Рис. 9.1 .
ным считать равными между собой все такие
векторы, которые могут быть совмещены
друг с другом посредством параллельного переноса (на
плоскости или в пространстве), в других случаях-только
такие, которые расположены на одной и той же прямой
и совпадают друг с другом по длине и направлению, в
третьих-векторы считают различными, если хотя бы одна
из граничных точек одного из них не совпадает с соот
ветствующей граничной точкой второго. В этих случаях
говорят соответственно о с в об од н ы х, скользящих
и с вяз ан н ы х (или-закрепленных) векторах. Так как
в нашем курсе рассматриваются только свободные векторы,
234
то прилагательное «свободный» мы опустим и будем дальше
использовать термин «вектор» в смысле «свободный вектор».
В соответствии с этим соглашением основное определение
настоящей rлавь1 мы сформулируем так.
Оп редел е ни е 9.1. Вектором называется направлен
ный отрезок. При этом векторы считаются равными между
собой в том и только том случае, если они могут быть
совмещены (с совпадением их направлений) путем парал
лельного переноса 1 ).
Длиной вектора называется длина порождающего его
отрезка.
---,..
Кроме обозначений вида АВ (rде А-начало, а В -
конец направленного отрезка), мы будем обозначать век
торы и одной жирной строчной (маленькой) буквой, напри
мер:а,kит.п.
Длину вектора мы будем обозначать соответственно как
---, ..
IAB\, /а\, lkl.
При самостоятельной работе с литературой нужно учесть,
что иногда векторы обозначают строчными бук.вами со
➔➔
стрелками над ними, например а, k,, ... , а их длину теми
же буквами, напечатанными обычным шрифтом и без стре
лок над ними.
Вектор, начало и конец которого совпадают друr с
другом, мы будем называть нулевым вектором и обозначать
символом О. Ясно, что длина нулевого вектора равна О.
Введем важные для дальнейшего понятия коллинеар
ности и компланарности векторов.
Определение 9.2 . Вектор а называется коллинеар
ным прямой l, если он либо расположен целиком на этой
прямой, либо может быть помещен на эту прямую путем
параллельного переноса. Векторы, коллинеарные сдной и
той же прямой, называют коллинеарными друг с другом.
Определение 9.3. Вектор а называют компланар
ным плоскости Р, если он либо расположен целиком на
этой плоскости, либо может быть помещен на нее путем
параллельного переноса. Векторы, компланарные одной и
1) Сущность этого определения можно было бы выразить и по-дру
гому, назвав вектором (свободным вектором) множество всех таких
направленных отрезков, любые два из которых могут быть совме
щены друг с другом параллельным переносом (разумеется, с совпа
дением их направлений).
235
той же плоскости, называются компланарными между
собой.
9.1.2. Сложение и вычитание векторов. Умножение век
тора на число. G п редел е ни е 9.4 . Суммой двух векто
ров а и Ь называется 1 ) такой вектор а+ Ь, начало ко
торого совпадает с началом вектора а, а конец-с концом
вектора Ь, при условии, что предвари-
~ тельно начало Ь путем его параллель-
~ ного переноса было совмещено с кон-
Ъ
цом а (рис. 9.2).
а+
Определен не 9.5. Разностью
Рис. 9.2 .
двух векторов а и Ь называется та-
кой вектор а-Ь, который, будучи
сложен с вектором Ь, дает сумму, равную а:
Ь +(а-Ь)= а.
(9.1)
Оп ределен ие 9.6. Вектор, дающий в сум.ме с век
тором а нулевой вектор, называется вектором, противо
положным вектору а, и обозначается -а:
а+(-а)= о.
(9.2)
Можно сказать, что формулы (9.1) и (9.2) служат со
ответственно определениями понятий разности векторов и
противоположного вектора.
Ясно, что вектор -а, противоположный вектору а,
может быть получен из этого последнего просто переменой
ориентации: за начальную точку -а надо принять конец а,
а за конец -:-а- начало а.
1-'ис. 9.3 .
Рис. 9.4 .
Нетрудно понять (рис. 9.3), что сумму двух неколли
неарных векторов можно строить, как диагональ парал
лелограмма, !JОСтроенного на этих векторах, приведенных
1) Так как мы изучаем свободные векторы, то здесь, как и в
аналогичных случаях в дальнейшем, имеется в виду «с точностью до
параллельного" переноса».
236
предварительно к общему началу, выходящую из этого
общего начала.
Другая диагональ этого параллелограмма, рассмотрен
ная как вектор, идущий из конца вектора Ь в конец век
тора а, представляет собой разность векторов а и Ь
(рис. 9.4).
Легко можно было бы доказать, что операции сложе
ния и вычитания векторов и перехода к противоположному
вектору обладают следующими свойствами:
1°. а+Ь=Ь+а (коммутативность).
2°. (а+Ь)+с=а+(Ь+с) (ассоциатавность).
3°. а+(-Ь)= а-Ь.
Мы зл.есь не будем проводить такого доказательства,
а ограничимся лишь рис. 9.5-9.7, иллюстрирующими эти
свойства.
ь
~(a+/J)+C
llr---...._..._
__
I
--
~
ь
~а+(Ь+с)
Рис. 9.5.
Рис. 9.6 .
Рис. 9.7.
О п редел е н и е 9. 7. Произведением вещественного
числа 'Л, на вектор а называется вектор л.а, который:
1) ш,tеет длину, равную произведению_ длины а на абсо
лютную величину л:
.
2) коллинеарен вектору а и направлен одинаково с а, если
'Л, > О и противоположно а, если л. < О.
Можно доказать, что для операции умножения вектора
на вещественное число и. для введенных ранее операций
сложения и вычитания векторов и перехода к противо
положному вектору, кроме уже отмеченных свойств 1°-3°,
справедливы также:
4°. л.1 ('Л.2а) = ('Л.~: 'Л.2) а.
5°. (л. 1 +л. 2 )а=л--iа+л2а.
237
6°. л(а+Ь)= ла+ль.
7°. l-a= а.
8°. (-1)-а= -а.
9°. О-а= о.
Отметим в ·заключение этого пункта, что операции сло
жения и вычитания векторов и умножения вектора на
число носят название линейных операций.
9.1.3. Проекция вектора на ось. Разложение вектора
по заданным направлениям. Определение 9 .8 . Проек-
--,.
цией вектора АВ на ось
чалом которого служит
Рис. 9.8 .
l 1) называется вектор АВ1, на
проекция А' то~1ки А на ось l,
т. е. основание перпендикуляра,
опущенного из точки А на ось l,
а концом-проекция В' точки В
(рис. 9.8).
Величиной этой проекции мы
будем называть ее длину, взятую
со знаком плюс, если направле-
--,.
пие АВ 1 совпадает с направле
нием l, и со знаком минус в
противном случае. Обозначать
величину проекции мы будем так: АВ1 , а1 и т. п. В
-
частности, если вектор АВ расположен па оси l
(или коллинеарен ей), то его проекция на эту ось совпа
дает (с точностью до параллельного переноса) с самым
проектируемым вектором. Величину этой проекции в таком
-->-
случае называют еще величиной вектора АВ на оси l.
Величину вектора на оси обозначают АВ (ер. с обозначе-
--+
.
нием длины: 1АВ 1),
Вектор единичной длины l 0, направление которрго сов
падает с направлением оси l, называют обычно ортом или
единичным вектором оси l.
-
Если вектор АВ коллинеарен сси l, а l0 -орт этой
оси, то АВ, согласно определению произведения вектора
на число, можно представить в виде произведения его
величины на этой оси на орт l 0:
(9.3)
1 ) Напомним, что осью называется прямая, на которой выбрано
опреде.1енное направление,
238
В дальнейшем удобными для нас будут понятия угла
между двумя векторами, между вектором и осью, между
двумя осями. Дадим определения этих понятий.
•
Определение 9.9. Наименьший из двух ·углов, ·на
который нужно повернуть вектор а до его совпадения с
вектором Ь после приведения этих
векторов к общему началу, называется ~
а/
углом между векторами а и Ь (рис.
~
9.9). Углом между вектором а и
осью l называется угол между векто-
Рис. 9.9.
ром а и произвольным ненулевым век-
тором l 1 таким,. направление которого совпадает с на
правлением оси l,
Аналогично определяется угол между двумя осями l'
и l".
Сформулируем основные свойства проекций:
1°. Проекции равных векторов на одну и ту же ось
равны между собой.
2°. Проекция сум.мы векторов на какую-либо ось равна
сумме проекций на эту же ось слагаемых векторов.
3°. Л роеiщия произведения вектора на число равна про
изведению npoeKtfUU этого вектора на то же число.
4°. Величина проекции вектора на ось равна произве
дению длины этого вектора на косинус угла 1Р между
этим вектором и осью
•
а1 = la\-cosqi.
(9.4)
Доказательства этих свойств достаточно очевидны
(рис. 9.10-9 .13). Мы ограничимся здесь лишь доказа
тельством свойства 2°.
л
В в'' /'У!__" l
\ сr~л'
\
\
А
'
'
'
'
С·'
\
в'•
\
11'
Рис. 9.10.
Рис. 9.11;
Располагая слагаемые векторы так, чтобы начало каж
дого последующего из них совпадало с концом предыду
щего, мы получим так называемую векторную ломаную
2З9
линию. Из 011ределения суммы векторов следует, что их
сумму можно представить в виде вектора, замыкающего
эту ломаную, т. е. вектора, идущего из начала первого
слагаемого в конец последнего. При указанном располо
жении векторов их проекции на ось l тоже будут обла
дать тем свойством, что начало проекции каждого после
дующего слагаемого совпадает с концом проекции преды
дущего. Поэтому, опять-таки по определению суммы век
торов, сумму этих проекций можно представить как вектор,
Рис. 9.12 .
с
\
\
·\
\
\
\
\
Рис. 9.13.
идущий из проекции начала первого слагаемого в проекцию
конца последнего слагаемого. А этот вектор как раз и
представляет собой проекцию замыкающего вектора. При
мените.11ьно к рис. 9.11
-
-
-
АВ-!-ВС= АС,
с другой стороны,
~
---:!о.
--+
--+
--+
АВ1 + ВС1 =А'В' +В'С' =А'С',
откуда
--+-
~
---►-
--+-
(А В+ ВС), =АВ, +вс,.
В заключение этого пункта рассмотрим так называемую
задачу о разложении вектора по заданным направлениям.
Пусть сначала две неколлинеарные оси l 1 и l 2 и вектор а
располощ:ены в одной и той же плоскости, и требуется
представить вектор а в виде суммы двух слагаемых а1 и
а2 так, чтобы а1 был коллинеарен оси l1 , а а2 -оси l2 .
ПараллеJ1ьнь1м переносом совместим начало вектора а с
точкой О пересечения осей l 1 и l 2 , а через его конец про
ведем прямые, параллельные этим осям (рис. 9.14). Точки
240
пересечения этих прямых с 11 и 12 обозначим через М 1
и М 2 • Очевидно, что
(9.5)
Покажем, что . (с точностью до параллельного переноса
-->-
-➔
векторов ОМ 1 и ОМ 2 ) такое разложение единственно.
Действительно, пусть а1 111 1 и a2 ll l2"
Рис. 9.14.
/
/
'/
,,У
Рис. 9. 15.
Поместив начало каждого из этих векторов в точку О,
мы видим, что для· того, чтобы их сумма равнялась век-
-➔
тору а, необходимо и достаточно, чтобы а1 = ОМ1 и
а2= ОМ2••
Пусть теперь 11 , 12 и 1 3 -три некомпланарные оси, а
а- произвольный вектор. Посредством параллельного пе
реноса добьемся, чтобы все эти оси проходили через неко
торую точку О, и в эту же точку поместим начало вектора
а (рис. 9.15). Через его конец проведем плоскости Р1 , Р2
и Р3 так, чтобы
pl 1112,
Р211 lи
Рз 1111,
Р111 lз,
P2 ll lз,
Рз ll lz,
Точки пересечения Р1 и 11 , Р~ и 12 , Р3 и 13 обозначим
соответственно через М 1 , М 2 и М 3 • Тогда очевидно, что
(9.6)
причем, как и в предыдущем случае, это разложение
единственно (с точностью до параллельного переноса век-
-➔
-➔
-➔
торов ОМ1, ОМ2 и ОМ3),
241
§ 9.2 . Векторы в декартовой системе координат
9.2.1. Декартова система координат в пространстве.
Координаты вектора и их выражение через координаты
его начала и конца. Декартова система координат на пло
скости хорошо известна учащимся по школьному курсу,
поэтому на ее описании мы здесь останавливаться не будем,
а сразу перейдем к рассмотрению декартовой системы
I{Оординат в пространстве.
-
-
-
Пусть Ох, Оу, Оz-три взаимно__ перпендикулярные
оси, проходящие через общую для всех них точку О.
С произвольной точкой пространства М свяжем векторОМ
так называемый радиус-вектор точки М, и спроектируем
z
его на каждую из осей. Обозна
чим величины соответствующих
1 11;-----~ 1i проекций (рис. 9.16) ОМ0х, ОМ 0у
/
11
иOMozчерезх,уиz.Этичисла
/
/ i х, у, z называются координата1,~и
f---
11 1 точки М относительно выбранной
1
1
J
системы осей, а сама эта систе-
-----""--~~----1-~~У ма -декартовой координатной си-
1
1 11!1 стемой;хназывается абсциссой,у-
1/
ординатой и z-апплика,той точ-
--- ~~J/'
ки М. Пространство, в котором
Рис. 9.16.
введена такая координатная си
стема, называют обычно декарто
вым координатю~tм пространством
Охуг. Из доказанной в п. 9.1.Зедин
ственности разложения вектора по трем некомпланарным
направлениям следует, что каждой точке М соответствует
в точности одна упорядоченная тройка чисел, представля
ющих собой ее координаты (в порядке следования: абс
цисса, ордината, аппликата). Очевидно, что различ
ным точкам М' и М" соответствуют различные тройки
их координат (различные хотя бы по одной из ко
ординат).
Действительно, выполнение всех трех равенств
х'=х", у'=у" и z'= z"
означало бы, что
--+
----+
--+
--►-
--+
--►
ОМ'-= ОМ"-,
Ох
Ох
ОМ'-= ОМ"- и ОМ'-+= ОМ"-,
Оу
•Оу
Oz
Oz
242
---+ -
----+-
а тогда и векторы ·ом' и ОМ" были бы равны между
собой, что противоречит предположению о том, что точки
М' и М" различны.
-
С другой стороны, очевидно, что, отправляясь от за
данной трqйки чисел (х; у; z), мы всегда можем построить
такую точку М, для которой эти числа будут соответст
венно абсциссой, ординатой и аппликатой.
Таким образом, между множеством всех точек про
странства, в котором введена декартова система коорди
нат, и множеством всевозможных упорядоченных троек
вещественных чисел устанавливается взаимно однозначное
соответствие. Это обстоятельство, как и в «двумерном слу
чае», позволяет нам говорить о тех или иных геометри
ческих· объектах и их свойствах на языке этих упорядо
ченных троек чисел.
·-+
Пусть теперь АВ- произвольный вектор в декартовом
координатном пространстве Oxyz. Будем называть коор
динатами · этого" вектора величины его проекций АВ0х,
----+
-
----+
АВ0у и ABoz на оси Ох,• Оу, Oz.
Рассуждая таким же образом, как и в том случае, когда
речь шла о координатах точек, мы приходим к заключе-
нию о том, что между множеством
•
z
всех векторов в пространстве и мно-
8
жеством всех упорядоченных троек
вещественных чисел введением си~
стемы координат устанавливается
взаимно однозначное соответствие
(разумеется, при том· принятом нами
ранее условии, что мы отождествляем :с
друг с другом такие векторы, которые
можно совместить ·посредством парал
лельного их пере~оса). Тем самым мы
Рис. 9.17 .
А
и
получаем возможность говорить о векторах и тех или иных
соотношениях между ними на языке упорядоченных
троек чисел.
Обозначим координаты точки А через ХА, УА и zA, а
координаты точки В-через Хв, Ув и Zв,
-
Так как АВ можно представить в виде разности ра-
диус-векторов точек В и А:
-
-
-
АВ=ОВ-ОА
(рис. 9.17), то, сог.т~асно свойствам проекций, отсюда
243
следует, что
АВ0х= 0В0х-ОА 0х= Хв-ХА,
АВ0у= 0В0у-ОА0у =Ув-УА,
ABoz= 0B0z-OA0z= z 8 -zA,
(9.7)
т. е. что координаты вектора равны разностям соответст
вующих координат его конца и начала.
9.2 .2. Линейные операции над векторами в координат
ной форме записи. Обозначим через i, j и k орты коор
динатных осей, т. е. векторы единичной длины, располо-
---+
---+
женные соответственно на координатных осях Ох, Оу и
--+
Oz, и такие, что их направления совпадают с направле-
ниями своих осей.
---+-
----+
-----+
Пусть АВ-произвольный вектор, а АхВх, АУВУ и
--
AZBZ-ero проекции на координатные оси, величины ко-
торых мы обозначим через х, у и z. Согласно формуле (9.3)
мы можем тогда записать, что
----+
AxBx=Xi,
а тогда из формулы
----+
---+
---+
-----+
АВ= АхВх+АуВу+AzBz
мы получаем
-
АВ =xi +Yi+zk,
---+
где х, у и z-координаты ве1{тора АВ.
Формула (9.8) называется формулой разложения век-
---+
тора АВ по координатным осям. Мы видим, что коэффи-
циентами этого разложения служат как раз координаты
--,.
вектора АВ.
Как мы уже отмечали, после выбора в пространстве
определенной декартовой системы координат, вектор и
тройка его координат взаимно определяют друг друга.
Этим оправдывается удобное в ряде случаев соглашение
записывать разложение (9.8) в виде
---+
АВ= (х; у; z).
(9.9)
Правая часть формулы (9.9) называется записью вектора
-
.
.
АВ в координатнои форме. Если хА, УА и zА-координаты
244
точки А, а. х8 , Ув ~ z8 -точки В, то, в соответствии с
(9.7), мы можем переписать (9.9) в виде
-+
АВ =(Хв-Хл; Ув-Ул; Zв-zл)-
(9З')
Пусть а1= (х1; у1; z1) и а2= (х2; у2; z2)-два вектора,
а л-некоторое вещественное число. Так как величина
проекции вектора а1 + а2 на любую ось равна сумме ве·
личин прое1щий слагаемых векторов, то координатами
вектора а1+ а2 будут числа х1+х2, у1+ у2 и z1+z2, от
куда
Лналопrчно
и
ла1 = (лхl; луl; ЛZ1)-
Равенства (9.10)-(9.12) можно переписать в виде
(х1; У1; 21)+ (х2; У2; Z2)==(Х1+х2; il1+ У2; Z1+ Z2),
(х1; У1; Z1)-(x2; У2; Z2)=(X1- ·X2; У1-У2; Z1-Z2),
л-(х1; у1; z1)=(лх1; лу1; лz1).
(9.10)
(9 .11)
(9.12)
(.9.10')
(9.11')
(9.12')
Формулы (9.10')-(9.12') выражают собой правила вы
полнения линейных операций над векторами в координат
ной форме записи.
9.2.3. Выражение длины вектора через его координаты
и через координаты его нача.'lа и конца. Деление отрезка
в заданном отношении. Пусть а= (х; у; z)-некоторый
вектор. Приведя к общему нач~лу векторы а, xi, yj и
гk, мы видим, что вектор а представляет собой диагональ
прямоугольн9го параллелепипеда, построенного на осталь
ных трех векторах. Тогда по формуле, выражающей длину
такой диагонали через длины ребер, получаем
Jal=Vx2 +y2 +z2 •
(9.13)
Если точки А (хл; у,,,; zл) и В (х8 ; у8 ; z8 ) представляют
собой соответственно начало и конец вектора а, то по
формулам (9.7)
Х= Хв-Хл, У =Ув-Ул, z = Zв-Zл.
Подставляя эти выражения в (9. 13), мы приходим к фор-
-+
муле, выражающей длину вектора АВ через координаты
245
его начальной и конечной точек
1м·1= V(Хв-ХА)2 +(Ув-УА)2 + (zв-ZA)2• (9.14)
Пусть А и В- пара несовпадающих друг с другом точек.
Проведем через эти точки прямую и произвольным обра
зом выберем на ней определенное направление. Получив
шуюся ось обозначим через l. Пусть С-некоторая точка
на этой прямой, отличная от точки· В. Мы будем rово-
-
рить, что точка С делит направленный отрезок АВ в
отношении л, если л представляет собой отношение вели-
-
-
чины вектора АС к величине вектора СВ
-
л=~.
(9.15)
св
Нетрудно понять, что л > О тогда и только тогда, когда
лежитмеждуАиВ;л=О,еслиА=Сил<Отогдаи
только тогда, 1югда С лежит вне отрезка АВ. Понятно
также, что величина л не зависит от того, какое именно
из двух возможных направлений на прям.ой будет выбрано.
Из формулы (9.15), согласно определению произведения
вектора на число, следует, что
-
-
АС=л-СВ.
(9.16)
Переписав равенство (9.16) в координатной форме
(хс-хА; Ус-УА; Zc-zA)= л•(Хв-Х6 Ув-У6 Zв-Zc),
мы далее получаем
Хе-ХА= Л, (Хв-Хс),
Yr:_:,YA = л (Ув-·Ус),
Zc-ZA = л (z8-zc),
(9.17)
откуда, в свою очередь, следует, что
хА +1,хв
УА +лув
zA +лzв (9 18)
Хе=1+л'Ус=1+л'Zc= 1+л••
Формулы (9.18) позволяют найти координаты точки деле
ния по известной величине л и известным координатам
точек А и В. Если точка С является серединой отрезка
АВ, то отношение л= 1 и формулы (9.18) в этом случае
принимают вид
ZA +zв
Zc= -
2-,
(9.18')
246
Разрешая соотношения (9.17) относительно л, мы
получим
л =Хе-ХА= Ус-УА= Zc -ZA .
хв-хс Ув-Ус zв-zc
(9.19)
Эти формулы позволяют найти отношение л, если из
вестны одноименные координаты лежащих на одной пря
мой точек А, В и С хотя бы относительно какой-нибудь
одной из координатных осей.
9.2.4. Векторы на· декартовой координатной плоскост.и.
Понятие об т-мерных векторах. В предыдущих пунктах
этого параграфа мы рассматрива.1ш векторы, расположен
ные в декартовом координатном пространстве трех изме
рений. Все проделанные там рассуждения, выводы и фор
мулы совершенно очевидным образом переносятся и на
тот случай, когда речь идет о ве1порах, расположенных
на декартовой координатной плоскости. Для этого «дву
мерного случая» формулы, аналогичные формулам (9. 7)-
(9.17), будут отличаться от этих последних лишь тем,
что в них будут отсутствовать члены, связанные с коор
динатной осью Oz и ее ортом k. Так, например, формулы,
аналогичные (9.9') и (9.14), примут соответственно вид
АВ =(Хв-Хл; Ув-УА)
и
а число формул, скажем (9.17), сократится с трех до двух.
Нередко оказывается удобным рассматривать множество
всевозможных упорядоченных наборов, состоящих каждый
из m чисел, вводя в этом множестве операции сложения
и умножения на вещественное число посредством формул,
аналогичных формулам (9.10')_;__(9.12'). В этих случаях
такие наборы тоже принято называть векторами, хотя,
конечно, при m > 3 мы не можем интерпретировать эти
числовые наборы и операции над ними в том же духе,
как это было сделано для упорядоченных троек чисел.
Тем не менее и в этих случаях векторная терминология
оказывается полезной. В частности, и при m > 3 мы го
ворим о «длине вектора» а= (х1 ; х2 ; •. • ; Хт),
понимая
ПОД ЭТОЙ ДЛИНОЙ ЧИСЛО
(9.20)
247
В следующем параграфе мы увидим, что и некоторые
другие понятия, вводимые сначала для векторов в «обыч
ном» (геометрическом) смысле этого слова, естественным
образом переносятся и на m-мерные векторы.
§ 9.3 . Дальнейшие операции над векторами
9.3 . 1. Скалярное умножение векторов. Оп редел е
н и е 9.10. Скалярным произведением вектора а на век
тор Ь называется число
a-b=lal•lb/-cosqJ,
(9.21)
где qJ-угол между а и Ь.
Операция скалярного умножения векторов обладает
следующими свойствами:
1°. а-Ь =Ь•а.
20. a -a=la12. _
3". а-Ь= О тогда и только тогда,
когда векторы а и
Ь взаимно перпендикулярны или же хотя бы один из них
равен О 1).
4°. а•Ь= lal-Ьa, где Ьа означает величину проекции Ь
па ось, направление которой совпадает с направлением а.
5°. (ла)•(Ь)=л•(а•Ь).
6°. а•(Ь+с)=а•Ь+а-с.
Свойства l O , • 2° и 3° вытекают непосредственно из
определения 9.10, а свойство 4°-из этого же определе
ния и формулы (9.4). Для доказательства свойства 5° мы
рассмотримтрислучая: А=О, л>Оил<О.
При А= О левая и правая части доказываемого равен
ства обращаются в нуль.
• При л > О направлеJiия векторов ла и а совпадают,
поэтому равны между собой и углы qJ 1 и qJ 2 , составлен
ные соответственно векторами ла и Ь и векторами а и Ь.
Так как, кроме того, при л>О будет Iла 1=А·1а 1, то
(ла)-Ь=1ла1·1Ь/•cos(JJ1= 'А-1а1•1Ьl•cos(JJ2= л•(а•Ь).
Если же л < О, то векторы 'Аа и а направлены про
тивоположно друг другу, поэтому yrлы qJ 1 и qJ 2 дополняют
друг друга до п, откуда
(9.22)
1 ) Условившись о возможности приписывать нуль-вектору любое
удобное для нас направление, мы могли бы освободиться от этой
пос-лl!днеii части фразы.
24-S
При л < О будет также
1
'А.а1 =
-- л•1а
1.
(9.23)
С учетом (9.22) и (9.23) мы получаем
('А.а) •Ь = 1 'А.а
1
•
1
Ь1
•
cosср1= -
'А.·1al·1 Ь 1
•
(
-
cos ср2)=
= 'J... 1а1•/Ь1•cos ср2='А•(а•Ь).
Для доказательства свойства 6° нам достаточно заме
тить, что, согласно свойствам проекций,
(Ь+с)а = Ьа +са,
после чего выразить левую и правую части 6° по фор
муле 4°. Доказанные свойства позволяют нам при выпол
нении операции скалярного умножения выражений вида
'А1а1+···+'А.тат и μ1Ь1+.··+μпЬп
раскрывать скобки и перегруппировывать слагаемые так,
как если бы речь шла об умножении обычных многочле
нов. Воспользуемся этим замечанием для вывода формулы
скалярного произведения векторов в координатной форме
записи. Пусть
а= (ха; Уа; Za) И Ь= (хь; Уь; Zь)
Переписав (9.24) .в виде
а= Xai +Yaj+ Zak,
Ь= Хьi +Yьj+zьk,
мы после очевидных преобразований получим
а•Ь= (xai +Yai+ Zak)•(xьi +Yьj+zьk)=
= ХаХь (i •i) +хаУь (i ·Л +хаzь (i •k) +УаХь (j- i) +
+YaYь(iJ) +УаZь U•k) +zаХь (k· i) +
(9.24)
+ZаУь(k ·Л+ZaZь(k•k)= ХаХь+УаУь+ZaZь,
ибо, согласно определению 9.10, скалярное произведение
орта любой координатной оси на самого себя равно l,
а скалярное произведение ортов различных координатных
осей равно О. Запишем полученный результат так:
(ха; Уа; Zа)·(Хь; Уь; Zь)=ХаХь+УаУь+ZаZь. (9.25)
Из формулы (9.21) очевидным образом следует, что
а,Ь
cosер=_1а1·1Ь1•
(9.26)
2'1')
Переходя в (9.26) к координатам векторов а и Ь, мы, с
учетом (9.25) и (9.13), получаем
cosqJ=
Хахь + У~Уь + ZaZь
•
V2+2+2V2
2
2
Ха Уа Za• хь+Уь+ zь
(9.27)
Для нахождения угла между двумя векторами, заданными
в координатной форме, чаще всего именно эта формула
оказывается наиболее удобной.
Из свойства 4° мы получаем для величины проекции
вектора Ь на направление вектора а формулу
Ь=а-Ь
(9.28)
а Iа1
Переходя к координатам, мы получаем
Ь _ХаХь+УаУь+Zazь
a-v2
2
2°
Ха+Уа+ Za
(9.29)
Применяя формулу (9.27) для вычисления косинусов
углов, составленных произвольным вектором а= (х; у; z)
с координатными осями, или, что то же самое, с ортами
этих осей, мы, с учетом_ того, что
i=(l;0;0), j=(O; 1;0), k=(O;O; 1), (9.30)
получаем
cosp =
У
,
у х2+у2 +z2
z
cos ,, = -:: -;::::::::;==== ,
(9 31)
,
У x2.+y2+z2
•
где через а, р и у обозначены углы, составленные ве~то-
--+
--+
--+
ром а с осями Ох, Оу и Oz (соответственно). cos а, cos р
и cos "r называют обычно направляющими косинусами век
тора а (относительно данной системы координат).
Случай, когда рассматриваемые векторы мы относим к
декартовой системе координат Оху на плоскости, отли
чается от «пространственного случая» лишь тем, что в
«двумерных аналогах» формул (9.24)-(9.31) исчезают
--+
члены, связанные с осью Oz.
Понятие скалярного произведения распространяется и
на т-мерные векторы (см. п. 9.2.4). Именно, по аналогии
с формулой (9.25) скалярное произведение т-мерных век
торов
и а"= (х~; х;; ... ; х~) (9.32)
250
определяют формулой
(9.33)
«Угол» (j) между векторами (9.32) определяют соотноше
ниями
О~(j)~Л,
а «проекцию» вектора а" на «направление» вектора а' -
формулой
(9.35)
где
Разумеется при т > 3 не следует пытаться истолковать
термины «угол», «направление», «проекция» в привычном
для двумерной и трехмерной геометрии смысле.
9.3 .2 . Векторное умножение. векторов. Для векторов,
расположенных в трехмерном пространстве, кроме рас
смотренной нами в п. 9.3 . l операции скалярного умно
жения, рассматривают еще одну операцию, также назы
ваемую умножением, но теперь уже «векторным». Несколько
забегая вперед и .предваряя соответствующее определение,
отметим, что если прилагательное «скалярное» указывало
на то обстоятельство, что результатом оnерации умноже
ния является число (скаляр), то использование термина
«векторное» связано· с тем, что здесь уже имеется в виду,
что результатом этой новой операции будет служить вектор.
Прежде чем дат"? определение векторного произведе
ния, мы введем одно важное понятие, связанное с взаим
ным расположением в пространстве тройки некомпланар
ных между собой векторов. Подчеркиваем, что все, о чем
идет речь в этом и следующем nyJ;Iктax, относится только
к трехмерному пространству.
Определение 9.ll ..Упорядоченная тройка неком
планарных между собой векторов а, Ь и с называется
правой тройкой, если после приведения их к общему началу
вращение первого из них до совпадения со· вторым через
251
наименьший угол между ними при наблюдении из конца
третьего векпwра представляется происходящим против
часовой стрелки.
Определение левой тройки дается аналогично, с той
лишь разницей, что вращение должно представляться
происходящим по часовой стрелке.
Трехмерная декартова система координат называется
правой, если тройка ортов ее осей i, j, k (именно в этом
порядке)-правая. Аналогично дается определение левой
системы координат. Мы впредь всегда будем использовать
только п р а в у ю координатную систему.
Определение 9.12. Векторным произведением век
тора а на вектор Ь (в указанном порядке) мы будем на
зывать вектор ахЬ такой, что
1. Его длина laxbl=JaJ•lbJ•sinq>, где q>-угол
между а и Ь..
11. а Х Ь перпендикулярен каждому из перемножаемых
векторов.
111. В тех случаях, когда IахЬ 1=I=О, направлениеахЬ
_таково, что тройка а, Ь и (ах Ь)-правая.
Условия 1-III всегда однозначно определяют вектор
ах Ь. Действительно, если а и Ь коллинеарны друг другу
Рис. 9. 18.
(мы включаем сюда и слу
чай, когда один из них
или они оба равны О), то
laxbJ=O, откуда ахЬ=
= О. Во всех остальных
случаях ах Ь, согласно
условию 11, перпендикуля
рен плоскости векторов а
и Ь, условие 111 опреде
ляет одно·из двух возмож
ных направлений на этом
.
перпендикуляре, а условие
!-длину вектора ах Ь. (См. также рис. 9.18.)
Операция векторного умножения обладает следующими
свойствами:
•
1°. ахЬ= -Ьха.
2°. аха =0.
3°. ахЬ=Отогдаитолькотогда,когдааиЬкол
линеарньt друг другу (включая сюда и те случаи, когда
хоть один из них равен О).
4°. (ла) х Ь= л-(ах Ь).
5°. ах (Ь+с)= ахь+ахс.
:252
Свойства ·J 0 ~4° • очевидным образом следуют из опре
дел~ния 9.12 . • Что же касается свойства 5°, то мы его
здесь примем без доказательства.
Заметим, что свойства 1°-5° позволяют нам при век
торном умножении выражения л 1а1 + л2 а2 + ... + л.тат
на выражение -μ 1Ь1 + μ2Ь2 + ... + μпЬп раскрывать скобки
и переставлять слагаемые• так, как если бы умножались
обычные многочлещ,I. Единственная (но весьма существен
ная!) разница состоит здесь в том, что в получившихся
произведениях векторы а; всегда будут являться первыми
сомножителями, а Ьk-вторыми, коль скоро речь идет
о произведении
(л1а1 + л2а2 + ... + л.тат) х (μ1Ь1 + μ2Ь2 + ... + μпЬп).
Рассмотрим теперь, как выполняется операция вектGр·
наго умножения в координатной форме записи. Отметим
сначала, что непосредственно из определения 9.12 следует
справедливость следующей «таблицы умножения» для ортов
координатных осей i, j и k:
•
2-11 сомножитель
1-А сомножитель
Пусть теперь
i
J
k'
i
jk
О
k-j
-k
О
l
j-i
о
а1= (х1; У1; z1) и а2= (х2; У2; z2)-
Перепишем (9.36) в виде
(9.36)
а1 =X1i +Y1i+Z1k, а2 = xzf+Y2l+ Zzk (9.37)
и преобразуем выражение для а 1 х а 2 :
а1 Х а2 = (xii +Y1i+ Z1k) Х (xzi +Y2l+z2k) =
= х1х2(iх/)+Х1У2(ixj)+x1z2 (/хk)+У1Х2(Jxl)+
+У1У2(jxj)+Y1Z2 rJx k)+z1x2 (llхi)+
+z1y2 (kxj)+z1z~ (kХk) = О +x1y2 •k--x1z2 •J-
- Y1X2k +о+ Y1Z2i + Z1X2f-Z1Yal + о. (9.38)
253
Отбрасывая нулевые слагаемые и проводя группировку
относительно i, j и k, мы получаем, что
а1 х a2 =i (y1z2 -z1y2)-J(x1z2 -z1x2)+k (х1у2 -х2у1). .(9.39)
Выражение в правой части (9.39) удобно записывается
в виде определителя
ijk
alХа2.Х1У1Z1
Х2У2Z2
(9.40)
Действительно, разлагая этот определитель по элементам
первой строки, мы и получим как раз правую часть
формулы (9.39).
Правая часть формулы, выражающая длину вектор
ного произведения через длины перемножаемых векторов
и угол между ними, численно представляет собой площадь
параллелограмма, построенного на перемножаемых век
торах. Это обстоятельство может оказаться полезным при
решении ряда геометрических задач с помощью аппарата
векторного исчисления.
9.3.3. Смешанное произведение векторов. Оп редел е
н и е 9.13. Смешанны.м произведением векторов а, Ь и с
(взятых в указанном порядке) называют скалярное произ
ведение вектора ах Ь на вектор с.
Будем считать сперва, что а, Ь и с некомпланарны.
Пусть Q-параллелепипед, построенный на векторах
а, Ь и с, приведенных к общему началу. Согласно (9.21)
(а хЬ)•с = 1а хЬ 1•1с l•cos 0,
(9.41)
где 0-угол между векторами ахЬ и с; laxbl, как мы
видели в п. 9.3.2, представляет собой площадь паралле
лограмма, построенного на а и Ь. Будем рассматривать
этот параллелограмм в качестве основания параллелепи
педа Q. Произведение Iс 1•cos 0 будет представлять собой
тогда высоту этого параллелограмма, взятую со знаком
плюс, если тройка векторов а, Ь, с-правая, и со знаком
минус, если эта тройка-левая.
Мы видим, таким образом, что смешанное произведе
ние (ахЬ)·С представляет собой объем Q, взятый со зна
ком плюс или минус в зависимости от того, правую или
левую тройку образуют векторы а, Ь и с.
Если же а, Ь и с компланарны, то вектор ах Ь,
будучи перпендикулярным векторам а и Ь, окажется
перпендикулярным и ·к с, а тогда (ахЬ)•с=О. Полу-
254
ченная геометрическая интерпретация приводит нас
к следующим свойствам смешанного произведения:
1°.
(ахЬ)•с = (Ьхс)'•а = (сха)•Ь = -(Ьха)•с =
=-(ахс)•Ь=-(схЬ)•а. (Таким образом, любая ци
клическая перестановка перемножаемых векторов сохра
няет величину их смешанного произведения, любая дру
гая их перестановка влечет за собой только перемену
знака этого произведения на противоположный.)
2°. (ахЬ)•С=О тогда и только тогда, когда векторы
а, Ь и с компланарны. Иными словами, равенство сме
шанного произведения векторов нулю является. необхо
димым и достаточным признаком их компланарности.
