Течения газа в соплах - Пирумов У.Г, Росляков Г.С.

Author: Пирумов У.Г Росляков Г.С.

Tags: движение жидкостей гидродинамика механика газов аэродинамика физика плазмы математика монография газовая динамика механика жидкостей и газа механика сплошных сред газодинамика

Year: 1978

Similar

Аэрогазодинамика реактивных сопел

Внутренние течения газовых смесей

Прикладная газовая динамика. Часть 1

Численное решение многомерных задач газовой динамики

Text

у: г. пирумов, г. с.росляков
течения
газа
в соплах

ш
(X?
ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, 1978 г.
УДК 532.525+533.011+518.12
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совет а
Московского университета
1
Рецензенты:
пр оф. Г. Ф. Те Ленин,
канд. физ.-мат. наук В. Л'1. Пасконов
Пирумов У. Г., Росляков Г. С.
Течения газа в соплах. М., Изд-во Моск, ун-та,
1978.
288 с., 129 ил. Библиогр. 195 назв.
В монографии дано систематическое изложение теории течений
газа в соплах и освещены различные аспекты практических приложе-
ний.
Круг рассмотренных физических проблем весьма широк. Это воп
росы классической газодинамики до-, транс- и сверхзвуковых плоских,
осесимметрических и пространственных течений, вопросы неравновес-
ной диссоциации и рекомбинации, релаксации колебательных степеней
свободы, вопросы многофазных течений с фазовыми превращениями.
Изложены простейшие теории и асимптотические методы. Боль-
шое внимание уделено анализу численных методов и их приложениям.
Рассмотрены особенности течений газа в соплах реактивных дви-
гателей и аэродинамических труб, в соплах МГД-геператоров, в соп-
лах специальных форм, а также современные способы профилирования
сопел.
Книга рассчитана на лиц, интересующихся вопросами внутренней
газодинамики, на специалистов в области аэродинамики и прикладной
математики.
20403—070
----------02—/ /
077(02)—78
Издательство Московского университета, 1978'г.
Оглавление
Предисловие .. . . . . . . • • 6
Глава I.
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ТЕЧЕНИИ ГАЗА В СОПЛАХ ... 9
§ 1. Основные уравнения. Постановка задач .... 9
‘1. Основные уравнения . . . . . . ‘Л
2. Характеристики .
3. Прямая задача .
4. Обратная задача . . . . . . 'If
§ 2. Некоторые элементарные теории . . . . • д!
1. Одномерная теория . . . . . . ' rq
2. Радиальные течения или течения от источника (стока)
3. Течение Прандтля— Мейера . . . •
§ 3. Вариационные задачи газовой динамики внутренних течений
Глава II.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В СОПЛАХ . . .65
§ 1. Метод решения релаксационных уравнений . . .65
§ 2. Методы расчета сверхзвуковых течений. Плоские и осесим-
метричные течения ....... 69
•1. Метод характеристик . . . . . .69
2. Методы сквозного счета . . . . . .80
§ 3. Методы расчета сверхзвуковых течений. Пространственные
течения . . ... . . . . .90
1. Метод характеристик . . , . . .90
2. Разностные методы ....... 94
§ 4. Методы решения обратной задачи теории сопла . . 97
§ 5. Методы решения прямой задачи теории сопла . . Ю2
Глава III.
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ТЕОРИИ СОПЛА . . 108
§ 1. Метод источников и стоков. Обратная задача теории сопла
для несжимаемой жидкости . . . . . .108
!1. Плоское течение . . . . . . .108
2. Осесимметричное течение . . . . . .109
3. Пространственное течение . . . . . .110
4. Решение обратной задачи теории сопла для несжимаемой
жидкости . . . . . . . .111
§ 2. Разложение в ряд по функции тока . . . .112
1. Пространственный случай . . . . . .112
2. Плоский и осесимметричный случаи . . . -117
3. Двухфазные течения . . . . . . .122
§ 3. Асимптотические методы в трансзвуковой области . .122
1. Метод малых возмущений . . . ... 122
2. Разложение в ряд в окрестности прямолинейной звуко-
вой линии............................................123
3
§ 4. Решение в окрестности бесконечно удаленной точки в до-,
звуковой области . . . . . . . .127
§ 5. Метод малых возмущений для исследования течений, близ-
ких к радиальным . . . . . . .129
'1. Общая теория ........ 129
2. Определение боковых сил и моментов при несимметрич-
ных возмущениях . . . . . . .138
Глава IV.
СОПЛА РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ .... 149
§ 1. Особенности течения в дозвуковой и трансзвуковой об-
ластях сопла ....... 150
1. Сопло с прямолинейной поверхностью перехода через
скорость звука . . . . . . . .150
2. Сопло с криволинейной поверхностью перехода 152
3. Локальные зоны торможения ..... 157
4. Оптимальная форма дозвуковой части сопла . .163
5. Коэффициент расхода и критический перепад давления
в соплах с криволинейной поверхностью перехода . 164
6. Профилирование разгонного участка сопел реактивных
двигателей.......................................168
§ 2. Профилирование сверхзвукового контура реактивного соп-
ла. Потери импульса . . . . . . .170
4. Профилирование сверхзвукового контура реактивного
сопла . . . . . . . . .170
2. Потери импульса . . . . . . .176
3. Изменение тяги при нерасчетных режимах течения . 192
4. Расчетное и экспериментальное моделирование течений
в соплах реактивных .двигателей . . . .194
§ 3 Основные принципы выбора реактивного сопла . .196
Глава V.
ТЕЧЕНИЯ С ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМИ ПРЕВРАЩЕНИЯМИ 203
§ 1. Изоэнтропические течения. Учет межмолекулярного взаимо-
действия ......... 203
1. Изоэнтропические течения ...... 203
2. Учет межмолекулярного взаимодействия . . .210
§ 2. Течения с неравновесными химическими реакциями . .212
1. Основные уравнения. Метод расчета. Одномерное при-
ближение . . . . . . . . .212
2. Основные закономерности химически неравновесных те-
чений в соплах ....... 220
3. Плоские и осесимметричные течения .... 228
4. Приближенные методы расчета неравновесных течений 232
§ 3. Течения с колебательной релаксацией .... 234
1. Релаксационные уравнения. Метод расчета . . . 234
2. Результаты расчетов в одномерном приближении . 242
§ 4. Двухфазные течения 245
4. Основные понятия. Одномерное прибли, ение. Равновес-
ные и замороженные течения /. . . . 245
2. Одномерные неравновесные течения А ез фазовых пере-
ходов. Потери импульса . ./ .... 256
3. Одномерные неравновесные течедда$? с учетом взаимо-
действия частиц . . /, . - . . . 260
4. Одномерные неравновесные течения с фазовыми превра-
f щениями ......... 264
5. Течения в осесимметричных и плоских соплах . . 283
§ 5. Течения проводящего газа в соплах при наличии электро-
магнитных полей ........ 290
Глава VI.
СОПЛА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФОРМ. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕ-
НИЯ. ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ....................................297
§ 1. Кольцевые сопла. Сопла аэродинамических труб . . 297
1. Некоторые схемы кольцевых сопел. Методы расчета . 297
2. Нерасчетные режимы кольцевых сопел . . . 306
3. Сопла аэродинамических труб . . . . .313
§ 2. Конические сопла . . . . . . 316
§ 3. Течения в соплах при наличии вращения потока . . 322
§ 4. Пространственные течения в соплах .... 332
§ 5. Течения при малых числах Рейнольдса .... 339
Литература . . . , , . . 344
5
Предисловие
В настоящее время сопла используются при решении многих научных
и технических проблем. Впервые сопла применил шведский инженер
де Лаваль в паровых турбинах. Развитие аэродинамики больших скоро-
стей потребовало создания лабораторных методов экспериментального ис-
следования высокоскоростных потоков и положило начало использованию
сопел в аэродинамических трубах. С тех пор сопла используются для по-
лучения равномерного поля скоростей. Сопла являются неотъемлемой
частью любого реактивного двигателя, совершенство которого во многом
определяется совершенством сопла.
В последнее десятилетие возникла еще одна область практического ис-
пользования сопел в качестве генераторов рабочего тела в МГД-устройст-
вах и газодинамических лазерах. В последних сопла оказались удобными
для создания больших градиентов давления на малых длинах, что способ-
ствует получению инверсной заселенности колебательных уровней молекул.
Другая область применения, также обозначившаяся в последние годы,
связана с использованием сопел в качестве «газодинамических» линз.
В плоском сопле за счет значительных градиентов плотности в продоль-
ном направлении и отсутствия их в поперечном направлении удается по-
вернуть луч света без заметного размытия. Таким образом, область прак-
тического применения сопел велика.
Весьма разнообразны и физические процессы, сопровождающие течения
газа в соплах. К их числу относятся неравновесные возбуждения колеба-
тельных степеней свободы молекул, процессы обмена массой, импульсом и
энергией между газовой и жидкой (или твердой) фазами, процессы взаи-
модействия движущихся заряженных частиц с магнитными и электриче-
скими полями.
Столь же разнообразны и методы решения уравнений, описывающих
течения газа в соплах. Сложность задачи состоит не только в большом
числе уравнений, необходимых для описания неравновесных процессов, но
и в том, что характер их различен в различных областях сопла. В случае
стационарного течения в дозвуковой области соответствующая система
уравнений в частных производных является эллиптической, в трансзвуко-
вой области — параболической, а . в сверхзвуковой — гиперболической.
Таким образом, при изучении течений в соплах приходится иметь дело
со многими областями современной физики, а при решении уравнений,
описывающих течение,— с основными типами уравнений математической
физики. Это привело к тому, что сформировалась по существу самостоя-
тельная ветвь газовой динамики — физическая газовая динамика внутрен-
них течений. Но несмотря на большое число периодических изданий и мо-
нографий [127, 136, 138, 158], посвященных специальным аспектам тече-
ний газа в соплах, в мировой литературе отсутствует книга, в которой бы
с единой точки зрения излагалась общая теория течений газа в соплах,
методы решения уравнений и основные особенности таких течений с уче-
том перечисленных выше физических процессов.
Настоящая монография, как надеются авторы, в некоторой мере вос-
полнит этот пробел. Цель книги — познакомить читателей с современными
результатами в теории сопла, аналитическими и численными методами
исследования, продемонстрировать физические особенности течений при
тех многообразных и сложных процессах, которые сопровождают течения
газа в соплах. Содержание монографии, хотя и посвящено этой общей
задаче, в некоторой степени отражает научные интересы авторов, которые
в течение многих лет изучали различные аспекты течений газа в соплах.
Поэтому, а также и в связи с ограниченным объемом монографии, не
затронуты некоторые важные специальные проблемы, такие как течения
газа в эжекторных соплах, нестационарные течения в соплах и др.
Авторы считают своим долгом выразить глубокую признательность
академику Г. И. Петрову за постоянное внимание и стимулирование мно-
гих исследований, вошедших в настоящее издание. Авторы выражают
благодарность А. М. Овсянникову, который участвовал в написании § 1
гл. III и § 3 гл. VI, а также Д. А. Мельникову, Г. Ф. Теленину,
А. А. Сергиенко, Э. А, Ашратову, Ю. Д. Шмыглевскому, О. С. Рыжову,
Л. Е. Стернину, А. Н. Крайко, А. П. Тишину за многочисленные полезные
дискуссии.
4
Глава I
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В СОПЛАХ
§ 1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ
1. Основные уравнения. Состояние движущегося в сопле газа с из-
вестными термодинамическими свойствами определяется заданием
скорости, плотности и давления как функций от координат и вре-
мени. Для нахождения этих функций служит система уравнений
газовой динамики, которая представляет собой выраженные в диф-
ференциальной форме общие законы сохранения массы, импульса
и энергии. Эти уравнения замыкаются термическим и калориче-
ским уравнениями состояния. Однако в большинстве случаев тече-
ния газа в соплах сопровождаются разного рода неравновесными
процессами, для описания которых уравнения газовой динамики
дополняются соответствующими кинетическими или релаксацион-
ными уравнениями. Кроме того, в уравнения вводятся дополни-
тельные члены, учитывающие воздействие неравновесных процес-
сов на газодинамические параметры. Неравновесные процессы,
имеющие место в соплах, весьма разнообразны. Наиболее часто
исследователям приходиться иметь дело с неравновесным возбуж-
дением колебательных степеней свободы, неравновесной диссоциа-
цией и рекомбинацией, неравновесным движением жидких или
твердых частиц в условиях неравновесной конденсации или испа-
рения.
Выпишем без вывода в наиболее употребительных для описа-
ния течения газа в соплах эйлеровых координатах дифферен-
циальные уравнения сохранения массы, импульса и энергии для
общего случая песта ц йен[ аф и о гсГ тёчеhi i я ^многофазной” Сплошной
среды при наличии релаксационных процессов и взаимодействия
между фазами. Вывод этих уравнений приведен, например, в ра-
ботах [37, 83, 131].
Будем рассматривать гомогенные и гетерогенные смеси как
многоскоростной континуум со взаимопроникающим движением
составляющих и обменом массой, импульсом и энергией. Много-
скоростной континуум представим как совокупность N континуу-
мов, каждый из которых относится к своей компоненте смеси и
заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Будем характе-
ризовать каждый из этих континуумов средней плотностью рг
(масса /*-й компоненты в единице объема смеси), скоростью W,»
9
внутренней энергией тензором напряжений Пг-. Помимо средней
плотности вводят и истинную плотность р? , которая представляет
собой, массу 1-й фазы в единице объема Z-й фазы. Под компонен-
тами будем понимать газовые компоненты, соответствующие раз-
личным молекулам, а также различным квантовым состояниям
молекул (например, колебательным степеням свободы молекул),
и частицы различных размеров с различными физическими свой-
ствами. Тогда в каждой точке объема, занятого смесью, будет оп-
ределено N плотностей, N скоростей и т. д.
Уравнения сохранения массы каждой компоненты запишем *
в виде
d pi
dt
+ Pivwi = у Rih (f = 1,2,..., N),
(1.1)
где V — оператор градиента или дивергенции, Rik— изменение
массы i-й компоненты за счет k-й компоненты в единице объема
в единицу времени (например, за счет химических реакций, кон-
денсации или перехода молекул из одного квантового состояния
в другое). Из закона сохранения массы при различных физико-
химических процессах имеем Rik=—Rki. Очевидно, что Ra — 0.
Уравнение движения для каждой компоненты имеет вид
+PiFi+ S(p« — (i=/l, 2, . . . , N),
(1.2)
где d/dt— субстациональная производная, связанная с движением
t-й компоненты,
ф-$7 V77.
В этих формулах суммирование ведется только по верхним индек-
сам, относящимся к координатным осям. В правой части уравне-
ния (1.2) первый член соответствует внешним поверхностным
силам, а второй — внешним массовым силам, характеризуемым
вектором F; и относящимся к гй компоненте; Р^— изменение
импульса i-й компоненты за счет k-й компоненты в единице объе-
ма в единицу времени. При этом из закона сохранения импульса
при различных физико-химических превращениях и взаимодейст-
виях между компонентами смеси имеем Ргъ — — P/ii. Очевидно
также, что Рн = 0.
Уравнение энергии для каждой компоненты смеси имеет вид
(е{ + W* /2) = V (L;
+ ^[Eih-Rik (ег-+ Wl /2)] G==>l. 2, • • • , N). (1.3)
Здесь вектор Lj характеризует работу внешних поверхностных
сил, qi—поток тепла, Eik— изменение энергии f-й компоненты за
счет /е-й компоненты в единице объема в единицу времени. Из за-
кона сохранения энергии следует, что Eik— —Ehi, Ец=0.
Система (1.1)-(1.3) замыкается термическими и калориче-
скими уравнениями состояния, позволяющими в предположении
локального термодинамического равновесия, когда в каждой точке
определена температура'7\, выразить тензор напряжения’Пг- и
внутреннюю энергию вг через остальные параметры смеси и неко-
торые физико-химические переменные. При решении конкретных
проблем необходимы также феноменологические уравнения, опре-
деляющие параметры массового Rik, силового Рг*л и энергетическо-
го Eik взаимодействия между фазами. В случае малого отклоне-
ния от равновесия необходимые соотношения для Rik, Pik и Eik
можно получить, применяя принцип Онзагера и постулируя линей-
ные соотношения для термодинамических потоков [37] (например,
для теплообмена, трения между фазами, интенсивности фазового
перехода). В случае химических реакций необходимые соотноше-
ния для Rik доставляет химическая кинетика.
Система (1.1)-(1.3) представляет собой весьма общую систе-
му дифференциальных уравнений в частных производных, реше-
ние которой без упрощающих предположений чрезвычайно затруд-
нительно. В то же время при описании движения газа в соплах
можно часто пренебречь действием массовых сил, внешних источ-
ников тепла, а также вязкостью, теплопроводностью и диффузией.
Вязкость и теплопроводность газа, проявляющиеся вблизи стенок
сопла, могут быть учтены, как правило, в рамках приближения
пограничного слоя. Однако вязкость, теплопроводность и диффу-
зию необходимо учитывать при взаимодействии между фазами.
Сформулируем еще некоторые предположения, которые обычно
используются при описании течений в соплах. Для описания мно-
гофазных течений в настоящее время широко используется мо-
дель двухжидкостной пли многожидкостной сплошных сред, в ко-
торых реальное течение смеси газа и частиц тГсоплах ^заменяется
взаимопроникающим течением двух или более сплошных сред —
собственно газа и «газа» частиц. При этом все параметры течения
представляют собой величины, получающиеся осреднением по ма-
лому объему, содержащему большое количество инородных ча-
стиц. Относительно собственно газа делаются следующие предпо-
ложения.
Газ представляет собой смесь совершенных газов, каждый из
которых подчиняется собственному термическому и калорическому
уравнению состояния. Отклонение от свойств совершенного газа
(влияние тройных соударений, сил Ван-дер-Ваальса и др.), как
правило, не учитывается.
Поступательные и вращательные степени свободы молекул на-
ходятся в термодинамическом равновесии. Допускаются неравно-
11
весные возбуждение колебательных степеней свободы, протекание
химических реакции в газовой фазе, конденсация и пр. Предполо-
жение о равновесии поступательных н вращательных степеней
свободы молекул обычно выполняется с высокой точностью, по-
скольку для достижения равновесных значений требуется от 10 до
100 соударений молекул.
Все газовые компоненты смеси имеют одинаковые скорости на-
правленного макроскопического движения, поскольку взаимная
диффузия компонент не учитывается.
Относительно «газа» частиц делаются следующие предположе-
ния.
Каждой компоненте газовой фазы, вообще говоря, может соот-
ветствовать компонента «газа» частиц, для которой известны тер-
мическое и калорическое уравнения состояния. Однако компонен-
та «газа» частиц может и не быть связанной с какой-либо компо-
нентой газа.
Частицы имеют сферическую форму и распределены по конеч-
ному числу групп, в каждой из которых содержатся частпцы
одинаковых размеров.
Расстояния, на .которых характеристики течения меняются су-
щественно, много больше расстояний между частицами.
Собственное давление «газа» частиц, обусловленное их хаоти-
ческим движением, мало по сравнению с давлением газа.
Рассмотрим, с учетом сформулированных выше предположений,
некоторые частные случаи системы (1.1) — (1-3).
Если смесь состоит только из N газовых компонент, то, пре-
небрегая вязкостью, теплопроводностью и диффузией, имеем
w = w., р = £р = £
7 = 1 7 = 1
где W, р, р — соответственно скорость, плотность и статическое
давление смеси. Суммируя по i уравнения системы (1.1) — (1-3),
получим обычные уравнения неразрывности, движения п энергии
односкоростной сплошной среды
A^ + pVW = 0, (1.4)
at
= (1.5)
at
pJ-(h+W^/2)= (1.6)
У
где /z = S/iipi/p— энтальпия единицы массы смеси, аддитивная
7 = 1
по массе входящих в нее энтальпий индивидуальных компо-
нент hi.
12
Система (1.4) — (1.6)'замыкается уравнениями состояния, ко-
торые в случае смеси совершенных газов имеют вид
hi = hi (Г), pi = R pi T/in, p==RpT/[i,
гд£ R — универсальная газовая постоянная, [,ц— молекулярный
N
вес i-й компоненты, [i = V |щ/л/р — молекулярный вес смеси.
i—1
При наличии реакций эта система дополняется уравнениями
типа (1.1) для определения р<, в которых Rik— скорости соответ-
ствующих реакций. В этом случае отпадает необходимость в ис-
пользовании уравнений (1.2) и (1.3) для каждой компоненты,
поскольку значения и pi определяются по известному общему
давлению, температуре, а также плотности индивидуальных
компонент смеси из соответствующих уравнений состояния.
N
Отметим, что, вводя массовые концентрации со = рг-/р, 2 on = 1,
7 = 1
11 используя (1.4), уравнение (1.1) можно преобразовать к виду
(£ = 1,2...., N).
(1.7)
В случае нереагпрующей смеси Rik = 0, со = const и система
(1-4)-(1.6) представляет собой уравнения для идеального газа
с постоянным отношением удельных теплоемкостей.
Для дальнейшего полезно получить уравнение производства
энтропии, используя систему уравнений (1.4) — (1.7) и первый
закон термодинамики. Примем, что в полной системе существуют
малые элементы массы, находящиеся в состоянии локального рав-
новесия, для которых локальная энтропия является той же функ-
цией Г, р и со, что и в состоянии полного равновесия, хотя сама
система и не находится в равновесном состоянии [37]. В част-
ности, остается справедливой формула равновесной термодинами-
ки для энтропии элемента массы вдоль пути его центра масс:
____n_d_( 1 \ <iak
. . Hi ' Hi \ ) Hi ’
dt dt dt \ п / dt
' г • k—1
(1-8)
где S — энтропия смеси, аддитивная по массе входящих в нее
энтропий индивидуальных компонент, — термодинамический
или химический потенциал /г-й компоненты (парциальная удель-
ная функция Гиббса). Используя уравнения (1.5) и (1.6), получим
уравнение производства энтропии в виде
т dS ___ dak
dt ~ ~~dt '
h=\
(1.9)
13
В общем случае вязкой, теплопроводной, миогоскОростной сре-
ды при наличии внешних сил и источников тепла правая часть
уравнения (1.9) представляет собой сумму произведений термоди-
намических сил на соответствующие потоки различной тензорной
размерности. Конкретные выражения для некоторых частных слу-
чаев будут приведены ниже. Уравнение (1.9) при известной зави-
симости энтропии от других термодинамических параметров (на-
пример, в случае идеального газа S = ln(pp~v) ) не дает дополни-
тельной информации по сравнению с уравнениями (1.5), (1.6),
поскольку оно получено с использованием этих уравнений. Поэто-
му при рассмотрении конкретных задач можно использовать либо
уравнения (1.5) — (1.6), либо, вместо одного из них,— уравнение
(1.9).
Принципиальное значение имеют два предельных случая изо-
энтропического течения — равновесное и замороженное. В первом*
случае характерные времена релаксационных процессов много
меньше характерного газодинамического времени, а во втором —
много больше. Параметры, характеризующие релаксационный
процесс, находятся в случае равновесного течения из соотношений
термодинамики (последние получаются, если приравнять нулю
правые части соответствующих релаксационных уравнений),
а в случае замороженного — полагаются постоянными и равными
значениям в некоторой характерной точке течения.
Если смесь состоит из нереагирующего газа (7??/{ = 0) и частиц
одного постоянного размера, отсутствуют конденсация, испаре-
ние и не учитывается объем, занятый частицами, то система
(1.1) — (1-3) с учетом предположений относительно «газа» частиц
принимает вид
— + р Д W = 0, р— + V р + ps f = о,
dt dt
р4- (Л + W2) + ps (WJ + q) =
dt dt
+ ps V Ws = 0,
dt
(MO)
(1.11)
(1-12)
(1.13)
Здесь f — сила взаимодействия между собственно газом и «газом»
частиц, отнесенная к единице массы «газа» частиц, q— тепловой
поток (параметрам частиц придан нижний индекс s). Система
(1.10)-(1.13) замыкается уравнениями состояния для газа и
«газа» частиц, имеющими в рассматриваемом случае вид
h = h (pt,T), р = RpT/p, es =-es (T),
14
где g — молекулярный вес газа. Необходимы еще соотношения,
определяющие зависимости силы взаимодействия и теплового по-
тока от параметров газа и частиц.
2. 'Характеристики.' При изучении газодинамических задач,
в частности задач о течениях газа в соплах, важную роль играют
характеристические поверхности. Общая теория характеристик из-
лагается во многих работах (например, [86, 94, 126]), поэтому
здесь будут представлены основные идеи и определения, необхо-
димые для дальнейшего изложения. Следуя этим работам, рас-
смотрим систему квазилинейных уравнений
, т), (1.14)
где Uijk и Ь[ — функции х/г и tij. Перепишем систему (1.14) в виде
S (аО V) Uj — bi (1=1,2,..., т),
j = l
где a7:j — векторы с компонентами . . . ,
Рассмотрим линейную комбинацию уравнений (1.15)
т
фпцпептамп соь со2, . . . , со™ ( У] со2г ¥= 0)
1=1
пли
где
т т т
У ®iX(aij V) Uj = У bi
i=l j=l z = l
т
V (AjV)Uj = B,
j=l
Aj — (Dj &ijj В —-У
i = 1 i = l
(1.15)
с коэф-
(1.16)
(1-17)
(1.18)
Поставим целью выбрать со/ так, чтобы все векторы Aj лежали
в одной плоскости (гиперплоскости при п>3). Если такие со* су-
ществуют, плоскость, в которой лежат векторы Aj, называется
характеристической, нормаль п к ней — характеристической нор-
малью, соотношение (1.17) —характеристическим соотношением,
соответствующим данной нормали. Соотношение (1.17) содержит
дифференцирование только в направлениях векторов Aj, лежащих
в одной плоскости. Таким образом, если п — характеристическая
нормаль, то должны выполняться условия
или
nAj = 0 (/=1,2,..., т),
т т
П । (Di Hij X t (Di (n aij) -—- 0.
i = l i = l
(1-19)
(1.20)
15
Система (1.20)—линейная однородная система уравнении от-
носительно со;. Нетривиальное решение этой системы существует,
если определитель ее матрицы равен нулю, т. с.
нац и a2i . . . п а??71
па12 п а"2 • • • п ат2 = 0.
• • • • • • * • •
П Я.-1т и а2?м • • • Г! &тт
(1.21)
Уравнение (1.21) называется характеристическим уравнением
для системы (1.14). Это уравнение является алгебраическим одно-
родным уравнением /n-й степени относительно компонент tii,
п2, . • • , пп вектора п, которые, следовательно, определяются
с точностью до постоянного множителя. Значит уравнение (1.21)
определяет в каждой точке Р конус (гиперконус) порядка т, ко-
торый может вырождаться пли распадаться па несколько непере-
секающихся конусов. Этот конус носит название конуса нормалей.
Каждая плоскость, проходящая через точку Р и нормальная к од-
одной из образующих конуса нормалей, является характеристиче-
ской. Огибающая семейства характеристических плоскостей назы-
вается характеристическим конусом. Поверхность, которая в каж-
дой своей точке касается характеристической плоскости, носит
название характеристической поверхности. Таким образом, через
каждую точку Р проходит бесконечное множество характеристи-
ческих поверхностей, касающихся характеристического конуса
в точке Р. Огибающая этих поверхностей называется характери-
стическим коноидом. Линии, по которым характеристические по-
верхности касаются коноида, называются бихарактеристиками.
Если задана характеристическая нормаль, определяемая
(1.21), то система (1.20) имеет nii = m— т2 независимых реше-
ний, где т2 — ранг ее матрицы. Следовательно, имеется тл неза-
висимых характеристических соотношений (1.17), соответствую-
щих данной нормали. В каждом конкретном случае необходимо
выяснить, сколько и какие характеристические соотношения ли-
нейно-независимы. Для случая пространственного течения газа
(установившегося и неустаиовпвшегося) этот вопрос детально рас-
смотрен в [126]. Часто характеристические поверхности опреде-
ляют как такие, на которых нельзя задавать данные Коши. Оче-
видно, такое определение характеристических поверхностей экви-
валентно определению, введенному выше. Действительно, если
поверхность начальных данных характеристическая, то на ней
выполняются nil (иц аи.) независимых условий совместности
(1.17), которые являются следствиями основной системы диффе-
ренциальных уравнений. Оставшихся т — т{ основных уравнений,
которые по терминологии [94] называются дополнительными соот-
ношениями и которые содержат по крайней мере одну производ-
ную от искомых функций в нормальном к характеристической по-
16
верхпости направлении, недостаточно для определения решения
вне поверхности начальных данных.
Рассмотрим трехмерное стационарное течение газа в условиях
равновесного протекания физико-химических процессов в декарто-
вой системе координат. Получим, пользуясь общей теорией, харак-
теристические уравнения в форме, предложенной в [129, 171J,
имея в виду ниже (§ 2 гл. II) изложить численный метод харак-
терпстик, развитый в этих работах/'
Уравнения (1.4), (1.5), (1.9) в случае стационарного равновес-
ного течения имеют вид
V (р W) =0, (1.22)
р (WV) W +Vp = 0, (1.23)
(WV)S = 0. (1.24)
Пользуясь выражением для квадрата скорости звука а2 =
= (dp/dp)s, уравнение (1.24) можно привести к виду
(W V) р = а~2 (WV) р

и с его помощью исключить производные от плотности из уравне-
ния неразрывности (1.22):
pa2V W + (WV) р = 0. (1.25)
При равновесном течении энтальпия торможения Но и давление
торможения р0 постоянны вдоль линий тока, поэтому
(WV)tfo = O, (WV)po = O, (1.26)
где Но = h + №2/2.
Далее будем рассматривать систему (1.23), (1.25), (1.26).
Плотность и скорость звука, входящие в коэффициенты этой си-
стемы, являются функциями р, ро, Hq.
р = р(р, Ро, Яо), а = а\р, р0, Яо). (1.27)
Для совершенного газа эти зависимости записываются в явном
виде. В случае равновесных течений р и а могут быть определены
из уравнений химического равновесия.
Следуя общей теории, домножим каждое Ле уравнение системы
(1.23), (1.25), (1.26) на сог- (г = 1, 2, . . . , 6) и сложим их. Полу-
чим соотношение (1.17), которое в развернутом виде имеет вид
CD1 р (W V) и + С02 р (W V) V + СОЗ Р (W V) W +
+ ©4 р а2 V W + <di + со2 -^-+ (оз -^-+
дх ду dz
+ ©4 (WV) р + ®5 (W V) Ро + ©6 (WV)//о = 0. ' 28У
где и, v п w— составляющие вектора скорости W в проекциях на
оси декартовой системы координат.
Характеристическое уравнение (1.21), позволяющее определить
векторы п, имеет вид
р (W п) 0 0 р а2пх О О
О р (W п) 0 р а2 пу 0 0
0 0 р (Wn) pcz2nz 0 0 __
пх Пу nz (Wn) 0 0 “
0 0 0 0 (Wn) 0
0 0 0 0 0 (Wn)
где пх, пу, nz— компоненты вектора п. Отсюда
рз (Wn)4 [(Wn)2— a2 (nn)]'= 0. (1.29)
Конус нормалей распадается на два непересекающихся конуса.
Уравнение одного из них
Wn = 0.
(1.30)
Этот конус вырожден в плоскость, перпендикулярную вектору
скорости W. Соответствующий ему характеристический конус вы-
рожден в прямую, направленную по вектору W. Таким образом,
поверхности тока являются характеристическими поверхностями.
Уравнение второго конуса
Wn = a, nn = 1.
(1.31)
Это круглый конус с осью, направленной по вектору скорости, и
углом раствора (3 = arccos Л!-1, где М = W/a — число Маха. Ось
соответствующего характеристического конуса также направлена
Рис. 1.1. Конус норма-
лей (7), характеристи-
ческий конус (2) и ха-
рактеристический коно-
ид (5), построенные в
точке Р. Через кривую
7 проведены поверх-
ность тока 5 и две вол-
новые поверхности 4,
касающиеся коноида
вдоль бихарактеристик 6
по W, а его угол раствора а = arcsin М~1. Этот конус иначе назы-
вают конусом Маха, а соответствующие характеристические по-
верхности носят название волновых поверхностей. На рис. 1.1 по-
казано взаимное расположение характеристических поверхностей,
18
конусов и коноида. Очевидно, что конус Маха будет действитель-
ным только при условии Л1>1, т. е. при сверхзвуковом установив-
шемся течении. Нетрудно получить уравнение бихарактеристик.
Пусть 1 — вектор бесконечно малого смещения вдоль бихарактери-
стики, тогда' 1 лежит на одной из образующих конуса Маха, ка-
сающейся бихарактеристики в данной точке. Очевидно, W1 =
= I (W2 — а2) '/2, т. е.
(udx + vdy + wdz)2=^W^-a2) [(dx)2 + \dy)2 + (dz)2]. (1.32)
Полученные уравнения определяют характеристические поверх-
ности. Обратимся теперь к уравнениям, выполняющимся на этих
поверхностях, называемыми уравнениями совместности. Система
уравнений относительно coi, (о2, . . . , <ое имеет вид
р (W n) coi + р а2пх со4 — О,
р (W П) (02 + Р Я2Пу (04 = О,
р (W И) (Оз + р a2nz (04 = О,
(1.33)
пх (01 + Пу (02 + nz (Оз + (W п) (04 = О,
(W п) (05 = О,
(W п) (Об = 0.
Рассмотрим поверхности тока. Каждая нормаль к поверхности
тока в данной точке перпендикулярна линии тока, т. е.
Wn = 0.
(1-34)
Ранг матрицы системы (1.33) в этом случае равен двум, и,
следовательно, имеется четыре независимых решения, соответст-
вующих одной и той же нормали. В силу (1.34) из (1.33) следует,
что (04 = 0. В исходной системе уравнения (1.26) уже имеют ха-
рактеристическую форму, поскольку они содержат производные
вдоль линий тока. Поэтому в качестве двух решений системы
(1.33) удобно ВЗЯТЬ (01 == (02 =i (Оз = (04 (О5 = 0, (Об О И (01 =
= (02 = (Оз = (04 = (Об = 0, (05 =7^= 0.
Еще два решения можно получить, положив (04 = (05 = сое = О,
coi = и, (о2 = v, (Оз = w или (01 = тх, <о2 = мгу, со3 = mz, где
m п = 0 и вектор m не зависит от W.
Подставляя полученные независимые решения coi, (о2, . . . , сое
в (1.28), получим уравнения совместности, соответствующие дан-
ной нормали к поверхности тока
(WV) ро = О,
(W V) н0 = О,
(1.35)
(1.36)
19
pu(WV) Hpo (WV) v + рш (WV) (WV)p = 0, (1.37)
I
p mx (W V) и + p mv (W V) v + p mz (W V)^ +
+ (WV) p = 0. (1.38)
Оценидно, уравнение (1.35) эквивалентно условию сохранения
энтропии вдоль линий тока, а уравнение (1.37) —уравнение Бер-
нулли.
Рассмотрим теперь волновые поверхности. Скалярное произве-
дение единичной нормали к волновой поверхности п вектора ско-
рости равно значению местной скорости звука
W п = а.
(1.39)
Подставив (1.39) в (1.33), убедимся, что ранг матрицы систе-
мы (1.33) равен пяти, значит она имеет одно независимое реше-
ние. В силу (1.39) из (1.33) следует, что со5 = сое = 0, а со4 можно
выбрать произвольно. При этом соi = — апх (о4, (02 = — апу g>4<
соз = —tz/i~co4. Положив (04 = — 1, имеем из (1.28)
р cttix (W V) и -р- р ctiTy (W V7) и —qcmtz (WV) w —
— pa2VW+ ((an —W) V) p = 0.
(1.40)
Среди бесконечного числа характеристических условий (1.35) —
(1.38), (1.40), отвечающих разным нормалям, независимых усло-
вий не может быть больше числа исходных дифференциальных
уравнений. В качестве таких независимых характеристических
соотношений можно выбрать уравнения (1.35) — (1-37) вдоль
линий тока и уравнение (1.40) вдоль трех характеристических по-
верхностей.
Общая теория, изложенная в начале данного пункта, позволяет
получать характеристические уравнения для систем, описывающих
н более сложные типы течений газа, такие, например, как прост-
ранственные течения при наличии неравновесных физико-химиче-
ских процессов пли многофазные течения [162]. В следующих гла-
вах будут рассмотрены такого рода течения лишь для случая двух
независимых переменных, поэтому остановимся подробнее именно
на этом случае. При этом будем использовать другой подход, ос-
нованный на определении характеристик как линий, на которых
нельзя задавать начальные данные при решении задачи Коши. Та-
ким путем удобнее приводить к характеристической форме урав-
нения с двумя независимыми переменными.
Рассмотрим квазилинейную систему m-го порядка
(1-41)
20
где элементы ац, Ьц, fi матриц А, В и вектора f (f, j =
= 1, 2, . . . , nV) суть функции Xi, х2 и компонент щ, ^2, , ит
искомой вектор-функции и.
Пусть в области G плоскости Xi, х2 известно некоторое гладкое
решение и системы (1.41) и задана кривая Г.-Выясним, можно ли,
зная и вдоль Г, восстановить решение в некоторой ее окрестности
или, иначе, однозначно определить вдоль Г все частные производ-
ные du/dxi, du/dx2, пользуясь дифференциальными уравнениями.
Записав выражение для дифференциала
1 - du 1 , du 1
du = ------axt -|------dx2,
dxi dx2
(1-42)
где (dxi, dxz} — вектор бесконечно малого смещения вдоль Г,
имеем алгебраическую систему уравнений (1.41), (1.42) порядка
2/г для определения производных <9u/dxi, <Эи/5х2. Выразив из
уравнений (1.42) ди!дхх через ди!дх2 и подставив в исходную си-
стему, получим
(BdX1^Adx2) — =fdxi — A du. (1.43)
дхг
Если определитель матрицы
Bdxi — A dx2 (1-44)
отличен от нуля, в каждой точке Г, то все производные опреде-
ляются однозначно. Если вдоль Г этот определитель тождественно
равен нулю, то из предположения о существовании решения систе-
мы (1.41) следует, что производные duldXi и ди1дх2 определяют-
ся неоднозначно. Кривая Г в этом случае называется характери-
стикой. Приравнивая определитель системы (1.43) нулю, получим
уравнение
|В— Л—1=0, (1.45)
dxi
которое позволит найти dx2/dxi, определяющие характеристиче-
ские направления. Если это уравнение имеет т различных вещест-
венных корней dx2/dxi = 'ki (i =. 1, 2, . . . , nV), то исходная си-
стема дифференциальных уравнений называется гиперболической.
Обратим внимание на следующее обстоятельство. Наклон каса-
тельной к характеристике kt зависит не только от координат, но и
от решения и. Поэтому построить характеристические кривые на
плоскости х^ х2 можно только для какого-либо определенного ре-
шения системы дифференциальных уравнений. В линейном случае
Хг- — функции только Xi и х2, и характеристические кривые могут
быть построены без знания решения и.
Покажем, что па характеристиках решение системы (1.41)
должно удовлетворять определенным соотношениям. Предполо-
21
X
жим, что система (1.41) гиперболическая. Это означает, что ранг
матрицы (1.44) равен т—1. С другой стороны, в силу предполо-
жения о существовании решения, ранг расширенной матрицы
(В dxi — A dx2, f dxi — A du), (1.46)
также равен in—1. Приравнивая нулю определители /n-го поряд-
ка, получаем связи между компонентами вектора смещения и диф-
ференциалами решения. В силу линейной зависимости столбцов
матрицы (1.44), миноры расширенной матрицы отличаются лишь
постоянным множителем, поэтому безразлично, какой из них при-
равнивать нулю, за исключением случаев, когда это приводит
к тривиальному тождеству.
Уравнение (1.45) называется уравнением направлений харак-
теристик, а уравнение, получающееся приравниванием нулю опре-
делителя, составленного из любых т—1 столбцов матрицы (1.44)
и столбца — Ad и— дифференциальным соотношением на ха-
рактеристике или условием совместности (по аналогии с общим
случаем пространственного течения). Рассмотрим некоторые кон-
кретные системы, которые будут использоваться в дальнейшем.
Начнем с уравнений, описывающих одномерное нестационарное
движение совершенного газа:
ди . ди , 1 др
----1- и----4- — = о,
dtf дх р дх
др др . ди • р.
——h и —— + о-------- О,
dt дх дх
др . др . 9 ди п
—— 4- U 4- р а2------= 0.
dt дх дх
(1-47)
Уравнение (1.45) в этом случае имеет вид (и — dx/dt) [(и —
— dx/dt)2 — а2] =0, откуда получаем три уравнения направлений
характеристик
dx/dt — и, dx/dt — и + п, dxfdt — и — а,
которые называются соответственно
ми. Матрица (1.44) примет вид
Со, С+ и С_-характеристика-
udt — dx
р dt
a2pdt
0 dt/p
udt—dx 0
0 udt — dx
Составим определитель этой матрицы, заменив второй столбец
вектором f dt — A du, и приравняем его нулю:
dp — a2d р + — dx/dt) [/(и — dx/dt) dp — р du] = 0.
22
Подставляя и, и-[- а и и — а вместо dx/dt, получим условия сов-
местности на характеристиках
dp — a2d р =0 вдоль Со: dxldt = и,
dp + ар du О вдоль С+ : dx/dt = и 4~ а,
(1.48)
dp — apdu = 0 вдоль C_\dx/dt = u— а.
Соотношение dp — a2d р = 0 эквивалентно условию постоянства
энтропии вдоль траектории частиц.
Если течение изоэнтропическое, то выражения du-\- dp/p а,
du — dp/ра являются полными дифференциалами величин /+, /_
(инварианты Римана). При этом
т I С dP .2а
1±= и±\ —~ = и ±-------.
J р а у — 1
Из (1-48) следует
I± = iconst вдоль С± : dx/dt = и± а.
(1-49)
Полезно отметить, что если в уравнение неразрывности системы
(1.47) добавить член padlnF/dx, то она будет описывать одно-
мерное течение газа в сопле, контур которого задан уравнением
y = F(x). Если течение изоэнтропическое, тр уравнения направле-
ния и условия совместности будут иметь вид
dx/dt = и ±а,
dl± ± аи (d In F/dx) dt =' 0.
(1.50)
Рассмотрим теперь уравнения характеристик для неравновес-
ных стационарных течений газа. Уравнения (1.7), описывающие
изменение параметров аг-, характеризующих неравновесное состоя-
ние среды, запишем в виде
dui/dt = Ft (р, Г, щ, . . . , cuv) (f = 1, 2, . . . , Л7). (1.51)
Параметрами, как отмечалось ранее, могут быть, например, мас-
совые концентрации компонент газа, энергии внутренних степеней
свободы и т. д. Имеем еще уравнения состояния, которые пред-
ставим в виде
h = h (р, Т, «1, . . . , ajv), (1-52)
р = р (р, 71, Qi, . . . , aN).
(1.53)
Уравнения движения, неразрывности и энергии запишем в виде
dp
дх
23
(1.54)
(1.55)
(1.56)
Здесь п в дальнейшем v = 0 или v = 1 соответственно для
плоского или осесимметричного случаев. Представим, используя
(1.51) — (1.53), полные производные dp/dt, dh/dt в виде
ЛГ
d р д р dp ( д р dT д о г Z1
dt др dt дТ dt
i=l
dh dh dp
dt dp dt
dh _dT_
~dT dt
(1.58)
Уравнение (1.56) с учетом (1.58) примет вид
dh 1 у dp dh
dp p / dt dT
N
2 = 1
(1.59)
Введем, следуя [170], замороженную скорость звука
Ь
др/дТ/ 1 _ dh \ ] —'Л
dhjdT \ р др I
(1.60)
Используя (1.57) п (1.59), приведем уравнение (1.55) к виду
ди ди и др V др
Г Р + Г----
дх----------------------------ду-а2 дх-а2 ду
N
р v I dh \ —1 г д р dh
У \ дТ / дТ дщ
2 = 1
dh д р \
дТ д di /
(1.61)
Для системы (1.51), (1.54), (1.56), (1.61), применяя общий
прием, можно получить уравнения характеристик. При сверхзву-
ковом течении существуют три семейства характеристик — два се-
мейства линий Маха (характеристики С+ и С_) и линии тока (ха-
рактеристики Со). Уравнения направления и условия совместности
следующие
для линий Маха
dy = tg (0 ± a) dx, (1.62)
24
d 0 z±z c*g a dp ±( — sin 0 sin a— Ф1 ----------------------—--------= 0,
p W2 \ у / cos (0 ± a)
(1.63)
dli dh д p \
d ctf dT d di •
г,
для линий тока
dy = tg0 dx,
WdW + dp/p = 0,
(1.64)
(1.65)
(1.66)
(1.67)
dai= (Fi/W-cos 0) dx (i = 1,
2, . . . , TV),
Здесь a = arcsin 7И”1, M = W/a— замороженные угол и число
Маха, 0 — угол наклона вектора скорости к оси х. Важно отме-
тить, что в неравновесных течениях направление характеристик
определяется именно замороженной .скоростью звука аз =
/ dp \’/2 / dp \i/2
= / ——) , а не скоростью звука а = -------) или равновесной
\ d р jSt ai ' d р /
/ dp \’/2
скоростью звука ар = ( -г- ) . Распространение малых возмуще-
\ dp is
ний в неравновесных течениях также происходит с замороженной
скоростью звука [170].
Введем функцию тока ф уравнением
dф = р Wyv (cos 0 dy — sin 0 dx),
тогда
pW yv sin a
sin (0 ± a)
dy,
(1.68)
d ф =
d ф = 0
соответственно вдоль характеристик C± и Co.
Из (1.65) и (1.67) следует, что вдоль линии тока
2
(1.69)
Уравнения (1.62) — (1.69) будут справедливы для равновесно-
го и замороженного течений, если формально положить в них
== 0. При этом скорость звука определяется формулой (1.60),
арий находятся из соответствующих уравнений состояния
h=h(p, Т), р = р (р, Т). <1.70)
Из (1.9) следует, что в этих течениях энтропия сохраняется неиз-
менной вдоль линий тока в отличие от неравновесного течения
dS = 0.
(1.71)
25
Если вместо (1.60), (1.70) использовать соотношения
/у/М’А, h=^_JLt S = ln—, (J.72)
\ р ' Y— 1 Р Pv
то (1.62) — (1.64), (1.71) при Fi = 0 будут характеристическими
соотношениями для уравнений, описывающих движение совершен-
ного газа с постоянными теплоемкостями.
Рассмотрим еще один важный случай — движение двухфазной
среды. Стационарное движение двухфазной среды при допуще-
ниях, сформулированных в п. 1 настоящего параграфа, описывает-
ся уравнениями (1.10) — (1.13), если в них приравнять нулю все
частные производные по времени. Система (1.10) — (1-13) в пло-
ском и осесимметричном течениях служит для определения не-
известных щ щ, v, vs, р, р, ps, Т, Ts, /г, es. Замороженная ско-
рость звука определяется по формуле (1.60) и, если пренебречь
объемом, занятым частицами, то она равна скорости звука в газе.
Как и в случае движения однофазной среды, характеристиками
системы являются линии Маха (1.62) и линии тока газа (1.64).
Кроме того, в рассматриваемом случае имеется еще одно семей-
ство характеристик — линии тока частиц.
Выпишем характеристические соотношения без вывода
(см. [136]). На характеристиках С± (линиях Маха) dy =
= tg (О ± a) dx выполняются соотношения
6 + ctg а dp z±z( — sin 0 sin a—Ф2 1----------------—-------- =;0,
p W2 \ у I cos (0 ± a)
(1.73)
a d p[dT
p дИ/дТ
[Ws-W)f + 9]=t=
+ [fx sin (9 ± a) — fy cos (0 ± a) ] ,
fx, fy — проекции вектора f на оси декартовой системы координат.
На линиях тока газа (характеристиках Со) dy = tgft dx имеем
Ps
р W cos 0
[ (Ws — W) f + q] dx = 0,
(1-74)
dH0 4---------
p W cos 0
(f Ws 4- q) dx = 0.
(1-75)
Из последнего уравнения следует, что если газ и частицы не взаи-
модействуют, т. е. f = 0 и q = 0, то энтальпия торможения
Hq = h + И72/2 остается постоянной вдоль линий тока газа.
Вдоль линий тока-частиц справедливы уравнения (1.13), кото-
рые уже имеют характеристическую форму. Таким образом,
имеют место следующие уравнения направления и совместности:
26
vs dx — usdy = 0,
usdus — fxdx = 0, usdvs — fydx=.O, usdes — qdx = 0. (1-76)
Используя уравнение неразрывности для «газа» частиц, можно
получить еще одно соотношение для определения ps, выполняю-
щееся вдоль линий тока частиц
d ps + ps 1 (д Z/ду + v^/y + fxluzs) dx = 0,
(1.77)
где ^ = us/ms.
Теория характеристик играет исключительно важную роль при
формулировке краевых условий задач газовой динамики. Кроме
того, свойства характеристик широко используются при численном
решении уравнений. В дальнейшем при рассмотрении конкретных
задач о движении газа в соплах эти вопросы будут неоднократно
затрагиваться. Здесь же кратко поясним идею численного метода
характеристик.
Для простоты гиперболическую систему (1.41) рассмотрим для
случая двух независимых переменных и двух искомых функций,
которые обозначим соответственно х, у и и, v. Имеем
ди . dv . ди . t dv r
flu—---h 012-— + Oil—- + 012— = fl,
дх дх ду ду
#21—--F а22~---h &21~Т h #22“Т— /2, (1-78)
дх дх ду ду
где #t-j, Ьц — функции х, у, u, v. Уравнения характеристик этой си-
стемы таковы:
dy/dx =;Хг- (Z = 1, 2),
(1-79)
(#Хг + b) du + cdv + hdx + edy — О,
(1.80)
где
CL — Пц #22 ------#12 #21, Ь ----- bi[ &22---- &12 ^21, # ---- #22 &12 ---#12 ^22,
h = £>22 f l Ь12 ?2, С ------------ #12 ?2 #22 fl-
Рассмотрим в плоскости х, у две достаточно близкие точки 1 и
2, не лежащие на одной характеристике, и зададимся целью опре-
делить #, v в точке 3 пересечения характеристик, проходящих
через эти точки. Координаты точки i будем обозначать через хг-,
Уй а значение любой функции g в точке I— через gi- Переходя
в (1.79) от дифференциалов к разностям, имеем для определения
*з, уз систему
Уз Z/i— (M)i (х3— Xi), уз—(Хг)2(^з — х%) • (1.81)
27
Аналогично из (1.80) получаем
(М а + 6) 1 (и3 — щ) + (v3 — ui) + hi (x3 — *i) +
+ ei (Уз-У1) =0, (1.82)
(Х2а-(-Ь)2 (U3 — U2) +c2 (v3 — v2) + h2 (x3 — x2) +
+ e2 (y3 — y2) = 0,
откуда определяются u3i v3. Ошибка в определении x3, y3l u3, v3 бу-
дет порядка квадрата расстояний от точки 3 до точек 1 и 2. Реше-
ние можно на порядок уточнить, если при вычислении коэффици-
ентов при дифференциалах в (1.79), (1.80) использовать значения
искомых величин в точке 3. Этого можно достичь итерациями
Z/o(s) —/Л = (Ш (x<s). — Л71), у^ — уг= (W^ (x3(s) — х2),
(Z1 а + Ь) Ю (и^ — щ) + с /»> (v («) — th) +
10^0 1 о о
+ — Xi) + (у<*> — Z/1) = О,
10'0 1 о о
(Kza + b) м (и <3> — и2) + с<«) (о<8> — v2) +
ZO о ло о
+ -Л2ч’ C*US) — *2) + e <f (уМ —у2) = О,
Zu О хо о
5=1,2,..,,
где £<») = —(gH8-1) +gi), g£ =_L(g-(s^-i) +g2).
2 2
При вычислении gfg) , g(°) используется решение уравнений
х 1 о
(1.81), (1.82).
Пусть теперь и и v заданы на дуге АВ некоторой кривой, кото-
рая ни в одной точке АВ не имеет характеристического направле-
ния, и нужно определить решение в окрестности АВ (задача
Коши). Выберем на АВ ряд точек А, а, &,..., с, В (рис. 1.2, а)
и проведем через каждую из них характеристики обоих семейств.
В точках их пересечения d, е, . . . , \f описанным выше способом
можно вычислить искомые функции. Зная решение в этих точках,
можно продвинуться еще на один «слой» и т. д., пока не вычислим
решение в точке С. .Таким образом, последовательно определяется
решение и одновременно выстраивается характеристическая сетка.
Аналогично определяется решение и в характеристическом тре-
угольнике ABD. Такая процедура возможна лишь при условии
существования в области ACBD непрерывного решения. Известно,
что существование непрерывного решения квазилинейной системы
можно гарантировать лишь в малой окрестности линии начальных
данных. Даже при сколь угодно гладких начальных данных в об-
28
ласти влияния дуги АВ (область ACBD) могут возникать разры-
вы. Расчет методом характеристик в этом случае существенно
усложняется. Однако этот вопрос выходит * за рамки принятого
здесь элементарного рассмотрения численного метода характе-
ристик.
Рис. 1.2. Схема решения методом характеристик задачи Коши (а), за-
дачи Гурса (б) и краевой задачи (в)
Рассмотрим задачу Гурса: на дугах АВ и АС характеристик
различных семейств заданы и и v. При этом, естественно, предпо-
лагается, что и и v удовлетворяют условиям совместности. Выбе-
рем на дугах АВ и АС последовательности точек А, aif а2, ..., В
и А, Ь1у Ь2, . . . , С (рис. 1.2, б). Используя точки «1 и bi в каче-
стве опорных, определим искомые функции в точке Далее ре-
шение можно вычислить в точке с2 и во всех остальных точках
характеристики сцЕ. Затем процесс повторяется для следующей
характеристики a2F и т.- д., пока не будут вычислены искомые ве-
29
личины на крайней характеристике BD характеристического четы-
рехугольника ABDC.
В заключение рассмотрим одну из возможных граничных за-
дач. Пусть граничные условия заданы на дугах АВ и АС двух
нехарактеристических кривых, причем на АВ заданы и и v, на
АС — линейная комбинация au-J-pt, и дуга АС расположена
внутри угла, образованного характеристиками разных семейств,
проходящих через точку А (рис. 1.2, в). По данным на АВ можно
вычислить и, 'V в треугольнике ABD, в том числе и в точках харак-
теристики AD (точки а, 6 ит. д.). Для определения u, v в точке с
используются характеристическое условие вдоль дуги ас и задан-
ная в точке с комбинация а и 4- р с. После вычисления искомых
величин в треугольнике АЕС решается задача Гурса с данными
на ED и ЕС.
3. Прямая задача. При решении конкретных прикладных задач
система (1.1) — (1.3) должна дополняться соответствующими на-
чальными и граничными условиями. В теории сопла Лаваля раз-
личают две задачи: прямую и обратную. Прямая задача состоит
в определении поля течения при заданном контуре сопла и неко-
торых условиях в начальном и конечном сечениях сопла. Она сво-
дится к некоторой краевой задаче для уравнений газовой динами-
ки. Обратная задача состоит в определении поля течения при
условиях, заданных на некоторой известной поверхности, и усло-
виях, заданных в начальном сечении сопла. Обратная задача сво-
дится к задаче Коши. Очевидно, что характер начальных и гра-
ничных условий зависит от типа течения и различается в случае
дозвукового и сверхзвукового течений.
Рассмотрим вначале прямую задачу для общего случая неста-
ционарного трехмерного течения нереагирующей смеси газов. На
контуре сопла задается условие непротекания
(WV)F = 0, (1.83)
где F(xy.yy г) =0 — уравнение контура сопла. В качестве началь-
ных условий при t = 0 во всей области течения задаются все газо-
динамические параметры течения (при этом допускается сущест-
вование поверхностей разрывов).
На входной плоскости сопла, где течение всегда будем предпо-
лагать дозвуковым, могут быть заданы как функции времени либо
все составляющие скорости и давление (или плотность), либо две
составляющие скорости, давление и плотность. Задание всех ком-
понент решения (вектора скорости, давления и плотности) на
начальной плоскости переопределяет задачу, что можно показать
на основе теории характеристик. Аналогично задаются условия и
на выходе из сопла, если истечение газа из сопла происходит
с дозвуковой скоростью. Если же на выходе из сопла скорость
газа больше скорости звука, никаких краевых условий в выходном
сечении ставить нельзя, так как решение там полностью определя-
30
ется заданием начальных данных и краевых условий на входе
в сопло.
Существование единственного решения следует из возможности
однозначного определения его методом характеристик. Рассмот-
рим этот вопрос на примере одномерного нестационарного изоэнт-
ропического течения газа в сопле. В этом случае существуют два
семейства характеристик. Характеристические соотношения в фор-
ме (1.50) связывают дифференциалы скорости и и скорости зву-
ка а.
В качестве начальных данных при t = 0 необходимо задать
функции и и а для всех х, 0 х Хь, где х =.0, х = Xk — коор-
динаты входного и выходного сечений сопла. Рассмотрим вначале
случай полностью дозвукового течения в сопле. Начальные усло-
вия однозначно определяют течение в характеристическом тре-
угольнике О АВ (рис. 1.3, а). На левой границе (x=iO) нельзя
произвольно задавать обе функции и и а. Действительно, в каж-
дую точку левой границы приходит со стороны меньших значе-
ний /, где решение известно, характеристика С_. Связанное с ней
характеристическое соотношение в общем случае будет противоре-
чиво с произвольно заданными при х = 0 значениями и и а. Для
однозначного определения решения методом характеристик в об-
ласти OBD (рис. 1.3, а) необходимо при х = 0 задать одну из
функций и или а, или их линейную комбинацию. Аналогично об-
стоит дело и с правой границей. Таким образом, задание на входе
и выходе сопла одной из функций (или их линейных комбинаций)
позволяет однозначно определить решение последовательно в об-
ластях ОАВ, OBD, ABE, BDFE и т. д.
Рис. 1.3. К заданию граничных условий при одномерном нестационарном
течении газа в сопле
Если истечение газа из сопла происходит со сверхзвуковой
скоростью, то начальные данные определяют решение в характе-
ристическом треугольнике OAG (рис. 1.3, б), в частности, и на
31
Рис. 1.4. К заданию граничных
условий при сверхзвуковом ста-
ционарном течении газа в сопле
участке АС прямой х = xk. Следовательно, на АС краевых усло-
вий ставить нельзя. Их нельзя ставить при х — Xk и выше точки С,
так как решение на этом участке полностью определяется краевы-
ми условиями при х — 0 и известным решением на ОС. Расчет
может быть проведен, например, последовательно вдоль характе-
ристик O'G', O//G,z и т. д. (рис. 1.3, в). Представленное рассмот-
ренье подтверждает корректность предложенной выше формули-
ровки начальных и граничных условий. При наличии релаксацион-
ных процессов параметры, характеризующие эти процессы (напри-
мер, концентрации компонент смеси, скорости и температуры
частиц и т. п.), должны быть заданы в начальный момент време-
ни, а также во входном сечении сопла.
В случае решения прямой
задачи для стационарного те-
чения также необходимо удов-
летворить условию непротека-
ния на контуре сопла. Если в
некоторой области сопла тече-
ние полностью сверхзвуковое,
то для определения течения в
этой области необходимо еще
задать все искомые функции
на некоторой поверхности АВ
(рис. 1.4). Эта поверхность мо-
жет быть произвольно ориенти-
рованной в пространстве, необходимо лишь, чтобы в каждой точке
на ней скорость была больше скорости звука. Единственность ре-
шения следует из возможности однозначного построения решения
методом характеристик. Решение в этом случае определено в об-
ласти ABDOC, где OCEDF — характеристический коноид.
В случае дозвукового течения необходимо задать в начальной
плоскости либо все п составляющие скорости и давление или
плотность, либо п—1 составляющие скорость, давление и плот-
ность (п— размерность вектора скорости).
Если рассматривается частный случай изоэнтропического и
пзоэнергетического течения, то на начальной плоскости необходи-
мо задавать лишь п—1 составляющие скорости. В корректности
такого задания граничных условий нетрудно убедиться, построив,
например, решение уравнения для потенциала скорости в несжи-
маемом плоском течении. Решение этого уравнения всегда можно
представить как вещественную часть аналитической функции от
комплексного аргумента x-\-iy. Если аналитическая функция
вместе со всеми своими производными известна в какой-либо точ-
ке, то на основании принципа аналитического продолжения эта
функция известна во всей плоскости. Следовательно, если решение
уравнения для потенциала известно вдоль бесконечно малой части
кривой (что имее^ место, если заданы обе составляющие ско-
ростп), то тем самым оно известно вдоль оставшейся части кри-
вой. Поэтому, если компоненты скорости в точках начальной пло-
скости 'заданы произвольно, то в общем случае можно прийти
к противоречию и, вообще говоря, не удовлетворить условию не-
протекания. Таким образом, в дозвуковой части сопла начальной
плоскости А'В' нельзя задавать вектор скорости, в отличие от слу-
чая сверхзвукового течения [38].
В то же время, при решении прямой задачи для области
А'В'АВ на поверхности АВ (рис. 1.4), расположенной в сверхзву-
ковой области, не требуется постановки каких-либо граничных
условий. Единственность решения краевой задачи в области
А'В'АВ для нелинейных уравнений газовой динамики до настоя-
щего времени в общем случае не доказана, хотя и получен ряд
численных решений. Лишь для случая сверхзвукового истечения
струи из плоского отверстия, когда задача сводится к задаче Три-
коми, имеется доказательство единственности и получено анали-
тическое решение в виде рядов [153]. Решение прямой задачи
в области А'В'АВ существует лишь при значениях безразмерного
расхода и критическое значение расхода ф* тем меньше,
чем меньше радиус кривизны контура в минимальном сечении.
В работе [154] содержится попытка доказательства неединствен-
ности значения гр* для сопла заданной формы. При этом в окрест-
ности минимального сечения поток должен переходить через ско-
рость звука. Характер течения должен определяться его преды-
сторией и зависеть от того, каким образом установилось критиче-
ское значение расхода. Строгого доказательства эта идея не полу-
чила. В то же время показана (при решении прямой задачи
в вариациях) единственность критического расхода при работе
сопла в расчетном режиме [127, 154]. Идея о неединственности
критического расхода, особенно в случае течения газа с неравно-
весными физико-химическими превращениями, представляется
весьма правдоподобной.
4. Обратная задача. Решение обратной задачи и формулировку
граничных условий удобно проводить, используя уравнения, в ко-
торых в качестве независимых переменных взята длина дуги вдоль
некоторой кривой и функции тока. Использование функций тока
особенно удобно, так как на-
чальные условия в обратной
задаче задаются обычно на по-
верхности тока (жесткая стен-
ка или ось симметрии). При-
ведем соответствующие урав-
нения, полагая для простоты,
что в смеси отсутствуют ино-
родные частицы, однако допу-
скается неравновесное проте-
кание химических реакций и
возбуждение колебательных
3—625
Рис. 1.5. Криволинейная система ко-
чт s. г
степеней свободы молекул. Примем также, что течение является
стационарным.
Введем криволинейную ортогональную систему координат, свя-
занную с кривой y = f0(s), расположенной в плоскости х, у
(рис. 1.5). Координаты точки в этой системе определяются длиной
дуги s, расстоянием по нормали к этой кривой г и углом ф. Эле-
ментарное геометрическое рассмотрение показывает, что декарто-
вы координаты х, у, z связаны с криволинейными координатами
s, г, ф следующими соотношениями
s
х = Jcos б (s) ds — г cos ф sin б (s),
So
у = fo (s) + r COS ф cos 6 (s),
(1.84)
z = r sin ф,
где 6(s)—угол между касательной к кривой fo(s) и осью х.
В криволинейной системе координат s, г, ф система (1.4) — (1.7)
имеет вид [109]
~(ри//2Яз) +—(ру^Яз) =0, (1.85)
ds dr д ф
дг
ди , w и sin ср
---Ч- v-------L
д ср RHi
и ди
d s
ди
и д со । и д со
Hi ds Н2 дг
w д щ
Нз d ф
N
h = \
, N).
(1.90)
Здесь и, v, w — проекции вектора скорости W на оси криволиней-
ной системы координат s, г, ф, отнесенные к критической скорости
звука а*; р, р — давление и плотность, отнесенные к давлению р*
и плотности р* в критическом сечении. Параметры с размерностью
34
длины отнесены к некоторой характерной длине г*, 7?(s) —радиус
кривизны кривой fo(s), у = а2*р*/р*, величины Н\ = 1 н= г cosv ф//?,
//2=1,' Н3 = г суть коэффициенты Ламэ. Знак минус в выраже-
нии для Hi соответствует вогнутым кривым fo(s), а знак плюс —
выпуклым; v = 0 для плоского случая, v = 1 для осесимметрично-
го и пространственного случаев.
Система уравнений в частных производных (1.86) — (1.90)
совместно с соответствующими термическим и калорическим урав-
нениями состояния является достаточно общей и описывает неизо-
энтропическое вихревое течение смеси совершенных газов при
наличии релаксационных процессов и имеющих различную энталь-
пию торможения вдоль линий тока.
Известно, что уравнение неразрывности, записанное в дивер-
гентной форме, определяет соленоидальный вектор, который мо-
жет быть записан в виде векторного произведения градиентов
двух функций; уравнение неразрывности при этом тождественно
удовлетворяется. В связи с этим для стационарных пространст-
венных течений могут быть введены две функции тока [28]. Вве-
дем новую независимую переменную ф с помощью равенства, ле-
вая часть которого — скалярное произведение вектора скорости на
вектор Уф:
и д ф
v д ф
Hi ds
Н2 dr
Из д ср
(1.91)
Очевидно, что поверхности ф (s, г, ф) = const являются поверхно-
стями тока. Имея в виду соотношения
дф _ dr/ds
дф / dr \—1
d ф _ дг/д ср
dr/d ф ’
dr \ дф
d ф dr/d ф ’
(1.92)
получим следующие формулы для перехода к новым переменным
d
ds
ds ф, ф
д ср s, г
dr/ds d
dr/dty дф g> ф
d
dr
dr/d ф д
д ср s, ф дг/дф дф |з, ф
дг/дф дф s, ф
(1.93)
Введем еще одну независимую переменную 0 с помощью равен-
ства, левая часть которого — скалярное произведение вектора ско-
рости на вектор V0:
и d 0
w д 0 _ Q
Hi ds
Н3 д ф
(1-94)
Очевидно, что поверхности 6(s, ф) = const также являются по-
верхностями тока и каждый из векторов V0 и Уф ортогонален
вектору скорости. Линии пересечения поверхностей ф = const и
Q = const являются линиями тока. Тогда из уравнения (1-94)
следует, что дифференциальное уравнение линии тока на поверх-
ности ф=const имеет вид
d ср H\,w
ds Из и
(1.95)
Переходя в системе (1.85) — (1.90) к новым переменным s, ф, 0,
используя при этом формулы перехода типа (1.93), получим сле-
дующую систему для определения функций и, v, w, р, р, г и ср:
др = _ G (S, е, ф) | у др д В д ср j
д ф и (д qld e)v д Ф/d 6 д ф ’
h+-Lw^ = H0^, 6),
2
(i = 1, 2, . . . , AT),
i ds p h=1
h = J hi ait hi = 1ц (T), p =^L,
2 = 1 H
(1.102)
(1.103)
(1.104)
g (s, e, -ф) =-^
П 1
dv । w2 cosv Ф w2
ds fh
Здесь ф и 0 отнесены к р*п*г2*, Я0(ф, 0) —энтальпия торможения.
Система (1.96) — (1.103) без уравнений (1.98), (1.101) при
v = 0 описывает плоское течение газа.
Если смесь является нереагирующей, то из (1.103) следует, что
а$=Ф1(ф, 0), а из (1.9) следует, что энтропия S сохраняется по-
стоянной вдоль линий тока, т. е.
In (р р-У) = Ф2 (гр, 0).
(1.105)
36
Из уравнения (1.99) получаем интеграл Бернулли
(1.106)
где у — отношение удельных теплоемкостей, которое в общем слу-
чае также является функцией ф и 0, поскольку критические пара-
метры, вообще говоря, могут меняться при переходе от одной
линии тока к другой. Если, кроме того,'радиус кривизны 7?=оо и
^ = 0, то приведенная система переходит в систему уравнений,
полученную в работах [80, 108] для плоского и осесимметричного
случаев. При этом очевидно, что поверхности тока 0 = const суть
плоскости и 0 = ф.
Для плоского и осесимметричного изоэнтропических течений
с постоянным показателем адиабаты система (1.96) — (1.103)
имеет особенно простой вид
др у dv 1 -]-v
—‘------------------* -------------== ------
д ф rv ds д ф р и
dr v
ds и ’
и 1 ——-------p(V—l)/v —у2 \\
\у — 1 Y — 1 /
(1.107)
(1.108)
(1.109)
(1.110)
В случае двухфазных течений общую систему уравнений можно
записать, используя в качестве независимых переменных s, ф, 0
пли s, фв, 0S, где фв, 6s — функции тока (траектории) частиц. Если
рассматривается полидисперсная смесь, то в качестве ф8, 0S может
быть выбрана функция тока какой-либо одной частицы. Выпишем
для плоского и осесимметричного случаев систему уравнений, опи-
сывающих движение двухфазной смеси при наличии частиц одного
размера в координатах s, ф. Имеем
(1.111)
37
д (us ps) । d qs / 4 . / dvs , du8 \ . vps vs n
—----L2---|_rvp ~~~—(vsU—— USV) + psIII------------V----- +—-------= 0,
d s L d г|) \ d ip d ф / r
(1.112)
dtig I / \ dtig _ r
us—-+ r p (u vs — V us) ----= fx,
d s d гр
dvg . , v dVg r
us---h r p (uvs-v Us) ---= fr,
ds дф
us——h r p (u vs — v us) -— q,
ds d гр
h = h(p, 71), p = pT, es = es(Ts), (1.113)
где fx, fr — проекции вектора f на оси x и г, а все параметры приве-
дены к безразмерному виду путем отнесения к соответствующим
критическим величинам.
Введенная система координат s, ф, О, естественно, не является
единственно возможной. Преимущество перед декартовой, цилинд-
рической и сферической системами координат в том, что границы
исследуемой области в координатах s, ф, 0, обычно являются пло-
скостями или прямыми линиями. Система координат s, ф, 0 не
является ортогональной; подобные системы координат называют
нормальными. При решении прямой задачи также используются
координаты, в которых границы области переходят в плоскости
или прямые линии, что достигается соответствующей нормировкой
переменных у и z.
При решении обратной задачи для сопел и каналов сложных
криволинейных конфигураций, когда контуры являются многознач-
ными функциями декартовых координат, удобно вместо нормаль-
ных систем координат типа s, ф, 0 использовать ортогональные
системы, связанные с линиями тока. Известным примером ортого-
нальных координат для потенциальных течений являются коорди-
наты ф, Ф, где Ф — потенциал скорости.
Рассмотрим еще одну ортогональную систему координат, при-
меняемую для расчета течений газа в сложных криволинейных
каналах [100]. Введем ее для течений, параметры которых не за-
висят от угловой координаты ф, но в которых возможна закрутка
потока (или снос его в плоском случае параллельно оси Ог).
Одним семейством координатных поверхностей в этой системе
являются поверхности ф = const, определяемые равенством (1.91).
В качестве второго семейства выбираются плоскости ф=const,
проекции линий тока на которые совпадают с проекциями поверх-
ностей ф = const.
Рассмотрим теперь способ введения третьего семейства коор-
динатных поверхностей. Пусть s — расстояние вдоль проекции
38
линии тока на плоскость ф=const. Запишем выражение для диф-
ференциала дуги
6s =— I/-1 (udx + vdr), (1.114)
где и, v, V — проекции вектора скорости W на оси х, г и плоскость
ср = const соответственно, т. е. V2=I1/2— w2. В общем случае 6 s
не является полным дифференциалом, а значит, существует интег-
рирующий множитель g такой, что
da = g6s = (—guV-1) dx-\- (—gW-1) dr (1.115)
будет полным дифференциалом. Следовательно,
— = — guV~l, ^-= — gvV-1, — ^=0. (1.116)
дх дг д ф
Нетрудно убедиться, что поверхности ip = const, cp = const, ст—
= const ортогональны. Поэтому-поверхности cr=const могут быть
выбраны в качестве третьего семейства координатных поверх-
ностей.
В случае двумерных потенциальных течений cr=const на ли-
ниях постоянного потенциала <D = const, поскольку в этом случае
интегрирующим множителем для длины дуги 6 s является ско-
рость. В качестве о можно рассматривать, например, длину дуги
вдоль проекции какой-либо характерной линии тока на плоскость
ср = const. В переменных ф, о, ср при условии, что искомые функции
не зависят от ср, но возможно существование окружной составля-
ющей скорости w (т. е. так называемой закрутки потока), имеем
следующую систему уравнений:
39
Обратимся теперь к постановке начальных и граничных усло-
вий в обратной задаче теории сопла. Вновь воспользуемся для
этого теорией характеристических поверхностей для квазилиней-
ной системы дифференциальных уравнений в частных производных
первого порядка. В соответствии с общей теорией, изложенной
в пункте 2 настоящего параграфа, после определения характери-
стических поверхностей и нормалей к ним исходную систему из т
уравнений можно заменить эквивалентной системой, составлен-
ной из линейной комбинации этих уравнений, которые разделяют-
ся на две части. Одна часть состоит из rrii уравнений совмест-
ности, другая часть — из т — дополнительных уравнений [94].
В частности, на поверхностях тока, которые являются характери-
стическими поверхностями в установившемся невязком течении
при дозвуковых и сверхзвуковых скоростях, уравнениями совмест-
ности являются два уравнения движения (1.98), (1.99), уравнение
энергии (1.102) и N релаксационных уравнений (1.103), которые
не содержат производных по нормалям к линии тока. Дополни-
тельными уравнениями являются одно из уравнений движения
(1.96) и уравнение неразрывности или уравнение (1.97), которое
из него следует, содержащие производные по нормали к поверх-
ности тока. Уравнения (1.100), (1.101) являются уравнениями
направления. Отметим, что функции, производные от которых вхо-
дят в дополнительные уравнения, не могут претерпевать разрывов
в направлении нормали к поверхности тока.
Обратную задачу теории сопла для общего случая пространст-
венного стационарного течения реагирующего газа можно сфор-
мулировать следующим образом.
На поверхности ф = фо = соп51 заданы составляющая скорости
и=и0 (s, 0) (или давление, или плотность) и функция r=rQ (s, 0).
На плоскости s = s0 заданы функции w = w0 (0, ф), р=р0 (0, ф),
ССг = ССгО (6, ф). ф =:фо (0, ф). Требуется определить семейство по-
верхностей тока и параметры течения в окрестности начальной по-
верхности тока ф=ф0. Очевидно, что должна быть задана функция
/7о(ф, 0) в уравнении (1.102). Важно отметить, что задание на
поверхности тока ф=;фо компонент скорости v и w лишь переоп-
ределяет задачу, поскольку наличие уравнений совместности и
направления позволяет определить эти компоненты по одной за-
данной компоненте скорости и известному уравнению поверхности
тока. В случае течения нереагнрующей смеси задание на пло-
скости s=(S0 плотности можно заменить заданием энтропии
S = ln (рр-т)=ф2 (-ф, 0) и, кроме того, вместо уравнений (1.99) и
(1.102) можно использовать уравнение Бернулли (1.106) с задан-
ной функцией у (ф, 0).
В случае плоского или осесимметричного изоэнтропического
(S = const) и изоэнергетического (Z/o=const) течений без закрут-
ки потока наличие двух дополнительных уравнений (1.107) позво-
ляет задать граничные условия лишь на линии тока. Обратная за-
дача, таким образом, сводится к задаче Коши для системы
40
(1.107) — (1.110) с данными на линии тока, т. е. на характеристи-
ке. Возможность постановки задачи Коши обусловлена тем обстоя-
тельством, что линия тока является вырожденной характери-
стикой.
Если течение неизоэнтропическое и неизоэнергетическое или
имеет место закрутка потока, то линия тока является уже невы-
рожденной характеристикой, и двух дополнительных уравнений
недостаточно для того, чтобы по данным на линии тока определить
искомые величины в ее окрестности. В этом случае нужно допол-
нительно задать распределение энтропии и энтальпии торможения
или окружной составляющей скорости на начальной плоскости.
Аналогичная ситуация имеет место в пространственном случае
даже при условии изоэнтропичности и изоэнергетичности течения.
Помимо задания данных на поверхности тока, которая является
характеристической поверхностью, необходимо задать граничные
условия на какой-либо поверхности, несовпадающей с характери-
стической, например, на плоскости s = s0.
§ г________________________________________
НЕКОТОРЫЕ
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ТЕОРИИ
I
Построение аналитических и даже численных решений системы
(1.3) — (1.7) связано со значительными трудностями не только
ввиду сложности физико-химических процессов, но и потому, что
в общем случае течение в сопле содержит до-, транс- и сверхзву-
ковые области, для описания которых требуется различный мате-
матический аппарат, поскольку приходится иметь дело сразу с эл-
липтическими, параболическими и гиперболическими уравнениями
в частных производных. В то же время построение некоторых ана-
литических решений, основанных на приближенных предпосылках,
позволяет, значительно упростив методы решения, установить мно-
гие важные качественные закономерности. В связи с этим в на-
стоящем параграфе будут рассмотрены некоторые элементарные
теории, позволяющие выявить ряд основных закономерностей дви-
жения газа в сопле. К числу таких теорий относятся одномерная
теория сопла, теория течений типа источника и стока, теория про-
стой волны или течения Прандтля-Мейера.
1. Одномерная теория. Обратимся к одномерной теории сопла.
Рассмотрим установившееся течение совершенного газа без релак-
сационных процессов (детальное обсуждение применения одномер-
ной теории к расчету течений с неравновесными физико-химиче-
скими процессами будет проведено в главе V). В соответствии
с основной гипотезой одномерной теории будем считать поток
в любом месте сопла однородным по сечению, а скорость — на-
правленной практически вдоль оси сопла, которая в общем случае
41
может быть криволинейной. Такое предположение будет справед-
ливым либо в случае, если площадь и форма сечения сопла изме-
няются достаточно медленно в продольном направлении сопла,
либо если площадь струйки тока достаточно мала по сравнению
с характерными поперечными размерами области течения и, сле-
довательно, поперечными составляющими скорости в первом при-
ближении можно пренебречь. Параметры газа будут функциями
только продольной координаты, и для определения их можно при-
менить уравнения, имеющие место вдоль линии тока, т. е. уравне-
ния (1.99), (1.102). Помимо этого, из уравнения (1.97) следует
равенство
W = (1 v) ф. (1.122)
Обозначая площадь поперечного сечения сопла через F, расход
газа, равный массе газа, протекающего в единицу времени через
поперечное сечение сопла, через Q, а плотность потока газа — че-
рез /, имеем следующее уравнение неразрывности:
р WF = jF= Q. (1.123)
В случае одномерного течения из уравнений (1.99), (1.102) и
(1.123) нетрудно получить, что
-^1— = р (1—М2) или = —---------—, (1.124)
dW r v dp у W
где j — безразмерная плотность потока, отнесенная к р*а*, М =
IF м
=------число Маха; давление, скорость и плотность также отне-
а
сены к своим критическим значениям (т. е. безразмерная скорость
W совпадает с коэффициентом скорости X).
Имеем также
— = (М2— 1)
dW
W
(1 — ЛР)
dp
ур IF2 ‘
(1.125)
Соотношения (1.124) показывают, что в дозвуковом течении
плотность потока / возрастает по мере возрастания скорости и
падения давления, а в сверхзвуковом течении, наоборот, падает.
Плотность потока достигает максимального значения /* = р*а*
в тех точках, где скорость и плотность газа равны критическим
значениям, и обращается в нуль при IF=0 и давлении р, равном
давлению торможения ро, а также при р = 0 и максимальной ско-
рости, достигаемой при истечении в вакуум. Безразмерная плот-
ность потока / зависит от числа Маха (или X) и отношения удель-
ных теплоемкостей у. Эта зависимость для совершенного газа
имеет вид
1 — q {'К) =(Y_±J_y/(v—° х Л _Vz=_L^2 у/(т-1). (1.126)
\ 2 / \ Y + 1 '
42
Очевидно, что /=F*//7, где F* — площадь минимального сечения
сопла. Зависимость при различных у представлена на
рис. 1.6, откуда видно, что каждому значению F=F/F* соответст-
вуют два значения коэффициента скорости — дозвуковое Х<1 и
сверхзвуковое Х>1. Из (1.125) следует, что в дозвуковом потоке
скорость увеличивается, а давление уменьшается в направлении
уменьшения площади поперечного сечения сопла, в то время как
в сверхзвуковом потоке при увеличении площади происходит уве-
личение скорости и падение давления.
Рис. 1.6. Зависимость газодинамических функций от коэффициента скоро-
сти К при различных значениях показателя адиабаты у: 1— у = 1-1,
2 — у = 1.2, 3 — у = 1.4.
Согласно (1.125), критическая скорость может быть достигнута
только в минимальном сечении сопла Лаваля, где dF=0. Вниз по
потоку от минимального сечения скорость может либо продолжать
увеличиваться, либо вновь уменьшаться в зависимости от отноше-
ния внешнего давления к давлению торможения. Если в мини-
мальном сечении скорость потока отлична от критической, то она
имеет экстремальное значение: максимальное (дозвуковое), если
на входе сопла скорость дозвуковая, и минимальное (сверхзвуко-
вое), если скорость на входе сопла сверхзвуковая. Ясно, что
в рамках одномерного приближения в суживающемся канале не
может быть достигнута сверхзвуковая скорость, если начальная
скорость дозвуковая (это утверждение неверно, если течение носит
пространственный характер); максимальная скорость в таком ка-
нале равна скорости звука. Сверхзвуковая скорость может быть
получена лишь в сопле, имеющем суживающуюся часть, а затем,
вниз по потоку от минимального сечения, расширяющуюся.
Максимальное значение /* достигается при критической ско-
рости течения. Очевидно, что максимально возможное значение
полного расхода Qm для сопла заданной формы равно j*F*. Вос-
43
пользовавшись формулой (1.126) и допуская возможность сущест-
вования в сверхзвуковой части сопла ударной волны, получим
выражение для относительного расхода Q
(1.127)
Рис. 1.7. Зависимость давления от
площади поперечного сечения при
различных режимах работы сопла
где о=рог/ро1 — коэффициент потерь полного давления в ударной
волне, poi, Ро2 — давления торможения до и после ударной волны,
а р по-прежнему отнесено к своему критическому значению р*.
Задаваясь различными значе-
ниями Q и о, можно получить
зависимость р от относитель-
ной площади сечения сопла
р=р (F). На рис. 1.7 представ-
лены соответствующие кривые
для у=1.4, при этом коэффи-
циент о полагался равным
единице при Q<1 и варьиро-
вался при Q=I. Видно, что
каждому значению F соответ-
ствуют два значения р — до-
звуковое и сверхзвуковое.
Верхние ветви кривых имеют
асимптотой прямую p=pQ=
= [ (у+1)/2] Vv-1), а нижние—прямую р=0. Очевидно, что для
сопла с заданной геометрией физический смысл имеют те части
кривых, которые расположены справа от прямой Р=1. Ветви кри-
вых, соответствующие Q<1 и р>1, описывают изменение давле-
ния на участке между входным сечением сопла и минимальным се-
чением при дозвуковой скорости на входе в сопло, а ветви кривых,
соответствующие Q<1 и р<1,— при сверхзвуковой скорости на
входе в сопло.
Проследим за режимом работы сопла Лаваля фиксированной
геометрии в зависимости от величины внешнего давления рн- При-
мем, что газ поступает в сопло из достаточно большого объема,
где он покоится и где поддерживается одно и то же давление
торможения р0, которое для всех кривых на рис. 1.7 достигается
асимптотически при F->oo. Обозначим ^относительную площадь
выходного сечения через Fa.
Если внешнее давление рн равно р0, то никакого движения не
возникает. Когда рн лишь немного меньше ро, газ течет через соп-
ло всюду с дозвуковой скоростью, максимальное значение которой
достигается при F=l. Очевидно, что для определения параметров
потока в сопле нужно взять т^. кривую, на верхней ветви которой
р = рн при F=Fa. Часть этой кривой, простирающаяся от асимп-
тоты р = ро до пересечения с прямой F=l, описывает течение
в суживающейся части сопла. В расширяющейся части сопла ско-
рость уменьшается, а давление растет; течение в ней описывается
той же ветвью кривой, которую теперь следует проходить в об-
ратном, направлении от F=1 до F=’Fa‘ Значение относительного
расхода Q опрёделяется однозначно величиной рН-
Рассмотренный способ описания течения, когда верхние ветви
кривых в плоскости pF проходятся дважды, пригоден до тех пор,
пока они пересекают прямую Ё=1. Течение при этом всюду до-
звуковое с расходом Q<1, причем с уменьшением внешнего дав-
ления происходит возрастание скорости в минимальном сечении
сопла и возрастание расхода. При некотором рн=р* в минималь-
ном сечении достигается скорость звука, однако течение все еще
является всюду дозвуковым. При этом через сопло Лаваля прохо-
дит максимальный расход (Q = 1), который, очевидно, не изменя-
ется при дальнейшем уменьшении рН- Значение р* является функ-
цией от Fa и определяется из соотношения
(p*)Vv
2
(p*)(v-i)/v
(1.128)
Отсюда следует, что если Ёа=1, то р* = 1. Таким образом, в слу-
чае суживающегося канала скорость звука достигается в самом
узком сечении; минимальное внешнее давление, при котором это
происходит, равно критическому, т. е. в [2/(т+ 1)] v/(v—1) раз
меньше давления торможения.
При увеличении Fa давление р* растет и при Ёа->оо.
На практике, однако, наличие пограничного слоя не позволяет по-
лучить звуковой скорости в минимальном сечении при исчезающе
малой разнице между давлением торможения и давлением в среде,
куда происходит истечение. Тем не менее в соплах Лаваля с рас-
ширяющейся частью экспериментально удается получать скорость
звука в минимальном сечении при давлениях торможения, лишь
в 1.1 —1.2 раза превышающих давление в окружающем простран-
стве, в то время как для получения скорости звука в суживающем-
ся канале при течении двухатомного газа давление торможения
должно в 1.89 раза превышать внешнее давление.
При снижении внешнего давления ниже р* в сопле реализуется
уже течение другого тппа. До минимального сечения течение по-
прежпему дозвуковое; оно представляется верхней ветвью кривой
p = p(F) при Q=1 и в дозвуковой части больше не зависит от
внешнего давления. После прохождения минимального сечения
поток становится сверхзвуковым и представляется нпжней ветвью
этой кривой, которая пересекается с прямой F=Fa в точке р=ра.
Величина ра также определяется по формуле (1.128). Если
Ра=рн, то говорят, что сопло работает в расчетном режиме, при
этом течение в сопле изоэнтропическое с монотонно возрастающей
по длине сопла скоростью п убывающими давлением, плотностью
и температурой.
Рассмотрим случай ра<рн<р*. Очевидно, что это условие пе
может быть обеспечено при изоэнтропическом расширении и
в сверхзвуковой области течения должна возникнуть ударная
волна. В рамках одномерного приближения такая ударная волна
должна быть прямой, перпендикулярной оси сопла. Необходимое
давление в выходном сечении сопла можно получить введением
ударной волны с заданной величиной о. Это значение (У=вн нахо-
дится из условия, что верхняя ветвь кривой р=р(р), полученная
из (1.127) при Q=l, пересекает прямую F=Fa в точке р=рн-
Точка в на этой кривой и точка а на нижней ветви кривой
P=P(F) при Q=1 и о=1 соответствуют месту возникновения
ударной волны с заданным значением о=вн. Они определяются
с помощью соотношения (1.127) и соотношения Гюгонио на пря-
мой ударной волне
v+i y+i
(1.129)
Таким образом, изоэнтропическому течению в дозвуковой и сверх-
звуковой частях до места возникновения ударной волны соот-
ветствует кривая p = p(F) при Q= 1, о=1 до точки а. Затем пря-
мая ударная волна переводит поток в состояние в на кривой
Q=1 и о=он. За ударной волной течение продолжается как изо-
энтропическое дозвуковое течение торможения, в котором давле-
ние возрастает по направлению к выходному сечению сопла до
давления рн- Давление торможения в этой области меньше, чем
до ударной волны, поэтому критические параметры р*2 и р*2 будут
отличаться от соответствующих величин на входе в сопло, в то
время как критическая скорость остается непрерывной на ударной
волне.
Такой режим течения реализуется, однако, при значениях рн
таких, что р® ^рн<р*. Значение р® вычисляется по формуле
(1.129), если в эту формулу подставить значение Ма, соответству-
ющее величине ра. Прямая ударная волпа при рн несколь-
ко меньших р* зарождается в сверхзвуковой окрестности
минимального сечения и имеет в этой области небольшую интен-
сивность. При уменьшении рн она перемещается вниз по потоку и
достигает выходного сечения при рн = р% . Расчеты показывают,
что при 7Иа>2 /?2° /р*2~ 1.7.
При дальнейшем понижении внешнего давления, т. е. при
ра<рн^р% > в вытекающей из сопла струе образуются косые
ударные волны, в которых происходит сжатие потока от давления
ра до рн. В одномерном приближении можно считать, что вплоть
до выходного сечения течение газа описывается при этих значе-
ниях рн, а также при рн<ра, кривой p = p(F) при Q= 1 и о=1.
При рн<^ра в окрестности кромок сопла имеет место течение
Прандтля — Мейера. Очевидно, что это течение, а также течения
с косыми ударными волнами, носят существенно пространствен-
ный характер и не могут быть описаны в рамках одномерного
приближения.
46
Используя полученные результаты и зависимость площади
F поперечного сечения сопла от координаты х, нетрудно получить
зависимость распределения давления от
ставлено распределение давления для
рассмотренных выше типов течений.
Кривая, соответствующая максималь-
ному расходу Q=l, раздваивается в
минимальном сечении, когда скорость
в этом сечении равна скорости звука.
На выходе из сопла верхней кривой
соответствует значение р=р*, ниж-
ней— р=ра. В минимальном сечении,
согласно формуле (1.128), ветви этой
кривой имеют наклоны
длины. На рис. 1.8 пред-
Рис. 1.8. Распределение дав-
ления вдоль сопла
(1.130)
где знак плюс относится к верхней кривой. Соответствующие про-
изводные от коэффициента скорости в минимальном сечении
равны
—rfX-Y/2. . (1.131)
d/x \у 4- 1 dx2 /
Реальная картина течения в сопле естественно сложнее вытека-
ющей из одномерной теории. Тем не менее одномерная теория поз-
волила предсказать существование давления р*, такого, что при
рн<р* расход через сопло и течение в дозвуковой части не зави-
сят от внешних условий, а также давления р°2 такого, что при
pH<Zp°2 течение во всем сопле не зависит от внешних условий.
Оба эти принципиально важных факта являются следствием того,
что малые возмущения распространяются относительно частиц
газа со скоростью звука и не могут проникнуть в сопло, если они
встречают сечение, в котором скорость потока звуковая или сверх-
звуковая.
Использование одномерной теории для расчета локальных па-
раметров в пространственных течениях в общем случае неправо-
мерно ввиду наличия больших градиентов газодинамических пара-
метров в поперечном направлении. В то же время одномерная
теория позволяет оценить интегральные параметры течения, такие
как расход и импульс сопла, со значительно большей точностью,
чем локальные параметры. Расход и поток импульса, который
обычно называют импульсом сопла и который равен реактивной
силе, создаваемой соплом в направлении оси х, в произвольном
сечении сопла при двумерном течении можно записать в виде
р W cos 9 d F,
W2 cos2 0 + p) d F,
(1.132)
47
где 0 — угол наклона вектора скорости к оси х.
метрам одномерного течения верхний индекс
(1.126), из формул (1.132) можно получить
Придавая пара-
0 и используя
1
2 с/Х2
(X —Х°)2 + . . . — 7 (Х°) Х° (02 + . . .
;.=х°
dF,
(1.134)
где Q = Q/p, а„ Ft, I = 1/р*а2*Р„, f (X) = (X) (X + V1).
2у
Нетрудно убедиться, что dq/dK\x==l = df/dK\ x=i= 0, поэтому
формулы (1.133) и (1.134) в случае, если интегрирование произ-
водится в минимальном сечении, принимают вид
(1.135)
(1.136)
<2° = q (Х°) F, I° = f (Х°) F.
Отсюда следует, в силу теоремы о среднем, что расход и поток
импульса в минимальном сечении отличаются от соответствующих
значений в одномерном приближении на величины второго поряд-
ка, поскольку значения 0 и X—1 в минимальном сечении реаль-
ных сопел суть величины, меньшие 0.1, a Q° и 7° равны 1 и 2 соот-
ветственно.
Кроме того, поскольку при X = 1 d2q/d№<z0 и d2f/d№<z0, то
значения Q и I в минимальном сечении меньше Q0 и 7°. Этот ре-
зультат очевиден также и из физических соображений, поскольку
максимальный расход и поток импульса реализуются при равно-
мерных параметрах потока.
Так как расход газа в любом произвольном сечении сопла ра-
вен расходу через минимальное сечение, то отличие истинного
расхода от расхода, вычисленного по одномерной теории, состав-
ляет величину второго порядка малости. Используя формулы
(1.133), (1.134) и применяя теорему о среднем, нетрудно полу-
48
чить, что в произвольном сечении сопла разность I — Z0 пропор-
циональна 62, т. е. в практически интересных случаях значение I
отличается от 7° не более чем на 10%. Подчеркнем, что при этом
локальные значения р и р°, X и Х° могут отличаться в несколько
раз.
В связи с отмеченными выше обстоятельствами одномерная
теория является в настоящее время основой инженерных расчетов
различных параметров сопла. Получены и широко используются
таблицы таких течений, в которых давление, плотность, темпера-
тура, отнесенные к соответствующим параметрам торможения, и
относительная площадь F представлены как функции от числа X
(или Л4) для различных значений показателя адиабаты у (напри-
мер, [143]).
Важно отметить также, что одномерная теория в случае совер-
шенного газа без релаксационных процессов позволяет опреде-
лить состояние потока в данном сечении сопла, если известна
только относительная площадь F и если известно, является поток
дозвуковым или сверхзвуковым. Абсолютный размер сопла, а так-
же форма канала вверх и вниз по потоку от этого сечения не
имеют значения, поскольку система (1.123) — (1.125) не содержит
какого-либо характерного размера. Аналогичный результат дает
одномерная теория для случая равновесных или замороженных
течений. Напротив, в случае неравновесно реагирующего газа
параметры потока при заданном F зависят еще и от формы сопла
вверх по потоку от этого сечения и от абсолютного размера сопла,
поскольку в таких течениях появляется характерный размер —
длина релаксационной зоны.
Приведем в заключении этого раздела формулы, позволяющие
рассчитать параметры потока в одномерном приближении, если
известна геометрия сопла, т. е. F(x) = F/77*. Рассмотрим случай,
когда в расширяющейся части реализуется сверхзвуковое течение
и параметры вверх по потоку от некоторого сечения не зависят от
внешнего давления. Воспользуемся стандартными газодинамиче-
скими функциями коэффициента скорости X (или числа 7И). Тогда
отношения газодинамических величин к параметрам торможения,
обозначенным нижним индексом 0, определяются следующими
формулами:
-Р-= п (?.) = fl — —-Л2’Г/<1’ ”. (1.137)
ро \ Y + 1 ’ /
(1.138)
(1.139)
Коэффициент скорости % по заданным значениям F и у вычисля-
ется по формуле (1.126). Если воспользоваться таблицами газоди-
4—625 49
намичеоких функций, то в качестве независимой переменной удоб-
но взять — F<./F, али другие искомые функции находить из
таблиц.
Число Маха, скорость потока, расход газа, импульс и удельный
импульс сопла Is — I/Q вычисляются по формулам

