А.М.Переломов
ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЯ
Книга посвящена одному из активно развивающихся направлений
современной математической физики — теории обобщенных когерентных
состояний и их применениям. Впервые приводится полное и систематическое
изложение теории обобщенных когерентных состояний. Когерентные состояния,
впервые введенные в работах Шредингера и фон Неймана, были с успехом
использованы Глаубером для квантового описания лазерного пучка света и затем
обобщены автором этой книги на случай произвольной группы Ли. Теория
иллюстрируется большим числом примеров из различных областей теоретической
и математической физики.
Для физиков-теоретиков и специалистов-математиков, а также для студентов
математических и физических вузов, факультетов университетов.
Содержание
Предисловие	6
Введение	7
ЧАСТЬ I. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ
ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ
Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее связь с	11
группой Гейзенберга — Вейля. Случай одной степени свободы
§1.1. Группа Гейзенберга — Вейля и ее представления	11
1.1.1. Группа Гейзенберга — Вейля (12). 1.1.2. Представления группы
Гейзенберга — Вейля (15). 1.1.3. Конкретная реализация
представления T^(g) (16).
§ 1.2.	Когерентные состояния (КС)	18
§1.3.	Представление Фока — Баргмана	24
§ 1.4.	Полнота подсистемы когерентных состоянии	28
§ 1.5.	Когерентные состояния и тета-функции	32
§ 1.6.	Операторы и их символы	36
§ 1.7.	Характеристические функции	45
Глава 2. Когерентные состояния для произвольной группы Ли	49
§2.1	. Определение обобщенного когерентного состояния	49
§	2.2. Общие свойства системы обобщенных когерентных состояний	51
§2.3	. Полнота системы КС и разложение по состояниям этой системы 53
§ 2.4. Выделение систем обобщенных КС, наиболее близких к	55
классическим состояниям
Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Случай	59
нескольких степеней свободы
§3.1.	Общие свойства	59
§ 3.2.	Когерентные состояния и тета-функции для нескольких степеней 62
свободы
Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений трехмерного 66
пространства
§4.1.	Структура групп 50(3) и 50(2)	66
§ 4.2.	Представления группы SU(2)	70
§ 4.3.	Когерентные состояния	72
Глава 5. Простейшая некомпактная неабелева простая группа: 577(1,1)	80
§ 5.1.	Группа SU( 1,1) и ее представления	81
5.1.1.	Основные свойства группы 577(1,1) (81). 5.1.2. Дискретные
серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) серия (85).
§ 5.2.	Когерентные состояния	87
5.2.1.	Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерывная)
серия (91).
Глава 6. Группа Лоренца: SO(3,1)	99
§6.1. Представления группы Лоренца	99
§ 6.2. Когерентные состояния	102
Глава 7. Когерентные состояния для группы 5О(и,1):представления	108
основной серии класса I
§7.1. Представления класса I группы SO(n, 1)	108
§ 7.2. Когерентные состояния	109
Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы с конечным 117
числом степеней свободы
§8.1.	Канонические преобразования	117
§ 8.2.	Когерентные состояния	121
§ 8.3.	Описание операторов в пространстве 30 в	123
Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы с конечным 126
числом степеней свободы
§ 9.1.	Канонические преобразования	127
§ 9.2.	Когерентные состояния	129
§9.3.	Описание операторов в пространстве 30 F	130
Глава 10. Когерентные состояния и квантование по Березину	132
§ 10.1.	Классическая механика	134
§ 10.2.	Квантование	137
§ 10.3.	Квантование на плоскости Лобачевского	139
10.3.1.	Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип соответствия
(140). 10.3.3. Выражение оператора Th в терминах оператора Лапласа
— Бельтрами (142). 10.3.4. Представление группы движений
плоскости Лобачевского в пространстве 3:h (142). 10.3.5. Квантование
с помощью отражений (аналог квантования Вейля) (143).
§ 10.4.	Квантование на сфере	145
§ 10.5.	Квантование на однородных кэлеровых многообразиях	146
ЧАСТЬ II. ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ	153
Глава 11. Предварительные сведения	153
Глава 12. Квантовый осциллятор	158
§ 12.1.	Квантовый осциллятор под действием переменной внешней силы	158
§ 12.2.	Параметрическое возбуждение квантового осциллятора	161
§ 12.3.	Квантовый сингулярный осциллятор	164
12.3.1.	Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационарный
случай (168). 12.3.3. Случай Nвзаимодействующих частиц (169).
§ 12.4.	Осциллятор с переменной частотой под действием переменной 175
внешней силы
Глава 13. Частицы во внешнем электромагнитном поле	179
§ 13.1.	Движение спина в переменном однородном магнитном поле	179
§ 13.2.	Рождение пар бозонов в переменном однородном	182
13.2.1.	Динамическая симметрия для скалярных частиц (182).
13.2.2.	Многомерный случай: когерентные состояния (186). 13.2.3.
Многомерный случай: нестационарная задача (190).
§ 13.3.	Рождение пар фермионов в переменном однородном внешнем поле 192
13.3.1. Динамическая симметрия для частиц со спином 1/2 (192).
13.3.2.	Гейзенберговское представление (196). 13.3.3.
Многомерный случай: когерентные состояния (198). 13.3.4.
Многомерный случай: нестационарная задача (203).
Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Клебша —	204
Гордана группы SU(2)
Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический предел	207
Глава 16.l/TV-разложснис для моделей типа Гросса — Неве	211
§ 16.1.	Описание модели	212
§ 16.2.	Квазиклассический предел	215
Глава 17. Релаксация к термодинамическому равновесию	220
§ 17.1.	Релаксация квантового осциллятора к термодинамическому	220
равновесию
17.1.1. Кинетическое уравнение (220). 17.1.2.
Характеристические функции и распределения
квазивероятностей (221). 17.1.3. Использование символов
операторов (224).
§ 17.2.	Релаксация частицы со спином, находящейся в магнитном 229
поле, к состоянию термодинамического равновесия
Глава 18. Диамагнетизм Ландау	232
Глава 19. Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера	236
Глава 20. Синхротронное излучение	239
Глава 21. Классическая и квантовая энтропия	242
Глава 22. Сверхтекучесть слабонеидеального бозе-газа	247
Приложение 1. Доказательство полноты некоторых подсистем КС	252
Приложение 2. Матричные элементы оператора D(y)	255
Список литературы	260
Предметный указатель	268
Предметный указатель
Алгебра Гейзенберга — Вейля,	13
случай нескольких степеней	Гипотеза Вейля 244
свободы 61	— Либа 245
------, — одной степени свободы Группа вращений трехмерная 66
—	Гейзенберга — Вейля 12
-------, матричные элементы
представлений 43
-------, нормальное (виковское) и
антинормальное
(антивиковское) представления
41
—	Ли осцилляторная 57
—	Лоренца 99
— метаплектическая 119
— некомпактная, представления
дискретной серии 84
Диамагнетизм Ландау 232
Излучение синхротронное 239
Квазиэнергия 158
Квантование геометрическое 133
— по Березину 133
Коэффициенты Клебша — Гордана
для группы SU(2), 79, 204
Круг Зигеля единичный 123
Матрица плотности 47
Мера интегрирования в многомерном
фазовом пространстве 61
-----в фазовой плоскости 19
Многообразие кэлерово однородное
147
Многочлены Лаггера 256
— Эрмита, интегральное
представление 28
-----от двух переменных 177
Модель Гросса — Неве 211
Неравенство Березина 39
— Голдена — Томпсона 40
— Фейнмана 40
Оператор Казимира 58
— Лапласа — Бельтрами для
плоскости Лобачевского 93
— массовый 239
— ядерный 39
Операторы рождения и уничтожения,
бозевский случай 12
----------, линейные канонические
преобразования 101
----------, представление Фока —
Баргмана 24—28
----------, фермиевский случай 127
Осциллятор, динамика 158
—, релаксация к равновесию 220
Предел квазиклассический для
представлений группы SU(2)
207
-------фермионных полей 215
-------энтропии 243
Представления класса 1108
Преобразование линейное
каноническое 117
Проекция стереографическая 69
Разложение Гаусса 68
— единицы 19
Реализация Фока — Баргмана для
гильбертова пространства 24
Решетка допустимая 62
— правильная 29
Рождение пар бозонов 182
-----фермионов 192
Символ оператора 36
-----вейлевский 44
Симметрия динамическая 156
Соотношение неопределенности для
компонент момента количества
движения 77
-------координаты и импульса 21
Соотношения перестановочные
Гейзенберга, случай нескольких
степеней свободы 60
-------, — одной степени свободы
12
Состояния обобщенные когерентные,
общее определение 50
Спин, релаксация к равновесию 229
Теорема Стоуна — фон Неймана 16
Тета-функции 34
Уравнение Фоккера — Планка 222
Условия Римана — Фробениуса 62
Функции Вейерштрасса 36
— характеристические для
распределения вероятности в
фазовом пространстве 47
Функция зональная сферическая 93
Электродинамика квантовая,
эффективный лагранжиан 236
Энтропия 242
Эффект де Гааза — ван Альфе-на 233
Ядро Бергмана 150
— воспроизводящее 20
— орисферическое 96
— Пуассона 96
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................................. 6
Введение ................................................ 7
ЧАСТЫ. ОБОБЩЕННЫЕ КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ
ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ли..................................
Глава 1. Обычная система когерентных состояний и ее
связь с группой Гейзенберга — Вейля. Случай одной сте-
пени свободы..........................................11
§ 1.1.	Группа Гейзепберга — Вейля и ее представления 12
1.1.1.	Группа Гейзенберга — Вейля (12). 1.1.2. Представле-
ния группы Гейзенберга — Вейля (15). 1.1.3. Конкрет-
ная реализация представления	(16).
§ 1.2.	Когерентные состояния (КС).....................18
§ 1.3.	Представление Фока — Бартмана..................24
§ 1.4.	Полнота подсистемы когерентных состояний .	.	23
§ 1.5.	Когерентные состояния п тета-фушщпи ...	32
§	1.6.	Операторы и их символы.........................36
§	1.7.	Характеристические функции	......	45
Глава 2. Когерентные состояния для произвольной группы
Ли....................................................49
§	2.1.	Определение обобщенного	когерентного	состояния	49
§ 2.2.	Общие свойства системы обобщенных когерентных
состояний............................................51
§ 2.3.	Полнота системы КС и разложение по состояниям
этой системы.........................................53
§ 2.4.	Выделение систем обобщенных КС, наиболее близ-
ких к классическим состояниям........................55
Глава 3. Обычная система когерентных состояний. Слу-
чай нескольких степеней свободы.......................59
§ 3.1.	Общие свойства.................................59
§ 3.2.	Когерентные состояния и тета-функции для несколь-
ких степеней свободы.................................02
Глава 4. Когерентные состояния для группы вращений
трехмерного пространства..............................66
§ 4.1.	Структура групп SO(3)	и	SU(2)..............66
§ 4.2.	Представления группы 5(7(2)....................70
§ 4.3.	Когерентные состояния..........................72
Глава 5. Простейшая некомпактная неабелева простая
группа: 5(7(1, 1)......................................80
§ 5.1.	Группа 5(7(1, 1) и ее представления ....	81
5.1.1.	Основные свойства группы SU(1, 1) (81). 5.1.2. Дис-
кретные серии (84). 5.1.3. Основная (непрерывная) се-
рия (85).
§ 5.2.	Когерентные состояния......................................87
5.2.1.	Дискретные серии (87). 5.2.2. Основная (непрерыв-
ная) серия (91).
Глава 6. Группа Лоренца: 50(3, 1)....................................99
§ 6.1.	Представления группы Лоренца...............................99
§ 6.2.	Когерентные состояния.....................................102
Глава 7. Когерентные состояния для группы 50 (га, 1):
представления основной серии класса I.................108
§ 7.1.	Представления класса I группы 50 (га, 1)	108
§ 7.2.	Когерентные состояния.....................................109
Глава 8. Когерентные состояния для бозонной системы
с конечным числом степеней свободы................... 117
§ 8.1.	Канонические преобразования...............................117
§ 8.2.	Когерентные состояния.....................................121
§ 8.3.	Описание операторов в пространстве	_ t 123
Глава 9. Когерентные состояния для фермионной системы
с конечным числом степеней свободы....................126
§ 9.1.	Канонические преобразования ...	...	127
§ 9.2.	Когерентные состояния.....................................129
§ 9.3.	Описание операторов в пространстве Ж~\г	#	.	130
Глава 10, Когерентпые состояния и квантование по Бере-
зину .................................................132
§	10.1.	Классическая	механика........................134
§	10.2.	Квантование...................................137
§	10.3.	Квантование	па	плоскости Лобачевского .	.	.	139
10.3.1.	Описание операторов (139). 10.3.2. Принцип со-
ответствия (140). 10.3.3. Выражение оператора Гдв тер-
минах оператора Лапласа — Бельтрами (142). 10.3.4.
Представление группы движений плоскости Лобачевско-
го в пространстве Ж к (142). 10.3.5. Квантование е по-
мощью отражений (аналог квантования Вейля) (143).
§ 10.4.	Квантование на сфере.....................................145
§ 10.5.	Квантование на однородных кэлеровых многообра-
зиях .................................................146
ЧАСТЬ	II.	ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ.................................,153
Глава	11.	Предварительные сведения...............................153
Глава	12.	Квантовый осциллятор...................................158
§ 12.1.	Квантовый осциллятор под действием перемеппой
внешней силы..........................................158
§ 12.2.	Параметрическое возбуждение квантового осцил-
лятора ...............................................161
§ 12.3.	Квантовый сингулярный осциллятор ....	164
12.3.1.	Стационарный случай (164). 12.3.2. Нестационар-
ный случай (168). 12.ХЗ. Случай N взаимодействующих
частиц (169).
§ 12.4.	Осциллятор с переменной частотой под действием
переменной внешней силы...............................175
Глава 13. Частицы во внешнем электромагнитном поле .	179
§ 13.1.	Движение спипа в переменном однородном магнит-
пом поле..............................................179
§ 13.2.	1’ождепие пар бозонов в переменном однородном
внешнем поле..........................................182
13.2.1.	Динамическая симметрия для скалярных частиц
(182). 13.2.2. Многомерный случай: когерентные состоя-
ния (186). 13.2.3. Многомерный случай: нестационарная
задача (190).
§ 13.3.	Рождение пар фермионов в переменном однород-
ном внешнем поле......................................192
13.3.1.	Динамическая симметрия для частиц со спином
1/2 (192). 13.3.2. Гейзенберговское представление (196).
13.3.3. Многомерный случай: когерентные состояния
(198). 13.3.4. Многомерный случай: нестационарная за-
дача (203).
Глава 14. Производящая функция для коэффициентов Кле-
бша — Гордана группы SU (2)...........................204
Глава 15. Когерентные состояния и квазиклассический
предел................................................207
Глава 16. l/N-разложение для моделей типа Гросса —	Нсвё	211
§ 16.1.	Описание модели.............................  212
§ 16.2.	Квазиклассический предел................215
Глава 17. Релаксация к термодинамическому	равновесию	220
§ 17.1.	Релаксация квантового осциллятора к термодина-
мическому равновесию.............................220
17.1.1.	Кинетическое уравнение (220). 17.1.2. Характери-
стические функции и распределения квазивероятностей
(221). 17.1.3. Использование символов операторов (224).
§ 17.2.	Релаксация частицы со спином, находящейся в
магнитном поле, к состоянию термодинамического
равновесия.......................................229
Глава	18.	Диамагнетизм Ландау...................232
Глава	19.	Лагранжиан Гейзенберга — Эйлера ....	236
Глава	20.	Синхротронное излучение...............239
Глава	21.	Классическая и квантовая	энтропия .	.	.	242
Глава 22. Сверхтекучесть	слабонеидеального	бозе-газа	.	247
Приложение 1. Доказательство полноты некоторых под-
систем КС.............................................252
Приложение 2. Матричные	элементы	оператора	D (у)	255
Список литературы...................................260
Предметный указатель.....................................268
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая книга посвящена быстро развивающе-
муся разделу современной математической физики — тео-
рии обобщенных когерентных состояний и их приложе-
ниям к различным физическим проблемам.
Когерентные состояния, введенные первоначально
Шредингером и фон Нейманом, использовались позднее
Глаубером для квантовомеханического описания лазер-
ных пучков. Понятие когерентного состояния было обоб-
щено автором на произвольную группу Ли. В последние
годы этот подход широко использовался в различных
областях теоретической физики и математики.
Область применении обобщенных когерентных состоя-
ний довольно обширна, и последовательное изложение
полученных здесь результатов, по-впдпмому, будет полез-
но. Настоящая монография является первой попыткой
такого рода. Автор поставил своей целью собрать и изло-
жить систематически обширный материал, содержащийся
пока лишь в журнальных статьях. Книга частично осно-
вана на специальных курсах, прочитанных автором для
студентов и аспирантов Московского физико-технического
института. Опа рассчитана, в основном, на физиков-тео-
ретиков и математиков, может быть использована также
студентами физических и математических факультетов.
В части I даны разработка основного метода и его
приложения к простейшим группам. Ряд примеров из
различных областей теоретической и математической фи-
зики обсуждается в части II; эти примеры демонстриру-
ют достоинства метода.
Материал по когерентным состояниям для произволь-
ных групп Ли и симметрических просгранств читатель
может найти в части II книги [211].
Пользуюсь случаем поблагодарить Ю. А. Данилова,
просмотревшего рукопись книги, за ряд полезных за-
мечаний.'
ВВЕДЕНИЕ
Метод, излагаемый в настоящей книге, возник вскоре
после создания квантовой теории. В 1926 г. Шредингер
[221] впервые ввел систему не ортогональных друг другу
волновых функций, описывающих нерасплывающиеся
волновые пакеты для квантовых осцилляторов. Через не-
сколько лет была опубликована знаменитая книга фон
Неймана [54], в которой рассматривалось одно важное
подмножество системы этих волновых функций, связан-
ное с разделением фазовой плоскости для одномерной ди-
намической системы на регулярные ячейки. Фон Нейман
использовал это подмножество для анализа процессов из-
мерения координаты и импульса в квантовой теории.
В течение довольно длительного времени эти идеи зна-
менитых ученых не привлекали должного внимания.
Лишь в начале 60-х годов подход, о котором идет речь,
стал предметом тщательного и строгого анализа [167, 91,
7, 74]. Глаубер [142, 143] назвал введенные Шрединге-
ром состояния когерентными и показал, что с их по-
мощью удобно описывать когерентные лазерные пучки в
рамках квантовой теории.
Необычность системы когерентных состояний состоит
в том, что опа является переполненной, но именно это
обстоятельство открывает целый ряд новых возможно-
стей. Система векторов называется переполненной, если
она остается полной после удаления хотя бы одного из
составляющих ее векторов, т. е. содержит больше векто-
ров, чем это необходимо для того, чтобы разложить про-
извольное состояние. Полные ортонормированные систе-
мы базисных векторов в гильбертовом пространстве —
одно из основных понятий математической физики и
функционального анализа. Однако оказалось, что пере-
полненные и неортогональные системы векторов в прост-
ранстве состояний весьма полезны при решении некото-
рых задач в квантовой теории. При использовании базиса
типа когерентных состояний привычные методы не годят-
7
ся, однако этот формализм очень полезен, если он ис-
пользуется надлежащим образом.
Система когерентных состояний обладает рядом досто-
инств по сравнению с обычными ортонормированными
системами состояний. В течение последних полутора де-
сятилетий этот подход с успехом применялся не только в
квантовой оптике и радиофизике, но и в других областях
физики, например в теории слабо неидеального бозе-газа.
Системы когерентных состояний использовались также
для описания спиновых волн в модели ферромагнетизма
Гейзенберга, в квантовой электродинамике — для описа-
ния облаков виртуальных фотонов вокруг заряженных
частиц, а также для приближенной квантовой теории ло-
кализованных полевых конфигураций в нелинейных тео-
риях поля (солитонов). Свойства систем когерентных со-
стояний довольно подробно рассматривались в ряде книг
и обзоров [39, 40, 46, 66, 68]. Там можно найти ссылки
на многочисленные оригинальные статьи.
Обычные когерентные состояния тесно связаны с
группой, обычно называемой группой Гейзенберга — Вей-
ля (ее свойства были впервые рассмотрены Вейлем
[250]). Метод когерентных состояний особенно эффекти-
вен в тех случаях, когда группа Гейзенберга — Вейля
является группой динамической симметрии для рассмат-
риваемой физической задачи. Простейший пример такого
рода — квантовый осциллятор под действием переменной
внешней силы. В этом случае квантовые уравнения дви-
жения Гейзенберга совпадают с соответствующими урав-
нениями для классических переменных, при своем разви-
тии во времени любое когерентное состояние остается ко-
герентным, а движение в фазовом пространстве точки,
соответствующей данному когерентному состоянию, под-
чиняется классическим уравнениям движения. Благодаря
этому квантовая задача существенно упрощается, и по
существу ее можно свести к классической задаче.
Группа Гейзенберга — Вейля — простейший пример
группы динамической симметрии; во многих случаях воз-
никают более сложные группы. Например, в задаче о
прецессии спина в переменном магнитном поле группой
симметрии является SU(2), а в задаче о квантовом ос-
цилляторе с переменной частотой — группа SU(1, 1).
Возникает вопрос, существуют ли для других групп Ли
системы состояний, аналогичные обыкновенным коге-
рентным состояниям для группы Гейзенберга — Вейля.
Как было показано автором [207] в 1972 г., ответ на этот
8
вопрос положителен. Выли построены и исследованы об-
щие системы когерентных состояний, связанные с пред-
ставлениями произвольной группы Ли. При этом уда-
ется использовать хорошо разработанные методы тео-
рии групп.
Другое обобщение когерентного состояния было пред-
ложено Барутом и Джирарделло [97]. Однако их подход
применим не ко всем группам Ли, в частности он не го-
дится для компактных групп. Кроме того, предложенное
в этой работе множество когерентных состояний не ин-
вариантно относительно действия групповых преобразова-
ний, в отличие от обобщенных когерентных состояний,
предложенных автором в указанной работе [207]. Частный
случай группы трехмерных вращений был рассмотрен
также Радклиффом [214]. Предложенная в этой работе
система когерентных состояний является примером обоб-
щенных когерентных состояний, описанных в работе [207].
Обобщенные когерентные состояния, введенные авто-
ром [207], определены для произвольной группы Ли; они
задаются точками в однородных пространствах, в кото-
рых действует данная группа. В некоторых случаях эти
пространства могут рассматриваться как обобщенные фа-
зовые пространства некоторых динамических систем.
Примерами такого обобщения обычной фазовой плоскости
являются двумерная сфера и плоскость Лобачевского.
В таких случаях когерентные состояния соответствуют
точкам в фазовом пространстве, изображающим состояния
классической динамической системы. Иногда когерент-
ные состояния являются квантовыми состояниями, наи-
более близкими к соответствующим классическим состоя-
ниям, так как они обладают минимальными неопределен-
ностями. Поэтому когерентные состояния позволяют
наиболее естественным образом сопоставить классиче-
скую систему ее квантовому аналогу. Обобщенные коге-
рентные состояния такого рода естественно возникают в
ряде физических задач, обладающих динамическими
симметриями (см., например, работу [68] и часть II
настоящей книги). Отметим в этой связи некоторые
нестационарные задачи: прецессию спина в переменном
магнитном поле, квантовый осциллятор под действием
переменной внешней силы, параметрическое возбужде-
ние квантового осциллятора, рождение пар частиц в
переменных внешних полях (электрическом или грави-
тационном), релаксацию квантового осциллятора к со-
стоянию термодинамического равновесия,
9
Обобщенные Когерентные состояния оказались полез-
ными и в ряде чисто математических задач, в особенно-
сти в теории представлений групп Ли, а также для ис-
следования специальных функций, автоморфных функ-
ций, теории воспроизводящих ядер и в некоторых других
разделах функционального анализа.
Метод когерентных состояний связан также с так на-
зываемым геометрическим квантованием. (Среди многих
работ, в которых рассматривался этот метод, следует пре-
жде всего упомянуть важные работы Кириллова (38] и
Костанта (41, 173].) Геометрическое квантование связано
с анализом в пространстве представлений группы, при-
чем пространство рассматривается как гильбертово про-
странство состояний некоторой квантовой динамической
системы. Наряду с квантовой системой рассматривается
и соответствующая ей классическая система, которая об-
ладает той же группой динамической симметрии. В осно-
ве метода геометрического квантования (38, 41, 173] ле-
жит соответствие между вещественной функцией в фазо-
вом пространстве классической динамической системы и
некоторым самосопряженным оператором в гильбертовом
пространстве квантовых состояний. Естественно, что под-
ход, использующий когерентные состояния, является
здесь наиболее адекватным.
Следует упомянуть также другой метод квантования,
развитый Березиным (10]. Этот метод применим к более
узкому классу пространств, но он ближе к принятому в
физике определению квантования и позволяет получить
более полные результаты.
Так как материал по когерентным состояниям весьма
обширен, а объем книги ограничен, некоторые интерес-
ные результаты здесь изложить не удалось. В частности,
не рассматриваются некоторые свойства обычных коге-
рентных состояний, так как эти сведения можно найти
во многих обзорах и книгах. Для краткости опущены не-
которые доказательства: автор надеется, что заинтересо-
вавшийся ими читатель сможет без особого труда восста-
новить недостающие рассуждения.
Часть I
ОБОБЩЕННЫЕ
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ПРОСТЕЙШИХ ГРУПП ЛИ
Глава 1
ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ
И ЕЕ СВЯЗЬ С ГРУППОЙ ГЕЙЗЕНБЕРГА — ВЕЙЛЯ.
СЛУЧАЙ ОДНОЙ СТЕПЕНИ СВОБОДЫ
В этой главе рассмотрены свойства определенной
сверхполной и неортогопальной системы векторов (состо-
яний) в гильбертовом пространстве — системы так назы-
ваемых обычных когерентных состояний (КС).
В квантовой механике обычные КС в координатном
представлении описывают нерасплывающиеся волновые
пакеты для гармонического осциллятора, и с этой точки
зрения они рассматривались Шредингером еще в 1926 г.
[221]. Несколько позже в известной книге фон Неймана
[54] была рассмотрена важная подсистема КС, связанная
с разбиением фазовой плоскости для системы с одной
степенью свободы на правильные ячейки; эта система
была использована фон Нейманом для анализа процесса
измерения в квантовой механике. Затем, после тридцати-
летнего перерыва, свойства системы КС вновь начали
изучаться (см. [167, 91, 7, 74]). Среди первых работ в
этой области следует отметить важные статьи Глаубера
[142, 143]. В них было введено само понятие когерентно-
го состояния и было показано, что КС дают адекватный
метод квантового описания когерентного лазерного пуч-
ка света.
Детальное рассмотрение свойств обычной системы КС
для конечного числа степеней свободы, а также ссылки
па многочисленные работы по этому вопросу можно най-
ти в ряде обзоров и книг [39, 40, 46, 66, 68, 172].
Случай бесконечного числа степеней свободы рассмот-
рен в книгах [7, 74] и многочисленных статьях в журна-
ле «Communications in Mathematical Physics».
11
В настоящую главу включен материал, большей
частью хорошо известный, однако способ его рассмотре-
ния отличается от обычного: после установления связи
системы КС с группой Гейзенберга — Вейля, впервые
рассмотренной Г. Вейлем [250], важнейшие свойства этой
системы получаются при помощи методов теории групп.
Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая од-
ной степени свободы. Случай числа степеней свободы,
большего единицы, но конечного, разбирается в главе 3.
§ 1.1. Группа Гейзенберга — Вейля и ее представления
1.1.1. Группа Гейзенберга — Вейля. Простейшие опе-
раторы, с которыми мы встречаемся при изучении кван-
товомеханпческой системы с одной степенью свободы,—
это операторы координаты q и импульса р. Опп удовлет-
воряют перестановочным соотношениям Гейзенберга:
[?, р] = ih\, [g, f] = [р, f] = 0.	(1.1)
Здесь I — единичный оператор, 7г — постоянная Планка,
[ , ] означает коммутатор: [Л, В] = АВ~ ВА.
Теоретико-групповая структура соотношений (1.1)
описывается определенной группой — так называемой
группой Гейзенберга — Вейля [250]. Рассмотрению прос-
тейших свойств этой группы и посвящен
раграф *).
Перейдем прежде всего от операторов
удобным для нас оператору уничтожения
ному ему оператору
настоящий па-
р и q к более
а и сопряжен-
рождения а.
? + ip а+ = ? — iP
1/21 ’	’
а =
(1-2)
Перестановочные соотношения для них сразу же сле-
дуют из (1.1) и (1.2):
fa, а+] = I, [а, I] = [«+, I] = 0.	(1.3)
Соотношения (1.1) и (1.3) означают, что операторы р, q,
I (или операторы а, а+, I) порождают алгебру Ли, кото-
рую мы обозначим через Эта алгебра Ли и есть ал-
гебра Гейзенберга — Вейля.
*) Ряд более тонких математических вопросов, относящихся к
данной группе, рассмотрен в работе [112].
12
Переходя к новым величинам
е1 = г(Й)'~‘/2р, е2 = i (Й)-1/2д, e3 = il (1.4)'
и рассматривая их не как операторы, а как элементы
абстрактной алгебры Ли, приходим к определению: алгеб-
ра Гейзенберга — Вейля — это вещественная трехпа-
раметрическая алгебра Ли, задаваемая перестановочными
соотношениями
[е„ <?2] = е3, [е,, е3] = [е2, е3] = 0.	(1.5)
Общий элемент алгебры ТУt имеет вид
ж = (s; х,, х2) = х,е, + х2е2 + se3	(1.6)
или
х —- isl + — (Pq — Qp) = zsf + (aa+ — aa), (1-7)
где s, x, и x2 — вещественные числа, х, = —(A)~1/2(),
x2 = (й) ~1/2 P, a = (2Й) -1/2 (Q + iP) = 2-1/2 (-^ + ix2), a =
= (2A)-1/2(<2 — IP). Коммутатор элементов x=(s-, Xi, x2)
и у = (£; pi, p2) дается формулой
[x, y] = B(x, y)e3, B(x, y) = x,y2 — x2y(1.8)'
Переход от алгебры Ли к группе Ли осуществляется, как
обычно, путем рассмотрения выражений
ехр(ж) = exp(zsI)jD(a), P(a) = exp(aa+— aa). (1.9)
Для нахождения закона умножения операторов Р(а) вос-
пользуемся операторным тождеством *)
ехр А-ехр В = ехр [А, охр (А 4- В),	(1.10)
справедливым при выполнении условий
[Л [Л, В]] = 0, [В [Л, В]] = 0.	(1.11)
Приведем простое доказательство тождества (1.10),
данное в работе [141]. Образуем операторную функцию
F (t) = охр (М) ехр (Z5) ехр (-£ (Л + В)).	(1.12)
Она удовлетворяет уравнению
~ = ехр (tA) [А, ехр (tB)J ехр (— t (Л + В)) =
= t [A,B]F(t).	(1.13)
Интегрируя (1.13) и полагая t == 1, получаем (1.10).
*) Тождество, эквивалентное этому, было впервые доказано
Г. Вейлем [249].
13
Наконец, подставляя в (1.10) А = аа+ — аа, В =
= рп+ — (За, находим закон умножения операторов:
Я(а)-.О(р)=ехр[г1т(оф)]£(а + р).	(1.14)
Приведем еще формулу для произведения нескольких
операторов:
-О(ап)-О(а„_1)...£>(«!)= ехр(гб)Д(о:п + «„-! + ... + сс,),
(1.15)
где
6 = Im ( 2 «яД	(1.16)
\j>k 1
Фазовый угол Im (ар) в формуле (1.14) имеет прос-
той геометрический смысл. Именно
1т(ар)= 2Л (0, р, а+р),	(1.17)
где Л (а, р, у)—площадь треугольника с вершинами в
точках а, р п у, причем величина А считается положи-
тельной, если обход а-*р, р у, у ->• а совершается
против часовой стрелки, и А < 0 в противном случае.
Аналогично можно интерпретировать п фазу в формуле
(1.15). Вспоминая, что а = (2Й) “,/2 (Q + IP), перепишем
формулу для б в виде
8 = ±\pdQ,	(1.18)
п, J
Г
где интегрирование проводится по контуру многоугольнп-
ка с вершинами в точках 0, ab cci + а<, ..., czi + <х2 + ...
. .. + «„*). Далее из формулы (1.14) следует
D(a)  А»(р)= exp[2i 1ш(а0)] D(P)  P(a). (1.19)
Соотношение (1.19) представляет по существу интеграль-
ную форму записи перестановочных соотношений Гейзен-
берга**). Преимущество этой формы записи по сравне-
*) Обратим внимание читателей, знакомых с квантовой меха-
никой, на квазиклассический вид формулы (1.18): 6 пропорцио-
нальна площади многоугольника на плоскости (Р, Q).
**) Впервые это соотношение в эквивалентном, хотя и несколь-
ко ином виде, было записано Г. Вейлем [249]. В его форме записи
оно выглядит так:
ехр
(¥) охр = ехр ехР ехР (1.19)
14
нию с (1.3) заключается в том, что в отличие от опера-
торов а и а+, неограниченных в гильбертовом простран-
стве Зв, операторы D(a) являются ограниченными, и
следовательно, их область определения совпадает со всем
пространством Ж
Далее, из (1.14) видно, что операторы exp(ii)Z)(a)
образуют представление группы, элемент которой задает-
ся тремя вещественными числами (g = (£; xt, х2)) или
вещественным числом t и комплексным числом a (g =
= (t; а)). Эту группу мы обозначим через Wt и назовем
группой Гейзенберга — Вейля. Нетрудно видеть, что за-
кон умножения в группе Wi имеет вид
(s;	х2)-(Г, yh Uz) = (s + t + B(x, у)-, Xi + yt, х2 + у2).
(1.20)
Отметим еще, что группа Wt принадлежит к классу
так называемых нильпотентных групп Ли, которые мож-
но реализовать в виде группы верхних (нижних) тре-
угольных матриц с единицами на главной диагонали.
В нашем случае = {§), гдо
/ 1	а	с \
g= °	1	И-	(1-21)
0	О	1 /
Такне матрицы образуют простейшее конечномерное пе-
унитарное представление группы Wt. При этом элемен-
там е,, е2, е3 алгебры	отвечают		матрицы				
/0	1	0\	( 0	0	0\	/ 0	0	1 \	
0 0 0 ,	0	0	1	и 1 0	0	0	(1.22)
\ 0 0 0/	\ о	0	0 /	\ 0	0	о /	
соответственно.							
1.1.2. Представления		группы		Гейзенберг		га —	Вейля.
Возникает вопрос о нахождении всех унитарных непри-
водимых представлении группы Wi. Заметим прежде все-
го, что элементы вида (s; 0) образуют центр группы W,,
т. е. множество всех элементов, коммутирующих со все-
ми элементами группы Wt. Поэтому для любого унитар-
ного неприводимого представления Т(g) группы W, опе-
раторы T((s; 0)) образуют неприводимое унитарное
представление подгруппы {(s; 0)}, которое характеризу-
ется одним вещественным числом К:
F((s; 0))=ехр(гЬ)1	(1.23)
(в рассматриваемом нами случае % = 1).
15
Ответ на интересующий нас вопрос дает теорема Сто-
уна — фон Неймана [234, 196].
Теорема. При заданном % (% =И= 0) любые два унитар-
ные неприводимые представления группы Wt унитарно
эквивалентны.
Это значит, что для любых двух систем операторов
{D (а)} и {D(a)}, удовлетворяющих соотношениям
(1.19), существует унитарный оператор U такой, что
£>(а) = U+D(a)U.	(1.24)
Аналогичное утверждение справедливо и для пар опера-
торов а+, а и а+, а, удовлетворяющих перестановочным
соотношениям (1.3):
а+ = U+a+U, а = U+aU.	(1.24')
Однако эти соотношения справедливы лишь при выполне-
нии некоторых условий, относящихся к области опреде-
ления операторов а+, а и а+, а (см. [112]).
Таким образом, унитарное неприводимое представле-
ние группы Wi задается одним вещественным числом Л;
Т (g)= Т* (g),	0. Кроме того, есть представления, от-
вечающие % = 0. Все они одномерны и характеризуются
двумя вещественными числами ц и v:
Т (g) = 7’**v(g) = ехр [t(pzt + w2)] I.
Перейдем к описанию представления 7’x(g).
1.1.3. Конкретная реализация представления TK(g).
Операторы q, р и а+, а действуют в стандартном гильбер-
товом пространстве Зё. Здесь и в дальнейшем, следуя Ди-
раку, будем обозначать: вектор этого пространства сим-
волом |ф>, скалярное произведение векторов |ср> и lip,
линейное по |ф> и антилинейное по |ср>, символом <(р|ф>,
проекционный оператор на |ф> через |if>> Под состоя-
нием ф мы будем понимать множество векторов, отличаю-
щихся от |ф> лишь числовым множителем.
Известно, что в Ж существует так называемый ваку-
умный вектор 10>, т. е. нормированный вектор, аннули-
руемый оператором а:
а!0> = 0, <0|0> = 1.	(1.25)
Действуя на пего оператором а+, получаем множество
нормированных векторов:
\п> =(и!)-1/2(а+)"|0>, n = 0, 1, 2, ...	(1.26)
Множество векторов {I н>) и образует базис пространства Зё.
16
Действие же операторов а и а+ в пространстве Ж оп-
ределяется формулами
а|и> = Уп|и — 1>, а+|га> = Уга+1|и + 1>,
а+а[п> = п\п>.	(1-27)
Часто бывает удобно использовать конкретные функ-
циональные реализации гильбертова пространства Зё,
или, как говорят физики, определенные представления.
Наиболее часто встречается так называемое координатное
представление. В этом случае вектор |т|;> изображается
функцией координат <<у1тр> =-ф (д), являющейся квадра-
тично интегрируемой:
J | ф (?) |2 <7? < оо.	(1.28)
Действие оператора ? в координатном представлении
сводится к умножению на q, а действие оператора р —
к дифференцированию по q; р = —lhd/dq. Базисному
вектору |ге> соответствует функция
<q\n> = ф„(?) =
= (nfi) -1/4 (2”ге!)-,/2Н„ (7г1/2?) ехр (- (271)~*?2), (1-29)
где Я„(?)—полином Эрмита степени п. Соотношения
(1.27) в координатном представлении дают рекуррентные
соотношения для полиномов Эрмита:
^IIn(q) = 2nHn_1(q-),	(1.30)
(2?-^)яп(?) = Яп+1(?).	(1.31)
Отсюда сразу же следуют полезные соотношения
/	г?
Hn(q^[2q-H0(q), Яо(?)^1,
jn
нп (?) = (- l)nexp (?2) J^exp (- ?2)	(1.32)
dq
и дифференциальное уравнение для полиномов Эрмита
я; (?) - 2?я; (?) + 2пНп (?) = 0.	(1.33)
Действие оператора Я (а), а = (2Й)-1/2((? + iP) в коорди-
натном представлении дается формулой
Я (а) <р (?) = ехр i ехр [i ф (? — Q). (1.34)
2 А. М, Переломов	17
§ 1.2. Когерентные состояния (КС)
В этом параграфе изучаются определенные сверхнол-
пые системы состояний, связанные с группой Гейзенбер-
га— Вейля Wi — системы обобщенных когерентных сос-
тояний. Частный, но в то же время важный случай та-
кой системы представляет обычная система когерентных
состояний.
Понятие обобщенного когерентного состояния можно
вводить разными способами. Здесь мы следуем рабо-
те [207].
Пусть Г (g) — унитарное неприводимое представление
группы Wt, описанное в § 1.1, а |ф0>— какой-либо фик-
сированный вектор в пространстве представления Ж. Не-
трудно видеть, что состояние*), отвечающее вектору |ф0\
остается неизменным лишь при действии на него опера-
торов вида r((s, 0)). Иными словами, стационарная под-
группа Н произвольного состояния |ф0> состоит из эле-
ментов вида (s; 0).
Подействуем теперь оператором представления Т(g) =
а)) группы W, на вектор 1тр0>. Мы получим
множество состояний {|а>}:
|а>=П(а)|1р,	(1.35)
где а — комплексное число. При этом, поскольку стацио-
нарной подгруппой состояния I ip,) является II = {h},
h=(t, 0), различным а соответствуют различные сос-
тояния.
Система {1а>) и является системой обобщенных коге-
рентных состояний типа {T(g), |ф0>1. Важный частный
случай отвечает выбору в качестве 1г|:0> вакуумного век-
тора |ф0>. При этом мы получаем обычную систему КС.
Система обобщенных КС обладает рядом замечатель-
ных свойств, к рассмотрению которых мы переходим.
Заметим прежде всего, что из неприводимости пред-
ставления T(g) следует, что эта система полна. Однако
состояния системы, вообще говоря, не ортогональны друг
другу. В самом деле,
<₽1а> = <ф0|Г)+(р)Г)(а) 11р0>_=
= exp(i Im(a^)) (ipolD(а — р) Iif0>,	(1.36)
|<&|а>|2 = |<фй1П(а-р)1фо>12 = р(а-Р), (1-37)
*) Напомним, что состоянием называется множество векторов
exp (i<p)|i|>>, отличающихся от вектора |ф> лишь на фазовый мно-
житель | exp (г<р) |=1.
18
а функция p(a) в силу неприводимости представления
не может тождественно обращаться в нуль.
Оператор D(a) переводит одно когерентное состояние
в другое:
Z)(a) |0> = ехр [с Im (оф)] 1 ос + 0>.	(1.38)
Равенство (1.38) определяет действие группы Wt на
ос-плоскости:
(s; р)  а = а + р.	(1.39)
Это действие неэффективно, поскольку подгруппа
Я = {(£;0)}	(1.40)
действует на ос-плоскости как тождественное преобразова-
ние. Факторгруппа ~WJH является, как видно из (1.40),
группой трансляций ос-плоскости.
Отсюда следует, что инвариантная метрика на ос-плоско-
стп имеет обычный вид
ds2 = \da\2.	(1.41)
Соответственно инвариантная мера на ос-плоскости дается
выражением
dp(cc) = с d2a = с da, da2, ос =	+ ia2, (1.42)
где с — некоторая постоянная.
Перейдем к выводу так называемого «разложения
единицы». Обозначим через |сс> <сс| оператор проектиро-
вания на состояние 1ос> и рассмотрим оператор
Я = J|P><P|dp(P).	(1.43)
Нетрудно видеть, что оператор Л коммутирует со
всеми операторами Z)(cc). Следовательно, в силу леммы
Шура такой оператор кратен единичному:
2 = d-‘I.	(1.44)
Для нахождения константы d вычислим среднее зна-
чение оператора А в когерентном состоянии 1ос>:
d-1 = <сх| ЯI <х> = J I <ос | р> |2 dp (Р) = J р (P)dp (Р).
(1.44')
В силу ограниченности оператора А константа d 0;
мы можем, следовательно, выбрать в (1.42) постоянную
2*	19
так, что j р (<х) dp.(a) = 1. «Разложение единицы» прини-
мает теперь вид *)
J | сч> | dp. (a) = I,	(1.45)
где dp (а) дается формулой (1.42), а постоянная с опре-
деляется из условия J р (а) ф (а) = 1.
Заметим, что из разложения единицы (1.45) сразу же
следует, что когерентные состояния линейно зависимы —
У |a> <a|P>dp(a) = | 0>,	(1.46)
а ядро Л’(a, [J)=<al[J> является воспроизводящим яд-
ром **):
У К (а, ₽) К (Р, у) dp (р) = К (а, у).	(1.47)
При этом с помощью условия полноты (1.45) нетруд-
но разложить произвольное состояние 1ф> по когерент-
ным состояниям:
| ф> = У ф(а) | а> dp (а).	(1-48)
Коэффициент 4'(а) в (1-48) находится по формуле
ф(а)= <ali|?>,	(1.49)
причем
<ф|ф> = J | ф(а) |2dp (а).	(1.50)
До СИХ пор вектор |ф0>, который был исходным при
построении системы обобщенных КС, был произвольным
вектором гильбертова пространства Ж Возникает вопрос:
нельзя ли использовать этот произвол в выборе вектора
так, чтобы полученная система КС обладала заданными
свойствами, например, чтобы КС были наиболее близки к
классическим.
В данном случае для получения критерия близости
квантового состояния к классическому естественно ис-
*) Для обычной системы когерентных состояний это тожде-
ство было получено в работе [167]. Можно рассматривать также
сверхполные системы состояний, для которых имеет, место форму-
ла типа (1.45), не связывая их с теорией представлений групп. Та-
кая теория развивалась в работах Клаудера [169, 170] и была на-
звана им теорией непрерывных представлений. Ряд теорем в рам-
ках такого подхода доказан в работе [9].
**) Общая теория воспроизводящих ядер дана в работе [87] и
книге [103].
20
пользовать соотношение неопределенностей Гейзенберга
А = Ад • Ар > Й/2,	(1.51)
где
(Ag)2 = < (g — <д>)2>, (Ар)2 = < (р - <р>)2>, (1.52)
а символ <д> означает среднее значение оператора q в
рассматриваемом состоянии Iip>; <g> = <iplg|ip>.
Покажем сначала, что для всех состояний системы не
только величина неопределенности А, но и величины Ад
и Ар одинаковы, т. е. не зависят от а. Для этого вос-
пользуемся тождеством
D+(a) aD (а) = а + а, а, = cti + ia2, (1.53)
которое нетрудно доказать, например, разлагая D(a) в
ряд по степеням оператора (аа+ — аа) и используя пере-
становочные соотношения (1.3). Из равенства (1.53)
сразу же следует, что
<algla> = <|фо1д1'Фо> + (2й)1/2 • at,
<alpla> = <'фо1р1'фо> +(2Й)1/2  а2. (1.54)
Отсюда получаем
(Ад)« = (Ад)о, (Ар)* = (Ар)*,	(1-55)
что и требовалось доказать.
Таким образом, мы видим, что среди КС всегда су-
ществует состояние, для которого <д> = <р> =0. Нетруд-
но видеть, что таким является состояние
I—а0> = D(—а0) |-фо>,	(1.56)
где Ио = <1р01 al фоХ Поэтому без ограничения общности
мы можем считать, что <4'olgl'4’o> = <ipolpl4'o> = 0- Най-
дем теперь все состояния с <д> = <р> = 0, минимизирую-
щие соотношение неопределенностей Гейзенберга
Ag-Ap = V2.	(1.57)
Рассмотрим очевидное неравенство
<И+Л>>0, H =	Х>0,	(1.58)
или
X2(Ag)2-U + (Ap)2>0.	(1.59)
Нетрудно видеть, что выполнение этого неравенства при
всех значениях X эквивалентно выполнению соотношения
неопределенностей Гейзенберга и что равенство (1.57)
21
может выполняться лишь в том случае, когда при не-
котором X > О
ЛНо> = (тЙ)|1|’о> = 0'	(1,60)
В частности, таким состоянием является вакуумное сос-
тояние |0> (приХ = 1). .
Отметим, что операторы А и А+ удовлетворяют пере-
становочному соотношению
[А, М+] = 1,	(1.61)'
и поэтому их можно считать новыми операторами «унич-
тожения» и «рождения». Они получаются из старых опе-
раторов а и а+ с помощью линейного канонического пре-
образования
А = иа + va+, А+= йа++ va, Ы2 — |р|2 = 1. (1.62)
Посмотрим теперь, чем выделены векторы |ipo\ удов-
летворяющие (1.60), с алгебраической точки зрения. Для
этого, следуя [66], рассмотрим комплексификацию
алгебры У/ ,, т. е. множество линейных комбинаций опе-
раторов q, р и I с комплексными коэффициентами. Обо-
значим через $ = {&} стационарную подалгебру состоя-
ния |тр0>, т. е. множество элементов Ъ е таких, что
= Xli|;0>. Пусть ^? = {&) —подалгебра Ж1, сопря-
женная к .ГА. Подалгебру & назовем максимальной, если
$ ф $ = Состояния, для которых стационарные под-
алгебры максимальны, обладают наибольшей симметрией
и являются выделенными. Можно показать, что в этом
случае когерентное состояние определяется точкой фак-
торпрострапства W\/B = B/D, D = exp3), где =
П КС такого типа можно естественно реализовать в
определенном пространстве аналитических функций
(см. § 1.3). К состояниям, обладающим максимальной
стационарной подалгеброй, относится, в частности, ваку-
умный вектор |0> (а!0> = 0), для которого & = {а, П,
& = {«+, 1), ЯП ф % = а также векторы, удовлетво-
ряющие условию {иа + va+) lip = f lip, I и 12—|p|2==l.
Подчеркнем, что только часть таких состояний минимизи-
рует соотношение неопределенности Гейзенберга. Более
подробно такой подход рассмотрен в главе 2.
Состояния {|а>}, la>= 23(a) |0> образуют обычную
систему когерентных состояний. Очевидно, что все фор-
22
мулы этого параграфа справедливы и для такой системы.
Здесь можно, однако, получить ряд полезных формул, не
имеющих места в общем случае.
Так, например, нетрудно видеть, что состояние |а>
аннулируется оператором
23(а)а23*(а).	’	(1.63)
Как следует из (1.53), это равенство эквивалентно
следующему:
ala>=ala>.	(1.64)
Таким образом, обычное когерентное состояние явля-
ется собственным состоянием оператора уничтожения,
причем собственное значение а может быть произволь-
ным комплексным числом. В то же время нетрудно пока-
зать, что оператор «+ не имеет в Ж ни одного собствен-
ного вектора.
Заметим, что в силу соотношений (1.2) а-плоскость
является аналогом классической фазовой плоскости, точ-
ка которой определяется координатами ((3, Р). Соответст-
венно когерентные состояния осуществляют отображение
фазовой плоскости в гильбертово пространство Ж.
Дадим еще несколько полезных соотношений для сос-
тояний |а>.
Прежде всего, из тождества (1.10) нетрудно получить
следующие выражения для оператора 23(a):
23 (а) = ехр(—|а12/2)ехр(аа+)ехр(—а«),	(1.65)
23(а) = ехр (|аР/2) ехр (—а«)ехр(аа+). (1.66)
Формула (1.65) дает так называемую нормальную
или виковскую форму записи оператора 23(a). Это зна-
чит, что при разложении в ряд все операторы а+ стоят
слева от операторов а. Соответственно формула (1.66)
дает антпнормальную или аптпвиковскую форму записи
оператора 23(a).
Из (1.65) и (1.66) следуют полезные соотношения
a+23(a) = (д/да + a/2)23(a),	23(a)a+ = (д/да, — a/2)23(a),
(1.67)
aD (a) = — (д/да — a/2) 23 (a),
Z3(a)a = — (d/da + a/2)I3(a).	(1.68)
Из (1.65) следует также, что
la> == ехр(—|a|2/2)exp(aa+) Ю>.	(1.69)
23
Это выражение удобно переписать в виде
|а> = ехр(-|ар/2)У^=1«>.	(1.70)
Приведем еще явные выражения для когерентных сос-
тояний в координатном и импульсном представлениях:
<21а> = (лй)“1/4 ехр (i(2/7i)1/2 • а2^)Х
X ехр[—(2Й)-1(<? — (2Й)1/2 • аД2],	(1.71)
<pla> = (лй)_1/4 ехр(—л (2/А)1/2 • ctip)X
X ехр [—(2Й)~* (р — (2Й)1/2 -а2)2].	(1.72)
Далее, из формулы (1.70) сразу же следует, что
<а|р = ехр[—*/2 Iа|2 — ‘/2 Ipl2 + оф], (1.73)
р(а) = ! <сх 10> 12 = ехр (— lot 12),
|<а|р|2 = ехр(-|а-р|2).	(1.74)
Заметим, что в рассматриваемом случае функция р(а)
нигде не обращается в нуль, так что любые два когерент-
ных состояния не ортогональны друг другу. Это свойство
имеет место и для общих систем когерентных состояний
с максимальной стационарной подалгеброй.
Теперь нетрудно найти выражение для постоянной с
в формуле (1.42). Она оказывается равной л.-1, так что
выражение для меры <Zp(a) принимает вид
<1ц (а) = da2, а =	+ i<x2.	(1-75)
Отметим, что такая система когерентных состояний
минимизирует соотношения неопределенностей Гейзен-
берга: для нее \q • Ар = Й/2.
§ 1.3. Представление Фока — Баргмана
В обычно используемом координатном или импульс-
ном представлении на функции ф (<?) и ф(р), изображаю-
щие вектор гильбертова пространства <3^, не налагается
никаких условий аналитичности. Существует, однако, та-
кая реализация пространства <3^, при которой вектор
гильбертова пространства изображается целой аналитиче-
ской функцией. Такая реализация рассматривалась в ра-
ботах [129, 91] и называется представлением Фока—
Баргмана. Это представление дает возможность во мно-
гих случаях упростить решение задач, используя для
этого теорию целых аналитических функций.
24
Такое представление можно связать с каждой систе-
мой когерентных состояний, обладающей максимальной
стационарной подгруппой. Мы рассмотрим здесь лишь
случай обычной системы когерентных состояний:
|а> = D(a) |0>, Ю>— вакуумный вектор, а|0>=0.
Пусть |ф> — произвольный нормированный вектор
пространства Ж. Тогда, как было показано в § 1.2, сос-
тояние I полностью определяется функцией <czlip>.
Пусть
00	оо
] ф> = 2 с„| га>, <ф| Ф> = S |сп|2 = 1.	(1.76)
п~0	п=0
Тогда, как следует из равенства (1.70),
<а1ф> = ехр(—*/21а12)ф(а),	(1-77)
где
ОО
2	g 71
c„u„(z), Un{z) = ~7=.-	(1.78)
?г~о	V п.
Ряд (1.78) сходится при всех значениях z (в силу уело-
оо
впя S|cn|2 = l), и следовательно, функция i|:(z) явля-
71=0
ется целой аналитической функцией комплексной пере-
менной z. При этом
||ф||2 = <ф|ф> = J ехр (—| z |2) | ф(г) |2 dp (z) < оо. (1.79)
Для целых функций ipi(z) и ф2(г), удовлетворяющих ус-
ловию (1.79), определим величину (-ф! 1ip2> согласно
формуле
<ti I ф2> = j ехр ( — | z I2) Ф1 (z) Ф2 (z) dp (z).	(1.80)
Можно показать [91], что эта величина удовлетворяет
всем аксиомам скалярного произведения, и следователь-
но, такое пространство действительно является гильбер-
товым пространством. Мы приходим, таким образом, к
конкретной реализации гильбертова пространства в виде
пространства целых аналитических функций ip(z), удов-
летворяющих условию (1.79).
Впервые это представление в несколько ином, хотя и
эквивалентном виде было введено Фоком в 1928 г. [129].
Фок предложил операторное решение перестановочных
соотношений Гейзенберга (1.3)
а -> d/dz, а+ -> z	(1.81)
25
по аналогии со шредингеровским решением, р =
= —ih(d/dq), q = q, и использовал это представление в
исследованиях по квантовой теории поля. Это представ-
ление было подробно изучено в работе [91] Баргманом,
а также в ряде последующих работ [92—94, 160] для
конечного числа операторов а,- иН/t *). Мы назовем его
представлением Фока — Баргмана, а пространство пред-
ставления обозначим через Скалярное произведение
двух векторов в этом представлении имеет вид (1.80).
При этом из неравенства Шварца I <а!ф> I «£ Иф11 сразу же
следует, что если i|'(s)e S2”, то
|-ф(з)| ССехр(Ы72).	(1.82)
Как мы уже отмечали (см. (1.81)), в представлении
Фока — Баргмана оператор «+ является оператором ум-
ножения на z, а оператор а — оператором дифференци-
рования по z, причем, как нетрудно проверить, при вы-
боре скалярного произведения в виде (1.80) операторы
а и «+ становятся сопряженными друг другу. Заметим,
что это выражение для скалярного произведения можно
было бы получить из условия сопряженности операто-
ров а и «+.
Отметим ряд свойств представления Фока — Баргма-
на. Ортонормпрованный базис в ST имеет значительно
более простой вид, чем в координатном представлении:
|н> -> <z|n> = h„(z) = znl^n\.	(1.83)
Соответственно когерентное состояние 1а> дается в этом
представлении формулой
<z|a> = ехр(— |сс|2/2 + az).	(1-84)
При этом роль б-функцпп в пространстве ЯГ играет сле-
дующая функция:
6(z,z')= £ u„(z)u„(z') = exp(zz ).	(1.85)
n=0
Действительно, легко проверить, что для любой анали-
тической функции в ЯГ
/0=) = J6(z,z')exp(— | z'\2)f(z')dp (z').	(1.86)
*) Случай бесконечного числа операторов а; и а£ был рас-
смотрен Сигалом [74]. Ряд вопросов для случая бесконечного чис-
ла степеней свободы рассмотрен в книге Березина [7] и в много-
численных статьях в журнале «Communications in Mathematical
Physics». Этого случая мы касаться не будем.
26
Рассмотрим теперь пространство L2 — пространство
всех функций (в том числе и неаналитических), удов-
летворяющих условию
II /II2 = П / ехР (-1z I2) (z) < оо. (1.87)
Нетрудно видеть, что формула
/ (z) = J ехр (zz — | z' |2) / (z\ z') dpi (z')	(1.88)
осуществляет проектирование пространства L2 на прост-
ранство S2”: L2 -> S2”. Заметим еще, что если состояния
1ф> и 1ос> ортогональны друг другу, то ф(а)==0.
Наконец, связь между обычным координатным пред-
ставлением и представлением Фока — Баргмана осущест-
вляется ядром <zlg>, удовлетворяющим уравнению
a<z\q> = z<z|g>,	_	(1.89)
пли, в более подробной форме записи,
(1l(d/dq)+q-(2n)i/2z)<z\q> = О, , (1.90)
откуда находим
<z|g> = с (z) ехр (—(2Й)“‘дг + (2/ft) 1/2zg).	(1.91)
При таком преобразовании функция <р0 (g) = (rih)-4/4 X
X ехр (—q2J2h) должна переходить в /0(z)=l. Отсюда
следует, что
[с (г)Г1 = (лЙ)~1/4 J ехр (— q2/h + (2/й),/2 zq) dq =
= (лЙ)1/4ехр(г2/2). (1.92)
Таким образом,
K(z, q) — <z\q> = (лЙ)"1/4 ехр (-z72 + (2/Й) 1/2zg - q2/2~h),
(1.93)
а интересующее нас преобразование дается форму-
лами [85]:
/ (z) = J К (z, q) ср (q) dq,	(1.94)
— оо
(p(g) = lim J # (z, g) / (z) exp (—| z |2) dpi (z)2 (I-95)
^2- П	/	2 X
к (Z1 q) = (лй)-1^4 2 TH 2-"/2Яп ((Й)-1/2 q) exp I -	).
n=o
(1.96)
27
Сравнивая это выражение с (1.93), получаем производя-
щую функцию для полиномов Эрмита:
ОО
ехр [_ Z2 + 2zq] = %%Hn(q).	(1.97)
п~0
Приведем еще формулы для действия операторов D(a) в
координатном представлении:
D (а) = ехр (Pq — Qp) =
= ехр Р^ехр ехр(— i j, (1.98)
Ща)Ф(д) = ехр	ехр ф(д — Q), (1-99)
а также в представлении Фока — Баргмана:
D (а) / (г) = ехр — ехр (az)/(г— а). (.1.100)
В частности, из (1.95) получаем интегральное представ-
ление для полиномов Эрмита:
Нп(д) = (2"/2/л) j ехр [— z2/2 + У 2 zq — \z\2]znd2z.
(1.101)
Представление Фока — Баргмана будет существенно ис-
пользоваться при решении задач, рассматриваемых в
следующих параграфах.
§ 1.4. Полнота подсистем когерентных состояний
В § 1.2 уже отмечалось, что система когерентных сос-
тояний {|а>} является сверхполной. Это значит, что су-
ществуют подсистемы когерентных состояний, являющие-
ся полными. В этом параграфе будут указаны критерии
полноты подсистемы {|ак>}, соответствующей подмно-
жеству точек {ак} на а-плоскости.
Предположим сначала, что система {laft>} неполна.
Тогда существует вектор |ф> ¥= 0, принадлежащий гиль-
бертову пространству который ортогонален всем сос-
тояниям lafe>; <if>lak> = 0. Отсюда следует, что функция
ip(a) = ехр(|а|2/2) <ip|a>	(1.102)
обращается в нуль во всех точках множества {aj. В то
же время, как было показано в предыдущем параграфе,
28
функция ip (а) является целой аналитической функцией
комплексной переменной а п притом удовлетворяет
условию
I = J | тр (а) |2 ехр (— | а |2) dp (а) < оо. (1.103)
Иными словами, функция 1р(а) принадлежит пространст-
ву S2”. Если же система {Jccfc>} полна, то такой функции
не существует.
Таким образом, мы доказали
Предложение. Подсистема состояний {|ccfc>} полна тог-
да и только тогда, когда не существует функции ip(a)e
<= S2", яр 0, обращающейся в нуль во всех точках мно-
жества {«„}. Ряд примеров полных подсистем {|ак>} сис-
темы когерентных состояний {]осА>} был указан в работе
Баргмана [91]. Это:
А. Любое множество {ocfe}, имеющее предельную точку
в конечной части сс-плоскости. Такая подсистема остает-
ся полной и после выбрасывания из нее конечного числа
состояний.
Б. Любое бесконечное множество {аД, не содержа-
щее точку а = 0 и такое, что
2КГ2~£=°°	(1.104)
h
при некотором е > 0.
Условие Б. является следствием общих теорем относи-
тельно связи порядка роста целой функции при |al -> °°
с распределением ее пулей (см. Приложение А).
В. Особенно интересным является случай, когда точ-
ки образуют правильную решетку па а-плоскостн:
ak = а„,п = mat + паг, где периоды решетки вц и со2 ли-
нейно независимы—Im ((Огсщ) ¥= 0, a тп и п пробегают
все целые числа. Простейшая из таких подсистем коге-
рентных состояний — система, соответствующая квадрат-
ной решетке с площадью элементарной ячейки 8 = л,—
была много лет назад рассмотрена фон Нейманом [54] в
связи с изучением вопроса об одновременном наиболее
точном измерении координаты и импульса*). При этом
для справедливости полученных им результатов необхо-
димо, чтобы система {|amn>} была полной. Доказательство
полноты такой системы, одпако, не было опубликовано.
*) Отметим также использование такой системы при анализе
вопроса о неэкспоненциальности распада нестабильной частицы
[238].
29
Полное решение вопроса о полноте подсистем
{|amn>}, связанных с решеткой, дает теорема, доказанная
в работе [62] и частично в работе [95] *).
Теорема. Пусть {|amn>} — подсистема когерентных сос-
тояний, связанная с решеткой, площадь элементарной
ячейки которой равна S. Тогда:
1.	При S < л эта система является сверхполной и ос-
тается таковой при выбрасывании конечного числа состо-
яний.