Пусть а, Ь и с представлены в координатной форме
(относительно какой-нибудь декартовой системы коорди
нат Oxyz):
а=(х1; у1; z1),
Ь= (х2; у2; z2),
тогда, согласно формуле (9.39),
а хЬ = i (Y1Z2-Z1Y2)-j(x1z2-z1x2) +k (Х1У2-У1Х2),
и теперь уже-по формуле (9.25)
(а Х Ь)· С =Ха (Y1Z2-Z1Y2)-Yз (X1Z2-Z1X2) -t-zз (Х1У2-У1Х2).
Правая часть этой формулы может быть записана в виде
определителя
(ахЬ)•с= х2 У2 z2
Х3УзZ3
(9.42)
(Чтобы убедиться в этом, достаточно разложить этот
определитель по элементам третьей строки.)
9.3.4. Замечания о терминологии_ и обозначениях. При
самостоятельной работе с литературой учащийся может
столкнуться с системой обозначений, несколько отличной
от той, которой мы здесь придерживались. Частично об
этом уже шла речь в п. 9.1 .1.
,
Для обозначения скалярного произведения· сомножи
тели заключают иногда в круглые скобки, а для вектор
ного произведения-используют квадратные. В таких
обозначениях (а, Ь) следует понимать как скалярное
произведение а на Ь, а [а, Ь]-как векторное произве
дение этих векторов. Смешанное произведение (ах Ь) •с
записывают иногда, как аЬс. Большое разнообразие су
ществует в способах записи проекций векторов на оси
255
и величин этих проекций. Иногда термин «проекция»
понимают в том смысле, как мы употребляли здесь выра
жение «величина проекции». Смысл такого рода термицов
всегда становится ясен из контекста, так как в одних
случаях речь идет о векторных величинах, а в других
о числах. Вместо термина «перпендикулярность» нередко
употребляют «ортогональность».
ВОПРОСЫ ДЛ,Я ПОВТОРЕНИ.Я К ГЛАВЕ 9
1. Что такое направленный отрезок? В каких случаях мы гово
рим о свободных векторах, скользящих векторах, связанных ве
кторах?
2. Сформулируйте определение понятий коллинеарности и ком
планарности.
3. Дайте определения понятий суммы и разности векторов,
противоположного вектора. Какими свойствами обладают соответ-
ствующие операции?
.
4. Что называется произведением вектора на вещественное
число? Какими свойствами обладает соответствующая операция?
5. Что такое проекция вектора на ось? Величина этой проекции?
Сформулируйте основные свойства проекций.
6. В чем состоит задача разложения вектора по заданным на
правлениям? Всегда ли она разрешима? Сколько различных решений
она может иметь?
7. Что представляет собой декартова система координат в про
странстве? Что такое координата точки, координаты вектора? Как
выражаются координаты вектора через· координаты его начала
и конца?
8. Что такое орты координатных осей? Как следует понимать
записи вида а= (х; у; z)? Каким образом проводятся линейные
операции над векторами в координатной форме?
-+
9. Что значит, что точка С делит отрезок АВ в отношении л?
Приведите примеры. Как можно найти точку, делящую данный
отрезок в заданном отношении?
10. Дайте определение скалярного произведения и перечислите
его осн.овные свойства. Приведите примеры.
11. Как вычисляется скалярное произведение векторов, задан
ных в координатной форме?
12. Приведите известные щ1м формулы для нахождения угла
между двумя векторами и проекции вектора на ось (или-на нап
равление другого вектора).
13. Дайте определение правой и левой тройки векторов. При
ведите примеры.
14. Что такое векторное произведение? Какими свойства-ми оно
обладает?
15. Как вычисляется векторное произведение векторов, заданных
в координатной форме? Приведите примеры.
.
16. Дайте определение смешанного произведения векторов. Ка
кими свойствами оно обладает? В чем состоит его геометрический
смысл? Как вычисляется смешанное произведение векторов, заданных
в координатной форме?
256
УПРАЖНЕНИЯ !( ГЛАВЕ 9
-+-
-->-
1. В правильном ше.:тиуrот.ьнl'lке ABCDEF АВ,._~а 11 ВС=Ь.
-+
-~
---+
--+
--+
_.,
Выразите через а и Ь Fекторы CIJ, DE, EF, FA, AD и АЕ.
2. Треугольник АВС построен на векторах а и Ь так, •по сто-
-+-
-+-
р он а СВ совпадает с а, а сторона СА-с Ь. Выразите через а II Ь
~
-+ -->- ---+-
вектор АВ и векторы AD, ВЕ и CF, сов11адающие с медианами J\aJJ-
нoro треугольника.
3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD (S-вершина)
--+
--+ -
--+
АВ=т, AD=п, AS=р. Выразите через т, n и рвекторы,совпа
дающие с остальными ребрами пирамиды.
4. В прямой т реуrольной призме АВСА 1 В1С1 дано: АА 1 = т,
--+
--+ -
АВ1 = п и АС1 = Р· Выразите через т, п и р векторы, совпадающие
с ребрами этой призмы.
5. Вершины треугольника находятся в точках А (1; 4; 2),
8(3; 2; 6) и С(-1; О; 4). Найдите координаты векторов АВ, ВС
---+
и СА, середины сторон этого треугольника и его центр.
6. Докажите, что координаты центра М любого треугольника
АВС связаны с координатами его вершин форму.~ами
хл +хв+хс
УА-1-Ув+Ус
3
,Ум=-·
3
,zм
7. Точка A(I; 1; 1)-вершинапараллелепипеда,точки 8(2;3;0),
D (U; О; 4) и А 1 (3; 5; 6)-смежные с ней вершины. Найдите коорди
наты остальных 1:<ершин.
---+
-+
8. В пара.1лелоrрамме ABCD диагонали АС= а и BD = Ь. Ка
кому ус.1овию должны удовлетворять а и Ь для того, чтобы ABCD
представлял собой ромб? прямоугольник?
9. Вершины треугольника находятся в точках А (-1; 2; - 1),
В (- 3; 1; 1) и С (О; 4; - 3). Найдите площадь этого треугольника
и его внутренний угол А.
10. Векторы a=2i-j+2k, b=l-t2J-2k и c=3i-6j+2k
совпадают с ребрами пара,ыелепипеда Q, выходящими из одной
вершины. Найдите объем Q и площадь его грани, построенной н;,
векторах Ь и с.
11. Вершины пирамиды находнтся в точках А (2; 3; 3), В (4; 1; 4),
С(-5;7; - 1)иD(5; - 3; 5). НайдитеееобъемиплощадьграниАВС.
12. Проверьте, расположены ли точки А (1; О; 1), В (4; 4; 6),
С (2; 2; 3) и D (10; 14; 17) в одной плоскости.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 9
1. Проделав дополнительные построения (рис. 9.19), мы находим,
--+
---+
---+
---+
-- +-
~
-+-
что CD=HC=BC-BH=b-a. Далее DE=-AB=-a, ЕР=
--+
---+
---+-
---+
---+
=-ВС=-Ь, FA=-CD=a-b, АD=2-ВС=2Ь (другой способ·
---+
---+
- --+
-- +-
---+
-- -+-
--+
- --+
---+
АD=АВ+вс+СD=а+Ь+(Ь-а)=2Ь), AE=AF+FE=-FA-FE =-
=-а+ь+Ь=2Ь-а.
9 П/ред. Н. М. Матвеева
257
2. АВ=а-Ь, АD=АВ+ВD=а-ь+ (--1⁄2-а)=~ а-Ь,
-►1
---,..
1
1
ВЕ= 2 Ь-а, CF=2 а+2 Ь.
---➔-
---+
--,..
-+
-- -+-
--э,.
-+
3. BC=n, DC=m, SB=AB-AS=m--p, SD=n-p, SC=
=m+n-p .
-+----+-
___. .
~
~~
4. AB=A1B1 =n-m, АС=А 1С1 =р-т, ВС=В1С1 =р-п.
---,..
-+
-
BB1 =CC1 =AA1 =m.
---,..
-
5. По формулам (9.9'): АВ=(2; --2; 4), ВС=(-4; -2; -2),
-+
СА=(2; 4; -2). Середины сторон ВС, СА, АВ находим по форму
А
f
[
Рис. 9.19.
-+
---,..
АВ-АС
лам (9.18'): D(1; 1; 5), Е(О; 2; 3), F(2; 3; 4).
Центр треугольника М (точка г.ересечения его
-
медиан) делит медиану AD в отношении '),, = 2.
Поэтому х хп+2хv= 1 у _УА +2Yv_
м 1+2
'
м-1+2-
zA -t-2zv
=2,zм = l-t-2
4.
1. С(1; 2; 3), 81(4; 7; 5), С1(3; 6; 8),
D1 (2; 4; 9).
8. Для ромба а-Ь=О; для прямоугольника
lal=IЬJ.
-+
9. Соглапю (9.9') ЛВ=(-2; - 1; 2);
---,..
-+
АС=(!; 2; -2), ВС = (3; 3; -4). Находим
-+
-
косинус угла (j) между векторами АВ и АС:
cos(р = --,----
1AВ l•IAC/
- 2-1 +(-1)-2+2-( -2)
-:V:г=(===;2==>~=-=г=<==;:1==р=+=2==2:--.-----:-:У;:::;1=-=2 =+=:,.=-= _2=+=(=2=)2 -
---,..
---,..
---,..
Так как JАВ/2+1АС12= 18<1ВС12= 34, то угол 1 втреуголь
нике АВС тупой. Значит, (j)-искомый внутреннии угол: (j) =
=arccos (- 8/9) =:rt-arccos (8/9) =2,668. Найдем векторное произвс-
-,.
---,..
дсние АВХАС:
ij
k
АВХАС= -2
-1
2 =-2i-2j-3k.
12-2
Его длина \АВХ.АС/= У(-2)2 +(-2) 2 +(-3)2 = }117
пяет собой площадь параллелограмма, построенного на
Значит, площадь треугольника АБС= Vl7/2.
,f
Ii
...,
/ представ-
АВиАС.
10. (axb),c=I~
-~
_ ;, =-32. Объем равен 32. ЬХс=
3-6
2
=(-8; -8; -12)=-4•(2; 2; 3), \ Ьхс \=4• }117, откуда S=4 J/T?.
11. Объем пирамиды равен 1, площадь грани АВС= }153/2.
12. Указ ан и е. Использовать условие компланарности тройки
---,..
---,..
---,..
_ве~ rоров применительно к АВ, АС и AD.
ГЛАВА 10
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 10.1 . Тригонометрические функции числового
аргумента и их простейшие свойства
10.1.1 . Радианное измерение дуг и углов. Рад и а Н•
на я мер а дуг и и угла. В курсе математики восьми
летней школы изучались различные единицы измерения
углов и дуг: прямой угол d, градус, минута, секунда:
d=90°, 1°=60',
1'=60",
l 0 =d/90,
1'= (1/60) 0 , 1"=(1/60)'.
В дальнейшем мы будем приме
нять еще одну единицу измерения
дуг и углов-радиан.
Из геометрии известно, что длины
дуг /i и /2 двух концентрических -
окружностей, соответствующих одно
му и тому же центральному углу,
пропорциональны их радиусам R 1 и
R 2 (рис. 10.1)
!1
!2
R1 =°Jf;'
у
Аг
Рис. 10.1.
т. е. при одном и том же центральном угле отношение
длины дуги окружности к ее радиусу не зависит от ве
личины радиуса. При изменении центрального угла вели
чина этого отношения изменяется·. Поэтому отношение
l/R может служить мерой дуги и соответствующего ей
центрального угла.
О п редел е н и е 10.1 . Отношение длины дуги окружно
сти l к длине ее радиуса R называется радианной ме
рой а этой дуги
9*
(10.1)
259
При радианном измерении дуг за единицу измерения
принимается дуга, длина которой равна радиусу этой
дуги. Эта дуга называется радианом (рис. 10.2).
Определение 10.2 . При радианном измерении
углов за единицу измерения принимается центральный
угол, опирающийся на дугу в один
у
радиан. Такой угол также называет
ся радианом.
Число радианов в данной дуге
(соответствующем ей центральном уг-
А ле) будет радианной мерой этой дуги
-+--...,0+------о--- (соответствующего ей центрального
х угла).
Рис. 10.2 .
Из формулы ( 1О .1) следует, что
окружность имеет радианную меру
2л радианов:
2лR
а=IГ=2:тt.
Полуокружности соответствует л радианов.
Формула перехода от градусногоизмере
н и я к радианному. Пусть дуге в а градусов соот
ветствует дуга в а радианов, тогда из пропорции
180° л
--=-
а
а
получим формулу перехода от градусного измерения к ра
дианному:
л:
а= 1800 а.
(10.2)
При et= 1° по формуле (10.2) получим радианную меру
дуги в 1°:
а= 1; 0 1°~0,0175 радиана.
Величину дуги (угла), выраженную в радианах, принято
записывать числом без наименования. Например, вместо
«дуга равна 0,8 радиана» пишут «дуга 0,8».
Применяя формулу (10.2), составим таблицу зависи
мости между градусной и радианной мерами для некото
рых часто встречающихся дуг (углов):
260
Градусы 1 30°
1
45°
1
600 1900 1180°1270°1360°
Радианы
:rt
:rt
1
:rt
:rt
3:rt
6
4
3
2
:rt
2
Пр им ер 10.1 . Найдите радианную меру дуги 210°,
По формуле (10.2) получим
:rt
210° 7:rt
а= 180° •
=т.
2:rt
Пр им ер 10.2 . Найдите по таблице радианную меру угла
115°17'. По таблице XVI В. М. Брадиса находим
90°
1,5708
25°18''
0,4416
-1''
-3 (поправка на 1' вычитается).
2,0121
Формула перехода от радианного изм~
рения к градусному. Из формулы(lО.2),выражаяа
через а, получаем формулу перехода от радианного изме
рения к градусному
180°
CG=--• а.
:rt
(1О .3)
При а= 1 радиану по формуле (10.3) получим градусную
меру 1 радиана:
CG= 1800
• 1 ~ 57°17'44",8 ~ 57°,3,
л
Пр и мер 10.3 . Найдите градусную меру угла, равного 7л/4
р:эдиана. Jlo формуле (10.3) получим
а= 1~00
.
7: =3150.
Пр им ер 10.4 . Найдите градусную меру дуги, равной 0,8715
радиана.
По таблице XVI В. М. Брадиса находим
49°54'
0,8709
6
2'' (поправка на 0,0006 радиана).
------4""'9""
0 5=-,6;-: -'
Длина дуги ·окружности. Из формулы (10.1)
получаем формулу для вычисления дуги окружности, из
меренной в радианах
l=a•R.
(10.4)
261
Длина дуги окруж;ности равна радиашюй 1rtepe дуга,
ушюженной на радиус этой дуги.
При R = 1 длина дуги равна ее радианной мере. Это
обстоятельство делает радианную меру весьма удобной
д,1я вычисления длин дуг.
П р и м е р 10.5. l(олесо радиуса 0,35 м повернулось на угол
72°36''. Найдите длину пути, пройденного точкой на ободе колеса.
Ре ш е н и е. По формуле (10.4) находи111
l ~ 0,35-1,27 ~ 0,443 ~ 0,44 (м).
По таблице В. М. Брадиса радианная мера угла 72°36' взята при
ближенно с тремя значащими цифрами (1,27). Одна цифра взята
запасной, так как радиус колеса дан с двумя значащими· цифрами.
Формула длины дуги, измеренной градусной мерой,
имеет менее удобную форму для ее вычис-ления:
(10.5)
Площадь кругов1:>rо се~тора. EC'JIИ централь
ный угол измеряется градусной мерой, то площадь сектора
находим по формуле
(10.6)
Если центральный угол измеряется в радианах, то,
подставив"&формулу (10.6) значение сх из формулы (10.3),
получим более простую формулу для вычисления площади
сектора
:лR 2 180"
12
Sсект= звоо •~.а=z aR .
(1о.7)
Пр им е р 10.6. Вычислите площадь сектора круга радиуса
0,76 м, если радианная мера дуги сектора равна 1, 12 радиана.
Решение. Площадь сектора вычислим по формуле (10.7)
Sceк:r= 1•d 2 • 0,762 ~ 0,56-0,578 ~ 0,324 ~ 0,32 (м2).
Линейная скорость при в-ращательном
движении. Во вращательном движении твердого тела
вокруг неподвижной оси различают две сr<орости: линей
ную и угловую.
Скорость любой точки твердого тела во вращательном.
движении называется линейной скоростью.
262
Линейная скорость v при равномерном двщкении точки
по окружности радиуса R выражается формулой
2лR
V =-у-'
(10.8)
где Т-период вращения-время (в секундах), за кото
рое совершается один полный оборот точки.
ЗаJ3исимость линейной скорости v от R и п - чис,1а
оборотов, совершаемых точкой в l секунду, выражается
формулой
V= 2лRп.
(10.9)
Зависимость между числом оборотов в секунду п и
периодом вращения связаны соотношением
1
Т=-.п
(10.10)
Пр им ер 10.7 . I(олесо, ~адиус которого 0,45 м, в минуту со
вершает при равномерном вращении 120 оборотов. Найдите линей
ную скорость точки, находящейся на ободе колеса.
Реше н и е. Находим число оборотов n секунду
120
n=м=2.
По формуле (10.9) вычисляем линейную скорость точки на ободе
колеса:
v=2л:•О,45•2=1,8л: (м/с).
Пр им ер 10.8. Найдите период вращения точки колеса, нахо,
дящейся от его центра на ·расстоянии 0,61 м и вращающейся равно
мерно с линейной скоростью 5,8 м/с.
Решение. Из формулы (10.8) находим Т и подставляем в най
денное выражение для Т числовые значения R и v:
Угловая скорость при вращательном
движении. У гол, на который поворачивается радиус
любой точки равномерно вращающегося твердого тела
за 1 секунду называется угловой скоростью. Угловая ско
рость выражается в радианах в секунду.
Зависимость между угловой скоростью ffi и периодом
вращения Т выражается формулой
2л рад
ffi=y-c- •
(10.11)
263
Зависимость между угловой скоростью ro и числом
оборотов в секунду п находится по формуле
ro = 2лп.
(10.12)
Линейная скорость v точки, находящейся на расстоя
нии R от оси вращения и ее угловая скорость ro связаны
соотношением
V=WR.
(10.13)
При неравномерном вращении твердого тела его угло
вой скоростью w называется скорость изменения угла ер
за время t. Угловая скорость в этом случае есть произ
водная угла поворота ер по времени t
d<p рад
W= dt-c-·
(10.14)
Угловое ускорение в есть производная от угловой ско
рости ro по времени t
dro рад
8=Тtс2·
(10.15)
Пр им ер 10.9 . Найдите угловую скорость и период вращения
равномерно вращающегося вала, делающего 540 оборотов в минуту.
Реше н и е. Находим число оборотов в секунду и подставляем
найденное значение в формулу (10.12):
540
n= 60
=9 оборотов в секунду,
ro=2:rt•9= 18:n: рад.
с
Подставив значение п = 9 оборотов в секунду в формулу (10.10),
получим период вращения вала
Т=1/9 (с).
Пр и мер 10.10 . Найдите угловую скорость равномерно вращаю
щегося колеса с радиусом 0,81 м, если линейная скорость точки
на его окружности равна 324 м/с.
Решение. Выразив из формулы (10.13) угловую скорость ro
и подставив в полученную формулу числовые значения v и R,
получим
-~- 324
_
400 рад
ro- R
-0,81-
с•
Пр им ер 10.11 . Колесо радиуса 1,25 м равномерно вращается
с угловой скоростью 12 радианов в секунду. Вычислите линейную
скорость в точке на внешней части обода колеса.
Решен и е. По формуле (10.13) получим
V= 12-1,25= 15 (м/с).
264
Пр им ер 10.12 . Тело вращается вокруг оси по закону
(j) = 101- 12 • Найдите: 1) угловую скорость вращения в момент t = 4 с;
2) угловое ускорение в момент t = 4с; 3) момент, когда прекратится
вращение.
Решение. 1) По формуле (10.14) найдем угловую скорость
вмоментt=4с
w= ~~ = I0-2t,
2) По формуле (10.15) найдем угловое ускорение в момент t=4c:
в=dw =-2 рад .
dt
с
3) Положив w = О, найдем t
10-21 =0,
t=5 с.
Вращение прекратится в конце 5 с.
10.1.2. Обобщение понятия дуги (угла). Коорди
натная плоскость. Единичная окружность.
В прямоугольной системе координат хОу построим круг
с центром в начале координат и с радиусом, равным 1.
Будем называть этот круг единич
ным кругом, а его окружность еди
ничной окружностью. Уравнение
единичной окружности х2 +у2 = 1.
и 11,
вz
Точку А (1; 0)-точку пересе
чения единичной окружности с осью -":r'-Q---+--..,;-f-_._,-.::.O~A;-:.;(f.'-";Oc.:э~..
Ох примем за начало отсчета дуг, С
Zr. ;с
а положительную полуось Ох-за
начальную сторону центрального
угла, образуемого подвижным р а-
--, .
диус-вектором ОМ 1 ) с осью
---,..
Ох. Радиус-вектор ОМ будет соот-
Jtt о
2
Рис. 10.3 .
ветственно конечной стороной центрального угла L АОМ
(рис. 10.3).
Положительные и отрицательные дуги и
--,..
углы. Вращение радиус-вектора ОМ от положительной
полуоси Ох против движения часовой стрелки назовем по-
ложительным, а дугу iм, образуемую концом радиус-век-
--, .
тора ОМ, и соответствующий этой дуге центральный угол
L АОМ положительными (рис. 10.3). Вращение радиус-
--, .
вектора ОМ от положительной полуоси Ох по часовой
1) Радиус-вектором точки М называется вектор, началом кото
рого является начало координат, а концом данная точка М.
265
стрелке назовем отрицательным, а дугу ADM, образуемую
концом радиус-вектора ОМ, и соответствующий дуге
центральный угол L ADM отрицательными.
Если отсчет дуг вести против движения часовой
стрелки, то дуга АВ= л/2, АВС= л, АВD= Зл/2 и
АНА = 2:п:. Если отсчет дуг вести по часовой стрелке, то
дуга M=-n/2, ADC=-n, АDВ=-Зл/2 и ADA=
= -2-л. Дуга, равная нулю (нулевая дуга), имеет совпа
дающие точки А и М. Центральный угол равен нулю,
----, .
---+
если радиус-векторы ОА и ОМ совпадают.
Дуги первой четверти заключены в промежутке (О, л/2),
второй- (n/2, л), третьей- (n, Зл/2) и четвертой -
(Зn/2, 2-л).
Дуги и углы, большие 2л (360°). Во многих
задачах приходится рассматривать вращения, большие
полного оборота (вращение пропеллера, маховика и т. п.).
Такие задачи были рассмотрены в предыдущем пункте.
Поэтому понятие дуги (угла) необходимо обобщить: ввести
дуги (углы), большие полного оборота (большие 2-л).
Пусть точка М (конец радиус-вектора ОМ), вращаясь
в положительном направлении от нача.Тiа отсчета дуг -
точки А, совершила один полный оборот, а затем описала
дугу АМ = ai (рис. 10.3). Тогда общая дуга а, которую
описала точка М (угол, на который поверну-лея радиус-
вектор ОМ), будет а= 2n +а1 , где а1 Е (О, 2-л) (в градусной
мере а= 360° + а1 , где а1 и а рассматриваются в гра
дусной мере).
Существует бесконечное множество дуг (углов), имею
щих данное начало А и данный конец М (данные началь
ную и конечную стороны угла).
Множество этих дуг (углов) как положительных, так
и отрицательных можно записать общей формулой
a=2nk+a1 (cx=360°k+o:1),
(10.16)
гдеа1Е(О,2n)иkЕZ.
Пр им ер 10.13. Укажите на единичной окружности точку М
дуги .дм"= 19л.
Решение. По формуле (10.16) получим 19л=2л-9+л. Конец
дуги АМ будет в точке М (-1; G}.
•
266
.Пр им ер 10.14 . Запишите, применяя формулу (10.16), дугу 2050°,
Решение. 2050° :360° = 5 (остаток 250°), следовательно,
2050°=360°,5j-25a0
(k=5),
Пр им ер 10. 15. Запишите, применяя формулу (10.16),
угол -1490°.
Р е ш е н и е. -1490°: 360° = -4 (остаток -50°), следовательно,
-1 190° = з60° (-4)-50° или
-1 490° = 360°-( -5) +310°.
Пр им ер 10.16. Записать в общем виде концы дуг единичной
окружности: а) абсциссы. которых равны нулю; б) ординаты которых
равны нулю.
Решение. Концы дуг л/2 и 3n/2 имеют абсциссы, равные
нулю, следовательно, множество концов дуг с абсциссой, равной
-
л
нулю, запишется формулой т+лk, kEZ. Концы дуг о и :rt имеют
ординаты, равные нулю, с;ледовательно, множество концов дуг с ор
динатой, равной нулю, запишется формулой лk, kEZ.
Пр им ер 10.17. Записать в общем виде дуги, оканчивающиеся
в точках А(I; О), В(О; 1), С(-1; О) и D(О; -1) единичной ок
ружности.
r> еше ни е. Дуги, оканчивающиеся в точке А (l; О), имеют
общий вид 2:rtk (360° -k). При k = О имеем дугу, равную нулю, при
k= 1-дуrу 2:rt, при k=2-дyry 4л и т. д. Дуги, оканчивающиеся
в точке В (О; 1), записываются формулой :rt/2+2:rtk (90°+360°-k).
При k=0 имеем дугу :rt/2, при k= 1-дугу 5л/2, при k=-1-дyry
-3л/2 и т. д. Дуги, окан,швающиеся в точке С (-1; О), записы
ваются формулой л+2:rtk=л (2k+ 1) (180° (2k+ 1)). При k=0 имеем
дугу :rt, при k=l-дyry 3:rt, при k=-1-дyry -:rt и т. д. Дуги,
оканчивающиеся в точке D (О; -1), записываются формулой
- : rt/2+2:rtk (-90°+360°k). При k=0 имеем дугу -:rt/2, при k= 1-
дуrу 3:rt/2 и т. д.
Пр им ер 10.18. В каких точках единичной окружности окан
л
чиваются дуги вида 2 • k?
Решен и е. Этой формулой записываются дуги, оканчивающиеся
в точках А, В, С и D единичной окружности (см. рис. 10.3).
Единичная числовая окружность. Пусть
каждому действительному числу а: на единичной окруж-
ности соответствует точка М (а:)-конец дуги АМ, для
которой дуга АМ имеет величину а:.
Такую единичную окружность будем называть число
вой единичной окружШJсmью. Для числовой единичной
окружности должны быть заданы: начало отсчета А, по
ложительное направление движения и единица измерения
дуг-радиус этой окружности.
Длина всей числовой единичной окружности равна 2л.
Поэтому, если два числа отличаются друг от друга на
целое кратное 2:п:, то им на числовой единичной окруж
ности будет. соответствовать одна и та же точка. Если
два числа соответствуют одной и той же точке числовой
единичной окружности, то их разность будет кратной 2:п:.
267
Установим соответствие между точками числовой оси
и точками числовой единичной окружности. Каждому дей
ствительному числу а на числовой оси соответствует
точка Р (а) и на числовой единичной окружности -
точка М (а), причем каждой точке числовой оси соответ
ствует одна и только одна точка числовой окружности.
Это соответствие можно представить «наматыванием»
в положительном или отрицательном направлении число
вой оси на числовую единичную окружность, начав нама
тывание от их общих нулевых точек (О на числовой оси
и точка А (1; О) на числовой единичной окружности).
В то же время каждой точке числовой окружности на
чисJювой оси соответствует не одна, а бесконечное мно
жество точек числовой оси, что можно установить каче
нием числовой единичной окружности (вправо или влево)
по числовой оси, начав качение от совмещенных их нуле
вых точек.
10.1.3. Определение тригонометрических функций
числового аргумента. Определение тригономет
рических функций числ о в ого аргумент а.
Области их определения. Ограниченность
и неограниченность тригонометрических
!J
111 sina, A(1,'0J
Рис. 10.4 .
функций. Каждому действитель
ному числу а соответствует един
ственная точка М(а) на числовой
единичной окружности х2 + у 2 = 1
и каждая точка М (а) этой окруж
ности однозначно определена ее
абсциссой и ординатой, т. е. абс
цисса и ордината есть функции
числаа:Х=f(а)иу=ер(а), при
чем абсцисса и ордината по абсо
лютной величине не больше едини
цы (lxl~ 1 и IYI~ 1).
Определение 10.3. Абсциссах точки М(а) число
вой единичной окружности называется косинусом числа а
(рис. 10.4)
COS СХ= Х.
(10.17)
Определение 10.4. Ордината у точки М (а) чис
ловой единичной окружности называется синусом числа а
(рис. 10.4)
sin а= у.
(10.18)
268
Функции cos а и sin а определены для любого действи
тельного числа а, следовательно, их области определения
(-оо, +оо).
Функции cos а и sin а ограничены, так как каждая
из них может принимать любое числовое значение,
не превосходящее по абсолютной величине единицу:
1
cosа1~lиIsinа1~l,т.е.множествозначенийфунк-
ций cosa и sina принадлежат промежутку [-1, 1].
Определение 10.5. Отношение синуса числа а
к его косинусу называется тангенсом числа а:
t
sin а
gIX= cosa •
(10.19)
Следовательно, tg а есть отношение ординаты точки
М (а) числовой единичной 01:ружности к ее абсциссе.
sin а
Функция tg а= -- не определена для тех значений
COS GG
аргумента а, когда cos а= О (абсцисса х равна нулю),
т. е. тангенс не определен для значений аргумента
л +Зл
М
•
±2,
_
2, ...
ножество значении аргумента а, для
которых cos а= О, записывается формулой а= ~ + лk,
k Е Z. Следовательно, область определения тангенса----,-все
л
вещественные числа, кроме чисел вида 2 +nk, k Е Z.
Область изменения функции tg а-множество всех вещест~
венных чисел, т. е. тангенс не ограничен.
В точке А ( 1; О) числовой единичной окружности про
ведем касательную, выбрав на ней положительное на
правление, одинаковое с положи-
тельным направлением на оси Оу.
!!
N
За начало отсчета на этой оси, ко
торую назовем осью тангенсов, при
мем точку А (1; О) (рис. 10.5).
Пусть точка М (а)-любая точ-
ка числовой единичной окружности
.с
(точки (О; 1) и (О; -1), т. е. точ
ки, лежащие на оси Оу, исключа-
--+
ются). Продолжив радиус ОМ до
пересечения с осью тангенсов, по-
Рис. J0.5.
лучим на этой оси точку N (если
точка М (а) лежит на оси ординат, это построение вы
полнить нельзя). Точка N лежит на оси тангенсов выше
точки А, если точка М (а) лежит в первой или третьей
269
четвертях и ниже точки А, если точ1<а М (а) лежит во
второй или четвертой четвертях.
Из пропорциональности сторон треугольников OMMi
и ON А (рис. 10.5) имеем
уANAN
tga=~=oл=-1 =AN, tga=AN.
Тангенс числа а равен ординате точки N (ординате точки
---,.
пересечения продолженного радиуса ОМ с осью танген
сов). Таким образом, каждой точке М (а) числовой еди
ничной окружности (за исключением точек (О; 1) и
(О; -1 )) соответствует точка на оси тангенсов.
Определение 10.6. Отношение косинуса числа а
к его синусу называется котангенсом числа а:
cos а
ctga=-. -.
SIП CG
(10.20)
Следовательно, ctg а есть отношение абсциссы точки
М (а) числовой единичной окружности к ее ординате.
ф
t
cosa
"
ункция с g а= sin а не определена для тех значении
аргумента, для которых siп а= О (ордината у равна нулю),
т. е. котангенс не определен для значений аргумента О,
л, 2л, ... Множество значений аргумента а, для кото
рых sin а= О, записывается формулой а= nk, k Е Z. Сле-
р
х
Рис. 10.6.
оси, которую назовем
(О; 1) (рис. 10.6).
довательно, область определения
котангенса -все действительные
числа, кроме чисел вида nk. Об
ласть изменения функции ctg а
множество всех действительных чи
сел, т. е. котангенс не ограничен.
В точке В (О; 1) числовой еди
ничной окружности проведем каса
тельную, выбрав на ней положи
тельное направление, одинаковое
с положительным направлением на
оси Ох. За начало отсчета на этой
осью котангенсов, примем точку В
Пусть точка М (а)-любая точ1<а числовой единичной
окружности (точки (1; О) и (-1; О), т. е. точки, лежа-
-- ,.
щие на оси Ох, исключаются). Продолжив радиус ОМ
до пересечения с осью котангенсов, получим на этой оси
точку Р (если точка М (а) лежит на оси абсцисс, это
270
построение выполнить нельзя). Точка Р лежит на оси
котангенсов правее точки В, если точка М (а) лежит
в первой или третьей четвертях и левее точки В, если
точка М (а) лежит во второй или четвертой четвертях.
Из пропорциональности сторон треугольников OMMi
и ОВР (рис. 10.6) имеем
хВРВР
ctga= У=08=-
1 = ВР, ctga= ВР.
Котангенс числа а равен абсциссе точки Р (абсциссе
->-
точки пересечения продолженного радиуса ОМ с осью
котангенсов). Таким образом, каждой точке М (а) число
вой единичной окружности (за исключением точек ( 1; О)
и (-1; О)) соответствует точка Р на оси котангенсов.
Кроме первых четырех тригонометрических функций,
рассматриваются еще две функции: секанс и косеканс,
которые применяются значительно реже.
Определение 1О.7. Величина, обратная косинусу
числа а, называется секансом числа а:
'
1
secа=-- .
(1.0 .21)
cos а
1
Функция sec а= ёоsа не определена, как и tg а, для
значений аргумента ~ + лk, k Е Z. Следовательно, область
определения секанса - все действительные числа, кроме
n
чисел вида 2 + лk.
Определение 10.8 . Величина, обратная синусу
числа а, называется косекансом числа а:
1
cosec а= -.- .
SIП а
(10.22)
1
Функция cosec а=-.- не определена, как и ctg а,
SIП а
для значений аргумента лk, k Е Z. Следовательно, область
определения косеканса-все действительные числа, кроме
чисел вида лk.
Знаки значений тригонометрических
фу н к ц~и й. Из определения косинуса и синуса следует,
что знак косинуса совпадает со знаком абсциссы точки
М (а) числовой единичной окружности, а знак синуса -
со знаком ординаты точки М (а)'. Знаки тангенса и котан
генса находим по знакам синуса и косинуса одного и
того же аргумента.
271
] Чет-
1cosаIsinа1tgа1ctgа
а
верть
аЕ(о, ;)
1
1
+++
1+
аЕ(~, п) 11
-
+-
-
аЕ (п, з;) 111
-
-
++
аЕ (3;, 2n)
IV
+
1
-
-
-
10.t.4 . Вычисление числовых значений тригонометри
ческих функций для некоторых значений аргумента. В ы
числение числовых зна
чений тригонометриче
с к их функций для зна
чений аргумента: О, л/2,
л, Зл/2, 2л. На числовой еди
ничной окружrюсти (рис. 10.7)
х каждому из значений а: О, л/2,
IJ(0,' -1)
Рис. 10.7.
1) cos0= 1, sin0=0,
:rt, 3:rt/2 и 2л соответствует опре
деленное числовое значение cosa
и sinа.
Из определений тригономет-
рических функций следует:
t
sinО О
g0=-
0=-
1 =0, ctg0 не оп
соs
s!n п
ОО
3) cos:rt=-1, sinл=0, tg:rt=--= -1 =
, ctgл не
cos 1t
-
определен.
272
4)ЗлО•Зл
lt3:rt
,
tЗл
cos2 =
,sш2=-
,
g2 неопределен,сg2 =
Зл
cos -2-
О
= ---:--зл=-1=о.
S!П 2
.
t
sin2л О
5) соs2:п:= 1, sш2:rt=0, g2n=-
2-=-
1 =0, ctg2:п:
•
cos Jt
не определен.
•
Вычисление числовых значений тригоно
метрических функций для аргумента :п:/6. На
числовой единичной окружности построим дугу АМ = :п:/6
(рис. 10.8). В 6М 1 OМ угол M 1OM=:rt/6, ОМ= 1,
у
у
Рис. 10.8 .
Рис. 10.9 .
У= М 1 М = 1/2 (свойство катета, лежащего против угла
:п:/6 (30°)). По теореме Пифагора вычислим Х= ОМ 1 =
= V 1-(l /2) 2 = VЗ/2. Применив определения тригономет
рических функций, получим
луз.лI
лIуз
лv-·
COSб-2
,SIПб=2,tgб-УЗ
-
З,ctgб- 3.
Вычисление числовых значений тригоно
метрических функций для аргумент а :п:/4.
На числовой единичной окружности построим дугу
АМ = :п:/4 (рис. 10.9). В 6 М1ОМ угол М1ОМ= :п:/4,
ОМ= 1, 0Mi=M1 M=x=y. По теореме Пифагора имеем
х2 +х 2 = 1, откуда х = V2;2. Применив определения три
гонометрических функций, получим
лу2
cos4=-
2-,
.
лу2
sшт=-2-• tg: = 1,
273
Вычисление числовых значенийтригоно
метрических функций для аргумент а n/3.
На числовой единичной окружности построим дугу АМ =
=
n/3 (рис. 10.10). В 6 М1ОМ угол М1ОМ= n/3, ОМ= 1,
Х= ОМ1 = 1/2 (свойство катета, лежащего против угла
!!
n/6 (30°)). По теореме Пифагора
вычислим: y=M1M=Vl-(l/2)2 =
= Vз12.
Применив определения
...