'/г
[1 — (л (Z))
(1.140)
(1-141)
у+1
Q=A (у)^=, Л (у) (1 142)
У RTo \у + 1 J
7 = е (1) p0F*z (A), Is = (^-RT0\'2z (A), z (A) = A+—,
\ 2y J К
(1.143)
где jR — газовая постоянная. Зависимости g(Z), л(Х), т(Х), z(X)
для различных у приведены на рис. 1.6. Из этого рисунка следует,
что при g(X)=const (т. е., если рассматривается сопло с задан-
ным отношением площадей F) с уменьшением у увеличиваются X,
л(Х), t(Z) и z(X). Это означает увеличение удельного импульса,
давления, скорости истечения и температуры, если параметры тор-
можения постоянны. Этот результат физически очевиден, посколь-
ку уменьшение у эквивалентно последовательному увеличению
числа степеней свободы молекул и переходу их энергии при исте-
чении из сопла в энергию поступательных степеней свободы и
энергию направленного движения молекул, причем эта энергия
тем больше, чем больше степеней свободы возбуждено.
При у=1 имеем изотермическое течение, в котором Т=Т0,
р/ро = р/ро = e~W2, М = %.
В случае дозвукового течения в суживающейся и расширяю-
щейся частях сопла Лаваля расчет параметров потока произво-
дится иначе. Обычно в выходном сечении сопла известно внешнее
давление. Так как в случае дозвукового течения давление в окру-
жающем пространстве совпадает с давлением в выходном сечении
сопла, то из формулы (1.137) можно определить X в выходном
сечении и величину расхода, равную
Q ='А (у) p0Fq (X) (/?То)“,/2.
(1.144)
Поскольку расход во всех сечениях одинаков, из этой формулы
для каждого сечения F можно определить д(Х), а затем по
(1.126), (1.137) — (1.139) или с помощью таблиц найти % и
остальные функции. Число Маха, скорость и удельный импульс
вычисляются по соотношениям (1.140), (1.141), (1.143). Исполь-
50
зование формулы (1.142) для вычисления расхода Q в случае до-
звукового течения в сопле неправомерно, так как в этом случае
в минимальном сечении скорость меньше звуковой и
Для инженерных расчетов течений в криволинейных каналах
часто используется метод вписанных кругов, который дает лучшие
результаты, чем классическая одномерная теория. Он также осно-
ван на одномерной теории с той лишь разницей, что скорость счи-
тается постоянной вдоль дуг окружностей, ортогональных стенкам.
Однако следует подчеркнуть, что как эта, так и другие известные
разновидности классической одномерной теории не дают верных
значений параметров на стенках криволинейных каналов. Они
справедливы, строго говоря, лишь для каналов с прямолинейной
осью.
Рассмотрим модификацию классической одномерной теории.
Воспользуемся для этого системой (1.117) — (1.120).
Из уравнения (1.119) для плоского и осесимметричного течений
без закрутки потока (w = 0) можно получить
(1.145)
тл I дх д2г дг д2х \ о » гл
где л —------------------) g3—кривизна линии тока. Отсюда,
\до ди2 до до2/
предполагая в первом приближении сечения о = const плоскими,
имеем соотношение для определения давления вдоль нормали п к
оси канала ,
др
дп
= ур V2K.
(1.146)
Для каналов с прямолинейной осью кривизна, определяемая по
среднему радиусу кривизны линий тока течения, равна нулю.
И как следует из (1.146), давление, а следовательно, и остальные
параметры поперек канала остаются постоянными в соответствии
с классической одномерной теорией. В случае же криволинейных
каналов др/дп 0 во всех тех точках, где VK ф 0. Таким обра-
зом, одномерная теория в классическом виде справедлива лишь
для конфигураций с прямолинейной осью. Для криволинейных ка-
налов она дает лишь средние значения параметров потока.
С помощью формулы (1.146) можно получить распределение
параметров в поперечном направлении. Для давления на стенках
криволинейного канала из (1.146) имеем
р — 'Р°±—у lip0 (V0)2 (R0)-1, (1.147)
2
где р°, р°, 1/о — средние значения параметров, полученные по клас-
сической одномерной теории, h— ширина канала, 7?° = (К0)-1 —
средний радиус кривизны линии тока. В этой формуле по-прежне-
51
му все газодинамические параметры отнесены к критическим.
Знаки плюс и минус относятся соответственно к внешней и внут-
ренней стенке по отношению к средней линии канала. Из рассмот-
рения второго слагаемого в формуле (1.147) видно, что поправка
обусловлена действием на газ центробежных сил. При движении t
газа с относительно большими скоростями, а также в каналах
с резким поворотом потока учет их необходим.
Формулу (1.147) можно обобщить и на случай пространствен-
ных течений с закруткой потока. Имеем
р =|»° ±-Ц /г р° (V2/R°! + w2/R°2) .
2
*(1.148)
где /?°1 и R°2 — средние значения радиусов главных кривизн линии
тока.
Сопоставим результаты расчетов давления иа стенках канала
по классической одномерной теории и по формуле (1.147) с точ-
ными данными. Для канала, изображенного на рис. 1.9, в [101]
получены следующие значения
давления на верхней и нижней
стенках при х=0: рв = 0.8975,
Рн= 1.1036. Согласно одномер-
ной теории р=1 в минималь-
ном сечении. Расчет по форму-
ле (1.147) дает: рв = 0.8963,
рн= 1.1037, т. е. ошибка в
определении рв, рн составля-
ет доли процента. В минималь-
ном сечении сопла Лаваля с
радиусом кривизны контура
Рис. 1.9. Геометрия криволинейного давление на стенке и
канала оси сопла равно соответствен-
но: рв = 0.7808, рн = 1.201.
Расчет по формуле (1.147) при p0=p°=V°=l и /?°=3.2 г* (кри-
визна берется средней между кривизнами оси и контура) дает:
рв = 0.782, рн=1.22, т. е. ошибка в определении давления со-
ставляет 1.5%.
При расчете давления по формуле (1.147) в случае сопел с ма-
лыми радиусами кривизны (Л/г*<1) область течения следует
разбить на несколько областей с помощью фиктивной ортогональ-
ной сетки, аналогичной сетке в координатах (ф, о), определить
затем радиусы кривизны нескольких линий тока и осреднить их.
Одномерная теория может быть развита и для слоистых тече-
ний [10]. Предполагается, что статическое давление в каждом се-
чении сопла постоянно. Остальные параметры — температура,
плотность, скорость, показатель адиабаты, давление и температура
торможения — могут изменяться при переходе от одного слоя
к другому. Анализ, аналогичный проведенному выше, показывает,
что запирание течения имеет место, когда в минимальном сечении
где нижний индекс i придан параметрам в t-м слое. Из этой фор-
мулы, как частный случай, следует условие запирания однослойно-
го потока: Л1 — 1 в минимальном сечении. Слоистое течение при
[3>0 является сверхзвуковым, а при |3<0 — дозвуковым. При
этом в отдельных слоях скорость в минимальном сечении может
быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой.
2. Радиальные течения или течения от источника (стока). Дру-
гим примером идеализированного, также одномерного течения
в канале, является течение в канале, образованном линиями тока
источника пли стока (рис. 1.10, а). В сферических координатах за-
висимость радиуса г от числа % выражается формулой
ri+v =lfwi+v^-i (jQ.
(1.149)
Минимальное значение г равно
г*; течение существует лишь вне
сферы (окружности) радиуса
г=г* и не может быть продолже-
но внутрь ядра, на поверхности
которого скорость равна скорости
звука. При г>г* возможно два
решения: дозвуковое с монотон-
ным убыванием скорости от Z=1
до Z = 0 (сток) и сверхзвуковое с
монотонным. увеличением скоро-
сти от Z=1 ДО % = Zmax (ИСТОЧ-
НИК). Оба течения не могут быть
продолжены через предельную
линию г—г* и поэтому вблизи
этой линии такие течения физи-
чески невозможны. Звуковая ли-
•J
Рис. 1.10. Течения источника
и стока
ния в виде окружности также не реализуется, поскольку она яв-
ляется в этом случае предельной линией [94]. В течение источника
(стока) линии постоянства чисел % суть концентрические окружно-
сти с центром в ядре источника. В несжимаемой жидкости ядро
источника стягивается в точку.
Течения, близкие к течениям стока и источника, наблюдаются,
например, в дозвуковой и сверхзвуковой частях конических сопел.
Специальной профилировкой сверхзвуковой части такого сопла
можно получить точное течение источника. Действительно, пусть
АВ характеристика второго семейства (рис. 1.1, б), определяемая
формой трансзвуковой области сопла. Пристроим к АВ характери-
стику первого семейства ВС такую, чтобы она являлась характе-
53
ристикой источника и расход через нее равнялся расходу через
АВ. Решая задачу Гурса, между характеристиками АВ и ВС на-
ходим такой контур сопла АС, который выводит поток на радиаль-
ное .течение источника. Проводя далее прямолинейную образую-
щую, получим вниз по потоку от характеристики ВС течение
в сверхзвуковом источнике. Очевидно, что наличие лишь прямо-
линейных образующих без специального профилирования области
вверх по потоку не обеспечивает точного радиального течения.
В дозвуковой области сопла реализовать точное течение стока
не удается ввиду передачи возмущения из трансзвуковой области
вверх по потоку. Наличие простой аналитической связи (1.149)
между г и % послужило основой для построения теории течений,
близких к течению источника (стока) (гл. III).
3. Течение Прандтля — Мейера. Если течение газа плоское и
безвихревое в некоторой области и при этом одно семейство линий
Маха образовано прямыми линиями с постоянным вектором ско-
рости на каждой из них, то течение в этой области называется
простой волной, или течением Прандтля — Мейера. Аналогом про-
стой волны в одномерном нестационарном течении является волна
Римана. Основным свойством простой волны является следующее:
к области движения с постоянными параметрами может примы-
кать только либо еще одна такая область движения с постоянны-
ми параметрами, либо простая волна. Простая волна, или течение
Прандтля — Мейера является примером течений, когда с помощью
достаточно простых аналитических зависимостей удается описать
плоское (а в некоторых случаях приближенно и осесимметричное)
двумерное течение в сопле. Из формулы (1.63) в случае плоского
равновесного или замороженного безвихревого течения (v = О,
ф1 — О, S = const) имеем
Р IF2
dp = 0, d 0 -ь_
м
V А42 — 1
dM = 0.
(1.150)
Тогда
0 -+- f (а) = const, f (а) =
где f(a) —угол Прандтля — Мейера. Для идеального газа с по-
стоянным отношением удельных теплоемкостей
или
На) =1/ ^±4
г -у — 1
(1.151)
(М2 — 1) — arctgVM2— 1.
54
В сверхзвуковом течении от источника, а также вблизи оси сим-
метрии в осесимметричном течении, где 0->О при у-+-0, имеем
г
6 =F— f (а) = const.
2
Отметим, что в угловой точке при сверхзвуковом течении как
в плоском, так и в осесимметричном случаях параметры течения
связаны соотношением (1.150).
Рассмотрим течение в плоском, в
общем случае несимметричном, канале
(рис. 1.11) Пусть в выходном сечении
ВВ' вектор скорости постоянен и изве-
стен. Тогда характеристики ОВ и OB'
прямолинейны. В силу свойств простой
волны в областях АОВ и А'ОВ' (АО
и А'О— характеристики второго и пер-
вого семейств соответственно) будут
прямолинейными характеристиками
первого и второго семейств соответст-
венно. В силу (1.150) имеем
Рис. 1.11. Течение Прандт-
ля—Мейера в сопле
0 — f (а) = f (а0) в области АОВ,
0-Н(а) =7(ао)
в области А'ОВ',
(1.152)
где «о — значение угла Маха в точке О. Тогда, при известной фор-
ме жестких стенок АВ и А'В', и, следовательно, известных углах
наклона вектора скорости на них, соотношения (1.152) позволяют
определить а вдоль АВ и А'В'.
Очевидно, что при малых вариациях угла наклона контура
сопла число Маха можно определить по соотношениям (1.150),
которыми для этой цели можно пользоваться и в осесимметричном
случае. Соотношения (1.152) можно применять для приближенного
определения параметров на жестких стенках даже и в том случае,
когда в выходном сечении сопла поток неравномерный. При этом
в (1.152) вместо «о нужно брать значение а0, вычисленное по одно-
мерной теории.
В ряде практических задач возникает необходимость построе-
ния сопла, обеспечивающего на выходе равномерный поток при
заданных параметрах на характеристиках АО и А'О. В этом слу-
чае из точки О проводят прямолинейные характеристики ОВ и
OB', такие, что расходы газа через ОВ и ОВ' равны соответствен-
но расходам газа через АО и А'О. По данным на характеристиках
АО и ОВ, А'О и ОВ' решается задача Гурса и определяются коор-
динаты линий тока АВ и А'В'. Поскольку в этом случае в обла-
стях АОВ и А'ОВ' имеет место течение Прандтля — Мейера, то
решение задачи Гурса существенно упрощается. Действительно,
55
из точек характеристик АО и А'О проводятся прямолинейные ха-
рактеристики, которые обрываются из условия равенства соответ-
ствующих расходов. Расход газа через характеристику отыскива-
ется по формуле (1.68). Тогда координаты точки N (аналогично
/V') жесткой стенки определяются при известных параметрах
в точке М и расходе через AM по формулам
fjv+l --- f/v+l I
У N У М ‘
I Г / I 1 \ I sin (6 + а)
— (v + l)lpM---------;-----
р W L Sin а
(1.153)
xN = хм + (ум — уN) ctg (0 + а).
Первая из этих формул справедлива лишь при определении
контура плоского сопла. Однако и в осесимметричных течениях
в областях, удаленных от оси симметрии, возможно ее использо-
вание для приближенного построения контура сопла и нахождения
параметров течения [114].
§ 3
ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ ВНУТРЕННИХ ТЕЧЕНИЙ
Основополагающие результаты по вариационным задачам га-
зовой динамики получены в работах [39, 40, 97, 163]. В [15, 81,
82, 84] дано обобщение этих результатов на течения газа с равно-
весными и неравновесными физико-химическими превращениями,
а также двухфазные течения. Ниже изложены результаты этих
работ, причем детально рассмотрены лишь некоторые задачи, до-
пускающие переход к контрольному контуру, в то время как наи-
более строгий подход, основанный на общем методе множителей
Лагранжа, описан конспективно. Включение настоящего парагра-
фа в первую главу связано с тем, что, несмотря на очевидную
сложность решения общей вариационной задачи, в некотором
классе задач удается получить весьма изящные результаты в зам-
кнутом виде и тем самым обнаружить важные качественные осо-
бенности течений газа в соплах. Такие результаты получены в ос-
новном в классе двумерных (плоских или осесимметричных)
задач.
Рассмотрим первоначально задачу о построении контура сверх-
звуковой части плоского или осесимметричного сопла максималь-
ной тяги и фиксированной длины при заданном течении на входе,
которое является равновесным и вихревым, но без ударных волн
в области влияния. Очевидно, что такая задача эквивалентна за-
даче построения контура минимальной длины при заданной тяге.
Искомый контур должен проходить через заданную точку b
56
давления рн. ниже рассматривается
Рис. 1.12. К решению вариационных
задач
(рис 1.12) либо при свободной ординате обеспечивать максимум
тяги для заданного внешнего
случай; когда рн = 0.
В точке а при отсутствии
ограничений на кривизну оп-
тимальный контур должен
иметь угловую точку. Этот
принципиальный результат,
постулированный в [40],
связан с тем, что направле-
ния заданного контура сле-
ва от а и искомого контура
справа от а в общем случае
не должны совпадать. Если
же радиус кривизны ограни-
чен снизу, то угловая точка
заменяется участком макси-
мально допустимой кривиз-
ны. В рамках вариационной
задачи, сформулированной на контрольном контуре, необходимость
угловой точки или участка максимальной кривизны обоснована
в [164], где установлены некоторые предельные свойства течений
разрежения.
Итак, требуется построить контур сопла ab, обеспечивающий
максимум тяги J, которая с точностью до несущественного слагае-
мого (импульса на входе в сверхзвуковую часть сопла) и положи-
тельного множителя (2л— в осесимметричном случае) равна
ъ
а
при условии заданной длины
ъ
а
(1.155)
Зависимость давления от формы контура определяется системой
уравнений в частных производных (1.4) — (1.7) и поэтому заранее
неизвестна. Более того, давление в любой точке контура зависит
от формы контура вверх по потоку от этой точки, т. е. является
функционалом, вид которого также неизвестен. Сформулированная
двумерная задача с привлечением уравнений (1-4)-(1-7) и общих
изопериметрических условий типа (1.155), а также условия непро-
текания на контуре является задачей Больца, и ее решение можно
получить лишь общим методом множителей Лагранжа для двух
независимых переменных [12, 39, 134]. Однако в некоторых слу-
чаях возможно уменьшение числа независимых переменных, если
воспользоваться предложенным в [97] переходом от интеграла по
57
контуру ab к интегралам по характеристикам ас и cb. Решение
вариационной задачи удобно искать, используя в качестве незави-
симой переменной вдоль характеристики функцию тока ф. Если
в рассматриваемой области не допускается протекание необрати-
мых процессов, то давление, плотность, температура, энтропия и
энтальпия, а также угол Маха являются функциями только ф и
W. В случае безвихревого равновесного течения эти параметры
являются функциями лишь W. Уравнения характеристик имеют
вид
dx __cos (Р ± f ± ci) _ о
d гр yv р W sin а
ф±о — — sin (|3±f±a) = Q
♦ Ф у v р W sin а
tZ Р df , ctg а др . sin(p±f)
-----------f-------------1- v----------
dip dip pF dip f/1+vp W
(1.156)
(1.157)
(1.158)
В случае безвихревого течения f — угол Прандтля — Мейера,
df/dty = dp/dty = 0. В случае вихревого течения df/dW =
= ctg а/p W, р = 0 =F= f. Величины обезразмерены так же, как и
в предыдущих параграфах, лишь давление отнесено к ,
а температура — к Wi R~l.
Для рассматриваемой вариационной задачи при фиксированной
концевой точке и длине сопла нетрудно выразить интеграл J через
интегралы по ас и cb, используя закон сохранения количества дви-
жения па контуре acb. Очевидно, что и длина сопла выражается
через интегралы вдоль этих характеристик. Можно считать, что на
характеристике ас и на участке he характеристики Ьс течение из-
вестно и не меняется при малых вариациях контура ab, а на участ-
ке hb задаются связи между параметрами течения с помощью
обыкновенных дифференциальных уравнений (1.156) — (1.158).
Таким образом, рассматриваемая задача, которая в общем случае
является двумерной задачей Больца, сводится, в результате пере-
хода к контрольному контуру, к одномерной задаче Лагранжа.
Выражая J и X через интегралы по характеристикам ас и cb и
используя в качестве независимой переменной вдоль характери-
стик функцию тока ф, имеем
где
Л = Woosе —psin(6~a) , =
р W sin а
cos (0 — а)
yv р W sin а
(1.159)
(1.160)
58
(1.161)
Ф, = IF cos (6 + f) + psin ^ + f + ttL,
p w sin a
ф ___cos (P + f + a)
yv p W sin a
В этом случае вариационную задачу можно сформулировать
следующим образом: определить величину излома контура в точ-
ке а, положение точки h на замыкающей характеристике волны
разрежения и функцию 1Г(ф) на hb, доставляющие максимум
функционала (1.159) при изопериметрическом условии (1.160) и
дифференциальных связях (1.157), (1.158). Величина X, координа-
ты точек а и Ь и параметры течения на характеристике ас счита-
ются заданными. После нахождения характеристики hb контур
сопла и параметры на нем определяются в результате решения
задачи Гурса между известными характеристиками ah и hb.
Сформулированная вариационная задача является вырожден-
ной. Действительно, функции Ф1, Ф2, Фз, Ф4 не содержат производ-
ных dIF/d-ф, а производные dp/rfxp и dy/dty содержатся линейно.
Обычно это приводит к тому, что двусторонний экстремум не
имеет места. Решение задачи может полностью или частично не
совпадать с интегралом системы уравнений Эйлера. Вместо дву-
стороннего экстремума может иметь место односторонний (крае-
вой) экстремум, определяемый ограничениями типа неравенств.
В частности, в рассматриваемой задаче о сопле при фиксирован-
ных точках h п b нельзя в общем, случае провести экстремаль че-
рез h и b. Прохождение экстремали через фиксированную точку b
обеспечивается благодаря наличию произвола в выборе интенсив-
ности волны разрежения (т. е. наличию излома контура в точке а)
и положении точки h на замыкающей характеристике. При этом
очевидно, что на участке ch характеристики cb уравнения Эйлера
не удовлетворяются.
В соответствии с общими принципами решения вариационных
задач, при наличии изопериметрических условий и дифференциаль-
ных связей составим вспомогательный функционал
с b h ъ
(1.162)
где /? = /7i + ^iF2, Ф = Ф1 — А1Ф2 + Х2Ф3" + АзФ4+, М — постоян-
ный, а Z-2 п л3— переменные множители Лагранжа. Составим пер-
вую вариацию функционала (1.162) в предположении непрерыв-
ности параметров на hb. Допуская варьирование точки h как
вдоль cb, так и вдоль ah, вспоминая, что фа = фь и бфь = 0, и обо-
значая через бф/и вариацию ф при перемещении вдоль характери-
стики ah, имеем
6/ — б J — [F Ф + А2 (у+ у~) + Аз (Р+ — р_) ] бфм +
59
ъ
+ кзъ 6 Рь + j
а
[ (Фу — ^2) 6 у “1“ Фук 6 W -р (Ф р
— Хз) бр] d гр,
(1.163),
где точка означает полное дифференцирование по гр, нижние ин-
дексы «+» и «—» у производных — дифференцирование вдоль
характеристик первого и второго семейств, а нижние индексы
у функции — соответствующие частные производные.
Выберем множители Лагранжа Х2 и Х3 так, чтобы обратились
в нуль коэффициенты при вариациях 6 у и бр на hb, и приравняем
нулю множитель при бгрм ввиду произвольности вариаций бгрм.
Тогда
F — Ф + Х2 (у+ — у_) + %з (Р+ — Р-) — О,
(1.164)
%зь = О, Z2 — Фу = 0, %з — Фр = 0. (1.165)
Для получения двустороннего экстремума необходимо приравнять
нулю выражение при вариации б W в формуле (1.163). Вместе
с условиями (1.165) это дает систему уравнений Эйлера
Фуу - 0, 7^2 —> фу, Хз — Фр .
(1.166)
Если контур ab оптимален, то в силу сверхзвукового характера
течения оптимальным должен быть его произвольный участок, за-
ключенный между а и b [163]. Тогда условие (1.164) должно вы-
полняться в каждой точке характеристики hb. Производя необхо-
димые выкладки, получим, что всюду на hb
pyv sin (р + f) — Xiioos (P + f) — X2 sin (p + f) —
~Ks (P+ — ₽-) yv P w tg a = 0.
2
(1.167)
Это соотношение вместе с (1.166) приводит к однородному диф-
ференциальному уравнению первого порядка для переменного мно-
жителя Лагранжа Х3. Тогда, используя граничное условие Кзь = 0,
получим, что всюду на hb Хз = 0. Отсюда, после ряда преобразо-
ваний, имеем
yv р W2 tg a sin2 0 = Xi,
yv (Р — Р W2 tg а sin 0 cos 0) = Х2,
-v W 1 . п р sin (0 + а)
л2 =--------tg а sin 0 --------—!—-
у L р W2 sin а
(1.168)
(1.169)
(1.170)
Константа М и начальное значение Х2 определяются по извест-
ным величинам в точке h из соотношений (1.168) и (1.169). Таким
образом, отпадает необходимость в определении Х3, что чрезвычай-
60
но упрощает задачу и позволяет получить некоторые конечные со-
отношения. При этом соотношение совместности (1.158) на харак-
теристике hb, которое пока не использовалось, при подстановке
в него (1.168) — (1.170) тождественно удовлетворяется.
Отметим некоторые особенности построенного решения. Из
(1.168) следует, что на характеристике hb функция 0 сохраняет
знак, причем если 0 = 0 в какой-либо точке hb, то она равна нулю
и на всей характеристике, а р = const. В этом случае точка h при-
надлежит осп симметрии; максимум тяги реализуется в сопле,
имеющем в выходном сечении поток, параллельный оси х, и по-
стоянное давление.
В плоском случае (v = 0) из (1.170) следует, что Аг = const.
Если к тому же течение является безвихревым, т. е. все парамет-
ры течения не зависят от ф, а р, р и сс зависят лишь от Wf, из
(1.168), (1.169) следует, что на характеристике hb параметры по-
тока постоянны, а сама она прямолинейна. Значит, в области ahb
имеет место течение Прандтля — Мейера. Поэтому участок ab оп-
тимального контура в плоском случае обязательно принадлежит
однопараметрпческому семейству сопел, обеспечивающих равно-
мерный и параллельный оси поток на выходе. Если в качестве не-
зависимой переменной на характеристике hb использовать у вме-
сто ф, то
yv р IF2tga sin20 —! — Ai, (1-171)
W cos (0 — a) /cos a = A2,
(1.172)
dy д ф
d p Wz sin 0 sin2 a
д ф cos a sin (0 + a)J
(1.173)
Если течение безвихревое, то dp/dty = др/дф = 0 и решение
записывается в виде конечных формул (1.171), (1.172) с постоян-
ными Xi и Аг.
Таким образом в случае, безвихревого равновесного те-
чения соотношения на характеристике hb, обеспечивающей мак-
симум тяги, записываются в виде довольно простых соотношений.
Если, однако, точка b фиксирована, то для определения, соответст-
вующей экстремали hb, проходящей через эту точку, в силу вы-
рожденности вариационной задачи, приходится варьировать точ-
ку h, что, вообще говоря, является трудоемкой процедурой даже
при наличии конечных соотношений.
Значительно проще решать не прямую, а обратную задачу,
фиксируя точку h и интегрируя вдоль hb систему (1.171) — (1.173)
до у = уь. При этом иногда удобнее вместо (1.171) или (1.172)
использовать уравнение совместности. В результате решения такой
задачи определяются координаты точки Ь. Контур, проходящий
через нее и полученный пз решения задачи Гурса между рассчи-
61
танной характеристикой hb и характеристикой ah, реализует мак-
симум тяги.
Если ордината точки b не фиксируется и внешнее давление рн
отлично от нуля, то для определения ординаты точки b сопла, реа-
лизующего максимум тяги, используется условие Буземана [40]
2
sin2 06 — 2ctg аь (рь~ Рн)/ръ^ь ,
(1-174)
которое может быть получено как из условия трансверсальности
в точке Ь, так и из элементарного рассмотрения бесконечно мало- •
го концевого элемента контура, который, если сопло обладает мак-
симальной тягой, должен давать максимальный вклад в суммар-
ную тягу.
Если фиксируется не длина сопла X, а ордината точки Ь, то
максимум тяги реализуется в сопле, обладающем при заданном
уъ равномерным и параллельным оси течением на выходе.
В осесимметричном случае построение характеристики hb при
условии непрерывности на ней газодинамических параметров не
всегда возможно [137, 163]. Оказывается, в волне разрежения
имеется характеристика, которая обладает тем свойством, что на
экстремальных характеристиках, выходящих из точек, расположен-
ных левее ее, производные по у становятся бесконечными. Пост-
роение безударного решения в этом случае невозможно. В резуль-
тате весьма тонкого анализа не только необходимых условий экст-
ремума, но и необходимых условий максимума тяги были построе-
ны так называемые «разрывные безударные» решения, не содержа-
щие ударных
приведена на
волн
в
Рис. 1.13. Схема течения
оптимальном сопле с удар-
ной волной
в области влияния [163]. Схема такого течения
1.13, где ahk и Ihm — волны сжатия и разреже-
ния, hn — ударная волна и ht— ли-
ния тока. Для построения такого
течения используются соотношения
Прандтля — Мейера, уравнение
ударной адиабаты и условия равен-
ства давлений и углов наклона ско-
рости с обеих сторон ht. При этом
на hb выполняются прежние соотно-
шения [например, (1.171—1.174)],
а участок ak контура ab представ-
ляет собой участок краевого экстре-
мума, соответствующий границе те-
чений, для которых в области влия-
ния искомого контура отсутствуют
ударные волны.
непрерывных безударных решений
в случае безвихревого
Для определения области
рассмотрим соотношения (1.171), (1.172)
течения идеального газа с постоянным отношением теплоемкостей
[137]. Вспоминая, что в этом случае М и Лг суть константы, имеем
62
__ (— X2 sin a ± ^W2 — X22 cos2 a)2 ц 175)
psin2alA22- IF2)2
Здесь нужно брать знак плюс при а/г<0/г, и знак минус при
а^^0д. Нетрудно видеть, что при вдоль экстремали вели-
чины а и 0 убывают с ростом у. При ал<0л происходит рост а и
уменьшение 0. В некоторой точке экстремали достигается равенст-
во а=0, н для дальнейшего расчета экстремали необходимо изме-
нить знак перед радикалом в (1.175). Это приводит к немонотон-
ному изменению скорости вдоль экстремали.
Из уравнения (1.175) следует, что при перемещении точки h
вдоль характеристики ah в сторону точки а (в области, где а<0)
происходит падение dy/da по направлению экстремали и при не-
котором h=\hQ dy/da обращается в нуль и далее становится отри-
цательной. Это означает невозможность построения безударных
решений для всех точек характеристики ah, лежащих левее точки
h0 (см. рис. 1.12). Если же вдоль экстремали с ростом у умень-
шать а, то соответствующие сопла не будут обладать наибольшей
тягой. Из (1.175) нетрудно получить связь между а и 0 на линии
ah0, левее которой не существует безударных решений вариацион-
ной задачи. Имеем
у sin 0 sin (a + 0) — cos a sin2 2a +
+ sin 0 sin (0 — a) — sin a sin 20 cos 2a = 0. (1.176)
В случае изопериметрических условий, не допускающих пере-
носа на контрольный контур (напрпмер, при условии постоянства
площади боковой поверхности или объема), построение решения
может быть осуществлено лишь общим методом множителей Лаг-
ранжа [39, 134]. В функционал, содержащий двойной интеграл по
области ahb, вводятся уравнения движения с переменными множи-
телями Лагранжа hi(x, у), а функционал, содержащий интегралы
по границам области ahb, состоит из изопериметрических условий
(с постоянными множителями Лагранжа), условия непротекания,
уравнения совместности с соответствующими множителями Лаг-
ранжа fii(y) и выражения для тяги сопла, подлежащей оптимиза-
ции.
Уравнения для множителей Лагранжа 1ц(х, у) линейны и
имеют те же характеристики, что и уравнения движения. Среди
всех сопел наилучшим является то, для которого всюду на ab вы-
полняется условие оптимальности, содержащее параметры течения
и множители 1ц. В это условие, естественно, входят и постоянные
множители Лагранжа и множители р* (у).
Обобщение метода работы [39] дано в [15, 82, 84]. Рассмотре-
ны течения с неравновесными превращениями, учет которых в поле
течения приводит к необходимости введения дополнительных мно-
жителей Лагранжа, число которых равно числу неравновесных
63
параметров [82], п двухфазные течения [84]. Показана возмож-
ность существования разрывов множителей hi при непрерывных
параметрах течения и установлено, что если замыкающая характе-
ристика области влияния контура ab начинается на оси симметрии
вне волпы разрежения, то оптимальный контур имеет внутренние
угловые точки [84].
Несмотря на большие возможности общего метода множителей
Лагранжа при решении, наиболее общих вариационных задач,
практическая реализация его наталкивается на значительные вы-
числительные трудности, и в настоящее время имеются лишь еди-
ничные примеры соответствующих решений.
Глава II
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ТЕЧЕНИЙ ГАЗА В СОПЛАХ
В этой главе излагаются методы расчета сверхзвуковых и сме-
шанных течений газа в соплах. Отдельный параграф посвящен ме-
тодам решения релаксационных уравнений. Численные методы,
включенные в данную главу, с нашей точки зрения достаточно
универсальны и широко используются при изучении течений газа
в соплах с помощью ЭВМ. Изложение предполагает знакомство
читателя с основами метода сеток. Изложение теоретических основ
сеточных методов содержится в работах [32, 71, 120, 121, 162].
§ 1
МЕТОД РЕШЕНИЯ
РЕЛАКСАЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ
При расчетах неравновесных течений приходится проводить
численное интегрирование уравнений, описывающих исследуемый
неравновесный релаксационный процесс. Кинетические, или релак-
сационные уравнения, описывающие этот процесс, вблизи равно-
весия являются, как правило, уравнениями с малым параметром
при старшей производной, что существенно усложняет их числен-
ное интегрирование. К числу таких релаксационных уравнений
относятся уравнения сохранения массы химической компоненты,
уравнения для определения колебательной энергии, уравнения для
определения скоростей и температур частиц в двухфазных пото-
ках, уравнения переноса излучения и т. д. Особенность неравно-
весных течений в соплах состоит в том, что они начинаются из со-
стояния покоя, где система близка к термодинамическому равно-
весию. В тех же областях, где система близка к равновесию и вре-
мя релаксации, а, следовательно, и длина релаксационной зоны
малы, возникают значительные трудности с выбором шага инте-
грирования. Оказывается, что при использовании для численного
интегрирования явных разностных схем типа метода Эйлера или
Рунге — Кутта шаг интегрирования для проведения устойчивого
счета должен быть настолько мал, что расчет становится практи-
чески невозможным даже при использовании современных вычис-
лительных машин.
В последние годы предложено несколько методов численного
интегрирования релаксационных уравнений. Наиболее эффектив-
ными и универсальными из них являются методы, основанные на
5—625 65
использовании неявных разностных схем [27, 63]. Основное требо-
вание к таким методам — возможность расчета по единой схеме
с высокой точностью как областей, где все или несколько нерав-
новесных параметров близки к равновесным значениям, так и тех
областей, где имеет место заметное отклонение от них. Ниже дает-
ся обоснование выбора неявных разностных схем для расчета ре-
лаксационных уравнений [63].
В общем виде релаксационное уравнение для определения не-
равновесного параметра щ можно представить в форме
“=—(«/ _a.) (j= i, 2, . . . , N),
at b
(2.1)
где Xi — время релаксации, являющееся в общем случае функцией
/, р, Т и всех щ, а*г — условно равновесное значение щ (также
функция /, р, Т и всех «г), равное щ при равновесном течении
с постоянной энтропией. Из уравнения (2.1), делая естественное
предположение об ограниченности производной dou/dt, получаем,
что при Xi—>0 течение приближается к равновесному, т. е.
Рассмотрим вместо (2.1) модельное уравнение, положив xi и
а*г константами. Общее решение этого модельного уравнения
имеет вид
a =' (a0 — a*) е~г’х + a*,
(2.2)
где нижние индексы i для простоты опущены, а а0 = а (0). Полу-
чим теперь решение разностного уравнения
..a„+1-an=s _ ап) + l-s _ аи+1), (2 3)
h х т
аппроксимирующего дифференциальное уравнение (2.1). Здесь
h — шаг интегрирования, 5 — параметр, O^s^l, а нижние ин-
дексы п и п + 1 приписываются параметрам в известной н иско-
мой точках соответственно. Используя непосредственно следующее
из (2.3) рекуррентное соотношение
1 — х s , а* х h
otn+i — и п “I , % — ,
1 + х (1—s) 1 + х (1—s) т
получим следующее решение разностного уравнения (2.3):
Точное решение дифференциального уравнения в точке п + 1
согласно (2.2) имеет вид
ccn+i =1 («о — «*) + а*.
(2.6)
66
Из (2.5), (2.6) следует, что решение разностного уравнения
(2.5) стремится к точному при х->0 для всех 5 таких, что
0^5^4. Однако точность и устойчивость решения разностного
уравнения зависит от величины этого параметра. При 5 = 7г ре-
шение разностного уравнения имеет второй порядок точности. При
5=1 (явная схема типа схем Эйлера или Рунге — Кутта) и
х 1 решение разностного уравнения сильно отличается от точно-
го. Максимальный шаг, с которым можно численно интегрировать
уравнение (2.1), равен 2т. Поэтому явные схемы позволяют чис-
ленно интегрировать релаксационные уравнения вблизи равнове-
сия, где время релаксации т мало, лишь с очень малым шагом
(/г 2т), что делает их абсолютно непригодными даже при ис-
пользовании ЭВМ с большим быстродействием.
При s = у2 и х > 1 из (2.5) получаем, что решение разностно-
го уравнения колеблется около точного с амплитудой, не большей
| «о — а*|, и при увеличении шагов эти колебания затухают до-
вольно медленно. Тем не менее разностная схема при 5 = 7г дает
решения, близкие к точному в тех областях, где величина
|по — а*| мала по сравнению с а*. Такие области соответствуют
малым значениям т и течениям, близким к равновесию. В тех же
областях, где т велико, а течение существенно отклоняется от рав-
новесного (например, в угловой точке или за ударной волной),
величина |ао — а*| может быть сравнима с а* и использование
разностной схемы при 5 =• 7г может приводить к большим ошиб-
кам. Кроме того, как показывает рассмотрение модельного урав-
нения при 5 =• 72 и больших х, ошибка в начальных данных зату-
хает после значительного числа шагов. Это обстоятельство может
затруднять отход от начальных точек вблизи равновесия особенно
для многокомпонентной смеси.
В связи с этим более предпочтительными являются неявные
схемы с 0<5<72, которые при х 1 дают решения, близкие
к точному, и при использовании которых ошибки в начальных
данных быстро затухают. Применение таких схем позволяет су-
щественно увеличить шаг интегрирования по сравнению с явными
схемами при сохранении устойчивости. В работах [63, 76] при
проведении конкретных расчетов использовалось значение 5 = 0,4,
что обеспечивало порядок точности, близкий ко второму. Проде-
ланный анализ модельного уравнения можно обобщить на случай,
когда а* является не постоянной, а известной функцией от t.
Рассмотрим теперь конкретный алгоритм решения разностных
уравнений для сложных неравновесных систем. Пусть имеется N
неравновесных параметров для определения которых имеется
N релаксационных уравнений типа (2.1). Не ограничивая общ-
ности, примем, что Тг и а! суть функции только /ищи не зави-
сят от р и Т, Тогда, согласно (2.3), система дифференциальных
уравнений (2.1) аппроксимируется следующей системой разност-
ных уравнений:
67
fi (cti(n4-l)) = Щ(п+1)
1 ”f“ %i(n + l) (1 - S)
X [ctin Kin $ ((X*in Qin) ~f“ %г(??+1) (1 $) 0, (^.7)
•где %i ='h/xi (i = 1, 2, ”. . . , 7V),
или
f (an+1) = 0, (2.8)
где f = (fi, f2, .... In), a = (ab a2, . • • , aN). Система (2.8)
является трансцендентной системой уравнений относительно
афг+1) (£=1,2, . . . , 7V). Решение ее методом простой итерации
нецелесообразно, так как условия сходимости итераций приводят
к ограничению на шаг h (h ~ Тг), такому же, как и при исполь-
зовании явных схем. Поэтому необходимо применять какой-либо
иной метод, например метод Ньютона, с переменной матрицей
Якоби D. Эту матрицу удобно находить, используя аналитические
выражения для производных dfi/d аь. Неизвестные a^+i) находят-
ся итерациями по формуле
(2.9)
Итерации заканчиваются при выполнении условий
где 8/, бг — допустимые погрешности в компонентах решения и не-
вязки в уравнениях.
Предложен ряд мер, обеспечивающих быструю сходимость ите-
раций к решению [63, 76]. При вычислениях по (2.9) около 90%
времени расходуется на расчет компонент матрицы D и ее обра-
щение. Поэтому основная экономия может быть получена при вы-
числении D~l. В связи с этим матрица D~l вычисляется в точке
п + 1 только в первых двух итерациях, после чего фиксируется, и
последующие итерации проводятся с неизменной матрицей О-1
Более того, матрица вычисленная в точке n-f- 1, используется
для нахождения решения по (2.9) в точках п + 2, п + 3 и т. д.
Вычисление «новой» матрицы О-1 в точке п + k производится
только тогда, когда число итераций, потребовавшихся для сходи-
мости к решению с заданной точностью, превышает заранее за-
данное число (4—6). Использование процедуры фиксирования об-
ратной матрицы позволяет на порядок сократить время расчета.
Известно, что сходимость метода Ньютона к решению зависит
от близости начального приближения к этому решению. В связи
с этим начальное приближение в точке п + 1 целесообразно зада-
вать посредством экстраполяции искомых функций с использова-
нием их значений в предшествующих точках. И, наконец, время
68
расчета существенно зависит от точности задания данных в на-
чальной точке отрезка интегрирования, которая, как отмечалось,
для течений в соплах находится в околоравновесной области.
Даже незначительные ошибки в начальных данных (в четвертой—
пятой значащих цифрах) в силу малых значений т могут привести
к длительному счету начального участка ввиду медленной сходи-
мости итераций. В связи с этим в начальной точке целесообразно
также решать систему (2.7) методом Ньютона с переменной мат-
рицей, полагая второй член в левой части (2.7) равным at . Неяв-
ная разностная схема при s^V2 с использованием указанных мо-
дификаций успешно применялась при расчетах различного рода
неравновесных течений в соплах как в одномерном приближении,
так и в случае плоских и осесимметричных течений [7, 62,'63, 76].
§ 2
МЕТОДЫ РАСЧЕТА СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ.
ПЛОСКИЕ И ОСЕСИММЕТРИЧНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
1. Метод характеристик. С появлением ЭВМ в течение многих
лет метод характеристик был по существу основным инструментом
при численном исследовании течений газа в соплах. Метод харак-
теристик широко используется и в настоящее время; ему посвяще-
на обширная литература, которая, к сожалению, до сих пор не
систематизирована. В рамках данной книги нет возможности
сколько-нибудь полно рассмотреть различные вычислительные схе-
мы этого метода даже применительно к течениям газа в соплах.
Поэтому здесь кратко будет рассмотрен лишь случай совершенно-
го газа. Что касается более сложных типов течений, то мы ограни-
чимся лишь некоторыми замечаниями и ссылками на основные
литературные источники. Из работ, посвященных разработке и
применению метода характеристик к расчету течений совершенно-
го газа, укажем на [3, 6, 67, 125], а также обзорные статьи
[124, 168].
Уравнения характеристик (1.62) — (1.64), (1.67) при е== О
могут быть записаны в форме
dy =\ tg (0 ± a) dx,
1 + cos 2а 1 . v sin a sin 0 , , sin 2а
----------d а ±---------------dx ±--------
T — cos 2а z/cos(0±a) 2у (у—1)
dy = tg 0 dx, dS = 0.
(2.Ю)
В целях сокращения объема вычислений целесообразно ввести
переменные
? — tg 0, ₽=ctga. (2.11)
В этих переменных уравнения (2.10), а также соотношения для
функции тока (1.69) примут вид
69
где
dy = ^dx, Ad^^ Bdfi± C~dx =F DdS = 0,
dy =\K°dxi dS = 0,
d ф = ± E±dx,
/.° = £, V = Pg± A = ——,
P + £ 1 + ?2
__2P2_____________________ q± __ v £
(1+P2) [(y+1) + (Y-I)p2] ’ ~ </(₽ + £)’
D =--------P-------,
Y(Y-l) (1+P2)
(2-12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
= Z/VYl/(v-i') e-s/(v—1)
v— I
\ (V+1)/2(V-1)
В формулах (2.10) —
(2.15) верхние знаки со-
ответствуют характери-
стикам первого семейства,
нижние — характеристи-
кам второго семейства.
Для безвихревых течений
множитель yW"1)
нужно заменить на едини-
цу; очевидно, что в этом
случае исчезает в (2.12)
член, содержащий dS.
При расчете стацио-
нарных течений совер-
шенного газа в соплах в
случае двух независимых
переменных приходится
иметь дело с решением
сравнительно небольшого
числа элементарных за-
дач, связанных с опреде-
лением неизвестных вели-
чии во внутренних и гра-
ничных узлах характери-
стической сетки. Приве-
Рис. 2.1. К определению параметров
в узлах характеристической сетки
узлах, принадлежащих стенке или
(идея использования метода харак-
теристик в этом случае уже обсуждалась в § 2 гл. I). Определим
70
дем формулы для расчета
газодинамических пара-
метров во внутренних узлах и
оси сопла.
Начнем с внутренних узлов
искомые функции в точке 3, лежащей на пересечении характе-
ристик первого (1—3) и второго (2—3) семейств, проходящих
через точки 1 и 2, где решение известно (рис. 2.1, а). При этом
будем считать, что известна зависимость энтропии S от ф : S =
= 5(ф). Заменив в (2.12), (2.14) дифференциалы разностями на
отрезках 1—3, 2—3, имеем
, У2 — У1 — 7 23 (*2 — X])
%з — Xi +-----------------------------
Х13 ^23
Уз = yi + (*з — Xj), v (2.16)
Двойной индекс у величины означает, что она усредняется по зна-
чениям в соответствующих точках, например, Д13 — (Л1 ф- Л3) /2,
Д23 = (А2 + А3)/2 и т. д.
Система решается итерационно (см. п. 2, § 2 гл. I), при этом
в первом приближении вместо полусумм берутся значения коэф-
фициентов в соответствующих опорных точках (1 или 2). В силу
хорошего начального приближения удовлетворительная точность
обычно достигается за две-три итерации при разумном, с точки
зрения ошибок аппроксимации, выборе шагов характеристической
сетки при решении каждой конкретной задачи.
Относительно формул (2.16) сразу же нужно сделать замеча-
ние, что они непригодны для вычислений, если в окрестности рас-
четной точки наклоны характеристик первого или второго семейств
близки к л/2, т. е. если [3 + £ или [3 — £ близки к нулю, из-за воз-
никновения больших погрешностей. Если, например, (3 + £ близка
к нулю, то необходимо уравнения второго семейства характери-
стик (2.12) и соответствующее уравнение для ф (2.14) преобразо-
вать к виду
dx = Irdu, Ad £ + Bd p — C~dy -f- DdS = 0,
б/ф = — E~dy, (2.17)
где = (₽ + £)/(K~l), a С , Ё , получаются из C~ и E заме-
ной в последних множителя р + £ на р£—1. Преобразованные
71
уравнения (2.17) по той же причине, напротив, нельзя применять
там, где направления характеристик второго семейства близки
к горизонтальным, т. е. там, где — 1 близка к нулю. То же отно-
сится и к характеристикам первого семейства и очевиден переход
от одной модификации расчетных формул к другой. В каждом
приближении энтропия S находится по вычисленному значению ф
с помощью квадратичной интерполяции по известным табличным
значениям 5 = 5(ф). Таблица 5(ф) известна заранее или состав-
ляется в процессе расчета (например, если изоэнтропичность тече-
ния нарушается вследствие возникновения ударной волны в поле
течения).
Если точка 3 и 1 принадлежит оси симметрии (при v = 1), то
расчетные формулы должны быть модифицированы, так как урав-
нения (2.12) имеют особенность на оси симметрии (// = £= 0).
Пусть точка 1 принадлежит оси (рис. 2.1, б, в). Для устранения
особенности, как и в случае внутренней точки, запишем в разно-
стях уравнения (2.12) — (2.14) только уравнения, выполняющиеся
вдоль характеристик второго семейства, предварительно домножив
их на у. Тогда вновь получим для искомых величин соотношения
(2.16), в которых, однако, теперь нужно положить
Если точка 3 лежит на оси симметрии, то уз = £з = фз = 0. Для
определения х3, Рз воспользуемся уравнением характеристик
2-го семейства и соответствующим характеристическим соотноше-
нием, домноженным на у.
Хз = %2---^2/^23 ’
(2-18)
₽3 — ₽2 Ч--- [^2 ^2 + С*2 (Х3- -^2) - D2 (S3-- S2) ] .
в2
Так как ось симметрии является линией тока, то во всех ее точ-
ках ф = С = const. Отличие значения ф3, вычисленного по форму-
ле фз = фг— Е23 (х3— Х2) [см. (2.16)], от С может служить ха-
рактеристикой вычислительной погрешности. Отметим, что воз-
можны и другие способы расчета точек вблизи оси симметрии.
Пусть теперь точка 3 принадлежит стенке сопла (рис. 2.1, г),
уравнение которой у = f(x). Имеем
4- '
-----7/2 — Z/1 + ^13 -Vi — f 23 х2
Х3 __----------------1,
?v13 —^23
Уз = f (*з), £з = f' (*з), S3 = S2, фз = фг,
(2.19)
72
Рз = Pi +-J- [Л 13 (£3 - £1) + Gt (х3 - Xi) - Dl3 (S3 — Si) ].
£>13
Отметим, что, как и в случае внутренней точки, полученные фор-
мулы для определения параметров в точках оси и стенки сопла
должны быть изменены, если наклон характеристик близок к л/2.
Мы не будем здесь останавливаться на расчете другого рода то-
чек, отослав читателя к специальной литературе (например, [67],
В качестве примера рассмотрим изоэнтропическое сверхзвуко-
вое течение в сопле с угловой точкой, в сечении О А которого все
газодинамические параметры постоянны, а скорость равна ско-
рости звука (рис. 2.2, а). Требуется определить форму сверхзвуко-
вой части сопла, обеспечивающую равномерный и параллельный
оси поток на выходе с заданным числом М = Мо.
Рис. 2.2. Схема расчета течения в сопле с угловой точкой
Задача распадается на две: расчет газодинамических парамет-
ров в области волны разрежения ОАВ (разгонный участок) и оп-
ределение контура сопла АС и параметров течения в области АВС
(выравнивающий участок). Граничная характеристика АВ волны
разрежения такова, что в точке В P = Po = ctgao, где «о =
= arcsinMj-1 . Характеристика ВС, в силу требования равномер-
ности потока на выходе из сопла, является прямой линией с углом
наклона а0 к оси симметрии.
Обратимся вначале к расчету области волны разрежения ОАВ.
Для отхода от звуковой линии ОА метод характеристик не может
> быть использован, так как на ней характеристики обоих семейств
сливаются. Для этой цели можно воспользоваться разложением
решения в ряд. Эти вопросы будут подробно обсуждаться в § 3
следующей главы. Для вычисления параметров течения на некото-
рой близкой к звуковой линии характеристике применяется разло-
жение решения по характеристической координате [70]. На прак-
73
тике часто используется следующий простой прием. Околозвуковая
характеристика заменяется прямой линией, в каждой точке кото-
рой вектор скорости параллелен оси, а число Маха постоянно и
равно числу Маха в угловой точке. Расчеты показывают, что если
таким образом аппроксимировать характеристику, которой в угло-
вой точке соответствует значение 1.001, то обеспечивается
вполне удовлетворительная точность.
Итак, пусть известны все параметры потока в точках
A, tzi, а2, . . . , Bi некоторой характеристики ABi (рис. ‘2.2, б).
В окрестности угловой точки А реализуется течение Прандтля—
Мейера. В точке А величины х = хА, у = уА, ф = Фа постоянны,
а 0 и £ связаны соотношением [см. (1-151)]
f (Р) — anctg£ = 0.
(2.20)
Зная значения искомых величин в точке А, соответствующие
характеристике ABi, и задавая приращение, например, Др, можно
найти, используя (2.20), значения 0 и £ в точке А, соответствую-
щие близкой к ABi характеристике АВ2 пучка. Теперь по извест-
ным параметрам в точках А и ai по формулам (2.16) (при
S = const) вычисляются все искомые величины в точке bi. Исполь-
зуя точки а2 п Ь[ в качестве опорных, можно вычислить параметры
течения в точке Ь2 и т. д. При вычислении параметров в точках Ci
и В2 при v = 1 используются формулы (2. Гб) с учетом (2.17) и
формулы (2.18). Аналогично проводятся вычисления параметров
на следующей характеристике. Расчет разгонного участка продол-
жается до тех пор, пока па оси сопла не будет достигнуто значе-
ние р = Ро, соответствующее заданному значению Мо числа Маха
на выходе из сопла. После этого производится расчет выравниваю-
щего участка сопла.
Зная значения параметров в точках В, а, . . . , с, А граничной
характеристики волны разрежения и в точке di прямолинейной за-
мыкающей характеристики (вдоль этой характеристики £ = 0,
Р = Ро = У—1), можно последовательно вычислить параметры,
начиная с точки d (рис. 2.2, а), в точках характеристики второго
• семейства, выходящей из точки di. Расчет ведется до тех нор, пока
в некоторой точке этой характеристики величина ф впервые не
превысит заданного значения ф = фл- После этого квадратичной
интерполяцией на заданное ф = фА, используя вычисленные пара-
метры в трех последних точках (точки е, f, g на рис. 2.2, а), опре-
деляются координаты точки At на контуре и значения газодинами-
ческих параметров в ней. Порядок дальнейшего расчета анало-
гичен.
Кроме основного контура АС с угловой точкой в процессе рас-
чета можно с помощью интерполяции на фиксированные проме-
жуточные значения ОСфгСфл получать координаты линий тока и
распределения параметров вдоль них. Эти линии тока могут быть
74
выбраны в качестве контуров обычных гладких сопел с плоской
поверхностью перехода через скорость звука.
Если течение в сечении ОА сверхзвуковое и поступательное, то
характеристика второго семейства, выходящая из угловой точки и
разделяющая области поступательного течения и течения разре-
жения, будет линией разрыва производных параметров течения.
Пусть точка 1 на рис. 2.1, б — точка пересечения этой характери-
стики с осью симметрии. Можно показать [165], что
lim=''(d Udy)i=
t/->0
где предел и производная берутся вдоль отрезка 1—3. В этом
случае расчетные формулы можно получить аналогично (2.16),
(2.17) с той лишь разницей, что уравнение совместности для ха-
рактеристик второго семейства нужно домножить не на у, а на
y/t,. Для вычисления параметров в точке 3 вновь получим уравне-
ния (2.16), однако теперь нужно положить
Л 1з — -—А3 4- ——4—, = — Вз, С13 =0, D13 = —D3.
2 ЫРз —£з) 2 2
(2.21)
О точности вычислений можно судить по величине функции ф
в точках оси симметрии (на оси ф = 0), полученной при интегри-
ровании (2.14) вдоль характеристик второго семейства при расчете
область волны разрежения. Кроме того, так как в каждой точке ф
вычисляется по двум разным формулам [см. (2.16)], точность рас-
четов будет характеризоваться разностью значений ф, полученных
интегрированием по двум различным путям (например, ADE и
BFE для точки Е, рис. 2.2, а).
Обратимся теперь к случаю реального газа. Перепишем урав-
нения характеристик (1.62) — (1.69) в виде
75
— W2 + h = Ho.
2
(2.28)
Вычислительные схемы метода характеристик для равновесных
и замороженных течений газа, когда Fi = 0, и уравнения состоя-
ния задаются в виде h = h(p, Т), р = р(р, Т), незначительно
усложняются по сравнению со случаем совершенного газа (см., на-
пример, [65, 95, 115]). Пусть известны значения параметров
в опорных точках 1 и 2 (см. рис. 2.1, а). Тогда, записывая в раз-
ностях уравнения (2.22) — (2.24) и термодинамическое тождество
dT = TdS-\-
1 dh \ . I/ dh \—1
----------\dp —
. р др ) дТ )
(2.29)
и считая, в силу (1.71), энтропию известной функцией ф, 5 = 5(ф),
получим систему соотношений для определения х3, уз, Рз, £з, Т3,
ф3, S3. Остальные величины в точке 3 вычисляются по формулам
Лз— ^'(рз, Т3), р3— р (Рз, Т3), IF3 — У 2 (Яо — ^з),
q?2=/Ap\ + «WDs. n/JM 1 р3==1/гг а-2-1.
\ др /з (dh/dT)3 L Рз \ дР 1з J 3
(2.30)
Полученная система решается итерационно аналогично системе
(2.16).
Расчет равновесных течений осложняется по сравнению со слу-
чаем совершенного газа из-за необходимости вычисления термо-
динамических функций для смеси реагирующих газов. Обычно
термодинамические функции заданы таблично (например, [117]).
Непосредственное использование таблиц при расчетах неудобно.
Поэтому рядом авторов (например, [95], библиография в [162])
были разработаны на основе имеющихся таблиц аппроксимацион-
ные формулы для уравнений состояния. Использование таких ап-
проксимаций существенно упрощает расчет равновесных течений.
Отметим в связи с этим работу [53], где для эффективного пока-
зателя адиабаты х = ра2/р получены удобные аппроксимационные
формулы, которые позволяют проводить расчет на ЭВМ течений
равновесного и совершенного газа по единой программе.
Рассмотрим теперь случай неравновесного течения. Заменив
дифференциальные уравнения (2.22) — (2.24) разностными, полу-
чим соотношения для определения х3, z/3, ф3, р3 и £3 в точке 3 по
известным значениям параметров в точках 1 и 2 (см. рис. 2.1, д).
Далее можно вычислить все параметры в точке пересечения линии
тока, приходящей в точку 3, с известным участком характеристики
1—6 (точка 4). Так как ф4 = ф3, то координата точки 4 и значения
параметров в ней можно найти квадратичной интерполяцией но ф,
76
используя известные величины в узлах предыдущей характеристи-
ки (точки 1, 5, 6 на рис. 2.1, (3).
После этого, записав в конечных разностях на отрезке 3—4 ли-
нии тока уравнения (2.26), (2.27), получим соотношения для
Щ’З, 7*3
(2.31)
Щ'З ----- Ctf4 -|- Gi34 (%з-------- ^4)
(J = 1, • • • , Л^),
Теперь можно вычислить по (1.52), (1.53) h3 и рз:
/13 =. h (р3, Т3, Щз, .. . , соуз), рз — р (рз, Т3, «1з, ... , ооуз). (2.32)
Величины W3, а3, 0з вычисляются по формулам (2.30). Как
обычно, коэффициенты с двойными индексами в первом приближе-
нии вычисляются по известным параметрам в соответствующих
опорных точках и уточняются при последующих итерациях.
Оказывается, однако, что этот итерационный процесс может
расходиться, если значения некоторых щ (или всех) близки к рав-
новесным значениям. Это связано с тем, что релаксационные урав-
нения (2.26) вблизи равновесия являются уравнениями с малым
параметром (см. § 1 гл. II). Вблизи равновесия функция Fi очень
чувствительна к изменениям щ и Т. Нарушение сходимости итера-
ционного процесса связано с тем, что при-использовании уравнения
(2.31) приходится вычислять Fi в точке 3 по значениям парамет-
ров из предыдущей итерации. Для сходимости итерации нужно
брать значительно более мелкую сетку, чем это требуется для ре-
шения газодинамических уравнений.
Рядом авторов предлагались различные способы преодоления
этой трудности. Отметим, в частности, работу [66], в которой раз-
работан алгоритм, обеспечивающий сходимость итераций как
вдали, так и вблизи от равновесия. Более предпочтителен, однако,
способ, основанный на использовании неявных аппроксимаций
уравнений химической кинетики, описанных в § 1 настоящей
главы.
Запишем уравнение (2.26) в виде
d ai = [Li (р, Г, аь..., aN) — он Ni (p, T, щ,... , aN) ] dx (2.33)
(эта запись, очевидно, эквивалентна записи (2.1)). Кроме (2.33)
будем использовать вдоль линии тока уравнения (1.65) и (2.28).
77
Аппроксимируем эти уравнения с помощью разностной схемы
аналогичной (2.7). Имеем
ctj4 — а,з -|---———--------—— {sL,4 + (1 — s) —
1 + (1 — s) (x3 — x4) Nj3
— ait [sNii: + (1 — s) Wi3]} = 0
(i= 1, 2, ... , N),
(2.34)
F32 - W2
_Р(Рз, T3, ai3,..., tttfa)
fdP4> T4, Ct]4> • • • > Ct JV4) _
(Рз — Pt)
(2.35)
— Ш + h (p3, T3, al3, . . . , aw3) - Яо = o. (2.36)
2
После того как гири очередной итерации будут определены вели-
чины х3, %4, 'фз, рз и £3 и вычислены параметры в точке 4, решается
система (2.34) — (2.36) методом Ньютона с переменной матрицей
Якоби так, как описано в § 1 настоящей главы. При этом опреде-
ляются «гз, Г3, 1^з. Далее по (2.32) вычисляются h3 и р3, а по
(2.30) — а3 и Рз. На этом очередная итерация заканчивается.
Метод характеристик с успехом применяется также для расчета
двухфазных течений. В этом случае уравнения характеристик 1-го
и 2-го семейств отличаются от (2.23) лишь коэффициентом при
dx: функцию Ф1 нужно заменить на Фг, задаваемую соотношением
(1.73). Уравнение для функции тока газа имеет по-прежнему вид
(2.24). Для функции тока частиц справедливо соотношение
d =!±‘ + g * J Е) yv ps Usdx, g = —. (2.37)
P + £ us
Уравнения, выполняющиеся вдоль линий тока газа и частиц,
приведены в гл. I [(1.74) -(1.77)].
Мы не будем здесь приводить вычислительных схем. Подробное
описание алгоритмов для вычисления газодинамических парамет-
ров в различного рода точках характеристической сетки содержит-
ся в работах [22, 136]. Аппроксимация уравнений (2.22) — (2.24),
(2.37) позволяет вычислить х3, у3, фз, рз, £з во внутренней точке
(см. рис. 2.1, е). Значения параметров в опорных точках 4 и 5 ли-
ний тока газа и частиц определяются квадратичной интерполяцией
по ф н фз. Стандартно аппроксимируются уравнения (1.74), (1.75)
вдоль линии тока газа. Что касается уравнений (1.76) для линий
тока частиц, то стандартная аппроксимация их приводит к тем же
трудностям, что и в случае химически неравновесных течений.
Здесь также возможно применение неявных схем.
Сделаем несколько замечаний общего характера о методе ха-
рактеристик. Этот метод получил широкое распространение при
решении как стационарных, так и нестационарных задач газовой
динамики. Это обстоятельство не случайно. В силу своей физиче-
ской сущности (по характеристикам распространяются малые
78
возмущения) метод характеристик позволяет вести расчет па сет- *
ке, максимально учитывающей структуру течения. Так, при исполь-
зовании'этого метода удобно рассчитывать волны разрежения,
учитывать линии слабых разрывов, определять места возникнове-
ния висячих скачков [125].
Применение метода характеристик сопряжено, однако, и с ря-
дом неудобств. Одно из них заключается в том, что искомые вели-
чины вычисляются в узлах заранее неизвестной характеристиче-
ской сетки. На практике часто желательно знать распределения
параметров при фиксированных значениях х. При этом приходится
иметь дело с интерполяцией на заданные значения %, что услож-
няет программу. Иногда счет по характеристикам приводит к очень
неравномерному распределению узловых точек или к сильному
росту числа точек на характеристиках (например, при расчете
волны разрежения в рассмотренной выше задаче о течении газа
в сопле). Очевидно, что в подобных случаях необходимо время от
времени перераспределять точки на характеристиках, уменьшая
в случае необходимости их количество. Эта процедура также свя-
зана с интерполяцией. Наконец, следует отметить, что вычисли-
тельный процесс логически сильно усложняется, когда течение газа
сопряжено с образованием взаимодействующих друг с другом
поверхностей разрывов. В этом случае целесообразно применять
так называемые методы сквозного счета (без явного выделения
поверхностей разрывов). Этому вопросу будет посвящен п. 2 на-
стоящего параграфа.
Что касается первого недостатка, то желание освободиться от
него привело к разработке так называемого послойного метода
характеристик (например, [6, 90, 162]). Поясним идейную сторону
метода на примере уравнений (2.12), (2.13). Пусть имеется прямо-
угольная сетка с координатными линиями, параллельными осям
х, у. Предположим, что в узлах 5, 6, 7 слоя х = хъ решение изве-
стно (см. рис. 2.1, ж). Обозначим через 1, 2, 4- точки пересечения
характеристик 1-го и 2-го семейств и линии тока с линией х = х^
и запишем (2.12), (2.13) в разностях. Имеем
— Oi
Уз — У1 = Х13Ах, уз — у2 = Л23 А х, */з —f/4 = ^Ах, (2.38)
413 (£3 — ?i) — В is (Рз — Pi)
13
А х — Dl3 (S3 — SO = 0, (2.39)
^23 (£з-- £2) + $23 (Рз---- Р2) -- С2з Л X + D23 (S3 ---- S2) = 0, (2.40)
. S3 = S4. (2.41)
Положим вначале параметры в точке 3, равными их значениям,
например, в точке 6, определим из (2.38) координаты точек 1, 2, 4
и вычислим в них интерполяцией по узлам 5, 6, 7 искомые функ-
ции. Теперь из (2.39) — (2.41) найдем в первом приближении £3,
Рз, S3. Далее уточняются коэффициенты и процесс повторяется.
79
Эта схема очень проста и легко переносится на случай пространст-
венного течения. Некоторые усложнения связаны лишь с определе-
нием параметров в граничных точках.
Очевидно, что вследствие влияния граничных линий (они пере-
секают сетку произвольным образом) сетка в процессе расчета
будет искажаться, так как шаг по у будет неравномерным. Эта
неравномерность шага нежелательна, так как она обусловлена
лишь формой границ и никак не связана с характером изменения
параметров по у. Обычно после определения параметров на новом
слое узлы на нем перераспределяют. Иногда удобно сделать пре-
образование координат, включающее границы в координатную
сетку, тогда расчет будет вестись на фиксированной сетке.
2. Методы сквозного счета. В тех случаях, когда течение газа
в сопле сопровождается возникновением ударных волн, примене-
ние метода характеристик (или любого другого метода с явным
выделением разрывов) становится затруднительным. В особен-
ности эти трудности проявляются при наличии в потоке висячих
ударных волн или сложной системы взаимодействующих разрывов.
В таких случаях целесообразно использовать методы сквозного
счета, позволяющие вести расчет во всей области по единым алго-
ритмам без явного выделения разрывов. Существуют различные
подходы к. созданию методов такого рода: введение искусственной
вязкости в уравнения газовой динамики, сглаживание разностных
решений, построение разностных схем, обладающих сглаживаю-
щими свойствами [59, 121, 125]. Качество таких методов опреде-
ляется шириной размазывания разрывов и точностью вычислений
вне областей больших градиентов. В данном разделе будут рас-
смотрены два численных метода расчета течений в соплах. Один из
них основан на применении явных разностных схем второго поряд-
ка точности и процедуры сглаживания [123], второй — на исполь-
зовании схемы, обладающей сглаживающими свойствами [59].
Рис. 2.3. Расчетная об-
ласть
Рассмотрим стационарное сверхзвуко-
вое течение совершенного газа в сопле.
Нас будет интересовать решение в обла-
сти х^О, G (x)^y^F (х), где х, у—
картовы или цилиндрические координа-
ты, причем ось х совпадает с линией
(осью) симметрии, а уравнения y=F (х),
y — G (х) суть уравнения верхней и ниж-
ней границ области (рис. 2.3). Границей
может быть, например, свободная поверх-
ность, твердая стенка или линия (ось)
симметрии. Введем переменные
__ y—G (х)
F (х) — G (х)
в этих переменных область перейдет
1.
полуполосу
(2.42)
в
80
Уравнения газовой динамики запишем в дивергентном виде
dAj \dBj
дх д g
(2.43)
где Ai = Pi 8, Bi = Qi — Pi (G' + ge'),
A = '(p + p^2) Q^ipuvyv, Л = 0,
A = p uvyv, Q2 =. (p + p v2) yv, T2 = vpt,
P3 = p uy\ Q3 =; p vy\ Ts = 0,
A = (p e + p) uyvt Q4 =) (p e + p) vy\ 7\ = 0,
e = F—G, e='p/(y — l)p + IF2/2.
Здесь скорости отнесены к максимальной скорости I^max, плот-
ность — к р*, давление — к р* №тах.
Введем в области х 0, 0 g 1 сетку хп = пх (п =
— 0,1, . . . ). = mh (m = 0,l, . . . , Л4) и обозначим
= f(nx, mh). Пусть на слое п известно решение. Остановимся
вначале на расчете внутренних точек на слое (/t+ 1). Для опре-
деления решения в точке xn+1, gm по известным величинам в узлах
хп, gm-ii хп, gm; хп, gw-M находятся по схеме Лакса неизвестные
величины в промежуточных узлах хп+о, £>т—'/2 и яп+(Т, %т+'/2
(0<ст^1). Затем по известным величинам в промежуточных
узлах и узле хп, gm по схеме «крест» определяется решение в узле
хп+\ %т. Выпишем разностные уравнения. Для узла xn+G, gn_i/2
имеем из уравнения (2.43)
л пЧ-(У — . ( Дп I Дп \ _____________T1 _ (R п ______ R п \ _1_
^г(т—’А) 2 ~ i(m—1)' V гт i(m—1) ' *
+ т(7'^+7'г”т-1))=Л’
(2.44)
где Т1 — от. Разрешая систему относительно неизвестных величин,
получим
un+a =J—(ft _]_уЬ2 —4П1С1), vn+^.
т /2 201 1 ' т /2 f3
(2.45)
6—625
81
Аналогично определяется решение в узле х’‘+°, gm+,/2 . Применяя
схему «крест», имеем
= Апп----Г(В^А/Л-В0т-7')) +
+ ^Цт+Чг) "I" ^?(т-'/2) ) ~ (2.46)
Разрешая систему (2.46), получим
Um+' =— (&2 + V62 ~ 4й2С^ ’ Vm+> = —
т 2а2 2 т g3
Эта схема при о = V2 имеет второй порядок точности. При
о V2 порядок аппроксимации первый. При этом остаточный член
содержит множитель (о—V2), так что при значениях о, мало от-
личающихся от V2, схема по точности близка к схеме второго по-
рядка. Заметим, что функции Ai, Bi, содержат значения F, G и
их производные по х на слое п и п + о.
Приведем алгоритмы определения решения в граничных узлах.
Пусть, например, у — F (х) —уравнение твердой стенки. Для опре-
деления параметров в узле xn+i, воспользуемся схемой «прямо-
угольник» с весами он и 1 — щ для производных по g на
(/1ф1)-ми n-м слоях. Имеем
-Г V В"А1-.)- V (1 ~ О1) (В”лг - ВГ(м-1) )• + 2т Т
^hi (i=l, 2, 3, 4). (2.48)
Воспользуемся первым, третьим и четвертым уравнениями
(2.48) и добавим к ним граничное условие
yn+i =:((F') "+1 . (2.49)
Разрешая систему и учитывая, что = 1, ум = F, получим
«”+’ Ь2 Н-4азСз), У”+’ = (F')n+lu"+l,
82
(2,50)
Когда у= G(x) —уравнение твердой стенки, алгоритм определе-
ния решения в узле xn+1, go аналогичен.
Одна из границ области может быть свободной поверхностью.
Пусть верхняя граница области является свободной поверхностью.
Предположим, что давление р вдоль неизвестной свободной по-
верхности не меняется и на нее не приходят ударные волны (т. е.
остается неизменной энтропия). Тогда граничные условия можно
записать
Fr — v/и, р = рм = const, р = рм — const,
М = Мм = iconst.
((2.51)
К этим соотношениям присоединим еще второе из уравнений
(2.43). Аппроксимируя его, как и ранее, схемой «прямоугольник»,
имеем для узла
УР.М-М2
м
n-H _
М
(Р UV 8)”f+l +
—<71 [ (р + р V2) — р uvF']
h
=----!---(дп ±Ап —Л«+! -Ц— rnRn+i ____ С2 52)
^Л2(М-1) Л2(М-1)Т^ . О1°2(М-1)
f pv ) п +1 П,
~~h^ ^2(М—1)) + 2т
(F')^=(^)-+i.
Для определения решаются совместно третье и
четвертое из этих уравнений методом Ньютона.
Если граничной точкой является точка оси симметрии (при
v = 1), то системой (2.43) непосредственно пользоваться нельзя,
так как в ней у = v — 0. Запишем уравнения в виде
0 = 0,
0 Аг . д Bj
дх
G'= 1, з, 4),
83
где Ai = Pi e, Bj = Qj — A g F',
Pi = P + P u2, Рз = p и, Pt = (p e 4- p) u,
Qi = ‘2p uv, Q3 = 2p v, Qi = 2 (p e + p) v.
Положим в силу симметрии
//n+ст — //n+tt пп+ст — nw+° nn+CT — п ^4-п
-'А 'A ’ P-'A P'A ’ '-'A P'/2 ’
l)n + G 7) n + G /p'pl + G (pZ^ n + CT
-*/2 — U42 ’ ;-'/2 Л/2 •
Величины в узле xn+CT, gi/2 вычисляются по формулам (2.45) при
т = \. Далее имеем
—L (Дп + 1 дп ) _1 L. / on + tf R п + в | = Л
г Иго Аг0 ’ h Иг>/2 г(-72) ' °’
откуда
Ап+Х — Ап ____— (пп+а—Bn+G, ) =
~г‘О гО г’А г(—’А) ' &
Окончательно получим
где
(Ь2 + У Ь22 — 4а2с2),
yn+i = о, un+i __
0 0 2а2
II / £4 \ п +1
п-Ы ____I \
п ----- I I t
(2.53)
Непосредственное применение изложенного разностного метода
приводит к появлению осцилляций в решении в областях, где
велики градиенты решения, что является типичным для схем вто-
рого порядка точности. Разностное решение можно существенно
улучшить, если периодически применять процедуру сглаживания.
Сглаживание проводится по слоям с использованием пяти узлов
2
ak = a-k, = 1.
k= —2
При этом фиксируются значения а0 и параметра q, определяю-
щего характер убывания коэффициентов аь, которые удовлетво-
ряют условиям ct2 = #ai, «о + 2сц (1 + *?) = 1. Решение в гранич-
ных точках не сглаживается, а в соседних с границей узлах —
сглаживается по трем узлам. Сглаживанию подвергаются не сами
искомые функции, а функции Ai, после чего по формулам (2.47)
находятся окончательные значения газодинамических параметров
на слое /г + 1. При переходе к очередному расчетному слою вели-
84
чина шага определяется из условия Куранта — Фридрихса— Леви
Tn+i — /( mjn
гл
Е h п
tg (0 ± а) ]?п
где К — число Куранта, которое при расчетах берется из интерва-
ла 0.6—0.8. Данным методом были выполнены, в частности, расче-
ты течений газа в конических соплах ([51], см. также § 2 гл. VI).
Перейдем теперь к изложению метода, предложенного в работе
[59]. В основе его лежит разностная схема, аналогичная схеме ра-
боты [31], разработанной для расчета одномерных нестационар-
ных течений газа. Вновь будем рассматривать движение совершен-
ного газа в области, изображенной на рис. 2.3. Уравнения газовой
динамики запишем в виде следующих интегральных законов сох-
ранения, отнеся скорость к а*, плотность к р*, а давление к р*а2*
У+
!/_
У+
(' f dy,
(2.54)
где
Система замыкается уравнением Бернулли
1_ W2 _|—Y--р _ V+J—.
2 т—1 р 2(у—1)
(2.55)
Введем сетку с узлами, расположенными в сечениях х = const.
В каждом сечении узлы располагаются равномерно с шагом
h — (F—G)/N, т. е. шаг h меняется от сечения к сечению. Шаг т
между сечениями неравномерный. Узлы в сечении и отрезки нуме-
руются снизу вверх: узлам приписывается номер п (п =
= 0, 1, . . . , N), а отрезкам номер п—!/2 (/г = 1, 2, ... , V). На
каждом отрезке параметры усредняются. Средним значениям па-
раметров на отрезках известного слоя х = х0 приписывается ниж-
ний индекс, указывающий номер отрезка (pn_i/2 » и п-’/2 и т. д.),
а на отрезках слоя х0 + т, в узлах которого решение должно быть
вычислено,— такой же верхний индекс (рп-1/2, ип~хЬ и т. д.). Узлы
с одинаковыми номерами в сечениях х = Хо и х = %о + т соединя-
ются прямолинейными отрезками. Усредненные значения парамет-
ров на каждом таком отрезке обозначаются большими буквами
(например, R, U, V вместо обычных р, и, v), им приписываются
нижние индексы, равные номеру узлов, которые соединяет данный
отрезок.
85
Запишем (2.54) для каждого отрезка, взяв за у_, у+ ординаты
концов отрезков, и проинтегрируем по х от Хо до Хо + т. Тогда по-
лучим следующую разностную схему:
an-v2 __ Dn _ Dn i _ d n_,/2 _ dn-'/\
= bn_,,2+ (P h) n-(Ph) n_t +
+ (UD)n— (UD) n-i— (ud)n_,l2 — (ud)n~\ (2.56)
cn-'/2 = сп_,1г+ (Pn-r — Pn) T + (VD)n —
— (VDjn-t— (vd)n_l/2— (vd)n~'b,
где n=p«/i, b = (p p u2) h, c — p uvh,
= P (Uh—Vx), hi — yl — y{, j — n— 1, л;
тот же смысл, что и у функций.
d = vp vh х/2у, D =
индексы у h и у имеют
Зная ап~'/2, Ьп~'/2, сп~'12, можно вычислить un~'/2, vn~'12, рп~'/2, pn~'h-.
и —)- Г(—— У — k (ka2 — c2)
ka ly — 1 L \ Y — 1 1
(2.57)
v = c/a, p = a/tih, p = (b — ati)/h.
Здесь верхние индексы опущены, k = (у + 1)/(у — 1).
Величины [/, V, Р, R находятся из решения плоской задачи
о взаимодействии двух равномерных сверхзвуковых потоков с па-
раметрами un_!/2, Уп-«/2, ... И un+y2, • • • соответственно.
В этом случае «большие» величины в (2.56) будут выражены че-
рез известные «малые» величины с нижними индексами п — 3/2,
п—V2, п + Уг. При известных U, V, Р система (2.56) решается
итерациями, при этом члены с верхним индексом п—У2, входя-
щие в правые части (2.56), берутся из предыдущей итерации. При
первой итерации верхний индекс п—V2 у этих членов заменяется
на нижний.
Рассмотрим задачу о взаимодействии двух потоков для опреде-
ления «больших» величин на верхней п нижней границах элемен-
тарной ячейки. Потоки начинают взаимодействовать в точке
х = х0, у = Уз, j — п— 1, п. В зависимости от соотношений пара-
метров в потоках может реализоваться одна из картин течения,
изображенных на рис. 2,.4. На этом рисунке сплошными линиями
обозначены ударные волны, пунктирными—тангенциальные разры-
вы, штрихпунктирными — границы волн разрежения. В областях
1—4 на рис. 2.4, а—г и в областях 1—3 на рис. 2.4, д параметры по-
стоянны. Граница ячейки может попадать в любую из областей.
Рассмотрим случай, изображенный на рис. 2.4, а. В волне раз-
режения параметры связаны соотношением
d^-^-lM^\dp = Q. (2.58)
86
Рис. 2.4. Схемы возможных конфигураций разрывов
Усредним коэффициент прп dp и проинтегрируем (2.58). Имеем
где верхней волне соответствует знак минус и j = п + 1/2, а ниж-
ней— знак плюс и j = п—1/2. Поскольку на тангенциальном раз-
рыве р п £ непрерывны, имеем из (2.59) следующие выражения
для р и £ в областях 3 и 4:
Р о (Р п—’Л ~Н Pn+v2) + (£ п—72 ?п+’/2),
2 2а
(2.60)
’/г (Р Рп—>/2 ) (Р Рп+’/2 ) •
Теперь можно вычислить остальные параметры в областях 3, 4
Р = Р,(^У'’ . №-= fv±r_^ V. . (26
\ Рз / Lv — 1 (у — 1) р_
87
и =. w (1 + С2)-,/2, V = £ и, М = W (у р/р) “Ч
где j = n— у2 и j = п + 4/2 при вычислении параметров в обла-
стях 3 и 4 соответственно.
Если вычисленные значения р и £ сильно отличаются от анало-
гичных величин с индексами п—l/2, /1 + V2, следует сделать пере-
счет
п—’А ’A Р п + ’А £ ^п-’А Рп—Чг “Ь
“F а n4-V2 Рп+’А ) >
(2.62)
£ рп—’A £ п—‘А ^п—’А (Р Р п—У2 ) Рп + ’А £ п + ’А +
где
=
р Г2
(2.63)
3
Второе слагаемое в а; вычисляется по предыдущему приближе-
нию; Pj введены для удобства дальнейшего изложения.
В случае слабых ударных волн р и £ по-прежнему определяют-
ся по (2.60), а плотность — из соотношения
(у — 1) Рз + (У + 1)р
(у + 1) Рз + (V — 1)Р
Рь Р > Рз-
(2.64)
Здесь j = п— V2 при вычислении р в области 3 на рис. 2.4, б, в и
j = 11 + V2 при вычислении р в .области 4 на рис. 2.4, б, г. Осталь-
ные параметры определяются по (2.61). Формулы (2.60), (2.61),
(2.64) используются в первом приближении и в случае ударных
воли произвольной интенсивности. Для вычисления р и £ в следу-
ющих приближениях нужно привлекать соотношения для косого
скачка уплотнения.
Пусть имеет место случай, изображенный на рис. 2.4, б. Из
условия совпадения направления потоков в областях 3 и 4 и усло-
вий на скачках следует, что
У2 у2__________^п+у2~^~ ^ п + у2 (2 65)
1 + Sn_y2tg 6 n_1/2 1 — £n + i/2tg 6 n-|_i/2
tgfy = Уз (Р — Рз), Уз =
_____2У Mj Рз_______1 -------1------- • । 1/ /9
(У— 1) Рз + (у + 1)Р J Рз^1+Рз—Р '______________________— 2.
88
Подставив (2.66) в числители (2.65), вновь получим формулу
(2.62) для р с коэффициентами
Ъ’Рд ₽j= (1
(2.67)
где верхний знак соответствует j = п—1/2, а нижний — j=n-\-i/2.
При вычислении ctj, Pj используется значение р из предыдущего
приближения. При а;, рд определенных по (2.67), сохраняется и
формула (2.62) для
Формулы (2.62) сохраняются и в случае ситуаций, изображен-
ных на рис. 2.4, в, г. При этом в первом случае (pn-v2 < Р <
? < рп+ъ ) при j = п—!/2 используются формулы (2.67), а при
j = п + у2—(2.63); во втором случае — наоборот. Для вычисле-
ния р в областях 3 и 4 используется (2.61) в случае волны разре-
жения и (2.64) —в случае скачка. Появление ситуации, изобра-
женной на рис. 2.4, д, означает сильное отличие параметров
с нижними индексами п—п + V2, т. е. необходимость мель-
чить сетку.
«Большим» величинам в (2.56) приписываются значения па-
раметров в той области, куда попала граница ячейки. Если она
попадает в область волны разрежения, «большие» величины нахо-
дятся линейной интерполяцией по значениям параметров на гра-
ницах волны.
Для крайних ячеек (боковые грани которых имеют номера
п = у2 и n = N — 72) «большие» величины вычисляются иначе.
Если границы являются стенками сопла, когда известны углы на-
клона границ к осн х 0± (х) (или £±), «большие» величины нахо-
дятся из решения автомодельной задачи обтекания равномерным
потоком плоской стенки с углом наклона к оси х, равным
0+ (х0 + 0.5т) или 0_ (х0 + 0.5т). В этом случае (так же как и
в случае оси симметрии) имеем для определения давления на
стенке формулу
Р = Pi ± (₽j Cj — £)/ад с : И*о + о.5т)
~ [У± (*о + /г) — У+ (хо) ] т-1.
(2.68)
Коэффициенты а;, р7- вычисляются по (2.63), если p<Zpj, и по
(2.67), если p>pj. Верхние знаки в (2.67), (2.68) и индекс j =
= N—V2 соответствуют верхней границе, а нижние знаки и ин-
декс j = i/2—нижней границе. Если границей является свободная
поверхность с заданным р, для вычисления £ имеем
£ Pj (P Pj) •
Выбор и определение коэффициентов, знаков и индексов в этой
формуле аналогичен (2.68). Для устойчивости счета по изложен-
ной разностной схеме шаг т должен выбираться из условия, чтобы
все волны, возникающие в результате взаимодействия потоков,
внутри каждой ячейки достигали ее правой границы при х =
= Хо + т.
В заключение отметим, что усреднение коэффициента при dp
в (2.58) в ряде случаев может оказаться грубым. Целесообразно,
в связи с этим, перейти к новой переменной р = р^~^/2у. В этом
случае приближенное интегрирование (2.58) более оправдано.
МЕТОДЫ РАСЧЕТА
СВЕРХЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
1. Метод характеристик. Течение газа в сопле симметричной
формы может быть несимметричным, например, вследствие несим-
метричных возмущений потока. Иногда из конструктивных сообра-
жений желательно иметь несимметричное выходное сечение сопла
или сопло с криволинейной осью. Во всех этих случаях течение
газа будет иметь пространственный характер, т. е. газодинамиче-
ские параметры будут зависеть от трех пространственных коорди-
нат. Для расчета таких течений с успехом используются метод
характеристик и сеточные методы.
Существуют два класса схем метода характеристик — полуха-
рактеристическпе и бихарактеристические. В полухарактеристиче-
ских методах исходная система дифференциальных уравнений вна-
чале посредством аппроксимации по одной из переменных сводит-
ся к системе с двумя независимыми переменными (например,
[68]). Для решения полученной двумерной системы используется
метод характеристик. В бпхарактеристических методах (к ним от-
носятся, напрпмер, методы, развитые в [90, 129]) уравнения сов-
местности для трехмерной системы уравнений аппроксимируются
вдоль образующих коноида Маха (бихарактеристик, см. п. 2 § 1
гл. I) и линий тока. Обзор .различных характеристических схем и
библиография содержатся в [129, 162].
Рассмотрим один из методов бихарактеристического типа, раз-
витый в [129]. В основу этого метода положены идеи работы
[171]. Характеристические уравнения для системы (1.23), (1.25),
(1.26), (1.27), описывающей стационарное равновесное течение
газа, имеют вид (1.34) — (1.40).
Уравнения для линий тока и характеристического коноида
[см., (1.32)] запишем в виде
dx
dt
dt
(2.69)
90
[U2_ _|_ [y2_ (^_a2)] (Jy.\2 +
\ dt / \ dt '
+ О2 — (R/2 — a2)](—У +2«y—-^-+2«ЬУ ——-
\ dt I dt dt dt dt
-\-2vw -^L—= 0,
dt dt
где t — длина дуги вдоль линии тока и вдоль бихарактеристики.
Уравнение (1.40) после записи производных вдоль бихарактери-
стик примет вид
Член в квадратных скобках содержит производные вдоль волно-
вой поверхности в направлении, нормальном к бихарактеристикам
(поперечные производные). Центральным моментом излагаемого
метода является то, что поперечные производные не вычисляются
в точке, где ищется решение, что обеспечивает второй порядок
точности метода1.
Пусть на слое х = х0 во всех узлах известны параметры те-
чения. Получим соотношения для определения искомых величин
во внутренних узлах сетки на слое х — %о + Ах. На рис. 2.5 точка
5 — точка слоя х = хо, в которой известны все величины, 6 — точка
пересечения линии тока, проходящей через точку 5, с плоскостью
х = х0 + Ах, где решение нужно определить, 1, 2, 3, 4 — точки пе-
ресечения бихарактеристик, проходящих через точку 6, с пло-
скостью х — х0. Ниже для сокращения письма используются ин-
дексные обозначения: Xi = х, х2 = у, х3 = г, tii = w, и2 — v,
и3 — w; повторяющиеся индексы означают суммирование.
1 Отметим в связи с этим работу [90], в которой предложена численная
схема с использованием производных только по бихарактеристическим направ- \
лениям.
91
Рис. 2.5. Схема расположения узлов характеристической сетки
В обсуждаемых работах используется параметрическая запись
бихарактеристик в виде
dxi =
(Ui + С CLi cos 0 + с ₽г sin 0) dt
G=«l, 2, 3).
(2.72)
Здесь 0 — угол, характеризующий данную бихарактеристику, щ,
Pi — единичные векторы, такие, что UijW, сц, Р; образуют ортого-
нальную систему векторов, c2 = a2W2/(W2— а2) (см. рис. 2.5).
Уравнение совместности вдоль бихарактеристик (2.71) запишется
в виде
dp + р с (d; cos 0 + Pi sin 0) dUi =
= — p с2 (си sin 0 — Pi cos 0) (aj sin 0 — Ppcos 0)
^—dt
dxj
(2.73)
(компоненты вектора нормали при этом имеют вид tii =
— (а/с) [cUiW~2 — di cos 0 — Pi sin 0]). Вводится еще следующее
иехарактеристическое соотношение, выполняющееся вдоль линии
тока, которое получается с использованием уравнения неразрыв-
ности,
dp — — pc2 (ai dj + Pi Pj)- —- dt.
dxj
(2.74)
Видно, что если в (2.73) положить 0 = 0, л/2, л, Зл/2, то эти
четыре уравнения, так же как и (2.74), будут содержать частные
производные в виде двух комплексов aiaj(dui/dxj) и $i$j(dui/dxj),
У2
которые можно рассматривать как дополнительные неизвестные.
Их можно исключить после записи этих пяти уравнений в разно-
стях и получить три независимых соотношения.
Окончательно будем рассматривать уравнение (2.73) вдоль че-
тырех бихарактеристик, соответствующих 6 = 0, эт/2, л, Зл/2, урав-
нение (2.74) и уравнения (1.35) — (1.37), которые перепишем
в виде
dp0 = 0, dHo = 0, dp + р Ui dUi = 0.
(2.75)
Запишем в разностях (2.73) для 6 = 0, л/2, л, Зл/2 и (2.74) и
обозначим их соответственно I—V.
Для исключения производных dUi/dxj в точке 6 проделаем та-
кую процедуру: из уравнения I вычтем III, из II вычтем IV, а из
суммы I и II вычтем V. Тогда получим следующие три независи-
мых соотношения:
Ре — Р\ I / \ tliG — Uix pG — рз I / \
--------------Г (P C) 16 «16 —--------------+ ----------------г (P c)36 «16
*6--- *1 *6--- *1 *6'-- *3
^г‘6--^г‘4 ____
^6 — tl
(2.77)
Ь (p с)гб Pi6
^16 —________
^6-- ^3
(2.76)
рб — Pl
i 6 г 1
^6 •— ^1
PG~P2
h --t2
l^iG ^г'2
^6 — ^2
+ Г-(Pc4rM +(pc2tM (2.78)
L \ oxj ;i \ dxj /5
Опишем общий алгоритм решения. Координаты точки 5
(см. рис. 2.5) считаем фиксированными. Аппроксимируя (2.69),
имеем три соотношения для определения х2б, %зб, te
Xi6 — xi5 = ui5G (t6 — /5) (i = 1, 2, 3). (2.79)
Для определения координат x2h, Хзк точек 1—4 на плоскости
х = х0 и значений параметра Д (& = 1, 2, 3, 4) в них используют-
ся разностные уравнения, аппроксимирующие (2.72):
S3
Xj6 Xtfi — [^б + 1(^'СО8 0)^6«гб+ (С Sin 0) kG Ргб] X
X (/б—4) i(i = 1, 2, 3). (2.80)
После этого определяются значения параметров в точках 1—4 с
помощью полиномов второго порядка, полученных по значениям
величин в узле 5 и восьми близлежащих к нему узлах слоя
х = хо (см. рис. 2.5). Векторы аг- и 0г- лежат в плоскости, перпен-
дикулярной W. Численные эксперименты показали, что их следует
так ориентировать в этой плоскости, чтобы угол между их проек-
циями на плоскость х = х0 делился пополам проекцией вектора
градиента давления. Теперь из (2.75) — (2.78) можно определить
UiG, Pg, Pog, Яоб. В первом приближении в любом коэффициенте
giG = 0.5(g-z + go), I = 1, 2, . . . , 5, полагается gQ = gt.
Если точка 6 принадлежит твердой стенке, то уравнение (2.72)
при 0 = Зл/2 заменяется условием = 0, где — компонен-
ты внешней нормали к стенке. Три другие бихарактеристики ори-
ентируются так, чтобы две из них (0 = 0, л) находились в пло-
скости, касательной к стенке, а бихарактеристика с 0 = л/2
находилась внутри области потока. Если точка 6 принадлежит
плоскости симметрии, то параметры в симметричных точках на
плоскости х = Хо задаются исходя из условий симметрии, после
чего для определения величин во внутренней точке или на границе
используются изложенные выше алгоритмы.
Шаг Дх определяется из условий Куранта—Фридрихса—Леви
и не должен превышать величины
и2 “ с / IF2
cW L ~ IF \ и2
(2.81)
где — расстояние от точки 5 до ближайшего из узлов, исполь-
зуемых в разностной схеме. Расчеты показали, что этого, однако,
недостаточно. Для устойчивости еще нужно, чтобы в расчетных
формулах использовались не заданные значения параметров в точ-
ке 5, а интерполированные (как в точках 1—4) значения.
2. Разностные методы. На случай пространственного течения
совершенного газа в сопле легко распространяются методы, изло-
женные в п. 2 предыдущего параграфа.
Рассмотрим пространственный вариант разностного метода, из-
ложенного в п. 2 предыдущего параграфа. Вновь, используя ци-
линдрические координаты х, г, ф, запишем уравнения газовой ди-
намики в виде интегральных законов сохранения
JJ a drd ф =ф(с — а ) dr — (b — a gr) d ф +УУ f drd ф. (2.82)
s г s
Здесь gr, суть проекции на оси г, ф вектора g =dn/dx, перпен-
дикулярного оси х, где dn— проекция смещения на свою внеш-
нюю нормаль контура Г(х), ограничивающего площадь S.
94
Векторы-столбцы a, b, с, f имеют вид
Рассмотрим для определенности течение, обладающее двумя пло-
скостями симметрии, и построим сетку в области х^х0,
^.F(x, ф), 0^ф^л/2. Область течения при х = const обозначим
через D. Область D разбивается по ф на К вертикальных полос,
которым приписываются номера k = */2, . . . , К—!/2. Границам
полос приписываются номера k = 0, 1, . . . , К (k = 0 соответст-
вует ф = 0). Отрезок ф = ф/г разбивается на N равных частей.
Элементарные отрезки нумеруются от п = V2 до n = N—V2,
а их концевые точки от п = 0 до п = N. Точки двух соседних от-
резков ф = const, имеющие одинаковые номера /г, соединяются
прямолинейными отрезками. Полученным элементарным четырех-
угольникам (ячейкам) приписываются два индекса п—72, k—V2
(п = 1, . . . , N, k = 1, . . . , Д'). Средним по четырехугольнику
значениям параметров в плоскости х = х0 приписываются нижние
индексы (например, ) в плоскости х = х0 + т— такие
же верхние индексы. Вершины четырехугольников в плоскости
х = %о и х = Хо + т, имеющих одинаковые индексы, соединяются
прямолинейными отрезками. Так получаются элементарные объе-
мы сетки. Очевидно, что боковые грани элементарных объемов
в общем случае не будут плоскими. Поэтому при вычислении
«больших» величин — средних на каждой боковой грани значений
параметров — используется плоская грань, проходящая через реб-
ро ячейки при х = %о и середину ребра при х = х0 + т.
Приведем окончательную нумерацию вершин, ребер и граней
элементарного объема. Вершины нумеруются двумя целыми номе-
рами, например, п— 1, k— 1. Ребра ячеек нумеруются одним це-
лым и одним полуцелым номерами: п—У2, k—1—для верти-
кальных ребер, п— 1, k— V2 — для горизонтальных. Грани, лежа-
щие в плоскостях х = const, нумеруются двумя полуцелыми номе-
рами (п—72, k—V2), а боковые грани — одним целым и одним
полуцелым: например, п—V2, k для грани, разделяющей объемы
по ф, и и, k — !/2 для граней, разделяющих объемы по г.
95
Введем обозначения:
(Л,.) j = rnj — /11/21 5 = rni — r»~i- j,
(h9 ) ft_,/2 = <Pfe — Tfc-I, (hr) = <pfe — q?-1,
где j = k — 1, k, и определим средние высоты
(2.84)
n—
k-'/2
r
71—1/2, k—1
r
77—Ч2, k
r
(2.85)
и величины
i, k—’/2
i, k—1 г/i) ,
(2.86)
i, fe-’/2
(l'zk — Гг'к 1 + I'ik — fe-i)
(f = n — 1, n).
Проинтегрируем (2.83) по x от xo до x0 + т, взяв
ную ячейку. Получим
за S элементар-
(а Л,)
—|— f А А1 — В т -|- С Д2
п, к—'/2
Искомые величины определяются из (2.87) аналогично двумер-
ному случаю (§ 2, п. 2). Для определения «больших» величин,
входящих в (2.87), рассматривается задача о столкновении двух
96
потоков, линия встречи которых совпадает с соответствующей сто-
роной ячейки при х — х0. Вектор скорости каждого из потоков
можно разложить на компоненту, параллельную линии встречи
потоков, и компоненту, перпендикулярную ей. После этого задача
взаимодействия потоков сводится к рассмотренной в п. 2 § 2 пло-
ской задаче о взаимодействии потоков, так как составляющая ско-
рости, параллельная линии взаимодействия, не влияет на взаимо-
действие потоков.
Если верхняя грань совпадает со стенкой, то для определения
«больших» величин на ней решается задача обтекания так же, как
и в двумерном случае. Если граница является свободной поверх-
ностью, то вначале при. переходе к слою х = Хо + т определяются
N, k—*/2
«большие» величины на верхней грани и ординаты г сред-
них точек, а затем вычисляются ординаты вершин граничных
ячеек:
= O.Sfr^^+r^^) (k = 1, . . . , К— 1),
rN0 — rN, V2 rNK — rN, K-l
Если боковая грань лежит в плоскости симметрии, то «большие»
величины на ней находятся из решения задачи обтекания плоской
стенки, параллельной оси х.
Рассмотренная схема имеет на гладких решениях первый поря-
док точности. Для устойчивости необходимо выбирать шаг т таким
образом, чтобы в каждом элементарном объеме волны, возникаю-
щие на его ребрах в плоскости х = х0, достигали его правой
грани.
§ 4
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ СОПЛА
В гл. I § 1 была дана постановка обратной задачи теории соп-
ла. Для уравнений газовой динамики (1.96) — (1.104) в общем
случае пространственного течения в переменных s, ф, 0 она заклю-
чается в следующем. На плоскости ф = ф0 задается функция
г = го (s, 0) и компонента скорости и = и0 (s, 0) (или давление,
или плотность). На плоскости s = s0 задается компоненты ско-
рости W — Wo (0, ф) , функция ф = фо (в, ф) , плотность р =
— Ро (6, ф) и «г = Ого (0, ф). Требуется определить семейство по-
верхностей тока и параметры течения в окрестности начальной
поверхности тока.
7 т—625
97
Опишем разностный метод, оказавшийся весьма эффективным
для решения сформулированной задачи для системы (1.96) —
(1.104) [111]. Введем сетку с узлами
Si=So + *As, ф;- = фо + /Аф, Qk—k^Q, >
Л
I = 0, 1, . . . , /; - j = 0, 1, . . . , /; - k = 0, 1;. . . ,
обозначим fijh = f ipj, 0fe). Величины шагов As, Д0 в общем
случае не постоянны и зависят от i и k соответственно. Пусть в
узлах слоя ф; = const известны все параметры течения, а именно
значения u, v, w, р, р, Т, аг-, г, ф, а также дф/дф. Вычисление па-
раметров на слое фл-i = const производится итерационным мето-
дом следующим образом.
Очередная итерация с номером I начинается с вычисления ве-
личин . ,г.(0.11 к , , из уравнений
г г, j+1, k ’ г, j+1, h ’ г, j+1, h J1
• * r • ” f , t
J * ~
» = к» + » ] •
,-{r;?+ vf(W +Ш * 1Г** <2-88)
4. J
г, j+1, k dsji, J+l, k \Hi Ji, j-H, k
аппроксимирующих уравнения (1.96), (1.97), (1.100). Здесь через
fi, f2 обозначены правые части уравнений (1.96), (1.97). В первой
итерации (Z = 1) значения величин с верхним индексом I = 0 бе-
рутся с нижнего /-го слоя. Вычисленные значения р/г)-+1 & ,
k » k используются далее при численном интегриро-
вании уравнений (1.98), (1.99), (1.101) — (1.104) в направлении s
для нахождения остальных искомых величин и, w, ф, р, Т, ап (п =
= 1, 2, . . . , А) на слое / + 1 в /-й итерации.
Пусть для некоторого i известны fOj+1 k (k = 1, . . . , /<),
где f — любая из перечисленных величин. Определим fe
Этот процесс также итерационный. Обозначим' через т номер ите-
рации этого внутреннего итерационного цикла. Аппроксимируя
(1.98), (1.101) аналогично (2.88), имеем
(wr) !'• “У, = (wryi'!~ , 4- — Г(М(О
k 7 г + 1, J+LJ1 v 7 г, j+1, k ‘ j+1, k
(ГЛ (I, m-1)
j+i, k
, : - (2.89)
— -i. • • J w
,TO> < t-=m «>. 4- A®. IffA (I). - - m-1) -
Тг+1, j+l, k чг, j + l, h К J+l, k k J> «
где./3, fa—.правые части уравнений (1.98); (1.101), и >’ k =
— h • Для определёния составляющей скорости и восполь-
зуемся'уравнением (1.99) , имеем:
V ' i+l, j+1, k j+1, k ) i+it J+1, h / i+1, j+1, k
' Т“Г ‘
---Г (0-n (Z) a. m-l) IfnU) __________ n(0 )
Y L 4 > i, j+1, k ~ VP > i+lt j+I> ьЦ Рг+l, 3+1, k
(2.90)
Уравнения (1.103) представляют собой систему релаксационных
уравнений и решаются совместно с (1.102) с использованием неяв-
ной разностной схемы, описанной в § 1 данной главы. В результа-
те вычисляются T^™l+lh и (an)<^”*>+1 h (п = 1, . . . , N),
а затем из (1.104) определяется h- Итерационный цикл по
т заканчивается прп-достижении - необходимой точности, после
чего аналогично определяются величины и, v, w, р, р, Т, ап в уз-
лах (i + 2, j + 1, k), k = 0, 1, . . . , К, ит. д. Итерация I закан-
чивается, когда эти величины будут определены во всех узлах
(/+1) -го слоя. После этого, если не достигнута требуемая точ-
ность в значениях параметров на слое J + 1, проводится (/+ 1)‘я
итерация.
; Центральным моментом разностной схемы является метод рас-
чета производных dv/ds, dr/ds, дг/дВ й др/дВ, входящих в пра-
вые части уравнений (2.88), (2.89). Обратимся к разностной запи-
си производных dv/ds и dr/ds. На рис. 2.6 представлена типичная
зависимость v на контуре сопла от его
длины в дозвуковой части сопла. В об-
ласти I, соответствующей дозвуковому
течению с малыми скоростями, измене-
ние функции v невелико и ее производ.-
ные малы. Напротив, области II и IV
являются областями «больших градиен-
тов функции v. В области III, в окрест-
ности максимума, изменение v вновь
незначительно. Естественно, в .связи с
этим, при замене производной разност-
ным отношением в области I шаги
разностной сетки в направлении оси
выбирать большими, так как“ из-за не-
больших градиентов в этой области
Рис. 2.6. Зависимость со-
ставляющей скорости v от х
ошибки аппроксимации будут невелики; ошибки округления из-за
больших шагов разностной сетки будут также невелики. С другой
стороны, в области II и IV шаг разностной сетки должен быть
достаточно мал, чтобы ошибки аппроксимации были невелики; при
этом ошибки округления -в этой области также невелики из-за
больших значений производных. В области максимума, так же как
и в области I, шаг разностной сетки должен быть выбран доста-
точно большим по аналогичным соображениям.
Таким образом, при расчете течения в эллиптической области
целесообразно использовать разностную сетку с переменным ша-
гом. Использование больших шагов разностной сетки в областях
с малыми градиентами приводит к тому, что рост ошибок округ-
ления при численном решении задачи Коши для эллиптических
уравнений оказывается практически незаметным и не сказывается
на устойчивости счета.
Для вычисления производных dv/ds и dr/ds можно пользовать-
ся различными разностными схемами. Специальные расчеты пока-
зали, что для вычисления производных наиболее устойчивой явля-
ется трехточечная схема
2s— (Si+1 + Si)
(Si — 1 Si) (Si —i Si4-1)
2s — (Si+1 + Si-j)
2s— (Si + Si—i)
($г + 1 Si — i) (Si + i Si)
(2.91)
При вычислении производных в крайних точках слоя s полагается
равным Si-i или Si+i для левого и правого конца соответственно.
В остальных точках слоя s — Si. Производные dp/dQ и dr/d 6 вы-
числяются аналогичным образом. Однако при этом, по-видимому,
целесообразно использовать трехточечную схему с постоянным
шагом Д0 на плоскости s = const, который тем не менее может
изменяться от одной плоскости к другой. Трехточечная разностная
схема при вычислении производных в сочетании с неравномерной
сеткой является своеобразным регуляризирующим оператором
[146], который позволяет успешно решать некорректную задачу
Коши. Производная dcp/dip, входящая в правую часть первых
двух уравнений (2.88), аппроксимируется выражением (фг, л-i, а.—
— ,(РЪ7г)/А'ф- Изложенная разностная схема имеет второй порядок
точности по Дгр, а при постоянных шагах Д0, As — второй порядок
точности по Д0, AS. Второй порядок точности обеспечивается ите-
рациями по I и т.
Особенно просто производится расчет в плоском и осесиммет-
ричном случаях при w = 0 и <р = 0 с постоянным показателем
адиабаты. В этих случаях система уравнений имеет вид (1.107) —
(1.110). Выпишем разностные уравнения, заменив s на х\
^’j+1 = [ НГ+ <1/р w> h+1 ] V/<I+V) (2-92)
100
V Г / 1 dv \ । ( 1 dv \ (Z—1) "I
P<’j+1 ) Дф, (2.93)
, z L\ • OX /ij \ ' ox ' i, j+1
dr/дх / y+ 1 _ 2 p(V-i)/V \1/2 j Ш
. У 1 + (дг/дх)2 \у—1 V—1 / ~i, J+1’
(2.94)
o(0 — (nl/V)(0
Pi, j+1 W 1 f i, j+1
—-— p(v-i)/v — u2 Г
Y—1 / Л*, j+1
(2.95)
В первом приближении по (2.92), (2.93) определяются rP\+1,
(* = О, L . . . , /); при этом полагается = ft, э- За-
тем по найденным значениям г вычисляются (дг/дх)W по (2.91)
и определяются > и\х j+i • Аналогично вычисляются
параметры при следующих итерациях.
Важной особенностью предлагаемой схемы является то, что на
шаг Дгр практически не накладывается никаких ограничений, свя-
занных с устойчивостью, а величина его определяется лишь допу-
стимой ошибкой аппроксимации, на шаг As ограничения наклады-
ваются лишь в эллиптической области. Кроме того, в связи с оче-
видной простотой вычислительного алгоритма, особенно в плоском
и осесимметричном случаях, затраты машинного времени чрезвы-
чайно малы. Так, при сетке 100X100 в осесимметричном случае
расчет всего поля течения занимает от 2 до 5 мин на ЭВМ типа
БЭСМ-4 при высокой точности результатов.
Если поверхность начальных данных гр = гро совпадает с осью
симметрии, описанный выше метод не может быть использован для
отхода от оси из-за наличия особенности в уравнениях (1.96) —
(1.104). Для определения искомых величин на некоторой близкой
к оси симметрии поверхности гр = const можно воспользоваться
разложениями решения по функции тока гр. Этот вопрос будет под-
робно обсуждаться в § 2 гл. III. От поверхности тока, полученной
таким образом, можно вести расчет разностным методом.
При решении обратной задачи в случае течений газа в слож-
ных каналах, когда линии тока являются многозначными функ-
циями декартовых координат, удобно использовать уравнения
(1.117) — (1.120) в переменных гр, о, ср. Система (1.117) — (1.120)
записана с учетом наличия вращения потока. Эта система может
быть решена изложенным выше методом [99—101]. При этом пос-
ледовательность вычисления параметров может быть определена
таким образом, что расчет можно начинать непосредственно от оси
симметрии.
Метод, близкий к рассмотренному в данном параграфе, был
применен к решению обратной задачи в [188]. Обратная задача
может быть решена и методом интегральных соотношений [5].
101