2.	При S > л подсистема {|amn>} не полна.
3.	При S = л эта подсистема полна. Она остается
полной при выбрасывании одного состояния, но становит-
ся неполной при выбрасывании двух любых состояний.
Отметим, что a-плоскость является аналогом фазовой
плоскости для классического осциллятора, причем ячейке
фазовой плоскости площади 2лй соответствует ячейка
a-плоскости площади л. Отсюда следует физическая ин-
терпретация полученного результата: система когерент-
ных состояний, отвечающих решетке на фазовой плоско-
сти с плотностью большей пли равной одному состоянию
в планковской ячейке, является полной; при плотности
меньшей единицы такая система неполна. Эти результаты
подтверждают фундаментальную важность разбиения фа-
зовой плоскости на нланковскпе ячейки.
Доказательство сформулированной выше теоремы да-
но в приложении А.
Таким образом, при S = л, т. е. при выборе одного ко-
герентного состояния в планковской ячейке, в качестве
полной и минимальной системы мы можем взять, напри-
мер, систему	— систему всех состояний
за исключением вакуумного состояния Ю>. Разлагая сос-
тояние |0> по состояниям системы	получаем ли-
нейное соотношение между всеми состояниями системы
{|атп>}. Вычисления дают соотношение [62] (см. прило-
жение А): .
2 (_1)mn+m+„lamn>_0>	(1.105)
т.п
Посмотрим теперь, как выглядит это соотношение в
представлении Фока — Баргмана. В этом представле-
♦) В работе [95] не был рассмотрен вопрос о том, насколько
переполнена система при S = л. Еще одно доказательство теоремы
дано в работе [89]. Ряд математических вопросов, имеющих отно-
шение к данной теореме, рассмотрен в [161, 162, 106].
30
нии Ia>-> ipcx(z)= ехр(—lal2/2)oxp(az), и соотношение
(1.105) принимает вид
Z (z) = S (- l)’""+m+n ехр (- I атп р/2) ехр (amnz) вв 0.
т,п
(1.106)
Заметим, что ряд в (1.106) сходится равномерно на
любом компактном подмножестве а-плоскости, и следова-
тельно, /(z)—целая функция z. Тот факт, что /(z)^=0,
можно показать и непосредственно [62].
В частности, полагая в (1.106) z = 0, получаем
(— ^m“+m+n ехр Г— (arii- + 2Ътп + с?гэ)
mtn a	L
= 0,
(1.107)
где лй = |(!)1Р, л& = Re(ю!©^), лс=[®2|2, ас—Ъг = 1,
а > 0, с > 0.
В случае прямоугольной решетки b = 0, и это тож-
дество становится эквивалентным билинейному соотноше-
нию для тета-функций:
ОДт^ОДта)— 0з(т()04(т2) —
— 04(Т1)О3(т2)~ О4(т))04(т2) = О. (1.108)
Здесь Ti = ic/2, т2 = гс_)/2, а тета-функции 63(т) и 04(т)
определены формулами [100]
оо
03(т) = 2 ехр (inxm2),
т=—с0
04 (т) = У, (—1)техр (йттт2). (1.109)
m=—oo
В заключение заметим, что из полноты подсистемы
]аи„> следует полнота подсистемы 1фтп> = U lamn>, где
U — произвольный унитарный оператор.
Выберем теперь U таким, чтобы выполнялось ра-
венство *)
UaU+= на + va+, W2 — Id2 = 1.	(1.110)
Тогда	_	_
UD(a)U+ = D(fi), $ = иа — va., (1.111)
♦) Существование такого оператора следует из теоремы Стоу-
на — фон Неймана [234, 196].
31
т. е. при линейном преобразовании а -> р площадь со-
храняется.
Отсюда следует, что подсистема
= li]>o> системы когерентных
(Т, !"фо>), lipo> = ^lO>, где оператор
уравнению (1.110), также является полной.
состояний типа
U удовлетворяет
§ 1.5. Когерентные состояния и тета-функции
Как мы видели в предыдущем параграфе, тета-функ-
ции естественно возникают при рассмотрении вопроса о
полноте подсистемы когерентных состояний, связанной с
правильной решеткой па а-плоскости*). Теперь мы рас-
смотрим вопрос о связи когерентных сосЛяний с тета-
функциями более подробно.
Рассмотрим правильную решетку L на а-плоскости,
т. е. совокупность векторов вида ап = где и2 —
целые числа, а два вектора со, и <в2 (периоды решетки)
вещественно линейно независимы. Рассмотрим также
множество операторов {£)(«„)} и попытаемся найти их
собственный вектор |0>. Для того чтобы такой вектор**)
существовал, необходимо, чтобы операторы Z)(a„) комму-
тировали между собой; при этом достаточно, чтобы ком-
мутировали операторы £)(«>). Но согласно (1.19) это
эквивалентно условию целочисленности:
Im (ьцЫг) = к, к — целое. (1.112)
Иными словами, площадь параллелограмма, построен-
ного на векторах cot и <в2, должна быть кратна л.
Решетку L, удовлетворяющую условию (1.112), назо-
вем допустимой. В этом случае собственный вектор дол-
жен удовлетворять системе уравнений
(<0j) 10е> == ехр (ijxEj) [ 0В>, / = 1, 2,	(1.113)
а состояние, отвечающее вектору |0Е>, определяется дву-
мя вещественными числами е, и е2, удовлетворяющими
условию 0 е, < 2, т. е. точкой двумерного тора.
Нетрудно видеть, однако, что вектор |0Е> не может
принадлежать гильбертову пространству <3^, в котором
*) Отметим, что изучение свойств тета-функций, исходя из
теоретико-групповых соображений, связанных с группой Гейзен-
берга — Вейля, было начато в работе Картье [112].
**) Такой вектор существует не в пространстве Зв, а в расши-
ренном пространстве (см. ниже).
32
действуют операторы Z>(a). Опишем кратко расширенное
пространство Ж-». (Более детальное обсуждение этой
конструкции можно найти в [112].)
Обозначим через Зв«, подпространство <9^, содержащее
лишь такие векторы |ф>, для которых функция
<ф| T’(g') |ф> = exp(ii) <<р|7)(а) |ф>
является бесконечно дифференцируемой для любого фик-
сированного ф е Зв. Элементы этого пространства назо-
вем С°°-векторами. Отметим, что в число С°°-вскторов вхо-
дят векторы вида
W/> = У / (“) D (“) 1	(«)>:
где |ф> — произвольный вектор пространства Зв, а /(а)—
бесконечнодифференцируемая функция с компактным
носителем. Как было показано в работе [132], такие век-
торы образуют плотное множество в пространстве Зв. Оп-
ределим теперь пространство Зв-^, как множество всех
непрерывных антилинейных форм на Зв^ и идентифици-
руем Зв с подпространством пространства Зв-^, поставив
в соответствие вектору |ф> е Зв антилинейную форму
<ф|ф> на Звх. При этом представление T’(g), первона-
чально определенное в пространстве Зв, можно естествен-
но расширить до представления в пространстве Зв-,*,.
Выберем теперь какое-либо из состояний |0Е>, напри-
мер |0О>, и подействуем на него всеми операторами £)(а).
В результате получим систему обобщенных когерентных
состояний
|0«> =D(a)|0o>.	(1.114)
Нетрудно видеть, что полученная система состояний
совпадает с системой {|0Е>}, определенной согласно
(1.113). Это естественно, поскольку стационарная под-
группа Н состояния [0Е> состоит из элементов вида
(£; а„), так что факторпространство G/H является дву-
мерным тором.
Заметим, что сама возможность параметризации сос-
тояния комплексным числом а (см. (1.114)) связана с
тем фактом, что любой двумерный тор является комп-
лексным многообразием (см. [80]).
Таким образом, система {|0Е» — это система КС, свя-
занная с допустимой решеткой L. Для того чтобы устано-
вить связь этой системы с тета-функциями, рассмотрим
состояние |0Е> в представлении Фока — Баргмана:
3 А. М. Переломов	33
|9Е> -> 9E(z) (для простоты ограничимся рассмотрением
главной решетки, соответствующей к = 1). В этом случае
из (1.113) следует
D(am) |9е> = ехр {inFt(m)} |0Е>,	(1.115)
где ат = тщи, + m2®2 — произвольный вектор решетки, а
Fe(m) = т,т2 + Etmt + в,т2.	(1.116)
Используя соотношение (1.100), можно переписать
уравнение (1.115) в виде
9С(z + pm) = ехр [глЛ(—т)] X
Хехр(у |pj2)ехр(pmz)OE(z),	(1.117)
где = <хт — вектор сопряженной решетки. Но уравне-
ние (1.117)—это обычное функциональное уравнение
для тета-функций (см. [35, 100]).
Помимо функции 9e(z), полезно также рассмотреть
функцию
0E(z, z)=exp(-|zl72)0E(z).	(1.118)
Для этой функции из (1.117) получается следующее
функциональное уравнение:
0Е (z + Z + pm) =	_	_
= exp [mi77(—m)J exp [i Im(zp„,)J 0E(z, z).	(1.119)
Таким образом, |0E(z, z)|2 = p(z, z), где p(z, z)—неотри-
цательная функция, периодическая относительно решетки
L, сопряженной решетке L. Поэтому обычная норма
функции 0E(z) бесконечна.
Относительно же решений уравнений (1.117) нетруд-
но доказать, что функция
ТгЕ (z) = S ехр [— inFz (гг)] Z)(<zn) h (z)	(1.120)
n
является решением для произвольной целой функции 7г(г),
такой, что ряд (1.120) сходится. В более явной форме
(z) =
= 2 ехр [ — inl<\ (и)] ехр(— 1 |рД2) ехр (—j3nz) 7г (г + £„).
п	2	(1.121)
В частности, полагая 7г(г)= 1, получаем решение
/е (г) = сЕ6Е (г) =
exp(anz), (1.122)
= Уехр[- гл^Е(тг)]ехр----------
имеющее вид суперпозиции когерентных состояний. Сле-
дует, однако, иметь в виду, что для определенных значе-
ний 8, например для е=(1, 1), функция f6(z) равна ну-
лю тождественно.
В заключение рассмотрим вопрос о связи рассматри-
ваемого подхода с подходом Картье [112]. В его работе
было показано, что тета-функции возникают при рассмот-
рении представления группы Гейзенберга — Вейля Wt,
индуцированного некоторым представлением ее дискрет-
ной подгруппы Г, связанной с решеткой L *).
Рассмотрим совокупность операторов Dmn = D(mau +
+ пго2), где am„ = тки +	— точка допустимой решет-
ки L с площадью элементарной ячейки S = л. Эти опера-
торы образуют дискретную коммутативную группу с за-
коном умножения
п Г) _____Л Л \ B(ft, I; т >1) Г)
Uk, I Um, п \	1)	Ц-П)
В (к, I; т, п) = кп — 1т. (1.123)
Пусть Г — дискретная подгруппа группы W,, состоящая
из элементов вида g=(kn; атп). Операторы {±£)mn} об-
разуют представление этой подгруппы, а совокупность
состояний {|amn>} образует базис некоторого представле-
ния группы Г. Постараемся теперь избавиться от знако-
вого множителя в (1.123), или, иными словами, перейти
к представлению факторгруппы Г/Го, где Го = {(кл; 0)}.
Перейдем для этого к новым операторам
7\;=(-1)^г)Лм	(1.124)
и потребуем, чтобы выполнялось равенство
&k, п =	i-^n.	(1.125)
Отсюда получаем уравнения для величины F (к, I)
F(k + m, I + п) = F (к, l) + F(m, п) + В (к, I; т, п) (mod 2)
(1.126)
(величина В определена в (1.123)). Это уравнение совпа-
дает с уравнением (71) в [112] при т = 1, п = 1, и, как
нетрудно проверить, имеет решение
F(k, l)=kl + k + l.	(1.127)
*) Рассмотрение ряда общих вопросов, связанных с дискрет-
ными подгруппами непрерывных групп, можно найти в книге
И. М. Гельфанда, М. И. Граева, И. И. Пятецкого-Шапиро [18].
3*	' 35
Перейдем к новой системе состояний
1аы> =Ьи Ю> =(-1)А1+'‘+1 |аы>,	(1.128)
в которой действие оператора Би имеет вид
Би “ I О*Л+т, 1+п^*	(1.129)
Отсюда сразу же можно получить соотношение между
состояниями системы (ocfeI>. Это соотношение типа
2са;|	~ 0, как мы знаем, единственно. Следовательно,
оно не должно меняться при действии на него оператора
Бы. Нетрудно видеть, что единственное соотношение,
удовлетворяющее этому требованию, имеет вид
1] I am,n> = 2 (- l)mn+m+" | am,n> ~ 0	(1.130)
m,n	m,n
и совпадает с (1.105).
Отметим еще, что единственность решения функцио-
нального уравнения (1.117) следует из неприводимости
представления группы Wt, индуцированного дискретной
подгруппой Г ([18], [112]). В частности, при е4 = 82 = 1
состоянию |0И> соответствует
/n(z) = co(z)exp(—vz2),	(1.131)
где v =(4л)-1г(-г|1(02 — г|2бь), ip = £ (<щ/2), а и £ —из-
вестные функции Вейерштрасса (относительно деталей
см. [62]). В заключение отметим интересную работу [26],
где такие состояния были использованы для описания
движения электрона в периодическом магнитном поле.
§ 1.6. Операторы и их символы
Как было показано в § 1.2, вектор |ф> гильбертова
пространства Зё полностью определяется функцией
<а!ф>, которую можно назвать символом вектора*). Тем
самым мы получаем функциональную реализацию гиль-
бертова пространства. Аналогично, оператору из опреде-
ленного класса в гильбертовом пространстве с помощью
системы когерентных состояний можно поставить в соот-
ветствие функцию, которая полностью определяет этот
оператор. Эту функцию мы и будем называть символом
оператора.
*
*) Следует, однако, иметь в виду, что не каждая функция
/(а) определяет вектор |4>>.
36
Такое соответствие между функциями и операторами
оказывается весьма полезным. Оно позволяет, например,
свести ряд вопросов относительно операторов к более
простым вопросам, относящимся к функциям. Полезным
оказывается и обратное соответствие. Именно, символ
оператора в ряде случаев можпо рассматривать как функ-
цию па фазовом пространстве классической динамиче-
ской системы. Сопоставление ему оператора дает кванто-
вание этой системы. Тем самым устанавливается связь с
работами Кириллова [38] и Костанта [41, 173] по кванто-
ванию, в которых развита общая процедура построения
унитарных неприводимых представлений групп Ли. Ко-
герентные состояния осуществляют этот переход наибо-
лее естественным образом: во многих случаях они явля-
ются квантовыми состояниями, свойства которых наибо-
лее близки к классическим. Поэтому построен не системы
когерентных состояний можпо рассматривать как завер-
шение процедуры квантования, и этот этап можно на-
звать постквантованием.
Итак, пусть {|ос>}—обычная система КС, и пусть
А — некоторый оператор. Поставим ему в соответствие
функции А (а, р) и А (а, р), определенные формулами
Д(а,Р) = <сс(Д|р>,	(1.132)
А (ос, р) = ехр а ' I J А (ос, р).	(1.133)
Нетрудно видеть, что функция Л (ос, Р) полностью
определяет оператор А, причем опа является аналитиче-
ской функцией комплексных переменных ос и р. Пока-
жем, что эта функция полностью определяется своими
значениями на диагонали, т. е. функцией А (ос, а). Пе-
рейдем к новым переменным и = (а + Р)/2, ы = i (ос — р)/2,
так что р = и + tv, а = и — tv. Тогда F (и, и) = 4 (ос, р) —
целая функция переменных и и и. На диагонали ос = р
переменные и и v вещественны. Поэтому наше утвержде-
ние является следствием того хорошо известного факта,
что целая функция переменных и и и полностью опреде-
ляется своими значениями при вещественных и и V.
Таким образом, функция Л (ос, Р) также полностью
определяется своими значениями на диагонали, т. е.
функцией
<?л(ос)= <ос|Д|ос> = Д (ос, ос)= ехр(—|ос|2)4(ос, а). (1.134)
37
С другой стороны, в ряде случаев оператор А можно
представить в виде
А = J РА (а) |а> <а |dp. (а).	(1.135)
Такое представление оператора рассматривалось еще
в работе Глаубера [142, 143] и Сударшана [235].
Возникает естественный вопрос: какими свойствами
должна обладать функция переменных а и а для того,
чтобы она могла рассматриваться как Р- (или Q-) символ
оператора; для каких операторов такие символы су-
ществуют?
Известно, что если оператор А ограничен, то сущест-
вует символ QA(a), который является значением целой
функции А (а, 0) при 0 = а. При этом функция Л (а, 0)
удовлетворяет неравенству
| А (а, 0) |< || Л||ехр(^41Н2).	(1.136)
Здесь символ ИЛИ означает верхнюю грань величины
<ф1Л|ф> по всем нормированным состояниям |ф>,
<ф|ф> = 1. (J-символы существуют также и для некото-
рых неограниченных операторов, например для операто-
ров, являющихся полиномами по операторам рождения п
уничтожения, а+ и а.
Для P-символов известен следующий результат: если
Р(а, а) — функция такая, что
JIР (а, а) |г ехр (—\ а |2) dp, (а) < оо при г > 2, (1.137)
то эта функция является P-символом оператора с плот-
ной областью определения. Свойства Q- и Р-спмволов
операторов были исследованы Березиным [9], назвавшим
их ковариантными (виковскими) и контраварпантными
(антивиковскими) символами соответственно. Они обла-
дают рядом свойств, в некотором смысле дуальных друг
другу. Мы приведем здесь некоторые из этих свойств без
доказательства.
1.	Пусть для оператора Л его средние значения
<ф|Л|ф> по состояниям |ф>, принадлежащим плотной
области гильбертова пространства, образуют множество
12) (Л) на комплексной плоскости, величины (?л(а, а) об-
разуют множество S)(Q), а выпуклая оболочка множества
38
величии РА(а, а) образует множество 0(Р). Тогда
0(Q)<=0(A)<=0(P).	(1.138)
В частности, для того чтобы оператор А был ограни-
чен, необходимо, чтобы его Q-символ был ограничен, и
достаточно, чтобы P-символ был ограничен. .Кроме того,
справедливы следующие неравенства:
sup |(2л(а, а) I «£ ИЛИ sup \РА(а, а) I; (1.139)
здесь ИДИ — норма оператора А.
2.	Если оператор А определен на финитных векто-
рах*), его замыкание является самосопряженным опера-
тором, обладающим символом Р(а, а) таким, что
J | Р ехр (—| а |2) dp, (а) < оо при &>1;
тогда этот оператор обладает также (2-символом (2(a) и
0((2)со(Л)с0(Р),	(1.140)
где о(Д)— выпуклая оболочка спектра А.
3.	Для того чтобы оператор А был ядерным**), необ-
ходимо, чтобы его символ (2 (а, а) был интегрируемым, и
достаточно, чтобы интегрируемым был символ Р(а, а).
При этом справедливо следующее соотношение:
ti' (Л) = [ Q (а, а) dp. (а) = J Р (а, а) dp. (а). (1.141)
4.	Для того чтобы оператор А был вполне непрерыв-
ным, необходимо, чтобы его символ (2 (а, а) стремился к
нулю при |а1 оо, и достаточно, чтобы стремился к ну-
лю символ Р(а, а) при 1а1 -> °°.
5.	Если Я — самосопряженный оператор, обладающий
как Q-, так и P-символами, то
ехр (— tQ (а, а)) dp. (а)
tr ехр (— tH)	J ехр (— tP (а, а)) dp. (а). (1.142)
*) Вектор 1ф> называется финитным, если его символ
ехр (|а|2/2) <а[ф> является полиномом по а.
**) Оператор А называется ядерным, если У, |(Ф„| Л | оо
для любого ортопормировашюго базиса {|фп>) в гильбертовом про-
странстве. Для ядерпого оператора У, (фп | А | не зависит от
выбора базиса и называется следом оператора А.
39
Оператор ехр (—tH)—ядерный, если существует интеграл
J ехр (— tP (а, а))	(а).
Отметим, что левая часть неравенства в (1.142) сле-
дует из (1.141) и из неравенства для (^-символа Ufa, a|f)
оператора ехр(—Ш):
Ufa, a\t)> ехр(—til (а, а)).	(1.143)
Правая часть неравенства в (1.142) аналогична обыч-
ному неравенству Фейнмана
tr {ехр (— til)] <	Jехр (— til (р, q)) dp dq,
H = p2/2+Vfq).	(1.144)
Заметим, что доказательство неравенства (1.144) ос-
новано па представлении оператора ехр(—til) в виде
интеграла по мере Винера и не может быть распростра-
нено на операторы более сложного вида.
С помощью неравенства (1.142) при довольно общих
предположениях можно получить асимптотику (при Е -*
-> оо) величины N(Е) —числа собственных значений
оператора II, меньших Е:
К(Е)еГГоо (1+о(1)) j ЙИ(<Х) = (1 + о(1)) f dp fa).
Р(а)<Е	Q(a)<E
(1.145)
Доказательство соотношения (1.145) дано в работе [28]
при условии, что Р- и (7-символы оператора II регуляр-
ны и удовлетворяют условию
f 4i(a) = +£?(l + о(1)), Y>°- (1-146)
Р(<х)<Е
В этой же работе отмечено, что экспоненту в фор-
муле (1.142) можпо заменить произвольной вогпутой
функцией: ехр (ж) -> ср (я).
Отметим еще, что систему КС можно использовать
для обобщения так называемого неравенства Голдена —
Томпсона [145, 240]:
tr ехр {—t (Л + В)) + tr {ехр(—М)ехр(—tB)).	(1.147)
40
А именно, можно доказать [179] следующее неравенство:
tr ехр {— t (А + В)}
J (х [ ехр (— tA) | х) ехр (— tPB (я)) (ж)> (1.148)
где
В = J Рв (ж) | х} (х | d\t (х).	(1.149)
Наконец, отметим, что Q- и P-символы связаны про-
стым соотношением
<?A(a) = J|<a\₽> |2Ра(₽)^(₽) =
= л"1 J* ехр (- |а -р |2) РА (р) d2p. (1.150)
Ядро, входящее в это соотношение, является сглажива-
ющим. Поэтому Q (а) определяется по любой заданной
функции Р(а). Обратное утверждение, вообще говоря,
неверно, а именно существуют операторы, обладающие
(^-символами, но не имеющие Р-представления.
Q- и P-символы оператора тесно связаны с так назы-
ваемыми нормальной и аптинормальной формами запи-
си оператора. Напомним, что нормальной, или ваков-
ской, формой записи оператора называется представле-
ние его в виде
Л = 2 AmJ^ma\	(1.151)
т,п
в котором операторы а+ стоят слева от операторов а.
Заметим, что в такой форме может быть записан любой
ограниченный оператор. При этом, как нетрудно видеть,
«) = <а 12 1 сс> = Т Атпатап. (1.152)
Следовательно, разложение функции <?л(а, а) по степе-
ням а и а дает коэффициенты Атп в нормальной форме
записи оператора А.
Пусть теперь оператор А записан в аптинормальной
(антивиковской) форме
(1.153)
m,n
Перепишем это выражение в виде
Л = 2	(«+)п.	(1-154)
т,п
где I — единичный оператор.
41
Подставляя вместо I разложение единицы (1.45), по-
лучаем следующее выражение для функции РА:
РЛ(а, а) = У АтПатап.	(1.155)
т,п
Таким образом, Р-представлеиие тесно связано с ан-
типормальной формулой записи оператора.
Приведем выражение для символа произведения двух
операторов. Пусть С = АВ. Тогда
С (а, у) = J А (а, р) В (р, у) du (р),	(1.156)
С (а, у) = J А (а, р) В (р, у) ехр (- \ р rfp (fl). (1.157)
Действие оператора па состояние
|ф>=2|ср>	(1.158)
также нетрудно переписать через символы
ф(а)= <а1ф>, ср(а)= <а1ср>.	(1.159)
Ф(Р) = ]'<₽|®>^А(а)ф(а)б?р(а),	(1.160)
Ф (Ю = J Л (р,а) Ф (а)'<Дл (а).	(1.161)
Проиллюстрируем удобство использования символов
операторов па некоторых примерах.
А. Лемма Шура (см., например, [94]).
Лемма. Любой ограниченный линейный оператор В,
коммутирующий со всеми операторами D(a), кратен еди-
ничному оператору, умноженному на число.
Доказательство. Оператору В соответствует символ
B(z, z)=exp(|z|2)<0|D42)^(z)l0>.
При этом из условия коммутации сразу же получаем
B(z,z) = exp(zz)Z?00. Следовательно, B(z, w) = exp(ztp)Z?Oo,
а этому символу отвечает оператор Вм  I.
Б. Вычисление величины trU(y). В качество другого
примера рассмотрим вычисление следа оператора D(y),
или,, иными словами, характера представления T(g). Не-
трудно видеть, что оператору D(у) отвечают символы
Р(а) = ехр(|у|72)ехр(уа — уа),
(1.162)
<2(а) = ехр(—]у|72)ехр(уа — уа).
42
Отсюда получаем
tr D (у) = ехр (— 1 у \2/2) J ехр [2i Im (ya)] dp. (а) =
= л62(у), 62(у) = 6(У1)6(у2), Т=Т1 + г’Т2- (1-163)
Из (1.163), в частности, следуют важные соотношения:
n-1tr[Z)(a)£>-1(P)] = 62(a-₽)I	(1-164)’
А= J tr [D(t]) ^]-O-1(T])d2q.	(1.165)
С помощью символов нетрудно получить также яв-
ное выражение для матричных элементов оператора
D(y). Именно, из (1.162) находим выражение для функ-
ции
G(a, (3; у) = ехр [^- (Jal2 + Jpl2)] <a|Z>(y) lp> =
= ехр(—!yl2/2)exp(ap + ay — Ру).	(1.166)
С другой стороны, это выражение равно
G (а, (3; у) = 2 ит (a) Dmn (у) ип (Р); ит (а) = а"*/1/Л?пЬ
т,п
(1.167)
так что функция G(a, р; у) и является производящей
функцией для матричных элементов. Остается разложить
выражение (1.166) в ряд по степеням а и р. При этом
получаем формулу Швингера [222]:
Dm,n (у) =
(/п!)-1 ехр (—ут~"Лп“” (| у |2) при т п,
Ут\ (и!)-1 ехр	-- j (—y)n~mAm~m (| у |2) при т^.п,
(1.168)
где Ln(x) — полином Лагерра. Вывод этой формулы,
а также ряда свойств полиномов Лагерра, следующих
отсюда, дан в приложении Б.
Отметим, что ранее, но в несколько ином виде, фор-
мула (1.168) была получепа в работе Фейпмапа [127].
Отметим также, что при т = п из (1.168) следует
<relexp(aa+)exp(—aa) |п> =G„(lal2).	(1.169)
43
Наряду с символами РА(а) и Qa(cz), которые свя-
заны с виковской и антивиковской формами записи опе-
ратора А, удобно ввести еще одну функцию — WA(a),
которая также полностью характеризует этот оператор.
Рассмотрим так называемую симметризованную фор-
му записи оператора
Я= S4mn{(a+)’na"|,	(1.170)
т,п
где симметризованпое произведение {(а+)"’ап} определя-
ется формулой
(1.171)
а оператор Р (симметризатор) означает сумму (ш + и)!
перестановок сомножителей.
Оператору А, записанному в виде (1.170), поставим
в соответствие функцию
WA(a)= ^Лт,патап.	(1.172)
т,п
Для того чтобы выяснить соотношение между А и
WA, представим функцию Жд(а) в виде интеграла
Фурье:
WA (а) = j ехр (ат) — ар) %А (ц) dp, (ц).	(1.173)
Тогда, как нетрудно проверить, оператор А, отвеча-
ющий WA, дается формулой *)
А = j D (ц) хд (n) dp (ц) =
= Jexp(a+T] —ац)хл(п)^н(л)- (1-174)
Таким образом, переход от функции Wa к оператору А
сводится к замене в интеграле Фурье (1.173) ^величины
а на оператор а и соответственно величины а на опе-
ратор а+. Такое соответствие между функциями и опе-
раторами было установлено Г. Вейлем (см. его книгу
[250] и работу [249]). Функцию WA(a) мы будем на-
зывать поэтому вейлевским символом оператора А.
*) Функция Ха (л), входящая в формулу (1.174), полностью
определяет оператор. Она называется характеристической функ-
цией и более детально будет рассмотрена в § 1.7.
44
Теперь нетрудно выразить оператор А через функ-
цию ГКл(а). Для этого из (1.173) находим функцию
Хл(т]) и подставляем ее затем в (1.174). Получаем фор-
мулу
Я = jwA(a)f(a)dp(a),	(1.175)
где	'
Т (а) = J ехр (ар — ар) D (ц) dp (ц),	(1.176)
Т (а) = 2D (a) J О~г (а) == 2D (2а) J = 2JZ) (- 2а). (1.177)
Здесь J — оператор инверсии на а-плоскости:
JD (а) J = D (-а), J2=T,	= (~1)"6,„„. (1.178)
Операторы Г (а), так же как и операторы 7) (а), обра-
зуют полную ортогональную систему:
n-’trlT», Т(р)] = б2(а-Р),	(1.179)
J Тм (а) Ттп (а) dp (а) = 6im6hn.	(1.180)
Мы можем, следовательно, разложить произвольный
оператор по операторам Т(а):
А = л"1 J [tr (Г (а) Я)] Т (а) dp (а).	(1.181)
Нетрудно установить также связь между функциями Q,
Р и W. Именно, из (1.173) и (1.174) следуют соотно-
шения
WA (а) = J РА (Р) ехр (- 2 | а - р Н) dp (Р), (1.182)
Qa (а) = J WA (Р) ехр (- 2 | а - р |2) dp (Р) =
= f Ра (Р) охр (- | а - р |2) dp (Р). (1.183)
Таким образом, функции 1Ул(а) и <?л(а) являются
сглаженными версиями функции Т’л(а). В классическом
пределе все эти функции существенно меняются на рас-
стояниях Да >1; при этом все три функции совпадают.
§ 1.7. Характеристические функции
В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства
характеристических функций (см. работы [31, 75, 156,
183, 188]).
45
Пусть W(q, р) —некоторое вероятностное распреде-
ление в фазовом пространстве классической динамиче-
ской системы. В классической статистике характеристи-
ческая функция х(|, л) определяется как математиче-
ское ожидание величины ехр i (—лд +	, т. е. как
преобразование Фурье функции W(q, J). Перейдем к
новым переменным
а = ^=(<7+ip), =	+	(1-184)
Тогда
X (ц) = J w (а) ехр (— ца + ца) dp, (а),	(1.185)
w (а) = J х (ц) ехр (ца — т|а)с?р,(т]).	(1.186)
Рассмотрим подробнее важный частный случай, ког-
да w(q, р) —символ матрицы плотности: w(a, а)~
= <alpla> = <2(а), т. е. w(a, а) —нормированная ве-
щественная и неотрицательная функция. Отсюда следу-
ет, что характеристическая функция х(т1) должна удов-
летворять условиям
1.	Х(0) = 1,	(1.187)
2.	_	хО1)=Х(~ П),	(1.188)
3.	2 ZiZjX (т]г — ф) > 0,	(1.189)
где неравенство (1.189) должно выполняться для лю-
бых наборов комплексных чисел zb . . ., zn и тр, . .., цп.
Это неравенство есть известное условие положительной
определенности — условие Бохнера — Хипчипа (см., па-
пример, [76]).
Характеристическая функция х(л) удобна для вы-
числения моментов случайных величин:
Мтп = <ата”> ~ [ W (а) атап dp (а) —
= (-ДГ(ЛЪ(9)1п=о. (1.190)
\	\dx\l
Пользу от введения характеристической функции мы
получаем, в первую очередь, благодаря мультиплика-
тивному свойству ехр (х + у) = ехр х • ехр у. Поэтому,
если величина а есть сумма нескольких независимых
случайных величин (а = «1 + ... + ап), характеристиче-
ская функция х(я) величины а дается произведением
46
характеристических функций %7(ц), а распределение ве-
роятностей да (а) — формулой свертки:
п
Z 01) = II Xi 01)а
>=i
(1.191)
w (а) — § ... J № (а — ах —
п
-—^п) Ц Wj (aj) d2aj. (1.192)
7=1
Из (1.192), в частности, видно, что распределение ггг(а)
заведомо неотрицательно при неотрицательных геДа).
На свойстве (1.191) основаны многочисленные приме-
нения характеристических функций в теории вероятно-
стей, в проблемах случайных блужданий и броуновского
движения (см., например, [75] и [76]). При переходе к
квантовой теории появляются два новых пункта.
Во-первых, состояние системы задается матрицей
плотности р, т. е. эрмитовым положительно определен-
ным оператором со следом, равным единице. При этом
среднее значение любого оператора определяется по
формуле
<?’> = tr(pF).	(1.193)
Во-вторых, q и р, а также а и «+ теперь не ком-
мутируют, и следовательно, существенен порядок сомно-
жителей exp(pa+) и ехр(—цн). Обычно работают с од-
ной из трех характеристических функций:
7,n(—ц) = 1г(р ехр(т]«+)ехр(—г]й) ),	(1.194)
%0(—ц) = tr (р ехр(цн+— т]«)),	(1.195)
XA(-1l) = tr(p ехр(—цн)ехр(ца+)).	(1.196)
Индексы N, О, Л соответствуют нормальному, обыч-
ному (симметризовапному) и антипормальпому распо-
ложению а и индекс О обычно опускается.
В силу (1.65), (1.66) все три характеристические
функции просто связаны друг с другом,
X/;(i])= ехр(-щ|т]12)хл(т]),	(1.197)
0
1/2
Д
ok =
при к = N,
при к = О,
при к = А,
(1.198)
и поэтому достаточно знать любую из них.
47
Приведем полезную формулу для матрицы плотно-
сти, диагональной в представлении чисел заполнения
(Pmn ^m6mn) :
ХА (n) = ехр I— На | Т] |2] 2 wnLn (| ц |2).	(1.199)
п
Воспользовавшись формулами (1.65), (1.197), нетруд-
но получить, что
P = jxo(n)^(n)^(n)«	(1-200)
Р = J XN (П) ехр (— ца) ехр (ца+) dp, (ц),	(1.201)
Р = J ХА 01) ехр (т]а+) ехр (— ца) dp (ц)	(1.202)
(следует обратить внимание на порядок операторов а
и а+). Таким образом, любая из характеристических
функций хй(ц) однозначно задает матрицу плотности р.
Из эрмитовости и нормировки р для характеристиче-
ской функции, как и в классической теории, для всех
к следует	_
Ха(0)=1, Ха(п) = Ха(-П).	(1-203)
Условие неотрицательности матрицы плотности
<i])|p|i|)> > 0	(1.204)
для любого вектора [ap> для функций %А(т]) записыва-
ется в виде (см. [83])
2 Zj ехр + ай | гр — тр I2) ха (тц — rjj) > 0 (1.205)
при любых наборах комплексных чисел Zj, ..., zn;
Ц1, • •Цп-
В квантовом случае, так же как и в классическом,
характеристические функции удобны для вычисления
моментов:
Ml = (- Д)”1 (1)" Хл (9) |ч=о.	(1-206)
*
Величины Мтп суть средние значения нормальных, ап-
тинормальных и симметризованных произведений
Л^ = <(а+)%Я>,
М^ = <ап(а+Г>>	(1-207)
М^=<{ап(а+)т]>.
48
Глава 2
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГРУППЫ ли
Результаты предыдущей главы можно обобщить па
случай произвольной группы Ли. Это и является пред-
метом данной главы, где, следуя работе [207], введены
системы когерентных состояний для произвольной груп-
пы Ли и исследован ряд свойств этих систем. Читатель,
интересующийся главным образом когерентными состоя-
ниями для простейших групп Ли, может данную главу
опустить.
Заметим, что хотя обобщенные когерентные состоя-
ния можно определить для липейпых представлений про-
извольной группы (например, для конечной группы),
мы ограничимся рассмотрением унитарных неприводи-
мых представлений групп Ли. Именно в этом случае
мы получаем содержательную теорию.
§ 2.1. Определение обобщенного когерентного состояния
Пусть G — произвольная группа Ли, a T(g)—ее
унитарное неприводимое представление, действующее в
гильбертовом пространстве Ж.
Возьмем некоторый фиксированный вектор |ф0> про-
странства Ж и рассмотрим множество векторов |фг>, где
lipg> — T(g) a g пробегает всю группу G. Нетрудно
видеть, что векторы | и | отличаются друг от
друга на фазовый множитель: |	= ехр (га) | фг2>»
Iохр (га) I = 1, или, иными словами, определяют одно и
то же состояние лишь в том случае, когда	=
= ехр (га) | ф0). Пусть Н — {h} — множество элементов
группы G таких, что
-	Т(/г) |ф0> = охр(г’а(/г)) 1ф0^-	(2.1)
Очевидно, что Н — подгруппа группы G. В том слу-
чае, когда подгруппа Н максимальна, мы назовем ее
стационарной подгруппой состояния |ф0>.
Из этого построения видно, что векторы |фг> для
всех g, входящих в один левый класс смежности G по
Н, отличаются друг от друга лишь фазовым множите-
А. М. Переломов	49
лом и потому определяют одно состояние. Выбирая в
каждом классе х по одному представителю g(x) группы
G*) получаем множество состояний {|фв(х)>}, где х е X =
= G/H, или в сокращенной форме записи: {|ж>}, х е= X.
Теперь мы можем определить понятие обобщенного
когерентного состояния.
Определение. Системой когерентных состояний типа
{T(g), |ф0>} (T(g) —представление группы G, действу-
ющее в некотором пространстве <3^, а |фо> — фиксиро-
ванный вектор этого пространства) назовем множество
состояний {|ф4>}, |фе> = T(g) |ф0>, где g пробегает всю
группу G.
Пусть II — стационарная подгруппа состояния |ip0>.
Тогда когерентное состояние |фг> определяется точкой
x = x(g) факторпрострапства G/H, соответствующей эле-
менту g; |фе> = exp(z’a) lz(g)>, |ф0> = |0>.
Замечание 1. Состояние, соответствующее вектору
|ж>, можно рассматривать также как одномерный про-
ектор Рх=\х')(х\ в <3^, dimPx=l. Таким образом, си-
стема обобщенных КС определяет множество одномер-
ных подпространств в Ж, параметризуемых точками од-
нородного пространства X = G/II.
Можно рассмотреть и более общие системы, когда
точке х однородного пространства X ставится в соответ-
ствие подпространство Рх в Ж, которое уже необяза-
тельно одномерно, причем Т (.g)PxP(g~i) = Рцх- Такие си-
стемы были исследованы в работе [24].
Замечание 2. В ряде случаев иолезпо рассматривать
не гильбертово пространство <3^, а более широкое про-
странство Ж^ Ж — так называемое оснащенное гиль-
бертово пространство. Тогда действие представления
Т (g) распространяется па пространство Ж. Если в ка-
честве начального элемента |ф0> взять элемент простран-
ства Ж, то получится более общая система КС. Такие
системы КС возникают при рассмотрении представлений
основных серий полупростых групп Ли, а также когда
стационарная подгруппа II является дискретной под-
группой в G (см. § 1.5 по тета-функциям и § 3.2).
Важный класс систем КС образуют такие системы,
для которых пространство Х~ G/II является однород-
ным симилектическим многообразием. В этом случае
*) Группу G можно рассматривать как расслоенное прострапн
ство, база которого есть X = G/Я, а слой есть Я. Выбор g(z) —это
выбор определенного сечения этого расслоения.
50
X можно рассматривать как фазовое пространство клас-
сической динамической системы*), а отображение х
-*• Рх — как «квантование» этой системы.
Способ построения унитарных неприводимых пред-
ставлений группы G по классической динамической си-
стеме с фазовым пространством X был развит Кирилло-
вым [38] и Костантом [41, 173], однако в этом подходе
не рассматривается принцип соответствия и аналог
постоянной Планка. При дополнительном предполо-
жении об аналитичности, т. е. для случая, когда про-
странство X является пе только спмплектпческим, по
также п комплексным многообразием, т. с. однородным
кэлеровым многообразием, иной подход к квантованию
был развит Березиным [10]. Этот подход дает возможность
получить больше результатов, но для более узкого клас-
са групп. В рассматриваемом случае квантование осу-
ществляется при помощи когерентных состояний, при-
чем, в отличие от общего случая, здесь можно дока-
зать также и принцип соответствия: классическая ди-
намика является пределом квантовой динамики, когда
параметр, играющий роль постоянной Планка, стремит-
ся к пулю.
В дальнейшем мы будем называть для краткости
обобщенные КС просто когерентными состояниями.
§ 2.2. Общие свойства системы
обобщенных когерентных состояний
Заметим прежде всего, что из (2.1) сразу же сле-
дует, что ехр [га(/г2Л1)] = exp(ia(/i2))exp(ia(fc1)), т. е.
cxp(ia(A))—одномерное унитарное представление (ха-
рактер) группы Н.
Если это представление не является тождественным,
т. е. а(7г)^0, то факторгруппа А группы Я по ее ком-
мутанту Н' **) не является тривиальной, т. е. содержит
элементы, отличные от единицы; при этом характер
группы А полностью определяет представление груп-
пы Н.
*) Определение и свойства спмплектичоских многообразии
можно найти в книге Арнольда [I]. Однородные симплектическпе
многообразия, по существу, исчерпываются орбитами коприсоеди-
ненного представления [381-
**) Напомним, что коммутант Н' группы Н состоит из элемен-
тов h’ вида А' =	Коммутант является инвариантной
подгруппой в Я, а факторгруппа ЩН' — абелевой группой.
4*	‘	51
Если же й(А)=О, то Н — стационарная подгруппа
вектора lip0> в обычном смысле слова. В том и в другом
случае представление Т группы G при сужении его на
подгруппу Н должно содержать одномерное (единичное)
представление группы Н*).
Заметим, что если подгруппа Н связна, то вектор
Iipo> является собственным вектором инфинитезимальных
операторов представления группы Н.
Пусть Но — подгруппа группы Н, состоящая из эле-
ментов ho таких, что T(h0)= I. Нетрудно видеть, что
Но — инвариантная подгруппа группы Н. Рассмотрим
факторгруппу Н/Но. Если она компактна, то вектор
|ip0>, являющийся собственным вектором операторов
T(h), принадлежит гильбертову пространству <Ж В том
случае, когда Н/На некомпактна, вектор не содер-
жится в пространстве <3$?, а входит в пространство обоб-
щенных функций <3$?-оо **).
Рассмотрим действие оператора Т(g) на состояние ***)
11ро> = Ю>:
T(g} |0> = exp(ia(g)) U(g)>.	(2.2)
Здесь функция a(g) определена па всей группе G
и при g е Н совпадает с ранее рассмотренной функцией
a(/j). Заменяя в равенстве (2.2) g на gh, получаем
a(gh) = a(g)+ a,(h).	(2.3)
Подействуем теперь оператором T(gi) на произволь-
ное когерентное состояние \хУ:
Т(g,)\хУ = ехр [-ia(g)]Т(gi)T(g) !0> =
= exp[ip(g„ g)]lg! -хУ,
₽(gi, g) = a(gtg)-a(g).	(2.4)
Здесь x — x(g), gl-x = xl^X и определяется дей-
ствием группы G на однородном пространстве X = G/H.
Заметим, что в силу (2.3) равенство (2.4) является кор-
*) Во многих случаях полезную информацию о возможных
представлениях T’(g) можно получить из теоремы двойственности
Фробепиуса. Именно, если Та — представление группы G, инду-
цированное характером ехр (га) подгруппы Я, то представление
Т должно входить в разложение Та на неприводимые представ-
ления.
**) Определение этого пространства было дано в § 1.5.
***) Формула (2.2) определяет отображение л: С->.//, где JK—
расслоенное пространство, база которого есть X = G/Н, а слой —
окружность.
52
ректным, т. е. правая часть равенства зависит не от g,
а лишь от класса смежности «(g); ₽ (g4, g)=₽(gi, «).
Нетрудно видеть, что скалярное произведение двух
когерентных состояний |«4> = |«(g4)> и |«2> = |«(g2)>
имеет вид
<хх | «2> = ехр {j [a (gj — а (g3)]} <01 Т (g^g2) \ 0> (2.5)
и в силу (2.3) пе зависит от выбора представителей g4
и g2. В силу же унитарности представления при х, =И= х2
имеем |<ж4|;г2>| < 1, и
<«4|«2> = <«2|«4>,	(2.6)
<g • xjg  x2> = exp {i [p(g, «4) — P(g, x2)]}<Xi\x2>. (2.7)
§ 2.3. Полнота системы КС и разложение
по состояниям этой системы
Переходя к вопросу о полноте, заметим прежде все-
го, что полнота системы сразу же следует из неприво-
димости представления Т (g). Пусть теперь группа G
допускает двусторонне инвариантную меру d|i(g). Она
индуцирует инвариантную меру dx на однородном про-
странстве X — GUI. Предполагая, что условия сходимо-
сти выполнены, рассмотрим оператор
В = J \ «) <« | dx,	(2.8)
где |«><«|—проекционный оператор на состояние \хУ.
Из определения В, инвариантности меры dx и фор-
мулы (2.4) сразу же следует, что
T(g)B(T(g))-^B.	(2.9)
Таким образом, оператор В коммутирует со всеми опе-
раторами T(g), и потому, в силу неприводимости пред-
ставления T(g), он кратен единичному:
В = d-I.	(2.10)
Для нахождения постоянной d вычислим среднее зна-
чение оператора В в состоянии Ь/> (<*/1у> = 1):
<gl#|z/>= J I <И Р = J | <01 «> |2d« = d. (2.11)
Отсюда видно, в частности, что необходимым усло-
вием существования оператора В является сходимость
53
интеграла в (2.11). В этом случае мы будем называть
систему КС квадратично интегрируемой системой коге-
рентных состояний*). Определив меру на X, dy(x) =
= d~l • dx, получаем важное тождество
J |«><^|dp(x) = I.	(2.12)
С его помощью можно разложить произвольное со-
стояние |ф> по когерентным состояниям:
1ф> = J с (х) | х) dp(x'),	(2.13)
где с(х) = <ж|ф>. При этом
<ф|ф> = ^с(ж)(2йр(ж),	(2.14)
а функция с(х) не является произвольной, а должна
удовлетворять уравнению
J <г| y>c(y)dp(y).	(2.15)
Таким образом, ядро К(х, у)=(х\у'> является вос-
производящим ядром:
K(x,z)^^K(x,y)K{y,z)dVi(y),	(2.16)
а функция с (х) = J К (.г, у) f(y) dp (у) удовлетворяет урав-
нению (2.15) при произвольно выбранной функции f(y).
Нетрудно видеть также, что между когерентными со-
стояниями существуют «линейные зависимости». В са-
мом деле, из (2.12) следует, что
U> = \ <у\х>\у> dp(y).	(2.17)
Это значит, что система когерентных состояний яв-
ляется сверхполной, т. е. в ней существуют подмноже-
ства когерентных состояний, являющиеся полными си-
стемами.
Важный класс таких подмножеств можно построить
с помощью дискретных подгрупп группы G. Пусть Г —
дискретная подгруппа группы G такая, . что объем Кг
*) К этим случаям относятся все представления компактных
полупростых групп, представления дискретных серий веществен-
ных полупростых групп и ряд представлений разрешимых групп
Ли.
54
факторпрострапства Г\Х = Г\С/77 конечен. Рассмотрим
подмножество когерентных состояний
{k<>} = {к(7,)>}, у.еГ.	(2.18)
Возникает вопрос о полноте таких подмножеств. Для
простейшей нильпотентной группы — группы Гейзен-
берга — Вейля — решение этого вопроса было дано в
§ 1.4. Для ряда некомпактных полупростых групп Ли,
обладающих дискретными сериями представлений, этот
вопрос рассмотрен в [211].
§ 2.4. Выделение систем обобщенных КС,
наиболее близких к классическим состояниям
Важное свойство приведенной выше конструкции со-
стоит в том, что система КС существенно зависит от
выбора начального состояния |-ф0>. Возникает вопрос, как
выбрать вектор |ip0> так, чтобы состояния полученной
системы были наиболее близки к классическим. Такой
способ выделения, предложенный в работе [66] и далее
развитый в [69], и будет изложен ниже.
Идея способа состоит в расширении алгебры Ли 3
группы G до комплексной алгебры 3е и рассмотрении
стационарной подалгебры SS в 3е состояния |'ф0>. Те век-
торы, для которых эта алгебра максимальна, и явля-
ются выделенными и, как будет видно из дальнейшего,
наиболее близки к классическим.
Действительно, как будет показано ниже, для случая
компактной простой группы Ли эти состояния обладают
минимальной неопределенностью в смысле инвариант-
ного определения, предложенного в работах [190, 121].
Однако предлагаемый здесь способ является более об-
щим и годится также для других групп, например для
группы Гейзенберга —- Вейля, осцилляторной группы и
других нильпотентных и разрешимых групп, а также
для некомпактных полупростых групп Ли, обладающих
дискретными сериями представлений.
Перейдем к изложению способа.
Пусть 3 — алгебра Ли группы G, а 3е —- ее комплек-
сификация, т. е. множество линейных комбинаций эле-
ментов 3 с комплексными коэффициентами. Пусть
Т (g) — рассматриваемое унитарное неприводимое пред-
ставление группы G, a Tg — соответствующее представ-
ление алгебры 3, |ip0> — фиксированный вектор в про-
странстве представления. Обозначим через & = {Ь} ста-
55
ционарную подалгебру состояния |ф0\ т. е. множество
элементов таких, что
П1фо> =2.Дфо>.	(2.19)
Пусть 3% — подалгебра сопряженная Подалгебру
& назовем максимальной, если 9& ® 9И = 3Z. Состояния,
для которых стационарные подалгебры максимальны, об-
ладают наибольшей симметрией и являются выделенны-
ми. Как мы увидим ниже, они наиболее близки к клас-
сическим состояниям.
Можно показать, что в случае, когда подалгебра &
максимальна, когерентное состояние определяется точкой
факторпространства GZ!B = BID, где В = ехр Й?, D =
= ехр 3), 2D = 3?> П SS. Отметим, что понятие максималь-
ной стационарной подалгебры, по существу, совпадает
с понятием полностью комплексной поляризации, вве-
денным Костантом [173].
Отметим прежде всего несколько свойств рассматри-
ваемой конструкции. Так, 3! П 3 = 36 — стационарная
подалгебра состояния |ф0> в алгебре 3. Нетрудно видеть
также, что & П 3!> — комплексная подалгебра в 3Z, равная
® 136.
Далее из (2.19) следует, что	'Гь2^'ь1') \ ф0) =
= 0, т. е. [Й?, ^] <= ^0, где 3!0 — подалгебра аннули-
рующая |фо>. Заметим, что присоединенное представле-
ние Ad (h) подгруппы Н, действующее на 3, можно
продолжить на 3Z, используя линейность действия. Не-
трудно видеть, что при этом Ad (Л) сохраняет подалгеб-
ру Я'-
Ad (Л) 7,ь11ро> =Хь1ф0>.
В этом случае факторпространство X = G/H можно
снабдить естественной комплексной однородной структу-
рой (см., например, [38], с. 223—234), которая возни-
кает при отождествлении X с GZ!B = В/D (В — ехр(^) —
подгруппа Gz, соответствующая алгебре ^). Группа G
при этом действует на X как группа голоморфных пре-
образований.	.
Рассмотрим ряд таких систем.
1. Пусть G — Wn — группа Гейзенберга — Вейля. Ее
алгебра Ли 3 состоит из (2п + 1) элементов ри .. .„ рп,
qit ..., qn, I, которые удовлетворяют стандартным пере-
56
становочным соотношениям Гейзенберга:
[ft, Ра] = [ft, I] = [/4,1] = О,
(2.20)
\Qi, 7а] = [Рь Га] = О.
В комплексифицированной алгебре 87е мы можем рас-
смотреть элементы (операторы рождения и уничтоже-
ния)
Q/j
7 -	’ h~	У2^ ’ (йз>о’ (2'21)
В этом случае «вакуумный» вектор lip0> («fcIip0> =
= 0) обладает максимальной стационарной подалгеброй:
для него
& = [а}- Л),	= {ft\ 1},	=
С другой стороны, как хорошо известно, построенные
с помощью |ф0> когерентные состояния обладают наи-
меньшей неопределенностью (для них Др^Д<?> = 7г/2) и
потому наиболее близки к классическим.
2,	Приведем пример разрешимой группы. Пусть G —
так называемая осцилляторная группа. Ее алгебра с$ со-
стоит из элементов qh ph, I, A (J, к — 1, ..., п), удов-
летворяющих перестановочным соотношениям *):
[ft, Ра] = гбД [ft, f] = [ft, I] = [ft, ft] =
- [Рь Ра] = [Л, I] = 0, [ft, А] = ipj, [рк, А] = -fft. (2.22)
Снова перейдем от элементов ft, рк к элементам ft, ак
согласно (2.21). В этом случае «вакуумный» вектор
по-прежнему обладает максимальной стационарной под-
алгеброй: для него За = {ft, I, Л),Я = {ft\ IM), =
= Sc, а построенные с его помощью когерентные состоя-
ния наиболее близки к классическим.
3.	Пусть G — компактная простая группа Ли, Н —
ее картановская подгруппа, Зв — соответствующая ей
алгебра Ли, 7,л(д) — представление G со старшим ве-
сом Л, Ь|:т>— вектор представления с определенным ве-
сом т. Возьмем в качестве 1ф0> вектор |фт>. Очевидно,
*) Мы используем термин «осцилляторная» алгебра, поскольку
элемент А можно рассматривать как гамильтониан для квантового
га-мерпого осциллятора: А = -jL V (рj -|- д?)_
3
57
что для того чтобы 3& ®	= ^с, необходимо, чтобы
dim^ > (п + г)/2, где п — размерность группы, г — ее
ранг. Нетрудно видеть, что этим свойством может об-
ладать лишь вектор |фт>, отвечающий доминантному
весу, т. е. старшему весу Л, или же весу, эквивалент-
ному ему относительно преобразований группы Вейля.
Отметим также, что для представлений общего положе-
ния может осуществляться лишь знак равенства dim & =
= (ге + г)/2, а знак неравенства может осуществляться
лишь для вырожденных представлений. Нетрудно видеть,
что это утверждение относится также и к случаю век-
тора |ф0> общего положения! = 2 ст I фт)- Поэтому
мы можем без ограничения общности считать, что |ф0> =
= |фА>. Но такое состояние, а также все когерентные
состояния, построенные с помощью |ф0\ обладают, как
показано в работе [121], наименьшей неопределенностью,
если определить это понятие инвариантным образом.
Именно такие состояния минимизируют величину
ДС2,
C2 = gihXjXh, &С2 = <'фо|С'21фо> —5р,'й<фо1^1,фо><фо1^1фо>,
(2.23)
где С2 — квадратичный оператор Казимира, Xj — генера-
торы представления алгебры S, g3k — тензор Киллинга —
Картана.
Таким образом, и в этом случае построенная система
КС наиболее близка к классической системе.
4.	Рассмотрим простейшую вещественную иолупро-
стую группу Ли G — SU(1, 1), обладающую дискретной
серией представлений Tk(g). Представление этой серии
характеризуется неотрицательным числом к, весовые
векторы |фт> отвечают весам m = /c + n, n = 0, 1, 2, ...
и являются собственными векторами оператора /<0;
= zn|i|)m>. Оператор Казимира С2 в этом случае
имеет вид С2 = Кf + К2 — К% и для заданного представ-
ления Тк кратен единичному: С'21'ф>=Мф>, k = k — к2.
Величина
ДС2 =	+ К, - КЬ - <^>2 - <Я2>2 + <Я0>2 =
= к + т2 = к — к2 + (к + п)2 = к + 2кп + п2
принимает наименьшее значение \С2 — к для т = к,
т. е. для вектора наименьшего веса 1ф0> = I ф/(>. Таким
образом, и в этом случае, когда & — {Ко, К- =	+ iK2),
= {Ка, Ki — iKj, система КС, построенная с помощью
58
вектора |i|)o>, оказывается наиболее близкой к класси-
ческой системе.
Отметим, что сюда относятся также вещественные
простые группы Ли, обладающие дискретными сериями
представлений *) и, кроме того, тем свойством, что их
максимальная компактная подгруппа содержит одно-
мерный центр. При этом рассматриваемые представле-
ния являются представлениями, индуцированными пред-
ставлениями максимальной компактной подгруппы, не-
тривиальными лишь на ее центре.
Известно также, что пространство X = G/H может
быть представлено в виде комплексной однородной ог-
раниченной области. Системы КС, возникающие в этом
случае, изучены в работах [51, 189]. Заметим, что сфор-
мулированное выше утверждение справедливо также п
для определенного класса разрешимых групп Ли, изу-
ченного в работе [219].
Таким образом, рецепт выделения систем обобщен-
ных когерентных состояний, близких к классическим,
предложенный в работе [66] и подробно рассмотренный
в работе [69], оказывается применимым к широкому
классу групп Ли.
Глава 3
ОБЫЧНАЯ СИСТЕМА КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИИ.
СЛУЧАЙ НЕСКОЛЬКИХ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
Случай нескольких степеней свободы по существу
аналогичен случаю одной степени свободы, рассмотрен-
ному в главе 1. Многие формулы главы 1 тривиально
обобщаются на случай нескольких степеней свободы и
потому не будут здесь приведены.
Читатель, который интересуется главпым образом
приложениями метода КС в теоретической физике, мо-
жет опустить эту главу.
§ 3.1. Общие свойства
Напомним, что основные операторы, используемые
для описания квантовой системы с конечным^ числом
степеней свободы — это операторы координат q} и им-
*) Известно, что группа G обладает дискретной серией пред-
ставления, если она содержит компактную картановскую под-
группу.
59
пульсов рк (J, к = 1, ..N). Они удовлетворяют пере-
становочным соотношениям Гейзенберга
fe, Рл] = ik8jkI, [g,-, g„] =
= [?i. П = 0, [ft, A] = [ft, = 0.	(3.1)
Здесь I — единичный оператор, a И — постоянная
Планка.
Теоретико-групповая структура перестановочных со-
отношений описывается соответствующей группой, на-
зываемой группой Гейзенберга — Вейля WN. Как и в
главе 1, здесь более удобно использовать другой базис:
—
4j
„+
k ~ -|/2i ‘
(3.2)
Перестановочные соотношения для операторов as, ак
имеют вид
[flj, (Zfe ] Sj/il !	1 ]	0,
[а*,4] = [«*Л] = 0. (3.3)
Операторы q3, ph, так же как и а}, ак , действуют в
стандартном гильбертовом пространстве Ж. Как хорошо
известно, в этом пространство Ж существует так назы-
ваемый вакуумный вектор |0>, который является нор-
мированным вектором, аннигилируемым операторами а,:
а,|0> = 0, <0|0> = 1.	(3.4)
Действуя на этот вектор операторами ак, получаем на-
бор нормированных векторов:
(3.5)
V пх! ... ^1
Полезно, следуя [92], ввести сокращенные обозначе-
ния
[га] =(га„ ..., nN), [га]! = rajraj ... raw!,
(«+)w = W)n,---(4)’'',	(3.6)
после чего формулу (3.5) можно переписать в виде
|[n|>-W|0>-	(3-7>
Множество векторов {|[га]>} образует базис в гиль-
бертовом пространстве Зё. Действие же операторов а}
60
и ft? в пространстве 3& дается формулами
1 [«]>= /«Л [«']>» «л I [«]> = /«л + 11 [»"]>» (3-Ь)
где [п'] = (П1, .... Mj-i, п,— 1, nJ+1, ..., «я), [п"] =
= (nt, ..щ+1, ..пя). Отметим, что координатное
представление базисных векторов имеет вид
N
<q I [«]> = ф[п] (?) = П Фщ (?;)»
3=1
f '	(	2 \
фп(?) = (2^г!)-1/2(л;Й)~1/4Яп(-^) expl —yL (3.9)
\ у К)	\ Л /
где Нп — полином Эрмита степени п.
Вернемся теперь к соотношениям (3.3). Они означа-
ют, что операторы а,, 4 и I образуют базис алгебры
Ли Wя — алгебры Гейзенберга — Вейля. Произвольный
элемент этой алгебры можно записать в виде
х = si + у — Qp} = si — i (аа+ — аа), (3.10)
где s — вещественное число, а = (б? + i&) 72Й, а =
= (^ — г^э)/У2Й. Здесь и в дальнейшем мы используем
обозначения: ^’ = (5Э1, ..., &я) и б?=(б?1, • • •> Gn) —
TV-мерные векторы, a=(ai, ..., aN), a = (alt ..., aN),
N
aa+ = 2 а/г/-.
i
Оператор x является самосопряженным, а соответ-
ствующий оператор exp(ja?) — унитарным:
ехр(гж) = ехр(г'51)Я(а), Я(а) = ехр(аа+ — аа). (3.11)
Он представляет конечный элемент группы WN соответ-
ствующей алгебры Ли Fy.
Теперь нетрудно видеть, что большая часть формул
главы 1 остается без изменения или же испытывает
тривиальные модификации.
Так, например, выражение для когерентного состоя-
ния, аналогичное выражению (1.70), имеет вид
|«>-ехр(-Ц1а)2^1М>.	(3.12)
а выражение для инвариантной меры —
N N
dp. (а) = ^vnn (йНеа_;)-(<Лта/.).	(3.13)
j=i k=i
61
§ 3.2. Когерентные состояния и тета-функции
для нескольких степеней свободы
Соотношение между когерентными состояниями и
тета-функциями по сравнению с одномерным случаем
здесь усложняется (относительно деталей см., напри-
мер, работы [112] и [63]).
Прежде всего, аналогично тому, как это было сделано
в § 1.5, необходимо распространить представление T(g)
группы Гейзенберга — Вейля, действующее первоначаль-
но в пространстве <3^, на пространство Рассмот-
рим правильную решетку L в УУ-мерном комплексном
пространстве Ъ , т. е. множество векторов вида
2N
ап = У! п/о;,
1
где щ — целые числа, a 2N векторов а} в CN (периоды
решетки) вещественно линейно независимы. Рассмотрим
также множество операторов {£>(«„)} и попытаемся най-
ти в пространстве Ж-^, их собственный вектор |0>. Для
того чтобы такой вектор существовал, необходимо, что-
бы операторы D(an) коммутировали друг с другом; при
этом достаточно, чтобы коммутировали операторы Д(<щ).