тригонометрических функций, по-
t-----:а-1г.:---6-~А~(~~0,~~~ лучим
Рис. 10.10.
:n:
1
cos з=т,
.
л: уз
SIПЗ= -Г-,
:rt
v-
tgз= 3,
л:1уз
ctgз=уз = -3-•
Таблица эначений тригонометрических функ
ц и й для наиболее часто встречающихся значений
аргумента
l~j
о
1:1~1;1
п
j1
Зn
1
2n
2
п
2
я
т
Синус
о
1У2уз1
о
-1
о
-
-2-
-2-
2
Косинус
1
узу21
о
-1
о
1
-2- -2- 2
уз
не опре-
не оп-
Тангенс
о
1уз
о реде- о
-3-
делен
лен
не опре-
уз
не оп-
не оп-
Котангенс делен уз 1 -3 -
о
реде-
о реде-
лен
лен
1О. 1.5. Изменение тригонометрических функций при
возрастании аргумента от О до 2л. Изменение фу н к
ц и и cos CG. Изменение cos CG при возрастании аргумента а
от О до 2n легко проследить по изменению абсциссы дви
жущейся точки М (а) по единичной числовой окружности
rз положительном направлении от точки А (1; О).
В I четверти при возрастании аргумента а в проме
жутке [О, л/2] абсцисса точки М (а) принимает положи
тельные значения и убывает от 1 до О. Следовательно,
274
при возрастании аргумента в промежутке [О, n/2] коси-
нус убывает от 1 до О (рис. 10.11 ).
•
Во II четверти при возрастании аргумента а в проме
жутке [n/2, :п:] абсцисса точки М (а) принимает отрица
тельные значения и убывает от
О до -1. Следовательно, при
возрастании аргумента в про
межутке [:n:/2, n] косинус убы
ваетотОдо-1.
В II I четверти при возра
стании аргумента а в проме
жутке [:п:, 3:п:/2] абсцисса точки
М (а), оставаясь отрицательной,
возрастает от -1 до О. Следо
вательно, при возрастании ар
гумента в промежутке [:п:, ЗЛ/2]
I<осинус возрастает от -1 до О.
,у
вrо·1
)
(ct1)
С(-1,·0,
A(t;O)
i!l
/1(rr:5}
(r:&g}
'--
.ло;-1;
7
Рис. 10.11.
В IV четверти при возрастании аргумента а в про
межутке [3:п:/2, 2л:] абсцисса точки М (а) принимает поло
жительные значения и возрастает от О до 1. Следо
вательно, при возрастании аргумента в промежутке
[3:п:/2, 2:п:] косинус возрастает от О до 1.
Полученные результаты представим таблицей.
Четверть r
1
1
11
1
111
1
IV
:п;
:п;
3:rt
2л
а,
2
/
2
/
/
:п;
/
Зл
о
2
:п;
2
убывает
убывает
возрастает
возрастает
cos а,
1
о
о
1
\i
\i
/
/
о
-1
-1
о
Изменение функции sin а. Изменение sin а при
возрастании аргумента а от О до 2:п: рассмотрим по изме
нению ординаты движущейся точки М (а) по единичной
числовой окружности в положительном направлении от
точки А (1; О) (рис. 10.11).
В I четверти при возрастании аргумента а в проме
жутке [О, :n:/2] ордината точки М (а) принимает положи-
275
тельные значения и возрастает от О до 1. Следовательно,
при возрастании аргумента в промежутке [О, л/2], синус
возрастает от О до 1.
Во II четверти при возрастании аргумента а в про
межутке [л/2, л] ордината точки М (а), оставаясь поло
жительной, убывает от 1 до О. Следовательно, при воз
растании аргумента в промежутке [л/2, л] синус убывает
ОТ1ДО0.
В III четверти при возрастании аргумента а в про
межутке [л, Зл/2] ордината точки М (а) принимает отри
цательные значения и убывает от О до -1. Следовательно,
при возрастании аргумента в промежутке [ л, Зл/2] синус
убывает от О до -1.
\
В IV четверти при возрастании аргумента а в про
межутке [Зл/2, 2л] ордината точки М (а), оставаясь отри
цательной, возрастает от -1 до О. Следовательно, при
возрастании аргумента в промежутке [Зл/2, 2л] синус
возрастает от -1 до О.
Полученные результаты представлены таблицей:
Четверть 1
1
1
11
1
111
1
IV
:rt
:rt
3:rt
2:rt
а
2
/
2
/
/
:rt
/
3:rt
о
2
Зt
2
возрастает
убывает
убывает
возрастает
sin а
1
1
о
о
/
~
~
/
о
о
-1
-1
Изменение функции tga. Пусть аргумент а
возрастает в промежутке [О, л/2). Выше мы установили,
что в промежутке [О, л/2) синус возрастает от О до 1,
а косинус убывает от 1 до О. Из убывания косинуса
1
следует, что -- в промежутке [О, л/2) возрастает. Тан
соsа
гене является произведением двух положительных воз-
ф"t
sin а
.
.
1
растающих ункции: g а= ёоsа = sш а,. cos а, следова-
тельно, в промежутке [О, л/2) тангенс также возрастает.
Для значений аргумента а, близких к л/2 (меньших
n/2), значения tg а неограниченно возрастают и положи-
276
тельны. Следовательно, в промежутке [О, n/2) тангенс
возрастает от О до +оо.
_
Неограниченность возрастания тангенса при ct--+ n/2
(ct < n/2) в промежутке [О, n/2) можно проследить по
изменению ординаты точки N (ординаты точек N 1 , N 2 ,
••• )
(рис. 10.12). Действительно, при
стремлении ct--+ n/2 ордината
точки N (N1 ,N2 ,
•• • ) может прев-
__ ...., .._ ..,,
Ni
зойти по величине любое сколь
угодно большое наперед задан
ное положительное число, сле-
довательно, тангенс при ct-n/2
-=r:,9-----,~~=Ц--:..:..:.:•
(а < n/2) неограниченно возра- ttr« 7J
стает.
Во II четверти тангенс при
нимает отрицательные значения
и при возрастании аргумента в
промежутке (n/2, л] возрастает
от -оо до О (рис. 10.12).
Рис. 10.12 .
При возрастании аргумента ct в промежутке [ л, Зn/2)
тангенс возрастает как в I четверти и с возрастанием
аргумента в промежутке (Зл/2, 2л] тангенс возрастает,
как во II четверти (рис. 10.12).
Изменение тангенса при возрастании аргумента от О
до 2л представлено в таблице.
Четверть 1
1
1
11
1
I11
1
IV
Jt
Jt
Зл
2л
а
2
/1
2
/1
/1
Jt
/1
Зл
о
2
Jt
2
возрастает возрастает
возрастает
возрастает
tga
+оо
о
+оо
о
/1
/1
/
/
о
-00
о
-00
Изменение функции ctgct. Пусть аргумент ct
возрастает в промежутке (О, л/2]. Тогда
cos а
1
·
ctgct = -.-= -.-·COSct,
sina
s1na
277
1
Из возрастания синуса следует, что -. -
в промежут--
.
s1na
ке (О, n/2] убывает. Тогда ctg а является произведением
двух положительных убывающих функций. Следовательно,
в промежутке (О, п/2] котангенс также убывает. Для
значений аргумента а, приближающихся к нулю (боль
ших нуля), значения ctg а неограниченно возрастают и
положительны. Следовательно, в
промежутке (О, п/2] котангенс
-+-----::~---=,-,р-::..--..,..::...- убывает от +оо до О.
Убывание котангенса можно
проследить по изменению абсцис
-;;1--:::::~~::...,,.,,d~::--х сы точки Р (абсциссы точек Pi,
Рис. 10. 13 .
Р2,
••• ) при а-+- О в промежут
ке (О, n/2] (рис. 10.13). Для зна
чений а, близких к нулю (боль
ших нуля), абсцисса точки Р
может превзойти по величине
любое сколь угодно большое на
перед заданное положительное
число, следовательно,
убывает от +оо до О.
в промежутке (О, n/2] котангенс
Во II четверти котангенс принимает отрицательные
значения и при возрастании аргумента в промежутке
[n/2, n) котангенс убывает от О до -оо.
При возрастании аргумента а в промежутке (п, Зп/2]
котангенс убывает, как в I четверти, и с возрастанием
аргумента в промежутке [Зn/2, 2n) котангенс убывает
как во I I четверти (рис. 1О. 13).
Изменение котангенса при возрастании аргумента от
О до 2л представлено в таблице.
Четверть
11
I
1
11
1
11!
,,
IV
л
:rt
Зл
2л
а
/2
/
,;rT
/
л
Зл
о
2
л
2
убывает
убывает
убывает
убывает
ctga + С1О
о
+оо
о
\.
\.
\.
\.
о
-оо
о
-00
1•
278
10.1 .6 . Соотношения между тригонометрическими функ
циями одного и того же аргумента. Основные тож
д ест в а. Если две тригонометрические функции от одних
.и
тех же аргументов имеют одну и ту же область опре
деления и принимают равные значения при всех допусти
мых значениях аргументов, то они называются тождест
венно равны.ми. Равенство, справедливое при всех допу
стимых значениях аргументов, называется тождеством.
I. Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того
же аргумента равна единице:
(10.23)
Доказательство. Координатыx=cosaиу=sinа
любой точки М (а) числовой единичной окружности удов
летворяют уравнению х2 + у2 = 1, поэтому для любого
действительного числа а имеет место равенство (10.23).
2. Перемножив почленно равенства (10.19) и (10.20),
получим
t
sin а cosa
tga-c ga=- • -.-= 1
cosa sш а
'
п
a=tf:2 •k,
т. е.
tgа•ctgа=I, а =tf=; k.
Следствия.
tga=-
1-
а-1-.::_2л • k,
ctgа'
--r-
1
п
ctga:=-
а-1-.-2 •k.
tgа '
- -r-
(10.24)
(10.25)
(10.26)
3. Разделив почленно равенство (10.23) на cos 2 a, по
лучим
1
1+tg2 a=--
cos2 а'
(10.27)
4. Разделив почленно равенство (10.23) на sin 2 а, по
лучим
1+ctg2а= -.-~- ,
а =tf= лk.
sша
(10.28)
Доказательство тригонометрическихтож
д ест в. Докажем тождество:
1-cosa .
sina
--,----
sin а
1+cosа. '
a=tf= лk, kEZ,
(10.29)
279
Первый с по с об. Выполним преобразования левой
части:
1-cosa: _ (1-cos а:) (1 +cos а)_ l-cos2 a:
_
sina:
sina:(I+cosa:) -sina(l+cosa:)-
sin2 а
8iП а
-- -- ---
sin а(\+ cos а:) 1+ cos а:'
Левая часть равна правой. Тождество доказано.
Второй способ. По свойству пропорции имеем
(1-cosa)(l +cosa)=siп 2 a,
l -cos2 а= sin2 а, sin2 а= sin2 а.
Тождество доказано.
Применяя основные тригонометрические тождества и
следствия из них, можно тригонометрическую функцию
(от одного и того же аргумента) выразить через любую
другую тригонометрическую функцию.
Выражение тригонометрических функций
через с ин у с. Из тождества (10.23) имеем
COSCG= + Vl-SiП2CG.
В формулах, содержащих радикалы, знак + или -
ставится в зависимости от того, какой четверти принад
лежит число а.
Подставив значение cos а в тождества (10.19) и ( 1О. 20),
получим
sin а
tg CG = ~:,=====с==
±Уl-sin2а '
ctga= ± YI-sin2 a:
sin а
а =I= nk.
Пример 10.19. Дано: sina:=-3/5, а:Е(Зл/2, 2л).Вычислите
значения cos а, tg а и ctg а.
3
1
4
ctga=tga=-з·
Выражение тригонометрических функций
через косинус. Из тождества (10.23) имеем
~in а=+ Vl -cos2 а.
280
Подставив значение sina в тождества (10._ 19) и (10.20),
получим
t
± V 1-cos2 a.
gа=
cos а
'
t
cos а
с g а=-::--;====
± V 1-cos2 a.'
а =1= лk.
Пр им ер 10.20. Дано cos а.= - 4/5, а Е (л, Зл/2).
значения sin а., tg а. и ctg а..
Решение. sin а.=- у! -( - : )2=-3⁄4,
3
1
4
ctga.=-=-,
tga 3
Вычислите
Выражение тригонометрических функций
через тангенс. Из тождества ( 10.27) получим
2-
1
cos a- l+tg2 a.,
1
cos а=-~====
± V1+tg2а '
Из тождества ( l О. 19) имеем
sin а= tg a,cos а,
а=1=; +лk,
л
a=I= 2 +-лk.
:rt
a=I=2+лk.
Подставив в это тождество найденное значение cos а, по
лучим
sin а=
tga.
± V 1+tg2 a.'
1
ctg а= tga.,
a=I=; +лk,
а=1=; •k.
Пример 10.21. Дано tga.=- Vз, а.Е(;, :п). Вычислите
значения sin а, cos а и ctg а.
1
1
J13
Решение. ctga.=-=- --= -- -
tga.
уз
3•
.
tga
-Vз Vз
SlЛ ct = ----;::===
-V1+tg2 a.
-V1+з 2 '
COSct=- Jll -sin2 a. =
-
у1-: =- ~.
281
Выражение тригонометрических функций
через к от ан ген с. Из тождества ( 10.28) получим
•
2-
1
sш c.t- I+ctg2a,,
а =1= лk,
.
1
s ш а; = ---:: --;:=======- '
± J/1 +ctg2 a
а =1= лk.
Из тождества (10.20) имеем
cos а= c-tg а• sin а, СХ='Лk.
Подставив в это тождество найденное значение sin а, по
лучим
и
ctg а
cos а; = ---:: --;:========-
±-V1+ctg2а '
1
tga=--
ctga •
а =j=-лk,
a=I= ik,
Полученные формулы запишем в таблицу.
11
sin а
1
cos а
1
tga
1
ctg а
sin а
±-Vl-sin2 ct
sin а
sin ct
±-V1-sin2ct ±УI-sin2ct
sin ct
±У1- cos2а
cos а
± Уl-cos2а
cos а
cos ct
J/1-cos2 ct
cos ct
±
tgct
1
tgct
1
tgа
± J/ I+tg2 a ± J/l+tg2 ct
tga.
1
ctg а
1
cti; а
± J/1 +ctg2 а. ± -V 1+ctg2 a.
ctga.
ctg а
10.1 .7. Четность и нечетность тригонометричесIшх
функций, их периодичность. На числовой единичной окруж
ности построим точки М (а) и N (- а). Эти точки симме-
282 /
~
тричны относительно оси абсцисс (рис. 10.14). Дуги АМ
.______,,,
и AN равны по абсолютной величине и противоположны
по знаку. Точки М и N имеют
одну и ту же абсциссу и равные
по абсолютной величине, но про
тивоположные по знаку ординаты.
Отсюда следует
cos (-а)= cosa,
sin (-а)= -sin а,
(10.30)
(10.31)
у
:со
т. е. косинус-функция четная, а
Рис. 10.14 .
синус-нечетная.
Легко показать, что тангенс и котангенс нечетные
функции:
t( )sin{-а)
-sinа
t
g -а =cos(-a)=cosёi"""=- ga,
т. е.
tg (-а)=- tga,
Аналогично
ct -а =c~s(-a)=~ =- ct а
g( ) sш(-а) -sinа.
g'
т. е.
ctg (- оо) =- ctg а, а=/= лk.
(10.32)
(10. 33)
Пример 10.22.
'
л: У2
=-s1nт=--2- 1
cos(-:)=COS:=У;.sin(-:)=
tg(-:)=-tg:=-1,ctg(-
~)=
л:
=-ctg 4 =-1.
Пр и мер 10.23. cos (-л:)=COS:Jt.=-1, sin {-л:)=- sin Л:=0,
tg(-л:)= -tg~=0.
По определению функция f (а) называется периодиче
ской, если существует такое nоложительное число л =/=О,
называемое периодом, что равенство f (а± л) = f (а), удо
влетворяется при любом допустимом для данной функции
значении аргумента а.
Периодичность косинуса и синуса. Начис
ловой единичной окружности числам а и а+ 2nk соответ-
283
ствует одна и та же точка М (а): М (а)= М (а+ 2лk), нота~(
как cos а и sin а-координаты точки М, то имеем тож
дества
cos а= cos (а+ 2лk),
sin а= sin (а+2лk).
(10.34)
(10.35)
Из равенств (1О .34) и (1О. 35) следует, что cos а и
sin а-периодические функции, а 2л-один из периодов
ЭТИХ фуНКЦИЙ.
Докажем, что 2л-основной (наименьший положитель
ный) период для функции cos а. Для этого нужно пока
зать, что не существует такого положительного числа
"л (О < "л < 2л), для которого равенство (10.34) было бы
верным для всех допустимых значений а. Докажем от
противного. Пусть периодом функции cos а будет число
"л(О < "л < 2л), т. е. cos(a+"л)=cosa:. Положим а=О,
тогда cos(О+"л)= cosО=1, но cos"л=1 только в точке
А (1; О) числовой единичной окружности, для которой
а= 2лk. Но дуга, измеряющаяся числом О< "л < 2л, не
оканчивается в точке А (1; О), а потому ее косинус не
равен единице. Полученное противоречие показывает, что
не существует положительного числа О < "л < 2л, для
которого было бы справедливо равенство cos (а+ "л)= cos а:.
Наименьшим положительным значением "л является
число 2л, так как для соs"л= 1, "л=О, +2л, +4л, ... ,
откуда следует, что соsа-периодическая функция с пе
риодом, равным 2л. Периодичность косинуса записывается
формулой (10.34).
Докажем от противного справедливость формулы (10.35).
Допустим, что периодом синуса будет число "л (О< "л < 2л),
тогда sin (а+ "л) = sin а. Положим а= л/2, тогда
sin(;+"л)= sin; =1; но sin(;+"л)=1тольковточа
ке В (О; 1) числовой единичной окружности, для которой
л
л
л
а= 2 + 2лk. Следовательно, 2 + "л = 2 + 2лk, откуда
"л=2лk,ноподопущениюО<"л<2л,тогдаО<2лk<2л.
Разделив члены неравенства на 2л, получим О < k < 1,
но k по допущению-целое число, а между О и 1 целых
чисел нет. Полученное противоречие показывает, что не
существует положительного числа "л < 2л, для которого
равенство sin (а+ "л) = sin а было бы справедливым. Наи
меньшим положительным значением "л является число 2л,
следовательно, sin а-периодическая функция с основным
284
периодом, равным 2:rt. Периодичность синуса записывается
формулой (10.35).
'
Периодичность тангенса и котангенса.
На числовой единичной окружности числам а; и а; + лk
соответствуют точки М (а) и
М'(а+лk) (рис. 10.15). Сле-
'дощпельно, tg а = AN и
tg(a+лk)=AN, тогда
tga= tg(a+:rtk).
Очевидно, число л является ос
новным (наименьшим положи
тельным) периодом тангенса,
т. е. равенство (10.36) выпоJ1-
у
N
Рис. 10. 15 .
:n:
няется при любом значении а, кроме а= 2 + лk.
Докажем (методом от противного), что не существует по
ложительного числа л < л, для которого выполнялось бы
равенство tg (а;+ л) = tg а; для любого значения аргумента
а(а=1= ;+пk). Пусть а=О, тогда tg(0+л)=tg0=0,
tgл=0. Тангенс равен О в точках А и С (рис. 10.15)
при значениях аргумента nk. Тогда л = :rtk. По допущению
О<л<л или О<лk<л; разделив членыэтого нера
венства на л, получим неравенство О < k < 1, но k по
допущению целое число, а между О и 1 целых чисел нет.
Отсюда следует, что не существует положительного числа
л < л, для которого равенство tg (а+ 'л,) = tg а; было бы
справедливым. Наименьшим положительным значением 'А
является число л, следовательно, tg л-периодическая
функция с периодом, равным л. Периодичность тангенса
записывается формулой (10.36).
Периодичность котангенса записывается форму .тюй
ctga= ctg(a+nk), а =j=nk.
(10.37)
Формулу (10.37) предоставляется учащемуся доказать
самостоятельно.
Пр им ер 10.24 . Вычислите sin 3660°.
Р еше н и е. По свойству периодичности синуса получим
sin 3660q = sin (360° -10 + 60°) = sin 60q = УЗ/2.
Пр им ер 10.25. Вычислите sin 2,5:n: + 2 cos 6, lл.
285
Решение. sin 2,5л+2 cos 6,lл=sin (2л+О,5л)+
+2 cos (2л•З+0,lл)=sin О,5л+2 cos О,lл::::: 1+2cos 0,3142=1+
+2·0,9511 =2,9022.
Пр им ер 10.26. Найдите период функции у= cos 5х.
Р еше н и е. Обозначив искомый период через л, получим
cos 5(х+ л) = cos 5х или cos (5х+ 5л) = cos 5х, откуда заключаем, что
5л=2л, т. е. л=2л/5.
Пр им ер 10.27. Найдите период функции y=sin ~х +cos з;.
Реше н и е. Общим наименьшим положительным периодом этой
функции будет общее наиыеньшее кратное периодов каждого из сла
гаемых. Имеем
•5х
•
5(+')
•
(5х+5л1 )
SШЗ=SШЗХ
"-1=S!П33t
5л1
6л
з=2л, л1=5•
Зх
3
(3х ЗА-2 \
COSS=COS 5 (х+л2)=СОS ,S+S),
Зл2_2
,_
!Ол
5- л,
"-2- 3
•
Период функции у равен ЗОл (наименьшему общему кратному
периодов л1 и л2).
§ 10.2 . Формулы приведения
10.2.1. Свойство половины периода косинуса и синуса.
На числовой единичной окружности возьмем произвольную
.....___,,
'-----"
точку М (а) и точку N (а± л:). Дуга MN =n, дуга MAN =
= -л: (рис. 10.16). Эти точки симметричны относительно
начала координат. Поэтому соот•
!!
ветствующие координаты этих то-
чек равны по абсолютной величине
и противоположны по знаку. К:о
ординаты точки М (а): (-х; у)
и координаты точки N (а± л:):
:с (х; - у}. Следовательно,
cos а=- cos (а± л:), (10.38)
sina=-sin(a±л:). (10.39)
Рис. 10.16.
Функции косинус и синус при
/
увеличении или уменьшении ар-
гумента на л: изменяются только по знаку.
Пр им ер 10.28. Вычислите: 1) sin 5: , 2) sin 7l , 3) cos 23л,
4) cos5: ,-5)sin(- 2;),6)cos(- 5;),7)sin225°, 8)cos(-210°).
286 /
·Решение. Применив формулу (10.38) или (10.39), получим
1)•5л:
•(5л:)
•(л:)•л:1
SIП т=- SIП т-:-Л: =
-
SIП -6
= sш 6=2·
sш 6=-s1n 6-л: =-s1n6 =-
2.
2).7л:
.
(7л: )
.
л:
1
2л:
(2л: )
( л:)
л:1
3) C0Sт=-<:OS 3-л: =-COS
-
3 =-cos3 =-
2,
5л:
(5л; )
л: J/2
4) COSт=-C0S 4 -:rt =-cos 4 =--
2-.
5)sin(- 23л;)= -
sin(-2;+л;)= -
sin;=-
~.
( 5л;)
(5л;)
л: уз
в> cos :-т =-cos -6+л: =-cos6 =--
2-.
7) sin 225°=- sin (225°-180°) =- sin 45° =- V2/2.
8) C0S (-210°) =-C0S (-210°+ 180°) =-COS(-30°)=-COS30°=
=-vз/2.
10.2.2 . Тригонометрические функции взаимно дополни
тельных аргументов. Два аргумента, в сумме составляю
щие n/2, называются взаимно дополнительными. Напри-
мер: l) n/6 и n/3, так как n/6+
11
+n!З=n/2. 2) 2n/3 и -n/6, так как
8
2n/3 + (- n/6) =n/2.
Числовая единичная окруж
ность симметрична относительно
прямой у=х (биссектрисы I и III
координатных углов). Пусть дуга
АА1=а и ВN=-а (рис. 10.17),
тогда точки М (а) и N (;-а)
симметричны относительно прямой
у= х. При отражении в прямой
Рис. 10.17 .
у= х оси меняются местами: ось абсцисс переходит в ось
ординат и, наоборот, ось ординат переходит в ось абсцисс.
Сравнивая координаты точек
M(cosa; sina) и N[cos (;-а); sin(;-a)],
замечаем, что абсцисса точки N равна ординате точки М
и, наоборот, ордината точки N равна абсциссе точки М,
откуда следуют равенства
sin (;-а)= cosa,
(10.40)
cos (~-а)= sin а.
(10.41)
287
Мы установили зависимость между синусом и косину
сом взаимно дополнительных аргументов. Применив фор
мулы (10.40) и (10.41), установим зависимость между
тангенсом и котангенсом взаимно дополнительных аргу
ментов
•
( :rt
)
БШ --ct
:rt
2
cos ct
tg (--а)=------,--=-.-= ctga
2
( :rt
')
SlП (Х
'
cos 2 -сх
т. е.
tg(; - а) = ctgа, а=/=лk,
(10.42)
точно так же
cos (~-(Х)
•
t (:rt
)
2
SlП (Х
сg2-а= ( )=--=tgа,
'
.
:rt
cos (Х
sш т-(Х
т. е.
(10.43)
Формулы тригонометрических функций взаимно допол
нительных аргументов обычно применяют для приведения
тригонометрических функций к положительному аргументу,
меньшему л/4 (45°).
:rt
Пр им ер 10.29. Вычислите 1) cos 70°, 2) sin 80°, 3) cos 3 ,
4)sin2; , 5)cos5
5:rt.
Решение.
1) cos 70° = sin 20°,
2) sin 80°=COS 10°,
3)
:rt
.
:rt
1
соsт=s1П6=2·
4)sin2;=si11[~-(
-
~)]=cos(-
~)=cos~=~З,
5) cos 5; =COS [ ~ -( -;)] =sin (-· ; )=-Sill; =- t;.
288
3
'
:rt
10.2 .. Тригонометрические функции аргументов 2 +а,
3:rt
л + а, 2 + а, 2л -а. Докажем тождества:
sin(;+а)=cosа,
cos (;+а)= - sinа,
tg(;+а)= -
ctg а,
ctg(;+а)= - tgа.
(10.44)
(10.45)
(10.46)
(10.47)
Для доказательства тождеств (10.44) и (10.45) в тож
дествах (10.42) и (10.43) заменим аргумент а аргумен
том -а и, применив свойства четности и нечетности, по
лучим
sin [;-(-a)]=cos(-a), т. е. siп(;+a)=cosa.
Так же доказываются тождества (10.45)-(10.47).
П р им е р 10.30 . Вычислите с применением тождеств (10.44) -
(10.47): 1) sin 150°, 2) cos 120°, 3) tg 135°, 4) ctg 2n/3.
Решен не.
1) sin150°= sin(90°+ 60°) = cos60° = 1/2,
2) cos120°= cos(90°+ 30)= -
sin30°= -
1/2,
3) tg 135°=tg (90°+45°) =-ctg 45°=- 1,
2n
(n п)
п ,r-
4) ctg 3 =ctg 2+6 =-tgв=-r 3/3.
Тригонометрические функции аргумента
n-a. Докажем тождества:
sin (n-a) = sin а,
cos (л:-а) = - cos а,
tg(n-a)=-tga,
ctg (n-a)= -
ctg а.
(10.48)
(10.49)
(10.50)
(10.51)
Для доказательства тождеств (10.48) и (10.49) в тож
дествах (10.38) и (10.39) заменим аргумент а аргумен
том -а и, применив свойства четности и нечетности, по
лучим
sin[n+ (-a)]=-sin(-a), т. е. sin(n-a)=sina,
cos [n +(- а)]=
-
cos(-а), т. е. cos(n-a)= - cosа.
10 П/ред. Н. М. МатвееDа
289
!ождества (10.50) и (10.51) можно доказать, применив
свойства периодичности тангенса и котангенса и свойства
четности и нечетности.
Пр им ер 10.31. Вычислите с применением тождеств (10.48) -
(10.51): 1) sin 480°, 2) cos 150°, 3) tg 120°, 4) ctg 135°.
Решение.
1) sin 480°=sin 120°=sin (180°-60°) = sin 60°= УЗ/2,
2) cos 150°=cos(l80°-30°)=-cos30°=- -Vз/2,
3) tgl20°=tg(l80°-60°)=-tg60°=- уз,
4) ctg 135°=ctg (180°-45°)=-ctg 45°=- 1 .
Тригонометрические функции аргумента
:n; + а. Докажем тождества:
sin(л+а)=- sinа,
cos (:rt +а)= -cosa,
tg (:n; +а)= tg а,
ctg (:n; +а)= ctg а.
(10.52)
(10.53)
(10.54)
(10.55)
Тождества (10.52) и (10.53) есть видоизмененные тож
дества (10.38) и (10.39), а тождества (10.54) и (10.55)
есть формулы периодичности тангенса и котангенса.
Пр им ер 10.32. Вычислите с применением тождеств (10.52) -
(10.55): 1) sin225°; 2) cos585°; 3) tg210°; 4) ctg240°.
Решение.
1) sin 225°=sin (180° +45°) =- sin 45°=- J/2/2,
2) cos 585°= cos 225°= cos (180°+45°) =- cos 45°=- У2/2,
3) tg 210°=tg (180°+30°)=tg 30°= VЗ/3,
4) ctg 240°= ctg (180°+60°) =ctg 60°= УЗ/3.
Тригонометрические функции аргумента
Зn
2-а. Докажем тождества:
290
•
(3n
)
S!П 2 -а =-COSa,
(3n
)
•
cos т-а = -sша,
tg ( 3;-а) = ctga,
ctg(3; -а)= tgа.
(10.56)
(10.57)
(10.58)
(10.59)
Тождества (10.56) и (10.58) можно доказать следующим
образом:
-
sin(3; - а) = sin[л+(;-а)]=
= -sin (;-а}= - cosa,
tg (3;-а )= tg (;-а) =ctga.
Тождества (10.57) и (10.59) доказываются аналогично.
П р им ер 10,33. Вычислите с применением тождеств (10.56)
и (10.57): 1) siп 600°, 2) cos 225°.
Решение.
1) siп 600°= siп 240°= siп (270°-30°) =-COS 30° =- УЗ/2,
2) COS 225°=COS (270°-45°)=- COS 45°=- J!2/2.
Тригонометрические функции аргумента
3:rt
2 + а. Докажем тождества:
sin(3;+a)=-COSCX,
(10.60)
cos (3; +а)=sinа,
(10.61)
tg ( 3; +а)= -ctga,
(10.62)
ctg(3;+a)=-tga.
(10.63)
Заменив в тождествах (10.56)-(10.59) аргумент а
аргументом -а и применив свойства четности и нечетно
сти, получим тождества (10.60)-(10.63).
Пр им ер 10.34. Вычислите с применением тождества (10.60)
и (10.61): 1) siп 330°, 2) cos 315°.
Решение.
1) ,siп 330°=siп (270°+60°) =- cos 60°=- 1/2,
2) cos 315° = cos (270° +45°) = siп 45° = J!2/2.
Тригонометрические функции
2л-а. Докажем тождества:
10*
sin (2л-а)= - sin а,
cos (2л-а)= cos а,
tg (2л-а)= -tg а,
ctg(2л-a)= -ctga.
аргумента
(10.64)
(10.65)
(10.66)
(Ю.67)
291
По свойству периодичности и нечетности имеем
sin (2л-а) = sin (-а)= - sin а.
Тождества (10.65)-(10.67) доказываются аналогично.
Пр им ер 10.35 . Вычислите с применением тождеств (10.64)
и (10.65): 1) sin 300°; 2) cos 330°.
Решение.
1) sin300°=sin(360°-60°)= - sin60°= - уз/2,
2) cos330°=cos(360°-30)=cos30°= VЗ/2.
Рассмотренные тождества представим таблицей.
Формулы приведения:
зin
cos
tg
ctg
11-sina 1 cos а / -tga l -ctga
11 cosa
sin а
ctga 1 tga
11 cosа
- sin al -ctga 1-tga
n-a
(180°-а) 11 sin а l -cos а] -tga / -ctga
-siпa 1 -cosa \ tga 1 ctga
ll -cos а/ -sina \ ctga \ tga
/f -cosa \ siп а / -ctga 1-tga
2n-a
(360°-а) /1-sina 1 cosa 1 -tga l -ctga
При применении формул приведения рекомендуется поль
зоваться следующими правилами.
1. Если а откладывается от оси Ох, то наименование
приводимой функции, т. е. функции аргумента - а,
n + а, 2n-a не изменяется. Если а откладывается от
292
оси Оу, то наименование приводимой функции, - т. е. функ-
:rt
Зл
ции аргумента 2 + а, 2 + а заменяется на сходное
(синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот).
2. Знак, с которым нужно брать тригонометрическую
функцию в правой части, находится по знаку левой части
в предположении, что О< а< л/2.
Пр им ер 10.36. Составьте формулу приведения для tg ( 32л +а) .
Решение. Так как а откладывается от оси Оу, то в правой
части формулы ставится котангенс. Формула верна при всех допу
стимых значениях аргумента а, следовательно, она верна и для
Зл
О < а < :rt/2, но в этом случае дуга 2 +а оканчивается в IV чет-
верти, в которой тангенс отрицателен. Тогда tg (32л+а) =-ctga.
§ 10.3. Графики тригонометрических функций
10.3.1. Графики функций y=sinx и y=cosx.
Используя рассмотренные свойства тригонометрических
функций и формулы приведения, построим графики три
гонометрических функций.
Построение графика функции у= sin х. В силу перио
дичности синуса достаточно построить график в проме
жутке [-л, л], так как в промежутках [-Зл, -л],
[л, Зл], [Зn, 5:rt] и т. д. график синуса будет иметь тот
же-вид, что и в промежутке [-л, л]. В указанных про
межутках график получается путем сдвига графика синуса
в промежутке [-л, л] влево или вправо. Учитывая свой
ство нечетности синуса, достаточно построить график
в промежутке [О, л], так как в промежутке [-л, О]
график будет симметричен графику [О, л] относительно
начала координат. По свойству sin (л-х)= sinx заклю
чаем, что точки х и л - х симметричны относительно
точки :rt/2, так как, когда х пробегает промежуток [О, :rt/2],
л-х пробегает в обратном направлении промежуток
[л/2, л]. Поэтому в силу того, что график функции
у= sin х будет симметричен относительно прямой Х= л/2,
можно ограничиться построением графика в промежутке
[О, :rt/2]. В промежутке [О, л/2] функция у= sin х моно
тонно возрастает от О до 1. Для приближенного построения
графика функции у = sin х на числовой единичной окруж
ности в промежутке [О, :rt/2] построим точки: О, л/8, л/4,
293
3:rt/8, :rt/2 (рис. 10.18). Затем построим значения аргумента
О, :rt/8, :rt/4, 3:rt/8, :rt/2 на оси Ох (где :rt/2 составляет
~ 1,57 длины радиуса единичной окружности). Построив
ординаты, соответствующие этим значениям аргумента
(значениям синусов Э'ГИХ аргументов) и соединив ординаты
!!
плавной линией (рис. 10.18),
получим кривую, приближен
но изображающую график си
нуса. Построе1ше графика бу
дет тем точнее, чем больше
мы возьмем точек деления в
промежутке [О, :rt/2].
Рис. 10.18.
На рис. 10.19 показан
график функции синуса в про
межутке [О, :rt], полученный
отражением графика в промежутке [О, :rt/2] относительно
прямой х = п/2. На рис. 10.20 показан график функции си
нуса в промеж-утке [:-- n, n], полученный из графика в
·-'71Dл~
Рис. 10.19.
Рис; 10.20.
промежутке [О, :rt] отражением его относительно начала
координат. На рис. 10.21 показан график с. периодом 2n.
График функции синуса называется синусоидой.
График функции у= cosx. можно построить, исходя из
формулы cosx= sin ( х+;). Эта формула показывает,
что график функции у= cos х получается из графика функ
ции у= sin х путем сдвига графика функции синуса влево на
20l
-л/2 (рис. 10.22). График функции косинуса называется
косинусоидой.
:с
Рис. 10.22.
10.3 .2. Графики функций y=tgx и y=ctgx. При
построении графика функции у= tg х учитываем, что период
тангенса равен -л, поэтому график тангенса можно по
строить в промежутке (- n/2, n/2). Тангенс-функция
нечетная, поэтому его график будет симметричен относи
тельно начала координат, тогда достаточно построить
график в промежутке [О, n/2). В этом промежутке тангенс
неограниченно возрастает от нуля. На числовой единичной
окружности в промежутке [О, n/2) построим точки О, n/8,
-л/4, 3-л/8. На оси тангенсов построим точки, соответст
вующие значениям тангенсов этих аргументов (рис. 10.23).
Затем построим эти значения аргумента на оси Ох и со
ответствующие им ординаты (значения тангенсов этих
у
Рис. 10.23.
_1п
z1
1
1
1
1\
1y=tgr
1
1
1
1Л: ;:
12
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 10.24.
аргументов). Соединив ординаты плавной линией, полу
чим кривую, приближенно изображающую график тан
генса. Взяв большее число точек в промежутке [О, n/2),
получим более точное изображение графика танr-енса.
На рис. 10.24 показан график тангенса в промежутке
(--л/2, n/2), полученный отражением графика [О, n/2)
относительно начала координат. На рис. 10.25 показан
295
график тангенса, полученный из графика в промежутке
(- n/2, n/2) путем последовательного его переноса вправо
и влево на n, 2:rt, ... и т. д. График тангенса называется
тангенсоидой.
_.3Л'1
21
.
1
1
1
i
1
1
1
Рис. 10.25.
r
1
1
1
: y=tg.r
1
1
1
1
13л- ::с
12
1
1
1
1
1
1
1
Для построения графика функции у= ctg х восполь
зуемся тождеством ctg х = - tg (х+;).Из этого тожде
ства следует, что для построения графика котангенса надо
-л1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Рис. 10.26.