§5 ' , ,
- — - -— i-------- — - — т J-Г
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ
ТЕОРИИ СОПЛА
I I ► ' I .Л - ~
ч . . :
В большинстве работ, посвященных численному решению пря-
мой задачи, используется метод установления. Идея метода уста-
новления (или стабилизации) состоит в том, что для решения ста-
ционарной задачи используются нестационарные уравненйя газо-
вой динамики. Для нестационарных уравнений решается краевая
задача с граничными условиями, соответствующими граничным
условиям стационарной задачи и не зависящими от дополнитель-
ной временной координаты. Искомое стационарное решение полу-
чается как предел, к которому стремится нестационарный процесс
с.ростом t. Такой прием, повышающий на единицу размерность
уравнений, тем не менее во многих случаях оправдан. К таким за-
дачам относятся, например, задачи о течении газа в соплах и
струях, задачи обтекания тел газом, когда движение газа описы-
вается уравнениями смешанного эллиптико-гиперболического типа.
Введением временной координаты задача сводится к решению ги-
перболических уравнений.
Применительно к расчету течения газа в сопле с заданным кон-
туром метод установления разрабатывался многими авторами
(например, [52, 58, 73, 88]). Изложим кратко некоторые из них.
Будем рассматривать движение совершенного газа в сопле с за-
данным контуром,, уравнение которого y = F(x), где х, у — ци-
линдрические координаты и ось х совпадает с осью симметрии.
Уравнение контура центрального тела имеет вид у = G(x) (в слу-
чае сопла Лаваля G(x) = 0). Будем считать, что достаточно дале-
ко от минимального сечения в дозвуковой части сопло имеет ци-
линдрическую форму. При х-+----оо имеет место равномерный по-
ступательный поток, параметры которого определяются в процессе
расчета. Численное решение будем отыскивать в области хо х
Xk, где х = Xq — сечение цилиндрического участка сопла,
а х = хь, — сечение вниз по потоку от минимального сечения, ле-
жащее в области сверхзвукового течения. На границах y = F(x),
у = G(x) ставятся обычные условия непротекания. При х = х0
поток считается равномерным или ставится эквивалентное (в слу-
чае постоянства энтропии и энтальпии торможения) условие
ди/дх = 0 [58]. При х = Хь граничных условий ставить не нужно
.(см. гл. I § 1 п. 3).
Метод работы [58] основан на известной задаче о распаде
произвольного разрыва [31]. Этот метод очень близок к своему
стационарному аналогу, изложенному в § 3 гл. II. Разностная сет-
ка строится совершенно аналогично. По х область разбивается на
N слоев с номерами п — V2 (п = 1, 2, . . . , N); в окрестности
минимального сечения разбиение делается более густым. Границы
102
слоев имеют номер п (п = 0,1, . . . , N). Они разбиваются на
/С частей, имеющих номера k—V2 (k = 1, 2, . . . , 7Q; точкам
разбиения приписывается номер k-(k = 0, 1, . . . , К). Узлы со-
седних вертикальных границ, имеющие одинаковые номера, соеди-
няются отрезками. Полученным, элементарным ячейкам ставится
в соответствие два числа п— V2, k— V2. Осредненные по ячейке
параметры снабжаются нижними индексами (п— V2, k — !/2) на
известном слое t = t0 и верхними — на слое t = /0 +т, где реше-
ние должно быть определено (т — временной шаг). Осредненным
параметрам на боковых гранях элементарных объемов («большим»
величинам) приписываются один целый и один полуцелый индекс.
Запишем систему уравнений нестационарного движения газа
в дивергентном виде
Проинтегрировав ее по элементарным объемам, получим соот-
ношения, выражающие искомые величины с верхними индексами
через величины на слое t = t0 и «большие» величины. Из-за гро-
моздкости этих соотношений приведем для примера лишь формулу
для вычисления р/г-1/2’71-1/2, полученную из первого уравнения
(2.96):
—У2’ —'/2 - Л 1/ 1/ ~
Р - Рп —’/о, >
1 -
------------------------Г (RUtf) -А"--.1-
V л V » / n_lt ft_i/2 h
Vn—'lz, /г—’/2 &п—’/г п
- (RUyv)nА" —+ (RUyv) n_w
fln-'/2 ’ ' • n n-’/2
103
(R Uy') n—y2> k
Уп—1,Ь. Уп, k
-f- 71—1/2> k—1
П—Ч2
(RVy-)
п-Чг,к ’
(2.97)
где A = (F — G)//C, hn_^ =lxn-xn-i.
Для определения «больших» величин рассматривается распад
произвольного разрыва на каждой границе элементарной ячейки
на слое t = /0. Начальными значениями параметров по обе сторо-
ны разрыва являются значения параметров в двух ячейках, при-
мыкающих к данной границе. Для расчета «больших» величин на
гранях, лежащих на границе y = F(x), вводятся вспомогательные
ячейки, симметричные относительно этой границы. В этих ячейках
параметры выбираются так, чтобы в результате распада разрыва
на боковой грани была получена скорость, удовлетворяющая усло-
вию непротекания.
Схема имеет первый порядок точности. Шаг т выбирается та-
ким, чтобы для всех элементарных ячеек волны, образующиеся
при распаде произвольного разрыва при t = tQ, не успевали за
время т достичь противоположных граней ячеек. Расчет ведется от
слоя к слою по t до тех пор, пока в пределах заданной точности
не установится стационарный режим. Начальные распределения
параметров можно получить, например, из одномерной теории.
В работе [73] при решении прямой задачи для сопла Лаваля
используются неявные разностные схемы. Исходная система урав-
нений имеет вид
JL+XJ?X + .B^.+ F = 0, р = (2.98)
dt дх ду
где
(р \ / и ура2 0 \ / v 0 ура2\
и ), А — I 1/тР и О I , В = I 0 v 0 I,
v / \ 0 0 и / \1/ур 0 v J
vy v р а2/у '
О
о
и искомые величины отнесены к своим критическим
Сделаем преобразование координат
значениям.
t = t, l = y!-F (х), т) = п (х, у),
причем <9 — г| (х, у) выбирается так, чтобы сетка сгущалась в об-
104
ласти минимального сечения. Полученная система приводится
к характеристическому виду домножением слева на матрицу
Имеем
1 ур a sin ф ур a -cos ф
1 —ур a sin ф —ур a cos ф
О cos ф —sin ф
(2.99)
dX
dt
dX
дХ
д ч
(2.100)
Уравнения этой системы являются условиями совместности для ха-
рактеристических поверхностей, проходящих через линию /=const,
g = const. В (2.99), (2.100) через sin ф = gx (l2x + l2y)~'/2, cos ф =
— %>y (£2x + ¥y)~'/2 обозначены пространственные составляющие
нормалей к характеристическим поверхностям. Матрица Л — диа-
гональная; элементы ее Хи = и -j- v + a (g2x 4- g2^) \ Х22 =
= и lx + v ly — a (g2x + l2y) V2, X33 = gx + v ly суть временные со-
ставляющие характеристических нормалей.
Для аппроксимации первых двух уравнений используется неяв-
ная разностная схема работы [8]. Эта схема не может быть ис-
пользована для аппроксимации третьего уравнения системы
(2.100). Это связано с тем, что данная схема, в которой использу-
ется четырехточечная неявная аппроксимация левой части (2.100),
становится неустойчивой, если какой-либо из элементов Хп меняет
знак, и слабо устойчивой при малых по абсолютной величине Хи.
Между тем в силу граничных условий, имеющих вид
и Zx + v 1У = 0 при
g = 0 in g=U,
(2.101)
элемент Хзз мал в окрестности границ. В связи с этим для аппрок-
симации левой части третьего уравнения системы (2.100) исполь-
зуется шеститочечная неявная схема.
Введем в области t 0, 0 g 1, т)о т] т]ь сетку с узла-
ми /п, gm, тр. Обозначим >tn = h-1 + Т, gm = gm-1 + ^1, Щ =
= T)z-i + /z2, n = 1, 2, . . . N,m = 0, 1, . . . , Af, I = 1, 2, . . . , L,
f (tn, t]z) Имеем для первых двух уравнений (2.100)
df \"+'/2 _ Х|
dg )т+'^1 т
dt
п
m+’A, l+i
( F п +1 ___f п
\ I 77?+1, I I 771 + 1, I
4- Гп + 1
* ' 771, I
/ m+1, I
(2.102)

— fn 1 —
' т, I)
105
/= 1, 2, . . . , L.
Для третьего уравнения системы (2.100) имеем
/ df уг+'/2--J___________________________________9fn _1_ fn А
\ dt 'ml т < ml ' \/ m, 74-1 ‘ ml ~ ' m, I—1 ' ’
/_^-У!+'/!=2£!_Га (f?1+1 _ fn+i ) 4. R (fn _fn )1
\ /ml ' m+l 1 I m—1, I ' ' । " m+1,1 • m—1, I ' J ’
(2.103)
+ _X2_ r (S n + \ _fn + l \ I В (fn — fn \]
\ (9 T] J ml 2т ' m’ 1 ~ m’ m’ 1 *
(m = 0, 1, . . . , M — 1; 1= 1, . . . , L).
В (2.102), (2.103) Gi > 0, а > (3, cc —|—p = 1, Ki = x/h{. После
подстановки (2.102), (2.103) в (2.100) получим систему разност-
ных уравнений, которую можно записать в виде (очевидные ин-
дексы опускаются)
— dm
(m = 1, . . . , М— 1). (2.104)
Коэффициенты этой системы зависят от значений функций па
слоях п и и1, поэтому в процессе решения используется метод
итераций. Для первой итерации при вычислении коэффициентов
значения всех параметров полагаются равными их значениям на
предыдущем временном слое. Полученный вектор Xn+1 использует-
ся для следующей итерации.
Уравнения для .каждого фиксированного /, не вошедшие в
(2.104), образуют вместе с (2.101) граничные условия для (2.104):
goXo + £1X4
= d0,
^M-iXm-1 -|~ gM^M = d^f.
(2.105)
Система (2.104) с граничными условиями (2.105) решается мето-
дом прогонки. Прогонка будет устойчивой, если Хи > 0, Х22 < 0
106
для всех значений £ и т]. Эти неравенства выполняются, если поток
вдоль координаты г] дозвуковой, чего всегда можно добиться выбо-
ром преобразования g (х, у). -
В заключение отметим, что. для решения прямой задачи в [5]
был применен метод интегральных соотношений. Для решения пря-
мой задачи может быть также приспособлен алгоритм решения
обратной задачи, изложенный в предыдущем параграфе. В основе
этого метода решения прямой задачи лежит предположение о том,
что действительные распределения скорости на оси симметрии для
двух близких контуров сопел различаются между собой пропор-
ционально различию соответствующих распределений скорости
в одномерном приближении. Тогда распределение скорости на оси,
соответствующее искомому контуру, находится по распределению
скорости для какого-либо известного контура и известным распре-
делениям в одномерном приближении. Расчеты показывают, что
сходимость решения к искомому осуществляется после нескольких
приближений решения обратной задачи [116].
Г л а в a III
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ТЕОРИИ СОПЛА
§ 1
МЕТОД ИСТОЧНИКОВ и стоков.
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ СОПЛА
ДЛЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Метод источников и стоков широко используется в газовой дина-
мике при решении различных линейных задач. Наложение полей
течений, соответствующих источникам и стокам различной интен-
сивности, позволяет получать картину течения при обтекании тел
и при течении в каналах различных форм. В теории сопла метод
источников и стоков может быть применен только в случае течения
несжимаемой жидкости, когда в силу линейности уравнения для
потенциала и функции тока может быть использован принцип
суперпозиции. Подбором системы источников и стоков и их интен-
сивностей можно построить течение в канале заданной формы.
Однако такая задача весьма сложна. Значительно проще обратная
задача, которая позволяет по заданной системе источников и сто-
ков определить формы поверхностей, которые могут быть приняты
за стенки сопла. Рассмотрим применение этого метода для пло-
ского, осесимметричного и пространственного течений.
1. Плоское течение. Поместим на оси г декартовой системы
координат 2/V + 1 дублетов: один дублет с моментом 7И0 — в цент-
ре и 2N дублетов с моментами Mi, М2, . . . , MN, направленными
в отрицательную сторону оси х, симметрично относительно центра
на расстояниях а2, . . . , aN от него (рис. 3.1). При наложении
поступательного однородного потока со скоростью Uoo, параллель-
ной оси х, на течение, создаваемое этой симметричной системой
дублетов, возникнет течение, симметричное относительно осп х.
Линии тока этого течения, например, АВ и А'В' могут быть вы-
браны в качестве стенок сопла. Очевидно, что если интенсивность
центрального дублета Л40 положить равной нулю, то контуры АВ и
А'В' образуют обычное сопло, а если Л10 =И= 0,— сопло с внутрен-
ним центральным телом. Криволинейные каналы получаются, если
в качестве стенок выбирать несимметричные относительно оси ли-
нии тока.
Нетрудно показать, что потенциал ф и функция тока ф рассмат-
риваемого течения равны
108
(3.1)
(3.2)
Решение для бесконечного множества равноотстоящих дублетов
с одинаковыми моментами приведено в [80].
Рис. 3.1. Построение контура сопла методом источников и
стоков
2. Осесимметричное течение. По аналогии с плоским случаем
расположим в начале цилиндрической системы координат х, г дуб-
лет с моментом ТИо, а на JV концентрических окружностях с цент-
рами в начале координат и с радиусами аг (f =. 1, 2, . . . , N)
поместим равномерно распределенные дублеты с моментами Mi.
Тогда после наложения поступательного однородного потока на
течение, создаваемое этой системой дублетов, получим следующие
составляющие скорости и функцию тока возникающего течения
а — ^оо
109
где гц — [х2+ (г — Oi)2]72, r2i = [х2 + (г + a,)2]72, ki = 2-]/raJr2i,
л/2
(1—/г2 sin2 ф)_,/2 d ф, Е{ =•
о
1/Z
J (1—^2 sin2 ср)1/2 d ср —
— полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода. Формулы
(3.3) — (3.5) полностью определяют течение. Так же, как и в пло-
ском случае, при Л1о = 0 имеем обычное сопло, а при Мо У= 0 —
сопло с внутренним центральным телом.
3. Пространственное течение. Поместим равномерно распреде-
ленные дублеты с моментами М на плоскости х = 0, имеющей
круговые отверстия радиуса Rij с центрами, расположенными на
концентрических окружностях радиуса При наложении посту-
пательного однородного потока, направленного перпендикулярно
плоскости, на поле, создаваемое этой системой дублетов, получим
течение в пространственной системе, аналогичной многосопельной
компоновке. В силу принципа суперпозиции решение задачи сво-
дится к суммированию потенциала, создаваемого дублетами 7И,
расположенными на плоскости без отверстий, и потенциалов, соз-
даваемых дублетами с моментами (—Л4), находящимися на кругах
радиуса/?^ с цилиндрическими координатами центра (0, сц, 0j).
Потенциал от круга в цилиндрических координатах (х, г, 0) имеет
вид
где
ri = [х2 + г2 + а2г — 2rcii cos (0 — 0j) ],/2,
- d = (1—xVri )Ч b = 2(r2 -(ri + R2{j
. k= [26/(1 +&)]'/% hi = 2d/(l — d), h2= —2d/(l +d),
3T/2
а П (h, k) — j (1 + h sin2<p)-1 (1—k2 sin2(p)~1/2 d cp— полный эл-
липтический интеграл 3-го рода. Составляющие скорости при из-
вестном потенциале ср определяются из соотношений
дф дф Эф
и=——, у w = —
дх dr dz
(3.6)
4. Решение обратной задачи теории сопла для несжимаемой
жидкости. Безвихревое стационарное движение несжимаемой жид-
кости описывается уравнениями
ди dv
dr дх
д2и . д2и . у ди ___ q (3 8)
дх2 дг2 г дг
При решении обратной задачи на оси симметрии (при г = 0) за-
даются граничные условия
v = 0, и == и0 (х) . (3.9)
В плоском случае (v = 0) уравнение (3.8) есть уравнение Лап-
ласа, решением которого является произвольная функция комп-
лексного аргумента F(x-\-ir). Из граничного условия (3.9) оче-
видно, что в действительной плоскости решение системы (3.7) „
(3.8) имеет вид
и = Re [и0 (%+ fr)], v =<Re [iu0 (x + fr)]. (3.10)
В осесимметричном случае заменой п = fr уравнение (3.8) сво-
дится к уравнению Дарбу и решение системы (3.7), (3.8) в дейст-
вительной плоскости имеет вид [86]
(3.11)
+л/2
v — Re----------— I и0 (х — ir sin t) sin t dt
L л J
—зт/2
Течение несжимаемой жидкости для осесимметричного случая
при распределении скорости ,е
* / \ I 1 - U оо
(3.12)
на оси рассмотрено в {108]. Нетрудно видеть, что для этого рас-
пределения точка с координатами х = 0, г = Л_,/2 является угло-
вой, поскольку скорость в ней обращается в бесконечность. При
произвольном распределении скорости на оси угловая точка воз-
никает в полюсах продолженной в комплексную плоскость началь-
ной функции. В случае сжимаемой жидкости столь просто устано-
вить координаты угловой точки не удается, хотя такая точка
всегда существует. Для получения распределения скорости (3.12)
методом источников и стоков необходимо в точке х = 0, г — А~'/2
поместить начало полуплоскости, состоящей из дублетов и ортого-
нальной оси.
§ 2_______________________________________
РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ПО ФУНКЦИИ ТОКА
В главе I показано, что при решении обратной задачи теории
сопла в случае изоэнтропического пространственного течения не-
реагирующего газа нужно задавать на начальной поверхности
ф = фо функции г = г0 (•$, 6) и и = uQ (s, 0), а на начальной пло-
скости s = so — функции w — Wo (0, ф) и ф=фо (0, ф). Решение
соответствующей задачи Коши можно получить в виде рядов. Спо-
собы представления решения в виде рядов могут быть различны-
ми: разложения в ряд по степеням декартовых координат [186,
194], по отрицательным степеням радиуса кривизны минимального
сечения [178, 192], по степеням функции тока [34]. Отличительной
особенностью перечисленных работ является то, что разложение
в ряд производится только в трансзвуковой области. В работах
[108, 109] решение отыскивается в виде ряда по степеням функ-
ции тока в окрестности начальной поверхности для до-, транс- и
сверхзвуковой областей течения. Решение работы [109], получен-
ное для пространственного течения, является наиболее общим.
1. Пространственный случай. Следуя [109], построим решение
для идеального газа с постоянным показателем адиабаты в окре-
стности начальной поверхности ф —Ов виде рядов по функции
тока. Воспользуемся для этого системой (1.96) — (1.106), которую
для идеального газа с постоянным показателем адиабаты перепи-
шем в виде:
---= — у ---------.
а ,h rv и (д <р/д 0)v
1
(а <р/а 0)v
др/д 0 д (р
дф/д0 д-ф
(3.13)
(3-14)
>
112
d(wr) .иг . 1 ± rR~1 cosv Ф
—----i-= +-----sin ф-------=------------
ds R и (d <p/d 0)
1
YP
(3.15)
(3.16)
^-=— (1 ± — cosv<p), (3.17)
ds ru R
p = pv (3.18)
ц /y+J---------2—£(?-!)/? _ V2 _ ^Y'2 , (3.19)
\Y — 1 Y — 1 /
/ л . \ / dv t u2 \ . r v 1 w2
где G (s, 0, ф) = и —cosv <p д 1 ± — cosv <p J — v— .
Представим искомые функции u, v, w, p, p, ср, г в виде
f (s, 1b 0) =f fn (s, 6) i|>” + У“ф S/'O (s, i|>) 1|A (3.20)
71=0 71=0
где f (s, ф, 0) —любая из перечисленных функций. Если ряды
(3.20) подставить в систему (3.13) — (3.19) и приравнять коэффи-
циенты при одинаковых степенях ф, то получим также систему
уравнений в частных производных, но уже с двумя независимыми
переменными s, 0 для определения функций fn (•$, 0) и f°n (•$, 0).
В случае, когда rQ (s, 0) #= 0, для определения функций
fo (s, 0) имеем систему уравнений (3.15) — (3.19), в которой те-
перь всем зависимым переменным должен быть приписан нижний
индекс ноль. Напомним, что при ф = 0 заданы функции ro(s, 0) и
u0(s, 0), а при s ='£о заданы функции ^о(ф, 0) и <ро(ф, 0). В силу
такого задания данных Коши на поверхности ф = 0 при s = s0
известны все искомые функции. Нетрудно видеть, что в правые
части уравнения (3.15) и (3.17) входят функции ср и w и их про-
изводные по 0, а также известные функции Uo(s, 0) и ro(s, 0) и их
производные по s и 0. Тогда, интегрируя от s = s0 с помощью ка-
кого-либо численного метода систему (3.15), (3.17), определяем на
поверхности ф =10 функции Wo(s, 0) и <po(s, 0), а затем из (3.16),
(3.19) II (3.18) — функции Vq, р0, ро-
В осесимметричном и плоском течениях при w = 0, jR = оо
задача существенно упрощается, поскольку отпадает необходи-
мость в численном интегрировании системы (3.15), (3.17), и функ-
ции Vo, ро, ро сразу определяются из (3.16), (3.19) и (3.18). Суще-
ственно также, что при и = u0(s), г = r0(s) и /?(•$) #= оо, даже
если в начальном сечении s = s0 функции w0 и <р0 равны нулю, то
при остальных значениях s они уже отличны от нуля, поскольку
при R =# оо система (3.15), (3.17) неоднородна. Это означает, что
8—625 ИЗ
искривление оси всегда приводит к возникновению окружной со-
ставляющей скорости.
Путем простых, но громоздких выкладок можно показать, что
система уравнений для определения функций /°0(s, 6) однородна
относительно этих функций, а задание в начальной плоскости
wo (s°’ и Фо (s°’ определяет в этой плоскости все остальные
функции fg (s0, 6). Очевидно, что при w90 (s0 ,6) = (pg (s0, 0)=О,
в силу однородности соответствующей системы, все функции
f о (s0, 0) = 0. Задание при s = s0 условия w° (s0, 0) =
— <Ро (s°> 6) — 0 физически оправдано, посколько трудно предста-
вить течения, имеющие бесконечные производные dw/dty, dcp/dty
в начальной плоскости в областях, удаленных от оси симметрии.
Рассмотрим метод определения функций fi (s, 0). Любая из ис-
комых функций может быть представлена в виде [109]
fl (S, 0) = CIO (S, 0) + Qi (s, 0) W1 + Ct2 (s, 0) (pi,
где a;(s, 0) —функции известных параметров /0(s, 0) и их произ-
водных по s и 0. Тогда соответствующая система линейных урав-
нений образует систему Коши при условии, что на начальной пло-
скости s = so заданы Wi(so,0) и (pi(s0, 0).
Рассмотрим теперь важный для практики случай, когда
r0(s, 0) = 0, a R = оо. Напомним, что R = R(s) — радиус кри-
визны кривой в плоскости х, у, с которой связана криволинейная
система координат s, г, ф. Случай R = оо соответствует прямоли-
нейной оси этой системы координат. Для определения
f°o(s, 0) и fi(s, 0) имеем следующую систему уравнений:
V0 = Updrg ,
ds
dw9. _ aJoo^°o r°o dpi Pl dr0
------- о---------------г —---------2— »
ds uorQ 2y d 0 у d 0
функций
Pi =___________V_______Г dv°0 (3 23)
*" ro (<? Фо/<Э 0) L ds “oro J’
Нетрудно показать, что в разложениях функций г, и, w присут-
ствуют лишь функции f о , а _ q. в разложениях функций р, р,
и, наоборот, присутствуют лишь функции fn и f ° = 0, поскольку
нормальная и окружная составляющие скорости в окрестности оси
являются нечетными функциями г, а давление, плотность п про-
дольная составляющая скорости — четными.
В пространственном случае построение решения системы
(3.21) — (3.23) оказывается весьма нетривиальным. Можно пока-
зать, что уравнение (3.22) с использованием уравнений (3.21) и
(3.23) приводится к виду
(3-24)
114
где gi(s, 6) —известные функции, которые могут быть вычислены
на плоскости s = const, если известны w® , cpQ и задана функция
Wo(s). Для нахождения производной dwQ° /ds на любой плоскости
s = const нужно решать краевую задачу для дифференциального
уравнения (3.24). При этом, в силу периодичности функции ш°о(0),
на плоскостях симметрии задаются краевые условия dw° Ids = 0.
В общем случае пространственного течения решение системы
(3.21) — (3.23) нелинейных уравнений в частных J производных
можно получить лишь путем численного интегрирования. Однако
иногда удается получить решение в замкнутом виде.
Построим методом малых' возмущений приближенное решение
этой системы. Представим функции ср0, rg , , wo ; рА в виде
Фо = 0 + ефо1 (s, 0) + е2Фо2 (s, 0) + . . . ,
Го = Г00 + еГ01 <S’ + е2^2 6) + ’ • • >
wo е) +e2ayo2(s, 6) + . . . , (3.25)
vo = voo +etoi <s’ e> + e2uo°2 (s- 6) + • • • >
Pl = Pio (s) 4-8/711 (s, 0) + 82P12 (s, 0) 4- . . . ,
где 8 — некоторый малый параметр. Такая запись искомых функ-
ций основана на физически оправданном предположении о малом
отличии параметров течения в начальной плоскости от параметров
осесимметричного течения, имеющего на оси то же распределение
скорости H0(s), что и в пространственном течении. Подставив соот-
ношения (3.25) в систему (3.21) — (3.23) и линеаризовав ее, мож-
но получить следующие уравнения:
voo ’ “0-^2-, Рю = —
W у
as
V ^00
/•0 /7с
г00 5
„ n d <Poi о n п о д фо1 о
С де =-2го°1 ’ и°0. и°г°° 4^=Wo1
(3.27)
Оо ^01
dfoi Чо rQ
----*— •------- '0(
д 0 ds
Аналогичным образом можно получить систему уравнений для оп-
ределения коэффициентов при 82.
Важным свойством системы уравнений в частных производных
(3.27) является линейность, что позволяет применить для решения
метод разделения переменных Фурье. В результате получим с точ-
ностью до членов порядка 82 следующее приближенное решение
системы (3.21) — (3.23):
115
fl—U Зо
+ф°-*(5°) 1 + .(s< ] cos k e,
r00 (S°) J r00 (S°)
r° (s 1 жЦ
ffio (S) 0) = g 00 wOlft (So) Sin6 0,
roo <S> ^0
где w °lfe (so) и (poifc(so) —коэффициенты Фурье в разложениях на-
чальных функций Wq (s0, 0) и фо(£о, 6) по sin/?0.
Из соотношения (3.28) следует, что изменение формы попереч-
ного сечения можно достичь, варьируя начальные данные при
s = So, т. е. величины (s0) и <poib(so). Если при s — s0 поло-
жить tpoife(so) = 0, то в этой плоскости поперечное сечение сопла
имеет форму круга, однако при увеличении s оно приобретет фор-
му, определяемую начальным значением w°lk (so). В то же время
dr%/ds |s=So является функцией 0, в отличие от осесимметричного
случая. Очевидно, что если при этом все w°lk (s0) = 0, кроме
^012 (5°)> то пРостРанственное течение будет обладать двумя пло-
скостями симметрии, а при (s0) #= 0 — одной плоскостью сим-
метрии. Для случая г.= 0 при /? #= оо можно построить аналогич-
ное решение, при этом в качестве 8 можно выбрать У?-1. Можно
показать, что в этом случае с точностью до величин 82 в попереч-
ных сечениях сопло сохраняет форму окружности, если в началь-
ном сечении оно имело форму окружности, однако ось сопла при
116
(3.29)
(3.30)
ряда.
(3.31)
этом будет ^криволинейной в соответствии с законом изменения
/? =) 7? (s).
Система уравнений, аналогичная системе (3.21)— (3.23), мо-
жет быть выписана и для определения остальных членов ряда
(3.20).
2. Плоский и осесимметричный случаи. Положим 7? = оо и
Го = 0. В этом случае данные Коши на оси симметрии (ф = 0)
имеют вид и = u0(s), г0 = 0 и, следовательно, v0 — 0. Для осе-
симметричного течения без закрутки потока (w = 0, ср — 0) систе-
ма (3.21) — (3.23) значительно упрощается и приобретает вид
ГО — (——— j /= , ро = Uo dro ,
и к ро«о / и ds
о
у dvo
Pi г0 ds
Нетрудно получить выражения и для следующих членов
Имеем
ГО =— 2_ ГО vo = ы/'о 4-Uorfri° ,
4 * р0 ' ds ds
2ro p2 = — (y^? + ro Pl)t
ds po Y Po
,lh =------1_Г2£1_ + (ao,)<
2«o LvPo J
В плоском случае все функции /о равны нулю; кроме того,
в силу симметрии, функции fn с нечетными номерами равны нулю,
если / = р, р, и, функции fn с четными номерами равны нулю,
если f = v, г. Имеем
П=-!—, W1='UO (3.32)
Ро «о ds
dry
ds
п _ У
р2 —---------—
2 ds
Uq
У dy3
4 ds
(3.34)
Поскольку функция и = u0(s) задана, а следовательно, известны
Ро и po = р'^ , то формулы (3.29) — (3.34) позволяют определить
искомые функции из конечных соотношений или путем дифферен-
цирования по s известных функций.
Полученные формулы можно использовать для расчета всего
поля течения, включая до-, транс- и сверхзвуковую области. Из
них как частные случаи следуют разложения, построенные в рабо-
тах [34, 186, 192, 194] для трансзвуковой области.
117
Действительно, если, следуя [186], представить скорость на осн
симметрии (в окрестности центра сопла) для течения Мейера
в виде
и0 (х) = 1 + Ах + Вх2 + Сх3 + Dx^ + . . . , (3.35)
(здесь s — х, поскольку R = оо), то нетрудно видеть, что
Т/2
(3.36)
П =.1 +^-(т+ 1) х2(Л + Вх)2.
2
Используя формулы (3.36), последовательным дифференцирова-
нием можно определить все искомые функции, входящие в форму-
лы (3.29) — (3.34), и получить, в соответствии с решением [186],
что в плоском случае
u0 + u2i|)2 = Uo+ — (v+ 1) Л2г2+ . . . , (3.37)
2
v = vi ф -|- v3 ф3 = (у + 1) А2хг + — (у + 1)2 А3г3 + • . • , •
6
и в осесимметричном случае
и = ио + ^1ф = Ц(Н—~ (у + I) А2г2 + • • • ,
_ (3.38)
v —-'Уф (у°о + Щф) = — (у + 1) А2хг + —(у + 1)2Л3г3 + . . . .
2 16
Из формул (3.37), (3.38) можно получить уравнения звуковой ли-
нии (М = 1), линии 6 = 0 (9 — угол наклона вектора скорости
к оси сопла) и характеристик первого (С°+) и второго (С°_) се-
мейств, выходящих из центра сопла (предельных характеристик).
Имеем:
v = 1
Х = — 7~(т + 1) Аг2,
8 (3.<
х = _L(? + 1) (1 -f- т/5) Аг2,
8
Х= -b(v+ 1) (1 — у“5) Аг2.
8
118
Из этих формул следует, что звуковая линия располагается вверх
по потоку от точки х = 0 па осп симметрии и смещена также
вверх по потоку от минимального сечения сопла на контуре.
В точке на оси симметрии, расположенной в той же плоскости, что
и минимальное сечение,
(рис. 3.2).
Отметим некоторые экст-
ремальные свойства харак-
теристики С°+ в плоском те-
чении [127]. Из анализа
отображения физической
плоскости на плоскость го-
дографа следует, что каж-
дая характеристика второго
семейства имеет точку пере-
гиба на характеристике С%.
Кроме того, характеристика
С°+ является геометриче-
скорость меньше скорости
звука
СКИМ местом точек, В КОТО- рис 32. Трансзвуковая область соп-
рЫХ достигаются экстре- ла Лаваля
мальные значения и и v
при перемещении вдоль характеристик другого семейства. Послед-
нее свойство связано с тем, что при отображении физической пло-
скости на плоскость годографа соответствующие характеристики
одного из семейств проходятся в прямом и обратном направле-
ниях.
Сравним решения, даваемые формулами (3.29) — (3.34), с ре-
шениями работ [178, 192], в которых разложения в ряд строятся
по отрицательным степеням радиуса кривизны R2 контура в мини-
мальном сечении (рис. 3.2). Выразим R2 через производные ско-
рости, используя соотношения одномерной теории. Дифференцируя
дважды уравнение неразрывности r1+v^(X)= const, где q(h) опре-
деляется формулой. (1.126), имеем в минимальном сечении
r dx2
~ d2<k d\nq (k)
dx2 d X
d К \2 d2 In q(k) ‘
d№
(3.40)
или
d2 К ding (X)
_ dx2 d К
£X\2 cf2ln^(X) 1-1
dx / d X2 I
Рассмотрим отдельно течение Мейера и течение Тейлора. В те-
чении Мейера при х = 0 скорость равна скорости звука и
d\nq (X) __Q d2 In q(k) _
d X — ’ d X2
119
а распределение скорости uQ(x) = Х(х) задается формулой (3.35).
Тогда из (3.37), (3.38), используя (3.40), получим, что в плоском
случае
Эти формулы получены в предположении, что плоскость х = 0
проходит через минимальное сечение, ордината которого г* = 1.
(При выводе формул (3.37), (3.38) принималось, что плоскость
х = 0 проходит через точку на оси симметрии, в которой скорость
равна скорости звука). Формулы (3.41), (3.42) точно соответст-
вуют решениям, полученным в работах [178, 192].
Рассмотрим течение Тейлора. В этом течении скорость на оси
симметрии всюду дозвуковая, однако в потоке возможно возник-
новение местных сверхзвуковых зон. Для расчета этого течения
также можно воспользоваться формулами (3.29) — (3.34). Распре-
деление скорости на оси в этом случае имеет вид
и0 = Хо + ах2, Ло < 1, а < 0,
(3.43)
поскольку в течении Тейлора du^/dx = 0, если сверхзвуковая зона
не касается оси симметрии. Тогда, имея в виду, что
го =. У 2 q-'^ (Хо) (1--------- ln g ах2
° \ 2 d Л Л=7.„
r _ n-i м \/i din? (А)
<i — q 1 (Ao) 1 ————
\ u Л
(3-44)
ax2 ),
можно получить формулы, аналогичные (3.37), (3.38). Не приводя
их здесь, выпишем с точностью до членов R~2 лишь формулы,
аналогичные (3.41), (3.42). В плоском и осесимметричном случаях
имеем
и = Хо - 1 Lv« RV + —W2fl2-‘ + • • -
2(1—А2о) \ y+1 1 2 2 2
(3.45)
v = ХГ R~l + ,
At
120
где
T?2 = -(l +v)
'd2 X d\nq (X) I—1
dx2 dh Jx=o
При численном решении обратной задачи разложения в ряд по
ф в окрестности оси симметрии используются для расчета близле-
жащей к оси линии тока, от которой начинается численное инте-
грирование, поскольку уравнения (1.96) содержат особенность па
оси симметрии. При этом, если в осесимметричном случае эта осо-
бенность может быть устранена путем преобразования уравнений,,
то в пространственном случае нельзя обойтись без использования
асимптотического разложения при определении решения на близ-
лежащей к оси линии тока.
До появления численных методов представленные выше соот-
ношения использовались для расчета течений в соплах. Доказа-
тельства сходимости рядов и определения радиуса сходимости их
не имеется. В связи с этим возможность их применения устанавли-
вается сравнением с численными решениями и экспериментальны-
ми данными, которое показывает, что разложения в ряд по ф при
учете 3—4 членов ряда пригодны для описания течения в транс-
звуковой области при /?2^0.5г*, а также в до- и сверхзвуковых
областях при небольших поперечных градиентах параметров.
Сравнения с численным решением обратной задачи теории сопла
представлены в следующем параграфе.
Рис. 3.3. Формы звуковой линии, линии 6 =
= 0 и предельных характеристик С°+, С°_;
1 — расчет по формулам (3.39) при у=1.4.
А = 0.24, v = 0; 2 — численное решение [64]
Формулы (3.37), (3.38), (3.41), (3.42) пригодны лишь для рас-
чета течений в пологих соплах с /?2>2г*. Однако они позволяют
получить качественное представление о структуре трансзвукового
потока в окрестности минимального сечения. Кроме того, в случае
плоского и осесимметричного течений формулы (3.39) с точностью
5—10% позволяют определить координаты всех характерных ли-
ний в трансзвуковой области даже при малых /?2, (^2^0.2г*),
хотя параметры течения при этом рассчитываются со значительной
ошибкой (рис. 3.3).
121
3. Двухфазные течения. При численном решении обратной за-
дачи теории сопла для двухфазного течения при задании началь-
ных данных на оси симметрии требуется построение асимптотиче-
ского разложения, поскольку уравнения системы (1.112) содержат
особенность па оси. На оси симметрии задается распределение
скорости, а на плоскости s = s0 задаются ws, vs, Ts, ps. Представляя
в окрестности оси симметрии функции и, us, р, ps, Т, Ts в виде
f = fo + Ь-v 4’1 2~V> fs =' fos + f (2-v)s
а функции v, vs и г в виде
f = f^12, fs = fOs^-v'2 .
и подставляя эти соотношения в систему (1.111), (1.112), получим
1 1 + v дг0
r'+v = ~’ °о = и° —»
Ро «о ds
п _____ T /' ди0 , pos г \
Р 2—v Л Г / Or 1
(2 —v) у ds pot/o /
dh0
ds
J_/'2^_V-^(Wsf+ <7)0
ds \ 2 ) p0u0
UOs—(lnpOs) = - (1 +V)^-^,
ds r0 ds
duos f dvos г deOs
^Os ----- /0x> Hqs ---- /On Hqs —---- QOj
ds ds ds
ho = h (p0, To), po ='po To, eos — es (Tos) •
Численно интегрируя эту систему от s = s0, последовательно опре-
деляем в каждой точке ро, h0, То, ро, uOs, eOs, TOs, v0, vOs, pos, r0 и
P 2—v •
§ 3
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОД1Л
В ТРАНСЗВУКОВОЙ ОБЛАСТИ
1. Метод малых возмущений. Этому методу посвящен ряд ра-
бот [38, 127, 151, 152, 175, 180]. В монографии [127] дано решение
уравнений, полученных методом малых возмущений для общего
случая пространственного нестационарного течения в трансзвуко-
122
вой области, а также сформулированы условия, приводящие к об-
разованию ударных волн. Отсылая интересующегося читателя
к этой монографии, изложим здесь лишь некоторые основные ре-
зультаты, полученные методом малых возмущений для плоского и
осесимметричного течений.
Предполагая, что скорость газа близка к скорости звука, а угол
между направлением скорости и осью х мал, имеем следующее
уравнение для потенциала возмущенного течения
9 ср д2 (р . д2 (р
дх дх2 дг2
у д ср ______g
г дг
(3.46)
Это уравнение принадлежит к числу простейших уравнений сме-
шанного типа: оно эллиптично в полуплоскости, соответствующей
дозвуковому течению, и гиперболично в полуплоскости, где течение
сверхзвуковое.
Характерной особенностью метода малых возмущений в транс-
звуковой области является то, что получающиеся уравнения явля-
ются нелинейными в физической плоскости. В связи с этим пред-
ставляет интерес исследование некоторых частных решений этих
уравнений, являющихся асимптотическими в окрестности центра
сопла. Существование таких решений обеспечивается инвариант-
ностью уравнений трансзвуковых течений по отношению к двух-
параметрической группе преобразований подобия. Частные реше-
ния уравнения (3.46) имеют вид
Ф=-!-Лх2+—(y +1) Л2хг2Н—(у + I)2Л3г4 (v=l), (3.48)
2 4 64
где по-прежнему А — производная скорости в центре сопла. Не-
трудно видеть, что составляющие возмущенной скорости
и = д у/дх, v = д ф/дг, определенные из этих соотношений, в точ-
ности соответствуют первым членам рядов, построенных Мейером
[см. (3.37), (3.38)]. Все выводы, сделанные в предыдущем пара-
графе при анализе этих формул, очевидно, следуют и из уравнений
метода малых возмущений.
2. Разложение в ряд в окрестности прямолинейной звуковой ли-
нии. Наиболее полное исследование течения в окрестности пря-
молинейной звуковой линии в плоском случае проведено в [104].
В этой работе показана возможность существования пяти различ-
ных типов течения, в том числе до- и сверхзвуковых течений, со-
держащих угловые точки. Осесимметричный случай рассмотрен
в [127]. В работах [104, 108, 127, 175] решение в окрестности
прямолинейной звуковой линии получено в виде рядов по х,
а в [70] — по характеристической координате.
123
Получим разложение решения в ряд по х в окрестности прямо-
линейной звуковой линии для одного из возможных типов течения,
представляющего наибольший практический интерес [108]. Урав-
нения, описывающие безвихревое течение идеального газа, возь-
мем в виде
ди dv
I -- ~ >
дг дх
В окрестности прямолинейной звуковой линии, на которой
и = 1, v = 0, естественно искать решение системы (3.49) в виде
и = 1 + Ui (г) х + и2 (г) х2 + из (г) х3 + . . . ,
(3.50)
V = Vi (г) X + V2 (г) X2 + V3 (г) X3 + . . . .
После подстановки рядов (3.50) в систему (3.49) и приравнивания
коэффициентов при нулевой и первой степенях х в левой и правой
частях этих уравнений, получим, что Ui = Vi = v2 = 0. Эти усло-
вия являются известными условиями Гёртлера [175], которые не-
обходимы и достаточны для того, чтобы звуковая линия была пря-
молинейной. Приравнивая коэффициенты при других степенях х,
получим
-^-=Зи3, 1- — 6 (у + 1) и\ = 0, (3.51)
dr dr2 г dr
-^=4vt, -^—20 (y + 1) u2u3 = 0, (3.52)
dr . dr2 r dr
~=5v5, — = 6 (y + 1) u2ut + 3 (y+ 1) u2 +
dr dr ' й
+ (у + 1) (2y - 1) «3 + 6v2 _ 2L U5. (3.53)
6 r
Пусть на оси симметрии со стороны дозвуковой части задано рас-
пределение скорости в виде (3.35) с А = 0. Тогда для систем
(3.51) — (3.53) граничные условия при г = du2/dr = 0, и2 = В < du3/dr = 0, из = С, dud dr = 0, щ = D. 0 будут иметь вид : о, (3.54)
124
Системы (3.51) — (3.53) в общем случае не интегрируются в замк-
нутом виде. Численное интегрирование их показало, что при неко-
тором значении г = г° функция и2(П обращается в нуль, затем,
меняя знак, становится положительной и
при некотором г=г0 обращается в беско-
нечность [108]. Перемена знака у функции
щ>(^) означает, что в точке r=rQ возникает \
еще одна звуковая линия, простирающаяся \
вверх по потоку в сторону дозвуковой об- М=г\
ласти (рис. 3.4). При этом течение между
прямолинейной и криволинейной звуковыми # хУ/ д
линиями сверхзвуковое. В окрестности точ- р°
ки r—rQ решение уравнения (3.51) имеет . 4:7£
вид м=1^
u2=d0 (г —Го)“2 + ^1 (г — Го)-1 + ^г +
+ d3 (г —го) + dt (г — г0)2 +
+ d6 (г — го)3 + de (г — го)4 In (г — го) +
+ с2 (г —г0)4+ . . .
(3.55)
Рис. 3.4. Схема тече-
ния в окрестности
прямолинейной звуко-
вой линии
Подставляя (3.55) в (3.51) и приравнивая коэффициенты при оди-
наковых степенях г — можно определить коэффициенты dt.
В частности,
do = (у + I)-1, di =
V Л
----do.
5го
(3.56)
Значения г0 и с2 определяются из условия стыковки асимптотиче-
ского решения (3.55) с решением, получающимся при численном
интегрировании уравнения (3.51). Решение вида
(3.57)
означает, что точка х=0, г=г0 является угловой и в этой точке
имеет место течение Прандтля—Мейера. В местной сверхзвуковой
зоне имеется волна сжатия, ограниченная некоторой характери-
стикой ОВ и характеристикой ОД, совпадающей со звуковой ли-
нией (см. рис. 3.4).
Если распределение скорости на оси (3.35) таково, что
А = В = 0, то и2(г) = у3(г) =0 и выражение для всех последую-
щих членов ряда можно получить в аналитическом виде. Имеем
и3— С = const, щ = 0,
(3.58)
125
u4 =
V5 =
значит
(3.59)
Отсюда следует, что и в этом случае в окрестности прямой звуко-
вой линии возникает вторая звуковая линия, которая при D = О
имеет общую точку с прямой звуковой линией на бесконечности,
в отличие от случая А = О, В 0, когда эта точка находится па
конечном расстоянии.
В заключение сравним решения, полученные с помощью асимп-
тотических методов, изложенных в § 1—3, с численным ре-
шением [111]. На рис. 3.5, 3.6 представлены численное решение
Рис. 3.5. Сравнение численного и асимптотического решений (х — —0.05)
(кривая 1) и асимптотические решения, полученные в результате
разложения решения в ряд по яр в окрестности оси симметрии
(кривая 2), в ряд по |х| в окрестности прямолинейной звуковой
линии (кривая 3), а также решение обратной задачи для несжи-
маемой жидкости (кривая 4). Это сопоставление дает некоторое
представление об области применимости приближенных решений.
Разложение решения в ряд по яр вблизи минимального сечения
правомерно лишь при небольших значениях г (рис. 3.5). С ростом
И результаты точного и приближенного решений практически
совпадают. Расчеты показывают, что при малых значениях | х |,
когда эффекты сжимаемости существенны, решение обратной за-
126
дачи для несжимаемой жидкости не может быть использовано
для описания течения сжимаемой жидкости. Когда скорости дви-
жения газа невелики (1^<0.3), параметры течения сжимаемой и
несжимаемой жидкостей практически не отличаются. Сравнение
точного решения с решением, полученным в результате разложе-
ния искомых функций в ряд по |х| в окрестности прямолинейной
звуковой линии, показывает, что при х = —0.05 соответствие меж-
ду точным и приближенным решением очень хорошее. При
—0.2 ряды расходятся.
§ 4
РЕШЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ БЕСКОНЕЧНО
УДАЛЕННОЙ ТОЧКИ
В ДОЗВУКОВОЙ ОБЛАСТИ
Построим для системы (1.107) — (1.110) асимптотическое ре-
шение в окрестности бесконечно удаленной точки для прямой и
обратной задач в плоском и осесимметричном случаях. Предста-
вим искомые функции и, р, р, г, v в виде
оо
ё = Z ёп (Я’) х~п-
71=0
(3.60)
Граничные условия имеют вид г — v = 0, и = + V цп х~п при
=== 0 — для обратной задачи и г = v = 0 при 4>== 0 /- = Гоо +
127
W N
+ У fnX~n, v/U —-------- У nfn X~<n+1) при 4> = “Ip/i — для прямой
n=l n=l
задачи. Здесь Фа — значение расхода на контуре сопла, который
должен задаваться в зависимости от режима течения и не должен
превышать критического значения, при котором течение в дозвуко-
вой части не зависит от противодавления. Подставляя ряды (3.60)
в (1.107) — (1.110) и приравнивая коэффициенты при одинаковых
степенях х, получим систему уравнений для определения функций
gn, которая разрешается в замкнутом виде. В частности, имеем
(ф) = Щ (ф) = 0, ро (ф) = const, pl (ф) = const, р2 (ф) = const,
(1 4~ у)Ф
Р оо U оо
l/(I+v)
1/(1+У)р,(Л12оо— I)
Р ОО оо
(3.61)
Для обратной задачи неизвестные константы рс> Pi и р2 определя-
ются из граничных условий по известным Uoo и Ui.
Имеем
Л(^оо) / ч у—1 п \v/(v—1)
РО -- Роо - , Л (i/оо) ------1 1 — U ) ,
Л(1) \ Y+1 °°/
/?1 = — урсо «ОО Ui, р2 =—^1—— VP°° (2UooU2 + «2 ), (3.62)
Y Poo 2
p = poo + Pl x~l + p2 x~2 + . . .
Из формул (3.61) и (3.62) следует, во-первых, что первые три
члена асимптотического разложения для функции р не зависят от
ф (зависимость от ф проявляется в следующих членах разложения,
которые можно получить аналогичным методом), а во-вторых, что
при уменьшении %, т. е. в направлении движения газа в окрест-
ности бесконечно удаленной точки, давление на всех линиях тока
может только уменьшаться (pi<0; р2<0, если pi = 0; и т. д.).
В прямой задаче константы р0 и pi определяются следующим
образом. При заданном ф/г из граничных условий и формул (3.61)
находим
Poo Uoo = q (Uoo) = (1 + v) фл r-U+v),
i/(v-D
Vfi
M2 —1
oo x
(3.63)
[ ( 1 + v) poo Uoo фг1 ]
FL
Из (3.63) следует, что в прямой задаче при заданном уравнении
контура сопла решение единственным образом определяется одним
128
параметром ф/г. Это остается справедливым и в том случае, если
учесть все последующие члены разложения.
Асимптотические разложения в окрестности бесконечно удален-
ной точки в дозвуковой части сопла для течения вязкого газа по-
строены в [119].
§ 5
МЕТОД МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ТЕЧЕНИЙ,
БЛИЗКИХ К РАДИАЛЬНЫМ
1. Общая теория. Радиальные течения или течения от источни-
ка (стока) рассматривались в § 2 гл. I. Наличие простой аналити-
ческой зависимости (1.149) между скоростью течения и радиаль-
ной координатой г существенно облегчает исследование течений,
близких к радиальному. Течения, близкие к течениям стока и
источника, имеют место в дозвуковой и сверхзвуковой областях
конических сопел. Отличие течения в таких соплах от строго ра-
диального связано с невозможностью реализации звуковой поверх-
ности в виде сферы (окружности), поскольку в этом случае звуко-
вая поверхность является предельной линией [94]. В сверхзвуко-
вой области сопла специальной профилировкой контура можно
реализовать, начиная с некоторой характеристики, точное ради-
альное течение. Однако наличие неизоэнтропических и пространст-
венных возмущений, связанных с процессами в камере сгорания и
деформациями контура, могут нарушить радиальность течения.
Исследование течений, близких к радиальным, естественно про-
водить методом малых возмущений, позволяющим получить ли-
нейные уравнения [55]. Пусть па радиальное течение наложены
малые возмущения и возникающее течение мало отличается от
исходного. Тогда любой параметр течения будем искать в виде
f— fo г f 1 fa “J- . . . , (3.64)
где fo — значение функции в радиальном течении, а 8 — параметр
малости. В основе метода малых возмущений лежит предположе-
ние, что функции и их производные суть величины одного и того
же порядка малости и квадратами их можно пренебречь. Решение
задачи удобно проводить в сферической (или полярной в плоском
случае) системе координат г, 0, ф с полюсом в центре источника
(рис. 3.7).
Запишем уравнения движения, неразрывности и сохранения
энтропии в следующем виде:
9-625
129
a2 dS dHo
Y (у — 1) d ф d ф
w
ll
r sin 0 L д ф
dO
du "
(3.65)
a2 dS dHo
(3.66)
r sin 0 L d ф
du d
dr
(/' w sin 6)
du
dr
a2 dS dH0
*
Y (Y — 1) dr dr
_L (r2 p u) + —---------— (p^sinS) +
r2 dr rsin0 dO
(3.67)
rsinO d ф
dS . v dS . w dS n
U-----p----------1------------— 0,
dr r d 0 r sin 0 d ф
(3.68)
(3.69)
Рис. 3.7. Сферическая система коор-
динат
Представим искомые функции в виде
где и, v, w—проекции векто-
ра скорости на оси сфериче-
ской системы координат г, 0,
ф, отнесенные к критической
скорости звука. Уравнения
движения (3.65) — (3.67) по-
лучены из уравнений Эйле-
ра с использованием инте-
грала Бернулли и уравне-
ния сохранения энтропии и
называются часто уравне-
ниями в форме Крокко [172].
PO + 8 pi,
V = Vo + 8 Vi,
w — Wo + 8 W1,
5 = So + e Si,
Ho=fioo + e Hqi.
(3.70)
w
v
r
U — Hq —|— 8 Z/i,
P = Po + epi,
Здесь величины с нижним индексом 0 относятся к параметрам ра-
диального течения, величины &fi— суть малые добавки, квадрата-
ми которых будем пренебрегать. В радиальном течении с>0 = =
= 0, а и0, ро, Ро — функции лишь координаты г, величины 50 и
Ноо постоянны во всем потоке.
130
Получим линеаризованные уравнения для добавок. Из (3.69)
следует, что
—— (eSi) = 0 или eSi = eSi (0, ф).
дг
(371)
Это соотношение означает, что энтропия сохраняется постоян-
ной вдоль линии тока радиального течения, т. е. вдоль лучей, вы-
ходящих из полюса. Задание энтропии на начальной линии
r=r#=const полностью определяет возмущения энтропии во всем
потоке.
Из уравнения (3.67) следует, что энтальпия также остается по-
стоянной вдоль линий тока пространственного источника 8 Я01 =
= еЯ01 (6, ф), и также полностью определяется заданием ее на
начальной линии г = rH = const.
Линеаризованные уравнения движения (3.65), (3.66) имеют вид
(в дальнейшем букву е и нижний индекс у возмущений будем
опускать)
sine— (rw) — — = —2-f--5---—---4г
дг дер и0 Ly(y—1) dtp ao дф_
д ,, _ ди __ gg Г 1 dS 1 д Но
дг д 6 и0 —1) дв ао д ср _
(3.72)
(3.73)
После линеаризации уравнения Бернулли и уравнения для энт-
ропии получим
р____1 1 р
Jo Y ' Ро )
(3.74)
Используя (3.74), приведем уравнение неразрывности (3.68)
к виду
X Г /5
-----I г ____\ги (и? — 1)1 —ГН-4-ГНН2
и —«ц ( дг 0 0
д
sm 0
4г «о Ио
Ноо(у— 1) («о —1) (х —«о ) ’
(3.75)
где х = (?+ !)/(? —О, а и0 — по-прежнему коэффициент ско-
рости.
Выпишем краевые условия задачи. Если уравнение контура
сопла представить в виде 0 = 0& + eF(r, ср), то граничное условие
непротекания на контуре можно записать в виде
v = ги^ при 0 = 0k. (3.76)
дг
На линии г = гн или и0 — ион задаются
u = fl(6) ф), v = f2(Q) ф), Яо = /з(0, Ф), 5 = Д(0, ф). (3.77)
131
В случае осесимметричных возмущений задается граничное усло-
вие v = 0 при 0 = 0.
Для решения системы (3.72), (3.73), (3.75) применим метод
Фурье разделения переменных. В силу периодичности решения
по <р представим искомые функции в виде
0) cosй<р ч-f2ft (г, 0) sinZ?ip], (3.78)
k = 0
где f — любая из функций, кроме w, для которой имеем
к
w = 2 (г> 9) sin k ср — w2h (Л 0) cos k ср].
h = 0
Подстановка рядов (3.78) в систему (3.72), (3.73), (3.75) дает
уравнения для определения /и (г, 0), f2/i(r, 0). Например, для опре-
деления функций Uik, Vik, Wik имеем следующую систему уравне-
ний:
sin 0----(гачл) + = - __2_ —- - -------о
dr u0 LY (Y —- 1) ao
d , x duXh________ 1_____OSjk (0) _ _L_ dHOik(Q)
dr [h d 0 u0 _y(y—1) d0 ao dQ
(3.79)
(3.80)
/ A
, r — [ruih («2 — 1 ) ] — ruih + rr/2 Ulh[----------------1
— 4) ( dr u \ z
sin 0) + krw^h
^ru% Hoik (Q)
(Y— 1) (% — ) (ио
-1)Я00‘
(3.81)
Аналогичная система может быть получена для и2к, v2kl
Дифференцируя уравнение (3.81) по г и используя (3.79), (3.80),
получим
X
X — Uq
dZx \ k2 Zi
d 0 ) sin2 0
1
sin 0
r al J d [" sin 0 dSih' x
uosin0 (d0 _y(y—1) d0 _ %ао
d ~ sin 0
d 0 _ Hqq
rk2 a о Sih _________ x .. H0[h
Uq sin2 0 Ly (Y —~ 1) о //oo.
dr_________4r tt03 Hoik
^L(Y“1) (wq (% — uo
(3.82)
где Zi = rulh.
132
Правая часть уравнения (3.82) известна, так как Sik(0),
/ЛшДО) известны во всем потоке. Поэтому рассмотрим решение
однородной системы, что соответствует потенциальным возмуще-
ниям (Sizt = HOik = 0). Найдя общее решение однородного урав-
нения, легко найти решение и неоднородного уравнения. Решение
однородного уравнения будем искать в виде
Z1 = 0(0)7?(r).
(3.83)
Подставив (3.83) в (3.82) и разделяя переменные, получим для
определения 0(0) уравнение Лежандра
1 d
sin 0 <7 0
а для определения /?(г) —уравнение Хейна
. n d 8
Sin 0 ----
d 0
sin2 0
(3.84)
№
d *
dr I
-1) R)-7?+ «2 R f —- 1)1) +
dr u \ % /JJ
+ n (n + 1) R = 0.
(3.85)
Одним из частных решений (3.84) являются присоединенные
функции Лежандра
(cos0) = (—l)ftsinfe0
dk Pn (cos 0)
d (cos 0)h
где Pn (cos 0) —функции Лежандра. Целым номерам п соответст-
вуют полиномы Лежандра.
Решениями уравнения (3.85) являются функции Zm(^) и
22?г(г), которые, так же как и присоединенные функции Лежанд-
ра, образуют полную систему [79]. Они могут быть получены
в результате численного интегрирования уравнения (3.85). Зная
частные решения уравнения (3.82), можно найти его общее реше-
ние. Окончательно для определения и имеем
U । { [^1/гп Zin (j") *4“ ^2kn ^2п (j ) ] COS k ф -f-
72=1 k=l
[blk?i Zin (F) “f” ^2kn Zzn (r) ] sin k ср)P W (cos 0). (3.86)
Используя уравнение (3.79), (3.80), получим
ГУ = У У { [&lkn Fin (f*) “F ^2kn F2п (г) ] COS k Ср
п = 1 h=\
dP^ fens Al
+ [bikn Pin (r) + b2hn Fin (r) ] sin k <p} —-----------, (3.87)
133
rw = — У, у {[(Ziftn Fin (г) 4- a2hn Fin (r) ] k sin k <p —
n = l fe=l
Fin
(0 "4“ &2k-n F2n
(/') ] k COS k Cp}
P^ (cos 6)
sin 0
(3.88)
9
Здесь aiknj bikn — константы, которые, так же как и номера k и /?,
определяются из начальных и граничных условий. Функции Zin,
%2п, Fln, F2n связаны соотношениями
у ___ dF \ п <7 __ dF%n
Z^lz? — 1 ~ , Л>2п - ‘ ~ •
dr dr
Таким образом, построено решение для случая потенциального
трехмерного течения, близкого к радиальному.
Рассмотрим подробнее случай осесимметричных возмущений.
Уравнения (3.86), (3.87) примут вид
1 00
И — У [Щц (г) 4” ^2?1 Z2n (0 ] F-п (9).
? 71 = 1
(3.89)
(г) 4- a2nF2n (/)]
d Рп (6)
где Pn(Q), dPn(G)/dG — функции Лежандра и их производные,
удовлетворяющие уравнению
d2Pn
4-ctge
ЛЬ- + п (п 4- 1) Р„ = 0.
dQ
(3.90)
Уравнение Хейна (3.85) перепишем, вводя переменную х = и?
в виде системы
4х~+
dx
4х
к— 1
1 — X X-1
Z,, 4- п (п 4- 1) Fn — о,
(3.91)
dF„
dx
——-------zn = 0.
4х (1 — х X"*1)
(3.92)
Для определения решений Zin, Х2П, Fin> F2п система
численно интегрируется при начальных условиях
(3.91), (3.92)
— Gi,
Fin (-^н) — о,
^2?г (-^н) 0, F2п (-^н)
(3.93)
т. е. определяются фундаментальные решения этой системы, с по-
мощью которых можно построить любое частное решение.
134
Для нахождения констант ain, ^2n, Ь1п, Ь2п служат граничные и
начальные условия для и и v. Для случая осесимметричных по ген*
циальных возмущений, заданных на начальной линии, и при отсут-
ствии возмущений в контуре (F = 0 в уравнении (3.76)) имеем
v — 0 при 0 = 0 и 0 = 0ft, (3.94)
и = fi (0), v = f2 (0) при х = хн. (3.95)
Для удовлетворения условий (3.94) номера п выбираются так,
чтобы выполнялись условия
dPn/dQ = 0 при 0 = 0, 0 = 0ft. (3.96)
Приближенно значения и, при которых выполняется (3.96), нахо-
дятся из соотношения
(т = 2, 3, . . . ),
(3.97)
поскольку для присоединенных функций Лежандра справедливы
при больших п следующие асимптотические разложения:
Рп (cos 0) = 1/___?___ f 1---— 'jsin ср-—ctg0 ctg ср ,
_______ (3.98)
P<h> (cos0) = (—n)kl/'____2___sin(<p +
п г я п sin 0 \ 2 /
если п k, где ср — (п + V2) 0 + ЛЛ-
Из (3.97) следует, что с уменьшением 0ft увеличивается номер
первой функции Лежандра, удовлетворяющей (3.96). Так, при
0ft = Л/12 П = 14, а При 0ft = л/18 = 22.
Пользуясь полнотой системы присоединенных функций Лежанд-
ра, удовлетворяющих (3.96), представим /1(0), /2(6) в виде
А (0) = 1 fin (0), ft (0) = J ft»^r« О-")
n=l и = 1
где
0А
J fi (6) Рп (6) sin 0 d е
= , (3.100)
\ P2(0)sin0dO
о
°?
j fl (0) (dPnld 0) sin 0 d 0
fzn ==: 0.
j (dPn!d 0)2 sin 0 d 0
0
135
Теперь можно определить константы в (3.89) п выписать оконча-
тельные формулы для вычисления и (г, 0), v (г, 0):
и (г, 0) = -L У [fln ZLn (г) +f2n Z2n (г) J Рп (0),
Г______________________
(3.101)
V (г,
0) -
dP„ (0)
rfO
Для решения задачи при наличии возмущений в контуре сопла
и при отсутствии возмущений на начальной линии должно быть
удовлетворено неоднородное граничное условие на стенке сопла и
однородное — на начальной линии. В этом случае приходится ре-
шать сложную задачу об отыскании собственных значений функ-
ций Хейна. Этого можно избежать, если принять, что на началь-
ной линии имеются- возмущения, вызванные возмущениями конту-
ра. Тогда граничное условие на контуре сопла может служить для
определения его формы.
Проанализируем свойства полученного решения. В работе [55]
построено приближенное решение системы (3.91), (3.92), основан-
ное на замене исходной системы некоторой эталонной, для которой
известны частные решения, и получены асимптотические разложе-
ния по отрицательным степеням п с использованием этих частных
решений. Оказалось, что такими частными решениями эталонной
системы для системы (3.91), (3.92) являются функции Бесселя,
имеющие в сверхзвуковой области колебательный характер с за-
тухающей амплитудой при увеличении uG. На рис. 3.8, 3.9 представ-
лены зависимости возмущенных составляющих скорости от
в сверхзвуковой области конических сопел с различными углами
б/i, выраженные через функции Zm, Z2n, Fln, F2n. Очевидно, что
первое условие (3.93) эквивалентно заданию на начальной линии
г = Гн возмущений только радиальной составляющей скорости ц,
а второе — возмущений только нормальной составляющей скоро-
сти V. Из рис. 3.8, 3.9 следует, что распространение возмущений
носит колебательный характер с затухающей по длине сопла
амплитудой. При этом число нулей у функций увеличивается
с уменьшением угла 0/<. Колебательный характер распространения
возмущений связан с отражением волн разрежения (или сжатия)
от стенок и от оси сопла. Очевидно, что число таких отражений
увеличивается с уменьшением угла 0^, чем и объясняется увели-
чение частоты колебаний.
Представленное решение пригодно и для дозвуковой области
конических сопел. Однако распространение возмущений от дозву-
ковых до трансзвуковых значений и0 носит не колебательный ха-
рактер, а монотонно затухающий.
Методом малых возмущений может быть получено решение для
случая 0/< = 0, т. е. для течения в цилиндрической трубе. В этом
136
о
-0,2
-0^
Рис. 3.8. Изменение возмущенной составляющей скорости z7ln = Zln/r в
коническом сопле для разных 0/t
Рис. 3.9. Изменение возмущенной составляющей скорости = Р\п!г в
коническом сопле для разных 0/t
137
случае возмущения накладываются на поступательный поток •
с числом Л40. В цилиндрических координатах г, г, ср решение для
сверхзвукового потока имеет вид
а2п sin
/ nz
bin cos----
, • nz
b2n Sin-----
Po -
nz
Ро
cos k ср —
У tfinSin
nz
nz
COS k ф —
k=l
, . nz
bin Sin ---
i u nz
b2n cos —
• t, dJk (nr)
sin k ф — V ’
dr
(3.102)
r 7i==l h=l
nz I
------1~ ^271 COS
nz
sin k ср \Ik (nr),
N
v = — V
n = \
N
nz
Po
I L nz
]- b2n cos —
Po
Здесь Po = У Л42 —i,Jk (nr)—бесселева функция &-го порядка
первого рода. Из этих формул также очевиден колебательный ха-
рактер распространения возмущений. Частота колебаний растет
при стремлении числа Л4о к единице. Однако в этом случае не про-
исходит затухания амплитуды колебаний.
Номера п определяются из граничного условия непротекания
на стенке, согласно которому v = 0 при г = 1. Это означает, что
искомые значения п суть корни уравнения
dJk (nr)
(3.103)
которые приближенно могут быть найдены из соотношения
п — (/г + 0.5 + 2t)---------— (/? + 0.5 + 2г)-1 (г = 0, 1, . . . ).
2 4л
_________ _..... (3.104)
2. Определение боковых сил и моментов при несимметричных
возмущениях. Рассмотренное решение позволяет в рамках метода
малых возмущений определить не только локальные, но и инте-
гральные характеристики в течениях, близких к- радиальному.
Для практики весьма важно знать величины боковой силы и
момента, возникающих при несимметричных деформациях контура
или при несимметричных возмущениях на входе в сопло. Не огра-
138
ничивая общности, примем, что несимметричная деформация кон-
тура имеет место в плоскости xz, т. е. течение симметрично отно-
сительно этой плоскости. Будем характеризовать вектор реактив-
ной силы R ее составляющими — осевой J и боковой L, а также
координатой хс точки пересечения прямой DD', проходящей через
вектор R, с плоскостью ху, проходящей через центр конического
сопла (точка О рис. 3.10, а).
Рис. 3.10. К выводу фор-
мул для боковой силы и
момента
Из законов сохранения количества движения и момента коли-
чества движения имеем следующие выражения для боковой силы
L и момента М относительно точки О
2л
Л=Г С (рп + р Wn W) exdS, (3.105)
9 ' 9
о о
2л
7И=Г С р№п (Wxr)eyrfS, (3.106)
о о
где ех и еу — единичные орты, Wn— нормальная составляющая
вектора скорости. Интегрирование в формулах (3.105), (3.106)
. 139
производится по сферическому сегменту, опирающемуся на пло-
скость выходного сечения, так что в сферических координатах
dS = г2 sin 6 dQ dtp. Предполагая малое отличие течения от ради-
ального, имеем, опуская индекс е,
L — ро Uq г2
о
27г 1-Ч2
I и _____sin 0 cos ср 4-
JL ‘-«“о
О
4- v cos 0 cos ср — w sin ср sin 0 d 0 d ф,
(3.107)
M = XCJо — ро W'0^3
'/г 2Л
j* j [ш cos 0 sin ф — v cos ф] sin 0 d 0 d ф.
О о
(3.108)
Поскольку плоскость xz является плоскостью симметрии, то
в формулах (3.86) — (3.88) коэффициенты bikn = b2hn = 0. Кроме
того, в (3.107), (3.108) после интегрирования по ф, отличными от
нуля, оказываются лишь члены, соответствующие номеру k = 1.
В случае несимметричных возмущений для удовлетворения усло-
вию непротекания на стенке (у = 0) необходимо выбирать номе-
ра п, так, чтобы при 0 = 0/г удовлетворялось условие
dP[X}
??
de
(3.109)
Номера соответствующих присоединенных полиномов Лежандра
можно, используя (3.98), определить из приближенного соотноше-
ния
л0?’— 3. (3.110)
4
Формула (3.110) справедлива при 0/^15°. Для больших значений
0/г имеем: п = 7, 6, 5, 4, 3, 2 при 0/г = 14°, 16°, 19°, 24°, 31° и 45°
соответственно. Для присоединенной функции Лежандра Р^ (0)
справедливо соотношение
Р<" (0) =
п 4 ’
dPn
de
(3.111)
Из (3.107) и (3.108), используя (3.86) — (3.88), получим
L = — л sin 0ь cos 0fe ро u0r2j---5—. У, [allnZln (г)
(1—
4“ ^21n ^2п
dPn
2 — п (п + 1)
de е=еА
140