Однако, согласно (1.14) это эквивалентно условию це-
лочисленности матрицы *) В = [Ву]:
Вц = л-1 Im (<щ<щ) = 0 (modi). (3.14)
Решетку L, удовлетворяющую условию (3.14), назо-
вем допустимой. В этом случае собственный вектор |0>
должен удовлетворять системе уравнений
Z> (coj) 10Е> = ехр (готе>) [ 0Е>, / = 1, 2, ..., 2N,	(3.15)
а состояние, отвечающее вектору 10Е>, определяется ве-
щественными числами е1, ..., e2W, удовлетворяющими
условию О ег < 2, т. е. точкой 22У-мерного тора. При
этом стационарная подгруппа Н вектора |0Е> состоит из
элементов вида (Z; а„).
Действуя оператором D(a), папримор, на |0О\ по-
лучаем систему обобщенных когерентных состояний,
*) Условия (3.14) являются частным случаем так называе-
мых условий Римапа — Фробениуса, которым должны удовлетво-
рять периоды coj- для того, чтобы комплексный тор СЛ/А являл-
ся абелевым многообразием [80].
62
связанную с решеткой L:
l0»>=Z>(a)|Oo>.	(3.16)
Здесь а = (а„ ..a,N) — TV-мерный комплексный век-
тор; а пробегает факторпространство GIH, которое яв-
ляется комплексным тором и, в данном случае (случае
допустимой решетки), даже абелевым многообразием.
Итак, мы построили систему когерентных состояний,
связанную с допустимой решеткой L. С решеткой L
можно связать также и тета-функции. Именно тота-
фупкцип можно определить [35] как автоморфные фор-
мы относительно решетки L, т. о. как целые функции,
удовлетворяющие функциональному уравнению
/(z + а„)= ехр [v(z, a„)]/(z),
где p(z, а„) —многочлен первой степени относитель-
но z *).
Как будет показано ниже (детали см. в работе [63]),
состояния |0Е>, записанные в представлении Фока—
Баргмана (0Е 0Е (г)), совпадают с тета-функциями.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением глав-
ной решетки, т. е. решетки, для которой det5 = l. Тог-
да можно перейти от оц к новому базису со у, «ц, у, к =
= 1, . .., N, который удовлетворяет условиям
Im (со/о/Э = 0, Im (соу<щг) = 0, 1га (<оу<о/;) = буЛ. (3.17)
Иными словами, матрицу В в этом случае можно
I 0 1\ л ,
привести к виду |0 I, где (J и 1 — пулевая и единич-
ная N X TV-матрицы. Предполагая этот переход выпол-
ненным, приведем еще одну форму уравнений (3.15),
записанных в z-представлении:
О(ат)0Е(з) = exp(infE(m))0E(z), • (3.18)
где ат = У, (шусоу + тусоу)—-произвольный вектор ре-
шетки, а
FE(zn) = 2 (mimj + ъзтз +	(3.19)
3=1
*) Решение этого уравнения существует лишь в том случае,
когда периоды удовлетворяют условиям Римана — Фробениу-
са [35].
63
С помощью соотношения (1.100) равенство (3.18)
можно переписать в виде
0Е (z + pm) = ехр (inFe (—т)) ехр (I pm|72)exp(pmz)0e (z),
(3.20)
где = а™ — вектор сопряженной решетки.
Покажем теперь, что норма функции 0E(z) равна бе-
сконечности. В самом деле, норма 0e(z) дается выраже-
нием
J j 0е (z) I2 dp (z), где 0е (zs z ) = ехр (— | z |2/2) 0Е (г). (3.21)
Из (3.20) нетрудно получить функциональное урав-
нение для 0e(z, z):
0s(z + pm, Z + pm) =
= exp (fnFe (—m.)) exp(f Im (zj3,„)) 0c (z, z).	(3.22)
Таким образом, |0E(z, z)|2 = p(z, z), где p(z, z) —не-
отрицательная функция, периодическая относительно ре-
шетки L, сопряженной к L. Следовательно, норма функ-
ции 0E(z) равна бесконечности.
Займемся теперь решением уравнения (3.18). Будем
искать его в виде
Mz) = Sc^?(an)Mz)>	(3.23)
n
где п = (п', n'"j, п' и п"—целочисленные 2У-мерные
векторы, а 7г (z) —пока неизвестная функция, не слиш-
ком быстро растущая при |zl -> так что ряд (3.23)
сходится. Нетрудно проверить, что при Сп =
= ехр (—1лРг (п)) и произвольной функции h(z) та-
кой, что ряд (3.23) сходится, функция hs(z) является
решением уравнения (3.18). Это решение удобно запи-
сать в виде
ht(z)=Tch(z),	(3.24)
где оператор Т. дается формулой
Тъ = 2ехр(— ixFe(— n))D (ап).	(3.25)
п
В более подробной форме записи
(z) = 2 ехр (— inFe (— п)) ехр (— | pn |2/2) X
Хехр (— pnz) h (z + pn). (3.26)
64
Известно, однако, что в рассматриваемом нами слу-
чае главной решетки решение функционального уравне-
ния (3.20) единственно [35], и потому функция Лв(г)
лишь константой отличается от стандартной тэта-
функции:
Mz) = W) = W	(3.27)
Для нахождения константы сд достаточно вычислить
значение hs(z) в одной точке, где 0e(z)¥= 0. Выбирая в
качестве исходной функции h(z)=l, получаем решение
7е (2) = 2 ехР (—(«)) ехр (— | ап |2/2) ехр (anz) (3.28)
п
в виде суперпозиции когерентных состояний.
Далее из функционального уравнения (3.20) следу-
ет, что 9г (—z) = c0_E(z), т. е. в силу целочисленной ха-
рактеристики, когда ^-мерный вектор е состоит из ну-
лей и единиц, функция 9e(z) обладает определенной
четностью:
0t(-z) = Pe0e(z)\	(3.29)
Нетрудно показать (см., например, [63]), что чет-
ность тета-функции дается формулой
РЕ = (- 1)^ = (-	(3.30)
Таким образом, из полного числа 22N тета-функций
с целочисленными характеристиками 2W-1(2W—1) функ-
ций нечетны, a 2JV_1(2JV+1) функций четны.
Заметим, что из (3.25), (3.26) следует, что оператор
Те в случае целочисленной характеристики s не меняет
четности функции /г(г), т. е. четность функции /ге(г)
равна четности функции h(z). В силу же единственно-
сти решения функционального уравнения (3.20) имеем
hE (z) — <?дОЕ (z), и потому четность функции 7z.e(z)
должна совпадать с четностью Ре. Таким образом, спра-
ведлива
Теорема ([63]). Если четности характеристики е и
функции /г (г) различны, т. е. РСР = — 1, то функция
Ле(г) тождественно равна нулю:
Цг)®0.	(3.31)'
Если же четности Р„ и Р одинаковы, т. е. PtP = +1,
то функция Лг(з) пропорциональна тета-функции харак-
теристики е:
^(z) = c^B(z).	(3.32)
5 А. М. Переломов	65
Тождества (3.31), (3.32) являются обобщением тож-
деств, полученных ранее в [62] для одномерного случая.
Из (3.31) следует, например, что если характеристи-
ка е=(е', е") нечетна, т. е. (е'-е")^1 (mod 2), то
при h(z)= 1 мы получаем 2jV~1(27V— 1) тождеств
/Ё (z) = S (- 1/е(П) ехр (- | ₽„ |2/2) ехр (М) = 0. (3.33)
п
Равенство (3.33) обобщает (1.106) на многомерный
случай и есть не что иное, как условие линейной за-
висимости системы когерентных состояний, связанной с
решеткой L.
Глава 4
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ
ТРЕХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА
Система КС для группы вращений трехмерного про-
странства— группы 50(3) — была впервые рассмотрена
в работе [214], где такие состояния были названы спино-
выми КС. Свойства системы таких состояний изучались
в работах [214, 207, 86]. Здесь мы будем следовать общей
схеме работы [207]. Некоторые применения спиновых КС
будут рассмотрены во второй части книги.
§ 4.1. Структура групп SO (3) и SU (2)
Группа вращений трехмерного пространства — группа
50(3) — является наиболее изученной из всех компакт-
ных неабелевых групп Ли*). Она локально изоморфна
группе SU(2) — группе унитарных матриц второго поряд-
ка с определителем, равным единице. Точнее, груп-
па 50(3) есть факторгруппа группы 50(2) по ее цент-
ру**) Z2 = {I,— 0(1 — единичная матрица): 50(3) =
= 50(2)/ Z2. Это отличие для нас не очень существенно,
и в дальнейшем вместо 50(3) мы будем рассматривать
группу G = 50 (2).
*) Детальную теорию группы 50(3) и ее представлений мож-
но найти, например, в книгах [3, 15, 16, 28).
♦♦) Центром группы называется множество ее элементов, ком-
мутирующих со всеми элементами группы.
Итак, группа G = {g}, где
g=(-F s)’ 1а12 + 1Р|2 = 1> a = ai + fa2>
0 = 01 + Ф2,	(4.1)
а, и fJj — действительные числа. Отсюда видно, в частно-
сти, что группа G гомеоморфна (топологически эквива-
лентна) трехмерной сфере S3 = {04, а2, 0П 02: а? + а2 +
+ Pi + 02 ~ 1}и потому является односвязной*).
Группа G не является комплексной, однако имеется
ее естественное вложение в комплексную группу G =
= SL (2, С) = {g} — группу матриц вида
g=(“ б)’ aS — 07 = 1-	(4.2)
В группе Gc имеется ряд подгрупп. Для наших целей по-
надобятся следующие из них.
А. Подгруппы В+ = {&±} верхних (соответственно ниж-
них) треугольных матриц:
Мь" У’ О' м”=1- <4-з)
Эти подгруппы являются максимальными разрешимыми
подгруппами в Gc.
Б. Подгруппы Z± = {z±} верхних (соответственно ниж-
них) треугольных матриц с единицами на диагонали:
Это — максимальные нильпотентные подгруппы в Gc.
В. Подгруппа Нс = {h} комплексных диагональных
матриц
^ = ^(е)=(е0
О
е
(4.5)
В группе Gc (но не в группе G!) справедливо важное
разложение — разложение Гаусса (см. [28]):
g = ( “ g ) = z+ftz_ = &+z_ = z+&_,
b+ = z+h, b_ = hz_, (4.6)
*) Это значит, что каждый замкнутый путь в G можно непре-
рывно деформировать в точку.
5*	67
исключением элементов вида g —
где
z+ = z+(g)=(j	2_ = z_(g)=[zfg) J], (4.7)
'‘ = '‘« = ('7" mJ
Из (4.6) нетрудно получить
£(g) = 06-‘, z(g) = f6-1, 8(g) = 6.	(4.8)
Таким образом, разложение Гаусса однозначно и
почти любой элемент группы Gc (и соответственно G), за
а р \
p-i 0 J> допускает
это разложение.
Заметим, что в случае группы G параметры g, z и е
связаны простым соотношением
le(g) I2 = (1 + Iz(g) I2)-1 = (1 + 1Ш I2)-1. (4.9)
Факторизуя группу G° по подгруппам В±, приходим
к важным однородным пространствам (относительно дей-
ствия не только G°, но и G), топологически эквивалент-
ным комплексной плоскости С :
X+ = G7B_^Z+ и X_ = 5+\GC^Z_.	(4.10)
Действие группы Gc на этих пространствах легко на-
ходится с. помощью разложения Гаусса. Например, для
пространства Х+ имеем
9-4^-	(4-11)
г:£-5'-(«С + Р)/(1С + в).	(4.12)
Соответственно для пространства X-
z-g = ^z	gj = 0z_	(4.13)
g : z -* z" = (az + ,y)/(Pz + 6).	(4.14)
Вернемся теперь к группе G = SU(2). В ней есть под-
группа диагональных матриц
(/ а 0 \ |
Я=Ц0 a/]’ a = cxP(J'2)'
Нетрудно видеть, что факторпространство X — GUI
можно отождествить с множеством элементов группы G
68
вида
{(_^ «)}. «2 + |М2 = 1, ос > 0.
(4.15)
Полагая
а = cos(0/2)., р = — sin (0/2) ехр (—пр),
0 < 0 < л, 0 ср < 2л,
(4.16)
мы видим, что пространство X изоморфно двумерной еди-
ничной сфере S2, т. е. множеству единичных векторов п
вида
n = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ср, cos 0).
Элемент gD пространства X можно также записать
в виде
gn = ехр i
(4.17)
где
т, = sin ср, тг = —cos ср,
I о 1 I	/о — 11	тт
Ст1 = \1 0/’	ff2==U	0 /— матрицы Паули.
Таким образом, матрица gn описывает поворот вокруг
вектора т, находящегося на экваторе сферы S2, на угол 0.
Разложение Гаусса для элемента gD приводит к уста-
новлению изоморфизма между пространствами X и Х+,
а именно
Z=~tg(0/2)exp(—сер), g£ = (l + m~1/2(_J д). (4-18)
Нетрудно видеть, что этот изоморфизм осуществляется
с помощью хорошо известной стереографической проек-
ции сферы из ее южного полюса на плоскость комплекс-
ного переменного £. Точнее, для установления этого изо-
морфизма необходимо компактифицировать плоскость £,
добавив к ней бесконечно удаленную точку {«>}, соответ-
ствующую южному полюсу сферы:
№ = с и {оо}.	(4.19)
Аналогично устанавливается и изоморфизм прост-
ранств X и X—
По существу, рассмотренная конструкция вводит комп-
лексную координату £ на сфере S2, точнее, на сфере
с удаленным из нее южным полюсом. Подчеркнем, что
введение такой системы координат на всей сфере невоз-
69
можно, поскольку она топологически не эквивалентна
плоскости. Тем не менее, сфера S2, как и любая орбита
присоединенного представления компактной группы
Ли G, является компактным комплексным многообразием,
и потому ее можно описать, вводя уже не одну, а не-
сколько таких систем координат (в данном случае — еще
одну такую систему, получающуюся при рассмотрении
стереографической проекции из северного полюса сферы).
Приведем еще выражение для G-инвариантной метри-
ки на S2 — {п : п2 = 1}:
ds2 = dn-dn =	(4.20)
(1 + Kl)	’
и выражения для замкнутой 2-формы
“ ==2Z (Гтгда = <п’ИХ’dY]>’	(4-21)
которая, как нетрудно проверить, G-инвариантна и в дан-
ном случае совпадает с элементом площади сферы. Здесь
знак Д означает внешнее произведение:
д dl = - dl д <%,
dX, dX — векторы, касательные к S2 в точке п. Отметим,
наконец, что формулы (4.20) и (4.21) можно переписать
в виде
^2 = 4^«,	(4.22)
a = 2i^d£Adl	(4.23)
где
/ = 1п(1 + Igl2).	(4.24)
Это связано с тем обстоятельством, что пространство
G'lB является не только комплексным, но и так называе-
мым кэлеровым многообразием; функция / = In(1 + |£|2)
является здесь потенциалом кэлеровой метрики (подроб-
нее об этом см. § 11.2 в [211]).
§ 42. Представления группы SU (2)
Как хорошо известно, унитарное неприводимое пред-
ставление T(g) группы SU(2) задается неотрицательным
целым или полуцелым числом j; T(g) = Ti(g), dim Т1 =
= 2у + 1, причем в пространстве представления Зё1 сушр-
70
ствует канонический базис I/, где ц пробегает все зна-
чения от — j до +/ через единицу (—j<jx^j). Инфини-
тезимальные операторы /± =	Jа = 73 представле-
ния T’(g) удовлетворяют стандартным перестановочным
соотношениям
[Л, 7±] = ±7±, 17_, 7+] = -2Л.	(4.25)
Оператор Jh (к = 1, 2, 3) описывает бесконечно малое
вращение вокруг /с-ой оси; векторы I/, ц> в пространстве
представления 3@} являются собственными векторами опе-
раторов 70и J2 =	+ Л :
/о1/, ц> = ц|/, ц>, J2|j,	=/(/ +1)	ц>. (4.26)
Соответственно оператор ехр [йв (mJ)], nr = 1 описывает
поворот на угол со вокруг оси, задаваемой вектором т.
Опишем стандартную и удобную для нас реализацию
представления Tj(g).
Из (4.14) следует, что в пространстве 9ri полиномов
степени <(2/ + 1) на группе Z_ действует представление
группы 57/(2). Эта реализация распространяется в силу
линейности действия до представления группы Gc =
=5Д (2, С) и дается формулой
Т1 (£)/(*) = (₽2 + бП(^).	(4.27)
При этом G-инвариантиое скалярное произведение да-
ется формулой
//in- 2/+_i С 7^)О)
я J (1 +1 z |2)2+2-i Й ’
И1, \/о1/о> = 1-	(4-28)
Операторы J± и Д в этой реализации являются диф-
ференциальными операторами:
?+ = -^ + 2^’	= Л = 2£-7. (4.29)
Операторы J+ и J- сопряжены в смысле (4.28), а Д —
самосопряженный оператор; базисные векторы |/, ц> в
этом представлении имеют вид = cuzi+l\ =
= [(2/)!/(/— ц)!() + ц) !]1/2.
Представление T’ig) в данном случае имеет простой
«квазиклассический» смысл и может быть переписано в
виде (см. [202], где рассмотрен общий случай компактной
71
простой группы Ли)
r(g)/(Z) = exp(iS'(g, Z))/(Zg).	(4.30)
Здесь
S(g,z) = j(0-g-0) + ^(g,O),
О
0 = 9FgZ' z) dz является l-формой, F = j In (1 + | z |2).
§ 4.3. Когерентные состояния
Действуя на фиксированный вектор |ф0> операторами
T^g) в соответствии с общей схемой, описанной в гла-
ве 2, получаем систему КС.
Как следует из (4.17), оператор T’-'(g) можно предста-
вить в виде
Г(г) = Г(гв)Г(й).	(4.31)
Отсюда следует, что при выборе в качестве векто-
ра I/, ц> когерентное состояние задается единичным век-
тором:
n = (sin0 cos ср, sin 6 sin ср, cos0),
I n> = exp (ia (n)) T (ga) | ф0>.	(4.32)
Таким образом, в соответствии с общим утверждением
КС задается точкой двумерной сферы
S2 = SO(3)/SO(2) = SU(2)/U(V),
которая является орбитой коприсоединсиного представле-
ния и, следовательно, может рассматриваться как фазо-
вое пространство классической динамической системы —
«классического спина».
Что касается фазового множителя ехр (ia (п)), то его
удобно выбрать равным единице, так что
|п> = D(n) |ф0>,	(4.33)
где
D(n) = Т3 (ga) = ехр (i0 (mJ)), 0^0<л, (4.34)
m — единичный вектор, перпендикулярный векторам п и
по=(О, 0, 1); т = (sincp, —coscp, 0). Заметим, что это
можно сделать для всех п, за исключением случая п =
==(0, 0, -1).
72
Приведем еще одну форму записи оператора D(n),
аналогичную (1.9):	_
D (п) = £) (£) = ехр (V+ -U-), Z=-id/2(mi~im2). (4.35)
Заметим, что хотя операторы типа D(n) не образуют
группы, но их закон перемножения можно представить
в виде
Z>(n1)Z>(n2) = Z>(n3)exp(f0(n), п2)Л).	(4.36)
Можно показать прямыми вычислениями, что величи-
на 0 (п,, п2) равна площади A (n0, nt, п2) геодезического
треугольника на сфере с вершинами в точках п0, щ, п2:
0(п1? п2) = 4(п0, П1, п2).	(4.37)
Так же, как в § 1.1, этот факт указывает на квази-
классичность построенной системы КС.
Для рассматриваемых систем в качестве |i|)0> можно
выбрать |j, ц> с произвольным р. На первый взгляд, все
такие системы КС являются эквивалентными. Однако,
как уже отмечалось в § 2.4, состояния I/, ±у> минимизи-
руют величину дисперсии квадратичного оператора Кази-
мира J2 = Ji + Jz + Jl — оператора момента количества
движения. Для них
AJ2 = (AJ2)min =7(7 + 1) —/2 =7,	(4.38)
и потому состояния I±7> определяют систему КС, наи-
более близких к классическим. Мы можем выбрать в ка-
честве |ф0> любое из них, поскольку оба состояния при-
водят к одной и той же системе КС. Для нас более удоб-
но выбрать в качестве 1гр0> состояние*) I/, —/>.
Построенная таким образом система КС обладает боль-
шей симметрией, чем система, построенная с помощью
вектора
1^о> = I/, р.>, ц¥=±7.
Чтобы увидеть это, рассмотрим комплексификацию
алгебры S', т. е. множество линейных комбинаций вели-
чин Ji, J2 и /3 с комплексными коэффициентами. Этой
алгебре соответствует группа Gc = SL (2, С)— группа
комплексных матриц второго порядка с определителем,
равным единице.
*) Другая, отличная от этой система КС получается, когда
/ = I — целое число и |if0> = \1, 0>. Мы не будем здесь рассмат-
ривать эту систему; отметим лишь, что аналогичная система будет
рассмотрена в главе 5 для случая группы 50(2, 1) ~ 50(1, 1).
73
Нетрудно видеть, что стационарная подалгебра $
в состояния = I/, — J> порождается элементами
{Jo, ]-} и ей соответствует группа В- нижних треуголь-
ных матриц:
В_ = {Ъ}1 &=(S7 °).	(4.39)
Поэтому такое КС можно параметризовать комплекс-
ным числом £. Действительно, из разложения Гаусса
(4.6) имеем
T(g) I ф0> =Т (z+) Т (h) Т (z_) | ф0> = ехр (i0) NT (z+) | ф0>,
z+=(o 1)’ И> = 1/> ~ 7>-
Отсюда получаем
^-2 = <фо17’((2+)+)Г(2+)Н’о>, 2V = (1+ 1£12)-< (4.40)
При этом для операторов T’(g), имеющих вид D(n)
(4.34), фазовый множитель exp(i0) равен единице, и мы
имеем
1п>- |£>=(1 + |£|2)-Т(2+)|/, -/>,
|£> =(1 + |£l2)_,exp(£J+) |j, -Р,
(4.41)
£ = —tg(0/2)exp(—йр), n = (sin 0 cos ср, sin 0 sin ф, cos0).
Таким образом, как уже отмечалось ранее, переход
от п к £ осуществляется с помощью стереографической
проекции.
Приведем еще одну форму записи оператора /)(п):
D(B) = exp(BJ+-|J_),
£ = i(0/2) (m, — im2) = — |g| exp(—йр).	(4.42)
Используя разложение Гаусса (4.6), можно записать
оператор /)(£) в «нормальном виде» —
D (В) = ехр(gJ+) ехр (ц/0) ехр (z7_),	(4.43)
где
£ = —tg (0/2) ехр (—йр), т] = — 2 In cos IgI =	_
= ln(l + l£l2), z' = -£. (4.44)
Приведем еще «антинормальный» вид этого оператора:
D (£) = ехр (z'J_) ехр (-цЛ) ехр (£;/+),	(4.45)
где величины £, г] и z' определены в (4.44).
74
Заметим, что поскольку величины £, т], z, входящие
в формулы (4.43) и (4.45), от j не зависят, то эти форму-
лы достаточно проверить для случая j = 1/2, когда
J = п/2, где щ, о2, Оз — матрицы Паули:
О
1
(71 =
О)’ СТа
° — Л (1 о )
i 0 /’ СТз ~ \ 0 — 1/'
Разлагая экспоненту в (4.41) и используя соотно-
шение
IМ» =	+	(A)i+“!/.->>. №
получаем разложение когерентного состояния по ортонор-
мированному базису (сравните с формулой (1.70))
1£> = S Н>»
+ + <4-47’
или
l£>= S “и (0я ф) 17» Н>»
(4.48)
Хехр[—i(j + |л) <р].
Приведем еще выражение для КС в z-представлении:
<z|£> = i|,t(z) = (l + |z|2)-7(l + p)4	(4.49)
Отметим, что спиновое когерентное состояние является
собственным состоянием оператора (nJ):
(nJ) |n> — —у 1 n>,	(4.50)
и, кроме того,
(/- + 2р0- PJ+) IP = 0.	(4.51)
Уравнение (4.50) сразу же следует из уравнения
Л1п0> = — /|п0>, по = (О, 0, 1)
и соотношения
D(n)/0D-1(n) = (nJ).	(4.52)
Аналогично доказывается и уравнение (4.51). Уравнения
75
(4.50)	и (4.51) определяют спиновое КС с точностью до
фазового множителя exp(ia).
Система спиновых КС обладает всеми свойствами
обычной системы КС (см. § 1.2). Мы приведем их без
доказательства.
1.	Операторы T’(g) переводят одно когерентное состоя-
ние в другое:
T’(g) |n> = ехр {i0 (n, g)}|ng>,	(4.53)
где
0(n, g) = M(n0, n, ng).	(4.54)
Заметим, что при бесконечно малом преобразовании
мы имеем
Г(1 + 6g) |£> = exp(i60) I? + б£>.	(4.55)
При этом
160 =j(d-f^6Z-dM\, / = ln(l + |m (4.56)
т. е. 0 = 60 — форма связности одномерного расслоения
над S2 со слоем окружность. Заметим, что 0 = J <в, где
о — J0 — 2-форма площади.	(4.57)
Отсюда и следует формула (4.54).
2.	Система спиновых КС полна.
3.	Когерентные состояния не ортогональны друг другу:
<11! | n2> = ехр (i0 (пх, п2))	’
I <П11 П2> I2 = (-2-) ’
<В|т]> = [(1+^12)(1+1т]12)]-;(1 + Гп)%
(1+Ш+й)1^
L(i+l?l2)(i+]nl2) *
(4.58)
(4.59)
1<£1п>12 =
где*)
0(nv п2)=М(п0, пх, п2), 0 = 41п(т^)-
4.	Спиновые КС минимизируют соотношение неоп-
ределенностей Гейзенберга: для состояния |п0> в
♦) Не случайно ?5 дается формулой (4.59). Это связано с тем,
что сферу № = {п; п2 = 1} можно рассматривать как фазовую
плоскость для спина, причем спиновые когерентные состояния яв-
ляются состояниями квазиклассическими.
76
соотношении
</1><4>>1</3>2
(4.60)
достигается знак равенства.
Соответственно для состояния |п> минимизируется со-
отношение неопределенностей
</1><^>>4<7з>2’	(4-61>
где
7k = Z>(n)JkP-‘(n).	(4.62)
5.	Имеет место «разложение единицы»
(2/ + 1) J tfyt (п) | n> <n [ = I, d[i (n) =\(4п)-1 sin 0 dO dtp.
‘	(4.63)
В случае же параметризации КС точкой ^-плоскости
мы имеем
= h	(4-64)
где
(4.65)
6.	С помощью этих формул можно разложить произ-
вольное состояние по когерентным состояниям:
1^> = 2кц1л^>, |ф> = J	(4-66)
где
Ф© = <?1 = (1 + шг’Ж
У ( W	(гУ+в (4-67)
М-— j
Здесь ф(£) — полином по £ степени тп=С2/.
Из этих формул следует, в частности, что для любой
функции /(£), имеющей вид
pm(£)/(i+ism
где — произвольный полипом степени т 2/, спра-
ведлива формула
= {ШМ)<Ш = /(1)- (4.68)
Заметим, что именно такие функции /(£) и образуют
гильбертово пространство состояний частицы со спи-
77
ном j. С помощью формул (4.66) и (4.67) нетрудно так-
же доказать, что подсистема KG . ., |^2j+i> при лю-
бом выборе точек ..., £2j+1,	является полной.
7.	Приведем выражения для инфинитезимальных опе-
раторов в представлении когерентных состояний:
a U. |С> - - i Hppfp. <£ IJ+1 Е> “ 2, j-ip. (4.69)
или
<nlJ|n> = —jn.	(4.70)
8.	Заметим, что в пределе больших значений / спино-
вые КС переходят в обычные КС. Для того чтобы увидеть
это, нужно сделать подстановку
7+^}'2Га+, ^(2;)-1/2а, /_ = У2М (4.71)
и устремить j .к бесконечности.
Например:
3 ехр(аа+)| -ф0> = |а>. (4.72)
9.	Представление когерентных состояний удобно ис-
пользовать для описания операторов, например матрицы
плотности частицы со спином у. Именно, матрица плот-
ности полностью определяется или функцией Р(п), или
функцией @(п) согласно формулам
Р = Jp(n)|n><n|dw, йЫп) = ^~^п, ;(4.73)
<2(n)=<nlp|n>,	(4.74)
причем эти функции при разложении в ряд по сфериче-
ским функциям У,„ содержат лишь I sg 2/. Например:
2j
Р(п)== 2 clmYlm(n).	(4.75)
1=0,т
Отсюда получаем разложение матрицы плотности
р — S ClmPImt
где
Pim= jyiJn(n)|n><n| d|ij(n).	(4.76)
Вычисляя входящий сюда интеграл, получаем
<Л v'IP^Ij, v> = ]/</, v'; I, m\j,	1,01/,—j>,
(4.77)
где </, v'; I, m\j, v> — коэффициенты Клебша — Гордана,
78
10. Приведем таблицу простейших примеров, взятую
из работы [181].
	Таблица
Оператор	Q (п>
Л 71 /2 А л J2	/ cos 0 j sin 0 cos ф j sin 0 sin ф /(/-1/2) cos20 + //2 / (/ — 1/2) (sin 0 cos ф)2 + //2 /(/ — 1/2) (sin 0 sin ф)2 + //2
Оператор	P(n)
h h А Л 4	(/ + 1) cos 0 (/ + 1) sin 0 cos ф (/ + 1) 'sin 0 sin ф (/ + 1) (/ + 3/2) cos2 0 - (/ + l)/2 (/ + 1) (/ +3/2) (sin 0 cos ф)2 ~(i + 1)12	j (/ + 1) (/ + 3/2) (sin 0 sin ф)2 - (/ + l)/2
Для оператора Т(т;, v) = exp(ir(vJ)) функция Q(и)
имеет вид
(n) = (cos (т/2) + isin(t/2)cos0)2i, cos0 = v-n. (4.78)
Отсюда получаем интегральное представление для харак-
тера представления TJ(g):
М = XjW = J (cos (т/2) + Zsin <т/2> cos0)24n.
(4.79)
Аналогичное выражение имеет место и для оператора
ехр[—0(vJ)]:
Q (n) = (ch (0/2) + sh(0/2) cos 0)«.	(4.80)
11. В том случае, когда / — целое число (/ = Z), можно
использовать иную реализацию пространства представле-
ния <№, а именно пространство собственных функций
79
оператора Лапласа на сфере S2 = {v : v2 = 1):
—ASip/(v) = 1(1 + l)/(v), v = (sin0cos<p, sinOsincp, cos0).
(4.81)
KG в такой реализации имеют вид
<vln> =(et — ie2, v)1.	(4.82)
Здесь и e2 — два единичных вектора, ортогональные
вектору н и друг другу. Отсюда нетрудно получить явное
выражение для производящей функции сферических
функций У;т(0, ф):
К (z; 0, ф) = S uim (z) У 1т (0, ф),	83)
Uim = [(2Z) 1/(Z — т) I (Z + т) !]1/2z!+m,
A(z; 0, ф) =
= (sin 0 ехр (—пр) + 2z cos 0 + z2 sin 0 exp (йр))(4.84)
12. Наконец, с помощью КС нетрудно найти производя-
щую функцию для матричных элементов Ттп —
= <.m\T(g) |м>:
<£ I Т fc)J ц> = [(1 +1I12) (1 + h |2)Г К n)t
К (Лг л) = 2 Ujm (g) ujn (ц) Ттп (g).	(4.85)
Отсюда
К(%, т]) = (а + Р£ — Рт] + а£т])2;.	(4.86)
Глава 5
ПРОСТЕЙШАЯ НЕКОМПАКТНАЯ НЕАБЕЛЕВА
ПРОСТАЯ ГРУППА: SU (1,1)
В этой главе, следуя работе [207], вводятся и изучают-
ся системы КС для простейшей неабелевой некомпактной
простой группы Ли — группы SU(1, 1)^SO(2, 1). В от-
личие от рассмотренного в предыдущей главе случая про-
стейшей компактной неабелевой группы Ли — группы
5/7(2), здесь имеется несколько типов систем КС в соот-
ветствии с тем, что для группы 5/7(1, 1) существует не-
сколько серий унитарных неприводимых представлений.
Некоторые применения таких систем КС рассмотрены
в части II.
80
§ 5.1. Группа SU (1,1) и ее представления
5.1.1. Основные свойства группы SU (1, 1). Группа
5С7(1, 1) — это'группа матриц второго порядка с опреде-
лителем, равным единице, оставляющих инвариантной
форму IzJ2 — |z2l2. Отсюда сразу же следует, что G = {g),
где
I'O’-IPP-»-	(5-1)
Она локально изоморфна группе 50(2, 1) — группе
«вращений» трехмерного псевдоевклидова пространства
(трехмерной группе Лоренца); точнее, 50(2,1) =
= SU (1,1)/Z2, где Za = {I, — 1}, I — единичная матри-
ца. Она локально изоморфна также вещественной симп-
лектической группе Sp(2, R) и группе 5А(2, 5?) —
группе вещественных матриц второго порядка с опреде-
лителем, равным единице.
Детальное рассмотрение свойств этой группы и ее
представлений дано в работе [90] и книге [17]. Здесь мы
приведем лишь необходимые для нас сведения.
Отметим следующие существенные различия между
группами SU(1, 1) и SU(2).
Во-первых, группа 50(1, 1) некомпактна, тогда как
группа 50(2) компактна. Во-вторых, группа 50(2) одно-
связна, тогда как группа 50(1, 1) не является таковой.
Односвязность группы означает, что каждый замкну-
тый путь в ней может быть деформирован в точку. В то
же время можно показать, что в группе 50(1, 1) путь,
соответствующий повороту на угол 2л,п (п — целое,
0<<<2лп),
g(t) = diag [exp(iO2), exp(—it/2)],
непрерывно деформировать в точку невозможно.
Известно, что объединяя достаточное число экземпля-
ров (или, как говорят, листов) неодносвязной группы G
и соответствующим образом склеивая их, можно получить
уже односвязную группу G — так называемую универ-
сальную накрывающую группы G. В нашем случае груп-
па G содержит бесконечное число листов.
Далее будем действовать так же, как и в случае груп-
пы SU(2), а именно группу G = 50(1, 1) можно вложить
в G° = SL(2, С) и воспользоваться разложением Гаусса
(4.6):
g = z+hz-, z+eZ+, z-sZ.,	(5.2)
6 A. M. Переломов	81
Так же, как и раньше, группа G действует на Z+ и Z-.
Например, ее действие на Z_ дается формулой
£=(“ ₽Vz->Zg = ^+j.	(5.3)
S' (₽ а /	3 ₽z + а	'
Однако, в отличие от предыдущего случая, группа G
действует на плоскости не транзитивно, а плоскость z от-
носительно ее действия расслаивается на три орбиты:
1)	X+ = {z: Izl < 1};
2)	X_ = {z: Izl >1);
3)	X0 = {z: Izl = 1),
т. e. па внутренность единичного круга, внешность еди-
ничного круга и окружность.
Это нетрудно доказать, заметив, что из (5.3) следует,
что при действии g
(1 - |z|2)^(l- |zgl2) = |0z + а|-2(1 - Izl2).
При этом пространства Х+, Х_ и Хо можно соответ-
ственно рассматривать как стереографические проекции
верхней полости двухполостного гиперболоида, одно-
полостного гиперболоида и верхней полости конуса в
трехмерном пространстве с псевдоевклидовой метрикой:
о 2	2	2
S — jCq	—— ^2*
Рассмотрим, например, случай пространства Х+. Не-
трудно видеть, что так же, как и в § 4.1, пространство
Х+ можно отождествить с множеством элементов груп-
пы G вида
g =	ос2 —|Р|2 = 1Л а = а>0.	(5.4)
Полагая а = сЬ(т/2), 0 = sb (т/2)ехр(—г'ф), т>0, видим,
что пространство Х+ изоморфно верхней полости двух-
полостного гиперболоида
{(«, Р1> Р2): а2 — ₽? — 02 = 1> а > 0}t
т. е. множеству единичных (в псевдоевклидовой метрике)
векторов
п = (ch sh т cos ср, sh т sin <р)1 пъ == п} — п^ — п2 = 1.
82
Элемент gn пространства можно записать в виде
_ [ ch (т/2)	sh (т/2) ехр (— г<р)\ _
— \sh (т/2) ехр (г<р) ch (т/2)	/ ~~
== ехр I j (т1(у1 + т2п2) , (5.5)
/п •	\ I 0	1) (о — Л
где т = (О, sin ф, -cos ф), ах = t 0 ], <т2 г 0 Н
матрицы Паули.
Таким образом, матрица gn описывает гиперболиче-
ский поворот вокруг вектора т =(0, sin ф, — соэф) на
угол т.
Так же, как и в случае группы SU (2) (см. § 4.1),
разложение Гаусса приводит к установлению изоморфиз-
ма между этими пространствами. Например, изоморфизм
между единичным кругом Х+ = {£:|£|<1} и верхней по-
лостью двухполостного гиперболоида И2 = [n : n2
— п2— n2 = l, ио>0| устанавливается с помощью
формулы
£ = th (т/2) ехр (—г’ф), n = (chr, эЬтсозф, зЪтзтф).
6*
(5.6)
Так же, как и в § 4.1, рассмотренная конструкция вводит
комплексную структуру на верхней полости гиперболои-
да IH2. Таким образом, мы можем рассматривать верхнюю
полость гиперболоида как некомпактное комплексное
многообразие.
Приведем выражение для G-инвариаптной метрики
на IH2
ds2 = dndn = Т	(5.7)
(l-k|2)2	V '
и выражение для замкнутой G-инвариантной 2-формы
,.    л • dZ, /\ d'Q	. _ q.
®-2l(1_|e|2)2-
Отметим, что так же, как и в случае сферы 53, много-
образие Ш2 является кэлеровым. Поэтому формулы (4.22)
и (4.23) можно переписать в виде
ds2 = 4 ^-4= d'Q dt,,	(5.9)
o =	(5.Ю)
ВЗ
где
F = -ln(l - |£l2).	(5.11)
Группа SU(i, 1) некомпактна, и потому все ее унитар-
ные неприводимые представления, в отличие от группы
SU(2), бесконечномерны.
Эта группа имеет несколько серий унитарных неприво-
димых представлений: основную, дискретные и дополни-
тельную. Здесь мы рассмотрим лишь представления дис-
кретных и основной серий.
5.1.2. Дискретные серии. Существуют две дискретные
серии представлений Т+ и Т~. Из них достаточно рассмот-
реть лишь одну, например Т+, поскольку все полученные
результаты автоматически переносятся на другую.
Представления дискретной серии бесконечномерны,
однако они во многом аналогичны конечномерным пред-
ставлениям группы SU(2). Например, базисный вектор
\т~> в пространстве такого представления можно задавать
целым числом т, меняющимся от нуля до бесконечности.
Алгебра Ли группы 577(1, 1) порождается тремя гене-
раторами: К,, К2 и Ко. Перестановочные соотношения для
них имеют вид
[К15 К2] =-iK0, [Кг, Ка] = 1К>, [Ко, КА = 1К2. (5.12)
Как и в случае группы SU (2), здесь удобно перейти
к новым, генераторам
^ = ±«(^±1^),	(5.13)
после чего перестановочные соотношения принимают вид
[Ко, К±] = ±К±, [К_, К+] = 2К„.	(5.14)
Нетрудно проверить, что оператор
С2 = К2 - Kf - К2 = К2 - | (К+К_ + К_К+)	(5.15)
является инвариантным оператором (оператором Казими-
ра), т. е. коммутирует со всеми операторами К,. В силу
леммы Шура такой оператор для неприводимого представ-
ления кратен единичному оператору:
С2 = k(k — 1)L	(5.16)
Таким образом, представление группы SU (1, 1) харак-
теризуется одним числом к: для дискретной серии это
число принимает значения к = 1, 3/2, 2, 5/2, ... .
84
Заметим, что представления универсальной накрываю-
щей группы — группы SU(1, 1) — также определяются
одним числом к, однако теперь к меняется непрерывно от
нуля до бесконечности: 0 < к < °°.
Возвращаясь к рассмотрению представлений дискрет-
ной серии, заметим, что базисные векторы \к, ц> прост-
ранства, в котором действует представление Th(g), за-
даются числом р, — собственным значением оператора Ко:
К<,[к, ц> = у,[Л:, ц>, р, = к + т, (5.17)
т — целое число, т > 0.
Аналогично § 4.2 нам будет удобно использовать реа-
лизацию представления Th(g) в пространстве функций
&~k = {f(z)}, аналитических в единичном круге и удовлет-
воряющих условию
U/IU<oo, ||/||| = 2lzzl j |/(кп2(1-Ы2)2й-2^. (5.18)
|Z|<1
Операторы Tk(g) действуют в пространстве &~к соглас-
но формуле
Th(g)f(Z) = ^Z + a')-2hf(Ze), ^ = ^±1. (5.19)
pz -j- ос
Операторы К± и Ко в этой реализации являются диф-
ференциальными операторами:
R+ = z2d/dz + 2kz,	(5.20)
R- = dJdz,	(5.21)
R9 = zd/dz + k.	(5.22)
Как и в случае группы 5Z7(2), представление Tk (g)
можно 'записать в квазиклассическом виде
r(g)/(z) = exp(^(g, z))/(zg),	(5.23)
где функция S(g, z) дается формулой (4.30), в которой F
надо заменить на
/, = -А:1п(1-Izl2).
5.1.3. Основная (непрерывная) серия. Помимо диск-
ретных серий существуют две так называемые основные
(или непрерывные) серии представлений группы SU (1,1)
и дополнительная серия.
Нас будут интересовать представления класса I, т. е.
представления, в пространстве которых существует век-
85
тор 1ф0>, инвариантный относительно действия макси-
мальной компактной подгруппы К группы G. В нашем
случае К = £7(1), а именно
К = {к : к = diag [ехр (ггр/2)ехр (—йр/2) ]).
К таким представлениям относятся представления одной
из основных серий и представления дополнительной серии.
Представления основной серии реализуются в прост-
ранстве функций на орбите типа Хо, т. о. в пространстве
функций на единичной окружности. Представление клас-
са I характеризуется одним неотрицательным числом X и
задается формулой
^U)/(2)=l^ + a|-,+2a/(^)t	(5-24)
zg = (az + j})/([Jz + a), z = exp(i0).
Нетрудно проверить, что операторы Tx(g) действитель-
но образуют представление группы G и что при выборе
скалярного произведения в виде
271
</il/2> = ^f 71(0) /2 (9) d0, f(z) = f(d), (5.25)
О
это представление унитарно.
Отметим, что оператор Казимира С2 =
кратен единичному оператору: С2 = — (V + 1/4) I.
Для представлений дополнительной серии действие
операторов ^(g) по-прежнему дается формулой (5.24),
где К, однако, должно быть чисто мнимым числом: Л = ir,
—1/2<т<1/2. В этом случае скалярное произведение
дается более сложным выражением (см., например, [15]):
271 27С
П1 /Q _______ Q \ I—2—2<Т
о о
(5.26)
—1<о<0.
Пространство представления 7”'(g) бесконечномерно,
и в нем можпо выбрать базис {|%, цМ из собственных век-
торов оператора Ко — инфинитезимального оператора под-
группы К:
Ко 1А, у,} = у|Л, у), у = 0, ±1, ±2, ....	(5.27)
Операторы К± = ±1(К1'±1Кг) действуют в этом базисе
36
согласно формулам	i
/£+|Х, ц> =(1/2 — гХ + у) |Х, р, + 1>,
(5.28)
К_|Х, у> =(-1/2 + гХ + у) IX, у-1>.
В этих формулах Klt 2 — инфинитезимальные операто-
ры представления T(g), соответствующие элементам ал-
гебры Ли JF. Для рассматриваемой реализации представ-
ления TK(g) операторы К±, Ко являются дифференциаль-
ными операторами первого порядка:
Ко = —id/dB,
(5.29)
К± = —i ехр (±г0) djdQ =F (—1/2 + гХ)ехр(±гО).
§ 5.2.	Когерентные состояния
5.2.1.	Дискретные серии. Действуя на фиксированный
вектор |ф0> операторами Tk(g), получаем интересующую
нас систему КС.
В качестве фиксированного вектора Iip0> нам будет
удобно выбрать вектор \к, кУ, для которого стационарная
подалгебра & алгебры SFC максимальна, и потому такие
КС наиболее близки к классическим.
Дальнейшие построения аналогичны построениям
§ 4.3. Как хорошо известно, оператор T*{g) можно пред-
ставить в виде
Th{g) = Tk{gn)Tk{h), h(=H.
Отсюда следует, что когерентное состояние задается еди-
ничным псевдоевклидовым вектором*)
п = (ch тх sh т cos <ps sh т sin <р),
| га> = exp [га (га)] Th (gn) | -%>.	(5.30)
Что касается фазового множителя ехр [га (п)], то его удоб-
но выбрать равным единице, так что
|га> =D(n) |ф0>,
где
D(n) = Th(gn) = ехр (ir (mK)), т>0,	(5.31)
*) Такая параметризация системы КС находится в соответст-
вии с общим' утверждением о том, что КС определяется точкой
фактор-пространства G/Н, которое в данном случае является верх-
ней полостью двухмерного двухполостного гиперболоида:
И2 = {п ; и2 = п2 — п? — п2 = 1, п > 0].
I	и X A	и I
87
т — единичный вектор, перпендикулярный векторам п и
га0 = (1, 0, 0), n»=(0, sin ф, —coscp).
Приведем еще одну форму записи оператора D (га),
аналогичную (4.33), (4.35):
D (га) = D (|) = ехр (УГ+ —	), £ = j Т- (mx — im2).
(5.32)
Заметим, что операторы типа D (га) не образуют груп-
пы, но их закон перемножения можно представить в виде
Z)(ra1)Z)(ra2) = Z)(ra3)exp(i0(ra1, п2)К0).	(5.33)
Можно показать прямыми вычислениями, что величи-
на 0(гах, га2) равна площади Л(га0, гах, га2) геодезического
треугольника на гиперболоиде с вершинами в точках
га0, гах, га2;
«гН^гао, гах, га2).	_	(5.34)
Так же, как и в § 4.3, этот факт указывает на квази-
классичность построенной системы КС.
Оператор D(п) можно записать в «нормальном виде»:
D	= ехр &К+) ехр (р7Г0) ехр (у7Г_),	(5.35)
где
£ = th|g| exp(itp), [} = 2Inch |g| = —ln(l — |£|2), ? = -£.
(5.36)
Приведем еще «антинормальпый» вид этого оператора:
D (£) = ехр (^-) ехр (-^Ко) ехр &К+),	(5.37)
где величины £, р и у определены в (5.36).
Заметим, что поскольку величины £, [3 и у, входящие
в формулы (5.35), (5.37), от к не зависят, то достаточно
проверить эти формулы для случая, когда
Ко — о3/2, Kt = йц/2, K2 = ia2/2,
где щ, и Оз — матрицы Паули.
Теперь, действуя на оператором Z>(g), записан-
ным в виде (5.35), приходим к иному представлению
(иной параметризации) когерентных состояний: '
|£>=(1~ 1£1Техр(^<+)|0>.	(5.38)
Отметим простой геометрический смысл перехода от
переменной га к переменной £: это стереографическая
88
проекция из южного полюса гиперболоида n0 = (—1, 0, 0)
на плоскость £.
Разлагая экспоненту и используя соотношение
I‘	-Ьтгет»)]1Я<*+)’।к-к>’ <5-39)
получаем разложение когерентного состояния по ортонор-
мированному базису:
оо
К> = (1 - I£ l2)ft 1 few] 2 ГI к, к + ти>. (5.40)
7П=0 L '	' J
Приведем еще выражение для КС в z-представлении:
<z|£> = ^(z) = (l- l£!2)ft(l-^)-2\	(5.41)
Отметим, что рассматриваемое когерентное состояние
является собственным состоянием оператора
(пК) = п0К0 — nj£i — п2К2,	(5.42)
и кроме того,
(А_-2£А04Ч2А+)[£> = 0.	(5.43)
Уравнение (5.42) сразу же следует из уравнения
Ао| гао> = к\ паУ (п0 = (1, 0, 0)) и соотношения
D(n)K0D~l(n) = (nK).	(5.44)
Аналогично доказывается и уравнение (5.43).
Уравнения (5.42) и (5.43) определяют КС с точностью
до фазового множителя ехр(га). Полученная система КС
обладает всеми свойствами системы спиновых КС (см.
§ 4.3). Мы приведем лишь некоторые из них.
3'. Когерентные состояния неортогональны друг другу:
l<«il«2> I2 =
(5.45)
5'. При к > 1/2 имеет место разложение единицы
X	(5.46)
где
7	2к— 1	/с
d^h “ л (1 -1 £I2)2’	5'47
89
10'. Производящая функция G(^, ц; g) для матрич-
ных элементов оператора Th(g) имеет вид
G (|, Л! ё) — 2 Тh+m,h+n (ё) ит ) ип (т|) =
= (а1п + Р1 + Рп + а)-2\ (5.48)
где ит(?) = [Г(т + 2к)/т\Г(2к)]1/2?т.
В заключение рассмотрим важную для ряда приложе-
ний реализацию представлений группы SU(1, 1) с по-
мощью операторов, квадратичных по бозонным операто-
рам рождения и уничтожения а+ и а, которые удовлетво-
ряют перестановочным соотношениям [а, а+] = 1.
Рассмотрим три оператора
Я+=(я+)72, 7<_ = я72, К0 = (аа+ + а+а)/4. (5.49)
Вычисление показывает, что эти операторы удовлетво-
ряют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя
с помощью (5.49) оператор Казимира (5.15), получаем
С2 = -^ 1 = Л(АГ-1) I.	(5.50)
Отсюда получаем два решения:
к = 1/4 и к = 3/4.
(5.51)
Нетрудно видеть, что состояния |га> =(га!)~1/2(а+)"|0>
с четным п образуют базис в пространстве унитарного не-
приводимого представления Тк с к = 1/4, и соответственно
состояния |га> с нечетным п образуют базис в простран-
стве представления Тк с к = 3/4.
Матричные элементы представлений группы 57(1, 1)
выражаются через гипергеометрическую функцию [90].
Для рассматриваемых здесь представлений Тк (к = 1/4 и
к = 3/4) в работе [59] было получено более простое вы-
ражение
Thmn (т) =
1/apK//22((ch|) '), (5.52)
где Рп (х) — присоединенная функция Лежандра, п< =
= min(zra, га), га> =max(m, га).
Рассмотрим теперь представления дискретной серии
группы 57(1, 1), которые можно реализовать с помощью
пары бозонных операторов а¥ и а_. Рассмотрим три квад-
ратичных оператора
К+ = a$at, К- = а.ьа._, Кй = у (а+<т+ + ata- + 1).
(5.53)
90
Вычисление показывает, что эти операторы удовлетво-
ряют перестановочным соотношениям (5.14). Вычисляя
с помощью (5.53) оператор Казимира (5.15), получаем
G = - + х/4 (4«+ -	(5-54)
Таким образом, для состояний
I т, п) = (ml п!)-1/3 (а|)т (а±)” 10,0>
с т — п = «о = const
имеем
C2 = k(k-i)I, к = (1 + Ы)/2,
и потому состояния {I п + га0, п» образуют базис унитар-
ного неприводимого представления Т* дискретной серии
группы SU(1, 1), где
А = 7а(1 + Ind).	(5.55)
Матричные элементы этих представлений известны,
и в простейшем случае, когда начальное состояние явля-
ется вакуумным, мы имеем
I <п, п I Т1/2 (g) 10, 0> |2 = (1 - Р) Рп, Р =	(5.56)
1 а I
Мы рассмотрели здесь системы КС, связанные с пред-
ставлениями дискретной серии группы 57(1, 1). Относи-
тельно КС для представлений дискретных серий других
групп Ли см. часть II книги [211].
5.2.2.	Основная (непрерывная) серия. Рассмотрим уни-
тарное неприводимое представление TK(g) класса I груп-
пы 517(1, 1), и пусть |,фо> — вектор в пространстве пред-
ставления, инвариантный относительно действия К =
= U (1) — максимальной компактной подгруппы. Действуя
на него операторами TK(g), получаем систему когерент-
ных состояний, параметризуемых точками факторпрост-
ранства*) X = G/K = SU(1, 1)/U(1), которое является
в данном случае плоскостью Лобачевского и может быть
реализовано, например, в виде внутренности единичного
круга
X = P = {^:IU<1}.	(5.57)
А именно, выбирая в классе смежности, соответствующем
*) Аналогичную систему КС можно построить и для представ-
лений ТДу) группы SU(2) ® том случае, когда j = l — целое
число.
91
элементу £ е X = G]K, какой-либо элемент g: е G, полу-
чаем систему когерентных состояний
IP = T(gt) |0>, |0> = |ф0>.	(5.58)
В качестве такого представителя можно взять, на-
пример,
<5-59>
г 1 I ь I '	®	*
Приведем также другое, однако, эквивалентное опре-
деление КС:
|£> = ехр(^+-уС)|0>,
£ = I ехр(ftp), g = th lg| exp(icp). (5.60)
В соответствии с общей теорией система КС является
сверхполной и неортогональной и обладает рядом замеча-
тельных свойств, некоторые из которых мы перечислим:
1.	Состояния |g> нормированы: <g|g> = 1.
2.	Группа G действует на множестве КС транзитивно,
и это действие определяется формулой
T\g)IP = T(g)T(gl)IO> = T(ggl)lo> = lp>, (5.61)
где
P = (^ — ₽)/(— Pt + a), ggz = gvk, g' = p, ke= K,
(5.62)
3.	Состояния lp> и |g2>, вообще говоря, не ортогональ-
ны друг другу. Их скалярное произведение определяется
функцией ФДт) —так называемой зональной сферической
функцией:
<р | Р> = <о | тк I °> = ф* <5-63>
Здесь т — расстояние между точками gi и g2 в стан-
дартной метрике Лобачевского. Оно определяется фор-
мулой
Функция Фл(т), в свою очередь, дается формулой
ФДт)=<0|Г(а(т))|0>,	(5.65)
«(х)=Г« Н, a = ch4, P = sh-J,_ т>0. (5.66)
'	\ р ОС / '	л
92
4.	Пусть {|p,>ss|A, ц>)— ортонормированный базис в
пространстве представления являющийся собственным
для оператора KQ:
Ко1|а> = ц1ц>.	(5.67)
Разлагая КС по этому базису, получаем
|С>= 2 ип(®\п>,	(5-68)
П-— со
где
ип (0 = <n IО = <И I Т\(&) 10> = и* (т, ф), (5-69)
£= — thy ехр (г’ф).
Состояние Ю является нормированным, поэтому
' оо
2 К(£)|2 = 1.	(5.70)
П=—ОО
Отметим также, что
ип(0хф) = 6по,	(5.71)
и„ (т, ф) = ехр (—гиф) (т).	(5-72)
5.	Функции ггп(т, ф), будучи матричными элементами
оператора TK(g), являются собственными функциями опе-
ратора Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского:
—Аип(т, ф) = Аи„(т, ф),	(5.73)
где
A = 4 + cthT£ + -^4.	(5.74)
Зт2	sh2T3cp2
При этом для представлений основной серии
Л = (1/4 +%2),	(5.75)
а для представлений дополнительной серии
Л = (1/4-о2), — 1/2<о<1/2.	(5.76)
6.	Зональная сферическая функция Uo(T, ф)> как мы
видели, не зависит от ф; (т, ф) = Ф?. (т) является соб-
ственной функцией радиальной части оператора Лапла-
са — Бельтрами:
— ^£г +cthr^ Фх(т) =	+-^-) Фх(т). (5.77)
93
Она удовлетворяет условию нормировки
ФД0)=1.	(5.78)
7.	Функции Un (т, ф) являются собственными функция-
ми коммутирующих самосопряженных операторов А и
Ptf = — I и образуют ортогональную систему функций
на плоскости Лобачевского. Для случая основной серии
класса I имеем
оо 2Л
J J Un (т, ф) Un> (т, ф) sh т dr <7ф=
о о
= Nn (к) бпп'б (* - X'). (5.79)
8.	Коэффициент Nn(k) определяется асимптотикой
функции Нп (т) при т ->
Rn (т) ~ (cn (X) ехр (гХт) + сп {— к) ехр (—iZ/t)) ехр (— т/2),
(5.80)
и, как нетрудно видеть,
ДЗД = А„(-Х) = л|с„(Х)|2.	(5.81)
9.	Известно также, что коэффициент N0(k) определяет
меру Планшереля dp,(X) для представлений основной се-
рии (см., например, [15]). Именно, произвольную функ-
цию /(т) мы можем разложить по функциям ФДт):
ОО
/(t) = J7(W(t)<W),	(5.82)
О
где
dp(X) =----^-^XthnXdM	(5.83)
л (с0 (1))
а /(X) находится по формуле
7 (к) = J Ф>. (т) f (т) sh т dr.	(5.84)
о
10.	С помощью формулы (5.63) нетрудно получить вы-
ражение для производящей функции для матричных эле-
ментов Ттп (g) = {m\TK (g) | ri). Для этого рассмотрим
94
выражение <^l7”'(g) |ц>. Нетрудно видеть, что
<£|rx(g) 1т]> = ФДт),	(5.85)
где т — расстояние между точками и т]:
ch у = >-	.=.1 а + Р| — ₽т] — afr] |. (5.86)
2 K1-RI2 И1-1Щ2
Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реализа-
ции представления TK(g). Оно действует в пространстве
квадратично интегрируемых функций на единичной
окружности {z : z = exp(i6)):
^(g)/(z) = l₽z + a|-1+2iJt/(zs),	(5’87)
pz -f- ос
Нетрудно видеть, что вектор гильбертова пространства
/|)(з)=1 инвариантен относительно максимальной ком-
пактной подгруппы. Действуя на него оператором TK(g),
получаем систему КС для основной серии*):
T>'(g)fv — fi(z)=\fiz + a|-I+2iX =
= (1- [gl2)1/2-a(l-fez)-lt2i\ (5.88)
Для представлений дополнительной серии имеем
A(z) = (l - !d2)-aH - fzl20, —1<о<0. (5.89)
Здесь
£ = — p/a, |£|<1, z = exp(i0), |z| = l. (5.90)
Таким образом, в соответствии с общей теорией КС
определяется точкой £ факторпространства X = GIK, ко-
торое в данном случае является плоскостью Лобачевского
{£:|£|<1).
Отметим ряд свойств функций Д(г).
11. При фиксированном z = exp(c0) функция Фе(£) =
— А(0) постоянна на орициклах плоскости Лобачевского,
которые в данном случае являются окружностями, касаю-
щимися окружности {£ : |£|=1) в точке £ = z = exp(Z0)
*) Переходя с помощью стереографической проекции с пло-
скости £ на верхнюю полость гиперболоида {п'.п2 = 1, п0 > 0},
получаем
/s (z) -> /т,ф (0)= (ch т — sh т cos (<р - 0))-1/2+а. (5.88')
95
[78]. Уравнение орицикла имеет вид
1 zhlJJ, — 2 I U c°s (9 — ф) = т _ gh т cos (ф — 0)) _ const«
1-Rl
(5,91)
Поэтому ядро z) = /t(z) можно назвать орисфери-
ческим ядром, и следовательно, при используемой нами
реализации представления T’-(g) система КС задается
орисферическими ядрами. Отметим, что это утверждение
остается справедливым и для случая представления ос-
новной серии произвольной группы Ли (ем. часть II кни-
ги [211]).
12.	Заметим, что
|Д(з)|2 =-----о 1 -,1 g |2-:=	(5.92)
1 + К I - 2 ISI cos (9-q>)
где P(Z,> z) — ядро Пуассона для круга {£ : Igl < 1). Таким
образом,
A(z) = exp(ia)[P(£, z)]“.	(5.93)
13.	При фиксированном z функция Ф?' (С) — ft (z)
является собственной функцией оператора Лапласа —
Бельтрами А=(1 — 1£|2)2Д (А — обычный оператор Лап-
ласа) для плоскости Лобачевского:
-W)=(b! + l/4)$(£).	(5-94)
Поскольку такие функции к тому же постоянны на
орициклах, являющихся аналогами прямых на евклидовой
плоскости, то КС Фг(£) = Ф0(£) являются естественным
обобщением плоских волн Фк (г) = ехр (гкг) для случая
евклидовой плоскости.
14.	Ортонормированный базис, являющийся собствен-
ным для операторов Т(к), к^К, K=U(i) — максималь-
ная компактная подгруппа группы 5'С7(1, 1), имеет вид
|п>	/„(z) = z" = ехр(ггаб).	(5.95)
15.	Разлагая КС по этому базису, получаем интеграль-
ное представление для функции (£):
2Л
Un (С) = М ехр (- inQ) Ф0Х (?) de =
J
о
2Л
= Г ехр (- m6) (1 - Нl2)1M11 — 1 ~1+2Ude. (5.96)
J
о
96
Переходя с помощью стереографической проекции
(? = th(r/2).exp(i(p)) от круга {?:1?|<1} к верхней
полости гиперболоида {я: я2 = z2 — z2 — х^ = 1, х0 >» 0},
полагая х0 = ch т, Xt = sh т cos ф, х2 — sh т sin ф, получаем
и» (т, ф) =
2Л
= 2^J (chr — shтcos(0 — ф))~1/2+г?'ехр(— inQ)dQ. (5.97)
о
Таким образом, мы получили хорошо известное инте-
гральное представление для матричных элементов Тп0 (g)
(см., например, [15]).
Функции и\ (т, ф) при всех значениях X и п образуют
полную систему функций на верхней полости гипербо-
лоида
^г= !|:|2 = £о-Й-Й = 1> £о>О}.
16.	Для зональной сферической функции (п — 0) это
представление несколько упрощается:
Ф>. (г) =	(ch т — sh т cos ф)-1/2+Л с/ф. (5.98)
о
17.	Рассматриваемая нами система КС удовлетворяет
соотношениям ортогональности
J (?) Ф^ (?) dp (?) = No (X) б (0 - 0')б (X - X'), (5.99)
«) = (1 - i:i2r2^.
J Ф& (?) ф£ (?') dp (X) d0 = (sh т)-1 б (т - т')б (ф - ф'),
(5.100)
dp (X) = Л^1 (X) dX=X th лХ dX.
18.	С помощью этих соотношений мы можем разложить
произвольную функцию на плоскости Лобачевского по
функциям Фе (?):
/(?) = J/(X,0^e(?)dp(X)d0,	(5.101)
где
?(Х,0) =	(?)/(?) dp (?).	(5.102)
7 А. М. Переломов
97
. 1^. Функции Фе(Б) тесно сйязаны с задачки рассея-
ния. Чтобы увидеть это, перкпйгйем оп'ерктор Jl&njikca —
БЬльтрами в виде
1 I -J—JL
4 sh2T д<р2
(5.103)
Отсюда следует, что функция ф?; (т) = J^sh т н„(т) удов-
летворяет уравнению
( “	(т) = Х2^ (т),	(5.104)
\ dx sh х /
которое имеет вид уравнения Шредингера для задачи рас-
сеяния в потенциале У (т) = (и2 — 1/4) sh-2 т. Отсюда по-
лучаем выражение для асимптотики функции фп(т) при
т -> -оо;
фп (т) ~ Сп (X) ехр (/Хт) + Сп (— к) ехр (— (Хт) (5.105)
и для S’-матрицы данной задачи:
ад--г^.	(5.106)
20.	Простой способ нахождения величин С„(%) и Sn(k)
заключается в переходе к пределу под знаком интеграла.