2ir1 ;с
1
1
1
1 y=ctga:
1
1
1
сдвинуть график тангенса на n/2 влево вдоль оси Ох и отра
зить полученную кривую относительно оси Ох (рис. 10.26).
График котангенса называется котангенсоидой.
В отличие от графиков синуса и косинуса, графики
тангенса и котангенса состоят из бесконечного множества
одинаковых периодически повторяющихся ветвей.
2UG
§ 10.4 . Обратные тригонометрические функции
10.4 .1 . Построение дуги (угла) по данным значениям
синуса и косинуса. Функции arcsin х и arccos х. Функ
ция, обратная синусу. Рассмотрим функцию
у= sin х при х Е [-л/2, л/2].
Известно, что функция у = sin х в промежутке
[-л/2, л/2] монотонно возрастает от -1 до 1 и прини
мает все значения, принадлежащие этому промежутку,
причем каждое из значений по одному разу, т. е. множе
ство значений х Е [- л/2, л/2] и множество значений
у Е [-1, 1] взаимно однозначно отображаются друг на
друга. Тогда функция у= sin х при х Е [- л/2, л/2] имеет
монотонно возрастающую обратную функцию. Эту функцию
называют арксинусом (arcsin).
Мы определили новую функцию у= arcsin х, заданную
на промежутке х Е [-1, 1] и монотонно возрастающую от
-л/2 до л;2.
Из определения функции
у = arcsin х следует, что
sin (arcsin х) = х, т. е. arcsin х
есть число из промежутка
у
[-л/2, л/2], синус которого -/
_
1
равен х.
__,:.;;...._..;---*.:--17""-<>-----з~
Для функции у= arcsin х
I~
имеет место равенство
-1
Рис. 10.27
arcsin (- :Х) =
-
arcsin х.
График функции у= arcsin х
получим из графика функции
у= sin х по общему правилу
построения графика обратной функции. Для этого по
строим прямую у = х и отразим от этой прямой сину
соиду из промежутка [-л/2, л/2] (рис. 10.27).
Пр им ер 10.37. Вычислим некоторые значения функции
y=arcsinx:
1) arcsin О= О, так как sin О= О,
2) arcsin(-1)=-л/2, так как sin(-л/2)=-I,
3) arcsin 1 = л/2, так как sin (л/2) = 1,
4) arcsin (уз/ 2) = л/3, так как sin (л/3) = уз/2,
5) arc.sin (-1/2)=-л/6, так как sin (с-л/6)=-1/2,
6) arcsin 3 не имеет смысла, так как число 3 не входит в об
ласть определения.
297
Пр им ер 10.38. Найдите множество дуг, синус которых
равен а.
Решение. Случай l. /al < 1 (рис. 10.28). Имеем
дуги: AМ1 =arcsina и AМ2 =л-arcsina. Каждая из
!J
Рис. 10.28.
.ar c stna
A(t;O)
31
этих дуг имеет синус, равный а.
Множество дуг, оканчивающихся
в точке М 1 , синус которых ра
вен а, записывается формулой
arcsin а+2лk, k Е Z,
и множество дуг, оканчивающих
ся в точке М 2 , синус которых так
же равен а, записывается фор
мулой л-arcsina+2лk или
-arcsina+л(2k+I), kEZ,
учитывая, что (-1 )п = 1, если п = 2k - четное число и
(-1 )п = -1, если п = 2k + }-нечетное число; эти две
формулы можно объединить в одну
(-l)n arcsin а+ лп,
пЕZ.
Случай 2. Пусть дуга имеет синус, равныйа=+l
(рис. 10.29). Тогда множество дуг, оканчивающихся в
!J
A(f;OJ
A(t,'O)
31
Рис. 10.29.
Рис. 10.30.
точке В (т. е. при а= 1) записывается формулой
i+2лk, kEZ,
и множество дуг, оканчивающихся в точке D (т. е. при
а = - I) записывается формулой
kЕZ.
298
Из всех дуг (углов), синус которых равен а, где
1а 1,::;;; 1, главной считается дуга arcsin а из промежутка
[- л/2, л/2].
Если Iа1>1, то arcsinа не имеет смысла.
Пр им ер 10.39. Постройте дуги arcsin 4/5 и arcsin. (-4/5).
Построение выполнено на рис. 10.30 .
Функция, обратная косинусу. Рассмотрим
функцию у= cosx при х Е [О, л]. Функция у= cosx в про
межутке [О·, л] монотонно убывает от 1 до -1 и принимает
каждое значение по одному разу, т. е. множество значе
ний х Е [О, л] и множество значений
у Е [-1, 1] взаимно однозначно отобра
жаются друг на друга. Следовательно
функция y=cosx при хЕ[О, л] имеет
монотонно убывающую обратную функ
цию. Эту функцию называют арккосину
сом (arccos).
у
Функция у = arccos х определена на _
_._---:-1.--.........---
промежутке х Е [-1, 1] и монотонно -1 О
убывает от л до О.
Из определения функции у= arccos х
следует, что cos (arccos х)=х, т. е .
Рис. 10.31.
.a rc c o s х есть число из промежутка [О, л], косинус которого
равен х.
Для функции у= arccosx имеет место равенство
,rccos (-х) = л-arccosx.
График функции у= arccosx изображен на рис. 10.31.
П р и мер 10.40. Вычислите некоторые значения функции
y=arccos х.
1) arccos О= л/2, 2) arccos 1= О,
3) arccos (-1) = л, 4) arccos (1/2) ===л/3,
5) arccos (- у'2/ 2) =3л/4, 6) arccos (-3/4) = л-arccos (3/4).
Пр им ер 10.41. Найдите множество дуг, косинус ко-
торых равен а.
_
Решение. Случай 1. lal < 1 (рис. 10.32). Имеем
дуги: AMi = arccos а, АМ2 = -
arccos а. Каждая из этих
дуг имеет косинус, равный а. Множество дуг, оканчиваю
щихся в точке Mi, 1юсинус которых равен а, записывается
формулой
arccos а+ 2:nk,
k EZ,
299
и множество дуг, оканчивающихся в точке М 2 , косинус
которых также равен а записывается формулой
-arccosa+2nk, kEZ.
Эти две формулы можно объединить в одну
+ arccos а+ 2лk, kEZ.
Случай 2. Пусть дуга имеет косинус, равный а= + I
(рис. 10.33). Тогда множество дуг, оканчивающихся
g
Рис. 10.32.
A(t;O}
:с
-arccos«
!J
Рис. 10.33 .
в точке А (т. е. при а= 1), записывается формулой
2лk, kEZ,
и множество дуг, оканчивающихся в точке С (т. е. при
а= -1), записывается формулой
л(2k+l), kEZ.
Из всех дуг (углов), косинус которых равен а, где
1а 1~ 1, главной считается дуга arccos а из промежутка
[О, л]. Если lal > 1, то arccosa не имеет смысла.
Пр им ер 10.42 . Найдите et, если cos et= уз/2.
,r-;
л:
Ответ. et=±arccos r 3 2+2nk=± 6 +2nk.
П р им ер 10.43. Запишите формулой множество дуг, косинус
которых равен 0,4.
От в е т. а=± arccos О,4+2лk.
Пр им ер 10.44 . Запишите формулой множество дуг, косинус
которых равен -1/2.
300
2л
Ответ. et= ± 3 +2л:k.
10.4 .2. Построение дуги (угла) по данным значениям
тангенса и котангенса. Функции arctg х и arcctg х.
Функция, обратная тангенсу. Функция y=tgx
в промежутке (- л/2, л/2) монотонно возрастает от
-
оо
до +оо и принимает каждое значение по одному разу,
т. е. множество значений х Е (- n/2, n/2) и множество
у Е R (числовая прямая) взаимно однозначно отобража
ются друг на друга. Тогда функция у= tg х при
х Е (- n/2, л/2) имеет монотонно возрастающую об
ратную функцию. Эту функцию называют арктанген
сом (arctg).
Областью определения функции у= arctg х является R
(числовая прямая), а множеством значений arctg х является
промежуток (- л/2, л/2).
Из определения функции у= arctg х следует, что для
всеххЕR tg(arctgх)=х, т.е. arctgх есть числоиз про
межутка (- л/2, n/2), тангенс которого равен х.
Для функции у= arctg х имеет место равенство
arctg (-х)= - arctg х.
График функции у= arctg х изображен на рис. 10.34.
!J
-- -- - -- -1( ---------
-2
Рис. 10.34.
Рис. 10.35.
Пр им ер 10.45. Вычислите некоторые значения функции
y=arctg х:
1) arctg О= О, 2) arctg УЗ= n/3,
3) arctg(-YЗ/3)=-n/6, 4) arctgl=n/4,
5) arctg (-1) =-n/4.
Пр и мер 10.46. Найдите множесто дуг, тангенс кото
рых равен а.
301
Решение. Имеем дуги: A°'M1 =arctga и АМ 2 =
= arctg а+ л (рис. 10.35). Каждая из этих дуг имеет тан
генс, равный а. Множество дуг, оканчивающихся в точ
ках М 1 и М 2 , записываются общей формулой
arctg а+лk, kEZ.
Из всех дуг (углов), имеющих данный тангенс а, глав
ной считается дуга arctg а из промежутка (- л/2, л/2).
Точки - л/2 и л/2 исключаются, так как тангенс этих
дуг не определен.
Пр им ер 10.47. Найдите а, если tg а= у.З:
Ответ. c.t=arctg -VЗ+nk =; +nk.
П р им е р 10.48. Найдите а, если tg а= -4/5.
Решение. a=arctg(-4/5) +nk, но arctg(-4/5) =-arctg (4/5),
тогда a=-arctg (4/5)+nk.
Пр им ер 10.49. Постройте дугу arctg (-1,5).
На рис. 10.36 показано построение дуги arctg (-1,5).
Функция, обратная котангенсу. Функция у=
= ctg х в промежутке (О, л) монотонно убывает от + оо
до - оо и принимает каждое значение по одному разу,
!/
nrctg (-1,5) ,
N(t;-1,5).
;с
Рис. 10.36.
Рис. 10.37.
т. е. множество значений х Е (О, л) и множество у Е R
(числовая прямая) взаимно однозначно отображаются друг
на друга. Тогда функция у= ctg х при х Е (О, л) имеет
монотонно убывающую обратную функцию. Эту функцию
называют арккотангенсом (arcctg).
Областью определения функции у= arcctg х является R
(числовая прямая}, а множеством значений arcctg х
является промежуток (О, л).
302
Из определения функции у= arcctg х следует, что для
всех xER ctg(arcctgx)=x, т. е. arcctgx есть число из
промежутка (О, л), котангенс которого равен х.
Для функции у= arcctg х имеет место равенство
arcctg с:--х)= л-arcctgx.
График функции у= arcctgx изображен на рис. 10.37.
Пр им ер 10.50 . Вычислите некоторые значения функции
y=arcctg х:
1) arcctg0=:rt/2, 2) arcctg -VЗ=:rt/6,
3) arcctg l=л/4, 4) arcctg(-1)=3:rt/4,
5) arcctg (-- уз) = 5л/6.
Пр и мер 10.51. Найдите множество дуг, котангенс
которых равен а.
Решение. Имеем дуги: АМ1 = arcctg а и АМ 2 =
= arcctg а+ л (рис. 10.38). Каждая из этих дуг имеет
у
!J
8(0;1)
A(t;O)
{!/
Рис. 10.38.
Рис. 10.39.
котангенс, равный а. Множество дуг, оканчивающихся
в точках М 1 и М 2 , записывается общей формулой
arcctgа+nk, kЕZ.
Из всех дуг (углов), имеющих данный котангенс а,
главной считается дуга arcctg а из промежутка (О, л).
Точки О и л исключаются, так как котангенс этих дуг не
определен.
Пр им ер 10.52. Постройте дугу arcctg (-2).
Построение дуги arcctg (-2) показано на рис. 10.39 .
10.4.3 . Простейшие тригонометрические уравнения и
неравенства. Оп редел е ни е 1О. 9. Простейшими триго
нометрическими уравнениями называются уравнения:
303
sinx=m, cosx=m, tgx=m, ctgx=m, где т-данное
число.
Решить простейшее тригонометрическое уравнение -
значит найти множество всех дуг (углов), имеющих дан
ное значение т тригонометрической функции.
Оп редел е н и е 10.1 О. Простейшими тригонометри
ческими неравенствами называются неравенства sin х < т,
sinx>m, cosx<т, cosx>т, tgх<т, tgх>т,
ctg х < т, ctg х > т, где т-данное число.
Решить простейшее тригонометрическое неравенство -
значит найти множество всех дуг (углов), которые обра
щают данное неравенство в вер
ное числовое неравенство.
!/
Уравнение sinх = т.
Неравен·ства
sinх>т,
arcsinпr sin х < т. Требуется решить
--+----+---.---:с уравнение sin Х= т.
О
'A(t;O)
Решение. Если Iт1~1,
Рис. 10.40.
то имеем две дуги arcsin т и
:rt- arcsin т, синус которых ра
вен т и концы которых симмет
ричны относительно оси ординат
(рис. 10.40). Наименьшая по
абсолютной величине дуга arcsin т из промежутка
[- :rt/2, :rt/2], синус которой равен т, называется главным
решением уравнения sin х = т.
Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих урав
нению sin х = т (/ т 1~ 1), находится прибавлением к най
денным двум дугам любого целого числа периодов синуса
{ arcsin т + 2:rtk,
{ arcsin т + 2:rtk,
Х=
ИЛИ Х=
:rt-arcsin m+2nk,
-a rc sin m+(2k+l):rt.
304
Общее решение можно записать одной формулой
Х= (-l)narcsin т+nп, п Е Z.
Если I in 1 > 1, то уравнение решений не имеет.
Частные случаи:
л
1) sinx=-1, X=-т+2:rtk;
2) sinx= О,
X=:rtk;
3) sinx= 1,
Х=; +2лk.
Пр им ер 10.53 . Решите уравнение sin Х= 1/2.
Решение. Главным решением будет дуга из промежутка
[-л/2, л/2], т. е. дуга л/6, синус которой равен 1/2. Общее решение
уравнения запишется формулой х= (-J)n : +лп, п Е Z.
Пр им ер 10.54. Решите неравенство sin х > 1/2.
Решение. Учитывая свойство ограниченности синуса, данное
неравенство можно переписать так:
1/2<sinх~l.
Неравенству sin х > 1/2 на первом периоде удовлетворяют дуги из
у
!/
:с
Рис. 10.41.
Рис. 10.42 .
промежутка (л/6, 5л/6) (рис. 10.41 ). В с11лу периодичности синуса
общим решением будет множество дуг
~~ +2лk, 5l +2лk) •
Пр им е р 10.55. Решите неравенство sin х < 1/2.
Решение. Учитывая свойство ограниченности синуса,
неравенство можно переписать так:
-1~sinх<1/2.
Неравенству sin х < l/2 на первом пе
риоде удовлетворяют дуги из промежут
ка (-7л/6, л/6). В силу периодичности
синуса общим решением будет множество
дуг
(7л
- 6 +2лk, ~ +2лk)
(рис. 10.42).
Уравнение: cosx = т. Не
р а ве нст в а: cosx>m,cosx<m.
Требуется решить уравнение
COS Х= m.
у
о
!1z
Рис. 10.43.
данное
Решение. Если Iт 1~ 1, то имеем две симметрич-
._...
ные относительно оси абсцисс дуги: АМ 1 = arccosm и
-
AM2 =-arccosm, косинус которых равен m (рис.10.43).
305
Наименьшая положительная дуга arccos т из проме
жутка [О, л], косинус которой равен т, называется глав
ным решением уравнения cosx= т.
Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих урав
нению cos Х= т (1 т 1::( 1), находится прибавлением к
найденным двум дугам любого целого числа периодов
косинуса:
х= + arccosт+2лk.
Если I т 1 > 1, то· уравнение решений не имеет.
Частные случаи:
1)cosх= -1,х=+л+2лk,илих=(2k+1)л;
2)cosx=0, х=;+лk; 3)cosx=l,x=2nk.
П р им ер 10.56 . Решите уравнение cos х = -1/2.
Решение. Главным решением будет дуга из промежутка [О, :rt],
--
:rt 2:rt
т. е. дуга АМ 1 =:rt-з=з• косинус которой равен -1/2. Общее
2:rt
решени~ уравнения: Х= ± т+2:rtk (рис. 10.44).
!/
A(t;OJ
:с
Рис. 10.44
Рис. 10.45.
Пр им ер 10.57. Решите неравенство cos х < -1/2.
Р еше н и е. Учитывая свойство ограниченности косинуса, нера
венство можно переписать так:
-1~cosх<-1/2.
,_,
:rt
:rt 2:rt
,_,
3:rt
:rt 4:rt
Дуга АМ1=2+6=3 . Дуга АМ2=2 -6=3 (рис.10.45).
Неравенству cos х < - 1/2 на первом периоде удовлетворяют
дуги из промежутка ( 2; , 4;) . В силу периодичности косинуса
общим решением будет множество дуг
( 2:rt
4:rt
)
\3 +2nk, 3 +2nk •
ЗОG
Пр им ер 10.58. Решите неравенство cos х > -1/2.
Ре ш е н и е. По свойству ограниченности косинуса запишем
-1/2 < cosx~ 1.
Неравенству cos х > - 1/2 на первом периоде удовлетворяют дуги
из промежутка (-2л/З, 2л/3) (рис. 10.44).
-
Общим решением неравенства будет множество дуг
(- 2; +2лk, 23л+2лk),
Уравнение: tgx=m. Неравенства: tgx>m,
tg х < т. Решить уравнение tg х =m.
Решение. Наименьшая по абсолютной величине
дуга arctg т из промежутка (-л:/2, л:/2), тангенс которой
равен т, называется главным решением уравнения tg x=m.
Множество всех искомых дуг, удовлетворяющих урав
нению tg х = т, находится прибавлением любого целого
числа периодов тангенса:
х= arctg т + л:k.
Частный случай: tg х = О, Х= л:k.
Пр им ер 10.59. Решить уравнение tg х= уз.
Решение. Главным решением будет дуга из промежутка
(-л/2, л/2), т. е. дуга л/3, тангенс которой равен уз. Общее реше
ние уравнения записывается формулой
1t
х= 3 +лk.
П р им ер 10.60. Решите неравенство tg х > уз,
Решение. Учитывая свойство неограниченности тангенса, за
пишем УЗ<tgх<+оо.
Неравенству tg х > уз на первом периоде удовлетворяют дуги
из промежутка (л/3, л/2). В силу периодичности тангенса общим
решением будет множество дуг
(;+лk, ;+лk) .
Решение некоторых тригонометрических
уравнений. Рассмотрим несколько примеров, когда
тригонометрическое уравнение более 'сложного вида при
водится к простейшему тригонометрическому уравнению.
П р им ер 10.61. Решите тригонометрическое уравнение 2 cos 2 х+
+3sinх=О.
Решение. Заменив cos 2 х тождественно равным ему выраже
нием 1-sin 2 x, получим 2sin2 x-3sinx-2=0. Решая это урав
нение относительно sin х, получим
sinх=2 и sinх=- t/2,
307
·данное уравнение равносильно двум простейшим уравнениям. Урав
нение sin х = 2 решения не имеет. Из уравнения sin х = - 1/2 имеем
n
-
5n
х=-6+2nk иХ=-6 +2nk,
или
.
n
Х= - 6 (-J)n+nn,
где k и п-любые целые числа.
П р им ер 10.62. Решите уравнение cos х- sin х = О.
Решение. Уравнение cos x-sin х= О-однородное. (Тригоно
метрические уравнения, у которых левая часть есть однородный
многочлен относительно sin х и cos х, а правая часть равна нулю,
называются однородными.)
Разделим обе части уравнения на cos х (такое деление выпол
нимо, так как при cos х = О уравнение не удовлетворяется)
n
1-tg Х=О, tg Х= 1, X=т+nk.
Пр им ер 10.63 . Решите уравнение 2 sin 2 x-sin х cos х-
-3cos2 x=0.
Ре ш е н и е. Данное уравнение однородное. Разделим обе части
уравнения на cos 2 х (cos 2 х :;i: О): 2 tg2 x-tg х-3 = О. Решив уравне
ние относительно tgx, получим tgx= -1 и tgx=3/2. Из первого
n
3
уравнения имеем х = - 4 +nk и из второго х = arctg 2 +nk.
Пример 10.64. Решите уравнение cos5х= О.
n
n
n
решение. 5х = 2 +nk, откуда х= 10 +5 k.
§ 10.5 . Формулы сложения и их следствия
10.5.1 . Тригонометрические функции суммы и разности
двух аргументов. К:осинус суммы и разности
двух ар гумен то в. Пусть в единичном круге
!J
/1(cos rt,; stnr,,)
.- .---. ._
Рис. 10.46.
-
радиус-вектор ОМ= {х; у} образует с осью Ох угол а:
-
и радиус-вектор ON = {xi; у1} угол~ (рис. 10.46), тогда угол
308
-
-
между радиус-векторами ON и ОМ будет равен а-р,
при условии, что модуль I а-р 1~ л. В единичном круге
соответственно имеем
x=cosa, y=sina, xi=cosp и y1 =sinp.
-
-
Скалярное произведение векторов ОМ и ON будет
---+
---+
~
---+
ОМ -ON = 1ОМ/·/ ON /•cos (а-Р). Скалярное произведе
ние, выраженное в координатах, равно
-
-
ОМ -ON =X•Xi +У·У1 = cosacosp +sina sin р.
Но так как длины векторов равны 1, то имеем
cos(а-Р)= cosаcosР+ sinаsinр.
(10.68)
Косинус разности двух аргументов равен произведению
косинусов этих аргументов плюс произведение их синусов.
Формула (10.68) справедлива для любых значений
аргументов а и р, так как теоремы, на которые опира
лось доказательство, справедливы для любых значений
аргументов.
•
Заменив в формуле (10.68) аргумент Р на аргумент -Р,
получим
cos(а+Р)=cosаcos(-Р)+ sinаsin(-Р),
или
cos (а+~)= cos а cos P-sin а sin р.
(10.69)
Косинус суммы двух аргументов равен произведению
косинусов этих аргументов минус произведение их синусов.
Синус суммы и разности двух аргументов.
Для получения формулы синуса суммы двух аргументов
воспользуемся формулой (10.68)
sin(a+P)=cos[;-(a+P)] =cos [(;-а)-Р] =
=cos (;-a)cosp+sin (;-а) sinp,
т. е.
sin(а+Р)=sinаcosр+ cosаsinр.
(10.70)
Синус суммы двух аргументов равен сумме произведе
ний синуса первого аргумента на косинус второго и коси
нуса первого аргумента на синус второго.
Заменив в формуле (10.70) аргумент Р на аргумент -Р,
получим
sin(а-Р)=sinаcos(-Р)+ cosаsin(-Р),
309
или
sin (а-~)= sin а cos ~-cos а sin ~-
(10. 71)
Синус разности двух аргу,иентов равен разности про
изведений синуса первого аргумента на косинус второго и
косинуса первого аргумента на синус второго.
Формулы (10.69)-(10.71) верны для любых значений
С(,и~-
Все выведеныые ранее формулы приведения являются
частными случаями формул сложения.
Тангенс суммы и разности двух аргумен
тов. Из формул (10.70) и (10.69) получим формулу для
тангенса суммы двух аргументов
t (а+А)=sin(а+~)=sinаcos~+cosаsin~.
g
1-'
cos(a+~) cosacos~-sinasin~
Предположив, что cos а =I= О и cos ~ =I= О, разделим числи
тель и знаменатель дроби, стоящей в правой части, на
произведение cos а c0s ~:
sinаcos~+ cosаsin~
t (а+А)= cosаcos~ c~sаcos~
g ~ cosacos~ s1nas1n~ -
cosаcos~ cosаcos~
sinа sinр
ёоsёt+ёоs/3 _ tga+tgp
s1n asinр- 1-tgаtgр'
cosa.cosp
или
tga+tg ~
tg.(a.+ ~) = 1-tgаtg~•
(10. 72)
Тангенс суммы двtJХ аргументов равен сумме тангенсов
этих аргуменпwв, деленной на разность единицы и произ
ведения их тан-генсов.
Заменив в формуле (1О. 72) аргумент ~ на аргумент
-~.
получим
или
tg a+tg <-Р>
tg ta-fi)= 1+ tgаtg(-Р)'
(10.73)
Тангенс разности двух аргументов равен разности
тангенсов этах аргументов, де11еннои на сумму единицы
и произведен:сtЯ их тангенсов.
Формулы сложения и вычитания для котангенса вы
водятся аналогично формулам для тангенса:
ct (а+~)= 1 =Ftgatg~=ctgactg~ =F 1.
g-
tgа±tgр ctgр±ctgа (10,74)
310
Пример 10.65.1. Вычислите sinl5°, cosl5°, tgl5° и ctg15°.
Решение.
sin15° = sin(45°-30°)= sin45°cos30°- cos45°sin30°=
_
У2.уз_ -V2.1 _
-V2(уз" 1).
-
2
2
2 2-4
'
cos 15° = cos (45°-30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30° =
= 1"2. -vз ..!-
-v2. _! __
-v2 ( -vз-+ l)·
2
2'22-4
'
t 50= sin150=-Vз 1=2-VЗ; ct 150= -V!+1=2+-vз:
g
cos 15° -vз-+ 1
g
-V3- l
Пр им ер 10.66 . Вычислите sin 70° cos 40°-cos 70° sin 40°.
Решение. Применив форму.лу· (10.70~, получим
sin 7'0° cos. 40°-cos 70° sin 40° = sin (70°-40°) = sin 30° = 1/2.
Пр им ер 10.67. Вычислить cos (а;+~). если cos а;= 3/5,
cos~=4/5иn/2<а;<n,n<~<3n/2.
Р е ш е н и е. Вычислим sin а; и sin ~ с учетом четверти, которой
принадлежат углы а; и ~:
Подставив данные и найденные значения в фор.мулу (10.69), получим
Пр им ер 10.68. Решите уравнение sin 2х cos х = cos 2х sin х.
Решение. sin 2х cos x-cos 2x-sin х=О, т. е. sin (2х-х) =0,
sin х=О, x=nk.
10.5 .2 . Тригонометрические функции удвоенного и по
ловинного аргументов. Рассмотрим теоремы сложения для
частного случая, когда слагаемые аргумента равны, таким
образом получим формулы, выражающие тригонометричес
кие функции от 2а через тригонометрические функции
от аргумента а:
sin2а= sin(а+а)=sinаcosа+sinаcosа=2sinаcosа,
cos 2а= cos (a+a)=cos а cos a-sin а sin a=cos2 a-sin2 a,
t~ a+tg а;
2tgа;
tg2а=tg(а+а)= 1
tt
=1
t
2•
-ga;ga;
-ga;
Мы получили следующие формулы тригонометрических
функций удвоенного аргумента:
siп2а=2sinаcosа,
cos 2а =cos2 a-sin2 а,
(10.74)
(10.75)
Формулу для косинуса удвоенного аргумента полезно
применять еще в таких видах:
cos 2а= cos2 a-sin2 а= cos2 a-(1-cos2 а) = 2 cos 2 а-1,
cos 2а =cos2 a-sin2 а= l-sin2 a-sin 2 а= 1-2 sin2 а.
Получили формулы, позволяющие косинус удвоенного
аргумента выражать или только через косинус или только
через синус этого аргумента:
cos2а=2cos2а-1,
cos 2а= 1-2 sin2 а.
Пример 10.69. ВыразитеtgЗа черезtgа.
Решение.
2tga +t
(10.77)
(10.78)
tg За= tg (2а+а)
tg 2a+tg а
1-tg 2а tga
l-tg2 a ga Зtga-tg 3 a
1_ 2tga t а= l-Зtg2a •
1-tg2a g
Пр им ер 10.70. Вычислите sin 2а, если sin а=4/5 и n/2<a<n.
РешеI1ие. cosa=-Vl-(4/5)2 =-3/5, по формуле (10.74)
получим sin 2а = 2 (4/5) (-3/5) = -24/25.
Пример 10.71. Вычислите cos2a, если sina=-0,3.
Решение. Применив формулу (10.78), получим
cos 2а= 1-2 (-0,3)2 = 0,82.
Пр им ер 10.72. Вычислите tg 2а, если tg а= -0,6,
Решение. По формуле (10.76) получим
t 2_ 2(-0,6)_
-1,2 __15.
gа-1-0,36 -0,64-
8•
Пр им ер 10.73. Вычислите sin За.
Решеиие.
sin Зa=sin (2a+a)=sin 2а cos a+cos 2а sin а=
312
=2sinаcosаcos a+(cos2a-sin2а) sinа=2sinаcos2a+
+cos2 a sina-siп3а=З siп аcos2.a-sin3 а=З siп а-4 sin3 а.
Пр им ер 10.74. Решите уравнение sin х cos Х= 1/2.
Решение. Умножив левую и правую части на 2, получим
2.sinxcosx=l, sin2x=l, 2х=;+2лk, х=;+лk.
Выразим тригонометрические функции аргумента а:
через тригонометрические функции аргумента а:/2. Для
этого используем формулы (10.77) и (10.78). Заменив в
этих формулах аргумент а: аргументом а:/2, получим
а
cosа:=2cos2 2 -1 или
cosa: = 1-2 sin2 ; или
откуда имеем
1+cos а
2а
2 =cos2'
1-cos а
.
2а
2
SIП 2'
(1 О. 79)
( 10.80)
(10.81)
(10.82)
где знак перед корнем находится по знаку четверти, ко
торой принадлежит аргумент а:.
Разделив почленно (10.82) на (10.81), получим
t ~-+у 1-cosa
g2--
1+cosа'
a:=,i::rt+2:rtk. (10.83)
Знак перед радикалом надо брать так, чтобы он сов-
а
падал со знаком tg 2 : знак +, если а:/2 принадлежит
1 или 111 четверти, и знак -, если а:/2 принадлежит 11
или IV четверти.
Разделив почленно ( 10.81) на ( 10.82), получим
а
ctg2=+
I+cosa
1-cosa'
a:=,i: 2:rtk.
(10.84)
Вместо формул (10.83) и (10.84) можно получить фор-
-
а
мулы, дающие рациональное выражение tg 2 через три-
гонометрические функции аргумента а:.
Имеем равенство
Умножив при этом
.
а
а SIП2
tg 2 = --а- , полагаем
cos 2
условии числитеJiЬ и
а
cos 2* о.
знаменатель
313
u
2 С(,
правои части на cos 2 , получим
2sin~cos~
а
2
2
tg2=-----
2cos2 ~
2
·2•аа
•
22а1+
НО S!П2COS2=S!ПО!.И COS2=
COS О!.,
t~-
sina
g 2 - l+cosa'
а.=I= n+2nk.
Аналогично можно доказать равенства
t ~= 1-cosa
g2
sina '
ct ~= 1+cosa
g2
sina '
tа
sin а
сg2=1- cosС(,.
тогда
(10.85)
(10.86)
(10.87)
(10.88)
В равенствах (10.86) и (10.87) левая и правая части
имеют различные области определения. В .равенстве (10.86)
левая часть имеет область определения а. =I= n + 2лk, а
правая часть а. =I= nk. В равенстве (10.87) область опре
деления левой части а. =I= 2nk, а правой части а. =I= nk.
В равенстве (10.88) области определения совпадают: a.=j=2nk.
Применяя формулы (10;86) и ([0;87) при решении триго
нометрических уравнений, надо учитывать несовпадение
их областей определения.
Пример 10.75. sinа=0,6и О<а<л/2. Найдите sin(а/2),
{:0S (а/2) и tg (а/2).
Реше ни е. cos а= У 1-0,36 = 0,8. По формулам (10.82) и
(10.81) находим
.
а_-.
/"1 --о,8 _
.ro-1- уТб
SIП 2- v-2- -
f'
-10'
а-.
/ 1+0,8
,r-;- 3уТб
cos2 = 'v-2
-
=lf 0,9=-
1-0
-,
аl
tg2=з·
Выражение тригонометрических функ
ций через тангенс половинного аргумента.
Все тригонометрические функции любого аргумента вы-
31'!
ражаются рационально через тангенс половины этого ар•
гумента. Выразим sin а и cos а через tg ~ .
Имеем sin а= 2 sin ~ cos .!::
cos,..,
os2 а:
"'1·п2 а
2
2'
u,= с 2-..,
2.
Разделив правые части этих равенств на 1 = sin2 ~ +
а
+cos2
2 , получим
2 sin .!:: cos .!::
cos2а- sin2~
.
2
2
2
2
SIПCX=------, COSCX=-- ----
sin2 ~+cos2 ~
sin 2 ~+cos2 · .!::
2·
2
2
2
р
2а:
азделив правые части этих двух равенств на cos 2 ,
получим
а
2tg 2
sina=----
a:'
1+tg2 2
cosa=
а
l-tg22
а
1+tg22
Из форм:ул (10.89) и (10.90) получаем·
а
2tg2
tg а=·----,.
а
1-ti,:-22
l-tg2·T
а
2tg2
ctga=
(10.89)
(10;90)
(10.91)
а:
:rt
Полученные форму,71ы теряют смысл, если ~ = 2 + nk,
т.е.при всех а=n(2k+1), kЕZ.
П р им ер Ю.76. Вы11ислите выраже1ше
5 cos а:-3
...,..,,.~---,
если
IOsin а+ 1
а
tg2=3.
Решение. По формулам (10.89) и (10.90) получим
.
6
3
1-9
4
sша:=1+9=5• cosa:=1+9=-5•
315
следовательно,
5 cos а-3 = -4-3=-I
IOsina+I 6+1
•
Пример 10.77. Решитеуравнение3sinх+4cosх=4.
Решение. Выразимsinхи cosхчерез z= tg(х/2):
.
2z
l-z2
SIПX= 1+z2'
COSX= 1+z2•
тогда
6z
4-4z2
3
l+z2 +l+z2 =4, 4z 2-3z=0, Z1=0, z2 =т•
х
х3
Данное уравнение равносильно уравнениям tg 2 =0 и tg 2 = 4
,
откуда
х
2 =nk, х=2лk,
х
3
3
2=arctgт+nk, X=2arctgт+2nk, kEZ,
10.5.3 . Преобразование произведения тригонометриче
ских функций в сумму. В тригонометрических вычисле
ниях при решении тригонометрических уравнений нередки
случаи, когда необходимо преобразовать произведение три
гонометрических функций (siп а cos Р, cos а cos р, sin а sin р)
в алгебраическую сумму.
Сложив почленно равенства (1О. 70) и (1О. 71 ):
siп(а+Р)= sinаcosР+cosasinр,
sin(а-Р)= sinаcosP-cosаsin~.
получим
откуда
sin а cos ~ = ~ [sin (а-~)+ sin (а-~)].
Справедливы равенства (см. (10.69) и (10.68))
cos (а+Р) = cos acosP-siп а sin р,
cos(а-Р)= cosаcos~+ sinаsinр.
(10.93)
Складывая почленно эти равенства и вычитая первое
равенство из второго, получим
316
cos (а+Р) +cos (а-Р)= 2 cos acosp,
cos (a-P)-cos (а+~)= 2 sin а sin р,
откуда
1
cosсхcos~=2 [cos(сх+~)+cos(сх-~)],
sin сх sin ~ = ; [cos (cx-~)-cos (сх + ~)].
(10.94)
(10.95)
Формулы (10.93)-(10.95) применяются для преобра
зования произведения тригонометрических функций в ал
гебраическую сумму.
Пр им ер 10.78. Представьте произведение sin 25° siп 5° в виде
суммы.
Решение. По формуле (10.95) получим
sin25°sin5°= ; [cos20°-cos30°]= ; cos20°-
~.
Пр им ер 10.79. Представьте произведение sin 40° cos 20° в виде
суммы.
Решение. По формуле (10.93) получим
sin40°cos20°= ;[sin60°+ sin20°]= ~+;sin20°.
П р и мер 10.80. Преобразуйте в алгебраическую сумму пра-
х
х
х
изведение cos 2 cos 3 cos 4 .
Решение.
ххх(хх)х
cos2 cos3 cosт= cos2 cos4 cosз=
=;[cos3;+cos;]cos;=;(cos3:cos;+cos;cos;)=
1[ 13х
5х
7х
х]
=т cos 12+cos 12+cos 12+cos 12 •
Понижение степени тригонометрических
функций. Преобразование произведения тригонометри
ческих функций в сумму используется для понижения
степени sin2 х, cos2 х, sin3 х и т. д.
Пример 10.81.
sin 2 x=-sinxsinx=; (cos0-cos2x)=;-; cos2x.
Пример 10.82.
cos 2 х= cos xcos х=; (cos o+cos 2х)=; +; cos 2х.
317
Пример 10.83..
·з ·2.
(ll2)·
SIПX=SIПХSIПХ= 2-2 COS Х SIПХ=
l.
l.
2l.
1(. 3
')
=
2SIПх-2SIПХCOS х=2SIПХ- 4 SIП X-SIПХ=
l.
I.3+I.
3.
1.3
=2 stпx-4 stп Х 4 stпx=4 sшx-4 sш Х.
Отсюда получаем формулу для синуса утроенного аргумента
sin3x=3sinx-4sin3 x.
(10.96)
Пр им ер 10.84.
cos 3 x=cos2 xcosx=(-1⁄2-+; cos2x) cosx=
1
1
1
1
=
2COSх+2COS2ХCOSХ=2COSх+4(COS3х+COSХ)=
l
1
l
3
1
=
2 COSх+4COS3х+4COSХ=4COSх+4COS 3х.
Отсюда получаем формулу для косинуса утроенного аргумента
cos3x=4cos3 x-3cosx.