Fin 0 ) ”F ^2177 F2n 0 ) 1
n (n + 1)dPn
9 — n (П + 1)
do
e=ek
(3.112)
N
M = xcJo = — n sin Qk p0 uQ г3 У, [aiin Fin (r) +
n — 1
dPn
(3.113)
h
Рассматривая концевой элемент сопла длины dr (рис. 3.10, а),
можно получить связь между приращением боковой силы и момен-
та. В случае плоского конического сопла имеем
dL = (р2 — Pi) cos dr,
(3.114)
где*dL — приращение боковой силы при увеличении длины, обра-
зующей сопла на dr, р2, Pi — значения давления на элементе dr на
верхней и нижней половине. Приращение момента относительно
точки О равно
dM = — (р2 — pi) г dr.
(3.115)
Положительными считаются момент при вращении по часовой
стрелке и боковая сила, направленная по оси х. Очевидно, что
rdL = —cos 6kdM. (3.116)
Это соотношение справедливо и для осесимметричного конического
сопла; его можно получить непосредственным дифференцирова-
нием L и М, определяемых формулами (3.112) и (3.113). Соотно-
шение (3.116) является точным и справедливо при любых, а не
только мало возмущенных несимметричных течениях.
Поскольку номера п, определяемые формулой (3.110), велики,
то при вычислении L и М по формулам (3.112) и (3.113) можно
ограничиться первыми членами рядов. Используя (3.91), (3.92) и
обозначая х = , получим с учетом (3.116) следующую систему
уравнений для определения L и М:
—= —Ц2 — п(п + 1)]-----------------—Мп («+ 1) cosO/г, (3.117)
dx 4х 4хг
dM
гЦ1 — п(п + 1)]
4х cos (к
Мп(п + 1)
(3.118)
Для безразмерных функций
L = L//o, М = М(
Z(U0) Xc/f*
141
имеем
dL ___ cos 0k ]/x dM
dx
dM
dx
cos Qk
4х
(3.119)
(3.120)
3
где r*—расстояние от центра источника до минимального сече-
ния, г = г/г*, Jo z(u0)= Uq + u~l , где Q — pac-
2y u
ход. Система (3.119) и (3.120) позволяет найти боковую силу и
момент при различных несимметричных возмущениях как в дозву-
ковой, так и в сверхзвуковой области сопла.
При несимметричном течении в цилиндрической трубе можно
получить, используя (3.102), (3.105), (3.106), конечные соотноше-
ния для L и г с (рис. 3.10, б)
(3.121)
(3.122)
где rc = rc/ra, z = z/ra, LH и гсн —начальные значения L и гс
(значение 1.84— первый корень уравнения (3.103) при k = 1).
Для интегрирования системы (3.117), (3.118) и при использо-
вании формул (3.121), (3.122) необходимо знать начальные значе-
ния боковой силы LH , момента Мн или г сн .В общем случае они
определяются экспериментально, однако при относительно простых
искажениях -контура могут быть найдены из геометрических рас-
смотрений. Так, при повороте некоторой части сопла относительно
оси на угол а в рамках линейной теории имеем в сечении А А'
(рис. 3.10, а, б).
н
2у а
_(Y + l)z(u) J«
Мн
2v а Га !COS 0/i
(Y+ 1)
CH 0*
(3.123)
Из формул (3.121), (3.122) следует, что в цилиндрической трубе
L и гс совершают колебания с постоянной амплитудой, определяе-
мой величиной угла а. При увеличении числа Мо нули функции L
смещаются в сторону больших г. На рис. 3.11, 3.12 представлены
зависимости боковой силы и момента от г, полученные интегриро-
ванием уравнений (3.119), (3.120) для конических сопел с различ-
ными углами Ofe и с граничными условиями (3.123) при повороте
дозвуковой части сопла в минимальном сечении на угол а. На этих
же рисунках дано сравнение с результатами расчетов по трехмер-
ному методу характеристик [179]. Для определения по значениям L
и М величины боковой силы La и момента Ма, создаваемых непо-
142
вернутой частью сопла АА'В'В, нужно воспользоваться соотноше-
ниями
La = L — LH , Ма = М — Мн . (3.124)
Проанализируем результаты расчетов. В сечении А'А при z = О
при повороте, изображенном на рис. 3.10, боковая сила отри-
цательна. На начальном участке контура АВ при натекании струи
на него возникает повышенное давление, а на начальном участке
контура А'В' давление, оч жидно, ниже, чем на АВ. Возникающая
положительная боковая сила La уменьшает начальную отрица-
тельную боковую силу LH . При увеличении длины сопла возни-
кает точка, в которой \LH | = |La|, но знаки этих сил противопо-
ложны, так что общая боковая сила L нравна нулю. На рис. 3.11
такие точки соответствуют нулям функции L, при этом полный
вектор реактивной силы направлен точно по оси г. При дальней-
шем увелт ченим длины сопла положительная сила продолжает
возрастать, но лишь до тех пор, пока волны сжатия от контура
АВ не достигнут контура А'В', а волны разрежения, распростра-
няющиеся от А'В', не достигнут контура АВ. С этого момента про-
исходит уменьшение положительной силы La и могут вновь возник-
нуть точки, где |Ла| = |Лк | и L = 0, а при дальнейшем увеличе-
нии длины знак L будет совпадать со знаком LH . Колебательный
характер изменения L, таким образом, очевиден из физических со-
ображений. Ясно также, что число нулей функции L тем больше,
чем меньше угол 0^. В отличие от случая течения в цилиндриче-
ской трубе, колебания происходят с уменьшением амплитуды. Для
момента М характерен также колебательный характер изменения,
однако, из-за увеличения плеч, т. е. расстояния до центра источни-
ка, с увеличением длины сопла происходит увеличение амплитуды
колебаний. Представленное на рис. 3.11, 3.12 данные демонстри-
руют высокую точность линейной теории. Важно, что в рамках ли-
нейной теории амплитуда возмущений пропорциональна углу а, а
нули функций L и М не зависят от ct, поэтому достаточно провести
расчеты лишь для одного значения а. В то же гремя определение
L и М в рамка;х линейной теории весьма элементарно и сводится к
к численному интегрированию системы обыкновенных дифференци-
альных уравнений (3.119), (3.120). В этом смысле линейная теория
обладает преимуществами перед численным решением. При малых
возмущениях точность линейной теории может оказаться выше.
Отметим, что линейная теория для расчета боковых сил и момен-
тов, основанная на линеаризации относительно одномерного тече-
ния, развита в работах [44, 150].
Представляет интерес получить приближенное аналитическое
выражение для боковой силы и момента в дозвуковой и сверхзву-
ковой областях. Если в дозвуковой области сохранить принятое
выше правило знаков, т. е. считать, что боковая сила положитель-
на, когда направлена по оси х, а момент положителен при враще-
нии по часовой стрелке относительно центра стока, то для расчета
143
боковой силы и момента можно воспользоваться той же системой,,
изменив знак у первого члена в правой части уравнения (3.118) и
знак в левой части уравнения (3.117). Тогда, переходя от незави-
Рис. 3.11. Зависимость боковой силы от
длины в коническом сопле (у = 1.2); 1 —
линейная теория, 0k = 10°; 2— расчет
[179]; 3 — расчет по (3.135), = 10°; 4 —
_ у + 1 £
линейная теория, 0^ = 5° (£1 =---~г(и)—,
2у а
а берется в градусах).
Рис. 3.12. Зависимость момента Мt
от длины z в коническом сопле (у =
= 1.2); 1—линейная теория, 0k =
= 10°; 2 — расчет [179], 3 — расчет_по
_ у 4- 1 М
(3.136), 0^ = 10° (All =-JL-—z(u) —)
2у а
а берется в градусах)
симой переменной х к г и пренебрегая при малых дозвуковых ско-
ростях величиной х = и2 по сравнению с единицей, нетрудно полу-
чить, используя формулы (3.91), (3.92), (3.112) и (3.113), следую-
щие соотношения для определения боковой силы и момента отно-
сительно центра стока
L - L. . М - - L~ .
\ гц / Д 2COS 0k \ Гн /
(3.125)
где LH — начальное значение боковой силы, заданное при г = гн ,
Из формулы (3.125) видно, что в дозвуковой области происходит
уменьшение по степенному закону боковой силы и момента по ме-
ре приближения к минимальному сечению. Кроме того, видно, что
выполняется приближенно соотношение
М = CrL,
(3.126)
где значение константы С зависит от начальных условий и угла
0/i. Для построения приближенного решения в сверхзвуковой об-
144
ласти воспользуемся результатами работы [48], в которой предло-
жен метод построения асимптотического разложения решения диф-
ференциального уравнения второго порядка по отрицательным сте-
пеням п. Запишем систему (3.117), (3.118) в двух эквивалентных
формах:
(х — х)+ Г —----------+ -^^1 — + [п (п -I- 1) — 2]L = О,
dx2 L_2(y—1) 4х J dx 16х2
(3.127)
(х — Л")
сРМ
dx2
3(х — х) I dM
4х
dx
1)М = 0.
(3.128)
Следуя работе [48], построим асимптотическое разложение реше-
ния уравнений (3.127) и (3.128) в окрестности особой точки х = х
по отрицательным степеням п. Можно показать, что с точностью
до величины п~1 приближенное решение уравнений (3.127) и
(3.128) имеет вид
< <^b[C1/+(po+|)(2rtlyw(x)) +
Г Г со (х)
+ С2 /_(Ро + 1) (2/11]/о) (%) ) ],
М = п2М(х)1/4^L[C1 7+(1_Ро) (2п2уш(х)) +
I со (х)
+ Со /_(1_ро) (2/72Усо(%) )],
(3.129)
(3.130)
где ро = -^-(у — I)-1, Сь С2, Ci, С2 — произвольные константы,
Л-(Ро+1)> '-(ро-м), ^ + (1-Ро)} ^-(1-Ро) —функции Бесселя порядка
ро + 1 и 1 — ро,
/11 = Ум(м + 1)— 2,
и2 = }п(п + 1),
7Й (х) = (х — х) х~3/8 ,
(3.131)
f (х)—функция Прандтля—Мейера, определяемая соотношением
(1.151). Напомним, что х = ~ %2. Используя далее асимптоти-
ческие представления функции Бесселя при больших значениях
аргумента [79], из формул (3.129), (3.130) получим окончательно
приближенное аналитическое выражение для боковой силы и мо-
мента:
10—625
145
L—L [Cib sin 61 (%) 4- C2L cos 61 (x)],
M = M [Gm sin 62 (x) + Gm cos 62(x)],
где
£ ,U (x) f 2»1 _ 2 1 f tit (%— x) v/4(v—1) x’/e
r I nf(x) I x./4 (x_ 0 ./4 ’
M = r£, 61 (x) ==_!_«! f(x), 62(x) =—ra2/(%),
(3.132)
(3.133)
(3.134)
CiL, C2Ll CiM, C2M — произвольные константы. Из формул (3.132),
(3.133), а также из уравнений (3.17), (3.18) при выполнении на-
чальных условий (3.123) 'Следует, что при больших п М ~ Cr L
[ср. (3.16)], т. е. можно приближенно считать, что точка приложе-
ния боковой силы находится в плоскости выходного сечения сопла
и что при известной величине боковой силы можно определить мо-
мент относительно любой точки. Это означает также, что нули бо-
ковой силы и момента близки (см. рис. 3.10 и 3.11) и, следователь-
но, в тех плоскостях сопла, где L « М ж 0, вектор силы не толь-
ко параллелен оси сопла, но и направлен по оси.
Пусть в некотором сечении сопла известны начальные значения
боковой силы и момента LH , 7ИК , которые, кроме того, в силу
(3.123) связаны соотношением Мн =—rH LH cos 0^. Тогда из
(3.117), (3.118) и (3.110) имеем при больших п
dL \
dx / н
9я2
64хи
г1
п(п + 1)
(/2 + 3)2
Зная Мн , LH , (dL/dx)H , (dMfdx)H , можно определить произволь-
ные константы в (3.132), (3.133). Окончательно для вычисления
L, М имеем с точностью до величин п_3/2
L = LH +«-Cos[61(x-)-61J>
£(хн )
М = мн «-cos[62 (х.) — 6
7Й (хн )
(3.135)
(3.136)
где 61м, 62м—начальные значения функций 6i(x), 62 (х), опреде-
ляемых формулой (3.134). Из (3.135), (3.136) очевиден колеба-
тельный характер изменения боковой силы и момента с затуха-
нием амплитуды колебаний (за счет члена £(х)) у функции L. Ну-
ли Хь функций L и М определяются из соотношения
f(x/t)=f(xH )+— (2k + 1)
п
(k = 0, 1, ..., и),
(3.137)
146
Откуда следует, что число нулей увеличивается с уменьшением 7
и 0/г (т. е. с увеличением п). Кроме того, первый нуль функций
L и 7И, соответствующий k = 0, смещается вниз по потоку при уве-
личении угла 0/г.
На рис. 3.11, 3.12 представлено сравнение полученного прибли-
женного решения с точным. Видно, что приближенное решение
позволяет достаточно точно предсказать нули функции L и М.
Ошибка в определении максимальных значений L и М составляет
10—15%.
В заключении данного параграфа сопоставим результаты рас-
чета течения газа в коническом сопле методом малых возмущений
и методом сеток [51]. Начальные данные в виде возмущений ра-
диальной и и окружной v составляющих скорости определялись из
результатов точных расчетов. Эти возмущения задавались на дуге
окружности СД радиуса г = гн , расположенной ниже по потоку
от характеристики АВ, ограничивающей течение расширения, воз-
никающее при обтекании радиусного участка контура сопла
(рис. 3.13). Для аппроксимации начальных возмущений оказалось
достаточным пяти членов рядов (3.99).
Расчеты, выполненные с помощью обоих методов, показывают
хорошее соответствие результатов. Отличие в возмущениях состав-
ляющих скорости и и v не превосходит 10% в поле течения и 5%
на оси и контуре сопла (рис. 3.13). Имеется некоторое различие в
147
положении нулей функций, а также в поведении кривых в тех об-
ластях, куда приходят ударные волны. В этих областях в точной
теории имеют место разрывы производных параметров, которые
недостаточно хорошо аппроксимируются теорией малых возмуще-
ний, поскольку в этом методе предполагается аналитичность реше-
ния и отсутствие завихренности. Однако в целом эти влияния не-
велики, так как интенсивность ударных волн мала. Поскольку воз-
мущения параметров рассчитываются с достаточно высокой точ-
ностью, то полные скорости будут рассчитываться с еще большей
точностью. Проведенные исследования показывают правомерность
применения метода малых возмущений для расчета течений в ко-
нических соплах с 0/i<20° [51]. Этот вывод имеет принципиаль-
ный характер и позволяет применять метод малых возмущений
для расчета маловозмущенных пространственных течений в кони-
ческих соплах.
148
Глава IV
СОПЛА РЕАКТИВНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
Сопло является неотъемлемой частью любого реактивного дви-
гателя и степень его совершенства существенным образом сказы-
вается на эффективности реактивного аппарата в целом. Действи-
тельно, даже при полете в плотных слоях атмосферы девяносто
процентов силы, действующей на реактивный аппарат, составляет
тяга сопла, и лишь 10% — аэродинамические силы. По мере раз-
вития ракетной техники и космонавтики все более высокой стано-
вится цена единицы удельного импульса сопла: для межконтинен-
тальной баллистической ракеты с дальностью полета 10 000 км и
удельным импульсом 310 сек при увеличении удельного импульса
на один процент увеличение дальности составляет примерно
500 км. Для ракет-носителей спутников увеличение удельного им-
пульса означает либо увеличение высоты орбиты, либо вывод на
заданную орбиту увеличенного полезного груза. Прирост удельно-
го импульса на одну единицу (т. е. на 0,3%) приводит к увеличе-
нию высоты орбиты с 550 до 600 км (т. е. почти на 10%) или к
увеличению полезного груза примерно на 1,3% .
В связи с этим точность ‘определения характеристик сопла
должна быть весьма велика. Одномерное приближение позволяет
определить импульс сопла и его расход с точностью примерно 5%
(§ 2, гл. I). Поэтому экспериментальные и теоретические исследо-
вания течений в соплах реактивных двигателей должны обладать
точностью, на порядок превышающую указанную . разницу, т. е.
точность предсказания интегральных характеристик течения долж-
на составлять 0,1%, а локальных—не менее 0,5%. А^етоды, не обла-
дающие такой точностью, пригодны в лучшем случае для прибли-
женного качественного описания течения. Конструктивные и энер-
гетические ограничения делают задачу выбора и расчета сопла
весьма сложной задачей на поиск экстремума тяги при большом
числе ограничений. Выбор оптимального сопла должен произво-
диться с учетом конкретной траектории полета ракеты, с учетом
ограничений по габариту и весу сопла. Впервые профилированные
сопла для реактивных двигателей предложены В. П. Глушко в
1930 г. [29].
Типичное сопло современного реактивного двигателя изображе-
но на рис. 4.1. Для таких сопел характерны значительные про-
дольные и поперечные градиенты газодинамических параметров в
трансзвуковой и сверхзвуковой областях сопла, обусловленные не-
обходимостью осуществить ускорение потока до значительных
сверхзвуковых скоростей при кратчайшей длине сопла. В сопле
можно условно выделить три области: дозвуковую область тече-
ния, разгонный и выравнивающий участки.
149

Рис. 4.1. Общий вид реактивного сопла
§ 1_________________________________
ОСОБЕННОСТИ ТЕЧЕНИЯ В ДОЗВУКОВОЙ
И ТРАНСЗВУКОВОЙ ОБЛАСТЯХ СОПЛА
Геометрию до- и трансзвуковой областей современных сопел
можно характеризовать следующими параметрами (рис. 4.1): дли-
ной дозвуковой части /0, радиусами кривизны /?2, R% контура в ок-
рестности минимального сечения сопла со стороны до- и сверхзву-
ковой областей, углом наклона конического участка 0о> радиусом
сопряжения конического и цилиндрического участков R\, радиусом
минимального сечения г* и радиусом входного сечения г0 (или сте-
пенью поджатия п = г0/г*). Если в минимальном сечении имеет
место излом образующей, то такое сопло называют соплом с угло-
вой точкой. Характер течения в до- и трансзвуковой областях соп-
ла во многом определяется величиной перечисленных параметров.
Очевидно, что существенным параметром, характеризующим свой-
ства газа, является также показатель адиабаты у. Изменение у в
до- и трансзвуковой областях за счет физико-химических процес-
сов несущественно, поскольку невелико изменение температуры
продуктов сгорания на участке между входным и минимальным
сечениями сопла. Представленные в этом параграфе результаты
получены в основном при численном решении обратной задачи тео-
рии сопла [111].
1. Сопло с прямолинейной поверхностью перехода через ско-
рость звука. Практический интерес к соплам с прямолинейной
звуковой линией связан с профилированием сопел аэродинамиче-
ских труб и реактивных двигателей. Сверхзвуковую часть в этом
случае можно профилировать независимо от дозвуковой, посколь-
ку прямолинейная звуковая линия является одновременно харак-
теристикой и первого и второго семейств, Задать a priori контур,
150
сопла, обеспечивающий прямолинейную звуковую линию, практи-
чески невозможно. Для этого необходимо и достаточно, чтобы в
минимальном сечении контур сопла и все линии тока имели нуле-
вые первые, вторые и третьи производные. С другой стороны, в
рамках обратной задачи рассчитать сопла Лаваля с прямолиней-
ной линией перехода достаточно просто. В случае плоских и осе-
симметричных течений для этого необходимо и достаточно задать
на оси симметрии распределение скорости, имеющее равную нулю
первую производную в звуковой точке.
Рассмотрим результаты решения обратой задачи при задании
скорости на оси сопла в виде
W = Woo + (1 — №оо) (1 + Дх2)-1, (4.1)
W = Woo + (1 — Woo) (1 +А Н3)-1, (4.2)
где W — величина модуля скорости,
роста звука я*, которая часто
отнесенная к критической ско-
обозначается через X и называется
коэффициентом скорости.
Некоторые результаты ра-
счетов представлены на
рис. 4.2 (здесь и далее, если
нет специальных оговорок,
у=1,4). На этом рисунке
показаны линии тока и ли-
нии W= const, а Также из-
менение W вдоль линии тока
4)9 = 0,06 при начальных ус-
ловиях (4.1) на осн. Видно,
что в области, где U/>0,2
и ф>0,02, течение заметно
отличается от одномерного.
Рис. 4.2. Течение в сопле с пря-
молинейной звуковой линией. Ско-
рость на оси задана по закону
(4.1) при А = 10, Wоо = 0.1. Рас-
пределение скорости: 1 — линия
тока *ф = 0 06, 2 — одномерная
теория, 3 — ось симметрии
В окрестности прямолинейной звуковой линии, расположенной в
плоскости х = 0, при г>0.25 в соответствии с решением § 3 гл. III
возникает местная сверхзвуковая зона и вторая звуковая линия; те-
чение в этой зоне изоэнтропическое. Как видно из рисунка, линии
тока в окрестности звуковой линии практически параллельны оси.
Если скорость на оси симметрии задавать по закону (4.2), в поле
течения также возникает местная сверхзвуковая зона, однако вто-
рая звуковая линия имеет общую точку с прямолинейной звуковой
линией на бесконечности.
151
Существования местных сверхзвуковых зон подтверждено экс-
периментально для сопел, соответствующих линиям тока с ф = 0.02
и ф=0.06 (рис. 4.2). Приведенные па рис. 4.2 значения скорости
получены пересчетом по экспериментально измеренному давлению.
Расчетные и экспериментальные данные хорошо совпадают между
собой в тех областях, где влияние вязкости невелико. Некоторое
различие наблюдается в пологих трансзвуковых областях, где
влияние вязкости проявляется сильно. Отметим еще, что,
несмотря на наличие большого положительного градиента давле-
ния в трансзвуковой области, отрыва пограничного слоя не проис-
ходит.
Численные и экспериментальные исследования течений в соп-
лах с прямолинейной звуковой линией показывают, что длина до-
звуковой части таких сопел, рассчитанная в рамках идеальной
жидкости, довольно велика, а из-за вязких эффектов реализовать
прямолинейную звуковую линию практически не удается. В связи
с этим такие сопла в реактивных двигателях не используются как
и сопла, рекомендованные в работе [195].
2. Сопло с криволинейной поверхностью перехода. Если произ-
водная dWjdx в центре сопла отлична от нуля, то поверхность пе-
рехода будет криволинейной и расчет дозвуковой и сверхзвуковой
областей должен производиться совместно. Рассмотрим течения в
сопле при следующем распределении скорости на оси симметрии:
IE = 1 I (1 ^z°°) (^°° 1) (еЬх 1) (4 3)
Рис. 4.3. Поле течения в сопле с криволинейной звуковой линией. Рас-
пределение скорости на оси задано по закону (4.3) при = 0.1,
^00 = 1.9, b = 3.5. Распределение скорости: 1 — линия тока = 0.06,
2— одномерная теория, 3 — ось симметрии
где Foo, Foo — асимптотические значения скорости на бесконечно-
сти в дозвуков-ой и сверхзвуковой областях, параметр b пропор-
ционален производной скорости в центре сопла,
152
Типичное поле течения в сопле Лаваля с криволинейной по-
верхностью перехода показано на рис. 4.3. Видно, что при ,ф>0501
течение заметно отличается от одномерного как в до-, так и в
сверхзвуковой областях, звуковая линия и линия 0 = 0 отклоня-
ются вверх по потоку от центра сопла так, что на контуре звуко-
вая точка располагается вверх по потоку от (минимального сече-
ния. Поведение линий W = -const определяется кривизной линий
тока и, в частности, контура сопла. Изменение наклона этих линий
происходит в окрестности точек, где изменяется кривизна линий
тока (точки Л и В на рис. 4.3). Участкам с отрицательной кривиз-
ной соответствуют линии W = const, наклоненные внцз по потоку
от оси, и в этих областях, как следует из уравнения (1.146), дав-
ление увеличивается по направлению от оси к контуру сопла. На-
оборот, участкам с положительной кривизной контура соответ-
ствуют линии W = -const, наклоненные вверх по потоку от оси, и
давление в этой области уменьшается в направлении от оси к кон-
туру сопла. Ускорение потока на линиях тока увеличивается с
уменьшением радиуса кривизны. Ускорение газа на оси происходи!
значительно медленнее.
Изложим некоторые результаты параметрического исследова-
ния течения в до- и трансзвуковых частях осесимметричных сопел
[72, 88, 92, 111]. Установлено, что определяющее влияние на пара-
метры течения в трансзвуковой области оказывает величина ра-
диуса R2 (см. рис. 4.1). Так, при /?2>0.2г* и 0О<85° параметры
течения зависят в основном от R2 и весьма слабо от Оо- Типичные
распределения давления на контуре при различных R2 = R2/r* и
0о показаны на рис. 4.4.
Рис. 4.4. Зависимость р/рто от х == х/r* на контуре сопла при раз-
личных R2 и Оо
Влияние показателя адиабаты па течение в до- и трансзвуковой
областях проиллюстрировано на рис. 4.5. Видно, что при одинако-
вой форме сопла значения скорости W в течениях с различными
у практически не различаются, хотя значения р/р* могут разли-
153
чаться заметно. Этот результат находится в соответствии с одно-
мерной теорией. Таким образом, если в сопле с заданной геомет-
рией рассчитано поле скоростей с некоторым значением у, то ре-
зультаты этих расчетов можно использовать и при других значе-
ниях у.
Зависимости некоторых газодинамических параметров от R2 и у
представлены на рис. 4.6. На рис. 4.7 построены звуковые линии в
соплах с различными значениями R2. Видно, что при малых R2 у
звуковой линии имеется точка перегиба.
Если в результате численного или аналитического решения
известно поле течения в трансзвуковой области, то можно рассчи-
тать положение характеристик. Форма характеристик 2-го семей-
ства, выходящих из точки контура в минимальном сечении, и рас-
пределения вдоль них g = tg 0 и М при различных R2 и у пред-
ставлены на рис. 4.8. Видно, что влияние у на геометрию характе-
ристик и параметры невелико. Немонотонное изменение g вдоль
характеристик (в точках оси и контура g = 0) приводит к немоно-
тонному изменению числа М как в плоском, так и в осесимметрич-
ном случаях. В плоском течении факт немонотонного изменения
М очевиден и следует непосредственно из уравнения совместно-
сти (1.150).
Производная скорости dWjdx в центре -сопла не может превы-
шать некоторого предельного значения (dlF/dx)*, соответствующего
течению ю угловой точкой. Расчеты показывают, что это значение
равно 0.6—0,.7 для осесимметричных течений [111] и приблизитель-
154
но 0.55 для плоских течений [64]. Расчетная величина (rfVT/dx)* в
осесимметричном случае хорошо подтверждается эксперименталь-
ными данными, полученными при измерении скорости на оси при
обтекании угловой точки [92].
Рис. 4.6. Влияние R2 и у на абс-
циссы звуковой линии на оси и
контуре, величину скорости W* на
контуре сопла в минимальном се-
чении и угол наклона контура в
звуковой точке (£* = tg0*); 1 —
— эксперимент [92], 2---экспе-
римент [18]
Рис. 4.7. Звуковые линии в соп-
лах с различными [111]. 1 — рас-
чет и эксперимент работы [88]
при R2 = 0.1
Представленные выше результаты относятся к течению типа
Мейера, когда в потоке существует поверхность перехода через
скорость звука, простирающаяся от стенки сопла до оси. Просле-
155
дим трансформацию течения в суживающейся части сопла, при
увеличении перепада давления, т. е. переход от течения Тейлора
к течению Мейера. На рис. 4.9 изображены звуковые линии в соп-
Рис. 4.8. Характеристики '2-го 'семейства, выходящие из точки контура в
минимальном сечении, и распределения g и М вдоль них.
Рис. 4.9. Форма звуковых
линий в осесимметричном
течении Тейлора
ле с /?2 = 2 в течении Тейлора при за-
дании скорости на оси сопла в виде
W = Жо + (Го — Гоо) (1 + Лх2)-1,
(4.4)
где Го—скорость в центре сопла [116].
При таком задании скорости на оси
сопла контур будет симметричен отно-
сительно плоскости х = 0. При Го »
~ 0.75 вблизи контура возникает сверх-
звуковая зона, размер которой увели-
чивается с ростом перепада давления,
т. е. с ростом Го, а значит, и Гоо. При
Го=1 сверхзвуковая зона простирает-
ся от контура сопла до оси.
В отличие от решения Тейлора
[см. (3.45) ], которое справедливо
лишь при больших ^г(/?2>5) и согла-
сно которого сверхзвуковая зона всег-
да захватывает минимальное сечение,
местные сверхзвуковые зоны вначале
изолированы и располагаются симмет-
рично относительно минимального се-
чения и лишь при Г0>0.88 захватыва-
ют его. Значению Г0=0.75 соответст-
156
вует Жо = 0.094, а значению 1^0=1 соответствует №оо = 0.1014. В те-
чении Мейера для рассматриваемого сопла Wm = 0.1015, т. е. переход
от течения Тейлора с замкнутой звуковой линией при И70=1 к те-
чению Мейера происходит при изменении скорости всего па 0.1%.
3. Локальные зоны торможения. Иногда в потоке, который в
среднем ускоряется, возникают местные зоны торможения, что мо-
жет привести к нежелательному отрыву пограничного слоя и ухуд-
шению теплозащиты сопла. Зона торможения возникает при малых
Ri в дозвуковой части сопла в окрестности точки сопряжения ра-
диусного п цилиндрического участков. Зависимость коэффициента
давления Ср в этой области от длины сопла показана на рис. 4.10,
18
Рис. 4.10. Коэффициент давления в окре-
стности точки сопряжения цилиндрического
и конического участков сопла в дозвуко-
вой области течения, полученный из рас-
чета (/) и эксперимента при = О.6го
(2), 7?! = О.8/-о G?) и = 1.2г0 (4)
где дано сравнение экспериментальных [92] и расчетных [111]
данных. При малых Rr в окрестности точки сопряжения цилиндри-
ческой и сужающейся частей происходит торможение потока, в то
время как при 7?i > 2г0 имеет место монотонное ускорение потока.
Область постоянного значения Ср при Ri = О.бго, полученная в
эксперименте, соответствует отрыву пограничного слоя. Оказалось,
что максимальное положительное значение Срт зависит в основ-
ном от Ri и весьма слабо от Оо, и и у. В то же время для любого
п можно выбрать достаточно короткий контур сопла, не содержа-
щий в этой области зон торможения.
Выше уже были приведены примеры возникновения местных
зон торможения в трансзвуковой области в окрестности прямоли-
нейной звуковой линии. Характерная особенность их состоит в том,
что они являются местными сверхзвуковыми зонами, расположен-
ными вверх по потоку от минимального сечения. Последование те-
чения в этих зонах, проведенное в рамках идеальной жидкости,
при решении прямой задачи для сопел, контуры которых получены
из решения обратной задачи, показало устойчивость таких течений
по -отношению к малым возмущениям при условии, что с высокой
точностью выдерживается геометрия контура. Экспериментальное
157
исследование также показывает существование зон торможения,
хотя наличие пограничного слоя несколько искажает расчетную
картину течения.
Вверх по потоку от звуковой точки на контуре также возможно
образование местных зон торможения, если на небольшой длине
происходит резкое изменение угла наклона контура (см. рис 4.4, а).
Местная зона торможения при больших 0О возникает выше мини-
мального сечения в окрестности точки сопряжения конического
участка контура с дугой окружности [72, 111]. Аналогичные зоны
торможения в сверхзвуковой области возникают после разгона га-
за на участках контура с малой кривизной в окрестности точки
сопряжения дуги окружности с коническим участком контура (рис.
4.4,6) [18, 72, 111].
Возможность возникнове-
ние. 4.11. К исследованию зоны тор-
можения потока
ния зон торможения в сверх-
звуковом потоке в окрестности
точки разрыва кривизны и в
окрестности угловой точки мо-
жет быть предсказана анали-
тически. Рассмотрим треуголь-
ник 123 (рис. 4.11, а). Вдоль
характеристик первого 1—3 и
второго 1—2 семейств выпол-
няются уравнения совместно-
сти (1.150), которые запишем
в виде !
d£=F L(M, £)dM ±
±Ж 7И, г) ds = 0, (4.5)
где
ЦМ, £)
= 2]М12— 1(1 + £2)
М[2 + (у — 1) М2] ’
(4-6)
гМ
£=tgo.
Параметры в точках 1, 2, 3 связаны между собой соотношениями:
Здесь (dM/ds)™ и (dM/ds)_ - производные М вдоль стенки и ха-
158
рактеристики 2-го семейства соответственно. Используя соотноше-
ния вдоль характеристик 1-го семейства
£з - - L (М3 - MJ + N A = О,
(4.Ю)
получим
/ дм \ _ М I дМ \ + (411)
\ ds )w ум2 — 1 \ ds ' _ ds )w
Формула (4.11) позволяет по известным (dM/ds)_ и (d£/ds)w оп-
ределить (dM/ds)w. В частности, если в некоторой точке на конту-
ре имеет место разрыв второй 'производной, то разрыв производ-
ной dMjds определяется из соотношения
ds
dM
(4.12)
w
Расчет значений производных в точках разрыва кривизны по фор-
муле (4.11) показывает возможность появления зон торможения
при малых в сверхзвуковой области в окрестности точек соп-
ряжения с коническим участком сопла (см. § 2 гл. VI).
Из формулы (4.12) следует, в частности, что на контуре ци-
линдрического участка, примыкающего к контуру, выполненному в
виде дуги окружности, поток должен тормозиться, так как на ха-
рактеристиках 2-го семейства, выходящих из точки сопряжения,
(dMlds)_ < 0 (см. рис. 4.8). На рис. 4.12, а показано изменение М
вдоль цилиндрического участка. В начальной части цилиндриче-
ского участка М уменьшается (течение сжатия), затем увеличива-
ется, а далее вновь уменьшается. Такой характер изменения М
находится в соответствии с колебательным характером распро-
странения малых возмущений в соплах и решением, представлен-
ным в гл. III [см. (3.102)]. Наличие области сжатия приводит к
пересечению характеристик 2то семейства, выходящих из точек
контура, и образованию ударных волн. Значительное торможение
потока в начале цилиндрического участка может привести к отры-
ву пограничного слоя в этой области. Течение на цилиндрическом
участке может быть рассчитано и методом малых возмущений по
формулам (3.102). Число Л40 в этом решении определяется из
уравнения неразрывности g(Af0)=p, где ц—коэффициент расхо-
да. Число 7И0 увеличивается с уменьшением и равно 1.05, 1.1,
1.2 при R.2 = 2, 1, 0.5 соответственно. Если в области минимально-
го сечения контур сопла образован сопряженными дугами окруж-
ностей с радиусами R^ R% (рис. 4.11, б), то согласно (4.12) гра-
диент давления остается отрицательным несмотря на разрыв в
производной dMjds.
Изучим теперь течение-за угловой точкой, расположенной в
минимальном сечении сопла. Из рассмотрения характеристическо-
го треугольника в окрестности угловой точки можно получить диф-
ференциальное уравнение для производных вдоль характеристик
159
волны разрежения, выходящих из угловой точки, которое позво-
ляет определить значение этих производных на любой характери-
стике по известным значениям на некоторой начальной характе-
Рис. 4.12. Распределение числа М в сопле с цилиндрическим насадком
(ц) и на контуре плоского и осесимметричного сопла с угловой точкой
при различных Т?2 (б); 1 — Л40 = 4, у = 1.4, т = 0; 2 — Л40 — 5.5, у =
= 1.4, v = 1
ристике. Выпишем без вывода это уравнение для плоского и осе-
симметричного случаев:
<9 / d а
д а\ dx
dx
(4-13)
где
у — cos 2а
‘cosfO + а)_________।
sin 2a cos(0 — a)
g _ v s*n (0 + a)
2 cos (0 — a)
2 sin 2a
1 4- cos 2a
Решение этого уравнения имеет вид
160
где (da/dx)o — значения da/dx на некоторой начальной характе-
ристике 2-го семейства.
В качестве начальной характеристики нужно взять характери-
стику 2-го семейства, выходящую из точки контура в минималь-
ном сечении для сопла без угловой тонки, контур которого до ми-
нимального сечения совпадает с контуром сопла с угловой точкой.
Теперь можно рассчитать (da/dx)0 на этой характеристике (со-
гласно рис. 4.8 (da/dx)o>O). Далее по (4.14) можно определить
dafdx на различных характеристиках 2-го семейства, выходящих
из угловой точки. Можно показать, что производная da/dx резко
уменьшается по мере увеличения 0 в угловой точке. Так, при £2 = 2
она меняет знак и становится отрицательной при 0~3°. Для со-
пел. с угловой тонкой и равномерным потоком на выходе это соот-
ветствует Л40~ 1.5> где Л4о — значение М на- выходе. Для таких
сопел функция (dtjds)w в окрестности угловой точки на контуре
положительна, поэтому из (4.11) следует, что, начиная с некото-
рых значений 0 = 0*, градиент давления за угловой точкой дол-
жен быть отрицательным. Величина 0* зависит от R2 и увеличи-
вается при уменьшении R2. Расчеты производных d a/dx вдоль ха-
рактеристик 2-го семейства по формуле (4.14) и вдоль контура с
угловой точкой по формуле (4.11) показывают, что при R2 > 0.5 и
Л40>>1.5 на контуре осесимметричных сопел с угловой точкой
производная da/dx, а следовательно, и dp/dx отрицательна, а
dM/dx — положительна.
Из формулы (4.14) следует, что в осесимметричном случае про-
изводная dajdx уменьшается сильнее, чем в плоском (что связано
с наличием второго члена в квадратных скобках), и может стано-
виться отрицательной даже при положительном значении (da/dx).
В плоском случае в окрестности угловой точки (d£/ds)w~O, в то
время как в осесимметричном (d£/ds)w>0. Таким образом, воз-
можно торможение потока в окрестности угловой точки в плоском
сопле [ом. (4.12)], что проверялось так же путем непосредственных
расчетов течений в плоских и осесимметричных соплах. С этой
целью с использованием данных на характеристиках, полученных
при расчете течения в сопле с контуром, не содержащим угловой
точки, определялись газодинамические параметры на характери-
стиках волны разрежения, возникающей при обтекании угловой
точки. Полученные таким образом данные на характеристиках
волны разрежения использовались далее для расчета течения в
заданном контуре сопла, выбранного из семейства сопел с угловой
точкой и с равномерной характеристикой на выходе, рассчитанного
из условия прямолинейности звуковой линии. Типичные результа-
ты расчетов представлены на рис. 4.12,6. Из этих рисунков сле-
дует, что распределения числа М для сопел с криволинейной и с
прямолинейной звуковыми линиями заметно отличаются лишь в
малой окрестности угловой точки (х < 1), что находится в соот-
ветствии с известным фактом быстрого затухания начальных воз-
мущений в сверхзвуковых соплах. В осесимметричном случае, в
11—625 161
отличие от плоского, наличие криволинейной звуковой линии не
приводит к возникновению зоны торможения в окрестности угло-
вой точки.
Существование зоны торможения в плоском сопле с угловой
точкой и равномерным потоком в выходном сечении при наличии
криволинейной звуковой линии можно обнаружить также из сле-
дующего рассмотрения. Обратимся к рис. 4.13, на котором схема-
тически изображено поле течения в таком сопле. На граничной
характеристике волны разрежения АС имеем из (1.150)
Рис. 4.13. Схема течения в плоском сопле с угловой точкой

(4.15)
где Мо — число Маха на прямолинейной характеристике СЕ, а
/(М) — угол Прандтля—Мейера. С другой стороны, поскольку точ-
ка А —-угловая, то параметры в ней связаны соотношением для ха-
рактеристик первого семейства и
f (МА) — 0а — — 0к>0,
(4.16)
поскольку точка К лежит на звуковой линии, на которой угол на-
клона вектора скорости к оси симметрии отрицателен. Из (4.15)
и (4.16) имеем
—-0К]. (4.17)
На характеристике 1-го семейства BN, выходящей из центра соп-
ла, f(M) —0 = 0, а на характеристике ND f(M) 0=/(Мо). Сле-
довательно, в точке N
. ' f(Ab)=— f(M0). (4.18)
а 2
162
Из формул (4.17) и (4.18) следует, что Мл > MN, т. е. при пере-
мещении от точки А к точке N число Маха уменьшается. Если
Ок = 0, как это имеет место в сопле с прямолинейной звуковой
линией, то точка А совпадает с точкой N и изменение газодинами-
ческих параметров на контуре сопла за угловой точкой происхо-
дит монотонно.
Характеристика СЕ прямолинейна, поэтому течение в области
АСЕ есть простая волна и MN = MF. Таким образом, Мл > MF, а
так как MF < MOj то, следовательно, изменение числа Маха вдоль
характеристик пучка немонотонно, что /приводит к немонотонному
изменению числа Маха на контуре сопла. Минимальное значение
числа Маха на каждой из характеристик пучка достигается в точ-
ках пересечения с характеристикой BN. Отметим, что расстояние
от точки А до точки N не превышает 0.7г*. Если в качестве конту-
ра сопла использовать линии тока, лежащие ниже точки F, то на
этих линиях тока воны торможения будут отсутствовать.
4. Оптимальная форма дозвуковой части сопла. Дозвуковая и
трансзвуковая части сопла 'реактивного двигателя профилируются
таким образом, чтобы обеспечить (безотрывное течение и мини-
мальные потери импульса в целом при минимальной длине сопла.
Из анализа, проведенного в п. 3, следует, что при R2 > 0.5 в транс-
звуковой области осесимметричного сопла зоны торможения щ
следовательно, отрывные воны не возникают. С другой стороны^
безотрывное течение в области сопряжения цилиндрического и су-
жающегося участков дозвуковой части сопла обеспечивается, если
Ri > г0 и 0о^4О°, несмотря на существование локальных зон тор-
можения. (Следует отметить, что в случае двухслойного течения с
более низким полным давлением в пристеночном слое по сравне-
нию с полным давлением *в ядре потока условия для отрыва пото-
ка оказываются более благоприятными, чем в случае однослойно-
го течения, и для обеспечения (безотрывного течения должно
быть увеличено в полтора-два раза, а 0о — несколько уменьшено.)
Выбор оптимального значения R2 в соплах реактивных двига-
телей производится из следующих соображений. Наибольшие ско-
ростные потоки приходятся на трансзвуковую область, и поэтому
увеличение длины этой области, например, за счет увеличения
приводит к увеличению потерь на трение. С другой стороны,
уменьшение R2 приводит (см. рис. 4.7) к заметному искривлению
звуковой линии и увеличению неравномерности в распределении
скорости в минимальном сечении, что является причиной возник-
новения дополнительной неравномерности потока в выходном сече-
нии сопла и, как следствие, увеличения потерь импульса. Очевид-
но, что величина этих потерь увеличивается с уменьшением радиу-
са R2.
Таким образом, оптимальное значение R2 выбирается из усло-
вия, чтобы суммарные потери из-за трения в дозвуковой части и
дополнительной неравномерности потока на выходе из сопла были
минимальными. Поскольку распространение малых возмущений в.
163:
сверхзвуковой части сопла носит затухающий характер (§ 5
гл. III), то при увеличении степени расширения дополнительные
потери за счет неравномерности потока уменьшаются, а оптималь-
ное значение Т?2 сдвигается в сторону меньших значений. Опти-
мальное значение R2 = Rzfr* в современных соплах равно прибли-
зительно 0.8—1.2.
5. Коэффициент расхода и критический перепад давления в
соплах с криволинейной поверхностью перехода. Важной характе-
ристикой сопла является коэффициент расхода ц, который опре-
деляется как отношение истинного расхода газа, проходящего че-
рез минимальное сечение заданной площади, к расходу газа через
то же сечение в случае одномерного течения при прочих
равных условиях (ро, То). Отличие коэффициента расхода от еди-
ницы связано с неравномерностью параметров в минимальном се-
чении, с наличием пограничного слоя, а также с неравновесным
протеканием физико-химических процессов.
Если контур сопла в окрестности минимального сечения выпол-
няется в виде дуги окружности, то звуковая линия является кри-
волинейной и коэффициент расхода меньше единицы вследствие
неравномерности поля скоростей, которая увеличивается с умень-
шением JR2. При такой форме
трансзвуковой области коэффи-
циент расхода зависит в основном
от R2 и слабо зависит от 0О и по-
казателя адиабаты у. Зависи-
мость ц от 6о проявляется лишь
при малых R2 (^2 <0.5). Разли-
чие в коэффициентах расхода для
плоского и осесимметричного
случаев при одинаковых Л2 неве-
лико (рис. 4.14).
В суживающемся насадке с уг-
ловой точкой в минимальном се-
Рис. 4.14. Зависимость коэффициента рас-
хода от Оо и Rz. 1 —расчет [64], 2— расчет
[111], 3— расчет для v = 0 [il53], 4 — эк'
сперимент при v = 1 [92]
чении звуковая линия имеет точку перегиба, неравномерность по-
тока может быть значительной и она увеличивается с увеличе-
нием угла 0о. Коэффициент расхода в осесимметричном случае
можно определить по экспериментальным данным, представлен-
ным на рис. 4.14. В плоском случае при 0о=90° расчетное значе-
ние ц равно 0.856, которое незначительно отличается от значения
в осесимметричном случае.
164
Представленные данные по коэффициенту расхода относятся к
случаю запертого течения сжимаемого газа, когда расход газа не
зависит от внешнего давления. Расчетных и экспериментальных
данных в случае незапертого течения, зависящего от внешнего дав-
ления ри , значительно меньше. Отметим в связи с этим расчетные
данные [173], согласно (которым при истечении несжимаемой жид-
кости из отверстия с плоскими стенками при 6о = 90° и у = 1.4
ц = 0.611, а для сжимаемого газа при критическом отношении
давления рн /р0 = 0.528 pi = 0.745.
Изменение коэффициента расхода за счет пограничного слоя
можно рассчитать по формуле
A pi = 26** ry1 Н = 6*/6**, (4.19)
где 6*, 6**—толщина вытеснения и толщина потери импульса.
Выражение для 6** будет приведено ниже [см. (4.45), (4.47)]. Для
турбулентного пограничного слоя в случае гладкой поверхности
величину Н можно определить по формуле
(4.20)
где Tw — отношение температуры стенки к температуре торможе-
ния. В большинстве случаев изменение коэффициента расхода за
счет пограничного слоя составляет 0.1-—0.2%. Для ламинарного
пограничного слоя (при Tw = 1) Н = 4.4, 10, 20 при числах М = 1,
3 и 5 соответственно. С уменьшением Tw от 1 до 0.2 Н уменьша-
ется приблизительно вдвое. Однако если характерное число Рей-
нольдса Reo мало и вязкий слой занимает значительную часть пло-
щади сопла, то изменение коэффициента расхода при изменении
числа Рейнольдса может быть значительным. При изменении Reo =
= Ро Wmax г* ц (ро, Цо — плотность и коэффициент вязкости в
точке торможения, Ц7тах— максимальная скорость истечения) от
102 до 103 коэффициент расхода изменяется от 0.6 до 0.9 [122]. Для
сопел реактивных двигателей число Рейнольдса обычно на три—
четыре порядка выше.
Наличие криволинейной звуковой линии приводит к зависимо-
сти критического перепада давления от формы трансзвуковой об-
ласти, т. е. от величины R2 (или 0о в случае конического суживаю-
щегося насадка). Для пояснения физического существа этого
явления рассмотрим истечение газа из плоского отверстия с пря-
молинейными стенками (рис. 4.15). Если скорость струи дозвуко-
вая, то сечение, в котором линии тока становятся параллельными,
а давление поперек струи постоянным, лежит на бесконечности
(рис. 4.15, а). Если же скорость на границе струи звуковая, т. е.
Рн/Ро = я(1), то это сечение находится на конечном расстоянии
165
1° (при 0о=я/2 /°^0.6 г*), а звуковая линия есть линия АВС
(рис. 4.15, б), при этом расстояние 1° увеличивается с уменьше?
нием Оо [ЮЗ]. Если теперь уменьшить внешнее давление так, что-
бы рн /ро стало (Меньше л(1), то граница струи и звуковая линия
АВС примут форму, представленную на рис. 4.15, в. Расширение
Рис. 4.15. Схемы истечения газа из плоского отверстия при различных
перепадах давления
течения в угловой точке А происходит до внешнего давления. Вол-
ны, исходящие из угловой точки, являются, естественно, волнами
разрежения, а от (звуковой линии они отражаются в виде волн
сжатия. Если внешнее давление близко к критическому, т. е.
н /ро ~ л(1), то волны Маха многократно пробегают между зву-
ковой линией и поверхностью струи. На поверхности струи волны
сжатия, исходящие от звуковой линии, превращаются в волны раз-
режения, следовательно, к звуковой линии подходят всегда волны
разрежения. Воздействие струи на звуковую линию прекратится
вниз по потоку от характеристики ДС, исходящей из звуковой точ-
ки на оси. При дальнейшем понижении внешнего давления каче-
ственно картина сохраняется такой же, пока характеристика ДС
попадает на границу струи вниз по потоку от угловой точки А.
При этом с уменьшением внешнего давления протяженность зву-
ковой линии АС уменьшается, а звуковая точка на оси симметрии
перемещается вверх по потоку.
166
До тех пор, пока волны Маха, исходящие от свободной поверх-
ности струи, достигают звуковой линии, внешнее давление, конеч-
но, влияет па дозвуковую область течения. По этой же причине
расход струи зависит от внешнего давления даже при сверхзвуко-
вой скорости истечения. Лишь когда внешнее давление становит-
ся столь низким, что характеристика ДС выходит непосредственно
из угловой точки (рис. 4.15, г), и ни одна из волн Маха, исходя-
щих от свободной поверхности струи, не достигает звуковой линии,
расход перестает зависеть ют внешнего давления.
Аналогичная картина течения наблюдается при любом 0о, от-
личном от нуля. При Оо = 0, т. е. при истечении ив отверстия со
стенками, параллельными оси, звуковая линия прямолинейна и
перпендикулярна оси. Она является одновременно и характеристи-
кой, и при достижении во внешней среде критического давления
Рп = р* расход при дальнейшем понижении внешнего давления не
зависит от рн . Таким образом, относительное внешнее давление
р} /ро, при котором расход газа перестает зависеть от давления,
является функцией угла 0О. Из уравнения совместности нетрудно
получить эту зависимость для плоского случая. Действительно, в
угловой точке А, согласно уравнению совместности (1.150) (см.
рис. 4.15),
f (AU)—0а = 0о. (4.21)
Рис. 4.16. Зависимость критическою перепа-
да давления от 0о и у
На характеристике второго семейства ДС, выходящей из звуковой
точки на оси,
f (М) -4-0 = 0. (4.22)
Если характеристика ДС приходит в точку А, то имеем
|(М*д)=-^-. (4.23)
Зная величину М*
из (4.23), определим
рО /р0 — я (7И* ), Зависи-
мость критического пере-
пада давления р® 1р0 от
Оо п у представлена на
рис. 4.16. Отметим, что в
плоском случае при Оо=
= л/2 при уменьшении
рнешпего давления от р*
до р2 расход увеличи-
вается от 0.745 Qm
до О 856 Qm> где Qm =
= р.а*г. [173].
При внешнем давле-
нии, меньшем р® , истече-
ние струи является уже
167
чисто сверхзвуковым и может быть рассчитано методом характе-
ристик.
6. Профилирование разгонного участка сопел реактивных дви-
гателей. Форма участка малой кривизны АА' (см. рис. 4.1) опре-
деляет длину разгонного участка Z0, а для сопла с равномерным
полем на выходе — и полную длину сверхзвуковой части сопла
L° = Z° + г* [q (7Wo)]~1 + v/2 |ТИ2 —1, где Л4о— значение числа Маха
в точке О. 'При наличии угловой точки в минимальном сечении
скорость газа в *ней скачкообразно возрастает. Ускорение потока
на оси до заданного числа 7И0 будет происходить при наименьшей
длине Z0 при обтекании угловой точки по сравнению с любым уча-
стком АА' с конечной кривизной [164]. Однако использование соп-
ла с угловой точкой не всегда целесообразно и поэтому радиус
кривизны Т?°2 обычно выбирают равным 0.2г* — 0.5г*.
При обтекании угловой точки образуется волна разрежения;
расчет течения в этой области производится классическим методом
характеристик. Начальная характеристика волны разрежения в
случае криволинейной звуковой линии определяется из расчета
трансзвуковой области течения (типичные характеристики и изме-
нение параметров на них показаны на рис. 4.8). В случае прямо-
линейной поверхности перехода граничная характеристика совпа-
дает со звуковой линией.
Расчет обтекания угловой точки в осесимметричном случае при
наличии плоской поверхности перехода при различных значениях
показателя адиабаты у проведен в [70]. При больших углах пово-
рота потока характеристики 2-го семейства имеют точки максиму-
ма, в которых 0 = а. Значения а и О вдоль характеристик волны
разрежения изменяются монотонно: а растет в направлении от
угловой точки к оси, а 0 уменьшается. В осесимметричном случае,
начиная с некоторой характеристики, аналогичным образом изме-
няются а и 0 и при криволинейной поверхности перехода, если
R2 > 0.5 и Мо > 1.5 (см. § 1). В плоском случае изменение пара-
метров на характеристиках волны разрежения при прямолинейной
звуковой линии происходит монотонно, а при криволинейной зву-
ковой линии—немонотонно.
Интенсивность разгона потока может, вообще говоря, зависеть
от формы трансзвуковой области. Однако численное решение плос-
кой задачи об истечении струи из отверстия с прямолинейными
стенками показывает, что эта зависимость является весьма слабой
[64]. Аналогичный результат получен для осесимметричного слу-
чая путем экспериментального исследования распределения скоро-
сти на оси, возникающего при обтекании угловой точки [92]. Зави-
симость числа 7И от х для плоского и осесимметричного случаев
представлена на рис. 4.17. Ускорение потока до заданного числа
М в осесимметричном случае происходит на меньшей длине, чем в
плоском. Кроме того, и в плоском и в осесимметричном случаях
замена угловой точки участком с малым радиусом кривизны не
168
приводит к сколь-либо существенному изменению длины разгонно-
го участка. Так, при 0.5 эта длина увеличивается всего на
2—3% по сравнению с длиной при обтекании угловой точки. Дли-
на разгонного участка зависит не только от числа 714, но и от по-
казателя адиабаты у, причем уменьшение у приводит к увеличе-
нию длины разгонного участка.
Можно получить прибли-
женную аналитическую зави-
симость числа М от х вдоль
осн плоской п осесимметрич-
ной струй. При истечении в
вакуум линии тока и характе-
ристики на бесконечности сли-
ваются и каждая характерис-
тика и соответствующая линия
тока приближаются к прямой
линии, наклоненной под опре-
деленным углом к оси струп.
Можно показать, что асимпто-
тическое поведение параметров
течения при достаточном уда-
лении от входного сечения
соответствует течению некото-
рого эквивалентного источни-
ка, интенсивность которого ме-
няется при переходе от одной
линии тока к другой. В част-
ности, для линии тока, совпа-
дающей с осью сопла, спра-
ведлива следующая прибли-
женная зависимость числа М
от расстояния до источника
Х= C[^(M)]-i + v/2 ,
Рис. 4.17. Изменение числа М на разгон-
ном участке. Истечение из отверстия с
прямолинейными стенками при 0о = л/2:
1 — расчет, 7—вычисление по (4.24);
обтекание угловой точки при различных
Т?2: 2, 3 —расчет при R2 = °°, 4 — рас-
чет при Т?2 = 2; 5 — расчет при R2 —
= 0.3; 6 — эксперимент при R2 = 2 [92]
(4.24)
где С — константа, зависящая от у и определяемая подбором. Так,
в плоском случае С = 1 при у = 1.4, С = 1.1 при у = 1.25 и С —
— 1.15 при у = 1.14. В осесимметричном случае для этих же зна-
чений у С соответственно равна 1.17, 1.2, 1.25. Сравнение резуль-
татов расчета по формуле (4.24) и методом характеристик дано на
рис. 4.17.
169
§ 2
ПРОФИЛИРОВАНИЕ
СВЕРХЗВУКОВОГО КОНТУРА
РЕАКТИВНОГО СОПЛА.
ПОТЕРИ ИМПУЛЬСА
1. Профилирование сверхзвукового контура реактивного сопла.
При профилировании сверхзвуковой части сопла должно быть из-
вестно и задано в качестве начальных данных течение в области
минимального сечения. Выше были описаны особенности течения
на разгонном участке сопла, при этом отмечено, что ускорение
потока до заданной скорости на кратчайшей длине по сравнению
с другими способами ускорения происходит при обтекании угловой
точки. На практике для уменьшения конвективных тепловых пото-
ков или из-за возможного отрыва потока при двухслойном тече-
нии контур в окрестности минимального сечения со стороны сверх-
звуковой области выполняется в виде дуги окружности небольшого
радиуса =0.2 — 0.5г*. Поскольку интенсивность ускорения по-
тока почти не зависит от формы звуковой линии, то при расчете
сверхзвукового контура сопла обычно используется предположение
о прямолинейности звуковой линии.
Пусть разгонный участок сопла оканчивается характеристикой
волпы разрежения А'О, такой, что на оси достигается заданная
скорость, характеризуемая числом 7И0 (рис. 4.1). Из любой точки
характеристики А'О можно провести характеристику ДВ, такую,
чтобы расход газа через А'Д равнялся расходу газа через ДВ.
Если теперь методом характеристики решить задачу Гурса и опре-
делить течение в характеристическом треугольнике А'ДВ, то в ка-
честве контура сопла можно взять линию тока А'В, проходящую
через точки А' и В.
Известны различные способы задания замыкающей характери-
стики ДВ [92]. Наиболее распространенный прием заключается в
выборе в качестве замыкающей начинающейся от оси симметрии
прямолинейной характеристики ОС, на которой вектор скорости
постоянен и параллелен оси. Такую характеристику иногда назы-
вают равномерной. Проведя расчеты серии контуров сопел при
фиксированном показателе адиабаты с различными значениями
_Л40, можно получить однопараметрпческое семейство сопел.
В качестве замыкающей характеристики, если она начинается
на оси симметрии, можно выбрать характеристику ОС, симметрич-
ную А'О, такую, что в симметричных точках скорости равны по ве-
личине, а углы наклона вектора скорости имеют противоположный
знак (рис. 4.18, а). Течение будет симметричным относительно
плоскости ОО', при этом в области I поток газа ускоряется, а в
области II—тормозится. В плоскости симметрии угол наклона
скорости равен нулю; давление увеличивается по мере удаления от
оси. Для сопел реактивных двигателей целесообразно использо-
170
тока, сходящимися в точку
Рис. 4.18. Задание замыкающей ха
рактеристикц: а) симметричная ха-
рактеристика, б) характеристика те-
чения стока
вать только участок контура АО'. В качестве замыкающей харак-
теристики можно выбирать начинающуюся с оси симметрии харак-
теристику стока (рис. 4.18, б). В этом случае в области II будет
иметь место течение стока с .
Е. Для сверхзвуковых сопел
реактивных двигателей ис-
пользуется только часть
контура, в последней точке
которого угол наклона век-
тора скорости равен нулю.
Построенные таким образом
контуры сопел, проходящие
через фиксированные точки,
могут не обеспечивать мак-
симальную тягу или им-
пульс. Следует отметить,
однако, что сопла, контуры
которых построены на базе
симметричной, стоковой пли -
равномерной замыкающих
характеристик н проходят
через одни п те же точки,
обладают близкими значе-
ниями импульса [92].
Для построения контура сопла, реализующего максимум тяги
при заданных габаритных ограничениях, необходимо решать ва-
риационную задачу. В рамках идеального газа с использованием
метода контрольного контура в [40, 163] решена задача о нахож-
дении контура сопла, реализующего максимум тяги при заданном
внешнем противодавлении. В § 3 гл. I приведены конечные соот-
ношения, позволяющие определить соответствующую вариацион-
ную характеристику и значения параметров на ней [см. (1.171) —
(1.173)]. Эти соотношения пригодны и для других задач, когда до-
пустим переход к контрольному контуру (например, для задачи о
нахождении контура сопла, реализующего максимум тяги при за-
данной длине или площади выходного сечения).
Общий метод множителей Лагранжа в рамках идеального газа
в принципе позволяет построить оптимальное сопло без перехода
к контрольному контуру и без ограничений на изоп ер и метрические
условия и свойства течения, которые накладывает переход к кон-
трольному контуру [134, 39]. При использовании этого метода ока-
залось возможным учесть неравновесные физико-химические про-
цессы [82, 84]. Однако конкретная реализация его связана со зна-
чительными трудностями. В то же время, даже при наиболее пол-
ном учете всевозможных факторов, допустимых в рамках общего
метода множителей Лагранжа, при решении конкретной задачи
построения оптимального контура остаются неохваченными много
важных свойств течения, и поэтому получаемый оптимальный кон-
171
тур является оптимальным лишь для гипотетического течения, за-
ложенного в расчетную модель течения.
Пока не удается строго оптимизировать все сопло, включая до-,
транс- и сверхзвуковую области течения для реального течения
вязкого теплопроводного газа с диффузией компонент и неравно-
весными физико-химическими процессами. В связи с этим любая
из решенных в настоящее время вариационных задач не обладает
необходимой общностью. Поэтому естественный путь, по которому,
развиваются в настоящее время работы по оптимальному профи-
лированию сопел реактивных двигателей, состоит в выборе
a priori на основе феноменологических соображений какого-либо
семейства сопел, близких по свойствам к оптимальному. В каче-
стве такого семейства обычно выбирается либо однопараметриче-
ское -семейство укороченных сопел -с равномерной характеристикой
[92, 176], либо двухпараметрическое семейство сопел с так назы-
ваемой вариационной (экстремальной) характеристикой, коорди-
наты которой и значения искомых величин на ней определяются
по методу работ [40, 163, 191].
Контур сопла с равномерной характеристикой на практике не-
обходимо укорачивать. Действительно, действующие на стенки
сопла касательные напряжения трения создают силу, противопо-
ложную тяге, и, поскольку 'концевой участок контура почти парал-
лелен оси, приращение на нем сил трения оказывается большим,
чем приращение импульса сопла за счет сил давления. Длина уко-
роченного сопла определяется из условия равенства нулю прира-
щения всех сил, действующих на сопло. Обычно сопло укорачи-
вается еще больше, исходя из соображений компоновки и умень-
шения веса сопла.
Семейство сопел с вариационной характеристикой является
двухпараметрическим, поскольку каждое сопло этого семейства ха-
рактеризуется двумя параметрами — координатами точки на
характеристике волны разрежения, в которой начинается вариа-
ционная характеристика. Равномерная характеристика всегда
начинается на оси симметрии, поэтому соответствующее семейство
является од1нопараметрическим. В -плоском безвихревом течении
оба эти семейства эквивалентны, поскольку, согласно формулам
(1.171) — (1.173), вариационная характеристика является прямоли-
нейной, т. е. реализуется в простой волне, каковой является тече-
ние в плоском сопле с равномерной характеристикой. В силу этого
каждое укороченное сопло с равномерной характеристикой в плос-
ком случае совпадает с некоторым соплом, построенным на базе
вариационной характеристики. В осесимметричном случае оба се-
мейства сопел тождественны только тогда, когда вариационная
характеристика выходит из точки оси симметрии и является в
этом случае прямолинейной. Приходящие в одну точку контур
сопла, построенный на базе вариационной характеристики, и кон-
тур сопла из семейства укорененных сопел с равномерной харак-
теристикой в осесимметричном случае различаются. Для построе-
172
ния .вариационной характеристики ДВ, проходящей через заданную
точку В, необходимо варьировать координаты точки Д в волне
разрежения (рис. 4.18). В связи с этим построение контура сопла
с вариационной характеристикой является более трудоемкой за-
дачей, чем построение контура сопла, проходящего через те же
точки, но выбранного из семейства сопел с равномерной характе-
ристикой.
Ниже проведено сравнение сопел с вариационной и равномер-
ной характеристиками, контуры которых проходят через одни и те
же точки. Вариационные характеристики рассчитывались по фор-
мулам (1.171)— (1.173) и выходили из точек пучка, расположен-
ных правее линии, задаваемой уравнением (1.176), так что тече-
ние в таких соплах всюду изоэнтропическое и не содержит удар-
ных волн. Сравнение импульсов сопла с вариационной характери-
стикой и сопла, полученного укорочением сопла с равномерной
характеристикой, каждое из которых проходит через одни и те же
концевые точки А и В, представлено на рис. 4.19; там же показана
геометрия таких сопел. Видно, что контур сопла с вариационной
характеристикой обладает большим углом наклона в точке А и,
Рис. 4.19. Сравнение импульса (Л) и контура (/) сопла с вариационной
характеристикой с импульсом (/2) и контуром (2) укороченного сопла с
равномерной характеристикой. /° — импульс идеального сопла с тем же
отношением площадей. Нижняя кривая получена без учета потерь на-
трение
173
следовательно, меньшей плотностью газа у стенки. При отсутствии
трения сопла с вариационной характеристикой обладают импуль-
сом всего на 0.1—0.2% большим, чем укороченные сопла с равно-
мерной характеристикой.
При учете трения газа о стенки преимущество сопел с вариа-
ционной характеристикой оказывается более ощутимым и оно тем
больше, чем больше напряжение трения на стенке (последнее уве-
личивается с уменьшением относительной температуры стенки
Tw = TwITq). Дополнительный выигрыш при учете трения обуслов-
лен меньшей плотностью газа вблизи стенки сопла с вариацион-
ной характеристикой. Заметим, что этот выигрыш не следует из
постановки вариационной задачи, данной в работах [40, 163], опти-
мизация в которых проводилась для идеального газа. Он будет
меньшим при неравновесных физико-химических процессах, по-
скольку (большие углы поворота потока в угловой точке приводят
к большим потерям импульса за счет замораживания реакций.
Отметим, что имеющиеся решения задачи построения опти-
мального контура сопла с помощью общего метода множителей
Лагранжа также показывают незначительное преимущество таких
сопел перед укороченными соплами из семейства сопел с равно-
мерной характеристикой и перед соплами, построенными на базе
вариационных характеристик в смысле работ [40, 163]. Иногда для
решения задач, не допускающих перехода к контрольному конту-
ру, более простыми, чем общий метод множителей Лагранжа, мо-
гут оказаться прямые методы вариационного исчисления.
В работе [92] приведен пример расчета прямыми методами оп-
тимального контура с учетом неравномерности потока и трения
при турбулентном пограничном слое. Контуры этих сопел более
выпуклы, чем контуры сопел с вариационной характеристикой.
Импульс оптимальных сопел, построенных прямыми методами, на
0.1—0.2% выше, чем у сопел с вариационной характеристикой, что
следует из непосредственных расчетов и специально проведенных
экспериментов. Для конкретных условий целесообразно проводить
выбор концевых точек оптимального сопла (что само по себе явля-
ется трудоемкой задачей), базируясь на однопараметрическом се-
мействе сопел с равномерной характеристикой. Через найденные
концевые точки можно провести контуры, рассчитанные одним из
описанных методов, и’сравнить их путем прямого расчета течения
в сопле с заданным контуром с учетом трения, неравновесных фи-
зико-химических процессов и т. д. Из такого сравнения и опреде-
ляется профиль оптимального сопла. Такой метод построения
оптимального контура является приближенным, поскольку не. ре-
шается вариационная (задача с учетом всех и1зопериметрических
условий и всей совокупности физических явлений.
На ранних этапах развития ракетной техники использовались
конические и радиусные сопла, а также сопла с постоянным дав-
лением на контуре. Контур сверхзвуковой части радиусного сопла
выполняется в виде двух сопрягаемых между собой окружностей
174
с радиусами /?°2 и 7?3, при этом значение /?3 подбирается таким об-
разом, что в выходном сечении сопла угол наклона вектора скоро-
сти минимален с целью уменьшения неравномерности потока. Соп-
ло с постоянным давлением на контуре профилируется по границе
струи, истекающей из звукового сопла в пространство с понижен-
ным давлением. В соответствии со свойствами таких струй в ней
образуется висячая ударная волна, формирующаяся вблизи угло-
вой точки.
Для очень коротких сопел, вариационные характеристики у ко-
торых начинаются в точках пучка, расположенных левее линии,
задаваемой уравнением (1.176), не существует безударных реше-
ний вариационных задач. В литературе не описаны результаты
расчетов течения в таких соплах; отсутствуют также данные по
их форме. Это обстоятельство, по-видимому, послужило основа-
нием предложить для использования в качестве оптимальных ко-
ротких сопел так называемые афинно-укороченные сопла. Контур
такого сопла получается уменьшением в одно и тоже число раз
координаты х (при сохранении координат г) контура сопла с рав-
номерной характеристикой [30].
Результаты экспериментов по сравнению импульсов перечис-
ленных выше типов сопел с одними и теми же (концевыми точками
контуров представлены на рис. 4.20 [92]. На этом рисунке 7° — им-
Рис. 4.20. Изменение импульса сопел с
одинаковой степенью расширения (Мо =
— 2.6) при изменении длины сопла La =
= Lafr^'. 1 —укороченное сопло с пря-
молинейной характеристикой; 2—кони-
ческое сопло; 3— радиусное сопло; 5—
сопло с постоянным давлением на кон-
туре; 4 — относительная разность им-
пульсов укороченных сопел с равномер-
ной характеристикой Л и афинно-уко-
роченных сопел /ц одинаковой длины и
площади выходного сечения при_ Мо =
= 3.25 (верхняя шкала для Еа)
пульс укороченного сопла, имеющего ту же площадь выходного
сечения и расход, что и рассматриваемые, и длину Еа = 4.25. На
рис. 4.20 также представлены результаты сравнительных испыта-
ний двух серий сопел. Первая серия (I) —укороченные сопла с
равномерной характеристикой. Вторая серия (II)—афинно-укоро-
ченные сопла, полученные из контура сопел первой серии с длиной
La = 10.5 путем пропорционального уменьшения координаты х это-
го сопла при сохранении г. Видно, что при всех длинах сверхзву-
ковой части импульсы сопел серии I существенно выше импульсов
сопел серии II, хотя угол на срезе сопел серии II .меньше. Умень-
шение импульса афинно-укороченных сопел связано с образова-
175
нием ;в них ударных волн, которые наблюдаются в эксперименте.
Из рис. 4.20 видно, что наихудшими характеристиками обладает
сопло с постоянным давлением на контуре, а наилучшими—укоро-
ченное сопло с равномерной характеристикой. Коническое сопло
имеет импульс больший, чем радиусное.
2. Потери импульса. Задача выбора оптимального сопла раз-
бивается на два этапа. На первом этапе, имея исходное однопара-
метрическое семейство контуров с известными импульсами или тя-
говыми характеристиками, определяются концевые размеры опти-
мального сопла. Детально этот этап описан в § 3 настоящей главы.
Одновременно может быть определен и оптимальный контур сопла
из этого семейства. На втором этапе возможно, зафиксировав кон-
цевые точки, произвести уточнение контура сопла, используя при
построении оптимального контура наиболее строгие вариационные
принципы. Принципы построения контура сопла, проходящего че-
рез фиксированные точки, изложены выше.
Для осуществления первого этапа в качестве базового семей-
ства удобно выбрать семейство укороченных контуров сопел с рав-
номерной характеристикой. Ниже изложены методы определения
потерь импульса, знание которых необходимо для определения
тяговых и импульсных характеристик. Для построения однопара-
метрического семейства сопел необходимо задать либо постоянный
показатель адиабаты у, либо, если учитываются физико-химиче-
ские превращения, свойства рабочего тела. В последнем случае
расчеты соответствующего семейства контуров сопел становятся
очень громоздкими и неуниверсальными, поскольку их необходимо
проводить вновь для каждого конкретного топлива.
В связи с этим представляет интерес оценить влияние равно-
весного изменения свойства газа на форму сопел и потери импуль-
са. В этом случае энтропия газа во всем поле течения сохраняется
постоянной, поэтому с помощью результатов термодинамического
расчета равновесного расширения в одномерном приближении
представляется возможным получить зависимость давления от
плотности р = р(р) при S = const, которую представим в виде
р = рп + а0 + «1 р + а2 р2, (4.25)
где р = р/ро, р = р/ро, п = In ра/1п ра, ра, Ра — относительные дав-
ление и плотность в выходном сечении сопла. Зависимость (4.25)
использовалась при расчете методом характеристик сверхзвукового
течения в осесимметричных соплах с угловой точкой. Сопоставле-
ние результатов этих расчетов с результатами, полученными для
смеси с постоянным значением показателя адиабаты у = п, пока-
зывает, что при вычислении газодинамических параметров и им-
пульса необходимо учитывать изменение свойств продуктов сгора-
ния. В то же время расчет коэффициентов потерь импульса, выбор
оптимальных размеров сопел можно проводить с достаточной для
практики точностью, используя значение среднего показателя изо-
176
энтропы расширения п = const. Таким образом, в случае равно-
весного течения влияние изменения свойств продуктов сгорания
на геометрию контура и -на коэффициенты потерь импульса может
быть учтено соответствующим (выбором постоянного значения п
для каждой конкретной топливной композиции.
Следует отметить, что среднее значение показателя изоэнтропы
п в том виде, как оно определено по формуле (4.25), изменяется
при изменении ра. Очевидно, что п в общем случае не равно отно-
шению удельных теплоемкостей у = cPlcv, хотя для совершенного
газа без физико-химических превращений у = п. Однако во избе-
жание путаницы и для единства обозначений далее всюду при оп-
ределении потерь -будем использовать величину у, понимая под у
для сложных реальных составов величину п. Отметим еще, что
использование величины п для расчета импульса, расхода и пара-
метров на срезе сопла при известных площадях выходного и ми-
нимального сечений и параметрах торможения с помощью газо-
динамических функций [формулы (1.137) — (1.143)] в случае
сложных реагирующих смесей неправомерно и приводит к боль-
шим ошибкам. Определение параметров на срезе сопла в случае
сложных составов должно проводиться с учетом всех физико-хи-
мических процессов (см. гл. V).
Геометрические и газодинамические характеристики течений в
соплах обычно приводятся в виде таблиц, которые рассчитываются
для практически интересного диапазона у и Мо. Полезными явля-
ются и различные аналитические зависимости, аппроксимирующие
таблицы. В работе [112] приведены приближенные формулы, по-
зволяющие рассчитать длину и боковую /поверхность сопла из
семейства сопел с угловой точкой и равномерным и параллельным
оси потоком на выходе, если известны у, относительный радиус
выходного сечения га и степень укорочения сопла т=(га— 1) X
X(rO-l)-1. Эти формулы имеют вид
La = £°{0.32 + 0.68ехр[—aL (1 — m)°]}, (4.26)
Sa = S° — r2-6 (ra— 1)-°’5[(1 — as)-°'5 — (m-1 — as)-°5],
(I
где
£° = 3.16r+055+0-17* , aL = 2.73+0.9 (у — I)0125,
ст = 0.7 — 0.03r°-5 , S° = 5.62f214+10(7 ~1)3,
a cl
as = 0.984 + 5.5 (y — I)4 — [0.045 +
+ 2.25 (у — l)6](ra — I)-05.
(4.27)
Здесь La — длина сверхзвуковой части сопла, отнесенная к радиу-
су критического сечения; Sa, S° — боковые поверхности сверхзву-
ковых частей укороченного сопла и неукороченного сопла с равно-
мерным потоком на выходе при га = г° (рис. 4.1). Формулы (4.26),
12—625 177
(4.27) применимы в диапазоне у = 1.20—1.25, т = 0.4— 1 и
pdpa = 20— 104 точность расчета La и Sa по этим формулам со-
ставляет 5—10%.
Определим теперь основные параметры, характеризующие ин-
тегральные газодинамические характеристики сопла. В первую
очередь — это действительный расход газа и действительный им-
пульс в направлении оси сопла, определяемые по формулам:
Q = Jp (Wn) dS,
s
(4.28)
J = J[p W (Wn) + pn]exdS, (4.29)
S
где n — единичный вектор, нормальный к поверхности, а ех — еди-
ничный вектор, параллельный оси сопла. Формула (4.29), вообще,
говоря, определяет поток импульса через выходное сечение в нап-
равлении оси, однако величину J обычно называют импульсом
сопла. В осесимметричном и плоском соплах при х = const эти
формулы приобретают вид
г
Q = j р W cos 0rv dr, (4.30)
о
г
J = 9nv j (р U72Cos2e + p)rvdr. (4-31)
0
Формула (4.29) позволяет определить импульс не только в направ-
лении оси сопла, но и в любом другом направлении, если вместо
единичного вектора еЛ- использовать соответствующий этому нап-
равлению единичный вектор. Действительная тяга сопла
R = J—pH Fa (4.32)
определяется как равнодействующая всех сил, действующих на
ракету в направлении ее оси, если на все ее внешние элементы
действует лишь давление в окружающем пространстве рн . Удель-
ный импульс и удельная тяга определяются как отношения Js =
— Z/Q, Rs = RIQ. При рн — 0 Rs = Js и Js в этом случае называ-
ют пустотным удельным импульсом. Если рн = ра, то Rs называ-
ют земной удельной тягой.
На практике -обычно используются безразмерные коэффициен-
ты, характеризующие расход, импульс или тягу сопла, в которых
действительные параметры сопла относятся к параметрам идеаль-
ного сопла. Под идеальным соплом понимают обычно такое сопло,
в котором происходит идеальный процесс расширения, когда вдоль
каждой линии тока энтропия остается неизменной и отсутствует
обмен энергией с внешней средой через стенки сопла. В любом по-
178
перечном сечении идеального сопла статическое давление постоян-
но, а скорость газа параллельна оси, но энтропия., полное давле-
ние, иодная температура могут быть, вообще говоря, переменными
по сечению.
Сравнение действительного сопла с идеальным можно прово-
дить различными способами. Можно, например, заменить началь-
ные неравномерные профили полных температур, давлений и со-
става некоторыми эквивалентными средними, сохраняя, скажем,
одинаковые потоки энергии и массы [132]. Если при этом сохра-
нить и поток энтропии, то осредненное течение с равномерными
профилями в общем случае может не существовать. Кроме того, в
трансзвуковой области осреднение может быть неоднозначным.
И, наконец, осредненное равномерное течение может иметь импульс,
как больший, так и меньший импульса неравномерного потока.
Поэтому целесообразно при сравнении импульсов идеального и
реального сопел принимать в идеальном сопле такое же неравно-
мерное распределение параметров во входном сечении сопла, как
и в реальном сопле, а для определения импульса идеального сопла
использовать модель слоистого одномерного равновесного течения;
при этом сравниваемые действительное и идеальное течения будут
обладать одинаковыми потоками массы, энергии и энтропии. По-
скольку перемешивание может в некоторых случаях привести к
увеличению удельного импульса, то может оказаться, что импульс
идеального сопла меньше импульса действительного сопла. Воз-
можны и другие способы сравнения, важно лишь, чтобы они были
четко оговорены с тем, чтобы при использовании безразмерных
коэффициентов потерь правильно определить действительный им-
пульс сопла.
Сравнение целесообразно также проводить при условии равен-
ства абсолютных площадей выходных сечений идеального и дей-
ствительного сопел. В силу требования равенства расходов срав-
ниваемых сопел их критические сечения могут различаться,
поэтому сравнение импульсов должно производиться при равен-
стве не относительных, а абсолютных площадей выходных сечений
сопел. В связи с этим число Маха идеального сопла с тем же рас-
ходом, что и у действительного сопла, определяется из соотноше-
ния д(Л4) = ц F*/Fa, где ц— коэффициент расхода действительного
сопла. С учетом коэффициента расхода числа Маха идеального
сопла, а следовательно, и его импульс выше по сравнению со слу-
чаем р = 1. На практике часто используют и другой способ срав-
нения, когда принимается условие равенства параметров торможе-
ния сравниваемых сопел, площадей выходных сечений и площадей
критических сечений; при этом расходы сопел различаются.
Рассмотрим оба способа сравнения на примере сопел, имеющих
на выходе равномерный и параллельный оси поток. В первом слу-
чае потребуем выполнения равенств: yi = у2, poi = Р02, ?oi = Г02,
Fai = Fg2, Qi = Q2 (^*1 =# F*2 за счет различия в коэффициентах
расхода). Очевидно, что импульс первого сопла /1 в этом случае
179
равен импульсу второго /2, так же как и удельный импульс =
= Л/Qi = 2s = J2IQ2. При втором способе сравнения вместо усло-
вия Qi = Q2 ставится условие F*i = F*2(hi Н2, Qi #= Qq)- При-
мем для простоты, что gi < >1, а = 1, т. е. Qi < Q2. Имеем тог^
Да ?(М) = hi F*IFa, q('k2) = F^Fa, т. е. ?(М)<?(М, М > Не-
трудно показать, что с точностью до величины (1 — pi)2
z(^)
Z(X2)
(4.33)
= Hl 1 +
z(X2)
1 — Hi
Xi z (X2)
X2
1
где z(^) = Z + V1. Поскольку при M 1 последний член меньше
1 — Ц1, то 1\ < /2. Очевидно также, что Л1/Л2 = ^(^1)/^(^2)> 1,
т. е. импульс первого сопла 'меньше импульса второго, а удельный
импульс первого больше удельного импульса второго.
Полученные результаты достаточно очевидны. Первое сопло
имеет большее значение К в выходном сечении и меньший расход,
поэтому оно имеет меньший импульс (за счет меньшего расхода),
но больший удельный импульс (за счет большего X). Поэтому при
втором способе сравнения сопла ставятся в неравные условия.
Первый способ является более предпочтительным, в особенности
при сравнении реальных сопел, когда поток в выходном сечении
не является равномерным.
Отличие действительных параметров от идеальных характери-
зуется различными коэффициентами. Так, различие в расходах
при одинаковых площадях минимального сечения характеризуется
коэффициентом расхода р. Коэффициент импульса сопла ф = 1//°
определяется как отношение действительного импульса сопла J к
импульсу идеального сопла 7°, имеющего те же Q, Fa и то же рас-
пределение параметров таза во входном сечении, что и в реальном
сопле.
Импульс идеального сопла можно записать в виде
га
W2 + p)r"dr.
(4.34)
Для совершенного газа при равномерном распределении парамет-
ров по сечению имеем
р = = (_2— \1/<v~ ° иРо F* . (4.35)
2у \ у + 1 /
где ро — полное давление, а № определяется через газодинамиче-
скую функцию q(7F)= ixF*/Fa. Коэффициенты потерь импульса,
удельного импульса и тяги определяются формулами
180
Величины Кпу ф для случая идеального газа с постоянным у свя-
заны соотношением
г
Кп = (-M1/<V-1)H<pz(^0)- (4.37)
\Y + 1 /
Для автомодельных режимов работы сверхзвукового сопла, ког-
да давление в любой точке сопла не зависит от давления окружа-
ющей среды рн , коэффициент тяги Кн для газа с у = const свя-
зан с Кп, ф соотношениями
Кн Кп — г “2 Рн /ро,
Кн I ii(pz(Z/ ) —- . (4.38)
При течении реального газа в сверхзвуковом сопле процесс
расширения происходит с заметным отличием от принятой схемы
идеального процесса расширения, что приводит к возникновению
потерь. Отличие действительной тяги от идеальной вызывается
различными по своей природе газодинамическими и физико-хими-
• ческими явлениями, из которых определяющими являются сле-
дующие.
В процессе расширения газодинамические и термодинамические
параметры не сохраняются постоянными в поперечном сечении
сопла, в частности вектор скорости не параллелен оси сопла, дав-
ление и число М могут заметно изменяться в направлении от оси
сопла к стенке. Неравномерность параметров в выходном сечении
приводит к потерям на рассеяние, так как при фиксированной пло-
щади выходного сечения максимальной тягой обладает идеальное
сопло с равномерным и параллельным оси потоком.
При течении в сопле вязкого и теплопроводного газа вблизи
стенок нарастает пограничный слой. Сила трения, действующая в
направлении, противоположном силе тяге, а также перераспреде-
ление давления на стенках сопла, связанное с наличием погранич-
ного слоя, приводят к возникновению потерь на трение. Наличие
теплообмена между газом и стенками сопла) также влияет на
величину тяги.
Процесс расширения газа в сопле сопровождается физико-хи-
мическими превращениями (возбуждением колебательных степе-
ней свободы, реакциями рекомбинации и диссоциации и т. п.),
времена протекания которых могут быть сравнимы со временем
прохождения фиксированного элемента объема через сопло. В этом
случае физико-химические процессы протекают неравновесно, что
приводит к потерям по сравнению с идеальным равновесным про-
цессом истечения. Наличие частиц конденсата приводит к разного
рода неравновесным процессам, также являющимися источниками
потерь тяги. Потери удельного импульса, связанные с неравновес-
181
ным протеканием физико-химических процессов, будут рассмотре-
ны в гл. V.
Вследствие особенностей технологического процесса производ-
ства, а также характера теплообмена и разгара сопла контур
реального сопла отличается от расчетного, специальным образом
спрофилированного оптимального контура, что, как правило, вы-
зывает увеличение потерь тяги.
Наличие внешнего противодавления, превышающего давление
на контуре сопла в выходном сечении, может изменять распреде-
ление давления по стенке сопла. Это изменение возможно как за
счет передачи давления по дозвуковой части пограничного слоя
(при малой разнице внешнего давления и давления на стенке), так
и за счет отрыва потока от стенок сопла при большом различии
этих давлений. Эти явления также приводят к изменению тяги.
В соответствии с перечисленными выше причинами, вызываю-
щими потери импульса в действительном сопле, коэффициент по-
терь импульса можно записать в виде суммы различного рода по-
терь, из которых ниже рассматриваются основные составляющие,
а именно — коэффициент потерь импульса на рассеяние, свя-
занный с неравномерностью параметров в выходном сечении соп-
ла, и — коэффициент потерь импульса на трение.
Рассмотрим потери импульза на рассеяние, возникающие
вследствие укорочения сверхзвуковой части контура сопла, спро-
филированного на равномерное и параллельное оси течение на вы-
ходе. Для этого сопла коэффициент потерь импульса на рассеяние
зависит от длины сверхзвуковой части, радиуса выходного сечения
сопла и показателя адиабаты у. В оптимальных профилированных
соплах может иметь место значительная неравномерность скоро-
сти по величине и направлению. В соответствии с законом сохра-
нения количества движения потери импульса на рассеяние сопла
определяются формулой
= ! — (/* + лУР)/Р,
где Z* — импульс суживающейся части сопла, а
(4.39)
р = 2
prv dr —
с точностью до множителя интеграл спроектированных на ось
х сил давления, действующих па сверхзвуковую часть сопла.
В частном случае сопла с прямолинейной звуковой линией форму-
ла (4.39) приобретает вид
=W°)-2]—РМ 1/(7 n pW),
182
На рис. 4.21 построены зависимости величины £р от определяю-
щих параметров. При фиксированном радиусе среза сопла с уве-
личением длины уменьшается, так как неравномерность пара-
метров в поперечном сечении уменьшается с увеличением длины
сопла. При фиксированной длине сопла с увеличением радиуса
Рис. 4.21. Зависимость коэффициента потерь
ны сопла при различных
на рассеяние от дли-
Га и у
выходного сечения £р увеличивается, так как увеличивается нерав-
номерность 'Параметров потока. Если задать концевые точки сопла
и изменять при этом величину у, то в заданную точку приходят
различные контуры сопел, соответствующие различным показате-
лям у. Величина £р для этих контуров увеличивается с ростом у.
Однако изменение £Р при этом невелико: при увеличении у от 1.14
до 1.40 £р изменяется всего на 0.5—0.7%. Контуры сопел, прихо-
дящие в одну точку и имеющие различные значения у, также раз-
личаются незначительно.
Для практических расчетов весьма полезными являются раз-
личные аппроксимирующие зависимости для определения величин
Имеет место следующая приближенная формула, позволяю-
щая определять потери на рассеяние для семейства укороченных
сопел с угловой точкой и равномерным и параллельным потоком
на выходе при известных у, га и степени укорочения сопла т:
= Ар(еп' —
I)-1 ехр щ
(4.40)
183
где
АР = 1.52 {ехр[—30(т — 1)] + 0.1},
ti! = 1.45(г0)0-25 — 0.005г°, r° = 1 + (г„ —
\
Формула (4.40) применима в диапазоне у = 1.10— 1.25, т = 0.4—
1, PnlPa = 20—104; точность определения £р при этом составляет
5-10%.
Выше рассмотрены потери на рассеяние, возникающие вслед-
ствие укорочения сверхзвуковой части контура сопла, рассчитан-
ного на равномерное и параллельное течение. Кроме неравномер-
ностей полей давлений и скоростей, вызванных укорочением сопла,
может возникнуть дополнительная неравномерность потока, обус-
ловленная отличием формы звуковой линии в минимальном сече-
нии реального сопла от прямолинейной. Однако возникающие в
связи с этим дополнительные потери на рассеяние относительно
невелики и не превышают 0.2% для £2>0.5 и М> 1.5. Для ко-
нического суживающегося насадка неравномерность параметров в
минимальном сечении, связанная с криволинейной формой поверх-
ности перехода через скорость звука, приводит к тому, что его
импульс оказывается меньше импульса идеального сопла с равно-
мерным потоком и с гем же расходом и площадью выходного
сечения. Так, для плоского сопла с прямолинейными стенками при
0о = я/2 величина £р равна 0.0275; примерно такое же значение
имеет £р и для осесимметричного сопла. Отношение импульса 7°
соответствующего идеального сопла к импульсу сопла 7* с прямо-
линейной звуковой линией и тем же расходом равно 0.5г (Х°), при
этом К° определяется из соотношения ?(Х°) = ц. Для рассматривае-
мого плоского сопла р = 0.856 (см. рис. 4.14), откуда следует, что
0.5г (Х°)= 1.048.
Таким образом, при сравнении сопел по первому способу, дей-
ствительный импульс J и удельный импульс Js плоского сопла с
0О = л/2 примерно на 1.5% больше, чем импульс 7*, так как ЛЦ =
= 0.5г(Х°) (1—£р). Если сравнение производить по второму спосо-
бу, т. е. потребовать не равенства расходов, а равенства площадей
минимальных сечений рассматриваемого сопла и звукового сопла,
то 7/7* = 0.5р г(Х°) (1—£р). В соответствии с формулой (4.33)
J < 7*, т. е. при таком способе сравнения действительный импульс
оказывается меньше импульса звукового сопла примерно на 12.5%.
Для получения того же импульса, что и у звукового сопла, пло-
щадь минимального сечения рассматриваемого плоского сопла
нужно увеличить примерно в р-1 раз. Отношение удельных им-
пульсов Js/J*s равно 0.5г(Х°)(1—£р) и действительный удельный
импульс примерно на 1.5% больше удельного импульса звукового
сопла.
Соотношения между импульсами и удельными импульсами при
различных способах сравнения имеют достаточно общий характер
и справедливы при критическом режиме истечения для всех су-
жающихся сопел, имеющих неравномерное поле скорости в мини-
мальном сечении. Действительно, согласно формулам (4.28),
(4.29),
рп
р (Wn)
еЛ- dQ
и на линии, вдоль которой 0 = 0, а таская линия всегда имеет ме-
сто при течении газа в сопле,
dJ = v ~-a^z(K)dQ.
2у
Производя интегрирование вдоль этой линии и используя теорему
о среднем, получим
J =l_±±.Gi2(^)Qi Js = Y.+ 1 д,
2v 2у
где г(Х)—осредненное (по расходу) значение г(Х) вдоль линии
6 — 0. Поскольку эта линия всегда расположена в сверхзвуковой
области сопла (см. рис. 4.3), то на ней X > 1 и г(Х)> г(1). Следо-
вательно, суживающийся насадок будет иметь большие импульс и
удельный импульс, чем звуковое сопло при условии равенства рас-
ходов. Однако если звуковое сопло имеет ту же площадь мини-
мального сечения, что и насадок, а следовательно, в ц раз боль-
ший расход, его импульс и удельный импульс будут равны
откуда следует (см. (4.33) ), что 1 < J a J s *8»
Расчеты показывают, что для сопла, контур которого в транс-
звуковой области выполнен в виде дуги окружности с радиусом
^2 = 0.5, 7* примерно на 1.2% больше, чем J, a J*s примерно на
1 % меньше, чем Js.
Сопла, используемые на практике, обычно имеют отклонения
в геометрических размерах от расчетных вследствие конструктив-
ных требований, особенностей технологического процесса, разгара
сопла в процессе работы. Эти отклонения возможны как в сверх-
звуковой, так и в дозвуковой частях сопла. Дополнительные поте-
ри импульса на рассеяние для сверхзвуковой части сопла, обус-
ловленные геометрическими отклонениями, связаны в основном с
изменением местных углов наклона контура. Эти дополнительные
потери можно рассчитать приближенно по формуле
A tP = V'/<v-1) (0.455ro + 1.7)-1 г"1^0) X
\Y + 1 '
% -Г. , И* +(М* — 2)2]tg0 1 zsnx,^-
х n(M)M2r(M2 — 1)-Os 1 +—------------1-----тг— (66)2d'X,
) v ' v 'I 4(M2—1)A J
A
(4-41)
185
где 6 0 — разница деформированного и расчетного контуров при
одинаковых х, М — число Маха на расчетном контуре. Число Ма-
ха на деформированном контуре 7Й согласно (1.150) определяется
из соотношения
М = М +
^—5 в = м
rfO
(Л12 — 1) -° 5 б о
Локальные деформации контура при 6 0^0.05 — 0.15 приво-
дят к дополнительным потерям, не превышающим 0.2%, что явля-
ется следствием общего свойства выбранного семейства контуров
сопел, которое, как было показано, близко к семейству контуров
сопел, построенных на базе вариационной характеристики. Для
последних отклонения тяги от оптимальной пропорциональны
квадратам вариаций координат контура, поэтому даже относитель-
но большие вариации контура не приводят к заметным потерям
импульса.
Если производится скругление контура в области угловой точки
окружностью радиуса R* , то связанные с этим дополнительные по-
тери импульса при R® < 1 можно приближенно определить по
формуле
Л Z р = О.ОО2^о . (4.42)
Для расчета потерь импульса на трение при течении в сопле
вязкого теплопроводного газа необходимо ввести помимо чисел М
и у два безразмерных параметра подобия: число Рейнольдса Reuo
и фактор теплообмена Tw. Определим их следующим образом:
Re.-о — Wт ро Z>c w =z TwITty (4.43)
где Wm — скорость истечения газа в пустоту, Lc = /0 + La— пол-
ная длина сопла (рис. 4.1), р0, TG — плотность и температура тор-
можения газа па входе в сопло, — динамическая вязкость газа
при температуре стенки Tw. При отсутствии теплообмена в сопле
фактор теплообмена Tw принимается равным 0.9, при наличии теп-
лообмена Tw < 0.9.
Известно, что в зависимости от числа Рейнольдса в погранич-
ном слое возможен ламинарный, турбулентный или переходный
режимы течения. Экспериментальные исследования состояния пог-
раничного слоя в оптимальных соплах для воздуха при Ма = 2.5—
3.0, Tw = 0.9 показали, что при Rew0 < Ю7 пограничный слой
является ламинарным, а при Rew0>3-107 — турбулентным [92].
В диапазоне чисел Rewo от 107 до 3 • 107 режим течения в погранич-
ном слое является переходным,. Результаты экспериментального
исследования представлены на рис. 4.22 в виде зависимости потерь
импульса на трение от числа Рейнольдса. Видно, что при значе-
ниях Rew0 > Ю8 потери импульса на трение слабо зависят от чис-
ла Rewo. При значениях Tw < 0.9 зависимость режимов течения в
186
пограничном'слое от числа Рейнольдса вследствие влияния тепло-
обмена может несколько изменяться.
Возникновение области, в которой потери на трение практиче-
ски не зависят от числа Rewo (область автомодельности зависи-
мости потерь на трение от Retro), связано с влиянием шерохова-
тости. Значение числа Re0, начиная с которого потери на трение
автомодельны по числу Рейнольдса, зависит от фактора теплооб-
мена и степени шероховатости.
Рис. 4.22. Зависимость коэффициента потерь
на трение от числа Рейнольдса в укороченном
сопле из семейства сопел с равномерным по-
током при Ма — 2.6, у = 1.4, Tw — 0.9: 1 —
эксперимент, 2 — расчет турбулентного погра-
ничного слоя, 3— расчет ламинарного погра-
ничного слоя [92]
В соплах современных двигателей возможны все режимы тече-
ния в пограничном слое. Для сопел двигателей малых тяг в пог-
раничном слое возможен ламинарный режим течения, для сопел
двигателей больших тяг — турбулентный. По проведенным оцен-
кам при давлениях на входе в сопло, больших 10 атм, и тяге дви-
гателя, большей 500 кг, пограничный слой в сопле является тур-
булентным.
Пограничный слой в сверхзвуковых соплах развивается в усло-
виях ускоряющегося течения с большими отрицательными гра-
диентами давления. Ускорение потока оказывает стабилизирующее
влияние на пограничный слой и оно может быть настолько силь-
ным, что вызовет «обратный» переход развитого турбулентного
пограничного слоя в ламинарный. Явление обратного перехода бы-
ло экспериментально обнаружено в соплах с большими отрица-
* тельными градиентами давления в работе [133]. В этом экспери-
менте на входе сопла создавался хорошо развитый турбулентный
пограничный слой, на выходе же был зарегистрирован ламинар-
ный. Эго указывает, что в соплах с интенсивным разгоном потока
в области критического сечения сопла можно ожидать появление
обратного перехода. При больших числах Рейнольдса (Rew0 > 3 X
Х107) ламинарный пограничный слой снова переходит в турбу-
лентный.
Расчет потерь импульса на трение при турбулентном или ла-
минарном режимах течения в пограничном слое может быть вы-
полнен на основе результатов работ [1, 2]. В этих работах необхо-
димые соотношения для расчета ламинарного пограничного слоя
выведены с использованием точных решений, которые удается по-
лучить для некоторых законов распределения скорости вне пог-
187
раничного слоя. Формулы для расчета турбулентного погранично-
го слоя получены на основе решения интегральных соотношений
импульса и энергии для турбулентного пограничного слоя с уче-
том градиента давления в ядре потока. При выводе этих соотно-
шений используется гидродинамическая аналогия Рейнольдса и
соответствующим образом обработанные многочисленные экспери-
ментальные данные по теплообмену и трению для гладкой плос-
кой пластины. Расчетные формулы для турбулентного погранич-
ного слоя экспериментально проверены лишь в диапазоне 7Й0< 10,
Tw = 0.5—1 при у = 1.4. Кроме того, применяемые в этих работах
экспериментальные зависимости, которые являются основой для
расчета турбулентного слоя, не учитывают влияния шероховато-
сти стенок сопла.
Ниже приводятся формулы для расчета потерь импульса на
трение при ламинарном и турбулентном пограничном слое в соп-
ле. В случае переходного режима течения в пограничном слое рас-
чет потерь на трение следует производить по формулам для тур-
булентного пограничного слоя.
Коэффициент потерь импульса на трение рассчитывается по
формуле
Гт = 26** 1 +
а \
(4.44)