Например,
Jt
и*’ (т) = Фх (т) = J (ch т — sh т cos ф)-1/2+гХ dtp ~
о
~(С(Х) ехр (/Хт) + С(—X) ехр (—tA/т)) ехр(—т/2) при т-> оо,
<5-107>
О
21.	Таким образом, S-матрица для соответствующей
задачи рассеяния имеет вид
е (Х\ — __ Г 0'^) Г 4/2 — г'Х)	/г .доч
Ло(^)- Г (--гХ) Г (1/2 + гХ)	(H.1U8)
и обладает полосами в точках "к —in, п = 1, 2, 3, ... и
X = —г (п — 1/2), п = 1, 2, ... .
08
22.	Заметим, цакоцец, что из интегрального представ-
ление (5.08) нетрудно подучить явное выражение для
Фх(т):
Фх (т) = F (q, b; с; — sh2 т),
1/2-J- iK т 1/2— iX	t	sr ллп\
д.=	2	, b —, c=l. (5.109)
Воспользовавшись формулой для преобразования ги-
пергеометрической функции, получаем формулу, удобную
для получения асимптотики при т
Фх (т) = (2 ch т)“1/? {(2 ch т)и X
X - _ Г ________F/- °- -	- а + 1-
Ул Г (1/2 + iX) I 2 ’	2	2 ’
-|- к. с.
+
(5.110)
о = — 1/2 + ik.
Отсюда тдкже нетрудно получить выражение длд
5-матрицы и меры Планшеррля.
Глава 6
ГРУШИ ЛОРЕНЦА: SO (3, 1)
В этой главе изучается система КС для группы
50(3, 1)-группы Лоренца. Такая система состояний па-
раметризуется точками верхней полости двухполостного
гиперболоида, и с другой точки зрения была рассмотрена
в работе [$1]. Она оказалась весьма удобной для рассмот-
рения ряда задац трории представлений группы Лоренца
и релдтрнррдркон физики.
§0-1. Представления грушцл Лоррпца
Дрддльцре опирание грущщ Лоренца ц ее представ-
лецци мржно найти в книгах [3,‘ 15, |7, 52]. Здесь мы
приведем лшрь нррбдодр^ие длд дар сведения.
Группа Лоренцд — это группа линейных преобразова-
ний четырехмерного пространства, оставляющих инвари-
антной превдревклидрву форму
9	2	2	2	2
х* = Xq — хг — а?2 —
Она докадрцо изоморфна группе G = SL(2, С) =
т. е. группе комплексных матриц второго порядка с оп-
7*	99
ределителем, равным единице. Для того чтобы увидеть
это, сопоставим вектору х = (х0, xh х2, ха) матрицу
X =	+ 2Г‘О1 + Х2а2 + Х3с3,	(6.1)
где I — единичная матрица, о; — матрицы Паули:
[О 11
ai~[l о]’ °2
1
О
i • (6-2)
Тогда преобразование х -*• х' = gxg+ определяет пре-
образование в пространстве векторов, сохраняющее вели-
чину®2. При этом двум матрицам g и — g отвечает одно
и то же преобразование из SO(3, 1). Поэтому
SO (3, 1) = SL (2, C)/Z2,	(6.3)
где Z2 = {I, — 1} — центр группы SL(2; С). В силу
этого изоморфизма вместо группы Лоренца мы можем
рассматривать группу SL(2, С).
Известно [15, 52], что существуют две серии унитар-
ных неприводимых представлений группы Лоренца — ос-
новная и дополнительная.
Представление основной серии задается неотрицатель-
ным полуцелым числом Jo и вещественным числом X;
Т (g) = Т °’ (g). При этом для j’o==O представления
'' и Т°- эквивалентны. При ограничении представле-
ния Т °’ (g) па максимальную компактную подгруппу
K — SU(2) оно становится приводимым и содержит пред-
ставления т’о+ , 7’’° ... группы SU(2). При
/о — О в пространстве представления существует вектор
|ipo>, инвариантный относительно подгруппы К, т. е. та-
кое представление является представлением класса I. Мы
будем обозначать его просто TK(g).
Представления дополнительной серии соответствуют
чисто мнимым значениям параметра X; % = io, —1<о<0.
Все они являются представлениями класса I. Хорошо из-
вестны две стандартные реализации унитарных неприво-
димых представлений [85, 87].
Во-первых, их можно реализовать в пространстве
% = (п1, п2), где п, и п2— комплексные числа такие,
что (щ — п2) — целое число. Пространство — это про-
странство функций f(z, z), удовлетворяющих двум ус-
ловиям.
100
1.	Функция /(z, z)^C°°, т. е. является бесконечно-
дифференцируемой при всех значениях z:
f(z,z)eC°°.	(6.4)
2.	/ (z, z) = z”1 1 z”2 X/(— 1/z, — 1/z) e C°°. (6.5)
Представление T* (g) определяется формулой
T7' (g) f (z) = (₽z + б)"1’1 (₽ z + S)”2-1 / (zg),
Zg = (az + y) (₽z + 6)-1.	(6.6)
Для представлений основной серии
nl=(j0+iX), n2 = (—ja + ih),	(6.7)
а скалярное произведение имеет вид
</il/2> = =7 f "ktzdxdy.	(6.8)
Jv с/
Для представлений дополнительной серии
и, = п2 = о, —1<о<0,	(6.9)
а скалярное произведение имеет более сложный впд:
</i | /2> =
= л-2 J У I zx — z2 |-2(<I+1) (zj /2 (z2) d‘lz1d2z2. (6.10)
Таким образом, для представлений класса I имеем
щ = п2 = п = гл и
7’(^)/(z)=l3z + Sl2‘"-1’/(zg).	(6.11)
Нетрудно проверить также, что вектор, инвариантный
относительно максимальной компактной подгруппы и
нормированный, имеет вид
/о(з) = (1 + Ы2)-1+\	(6.12)
Для того чтобы получить вторую реализацию пред-
ставления, отобразим z-плоскость на сферу S2 = {n: n2= 1)
с помощью преобразования, обратного стереографической
проекции:
|z|-tg^, cose=l=l^p, sine ехр (йр)=	. (6.13)
Мы приходим к реализации представлений в простран-
стве функций /(п) па единичной сфере S2 = {n: n2 = 1).
При этом
ii/l|2 = ijl/(n)l2^n> (6.14)
101
где функция /(п) связана с функцией /(z) формулой
/ (*) = /о (z)7(u) = (1 + Iz 12) -,+iX7(n) •	(6.15)
Отсюда цолучаем закон преобразования функций /(п):
(g) Г(П) = (go - gn) -‘+ЙЖ) ,	(6.16)
где четырехмерный в.ектор (g0! g)> go — g2 = 12 g0 > 0
определяется формулами
^ = (l/2)(|a!2+|^|2+hl2+|6I2),
= (1/2) (ccy + wy + £6+ ₽6),
g2 = (-i/2) (a^ — ay+ £6 — ^6),
g3 = (l/2) (lai2 + l^l2 — lyl2— 16Г).	(6.17)
§ 6.2. Когерентные состояния
При второй реализации представления вектор, инва-
риантный относительно максимальной компактной под-
группы, есть /о (и)е 1, и действуя на него операторами
TK(g), получаем систему КС:
|g>->/£(n) = (g0-gn)-1+i\ g^-g2 = l2 1,>0. (6.18)
Таким образом, когерентные состояния нумеруются
точками верхней полости двухполостного гиперболоида.
Эта система функций была рассмотрена впервые (из дру-
гих соображений) в работе [81] и оказалась весьма удоб-
ной при изучении ряда вопросов теории представлений
группы Лоренца и теоретической физики.
Гельфандом и Граевым (см. [17]) была установлена
связь такого подхода с орисферическими преобразования-
ми, был сформулирован так называемый метод орисфер
для общего случая и был детально рассмотрен случай
комплексных полупростых групп Ли.
Перейдем к рассмотрению свойств системы КС. Такая
система с небольшими модификациями обладает всеми
свойствами, перечисленными в § 5.2. Отметим некоторые
из них (см. соответствующие пункты в (5.2.2)).
2'. Группа G действует на множестве КС транзитив-
но, и это действие дается формулой
7*te)lg> = lgs>, gs = £g,	(6.19)
где g — вещественная матрица четвертого порядка, удов-
летворяющая условию
g'sg = s, s = diag [1, —1, —1, — 1].	(6.20)
102
3х. Скалярное произведение двух КС дается формулой
а1п>=Фь(т)=пй‘ <6-21)
где
ch т = (?т)) = |оТ1о -	(6.22)
Y. В пространстве представления <№" существует ба-
зис {1I, т>} из собственных векторов операторов
J3 = Л + Л + Л и л,
J21I, ту = I (I + 1) 1I, ту, J3\l, ту = т\1, ту,
1 = 0, 1, 2, ..., -Z^wz^Z. (6.23)
Здесь Jk — оператор инфинитезимального вращения во-
круг оси хк, k = i, 2, 3.
Разлагая КС по этому базису, получаем
ll> = 2^m(|)|Z,?n>,	(6.24)
1т
где	* ” ~
и\т(® = (J,m\Kiy.	(6.25)
Состояние является нормированным, поэтому
(6.26)
1,т
Отметим также, что
4n(|) = T?hT)y(m(v).	(6.27)
Здесь мы обозначили через v единичный вектор, £ =
= shx-v, ym(v)—стандартные нормированные сфериче-
ские функции: (4л) 1 j Yim (v) Y у т> (v) tZv = Ьц'8тт'-
5'. Функции Н("т(т, v), будучи матричными элемента-
ми оператора TK(g), являются собственными функциями
оператора Лапласа — Бельтрами для пространства Лоба-
чевского
- Д4.М) = (*2 + l)W;m(T,v),	(6.28)
где
А = —j + 2 cth т -%- + —j— Av,
Зт2	дх sh2 Т
*	&2 - X Л Д , t д2
Av“ae2 + ctg0^ + sin3ea<p2'
(6.29)
юз
При этом для представлений дополнительной серии
получаем X = io, — 1 < о < 1.
6'. Зональная сферическая функция Фл(х) является
собственной функцией радиальной части оператора Ла-
пласа — Бельтрами:
-	+ 2 cth х Фк (х) = (V + 1) Фх (х). (G.30)
7'. Функции Uftn(x,v) являются собственными функ-
циями коммутирующих самосопряженных операторов А,
J2 и 73 и образуют ортогональную систему функций в
пространстве Лобачевского. Для случая представлений
основной серии класса I имеем
j j *4n(x, v)ur,'ftz (т, v)sli2xdxdp(v) = Ari(X)5n,6mm«6(X—X'),
^l(v) = ^dv, Йн(*) = 1-	(6.31)
8 . Коэффициент М(Х) определяется асимптотикой
функции Ri (х) при тоо
Н} (т) ~ (Ci (^) ехР (ifo) + Ci (— X) ехр (— /Хт)) ехр (— х).
(6.32)
Именно, нетрудно доказать, что
^(Х) = М(-Х)Ц|С',(Х)|г.	(6.33)
9'. Коэффициент N„ определяет меру Плапшереля для
представлений основной серии. Именно,
/ (х) = у 1 J / (X) Ф?. (х) dp (X), dp (X) = X2dX, (6.34)
где /(X) находится по формуле
/ (X) = j/j JФх (т) / (Т) sh2x dx. (6.35)
10'. С помощью формулы (6.21) нетрудно получить
выражение для производящей функции матричных эле-
ментов <Z, m[T>-(g)[l\ т'>. Рассмотрим выражение
<g|7”'(g') 1ц>. Нетрудно видеть, что
<^|7”’(gr) |т]> =Фх(х),	(6.36)
где
chx = (£rig) = (£, gp),	(6.37)
х — расстояние между точками £ и тр.
104
Теперь перейдем к рассмотрению конкретной реали-
зации представления T^(g). Оно действует в простран-
стве квадратично интегрируемых функций па единичной
сфере S2 = {и; п2 = 1):
Г(g)/(n) = (Io - £n) -1+i7(ng).	(6.38)
При такой реализации представления вектор, инвари-
антный относительно максимальной компактной подгруп-
пы К = SO(3), есть /о (п)— 1, и действуя на него опера-
торами TK(g), получаем систему КС
Д (п) = (£0 - £п)-1+а = Ф* (I) =Ф^(т, V).	(6.39)
Отметим ряд свойств функций Фп (?) = Фп(|), I =
=(1-|?|Т1/2?-
11'. При фиксированном п функция Фц(?) посто-
янна на орисферах пространства Лобачевского {£: 1?1 <
< 1), которые в данном случае являются сферами, касаю-
щимися сферы {£: Igl = 1) в точке £ = п [17].
Уравнение орисферы имеет вид
~И I ~7-? (foL (=сП т — sh т (nv)) = const. (6.40)
1 — 151
Поэтому ядро К (£, и) = Фп (£) можно назвать орисфе-
рическим ядром, и следовательно, при используемой памп
реализации представления Tx(g) система КС задается
орисферическими ядрами.
12'. Заметим, что
==?(L п)) (б-41)
где Р(5, и) —ядро Пуассона для шара {?: 1?1<1):
Д;Р (g, n) = 0.
Таким образом,
/s(n) =Р(?, n)(1-w/2.	(6.42)
13'. При фиксированном п функция Фп(?) является
собственной функцией оператора Лапласа — Бельтрами
Д=(1 — |£|2)2Д (Д — обычный оператор Лапласа для
трехмерного пространства)
-Дфп'(5) = (хг + 1)Фп(?).	(6.43)
Эти функции являются естествепым обобщением пло-
ских волн для случая трехмерного пространства.
105
if'. Ортонормированный базис, являющийся собствен-
ным для операторов J2 и Л, где Л, /2 и А — инфинитези-
мальное операторы максимально^ компактной подгруцпы
группы G = 5'0(3) имеет вид
<Г,.т(л)}.	(6.44)
15'. Разлагая КС по этому базису. ||> =2игт(1)К>
п замечая, что (?) = </, приходим к интеграль-
ному представлению для функции Unn(^):
u\m (I) = J Ylm (и) (£0 - |n)-1+i4i (»)-	(6.45)
16'. Для зональной сферической функции (I = 0, т =
= 0) это представление упрощается:
2Л
Ф?, (т) = j" (ch т —sh т COS e)-1+’\sinB dQ. (6.4;6)
о
17'. Система функций, описывающих КС, удовлетво-
ряет соотношениям ортогональности
J^(5)0^(g)^(5) = 2VoW6(X-X')6(n,’n'),	(6.47)
J 9па) Фп(^)^(^)^(п) = 8(т-т').6(м, V'),
? = thT-v.	(6.48)
18'. С помощью этих соотношений мы можем разло-
Житц произвольную функцию в пространстве Лобачев-
ского по функциям Фп(?)
/ (g) = (2n)-3/2J /(Х2 п) Ф£ (?) dn dp (X), dp(X)=X2A, (6.49)
где
Ж и) = (2л)~3/2 J Ф*(?) /.(?) dp (?).	(6.50)
19'. Функции Ф»(?) тесно связаны с задачей рассея-
ния. Для того чтобы увидеть это, перепишем оператор
Лапласа — Бельтрами в виде
А =	+ 2 cth т + (sh т)~2А0ф =
di	“т
= X^shT_ 1 + (sh T)-aAe„. (6.51)
IOS
Отсюда следует, что функции
(X) = st т •/?}(?)
' удовлетворяют уравнению
(- 4 +	1 Ф/ (х) = V (т),	(6.52)
\ dx sh т /
которое имеет вид уравнения Шредингера в потенциале
K(r) = Z(Z+l)sh-2T. Отсюда также видно, что асимпто-
тика функции Ф* (т) при т -> оо имеет вид
ф, (т) ~ Ci (X) ехр (гХт) + Ci (— X) ехр (— iXx), (6.53)
а 5-матрица для данной задачи имеет вид
5(Х) = -С,(Х)/СГ((-Х).	(6.54)
Заметим, что рассматриваемая задача тесно связана с
задачей рассеяния заряженной частицы в кулоновом
поле [57, 58].
20'. Для нахождения коэффициентов СДМ удобно пе-
рейти в (6.45) к пределу т -* °° под зпаком интеграла.
Так, например,
S f	Yu(п) da = Сг(Х) Yu(v), (6,55)
и, вычисляя этот интеграл, получаем
г ci\- 22;r(Z + 3/2)	Г(1 + ад	,fi
Г (3/2) £А,Г (Z 4-1 + iZ,)'	( >5Ь)
21'. Таким образом, 5-матрица для рассматриваемой
здесь задачи рассеяния имеет вид
с _ Г (1 + iX) T(Z+1 — ZX)
61W ~ Г (1 - гХ) Г (Z + 1 4- fX)	(b-57)
и обладает полюсами в точках % — im, —i(l + k), т, к =
= 1,2,...
22'. Заметим, наконец, что из интегрального представ-
ления (6.45) нетрудно получить явное выражение для
функций $ (х)
7?^(т) = (sh x)lF (a, b, с; —sh2r),
(6.58)
а = 72(Z+ 1 + zX), Ь = V2(Z-f-1 — fX), c = Z + 72.
107
Глава 7
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЛЯ ГРУППЫ SO (и, 1):
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОСНОВНОЙ СЕРИИ КЛАССА I
В настоящей главе результаты глав 5 и 6 переносятся
на случай группы SO(n, 1) для произвольного п.
§ 7.1. Представления класса I группы SO(n, 1)
Группа G = SO(n, 1) — это группа линейных преобра-
зований (гс + 1)-мерного пространства, которые оставля-
ют инвариантной квадратичную форму
ж2 = Жц — х2, х = (ж0, х), х = (ж17 ж2, ..., жп). (7.1)
Условие инвариантности этой формы- удобно записать
в виде
g'sg = s, или g~' = sg's.	(7.2)
Здесь g и s — вещественные матрицы порядка (гс+1),
g' — матрица, транспонированная матрице g,
s = diag[l, —1, —1, ..., —1].
Группа SO (гс, 1) некомпактна. Максимальной ком-
пактной подгруппой К группы G является группа SO (и).
Факторпространство X = G!K—это хорошо известное
гс-мерное пространство Лобачевского. Его можно реализо-
вать разными способами. Мы используем реализацию в
виде внутренности единичного шара
{£: 151 <П
и в виде верхней полости двухполостного гиперболоида:
= So-12 = 1, Io>0).
Нам понадобится также вложение пространства X в
группу G. Удобный для нас способ таков:
В = (Во.	(g'	+	<7-3)
Нетрудно проверить, что соотношение (7.2) выполняется,
т. е. gi s G.
Что касается унитарных неприводимых представлений
класса I, то для группы G все они содержатся среди
представлений основной и дополнительной серий.
108
Рассмотрим реализацию пространства X в виде еди-
ничного шара £> = {£: |£| <11. Границей этого шара яв-
ляется (п — 1)-мерная сфера S"-1 = {п; п2 = 1), и, как
нетрудно видеть, это пространство является однородным
относительно действия группы G. Представления основ-
ной и дополнительной серий можно реализовать в про-
странстве квадратично интегрируемых функций {/(п)}
на Sn~l. Такое представление характеризуется одним ве-
щественным числом X и задается формулой
2’х(5-)/(п) = (^-Гп)°/(пД	(7.4)
где
а=—p + iX, р=-^-=Д ^^g00, V =	(7-5)
Для представления основной серии X 0, а скалярное
произведение дается формулой
</il/2>= f 71 (n)/a(n)dp(n)dp(n)=l.	(7.6)
s"-1
Для представлений дополнительной серии X — чисто
мнимое: X = iv, —p<v<p; следовательно, о — вещест-
венное число:
—2р<о<0, -(«-!)< о <0.	(7.7)
Скалярное произведение здесь дается более сложной
формулой [15]
= J .f [l-(n.n')f+1-"X
sn-lsn-l
X 7i(n)/2(n)cZ|i(n)cZp,(n'), (7.8)
1/л Г (ст)
(7-9)
§ 7.2.	Когерентные состояния
Систему КС для представлений класса I определим
формулой
1£> =
где |ф0> —вектор инвариантный относительно Г*(/с),
к^К, дается формулой (7.3).
109
Не+рудно впдетВ, что в й-пр’ёдётайлёййй роль вёй!ора
1гр0> играв! фупкция /в(11)в1. Действуй йа йеё ойёрйто-
раЧи P(g), получаем систему КС:
11> -> 4 (n) = (1о - 5п)~0+'К = <& (I).	(7.10)
Свойства э!о'й систейй КС ййалЫйчЙй ёвЬйётЪай ёЙ-
стемы КС дйя груййы ЛорейЦа (ей. § 6.2). Здесь iiri Пе-
речислим лишь некоторый из этих ейрйётв.
1.	Скалярное пройзйедёние двух КС ДаётсЙ формулой
<W = < W(«<) 1^о> = Фл(г),	(7.11)
где г — расстояние между точками | и I],
chx = (£ • т]) = £оПо-V П»
/ch (т/2) sh (т/2)\
аг = (_sh(T/2) ch (т/2)/-
2.	При ограничении представления Т* на максималь-
ную компактную подгруппу К = SO (п) представление
разлагается на неприводимые компоненты, причем в это
разложение входят лишь представления группы К, харак-
теризующиеся одним целым числом I:
№ = ф Ж\.	(7.13)
1=0
Поэтому в пространстве представления можно выбрать
базис {1I, ц>), где р— числа, характерййующйе базйёйый
вектор в Эти векторы являются собственными век-
торами оператора J2 для группы К (J2 = 2 Jki):
\ h<l )
J2\l,p> = l(l + n-2)\l,p>.	(7.14)
Число векторов в Ж'1 равно размерности представления
Т1 группы SO (и) и дается формулой
,	<2г-|-2) (Z + « — 3)!	,7,^
dl =-------/ТТп-2)!------•	(7Л5'
3.	Разлагая КС по базису 11, ц>, получаем
11> = 2<(Ш н>,	(7.16)
где
ut ш = <х, I, р||> = <Z, р|Тк(gs)|0>.	(7.17)
4.	Состояние |^> является нормированным, поэтому
1М®|2 = 1-	(7.18)
J.IA
110
Отмртим также, что
“Д =	£0 = chx, |=shx-v. (7.19)
Здесь v—единичный вектор: v2 = l; Yilk(y)—стандарт-
на нормированные сферические функции:
J ^/u(v)*y;'|j.'(v)dFl.(v) = 6ц'8цв', pp(v)=l.
5.	функции «Д(т, v), будучи матричными элементами
оператора T^(g), являются собственными функциями опе-
ратора Лапласа — Бельтрами для пространства Лобачев-
-	(т, у) = (X2 + р2) пД (т, V),	(7.20)
где
Д = ^+ 2pcthT^- + -4-Av,	(7.2J)
дт	sh т
Av —оператор Лапласа — Бельтрами па (п — 1) -мерной
сфере:
S”-1 = {v: v2 = 1).
Отсюда следует, что функция 7?/'(т) удовлетворяет
уравнению
- (А + (n - t)Cth т + R}(Т) =
\dx	а1: j sh т
= ^2+<7-22)
6.	Функции Ri (т) связаны с задачей рассеяния ча-
стицы в потенциале У(т) = g2 sh-2 г. Для того чтобы уви-
деть это, перейдем к новой функции
ЧД (т) = (sh т)~/Д (т).	(7.23)
Нетрудно видеть, что она удовлетворяет уравнению
Шредингера
[-r-a+^(T)W/(T) = X2FhT), (7-24)
I ат	/
где
Р’;(г) = [(«/2 — 1 + Z)2 — l/4]sh-2 т. (7.25)
111
7.	Отсюда видно, что 4*t (п, т) ~ Tq (п ф 2lt т) и, со-
ответственно,
R^ (п, т) = Bni (sh т)г7?о (п + 21, т) =
= Bni (sh т)'фл (п + 21, т). (7.26)
8.	Решая уравнение (7.22), получаем явное выраже-
ние для функции В\ (т):
R\ (т) = Bnl (sh x)lF (а, Ъ, с; th2 г) (ch т)~р+а;
a = (p + Z-ZZ)/2, * =(р + Z 4-1 — ?Л)/2,
c = p + Z+l/2, (7.27)'
где F(а, &, с; х)— гипергеометрическая функция.
9.	Асимптотическое поведение функции R'i (т) име-
ет вид
(т) ~ (Сг (Tv) ехр (гХт) + С; (— X) ехр (— /Хт)) ехр (— рт).
(7.28
10.	Из выражения (7.26) находим следующее выра-
жение для коэффициента G (Z):
г ...	„ 22гг(р + г + 1/2)Г(р + ад г ..	рсп
Cl= Bnl г(р + 1/2)Г(Р + /+а) ’ С« (7‘29)
11.	Функции и}т(х, v) образуют ортогональную систе-
му функций в пространстве Лобачевского
J J и\т (т, v) и^'т' (т, v) (sh т)"-1 dr tZp, (v) =
= ^(Х)6„,6тт,б(Х-Г). (7.30)
Здесь
dp, (v) = A dv, JtZp,(v) = l.	(7.31)
12.	Коэффициент M(X) определяется асимптотикой
функции R^ (т) при т-^-оо;
ВД) = л1ед I2.	(7.32)
13.	Функция ФДт)—зональная сферическая функ-
ция — является собственной функцией радиальной части
оператора Лапласа — Бельтрами
-	+ (п — 1)сН1т^)фх(т) = (А,2 + р2)Фл(тО, Р=1у^-
(7.33)
112
Она нормирована условием
ФД0) = 1.	(7.34)
14.	Из явного выражения
Фх(т) = 7г(а, b, с; — sh2 т),
(7.35)
а = (р + а)/2, Ь = (р —гХ)/2, с = р + 1/2,
получаем выражения
22Р-1г(р + 4-^
=------рй-----тжгтг <7-36)
ад) = л|С0(Х)|2.	(7.37)
15.	Коэффициент Л\>(М определяет меру Планшереля
для представлений основной серии. Именно,
/(-v)	5/(^)Фл(т)^н(Х),	(7.38)
<W) =	«n=2-("-2)/2[r(i)]-1)	(7.39)
/ (X) =an J ФДт) / (т) (sh т)’-’</т,	(7.40)
J | / (т) |2 (sh т)п-^т = J | / (X) |> (X).	(7.41)
Рассмотрим теперь свойства системы КС в п-представ-
лении:
Фп(1) = (^-|п)-рн\ Р = ^~(7.42)
16.	Система функций Фп (I) является полной и орто-
гональной:
(2л)-п У Ф£ (|) Фп (Г) dii (п) dii (X) = б (|, |'),	(7.43)
(2л)~” У Ф* (I) Ф^' (I) dll (I) = N (X) б (X - X') б (и, п'),
dii(l) = ^1dnl.	(7.44)
17.	С помощью этих соотношений любую функцию
/(?) на гиперболоиде можно разложить по функциям
Фп(|):
/Ш = (2т)-’’/2У7е*п)Ф^(|)^(Х)^(п)1 (7.45)
8 A. M. Переломов	ИЗ
где f
Ж n) = (2л)-"/2 Jpn(§)/(|)dp(|).	(7.46)
При этом
f | / (X, п) |3 dp (X) dp (n) = J* | / (I) |2 dp (I).	(7.47)
18.	Усредняя когерентное состояние по сфере
{и; п2 = 1}, получаем выражение для зональной сфериче-
ской функции:
Ф;. (т) = J (ch т — sh tcos 0)CTdp (9),
dp (6) =	--Г ('г/2)-(sin 0)n~3d9,
а = _р + г-х, р =	Г-48)
19.	Отсюда нетрудно получить выражение через ги-
пергеометрическую функцию:
Ox(T) = (chT)-₽+,V(a, Ъ, с; th2r),
а = (р —гХ)/2, b = (р - iX + 1)/2, с = р + 1/2. (7.49)
Нетрудно проверить, что это выражение эквивалентно
выражению (7.35).
20.	Для получения асимптотики при т -* °° это выра-
жение удобно преобразовать к виду
2₽—ip f— \
ф, (т) = (ch т)-р —Г -LM-х
|/Л	( 1 vA ~Г Р)
X (2с11т)|>7?^—2-, — у -р y> 1 _	с1г-2т) + к. с.}.
(7.50)
21.	Отсюда сразу же следует асимптотическое выра-
жение для ФДт) при т-> «>:
ФДт)~
(7.51)
где величина 60(Х) дается формулой
60(Х) = arg Г(й)-arg Г(р + гХ). (7.52)
114
Вёййчййа б0(1) является фазой р'йсёёйнйй в по’Тен-
цйЯЛё
tz/\ Г (п л \ 2	1	1
Уо(т)-[(2 J 4] sh2T-
22.	Выражение для асимптотики ФДт) можно полу-
чить более простым способом, а именно переводя к пре-
делу т-* оо йод Зйакой йнтеёрала в (7.48). Ийеёй
/ п \
сщ = —Г vZi;- i	==
vsr(—) i
2”-2r (t) r(zx>
Я Г (p Ц- iZ)
(7.53)
23.	Из (7.16) и (7.19) теперь следует разложение зо-
нальной функции
(|) = (ch т - sh t (v-ii))-p+a =s R} (T)S Yltl (V) Yltl (n).
i a
(7.54)
Нетрудно видеть, что
2^a(v)^(n) = ^(vn), a =	(7.55)
a
где C“ (x) — полипом Гегёпбауэра степени l. Полагая
v = n и интегрируя обе части (7.55) по йц(й), получаем
2 Yltl (v) У/(1 (n) = -А- Ct (vn)t (7.56)
а
гДе И00^1, Jс?ц(n) = 1,а Ф дается формулой (7.15).
Окончательна получаем разложение орисферической
волны
(dir-sht(vn))“(,+iX =
’t’f (р + Z — U) Г(р—1/2)	/7
“ Й ’ 2'Г(р-/Л) Г(р- 1/2 + /) C^ <C0S °)	<7-57)
7?^ (т) ~ х1 при т -> 0.
8*	119
24.	Учтем теперь тот факт, что полиномы Гегенбауэра
образуют ортогональную систему {Ст (cos 0)} на интер-
вале (0, л) свесом (sin0)2a
C?(C0S °> - Frw [ТГанТ 8)- ,7-'В)
Из (7.57) получаем интегральное представление для
зональной сферической функции
рХ ( _ 2'1\ Г (р - а) Г (2р - 1) Г (/ + р + 1/2)
м ' фб? г (р +1 - а) г (р) г (2Р — 1 + о
X j (ch т - sh т cos 9)-p+4f (cos 9) (sin 0)2“ dQ. (7.59)
0
25.	Теперь нетрудно написать выражение для асимп-
тотики присоединенной сферической функции при т
#(т)~
~ ехо (- от) {2^+гга + р + 1/2)	|Г(,%)| х
Р Ц 16? I Г(Р+ I + U) | Х
Х(ехр [г (1т + б/)] + к. с.)^, (7.60)
где
б( = arg Г(г1) — arg Г(р + I + г!).	(7.61)
26.	Разложение когерентного состояния при т -* °°
принимает теперь вид
(ch т — sh т cos 0)~р+Л =
Г (р-f-1/2)2р—1	,	. Vcap + p-l/2\ r(P + Z-a)4Z
------Уя ехР(-Рт)^СЧ р—1/2 y—p-zw Х
X ехр(ат) + к<<4 (7,62)
27.	Заметим, что при 1 т -* 0, 1т = const проис-
ходит переход к случаю плоского пространства, и наши
формулы переходят в формулы для разложения обычных
плоских волн. В частности,
ехр [i6; (1)] ~(—1)!ехр(гбо(1)).
116
Глава 8
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ БОЗОННОЙ СИСТЕМЫ
С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ
В этой главе изучается система КС для бозонной си-
стемы с конечным числом степеней свободы. Состояние
системы задается комплексной симметричной матрицей,
удовлетворяющей некоторому дополнительному условию.
В изложении мы близко следуем работам [160, 102].
§ 8.1. Канонические преобразования
Напомним, что основные операторы, используемые при
описании бозонной системы*) с N степенями свободы,—
это операторы рождения а, и уничтожения ah (у, к =
= 1, ..., N). Эти операторы действуют в стандартном
гильбертовом пространстве Жв — так называемом прост-
ранстве Фока и удовлетворяют перестановочным соотно-
шениям:
[ад a/t] = &jk, [а}, ah] = [а/, at] = 0.	(8.1)
Нас будут интересовать преобразования, не меняющие
перестановочных соотношений (8.1). Такие преобразова-
ния называются каноническими. Простейшие канониче-
ские преобразования — преобразования смещения а,- -»
-* a, + aj, где а,- — произвольное комплексное число, изу-
чались в главе 1.
Рассмотрим теперь наиболее общее линейное однород-
ное преобразование операторов as и ак'.
ai-^ai =	+ vihak, af -> at =	+ uihak.	(8.2)
Это преобразование является каноническим при вы-
полнении условий**)
С7С7+-РУ+ = 1, UV'^VU', t/ = [ai3], 7=фе], (8.3)
*) Бозонная система — это система из конечного числа тож-
дественных частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна,
т. е. описываемых полностью симметричными волновыми функци-
ями. Относительно строгого математического описания таких сис-
тем см., папример, книгу Березина [7].
**) Здесь и в дальнейшем знак «+» означает эрмитово сопря-
жение, «—» комплексное сопряжение, «штрих» — транспонирова-
ние матрицы.
117
которые, в свою очередь, эЯвйВалентны следующему ус-
ловию для 2N X 2W матрицы:
= J), МЁМ+ = Ё, £ = (J _?). (8.4)
Отсюда нетрудно найти выражение для обратной
матрицы
= ЕМ+Е = [ _ г+ v J (8.5)
и с ее помощью переписать условия (8.3) и (8.4) в виде
М+ЕМ = Е, U+U-V'V = I, U+V = V'U. (8.6)
Из соотношений (8.3) и (8.6) следует, в частности,
что всегда существует матрица, обратная матрице U,
и поэтому
U-W = Vх (Г-‘)VU-1 = (С7-1)' V+,	(8.7)
что эквйвалёйтно условию симметричности матриц
Z=U~'V и W = VU~1.	(8.8)
Из (8.3) и (8.6) получаем
I — ZZ+=(J7+{7)~1, I- W+W = (UU+)-'.	(8.9)
Отсюда следует, что матрицы I —ZZ+ й I — W+W по-
ложительно определены.
Матрицы М, удовлетворяющие условиям (8.3), (8.6),
образую!1 группу относительно обычного произведения
матриц. Эта группа называется вещественной симплекти-
чёсйой группой и обозначается Sp (22V, IR).
.Отметим несколько свойств этой группы*).
1.	Группа G некомпактна (ее инвариантный объем
бесконечен), и следовательно, все её унитарные непри-
водимые представления бесконечномерны.
2.	Группа G неодносвязна. Это значит, что is группо-
вом пространстве существуют замкнутые пути, которые
нельзя непрерывно деформировать в точку: например,
путь, отвечающий преобразованию о,- -> ехр(2лт/)а^, 0
«£ t < 1, при любом целом п #= 0 является замкнутым, но
в точку деформирован быть не может.
Склеивая соответствующим образом бесконечное число
экземпляров G, мы полуЧаём уже ЬдПосййзпуЮ группу
*) Более детальное рассмотрение свойств группы Sp(2?7, R)
можно найти, например, в работах [7, 35, 94, 160].
118
G — так называемую универсальную накрывающую груп-
пы G*).
Как мы увидим в дальнейшем, ващную роль играет
также группа G, которая дважды накрывает группу G—
так называемая метаплёктическай группа.
3.	Максимальная компактная подгруппа группы
Sp(2n, R) есть группа матриц вида & = (о	е
е U (N), и следовательно, она изоморфна группе U (7V).
4.	Матрицы Z(W) в формуле (8.8), как нетрудно про-
верить, являются представителями левых (правых) клас-
сов смежности группы G по подгруппе К. факторпрост-
ранство G/К является симметрическим пространством не-
компактного типа и, как следует из (8.9), может быть
реализовано в виде комплексной однородной ограничен-
ной области (так называемый единичный круг Зигеля
[79, /54])
I - ZZ+ > 0,	(8.10)
где Z — комплексная симметричная п X п матрица. При
эдом группа G = Sp (27V, R) действует на множестве та-
ких матриц, как группа дробнолинёйных преобразований
g: Z-+Z = (UZ+ V)/(VZ + U)-‘.	(8.11)
Возвращаясь к каноническому преобразованию (8.2),
отметим, что согласно теореме Стоуна — фон Неймана
[234, 196] операторы а} и as унитарно эквивалентны. Эт0
значит, что существует унитарный оператор Т — Т (g)
такой, что
а, = Та^.	(8.12)
При этом, как нетрудно видеть, операторы T(g) образу-
ют представление группы G = Sp (27V, R).
Нетрудно опцсадь также инфинитезимальные опера-
торы (т. е. представление срртдетству^ощер алгебры Ди).
Пусть Т ~ I + геЯ, где Н — эрмитов инфинитезимальный
оператор представления. Тогда коммутатор [Н, а3] должен
быть линеен по операторам и а*. Это действительно
будет так, если оператор Н квадратичен по операторам
<Zj и я* •
Мы приходим, таким образом, к рассмотрению алгеб-
ры операторов
Хц = Xfj = а^а/,	+ о^а^). (8.13)
*) Описание группы G см., например, в работе [94].
1/9
Перестановочные соотношения для них имеют вид
[Xu, Xft(] =	xft+(] = о,
+ ^iiYjk + SiflYн + 6;-;Ytt,
i /j] =	4~	/о
[Xtj, У/!;] = -6^-б;Л
Rib Yhi] = SiiYbj — &kjYц.
Рассмотрим теперь инфинитезимальные спмплектпче-
ские преобразования. Для них М « I + вЛ.
Следовательно, матрица инфинитезимального симплек-
тического преобразования удовлетворяет условию
ЛГ£ + ЕЛГ = 0,	(8.15)
или
Л+ = —ЕЛЕ.	(8.16)
Отсюда следует
Л=(^	^' = ^, ^+=-^.	(8.17)
\ €>*-	»30 / '
Рассмотренное нами представление Т (g) является уни-
тарным и действует в стандартном гильбертовом прост-
ранстве Л>в — так называемом пространстве Фока (см.
главу 1) с базисом
|[п]> = | п}, . ..,nN} = [пх! ... nw!F1/2(a^)”1.. .(a^)”w|0>,
|0> — так называемый вакуумный вектор:
[0> = 10, .., 0>, аДОП = 0.
Нетрудно видеть, что пространство приводимо от-
носительно действия операторов (8.13). Именно, состоя-
N
ния с четным (нечетным)	образуют прост-
1
ранство 3@в уже неприводимого представления Т+ (соот-
ветственно $>в для Т~).
Следует, однако, иметь в виду, что эти представ-
ления являются двузначными представлениями группы
Sp(2JV, R), или, выражаясь точнее, представлениями
метаплектической группы
Мр (2N, R) = Sp(2A', F).
120
§ 8.2. Когерентные состояния
Перейдем теперь к построению систем КС для пред-
ставлений Т+ и Т~. Заметим прежде всего, что для про-
извольного g е Sp (2N, R) имеет место разложение
Т (g) = Л5 ехр (^уХ^ехр (ауУу) ехр СМьАу), (8-18)
где N — нормировочный множитель. При этом как в про-
странстве <^+, так и в существует вектор 1<р0>, анну-
лируемый операторами
Ху!ф0> = 0,	(8.19)
а именно
[фо> = Ю> = |0, 0, ..., 0> для Г- (8.20)
и
1<р0> = 11, 0, ..., 0> для Т~ (8.21)
(заметим, что в случае Т~ такой вектор не единствен).
Построение системы КС в обоих случаях одинаково,
и мы рассмотрим здесь лишь случай представления 7’+.
Стационарная подгруппа Н состояния 1<Ро> в этом случае
есть группа U(N)-.
( IU 0 1
U<=U(N).	(8.22)
Действуя па [<р0> оператором T(g), получаем, как
обычно, систему КС типа {Т, 1<р0>}, связанную с бозон-
ными операторами.
Из (8.18) следует, что КС |£> задается формулой
|?> = Л"ехр(1/2^)|0>,	(8.23)
где £ — комплексная симметрическая матрица, а Л3—
нормировочный множитель.
Далее, из формулы (8.18) следует, что КС |£> удов-
летворяет уравнениям
аД> = T(g)ajT~'(g) lg> = 0,	(8.24)
или
(Ua+ Va+)U> = 0.	(8.25)
Отсюда получаем
(« + £7~'Уа+) lg> = О	(8.26)
g = -f7-‘V.	(8.27)
121
Теперь из услоййя (8.3)
ии+ - VV+ = I
видно, что эрмитова матрййа I — ?£* долгй'на быть поло-
жительно о'НрёдёЙеййрй. Это й есЯь условий, йеобходймое
для ..нормировки состояния задаваемого формулой
(8.23). Мы обознйчйм множество комплексных симметри-
ческих матриц, удовлетворяющих этому условию, че-
рез (Уд’.
Итак, КС в Нашем случае задается точкой простран-
ства Sv. Что касается нормировочного множителя Л9, то
вычисление дает
4’ = [det(I —??+)]1/4.	(8.28)
Приведем теперь некоторые свойства системы КС.
Состояния системы неортогональны друг другу:
<?|ц> = <O|T(g) |б> =
= [det (I - Н+) det (I — ПП+)]1/4 [det (I - Гц)] -1/г. (8.29)
Разлагая КС по стандартному базису, получаем
1£> = 2«[П](ШМ>»	(8.30)
где суммирование производится по всем [«] = (пь ..., nN)
таким, что |п | = S щ есть четпое число. Отсюда находим
2 и[п] (?) и[п] (ц) = [det (I — ?+т])]-1/2, I п I — четное,
[п]
(8.31)
Заметим, что из (8.30) для u[m](?) следует интеграль-
ное представление
п[т] (?) = J {[mjl}-1/2 zm ехр f/azfcz) (z), (8.32)
— 2 I zi I2} П dxitdyk, Zj = Xj + iyj,
i J k
| m ] = 2 mi— четное число.
Функция u[m](?) является однородным многочленом
степени Im 1/2 от элементов матрицы | и, как было по-
казано в [160], удовлетворяет системе уравнений
(KjjKim — щт} (|) = 0,	(8.33)
где
<8-34)
122
Интересующий нас класс функций ЗГдг = {/(£)}, где
/ (£) = JS <WM (I), Iт\ — четное, это — функции, ана-
литичные в обобщенном единичном круге Зигеля SN,
удовлетворяющие системе уравнений (8.33), а также ус-
ловию
II/II2 = S|c[m]|2< 00	(| т | — четное). (8,35)
При ,этрм из (8.35) рледурт
l/(g) |^Н/Н [det(I - Г&)]-1/4.
(8.36)
Отметим также следующую полезную лемму [160].
Необходимое и достаточное условие того, чтобы целая
функция ехр ^/2 (z£z)} была нормированной относительно
меры d\nN(z) есть условие положительной определенности
матрицы
1-^4 = 1-Й.	(8.37)
Приведем формулу для действия представления T+(g)
р пространстве
7,+ U)/(5) = .[det(n+gy)]-‘/2X
W+miW))- (8-38)
§ 8.3.	Описание операторов в пространстве
Пусть А — произвольный оператор в 2% в- Следуя об-
щей теории, поставим едгу в сортветстрие ковариантный
символ
4(1, £)=<£|4|£>, W = l. (8.39)
Рассмотрим операторы
~	1 Al = Цк*	(8.40)
Простые вычисления показывают [102], что ковариант-
ные символы этих операторов суть элементы матриц *)
4=^(1-П)-* = ^(1-П+)-^
в = ч(I - £+g)"Т = Ы£+ (I -	(8.41)
♦) Здесь мы вводим параметр И (постоянную Планка) в опре-
деление когерентных состояний (8.23) и перестановочные соотно-
шения (84).
123
Заметим, что матрицы А и В удовлетворяют соотно-
шениям
\	л /	у 4 /
ВА = АВ, А'— А, В+^В, В^О.
(8.42)
Справедливо также и обратное утверждение [102].
Если матрицы А, В удовлетворяют соотношениям
(8.42) и матрица А~1 существует, то существует такая
матрица g, что А и В даются выражениями (8.41). Не-
трудно видеть далее, что произвольный элемент алгебры
Ли группы Sp (22V; R) имеет вид (8.17)
( <в \
Ь Л =	=	(8.43)
где матрица — комплексная, а	—	аптиэрмитова	п
Ж' = Подставляя	сюда ‘F = i [в	+	ij и	= iA	и
выражая с помощью	(8.41) А и В в	терминах	£	и мы
получаем вложение многообразия SN = {%} в алгебру Ли
'З. При этом образ SN в 3 зависит от /а, и мы обозначим
его через 5л-(7г). Пусть ix^SN{'h). Тогда нетрудно пока-
зать, что
gx(l, l)g~1=^x(gl, gl),	(8.44)
где g е= G.
Следовательно, многообразия SN(h) являются орбита-
ми присоединенного представления группы G=Sp(22V, R)
Соотношения (8.42) теперь можно переписать в виде
Ш))2 = [|)\ .	(8.45)
где I — единичная матрица.
Заметим, что при Тг -> 0 мы приходим к пространству
комплексных унитарных симметрических матриц
Z+Z = I.	(8.46)
Таким образом, многообразие SN(0) лежит на границе
круга Зигеля {Z : I — ZZ > 0). Многообразие SN Является
кэлеровым многообразием. Это значит, что оно является
комплексным многообразием и на нем существует ри-
манова метрика, которую можно записать в локальных
124
координатах в следующем виде:
ds3= V-^Rdz“d?,
** dzad z^
(8.47)
где функция F(z, z) называется кэлеровым потенциалом.
Метрика (8.47) инвариантна относительно преобразо-
ваний группы G, если потенциал F удовлетворяет условию
F(gz, gz) = F(z, z) + a(g, z) + a(g, z),	(8.48)
где a(g, z) является аналитической функцией z“ (т. e. не
зависит от z“).
Пусть z е SN. Рассмотрим функцию
f(z, z) = det(I-ZZ).	(8.49)
Из (8.49) следует, что
/(gz, gz)=f(z, z)a(g, z)a{g, z),	(8.50)
где
a(g, z) = det(U + VZ)~l.	(8.51)
Следовательно,
F(Z, Z) = -‘/2ln f(Z, Z)	(8.52)
— потенциал инвариантной кэлеровой метрики. Отсюда
получаем
ds2 = V2 tr(dZ(I - ZZ)-4Z(I - ZZ)-1).	(8.53)
Введем скалярное произведение (х, у) = tr(jry+) в
пространстве матриц порядка п. Тогда метрику ds2 можно
переписать в виде
ds2 = (dZ, AdZ), AdZ = t/iCdZC, C = (I-ZZ)~l. (8.54)
Приведем еще выражение для оператора Лапласа —
Бельтрами на пространстве S„:
A = 2tr[^(l-ZZ)^(I-ZZ)l,
(8.55)
где
(		д	1 д
д _				2 9г1П
0Z ~	1	д	д
			— 	
	2		дгпп
X = М,
dZ \dZ!
(8.56)
Обозначим через	гильбертово пространство
аналитических функций на пространстве SN со скалярным
125
произведением
(Л> /2) = CN (к) j /х (?)./2 (Z) [det (I - ZZ)]ft/a (Z, Z),
(8.57)
где
ЙЦ.У (Z, Z) - [Й1 (i - ZZ)] ''' ‘ П (8.58)
i<j n
— инвариантная мера на SN, а нормировочная постоян-
ная CN (k) определяется из условия (/0, /<>) = {, где f <>(%) =
= 1. Используя результаты из [79], находим выражение
для нормировочной постоянной:
(к\ = 9~Г (А 1) Г (к 2) ... Г (к Л) rq\
2 Г (Л-2) Г (Л-4) ... Г (к — 2N)'	<8-59)
При этом интеграл в (8.57) сходится при к > 2 (N + 1),
а при &<2(2V+1) получается путем аналитического
продолжения.
Выражение, полученное таким способом, определяет
неотрицательное скалярное произведение на полупрямой
k>2(2V + 1), а также в точках слева от нее:
к = 0, 1, 2, ..., (2V —1).	(8.60)
Мы будем поэтому рассматривать лишь такие значения
к. Что касается векторов
Ф7 (Z) = л* (У) [det (I - zy)]-ft/2
в пространстве	то для допустимых значений к
они образуют систему обобщенных КС.
Глава 9
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
ДЛЯ ФЕРМИОННОЙ СИСТЕМЫ
С КОНЕЧНЫМ Числам СТЕПЕНЕЙ СВрБОДЫ
В этой главе изучается система КС для фермионной
системы с конечным числом степеней свободы. Состояние
ррстрмы хррактрр^зуется комплексно]! антисимметричной
^атрцррй- В изложении ^ы рдедуеэд работр [1Q2].
125
,	§ 9.1. ЙанКнййёскйё йреоб^ЙзовапНЙ
В этом	Зв — Звр — Пространство Фока со-
стояний фёрмйбЙнбй системы с 2V степенями свободы;
а/ и ah — фермионные операторы рождения й уничтоже-
ния; нор'мйрЬвайййё так, что
{а), а/f} =	+ а^а} = бд, {а,, Щ,} = {а/-, «ь 1 = О- (9.1)
Рассмотрим линейные однородные канонические пре-
образования, т. е. линейные однородные преобразования
операторов щ, «^, не меняющие перестановочных соотно-
шений (9.1):
dj > dj — djftd^ -р Vjid[ ,
«/-> d* = Vjhdh + undt.	(9.2)
Эти условия эквивалентны условию унитарности для
матрицы М:
!U V \	,
Л/ = (_ -I, ММ+ = 1.	(9.3)
Отсюда получаем выражение для обратной матрицы
Л/-1 = М+=(^ V У	(9.4)
ly+ и'/
Предположим теперь дополнительно, что существует
матрица, обратная матрице U. Тогда
U-lV = ~V\U~1)', VU-l^-(U-l)'V+,	(9.5)
что эквивалентно условию кососимметричности матриц
Z = U~lV и W = VU~l.	(9.6)
Из (9.2) мы получаем, что матрицы (I + ZZ+) и
(I + W+W) — положительно определенные.
Нетрудно, видеть, что матрицы М, удовлетворяющие
условию (9.3), образуют группу относительно обычного
произведения матриц и что эта группа изоморфна группе
SO(2N, R) —группе вещественных ортогональных мат-
риц порядка 2N.
Отметим несколько свойств этой группы.
1.	Группа SO(2N; R) компактна (ее инвариантный
объем конечен), и поэтому все ее унитарные неприводи-
мые представления конечномерны,
2.	Группа SO{2N-, R) двусйязпа: замкнутый путь,
отвечающий повороту на угол 2л, нельзя непрерывно де-
127
формировать в точку, а путь, отвечающий повороту на
4л, деформировать уже можно. Поэтому, взяв два экземп-
ляра группы G и склеивая их соответствующим образом,
мы получаем уже односвязную, так называемую спи-
норную группу Spin(22V).
3.	В группе G имеется важная подгруппа К — под-
группа матриц вида ( q U<=U(N). Эта под-
группа изоморфна группе U (Л’).
4.	Матрицы Z(W) в формуле (9.6), как нетрудно ви-
деть, являются представителями левых (соответственно
правых) классов смежности группы G по подгруппе К.
Факторпространство G/К является симметрическим про-
странством компактного типа. Оно является комплексным
многообразием, и матрицы Z(W), Z' = —Z задают локаль-
ную систему координат на этом многообразии.
Группа G действует на множестве этих матриц как
группа дробно-линейных преобразований:
g: Z->Z = (t7Z+7)(7Z + t7)-‘.	(9.7)
Заметим далее, что операторы а3 и а3- унитарно эквива-
лентны
, (U у\
Ф = т (g) UjT (g)+, g = (j	(9-8)
и операторы T (g) образуют представление группы
SO (2N, R).
Так же, как и в гл. 8, инфинитезимальные операторы
представления квадратичны по операторам а3 и at. Имен-
но, операторы
7ij = Xij = ctj ct-i V= 1/2 (a^aj a3 a^) (9.9)
образуют алгебру Ли, изоморфную алгебре Ли группы
SO(2N,№).
Перестановочные соотношения для них имеют вид
[Xi}, Xhl] = [Х^^] = 0.,
[Ху, -Xtz] = &jiХ-ik — ^jhYn —	jh + 8lkYЦ, (9.10)
[Хц, У)!(] = 8uXjh — 8jiXih,
[xt,yM] = 6^-6iZM
[Уц, rd = бадУн - 6{»У«.
128
Рассмотрим теперь инфинитезимальные ортогональные
преобразования. Для них
следовательно, матрица Л инфинитезимального преобра-
зования является эрмитовой: Л* — Л. Отсюда следует
ЛГ = т?	^' = —	^+ = ^. (9.11)
\ —	— За )
Рассмотренное нами представление Т (g) является
унитарным и действует в стандартном конечномерном
(размерности 2W) пространстве — так называемом прост-
ранстве Фока с базисом |п17 ..., nw>, где числа щ прини-
мают лишь два значения— 0 и 1:
|[n]> = |«i, ..., nNy:= (ax')"1 ... (a]v)n7V|0, ...,0>,
|0> = 10, ..., 0> — так называемый вакуумный вектор,
удовлетворяющий условиям aJ0> =0.
Нетрудно видеть, что пространство <5^ приводимо от-
носительно действия операторов T(g) (9.9), а именно со-
стояния с четным (нечетным) числом | п | = S nj образуют
пространство Ж1" уже неприводимого представления Т+
(соответственно Зё~ для Т~).
Это так называемые спинорные представления груп-
пы SO(2N, R). Точнее, эти представления являются
двузначными представлениями группы SO (2N, R) и
уже однозначными представлениями группы Spin(27V).
§ 9.2. Когерентные состояния
Построение систем КС для представлений T+(g) и
Т~ (g) аналогично описанному в § 8.2. Мы приведем здесь
поэтому лишь некоторые формулы для системы КС, свя-
занной с представлением типа 2’+(g).
КС в интересующем нас случае дается формулой
| £> = Л’ехр (1/2|уХу) 10>,	(9.12)
где — комплексная кососимметричная матрица, а —
нормировочный множитель.
Состояние |£> удовлетворяет уравнениям
(a;-W)lB> = 0.	(9.13)
Нормировочный множитель Л9 имеет вид
49 = Idet(I + ^+)]-1/*.	(9.14)
9 А. М. Переломов	129
КС не ортогональны друг другу:
<g|n> = <O|T(g)|O> =
= [det(l + n+)det(I + r]T]+)]-i/‘[det (I + Гп) J+1/2- (9.15)
Разлагая КС по стандартному базису |[га]>, получаем
1В> =	(19.16)
где ![ra] = (n15 ..nN), п} = 0, 1, а суммирование произво-
дится по всем [и] таким, что | п | = У, щ есть четное
число.
Отсюда находим
2	u[n]a)^[n](n) = [det(/ + ^+T])]+l/2. (9.17)
[n],|n|—четное
Аналогично § 8.2 мы приходим к рассмотрению про-
странства — пространства полиномов от элементов
матрицы которые могут быть представлены в виде
“(Ю = 2к[т]“[т](Ю, I т I — четное.
В заключение приведем формулу для действия пред-
ставления Т+ (g) в пространстве •
И?)Ж) = Ldet(77 + ZVyrf((U+ g7)-‘(7 + |Й)). (9.18)
§ 9.3. Описание операторов в пространстве Звр
Аналогично § 8.3 произвольному оператору А в Э@р
поставим в соответствие ковариантный символ*)
А(|, B)=<gl4|g>, <W = 1.	(9.19)
Пусть
=	=	(9.20)
Нетрудно показать [102], что ковариантные символы
этих операторов суть элементы матриц
A=^(I + ^)-*, В =^(1 +	(9.21)
причем матрицы А и В удовлетворяют соотношениям
В А = АВ, А' = — А,- В+ = В. (9.22)
*) Здесь, как и в § 8.3, мы вводим параметр И.
130
Обратное утверждение также справедливо. Если мат-
рицы А и В удовлетворяют соотношениям (9.22), то су-
ществует такая матрица |, что А и В даются выраже-
ниями (9.21).
Далее, произвольный элемент х алгебры Ли группы
SO (22V, R) имеет вид
(9.23)
где А — комплексная кососимметричная матрица, а матри-
ца эрмитова. Так же, как и в § 8.3, подставляя =
= В + -^1и выражая А и В через £ и £, мы получаем
вложение многообразия N в 3. Это вложение зависит
от ft, и образ N в 3, как нетрудно видеть, является ор-
битой присоединенного представления группы SO (22Vt R.)
При этом, когда Й -> 0, многообразие N (Л) вырождается
в точку. Это является отражением того обстоятельства,
что для фермиевского случая предельный переход от
квантового случая к классическому в обычном смысле
слова не существует.
Отметим, что так же, как и в бозонном случае, много-
образие является кэлеровым многообразием и кэле-
рова метрика в локальных координатах имеет вид
ds* =	F = In det(l + ZZ+). (9.24)
При этом метрика ds2 инвариантна относительно дейст-
вия группы G = SO(2N, R).
Из (9.24) получаем выражение для метрики
ds2 = */2 tr(dZ(I + Z+Z)-‘dZ+(I + ZZ+)"1).	(9.25)
Вводя скалярное произведение (ж, y) = tr(xy+) в про-
странстве и X и матриц, перепишем (9.25) в виде
ds2 = (dZ, AdZ), Adz = */2 CdZC, С = (I + ZZ+)
(9.26)
Отсюда нетрудно получить выражение для оператора
Лапласа — Бельтрами на пространстве Ж* — пространстве
кососимметрических матриц порядка п
Д = - 2 tr [A (j + Z+Z) A (I + ZZ+)l	(9.27)
9*
131
-1 = 1
dZ 2
д
dZi2
д
dZt2
О
(9.28)
о
д
^п—1,п
д
^П—1,П
о
Обозначим через 9гк{Жц') гильбертово пространство
аналитических функций на JtN со скалярным произведе-
нием
(/1* Л) = CN{к) J Л (Z) /, (Z) [det (I + Z+Z)]-ft/2 dpN, (9.29)
где
_	— (N—1) j
rfpN(Z, Z) = [det(l + ZZ+)] П	(9.30)
i<J
— G-инвариантная мера на Жу, а нормировочная постоян-
ная CN(k) определяется из условия (/0, /0) = 1, где /o(z)s-
^1.
Используя результаты из [79], получаем
Г (1А - Г(А + УУ+1)Г(А + ^ + 2) ... Г(^ + 2^) ,q
I'N+iW Г (А + 1) Г (A 4~ 3) ... Г (А-р 2ЛГ — 1)	•
Отметим, что для теории квантования (см. раздел 4 в
[102]) представляют интерес пространства	при
fc==0, 1, 2, ...
Глава 10
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
И КВАНТОВАНИЕ ПО БЕРЕЗИНУ*)
Под квантованием обычно понимают построение кван-
товой системы, исходя из классической механической си-
стемы, ей соответствующей. При этом требуется, чтобы в
пределе к -> 0, где к — постоянная Планка, квантовая си-
стема переходила в классическую. Это требование назы-
*) Содержание данной главы основано на работах Березина
[10, И, 101].
132
вается принципом соответствия. Очевидно, что может су-
ществовать много квантований, удовлетворяющих этому
принципу.
Чисто математическое значение квантования состоит
в том, что оно служит источником важных конструкций.
Так, например, в развитом в работах Кириллова и Ко-
станта методе так называемого геометрического квантова-
ния идеи квантования используются в теории представ-
лений групп Ли (см. работы [38, 41, 173] и цитирован-
ную там литературу).
Для классической системы с п степенями свободы со
стандартным фазовым пространством — линейным вещест-
венным пространством R2"= {р, q | р = (рх, ..., рп), q =
= (?!, .... qn)} размерности 2п — хорошо известен следую-
щий метод квантования. Гильбертово пространство состоя-
ний квантовой системы есть пространство квадратично
интегрируемых функций {тр(гг)} вещественных перемен-
ных ж = (ж1, ..., Хп). Операторы pt и qk, соответствующие
импульсам Р; и координатам qk, задаются формулами
9лф(ж) = жйф(ж), рьф(ж) = — «Й
Классической наблюдаемой величине f(p, q) ставится
в соответствие «квантовая наблюдаемая» — оператор
f(p, q), получающийся заменой переменных р, и qk на
операторы и qk.
Однако из-за некоммутативности операторов р> и qk,
вообще говоря, необходимо указать также правило порядка
расстановки этих операторов в функции /(р, q). Один из
таких способов, обладающий рядом замечательных особен-
ностей, был указан Г. Вейлем [250].
Однако, такое квантование применимо лишь к клас-
сическим системам с плоским фазовым пространством,
так как оно основано па использовании канонических
координат pj, qk. Пример системы с искривленным фазо-
вым пространством — это твердое тело с неподвижной
точкой. К этой системе , обычное квантование непри-
менимо.
Оказывается, что в случае, когда фазовое пространство
является кэлеровым однородным многообразием, также
возможна определенная процедура квантования, предло-
женная и изученная Березиным [10, 11, 101]. Эту про-
цедуру квантования осуществляют КС, связанные с дан-
ным пространством.
133
§ 10.1. Классическая механика
Под классической механикой мы будем понимать па-
ру со), где Л~ некое дифференцируемое многооб-
разие, а <в — кососимметрическое тензорное поле второго
ранга, компоненты которого в локальных коорди-
натах удовлетворяют условию*)
+ <огй + мтй = 0.	(10.1)
дхк	дхк	дхк	'
Обозначим через (Л) множество дифференцируемых
функций на Л. Тогда {Л} — коммутативная и ассоциа-
тивная алгебра по отношению к обычному сложению и
умножению; она является алгеброй Ли по отношению к
скобке Пуассона:
{U = /<W,	=	(10.2)
OXJ
То, что скобка Пуассона (10.2) определяет алгебру Ли,
т. е. то, что выполнено тождество Якоби
{f{g, h}} + {g{h,	+	£11 = 0,	(Ю.З)
эквивалентно условию (10.1). Это нетрудно проверить
прямым вычислением. Отсюда следует также, что условие
(10.1) не зависит от выбора системы координат на Л.