(10.97)
Пр им ер 10.85.
cos6х=cos3хcos2х=(: cos х+1cos3х)(;+ ; cos2х) = •
3
1
3
1
=в cos х+в cos 3х+в cos х cos 2х+в cos 3х cos 2х=
3
1
31
l1
=в cos х+в cos 3х+в'2(соs 3х+ cos х)+в·2 (cos 5x+cos х) =
5
5
l
=в cos х+ 16 cos 3х+16 cos 5х.
10.5.4 . Преобразование алгебраической суммы триго
нометрических функций в произведение. Представим суммы
и разности тригонометрических функций в виде произве
дения тригонометрических функций от других аргументов.
Сумма синусов. Из формулы (10.93) имеем
sin (А +В) +sin (А-В)= 2 sin А sin В.
Пусть А+В=а, А-В=~; решив систему
{ А+В=а,
А-В=~
относительно аргументов А и В, получим
А-а+~ 8_а-~
-
2'
-
2•
318
Тогда
sinсх+ sin~=2sinatРcosа2Р.
(1о. 98)
Сумма синусов двух аргументов равна удвоенному про
изведению синуса полусуммы на косинус их полуразности.
Разно ст ь с ин у с о в. Чтобы получить разность сину
сов в формуле (10.98), заменим аргумент~ на аргумент -
~:
sincx+sin(-~ )=2sina 2 Pcos af Р,
или
•
•
А2.а-Р а+Р
SIП CX-SIП t' =
SIП- 2
-
COS-2
-.
(1о. 99)
Разность синусов двух аргументов равна удвоенному
произведению синуса полуразности этих аргументов на
косинус их полусуммы.
Сумма косинусов. Для вывода формулы суммы
косинусов двух аргументов воспользуемся формулой (10.98),
заменив в ней косинус каждого аргумента синусом до
полнительного аргум~нта.
cosа+cos~=sin(;- сх)+si~(~-
~)=
,t
,t
л
,t
.
2 -а +2-Р 2-а-2+Р
=2sш
2
cos
2
-
= 2SlП ---- COS
--= 2COS--COS
--
.
(,i; а+Р) Р-а
а+Р а-Р
2
2
2
2
2'
т. е.
coscx+cos~=2cosatpcosa 2 Р. - (10.100)
Сумма косинусов двух аргументов равна удвоенному про
изведению косинуса полусуммы этих аргументов на коси
нус их полуразности.
Разность косинусов. Аналогично
cos cx-cos~= sin ( ;-сх)-sin ( ~ -~) =
,t
,t
л
,t
.
2-а-2+Р 2-а+2-~
= 2SIП
2
COS
2
-
.
Р-а · (,i; а+~)
.
~-а . а+~
= 2SIП- 2
-
COS•2
--
2-
= 2SIП- 2
-
SIП- 2
-
=
2.а+~
.
~-а
=
sш-2 -sш-2 -,
319
т. е.
cosa-cos ~=2sina!BsinB 2 а_ (10.101)
Разность косинусов двух аргументов равна удвоенному
произведению синуса полусуммы на синус их обратной по
луразности.
Сумма тангенсов.
tg a+tg~=
= sinct+sinВ=sinctcos~+cosrxsinВ= sin(rx+В)
cos 1'Х cos в
cos 1'Х cos в
cosctcosв '
т. е.
t а t _ sin(rx+B)
g + g~- cos1'Хcosв ' а=р-;+nk,
~=1=-; +nl.
(10.102)
Разность тангенсов. Заменив в формуле(lО.102)
аргумент ~ на аргумент -
~.
получим
t +t ( А)- sin(rx-B)
ga g -1-'
-c os rxcos(-B)'
т. е.
t
t А- sin (rx-B)
gа- g1-'
-
cos а cos ~ ' а-=1=-; +nk,
~=1=- ~ +nl.
(10.103)
Преобразование выражений 1+ cosа,
1-cosa, 1+sin а и 1-sin а в произведение. Заме
нив в формулах для косинуса удвоенного аргумента а
аргументом а/2, получим
тогда
cosа=2cos2;- 1 и cosа=1-2sin2;;
(Х
1+cosа=2cos22 ,
1-cos а=2siп2~ ,
:rt
(10.104)
(10.105)
.
(л:)·
2-r .t
(:rt
ct)
l+sшa= I+cos 2 -а =2cos2 - 2
-=2cos2 4 - 2
,
320
т. е.
1+sinа=2cos2(l- ~) ,
(10.106)
:rt
-'- -а:
1-sina= 1-cos (~-а)= 2sin2 - 2
--=
2
•
2
=2sin2 (~-~ )
42'
т. е.
i-sina=2sin2 (:-;).
(10.107)
Пр им ер 10.86 . Решите уравнение
4sin2 5х+2 cos2 х+ cos !Ох-3 =0.
р
4 1-cos!0x+2 1+cos2x+
1030
ешение. •
2
•
2
cosх-=
,
2-2cos 10x+l+cos2x+cos I0x-3=0,
cos 2x-cos !Ох= О,
2sin6хsin4х=О,
sin 6х=0,
sin4x=0, 4x=:rtl,
Приведение к логарифмическому виду
методом введения вспомогательного угла.
Данное число а можно рассматривать как значение три
гонометрической функции от некоторого аргумента, на
зываемого вспомогательным углом, так как при любом
значении а имеет место равенство
tg (arctg а)= а
ипри!а/~1
sin (arcsin а)= а и cos (arccos а)= а.
Это обстоятельство позволяет представлять алгебраическую
сумму любых двух чисел 1<ак алгебраическую сумму зна
чений тригонометрических функций, а следовательно, при
менять формулы преобразования алгебраической суммы
тригонометрических функций в произведение.
Пр им ер 10.87. Преобразуйте в произведение при помощи
введения вспомогательного угла: 1) J/3 + tg а:, 2) J/2 sin а: + 1,
3) 4cos2 a:-I, 4) а+Ь, 5) а2+ь2•
11 П/ред. Н. м. Матвеева
321
Решен не.
sin ( ;+а) 2 sin (;+а)
1) vз+tga=tg ;+tga=-~л-~
cos зсоsа
cosa
2) У2sin а+ 1= 'Jf"2 (sin а+ ; 2)=У2(sin a+sin :)=
л
л
а+- а--
= 'Jf2•2sin~cos ~=2 'Jf2sin (;+;) cos (;-;).
3)4cos2а- 1=4(cos2а--{-)=4(cosа+;)(cosа- ;)=
=4(cosа+cos; ) (cosа-cos;)=
= 4,2cos(~+:)cos(;-:)2sin(;+:)sin(:-;)=
=4sin(a+;)бin (;-а).
4) а+Ь=а (1+ :)=a(I+tgq;)=a (tg :+tgq,)=
__
аsin(~+q,) •аf2sin(~+q,)
Ь
-------'----"--,
где q>=arctg-.
cos q,
а
л
cos4 cosq,
5)а2 +Ь2 =а2 1+- =a2(1+tg2<p)=--
rдem=arctg-.
( ь2)
а2
ь
а2
cos2 q> '
т
а
Приведение к логарифмическому виду
выражен и я а sin c:t + Ь cos а (а и Ь-любые действитель
ные числа, не равные нулю). Представим данное выраже
ние так:
asina+bcosa=Va2 +ь2 ( у а
sin а+ у_ь__ cosa);
а2 +ь2
а2 +ь2
таккак/~1<1, /уа:+ь2/<1и (уа:+ь2)2+
+(~)2
= 1, то можно подобрать такой угол <р, чтобы
а2+ь2
'Jf_a _ =COS<p,
J! [, =SiП<p, (10.108)
а2+ь2
а2+ь2
тогда
аsinа+Ьcosа=Vа2+Ь2(sinаcos<р+sin<рcosа)=
= Va2+ Ь2sin(а+<р).
322
Таким образом, мы получили
а siп CG +ь cos CG= Vа2 +ь2 siп (а+ (р), (10.109)
где q> вычисляется из системы ( 10.108).
Угол q> можно найти из равенства tg q> = .!!. _ , так как
а
t
sin<р Ь
Ь
gq>= --=
-
, ер= arctg- , тогда
COS<p
а
а
аsinа+Ьcosа=Vа2+Ь2sin (а+arctg ~).
Пр им ер l0.88. Приведите к логарифмическому виду: !) 4 sin а+
+3cosа, 2) узsin a-cosа.
Решение.!) Jf42 +32 =5, <p=arctg: ,тогда4sinа+Зсоsа=
=5sin ( a+arctg 3⁄4);
2)V(УЗ) 2 +12=2, <p=arctg(- jз')=-;, тогда
YЗsin a-cos а=2 sin ( а -
~).
.
Решение тригонометрических уравнений
вида asinx+bcosx= с методом в в еде ни я вс по
мо га тельного угла. Полагаем а>О. Приведем ле
вую часть уравнения к логарифмическому виду
Va2 +b2 sin (x+arctg ~)= с,
откуда
siп(x+arctg~) = ~ .
Ь.
а2+ь2
Уравнение имеет корни, если J/al2c1ь2 < l, т. е. с2 <
<а2+ь2.
По этому неравенству можно судить до решения урав
нения, имеет ли уравнение корни. Корни уравнения за
пишем формулой
Х= (-1)11 arcsin с
Vа2 +ь~
ь
arctg-+nk.
а
Пр им ер IO.B9. Решите, используя метод введения вспомога
тельного угла, уравнение sin х+ уз cos х = 2.
11*
323
Решение. V1+(J/3)2 =2, 2sin (x+arctgJ/3)=2,
sin (х+;)= 1, х+; =~+2лk,
:п;
:п;
л
х=2-3+2лk, х=6+2лk.
10.5 .5. Решение примеров. Пр им ер l О. 90. Преобра
зовать в произведение sin CG + sin ~ + sin у, если CG +~ +
+y=n.
Решение. y=n-(a+~). siny=sin(:rt-(a+~)]=
= sin(a+~). Тогда, заменив siпy=siп(a+~). получим
siпa+sin~+ sinу= sinа+sin~+ sin(а+~)=
= 2sinа!~cos а2~+ sin(2•а;~)=
=2 sin а+~ cos а-~ +2 sin а+~ cos а+~=
2
2
2
2
= 2sinа;~(cosа2~+cosа;~)=
.
а+~
а
~
= 2sш--·2cos- cos-
2
2
2'
а+~лу
•
а+~ •(л у)'
у
НО-2
-=2-2
, ПОЭТОМУ
SIП -2-=SIП 2 - 2
=COS2,
следовательно,
sinа+sin~+sinу=4cos~cos ~cos ~.
Таким образом, если a+~+Y=:rt, то сумма синусов этих
аргументов равна учетверенному произведению косинусов
половинных аргументов.
Тригонометрические уравнения вида
sinf(х)=sinqJ(х), cosf(х)=cosqJ(х), tgf(х)= tgqJ(х).
Некоторые тригонометрические уравнения могут быть при
ведены к равенству одноименных тригонометрических
функций
sin Х= siny, COSX= cos у, tg Х= tg у.
Установим условия, которым должны удовлетворять
аргументы х и у, чтобы одноименные функции от этих
аргументов были равны.
Для того чтобы синусы двух аргументов были равны
(sin х= sin у), необходимо и достаточно выполнение одного
из следующих условий:
l) х+У=(2k+l):rt,
2) х-у= 2k:rt.
324
Пример 10.91.
1) sin 3,8л= sin 1,2л, так как 3,8л+ 1,2л=5л.
2) ,sin (сх-5л) = sin (4л-сх), так как сх-5л+4л-сх=-л.
3) -sin 5,lл=sin (-2,9л), так как 5,1л-(-2,9л)=8л.
4) sin 2,2л -:/= sin О,9л, так как не выполнено ни одно из условий
равенства синусов:
2,2л+О,9л=3,!л-:/= (2k+ 1) л,
2,2л-О,9л=l,3л ;:z!: 2kл.
Доказательство.
sinx=siny,
sinx-slny-0,
2sinх2Уcos xty=0.
о
х-у о
•+У о
тсюда следует, что или sin-2
-=
, или cos-2
--
,
т. е.
х-у
-2-=:лk, x-y=2kn,
х+у л
-
2-= 2 +nk, х+у= n+2nk= (2k+ 1):t.
Пр им ер 10.92. Решите уравнение sin 3х= sin 4х.
Решение.
п
3х+4х= (2k+1)л, 7х= (2k+1)л, х=(2k+1)Т,
4х-3х = 2kл, х = 2kл.
Для того чтобы косинусы двух аргументов были равны
(cos х = cos у), необходимо и достаточно выполнение одного
из следующих условий:
1) х+у= 2k:л,
2) х-у= 2k:л.
Пр им ер 10.93.
!) cos2,7л=cos 1,3л, так как 2,7:rr+1,3л=4л;
2) cos 7 ,2л = cos 1,2л, так как 7 ,2л-1,2л = 6л;
3) cos 580° = cos 220°, так как 580° - 220° = 360°;
4) cos 1,Зл -:/= cos 3,7л, так как не выполнено ни одно из условий
равенства косинусов 1,Зл+З,7л =5л-:/= 2kл, 1,Зл-3,7л=-2,4л t=2kл.
Доказательство.
cosx = cosy,
cosx-cosy= О,
2sinxtysinУ2х=О,
sinxtУ=О или sinу-;х=О, или sinх-;-У=О,
откуда или xtУ= :лk, или х 2У=:лk,т.е.илих+у=2k:л,
или х-у= 2kn.
325
Пример 10.93. Решите уравнение cos5х= cos (х-~).
Решение. 5х+х-: =2kл, х= 2~ (Bk+ 1),
:rt
:rt
5x-x+ 4 =2k:rt, X=l6 (Sk-1).
Пр им ер 10.94. Решите уравнение cos x=sin Зх.
Решение.cosх=cos (; - Зх) ,
:rt
:rt
:rt
x+ 2 -Зx=2k:rt, -2x=2k:rt-2
, или 2х= 2 -2kл:,
л:
:rt
:rt
л:
x= 4 (4l+ 1), х- 2 +Зх=2kл:, 4x=2k:rt+ 2 , x=g (4k+ 1).
Для того чтобы тангенсы двух аргументов были равны
(tg Х= tg у), необходщю и достаточно одновременное вы
полнение двух условий: 1) mШLгенс каждого из данных аргу
ментов существует, 2) х-у= nk.
..
Пр им ер 10.95.
1) tg5,3:rt=tg0,Зл:, так как 5,Зn-0,Зл:=5:rt;
2) tg 2,8n=tg (-1,2:rt), так как 2,8л:-(-1,2л) =4л:;
л:
5:rt
3) tg 2 = tg 2 , не выполнено первое условие: тангенсы этих
аргументов не существуют;
4) tg 2,6n :;!: tg 1,2л, так как не выполнено второе условие
2,бл:-1,2:rt= 1,4:rt :;!: лk.
Доказательство. tgx=tgy, tgx-tgy=O,
sin (х-у) =О
cosхcosу
'
откуда следует, что sin (х-у)=О, тогда х-у= nk.
Пример 10.96. Решите уравнение tgх= tg5х.
Реше н и е. По условию равенства тангенсов получим
5х-х=л:k, 4х=л:k,
л:
x=4 k.
Из множества решений надо' исключить те значения аргумента х,
при которых левая и правая части уравнения не существуют, т. е.
л:
л
:rt k
значения вида 2 (21+1). В множестве x= 4
•k=2
-
2 такие зна-
k
k
чения будут при 2 нечетном, т. е. при 2 =2n+ 1 или при k=4n+2.
Следов_ательно, уравнению удовлетворяет множество корней вида
fk, если k:;!:4n+2.
326
§ 10.6 . Непрерывность триrонометрическнх
функций и их производные
10.6 .1 . Неравенство fsinxl<lx/</tgxf и ero след
ствия. Неравенство
1sinх1< 1х1< 1tgх1
( 10.1 1О)
справедливо для всех х, удовлетворяющих неравенствам
О< /х 1 < -л/2. Рассмотрим случай, коrда О< х < -л/2.
В единичном круrе (рис. 10.47) построим дугу АСМ = х
(О< х < -л/2), хорду АМ и ось тангенсов AN, тогда М 1М =
=Sinx, AN = tgx.
у
Рис. 10.47.
Рассмотрим треуrольник АОМ, сектор АОМ и треу
гольник AON. Между площадями этих фигур имеет место
соотношение
s6AOM < Sсект. АОМ < s6 AON
или
1
1
--
1
-ОА-М 1 М <-ОА 2 -АСМ <-OA-AN
2
2
2
'
ноОА= I, тогда М1М<АСЛ1<AN или
sinх<х<tgх.
(10.111)
Следовательно, если О< х < -л/2, то неравенство (9.110)
выполняется, так как
1sinх1= sinх,
1х1= х,
1tgх/= tgх.
Если - -л/2 < х < О, то О <-х < -л/2. Тогда, согласно
неравенству (10.110), имеем
sin(-x)<-x< tg(-x).
(10.112)
327
Нодлях<О
- x=lxl,
sin (-х)= - sin Х= 1sinx 1,
tg(-x)=-tgx=ltgxl,
т. е. неравенство (10.112) имеет вид
1sinх1<1х1<1tgх/.
Непрерывностьсинуса.Функцияу=sinхнепре
рывна на всей числовой оси.
Для доказательства непрерывности функции ·у= sin х
в точке х необходимо показать соблюден-не двух условий
непрерывности функции:
1) в точке х функция у= sinx определена, т. е. имеет
вещественное значение;
2) бесконечно малому приращению аргумента Лх будет
соответствовать бесконечно малое приращение функции Лу.
Первое условие соблюдается, так как функция у= sin х
определена при любом значении аргумента х.
Докажем выполнение второго условия. Дадим аргу
менту х приращение Лх и найдем соответствующее прира
щение функции
Лу=sin (х+ Лx)-sinx= 2cos (х+ -~;) sin л;,
откуда получаем
IЛYl=21cos(x+л;)I jsinл;1.
В силу неравенства \sin х \< 1х 1 (х =:/= О) имеем
1
.
Лх 1< 1Лх\
sшт -2-·
Абсолютная величина косинуса любого аргумента не пре
восходит единицы, следовательно,
1cos (х+л;) 1~ 1.
Тогда
1Лу1<21cos (х+Л:) 1\sinл;\<2•1•I~х1=1Лх1,
отк у да имеем
lim IЛу\~lim IЛх/= О,
Лх➔О
Лх➔О
а это значит, что функция у= sin х непрерывна в точке х.
328
Непрерывность 1сосинуса. Так I(ак
COSX=Sin (i+x)'
то из непрерывности синуса вытекает непрерывность ко
синуса (-оо < ~ +х< +оо).
Непрерывность тангенса и котангенса.
Из непрерывности функций у= sin х и у= cos х на всей
"
sin х
числовои оси следует, что функция у= tg х = -- также
cosx
непрерывна при всех значениях х, за исключением точек,
:rt
в которых C(jSX=O, т. е. точек x= 2 +nk, kEZ.
ф
t
cosx б
•ф
•
ункция у= с g Х= sin х удет непрерывнои ункциеи
при всех значениях х, кроме значений Х= nk (k Е Z), обра
щающих в нуль sin х.
siпx
ОП
Предел отношения --при х-+
.
ри вычис-
х
лении пределов и выводе формул дифференцирования три
гонометрических функций используется предел отношения
синуса дуги к ее дуге:
1.
sinх l
1m --=
или
Х➔О Х
lim _;,_ = 1 (х-в радианах).
Х➔0SШХ
(10.113)
Доказательство. Пусть О<1х1<n/2. Тогда вы-
полняется неравенство
lsinx\ < \xl < 1 tgx\.
Разделив все три части неравенства на Isin х 1, получим
l<1si~х1<1со~х1'
ноsi:х >О,со~х >О,тогда1< si:х <со~х •Перейдемк
sinx
.
обратным величинам 1 > -- > cosx. I1m cosx= 1, следа-
х
Х➔О
вательно, пределы левой и правой частей при х -о равны 1,
тогда и предел средней части неравенства также равен 1,
т. е.
[.
sinх I
1m --=
.
Х➔О х
329
п
10971)1. sinЗх1.sinЗx3133,
ример . .
,m -2-= ,m -3-.
-2=
·-2 =-2;
Х➔О Х
Х➔О Х
,m--= 1m --•--· -
=
2) ].
sin4х 1. (sin4х Gx 4)
х➔0sinбх х➔0 4х
sinбх 6
2. sin4х. 6х
2
2
=- I,ш
--
ltm -.-=-·1-1=-.
3х➔о 4х х➔оsin6х 3
3
10.6 .2. Производные функций y=sinx, y=cosx,
y=tgx,y=ctgx. Производная функции y=sinx,
xER.
[
( Лх\.Лх]
.
.
2 COS х+- S!П-
у' = lim sin (x+Лx)-sin х = lim
2)
2=
дх .... о
Лх
дх->-0
Лх,
.
Лх
( ЛХ'
SJП т
= lim cos x+ 2 )·1im -л-·-=cosx•l=cosx,
Лх➔О
Лх➔О _:.
2
т. е.
(sin х)' = cos х.
(10.114)
При доказательстве использованы: теорема о пределе
произведения, непрерывность косинуса, lim ·eos(x+ л;) =
Лх➔О
1.
-sinх 1
=COSXИIШ--=.
Х-+0 Х
Если синус имеет сложный аргумент и= ер (х), то произ
водная синуса находится по <формуле :дифференцирования
сложной функции
(sinu)' = COSU·U '.
Производная функцииу= cosх, хЕR.
,
1. cos(x+Лx)-cosx
у= 1m ------=
Лх➔О
Лх
[
•
Лх]
л SIПT
=
lim -2sin (х+ ;)-л- =
Лх➔О
Х
(10.115)
.
Лх
SIП-
1• •(+Лх)1•
2
•
l
.
=-1msшх2
1m -л-=-sшх- =-sшх,
дх-+ О
Лх➔О ~
2
т. е.
(cosx)' =
-sinx.
(10.116)
330
При доrсазательстве использованы: теорема о пределе
произведения, непрерывность синуса, liш siп (х + л2х \) =
Лх-+0
.
1. sinх l
=SIПXИ IШ--= ,
Х-+0 Х
Для сложного аргумента и= <р (х) имеем
(cos и)'= - sin и• и'.
(10,117)
Производная танrенса.
Y =tgx= sinx
xER,
cosх'
I{роме Х=; +nk, kЕZ.
Применяя, фо!=)мулу производной дроби, получим
(t х)'=(sinх)' = (sinх)'cosx-(cosх)'sinх =
g
cos х
cos2x
cos~x+sin 2 x
-
cos2 x
= cos2x '
т. е.
(t )'--1
gХ-cos2x•
(10.118)
Если и= <р (х), то
(tgu)' =-\-,и'.
cos и
(10.119)
Производная котангенса.
cos х
k,
Y=ctg._x=-. -.
xER, кроме x=n, ,~EZ,
SIПX '
( ),_
( cos-x)' _ (cos-x)' sin x-(sin х)' cos х =
ctgx - \ sinx
-
sin2x
-sin2 x-cos2 x
- -- s-in-2~x- -= -
sin2x'
т. е.
(ctg)' = -
-
1-
siп2х•
(10.120)
Если и= <р (х), то
(ctg ,,,, =- -.
1- •и'.
и._,
s1112u
(10.121)
Пр им ер 10.98. Найдите производные следующих триrонометри•
чсских. функций: 1) !f=Sin 2х, 2) y=sin 2 x, 3) y=tg2 Зx, 4) y=ct~x ·
<>
Р с ш е ни е. 1) По формуле (10.115) получим
(~in 2x)'=cos2x-(2x)'=2cos 2х.
331
2) По формуле производной степени и формуле (10.115) получим
(siп 2 x)"=2 sin x•(sin х)' =2sin х cos х= sin 2х.
3) По формуле производной степени и формуле (10.119) получим
1
6tg3х
(tg23x)' =2 tg 3x-(tg 3х)' =2 tg 3х • --
23-
• (3х)'=-2-3-.
cos х
cos х
4) По формуле производной дроби с постоянным числителем и
по формуле (10.120) получим
(1)'
1
,
1(
1)
l
ctgx =- ctg2x (ctgx) =- ctg2x - sin 2x =cos2x·
Исследование свойств тригонометриче
ских функций с применением производной.
Исследование функции у= siп х.
I. Нули функции
sinx= О, Х='Лk, k Е z.
Синус обращается в нуль в точках х1 = О, х2 = + л,
Х3=+2лит.д.
II. Промежутки возрастания и убывания:
у'= (sin х)' = cos х.
Найдем промежутки возрастания. Если cosx > О, то
хЕ(-;+2лk,;+2лk), kЕZ.
Следовательно, синус монотонно возрастает от -1 до 1
в промежутке [- л/2, л/2], а в силу его периодичности
промежутками возрастания будет множество значений
аргумента вида
Найдем промежутки убывания. Если
.
(л
3л
)
хЕ \2+2лk, 2+2лk ,
у'= cosх<о'то
kEZ.
Следовательно, синус монотонно убывает от 1 до -1
в промежутке [л/2, Зл/2], а в силу его периодичности
промежутками убывания будет множество значений аргу
мента вида
[л
3л
]
2+2лk, 2+2лk .
332
III. Наибольшее и наименьшее значения синуса. Иссле
дуем функцию на максимум и минимум в промежутке [О, 2л].
На концах этого промежутка синус равен нулю:
y'=(sinx)'=cosx, cosx=O, Х=; +nk, kEZ,
л
Зл
•
стационарные точки х1 = 2
, х2=т (приk=Оиk=1),
Тогда
у"= (cosx)'= -sinx.
,,
.
л
о
Ух=л/2= - SIП2 < '
т. е. вторая производная в точке х = л/2 отрицательна,
следовательно, функция у= siп х в точке (л/2; 1) имеет
максимум. Далее
,,
•
3:rt о
Ух=зл/2=- SIП2 > •
вторая производная в точке Х= Зл/2 положительна, сле
довательно, функция у= sin х в точке (Зл/2;-1) имеет
минимум.
Для всех значений аргумента вида х = ; + 2лk, k Е Z,
синус имеет наибольшее значение (равен 1) и для всех
значений аргумента вида х = з; + 2лk, k Е Z, имеет на
именьшее значение (равен -1 ).
IV. Промежутки выпуклости. Находим вторую произ
водную синуса:
у"= (cosx)' = - sin х.
В промежутке выпуклости вверх вторая производная
имеет отрицательное значение
-sinx<O, sinx>O, хЕ(2лk, л+2лk)
приk=О(О,л),приk=1(2л,Зл)ит.д.
В промежутке выпуклости вниз вторая производная
имеет положительное значение, поэтому
-sinx>O, sinx<O, хЕ(л+2лk, 2л+2лk)
приk=О(л,2л),приk=1(Зл,4л)ит.д.
Следовательно, при значениях аргументах Е (2лk, л+2лk)
график синуса выпукл вверх и при значениях аргумента
хЕ(л+2лk, 2л+2лk) график синуса выпукл вниз.
333
V. Точки перегиба. Переходя через точку перегиба,
вторая производная меняет .свой знак, а в самой точке
перегиба или обращается в нуль, или не существует.
Следовательно,
y"=-siпx, -sinx=O, sinx=O, х=лk, kEZ.
Корни Хi=-Л, Х2 =0, х3 =л и т.д.
Запишем промежутки, ограниченные найденными кор
нями:
(-л,О), (О,л), (л,2л)ит.д.
Найдем знаки второй производной в смежных про
межутках
следовательно, при х = О имеется точка перегиба (О; О).
y'~<x<n= (-), У:<х<ш=(+),
следовательно, при Х= л имеется точка перегиба (it; О).
У:<х<2л=(+), у';л<х<зn=(-),
следовательно, при х:_ 2л также будет точка перегиба
(2л; О).
Точками перегиба графика синуса будут точки вида
Х= лk, у=О.
Составим таблицу характерных точек функции у = siп х
в промежутке [О,2л]
По характерным точкам легко строится график синуса.
Четверть
и значения
о
1 четверть
n/2
11 четверть
аргумента
Значение
функции
о
1
Поведение
Корень
Функция Наибольшее Функция
функции
функции
возрастает значение
убывает
и
от О до 1, функции
от1доо,
точка
график
график
перегиба
выпукл
выпукл
вверх
вверх
334
1
Сформулируем основные свойства синуса.
1) Область определения: множество действительных
чисел (- оо, + оо).
2) Область изменения: [-1, 1], т. е. функция огра
ничена.
3) Нули функции х = nk, k Е Z. Нули функции одновре
менно являются и точками перегиба.
4) Функция имеет наибольшие значения, равные 1,
л
в точках х= 2 +2лk, kEZ.
5) Функция имеет наименьшие значения, равные -1,
в точках Х= -%-+2лk, k Е Z.
6) Функция нечетная, т. е. sin(-x)=-sinx. Точки
(х; siл х) и (- х; sin (- х)) симметричны относительно
начала координат.
7) Функция периодическая с периодом 2n, т. е. равен
ство sin (х + 2nk) = sin х справедливо для любого аргу
мента х, гдеkЕZ.
8) sinх>Одля всеххЕ(2nk, n+ 2лk). Для этих зна
чений аргумента график выпукл вверх.
9) sinх<ОдлявсеххЕ(л+2яk,2n+2nk). Для этих
значений аргумента график выпукл вниз.
10) Функция
возрастает
в
промежутках
[- % - + 2nk, ; + 2nk] и убывает в промежутках
[;. +2nk, 32л+2nk], kЕZ.
:rr
111 четверть
3:rr/2
1V четоерть
2л
о
-1
о
Корень
Функция
Наименьшее Функция
Корень
функции
убывает
значение
возрастает
функции
и
ОТ O ДО-\, функции
от-1доО,
и
точка
график
график
точка
перегиба
выпукл
выпукл
перегиба
вниз
вниз
:З:З5
Исследование функций у= cosx, у= tg х, у= ctg х и
формулировки их основных свойств предлагается учаще
муся проделать самостоятельно.
10.6 .3 . Производные обратных тригонометрических
функций. Пусть дана функция у= arcsiп х, тогда х = siп у.
По формуле дифференцирования обратной функции:
(•)'
1
1
arcsшx =-(- .-), =-- .
S!Лу•
COS у
Выразим cos у через аргумент х. Известно, что -n/2 <
< arcsin х < n/2, а в этом промежутке cos у~ О, тогда
cos у= V1 -sin2у= V 1-х2, следовательно, искомая про
изводная будет
(arcsinх)'= V 1 .
1-х2
(10.122)
Дана функция у= arccosx, тогда Х= cosy,
(
),
1
1
arccosх =(--),= -
-.
-
.
COS у
S!Л у
Выразим sin у через аргумент х. Известно, что
О< arccos х < n, но в этом промежутке siп у~ О, тогда
sin у= V l -cos2у= V 1-х2 . Искомая производная будет
1
(arccosx)' = -
V
.
(10.123)
1-х 2
Дана функция у= arctg х, тогда Х= tg у,
1
1
(arctg х)' = (tg у)'= cos2у= 1+tg2 У 1+х2 •
Получили формулу для дифференцирования arctg х:
(arctgx)' = 1~х2 .
(10.124)
Дана функция у= arcctg х, тогда Х= ctg у,
(t),
1
,•
2
1
1
arcc gx =(ctgy)'=-SШ у=- 1+ctg2y =- 1+х2'
т. е.
(arcctgx)'=- l~x2 •
(10.125)
Пр и мер 10.99 . Найдите производные функций:
1) у= arcsinx2, 2) у= arctg V2x.
336
Решение. 1) (arcsinx2)'=
1 (х2)'= 2х .
Yl-x4
Jf I-x4
( V-),
1 (V--),
1
1
,
2) arctg 2х = 1+2х 2х = 1+2х. 2У2х(2х)=
_
1
,2=
1
(1 +2х) 2 У2х
(1 +2х) У2х
§ t О. 7. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Показательная функция с комплексным показателем
Напомним некоторые сведения из главы 1 (п. 1.2.3).
Каждой точке комплексной плоскости хОу соответствует
определенный вектор, соединяющий
начало координат с этой точкой,
поэтому каждому комплексному
числу соответствует определенный
вектор, и наоборот (рис. 10.48).
Пусть точке z соответствует
комплексное число z = а + Ы. Мо-
дуль вектора Ch, соответствующего
комплексному числу Z= а+Ы, на-
Рис. 10.48.
зывают модулем комплексного чис-
ла и обозначают I z 1- Модуль I z \ комплексного числа
z=a+Ьi:
1z 1= 1а+Ы1= Vа2+Ь2,
т. е. всегда есть действительное неотрицательное число.
--+
Угол ер между действительной осью Ох и вектором Oz,
отсчитываемый от положительного направления действи
тельной оси, называется аргументом комплексного числа
z =/= О. Если отсчет ведется против движения часовой
стрелки, то величина угла считается положительной,
а если-по движению часовой стрелки, то отрицательной.
Аргумент ер комплексного числа z =а+ Ы записывают так:
q,,=Argz, или ep=Arg(a+Ьi). Для числа z=O аргумент
не определяется. Для фиксированного числа z =/= О аргу
мент определяется неоднозначно: если ер-одно из значений
аргумента числа z, то углы {р + 2kл, k Е Z, тоже являются
значениями аргумента того же числа z. Таким образом,
для каждого числа z имеется бесконечное множество зна
чений аргумента, каждые два из которых отличаются
друг от друга на число, кратное 2л:.
337
Главное значеtше аргумеюпа принадлежит промежутку
-л: < argz~ :rt.
Из определения тригонометрических функций следует,
что если <р = Arg (а+ bi), то имеют место равенства
Справедливо и обратное утверждение: если выполняются
оба равенства ( 10.126), то <р = Arg (а+ Ьi).
Все значения аргумента <р можно находить, решая
совместно уравнения (10.126). Все значения аргумента
комплексного числа z=a+Ьi*0 можно находить так:
1) Определить, в какой четверти находится точка
z =а+ Ьi (использовать геометрическую интерпретацию
числа Z= а+ Ьi).
2) В этой четверти найти угол <р, решив одно из урав-
нений ( 10.126) или уравнение tg <р = !!._
.
а
3) Найти все значения аргумента числа z по формуле
Argz=<р+2kn,
kEZ.
tО. 7. t. Тригонометрическая форма комплексного числа.
Пусть r=lа+Ьil=Vа2 +Ь 2 -модуль, а <р-одноиззна
чений аргумента комплексного числа а+ Ьi.
Из формул (10.126) следует
а=rcos<р,
Ь=rsinrp.
Поэтому
а+Ьi= r (cos<р+isinер).
(10.127)
Таким образом, любое комплексное число а+ Ьi * О
можно записать формулой (10.127), где r-модуль числа
а+ Ьi, а <р-одно из значений аргумента этого числа.
Верно и обратное утверждение: если комплексное число
а +ы представлено в виде (10.127), где r > О, то
r = 1а+Ьi 1, а <р-одно из значений Arg (а +bi).
Комплексное число z вида
г=r(cos<р+isin<р),
(10.128)
где r > О, называется тригонометрической формой записи
1<0мплексного числа.
Для представления комплексного числа z = а+ Ы
в тригонометрической форме необходимо: 1) найти модуль
338
этого числа, 2) найти одно из значений аргумента комп
лексного числа.
В силу многозначности Arg z тригонометрическая форма
комплексного числа также неоднозначна.
Пр им ер 10.100. Запишите в тригонометрической форме числа:
1)1+i, 2) ~3
-{ i.
ь
Решение. 1) , = JIТ-tI = J/2, tg (j)=-= 1. Точка, соот
а
ветствующая числу 1+i, лежит в I четверти, тогда (j)=л/4. Следо
вательно,
или, в общем виде,
1+i= J/2[cos (т+2пk)+isin ( ~+2лk)] ,
kEZ.
2)г=V (J;)2+({) 2
=I, tg(J)=:=-
~
3 . Точка,
уз1•
IV
соответствующая числу - 2
--
21, лежит в
четверти, тогда
1Iл
(j) =-
6-.
Следовательно,
уз I.
llл ..
..! .. _!::
-2 --2 t=cos-5-+1 sш 6
или
J;-~ i=[ cos ( l~л+2лk)+i sin ( l~л +2лk)]. kEZ.
Умножение двух комплексных чисел,
заданных в триrонометрической форме.
z1z2 = ,1(coscpi+i sinср1),2(cosср2+isinср2)=
= r1r2[cosср1cosср2-sinср1sin fP2+
+i(sinср1cosср2+cosср1sin(JJ2)]=
= r1r2 [cos(q:,1+q:,2)+ i sin(cpi+ср2)],
т. е.
r1(cos<р1+isin<р1)r2(cosfP2+i sinср2)=
= r1г2[cos(q:,1+q:,2)+i sin (ср1+ ср2)].
Мы получили тригонометрическую форму комплексного
числа, так как , 1 , 2 > О. Отсюда вытекает, что
<р1 +q:,2+2:rtk= Arg (z 1• z2),
1Z1 •z2 I= r1'2=1Z11 •1z2 I•
339
Моду11ь проuзвеие!-luя двух комплекс1-tых чисел рсwен
произведению 1,юдулей сомножителей, а сумма аргументов
со.множителей является однu.м из значений аргумента
произведения.
Пример 10.101.
8( л+••л) 1(
7
••
7)
COSб ISlПб •4 COS12Л+tSlП)2Л =
=2(cos:л+i sin ~л).