где б** —толщина потери импульса, отнесенная к радиусу текуще-
го сечения сопла. Эта формула учитывает не только уменьшение
импульса сопла за счет касательных напряжений на стенке, дей-
ствующих в сторону, противоположную тяге, но также его измене-
ние, обусловленное изменением давления на стенке за счет тол-
щины вытеснения (т. е. за счет изменения эффективной площади
сечения сопла) и центробежных сил, действующих на элементы
газа, обтекающего криволинейную .поверхность. Изменение центро-
бежных сил связано с тем, что кривизна контура, поправленного
на толщину вытеснения, отличается от кривизны истинного конту-
ра. Неучет этих изменений давления приводит к существенной
ошибке в определении потерь импульса на трение.
Для ламинарного пограничного слоя величина ЪГ определяет-
ся следующим образом:
’/4 —
VT Z (f, Тw)
6**« =.[n(Mw)]-(v+1)/2v
(4.45)
Здесь Mw — число Маха на стенке в текущем сечении, I-—длина
образующей контура сопла, отнесенная к радиусу критического
сечения, ут —толщина потери энергии, отнесенная к радиусу теку-
щего сечения, z(f, Tw) — функция, характеризующая профили ско-
рости и температуры в пограничном слое.
Величины ут и f определяются из выражений:
188
=--------j' M6"1 [л(Л1)] <3V- l)/27/2 d I
r2aMb
w '0
f =---------[л (К) ] “(7V -3)/2v X
Yf2«Alw+1
(4.46)
18
J Afb-'U(Al)] (3v-')/2V2d7,
0
где djcti—производная, по направлению образующей контура в
Рас. 4.23. Функция z(f, Tw)
Таблица 4.1
Зависимость коэффициентов А и b от Tw)
Т W А
0.0 0.465 1.89
0.2 0.500 1.85
0.6 0.508 1.70
1.0 0.532 1.64
Из приведенных формул следует, что коэффициент потерь им-
пульса на трение при ламинарном режиме течения в пограничном
189
слое увеличивается с увеличением длины сопла и с уменьшением
7 w, f'а И Rе^о-
ПрИ турбулентном режиме течения расчет коэффициента по-
терь импульса на трение производится по формуле (4.44). При
этом толщина потери импульса 8а , отнесенная к радиусу выход-
ного сечения, определяется из выражения
(V + 1)/2(V- 1)
_1/б / 0.015 УЛ
w0 \ Т0.5 J X
1 w
(4-47)
где q = 18/7TW-—2/7. Эта формула пригодна для расчета потерь
на трение как в дозвуковой, так и в сверхзвуковой частях сопла.
Отметим, что если толщина потери импульса определена, то тол-
щина вытеснения 6J* может быть вычислена по формуле (4.19),
(4.20). При малых Tw согласно этой формуле и результатам экспе-
риментов, б* может оказаться даже отрицательной за счет значи-
тельного увеличения плотности газа вблизи охлаждаемых стенок
по сравнению с ядром потока.
В соплах реактивных двигателей
Рис. 4.24. Зависимость коэф-
фициента потерь на трение от
длины сверхзвуковой части
сопла
толщина вытеснения обычно невели-
ка и составляет 5—10% от радиуса
сопла. Если толщина вытеснения
определена, то возможно определить
изменение давления на стенке за
счет изменения эффективной площа-
ди поперечного сечения и за счет
изменения кривизны обтекаемой по-
верхности, поскольку кривизна кон-,
тура, поправленного на толщину
вытеснения, отличается от кривизны
истинного контура. Очевидно, что
указанные факторы вносят поправ-
ки разного знака.
Потери импульса на трение при
заданном значении Rew0 зависят от
га, у, Tw и распределения чис-
ла М по длине сопла. На рис. 4.24
представлены характерные зависп-
сверхзвуковой части
мости потерь импульса па трение
сопла при турбулентном режиме те-
чения в пограничном слое для семейства укороченных сопел с
равномерным потоком на выходе. При фиксированном радиусе вы-
в
190
ходного сечения величина £т увеличивается с увеличением длины
сопла, так как увеличивается поверхность сопла, на которую дей-
ствуют силы трения. При фиксированной длине сопла с увеличе-
нием радиуса выходного сечения величина £т уменьшается, так
как плотность газа вблизи стенок сопла падает. Кроме того, при
фикср!рованных радиусе га и длине сопла потери на трение увели-
чиваются с уменьшением у, Tw, что связано с повышением плотно-
сти газа вблизи стенок сопла. При расчете бГ по (4.47) обычно
принимают, что Rewo=Re°= 108. Если Rewo =# Ю8, при турбулент-
ном режиме течения пересчет потерь на трение производится по
формуле
| Rc,1T-io“ = / Rewo \°-2 (4 48)
St V 10s / k '
На рис. 4.22 представлено сравнение потерь импульса на тре-
ние, определенных экспериментально при Tw = 0.9 и у = 1.4, с ре-
зультатами расчетов по приведенным выше формулам для лами-
нарного и турбулентного режимов течения. Из этого сравнения
следует, что как в области турбулентного, так и в области лами-
нарного режимов течения результаты расчета и эксперимента сог-
ласуются между собой с точностью 20%.
Приближенная формула, позволяющая определить потери на
18 трение при турбулентном режиме течения, при Rewo = Ю8 для се-
мейства укороченных сопел с угловой точкой и равномерным пото-
ком на выходе при известном значении у, га, т и Tw имеет вид
[П2]
& = ц т°л (0.3 + О.ОЗбез^3) , (4.49)
где
= 8 • 10-3(2.62у2 Т-’/з - 1) (fa - 1)’/2.
Эта формула применима в диапазоне у = 1.10—1.25, т == 0.4—1,
pQlpa = 2G—104 и Tw = 0.1—0.9 относительная ошибка в определе-
нии составляет 5—10%.
При наличии шероховатости на внутренней поверхности сопла
величина потерь импульса на трение при турбулентном режиме
течения зависит при неизменной форме бугорков шероховатости в
основном от степени шероховатости или от относительной величи-
ны бугорков шероховатости Ks = Ksl%r*, где ks — величина бугор-
ков шероховатости. Изменение от 4 • 10-4 до 3.5- 10-2 для опти-
мального сопла с Ма = 3 приводит к изменению £т примерно на
1.5%. '
Для течений газа в соплах реактивных двигателей числа Рей-
нольдса достаточно велики, поэтому толщина вытеснения погра-
ничного слоя мала и составляет примерно 5—10% от величины
радиуса сопла. Это позволяет рассчитывать течение в пограничном
слое и в ядре независимо. Взаимное влияние их, однако, прояв-
ляется как при решении уравнений пограничного слоя через гра-
191
ничные условия на внешней границе, так и при расчете ядра по-
тока, вследствие поправки контура на толщину вытеснения.
При малых числах Рейнольдса (Rewo < Ю4) такой подход ока-
зывается неправомерным из-за большой толщины вязкого слоя.
В этих условиях для расчета течения необходимо использовать
полные уравнения Навье—Стокса. Результаты экспериментальных
и численных исследований течений в соплах при малых числах
Рейнольдса содержатся в работах [119, 122], откуда следует, что
разделение течения в сопле в указанном выше смысле на невязкое
течение в ядре потока и пограничный слой правомерно при Retro>
>5- 104.
3. Изменение тяги при нерасчетных режимах течения. При на-
личии внешнего противодавления ри можно выделить два харак-
терных режима течения: автомодельный режим течения, когда в
любой точке сверхзвуковой части сопла отношение статического
давления на стенке к полному давлению не зависит от давления
в окружающей среде, и неавтомодельный режим течения, когда на
некоторой части сопла распределение давлений зависит от давле-
ния в окружающей среде. При автомодельном режиме течения тя-
га сопла определяется по формуле (4.32). Для определения тяги
сопла при неавтомодельном режиме течения нужно знать силу, дей-
ствующую на ту часть сопла, распределение параметров на кото-
рой зависит от внешнего противодавления. Силу тяги, действую-
щую на остальную часть сопла, можно по-прежнему определять
по соотношению (4.32). В общем случае тяга при неавтомодельном
режиме течения, особенно при отрыве потока, превышает значе-
ние, определенное по формуле (4.32) для безотрывного течения.
Если давление в окружающей среде рк больше, чем статиче-
ское давление на контуре у среза сопла pw, трудно определить
расчетным путем силу, действующую на часть сопла с неавтомо-
дельным распределением параметров, вследствие сложного харак-
тера взаимодействия скачка уплотнения и пограничного слоя па
стенках сопла. В результате большой серии экспериментов в ра-
ботах [14, 190] была получена для различных у зависимость от
числа М величины критического отношения давления в скачке
уплотнения (рг/Pi)* (Рь р2 — давление перед и за скачком уплот-
нения), при превышении которой происходит отрыв турбулентного
пограничного слоя от стенки сопла. Эта зависимость при 1^714^3
может быть аппроксимирована формулой
= _2х_[1.21 + 0.39(/И— 1) + 0.055(М — I)2].
\ Р1 Л т+1
При рн > pw передача внешнего давления по пограничному
слою вверх по потоку имеет место и в том случае, когда рн lpw <
<(рг/Р1)* при данном значении числа М. Это приводит к возник-
новению зоны повышенного давления длиной в несколько толщин
пограничного слоя вблизи выходного сечения сопла при отсутствии
192
отрыва потока [145]. При р »/pw ~ 0.5(p2/Pi)* и Ма « 3.5 дополни-
тельное увеличение тяги сопла за счет передачи давления может
составлять 0.1—0.3%, а при рн /pw ~ (Р2/Р1) * и развитом погранич-
ном слое (6* 10%) это увеличение в некоторых случаях может
составлять 0.4—0.8%. При рн !pw> (Р2/Р1) * скачок уплотнения пе-
ремещается внутрь сопла, возникают развитые отрывные зоны, на
стенке сопла за скачком уплотнения вниз по потоку может проис-
ходить повышение давления, в особенности в профилированных
соплах. Полученные экспериментальным путем распределения дав-
ления на стенке сопла при различных рн = рн /р0 показаны на
рис. 4.25.
Рис. 4.25. Распределение давления в
коническом сопле при 0^ = 15°, Ма =
= 4, у = 1.4 на нерасчетных режимах
Рис. 4.26. Экспериментальная зависи-
мость коэффициента удельного импуль-
са; 1 — расчетная кривая, правее кото-
рой Кп не зависит от ра!рн
В общем случае для всех режимов > pw определение тяги
сопла следует производить, пользуясь эмпирическими зависимостя-
ми, полученными либо прямыми измерениями тяги, либо путем
дренажных испытаний. На рис. 4.26 в качестве примера приведена
экспериментальная зависимость коэффициента импульса Кп о г
pJPh. Для оптимальных сопел при Fa=const (ра, Ма — давле-
ние и число Маха в выходном сечении, определенное по одномер-
13—625
193
ной теории). Эта зависимость иллюстрирует значительное увели-
чение импульса сопла (до 5—10%) по сравнению с безотрывным
течением. На этом же рисунке представлена расчетная кривая,
правее которой Кп не зависит от ра!рн •
На практике часто пользуются коэффициентом тяги R, кото-
рый определяют как отношение тяги действительного сопла к тяге
идеального сопла, имеющего давление на срезе ра = рн • Очевидно,
что такое идеальное сопло имеет переменную площадь выходного
сечения, изменяющуюся с изменением рп , и максимальную тягу,
так как максимальной тягой при заданном противодавлении обла-
дает сопло, имеющее рн = Ра- Последнее нетрудно получить, про-
дифференцировав при ф = р = 1 выражение (4.38) по Х° и прирав-
няв нулю первую производную, что сразу дает в точке максимума
рн = ра, С учетом потерь импульса это равенство выполняется
лишь приближенно. Зависимость коэффициента тяги R от ра!рн
для оптимальных сопел при Fa = const приведена на рис. 4.27.
4. Расчетное и экспериментальное моделирование течений в соп-
лах реактивных двигателей. Возможности испытаний натурных
крупногабаритных двигателей, как правило, ограничены. В то же
время возникает необходимость моделировать течение на срезе
сопла для изучения параметров струи двигателя, их силового и
194
Рис. 4.28. Схема расчета модель-
ного сопла; 1—натуральное соп-
ло, 2 — модельное сопло
теплового воздействия на элементы конструкции и т. д. Ниже из-
лагается приближенный метод моделирования, который позволяет
воспроизвести некоторые параметры на срезе сопла. В гл. V будет
показано, что й при равновесном, и при неравновесном течениях
концентрации основных компонент продуктов сгорания при низких
температурах и давлениях, характерных для струй реактивных
двигателей, практически не меняются. Эффективный показатель
изоэнтропы пх = 1п^Ра\. , Где ра и ра — давление и плотность в
1п(р/ра)
выходном сечении сопла, а р и р—давление и плотность газа в
струе, для большинства продуктов сгорания изменяется в диапазо-
не 1.3—1.4, а молекулярный вес — в диапазоне 27—28. Таким обра-
зом, физические свойства продуктов сгорания можно моделировать,
используя холодный или незначительно подогретый воздух. Пока-
затель адиабаты пх отличается от п в формуле (4.25) тем, что пос-
ледний характеризует процесс расширения газа от камеры сгора-
ния до выходного сечения сопла, а первый — процесс расширения
в струе, начиная от выходного сечения сопла. Для моделирования
необходимо также, чтобы распределения числа М и угла наклона
вектора скорости в выходном сечении модельного и натурного со-
пел точно совпадали. В этом случае моделирование параметров на
срезе будет достаточно полным.
Метод построения контура
соответствующего модельного
сопла заключается в следую-
щем. Пусть из расчета течения
в натурном сопле известно рас-
пределение числа М и 6 в вы-
ходном сечении ВС сопла (рис.
4.28). Сохраняя те же распре-
деления параметров в выход-
ном сечении, но используя эф-
фективный показатель изоэн-
тропы П1, решим методом ха-
рактеристик задачу Коши в тре-
угольнике ВСО. Имея еще независимый расчет разгонного участка
с показателем можно выбрать такую характеристику АО, что-
бы расход через нее равнялся расходу через ВО, а число М в точ-
ке О оси совпадало со значением М, полученным при решении за-
дачи Коши в ВСО. Далее, решая методом характеристик задачу
Гурса между характеристиками ВО и АО, определим контур мо-
дельного сопла АВ. На рис. 4.28 дано сравнение контура натурно-
го сопла (1), рассчитанного при течении в нем продуктов сгора-
ния топлива с п = 1.16 и контура модельного сопла (2) для воз-
духа с П\ = 1.4.
Моделирование абсолютных значений статического давления,
температуры и скорости истечения на срезе сопла можно достиг-
нуть, выбрав соответствующие значения давления и температуры
195
торможения, неравные, очевидно, их значениям в натурном сопле
из-за различия в значениях п и пх.
Потери тяги в соплах реактивных двигателей малы и состав-
ляют всего несколько процентов, поэтому их экспериментальное
исследование требует специальных методов измерения. Основная
трудность заключается в точном измерении больших секундных
расходов газа, протекающего через испытуемое сопло. Чтобы обой-
ти эту трудность, были разработаны принципиально новые мето-
ды экспериментального исследования потерь тяги с использова-
нием диффёренциальных установок для сравнительных испытаний
сопел. Принцип действия этих установок заключается в непосред-
ственном измерении разности тяг двух сравниваемых сопел, нап-
равленных в разные стороны, со строго дозированными расхода-
ми газа [92].
§ 3______________________________________
ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ ВЫБОРА
РЕАКТИВНОГО СОПЛА
При выборе реактивного сопла для отдельного двигателя или
двигательной установки необходимо руководствоваться конкретны-
ми тактико-техническими требованиями, предъявляемыми к той
ракете или летательному аппарату, для которых создается реак-
тивный двигатель. Задачи, которые ставит практика ракетострое-
ния и реактивного двигателестроен,ия для сопла, обычно являются
экстремальными задачами. Сопло, как и другие элементы реак-
тивного двигателя, должно обеспечить получение максимальной
тяги двигательной установки при возможно меньших ее весе и
размерах. Кроме этих основных условий выбор сопла часто опре-
деляется условиями компоновки двигательной установки на раке-
те, возможностью теплозащиты стенок сопла и многими другими
факторами.
Точное и математически строгое решение задач экстремального
профилирования реактивных сопел затруднено в основном тремя
причинами. Во-первых, наши знания эффективности процессов пре-
образования тепловой энергии газа в кинетическую энергию реак-
тивной струи в реальном сопле являются приближенными. Это за-
мечание относится, во-первых, к процессам, связанным с вязкостью
и диффузией газов, проявляющихся в образовании пограничного
слоя на стенке и смешении потоков с различными параметрами.
Во-вторых, пока еще нет математического решения экстремальных
задач для всего до- и сверхзвукового потока в сопле. И, в-третьих,
условия, накладываемые на сопло, весьма разнообразны и много-
численны. С учетом конструктивных и технологических особенно-
стей процесса производства сопел для этих условий можно дать
только приближенную математическую формулировку. На тягу
196
двигательной установки оказывают существенное влияние внешние
условия при полете в атмосфере или при подводном и шахтном
стартах. Взаимодействие струй газа, истекающих из сопел, с внеш-
ней средой или между собой изменяет тягу двигательной установ-
ки за счет изменения давления на прилегающих поверхностях ле-
тательного аппарата. В связи с этим на современном этапе прак-
тические задачи профилирования и выбора сопла для реактивного
двигателя могут быть решены только приближенно [92]. Решение
этих задач основано на анализе тяговых характеристик однопара-
метрического семейства контуров. В качестве такого однопарамет-
рического семейства выбирается семейство сопел с равномерным
потоком на выходе. В рассмотренных ниже примерах при выборе
сверхзвукового сопла, как правило, будем исходить из того усло-
вия, что камера сгорания и дозвуковая часть сопла заданы. В ка-
мере двигателя считается известным давление, а в критическом
сечении сопла — состав и расход газа. Рассматриваются случаи,
когда противодавление рн постоянно и задано.
Для примера рассмотрим импульсные и тяговые характеристи-
ки семейства контуров сопел с угловой точкой и равномерной замы-
кающей характеристикой. На рис. 4.29, 4.30 представлены контуры
Рис. 4.29. Импульсные характеристики семейства сопел с равномерным
потоком па выходе
сопел с различными числами Л40, линии равных относительных бо-
ковых поверхностей Sa = Sa/n г2* и линии равных коэффициентов
импульсов Кп = const или тяг Кн = 'const с учетом всех видов по-
терь. Укороченные контуры, оканчивающиеся на одной и той ж,е
197
линии постоянства Кп (или Кн), имеют одинаковый импульс (или
одинаковую тягу), но различные длины и степени расширения.
При наличии внешнего противодавления в семействе сопел име-
ется ч единственное сопло с максимальной тягой. В данном прп-
Рис. 4.30. Тяговые характеристики семейства сопел с равномерным пото-
ком на выходе
мере коэффициент тяги такого сопла К нт равен 1.912 (рис. 4.30).
Расширение газа в этом сопле происходит в среднем до давления
выше атмосферного. При уменьшении внешнего противодавления
точка, соответствующая Кнт , перемещается в сторону больших
длин и больших степеней расширения. В предельном случае при
истечении в пустоту (рн = 0) в сопле с максимально возможным
импульсом с учетом потерь степень расширения газа ръ1ра ~
~ 105 — 107.
Сопла со степенями расширения, большими предельных, ис-
пользовать нерационально, так как в них прирост импульса из-за
увеличения степени расширения будет меньше, чем увеличение по-
терь па трение и рассеяние. Выбирать для двигателя сопла с мак-
симально возможным импульсом (или тягой) также нецелесооб-
разно, поскольку несколько отступив от этого максимума, можно
существенно уменьшить вес и габариты сопла. При этом следует
исходить из конкретных условий, накладываемых на сопло. В наи-
более характерных случаях такими условиями являются вес, сте-
пень расширения и длина сопла.
Пусть требуется определить сопло, реализующее максимум им-
пульса при постоянной боковой поверхности сверхзвуковой части
= const. Тогда среди семейства контуров сопел выбираются та-
кие укороченные контуры, концевые точки которых лежат на ли-
нии Sa = const (например, АВ на рис. 4.29). Очевидно, что кон-
198
тур сопла, обладающего максимумом импульса при Sa = const,
оканчивается в точке касания линий Sa = iconst и = const (точ-
ка С на рис. 4.29), поскольку перемещение вдоль АВ в любом на-
правлении от этой точки означает уменьшение импульса. Анало-
гично сопло, обладающее максимальным импульсом при заданной
площади выходного сечения Fa, есть сопло, контур которого окан-
чивается в точке касания линий Fa=const с линией Кп = const
(точка D). Перемещение от точки D влево вдоль линии Fa = const
соответствует уменьшению потерь на трение, но увеличению потерь
на рассеяние, а вправо-—-уменьшению потерь на рассеяние и уве-
личению потерь на трение.
Контур сопла с максимальным импульсом при постоянной дли-
не La = const оканчивается в точке касания линий La = const и
К ,2 = const (точка Е). Перемещение вверх от точки Е соответ-
ствует увеличению потерь на рассеяние, которые не компенсиру-
ются увеличением импульса за счет увеличения степени расшире-
ния. Перемещение вниз от точки Е соответствует уменьшению
потерь на рассеяние, однако это уменьшение не компенсирует па-
дение импульса из-за уменьшения степени расширения.
Рассмотрим теперь несколько подробнее выбор сопла с макси-
мальным удельным импульсом с учетом веса. При выборе сопла
для двигателя необходимо учитывать все силы, действующие на
стенки сопла. Обычно при определении тяги изолированного дви-
гателя учитываются нормальные силы давления и касательные си-
лы трения газа на стенке сопла и силы внешнего противодавле-
ния. При полете ракеты на стенку сопла действуют еще
инерционные силы и силы тяжести. При этом часть тяги двигате-
ля будет затрачиваться на преодоление этих инерционных сил,
учет которых не менее важен, чем, например, учет сил трения.
Сопло, выбранное с учетом всех сил, в том числе и инерционных,
может значительно отличаться по габаритам от сопла, выбранно-
го без учета веса сопла.
Вес сопла Ga обычно пропорционален величине его боковой
поверхности. Примем, что
Ga = cSa. (4.50)
Будем искать -такой контур, который при заданной величине боко-
вой поверхности обладает наибольшим импульсом J или тягой R.
В семействе выделяются такие сопла, укороченные контуры кото-
рых имеют одинаковую боковую поверхность. Нужными свойства-
ми обладает сопло, контур которого оканчивается в точке касания
линии Sa — const с линией К™ = const или Кн =const. Найдя не-
сколько таких сопел с различной величиной заданной боковой по-
верхности Sa, получим подсемейство сопел и линию концов конту-
ров сопел с максимальным импульсом или тягой при S0 = const.
Эти контуры дают решение задачи о сопле с максимальным им-
пульсом или тягой при заданном весе или о сопле с минимальным
весом при заданных импульсе или тяге.
199
Для конкретного двигателя из этого подсемейства следует
выбрать единственное сопло с помощью весового эквивалента b
(величины, показывающей цену единицы веса в единицах импуль-
са). Весовой эквивалент b определяется в результате баллистиче-
ских расчетов траектории полета ракеты и для современных дви-
гателей достигает величины 0.1—0.2 м/сек. н. По известным коэф-
фициентам тяги или импульса и боковым поверхностям сопел на
линии концов контуров сопел с max Rs при Sa = const определяет-
ся экстремальное сопло по максимуму величины эффективной
удельной тяги
Я°5 = Rs — bGa = ро F* Ки /Q — bcSa.
(4.51)
Пример выбора экстремального сопла приведен на рис. 4.31. Вид-
но, что учет весового эквивалента сопла уменьшает оптимальную
степень расширения. Аналогично выбираются сопла с max7?s при
Fa = const и La = const с учетом весового эквивалента. И в этом
случае ищется максимум не удельного импульса, а комплекса
Rs — bGa.
Рис. 4.31. Выбор сопла с максимальной эффективной удельной тягой
при учете веса с помощью весового эквивалента (у = 1.44, рн 1Ро =
= IO-3, Tw =0.9): 1—сопло с max7?s при Sa = const, 2— сопло с
max 7?°s при b =0.1, 3—сопло с max P°s при 6 = 0.2
Необходимо отметить, что сопла с максимальным импульсом
без учета веса при заданной степени расширения не могут быть
рекомендованы для использования на ракете или летательном ап-
парате, так как при этом не учитывается весовой эквивалент.
В тех случаях, когда при наличии габаритных ограничений необхо-
200
днмо выбирать сопло с заданной степенью расширения, надо по-
ступать следующим образом. При выборе сопла необходимо учи-
тывать его вес с помощью, например, весового эквивалента Ь.
Экстремальное сопло с заданной степенью расширения Fa = const
должно иметь наибольшую величину не удельного импульса, а
комплекса Js — bGa. Зависимость Js от La имеет максимум, что
связано с противоположным характером изменения потерь на рас-
сеяние и трение при увеличении длины. Учет весового эквивалента
при выборе сопла приводит к уменьшению длины при некотором
уменьшении удельного импульса. Чем больше весовой эквивалент,
тем короче получается сопло с заданной степенью расширения по
сравнению с исходным ‘ соплом с max/s при Fa = const. Следует
иметь в виду, что экстремальное сопло, выбранное с учетом веса
при заданной степени расширения, будет отличаться от экстре-
мального сопла, выбранного только с учетом веса.
Для стартовых двигателей первых ступеней ракет весовой экви-
валент невелик. Кроме того, степень расширения сопел этих двига-
телей относительно мала (Fa < 40), так что боковая поверхность у
этих сопел будет небольшой. Поэтому сопла двигателей первых сту-
пеней ракет приближаются к соплам с max J при Fa = const и b --=
= 0. Для двигателей последних ступеней ракет из-за больших
весовых эквивалентов и относительно больших степеней расшире-
ния и боковых поверхностей сопла получаются более короткими,
чем сопла с max J при Fa = const и b = 0. Если все ограничения,
накладываемые на сопло, могут быть выражены через его геомет-
рические характеристики (длину, степень расширения, боковую
поверхность и др.), то задача выбора экстремального сопла для
двигателя, работающего с постоянным внешним противодавлением,
решается по следующей схеме.
Пусть задано семейство контуров сопел и баллистические коэф-
фициенты по удельной тяге /, весу Ь, длине Z, степени расширения
f и др. Эти коэффициенты могут, например, определять цену еди-
ницы удельной тяги, единицы веса, единицы длины и т. д. в даль-
ности полета. Тогда из всего семейства контуров сопел выделяется
подсемейство сопел с максимальным импульсом при заданном ог-
раничении: шах / при IL + fF + bcS = const. Для этого на семей-
стве контуров сопел проводятся линии Ll-\-Ff-FbcS = const и в
тех точках этих линий, где импульс достигает наибольшего значе-
ния, т. е. в точках их касания с линиями постоянной тяги или им-
пульса, определяются контуры искомого подсемейства сопел. Да-
лее на линии концов контуров сопел этого подсемейства ищется
максимум величины jRs + IL + fF + bcS. В точке максимума оп-
ределяется экстремальное сопло для конкретного двигателя.
Исходными данными для выбора оптимального сопла являются
линии концов контуров сопел с max J при Sa = const, Fa = const,
La = const. Уравнения этих линий для сопел с равномерным пото-
ком на выходе при у = 1.25, Tw=0.3 можно представить в виде
ra = С\ + c2(La— Ю), где сх = 5, 4.6, 3.64 и с2 = 0.4, 0.33, 0.28 при
201
La = const, Sa = const, Fa = iconst соответственно. Для большин-
ства практических задач экстремального профилирования разме-
ры сверхзвуковых частей сопел располагаются в области между
линиями, соединяющими концы контуров с max J при La = const
и с max J при Fa = const. При выборе сопел на малые степени
расширения, характерных для ВРД и ТРД с числами 7И0= 1.14-1.2,
может оказаться, что сверхзвуковой участок сопла будет созда-
вать отрицательную тягу, если учесть силы трения, из-за малых
углов наклона образующих сопла. В связи с этим оптимальным
соплом может являться сужающийся насадок с неравномерным
полем скорости на выходе. Как отмечалось выше, импульс такого
насадка меньше импульса звукового сопла с той же площадью, а
удельный импульс — больше.
Глава V
ТЕЧЕНИЯ
С ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИМИ
ПРЕВРАЩЕНИЯМИ
§ 1
ИЗОЭНТРОПИЧЕСКИЕ ТЕЧЕНИЯ.
УЧЕТ МЕЖМОЛЕКУЛЯРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В большинстве прикладных задач не удается описать течение
газа, используя лишь модель идеального газа. Реальное течение
сопровождается физико-химическими процессами, природа кото-
рых и методы математического описания существенно усложняют-
ся. Система уравнений и граничных условий, приведенная в I гл.
для многоскоростной, многотемпературной и реагирующей сплош-
ной среды, дает общее представление о сложности задачи описа-
ния движения такого континуума в наиболее общем случае. На
практике приходится в основном иметь дело именно с такого рода
течениями. Однако, несмотря на одновременное протекание раз-
личных релаксационных процессов, их удается разделить и изу-
чать независимо, поскольку взаимное влияние по существу неве-
лико. В частности, неравновесное возбуждение или дезактивацию
колебательных степеней свободы можно изучить, используя нерав-
новесные значения концентраций различных компонент, получен-
ные в предположении равновесия поступательных и колебательных
степеней свободы. Характер неравновесного протекания химиче-
ских реакций в двухфазной среде лишь в слабой степени зависит
от динамического и теплового состояния частиц. В связи с этим в
настоящей главе будут раздельно рассмотрены неравновесные фи-
зико-химические процессы, которые могут иметь место в соплах,
в том числе неравновесное возбуждение колебательных степеней
свободы, химические реакции, неравновесные двухфазные течения.
1. Изоэнтропические течения. Учесть наличие физико-химиче-
ских процессов можно приближенно, приняв скорости их протека-
ния бесконечными или нулевыми. При бесконечной скорости имеет
место равновесное течение, а при нулевой —• замороженное. При
равновесном течений термодинамические и газодинамические па-
раметры определяются с привлечением соотношений термодинами-
ки равновесных процессов. Концентрации реагирующих компонент
в таких течениях определяются из закона действующих масс;
энергия колебательных степеней свободы вычисляется по формуле
Эйнштейна, парциальные давления конденсирующихся компо-
нент— по уравнению Клапейрона — Клаузиуса, а скорости и тем-
203
пературы частиц принимаются равными скорости и температуре
газа. Из уравнения производства энтропии (1.9) следует, что эн-
тропия в этом случае сохраняется неизменной вдоль струйки тока,
а из принципа максимальной работы в случае обратимых процес-
сов следует, что равновесное течение является предельным тече-
нием, когда удается получить в выходном сечении сопла
максимальный импульс, скорость истечения, температуру и макси-
мальное давление по .сравнению с любым другим процессом исте-
чения в сопле заданной геометрии и с заданными параметрами
заторможенного потока.
Другим предельным течением является полностью заморожен-
ное течение, когда параметры, характеризующие релаксационный
процесс, остаются неизменными в процессе движения смеси. Это
течение также является изоэнтропическим, поскольку правая часть
уравнения производства энтропии (1.9) и в этом случае обращает-
ся в нуль из-за равенства нулю скоростей соответствующих про-
цессов. В полностью замороженном течении сохраняются неизмен-
ными молярные доли различных компонент, энергия колебатель-
ных степеней свободы молекул, скорости и температуры частиц, а
процессы конденсации и кристаллизации вообще не происходят.
В предельном замороженном течении в выходном сечении сопла
заданной формы и с заданными параметрами торможения полу-
чается минимальное давление по сравнению с любым другим про-
цессом истечения, поскольку запасенная в покоящемся газе энер-
гия диссоциации и колебательных степеней свободы, теплота кон-
денсации и кристаллизации, а также тепловая энергия частиц не
передаются в поступательные и вращательные степени свободы
молекул (последние всегда предполагаются в равновесии между
собой) и, следовательно, не переходят затем в энергию направлен-
ного движения газа.
Возможны и некоторые другие модели изоэнтропического рас-
ширения, полезные для разного рода инженерных оценок. Рас-
сматривается, например, химически замороженное течение, когда
все остальные релаксирующие параметры, кроме молярных долей
компонент, изменяются в соответствии с соотношениями равновес-
ной термодинамики. Рассматривается также течение, когда замо-
рожены лишь фазовые переходы, конденсация или кристаллиза-
ция. Такое рассмотрение позволяет оценить предельное влияние
конденсации и кристаллизации на параметры течения. Наконец,
возможно рассмотрение замороженного двухфазного течения, ког-
да изменение всех параметров, кроме скорости и температуры ча-
стиц, происходит равновесно, а эти последние неизменны в процес-
се истечения.
Методы расчета равновесного и замороженного течения в соп-
ле весьма сложных смесей продуктов сгорания, в которых проис-
ходят перечисленные выше физико-химические превращения, изло-
жены в первом томе фундаментального десятитомного справочни-
ка [4]. В остальных томах этого справочника приведены таблицы
204
параметров смеси для различных композиций, полученные в одно-
мерном приближении. Такого рода таблицы, так же как и (Л—S)-
диаграммы, позволяют определить параметры в любой точке изо-
энтропического потока, если в этой точке известен какой-либо
один термодинамический параметр и параметры торможения по
аналогии со случаем одномерного течения газа с постоянным
отношением удельных теплоемкостей. Действительно, условие изо-
энтропичности S = S (р, р) = const или S = S (р, Т) = const до-
ставляет связь между давлением и плотностью (температурой), а
термическое и калорическое уравнения состояния вместе с урав-
нением сохранения энергии позволяют определить температуру
(плотность) и скорость, а также молярные доли различных ком-
понент, весовую долю конденсата и т. д.
Рассмотрим основные уравнения, используемые при расчете
равновесного течения гетерогенной смеси, состоящей из N инди-
видуальных веществ. Выберем среди них минимальное количество
таких m веществ, с помощью которых могут быть единственным
образом записаны реакции образования оставшихся I = N— ш ве-
ществ. Наиболее просто выбрать в качестве таких гп веществ ато-
мы и электронный газ, однако это условие не является обязатель-
ным. Независимым m компонентам будем приписывать нижний
индекс k, а I зависимым — /. Реакция образования зависимого
компонента (в том числе и иона) Mj может быть представлена в
виде £*
Al; = Vkj Akl (5.1)
k = 1
где Ak—символ независимого компонента, Vkj— стехиометриче-
ский коэффициент реакции. Условие равновесия для этой реакции
(закон действующих масс) имеет вид
m
VfejXh, (5.2)
k = 1
где Xfe, Xj — химические потенциалы компонент k и 7- Тогда из
(5.2) имеем
m
(5-3)
Рз п
k = 1
где рк, Pj—парциальные давления компонент k, Kj — констан-
та равновесия,
m
Ki(T)= exp{[^ VhiSl (T)-SO (T)]/?-i-
k = 1
m
-[ (T)W)-1}, (5.4)
k = 1
205
где hQk и — энтальпия и энтропия одного моля вещества в
стандартном состоянии, R — универсальная газовая постоянная.
При наличии конденсированных веществ их парциальные дав-
ления принимают равными давлениям насыщенного пара конден-
сированных веществ. Давление насыщенного пара р? может быть
найдено из условия равенства химического потенциала одного и
того же вещества в газовой и конденсированной фазах (уравнение
Клайперона — Клаузиуса) и равно
pl = ехр{(5® (Т)-S?s(Г)]/?->-[/? (T)-/°s (ВДТ)-'}, (5.5)
где нижний индекс s относится к конденсированному веществу, а
I°i — полная энтальпия индивидуального вещества.
К уравнениям (5.3), (5.4) добавляются уравнения сохранения
вещества, выражающие условия постоянства количества атомов
&-ГО химического элемента в процессе истечения. Для гетерогенной
смеси эти уравнения имеют вид
где а^г — количество атомов й-го типа в одном моле вещества г,
bk — количество атомов &-го типа в одном моле исходных продук-
тов, tti и nsi—число молей элемента i в газовом и конденсирован-
ном состояниях.
Для веществ, присутствующих и в газовом и в конденсирован-
ном состояниях, число молей в газовой фазе nsi является изве-
сткой функцией температуры и определяется из соотношения
N
(5.7)
Условие электронейтральности системы без учета возможного при-
сутствия заряженных конденсированных частиц имеет вид
N
S ац Пг = О, (5.8)
i = 1
где ац — кратность ионизации. Для смеси идеальных газов имеем
еще закон Дальтона
N
Рг = р. (5.9)
i = 1
Таким образом, при заданных р, Т и bk для определения неизве-
стных rii, nsi или рц Psi имеем систему нелинейных уравнений
(5.3), (5.6)—'(5.9), которая имеет единственное согласующееся с
физическим смыслом решение [56].
206
При расчете гетерогенных систем некоторые ограничения нак-
ладывает правило фаз, которое записывается в виде
г = 2 + 7V — Р — L,
(5.10)
где г — число термодинамических степеней свободы, Р — число
фаз, L — число независимых химических реакций. В рассматри-
ваемом случае термодинамическими степенями свободы являются
р и Т, так что г = 2; число индивидуальных веществ N равно I +
+ /л; число независимых химических реакций L = t, откуда Р = ту
т. е. число фаз не должно превышать числа элементов, из кото-
рых образована система. Поскольку одна из фаз является газовой,
то число конденсированных фаз Ps при г = 2 не должно превы-
шать т — 1.
В настоящее время развиты методы численного решения систе-
мы (5.3), (5.6) — (5.9) [4, 19]. Критический обзор их дан в [4].
В качестве примера конкретного вида этой системы выпишем си-
стему уравнений для определения продуктов сгорания углеводоро-
дов в кислороде при заданных температуре и давлении. Из числа
возможных индивидуальных компонент ограничимся основными
СО, СО2, Н2, О2, Н2О, ОН, Н, О. Один из вариантов системы урав-
нений имеет вид:
Рсо Рр2
Рсо2
Р он/7 и
Р н2о
W),

Р н2 Р о2
Р2
Н2О
- = Кз(Т),
= К^Т),
ъ
р2
^-=К5(Т),
Ро,
2Рсо2+ /’СО + Рн2о+ /’он + 2/’о2
рсо -F рсс>2
+ РО
Рсо + Рсо2 + Рн2 “F Ро2 + рн2о+ Рон+ Рн + Ро — Р-
Расчет равновесного течения реагирующей смеси в сопле раз-
бивается на два этапа. На первом этапе определяются параметры
в камере сгорания, при этом задается только давление, а темпе-
ратура находится при решении системы (5.3), (5.6) — (5.9) с ис-
пользованием условия равенства энтальпии продуктов сгорания и
топлива. Энтальпия и энтропия 1 кг смеси в камере сгорания
определяются по формулам
207
N N
So =-^7—3Ej ni (S°i — Я ln ni} + S nsi Ssi ] ,
1 = 1 i=1
(5.12)
где p — молекулярный вес смеси. На втором этапе рассчитывается
непосредственно процесс расширения, при этом обычно задается
температура в некотором сечении, а давление определяется при
решении системы (5.3), (5.6)—<(5.9) с использованием условия
S = So. В результате этого решения определяются и парциальные
давления всех компонент. Плотность смеси определяется далее из
уравнения состояния
(5.13)
скорость газа — из уравнения энергии
W = ]/2 (Яо — Л), (5.14)
а площадь сечения, если расход задан, — из уравнения неразрыв-
ности
р W
(5.15)
Одновременно могут
те Js = (р W2 + p)F/Q и расходный
быть определены удельный импульс в пусто-
комплекс р = poF*/Q.
На рис. 5.1 представлены
зависимости Л, р и То от ко-
эффициента избытка окис-
Рис. 5.1. Зависимость удельного импуль-
са в пустоте Js (сек.), расходного ком-
плекса Р и температуры То от коэффи-
циента избытка окислителя; р0= 150 ,бар
лителяадля топлива, горю-
чим, в котором является не-
симметричный диметил гид-
разин (CH3)2NNH2, а окисли-
телем — азотный тетраксид
N2O4. Совокупность таких
графиков позволяет опреде-
лить важнейшие характери-
стики для каждой топлив-
ной композиции.
Расчет химически замо-
роженного истечения произ-
водится аналогичным обра-
зом с использованием усло-‘
вия S = S0, только в этом
случае отпадает необходи-
мость в решении системы
(5.3), (5.6) — (5.9), посколь-
ку молярные доли компо-
неизменными. Если предло-
нент в процессе истечения остаются
жить еще замораживание колебательных степеней свободы моле-
кул, а также отсутствие фазовых переходов, то процесс истечения
208
может быть рассчитан по формулам (1.137) —(1.139) для идеаль-
ного газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей у—
=у°, которое определяется следующим образом:
N N
Y° = ( cpi J Срг ГОг »
i = 1 i = 1
где Cpi — теплоемкость /-й компоненты при постоянном давлении,
полученная с учетом только возбуждения поступательных и вра-
щательных степеней свободы, a rQi —«молярная доля r-й компонен-
ты в камере сгорания. Для иллюстрации на рис. 5.2 представлена
Рис. 5.2. Зависимость удельного импульса в пустоте Js (сек) и темпера-
туры Т от г при а= 1, р0 = 150 бар: 1 — равновесное течение, 2— хими-
чески неравновесное течение, 3 — химически замороженное течение, 4 —
течение с замороженными химическими реакциями и энергией колеба-
тельных степеней свободы
зависимость удельного импульса в пустоте и температуры от отно-
сительного радиуса г = Fl/2 для того же топлива для трех пре-
дельных случаев течения: равновесного, химически замороженного
14—625 209
и течения с замороженными химическими реакциями и энергией
колебательных степеней свободы.
В некоторых случаях возможно провести приближенный рас-
чет газодинамических параметров при равновесном или заморо-
женном течениях, если воспользоваться так называемым средним
значением показателя изоэнтропы и, .которое вычисляется по фор-
муле
п = 1П (Р/Ро) . (5. 16)
In(p/Po)
Тогда для определения всех необходимых параметров, в том числе
Js и р, можно пользоваться формулами (1.137) — (1.144) для иде-
ального газа с постоянным отношением удельных теплоемкостей
у = п. В частности, Js и р определяются по формулам
Js = z(X)f^T-^Y/2 , (5.17)
\ 2п ц /
Р=—5—(^У/2 . (5.18)
Л (и) \ р, /
Такой приближенный подход практически не вносит ошибок при
расчете параметров в дозвуковой части сопла и в критическом се-
чении. Ошибка в определении параметров в сверхзвуковой части
сопла может составлять: для температуры—10-—15%, для скоро-
сти— 1—4%, для удельного импульса— 1—4%.
Расчет двумерных или пространственных равновесных течений
производится по существу по тем же алгоритмам, что и расчет те-
чения идеального газа с у = const. Необходимо лишь иметь таб-
личные или аналитические зависимости величин р!р^ р/ро, T/Tq,
W/a* от числа Маха М, которые можно определить независимым
расчетом равновесных газодинамических и термодинамических па-
раметров смеси в одномерном приближении способом, описанным
выше.
2. Учет межмолекулярного взаимодействия. При определении
термодинамических характеристик обычно используют уравнение
состояния идеального газа для каждого индивидуального вещества
и для всей смеси в целом. Однако в ряде случаев отклонение от
идеальности за счет межмолекулярных взаимодействий типа сил
Ван-дер-Ваальса может привести к заметным погрешностям при
вычислении термодинамических свойств. Термодинамические свой-
ства реальных газов могут быть вычислены с помощью соотноше-
ний термодинамики, если известно уравнение состояния. Наибо-
лее полный обзор уравнений состояния приведен в работе [26].
Следует отметить, что практически все известные уравнения со-
стояния являются эмпирическими или полуэмпирическими. Един-
ственным уравнением состояния, полученным теоретически, явля-
ется уравнение состояния с вириальными коэффициентами [13,
210
185], что позволяет использовать его при экстраполяции в область
температур, для которых отсутствуют экспериментальные данные.
В работе [4] изучено влияние межмолекулярных взаимодей-
ствий на термодинамические и газодинамические параметры про-
дуктов сгорания многих топливных композиций в широком диапа-
зоне определяющих параметров и приведена обширная библиогра-
фия. В результате многочисленных расчетов сделаны выводы о
незначительном влиянии (в среднем на 1—2%) межмолекулярных
взаимодействий на термодинамические и газодинамические пара-
метры, поскольку температура продуктов сгорания высока. В то
же время в аэродинамических и ударных трубах приходится иметь
дело с рабочими телами,, обладающими высокими давлениями тор-
можения (до 1000 атм) и довольно низкими температурами, для
которых влияние межмолекулярных взаимодействий может быть
существенным. В работе [42] теоретически и экспериментально изу-
чено изоэнтропическое расширение воздуха при высоких давлениях
торможения с уравнением состояния [20] и показано существен-
ное влияние реальных свойств газа на определяющие параметры
течения.
Система уравнений, описывающая течение в одномерном при-
ближении, имеет вид
h + J-IF2 = Яо, (5.19)
2
р WF = Q, (5.20)
S = S(p,T) = S0, (5.21)
~^~=z(p,T), (5.22)
pRT
h = h\p, T). (5.23)
Функция г(р, Т) характеризует отличие уравнения состояния от
уравнения состояния идеального газа (рис. 5.3). На рис. 5.4 при-
ведена зависимость отношения статического давления к давлению
торможения р/ро от относительной площади F*//7 [42]. Увеличение
давления торможения р0 при F*IF = const приводит к значитель-
ному уменьшению р!р^ и соответственно к увеличению числа М.
Расчеты показывают, что при увеличении полного давления от
100 до 700 атм критический перепад р*!ръ уменьшается от 0.528
до 0.4. На рис. 5.4 приведены экспериментальные данные, получен-
ные при измерении статического давления в коническом сопле с
углом 0ь = 9° при F*IF = 0.752. Видно хорошее соответствие рас-
четных и экспериментальных данных, а также значительное их
отличие от параметров идеального газа с у = 1.4. Реальные свой-
ства газа оказывают значительное влияние на величину коэффи-
циента Д(у) в уравнении расхода (1 142), который увеличивается
211
на 10—15% при увеличении Ро от 10 до 500 атм. Изменение тем-
пературы торможения в пределах от 200 до 500 К незначительно
влияет на относительные параметры, хотя очевидна естественная
тенденция сближения значений параметров идеального и реально-
го газов с ростом температуры. Интересно отметить, что отноше-
ние удельных теплоемкостей при больших ро может значительно
превышать 1.4, достигая 2—2.5.
Рис. 5.4. Зависимость давления от
отношения площадей при высо-
ких давлениях торможения и То =
= 250 К. 1 — идеальный газ при
у ='1.4, 2— 5—эксперимент
§ 2
ТЕЧЕНИЯ С НЕРАВНОВЕСНЫМИ
ХИМИЧЕСКИМИ РЕАКЦИЯМИ
1. Основные уравнения. Метод расчета. Одномерное приближе-
ние. Релаксационный процесс может оказывать существенное влия-
ние на параметры течения, если время релаксации сравнимо с
характерным газодинамическим временем, а изменение энергии,
связанное с этим релаксационным процессом, составляет значи-
тельную часть от общего изменения энергии. При течении в сопле
высокотемпературной смеси с температурой торможения То <
< 4500 К наиболее существенным является неравновесное проте-
кание химических реакций, вклад которых в общую энергию смеси
212
соизмерим с вкладом колебательных степеней свободы, а времена
релаксации для них, как правило, на один-два порядка больше
времен релаксации для колебательных степеней свободы молекул.
Этот факт продемонстрирован на рис. 5.5, на котором сравнива-
ются времена релаксаций для установления равновесия для диссо-
циации и возбуждения колебательных уровней молекул СО?, NO,
СО, N2 в диапазоне температур 3000—8000 К [139].
Для течений газа в соплах
характерно наличие значитель-
ных градиентов газодинамиче-
ских величин. Поэтому гово-
рить о характерном времени
протекания релаксационного
процесса можно лишь условно,
поскольку оно является функ-
цией газодинамических пара-
метров и при больших гради-
ентах последних меняется в
очень широких пределах. В те-
чении можно выделить облас-
ти, состояние газа в которых
близко к равновесному (ха-
рактерное газодинамическое
время много больше времени
релаксации), неравновесному
(характерное газодинамиче-
Рис. 5.5. Сравнение времен релакса-
ции для диссоциации (сплошные кри-
вые) и возбуждения колебательных
степеней свободы (пунктирные ли-
нии)
ское время сравнимо со вре-
менем релаксации) и замороженному (характерное газодина-
мическое время много меньше времени релаксации). В связи с
этим изучение течения в соплах необходимо проводить с учетом
конечности скоростей протекания химических реакций.
Рассмотрим реагирующую смесь совершенных газов, состоя-
щую из N индивидуальных веществ. Предположим, что смесь яв-
ляется гомогенной, а поступательные и вращательные степени
свободы молекул находятся в равновесии с колебательными сте-
пенями свободы. Прежде чем переходить к анализу уравнений,
конкретизируем правые части уравнений сохранения массы инди-
видуальных компонент [уравнения (1.7)] для случая неравновес-
ных химических реакций. Выпишем для этого уравнения химиче-
ской кинетики. Пусть в газовой смеси протекают I независимых
химических реакций, каждая из которых, например r-я, описывает-
ся химической формулой
где V ir И V ir — 'стехиометрические коэффициенты, показывающие,
сколько молекул вещества Лг- принимают участие в прямой (vzif)
213

и обратной (y"ir ) реакциях. Величина vi называется по-
i =1
рядком реакции. Если т равно 1, 2 или 3 реакцию называют мо-
номолекулярной, бимолекулярной или тримолекулярной. В газо-
вых смесях при высоких температурах протекают в основном би-
молекулярные и тримолекулярные реакции. Реакция 2 в табл. 5.1
является тримолекулярной при протекании слева направо и бимо-
лекулярной в обратном направлении. Условием протекания бимо-
лекулярной реакции является соударение и взаимодействие двух
реагирующих частиц, а для тримолекулярной — трех. Примени-
тельно к неравновесным течениям в соплах тримолекулярные
реакции называют также реакциями рекомбинации, так как при
этих реакциях уменьшается число частиц в газе, а бимолекуляр-
ные— реакциями обмена (например, реакции 8—10 в табл. 5.1),
так как в этих реакциях происходит обмен атомами и молекулами
между компонентами смеси при сохранении общего числа частиц.
Скорость химической реакции г в прямом направлении в молях
на единицу объема и единицу времени равна
N
Ц7И = КО-) (Г) ; (5 25)
I =1
где щ и Цг — весовая доля и молекулярный вес f-й компоненты.
Коэффициент пропорциональности К^(Г), называемый констан-
той скорости реакции, не зависит от концентраций индивидуаль-
ных веществ и является функцией температуры. Скорость проте-
кания реакции г равна
N N fr
(г) =км П ( - - -Г'1Г —Д'(,,) П (ри--Г tr ,
+ — + 11 К Ц; / — жж \ Цг '
2=1 i = 1
(5.26)
где НТО*) ? — скорости и константы скоростей пря-
мой и обратной реакций соответственно.
Согласно закону Аррениуса константа скорости реакции может
быть записана в виде
К+(Т) - (5.27)
Коэффициент В характеризует число эффективных соударений
реагирующих частиц в секунду. Постоянные р и Е (последняя на-
зывается энергией активации химической реакции) определяются
природой элементарных процессов. Как правило, константа ско-
рости реакции определяется экспериментально; константы большо-
го числа реакций, протекающих в газовой фазе, приведены в [78].
Характерное время реакции или время релаксации при известной
константе скорости определяется по формуле
214
N
[ K+ v П i р Vfrl-1
т = --- "I 4Н • (5.28)
L i = 1
Для отношения констант скоростей реакции г в прямом и обрат-
ном направлении обычно принимается выражение, строго справед-
ливое лишь в условиях, близких к равновесию,
К/К^ -- (Т), (5.29)
где Kjn (71) — константа равновесия.
В результате прохождения реакции г в прямом направлении
образуется vT —v'ir молей /‘-го индивидуального вещества, следо-
вательно, массовая скорость образования вещества с молекуляр-
ным весом ц-i в ходе реакции г равна
= (V'f —V'. ) цг W — ) РЧ ^(r) • (5.30)
Теперь уравнения кинетики для каждого f-ro индивидуального ве-
щества могут быть записаны в виде
Fi(p, Т, аь а2, . .., aN) (i = 1, 2, ..., N), (5.31)
dt
I
где Ft(p, T, cti) —массовая скорость образования ве-
r = 1
щества в результате всех I реакций. Система (5.31) допускает вы-
деление конечных соотношений (уравнений сохранения вещества)
типа соотношений (5.6), число которых равно количеству незави-
симых компонент.
Для течений в соплах удельный объем газа является перемен-
ным и поэтому в расчетах химически неравновесных течений удоб-
нее использовать мольно-массовую концентрацию, определяемую
числом молей вещества в единице массы, уг = аг7цг = Гг/ц> где G —
объемные (мольные) доли.
В табл. 5.1 представлены для системы С — О — Н — N элемен-
тарные химические реакции и константы скоростей, обычно ис-
пользуемые при расчете неравновесных течений в соплах [4].
Константы скорости тримолекулярных реакций имеют размер-
ность см6 моль-2 сек-1, а бимолекулярных — см3 моль-1 сек-1, уни-
версальная газовая постоянная R = 1.987 кал/моль-1 град-1. Эле-
ментарные реакции для системы Н — F (без реакции 2 табл. 5.1)
приведены в табл. 5.2.
Приведем пример записи дифференциального уравнения хими-
ческой кинетики для компоненты Н2 в соответствии с системой
реакций табл. 5.1. Имеем
~=р[ У„Л.М +
+ *“’ У«ти-КРЧ1>„ло + ^’Тш|?п]. (5.32)
215
Таблица 5.1
Химические реакции и константы скоростей для системы
С —О — II —N
ч Реакция Кон станта скорости реакции
1 СО Ч О - 1- м—>.со2 + м 3.5 • ГО14 exp (—2100/RT)
2 н ч • н + М —Н2 Ч ЛА 1.4- 1020 Т-1.5
3 о ч о ч м —о2 + м 5.5 • 1017 Т~ 0.87
4 он ч н ч м —>. Н2О ч м 1.2- 1020 гр-io
5 о ч н + м—>.он Ч м 3.3- ю18 J-0.5
6 7 N Ч N Ч N Ч 0 Ч м —►. n2 + м ЛА —>. NO Ч ЛА 2.7- 1016 3.3- 1016 Т~0.5
8 ОН ч сс ) —со2 ч н 12.5 • 1012 exp (—5100/RT)
9 он + н2 —>• Н2О Ч н 1.1 • Ю14 exp (—8600/RT)
10 он ч оь I —Н2О Ч 0 11.0 • 1013 exp (—1200/RT)
11 Н2- но- -^.он ч н 11.3- ГО13 exp (—9860/RT)
12 09 ч - н- -^он ч о 2.2- 1014 exp (— 16 500/RT)
13 n2 ч н о2- NO Ч NO 5.2 • 1013 exp (—107 000/RT)
14 NO Ч N- —*’ n2 ч о 3.0- Ю13 exp (—200/RT)
15 NO ЧО- —О2 Ч N 1.1 • ю13 exp (—41 70O/RT)
Таблица 5.2
Химические реакции и константы
скоростей для системы Н — F
Реакция
Константа скорости реакции
•1
:2
3
4
5
Н + F + М —>1 HF + М
F Ч F + М—><F2 Ч М
Н2 Ч F —HF + Н
F2 Н HF Ч F
Н2 + F2 —^-HF Ч HF
1019 Т"1
ю18 т-1
1.6- 1014 exp (—1600/RF)
1.2- 1014 exp (—2400/RT)
IO13 exp (--25 000/RT)
Уравнение сохранения количества вещества для Н2 имеет вид
2уп2 + топ+тн2о + Тн — const.
(5.33)
Расчет пространственных неравновесных течений можно разде-
лить на два этапа. На первом этапе определяются координаты ли-
ний тока и распределение давления вдоль них, а на втором этапе
по известному распределению давления и форме линий тока рас-
считываются все остальные параметры течения. Обычно оба эта-
па несколько раз повторяются с целью повышения точности. Си-
стема уравнений вдоль линий тока является системой уравнений
совместности вдоль характеристик, каковыми являются линии то-
ка для уравнений газовой динамики неравновесных течений, и со-
держит поэтому лишь производные вдоль линий тока. Очевидно,
216
что эта система эквивалентна системе уравнений в одномерном
приближении при заданном распределении давления. В связи с
этим многие качественные и количественные закономерности не-
равновесных течений в соплах могут быть с достаточной точностью
изучены в одномерном приближении.
Неравновесное течение в сопле описывается в одномерном при-
ближении следующей системой уравнений движения,' энергии, не-
разрывности и сохранения индивидуальных компонент
Jp_+ р W-^- = (
dx dx
h +^-W2 = Яо,
2
(5.34)
(5.35)
pWF=Q, (5.36)
T, T1> T2, • • • , Tjv) = Li(p, T, y2, ..., Tw) —
— Vi Ni (p, T Ti, T2, • •, Tw) (t = 1, 2, ... , N). (5.37)
Эти уравнения дополняются термическим и калорическим уравне-
ниями состояния смеси
(5.38)
р = R р Т/р,
(5.39)
где hi(T)—энтальпий индивидуальных компонент, которые можно
определить, например, по [144].
Правая часть уравнения (5.37) записана в двух эквивалентных
формах. Последняя запись удобна для использования при числен-
ном интегрировании по неявным разностным схемам (см. § 1
гл. II). Очевидно, что преобразование к такому виду всегда допу-
стимо. В частности, для уравнения (5.32)
+ v
1 он V п
+
н *7 н2о > ’
N = р(К£2)/р + К7°у0 + к;9) у ).
Запись правой части уравнения (5.37) в виде Li — yiNi эквива-
лентна записи релаксационных уравнений, использованной в § 1
гл. II. Действительно,
Li — yi Ni = Ni (Li/Ni — yi) = Ni (y? — y^),
где yQi-—так называемое условно-равновесное значение yi, равное
yi в равновесном течении с бесконечно большой скоростью реак-
ций (Ni—> оо).
217
Уравнение неразрывности (5.36) с использованием уравнений
движения и энергии можно преобразовать к виду
1 dW
* W dx
N
1 (dh/dVi)T
T (dh/dT) _
(5.40)
Здесь число М определяется по замороженной скорости звука.
В случае равновесного пли замороженного течений Fi = 0 и уравне-
ние (5.40) переходит в обычное уравнение одномерной теории [см.,
например, уравнение (1.125)], однако число Маха определяется по
равновесной или замороженной скорости звука соответственно. Из
уравнения (5.40) следует, что значение М = 1 (а также максимум
скорости или минимум давления при дозвуковом течении) дости-
гается не в минимальном сечении сопла, а ниже по потоку от это-
го сечения. Отмеченное свойство является общим свойством нерав-
новесных течений в 'соплах; оно справедливо также для
двухфазных неравновесных течений. Уравнение (5.40) использует-
ся вместо (5.36) при решении прямой задачи, когда задается
функция F = F(x).
Система (5.34) — (5.39) состоит из N + 4 уравнений для опре-
деления N + 5 неизвестных р, р, Т, W, F и yi и поэтому незамк-
нута. Для ее замыкания необходимо задать какую-либо из этих
функций, например F (х) или одну из функций р(х), р(х), №(*).
В нервом случае необходимо решать прямую задачу в одномерном
приближении, т. е. определять параметры течения при заданной
форме струйки тока F = F(x). Решение такой задачи в области,
включающей дозвуковую часть сопла, весьма затруднительно, по-
скольку из-за особенности в уравнении (5.40) при М = 1 прихо-
дится отыскивать единственную регулярную интегральную кривую,
проходящую через особую точку типа седла, где М = 1, имеющую
в этой точке конечную производную. Для этого необходимо варьи-
ровать значения параметров в начальном сечении таким образом,
чтобы, с одной стороны, не попасть на дозвуковую ветвь решения,
а, с другой стороны, обеспечить регулярность решения, т. е. одно-
временное обращение в нуль числителя и знаменателя в правой
части уравнения (5.40). Время расчета из-за необходимости прео-
доления этой трудности значительно увеличивается.
В связи с этим решение прямой задачи в рамках одномерного
приближения при расчете разного рода неравновесных течений в
соплах, в том числе и двухфазных, представляется нецелесообраз-
ным. В то же время очевидны преимущества решения обратной
задачи с заданным по длине распределением какого-либо из газо-
динамических параметров р, р пли W. В этом случае отпадает не-
обходимость использования уравнения (5.40), так как форма
струйки тока не задана, а определяется из уравнения (5.36), а си-
стема (5.34) — (5.39) не содержит уже особой точки. Кроме того,
218
давление, а в еще большей степени плотность и скорость, мало
отличаются от соответствующих равновесных значений и могут
быть определены из расчетов, например, двумерных равновесных
течений или измерены в эксперименте. И, наконец, отработанный
алгоритм решения системы (5.34) — (5.39) с заданным распреде-
лением р = р(х) может‘быть полностью использован при расчете
пространственных неравновесных течений. Если неравновесный
процесс начинается в сверхзвуковой области сопла (в случае, нап-
ример, неравновесной конденсации), то необходимость прохожде-
ния особой точки отпадает и возможно решение как прямой, так
и обратной задачи.
Опишем кратко мет эд решения системы (5.34)—-(5.39) при за-
данном вдоль струйки тока распределении давления [63, 76, 111].
Пусть требуется определить решение в точке хт при известном ре-
шении в точке хт_[ и известном значении давления в точке хт.
Тогда система (5.34) — (5.39) (без уравнений (5.36) и (5.38), кото-
рые используются на заключительном этапе расчета для опреде-
ления р и F) аппроксимируется со вторым порядком точности
следующей системой разностных уравнений:
fi = — Угт 4 " ~ ~ ~ [sLi(m—V) + (1 S) L{m
l+(A—s)hmNim
• yi(m— 1) (^Л/дт—1) “F ( 1
О
W2 — W2
1 m щ —1
(Pm Pm—
W2 +
m
hi (Tm) yi
im
(5-41)
(5.42)
(5.43)