Если тензорное поле со (ж) не вырождено, т. е.
det lor"1 (ж) I 0 при всех х, то можно рассмотреть обрат-
ную матрицу <ал(х) и с ее помощью — внешнюю форму
от = ti>jk (ж) dx' Д da?.	(10.4)
Условие (10.1) оказывается эквивалентным замкнутости
формы <в. Таким образом, в этом случае многообразие Л
оказывается симплектическим. Существуют, однако, важ-
ные механические системы, для которых требование не-
вырожденности <вл оказывается противоестественным.
Приведем несколько примеров.
1.	—плоскость с координатами р, q; со12 —
= - со21 = 1;
{/,	=	(10.5)
u 07 dpdq dqop	47
*) Здесь и далее мы используем тензорные обозначения. В ча-
стности, по повторяющимся индексам подразумевается суммиро-
вание.
134
2.	Л = S1 X R1 —двумерный цилиндр с координатами
q S', рей1. Иными словами, 0^7<2л, —оо<р<оо.
Дифференцируемые функции на Л периодичны по q с
периодом 2л. Тензор со и скобка Пуассона те же, что и
в примере 1.
3.	Л = S' X S' — двумерный тор с координатами 0
< q < 2л, 0 < р < 2л. Дифференцируемые функции на Л
периодичны по обеим переменным с периодом 2л. Скобка
Пуассона имеет вид (10.5).
4.	Л — S2 — двумерная сфера. Мера на S2, инвариант-
ная относительно вращений, имеет вид du, = г2 sin 0d0 Д
/\d(f, где г —радиус сферы. Это же выражение можно
взять в данном случае и для 2-формы со. Отсюда получа-
ем выражение для скобки Пуассона в сферической систе-
ме координат:
ff g} =.. 1 .(?LdJ._dldjA (106)
V’ r2sinOka<₽a0 ЭОдср Г
Однако вместо координат 0 и ср более удобно исполь-
зовать комплексные координаты, которые вводятся с по-
мощью стереографической проекции:
z — х + iy = 2rctg(0/2)exp(iq>).	(10-7)
Внешняя форма ю в этих координатах принимает вид
1 t 17|2\“2	—
й = йг 1 + -—I-	dz Д dz,	(10.8)
I \	-р '
а скобка Пуассона имеет вид
{/, g} = 2i (1 + HljT (g^-^g).	(10.9)
\ 4r / \oz dz dz 0ZJ
5.	Л = S’2 — плоскость Лобачевского. Мы используем
модель плоскости Лобачевского в виде круга радиуса г
с центром в начале координат на комплексной плоскости
z. На плоскости Лобачевского существует замкнутая
2-форма, инвариантная относительно движений плоскости
Лобачевского. Эта форма совпадает с инвариантной мерой
на плоскости З?2:
<о = А 1-Ш dz/\ dz.	(10.10)
\ 4г /
Соответствующая скобка Пуассона имеет вид
{/, g} = 2i (i-^yrg^-^g;. (io.li)
\ 4г / \oz VZ vZ ozj
135
6.	Пусть 3 — произвольная алгебра Ли, — ее
структурные постоянные [ег, е1] = Ckek, {е7} — базис в 3.
В качестве Л рассмотрим пространство, дуальное к
3 (Л1 = 3*}, т. е. пространство линейных функционалов
на 3. Положим
(10.12)
Тогда условие (10.1) следует из тождества Якоби для
алгебры 3 (см. [8]). Этот пример тесно связан с приме-
рами 1, 4, 5.
6а	. Возьмем в качестве 3 алгебру Гейзенберга — Вей-
ля. Пусть е1, е2, е° — базис в 3 такой, что
[<?*, е2] = е°, [е1, е°] = [е2, е°] = 0.
Координаты в R3, соответствующие е°, е1 и е2, обозна-
чим через е, р и q. В этом случае со12 = —со21 = е, и скобка
Пуассона имеет классический вид
66.	Пусть — алгебра Ли группы SO(3). Если выб-
рать стандартный базис 3 с перестановочными соотно-
шениями [е.„ е,] = 8д;ег, /, к, I = 1, 2, 3, где 8Лг — стандарт-
ный полностью кососимметрический тензор, то скобка
Пуассона принимает вид
{/. g} =	d1{g, djf = Д. (10.14)
dxJ
Переходя к сферическим координатам
xl — г sin 0 cos ф, хг = г sin 0, sin ф, xz = г cos 0,
из (10.14) получаем
н „1 _ 1 ldf	df д^\	НО 15)
V> ь/ rsin0(505q> dcpd0f	(1U.1O)
Таким образом, для функций fug при фиксированном г
скобка Пуассона (10.14) с точностью до множителя сов-
падает со скобкой (10.6).
Аналогичное соотношение имеет место и для скобок
Пуассона для алгебры Ли трехмерной группы Лоренца и
скобок Пуассона для плоскости Лобачевского,
136
§ 10.2. Квантование
Следующее общее определение квантования было дано
Березиным в [10]. Квантованием 91 классической меха-
ники {Л, со) будем называть ассоциативную алгебру с
инволюцией, обладающую следующими свойствами.
1) Существует семейство st-ь ассоциативных алгебр с
инволюцией таких, что
1а) индекс h пробегает множество Е на положитель-
ной части вещественной оси, имеющее 0 предельной точ-
кой (0 не входит в Е);
16) алгебра 91 состоит из функций /(/»), принимаю-
щих значения в h^E. Инволюция и умножение в 91
связаны с инволюцией и умножением в обычным спо-
собом: (f) (ft) = (/(fe))° , где оно — инволюции в 91 и
соответственно, (/х * /2) W = /1 W * /2 (^)> гДе *> * — ум-
вожение в 91 и соответственно. Параметр h играет
роль постоянной Планка. В дальнейшем умножение и
инволюция в и 91 обозначаются одинаково.
2) Существует гомоморфизм ср алгебры 91 в алгебру
Л^(^) дифференцируемых функций на Л со стандарт-
ными операциями сложения и умножения. Гомоморфизм
должен обладать следующими свойствами:
а)	для любых двух точек жх, хг<^Л найдется такая
функция /(ж)е=ср(91), что f(Xi)¥= f(x2);
б)	ср(1/Л(/* g — g * /)) = i{cp(/), cp(g)J, где * означает
умножение в 91, а {,} — скобку Пуассона в (Л);
в)	ф(Л) = ф(7), где означает инволюцию в 91,
а черта — комплексное сопряжение.
Перейдем к важному частному случаю квантования.
Специальное квантование. Так будем назы-
вать квантование, обладающее дополнительными свой-
ствами.
3)	Алгебра состоит из функций f(x), х^Л.
4)	Алгебра 91 состоит из функций /(h, х), f(h, ж)е
е при фиксированном h.
5)	Гомоморфизм ср: 91-»- Л (Л) задается формулой
ср (/(Л, ж)) = lim/(7i, я).
Л—>0
В настоящее время теория разработана лишь для
специального квантования. Отметим также, что все иссле-
довавшиеся до сих пор специальные квантования обла-
дают следующими дополнительными свойствами.
137
6)	Алгебра обладает единицей, причем единицей
служит функция f(h, х) = 1.
7)	Алгебра является алгеброй со следом, причем
tr / = с J / (я) dp, (х),
где dp (ж) —некоторая мера на Л, а с — некоторое число.
Заметим, что если тензорное поле со” (х) невырожден-
но, т. е. если на Л существует внешняя замкнутая
2-форма со, то на Л существует также естественная мера
dp (х) — ссоп/2, п = dim Л.
Несколько упрощая ситуацию, можно сказать, что
процедура квантования состоит в сопоставлении функции
7(ж), заданной на фазовом пространстве Л классической
системы, оператора F, причем это сопоставление должно
удовлетворять принципу соответствия.
Укажем возможный путь решения этой задачи.
Пусть мы имеем систему состояний {|гс>}, параметри-
зуемых точками пространства Л и удовлетворяющих ус-
ловию
J |л> (х | dp (х) = I,
где IrcXrcI—проекционный оператор на состояние |гс>,
dp (х) — некая мера на пространстве Л. Поставим в со-
ответствие функции f(x) оператор F = J |а:> <а:|х
X f{x) dp (х). Задача состоит в том, чтобы ввести в это
соответствие постоянную h так, чтобы выполнялся прин-
цип соответствия.
В настоящее время эта задача решена для случая,
когда фазовое пространство Л является однородным кэ-
леровым многообразием.
Пусть G — группа движений пространства Л. В рас-
сматриваемом случае существует представление дискрет-
ной серии Tk(g) группы G, задаваемое числом к, а си-
стема КС {|х>} связана с этим представлением. Пусть
dp (х) — G-инвариантная мера на пространстве Л и h =
= к~1. Оказывается, что описанное выше построение при
h 0 удовлетворяет принципу соответствия и, следова-
тельно, решает задачу квантования. Рассмотрим подроб-
нее это построение на нескольких простейших примерах.
138
§ 10.3. Квантование на плоскости Лобачевского
Нам будет удобно использовать модель плоскости Ло-
бачевского в виде единичного круга D — {z: Izl < 1} на
плоскости комплексного переменного z. Рассмотрим про-
странство функций, аналитических в D, со скалярным
произведением
(/, g) = (i/h - 1) [ Л7) g (z) (1 - I z |2)1/л dp (z, z ), (10.16)
b
где
dp(z, z)=A	(Ю.17)
— инвариантная мера на плоскости Лобачевского. Пусть
к — пространство функций, аналитических в D, для ко-
торых Н/Н2 ==(/, /)< оо. (Отметим, что множитель (l//j — 1)
в (10.16) связан с условием нормировки (/0, /о) = 1,
/o(z)sl.) Ортонормированный базис в 8Fh состоит из
функций
А(г) = (/!)-1/2(1Ж.. (1/Д — 1 + Z))1/2z\	(10.18)
Рассмотрим функцию
Kh (£ z) = 5 О) fm (z).	(Ю.19)
т
Простые вычисления дают
Kh(t, г) = (1-Гг)-1М,	_ (Ю.20)
и, как нетрудно видеть, при фиксированном £ е D эта
функция принадлежит пространству	Обозначим со-
стояние в гильбертовом пространстве, соответствующее
этой функции, через |£>. Таким образом, мы построили
систему состояний {|£>}. При этом для любого состояния
|/>, задаваемого функцией /(z)e^"h, мы имеем
<Г/> = /(£).	(10.21)
Сравнение с формулами § 5.2 показывает, что получен-
ная система совпадает с системой КС для дискретной се-
рии представлений Th(g) при h = (2k)~l.
10.3.1. Описание операторов. Пусть А — ограниченный
линейный оператор в Поставим ему в соответствие
символ
А^Д) = <Й^>.	(10.22)
139
Заметим, что функция
Л(|,	(10.23)
<Л1 п/
аналитически зависит от £ и ц и совпадает с А (£, £) при
г| = £. Следовательно, функция Л(^, ц) является аналити-
ческим продолжением функции A (g, g) и определяется по
ней однозначно. Таким образом, существует взаимно одно-
значное соответствие между символами и операторами.
В частности, символу A (z, z) = a = const соответствует
оператор А = al, где I — единичный оператор в ."X.
В рассматриваемом случае справедливы следующие
полезные формулы:
(Л/) (z) = (1 - 1) [ A (z, 0 f (0 ((£, 0.
(10.24)
Если оператор А можно представить в виде
л = p(U)|£H№(U),	(10.25)
то
A (z, z) =
=(4- р «• о [	]‘л</и <с> ь- (10-26)
Если А = At • Л2, то
Л (z, z) =
- (4-1) J Ъ -г)
(10.27)
10.3.2. Принцип соответствия. Формулы (10.26) и
(10.27) приводят к рассмотрению оператора Th
™-(4-1)f 1 <s. о[ (pgipg рн«• о
(10.28)
и к изучению асимптотики функции <pft(z, z) = (Thf)(z, z)
при h 0. Функция f(z, z) предполагается непрерывно-
го
дифференцируемой. Рассмотрим сначала случай z = 0:
(П/) (0, 0) = (1/fe — 1) J / (С, 1) (1 - £)1,ЛЙН & I). (Ю-29)
Заметим, что
1
(1/Л — 1) J (1 —	(£, I) = (i/h -1) J(1 - x)Wh~2>dx=i.
о
Используя это равенство и тот факт, что функция
(1 — ££)1/Л при h -* 0 локализована при £ == 0, приходим к
окончательной формуле
(ПУ) (0, 0) = / (0, 0) +	+ о (К). (10.30)
dz oz z=o
Для вычисления асимптотики функции Thf(z, z) в произ-
вольной точке области D произведем замену переменных
г) — z
1 —- ZT)
(10.31)
Преобразование £ т) есть движение плоскости Лобачев-
ского и не меняет меру (Zjx(£, £). Поэтому
(Tft/) (z, z) = (1А -1) J к (n, n) (1 -	(л- п), (10.32)
где /1(S,t) = /fl2Z2.,I_£3
\1 — z£ 1—z£/
Заметим, что
^(i-^-^X-.
Е=Т=о	Sz dz
__
Но оператор А = (1 — zz)2 — есть не что иное, как опе-
8z dz
ратор Лапласа — Бельтрами для плоскости Лобачевского.
Таким образом, с помощью (10.30) получаем асимпто-
тическое выражение для Trf:
(Thf)(z, z)^f(z, z)+h&f(z, z) + o(h).	(10.33)
Принцип соответствия следует из (10.33); полагая
ЛДгД)^^, z) = /(S, Ik
Ш
получаем
A (z, z) = f (z, z) + hAf (z, z) + о (h) =
,	_	_	_ dA, dA„
= Al (z, z) A2 (z, z) + h (1 — zz)2 —J-	+ о (h).
dz az
Отсюда следует как первое требование принципа соот-
ветствия
limA1*A2 = A1(z,z)A2(z,z),	(10.34)
h->o
так и второе требование
4	.	.	- „ (9А. дА. дА дА \
limf- (Д * А — -^а * А) = (1 — zz)2 I ~---------I =
л-»о h	1 \ dz &z dz dz }
= i{AlfA2}. (10.35)
10.3.3.	Выражение оператора Th в терминах оператора
Лапласа — Бельтрами. Оператор Th перестановочен с пре-
образованиями f(z, z)->f(gz, gz), где g — движение плос-
кости Лобачевского. Отсюда следует, что он должен вы-
ражаться через оператор Лапласа — Бельтрами. Вычис-
ления, которые можно найти в [101] и которые мы здесь
опускаем, приводят к следующему выражению оператора
Th через А:
оо
(10-36)
10.3.4.	Представление группы движений плоскости
Лобачевского в пространстве Обозначим эту группу
через G = {g} и рассмотрим преобразование в алгебре Ж:
(rg4)(z, z) = A(gz, gz), g^G. (10.37)
Это преобразование есть автоморфизм алгебры s&h- Из-
вестно, что все автоморфизмы алгебры ограниченных опе-
раторов в гильбертовом пространстве являются внутрен-
ними. Следовательно, существует ограниченный оператор
Ug, который генерирует этот автоморфизм:
<Z|tZgpf"11 Z> = 	= A (gz, Jz). (10.38)
<z|z>	<gz|gz>
Нетрудно видеть, что оператор Ug лишь численным мно-
жителем отличается от унитарного.
142
Покажем, что соответствие g Ug определяет неприво-
димое представление группы G. Пусть А — ограничен-
ный оператор, перестановочный со всеми операторами Ug.
Из (10.38) следует, что символ A(gz, gz) не зависит от g
и, поскольку группа G действует транзитивно на плос-
кости z, A(z, z) = a = const. Мы знаем, что соответствие
между операторами и символами взаимно однозначно,
откуда следует, что А = al, где I — единичный оператор.
Мы доказали таким образом, что представление g Ug
неприводимо.
С помощью формулы (10.24) можно получить также
явное выражение для действия операторов
(Uef) (г) =	(bz + а)~1!\ | е | = 1. (10.39)
\bz + а )
Унитарность преобразования (10.39) доказывается пря-
мыми вычислениями.
В заключение укажем выражение для символа
Ug(z, z) оператора Ug. Комбинируя (10.16) и (10.24),
получаем
<z I Ug(z> ~s,(a~ azz — bz + bz) ~Mh. (10.40)
1 — zz
Следовательно,
<z|tt_|z>	/	1— zz \Jh
Ug (z, z) =	'	- = e --, =
* v '	/2 A	\ a — azz — bz + bz J
(10.41)
10.3.5.	Квантование при помощи отражений (аналог
квантования Вейля). Обозначим через g(£, t) отражение
в точке
g(£,£) = —2£ Y (10.42)
V	_2S	(1 + KV
Оператор Ug для g — g(t, £) обозначим через U^.
Согласно общей формуле (10.41) символ оператора
с точностью до фазового множителя е (|£| = 1) имеет вид
V И [ (1 — z£) (1 — z£)	[ l-zgl-zq
(10.43)
143
Мы фиксируем фазовый множитель у оператора
так, что его символ имеет в точности вид (10.43).
Функцию
a(zj) = tr(l^-)	(10.44)
будем называть символом Вейля оператора А.
Если оператор А можно представить в виде
А = (1/h — 1) J a (z, z) Uz- dp (z, z),	(10.45)
то функцию a(z, z) будем называть ковариантным сим-
волом оператора А.
Связь между символами А и а, а также между сим-
волами а и А задается формулами
a(z, z) = (ShA) (z, z),	(10.46)
A(z, z) = (Sha)(z, z),	(10.47)
где
(Shf) (z, z) = (i/h - 1) J / & Z) Uh (£, Z | zz) dp (£, ^). (10.48)
Формула (10.46) следует из формулы
tr (^В) = j А (х) В (х) dp (х)
и из соотношения симметрии
СШЛк, z) — Uh(z, zl:, f).
Для того чтобы связать друг с другом символы а и а,
нам надо знать оператор Sh как функцию оператора Лап-
ласа — Бельтрами А. (Тот факт, что Sh есть функция А,
следует из перестановочности Sl: с операторами группо-
вого сдвига.)
Производя необходимые вычисления [101], получаем
Sh = Д f1 “	(1 + 2kh) (1 + (2А - 1) h) ] • (10-49)
Сравнивая (10.36) и (10.49), получаем
Th = Sh-S'h,	(10.50)
где
°0
Sh = Ц 1 -	(1 + (2A+I)fe) (1+2U)] • (10-51>
144
Из (10.50) и (10.26) следует
а = ShA = ShSh 1d,
(10.52)
§ 10.4.	Квантование на сфере
Если I — h~' — целое число, то теория для сферы
полностью аналогична теории для плоскости Лобачевского.
Прежде всего, спроектируем стереографически сферу на
плоскость комплексного переменного {z}. При этом инва-
риантная мера на сфере перейдет в
^(z,i) = (l+zzr2^A^.	(10.53)
Пространство в рассматриваемом случае состоит из
голоморфных функций /(z) со скалярным произведением
(/> g) = (1А + 1) J 7(z)g(z)(l + zz)-1/ft^(Z17).	(10.54)
Заметим, что если /(г)е£Гл, т0 функция /(z) должна
быть полиномом степени в противном случае ин-
теграл, определяющий (/; /), расходится.
Таким образом, размерность пространства SFь равна
(1 + 1/Тг-). Функциям
<p^(z) = (l + lz)1/\	(10.55)
принадлежащим STh, отвечают векторы |tj> в гильберто-
вом пространстве с нормой <£|£> =(1 + 1£|2)1/Л. Мы при-
шли, таким образом, к системе КС для группы вращений
трехмерного пространства, изученной в главе 4.
Отметим, что если h~l не является целым числом, то
функция многозначна и, следовательно, не при-
надлежит пространству SF\.
Приведем еще несколько формул для символов опе-
раторов в пространстве ST t,_.
Ковариантный символ оператора А является значе-
нием функции A(z, £) при £ = z:
A(z, O =	(10.56)
\z I £>
Функция (10.56) является аналитическим продолжением
символа A (z, z ), и следовательно, имеется взаимно-одно-
значное соответствие между ковариантными символами и
операторами.
Ю А. М. Переломов
145
Оператор действует на вектор по формуле
(^/) (*) = (4+1)р S )7 (C)(^g)1Z dfx (С, Г). (10.57)
Для произведения операторов А =Л1 -А2 имеем
A(z, z) =
= (4 + 1) f^x (z, g ) Л2 (g, Г)[ j1 + zIj-(1 + ^]1/Z dn(^Z)-
\h^ J J	a^’ 'L(1 + zz)(i +^)J rvb’ 57
(10.58)
Связь между различными символами имеет вид
A (z, z ) = ThA (z, z ) =
4l + 1)J	+	(10-59)
\Л	J J (1+zz )(! + ££) J
Выражение для оператора Th через оператор Лапласа —
Бельтрами:
Гд-Д(1 + ^ + н>(. + №+<)>7 <,0-м>
Асимптотическая формула типа (10.33) справедлива и в
рассматриваемом случае. Отсюда, так же, как и в случае
плоскости Лобачевского, следует выполнение принципа
соответствия.
Связь с теорией представлений групп 50(3) и 50(2)
устанавливается так же, как и в предыдущем параграфе.
Приведем формулу для действия оператора Ug:
(Ugf) (z) = / ( • ai~l~b-)(— bz + a)1/h, IT1 — целое.
(10.61)
Из теории представлений известно, что эти представле-
ния исчерпывают все унитарные неприводимые представ-
ления группы 50(2).
§ 10.5.	Квантование на однородных кэлеровых
многообразиях
Здесь мы покажем, что конструкция квантования, рас-
смотренная в параграфах 10.3 и 10.4 для простейших
многообразий, переносится на более широкий класс много-
146
образий, а именно, на кэлеровы однородные многообразия.
Более детальное рассмотрение этой конструкции можно
найти в работах [10, 101].
Дадим сначала основные определения. Пусть Л —
комплексное многообразие, z“ — локальные координаты
точки этого многообразия. Предположим, что на Л су-
ществует метрика
ds2 =	(10.62)
такая, что det (gag) =# 0 и что соответствующая этой мет-
рике 2-форма
® = £a₽dz“ A
является замкнутой:
dco = 0.
(10,63)
(10.64)
Многообразие, обладающее этим свойством, называется
кэлеровым, а метрика (10.62) называется кэлеровой мет-
рикой. Очевидно, что кэлерово многообразие является
симплектическим. Следовательно, на Л существует клас-
сическая механика. При этом в локальных: координатах
скобка Пуассона имеет вид

д/ dg___ df dg \
5z“5zP 9z₽5za/
(10.65)
Напомним, что из условия замкнутости 2-формы со сле-
дует, что существует функция F(z, z) (потенциал этой
метрики) такая, что
Рассмотрим гильбертово пространство SFк — простран-
ство аналитических на Л функций со скалярным произ-
ведением
(/, g) = с (h) J / (z) g (z) exp ( — -1F (z, z)] dp (z), (10.67)
где
dp, (z) = co” = det (gag) TT dza Д dz₽. (10.68)
k=l
Константа h в формулах (10.67), (10.68) и далее фор-
мально играет роль постоянной Планка, функция c(h)
будет определена ниже.
10*	147
Пусть {/A(z)J— ортонормированный базис в простран-
стве #”л. Справедлива следующая
Теорема 1 [10].
1. В каждой координатной окрестности ряд
М*Л) = 2М*)ДЮ
h
(10.69)
сходится абсолютно и равномерно.
2. Функция Lh(z, z) не зависит от выбора ортонорми-
рованного базиса {/A(z)).
Заметим, что из неравенства Коши следует
\Lh(z, f)l2^Lft(z,	(Ю.70)
Введем обозначение
O^(z) = Lft(z,D.	(Ю.71)
Тогда
с (К) J |Ф^(г)\2 ехр	-^-F (z,z)^ dji(z) =
= Ш)П) = Ш)- (Ю.72)
А
Следовательно, Ф^ (z) е
Далее, из (10.71) и (10.69) следует, что для любой
функции f(z)^^h
(/>Ф-£) = /(£)•	(10.73)
Таким образом, множество {ф^] образует сверхполную
систему векторов в пространстве &~h.
С помощью этой системы определим ковариантный
символ A (z, z) оператора А как значение функции
Л(еЛ) = <1Ц!^, |Ь->Фт (Ю.74)
\z Р
на диагонали (z “£)•
Аналогично § 10.3 и 10.4 нетрудно доказать справед-
ливость следующих формул:
(Я/) (z) = с (h) J A (z, t) АК) Lh (z, |) X
Xехр J—-j-F (£,£)] dp, (£), (10.75)
148
(А*Л) (z, z)=c(fe) J (z, C) Aa (t z)
Lh (z< £) Lh z)
Lh{z,
tr A = c (h) j A (z, z) Lh (z, z) exp
—-J-F(z.z)
(10.76)
dff(z)-
(10.77)
Заметим, что согласно (10.75) оператор А полностью
определяется функцией A(z, £), которая является ана-
литическим продолжением функции A(z, z). Это значит,
что в рассматриваемом случае оператор однозначно вос-
станавливается по ковариантному символу A(z, z). Сле-
довательно, мы имеем взаимнооднозначное соответствие
между операторами и символами.
Теперь можно определить алгебру как алгебру
ковариантных символов ограниченных операторов. Однако
доказательство принципа соответствия удается провести
лишь при дополнительном предположении об однород-
ности многообразия Ж. Предположим поэтому, что Ж яв-
ляется однородным кэлеровым многообразием, и пусть
G— группа движений Ж, F{z, z) —потенциал кэлеровой
метрики на Ж, инвариантной относительно действия груп-
пы G. Предположим также, что потенциал F существует
глобально на множестве Ж, которое получается из Ж пу-
тем удаления подмногообразия меньшей размерности в Ж.
В соответствии с этим функции /(z)e^"h также опреде-
лены на Ж.
Из инвариантности метрики, генерируемой потенциа-
лом F, следует, что
F(gz, gz) = F(z, z) + i|>(g, z)+if>(g, z),	(10.78)
где при фиксированном g, ip(g, z) — аналитическая^ функ-
ция переменной z, определенная на множестве Ж П gЖ.
Соотношение (10.78) определяет функцию i|>(g, z) с точ-
ностью до чисто мнимого слагаемого. Детали, связанные
с определением функции ф(?, z), можно найти в рабо-
те [10].
Заметим, что как было показано в [101], функция
ф(£, z) дает возможность построить определенное унитар-
ное проективное представление группы G.
Именно, операторы в определенные формулой
(Tgf) (z) = ехр (—уф (?-1> z)) / (?~lz),	(Ю.79)
149
являются унитарными и образуют проективное представ-
ление локальной группы Ли Ue (т. е. представление в не-
которой окрестности единичного элемента группы G). Это
представление можно продолжить затем до унитарного
проективного представления всей группы G. Такое пред-
ставление существенно используется при доказательстве
существования квантования, удовлетворяющего условиям,
сформулированным в § 10.2.
Рассмотрим важный случай, когда Л = D — комп-
лексная однородная ограниченная область в пространстве
С”. В этом случае D является кэлеровым многообразием,
а стандартная кэлерова метрика задается потенциалом
F(z, z) — In K(z, z),
где K(z, z)—ядро Бергмана рассматриваемой области
[154]. При этом пространство h является пространством
функций, аналитических в D, со скалярным произведе-
нием
(/, /) = с (Л) J I f (z) I2 [А (z, dp (z, z).	(10.80)
Здесь
dp(z, z) = det	(10.81)
' \dzadz^J nn ’ v ’
dpb(z, z) — мера Лебега области D.
Функция Lh(z, ^) определена формулой (10.69). Ал-
гебра — это алгебра ковариантных символов ограни-
ченных операторов, действующих в STh. Алгебра 51 состоит
из функций f(h\z, z), 0 < h 1, являющихся (при фик-
сированном h) элементами stf-ъ, которые непрерывны по
совокупности всех переменных h, z, z.
Теорема 2 [101]. Алгебра Я задает квантование, удов-
летворяющее принципу соответствия.
Мы опустим здесь доказательство этой теоремы. От-
метим только, что в процессе доказательства существенно
используются следующие свойства комплексных однород-
ных ограниченных областей:
1.	det|^^| = %A(z,z),	(10.82)
2.	Lh(z, z) = ii[K(z, z)]1"*,	(10.83)
где % = A(P), p = p(P) —константы, зависящие лишь от
области D.
150
В заключение приведем в рассматриваемом случае яв-
ные формулы для оператора ТА, который связывает ко-
вариантный и контравариантный символы операторов.
Этот оператор действует в пространстве согласно
формулам, аналогичным формулам (10.28), (10.29) (от-
носительно явного вида оператора Th см. [И]).
В работе [11] были доказаны следующие теоремы.
Теорема 3. Для комплексной орднородной ограничен-
ной симметрической области существуют операторы Лап-
ласа — Бельтрами Д2А порядка 2к, к = 1, 2, ..., I, соб-
ственные значения которых, соответствующие унитарно-
му неприводимому представлению класса I, имеют вид
sih = 2	(10.84)
3=1
где I — ранг области, х} — параметры, характеризующие
представление 7(g) (если рассматриваемое пространство
компактно, то представление T(g) конечномерно и вели-
чины Xj — это компоненты вектора (А + р), где р — век-
тор полусуммы положительных корней, к — старший вес
представления). В случае некомпактного симметрического
пространства 71(g) = 7”'(g)—унитарное представление
основной серии, а величины Xj — произвольные веществен-
ные числа.
Теорема 4. Собственное значение оператора Th, соот-
ветствующего неприводимому представлению класса I в
случае пространства некомпактного типа, имеет вид
t (А;	..., жг) =
(10.85)
где A = v/A, T(z) — гамма-функция Эйлера, величины pj—
компоненты вектора р — полусуммы положительных кор-
ней; они даются формулами:
для Dp.g р; = ^-^------7, 1<7<р,
для pj = ^ —	1 < 7 < р,,	(10.86)
для Z>™ pj =	— 2/,	1 <7 < [ж-]»
„IV р — 1	1
для Dp Pj = 2 ’	Рг = ~2'
151
Числа v имеют вид
ДЛЯ Dptq
ДЛЯ Z)p
гДП
для Dp
для Z>pV
v = р + q,
v = р + 1,
v = 2(p-l),
V = р.~
(10.87)
Теорема 5. Собственные значения оператора Th для
пространства Л компактного типа имеют вид
t — t(—%; iXi, ..., ixi),
(10.88)
где £(%; xt, ..Xi)—функция типа (10.85), которая со-
ответствует дуальному (по Э. Картану) пространству
некомпактного типа, xh = mh + pft, mt,_ — компоненты стар-
шего веса рассматриваемого представления.
С помощью теорем 4 и 5 мы можем выразить оператор
Тк через операторы Лапласа — Бельтрами Д2».
Часть II
ФИЗИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Глава 11
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
Эта глава является введением в физические приложе-
ния метода когерентных состояний (КС).
Как уже отмечалось во введении к книге, метод КС
теперь широко используется в различных областях физи-
ки и помогает решить много задач. Ввиду ограниченного
объема книги мы не имели возможности разобрать все
такие задачи и ограничились рассмотрением отдельных
задач, иллюстрирующих метод КС. Некоторые из этих
задач можно было бы решить с помощью других методов,
однако, как будет видно из дальнейшего, использование
метода КС значительно упрощает решение. Другая при-
влекательная черта метода КС заключается в том, что
этот метод унифицирует решение задач, на первый взгляд
совершенно различных. Заметим, что ряд задач, исполь-
зующих обычные когерентные состояния, рассмотрен
в [39, 40, 46]. В недавней книге [172] перепечатано боль-
шое число статей по приложениям метода КС.
Отметим сразу же некоторые задачи, решенные мето-
дом КС, но не вошедшие в монографию.
1.	Описание облака мягких фотонов вокруг заряжен-
ных частиц и устранение инфракрасных расходимостей
в квантовой теории поля [114, 148, 164—166]. Аналогич-
ная проблема в квантовой гравитации была рассмотре-
на в [146].
2.	Применение КС в теории магнетизма [22, 144, 163,
187, 226, 244].
3.	Приближенное квантовое описание локализованных
состояний поля (солитонов) [82, 108, 243].
4.	Описание SU (N) -калибровочных решеточных тео-
рий поля [220].
153
5.	В работах [14, ИЗ, 157, 191, 241] КС использованы
для анализа процесса измерения; в частности, в них рас-
смотрена проблема ограничения предела чувствительно-
сти детектора гравитационного излучения за счет кванто-
вых эффектов.
6.	Относительно применения КС в термодинамике,
в частности для вычисления статистических сумм, см. ра-
боты [140] и [217].
7.	Относительно применений КС в ядерной физике см.
работы [77, 85, 130, 138, 139].
8.	Связь КС и интегралов по путям рассмотрена в ра-
ботах [12, 172, 150].
9.	Применению КС в квантовой теории поля и физи-
ке элементарных частиц посвящено большое число работ
[107, 110, 111, 116, 124, 125, 158, 198, 218, 231].
10.	КС использовались в химической физике для по-
строения многомерных волновых функций по классиче-
ским траекториям [119] и для описания столкнове-
ний [228].
11.	КС были также использованы в биологии для того,
чтобы описать дальнодействующие силы между кровяны-
ми клетками [204] и для описания фазовой когерентности
на больших расстояниях в бактериородоспиновых макро-
молекулах [123].
12.	Использование КС в модели Дике [122] резонанс-
ного взаимодействия поля излучения с двухуровневыми
атомами позволило значительно упростить расчет фазово-
го перехода в сверхизлучательное состояние этой модели
(см. работы [122, 155, 193—195, 245]). Относительно
обобщения на случай тг-уровневых молекул см. работы
[84, 49].
13.	В работе [37] КС были использованы для получе-
ния производящих функций инвариантов группы SU(N).
14.	Подсистема КС, связанная с решеткой фон Ней-
мана (см. § 1.5), была использована в [242] для вывода
уравнения Шредингера заряженной частицы в с-числовом
поле излучения в случае взаимодействия этой частицы
с сильным квантовым полем излучения. Состояния, близ-
кие к когерентным состояниям, связанным с решеткой,
использовались в работе [26] для описания основных со-
стояний двухмерного электрона в периодическом магнит-
ном поле.
15.	В работах [128, 25] с помощью КС описаны дале-
кие столкновения классической заряженной частицы
с атомом водорода.
154
16.	В работе (117] дана алгебраическая классифика-
ция динамических систем, для которых КС остается ко-
герентным в процессе эволюции системы.
17.	В работе [118] показано, что важнейшее понятие
в теории солитонов — понятие т-функции — связано с КС
для бесконечномерной алгебры Ли GL(<»), которую
можно реализовать в терминах билинейных произведений
фермионных операторов.
18.	Применению КС к проблеме сверхтекучести слабо
неидеального бозе-газа посвящены работы [115, 176]. Эта
задача, решенная впервые в работе Н. Н. Боголюбова
[13], может быть легко решена методом КС (см. работы
[99, 233], а также обзор [68]). Аналогично решается за-
дача о сверхпроводимости слабо неидеального ферми-газа
(см. [88]).
19.	Относительно применения КС к теории жидкого
4Не см. работу [215].
20.	Круг применений обобщенных КС очень широк,
и мы отметим здесь еще несколько применений. В работе
Клаудера [168] КС применялись в теории радара, а в ра-
боте [171] — для описания квантованного эффекта
Холла.
Относительно применения фермионных КС к задачам
ядерной физики (теория Хартри — Фока с зависимостью
от времени) см. работу [236]. Относительно применения
КС в неравновесной статистической физике (описание
процесса релаксации спина) см. [237], а в физике плаз-
мы (к уравнению Власова) см. [133].
21.	Ряд авторов рассматривал также сверхполные си-
стемы состояний, отличные от систем, рассмотренных
в данной монографии. Здесь прежде всего следует отме-
тить работы Клаудера [167, 169, 170] и работу Березина
[9], в которых изучалось так называемое «непрерывное
представление» состояний, в основу которого положены
свойства непрерывности и разложение единицы. Такие
системы, вообще говоря, не связаны с теорией групп и
для них можно получить значительно меньшее количе-
ство результатов. Частный случай такой системы — это
система Барута и Жирарделло [97], на которой нет есте-
ственного действия группы Ли G. Еще одна система та-
кого типа рассмотрена в недавней работе [232]. Отметим
еще серию работ Ньето (ссылки на эти работы можно
найти в [199, 200]). В работах [186, 192, 201] изучены
сверхполные системы, связанные с ферми-операторами и
грассмановыми переменными. Эти системы отличны от
155
Систем, рассмотренных в главе 9. В работе [96] рассмот-
рены КС для некоторых супералгебр Ли.
В оставшейся части этой главы мы вкратце опишем
применение метода КС для тех случаев, когда гамильто-
ниан рассматриваемой системы обладает группой динами-
ческой симметрии G.
Простейшим и в то же время довольно важным с точ-
ки зрения применений является случай, когда гамильто-
ниан Н линеен по генераторам Хк унитарного неприво-
димого представления соответствующей алгебры Ли Э":
H=^hk{t)Xk.	(11.1)
к
Здесь операторы Хк удовлетворяют стандартным пере-
становочным соотношениям
[Х,,Хк] = C^Xt,	(11.2)
где С^}— структурные постоянные алгебры S’, соответст-
вующей группе G, коэффициенты hh в (11.1), вообще
говоря, зависят от времени.
Такая ситуация осуществляется в ряде интересных
физических систем, некоторые из которых мы рассмотрим
в главах 12—22. Здесь мы дадим лишь общее описание
таких систем.
Отметим прежде всего, что в гильбертовом простран-
стве Ж состояний системы действует унитарное неприво-
димое представление 7(g) группы G, соответствующее
используемому представлению алгебры Ли S’, причем под
действием операторов T(g) генераторы Хк преобразуются
по присоединенному представлению группы G-.
T(g)XkT-1(g) = Alft(g)Xl.	(11.3)
Такое преобразование не меняет формы оператора Я,
при этом Я переходит в
ff = T(g)HT~l(g) = ^Xk,	(11.4)
где hk = A^h1.
Нас будет интересовать решение нестационарного
уравнения Шредингера
^IW)> = # (*)l W)>-	(Н.5)
Из (11.1) следует важное свойство такой системы
|ф(0> = T(g(t))H>(0)>.	(11.6)
156
Соответственно из (11.6) следует, что если в какой-либо
момент времени ta состояние системы lip(£0)> являлось
КС, связанным с представлением T(g), то оно останется
КС во все моменты времени.
Это обстоятельство дает возможность решить ряд за-
дач, связанных с уравнением (11.5). Мы рассмотрим три
типа таких задач.
I.	Гамильтониан (11.1) от времени не зависит. Тре-
буется найти его спектр и собственные функции.
Здесь можно воспользоваться унитарным преобразова-
нием (11.4) и подобрать элемент g так, чтобы оператор
Й принял наиболее простой вид, например чтобы Й вы-
ражался только через генераторы картановской подал-
гебры. В случае компактной группы Ли это всегда воз-
можно. После этого спектр {Еп} и собственные функции
легко находятся. Именно, спектр {Еп} совпадает
со спектром Ш„), а собственные функции {|1|)„>} получа-
ются из {|ipn>} с помощью унитарного преобразования
1ф„> = 7’-1(?)1фп>.	(И.7)
Отсюда видно, что если при построении системы КС
в качестве исходного вектора в гильбертовом простран-
стве выбрать |ф0'> — основное состояние гамильтониана
Й, то основное состояние гамильтониана Н (11.1) явля-
ется обобщенным КС.
II.	Гамильтониан (11.1) зависит от времени, однако
при t -> ±оо он достаточно быстро стремится к соответ-
ствующим пределам, так что существуют асимптотические
состояния |тр±>.
Оператор эволюции U(tr t0) имеет вид
U(t, t0)=T(g(t, t0)),	(11.8)
причем существует 5-матрица
5= t7(+oo, -oo) = T(go).	(11.9)
В этом случае вероятность перехода из состояния |т>
при t — оо в состояние |п> при f->+oo задается квад-
ратом матричного элемента Тпт:
wnn= I7’„m(go)l2= l<n|7’(g0)|m>|2.	(11.10)
III.	Гамильтониан (11.1) периодически зависит от
времени:
(11.11)
157
В этом случае существуют состояния, для которых
I'M* + T)> = exp(-i^]|Te(i)>	(11.12)
— так называемые состояния с определенной квазиэнер-
гией *). При этом оператор эволюции системы U (t, t0)
обладает свойством
U(t9 + T, t0) = T(g0) = exp(-iT^/n), (11.13)
где оператор^ 5^ имеет вид (11.1). Таким образом, спектр
оператора Зё дает спектр квазиэнергии рассматриваемой
задачи.
Перейдем теперь к рассмотрению конкретных при-
меров.
Глава 12
КВАНТОВЫЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Эта глава иллюстрирует, как легко решаются некото-
рые нестационарные задачи для квантового осциллятора
с помощью метода когерентных состояний. А именно,
в рассматриваемых случаях квантовая задача с помощью
когерентных состояний точно сводится к соответствую-
щей классической задаче.
§ 12.1. Квантовый осциллятор
под действием переменной внешней силы**)
Развитие рассматриваемой системы во времени опре-
деляется уравнением Шредингера
1^Н(О>=(Яо + Я1)|^(*)>,	(12.1)
где
Яо = */2(р2 +<o2gf2)=<o (а+а+‘/2)	(12.2)
— оператор Гамильтона свободного квантового осцилля-
тора, а	_____
Я, = -/(0 q = -/(<) V1/2© (а + а+)	(12.3)
♦) Свойства таких систем состояний рассмотрены в обзоре
[30].
**) Эта задача была решена иным методом в работах Фейнма-
на [127] и Швингера [222].
158
описывает действие внешней силы /(f). Здесь р и q—
операторы импульса и координаты, а и а+ — бозонные
операторы уничтожения и рождения. Всюду далее Ъ =
= т = 1.
Прежде всего с помощью унитарного преобразования
1"ф(£) > = ехр{—iHot}\ty(t)>
избавимся от слагаемого Яо в уравнении Шредингера
(12.1). Для вектора lij>(£)> получаем уравнение
^1Ш> = #1(*)|Ш>,	(12.4)
где
ffi (/) = ехр {iHot}H! ехр {—iHat} =
= —f G) V1/2® (а ехр(—i(£>t) + а+ exp(i®i)).	(12.5)
Уравнение (12.4) удобно переписать в виде
I $ (0> = (Р(0 «+ - Р (*) а) [ ф(£)>,	(12.6)
где
P(i) = -±=/(i)exp(f®i).	(12.7)
1/2®
Поскольку гамильтониан Si(t) выражается линейно
через операторы алгебры Ли — алгебры Гейзенбер-
га — Вейля, то оператор эволюции S(t) (Гф(/) > =
= S(t) 1-ф(0) >) является оператором представления T(g)
группы Wt, т. е.
S(t) = T(g(t)) = ехр (-i0 (i) )D (а(0).	(12.8)
Отсюда, в частности, следует, что если начальное со-
стояние являлось когерентным состоянием группы W{,
то оно останется когерентным в любой момент времени.
Таким образом, существует решение |^(i)> вида
|$(t)> = exp(-i0(i))la(O>.	(12.9)
В частности, среднее значение оператора а в этом
состоянии равно
= a(i).	(12.10)
Дифференцируя это соотношение по t и используя
уравнение (12.6), находим
a = a (0 = a0 + j P O')dt',	(12.11)
о
159
Далее при Af-*O из уравнения (12.6) получаем
Гф(л + ДО > ~	-до !^Ф(0 >-	(12.12)
Подставляя в это уравнение |ф(£)> из (12.9) и ис-
пользуя соотношение T(t, ос) I f}> = ехр(йр) I + а>, полу-
чаем уравнение
Ф = Im(f}a) = Im(acc).	(12.13)
Заметим, что уравнение (12.11) —это классическое урав-
нение движения для осциллятора под действием внешней
силы, а из уравнения (12.13) следует, что величина Ф(1}
равна удвоенной площади, заметаемой радиус-вектором
при движении точки по фазовой плоскости, т. е.
Ф (t)	[ pdq,
%
и, таким образом, она имеет простой квазиклассический
смысл.
Особенно просто обстоит дело в том случае, когда
сила /(£) достаточно быстро стремится к нулю при t -*
-* ±°°. Тогда существуют соответствующие пределы а±
и Ф± и имеет смысл говорить о вероятности перехода из
состояния |т> при	в состояние 1п> при t ->+<».
Эти вероятности даются формулой
wmn = l<m|5h>|2= \<m\D(4)\n>\2,	(12.14)
где |у|2 = р, \т — п\=к, и из формулы (12.14) следует,
что
wmn =	| V |2|m-nl exp (-1 у I2) |	(| V I2) I2, (12.15)
где у находится по формуле
оо	оо
у = f р (£') ей'= —1= f / (i) ехр (iat) dt, (12.16)
J	l/2co ч
— оо	—сю
т. е. с точностью до нормировочного множителя совпадает
с фурье-компонентой ® силы /(/).
В частности, если |ф(£)> -* 10> при i— °° (т. е. вна-
чале осциллятор находится в основном состоянии), то
под действием силы /(£) он переходит в когерентное со-
стояние, и вероятность возбуждения n-го уровня дается
160
формулой Пуассона
wn = ехр (-р)£р р = |у|2.	(12.17)
Перейдем к рассмотрению второго примера.
§ 12.2. Параметрическое возбуждение квантового
осциллятора
Параметрическое возбуждение квантового осциллято-
ра — это возбуждение осциллятора при изменении его
параметров: массы m = m(t) и частоты ы = ®(/). Общий
случай переменных во времени m(t) и (и(1) легко сво-
дится к случаю т = const с помощью замены t' =
и = та, т. е. к случаю квантового осцил-
лятора с переменной частотой.
Эта задача была подробно рассмотрена в книге [2] и
в работах [59—61]. Здесь мы решим эту задачу, исполь-
зуя систему КС для дискретной серии представлений
группы 5(7(1, 1) (см. главу 5). Такое решение обладает
большей наглядностью и быстрее приводит к цели.
Уравнение Шредингера для квантового осциллятора
с переменной частотой имеет вид
4ЖФ==Я(Ш(Ф>	(12.18)
где
Я(/) = р72 + ®2(092/2, p = —id/dq,	(12.19)
и мы положили Й- = т = 1.
Перепишем исходное уравнение (12.1) в виде
i^|ip(t)> = (ОК)Ж0>,	(12.20)
где
ЙЯ = £2Л-О1Я1-£22Я2 = г(рЯ+ -РЯ_-^ЯО), (12.21)
Яо, ! = 1/4(р2/(Оо ± ®о?2), ^2 = ‘Л (и + Я),
(12.22)
Йо,, = ы0{(® (£)/й0)2 ±1), fi2 = 0; K± = K,±iK2.
Операторы Ко, К, и К2, как нетрудно проверить, удов-
летворяют перестановочным соотношениям
[Я,, Я2] = —1К0, [ЙГ2, Ко] = iK>, [Яо, К,] = iK2 (12.23)
(при произвольном значении частоты соо, входящей в оп-
ределение операторов К,) и согласно главе 5 являются
И А. М. Переломов	161
генераторами представлений дискретной серии группы
SU(i, 1) с к = 1/4 и /с = 3/4.
Таким образом, наш гамильтониан линеен по генера-
торам алгебры Ли группы SU(i, 1). Поэтому существует
решение уравнения Шредингера вида
|1p(i)> = exp(-^(f))lU«)>, 1£1 <1, (12-24)
где |£(/)>—когерентное состояние для представления
дискретной серии группы 5(7(1, 1) с к = 1/4 или /с = 3/4.
Подставляя (12.24) в уравнение Шредингера (12.6),
аналогично тому, как это было сделано выше, получим
уравнения для величин £ и Ф\
£ =	(12.25)
i0 = *(^-^ + iy).	(12.26)
Заметим, что круг {£: |£| < 1} является в данном случае
плоскостью Лобачевского и представляет собой фазовую
плоскость для рассматриваемой задачи. Уравнение (12.25)
описывает движение классической системы (осциллято-
ра) па фазовой плоскости. Квантовое состояние |^(1)>
при этом в точности следует классическому движению.
Что касается фазового множителя Ф (t), то он в точности
равняется площади (в метрике Лобачевского), заметае-
мой радиус-вектором (;(£) при его движении. Оба эти
обстоятельства связаны с тем, что в данном случае «ква-
зиклассическое приближение» приводит к точному ответу.
Хотя этот результат справедлив для произвольного
изменения величины <в(1) со временем, физически инте-
ресными представляются два случая.
А. Величина <в(0 достаточно быстро стремится к оп-
ределенным пределам при t -»• ±°°. В этом случае суще-
ствуют асимптотические состояния \пУ± при	и
имеет смысл говорить о вероятности перехода wmn из
состояния \т, ®_> в состояние In, со+>. Предположим для
простоты, что предельные гамильтонианы (Я+ и Я_) при
t ±оо совпадают, т. е. ®- = ®+. Тогда
wnn = | <’« | Т (g0) | и> |2,	|а|2 —|Р|2 = 1-
Используя выражение для (т\Т\п) из работы [59],
162
получаем окончательный ответ
«<.1 г------
Wmn = ~ Г V 1 Р
п>.
(12.27)
где Р\ (х) — присоединенная функция Лежандра, р =
= I[3 l2/l al2.
Б. Рассмотрим теперь случай периодической зависи-
мости ®(£) от времени: ® {t + Т) = ю (£). В этом случае
существуют решения уравнения Шредингера с опреде-
ленной квазиэнергией, т. е. состояния, обладающие
свойством
Ш* + Т)> = ехр (-if )|ф£(0>.	(12.28)
Нас будет интересовать спектр квазиэпергий. Для того
чтобы найти его, рассмотрим оператор эволюции системы
U(t, tB):
U(t, Z0)lip(M> = l^(0>.
G его помощью образуем унитарный оператор
8 = U(t0 + T, t0).	(12.29)
Поскольку этот оператор унитарен, его можпо предста-
вить в виде
S = exp(-f тн\,	(12.30)
где й — эрмитов оператор. Спектр этого оператора и есть
спектр квазиэнергий.
В рассматриваемом нами случае оператор S есть опе-
ратор конечного преобразования группы 8£7(1, 1), а опе-
ратор Й принадлежит представлению алгебры Ли этой
группы и потому имеет вид

(12.31)
С помощью унитарного преобразования Й = ЙЙ'и+ опе-
ратор Й можно преобразовать к стандартному виду.
В зависимости от вида вектора 12 = (Q0,	Q2) могут
осуществляться различные случаи. Каждый такой случай
отвечает определенной орбите присоединенного представ-
ления группы S(7(l, 1).
1а. Пусть
£22 = C^-Q?-Q^>0, Qo>0.	(12.32)
11*
163
Здесь с помощью унитарного преобразования й ->• Й' =
= UHU+ оператор й можно преобразовать к виду
Я'=ШЯ0.	(12.33)
Спектр квазиэнергий в этом случае дискретен, ограничен
снизу и имеет вид
8„ = М2(А: + п).	(12.34)
Основное состояние такого гамильтониана является коге-
рентным состоянием, связанным с представлением Тк
дискретной серии группы SU(1, 1).
16. Пусть
Q2 > О, Й0<0.	(12.35)
В этом случае имеем Й' = —hQKa. Спектр квазпэпергий
здесь дискретен и ограничен сверху:
8„ = — Ъ£1(к + п).
2.	Пусть
= - № < 0.
Тогда оператор Й можно привести к виду
Й^-ЪКК,.	(12.36)
Спектр квазиэпергий в этом случае непрерывен и запол-
няет всю ось —оо < е < +°°. В классическом случае это
соответствует неустойчивому движению.
3.	Если же122 = 0,	> 0, то Н — М20(Ка — Kt), спектр
непрерывен и заполняет полуось 0 < 8 < °°.
3'. Наконец, в случае й2 = 0, Q(l < 0,
й'=-Ю0(К0 - К,).	(12.37)
Здесь спектр также непрерывен и заполняет полуось
—оо < е < 0. Для классического осциллятора случаи 3 и
3' отвечают границам зоны неустойчивости.
§ 12.3.	Квантовый сингулярный осциллятор
12.3.1.	Стационарный случай. Под сингулярным ос-
циллятором мы будем понимать систему, описываемую
гамильтонианом *)
Н = Но + V,
Я0 = -4^ + 4 = а+а + 4’ F =	(12-38)
*) Мы используем систему единиц, в которой -И = m =
= со = 1.
164
где
1 ! , d \	+	17 d \
а —-	[х + ~г , а = —7= х-----т-
Д/2 \	dzj’ -|/2 \ dx J
— обычные операторы уничтожения и рождения.
Покажем прежде всего, что оператор Я является ге-
нератором алгебры SU(l, 1). Именно, нетрудно прове-
рить, что операторы
= (а+)2-1?>2, B2 = a2-g2/x2	(12.39)
удовлетворяют соотношениям
[Я, В2+] = 2В2, [Н,В2]=—2В2,	(12.40)
[Я2,Я+] = 4Я.	(12.41)
Таким образом, операторы Я, В2 и Я2 являются ге-
нераторами алгебры Ли группы SU (1, 1).
Из (12.40) следует, что если фЕ(;г) является собствен-
ной функцией гамильтониана
ЯфЕ = ЯфЕ,
то функция Я.^Фе(Я2Фе) также является собственной
функцией Я с собственным значением Е + 2 (Я — 2)
соответственно. Таким образом оператор В2 (Я2) явля-
ется повышающим (понижающим) оператором. Это дает
возможность, так же как и в случае обычного осцилля-
тора, найти спектр и собственные функции гамильтониа-
на чисто алгебраически, не решая уравнения Шредингера.
Действительно, волновая функция ф0 основного со-
стояния, т. е. состояния с наименьшей энергией, удовлет-
воряет уравнению
Я2фо = О,	(12.42)
откуда получаем
<[„ = С„ха ехр [—х2/2], а = 1/2 + V1/4 + 2g2. (12.43)
Из уравнения
Яф0 = Я01|70	(12.44)
находим
Я0 = а + 1/2.	(12.45)
Волновая функция произвольного состояния полу-
чается теперь из i|)0 путем n-кратпого применения повы-
шающего оператора В2:
фп(.т) = Сп(в+)пф0 (ж), Еп = 2п + Ео. (12.46)
165
Такой алгебраический способ нахождения волновых
функций и спектра энергий важен потому, что он ока-
зывается применимым и для случая аналогичной систе-
мы N взаимодействующих частиц, когда найти все ре-
шения уравнения Шредингера обычным способом не
удается.
Укажем, что связь операторов Н, В2 и В2 со стан-
дартными генераторами Zv0, Кл и К2 алгебры S(7(l, 1)
задается формулами
К0=Н/2, К+ = КХ + iK2=—B}/2, K_=K1—iK2=—B2/2t
(12.47)
Оператор Казимира
с2 =	+ к2 - Kl = А (+	_ да j; (12 48)
т. е. оператор, коммутирующий со всеми генераторами
алгебры 5(7(1, 1), после подстановки явных выражений
для В2, В2 и Н сводится к числу
C2 = /C(l-fc) = A-Aa(a-l).
Отсюда находим
/с =(1/2 + а)/2.	(12.49)
Это значит, что совокупность всех волновых функций
преобразуется по неприводимому представлению
дискретной серии группы SU (1, 1):
T+(g) с * = (сс + 1/2)/2.
Используя стандартный прием, а именно применяя
левую и правую часть соотношения (12.41) к волновой
функции приходим к формулам
В+грп = — 2 1^(и + 1) (и + а + 1/2)	(12.50)
= — 2 ]^п(п + а — 1/2)	(12.51)
Фазовый множитель ( — 1) связан с конкретным выбо-
ром фазового множителя у волновых функций 1|з„(ж).
Действуя п раз оператором В2 на волновую функ-
цию основного состояния тро, получаем
(*) =	' и/ nV++ Tl/21 (Ба+)Ч (Ж)‘ L(12’52)
2	|/п\ 1 (п -|- а 4- 1/2)
166
Волновые функции ip„(x) содержат множитель
ха ехр [—х2/2], выделяя который, приходим к новым опе-
раторам
С* = х~~а ехр [ж2/2] Bt (ж“ ехр [— ж2/2]) =
= 4 [—а + 2 - Й Т + 4 Й - а ~ 4)1’ (12-53)
2 dx2 \ х / dx \	2 /J’ v '
С2 = х~а ехр [х2/2] В2 (ха ехр [— х2/2]) =
rf2 р а d
dx2 " х dx
Н = х “ ехр [х2/2] Н (ха ехр [— х2/2]) =
1_
2
d
dx +
2а + 1
(12.54)
(12.55)
2
Очевидно, что операторы С2, С2 и Н также образу-
ют алгебру 5/7(1, 1), и перестановочные соотношения
для них имеют вид (12.40), (12.41).
Уравнение lltyn = Еп$„ переходит при этом в обычное
уравнение для полиномов Лагерра *)
Л“~1/2 (У2) = 0. (12.56)
Из (12.50) и (12.51) при этом получаем рекуррент-
ные соотношения для полиномов Лагерра
CtL?r1/2 (х2) = - 2 (n + 1) Л“;У2 (х2),	(12.57)
(72А“-1/2 С*2) = - 2 (п + а - 1/2) А“7|/3 (У2). (12.58)
Отсюда получаем выражение для нормированных соб-
ственных функций оператора lit
= VГ(п 4Й4/2^ А“~1/2 ех₽ f-^2b <12-59)
г 1 \ll -j— 1А “-J- 1/4< )
Отметим, что а -> 1 при g -> 0 и волновые функции
переходят в волновые функции осцилляторной задачи.
Однако мы получаем при этом не все осцилляторные
функции, а лишь те из них, которые обращаются в пуль
при г -> 0. Соответственно при g -* 0 имеем Еп -> 2п + 3/2,
и спектр энергий отличается от спектра энергий осцил-
*) Полиномы Лагерра мы определяем согласно справочнику
Бейтмана и Эрдейи [4].	:
167
ляторной задачи на всей оси. Он совпадает со спектром
энергий задачи с граничным условием ф(О) = 0, т. е. ос-
цилляторной задачи на пЪлуоси. При g ¥= 0 спектр нашей
задачи отличается от спектра осцилляторной задачи на
полуоси лишь сдвигом \Е = а — 1.
Волновые функции ф„(а;) образуют базис {|и>} в гиль-
бертовом пространстве 5$? квадратично интегрируемых
функций па полуоси 0 < х < °°.
Система КС {!£,>}, |£| < 1, в этом пространстве соглас-
но главе 5 имеет вид
I Е> - (1 - 111!)" 2 /г(ХТ1-Х> С‘1 в>- (,2'60>
КС |£> при этом можпо определить как состояние,
аннулируемое оператором -
К- = ехр (£ЙГ+) ехр (-^+) = К_- 2£ЙГ0 + £2ЙГ+, (12.61)
£-!?> = 0.	(12.62)
Отсюда получаем
<т | О (ж) =
=	0 ~~ I £1 ) ( а _ „ Г 1 Н'	21 9Ь — (VJ.1/9
Г (27с) (1 —е Р1 2 1-£	]’	+
(12.63)
Сопоставляя эту формулу с формулой (12.60), полу-
чаем производящую функцию для полиномов Лагерра
Г,	00
#1|= 2 £“(*КП.	(12-64)
’	‘ п~о
12.3.2.	Нестационарный случай. Рассмотрим теперь
квантовый сингулярный осциллятор с переменной часто-
той. Такая система описывается уравнением Шредингера
#1Ф(Ф = Я(Ш(Ф, (12.65)
где
//(£) = V2(p2 + <в2(/).г2) +#2/л2, ®(0) = <в0 = 1. (12.66)
Уравнение (12.65), так же, как и в § 12.2, можно
переписать в виде
Z^IW)> = WIW)>, (12.67)
16§
где
(ЙА) = Й0Я0 -	- й2/<2, Йод =
=h(f—Till Й2 = 0, (12.68)
а операторы Ко, Kt и К, даются формулами (12.47),
(12.39).
Таким образом, все результаты, полученные в § 12.2,
остаются справедливыми и в рассматриваемом случае.
В частности, существуют решения уравнения Шрединге-
ра, имеющие вид
1ф(*)> = ехр(-£0 (£))!£(*)>, IU<1,	(12.69)
где величины t,(t) и Ф (t) удовлетворяют классическим
уравнениям (12.25) и (12.26).
Если при f-*±oo частота ®(/) достаточно быстро
стремится к постоянным пределам ®+ и ®_ соответствен-
но, то вероятность перехода из состояния \п, ы_> в со-
стояние \т, (в+> дается формулой
wmn=\<m, ®+|5|n, ®_>|2,	(12.70)
где
s - Т" е. - (^	, tie (r/2)  р, (12.71)
а величина р совпадает с коэффициентом отражения от
потенциального барьера [43]:
F(^) = 2(£’-Z7(a;))=®2(x).
Используя явную формулу (см. [90]) для матричных эле-
ментов представления Tk(g), получаем окончательное
выражение
ml Г (1/2 — а — п)
Wmn “ [{m _ и)!]а«! Г (1/2 - а - т) Х
X (sh (T/2))2(m-n)(ch (T/2))2(m+?1 hra)+1 X
X \F(m + a + 1/2, m + 1, m + i—n; —sh2 (t/2)) |2. (12.72)
Здесь F(a, b, c; x) —гипергеометрическая функция.
В случае периодической зависимости со (/) от времени
спектр квазиэнергий имеет ту же структуру, что и
в § 12.2.
12.3.3.	Случай N взаимодействующих частиц [62].
Рассмотрим систему N взаимодействующих частиц,
169
описываемую гамильтонианом
N 2
н-Ч и, н, _ - j 2 = + 242 to -»»)’. <12.73)
7=1 axj j<h
v = g- 2	— *лГ2-
i<k
Нас интересуют трансляционно-инвариантные реше-
ния уравнения Шредингера Яхр = Ях|?, и потому удобно
перейти к трансляционно-инвариантным переменным
N
=	Х =	7 = 1,2, ...,7V. (12.74)
7=1
Переменные gj не являются независимыми, а удовлетво-
ряют условию
2 ?7 = 0.	(12.75)
*	7=1
Введем также трансляционно-инвариантные комбина-
ции производных, которые будем называть формальными
производными по
N
___________L 1^1X1 У о (12 761
dt,- дХ: ЭХ’ дХ N Л дх'	'	'
to з	/;=i	« j *3
Из (12.74), (12.76) находим
д^/д& = 8*-1/1У.	(12.77)
Нетрудно видеть, что имеет место тождество
N
г2 = ^-2 (^7-^)2 = 2Ж (12.78)
7</г	7=1
с учетом которого гамильтониан (12.73) принимает вид
(12.79)
Заметим, что первый член в (12.79) при рассмотрении
трансляционно-инвариантных состояний несуществен, и
мы его опустим. Введем трансляционно-инвариантные опе-
раторы bf и bk, пропорциональные операторам рождения
170
и уничтожения:
Ь^ =
+ gt ) > S ~~ Zj bj ~ О-
\ Чг /	;=1 j=i
(12.80)
При этом
[Ь>, bh] = [6/-,	= 0, [bj,bt] = 2 (6,ft - 1/N). (12.81)
Гамильтониан (12.73)
раторы bj и Ь%:
H = H0 + V,
V =
теперь можно записать через опе-
По аналогии со случаем одной частицы введем опера-
торы В 2 и В2'-
N	N
В* =4 IX2 -V, B2-i^bj-V. (12.83)
j=i
Нетрудно проверить, что так же, как и в случае одной
частицы, имеют место перестановочные соотношения
[Н, 5+] = 2В2, [Я, 5J = - 2В2, [В2, 7?+] = 4Я,
(12.84)
откуда следует, что операторы В2 и В2, являются пони-
жающим и повышающим операторами соответственно.