Деление двух комплексных чисел, задан
иых в тригонометрической форме.
z1 r1 (cosq,1+i siпq,1) r1(cosq,1+ i sinq,1)(cosq,2-isin q,2)
Z2 r2(cosq,2 +isinq,2
)
r2 (cosq,2 +isinq,2)(cosq,2 -isinq,2
)
r1 cc.s q,1cosq,2+ sinq,1 sinq,2+i(sinq,1 cos q,2- cos q,1 sinq,2)
=,;:
cos2 q,+ sin2 q,
=
=!:!..[cos (q, 1-q,2] + i sin (q, 1-q,2)],
'2
т. е.
r 1 (cosq, 1 --j -isinrp 1)=!.l.[cos(rn _(() )+isin(m -m )]
Г2(COS(j)2+isinrp2) '2
't 'l
' t'2
' t'l
' t'2
'
1~1=!.l.=fu,
Z2
Г2 \z2I
<р1-<р2 +2лk= Arg~.
Z2
Модуль частного двух комплексных чисел равен част
ному модулей делимого и делителя, а разность аргумен
тов делимого и делителя является одним из значений
аргумента частного.
Пример 10.102.
6(cos;+isiп;):3(cos: +isin~)=2(cos1~+isin~)•
Возведение в степень комплексных чи
сел, заданных в тригонометрической форме.
На основании формулы
r1(cos<р1+ i sin<р1)r2
( cos(J)2 + isin(J)2)...
. . . r п (cos (j)п+i sin <рп)= r 1r 2 ••• r п [cos (<р1+(J)2+.,. +<рп)+
+i sin (<р 1 +(J)2 +, • • +<рп)],
положив в которой
Г 1 =Г 2 = ... =Г"=Г, (J)1=(J) 2=, .. =(j)n=(j),
340
получим
zn=[r(cos(J)+isin(J))]n=гn[cosn(J)+isinn(J)], nEZ.
Для любого числа (JJ и любого натурального числа п
выполняется соотношение
(cos(JJ+ isin(JJ)п= cosп(j)+isinтр
(формула Муавра).
(10.129)
Пример 10.103. (cos ;+isin ;)3=cosл+isinл=-1.
Извлечение корня из комплексных чи
сел, зад ан н ы х в три гоном е три ческой форме.
i1/r(cos(JJ+ i sin(JJ)= р(cos0+ isin0),
[р(cos0+isin0)Jn=r (cos(JJ+ isin(JJ),
pn(cosп0+ isinп0)= r(cos(JJ+ isin(JJ),
pn = r, р = i1/r - арифметический корень,
0 +2k 0=ер+2лk, kЕZ.
п=(j) :rt,
п
Пр им ер 10.104. Извлеките корень из комплексных чисел:
1) J/Т, 2) vт.
Решение.
1)•О1•
л+··л
ОЬ1 1
t=+
•t=cos2
tsщ2,таккака= ,
=
,
r=
,
rosqi=0/1=0, sin<p=l/1=1, ер=л/2,
.
л
л
-./
2 +2лk
2 +2лk
Jli= V cos;+isin;=cos
2 +isin 2
= cos (l+лk)+isin(l+лk);
еслиk=0, то J/Т =cos l+i8in l = ~
2+i ~2
=~
2 (l+i),
еслиk=1, ТО J/Т=COS (т+Л)+isin (:+л) =
=-cos l-isin : =- ~-i
~
2=- ~
2 (l+i).
2) 1=1+О·i= cosО+isinО,таккака=1,Ь=О, r= 1,cosер=1,
sin ер=О, ер=О,
V
.
0
О+2лk+ . . О+ 2лk
2лkcl • • 2лk
COSO+SШ =COS-3
-
!SШ--3
-
=COSЗ
'--г!SШЗ ;
341
если k=О,то v1 =ros0+isin0=I,
•kI
v-1
2n+. . 2n•
1+J,'З:.
если =
,ТО
=COSЗ ISIПт=-1:° ~1,
V-
4л
4л
1 уЗ:-
если k=2,то 1 =(Osт+isinт=~2--2-i.
I О. 7.2. Показательная функция с комплексным пока
зателем. Формула Эйлера. Степень ez- с комплексным
показателем z = х + iy определяется равенством
( z)n;
ez= lim 1+- ..
п_,,,,,,а,.
п
Можно доказать, что
ez=J~m"' (1+ :/=ex(cosy+isiny).
Величина. показательной функции с комплексным пока
зателем определяется равенством
ex+tu= е"(cosу+isiпу);
В частном случае при х = О получим
е1У= cosy+i sinу.
формулу
Эта формула называется формулой Эйлера.
(10.130)
Для комплексных показателей остаются в силе пра
вила обращения с показателями. Например, при умно
жении показатели складываются, при делении вычитаются,
при возведении в степень перемножаются.
Показательная функция ez обладает периодом, рав
ным 2лi,
eZ-1⁄4 ?11./ = ez,
при Z= О получаем e2:rr.1 = 1.
Тригонометрическую форму комплексного числа
z = r (cos <р. + i sin <р) можно заменить показательной
z = re'P1•
При этом правила умножения и деления комплексных
чисел в показательной форме можно записать в таком. виде:
r iei<P1 r 2ei<P, = r i'2е1 (<Р1 +q,,) ,
Г /<i>i
Г•
_1___ = ....!..е' (q,, -q,,> .
Г2е'<i>, Г2
Формула Муавра (cos<р+isin ер)п = cos n<p +i sinп<р'
принимает такой вид:
(eiq,)n= einq,.
342
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 10
1. Какие величины принимаются за единицу при градусном и
радианном измерениях дуг (углов)? Как связаны друг с другом эти
единицы?
2. Укажите на числовой оси и на числовой окружности точки,
л:
соответствующие числам а=л:k, а = 2 (2k+ !), а= л (2k+ 1). Сколько
таких точек на числовой окружности и на чис.,овой оси?
3. Какае положение относительно оси Ох занимают точки чис
ловой окружности М (а) и М' (-а)?
4. Какое положение занимают относите.,;ьно осей координат
точки числовой окружности М (а) и М' (а.+л)?
5. Укажите условия, которым удовлетворяют числа, соответст
вующие точкам II, III и IV четвертей чис.~овой окружности.
6. Дайте определения тригонометрических функций числового
аргумента.
7. Каковы области определения и области изменения каждой из
тригонометрических функций?
8. Как изменяются синус, косинус, тангенс и котангенс при
изменении аргумента от О до 2л?
9. Дайте определение периодической функции. Какой период
имеют функции sin х, cos х, tg х и ctg х?
10. Сформулируйте правила применения формул приведения.
11. Запишите в общем виде формулы для углов, соответствую
щих заданному значению каждой из основных тригонометрических
функций и поясните эти формулы при помощи графиков этих
функций.
12. Дайте определение обратных тригонометрических функций,
13. Какие уравнения называются простейшими тригонометричес
кими уравнениями?
14. Какие неравенства называются простейшими тригонометри
ческими неравенствами?
15. Сформулируйте правило применения формул сложения.
16. Зап1'!шите тригонометрические функции удвоенного и поло
винного аргументов.
17. Выведите формулы прео'>разования произведения триго
нометрических функций в сумму и наоборот.
.
sin х
18. Докажите, что l1m -- = 1.
Х--+0 Х
19. Получите формулы производных тригонометрических
функций.
20. Получите формулы производных обратных тригонометричес
ких функций.
21. Запишите комплексное число в тригонометрической и пока
зательной форме
22. Расскажите о правилах действия с •комплексными числами
в тригонометрической записи.
23. Какой вид имеет формула Муавра?
24. Какой вид имеет формула Эйлера?
343
УПРА)I(НГ::J-ШSI К ГЛАВЕ 10
1. Найдите без применения таблиц радианную меру дуг: а) 30°,
б) 45°, в) 60°, r) 90°, д) 120°, е) 135°, ж) 150°, з) 180°, и) 210°, к) 240°,
л) 270°, м) 315°.
2. Найдите по таблице радианную меру дуг: а) 15°30', б) 7°10',
в) 82°42', г) 115°, д) 312°20'.
3. Найдите радианную меру дуг, используя логарифмическую
линейку: а) 13,5°, б) 25,3°, в) 35°, г) 85°, д) 120°.
4. Найдите без применения таблиц градусную меру дуг: а)5л/36,
б) 5л/9, в) 1lл/18, r) l3л/30, д) 4/3 л.
5. Найдите по таблице градусную меру дуг: а) 0,4416, б) 0,8785,
в) 1,0472, r) 1,4~50, д) 1,7453.
6. Окружность разделена тремя точками в отношении 3: 4: 5.
Выразите в радианной мере каждую из полученных дуг.
7. Углы треугольника относятся как 2:3:7. Найдите радианную
меру этих углов.
8. Вычислите радиус окружности, если ее дуга длиной 0,75 м
содержит три радиана.
9. Вычислите площадь сектора круга радиуса 0,25 м, если дуга
сектора равна 1,6 радиана.
10. Площадь сектора круга радиуса 1,6 м равна 0,64 м 2 . Найдите
дугу сектора в радианах.
11. Сектор круга площадью 12,8 м 2 стягивается дугой в 0,4 ра
диана. Найти радиус круга.
12. Какой знак имеют: а) siп 1, Ь) siп 2, с) cos 1, d) cos 3,
е) tg2, f) tg3,5?
13. Возможны ли равенства:
а) 2-siп ct= 1,5,
.
-1-У5
с)S!Пct=
2
,
Ь) I+cosa= уз,
d)t
5+ уз~
gct= 2
.
14. Найдите знаки разностей:
а) siп 135°-sin 155°,
Ь) cos 2-cos 3,
с) tg 150°-tg 125°,
d) ctg 100°-ctg 120°.
15. Найдите знаки дробей (не производя вычислений):
а) sin2+sin3
Ь) sin2-, -sin3
tg2+ tg3'
tg2-tg3 '
) sin (-2)-sin (-2,5) d) tg 1,7- tg 1,6
с cos5-cos3
'
tg4
•
уз-1 уз+ 1
VS- уз
16. Даны числа: а)
--
2-, Ь)--2- , с) -4,5, d)
2
,
•
Vз-у1
е) -3,2, f)
2
.
Какие из них могут быть значениями
функций sin а и cos а, а какие нет и почему?
17. Какие знаки имеют произведения: а) sin 100° cos 100° tg 1009 ,
5л
5л 5л
б)sin3 cos3 tg3 ,в)sin2аcos2а2•
344
18. В какой части промежутка (О, 2л) будут справедливы нера
венства:
а)-siпаcosа>О,
б) tgаsiпа<О, в) tgacosa<O,
tga
r) cosactga>О,д)-.- >О,
s1па
)ctgа 0
е --<.
cosa
19. Если а, ~ и у-углы треугольника, то какой знак имеет
сумма:
а) sina+sin~+siпy,
а
~
у
в)tg2+tg2+tg2?
20. Найдите: 1) sin лk, 2) cos лk, 3) tg лk, 4) ctg лk.
21у
sinлk+cosлk+tgлk (kEZ)
•
простите:
cos 2лk
.
1+ cos лk
22. Вычислите: 1+ 2k приа)k=2n, б)k=2n+ 1(пЕZ).
cos л
23. Укажите при каких значениях х не определены функции:
а) tgх, б) ctgх, в) tgхctgх, r) tgx+ctgх.
24. Какой четверти принадлежит а, если:
а)О<sinа<1,
б)-1<sinа<О,
в)O<cosa<I,
r)-l<cosa<O.
25. По данному значению одной из триrонометрич_еских функций
и четверти, в которой находится а, найдите значения остальных
трех функций:
a)sina=З/5, л/2<а<л, б)соsа=-12/13, л<а<Зл/2,
в) tga=-3/4, л/2<а<л, г) ctga=8/l5, О<а<л/2.
Упростите выражения:
26. (а ,sin а+Ь cos а)Ч--(а cos а-Ь siп а)2•
27. cos 2 a-cos4 a+sin4 a. 28. sin 4 a-cos4 a- sin 2 a+cos2 a.
2sin 2 a-1
30 2sin 2 a-l
31 1-sina
cosa
29 • sina+cosa •
"J-2cos2 a'
•
cosa
l+siпa·
siп2a
32• sina-cosa
siпa+cosa
tg2 a-1
33 _ (i+ 1-cos а) (i+ I+cos а).
1+cosа
1-cosа
Докажите тождества:
34. sin6 а+3sin2аcos2а+cos6а=1.
35. sin4 a-cos4 a=2sin 2 a-l.
36. 2(si116а+cos6 а)+1= 3(siп4а+cos4а).
37.
38.
39.
siп2a
sin a+cosa
-----+----- cos а= sinа.
sin a-cos а
l-tg2 а
sin4 а+2 sin2 а cos2 a+cos4 а= 1.
(sin a+cos a) 2 +(cos a-siп а) 2 =2.
34.'5
40. Установите, какие из данщ,1х функций являются четкыми п
нечетными и какие ни четными, ни нечетными:
a)l-sinx,
б)l-cosx,
n)x-sinx,
д) x2 +sin2 x,
е) x2 -cosx,
ж) x3 +sinx,
г) x-cosx,
)1+ sinх
з 1-sinx'
1-cosx
x2+sin2x
и) ~--,
к) --=--,-- -, ---- -,,- -
л)sinхcosх. м) sin2хtgх.
l-f-cosx
3+sin2 x'
41. Найдите период следующих функций:
а)siп5х,б)cos}х, в)tg4х, г)ctg; .
Упростите выражения:
42 siп 350°+ cos (-370°)
• sin 190° - sin (-170°) •
43. sin 32° sin 148°- sin 302° sin 122° + tg 198° tg 288°.
.
( 23л\
( 13лJ
13л
44. sш
--
6-) +tg --4
-
1
+cos-3
-.
Докажите тождества:
45. [sin (;-a)+sin (л--а)] 2 +
+ [cos (32л-а)+ cos(2л-а)] 2
=2.
46. [tg : +tg (;-а)] 2
+ [ctg ( л+: )+ctg(л-a)] 2 = si:2 a•
47. cos ( 32л -а )-sin (а.-2л) +tg ( f +a) +ctg (а-л)=
= -2sinа.
48. sin (a-:rт)-cos (;+а) +tg (a-2л)+ctg ( 3; +а) =0.
49. Постройте углы а, если:
а) sina=l/2, б) cosa=-1/2, в) tga=2, г) ctga=-1.
50. Найдите наибольшие и наименьшие значения функций:
а) y=2-f-sinx,
6) y=4-2cosx.
51. Напишите множество дуг х, соответствующих данным значе-
ниям тригонометрических функций:
а) siпx=0, 6) sinx=l, в) sinx=-1, r) lsinx/=1,
д) COSX=0, е) COSX=I, ж) COSX=-1, з) Jcosx/=1,
и) tgx=0, к) tgx=I, л) tgx=-1, м) jtgxl=l.
52. Напишите множество дуг х и постройте эти дуги в единич-
ной окружности, если:
346
а) sin х= 1/2, б) sin х= -1/2, в) sin Х= У2/2,
r) sinХ=- УЗ/2, д) cosx= -
У2/2, е) tg Х= - УЗ/3,
ж) ctgx=I,
з) ctgx=- УЗ.
53. Постройте графики функций:
а) y=lsinxl, б) y=jcosx/, в) Y=ltgx/.
54. Решите неравенства:
а)sinх>У2/2, б)cosх<1/2, в)tgх>УЗ, r) ctgх<1.
55. Найдите область определения функций:
х
2х-\
а) у=arcsiп4 ,
б) у=arcsin- 2
-,
в) y=arcsin ; ,
r) y=arccos 1 ; 1·
56. Найдите числовые значения выражений:
а)sin(arcsin1),б) sin(arctg : ) , в) tg(arctg ~),
r) cos ( arccos ~ 2), д) tg ( arctg Уз3), е) ctg (arcctg !).
57. Найдите числовые значения выражений:
а) arcsin [sin (-\)], б) arcsin ( sin ; ) ,
в) arccos (cos 3),
r) arctg ( tg-к) ·
58. Найдите числовые значения выражений:
).(
V2+ . V2)
а s111 arccos - 2
-
arcsш - 2
-
,
б) sin [ arcsin ~З +arcsin (-1)] , в) cos (arctg 1+ arcctg \).
59. Найдите: а) cos (arcsin х), б) sin (arccos х), в) tg (arcsin х),
г) ctg (arcctg х).
60. Проверьте справедливость следующих равенств:
.
4
3
.
4
4
а) arcыn 5
=arccos
5
,
б) arcs!П 5
=arctg 3
,
.
2Vв
5
2
Vs
в) arcs!П - 7
-
=arccos7,
r) arccos3 = arctg-2
-
,
.
(\)
2у2
д)arcsш -3
= - arccos
-
3-,
е) arccos ( - : ) =:rt-arccos :
.
61. Найдите знак разности Еез применения таблиц:
а) arcsin 0,51-arcsin 0,4S9, б) arccos 0,3-arccos 0,2,
:rt
в) arctg 1-arctg 2
,
r) arcctg 3-arcctg 2,5.
62. Найдите х нз уравнений:
а) arcsin х2 =л/4,
5л
,г:: л
х-2
б) arccos (3х-1)= 6 , в) arctg r Х= З,
r) arcsin - 3
-= 1.
63. Найдите общий вид углов, удовлетворяющих уравнениям:
а) sin 3х= 1/2,
б) cos 4х= 'J,'2/2, в) tg!0x= 1.
г>sin24х=1;4, д) cos(;+3⁄4)= 1;2, е) Vзtg2х=1.
347
Решите уравнения:
64. 2 sin2 x-3 cos х=О.
х
65. tg 2 (1 +cos х)=О.
66. cosx(tgx-1)=0.
67. 2 sin2 x+8 cos2 x-5=0.
68. 2tg2 x-7tgx+3=0.
69. 10ctg2 x-27ctgx+ 11=0.
70. 12 sin2х+16cosх-17=0.
71. sin2 х-3 sin х cosх+2 cos2 х=О.
72. cos2x--4cosхsinх-12 sin2x=0.
73. 2 sin2 х-3 cos2 х+sinх cosх=О.
74. 4sin 2 x+sinxcosx-3cos2 x=0.
Вычислите:
75. siп !О" cos 50° + cos 10° sin 50°.
76. cos 18° cos 15°+ siп 18° siп 5°.
77. cos 18° cos 42°-sin 18° sin 42°.
78. sin (х+ у) cos (х-у) + cos (х+ у) sin (х-у).
Упростите выражения:
79 _ sinxcos(x-y)-siny_
80 cos(x+y)+t
sin (х-у)
•
sinхcosу gу.
81 _- ctga cos(a+~)
82 siп(2x+y)-cos2xsiny
sinacos~·
• cos(2x-y)-sin2xsiny'
83. Вычислите sin (а+~) и sin (а-~), если cos et= -3/5,
cos~= -12/13 и а во 11 четверти, а~ в 111 четверти.
84. Вычислите cos (а+~) и cos (а-~), если sin а= -5/13,
sin~=4/5иав111четверти,а~во11четверти.
85. Вычислите tg(a+~) и tg(a-~ ), если coset=-15/17,
sin В= -3/5 и а во 11 четверти, а ~ в IV четверти.
86. Вычислите sin(i+a),если sinа=- : и а в 111чет
верти.
348
Упростите выражения:
87. sin ( a-i)-cos ( a+i).
sin(а+~)-2cosаsinВ
88 • cos(a-~ )-2cosacos~·
cos (а+~)+ cos (а-~)
89 • cos (a- ~ )-cos (а+~)·
sin ( т+а)- cos ( i+a)
go. sin (~+а) +cos (~+а)·
У2cosа-2 cos (т-а)
91.
- ---- --- -.
2sin(~+а)-УЗsi.n а
1-tg (~+а) tg (~+за)
92.
--, ---'---, --'-- -, -'-- --, -'-,
tg ( i+a) +ctg ( т-За)
~
1
ros~+ ~
tg(а+~)+ctg~• cos (3;+ ~) •
94. cos(;+a)cos(i~- a)-sin(l+a) sin(~ -a).
Докажите тождества:
95. cos2 а-2 cosаcos ~ cos (а+~)+ cos2(а+~) =•sin2~-
96. sin (а+~) sin (а-~) =sin 2 a-sin 2 ~ -
97. cos (;-а)=-} (cosa+ УЗ sin а) ..
9В. cos а+ si_n а =t (~+а).
cosа-sша g 4
tg (-~ -+a)-tg (~-а)
99.
\4
4
2sinа cosа.
tg(~+a)+tg(:-a)
cos ( 20-i)- ~
.sin 20 уз
lOO. cos3cos17-sin3sin17 -2-•
Докажите справедливость равенств:
101. cos20°+ cos31оcos11о+cos59°cos 79° = 2cos20°.
102. cos 15°-sin 15°=sin 45°.
sin 40° cos 15°-cos 40° sin 15° = t 250
lОЗ. cos 15° cos 10°-sin 15°вiп 10° g
•
cos 115° sin 305° + sin 35° cos 25°
-v-
104 • cos 160° sin 230°- sin 40° cos 70Q
3•
Решите уравнения:
105. sin 2xcos x+cos 2х sin х=О.
106. sin ( i+x) +cos ( х-:) =0.
107. tg xt+ 1= 1.
1- gx
108. Вычислите:
.
4
а) sin2а, если cosа=5 и аЕ(Зл/2, 2л),
б) cos 2а, если cos а= 0,2,
в) tg 2а, если tg а= 3/4.
349
350
109. Вычислите:
х5
а) ctg х, если tg 2=з,
в) cos4х и tg4х, если tgх=1/5.
110. Выразите: а) sin За 1iерез sin а, б) cos За через cos а,
n) sin4ачерез sinаи cosа,г) cos4ачерез sinаи cosа.
111. Выразите: а) tg За через tg а, б) cos 4а через cos а,
в) sin5а через sinа.
Докажите тождества:
112 1-cos2a+sin2a =t ~.
•
l+cos2a+sin2a g,,,
113_sinЗа_cosЗа=2
.
sin а
cos а
114. cos4a+4cos2a+3=8cos4 o:.
siп 2а- sir1 а
t
115.
------
ga.
1- cosа+cos2а
116. cos о:= 1/2, а Е (:rt/2, n). Вычислите sin ·; ,
а
а
cos2 иtg2.
117. tg а=4/З, о:Е(О, n/2). Вычислите ~in ; , cos ~ ц tg ~ .
Упростите выражения:
118. ~-coso:
119. : -sina_ 120 . ctga(l-cos2a).
+cosa
+sina
Докажите тождества:
121 2sina-sin2о:=t 2.::,
• 2sina+sin2o: g 2·
cosa-cos2a-1
122.
--- --- --= --
ctg а.
sin a-sin 2а
123. Вычислите:
а
а) sin·а, если tg2 =2,
а
б)cosа,если tg2=3,
о:
,/'-
D)tgа,еслиtg2= r3,
Решите уравнения:
124. siпx+cosx=l.
125. 1-cosx=sin;.
126. I+cosx=sinx.
127. Преобразуйте в алгебраическую сумму:
а)sin5хsinЗх, б) cos]""cos ; cos; .
Докажите тождества:
а
128. I+cosa=2cos2
2.
129. 1-cosa=2 sin2 ~.
130. I+sina=2cos2 (:-f)·
131. l-sin.a=2 sin2 ( :- ~).
132. Преобразуйте в произведение:
а) cos; -cos 2;, б) 2 cos 2 a-sin 2а,
в) tg25°-ctg75°, г) sin 2 5a-sin 2 3a.
Преобразуйте в произведение:
133. siп 2а cos За-2 .sin 2 а sin За.
134. sin l0°+2sin5°cos 15°+cos50°. 135 . I+sina+cosa.
136. sin·x+sin 2x+sin Зх.
137. Покажите, что для углов А, В и С всякого треугольника
имеют место соотношения:
)•А
в··С4•А
•
ВС
а SIП -COS -SIП = SIП2 S!П2COS2,
б)•А
•В+•С4•А
В•С
S!П -S!П
SIП = ,stп2cos2s1n2,
в) sinA+cosB-cosC=4cos}cos(:+~) sin(:+~)·
Найдите производные следующих функций:
18
'
() 1-sinх Н •
f' ( :rt)
3. X=l+siпx· аидите 4 .
139 /() sinх-1 Н •
/' ( :rt)
•
х= siпх
•
аидите
3.
140. у= sin (2х2+3). 141. f = sin3 5<р2•
1
.,-
142. У=--,---;;-2 .
143. у= r siп 2х.
S!П Х
145. у v--.
sin2 х
144. У= Уsiп22х.
146. Найдите ускорение точки, движущейся прямолинейно по
закону v = sin 2t, в момент времени t = п/6 (s дано в метрах, t в се
кундах).
147. Найдите угол наклона касательной к оси Ох, проведенной
к кривой у=sinх в точке х=:п/3.
148. Найдите координаты точки, в которой касательная к кривой
у= sin х (х Е (О, :rt/2)) образует угол arctg ( J/3/2) с осью Ох.
149. Найдите, под каким углом кривая y=sin х пересекает ось
Ох в точке X=:rt.
150. Найдите угол наклона касательной к оси Ох, проведенной
к кривой y=sinЗx в точке (л/3; О).
151. f(x)=cosx+:. Найдите f~(л/3).
cosx-
152. f (х) = 2 si n х-2 cos х. Найдите f' (:rt/6).
153. f (х) = cos 3 sin х. Найдите f' (л/3).
154. f(х)= tgtx-l
.
Найдите f' (л/3).
gx
351
х
tg-
155. f (х)=--2--. Найдите
х·
I+tg 3
f' (л/2). 156. у= cos (х2 -3).
V-
157. у=cos2 х.
\
159. y=tg2 3x.
161. у= У ctg 2х.
158.
160.
162.
1
у=cos2 x'
y=ctgx3 •
1
y=v·-·
ctgx
163.
165.
167.
_
1-.
fl+cosx
У-nVl-cosх•
164. у= ln sin 2 (х-1).
169.
y=lntg2 x2 •
у=esin х cosХ,
1
x=arctg-.
х
166.
168.
170.
S=lne•in 21_
y=/gx cos 2 x.
у= arcsin 2х.
171. f (х) = 2 arcsin х-3 arccos х. Найдите f' ( VЗ/2).
172. y=arccos у2х.
174. y=arcctg v2x.
х2-а2
173. y=aicsin 2 + 2 •
х
а
l+x
175. y=arctg-1
-.
-х
176. Найдите, под каким углом кривая у= tg х пересЕ'КЯЕ'Т oci, Пх
в точке х=л/4.
177. Найдите острый угод между кривыми у= tg х и у= ctg х
в точке их пересечения в промежутке (О, л/2).
352
Найдите производные неявных функций:
178. sin у=ху 2 •
180. tg у=ху.
179. cos 2 у=х2•
181. arcsin у=х.
182. arcctg у~х2 •
183. Представьте в тригонометрической форме числа;
а) 2i, б) l+i, в) 1-i.
Упростите:
184.3(cos;+isin;)-2(cos:+isin:)·
185. (cos~+isin; )(cosi+isini).
186.8(cos~л+isin4; ):2(cos;+isin;)·
187
(
л..л)( Зл+..Зл)
,
cos4 +1s1n4 :_cos4
!Stn 4
,
Докажите справедливость равенств:
(
Л
Л\6
188. _cosз+isinз) =1.
189. (cosi+isin :)
4
=-1.
100 .. Вычислить все значения корня:
V
,
2л
2л
v4л 4л
а)
cos 3
+isin 3
,.
б)
cos 3
+isin 3
.
3адачи по стереометрии с применениемтриrо
нометрии.
191. Определите объем прямоугольного параллелепипеда, диаго
наль которого а составляет с плоскостью основания угол а, а
с большей боковой гранью угол р.
192. Диагональ прямоуrолыюrо параллелепипеда образует
с меньшей боковой гранью угол р. Через большую сторону основа
ния и диагональ параллелепипеда проведено сечение параллелепипеда.
Зная, что периметр этого сечения т и что плоскость его образует
с плоскостью основания угол а, найдите объем параллелепипеда.
193.. Через одно из ребер куба проведена плоскость, составляю
щая со смежной гранью угол а. Вычислите объем каждой части
куба, зная, что площадь сечения равна т2 .
194. Боковые ребра правильной четырехугольной пирамиды
равны а и наклонены к плоскости основания под углом а. Найдите
боковую поверхность и объем пирамиды.
195. Основанием пирамиды служит треугольник с углами а и р.
Высота пирамиды равна h. Угол ребер с плоскостью основания у.
Найдите объем пирамиды.
196. Плоский угол а боковой грани при вершине правильной
треугольной пирамиды меньше 90°, сторона основания равна а. Оп
ределите двугранный угол между боковыми гранями и площадь се
чения пирамиды, проведенного через сторону основания пирамиды
перпендикулярно к боковому ребру (противолежащему).
197. Найдите объем правильной треуrо.1ыюй пирамиды, у которой
боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом а и уда
лено от середины противоположной стороны основания на расстояние k.
198. Основанием пирамиды служит ромб со стороной а и острым
углом р. Все двугранные углы при основании равны а. Найдите объем
и полную поверхность пирамиды.
199*. Установите зависимость между косинусами углов а и р,
которые образует в правильной треугольной пирамиде боковая грань
с плоскостью основания и смежной боковой гранью соответственно.
200.* Установите зависимость между ко~инусами углов а и р,
которые образует в правильной шестиугольной пирамиде боковая
грань с плоскостью основания и смежной боковой гранью соответ
ственно.
201. Найдите двугранный угол между боковыми гранями правиль
ной треугольной пирамиды, если двугранный угол, образуемый бо
ковой гранью с основанием, равен р.
202. В правильной четырехугольной пирамиде через сторону ос
нования под yr лом р к нему проведена плоскость. Определите площадь
полученного сечения, если апофема пирамиды равна а и боковая
грань наклонена к плоскости основания под углом а.
203. В правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра Ь
образуют с плоскостью основания угол а. Через диагональ основа
ния проведена плоскость параллельно боковому ребру. Вычислите
площадь сечения.
204. Шар вписан в прямую призму, в основании которой лежит
прямоугольный· треугольник.· В этом треугольнике перпендикуляр
12 П/ред. Н, М, Матвеева
353
длины h, опущенный из вершины прямого угла на гипотенузу, состав
ляет с одним из катетов угол а. Найдите объем призмы.
205. Основанием пирамиды служит треугольник с углами а и ~ -
Все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под
углом у. Найдите объем пирамиды, если радиус описанного около нее
шара равен R.
206. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Оп
ределите поверхность шара, если известно, что сторона основания
равна а, а плоский угол при вершине пирамиды равен а.
207. Основанием пирамиды служит равнобедренный треугольник,
у которого боковые стороны равны Ь, две боковые грани пирамиды,
проходящие через равные стороны, перпендикулярны к основанию,
а третья грань наклонена к нему под yr лом а. Угол при вершине
равнобедренного треугольника в основании также равен а. Опреде
лите радиус шара, вписанного в пирамиду.
208. "Сохраняя условия предыдущей задачи, найдите радиус шара,
описанного около этой пирамиды.
209. Найдите высоту правильной четырехугольной пирамиды, если
известно, что объем шара, описанного около пирамиды, равен V,
а перпендикуляр, опущенный из центра шара на ее боковую грань,
образует с высотой пирамиды угол а.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 10
2. а) 0,2705, б) 0,1251, в) 1,4434, г) 2,0071, д) 5,4512.
3. а) 0,236, 6) 0,442, в) 0,611, r) 1,48, д) 2,09.
4. а) 25°, б) 100°, в) 110°, г) 78°, д) 240°.
5. а) 25°18', б) 50°20', в) 60°, r) 85°05', д) 100°,
6. л/2, 2л/3, 5л/6.
7. n/6, л/4, 7n/12.
8.0,25м. 9.0,05м2• 10.0,5. JI.8м.
1t
64. X=21tk ± З.
1t
65, x=nk. 66. nk+4 .
1t
71. X=т+nk, X=arctg 2+лk.
72. x=arcctg6+nk, x=-arcctg2+nk.
1t
3
73. Х=т+лk, X='-arctg 2+1tk.
1t
3
74. Х=- 4 +м, X=arctg 4 +nk.
n
n
105. x=3 k. 106. X=-
4 +nk. 107. X=1tk.
24
3
108. а) - 25, б) -0,92, в)37.
8
119 120
ICJD. а) - 15' б) 169' П§·
111 )Зtga-tgзa б)8 4 8
2+1
•а
l-Зtg2 a ,
cosа-cosа
,
в) 16 sin~ а-20 sin3 а+5 sin а.
1VзVз
VS2VS1
116• 2·
-2- •
-3 -·
117 • -5-'
-5-, 2·
354
118.tg2~•
4
123.а)5,
120. sin 2GG.
1
1
127. а) 2 cos2х-2cosВх,
1
I3х15х11х1х
б) 4 cos12+4 cos 12+4 cos12+4 cos12.
1
,r-
(:гс )
sin 10°
132. а) 2 , G) 2 r 2 cosGG sin т-а , в) -c-os-15_o_c_os-25-o
r) sin 8а sin 2а.
133. 2 sin а cos 4а. 134. cos 10°.
135. 2J/2cos ; cos (;-
~) . 136.4sin3;cosхcos; ,
'
2
138. 8-6 }12. 139. 3
.
140. 4х cos (2х2 +3).
141. 15<psin5<p2 sin I0<p2 • 142.
_
5 cos 2x.
sш4 2х
143. ctg2хУsin2х. 144. IOcos5х.
3 Vsin 5х
2 ct~x
145.
-----.
3 Vsin2 x
1
146. 1 м/с2• 147. arctg -.
2
148. (~,{). 149. 34:гс. 150.
-arctg 3.
151. 4 уз. 1s2. уз+ 1. 153.
-
1;2. 154. 4/3.
i+~
Vx
э-
155.
6.156.-
2х sin (х2 -3). 157.
-
Зхsin2Vк.
158_2 sin х. 159_ 6 sin 3х. 160_ -~-
cos3 х
cos3 3х
sш2х3
161.
-
2 Ycti2x . 162.
2
sin 4х
3sin 2х Vctgх
Вх
164. 2 ctg (х-I). 165.
--: ---
22. 166.2cos2t.
SIП Х
167. esJnx(cos 2 x-sinx). 168. /gx(l-sin2x).
1
2
169.
-
--
170. ,~2 • 171. 16.
1+х2
r,-.....-
1
163.
---.
sin х
112.
I
.
173.
~-
174.
-
I
J/2x(l-2x)
х2 +а2
(1+2х) У2х
1
~
~
175.
-1
+2• 178.
2.179.
-
-.-2-·
Х
COS у- ху
SIП у
180. ycos2 y
181. у I у2. 182. -2х(1+112).
l-xcos2y •
355
191. Решение. Дан прямоугольный параллелепипед
ABCDA' B'C'D' (рис. 10.49), у которого диагональ BD' =а,!. D' BD =
=а и !_А'ВD'=Р-
Из треугольника D' BD (!. D = 90°) находим Н=DD' =BD' sin а=
= а sin а. Из треуголышка BA'D' (!. А' =90°) находим A'D' =AD =
А'
в'
'
1
'
1
л
'
1
---r--
--т
с
/',
\
,
'о
/\
~
\
'>
/
"'
"''
I
'
.,,,
.,,, _,,,
,1
в
А
л
Рис. 10.49.
Рис. 10.50.
= BD' sin Р=а sin р, А'В= BD' cos р =а cos р. В треугольнике А'АВ
(!. А =90°) АА' =DD' =а sin а., откуда
АВ= V(A'8)2- (А'А)2= у'а" cos2 ~- а2sin2 а=а у' cos2 ~-sin2 а.
Тогда S = АВ •AD = а2 sin р Уcos 2 P-sin2 а и, следовательно, V =
= S-H = а3 sin а sin р у' cos 2 Р- sin2 а. Полученный результат мож1ю
упростить:
cos 2 p-sin2 a=sin2 ( ;-в)-sin2 a=
= [sin(;- В)+sinа][sin(;- В)
-
sinа]=
:rt
:rt
:rt
:rt
--Р+а --В-а --Р-а --Р+а
4.2
2
.
2
2
=
SIП
2
COS
2
SIП
2
COS ---=-
2--
= COS (а+В) cos (а-В).
О т в е т. V = а3 sin а siп р Уc_o_s _(,_a-+---,,B.,....)-co-s ---,-(а-"""р"").
192 _ Ответ. V=V2m3 sin2asin2B_cos ~.
128cos~ (В- : )
193. Ответ.
1
,r-
1
,,-
V1= 2 m3вiпаr cosа, V2= 2 m3(2cosa-sinа) r cosа.
194. Согласно условию задачи (рис. 10.50) ОА=а cos а, d=
=2OА = 2а cos а. Высота пирамиды Н = а sin а. Сторона квадрата
356
d Ji2 ,r-
основания х = -
2- = r 2 а cos а. Площадь основания пирамиды
Q= 2а2 cos2 ct. Апоtема
l= уа2_ (~)2=а у1+~n2
ct.
Боковую поверхность и объем пирамиды находим по известным фор
мулам. Ответ: Sбок=2а2cosct J/ 1+ sin2 ct, V = ~ а3sin2ctcosct.
195. Ответ. V=: h"sinctsin~sin(ct+~)ctg2 y.
196. Ответ.
2
.
1
(J) = arcs1n 2 cos(ct/2)
а2
S=--,===========-
81f sin(.:: -
~) sin (.:: +~)
V,з2
з2
197. Ответ.
4k3
V = 27 sinctsin 2ct
198. Ответ.
аз
V=б sin 2 ~ tgct, S=a2 sin ~ (! +sec ct).
199. Решение. Пусть сторона основания равна а. Тогда вы
сота боковой грани, проведенная из вершины пирамиды, равна
8
А
А
Рис. 10.51 .
Рис. 10.52 .
ауз
(рис. 10.51) SE= 6
-- - , а (оковое ребро равно SC=SA=SB=
cos ct
аУЗ,/ 1 -j--З Н •
б•
=-6
-
V cos2 ct
.