m—1
N

m
Здесь hm = Xm — Xm-1, 0 s 0.5. Систему (5.41) — (5.43) можно
записать в виде
f (Ут) = 0,
f = (fl, fz, • • • > flV+2), Ут = (У1, У2, • • • , 4/Л'+2)т, (5.44)
Уг — yi (i — I, 2, N), Z/jv+1 = IF2, Уя+2 = Т-
Система (5.44) решается при фиксированном т методом Ньютона
yi + l—yi —D—lf(yi ),
т т т ' ’
(5.45)
где / — номер итерации, Dm — переменная матрица Якоби. Итера-
ции заканчиваются, когда одновременно выполняются условия
219
где е, 8i — допустимые погрешности в компонентах решения и не-
вязки в уравнениях (см. § 1 гл. II). После нахождения Т, W и yt
в узле хт из (5.38) определяется р, а из (5.36) — площадь струйки
тока, поскольку значение расхода^ задается. Существенным для
сходимости итерационного процесса является корректное задание
начальных данных. При решении обратной задачи для системы
(5.34) — (5.38) ставится задача Коши. В случае неравновесных те-
чений начальные данные нужно задавать в дозвуковой области,
где течение близко к равновесному и в которой даже небольшие
ошибки в начальных данных могут привести к неустойчивости
расчета. В связи с этим описанный алгоритм решения применяется
и для расчета равновесной области течения, только вместо урав-
нений химической кинетики решаются уравнения закона действую-
щих масс (5.3), что эквивалентно замене знаменателя в уравнении
(5.41) на выражение hm(l—s)Nim. Полученные таким образом
параметры используются в качестве данных Коши при расчете
уже неравновесного течения, который обычно начинается в обла-
сти, где рж (0.9—0.95) ро.
2. Основные закономерности химически неравновесных течений
в соплах. Основные особенности неравновесных течений могут быть
изучены в одномерном приближении. Действительно, исследование
плоских и осесимметричных неравновесных течений путем числен-
ного решения обратной задачи теории сопла [76], а также расчеты
вдоль струек тока осесимметричного сопла [63] показывают, что
концентрации компонент слабо зависят от формы струек тока и
распределений давления вдоль них, в особенности в сверхзвуко-
вой области течения. На рис. 5.6 приведено изменение молярной
доли водяных паров и температуры Т = Т/То вдоль линий тока.
Имеет место заметное различие концентраций на различных ли-
ниях тока при равновесном течении и незначительное — при нерав-
новесном. Кроме того, результаты расчетов концентраций компо-
нентов в неравновесном течении в одномерном приближении прак-
тически совпадают с результатами расчета, в котором учтен дву-
мерный характер течения. В то же время распределения темпера-
туры (и давления) вдоль различных линий тока заметно различа-
ются в силу двумерности течения, при этом имеет место также
различие между равновесным, неравновесным и замороженным
течениями.
Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров
расчетов, отметим некоторые общие свойства неравновесных тече-
ний газа в соплах. Очевидно, что параметры неравновесного тече-
ния должны являться в большинстве случаев (хотя возможны
локальные отклонения) промежуточными между параметрами
двух предельных течений — равновесного и замороженного. При
220
этом, из-за того, что химическая энергия в неравновесном течении
выделяется не полностью и частично не передается в активные
степени свободы и энергию направленного движения молекул, тем-
пература, скорость, давление и импульс, а следовательно, и удель-
ный импульс в неравновесном течении меньше, чем в равновесном
(но больше, чем в замороженном) (см. рис. 5.2). Наибольшее
-Quo U Цио
Рис. 5,6. Изменение молярной концентрации гпо и температуры Т вдоль
различных линий тока при неравновесном (/), равновесном (2) и заморо-
женном (5) течениях. Топливо — Н2 + О2, а = 1, р0 = 5 бар; п — номер
слоя, 4 — расчет по одномерной теории
отличие наблюдается в температуре и давлении (иногда на десят-
ки процентов), значительно меньше — в скорости и импульсе.
Плотность слабо зависит от характера протекания процесса (бу-
дучи несколько выше в неравновесном течении). Иногда, однако,
221
возможны локальные превышения температуры и давления над
равновесными значениями за счет интенсивного выделения хими-
ческой энергии, наступающего после резкого отклонения от равно-
весия, например, после замораживания течения за угловой точкой.
Импульс и удельный импульс в неравновесном течении всегда
меньше, чем в равновесном. Расход газа в неравновесном течении
при заданных параметрах торможения и размере минимального
сечения больше расхода в равновесном течении, однако это раз-
личие очень невелико (не более 0.5—1%). Число Маха в неравно-
весном течении выше, чем в равновесном, из-за значительного
уменьшения температуры, некомпенсирующего менее существен-
ное уменьшение скорости.
Результаты расчетов неравновесных течений вдоль струек тока
удобно представлять в виде зависимостей параметров не от длины
сопла, а от величины г — r/r* = F'k = i[p* W*/(p W)]t/2 по аналогии
со случаем одномерного равновесного течения, когда параметры
течения зависят только от г, а также ввиду того, что величина
р W слабо зависит от характера процесса. В рамках одномерного
приближения были проведены детальные параметрические иссле-
дования многих топливных композиций; результаты таких иссле-
дований содержатся в работах [112, 158]. В [4] содержатся графи-
ческие материалы, позволяющие определить потери удельного
импульса, связанные с неравновесным протеканием химических
реакций.
Некоторые характерные ре-
зультаты расчетов неравновес-
ных течений в сопле представ-
лены на рис. 5.7. Из результа-
тов расчетов следует, что от-
клонение состава и термоди-
намических параметров про-
дуктов сгорания от равновес-
ных значений начинается в
трансзвуковой области сопла>
где градиенты газодинамичес-
ких параметров максимальны.
При малых давлениях и не-
больших размерах сопла, а
также при малых температу-
рах это отклонение может на-
чаться в дозвуковой части соп-
ла. Расчеты показывают так-
Рис. 5.7. Зависимости молярных копцеит-
раций гп, rcO2, rNo и от г при рав-
новесном (/) и неравновесном (2) течениях,.
Топливо — (CH3)2NNH2 + N2O4, а = 0.9,
ро = 5 бар, d*=100 мм
222
же, что мольные доли веществ СО2, СО, N2, О2, Н2О и NO в окрест-
ности критического сечения замораживаются и изменение их вели-
чин вниз ио потоку не превышает 5—10%, хотя характер изменения
некоторых из них (СО2, Н2О, N2, СО) на некотором участке соп-
ла близок к равновесному. Мольные доли таких компонент, как
О, Н, ОН и Н2, хотя и значительно отличаются от равновесных
значений, однако вниз по потоку не замораживаются. В частно-
сти, мольная доля атомарного водорода имеет минимум (рис.
5.7), который не наблюдается при равновесном протекании реак-
ций. Такое изменение мольной доли водорода связано с тем, что
обменные реакции довольно близки к равновесию во всей обла-
сти течения, особенно при больших температурах, в то время, как
реакции рекомбинации, идущие при тройных соударениях, в транс-
звуковой области сопла резко замораживаются.
Молекулярный вес смеси замораживается в окрестности мини-
мального сечения и далее остается постоянным и меньшим (на
1—3%) соответствующего значения при равновесном течении.
В случае течения бинарной смеси, когда протекает лишь одна реак-
ция рекомбинации, а обменные реакции отсутствуют, происходит
резкое замораживание этой реакции в трансзвуковой области, и
далее вниз по потоку течение протекает практически замороженно.
Такой характер протекания реакций, когда кинетика реакций про-
является лишь в узкой области, послужил основой создания при-
ближенного метода расчета неравновесных течений, согласно ко-
торому до некоторого сечения течение принимается равновесным,
а вниз по потоку от него — замороженным.
Параметрами, наиболее существенно влияющими на степень
отклонения течения от равновесного, являются абсолютный размер
сопла (его длина или диаметр минимального сечения d*, форма и
геометрическая степень расширения сопла F (или г)), давление р0
и температура То торможения, а также состав газовой смеси на
входе в сопло, определяемый типом топлива и коэффициентом из-
бытка окислителя а. Изменение абсолютного размера сопла экви-
валентно изменению времени пребывания газа в сопле, уменьше-
ние которого (при прочих равных условиях) приводит к увели-
чению отклонения течения от равновесного. Уменьшение давления
также приводит к увеличению степени отклонения течения от рав-
новесного, поскольку уменьшается число эффективных соударений
(особенно для тримолекулярных высокоэнергетических реакций)
и увеличивается исходный уровень диссоциации продуктов сгора-
ния перед соплом.
Изменение температуры газа влияет на степень неравновесно-
сти течения как через скорости химических реакций, так и через
изменение уровня диссоциации газа перед соплом. Константы ско-
рости реакций рекомбинации слабо зависят от температуры, по-
этому основное влияние на скорость процесса оказывают активные
радикалы, концентрации которых с ростом температуры увеличи-
ваются. С другой стороны, с ростом температуры увеличивается
223
степень диссоциации газа перед соплом и, следовательно, может
возрасти доля энергии, теряемой из-за неравновесности процесса.
Поэтому изменение температуры может приводить как к увеличе-
нию, так и к уменьшению степени отклонения системы от равно-
весия, в зависимости от того, какой фактор окажется преоблада-
ющим.
Для систем С — О — Н при температурах То < 2300 К течение
в сопле является замороженным [4, 105, 112, 159], что может при-
водить к большим потерям удельного импульса (до 10%). Дей-
ствительно, при таких температурах состав продуктов сгорания в
равновесных условиях может быть в ряде случаев определен с по-
мощью реакции водяного пара Н2О + СО ОО2 + Н2. Однако в
таком виде реакция в действительности не реализуется, а осуще-
ствляется через записанную в таблице 5.1 цепочку реакций.
В каждой реакции этой цепочки должны участвовать либо радикал
ОН, либо атомарные компоненты О и Н, которые при температу-
рах, меньших 2300 К, практически отсутствуют. Это приводит к то-
му, что реакции, представленные в табл. 5.1, не протекают и за-
морожены, начиная от камеры сгорания.
На степень отклонения параметров потока в сопле от равно-
весных значений существенно влияет состав газовой смеси. Наи-
большее отклонение от равновесия имеет место при стехиометри-
ческих газовых смесях, имеющих повышенный уровень диссоциа-
ции продуктов сгорания на входе в сопло. По мере обогащения
или обеднения смеси степень диссоциации падает и степень откло-
нения от равновесия уменьшается. С увеличением степени расши-
рения доля энергии диссоциации, которая может быть возвращена
в поток при равновесной рекомбинации, возрастает. Однако истин-
ная доля энергии- диссоциации, которая успевает превратиться
в кинетическую энергию потока, слабо зависит от степени рас-
ширения. Вследствие этого увеличивается степень отклонения
системы от равновесия при увеличении г.
Рис. 5.8. «Универсальные» за-
висимости молярных концентра-
ций различных компонент от «
В результате большой серии рас-
четов обнаружено, что при фиксиро-
ванном а мольные доли веществ
СО2, Н2О, СО, N2 и Н2 (общая весо-
вая доля этих веществ в продуктах
сгорания часто составляет 95—97%)
изменяются лишь в пределах 5—
10% при варьировании р0, d*, г в
широких диапазонах: 25 бар<р0<
< 250 бар, 25 мм < d* < 250 мм,
1 <г < 15. Это позволяет, исполь-
зуя результаты расчетов, построить
универсальные зависимости моляр-
ных долей различных компонент от
а. Пример такой зависимости для
продуктов сгорания топлива (СН3)2
224
NNH2.+ N2O4 приведен на рис. 5.8. Отличие полученных таким об-
разом концентраций от соответствующих равновесных значений со-
ставляет 10—20% при г < 5 и 20—60% при 5 < г < 10.
Неравновесное протекание химических реакций приводит к
уменьшению импульса сопла по сравнению с равновесным тече-
нием. Разницу импульса в равновесном и неравновесном течениях,
отнесенную к импульсу в равновесном течении, называют коэффи-
циентом потерь импульса, обусловленных неравновесным протека-
нием химических реакций, и обозначают .
В работе i[4] содержатся сведения о величинах для ряда топ-
лив, применяемых в жидкостных реактивных двигателях; там же
представлены многопараметрические графики, позволяющие рас-
считать . Анализ потерь удельного импульса для двигателей
различных типов, в том числе для сверхзвуковых и гиперзвуковых
прямоточных двигателей, дан в [158]. Типичные зависимости от
Рис. 5.9. Зависимость (%) от параметров d°*/d* (d°* = 25 мм, р0 —
= 25 бар) и р°/ро (р° = 25 бар, d* = 25 мм) для топлива Н2 + О2 при
а — 0.8
15—625
225
i dQ*ld*, p^lpv показаны на рис. 5.9, при построении которых
что —>0 при d*, ро—Видна очевидная тенденция
н при уменьшении d*, р0 и увеличении г. Для топлив (О2 +
син, О2 +i(CH3)2NNH2 и N2O4 + (CH3)2NNH2 при а = 0.8
ны 1Н близки между собой и составляют при d* = '100—
и г = 5—10 0.8 4- 1.2% для Ро = 50 бар, и 0.2 — 0.6% для
О бар (условия, характерные для вторых ступеней ракет).
, = 10—20 мм и тех же ро = 1-5—2.5% и =0.8—1.2%
ственно. Для двигателей космических летательных аппара-
ониженными значениями р0 (р0= Ю—20 бар) величины
ают и при d* = 100—200 м,м составляют 1.5—2.5%. Мож-
угить, что увеличение содержания азота в топливе ведет к
му изменению потерь при увеличении времени пребывания,
^льтатов расчетов следует, что для топлива Н2 + О2 вели-
меныие, чем у углеводородных топлив. Некоторые данные
не приведены в табл. 5.3.
Таблица 5.3
Зависимость коэффициента потерь импульса от d* и р0
при а = 0.8, г = 5—10
d^, мм Ро, бар
углеводород Нг + Ог
100—200 10—20 1.5—2.5 1.0—1.5
50 0.8—1.2 — 0.5
11'50 0.2—0.6 - 0.1
10—20 50 1.5—2.5 1.2—1.6
150 0.8—1.2 0.4—0.6
эфициент избытка окислителя а значительно влияет на ве-
(рис. 5.10). Характерной особенностью является нали-
юимума потерь вблизи стехиометрического значения а = 1.
также резкое увеличение при а < 0.4 для топлив
<NH2+N2O4 и С7НИ + О2. Можно дать следующее объяс-
олученным зависимостям. Химическая энергия, запасенная
е сгорания, передается активным степеням свободы моле-
роцессе реакции рекомбинации и обменных реакций. При
области высоких температур основной вклад дают реакции
[нации, в области малых температур—обменные реакции,
ыпее значение химической энергии запасено в камере его-
ipn а ~ 1, и поэтому неравновесное протекание реакций
[нации приводит к максимальным потерям при а, близких
це. При меньших и больших значениях а вклад химиче-
фгии уменьшается, возрастает с уменьшением температуры
менных реакций, близких к равновесию, и соответственно
ается величина . В области низких температур, меньших
что соответствует а < 0.4, химическая энергия, запасенная
Рис. 5.10. Зависимость t
’ и
от а для различных топ-
лив при р0 = 25 бар, d* =
= 50 мм, г = 10
в камере сгорания, меньше, чем при сс ~ 1, однако из-за полного
замораживания обменных реакций она вовсе не передается актив-
ным степеням свободы, что и обусловливает возрастание .
Несколько иная ситуация имеет
место при малых и больших значе-
ний а для топлива Н2.+ О2. При ма-
лых температурах в камере сгора-
ния содержится лишь молекулярный
водород (или кислород) и пары во-
ды, молярные доли которых, оче-
видно, при истечении не изменяются
(даже при равновесии), поэтому
отсутствует различие между равно-
весным, замороженным и неравно-
весным течением и равно нулю.
На практике зависимость от а
используется при выборе значения
а, оптимального по удельному им-
пульсу. Для двигателей твердого
топлива при наличии конденсата в
продуктах сгорания величина
обычно значительно меньше, чем
для жидкостных реактивных двига-
телей из-за меньшей доли химиче-
ской энергии, запасенной в камере
сгорания.
Оценить изменение энтропии при
неравновесном течении в сопле по-
зволяет уравнение (1.9), если из-
вестно изменение параметров вдоль
сопла. Однако и без проведения ра-
счетов ясно, что изменение энтропии
при переходе от полностью равно-
весного течения к полностью замороженному происходит немоно-
тонно, поскольку в этих предельных случаях энтропия постоянна и
одинакова (при одинаковых условиях в ресивере). В связи с этим,
в неравновесных течениях изменение энтропии и, следовательно, пол-
ного давления, не может характеризовать потерь импульса. Дейст-
вительно, замороженное течение, обладающее той же энтропией,
что и равновесное, имеет максимальные потери удельного импуль-
са. С другой стороны, течения, обладающие одним и тем же им-
пульсом, могут иметь различную энтропию. Так, в цилиндрической
трубе поток, первоначально отклонившийся от равновесия в сопле,
переходит в равновесное состояние с увеличением энтропии без из-
менения импульса. Расчеты показывают, что изменение энтропии в
химически неравновесных течениях невелико (не более 1%).
Известно, что константы скоростей реакций отличаются в неко-
торых случаях на один-два порядка. В связи с этим рядом авто-
227
ров были проведены исследования влияния констант скоростей
различных реакций на параметры течения (c-м., например, [112,
158]). Можно отметить общую закономерность, согласно которой
влияние констант скоростей является наибольшим в тех областях,
где течение является промежуточным между равновесным и замо-
роженным, и наименьшим, где течение близко к равновесному или
замороженному. Поэтому для сопел крупногабаритных двигателей
ЖРД и РДТТ с высокими давлениями и температурами в камере
сгорания, в которых течение близко к равновесному, варьирование
констант скоростей реакций оказывает незначительное влияние на
параметры течения. При этом наиболее чувствительными к изме-
нению констант скоростей реакций оказываются концентрации
компонент, а наименее чувствительными—потери удельного им-
пульса. Применительно к ГПВРД (р0 ~ 1.6 бар, То » 2700 К) вы-
делена энергетически определяющая реакция Н + ОН + М
Н2О + М для системы Н — О — N, варьирование константы
скорости которой может заметно изменить степень неравновесно-
сти течения. Анализ такого рода, позволяющий установить для
данной системы определяющие реакции, является весьма полез-
ным и позволяет судить о необходимой точности констант скоро-
стей реакций при решении конкретных практических задач.
В настоящее время выполнено большое число эксперименталь-
ных исследований неравновесных течений в -соплах, в которых про-
водились измерения тяги сопла, распределения давления, темпера-
туры и концентраций отдельных компонент смеси [105, 158, 159].
Критический анализ различных экспериментальных исследований
и сравнение с результатами расчетов химически неравновесных
течений в соплах дан в [158]. Основной вывод из этого анализа со-
стоит в том, что представленная в табл. 5.1, 5.2 система уравнений
химической кинетики и соответствующие константы скоростей
реакций, а также разработанные методы расчета [63, 76, 112] по-
зволяют с необходимой для практики точностью оценить потери
удельного импульса, температуру и давление. Для предсказания
концентраций компонент с той же точностью, а также для повыше-
ния точности расчетов неравновесных течений необходимы даль-
нейшие экспериментальные исследования констант скоростей раз-
личных реакций и каталитической активности различных частиц.
На рис. 5.11, 5.12 представлены некоторые сравнения расчетных и
экспериментальных данных.
3. Плоские и осесимметричные течения. Исследование плоских
и осесимметричных течений в соплах представляет собой значи-
тельно более сложную задачу, нежели исследование течения в
одномерном приближении, поскольку теперь нужно решать систе-
му (5.34) — (5.39) вдоль линии тока несколько раз для обеспече-
ния сходимости итераций. Наиболее полное исследование неравно-
весного течения многокомпонентной смеси проведено в работе [76],
в которой численно решалась обратная задача теории сопла. Ис-
следование пространственных неравновесных течений в рамках
228
обратной задачи теории сопла более предпочтительно, так как при
этом рассчитывается течение в сопле в целом и, что особенно важ-
но, в .трансзвуковой области, в которой наиболее сильно проявля-
ются неравновесные эффекты.
Рис. 5.11. Сравнение расчетных и экспериментальных значений кон-
центрации г СОг при ро = 75 бар, то = 2500 К. Л 2 — расчет рав-
новесного и-неравновесного течений [1(12], 3, 4 — эксперимент для
конического сопла с = 12,5° и Qk = 25°
Рис. 5.12. Сравнение расчетных и эк-
спериментальных значений темпера-
туры для продуктов сгорания водо-
рода в воздухе, обогащенном кисло-
родом при р0/рн — 8.3. Расчет рав-
новесного (/), неравновесного (2) н
замороженного (5) течений и экспе-
римент (4) [158]
В гл. II описан метод численного решения обратной задачи
теории сопла, для случая пространственного неравновесного тече-
ния. Ниже приводится конкретная разностная схема работы [76]
для расчета плоского и осесимметричного течений. В этом случае
к системе (5.34) — (5.39), описывающей неравновесное течение в
одномерном приближении, добавляются уравнения, необходимые
для определения геометрии линии тока, распределения давления
и составляющих скорости на ней. Имеем
д г 1 + v 1 + v
д р и
(5.46)
229
U = yw2 — v2.
(5.47)
(5.48)
(5.49)
В отличие от (1.107), уравнение (5.47) записано так, чтобы устра-
нить особенность на оси симметрии. Энтальпия торможения и кон-
центрации компонент в начальном сечении в общем случае могут
зависеть от ф и могут быть разрывными функциями, т. е. возмож-
но проводить расчет течений с поверхностями тангенциальных
разрывов.
Пусть на слое фп известно решение. Тогда в точке слоя фп+1
функции гтп = г (хт,фп) и ртп = р (хт, фп) определяются по фор-
мулам
где k — итерационный индекс. Последовательность вычислений
следующая. При k = 0 все величины с индексом k берутся с ниж-
него слоя и по формулам (5.50), (5.51) вычисляются г^п(п+1) >
исполь1зованием найденного распределения давления
вдоль линии тока фп+i решается система уравнений (5.34) — (5.39)
с начальными данными в дозвуковой области с помощью аппрок-
симирующих уравнений (5.41)—((5.43), в результате чего находят-
ся , Г» , р(” . Далее по (5.48), (5.49) вы-
числяются ^^)(г?+1), • Затем процесс повторяется с исполь-
зованием решения, полученного в первой итерации, и т. д. Произ-
водные по х, входящие в правые части уравнений (5.47), (5.48),
аппроксимируются по трехточечной схеме (см. § 4 гл. II).
На начальной линии тока ф = фо, которая может быть осью
симметрии или жесткой стенкой, задается распределение давле-
ния; остальные параметры определяются путем численного интег-
рирования системы (5.34) — (5.39). Начальное распределение дав-
ления удобно задавать в виде
, (pi — р*) (р* —р2) (а —с)
р — р* ~г
(Р1 —р*)с + (р* —р2)а
(5.52)
230
где я = ехр(—xlb), с=1 при х > 0, а = 1, с = ехр(х/Ь) при
х О, х = х/r*, р = р/р0, pi, р2 — давление в начальной и конеч-
ной точках на оси сопла, b — параметр, характеризующий величи-
ну градиента давления в трансзвуковой области.
Некоторые результаты ра-
счетов осесимметричного тече-
ния представлены на рис. 5.6,
5.13. Рассчитывалось равно-
весное, неравновесное и замо-
роженное течения при задан-
ном на оси симметрии распре-
деления давления (5.52) с
pi = 0.96, р* = 0.55, р2 = 0.04
и Ь = 0.8. Особо следует оста-
новиться на поведении линий
7И = 1 и 0 = 0 (рис. 5.13). Эти
линии как в замороженном,
так и в равновесном течении
выходят из одной точки на оси
(х=х*) и простираются вверх
по потоку от этой точки, так
что линия М=1 находится
всегда выше по потоку, чем ли-
ния 0 = 0, в соответствии с
общими закономерностями по-
ведения этих линий в осесим-
метричных и плоских течениях
(см. § 1 гл. IV). При неравно-
весном течении линии 7И=1,
0 = 0 также простираются
вверх по потоку, однако они
выходят из разных точек на
Рис. 5.13. Линии М=1 п 0 = 0 при
неравновесном (/) и замороженном
(2) течениях
оси симметрии, причем точка оси, в которой 714= 1, расположена
ниже по потоку, чем точка, соответствующая линии 0 = 0, посколь-
ку в неравновесном одномерном течении происходит смещение ли-
нии 7И=1 вниз по потоку относительно минимального сечения
[см. (5.40)]. Внутри течения эти линии пересекаются. В неравно-
весном осесимметричном и плоском течениях в зависимости от кри-
визны контура в минимальном сечении скорость течения может
быть меньше, равна или больше скорости звука в противополож-
ность случаям равновесного или замороженного течений, в которых
в минимальном сечении скорость всегда больше скорости звука.
В трансзвуковой области имеет место некоторое повышение
температуры на линиях тока с малыми радиусами кривизны. По-
вышение температуры за угловой точкой сопла отмечалось и в ра-
ботах [66, 112]. Оно связано с характерОхМ протекания неравновес-
ных процессов и не имеет места в равновесном и замороженном
течениях. Действительно, большой градиент давления в трансзвуко-
231
вой области вызывает резкое замораживание химических реакций,
которые затем начинают интенсивно осуществляться при после-
дующем переходе в область с меньшим градиентом давления, что
приводит к выделению тепла и повышению температуры. Другая
особенность в распределении температуры имеет место вблизи" вы-
ходного сечения сопла, где при малых градиентах давления тече-
ние стремится к локальному равновесному состоянию, что приво-
дит к повышению неравновесной температуры на выходе из сопла
и изменению концентраций в сторону их равновесных значений.
а-спределение концентраций компонент на различных линиях
тока неравновесного течения (рис. 5.G) характеризуется слабой
зависимостью их от формы линии тока и распределения давления
на них, что находится в соответствии с результатами расчетов в
одномерном приближении. В то же время в равновесном течении
концентрации компонент на различных линиях тока отличаются
значительно. На рис. 5.6 пунктиром показаны результаты расчета
неравновесного течения в одномерном приближении. Одномерное
приближение можно использовать с достаточной для практики
точностью при расчете концентраций компонент, однако значения
температуры определяются достоверно лишь в областях с малыми
градиентами. Потери импульса, связанные с неравновесным проте-
канием химических реакций, с высокой точностью могут быть
определены в рамках одномерного приближения.
4. Приближенные методы расчета неравновесных течений. На-
ряду с точными методами расчета неравновесных течений в соплах
развиваются и приближенные методы. Один из таких методов —
метод внезапного замораживания — используется наиболее часто.
Для бинарной смеси метод внезапного замораживания впервые
предложен в [169] и обобщен на случай многокомпонентной смеси
в [155]. Основная идея метода состоит в замене истинного неравно-
весного течения двумя предельными течениями'—‘равновесным до
некоторого сечения, называемого сечением внезапного заморажи-
вания, и замороженным вниз по потоку от этого сечения. Для слу-
чая бинарной смеси, когда в процессе истечения происходит лишь
одна реакция рекомбинации, такой подход оправдан тем, что в
области высоких температур и давлений течение действительно
близко к равновесию, а в области больших градиентов газодина-
мических параметров, где резко падают давление и температура,
скорости рекомбинации становятся очень малы, так как они про-
порциональны кубу плотности. Поэтому область, где имеет место
неравновесное протекание реакций, весьма мала, и истинное тече-
ние с небольшой ошибкой может быть заменено равновесно-замо-
роженным. Этот факт проиллюстрирован на рис. 5.14, на котором
представлено изменение молярных долей атомарного водорода при
неравновесном истечении бинарной смеси Н и Н2 в зависимости от
г при различных значениях d*.
Основная трудность в использовании метода внезапного замо-
раживания состоит в определении сечения, начиная с которого
232
можно принять течение замороженным. Согласно [169] в равновес-
ной области — dyt/dt значительно меньше скоростей диссоциации D
и рекомбинации R и D ~ R. Наоборот, в области, где течение
близко к замороженному, D ехр(—E/RT) и уменьшение D проис-
ходит настолько быстро, что в этой области D <С R и —d y^dt^R.
Тогда можно принять, что в точке внезапного заморажив-ания
—dyildt = AD. При этом d y-i/dt и D могут быть найдены из рас-
чета равновесного течения, так как
до точки внезапного замораживания
течение предполагается равновес-
ным. Значение коэффициента А для
каждого конкретного случая нахо-
дится подбором таким образом, что-
бы обеспечить наилучшее совпаде-
ние с результатами точных расчетов.
Не внося большой ошибки, можно
положить А равной или близкой к
единице. На рис. 5.14 пунктиром
показаны результаты расчетов при
таком значении Л. Сопоставление
точных расчетов с расчетами по ме-
тоду внезапного замораживания для
бинарной смеси показывает хорошее
согласие этих методов, в особенно-
сти если область переходного тече-
ния мала по сравнению с областью
замороженного течения, а степени
расширения велики.
Обобщение метода внезапного
замораживания на случай много-
компонентной смеси является весьма
Рис. 5.14. Зависимость моляр-
ной концентрации атомарного
водорода гн от г при р0 =
= 10 бар, То = 4000 К; 1 —
равновесное течение
сложным и неоднозначным
[112]. Как уже отмечалось, для сложных смесей не наблюдается
замораживания всех компонент и не всегда удается выбрать одну
определяющую реакцию. Поэтому точность метода внезапного за-
мораживания в таких случаях может оказаться неудовлетвори-
тельной. Этот метод позволяет в некоторых случаях с достаточ-
ной точностью определить температуру многокомпонентной смеси,
но, как правило, дает неточные значения импульса и концентраций
отдельных компонент [112].
В виду сложности расчетов неравновесных течений полезно
иметь некоторые критериальные зависимости. Однако количество
параметров подобия, особенно для сложных смесей, которые мож-
но было бы определить по числу независимых безразмерных кри-
териев, весьма велико, поэтому установление критериальных зави-
симостей затруднительно. Имеются попытки определения парамет-
ров в точке внезапного замораживания. Для бинарных смесей и
воздуха установлено, что безразмерная энтальпия, температура и
концентрации компонент в точке внезапного замораживания явля-
233
ются функциями только безразмерной энтропии торможения. Су-
ществуют критериальные зависимости, обобщающие результаты
расчетов потерь импульса при одновременном изменении несколь-
ких определяющих параметров [158].
§ 3
ТЕЧЕНИЯ
С КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ
РЕЛАКСАЦИЕЙ
1. Релаксационные уравнения. Метод расчета. Как уже отме-
чалось, времена релаксации колебательных степеней свободы на
один-два порядка меньше времен для химических реакций, а энер-
гия их сравнима с химической энергией при течениях высокотем-
пературной смеси. Тем не менее процесс колебательной дезакти-
вации из-за больших градиентов газодинамических параметров,
особенно при малых абсолютных размерах сопла, может проте-
кать неравновесно. В последние годы возрос интерес к изучению
процессов колебательной дезактивации в сопле в связи с пробле-
мой создания газодинамических оптических квантовых генерато-
ров. Неравновесное протекание дезактивации колебательных сте-
пеней свободы приводит к возникновению инверсной заселенности
колебательных уровней молекул, необходимой для инициирования
излучения. Для практических приложений важно также иметь ко-
личественные данные по потерям импульса, связанным с релак-
сацией колебательных степеней свободы. В большинстве работ,
посвященных исследованию колебательной релаксации в сопле, изу-
чается одна релаксирующая степень свободы. Наиболее полное
исследование колебательной релаксации в многокомпонентной сме-
си проведено в работе [7]. Ниже излагаются в основном резуль-
таты этой работы.
Основными молекулярными компонентами продуктов сгорания
химических топлив являются N2, СО2, СО, Н2О, Н2, NO. Содержа-
ние остальных молекулярных компонентов, таких, как О2 и ОН,
обычно незначительно, и поэтому неравновесное изменение их ко-
лебательной энергии можно не учитывать. Трехатомные молекулы
СО2 и Н2О имеют три типа нормальных колебаний и соответствен-
но три колебательные степени свободы. Многоатомные молекулы,
обладающие определенной колебательной степенью свободы, бу-
дем рассматривать как самостоятельный компонент смеси. В табл.
5.4 приведены характеристические колебательные температуры мо-
лекул а также условные обозначения молекул, которые будут
использоваться в дальнейшем. Здесь CO2(vi), H2O(vi)—молеку-
лы, обладающие валентной симметричной модой колебаний.
CO2(v2), H2O(v2)—молекулы, обладающие деформационной мо-
234
дой колебании, СО2(\?з), Н2О(уз) —молекулы, обладающие валент-
ной асимметричной модой колебаний.
Таблица 5.4
Молекула сч СЧ О о сч ? СЧ О и со ? —* сч о и о и (’л)ОгН сч ? о сч к СО ? о сч X СЧ к о й
Условное 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
обозначение К 3353 1920 9 60 3380 3084 <5260 2294 5400 6130 2700
В многокомпонентной смеси двухатомных и многоатомных мо-
лекул возбуждение или дезактивация колебательных степеней сво-
боды молекул при неупругих столкновениях может происходить
двумя путями: путем непосредственного перехода кинетической
энергии сталкивающихся частиц в колебательную энергию рас-
сматриваемой молекулы и наоборот (процесс прямого возбужде-
ния, или дезактивации, обычно обозначаемый символом Т — V) и
путем обмена энергией между колебательными степенями свободы
сталкивающихся молекул и внутри данной молекулы (процесс ко-
лебательного обмена, обозначаемый символом V—V). Для рас-
сматриваемой смеси можно записать следующие Т — V процессы:
1. N2 + М N* + М — 2330 (см-1,
2. СО2 + М^СО* (v2) + M —667 см-1,
3. СО + М СО* + М — 2143 см-1,
4. Н2О + М H2O*(v2) + М — 1595 см-1,
5. Н2 + М Н; +М — 4260 см-1,
6. NO + М NO* + М — 1876 -см-1,
где М — некоторая частица (молекула или атом), участвующая в
столкновении. Вероятность передачи энергии в столкновении зави-
сит от природы этой частицы. Верхний индекс * обозначает коле-
бательно возбужденную молекулу, а число в правой части указы-
вает дефект энергии процесса, т. е. уменьшение кинетической
энергии сталкивающихся частиц при возбуждении первого уровня
колебаний соответствующей молекулы. Для многоатомных молекул
СО2 и Н2О записаны релаксационные процессы лишь для дефор-
мационного колебания, частота v2 которого меньше частот других
типов колебаний этих молекул. Остальные колебания многоатом-
ных молекул возбуждаются при столкновениях путем внутримоле-
кулярных процессов обмена колебательной энергией.
Механизм релаксации валентных мод колебаний СО2 и Н2О
экспериментально не выяснен. Возможны различные каналы
столкновительной релаксации энергии асимметричной моды коле-
баний v3 молекул СО2. Можно предположить, что релаксация
асимметричного колебания молекулы СО2 происходит следующим
образом:
235
7. co; (v3) + м co; (V1 + y2) + m,
т. e. уменьшение на один квант энергии у3 колебаний СО2 приво-
дит к образованию -одного кванта Vi и одного кванта у2 энергии
колебаний. Поскольку вероятность обмена колебательной энергией
в столкновении возрастает при уменьшении дефекта энергии про-
цесса, т. е. при уменьшении энергии, переходящей между колеба-
тельными и поступательными степенями свободы, то в качестве
процессов, определяющих релаксацию валентных колебаний
CO2(vi), H2O(vi) и Н2О(у3), можно принять следующие:
8. со; (vo + м^со; (2у2) + м,
9. H2O*(vi) + М Н2О*(2у2) + М + 467 см-1,
10. Н2О*(у3) + М Н2О*(2у2) + М + 556 см-1.
Процесс 8 является резонансным, поскольку в СО2 имеет ме-
сто случайное вырождение частот у4 = 2у2.
В рассматриваемой смеси газов вследствие близких значений
колебательных частот некоторых молекул возможны эффективные
процессы обмена колебательной энергией, которые также необхо-
димо ввести в общую систему релаксационных процессов. В каче-
стве таких V — V процессов были выбраны следующие процессы,
имеющие относительно небольшой дефект энергии:
п. n2* + со2 n2 + со; (у3) — 19 .см-1,
12. N; + СО N2 + СО* + 187 см-1,
13. СО* + СО2 СО + со; (у3) —206 СМ-1,
14. n; + NO N2 + NO* + 454 см-1,
15. СО* + NO СО + NO* + 267 см-1,
16. СО; (у3) + NO СО2 + NO* + 473 см"1.
Кинетические уравнения, описывающие релаксацию колеба-
тельной энергии, вследствие всех перечисленных выше процессов
могут быть составлены двумя способами. Возможно записать си-
стему дифференциальных уравнений для определения заселенно-
сти каждого возбуждаемого уровня каждой колебательной моды,
используя вероятности переходов [141]. Такой подход, однако, без
упрощающих гипотез оказывается весьма сложен не только из-за
значительного числа уровней, но также из-за отсутствия надежных
экспериментальных и расчетных данных по вероятностям перехо-
дов для столь сложной взаимодействующей смеси молекул. Дру-
гой подход состоит в составлении дифференциальных уравнений
для определения энергии каждой моды. Если предположить больц-
майовское распределение по энергиям внутри каждой моды и при-
нять, что молекулы являются гармоническими осцилляторами, то
релаксационные уравнения, соответствующие приведенным выше
процессам, запишутся в виде
d 81 -= ф! + ф11 + ф12 + ф14, (5.53)
236

d Ft = <P2 dt Оз а Ф7 ф8, ^4 (5.55)
d Fi '0’4 'Од .
— ф7 dt " 0, п -СР13 । (Р16’ V1 -0*5 (5.56)
d £5 dt 'О’б I . п ф12 + ф13 + ф15> •01 (5.57)
d £fi = ф9, dt (5.58)
d f7 dt о ^7 Q '0’7 ~ 2 „ фэ 2 фю, Об о8 (5.59)
d 8я .. — Ф10, dt (5.60)
d Eg = dt (5.61)
d 810 dt О10 _ 010 Ою Ф14-- ф15 ф16, 01 Os 04 (5.62)
где
Ф1 = Ф1(е° — ei), cp2 = Фг(ео — е3), фз = Фз(е° — ёб).
<p4 = ®4(e» — е7), ф5 = ' Фб(ео —е9), фе = Фб(е°0 — ею),
237
(р \________1 / р \ /Л, __л
По-НЬо) ею 85 + г5—тЭ-5 )ехр —------------—
ц ' L ц ' 4 Т
/ । Я а VI
--85 ( Е1О + ПО--Vio I ,
/ % \—1 Г 7
Ф16 = Ф16 По--------'О'ю ) 81о( 84 + /*4‘-----fhi
к Н L Х Ц
Здесь 8г — колебательная энергия Z-го компонента в единице мас-
сы смеси, 8? —равновесное значение колебательной энергии при
температуре газа. Согласно формуле Эйнштейна,
fl,
Т
где степени вырождения yi = 1 при i=£3 и у3 = 2, п—молярная кон-
центрация i-го компонента, Фг — скорость /-го релаксационного
процесса, зависящая от температуры и давления газа.
Скорости релаксационных процессов определяются в зависимо-
сти от характера передачи энергии [141]. При колебательно-посту-
пательном переходе энергии
(/ = 1,2,... ,6; / = 1, 3, 4, 5, 7, 9, 10), (5.63)
где Xij — время релаксации для процесса i в случае столкновений
с молекулами сорта j при давлении, равном 1 атм; р — давлейие-
газа в атм. При внутримолекулярном колебательно-колебательном
переходе энергии Ф; находятся также по формуле (5.63) при i =
238
= 7, 8, 9, 10. При межмолекулярном колебательно-колебательном
обмене энергией
Л
Фг=р—(/=11, 12, 13, 14, 15, 16; /=4, 5,4, 10, 10, 10 соответственно),
(5.64)
где — время релаксации г’-го процесса при давлении, равном
1 атм. Обычно зависимости времен релаксации элементарных про-
цессов от температуры определяются по экспериментальным дан-
ным и коррелируются, когда это возможно, с помощью теории
Ландау — Теллера, согласно которой имеет место линейная зави-
симость 1пт от Т“,/з [89]. В работе [7] на основании детального
анализа экспериментальных данных предложены следующие фор-
мулы для вычисления времен релаксаций.
Процесс 1
In Ты = 2207"’/з—24.81,
In Т1,з = 2407"''3— 25.76,
In т1>5 = 2207" 3—24.81, (5.65)
1пт1,7 = 33.57"/з— 16.55,
1пт1,э = 86.9Т-’/з— 19.94,
1птыо = 223,97"'/з—24.96.
Процесс 2
1пт2,1 = 40.17"‘/з — 17.51,
1пт2„- = 40.17"‘/з — 17.91 (/ = 3, 5, 10),
1пт2,7 = — 48.3Т-„ — 12.55, (5.66)
In т2,9 = —16.87"/з —15.3.
Процесс 3
1пт3,1 = 1747 ~'/з —23.3,
1пт3,з = 1917"'3—24.23,
1птз,5 = 1747"/з —23.3,
In тз,7 = 727 "^-21.68, (5.67)
1птз,9 = 677-'^-19.5,
1птз,ю = 1777 ’/з—23.57.
Процесс 4
1П ты = —36,87-'/=— 10.85 (/ ¥= 7),
(5.68)
In т4,7 = —36,87 ",/з—13.15.
Процесс 5
1пт5,5= 1007 ~’/з—20.3 (/=1,3,5,10),
(5.69)
In T5,j = 1007~’/з—21.67 (/ = 7, 9).
239
Процесс 6
lnr6,j = lOOT-’/з— 18.3
(/^ 10),
In Тб,ю — —14.9.
Процесс 7
1пт7,1 = —29.4 + 255Т~'/з — 1000Т~2/з ?
1пт7,з = —22.5 + 1017~'/з —2237-%,
1пт7,5 = —19.6 + 74.27 ,3— 1607-/з,
In т7,7 = — 14.7 —13.87',; + Inf (7),
In т7,9 = —16.3 + 10.17 3 + Inf (7),
1пт7,10= —18.6 + 67.277“7з—2047 -%,
(5.70)
(5.71)
где
Процессы 11—16
1ПТ11 ?= —17.1 + 0.38- 10-27 —0.13- 10-572,
1ПТ12 = —0.4- 10-37 — 13.15,
In Т13 = —0.8 • 10-37 — 14, (5.72)
1ПТ14 = 48.57 “'/з— 17.3,
Inns = 20.77-,/з— 16.4.
Относительно процессов 8, 9, 10 и 16 можно сделать следующие
замечания. Релаксация энергии симметричной моды колебаний мо-
лекул СО2 (процесс 8) экспериментально изучена очень мало.
В СО2 существует сильное взаимодействие между симметричной п
деформационной модами колебаний вследствие ферми-резонанса,
благодаря чему можно ожидать, что процесс обмена колебатель-
ной энергией должен быть очень быстрым. Имеющиеся экспери-
ментальные данные не противоречат этому и позволяют предполо-
жить, что в процессе релаксации симметричная и деформацион-
ная моды колебаний находятся в равновесии между собой. Что
касается релаксации валентных мод колебаний молекул Н2О (про-
цессы 9 и 10), то из-за полного отсутствия необходимых экспери-
ментальных данных обычно делают аналогичное предположение о
том, что эти моды находятся в равновесии с деформационной мо-
дой колебаний. Следует заметить, что в интересном для практики
диапазоне температур вклад этих мод в колебательную энергию
молекул Н2О из-за высоких характеристических температур мал
по сравнению с вкладом деформационной моды.
Чтобы выполнить в расчете условие локального равновесия мод
колебаний, времена релаксации процессов 8—10 формально пола-
гаются на два порядка меньшими, чем время релаксации соответ-
ствующего процесса деформационной моды. Для процесса 16
240
экспериментальные данные отсутствуют. Поскольку процессы 14
и 16 имеют практически одинаковые дефекты энергии, приближен-
но полагаются, что времена релаксации процессов 14 и 16 совпа-
дают. Течение с релаксацией колебательных степеней свободы в
сопле в одномерном приближении описывается, как и в случае
течений с неравновесными химическими реакциями, системой урав-
нений (5.34) — (5.36), (5.38), (5.39) с той лишь разницей, что вме-
сто релаксационных уравнений (5.37) для концентраций химиче-
ских компонент следует использовать релаксационные уравнения
(5.53) — (5.62) для энергии различных колебательных мод моле-
кул. Из рассмотрения уравнений (5.53) —(5.62) следует, что любое
из них может быть представлено в форме, характерной для релак-
сационных уравнений, аналогично уравнениям химической кинети-
ки (5.37), т. е. в виде
и -= Щр, 7, 8i, 82, ejv) —
ах
— Т, 81, 82, ..., ejv).
По-прежнему целесообразно решать обратную задачу, задаваясь
распределением давления по длине сопла. Разностный метод ре-
шения этой системы по аналогии со случаем химических неравно-
весных течений основан на использовании неявных разностных
схем при численном решении релаксационных уравнений. В свя-
зи с этим можно использовать ту же систему (5.41) — (5.43), заме-
нив yi на 8i в (5.43).
Искомые значения энергии колебательных степеней свободы
при неравновесном течении линейно входят в выражения для
энтальпии hi(T) индивидуальных компонент. При решении полу-
чающейся системы разностных уравнений типа (5.41) — (5.43)
предполагается, что уг в (5.42) известны из расчета химически не-
равновесного течения. Метод решения аналогичен случаю химиче-
ски неравновесного течения и подробно описан в предыдущем
параграфе. После того как определена энергия колебательной мо-
ды 8г, колебательная температура Т\ определяется з предположе-
нии больцмановского распределения энергии по уровням внутри
каждой моды, из формулы (5.62). Кроме того, по известным зна-
чениям энергии 8г возможно, если это необходимо, определить за-
селенность различных уровней [141]. Расчет течения в сопле с ре-
лаксацией колебательных степеней свободы проводится в такой
последовательности. Первоначально производится расчет химиче-
ски неравновесного течения при равновесном возбуждении коле-
бательных степеней молекул методом, описанным в § 2 настоящей
главы. Расчет химически неравновесного течения необходим
для определения молярных концентраций компонентов, которые
входят в систему уравнений для колебательного неравновесного
течения. С помощью найденных распределений молярных концент-
раций рассчитывается течение вдоль струйки тока с колебатель-
16—625 241
ной релаксацией и определяются все параметры течения, в том
числе и площадь струйки тока (из уравнения неразрывности).
В этом алгоритме не учитывается взаимное влияние процессов хими-
ческой и колебательной релаксаций. Расчеты показывают, что в
условиях расширения продуктов сгорания современных химиче-
ских топлив в соплах в первом приближении можно разделить эти
процессы, поскольку колебательная неравновесность обычно ста-
новится заметной на таком расстоянии от среза сопла, на котором
химический состав является уже замороженным.
Поскольку изменение колебательного состояния молекулы про-
исходит при бинарных столкновениях, то скорость изменения коле-
бательной энергии прямо пропорциональна давлению газа. Поэто-
му из релаксационных уравнений нетрудно установить, что для
колебательно неравновесного течения газа в сопле параметр =
= p0L0l где ро, LQ— характерные значения давления и линейного
размера, является параметром подобия.
2. Результаты расчетов в одномерном приближении. Рассмот-
рим влияние колебательной неравновесности на параметры тече-
ния в сопле и потери удельного импульса на примере расширения
продуктов сгорания топлива (CH3)2NNH2 + N2O4 [7]. На рис. 5.15
Рис. 5.15. Зависимость колебательной температуры Tv = TvIT* от г для
разных Т (бар мм); 1 — равновесная температура
представлены зависимости относительных колебательных темпера-
тур Tv различных компонентов от относительного радиуса сопла
г = г/г* при различных значениях параметра Т и коэффициенте
избытка окислителя а= 1.2. Видно, что по мере уменьшения пара-
242
метра W колебательные температуры компонентов все более откло-
няются от равновесных и при достаточно малых значениях W и
больших степенях расширения могут даже замораживаться. Чем
меньше значение W, тем ближе к критическому сечению происхо-
дит отклонение колебательных температур от равновесных значе-
ний. При уменьшении Т наиболее отклоняются от равновесных зна-
чений колебательные температуры Н2, NO, N2 и СО. Например, если
при W = 625 бар-мм колебательные температуры СО2 и Н2О
близки к равновесным значениям, то колебательная температура
СО при г = 10 превышает равновесное значение более чем в
1.5 раза.
Отличие колебательных температур, а следовательно, колеба-
тельных энергий компонентов от равновесных значений приводит
к изменению газодинамических параметров потока в сопле. Общий
характер изменения параметров в неравновесном течении с коле-
бательной релаксацией аналогичен случаю химически неравновес-
ного течения. Температура газа, давление, скорость и импульс в
неравновесном течении меньше соответствующих значений в рав-
новесном течении, и больше, чем в замороженном. Плотность газа
по-прежнему изменяется незначи-
тельно при изменении характера
протекания процесса. Расчеты пока-
зывают, что при небольших значе-
ниях параметра Т ( < 100 бар • мм)
отличие давления и температуры га-
за от соответствующих равновесных
значений может составлять 10—
20%. В предельном случае колеба-
тельно замороженного течения, на-
чинающегося от критического сече-
ния сопла (Чг=0), эти различия
могут составлять 40—50% (рис. 5.2).
Рассмотрим потери импульса £Кп>
обусловленные колебательной не-
равновесностью. Зависимость потерь
импульса £кпот г показаны на рис.
5.16. Интересно сопоставить при
одинаковых условиях потери удель-
ного импульса, обусловленные не-
равновесным протеканием химиче-
ских реакций и колебательной не-
равновесностью. Поскольку процес-
сы рекомбинации происходят при
тройных столкновениях, потери им-
пульса, обусловленные химической
Рис. 5.16. Зависимость потерь
импульса, связанных с коле-
бательной релаксацией (£кн) и
с неравновесным протеканием
химических реакций (£н)
неравновесностью, не характеризуются с помощью одного пара-
метра Т, а зависят как от р0, так и от d*. Приведенные на рис.
5.16 значения относительных потерь импульса, обусловленных не-
243
равновесным протеканием химических реакций, соответствуют зна-
чению ро = 25 бар. В предельных случаях замороженного течения
максимальные значения потерь удельного импульса из-за химиче-
ской и колебательной неравновесности имеют близкие значения.
В колебательно замороженном течении основной вклад в потерн
импульса вносят не компоненты N2, СО, CO2(vs), характеристиче-
ская колебательная температура которых превышает 3000 К, а
H2O(v2), CO2(v2) и CO2(vi), характеристическая колебательная
температура которых значительно меньше и, следовательно, вклад
от колебательной энергии в энтальпию газа больше. Однако по-
скольку времена релаксации процессов рекомбинации обычно
значительно больше, чем времена колебательной релаксации, то
при фиксированных значениях р0 и d* степень незавершенности
процессов рекомбинации (а стало быть и обусловленные ею поте-
ри) оказываются значительно больше, чем у процессов колеба-
тельной дезактивации. Потери, обусловленные колебательной не-
равновесностью, резко уменьшаются при увеличении параметра
и при значениях Т > 100 бар* мм в несколько раз меньше, чем
потери, обусловленные химической неравновесностью.
Показано, что в случае замороженного течения наблюдается
резкое уменьшение потерь импульса при значениях коэффициента
избытка окислителя а < 0.9. Причина этого состоит в том, что при
небольших се уменьшается температура в камере сгорания, что при-
водит к снижению доли суммарной колебательной энергии в эн-
тальпии газа, а также уменьшаются молярные концентрации СО2
и Н2О, колебательная энергия которых составляет значительную
долю в суммарной колебательной энергии продуктов сгорания.
В то же время при Ч^ЮО бар-мм зависимость потерь от коэффи-
циента избытка окислителя практически отсутствует. Это можно
объяснить тем, что в этом случае, в отличие от замороженного те-
чения, одновременно с уменьшением доли колебательной энергии
в энтальпии газа растет степень незавершенности процесса коле-
бательной дезактивации из-за уменьшения температуры газа в
сопле. Как отмечалось, для химически неравновесных течений кон-
центрации компонент весьма слабо зависят от характера распре-
деления давления вдоль струек тока (см. рис. 5.6). В случае же
течений с колебательной релаксацией колебательная температура,
так же как и температура газа, заметно зависят от характера рас-
пределения давления. Вследствие того что градиенты давления на
контуре сопла меньше, чем на осп, при одинаковом колебатель-
ные температуры на оси выше, чем на контуре. Отметим, что дву-
мерное течение в сопле с колебательной релаксацией изучалось в
работе [166], авторы которой численно решали обратную задачу
теории сопла методом, предложенным в [111] (см. гл. II).
По результатам работ [7] можно сделать вывод, что при де-
тальном анализе колебательного неравновесного течения в сопле
необходимо учитывать различие в распределении давления па раз-
личных линиях тока, а для приближенных оценок влияния коле-
244
бательной неравновесности на параметры течения и потери им-
пульса можно использовать результаты, полученные в одномерном
приближении.
§ 4______________________________________
ДВУХФАЗНЫЕ ТЕЧЕНИЯ
1. Основные понятия. Одномерное приближение. Равновес-
ные и замороженные течения. В последние годы уделяется значи-
тельное внимание изучению движения смеси газа и частиц в соп-
лах в основном в связи с необходимостью определения характери-
стик двигателей, работающих на твердых топливах. Наличие
твердых или жидких частиц различных размеров в газе приводит
к значительному усложнению физической картины течения по
сравнению с течением чистого газа и, вследствие этого, к услож-
нениям математического описания явлений и методов решения.
В систему уравнений движения газа добавляются члены, учиты-
вающие обмен массой, импульсом и энергией между частицами и
газом, и, кроме того, эта система дополняется уравнениями, опи-
сывающими движения частиц и фазовые превращения. Общая си-
стема уравнений должна замыкаться феноменологическими соот-
ношениями и уравнениями, конкретизирующими выражения для
потоков массы, импульса п энергии, связанными с взаимодей-
ствием фаз.
Наиболее общая система уравнений, описывающая движение
многоскоростной сплошной среды, представляющей собой совокуп-
ность континуумов, приведена в гл. I. Ниже будет дана конкрети-
зация этих уравнений для некоторых частных, но важных для
практики течений; рассмотрены физические особенности двухфаз-
ных течений и методы их расчета.
При изучении взаимодействия между фазами необходимо знать
физические свойства обеих фаз. Относительно газовой фазы обыч-
но делается предположение о равновесном протекании физико-хи-
мических превращениГйГ~более того, принимается для простоты,
что газ является идеальным с постоянной теплоемкостью. В про-
дуктах сгорания твердотопливных двигателей содержится зача-
стую значительное количество окислов металлов. Физические
свойства некоторых из них представлены в табл. “5.5. В этой табли-
це ц и о — коэффициенты вязкости и поверхностного натяжения,
cs — теплоемкость.
Температура горения топлив обычно выше температуры плав-
ления окислов, поэтому жидкие частицы под действием сил по-
верхностного натяжения принимают сферическую форму. Важной
характеристикой двухфазной среды является размер частиц. Раз-
личают моно- и полидисперсные системы. К первым относятся та-
кие, которые состоят из частиц одинакового размера. В полидис-
245
Таблица 5.5
Физические свойства окислов
(свойства твердых окислов даны при нормальной температуре,
жидких — в точкё плавления)
Окисел ГплК ц 10—3 р, кг/м3 Коэффициенты 10-3 Со Дж Теплота плавления, кДж/кг
кг-град
тверд. жидк. ц, н-сек/м (У, н/м тверд. жидк.
А1дОз 2.303 102 3.96 3.06 0.06 0.7 0.9 1.4 1149.7
ВеО 2820 25 3.01 2.56 0.3 — 2.7 2845.3
MgO 3075 40 3.58 — — 0.85 1.7 1920.8
ВоОз 723 70 1.82 1.70 0.50 (2100 К) 0.11 (2100 К) — 1.8 330.6
L12O 1700 30 2.01 — — — 1.8 3.4 1639.3
персной смеси, состоящей из частиц различного размера, распре-
деление частиц по размерам может быть выражено с помощью
нормированных функций плотности счетного f(r) или весового
g(r) распределений таких, что df = f(r)dr— есть доля числа ча-
стиц, радиусы которых лежат в интервале г + dr, a dg = g(r)dr —
весовая доля частиц в этом же интервале [157]. Очевидно, что
mr/m, где mr, m—масса частицы радиуса г и средне-
арифметическая масса частиц смеси соответственно. С помощью
функции f(r) можно ввести интегральную функцию распределения
которая определяет долю частиц с размерами от 0 до г. С исполь-
зованием функций f(r) или g(r) вводятся некоторые средние ра-
диусы частиц по формуле
сю сю
rnh = [( ^rnf(r)dr) ( rkf(r)dr)~l]V(n -k) , (5.73)
О b
где п = 1, k = 0 соответствует среднеарифметическому радиусу,
п = 2, k = 0—среднеквадратичному, п = 3, k = 0— среднекубич-
ному, п = 3, k = 2 — среднеобъемноповерхностному, п = 4, k=3—
среднемассовому. Очевидно, что средние радиусы заметно различа-
ются и для равновероятного распределения с f = const при
О С г С г° имеем rw = 0.5г°, г20 ~ 0.58г°, г30 ~ 0.63г0, г32 0.75г°,
г43 0.8г°.
На практике обычно пользуются нормально-логарифмическим за-
коном распределения
(5.74)
246
где r0 и Igor—математическое ожидание и среднеквадратичное
отклонение логарифмов радиусов частиц. Для нормального лога-
рифмического закона распределения так же, как и для равнове-
роятного, г10 < г2о < г32 < г43, при этом средний размер существен-
но увеличивается с ростом о.
Выпишем в одномерном приближении уравнения, описывающие
стационарное движение многоокоростного и многотемпературного
континуума без фазовых превращений. Примем, что теплоемкости
газа ср и частиц cs постоянны, предположим еще, что частицы
суть невзаимодействующие между собой сферы с постоянной по
объему частиц температурой, при этом давлением, которое соз-
дают частицы, можно пренебречь, однако объем, занимаемый
ими, учитывается. Будем считать также, что весовая доля частиц
каждой фракции неизменна. Возможное изменение весовых долей
за счет взаимодействия частиц между собой и конденсации рас-
смотрено в последующих разделах. Сформулированные предполо-
жения позволяют выписать частный случай общей системы урав-
нений (1.1)—(1.6), для которого отсутствует обмен массой между
компонентами смеси, т. е. Fi = 0, а обмен импульсом между га-
зом и частицами происходит при аэродинамическом обтекании
последних, при этом сила взаимодействия складывается из сил
давления и трения, а обмен энергией связан с работой аэродина-
мических сил и теплообменом. Будем придавать параметрам ча-
стиц f-й фракции (всего таких фракций N) нижний индекс is.
Имеем тогда следующие уравнения неразрывности и движения
газа и частиц, уравнение энергии смеси, уравнение энергии частиц
(пли уравнение конвективного теплообмена между газом и части-
цами) и уравнение состояния газа:
pWF = (1 —as)Q, (5.75)
р™ F = dis Qi, ctis = gis ccs (i = 1, 2, . . . , TV), (5.76)
N
lv/ dW , 1 do a4 p W7 d Wi*
w~+—;—-----------------^=0, (5.77)
dx у p° dx 1 — as p° dx 7
i = 1
247
Р = Р° г,
N
(5.81)
Здесь р, р, Г, W отнесены к своим критическим значениям р*, р*,
Г*, 6Z*, теплоемкости—к у R, а % — к г*; у = а2* р*/р*, р* = /?р* Т*.
Член в правой части уравнения (5.78), характеризующий обмен
импульсом между газом и частицами, равен силе, с которой газ
действует на частицы, и в соответствии с законом сохранения им-
пульса при взаимодействиях с обратным знаком равен силе, с
которой частицы действуют на газ. Аналогично член в правой ча-
сти (5.80) характеризует обмен энергии между газом и частицами.
В уравнениях (5.75) — (5.81) as— общая доля частиц, ris, UiS—
радиус и весовая доля частиц ьй фракции, р, piS— плотности газа
и частиц, т. е. отношения массы газа и частиц к объему, в котором
они заключены, р° и p°s — истинные плотности вещества газа и ча-
стиц, т. е. отношения массы газа и частиц к объему, занятому
только газом и только частицами, R — газовая постоянная газовой
фазы, CXi — отношение коэффициента сопротивления CXi к коэф-
фициенту сопротивления С°Хг при стоксовском режиме обтекания
(C°xi = 24/Rets), а0 — коэффициент теплоотдачи, Reis, St?s, NufS и
Рг— числа Рейнольдса, Стокса, Нуссельта и Прандтля соответ-
ственно, при этом
Re^ — *, btis — ,
Л 9 лr*
(5.82)
Nuis = 2''isa° , Pr =-^
% I
где т] и л — коэффициенты вязкости и теплопроводности газа. Вы-
пишем еще уравнение производства энтропии смеси. Производство
энтропии представляет собой [37] сумму произведения термодина-
мических сил [pis(W7—Wis)/Ty pi8(T—Tis)/7'iS] на потоки [f, q] и
равно
dx
Р > s
Cxi (w— Wis)*
_j_ Nuf.sCp(T — Tjs)2
3Pr cs Tis
(5.83)
где Sv —энтропия смеси,
Sv = ( 1 -- «s)S
Ctis ^is,
Sis — энтропия частиц f-й фракции, S — энтропия газа. Уравнение
(5.75) с использованием уравнений движения и энергии при р =
= р° можно преобразовать к виду
218
Здесь число 7И определено по замороженной скорости звука, кото-
рая в неравновесном двухфазном течении есть просто скорость
звука в газе. В соответствии с общим свойством неравновесных
течений из (5.84) следует, что равенство М = 1 (а также макси-
мум скорости или минимум давления при полностью дозвуковом
течении) достигается не в минимальном сечении, а вниз по потоку
от него. При этом в неравновесных двухфазных течениях это сме-
щение может быть значительным, особенно при больших весовых
долях частиц, в отличие от однофазных неравновесных течений, в
которых это смещение хотя и имеет место, но невелико. В случае
равновесного или замороженного течения уравнение (5.84) перехо-
дит в обычное уравнение одномерной теории, но число Маха опре-
деляется по равновесной или замороженной скоростям звука соот-
ветственно.
Система (5.75) — (5.81) соответствует случаю дискретного рас-
пределения частиц по размерам. При непрерывном распределении
суммы в (5.75) — (5.81) должны - быть заменены интегралами.
Прежде чем переходить к анализу этой системы, приведем полу-
эмпирические формулы, используемые для расчета коэффициента
сопротивления и числа Нуссельта. Коэффициент сопротивления
зависит от чисел Re^ и Mis = | W—Wis\/a, где а = ]/у RT' — ско-
рость звука в газе, а число Нуссельта еще и от числа Рг. При ма-
лых числах Рейнольдса (Re <0.1) коэффициент сопротивления
определяется по классической формуле Стокса, а число Нуссельта
равно 2. С увеличением чисел Re и М необходимо учитывать влия-
ние инерционности, сжимаемости и разреженности при обтекании
частицы. Для диапазона чисел Re = 0.1 — 103 стандартная кри-
вая сопротивления сферы в несжимаемой жидкости аппроксими-
руется формулой [147
схо =-2Г1-+ -41=-+ 0.25, (5.85)
Re T'Re
которая учитывает инерционные силы.
В работе [33] приведены экспериментальные значения коэффи-
циента сопротивления сферы при Re = 200-4-1000 и М = 0.24-1.0,
которые аппроксимированы зависимостью
= Сх0(1 + 1.27l4Cx0)-’41 — 0-445М +
+ 4.84Л42 — 9.737И3 + 6.947И4), (5.86)
где влияние разреженности учитывается вторым множителем. Чис-
2^9
ло Нуссельта Nu° для несжимаемой жидкости можно вычислить
по формуле [181]
Nu° = 2 + 0.459Re°-55 Рг°-33,
(5.87)
а влияние сжимаемости и разреженности при Re = 2— 100 и М =
= 0 — 0.7 учесть с помощью полуэмпирической зависимости
Nu = Nu°(l + 3.42Nu° 7И Re-1 Pr-1)-1.
(5.88)
Числа Re^s и Mis для течений газа в соплах могут меняться в пре-
делах 1-4-200, 04-1 соответственно. Расчет Сх и Nu по формулам
Стокса приводит к значительным погрешностям, в связи с чем не-
обходимо использовать формулы (5.85) — (5.88).
Из рассмотрения системы (5.75) — (5.81) следует, что в двух-
фазных течениях наряду с обычными газодинамическими крите-
риями подобия имеются еще дополнительные критерии, а именно
числа Mis, Reis, Shs и Cpjcs. При стоксовском режиме течения, ко-
торый реализуется приближенно лишь в дозвуковой части сопла,
остаются два критерия подобия — числа Стокса StiS и Ср/с8. При
этом число Стокса характеризует отношение инерционного пробега
частиц к характерному размеру системы. Очевидно, что в зависи-
мости от величины числа Стокса имеют место различные режимы
течения. При Stfs = 0 течение является равновесным, поскольку
инерционный пробег равен нулю, и частица мгновенно приобре-
тает скорость и температуру газа. При S4s = сю течение является
замороженным, а при промежуточных значениях числа Стокса —
неравновесным с диссипацией и ростом энтропии в процессе ко-
нечного по времени обмена импульсом и энергией между фазами.
Рассмотрим первоначально предельные режимы течения без
учета объема, занимаемого частицами. В равновесном течении
(Stfs = 0) скорости и температуры газа и частиц равны и, как во
всех равновесных течениях, реализуется максимальный импульс.
Путем простых преобразований, вводя газовую постоянную, плот-
ность, удельную теплоемкость и показатель адиабаты некоторого
фиктивного газа по формулам
= R (1 — ccs), р° = р(1 — (xs)-\
р — ( 1 Cis) Ср + Cis Cs,
а я
1 — as
(5.89)
и принимая, что у фиктивного газа те же давление, температура и
скорость, что и у смеси, можем представить равновесное течение
смеси, как течение фиктивного газа с показателем адиабаты у0,
газовой постоянной 7?° и теплоемкостью с° и воспользоваться для
расчета равновесного течения газодинамическими функциями
250
Рис. 5.17. Зависимость
эффективного показате-
ля адиабаты у0 от весо-
вой доли конденсата as
[формулы (1.137) —(1.139)]. Зависимость у0 от щ представлена на
рис. 5.17 (отметим, что у0 < у).
В другом предельном случае заморо-
женного течения (StiS = oo) параметры газа
и частиц определяются независимо. Тече-
ние газа описывается газодинамическими
функциями идеального газа с показате-
лем адиабаты у, а для частиц имеем-
Tis = const, Wis = const. Минимальным
импульсом обладает замороженное тече-
ние, в котором скорости частиц близки к
нулю, а температура частиц равна темпе-
ратуре торможения газа.
Таким образом, предельным заморо-
женным течением для неравновесного
двухфазного течения является течение га-
зовой фазы, при этом, согласно общему
свойству неравновесных течений, увели-
чение отклонения от равновесия ведет к
увеличению показателя адиабаты у0 и к
соответствующему уменьшению давления, температуры и удельного
импульса. Согласно (5.83) оба предельных течения являются изо-
энтропическими с одинаковой энтропией смеси, однако по отдель-
ности энтропия газа и частиц изменяются, но так, что энтропия
смеси остается постоянной. Возможны еще два предельных случая
изоэнтропических двухфазных течений, в одном из которых имеет
место равенство скоростей частиц и газа, но неизменность темпера-
туры частиц, а в другом, наоборот, равенство температур газа и
частиц, но постоянство скоростей частиц.
Сравним параметры смеси в предельных течениях. Введем
среднемассовую скорость смеси, характеризующую удельный им-
пульс, по формуле
Ws = Wis + (1 - щ.) W. (5.90)
i = 1
Обозначим нижним индексом «1» параметры в равновесном тече-
нии, «2» — в течении с равными скоростями частиц и газа, но с
температурой частиц, равной температуре торможения газа, «3» —
в течении с равными температурами газа и частиц, но с близкой
к нулю скоростью частиц, «4» — в замороженном течении, в кото-
ром скорость частиц близка к нулю, а температура частиц равна
температуре торможения газа. Рассмотрим для простоты случай
истечения в вакуум. Тогда из уравнения энергии (5.79) нетрудно
получить
Ж2 = w2 = [2сРТо(1 — as)J'/2 ,
251
—'(1 --- (Xs)]/2CpTo,
№4 = ]/2cpT0.
Из этих формул следует, что максимальной из среднемассовых
скоростей всегда является скорость равновесного течения а
минимальной —скорость полностью замороженного течения
Очевидно, что Ws2 > Ж3 при cs/cp <1, Ws2 = IFs3 при cs/cp = 1 и
WS2 < Жз при cs/cp > 1. Таким образом, полное скоростное запаз-
дывание приводит к большему уменьшению скорости и большим
потерям импульса, чем полное температурное запаздывание, толь-
ко в случае cs]cp < 1. Отметим, что такое соотношение как раз и
имеет место в практически интересных случаях. Так, для частиц
А12О3 cs = 1420 Дж • 1кг-1 • град-1, а для типичного смесевого топ-
лива ~ 3000—3500 Дж- кг-1 • град-1. Максимальной скоростью
газовой фазы является IF3, поскольку в этом случае весь запас
тепловой энергии переходит в кинетическую энергию направленно-
го движения одного газа без частиц, а минимальной — IF2. Ско-
рость газа в замороженном течении IF4 больше среднемассовой
скорости в равновесном течении при cs/cp<l, равна ей при с^ср =
= 1 и меньше при cs/cp > 1.
Отмеченные соотношения между скоростями газа и среднемас-
совыми скоростями определяются тем вкладом, которые вносят ча-
стицы в энтальпию тормо?кения смеси, поскольку в зависимости
от соотношения между ср и cs наличие частиц может уменьшать,
увеличивать или оставлять неизменной энтальпию торможения
смеси по сравнению с энтальпией торможения газовой фазы.
Используя формулы (5.89), уравнения неразрывности и энер-
гии, можно показать, что расход смеси
А (у0) nQF*
1 — as У FT 0
(5.92)
в равновесном течении при заданном давлении и температуре тор-
можения и площади минимального сечения примерно в (1—
раз меньше расхода смеси
А (у) РоЛ*
Т1 — щ
(5.93)
в замороженном течении. Расход смеси в равновесном течении
больше расхода газовой фазы в замороженном течении примерно
в (1—щ),/2 раз за счет уменьшения газовой постоянной. Но по-
скольку расход газовой фазы в (1 — as) раз меньше расхода сме-
252
си, то полный расход смеси в замороженном течении больше рас-
хода в равновесном течении в (1 — as)I/2 раз.
Увеличение расхода в неравновесных течениях по сравнению с
равновесными является при одинаковых параметрах торможения
и площади F* общим свойством неравновесных течений. Этот факт
отмечался выше при рассмотрении течений с неравновесными хи-
мическими реакциями и неравновесным возбуждением колебатель-
ных степеней свободы. Различие состоит лишь в том, что в двух-
фазных течениях это увеличение расхода значительно и может до-
стигать десятков процентов, особенно при большой весовой доле
частиц, в то время как в однофазных неравновесных течениях уве-
личение расхода не превышает процента.
Представляет интерес сравнить числа Маха Л4° и М в мини-
мальном сечении сопла, подсчитанные nd равновесной а° и замо-
роженной а скоростям звука. Имеем
М° =JL = w[y°RT( 1 — as)]-’/’, м =— = W(yRT)-'h (5.94)
а° а
ИЛИ
г Т°(1 — Щ)
и 7И° > М. Зависимость числа Л1° от М представлена на рис. 5.18.
Таким образом, если течение близко к равновесному, то в мини-
мальном сечении сопла 7И° 1, а число Маха, определенное по за-
Рис. 5.18. Зависимости М° а и а от числа М
мороженной скорости звука, в этом сечении меньше единицы.
Например, при щ 0.9 и у = 1.4 в минимальном сечении сопла
М = 0.37; а значение М = 1 достигается в расширяющейся части
сопла при F ~ 7. Число Маха, полученное по замороженной ско-
рости звука, определяет направление характеристик в двухфазных
253
потоках и если в расширяющейся части сопла М < 1, то любые
малые возмущения передаются вверх по потоку из области, где
Л4 < 1, что не имеет места в течениях чистого газ.а, где в расши-
ряющейся части сопла течение сверхзвуковое.
Рассмотрим на примере предельных течений, как изменяются
параметры двухфазной смеси в выходном сечении сопла при изме-
нении весовой доли частиц. Из возможных способов сравнения
рассмотрим два наиболее употребительных. В первом способе при-
нимается, что при изменении весовой доли частиц остаются неиз-
менными геометрия сопла, т. е. F, давление и температура тормо-
жения, газовая постоянная, ср, cs, но изменяется расход смеси за
счет изменения весовой доли частиц. При втором способе остаются
неизменными расход, давление и температура торможения, газо-
вая постоянная, ср, cs и площадь выходного сечения сопла, но при
изменении весовой доли конденсата изменяется площадь критиче-
ского сечения. При первом способе сравнения в .случае равновес-
ного течения смеси увеличение весовой доли эквивалентно умень-
шению у0 (см. рис. 5.17) и для сравнения параметров при F =
= const можно воспользоваться рис. 1.6. При # (%) =-const в рав-
новесном течении увеличение весовой доли конденсата (т. е. умень-
шение у0) приводит к увеличению давления, температуры, числа
Маха и импульса (но не удельного импульса) по сравнению со
случаем течения чистого газа, т. е. полностью замороженного те-
чения.
При втором способе сравнения остаются неизменными расход
и поток массы Q/F. Для сравнения параметров также можно вос-
пользоваться рис. 1.6, но нужно иметь в виду, что при изменении
весовой доли частиц пропорционально (1 — as) изменяется F*.
При сравнении по второму способу с увеличением весовой доли
конденсата уменьшается давление и импульс сопла, но растут тем-
пература, число Маха и удельный импульс. При таких сравнениях
надо иметь в виду, что на практике увеличение весовой доли кон-
денсата может сопровождаться одновременным изменением давле-
ния и температуры торможения, газовой постоянной, ср и cs.
Рассмотрим теперь изменение давления и температуры тормо-
жения в двухфазном течении. Пусть до некоторой точки в сопле
происходит равновесное течение смеси. Тогда в точке потока с
заданным статическим давлением, скоростью и температурой дав-
ление торможения определяется по газодинамическим формулам
для фиктивного газа, т. е. р° = р/л(М°), при этом р° —давление
торможения в ресивере. Если теперь осуществить обратный про-
цесс торможения смеси таким образом, чтобы кинетическая энер-
гия частиц и газа превратилась в тепловую, то при нулевой ско-
рости давление торможения будет равно р° . Однако если осуще-
ствить торможение, лишь газовой фазы, сохраняя скорость и
температуру частиц неизменными и равными их значениям в рас-
сматриваемой точке, т. е. осуществить изоэнтропическое, но «за-
254
мороженное» торможение, то давление торможения р0 в точке с
нулевой скоростью будет меньше pG • Нотерн полного давления
можно определить по формуле
а = Ро/р°о = я(Л1°)/л(7И). (5.95)
Аналогично можно определить изменение температуры тормо-
жения. Величина о = TG/TG определяется по формуле
(5.96)
Из анализа этой формулы и уравнения энергии следует, что Т°о >
> То, если cs < cPl Tq = TG, если cs = cp и Tq < TG, если cs > cp.
Зависимость о и o' от M представлена на рис. 5.18. Если частицы
имеют запаздывание по скорости и температуре относительно газа,
то превышение температуры То над температурой Т°о может иметь
место при любом отношении cs!cp. Превышение температуры тор-
можения двухфазной струи Т G над температурой на входе в сопло
То было экспериментально обнаружено в работе [107].
Приведенные оценки изменения давления и температуры тор-
можения в двухфазных потоках естественно являются предельны-
ми, поскольку проделаны для предельных течений, однако они
правильно отражают качественные закономерности и сохраняются
в случае неравновесных течений.
Возможно получить в замкнутом виде решение системы
(5.75) — (5.81), если положить Wis = KW, 7\s = ЛТ -|-(1— L)TG
[75], где К — постоянное число, а
j _6(Л— l)PrCxCs s-1
Такое течение, называемое течением смеси с постоянным отстава-
нием частиц, заменяется течением фиктивного газа, для которого
Течение этого газа по аналогии с равновесным течением рассчи-
тывается по газодинамическим функциям идеального газа. Рав-
новесное и замороженное течения получаются, если положить /С=1.
L=l и К=0, L = 0 соответственно.
Согласно решению (5.97) скорость газа и, следовательно, ча-
стиц изменяется линейно по длине сопла, и разность скоростей газа
255
и частиц увеличивается по линейному закону. В связи с этим, оно
имеет ограниченную область применения, так как в реальных тече-
ниях W—Wis имеет максимум.
2. Одномерные неравновесные течения без фазовых переходов.
Потери импульса. Рассмотренные в предыдущем разделе предель-
ные случаи практически не реализуются. Частицы могут ускорять-
ся лишь под действием аэродинамических сил, возникающих при
обтекании их газом, поэтому, чтобы ускоряться, они должны дви-
гаться медленнее газа. Аналогично частицы передают тепло, если
их температура выше температуры газа. Наличие разности скоро-
стей и температур между газом и частицами приводит к тому, что
процесс движения смеси является неравновесным. Из уравнений
(5.78), (5.80) следует, что при прочих равных условиях в геомет-
рически подобных соплах разность скоростей и температур будет
тем больше, чем больше число Стокса, т. е. чем больше размер
частиц, плотность вещества частиц и чем меньше абсолютные
размеры сопла и вязкость газа. Точное определение параметров
газа и частиц в рамках одномерного приближения возможно лишь
при численном интегрировании системы (5.75) — (5.81). Численное
интегрирование этой системы проводится теми же методами, как
и решение системы, описывающей неравновесные течения с физи-
ко-химическими превращениями, изложенными в § 2 настоящей
главы. По-прежнему, целесообразно решать обратную задачу с
заданным распределением давления р = р(х) или плотности р =
= р(х), а при решении релаксационных уравнений (5.78), (5.80)
использовать неявные разностные схемы. Поэтому, отсылая чита-
теля за подробностями расчета к § 2, выпишем лишь формулы,
аналогичные (5.41) — (5.43), когда задана функция р = р(х).
Имеем без учета объема частиц
+ (! — S) Lwim — Wis(m-l)[S^Wi(rn-l)+ (1 S)NW г?тг]} —
(5.100)
256
+ (1 —S) LTim— 1\тп-1) [5^Ti(m-l)+ (1 — S)NTim]} = 0, (5.101)
где
Lwi
= NwiW, Nwi —
Wis Stis
N U i s C p
После определения в точке хт значений W, WiSl Т и Tis из (5.81)
находится р, из (5.75) — площадь струйки F и из (5.76) — плотность
конденсата piS. Начальные данные при интегрировании системы
(5.75) — (5.81) задаются обычно в дозвуковой области, при этом
принимается, что в начальном сечении скорости и температуры ча-
стиц и газа равны.
Отметим некоторые общие закономерности изменения парамет-
ров неравновесных двухфазных потоков в соплах. Очевидно, что
скорости частиц ниже равновесной скорости и скорости газа в не-
равновесном течении, а температура их выше. Скорость и темпера-
тура газа могут быть равны, превышать или быть меньше соответ-
ствующих параметров в равновесном течении в зависимости от
величины Cslcp. Среднемассовая скорость смеси в неравновеснОлМ
течении меньше, чем в равновесном. Давление и удельный им-
пульс неравновесного течения при заданном отношении площадей
ниже, чем в равновесном течении, и выше, чем в замороженном.
Число Маха в неравновесном течении, определенное по заморо-
женной скорости звука, меньше числа Маха равновесного течения,
определенного по скорости звука фиктивного газа с у0 и 7?° за счет
снижения газовой постоянной в последнем. (Напомним, что в хи-
мически неравновесном течении имеет место обратное соотноше-
ние.)
Некоторые результаты расчетов представлены на рис. 5.19.
Приведенные на этом рисунке разности скоростей и температур
газа и частиц являются типичными для неравновесных двухфаз-
ных течений в соплах. В дозвуковой и трансзвуковой областях
сопла они увеличиваются за счет увеличения градиента скорости
и для частиц малых размеров достигают максимума в сверхзву-
ковой окрестности минимального сечения (где градиент скорости
максимален).
Для приближенных оценок параметров газа в неравновесном
двухфазном течении иногда возможно использование газодинами-
ческих функций. Если известно, что отклонение от равновесия не-
велико и известны скорость, температура и параметры торможе-
ния, то можно, определив число Л1° по равновесной, скорости зву-
ка и используя газодинамические функции, найти все остальные
17—625 257
параметры, которые будут приближенно соответствовать парамет-
рам неравновесного течения. В этом случае использование числа
М, определенного по замороженной скорости звука, может приве-
сти к большим ошибкам в определении давления и плотности.
Аналогично, по известному отношению давлении р/р0 в точке,
можно определить остальные параметры. Из результатов расчета
следует, что даже при размерах частиц до 20 мк и as < 0.6 пара-
метры газа- в неравновесном течении не более чем на 5—10 %
отличаются от равновесных, вычисленных с использованием пока-
зателя адиабаты у0.
Рис. 5.19. Зависимость скоростей и температур газа и частиц от х при
as = 0.3, d* = 100 мм, ро = 40 бар, То = 3200 К; 1 —контур сопла
Существенный практический интерес представляет величина
коэффициента потерь £s, связанных с запаздыванием частиц по
скорости и температуре. Принято величину определять как раз-
ность импульсов в равновесном и неравновесном течениях,_ отне-
сенную к импульсу в равновесном течении, при одинаковых г = г/г*
и расходах. Для определения величины £s реальная полидисперс-
ная смесь может быть заменена эквивалентной монодисперсной
смесью со среднемассовым размером частиц г43 [147]. Установлено
также, что одномерное приближение позволяет с достаточной для
практики точностью определить этот вид потерь. Величина £s воз-
258
растает с увеличением весовой доли конденсата, размера частиц и
убывает с ростом р0 и d*. Результаты расчетов £s в широком диа-
пазоне определяющих параметров и необходимые зависимости для
нахождения £s с учетом формы сопла даны в [147]. В частности, в
случае конического сопла 6& = 15 при Ро = 40 атм, R2 = 2, г =
= 2.5 величина £s (%) может быть определена с помощью сле-
дующей приближенной формулы:
£s = 20as d°-75 d-м ,
ij’-’ g •Г' z
(5.102)
справедливой при as < 0.4 (размерность ds — микроны, a d* —
миллиметры^. Расчеты показывают, что влияние остальных пара-
метров (ро, -^2, г, не столь велико и может быть учтено коэф-
фициентами, близкими по величине к единице.
Уменьшение комплекса р в неравновесном течении можно опре-
делить по приближенной формуле
А р/р = 24as d^ d~^ .
(5.103)
В работе [135] изучен вопрос о зависимости потерь импульса
от as для больших весовых долей частиц. В диапазоне as от 0 до
0.9 установлено существование максимума потерь импульса. Нали-
чие максимума для случая истечения в вакуум нетрудно устано-
вить аналитически, если предположить, что W8 = K.W, К < 1. Тог-
да имеем
= 1 - [1 + as(K - 1)][1 + as(K2-l)]-’/2,
(5.104)
откуда следует, что максимум
имеет место при as = (1 + К) ~~5 т. е.
при as>0.50. Зависимость от as
для различных К показана на рис.
5.20; там же приведены эксперимен-
тальные данные [135]. Очевидно,
что с уменьшением К, т. е. с увели-
чением отставания частиц, макси-
мум gs смещается в сторону боль-
ших as. В случае же замороженного
течения (Л=0) имеет место увели-
чение £s с ростом as; при < 0.4,
как отмечалось, зависимость от
as близка к линейной. Существова-
ние максимума потерь является
следствием противоположного влия-
ния на £s величины as и разности
скоростей частиц и газа, которая
Рис. 5.20. Зависимость
(%) от as; / — экспери-
мент
уменьшается с ростом as.
Представленные выше расчеты выполнены без учета объема,
занятого частицами, что в большинстве случаев приводит лишь к
незначительным ошибкам. Действительно, даже при больших ве-
259
совых долях конденсата (до 95%) р° > pis и тогда из (5.81)
S
имеем р ~ р°, а членом ~ dpfdx в правой части (5.78) можно
т ps
пренебречь. По-видимому, более существенным может оказаться
влияние количества частиц на коэффициент сопротивления.
3. Одномерные неравновесные течения с учетом взаимодействия
частиц. При движении полидисперсной смеси в сопле частицы раз-
личных размеров обладают различной скоростью. Так, относитель-
ные скорости частиц диаметром 1 мкм и 5 мкм могут составлять
в окрестности минимального сечения до 250 м/с, а частиц 1 мкм и
20 мкм — до 700 м/с. Таковы же по порядку величины относитель-
ные скорости частиц и газа. В этих условиях возможно взаимодей-
ствие частиц между собой, выражающиеся в соударениях, слия-
нии, дроблении с одновременным обменом массой, импульсом и
энергией. Под действием аэродинамических сил возможна и де-
формация частиц и их дробление. Исследование этих весьма слож-
ных физических процессов привело к разработке методов расчета
течений полидисперсного конденсата в соплах с учетом инерцион-
ной коагуляции (слияния) и дробления частиц. Наиболее закон-
ченное исследование этих вопросов дано в работах [136, 147, 148].
Ниже излагаются основные результаты этих работ.
Исследование коагуляции в полидисперсной смеси возможно
двумя методами. Первый основан на изучении эволюций размеров
частиц различных фракций и называется методом Лагранжа. Во
втором методе—методе Эйлера, напротив, прослеживается изме-
нение количества частиц фиксированных размеров. Оба метода
дают близкие результаты; ниже излагается лишь метод Лагран-
жа как более простой и удобный для реализации на ЭВМ.
Выпишем в одномерном приближении систему уравнений, опи-
сывающую движение полидисперсной смеси при наличии коагуля-
ции. Введем функцию п, определяющую количество частиц в еди-
нице объема. Будем рассматривать далее лишь дискретные рас-
пределения частиц по размерам, что является наиболее реалистич-
ным, имея в виду возможности экспериментального определения.
Имеем
gis=(-^------Г1 , pis = misliis, (5.105)
И— as pisWis )
или
_ gs PW
1S 1— as misWis
При одномерном движении траектории частиц прямолинейны, и,
если принять, что при каждом соударении происходит их слияние,
нетрудно получить, что увеличение массы f-й частицы за счет пог-
лощения ею более мелких j-x (j = 1, 2, . . ., i— 1) равно
260
l—l
, dx Wis
i = 1
Если учесть реальный характер процесса взаимодействия, то
1—1
-m,s = —— тз« ф«> (5.106)
dx Wis
J = 1
где Эц—-коэффициент захвата, —коэффициент эффективности
соударений, Kij = ji(gs + Gs)2|Ti7jS— IFiS| — константа коагуляции
при взаимодействии частиц.
Уменьшение количества i-x частиц вследствие их поглощения
более крупными /-ми частицами (/ = i + 1, i + 2, . . ., У) опреде-
ляется из соотношений
N
V Кц njs Фо, (5.107)
dx Wis
i =H-1
1 CLsf drriis
I /lie
as p Г dx
(5.108)
где i = 1, 2, . . ., TV. Вывод этих формул и выражения для кон-
станты коагуляции производится с использованием классических
рассмотрений, принятых в кинетической теории газов.
Коагуляция мелких частиц с более крупными приводит к изме-
нению их скорости и температуры в соответствии с законами сох-
ранения импульса и энергии при соударениях. Имеют место сле-
дующие соотношения для нахождения скорости и температуры
частиц в результате коагуляции:
(5.109)
(5.110)
где EiS = csTiS + Wis Знак частной производной используется
для обозначения изменения параметров, происходящего в резуль-
тате взаимодействия между частицами.
261
Если теперь к правым частям уравнений (5.78) и (5.80) доба-
вить правые части формул (5.109) и (5.110) соответственно и по-
ложить Эц = Фг? == 1, то система (5.75) — (5.81) совместно с
(5.106) — (5.110) будет служить для описания неравновесного двух-
фазного течения в сопле с коагуляцией без учета реальных осо-
бенностей взаимодействия частиц. Учет этих процессов требует
введения коэффициентов захвата, дробления и эффективности со-
ударения.
Рассмотрим каждый из процессов более подробно. Коэффи-
циент захвата характеризует отношение числа частиц заданного
размера, испытавших соударение с частицей большего размера, к
числу частиц, которые испытали бы соударения при прямолинейном
относительном движении. Для определения коэффициента захвата
можно пользоваться следующими формулами [157]:
Э°,- = [SUS^- + 0.125)-1]2
при потенциальном обтекании шара и
0.751n(4St<<)l-2
2Sto —1.2
(5.111)
(5.112)
при вязком обтекании. Здесь
(Г,- — Г,)г2,- р.
число Стокса; r?- < rj. Критическое число Стокса, ниже которого
коэффициент захвата равен нулю, для вязкого и потенциального
течений соответственно равно 0.607 и 0.0417.
При значительной разности скоростей между частицами и га-
зом возможна их деформация и дробление под действием аэроди-
намических сил. Характер обтекания определяется числом Reis, а
устойчивость их — числом Вебера
We = pdis(W — Wis)2G~\
при достижении критического значения которого происходит дроб-
ление жидких частиц [24]. Максимальные значения чисел We до-
стигаются в окрестности минимального сечения и меняются в пре-
делах 5—30 при изменении размеров частиц от 5 мкм до 20 мкм.
Согласно расчетным и экспериментальным результатам критиче-
ские числа We равны 10—20, поэтому процесс дробления может
оказаться существенным, особенно при (больших весовых долях ча-
стиц и больших давлениях торможения. Для определения пара-
метров частиц при наличии дробления существенное значение
имеет спектр частиц после распада. Ввиду сложности этой пробле-
262
мы принимают приближенно, что при распаде капля делится по-
полам.
Другим важным параметром, характеризующим взаимодей-
ствие 'частиц, является коэффициент эффективности соударений,
равный отношению изменения массы частицы к общей массе по-
i
павших на нее частиц: Фг-j = А тг-/ Для коэффициента Ф??-
i = 1
существуют эмпирические формулы (см. [136]), полученные в ре-
зультате обработки экспериментальных данных для условий, лишь
в некоторой мере соответствующих течениям в соплах:
ф;. = 1 — 0.1 ISRe^94?0'36 (гг-/г;)°-88
(5.113)
(2.5 g/g ^12, 15 Res Г0 4 70)
и
Фо = 1 — 0.247Re^34r°-133(G-/G)°-273,
где
Res = dis ps т]—1 (Wis — WjS), Г = / (2^ os ps) —
так называемый критерий устойчивости. Ввиду чрезвычайной
сложности как экспериментального, так и теоретического решения
проблемы, обычно приходиться ограничиваться использованием
этих заметно отличающихся формул.
Представленные выше соотношения относятся к взаимодей-
ствию жидких частиц. В случае твердых частиц процессы взаимо-
действия могут оказаться не менее сложными для математическо-
го описания за счет возможного разбиения частиц, их отражения
и т. д. Однако если предположить отсутствие этих процессов, а
также принять, что удар является неупругим и при этом кинети-
ческая энергия переходит в тепло и распределяется между части-
цами поровну, а распределение частиц по размерам и сами раз-
меры остаются неизменными (/уй = const, гц = const, gi = const),
то можно получить следующие уравнения для нахождения измене-
ния скорости и энергии в процессе взаимодействия:
N
I\ij mjs Hjs
dWis
dx
wis
3S
(5.114)
dTis
dx
mjs П js Э ij
i=l
js —
(mis + mj.
wjs — w\s
1 S