Покажем теперь, что соотношения (12.84) имеют ме-
сто и в том случае, когда потенциал V (х) является про-
извольной однородной функцией степени —2. Третье из
соотношений (12.84) следует при этом сразу же из
(12.83). Для доказательства второго соотношения удобно
перейти к новым операторам
(при этом bj^d/d^,	b+ -+2%} — д/д^).
Для доказательства первого соотношения переходим
к операторам
Н = ехр у] Я охр и В} = ехр ^В+ехр
(при этом b? — d/d^j, ьк -> 2£а + д/д^).
171
Из (12.84) следует, что и в этом более общем случае
мы имеем дело с алгеброй Ли группы 5(7(1, 1). Опера-
тор Сг, определяемый формулой (12.48), опять превраща-
ется в число
G = £(!-£), к = Е0/2,	(12.85)
где Ео — энергия основного состояния. Отсюда получаем
серию нормированных волновых функций
Ф» = 4^(^Н)"Фо, (12-86)
2 упЦ (и + 2А-)
которые преобразуются по неприводимому представлению
Tit группы 5(7(1, 1). Волновая функция основного со-
стояния фо = 2 ехр(—г/2) удовлетворяет уравнению
/?2фо = 0, откуда получаем уравнение для z
N 2
4 2 Й -	<12-87)
3=1 Ч
Мы видим, что 2 — однородная функция величины
Обозначая степень ее однородности через а', из уравне-
ния //фо = находим
— -{- ex , к — ~2~ — —— Ч- ~2> (12,оо)
Характерным свойством этой серии волновых функций
является то, что все они имеют вид
ф„(£) = фп(г)фо (£) = 2 ехр(—г72)ф„(г).	(12.89)
Для того чтобы увидеть это, перейдем к новым опе-
раторам С2, С% и й, которые действуют уже на функции
срДг) (сравните с формулами (12.53) — (12.55)):
172
Заметим, что действие этих операторов на функции,
зависящие лишь от г, эквивалентно действию соответ-
ствующих операторов, определяемых формулами
(12.53) —(12.55), при условии, что в этих формулах сде-
лана замена ®-*г, а-*а'+ (2У —2)/2. Таким образом,
нормированные волновые функции имеют вид
чЬ ГЕ) = N 1/ »1Г[(ЛГ-1)/2 + а']
ЧМб) '*0 У Г[«+(ЛТ — 1)/2 + а'] х
(2 \
-у)1п+М/2(г2).	(12.93)
В случае, если V — произвольная однородная функция
степени —2, функция z и степень ее однородности неиз-
вестны. Для потенциала же (12.73) z = D", а' =
yV (JV_1)
=----2---'а и функции (12.93) переходят в серию
функций, полученных в работе [62]. Операторы и
G, действуя на срп (г2), дают рекуррентные соотношения
(12.57) и (12.58) для полиномов Лагерра.
Мы получили простейшую серию волновых функций
многочастичной задачи. Заметим, что произвольная вол-
новая функция имеет вид .
КДЕ) = zexp(-r72)cpnil(r)P(l(g), (12.94)
где PnU) — однородная функция степени ц.
Уравнения для функций фП11(г) и РДЁ) нетрудно по-
лучить из уравнения Шредингера
^пифпц.
Имеем
1	Апц О - 2)/2 + а' + ц ] d<P,((г ,
2	dr2 L г	I dr +
"I" (^о З- Р-) фпц =	(12.95)
откуда получаем
Фпц (г) —
__ nj ЛГ [(Д'	1)/2 —оь - ii| r(N—з)/2+а'-|-ц / 2\ //to ой\
-'vbK г [ге + (N - 1)/2 + а' + р] 11	V >'
Еп№ = 2п + ц + Ео.	(12.97)
Уравнение для РДё) имеет вид •
N ,	п	"1
1	V д ! 1 V dz д пи, О	/4ОПОЧ
2	~i ag2 + z at. 5g .	“ 0'	(12.98)
/=1	3=1	> _
.173
Операторы С£ и С2, определенные формулами (12.90) и
(12.91), действуя на функцию <р„ц(г)Рм(^), дают рекур-
рентные соотношения для функций cpng(r); рекуррентных
соотношений для Рц(£) при этом не возникает.
Итак, каждое новое решение уравнения (12.98) опре-
деляет новую серию решений
= z ехр (- г72) фП(1 (г)	(£).
В случае потенциала (12.82) z = Da и уравнение
(12.98) переходит в уравнение, полученное для этого слу-
чая в работе [109]:
В этой работе показано, что уравнение (12.99) имеет
полиномиальные решения (т. е. ц = т — целое число),
причем функция ЛД£) полностью симметрична относи-
тельно перестановки координат g;. Как видно из (12.97),
из полиномиальности решения следует эквидистантность
спектра. Из симметричности же функции Pm(g) находим,
что число решений g(m) уравнения (12.99) степени т
равно числу полностью симметричных гармонических по-
линомов степени т, которое, в свою очередь, равно числу
решений уравнения
т = Зи3 + ... + NnN
в неотрицательных целых числах.
Отсюда получаем следующее выражение производя-
щей функции для g(m):
оо
С«)- 2/("»= «„ч.1.,,,,»)- <^.100,
Теперь нетрудно показать, что кратность вырождения
/(s) уровня с энергией Es = Ео + s равна числу решений
уравнения
s = 2п-л + Зи3 + ... + NnN
в неотрицательных целых числах. Производящая функция
F(t) для величины /(«) имеет вид
F(0	2/W" =	[с-,.). «2.10!)
174
Явное выражение для функций /(s) и g(s) при не-
больших значениях N может быть получено из работы
[62]. Вся трудность решения задачи свелась теперь к на-
хождению всех решений уравнения (12.99). Относитель-
но решения этой задачи см. работы [109, 62].
В заключение заметим, что использование инвариант-
ности системы N взаимодействующих частиц относитель-
но группы 5(7(1, 1) дает возможность решить также и
задачу с переменной частотой, когда гамильтониан II0
в (12.73) имеет вид
N ’2	2 ,
Яо = - т 2 71 + W1 2	- ^)2-	(12-102)
3=1	3	3</1
А именно, все результаты, полученные в § 12.3, как
нетрудно проверить, переносятся и па этот случай.
§ 12.4. Осциллятор с переменной частотой
под действием переменной внешней силы
Рассмотрим общий случай, когда на осциллятор с пе-
ременной частотой ®(0 действует сила /(£). Уравнение
Шредингера в этом случае имеет вид
1	-f
t) =
^(т, t).
(12.103)
Зависимость ®(7) и f(f) от времени считаем произ-
вольной, предполагая лишь выполнение естественных
граничных условий:
/(t)->0 при £->+оо,
®_ при t -э--оо,
ю+ при t -> + сю
(12.104)
(12.105)
(пределы ®± могут быть различными).
В этом случае гамильтониан 11(f) в (12.103) выража-
ется линейно через операторы Ко, Kh К2 (12.22) и опе-
раторы р, х и I, которые, как нетрудно проверить, обра-
зуют шестипараметрическую алгебру Ли — алгебру Ли,
так называемой неоднородной симплектической группы
I Sp (2, R). Таким образом, так же, как и в предыду-
щем случае, существует решение уравнения (12.103),
175
имеющее вид КС для группы I.Sp (2, R):
1-ф(г)> = exp(-/0(/))lUO> а(0>,	(12.106)
где КС |£, а> дается формулой
|£, сс> =7Vexp[£a+72 + aa+]|0>, Ip < 1, (12.107)
N = (1 — |£|2)+1/2ехр (—|<х|2/2) — нормировочный мно-
житель.
Нас интересует вероятность перехода штп из состоя-
ния In, со_> при t -»• — оо в состояние \т, ®+> при
t -> —|—оо;
wmn=l<m, со+1U(°°, —°°)|н, ®->|2,	(12.108)
где U(t2, it) — оператор эволюции.
С помощью КС нетрудно получить производящую
функцию для величин wmn
zm	п
Н (Z1, Z,) = 2 у=Г <т> ®+ I 5 I «> ®->	(12-109)
Опуская детали вычислений, приведем окончательный
результат ([60]):
Я(zn 23)= (1 — р)1/4 ехр (— у (1 — /р cos 2<р) +
+ ~2 [ Р (z2 ~' z?) + 2 1^1 — р ZjzJ +
+ /v [ ]/1 — р ехр (— icp) zx —
— (ехр (/ср) — Рр ехр (— /<р) z2)](12.110)
Параметры р, v и ср, входящие в (12.110), определяются
следующим образом.
Пусть ^(/) —решение классического уравнения дви-
жения для осциллятора
i + cn2(/)£ = 0	(12.111)
с начальным условием
£(/) ~ ехр(/со_/) при /->—°°.	(12.112)
Параметр р определяется асимптотикой величины £(/)
при t +°°:
I Q 2
Р= г , ^ (/) ~ сх ехр (/®+/)—
I ci
— с2ехр(—/co+t), /~> + оо, (12.113)
176
При этом 0 < р < 1, и значение р целиком определя-
ется видом ®(Z) и не зависит от внешней силы.
Величина v = |d|2 характеризует степень возбуждения
осциллятора внешней силой и определяется формулой
оо
“"НИ
г —оо
Фаза <р имеет следующий вид:
(12Л14)
(12.115)
2 и
Ф =
где 6t, 62 и р — фазы величин с,, с2 и d соответственно.
Вычисление вероятностей wmn сводится теперь к
разложению функции II (zh z2) в ряд Тейлора; коэффи-
циенты разложения стп можно выразить через полиномы
Эрмита от двух переменных. Согласно [4] эти многочлены
определяются так:
es
1
Vizj 2
г :  • Нпп (Ун Уг)-
f п п.\
(12.116)
'1* 2
В пашем случае
’_ - У£- Р
-о -Ур
У1 = /v(l — р)ехр (гф),
у2 = — /7 (ехр (— гф) — /р ехр (гф)),
(заметим, что а2 = I, а~1 = а). Отсюда находим
тельное выражение для вероятностей перехода:
[Лц] —
(12.117)
оконча-

«’mn = ^т\п\ ?\Нтп(У1, у2) I3 е^’Р {— V (1 — Урсоз2ф)}.
(12.118)
Приведем в явном виде wmn для простейших значений
т и п:
w00 = VI — р ехр {—v(l — Vp cos 2ф)},
Wto =v(l-р)ш00,
(12.119)
= v (1 — 2Vp COS 2ф + v2p) Woo,
Wn =(1 — p)[(l — v)2 + 2v(l — v) Vp COS 2ф + V2p]zz>oo.
12 a. M. Переломов
177
Если в (12.116) положить одну из переменных zh z2
равной пулю, то это выражение упрощается и принимает
вид производящей функции для обычных полиномов Эр-
мита. Отсюда следует, что если при i— °° осциллятор
не возбужден (zz = 0), то величины иц 0 выражаются че-
рез обычные полиномы Эрмита
~\/1 — Р т/2
2тт\ Р
И’?П0 —
~|/2v (1 - - р) ехр (— сер) \ 2
г'7	/
X ехр {— v (1— Vp cos 2ф)}. (12.120)
Аналогичная формула имеет место для
U'On
1/1 - Р «/2
2"п! '
Н f T//2v (Vp ехР ZcP) — exp(fcp))
\	ГР
X ехр [— v (1 — 1/р cos 2<р)}. (12.121)
Из явного вида формул (12.120), (12.121) видно, что,
вообще говоря, =^= wn0. В то же время при у = 0, т. е.
при отсутствии внешней силы, величины wmn симметрич-
ны по т и п.
Заметим, что из общих принципов квантовой механи-
ки следует лишь, что вероятности wmn симметричны по
начальному zz и конечному т состояниям, если со (—/)==
= со(£). Как видно из (12.27), фактически равенство
wmn = wnm в этом случае выполняется при произвольной
зависимости со от t. Причину этой дополнительной сим-
метрии можно понять, если связать р с коэффициентом
отражения от одномерного барьера. Для этого образуем
из £(/) и £(£) линейную комбинацию £Д£) со следую-
щими свойствами:
£1(П = Ш +W) =
ехр (zco_t) + R ехр (— zco_£)
D exp (ico+t)
при t —>• — oo,
при t -> 4- oo.
(12.122)
Отсюда видно, что £i(i) совпадает с волновой функцией
одномерного уравнения Шредингера, если заменить t па
х, а со (7) —на к(х'). Коэффициенты R и D имеют смысл
амплитуд отраженной и проходящей волн. Из сравнения
(12.122) и (12.113) находим
'"ГЩП5’	=	Р-1й12- <12Л23>
178
Таким образом, решение (12.122) соответствует волне,
падающей па барьер слева.
Обращение времени t -* — t отвечает переходу к вол-
не, падающей справа. Обозначая коэффициенты отраже-
ния для этих двух волн через р ир', имеем
(р) (р ) .
Но, как известно (см., например, [43]), р' = р. Отсюда и
вытекает дополнительная симметрия вероятностей wmn но
индексам т и п. Из формулы (12.118) видно, что вели-
чины wmn симметричны по т и п также при р = 0.
Рассмотрим случай v =И= 0 и
®(-i)=co(0, /(-0 = /(0-	(12.124)
При этом, как ноказапо в [2], такая симметрия суще-
ствует, если
соз2ф = Ур.	(12.125)
Здесь переменные р и и уже не являются независимыми,
а вероятности wmu определяются двумя величинами р и у.
Глава 13
ЧАСТИЦЫ ВО ВНЕШНЕМ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОМ ПОЛЕ
В этой главе с помощью метода когерентных состоя-
ний изучается поведение квантовой частицы во внешнем
электромагнитном поле. Рассмотрены задачи о движении
спина в переменном однородном магнитном поле и рож-
дении пар бозонов и фермионов в переменном однород-
ном электрическом поле. Все эти задачи с помощью ко-
герентных состояний точно сводятся к соответствующим
классическим задачам.
§ 13.1. Движение спина в переменном однородном
магнитном поле
Рассмотрим нейтральную частицу со спином j, обла-
дающую магнитным моментом р и находящуюся в пере-
менном магнитном поле H(t). Изменение состояния та-
кой системы во времени определяется уравнением Шре-
дищера
г^|ф(0> = — A(i)J|ip(Z)> = i(aJ+ — aJ_ — г&/0)| ф(£)>,
(13.1)
12*
179
где
K=fj, J=(/1,/2,/3),
A = -y-H, a = -l.(A1-iAi\ b = — A3, (13.2)
J, — оператор бесконечно малого вращения вокруг оси х},
J± =	Относительно вектора Н(/) мы предполага-
ем лишь, что он достаточно быстро стремится к опреде-
ленным пределам при t ±°°, так что при t ±°° су-
ществуют асимптотические состояния lifPO.
Давно известно (см., например, работу [184] или кни-
гу Ландау и Лифшица [43]), что задача о частице с про-
извольным спином может быть сведена к более простой
задаче о движении частицы 'со спином 1/2. Использова-
ние спиновых КС позволяет получить решение этой за-
дачи особенно просто.
Решение уравнения (13.1) будем искать в виде
|ф(0> = ехр(-г?5(О ) |£(ф.	(13.3)
Уравнение (13.1) принимает вид
^R(0> = (/z(i)-95‘)i:(i)>.	(1з.4)
С другой стороны, из явной формулы для КС следует
^Ф>=(/ + Л)Ф,	(13.5)
Z.IP4(J-W	(13.6)
и
=	+ к I2) 1! S (О> + (4)	1 s <*»•
L 1 ~г I GI	J	\ /
(13.7)
Отсюда находим уравнения для величин и Ф (t)
t = a + aZ2-ibZ,	(13.8)
‘ 7 i - - 4 + ‘ [фр i(1 +1: |3)1+ т + * <1М>
Заметим, что из (13.8) следует равенство
А(1 + |Ц2) =	+ aS) (1 + |$|2),	(13.10)
180
с помощью которого получаем
+	(13.11)
Таким образом, задача нахождения волновой функции
сведена к более простой задаче — решению уравнений
(13.8) и (13.11).
Заметим, что при параметризации в виде векторов
единичной сферы уравнение (13.8) принимает вид
п = -[а(/),п].	(13.12)
Таким образом, плоскость £ (или единичная сфера №)
играет роль фазовой плоскости для классической дина-
мической системы. Однако, в отличие от обычно рассмат-
риваемых классических динамических систем, инвариант-
ная метрика на плоскости £ не является евклидовой.
В простейшем случае при t+°°, a(i)->0, b(t)-+
const, как видно из (13.8), |£ (Z) |2-* р = const. Отсюда
сразу же следует выражение для вероятности перехода
из начального состояния |0> = I/, —/> в конечное состоя-
ние \т> = | j, —j + т>
(2/V от
wm = Л „ р 	(13.13)
и! (27 — 771)! (1 _|_ p)2j	'	>
Общая формула для вероятностей перехода имеет вид
Wmn = |	(0) I2,	(13.14)
где р, = т — /, v = n — j, p=tg2(0/2), 3.^(0)—извест-
ные матричные элементы представления T^g).
В качестве примера рассмотрим случай внешнего маг-
нитного поля
H(O = H0+H1(i) = /7„e3 +
+ Hi (е, cos at + е2 sin at), (13.15)
являющегося суммой постоянного магнитного поля, на-
правленного по оси z, и поля Н4(£), вращающегося в пло-
скости (х, у) с угловой скоростью (0.
Уравнение (13.8) нетрудно решить, и мы получаем
__ ..±81„ Й. .Х_Р (,(»,- «.))
ь ' • 2Q cos Qt — i (ы — ы ц )sin Qf	'	'
где	______________
й = 4'1/<(со — ®и)2 + ®±» «|| = (ц0//)Я0,
«х=(Ро//)Я1-	(13.17)
181
Отсюда для простейшего случая j = 1/2 получаем фор-
мулу для вероятности «переворота спина»
(о2, sin2Qf
^i/2,-1/2(i) = ----~-2-	(13-18)
(и - (0 и )2 +
Отметим, что вероятность переворота спина зависит
от и резонансным способом и может принимать макси-
мальное значение (w = 1) лишь при и = ©ц.
§ 13.2. Рождение пар бозонов
в переменном однородном внешнем поле
Одним нз интересных квантовых эффектов в класси-
ческом внешнем поле является рождение пар частиц и
античастиц из вакуума. Такое явление изучалось в боль-
шом числе теоретических работ, для ознакомления с ко-
торыми мы отсылаем заинтересованного читателя к мо-
нографии [23].
В этой главе мы рассмотрим теоретико-групповые ас-
пекты задачи о рождении пар бозонов в переменном од-
нородном внешнем поле *).
13.2.1. Динамическая симметрия для скалярных ча-
стиц. Рассмотрим сначала скалярную заряженную части-
цу массы т, находящуюся в однородном электрическом
поле Е(/). Она описывается функцией ф(г, /), удовлет-
воряющей уравнению **)
Ф + (р — A(i) )2<р + т2ф = 0,	(13.19)
где р = —А' — оператор импульса, A (i) = — f Е (i') dt' —
векторный потенциал, а точка означает производную по
времени. Из (13.19) сразу же следует, что существует
решение вида ф(г, t) = ехр(фг)ф0 (/), причем ф0(<) удов-
летворяет уравнению для одномерного классического ос-
циллятора с переменной частотой
Фо + а>2(£)фо = 0.	(13.20)
*) Краткое рассмотрение этой задачи дано в работе [208].
В простейшем случае скалярной частицы задача сводится к за-
даче о квантовом осцилляторе с переменной частотой (см. [65,
70]) ис этой точки зрения изучена в работе [70]. Задача о кван-
товом осцилляторе с переменной частотой уже рассматривалась
в главе 12.
**) В дальнейшем используется система единиц, в которой
£ = с = е = 1.
182
Здесь a2(t) = т2 + n2(t), л (Z) = р + j* E(t')dt'— клас-
— oo
сический импульс частицы в момент времени Z, р —
импульс частицы при t — °° (предполагается, что E(Z)
достаточно быстро убывает при t ±°°, так что при t -*
=ь°о существуют пределы л± и со± величин л(1) и w(Z)
соответственно).
После вторичного квантования функция ср (г, /) пере-
ходит в гейзенберговский оператор
1 i с?р
ф(г, 0 =
(2л)3/2 J V2о>_(р)
X (яр (Z) ехр (грг) + &±р (Z) ехр (— грг)), (13.21)
причем оператор ср (г, t) удовлетворяет уравнению
(13.19), а операторы «р (i) и &tp(Z) соответственно урав-
нению (13.20). При этом операторы np(Z) и &ip (Z)
в произвольный момент времени получаются из операто-
ров ар и &tp, отвечающих свободному движению при
t с помощью унитарного преобразования
ар (Z) = 5+ (i)flpS (Z) = Up (t) яр + v'p(t) b-p,
btp (Z) = S+ (Z) b±pS (t) = vp (t)ap + йр (t)htp.
(13.22)
Функции же hp(Z) и vp (Z) удовлетворяют уравне-
нию (13,20) и граничным 'условиям при Z —°°,
Up (Z) ~ ехр (— Zco_Z), Up (t)~>0.
Преобразование (13.22) определяется матрицей
Заметим, что пз унитарности преобразования S(t) следу-
ет, что преобразование (13.22) является каноническим,
т. е. сохраняет перестановочные соотношения. Отсюда
следует, что | ир |2 — |рр|2=1, и поэтому множество
всех преобразований образует группу G = SU(i, 1). При
этом, как видно из (13.22), каждому g(t) соответствуют
два оператора: 5(Z) и —S(t); поэтому операторы 5(Z)
образуют представление группы G, дважды накрываю-
щей группу G.
Следует иметь в виду, что при п>+ ¥= системы со-
стояний, стационарные при Z ->~ +°° и t -* —°°, не совпа-
дают. Однако переход от состояний, соответствующих ча-
183
стоте <о_, к состояниям, соответствующим частоте со+, да-
ется оператором В того же типа, что и S. При этом инте-
ресующий нас матричный элемент перехода из начально-
го состояния тр- (t -> —оо, со = со-) в конечное if>+
(f->+oo, и = со+) совпадает с матричным элементом опе-
ратора Т = RS. Поэтому без ограничения общности мы
будем в дальнейшем считать, что о)_ = со+. Таким обра-
зом, оператор Т определяет преобразование тппа (13.22),
в котором нужно лишь заменить и и и' па
и = ехр [i (at + а2) /2] ch (т/2) и
v = ехр (сс± — a2)/2]sh(T/2),
причем вероятность перехода w зависит лишь от пара-
метра т = lim т (t):
W = I <lp+1 T(go) |l|)_ >l2,
/ ch (t/2) sh (t/2) \
\sh(T/2) ch (t/2) )
(13.23)
Формула (13.23) описывает также распределение пар
заряженных скалярных частиц, родившихся в гравитаци-
онном поле однородной расширяющейся вселенной. От-
сылая за деталями описания этого процесса к работам
[205, 206, 34], приведем здесь лишь формулу для эффек-
тивной частоты осциллятора
(t) =	+ (Z) - A f + A UГ. (13.24)
Здесь A2(i)—собственное значение оператора Лапласа
Д = g“P5a5p (да = -?-, а, 0 = 1, 2, 3), ga9 — пространст-
\ дх^
венная часть метрического тензора в синхронной системе
координат (g00 = l, g’“ = 0), g = det
Для более детального изучения групповой структуры
задачи рассмотрим инфинитезимальные операторы пред-
ставления Т (g). Они имеют вид
К+ = п+6+, К- = аЪ, Ка = \/2(а+а + Ъ+Ь + 1) (13.25)
и удовлетворяют стандартным перестановочным соотно-
шениям для алгебры Ли группы SU(i, 1)
[Ко, К±] = ±К±, [К_, К+] = 2К0	(13.25')
(для упрощения формул здесь и в дальнейшем мы опус-
каем индексы у Яр и
184
Нетрудно проверить, что оператор
„ К,К + к к,
с. = —~ + - #о2	(13.26)
является инвариантным оператором (оператором Кази-
мира), т. е. коммутирует с операторами К+, К_ и Ks.
Подставляя в (13.26) явные выражения для К+, К- и Ко,
находим
G = V4-V4(a+a-i+i)2.	(13.27)
<а+)т(Ь+)п
Таким образом, для состояний [т, п} = — .	-1 0, 0>
у т] п!
с т — п = па = const, С2 = const = k (1 — к) и с учетом
работы Баргмана [90] состояния {I п + п0, п)} образуют
базис неприводимого представления Тк дискретной серии
группы 577(1, 1).
Матричные элементы этих представлений известны
[90], и в простейшем случае га0 = 0, когда начальное со-
стояние является вакуумным, мы получаем
= |</г, «|r/2|0, 0>|2 =(1 - р)р'1,
р = Н12(т/2)= |п|2/1я12. (13.28)
Параметр р имеет простой физический смысл, а именно
он совпадает с коэффициентом отражения от потенциаль-
ного барьера*), имеющего вид ®2(а;).
Рассмотрим состояния, возникающие в процессе эво-
люции нашей системы. Пусть в начальный момент вре-
мени состояние является вакуумным, т. е. а|ф(0)> =
= &|ф(0)> = 0. Тогда в произвольный момент времени
|ф(7)> = S(t) 1ф(0)>, и это состояние удовлетворяет урав-
нениям
(5(/)я5+(1))1ф(1)> =0, (S(l)bS+(t))\ty(t)> = 0.
Таким образом, мы приходим к рассмотрению преобразо-
вания, обратного преобразованию (13.22), и нетрудно
проверить, что оно имеет вид
а = SaS+ = иа — vb+, b = SbS+=—va+— iib. (13.29)
Теперь из условий а1ф(/)> =0, 51ф(1)> =0 сразу же
следует, что
|ф(г)> = ехр(- it (0) IU*)>,	(13-30)
*) Эта интерпретация параметра р принадлежит Л. П. Пита-
ерскому.
185
где
l£> = И — |£|2 exp(£a+fr+) |0, 0>, £ = vlu, |£1 < 1.
(13.31)
Нетрудно видеть, что состояния {(£,>} являются обоб-
щенными когерентными состояниями для представления
7’|/2 группы SU(1, 1).
13.2.2. Многомерный случай-, когерентные состояния.
Переходя к задаче о рождении пар бозонов со спином s,
заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные
рассуждениям в 13.2.1, приводят к рассмотрению кано-
нического преобразования для N = 2s + 1 степеней сво-
боды *)
= T+aiT = Aijaj + B^bt, bf = T+b?T =	+ D^.
(13.32)
Нетрудно проверить, что для того, чтобы это преобразо-
вание было каноническим, т. е. сохраняло бы перестано-
вочные соотношения, необходимо выполнение условий
ЛЛ+-55+ = 1, ДИ+— СС+= I, ЛС+ = ВН+, (13.33)
Эти условия можно переписать в виде
,	!А В\	/I 0\
МЕМ+ = Е, где М = Iс Е = ( Q	(13.34)
а это значит, что преобразования (13.32) образуют груп-
пу G = SU(N, N). Из (13.34) следует, что матрица об-
ратного преобразования имеет вид
М~у = ЕМ+Е, АГГ=\	(13.35)
\-В+	п+/
и что должны также выполняться условия
А+А — С+С = \, D+D - B+B = I, A+B = C+D. (13.36)
Что касается операторов T’(g), то они образуют пред-
ставление группы G, которая дважды накрывает груп-
пу G. Инфинитезимальные операторы этого представления
*) Зависимости коэффициентов Ац, Вц, Сц и Dij от времени
определяются уравнениями для гейзенберговских операторов поля
<Ри(г, t) и для разных уравнений могут быть существенно различ-
ными.
186
удобно объединить в матрицу
lafa- afbt
N=[	}	/
\biaj bibt
(13.37)
Непосредственной проверкой можно убедиться в том,
что оператор
С2 = tr (NENE)	(13.38)
является ппвариаптпьтм оператором (оператором Кази-
мира), т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными
операторами. Выражение для оператора С2 можно упрос-
тить, используя перестановочные соотношения. Вычисле-
ния дают
С2 =	- («frz; - b+bt) - (/V3 - N). (13.39)
Таким образом, для состояний {|т, n>}, Im, n> = |mt . . .
. . . mw, . . . пУ> таких, что | т | — | п | = 2 mi — УУ.ГЧ =
= const, оператор С2 является константой:
С2=(\т\ - |nl У- (iml - Ы)-(М2-М).	(13.40)
Можно показать, что операторы Казимира Ср высших по-
рядков в этом случае также сводятся к константам. От-
сюда следует ,что множество состояний \т,пУ с т — п =
= const образует базис неприводимого представления
группы SU(N, N).
Группа G = SU(N, N) обладает компактной картанов-
ской подгруппой К = SU (N) ® SU(N) ® £7(1) и потому
согласно Хариш-Чандре [151] имеет дискретную серию
представлений. К ним, в частности, относится и рассмат-
риваемое здесь представление.
Изучим подробнее простейший случай, когда началь-
ное состояние является вакуумным: |ф(0)> = |0, 0>,
п.10, 0> = 0, bj|O, 0> = 0. Состояние |\p(t)> в произволь-
ный момент времени имеет вид
|1|)(Z)>=7’(g(i))|1|)(0)> = 7’(g)|0, 0>	(13.41)
и должно удовлетворять уравнениям
a.|i|:(i)> =0, Z^(f)>=0,	(13.42)
где
аг = ТагТу Ъ = ТЬ,ТУ	(13.43)
Вычисляя операторы и получаем
- ф/, Ъ, = - (йт);;< + (ЯТХЛ, (13.44)
где верхний индекс Т означает транспонирование.
187
Нетрудно проверить, что решение уравнений (13.42)
имеет вид
1гр(#)> = ёхр(-i?5(<))lUi)>, <gl£> = l, (13.45)
где
| О = N ехр	10- 0>, С = (Л+)-1С+ == BD~\
(13.46)
(V = [det(I-^)]1/2.	(13.47)
Из (13.46) для матричных элементов оператора T(g)
получаем следующее выражение:
п | Т | 0, 0> = N 2 П (^)Х	(13.48)
Суммирование здесь проводится по всем целым чис-
лам удовлетворяющим условиям
У, пц = mi = const, У, пц = iij = const. (13.49)
i	i
При этом, как и раньше, состояния |£> являются обоб-
щенными когерентными состояниями. Такое состояние
задается точкой факторпрострапства G/Н, где Н —ста-
ционарная подгруппа вектора |-ф0>. В пашем случае
IV = 10, 0>, G = SU(N, N), Н = SU(N)® SU(N)® U(1),
а факторпрострапство G/II состоит из комплексных
N X N матриц £ таких, что матрица I —	— положи-
тельно определенная.
Система {|£>} обладает всеми свойствами систем коге-
рентных состояний. Это — сверхполпая система* *), и ее
состояния неортогональны друг другу. Именно:
<£1Г> =
= [det(I - r£)]1/2[det(I - ГЧ')]I/2[det(I -
(13.50)
Имеют место также следующие соотношения:
=	(13.51)
W|?> = ^A+I?>.	(13-52)
akbt | О = Zki IО +	| ?>.	(13.53)
Действие оператора T(g) на когерентное состояние
|£> при этом дается формулой
 T’(g)lS> = ехр(г0)|£'>,	(13.54)
*) Свойства полноты некоторых подсистем такого рода сис-
тем рассмотрены в работе [189].
188
где
. g' =	+	(13.55)
Ф = 2к arg [det(£> — Cg)].	(13.56)
Для матричного элемента <'q|7,l^> теперь имеем
<л | Г|^> = [det(I - цц+)]‘/2[det (I - gg+)]*/2 X
X[det(D-Cg + 11+S- Л+Л£)]-\	(13.57)
Отсюда следует что производящая функция для мат-
ричных элементов оператора Т (g) имеет вид
2<WI, п I Т (g) I m'zz'>n Сг^пСт}''п'^1'’г ^ij3 =
= [det (Д - Cg + т]+В - n+Л g) J”1. (13.58)
Здесь Cmn — коэффициенты в разложении когерентного
состояния |g> по ортогональному базпеу
К> = ^ 2 Пс-Щчтп, пу,
{М а
У «у =	У Пу = rij.	(13.59)
3	г
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления
вероятностей перехода
wn У I <П7, и) Т | 0, 0> |2, 2^1 =	= п. (13.60)
{???,??}
Рассмотрим оператор
S = T+RT,	(13.61)
где оператору Т соответствует каноническое преобразо-
вание (13.32), а оператор R определяет каноническое
преобразование
R+aiR— ехр (—t0) at, R+bfR = ехр (i0) b*. (13.62)
Оператору S соответствует каноническое преобразова-
ние вида
S+diS = AyHj + Bi}bf, S+b?S = Cijaj + 5уб/. (13.63)
При этом вычисления дают
Л = ехр(—£0)Л+4 — ехр(г0)С+С',
Ё = ехр(—}0)Л+В — ехр (i0) СТО,	(13.64)
С+ = —ехр(—г0)В+Л + ехр(г0)Д+С',
8 = -ехр(-г0)В+В + ехр(г0)Д+Д
189
а Для матричного элемента <0, 0|5|0, 0> получаем
<0, 01510, 0> = <0, 0,1 Z+ffZlO, 0>.	(13.65)
В силу (13.62)
<т, п | R | т', п’У — П 6	,6 , ехр (—2z'/z0), (13.66)
п мы имеем
<0 | 5 | 0> = 2 | <т, п | Т | 0, 0> |2 ехр (- 2гп0) =
= 2 wnexp (—2ги0). (13.67)
С другой стороны,
<°151°>-ЛГ-|1йгр'	(|3'в8’
а
det D | = | det (D+D-ехр (-2/0) Z?+7?) | =
= | det D |21 det (l - exp (- 2i0)	|. (13.69)
Окончательное выражение производящей
для верО/Чтностей перехода имеет вид
функции
S’ (z) = V w^n
det (I — г;+с)
det, (I — tS+C) '
(13.70)
Это выражение можно переписать в виде
’S (t) = w0 ехр
th
sft = tr[(rc)ftL (13.71)
Заметим, что — эрмитова неотрицательно определен-
ная матрица, и потому ее можно привести к диагональ-
ному виду. Обозначим через р,, О С р{ < 1, t = 1, . . ., N
собственные значения матрицы £+£. Мы видим, что веро-
ятность и>п рождения п пар определяется N числами р;,
а производящая функция для вероятностей wn имеет вид
произведения N производящих функций для одномерного
случая.
13.2.3. Многомерный случай. Нестационарная задача.
Пусть Н(I)—зависящий от времени гамильтониан, ли-
нейный по инфинитезимальным операторам представле-
ния T(g):
Н = А^а^Ь? + АиагЬ} + С^а, + ВпЪ^Ъ^
С+ = С, D+ = D.	(13.72)
190
Решение нестационарного уравнения Шредингера с
гамильтонианом (13.72) будем искать в виде |"ф(£)> =
= ехр (—1Ф (t)) l£(i) >. Для вычисления производной по
времени от |£> воспользуемся формулой
^((let.1) = det Л.1г(ЙЛ~‘).	(13.73)
Отсюда следует полезное соотношение
= I tr [(I-с+с)-1 у. (I-rolled- ba«tb+\&. (13.74)
" L	Ci I'	J
Теперь с помощью (13.51) — (13.53) получаем уравнения
для величин £(£) и 0(i):
;Х=(Л+ ^Ч + СХ + 'СОТ), (13.75)
Ф = Ahfai - i tr [(I - ^Ч)"1 (I - СЧ)]. (13.76)
С помощью (13.75) находим
^(i=
= (i - g+s) лЧ - Ca (I -	+ (I - /Т (I - s+o,
(13.77)
после чего уравнение (13.76) упрощается и принимает
вид
Ф =4trC4+C + £+4).	(13.78)
Уравнения (13.75), (13.78) полностью определяют
эволюцию величии £ и Ф.
В простейшем случае при t -*• А и А -*• О, С и D -*•
const. Из уравнения (13.75) следует
£(£) = ехр(—iC7)£° ехр(—iDTt).	(13.79)
Отсюда видно, что все собственные значения матрицы
при этом переходят в постоянные величины
Pi-*“Рг0>» которые согласно (13.70) определяют вероят-
ность рождения пар.
Таким образом вероятность рождения пар определя-
ется величинами ръ ..., pjv, для нахождения которых не-
обходимо решить уравнение (13.75). Зависимость же ко-
эффициентов А, С и D от времени определяется исход-
ным уравнением для операторов поля, как это было в
одномерном случае.
191
Следует, однако, иметь в виду, что в некоторых слу-
чаях’ уравнения (13.75) упрощаются. Так, если мы рас-
сматриваем однородное электрическое поле, меняющееся
по величине и не меняющееся по направлению (направ-
ленное, например, по оси z), то при этом сохраняется
проекция спина частицы на ось z. Поэтому каноническое
преобразование (13.32) связывает лишь а, с Ь*. Таким
образом, задача сводится к одномерной. Однако зависи-
мость от времени коэффициентов канонического преобра-
зования может быть более сложной, чем в одномерном
случае.
§ 13.3. Рождение пар фермионов в переменном
однородном внешнем поле *)
В настоящем параграфе рассмотрены теоретико-груп-
повые аспекты задачи о рождении пар фермионов в пе-
ременном однородном внешнем поле. Показано, что дина-
мической группой симметрии задачи является группа
SU (2N), где N = 2s + 1, s — спип частицы. При этом со-
стояние системы в произвольный момент времени являет-
ся обобщенным когерентным состоянием, связанным с
определенным представлением группы SU(2N). Вероят-
ность же рождения пары дается квадратом модуля мат-
ричного элемента этого представления. В случае частицы
со спином 1/2 наличие динамической симметрии позво-
ляет упростить задачу и в ряде случаев свести ее к более
простой задаче о движении спина в переменном магнит-
ном поле (см. [209, 70, 48]).
13.3.1. Динамическая симметрия для частиц со спи-
ном 1/2. Рассмотрим заряженную частицу спина 1/2 с
массой т, находящуюся в однородном электрическом по-
ле Е(£). Она описывается биспинором ф(г, t), удовлетво-
ряющим уравнения Дирака **)
гф = Hty, Н = (р — A(i))« + т$,	(13.80)
t
где A (t) = — j E(i')^i'— векторный потенциал, а,
[3 — известные матрицы Дирака, р = —jV — оператор
импульса, а точка означает производную по времени. Не-
*) В этом параграфе подробно излагаются результаты работы
[67]. Относительно других вопросов, связанных с вычислением
вероятности рождения пар, не затронутых здесь, см. моногра-
фию [23].
**) Используется система единиц, в которой h = с — е = 1.
192
трудно видеть, что существует решение уравнения (13.80)
вида
г|з(г, f)= ехр(фг)-фо(О-
Для биспинора ifio(i) отсюда получаем уравнение
йро = (л(£)а +	(13.81)
t
Здесь л (i) = р— A(£) = p + j Е (£') cZi'— классический
импульс частицы в момент времени t, р — импульс
частицы при t -*•—0° (мы предполагаем, что E(f) доста-
точно быстро убывает при t -> ±°°, так что при t ±°°
существуют пределы л± величины л (£)).
В общем случае уравнение (13.81) упростить не уда-
ется. Однако в ряде частных случаев уравнение (13.81)
можно свести к более простому.
1а. Пусть л = E(i) = £'(Z)n, где единичный вектор п
пе меняется с течением времени. Тогда л = р± + (лп)п,
р^п = 0, и уравнение (13.81) можно записать в виде
гфо = (0,7, +	(13.82)
где
= 2 р\ + т2,	Q3 = 2лп,	(13.83)
J\ = Qf1 (pj.a 4- m|3), J3 = у па.	(13.84)
Если ввести еще оператор /2 = (р±а + ™Р) (ПС£)
то нетрудно видеть, что операторы Jk удовлетворяют стан-
дартным соотношениям для алгебры Ли группы SU(2)
(|Л, /<] =	. Следовательно, динамической группой
симметрии в нашем случае является группа SU{2). При
этом J2 = 3/4, т. е. мы имеем дело со спинорным пред-
ставлением этой группы. Таким образом, уравнение
(13.81), записанное в форме (13.82), совпадает с урав-
нением, описывающим движение спина 1/2 в переменном
магнитном поле специального вида:
H(t)=o(0=(fil(0, о, й,(0).
Отсюда, в частности, следует, что из точного решения
уравнения Дирака, найденного в работе [53], можно по-
лучить новое точное решение задачи о движении спина
в магнитном поле вида Н (£) = (<!, О, a + Hh'ff),
Заметим, что помимо операторов Jft, из матриц Дирака
Можно построить операторы Kh также образующие алгеб-
13 а м. Переломов	193
ру Ли группы SU(2) и коммутирующие с операторами
7*. В нашем случае рх = const, и потому можно перейти
к новой системе отсчета, в которой рх = 0, n(t) =
= (0, 0, л (7)), и нетрудно видеть, что операторы
К1 = — |а2а3₽, К2 = уа1азР, /(’3 = -уа1а2 (13.85)
удовлетворяют сформулированным выше условиям.
В частности, операторы Kt, К2 и К3 коммутируют с
гамильтонианом, т. е. являются сохраняющимися величи-
нами. Поэтому существует, например, решение уравне-
ния (13.81) с л(7) = (0, 0, л (7)), являющееся собствен-
ной функцией оператора К3 = —^аха2. Этот факт имеет
простое физическое объяснение: сохранение величины К3
связано с инвариантностью гамильтониана Н относитель-
но вращений вокруг оси Х3.
16. Пусть р± = 0, л(7) = (0, 0, л (7)) и частица обла-
дает аномальным магнитным моментом ц. Уравнение Ди-
рака в этом случае имеет вид
мро = [л(7)а3 +	+ грл (7) ^a3]ip0,	(13.86)
и его можно переписать в виде
гф0 =(121)11)0,	(13.87)
где
12 = 2(т, рл, л), J = */2(Р, фа3, а3).	(13.88)
Таким образом, в этом случае группой симметрии также
является группа 577(2).
1в. Заметим, наконец, что' к такому же виду можно
свести и уравнение Дирака в однородной расширяющей-
ся вселенной (сравните с работой [206]).
2а. Пусть вектор Е(7) = л (7) находится в фиксирован-
ной плоскости, например, в плоскости (a:i, х2). Рассмот-
рим операторы Mt, N?.
Мх + Nt =	(р3а3 + wP) аа, М 2 +	=
= — (Рзаз + ™Р) alt (13.89)
М3 + У3 = — у аха2, е = ]/р| + wi2,
A/j — TVj = 1/г®и 7И2 — У2 = 1/г®2»
мз - N3 = уе (р3а3 + шр). (13.90)
194
Нетрудно проверить, что [Af<, Л’^О, а операторы Mt
и N} удовлетворяют стандартным перестановочным соот-
ношениям для алгебры Ли SU(2).
Уравнение Дирака (13.81) теперь можно переписать
в виде
iifo = Й(М — N)4>0,	(13.91)
где
Й = 2(л1(0, л2(0, е).	(13.92)
Следовательно, динамической группой симметрии в
данном случае является группа SU(2)X SU(2). При
этом ^0(t) =	S(t)~ Si(t)S2(t) и операторы
Si(t) п S2(t) удовлетворяют уравнениям
=(£2М)5’1, i52 = -(HN)52	(13.93)
и начальным условиям 5i(0)= I, S2(0)= I.
Таким образом, и в этом случае нахождение ip(i) сво-
дится к решению задачи о движении спина в переменном
магнитном поле H(t)=±12(t). Пусть, например, вектор
напряженности электрического поля равномерно враща-
ется в плоскости (дц, х2): nl(t)= я cos at, л2(£) =
= я sin at, л3 = 0. Тогда вероятность рождения пар дает-
ся формулой для вероятности переориентации спина, по-
лученной Раби [213].
Заметим, что оператор К3 — — (i/2e)ala2(a3p3 +$т)
коммутирует с гамильтонианом. Это связано с тем обсто-
ятельством, что задача обладает плоскостью симмет-
рии (х3, х2).
26. Пусть частица обладает аномальным магнитным
моментом р, р3 = 0, а вектор Е(£) находится в плоскости
(xi, х2). Тогда уравнение Дирака можно записать в виде
гфо “(Q.M-OaN)^,	(13.94)
где операторы М и N даются формулами (13.89), (13.90),
в которых нужно положить р3 = 0, а
й, = 2(Л1 + |лл2, л2 — |1Л1, т),
(13.95)
Й2 === 2 (Л1 —— рл2, л2 "F* рЛ1, т).
Заметим, что оператор К3 = — (i/2)a,a2^ по-прежнему
сохраняется.
2в. Пусть частица обладает аномальным магнитным
моментом р, a E(i) = E(t)n, где единичный вектор п от
времени не зависит и направлен, например, по оси xs.
13»	195
Тогда уравнение Дирака можно привести к виду
1'ф0=(О1М — QaN)^,	(13.96)
где
M-N = 1/2((n±a),a3, ₽),
М + N = l/2 (— ia30, Ф (и±а)> — i (nj.«) аз), (13.97)
О, = 2 (р± + цлз, Лз, т), Я2 = 2 (рх — цлз, л3, т).
(13.98)
В этом случае сохраняется величина К3 = -% (апЛ)а30.
3. В общем случае произвольного изменения E(Z) уже
не существует дополнительного интеграла движения и
группой динамической симметрии является группа 5t7(4).
13.3.2. Гейзенберговское представление. До сих пор
поле ip(Z) рассматривалось неквантованным. После вто-
ричного квантования биспинор ip (г, Z) становится гейзен-
берговским оператором
XI «p<j (?) ира exp (грг) + ^(Z) yp(J (t)vpaexp(—грг)}. (13.99)
Здесь ep — if p2 + т2, ир(! и vpa— биопиноры, являющие-
ся собственными функциями оператора К3-, 2Ksupa = оира,
2K3vpa = оррст; НрСТ, apa(bpa, &рст) — операторы рождения
и уничтожения частицы (античастицы) с импульсом р
и собственным значением 2К3 = о. Оператор ф (г, t)
удовлетворяет уравнению гф = \Ж (Z), ip], эквивалент-
ному уравнению (13.80), а оператор Гамильтона <54?(i)
получается стандартным способом из неквантованного
оператора ^(Z). При этом как гейзенберговский опера-
тор ip(r, Z), так и операторы пр,ст и iPiO в произвольный
момент времени t получаются с помощью унитарного
преобразования
ара (Z) = (t)apaS(t), b*, (Z) = 5+ (Z) Ь* S (t),
которое сохраняет перестановочные соотношения, т. е.
является каноническим. В силу линейности уравнения
для ip(r, t) преобразование линейно по операторам^и
Ьрв. Кроме того, в случаях 1 и 2 величина о сохраняется,
196
и индексы (ро) у арст и Ь^о можно опустить:
a(t) = A' (t)a + В' (Z) Ь+, Ь+ (t) = —В' (t)a + А' (£) Ь+.
(13.100)
Заметим, что из каноничности преобразования
(13.100) следует, что |Л'|2 + IBT = 1, т. е. преобразо-
вания типа (13.100) образуют группу SU(2), а операто-
ры S(t) — представление этой группы.
Следует также иметь в виду, что системы состояний,
стационарные при t -> ±°°, вообще говоря, не совпадают.
Однако переход от одной системы к другой дается опера-
тором В того же типа, что и S. При этом интересующий
нас матричный элемент перехода из начального состоя-
ния i|>_ (£-»-—оо) в конечное состояние тр+ (f +°°) сов-
падает с матричным элементом оператора Т = BS. Опе-
ратор Т определяет преобразованпе типа (13.100), в ко-
тором нужно лишь заменить А' и В' на А =
= ехр [г(<Pi + <р2)/2] cos(0/2) и В = ехр [i(cp1 — <р2)/2] X
X sin (0/2). При этом вероятность перехода w зависит
только от параметра 0= Hm 0(f):
t-> +<Х>
u;=|<i|)+|T(g0)li|)_>|2; g0 = ( cosS SinK). (13.101)
\о0/ | т /|> еи — sin (0/2) cos (0/2)/	'	'
Формула (13.101) описывает также распределение пар
заряженных спинорных частиц, родившихся в гравитаци-
онном поле однородной расширяющейся вселенной.
Рассмотрим инфинитезимальные операторы представ-
ления Т (g). Они имеют вид
/+ = а+5+, J_ = ba, J0 = '/2(a+a+b+b-l) (13.102)
и удовлетворяют стандартным перестановочным соотно-
шениям для алгебры Ли группы SU (2)
[Л, /±] = ±/±, [/-, 7+] = -27о.	(13.103)
Оператор
J.J +J J, ,
G = -±-~ а ~ + + Jo	(13.104)
является инвариантным оператором (оператором Кази-
мира). Подставляя в (13.104) явные выражения для
J+, J- и Л, находим
С2 = 7<(1-(а+а-Ь+&)2).	(13.105)
Таким образом, для состояний 10, 0> и И, 1> = Ь+а+|0,0>
197
имеем Сг = 3/4, а для состояний 10, 1> и И, 0> имеем
С2 = 0. Следовательно, состояния 10, 0> и 11, 1> преобра-
зуются по спинорному представлению группы SU(2),
и вероятность рождения пар определяется формулой
w = |<1,11 Т (g) 10,0> р = sin2 (9/2),
^ = (-5 1)’ IВ 12 = sin2 (0/2)-	(13.Ю6)
Иными словами, вероятность рождения пары равна ве-
роятности переориентации спина при изменении магнит-
ного поля.
Рассмотрим эволюцию состояний нашей системы.
Пусть в начальный момент состояние является вакуум-
ным, т. е. н!ф(0)> = &|ip(0)> = 0. В момент времени t
имеем 1ф(£) > = S(t) |ф(0)>, и это состояние удовлетворя-
ет уравнениям
S(t)aS+(t)\ty(t)> = 0, S(t)bS+(t)\^(t)> =0. (13.107)
Мы приходим к рассмотрению преобразования, обрат-
ного преобразованию (13.100), и нетрудно проверить, что
оно имеет вид
а = SaS+ = Аа — ВЪ+, Т) = SbS+ — Ва+ + АЪ. (13.108)
Теперь из условий а|ф(£)> = 0, Z7|ip(Z)> = 0 сразу же
следует, что
1ф(0 > = ехр(—/0(0)1 £(£)>,	(13.109)
где
1Р=(1+1£12)~,/2ехр(?а+Ь+)10, 0>, £ = В/А. (13.110)
Состояния |£> являются обобщенными когерентными
состояниями.
13.3.3. Многомерный случай: когерентные состояния.
Переходя к задаче о рождении пар фермионов со спином
s, заметим прежде всего, что рассуждения, аналогичные
рассуждениям главы 2, приводят к рассмотрению кано-
нического преобразования для N = 2s + 1 степеней сво-
боды
Hi = Т+а^Т = АцИ) + Вijbj ,	„2
&+ = T+btT = Сца} + Dijb^.
Нетрудно проверить, что для того чтобы это преобра-
зование было каноническим, т. е. сохраняло бы переста-
198
ковочные соотношения, необходимо выполнение условий
ЛЛ+ + 55+ = 1, DD+ + СС+ = I, AC+ = —BD+.
(13.112)
Переписав эти условия в виде
ММ+ = 1, где M = lA	(13.113)
видим, что преобразования (13.111) образуют группу
€? =	(22V), а операторы 7’ (g) образуют представление
этой группы.
Кроме того, из (13.113) следует, что матрица обрат-
ного преобразования имеет вид
М~1 = М+,	(13.114)
п что должны также выполняться условия
А+А + С+С = 1, D+D + В+В = I, A+B = —C+D.
(13.115)
Рассмотрим инфинитезимальные операторы представ-
ления T(g). Их удобно объединить в матрицу
(а~п-	)
13 г 3 .	(13.116)
bi<4
Непосредственной проверкой можно убедиться в том, что
•оператор
С2 = tr(2V • 2V)	(13.117)
является инвариантным оператором (оператором Кази-
мира), т. е. коммутирует со всеми инфинитезимальными
операторами. С помощью перестановочных соотношений
выражение для С2 можно преобразовать к виду
С2 = - (а^ - rfbtf + (а^а. _ &+&•) + № _ N. (13.118)
Таким образом, для состояний dm, n>}, Im, п> =
= Im., ..., тя-, ..., nN>.	1, п-,= 0, 1, т — п =
=	— ^nj = const оператор С2 кратен единичному:
C2 = [-{m-n)2 + (m-n)+N2 + N].	(13.119)
Можно показать, что операторы Казимира СР высших
порядков (р = 3, ..., 2.V) в этом случае также сво-
дятся к константам. Отсюда следует, что множество со-
199
стояний {Im, n>} c m — n = const образует базис опреде-
ленного неприводимого представления группы SU(2N),
а именно представления, задаваемого схемой Юнга [Iя].
Заметим, что в нашем случае стационарной подгруп-
пой вектора |гр0> является группа Go = SU (N)X SU(N)X
X£7(l). Следовательно, согласно [51], рассматриваемое
нами представление можно реализовать в пространстве
функций, аналитических на факторпространстве М =
= G/Go.
Рассмотрим подробнее простейший случай, когда на-
чальное состояние является вакуумным: |ф(0)> = |0, 0>,
а,|0, 0> = 6,|0, 0> = 0. Состояние в произвольный момент
времени |ф(/) > = T(g(t)) ]0, 0> удовлетворяет урав-
нениям
а41ф(0 > = 0, £3|ф(г)> = 0.	(13.120)
Здесь
ai = TatT+, Ъ} = ТЪ>Т+.	(13.121)
Мы приходим, таким образом, к преобразованию, об-
ратному преобразованию (13.111):
аг =	.	(13.122)
Ъг = B'iflt + D'ijbj.	(13.123)
Нетрудно проверить, что решение уравнений (13.120)
имеет вид
1ф(£)> = ехр(— 10(Q)IUO>, <£(*)Ш> = 1, (13.124)
где
|:> = ^ехр(^«г^)|0, 0>, 	(13.125)
5 = -(Л+)-‘С+ = BD~l, TV = [det(I + £+£)]-1/2. (13.126)
Разлагая экспоненту в (13.125) в ряд Тейлора, полу-
чаем выражение для матричных элементов операто-
ра T(g):
<m, n| T’(g) 10, 0> =
П(П—1)
=	2 ^Р.ерр.,	(13Л27>
р. р.	’	гР1 гп^п
|т, П> = | 0, . . ., 1; ,0, .. ., L , .0, ..1;
Суммирование здесь проводится по всем перестанов-
кам Р(, Р3 индексов ii, ..., in; jt, ..j„:
Pi (г'1> • • • i in) — (,ih • • ч in)i	/13 128)
P) (iii • • • > in) — (iii • • ч )n).
200
Состояние IP является обобщенным когерентным со-
стоянием. Оно задается точкой £ факторпространства
GJG0, где G = SU{2N), Go — стационарная подгруппа со-
стояния |ф0>. В нашем случае
|фо> = Ю, 0>, G = SU(2N), GO = SU(N)XSU(N)XU(1),
а факторпространство состоит из комплексных матриц,
NXN.
Система {|р}, так же как и обычная система коге-
рентных состояний, является сверхполной *) и ее состоя-
ния неортогональны друг другу. Именно,
<:2ю =
= [det (I + fc)]-1/a Idel (I + Si+^)]“1/2[det(l + ^)].
(13.129)
Полезно иметь в виду, что инфинитезимальные опера-
торы представления T(g), действуя на IP, удовлетворя-
ют следующим соотношениям:
=	(13.130)
=	(1з.131>
akbt = - Ы £> +	| О- (13.132)
Действие же оператора Т (g) на когерентное состоя-
ние |р задается формулой
7(g) |р = ехр(i0)|p>p,	(13.133)
где
te = (A^ + B)(Cl + D)-\	(13.134)
Ф = argdet(C£ +Z?).	(13.135)
Для матричного элемента <ц | Т (g) I р теперь нетрудно-
получить явное выражение
<nl7’(g)|p = [det(I + n+n)]-1/2 [det(I + Vp]-1/2X
Xdet(O + Cg + ц+В + ц+ЛВ). (13.136)
Отсюда следует, что производящая функция для мат-
ричных элементов оператора Т (g) имеет вид
S <m> п | Т (g) |т', п'> Стп (ц) Ст-П' (О =
= det (D+CI + ц+В + ц+Л£). (13.137)
*) Свойства полноты некоторых подсистем таких состояний
рассмотрены в работе [189].
204
Здесь Cm,n (%) — коэффициенты в разложении коге-
рентного состояния |£> по ортогональному базису
| g> = [det (I + *+0]~1/2 2 Gn.nQ) I m, n>. (13.138)
‘ m,n
Теперь у нас есть все необходимое для вычисления
вероятностей перехода
wn — 2 I n I т (?) I о, o> IS 2 mi = 2 ni = n- (13.139)
{m,n}
Пусть S = T+RT, где оператору T соответствует кано-
ническое преобразование (13.111), а оператор R опреде-
ляет каноническое преобразование
Д+^7? = ехр(-10)ян R+b?R = ехр (z0) bf. (13.140)
Оператору S при этом соответствует каноническое
преобразование вида
S+aiS = Aijaj + ВцЬ?, S+b+S = Ciflj + ЪцЬ?. (13.141)
Производя необходимые вычисления, получаем
А = ехр(—Ю)Л+4 + exp(z0)C+C,
В = ехр(-г0)Л+В + exp(i0)C+Z>,
С = ехр(-г0)5+Л +ехр(г0)£>+С,	(13.142)
D = ехр(—ift)B+R + exp(i0)Z)+D.
Рассмотрим матричный элемент
<0, о|5|о, о> = <0, ош/гтю, 0>.
Из равенства (13.140) следует
<m, п | R | т', п'> = ехр (— 2/геО)Ц бт.т:б„.п', (13.143)
и потому
<0 [ S10> = 2 I <m, п | Т10, 0> |2 ехр (- 2in0) =
= 2 wn ехр (— 2inQ). (13.144)
С другой стороны,
<0|5|0>=#= ldet£>|,	(13.145)
а
.ldetZ»| = Idet(D+D + exp(-2i0)5+B) I =
= |det£>l2|det(I + exp(-2i0)£+£) I. (13.146)
Отсюда получаем окончательное выражение произво-
дящей функции для вероятностей перехода:
(Ш47>
202
Заметим, что матрица £+£ — эрмитова и неотрица-
тельно определенная, и потому с помощью унитарного
преобразования ее можно привести к диагональному виду.
Обозначим через р< (0 р( < 1, i = 1, ..., N) собствен-
ные значения матрицы Мы видим, что вероятность
wn рождения N пар определяется числами р,, ..., pw,
а производящая функция для вероятностей wn имеет вид
произведения N производящих функций для одномерного
случая.
13.3.4. Многомерный случай: нестационарная задача.
Пусть H(t)—зависящий от времени гамильтониан, ли-
нейный по инфинитезимальным операторам представле-
ния T(g):
H(t) = T)ij(t)atbj'+	(t'jbjOi + Qijataj + Rijb^bj, (13.148)
Q+ = Q, R+ = R.
Решение нестационарного уравнения Шредингера с
гамильтонианом (13.148) будем искать в виде |,ф(^)> =
= ехр(—1ф (t)) (i) >. Для вычисления производной по
времени состояния |£(£)> воспользуемся формулой
^(det4) = det Л-tr (Л-Л"1).	(13.149)
Отсюда получаем полезное соотношение
I о = - */2 tr [(I + c+s)-1 (I +:+ о] и> +
+ ЬиаМЮ. (13.150)
Теперь с помощью соотношений (13.130) и (13.132)
находим уравнения для величин £(£) и 0(t):
it = P-'QP4 + QZ + ZR+,	(13.151)
Ф = tr (Р+0 + V2 tr [(I + (I + СЧ)]. (13.152)
Из (13.151) следует, что
^(ич+:) =
= - (i + £+0 рЧ + £+р (I + c+s) + (I + :+0 rt -
-Ят(1 + £+0, (13.153)
после чего уравнение (13.152) упрощается и принимает
203
ВИД
0 = i/2tr(P+£ + £+P).	(13.154)
Уравнения (13.151) и (13.154) полностью определяют
эволюцию состояния нашей системы. •	_
В простейшем случае, когда при t +°°, Р и Р-+ О,
a Q и R -> const, из уравнения Шредингера следует, что
£;(£) ~ ехр(—ехр(—iRTt) при £->-+<».
(13.155)
Отсюда видно, что при этом собственные значения мат-
рицы переходят в постоянные.
Согласно (13.147) вероятность рождения пар как раз
и определяется величинами р10>, ...,рх\ для нахожде-
ния которых необходимо решить уравнение (13.151). За-
висимость же коэффициентов Р, Q и R от времени опре-
деляется исходным уравнением для операторов поля, как
это было в одномерном случае.
Заметим, наконец, что, как мы уже видели, в некото-
рых случаях группа динамической симметрии может ока-
заться подгруппой группы SU(2N). Канонические пре-
образования при этом принимают более простой вид.
Так, например, если мы рассматриваем случай однород-
ного электрического поля, меняющегося лишь по вели-
чине и направленного по оси х3, то при этом сохраняется
проекция спина на ось х3. Поэтому каноническое преоб-
разование (13.111) связывает лишь а> с bf. Таким обра-
зом, задача здесь сводится к одномерной. Однако зави-
симость от времени коэффициентов канонического преоб-
разования может существенно отличаться от соответству-
ющей зависимости для спина 1/2.
Глава 14
ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ
КЛЕБП1А — ГОРДАНА ГРУППЫ SU(2)
Здесь будет показано, что использование когерентных
состояний дает возможность легко получить производя-
щую функцию для коэффициентов Клебша — Гордана
группы SU(2) (см. [99]). Этот метод может быть также-
использован и в ряде других случаев.