аидем теперь высоту оковои грани, про-
веденную из вершины основания на боковое ребро: AD = DC =
а
= 2 sin(~/2)' Далее надо выqислить площади треугольников ASC и BAS
и приравнять полученные результаты. От в е т. 3 cos2 ct = 1-2 cos ~ -
200. Ответ. l+cos2 ct=-2cos~.
357
1-3cos2 ~
201. Ответ. arccos
2
•
202. Ре ш е н и е . Нетрудно доказать, что полученное сечение -
равнобочнап трапеция. Из треугольника OSE (рис. 10.52) ОЕ = а cos а,
ь = 2. ОЕ = 2а cos а. Из треугольника ESK по теореме синусов имеем
КЕ
KS
а
sin(180°-2a) sin(a-IO sin(a+~)'
аsin2а
а sin (а-~)
откуда высота трапеции К Е =
.
( + А) , отрезок I(S=
.
(А•
SIПаt'
S!П a+t,)
MN KS
Далее ДASD~ЛMSN, поэтому -ь-=а• откуда меньшая СТО·
рона основания трапеции
MN = b-KS =2а cos а sin (а-~).
а
sin (а+~)
Искомая площадь сечения
[ +аcosаsIn (а-~)1 аsin2а
S= acosa
sin(a+~) J sin(a+~)
_
а2 cos а sin 2а [sin (а+~) +siп (а-~)]
-
sin 2 (a+~)
а2cosаsin2а•2siпаcos~ а2бin22аcos~
=
•
sin 2 (a+~)
siп~(a+IO
Ответ. S=a2 sin 2 2a. cos ~.
sin 2 (а+~)
1
203. Ответ. S= 2 b2 cosa.
204. У к а з а н и е. Высота призмы равна диаметру вписанного
шара .
hз У2
Ответ. V= S,2r= -------'--------.
2sin2аcos; sin(~+;)
205. Ответ. V={-R3 siп3 2у tg у sin а sin ~ sin (а+~). ··.
.J
206. Ответ. S= м2 соsа .
2cos2(~- ; )
Gt
Gt
207. ответ. , = ьcos2tgт·
208. От в ет.
209. Ответ.
ГЛАВА11
ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
СИСТЕМЕ КООРДИНАТ
§ 11.1 . Задание прямой линии на плоскости
уравнениями в векторной и координатной форме
11.1 . 1. Уравнения прямой, проходящей через данную
точку в заданном направлении. Пусть l-прямая линия
на координатной плоскости хОу, М 0 (х0 ; у0 )-фиксирован
ная точка на l, а п =(А; В)-ненулевой вектор, перпен
дикулярный к этой прямой. Будем называть его нормаль
ным вектором нашей прямой. Отметим, что задание tоч1ш
М 0 и вектора п полностью оп
ределяют l и что таким образом
может быть задана любая пря
мая линия на плоскости хОу
(рис. 11.1 ).
Произвольная точка М (х; у)
будет· принадлежать l тогда и
только тогда, когда векторы
~
М0М и п будут взаимно пер-
пендикулярны. Для этого, в
свою очередь, необходимо и до-
3/
Рис. 11.l.
статочно, чтобы равнялось нулю скалярное произведение
этих векторов
(11.1)
Обозначив радиус-вектор точки М0 через r 0 и радиус
вектор точки М через r, мы можем переписать ( 11. 1) в виде
(11.2)
359·
Соотношение (11.2) представляет собой необходимое и
достаточное условие принадлежности точки М прямой /;
Оно называется векторным уравнением этой прямой.
~
•
_Так как М 0М = (х-х0 ; у-у0), то, выражая скаляр-
~
ное произведение п •М 0 М через координаты сомножителей,
мы получим
(11.3)
Уравне1ше ( 11.3) представляет собой уравнение прямой
в координатной форме.
11.1 .2. Общее уравнение прямой. Раскроем скобки
в уравнении (11.3)
Ах+Ву-Ах 0 -Ву0 = О
и обозначим -Ах0 -Ву0 через С.
Тогда это уравнение приведется к виду
Ах+Ву+С=О.
( 11.4)
Уравнение (11.4) называется общим уравнением прямой
на плоскости. Термин «общее» объясняется тем, что про
извольная прямая на плоскости может· быть задана урав
_нением nервой • степени относительно переменных х и у
(при этом коэффициенты А и В не обращаются в нуль
одновременно, ибо вектор п ненулевой). Не трудно пока
зать и обратное: всякое уравнение вида (11.4) при А и В,
не обращающйхся одновременно _в нуль, задает прямую
линию. Например, если А:#= О, то это будет прямая, про-
ходящая через точку м0 ( - ~ ; О) перпендикулярно n=
= (А; В).
Отметим характерные частные случаи общего уравне
ния прямой, когда некоторые коэффициенты равны нулю.
1.ПустьА=О, В-=1=-0, тогда уравнение (11.4) будет
иметь вид
у= Ь (Ь =-:-С!В),
из которого следует, что все точки прямой имеют одну и
ту же ординату, равную числу Ь; следовательно, прямая
параллельна оси абсцисс.
2. Пусть В= О, А-=1=-0, тогда будем иметь
х=а (а=-С!А).
Все точки прямой имеют одну и ту же абсциссу, сле
довательно, прямая параллельна оси ординат.
360
.з. Лусть С =·о,. В =f=.0 . Обозначая -А!В через k, мы
приведем (11.4) к виду
у •kx.
Выясним смысл коэффициента k. У равнению прямой
удовлетворяет точка (О; О), следовательно, прямая прохо
дит через начало координат. Взяв на прямой произволь
ную точку М0 (х0; у0) (х~ =f= О), получим у0= kx0 , откуда
k= у0/х0 • Обратившись к рис. 11.2, мы видим, что число
• k равно тангенсу угла а наклона прямой к оси х. Число
k наз~вается угловым козффициентом !/
прямои.
.
11.1 .3 . Специальные виды уравнения Уо
прямой в предположении, что Вф О.
Разрешим уравнение относительно у:
А
С
1:,:
у=-вх-в
или
y=kx+b.
(11.5)
Рис. 11.2 .
Выясним смысл числа Ь. Если х= О, то у= Ь, следо
вательно, наша прямая пересекает ось ординат в точке
(О; Ь). Число Ь называется начальной ординатой ·прямой,.
а уравнение (11.5)-урШJнением прямой с угловым коэффи
циентом и начальной ординатой.
Если уравнение (11.3) разделить на В (считая, конеч
но, что В=f=О) и положить вновь k = -
А/ В, то получим
У-'-У0 = k (Х-Х0).
(11.6)
Эго уравнение называется уравнением прямой, проходяш,ей
через· данную точку в данном напрШJлении.
•
При фиксированной точке М 0 (х0 ; у0) й различных k это
уравнение дает множество пр·ямых, называемых пучком
прямых с центром в точке М 0•. Заметим,
что только одна
пряЪ4аЯ из всех проходящих через М 0 , а именно прямая,
перпендикулярная оси абсцисс, не выражается таким урав
нением. Ее уравнением будет Х= х0•
Пусть требуется составить уравнение прямой, прохо
дящей через две заданные точки: М1 (х1; у1) и Mz (х2; у,,)
(будем считать, что х1 =f: х2).
Найдем угловой коэффициент данной прямой, для чего
найдем тангенс угла, образуемого _отрезком М 1М2 с осью
абсцисс.
361
Легко видеть по рис. 11. 3, что
tgа=k= У2-У1.
Х2-Х1
(11. 7)
Подставим это значение k в уравнение пучка прямой
с центром в точке М1 (х1; у1):
y-yl = У2-У1 (Х-Х1).
Х2-Х1
Запишем это уравнение в более симметричной форме (при
этом мы будем считать, что у1 =I= у2 ):
У-У1
Х-Х1
---=--
( 11.8)
Полученное уравнение является
искомым. Оно называется уравне
нием прямой, проходящей через две
заданные точки.
Легко проверить, что уравнение
Рис. 11.3.
любой прямой, проходящей через
точки (х1; у1) и (х2; у2), можно за
писать в следующем виде:
х!J
(11. 9)
Действительно, вычитая вторую сторону из первой
и из третьей и разлагая затем этот определитель по эле
ментам третьего столбца, получим
·(11.10)
11.1 .4 . Уrол между двумя прямыми. Условия колли
неарности и перпендикулярности. Пусть прямые l1 , 12 за
даны соответственно уравнениями
A1x+B1y+Ci=O и А 1х+В2у+С2 =0, (11.11)
тогда вектор n1 :_ (А 1; В1) будет нормальным к li, а вектор
n2 = (А 2; В2)-нормальным к 12 • Если 11 и 12 неколлине
арны, то угол «:р между ni и п 2 равен одному из углов,
образованных прямыми li и 12
,
если же 11 111
2
,
то «:р= (J
или «:р= л:. Выражая «:р через скалярное произведениеп 1 и n2
их длины и переходя затем к координатам этих векторов,
362
мы получаем
n1•n2
А1А2+В1В2
cos (j) =-,-----',---,--"--,-=:-,::::::;::====:=-:-,с:::::::::=::=
1n11·1 n2 I V А~+в~ v·л:+ в~ (11.12)
Если В1 =1= О и В2 =1= О, то, разделив все члены правой
части на В1В2, получим
Введя k1 = -А1/В1 и k2 = -А2/В2, получим выражение
для cos (j) через угловые коэффициенты прямых
kk+1
COS(j)=
12
•
(11.13)
v(kr+ 1) (k~+ 1)
Нередко ·оказывается более удобной формула, выражаю
щая тангенс угла между двумя прямыми через коэффици
енты уравнения этих прямых. Так I<ак (рис. 11.4) один
пз углов О между прямыми представляет собой разность
углов наклона этих прямых /1
11l2косиОх:
!!
0=а2-а1 .
или же отличается от эаой раз-
ности на + :rt, то (при условии,
разумеется, что О =1= :rt/2, а2 =1= :rt/2
И СХ1 =/= :rt/2).
tgO= tga:2 -tga:1 = k2-k1
tga:1 tgcx2 +1 k1k2 +1•
(11.14)
Рис. 11.4.
:с
Заменяя k1 на -А1/В1, а k2-на -А2/В2, мы после оче
видных преобразований получим
t 0- А1В2-А2В1
g -АА
•
1 2+ 81В2
(11.15)
Условие перпен,дикулярности двух прямых можно получить
из условия равенства нулю скалярного произведения п1 -п 2 :
А1А2 +В1В2=0
или, если ни одна из прямых не коллинеарна Оу,
k1k2+1=О.
363
Условие параллельности прямых вытекает из условия
коллинеарности нормальных векторов:
n1=тni или (А1; В1)=(тА1; тВ2),
что равносильно
А1В2-А2В1= О.
(11.16)
Разделив обе части (11.16) на В1 В2 (считая, что В1 :;l=O
и В 1 :;l= О), мы получим
k1=k2•
(11.17)
(Впрочем, в таком виде, как ( 11.17), условие колли
неарности очевидным ·образом вытекает из условия равен
ства ai и а2.)
11. 1.5. Примеры реwени~ задач. П р и м е р 11.1. На
писать, уравнение прямой, отсекающёй на оси ·абсцисс
и ординат направленные отрезки, величины которых равны
аиЬ.
Решение. Искомая прямая riроходит через точки
М 1 (а; О) и М2 (0; Ь); воспользуемся уравнением (11.8)
прямой,_ проходящей через две точки, получим
у-О • х-а
Ь-0 =о-а)
или
у
х
ь=-tt+ l,
откуда
х
у
-+-=1
аЬ'
(11.18)
Такая форма •уравнеuия прямой линии называется
.уравнени_ем в отрезках на осях.
Пр и м е р 11.2. Найти, угол между прямыми, заданными урав
нениями
2х+2у-13=0,
7х-у+8=0.
По формуле (11.12) находим .
2-7 -2 -1
З
COS(j) }'22+22 }'72+ 1 =5=0,6.
:flo таблицам находим
i64
П р и м е р 11.3. Вычислит_ь. расстояние от точки Мц (7; 9-) до
прямой
3х+4у-17-=0. -
(11.19)
Проведем прямую· перпендикулярно данной прямой через
точку М0 • Угловой коэффициент данной прямой -3/4, угловой коэф
фициент перпендикулярной прямой находим из условия k1 -k 2 +-l =0,
оо:куда k 1 = 4/3; подставив это значение k в уравнение пучка прямых
с центром в точке М 0 , получим уравнение
или
4
у-9=з(х-7),
4х-3у-1=0.
Находим основание перпендикуляра, опущенного из точки М0 на
данную прямую (11.19), т. е. точку пересечения М1 прямых
{ 4х-3у-1=0
зх+4у-'-17=0.
Решив систему, получим точку М1 (11/5; 13/5). Теперь найдем иско
мое расстояние между точками М1 и М0:
~ /"( 11)2 ( 13)2
d=V 7-5 +9-5
=8.
§ 11.2. Задание плоскости уравнениями в векторной
и координатной форме
11.2.1 . Уравнения плоскости, проходящей через дан
ную точку в заданном направлении. Пусть дана точка
Мо-(х0 ; у0 ; z0), принадлежащая некоторой цлоскости Р
в пространстве, и ненулевой
вектор п (А; В; С), перпен
дикулярный данной плоско
сти. Вектор п называется
нормальным вектором для Р.
Этими двумя элементами по
ложение плоскости в прост
ранстве вполне определено
(рис. 11.5).
Точка М (х; у; z) будет
принадлежать Р тогда и толь-
--+
ко тогда, когда векторы М 0 М
и п будут перпендикулярны
z
g
Рис. 11.5.
друг другу, для чего, в свою очередь, необходимо и доста
точно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю:
(11.20)
3§5
--+
Заменяя в (11.19) М 0М на r-r0 (где r-радиус-вектор
точки М, а r0 -радиус-вектор точки М0 ), приходим
к уравнению
•(11.21)
называемому уравнением плоскости Р в векторной форме,
Так как
--+
М0М = (х-х0; у-у0; z-z0),
то, переходя в (11.20) к координатам, получим
А (Х-Хо) +в (У-Уо) +C(z-zo)= о. (11.22)
t 1.2 .2 . Общее уравнение плоскости. Раскрывая скобки
в (11.22) и обозначая
-Ax0-By0-CZ0= D,
получим
(11.23)
Уравнение (11.23) называется общим уравнением плоскости
в координатной форме.
Заметим, что так как нормальный вектор плоскости
п-ненулевой вектор, то А, В .и С не могут быть равны
нулю одновременно.
Рассмотрим частные виды расположения плоскости,
соответствующие тем случаям, когда некоторые из коэф
фициентов А, В, С, D равны нулю.
•• 1. D = О. Тогда уравнение плоскости имеет вид
Ax+By+Cz= О.
Этому уравнению удовлетворяет точка О (О; О; О), следова
тельно, плоскость проходит через начало координат.
2. А= О. Уравнение плоскости принимает вид
By+Cz+D=O.
Здесь нормальный вектор п (О; В; С) имеет составляющую
на оси х, равную О, следовательно, он перпендикулярен
оси Ох; в таком случае плоскость, перпендикулярная
к данному вектору, параллельна оси Ох.
Аналогично, при В= О или С= О плоскость парал
лельна соответственно оси Оу или Oz.
3. А = О и В= О. У равнение плоскости обращается в
Cz+D=O,
366
вектор п (О; О; С) коллинеарен оси Oz. Следовательно,
плоскость перпендикулярна к оси Oz и параллельна коор
динатной плоскости Оху, она отсекает на оси Oz отре
зок-D/С.
Аналогично рассматриваются случаи, когда А= О
иС=ОилиВ=ОиС=О.
4. А= О и D = О. Уравнение плоскости принимает вид
By+Cz=O.
Принимая во внимание случаи 1 и 2, заключаем, что
плоскость проходит через ось х.
5. А=О, В=О, D=O, C=i=O. Уравнение
Cz=О, или z=О,
определяет плоскость координат Оху.
Аналогично рассматриваются остальные частные случаи.
11 .2 .3. Примеры решения задач. П р и м е р 11.4. Найти
уравнение плоскости Р, проходящей через три данные
точки:
М1 (Х1; У1; Z1), М2 (х2; У2; Z2), Мз (ха; Уа; Zз),
Рассмотрим три вектора:
--
М1М = (х-х1; у-у1; z-z1),
---+
М1М2= (Х2-Х1; У2-У1; Z2-Z1),
--
М1Ма= (ха-Х1; Уз-У~; Zs-Z1),
Для того чтобы точка М (х; у; z) Е Р, необходимо и доста-
--
точно, чтобы смешанное произведение векторов MiM,
--
М1М2, М 1 М8 было равно нулю, ибо э_ти векторы должны
быть компланарны:
--
--
-
MiM0M1M2-M1M8 = О.
Подставляя координаты векторов и записывая произведе
ние при помощи определителя, имеем
X-Xi у- Yl Z-Z1
Х2-Х1 У2-У1 Z2-Z1 = 0.
Х3-Х1 Уз-У1 Z3-Z1
Это и есть искомое уравнение плоскости Р,
(11.24)
367
Пример 11.5. Найти угол между двумя плоскостями.
Углом между двумя •плоскостями называется любой. из
смежных двугранных углов, образованных этими плоско
стями. Один из них равен углу между нормальными
векторами плоскостей.
Пусть плоскости заданы общими уравнениями
A 1x+B1y+C1 z+D1 = О,
A2x+B2y+C2z+D2 = О.
(11.25)
Тогда угол между нормалью,1ми векторами п1 (А 1 ; В1 ; С1 )
и п 2 (А 2 ; В2 ; С2) вычисляется с помощью скалярного про
изведения
_
n1-n2 _
А1А2+В1В2+С1С2
(11 26)
cos а - 1 11 1 - :,========':,=======.
•
n1•n2
VA~+в~+cfV л:+в~+с=
Пр и мер 11.6. Условия параллельности и перпенди
кулярности плоскостей. Для того чтобы плоскости были
параллельны, их нормальные векторы должны быть кол
линеарны друг другу, т. е. должно быть
n1= 'Ап2,
что равносильно
А1= 'АА2, В1 = 'АВ2, С1 = 'АС2;
(11.27)
если А 2 =i=O, В2 =i= О, С2 =i= О, то из этих равенств следует, что
Разумеется, и из (11.28) при 'А= А 1 /А 2 получаем (11.27).
Для того чтобы плоскости были перпендикулярны,
необходимо и достаточно, чтобы были перпендикулярны
их нормальные векторы
n1-n2= О.
Следовательно, условие
А1А2 +В1В2 +С1С2 = О
(11.29)
является необходимым и достаточным условием перпенди
кулярности плоскостей (11.25).
§ 11.3 . Задание прямой линии в пространстве
11.3 .1 . Векторно-параметрическое уравнение прямой
и его следствия. Пусть дана точка некоторой прямой l
и вектор а= (т; п; р), коллинеарный l (вектор а назы
вают направляющим вектором прямой). Этими двумя эле-
368
ментами вполне определяется положение прямой l в прост
ранстве (рис. 11.6). Для тоrо чтобы точка М (х, у, z) Е l,
--
необходимо и достаточно, чтобы векторы М 0 М и а, были
коллинеарны, для чего в свою
очередь при некотором веще-
z
ственном t должно быть
-
М 0 М= ta. (11.30)
--
Заменяя в (11.30) М0 М на
r-r0 (где, как обычно, под
r и r O мы понимаем радиус
векторы точек М и М0), мы
приходим к уравнению
r=r0 +ta. (11.31)
Рис. 11.6.
Уравнение (11.31) называется векторно-параметрическим
уравнением прямой_ l.
--
Переходя в ( 11. 30) к координатам векторов М 0 М и at, •
получим
оц<уда следует
X=X0 +mt, y=y0 +nt, Z=z 0 +pt.
Записав эти равенства в форме
x-Xo_t y-yo=t И z-zo=t
т-
'
п
р
и исключая параметр t, получим
х-хо У-Уо z -:zo
-т-=-п-=-р-.
(11.32)
(11.33)
Уравнения (11.33) называют каноническими уравнениями
прямой линии, а систему уравнений (11.32)-системой ее
уравнений в координатно-параметрической форме.
11.3 .2 . Примеры решения задач. Пр им ер 11. 7. Найти
уравнение прямой, проходящей через две данные точки:
М1(х1; У1; Z1) и М2(х2; у,; z2).
-~
Вектор М 1 М2 будет коллинеарен данной прямой. Взяв
его в качестве направляющего вектора и точку М 1 в ка
честве начальной, получим
•
--
r=r1 +M1Ma•t
369
или
(х; у; z)=(xi; Yi; z1)+(x2-X1; Y2-Yi; z2-Z1)t.
В каноническом виде это уравнение запишется так:
Х-Х1 У-У1 Z-Z1
(11.34)
Х9-Х1 = У2-У1 = Z2-Z1 •
Пр им ер 11.8. Найти угол между двумя прямыми n
пространстве.
.
Углом между двумя прямыми в пространстве называем
любой из углов, образованный двумя прямыми, проведен
ными через любую точку пространства параллельно дан
ным прямым. Следовательно, за искомый угол можно
принять угол между направляющими векторами прямых.
Пусть прямые заданы каноническими уравнениями
х-х. у-у. z-z.
т;-=п;-=~,
( 11.35)
Тогда угол между векторами а1 (т1; п1; р1) и а2 (т2; п2; р2)
вычисляется по формуле
cosq, =
m1m2+n1n2+P1P2
•
(11.36)
V2+2
2у ·2
2+2
m1
n1 +Р1 m2+n2 Р2
Отсюда вытекает условие перпендикулярности двух прямых
z
т1т2+n1n2+Р1Р2=О.
(11.37)
Условие параллельности пря
мых ( 11. 35) получим из усло
вия коллинеарности направ
ляющих векторов, оно будет
иметь вид
m1 = n1 = ei, (11.38)
m2
n2 Р2
Пример 11.9. Найти
угол между прямой и плос
костью.
Рис. 11.7 .
Так как углом между пря-
мой и плоскостью считается
острый угол между прямой и ее проекцией на плоскость
(рис. 11. 7), то за искомый угол можно взять дополни
тельный до л/2 угол между нормальным вектором плоско-
370
сти и направляющим вектором прямой, выбрав направле
ние этих векторов так, чтобы угол между ними не пре
восходил 'Л/2.
Пусть плоскость и прямая заданы уравнениями
Ax+By+Cz+D=O,
Х-Хо У-Уо Z-Zo
(11.39)
гп=-п-=-р-·
Тогда искомый угол <р может быть вычислен по формуле
.
IAm+Bт+Cpl
SIП (j) = уA2-j-B2+c2 у т2+п2+Р2 •
(11.40)
Отсюда вытекают условия параллельности прямой и пло
скости, заданные уравнениями (11.39). Условие, парал
лельности имеет вид
, Am+Bn+Cp=O (n•a=O),
а условием перпендикулярности будет
АВС
-=-=-
т
п
р
(n= ла).
11.3 .3 . Задание прямой линии в пространстве как ли
нии пересечения двух плоскостей. Любые не параллельные
плоскости пересекаются по прямой линии.
Пусть заданы две плоскости
A1x+B1y+C1 z+D1 =0,
A2x+B2y--j-C 2z+D2 =0.
(11.41)
Если направляющие векторы этих плоскостей не парал
лельны, то написанная система уравнений определяет не-
которую прямую линию.
•
Перейдем от системы (11.41) к каноническому уравне
нию прямой. Для этого надо иметь какую-либо точку
прямой и направляющий вектор. Точка прямой найдется,
если задать произвольно значение одной из координат и
затем решить полученную систему из двух уравнений с
двумя оставшимися координатами.
Очевидно, что прямая, принадлежащая обеим плоско
стям, перпендикулярна каждому из направляющих век
торов
n1 (А1; В1; С1), n2 (А2; В2; С2),
Итак, любой вектор, перпендикулярный к ni и п2 ,
является направляющим вектором прямой.
371
Как известно из предыдущего, векторное произведение
векторов п1 и п1 перпендикулярно обоим векторам, по
этому за направляющий вектор ·а можно взять вектор
1&1 хп •.
-
П р и мер 11.10. Написать каноническое уравнение прямой,
заданной плоскостями
Имеем
3x+5y-z -5=0,
4x-y+2z+2=0.
n1(3; 5; -1),
Векторное произведение
n1 xn~=I:
jkl
5 -1 =9l- lOJ-23k.
-1
2
Найдем начальную точку. Положив z = 2, из системы
{ 3х+5у-7=0,
4х- и+6=0
получаем х0 =-1, у0 =2. Следовательно, М0 (-1; 2; 2)Е l. Таким
образом, искомым каноническим уравнением данной прямой будет
х+1 у-2 z-2
-9-= -10= -23.
В заключение отметим еще раз, что любая пряма" на
плоскости (в пространстве) может быть задана уравнением
(системами уравнений) первой степени. Вследствие этого
они называются линиями первого порядка.
Плоскости по той же причине называют поверхностями
первого порядка.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ К ГЛАВЕ 11
1. Запишите в общем виде уравнения прямой (в векторной и
координатной форме), проходящей на плоскости хОу через данную
точку перпендикулярно данному вектору. Приведите примеры.
2. Что называется общим уравнением прямой на декартовой
координатной плоскости? Как будет расположена прямая. отн.оси
тельно осей координат, если те или иные коэффициенты в ее общем
уравнении равны 0? Приведите примеры.
3. Какие специальные виды уравнений прямой на декартовой
координатной плоскости вы знаете? Приведите примеры.
4. По каким формулам можно находить угол между двумя пря
мыми на декартовой координатной плоскости? Поясните свой ответ
примерами. Сформулируйте условия коллинеарности и перпендику
лярности двух прямых.
5. ·запишите' в общем виде (в векторной il •координатной форме)
уравнения плоскости, проходящей через данную точку перпендику
лярно данному вектору. Приведите примеры.
6. Что называется общим уравнением пJJоскости? Как будет
расположена плоскость относительно координатных осей, если те
или иные коэффициенты в ее общем уравнении равны О? Приведите
примеры.
7. По какой формуле можно составить уравнение плоскости,
проходящей через три данные точки? Поясните свой ответ при
мерами.
8. Как можно найти величину угла между двумя плоскостями?
В -чем состоят условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей? Приведите примеры.
9. Каким образом можно аналитически описать прямую, прохо
дящую через данную точку коллинеарно данному вектору? Приве
дите примеры.
10. По каким формулам можно найти угол между двумя пря
мыми? Прямой и плоскостью? В чем состоят условия коллинеарности
и перпендикулярности двух прямых? Прямой и плоскости? Поясните
свой ответ примерами.
11. Какими способами можно аналитически задать прямую в·
декартовом координатном пространстве? Приведите примеры.
12. Почему прямые линии носят название линий первого по
рядка, а плоскости-поверхностей первого порядка?
УПРАЖН_ЕНИ.Я К ГЛАВЕ 11
1. Вершины треугольника находятся в точках А (З; -4), В (1; 3)
в С(-4;
-2). Составьте уравнения его сторон и высот.
2. х-у-1 =0 и х-2у=0.-уравнения сторон параллелограмма,
М (3; -1)-точка пересечения его диагоналей. Найдите координаты
вершин этого параллелограмма.
З. А (-6; 2) и В (2; -2)-вершины треугольника, М (1; 2)-
точ-ка пересечения высот. Найдите координаты третьей вершины.
4. х+ у-1 = О-уравнение основания равнобедренного тре
угольника, х-2у-2 =О-уравнение боковой его стороны. Точка
(-2; О) принадлежит другой боковой стороне. Требуется найти урав
нение этой стороны.
5. Через точку (5; 4) провести прямую. так, чтобы площадь
треугольника, образованного этой прямой и осями координат, рав
нялась 40.
6. 2х~у-8=0-уравнение стороны прямоугольника, точка
М (-1; О) лежит на стороне, параллельной данной, Вх+ у-12=0-
уравнение диагонали. Составьте уравнения остальных сторон.
7. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
М(З; 4; -5) параллельно векторам а=(З; 1; -1) и b=(l; -2; 1).
8. Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку
М (1; -1; 2) перпендикулярно плоскостям 2х-у+Зz- 1=0 и
x+2y+i=0.
9. Прямая 1 представляет собой линию пересечения плоскостей
373
Составьте ее канонические уравнения и уравнения в координатпо
параметрическоii: форме. Найдите точку пересечения этой • прямой с
плоскостью 2x+y+z-9=0.
10. Составьте уравнение плоскости, проходящей через прямую
х-1 у-2 z+3
l:-2
-=
_
3=-
2 иточкуМ(2; -2;1).
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ~ ГЛАВЕ 11
1. Ответ.
АВ: 7х+2у-13=0,
ВС: х- У+ 2=0,
ВЕ: 7х-2у- 1 =0,
АС: 2х+7у+22=0,
AD: х+ У+ 1=0,
Cf: 2х-7у- 6=0.
2. Удобно воспользоваться тем, что диагонали параллелограмма
, точкой их пересечения делятся пополам.
Ответ. (2; l), (-8; -9), (4; -3), (14; 7).
3. Ответ. (2; 4).
4. Ответ. 2x-y -t -4=0.
5. Удобно использовать уравнение прямой «в отрезках на осях».
Ответ. 1) (o+~=l, 2) 1o(l2-1) 8(Jf}+1) 1,
3)
х+у
I.
1o(Jf2+1) s(y·2-1)
6. От в ет. 2х-у+2=0, х+2у-9=0, х-1-2у+6=0.
7. В качестве нормального вектора можно взять n=ахЬ.
Ответ. x+4y+7z+l6=0.
8. Отве·г. 7x-y-5z+2=0.
х-1. у-2 z-1
9.Ответ. 10=_
17 =-
1-,
x=l0t+l, y=-l7t+2,
z=t+l, (11; -15; 2).
10. Ответ. 4x-j -Gy-\ -5z-l=0.
ГЛАВА12
КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 12.1 . Кривые второго порядка
12.1 .1 . Окружность. Под кривой (поверхностью) второго
порядка понимают кривую (поверхность), которую можно
в некоторой декартовой системе координат задать уравне
нием второй степени относительно координат переменной
точки этой кривой (поверхности). Простейшей кривой
второго порядка является окруж
ность
(12.1)
с центром в начале координат и
радиусом R (рис. 12.1).
(-R,~'0)~-~--'1'--' -'="
Окружность представляет со
бой замкнутую кривую, располо
женную в ограниченной области,
а именно в квадрате со стороной
(O;-RJ
2R и с центром в начале коорди-
Рис. 12.1.
пат. Эта кривая симметрична отно-
сительно осей координат и относительно начала коор
динат.
12.1.2 . Эллипс. Рассмотрим кривую второго порядка
(12.2)
где а и Ь-некоторые положительные числа.
Линия, которая в какой-либо декартовой координатной
системе может быть задана таким уравнением, называется
эллипсом, а уравнение (12.2) называется каноническим
уравнением эллипса. Изучим свойства и· форму этой линии
по ее уравнению.
Э75
Из уравнения (12.2) видно, что
или
(12.3)
Из этих двух неравенств следует, ч·10 эллипс есть линия,
ограниченная прямоугольником со сторонами длиной 2а
и 2Ь и с центром в начале координат (рис. 12.2). Из
!/
Вz{O;h)
Вt(о;-ьJ
Рис. 12.2 .
уравнения (12.2) видно, что
если точка М 1 (х; у) принад
лежит эллипсу, то точки
М1(х; -у), М3(-х; у) и
М, (-х; -у) также принад
лежат эллипсу. Из этого сле
дует симметричность эллипса
относительно осей координат
и начала координат. Центр
симметрии-начало коорди
нат-назовем центром эл-
липса. Точки пересечения осей
симметрии (осей координат) с эллипсом: А 1 (-а; О), А 2 (а; О),
В 1 (О; -Ь), В2 (О; Ь) называются вершинами эллипса. Для
определенности будем считать, что а > Ь. Тогда отрезок
оси. Ох длиной 2а между вершинами А 1 и А 2 будем на
зывать большой осью эллипса, а отрезок оси Оу длиной 2Ь
между вершинами В 1 и В2 назовем малой осью эллипса. -
Для изучения формы эллипса, в силу указанной выше
симметрии его относительно осей координат, достаточно
изучить форму его части, содержащейся в первой коор
динатной четверти: х ~ О, у~ О.
Из уравнения (12.2) ·при сделанном предположении
получим
,
откуда следует, что графиком эллипса в первой четверти
является непрерывная линия, ординаты которой убывают
от Ь до О при движении от точ1ш В2 (О; Ь) до точки
А 1 (а; О). В остальных четвертях эллипс строится с уче
том указанной выше симметрии его.
Введем теперь число с > О по формуле
(с< а),
376
О'l'Метим точки F1 ( -с; О) и F2 (с;· О). Эти точкй на~ываются
фокусами эллипса. Так как с< а, то фокусы F 1 и F1
лежат между вершинами А 1 и А 2 •
Расстояния , 1 и , 2 любой точки М (х; у) эллипса до
фокусов F 1 и F 2 назовем фокальными радиусами точки М.
Найдем длины r1 и r2 . Имеем
.
,/"
ь2х2
r1=V(x+c)2+y2= у х2+2сl+с2+ь2-7=
Ана,nогично находим
' 2. 1-: +al.
Так как lx1~а и с/а< l, то имеем
.хе+
хе+
r1=a· а-И Г2=-а а.
(12.4)
Очевидно, что длины фокальных радиусов вершин В1 и
8 1 равны а (х = О). Этот факт может быть использован
для построения фокусов эллипса по его полуосям.
Складывая почленно равенства (12.4), получим
Г1+Г2=2а.
(12.5)
Равенство (12.5) выражает основное свойство эллипса:
сумма расстояний любой точки эллипса ( 12.2) до его фо
кусов есть величина постоянная и равная 2а. Число в= с/а
(О < е < 1) называется эксцентриситетом эллипса. Оно
характеризует вытянутость эллипса.
Если у эллипса (12.2) Ь =а, то эллипс превращается
в окружность радиусом а, при этом с= О и F 1 (О; О)=
=F1 (0; 0)=0(0; 0)-фокусы стягиваются в центр эллипса
(е= О). Получаем уравнение окружности
xz+y• =а2.
Таким образом, окружность можно .рассматривать как
частный случай эллипса, а именно, как эллипс, эксцен
триситет которого равен нулю.
12.1 .3 . Гипербола. Рассмотрим кривую второго порядка
( 12.6)
377
Линия, которая в какой-либо декартовой системе коорди
нат может быть задана таким уравнением, называется
гиперболой, а уравнение (12.6) называется каноническим
уравнением гиперболы. Изучим свойства и форму этой
линии по ее уравнению.
или
Из уравнения (12.6) видно, что
х2
а2~1,
/х/~а.
так что все точки гиперболы (12.6) лежат вне полосы
-а~х~а, IYI <+оо
(рис. 12.3), кроме точек А 1 (-а; О) и А 2 (а; О), лежащих
на границе полосы.
При этом, в отличие от ·эллипса, гипербола является
неограниченной к_ривой, что следует из равенства
ьv--
у = +- х2-а2.
-а
В самом деле, /у/--.+оо при х--.+00(-00).
Так же, как и для эллипса, из единовременной при
надлежности точек М1 (х; у), М2 (х; -у), М3 (-х; у) и
м4 (-х; --у) этой линии Зcl•
f/
ключаем о наличии осей симмет
рии --осей Ох и Оу и центра.11'Ь
ной симметрии относительно на
чала координат.
Точки А1(-а; О) и А2(а; О)
r~ (с:О) называются вершинами rипep-
fi(-\ ~; .
2 )' х болы, а отрезок длиной 2а меж-
1
•ду
ними называется вещест-
/
,1
венной осью гиперболы. Из урав-
-
в1(0;:ь
нения (12.6) следует также, что
гипербола не пересекает оси Оу,
ибо, полагая х = О, мы приходим
,
к уравнению
Рис. 12.3 .
_
::=1,
не имеющему вещественных решений.
Отметим на оси Оу точки В1 (О; --Ь) и В2 (О; Ь). Отре
зок длиной 2Ь от точки Bi (О; Ь) до В2 (О; -Ь) называют
мнимой осью гиперболы.
378
Для построения гиперболы достаточно изучить свой
ства и форму гиперболы в первой четверти, а именно в
области
Тогда имеем
у=!!... Vх2-а2.
а
Отсюда видно, что при изменении х от а до + оо орди
ната у возрастает от О до + оо. При этом
ь
У< ах.
Это означает, что гипербола лежит под прямой
ь
У=аХ
(12.7)
(рис. 12.4), проходящей через начало координат.
Оценивая разность б =NМ ординат гиперболы (12.6)
и прямой (12.7) •
нетрудно убедиться, что f,-, .0 при х--+-+оо. В самом
деле,
при х--+-+оо.
Таким образом, точка М неограниченно приближается
к точке N, когда х неограниченно возрастает. Прямая
(12.7) является асимптотой гипер
болы (12.6) (см. п. 5.3.1).
9
Из сказанного следует, что в
первой четверти гипербола пред
ставляет собой кривую, начинаю- В(О;Ь)
щуюся в точке А 2 (а; О) и асимп
тотически приближающуюся к пря
мой (12.7) при х-+ оо.
Заметим, что асимптоты
ь
у=±ах
Рис. 12.4 .
являются диагоналями прямоугольника (стороны которого
параллельны осям Ох и Оу и равны соответственно 2а и
2Ь, а центр находится в начале координат), вне которого,
причем между асимптотами, расположена сама гипербола.
'"· 379
Введем число с> О по формуле
с2=а2+ь2• (с> а).
Точки f 1 (-с; О) и F2 (с; О) называют фокусами гипер
болы.Таккакс>О,то фокусы f1иF2 лежатза вер
шинами гиперболы и, следоватеJiьно, вне полосы /х 1 < а.
Расстояния r 1 и r 2 любой точки М (х; у) гиперболы
до фокусов называются фокальными радиусами точки, М.