Приведем некоторые результаты расчетов неравновесных двух-
фазных течений с коагуляцией по методу Лагранжа. На входе в
263
сопло частицы распределены по нормально-логарифмическому зако-
ну с о=1.5, г0=1.1 мкм, 6/43=2 мкм. Начальная функция плотно-
сти распределения представлена двадцатью фракциями, равноотсто-
ящими по логарифму в диапазоне 0.5—15 мкм. На рис. 5.21 пред-
ставлено изменение диаметров различных фракций (сплошные ли-
нии), а также их относительных весовых долей (пунктир). На этом
же рисунке показан контур сопла. Весовая доля мелких частиц
уменьшается вследствие их поглощения более крупными, а весовая
доля крупных частиц растет. Весовая доля частиц промежуточных
размеров сначала возрастает, а затем, по мере исчезновения мелких
капель, начинает уменьшаться, поскольку уменьшение числа частиц
этих фракций начинает преобладать над ростом их размеров.
Из результатов расчетов следует, что рост частиц протекает су-
щественно интенсивнее при увеличении абсолютных размеров сопла.
Несмотря на то что с ростом размеров сопла происходит уменьше-
ние запаздывания и константы коагуляции, увеличивается пропор-
ционально диаметру время пребывания частиц в сопле, что оказы-
вается более существенным. Средние размеры частиц увеличивают-
ся также при увеличении давления в камере и увеличении их кон-
центрации. Рис. 5.22 иллюстрирует некоторые из отмеченных зако-
Рис. 5.21. Изменение размеров частиц
и относительных весовых долей фрак-
ций при коагуляции в сопле при
Л = 0.28, d* = 100 мм, ро = 40 бар,
То = 3 200 К, 00 = 45°, 0ft = 15°,
R2 = 2 (цифры у кривых означают но-
мера фракций)
номерностей. Влияние коагуля-
ции на потери импульса проде-
монстрировано на рис. 5.23.
Данные, приведенные на рис.
5.21—5.23, показывают необ-
ходимость учета коагуляции
при течении полидисперсной
смеси с жидкими частицами.
В то же время необходимо иметь
в виду, что элементарные про-
цессы взаимодействия частиц
изучены недостаточно и коли-
чественная и качественная ин-
формация о влиянии коагуля-
ции может существенно из-
мениться по .мере накопле-
ния знаний об этих процес-
сах.
4. Одномерные неравновес-
ные течения с фазовыми пре-
вращениями. Представленные
выше результаты относятся к
двухфазным неравновесным те-
чениям без фазовых превраще-
ний. Однако течения в аэроди-
намических соплах и соплах
ракетных двигателей могут сопровождаться процессами конденса-
ции и кристаллизации, которые в силу конечности времени пребы-
264
вания газа в сопле протекают неравновесно. Рассмотрим вначале
процесс конденсации. Конденсация может иметь место в том слу-
чае, когда парциальное давление одного из компонент смеси в
процессе расширения становится больше его давления насыщения.
Вообще говоря, при больших степенях расширения должна после-
довательно происходить конденсация всех компонент смеси, так
как адиабата Пуассона d\npldT=Cv/ (RT) неизбежно пересекает
ся в р — Т диаграмме с кривой, описываемой уравнением Клапей-
рона — Клаузиуса и дающей зависимость давления насыщенного
пара над плоской поверхностью. Согласно этому уравнению
din Pico L
dT ~~ RST2 ’
(5.115)
где pioo — давление насыщения конденсирующейся f-й компоненты
пара над плоской поверхностью, L — теплота конденсации, Rs — га-
Рис. 5.22. Изменение
метра минимального
среднего размера частиц в зависимости от диа-
сечения при as = 0.28 и весовой доли при d* =
= 100 мм
Рис. 5.23. Изменение t,8 (%) в зависимо-
сти от диаметра минимального сечения соп-
ла (as = 0.3, га = 2.5): 1 —с учетом коа-
гуляции, 2 — с учетом коагуляции, дроб-
ления, коэффициентов захвата и эффектив-
ности соударений, 3 — без учета коагу-
ляции
265
зовая постоянная конденсирующейся компоненты. На рис. 5.24 пред-
Рис. 5.24. (р— Т) -диаграмма
для паров воды. 1 — кривая на-
сыщения (равновесное течение),
2—адиабата Пуассона (заморо-
женное течение), 3— неравновес-
ное течение
ставлена (р— Т) -диаграмма для
паров воды. Если после достиже-
ния точки насыщения А дальней-
шее расширение происходит тер-
модинамически равновесно, то
давление и температура пара свя-
заны между собой соотношением
(5.115) и процесс расширения со-
ответствующей компоненты смеси
будет уже происходить не по
адиабате Пуассона АС, а по кри-
вой АВ (см. рис. 5.24), при этом
газовая фаза этой компоненты
будет конденсироваться. Однако,
как показывают многочисленные
экспериментальные данные, в
действительности конденсация в
сечении, соответствующем точке
Д, и на некотором участке вниз
по потоку от него не имеет места,
а весь процесс следует вдоль не-
которой кривой ACD, вдоль ко-
торой конденсация происходит не-
равновесно. Неравновесные пара-
метры течения, как обычно, яв-
ляются промежуточными между
параметрами равновесного рас-
ширения, соответствующего первоначально расширению по адиа-
бате Пуассона, а затем по кривой насыщения, и параметрами
замороженного расширения, когда фазовые превращения не успева-
ют произойти и расширение происходит только по адиабате Пуассо-
на. При равновесном процессе расширения последовательно выде-
ляется теплота конденсации; давление, температура и импульс в
этом случае больше, чем при неравновесном течении. Эти же пара-
метры при неравновесном течении, в свою очередь, больше, чем в за-
мороженном течении.
В течениях с конденсацией при равновесном и замороженном те-
чениях энтропия смеси остается постоянной и равной энтропии на
входе в сопло, однако по отдельности энтропия газовой и жидкой
фаз в равновесном течении изменяется.
Изменение состояния пара вдоль АС сопровождается более ин-
тенсивным снижением температуры, чем при расширении по кривой
насыщения. Таким образом, задержка конденсации в процессе рас-
ширения сопровождается более интенсивным снижением температу-
ры пара, которая оказывается ниже температуры насыщения при
данном давлении. Задержка конденсации в высокоградиентных по-
токах связана с тем, что в газе очень мало или вовсе отсутствуют
266
центры конденсации. Однако состояние переохлажденного газа не
является устойчивым, так как малые возмущения могут перевести
его в состояние насыщения, которое является абсолютно устойчи-
вым. Состояние пересыщения может быть снято либо за счет гетеро-
генной конденсации на посторонних частицах, либо за счет гомоген-
ной конденсации на образующихся зародышах частиц конденсиру-
ющейся компоненты. В случае гетерогенной конденсации, конденса-
ция основной компоненты может происходить на ядрах, образован-
ных из посторонних примесей. Если примесь, находящаяся в незна-
чительных количествах, обладает более высокой температурой и да-
влением насыщения, чем основная компонента, то, хотя ее конден-
сация не изменяет существенно параметров, ядра конденсации, ко-
торые при этом образуются, могут стать центрами конденсации
для основной компоненты. В связи с этим конденсация последней
может наступить при очень незначительном пересыщении. Так, по
данным работы [21] при содержании в азоте всего 0.05% водяного
пара перенасыщение расширяющегося азота полностью исчезает.
Согласно данным работы [98] конденсация азота в воздухе проис-
ходит равновесно.
Многочисленные исследования конденсации воздуха в аэродина-
мических трубах показывают, что с уменьшением начального дав-
ления, а значит и температуры насыщения, переохлаждение увели-
чивается, поскольку из-за низких давлений насыщения уменьшается
число столкновений между молекулами и, следовательно, число ядер
конденсации посторонних компонент. Поэтому при низких темпера-
турах и давлениях насыщения конденсация паров происходит гомо-
генно. Ниже рассматривается именно гомогенная конденсация, ко-
торая, как правило, имеет место в аэродинамических соплах и соп-
лах (и струях) ракетных двигателей.
В теории гомогенной конденсации важнейшей проблемой явля-
ется проблема спонтанного зарождения ядер конденсации [57, 156].
В обычной теории фазовых превращений рассматривается не ход
этих превращений во времени, а лишь равновесие между исходной
и новыми фазами в предположении, что последняя достигла полно-
го развития и что поверхность раздела между обеими фазами явля-
ется плоской. При этом обе фазы могут находиться в . равновесии
друг с другом бесконечно долгое время.
Очевидно, что рост новой фазы с конечной скоростью, после того
как она возникла и достигла достаточного развития за счет исход-
ной, возможен лишь при некотором отступлении от условий равно-
весия между ними. При этом исходная фаза находится в так назы-
ваемом «метастабильном» состоянии довольно долгое время, если
скорость образования новой фазы мала. В метастабильном состоя-
нии находятся, например, переохлажденный пар, перегретая жид-
кость и т. п. Возникновение новой фазы в метастабильной исходной
фазе осуществляется в форме зародышей. Можно расширить поня-
тие о равновесии двух фаз Л и В таким образом, чтобы зародыши В
данных размеров и формы находились в равновесии со средой А при
267
метастабильиом состоянии последней, т. е. при неустойчивости ее по
отношению уже к сформировавшейся фазе В, отделенной от нее пло-
ской поверхностью. Этот вопрос впервые был рассмотрен Томпсоном
применительно к конденсации пересыщенного пара, который пока-
зал, что давление пара, находящегося в равновесии с каплей жид-
кости при заданной температуре, тем больше, чем меньше радиус
этой капли. Таким образом, пар, пересыщенный в обычном смысле
по отношению к капле большого размера, может оказаться ненасы-
щенным по отношению к капле малого радиуса.
Выпишем некоторые соотношения, которые необходимы для по-
нимания физических особенностей процесса неравновесной конден-
сации в сопле. Согласно распределению Гиббса, количество комп-
лексов, содержащих g молекул, например, спонтанно образованных
ядер конденсации, при равновесном состоянии системы равно
Д^ = Л4ехр (—Дф/(£Т)), (5.116)
где Ni — количество молекул пара, ДФ — энергия образования за-
родыша, состоящего из g молекул, a k — постоянная Больцмана.
Энергия образования зародыша радиуса г равна
Дф = (фВ — фА) g 4- 4 л г2 о,
(5.117)
где срв и фА — термодинамические потенциалы, приходящиеся на од-
ну молекулу жидкости и газа соответственно, а о — поверхностное
натяжение. Поскольку g Vs = -у яг3, где Vs — объем, занятый од-
ной молекулой жидкости, то
(5.118)
Равновесное состояние системы характеризуется соотношением
d А Ф . 1 dr2^-p __ г\ / с 1 1
----= Фв — <рл + 4 л о---— = 0, (5.119)
dg dg
откуда можно получить формулу Томпсона
1п-^—=--;-, (5.120)
Pi оо Гi кр
riKV= ---------- (5.121)
kTlnipifp^)
где нижний индекс i относится к конденсирующейся f-й компоненте,
a pi — парциальное давление этой компоненты. Формула (5.120)
позволяет определить давление насыщения для капли радиуса г.
268
Нетрудно видеть, что пар, будучи насыщенным для крупных ка-
пель и пересыщенным для плоской поверхности, является ненасы-
щенным для мелких капель. Капли радиуса гкр, определяемые из
формулы (5.121), называются каплями критического размера или
зародышами. При заданных р и Т капли докритического размера
г<гкр находятся в среде ненасыщенного пара и поэтому испаряют-
ся, а капли сверхкритического размера г>гкр— в среде пересыщен-
ного пара и, следовательно, растут. Отношение s =р/роо называет-
ся пересыщением, а величина ДТ=Тоо — Т — переохлаждением.
Для капель с радиусом порядка микрона давление насыщения на
0.1% больше давления над плоской поверхностью, а при радиусе
капли 6-10-4 микрона пересыщение равно примерно 6.
Используя (5.120), формулу для ДФ можно переписать в виде
Из (5.118) и (5.122) следует, что в ненасыщенном (по отношению
к плоской поверхности) состоянии, когда фв>фА, ДФ — положи-
тельная монотонно возрастающая функция аргумента й’/й’кр, пар ус-
тойчив, поскольку капли критического размера отсутствуют и слу-
чайно возникшие зародыши исчезают; их число убывает с ростом
ДФ согласно (5.116).
Состояние насыщения срл = фв, 5 = 1 устойчиво для капель
критического размера, равного бесконечности. В пересыщенном па-
ре (фА>фв, 5>1) ДФ уже не является монотонной функцией пере-
менной g’/й’кр; она увеличивается при г<гкр, достигает максимума
при г = гкр и уменьшается при г>гкр. Следовательно, зародыши
размера, меньше критического, согласно формуле Томпсона испаря-
ются, а число их убывает с ростом г. Наоборот, при г>гкр зароды-
ши растут и число их с ростом г увеличивается. Таким образом, при
Фа>Фв может начаться образование новой фазы, однако скорость
этого процесса ограничена необходимостью прохождения барьера
ДФкр, аналогичного энергии активации в химических реакциях. Пар
в этом случае находится в метастабильном состоянии, соответствую-
щем максимуму потенциала ДФ. Состояние же новой фазы в точке
максимума в виде зародышей критического размера неустойчиво.
Вероятность образования в единице объема новой фазы определя-
ются по формуле
Р =А ехр
В о3
Т (А Т)2
(5.123)
На основании изложенного можно представить следующую по-
следовательность процесса неравновесной конденсации в соплах.
В начальной стадии процесса вблизи точки насыщения А степень
пересыщения пара увеличивается, поскольку капли критического
269
размера должны быть большими, а вероятность их образования
мала. В связи с увеличением пересыщения, размер критических за-
родышей уменьшается, а вероятность их возникновения растет.
Ввиду быстрого убывания вероятности флуктуаций с возрастанием
их размеров начало фазового перехода определяется вероятностью
возникновения зародышей именно
критического размера, в связи с
чем при расчете неравновесной
конденсации учитывается образо-
вание только этих зародышей.
Далее, за счет увеличения степе-
ни пересыщения в начальной ста-
дии процесса конденсации, заро-
дыши, которые в начальный мо-
мент имели критический размер,
через небольшое время окажутся
больше критических и их рост
будет продолжаться. Скорость
образования зародышей крити-
Рис. 5.25. Распределение давления по
длине сопла при неравновесной конден-
сации. Расчет для условий эксперимен-
тов 3, 4: 1 — равновесное течение;
2 — неравновесное течение. Экспери-
мент для конического сопла при г* —
= 1 см [177]: 3 — ро = 4.9 бар, То =
= 442 К, Too = 415 К; 4 — р0 = 2 бар,
То = 445 К, Too = 370 К
ческого размера велика и составляет примерно 1019 частиц в еди-
нице объема, и поэтому, несмотря на их малый размер 10 7 см),
общая поверхность, на которой происходит конденсация, доста-
точно велика. За счет быстрого образования зародышей и их
дальнейшего роста происходит интенсивное увеличение массы
жидкости и выделение тепла. Обычно величина LlcpT порядка
единицы, и поэтому появление даже небольшого количества
жидкой фазы может заметно повлиять на параметры течения.
Выделение тепла не только останавливает рост перенасыщения,
но и приводит к уменьшению степени перенасыщения. Образова-
ние новых зародышей, которое в сильной степени зависит от вели-
чины пересыщения, сразу же прекращается и в дальнейшем кон-
денсация идет уже на вновь образовавшихся ядрах.
Таким образом, все центры конденсации зарождаются, как пра-
вило, в самом начале процесса конденсации, когда достигнуто доста-
точно большое пересыщение. После того как необходимое пересы-
щение достигнуто, переход от метастабильного состояния в состоя-
ние насыщения может произойти довольно быстро и носить скачко-
образный характер (так называемые скачки конденсации). Однако
270
при некоторых условиях может наблюдаться и достаточно плавный
переход в состояние насыщения. Типичные распределения давления
и температуры в сопле при наличии неравновесной конденсации
представлены на рпс. 5.25, 5.26. Видно, что при более высоких дав-
лениях переход в состояние насыщения происходит почти скачко-
образно, а при меньших наблюдается плавный переход. В то же вре-
мя в ряде случаев из-за больших градиентов состояние насыщения
может и не достигаться вовсе. Из сказанного следует, что процесс
Рис. 5.26. Распределение температуры по длине сопла при неравномерной
конденсации (обозначения см. на рис 5.25)
конденсации в соплах разделяется на две стадии, при этом на пер-
вой стадии определяющим является .процесс образования ядер, на
второй — процесс роста ядер, когда образование ядер можно не
учитывать. На рис. 5.27 показано изменение вдоль стенки и оси ко-
271
нического сопла массовой доли жидкой фазы (паров воды), числа
частиц в единице массы N и скорости образования частиц /° [41].
Видно, что процесс образования ядер завершается на участке очень
малой длины, на котором скорость их образования имеет резко вы-
раженный максимум, после чего число ядер остается неизменным, а
происходит их рост.
Рис. 5.27. Изменение скорости образова-
ния ядер числа частиц в единице
объема N и массовой доли жидкой фа-
зы as вдоль оси (а) и стенки (б) кони-
ческого сопла при г* = 1 см, 0& = 12°,
= 2. 1 — равновесное течение, 2 — не-
равновесное течение
Классическая теория образования ядер конденсации развита
в [57, 156], где получено приближенное выражение для стационар-
ной неравновесной функции распределения зародышей по разме-
рам, а также формула для скорости образования зародышей. Не-
смотря на попытки ревизии формул работы [156], многочисленные
расчеты и эксперименты показывают, что они в настоящее время яв-
ляются достоверными. Выпишем, не оговаривая предпосылок выво-
да, уравнение для неравновесной функции распределения зароды-
шей по размерам f (g, t) [156]. Имеем
1 д (д Л Ф \
kT dg dg '
(5.124)
где D = UikSg$, Uik — коэффициент конденсации, Sg — площадь по-
верхности зародыша, р — поток молекул пара на единицу поверх-
ности в единицу времени. Если функция f (g, t) определена, то ско-
рость образования комплексов из g молекул J (g, t) определяется
так:
J(g, t)=-DN°(-L],
dg\ Ng 7
(5.125)
где Ng — функция распределения Гиббса [см. (5.116)]. В предполо-
жении стационарности процесса образования ядер конденсации
(df/dt=O), а также при условии, что f = Ng при малых g и f = О
при g‘>g’Kp, имеет место следующее приближенное выражение для
скорости образования ядер критического размера:
272
^ik f Pico \
Pis ' kT )
2(Ji k
3T 7?is
4Л Г2гКр С>г
3kT
(5.126)
Когда процесс расширения происходит при больших градиентах
газодинамических параметров, условие стационарности может на-
рушаться. Для оценки влияния нестационарное™ па скорость обра-
зования было проведено численное решение уравнения (5.124).
В качестве начального условия принималось, что в точке насыщения
при t = 0 распределение для зародышей любого размера совпада-
ет с распределением Гиббса. Граничные условия аналогичны гранич-
ным условиям, использованным при выводе (5.126), т. е. для всех
t f (gy t)=Ng при малых g и f (g, /)•—>4) при g—>оо. Численное
интегрирование уравнения (5.124) проводилось при заданном дТ/dt
от точки насыщения. В правом верхнем углу рис. 5.28 приведено
качественное сравнение неравновесной f (g, t) и равновесной Ng
функций распределения, из которого следует правомерность выбран-
ных граничных условий, а также видно, что в окрестности точки
g = равновесное распределение дает существенно завышенное
число ядер конденсации. Численное решение позволяет оценить обос-
нованность гипотезы стационарности и различных приближенных
предпосылок, использованных при выводе формулы (5.126). Очевид-
но, что различие между скоростями стационарного J и нестационар-
ное. 5.28. Зависимость от А Г = Т — Тю (Т^ = 323 К) отношений
скоростей образования ядер ///н при dT/dt^ 107 К сек-1 и ///0 при
dTjdt = 107 К сек-i (i) и при ^Idt = 103 К сек~1 (2)
18—625
273
)бразования ядер должно зависеть от физических характе-
онденсирующейся компоненты, величины переохлаждения,
а температуры дТ/dt и температуры насыщения. На рис.
уставлены зависимости 7/7н и J/J0 от АТ = Т — для
ды. Зависимости J и /н получены при численном решении
(я (5.124), при этом в стационарном случае полагалось, что
О, а через 7° обозначена скорость стационарного образова-
, вычисленная по формуле (5.126). Из расчетов следует, что
стационарного образования ядер выше нестационарной,
различие увеличивается с уменьшением АТ. Однако при
А Т различие между 7, 7° и /п исчезает. Различие увеличп-
акже при уменьшении температуры насыщения и коэффн-
юнденсацпи, поскольку при этом уменьшается число соуда-
единнцу времени и для установления стационарного рас-
шя требуются большие времена. В некоторых случаях /° и
отличаться на порядок, например, для паров В20з. Тем не
многих практических интересных случаях, по-видимому,
ользоваться формулой (5.126), поскольку наибольшее раз-
жду 7° и /п имеет место при малых А Т, когда абсолютные
скорости образования количества зародышей и массы
|>азы невелики.
юрой стадии процесса конденсации определяющим являет-
эст образовавшихся ядер конденсации. Если длина свобод-
бега молекул значительно больше размера капель, что ха-
» для течений в соплах, то следует использовать формулу
df г _ O'ik Pi Pioo (Tis)
dt pis ^2nRi&T y^nRisTis
(5.127)
ую из условия баланса числа молекул, соударяющихся с
покидающих ее. В континуальной области; когда перенос
пара к капле обусловлен диффузией, следует использовать
Максвелла
dr г D i [р г Pi оо (Т is)]
dt Pis RisTris
(5.128)
- коэффициент диффузии конденсирующейся компоненты,
гуру капли можно определить из дифференциального урав-
ланса энергии, которое для капель малого размера может
ведено к следующему соотношению:
где aik и pQ —коэффициенты конденсации и термической аккомода-
ции конденсирующейся компоненты и инертного газа, — показа-
тель адиабаты конденсиурющейся компоненты. Последний член в
(5.129) относится к инертному неконденсирующему газу и равен ну-
лю, если инертный газ отсутствует. Из (5.127) и (5.129) следует, что
приращение радиуса капли и ее температуры не зависят от абсо-
лютной величины радиуса.
Для количественного описания процесса конденсации необходи-
мо в каждой точке сопла знать массовую долю выпавшей жидко-
сти, которую можно определить, например, используя массовую
функцию распределения частиц (не только критического размера)
по размерам fim. Уравнение для функции распределения fim (вывод
его аналогичен выводу уравнения Больцмана, см. [9]) имеет вид
^"+— (fim—) = dL6 (Гг-Пкр), (5.130)
at дгг dt 1 р
где б — функция Дирака (поскольку учитывается появление новых
ядер только критического размера), р — плотность смеси. Это урав-
нение должно решаться в каждой точке течения совместно с систе-
мой уравнений газовой динамики. Для случая, когда приращения
радиуса капли и ее температуры не зависят от абсолютной величины
радиуса, что имеет место в большинстве реализующихся на практи-
ке течений в соплах, в работе [41] предложен весьма простой метод
определения массовой доли жидкой фазы и функции распределения.
Существо метода состоит в следующем. Разобьем линию тока
на малые отрезки и определим прирост массовой доли жидкой фа-
зы на некотором /-м отрезке. Параметрам, относящимся к отрезку
k, на котором происходит образование капель, будем приписывать
нижний индекс k, а параметрам, относящимся к рассматриваемому
отрезку, — индекс /. Пусть Nk=J^ Alk/pkWk— число ядер крити-
ческого размера, которые образовались в единице массы за время
прохождения отрезка k длиной А/&. Тогда прирост массовой доли
жидкой фазы в единице массы смеси за время прохождения /-го от-
резка равно
(5.131)
где А г; — прирост радиуса капли на участке A Zj.
Учитывая, что rhj = гл, j-i + A Tq-i) (j-i) = r*-_!, выражение
(5.131) можно привести к виду
Aa; = 4nps (А3-Дг3- + — N;rt3). (5.132)
3
i — 1 7—1 7—1
где Aj Nkdi Вводя обозначения £>3-=^]м,
k = 1 k = 1 Л = i
нетрудно получить следующие рекурентные соотношения:
275
Dj — Dj—i -|- j—1> A / j—2 “H Nj—[ г , (5.133)
•J
Л; = Aj-i + Nj-ir\j_^ + Dj A r2j + 2 Bj A rj.
использование которых существенно облегчает расчет А а;. Величи-
на А г7-определяется из уравнения (5.127) с использованием (5.129).
Поскольку размер частиц, образующихся при конденсации, мал и
не превышает обычно нескольких сотен ангстрем, то можно считать,
что газ и частицы имеют одинаковую скорость, при этом температу-
ру частиц нужно определять не по (5.80), а по (5.129). В связи с
этим можно не учитывать коагуляцию частиц, связанную с раз-
ностью скоростей частиц.
В общем случае в потоке может происходить одновременно кон-
денсация нескольких компонент, однако, согласно правилу фаз
(5.10), число конденсирующихся компонент не должно превышать
числа независимых элементов, из которых образованы компоненты
смеси. Одновременно с конденсацией могут протекать и химические
реакции, при этом целесообразно весовые (или молярные) доли не-
конденспрующпхся компонент определять либо из уравнений хими-
ческой кинетики, если реакции протекают неравновесно, либо из
закона действующих масс, если они протекают равновесно. Моляр-
ные доли конденсирующихся компонент следует определять из ко-
нечных уравнений материального баланса, число которых, в силу
правила фаз, равно числу конденсирующихся компонент.
Пусть число независимых элементов в смеси равно т, число
компонент в газовой фазе — N, из которых первые т— конденсиру-
ющиеся. Система уравнений, описывающая в равновесном прибли-
жении течение с неравновесным протеканием химических реакций
п неравновесной конденсацией, имеет вид:
Р WF=Q,
N т
7 j cti — + 7; ais — — bk (k — 1, 2, . . . , m),
ft ift
-^- = fo (/,,-. p, T, Tis),
dx
Tis = fi (Pi, T, pioa),
276
(5.134)
(5.135)
(5.136)
(5.137)
(5.138)
(5.139)
(5.140)
р = RpT,
Pi = pm p/pi,
(5.141)
(5.142)
(5.143)
m N
i = 1 i = 1
где his = hi — а функции /° и f1 определяются с помощью урав-
‘ нений (5.126), (5.127), (5.129) и (5.130). Неравновесная конденса-
ция начинается обычно в сверхзвуковой области сопла, поэтому мо-
жно численно решать как прямую задачу с заданным законом из-
менения площади струйки F = F (х), так и обратную задачу.
В случае обратной задачи предпочтительно задавать распределение
плотности смеси р = р (%), так как она слабо зависит от того, рав-
новесное течение или неравновесное. Для численного решения си-
стемы (5.134) — (5.143) может быть предложен, например, следу-
ющий итерационный процесс. Пусть требуется определить решение
в узле хп, если известно решение в узле xn-i и задано рп. Тогда, по-
лагая в первой итерации Т£) = Tn-i , находим из (5.141) , а из
(5.140), (5.139) и , полагая в правых частях уравнений
значения функций в первом приближении равными их значениям в
известной точке (п— 1). Далее, из системы (5.135) — (5.137) мето-
дом, изложенным в § 2 настоящей главы [см. формулы (5.41) —
(5.43)], определяем , Wfy и уточненное значение П2) . Далее,
весь процесс повторяется до сходимости, только в последующих
итерациях, где необходимо используются значения функций из пре-
дыдущей итерации.
При решении прямой задачи последовательность расчета сохра-
няется той же, только первоначально из (5.134) определяется рп
при условии, что Wln = Wn-i. Если химические реакции не протека-
ют, то щ — const (f = m + 1, ... , N), и отпадает необходимость
использования уравнений (5.137). В остальном последовательность
расчетов остается неизменной. Отметим, что в изложенном методе
расчета одновременно учитывается образование ядер критического
размера и их рост.
Обратимся к результатам расчетов. Приведем первоначально не-
которые характерные константы. Для воды, например, имеем L =
= 2700 к§ж/кг, ср=1870 дж/кг-град, а= (128—0.19 Т) 10~3 н/м,
ps = (1.11—4.10-4 Т) г/см3. Основным параметром, определяющим
начало неравновесной конденсации, является величина пересыще-
ния s или переохлаждения А Т газа. Следующие простые рассмот-
рения позволяют оценить минимально возможное Л Т. Пусть в еди-
нице объема смеси образовалось всего несколько десятков ядер
конденсации критического размера. Этот момент можно считать на-
чалом конденсации. Тогда из формулы (5.116) при ДФ = АФКр мож-
но, задавшись числом ядер конденсации (напомним, что равновес-
ное распределение (5.116) завышает число ядер конденсации по
277
сравнению с неравновесным), определить значение критического
радиуса и затем из (5.120) —величину переохлаждения. Это значе-
ние переохлаждения (ATmin), минимально возможное. Расчеты по
формуле (5.120) при условии образования одного ядра критического
размера дают для паров воды значение ATmm^25—30°. Отметим
что известные экспериментальные значения переохлаждения всегда
превышают определенное таким образом ATmin.
Из представленного выше анализа процесса неравновесной кон-
денсации и формул (5.120), (5.126), (5.128), (5.129) следует, что
величина переохлаждения определяется локальными условиями в
окрестности точки пересечения адиабаты Пуассона и кривой насы-
щения, т. е. должна зависеть от температуры насыщения Too, гради-
ента температуры dT/dt, показателя изоэнтропы смеси у0, концент-
рации нёкоиденсирующейся компоненты с°. Очевидно, что эти же
параметры, а также число М являются определяющими для всего
процесса конденсации в целом.
Величина А Т так же, как и степень отклонения системы от рав-
новесия, должна увеличиваться с увеличением dT/dt и уменьшени-
ем у0. Однако влияние у0 на А Т, а также на размер капель и их об-
щее число невелико. Концентрация неконденсирующихся компонент
с° слабо влияет на величину переохлаждения, однако существенно,
особенно при низких Too, увеличивает скорость роста капель [см.
(5.127), (5.129)]. Действительно, неконденснрующиеся компоненты,
не давая вклада в массовую долю жидкой фазы, отбирают тепло
от капли, температура которой приближается к температуре газа,
что способствует более интенсивному росту капли.
Более сложно влияет на величину А Т температура насыщения
Too. Ясно, что при очень малых Too (и соответственно /Лх,) величина
ДТ может быть очень большой, особенно при больших dT/dt, по-
скольку скорость образования жидкой фазы и скорость роста ядер
конденсации снижаются с уменьшением Too. С повышением Too от
малых значений до умеренных (например, для паров Н2О от —70°
до 0°С) величина А Т убывает до некоторого значения, а далее, в за-
висимости от значений с°, у0, dT/dt может продолжать убывать, ос-
таваться постоянной или увеличиваться. Тщательные эксперимен-
тальные исследования расширения паров воды в плоских соплах
[177] показывают, что величина АТ остается почти постоянной и
равной 504-60 К в диапазоне Too от 50°С до 150°С. С другой стороны,
с увеличением Too процесс конденсации оказывает более сильное
влияние на давление и температуру смеси (см. рис. 5.25, 5.26). Вид-
но, что снижение Too заметно изменяет характер распределения да-
вления при наличии неравновесной конденсации. Если при больших
Too характерно почти скачкообразное увеличение давления (так на-
зываемый скачок конденсации) и далее постепенное приближение
к равновесному значению, то при малых Too происходит плавное
увеличение давления. Отметим здесь же, что при резком увеличении
давления возможно локальное превышение давления (но не импуль-
278
са) над равновесным значением. В результате расчетов установлено,
что даже при спонтанной конденсации переохлаждение полностью
не снимается, при этом с уменьшением величина остаточного
переохлаждения увеличивается. Поэтому, после резкого снижения
переохлаждения в первой области спонтанной конденсации при
больших dT/dt и малых может вновь начаться увеличение пере-
охлаждения п возникнуть -новая область спонтанной конденсации.
Остановимся, наконец, на влиянии числа М на величину А Т. Оче-
видно, с одной стороны, что скорость образования ядер конденса-
ции и их рост определяются величиной и /7оо, и не зависят от аб-
солютной скорости потока, а следовательно, и от числа Маха. Одна-
ко воздействие одной и той же массовой доли сконденсированной
жидкой фазы на параметры течения будет различным при различ-
ных числах Маха. Действительно, подвод тепла в трансзвуковой об-
ласти при числах М ~0.8—1.5 может заметно изменить параметры
потока, в то время как подвод того же количества тепла значитель-
но меньше повляет на параметры течения в сверхзвуковой области.
По данным работы [41] (см. также табл. 5.6) число 7И при AL>1.5
практически не влияет на А Т, размер капель, скорость их роста и
образования. Из анализа экспериментальных и расчетных данных
следует, что при 714 > 1.5 радиус критического зародыша в точках,
где начинает проявляться конденсация жидкой фазы для паров
воды азота п кислорода, составляет примерно 6—7 А и такое ядро
конденсации содержит 8—10 молекул (для сравнения укажем, что
радиус молекулы воды равен 2.3 А, а азота и кислорода — 1.75 А).
По этим данным можно определить величину АТ по формуле
(5.120); при этом оказывается, что отношение 7\/7\о постоянно в
некотором диапазоне Т™ и равно 0.875 для паров воды и 0.7 для
азота. Зависимость Мк от Л4оо (Мк, Тк — число Маха и температура
в точке начала конденсации, а Моо — число Маха в точке насыще-
ния) имеет вид
ж =
(5.144)
Эта зависимость при указанных значениях Тк/Тоо хорошо согласует-
ся с экспериментальными данными и может использоваться для оце-
нок задержки конденсации в аэродинамических трубах [98, 177,
189].
Число Маха в неравновесном течении, вычисленное по заморо-
женной скорости звука, выше числа Маха в замороженном тече-
нии, поскольку температура в неравновесном течении выше, чем
в замороженном. В то же время число Маха в равновесном тече-
нии, вычисленное по равновесной скорости звука, выше числа Ма-
ха в неравновесном течении. Отметим еще, что при равновесном
течении в точке насыщения скорость звука, а следовательно, чис-
ло Маха терпят разрыв первого рода при переходе с адиабаты
279
Пуассона на кривую насыщения, чего, очевидно, не может быть
при равновесном течении. Из результатов расчетов следует, что
плотность тока р W и плотность смеси слабо зависят от характе-
ра протекания процесса. На рис. 5.29 на основе данных, получен-
ных при численном решении системы (5.134) — (5.143), показано
Рис. 5.29. Зависимость величины переохлаждения А Т (К), радиуса ча-
стиц г (А) и числа частиц в единице объема N от градиента темпера-
туры dT/dt (К/сек) для Too = 373 К (1) и Т. = 273 К (2)
Остановимся на сравнении расчетных и экспериментальных
результатов. В ряде работ делается попытка добиться согласо-
вания расчетных и экспериментальных результатов путем варьи-
рования коэффициента конденсации и коэффициента термической
аккомодации. Поскольку данные по коэффициенту конденсации
весьма противоречивы (значения ah для паров воды по данным
различных работ меняются от 0.02 до 1), то представляется целе-
сообразным подобрать такую зависимость от температуры, что-
бы наилучшим образом согласовать результаты расчетов с опор-
ными экспериментальными данными и по распределению давления
и по размерам частиц. Оказывается, однако, что одной такой за-
висимости недостаточно; необходимо еще в (5.126) брать энергию
образования с некоторым коэффициентом £. Такого рода аппрок-
симация для водяного пара дает: аь — ехр (—3.22 +875 Г-1), £ =
= —1.18 + 0,00795 Т при Т > 273 К и Z = 1 при Т < 273 К.
Использование этих аппроксимаций при численном интегрировании
системы уравнений (5.134) — (5.143) позволило получить хорошее
согласие расчетных и экспериментальных данных (см. рис. 5.25).
280
Неравновесная конденсация паров воды, углекислого газа, азо-
та и кислорода воздуха может иметь место в соплах аэродинамичес-
ких труб. В соплах ракетных двигателей конденсация этих компо-
нент в силу высоких температур торможения не имеет места, а про-
исходит уже в выхлопной струе. Однако для продуктов сгорания
топлив, содержащих бор в процессе истечения возможна неравно-
весная конденсация паров В2О3. Расчеты неравновесной конденса-
ции для топлива В5Н9 + Н2О2 показали, что потерн импульса даже
при коэффициенте конденсации щ = 10~3 не превышают 1% [147].
Для течений в струях ракетных двигателей при наличии неравновес-
ной конденсации имеют место в основном те же закономерности, что
. и в соплах. Однако радиус частиц в струях меньше, чем в соплах, за
счет более малых Too. Так, для топлива iN2O4 + (CH3)2NNH2 при
а = 0.9 и ро = 100 бар, ccSh2o — 0.3 и Too = 223 К радиус конден-
сированных частиц равен 5—6 А.
( Рассмотрим теперь процесс кристаллизации жидких частиц.
Этот процесс может начаться, если при расширении в сопле тем-
пература газа становится ниже температуры плавления жидких
частиц. В соплах очень больших степеней расширения после кон-
денсации некоторых компонент может начаться их кристаллиза-
ция. На практике с явлением кристаллизации приходится сталки-
ваться в основном при истечении продуктов сгорания топлив с до-
бавками А1 и Be, которые содержат окислы А12О3 и ВеО
с температурой плавления 2303 К и 2830 К соответственно
при температуре в камере сгорания более 3000 К. Частицы
этих окпслов находятся в камере сгорания в жидком со-
стоянии и при достижении в процессе расширения температуры
плавления, в силу условия равновесия, должны кристаллизовать-
> ся. Согласно равновесной термодинамике процесс кристаллизации
происходит изотермически с температурой, равной температуре
плавления, и эта область течения может быть описана с помощью
газодинамических функций для изотермического течения. На уча-
стке сопла, где происходит кристаллизация, теплота кристаллиза-
> ции постепенно передается газу, пока не завершится кристалли-
зация всей жидкой фазы. Однако равновесный процесс кристал-
лизации не осуществляется. Скорость передачи тепла от частиц к
газу и скорость образования кристаллических зародышей конечны
и указанные процессы, в силу конечности времени пребывания
частиц в сопле, не завершаются. Действительное количество теп-
ла кристаллизации, переданное газу, значительно меньше того, ко-
торое соответствует условиям равновесного протекания процесса.
Кинетика процесса кристаллизации в некоторой степени анало-
гична кинетике процесса конденсации. По-прежнему массовая до-
ля новой фазы . определяется скоростью образования зародышей
новой фазы (в данном случае кристаллов) и скоростью их даль-
нейшего роста. Вероятность образования их может быть опреде-
лена, как и в случае жидкой фазы, по формуле (5.123), только те-
281
перь нужно под о понимать мсжфазовос поверхностное натяжение,
а под ДТ— переохлаждение жидкости (для воды дин/см,
а для окиси алюминия о~200 дин/см). Вероятность образования хо-
тя бы одного центра тем меньше, чем меньше масса жидкости. Изве-
стно, что мелкие капли воды могут переохлаждаться на десятки гра-
дусов ниже нуля. Время, необходимое для замерзания микронных
капель воды, исчисляется секундами и минутами, а субмикрон-
ных— часами. Время же пребывания частиц в сверхзвуковой ча-
сти сопла, где обычно происходит кристаллизация, порядка 10-4—
10~5 сек. Следовательно, из-за малых размеров частиц, малого
времени пребывания и значительной величины о равновесный про-
цесс кристаллизации не происходит и весьма вероятно, что части-
цы окислов металлов после достижения температуры плавления
находятся в жидком переохлажденном состоянии. С другой сто-
роны, в реальном процессе течения частиц по соплу эффектив-
ность передачи тепла кристаллизации газу значительно ниже, чем
в равновесном. Действительно, температура частиц в неравновес-
ном двухфазном течении выше температуры газа, и это превыше-
ние тем больше, чем больше размер частиц. Поэтому выделение
теплоты кристаллизации происходит в неравновесном двухфазном
течении при меньших давлении н температуре газа, чем в равно-
весном, и в связи с этим является менее эффективным, чем в рав-
новесном.
На рис. 5.30 показано изменение температуры газа и частиц
различных размеров в зависимости от относительного радиуса со-
пла. Видно, что чем больше размеры частиц, с тем меньшей тем-
пературы газа начинается процесс кристаллизации, при этом в
Рис. 5.30. Зависимость температуры газа и частиц от г, 1 — неравновес-
ное течение, 2 — замороженное течение без кристаллизации
282
процессе кристаллизации разность температур газа и частиц ра-
стет, поскольку температура частиц остается постоянной и равной
температуре плавления, а температура газа продолжает падать.
Расчеты прироста импульса в пустоте за счет процесса кри-
сталлизации для частиц различных размеров с учетом конечной
скорости отвода тепла от частиц, согласно уравнению (5.80), пока-
зывают, что наибольшая доля прироста импульса может быть реа-
лизована от частиц диаметром, меньшим 3—5 мкм [147]. Но имен-
но для таких частиц наиболее вероятна задержка процесса кри-
сталлизации. Для частиц же диаметром 10—15 мкм прирост в им-
пульсе из-за конечной скорости процесса теплоотвода мал. Таким
образом, конечность скорости процесса передачи тепла от частиц
к газу и задержка образования ядер кристаллизации позволяет не.
учитывать процесса кристаллизации йри расширении двухфазной
смеси в сопле.
Оценим потери импульса из-за отсутствия процесса кристалли-
зации. Для простоты рассмотрим случай истечения в пустоту. Из
уравнения энергии имеем
Wi— {2 То [ (1 — as) ср + ascs]p2 ,
W2 = {2 То [(1 - a.s) cP + as (cs — Q°ITO)]}\ (5.145)
о = i _ ~ Q°
&s' Wi ~27o[(l —as)cP + ascs] ’
где Wt — скорость истечения в пустоту при равновесном течении с
кристаллизацией, W2— скорость истечения в пустоту при заморо-
женном течении при отсутствии кристаллизации, Q0 — теплота пла-
вления. Тогда максимальные потери импульса из-за отсутствия
кристаллизации £° при содержании в продуктах сгорания окиси
А12Оз с as = 0.325, То = 3250 К, cslcp = 0.35 равны примерно 2%.
Из формулы (5.145) следует, что ££ увеличивается при увеличе-
нии Q0 и as и уменьшении То.
5. Течения в осесимметричных и плоских соплах. Исследования
двухфазных течений, выполненные в одномерном приближении, по-
зволяют установить многие качественные особенности таких тече-
ний. Однако при движении смеси газа с частицами двумерные эф-
фекты играют существенную роль как из-за неравномерного рас-
пределения частиц в различных сечениях сопла, так и из-за воз-
можного выноса их на стенки в дозвуковой и сверхзвуковой обла-
стях, что является следствием различного по величине и знаку
воздействия газа на частицы в различных точках сопла. В резуль-
тате траектории частиц отличаются от линий тока газа, при этом
вектор скорости, частиц и их температура в транс- и сверхзвуко-
вой областях существенным образом зависят от параметров тече-
ния в дозвуковой области. Поэтому для правильного описания
двухфазного течения в сопле необходимо проводить совместный
расчет до-, транс- и сверхзвуковой областей.
283
Приведем первоначально уравнения, описывающие плоское
(v = 0) и осесимметричное (v=l) двухфазное течение полиднс-
персной смеси газа и частиц без фазовых превращений
где i — 1, 2, ... , N; и, v, щ8, ViS— проекции вектора скорости
газа и частиц на оси декартовой системы координат х, у. Проекции
силы действующей на частицы со стороны газа, и величина по-
тока тепла qis [см. (5.78), (5.80), (5.86), (5.88)] определяются из
соотношений
/гх ----- bt 1 Cxi (и Hi,s) , fly ----------------------- St. 1 Cxi (^ Vis) }
to to
(5.154)
NU isCp
3Pr Stis

Поскольку траектории частиц являются характеристиками систе-
мы (5.146) — (5.153), последние три уравнения этой системы при
р3 могут быть записаны в виде
S w
uis^- = fix, Vis = fiy, (5.155)
dx dx
284