Напомним (см. главу 4), что спиновое состояние ча-
стицы со спином j можно описать полиномом /(z), при-
204
надлежащим пространству 3j, т. е. полиномом, удовлет-
воряющим условию
II/I1F = J I / (2) I2 (z) < oo, z = x + iy,
d^ = 21^ (1 + I z |T(2+2j) dx dy, (14Л)
или, иными словами, полиномом степени ^2/. При этом
функции
A(Z) = С^, С* = [ (2j)!/ (/ - Ц)! (7 + Ц) П1'2,
~7^/, (14.2)
образуют стандартный базис в пространстве 3j. Соответ-
ственно функции
Л11»р21»2 (zi’ za) = (zi) Л2а2 (2г)>
(14-3)
--71	J1, ---jz Цг hl
образуют базис в пространстве
полиномов f(zi, z2) двух комплексных переменных, удов-
летворяющих условию
II /|Ь172 “ J I / (zi» z2) |2 d[ij1j2 (zlt z2) < oo,
(zi> z2) = -2/1 + [—2 + dxr dyr dx2 dy2 X
X (1 + | Z1 Р)“(2+2Л) (1 + I z2 \*)-(2+2^. (14.4)
Аналогично предыдущему, вектор пространства 3 опи-
сывает спиновое состояние системы двух частиц со спи-
нами ji и j2. Далее, как хорошо известно, пространство
3~зрг разлагается в прямую сумму
=	1/1 — blC/Ch + /2,	(14.5)
где пространство З-’* состоит из тех векторов пространст-
ва 3"которые преобразуются согласно представле-
нию Т1 группы 5J7(2). В пространстве 3’ существует
вектор младшего веса /а- = который удовлетворяет
условиям
J71 = 7(7 + 1)Л, ЛЛ = -ih, (14.6)
205
или, что эквивалентно,
/_/. = /_£ +	= О,
\dz^ dz*)"
Ы -lzi^ + z^~ii- /2) fi = - ih- (14.7)
Здесь Jj = J*1) + jj2), J± = Jl ± U2.
Функция, удовлетворяющая уравнениям (14.7), имеет
вид
A(z,, z2) = CJ(z1 — z2)\ k = ji + h~ j,
(14.8)
Действуя на нее операторами ехр(£/+), получаем систе-
му когерентных состояний
Л (zi> z2) =	(zi, z2, 0 = СХР (У+) /> (21, г2) =
= D (zx - z2)il+i2~} (1 +	(1 + W2-'1 +j> (14.9)
где
(2у + 1)! (2Д)! (2/2)]_______________________р/2
(7'1 + 72 - 7)! (7\ - /2 + 7)! (J-i-irh iy-th +/2+7 + 1)!
(14.10)
Это выражение для (zx, z2, £,) было получено в [99]
и является производящей функцией для коэффициентов
Клебша — Гордана группы SU(2):
/>Р2? (zi» z2, z) =
У У	У [г27 Г2’1 r2j2 11/2	у
— Zi • Zj	Zi I G7-gL'71-U1GJ2-li2J Z	Zj A
H=-j Bl=-71 K2=->2
X z? U2 </1, Hi! /2, И21 /, H>- (14.11)
Здесь <y1pi; J2P-2I/,	— коэффициент Клебша — Горда-
на. Приведем несколько примеров (см. [99]):
/•/2,*/г,0 = 77= (22 ” 21), /./2Л/2,1 = (1 + ZZj) (1 + zz2),
/1,7г,'/г ~	у (Z2 — zi) (1 + ZZX), /1,72,72 = (1 + ZZi)2(l + ZZ2)t
/>/г,7«д =	(Z2 - Zi) (1 + zzx)2,
/3Л,72,2 = (1 + ZZi)3 (1 + ZZ2),-
20»
' f 2j \Vs, ,\n<„ xtf-i (14.12>
fi,'l„3-'h — 12j । i j (za 2i' (1 + zzi) ’
ii^i+4. = (1 + zzi/*(l + zza),
/110 =	(Z2	Zl)2»	/111 = (Z2 Zl) (1 + ZZ1) (1 + ZZ2)»
/112 = (1 + ZZ1)2 (1 + ZZ2)2-
Глава 15
КОГЕРЕНТНЫЕ СОСТОЯНИЯ
И КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
В. этой главе излагаются результаты работы [230],
в которой были даны точная математическая формули-
ровка и доказательство следующего результата: для
представлений компактной группы Ли G, характеризую-
щихся большими квантовыми числами, генераторы со-
ответствующей алгебры Ли можно заменить с-числами.
Это утверждение является обобщением хорошо извест-
ного утверждения о том, что в случае большого момента
количества движения (/ ~* °°) операторы момента коли-
чества движения Jx, и Jz можно заменить с-числами со-
гласно формуле
Jx j sin 0 cos ф, J у -+ j sin 0 sin ф, Jx -> j cos 0.
Рассмотрим сначала случай группы SU(2). В этом
случае при j -* °° генераторы алгебры SU(2) переходят
в числа — превращаются в вектор «квазиклассического
спина», который находится на двумерной сфере S2 — фа-
зовом пространстве рассматриваемой системы. Отметим
в этой связи работу [131], где была рассмотрена последо-
вательность сферических гармонических представлений
группы SO (и) и было показано, что предельным прост-
ранством для генераторов группы в этом случае является
многообразие Грассмана G(n, 2), т. е. многообразие дву-
мерных ориентированных плоскостей в n-мерном прост-
ранстве R".
В работе Б. Саймона [230] указан метод нахождения
таких пространств для общего случая. Этот метод исполь-
зует обобщенные КС для рассматриваемой группы.
В классическом пределе мы получаем орбиты коприсо-
единенного представления группы Ли, причем для раз-
личных представлений получаются различные орбиты.
207
Так, например, для случая группы 50(4) и векторного
представления получается пространство S2 X S2, а для
той же группы и спинорного представления — простран-
ство S2 U S2.
Перейдем к формулировке и доказательству теоремы
Саймона. Мы предполагаем здесь, что читатель знаком
с основными понятиями теории компактных групп Ли
(см., например, [28]).
Пусть G — компактная простая группа Ли и Т>,=
Тк — фиксированное фундаментальное представление
G, характеризуемое старшим весом X. Обозначим через
TN и представление группы G и пространство этого
представления, характеризуемые старшим весом Ж.
Для фиксированного N обозначим через копию про-
странства 3@N, нумеруемую точкой а <= А, где А — конеч-
ное подмножество решетки и пусть	®	.
аед
Определим на пространстве <Жд оператор Sa(X)
(аеД,	3— алгебра Ли группы G) как тензор-
ное произведение генераторов X алгебры Ли 3, так что
точке а отвечает генератор в представлении TN = TN\
а всем остальным точкам множества А — единичный опе-
ратор.
Пусть Xh ..., Xm — фиксированный базис в алгебре
3, а Н — мультиаффинная функция, зависящая от век-
торов 5а,i — Sa(X(); аеД, i = l, ..., m (мультиаффин-
ность означает, что функция является суммой мономов,
причем степень переменной Sa, .• в мономе равна нулю
или единице). Отметим, что оператор _й(5а(Х<)) опреде-
лен однозначно, поскольку каждый моном состоит из
коммутирующих операторов.
Теперь можно определить квантовую статистическую
сумму оператора Н согласно формуле
(₽) = ^|Л| tr (ехр [- Н (₽5а (^)Ж)1),	(15-1)
где dN — размерность пространства 3@N.
Определим соответствующую классическую статсумму.
Пусть (Ук — орбита коприсоединенного представления
группы G, проходящая через точку % е 3*, и dp, — G-ин-
вариантная мера на орбите такая, что р (В <= G”') — мера
на группе множества {х <= Gl Ad* (ж) • % <= В}. Пусть (Уа—
копия соответствующая точке а^Д, a G,A| = X Ga.
се
208
Тогда классическая статсумма определяется формулой
ZCI(p)= Г ехр[-Я(р/в(Х{))]П^(и. (15-2)
tflAI
В работе [230] Б. Саймон доказал следующую теоре-
му, являющуюся обобщением теоремы Либа [181].
Теорема. Величины Zq (0) и 2ci(0), определенные
формулами (15.1) и (15.2), удовлетворяют неравенствам
Zci (Р) С z% (Р) С ZC1 (р (1 + нАГ-1)),	(15.3)
где а = 2(Х, p)/(Z, X), X—старший вес фундаменталь-
ного представления группы G, р — полусумма положи-
тельных корней алгебры Ли (, ) означает произведе-
ние Киллинга — Картана.
Замечание. Ограничение снизу в (15.3) справедливо
также в случае, когда X не является фундаментальным
весом; возможно, что это верно и для ограничения сверху.
Доказательство. Пусть 3@N— вектор в прост-
ранстве 3@N, соответствующий максимальному весу 2VX,
а Р(Х)= |ф><ф|—оператор проектирования на вектор
|ф>. Заметим, что <ф|Х|ф> = N).(X). Кроме того, по-
скольку АХ — максимальный вес, то для любого единич-
ного вектора |%> в такого, что <%|Х|%> =N%(X),
X е Ж (26 — картановская подалгебра алгебры Ли S?),
1х> должен иметь вид |%> = ехр (гу) |ф>, поскольку раз-
мерность весового пространства равна единице.
Далее,
<Т(^)ф1Х|Т(ёГ)ф> = A(Ad*(g)X) (X),	(15.4)
и поэтому, если Ad*(g)X = Х, то
T’(g)P(X)7’(g)-* = P(X).	(15.5)
Пусть I е и g — элемент группы G такой, что
Ad*(g)X = Z. Определим оператор
P(Z)=r(g)P(X)T(g)-‘.	(15.6)
Нетрудно видеть, что Р(1) не зависит от выбора g при
условии, что Ad* (g) X = I.
Заметим, что
tr(X„P(Z)) = A7(X),	(15.7)
14 а. м. Переломов	209
поскольку
tr(XNP(l)) = tr(XNTN(g)P(X)TN(g)~l) =
= tr ([Ad (g-1) X.V]P (%)) = Al (Ad (g~*) A) =
= A(Ad*(g)l)(X) = AZ(X). (15.8)
Кроме того, если d\i(g}— мера Хаара на G и р, = dwp,
то
J P(z)dp(Z) = C
о-'-
(15.9)
поскольку
J Р (Z) dp (Z) = dN J Т (g) Р (1) Т (g)-1 dp (g) = с-1 (15.10)
(это следует из леммы Шура). Теперь взяв след опера-
торов в формуле (15.10), получаем (15.9).
Далее, пусть Z = {ZJ е= С?|Л|, а Р ({la})= ® Р (1а).
а
Тогда, как следствие (15.9), имеем
J р (0 ® dp (Za) = f,	(15.11)
CHAI “
так что {P(Z)}— это множество проекций на когерент-
ные состояния. Наконец, согласно (15.7) символ опера-
тора Я(р5а(Х,) )/А равен Я(^а(Х{)), так что нижняя
граница в (15.3) является следствием неравенства
(1.6.11). Можно доказать также (см. [230]), что контра-
вариантный символ для того же оператора имеет вид
Я((1 + aN~l)la(Xi)). Поэтому верхняя граница в (15.3)
является следствием неравенства (1.6.11).
Замечание. Отметим, что теорема Либа [1811 являет-
ся частным случаем теоремы Б. Саймона для случая
G = SO(3).
Пример 1. Рассмотрим сферические гармонические
представления группы SO (2п). Заметим, что такие пред-
ставления соответствуют орбитам, проходящим через
точку
(0	1	0	...	0\
-1	0	0	...	0]
о о 0 ... 0 L	(15.12)
‘	:	..о..	I
обо	...	о/
210
й что орбиты представляют многообразия Грассмана
G(2n, 2) двумерных плоскостей в (2и)-мерном простран-
стве. В этом случае
(X, р) = (п — 1) (X, X),
и мы приходим к результату работы [131] для случая
группы SO (2п). Аналогично получается результат ра-
боты [131] для группы SO (2n + 1).
Пример 2. Рассмотрим спинорное представление для
группы SO(2п). В этом случае % =‘/zffih + ... + со*),
где (Oi, ..со„ — стандартный базис в пространстве ду-
альном алгебре Ли SO (2п), и орбита проходит через
точку
(а 0 ... 0.
? а. А	(15.13)
I
0 О ... о/
( 0 1\
где а = I _ * QJ. Эта орбита имеет вид
(7 = {72М|ЛГ = -Л/, М’М = ММ’ = I), (15.14)
т. е.
д = {2К\К^О}
представляет множество антисимметричных ортогональ-
ных матриц. Путем непосредственных вычислений полу-
чаем
(%, р)7(Х, %)=п- 1.
Таким образом, если статистическая сумма Zci определе-
на по орбите О, имеем неравенство
Zci (|) < Z2qN (₽) < ZC1 (4 (1 + (п - 1) А"1)). (15.15)
Глава 16
UN -РАЗЛОЖЕНИЕ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ
ТИПА ГРОССА — НЕВЕ*)
Здесь будут рассмотрены модели квантовой теории
поля типа Гросса — Неве, т. е. модели А-компонентного
фермиевского поля с взаимодействием вида (4'Ф)2- Сле-
*) В изложении материала этого раздела мы следуем работе
[203].
14*	211
дуя Березину [102], мы покажем, что постоянная 1/N
играет роль постоянной Планка, так что при N -+ <*> мы
приходим к классическим гамильтоновым системам, фа-
зовое пространство которых, однако, нелинейно, а скоб-
ки Пуассона не являются каноническими. Группой сим-
метрии таких моделей является группа SO (2и). Отме-
тим сразу же, что конструкции данной главы в основ-
ном являются алгебраическими и потому слабо зависят
от деталей модели.
§ 16.1. Описание модели
Итак, рассмотрим модель Гросса — Неве [149]. Эта
модель описывается Лагранжианом
Z = йрлТАфй + СМь)2> « = °, 1;
(16.1)
Здесь и далее по повторяющимся индексам подразуме-
вается суммирование; поле if» является двухкомпонент-
ным спинором. Нам будет удобно использовать майора-
новское представление для матриц (у0 = о2, 7, = йц,
где Ot и о2 — обычные матрицы Паули), а также исполь-
,(1)	, (2)
зовать эрмитовы поля и
^ = =^(ф11) + <))	(16-2)
и 2Лг-компонентное поле
Xй = (ф(Д ....	Ф(12), .... Л, ц = 1, • • •, 21V, (16.3)
„	ц,_ ц,
где каждый элемент еще является спинором х = Ха, а =
= 1, 2.
Величины Ха являются операторами и подчиняют-
ся одновременным каноническим перестановочным соот-
ношениям
{%а Хе (У, 01 = (ж — у),	(16.4)
а гамильтониан Н имеет вид
Н = V2 J 6 (я — у) [Н^у (х, у) + Я2,х (х, у) —
— g2Q2 (х, у)] dx dy, (16.5)
212
где плотности Hi, Нг и Q имеют вид
Hi — Фп, Н2 — Ф22,
И (ж, г/) = Ф12(^ у) = -Ф21(г/, х),
(16.6)
Фар («, У) = [х« («)« ХР (?>]•
Здесь [, ] — обычный коммутатор. Заметим, что Ht и
Нг — антисимметричные функции х и у:
Hi[x, y)=-Hi(y, х), Hz(x, у)=-Н2(у, x). (16.7)
Отметим еще, что в классическом пределе Л -> 0 алгебра
Клиффорда (16.4) переходит в алгебру Грассмана, а со-
отношения (16.7) остаются без изменения.
Далее, в силу соотношений (16.5), (16.6) рассматри-
ваемая модель инвариантна относительно глобальных
преобразований из группы SO(2N). С другой стороны,
билокальные операторы Фа(1(ж, у) в уравнении (16.6) об-
разуют бесконечномерную ортогональную алгебру
Отсюда следует, в частности, что гейзенберговские урав-
нения для операторов (16.6) образуют замкнутую си-
стему
Hi, t(x, y) + Hi,x(x, y) + HliV(x, y) =
= (g2/2)[Q(x, y)Q(y, y) + £i(y, y)Q(x, y)~
— Q,(x, x)Q(y, x)~ Q(y, x)Q(x, ж)],	(16.8)
H2,t (x, y) — H2,x (ж, у) — Я2,у (ж, у) =
= [Q {у, ж) Q (у, у) + Q (у, у) Q (у, ж) —
— Q (ж, у) S2 (ж, ж) — Q (ж, ж) Q (ж, г/)], (16.9)
(х, у) +	{х. У) —	(х, у) =
2
= J [Q (х, х) Н2 (х, у) + н2 (х, у) Q (ж, х) —
— Q (у, у) Нг (ж, у) — Нг (ж, у) Q (у, у)]. (16.10)
В дальнейшем нам будет удобнее заменить непрерыв-
ные переменные ж и у на дискретные п и т (п, т =
= 1, ..., Л); в окончательных формулах будет нетруд-
но вернуться обратно к непрерывным переменным.
Алгебра (16.4) теперь принимает вид
{ХЙ («)> Х₽ = ^v6a&8mn,	(16.11)
213
а алгебра, генерируемая билокальными полями
(та, га), становится изоморфной алгебре SO(2А).
Далее удобно перейти к представлению Фока со-
гласно формулам
= 57= [Xi (») — «Ха (и)], (Х)+ =
V
= 57=[xi (») + *Х2 (п)],
(16.12)
{«п, а™} = 0, (ай, (а^)+1 = Йбрд&пп, а£|0> = 0.
Введем теперь вместо операторов Фа₽(та, п) набор
SO (2N)— инвариантных операторов:
Атп = х/4 [(4)М -	(О+], Втп = */а «, (16.13)
В+п = 1/2 W)+ (<&)+ или в+п =-В*пт = (а£)+ (4)+.
Заметим, что Втп = — Впт, Втп = — В^т и что эти опе-
раторы образуют алгебру Ли SO (2А):
[Лпт, Akl] == (Й/2) (Лп;бтй
[Апт, Bkl] = (Й./2) (BhmSnl + Bmfinh),
[Впт> -Sfej] = (Й/2) (Л/тбПй Ain6mk 4" А^п8т1 A-km^nl)>
(16.14)
или в матричных обозначениях
Л = [Лт„], 5 = [Ят„], В+ = [#+„] = - [5*т],
А+ = А, В' = - В, (В+У = - В+.	(16.15)
Аналогично
й = [й(та, и)], Я1 = [Я1(та, га)], Н2 = [Н2(т, га)].
(16.16)
Эти два набора SO (2N) инвариантных операторов свя-
заны соотношениями
А = ‘/4[Й + Q' + i(Ht + Я2)], В = 74[Й - Q' + г(Я1 - Я2)],
Я+ = 1Л[Й,-Й + 1(Я1-Я2)].	(16.17)
Далее, пространство Фока определенное в (16.12),
можно разложить на подпространства, преобразующиеся
по неприводимым представлениям алгебры S = SO (2Л).
Например, подпространство образованное произволь-
214
ними линейными суперпозициями состояний
#LB£...|0>,	(16.18)
которые инвариантны относительно глобальных преобра-
зований SO(2N), образует неприводимое представление
алгебры В действительности, пространство, состоящее
из состояний, преобразующихся по определенному не-
приводимому представлению группы SO(2N) образует
также пространство неприводимого представления груп-
пы SO (2Л).
Рассмотрим, например, квадратичный оператор Кази-
мира алгебры SO (2Л) и покажем, что он выражается че-
рез операторы Казимира алгебры SO(2N). Действи-
тельно,
С2 = 4tr [А2 + */2(ВВ+ + 5+5)],	(16.19)
где мы использовали матричные обозначения, а символ
tr означает обычный след матриц.
С другой стороны, квадратичный оператор Казимира
для алгебры SO(2N)
<22 = 42Q^Q^,	(16.20)
где
=	Х«(<	(16.21)
п,а
и прямые вычисления показывают, что
G = WA(A + 2V -1) + (?2.	(16.22)
Аналогичный результат справедлив и для высших опе-
раторов Казимира С4, Се, Cs, . . ., которые могут быть
выражены через
Qp'-’Q-->-Q>-pQpp
При этом, например, все состояния вида (16.18) анниги-
лируются оператором Q2 (синглетные состояния),
и значение С2, характеризующее неприводимое подпро-
странство таково:
с2(^0)=т^+л-1).	(16.23)
§ 16.2. Квазиклассический предел
Как показано в [102], в пределе .V -* =о в подпростран-
стве 3^0 происходит переход к классическому пределу.
Для того чтобы увидеть это, заменим дискретный базис
215
(16.18) в 3~о системой обобщенных когерентных состо-
яний
I — ехр 2 zmnZ?nml 10>,
ТПД1	J
(16.24)
где zmn = —znM — комплексные числа.
Перейдем от операторов к символам
Л(г,1) = -^№>.	(16.25)
4	7 <Z J Z>	V '
Тогда, как показано в [102], при N -> оо квантовая ди-
намика переходит в классическую, т. е. операторы мож-
но заменить символами. Далее, согласно главе 9, мат-
рицы А, В и В+ можно записать в виде
Л = й[-^1 + П],
В = П [м - (|+|)']1/2|, в+ = 1%+ [АП -
(16.26)
При этом эффективный гамильтониан для синглетных
состояний принимает вид
н = н0& Г; ад. (16.27)
В пределе N -+ °о удобно перейти к новым переменным
g = m, Г = V7V5+,	(16.28)
где £ и £+ можно рассматривать как с-числа и, следуя
[102], в этом пределе получаем
А = Щ-‘/21 + ?+?],
В = nN [I - ^+]’/2t, 5+ = W+[I-tS+]’/2. (16.29)
При этом гейзенберговские уравнения (16.8) становят-
ся обычными уравнениями Гамильтона
=	^+ = 5-°-	(16’30)
Мы пришли к с-числовой гамильтоновой системе, ассо-
циированной с синглетным сектором модели Гросса —
Неве. Заметим, что постоянная Планка П и параметр N
входят в виде единой комбинации nN.
Возвращаясь от дискретных переменных т, п к
непрерывным переменным х, у, нетрудно видеть, что
216
уравнения движения принимают вид
Hi, ( + #!,„ + #!,x = g2[Q(у,	у) — £1(х, x)Q(y, ж)],
(16.31)
Нг, t-H2y-H2x = g2 [Q (у, у) Q (у, х) - Q (х, х) й (х, у) ],
®t(x, y) + £lx(x, y)~Qy(x, у) =
= ^[Щх, х)Н2(х, у)-Щу, y)Hi(x, у)].
Однако рассмотрение лишь подпространства ^”0 приво-
дит к дополнительным ограничениям, вытекающим из
того факта, что Л(2Л — 1) независимых вещественных ге-
нераторов алгебры SO(2A) параметризуются Л(Л—1)
вещественными элементами антисимметричных матриц
£ и £+. Следовательно, имеется
Л(2Л — 1) — Л(Л — 1) = Л2
вещественных условий, которые содержатся в тождествах
A2 + B+B=(hN/2)2I, ВА^А'В. (16.32)
Эти уравнения уже обсуждались ранее [102].
Для билокальных величин Hi(x, у), Н2(х, у), Q(х, у),
тем самым, возникают условия
J [Q (х, z) Q (у, z) —	(х, z) (z, у)] dz = (kN)2 6 (а: — у),
(z, х) й (z, у) — Н2 (х, z) Н2 (z, у)] dz = (&2V)26 (х — у),
(16.33)
(х, z) Й (z, у) + Q (ж, z) Н2 (z, y)J dz = 0,
HJa>, y) = -Ha(y, x).
Уравнения (16.31) и (16.33) еще слишком сложны, и пу-
тей их общего решения не видно. Полезно поэтому уста-
новить связь полученной системы с системой Неве и Па-
паниколау [197], связанной с симплектической группой
Sp(2n, R), и обобщенной далее Захаровым и Михайло-
вым [253].
Пусть иа и va — величины, преобразующиеся по 2н-
мерному представлению группы Sp(2n, R). Рассмот-
рим систему, описываемую уравнениями
«? + «£ = g2 (Ль) vat Vt — Ух = — g2 (Ль) w“,	(16.34)
где поднятие и опускание индексов осуществляется с
217
помощью матрицы
[еаЬ] = кь] = (_^ Я	(16.35)
\ n ип/
Простое вычисление показывает, что при этом било-
кальные поля
hi(x, у, t) = ua(x, t)ua(y, t),
hz(x, у, z)=va(x, t)va(y, t),
a(x, y, t) = ua(x, t)va(y, t)
(16.36)
удовлетворяют уравнениям (16.31). Поэтому для полу-
чения решений системы мы можем использовать резуль-
таты работы [197]. Надо, однако, иметь в виду, что не
все такие решения приводят к решениям системы
(16.31), удовлетворяющим дополнительным условиям
(16.33). В качестве простейшего примера можно ис-
пользовать решение типа плоской волны для группы
Sp(2, R). В этом случае
а -1 лг--------;—7 (созбА
U = g У (Ofc + А . о ,
°	' д \sin0 / ’
-1 ч/----:—1 ( sin 0 )
Цд = у (Оь & I л /,
“	° Г ft I \ — cos 0 J 1
(16.37)
а	— 1
У
/(Ofc — к
— sin О']
cos 0/ *
-1 i!-;-7 (cos0)
Va = g У^-ЧйЯ
0 =	— kx, (oft = //c2 + (pg2)2
и мы имеем
CJ. -J- к
hr (x, y; k) = —5—sin [k (x — y)],
g
h2 (x, y; k) = -j - sin [k (x — y)],	(16.38)
g
io (x, y; k) = p. cos [A (x — y)].
Величины h2 и co всегда удовлетворяют уравнениям
(16.31), но, вообще говоря, не удовлетворяют условиям
связи (16.33). Однако эти условия выполняются для
218
следующей суперпозиции полей:
н^, у)—
= W J h, (х, у, к)^- = ЫJsin [Л (х - у)]^, (16.39)
Н2 (х, y) = -HN§ sin [fc (х - у)]
Q (х, у) = UN pg2 J cos [А (х — у)]
а уравнения (16.33) выполнены, если параметр р, удов-
летворяет интегральному уравнению
<16'40)
Уравнение (16.40), помимо тривиального решения
р, = 0, имеет также хорошо известное решение сверх-
проводящего типа с р =/= 0. Нетрудно получить выраже-
ние для энергии основного состояния, подставляя вы-
ражения (16.39) для билокальных полей в функцио-
нал энергии (16.5). Вычисления, использующие урав-
нение (16.40), дают
С А2 -|- J/2m2
J /FW
где L — объем системы.
Как и следовало ожидать, энергия основного состо-
яния зависит лишь от одного размерного параметра т,
который заменяет безразмерную константу связи. Для
тривиального решения т = 0 уравнение (16.41) сво-
дится к стандартной сумме по дираковскому морю со-
стояний отрицательной энергии для безмассовых фер-
мионных возбуждений. Интеграл в (16.41) расходится
при к оо. Эта расходимость может быть устранена,
как обычно, с помощью стандартной регуляризации.
Уравнения (16.34) обладают также решениями ти-
па солитонов. Явные формулы для односолитонного ре-
шения можно найти в работе [197]. Многосолитонные
решения можно получить с помощью техники работы
[253]. Эти решения можно использовать для построения
возбужденных состояний системы (16.31), (16.33) (см.
[203]).
219
т=ц.82,	(16.41)
Глава It
РЕЛАКСАЦИЯ
К ТЕРМОДИНАМИЧЕСКОМУ РАВНОВЕСИЮ
В этой главе рассмотрены два примера применения
метода когерентных состояний к проблемам неравновес-
ной статистической физики. А именно, описана эволю-
ция к термодинамическому равновесию квантовых си-
стем с эквидистантным спектром (квантовый осциллятор
и частица со спином, находящаяся в магнитном поле),
помещенных в термостат.
§ 17.1.	Релаксация квантового осциллятора
к термодинамическому равновесию
Мы будем следовать здесь работам [31, 32]. Эволю-
ция квантового осциллятора описывается кинетическим
уравнением для матрицы плотности р. Эта задача яв-
ляется простейшей моделью для описания статистиче-
ских свойств когерентного светового пучка, распростра-
няющегося в слабо поглощающей среде (см. в связи
с этим работы [147, 183, 225, 227]). Рассмотренная зада-
ча важна еще и потому, что она принадлежит к весьма
немногочисленным задачам неравновесной квантовой
статистической механики, допускающим точное ре-
шение.
17.1.1.	Кинетическое уравнение. Состояние квантово-
го осциллятора, находящегося в термостате с темпера-
турой Т, характеризуется матрицей плотности р и опи-
сывается следующим уравнением (относительно вывода
этого уравнения см. работы [177, 227, 31]):
р = — */2y[(v + 1) (а+ар — 2ара+ + ра+а) +
+ v (аа+р — 2а+ра + раа+)].	(17.1)
Здесь а и а+ — операторы уничтожения и рождения
для осциллятора, у — константа затухания осциллятора,
находящегося в состоянии термодинамического равно-
весия:
v = |(1 — |)-1 = [ехр (Иы/kT) — I]-1, g = ехр(— Тия/кТ).
(17.2)
Кинетическое уравнение (17.1) по существу содер-
жится уже в известной работе Ландау [174] (для случая
220
v = 0). Действительно, уравнение (31) из [174} можно
переписать в виде
Р = тгг ^рЬ+ - D~pD + DD~р - pD+D), (17.3)
OfcC
где D — оператор дипольного момента, D* — его поло-
жительно- и отрицательно-частотные части. Оставляя в
(17.3) лишь резонансные члены и учитывая, что для
одномерного осциллятора
D+ = е(7г/2тпй)1/2 ехр(йо£)а+,
D~ = e(V2mco)1/2 ехр(— iat)a, (17.4)
видим, что уравнение (17.3) совпадает с (17.1) при
v = 0, у = 2е2<в2/37пс3. Это уравнение может быть полу-
чено также из общей теории релаксации квантовых
систем [177]. Заметим, кроме того, что уравнение (17.1)
может описывать не только затухание, но и линейную
раскачку колебаний осциллятора (в среде с отрицатель-
ной температурой). Для этого необходимо изменить
знак ч и считать v < — 1. Отметим еще, что уравнение
(17.1) является единственным уравнением, которое
можно написать на основе следующих общих требо-
ваний:
1.	линейность по р;
2.	эрмитовость: р+ = р;
3.	сохранение нормировки tr р = 1;
4.	допустимость использования приближения одно-
фотонного поглощения, т. е. ограничения в (17.1) па-
рой операторов а и а+. При этом в силу принципа со-
ответствия константа у совпадает с постоянной зату-
хания классического осциллятора.
Рассмотрим, следуя [31, 32], несколько методов ре-
шения кинетического уравнения (17.1).
17.1.2.	Характеристические функции и распределения
квазивероятностей. Матрицу плотности р можно зада-
вать не только матричными элементами pmn, но также
с помощью характеристических функций х(ц), которые
определяются так (см. § 1.7):
ХИп) = tr [рехр(ца+)ехр(-т]а)],
Xo(T]) = tr[pexp(r]a+-T]-a)],	(17.5)
Хл(ц) = 1г [р ехр(—ца)ехр(ца+)];
221
при этом
Х*(т]) = ехр(-аА|т112)^(п)-	(17.6)
Уравнение (17.1) в терминах функций Хл('П) имеет вид
(см. [31, 32])
Хл = —7 4!Ъ-^ + С* + пл) h 12Хл s
7 = 1г 2; ц = Их + ЧЬ-	(17-7)
Общее решение его нетрудно найти [31, 32]:
Хл(П> т)= ехр {-(v + щ) 1'п12?)хД/’1/2'П, 0)> (17.8)
где р = ехр(—т), q = 1 — ехр(—т), т = yt. Формула
(17.8) для Хо(ц, t) была получена также в работе
[183], однако не из уравнения (17.1), а на основе модели
осциллятора с затуханием [225] путем приближенного
интегрирования гейзенберговских уравнений движения
для оператора a(t). Отсюда следует, что эта модель
эквивалентна кинетическому уравнению (17.1).
Перейдем теперь к описанию состояния осциллято-
ра с помощью распределений квазивероятностей Wft(a).
Они связаны с характеристическими функциями Xfe(ll)
преобразованием Фурье
Wh (а) = п~2 J хГ(п) ехР (П» — Па) (17.9)
При этом WN(a) совпадает с весовой функцией в ин-
тегральном представлении:
р= j Р(а) |а> <а |й2а.	(17.10)
Далее, Wo (а) = W (а) — функция Вигнера [251] (плот-
ность в фазовом пространстве), и наконец, РИл(а)^
= n~lQ(a), где (7(а) = <а|р1а>. (Более подробное об-
суждение свойств функций Й4(а) можно найти в § 1.7.)
Как показано в [31, 32], распределения квазивероят-
ностей Wh(a) подчиняются уравнению Фоккера —
Планка
где
Л = — 4 В1з = 4 7 (v + 6уя a = 04 + ia2.
222
Решение уравнения (17.11) имеет вид [156, 31]
Wh(alt) =	•
= J Wk (а\0) [ng(v + aft)]-1 ехр {— 1	| й2а'.
(17.12)
Сделаем несколько замечаний о временной эволюции
квазивероятностей Wk(a, т).
1.	Комплексная амплитуда на a-плоскости испыты-
вает затухание, пропорциональное р1/2. Кроме того, при
v =# 0 за счет взаимодействия с термостатом в системе
нарастают флуктуации.
2.	При т оо независимо от начального распреде-
ления имеем
Wk(a, т) = [л (v + Gs)]-1 ехр [— Ial7(v + oft)]. (17.13)
3.	Для произвольного распределения Wk(a, 0) сред-
нее <а,> и дисперсия Бц = < (а; — <а4>) (а,— <ар) > ме-
няются по закону
<а,(т)> = [р(т)]1/2 <аД0)>,
(17.14)
ДДт) = р(т)А)(0)-1- ‘/2д(т) (v + <ц)6ц.
При этом <а, + ia2> одинаково для всех к и равно tr(pa),
а дисперсии Бц для разных к связаны соотношением
D® = Б^ +	(17.15)
Если начальное распределение Wk(a, 0) является гаус-
совским, то оно остается таковым и в процессе релак-
сации и полностью определяется уравнениями (17.14).
Приведем несколько примеров, взятых из работы [32].
1.	Пусть при t = 0 осциллятор находится в состоянии
термодинамического равновесия с температурой То, от-
личной от температуры термостата:
Ртп (0) = (1 -^6тп,	= ехр (- 1ю/кТ0). (17.16)
Тогда
Wk (a, t) = [л (|Л + о,)]-1 ехр {- —LSLlLJ, (17.17)
hW = /’(O'Vo + q(t)v,
p(t)= exp(—yi), q(t) = 1 — exp(—y£), (17.18)
223
’ (17.20)
т. е. в любой момент времени W\(a, t) имеет гауссовский
вид. Поэтому распределение населенностей ivn(t) в
каждый момент времени остается план^овским, а тем-
пература осциллятора меняется от То до Т в соответ-
ствии с уравнением
n(t) = p(t)va + q(t)v.	(17.19)
Отметим, что этот результат другим способом был полу-
чен Швингером [223].
2.	Начальным состоянием является суперпозиция ко-
герентного состояния |сс0> и планковского с параметром
v = Vo- Тогда
-1	( I a — />1/2an I2
(a, t) = [л (р + ok)] ехр — -!—
I Н "т
|л(0 = p(t)v0 + q(t) V.
3.	Пусть при t = 0 мы имеем суперпозицию (по Глау-
беру [143]) планковского распределения с когерентным
усредненным по фазе
Wh (a, А) = [л (р. + ofe)]-1 X
X 10 (2р1/21a-a0 |/(р + crft))exp{— (|a[2 + p[aQ |2)/(p+crft)},
(17.21)
где Io — функция Бесселя.
4.	Начальное состояние является yV-квантовым:
р(0) = |2У><АП. Тогда
Wk(a, f) = [л (qv + a,,)]-(л'+1) (qv - p + 0„)N X
X exp {— Ial7(<?v + ok)}LN(x), (17.22)
где Ln(x)— полином Лагерра,
x= lal2p/[(ffv + aft) (p — qv — aft)]. (17.23)
17.1.3. Использование символов операторов. Для по-
лучения явных формул для населенностей wn(t) поста-
вим в соответствие матрице плотности р ее символ
/?(а, £) = ехр [72(lal2 + Ipl2)] <alplp. (17.24)
Тогда
K(zlf z2;f)=2 Pm.n(t)lm\n\r1/2zTz2, (17.25)
m, n
т. e. функция H(Zt, z2\ является производящей функци-
ей для матричных элементов Pmn. Кинетическое уравне-
224
нио (17.1) при переходе к функции R(z{, z2) принимает
вид [31, 32]
^(zx, z2) = y (v + 1)—(v + у j X
oz.dzQ \ J
+ v(Z1z2-l)T? . (17.26)
Функцией R(z{, z2) удобно пользоваться и в более слож-
ном случае релаксации квантового осциллятора при на-
личии внешней силы [31, 32]. В этом случае уравнение
для матрицы плотности имеет вид
р = —{(v + 1) (а+«р — 2ара+ + ра+а) +
+ v (аа+р — 2а+ра + рпя+)] — i [V, р], (17.27)
где
V =	= — (2®)_1/2{/ (i)exp(-i<at) а + f ехр (iat) а+}.
(17.28)
Уравнение (17.26) принимает теперь вид
+ v (z^2 — 1) Я] — I (2®0) 1/2
f(t) ехр (г®о0 J X- — zx
— /(i)exp(—	— z2) R, (17.29)
где coo — собственная частота осциллятора.
Можно показать, что решение уравнения (17.29) при
произвольных начальных условиях таково:
7? (^|, z2; i) —
= J G (zv z2;	?210 R (Sx, £2; 0) dp (^) dp (£2), (17.30)
(fyi(t;)= л-1 exp(—|£l2).t?![;,
(17.31)
а функция Грина G равна
G(zi, z2; [Jj, £2|£) =
= (1 + qv)~l exp {F(Zi, z2;	g2|i)/(l + qv)}, (17.32)
15 a. M. Переломов
где
F = ?vz,z2 + q(y + 1)^г +
+ pi,2(z& + z£t-v^ - vtz)+ vZi + vz2- Ы2 (17.33)
и введены обозначения
p = exp(-yi), g = l-exp(-^),
t
v(t)=	J / (*') exP [— у (i — t') + «М' dt' (17.34)
г о о
(величина v(t) совпадает с комплексной амплитудой вы-
нужденных колебаний классического осциллятора, воз-
буждаемого силой /(£)). Формула (17.30) в принципе
решает задачу об эволюции произвольного начального со-
стояния. Для получения населенностей различных уров-
ней wn(t) и недиагональных элементов матрицы плотно-
сти ртя остается лишь разложить функцию R(zlt z2; t) в
ряд по степеням zt и z2.
Отметим, что эволюция матрицы плотности р(£) со-
гласно уравнению (17.30) может быть описана как ре-
зультат трех последовательных преобразований над на-
чальной матрицей плотности р (0).
1.	Релаксация при нулевой температуре термостата и
Этот процесс отвечает затуханию комплексной
амплитуды на а-плоскости в р~1/2 раз. Соответствующая
функция Грина получается из (17.32), (17.33) при
v = v = 0.
2.	Нарастание гауссовских флуктуаций амплитуды
(при f(t) = 0 и без учета затухания амплитуды). Функция
Грина, отвечающая этому преобразованию, получается из
(17.32) после замены
р -> 1, q -> 0, qv -+ v(l — ехр(— yf)), v -> 0.
3.	Унитарное преобразование
р .-+• р' = D (у) pD~'(у), D(y) = exp(va+ — va), (17.35)
т. e. сдвиг комплексной амплитуды осциллятора на век-
тор p(i). По форме преобразование (17.35) тождествен-
но с изменением p(t) для осциллятора без затухания под
действием внешней силы (затухание у входит в D(v)
лишь через определение v(t), см. формулу (17.34)). От-
метим, что преобразования 1 и 2 неунитарны, что харак-
терно для процесса релаксации.
Перейдем теперь к рассмотрению примеров.
226
1. Пусть
R (zi> 0) — j v exP
Vj2 + «Zi + «za-|«|2
l+v0
(17.36)
где v0 > 0, a — произвольное комплексное число. Такая
матрица плотности отвечает характеристической функ-
ции	_
%к(т])== ехр(— v0|t)I2 + ац -ац),	(17.37)
т. е. суперпозиции когерентного состояния |а> с гаус-
совским шумом (распределением Планка с параметром
v0= [ехр(Тгсоо/ТсУо) — I]-1). Как показал Глаубер [143],
суперпозиция двух состояний отвечает сложению элек-
тромагнитных полей, создаваемых независимыми ис-
точниками. Поэтому пример (17.36) относится к часто
встречающемуся в квантовой оптике случаю, когда
входное поле состоит из когерентного сигнала, на ко-
торый налагается случайный тепловой шум. Подставляя
(17.36) в (17.30), получаем
-	.	1 fnv +pZ1 + p^ —1₽|21
Я (Z1, г2; t) = ехр	, (17.38)
где
р, = pv0 + qv, 0 = р1/2а + v(t).	(17.39)
Сравнение (17.38) с (17.36) показывает, что форма дан-
ного состояния в процессе его релаксации сохраняется,
меняются лишь параметры 0 и ц. При этом p(i) совпа-
дает со средней энергией осциллятора, релаксирующего
в отсутствии внешней силы, a 0(f) является амплиту-
дой колебаний классического осциллятора с начальным
условием 0(0) = а. Из (17.38) вытекают формулы для
населенностей
<1М0>
Здесь Ln(x)—стандартные полиномы Лагерра (заме-
тим, что Ln (х) > 0 при ж < 0).
.2. Полагая а = 0, приходим к формулам, описываю-
щим релаксацию планковского распределения (с пара-
метром Vo и начальной температурой То)- Если теперь
пренебречь релаксацией, то p(f) = v0, ив выражении
(17.34) для v(f) следует положить у = 0. После этих
15*	227
упрощений выражение (17.40) переходит в формулу,
полученную Швингером [223].
3.	В частном случае V» = 0 формулы (17.36) —
(17.40) описывают релаксацию когерентного состояния
1а> (при этом p = vq). Особенно простой результат по-
лучается при нулевой температуре термостата (v — 0,
p(f)= |p(t)><p(t)I), т. е. осциллятор в любой момент
времени находится в когерентном состоянии !?(£)>•
Это — единственный случай, когда релаксация оставляет
состояние чистым несмотря на взаимодействие с дисси-
пативной подсистемой (в данном случае — с вакуум-
ными флуктуациями электромагнитного поля). Этот
факт еще раз подчеркивает квазиклассичность когерент-
ных состояний.
4.	Значения а = v0 = 0 соответствуют невозбужден-
ному осциллятору р(0)= 10X01. Для pmn(t) по-прежне-
му справедливы формулы (17.16) и (17.17), где теперь
Ц = qv, fi(t)=v(t). При v = 0 для населенностей
wn(t) получается распределение Пуассона
wn(t) = ехр(-Х)^, X = \y(t)\\	(17.41)
Для осциллятора без затухания, эта формула была по-
лучена Фейнманом [127]. Интересно отметить, что учет
затухания при v = 0 не меняет вида распределения
(17.41), а сказывается лишь на значении амплитуды
v(t). При v > 0 это уже не так.
5.	Более сложный случай, когда начальное состоя-
ние осциллятора ./V-квантовое. Вычисление интеграла
(17.30) дает [31, 32]
7? ^Zj, t) ==
[q(l + v)lN
(1 + gv)N+1
(qvzz2 + vz+vz2 — \v\2}
ехр	---------j (х),
х = —p(z1 — г?) (z2 — г)/?(1 + v) (1 + qv). (17.42)
Выражение для wn(t) здесь имеет, вообще говоря,
сложный вид. Укажем несколько простых случаев.
А. Полагая в (17.42) zt = z2 = 0, находим населен-
ность основного уровня
w»(t) = {[g(l + v)F/(l + 7v)n+1) X
X exp {— IkI2/(1 + qv)}LN{— pIiz|2/gr(1 + v) (1 + qv)).
(17.43)
Б. При v = 0 (нулевая температура термостата) вы-
ражение для wn(t) сильно упрощается, и мы имеем
228
[31, 32]
N	i iwi
«>. (I) - exp (- X) 2	I (X)|*.
k~°	(17.44)
где
n< — min(fc, ri), re> = max(/c, ri),
m=\k — n\, X=ln(t)l2.
В. Производящая функция для населенностей wn(t)
при v — 0 имеет вид
GN (z, t)=^wn (t) zn =
= (1-р^ехр(-АО^(-^), : = l-z. (17.45)
§ 17.2. Релаксация частицы co спином, находящейся
в магнитном поле, к состоянию
термодинамического равновесия
Частица со спином у, находящаяся в магнитном поле
Н = (О, О, Н) в состоянии термодинамического равнове-
сия при температуре Т, описывается матрицей плот-
р = Л3ехр(р/0), 7F = sh([i/2)/sh[(y + V2) ₽],
(17.46)
р = pHJkT.
Отсюда получаем выражение для символов этой матрицы
Q (и) = (ch (р/2) + sh (р/2) cos 0)2i,	(17.47)
T’(n) = (ch(p/2)+ 3sh(p/2)cos 0) при j =1/2. (17.48)
Эволюция такой системы, находящейся в тепловом кон-
такте с термостатом при температуре Т, описывается
уравнением, полученным в работах [5, 6]:
р = - (у/2) {(v + 1) (7+7_р - 27-р7+ + р7+7_) +
+ v(7_7+p — 27+р7_ + р7_7+)>,	(17.49)
где величина V дается формулой Планка
v = [ехр (ШкТ) - I]-1.	(17.50)
Для термостата, находящегося при нулевой температу-
ре (v = 0), это уравнение принимает вид
Р =(-f/2){[7_, р7+] + [7_р, 7J).	(15.51)
229
Предположим для простоты, что Р(п) = Р(0, <р) зависит
лишь от 0. Тогда, подставляя р = [ Р (n) I n><n (п) в
уравнение (17.51), приходим к уравнению для Р(0, t),
полученному и изученному в работах [193, 194]:
^-(sin0.P(0, 0) = ^[(/sin0 +	9))sin0-Р(0, f)] +
+	О]. (17.52)
OU L й	J
Но уравнение (17.52) есть не что иное, как уравнение
Фоккера—Планка на сфере S2 = {п : п2 = 1} для функ-
ции /(0, £) = sin 0 • Р(0, t). Это уравнение содержит
коэффициент, который приводит к движению распре-
деления /(0, t) как целого по поверхности сферы. Кро-
ме того, распределение расширяется (или сужается),
что определяется коэффициентом диффузии .0(0) =
'= V2 (1 — cos 0), который принимает наибольшее зна-
чение для 0 = л и исчезает для 0 = 0. Комбинирован-
ный эффект «смещения» и диффузионного члена при-
водит к расширению распределения на сфере и пе-
ремещению его максимума к точке 0 = 0. При t -> °°
матрица плотности стремится к р = I/, —/> </, —/I. За-
метим, что максимум распределения определяется ве-
личиной 0шах, для которой получается уравнение
9щах — — JY 9max>	(17.53)
имеющее решение
tg (729m„ (t)) = tg (*/20max(0)) exp (~ VO • (17.54)
Предположим теперь, что момент количества движе-
ния велик, j > 1. Тогда в первом приближении уравне-
ние (17.52) для /(0, 0 имеет вид
g- = 7^(/sin0./).	(17.55)
Это уравнение с начальным условием /(0, О) = /о(9) лег-
ко интегрируется методом характеристик. Ответ име-
ет вид
/(0, 0 = (ch (V0 — cos 0 sh (V0 )-1 X
X/o(2arctgexp(7/Otg(0/2)), (17.56)
230
и нетрудно доказать, что функция /(9, £) является нор-
мированной в любой момент времени.
Рассмотрим специальный случай
/о = sin 9 • б (cos 9 — cos 90).	(17.57)
Тогда
/ (9, i) = sin 9-б
cos 0fl ch (y/i) + sh (у/7)\
cos 0fl sh (y/i) + ch (y/Z)/
(17.58)
Возвращаясь к точному уравнению (17.52), произведем
в нем замену переменных согласно работе [194]:
/ (9, t) = 22j+1 sin 9 (1 - cos 9)“2(H1> h (z, t),
z = ctg24-	(17.59)
Тогда уравнение (17.52) перейдет в
= [1 + 2 (/ + 1) z] g- + z (1 + z) 0.	(17.60)
Решение этого уравнения с начальной функцией h (z, 0) =
= /&о(г) было найдено в работе [194] и имеет вид
h (z, t) =
(	(th лег 1 / л	1	\
= 2 J d(J-° (cth noj F V + ~2 + l'°’ > + ~2 ~ta> *5 ~Z) X
О
X exp
oo
Of2 + + 4) ] *} J F0 + ^2 +
0
J + 4- — l‘a; 1; — z') (1 + z')2^0 (zz) dz\ (17.61)
где F(a, c; x)—стандартная гипергеом;етрическая
функция, а в скобках мы должны взять th, для целых /
и cth для полуцелых у.
Для начальных данных специального вида существу-
ет решение с разделяющимися переменными
h(z, 7)=Ф(г)ехр(— %7),
Ф*(г, X) = (l + z)-j-1/2^F(y + l/2±p,		'
-/+1/2±р; 1±2р; (l + z)“‘), (17.62)
231
где р ={(; + 1/2)2 — Х]1/г. Заметим, что можно фиксиро-
вать знак в выражении для р, разрезая комплексную
Х-плоскость от (/ + 1/2)2 до + °° вдоль положительной
вещественной оси и требуя, чтобы величина р была поло-
жительной при положительных Re р > 0. Следовательно,
Re р > 0, если Im X =/= 0.
Глава 18
ДИАМАГНЕТИЗМ ЛАНДАУ
В этой главе, следуя работе [20], мы используем коге-
рентные состояния для получения диамагнетизма Ландау
[175] свободного электронного газа*).
Построим сначала запаздывающую функцию Грина
для гармонического осциллятора в представлении коге-
рентных состояний; при этом используем систему единиц
Л = 1, кв = 1 (кв— постоянная Больцмана), энергию ос-
циллятора будем отсчитывать от энергии основного состо-
яния Ео = Й(й/2. По определению функции Грина
G(p, t; a, t0)= <P(f) la(io)> = <p| exp(— iHx) la>,
t>0; G^O, t<0; x — t — i0, H = <oa+a. (18.1)
Поскольку a(i) = exp(— to
G(p, t; a, f0) = exp [fia exp(— йвт)—‘/2(lal2 + Ipl2)]-
(18.2)
Из (18.2) получаем выражение для функции Грина
С(₽, а; Я) = -г-<₽|<Я-.ЕГ1|а> =
= j" ехр (iEx) G (Р, т; а, 0) dx =
а
-Т“»[-Т<IаI* +1w]F(-I’1 -М’ (18'3)
где F(a, с; х) — вырожденная гипергеометрическая функ-
ция. Заметим, что это выражение намного проще своего
аналогу, записанного в координатном представлении.
Отметим также, что энергетические уровни системы
определяются сингулярностями функции Грина в комп-
♦) Иной вывод диамагнетизма Ландау, также использующий
когерентные состояния, дан в работе [1261.
232
лексной плоскости Е, которые в нашем случае являются
простыми полюсами в точках
Еп = no, п = 1, 2, ....
Действительно,
G (Р, а; Е) = i (₽) фп (а) ^4^,	(18.4)
п
где фп (а) = ехр	ап
Из запаздывающей функции Грина с помощью заме-
ны т — сГ-1 (Т — абсолютная температура) получает-
ся температурная функция Грина
<₽|ехр(-Я/7’)|а> =
= ехр Jpa ехр (— со/Г)--(I a I2 + I РI2)], (18.5)
а из нее — статистическая сумма осциллятора в термоста-
те при температуре Т
2осц = f <a I ехр (- Н/Т) | а> = (l-ex^-co/T))"1.
(18.6)
Перейдем теперь к расчету магнитной восприимчиво-
сти свободных электронов. Для единичного объема элект-
ронного газа в магнитном поле <3$?, направленном по оси
х3, пользуясь представлением (а, р2, р3) получаем следу-
ющее выражение для статистической суммы:
20Л = 5? (Sf17211 - ех₽ “/Г»”1 ех₽ Ь ®/2Т). (18.7)
Множитель ехр(— а>/2Т) в формуле (18.7) появился за
счет учета основного состояния.
Зная свободную энергию ST = — Т In 7ЭЛ, можно
чить намагниченность
дЗ~______________________L _|__________1
дЖ тс \ 2 со + ехр (со/Т) — 1
При малых со это выражение пропорционально <3$?,
восприимчивости получается известный результат
_ (e/mcf
X 12г •
Отметим, что, как ясно из расчета, диамагнетизм газа
свободных электронов имеет квантовую природу. До сих
233
полу-
(18.8)
и для
(18.9)
пор мы пользовались классической статистикой Больцма-
на. В случае сильного вырождения электронного газа не-
обходимо учесть, что электроны подчиняются статистике
Ферми — Дирака. Запишем основную формулу квантовой
статистики
Йкв = -Г21п[1 + ехр((И-£п)/Т)]	(18.10)
п
(ц — химический потенциал) в виде контурного интегра-
ла [73]
где
□кл(₽) = -Т2ехр(- ₽£„) =
п
ехр (- -ех₽ (- <18-12)
— больцмановская статистическая сумма.
Интегрирование в (18.11) выполняется в комплексной
^-плоскости по контуру L, изображенному на рис. 1.
Функция £2КЛ(^) при р = 0 и Р = °° имеет точки ветв-
ления (поэтому в плоскости [} необходимо провести раз-
рез по отрицательной части вещественной оси: — °о < j}
0), а также полюсы в точках
= 2n,ik/da, к = ± 1, ± 2, ... .
При высоких температурах интеграл (18.11) можно
вычислить, замыкая контур в правой полуплоскости [3.
Сумма всех вычетов в точках nJT приводит к обычной
формуле для йда. Если р, > со/2, то контур L можно зам-
234
кнуть в левую полуплоскость. При этом получаем (см.
рис. 2)
Qkb = й£олюс) + Q(Kpa3pes).	(18.13)
Вклад полюсов на мнимой оси дает
п(полюс) т V/ 4cos (2лгар/<в — л/4) (тш'|3/2
Qkb • (18Л4)
Это выражение периодически зависит от поля Ж. Пе-
риодический характер изменения термодинамических
величин (эффект де Гааза — ван Альфена) является
отражением аналитических свойств температурных функ-
ций Грина.
В формулах (18.13), (18.14) не учтен спин электрона.
Для его учета необходимо в формуле (18.12) ввести мно-
житель ехр(— ^£цбо<2$?), отвечающий энергии спина в маг-
нитном поле (цв — магнетон Бора, а = ±1/2), и про-
суммировать по проекциям спина. За счет этого в
(18.12) появится дополнительный множитель 2ch(gfi®/4),
а в (18.14)—множитель 2 cos(ngn/2).
В очень слабых полях (со <S ц) все слагаемые в сум-
ме быстро осциллируют и Q&omoc) 0. Остается только
вклад от разреза, который приводит к диамагнетизму
Ландау. При со -> 0
(\ 3^2 /	\
Й) (,-та-+"± <1815>
откуда
QKb — Qfl +
X = — р.н/4|л.
(18.16)
(18.17)
Учет спина приводит к дополнительному множителю
2ch(p®/2)^ 2(1 + р2®78).
235
При этом х домножается на два и еще добавляется
Хпара = — ЗхдИа, что дает наряду с диамагнетизмом Лан-
дау парамагнетизм Паули
X = Хдиа + Xnapai Хдиа = — Цв/2|А, Хпара =	|*в/2|*.
(18.18)
Глава 19
ЛАГРАНЖИАН ГЕЙЗЕНБЕРГА — ЭЙЛЕРА
В этой главе, следуя работе [21], с помощью коге-
рентных состояний мы дадим вывод лангражиана Гей-
зенберга — Эйлера — нелинейной поправки к лангран-
жиану электромагнитного поля.
Рассмотрим релятивистскую частицу со спином 0 в
постоянных однородных электрическом 8 и магнитном
<Н/ полях. Предположим, что (8 • ЭГ) 0. Тогда суще-
ствует система координат, в которой
8 = (0, 0, <Г), Я = (0, 0, Ж}.	(19.1)
Состояние частицы характеризуется обобщенным им-
пульсом
Пц = рц сАд, [Пр, Пу] ieFyy, ц, v 0, 1, 2, 3,
(19-2)
где Ац — потенциал электромагнитного поля, F^ — тен-
зор электромагнитного поля. В нашем случае
[П„ П2] = геЖ [По, П3] = ге#. (19.3)
Из (19.3) следует, что операторы П(, можно выразить
через бозонные операторы
Щ = (а + а+)	П2=-г(а-а+)]/ф,
По =	+ &+), П3 = - i Уе-^ (Ъ - &+). (19.4)
Для нахождения нелинейных поправок к лагранжиа-
ну электромагнитного поля удобно воспользоваться ме-
тодом собственного времени, что сводит рассматривае-
мую задачу к задаче с гамильтонианом
Н — р2 — Пц — р2 + еЗв (а+а + аа+) — eS" (bb + b+b+).
(19.5)
236
При этом функционал действия электромагнитного поля
приобретает поправку
W = —itrlnG,	(19.6)
где G = (р,2 — П?)-1 = Н~г—функция Грина скалярной
частицы во внешнем электромагнитном поле. В интересую-
щем нас случае эта величина задается формулой
оо
W =—itr In [(р,2 — П2)-1] = — i tr Jy ехр(—sZT) =
О
оо
= — 1 [ у ехР (— Ц2«) tr ехР	{bb + &+6+) —
о
— зеЗе(а+а + аа+)]. (19.7)
В формуле (19.7) след вычисляется по всем кванто-
вым числам частицы, поэтому надо учесть вырождение
уровней Ландау. Это дает дополнительные множители
e^LxLy/2a и е^ЬгТ/2л., связанные с вырождением для
поперечных и продольных компонент. Здесь Lx, Ly, Lz —
размеры области, в которой сосредоточено внешнее поле,
Т — интервал времени, когда внешнее поле отлично от
нуля. Действие W' оказывается пропорциональным объ-
ему LxLyLzT, как это и должно быть в постоянном и од-
нородном поле. Коэффициент при четырехмерном объеме
и есть интересующая нас поправка к лагранжиану
оо
S =-^2Fj-7exP<-^)X
о
X trexp [seff (б2 + (ft+)2) — se3^{aa+ + a+a)]. (19.8)
Здесь символ tr означает след по переменным, связанным
лишь с операторами а и Ь, и легко вычисляется. Так,
tr ехр [— seaffi (а+а + аа+)] =
ОО
п=0
Для вычисления второго следа выполним преобразование,
диагонализирующее оператор {bb + b+b+):
bb + b+b+ = iU{b+b + fc&+) G~x,
U = exp л (&+&+ —	(19.10)
237
после чего получаем
trexp [seff (ЪЪ + д+д+)] =
= tr{C7 ехр[iseS (b+b + bb+)] IT1} = ~^~^у (19.11)
В результате выражение для 3?' принимает вид
Z' = Г -	• ехр (— 5Н2)- (19-12)
16n2 J s sh (se Ж} sin (sec?) r	’
о
Это выражение необходимо регуляризовать, вычитая из
подынтегрального выражения первые члены ряда Тейло-
ра по <8”2 и <3$?2:
2' =
ОО
= —2 [ ^[-.7^.	- 1 - i2(<r2 - Зв2)] ехр (-«И2)-
16л2 J s3 (sh sin (se<g) 6 v	'J '
(19.13)
В случае слабых полей получаем поправку четвертого по-
рядка по <S и
4 _ е4 7 (<У2 - Ж2)2 +4(8JL)2
8С ~ 16л2	360р.2
(19.14)
Поправка к лагранжиану электромагнитного поля за
счет взаимодействия с частицами спина 1/2 получается
аналогичным методом. Необходимо учесть лишь, что, во-
первых, из-за фермиевской статистики изменится знак в
формуле (19.6) и, во-вторых, при квадрировании функции
Грина возникает множитель 1/2:
VKi/2 = i tr In G = i tr In [m — уП]-1 =
= (i/2) tr In [m2 - (уП)2]-1-	(19.15)
Величина (уП)2 — П2 + еа^ • F^/2 содержит слагаемое с
duv^nv, которое коммутирует с оператором П2. Поэтому
след по проекциям спина дает множитель 2ch(se<3$?) для
магнитной части и множитель 2 cos (sec?) для электриче-
ской части. Отсюда получаем выражение для лагранжиа-
на Гейзенберга — Эйлера
S’ 1/2 —
1 ( ds se3/g seg
8л2 J s3 Lthse5^ Xgseg
о
+	(S2 - Зв2) • ехр (- зт.2),	(19.16)
238
Для случая слабых полей отсюда получается известное
выражение
0,4 _ е4 (ег2-^2)2 + 7(8Л)2
1/2	8л2	45zn4
(19.17)
Отметим, что подынтегральные выражения в формулах
(19.13) и (19.16) имеют полюсы в точках sn = nn/e<8’, ко-
торые приводят к появлению мнимой части у лагранжи-
ана и к неустойчивости вакуума относительно рождения
пар частиц.
Глава 20
СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
Синхротронное излучение — это квантовое излучение
заряженной частицы в однородном магнитном поле, или,
что то же самое, радиационный распад уровня Ландау.
Поэтому расчет этого эффекта сводится к вычислению
массового оператора частицы в однородном магнитном
поле (см. работы [72, 224]). Как было показано в работе
[21], которой мы будем следовать в данном разделе, ис-
пользование когерентных состояний значительно упроща-
ет вычисления. Так же, как и в главе 19, рассмотрим ре-
лятивистскую заряженную частицу в однородном магнит-
ном поле. В этом случае продольные компоненты импуль-
са сохраняются и мы можем заменить их собственными
значениями
Пц = (По, П3) = (^, 0).	(20.1)
Поперечные же компоненты, как и в главе 19, имеют вид
; П1== ]Лу(а + д+), П2 = -г ]/^(а-а+). (20.2)
Массовый оператор частицы в магнитном поле дается
формулой
СО
X ехр [is (П — к)2 — isp2] (2П — к). (20.3)
В этом подынтегральном выражении перенесем опера-
тор, содержащий экспоненту, вправо. При этом изменят-
ся лишь операторы Щ и П2, поскольку только они не
239
коммутируют с этим оператором. Именно,
П1 IIi(s) = (n1 — Tcjcos 2se3/& — (П2 — к2)sin 2se3^ + kh
(20.4)
П2 -*• n2(s) = (II2 — Tc2)cos 2se5^ + (III — 7c,) sin 2se& + k2.
Ограничиваясь учетом главных по к/Е членов, получаем
ОО
А-2 С /Лк С
Л =	dsH-I[(s)-exp[is (И — к)2 — isp2],
(2Л) v к i)
°	(20.5)
П -П (s) = П2 + П1 (1 — cos 2«е<Э^) + sin 2seffl>.