Найдем длины фокальных радиусов:
•
~/
Ь2х~
, 1 = V(х+с)2+у2= V х2+2сх+с2+а2-Ь2==
Так же находим
r,=1·;-a/.
Так как /х\;а:а и cJa> l, то для х> О имеем
с
с
Г1 =ах+а, Г2 =ах-а,
откуда
длях<Оимеем
и снова
r2-r1= 2а.
Следовательно, для всех точе~ гиперболы
1,1-,2 I=2а.
(12.8)
Равенство (12.8) выражает основное свойство гипер
болы (12.6): а.бсолютная величина разности расстояний от
точки гиперболы до ее фокусов ecf11!? величина постоянная,
равная 2а.
Величина е= с/а (е > 1) называется эксцентриситетом
гиперболы.
Если в гиперболе (12.6) Ь= а, то
х• у2
-- -=1
а2 а2
'
380
или
(12.9)
Такая гипербола называется равносторонней (рис. 12.5).
Асимптотами этой гиперболы будут
у_;, ±х.
(12.10)
Это биссектрисы координатных углов. Так как биссек
трисы (12.10) взаимно перпендикулярны, то их можно
IJ
Рис. 12.5.
Рис. 12.6 .
принять за оси Ох', Оу' новой прямоугольной декартовой
системы координат. Переписывая (12.9) в виде
(х + у) (х-у) =а2
и полагая
х,=х+у
У2'
,
х-у
у=У2 '
получим
х'у' =2а2 ,
что можно переписать в виде
,
2а2
у =7,
(12.11)
знакомом учащимся из школьного курса. Уравнение ( 12.11)
называется уравнением гиперболы, отнесенной к асимпто
там, т. е. когда осями координат являются асимптоты
гиперболы (рис. 12.6). Таким образом, графиком обратной
пропорциональной зависимости является равнобочная ги
пербола.
Все равнобочные гиперболы имеют один и тот же
эксцентриситет, равный V°2.
381
12.1.4 . Парабола. Рассмотрим уравнение кривой вто
рого порядка
у2 = 2рх.
(12.12)
Линия, которая в некоторой декартовой системе может
быть задана таким уравнением, называется параболой, а
уравнение (12.12)-каноническим уравнением параболы.
Число р > О называется параметром параболы.
Парабола (12.12), так же как и гипербола (12.6),-
неограниченная кривая, ибо
•
у=+ V2px ⇒ IY\-+oo или х-+оо.
В отличие от эллипса и гиперболы, парабола имеет
только одну ось симметрии-ось Ох-и не имеет центра
(_J:.-0)1
~2'1/J
1
1
1
dl
1
у
Рис. 12.7 .
симметрии. Ось симметрии называют
осью параболы. Точку пересечения оси
си~1метрии с самой параболой (12.12)-
начало координат- называют верши
ной параболы. Точка F (р/2; О) (рис.
12. 7) называется фокусом параболы.
х Прямая d, заданная уравнением
Х= -р/2,
(12.13)
называется директрисой параболы.
Она обладает тем свойством, что рас
стояние МК от любой точки М па
раболы ( 12.12) до директрисы ( 12. 13)
равно расстоянию М F от этой точки до фокуса параболы:
IMKl=IMFI.
(12.14)
В самом деле, имеем
\MK\=x+f,
\MF\с-сеV(Х-~)2+у2=
-,1(Х-f)2+2рх=Х+f ,
откуда и следует (12.14).
Легко увидеть, что если мы поменяем буквы х и у,
то полученное уравнение
Х2 =2ру
(12.15)
будет уравнением параболы с осью Оу в качестве оси сим
r,1с'гр11п.
382
Записав уравнение (12.15)· в виде, разрешенном отно
сительно у, получим знакомое из школьного курса урав
нение параболы
или
у=ах2
12. 1.5. Решение примеров. Пр им ер 12.1. Исследовать уравнение
16х2 + 25у2 -400 = О.
Решение. Приведем это уравнение к виду
х2
у2
25+ю=l.
Мы видим, что это эллипс с полуосями а= 5 и Ь = 4. Из формулы
с2 =а2 -Ь 2 находим с=3, откуда F 1 (-3; О) и F 2 (3; О). Эксцентри
ситет этого эллипса 1:, = 3/5.
Пр им ер 12.2. Исследовать уравнение
9х2- 16у2- 144=0.
Ре ш.е ни е. Приведем это уравнение к виду
х2 у2
1"6-g=l.
Это гипербола: а=4, Ь=3, с=5; F 1 (-5; О), F 2 (5; О), Е=5/4.
Уравнения асимптот у=3х/4 и у= -3х/4.
П р им е р 12.3. Исследовать уравнение
у2 +8х=0.
Решение. Приведя к виду у2 = -8х, установим, что это па
рабола, расположенная в левой полуплоскости, с фокусом в точке
F (-2; О) и директрисой, уравнение которой х-2=0.
§ 12.2. Поверхности второго порядка
12.2 .1 . ЭJ1J1ипсоид. Поверхность второго порядка, ко
торая в какой-либо декартовой системе координат Oxyz
может быть задана уравнением
(12.16)
называется эллипсоидом. Из уравнения непосредственно
следует, что
lx/<a, lul<b, lz/<c.
Это означает, что эллипсоид есть поверхность, заключен
ная в прямоугольном .параллелепипеде, с измерениями,
383
равными числам 2а, 2Ь, 2с. Эти числа называются осями
эллипсоида.
Из того факта, что переменные ·х, у, z входят в урав
нение во второй степени, следует, что поверхность сим
ме1рична относительно . трех координатных плоскостей и
относительно начала координат. Начало координат на
z
Рис. 12.8.
-зывается центром эллип
соида. Точки пересечения
осей координат с эллипсо
идом называются вершина
ми эллипсоида.
Проведем сечение эл
липсоида пл·оскостью, па-·
раллельной плоскости Оху;
пусть это будет плоскость
z=20, и пусть при этом
1Zo 1< с, тогда
х2 у2
•z~
а2+Ь2= 1-7. (12.17)
2
Обозначим через k2 положительное число 1-!.о... Тогда
с2.
из (12.17) получим
Мы видим, что сечение 9ллипсоида плоскостью z = 2 0
представляет собой эллипс с полуосями ak и bk, умень
шающимися с увеличением 2 0 ; при 2 0 = с этот эллипс ст_я
гивается в точку, вершину эллипсоида. Аналогично убеж
даемся, что сечения эллипсоида плоскостями х = х0 и
у = у0 тоже представляют собой эллипсы.
Эллипсоид изображен на рис. 12.8.
В том частном случае, когда а= Ь, мы получаем урав
нение
х2+у2 2 2
-;;г-+ёi'= 1.
Очевидно, что его сечения плоскостями z = 2 0 суть окруж
ности радиуса ak. Такой эллипсоид може1 быть получен
вращением эллипса, например
у2
22
-т+-т = 1,
а
с
расположенного в плоскости Oyz, вокруг оси Oz. Такая
поверхность называется эллипсоидом вращения.
384
Если же все три оси равны: а= Ь =С, то получаем
х2 +у2 +z2= az,
т. е. сферу, которая, таким образом, оказывается частным
видом эллипсоида.
12.2 .2 . Гиперболоиды. Поверхность, которая в какой
либо декартовой системе координат может быть задана
уравнением
(12.18)
называется однополостным гиперболоидом.
Очевидно, что поверхность (12.18) симметрична отно
сительно координатных плоскостей и начала координат.
Найдем его сечения плоскостями, параллельными пло
скости Оху (z = z0). Имеем
х2 у2
z2
х2+у2 1
а2+Ь2°= 1 + с: =k2 или (ak)2 (bk)2 = •
(12.19)
Из уравнения (12.19) следует, что сечения суть эллипсы
с неограниченно возрастающими осями,
~ 12 .18) простирается неограниченно
щоль оси Oz. (рис. 12.9).
Наименьшая величина сечения есть
сечение гиперболоида координатной
плоскостью Оху (z= О)
Найдем теперь сечение плоскостью
Oyz(х=О).
Имеем
Эта гипербола, для которой ось Oz
а поверхность
z
Рис. 12.9 .
есть мнимая ось. Таким же образом сечение гиперболои
да nлоскостью Oxz (у = О)
х2
z2
---=1
а2
с2
есть гипербола с осью Oz в качестве мнимой оси.
13 П/ред. Н. М. Матвеева
385
ОднопоJiостньiй гиперболоид (12 ..18:) имеет вид, ука
занный на рис. 12.9.
Если положить Ь = а, то из уравнения
х2+уи 2 1
-----1
а2
с2-
(12.20)
следу~т. что сечения, параллельные плоскости Оху, суть
окружности радиуса ak.
Поверхность ( 12.20) называется однополостным гипер
болоидом вращения.
Поверхность, которая может быть задана в какой-либо
декартовой системе уравнением
называется
Найдем
Z=? .u
или
(12.21)
двуполостным, гиперболоидом.
его
сечен и я
плоскостью
х2
у2
2
а2+Ь2= :~ -
1=k2,
х2
у2
(ak)2 -1- (Ьk)2 = l.
Рис. 12.10.
Из уравнения ( 12.21) следует, что
должно быть I z 1;;;;,,. с,
следовательно, по
верхность распадается на две части, одна при z ~ с дру
гая при z~ -c .(рис. 12.10).
Сечения представляют собой эллипсы с неограниченно
увеличивающимися осями ak и bk.
Сечения двуполос:rного гиперболоида плоскостями х=О
и у= О суть гиперболы
z2
х2
и ---=!
с~ а2
•
При Ь= а имее:v1 двуполостный гиперболоид вращения
(вокру1· оси Oz)
Двуполостный: гиперболоид (12.21) имеет вид, указан
ный на рис. 12.10.
386
12.2.З. Парабо.лоцы. Поверхность, описываемая в ка
кой-либо декартовой системе координат уравнением
(12.22)
называется эллиптическим параболоидом. Так как z;;;;:: О,
то поверхность распо-ложена в верхнем полупространстве
и неограниченно простирается в направлении оси Oz. Ее
сечения плоскостями z = z0 > О суть эллипсы
Сечения координатными плоскостями Oyz(x = О) и Oxz
(у=О)
являются параболами, симметричными относительно оси
Oz.
Эллиптический параболоид имеет две плоскости сим
метрии - плоскости Oxz и Oyz, ось симметрии - ось Oz и
вершину- начало координат.
Если положить Ь= а, то получим па
раболоид вращения
a2z= х2 +у2.
Его сечения плоскостями z = z0 > О-ок
ружности.
Эллиптический параболоид ( 12. 22) имеет
вид, изображенный на рис. 12.11.
Поверхность, описываемая в какой
либо декартовой системе координат урав
нением
(12.23)
называется гиперболическим параболоидом.
z
11
Рис. 12.11 .
Плоскости Oxz и Oyz являются плоскостями симмет
рии этой п_оверхности, а линия их пересечения-ось Оz
осъю симметрии поверхности. Сечения поверхности плос
костями Oxz и Oyz суть параболы (главные параболы)
13*
х2 = a2z,
y2=-b2z,
(12.24)
(12.25)
387
с осями, совпадающими с осью Oz, и направленными
в противоположные стороны. Сечение гиперболического
параболоида плоскостью z = z0 есть гипербола. Уравнение
проекции этой гиперболы на плоскость Оху имеет вид
(12.26)
Если z0 > О, то вещественная ось этой гиперболы на
правлена по оси Ох, а мнимая-по оси Оу. Полуоси этой
гиперболы равны a-V z0 и Ь V z0 • При возрастании z0 эти
полуоси неограниченно возрастают. Если z0 < О, то урав
нение гиперболы (12.26) перепишем так:
х2
112
-= --- -,.+
•
-1
а2(-Zo) Ь2(-Zo) -
'
(12.27)
откуда видно, что вещественная ось этой гиперболы на
правлена по оси Оу, а мнимая по оси Ох. Полуоси этой
гиперболы равны ьv·--Zo И a-V-zo, При Zo->- -00 эти
полуоси неограниченно возрастают. Если сделать сечение
гиперболического параболоида плоскостью z = z0 = О, то
в сечении будут находиться две прямые, уравнение ко
торых
::-t:=О или (: - t)(:+t)=(О).
Запишем эти уравнения в виде
ь
ь
у= -;;Х И У= --;;Х,
Это уравнения асимптот для гипербол, заданных уравне
ниями (12.26) и (12.27). Если проведем сечение гипербо
лического параболоида плоскостью Х= х0 , параллельной
плоскости Oyz, то в сечении получится линия, уравнение
проекции которой на плоскость Oyz имеет вид
у2
х~
Ь2 = -Z +"'Z2 ИЛИ у2 = -Ь2 (z-z0),
где
2
Хо
2
z0=а2 или Х~=аZ0,
т. е. сечение есть парабола такая же, как и парабола
(12.25), но со смещенной вершиной. Вершина этой пара
болы находится на другой главной параболе (12.24).
Совершенно аналогичный результат получим, проведя се
чение гиперболического параболоида плоскостью у= у0 •
388
Таким образом, гиперболический параболоид есть
поверхность, описанная параболой, вершина которой сколь
зит по другой неподвижной параболе, плоскость которой
перпендикулярна к плоскости подвижной параболы, и оси
подвижной и неподвижной парабол направлены в проти
воположные стороны.
Рис. 12.12 .
Гиперболический параболоид имеет вид, изображенный
на рис. 12.12.
12.2.4. Конусы второго порядка. Поверхность, которая
в какой-либо декартовой системе координат может быть
задана уравнением
х2у2z2
-+-- --0
а2 ь2 с2-
'
(12.28)
называется конусом второго порядка.
Эта поверхность имеет три плоскости симметрии (коор
динатные плоскости) и центр симметрии-начало коорди
нат. Начало координат принадлежит этой поверхности и
называется вершиной.
Сечениями конуса плоскостями Z= z0 < О являются
эллипсы
Конус имеет две полости, при z > О и z < О, неогра
ниченно простирающиеся вдоль оси z. Сечениями конуса
плоскостями Oxz и Oyz являются прямые. Уравнения
сечений суть
у2
:z2
---=0 и
ь2
с2
389
Это пары прямых
(t-:)(:+:)=o
и
расположенные в соответствующих координатных пло
скостях.
Если Ь = а, то получим конус вращения
х2+у2 2 2
----=0
а~
с~
•
Его сечения плоскостями, параллельными Оху, <:уть
окружности
Конус имеет вид, изображенный на рис. 12.13.
:l
z
!I
Рис. 12.13.
Рис. 12.14 .
12.2 .5. Цилиндры второrо порядка. Поверхности, ко
торые в какой-либо декартовой системе координат могут
быть заданы уравнениями
х2 у2
а2 +ьr= l,
х2 у2
а2-ь2=1,
у2 =2рх
390
(12.29)
(12.30)
(12.31)
(не содержащими буквы z), называются цилиндрами вто
рого порядка соответственно эллиптическим (в частности,
круговым), гиперболическим и параболическим.
Каждой из этих поверхностей вместе с точкой (х; у; О)
принадлежат также точки (х; у; z0 ) с любой z0 , поэтому
z
z
11
Рис. 12.15.
Рис. 12.16.
поверхности содержат прямые линии, параллельные оси Oz,
называемые образующими цилиндра. Сечения цилиндра,
лежащие в плоскости Оху, называются направляющими
цилиндра.
Цилиндры (12.29), (12.30), (12.31) изображены соот
ветственно на рис. 12.14, 12.15, 12.16.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ: К ГЛАВЕ 12
1. Сфо·рмулируйте определения эллипса, гиперболы и параболы.
Какова форма этих кривых?
2. Что такое фокусы эллипса, гиперболы, параболы? Какими
свойствами они обладают?
З. Что называется эксцентриситетом эллипса и гиперболы? Как
по величине эксцентриситета можно судить о форме кривой? При
ведите примеры.
4. Какие уравнения имеют асимптоты гиперболы? Приведите
при,-~еры.
5. Сформулируйте опреде.,ения эллипсоида, однополостного и
двуполостного гиперболоидов, эллиптического и гиперболического
параболоидов, конуса второго порядка, эллиптического, гиперболи
ческого и параболического цилиндров. Каким методом можно иссле
довать форму этих поверхностей?
УПРАЖНЕНИЯ: К ГЛАВЕ 12
В примерах 1-8 требуется определить вид кривой второго по
рядка и построить ее. Найти координаты фокусов, уравнения дирек
трис и асимптот, рассчитать эксцентриситет.
391
1. 9х2 +25у~-225=0.
2. 16х2 -9у 2 =144.
3. 6х-у2 =0.
4. ху=4.
5. 10х2 +7у2 = 140.
6. 2х2 +у=0.
7. 4х2-у2 + 16=0.
8. 2ху+З=0.
В примерах 9-12 требуется преобразованием системы координат
по формулам Х =х-х0 , У= у-у0 привести уравнение кривой к ка
ноническому виду и построить ее.
9. 4х2 +8х+у2 =12.
JO. у2 -2у=2х.
JJ. х2-у2=4х.
12. ху=х+у.
ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ К ГЛАВЕ 12
J. Эллипс с вершинами в точках (±5; О) и (О; ±3), фокусы
(±4; О), 8=0,8.
2. Гипербола с вершинами в точках (±3; О) (вещественные) и
(О; ±4) (мнимые), фокусы (±5, О), 8=5/3, асимптоты у= ±4/Зх.
3. Парабола с фокусом F (3/2; О), уравнение директрисы х= - 3/2.
4. Равнобочная rипербо!llа, отнесенная к асимптотам. Веществен
ные вершины - в точках (2; 2) и (-2; -2), мнимые-в точках
(2;-2)и(-2;2),8=J/2.
9. Выражая «старые» координаты х и у через «новые» Х и У и
подставляя эти выражения в уравнение кривой, получим 4 (Х +х0)2+
+ 8 (Х +хо) +(У+ у0)2 = 12 или после преобразования 4Х2 + У2 +
+ Х (8х0 +В)+У ·2у0 = 12-4х~-8х0 -у~. _Подt:ерем х0 и у0 так,
чтобы коэффициенты при первых степенях Х и У обратились в нуль:
8х0 +8=0, 2у0 =0, откуда х0 =-1, у0 =0. В «новых» координатах
х2 у2
уравнение принимает вид 4Х2 + У2 = 16, или 4 +16= 1. Формулы
Х =х+ 1, У =У показывают, что «новая» система координат полу
чается из старой параллельным сдвигом вдоль оси Ох на единицу
влево.
Построив на одном рисунке «старую» и «новую» координатные
системы и построив (используя «новую» систему) данную кривую,
мы тем самым одновременно получим ее чертеж и относительно
«старой» системы координат.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ТАБЛИЦЫ НЕl(ОТОРЫ Х ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНl(ЦИЙ
1. Триrонометрические функции
а•
sinа.
1
tga
1
ctg а
1 cosа
1
о
0,0000
0,0000
-
1, ООО
90
1
0175
0175
57,3
1 ,ООО
89
2
0349
0349
28,6
0,999
88
3
0523
0524
19, 1
999
87
4
0698
0699
14,3
998
86
5
0,0872
0,0875
11, 4
0,996
85
6
1045
1051
9,51
995
84
7
1219
1228
8, 14
993
83
8
139
141
7, 11
990
82
9
156
158
6,31
988
81
10
О, 174
О, 176
5,67
985
80
11
191
194
5,145
982
79
12
208
213
4,705
978
78
13
225
231
4,331
974
77
14
242
249
4,011
970
76
15
0,259
0,268
3,732
0,966
75
16
276
287
487
961
74
17
292
306
271
956
73
18
309
325
3,078
951
72
19
326
344
2,904
946
71
20
0,342
0,364
2,747
0,940
70
21
358
384
605
934
69
22
375
404
475
927
68
23
391
424
356
921
67
24
407
445
246
914
66
25
0,423
0,466
2,145
0,906
65
26
438
488
2,050
899
64
27
454
510
1,963
891
63
28
469
532
881
883
62
29
485
554
804
875
61
30
0,500
0,577
1,732
0,866
60
31
515
601
664
857
59
32
530
625
600
848
58
33
545
649
540
839
57
34
559
675
483
829
56
35
0,574
0,700
1,428
0,819
55
36
588
727
376
809
54
37
602
754
327
799
53
38
616
781
280
788
52
39
629
810
235
777
51
40
0,643
0,839
1,192
0,766
50
41
656
869
150
755
49
42
669
900
111
743
48
43
682
933
072
731
47
44
695
966
036
719
46
45
0,707
1, ООО
1,000
0,707
45
1 cosа
1 ctgа
1 tgа
1
sin а
1а•
393
х
0,00
01
02
03
04
0,05
06
07
08
09
о, 10
11
12
13
14
о, 15
16
17
18
19
0,20
21
22
23
24
0,25
26
27
28
29
0,30
31
32
33
34
0,35
36
37
38
39
394 ·
2. Таблица sначений функций е", е-", sin х и cos х
для числового значениях
1
,х
1
,-х
1
sin х
1
cos х
1,0000
1,0000
0,0000
1,0000
1,0101
0,9900
0,0100
1,0000
1,0202
0,9802
0,0200
0,9998
1,0305
0,9704
0,0300
0,9996
· 1,0408
0,9608
0,0400
0,9992
1,0513
0,9512
0,0500
0,9988
1,0618
0,9418
0,0600
0,9982
1,0725
0,9324
0,0699
0,9976
1,0833
0,9231
0,0799
0,9968
1,0942
0,9139
0,0899
0,9960
1, 1052
0,9048
0,0998
0,9950
1, 1163
0,8958
о, 1098
0,9940
1,1275
0,8869
о, 1197
0,9928
1, 1388
0,8781
о, 1296
0,9916
1, 1503
0,8694
о, 1395
0,9902
1, 1618
0,8607
О, 1494
0,9888
1, 1735
0,8521
О, 1593
0,9872
1, 1853
0,8437
0,1692
0,9856
1, 1972
0,8353
о, 1790
0,9838
1,2092
0,8270
О, 1889
0,9820
1,2214
0,8187
о, 1987
0,9801
1,2337
0,8!06
0,2085
0,9780
1,2461
0,8025
0,2182
0,9759
1,2586
0,7945
0,2280
0,9737
1,2712
0,7800
0,2377
0,9713
1,2840
0,7788
0,2474
0,9689
1,2969
0,7711
0,2571
0,9664
1,3100
о, 7634
0,2667
0,9638
1,3231
0,7558
0,2764
0,9611
1,3364
0,7483
0,2860
0,9582
1,3499
0,7408
0,2955
0,9553
1,3634
0,7334
0,3051
0,9523
1,3771
0,7261
0,3146
0,9492
1,3910
0,7189
0,3240
0,9460
1,4049
0,7118
0,3335
0,9428
1,4191
0,7046
0,3429
0,9394
1,4333
0,6977
0,3523
0,9359
1,4477
0,6907
0,3616
0,9323
1,4623
0,6839
0,3709
0,9287
1,4770
0,6771
0,3802
0,9249
Продолжение
х
1
е"
1
,-х
1
siп х
1
cos х
0,40
1,4918
0,6703
0,3894
0,9211
41
1,5068
0,6637
0,3986
0,9171
42
1,5220
0,6570
0,4078
U,9131
43
1,5373
0,6505
0,4169
0,9090
44
1,5527
0,6440
0,4259
0,9048
0,45
1,5683
0,6376
0,4350
0,9004
46
1,5841
0,6313
0,4439
0,8961
47
1,6000
0,6250
0,4529
0,8916
48
1,6161
0,6188
0,4618
0,8870
49
1,6323
0,6126
0,4706
0,8823
0,50
1,6487
0,6065
0,4794
0,8776.
51
1,6653
0,6005
0,4882
0,8727
52
1,6820
0,5945
0,4969
0,8678
53
1,6989
0,5886
0,5055
0,8628
5'i
1, 7160
0,5827
0,5141
0,8577
0,55
1, 7333
0,5769
0,5227
0,8525
56
1,7507
0,5712
0,5312
0,8473
57
1, 7683
0,5655
0,5396
0,8419
58
1,7860
0,5599
0,5480 •
0,8365
59
1,8040
0,5543
0,5564
0,8309
0,60
1,8221
0,5488
0,5646
0,8253
61
1,84()4
0,5434
0,5729
0,8196
62
1,8589
0,5379
0,5810
0,8139
63
1,8776
0,5326
0,5891
0,8080
64
1,8965
0,5273
0,5972
0,8021
0,65
1, 9155
0,5220
0,6052
0,7961
66
1,9348
0,5169
0,6131
0,7900
67
1,9542
0,5117
0,6210
0,7838
68
1, 9739
0,5066
0,6288
0,7776
69
1,9937
0,5016
0,6365
0,7712
0,70
2,0138
0,4966
0,6442
0,7648
71
2,0340
0,4916
0,6518
0,7584
72
2,0544
0,4868
0,6594
0,7518
73
2,0751
0,4819
0,6669
0,7452
74
2,0959
0,4771
0,6743
0,7385
0,75
2, 1170
0,4724
0,6816
0,7317
76
2, 1383
0,4677
0,6889
0,7248
77
2, 1598
0,4630
0,6961
0,7179
78
2, 1815
0,4584
0,7033
0,7109
79
2,2034
0,4538
0,7104
0,7038
395
Продолжение
х
1
еХ
1
е-Х
1
sin х
1
cosx
0,80
2,2255
0,4493
0,7174
0,6967
•81
2,2479
0,4449
0,7243
0,6895
82
2,2705
0,4404
о, 7311
0,6822
83
2,2933
0,4360
0,7379
0,6749
84
2,3164
0,4317
0,7446
0,6675
0,85
2,3396
0,4274
0,7513
0,6600
86
2,3632
0,4232
0,7578
0,6524
87
2,3869
0,4190
0,7643
0,6448
88
2,4109
0,4148
0,7707
0,6372
89
2,4351
0,4107
0,7771 •
0,6294
0,90
2,4596
0,4066
0,7833
0,6216
91
2,4843
0,4025
0,7895
0,6137
92
2,5093
0,3985
0,7956
0,6058
93
2,5345
0,3946
0,8016
0,5978
94
2,5600
0,3906
0,8076
0,5898
0,95
2,5857
0,3867
0,8134
0,5817
96
2,6117
0,3829
0,8192
0,5735
97
2,6379
0,3791
0,8249
0,5653
98
2,6645
0,3753
0,8306
0,5570
99
2,6912
0,3716
0,8360
0,5487
1,00
2,7183
0,3679
0,8415
0,5403
01
2,7456
0,3642
0,8468
0,5319
02
2,7732
0,3606
0,8521
0,5234
03
2,8011
0,3570
0,8573
0,5148
04
2,8292
0,3535
0,8624
0,5062
1,05
2,8577
0,3499
0,8674
0,4976
06
2,8864
0,3465
0,8724
0,4889
07
2,9154
0,3430
0,8772
0,4801
08
2,9447
0,3396
0,8820
0,4713
09
2,9743
0,3362
0,8866
0,4625
1, 10
3,0042
0,3329
0,8912
0,4536
11
3,0344
0,3296
0,8957
0,4447
12
3,0649
0,3263
0,9001
0,4357
13
3,0957
0,3230
0,9044
0,4267
14
3, 1268
0,3198
0,9086
0,4176
1, 15
3, 1582
0,3166
0,9128
0,4085
16
3, 1899
0,3135
0,9168
0,3993
17
3,2220
0,3104
0,9208
0,3902
18
3,2544
0,3073
0,9246
0,3809
19•
3,2871
0,3042
0,9284
0,3717
396
Продолжение
х
1
,х
1
,-х
1
sin х
1
cos х
1,20
3,3201
0,3012
0,9320
0,3624
21
3,3535
0,2982
0,9356
0,3530
22
3,3872
0,2952
0,9391
0,3436
23
3,4212
0,2923
0,9425
0,3342
24
3,4556
0,2894
0,9458
0,3248
1,25
3,4903
O,i%5
0,9490
0,3153
26
3,5254
0,2837
0,9521
0,3058
27
3,5609
0,2808
0,9551
0,2963
28
3,5966
0,2780
0,9580
0,2867
29
3,6328
0,2753
0,9608
0,2771
1,30
3,6693
0,2725
0,9636
0,2675
31
3,7062
0,2698
0,9662
0,2579
32
3,7434
0,2671
0,9687
0,2482
33
3,7810
0,2645
0,9711
0,2385
34
3,8190
0,2618
0,9735
0,2288
1,35
3,8574
0,2592
0,9757
0,2!90
36
3,8962
0,2567
0,9779
0,2092
37
3,9354
0,2541
0,9799
о, 1994
38
3,9749
0,2516
0,9819
о, 1896
39
4,0149
0,2491
0,9837
О, 1798
1,40
4,0552
0,2466
0,9854
о, 1700
41
4,0960
0,2441
0,9871
о, 1601
42
4, 1371
0,2417
0,9887
о, 1502
43
4, 1787
0,2393
0,9901
О, 1403
44
4,2207
0,2369
0,9915
о, 1304
1,45
4,2631
0,2346
0,9927
О, 1205
46
4,3060
0,2322
0,9939
о, 1106
47
4,3492
0,2299
0,9949
о, 1006
48
4,3929
0,2276
0,9959
0,0907
49
4,4371
0,2254
0,9967
0,0807
1,50
4,4817
0,2231
0,9975
0,0707
51
4,5267
0,2209
0,9982
0,0608
52
4,5722
0,2187
0,9987
0,0508
53
4,6182
0,2165
0,9992
0,0408
54
4,6646
0,2144
0,9995
0,0308
1,55
4,7115
0,2122
0,9998
0,0208
56
4,7588
0,2101
0,9999
0,0108
57
4,8066
0,2080
1,0000
+о,ооов
58
4,8550
0,2060
1,0000
- 0,0092
59
4,9037
0,2039
o,g99s
- 0,0192
397
х
1
1,О
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
398
3. Обратные величины, квадратные и кубические корим,
логарифмы, показательная функция
1
х 1 Vx I V1ox /v; /v10x/V1oox/ lgx ! ln х
1
еХ
1
1, ООО 1,00 3, 16 1, 00 2, 15 4,64 ООО 0,000 2,72
о, 909
05
32
03
22
79 041
095 3,00
833
10
46
06
29
93 079
182 3,32
769
14
61
09
35 5,07 114
262 3,67
714
18
74
12
41
19 146 336 4,06
0,667 1,22 3,87 1, 14 2, ~
5,31 176 0,405 4 ,48
625
26 4,00
17
43 204
470 4,95
588 30
12
19
57
54 230
530 5,47
556
34
24
22
62
65 255 588 6,05
526
38
36
24
67
75 279
642 6,69
0,500 1 ,41 4, 47 1, 26 2,71 5,85 301 0,693 7,39
476 45
58
28
76
94 322
742 8, 17
455
48
69
30
80 6,03 342
789 9,03
435
52
80
32
84
13 362 833 9,97
417
55
90
34
88
21 380 875 11,0
0,400 1 , 58 5,00 1, 36 2 ,92 6,30 398 0,916 12,2
380
61
1О
38
96
38 415 955 13,5
370
64
20
39 3,00
46 431
993 14, 9
357
67
29
41
04
54 447 1,030 16,4
345
70
39
43
07
62 462
065 18,2
0,333 1, 73 5,48 1, 44 3, 11 6,69 477 1,099 20,1
323 76
57
46
14
77 491
131 22,2
313 79
66
47
18
84 505
163 24,5
303
81
75
49
21
91 519
194 27,1
294
84
83
50
24
98 532 224 30,0
0,286 1, 87 5,92 1,52 3,27 7,05 544 1,253 33, 1
278
90 6,00
53
30
11 556 281 36,6
270
92
08
55
33
18 568
308 40,4
263
95
16
56
36
24 580
335 44,7
256
98
25
57
39
31 591
361 49,4
0,250 2,00 6,33 1,59 3,42 7,37 602 1,386 54,6
244
03
40
60
45
43 613
411 60,3
238
05
48
61
48
49 {'23 435 66,7
233
07
56
63
50
55 634
458 73,7
227
10
63
64
53
61 644
482 81 ,5
0,222 2, 12 6,71 1, 65 3,56 7,66 653 1,504 90,О
217
15
78
66
58
72 663
526 99,5
213
17
86
68
61
78 672
548 110
208
19
93
69
63
83 681
569 121
204
21 7,00
70
66
88 690
589 134
0,200 2,24 7,07 1, 71 3,68 7,94 699 1,609 148
196
26
14
72
71
99 708 629 164
192
28
21
73
73 8,04 716 649 181
189
30
28
74
76
09 724
668 200
185
32
35
75
78
14 732
686 221
х
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0
4,1
4,2
4,3
4,4
4,5
4,6
4,7
4,8
4,9
5,0
5,1
5,2
5,3
5,4
Продолжение
1
1
1 v·x I У1ох lv; 1v~1v1ooxl lgxl lnx
1
еХ
1
х
х
х
5,5 О, 182 2,35 7,42 1, 77 3,80 8, 19 740 1,705
244 5,5
5,6 179
37
48
78
83
24 748
723
270 5 ,(1
5,7
175
39
55
79
85
29 756
740
299 5,7
5,8
172
41
62
80
87
34 763
758
330 5, 11
5,9 170
43
68
81
89
39 771
775
365 5, 11
6,0 О, 167 2,45 7,75 1,82 3,92 8,43 778 1,792 403 6,0
6,1
164 47
81
83
94
48 785 808 446 6,1
6,2
161
49
87
84
96
53 792
825 493 6,2
6,3
159
51
94
85
98
57 799 841
545 6,:1
6,4
156
53 8,00
86 4,00
62 806 856 602 6,4
6, 5 О, 154 2,55 8,06 1 , 87 4,02 8,66 813 1,872 665 6,Г.
6,6
152
57
12
88
04
71 820
887 735 6,Н
6,7
149
59
19
89
06
75 826 902
812 6,7
6,8
147
61
25
89
08
79 833 917
898 6, 11
6,9
145
63
31
90
10
84 839 932 992 6,9
7,0 О, 143 2,65 8,37 1,91 4, 12 8,88 845 1,946 1097 7,0
7,1
141
66
43
92
14
92 851
960 1212 7' 1
7,2
139
68
49
93
16
96 857
974 1339 7,i
7,3
137
70
54
94
18 9,00 863 988 1480 7,:1
7,4
135
72
60
95
20
05 869 2,001 1636 7,4
7,5 О, 133 2,74 8,66 1, 96 4,22 9,09 875 2,015 1808 7 ,r,
7,6
132
76
72
97
24
13 881
028 1998 7 ,tl
7,7
130
77
77
97
25
17 886 041 2208 7,7
7,8
128
79
83
98
27
21 892
054 2441 7,Н
7,9 127
81
89
99
29
24 898 067 2697 7 '!)
8,0 О, 125 2 ,83 8,94 2,00 4,31 9,28 903 2,079 2981 11,0
8,1 123 85 9,00
01
33
32 908 092 3294 11, 1
8,2
122
86
06
02
34
36 914
104 3641 в.~
8,3
120
88
11
02
36
40 919
116 4024 !1,:1
8,4
119
90
17
03
38
44 924
128 4447 8, 1
8,5 О, 118 2,92 9,22 2,04 4,40 9,47 929 2, 140 49.\5 в. r.
8,6 116 93
27
05
41
51 935
152 5432 8 ,(j
8,7
115
95
33
06
43
55 940
163 6003 8,7
8,8
114
97
38
06
45
58 944
175 6634 8,Н
8,9
112
98
43
07
46
62 949
186 7332 8,9
9,0 О, 111 3,00 9,49 2,08 4 ,48 9,65 954 2, 197 8103 9,0
9,1 110
02
54
09
50
69 959
208 8955 9, 1
9,2
109 03
59
10
51
73 964
219 9897 9,2
9,3
108
05
64
10
53
76 968 230 10938 9. :1
9,4
106
07
69
11
55
80 973 241 12088 9,4
9,5 0,105 3,08 9,75 2, 12 4,56 9,83 978 2,251 13360 9, fi
9,6
104
1О
80
13
58
86 982
262 14765 9. t;
9,7
103
11
85
13
59
90 987
272 16318 9,7
9,8
102
13
90
14
61
93 991
282 18034 9,8
9,9
101
15
95
15
63
97 996
293 19930 9,9
10,0 0,100 3, 16 10,00 2, 15 4, 64 10,00 ООО 2,303 22026 10,0
В графе lg х даны мантиссы десятичных логарифмов.
Для нахождения натуральных логарифмов чисел, б6льш11х 10 IIJIII
меньших 1, нужно пользоваться формулой
ln (x•IOk)=ln x+k ln 10,
Заметим, что
ln 10=2 ,303;
ln 10 2 =4,605;
lg Х=О,4343 ln х;
ln х=2,303 lg х.
Виталий Николаевич Матвеев,
Артур Александрович Матюшкин-Герке,
Николай Васильевич Богомолов,
Семен Моисеевич Козловский
КУРС МАТЕМАТИКИ
для техникумов, ч. 1
М., 1977 r., 4UU стр. с и11.п,
Редактор А. Ф.Лапко
Техн. редактор С. Я. Шк II яр
Корректор Т, С. Вайсбер11
Сдано в набор 7/IV 1976 г. Подписано к печати
23/Vlll 1976 г. Бумага 84Х 108 1 / 12 . Физ. печ. 11.
12,5 . Ус11овн. печ. 11. 21 . Уч.-изд. 11. 20 ,93.
Тираж 400000 экз. (2·й завод 100 001-400 ООО экз.),
Цена книги 67 коп. Заказ .N' • 2 45 .
Иэдате11ьство «Наука»
Г11авиая редакция
физико-математической .питературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Первая Образцовая типография
имени А. А. :Жданова Союзпо.пнграфпрома
при Государственном комитете
Совета Министров СССР по де.пам издате.пьств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, 113054, Валовая, 28
61 KDn.