dT iS
UisCs-----
— Qis
dx
(Z = 1, 2, ... , N),
где дифференцирование производится вдоль траекторий частиц, на
которых выполняется соотношение
dt is Vis
dx Lt is
(5.156)
1
-
।
А
/
V
Численное решение системы (5.146) — (5-153) в сверхзвуковой
части сопла удобно осуществлять послойным методом характери-
стик (см. гл. II). В дозвуковой части для численного решения мо-
жно использовать алгоритм решения обратной задачи. В процессе
такого рода расчетов определяется все поле газодинамических па-
раметров, параметры частиц, их траектории, зоны чистого газа с
учетом взаимного влияния газа и частиц. Возможен приближен-
ный подход, при котором производится раздельное решение урав-
нений для газовой фазы и частиц [62, 167]. Предполагается, что
параметры газа не изменяются под воздействием частиц п могут
быть определены в результате независимого расчета для газа с
фиктивным показателем адиабаты у0, т. е. параметры газа соот-
ветствуют равновесному течению. Параметры же частиц опреде-
ляются путем численного интегрирования при условии неизменно-
сти параметров газа. Система (5.146) — (5.153) распадается в
этом случае на две независимые системы (5.146), (5.148) — (5.150),
для фиктивного газа с у = у0, в которой суммы в правых частях
отсутствуют, и систему (5.147), (5.151) — (5.153) или (5.155) для
частиц. Первая система решается либо путем решения обратной
задачи теории сопла, либо методом характеристик в сверхзвуко-
вой области. В результате такого расчета во всех точках поля те-
чения известны параметры газа как функции координат. Для оп-
ределения параметров частиц UiS, V{S, Tis интегрируется система
(5.155), при этом параметры газа считаются известными и неиз-
менными. Обоснованием такого приближенного подхода являются
представленные выше результаты расчетов в одномерном прибли-
жении, согласно которым параметры газа при неравновесном и
равновесном двухфазных течениях отличаются мало. Очевидно,
что второй приближенный способ является значительно более про-
стым. Расчеты, выполненные с использованием этих двух способов,
показывают, что получающиеся в обоих случаях значения пара-
метров газа и частиц весьма близки между собой всюду, за исклю-
чением зон чистого газа. Следовательно, основные закономерности
в поведении траекторий частиц могут быть установлены в резуль-
тате расчетов по второму способу.
На рис. 5.31 представлены траектории частиц для некоторых
характерных случаев [62]. При больших размерах частиц (ds>
>>10 мкм) и малых диаметрах минимального сечения сопел
(d*<25 мм) траектории частиц в сверхзвуковой части сопла близ-
285
ки к прямолинейным. Траектории частиц малых размеров искрив-
лены и при больших диаметрах сопел близки по форме к линиям
тока газа. Такой характер поведения частиц различных размеров
связан с тем, что запаздывание частиц по
скорости и температуре увеличивается при
увеличении размера частиц, градиента газо-
динамических параметров и при уменьше-
нии плотности газа. Линии тока газа и ча-
стиц в дозвуковой части довольно близки
между собой, а в трансзвуковой и сверхзву-
ковой частях заметно различаются, особен-
но при больших диаметрах частиц и малых
диаметрах минимального сечения сопла.
Для частиц всех размеров существует
траектория, которая касается стенки сопла в
дозвуковой части. Эти предельные траекто-
рии. 5.31. Траектории частиц (сплошные линии) и
линии тока газа (пунктирные линии) в соплах Ла-
валя при ds = 10 мкм, (Z* = 25 мм (а) и при ds =
= 2.5 мкм, б* = 100 мм (б)
рии разделяют поток частиц в сопле. Частицы, траектории кото-
рых расположены выше предельной и пересекают контур сопла в
дозвуковой части, выпадают на стенку сопла. Естественно, что с
увеличением диаметра частиц и уменьшением диаметра сопла ко-
личество частиц, выпавших в дозвуковой части сопла, увеличива-
ется. Весовые доли частиц a.°sl, выпавших на стенку сопла в до-
звуковой части, в диапазоне ds= 1—20 мкм, rf* = 10—200 мм
можно определить из соотношения а? = 8- I066/2;sd_1* (а? полу-
чается в %, если d*, dis брать в мм).
Вниз по потоку от точки касания предельная траектория явля-
ется линией тангенциального разрыва, так как плотность частиц
выше этой линии равна нулю и между контуром сопла и предель-
ной траекторией движется чистый газ, свободный от частиц. Для
частиц с размером rfs>10 мкм и сопел с d**<50 мм зона чистого
газа занимает значительную часть сечения. Так, в сопле с d* =
= 25 мм примерно 70% площади выходного сечения занято чи-
стым газом, т. е. имеет место сепарация частиц больших размеров
к осн сопла, что связано со значительным отставанием вертикаль-
ной и горизонтальной составляющих скоростей частиц от соответ-
ствующих составляющих скоростей газа в трансзвуковой области.
При увеличении диаметра минимального сечения сопла зона
чистого газа на выходе из сопла уменьшается, и при некотором
значении d* —d*i предельная траектория попадает на стенку соп-
ла в выходном сечении. При дальнейшем увеличении d* стенку
сопла в сверхзвуковой части будут пересекать также и часть тра-
286
екторий частиц, расположенных ниже предельной. Частицы, дви-
жущиеся вдоль этих траекторий, будут выпадать на сверхзвуко-
вую часть контура сопла. При этом весовая доля частиц a°i.si пер-
воначально увеличивается с ростом d*; точка пересечения предель-
ной траектории со стенкой смещается внутрь сопла. Однако при
дальнейшем увеличении d* скоростное отставание частиц от газа
уменьшается настолько, что траектории частиц и газа становят-
ся близки между собой и, начиная с некоторого значения d* — d*2,
величина a°iSi начинает уменьшаться. Таким образом, имеет место
немонотонная зависимость a$si от диаметра минимального сечения
при фиксированном размере частиц. Аналогично зависимость a°isi
от размера частиц при фиксированном диаметре минимального се-
чения также немонотонна. На рис. 5.32 пред-
ставлена зависимость a7-s от ds для семейства
сопел. С уменьшением длины существенно
уменьшается весовая доля частиц, выпадаю-
щих на стенку сопла, а также уменьшается
размер частиц, предельная траектория кото-
рых пересекается со сверхзвуковым контуром
сопла. Отметим, что для контуров сопел, обес-
Рис. 5.32. Весовая доля частиц, выпавших иа контур
сопла сверхзвуковой области течения при -у°=1.И,
4* = 200 мм, га = 5.5 (сплошные линии) и га =_3.6,
La = 7.5, (пунктирная линия)1 — La = 16, 2— La =
= 12, 3 — La = 10, 4 — La = 9, 5 — La = 8
печивающих максимальную тягу при заданной площади выходного
сечения и при отсутствии теплообмена между газом и стенкой соп-
ла, выпадает значительное количество частиц. Этот факт, естествен-
но, необходимо учитывать при выборе оптимального профиля
сопла для двухфазных потоков. В частности, выбор оптимальной
длины сопла при двухфазном течении следует проводить с учетом
не только потерь на трение и рассеяние, потерь, связанных с запаз-
дыванием частиц по скорости и температуре, но также и с учетом
потерь, связанных с выпадением частиц на контур в сверхзвуковой
части сопла. Концевой участок контура сопла в некоторых случаях
целесообразно изменить так, чтобы исключить выпадение частиц
[49, 62].
Примем, что частицы, выпадающие на стенку в дозвуковой или
сверхзвуковой частях сопла, не участвуют больше в создании ре-
активной тяги. Тогда, кроме, потерь импульса, связанных с запаз-
дыванием частиц по скорости и температуре, возникают потери
импульса, связанные с выпадением частиц на стенку сопла. Оче-
видно, можно предположить, что потери импульса, связанные с
выпадением частиц на стенку сопла, приближенно равны количе-
ству движения выпавших частиц, отнесенному к импульсу сопла.
При течении монодисперсной смеси газа с частицами эти потери
могут быть вычислены по формуле
287
и = «is
w
) Uis!JQ.
(5.157)
Как показывают оценки, величина потерь импульса вследст-
вие выпадения частиц диаметром ds=2.5 мкм па стенку в дозву-
ковой части сопла с d* = 25 мм при весовой доле частиц «iS~ 0.3
равна примерно 0.3%. С увеличением диаметра d* величина по-
терь импульса в результате выпадения частиц в дозвуковой
части сопла будет уменьшаться примерно пропорционально d*-
Если известно распределение частиц по размерам, то соотноше-
ние (5.157) можно обобщить и на случай течения полидисперсной
смеси газа с инородными частицами. Имеем в этом случае
N
-? <5л58>
i = 1
где gi, ga и UiS — весовая доля частиц i-й фракции и их скорость
в сечениях, в которых происходит выпадение частиц на стенку со-
пла. Для сверхзвукового контура, обеспечивающего получение
максимальной тяги при заданной площади выходного сечения, ве-
личина этих потерь равна примерно 0.5% при га = 5.25 и d* =
= 200 мм.
Расчет методом характеристик течения монодисперсной смеси
газа и частиц в сверхзвуковой части осесимметричного сопла в
точной постановке с учетом взаимного влияния частиц и газа про-
изведен в работах [22, 50].
Как уже отмечалось, траектории частиц и их параметры с до-
статочной для практики точностью учитываются при расчете при-
ближенным методом, что подтверждается и результатами расчетов
работы [22], в которой показано, что положение предельных тра-
екторий почти не зависит от весовой доли частиц, как и в прибли-
женном методе, где такая зависимость вообще отсутствует. На-
ибольшее отличие в величинах параметров газа, полученных при-
ближенным методом и при решении полных уравнений, имеет ме-
сто в зоне чистого газа в сверхзвуковой области течения. Скорость
газа в этой зоне выше
скорости газа в ядре потока, а температу-
ра — ниже (рис. 5.33). На предельной траек-
тории, являющейся линией тангенциального
разрыва, терпят разрыв параметры частиц,
в том числе и их плотность pis. Парамет-
ры газа при piS << p°s разрыва не тер-
пят, хотя возможен разрыв их произ-
водных. Наличие линии тангенциального
Рис. 5.33. Распределение скорости газа в различных
сечениях осесимметричного сопла при неравновесном
двухфазном течении при ds = 5 мкм, сц = 0.25. 1 —
х = 0.34, г =1.18; 2 — х = 2.12, г =1.81; 3 —
х = 3.0, г = 2.115; 4—х = 3.64, г — 3.16; 5 — х =
= '9.23, г = 4.5. Точки на кривых соответствуют
предельной линии, rw—значение г на стенке сопла
288
разрыва естественно увеличивает неравномерность параметров в
поперечных сечениях при двухфазном течении в сопле по сравне-
нию с течением чистого газа- Плотность конденсата pis в трансзву-
ковой области возрастает от оси к предельной траектории, а в раз-
витой сверхзвуковой — практически не меняется по сечению.
Одновременно с расчетами параметров течения в каждом се-
чении сопла может быть определен импульс двумерного неравно-
весного двухфазного течения. Разность между ним и импульсом
равновесного двумерного двухфазного течения в этом же сечении
включает в себя потери, связанные с выпадением частиц на стен-
ку сопла в до- и сверхзвуковой областях t,ow , потери, связанные с
запаздыванием частиц по скорости и температуре £s, потери, свя-
занные с отсутствием кристаллизации и, наконец, потери, свя-
занные с дополнительной неравномерностью течения, вносимой ча-
стицами в поле газа. Анализ численных результатов показывает,
что значения £s и £0 с достаточной точностью могут быть вычис-
лены в одномерном приближении, может быть получена по
формуле (5.158), а потерями, связанными с дополнительной нерав-
номерностью течения, вносимой частицами, можно пренебречь по
сравнению с потерями, связанными с неравномерностью двумер-
ного равновесного двухфазного течения.
Течения с неравновесной конденсацией в осесимметричных и
плоских соплах описываются системой уравнений, аналогичной
(5.146) — (5.153). Из-за малого размера частиц жидкой фазы за-
паздывание частиц можно не учитывать, однако необходимо вве-
сти уравнения, учитывающие кинетику конденсации. Поэтому для
расчета двумерного неравновесного течения с конденсацией долж-
на использоваться система уравнений (5.146), (5.148), (5.149) п
(5.136) — (5.143), при этом в уравнения (5.146), (5.148), (5.149)
под р нужно понимать плотность смеси, а суммы в правых частях
уравнений (5.148) и (5.149) опустить.
Течение водяного пара в коническом сопле рассчитано методом
характеристик в работе [41]- Некоторые результаты расчетов при-
ведены в та,бл. 5.6 и на рис. 5.27. Из расчетов следует, что линии
постоянства числа М совпадают с линиями начала неравновесной
конденсации. Различие в градиентах скорости на оси и стенке соп-
Таблица 5.6
Параметры течения водяного пара в коническом сопле
№ п/п Ро, бар Го К Г-* Моо А Т
ось контур ось контур
1 2.6 467 370 1.26 57.0 58.4 1.75 1.76
2 4.3 941 370 3.06 57.2 56.7 3.51 3.50
3 18.9 757 370 2.52 57.6 57.5 2.54 2.94
4 18.0 653 392 2.00 52.1 51.8 2.39 2.37
5 19—625 18.0 900 348 3.12 63.0 63.12 3J64 3.64 289
ла приводит к различным значениям /°, N и as, однако не сказы-
вается на величинах Ми и А Т. Данные, приведенные в табл. 5.6,
демонстрируют уже отмеченный факт слабой зависимости величи-
ны А Т от числа AL, при Тоо=const-
Расчеты показывают, что геометрия линий тока и плотность
смеси одинаковы в равновесном и неравновесном течениях. В свя-
зи с этим для неравновесных течений с конденсацией, так же как
и для течений с неравновесными химическими реакциями и коле-
бательной релаксацией, можно предложить приближенный метод
расчета двумерного неравновесного течения. Вначале рассчитыва-
ется двумерное равновесное течение в исследуемом сопле и опре-
деляются положения линий тока и распределение плотности смеси
вдоль них. Далее, при известном распределении плотности для не-
скольких линий тока решается, уже в одномерном приближении,
система (5.134) — (5.143) и определяются параметры течения с
учетом неравновесной конденсации.
При расчете течения в осесимметричном сопле с большой сте-
пенью расширения обнаружено, что могут иметь место две зоны
конденсации, так как после первой зоны при малых давлениях и
температурах возможно вторичное увеличение пересыщения [149].
Экспериментальное и расчетное исследование конденсации при об-
текании выпуклого плоского угла выполнено в [87]. В этой рабо-
те проведено теневое фотографирование течения и измерено рас-
пределение давления. Показано, что расчетные и эксперименталь-
ные данные совпадают при коэффициенте конденсации ссд. = 0.04.
Обнаружено, что характеристики центрированной волны разреже-
ния при наличии конденсации искривляются, а число Маха вдоль
них уменьшается. Искривление характеристик может привести к
их пересечению, т. е. к образованию ударных волн, порожденных
спонтанной конденсацией («скачками» конденсации). Такие удар-
ные волны могут возникать и в соплах в окрестности зон спонтан-
ной конденсации. Однако интенсивность их в области зарожде-
ния, как правило, невелика.
§ 5___________________________________
ТЕЧЕНИЯ ПРОВОДЯЩЕГО ГАЗА
В СОПЛАХ ПРИ НАЛИЧИИ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
Интерес к магнитной гидродинамике особенно возрос в связи
с началом работ над новым способом получения электрической
энергии из тепловой с помощью магнптогазодинамнческих преоб-
разователей энергии — МГД-генераторов. Основная идея этого спо-
соба состоит в следующем. Известно, что тепловую энергию любо-
го топлива можно с помощью сопел, подсоединенных к камере сго-
рания, превратить в кинетическую энергию газа. Если теперь по-
290
ток газа направить между двумя пластинами конденсатора и по-
местить в поперечное магнитное поле, то на обкладках возникнет
разность потенциалов, а при замыкании цепи в ней потечет элект-
рический ток. При осуществлении этой идеи появился, однако, ряд
трудностей, связанных как с созданием электромагнитных цепей,
так и с изучением газодинамики электропроводной среды. В об-
щем случае при произвольной ориентации магнитного поля тече-
ние проводящего газа даже в осесимметричных соплах имеет про-
странственный характер и исследование его является весьма слож-
ной задачей.
Остановимся на исследовании течений электропроводного газа
в круглых соплах при наличии мериднанального магнитного поля.
Если пренебречь эффектом Холла и принять, что магнитное число
Рейнольдса мало, т. е. не учитывать индуцированное магнитное
поле по сравнению с наложенным, то в осесимметричном сопле
Лаваля течение сохраняет осевую симметрию. Исследование даже
такого простого течения проводящего газа в сопле позволяет тем
не менее установить некоторые качественные особенности, связан-
ные с воздействием магнитного поля. В векторном виде система
уравнений газовой динамики совместно с уравнениями Максвелла
в сделанных предположениях имеет вид [85]
-V(pW) =0,
р (WV) WVp=f, (5.159)
(W V) S = — (f W), (5.160)
PY
div В = 0, rot В = 0, rot Е = 0,
где В—индукция магнитного поля, Е — напряженность электриче-
ского поля, f = jxB — пондермоторная сила. j = o (E-|-WXB)—
плотность тока, о — проводимость. В случае присутствия в газе
ионизируемой присадки с потенциалом ионизации J ее степень
ионизации мала и свободные электроны находятся в равновесии с
с газом. Концентрация электронов связана с температурой и дав-
лением формулой Саха:
(5.161)
Поскольку поле В соленоидальное и безвихревое, то можно вве-
сти потенциал Ф такой, что В = grad Ф, при этом Ф удовлетворяет
уравнению Лапласа ДФ = 0- Аналогично для стационарных задач
уравнения Максвелла позволяют ввести электрический скалярный
потенциал ср такой, что Е = — grad ср, а при этом ср для изотроп-
но проводящей среды удовлетворяет уравнению Пуассона
Дер = div (WXB). (5.162)
291
Если известно распределение магнитного поля Во (%) на оси сим-
метрии, то составляющие Вх и Вг в поле течения определяются
выражениями
D 1 Г D / I • \ Л
Вх = -----------=------ Bq (х + If' COS Т]) d Т],
дх Яд
(5.163)
д Ф I
Вг =—=-- I Bq (% + ir COS Т]) COS Т] d Т].
дг л д
В плоском случае имеем
вх = Bq (% + iy),
By = iBQ (% + iy).
(5.164)
Представленное решение аналогично решению обратной зада-
чи для несжимаемой жидкости (§ 1 гл. III).
Обратимся к граничным условиям. Если предположить, что
стенки сопла являются изоляторами, то на граничных линиях тока
нормальная составляющая электрического тока равна нулю. Ана-
логично принимается, что во входном и выходном сечениях нор-
мальные составляющие электрического тока равны нулю. Тогда,
если наложенное магнитное поле меридианально, из уравнения
(5.162) и граничных условий следует, что Ех = Ег = 0, а если соп-
ло имеет осевую симметрию, то окружная составляющая напря-
женности электрического поля Е$ тоже равна нулю. Тогда
jх — jг — 6, /«Qi — о (uBT vBx) ,
т. е. в поле течения имеются лишь окружные короткозамкнутые
токи. Значит, и пондермоторная сила имеет лишь составляющие в
меридианальной плоскости. В этом случае течение газа в осесим-
метричном сопле обладает осевой симметрией, и в цилиндрической
системе координат параметры течения зависят лишь от х и г, а
уравнения Максвелла не используются при решении газодинами-
ческой системы (5.159).
Систему уравнений (5.159), (5.160) для криволинейных кана-
лов удобно записать в криволинейной ортогональной системе коор-
динат (ф, о). [Формулы (1.117) —(1.120), переменная о в этих
формулах ниже обозначается через s]. Имеем
дг2 2 и
д ip р W2
rv . ‘2хи
р W2 ~р W2
2ри
pW2
(5.165)
(5.166)
(5167)
292
(5.168)
(5169)
Ро — ро,
Р= Ро (р/ро)Т-
(5.170)
(5.171)
(5.172)
Система (5.165) — (5.172) приведена к безразмерному виду путем
отнесения давления и плотности к соответствующим параметрам
торможения роь poi во входном сечении, скорости — к aOi =
= У у Poi/poi, линейных размеров—к некоторой характерной длине
L, функции тока — к poi^oi L2> электропроводности — к aoi, индук-
ции — к величине индукции ВОо в центре цилиндрической системы
координат, электромагнитной силы — к aOi ^oiB2oo- При этом пара-
метр МГД — взаимодействия N, входящий в систему уравнений,
определится по формуле
ду _ goi LBqq .
Poi^oi
Проекции пондермоторной силы на осп s и ф равны
fs =------ (и2В2 + 2 uvBxBr + v2B2 ),
(5.173)
fф = — (uvВ2 + v2BxBr + u2BxBr — uvB2 ).
Прокомментируем приведенную систему уравнений. Уравнение
(5.168) позволяет определить изменение полного давления, связан-
ное с джоулевым нагревом, и получено из уравнения производства
энтропии (5.153). В общем виде оно таково
W 1 (5.174)
ds рТ |_\ То 7 S J
где 7Vv=jE — электрическая мощность, подводимая к единице
объема. Поскольку в силу граничных условий и мерпдпанальности
магнитного поля Е=0, а значит и Nv=0, то уравнение (5.174)
переходит в (5.168). Аналогично уравнение (5.170) следует при
Nv=0 из уравнения сохранения полной энтальпии Но вдоль линии
тока, которое в общем случае имеет вид
р = Nr„ Но =—— RTo.
ds T — 1
293
Остальные уравнения системы суть обычные уравнения движения,
неразрывности, направления и состояния, записанные в типичной
форме в переменных s, ф (1.117) — (1J21).
В настоящее время выполнен ряд работ, посвященных изуче-
нию течения проводящего газа в осесимметричном сопле Лаваля
при наличии меридианального магнитного поля. В этих работах
предполагается, что индуцированными магнитными полями можно
пренебречь, т. е. магнитное число Рейнольдса мало, что имеет ме-
сто в большинстве практически интересных течений в МГД-генера-
торах. Более того, результаты специальных расчетов показывают,
что учет соответствующих членов в уравнениях магнитной газовой
динамики при Rem<20 не изменяет существенно параметров тече-
ния. В работе [69] методом характеристик рассчитано течение в
сверхзвуковой части плоского и осесимметричного сопла с угловой
точкой при наличии постоянного параллельного оси симметрии маг-
нитного поля. В работе [61] методом установления решена пря-
мая задача теории сопла в тех же предположениях о магнитном
поле. В работе [16] численно решена обратная задача теории соп-
ла при наличии неоднородного меридианального магнитного поля,
при этом рассчитано течение как в осесимметричном сопле Лава-
ля, так и в кольцевых радиальных соплах.
При численном решении обратной задачи на начальной линии
тока ф=ф0 задается распределение давления, уравнение линии
тока r=rQ (s), х=х0 (s) и распределение индукции магнит-
ного поля В —Во (х). Так же, как и в случае пространственных и
неравновесных течений, обратная задача расщепляется на две за-
дачи Коши. Для уравнений (5.165) — (5.167) она решается в на- •
правлении ф, а для уравнения (5.168)—в направлении s; при
этом начальное условие для уравнения (5.168) должно задаваться
в начальном сечении сопла s = So- Последовательность решения
задачи следующая. При известном уравнении начальной линии
тока и распределении давления на ней из (5.168) определяется
полное давление ро. Это сразу позволяет оценить потери полного
давления за счет джоулева нагрева газа. Имеем
ро = exp ( N f ds} = exp — N Г а~ (uBr + vBx)2ds
K J gp / _ J gp™ J
(5.175)
Все входящие под знак интеграла функции в силу граничных ус-
ловий суть известные функции s. Далее, из (5.169) — (5.172) опре-
деляются ро, р, IF, и и v на начальной линии тока ф0. При опреде-
лении величии на следующем слое вначале из уравнений
(5.165) — (5.167) находятся r=r (s), х—х (s), р=р (s) с помощью,
например, разностной схемы, описанной в § 4 гл. II, а далее опре-
деляются все остальные неизвестные параметры в той же после-
довательности, что и на начальной линии тока. Так рассчитывает-
• 294
ся все поле течения в окрестности начальной линии тока и опреде-
ляется геометрия линий тока, каждую из которых можно принять
за контур сопла.
Отметим некоторые качественные закономерности течений про-
водящего газа в сопле. Из уравнения (5.175) видно, что с увеличе-
нием параметра взаимодействия происходит экспоненциальное
уменьшение полного давления, связанное с джоулевой диссипа-
цией энергии. Джоулев нагрев газа приводит также к увеличению
температуры газа, уменьшению плотности и скорости (по сравне-
нию со случаем N—0), если статическое давление газа сохранять
неизменным. Таким образом, наложение магнитного поля тормо-
зит газ и приводит к потерям полного давления. Эти эффекты, оче-
видно, возрастают с увеличением параметра N, в частности сверх-
звуковой поток при наложении сильного магнитного поля может
перейти в дозвуковой.
Указанные эффекты
продемонстрированы на
рис. 5.34—5.36. На рис.
5.34 представлено распре-
деление чисел М вдоль
осн ц стенки сверхзвуко-
вой части осесимметрич-
ного сопла при различных
значениях параметра вза-
имодействия N [69]. В со-
ответствии с вышесказан- •
ным магнитное поле
уменьшает число М по
сравнению со случаем,
когда в сопле течет не-
проводящий газ. При Рис. 5.34. Изменение числа М вдоль оси
ПОСТОЯННОМ продольном (пунктирные линии) и стенки (сплошные
линии) осесимметричного сопла с угло-
магнитном поле, ДЛЯ ко- во« точко1*| ПрИ наличии магнитного поля
торого и проводились рас-
четы, этот эффект, оче-
видно, сильнее всего проявляется на стенке сопла, где угол
между направлением магнитного поля и линией тока, а со-
ответственно п пондермоторная сила имеют наибольшую величи-
ну. Здесь при больших N происходит настолько интенсивное тормо-
жение потока, что скорость газа становится дозвуковой.^На оси со-
пла пондермоторная сила равна нулю и поэтому воздействие маг-
нитного поля слабее. На рис. 5.34 кружочками отмечены результа-
ты расчетов при условии, что электропроводность не постоянна,
а зависит от температуры в пятой степени. Поскольку вдоль соп-
ла из-за уменьшения температуры уменьшается в этом случае и
электропроводность, то воздействие магнитного поля становится
слабее по сравнению со случаем постоянной электропроводности
[см. также формулу (5Л61)].
295
На рис. 5.35, п 5.36
сверхзвуковой областях
действия при наличии
показаны линии М = const в до-, транс- и
сопла при различных параметрах взаимо-
постоянного магнитного поля. Видно, что
Рис. 5.35. Линии М = const в осе-
симметричном сопле [61]
Рис. 5.36. Линии М = const в осе-
симметричном сопле [16]
увеличение N значительно усиливает неоднородность потока в соп-
ле. Неравномерность давления за счет воздействия магнитного по-
ля может увеличиться в 3—5 раз. Отметим, что пондермоторная
сила направлена к оси сопла в дозвуковой части, и к стенке — в
сверхзвуковой. Из этих рисунков и из анализа уравнений следует,
что плотность газа вблизи стенок сопла снижается в большей сте-
пени, чем у оси, особенно при больших параметрах взаимодейст-
вия. Это приводит как бы к оттеснению газа от стенок сопла и об-
разованию некоторого фиктивного канала с более плавными стен-
ками, чем у действительного сопла, в котором и движется основ-
ная масса газа. В связи с этим происходит некоторое выравнива-
ние линий р — const и М=const в окрестности критического сече-
ния. Коэффициент расхода тем не менее уменьшается за счет воз-
действия магнитного поля, что связано с уменьшением полного
давления за счет джоулевой диссипации. Интенсивное падение
полного давления наблюдается в областях, где радиальная состав-
ляющая достигает максимума. На оси сопла пондермоторная си-
ла равна нулю и полное давление остается неизменным. В целом
потери полного давления не превышают 5%'. Наложение магнит-
ного поля за счет джоулевой диссипации приводит к уменьшению
импульса сопла по сравнению с импульсом сопла в отсутствии маг-
нитного поля. Однако это уменьшение при реальных значениях па-
раметра взаимодействия невелико (~0.5%).
296
Глава VI
СОПЛА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФОРМ.
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ.
ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОСТИ
§ 1_______________________
КОЛЬЦЕВЫЕ СОПЛА.
СОПЛА АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ТРУБ
1. Некоторые схемы кольцевых сопел. Методы расчета. Различ-
ные схемы осесимметричных сопел с кольцевым минимальным се-
чением (так называемые «тарельчатые» сопла, сопла с централь-
ным телом, сопла с прямолинейной верхней стенкой) можно
образовать из кольцевого сопла путем изменения отдельных его эле-
ментов. Существует три аэродинамические конфигурации кольце-
вых сопел — с нулевым, положительным и отрицательным накло-
нами минимального сечения (рис. 6.1, а, б, в). Кольцевые сопла
Рис. 6.1. Различные схемы кольцевых сопел
с нулевым наклоном минимального сечения подразделяются на
три группы: с внешним, внутренним и двойным (рис. 6.1, г, д, е)
расширением. Практическое использование кольцевых сопел воз-
можно в реактивных двигателях и в- аэродинамических трубах.
297
Использование кольцевых сопел в реактивных двигателях связано
с возможностью значительного сокращения длины по сравнению
с осесимметричными круглыми соплами, а также с получением
большей тяги на нерасчетном режиме.
Для построения кольцевых сопел, реализующих максимальную
тягу при минимальной длине, используются те же идеи, что и для
круглых сопел. По-прежнему разгон потока осуществляется при
обтекании угловых точек или участков с малой кривизной в транс-
звуковой области, а для получения контура выравнивающего уча-
стка сопла используется либо вариационная, либо равномерная
замыкающая характеристика. Однако различие в укороченных кон-
турах сопел, построенных на базе равномерной и вариационной
характеристик в случае кольцевых сопел еще меньше, чем в слу-
чае осесимметричных сопел, поскольку в кольцевых соплах тече-
ние близко по свойствам к плоскому течению. В плоских же тече-
ниях, как уже отмечалось, указанные семейства сопел тождест-
венны.
Рассмотрим метод расчета кольцевого сопла с двойным расши-
рением и угловыми точками (сопло типа е, рис. 6.1). Первона-
чально методом характеристик рассчитывается осесимметричное
течение разрежения. Расчет ведется вдоль характеристик первого
семейства в области волны О'ВО и вдоль характеристик второго
семейства в области волны О'АО. Каждая из характеристик обры-
вается в точке, где угол наклона вектора скорости равен нулю-
В процессе расчета определяются координаты линий тока, линии,
вдоль которой 0 = 0, вычисляются газодинамические параметры
вдоль этих линий. Характеристики АО и ВО являются граничными
характеристиками волн разрежения. Точка О, лежащая на линии
0 = 0, такова, что равномерная характеристика OD заканчивается
точно на оси симметрии и расход газа через OD равен расходу
через характеристику ОВ (в каждой точке равномерной характе-
ристики OD 0 = 0 и М=Л4о=const). Теперь из точки О выстраи-
вается равномерная характеристика ОС также по условию равен-
ства расхода через ОС и АО. Между характеристиками OD, ОВ
и ОС, АО решаются задачи Гурса и определяется семейство линий
тока, в частности, верхний и нижний контуры сопла. Поскольку
линия 0 = 0 практически совпадает со средней линией минималь-
ного сечения О'О и может быть принята за линию тока, то сопла
типа гид (рис. 6.1) являются частными случаями сопла с двой-
ным расширением типа е, в котором линия ОО' принята в каче-
стве жесткой стенки. Указанное свойство является следствием то-
го, что течение газа в окрестности кольцевого отверстия близко к
плоскому течению, поскольку согласно уравнению совместности
осесимметричный характер течения почти не проявляется в обла-
стях, удаленных от оси симметрии, где dr/г мало.
Точные расчеты течения в кольцевых соплах различных схем
подтверждают плоский характер течения в них [23, 93, 114]. В ча-
стности, распределение числа М вдоль линии 0 = 0 соответствует
298
распределению числа М при истечении из плоского отверстия с
прямолинейной звуковой линией (см. рис. 4.17, кривая 3). Для
приближенного расчета этого распределения можно пользоваться
формулой (4.24), в которой за х нужно брать отношение длины к
полуширине кольцевого отверстия. В плоском случае в областях
АОС и ВОД имеет место течение Прандтля — Мейера. Очевидно,
что в кольцевом сопле в этих областях течение будет близко по
свойствам к течению Прандтля—Мейера. Это свойство течения
также подтверждается результатами точных расчетов. Характери-
стики NN', ММ' почти прямолинейны, а газодинамические пара-
метры вдоль них меняются незначительно. Аналогичными свойст-
вами обладают и течения в соплах типа бив. Эти течения можно
приближенно рассматривать как центрированные плоские течения
Прандтля — Мейера. Очевидно, что погрешность, обусловленная
таким предположением, увеличивается вблизи оси симметрии и
уменьшается при удалении от нее. Поэтому контуры сопел в, г, а
также верхний контур сопла е и параметры на них рассчитывают-
ся достаточно точно в предположении о плоском характере тече-
ния.
Плоский характер течения в кольцевом сопле послужил осно-
вой для создания приближенного метода прямолинейных харак-
теристик (§ 2, гл. I), согласно которому параметры на характери-
стиках обеих семейств предполагаются постоянными, а осесиммет-
ричность течения учитывается с помощью уравнения расхода.
В частности, координаты верхнего контура сопла е (например, точ-
ки 7V) определяются по формулам
2 г 9' I ) S^n (а^ + 6 /у/ ) 1\
r N ~ ---------ТГл—
q(MN, )sinaAr,
xN = xN, + (rN — rN> ) ctg (a^ + 0 jv' ), (6.2)
а нижнего контура (например, точки 714) —по формулам
: ~ "в"'1 . (6.3)
)sinaM,
хм, — (гм — гм' ) ctg (<Хд,р — 0д|/ ). (6.4)
Здесь ф*—расход газа через минимальное сечение, а , фдг —
расходы газа через отрезки характеристик AN', ВМ'. Значения а,
0 в точках М и N принимаются равными соответствующим значе-
ниям в точках М' и N'. Течение в области волн разрежения
АВ О незначительно отличается от плоского течения, поэтому зна-
чения 1р.у' и флг могут быть приближенно определены, если изве-
стны параметры на характеристиках плоских волн разрежения и
299
величина расхода для плоского течения в точках N' и М'. Значе-
ние расхода ф° в осесимметричном течении определяется при из-
вестных значениях расхода фп в плоском течении по формуле
(6.5)
где нижний знак соответствует характеристикам второго семейст-
ва, а верхний — первого, h — ширина отверстия.
При определении координат контуров сопел б, в удобно зада-
вать число Мо и радиусы г0> гт • Расчет течения проиводится вверх
по потоку от характеристики Л О до достижения звуковой скорости
в угловой точке, при этом контур сопла определяется как линия
тока с расходом, равным расходу через характеристику АО. При-
меры расчетов и некоторые таблицы контуров даны в [93]. Для
приближенного определения координат контура по-прежнему мо-
жно воспользоваться формулами (6.1) — (6.4), понимая под точка-
ми N', М' угловую точку Л, значения а и 9 в которой связаны со-
отношением Прандтля—Мейера (1.150). Величина ф*— ф^ в
формуле (6.1) должна быть заменена на (rg —Г; ) q (7И0), а ве-
личина флг в формуле (6.3)—на r\q (Mo). Последовательно из-
меняя а в угловой точке от ao=argsin Л40-1 до а=л/2, можно оп-
Рис. 6.2. Контур центрального тела сопла и распределение М и 0 вдоль
него; 1 — метод характеристик [23], 2 — метод прямолинейных характе-
ристик
300
ределить координаты контура и значения параметров на нем.
Сравнение результатов, полученных точным методом характери-
стик и приближенным методом прямолинейных характеристик,
представлено на рис. 6.2 [23].
Рассмотрим зависимость длины верхнего контура L_ и длины
нижнего контура L+ кольцевого сопла от числа Л40 (см. рис. 6.1,
е). Из уравнения расхода для нижней половины кольцевого соп-
ла имеем
= 1 — У 1 — q (Л40) .
(6-6)
Формула (6.6) позволяет рассчитывать размер кольцевого зазора
при данной величине г° в зависимости от числа Л4о. Она определя-
ет также при заданной величине Л/г° число Л40. Естествен-
но, что при заданной величине г° размер кольцевого за-
зора уменьшается с ростом числа Мо. Из (6.6) следует, что при
заданном размере минимального сечения для кольцевого сопла с
угловыми точками, расположенными в одной плоскости, существу-
ет лишь одно число Л40, при котором равномерная характеристика,
выходящая из точки О, приходит на ось сопла. Используя (6.6),
имеем
L+ = г° (х+/г° + УМ2О — 1),
L- = г° [x+/r° + (г0/г° — 1) уЛР0 — 1 ].
(6.7)
Тогда, согласно (4.24), (6.6) и предположению о плоском характе-
ре течения, имеем
(6.8)
(6.9)
(6.10)
Вычислим теперь г0/г°, используя уравнение расхода для верхней
половины кольцевого сопла. Получим
(1-]/1-<7 (Мо))
1 + -Ь (1 - VI - q (Мо) )]Р
(6.Н)
Тогда независимо от показателя адиабаты г0/г°—>У2 при Л40—>
—>оо. Точное значение г°/г0 равно 1.33 при Л40 = 3.25 и 1.38 при
7И0 = 4 [114].
301
Сравним длину верхнего и нижнего контуров осесимметрично-
го кольцевого сопла с длиной обычного осесимметричного сопла с
угловой точкой, имеющего ту же площадь минимального сечения
и то же число Л4о, что и кольцевое сопло.
Длина сверхзвуковой части обычного осесимметричного сопла
с угловой точкой и с равномерным и параллельным потоком на
выходе равна
или, согласно формуле (4.24) при у =1.4,
£° = ..... (1.17 + УЖ —
7<7(Л4о)
(6-12)
Из условия равенства площадей критического сечения кольце-
вого и обычного сопел имеем
г* ==roy2/i/ro = 2г° (1 — yi — q (Мо)’/2
и, следовательно,
= 2 ( 1—Т1—^(^о))1/2 1.17+ 1Ж — 1,
(6.13)
AL = 2 ('1 — VI — <у(Л40) ]1/2________________1.17 + ]/Л420 — 1 _____________
L- k ' [ (1 — V1 — (Мо)) !q (Мо) ] +- (ro/rO - 1) ]Ш20 1 ’
(6.14)
Отсюда следует, что LQ/L+—>]/2 и LP/L-—>3.4 при Л4о—>оо. Та-
ким образом, применение кольцевого сопла с двумя угловыми
точками, расположенными в одной плоскости, рассчитанного на
равномерное и параллельное течение на выходе, позволяет сокра-
тить длину центрального сопла по сравнению с длиной обычного
осесимметричного сопла с угловой точкой не менее чем в ]/2 раз.
Длина же верхнего контура кольцевого сопла сокращается по
сравнению с длиной обычного осесимметричного сопла примерно
в 3—3.5 раза.
Для кольцевых сопел с двумя угловыми точками при заданном
размере кольцевой щели можно получить различные числа Л40,
если ввести новый параметр d— величину смещения угловых то-
чек. На рис. 6.3 схематически приведены результаты расчетов
кольцевых сопел со смещенными нижней и верхней угловыми точ-
ками. Метод расчета течения аналогичен методу расчета течения в
кольцевых соплах без смещения угловых точек. Первоначально
рассчитывается волна разрежения, возникающая в точке А (или
302
В) и опирающаяся на прямолинейную стенку О'В (или О'А), дли
на которой определяет величину
волна взаимодействует с волной
смещения угловых точек. Эта
разрежения, возникающей в точ-
а
Рис. 6.3. Кольцевые сопла со смещенными угловыми точками
ке В (или А). Так как в точках А и В после разворота потока уг-
лы наклона вектора скорости имеют противоположные знаки, то
при взаимодействии волн разрежения возникает линия, начинаю-
щаяся из точки В (или А), в каждой точке которой скорость на-
правлена параллельно оси (линия 0 = 0). На этой линии существу-
ет единственная точка О, такая, что расход через характеристику
ВО точно равен расходу через равномерную характеристику OD,
выходящую из точки О и приходящую на ось сопла. Из точки О
проводится равномерная характеристика ОС по условию равенст-
ва расхода газа через характеристики АО и ОС. В области между
характеристиками ОС, ОА, и ОВ ОД решается задача Гурса и
определяется семейство линий тока, в частности верхний и ниж-
ний контуры сопла.
Для сопел со смещенными угловыми точками при фиксирован-
ных значениях й/г° и d существует лишь одно число Л40, при ко-
тором выполняется условие равенства расходов газа через харак-
теристики ВО и OD.
Отметим, что ордината точки О на линии 0 = 0 отличается ог
среднего радиуса критического сечения г° не более, чем на 2%, а
распределение числа М по х на линии 0 = 0 близко к распределе-
нию числа М по оси плоской струи.
Так как точка О практически лежит на средней линии, то чис-
ло Мо для кольцевого сопла со смещенной нижней угловой точкой
будет больше, чем число Мо для кольцевого сопла, имеющего те
же размеры критического сечения, но угловые точки которого рас-
положены в одной плоскости. У кольцевого сопла со смещенной
верхней угловой точкой число Мо будет меньше, чем у соответству-
ющего кольцевого сопла с угловыми точками, расположенными в
одной плоскости.
303
Из простых геометрических соображений следует, что наиболь-
шее сокращение длины кольцевого сопла L по сравнению с длиной
обычного осесимметричного сопла получается при L±=L_.
В этом случае длина кольцевого сопла примерно вдвое меньше
длины соответствующего обычного осесимметричного сопла. При
этом средний радиус критического сечения вдвое меньше радиуса
выходного сечения. Уменьшить длину сопла и увеличить число Л4о
при тех же размерах критического сечения можно смещением ни-
жней угловой точки.
Метод характеристик позволяет определить течение лишь в
сверхзвуковой области сопла. При решении обратной задачи уда-
ется рассчитать все течение в целом. При этом задается некото-
рая аналитическая кривая Z, являющаяся линией тока искомого
течения, на которой задается аналитическое распределение давле-
Рис. 6.4. Течение в кольцевом осесимметричном сопле
с двойным расширением
пия (или скорости) в до-, транс- и сверхзвуковой областях, и для
уравнений газовой динамики решается задача Коши. В качестве
кривой I можно задавать одну из стенок сопла, а распределение
давления (скорости) подбирать так, чтобы получить требуемое те-
304
чение (в качестве второй стенки выбирается подходящая линия
тока). Однако в большинстве случаев распределение давления
(скорости) бывает неизвестным и приходится для его оценки в
первом приближении пользоваться одномерной теорией. Для
Рис. 6.5. Течение в кольцевом осесимметричном сопле с двойным расши-
рением с наклонным минимальным сечением
кольцевых сопел типа г, д, е (см. рис. 6.1) в качестве I берется
прямая г=const. Некоторые результаты расчетов представлены
на рис. 6.4, 6.5. Любые из линий тока могут быть выбраны в каче-
стве стенок сопла. Течение при г>г° соответствует течению в соп-
ле г, а при г<г°— течению в сопле д. На этих рисунках приведе-
ны распределения давления р = р/р* вдоль линии тока if=0.06
(кривая 1), линии I (кривая 2), линии тока, взятой в качестве
контура центрального тела (кривая 3), и распределение, получен-
ное по одномерной теории (кривая 4). Видно, что распределение
давления вдоль I мало отличается от одномерного.
Сравнение контуров, полученных при решении обратной зада-
чи в осесимметричном, плоском и одномерном случаях, показы-
вает, что координаты контуров в области минимального сечения
совпадают с точностью 1%. Однако течение в кольцевом сопле в-
20—625 ‘ ‘ ‘ 305
целом существенно отличается от одномерного, в особенности при
больших х в окрестности оси симметрии, где наблюдаются боль-
шие положительные градиенты давления. Течение можно рассмат-
ривать как плоское лишь на участках, достаточно малых по срав-
нению с расстоянием от оси симметрии. Наиболее хорошее совпа-
дение с плоским течением имеет место в трансзвуковой области.
Остановимся на сравнении экспериментальных и расчетных
данных (рис. 6.6). В работе [99] применен обратный метод срав-
нения, когда измеренное распределение давления использовалось
в качестве начальных данных при решении задачи Коши. Полу-
ченный в расчете контур центрального тела сравнивался затем с
контуром центрального тела сопла, использовавшегося в экспери-
менте. Такой способ сравнения требует весьма тщательного изме-
рения давления. Давление замерялось на верхней прямолинейной
стенке кольцевого сопла с центральным телом, контур которого
имел угловую точку. Было проведено около 200 замеров и обра-
ботано около 1000 показаний монометров. Затем эксперименталь-
ные данные (см. табл. 6.1) сглаживались с помощью нормирован-
ного оператора свертки
6^
/’W = T' | р(*-Ч)ехр (— —Ж, (6.15)
j v оI 2 — ь2 /
—6
где
6
I — параметр сглаживания. При сглаживании экспериментальных
данных полагалось / = 23, 6 = 3. Погрешность измерения давле-
ния и погрешность, вносимая процедурой сглаживания, не превос-
ходили 1%.
На рис. 6.6 представлены результаты сравнения. Кривая 1 —
контур центрального тела сопла, использовавшегося в эксперимен-
те, 2 — линия тока, полученная в расчете, 3 — контур централь-
ного тела, поправленный на толщину вытеснения с учетом погра-
ничного слоя на центральном теле и прямолинейной стенке, 4 —
сглаженное распределение давления на прямолинейной стенке;
кружочками нанесены экспериментальные данные.
2. Нерасчетные режимы кольцевых сопел. Характерная особен-
ность некоторых кольцевых сопел (сопла типа а, в, о), (см. рис.
6.1) состоит в том, что на нерасчетных режимах, когда внешнее
давление рн превышает давление р\ определенное в одномерном
приближении по отношению площади выходного сечения сопла к
площади минимального сечения, коэффициент тяги их значитель-
но превышает коэффициент тяги обычного сопла Лаваля. Это
свойство связано с тем, что высокое атмосферное давление пере-
дается на контур центрального тела по характеристикам первого
306
и второго семейств при отражении их от границы струи. В обыч-
ном же сопле Лаваля при рн > р° на большей части сопла стати-
ческое' давление значительно ниже внешнего давления и лишь на
концевом участке сопла оно близко к внешнему давлению. Срав-
нение коэффициентов тяги различных сопел представлено на рис.
6.7, из которого очевидны преимущества кольцевых сопел на пе-
Рис. 6.6. Сравнение расчетных и экспериментальных данных (у = 1.4)
расчетных ч режимах. Коэффициент тяги здесь — это отношение
действительной тяги сопла к тяге идеального сопла, имеющего на
выходе параллельный оси поток, давление, равное атмосферному,
и расход, равный расходу действительного сопла. Наибольшим
коэффициентом тяги по сравнению с другими кольцевыми сопла-
ми обладают сопла типа б и о, поскольку у них воздействие внеш-
него давления осуществляется .почти на весь контур. Ниже рас-
смотрены особенности течения на нерасчетных режимах для таких
сопел [23, 142]. Для большинства типов сопел расчет течения на
нерасчетных режимах представляет весьма сложную задачу. Это
связано в первую очередь с тем, что определяющее влияние на
этих режимах имеют вязкие эффекты и течения в огрывных зо-
нах, пока не поддающиеся достаточно строгому описанию. Для
расчета течения в этих областях развиваются полуэмпирические
методы. Нерасчетные режимы сопел б и в относятся к тем немно-
307
Таблица 6.1
Экспериментальные значения давления
' X р/р» X р/р» X р/р»
3.00 0 0383 0.25 0.1246 —0.10 1.2983
12.50 0.0383 0.20 0.1679 —0.12 1.3597
2.00 0.0383 0.16 0.2129 —0.14 1.4186
1.70 0.0383 0.114 0.2434 —0.16 1.4738
1.40 0.0384 0.12 0.2835 —0.20 1.5668
1.15 0.0384 0.10 0.3385 —0.25 1.6597
1.00 0.0385 0.08 10.4138 —0.30 1.7300
0.88 0.0396 0.06 0.5114 —ЧХ35 1.7786
0.76 0.0410 0.04 0.6234 —0.42 1.8198
0.67 0.0420 0.02 0.7426 —0.50 1.8467
<0.58 0.0438 —0.00 0.8615 —0.60 11.8641
0.50 0.0496 —0.02 0.9748 —0.75 1.8750
0.42 0.0603 -0.04 1.0773 —1.00 1.8803
0.35 0.0751 —0.06 ,1.1604 —1.50 1.8818
0.30 0.0938 —0.08 1J2335 —12.00 1.8819
Рис. 6.7. Сравнение коэффициентов тяги различных кольцевых сопел
(см. рис. 16.1)
гочисленным примерам течений, которые удается рассчитать до-
статочно точно, поскольку в области течения не возникают силь-
ные ударные волны. При нерасчетных режимах с рк > р° числен-
ный расчет течения может быть осуществлен методом характери-
стик. Для сопла б расчет течения в кольцевой области,
308
заключенной между границей струи и контуром тела, начинается
от характеристики АС волны разрежения, в точке А которой дав-
ление равно рн (рис. 6.8). Очевидно, что вверх по потоку от этой
характеристики параметры потока такие же, как и на расчетном
режиме при рн = р°.
На рис. 6.8—6.10 представлены типичная геометрия границы
струи и характеристик, распределение статического давления, р,
Рис. 6.8. Поле течения в кольцевом соп-
ле и распределение давления на цен-
тральном теле при 7И0 = 3.7, у = 1.4;
1 — рЧрн =1; 5 — р^р = 0.11
Рис. 6.9. Распределение давления на
центральном теле и форма границы
струи при 7И0 = 3.7, у = 1.4 для различ-
ных значений pQfpH : 1 — Р®!рн = 1’, 2—
Р°/Р н = 0/67; 3 — рУрн = 0.38; 4 -
р°/рн =0.15, 6~р^!рн =0.09
отнесенного к давлению торможения. Экспериментальные значег
ния показаны на этих фигурах различными значками, а .расчет-
ные— сплошными линиями. Волнообразная структура границы
струи и распределения давления на центральном теле вызвана
отражением чередующихся волн разрежения и сжатия от границы
309
струи и тела. Действительно, характеристики AC, CD, DE, EF,
FG, GN *и т. д. разделяют различные аналитические области те-
чения (рис. 6.8). На этих характеристиках терпят разрывы произ-
водные газодинамических параметров и кривизна линий тока, в
Рис. 6.10. Зависимость давления от р°/р ы в точках центрального тела
ft
с координатами х — 0.93 (а) и х = 2.5 (б) при Л40 = 3.7, у = 1.4
том числе и границы струи. Так, характеристика АС отделяет ана-
литическое течение разрежения АВС от течения в треугольнике
ACD, определяемом параметрами на характеристике АС и на уча-
стке AD границы струи; характеристика CD отделяет течение сжа-
тия в области CDE, определяемое контуром тела и параметрами
на характеристике CD, от течения в треугольнике A CD. Разрывы
производных в распределении давления на теле возникают соот-
ветственно в точках С, Е и G.
Важным для понимания структуры течения является то, что в
треугольнике CDE имеет место течение сжатия. Для объяснения
этого примем, что -в CDE течение плоское. Тогда характеристики
А С, CD и граница струи AD являются прямолинейными, и, если
бы, начиная от точки С контур тела СС' был прямолинейным, то
в области CDE имело бы место поступательное течение с постоян-
ными параметрами. Однако, в силу искривления стенки СЕ, в этой
области возникает течение сжатия, аналогичное течению сжатия
при обтекании поступательным сверхзвуковым потоком вогнутой
стенки. Известно, что такое течение замыкается висячим скачком,
начинающимся в точке F' пересечения характеристик. На рис. 6.8
пунктиром изображены характеристики условного течения сжа-
тия, которое возникало бы в случае, когда в некоторой области
над линией AD, как и между характеристиками АС и CD, имело
место поступательное течение с р = р°. Точка F', вообще говоря,
может находиться как внутри, так и вне струи. Однако проведен-
ные расчеты показывают, что точка F' располагается всегда вне
струи. Волны сжатия, возникающие в треугольнике CDE, отража-
ются от границы струи в виде волн разрежения. Волны разреже-
310
ния, попадая на границу тела, отражаются также волнами раз-
режения, а от границы струи—в виде волн сжатия и т. д. Даль-
нейшая структура течения определяется чередующейся системой
волн разрежения и сжатия, отражающихся от стенки и границы
струи, при этом при отражении от жесткой стенки интенсивность
волн сохраняется по величине и знаку, а при отражении от грани-
цы струи сохраняется по величине, но меняется по знаку.
На достаточном удалении от тела параметры течения практи-
чески выравниваются, давление в сечении становится равным
атмосферному, а вектор скорости — параллельным оси. Восполь-
зовавшись уравнением неразрывности, 'можно при заданных pQlpH
и Мо определить радиус г° изобарического сечения струи, в кото-
рой давление равно атмосферному, а вектор скорости параллелен
оси. Имеем
Р, /Ро = л(М°), r°= [q (M0)/q (M°)]*/2 , (6.16)
где 7И°2 — число Маха в изобарическом сечении, определяемое из
первого соотношения. Значения рн /р0 и г° показаны на рис. 6.8
и 6.9 пунктиром. Видно, что уже в окрестности концевого участка
центрального тела радиус струи незначительно отличается от г0,
т. е. выравнивание течения происходит достаточно быстро. Изо-
энтропичность течения приводит к тому, что в рамках идеальной
жидкости коэффициент тяги исследуемой схемы сопла с полным
центральным телом на нерасчетных режимах равен единице, т. е.
рассматриваемое сопло обладает идеальным саморегулированием.
Естественно, что наличие вязкости и укорочение центрального те-
ла из условия минимума суммарных потерь с учетом трения, весо-
вого эквивалента и т. д. приводит к тому, что в реальных кон-
струкциях коэффициент тяги на нерасчетных режимах рассматри-
ваемой схемы кольцевого сопла несколько отличается от единицы.
Однако это отличие незначительно и такая схема сопла обладает
наилучшими тяговыми характеристиками по сравнению с другими
схемами (см. рис. 6.7).
Рассмотрим зависимость статического давления в фиксирован-
ной точке тела от отношения р°/рн (см. рис. 6.10). Немонотонное
изменение давления также связано с чередованием волн разреже-
ния и сжатия. При этом, в диапазоне 0.05 < pQlpH < 0.2 даже не-
большое изменение pQlpH приводит к значительному изменению
давления в точке. Такое резкое изменение связано с тем, что для
точек, расположенных в окрестности граничных характеристик
AC, EF, FG и т. д., небольшие изменения pQlpH приводят к тому,
что точка из области разрежения (сжатия) попадает в область
сжатия (разрежения). Поскольку при малых р®1рн протяженность
таких областей значительно меньше, чем при больших, то проис-
ходит многократное появление ‘максимумов и минимумов в зави-
симости plpQ от pQlpH . Когда с ростом pQlpH фиксированная точка
попадает на участок СЕ, давление начинает монотонно умень-
шаться. После перехода фиксированной точки на отрезок ВС дав-
311
ление в ней перестает изменяться, так как в этой области оно не
зависит от рн .
Аналогичная картина течения имеет место при нерасчетных ре-
жимах и для кольцевых сопел типа в, которые иногда называют
тарельчатыми соплами. Если донная область не замкнута, давле-
ние рп в ней составляет 60—90% от величины атмосферного дав-
ления. Донное давление передается вдоль характеристик на кон-
тур сопла, возникает чередующая система волн разрежения и
сжатия, что приводит к немонотонному изменению давления вдоль
контура.
Наличие внешнего потока, обтекающего кормовую часть, может
приводить к некоторому ухудшению тяговых характеристик коль-
цевых сопел на нерасчетных режимах. Этэ связано с тем, что при
внешнем обтекании за кормовой областью может образоваться
отрывная зона, давление в которой будет меньше атмосферного,
что влечет за собой образование зон с давлением ниже атмосфер-
ного на центральном теле .сопла.
Сравним суммарные потери импульса в кольцевом сопле и
обычном сопле Лаваля на расчетном режиме. На рис. 6.11 приве-
дены экспериментальные и расчетные значения коэффициентов
рис. 6.11. Потери удельного импульса в кольцевых соплах при 7И0 —
= 3.7, у=1.4; 1—сопло б, 2— сопло Лаваля, 3 — сопло в
потерь импульса в зависимости от длины центрального тела. Ве-
личина суммарных потерь для кольцевого сопла определялась с
учетом экспериментально определенного донного давления на тор-
312
це центрального тела при его укорочении. Суммарные потери с
учетом донного давления определялись по формуле
, Ss = *+ , (6.17)
где Д7б? = рд r2T [Ро е(1)9(^0)2(^0)]-1, гт —относительный радиус
торца. Из рис. 6.11 следует, что зависимость от длины (без
учета донного давления) для сопла типа б не имеет характерного
минимума (из-за противоположного изменения и Sp при увели-
чении длины сопла), свойственного круглым соплам. В связи с
этим укорочение центрального тела втрое практически не изме-
няет его импульса. При одинаковых потерях кольцевое сопло ока-
зывается в три раза короче обычного сопла Лаваля. Очевидно,
что укорочение центрального тела несколько уменьшает коэффи-
циент тяги, однако он сохраняется достаточно высоким. Аналогич-
ный вывод можно сделать и относительно тарельчатых сопел, хотя
их преимущество перед круглыми соплами менее значительно.
Суммарные потери для такого сопла также показаны на рис. 6.11.
Для тарельчатого сопла имеет -место неоднозначная зависи-
мость коэффициента тяги от отношения PqIPh, (см. рис. 6.7). Эта
зависимость, полученная при увеличении давления перед соплом,
отличается от соответствующей зависимости, полученной при по-
нижении давления, что связано с различной трансформацией те-
чения в донной области в этих двух случаях.
Для предсказания характеристик кольцевых сопел необходимо •
иметь данные о донном давлении. Некоторые экспериментальные
результаты, а также метод расчета для сопел типа б приведены
в работе [142]. Показано, что если донная область замкнута (т. е.
в донной области имеется звуковая линия и давление на торце не
зависит от внешнего давления), донное давление на торце умень-
шается с увеличением длины центрального тела. Если же донная
область не замкнута, то давление на торце близко к внешнему
давлению (что имеет место и для тарельчатых сопел). Типичная
зависимость донного давления от длины центрального тела пред-
ставлена на рис. 6.12.
3. Сопла аэродинамических труб. Сопла аэродинамических
труб по своему назначению должны обеспечивать достаточно вы-
сокую равномерность потока в выходном сечении. В связи с этим
для построения контуров аэродинамических сопел тем или иным
способом решается обратная задача теории «сопла, поскольку при
решении прямой задачи весьма трудно угадать контур сопла,
обеспечивающий заданную равномерность потока.
Задача профилирования аэродинамического сопла распадается
на два этапа: первоначально каким-либо способов рассчитывается
в рамках идеального газа контур сопла, обеспечивающий равно-
мерный поток в выходном сечении, а затем вносится полуэмпири-
ческая поправка, учитывающая влияние вязкости.
Построение контура сопла, обеспечивающего равномерный по-
ток в выходном сечении, возможно несколькими способами. В пер-
313
вом способе предполагается наличие излома образующей в точке
А (рис. 6.13, а). Задается некоторая начальная характеристика АО
и рассчитывается течение в волне разрежения О АС. Между харак-
теристикой АС и равномерной характеристикой ВС, расход через
Рис. 6.12. Зависимость дон-
ного давления на торце цен-
трального тела сопла типа
б от длины в режиме замк-
нутой донной области
(Д40 = 3.7, 7=1.4)
Рис. 6.13. Иллюстрация к
методам профилирования
аэродинамических сопел
которую равен расходу через АС, решается задача Гурса и опреде-
ляется семейство линий тока>, любая из которых может быть приня-
та за контур аэродинамического сопла. Наименьшей относительной
длиной обладает, очевидно, контур АВ. Недостаток этого метода
состоит в необходимости специально выбирать контур сопла в
трансзвуковой области вверх по потоку от точки А, соответствую-
щий заданной начальной характеристике АО. Если же это условие
не выполнено, то несоответствие истинного течения в трансзвуковой
области с принятым в расчете приведет к неравномерности пара-
метров в выходном сечении.
Второй способ (рис. 6.13 6), использованный, в частности, в
работах 1[118, 193], состоит в следующем. На участке оси сопла
ОС задается некоторое распределение скорости (определенное
экспериментальным или расчетным путем) и рассчитывается ме-
тодом характеристик течение в характеристическом треугольнике
ОВС. Контур искомого сопла AD определяется далее в резуль-
тате решения задачи Гурса между характеристиками СВ и CD и
ОА и ОВ. При этом характеристика CD равномерная, а характе-
314
SIS
*Г9 ’^9^ а эоннэ'п'эаиёи ‘винэвди!? oHHoifotfodnond эон
-qirexnowHdouoMG яхпдоеявонэи онжодо ‘илоонлэиь g •иньЛп’э ojoxg
Hlftf КИНЭП’ЯВ'П' И1ГИ HXOOdOHO QHHOLCQ'n'odllOUd 0OH4irUlHQWHd0LIOMG
Игги ooniohond qxndgiqg онжоп иэо ин BHHoiroVoduopd олонявиь
-ин энхээьпл я ох ‘иолнох ионовлЛ о иггиоэ jLOiutfuirgo отяхэиь иод
-OMXgexdago noniodoM ээггодиин Ллягголэоц •энигг'и' иэшииьх^л ndu
иггиоэ ей a'n'oxiqg ин лохон HigHdowonand ээ^потининэиоэдо ‘ипто'>[
1ГЭИОЭ XHMOOhHJMEHHVodGB (9) OJOH
-ниблэимиэээо и (д) олоаэПчггом ‘(г?) олоиэсигц hcIAiho^j -jnj
энный# кэ^иаиъэ nodoiox ин ‘имол, иинигг ионяггинин ин винэ1гди1Г
Hirn HiaodoMo, OHHaifQtodnojnd qindgiqa яшигг о whIZox до эн ‘onendgo
-они,1/9 HoiH'n'ogeHodu допил, xiqHhnirend ггэноэ xiggioiiqiroM и xiqHhnd
-10ЮТ.ИЭЭЭО ‘ХИЛЭ01Ш BITtf Hod^lHOM 9HH90dl90£J -ВИНЭИЭХ HJLOHLCgo
о<ЛдоЯ|Лнех(1эн0 и -onndg, ‘-oV qxniHhoond эдоэхэ иони1Гэ ои ии1ио!В1Г
-онеои ‘Н1Ш0Э nndooi и,ь.и1Гие nonindgo BHHoniod Voisw вэхэАеявоиэи
‘[SOI]1 ^ogud g noHHOHcoirVodn ‘(p ‘gpg -ond) эдоэонэ woqiodx g
•iqHHirtf иогпявод жояшиггэ итгиоэ эж Xwogl я xohV ‘niqadon
и oih ‘woxkLHxooVoH эж Wэх виИ'иггдо ‘gooouo Hodoxg ‘ихэивдо иодол
-XgeoHndx eiohond ей гмодоэоиэ одшг-ишлил пнэнХвои Qy нлил,эиd
Имея некоторое основное распределение давления Pq(x) на на-
чальной линии, можно получить набор распределений для других
чисел 7И0. Пусть известно некоторое распределение давления Ро(х)
и р_ = ро(—оо) и р+ = ро( + о°) — значения давления в до- и
сверхзвуковой областях на |бесконечности. Тогда можно получить
следующее семейство (распределений давления:
р (*) = р'+ +
----—!>о(*)—P+L
р-—р+
(6.18)
где //_ и р'+ — новые значения давления в до- и сверхзвуковой
областях на бесконечности.
Если в качестве ро(х) использовать полученное из эксперимен-
та и сглаженное распределение давления, соответствующее тече-
нию в сопле с угловой точкой, то функция р (х) дает течение с ли-
ниями тока, достаточно близко подходящими к угловой точке. На
рис. 6.14 представлены контуры плоского, осесимметричного и
кольцевого аэродинамических сопел с числом 7И0 = 3.2, получен-
ные путем численного решения обратной задачи с использованием
в качестве начальных данных экспериментального распределения
давления (табл. 6.1). На этом рисунке для ряда сечений указана
неравномерность потока по давлению (в процентах).
§ 2
КОНИЧЕСКИЕ СОПЛА
Конические сопла находят широкое применение при решении
многих научных и технических задач. Они используются в каче-
стве двигательных сопел, сопел аэродинамических труб, а также
при исследованиях различных неравновесных процессов. Течения
газа в конических соплах изучались во многих работах [17, 51, 55,
113, 187]. Наиболее полный анализ трансзвукового и сверхзвуково-
го течений совершенного газа в конических соплах дан в [51, 113].
В данном параграфе рассмотрены особенности течения газа в
сверхзвуковой части конического сопла на основе результатов,
полученных численным методом, изложенным в п. 2, § 2, гл. II
(см. [51]).
Часто используемое предположение о том, что течение в сверх-
звуковой области близко к течению от источника, не всегда оправ-
дано. В действительности течение в коническом сопле имеет су-
щественно более сложную структуру. В окрестности точки сопря-
жения радиусного и конического участков сопла С (рис. 6.15) при
некоторых условиях может возникнуть торможение потока. Волна
сжатия порождает ударную волну, которая, многократно отража-
ясь от оси симметрии и от контура сопла, может оказать заметное
влияние на распределение параметров в потоке.
316
Рассмотрим влияние геометрических параметров сопла (Т?2,
rj2 , 6fe) и показателя адиабаты у на структуру течения, исполь-
зуя результаты работы [51], в которой исследования проведены в
широком диапазоне определяющих параметров: (чертой помече-
ны величины, отнесенные к г*)- Рассмотренные варианты
Рис. 6.15. Течение в коническом сопле
сведены в табл. 6.2: Здесь приведены значения Rz, R°z, Ok,
7, координаты точек на оси и на контуре, в которые приходят
ударная волна, углы наклона (pb <р2 падающей и отраженной
ударных волн и отношение давления pz за отраженной ударной
волной к давлению pi перед падающей ударной волной. На номе-
ра вариантов, помещенных в таблице, в дальнейшем будем ссы-
латься при анализе результатов расчетов.
Типичная картина течения газа в коническом сопле приведена
на рис. 6.15 (табл. 6.2, вариант 2), где нанесены линии тока, по-
ложение ударной волны и эпюры числа Маха для ряда сечений
%=const.
Как видно, в окрестности точки сопряжения С радиусного и
конического участков сопла возникает висячая ударная волна,
интенсивность которой увеличивается по мере приближения к оси
симметрии. Действительно, в окрестности точки сопряжения по-
ток направлен от оси симметрии и при аналитическом контуре без
точек разрыва кривизны продолжал бы разгоняться вдоль дуги
окружности. Однако наличие конического участка является свое-
го рода препятствием и приводит к разрыву производных в рас-
пределении параметров на стенке в точке сопряжения. Интенсив-
ность разгона резко уменьшается, а при определенных условиях
на стенке возможно и торможение 'Потока. Возникающее в окре-
стности точки сопряжения течение торможения сопровождается
пересечением характеристик одного семейства, что приводит к
возникновению висячей ударной волны.
317
Разрыв производной числа 7И на стенке в окрестности точки
сопряжения может быть вычислен по формуле (4.12), которая
для рассматриваемого случая приобретает вид
—1= fl
ds J \
+1—-Л12) г (Л42 — 1) '/= /?% j -1 .
Таблица 6.2
Параметры течения в коническом сопле
вар- в2 В°2 efc. град. V Ось Контур
X Фь град. ф2» град. Р2/Р1 X г Фь град. Ф2, град. Р2/Р1
1 2.00 0.0 15 1.40 3.65 20 21 4.36 14.00 4.74 12 10 1.04
2 0.5 3.75 20 21 3.99 14.60 4.89 12 10 1.03
3 1.0 3.90 20 21 '2.62 15.20 5.08 12 10 1.01
4 2.0 4.30 20 21 1.77 16.90 5.52 12 10 1.00
5 0.25 0.5 .15 1.40 4.15 20 21 14.58 15.20 5.04 12 10 1Л2
6 0.50 4.05 20 21 9.45 15.00 5.02 12 10 1.07
7 1.00 3.85 20 21 5.38 14.70 4.96 12 10 1.06
8 2.00 0.5 5 1.40 1.40 35 37 1.74 3.00 1.26 32 27 1.09
5.60 32 28 1.97 8.90 1.78 23 21 1.05
13.80 24 19 1.37 22.20 2.92 15 12 1.01
9 10 2.30 24 28 2.25 6.10 2.07 18 18 1.09
15.50 18 16 1.98 — —
10 1 10 6.50 20 114 5.56 — — —
11 2.00 0.0 5 1.40 1.35 35 37 1.78 3.00 1.26 32 27 1.13
5.55 32 28 1.88 8.75 1.76 24 22 11.06
13.80 йб 20 1.50 21.60 2.88 16 13 1.01
4(2 10 2.25 24 28 2.60 6.00 2.05 18 18 1.14
15.30 19 17 2.01 —
13 .20 6..30 20 14 8.55 — — — —
14 2.00 0.5 15 1.14 3.00 23 -216 2.46 3.70 3.29 21 17 1.05
15 1.25 3.30 21 23 2.93 10.40 3.78 47 43 1.05
16 20 1.14 4.50 -26 19 2.35 18.00 7.48 14 11 1.01
17 1.215 5.(10 23 17 2.78 — — . • -—.—
18 10 1.14 2.00 27 33 1.89 4.90 1.86 23 23 1.08
10.60 23 22 1.69 21.00 4.68 15 14 1.01
19 1425 2.15 26 31 1.94 5.35 1.92 21 21 1.08
12.20 21 20 1.65 -— — ' — — —
Расчеты по этой формуле хорошо согласуются с результатами, по-
лученными методом сеток. Возникающая в точке сопряжения
ударная волна может многократно отражаться от оси и стенки соп-
ла. Интенсивность ее при приближении к оси симметрии повы-
шается, а далее вниз по потоку уменьшается из-за влияния волн
318
разрежения. В большинстве случаев интенсивность волны невели-
ка. Наличие ударной волны влечет за собой немонотонность в
распределении параметров по сечениям.
На рис. 6.16 представлено распределение числа Маха вдоль
оси и контура конических сопел. Видно, что влияние R2 сказыва-
ется на распределении чисел М и на интенсивности ударной вол-
ны в небольшой сверхзвуковой окрестности точки сопряжения,
при этом с уменьшением R2 интенсивность ударной волны увели-
Рис. 6.16. Распределение числа М вдоль оси и контура сопла; варианты
2, 5, 6, 7
чивается. Весьма слабо зависят от R2 и координаты точек пересе-
чения ударной волны с осью симметрии и контуром сопла, _с
уменьшением R2 они смещаются вниз .по потоку. При малых R2
на контуре сопла за точкой сопряжения возникает участок с поч-
ти постоянным значением числа М или даже с минимумом в рас-
пределении числа М, что соответствует росту давления. Влияние
Rq2 на параметры течения также невелико, хотя и более суще-
ственно, чем влияние R2. Темп нарастания числа Маха в области
криволинейного участка', контура сопла, а также по оси уменьша-
ется, с ростом R® . Интенсивность ударной волны несколько
возрастает с уменьшением R® и достигает своего максимального
значения для сопла с угловой точкой. С ростом R® ударная вол-
на сдвигается вниз по потоку. Представленные расчетные данные
по распределению чисел М на оси и контуре, по положению и
интенсивности ударных волн очень хорошо согласуются с резуль-
татами экспериментов [17, 55, 187]. На рис. 6.17 дано сопоставле-
ние численных результатов и экспериментальных данных ра-
боты [17].
Для исследования влияния величины угла 6^ на течение в
сверхзвуковой области были проведены расчеты для сопел с ма-
319
лым радиусом скругления R£ = 0.5 и с угловой точкой RQ = 0.
Расположение ударных волн и их 'интенсивность весьма суще-
ственно зависят от величины угла Qk (см. табл,. 6.2).
Расчеты, выполненные с
разными значениями показа-
теля адиабаты у, показывают,
что, как и следовало ожидать,
газ с большим у при фикси-
рованной длине сопла рас-
ширяется до большего числа М.
Рис. 6.17. Положение скачка уплот-
нения и распределение статического
давления (р0—полное давление),
1 — расчет, 2 — эксперимент [17]
Ударная волна также более интенсивна и приходит на ось
и стенку сопла в точки, более удаленные от минимального се-
чения. Если в трансзвуковой области сопла влияние у невелико,
то в сверхзвуковой области оно может быть весьма существенным,
особенно при больших углах Вь. Это относится как к расположе-
нию ударных волн, так и ко всему течению в целом. С уменьше-
нием у происходит более быстрое выравнивание параметров в се-
' чениях.
Для практики весьма важно знать величины коэффициентов
потерь импульса на рассеяние для конических сопел, характери-
зующих степень отличия импульса действительного сопла от им-
пульса идеального сопла. Принимается, что действительное и
идеальное сопла имеют одинаковые полные давления, расходы и
площади выходного сечения. Идеальное сопло имеет, кроме того,
равномерный и параллельный оси поток на выходе. Рассмотрим
два вида коэффициентов потерь, один из которых (£Р) соответ-
ствует действительному течению в сопле, а другой (Zpk) вычис-
ляется в предположении о том, что в сопле реализуется течение
от источника. Для вычисления коэффициента используется
формула (4.39), а ^ — следующая формула [51]:
Коэффициенты скорости Х°, Kk находятся из соотношений
q (х°) = Ц г-2 , q (Xfe) = pi r~2 cos2 -у, rk — радиус выходного сече-
ния сопла, верхний индекс 0 придан, как обычно, параметрам иде-
ального сопла, а нижний индекс k — параметрам течения от источ-
ника. Имеет место асимптотическая зависимость
lim ZPk = sin2—
Гк--> оо 2
(6.19)
320
Эта формула часто используется для расчета потерь на рассея-
ние (В конических соплах, однако следует иметь в виду, что она
может приводить к ошибке до 0.5%.
Некоторые результаты расчета величин £р, ^pk приведены на
рис. 6.18, где -асимптотическое значение £Pk показано штрих-пунк-
тирной линией. На величину коэффициентов £>Р и ^рк, так же как
Рис. 6.18. Зависимость и t,Ph от длины конического сопла для раз-
ных и у
и на все течение в сопле, величины радиусов Rz и R® оказывают
весьма малое влияние (в пределах 0,1%). Показатель адиабаты
у оказывает большее влияние, которое возрастает с увеличением
угла Qh. Величины ^р и £Рк несколько уменьшаются при уменьше-
нии у. Определяющее влияние оказывает угол 0ь. С увеличением
0k увеличиваются потери на рассеяние, поскольку увеличивается
неравномерность потока в сечениях. Увеличивается также ам-
плитуда колебаний коэффициентов, что вызывается, очевидно, уве-
личением отличия течения в действительном сопле от течения
источника в трансзвуковой области. Величина ^р совершает коле-
бания относительно асимптотического значения (6.19), т. е. в ре-
зультате начальных возмущений течения от источника возможно
как уменьшение, так и увеличение потерь по сравнению с тече-
нием от источника.
21—625
321
Широкое использование конических сопел в качестве объекта
исследований обусловлено не только технологической простотой
их изготовления, но и тем обстоятельством, что общепринято счи-
тать течение в них близким к течению от источника. Однако реа-
лизация потенциального течения от источника требует специаль-
ного профилирования сопла (§ 2 гл. I), поскольку наличие зву-
ковой линии в виде дуги окружности приводит к появлению пре-
дельных линий [94], и, как показывают результаты представлен-
ных выше расчетов, в соплах возникают ударные волны. В тече-
ние же источника на дугах окружностей, проведенных из центра
источника, все газодинамические параметры постоянны, а вектор
скорости направлен по лучам, выходящим из центра--источника.
Наиболее сильное отличие наблюдается в окрестности минималь-
ного сечения сопла. В этом месте происходит весьма интенсивный
разгон потока, затем в окрестности точки сопряжения образуются
волны сжатия, уменьшающие скорость потока. Далее вдоль кон-
тура вновь происходит разгон потока с последующим торможе-
нием в месте пересечения ударной волны с контуром сопла.
Различие между давлением в действительном течении и в те-
чении от источника уменьшается вниз по потоку, однако на .зна-
чительной длине сопла оно достаточно велико и может состав-
лять 104-15%. Этот факт необходимо иметь в виду при проведе-
нии экспериментальных исследований неравновесных течений, в
которых эти эффекты приводят к изменениям давления такого же
порядка. На величину отклонения параметров действительного те-
чения и течения от источника основное влияние оказывают величи-
на угла 0/i и 7; с их увеличением растут и отклонения. При малых
Qh и 7 течение в целом мало отличается от течения источника, од-
нако даже для сопла с 0fe=5° в окрестности ударной волны разли-
чие в давлении достигает 10%.
I
§ 3
ТЕЧЕНИЯ В СОПЛАХ
ПРИ НАЛИЧИИ ВРАЩЕНИЯ ПОТОКА
Закрутка потока в настоящее время широко используется на
практике, в частности, для регулирования тяги сопел. Основное
влияние она оказывает на расход газа, протекающего через соп-
ло. Уменьшение тяги сопла происходит в основном именно за счет
уменьшения расхода. Коэффициент удельной тяги уменьшается
приблизительно в 10 раз меньше, чем коэффициенты тяги и рас-
хода. Это позволяет использовать закрутку для регулирования
массового расхода. Если ограничение длины сопла не позволяет
создать равномерный поток на выходе, обеспечивающий, как изве-
стно, максимальную тягу, то использование закрутки потока мо-
жет увеличить тягу сопла [96].
322
При разработке вращающихся двигателей твердого топлива
было замечено, что характеристики этих двигателей значительно
изменяются из-за наличия вращения. Это связано с действием сил,
ускоряющих процесс сгорания, и с влиянием вращения потока на
поле течения в камере и сопле. Интенсифицируя сам процесс го-
рения, закрутка изменяет и газодинамическую картину течения,
вызывая дросселирование минимального сечения сопла. Оба эти
эффекта приводят к увеличению давления в камере, что увеличи-
вает, в свою очередь, скорость горения топлива.
Закрутка потока применяется также для реверса тяги в ВРД.
Применяется она и для задержания радиоактивного топлива внут-
ри ЯРД и стабилизации дуги в электродуговых подогревателях.
Закрутку потока можно использовать для улучшения работы ка-
меры сгорания. При этом ускоряется смешение и весь процесс
горения и- возрастает стабильность горения по сравнению с про-
цессом, проходящим без закрутки (скорость турбулентного горе-
ния увеличивается примерно в 3 раза). Закрутка подавляет пуль-
сации пламени и шум струи, увеличивает полноту сгорания,
уменьшая, тем самым, загрязнение выхлопной струей окружаю-
щей среды. В рабочих каналах радиальных МГД-генераторов под
действием лоренцовой силы также происходит закрутка потока.
Впервые закрутка потока была рассмотрена в [184] для невяз-
кого несжимаемого течения. Считалось, что течение является по-
тенциальным и поэтому содержит пустотное ядро. Однако в даль-
нейших экспериментах было замечено, что при малых закрутках
пустотное ядро само не образуется и наблюдаются интенсивные
пульсации.
В работе [174] показано, что, как
только отношение начальной тангенци-
альной скорости на стенке сопла к на-
чальной осевой скорости (число Френке-
ля) становится меньше 1.92, вращение
газа можно рассматривать как вра-
щение твердого тела. Однако гипотеза
о сохранении вращения потока по закону
твердого тела делает задачу переопреде-
ленной. Из различных экспериментов с
закрученными потоками в трубах и соп-
лах известно, что вращение по закону
твердого тела наблюдается 'в ядре пото-
ка, в небольшой окрестности оси спммет- ' ' ' 'г
рии, движение же в остальной части
близко к потенциальному и соответству-
ет вращению по закону свободного вих-
ря (рис. 6.19). При этом вдоль осп ка-
нала возникает вакуумное ядро, в ре-
альном случае — область с .возвратным
течением.
Рис. 6.19. Зависимость
числа Маха (полученного
по окружной составляю-
щей скорости) от г, вы-
численная по экспери-
ментально измеренному
давлению в вихревой ка-
323
При экспериментальных исследованиях достаточно быстро
вращающихся РДТТ по закону твердого тела наблюдалось обра-
зование тороидальных зон возвратного течения в дозвуковой обла-
сти и у стенки сопла [43]. В работе [182] построена аналитическая
модель течения, в которой одновременно было использовано вра-
щение по закону твердого тела в окрестности оси симметрии • и
потенциальное закрученное течение в периферийной области
сопла.
В ядре закрученного потока, особенно при больших градиен-
тах скоростей, важную диссипативную роль могут играть силы
вязкости. Однако учет сил вязкости необходим при расчете тече-
ний с закруткой потока в основном большей интенсивности.
Большинство теоретических работ, исключая работы последне-
го периода, основывались на гипотезе о радиально-уравновешен-
ном течении, согласно которой можно пренебречь нормальной со-
ставляющей скорости и которая справедлива для расчета течений
в пологих соплах. Кроме отмеченных выше работ значительный
интерес представляет работа [161], в которой в рамках линейной
теории получен интегральный критерий подобия для закрученных
течений, а та|кже работа [35], в которой получено аналитическое
решение для винтового течения. В последние годы в рамках пря-
мой и обратной задач выполнены исследования закрученных тече-
ний в круглых и кольцевых соплах с учетом двумерного характера
течения [101, 128, 140].
Вращение потока в сопле, как правило, приводит к тому, что
течение носит сложный пространственный характер с отрывными
зонами, в связи с чем теоретическое и экспериментальное иссле-
дование таких течений зачастую оказывается невозможным. По-
этому представляет интерес рассмотреть некоторые простейшие
типы закрученных течений с тем, чтобы на их примере понять
качественные особенности таких течений.
Примем, что закрутка потока не нарушает осесимметричности
течения, т. е. параметры течения не зависят от окружной коорди-
наты. Из уравнения (1.98) следует, что для каналов с прямоли-
нейной осью
wr = Г(ф), (6.20)
где w — окружная составляющая скорости. Таким образом, в осе-
симметричном течении с закруткой вдоль линии тока вместе с
энтропией S и полной энтальпией Но сохраняется неизменной ве-
личина wr.
Из уравнений движения, записанных в
(3.65) —(3.67)]:
rot WXW = TVS — V#o.
форме Крокко [см.
(6.21)
Из формулы для rot W в цилиндрических координатах
324
dv ди
дх dr
(6.22)
следует, что при Г (гр) = const, S (гр) = const, Но (гр) == const
dv/dx — dujdr = 0, т. e. течение является безвихревым. В частно-
сти, изоэнтропическое и изоэнергетическое осесимметрическое те-
чение без закрутки является безвихревым. Если же Г (гр) =/= const,
то условие S (ip) = const и Яо (гр)—const не обеспечивает без-
вихревого течения, а в соответствии с уравнением (6.21) означает
коллинеарность векторов rot W и W:
rot W = XW,
(6.23)
где X — произвольная функция. Течение, обладающее таким свой-
ством, называется винтовым [36].
Вид функции Г (гр) задается начальными условиями и в каждом
сечении сопла определяет закон изменения окружной скорости по
радиусу. Например, если Г(гр)=сопэ1, то изменение окружной ско-
рости w происходит по закону вихря. Если же Г (гр) ~ гр, то
и изменение окружной скорости происходит по закону твердого
тела. Как отмечалось, изменение w по закону твердого тела про-
исходит, как правило, в окрестности оси симметрии, а при уда-
лении от оси симметрии имеет место изменение по закону вихря
(см. рис. 6.19). Возможны и другие законы изменения Г (гр). Если,
например, использовать формулу
Г (гр) = Tw (1 —е-^) (1 — е-б) -1.
(6.24)
где Tw — значение Г на стенке при гр = 1, а 6—некоторый пара-
метр, то при малых 6 или гр имеет место закрутка по закону твер-
дого тела, а при больших 6 — закрутка по закону вихря. При дру-
гих гр профиль скорости близок к профилю, изображенному на
рис. 6.19.
Рассмотрим радиально-уравновешенные течения, т. е. течения,
в которых можно пренебречь нормальной составляющей скорости
v. Такие течения аналогичны обычным одномерным течениям без
закрутки в том смысле, что они также реализуются в достаточно
пологих соплах. Радиально-уравновешенное течение имеет место
также в окрестности оси сопла. В цилиндрических координатах
осесимметричное р а ди а л ьно-ур авновешенное течение идеального
газа с у = const описывается следующей системой уравнений:
— = ТР
дг
W2
wr = Г (яр), p/pv
+ ау2) + ----Р
У~ 1 Р
= 5(я|9),
(6.25)
1
325
d ф — p udr2,
компоненты скоростей, давление и плотность здесь и ниже
отнесены к своим критическим значениям. Система (6.25) пол-
ностью описывает течение, если задана форма канала и известны
функции Г(ф), 5(ф) и /7о(ф). Из первого уравнения следует, что
производная давления по радиусу в радиально-уравновешенном
течении положительна, т. е. при удалении от оси симметрии дав-
ление увеличивается. Поскольку производная давления на оси
должна быть конечной, то в реальных течениях составляющая w
на оси должна равняться нулю. Из уравнения Бернулли следует,
что при большой закрутке, т. е. при большом значении w, в окре-
стности оси симметрии возможно возникновение пустотного ядра.
В частности, в потенциальном закрученном течении при Г(ф) =
= const имеем для радиуса пустотного ядра
Го = Г |[(у + 1)/(у— 1)— (6.26)
Наиболее простой случай радиально-уравновешенного течения—
изоэнтропическое потенциальное закрученное течение с Г(ф) =
= const. Из формулы (6.22) нетрудно усмотреть, что в таком те-
чении составляющая скорости и постоянна по сечению сопла в
отличие от давления и окружной составляющей скорости. Давле-
ние с точностью до постоянной может быть определено из первого
уравнения системы (6.25). Неизвестная постоянная выражается
через составляющую скорости и. Для определения скорости и в
каждом сечении сопла по аналогии с обычным одномерным тече-
нием необходимо знать режим течения в сопле. Если имеет место
режим запертого течения, при котором внешнее давление не
влияет на течение в сопле, то для нахождения скорости и* в ми-
нимальном сечении используется условие максимума расхода,
т. е. условие dQ/du = 0. Из этого условия можно в режиме за-
пертого течения определить и*, а также зависимость и* от Г или
где w* — скорость закрутки на стенке сопла в минимальном
сечении [140]. Отметим, что число Маха, вычисленное по осевой
составляющей скорости, в минимальном сечении меньше единицы.
Найденное значение и* в минимальном сечении позволяет при из-
вестной геометрии сопла и параметрах торможения определить
расход газа Q,
р*
V— 1
1/(v "rdr. (6.27)
I и
’ о
Значения скорости и в остальных сечениях определяются из
(6.27). Из уравнения (6.27) можно определить зависимость коэф-
фициента расхода ц = Ql^^ct^r2^ (т. е. отношения действительно-
го расхода, протекающего через- сопло при наличии закрутки, к
расходу через то же сопло при тех же критических параметрах,
326
но без закрутки) от величины а* = w*/U7max.« Типичная зависи-
мость ц от ct* представлена на рис. 6.20. С ростом ско-
рости' закрутки происходит уменьшение -.коэффициента расхода,
поскольку окружная составляющая скорости не' участвует в соз-
дании расхода через сопло. Как- отмечено в [140], коэффициент
расхода слабо зависит от у( если w* отнести к а*, а не к №тах),
хотя при большой закрутке уменьшение ц с увеличением у проис-
ходит более интенсивно.-
Рис. 6.20. Зависимость коэффициента расхода ц от относительной ско-
рости закрутки а* в минимальном сечении; 1 — закрутка по закону
вихря [140], 2— закрутка по закону твердого тела [128], 3—закрутка
по закону Г(ф)^ф [101], 4 — безвихревая закрутка в кольцевом соп-
ле [101], 5 — винтовое течение [35], 6 — винтовое течение, экспери-
мент [35]
В режиме незапертого течения, когда параметры течения за-
висят от внешнего давления, для определения скорости и в выход-
ном сечении сопла используется условие равенства давления на
стенке сопла внешнему давлению, а для нахождения скорости в
остальных сечениях сопла
(6.27).
по-прежнему используется уравнение
Линейная теория радиально-уравновешенного течения развита
в [161] и обобщена на случай течений с произвольными термоди-
намическими свойствами в соплах с центральным телом в [140].
Согласно этой теории ц = 1—0.5е, где ;
[ \ Г2 (ф) ф-2 d ф] d ф
327
— так называемый интегральный параметр закрутки. Очевидно,
что коэффициент расхода уменьшается при увеличении закрутки
и не зависит от показателя адиабаты, что находится в соответ-
ствии с данными, приведенными выше для потенциального тече-
ния. Из линейной теории ‘можно получить формулу для давления
на контуре сопла в минимальном сечении: р* = 1 +0.5у (у-—1) (у +
+ 1)—1 е и определить критический перепад давления (отношение
давления торможения к давлению на стенке сопла в минималь-
ном сечении), при котором расход газа и параметры течения пе-
рестают зависеть от внешнего давления, т. е. пройсходит запира-
ние сопла. Имеем
л* =^-
Рн
= л(1)
V (у — 1) е
2(У + 1)
(6.28)
1 —
Из (6.28) следует, что при наличии закрутки запирание сопла
происходит при меньших перепадах давления, чем при отсутствии
ее. Так, при е = 0.5 и у = 1.4 критический перепад равен 1.78 вме-
сто 1.89 для течения без закрутки.
Рассмотрим еще один случай радиально-уравновешенного тече-
ния— так называемое однородное винтовое течение [35], соответ-
ствующее X = const [см. (6.23)]. Из формул (6.22) и (6.23) полу-
ЧИхМ
dll _ .. d (fw) _ A /Г» QQ\
— —Л W, — Л ги. (6.29)
dr-------------------------------------dr
Решение системы (6.29) имеет вид
и = Со СiYо (X г).
w = C0/i(X г)
+ GY! (Хг),
где Ц (X г) и Yi (X г) — функции Бесселя первого и второго рода
порядка i. Постоянные Со и G определяются из условий Г (ф) =
= wr, Г = 0 при г = 0 и Г = Гад при г = и тогда
U = /о (X г) , w = гго7. (% г) . (6 30)
I'w Гw IГw}
Используя (6.30), получим следующую формулу для расхода га-
за через минимальное сечение:
1
Q = р urdr =
6
= 2я1/ЗГр0f I, _ л L-hMiL- fdfi
’ v-i‘ JL ли J /ui>
0
(6.31)
328
где
Для определения зависимости между а* и X используется условие
максимума расхода через критическое сечение, которое имеет ме-
сто в режиме запертого течения, а именно (dQ/d Л)а* = 0. Неко-
торые результаты численных расчетов содержатся в работах [35
140]. 1 ’
Рассмотренная схема расчета пригодна лишь для некоторого
значения интенсивности закрутки, при котором составляющая ско-
рости и на оси достигает максимального значения, соответствую-
щего истечению в вакуум. Дальнейшее увеличение интенсивности
закрутки приводит, по-видимому, к образованию вакуумного ядра
как в потенциальном течении. На рис. 6.21 в изометрии показаны
0S
10
20
Рис. 6.21. Профили осевой и окружной составляющих
скорости в однородном винтовом течении при различ-
ной интенсивности закрутки: 1 —а* = 0.01, е = 0.0003;
2 — а* =0.1, 8 = 0.03; 3 — а* = 0.2, е = 0.13; 4 — а* =
= 0.3, 8=0.33; 5 —а* =Ю.4, е = 0.74; 6 —а* = 0.5,
8 = 1.63; 7 — а* = 0.57, 8 = 3
профили осевой и окружной составляющих скорости по радиусу
для различных интенсивностей закруток. При малых закрутках
осевая составляющая скорости слабо меняется по радиусу, окруж-
ная же изменяется почти линейно. Однако уже при а* = 0.2 изме-
нение осевой скорости по радиусу становится значительным, одно-
временно нарушается линейный характер изменения окружной
скорости. При больших закрутках профили как осевой, так
и окружной скоростей сильно искривлены, причем осевая со-
ставляющая изменяется от существенно дозвуковых значений на
стенке канала до значительных сверхзвуковых — на оси. Окруж-
ная составляющая становится сверхзвуковой, наоборот, в присте-
ночной области. Зависимость коэффициента расхода от а* в одно-
родном .винтовом течении приведена на /рис. 6.20.
329
Течения в соплах, используемых на практике, носят существен-
но двумерный характер, поэтому гипотеза радиально-уравнове-
шенного течения зачастую оказывается неправомерной. В послед-
ние ч годы в ряде работ выполнены исследования закрученных
течений в соплах с учетом двумерного характера течения (см.,
например, [101, 128]). В [140] методом установления решена пря-
мая задача и изучено течение для широкого класса закрученных
течений. В начальном сечении задавались различные законы изме-
нения Г (гр), включающие закрутку по закону вихря вблизи сте-
нок, по закону твердого тела, однородное винтовое течение и др.
Рис. 6.22. Профили осевой и окруж-
ной составляющих скорости в на-
чальном (/) и минимальном (2) се-
чениях сопла при наличии закрутки
потока
Рис. 6.23. Поле течения в сопле при
различных интенсивностях закрутки
На рис. 6.22 показаны в изометрии характерные профили окруж-
ной и осевой составляющих скорости в начальном и минимальном
сечениях для случая потенциального закрученного течения (Г =
= const), переходящего в ядре в течение с постоянным w, за ис-
ключением точки на оси, пде w — 0.
ззо
Для такого рода течений характерно выравнивание профиля
окружной скорости- по мере приближения к минимальному сече-
нию, особенно при больших закрутках. Осевая составляющая ско-
рости у стенки почти постоянна, а затем, по мере приближения
к оси, резко возрастает и может достигать на оси сопла при боль-
шой закрутке сверхзвуковых значений как в начальном, так и в
минимальном сечениях. Трансформация поля течения в сопле по
мере увеличения закрутки показана на рис. 6.23. На этом рисунке
изображены линии постоянства числа Маха М = {и2 + w2)i/2 а~1 в
течении без закрутки потока (рис. 6.23, а) и с закруткой при Гад=
= 0.20 и Гад = 0.33 на стенке сопла (рис. 6.23, б, в) для профилей
Г и w в начальном сечении, представленных на рис. 6.22. С ро-
стом интенсивности закрутки форма линий М = const и звуковой
линии начинает существенно изменяться. В ядре потока звуковая
линия втягивается внутрь дозвуковой части сопла, причем тем
больше, чем больше интенсивность закрутки. Такая трансформа-
ция звуковой линии имеет место при различных законах закрут-
ки, в том числе и при закрутке по закону твердого тела. Увели-
чение интенсивности закрутки приводит к тому, что на оси вдоль
всего сопла скорость становится сверхзвуковой и при превышении
некоторого значения интенсивности возможно образование вакуум-
ного ядра, как в случае потенциального течения.
При закрутке потока по закону твердого тела в зависимости
от начальных условий возникают замкнутые или незамкнутые зот
ны возвратного тока вблизи стенки сопла. Причина их возникно-
вения связана с наличием положительного градиента давления
в области перехода от цилиндрического к сужающемуся участку
сопла [см. § 1 гл. IV], величина которого значительно возрастает
нз-за существования центробежных сил, вызванных закруткой
потока. С ростом закрутки наступает переход через так называе-
мое критическое значение интенсивности закрутки (соответствую-
щее числу Френкеля Fr=1.92), при котором происходит отрыв по-
тока и возникновение в пристеночной области в дозвуковой части
сопла зоны с возвратным течением.
Важной характеристикой закрученных потоков является коэф-
фициент расхода.'Он характеризует как изменение расхода, так и
изменение импульса сопла из-за закрутки, поскольку удельный
импульс весьма слабо зависит от интенсивности закрутки. Для по-
лучения универсальной зависимости ц от интенсивности закрутки
используются различные параметры, такие, как интегральный па-
раметр закрутки е, определенный выше, параметр а*, чис-
ло Френкеля Fr=(w/u)Wf число Росби - Ro = (0.5 u/w)w.
Каждый из этих параметров обладает определенными преимуще-
ствами или недостатками по сравнению с другими, и различные
авторы отдают предпочтение различным критериям, хотя корреля-
ция коэффициента расхода при различных законах закрутки при
использовании каждого из этих параметров примерно оди-
накова.
331
На рис. 6.20 приведена зависимость коэффициента расхода ц
от параметра а* для различных законов закрутки, полученных
теоретически или экспериментально.
§ 4
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЧЕНИЯ
В СОПЛАХ
Пространственные течения имеют место либо в случае неосе-
симметричной геометрии сопел, либо в соплах, обладающих осе-
вой симметрией, но имеющих несимметричные начальные условия
на входе. Практический интерес к пространственным течениям в
соплах связан с использованием сопел некруглого сечения в МГД-
генераторах и двигателях специальных форм, а также с необходи-
мостью определения боковых сил и моментов, возникающих в
реактивных двигателях в связи с неравномерностью процесса го-
рения и несимметричными деформациями контура. Исследования
пространственных течений проводились методом малых возмуще-
ний .[55, 127], методом характеристик [68, 129], методом установ-
ления [46, 60], методом сквозного счета [59], а также путем реше-
ния обратной задачи [109]. Перечисленные методы изложены в
гл. II и III; ниже обсуждаются лишь некоторые качественные осо-
бенности пространственных течений.
В окрестности центра сопла при заданной на оси составляющей
скорости и = Ах, используя метод малых возмущений, можно по-
лучить следующие формулы для определения возмущений состав-
ляющих скорости и, v, w относительно поступательного звукового
потока в цилиндрических координатах х, г, ср [127]:
и = Ах + (у + 1) г2 А2( —-------------I cos 2ср),
\ 4
v = Л2 (у + 1) хг[ -----2/cos 2ср) + Л3(у + 1) г3(——
V 2 v 16
(6.32)
----- I cos 2ф + 4т cos 4<р ),
w = 2(у + Y)A4xr sin 2ср +,(у + 1)Л3г(—I sin 2ср — 4m sin 4qp).
' 6
В декартовых координатах х, у, z имеем
и = Ах + (у 4- 1) Л2
332
= (v+ 1)Л2(.1
21
xy +
V
12m )уг2 + (—^—4- —I + 4m) z/3
7 V 16 з
w = (Y 4- 1) 712(—4- 2Z 1 vz +
\ 2 J
(6.33)
16
12m ]y2z 4-(~^—4——I 4- 4m V3
7 k 16 3 )
В отличие от плоского и осесимметричного случаев [см. формулы
(3.37), (3.38)] в выражениях для и, v появляются произвольные
постоянные t m, задавая которые можно получать сопла различ-
ной геометрии в окрестности центра сопла. Форма звуковой по-
верхности получается из условия и=0, которое в декартовых
координатах приводит к соотношению
х = —(у 4- 1)Л
(6.34)
Отсюда следует, что при 111 < 0.25 звуковая поверхность будет
эллиптическим параболоидом, при |Z = 0.25'—параболическим
цилиндром, при 111 > 0.25 — гиперболическим параболоидом.
Уравнения поверхностей с? = 0> w=0 (аналогичных линиям 0=0
в плоском и осесимметричном случаях) имеют в декартовых коор-
динатах вид
у = 0, х =-------2(у+1)Д /1—।—1 I \у2 /1-----\2m\z2 ’
1—4/ 1Д 16 3 Г \ 16 / J
(6.35)
2 = 0, х =-------+ ----12/77 \у2 4- (—— Н—— I 4- 4m ]z2
1 + 4/ I? 16 ) v 16 3 7 J
[см. также (3.39)]. В общем случае эти псверхности не совпадают
между собой и могут 'быть эллиптическими или гиперболическими
параболоидами или параболическими цилиндрами.
Уравнения четырех характеристических поверхностей, касаю-
щихся в центре сопла звуковой поверхности, имеют вид
8
333
%=Y±1_4[(1 -Д0//2 +(1 + А2)22],
8
(6.36)
X =rLL4[(l + AOf/2 + (1 + A2)z2],
8
где A± = 1/5 — 16/, Д2)= ]/5 + 16/. При |/| < 5/16 последняя из этих
формул дает для характеристической поверхности С' уравнение
эллиптического параболоида. По аналогии -с плоским и осесиммет-
ричным случаями через С0-}, и С°_ обозначаются характеристиче-
ские поверхности, касающиеся в центре сопла звуковой линии и
простирающиеся соответственно вниз и вверх по потоку. При
|/| < 0.25 первая из формул (6.36) дает для поверхности С°-
уравнение эллиптического параболоида, а вторая и третья — урав-
нения гиперболических параболоидов. По эллиптическому ^--па-
раболоиду возмущения распространяются к центру сопла.
Если источники возмущений поместить внутри С\ -параболоида,
то вносимые ими возмущения будут
достигать поверхности перехода и
влиять на дозвуковую область те-
чения. Как видно из (6.36) -по
-верхности существуют лишь при
|/| <0.25, а -поверхности — при
|/| ^5/16. Отсутствие особых харак-
теристических поверхностей при та-
ких значениях / говорит о неустой-
чивости соответствующих смешан-
ных течений газа. Звуковые поверх-
ности, а также характеристические
поверхности для некоторых значе-
ний / изображены на рис. 6.24.
Рассмотрим теперь некоторые
результаты численного исследова-
ния течений в пространственных
соплах. На рис. 6.25 приведены дан-
ные о течении газа в эллиптическом
сопле, поверхность которого задает-
ся уравнением [59]
(z//a)w +(z/b)« = 1 (6.37)
при alb = 2. Оси у и z лежат
в плоскостях симметрии, отвечаю-
щих <р = 0 и ср = л/2. Линия пере-
сечения поверхности сопла с плос-
Рис. 6.24. Форма звуковой поверхности и
особых характеристических поверхностей
в пространственных течениях [127]
334
костью z = 0, определяемая функцией а (х), в окрестно-
сти минимального сечения есть дуга окружности (R° =2), плавно
сопрягаемая с прямой. В минимальном «сечении этого сопла, кото-
рое. 6.25. Эпюры давлении в эллиптическом (со — 2, сплошные кривые)
и суперэллиптическом (со = 5, пунктирные кривые) соплах
рое имеет эллиптическую форму, поток равномерен и имеет по-
стоянную скорость % = 1.1. На рис. 6.25 изображены эпюры давле-
ния по -стенке при различных х. Видна значительная неравномер-
335
1
ность давления по ср, при этом минимальное давление наблюдает-
ся при ср = л/2. По мере приближения к выходному сечению про-
исходит выравнивание давления по ф.
Если в каждом поперечном .сечении эллиптического сопла сох-
ранять постоянной величину d = a/b, то при любом х отношение
площади 'сечения к площади минимального сечения будет таким
же, как и у сопла Лаваля с уравнением контура у = Ь(х). При
этом одномерная теория будет давать одинаковое распределение
параметров по длине для пространственного и осесимметричного
сопел. Влияние параметра d на течение иллюстрирует рис. 6.26.
На рис. 6.26, а нанесены линии М = const для плоскостей симмет-
Рис. 6.26. Линии М = const в эллиптическом сопле в плоскостях ху и xz
при d = 2 (а) ив плоскости ху для различных d (б)
рии ху и xz и показан вид функции Ь(х). При этом плоскости ху
соответствуют сплошные линии и £ = у/а(0), а плоскости х, z—
штриховые линии и £ = z/b(O). Штрих-пунктирными линиями на-
несены результаты расчета течения в осесимметричном сопле.
336
Видна значительная трехмерность течения в трансзвуковой и
сверхзвуковой областях. Увеличение d (приводит к росту неравно-
мерности в распределении параметров (рис. 6.26, б).
При со » 2 уравнение (6.37) определяет поверхность так на-
зываемых «суперэллиптических» сопел. При а = b такие сопла
имеют четыре плоскости симметрии (ср = 0, л/4, л/2, Зл/4). Попе-
речные сечения этих сопел близки к 1квадратам. Уравнение (6.37)
определяет 'широкий класс сопел, в том числе сопла, имеющие
круговое минимальное сечение, но достаточно произвольную фор-
му в сверхзвуковой части. Для этого необходимо положить со =
= со(х); если со(0)= 2, а а(0)= 6(0)= 1, то минимальное сечение
есть круг единичного радиуса. Эпюры давления в двух сечениях
суперэллиптического сопла представлены на рис. 6.25. Видно, что
минимальное давление имеет место в плоскостях ср = л/4 и ср =
= Зл/4, однако, как и в эллиптических соплах, по мере увеличе-
ния степени расширения происходит выравнивание давления по
сечению и уменьшение величины окружной скорости.
В рамках обратной задачи пространственные течения в соплах
и их геометрия при заданном на оси распределении скорости рас-
считывались с помощью асимптотических формул (3.28). Резуль-
таты расчетов представлены на рис. 6.27. На этом рисунке изобра-
жены сопла, являющиеся осесимметричными до минимального се-
чения и имеющие близкую к эллиптической форму поперечного
сечения вниз по потоку. Показаны также -геометрические места
точек 0 = const, т. е. проекции на плоскость yz вторых поверхно-
стей тока, и представлено распределение давления в различных
сечениях. Пунктиром изображена геометрия -сопла в осесиммет-
ричном -случае при том же начальном распределении скорости.
Для сопла, изображенного на рис. 6.27, а, перетекание газа, как и
в рассмотренных выше случаях, происходит из плоскости ср = 0 в
плоскость ср = л/2, а для сопла, изображенного на рис. 6.27, б —
из плоскости <р *= 0 в плоскость ср = л. Отметим, что для этого
сопла центр тяжести поперечного сечения (черные точки на рис.
6.27, б) смещается влево относительно центра тяжести в мини-
мальном сечении, что приводит к искривлению оси и появлению
боковой силы.
Пр остр анственное сопло весьм а ,пр оизво л ьной конфигур ации
может быть получено путем вырезания из осесимметричного круг-
лого или кольцевого сопла поверхностей, набранных из различных
линий тока таких сопел. При этом геометрия различных попереч-
ных сечений пространственного сопла близка к геометрии мини-
мального сечения. Очевидно, что в такого рода соплах окружная
составляющая скорости равна нулю и перетекание газа отсут-
ствует.
Потери импульса, связанные с неравномерностью потока, со-
ставляют обычно 1—3%, поэтому, очевидно, что у осесимметрич-
ного сопла и у пространственного сопла, имеющего то же отноше-
ние -площадей, что и осесимметричное, импульсы должны быть
22—625 337
близки. Строгое доказательство этого положения содержится в
работе [45], ib (Которой сформулировано правило «эквивалентно-
сти». Согласно этому правилу импульсы пространственного и осе-
симметричного сопел близки, если равны соответствующие отно-
шения площадей. На примере эллиптических и суперэллиптиче-
Z 5 2 1 О
а
Рис 6 27 Течение в пространственном сопле с двумя (а) и одной (б)
плоскостями симметрии
338
ских -сопел показано, 'что при значительной (неравномерности дав-
ления по ср и существенном отличии среднего давления (т. е. по-
лусуммы давлений на противоположных образующих) от давле-
ния в осесимметричном сопле в тех же сечениях импульсы
при равных отношениях площадей различаются не более чем
на 0,5 %.
Влияние несимметрии течения на величины -боковой силы и
момента в рамках линейной теории детально рассмотрено в § 5
гл. III.. Следует отметить, что, согласно результатам расчетов
[179], в профилированных соплах боковая сила и момент изменяют
знак лишь один раз в окрестности минимального сечения, далее
вниз по потоку изменение знака не происходит, поскольку углы
наклона контура в профилированных соплах в сверхзвуковой ок-
рестности минимального сечения велики (около 30—40°). Модуль
вектора боковой силы в выходном сечении профилированного соп-
ла при х=15, га = 6 и 7=1.25 составляет примерно 104-15%
от начального значения боковой силы в минимальном сечении.
Влияние несимметрии дозвуковой части на параметры течения
рассмотрено в работе [46], в которой показано, что при разнице в
углах наклона Д а, образующих сопла в дозвуковой части в верх-
ней и нижней, половинах плоскости симметрии, разница давлений
при х = const на этих образующих изменяет знак вблизи мини-
мального сечения. В одном из приведенных расчетов при Да=15°
величина боковой силы в окрестности минимального сечения со-
ставила 1 % от импульса. Изменение боковой силы с изменением
Д а происходит линейно.
§ 5-______________________________________
ТЕЧЕНИЯ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ
РЕЙНОЛЬДСА
В ракетных двигателях малой тяги, а также в гиперзвуковых
аэродинамических соплах размеры критического сечения и полное
давление могут -быть такими, что число Рейнольдса Reo =
= Ро l^max г* т)-1 изменяется в диапазоне 10— 104. Число Re0 свя-
зано с числом Рейнольдса Re^ , определенном в гл. IV соотноше-
нием ReWo = ReoL/Tw, где L — длина сопла, отнесенная к радиусу
минимального сечения, a Tw—температура стенки, отнесенная к
температуре торможения. Таким образом, число ReWo примерно
па порядок больше числа Reo. При числах Re0 и указанного диа-
пазона вязкость газа проявляется не только в тонком пристеноч-
ном пограничном слое, но и по всему сечению. При расчете пара-
метров течения нельзя уже ограничиться введением поправки на
толщину вытеснения пограничного слоя, а необходимо при тех
или иных предположениях решать систему уравнений Навье —
Стокса. Теоретическому и экспериментальному исследованию
339
течений в соплах при малых числах Рейнольдса посвящены ра-
боты [54, 119, 122]. Ниже излагаются некоторые результаты этих
работ.
Теоретическое исследование течения вязкого газа при малых
числах Рейнольдса основано на решении упрощенных уравнений
Навье — Стокса, полученных в предположении, что отношение по-
перечной компоненты скорости к продольной и отношение про-
дольного градиента к поперечному много меньше единицы [25]-.
В результате соответствующих упрощений в уравнениях На-
вье— Стокса исчезают члены, содержащие вторые производ-
ные по х и для расчета течения в сопле можно решать
задачу Коши по %, а не краевую задачу, как в случае пол-
ных уравнений Навье — Стокса. В указанном приближении
получаем следующую систему упрощенных уравнений Навье —
Стокса:
д
дх
(р игх) +
ди . ди 1 др , 1 д / ди
и-----1- v--=—--------—4----------( ц rv--
дх дг р дх р г* дг дг
(6.38)
Эта система уравнений дополняется термическим и калорическим
уравнениями состояния и соотношениями для определения числа
Прандтля Рг и коэффициента вязкости 1].
Для построения решения необходимо задать начальные усло-
вия во входном сечении, а также граничные условия на стенке
сопла и его оси. Начальные условия получаются при построении
решения в окрестности бесконечно удаленной точки путем разло-
жения искомых функций в ряд по обратным степеням х ([119], см.
также § 4 гл. III). На оси сопла задаются условия симметрии,
согласно которым производные от и, р, р, Т и h, а также попереч-
ная составляющая скорости равны нулю. На стенках сопла для
разреженного газа в общем случае используются условия сколь-
жения и скачка температуры [106], согласно которым
—
— Chjri / ТС RT V/г / ди \ п
—/---------------- — cos ew,
du Р \ 2ц J \ dr j w
(6.39)
2y(2 — a )i] \'l2( дТ 4 n
-------------------- ------- --------) cos 0W,
(y + l)ar pPM 2ц 7 ' dr w
340
где аи и ат — коэффициенты аккомодации для скорости и темпе-
ратуры, нижний индекс w относится к параметрам на стенке
сопла.,
В работе (119] предложен итерационный метод решения систе-
мы (6.38) для прямой задачи теории сопла. При этом численное
интегрирование системы ведется из дозвуковой часта сопла, а в
процессе итераций определяется расход газа и распределение дав-
ления вдоль оси. При решении прямой задачи так же, как и в слу-
чае невязких течений, система уравнений имеет особую точку типа
седла, в которой
б = = о.
J М2
о
(6.40)
Это условие означает запирание потока. Если на стенке исполь-
зуется условие непротекания, то интеграл в (6.40) расходится.
Чтобы избежать этого, можно использовать подход, предложен-
ный ,в [183], согласно которому‘интегрирование можно обрывать
вблизи стенки сопла.
В процессе решения специальным образом подбирается крити-
ческий расход, который зависит от числа Re0 и при достижении
которого вниз по потоку от особой точки реализуется в интеграль-
ном смысле сверхзвуковое течение, т. е. б<0 (см,, гл. I, § 2, п. 1).
При расходах, меньших критического, течение будет всюду
Рис. 6.28. Распределение температуры (а), давления и числа Маха (б)
по оси конического сопла (Ой. = 20°, г* = 25 мм) при различных чис-
лах Рейнольдса; 1—расчет при Re0 = 11230 [119], 2— идеальный газ,
3— эксперимент [122], 4 — эксперимент [54], 5 — давление, рассчитан-
ное по экспериментальным значениям температуры и плотности [122]
341
в интегральном смысле дозвуковом, т. е. б > 0. Расчеты показы-
вают, что при уменьшении числа Re0 особая точка движется вниз
по потоку и может выходить за пределы сопла. В этом случае ни-
какой расход не может обеспечить выполнения условия б>0- При
определенном значении в выходном сечении имеет место беско-
нечно большой градиент давления и такое течение физически не
реализуемо. При больших расходах такая ситуация имеет место
внутри сопла. При меныних расходах давление либо достигает
минимума, а затем повышается, либо монотонно уменьшается
вплоть до выходного сечения, если падение давления, обусловлен-
ное трением, достаточно велико, чтобы перекрыть влияние увели-
чения площади сечения сопла. При таких расходах внешнее давле-
ние может оказывать влияние на течение в сопле.
Рис. 6.29. Распределение плот-
ности и скорости в различных
сечениях сопла; 1 — расчет при
Re0 = 1250 [119]; 2 — экспери-
мент [122], а-х=.3.7, б-
х = 6.2, в—х = 18.7; 3—эк-
сперимент при Re0 = 1250 [54]
Некоторые результаты расчет-
ного и экспериментального иссле-
дования представлены на рис.
6.28—6.30. На рис. 6.28 показаны
зависимости числа М, температу-
ры и давления от длины сопла,
определенные экспериментально
методом электронного пучка [122]
и путем измерения давления [54]
и рассчитанные описанным выше
методом. Как видно, в зависимо-
сти от числа Re0 имеют место
различные режимы течения. При
Reo > 500 температура монотон-
но убывает, а при числах Re0<
<300 температура убывает до
х~6, а затем начинает увеличи-
ваться. Увеличение температуры
является результатом вязкой дис-
сипации и должно сопровождать-
ся уменьшением скорости и числа
Маха. При Reo ~ 100 значение
Т = Т/То вблизи выходного сече-
ния больше, чем при М = 1 для
изоэнтропического течения иде-
ального газа. При таких значени-
ях числа Reo поток расширяется вблизи оси до сверхзвуковых ско-
ростей (М ж 1.8 при х=5) и далее происходит безударное тормо-
жение до дозвуковых скоростей. Такой характер течения соответ-
ствует случаю, когда особая точка) находится вне сопла [119]. Уве-
личение температуры при малых числах Re0 нельзя объяснить как
результат образования волн сжатия, поскольку эксперименталь-
ные значения плотности и давления монотонно убывают (рис.
6.28). Внешнее давление, как показано экспериментально [122],
342
Рис. 6.30. Зависимость коэффи-
циента расхода от числа Рей-
нольдса: 1 — расчет [1.19], 2—
эксперимент [ 1|2|2], 3 — экспери-
мент [91]
слабо влияет на форму профилей до тех пор, пока поток в выход-
ном сечении остается перерасширенным (р0/рн > 250).
Из рис. 6.29 следует, что при Re0 = 110 профили относителы
ной плотности почти не зависят от длины сопла, поток является
полностью вязким и не имеет определенного ядра. При Re0 ~ 600
небольшое невязкое ядро существует при х < 3,7, однако е выход-
ном сечении оно уже отсутствует. При Re0 = 1250 невязкое ядро
сохраняется вплоть до выходного сечения. Экспериментальные
профили температуры и плотности в поперечном сечении показы-
вают, что производные дТ!дг и др/dr вблизи стенки отличны от
нуля. Это свидетельствует о наличии скольжения и скачка тем-
ператур в соответствии с граничными условиями (6.39). Темпера-
тура вблизи стенок составляет примерно О.8Го, что согласуется
с расчетными значениями для
адиабатической стенки со сколь-
жением. При уменьшении темпе-
ратуры стенки толщина вытесне-
ния пограничного слоя умень-
шается. Показано, что при Reo>
>1200 параметры на оси могут
быть вычислены с использовани-
ем одномерной теории по эффек-
тивному отношению площадей,
уменьшенному на толщину вытес-
нения [1191.
Очевидно, что уменьшение
числа Re0 приводит к уменьше-
нию коэффициента расхода ц.
Зависимость коэффициента рас-
хода от числа Re0 представлена
на рис. 6.30. Расчеты импульса и удельного импульса показывают,
что удельный импульс сопла в диапазоне чисел Re0 от 800 до
1500 слабо зависит от числа Re0, уменьшаясь при уменьшении Tw.
При этом импульс сопла уменьшается пропорционально коэффи-
циенту расхода. Имеет место менее интенсивное нарастание им-
пульса и удельного импульса с увеличением отношения площадей
чем при невязком течении, что на практике означает возможность
более значительного укорочения сопел в случае вязкого течения
при построении сопел, реализующих максимум тяги.
343
Литература
1. Авдуевский В. С. Метод расчета пространственного турбулентного
пограничного слоя в сжимаемом газе.—«Изв. АН СССР. Мех. и машиностр »
1962, №4.
2. Авдуевский В. С., Копяткевич Р. М. Расчет ламинарного пог-
раничного слоя и сжимаемом газе при наличии теплообмена и при произвольном
распределении давления вдоль поверхности.—«Изв. АН СССР. Мех. и маши-
ностр.», 1960, № 1.
3. А в е р е н к о в а Г. И., Аш ратов Э. А., Волконская Т. Г., Дья-
конов Ю. Нч Егорова Н. И., Мельников Д. А., Росляков Г. С.,
Усков В. И. Сверхзвуковые струи идеального газа. Ч. 1. Изд-во МГУ, .1970.
4. А л е м а с о в В. Е., Д р е г а л и и А. Ф., Тишин А. П., Худяков В. А.
Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. Справоч-
ник. Т. 1. Под ред. Глушко В. П. М., Изд-во АН СССР, 1971.
5. А л и х а ш к и н Я. И., Ф а в о р с к и й А. П., Чушкин П. И. О расчете
течения в плоском сопле Лаваля.— ЖВМ и МФ, 1963, № 6.
6. Аш ратов Э. А., Волконская Т. Г., Росляков Г. С., Ус-
ков В. И. Исследование сверхзвуковых течений газа в струях.— В кн.: Неко-
торые применения метода сеток в газовой динамике Вып. 6. Изд-во МГУ, 1974.
7. Ашратов Э. А., Дубинская Н. В. Исследование течений в соплах
при наличии колебательной релаксации. В кн.: Выч. методы и программирова-
ние. Вып. 27. Изд-во МГУ, 1977.
8. Бабенко К. И., Воскресенский Г. П., Любимов А. Н., Ру-
санов В. В. Пространственное обтекание гладких тел идеальным газом. Л1.,
«Наука», 1964.
9. Б а ханов В. П., Буйков М. В. Замкнутая система уравнений двух-
фазной газодинамики при наличии химических реакций и квазистационарной
гомогенной конденсации.—«Труды Укр. НИГМИ». Вып. 99. М., Гидрометеоиз-
дат, 1971.
10. Берн стейн А., Хейзер В., Хевнер С. Сжимаемое составное те-
чение в сопле. — «Прикладная механика». Труды амер, об-ва инж.-мех.,
1967, № 3.
11. Берс Л. Математические вопросы дозвуковой и околозвуковой газо-
вой динамики. М., ИЛ, 1961.
12. Блисс Г. Лекции по вариационному исчислению. М., ИЛ, 1950.
13. Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической
физике. М.— Л., Гостехпздат, 1946.
14. Бондарев Е. Н., Петров Г. И. Экспериментальное исследование
взаимодействия турбулентного пограничного слоя со скачками уплотнения.
Вс. съезд по теорет. и прикл. мех. Аннот. докл. М., Изд-во АН СССР, 1960.
>15. Борисов В. М., Шипи л ин А. В. О соплах максимальной тяги
с произвольными изопериметрическими условиями.— ПММ, 1964, т. <28, вып. 1.
16. Бреев В. В., Пирумов У. Г., Шевченко В. Р. Смешанное осе-
симметрическое течение проводящего газа в сопле в присутствии магнитного
поля.— В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. 27. Изд-во МГУ, 1977.
17. Б эк Л., Кафф ел Р. Определение косых скачков уплотнения в кони-
ческом сопле с критическим сечением в виде дуги окружности.—«Ракетн. техн,
и космонавтика», 4966, № 12.
18. Б э к Л., М э с с ь е р П., Г и р X. Сравнение измеренных и расчетных па-
раметров течения в сверхзвуковых конических соплах, проведенное в основном
для трансзвуковой области.—«Ракетн. техн, и космонавтика», 1965, № 9.
344
19. Ваничев А. П. Термодинамический расчет горения и истечения в об-
ласти высоких температур.— БНТ, 1947, № 28.
20. Вассерман А. А., К а з а в ч и н с к и й Я. 3., Рабинович В. А. Тер-
мофизические свойства воздуха и его компонентов. М., «Наука», 1966.
21. Вегенер П., Мак Л. Конденсация в сверхзвуковых аэродинамичес-
ких трубах.— В кн.: Проблемы механики. Выл. 3. М., ИЛ, 1961.
22. Верещака Л. П., Крайко А. Н., Стернин Л. Е. Метод харак-
теристик рля расчета сверхзвуковых течений газа с инородными частицами
в плоских и осесимметричных соплах. М., 1969. (ВЦ АН СССР).
£3. Виленский Ф. А., Волконская Т. Г., Грязнов В. П., Пиру-
мов У. Г. Исследование нерасчетных режимов осесимметричного кольцевого
сопла с центральным телом.— «Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1972, № 4.
24. В о л ы н с к и й М. С. Изучение дробления капель в газовом потоке —
ДАН, 1949, т. .18, № 2.
25. Вильямс Дж. Течение вязкого и -несжимаемого газа в узких кана-
лах.—«Ракетн. техн, и космонавтика», 1963, № Т.
26. Вукалович М. П., Новиков И. И. Уравнения состояния реальных
газов. М.— Л., Госэнергоиздат, 1948.
27. Г а л ю н Н. С., Крайко А. Н. К расчету неравновесных течений.—
«Изв. АН СССР. Механ. и машиностр.», 1964, № 6.
28. Г и з Д. Функции тока для трехмерных течений.—«Механика», (сб. пе-
реводов), 4953, № 1.
29. Глушко В. П. Развитие ракетостроения и космонавтики в СССР. М.,
Изд-во АПН, >1973.
30. Г о г и ш Л. В. Исследование коротких сверхзвуковых сопел.— «Изв.
АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1966, № 2.
31. Годунов С. К., Забродин А. В., Прокопов Г. П. Разностная
схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обте-
кания с отошедшей ударной волной.— ЖВМ и МФ, 1961, № 6.
32. Годунов С. К-, Рябе'нький В. С. Разностные схемы. М., «Наука»,
1973.
33. Гейн К., Лоуренс В. Лобовое сопротивление сфер при числах Рей-
нольдса от 200 до 10 000.—«Ракетн. техн, и космонавтика», 1968, № 5.
34. Гопкинс Д., Хилл Д. Влияние кривизны с малыми радиусами
в критическом сечении осесимметричных сопел на течения в трансзвуковой об-
ласти.—«Ракетн. техн, и космонавтика», 1966, № 8.
35. Гостинцев Ю. А. Расходные характеристики сопла при истечении
винтового потока газа.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1969, № 4.
36. Г р о м е к а И. С. Собр. соч. М., Изд-во АН СССР, 1952.
37. Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М., «Мир», 1965.
38. Гу дер л ей К. Теория околозвуковых течений. М., ИЛ, 1960.
39. Гудерлей К., Армитейдж Дж. Общий метод определения опти-
м 1льных сверхзвуковых реактивных сопел.—«Механика» (сб. переводов),
1963, № 6.
40. Гудерлей К-, Хантш Э. Наилучшие формы сверхзвуковых осесим-
метричных реактивных сопел.— «Механика» (сб. переводов), 1956, № 4.
41. Давыдов Л. М. Исследование неравновесной конденсации в сверх-
звуковых соплах и струях.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1971, № 3.
42. Давыдов Л. М., Ж и р а в о в В. М. Изоэнтропические течения возду-
ха при высоких давлениях торможения.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа»,
1974, № 5.
43. Д а н л е п Р. Исследование закрученного течения во вращающемся
РДТТ с торцевым горением .топлива.— «Ракетн. техн, и космонавтика»,
1969, № 12.
44. Д а р в е л л Н., Т р а б р и д ж Г. Профилирование сопел ракетных дви-
гателей с точки зрения уменьшения несимметричности истечения.—«Вопр. ра-
кетн. техн.», 1968, № 8.
45. Дворецкий В. М., Иванов М. Я., Коняев Б. А., Край-
345
ко А. II. О правиле «эквивалентности» для течений идеального газа.— ПММ,
1974, т. 38, вып. 6.
46. Дворецкий В. М., Иванов М. Я. К расчету смешанных течений
в соплах с несимметричной дозвуковой частью.—«Учен. зап. ЦАГИ», ’ 1974,
т. 5, № 5.
47. Дородницын А. А. Об одном методе численного решения некоторых
нелинейных задач аэрогидродинамики.— В кн.: Труды III Всес. матем. съезда,
1956. Т. 3. М., Изд-во АН СССР, 4958.
48. Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собст-
венных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений
второго порядка.—<УМН, 1952, т. 7, вып. 6.
49. Д р и т о в Г. В., Тишин А. И. О профилировании сопел, работающих
на газе с частицами конденсата.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газ#»,
1971, № Л.
50. Дритов Г. В., Тишин А. П. Расчет неравновесного течения газа
с частицами конденсата в сопле Лаваля.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа»,
1969, № 5.
51. Дроздова Н. В., Пирумов У. Г., Росляков Г. С., Сухору-
ков В. П. Сверхзвуковые течения газа в конических соплах.— В кн.: Некото-
рые применения метода сеток в газовой динамике. Вып. 6. Изд-во МГУ, 1974.
52. Д ь я к о н о в 10. Н., Пчелкина Л. В. О прямой задаче для сопла
Лаваля.—ДАН, .1970, т. 191, № 2.
53. Дьяконов Ю. Н., Пчелкина Л. В., С а н д о м и р с к а я И. Д. Ме-
тод характеристик для расчета двумерных вихревых течений равновесного и со-
вершенного газа.— В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. 7. Изд-во
МГУ, 1967.
54. Евсеев Г. А. Экспериментальное исследование течения разреженного
газа.—«Изв. АН СССР. Мех.», 1965, № 3.
55. Жигулева И. С., Пирумов У. Г. Исследование распространения ма-
лых возмущений в сверхзвуковых конических соплах. М., Оборонгиз, 1959.
56. Зельдович Я. Б. Доказательство единственности решения уравнений
закона действующих масс.— «Ж- физ. химии», 1938, № 11.
57. Зельдович Я. Б. К теории образования новой фазы. Кавитация.—
ЖЭТФ, 1942, № 12, вып. 11 — 12.
58. И в а н о в М. Я., Крайко А. Н. Численное решение прямой задачи
о смешанном течении в соплах.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1969, № 5.
59. И в а н о в М. Я., Крайко А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозно-
го счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений
ЖВМ и МФ, 1972, № 2, 3.
60. Иванов М. Я., Р ы л ь к о О. А. К анализу трансзвукового течения
в эллиптических соплах.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 4972, № 3.
61. Исакова Н. П. Решение прямой задачи о смешанном течении прово-
дящего газа в сопле Лаваля при наличии меридианального магнитного поля.—
«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1971, № 5.
62. К а м з о л о в В. Н., Маслов Б. Н., Пирумов У. Г. Исследование
траекторий частиц в соплах Лаваля.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа»
1971, № 5.
63. Камзолов В. Н., Пирумов У. Г. Расчет неравновесных тече-
ний в соплах.— «Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1966, № 6.
64. Камзолов В. II., Пирумов У. Г. Расчетное исследование сверх-
звуковой струи, истекающей из отверстия с плоскими стенками.— ЖПМ и ТФ
1967, № 2.
65. Кацкова О. Н. Расчет равновесных течений газа в сверхзвуковых
соплах. М., 1964 (ВЦ АН СССР).
66. Кацкова О. Н., Крайко А. Н. Расчет плоских и осесимметричных
сверхзвуковых течений при наличии необратимых процессов. М., 1964
(ВЦ АН СССР).
67. Кацкова О. Н., Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д., ITT у-
346
л п ш н и н а Н. П. Опыт расчета плоских и осесимметричных сверхзвуковых те-
чений газа методом характеристик. М., 1961 (ВЦ АН СССР).
68. К а ц к о в а О. Н., Чушкин П. И. Пространственные сверхзвуковые
течения' газа с неравновесными процессами. ЖВМ и МФ, 1968, № 5.
69. К а ц к о в а О. Н., Чушкин П. И. Течение проводящего газа в сверх-
звуковом сопле.—«Магнитная гидродин.», 1966, № 4.
70. К а ц к о в а О. Н., Ш м ы г л е в с к и й Ю. Д. Таблицы параметров осе-
симметричного сверхзвукового течения свободно расширяющегося газа с пло-
ской переходной поверхностью. М., Изд-во АН СССР, 1962.
71. К е с т е н б о й м X. С., Росляков Г. С., Чудов Л. А. Точечный
взрыв. Методы расчета. Таблицы. М., «Наука», 4974.
72. Киреев В. И., Лившиц Ю. Б. О трансзвуковом течении газа в осе-
симметричных соплах Лаваля с крутыми стенками.—«Изв. АН СССР. Мех.
жидк. и газа», 1970, № 6.
73. Киреев В. И., Лифшиц Ю. Б., Михайлов Ю. Я. О решении пря-
мой задачи сопла Лаваля.— «Учен. зап. ЦАГИ», 1970, т. 1, № 1.
74. Кларк Дж., Макчесни М. Динамика 'реальных газов. М.,
«Мир», 1967.
75. К л иге ль Дж. Течение смеси газа с частицами в сопле.—«Вопр. ра-
кетн. тхен.»ч 1965, № 10.
76. Колмогоров В. Ф. Численное решение обратной задачи теории соп-
ла Лаваля применительно к двумерным неравновесным течениям совершенного
газа.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1974, № 2. * /
77. К о н д р а т ь е в В. Н. Кинетика химических газовых реакций. М.,
Изд-во АН СССР, 1958.
78. Кондратьев В. Н. Константы скоростей газофазных реакций. М.,
«Наука», 1970.
79. К о р н Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работни-
ков и инженеров. М., «Наука», 1974.
80. Ко чин Н. Е., К и бель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеха-
ника. М., Физматгиз, 1963.
81. Крайко А. Н. Вариационные задачи сверхзвуковых течений газа
с произвольными термодинамическими свойствами. М., 1963 (ВЦ АН СССР).
82. Край ко А. Н. Вариационные задачи газовой динамики неравновесных
и равновесных течений.— ПММ, 1964, т. 28, вып. '2.
83. К р а й к о А. Н., Н и гм а тулии Р. И., Старков В. К-, Стер-
нин Л. Е. Механика многофазных сред.— В кн.: Гидромеханика. Т. 6, М.,
1972 (ВИНИТИ).
84. К р а й ко А. Н., Осипов А. А. К решению вариационных задач сверх-
звуковых течений газа с инородными частицами.— ПММ, 1968, т. 32, вып. 4.
85. Куликовский А. Г., Любимов Г. А. Магнитная гидродинамика.
М., Физматгиз, 1962.
86. Курант Р. Уравнения с частными производными. М., «Мир», 1964.
87. Кур шаков А. В., Салтанов Г. А., Ткал ен к о Р. А. Теоретичес-
кое и экспериментальное исследование конденсации в центрированной волне
разрежения.— ЖПМ и ТФ, 1971, № 5.
88. Л а в а л ь П. Нестационарный метод расчета трансзвуковых течений
в соплах.— В кн.: Численные методы в механике жидкостей. М., «Мир», 1973.
89. Ландау Л. Д., Теллер Е. К. К теории дисперсии звука.—В кн.: Лан-
дау Л. Д. Собрание трудов. М., «Наука», 1969.
90. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем
для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотноше-
ний.—ЖВМ и МФ, 1969, № 2.
91. Массье П.ж Б эк Л., Ноэль М., С а хе л и Ф. Влияние вязкости
на коэффициент расхода сверхзвукового сопла.—«Ракетн. техн, и космонавти-
ка», 1970, № 3.
92. Мельников Д. А., Пирумов У. Г., Сергиенко А. А. Сопла
реактивных двигателей.— В кн.: Аэродинамика и газовая динамика М., «Нау-
ка», 1976.
347
93. Межи б ов ска я Е. Г., Пирумов У. Г., Рубцов В. А., Соро-
кина Е. В. Расчет кольцевых осесимметричных сопел. Изд-во МГУ, 1961.
94. М и з е с Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. М.,
ИЛ, 1961.
95. Наумова И. Н. Метод характеристик для равновесных течений не-
совершенного газа. М., 1964 (ВЦ АН СССР).
96. Наумова И. Н., Шмыглевский Ю. Д. Увеличение тяги сопла
вращением потока.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. газа», 1967, № 1.
97. Никольский А. А. О телах вращения с протоком, обладающих наи-
меньшим волновым сопротивлением в сверхзвуковом потоке.— В кн.: Теорети-
ческие работы по аэродинамике (сб. статей). М., Оборонгиз, 1957.
98. Н а г а :м а ц у Г. Т. Конденсация азота в сверхзвуковых соплах.—«Ме-
ханика» (сб. переводов), 1953, № 5.
99. Овсянников А. М. Расчет течения в дозвуковой и трансзвуковой
частях кольцевых сопел.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1971, № 6.
'100 . Овсянников А. М. Исследование смешанных течений в радиальных
соплах для МГД-генераторов.— В кн. Выч. методы и программирование,
вып. 23. Изд-во МГУ, 1974.
101. Овсянников А. М. Исследование влияния закрутки потока на те-
чения в соплах.— В кн:. Выч. методы и программирование. Вып. 27. Изд-во
МГУ, 1977.
102. Овсянников А. М., Пирумов У. Г. Метод расчета контуров
аэродинамических сопел с переходом через скорость звука.—«Изв. АН СССР.
Мех. жидк. и газа», 1975, № 1.
103. Овсянников Л. В. Об одном газовом течении с прямой звуковой ли-
нией перехода. ПММ, 1949, т. 13, вып. 5.
'104 . Овсянников Л. В. Исследование газовых течений с прямой ли-
нией.—«Труды ЛКВВИА», 1950, вып. 33.
105. Олсон В. Рекомбинация и конденсация в соплах с большим отноше-
нием площадей.—«Ракетн. техн.», 1962, № 5.
106. Патерсон Г. Н. Молекулярное течение газов. М., Физматгиз, 1960.
\107 . Пашацкий Н. В., Сыромятников Н. И. О зависимости темпе-
ратуры торможения струй газа с твердыми частицами от концентрации частиц
и их скорости.— «Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1970, № 4.
408. Пирумов У. Г. Расчет течения в сопле Лаваля.—«Изв. АН СССР.
Мех. жидк. и газа», 1967, № 5.
109. Пирумов У. Г. Пространственные до- и сверхзвуковые течения в соп-
лах и каналах переменного сечения.— ПММ, 1972, т. 36, № 2.
ПО. Пирумов У. Г. Исследование течений в. до- и трансзвуковой обла-
стях сопла Лаваля.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1970, № 1.
111. Пирумов У. Г. Обратная задача теории сопла и численное репте-
ние внутренних задач газовой динамики.— В кн.: Некоторые применения мето-
да сеток в газовой динамике. Вып. 6. Изд-во МГУ, 1974.
112. Пирумов У. Г. Особенности однофазного течения в сопле.— В кн.:
Термодинамические и теплофизические свойства продуктов сгорания. Т. 1 М
Изд-во АН СССР, 1971.
(1 13. Пирумов У. Г., Росляков Г. С., Сухоруков В. П. Исследо-
вание сверхзвуковых течений в конических соплах.—«Изв. АН СССР. Мех.
жидк. и газа», 1974, № 3.
114. Пир умов У. Г., Рубцов В. А. Расчет осесимметричных сверхзву-
ковых кольцевых сопел.—«Изв. АН СССР. Мех. и машиностр.», 1961, № 6.
115. Пирумов У. Г., Рубцов В. А., Суворова В. Н. Расчет осесиммет-
ричных сопел с учетом равновесных физико-химических превращений.— В кн.:
Численные методы в газовой динамике. Вып. i2. Изд-во МГУ, 1963.
116. Пир умов У. Г., Суворова В. Н. Прямая задача теории сопла.—
В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. 27. Изд-во МГУ, 1977.
il 17. П р е д в о д и т е л е в А. С., Ступоченко Е. В., Самуйлов Е. В.,
Стаханов И. П., Плешанов А. С., Рождественский И. Б. Таблицы
348
термодинамических функций воздуха. М., Изд во АН СССР, т. 1, 1J957; т. 2,
1959; т. 3, 1961.
118. Пчелкина Л. В., Солодкин В. К. Корректировка влияния погра-
ничного слоя на течение в соплах с изломом образующей.— В кн.: Численные
методы в газовой динамике. Вып. 4. Изд-во МГУ, 1965.
119. Рей В. Некоторые результаты численных расчетов вязких течений раз-
реженного газа в соплах в приближении узкого канала.—«Ракетн. техн, и кос-
монавтика», 197(1, № 5.
120. Р и х т м а й е р Р. Д., Мортон К. У. Разностные методы решения
краевых задач. М., «Мир», 1972.
121. Рождественский Б. Л., Яненко II. Н. Системы квазилинейных
уравнений. М., «Наука», ,1968.
122. Розе Д. Исследование вязких потоков в сверхзвуковых соплах с по-
мощью электронного пучка.— «Ракетн. техн, и космонавтика», 1971, № 5.
L23. Росляков Г. С., Сухоруков В. И. Разностный метод для расчета
течений газа с разрывами.— В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. 19.
Изд-во МГУ, .1972.
124. Росляков Г. С., Телен ин Г. Ф. Обзор работ по численному иссле-
дованию внешних и внутренних задач аэродинамики, выполненных в Москов-
ском университете.— В кн.: Выч. методы и программирование. Вып. И.
Изд-во МГУ, 1968.
125. Росляков Г. С., Чудов Л. А. Численные методы в механике сплош-
ных сред. Ч. 1. М., 1968; ч. 2, 3, М., 1969. (ВЦ МГУ).
126. Русанов В. В. Характеристики общих уравнений газовой динамики.—
ЖВМ и МФ, 1963, № 3.
127. Рыжов О. С. Исследование трансзвуковых течений в соплах Лаваля.
М., .1965 (ВЦ АН СССР).
128. Рычков А. Д. Расчет закрученного течения идеального газа в сопле
Лаваля.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1971, № 5.
129. Рэнсом В., Гоффман Дж., Томпсон X. Метод бихарактеристик
второго порядка для расчета пространственного установившегося сверхзвуко-
вого течения.— «Ракетн. техн, и космонавтика». 1972, № 12.
130. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М., «Нау-
ка», 1971.
131. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М., «Наука», 1970.
132. Седов Л. И., Черный Г. Г. Об осреднении неравномерных потоков
газа в каналах.— «Теоретическая гидромеханика». 1954, т. 4, № 12.
133. Сергиенко А. А., Г р е ц о в В. К. Переход турбулентного погранич-
ного слоя в ламинарный.— ДАН, <1959, т. 125, № 4.
134. Сиразетдинов Т. К. Оптимальные задачи газодинамики.—«Изв.
вузов. Авиац. техн.», 1963, № ,2.
135. Старков В. К., Стернин Л. Е., Тишин А. П., Худяков В. А.
О некоторых особенностях двухфазных течений в соплах. -«Изв. АН СССР.
Мех. жидк. и газа», 1973, 3.
136. Стернин Л. Е. Основы газодинамики двухфазных течений в соплах
М., «Машиностроение», J974.
137. Стернин Л. Е. О границе области существования безударных опти-
мальных сопел.— ДАН, 1961, т. 139, № 2.
138. Степанов Г. Ю., Гогиш Л. В. Квазиодномерная газовая динамика
сопел ракетных двигателей. М., «Машиностроение», 1973.
139. Стулов В. П., Турчак Л. И. Неравновесное обтекание затупленных
тел газовой смесью, содержащей углекислый газ.—«Труды НИИ Механи-
ки МГУ», 1970, № 5.
140. С лав я нов Н. Н. Исследование закрученных течений сжимаемого га-
за в соплах. Дис. на соиск. учен, степени канд. физ.мат. наук. (Рукопись).
М., 1974.
141. Ступоченко Е. В., Лосев С. А., Осипов А. И. Релаксационные
процессы в ударных волнах. М., «Наука», 1965.
349
.142 . Сью л В., Мюллер Т. Поле течения и донное давление в соплах
с центральным телом.—«Вопр. ракетн. техн.», 1974, № 2.
143 . Таблицы газодинамических функций. Под ред. Рослякова Г. С.
Изд-во МГУ, 1965.
144. Термодинамические свойства индивидуальных веществ. Справочник.
Под ред. Глушко В. П. М., Изд-во АН СССР, 1962.
145. Тимошин А. Н. Исследование течения в сверхзвуковом сопле вблизи
его выходного сечения при различных величинах степени перасчетиости.— ИФЖ,
1970’, т. 1, № 2.
Ц4 6. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и мето-
де регуляризации.— ДАН, 1963, т. 151, № 3.
147. Тишин А. II. Особенности течения двухфазных продуктов в сопле.—
В кн.: Термодинамические н теплофизические свойства продуктов сгорания.
Т. 1. Изд-во АН СССР, (1971.
148. Тишин А. П., Хайрутдинов Р. И. К расчету коагуляции частиц
конденсата в соплах Лаваля.—«Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1971, № 5.
149. Ткал.енко Р. А. Конденсация паров воды при расширении в плоских
и осесимметричных соплах.— «Изв. АН СССР. Мех. жидк. и газа», 1972, № 6.
150. Уолтерс А. Несимметричные течения в соплах Лаваля.—«Вопр. ра-
кетн. техн.», 1974, № 8.
151. Фалькович С. В. К теории сопла Лаваля.— ПММ, 1946, т. 10, вып. 4.
152. Фр а нкль Ф. И. К теории сопел Лаваля.—«Изв. АН СССР, Матем.»,
1945, № 5.
(153 . Франкль Ф. И. Истечение сверхзвуковой струи из сосуда с плоски-
ми стенками.— ДАН, 1947, 58, № 3.
154. Франкль Ф. И. О прямой задаче теории сопла Лаваля.— «Учен. зап.
Кабард.-Балк. гос. ун-та», 1959, вып. 3.
155. Ф р а н ц и с к у с Л., Лезберг Е. Влияние рекомбинации в выходном
сопле на характеристики гиперзвукового прямоточного двигателя, II. Аналитиче-
ское исследование.— «Ракетн. техн, и космонавтика». 1963, № 9.
156. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. М., Изд-во
АН СССР, 1945.
157. Фукс Н. А. Механика аэрозолей. М., Изд-во АН СССР, 1955.
J58. Хайлов В. М. Химическая релаксация в соплах ракетных двигателей.
М., «Машиностроение», 1975.
159. Хилл Ф., Унгер Г., Диккенс В. Спектроскопические измерения
состава газообразных продуктов сгорания в сверхзвуковом потоке.—«Ракетн.
техн, и космонавтика», 1967, № 5.
160. Хо гланд Р. Последние достижения в исследовании течений с твер-
дыми частицами в сопле.— «Ракетн. техн.», 1962, № 5.
161. Черный Г. Г. Закрученные течения сжимаемого газа в каналах.—
«Изв. АН СССР. ОТН, 1956. № 6.
'162 . Чушки н П. И. Метод характеристик для пространственных сверхзву-
ковых течений. М., 1968 (ВЦ АН СССР).
163. Шмыглевский 10. Д. Некоторые вариационные задачи газовой ди-
намики. М., 1963 (ВЦ АН СССР).
164. Ш м ы г л е в с к и й Ю. Д. О некоторых свойствах осесимметричных
сверхзвуковых течений.— ДАН, 1958, т. 122, № 5.
165. Ю В а й - Ч е н. Течение в соплах и связанные с этим задачи о цилиндри-
ческих и сферических волнах.—«Механика» (сб. переводов), 1954, № 4, 5.
166. Babiano A., Chevalier Р. Calcul bidimensionnel de revolution de
1’ecoulement relaxe d’un gar dans une tuyere sonique convergente-divergente. —
«С. R. Acad. Sci. Paris», 1973, t. 276, N 13.
167. Bailey W. S., Nilson E. N., Serra R. A., Zupnik T. F. Gas-par-
ticle flow in axisymmetric nozzle.— ARS J.t 1961, v. 31, N 6.
168. Belotserkovskii О. M., Chushkin P. I. The numerical solution
of problem in gas dynamics. — In: Basic developments in fluid dynamics. V. 1.—
N. Y. Acad. Press., 1965.
350
169. Bray К. N. C. Atomic recombination in a hypersonic wind-tunnel
nozzle. — «J. Fluid Meeh», 1959, 6, N 1.
170. Bro er L. Characteristics of equations of motion of reacting gas — «J
Fluid. Meeh.», 1958, 4, N 3.
171. Butler D. S. The numerical solution of hyperbolic systems of partial
differential equations in three independent variables. — «Proc. Roy Soc» 196^
Ser. A, 267.
172. Croce о L. Eine noue Stromfunktion fur die Erforshung der Bewegung
der Gase mit Rotation.— «Z. Angew. Math. Meeh.», 1937, Bd. 17.
173. Ferquson D. F., Lighthill M. J. The hodograph transformation
in transsonic flow. — «Proc. Roy. Soc.», 1947, 192.
174. Fraenkel L. E. On the flow of rotating fluid past bodies in a pipe.—
«Proc. Roy. Soc.», 1956, Ser. A, 233.
175. G or tier G. H. Zum Ubergang von Unterschall zu. Uberschallgeschuin-
digkeiten in Dusen. — «Z. Angew. Math, and Meeh.», 1939, Bd. 19, H. 6.
176. Guentert E. C., Neumann H.‘E. Design of axisymmetric exhaust
nozzles by method of characteristics incorporation a variable isentropic expo-
nent. — NASA TR, R-53, 1958.
177. Gyarmathy G., Meyer H. Versuche uber den EinfluB der Entspan-
nungsschnelligkeit auf die Nebelbildung in iibersattigten Wasserdampf.— «VDI —
Forschungskeit», 1965, N 508.
178. Flail J. M. Transonic flow in two-dimensional and axially — symmetric
nozzles. — «Quart. J. Meeh. AppL Math.», 1962, 15, pt. 4.
179. Hoffman J. D., Maykut A. R. Gas dynamic gain of supersonic
thrust nozzles. — «J. Spacecraft and Rockets», 1974, 11, N 10.
180. Karman Th. The similarity law of transanic flow. — «J. Math, and
Phys.», 1947, 26, N 3.
181. Kavanau L. L. Heat transfer from spheres to a rarefied gas in subso-
nic flow. — «Trans. ASME», 1955, 77, N 5.
182. King W. S. A Theoretical investigation of swirling flow through a
nozzle. Ph. D. dissert. UCLA, Los Angeles, Calif., 1967.
183. Lighthill M. J. On boundary layers and upstream influence, IL Su-
personic flows without separation. — «Proc. Roy. Soc.», Ser. A, 1953, 217.
184. Mager A. Approximate solution of isentropic swirling flow through a
nozzle.—ARS J., 1961, 31, N 8.
185. Mayer J. E., Go Ip pert — Mayer M. Statistical mechanics. N. Y.„
1940.
186. Meyer Th. Uber zweidimensionale Bewegung vorgange in einem Gaz
das mit Uberschallgeschwindiskeit stromt. — «Forschtmg heft», 62, 1908.
187. Migdal D. Study on pressure distributions in conical nozzles. — «Grum-
man aircraft eng. corp.», ADR-04-10-65, 1, 1965.
188. Morton D. T. Subsonic, transonic and supersonic nozzle flow by the
inverse technique. — «J. Spacecraft and Rock.», 1972, 9, N 6.
189. Oswatitsch K. Kondensationserscheimingen in Uberschalldiisen. — «Z.
Angew. Math. Meeh.», Ц942, Bd. .212.
190. Pejtrov G. I. Determination of the position of the supersonic, flow clo-
sing shock wavo in the channels of an air —breating jet engine.—In: Secoud
International Conference on space Enginering. D., Reidel Publ. Co., Amsterdam,.
1969.
19Я. Rao G. Exhaust nozzle contour for optimum thrust.— «Jet Propulsion»,
1958, 28, N 6.
192. Sauer R. General characteristic of the flow through nozzles at near
critical speeds.—«Tech. Memor. NASA», 1147, 1947.
193. Si veils T. C. Aerodynamics design of axisymmetric hypersonic wind —
tunnell nozzles.—«J. Spacecraft and Rock.», 1970, 7, N 11.
194. Taylor G. I. The flow of air high speed past curved surfaces. — «Great
Britain Aeronaut. Res. Commitee Rep. and Memor.», 1930, N 1381.
195. W i t о z z у n к y. Uber Strahberweiterung und Strahlablenkung. — In:
«Vertage aus dem Gebiete der Hydro und Aerodynamik», Berlin, 1924.
351
Ульян Гайкович Пирумов,
Геннадий Степанович Росляков
ТЕЧЕНИЯ ГАЗА В СОПЛАХ
Зав. редакцией А. А. Локшин
Редактор О. В. Семененко
Мл. редакторы И. А. Лященко, В. В. Конкина
Художник В. П. Бодарецкая
Художественный редактор Б. С. Вехтер
Технический редактор 3. С. Кондрашова
Корректоры М. И. Э л ь м у с, Л. С. К л о ч ко в а
Тематический план 1977 г. № G2
И Б № 264
Сдано в набор 15.04.77 Подписано к печати 27.09.78.
Л-77300 Формат 60X90716 Бумага тип. № 1.
Гарнитура литературная. Высокая печать. Усл. печ. л. 22,0.
Уч. изд. л. 23,26. Изд. № 2787. Зак. № 625. Тираж 1920 экз.
Цена 3 р. 80 к.
Издательство Московского университета.
Москав, К-9, ул. Герцена, 5/7.
Типография № 8 Управления издательств,
полиграфии и книжной торговли Мосгорисполкома.
Москва, Товарищеская ул., д. 4