На массовой оболочке имеем
П2 = р2, П2 = Е2 - р2.	(20.6)
Кроме того, ограничиваясь рассмотрением случая слабого
магнитного поля
е<3^«р2«£2,	(20.7)
имеем
,,	4е2р2 f С ,7 (л , ОЕ2 • 2 -ЗйЛ к/
Л = —I —г I ds 1 + 2 -= sin2 seJ$ X
(2л)4 J к2 J \ р2	/
X ехр [is (П — к)2 — isp2,. (20.8)
Поскольку оператор Л зависит лишь квадратично от опе-
раторов а и а+ под знаком экспоненты, удобно перейти
от этого оператора к его символу
Л (а) = <а1^1а>,
где |а> — обычное глауберовское когерентное состояние
I а> = ехр ( —-Ц^Цехр (аа+) I 0>.
Используя формулы § 1.2 и удерживая в показателе лишь
линейные члены, находим
<^| ехр (is (П — 7с)2 — isp2] |^> = ехр(—2isk^E + 2iNk),
(20.9)
где вектор N имеет лишь поперечные компоненты
N = -Щ- (sin 2se36, 1 - cos 2se3S, 0).	(20.10)
у
Учитывая, что
|0[2 = <?|а+а|р> =(£2- р2-е^)/2еЖ	(20.11)
240
получаем
IN | =	sin (se^)_	(20.12)
Таким образом,
^(₽) = <₽l^l₽>=^f^X
(2л) J kA
oo
X f ds 11 + 2 ^-sin2se Ж | exp 2i (Nk —s2?A0)]. (20.13)
Далее, в силу оптической теоремы вероятность распада
состояния 1р> связана с мнимой частью массового опе-
ратора простым соотношением
W₽= _llmW(|3),	(20.14)
Л
откуда получаем
/ \
X ( 1 + sin2 seZG I cos (2Nk — 2sE,co). (20.15)
\	H	}
Вычисляя интеграл по углам излучаемых фотонов, на-
ходим
J (ZQ cos (2Nk — 2£,sco) =
= [sin (2swE + 2У®) — sin (2sw£ - 21V®)]. (20.16)
Заметим, что в рассматриваемом нами случае слабого маг-
нитного поля при интегрировании по s основной вклад
дает область se^S ~ p,/E <К 1. Разлагая по параметру \к/Е,
получаем
J dQ cos (2Nk — 2£'sm) =
я
Esa
sin (fifnEs) — sin <nEs
E2
(se^)2
3
(20.17)
Для спектрального распределения излучения теперь
16 А. м. Переломов	241
получаем формулу
X l + 2^-(se^)2 .
И
— sin 4®£s
(20.18)
или
- оо
dW = 'л iJr) (! + 2ж2)sin В (ж + у) — у
(20.19)
где
В = (®Ц3)/(е^2).
Эта формула была получена Швингером [224], однако бо-
лее сложным способом. Удерживая слагаемые порядка со,
можно получить поправки порядка % — еЕЗб/р,3, имеющие
квантовый характер.
Глава 21
КЛАССИЧЕСКАЯ И КВАНТОВАЯ ЭНТРОПИЯ
«Классическая энтропия» для квантовомеханической
системы, введенная в работе [247], естественно определя-
ется с помощью системы КС. Метод КС дает возможность
легко доказать некоторые неравенства для этой ве-
личины.
В работе Верля [247] введено полезное понятие «клас-
сической энтропии» S1'1 для квантовой - системы и были
исследованы некоторые свойства этой величины. (Обзор
свойств энтропии дан в работе [246].) Верль предполо-
жил, в частности, что 5cI > 1. Это предположение было
доказано затем Либом [182].
Начнем с рассмотрения простейшей квантовой систе-
мы с одной степенью свободы; пусть р и q — канониче-
ские операторы импульса и координаты. Как известно,
состояние системы можно описать с помощью матрицы
плотности р, которая представляет неотрицательно опре-
деленный оператор со следом, равным единице. Квантовая
242
энтропия такого состояния дается формулой
5«(p) = -tr(plnp),
(21.1)
а классическая энтропия для плотности распределения
Р (.Pi Ч) в фазовом пространстве — формулой
«(₽)—j^-plnp.
(21.2)
Обычно утверждается, что в пределе Я 0 выражение
для квантовомеханической энтропии переходит в выраже-
ние для классической энтропии. Это утверждение, однако,
не верно, поскольку квантовомеханическая энтропия
всегда >0, в то время как классическая энтропия может
быть отрицательной или даже равной —°°. Как показано
в [247], это связано с тем обстоятельством, что классиче-
ская плотность распределения может быть сконцентриро-
вана в областях фазового пространства с площадью <2лИ.
Такое распределение нарушает соотношение неопределен-
ности и потому не может осуществляться в природе. Луч-
шее, что мы можем сделать, это взять квантовое состоя-
ние с наименьшей неопределенностью Др • Дд со средни-
ми значениями координаты и импульса q и р, т. е. взять
когерентное состояние | а>, а = (q + гр).
\/ 2Й.
Определим теперь классическую плотность распреде-
ления р(а) формулой
р(а) = <а|р!а>
и классическую энтропию Scl как
^ = 5(р(а)).
(21.3)
(21.4)
Тогда функция р(а) удовлетворяет следующим услови-
ям [247]:
а)	0^р(а)=С 1,
б)	функция р(а) непрерывна,
в)	р (а) -> 0 при 1а1
Отсюда вытекает:
а)	соответствие с соотношением непррделенности:
плотность распределения р(р, д) = р(а) не может быть
сконцентрирована в области с площадью, меньшей 2 л 7г;
б)	важное неравенство
(21.5)’
Действительно, из вогнутости функции s(x) = — xlnx
16*	243
(при х > 0) следует, что
5(<а|р|а>)Ха|5(р) 1а>,	(21.6)
и потому
Scl = р(р(а))^>
> J <а [ S (р) | а> = tr S (р) = SQ (р). (21.7)
Далее, в силу непрерывности функции р(а) из равенства
Sci--=SQ следовало бы, что 5(<alpla>) = <а|5(р) I а> для
всех а, т. е. в силу сильной вогнутости функции з(х),
каждый вектор |а> должен был бы быть собственным
вектором р, что невозможно.
. Еще одно важное свойство энтропии SC1 заключается
в ее монотонности. Пусть pi2 — матрица плотности кван-
товой системы в пространстве L2 (IR) ® L2 (R) и пусть
lai, a2> = lcti> ® la2>. Определим Pi2(an аа) согласно
формуле
Рхз (aii ~ a2 IP12I ai!	(21.8)
и пусть pj1 (ах) соответствует матрице плотности р4 =
=-tr2p12. Тогда, как показал Верль [247], справедливо не-
равенство
S (pf2 (alf a2)) > S (p?) = 5?.	(21.9)
Отметим, что это свойство энтропии, которое можно было
бы ожидать, исходя из физических соображений, вообще
говоря, не выполняется для квантовой энтропии (см.
[247]).
В работе Верля [247] была выдвинута также
Гипотеза. Минимум величины 5е1 равен единице (не
зависит от Ъ). Этот минимум достигается лишь для мат-
риц плотности вида p=la><al, где |а>—обычное глау-
беровское когерентное состояние.
Доказательство этой гипотезы приведено в работе Ли-
ба [182], а здесь мы приведем лишь доказательство сле-
дующей леммы:
если матрица плотности р минимизирует 5е1, то
р — I^Xipl.
Доказательство. Пусть Р = 2 I фг> |, %, > 0 и
2 Af = 1. Тогда рс1 (з) = 2 Д-iPi (з), где р{ (з) = <з|Рф.|г>.
244
Йо из вогнутости функций s(x) следует s(pcl(z))^
^S^is(Pi(z)), и здесь равенство достигается, если и
только если pi(z) = pj(z) почти всюду для всех I и /.
Предположим, что pi — проекция на е L2 (R). Пусть
w=q+ip^C и пусть /i(») = J ^(ж) ехр (—ж2/2 +
+ wx) dx. Тогда fi(w)— целая функция переменной w,
и из равенства почти всюду р4(г) = рДг) следует, что
| = Ifj(iv) I для всех w, и следовательно, /<(и>) =
— fi(w)exp(if)(w)), где функция 0(«?) вещественна и ана-
литична в тех точках, где /4(ш) ^=0. Значит, 0(гп) = const.
Далее, из единственности преобразования Фурье следует
ф* — Атрд, где |Л| = 1 почти всюду, и потому =Л|>^ что
противоречит исходному предположению.
Обобщая гипотезу Верля, Либ в работе [182] выдви-
нул для случая спиновых когерентных состояний следую-
щую гипотезу.
Пусть {|п>} — множество спиновых когерентных со-
стояний. Тогда для данной матрицы плотности р образу-
ем функцию рс1(п)= <п|р|п> и
где
5cI (р) = s(pcl (п)),
5 (/) = — f / (п)1п / (п) d№ (п)>
d\ij (n) = sin 0 dB d(f.
(21.10)
(21.11)
Монотонность Scl и неравенство №' SQ остаются спра-
ведливыми и для этого случая. Из простых вычислений
следует, что поскольку <n' | Рп | n'> = (cos у) 3, где 0 —
угол между векторами п и п', то
5е1 (Рп) = 277(2/+ 1).	(21.12)
Гипотеза (Либ [182]):
5cl(pQ)^2//(2/ + l).	(21.13)
Справедливость этой гипотезы для / = 1/2 легко доказы-
вается ([182]), однако для случая произвольного / дока-
зательство неизвестно.
Другое неравенство для энтропии в терминах одноча-
стичных распределений получено Тиррингом [239]. Пусть
р — матрица плотности для системы бозонов или фермио-
245
нов. С этой матрицей плотности связана одночастичная
матрица плотности
Pi= 2 |?п'><7п| tr(po4?am), (21.14)
771,77l'
и можно определить одночастичные распределения в фа-
зовом пространстве
p(q, к) = tr(pa(t,k)a(q.k)).
Здесь векторы | тп> е L1 2 (R3 *) являются элементами орто-
нормированного базиса, а векторы вида lq, k> ~
~ g(x — q)exp(ikx) с функцией g(x)eA2(R3) образуют
полный набор векторов в гильбертовом пространстве
Пусть af = J а (х) / (х) dx и а/ — J а+ (х) / (х) dx — опера-
торы уничтожения и рождения для состояния, характери-
зуемого данной функцией /(х). Тогда энтропия всей си-
стемы ограничена некоторым одночастичным выра-
жением.
Теорема [239].
S(р) = — tr(pin р)< — tr [рх In рх ± (1 + рх) In (1 =F рх)]^
s si (Pi) C — J [p (q, k) In p (q, k) ±
± (IT p (q, k)) In (IT p (q, k)j] (21.15)
(2л)
Здесь символ tr означает след операторов в пространстве
A2(R3), а верхний (нижний) знак в формулах соответ-
ствует статистике Ферми (Бозе).
Замечания.	*
1. Величина lV = trp! является средним числом частиц.
Поскольку для фермионов числа заполнения пт 1, мы
имеем операторные неравенства 0 < рХ 1Z7V. Соответ-
ственно
1р<’’к)й?-ЛГ “
Таким образом, оба вклада в формуле (21.15) в случае
фермионов являются положительными.
2. Теорема утверждает, что в случае, когда состояние
системы является произведением состояний, мы имеем
246
максимальную энтропию для данного одночастичного рас-
пределения. Таким образом, отсутствие корреляций при-
водит к максимальному хаосу. Величина St не определя-
ется только лишь одночастичной матрицей плотности.
Она отличается от величины —tr(p! In р,) лишь вкладом
дырок, которые описываются матрицей плотности (1 —р,).
3. Как следствие неравенства Клейна матрица плотно-
сти р, = [ехр (—0 {h — ц)) ± I]-1 максимизирует величину
Si при фиксированных значениях tr(p,fe) и ta^p,). Ана-
логично, для фиксированных значений интегралов
Н' ЮР(ч,к)^ и
матрицы плотности
Pf, в (q, к) = {ехр [—0 (h (q, к) — р.) ] ± I)-1
максимизируют интеграл для S. Отметим, что в работе
[239] эти неравенства были использованы для простого
вывода теории Хартри и Томаса — Ферми.
Глава 22
СВЕРХТЕКУЧЕСТЬ
СЛАБОНЕИДЕАЛЬНОГО БОЗЕ-ГАЗА
Как было показано Боголюбовым [13], эта задача сво-
дится к задаче нахождения спектра и волновых функций
гамильтониана, квадратичного по операторам рождения
и уничтожения бозонов. В той же работе указан и способ
решения задачи, состоящий в диагонализации гамильто-
ниана с помощью линейного канонического преобразова-
ния, которое получило затем название канонического
преобразования Боголюбова. Здесь мы, следуя [98, 233],
рассмотрим упрощенную модель сверхтекучести.
Множество линейных канонических преобразований
этой задачи образует определенную группу, а именно пря-
мое произведение групп SU (i, 1). При этом основное со-
стояние гамильтониана оказывается КС, связанным с
определенным представлением этой группы.
Рассмотрим сначала упрощенную модель сверхтеку-
чести [98]. Пусть наша система состоит из N слабо
взаимодействующих бозонов и описывается следующим
247
гамильтонианом:
Н =	+ "«j"	k^’P+k^q—k^'(fl-qi	.
k	h,p,q	(22.1)
eh = №l2m.
Ограничимся сначала тремя состояниями, так что р, q и
к принимают лишь значения (—1, 0, +1), и пусть е±1 = е,
V± — V и ео=Ио = О. Тогда гамильтониан (22.1) прини-
мает вид
Я = е (aje+ + ata-) + V [«^а0 (офг+ + ata-) +
+ a$a±at + ад2а+а-], (22.2)
где мы использовали обозначения а± — а±1. Для V — 0 ос-
новное состояние состояло бы из N частиц с нулевой
энергией. Предположим, что для слабо взаимодействую-
щей системы состояние с нулевой энергией является мак-
роскопически заполненным (так что мы можем считать
операторы а0 и а^ с-числом, равным УМ, где No = <а^а0>)
Это и есть физическое предположение, из которого следу-
ет сверхтекучий характер модели. Таким образом, реду-
цированный гамильтониан имеет вид
Ягеа = (е + Я0У)(4а++ ata-)+ N0V(atat + а+а-). (22.3)
Мы видим, что редуцированный гамильтониан линеен по
операторам представления Т1/2 алгебры Ли группы
S17(1, 1):
Ягеа = 2Яо7(рЛо + Я1-4|А р = 1+^. (22.4)
Итак, наша задача сведена к уже решенной ранее задаче
о спектре и собственных функциях оператора
Яп = ЙоЯо - Й.Я. - Й2Я2 = ПК, (22.5)
где
Йо = 2ЯоИц, Qx = -2My, Й2 = 0.	(22.6)
В рассматриваемом нами случае оператор Я дается фор-
мулами (22.5), (22.6), а для его упрощения достаточно
рассмотреть «вращение» вокруг оси xz:
R (0) = ехр (—г'Я20),
К[ = Я (0) ЯХЯ-1 (0) = ch (0) -Ях + sh 0-Я2, (22.7)
Яо = Я(0)ЯоЯ-1(0) = сЬ0-Яо + 8Й0-ЯХ,
248
так что
т?(е)яя-*(е) =
= 22VOF[^0 (|х ch е - sh 9) + (ch 0 - иsh 0) - 1/2]. (22.8)
Поскольку IthOl < 1, то в зависимости от знака потен-
циала V после поворота можно получить операторы К
или Ко.
Таким образом, в случае:
1. У<0 (потенциал притяжения), р<1, возьмем
th 0 = ц:
RHR-'=-2N0V (К, sch0 + pi/2), 2N0\V\>e. (22.9)
2. V > 0 (потенциал отталкивания), ц > 1, возьмем
cth. 0 = ц:
RHR-* = 2NoV(Ko csch 0 - ц/2) .	(22.10)
Отсюда следует, что в первом случае спектр энергий не-
прерывен. Второй случай представляет больший физиче-
ский интерес, так как при этом спектр энергий дискретен.
Из (22.10) следует, что
Еп = (2я+1+ |Д|)£-1¥оИ-е,	(22.11)
где Е = У2еЛ10У + е2, а Д — собственное значение опера-
тора ata^—ata— При этом собственные векторы имеют вид
|	> =/?-х (0) |n> = ^-№±)n|Y0>,	(22.12)
где
|Т0> =/?-1 (0) 10>, 4 = Я“1(0)4/?(0). (22.13)
Таким образом, собственные векторы являются когерент-
ными состояниями, связанными с представлениями Тк
дискретной серии группы SU(i, 1). В простейшем случае
Д = 0, к — 1/2, имеем
1^о> = SC-irschlJthlpl/n) (22.14)
m	'	'
ИЛИ
|Т0> = (l-Z2)1/2exp(-i4ai)|0>,	(22.15)
где
f = th(0/2)=-£o/MK
Заметим, что преобразование (22.13) является линейным
каноническим преобразованием операторов а* и а_
&+ = иа£ + оа_, b_ = иа_ + va\. (22.16)
249
Это -преобразование было впервые использовано для ре-
шения задачи о сверхтекучести слабонеидеального бозе-
газа в известной работе Боголюбова [13].
Перейдем теперь к рассмотрению слабонеидеального
бозе-газа, описываемого гамильтонианом (22.1). Исполь-
зуя, как и ранее, приближение Боголюбова аа=а,+~ Yno,
можем записать Н в виде
н = 4	+ 2 (^ + Novh) aUh +
й
+	2 ^й (дйД-й + дйд-й)<> (22.17)
й
где суммирование проводится по всем значениям к, за
исключением к = 0, и оставлены лишь члены второго по-
рядка по ак и ак. В этом же приближении имеем N =
= Ar0 + 2fy?«/i, и наш гамильтониан можно переписать
й
в виде
+ 2 (ей + М^й) aitat +
+ 5 2 («й Л+ дй«-й). (22.18)
Введем операторы
К1 = -% (<lq + ЯдЯ—g),
7^2 = g О’-q Uqil—qJ,
Rq —~2^(.ata9 +	g + 1)-	(22.19)
Мы видим, что эти операторы генерируют алгебру Ли
группы SU(1, l)g, а гамильтониан является линейной
комбинацией генераторов этой алгебры
Н = 2 NqVq + Ц3^9) - Цд/2) +
9
Цд = 1 + 8д/ЛГ0Гд. (22.20)
Как и раньше, в случае Уд<0, |цд1 <1, мы имеем не-
прерывный спектр, а в случае Vq > 0 или цд > 1 гамиль-
тониан можно упростить с помощью унитарного преобра-
зования
7? = ТТ ® R (Од), R (Од) = ехр (— iK^Qg), 0д = cth цд,
’	(22.21)
250
так что
1Ш1Г1 = S (each 0д.7Г<9) - jig/2) /V0Fg + VaA^0. (22.22)
Операторы Казимира имеют вид
Cg = K(f-K^-K^ = (Дд —1)/4, (22.23)
где интегралами движения Дд = aq aq — a-qa_q являются
разности чисел частиц в состояниях с противоположными
импульсами. Поскольку спектр энергий должен быть огра-
ничен снизу, то единственное разрешенное представле-
ние — это
П ® т\ kq = 1/2 + Дд/2.	(22.24)
в
Мы видим теперь, что спектр энергий имеет вид
£(«!, ... nt, ...) = 2( Til + 4- + 4-1 Дг П El + const,
i \	2	2	/
' (22.25)
где
Ei = (2егад + е?)1/2.
Волновая функция основного состояния для случая Дг = О
имеет вид
I ^о> = [П •(! - t2)1'2 ехр (2 (- Ua+atJ)] 10>, (22.26)
I I	\ m	j)
где
f, = th (0/2).
Приложение 1
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОЛНОТЫ НЕКОТОРЫХ ПОДСИСТЕМ КС
В § 1.4 было доказано, что подсистема когерентных
состояний {1а4>) полна тогда и только тогда, когда не су-
ществует целой функции ф(а) такой, что г|?(аА) = 0 и
J | гр (а) |2 ехр (— | а |2) d2a < оо.
Заметим, что утверждение А этого параграфа оче-
видно.
Докажем утверждение Б: система {|аА>} полна, если
{аД не содержит точку а = 0 и
2КГ'=”	(1.1)
k
при некотором е > 0. Это утверждение является следстви-
ем общих теорем относительно связи порядка роста це-
лой функции с распределением ее нулей.
Напомним, что порядком роста X целой аналитической
функции /(z) называется число
.	р— In In М (г)
Л = h m-------,-----—
In г
(1.2)
где М (г) — максимум модуля функции /(z) на окружно-
сти |z| — г, lim = limsup — верхний предел. Соответствен-
но число
р— In М (г)
u = hm-------------
*	-.л
(1-3)
называется типом функции /(z).
Пусть {аД — последовательность нулей целой функ-
ции /(z). Последовательность {аД характеризуется так
называемым показателем сходимости. Это число %, такое,
что для любых сколь угодно малых е > 0 и б > 0 ряд
21 «л 1 1 сходится, а ряд 2 I “л I 1 расходится. Что
252
касается ряда 21 аИ \ то он может как сходиться, так
h
и расходиться.
Из теории целых функций [78] известно, что порядок
роста X целой функции /(z), имеющей нули в точках
{ад}, не меньше показателя сходимости последовательно-
сти {aft}
Условие (1.1) эквивалентно условию Xt>2. Следова-
тельно, порядок роста Л. функции /(z) с нулями в точках
{ад} больше двух: X > М > 2. Ясно, что при этом
J | /12 ехр (— | z |2) d?z = оо, и следовательно, система
{|осА>} полна. Соответственно при X, < 2, а также при
%! = 2 и при условии сходимости ряда 21	|-2 система
{1ад>} неполна. Если же Xi — 2 и ряд 2 | «й Г2 расхо-
дится, то для решения вопроса о полноте подсистемы
{|а4>} требуется иметь более подробную информацию о
распределении точек ак на a-плоскости (детали см. в ра-
боте [37]). В этом случае нетрудно построить целую
функцию второго порядка роста (X = 2) с нулями в точ-
ках {а4}. При этом согласно теореме (9.1.1) книги [79]
тип р, функции f(z) должен удовлетворять неравенствам
1 ,. У (г)
г-*оо '

А 1 i m (г)
2в r->OO	*
(1.4)
(1-5)
где N(r) — число точек {ад} в круге |z| < r,lim= liminf —
нижний предел,lim= limsup—верхний предел.
Отсюда следует, что система когерентных состояний
полна при = 2 и выполнении любого из условий
1- У(гУ 4
11 ш—22 > 1,
У(г)
11Ш—22
Г-»оо Г
(1-6)
(1-7)
Перейдем к рассмотрению случая В, когда точки ак
образуют правильную решетку на а-плоскости:
{а*} = {amn — mat + п®2},
где периоды решетки ан и ®2 линейно независимы —
Im(®a®1)¥= 0, а т и п пробегают все целые числа.
.253
Заметим прежде всего, что в случае правильной ре-
шетки с площадью элементарной ячейки S
(1.8)
Г—> оо Г	Г-»оо Г	”
Теперь из условия (1.6) сразу же следует справедли-
вость первой части теоремы.
Рассмотрим теперь решетку с S > л. Для доказатель-
ства второй части теоремы построим целую функцию,
принадлежащую пространству ST и обращающуюся в
нуль во всех точках решетки а™,.. Последнему условию
удовлетворяет о-функция Вейерштрасса (см., например,
книгу [67])
о(а) = а П 71-^-) ехр	(1.9)
т.п \ тп/ \ тп 4 \^тп' /
Здесь штрих означает, что в произведение (1.9) не
входит член с т = 0, п = 0.
Хорошо известно [67], что порядок роста о-функции
равен двум: X = 2. Можно показать далее, что существует
число v такое, что тип ц функции о(а) = ехр(—va2)o(a)
является минимально возможным при заданных нулях
{атп} и дается формулой
ц = л/23.	(1.10)
Оказывается, что при этом
|о(а)|2 = р(а, а)ехр(2ц|а12),	(1.11)
где р(а, а) — дважды периодическая функция с периода-
ми ®i и ®2. Нетрудно видеть, что при S > л интеграл
I — J | о |2 ехр (— | z |2) d2z сходится. В этом случае
функция о (а) определяет вектор	ортогональ-
ный всем состояниям |amn>, и следовательно, подсистема
{lamn>} не полна. Тем самым вторая часть теоремы
доказана.
Из соотношения (1.11) видно также, что при 8 = л
интеграл I расходится для любой целой функции, имею-
щей нули в точках <х„,п. Следовательно, при 3 — л система
полна.
Заметим далее, что при выбрасывании из системы со-
стояния | атпопо> вместо функции о (а) мы должны рас-
смотреть функцию Oi(a) = (a —сстп)-1о(а). Поэтому во-
254
прос о полноте в этом случае сводится к исследованию
сходимости интеграла
<"2>
Можно показать, что такой интеграл расходится, и
следовательно, при выбрасывании одного состояния си-
стема {|ат„>} еще остается полной.
Теперь выбросим из системы {|атп>} два каких-либо
состояния |а,пхпх> и |атп2п2>. Как и прежде, приходим к
рассмотрению интеграла
_____р (а, а) d2a_
1а-а’"1п1На~а-л12’
(1.13).
Нетрудно видеть, что такой интеграл сходится. Следо-
вательно, при выбрасывании двух любых состояний си-
стема становится неполной. Это завершает доказательство
теоремы.
Приложение 2
МАТРИЧНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ОПЕРАТОРАМИ)
Прежде всего дадим вывод формулы (1.168) для мат-
ричных_элементов оператора D(у). Производящая функ-
ция G(a, р) для них имеет вид
т,п
“ш ОП
I 06  р —
wn-I/~ I -I/”7 “
у т\ у п!
= ехр I — 1-Ы-1 ехр (оф + ау — Ру).
(2.1)
Разлагая ее в ряд по степеням аир, получаем
G =
ехр
| Y 1а\ у gni+W2pWl+”3vW2(_ т)”з
2	п1!п2!ге3!
= ехр(-Ш!)
Отсюда находим
т—п
(2.2)
т—п. /	—\П—п.
У 1 (- у) 1
nJ (m. — пх)] (и — пх)!
min(7n,n)
Dmn =	№•! П.1
nj=0
ехр
(2.3)
255
Рассмотрим сначала случай т — п + к > п. Тогда
n = 1/ Ы ехп (_ Ш!| У (~ ТТ)П~П1(п + ^)!
(2.4)
Воспользуемся теперь выражением для полиномов Ла-
герра (см., например, [80]);
Lh (Х\ - У г<" + ^ + 1)	(2 5)
s! (n_s)Ir(A + e + 1)-
Сравнение (2.4) и (2.5) дает
fl-“- T^»p(-4LV""t;r’‘(^is)- <2-6>
При т С п имеет место аналогичная формула
О.. - / j ехр (- '-if) (-	(I Т р). (2.7)
Заметим, что выражение (2.5) для полиномов Лагерра
имеет смысл и для отрицательных значений к. При этом
из (2.5) находим соотношение симметрии
Lm+k (ж) =	(— ^)hLm (х).	(2.8)
Таким образом, формулы (2.6) и (2.7) эквивалентны.
Заметим, что из условия унитарности |Z)mnl Cl сле-
дует неравенство
| ехр (— г/2) rh,iL\ (г) 1	при (п + /с)>0.
(2.9)
Запишем теперь матричный элемент <mlZ)(y)ln> в пред-
ставлении Фока — Баргмана, причем для оператора Z)(y)
воспользуемся антинормальной формой записи £>(у) =
= exp^-y-j ехр(— уа) ехр(уа+). Для функции Dmn(y)
получаем следующее интегральное представление:
<m\D(y)\n) ==—4=ехрШ- С ехр (— \ z |2) X
у т\п\ & v
X ехр (yz —у z ) z’nz”rf|r (z). (2.10)
256
Сравнивая это выражение с выражением (2.6), полу-
чаем следующее интегральное представление для поли-
номов Лагерра:
?Л^(|у|2) =
= ехр | у |2 f ехр (yz — yz)zh | z |2пе-|г| йц (z).	(2.11)
7l\	l)
Полагая в этом интеграле г = рехр(г<р) и интегрируя по
<р,- получаем
СЮ
Lhn (х) = x--h/2n^-x- J ехр (- t) tn+k/2Jk (2 /й) dt. (2.12)
о
Далее, умножая обе части соотношения (2.11) на tn,
суммируя по п и интегрируя, находим производящую
функцию для полиномов Лагерра:
S tnLn (| У |2) = у~к ехр | у |2 X
п
X j ехр (— | z |2 + 11 z |2) ехр (yz — у z) zh dp, (z); (2.13)
2 tnLhn (x) = (1 - t)~№+1) exp (-	);
|i|<l, k^O.	(2.14)
Наконец, полагая в (2.11) k—m — n, умножая обе
части соотношения на tn, суммируя по п и интегрируя,
получаем
2 tnL™~n (х) = (1 + t)m ехр (- tx). (2.15)
п
Далее используем представление Фока — Баргмана и
формулу для действия оператора D(y) в этом представ-
лении. Получаем еще одно интегральное представление
для полиномов Лагерра
№ (| У |2) = J ехр (—|z |2) ехр (yz) zn+h dp, (z).
(2.16)
Это интегральное представление можно переписать в виде
•Dn+h,n (?) = J <рп+й (z) <рп (г — y)expvz^Jz tfyt(z)a (2.17)
17 А. М. Переломов
257
где введено следующее обозначение:
фп = ехр еХ₽ р2/2)6ХР (2‘18)
Заметим, что функции <pn(z) являются собственными
функциями гамильтониана двумерного гармонического
осциллятора.
Пусть п > 1. Тогда функция <p„(z) имеет узкий мак-
симум, который определяется условием
р = Уп,	(2.19)
т. е. функция <pn(z) сосредоточена вблизи окружности ра-
диуса р = Уп. Поэтому при п > 1 и т Э> 1 получаем гео-
метрическую картину, изображенную на рис. 3.
Рассмотрим две возможности.	_
1	._|у| >_Уп. В этом случае окружности 1а1=Утп и
1а —71=Уп пересекаются, и следовательно, />т„(у) не
являются экспоненциально малыми, если
l-f I - Уп < Уй < |уI + Уп.	(2.20)
2	. 1у! < Утг. В этом случае Dmn(i) не являются экспо-
ненциально малыми при выполнении условия
Угг — Iу! < Ути-< Iу I Ч-Утг.	(2.21)
Эти два условия можно объединить в одно:
|У«—lyll <Ут< Уп +|у|.	(2.22)
Иными словами, величины Ут, Уп и ly I должны удов-
летворять условиям треугольника. При этом при т > 1 и
258
n > 1 асимптотически точное выражение для wmn —
~ 1-Отп(у) I2, усредненное по осцилляциям, дается выра-
жением
•2,2	1
Р + 9 w
-----т
Wmn
2	\
----п I dpdq^
а = Ц^,
УГ
У2 *
(2.23)
Т =
Наконец матричный элемент можно также вы-
числять, используя координатное представление. Отсюда
получаем выражение для интеграла
J ехр (— ж2 Т г ]^2 гх) Нт (ж) Нп (ж) dx =
n4-m	.	.
--- ------ / «j \
= /л 2 2 т\ (ir)n~mexp	(2.24)
\ ы /
Приведем еще несколько полезных формул.
Матричный элемент <иг|2>(а) [тг> нетрудно преобразо-
вать к виду
<zzi | D (а) | п> =
-Д=<01 amD (а) (а+)" 10> = (rnlnl)-^ х
у mini
X ехр 1 атехр (— аа) ехр(аа+)(а+)п| 0> =
/ I tx—1/2	а|2У д\т ( д\п (
= (Ы/г!) /2ехр^Д--=) Ы 6ХР'
Ц^). (2.25)
Вычислим также производящую функцию для квадра-
тов матричных элементов. Используя формулу (2.10), по-
лучаем
F (и, v; у) = S umvn | < т | D (у) | п> |2 =
= ехр | у |2 J ехр {— (| а |2 + | Р |2) + (ау — ау) +
+ (Ру — Ру) + (гюф + f₽a)] d[i(a)<fyi(p). (2.26)
Этот интеграл гауссовский и легко вычисляется. В резуль-
тате получаем
F (и, V, у) = (1 - uv)~l ехр (| у |2) ехр (-	~’“) •
(2.27)
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1.	Арнольд В. И. Математические методы классической механи-
ки,— М.: Наука, 1974.— 432 с.
2.	Вазъ А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А. М. Рассеяние, ре-
акции и распады в нерелятивистской квантовой механике.—
М.: Наука, 1971.—544 с.
3.	Барут А., Рончка Р. Теория представлений групп и ее прило-
жения: Пер. с англ. В 2-х т., Т. 1, 456 с., Т. 2, 396 с,— М.: Мир,
1980.
4.	Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции:
Пер. с англ, в 3-х т., Т. 2. Функции Бесселя, функции парабо-
лического цилиндра, ортогональные многочлены.— М.: Наука,
1966.— 296 с.
5.	Белавин А. А., Зельдович Б. Я., Переломов А. М. и др. Релак-
сация квантовых систем с эквидистантным спектром.— Пре-
принт ИТЭФ, № 622, 1968.
6.	Белавин А. А., Зельдович Б. Я., Переломов А. М. и др.—
ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 264.
7.	Березин Ф. А. Метод вторичного квантования.— М.: Наука,
1965,— 236 с.
8.	Березин Ф. А.— Функцией, анализ и его прилож., 1967, т. 1,
№ 2, с. 1.
9.	Березин Ф. А.— Мат. сб., 1971, т. 86, с. 578.
10.	Березин Ф. А— Изв. АН СССР, сер. мат., 1974, т. 38, с. 1116.
И. Березин Ф. А,— ДАН СССР, 1978, т. 241, с. 15.
12.	Березин Ф. 4.—Успехи физ. наук, 1980, т. 132, с. 497.
13.	Боголюбов Н. Н.— ТАзъ. АН СССР, сер. физ., 1947, т. И, с. 77.
14.	Брагинский В. Б., Воронцов Ю. И., Халили Ф. Я.— ЖЭТФ, 1977,
т. 73, с. 1340.
15.	Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представле-
ний групп.— М.: Наука, 1965,—588 с.
16.	Гельфанд И. М., Минлос Р. А., Шапиро 3. Я. Представления
группы вращений трехмерного пространства и группы Лорен-
ца.— М.: Физматгиз, 1958.— 368 с.
17.	Гельфанд И. М., Граев М. И., Виленкин И. Я. Интегральная
геометрия и связанные с ней вопросы теории представле-
ний.— М.: Физматгиз, 1962,—656 с.
18.	Гельфанд И. М., Граев М. И., Пятецкий-Шапиро И. И. Теория
представлений и автоморфные функции.— М.: Наука, 1966.—
512 с.
19.	Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, ря-
дов и произведений.— М.: Физматгиз, 1971.— 1100 с.
260
20.	Грановский Я. И., Димашко Ю. А.— Укр. физ. Ж., 1974, т. 19,
с. 1456.
21.	Грановский Я. И., Димашко Ю. А.— Жури, эксперим. и теорет.
физ., 1975, т. 68, с. 1991.
22.	Грановский Я. И., Жеданов А. С.— Письма в ЖЭТФ, 1985,
т. 41, с. 312.
23.	Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эф-
фекты в интенсивных внешних полях.— М.: Атомиздат, 1980.—
296 с.
24.	Гуткин Е.— Функцией, анализ и его прилож., 1975, т. 9, № 3,
с. 89.
25.	Демков Ю. И., Островский В. Я., Соловьев Е. А.— Журн. экс-
перим. и теорет. физ., 1974, т. 66, с. 125.
26.	Дубровин Б. А., Новиков С. П,— Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1980, т. 79, с. 1006.
27.	Дыхне А. М.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1960, т. 38,
с. 570.
28.	Желобенко Д. П. Компактные группы Ли и их представле-
ния.— М.: Наука, 1970.— 664 с.
29.	Зельдович Я. Б.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51,
с. 1492.
30.	Зельдович Я. Б.— Успехи физ. наук, 1968, т. 95, с. 209.
31.	Зельдович Б. Я., Переломов А. М., Попов В. С. Релаксация
квантового осциллятора. I, II.— Препринты ИТЭФ № 612, 618,
1968.
32.	Зельдович Б. Я., Переломов А. М., Попов В. С.— Журн.
эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 55, с. 589; 1969, т. 57,
с. 196.
33.	Зельдович Я. Б., Питаевский Л. П., Попов В. С. и др.—Успе-
хи физ. наук, 1971, т. 105, с. 780.
34.	Зельдович Я. Б., Старобинский А. А.— Журн. эксперим. и тео-
рет. физ., 1971, т. 61, с. 2161.
35.	Зигель К. Автоморфные функции нескольких комплексных пе-
ременных: Пер. с нем.— М.: ИЛ, 1964.— 168 с.
36.	Ивантер И Г., Смилга В. П,— Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1968, т. 54, с. 559.
37.	Нарасев В. П., Шелепин Л. А.—Труды ФИАН, 1980, т. 124,
с. 49.
38.	Кириллов А. А. Элементы теории представлений.— М.: Наука,
1978 — 344 с.
39.	Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики: Пер. с
англ.— М.: Мир, 1970.— 428 с.
40.	Когерентные состояния в квантовой теории/Сб. статей — М.:
Мир, 1972 — 232 с.
41.	Костант Б.— Успехи мат. наук, 1973, т. 28, № 1, с. 163.
42.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в
10-ти т., Т. 1. Механика.— М.: Физматгиз, 1958.— 206 с.
43.	Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Курс теоретической физики в
10-ти т., Т. 3. Квантовая механика.— М.: Физматгиз, 1963.—
704 с.
44.	Левин Б. Я. Распределение нулей целых функций.— М.: Гос-
техиздат, 1958.
45.	Лизин И. М., Махвиладзе Т. М., Шелепин Л. А.— Труды
ФИАН, 1976, т. 87, с. 21.
46.	Малкин- И. М., Манъко В. И. Дйнамические симметрии и коге-
рентные состояния квантовых систем.^- М.: Наука, 1979.—
320 с.
261
itl. Маргулис Г. А.— Функцией, анализ и его прилож., 1969, т. 3,
№ 4, с. 89.
48.	Маринов М. С., Попов В. С.— Ядерная физика, 1972, т. 15,
с. 1271.
49.	Махвиладзе Т. М., Шелепин Л. А.—Труды ФИАН, 1973, т. 70,
с. 120.
50.	Молчанов В. Ф,— Функцион. анализ и его прилож. 1980, т. 14,
№ 2 с. 73
51.	Монастырский М. И., Переломов А. М.— ДАН СССР, 1972,
т. 207, с. 1303.
52.	Паймарк М. А. Линейные представления группы Лоренца.—
М.: Физматгиз, 1958.— 376 с.
53.	Нарожный И. В., Никишов А. И.— Ядерная физика, 1970, т. 11,
с. 1072.
54	Фон Нейман И. Математические основы квантовой механики:
Пер. с нем.— М.: Наука, 1964.— 368 с.
55.	Носов В. Г., Яковлева И. В.— Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1962, т. 43, с. 175.
56.	Переломов А. М.— Журн. эксперим. и теорет физ., 1961, т. 40,
с. 1418.
57.	Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1966, т. 50, с. 179.
58.	Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1968, т. 54, с. 1799.
59.	Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ.,
1969, т. 56, с. 1375.
60.	Переломов А. М., Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет.
физ., 1969, т. 57, с. 1684.
61.	Переломов А. М., Попов В. С.— Теорет. и мат. физ., 1969, т. 3,
с. 360.
62.	Переломов А. М.— Теорет. и мат. физ., 1971, т. 6, с. 213.
63.	Переломов А. М.— Функц. анализ и его прилож., 1972, т. 6,
№ 4, с. 47.
64.	Переломов А. М.— Функц. анализ и его прилож., 1973, т. 7,
№ 3, с. 57.
65.	Переломов А. М.—Теорет и мат. физ., 1973, т. 16, с. 303.
66.	Переломов А. М. Препринт ИТЭФ № 46,— М., 1974.
67.	Переломов А. М — Теорет и мат. физ., 1974, т. 19, с. 83.
68.	Переломов А. Л/.—Успехи физ. наук, 1977, т. 123, с. 23.
69.	Переломов А. М.— Ядерная физика, 1979, т. 29, с. 1688.
70.	Попов В. С.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1972, т. 62,
с. 1248.
71.	Ритус В. Я.—Журн. эксперим. и теорет. физ., 1966, т. 51,
с. 1544.
72.	Ритус В. И.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1969, т. 57,
с. 2176.
73.	Румер Ю. В.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1948, т. 18,
с. 1081.
74.	Сигал И. Математические проблемы релятивистской физики:
Пер. с англ.— М.: Мир, 1968.
75.	Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций
в радиотехнике.— М.: Советское радио, 1961.
76.	Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения:
Пер. с англ.— В 2-х т.— Т. 2.— М.1 Мир, 1967.— 752 с.
77.	Филиппов Г. Ф., Василевский В. С., Чоповский Л. Л.— ЭЧАЯ,
1984, т. 15, выл. 6, с. 1338—1385.
262
78.	Форд Л. Автоморфные функции.—М.—Л.: ОНТИ. 1936,—
340 с.
79.	Хуа-Ло-Кен. Гармонический анализ функций многих комп-
лексных переменных в классических областях.— М.: ИЛ,
1959.
80.	Чженъ Ш.-Ш. Комплексные многообразия.— М.: ИЛ, 1961.—
240 с.
81.	Шапиро И. С.— ДАН СССР, 1956, т. 106, с. 647.
82.	Шапиро И. С.— Т&уря. эксперим. и теорет. физ., 1976, т. 70,
83.	Шварц А. С,—ДАН СССР, 1967, т. 173, с. 793.
84.	Шелепин Л. А.— Журн. эксперим. и теорет. физ., 1968, т. 54,
с. 1463.
85.	Янсен Д — Ядерная физика, 1977, т. 25, с. 897.
86.	Arecchi F. Т., Courtens Е., Gilmore R., Thomas Н.— Phys. Rev.,
1972, v. А6, р. 2211.
87.	Aronszajn А.— Trans. Amer. Math. Soc., 1950, v. 68, p. 337.
88.	Anderson P. W.— Phys. Rev., 1958, v. 112, p. 1900.
89.	Bacry H., Grossman A., Zak j.— Phys. Rev., 1975, v. B12,
p. 1118.
90.	Bargmann V.— Ann. Math., 1947, v. 48, p. 568.
91.	Bargmann V.— Comm. Pure Appl. Math., 1961, v. 14, p. 187.
92.	Bargmann V — Rev. Mod. Phys., 1962, v. 34, p. 829.
93.	Bargmann V,— Comm. Pure Appl. Math., 1967, v. 20, p. 1.
94.	Bargmann V.— in: Analytic methods in mathematical physics.
N. Y.: Gordon and Breach, 1970, p. 1.
95.	Bargmann V., Butera P., Girardello L., Klauder J. R.— Reps.
Math. Phys., 1971, v. 2, p. 221.
96.	Bars I., Giinaydin M.— Comm. Math. Phys., 1983, v. 91, p. 31.
97.	Barut A., Girardello L.— Comm. Math. Phys., 1971, v. 21,
p. 41.
98.	Bassichis W. H., Foldy L. L.— Phys. Rev., 1964, v. A133,
p. 935.
99.	Bellissard J., Holtz R.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 1275.
100.	Bellman R. A brief introduction to theta functions. N. Y.: Holt,
Rinehart and Winston, 1961.
101.	Berezin F. A.— Comm. Math. Phys., 1975, v. 40, p. 153.
102.	Berezin F. A.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 63, p. 131.
103.	Bergmann S. The kernel functions and conformal mapping,
Math. Surveys No. 5, Amer. Math. Soc., 1950.
104.	Boas R. P.— Ann. Math., 1946, v. 47, p. 21.
105.	Boas R. P. Entire functions. N. Y.: Acad. Press, 1954.
106.	Boon M., Zak J., Zucker J.— J. Math. Phys., 1983, v. 24,
p. 316.
107.	Botke J., Scalapino D., Sugar R — Phys. Rev., 1974, v. D9,
p. 813.
108.	Cahill K — Phys. Lett., 1974, v. B53, p. 174.
109.	Calogero F.— J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 419.
110.	Carruthers P., Shih C.— Phys. Lett., 1983, v. B127, p. 242.
111.	Carruthers P., in: Proc. XlV-th Intern. Symp. on Multiparticle
Dynamics, World Sci. Publ. Co., 1984, p. 825.
112.	Cartier P — in: Proc. Symp. Pure Math., v. 9, Algebraic groups
and discontinuous subgroups. Providence, R. L: Amer. Math.
Soc. 1966, p. 361.
113.	Caves C., Thorne K., Drever R., Sandberg V., Zimmerman M.—
Rev. Mod. Phys., 1980, v. 52, p. 341.
263
114.	Chung V:— Phys. Rev., 1965, v. B140, p. 1110.
115.	Cummings F., Johnston R.— Phys. Rev., 1966, v. 151, p. 105.
116.	Curci G., Greco M., Srivastava У.— Phys. Rev. Lett., 1979, v. 43,
p. 834.
117.	D’Ariano G., Rasetti M., Vadacchino M.— J. Phys.: Math. Gen.,
1985, v. A18, p. 1295.
118.	D’Ariano G., Rasetti M.— Phys. Lett., 1985, v. A107, p. 291.
119.	Davies M., Heller E.— J. Chem. Phys., 1981, v. 75, p. 3919.
120.	Delbourgo R.— J. Phys: Math. Gen., 1977, v. A10, p. 1837.
121.	Delbourgo R., Fox J. R.— J. Phys.: Math. Gen., 1977, v. A10,
p. 1233.
122.	Dicke R. H.— Phys. Rev., 1954, v. 93, p. 99.
123.	Dunne L., Clark A., Brandas E.— Chem. Phys. Lett., 1983, v. 97,
p. 573.
124.	Eriksson K.-E., Skagerstam В.-S.— Phys. Rev., 1978, v. D18,
p. 3858.
125.	Eriksson K.-E., Mukunda N., Skagerstam B.-S.— Phys. Rev., 1981,
v. D24, p. 2615.
126.	Feldman A., Kahn A.— Phys. Rev., 1970, v. Bl, p. 4584.
127.	Feynman R. P.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 108.
128.	Flammand G.— J. Math. Phys., 1966, v. 7, p. 1924.
129.	Fock V. A.— Zs. f. Phys., 1928, v. 49, p. 339.
130.	Fowler G., Stelte N., Weiner R.— Nucl. Phys., 1979, v. A319,
p. 349.
131.	Fuller W., Lenard A.— Comm. Math. Phys., 1979, v. 69, p. 99.
132.	Girding L — Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1947, v. 33, p. 331.
133.	Ghosh G., Dutta-Roy B., Bhaumik D.— Plasma Phys., 1977, v. 19,
p. 1051.
134.	Gilmore R.— Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 391.
135.	Gilmore R.— J. Math. Phys., 1974, v. 15, p. 2090.
136.	Gilmore R.— Phys. Lett., 1976, v. A55, p. 459.
137.	Gilmore R., Bowden С. M.— J. Math. Phys., 1976, v. 17, p. 1617.
138.	Gilmore R., Feng D.— Phys. Lett., 1978, v. B76, p. 26.
139.	Gilmore R., Feng D.— Nucl. Phys., 1978, v. A301, p. 189.
140.	Gilmore R., in: Symmetries in Science, Plenum PubL, N. Y.,
1980, p. 105.
141.	Glauber R. J.— Phys. Rev., 1951, v. 84, p. 395.
142.	Glauber R. J.— Phys. Rev., 1963, v. 130, p. 2529.
143.	Glauber R. J.— Phys. Rev., 1963, v. 131, p. 2766.
144.	Gochev I. G — Preprint JINR E17-84-253. Dubna, 1984.
145.	Colden S — Phys. Rev., 1965, v. B137, p. 1127.
146.	Gomatam J.— Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 1292.
147.	Gordon J. P., Walker L. R., Louisell W. H — Phys. Rev., 1963,
v. 130, p. 806.
148.	Greco M., Palumbo F., Pancheri-Srivastava G., Srivastava У.—
Phys. Lett., 1978, v. B77, p. 282.
149.	Gross D., Neveu A.— Phys. Rev., 1974, v. DIO, p. 3235.
150.	Hammer C., Shrauner J., de Facio B.— Phys. Rev., 1978, v. D18,
p. 373.
151.	Harish-Chandra — Amer. J. Math., 1956, v. 78, p. 1.
152.	Hedlund E — Duke Math. J., 1946, v. 47, p. 21...
153.	Heisenberg W., Euler H.— Zs. f. Phys., 1936, Bd. 98, S. 714.
154.	Helgason S. Differential geometry, Lie groups and symmetric
spaces, N. Y.: Acad. Pres., 1978.
155.	Hepp K„ Lieb E. H — Ann. Phys., 1973, v. 76, p. 360; Phys. Rev.,
1973, v. A8, p. 2517.
264
156.	Holiday D., Glassgold A. E — Phys. Rev., 1965, v. A139, p. 1717.
157.	Hollenhorst J — Phys. Rev., 1979, v. D19, p. 1669.
158.	Horn D., Silver R.— Ann. Phys., 1971, v. 66, p. 509.
159.	Husimi K.— Progr. Theor. Phys., 1953, v. 9, p. 381.
160.	Itzykson C.— Comm. Math. Phys., 1967, v. 4, p. 92.
161.	Janssen A. Weighted Wigner distributions vanishing on latti-
ces, Caltech preprint, Berkley, 1979.
162.	Janssen A — J. Math. Phys., 1982, v. 23, p. 720.
163.	Jevicki A., Papanicolaou N.— Ann. Phys., 1979, v. 120, p. 107.
164.	Kibble T. W.— J. Math. Phys., 1968, v. 9, p. 315.
165.	Kibble T. W — Phys. Rev., 1968, v. 173, p. 1527; v. 174, p. 1882;
v. 175, p. 1624.
166.	Kibble T. W.— in: Mathematical Methods in Theoretical Phy-
sics, Gordon and Breach, N. Y., 1969, p. 387.
167.	Klauder J. R.— Ann. Phys., 1960, v. 11, p. 123.
168.	Klauder J. R — Bell System Tech. J., 1960, v. 34, p. 809.
169.	Klauder J. R — J. Math. Phys., 1963, v. 4, p. 1055; 1964 v 5
p. 177.
170.	Klauder J. R., McKenna J.— J. Math. Phys., 1964, v. 5, p. 878.
171.	Klauder J. R.— Phys. Rev., 1984, v. A29, p. 2036.
172.	Klauder J. R., Skagerstam B.-S. Coherent States, Applications in
Physics and Mathematical Physics, World Sci. Publ. Co., Sin-
gapore, 1985, 911 p.
173.	Kostant B.— in: Group representations in mathematics and phy-
siks, ed. by V. Bargmann, Lecture Notes in Physics, v. 6, Ber-
lin, Heidelberg, N. Y.: Springer, 1970, p. 237.
174.	Landau L. D.— Zs. f. Phys.f 1927, Bd. 45, S. 430.
175.	Landau L. D — Zs. f. Phys., 1930, Bd. 64, S. 629.
176.	Langer J.— Phys. Rev., 1968, v. 167, p. 183.
177.	Lax M.— Phys. Rev., 1960, v. 145, p. 110.
178.	Lehner J. Discontinuous groups and automorphic functions.
Providence, R. I.: Amer. Math. Soc., 1964.
179.	Leschke H., Stolze J., Moraweck M.— J. Phys. Math. Gen., 1980,
v. A13, p. 1311.
180.	Lewis H. R., Riesenfeld W. B.— J. Math. Phys., 1969, v. 10,
p. 1458.
181.	Lieb E. H.— Comm. Math. Phys., 1973, v. 31, p. 327.
182.	Lieb E. H.— Comm. Math. Phys., 1978, v. 62, p. 35.
183.	Louisell W. H. Radiation and noise in quantum electronics. N. Y.:
McGraw-Hill, 1965.
184.	Majorana E.— Nuovo Cim., 1932, v. 9, p. 335.
185.	Marinov M. S., Popov V. S.— Fortschr. Phys., 1977, Bd. 25,
S. 373.
186.	Martin J. L — Proc. Roy. Soc., 1959, v. A251, p. 543.
187.	Mead L., Papanicolaou N.— Phys. Rev., 1983, v. B28, p. 1633.
188.	Mallow B. 7?.—Phys. Rev., 1967, v. 162, p. 1256.
189.	Monastyrsky M. L, Perelomov A. M.— Reps. Math. Phys., 1974,
v. 6, p. 1.	.
190.	Monastyrsky M. I., Perelomov A. M.— Ann. Inst. H. Poincare,
1975, v. 23, p. 23.
191.	Moncrief V — Ann. Phys., 1978, v. 114, p. 201.
192.	Montonen C — Nuovo Cim., 1974, v. A19, p. 69.
193.	Narducci L. M., Bowden С. M., Coulter C. A.—Lett. Nuovo Cim.,
1973, v. 8, p. 57.	,
194	Narducci L. M., Bowden С. M., Coulter C. A.— Phys. Rev., 1974,
v. A9, p. 829, p. 999.
265
195.	Narducci L., Bowden C., Bluemel V., Garrazana G., Tuft R —
Phys. Rev., 1975, v. All, p. 973.
196.	von Neumann J.— Math. Ann., 1931, Bd. 104, S. 570.
197.	Neveu A., Papanicolaou N — Comm. Math. Phys., 1978, v. 58,
p. 31.
198.	Ni G.-J., Wang Y.-P.— Phys. Rev., 1983, v. D27, p. 969.
199.	Nieto M. M., Simmons L. M., Gutschik V. P.— Phys. Rev., 1981,
v. D23, p. 927.
200.	Nieto M. M., in: Proc. Intern. Seminar on Group Theor. Methods
in Physics, Zvenigorod 1982, Nauka, Moscow (1983), p. 174.
201.	Ohnuki Y., Kashiwa T.— Progr. Theor. Phys., 1978, v. 60, p. 548.
202.	Onofri E — J. Math. Phys., 1975, v. 16, p. 1087.
203.	Papanicolaou N.— Ann. Phys., 1981, v. 136, p. 210.
204.	Paul R — Phys. Lett., 1983, v. A96, p. 263.
205.	Parker L.— Phys. Rev., 1969, v. 183, p. 1057.
206.	Parker L.— Phys. Rev., 1971, v. D3, p. 346.
207.	Perelomov A. M.— Comm. Math. Phys., 1972, v. 26, p. 222.
208.	Perelomov A. M.— Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 165.
209.	Perelomov A. M.— Phys. Lett., 1972, v. A39, p. 353.
210.	Perelomov A. M.— Comm. Math. Phys., 1975, v. 44, p. 197.
211.	Perelomov A. M. Generalized Coherent States and Their Appli-
cations, Springer — Verlag, 1986.
212.	Poincare H.— Acta Math., 1882, v. 1, p. 193.
213.	Rabi I. 7,—Phys. Rev., 1937, v. 51, p. 652.
214.	Radcliffe J. M.— J. Phys.: Math. Gen., 1971, v. A4, p. 313.
215.	Rasetti M., Regge T.— 3. Low Temp. Phys., 1973, v. 13, p. 249.
216.	Rasetti M.— Intern. J. Theor. Phys., 1975, v. 13, p. 425.
217.	Rasetti M.— Int. J. Theor. Phys., 1975, v. 14, p. 1.
218.	Rayne F.— Nucl. Phys., 1979, v. B159, p. 244.
219.	Rossi H., Vergne M.— J. Funct. Anal., 1973, v. 13, p. 324.
220.	Ruhl W.— Comm. Math. Phys., 1982, v. 83, p. 455.
221.	Schrodinger E.— Naturwiss., 1926, Bd. 14, S. 664.
222.	Schwinger J.— Phys. Rev., 1953, v. 91, p. 728.
223.	Schwinger J.— J. Math. Phys., 1961, v. 2, p. 407.
224.	Schwinger J.— Phys. Rev., 1973, v. D7, p. 1696.
225.	Senitzky I. R.— Phys. Rev., 1960, v. 119, p. 670.
226.	Shankar R.— Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, p. 1088.
227.	Shen У. R.— Phys. Rev., 1967, v. 155, p. 921.
228.	Shi S — J. Chem. Phys., 1983, v. 79, p. 1343.
229.	Siegel C. L— Ann. Math., 1945, v. 46, p. 708.
230.	Simon B — Comm. Math. Phys., 1980, v. 71, p. 247.
231.	Skagerstam B.-S.— Zs. f. Phys., 1984, Bd. C24, S. 97.
232.	Skagerstam В.-S.— Journ. Phys. A., 1985, v. 18, p. 1.
233.	Solomon A. I — J. Math. Phys., 1971, v. 12, p. 390;
234.	Stone M.— Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1930, v. 16, p. 172.
235.	Sudarshan E. C. G — Phys. Rev. Lett., 1963, v. 10, p. 277.
236.	Suzuki T — Nucl. Phys., 1983, v. A398, p. 557.
237.	Takahashi Y., Shibata F.— J. Phys. Soc. Japan, 1975, v. 38,
p. 656.
238.	Terenetyev M. V.— Ann. Phys., 1972, v. 74, p. 1.
239.	Thirring W.— Lett. Math. Phys., 1980, v. 4, p. 67.
240.	Thompson C. J.— J. Math. Phys., 1965, v. 6, p. 1812.
241.	Unruh W.— Phys. Rev., 1978, v. D17, p. 1180.
242.	Toyoda T., Wildermuth K — Phys. Rev., 1980, v. D22, p. 2391.
243.	Vinciarelli P.— Phys. Lett., 1975, v. B59, p. 380.
244.	Vuillermot P.— Comm. Math. Phys., 1980, v. 76.
266
245.	Wang Y., Hioe F.—Phys. Rev., 1973, v. A7, p. 831.
246.	Wehrl A.— Rev. Mod. Phys., 1978, v. 50, p. 221.
247.	Wehrl A.— Reps. Math. Phys., 1979, v. 16, p. 353,
248.	Weil A.— Acta Math., 1964, v. 113, p. 143.
249.	Weyl H.— Zs. f. Phys., 1927, Bd. 46, S. 1.
250.	Weyl H. Gruppentheorie und Quantenmechanik, Leipzig: Hirzel,
1928 (перевод: Вейль Г. Теория групп и квантовая механика:
Пер. с англ.— М.: Наука, 1986).
251.	Wigner Е. Р,— Phys. Rev., 1932, v. 40, р. 749.
252.	Yaffe L — Rev. Mod. Phys., 1982, v. 54, p. 407.
253.	Zakharov V. E., Mikhailov A. V.— Comm. Math. Phys., 1980,
v. 74, p. 21.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра Гейзенберга — Вейля,
случай пескольких степеней
свободы 61
----—, — одной степени сво-
боды 13
Гипотеза Верля 244
— Либа 245
Группа вращений трехмерная
66
— Гейзенберга — Вейля 12
----—, матричные элементы
представлений 43
------ —, нормальное (виков-
ское) и антинормальпое (анти-
виковское) представления 41
— Ли осцилляторпая 57
— Лоренца 99
— метаплектическая 119
— пекомпактпая, представле-
ния дискретной серии 84
Диамагнетизм Ландау 232
Излучение синхротронное 239
Квазиэнергия 158
Квантование геометрическое 133
— по Березину 133
Коэффициенты Клебша — Гор-
дана для группы SU(2), 79,
204
Круг Зигеля единичный 123
Матрица плотности 47
Мера интегрирования в много-
мерном фазовом пространстве
61
----в фазовой плоскости 19
Многообразие кэлерово однород-
ное 147
Многочлены Лаггера 256
— Эрмита, интегральное пред-
ставление 28
----от двух переменных 177
Модель Гросса — Неве 211
Неравенство Березина 39
— Голдена — Томпсона 40
— Фейнмана 40
Оператор Казимира 58
— Лапласа — Бельтрами для
плоскости Лобачевского 93
— массовый 239
— ядерный 39
Операторы рождения и уничто-
жения, бозевский случай 12
— —-------, линейные канониче-
ские преобразования 101
----— —, представление Фо-
ка — Баргмана 24—28
----— —, фермиевский слу-
чай 127
Осциллятор, динамика 158
—, релаксация к равновесию 220
Предел квазиклассически й для
представлений группы S?7(2)
207
— — — фермионных полей 215
-------энтропии 243
Представления класса I 108
Преобразование линейное кано-
ническое 117
Проекция стереографическая 69
Разложение Гаусса 68
— единицы 19
Реализация Фока — Баргмана
для гильбертова пространства
24
268
Решетка допустимая 62
— правильная 29
Рождение пар бозонов 182
----фермионов 192
Символ оператора 36
----вейлевский 44
Симметрия динамическая 156
Соотношение неопределенности
для компонент момента коли-
чества движения 77
----— координаты и импуль-
са 21
Соотношения перестановочные
Гейзенберга, случай несколь-
ких степеней свободы 60
— — —, — одной степени сво-
боды 12
Состояния обобщенные коге-
рентные, общее определение
50
Спин, релаксация к равновесию
229
Теорема Стоупа — фоп Неймана
16
Тета-функции 34
Уравнение Фоккера — Планка
222
Условия Римана — Фробениуса
Функции Вейерштрасса 36
—	характеристические для рас-
пределения вероятности в фа-
зовом пространстве 47
Функция зональная сфериче-
ская 93
Электродинамика квантовая, эф-
фективный лагранжиан 236
Энтропия 242
Эффект де Гааза — ван Альфе-
па 233
Ядро Бергмана 150
—	воспроизводящее 20
—	орисферическое 96
—	Пуассона 96
Список опечаток в книге Переломова А. М.
Стр.	Строка или фор- мула	Напечатано	Должно быть
21	5 сверху	<?>	<9>
26	1 сверху	Р =	p =
41	ф. (1.152)	<?'а («з«) = • • •	<?A(a, a) = ...
42	1 снизу	... ехр (7<х — fa)	... exp (-(a — "(a)
43	ф. (1.166)	... -Ь).	... -й).
45	ф.(1.177)	... JD-'(a) == ...	... JD-'(a) =5 ...
58	1 снизу	|Я = ...	<£=...
61	ф. (3.11)	ехр (iz) = ехр (is I)Z>(a),	exp (ix) = exp (is I)D(a)
		O(a) = ехр (aa+ — ~aa).	D(a) = exp (aa+ — aa).
102	8 сверху	... +№ + $),	... +§6 + p<5),
105	ф. (6.40)	... (= ch т — ...	... = (ch r — ...
114	ф. (7.51)	(ег(Хт+вО(ЛО	.	... {ei(U+60(W) +
120	И снизу	..., a>|0|| =0.	... e3|0> =0.
124	ф. (8.44)	g~i),	... = x(g, I, g£),
144	1 сверху		Ut,i
148	ф. (10.74)			 ’ * ’
		<Й>	6R>'
196	17 снизу	... — V^p2 +m,	...= /p2+m2,
255	ф. (1.13)	t M	M	l2 1 a —	i ...	j a — a I2. - -
		1	mini 1	1	m1nil
257	ф. (2.11)	... (7-2-Yz)...	••• (7z-Tz) •••